Строительная механика - Снитко Н.К.

Автор: Снитко Н.К.
Теги: cтроительная механика графический и аналитический методы статики для исследования и расчета строительных конструкций теоретические основы строительства строительство строительные конструкции строительная механика
Год: 1980
Похожие
Строительная механика
Текст
                    н. н. снитно
СТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКА
Н. К. СНИТКО
засл деят. науки и техники РСФСР,
д-р техн наук, проф.
СТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКА
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника
для студентов строительных
специальностей вузов
Сканировал и обрабатывал
ЛхкинА О
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1980
ББК 38.112
С54
УДК 624.04
Рецензент—кафедра строительной механики
Всесоюзного заочного политехнического института
Снитко Н. К.
С54 Строительная механика: Учебник для вузов.— 3-е изд.,
перераб.— М.: Высш, школа, 1980.— 431 с., ил.
В пер.: 1 руб.
Книга представляет собой курс строительной механики и содержит изложение
методов расчета статически определимых и неопределимых стержневых систем, рас-
чета конструкций па устойчивость, основы динамики сооружений и методы расчета
оболочек. По сравнению с предыдущим изданием в настоящем курсе уделено боль-
шее внимание пространственным системам, матричной форме расчета, применению
уравнений в конечных разностях, задачам устойчивости стержневых систем и дина-
мики соо р уясени й.
Предназначается для студентов строительных специальностей вузов.
С 001 (01)-80 73~80	2’05000000
6С1
ББК 38.112
© Издательство «Высшая школа», 1980
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий учебник написан в соответствии с про-
граммой курса строительной механики и является третьим
изданием (второе издание вышло в 1972 г.). Задачи, по-
ставленные автором при написании учебника, заключа-
лись в изложении всех частей курса, включая и спе-
циальные разделы по устойчивости, динамике и оболочкам,
в сжатой, но доступной для самостоятельного изучения
форме.
В курсе реализуется в основном аналитический метод
с использованием графо-аналитических иллюстраций.
В связи с применением современных численных методов
расчета в книге уделено внимание матричной форме
расчета конструкций и дано представление о матричных
операциях.
В первой части изложены методы расчета статически
определимых систем и теория определения перемещений;
во второй— теория расчета статически неопределимых
систем, расчет круговых арок и метод перемещений как
в канонической, так и в развернутой формах; в третьей —
устойчивость, основы динамики сооружений и в четвер-
той—расчет оболочек.
Особенностями книги являются изложение методов
структурного анализа ферм, метода начальных парамет-
ров (при исследовании перемещений рам, круговых арок,
сжато-изогнутых стержней, вынужденных колебаний, при
расчете цилиндрических резервуаров), развернутой формы
метода перемещений с применением кинематической цепи
и др.
В отличие от предыдущего издания в настоящем курсе
уделено большее внимание пространственным системам,
матричной форме расчета, применению уравнений в ко-
нечных разностях, многим задачам устойчивости стержне-
вых систем и динамики сооружений.
Особенностью третьей части курса является изложе-
3
ние расчета конструкций на устойчивость и решение ряда
задач динамики сооружений в канонической форме, что
объясняется важностью развития наиболее эффективных
инженерных методов, необходимых для практики проек-
тирования.
Книга предназначена для студентов строительных вту-
зов, преподавателей, инженеров-проектировщиков и науч-
ных работников.
Автор выражает свою благодарность за ценные ука-
зания профессорам А. П. Синицыну, Г. К. Клейну,
П. М. Варваку, Е. С. Гребню, а также кафедре ВЗПИ
во главе с проф. А. В. Дарковым за рекомендации,
сделанные при рецензировании данного издания.
Автор будет признателен читателям за отклики и за-
мечания по содержанию этой книги.
Автор
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Строительная механика как наука.
Краткий исторический обзор
Задачи и методы строительной механики. Всякое сооружение
должно быть прочным, жестким и устойчивым, т. е. оно не должно
разрушаться от действия внешних сил и иметь необходимый запас
прочности; в нем недопустимы перемещения, нарушающие нормаль-
ную эксплуатацию сооружения; кроме того, должна быть исключена
возможность потери сооружением устойчивости заданной формы.
Строительная механика занимается разработкой методов стати-
ческих и динамических расчетов сооружений на прочность, жест-
кость и устойчивость. Статика сооружений изучает их работу при
статическом действии нагрузки — медленном ее приложении в опре-
деленный конечный промежуток времени. При динамическом дейст-
вии нагрузки, меняющейся во времени, учитываются динамические
эффекты нагрузки и вводятся в рассмотрение силы инерции. Рас-
четы на динамическую нагрузку освещаются динамикой сооружений.
Задачи строительной механики состоят в разработке рациональ-
ных методов определения усилий в сооружениях и их перемеще-
ний; методов расчета сооружений на прочность, жесткость и
устойчивость, а также в установлении наивыгоднейших форм со-
оружений, удовлетворяющих требованиям экономичности.
Строительная механика широко использует методы теоретиче-
ской механики, изучающей равновесие и движение твердых тел,
но в отличие от последней она рассматривает деформации соору-
жения (упругие или упругопластические). Большую роль в решении
современных проблем строительной механики играют аналитические
выражения расчетных величин или в замкнутой форме, или в ди-
скретной (численной). Аналитические численные методы получили
в настоящее время большое распространение при подготовке к вы-
числениям на электронно-счетных машинах. Характерно для послед-
него времени использование матричного исчисления, теории ве-
роятности, статистической механики, итерационных методов. Широ-
ко применяются графо-аналитические методы, основанные, с одной
стороны, на исходных аналитических зависимостях, с другой —на
О
графических представлениях. Большое распространение в настоящее
время получили такие новые конструктивные формы сооружений,
как пластинки и оболочки, а также пластинчато-стержневые си-
стемы. В данном курсе уделяется внимание и теории расчета кон-
тинуальных систем.
Краткий исторический очерк развития строительной механики.
Развитие строительной механики тесно связано с прогрессом строи-
тельной техники и сменой общественных формаций.
Основы строительной механики были созданы лишь в XIX в.
в связи с появлением железных дорог и строительством мостов и
крупных гидротехнических и промышленных сооружений.
Первые большие достижения отечественной строительной меха-
ники связаны с деятельностью русских инженеров-мостовиков,
строителей первой железной дороги Петербург—Москва.
Можно указать на работы следующих русских ученых: профес-
сора Д. И. Журавского (1821—1891), автора первой теории рас-
косных форм; профессора Ф. С. Ясинского (1856—1899), предло-
жившего первые решения по различным задачам устойчивости
стержней и по теории пространственных ферм; почетного члена
Академии наук СССР В. Г. Шухова (1853—1939), автора ряда
новых плоских и пространственных ферм (сетчатые перекрытия,
башни в виде сетчатого однополостного гиперболоида), и Н. А. Беле-
любского (1845—1922), автора первого полного курса строительной
механики.
Важную роль в популяризации новых методов строительной
механики сыграли работы В. Л. Кирпичева (1845—1916), в кото-
рых наиболее полно изложены графическая статика и анализ основ-
ных положений теории статически неопределимых систем.
Значительное развитие теории шарнирно стержневых ферм было
достигнуто благодаря работам Л. Д. Проскурякова (1858—1926)
и В. Г. Шухова. Замечательный конструктор и изобретатель,
В. Г. Шухов предложил ряд новых решений металлических кон-
струкций. Известна его сетчатая ферма со схемой в виде двух
дисков, связанных тремя стержнями. Замечательны также гипер-
болические башни Шухова (маяк высотой 80 м, мачта радиостан-
ции высотой 160 м, многочисленные водонапорные башни), исполь-
зующие простое свойство совмещения на поверхности однопо-
лостного гиперболоида прямолинейных элементов.
Большой интерес представляли работы профессора С. И. Бел-
зецкого по расчету арок и труб: «Теория рациональных форм ци-
линдрических сводов» (1902), «Рациональные формы сплошных
упругих арок в железнодорожных мостах и трубах » (1905) и «Типы
каменных труб под насыпями» (1912). Ценный вклад в развитие
строительной механики корабля сделан профессором И. Г. Бубно-
вым, которому принадлежит оригинальное исследование устойчи-
вости равнопролетного стержня на упругих опорах (1912). К этому
же периоду можно отнести капитальные исследования академика
А. Н. Динника по устойчивости стержней переменного сечения и
многочисленные его решения по устойчивости арок.
6
Среди работ многих советских ученых можно указать на труды
академика А. Н. Крылова (1863—1945) по строительной механике
корабля, теории продольного изгиба, теории вынужденных коле-
баний и расчету балки на упругом основании; академика Б. Г. Га-
леркина (1871—1945), давшего ряд решений по плитам, собранных
в его капитальном труде «Упругие тонкие плиты», а также раз-
работавшего общие методы решения задач устойчивости и теории
упругости; члена-корреспондента АН СССР, профессора И. М. Раби-
новича, создавшего теорию вантовых многопоясных систем и сде-
лавшего много ценных обобщений и исследований по статике и
динамике сооружений, опубликованных в его капитальном труде
«Строительная механика стержневых систем» и в других работах;
профессора В. 3. Власова, предложившего новую стройную мате-
матическую теорию оболочек и тонкостенных стержней; профессора
Н. В. Корноухова, разработавшего теорию устойчивости каркасных
рам (в особенности метод перемещений); профессора А. А. Гвоздева,
разработавшего смешанный метод расчета рам и развившего тео-
рию расчета -сооружений по предельному состоянию; профессора
К. С. Завриева, впервые предложившего метод расчета сжато-
изогнутых стержней по предельным состояниям, и профессора
А. Ф. Смирнова, разработавшего матричную форму решения раз-
личных задач статики, устойчивости и динамики сооружений. Боль-
шую роль в решении различных задач строительной механики
сыграли также И. П. Прокофьев, Н. И. Безухов, В. В. Болотин,
А. П. Синицын, В. А. Киселев, Д. В. Вайнберг, П. М. Варвак,
А. Р. Ржаницын, Г. К- Клейн, А. В. Дарков и многие другие.
Из зарубежных ученых, внесших большой вклад в развитие
строительной механики, следует назвать Даламбера, Лагранжа, Ку-
лона, Ламе, Сен-Венана, Эйлера, Максвелла, Мора, Мюллер-Бреслау,
Аргироса, Клафа и др.
§ 2.	Новые задачи строительной механики в связи с развитием
строительной индустрии. Расчетная схема
В настоящее время в инженерной практике находят примене-
ние новые типы сложных строительных конструкций больших про-
летов и высоты, требующие применения более совершенных методов
расчета. Поэтому возрастает роль тех аналитических методов в строи-
тельной механике, которые обеспечивают применение новых вы-
числительных средств (электронных вычислительных машин —
ЖМ).
В связи с применением легких ответственных конструкций и
механизацией производственных процессов особенно большое зна-
чение приобретают динамические расчеты и анализ устойчивости
сооружений. Современный инженер должен уметь рассчитывать не
только плоские, но и пространственные системы, мачты, пластинки,
складки и оболочки, а также уметь оценить действие динамической
нагрузки и знать методы анализа устойчивости сложных конструк-
ций. Вследствие этого исключено параллельное изложение решения
7
задач и аналитическими и графическими методами и отдано пред-
почтение применению аналитических методов.
В Советском Союзе за годы пятилеток и в последнее время
построены многие замечательные гидротехнические сооружения,
крупнейшие промышленные сооружения, новые города, развернуто
огромное жилищное строительство. Развитие нового строительства
в СССР требует решения важнейших задач строительной механики
по созданию новых методов расчета крупнейших стержневых и
пластинчатых сооружений.
В связи е распространением электронных счетно-решающих
устройств и кибернетики должны быть развиты соответствующие
новейшие методы расчета сооружений, удобные для использования
машинной техники. Важнейшим инструментом этой вычислительной
техники является аппарат матричной алгебры. Матричная форма
расчета сооружений получила большое распространение при расчете
сложных статически неопределимых систем, при анализе устойчи-
вости сооружений и в динамике сооружений. Применение матриц
позволяет обобщить ряд задач расчета и статически определимых
систем. Основным преимуществом матричной формы является то,
что одна и та же последовательность матричных операций приме-
няется в расчете самых различных систем —плоских и простран-
ственных, стержневых и пластинчатых.
Язык матричного исчисления наиболее удобен для применения
цифровых вычислительных машин (ЦВМ). Матрицей, как известно,
называется совокупность чисел, расположенных в виде прямо-
угольной таблицы, содержащей т столбцов и п строк; если число
строк п равно числу столбцов т матрицы, то такая матрица назы-
вается квадратной. В строительной механике особенно часто
имеем квадратные матрицы. Если матрица имеет только один стол-
бец, ее называют матрицей- с то лбцом или вектором (обозна-
чают буквой со стрелкой наверху). Если матрица имеет только
одну строку, она обращается в м а тр и ц у - ст р о к у. Квадратная
матрица, имеющая все элементы, кроме диагональных, равными
нулю, называется диагональной. Если в диагональной матрице
все диагональные элементы равны каждый единице, то такая мат-
рица называется единичной и обозначается Е- Квадратная мат-
рица, определитель которой не равен нулю, называется неосо-
бенной. В задачах устойчивости и динамики встречаемся с осо-
бенными матрицами. В основном курсе строительной механики
часто встречаемся с системой линейных уравнений относительно
неизвестных, система коэффициентов при которых составляет квад-
ратную матрицу А, а сами неизвестные и свободные члены обра-
зуют матрицы-столбцы. Задача далее сводится к решению системы
уравнений, что осуществляется так называемым обращением
матрицы А, т. е. получением обратной матрицы В = А(действия
над матрицами —см. приложение).
В развитии современных методов расчета пространственных
конструкций ярко выделяется тенденция к синтезу методов теории
упругости, общей теории оболочек и строительной механики стер-
8
жневых систем. Одним из перспективных численных методов яв-
ляется метод конечных элементов (МКЭ), по которому
сплошное тело заменяется совокупностью отдельных конечных эле-
ментов; связность этих элементов возмещается усилиями взаимодей-
ствия в отдельных узловых точках. Эти усилия заменяют действия
внутренних напряжений, которые в действительности приложены по
реальным границам стыкования смежных элементов. В простейших
плоских задачах (пластина) тело заменяется системой прямоуголь-
ников или треугольников; в пространственной задаче — параллеле-
пипедами и тетраэдрами (см. [1]).
При решении задач расчета реального сооружения упрощают
его и оперируют с расчетной схемой. Расчетной схемой назы-
вают идеализированную, упрощенную схему действительного соо-
ружения, в которой отражаются только его основные свойства.
В расчетную схему сооружений вводят идеализированные опоры.
Выбор расчетной схемы основывают на изучении действительной
конструкции, вида узловых соединений в сооружении, особенно-
стей работы данного материала, конструкции опор и фундамента
и т. д. Так, при расчете стальных конструкций в соответствии с
приближением свойств металла и при идеализированной схеме
вполне возможно применение уточненных расчетных схем. При рас-
чете же деревянных конструкций в связи с отклонением свойств
материала от схемы упругого изотропного тела естественно исполь-
зование приближенных расчетных схем. Например, расчет много-
пролетных деревянных конструкций можно выполнять, принимая
шарнирные соединения ригелей со стойками и подкосами. Приме-
нение уточненной расчетной схемы должно быть логически увя-
зано с необходимой точностью расчета, степень которой определя-
ется свойствами материала, эксплуатационными требованиями
и др.
Переход к расчетной схеме является необходимой идеализацией
реального сооружения. По мере накопления новых результатов
испытаний сооружений совершается переход от одной расчетной
схемы к другой, более точно отражающей реальное поведение
материала.
Основные элементы плоских со о р у же н и й— стержни
(или брусья) и пластинки. Стержнем называют элемент, раз-
меры поперечного сечения которого малы по сравнению с длиной.
Фермы и рамы представляют собой сочленения стержней. Ферма
при узловом действии нагрузки рассматривается в расчетной схеме
как система стержней, связанных идеальными шарнирами. Под
идеальным шарниром понимают узловое соединение стержней,
в котором не возникает сил трения и усилия на стержни переда-
даются строго через центр шарнира. Пластинкой называют
элемент, один размер (толщина) которого мал по сравнению с двумя
другими (шириной и длиной). Следует заметить, что пластинка
может быть и основной несущей конструкцией. Пластинку с криво-
линейным очертанием срединной поверхности принято называть
оболочкой.
9
§ 3.	Опорные устройства. Виды нагрузок
Для прикрепления сооружения к основанию служат опоры,
обеспечивающие неподвижность опорных точек конструкции. Рас-
смотрим основные типы плоских сооружений, для которых приме-
няют следующие опорные устройства: 1) шарнирно подвижную
опору; 2) шарнирно непод-
вижную опору; 3) защем-
ленную неподвижную опо-
РУ-
На рис. 1 показана
простейшая схема устрой-
ства шарнирно подвижной
опоры (а) и дано ее услов-
ное изображение (б). Под-
вижная опора допускает
вращение вокруг оси, про-
ходящей через центр шар-
нира а опоры, и посту-
пательное перемещение по
линии ab. Шарниры а и с
предполагаются идеальны-
ми, вследствие чего реак-
ция со стороны опоры про-
ходит по линии ас. В шар-
нирно подвижной опоре
возникает реакция, нор-
мальная к направлению
перемещения катков. Шар-
нирно неподвижная опора
(рис. 2,а) обеспечивает
вращение верхнего балан-
сира А вокруг оси, про-
ходящей через центр шар-
нира а, и не допускает
линейных перемещений. В
условной схеме она заменя-
ется двумя опорными стер-
жнями. В неподвижной опоре возникают две составляющие
реакции /?„ и На (рис. 2,6). Абсолютное защемление (рис. 3,а)
не допускает каких-либо линейных перемещений и поворота (оно
эквивалентно трем опорным стержням; рис. 3,6). В защемлении
возникают две составляющие реакции Ra, Hu и реактивный мо-
мент Мв.
Нагрузки можно разделять по характеру действия во времени,
по способу их приложения, в зависимости от назначения при экс-
плуатации самого сооружения и т. д.
По характеру действия во времени различают статические и
динамические нагрузки. Статическую нагрузку принимают
Ю
не зависящей от времени, она передается на сооружение спокойно,
плавно, без толчков и вибраций, ее считают медленно возрастаю-
щей от нуля до конечного значения. Динамическая нагрузка
быстро меняется со временем; при расчете сооружения на динами-
ческую нагрузку необходимо вводить силы инерции системы, воз-
никающие при колебаниях, и динамические эффекты действия
нагрузки.
По способу приложения различают сосредоточенный груз и
сплошную нагрузку, распределенную по площади или по линии.
Сосредоточенный г р у з — нагрузка в виде силы, прило-
женной в одной точке. Основной единицей силы в Международной
системе единиц (СИ) является ньютон (Н). В учебнике будем поль-
зоваться кратной ему единицей — килоньютоном (кН); 1 кН =
- - 102 кгс ~ 100 кгс.
Сплошная н а г р уз к а — распределенная непрерывно по дан-
ной площади или по данной линии. Линейная сплошная нагрузка,
распределенная по длине, измеряется интенсивностью ее, т. е.
нагрузкой, приходящейся на единицу длины в данной точке. Поверх-
ностная нагрузка измеряется нагрузкой, действующей на единицу
поверхности в данной точке. Интенсивность линейно распределен-
ной нагрузки измеряется в килоньютонах на метр погонной длины,
а интенсивность поверхностно распределенной нагрузки —в кило-
ньютонах на квадратный метр.
В зависимости от назначения различают постоянную, времен-
ную и подвижную нагрузки. Постоянная н а г р у з к а — наг-
рузка, которая постоянно действует на сооружение (собственный
вес, усилия предварительного натяжения и т. п.). Временная
нагрузка действует на сооружение в отдельные промежутки вре-
мени, в другие же периоды она может отсутствовать (давление
ветра, снега; полезная нагрузка, воспринимаемая сооружением).
Подвижная нагрузка та, которая занимает различное положе-
ние на сооружении (поезд, автомобиль, толпа людей). По действу-
ющим нормативным документам различают основные сочетания
нагрузок (состоят из постоянных и временных), дополнительные
сочетания (включают и кратковременные нагрузки) и особые
сочетания (сейсмические, аварийные и др.).
§ 4.	Классификация сооружений и их расчетных схем.
Основные положения
Виды сооружений. Ниже рассматриваются лишь идеализиро-
ванные расчетные схемы сооружений. Различают сооружения плос-
кие и пространственные, которые подразделяют по виду соедине-
ний в узлах; по геометрическому типу элементов, составляющих
сооружение; по особенностям работы сооружения и т. д.
Все сооружения, в действительности пространственные,
имеют три измерения, однако в ряде случаев заменяют простран-
ственные сооружения плоскими, представляющими данное прост-
11
рапствениое. Плоским сооружением называют систему, осевые
линии всех элементов которой расположены в одной плоскости.
По геометрическому типу элементов сооружения могут быть
стержневыми, пластинчатыми и массивными. Сооружения, состав-
ленные из стержней (рис.
а\	4,и), называют стержне-
' ________ выми. Сооружения, предс-
(	тавляющие собой систему
/	пластинок (рис. 4,6), будем
м /	“71	/--------называть пластипчаты-
/	/	ми. На рис. 4,а,б представ-
/	лены элементы сооружений.
/	Сооружения, три основ-
/	/	ных размера которых одного
L--------И	и того же порядка (рис. 4, в),
Рис-4	называют массивными
(например, подпорная стен-
ка).
По виду соединений в узлах сооружения делятся на системы
с шарнирными и с жесткими узлами. В качестве при-
мера первой системы можно указать ферму с шарнирными узлами,
в качестве примера второй —раму с жесткими узлами.
По особенностям работы сооружений различают балочные, рам-
ные, арочные и висячие системы.
Балка представляет собой прямолинейный брус, работающий
на изгиб. Балка при наличии обычной горизонтальной подвижной
опоры является безраспорной системой, в которой вертикальная
нагрузка вызывает только вертикальные опорные реакции.
В распорной системе с криволинейным или многоугольным очер-
танием оси (рама, арка) вертикальная нагрузка помимо вертикаль-
ных вызывает и горизонтальные составляющие реакций — распоры.
Рамой называют стержневую систему преимущественно с жест-
кими соединениями в узлах; стержни рамы работают одновременно
на изгиб и осевое действие сил, причем изгибная деформация в
раме преобладает.
Аркой называют криволинейный брус, закрепленный непод-
вижно двумя концами. Арка со сплошной стенкой работает на
осевое сжатие и изгиб.
При наличии идеально шарнирного соединения стержней во всех
узлах систему называют шарнирно-стержневой фермой или просто
фермой. Все стержни фермы при узловой нагрузке работают
только на осевое действие сил.
Часто применяют висячие системы, в которых цепи или
кабели поддерживают балочную часть. В идеальной гибкой цепи
или гибком кабеле возникает только растяжение.
Сооружения можно разделить на статически определи-
мые, усилия в которых определяются только с помощью одних
уравнений статики, и статически неопределимые, расчет
которых производится с дополнительным использованием уравне-
12
ний связности деформаций. Применяются также методы расчета
сооружений по допускаемым напряжениям и по предельным состо-
яниям, методы расчета на основе точной и приближенной теорий
и т. д.
Основные положения строительной механики. Основные исход-
ные положения строительной механики при решении задач упру-
гого расчета сооружений те же, что и сопротивления материалов:
1.	Предположение об идеальной упругости и непрерывности
материала, из которого состоит сооружение. Однако в специальном
разделе курса рассматриваются методы расчета сооружений с уче-
том развивающихся и пластических деформаций. В настоящее время
ряд конструкций рассчитывается по методу предельных состояний
(расчет железобетонных конструкций проводился у нас с 1939 г.
по стадии разрушения—-с использованием криволинейной эпюры
сжимающих напряжений в области сжатого бетона).
2.	Применение линейной связи между напряжением и деформа-
цией (закон Гука). Отметим, что существуют тела, поведение кото-
рых в известных границах можно считать нелинейно упругим, т. е.
в которых остаточных деформаций не возникает, но зависимость
между напряжением и деформацией нелинейна.
3.	Применение принципа независимости действия, согласно кото-
рому результат действия системы сил равен сумме результатов
действия отдельных сил. Этот принцип применим только к относи-
тельно жестким сооружениям, и использование его при расчете
существенно гибких систем в области больших деформаций недо-
пустимо.
Глава 2
АНАЛИЗ НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ ПЛОСКИХ СООРУЖЕНИИ
§ 5. Признаки неизменяемости шарнирно-стержневых систем
Системы, геометрически изменяемые и неизменяемые. Сооруже-
ние должно быть геометрически неизменяемым, т. е. пос-
тоянно сохранять геометрическую форму, заданную при возведении.
Изменяемые системы недопустимы, так как они резко меняют форму,
получая произвольные перемещения без изменения длин стержней.
Неизменяемые же системы могут менять форму только в результате
деформаций стержней. Примером простейшей неизменяемой систе-
мы является шарнирный треугольник (рис. 5, а), единственно воз-
можный при заданных длинах стержней. Простейшей изменяемой
системой является шарнирный четырехугольник (рис. 5, б), в котором
перемещения узлов 1 и 2 могут быть конечными без изменения
длин стержней системы.
При расчете сооружений нередко используют основную схему в
виде так называемой кинематической цепи — изменяемой
системы. Важно знать степень свободы кинематической цепи и уметь
13
перейти от этой цепи к неизменяемой системе путем введения соот-
ветствующих связей. Степенью свободы системы называется
число независимых геометрических перемещений, определяющих ее
положение (например, линейных перемещений узлов). Степень сво-
Рис. 5
боды шарнирного четырехугольника по рис. 5, б равна единице
(достаточно поставить раскос 02, чтобы обратить систему в неизме-
няемую).
Формула для определения числа связей плоской стержневой
системы. Рассмотрим плоские шарнирно-стержневые системы стерж-
ней или дисков. Пусть задана шарнирно-стержневая система по
рис. 6, в которой шесть шар-
нирных узлов связаны стер-
Рис. 6
жнями ао, ас, ad, .... Ус-
тановим соотношение между
числом узлов системы k и
числом стержней s. Под k по-
нимаем число узлов без опор-
ных, а под s—число стерж-
ней вместе с опорными. При
отсутствии всех s стерж-
ней системы степень свободы будет 2k, так как степень свободы
каждого узла на плоскости равна двум. При наличии связей чис-
лом s~2k система может быть неподвижна, если стержни располо-
жены целесообразно. Условие неиз-
меняемости системы будет
s = 2k.
(2.1)
Для системы порис. 6: s= 12,
k -6.
Мы получили аналитический приз-
нак геометрической неизменяемости,
согласно которому число связей меж-
ду узлами равно возможной степени
свободы узлов. Если s < 2k, система
ai
Рис. 7
изменяема; она не имеет необходимого количества связей. Если s — 2k,
система может быть неизменяема; она обладает достаточным количест-
вом связей для создания геометрически неизменяемой системы. Если
же связи расположены нецелесообразно, система может оказаться из-
14
меняемой. Итак, соотношение s = 2k является необходимым, но не-
достаточным условием геометрической неизменяемости. То же можно
сказать и относительно соотношения s>2fe.
В качестве примера приведем ферму, в первой панели которой
имеется два раскоса, а во второй раскоса нет (рис. 7). Общее число
стержней и узлов в данном случае s= 12; k — б, т. е. s = 2k. Одна-
ко система изменяема, так как она сводится к шарнирному четы-
рехугольнику (имеем диск abef, который заменяем одним стержнем).
Формула для определения степени свободы кинематической цепи.
Перемещения цепи. В качестве расчетных схем нередко вводятся
кинематические цепи.
Дадим формулу для подсчета степени свободы любой плоской
кинематической цепи, которая может быть получена непосредствен-
но из условия (2.1). Рассматривается случай, когда связей недоста-
точно для создания неизменяемой системы, т. е. когда s < 2k. Сле-
довательно, степень свободы Ссв системы будет
Ссв = 2Л-5.
Так, для цепи стержней по рис. 8, а имеем Ссв = 2-4—5=3.
Для обращения системы в неизменяемую (рис. 8, б) достаточно
ввести три дополнительных опорных стержня а, b и с в узлах /, 2,3.
На рис. 8, а представлена картина возможных перемещений цепи,
определяемая тремя независимыми перемещениями узлов 1, 2, 3:
Дп Д2 и Д3. Под независимыми понимают перемещения тех узлов
цепи, посредством которых определяется положение всех остальных
ее узлов. Число независимых перемещений совпадает со степенью
свободы цепи. Отложив вектор 1Г произвольной величины перпен-
15
дикулярно 01, проводим линию 1'2", параллельную /2; далее от-
кладываем вектор Д3 = 2"2' также произвольной величины, затем
проводим отрезок 2’3", равный и параллельный отрезку 23, и от-
кладываем вектор \3 = 3'3" снова произвольной величины. Точка
4' находится на пересечении перпендикуляров к отрезкам 3'4" и 45.
Перемещение узла 4 составит \i = 44'.
Простейшие геометрические признаки неизменяемости систем.
Как мы уже указывали, аналитический признак по (2.1) s = 2k
является недостаточным для окончательного суждения о неизме-
няемости системы; поэтому необходимо провести соответствующий
анализ ее геометрической структуры. Наиболее целесообразным и
общим является геометрический метод исследования
неизменяемости, основанный на использовании свойств гео-
метрических фигур.
Первый признак геометрической неизменяемости: ферма неизме-
няема, если она составлена из шарнирных треугольников (рис. 9),
поскольку треугольник— неизменяемая геометрическая фигура. В
данном случае к исходному треугольнику abc каждый последующий
узел 1, 2, 3, 4 и т. д. прикрепляется двумя стержнями, вследствие
Рис. 10
чего создается новый треугольник.
Прикрепление узла 1 к узлам b и с
двумя стержнями 1Ь и 1с, не лежащи-
ми на одной прямой, равносильно соз-
данию шарнирно-стержневого неизме-
няемого треугольника.
Более общий признак геометричес-
кой неизменяемости ферм следующий:
ферма неизменяема, если каждый пос-
ледующий узел прикрепляется к двум
предшествующим узлам двумя стерж-
нями, осевые линии которых не лежат
на одной прямой. Такой структурой
обладают все простейшие фермы, пред-
ставляющие собой совокупность диад
(диада — пара наклонных стержней,
связанных общим узлом).
На рис. 10 изображена консольная ферма с ромбической решет-
кой, к узлам а, b и с которой двумя стержнями каждый прикреп-
ляются узлы 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т. д.
16
На рис. 11 приведен ряд ферм, образованных по указанному
общему признаку. Выделен основной треугольник — геометрический
базис, к которому присоединяются все остальные узлы фермы; пос-
ледовательность их прикрепления отмечена цифрами. На рис. И, а
Рис. 11
показана полураскосная ферма, в которой каждый узел 1, 2, 3,
4, 5 и т. д. последовательно прикреплен к основному базису — тре-
угольнику abc и к последующим треугольникам. На рис. 11,6
показана простейшая схема висячей системы abc с балкой 7—2 — 3\
каждый узел последовательно прикреплен двумя стержнями: узел
а — к узлам b и с; узел 1 — к узлам а и 2; узел 3 — к узлам 1 и 4.
На рис. 11, в изображена вантовая ферма, стержни которой состав-
лены из вант (работающих только на растяжение); узел а прикреп-
лен к узлам b и с двумя стержнями; к узлам а и b последователь-
но прикрепляются узлы 1, 2 и 3, а к узлам а и с — узлы 4, 5 и 6;
внизу расположена проезжая часть 0 — 7—14.
Указанные два признака создания геометрически неизменяемых
шарнирно-стержневых систем, однако, неприменимы для анализа
геометрической неизменяемости любых ферм (см. § 9, где дан общий
метод исследования неизменяемости).
Мгновенно изменяемая система. Выше было установлено, что
при прикреплении данного узла двумя стержнями осевые линии
стержней не должны располагаться на одной прямой, иначе говоря,
не должно находиться на одной прямой три шарнира. Случай
прикрепления узла двумя стержнями ab и ас, лежащими на одной
17
прямой (рис. 12, а), дает мгновенно изменяемую систему: точка а
вследствие фиксации ее положения касающимися дугами окружнос-
тей радиусов ab н ас может получить бесконечно малое смещение
(точка aj. Конечное же смещение точки а возможно лишь в ре-
Рис. 12
зультате удлинения стержней; при этом система обращается в не-
изменяемую, так как шарниры а, b и с уже не будут лежать на
одной прямой.
Мгновенно изменяемой называют систему, которая ока-
зывается изменяемой лишь в первый момент приложения соответ-
ствующей нагрузки.
Дадим статическую характеристику мгновенно изменяемой
системы для данного частного случая. Предположим, что стержни ab
и ас не лежат на одной прямой (рис. 12, б); определим усилия X
для случая симметричного расположения стержней. Проектируя все
силы, приложенные к узлу а, на вертикальную ось, находим
2Х sina—Р = 0,
откуда
X — Р/ (2 sin a).
При стремлении а к нулю усилие X стремится к бесконечности.
При малом значении а усилие X получает конечное очень большое
значение. Когда же точка а незначительно отклоняется от прямой
be, в стержнях ab и ас возникают усилия, вызывающие если не
разрушение, то во всяком случае значительные деформации, что
сопровождается резким опасным смещением точки а.
Итак, в случае прикрепления шарнира а двумя
стержнями ab и ас, лежащими на одной прямой (три шарнира
а, Ь, с—на одной прямой), система мгновенно изменяема.
Как показано ниже, мгновенно изменяемую систему получим и
в случае пересечения трех связующих стержней в одной точке (см. § 6),
а также при расположении трех шарниров арки на одной прямой
(см. §7). Кинематические и аналитические признаки мгновенной изме-
няемости изложены соответственно в § 8 и 9.
18
§ 6. Анализ геометрической структуры сооружений
расчленением на диски
Сочленение двух дисков. Система может представлять собой
сочленение отдельных неизменяемых частей (дисков), связанных меж-
ду собой различно расположенными стержнями. Для анализа неиз-
меняемости таких систем необходимо:
1) выделить неизменяемые части системы—диски;
2) провести анализ системы соединения дисков между собой.
Ниже остановимся на правилах соединения дисков начиная с
простейшей системы двух дисков:
1. Сочленение двух дисков образует неизменяемую систему,
если диски связаны между собой тремя стержнями, осевые линии
которых не пересекаются в одной точке или не параллельны
между собой.
2. Соединение двух дисков составляет неизменяемую систему, если
диски связаны шарниром и стержнем, причем центр шарнира не
лежит на осевой линии стержня.
Схема соединения по первому признаку приведена на рис. 13
(I, II—диски; 1—3—стержни). При отсутствии стержня 3 возмож-
Рис. 13
но вращение дисков относительно точки а—мгновенного центра
вращения; при наличии третьего стержня, осевая линия которого
не проходит через точку а, система неизменяема. Однако если три
стержня пересекаются в одной точке (рис. 14), система будет мгно-
венно изменяема, так как возможно бесконечно малое смещение
диска путем вращения его вокруг мгновенного центра вращения а.
Рассмотрим этот частный случай.
Мгновенную изменяемость системы по рис. 14 можно показать
с помощью статического метода. Если к диску I приложена си-
ла Р, линия действия которой не проходит через точку а, то
система не может находиться в равновесии. Беря сумму моментов
всех сил, приложенных к диску /, относительно точки а, получим
5Л4а = Р«^=0.
Если предположить, что осевая линия опорного стержня 3 образует
19
небольшой эксцентриситет Л относительно точки а перемещения
стержней 1 и 2, то из условия 2 Ма = 0 найдем
Ри—Р3Л = О,
откуда
Р3 = Ри/\.	(2.2)
При Д—>0 /?3 —> оо; при Л = 0 и Р = 0 по формуле (2.2) получим
/?3 = 0/0, т. е. в мгновенно изменяемой системе при отсутствии на-



Рис. 15
грузки усилия получают неопределенные зна-
чения, при наличии конечной нагрузки—бес-
конечно большие значения. В частном случае
параллельности трех опорных стер-
жней (рис. 15) при действии любой нагрузки
получается изменяемая система, так
как вертикальными реакциями невозможно
уравновесить горизонтальную силу.
На рис. 16 приведен ряд ферм, представля-
ющих собой сочленение двух дисков, связанных
тремя стержнями.
На рис. 16, а два диска abc и def связаны меж-
ду собой тремя стержнями 1, 2 и 3. На рис. 16, б представлена простей-
шая схема фермы Шухова, в которой два треугольника abc и def взаим-
но соединены тремя стержнями ad, eb и cf. На рис. 16, вмалый тре-
угольник efd соединен с большим треугольником abc тремя стерж-
Рис. 16
ними eb, ad и cf. На рис. 16, г изображена простейшая трехпояс-
ная вантовая ферма Рабиновича, все элементы которой работают
на растяжение. Ферма ab представляет собой два диска / и II,
связанные между собой тремя стержнями 1, 2 и 3, не пересекаю-
щимися в одной точке.
20
Рис. 17
Многие стержневые системы представляют собой сочленение двух
дисков шарниром и стержнем (рис. 17). Очевидно, треугольник 1а2
можно отнести к нижнему диску //, к которому узел а прикреп-
лен двумя стержнями al и а2. В результате получается соединение
двух дисков шарниром а и стержнем Ьс,
образующими так называемый фиктив-
ный треугольник abc. При расположении
шарнира а на осевой линии стержня Ьс
система становится мгновенно изменяемой.
На примере рис. 17 иллюстрировано при-
менение эффективного при исследовании
неизменяемости способа замены
связей: для перехода к фиктивному тре-
угольнику abc диск I заменяем одним
стержнем ab, диск а!2с — стержнем ас.
На рис. 18 приведены примеры ферм,
соединение двух дисков шарниром и стержнем. На рис. 18, а изоб-
ражена простейшая статически определимая комбинированная сис-
тема в виде сочетания раскосной фермы с параллельными поясами
представляющих собой
Рис. 18
и гибкой арки (верхний третий пояс). Система сводится к фиктив-
ному треугольнику abc. На рис. 18, б показаны шарнирно-стержне-
вая система, образующая шарнирный пятиугольник; диск / прикреп-
лен к земле шарниром а и стержнем Ьс, диск же I/ к неизменяемой
левой части и к земле — тремя стержнями 7, 2 и 3, осевые линии
которых не пересекаются в одной точке. Нередко применяются фер-
мы, представляющие собой последовательное соединение двух дисков.
Образование многопролетных статически определимых балок.
Стремление перекрыть большие пролеты, чем для простой балки,
естественно, вызывало применение многопролетных консольно-под-
весных балок, представляющих собой сочленение ряда двухопорных
консольных балок с разрезными, так называемыми подвесными,
балками (подвесками).
Можно предложить ряд целесообразных схем консольно-подвес-
ных балок (рис. 19). При наличии шарнирных опор для л-пролетной
балки, чтобы превратить ее в статически определимую, необходимо
дать п—1 промежуточных шарниров. Для каждого шарнира можем
написать условие, что момент левых сил равен нулю. Учитывая эти
условия, для всех введенных шарниров составляют п— 1 дополни-
21
тельных уравнений. Так, для трекпролетных балок по рис. 19, а—в
вводим два промежуточных шарнира с и d, а для трехпролетной
балки (рис. 19, г), имеющей одну заделку,—три промежуточных
шарнира b, d, е. Заметим, что вводить промежуточные шарниры
Л
81_______I
......


ъ
Рис. 19
нужно в полном соответствии с требованиями геометрической неиз-
меняемости. В связи с этим важно правильно разместить промежу-
точные шарниры, введение которых обращает первоначальную бал-
ку в статически определимую многопролетную. В любой схеме такой
балки диск должен быть последовательно прикреплен
шарниром и стержнем или тремя стержнями.
Рассмотрим неизменяемость четырех видов многопролетных кон-
сольно-подвесных балок по рис. 19. В первой схеме (а) главная
поддерживающая балка cd (диск /) неизменяемо прикреплена к
земле шарнирно неподвижной опорой а и шарнирно подвижной
опорой б; к диску I присоединены диски II и ///, каждый шарниром
и стержнем. Во второй схеме (б) диск / неподвижно связан с зем-
лей тремя опорными стержнями; диск II (третий пролет) прикреп-
лен непосредственно к земле двумя стержнями е и f и к неподвиж-
ному диску I—третьим стержнем cd — система неизменяемая. Третья
схема (в) характерна последовательным сочленением одиоконсоль-
ных балок: к диску /, прикрепленному тремя опорными стержнями
в точках а и Ь, следующий диск II прикреплен шарниром с и
стержнем е; новый диск III присоединен шарниром d и стержнем f.
В четвертой схеме (г) исходной неизменяемой частью является бал-
ка ab, защемленная левым концом; диск II опирается шарниром b
и стержнем с; диск III прикреплен к диску II и к земле тремя
опорными стержнями—система неизменяемая.
22
Фиктивные шарнир и стержень. Отметим, что ненагруженный
диск, шарнирно неподвижно присоединенный концами к остальной
части конструкции, можно заменить стержнем, расположенным пооси
диска и соединяющим концевые шарниры. Этот стержень назы-
вают заменяющим (фиктивным). Анализ неизменяемости и
расчет ряда ферм при введении фиктивных стержней упрощается.
Система по рис. 20 неизменяема: два диска 7 и 11 соединены двумя
Рис. 20
Рис. 21
реальными стержнями 7 и 2 и третьим фиктивным стержнем 3,
эквивалентным диску 111. Соединение дисков 7 и 77 двумя стерж-
нями 7 и 2 можно заменить фиктивным шарниром с. Рассмотрим
подробнее эту систему в виде двух дисков 7 и 77, связанных меж-
ду собой тремя стержнями 1, 2, 3, причем стержни 7 и 2 не со-
единены в точке пересечения их осевых линий (рис. 21).
Точка св статическом и кинематическом отношениях играет ту же
роль, что и центр шарнирно неподвижной связи; равнодействующая
7?пр усилий S, и S2 в стержнях 7 и 2 должна проходить через
точку их пересечения с аналогично реальному шарниру в этой точ-
ке; перемещение диска 77 относительно диска 7 при наличии связи
их только двумя стержнями 7 и 2 совершается как вращение вок-
руг точки с. Можно сформулировать следующее положение: связь
двух дисков двумя стержнями с шарнирным прикреплением их кон-
цов к дискам эквивалентна соединению их шарниром с центром в
точке пересечения осевых линий стержней.
Точку с в дальнейшем будем называть фиктивным шарни-
ром. Схема системы во рис. 21, таким образом, сводится к шар-
нирному треугольнику abc, стороны которого соединяют реальные
шарниры а, b и фиктивный шарнир с. В общем случае фиктивный
стержень есть элемент, соединяющий фиктивные шарниры.
Используя принцип замены связей введением фиктивных шарни-
ров и стержней, можно упростить анализ неизменяемости большого
класса сложных ферм.
§ 7. Системы в виде сочленения трех дисков
Обратимся к обобщенной схеме сочленения трех дисков (рис. 22, а).
Здесь каждая пара дисков последовательно соединена двумя стерж-
нями: диск I прикреплен к диску 777 стержнями 7 и 2, что рав-
23
посильно фиктивному шарниру в точке а; диск I соединен с диском
II стержнями 3 и 4, или фиктивным шарниром в точке с; диск II
прикреплен к диску III стержнями 5 и 6, или фиктивным шарни-
ром Ь. Это сочленение мы можем рассматривать как «трехшарнир-
Рис. 22
ную арку» I—II, опертую на диск ///; опорные шарниры арки
будут в точке а и Ь, ключевой шарнир — в точке с. Таким образом,
стрелка «внутренней трехшарнирной арки» — f, а пролет арки—ab
(рис. 22, б). Можем сделать следующее заключение об условии не-
изменяемости данной системы: три фиктивных шарнира а, Ь и с не
должны лежать на одной прямой. Если, например, стрелка f для
системы по рис. 22, б равна нулю, система будет мгновенно изме-
няема. Эту же систему можно рассматривать как систему двух дис-
ков I — II, связанных реальными стержнями 3 и 4 и фиктивным
стержнем ab (рис. 22, а). Получаем сочленение двух дисков I и II
тремя стержнями 3, 4 и ab, или, иначе, схемой сочленения трех
дисков является фиктивный треугольник abc. Неизменяемое соч-
ленение трех дисков создается путем попарного соединения дисков
двумя стержнями, причем точки пересечения связующих стержней
(фиктивные шарниры) не должны лежать на одной прямой.
Общий признак геометрической неизменяемости любых систем
формулируется так: если шарнирно-стержневая конструкция может
быть сведена к системе фиктив-
ных шарнирных треугольников,
то она неизменяема.
Приведем ряд ферм, неизменя-
емость которых легко устанавли-
вается сведением системы к соч-
ленению трех дисков.
Ферма по рис. 23 встречает-
ся как ячейка многорешетчатых
ферм: средний вертикальный стер-
жень принимаем за диск 1П\ дис-
ки I и II соединены между собой
реальным шарниром с, диски I и III—фиктивным шарниром а,
а диски II и III—фиктивным шарниром Ь. Три шарнира а, b и с
образуют шарнирный треугольник, следовательно, система неизме-
няема.
24
Рис. 24
Рис. 25
На рис. 24 показана мгновенно изменяемая система: диски I и
II сочленены реальным шарниром с, диск I соединен с диском III
стержнями 1 и 2— фиктивный шарнир а\ диск II связан с диском
III стержнями 3 и 4, что равносильно фиктивному шарниру Ь, но
все три шарнира а, b и с лежат на
одной прямой.
На рис. 25 показана трехопорная
ферма со средним опорным шарнирным
четырехугольником. Такая ферма лег-
ко может быть сведена к трехдиско-
вой по схеме рис. 22, если применить
способ «расщепления» треугольного ди-
ска 5 — 1 — 4 и ввести опорный диск III.
В качестве дисков самой фермы вводят
стержень 1—2 (диск /) и треугольник
4—-3— b (диск II). Диски I и II сое-
динены стержнями 1—4 и 2 — 3—фик-
тивный ключевой шарнир с. Диск I
опирается на диск III стержнями 1 — 5
и 2—6 — фиктивный опорный шарнир
а. Диск II опирается на землю стерж-
нями 4 — 5 и b — 7\ эти связи можно
заменить неподвижным шарниром в точ-
ке Ь. Три шарнира а, b и с не лежат на
одной прямой — система неизменяема.
На рис. 26, а изображена неизме-
няемая трехдисковая система (третий
диск — горизонтальный стержень III),
три шарнира а, b и с которой не лежат
на одной прямой, следовательно, сис-
тема неизменяема. На рис. 26, б при-
ведена также трехдисковая система
(третий диск — вертикальный стержень
III), три шарнира а, b и с которой
тоже не лежат на одной прямой, так как
шарниры а и b находятся в бесконечном удалении от шарнира с по
вертикали. На рис. 26, в представлена трехдисковая симметричная
25
система (третий диск—вертикальный стержень ///); диски 1 и II свя-
заны с диском III фиктивными шарнирами а и Ь, лежащими на гори-
зонтали ab. Фиктивной схемой сооружения является сочленение двух
дисков I и II тремя горизонтальными стержнями 1, 2 и ab (фик-
тивный стержень), следовательно, система мгновенно изменяемая.
Заметим, что соединение двух дисков I и II четырьмя наклон-
ными стержнями и вертикальнььм стержнем III равносильно соеди-
нению фиктивным стержнем ab.
§ 8. Кинематические признаки простейших
мгновенно изменяемых ферм
Выше (см. § 5 и 6) указаны случаи мгновенно изменяемых
систем, представляющих собой сочленения двух или трех дисков с
шарнирно прикрепленными стержнями.
На примере системы, имеющей три шарнира на одной прямой
(см. рис. 12, а), было показано, что мгновенно изменяемая система,
несмотря на наличие достаточного количества связующих стержней,
может обладать бесконечно малой подвижностью при отсутствии
нагрузки и резко изменять форму при наличии нагрузки. Статиче-
ские признаки мгновенной изменяемости указаны в § 5 и 6.
Для фермы, которую можно свести к сочленению двух или трех
дисков, задача установления мгновенной изменяемости сводится
к простому геометрическому анализу системы, к рассмотрению
взаимного расположения фиктивных шарниров или связующих стерж-
ней. Так, на рис. 27 представлена ферма, структура которой сво-
дится к сочленению трех дисков —стержней I, II, III (показаны
жирными линиями); каждая пара дисков соединена двумя стерж-
нями, что эквивалентно соединению фиктивными шарнирами а, b и
с. В случае, если три шарнира а, b и с лежат на одной прямой,
ферма мгновенно изменяема (см. также рис. 22). Для фермы по
рис. 28 целесообразно включить в качестве третьего диска III
землю; в этой ферме диски I и II соединены фиктивным шарни-
26
ром с; диск II с диском III — шарниром Ь; диск I с диском III —
реальным шарниром а. В случае расположения трех шарниров а,
b и с на одной прямой получим мгновенно изменяемую систему.
Если расстояние шарнира с от линии ab незначительно, ферма
близка к мгновенно изменяемой системе и обладает большой дефор-
мируемостью (см. рис. 27).
Заметим, что вторым приемом исследования неизменяемости со-
единения двух дисков является установление связи их тремя стерж-
нями (один из которых может быть фиктивным — ab). Мгновенно
изменяемую систему в этом случае получим при пересечении трех
связующих стержней в одной точке (или при параллельности их).
В дальнейшем все фермы, образованные последовательным при-
креплением каждого узла двумя стержнями или представляющие
сочленения двух и трех дисков, будем называть простейшими.
§ 9. Аналитические методы исследования неизменяемости ферм
Общий аналитический метод. Общим методом исследования не-
изменяемости является анализ определителя системы уравнений для
всех усилий в стержнях данной фермы при действии на нее про-
извольной нагрузки.
Применяя метод вырезания узлов, известный из теоретической
механики, составляем для п неизвестных усилий в стержнях дан-
ной статически определимой фермы уравнения равновесия, которые
будут содержать п неизвестных усилий X,, Х2, ..., Хп и отражать
влияние заданной нагрузки. Эти уравнения можно представить
в следующей форме:
^11 Xj 4~Я12Х2 “Ь • • • Ф" O-in^-n У1р>
^22X2 -j- ... Ц- агпХп — у2р\
(2.3)
йп1Х1+«„»Х2 + • • • ~\~апп^-п — У пр* ,
где «^ — коэффициент при неизвестном усилии (косинус составляю-
щего угла); уip — грузовой член, отражающий влияние заданной
нагрузки (составляющая узловой нагрузки).
Систему уравнений (2.3) можно представить в виде матричного
уравнения (см. приложение):
АХ^ур.
Систему (2.3) рассматриваем как преобразование от вектора уси-
лий в стержнях фермы X = (Хп Х2, .... Хп) к вектору внешних сил
Ур=(у1р, yip....у„р\ Обращенная матрица от матрицы А и будет
матрицей влияния осевых усилий в ферме.
Решая систему уравнений (2.3), получаем но Крамеру следующее
выражение для любого неизвестного Ху
Xi^Di/D,	(2.4)
27
где D — общий определитель из коэффициентов aik системы уравне-
ний (2.3); О, —определитель, отражающий влияние заданной на-
грузки; он получается из общего определителя D заменой столбца
коэффициентов aik при искомом неизвестном столбцом свободных
членов (—yip).
Если по выражению (2.4) для всех усилий Xt получены конеч-
ные и определенные значения, приходим к заключению о неизменя-
емости фермы. При этом следует исключать такое нагружение фермы,
при котором получается мгновенно равновесная система.
Если при О, 0 (на ферме имеется нагрузка) определитель D
равен нулю, то для усилия Х; получаем бесконечное значение:
Xi- = DI,'D= оо.	(2.5)
Условие (2.5) является признаком изменяемости фермы. Если и
числитель и знаменатель в формуле (2.4) равны нулю, для усилия Х{
получаем неопределенное значение:
X; = 0/0.
Итак, если для данной фермы определитель системы уравнений
равен нулю, ферма изменяема. В этом случае матрица коэффициен-
тов в определителе D решения (2.4) будет особенная. Указанный
общий аналитический метод исследования все же громоздок, так
как требует решения сложной системы алгебраических уравнений
(раскрытия определителя D).
Способ нулевой нагрузки. Способ нулевой нагрузки значительно
проще предыдущего общего метода. Сущность способа нулевой на-
грузки заключается в следующем.
Рассмотрим ферму, освобожденную от нагрузки. Если при дей-
ствии конечной нагрузки в неизменяемой ферме все усилия Х;
должны иметь конечные значения, то при нулевой нагрузке усилия
в статически определимой ферме дол-
жны иметь нулевые значения. Такой
ответ для всех усилий свидетельст-
вует о неизменяемости данной фер-
мы. Если же в каком-либо стержне
или в группе стержней фермы усилия
Л", оказываются неопределенными,
система изменяема.
В качестве примера проанализи-
руем ферму по рис. 29. В этой фер-
ме нет ни одного узла, где сходятся
два стержня. Докажем, что при отсутствии нагрузки усилия во
всех стержнях фермы равны нулю.
Сначала выделим узел /; проектируя все усилия, действующие
на этот узел, на вертикаль, найдем, что усилие S13 = 0. Затем вы-
режем узел 2, в котором имеется два новых стержня и нет нагрузки,
поэтому S24 = 0, S23 = 0. После этого перейдем к узлам 3 и 4 и,
удовлетворяя тому же условию (в каждом узле два новых стержня,
28
а усилие в среднем стержне равно нулю), получим:
s46 = 0, s45 = o, s5S = o, s37=o.
Теперь рассмотрим узел 5:
Sie = 0, S67 = 0.
Выделяя узлы 7 и 6, находим:
Si? = О, S16 = 0.
Усилия во всех стержнях данной фермы при отсутствии нагрузки
нулевые, следовательно, ферма неизменяема.
Значительно проще задача решается рассмотрением трех дисков
(два треугольника и стержень 1 — 2).
Способ замены стержней. Способ замены стержней представляет
большой теоретический интерес. Его следует применять к анализу
сложных систем. Способ этот основан на следующем: 1) отбрасывают
Рис. 30
какой-либо стержень фермы (по рис. 30, а —стержень eb) и заменяют
его другим стержнем ab так, чтобы получилась простая ферма;
2) воздействие отброшенного стержня представляют силами X; 3) оп-
ределяют усилие в заменяющем стержне от X = 1 (рис. 30,6) и от
нагрузки Р\ если первое усилие обозначить N3X, а второе N3p, то
полное усилие в заменяющем стержне будет
Лг3 = ХЯхХ + n3p.
Но это усилие должно быть равно нулю, так как заменяющего
стержня в заданной ферме нет; следовательно,
N3xX+NSp = Q,
откуда
X — Х3р/ЛСх.
Графическое определение Х3х показано на рис. 30, в; как видно
из рисунка, Л?3л.=#=0, следовательно, система неизменяема.
Если У3х = 0, получим при У3/)#=0, Х = оо, что является при-
знаком изменяемости системы.
29
Недостатком этого способа является его громоздкость для слож-
ных ферм, преобразование которых в простейшие возможно лишь
введением нескольких заменяющих стержней; в этом случае прихо-
дится составлять систему уравнений с неизвестными усилиями
в заменяющих стержнях.
Глава 3
ТЕОРИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
К СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫМ БАЛКАМ
§10. Понятие о линии влияния
Расчет сооружений на действие вертикальной подвижной нагрузки
проводится с использованием линий влияния. Обычная подвижная
нагрузка для мостов —движущийся железнодорожный состав (рис.
31)— представляет собой систему постоянных вертикальных сосре-
доточенных сил с неизменным расстоянием между грузами alt аг, а2,
... ит. д. Эта нагрузка дви-
жется по пролетному строению
моста с известной скоростью о,
занимая различные положения
на сооружении. Аналогичны ав-
томобильные и гусеничные на-
грузки.
Решая статическую задачу,
Рис. 31
пренебрегают динамическим дей-
ствием нагрузки, т. е. исключают силы инерции, которые возбуждают-
ся при вибрации самой балки и подвижного груза и не учитывают
скорость движения груза. В динамике сооружений (см. [13]) строятся
динамические линии влияния, которые отражают наличие распре-
деленных сил инерции сооружения и влияние скорости движения
нагрузки.
Перейдем к получению статических линий влияния, применяя
в каждый данный момент времени условия статического равновесия.
Применяя принцип независимости, изучают сначала действие
лишь одного груза Р=1, после чего легко получить значение уси-
лия от груза поезда РФ 1, увеличивая усилие от единичного груза
в Р раз.
Дадим определение линии влияния усилия: линией влияния ка-
кого-либо усилия для определенного сечения сооружения называется
графическое изображение закона изменения данного усилия в этом
сечении при перемещении груза Р= \ по длине сооружения.
Линия влияния (инфлюэнтная линия) представляет собой диа-
грамму, при построении которой функцией является изучаемая ве-
личина усилия, а независимой переменной — абсцисса груза
Р= 1. Каждая ордината линии влияния численно равна значению
30
изучаемого усилия для положения груза Р=1 на сооружении над
этой ординатой.
Сравним линии влияния моментов с эпюрами моментов: при по-
строении линии влияния сечение неподвижно, положение груза ме-
няется; при построении эпюры моментов меняется положение сече-
ния, нагрузка неподвижна.
Для построения любой линии влияния усилия в данном месте
сооружения применим следующий статический метод: поставив груз
в произвольное положение, определяемое переменной абсциссой х,
и используя условия равновесия, даем аналитическое выражение
данного усилия; затем представляем это выражение в графической
форме. Кроме статического метода построения линий влияния для
получения общего вида линии влияния применяют кинематический
метод (см. § 15). При расчете на подвижную нагрузку пластинок и
других конструкций с двумя переменными координатами точки при-
ложения груза строят так называемые поверхности влияния.
Помимо линий влияния усилий далее (см. гл. 8) рассмотрим пост-
роение линий влияний перемещений.
§ 11. Линии влияния усилий в простых балках
выражение для левой опорной
Рис. 32
Балка на двух опорах. Линия влияния реакции А. В соответст-
вии с указанным выше порядком, поставив груз Р= 1 в произволь-
ное положение (рис. 32, а), находим
реакции А в функции от х. Приме-
няем условие равновесия в виде ра-
венства пулю суммы моментов сил,
приложенных к балке, относительно
центра правой опоры:
или иначе, раскрывая левую часть
уравнения,
Л1-Р(/-х) = 0,
откуда, принимая во внимание, что
Р=1,
А= !•[(/ — х)]/1.
График этого закона представит-
ся наклонной прямой, которую стро-
им от оси отсчета по двум точкам:
при х = 0 Д = 1; при х = / Л = 0.
Линия влияния реакции А изображена на рис. 32,6.
Линия влияния реакции В. Аналогично построим линию влияния
реакции В. Составим сумму моментов сил, приложенных к балке,
относительно центра левой опоры:
2^=о,
3!
откуда
(3.1)
В=1-х//;
при х=0 В = 0; при х-=1	В=\.
Линия влияния реакции В представлена на рис. 32, в.
Линия влияния изгибающего момента в данном сечении. Изги-
бающий момент в данном сечении балки равен сумме моментов
внешних сил, приложенных к отсеченной части балки, относительно
Рис. 33
ляя сумму моментов левых сил при
лучаем
центра тяжести сечения, при-
чем момент левых сил при-
нимаем положительным по
часовой стрелке, а момент
правых сил считаем положи-
тельным против часовой
стрелки. При движении груза
справа от сечения (рис. 33,
а) в сумму моментов левых
сил войдет только левая ре-
акция, а при движении гру-
за слева от сечения в эту сум-
му моментов следует вклю-
чить и момент от груза. Таким
образом, имеем два отличных
друг от друга аналитических
выражения для изгибающего
момента.
Рассмотрим движение гру-
за справа от сечения, когда х
меняется от ah до /. Состав-
грузе справа от сечения, по-
Mk--=Aak = ![(/ — x),/l]ak
По этому уравнению строим правую ветвь линии влияния, умножая
все ординаты линии влияния А на ак. Откладываем на левой опор-
ной вертикали ординату, равную 1-ак, и соединяем верхнюю ее
точку с нулевой точкой на правой опорной вертикали (рис. 33, б).
Рассмотрим теперь движение груза Р — 1 слева от сечения, т. е.
когда х меняется от 0 до ак. Определяем изгибающий момент Мк
но правым силам. Принимая во внимание формулу (3.1),получаем
т. е. закон изменения изгибающего момента при движении груза
слева от сечения получается как закон правой реакции В, все зна-
чения которого увеличены в (/ — ак) раз. Отложив на правой опорной
вертикали ординату 1 • (/ — ak) и соединив ее с нулевой точкой на
левой опорной вертикали, построим левую прямую. Левая ветвь
линии влияния момента пересекается с правой ветвью под сечением k.
32
Линия влияния поперечной силы Qk. Аналогично строится линия
влияния поперечной силы (алгебраической суммы сил, приложенных
к отсеченной части балки относительно сечения) с рассмотрением
двух положений груза. Поперечную силу считаем положительной,
если равнодействующая левых сил направлена вверх от оси балки
или равнодействующая правых сил —вниз от оси. Если груз дви-
жется справа от сечения, сумма левых сил относительно сечения k
составляет
Qk = A.
Правая ветвь линии влияния Qk получается по закону изменения
левой опорной реакции А. Этот закон справедлив, очевидно, лишь
для участка изменения хот ак до I (рис. 33, в). Если груз движется
слева от сечения, то сумма левых сил, определяемая по правым
силам, будет
Qk = ~B,
т. е. левая ветвь линии влияния поперечной силы получается по
закону изменения правой опорной реакции В, взятой с обратным
знаком. Линию (—В) используем только на участке оси балки
с абсциссами от 0 до ак.
Двухконсольная балка. Линия влияния опорных реакций А и В.
При произвольном положении груза, составляя уравнение равно-
весия по сумме момен-
тов сил относительно
центра правой опоры
(рис. 34, а)
2Л46 = 0,
получаем
Я/-Р(/-х)=0,
откуда находим следую-
щее выражение для ре-
акции:
А = Р[(/—х)/7] =
= 1 [(/- л-)/Л-
Абсцисса груза х,
отсчитываемая от цент-
ра левой опоры, меня-
ется в пределах от О
до I + с2 и от 0 до — Ci
(рис. 34, б).
Аналогично строится
Рис. 34
линия влияния реакции В (рис. 34, в).
Линия влияния момента Mk. При положении груза справа от
сечения (рис. 35, а) изгибающий момент в сечении k междуопорной
части будет
Мк = Аак.
2 №1116
Зв
Правая ветвь следует закону изменения левой опорной реакции А
с множителем а,. (рис. 35, б). При положении груза слева от сечения
сумму моментов левых сил в сечении k найдем по моменту правых
сил:
Мь = В(1-ак).
Левая ветвь получается по закону изменения правой опорной
реакции с коэффициентом пропорциональности !•(/ — ak).
Линия влияния поперечной силы Qk. При положении груза
справа от сечения поперечная сила в сечении междуопорной части
как сумма левых сил будет
Qk — + А.
При движении груза слева от сечения сумма левых сил, полу-
ченная по правым силам, составит
Левая ветвь меняется по закону правой реакции, взятой с обрат-
ным знаком (рис. 35, в). Замечаем, что для консольных участков
ветви линии влияния получаются простым продолжением основных
ветвей.
34
Линии влияния для сечения консольной части. Рассмотрим те-
перь построение линий влияния усилий в сечении kt, взятом на
левой консоли одноконсольной балки (рис. 36).
Линия влияния поперечной силы Qkc При движении груз Р = 1
справа от сечения как на консоли, так и в мсждуопориой части
сумма левых сил равна нулю (слева сил нет):
Правая ветвь линии влияния нулевая. При положении груза Р=1
слева от сечения Ау сумма левых сил
Q, =-Р = -1.
Левая ветвь —горизонталь, расположенная от оси абсцисс на рас-
стоянии, равном единице (рис. 36, а).
Линия влияния момента Л1А1. При положении груза Р=1 справа
от сечения
Л1л, = 0.
Правая ветвь линии влияния нулевая. При движении груза Р=1
слева момент левых сил
= — Рх = — 1 х.
Левая ветвь —наклонная прямая с ординатами (рис. 36, б): при
х = 0	— 0; при x = ak	— \-ак.
Линия влияния от движущейся пары. Пусть на балке на двух
опорах движется пара, момент которой т= 1. Построим линии
влияния опорных реакций и усилий в сечении (рис. 37, й).
2*
35
Линию влияния опорной реакции А получим, применяя условие
равновесия
2Aft=o
или
Al-j- т = О,
откуда
А = — т//;
так как т — 1, то
А = — 1/1 = — В.
Линия влияния левой опорной реакции представлена на рис. 37,6.
Рассмотрим построение линии влияния поперечной силы. Поло-
жение движущейся пары не влияет на Qk и при любом приложении
пары т — 1
Линия влияния Qh изображена на рис. 37, в.
При построении линии влияния изгибающего момента Мк суще-
ственное значение имеет положение движущейся пары т. Если пара
движется справа от сечения, то
Мк = Аак = — а1г/1.
36
При движении пары слева от сечения по правым силам получаем
Mft = B(Z-flA) = (/-aft)/Z.
Линия влияния Мк представлена на рис. 37, г. Она имеет харак-
терный скачок в величине ординаты под сечением k.
Отметим связь между ординатами линий влияния усилий от
движущейся вертикальной силы и движущейся пары: производная
от ординаты линии влияния какой-либо величины для движущейся
силыР=1 по независимой переменной равна ординате линии влия-
ния этой же величины для движущейся пары с моментом, равным
единице. Так, для реакции Ар от силы (см. рис. 32, б) было получено
Ар = 1 —хЦ.
Дифференцируя это выражение по х, получим ординату линии
влияния А от пары с моментом, равным единице.
Балка на трех опорах. Рассмотрим балку на трех подвижных
опорах, две из которых направлены под углом 45° (рис. 38, а).
Линию влияния реакции А получим, составив сумму моментов от-
носительно точки пересечения линий В и С (рис. 38, б). Линию
влияния реакции С найдем, составив сумму моментов относительно
точки d (рис. 38, в). По этим линиям влияния найдена линия влияния
момента в сечении над промежуточной опорой (рис. 38, г).
Рис. 39
§ 12. Определение усилий по линиям влияния
Действие вертикальной нагрузки. Рассмотрим использование
линии влияния усилий для отыскания их полных значений при
действии на сооружение системы вертикальных сил или распреде-
ленной вертикальной нагрузки. При
этом изучаем линии влияния, пос-
троенные от вертикального груза
Р= 1.
Пусть требуется определить по
линии влияния полное значение из-
гибающего момента в сечении k при
действии на балку системы сос-
редоточенных сил Рг, Р>, .. .,
Рп, занимающих определенное по-
ложение. В данном случае вместо
любого усилия Sk изучаем изгибаю-
щий момент Мк в сечении (рис. 39).
Каждая ордината линии влияния SA,
обозначенная z/;, численно равна значению усилия SA, когда груз
/*=1 находится на балке над этой ординатой.
При действии на сооружение одного груза Pt- усилие
Shi = PilJi-	(а)
При нагружении балки системой сил Рг, Р2, . . ., Р„ полное уси-
лие получим по принципу сложения действия, суммируя усилия,
37
вызванные отдельно действующими силами:
Sk = Р*У1 + РчУг + • • • + P^i + • • • + РпУп'
или
=	(3.2)
п
Пусть на сооружение действует сплошная неравномерно
распределенная нагрузка интенсивностью qx = f(x) (рис. 40).
Для определения полного значения усилия заменим сплошную не-
равномерную нагрузку системой бесчисленного количества беско-
нечно малых сосредоточенных сил. Выделим на расстоянии х от
левого конца элемент балки длиной dx, в центре которого прило-
жена нагрузка dP = qxdx.
Элементарное усилие получим по формуле (а):
dSk = (qxdx)yx.
Полное усилие найдем интегрированием:
S* = $ qxyxdx.
Cl
(3.3)
38
Очень часто на сооружение действует равномерно распре-
деленная нагрузка постоянной интенсивности:
qx = <7 = const.
Вынося постоянную q в правой части формулы (3.3) за знак инте-
грала, получаем
Sk = q $ yxdx.
с,
Но произведение yxdx равно площади одной из элементарных по-
лосок, на которые расчленяется вся площадь участка линии влияния.
Следовательно,
J yxdx =alit
Cl
где ю12—площадь, ограниченная линией влияния и осью абсцисс
на участке действия нагрузки (площадь участка линии влияния).
Итак, полное усилие определяется формулой
Sfc = <?®12,
т. е. чтобы получить полное усилие от сплошной равномерно распре-
деленной нагрузки по линии влияния, необходимо интенсивность
нагрузки умножить на площадь данного участка линии влияния.
Размерность ординаты линии влияния может быть найдена по
выражению
размерности данного усилия
размерность ординаты линии влияния = -------------------.
размерность груза
Для опорных реакций и поперечных сил размерность ординаты
линии влияния—величина отвлеченная. Для изгибающих моментов
ординаты линии влияния выраже-
ны в единицах длины.
Действие момента. Пусть тре-
буется определить какое-либо уси-
лие Sk по линии влияния его,
если на сооружение действует мо-
мент т (рис. 41).
Заменяем момент парой сос-
редоточенных вертикальных сил Р:
т = Ра. От действия этой пары сил
усилие по линии влияния будет
5 k = рУ1 — рУ. = р (У1 ~У 2) =
= />atga = mtga.
Таким образом, усилие Sk получается как произведение момента
т на тангенс угла наклона прямолинейного участка линии влияния
(при возрастании ординат —знак плюс). При положительном моменте
и убывании ординат (при tg р) необходимо брать знак минус.
39
§ 13. Линии влияния при узловом действии нагрузки
В конструкциях часто действие нагрузки узловое, т. е. она пере-
дается на узлы главной балки, перемещаясь по системе продольных
балок проезжей части (рис. 42, а). Для простоты расчета примем
продольные балки 0—/, 7—2, 2—3 разрезными, шарнирно опертыми
в соседних узлах на главную балку АВ; рассмотрим построение
линии влияния изгибающего момента в сечении k главной балки АВ,
если груз Р = 1 движется по разрезной системе продольных балок.
В этом случае линия влияния изгибающего момента будет ограни-
Рис. 42
чена многоугольником, вершины которого находятся под узлами —
опорами продольных балок (О, /, 2, 3). Если груз Р = 1 находится
в узлах, он непосредственно действует на главную балку АВ.
Поэтому прежде всего строим линию влияния момента при непосред-
ственном действии груза и отмечаем ординаты ее уг и г/2 под узлами.
При положении груза Р на расстоянии х от опоры / продольной
балки 1—2 момент Mk по ординате линии влияния ее, взятой под
грузом (рис. 42, б), согласно определению линии влияния будет
Мк = Ру.	(а)
40
То же усилие Мк можно получить, отбрасывая продольную
балку 1—2 и представляя ее действие на главную балку в виде
опорных давлений Р± и Р„, причем
= Р (d -x)/d- Р2 = Px/d.	(б)
Используя линию влияния в случае действия системы двух сосре-
доточенных сил, согласно формуле (3.2) получаем
Мц^Р^ + Р-гУг-	(в)
Приравнивая значения момента Мк по формулам (а) и (в), полу-
чаем
Ру = Pdh + Рур
и, подставляя значения Рх и Р2 по формуле (б), находим
Ру = Р [(d—x)/d] yt + Р (x/d) у2.
Сокращая на Р, получаем уравнение ординаты линии влияния
при произвольном положении груза:
У = [(d — x)/d] yr + (x/d) уг.
Отсюда следует, что при движении груза между узлами линия
влияния в главной балке имеет вид прямой, соединяющей узловые
ординаты и у,. Пользуясь первоначальной линией влияния при
непосредственном действии груза (рис. 42, б), достаточно найти
узловые ординаты и далее соединить концевые точки этих ординат
прямыми.
Заканчивая построение линии влияния момента в сечении глав-
ной балки, учтем, что при положении груза над крайними опорами
О и 3 груз Р = 1 воспринимается опорами и момент равен нулю.
Итак, линия влияния какого-либо усилия при узловом действии
нагрузки в случае разрезной системы продольных балок всегда ограни-
чена многоугольником, вершины которого располагаются под узлами
главной балки.
Рассмотрим построение линии влияния поперечной силы в сече-
нии k (рис. 42, в). Предполагая непосредственное действие нагрузки,
получаем линию влияния поперечной силы, очерченной двумя парал-
лельными прямыми г—д и е—ж. Отмечаем узловые ординаты yt и
у2 и проводим прямую, соединяющую концевые точки этих ординат,
так как при движении груза по средней продольной балке 1—2
поперечная сила меняется по линейному закону. Затем из нулевых
точек линии влияния под узлами 0 и 3 проводим крайние прямые.
§ 14. Линии влияния усилий для многопролетных статически
определимых балок
Каждую многопролетную балку расчленяем на отдельные простые
балки, линии влияния усилий для которых уже изучены. Пользуясь
схемой образования системы, устанавливаем предварительно, какая
часть конструкции является основной, главной, балкой, которая
41
поддерживает подвески (см. рис. 19, а, б) или одноконсольные балки
(см. рис. 19, в). В подвесках возникает усилие только тогда, когда
они несут на себе нагрузку, передавая ее на главные балки и на
опорные части; поддерживающая балка работает при воздействии
нагрузки на нее и при приложении нагрузки к подвескам, которые
оперты на главную балку (см. рис. 19, а, б). Рассмотрим построение
линий влияния опорных реакций и усилий в консольно-подвесной
балке по первой схеме (рис. 43).
Линии влияния реакций А и В. Систему можно расчленить на
главную балку ef и две подвески се и fd (рис. 43, й). Если проведем
разрезы в точках е и f и отбросим подвески, то получим простую
двухконсольную балку, линия влияния реакции А для которой
имеет известное очертание eJL (рис. 43, б). Теперь рассмотрим закон
изменения реакции А при перемещении груза Р = 1 по левой под-
веске се. Воздействие со стороны подвески се на главную балку ef
представится, очевидно, опорным давлением Е, которое меняется по
42
закону
Е = Px'l} = 1 • x//t
опорного давления разрезной балки се.
Отбросив подвеску се и представив ее действие на главную балку
силой Е, найдем реакцию А из условия
2^=0,
или иначе
А1— £(/ + ^ = 0,
откуда
А = E(l
Подставив выражение для Е, получим
д___l+ct .
it I
при x = 0 A = 0, при x = lr A =(l
Полученные ординаты определяют участок линии влияния при
движении груза по подвеске, когда реакция А меняется по линей-
ному закону.
Это общее свойство, которым пользуются для построения участка
линии влияния при перемещении груза по подвеске для любого
усилия в главной балке. Аналогично строится линия влияния реак-
ции В (рис. 43, в).
Линия влияния момента ЛД, в межопорной части балки. При
положении груза Р= 1 справа от сечения k (рис. 43, а)
Л-1А = Л-ай.
При положении груза Р— 1 слева от сечения
По этим уравнениям правой и левой ветвей построена линия влия-
ния Мк (рис. 43, г). Для движения груза по подвеске fd. линия
влияния представляет собой прямую f2d2, а при движении груза по
подвеске се, поскольку момент Mf. меняется по закону изменения
правой реакции,— прямую с„е2.
Линия влияния поперечной силы Qh в межопорной части балки<
При движении груза справа от сечения k поперечная сила
Qk = A.
При движении груза слева от сечения
Qk=-B.
По этим уравнениям построена линия влияния на рис. 42, д.
Линия влияния Mkt и Qfei па консольной части балки. Рассматри-
ваем сначала движение груза по двухконсольной балке, отбрасывая
подвески (рис. 44). При положении груза справа от сечения (от kt
43
и до d — опоры правой подвески)
Qft, = 0; Mkt = 0.
При движении груза слева от сечения
= —1»	= —1-х.
Получив очертание линий влияния Qki и Mki для участка движе-
ния груза по левой части консоли, переходим к ветви линии влия-
ния, соответствующей движению груза по подвеске се.
При движении груза по подвеске усилия в сечении главной балки
меняются по закону наклонной прямой, соединяющей крайнюю
точку ординаты для конца консоли и нулевую точку для опорной
вертикали подвески.
Линии влияния Qkl и Л4А1 представлены на рис. 44, а, б.
§15. Кинематический метод построения линий влияния
По этому методу каждую линию влияния усилия или реакции
находят по эпюре перемещений основной системы, полученной отбра-
сыванием той связи, в которой возникает рассматриваемое усилие.
При этом применяют принцип возможных перемещений, согласно
которому, если данная система находится в равновесии, сумма работ
всех сил, действующих на систему, на любых малых возможных
перемещениях должна быть равна нулю.
Найдем, например, линию влияния опорной реакции
левой опоры балки АВ (рис. 45, а). Поместив груз Р в произволь-
ное положение, отбрасываем опорный стержень в точке А и заменяем
его действие силой X. Далее представляем картину возможных
малых перемещений полученного механизма —бруса АВ, прикреп-
ленного лишь одним правым концом посредством шарнирно непо-
44
движной опоры в точке В (рис. 45, б). Возможное перемещение бруса
получаем как перемещение жесткого диска, вызванное поворотом
вокруг шарнира В. При этом по малости угла поворота а все пере-
мещения точек оси бруса
можно принимать верти-
кальными. Обозначаем че-
рез брх перемещение точки
приложения силы Р, через
6Л.Л. — перемещение точки
приложения силы X. Ус-
танавливаем следующее
правило знаков: переме-
щение 8рх принимаем по-
ложительным по направ-
лению силы Р. Согласно
началу возможных пере-
мещений, работа сил, при-
ложенных к брусу,
Р6_Л-Хб^ = 0.	(а)
Работа силы X взята со
положна направлению перемещения бхх.
Из уравнения (а) получаем
(3.4)
Так как Р=1 при построении линии влияния перемещается по
балке, то 8 переменно, меняясь от 0 (при х = 0) до 8ХХ (при
х=1). Перемещение же 8ХХ не меняется. Следовательно, линия влия-
ния X может быть получена как эпюра перемещений 8рх, все орди-
наты которой разделены на постоянное перемещение 8ХХ по направ-
лению X (рис. 45, s). Перемещение 6XX. можно принять за масштаб
для ординат линии влияния.
Из рис. 45, б имеем
6xx = /tga
и по выражению (3.4) получаем окончательно
Х = 1-x/l.
Аналогично найдем линию влияния изгибающего мо-
мента для какого-либо сечения k балки АВ (рис. 46, а). Перехо-
дим к основной системе, отбрасывая в сечении k ту связь, которая
передает изгибающий момент Мк~Х, т. е. снимаем жесткое соеди-
нение соседних сечений. Оставляя лишь шарнирное соединение
в сечении k, жесткое соединение соседних сечений возмещаем пар-
ными моментами X (рис. 46, б).
Картина малых возможных перемещений полученного четырех-
шарнирного механизма AkBC определяется поворотом звена Ak на
угол р и звена Bk на угол а. Согласно началу возможных переме-
щений, сумма работ силы Р = 1 и моментов X на возможных пере-
45
мещениях системы равна нулю:
Р6ж_Ха-Хр=0.	(б)
Направления моментов X противоположны направлениям углов
поворота аир.
Из уравнения (б) име-
ем
х = Рб,х/(«+0) =
=Р^Х/ЬХХ=1-ЬРХ/ЬХХ,
(3.5)
где
б« = М'-а) + ММ3.6)
Мы вновь пришли к
тому, что закон измене-
ния X (линия влияния Мк)
получается как эпюра вер-
тикальных перемещений
Ьрх, все ординаты которой
разделены на постоянную
(масштаб ординат линии влияния). Линия влияния X представ-
лена на рис. 46, в.
Подставляя в выражение (3.5) значения (3.6), получаем
X = Мк = ха/1
— известное уравнение правой ветви линии влияния изгибающего
момента Мк.
§16. Невыгодное нагружение линий влияния
Аналитическое условие максимума усилия. Полное усилие 5',,
в данном месте сооружения при движении подвижной нагрузки
в виде системы сосредоточенных сил Р меняется по дссгаточно слож-
ному закону, график которого
имеет ряд изломов. На рис. 47 на
оси абсцисс откладываем абсцис-
су х системы сосредоточенных сил
(поезда), на оси ординат —значе-
ние полного усилия Sn. При х = х0
усилие Sn имеет местный макси-
мум, условие для которого
при Ах > 0 ASn < 0, 1
при Ах < 0 ASn < 0. J
(3.7)
Как при положительном, так
и при отрицательном приращении абсциссы поезда Ах приращение
полного усилия ДАП должно быть отрицательным.
46
Критерий невыгодного положения системы грузов для много-
угольной линии влияния. Невыгодным положением подвижной си-
стемы сосредоточенных сил называем такое положение ее, при кото-
ром усилие в данном элементе конструкции принимает наибольшее
абсолютное значение. Для стержня, имеющего двузначную линию
влияния, рассмотрим два возможных невыгоднейших положения
поезда: при нагружении положительного и отдельно отрицательного
участков линии влияния. Дадим аналитический критерий для опре-
деления того положения системы сосредоточенных сил Рдля кото-
рого получаем максимум усилия Зп, используя линию влияния этого
усилия. Пусть линия влияния усилия S ограничена многоугольни-
ком (рис. 48). Прямолинейные участки линии влияния составляют
с осью абсцисс углы сс2 и а3.
Заменим каждую группу сил Р на данном прямолинейном участке
линии влияния их равнодействующей /?,. Для данного случая линии
влияния получаем три равнодействующие: Rlt R3, Rs.
Полное усилие можно определить по равнодействующим:
*^п R& R^ R3y3 ~ 2 R^•	(а)
После сдвижки поезда на Ах все равнодействующие также сдви-
нутся на Ах. Получим новое значение полного усилия с прираще-
нием АЗП:
Sn + ^Sn = Rt (t/г + A«/t)	(r/2 + &y2) 4-/?з (t/3 — At/..).	(6)
Для третьего участка имеем отрицательное приращение, так как
ординаты линии влияния с увеличением х уменьшаются.
Вычитая из выражения (б) выражение (а), находим приращение
полного усилия:
АЗП = Z?jA^j7?2Az/2 Rs\y3,	(в)
Согласно рис. 48 находим:
A//1 = Axtga1; А#2 = Axtgaa; A«/3 = Axtga3.
47
Подставляя эти значения Ayz в выражение (в), получаем после
вынесения Ах за скобку
ASn -- Дх (R, tg ах + R2 tg а2 — R3 tg а3);
при наличии п прямолинейных участков линии влияния —
ASn = Ax2 tg ссг-.
(«)
Применим теперь аналитический критерий максимума (3.7).
Согласно первой строке выражения (3.7), при Ах положительном
ST?(tga; < 0.
п
Если поезд сдвигается влево (Ах отрицательно), ASn также должно
быть отрицательным, а потому согласно второй строке выражения
(3.7)
5/?ztga(. > 0.
п
Объединяя обе строки критерия, получаем
Sfl.tga^O,	(3.8)
п
т. е. при переходе через опасное положение ^T^tga,- должна менять
свой знак на обратный, что вполне соответствует условию максимума
функции S„, поскольку У 7?; tga; = ASn/Ax дает приближенное выра-
жение первой производной от Sn по х.
Так как tg а- —величины постоянные, то чтобы согласно формуле
(3.8)	менялась по величине и знаку, необходимо при
сдвижке поезда резкое изменение величины равнодействующих R,-.
Это возможно лишь тогда, когда один из грузов поезда находится
у самой вершины линии влияния (па рис. 48 груз Ркр). Этот груз
условно называют критическим.
Необходимым условием опасного положения системы сосредото-
ченных грузов является такое ее положение, при котором один из
грузов (критический) расположен у вершины линии влияния.
Этот признак необходим, но недостаточен, так как возможен
случай, когда после такой установки при сдвижке поезда меняется
лишь величина, но не знак 2jT?,tgaz.
п
Задачу определения опасного положения поезда решают способом
последовательных попыток: поставив поезд так, чтобы один
из грузов его находился у вершины, по формуле (3.8) проверяем,
выполняется ли условие максимума; если это условие выполняется,
имеем местный максимум для функции полного усилия.
Величину максимального усилия определяем по формулам
sn = S^ = S^f.
п	п
48
Критерий невыгодного положения для треугольной линии влия-
ния. Рассмотрим какую-либо треугольную линию влияния усилия S,
вершина которой от опорных вертикалей находится соответственно
на расстоянии а и b (рис. 49). Вы-
делим из всей системы грузов У Р,
размещенной по длине 1 — а^Ь и ус-
тановленной в опасное положение, кри-
тический груз Ркр. Равнодействующую
всех грузов слева от критического обоз-
начим Rлсв, справа от критического —
#пр-
Тогда, очевидно,
X Р — Рлев + Рхр + Япр-
п
Применим теперь к опасному по-
ложению поезда выведенный выше
критерий (3.8). При сдвижке поезда
вправо по первой строке критерия, принимая во внимание введен-
ные обозначения, получаем
fSP —«лев^ tga2 < 0.
\ п	J
Объединяя члены с /?лсв и перенося 2^tga2 в правую часть, на-
п
ходим
^лев (tgat + tga2) < tga22P.
п
Внося выражения тангенсов
tg = /i/a; tg a2 = h/b
и сокращая на ft, получаем
^лев (& + a)/W< (1(6)2 Л
п
или окончательно
R3eB<(a/l)^P.	(3.9)
п
Аналогично развернем вторую строку критерия (3.8) для случая
сдвижки поезда влево, когда иа первом участке равнодействующая
будет равна
ле. в + Рц\)
и изменится знак неравенства формулы (3.8). Теперь
Ллев + Л₽>(«Д)2^	(3.10)
п
Используя полученные неравенства, легко найти опасное поло-
жение поезда. Задачу решаем в следующем порядке:
49
1)	по данной длине I однозначного участка линии влияния нахо-
дим ^Р (имея расчетную схему поезда);
2)	проверяем выполнение неравенств (3.9) и (3.10);
3)	выясняем, не изменяется ли величина 2 Р после установки
поезда в опасное положение, когда весь поезд сдвигается так, что
критический груз будет у вершины линии влияния и часть грузов
может выйти за пределы пролета; для нового значения 2 Р расчет
повторяем.
§17. Определение усилий по эквивалентной нагрузке
Значительно упрощается определение усилий по линиям влияния
с использованием эквивалентной сплошной нагрузки, заменяющей
действие системы сосредоточенных сил поезда. Так, для железно-
дорожных мостов расчет производится только по эквивалентным
нагрузкам.
Эквивалентной называют равномерно распределенную на-
грузку, приложенную на длине
однозначного участка линии влия-
ния, усилие от которой равно уси-
лию от системы сосредоточенных
сил поезда, помещенных в невы-
годнейшее положение.
Дадим аналитическое выраже-
ние для интенсивности эквивалент-
ной нагрузки <7ЭКВ, заменяющей
систему сосредоточенных сил (рис.
50, а, б). Усилие от действитель-
ной системы сосредоточенных сил
по линии влияния
=	(а)
п
Заменив систему грузов поезда
равномерной нагрузкой интенсив-
ностью q3BB, то же усилие опре-
делим, умножая дзвв на площадь линии влияния:
*-*п ^экв ® 
(б)
Приравнивая выражения (а) и (б), находим выражение для интен-
сивности эквивалентной нагрузки:
?экв = 5 Р.У^-
п
Заметим, что при увеличении максимальной ординаты h треуголь-
ной линии влияния в п раз во столько же раз увеличивается пло-
щадь линии влияния <о и, следовательно, при постоянном положении
вершины (невыгоднейшее нагружение то же) qBKB не меняется. Таким
образом, эквивалентная нагрузка постоянна для различных линий
влияния (с различными значениями /?), но при равных длинах / и
50
одинаковом положении вершины. С учетом этого свойства составлены
таблицы эквивалентных нагрузок для простейших, часто встречаю-
щихся треугольных линий влияния (см. табл. 1). Параметрами, от
которых зависит эквивалентная нагрузка, являются:
1) длина нагружаемого участка I (основание треугольника);
2) положение наибольшей ординаты (вершины).
Если длина I и положение вершины данной линии влияния не
совпадают с табличными, производят линейную интерполяцию по
соседним табличным значениям. Найдя по данному положению вер-
шины и длине I из таблицы эквивалентную нагрузку, приходящуюся
на одну ферму, получают усилие по формуле (б).
Таблица 1. Равномерно распределенные эквивалентные нагрузки
железнодорожного пути, кН/м
/, м	*!=1		1, м	Л=1	
	tz=O	а=0,5		<х=0	а = 0,5
1	50,00	50,00	5	20,77	18,17
1,5	39,92	34,93	8	18,68	16,34
2	31,15	27,26	10	17,81	15,58
3	24,64	21,56	14	16,51	14,44
4	22,12	19,36	20	15,05	13,17
k — класс нагрузки; а = а/1 — положение вершины линии влияния.
§ 18. Матричная форма использования линий влияния.
Матрица влияния
В ряде задач строительной механики большое применение полу-
чила матричная форма расчета (см. приложение). Матрицы исполь-
зуются для решения системы линейных алгебраических уравнений
(определение усилий в сложных системах), нахождения перемещений
и, в частности, для отыскания усилий по линиям влияния от системы
связанных грузов. Остановимся на решении последней задачи.
Пусть требуется определить моменты в узловых сечениях /, 2,
3 и 4 балки на двух опорах при действии в узлах главной балки
системы сил Ро, Рг, Р2, Р3, Pit Р5 (рис. 51). По формуле (3.2)
момент в каждом сечении найдем как сумму произведений каждого
груза Р,- на соответствующую ординату линии влияния у,. Обычно
при узловой передаче нагрузки длины панелей одинаковы; в данном
случае принимаем
Для момента М3 получим (рис. 51, а)
М1 = 1(4Р1 + ЗР2 + 2Р3 + Р4),
или в матричной форме
Л11 = ^[4 3 2 1]
Рг
Р.
Р3
Р<
51
Момент получается как произведение «строки» узловых ор-
динат линии влияния на «столбец» узловых грузов (с множителем
//п2 = //25). В краткой матричной записи момент М± можно пред-
ставить так:
(3.11)
где Ь\—вектор-строка ординат линии влияния момента М±;
Р—вектор-столбец грузов.
pi pz PS	£
Рис. 51
Для моментов Л12, М3, ТИ4 (рис. 51,6—г) соответственно по-
лучим:
M2 = ^P; М3 = ^Р; М4 = ^КР,
где для вектор-строк имеем:
£ = [4 3 2 1]; ^-[3 6 4 2];
Ь'3 = [2 4 6 3]; ^=[1 2 3 4].
В целом определение всех узловых моментов по линиям их
влияния от данной системы узловых грузов Р можно представить
52
таким матричным равенством:
M = LMP = ±IP,
(3.12)
где LM = -^I представляет собой матрицу из узловых ординат всех
линий влияния моментов в сечениях 1, 2, 3 и 4, а I — натуральная
центробежная матрица порядка п = 5. В данном случае
Г4	3	2	1
7- 1	3	6	4	2
Ьл1-25/-25	2	4	6	3
.1	2	3	4.
(3.13)
Матрица LM носит название матрицы влияния момен-
тов. Каждый столбец ее соответствует столбцу коэффициентов
узловых ординат всех линий влияния моментов (см. рис. 51). Числа
этой матрицы обладают свойством взаимности, т. е. числа, распо-
ложенные симметрично относительно главной диагонали (4, 6, 6, 4),
равны между собой. Выражение (3.12) для всех моментов при
действии системы сосредоточенных сил Р дает возможность исполь-
зовать при вычислении моментов в различных сечениях электрон-
но-счетные машины, так как легко можно получить общее выра-
жение матрицы влияния моментов без построения линий
влияния.
Выражение (3.12) формулирует также решение задачи о семей-
стве так называемых обобщенных линий влияния. Пусть
требуется построить закон изменения момента Мх при движущейся
системе грузов Р. Тогда, оставляя вектор-строку Ь[ в выражении
(3.11) постоянным, будем считать вектор-столбец Р меняющимся.
Отсюда следует, что выражение (3.12) при переменном Р (вслед-
ствие перемещения поезда) дает семейство обобщенных линий влия-
ния Л415 Л12, М. и т. д.
Итак, отметим, что с помощью матрицы влияния узловых момен-
тов LM можно получить все узловые моменты от системы неединич-
ных сил Р по матричной формуле (3.12).
Пример. Пусть в узлах 7, 2, 3 и 4 приложены силы Р, — 50 кН, Р2= 100 кН,
Р3— 150 кН, Р4 = 50 кН, в узлах 0 и 5 — шарнирные опоры; пролет балки 1 = 10 м.
Найти узловые моменты.
Решение. По формуле (3.12) имеем
Л1 = 7.л]-Р = 1Р	’4 3 2 1" 3 6 4 2 2 4 6 3	X	 50“ 100 150	__2 = 5	' 850" 1450 1550	=	'340' 580 620
	.1 2 3 4J		- 50-		- 900J		-360-
Каждый член столбца первой матрицы умножается на члены матрицы-столбца.
Узловые моменты:
Alj = 340 кН-m, Л42 = 580 кН-м, Л43 = 620 кН-м, Л14 = 360 кН-м.
S3
Глава 4
БАЛОЧНЫЕ И КОНСОЛЬНО-БАЛОЧНЫЕ ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ
§ 19. Понятие о ферме.
Статическая определимость ферм
В фермах стержни соединены в узлах или заклепками, или
сварными швами, т. е. жестко. Однако, как показывают сравни-
тельные расчеты, при действии на стальные фермы с обычной
решеткой узловой нагрузки усилия в стержнях фермы с жест-
кими узлами мало отличаются от усилий в стержнях идеально
шарнирной фермы. В дальнейшем будем рассматривать ферму, все
элементы которой связаны в узлах идеальными шарнирами (рис. 52, а).
В таких фермах при узловом приложении нагрузки каждый стер-
жень подвергается лишь осевому действию силы. Так как нагрузка
приложена в узлах (рис. 52,6), то но условию равновесия любого
невесомого стержня ab на него со стороны узлов а и b действуют
две равные и противоположные по направлению силы Sab и Sba
и в нем возникает лишь продольная сила.
Дадим аналитический признак статической определимости
в форме алгебраической связи числа стержней фермы st и числа
узлов ее k. Положим пока, что ферма имеет обычное опирание на
левую шарнирно неподвижную опору, в которой возникают две
составляющие реакции, и на правую шарнирно подвижную опору,
которая дает одну неизвестную реакцию. В таком случае общее
число неизвестных будет st [- 3, где Sj — число неизвестных усилий
в стержнях фермы, а 3—число неизвестных реакций. Для каждого
стержня имеем только одно неизвестное — значение усилия (поло-
54
жительным его считаем, если оно вызывает растяжение стержня).
Для определения усилий в любой шарнирно-стержневой ферме при-
меним общий метод вырезания узлов, а именно последо-
вательно выделяем каждый узел фермы (рис. 52, е) и составляем
для сил, сходящихся в точке, два условия равновесия в форме
суммы проекций:
2Х = 0; 2Г = О-
Всего уравнений равновесия, очевидно, будет 2k, где k—число
узлов фермы. Сопоставляя число неизвестных Sj3 с числом урав-
нений 2k, получаем аналитическое условие статической определи-
мости фермы:
sx -ф 3 = 2k,	(а)
откуда
st = 2k—3.
Это критерий статической определимости шарнирно-стержневой
фермы, опертой на одну неподвижную и одну подвижную опоры
(или на три опорных стержня). Если ферма имеет более трех опор-
ных стержней, условие статической определимости можно пред-
ставить несколько иначе. Обозначив sl + 3 = s, где s—общее число
стержней фермы вместе с опорными, вместо выражения (а) получим
s = 2k.
Если s > 2k, число неизвестных больше числа уравнений равно-
весия, следовательно, нельзя найти неизвестные из условий равно-
весия— система статически неопределима. Если s<2k, число не-
известных меньше числа уравнений; в этом случае задача по оты-
сканию усилий становится неопределенной и условиям равновесия
удовлетворить нельзя.
§ 20. Классификация ферм
Различают:
1. По назначению: а) фермы пролетных строений мостов;
б) фермы каркасов промышленных зданий; в) стропильные фермы.
Е5
2.	По характеру опорных закреплений: а) балочные
(рис. 52, а) и консольно-балочные; б) арочные и висячие фермы,
в опорах которых в отличие от балочных систем при вертикальной
нагрузке возникают и горизонтальные реакции; так, на рис. 53
представлена схема моста с трехшарнирной аркой со сплошной
Рис. 55
стенкой, а на рис. 54 показана висячая вантовая система; со сто-
роны наклонных тяг сооружения действуют наклонные реакции,
горизонтальные составляющие которых—распоры; в) разрезные
(см. рис. 52) и неразрезные (рис. 55) фермы, перекрывающие не-
сколько пролетов; г) консольные фер-
мы (рис. 56), один конец которых
оперт, другой свободен.
3.	По очертанию поясов:
а) фермы с параллельными поясами
(рис. 57, а); б) фермы с полигональ-
ными поясами (рис. 57,6, в). На рис.
57,б показана балочная ферма с од-
ним верхним полигональным поясом.
На рис. 57,в представлена двухшар-
нирная арочная ферма с двумя поли-
гональными поясами,так называемая
серповидная арочная ферма.
4.	По системе решетки: а) фермы с раскосной решеткой
(рис. 56 и 57, а, б); раскосной называют решетку, при наличии ко-
торой в каждой половине двухопорной фермы направления раскосов
идентичны; б) фермы с треугольной решеткой (рис. 52, а и 57, е);
треугольной решетка называется тогда, когда раскосы попеременно
56
меняют направление; в) фермы с двухраскосной решеткой (рис. 58, а);
в каждой панели этой фермы два раскоса одинакового направления;
г) фермы с полураскосной решеткой (рис. 58, б); такая ферма в
Рис. 58
каждой папели имеет два разных по направлению раскоса, идущих
к стойке; д) двухрешетчатые фермы (рис. 58, в); е) фермы с ромби-
ческой решеткой (рис. 58, г); ж) многорешетчатые фермы (рис. 58,0);
57
з) фермы с составной решеткой (шпренгелями); составной называют
решетку, которая кроме основной треугольной или раскосной ре-
шетки включает дополнительные малые фермы (шпренгеля), разде-
ляющие большую панель на малые (рис. 58, е).
Рис. 59
5.	По особенностям структуры: а) простые (балочные,
консольно-балочные, арочные, висячие) фермы, перечисленные выше;
б) комбинированные, представляющие собой сочленение простых
систем (например, балочной фермы и гибкой арки; рис. 59). В сис-
теме, изображенной на рис. 59, а, гибкая арка (верхний пояс) кон-
цами связана с балочной фермой; в системе же, показанной на
рис. 59, б, гибкая арка (нижний пояс) отделена опорными концами
от верхней балочной фермы. Если перевернуть последнюю систему
относительно горизонтальной оси на 180°, получим цепь с балкой
жесткости.
§ 21. Определение усилий в фермах
Ниже рассмотрим применение наиболее общего аналитического
метода. В основу расчета усилий в стержнях фермы можно положить
общую систему уравнений статики для узлов фермы и отдельных
ее частей.
Определение усилий основано на общем методе отделения части
фермы и рассмотрения ее условий равновесия аналогично методу
разрезов, применяемому в сопротивлении материалов. Главнейшая
задача статики ферм заключается в применении таких способов
расчета, которые избавляют от решения системы совместных урав-
нений (проведение так называемой ортогонализации, обеспечиваю-
щей равенство нулю ряда неизвестных).
Способ моментных точек. Этот способ в наиболее простой форме
применяется к фермам, в которых можно провести разрез только
через три стержня.
Определим усилия О3, £)3, U,г в элементах фермы с треугольной
решеткой (рис. 60). Предварительно находим опорные реакции А
58
и В. Проводим разрез п — п через три стержня, усилия в которых
определяются, и действие частей фермы представляем соответст-
вующими векторами О2, £>2, U2, полагая усилия растягивающими.
Рис. 60
Рассматривая равновесие левой части (где меньше сил), составляем
три уравнения, каждое из которых включает только одно неизвест-
ное. Для этого вместо трех классических уравнений равновесия
£Л1 = 0;	=	£7 = 0
получим для левой отсеченной части уравнения следующего вида:
2^=о; 2^ = °; 2Ж=о,
(4.1)
где в сумму моментов	не войдут усилия О3 и £>2, проходя-
щие через моментную точку/г/, сумма моментов ^Mkt не содержит
усилий U 2 и О2; сумма 2М*а не включает усилий О2 и U.2. Каж-
дое уравнение (4.1) будет содержать только одно неизвестное уси-
лие, что позволит легко и точно его найти. Для определения U 2
составляем сумму моментов сил, приложенных к отсеченной левой
части фермы, относительно точки kL—точки пересечения направ-
лений усилий 0.2 и D.2:
Ж=°,
или
Aat — Р2 (aL—d) — U2r2 = 0,
откуда
U.2 = [Aas~Pl
Здесь числитель не что иное, как момент левых внешних сил
относительно точки k} (изгибающий момент в сечении воображаемой
балки со сплошной стенкой).
Таким образом, получаем
U2 = Makjri,
где M£t— момент левых внешних сил относительно точки k2, г2 —
плечо усилия.
59
Найдем теперь усилие 0.2, составив сумму моментов сил, при-
ложенных к левой отсеченной части фермы, относительно точки
Х>2 —точки схода D2 и
2ж2=о,
или
Ad-+-O2r2 = 0,
откуда
02 = — Ad/r2 = — М °kJr2.
Для определения усилия О2 выбираем точку моментов в k3 —
точке пересечения направлений усилий 02 и U2. Рассматривая равно-
весие левой части, находим
2Ж=о,
пли
-------------------4^3	(аз“Р^)	^2Г3 =0,
откуда
D.2 = [—Аа3-\-Р, (а3 +</)]/гя = Мкз/г3.
Как видим, при применении способа моментных точек усилие
всегда выражается отношением момента внешних сил, приложен-
ных к левой отсеченной час-

ти, к плечу усилия.
Так, для определения
усилия U 2 в элементе ниж-
него пояса полураскосной
фермы (рис. 61) проводим
разрез п — п, пересекающий
четыре стержня. Но направ-
ления трех усилий О2, Уз ч
У2 пересекаются в одной точ-
ке. Ее и принимаем за теч-
ку моментов для определе-
ния U 2.
0,
откуда
Ad—U2h = 0; U2 = Ad/h.
Аналогично определяется усилие 0.2 с использованием момент-
ной точки &j.
Замкнутый разрез применяем для отыскания усилий в стержнях
фермы Шухова (рис. 62) и подобных ей системах. Полежим, тре-
буется определить усилие О2 в первом элементе верхнего пояса
фермы Шухова.
Для определения усилий в стержнях О1г 03 и О5, связывающих
два основных треугольника, проводим разрез, который рассекает
стержни верхнего пояса по одному разу и раскосы и Ь.2 по два
60
раза. Рассматривая равновесие части фермы, расположенной внутри
составляем условие
относительно
разреза п — п,
нулю суммы моментов
линий стержней 03 и 05:
или
—0^!— ВЬ — О,
откуда
0± = —
Способ проекций. Способ
проекций применяют, когда
моментная точка оказывается
в бесконечности, т. е. при
параллельности двух стерж-
ней из трех рассеченных. До-
пустим, требуется определить
усилие в раскосе D3 фермы с
равновесия в виде равенства
k —точки
пересечения осевых
/
Рис. 62
параллельными поясами (рис. 63).
Проводя разрез п -п, рассекаем три стержня, усилия в которых
О3, D3 и U3. Но направления усилий 03 и Us параллельны; сле-
Рис. 63
довательно, моментная точка
для D3 будет в бесконечнос-
ти. Задача определения уси-
лия D3 легко решается при-
менением уравнения проек-
ций всех сил, приложенных
к отсеченной части, на вер-
тикальную ось, перпендику-
лярную направлениям О., и
t/3: ’
2глев=о,
ИЛИ
Д — Р — D3 sin а = О,
откуда
D3 = (Л - - P)/sin а = Q„„/sin а,
где (Л—P) = Q„„ —поперечная сила в сечении п — п воображаемой
балки со сплошной стенкой.
Раскос фермы с параллельными поясами работает на восприятие
поперечной силы. Закон изменения усилий в раскосах легко уста-
новить по эпюре поперечных сил.
Способ вырезания узлов. Способ вырезания узлов наряду со
способом моментов является одним из самых общих способов опре-
деления усилий. Для каждого узла фермы составляют два условия
равновесия в виде двух уравнений проекций на две непараллель-
61
ные оси. Целесообразно поэтому начинать с узла, где сходятся два
стержня. Покажем применение способа вырезания узлов для опре-
деления усилий в элементах фермы, представленной на рис. 64, а.
Для определения усилия 02 проще всего вырезать опорный узел
Рис. 64
фермы (рис. 64,6). Проектируя все силы, действующие на узел, на
вертикаль, получаем
О, sina-J- А = О,
откуда
(>! = —A/sin а,
т. е. усилие в опорном элементе верхнего пояса фермы пропорци-
онально опорной реакции.
Для определения усилий в стойках и V.2 вырезаем соответ-
ственно узлы 1 и 3 нижнего пояса фермы. Вырезая нижний узел 1
и проектируя все силы, приложенные к нему, на вертикальную
ось, получаем (рис. 64, в) V^O.
Отсюда можно сделать следующее заключение: если в узле схо-
дятся три стержня, из которых два направлены одинаково (£/, и
и нет нагрузки, то усилие в отдельно направленном стержне
(V,) равно нулю. Такой стержень называют нулевым. Указанное
правило распространяется также на узлы, к которым приложена
нагрузка, не имеющая составляющей, нормальной к двум другим
стержням одного и того же направления.
Предположим, что к узлу, в котором сходятся два поясных
усилия 1)х, U2 и усилие в раскосе D, приложена горизонтальная
62
сила Р (рис. 64, г). Проектируя все силы, действующие на узел,
на вертикаль, находим
£>cosa = 0,
откуда
D = 0.
Отдельно направленный, стержень имеет нулевое усилие и в слу-
чае приложения нагрузки, действующей по оси одинаково направ-
ленных стержней.
Вернемся теперь к рассмотрению фермы (рис. 64, а) и определим
усилие в средней стойке Va. Вырежем для этого средний узел ниж-
него пояса, где сходятся только три стержня (рис. 64, д). Проек-
тируя все силы, приложенные к узлу, на вертикальную ось, по-
лучаем
К3-Р=0,
откуда
V3 = P.
Следовательно, если в узле сходятся три стержня, из которых два
направлены одинаково (U3 и С4), и есть нагрузка (Р), направлен-
ная по оси третьего стержня (И3), то усилие в отдельно направ-
ленном третьем стержне равно нагрузке.
Способ вырезания узлов целесообразно также применять для
получения соотношения между усилиями в трех стержнях при на-
личии перелома пояса. Покажем применение способа вырезания
узлов для получения выражения усилия в стойке V2 через усилие 02
в верхнем поясе (рис. 64, а). Вырезая верхний узел 2 фермы, прежде
всего проектируем все силы на горизонталь (рис. 64, е):
02 cos а2 — 03 cos a3 = О,
откуда
03 = O2cosa2/cosa3.	(4.2)
Теперь проектируем все силы, приложенные к узлу 2, на вер-
тикальную ось:
03 sina3—02 sina2 — V, = 0,
откуда
У2 =— (O2sina2 —О3 sina3),
или, подставив значение О3 из выражения (4.2), получим
VT = — О2 (sin a2 — cos a2 tg a3).
Для определения усилия O2 применяем способ моментной точки,
проводя разрез фермы по второй панели.
Определение усилий с применением матрицы влияния. Как и
для балки, усилия в стержнях фермы при различных нагружениях
легко определяются с помощью матрицы влияния усилий (см. [5]).
Пусть усилие в каком-либо i-м стержне фермы от единичного на-
63
гружения узла k будет sik. От единичной силы, приложенной в
узле 1, усилия в стержнях фермы обозначим
$11’ $21’ • • • ’ $л1>
от нагружения единичной силой в узле 2
$12’ $22’ • • • ’ $П2>
от нагружения единичной силой в узле k
Slki S2k< • • • ’ Snk-
Всего имеем п стержней фермы. Тогда усилия во всех стержнях
ст нагружения узлов 1,2, .k силами Р
S = LsxP,
где S —матрица-столбец усилий во всех п стержнях; Ls — матрица
влияния усилий; Р — вектор (матрица-столбец) нагрузки.
В развернутом виде:
$11 $12 •  • • $1/,
$21 $22 • •  • S,k
P.
Р-2
Slll Sll2     Sn/{
При этом матрицы Ls и Р должны быть соответственными,
т. е. число столбцов в первой матрице должно быть равно числу
элементов второй.
Существуют программы для определения усилий в стержнях,
в которых реализован алгоритм расчета усилий на основе метода
вырезания узлов (см. [12]). Алгоритм содержит всю последователь-
ность арифметических и логических операций.
§ 22.	Расчет трехдисковых ферм на неподвижную нагрузку
Способ равнодействующих. Трехдисковые фермы (анализ неиз-
меняемости их приведен выше, см. § 7 и 8) рассчитывают с полным
разделением неизвестных при учете положения основных фиктивных
шарниров а, с и Ь. От заданной системы с реальными связями пере-
ходят к трехдисковой системе, установив положение основных шар-
ниров а, с и Ь. Затем определяют реакции шарниров а и Ь, а по
реакциям фиктивных шарниров легко находят реакции реальных
закреплений.
Рассмотрим в качестве примера графическое определение опор-
ных реакций двухпролетной фермы со средним опорным четырех-
угольником (рис. 65,а) при действии вертикальной нагрузки Р,
приложенной к левому диску I. При действии вертикальной на-
грузки Р и одинаковом направлении средних опорных стержней
64
3 № 1116
(угол а) усилия в них одинаковы. Поэтому реакш и этих стержней
Bt и В[ на диски 1 и 11 равны между собой. Так как нагрузка
приложена к левому диску I, а диск II не нагружен, равнодейст-
вующая реакций Д и D —сила Rb — должна пройти по Ьс. Про-
должая направление Rb до пересечения с линией действия силы
в точке d, получаем направление равнодействующей Ra двух реак-
ций А и Д левого диска —линия ad. В плане сил (рис. 65, б)
уравновешиваем силу Р равнодействующими реакциями Rb и Ra.
Получив Ra и Rb, заменяем их составляющими: силу Ra— состав-
ляющими А и Д, силу Rb — составляющими и D.
Способ двух сечений. Рассмотрим определение усилий в стерж-
нях трехдисковых ферм на примере решетчатой фермы (рис. 66, а).
Ферма нагружена вертикальной силой Р, приложенной к правому
узлу диска III. Пусть плечо силы Р относительно центра левой
опоры будет р. Тогда балочные реакции B = Ppll\ А -= Р (I — р)/1.
Отсекаем диск III, проводя первое сечение п — п. Действие рас-
сеченных стержней /, 2, 3 и 4 представляем усилиями S2, S3
и S4. Усилия S, и S2 заменяем силами Va и Ha, усилия S3 и Si —
силами Vb и
По условию равновесия системы дисков I и II
Ha = Hb = H.
Составляя условие равновесия нижней части системы I—//в форме
£ЛД-0,
получаем
А (I + и) -|- Ви — VaL = О,
откуда
Ve = (l/L)[A(Z + «) + B«].
Из условия равновесия той же части Vy = 0 находим Vb.
Рассматриваем теперь равновесие одного диска I, проводя вто-
рое сечение k—k через средний шарнир с, и составляем условие
равновесия:
2<"е" =0,
что даст
A//2-Vo(Z/2 + «) + //f = 0,
откуда находим
Я = (1/Л [Ив((/2-|-«)-Д//2].
Теперь легко определить усилия в стержнях / и 2 данной фермы
хотя бы графическим построением. В плане сил (рис. 66, б) откла-
дываем векторы Va и Н и находим равнодействующую Ria этих
«внутренних реакций». Исходя из того, что силы Va и Н — заме-
няющие сил St и 8а, разложим равнодействующую R12 на направ-
ления усилий St и S2. Решение, таким образом, полностью рас-
членяется.
66
§ 23.	Расчет ферм с составными элементами
Фермой с составными, или сложными, элементами на-
зывают такую ферму, в которой ряд прямолинейных стержней за-
менен составными стержнями в виде фермочек. В ферме, изобра-
женной на рис. 67, а, вместо простых элементов по нижнему псясу
даны сложные элементы Оа, ab,
bf. Заменяя составные стержни
прямолинейными, получаем перво-
начальную так называемую ос-
новную ферму, из которой обра-
зована ферма с составными элемен-
тами. Узлы составной фермы назы-
вают г л а в н ы-м и; узлы, распо-
ложенные между главными, —до-
полнительными. При отсут-
ствии составных элементов и том
же приложении нагрузки стержень
основной фермы ab испытывал бы
кроме действия осевой силы еще
поперечный изгиб от силы Р.
Рассматриваем два случая
действия нагрузки:1)нагрузка не
приложена в дополнительных уз-
лах данного сложного элемента и
2) нагрузка имеется и в промежу-
точном узле фермочки.
В первом случае(элемент bf на
рис. 67, б), выделяя фермочку
разрезами у главных узлов, полу-
чаем из условия равновесия фер-
мочки, что по концам ее со сто-
роны главных узлов будут воздей-
Рпс. 67
ствовать только осевые силы U3, направленные по прямой, соеди-
няющей главные узлы. Эти осевые силы легко определить способом,
известным для простых ферм.
Рассмотрим теперь определение усилия S12в стерженьке состав-
ного элемента ab, к промежуточному узлу 2 которого приложена
вертикальная нагрузка Р (рис. 67, а). Выделим этот элемент из
фермы разрезами у узлов а и b (рис. 67, в). Реакции со стороны
узлов я и б представляем каждую в виде двух составляющих Va,
U2 и Vb, U2, из которых составляющие U направлены по оси со-
ставного элемента, т. е. по линии ab.
Из условия равновесия фермочки = 0 получаем, что правая
горизонтальная реакция U2 равна по величине и противоположна
по направлению левой реакции [72; найти же величину U ,г из усло-
вия равновесия фермочки невозможно. Вертикальные реакции фер-
мочки Va и Vb легко находятся. Составляя условие равновесия
3*
67
в виде суммы моментов относительно точки Ь:
2Ж=о,
получаем
V,d Pp-0,
откуда
Va = Pp/d.	(а)
Составляя условие равновесия в виде суммы моментов относи-
тельно точки а, получаем
—Vbd + P(d—p) = f),
откуда
Vb = P(d — p)/d.	(б)
Вертикальные реакции Va и Vb малой фермочки- от местной на-
грузки находят так же, как реакции простой балки с пролетом
l=d. Можно считать фермочку ab опертой статически определимо
на главные узлы. Усилия в стерженьках этой фермочки можно
найти, зная все внешние силы для нее, в том числе и осевые силы Us.
Для определения осевых сил рассмотрим равновесие части всей
фермы (рис. 67, г). Выделив сложный элемент ab из заданной фер-
мы, возмещаем его связи в а и b опорными давлениями Vа и Vb
и осевыми силами (/,, направленными от узлов. Опорные давления
Va и Vb по величине равны вертикальным опорным реакциям фер-
мочки и определяются формулами (а) и (б). Рассекая ферму разре-
зом т- т и рассматривая равновесие левой ее части, составляем
условие равновесия:
2л1г=-°.
или в развернутом виде
Ac — V„ (c—d)—UJi-^0,
откуда
Uz = [Ac — Va(c — d)],!h = Mk/h,	(в)
где Мь—момент левых вертикальных сил относительно точки k.
Выражение (в).показывает, что осевая сила сложного элемента вы-
числяется так же, как в элементе простой фермы, но особенностью
является разложение промежуточной нагрузки на составляющие Va
и Vb, приложенные к главным узлам.
После определения осевой силы t/2 возвращаемся к рассмотре-
нию фермочки ab (рис. 67, в). Найдем усилие во втором элементе
нижнего пояса фермочки S12. Для этого проводим разрез п—п и
рассматриваем равновесие левой части фермочки:
2Жв = о,
или
Vac1 + Uir1 — Slir = Q,
откуда
S^VjJr + UjJr.	(г)
68
для усилия в стерженьке 1—2
Первый член правой части представляет собой усилие в стер-
женьке 1—2 составного элемента от местной вертикальной нагрузки;
назовем его 5”“. Второй член правой части можно рассматривать
как усилие в том же стерженьке 1—2 от осевых сил Л7а; обозначим
второй член Получаем следующее общее выражение для пол-
ного усилия в любом стержне фермочки:
О ..... Смес I Сое
°12 — °12 I ° 12?
где в данном случае
S^ = VacJr, S^ = U.2rJr.
Усилие от местной нагрузки возникает только тогда, когда на-
гружен данный сложный элемент, и это воздействие называют по-
тому местным. Усилие от осе-
вых сил может быть равно
осевой силе, если rt = г.
Рассмотрим частный случай
ферм с составными элементами,
в которых осевая линия слож-
ного элемента ab совпадает с
осью пояса малой фермочки (рис.
68, а). В этом случае сложный
элемент будем называть шпрен-
гелем.
Выделив составной элемент
ab, подверженный действию ме-
стной вертикальной нагрузки
(рис. 68, б), получим по общей
формуле (г) следующее выраже:
шпренгеля:
___________________________ Смес । еос_ емес i и
12~ <->12 "Г°12________________________° 12	1 U 2-
Заметим, что в данном случае усилие от осевых сил равно осе-
вой силе, которая воспринимается нижним поясом шпренгеля, и,
следовательно, усилия от осевых сил U2 в элементах а—3, 3—4,
4—5, 5—Ь, 3—1, 1—4, 4—2 и 2—5 равны нулю. Эти элементы
получают усилия только от местной вертикальной нагрузки, т. е.
--- QMCC
34 _ °34 •
Будем различать для фермы по рис. 68 стержни трех кате-
горий: стержни первой категории, в которых возникают усилия
только от осевых сил (стержни основной фермы, например 6—7,
6—8, 6—5, 6—3); стержни второй категории, которые получают
усилия только от местной вертикальной нагрузки и входят лишь
в состав шпренгеля (стерженьки 3—1, 3—4, 4—5, 1—4, 4—2, 2—5);
стержни третьей категории, которые входят в состав основной
фермы и в состав малой фермочки (а—1, 1—2, 2—Ь, а—3, Ь—5),
причем усилия в таких стержнях определяют по общей формуле
(г) путем суммирования усилий от осевых сил и от местной верти-
кальной нагрузки.
69
В фермах, в которых шпренгеля меняют характер воздействия
груза на главные узлы (если происходит изменение «положения
езды»), очертание линий влияния усилий в стойках основной фер-
мы также изменяется и такие стойки относят к элементам особой,
четвертой, категории.
§ 24.	Линии влияния усилий в простых балочных фермах
Перед построением линии влияния данного усилия следует вы-
брать наиболее целесообразный способ отыскания этого усилия на
основе ортогонализации (см. § 21).
Рис. 69
70
Рассмотрим построение линии влияния усилий в стержнях бало-
чной фермы с треугольной решеткой при езде понизу (рис. 69).
Положение езды на чертеже отмечено штриховой линией. Усилие
в любом стержне фермы будем выражать через опорные реакции А
и В. Усилие О2 находим, применяя способ моментной точки. Про-
водя указанный на чертеже фермы разрез, отмечаем моментную
точку k± с абсциссой, равной длине панели d\ находим плечо уси-
лия 02, равное гг. При положении груза Р=1 справа от разре-
занной панели рассматриваем равновесие левой отсеченной части
и составляем сумму моментов относительно точки k^.
2С=о,
или
02rt = О,
откуда усилие в элементе верхнего пояса
Ot = — Ad/r1.
Мы получили аналитическое выражение правой ветви линии
влияния 0„. Усилие 02 меняется по закону изменения левой опор-
ной реакции А, все значения которой умножены на постоянную
l-d/Tj и взяты со знаком минус. Строим правую ветвь линии вли-
яния О2, откладывая на левой опорной вертикали ординату (— 1 -d/r^
и соединяя ее с нулевой точкой на правой опорной вертикали.
Полученную правую прямую используем на участке движения
груза справа от разрезанной панели.
При положении груза слева от разрезанной панели составляем
условие равновесия правой отсеченной части как условие равенства
нулю суммы моментов относительно точки k2.
2^7-0,
или
— в (i—d)—oar1=o,
откуда
О3 = — B(l — d)/i\.
Усилие О2 меняется по закону изменения правой реакции, все
ординаты которой увеличены в (/ — d)/r1 раз и взяты со знаком
минус (рис. 69, «).
Левую ветвь линии влияния можно построить и непосредственно
по правой ветви, учтя, что левая ветвь линии влияния момента
пересекается с правой ветвью ее под точкой моментов kt. Левая
ветвь используется па участке первой левой панели фермы. При
движении груза между узлами разрезанной панели (участок 1—2 по
ездовой линии) линия влияния очерчивается прямой (передаточной),
соединяющей узловые ординаты левой и правой ветвей.
Линия влияния О2 подобна линии влияния момента Л4*,. При
определении усилия t/2 моментной точкой будет k2 — точка пересе-
чения осевых линий стержней О2 и D2. Составляя сумму моментов
71
левых сил относительно точки k2 при положении груза справа от
разрезанной панели, т. е.
SC-о,
получаем
Аа., — U2h = О,
где аг—абсцисса моментной точки k2.
Уравнение правой ветви линии влияния будет
U2 = Aajh.
На левой опорной вертикали откладываем ординату \-aJh вверх
и соединяем ее концевую точку с нулевой точкой на правей опор-
ной вертикали (рис. 69, б). Используем правую ветвь на участке
движения груза справа. Левую ветвь влияния U.2 получим непо-
средственно по правой ветви. Для этого проводим через моментную
точку k2 вертикаль до пересечения с правой ветвью линии влия-
ния, получаем точку, принадлежащую и левой ветви. По этой
точке и нулевой точке на левой опорной вертикали строим левую
ветвь. Передаточная линия — прямая, соединяющая узловые орди-
наты и соответствующая участку 1—2 ездовой линии на ферме, —
в данном случае не совпадает с продолжением левой или правой
ветви. Заметим, что передаточная линия для участка движения
груза по перерезанной панели не совпадает с продолжением левой
или правой основной линии, если моментная точка k2 не совме-
щается ни с одним из узлов разрезанной панели по ездовой линии
(узлы 1 и 2).
Аналогично, применяя способ моментных точек, строим линию
влияния усилия D2, пользуясь тем же разрезом. Моментная точка
А, —точка пересечения усилий 02 и U2 — находится за пределами
фермы. Рассматривая равновесие левой части фермы при движении
груза Р = \ справа от разрезанной панели, получаем
Ж=о.
или в развернутом виде
— Aas—D.2r.2 = О,
где й3 —абсцисса моментной точки ks. Уравнение правой ветви ли-
нии влияния
Д2 ~	Ап3/г 2.
Правая ветвь линии влияния Л2 строится по линии влияния
левой опорной реакции А, все ординаты которой умножены на
1-а3/г2 и взяты со знаком минус (при любом положении груза
справа раскос сжат). На левой опорной вертикали откладываем
ординату (—1-а3/г,) и, соединяя с нулевой точкой на правой опорной
вертикали, получаем правую ветвь.
Переходим к построению левой ветви линии влияния D2 при
положении груза Р = 1 слева от разрезанной панели.
72
Рассматривая равновесие правой части фермы и составляя сумму
моментов всех сил, приложенных к правой части относительно мо-
ментной точки k3, получаем
— В (I + й3) + В),г2 = О,
откуда имеем следующее выражение для усилия:
D2 = B(/ + a3)/r2.
Усилие О2 при движении груза слева от разрезанной панели
меняется по закону изменения правой реакции, все ординаты ко-
торой увеличены в (/ + <zs)/r2 раз, причем усилие D2 теперь растя-
Рис. 70
гивающее. Поэтому левую ветвь строим в виде прямой, имеющей
на правой опорной вертикали ординату 1 • (/-|-а3)/га, а на левой
опорной вертикали—нулевую точку (рис. 69, в). Левая ветвь линии
влияния D2 при продолжении должна пересекаться с правой ветвью
под моментной точкой k3. Как видим, линия влияния двузначна.
При удалении точки моментов k3 за пределы фермы все далее пе-
ремещается точка пересечения левой и правой ветвей и для случая
73
параллельности поясов ветви линии влияния становятся также па-
раллельными.
Рассмотрим решение задач по построению линии влияния
усилий в решетке фермы с параллельными по-
ясами, когда при определении усилий в раскосах и стойках це-
лесообразнее всего применять способ проекций (рис. 70, а).
Для построения линии влияния усилия D3 проводим разрез 1—1,
выявляя усилия 03, D3 и U 3. Угол наклона раскоса и горизонтали
обозначим а. Рассматриваем произвольное положение груза Р=1
справа. По условию равновесия отсеченной части,
^Улев —0,
или
А— D3 sin сс = 0,
откуда
jD3 = A/sina.
Правую ветвь линии влияния усилия D3 строим по линии влия-
ния левой опорной реакции, все ординаты которой увеличены
в 1/sina раз.
При произвольном положении груза слева, по условию равно-
весия правой части фермы,
2ппр = о,
или
BA-D3 sina = 0,
откуда
D3 = — В/sin а.
Левую ветвь линии влияния усилия D3 строим по линии влия-
ния правой реакции, все ординаты которой умножены на (—1/sina).
Отметив узловые ординаты, проведем передаточную линию под
разрезанной панелью (рис. 70, б). При любом положении груза
D3 = Сл/sina.
Раскос работает на поперечную силу (множитель 1/sina).
Аналогично строится линия влияния в стойках фермы
с параллельными поясами. Рассмотрим построение линии
влияния усилия К4 при езде понизу (расположение ездовой линии
будет влиять на_очертание линии влияния У4). Проведя разрез 2—2,
полагаем груз Р=\ справа от разрезанной четвертой панели (по
нижнему поясу). Рассматривая равновесие левой части, получаем
Д-К4 = 0,
откуда
У4 = А.
Как видим, правую ветвь линии влияния усилия в стойке можно
построить по закону изменения левой опорной реакции А.
74
Аналогично при положении груза слева из рассмотрения равно-
весия правой части находим
У, = -В.
Левая ветвь подчиняется закону изменения правой реакции, но
с обратным законом (рис. 70, s).
При построении линий влияния усилий в стойках фермы
с треугольной решеткой целесообразно применять способ
вырезания узлов. Рассмотрим в качестве примера ферму с треуголь-
ной решеткой и дополнительными стойками (рис. 71, а). Построим
75
линии влияния усилий V„, Vj, V2 и Vi при езде понизу. Вырезая
верхний узел 0 и принимая во внимание отсутствие нагрузки
в узлах верхнего пояса, получаем
vo=o.
Линия влияния Vo нулевая.
Вырезая нижний узел Г при положении груза Р=1 в этом
узле, получаем
^=1-
Если груз расположен в одном из соседних узлов, из рассмотрения
равновесия узла /' находим
Vx = 0.
По полученным значениям строим линию влияния Ух, которая
имеет вид «местного» треугольника (рис. 71, б).
Переходим к построению линии влияния V2, применяя последо-
вательно способ вырезания узлов и способ моментных точек. Вы-
резая узел 2 и имея в виду отсутствие нагрузки в этом узле (езда
понизу), составляем условие равновесия:
£Х-0,
или (рис. 71, в)
О2 cos ах — 03 cos и2 = О,
откуда
О3 = О2 cosctj/cosa,,.	(а)
Проектируя все силы, действующие на узел 2, на вертикальную
ось, находим
V, 4- 0, sin а, — 0„ sin а, = О,
откуда
V, = — (О, sin а, —О„ sin а,).
Подставляя значение О3 из соотношения (а), получаем следующее
выражение для усилия:
V2 = — 02(sinax — tga.cosaj.	(б)
Усилие в стойке прямо пропорционально усилию в поясе (рис.
71, д). Следовательно, ординаты линии влияния усилия можно
получить по ординатам линии влияния усилия 02, умножив их на
коэффициент (sinaj — tgo^cosczj.
Применяя способ моментных точек, строим линию влияния О2
(моментная точка йх); при этом опорная ордината для правой ветви
будет Zrf/Tj. Изменив знак на обратный и умножив все ординаты
этой линии влияния на множитель согласно выражению (б), полу-
чим линию влияния V2 (рис. 71, е). При движении груза Р = 1 по
верхнему поясу очертание линии влияния устанавливают так:
от полученной ранее ординаты линии влияния под узлом 2 следует
76
вычесть единицу и провести две соседние передаточные линии
(штриховые линии на рис. 71, ё).
Аналогично строится линия влияния усилия У4 (рис. 71, ж).
Рассмотрим еще построение линии влияния усилия в раскосе
£>2 одноконсольной фермы. Применяя способ моментных
Рис. 72
точек (рис. 72, а), проводим разрез 1—1 для обнаружения усилий
О.,, О, и Uz. Моментной точкой для усилия D„ будет kv-, абсцисса
ее—at. При положении груза Р=1 справа от разрезанной панели
из уравнения равновесия левой отсеченной части
2С=о
получаем
Aa1 — D2r1 = О,
откуда уравнение правой ветви линии влияния будет
D2 = Аа1/г1.
Строим график правой ветви, откладывая на левой опорной
вертикали опорную ординату i-a1/r1 (рис. 72, б). Левую ветвь
получаем по ее точке пересечения с правой ветвью под точкой
моментов k±. Проводя вертикаль через точку до пересечения
с правой ветвью и соединяя найденную точку с нулевой точкой
на левой опорной вертикали, получаем левую ветвь линии влияния.
Выделяем узловые ординаты, т. е. ординаты линии влияния под
узлами разрезанной второй панели; соединяя эти узловые ординаты
77
прямой, получаем передаточную линию. При движении груза по
подвеске ес ординаты линии влияния получаются как ординаты
прямой, соединяющей узловую ординату под концом консоли
с нулевой точкой линии влияния под опорой подвески.
На рис. 72, в представлена линия влияния усилия Ко в опор-
ной стойке той же фермы.
§ 25. Линии влияния усилий в фермах со шпренгелями
Балочная ферма. Рассмотрим построение линий влияния в рас-
косной ферме со шпренгелями, расположенными по верхнему поясу
(рис. 73). В этой ферме простые стержни верхнего пояса 7—2,
2—4 и т. д. заменены треугольными фермочками (двухпанельными
шпренгелями) с дополнительными стойками 6—8, передающими на-
грузку с проезжей части на узлы верхнего пояса.
В соответствии с указаниями § 23 в этой ферме имеются эле-
менты первой категории: 7—9, 5—9 и др., элементы второй кате-
гории: 5—4, 5—8 и др., элементы третьей категории: 2—3, 3—4,
2—5 и др., элементы четвертой категории: 2—7, 4—9 и др.
Линии влияния усилий в элементах первой категории строятся
так же, как и для основной фермы, которая получается отбрасы-
ванием шпренгелей, с проведением передаточных линий на участках
больших разрезанных панелей. Длину малой разрезанной панели,
образованной вспомогательными узлами 6, 8 и т. д., обозначим d.
Построим линию влияния в элементе второй категории — раскосе
(рис. 73, а).
Рассмотрим положение груза в узле 8, когда работает малая
фермочка 2—4—5, и положения груза в соседних узлах 7 и 9,
когда фермочка не работает. Очевидно, что в двух последних слу-
чаях
я54=о.
При положении груза в узле 8 (рис. 73, б) проводим разрез
второй панели и рассматриваем равновесие правой части фермочки,
составляя сумму моментов сил, приложенных к узлу 4, относи-
тельно точки 3:
£Л4пзр = 0,
или
П54Г1—d/2 = 0,
откуда
D54 = d/(2r4).
Отложив под узлом 8 ординату d/(2r1) и соединив крайнюю ее
точку с нулевыми точками под соседними узлами 7 и 9, получим
линию влияния Z?54 (рис. 73, в).
Построим теперь линию влияния усилия в стержне 3—4, входя-
щем в состав основной фермы и шпренгеля. Как уже указывалось,
этот стержень является элементом третьей категории. В случае
78
двухпанельных шпренгелей при определении усилия 031 в стержне
третьей категории нет необходимости в расчленении системы на
основную ферму и малые фермочки шпренгеля и, следовательно,
отпадает необходимость в использовании формулы наложения. Уси-
Рис. 73
лие О34 можно найти непосредственно, оперируя с заданной со-
ставной фермой. Прежде всего, вырезав узел 3, где нет перелома
пояса, получим ОЭ4 = О23.
Переходим к построению линии влияния усилия О23, которое
легко найдем способом моментных точек, рассекая ферму разрезом
I—1 через малую панель 7—8. В этой малой панели разрез пере-
79
секает только три стержня, выявляя усилия 023, Т/78 и£)25. Момент-
ной точкой для О23 будет k (узел 9). При положении груза справа
от узла 8 уравнение моментов будет
2<ев=о,
или
А • 5d 4- О.23г = О,
откуда
О 23 = — А  5d/r.
Мы получили уравнение правой ветви линии влияния 0,3
(рис. 73, г). Откладывая на левой опорной вертикали вниз орди-
нату l-5d/r и соединяя крайнюю точку ее с нулевой на правой
опоре, получаем правую ветвь. Правую ветвь ebc используем на
участке движения груза справа от узла 8. Левую ветвь ab полу-
чим по правой ветви, имея в виду общее свойство пересечения
левей и правой ветви под моментней точкой. Передаточная линия
cfjB, очевидно, соответствует малой разрезанной панели. Ординаты
треугольника d,eb и отражают влияние С2“ на общее усилие
в стержне О23. Если бы шпренгелей не было, мы имели бы очерта-
ние линии влияния по abc.
Стойка, усилие в которой V27, является элементом четвертой
категории. Очертание линии влияния для нее меняется по сравне-
нию с очертанием линии влияния для элемента 2—7 основной
фермы. Решаем задачу так: находим два варианта линии влияния —
при езде понизу и при езде поверху —и, используя их, устанав-
ливаем окончательное очертание линии влияния. Предполагая от-
сутствие шпренгелей и считая,что груз находится справа ст боль-
шой разрезанной панели 7—9 (разрез II—II), рассматриваем рав-
новесие левой части фермы в форме
2С=о,
где k2 — точка пересечения осевых линий стержней 1—2 и 7—9,
или
—^ak — ^27 (ak 4* 3d)= 0>
откуда получаем следующее выражение для правой ветви:
V27 = —/4aA/((zft-|- 3d).
Отложив на левой опорной вертикали ординату 1 ak!(ak-ir3d'),
строим правую ветвь линии влияния (рис. 73, д). По правой ветви
находим левую ветвь, пользуясь моментной точкой k, (точка пере-
сечения правой и левой ветвей k2). При езде понизу линия влия-
ния V27 для основной фермы имеет очертание abed, а при езде
поверху — aegd.
Переходим к учету наличия шпренгелей, меняющих характер
езды для нашей фермы. При положении груза в узлах 6 и 8 он
воспринимается шпренгелями и передается на узлы верхнего пояса;
поэтому используем линию влияния aefghd, отмечая ординаты для
80
точек f и h. При положении груза в узлах 10, 7 н 9 шпренгеля
не работают и ординаты линии влияния берут из линии влияния
для движения груза понизу (точки е, b и h на рис. 73, д). Соединяя
соседние ординаты прямыми (ef, fb, bh, he), находим окончательное
очертание линии влияния V27.
Аналогично получим линии влияния усилий для стоек 1—10
и 4—9.
Консольно-балочная ферма. Построим линии влияния усилий
U2, D:i и V4 для фермы, изображенной на рис. 74, а.
При построении линии влияния U2 (рис. 74, б) используем мо-
ментную точку kt. Так как £/2 —элемент третьей категории, то
передаточная линия проводится на длине малой панели.
То же имеем для линии влияния О3. При построении линии
влияния Ds (рис. 74, в) используем моментную точку k,.
Стержень У4 —элемент четвертой категории. Вырезая нижний
опорный узел Ь, из условия равновесия 2^ = 0 получаем
V4 = — В — (U„ sin а3 + U4 sin а4).
Отсюда следует, что из ординат линии влияния (—В) —линии
ebf (рис. 74, г) —следует вычесть ординаты линии влияния величины
(t/5sina5 + (/4sina4),
81
причем выражение, заключенное в скобках, берется по абсолютному
значению. Далее учитываем особенности изменения характера езды
из-за наличия шпренгелей (если груз находится в соседних с опор-
ной стойкой узлах, используем очертание линии влияния при езде
понизу).
Глава 5
РАСЧЕТ СПЛОШНОЙ ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКИ
§ 26. Трехшарнирная арка со сплошной стенкой.
Аналитическое определение реакций
Аркой, как указывалось, называется криволинейный брус, пере-
дающий на опоры кроме вертикальных и горизонтальные давления.
По существу, трехшарнирная арка представляет собой трехдисковую
систему с шарнирами а, b и с (рис.
а) t 1гР,
У
Рис. 75
75, а), если в рассмотрение
ввести и опорный диск.
Кроме трехшарнирных
применяются двухшарнир-
ные арки, не имеющие
ключевого шарнира с. Го-
ризонтальные давления
арки на опоры, а также
противоположные им реак-
ции называют распора-
ми. Недостатком трех-
шарнирных арок по срав-
нению с двухшарнирными
является меньшая их жест-
кость ввиду наличия клю-
чевого шарнира. Трехшар-
нирная арка статически
определима.
В отличие от свода арка
имеет небольшую ширину
сечения и потому относит-
ся к виду брусьев. Про-
летом арки I называют
расстояние между опорны-
ми вертикалями, стрелой
подъема ее / — расстояние
от наиболее удаленной точ-
ки оси арки (ключа) до
линии, соединяющей цент-
ры опор. В строительной
практике встречаются арки трех основных видов: трехшарнирная,
двухшарнирная и бесшарнирная. Последние два вида статически
неопределимые и будут рассмотрены во второй части курса.

82
Так как обе опоры арки шарнирно неподвижны, имеем всего
четыре составляющие реакций, которые легко определяются, если
применить три условия равновесия системы (рис. 75, я):
£М6 = О; 2ма-0;	= °
и четвертое дополнительное уравнение У, Л1лев = 0, отражающее на-
личие ключевого шарнира. Это последнее уравнение составляем на
том основании, что равнодействующая левых или правых сил в се-
чении, проведенном через шарнир с, должна проходить через центр
шарнира. Для удобства раздельного отыскания неизвестных реакций
каждую реакцию неподвижной опоры для несимметричной арки
с опорами на разных уровнях представляем в виде двух составля-
ющих: вертикальной Va, Vb и по линии, соединяющей центры опор
(Та, Ть — наклонные распоры).
Полагаем, что на арку действует —вертикальная и Р2 —го-
ризонтальная силы. Составляя сумму моментов относительно центра
правой опоры Ь, находим
vaz-A (/2 + рх) + р2р2 = о,
откуда вертикальная составляющая левой опорной реакции
^-[Л(л+л)-лр2]//=т
где M'J1'1 — момент нагрузки относительно точки Ь.
Составляем теперь сумму моментов относительно центра левой
опоры а:
-Vbl + Л (/1 - PJ + Л (/ tg а + р2) = 0,
откуда
V„ = [Л (Zt-pJ + Р2 (/ tg а + р2)\Ц = МГН,
где МГ — момент нагрузки относительно точки а.
Применяем третье общее уравнение равновесия системы в форме
£Х = 0:
Та cos а — Tb cos а Д- Р2 = 0,
имея в виду, что Р2 — горизонтальная сила;
отсюда
Тб = 7’в + Л/соза.
Правый наклонный распор Ть можно найти, зная левую реак-
цию Та, для отыскания которой составляем четвертое дополнитель-
ное уравнение:
2 Млев = 0.
В развернутом виде получаем
Vak-P^-TJ^Q,
откуда
— Р1Р1)//= Afg//,	(5.1)
83
где — момент всех левых внешних сил относительно точки с,
за исключением распора Та. Так как стрела подъема f входит
в знаменатель формулы (5.1), то значение распора Та обратно про-
порционально стреле подъема f. Определив Та по формуле (5.1),
по формуле (в) найдем Ть. Теперь определим горизонтальные рас-
поры:
77a = Tacosa; Hh = 7\cosa.
Полные вертикальные составляющие реакций:
Ko = Va4-7esina; Yb = Vb — T^sina.
Распоры при действии вертикальной нагрузки равны между собой.
В частном случае, когда трехшарнирная арка имеет опоры,
расположенные на одном уровне, и нагрузка вертикальна (рис. 76),
Яо = /7ь = Я = ад,	(5.2)
где /И’ —изгибающий момент в сечении с балки (момент левых или
правых вертикальных сил, см. рис. 75, а):
M^Valr-P1Pl,
f — расстояние от ключевого шарнира до линии, соединяющей центры
уровнях (см. рис. 75, б). При
опор (стрела подъема арки).
В дальнейшем момент Мс
будем называть балочным.
Заметим, что вертикаль-
ные реакции в трехшарнир-
ной арке Va и Vb при верти-
кальной нагрузке определя-
ются так же, как реакции в
простой балке.
Рассмотрим еще арку с
ключевым шарниром 2-го ро-
да в виде двух параллель-
ных стерженьков 1 и 2 и с
опорами а и b на разных
вертикальной нагрузке верти-
кальные реакции Va и Vb определяются так же, как в балке. Для
определения распора Н составляем условие равенства нулю попе-
речной силы в вертикальном разрезе стерженьков 1 и 2:
<212 = Va — Р + Н sin ф = О,
откуда
Н = — (Уа — P)/sin ф = — Qi2/sin ф,
где —балочная поперечная сила.
Очевидно, если sin<p = O, два стержня 1, 2 и фиктивный стер-
жень ab параллельны и система мгновенно изменяема (распор ста-
новится бесконечно большим, см. § 8).
84
§ 27. Определение усилий в сечении трехшарнирнсй арки.
Эпюры моментов
Изгибающий момент. Определим усилия в сечении k, центр
которого имеет координаты ук и ак (рис. 77, а). Рассмотрим действие
вертикальной нагрузки.
Для определения изгибающего момента Мк составляем выраже-
ние суммы моментов сил, приложенных к левой части, относительно
точки k — центра сечения:
Выражение в круглых скобках правой части представляет собой
сумму моментов левых вертикальных сил, равную изгибающему
моменту в сечении k простой балки М°к. Введя это обозначение
Рис. 77
изгибающего момента в балке (рис. 77, б), получим следующее
окончательное выражение изгибающего момента в сечении арки:
Мк = Мк—Нук.	(5.3)
85
Изгибающий момент в сечении арки Мк равен разности моментов
в соответствующем сечении балки Мк и от распора Нук.
Эпюра изгибающих моментов. Рациональная ось. Эпюру изги-
бающих моментов в арке легко построить, используя формулу (5.3).
Строим эпюру изгибающих моментов в балке М°к и, наложив на
нее эпюру Нук — эпюру ординат оси арки, увеличенных в II раз
(обе эпюры строятся в одном и том же масштабе),— отмечаем раз-
ности ординат этих двух эпюр (рис. 77, в). Предварительно необ-
ходимо найти распор II от данной вертикальной нагрузки.
Пользуясь формулой (5.3), находим выражение для ординаты
кривой давления или многоугольника давления; под ними понимают
линии, для всех точек которых изгибающий момент равен нулю.
Следовательно, приравняв Мк нулю, получаем
М°к~Иук = 0,
откуда выражение для ординаты многоугольника давления будет
Ук- МУН.
Ордината кривой давления может быть получена как ордината
эпюры изгибающих моментов в простой балке, разделенная на зна-
чение распора (при этом рас-
сматривается случай действия
вертикальной нагрузки).
На рис. 78, а представлена
та же эпюра моментов в арке,
что и полученная на рис. 77, в,
причем ординаты этой эпюры от-
ложены от горизонталь-
ной оси отсчета (соот-
ветственно на рис. 77, в подби-
рается масштаб эпюр Мк и Нук).
Поперечная сила. Найдем
теперь поперечную силу Qft в
сечении k арки (см. рис. 77, а).
Для этого, пользуясь проведен-
Рис. 78	ным сечением, составляем сум-
му проекций сил, приложенных
к отсеченной левой части, на направление сечения, т. е. на нап-
равление перпендикуляра к касательной в данной точке оси арки;
получаем, применяя указанное выше правило знаков,
Qk = Va cos ф& — Pt cos <pft — II sin <pft.
Объединим первые два члена правой части:
Qs = <Уа — PJ cos — Н sin <pft.
Выражение в круглых скобках правой части не что иное, как по-
перечная сила 0"к в сечении k простой балки (см. рис. 77, б).
Поэтому окончательно получаем следующее выражение поперечной
85
силы в сечении арки:
QA = Q£cos<pft —77sin<pft.	(5.4)
На рис. 78, б представлена эпюра поперечных сил, построенная
с использованием формулы (5.4) для случая, изображенного на
рис. 77, а. При этом соблюдается дифференциальная зависимость
между М и Q—см. ниже формулу (5.6).
Продольная сила. Продольную силу Nк в сечении k арки опре-
деляем как сумму проекций сил, приложенных к отсеченной части,
па направление касательной в данной точке оси арки (см. рис. 77, а).
Составляя эту сумму проекций для сил Уа, Р± и /7, действующих
на левую отсеченную часть арки, и
считая сжимающую продольную силу
положительной, получаем
AC =lzasincpA — PL sin фА +/7 cos (рА,
или
Nk = <Va — Pl) sin <Pfe -I- H COS <pft.
Так же как и в предыдущем
случае, выражение в круглых скоб-
ках представляет собой поперечную
силу в простой балке, т. е. Q°k. Та-
ким образом, окончательно получаем
следующее выражение продольной
силы в сечении арки:
sirup*+ 77 cos срА. (5.5)
Эпюра продольных сил также
может быть построена непосредствен-
но по этому выражению (рис. 78, в).
Дифференциальные зависимости
между усилиями. При расчете ароч-
ных плотин часто рассматривается
действие радиальной нагруз-
ки в виде гидростатического давления.
Дадим основные дифференциальные зависимости между изгибаю-
щим моментом М, поперечной силой Q и продольной силой N при
наличии сплошных радиальной и тангенциальной нагрузок интен-
сивностью соответственно qr и qt. Положение сечения k определяем
полярным углом а (рис. 79, а).
Составим первое условие равновесия элемента длиной ds, а
именно приравняем нулю сумму моментов всех сил, приложенных
к элементу, относительно точки О, пересечения соседних касатель-
ных (рис. 79, б):
M-(M + dM) + Q-ds/2 + (Q+dQ)-ds/2 = 0,
откуда, пренебрегая малой второго порядка, получаем
п_фм__1_ ам
Ч — ds ~ г 'da '
(5.6)
87
Поперечная сила есть первая производная от изгибающего
момента по длине оси арки (г — радиус кривизны первоначальной
оси в данной точке).
Составляем второе уравнение равновесия. Спроектируем все
силы, действующие на элемент, на направление kY левой касатель-
ной (рис. 79, б):
N — (N + dN) cos (da) — (Q + dQ) sin (da) + qtds cos (da) = 0.
Отсюда, пренебрегая малыми второго порядка, получаем
dN Q .
Производная продольной силы по длине оси прямо пропорцио-
нальна поперечной силе, разделенной на радиус кривизны оси.
Составим теперь третье уравнение равновесного элемента,
проектируя все силы, действующие на элемент, на ось kZ:
— dQ\ Nda = qz ds,
или
dQ ,r
=N — q r.
da
При отсутствии радиальной нагрузки
— = N.
da
§ 28. Линии влияния опорных реакций и усилий в арке
Линия влияния опорных реакций. Рассмотрим построение линий
влияния составляющих реакций Va, Vb и Н для трехшарнирной
арки (рис. 80, а). Построим, например, линию влияния левой реак-
ции Va. При произвольном положении груза Р—1, составляя
У Мь = 0, получаем
Val-P(l-x) = 0,
откуда
Va = 1 • (/ — %)//.
Выражение для вертикальной реакции то же, что и в случае
простой балки. Линии влияния Vа и Vb представлены соответственно
на рис. 80, бив.
Линия влияния распора Н имеет две ветви, так как распор Н,
согласно выражению (5.2), прямо пропорционален балочному мо-
менту относительно точки с. Пусть груз Р = 1 перемещается справа
от ключевого шарнира. Рассматривая левую часть арки, состав-
ляем ее уравнение равновесия:
2<е"-0,
или
УЛ-^=о,
88
откуда уравнение правой ветви линии влияния распора

Отложив на левой опорной вертикали ординату 1 -Ijf и соединив
найденную точку с нулевой точкой на правой опорной вертикали
получим правую ветвь
(рис. 80, г).
При движении груза
слева от шарнира с рас-
сматриваем равновесие
правой части арки и сос-
тавляем уравнение равно-
весия:
£Л1?р = 0,
или
-Кь/2 + ^=0,
откуда уравнение левой
ветви
H = Vb-l2l'f.
Левую ветвь линии вли-
яния распора строим по
ординате 1-Z2//, которую
откладываем па правой
опорной вертикали. Сое-
динив крайнюю точку этой
ординаты с нулевой точкой
на левой опорной верти-
кали, получим левую ветвь
липни влияния распора.
Линию влияния распора
можно, конечно, постро-
ить и по одной правой вет-
ви, проводя далее верти-
каль через шарнир с, в
результате чего получаем наибольшую ординату левой ветви; эту
ординату соединяем с пулевой точкой под левой опорой.
Линия влияния изгибающего момента. Построим линию влия-
ния изгибающего момента в сечении трехшарнирной арки (рис. 81, а).
Координаты точки k (центра сечения) будут: yk—ордината, ак—
абсцисса.
Изгибающий момент в сечении k арки при произвольном поло-
жении груза определяем по выражению (5.3):
Mk = M*k-Hyk.
Следовательно, ординаты линии влияния изгибающего момента
89
в сечении k арки могут быть получены как разности ординат двух
линий влияния М” п Hyk.
Строим линию влияния момента в сечении арки по способу
наложения:
Рис. 81
1)	вверх от оси отсчета откладываем ординаты линии влияния
балочного момента Л1“; для этого на левой опорной вертикали от-
кладываем ординату l-ak (рис. 81, б), строим правую ветвь и по
ней находим левую ветвь;
2)	от той же оси отсчета откладываем ординаты линии влияния
распора Н, увеличенные в yk раз; для этого достаточно получить
левую ветвь линии влияния Нук\ ее строим, пользуясь правой
опорной ординатой, равной 1 • У^
3)	получаем разность ординат линий влияния и Нук.
90
При построении этого графика следует учесть, что левая ветвь
линии влияния Ну1с должна пересекаться с правой ветвью линии
влияния Мк в так называемой нулевой точке.
Положение нулевой точки линии влияния F' можно найти гра-
фическим построением на чертеже арки (рис. 81, а). Нулевое зна-
чение момента ЛД получается при положении груза между сече-
нием /г и шарниром с, т. е. когда груз Р=1 приложен к левому
диску а — с арки и правее сечения. Так как груз приложен к ле-
вому диску арки, правая реакция В должна проходить через центр
ключевого шарнира, чтобы выполнялось известное условие
2^ = 0.
Так как груз справа от сечения k, то слева от этого сечения действует
лишь полная левая реакция А; чтобы момент Мк был равен нулю,
левая реакция должна иметь вполне определенное направление,
а именно по линии ak.
Проводим линии Ьс и ak, под точкой пересечения которых F
находится нулевая точка линии влияния F'.
Ту же линию влияния Мк можно построить непосредственно
способом пулевой точки (рис. 81, в). Откладываем на левой опорной
вертикали ординату затем соединяем концевую точку ее с ну-
левой точкой F' линии влияния — получаем первую правую ветвь.
По первой правой ветви строим вторую правую ветвь, проводя
через шарнир с вертикаль до пересечения с первой правой ветвью
и соединяя полученную точку с нулевой точкой на правой опорной
вертикали. Левую ветвь линии влияния находим по первой правой
ветви, пользуясь основным свойством линии влияния момента.
Дадим аналитическое решение задачи по отысканию абсциссы и
точки F (и тем самым нулевой точки линии влияния). Из треуголь-
ников aFd и bFd получаем
Fd = (УМ и = (Ж) G —«)»
откуда определяем абсциссу нулевой точки линии влияния:
« = М/(Ж + /Ч)-
Линия влияния поперечной силы. При построении линии влия-
ния поперечной силы в данном сечении k арки (рис. 82, а) исполь-
зуем общее выражение поперечной силы по формуле (5.4):
Qk = QI cos <р — Н sin ip,
где <р —угол наклона касательной в данной точке оси арки; QI —
балочная поперечная сила.
При движении груза будут меняться QI и Н, a cosq> и sin ср —
величины постоянные. Следовательно, линию влияния Qk можно
получить, складывая алгебраически две линии влияния: Q^costp и
//sinq>. Для этого (рис. 82,6):
1)	строим линию влияния Q*cos<p, для чего проводим две парал-
лельные прямые с опорными ординатами l-cos<p с вертикальным
уступом под сечением;
91
2)	вверх от оси отсчета откладываем ординаты графика Н sin ср,
которые получаем по левой ветви ее линии влияния (ордината на
правой опорной вертикали 1 •(/,,//) sin <р);
3)	отмечаем ординаты, равные разности полученных выше ор-
динат.
В пересечении левой ветви линии влияния Н sin ср с правой
ветвью QfcCoscp будет нулевая точка линии влияния F[, положение
которой легко установить по чертежу арки (рис. 82, а).
Предположим, что груз находится где-то между точками с и k
(точка Fr\ Так как слева от сечения k имеем лишь полную левую
реакцию А, то, чтобы получить сумму проекций левых сил на нор-
маль к касательной, равную нулю, необходимо, чтобы левая реак-
92
ция была параллельна касательной. Проведя из точки а линию
aFt параллельно касательной до пересечения с линией Ьс, получим
точку Flt определяющую положение нулевой точки линии влия-
ния F[. Пользуясь нулевой точкой F[, можно непосредственно по-
строить линию влияния (рис. 82, в): откладываем на левой опор-
ной вертикали ординату
l-costp и соединяем най-
денную точку с нулевой
точкой /•'( — получаем пер-
вую правую ветвь; прово-
дим через шарнир с верти-
каль до пересечения с пер-
вой правой ветвью и соеди-
няем точку пересечения с
нулевой на правой опорной
вертикали —получаем вто-
рую правую ветвь; левая
ветвь параллельна первой
правой ветви.
Абсциссу «j точки Fi
легко найти аналитически
из рассмотрения двух тре-
угольников aF^ и bFLd'.
u^fllif + Ц tg <р).
Линия влияния про-
дольной силы. Рассмотрим
построение линии влияния
продольной силы Nk в дан-
ном сечении k арки (рис.
83, а). Для этого восполь-
зуемся общим выражением
продольной силы (5.5):
Nk = Qfesin ф + H cos <р.
(5-7)
Линию влияния Nk мож-
но получить, суммируя
ординаты линии влияния
Q* sin <р и //созф. При
этом к положительным ор-
динатам линии влияния
Рис. 83
(^зшф следует прибавить ординаты Ясозф, что графически осу-
ществляется приложением к графику Qg sin ф перевернутого графика
//соэф (рис. 83, б).
Линию влияния 2д,«1пф строим по опорной ординате 1-з1пф,
причем левый участок ее имеет отрицательные ординаты.
Линию влияния Ясозф получаем по левой ее ветви, которая
отсекает на правой опорной вертикали ординату 1 •(/,//) cos ф. Про-
93
изведя сложение ординат по формуле (5.7), получим линию влия-
ния Nk. Характерно, что при продолжении левой ветви линии
Ясозф и правой ветви линии sin <р точка их пересечения F2
имеет вполне определенное положение под точкой F2 на чертеже
арки. Продолжением первой правой ветви в области, расположен-
ной слева от опоры а арки, практически можно воспользоваться
лишь при наличии особой консоли —ответвления от участка арки
fee (штриховые дуги на рис. 83, а). Первая правая ветвь QJsincp
при продолжении влево пересекается с осью отсчета Нсозу в точке
/^ — нулевой точке. Найдем то положение груза Р=1, приложен-
ного к введенной консоли, при котором Nk = Q.
Правый диск арки не нагружен, а потому правая реакция В
проходит через шарнир с в направлении be. Слева от сечения k
имеем лишь полную левую реакцию А (груз Р= 1 «справа» от
сечения fe —на консоли). Чтобы продольная сила в сечении k рав-
нялась нулю, необходимо, чтобы левая реакция А была нормальна
к касательной; тогда ее проекция на касательную будет равна нулю.
Линию влияния Nk можно построить непосредственно способом
нулевой точки (рис. 83, в). Откладываем на левой опорной верти-
кали ординату l-sintp и соединяем крайнюю ее точку с нулевой
точкой F'2 — получаем первую правую ветвь, справедливую на уча-
стке fee арки. По первой правой ветви строим вторую правую ветвь
аналогично предыдущему (линии влияния Qk). Левую ветвь ведем
из пулевой точки на левой опорной вертикали параллельно первой
правой ветви.
Дадим аналитическое выражение для абсциссы и2 точки F2
(рис. 83, а). Рассматривая для треугольника adF2 и bdF2, получаем
u2 = f//(/2cigtp —/).
Вычислив по этой формуле «2, найдем tg р (рис. 83, в):
tg Р = 1 • sin q>/w2.
§ 29. Определение напряжений в арке
при помощи ядровых моментов
Выражение для нормального напряжения. Определение нормаль-
ных напряжений в крайних точках сечения арки значительно облег-
чается при использовании так называемых ядровых моментов.
Рассмотрим решение задачи о нормальных напряжениях в точ-
ках 1 и 2 сечения k сплошной арки (рис. 84, а). Представим дейст-
вие левой части на правую равнодействующей левых сил 7?лев,
приложенной в точке и (на продолжении оси сечения 1—2 в пере-
сечении с данной стороной многоугольника давления). Разложив
силу 7?лев на продольную силу N и поперечную силу Q, нормаль-
ные напряжения в сечении в точках 1 и 2 получим от силы N,
приложенной с эксцентритетом е, по обычным формулам внецент-
94
ренного сжатия:
аг —N/F + Mk/Wu
<j2 = N/F-Mk/W„
(а)
(б)
где Мк — Ne — момент относительно центра сечения; Г —площадь
сечения; IF1( IF2 —моменты сопротивления сечения для точек 1 и
2 относительно главной оси
инерции поперечного сече-
ния, перпендикулярной пло-
скости изгиба (для симмет-
ричного сечения = 172).
В формулах (а) и (б)
сжимающее напряжение при-
нимаем положительным. Пре-
образуем формулу (а) для
нормального напряжения в
крайней верхней точке се-
чения 1.
Воспользуемся для этого
основным свойством ядра се-
чения: если продольная сжи-
мающая сила приложена на
контуре, ограничивающем яд-
ро сечения, нормальное
напряжение по граничной
линии самого сечения равно
нулю (рис. 84, б). Следова-
тельно, если продольная си-
ла приложена в крайней ниж-
ней точке ядра сечения klt
нормальное напряжение в
крайней точке сечения 1
равно нулю. Приложим в
крайней точке kt ядра сече-
ния две равные и противопо-
ложные по направлению си-
лы N. Объединяя две силы
N, дающие пару сил (на ри-
сунке перечеркнуты), нахо-
дим, что левая часть дейст-
вует на правую:
1) сжимающей силой N, приложенной в точке и не дающей
напряжений в крайней точке сечения /;
2) парой сил N, момент которой
Mkl = N (е+сг).
Следовательно, напряжение ot будет выражено только через мо-
мент Л4А[:

95
где Мк—ядровый момент относительно нижней точки ядра
сечения'. Момент левых сил по часовой стрелке вызывает сжимаю-
щие напряжения. Момент МА1 равняется моменту равнодействую-
щей левых сил или ее составляющей N относительно нижней точки
/с, ядра сечения. Итак, нормальное напряжение в крайней точке
сечения 1 можно определить по ядровому моменту относительно
крайней нижней точки ядра сечения. Аналогично,
о2 = —М (е — c2)lW2 = — MkjW2.
В данном случае момент Л4к2 вызывает растягивающее напряжение.
Напряжение в крайней нижней точке сечения определяется по
ядровому моменту относительно крайней верхней точки ядра сечения.
Линия влияния ядрового момента. Рассмотрим построение линии
влияния ядрового момента (рис. 85, а}. Размеры сечения заданы,
а потому известно положение крайней точки kr ядра сечения. Пусть
координаты этой точки будут и ах. Составляя сумму моментов
левых сил относительно точки kL, получаем
Но Vaax = М*,— балочный момент относительно точки k±. Выраже-
ние ядрового момента окончательно будет
мк=М1-нУ1.
Аналогия этого выражения с выражением для момента относи-
тельно центра сечения позволяет применять приемы построения
линии влияния, установленные для момента относительно центра
сечения. Используя способ нулевой точки, проводим линии Ьс и
а'г1 — получаем точку F, определяющую положение нулевой точки Fx
(рис. 85,6). Откладывая на левой опорной вертикали lalt где
а1 — абсцисса точки и соединяя крайнюю ее точку с нулевой
точкой Fj, находим первую правую ветвь; затем обычным путем
строим левую ветвь и вторую правую ветвь. Приводим здесь же
очертание линии влияния момента Mk относительно центра сече-
ния (штриховые линии на рис. 85, 6). При нагружении линии
влияния Мк1 поездом получаем вполне определенное решение для
напряжения сг1Ф
§ 30.	Арка с затяжкой
Трехшарнирная арка с затяжкой представляет собой шарнирное
сочленение двух дисков, соединенных по концам шарнирно посред-
ством горизонтального стержня; вся система оперта аналогично
простой балке (рис. 86). Так как в арке с затяжкой брус acb имеет
промежуточный ключевой шарнир, то при удалении стержня ab
система становится изменяемой.
Система в отношении реакций является балочной: при верти-
кальной нагрузке Р возникают только вертикальные реакции Va
и У(,, которые определяются так же, как в простой балке. Чтобы
определить внутренние усилия, прежде всего находим продольное
S6
усилие в затяжке. Для этого проводим разрез системы через клю-
чевой шарнир с. Усилие в затяжке обозначаем Н; действие пра-
вого диска cb на левый диск са представляется равнодействующей
Рис. 85
Рис. 86
правых сил, проходящей через точку с. Составляя сумму моментов
сил, приложенных к левой части по разрезу, относительно точки с
получаем
Valj2-Pp—Щ =
4 №1110
S7
откуда усилие в затяжке
H^(Val/2-Pp)/f = M°/f.
Усилие в затяжке получаем по той же формуле, что и распор
в трехшарнирной арке с двумя шарнирно неподвижными опорами
(Л1? —балочный момент относительно точки с).
Найдя усилие в затяжке, легко определить момент в произ-
вольном сечении k диска арки. Действительно, составив момент
левых сил относительно точки k, получим
Mk = Vttak-Hyk = Mp.
Выражение момента в сечении диска арки с затяжкой то же,
что и выражение арочного момента. Аналогично вычисляют попе-
речную силу Qk и продольную силу Nк. Следовательно, расчет
криволинейного бруса системы по существу ничем не отличается
от расчета трехшарнирной арки.
При учете собственного веса затяжки в сечении ее кроме про-
дольной растягивающей силы возникает изгибающий момент от
распределенной нагрузки веса. Поэтому целесообразно ввести про-
межуточные узлы затяжки, связав их с жестким диском арки.
Такая арка с повышенной ломаной затяжкой рассмотрена в § 32.
Глава 6
АРОЧНЫЕ ФЕРМЫ
И КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
§ 31.	Расчет трехшарнирных арочных ферм
Трехшарнирная арочная ферма — распорная ферма с поясами
в виде многоугольников, имеющая две шарнирно неподвижные
опоры и промежуточный ключевой шарнир. Расчет трехшарнирных
арочных ферм проводится на основе изложенных выше приемов
расчета трехшарнирной арки со сплошной стенкой. Определение
опорных реакций и построение многоугольника давления для трех-
шарннрной арочной фермы осуществляется так же, как для сплош-
ной арки. Отличительной особенностью шарнирно-стержневой фермы
является лишь то, что в каждом стержне ее при узловой нагрузке
возникает только осевое усилие; при расчете на подвижную на-
грузку используем линии влияния усилий в стержнях фермы.
Построим линию влияния усилия U3 в элементе нижнего пояса
трехшарнирной арочной фермы, высота которой возрастает от замка
к пятам (рис. 87, а).
Проведем разрез, как указано на чертеже, выявляя усилия U3,
D3 и 03. Точкой моментов для отыскания U3 будет — точка пере-
сечения О3 и D3. Найдем аналитическое выражение для усилия 1)3,
представляя его в зависимости от момента в точке оси вообра-
жаемой трехшарнирной арки со сплошной стенкой. При положении
98
груза Р = 1 справа от разрезанной панели, составляя сумму момен-
тов всех сил, приложенных к левой части фермы относительно
точки klt получаем
У<’ = о,
или, учитывая наличие распора Н,
откуда
В скобки в правой части заключено выражение изгибающего
момента Мак? в сечении k, трехшарнирной арки, стрела подъема
которой та же, что и заданной фермы, а точка оси ее kY имеет
те же координаты yki и cfci, что и точка моментов для данной
задачи. Итак, общее выражение усилия U3 будет
Линию влияния U3 можно получить по линии влияния арочного
момента Aljjf, все ординаты которой разделены на гх.
4*
99
Применяя способ нулевой точки, проводим на чертеже фермы
линии be и aklt в пересечении которых получаем точку Fx. На левой
опорной вертикали откладываем ординату	и, соединяя край-
нюю ее точку с нулевой точкой F[ (находится под точкой FJ,
получаем первую правую ветвь; по ней определяем очертание всей
линии влияния (рис. 87, б). Отдельные элементы фермы работают
лишь на местную нагрузку (рис. 87, в).
Рассмотрим теперь построение линии влияния усилия в раскосе
D3 данной трехшарнирной фермы (рис. 88, а). Для линии влияния
усилия D., ввиду несовпадения точки моментов k (точки пересече-
ния О3 и (/3) с любым из узлов разрезанной панели передаточная
линия занимает особое положение.
Рассматривая положение груза Р=1 справа от разрезанной
панели, составляем условие равновесия левой части фермы:
2<в=о,
или
Vaak-Htjk—D3r = 0,
откуда для D3 получаем следующее выражение:
^з=(Уаак — Нук)/Г.
100
В скобки в правой части заключено выражение изгибающего
момента Л4|р в сечении k трехшарнирной арки со сплошной стен-
кой (ось левого диска akc этой воображаемой арки на рис. 88, а
указана штриховой линией), причем стрела подъема арки та же,
что и стрела подъема фермы. Окончательно для усилия в раскосе
рассматриваемой фермы имеем следующее выражение:
Ds = M^/r.
Линия влияния усилия D3 в раскосе трехшарнирной арочной
фермы может быть получена как линия влияния момента в сечении
k воображаемой арки akcb, все ординаты которой разделены на г.
Пользуясь способом нулевой точки для момента УИ|Р, легко
строим линию влияния усилия D3 (рис. 88, б). В пересечении пря-
мых Ьс и ak на чертеже арки получаем точку F,, на одной верти-
кали с которой имеем нулевую точку F{ линии влияния. На левой
опорной вертикали откладываем ординату \-ak/r и, соединяя ее
с нулевой точкой F'r, получаем первую правую ветвь. Пользуясь
точкой моментов k, по первой правой ветви строим левую ветвь,
которая пересекается с правой ветвью в точке k'. По первой пра-
вой ветви находим вторую правую ветвь.
§ 32.	Комбинированные системы.
Арка с ломаной затяжкой
Комбинированные системы получили значительное распростра-
нение в строительстве.
Основные виды комбинированных систем: арка или арочная
ферма с затяжкой; цепь с балкой жесткости; балка с гибкой аркой.
Комбинированная статически определимая система характерна соч-
ленением каких-либо двух жестких дисков, связанных промежу-
точным шарниром (балочной фермы, балки со сплошной стенкой,
арочного диска с ключевым шарниром), с гибкой частью в виде
шарнирно-стержневой системы.
Простейшей системой является арка с прямолинейной затяж-
кой в виде одного стержня, соединяющего шарнирные опоры кон-
струкции. Арка, составленная из двух жестких дисков ас и cb,
связанных шарниром с, при опирании на одну неподвижную опору
а и другую подвижную опору Ь (рис. 89, а) не является неизме-
няемой системой. При большом пролете для уменьшения изгибаю-
щих моментов в затяжке от собственного веса необходимо поддер-
жать затяжку в промежуточных узлах, вводя подвески. Очевидно,
что при езде поверху подвески на подвижную нагрузку не рабо-
тают, получая лишь усилия от веса соседних частей затяжки.
В дальнейшем развитии конструкции прямолинейный стержень за-
тяжки заменяют шарнирно-стержневым многоугольником (рис. 89,6).
Стрелой подъема этой системы будет расстояние ключевого шар-
нира до среднего горизонтального элемента многоугольной затяжки.
Введение переломов в узлах многоугольной затяжки 1, 2, 2', Г
целесообразно для использования подвесок шарнирно-стержневой
101
Рис. 89
части: в подвесках теперь возникают усилия и от временной на-
грузки.
Покажем, как определить усилия во всех остальных стержнях
шпренгельной части, т. е. в наклонных стержнях затяжки и в под-
весках. Вырезая узел 2 за-
тяжки (рис. 89, в) и про-
ектируя все силы на гори-
зонталь, находим
— S12 cos а12 + Н = О,
откуда
S12 = Я/cos а12.	(6.1)
Составляя то же уравне-
ние равновесия для узла 1
затяжки (рис. 89, г), полу-
чаем
— Sal cos аа1 + S12 cos а12 = О,
или, принимая во внимание
выражение (6.1),
Sal cos aol = S12 cos a12 = H.(a)
Горизонтальная проекция
усилия в наклонном элементе
шарнирно-стержневого много-
угольника цепи (или арки)
равна распору. Любое усилие
в наклонном элементе этого
многоугольника стержней вы-
числяют по формуле, подоб-
ной (6.1). Так, для усилия
Sal имеем
Sel = Я/cos ael.
Определим теперь усилие
в вертикальном элементе
шпренгельной части, т. е. в
подвеске (рис. 89, г). Про-
ектируя все силы, действую-
щие на узел, на
вертикаль, находим
S12 sin се12 — Sal sinael -|- I/x = О,
откуда усилие в подвеске
V! = Sel sin —S12 sin a12,
или, подставляя Sal и S12 по выражению (а), получаем
(tgaai~tga12).
102
Рассмотрим теперь построение линии влияния момента в сече-
нии k жесткого диска арки с многоугольной затяжкой (рис. 90, а).
Дадим выражение изгибающего момента в этом сечении. Для этого,
рассекая в точке k всю систему вертикальным разрезом, составляем
Рис. 90
сумму моментов всех сил, приложенных к отсеченной части, отно-
сительно точки k. При грузе Р=1, расположенном справа, слева
от k будем иметь вертикальную реакцию Vи усилие в наклонном
элементе затяжки S12. Разложим усилие 312 на вертикальную и гори-
зонтальную составляющие, причем последняя согласно выраже-
нию (а) равна распору Н. Следовательно, момент
Mk = Vaak-Hyk = M?.
Так как выражение для момента Мк аналогично выражению
момента в сечении арки, которое возвышается над линией опор
на величину ук, то для применения метода нулевой точки необхо-
димо представить воображаемую арку, стрела подъема которой
равна f, а сечение k' имеет ординату ук относительно линии опор.
Даем новое положение опорных точек аг и Ь} арки и особое поло-
жение точки k' с ординатой ук относительно линии а1Ь1. Проводим
правую прямую hxc и левую прямую ark', в пересечении которых
103
получаем точку F, определяющую положение нулевой точки влия-
ния момента. Теперь обычным путем строим линию влияния Мк
(рис. 90, б). Первую правую ветвь строим по левой опорной орди-
нате \ ак и нулевой точке F'.
Переходим к линии влияния Qk, для чего используем метод
наложения. При произвольном положении груза справа от сечения
составляем сумму проекций сил Va и S12 на направление, перпен-
дикулярное касательной, проведенной в данной точке оси арки.
Угол наклона касательной в точке k к горизонтали обозначим <р,
угол наклона элемента 1—2 к горизонтали —а12, угол между каса-
тельной и осью элемента 1—2 будет
Р12 = Ч’ а12’
Составляя сумму проекций левых сил на нормаль к оси арки,
находим
Qk = Va cos <р •—S12 sin 012,
или, заменяя Va на Q" и S12 на ff/cosa12, получаем следующее
выражение для поперечной силы:
Qk = Qscos Ф — # sin Pj 2/cos ос12.
Очертание линии влияния Qk определяем путем наложения: пер-
вый член представляется графиком degh, второй — треугольником
dih (рис. 90, в).
Аналогично строится линия влияния продольной силы Nk путем
суммирования двух линий влияния. Выражение продольной силы
как суммы проекций левых сил на направление касательной в точ-
ке k (рис. 90, а) таково:
Nh = Va sin <р + S12 cos р12,
или, подставляя Va~Ql, S12 = /7/cosa12, получаем выражение для
продольной силы:
N к = Qs sin <р ф-Я cos pi2/cosa12.
Изменение первого члена правой части (по балочной попереч-
ной силе) представлено графиком тпор (рис. 90, г); график изме-
нения второго члена в соответствии с законом изменения распора,
увеличенного в cos (312/coscz12 раз, изображен в виде треугольника
тгр. Объединяя ординаты этих двух составляющих графиков, полу-
чаем окончательные ординаты линии влияния продольной силы.
§ 33. Балка с гибкой аркой.
Цепь с балкой жесткости
Балочная ферма с гибкой аркой. Рассмотрим задачи на построе-
ние линий влияния усилий в балке с гибкой аркой (рис. 91, а).
Вместо балки со сплошной стенкой в данном случае имеем балоч-
ную ферму с раскосной решеткой и ключевым щарниром в точке с.
Элементы шарнирно-стержневого многоугольника 0—3—3’—О' рабо-
104
тают на сжатие. Воображаемая трехшарнирная арка опирается
в точках а и b и имеет фиктивный ключевой шарнир в точке
Линия влияния UПроводим разрез через вторую панель
балочной фермы и элемент 1—2 гибкой арки. Моментной точкой
Рис. 91
для t/2 будет k — точка пересечения D2 и О2. Усилие S12 элемента
1—2 перенесем в точку /, расположенную над моментной точкой k
на вертикали yk. Составляя сумму моментов сил, приложенных
к левой части фермы, относительно точки k получаем
SW“ = o,
или
VaaA — Hyh — UJi = О,
откуда
U2 = M^Jh,
т. е. усилие U.2 выражается через арочный момент.
Линия влияния U2 получается по линии влияния момента в се-
чении воображаемой арки асф, причем центр сечения этой арки kt
должен возвышаться над линией опор ab на величину ординаты ук.
Откладывая от первого промежуточного узла нижнего пояса yk,
получаем точку k2; соединяя точки а и /г, прямой и продолжая ее
до перечения с прямой bclt получаем точку Flt которая опре-
деляет положение нулевой точки линии влияния F^. Затем строим
линию влияния U.t по линии влияния Мк? (рис. 91, б).
105
Линия влияния D2. Ввиду параллельности поясов балочной
фермы придется использовать способ проекций. Проектируя силы,
приложенные к левой части фермы, на вертикальную ось (см.
рис. 91, а), получаем
1/о—Н tg ф — О2 sin а = 0,	(а)
где //tgtp—вертикальная составляющая усилия в элементе J—2
гибкой арки (горизонтальная составляющая И — распор); ф —угол
наклона оси элемента 1—2 к горизонтали.
Из выражения (а) находим
D, = (Va~Htg <p)/sina,
или
D, = (Va cosq>—H sin <p)/(cos ф sin ф).	(б)
Числитель представляет собой выражение для поперечной силы
в сечении k2 воображаемой арки ak^b, касательная к оси которой
составляет с горизонталью угол <р.
Итак, можно записать вместо выражения (б)
£>2 = Q^7(cos<psin<p).
Линию влияния усилия в раскосе фермы жесткости данной ком-
бинированной системы можно построить по линии влияния попе-
речной силы QkP,, разделив все ее ординаты на cos ф sin ф.
По методу нулевой точки проводим левую прямую параллельно
осевой линии стержня 1—2, наклоненной под углом ф, до пересе-
чения с правой прямой bcv в точке F3; отложив на левой опорной
вертикали ординату (1/sina), соединим ее крайнюю точку с нуле-
вой точкой F'z—получим первую правую ветвь; левая ветвь линии
влияния £>2 параллельна первой правой ветви (рис. 91, в).
Цепь с балкой жесткости. Цепь с балкой жесткости представ-
ляет собой висячую систему, жесткость которой усилена благодаря
введению балки (рис. 92, а). Цепь шарнирно-стержневого много-
угольника работает лишь на растяжение, что представляет боль-
шое преимущество по сравнению с аркой ввиду меньшей затраты
материала. Для усиления цепи вводится балка жесткости, воспри-
нимающая изгибающие моменты и поперечные силы.
Особенность данной комбинированной системы по сравнению
с предыдущими системами состоит в том, что опоры балки жест-
кости аг и fcj отделены от опор цепи (точки 0 и 7). Эта система
получена заменой стержней аг—1 и —6 соответственно стерж-
нями 0—1 и 6—7. Горизонтальная проекция усилия в любом на-
клонном элементе цепи по доказанному выше свойству цепи стерж-
ней с вертикальными подвесками равна усилию Н в горизонтальном
элементе цепи 3—4. То же значение имеет и горизонтальная реак-
ция полной опорной реакции цепи. Проведем теперь разрезы опор-
ных элементов 0—1 и 6—7 цепи и разложим усилия S01 и Ss,
соответственно на V", Н и V^, Н в точках пересечения вертикалей,
проведенных через и Ь1г и осевых линий 0—1 и 6—7. Со сто-
106
роны опор балки жесткости возникают только вертикальные реак-
ции, которые обозначим V'a и V'b соответственно.
Докажем, что сумма реакций V'a и V'a дает вертикальную реак-
цию Va простой балки (аналогично, сумма реакций V'b и Vb дает
ее вертикальную реакцию Vb). Составим общее уравнение равнове-
сия системы в форме суммы моментов сил относительно точки Ь.
1Ж=о.
В развернутом виде получаем
(Уа + У')1-Рр = 0,
откуда
Va + Va = PP/l=Va.
Имеем выражение левой реакции двухопорной простой балки Va.
Итак, доказано соотношение
v;+K=ve.	(6.2)
107
Аналогично,
V'b + V'b = Vb.	(6.3)
Выразим вертикальные реакции опорных стержней цепи Va и Vb
через распор Н. Так как горизонтальные проекции усилий и
S67 равны Н, то вертикальные их проекции будут
V" = /Ztg<p01; Vb-=/7tgW
Таким образом, из выражений (6.2) и (6.3) получаем следующие
выражения:
Wtg<p01; Vb~Vb-Htg^.	(6.4)
Задача сводится к отысканию распора. Для нахождения рас-
пора проводим разрез через шарнир с балки жесткости и горизон-
тальный элемент цепи 3—4; усилие в последнем и равно Н. Рас-
сматривая равновесие левой части системы по проведенному разрезу
и составляя сумму моментов всех сил относительно точки с, по-
лучаем
(v;+v;)//2-/7/ = o,
откуда
н = (V' + V") l/(2f) = Val/ (2f) = M°/f.
Распор в цепи определяется как отношение балочного момента
МЧ к стреле / — понижению точки с' относительно линии фиктив-
ных опор ab (рис. 92, а). Следовательно, линия влияния распора
цепи Н может быть найдена как линия влияния распора перевер-
нутой трехшарнирной арки, опоры которой расположены в точках
а и Ь, а ключевой шарнир —в точке с'. Это позволяет просто ре-
шать все задачи определения усилий Мк и Qk в балке жесткости
и ее опорных реакций.
Линия влияния реакции V'a. Эту линию влияния можно
получить, исходя из аналитического выражения (6.4):
K = Va-tftg<p01.
Согласно этому выражению поступаем так: на график линии
влияния Va накладываем график линии влияния Н tg ср01; в резуль-
тате получаем линию влияния V'a (рис. 92, б). Ту же линию влия-
ния можно построить способом нулевой точки. Находим то поло-
жение груза Р=1 (очевидно, на левом диске балки жесткости),
при котором = 0 и, следовательно, полная левая реакция на-
правлена по линии оси стержня 0—1. Продолжая линию 0—1 до
пересечения с линией Ьс', получим то положение груза, при кото-
ром V'a = 0 (точка F„). Отложив на левой опорной вертикали орди-
нату 1, соединяем крайнюю ее точку с нулевой точкой —полу-
чаем первую ветвь линии влияния; по этой ветви находим вторую
ветвь, пользуясь наличием ключевого шарнира с'.
Линия влияния момента Mk. Построим линию влияния
момента Мк в сечении k балки жесткости. В этом сечении возни-
кают лишь момент Mk и поперечная сила Qft. Проведя разрез балки
108
жесткости в точке k и далее разрез элемента цепи I—2 в точке kt,
разложим усилие S12 на две составляющие: Н и //tgtp12. Состав-
ляя сумму моментов левых сил относительно точки k при грузе
Р =1 справа, получаем
Мk = (У"а + Va) ак-Нук = Vаак — Нук,
или окончательно
Mk = M*k-Hyk.
Момент в сечении k балки жесткости находится так же, как и
момент в сечении k' перевернутой трехшарнирной арки ak'c'b.
Проведя линии ak' и Ьс', в пересечении их получим точку F, а
по ней найдем нулевую точку F'. Теперь обычным путем строим
линию влияния Mk согласно известному правилу построения линии
влияния арочного момента (рис. 92, в).
Линия влияния поперечной силы Qk. Линию влия-
ния Qk в сечении k балки жесткости строим по выражению для
нее, которое получаем, проектируя все левые силы на вертикаль:
Qk = Va — Н tg ср12 - Q|p/cos ф18.
Нулевая точка F[ линии влияния будет под точкой /?1 (из
точки а введем линию, параллельную оси стержня цепи 1—2, до
пересечения с линией Ьс').
На левой опорной вертикали откладываем ординату
1-cos<p12/cos<p12= 1 (рис. 92, г). Соединяя крайнюю ее точку с точ-
кой F[, получаем первую правую ветвь. Левая ветвь линии влия-
ния параллельна, как обычно, первой правой ветви.
§ 34. Понятие о вантовых фермах и их расчет
Вантовыми фермами называют такие геометрически неизме-
няемые шарнирно-стержневые висячие системы, все элементы ко-
торых при суммарном воздействии постоянной и временной нагру-
зок основного направления получают лишь растягивающие усилия.
Стержни таких ферм могут быть изготовлены из гибких стальных
тросов — вант, почему эти фермы и называют вантовыми. Добиться
возникновения во всех стержнях лишь растягивающих усилий при
совместном действии постоянной и временной нагрузок возможно
лишь при выборе определенного очертания поясов этих ферм и
наличии относительно небольшого динамического эффекта времен-
ной нагрузки.
На рис. 93, а представлена схема простой вантовой фермы
одного из мостов, построенных в СССР. В основе этой системы
лежит перевернутая трехшарнирная арка, составленная из двух
дисков—треугольников adc и Ьес, каждый из которых поддержи-
вает по две радиальные фермы, состоящие из трех треугольников.
Диски / и II связаны между собой ключевым шарниром и опи-
раются на опоры двумя стержнями каждый, что равносильно на-
личию двух шарнирно неподвижных опор в точках а и Ь.
109
Таким образом, система представляет собой висячую трехшар-
нирную ферму, особенность которой заключается в том, что все
стержни составлены из вант и работают на растяжение. К узлам
нижнего пояса фермы посредством стоек подвешена разрезная про-
езжая часть. Усилия в стержнях радиальной фермы легко опреде-
ляются путем вырезания узла и применения способа нулевой точки.
Так, для построения линии влияния D±, поставив груз Р 1 в
точку с, установим, что работают лишь стержни D, и D[. Разло-
жив силу Р=1 па направления О, и Di, из силового треугольника
(рис. 93, б) определим ординату линии влияния т]х. Затем находим
нулевую точку Flt продолжая направления D.2 и Di. Соединяя верх-
нюю точку ординаты т)! и нулевую точку Flt получаем первую
правую ветвь до пересечения с вертикалью, проведенной через
узел d. Левая ветвь определяется ординатой под точкой d и нуле-
вой точкой а'.
Аналогично строим линию влияния Z?2, получая ординату г], с
помощью силового треугольника (рис. 93, в) и нулевую точку F2
в пересечении усилий D3 и иг.
Кроме определения растягивающего усилия (нагружением вре-
менной нагрузкой положительного участка и всей линии влияния
собственным весом) необходимо отдельно нагрузить временной на-
110
грузкой отрицательный участок линии влияния и выяснить, не
возникает ли (после добавления усилия от постоянной нагрузки)
сжимающее усилие в стержне, которое не может быть воспринято
вантой.
Глаза 7
ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
§ 35. Перемещения. Работа внешних сил
Понятие о перемещении. Действительная работа внешних сил.
Перемещения, вызванные деформацией элементов конструкции,
определяют для проверки жесткости и устойчивости, а также для
расчета статически неопределимых конструкций. Усилия в лишних
связях статически неопределимой системы находят, используя до-
полнительные уравнения деформаций, которые выражают соотно-
шения между перемещениями и внешними силами. Поэтому теория
определения перемещений стержне-
вых систем имеет большое значение.
Рассмотрим общие методы на-
хождения перемещений, которые ба-
зируются на теории работы сил,
приложенных к упругой системе.
В основу определения перемещений
в сооружениях кладем принцип воз-
можных перемещений для деформи-
руемой системы.
Перемещением данной точки со-
оружения называется изменение ее
координаты, вызванное деформацией
сооружения. Будем определять пере-
мещения в линейно-деформируемых
системах, подчиняющихся закону Гу-
ка и принципу наложения, согласно
которому результат действия систе-
мы сил равен сумме результатов
действия отдельных сил. Далее в ря-
де задач помимо перемещений отдель-
Рис. 94
ных точек оси сооружения — п р ос-
тых перемещений—-будем находить так называемые
груп-
повые перемещения системы точек, представляющие
собой совокупности перемещений ряда заданных точек сооружения.
Будем различать действительные и возможные перемещения для
силы Р.
Под действ и те л ьн ым перемещением \рр понимаем переме-
щение, вызванное силой Р (рис. 94, а). Ойо, согласно закону Гука,
прямо пропорционально силе: &pp = kP, где k — коэффициент про-
порциональности.
111
Рассмотрим статическое приложение силы, меняющейся от нуля
до окончательного значения Р. Промежуточное значение силы обо-
значим Рх, а соответствующее ему перемещение ДЛ. (рис. 94, б).
При изменении силы на dPx получим приращение в прогибе и
элементарную работу внешней силы:
dAp = PxdAx.
Полная работа силы при ее изменении от 0 до Р будет опреде-
ляться интегралом
р
Ар= $ PxdAx,
о
где согласно закону Гука
ДЛ. = kPx\ dAx = kdP::
k—постоянная; для задачи по рис. 94, a k = 1 • 1/(48Е1).
Подставляя выражение dAx в выражение работы силы Р, по-
лучаем
р
A=\kPx dPx = kP2j2 = РА рр/2.
о
Действительная работа внешней силы (Р) равна половине про-
изведения силы на перемещение точки ее приложения по направ-
лению силы—теорема Клапейрона. Эта работа внешней
силы переходит в п оте н ц и а л ь н у ю энергию деформации
сооружения (работу внутренних сил, действующих на элементы
сооружения). При наличии ряда сил Plt Р2, ..., Р полная работа
внешних сил будет
Л,=2лД-.-/2.
п
Так как работа внутренних сил в линейно-деформируемой си-
стеме зависит только от начального и конечного состояний ее, то
работа внешних сил не зависит от последовательности приложения
внешних сил.
Возможное перемещение. Возможная работа внешних сил. Под
возможным перемещением будем понимать весьма малое пере-
мещение точки оси сооружения, допускаемое имеющимися связями
и не зависящее от заданной системы сил.
Для конкретности представления возможных перемещений, не
зависящих от заданной системы сил Р, рассмотрим процесс при-
ложения двух систем сил в последовательные интервалы времени
(рис. 95, а). Пусть на сооружение в первой стадии действует сила,
приложенная статически и меняющаяся от нуля до конечного зна-
чения Р. При этом вертикальное перемещение точки приложения
силы Р, которое обозначим Арр, является действительным переме-
щением.
112
Положим, что после действия силы Р на сооружение в указан-
ном деформированном состоянии действует также статически новая
сила Д', которая вызывает дополнительные перемещения точек оси
балки (на рис. 95, а заштрихованы). При этом точка приложения
силы Р получает добавоч-
ное перемещение А/Л, ве-
личина которого соответ-
ствует окончательному зна-
чению силы К- Так как
первоначальные перемеще-
ния, вызванные силой Р,
считаем малыми, то доба-
вочные перемещения, выз-
ванные силой К, можно
определять от недеформи-
рованного состояния и
потому их можно считать
независимыми от силы Р.
Перемещение обозначаем
буквой А с двумя индек-
сами A t: первый индекс
р отмечает точку прило-
жения и направление пе-
ремещения, соответствую-
щего силе Р, второй ин-
декс k указывает на при-
чину, вызывающую данное
перемещение (сила /С). Пе-
ремещение Ьрк, вызванное
в той же системе иной си-
лой /С, будет возможным
перемещением для силы Р.
Рассмотрим теперь по-
нятие о возможной работе
силы Р. Возможной
работой силы называем
работу этой силы на ма-
лом возможном перемеще-
нии точки приложения си-
лы по ее направлению; для силы Р (рис. 95, а) возможной будет
работа силы Р на возможном перемещении \pk. Так как переме-
щение \pk не зависит от силы Р, то работа силы Р выразится
произведением силы Р на перемещение &рк:
Apk = P\r>k-
Так как Арк не зависит от силы Р, то состояние действия силы К
можно представить отдельно от состояния действия силы Р.
На рис. 95, б показаны два независимых состояния одной и
той же балки. Первое состояние — силовое состояние действия за-
113
данной нагрузки Р и второе состояние —возможное состояние дей-
ствия силы К, на котором отмечаем возможное перемещение Apfe.
Пользуясь этими состояниями, можно определить возможную
работу силы К второго состояния на перемещении по направлению
этой силы в первом состоянии, т. е. на Aftp:
^кр = К&рр'
Выражение для полной работы при последовательном нагружении
балки силой Р, а затем силой /С (рис. 95, а) будет
Al = P\ppl2 + P\pk + K^kk,i2.	(а)
Если изменить порядок приложения сил, а именно сначала при-
ложить силу К, а затем силу Р, то получим следующее выраже-
ние для полной работы (рис. 95, в):
A2 = KAkk/2+KAkp + P^pp/2.	(б)
Но от порядка приложения сил величина работы не меняется.
Приравняв выражение (а) выражению (б), получим
РАрк = К&кр.	(7.1)
Равенство (7.1) формулирует теорему о взаимности воз-
можных работ внешних сил.
Из предыдущего видно, что выражения возможной работы спра-
ведливы, если:
1) заданная нагрузка в силовом состоянии вызывает малые
перемещения (не только при расчете по недеформированному сос-
тоянию, но и в других случаях, например при продольно-попереч-
ном изгибе);
2) нагрузка в возможном состоянии также дает лишь малые
перемещения, соответствующие связям системы (причиной, вызы-
114
вающей перемещения, может быть не только нагрузка К, но также
температура и осадка опор).
Определим возможную работу системы сил Pt, Р2 и Р3 для ка-
кого-либо сооружения (рис. 96, а). Возможное состояние сооруже-
ния от действия сил представлено на рис. 96, б. Возможные пе-
ремещения по направлениям сил Р2, Р2 и Р3 соответственно будут
АР1&, ^pek и Арэл*
По принципу наложения возможная работа системы сил будет
найдена как сумма работ каждой силы первого состояния на пере-
мещениях точек их приложения во втором состоянии:
Арк — Р l&Pik + Р	+ Р 3^p3k-
Вообще при наличии п сил возможную работу внешних сил можно
представить выражением
Арк = %Р^	(7-2)
п
где Ар.k — возможное перемещение точки приложения силы Р; по
направлению этой силы, вызванное силой АГ или группой сил К
во втором возможном состоянии.
Понятие об обобщенном перемещении. Любую систему сил Р2, Р.2,
Ps, ... можно представить как их совокупность и принять за
обобщенную силу. Такое представление позволяет перено-
сить соотношения, выведенные для одиночной силы, на случай
действия системы сил.
Поясним понятие об обобщенном перемещении на при-
мере балки (рис. 96, а), подверженной действию системы сил Л,,
Л2, Р3, которую характеризуем значением первой силы Лх и отно-
шениями
i= Р?/Р1;	1 — Рз/Рг •
Составим выражение для возможной работы внешних сил пер-
вого состояния на перемещениях по их направлению во втором
состоянии по выражению (7.2) и вынесем за скобки Р2.
Арк~ Pl (Apik	+ аз1Ар3*) = Pl^Pik-
Здесь AP1s можно рассматривать как обобщенное перемещение по
направлению системы сил Лх, Р2, Р3.
Обобщенная сила при этом характеризуется значением Р± и
параметрами а21 и ссзх. Как видим, в данном случае обобщенное
перемещение есть линейная функция простых линейных перемеще-
ний (рис. 96, б). Таким образом, возможную работу системы сил
всегда можно представить в виде произведения одной обобщенной
силы (определяемой каким-либо параметром системы сил) на обоб-
щенное возможное перемещение, соответствующее данной сис-
теме сил.
115
§ 36. Теорема о равенстве возможных работ внешних
и внутренних сил.
Потенциальная энергия
Вывод формулы Мора. Используя принцип возможных переме-
щений применительно к упругим системам, получаем основное
соотношение между возможной работой внешних и внутренних сил
одного и того же состояния сооружения и общую формулу для
определения перемещений.
Согласно принципу возможных перемещений для несвободной
материальной системы, подчиненной идеальным связям, сумма работ
всех сил, находящихся в равновесии, на любых малых возможных
Рис. 97
перемещениях равна нулю, что является необходимым и достаточ-
ным условием равновесия такой системы. Для деформируемой сис-
темы в аналитическом выражении начала возможных перемещений
следует учесть работу как внешних, так и внутренних сил сопро-
тивления деформации.
Рассмотрим два состояния данного сооружения.
В первом состоянии (рис. 97, а) заданы внешние силы Plt Р3
и для любого бесконечно малого элемента сооружения длиной ds
известны внутренние силы: изгибающий момент Мр, поперечная
сила Qp и продольная сила N р (на рисунке указаны положитель-
но
ные их направления). Внутренним силам, действующим на элемент,
отвечают противоположные по направлению и равные им внутрен-
ние силы сопротивления деформации:
М'р = Мр; Q' = Qp; N'p = Np.
Во втором возможном состоянии представим малые перемещения
системы, вызванные действием какой-либо силы К (рис. 97, б).
При этом каждый бесконечно малый элемент сооружения получает
изменение формы, соответствующее общему случаю действия сил
(изгиб, сдвиг и растяжение). Пусть перемещения точек оси соору-
жения по направлению внешних сил Р2, ..., Р{ во втором
состоянии будут ДР1&, Др2*, ..., Др.6. Представим возможные пере-
мещения, вызванные деформацией
элемента по направлению внут-
ренних сил сопротивления дефор-
мации (например, для моментов М'р
угол наклона соседних сечений
dtpk; рис. 97, б). Обозначим воз-
можную работу внешних сил Р,-
через Арк, а возможную работу
внутренних сил сопротивления де-
формации Мр, Qp и N'p—через Vpk.
Тогда согласно началу возможных
перемещений для сил первого
состояния можно написать
Apk + Vpk = O,	(7.3)
где
(а)
Но работа внутренних сил соп-
ротивления деформации М'р, Q'p
и Np (рис. 98, а) как сил, равных
по величине, но противополож-
ных по направлению внутренним
силам Мр, Qp и Nр, равна по
величине, но противоположна
по знаку возможной работе внут-
ренних сил Мр, Q и Nр. Обоз-
начая последнюю w рк, составим
равенство
Vpk = -Wpk.
Подставляя значение Vрк из пос-
леднего соотношения в выражение
(7.3) и перенося W рк в правую
часть, получаем
Рис. 98
Apk = Wpk, (7.4)
117
т. е. возможная, работа внешних сил (Р) первого состояния на пе-
ремещениях точек их приложения и по их направлению во втором
состоянии равна возможной работе внутренних сил первого состоя-
ния (Мр, QP и Np) на перемещениях по их направлению во втором
состоянии. Эта теорема носит название основной теоремы
строительной механики статически неопределимых систем. В наи-
более общей форме она была сформулирована О. Мором (1874).
Левая часть соотношения (7.4) определяется по формуле (а).
Дадим теперь аналитическое выражение возможной работы
внутренних сил для рамной системы, составленной из призмати-
ческих элементов. При этом внутренние силы берем из первого
состояния (рис. 98, а), а перемещения по направлению внутренних
сил — из второго состояния (рис. 98, б—г). Возможную работу
внутренних сил для прямолинейных стержней можно определить,
суммируя отдельно работу моментов, поперечных сил п продоль-
ных сил, т. е. применяя принцип сложения:
Wpk =	+ W^\	(7.5)
Для брусьев большой кривизны такое разделение невозможно,
так ; как при действии моментов возникает и удлинение, а при
действии продольных сил —взаимный поворот сечений.
Находим сначала возможную работу моментов Мр, прило-
женных к бесконечно малому элементу (рис. 98, а), на перемеще-
ниях во втором состоянии, вызванных деформацией элемента вслед-
ствие чистого изгиба (рис. 98, б). При этом по направлению каж-
дого из моментов совершается поворот сечений, ограничивающих
элемент, на угол d<pfe/2, где —взаимный угол поворота соседних
сечений элемента во втором состоянии, вызванный действием внеш-
них сил k. При этом совмещаем деформированный элемент с его
начальным положением. Возможная работа левого момента Мр
будет равна Л4рбфй/2, правого момента Мр — также Mpd<pA/2, при-
чем каждое из этих значений положительно. Таким образом, ра-
бота моментов, приложенных к соседним сечениям малого элемента
сооружения, будет
dWpl? == M.pdqjJ'i -\-Mpdqkl2 — Mpd<pk,	(6)
т. e. возможная работа моментов Mp, приложенных к соседним
сечениям элемента, равна произведению значения момента Мр на
взаимный угол поворота сечений dq>k.
Для упругой области взаимный угол поворота соседних сечений
dtfk можно выразить согласно закону Гука линейно через момент,
возникающий во втором состоянии и действующий по граням
того же элемента (рис. 98, б):
d(fk = Mkds/(EI),
где £/—жесткость при изгибе; I — момент инерции сечения.
Подставляя значение d<pk в соотношение (б), получаем
dW{p^} = MpMkds!{El).
118
Всю работу изгибающих моментов получим интегрированием
элементарной работы по всей длине сооружений
$	S
= Е S Mpd<pk = Е $ MpMkds/(EZ),
п 0	п О
где каждый интеграл берется на участке непрерывного изменения
подынтегральной функции.
Теперь определим возможную работу продольных сил.
Найдем сначала элементарную работу продольных сил N р первого
состояния (рис. 98, а) на перемещениях точек их приложения во
втором состоянии (рис. 98, в). Возможным перемещением для каж-
дой продольной силы Np будет продольное перемещение центра
тяжести сечения. Если обозначить абсолютное удлинение элемента
во втором состоянии через dkk, то продольное перемещение центра
тяжести каждого сечения составит dkk/2, а потому выражение воз-
можной работы продольных сил Np, приложенных к бесконечно
малому элементу, будет
dW^ = Npdkk,
т. е. возможная работа продольных сил, приложенных к центрам
тяжести соседних сечений Л и В, равна произведению значения
продольной силы Np на изменение расстояния между точками
А и В (удлинение элемента).
Для упругой деформации во втором состоянии согласно закону
Гука
dkf. — N kds/(EF),
где ДЕ —жесткость при продольном действии силы; F —площадь
поперечного сечения.
Элементарная работа продольных сил
dw№} = NpNkds/(EF).
Возможную работу продольных сил для всего сооружения по-
лучим интегрированием:
S	S
= Е S = Е $ NpNkds!(EF).
п 0	л О
Определим возможную работу поперечных сил. Для этого
представим во втором состоянии такое изменение формы элемента,
при котором происходит возможное перемещение по направлению
сил Qp, т. е. взаимный сдвиг соседних сечений, что осуществимо
лишь при действии на элемент поперечных сил Qk (рис. 98, а).
Обозначим взаимный сдвиг центров тяжести соседних поперечных
сечений элемента dyk (сдвиги по высоте сечения меняются нерав-
номерно, и эта особенность их изменения далее будет учтена вве-
дением коэффициента неравномерности сдвигов ц). Совмещая дефо-
119
рмированное положение элемента с начальным, находим, что верти-
кальное смещение центра тяжести каждого сечения будет dyft/2.
Сопоставляя первое состояние элемента (рис. 98, а} с его вто-
рым состоянием (рис. 98, г), получаем следующее выражение воз-
можной работы поперечных сил, приложенных к бесконечно малому
элементу:
dW^ = Qpdyk.	(в)
Для упругой области, принимая во внимание неравномерность
сдвигов по сечению, взаимный сдвиг центров тяжести поперечных
сечений можно представить следующим образом:
dyk = yQkdsi(GF),	(г)
где (г—коэффициент неравномерности сдвигов по сечению, завися-
щий от формы сечения (для прямоугольного сечения р=-1,2); оп-
ределяется из условия равенства работы поперечной силы QA, при-
ложенной в центре тяжести сечения, сумме работ отдельных танген-
циальных усилий ikdF, распределенных по сечению; значения коэф-
фициентов р, в дальнейшем не используются, так как влиянием
поперечных сил в случае длинных стержней пренебрегаем; G—•
модуль поперечной деформации (можно принимать G = ЗЕ/8). Внося
выражение dyk по формуле (г) в формулу (в) и интегрируя, полу-
чаем возможную работу поперечных сил для всего сооружения:
= £$ QPd^=
"о	«о
Подставляя выражения возможной работы моментов, продольных
и поперечных сил в выражение (7.5), получаем аналитическое вы-
ражение полной работы всех внутренних сил на перемеще-
ниях в возможном состоянии:
S	S	S
w рь=2 5 М/й’а+2 /^+2 J Qpd^k-
n 0	n 0	"0
Основная теорема (7.4) может быть представлена в следующей
наиболее общей форме:
S	S	S
2 Pi	= 2 $	+ 2 $ Kpdh + 2 $ Qpdyk.
п о	п о	п о
Эту формулировку основной теоремы можно использовать в слу-
чае, когда перемещения возникают и в упругопластической области
или вызываются любой причиной. Если перемещения во втором
состоянии происходят в чисто упругой области, применяя закон
Гука, получаем
, Л V С MpMkds V С MpN^ds уч р QpQkds
Ъ \---ЁГ—+Ъ J EF..~+-2 \ И —Gf.-• (7.6)
в о	п о	п Q
120
Это теорема Мора. Кратко ее можно сформулировать так:
возможная работа внешних сил (Р) на перемещениях по их направ-
лению равна возможной работе внутренних сил (Мр, N р, Qp) на
соответствующих им перемещениях в той же системе.
Потенциальная энергия системы. Соотношение (7.6) легко рас-
пространить на действительную работу внешних и внутренних
сил, т. е. на работу сил, которая производится на вызываемых
ими перемещениях. Принимая во внимание статическое действие
внешних и внутренних сил, а именно нарастание перемещений в
соответствии с ростом сил, во всех членах соотношения (7.6) нужно
ввести коэффициент 1/2; кроме того, необходимо учесть, что dq>k=dq>p,
dkk = dkp; dyk = dyp:
n 0	n 0	n о
Правая часть выражения (7.7) соответствует потенциальной энер-
гии Wp бруса при поперечном изгибе и растяжении. Это выраже-
ние легко распространить и на более общий случай пространст-
венной задачи (см. ниже, рис. 103).
§ 37. Теоремы о взаимности работ
и перемещений
Теорема о взаимности работ внешних и внутренних сил. Одним
из основных положений теории работы упругих сил является тео-
рема о взаимности возможных работ внешних сил. Выведем ее
теперь непосредственно из теоремы Мора, сформулированной соот-
ношением (7.6).
Рассмотрим два силовых состояния одной и той же конструк-
ции (рис. 99). Внутренние силы и деформации в первом силовом
состоянии обозначим соответственно:
Мр, N р, Qp, dyp, dip, dyp.
121
Внутренние силы и деформации во втором силовом состоянии
Nk, Qk; d<pk, dXk, dyk.
Составим уравнение работ по принципу возможных перемеще-
ний на основе выражения (7.6) для сил первого состояния, взяв
за возможные перемещения второго состояния:
V4 г, >	'V' С MpMf/ds	'г-' (* NpNkds е QpQ^ds
Xu Pj^p.li = Xu \ Ё1	Ь XuJ ££	Ь Xu J р QP	• (а)
л 0	п о	п о
Теперь поменяем два указанных состояния, рассматривая силы вто-
рого состояния, а возможные перемещения по их направлению
возьмем из первого состояния:
V» MkMpds	-г-, р NkNpds y1 С	QkQpds
= Xu j £7	Ь Xu J	J GF	'
«о	rao	"o
Но правые части равенства (а) и (б) равны между собой (взаим-
ность работ внутренних сил очевидна). Следовательно, равны
и левые части этих равенств:
п	п
Соотношение (7.8) можно прочитать так: возможная работа внеш-
них сил первого
состояния
(7.8)
данной конструкции на перемеще-
ниях во втором состоянии равна
возможной работе внешних сил
второго состояния (К) на переме-
щениях первого состояния. Полу-
ченное соотношение носит назва-
ние теоремы Бетти, которая,
:как видно из вывода, справедлива
лишь для линейно-деформируемых
упругих систем.
Теорема о взаимности переме-
щений. Линии влияния перемеще-
ний. Рассмотрим вновь два сило-
вых состояния какой-либо конст-
рукции (рис. 100). В первом сос-
тоянии к произвольной точке т
системы приложена сила Р, во вто-
ром состоянии к точке п — сила К.
Применим к этим двум состояниям
теорему о взаимности работ:
P\pk=K^p.	(7.9)
Положим теперь, что силы Р и К численно одинаковы, т. е. Р=-К.
Тогда из равенства (7.9) получаем
^pk = ^kp’
(Л
P
I состояние
р>Лкр
Л состояние
Рис. 100
К
' n
122
Это теорема Максвелла о взаимности перемещений: переме-
щение точки п от силы Р первого состояния, действующей в точке т,
численно равно перемещению точки т от силы К. второго состоя-
ния, действующей в точке п, если
наковы. Иначе говоря, перемеще-
ние по направлению первой силы
\рк от второй силы К численно
равно перемещению по направле-
нию второй силы Aft от первой
силы Р, если Р = К.
Теорема Максвелла позволяет
упростить вычисления перемеще-
ний; если мы знаем какое-либо пе-
ремещение &кр, то известно и Apft;
величина перемещения не меняет-
ся от перестановки индексов, если
численно равны силовые воздей-
ствия.
Пользуясь этой теоремой, лег-
ко получить линии влияния уси-
лий в статически неопределимых системах путем построения линий
влияния прогибов. Этот способ основан на общем способе построения
линий влияния перемещений (рис. 101). Пусть требуется найти
линию влияния вертикального перемещения точки при движении
груза Р — 1 по балке. В дальнейшем будем обозначать перемещение
точки k, вызванное единичной силой Р=1, через Ькр в отличие от
перемещения ASp, вызванного силой Р, не равной единице. Необ-
ходимо найти перемещение точки k, вызванное силой Р=1, т. е.
бАр при различных положениях груза Р=1 на балке. Заменим
построение линии влияния перемещения 8кр нахождением
эпюры прогибов 8рк. В самом деле, согласно теореме о вза-
имности перемещений,
где 6рЛ —перемещение по направлению силы Р, вызванное непод-
вижной силой К = 1, приложенной в точке k. Строя эпюру пере-
мещений 6pfc, тем самым определяем линию влияния бАр. Итак,
линия влияния прогиба в точке k получается как эпюра прогибов
от силы К = 1, приложенной в точке k. Для построения линии
влияния угла поворота касательной в точке К во втором состоянии,
очевидно, нужно приложить момент К=1.
§ 38. Формулы для определения перемещений
Вывод общей формулы. Важнейшим приложением выведенной
основной теоремы является общая формула для определения пере-
мещений различных сооружений. Пусть требуется найти переме-
123
щение какой-либо точки сооружения по определенному направле-
нию от заданной нагрузки (рис. 102, а). Эту задачу можно решить
вычислением возможной работы внутренних сил второго состояния
того же сооружения на перемещениях в заданном состоянии.
Рассмотрим вспомогательное (единичное) состояние конструкции
(рис. 102,6). В этом состоянии к сооружению, освобожденному от
заданной нагрузки Р, в точке k по направлению искомого пере-
мещения приложим соответствующую единичную силу К = 1 (для
линейного перемещения— сосредоточенную силу, для угла пово-
рота—момент и т. д.)_ Единичное (второе) состояние будем рас-
сматривать как силовое, а за возможное примем состояние действия
заданной нагрузки Р. Так как сила К = 1 выбрана по направлению
искомого перемещения &кр, то работа силы К = 1 па перемещении
в первом состоянии будет
В единичном состоянии для любого бесконечно малого элемента
балки имеем внутренние силы Мк, N к и Цк (черта означает, что
внутренние силы вызваны силой К, равной единице).
В первом состоянии по направлению внутренних сил Мк, Nk
и Qk происходят перемещения dq>p, dKp, dyp, где d<pp— взаимный
угол наклона соседних сечений; d'/.p — абсолютное удлинение эле-
мента; dyp — взаимный сдвиг соседних сечений.
Применяя теорему о равенстве возможной работы внешних сил
второго состояния на перемещениях в первом состоянии возмож-
ной работе внутренних сил второго состояния, получаем
S	S	S
1 • Д*£ = 2 J мд,+s $ ivkdkp+2 $ Qkdyp. (7.10)
"о	п о	«о
124
Перемещение \кр легко найти по правой части выражения (7.10),
т. е. по величине возможной работы внутренних сил единичного
состояния на перемещениях в действительном состоянии.
Для упругого состояния сооружения выражаем деформации эле-
мента через внутренние силы первого состояния по закону Гука:
d(pp = Mpds/(E1); dkp = Mpds/(EF)-, dyp --- p [Q/)ds/(GF)].
Подставляя эти значения деформаций в правую часть выражения
(7.10), получаем
S	S	S
&kp = ^MkMpds/(EF) + 2\NkNpds/(EF)+^v [QkQpds/(GF/\. (7.11)
п о	п о	° 5
Мы получили общую формулу Мора для определения перемещения
Aft от заданной нагрузки Р в упругой области работы сооружения.
Этой формулой широко пользуются для отыскания упругих пере-
мещений любых плоских стержневых конструкций: балок, рамных
систем, арок и ферм.
Согласно формуле (7.11), подсчет любого перемещения сводится
к вычислению определенных интегралов правой части, т. е. возмож-
ной работы внутренних сил единичного состояния на перемеще-
ниях в действительном состоянии.
Знак перемещения Afcp определяется по знаку правой части,
т. е. по знаку возможной работы внутренних сил. Если правая
часть выражения (7.11) дает знак плюс, это означает, что работа
силы К = 1 на перемещении As положительна, т. е. перемещение
Aft происходит по направлению действия силы К=1. Произведение
МкМр считаем положительным, если моменты Mk и Мр вызывают
растяжение крайних волокон с одной и той же стороны оси стержня.
При построении эпюр моментов будем откладывать ординаты этих
эпюр со стороны растянутого волокна стержня.
В единичном состоянии всегда будем прикладывать силу К = 1
отвлеченного измерения. Тогда левая и правая части выражения
(7.11) дают величины, имеющие ту же размерность, что и размер-
ность искомого перемещения; при этом в правой части усилия
Qk и Л';. при действии сосредоточенной силы К — 1 будут выражены
в отвлеченных единицах.
Формулу Мора для пространственного ломаного бруса, изобра-
женного на рис. 103, можно получить, развивая соответственно
выражение возможной работы внутренних сил.
Кроме изгибающих моментов в вертикальной главной плоскости
Мрв в данном случае возникают изгибающие моменты в горизон-
тальной главной плоскости Мрт и крутящие моменты относительно
оси каждого данного прямолинейного элемента бруса Мрос. Пре-
небрегая влиянием поперечных сил, учтем кроме указанных момен-
тов еще продольные (осевые) силы. При этом формула Мора для
125
определения какого-либо перемещения точки k примет вид
S	S
1	= 2 J MkBMpads/(EIr) +	MkrMptds/(EI Е) Ц-
п о	п о
S	S
+ 2 $ jiWkocAl poc^s/(G/Kp) + S $ NkocNpozdS!\EF),
п 0	л о
где 7Г, /„ — моменты инерции соответственно относительно гори-
зонтальной и вертикальной главных осей сечений; G —модуль сдвига;
Рис. 103
/кр —момент инерции кручения; Npr.c — продольная сила от заданной
нагрузки Р; /VAoc —продольная сила в состоянии действия силы
/С=1, которую следует представлять во втором состоянии.
Формула для частных случаев. Для плоских балок и рам при
отношении высоты сечения к пролету менее 1/5 можно отбросить
влияние поперечных и продольных сил на величину перемещения
и определять его по формуле
S
А^ = 25Ям/.5/(Е/).	(7.12)
« о
Для строительных арок малой кривизны (радиус кривизны
более 5/г, где /г — высота сечения) перемещения с достаточной точ-
ностью определяются по формуле (7.11), выведенной для прямо-
линейных стержней. Для обычных пологих арок влияние попереч-
ных сил на перемещения незначительно и им можно пренебречь;
поэтому перемещения пологих арок можно определять, учитывая
лишь влияние изгибающих моментов и продольных сил:
s	S
&кР = 2 $ MkMpds/(EI) + У $ MkNpds,'(EF).
«о	"о
Для шарнирно-стержневых ферм при узловом действии нагрузки
формула (7.11) значительно упрощается, так как исключаются члены
120
с влиянием М и Q (рис. 104, а, б). Поэтому вместо выражения (7.11)
получаем
S
A^ = SJ^/S/(£F),
« о
где знак 2 распространяется на все стержни фермы.
_ Так как по длине каждого стержня фермы s продольные силы
У/с и N и площадь сечения F постоянны, то в правой части можно
S
вынести за знак интеграла Nk, Np и F. Учтя также, что ^ds = s,
о
окончательно для перемещения узловых точек шарнирно-стержне-
вых ферм найдем
bkp = %NkKps/(EF),
п
где знак 2 относится ко всем стержням фермы.
Заметим, что, зная проекции вектора перемещения Д какого-либо
узла b фермы (рис. 104, в), представляющие собой удлинения стерж-
ней bb' и bb", само перемещение находим, восставляя перпенди-
куляры к концам проекций вектора.
§ 39. Упрощение техники вычисления перемещений
в балках и рамах
Правило перемножения эпюр. Перемещения в балках и рамах
определяем по формуле (7.12):
$
bkp = ^MkMpds/(EI).
н о
127
Обычно по длине данного стержня рамы жесткость стержня по-
стоянна, поэтому !/(£/) можно вынести за знак интеграла:
S
п о
Можно упростить вычисление интеграла функции МкМр в слу-
чае, если изгибающий момент Mh в единичном состоянии подчи-
няется линейному закону, т. е. если эпюра моментов Мь по длине
стержня ограничена прямой. Такой линейный закон изменения
момента Мк в единичном состоянии сосредоточенных воздействий
имеет место для рамных систем с прямолинейными стержнями.
В этом случае, когда Л4; — любая функция, а Мк — линейная функ-
ция, интеграл
S=<\A'lkMpdx	(а)
о
можно вычислить как произведение площади криволинейной или
ломаной эпюры изгибающих моментов Мр на ординату прямолиней-
ной эпюры Мк, взятую под центром тяжести эпюры моментов Мр.
Рассмотрим два состояния какого-либо стержня рамной конст-
рукции (рис. 105). В первом состоянии
Рис. 105
построена эпюра изгибаю-
щих моментов Мр от за-
данной нагрузки, которая
очерчена произвольной
кривой; ординату этой
эпюры в любой точке обоз-
начим ук. Во втором сос-
тоянии эпюра изгибающих
моментов Мк прямолиней-
на; 0 — точка пересечения
линии моментов с осью
стержня; ординату эпюры
моментов Мк в произволь-
ной точке на расстоянии х
от начала координат обоз-
начим у2. Вместо выраже-
ния (а) получим
S
s = $ у2уг dx. (б)
о
введя угол наклона ос линии моментов
Ординату уг можно вы-
разить через абсциссу х,
Мк к оси стержня:
у2 = х tg а.
128
Вместо выражения (б) получим
S
S = § tga xO/idx).
О
(В)
Но tg а —величина постоянная; кроме того, y,dx = d&p, где dQp~
площадь элементарной полоски эпюры моментов Мр. Вместо выра-
жения (в) теперь получаем
S
S = tg a xdQp.	(г)
о
Интеграл ) xd£lp —статический момент площади эпюры моментов Мр
о
относительно точки 0. Статический момент площади эпюры момен-
тов Мр относительно точки 0 равен произведению всей площади
S
эпюры моментов й^, т. е. $ dQp, на координату центра тяжести
о
этой площади л0. Теперь вместо (г) получаем
S = tga-x0Qr
Но согласно рис. 105 tg а• х0 = ук,
взятая под центром тяжести эпю-
ры Мр. Таким образом, оконча-
тельно из выражения (д) имеем
S = Qpyk. (7.13)
S
Интеграл J MkMpdx в случае, ес-
_ о
ли Мк — линейная функция, можно
вычислить как произведение пло-
щади криволинейной эпюры й^ на
ординату прямолинейной эпюры
ук, взятую под центром тяжести
криволинейной эпюры. Правило
перемножения эпюр было дано
А. Верещагиным в 1925 г.
Этот же способ применим и для
случая, когда обе эпюры Af^
и Мк прямолинейны; при этом сам
порядок перемножения безраз-
личен. В результате перемножения
и Мк, представленных на рис. 106,
(д)
двух прямолинейных эпюр Мр
получим
S
J МкМр dx — (s/6) (2ac + 2bd -|-ad+be).	(714)
о
5 №1116
129
В скобках помещены удвоенные произведения ординат эпюр мо-
ментов, расположенных одна над другой, и ординат эпюр момен-
тов, расположенных накрест. Формулу (7.14) дал Мюллер-Бреслау
в курсе «Графическая статика», (т. II, 1905).
Пример. Определить горизонтальное перемещение подвижной опоры двух-
опорной рамы, подверженной действию равномерно распределенной нагрузки,
приложенной к левой стойке (рис. 107, о). Интенсивность нагрузки р; высота
стойки h — l!2, момент инерции сечения стойки Zi = 2/2> где /2—момент инерции
сечения ригеля.
Рис. 107
Решение. Строим эпюру моментов Мр от заданной нагрузки (рис. 107, б).
По левой стойке имеем эпюру моментов в виде параболы второй степени, по ри-
гелю— в виде треугольника. Во втором состоянии (рис. 107, в) к подвижной опоре
прикладываем горизонтальную силу К = 1, которая вызывает в неподвижной опоре
равную ей реакцию; эпюра моментов Мь симметрична. Принимая во внимание,
что площадь параболической эпюры по стоике в данном случае равна — п 1 ,
а расстояние центра тяжести эпюры до нулевой точки 5/1/8, получим следующее
значение Д^, увеличенное в Е1г раз:
Р, *	( 2 рК>\ 5 f ph4 ( Zt
или, подставляя /г = 2/2> l = 2h, находим окончательно
л 29 ph*
ЬкР- 24 EIt ‘
Комбинированное применение формулы Мора и обобщенного
уравнения упругой линии. В случае, если ригель рамы нагружен
сложной прерывной нагрузкой (рис. 108, а), дающей скачки в эпю-
рах М, Q и q, способ перемножения будет слишком громоздким.
Поэтому предлагается, построив эпюру моментов от заданной на-
грузки, выделить из нее эпюру только от опорных моментов и
перемножить ее на единичную эпюру от силы К — 1, приложенной
в точке k. Тогда получим составляющую полного перемещения
д;р, т. е.
S
д;р-25м°пм^х/(£/).
« о
130
Полное перемещение найдем как сумму:
^kP = ^кр + Уьр’	(е)
где укр определяется по обобщенному уравнению метода на-
чальных параметров (рис. 108,6) [11]:
УкР = Фоал — (V£/) [Q0c|/3! — Рср3/31 — Мст?/21 — qc (aj — ^)/41], (ж)
где Qo —начальная поперечная сила в простой балке (принимается
со знаком минус при направлении ее вверх); срс — начальный угол
поворота, который вычисляется из условия равенства нулю прогиба
простой балки на правой опоре по формуле (ж):
Фо/ -ii [Q»/3/3! - Лл73! - Mcm3b/2\ - qc - ^)/4!] = 0.	(з)
При этом расстояния до скачков в нагрузке отсчитываются от пра-
вой опорной вертикали; положительные направления внешних сил
указаны на рис. 108,6 (сила /^положительна при направлении
вниз, момент Мс — против часовой стрелки).
Пример. Найти вертикальное перемещение середины ригеля рамы, нагру-
женной по рис. 109, а при £7=const, l=h.
5*	131
Решение. Эпюра моментов от заданной нагрузки представлена на рис. 109, б.
Разбив эту эпюру на четыре простейших и «перемножив» на единичную (рис. 109, в),
получим по формуле (7.12) с ис-
пользованием формулы (7.13)
7 Pfts
^кР~ 384 EI ’
Рис. 109
Теперь применим решение (е). Пе-
ремещение от опорных моментов
по эпюрам рис. ПО, а, 109, в
z _ ( h_h_\ 5_РЛ_
Ыр~ 4 2 J 16Е1~
_ 5 Ph3
~ 128 EI ’
Для двухопорного ригеля по рис. 110, б,
Рис. ПО
пользуясь формулой (з), находим:
рл2 г з i	1 (3 V । 1 (- f2V_Ll _5 №
<Ро” £/ [ 8 6 6 \ 4 J + 2-2 \ 2 ) к 2 У 24] ”96 EL '
По обобщенной формуле (ж) получаем
_ h	Qo (й/2)3 Р (h/4)3__ Ph3
У/гр-Ч>» 2	Е1 6 +Е1 6 — 48£/‘
Полное перемещение
^kp — ^kp-\- у kp ~
7 Ph3
384 El •
Формула Симпсона. Формула трапеций. Весьма удобны для опре-
деления перемещений в случае переменного момента инерции сече-
ния формулы приближенного определения интегралов. Достаточно
точное решение получается по формуле Симпсона, примене-
ние которой в сложных случаях определения перемещений было
разработано Н. В. Корноуховым [5]. Имеются и более точные
формулы.
132
Пусть требуется вычислить перемещение путем интегрирования
функции yx — MkMр'(Е1 х) в пределах от а до b (рис. 111):
ь	ь
Ькр = $ МкМр dx/(E/x) = J ух dx,	(и)
а	а
где 1Х — переменный момент инерции.
Разобьем интервал изменения функции (Ь—а) на п равных
частей длиной h и заменим действительную кривую ух рядом дуг
парабол второй степени, проведя их через концы каждых трех
ординат;
Уо> Ут' Уй У11 У12> Уг<  • У п-li Уп-1,п< Уп-
Вычисляя площадь каждого параболического участка с основа-
нием h, получаем по приближенной формуле Симпсона
ъ
&кР =\yxdx& (Л/6)[Д + 4z/01 + уд +
+ (У1 + 4г/12 + уд + ... + {у„-I +	п + У Л
В круглых скобках помещены множители при /i/б для каждого
данного параболического участка. В такой форме удобно применять
эту формулу при наличии скачка в значении какой-либо ординаты
на границе участков.
По формуле трапеций (когда узловые ординаты соединя-
ются прямыми) интеграл Мора можно приближенно представить так:
&кр h (УЛ + У1 + У? + • • • +#п-1 +#п/2)-
Матричная форма определения перемещений. Перемещение Дйр
представим вместо выражения (и) в форме
ь	ъ
Mk[MpdsdEI)} = J
= h (Л1Д/2 + 1  МД + 1 • МД + • • • +1 • Mn-i&n-! + ЛГД/2), (к)
133
где Мо, Мр Л42, .... Мп — изгибающие моменты в узловых точках
единичного состояния; 60, 6П 62,	6,;— взаимные углы поворота
сечений в тех же точках от заданной нагрузки Р.
Выражение (к) можно представить по аналогии с выражением
(3.11) в матричной форме:
Akp=MW§,
где М—вектор-строка моментов в единичном состоянии (транспони-
рованный столбец); б — вектор-столбец перемещений, соответствую-
щих моментам М; № —весовая матрица формулы трапеций;
1/2 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
W = h
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1/2
Структура матрицы W определяется формулой (к) [8].
§ 40. Перемещения, вызванные изменением температуры
Перемещения в сооружениях вызываются не только внешними
силами, но и температурным воздействием. Так как в статически
неопределимых системах усилия возбуждаются только вследствие
изменения температуры срав-
нительно с начальной, соответ-
ствующей моменту постройки
сооружения, то в дальнейшем
будем рассматривать лишь дей-
ствие приращений темпе-
ратуры. Температурные пере-
мещения в статически опреде-
лимых изотропных системах со-
вершаются свободно и, следо-
вательно, не возбуждают уси-
лий. При равномерном нагре-
вании прямолинейного стерж-
ня (одинаковое приращение тем-
ой удлиняется без осевых на-
пряжений (рис. 112, а). Абсолютное удлинение при этом будет
al At, где а—температурный коэффициент линейного расширения.
При неравномерном нагреве такого стержня (нижние волокна
нагреваются на At, верхние охлаждаются на At) он искривляется
без изгибающих напряжений (рис. 112,6). При этом, если темпе-
ратурное воздействие постоянно по длине стержня, искривление
аналогично деформации стержня при чистом изгибе.
Выясним, как использовать формулу (7.12) для определения тем-
пературного перемещения прямолинейного стержня при неравномер-
134
ном нагревании его по высоте сечения и постоянном температурном
воздействии по длине. Для простоты приращения температур М
в дальнейшем будем обозначать просто t. Пусть верхние волокна
балки нагреваются па tlt нижние—на t2, причем > t2 (рис. 113, а, б).
При этом неравномерном нагреве стержень искривляется и удли-
няется вдоль оси. Изменение температуры по толщине стержня
(рис. 113, в) принимаем для простоты по линейному закону. Если
центр тяжести сечения находится на расстоянии сх от нижнего
волокна, то температура нагрева по оси («средняя» температура)
будет
^0 =	[(^1 О/С] ^2>
где с —общая высота сечения.
Если центр тяжести находится посредине высоты сечения, то
^ = (^ + 0/2-
Рассмотрим взаимное смещение соседних сечений элемента бруса
при данном температурном воздействии, полагая левое сечение
закрепленным неподвижно. Если первоначальное положение правого
сечения элемента АВ (рис. 113, г), то после деформации оно займет
положение	Удлинение верхнего продольного волокна будет
t/ids, нижнего — taads. При принятом линейном распределении по
высоте сечения удлинение по оси будет
dht = toa ds.
135
Угол наклона сечения АВ при неподвижном положении левого
сечения определяет взаимный угол поворота сечений d<pt:
= [(/j — ^2)/с] v-ds — (trads)/c,
где tr — разность температур нагрева верхнего и нижнего волокон.
Для отыскания перемещения какой-либо точки k стержня
от действия температуры рассмотрим второе единичное состояние
(рис. 113, б). Приложив в этом состоянии единичную силу по направ-
лению искомого перемещения, применим теорему Мора к силам
этого состояния. За возможные примем температурные перемещения
(рис. ИЗ, а). Согласно выражению (7.10)
S	S
1 -AAt = 2 5 d(pt + 2 $ N kdKt.
« 0	n 0
Работа поперечной силы равна нулю ввиду отсутствия взаимных
сдвигов.
Подставляем найденные выражения температурных деформаций
элемента:
1 •	= 2 $ Mktra ds/c + 2 $ ds. (7.15)
я о	" о
Мы получили формулу для определения температурного перемеще-
ния при переменном воздействии температуры. Если температуры
ft, t2 и высота сечения с постоянны по длине стержня, то формула
(7.15) принимает следующий вид:
ДЛ( = 2 (аС/с) $ Mkds + 2«/« $ Nhds.
Я	0	"	0
Интегралы правой части выражают соответственно площади эпюр
Мк и Nк для данного стержня в единичном состоянии действия
7<=1.
Обозначим эти площади соответственно Й^ и й^ . Таким обра-
k k
зом, окончательно
= 2(a^/c)^+2^o^v •	(7-16)
п	К п	*
Для шарнирно-стержневых ферм при равномерном нагревании
каждого стержня температурное перемещение определится так:
Д« = “2^8,
1 п
где а —длина стержня; t0—температура нагрева данного стержня
фермы (меняется от стержня к стержню).
Правило знаков установим, как и ранее, по знаку возможной
работы Mkdqt или N hd‘Kt, т. е; 1) если единичный момент Mk того
136
же направления, что и взаимный угол поворота сечений от темпе-
ратуры, произведение Mkdqt имеет знак плюс; 2) если единичная
продольная сила Nk вызывает растяжение, а изменение темпера-
туры— удлинение элемента dkt, то произведение NkdKt положи-
тельно (положительна возможная работа сил Nk).
Пример. Определить горизонтальное перемещение подвижной опоры рамы
при изменении температуры по рис. 114, а. Высота сечения c — h/iO.
Рис. 114
Решение. Во втором состоянии к подвижной опоре приложим горизонтальную
силу К = 1. По внутренним силам единичного состояния находим площади Q— и
м к
Q— (рис. 114, б, в) для стойки и для ригеля:
Q =/г2/2; Q- = 1-Л.
Nk
Параметры температурного воздействия;
для стойки tr = 10°; /в=15°;
для ригеля /Г=ЗО°; /0 = 25°.
По формуле (7.16) находим
ДА/ = (1 bah	25a/i) — [(1 Оа/с) (№/2) + (30а/с) (й2/2)] =
= 40аЛ — 200аЛ = — 1бОай.
Первый член правой части выражает влияние удлинений оси
системы, второй —влияние искривлений, вызванных моментами.
Влияние температурных удлинений оси, как видим, значительно:
оно составляет 20% от перемещений, вызванных искривлением.
§ 41. Определение перемещений от осадки опор
Перемещения от случайных осадок опор. Осадки опор могут быть
случайными (вызванными просадкой грунта, размывом, оползнем и
другими причинами) при отсутствии нагрузки на сооружении или
могут возникать под действием нагрузки в результате податливости
основания. Рассматривая первый случай, будем считать, что трех-
шарнирная арка acb получает одинаковые горизонтальные смещения
опор Дя и вертикальное смещение левой опоры Дв, причем вели-
чины смещений заданы (рис. 115, а). От действия осадок опор в ста-
137
тически определимой системе внутренние усилия не возникают.
Часто при этом требуется определить новое положение системы.
Пусть нужно найти вертикальное и горизонтальное перемещения
ключевого шарнира с арки. Для определения вертикального пере-
Рис. 115
мещения по формуле Мора представляем единичное состояние дей-
ствия вертикальной силы М=1, приложенной к ключевому шар-
ниру арки (рис. 115,6). Составляем сумму работ всех внешних сил
единичного состояния па перемещениях в действительном состоянии,
когда происходит осадка опор (рис. 115, а), и приравниваем ее
нулю, так как возможная работа внутренних сил равна нулю:
1-A,-VA-W-^=O,
откуда искомое перемещение
Лу = УаЬа+2НЬн,	(а)
т. е. перемещение данной точки арки от осадок опор есть линейная
функция осадок опор и получается как сумма возможных работ
реакций единичного состояния на смещения опор в действительном
состоянии.
Подставляя значение реакций (рис. 115, б) в выражение (а), по-
лучаем
Aj/ = (Aa + /A////)/2.
Для определения горизонтального перемещения Ах точки с, вы-
званного осадками опор, рассматриваем второе единичное состояние
(рис. 115, в). Применяя теорему Мора, получаем
1-Ах~КАй-Я'Ая + //'Ан = 0,
откуда
Av = KAa = /Ae//.
В данном частном случае перемещение точки сооружения получается
простым перемножением реакции V'a на осадку опоры. Заметим, что
138
при односторонней вертикальной осадке опор трехшарнирной арки
происходит и горизонтальное смещение ключевого шарнира.
Перемещения от нагрузки, вызывающей упругие осадки. Чаще
всего в практике осадки опор возникают в результате действия
нагрузки при наличии упругой податливости грунтового основания,
Рис. 116
на котором расположены опоры. Пусть под действием нагрузки р
трехшарнирная рама получает равные вертикальные осадки опор А =-
=Ve/A0, где k0 — коэффициент оседания опоры; Va = pH‘2, (рис. 116, а).
Найдем вертикальное перемещение ключевого шарнира, учитывая
при этом влияние только изгибающих моментов Мр (рис. 116,6). Пред-
ставляя единичное состояние действия силы /С=1, приложенной
к ключевому шарниру с (рис. 116, в), применяем теорему Мора
к внешним и внутренним силам этого состояния, принимая за воз-
можные— перемещения в действительном состоянии (рис. 116, а).
139
Тогда получаем
1 • Дс-2УвД = 2 $ [MkMp/(EI)]ds,
п
откуда
Д. = 5 $ MkMp/(EI) ds + 2Va Д,
п
где Va= 1/2.
Таким образом, перемещение нагруженного сооружения при нали-
чии осадок опор вычисляется через возможную работу внутренних
сил единичного состояния на перемещениях в действительном состоя-
нии и возможную работу реакций единичного состояния.
§ 42. Теорема Кастильяно.
Принцип наименьшей работы
Сначала дадим выражение для перемещения по направлению
какой-либо силы Р{ (рис. 117, а) через частную производную от
потенциальной энергии [см. (7.7)]. В выражении потенциальной
энергии будем учитывать лишь влияние изгибающих момен-
тов. Момент в произвольном сечении от системы сил
мр=рхЯ+Ргмг +... + р,Я + •  • + рпмп,
где Л41э /И2, ..., М{, ..., Мп— моменты в единичних состояниях
действия отдельных сил Рх, Р2, ..., Р.
Частная производная от момента Мр по Р; будет (рис. 117,6)
дМ„ —
——
дР;
(7.17)
140
Дадим выражение для перемещения Д£ j по направлению силы
Р;. Согласно формуле (7.12),
S
’	« о
или, подставляя значение М{, из выражения (7.17) получаем
S
л V С МР дМр ,
п о
что иначе можно представить так:
О 4 z
По теореме о дифференцировании интеграла по параметру,
L о	j
Но в квадратные скобки заключено выражение потенциальной
энергии системы W р. Следовательно, окончательно
— частная производная от потенциальной энергии (как. функции
внешних сил) по данной силе равна перемещению по направлению
этой силы—теорема Кастильяно.
Перейдем теперь к принципу наименьшей работы. Применительно
к случаю, представленному на рис. 117, а, положим, что Рг — задан-
ная нагрузка, а Р; = Xit Рп = Хп—опорные реакции промежуточных
опор неразрезанной балки. Тогда перемещения по направлениям
сил X,-, Хп будут равны нулю, т. е.
dw„
Д‘.	“ дКп =0,
Это условие минимума потенциальной энергии как функции неиз-
вестных X,-, Х„. Следовательно, усилия в лишних связях статически
неопределимой системы таковы, что они соответствуют минимуму
потенциальной энергии (начало наименьшей работы).
§ 43. Определение перемещений при помощи упругих грузов.
Матричная форма
Общие выражения для упругого груза. Когда речь идет о нахожде-
нии упругой линии арки или пояса фермы — целой совокупности
перемещений различных точек сооружения,—применение формул
(7.11) сопряжено с очень большой вычислительной работой. В арках
141
при произвольном законе изменения момента инерции сечения и
произвольном очертании оси арки интегрирование приходится заме-
нять суммированием, графо-аналитическую интерпретацию которого
представляет собой метод упругих грузов. По наглядности операций
и универсальности метод упругих грузов является одним из самых
эффективных для определения перемещений.
Заданный криволинейный стержень заменяем ломаным, каждый
прямолинейный участок которого выбираем достаточно малым. Про-
извольную нагрузку, действующую на криволинейный стержень, за-
меняем эквивалентной узловой Р„-х, Р„, Рп+1 (рис. 118, а). В общем
упругая линия стержня представляет собой совокупность слабо
изогнутых линий отдельных ветвей для элементов(п—1) — п, п—
142
— (пф-1), связанных условиями неразрезности в узлах. Пренебрегая
местным изгибом прямолинейных элементов за малостью их длин,
представляем упругую линию системы в виде ломаной. Подберем
такую фиктивную сосредоточенную нагрузку, которая, будучи при-
ложена к горизонтальной условной балке, давала бы в виде эпюры
изгибающих моментов искомую ломаную линию прогибов. Если
принять ломаную линию прогибов сооружения за фиктивную эпюру
моментов, то вызывающая ее нагрузка должна представлять собой
систему сосредоточенных сил, приложенных в точках перелома
эпюры моментов.
Обозначим эти фиктивные силы, располагаемые на одних вертика-
лях с соответствующими узлами сооружения, Wn_1, Wn, 1Е„+1. На-
правление фиктивных сил при отыскании вертикальных перемещений
должно быть также вертикальным, иначе говоря, нормальным к оси
условного сооружения (горизонтальной балки). Для сооружения,
опертого на две шарнирные опоры, условным сооружением является
балка на двух шарнирных опорах; для сооружения, заделанного
левым концом с другим свободным концом, заделка в условном
сооружении переносится на свободный конец и т. д.
Обозначим ординаты линии прогибов заданного сооружения под
его узлами через у„, yn+i (рис. 118,6). Найдем выражение
для одного из фиктивных грузов Wn всей системы. Так как эпюра
фиктивных моментов принимается эквивалентной эпюре прогибов, то
yn-t^M^i, уп = М*-, уп+1 = М%+1.
Поперечную силу для условного сооружения в (и-|-1)-й панели
можно представить через поперечную силу в n-й панели:
(а)
при этом поперечная сила принята положительной при направлении
вверх, Wn положительна при направлении вниз. Из выражения (а)
найдем значение 1Г„:
Wn = Q^-Q^.	(б)
Выразим поперечные силы через моменты (рис. 118, в):
Q? = (М* -	= (У„ - Уп-Ж',
Qti = (МФ+1-Л4*)А„+1 = (д,+1-у„)/1„+1.
Подставляя эти значения в выражение (б), получаем
Л7,, = (Уп -Уп-1)	+1 - УпУ/К+1 •
Окончательно упругий груз
W п ~Уп-1 + f Ь \	) Уп '	Уп+1'
\	Л« + 1 /	Лп4-1
Задача определения фиктивного, или упругого, груза сво-
дится к определению обобщенного перемещения, включающего три
узловых соседних перемещения уп, упЛ1. Однако упругие грузы
Wn легко выразить через внутренние силы заданного сооружения.
143
Воспользуемся известным выражением работы двух единичных пар
(1/А.я—1А„) и (1/Л.я+1—1/Ая+1) (рис. 118, д) на перемещениях в дей-
ствительном состоянии. Обозначим внутренние силы действительного
состояния Мр, Np, Qp. Внутренние силы единичного состояния
(А,—нагрузки) будут Мк, NK, QK. Принимая за силовое состояние
воздействие двух единичных пар, возьмем возможные перемещения
в первом действительном состоянии. По теореме возможной работы
сил получаем, пренебрегая влиянием поперечных сил:
1	, i 1 , IV, 1
1 У п-1 т! 1 Т 1 I Уп	1 Уп + 1 —'
\ Лп	ля + 1/	ли + 1
s —	S	—
Г M^Mpds	Г N^Npds
~ 2* J	£7 I" 2-i J EF '
О	о
Таким образом, упругий груз Wn можно выразить только через
внутренние силы системы в заданном и единичном состояниях:
<7.18)
о	о
Рис. 119
144
Мы получили общее выражение упругого груза через внутренние
силы двух состояний. Покажем, что для ломаного стержня при
любом его очертании сумма интегралов правой части распростра-
няется только на два элемента, смежных с узлом п.
В самом деле, жесткое сочленение двух соседних стержней
(я—1) —я и я—(я+1) всегда можно представить в виде ломаной
балки; при этом предполагаем, что в п-м узле нет шарнирного
включения (рис. 119, а). К этой основной системе во втором состоя-
нии прикладываем две единичные пары (рис. 119, б). В единичном
состоянии только в ломаной балке (я — 1) — я, я—(я 4-1) возникают
усилия. Таким образом, выражение (7.18) представится для много-
угольного стержня так:
(7-19)
Дадим развернутую формулу для упругого груза, раскрывая зна-
чения интегралов внутренних сил для соседних стержней сочлене-
ния (я —1)—я —(я-j-l).
На рис. 119, а изображена эпюра изгибающих моментов от за-
данной нагрузки Р в сочленении. Здесь же представлены продоль-
ные и поперечные силы в элементах. Длины элементов обозначим s„,
s„+1, моменты инерции сечений	площади сечений F„, Fn+1.
На рис. 119,6 изображена эпюра моментов в единичном состоянии.
Крайние силы 1/Х„ и 1Дп+1 разлагаем каждую на составляющие —
поперечную и продольную силы. Очевидно, для стержня (я — 1)—я
для стержня я—(яД1)
<+1)=-4-sinP«+i-
Лл + 1
Ординаты эпюры моментов в единичном состоянии для узлов (я — 1),
я, (и-}-1) будут соответственно 0, 1, 0.
Изгибающие моменты считаются положительными, если растяги-
ваются нижние волокна для горизонтального стержня и правые —
для вертикального; продольные силы положительны, если они вызы-
вают растяжение, поперечные левые силы—если они направлены
вверх от оси стержня, поперечные правые—при направлении вниз
от оси.
Применяя для моментов формулу (7.14) и подставляя значения
продольных сил единичного состояния, получим вместо выражения
(7-19)
+2М^ + бДдт (М"+1+2<) +
I ^ + 1 ( sin Ф- + 1 \	( sinP'- ) С
+ ЕГп+1\ Ля+1 JS« + ‘ EF„\ ка
145
Подставляем обозначения относительных удлинений
е„ = #„/(££„)
в выражения работы продольных сил и, заменяя s„ = X„/cosp„,
получаем для Wn окончательно
+2М„) + ^^±1_ (M„+i + 2М„) +
+ e„+1tgp„+1 —e„tgp„.
Это и есть развернутая формула упругого груза для сплошных мно-
гоугольных стержней при произвольном очертании их оси и любом
законе изменения момента инерции. Ее применяют при решении
задач по построению линий прогибов арок со сплошной стенкой.
Для пологих тонких арок при ///^1/4; c/f^l/4 можно, как
указано выше, пренебречь влиянием продольных и поперечных сил.
Тогда выражение упругого груза будет
1Г„= [s„/(6£/„)] (Я,-! + 2MJ + [S„+1/(6E/,I+1)] (М„+1 + 2Л1„). (7.20)
Остановимся на правиле знаков.
На эпюре фиктивных моментов, построенной со стороны растя-
нутого волокна, линия прогибов соответствует действительному по-
ложению. Принимаем эпюру действительных моментов Мр положи-
тельной, если она построена от нижнего растянутого волокна (для
горизонтальных стержней). Тогда вниз же будут направлены и
упругие грузы.
Упругие грузы для ферм. Для построения деформированного
вида шарнирно-стержневой фермы достаточно найти новое положе-
ние ломаной цепи стержней, проходящей через все узлы фермы
(рис. 120, а).
На основе геометрического анализа устанавливаем, что переме-
щение шарнирной цепи стержней фермы является функцией: 1) из-
менений углов между стержнями цепи, 2) составляющих удлинений
стержней цепи е. Зная изменения длин стержней фермы, легко
построить выбранную цепь стержней в деформированном виде. Ли-
ния прогибов для шарнирно-стержневой фермы представляет собой
ломаную линию с переломами под узлами; искривление стержней
шарнирной фермы в отличие от арочной конструкции отсутствует.
Следовательно, эпюру вертикальных перемещений какого-либо пояса
фермы получаем как эпюру фиктивных моментов от системы упру-
гих грузов Wn, приложенных на вертикалях, проведенных через
узлы пояса (рис. 120, б).
Пусть длина панели пояса будет X. Покажем, как для данной
шарнирно-стержневой фермы вычислить упругий груз W,t—W2
с целью дальнейшего построения эпюры вертикальных перемеще-
ний нижнего пояса фермы. Для этого во втором состоянии, т. е.
в состоянии Х-нагрузки (рис. 120, в), к двум соседним стержням
нижнего пояса фермы 1—2 и 2—3 прикладываем две равные и
противоположные по направлению пары сил, каждая с моментом,
равным единице; следовательно, каждая из сил пары равна 1/Х.
146
dj	Заданная система,
Р
।	„		, i	।	„	।
। Состояние л-нагоизки аля
Рис. 120
Как было указано выше, при отыскании вертикальных перемеще-
ний упругий груз W п представляет собой взаимный угол поворота
горизонтальных проекций элементов цепи стержней. При нахожде-
нии перемещений пояса фермы упругий груз W п равен взаимному
углу поворота его соседних элементов. Значение его для шарнир-
но-стержневой фермы, очевидно, будет функцией лишь продольных
сил в ее стержнях и выразится формулой
Wn = ^^Nps!(EF).
Матричная форма вычисления перемещений при помощи упру-
гих грузов. Принимая во внимание, что прогибы уп (см. рис. 118, а)
по методу упругих грузов могут быть определены как фиктивные
изгибающие моменты от упругих грузов W t (1 = 1, 2, ..., л), полу-
чаем для прогибов у по аналогии с выражением (3.13) матричное
147
уравнение
y-LHW,
где Lm — матрица влияния моментов; IF —упругие грузы.
По А. Ф. Смирнову [8], можно дать следующее матричное вы-
ражение для упругих грузов. Учитывая влияние лишь моментов и
деля брус на равные участки длиной s, получим в соответствии
с выражением (7.20)
где
W = — В (—
6 1 \Е1 ) ’
~4 1
1 4 1
1 4 1
— матрица Якоби, так как согласно выражению (7.20) имеем трех-
членное выражение.
Глава 8
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
§ 44. Понятие о пространственных системах
Пространственными называют такие шарнирно-стержневые си-
стемы, элементы которых расположены не в одной плоскости. Все
сооружения являются пространст-
венными, но многие из них можно
расчленить на отдельные плоские
системы, работающие независимо. Су-
ществуют все же такие пространст-
венные системы, которые невозмож-
но разложить на отдельные плоские
системы (различные башенные и кра-
новые конструкции, купола и др.).
Пространственные системы по ха-
рактеру образования делятся на сле-
дующие основные виды: рамы, обо-
лочки и фермы.
Рама (рис. 121) представляет со-
бой пространственное жесткое соч-
ленение стержней между собой в уз-
лах.
Оболочка — пространственная
тонкостенная конструкция, средин-
ная поверхность которой криволиней-
на (см. гл. 19).
143
Пространственная ферма — геометрически неизменяемая
система стержней, соединенных между собой пространственными
шарнирами. На рис. 122 в двух проекциях показана пространст-
венная шарнирно-стержневая статически определимая ферма в виде
купола. От действия вертикальной силы Р, приложенной в узлеп,
возникают усилия в стержнях пт, по, nh, то, тр, hw, hi, ho и т. д.
Теория расчета и проектирования пространственных ферм су-
щественно развита отечественными учеными. В частности, В. Г. Шу-
хов предложил целесообразный тип водонапорной башни в виде
сетчатой пространственной фермы, прямолинейные элементы которой
располагаются на гиперболоиде вращения (рис. 123).
При расчете пространственных ферм предполагается, что все
стержни фермы соединены в узлах идеальными шаровыми
шарнирами, обеспечивающими вращение концов вокруг трех
взаимно перпендикулярных осей. Нагрузку, действующую на ферму,
принимают узловой. Следовательно, в стержнях пространственной
фермы возникают лишь продольные усилия.
149
§ 45. Виды опор и неизменяемость
пространственных ферм
Типы опор пространственных ферм и классическое опирание.
Опора первого типа —ш а р и и р н о неподвижная шаровая
опора (рис. 124, а). Шаровой вкладыш этой опоры а находится
в сферических углублениях верхнего и нижнего балансиров, не-
подвижно прикрепленных соответственно к узлу с пространственной
системы и опорной подушке Ь. Реакция такой опоры проходит че-
Рис. 124
рез центр шарнира и имеет три составляющие X, Y, Z (см. условное
изображение этого типа опоры в виде трех стержней, не лежащих
в одной плоскости, на рис. 124, а, справа). Зная составляющие X,
Y, Z полной реакции опоры R, находим ее значение.
Опора второго типа — п о д в иж н а я цилиндрическая
опора (рис. 124, 6}—отличается от предыдущей тем, что нижняя
подушка расположена на цилиндрических катках. Условно эту опору
изображают в виде двух опорных стержней, нижние шарниры ко-
торых расположены на прямой bbr, параллельной оси X (рис. 124, б,
справа). Такая опора может перемещаться перпендикулярно плоскости
чертежа. Реакция R действует в плоскости ZX.
Опора третьего типа — п о д виж н а я шаровая опора
(рис. 124, в). Нижняя подушка опоры покоится на шаровых катках.
Реакция опоры имеет единственное направление, нормальное к пло-
скости качения XY.
Опора четвертого типа —полное защемление (рис. 124, г),
в которой возникают три составляющие сил Z, Y и X и три мо-
150
мента защемления Мг (в плоскости XY), Му (в плоскости ZX) и
Мх (в плоскости ZY). Условное изображение опоры четвертого типа
можно представить в форме прикрепления тела шестью опорными
стержнями.
Рассмотрим сначала классическое опирание пространственной
фермы (рис. 125, а), заменив ее твердым телом. Для неизменяемого
Iz‘
°)
и
Рис. 125
фермы (рис. 125, а), заменив ее твердым
прикрепления пространственной фер-
мы (блока) к земле необходимо дать
шесть опорных стержней, располо-
женных не менее чем в трех точках:
в точке А — трехстержневую (шарнир-
но неподвижную) опору; в точке В —
двухстержневую подвижную опору с
цилиндрическими катками, направ-
ление движения которых перпенди-
кулярно плоскости стержней 1 и 2,
и в точке С — одностержневую опору
(подвижную шаровую опору с шаро-
выми катками, плоскость движения
которых перпендикулярна условному
стержню 6 этой опоры).
Таким образом, для неизменяе-
мого прикрепления сооружения к
основанию требуется шесть опорных
стержней: в узле Л —три опорных
стержня, не лежащих в одной плос-
кости; в узле В—два стержня, плос-
кость которых не проходит через
центр неподвижной опоры А, и в опоре
правление которого не пересекает линию
С не должны лежать на одной прямой. Вообще опорные стержни
следует располагать так, чтобы нельзя было найти линию, пересе-
кающую все шесть направлений стержней (линию, момент всех
опорных реакций относительно которой равен нулю).
Определение опорных реакций. Опорные реакции для простран-
ственной статически определимой системы (рис. 125, а) находят,
используя шесть условий равновесия:
SX-0; £У = 0; 2^ = 0; 2^ = 0; 2^ = 0; 2Ж = 0. (8l)
С —один стержень, на-
АВ. Три точки А, В и
Это не единственная система уравнений, применяемых при опреде-
лении реакций.
Обычно стремятся оси, относительно которых берутся моменты,
выбирать так, чтобы уравнения равновесия содержали наименьшее
число неизвестных. Так, предположив, что плоскость стержней
опоры В параллельна направлению оси АС, получим:
1)	2^/c = 0> так как *ь параллельна АС; отсюда легко на-
ходим Zb;
2)	отсюда определяем Zc;
3)	^Мвс^-0 (или j^Z = O); отсюда находим Za;
151
4)	2^а = 0 при условии, что вертикальная ось проходит че-
рез точку А; отсюда находим Хь;
5)	= Q ПРИ условии, что ось U — U перпендикулярна на-
правлению АВ-, отсюда находим Ха',
6)	2У = 0; отсюда определяем Y а.
Первые четыре уравнения составлены по способу «моментных
осей», который часто используется для определения усилий в стерж-
нях фермы.
Неизменяемое соединение двух блоков. Случаи неправильного
прикрепления. Остановимся на неизменяемом соединении двух бло-
ков I и II, которые можно рассматривать как неизменяемые части
фермы. Те же правила относятся и к способам неизменяемого при-
крепления фермы / к земле II (рис. 125, б). Для неизменяемого
статически определимого соединения двух блоков I и 11 необходимо
дать шесть стержней, причем:
1)	три шарнира А, В, С не должны лежать на одной прямой;
2)	плоскость, в которой лежат стержни 4 и 5, не должна сов-
мещать точку А;
3)	направление стержня 6 не должно пересекать линию АВ.
152
В таком случае нельзя найти линию, пересекающую все шесть
направлений стержней, момент опорных усилий относительно кото-
рой был бы равен нулю.
Перейдем теперь к случаям неправильного прикрепления про-
странственных ферм к земле.
На рис. 126 приведены два исключительных случая изменяемого
прикрепления. На рис. 126, а линия ah, параллельная направле-
ниям стержней 4, 5, 6 и проходящая через точку а, пересекает все
направления. На рис. 126, б пять из шести направлений стержней
располагаются в двух плоскостях, пересекающихся по линии, па-
раллельной направлению стержня 6, и момент относительно оси
стержня 3 всех опорных усилий равен нулю (стержни 1,2,3 лежат
в одной вертикальной плоскости, стержни 4, 5—в другой верти-
кальной плоскости, пересекающейся с первой по линии 3).
На рис. 127, а представлен случай, когда больше трех направ-
лений лежат в одной плоскости. Найдем точки пересечения А и В
плоскости, совмещающей направления стержней 1, 2,3,4 с направ-
лениями стержней 5, 6. Линия АВ пересекает все шесть направле-
ний и потому диск I к диску II прикреплен неправильно. На
рис. 127, б представлен случай, когда больше трех направлений
параллельны друг другу (или пересекаются в одной точке). В дан-
ном виде соединения четыре стержня 1, 2, 3, 4 параллельны друг
другу и, если за ось проекций выберем линию ah, а нагрузка дей-
ствует вдоль оси ah, равновесие невозможно.
Опорное кольцо. Выше рассмотрен классический случай опира-
ния блока или фермы на три точки, не лежащие на одной прямой
(см. рис. 125). Для равномерности передачи усилий обычных мо-
стовых конструкций целесообраз-
но дать четыре опорных узла. Та-
кой случай статически опреде-
лимого опирания представлен на
рис.128, причем роль трехстерж-
невого узла играет точка d пере-
сечения стержней 1, 2, 3. Однако
при этом имеем лишь три верти-
кальных опорных стержня и нет
возможности выделить две балоч-
ные фермы ab и cd. Поэтому час-
то переходят к статически неопре-
делимому опиранию блока на
землю. Такие виды опирания при
помощи опорного кольца представлены на рис. 129, а, б. Здесь
в каждом углу блока имеется вертикальный опорный стержень, что
обеспечивает симметричную передачу нагрузки на вертикальные
фермы, располагающиеся в двух плоскостях ас62 и bd75. При дей-
ствии вертикальной нагрузки, приложенной в вертикальных пло-
скостях ас и bd, усилия в горизонтальных опорных стержнях можно
принять равными нулю и вести расчет, расчленяя систему на от-
дельные плоские фермы.
153
ал
Рис. 129
Простейшие фермы. Признаки их неизменяемости. Простейшие
шарнирно-стержневые пространственные фермы имеют регулярную
структуру в форме последовательного прикрепления каждо-
го узла тремя стержнями, не лежащими в одной
плоскости (рис. 130). На
рис. 130, а узел D прикреплен
р тремя стержнями к шарнирно
неподвижным узлам А, В, С,
каждый из которых закреплен
трехстержневой опорой. На рис.
130, б изображено простейшее
опорное кольцо А ВС, соединен-
ное с фундаментом при помощи
классического опирания; к трем
неподвижным узлам прикреп-
ляется четвертый узел D тремя
р стержнями. На рис. 131 приве-
ден пример простейшей прост-
ранственной башни треугольно-
го сечения, представляющей
собой совокупность стер-
жневых тетраэдров: узел
1 прикреплен тремя стержнями
к узлам Л, В, С, узел 2 — тре-
мя стержнями к узлам А, 1,
В и т. д. Можно дать следую-
щий аналитический
признак неизменяемости
ферм в виде соотношения между числом их стержней sx и числом
узлов k. Для взаимного соединения четырех узлов первого шар-
нирно-стержневого тетраэдра АВС1
с фундаментом (рис. 131) не-
Рис. 130
обходимо дать шесть стержней; для присоединения каждого после-
дующего узла из оставшихся узлов —по три стержня на каждый
154
узел. Общее число стержней
s1 = 6 + 3(A-4),
или
Sj = 3k— 6.
(8.2)
Соотношение (8.2)
можно представить так:
б]4-6^3/г,
где Sj-J-6—общее
его s.
Аналитический
число стержней вместе с опорными;
обозначим
признак неизменяемости выражаем так:
s = 3k.
(8.3)
Пространственная ферма, для которой соблюдается соотношение
(8.3), может быть неизменяемой. Если s
изменяема. Если s > 3k,
3k, система безусловно
система имеет лишние связи. Так как
условие неизменяемости (8.3) явля-
ется необходимым, но недостаточным,
то для окончательного заключения о
5
6
Рис. 131
неизменяемости необходимо провести соответствующий анализ
структуры системы или дать аналитическое исследование определен-
ности усилий при действии произвольной нагрузки.
Остановимся на основных геометрических признаках
неизменяемости пространственных ферм:
1) ферма неизменяема, если каждый узел фермы последователь-
но прикрепляется к трем предыдущим узлам тремя стержнями, не
лежащими в одной плоскости;
2) ферма неизменяема, если она составлена из блоков (неизме-
няемое тело), связанных между собой попарно шестью стержнями,
расположение которых удовлетворяет условиям неподвижности со-
единений блоков (см. § 45).
155
Вообще, если имеем п блоков, то число связующих блоки стержней
определяется по формуле
С = 6(п—1).
Сетчатые фермы. Сетчатой называем такую систему, в кото-
рой все стержни фермы расположены лишь на плоскостях граней
многогранника, а все узлы —на линиях пересечения граней (рис. 132).
Для рационального прикрепления сетчатых ферм многоугольного
Рис. 133
сечения к земле необходимо использовать конструкцию в виде
опорного кольца, причем под каждым вертикальным ребром
сооружения располагается вертикальный опорный стержень (рис. 133).
В первом варианте опорного кольца (рис. 133, а) каждый узел по-
следовательно прикреплен тремя стержнями: в узлах 1,2пЗ, рас-
положенных через один, даны трехстержневые опоры в виде двух
горизонтальных стержней и одного вертикального. В промежуточ-
ных узлах между трехстержневыми опорами, т. е. в узлах 4, 5 и 6,
опоры имеют один вертикальный опорный стержень. Другой вариант
опорного кольца представлен на рис. 133, б, где каждый опорный
узел получает по два опорных стержня.
Докажем неизменяемость последней системы методом нуле-
вой нагрузки. Заметим, что в каждом из шести узлов сходится
по четыре стержня, но три из них лежат в одной плоскости. Вы-
резаем узел а и проектируем все силы, приложенные к узлу, на на-
правление, перпендикулярное плоскости стержней 1, 7, 8. В полу-
ченное уравнение проекций войдет только проекция усилия 56, так
как ось проекций перпендикулярна направлениям стержней 1, 7, 8.
В результате составленного уравнения равновесия получим S3 = 0.
Стержень 6 можно назвать «отдельно направленным». Подобным же
образом получим, что усилия Sx, S2, S3, S4 и S5 равны нулю. Сле-
довательно, в каждом узле остается по два опорных стержня, уси-
лия в которых при отсутствии нагрузки равны нулю. Отсюда сле-
дует, что система неизменяема.
156
§ 46. Расчет пространственных ферм
Сложение и разложение сил, сходящихся в одной точке. Спосо-
бы сложения и разложения сил в пространстве известны из курса
теоретической механики. Для системы сил, сходящихся в одной
точке (рис. 134, а), последовательно применяем принцип паралле-
лограмма сил: найдя равнодейст-
вующую сил 3, и S2, склады-
ваем ее с силой З3; затем их
равнодействующую —с силой 34 и
т. д. Замыкающая пространствен-
ной системы векторов 32,.. . да-
ет равнодействующую всех сил R.
-Разложение силы R на три
направления в пространстве 1,2,3
(рис. 134, б) производим так: на-
ходим линию пересечения 0 — 4
плоскости, проведенной через нап-
равления сил R и Р1, с плоскостью,
совмещающей направления уси-
лий Р2 и Р3, и разлагаем силу R
на составляющие Рх и 3. Затем
разлагаем силу S на две состав-
ляющие по направлениям Р2 и Р3.
Способ проекций и способ мо-
ментов. Поспособупроекций
(рис. 135), вырезая узел 0, гдесхо-
Рис. 134
дятся три стержня, проектируем
все силы Р, S4, S2 и Ss на направление, перпендикулярное пло-
скости, совмещающей два других усилия, например 32 и З3. Пусть
нормаль к плоскости S2 — S3 будет On. Тогда уравнение проекций
всех сил на ось On будет
cos а — Р cos р = О,
откуда
S4 — Pcosp/cosa.
По способу моментов для определения усилия S, состав-
ляем сумму моментов относительно оси АВ, пересекающей направ-
ления S2 и З3. Тогда условие равновесия в виде суммы моментов
относительно оси АВ будет
S4r cos ct— Pr cos|3 = 0,
где введены составляющие сил Р и 34 па направление нормали On
к плоскости О АВ, а г—длина перпендикуляра, опущенного из
точки О на ось АВ.
Способ моментных осей был применен в § 45 при оп-
ределении шести составляющих реакций [см. рис. 125, а и форму-
лы (8.1)].
157
Расчет простейших пространственных ферм. Расчет пространст-
венных ферм, расчленение которых на плоские невозможно, про-
водится аналогично расчету плоских ферм. Для простейших ферм
можно указать на: 1) способ моментных осей и 2) способ проекций.
Рис. 1.36
По способу моментных осей для независимого определения уси-
лия в каком-либо стержне трехстержневого узла составляем сумму
моментов относительно оси, пересекающей направления двух дру-
гих стержней.
Усилия в простейших фермах легко определяются по способу
вырезания узла последовательным разложением силы на три на-
правления. Пусть, например, требуется определить усилия Sx и S2=S3
в стержнях простейшей трехстержневой фермы по рис. 136 при
действии на узел О вертикальной силы Р. Проектируя все силы,
действующие на узел О, на вертикальную ось, перпендикулярную
плоскости стержней S2 и S3, получаем:
Р 4-Sj cos а = О,
Sj = — P/cosa.
Проектируя силы, действующие на узел 0, на горизонталь и
вводя равнодействующую сил S2 и S3, которую обозначим Т?23, по-
лучаем
S, sina + R,3 = О,
откуда
Т?23 = — S, sin а = Р tg а.
По равнодействующей сил S2 н S3, принимая во внимание, что
S2 = S3, находим составляющую
R.a = 2S2cosp,
откуда
S2 = 7?23/(2 cos P) = P tg a/(2 cos P).
158
Расчет стержневого купола Швед л ер а, ортогональ-
ные проекции которого даны на рис. 122, при действии вертикаль-
ной силы Р, приложенной в узле п (см. проекцию на вертикаль-
ную плоскость V), ведем в следующем порядке.
Рассматривая равновесие узлов g, х, s, j, т по способу «от-
дельно направленного стержня», находим нулевые усилия во всех
стержнях купола, показанных на
рис. 122 тонкими линиями. Затем
силу Р разлагаем на направления
пт, по, nh; усилие Snm— на на-
правления то и тр\ усилие Snft —
на направления hw, hi, ho и т. д.
Расчет крана. Схема крана пред-
ставлена в аксонометрии па рис.
137, а. В верхнем узле С крана при-
ложена вертикальная силаР. Разме-
ры крана даны на вертикальной и
соответственной горизонтальной его
проекции (рис. 137, б, в). Высота кра-
на h = 3 м, пролет / = ЛЕ = 5м, вы-
нос верха стрелы а = 2 м. Длины
стержней: АС = 7,6 м, СР = 3,6 м,
DE = BE = 1 м. Для углов наклона
а, р, у и 6 имеем tga=3/7; tgр =
= 1/5; tgy = 2/3; tg6= 1/3,6, откуда
определяем sin и cos каждого угла.
Определить усилия в стержнях кра-
на и вертикальную реакцию RA.
Разложим силу Р на направления
АС и СЕ для определения 5ЛС и РСЕ.
Проектируя эти силы на вертикаль-
ную и соответственно на горизонталь-
ную ось, получаем
Р 4- SAC sin а — RCE cos у = 0; S/tc cos а — RCE sin у = 0.
В данном случае SX(- = 1,02 Р; RCE =—1,69 Р. Стержень АС рас-
тянут.
В плоскости CDB разложим силу RCE на направления СВ и CD:
2Scscos6 = RCE; SCB = SCD= — 0,88P.
В этой же плоскости определяем одну из составляющих усилия SBD:
SEO - - SCB sin 6 = — 0,24P.
Рассматривая горизонтальную плоскость ABD, прежде всего
находим равнодействующую RAE усилий SAD и SAB как горизон-
тальную составляющую 5ЛС:
Rae = — 5ЛС cos а = — 0,935Р.
159
Теперь для SAS получаем
Sjb = ^ле/(2 cos Р) = — 0,48Р.
Для второй составляющей усилия SBD имеем
Sbd — — ^xs/sin р = 2,45Р.
Полное усилие SBD и реакции RA, RD:
SBD=2,21P; Ra = — 0,4P; Rd=0,7P.
Расчет пространственных ферм путем разложения их на плоские.
Нередко расчет пространственных, призматических ферм можно
осуществлять путем разложения их на отдельные плоские фермы,
причем нагрузка произвольного направления разлагается при этом
на составляющие, действующие в плоскостях отдельных плоских
ферм.
Рассмотрим, например, пространственную сетчатую ферму, пред-
ставленную на рис. 138. Решетка дается лишь в вертикальных
гранях этой пространственной фермы, никаких поперечных связей
не требуется. Нетрудно убедиться в неизменяемости данной фермы,
применяя метод нулевой нагрузки. Определим усилия в стержнях
этой фермы, если на нее действуют горизонтальные силы по диаго-
нали шестиугольного поперечного сечения фермы (ag, а^). Каждую
из сил разлагаем на две горизонтальные составляющие, например
силу Р на Нас, НаЪ, расположенные в плоскостях граней фермы
160
acfe и abde (рис. 139). Внешние силы теперь действуют в плоско-
стях граней acfe и abde. Следовательно, усилия возникают только
в элементах этих плоских ферм. Очевидно,
Нас = Hab = HaiCt = Haibi = Р.
Рассматривая теперь плоские фермы acfe и abde отдельно, опреде-
ляем усилия в их элементах. Значения этих усилий указаны на
рис. 139. Суммарные усилия стержней aalt ate и 3 пространствен-
ной фермы будут
Saa=P\ Sa^±P- S3 = -6A
В данной главе рассмотрены статически определимые системы.
Расчет пространственных статически неопределимых рам изложен
в § 56.
6 №1116
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
Глава 9
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ МЕТОДОМ СИЛ
§ 47. СТАТИЧЕСКАЯ НЕОПРЕДЕЛИМОСТЬ
Простейшие критерии. Статически неопределимой
называют такую систему, которая не может быть рассчитана с ис-
пользованием одних условий равновесия, так как имеет лишние
связи. За лишние принимают те связи, которые необходимо отбро-
сить для получения статически определимой и геометрически
неизменяемой системы. Количество лишних связей, которые следует
удалить из статически неопределимой системы для обращения
ее в статически определимую и геометрически неизменяемую,
называют степенью статической не-
, определимости. Можно различать:
'	"	"	1) внешне статически неопределимые
и 2) внутренне статически неопре-
делимые системы. Как выяснится из
дальнейшего, это разделение являет-
2	2 6	ся условным.
А	Внешне стати чески неоп-
....	редел и мой называют такую сис-
Рис- 140	тему, которая имеет только лишние
внешние связи, т. е. лишние опорные
закрепления. Примером внешне статически неопределимой системы
является трехпролетная рама (рис. 140). Степень статической неоп-
ределимости подобной системы Сн легко установить по числу
опорных стержней ее т, вычитая из него число небходимых стерж-
ней для неизменяемого прикрепления системы к земле:
Сн = т — 3,
где т — общее число опорных стержней при замене шарнирно не-
подвижной опоры двумя стержнями, а защемления— тремя опор-
ными стержнями.
Для рамы, изображенной на рис. 140, заменяя защемление тремя
опорными стержнями, получаем т = 8; С„ = т — 3 = 5. Система пять
раз статически неопределима.
162
Внутренне статически неопределимой плоской
называют систему (прикрепленную к фундаменту лишь тремя опор-
ными стержнями), обладающую лишними связями, введенными для
взаимного соединения ее частей. Двухопорная рама с повышенной
затяжкой (рис. 141, д) являет-
ся системой внешне статически
определимой, но внутренне
однажды статически неопреде-
лимой. В этой раме помимо
соединения сечений а и b ло-
маным стержнем имеется затяж-
ка ab, шарнирно прикрепленная
к стойкам. На рис. 141,6 показа-
на статически определимая ра-
ма, полученная из заданной
статически неопределимой сис-
темы путем разрезания затяжки
ab, причем действие взаимной
связи частей затяжки заменено
неизвестными осевыми силами Л\.
Получаем одно неизвестное — продольное усилие Л\ в затяжке ab,
соответствующее одной лишней связи.
При наличии замкнутого бесшарнирного контура получим трижды
статически неопределимую систему (рис. 142,а). Действительно,
после разрезания затяжки
ab перейдем к статически
определимой системе —
двухопорной раме с кон-
солями ас и Ьс (рис. 142,
б). Взаимную жесткую
связь частей ас и Ьс ниж-
него ригеля рамы следует
возместить усилиями Nt,
Qj и Mj, которые нельзя
найти из условий равно-
весия. Итак, замкнутый
бесшарнирный контур име-
ет три лишние связи (по
числу трех лишних неиз-
вестных, обнаруженных
разрезом).
Если система содержит п замкнутых бесшарнирных контуров,
то она, очевидно, будет 3/г раз статически неопределима, так
как каждый замкнутый бесшарнирный контур дает три лишние
связи. Так, переходя от рамы, имеющей три замкнутых бесшарнир-
ных контура (рис. 143,а), к статически определимой системе
(рис. 143,6), устанавливаем, что система девять раз статически не-
определима.
Заметим, что любую внешне статически неопределимую сис-
тему можно обратить во внутренне статически неопределимую.
6*
163
Для этого достаточно ввести в рассмотрение опорный диск, кото-
рый полагаем прикрепленным к земле. Рассмотрим, например,
раму, обе стойки которой защемлены (рис. 144, а). Система внешне
трижды статически
неопределима. Объединяя защемления А и В
и вводя опорный диск АВ
в качестве элемента самой
конструкции (рис. 144, б),
получим внутренне стати-
чески неопределимую сис-
тему с тремя лишними
связями.
Степень статической
неопределимости для сис-
тем с соединениями раз-
личных видов. Установим
простой критерий для оп-
ределения степени стати-
ческой неопределимости
стержневой системы, имею-
щей любые замкнутые кон-
туры с шарнирными вклю-
чениями.
В сооружениях встре-
чаются узловые соединения трех видов (рис. 145): 1) жесткая
связь стержней в узле (а); 2) соединение полным шарниром (б),
когда все стержни, сходящиеся в узле, связаны шарнирно; 3)
соединение неполным шарниром (в), когда одна часть стержней
в узле прикреплена шарнирно,
а другая их часть— жестко.
Рис. 145
При наличии шарнирного прикрепления конца стержня к узлу
получаем добавочное условие равенства нулю изгибающего момента
в центре шарнира. При этом нужно иметь в виду, что для любого
узла можно составить общее условие равновесия:
2^4,= °,
п
(9.1)
164
где Mi—внутренний момент в сечении у узла для данного стерж-
ня. Это условие должно соблюдаться для узлов различного вида.
Для полного шарнира получаем столько добавочных урав-
нений равновесия, сколько стержней сходится в узле без одного.
Принимая во внимание уравнение (9.1), для узла по рис. 145,6
составляем четыре следующих дополнительных условия равновесия:
Ma = Mb = Mc=Md~=0.
Условие же равенства нулю момента Ме вытекает из уравнения
(9.1).
Для неполного шарнира (сравнивая это соединение с
жестким) имеем столько условий равновесия, сколько всего стерж-
ней в узле прикреплено шарнирно. Так, для узла по рис. 145, в
можно написать:
Mb = Q; Мс = 0-, Md = 0.
Общий прием установления степени статической неопределимос-
ти любой стержневой системы со смешанными прикреплениями за-
ключается в следующем. От данной сис-
темы (рис. 146), имеющей как жесткие,
так и шарнирные соединения в узлах
(объединяя опорные части в общий опор-
ный диск), переходим к системе, содержа-
щей лишь замкнутые бесшарнирные кон-
туры, и определяем по числу п замкну-
тых ее контуров степень статической
неопределимости преобразованной систе-
мы Зп. Наличие же в заданной системе
шарнирных соединений позволяет сос-
тавить добавочные условия равновесия
вида Л4,- = 0.
Подсчитываем общее число g добавоч-
Рис. 146
ных условий равновесия, определяемых наличием шарниров. При
этом принимаем во внимание указанные выше правила подсчета
числа добавочных условий равновесия для полных и неполных
шарниров. Для рамы, изображенной на рис. 146, имеем два пол-
ных и четыре неполных шарнира, над каждым из которых на
рисунке указано добавочное число условий равновесия. Общее чи-
сло добавочных условий равновесия §=10.
При п замкнутых контурах и g дополнительных степенях сво-
боды, которые дают шарниры, степень статической неопределимости
устанавливают по формуле
Си = 3п — g.
Это наиболее простой критерий установления степени статичес-
кой неопределимости плоской системы, состоящей из замкнутых
контуров. Для рамы по рис. 146 получаем
Сн = 3п—§ = 3-5 — 10 = 5.
Система пять раз статически неопределима.
165
Для более сложных систем при совмещении контуров целесо-
образно применять общий метод, заключающийся в последователь-
ном удалении всех лишних связей. Это удаление связей можно
производить: а) отбрасыванием лишних опорных стержней; б) про-
ведением разрезов, причем каждый разрез стержня, жестко прикре-
пленного к узлам, равносилен отбрасыванию трех связей; в) вклю-
чением шарниров п т. д.
§ 43.	Основные свойства статически неопределимых систем.
Методы расчета
Основные свойства систем с лишними связями. Отметим сле-
дующие свойства статически неопределимых систем:
1.	Статически неопределимое сооружение ввиду наличия доба-
вочных лишних связей оказывается по сравнению с соответствую-
щей статически определимой системой более жестким.
2.	В статически неопределимой системе ввиду ее большей связ-
ности (сравнительно с соответствующей статически определимой
системой) при той же нагрузке возникают меньшие усилия, следо-
вательно, статически неопределимые системы более экономичны.
3.	Нарушение лишних связей статически неопределимых систем
(или их перенапряжение) не ведет к немедленному разрушению
всего сооружения, так как удаление этих связей приводит к гео-
метрически неизменяемой системе, в то время как потеря связи в
статически определимой системе приводит к изменяемой системе.
4.	Усилия в статически неопределимых системах зависят от раз-
меров сечений и формы сооружения, а при различных модулях
упругости —также от соотношения между ними. Изменение разме-
ров сечений стержней статически неопределимой системы при-
водит к изменению усилий в связях и новому распределению уси-
лий во всей системе. Обычно сначала проводят ориентировочный
расчет статически неопределимой системы, затем устанавливают
отношения жесткостей стержней, после чего осуществляют более
точный расчет системы. Заметим, что нельзя отбрасывать так назы-
ваемые необходимые связи, такие, после удаления которых си-
стема становится изменяемой.
5.	В статически неопределимых системах температурное воздей-
ствие, осадка опор и неточность изготовления и сборки вызывают
дополнительные усилия. Наличие стержней, длина которых не со-
ответствует проектной, а также температурное воздействие, вызы-
вающее перемещение по направлению избыточных связей, создают
дополнительные усилия, которые могут быть весьма значительными.
Методы расчета статически неопределимых систем. Различают
следующие важнейшие методы расчета статически неопределимых
систем: 1) метод сил; 2) метод перемещений (деформаций); 3) сме-
шанный метод. При расчете по методу сил за основные неизве-
стные принимают усилия в лишних связях. При расчете по ме-
тоду перемещений неизвестными являются перемещения, выз-
ванные деформацией системы, знание которых достаточно для
166
определения всех усилий. При использовании смешанного
метода за неизвестные принимают частично силы, частично пере-
мещения.
Кроме указанной классификации методы расчета статически
неопределимых сооружений можно расчленить по степени их точ-
ности, по области работы материала сооружений, по особенностям
расчетных операций и т. д. По степени точности различают точные
и приближенные методы расчета. Точные методы расчета бази-
руются на обычных основных допущениях, принятых при расчете
достаточно жестких сооружений (закон Гука, расчет по недеформи-
рованной схеме, принцип сложения действия сил). Приближен-
ные методы расчета, кроме обычных упрощений, используют
дополнительные допущения, что обусловливает заметное отклонение
от результатов точных методов расчета. По области работы мате-
риала различают расчет сооружений в упругой стадии и
расчет сооружений за пределом упругости. По особенностям
расчетных операций методы расчета можно разделить на вычис-
лительные и экспериментальные.
§ 49. Основная система при расчете рам методом сил.
Канонические уравнения
Порядок расчета. Рассмотрим порядок проверочного расчета
статически неопределимой рамы на действие неподвижной на-
грузки. При расчете рам произвольного очертания целесообразно
от заданной статически неопределимой рамы переходить к основ-
ной статически определимой системе. Основной называют
такую систему, которая принимается в основу расчета данной
статически неопределимой конструкции. По основной системе уста-
навливают перемещения и усилия, по которым находят лишние
неизвестные, применяя уравнения совместности перемещений, затем
определяют окончательные усилия для заданной системы.
Общий порядок расчета рамы методом сил следующий.
От заданной статически неопределимой системы переходим к
основной системе — статически определимой и ’ неизменяемой,
которая получается из заданной системы путем отбрасывания всех
лишних связей (за исключением необходимых).
Заменяем отброшенные лишние связи соответствующими им си-
лами, называемыми лишними неизвестными Х1( Х2, Ха и т. д.
Составляем уравнения совместности перемещений, выражаю-
щие условия равенства нулю перемещений по направлению каж-
дой лишней связи.
Определив все коэффициенты при неизвестных и свободные чле-
ны уравнений совместности перемещений, решаем систему этих
уравнений и находим лишние неизвестные, после чего строим
эпюры М, Q и N для рамы.
Уравнения совместности перемещений метода сил, написанные
в определенной, раз навсегда установленной форме, называют
каноническими уравнениями метода сил.
167
Рассмотрим порядок расчета простейшей несимметричной ста-
тически неопределимой рамы (рис. 147, а). В данном случае сис-
тема дважды статически неопределима. От заданной статически
неопределимой системы переходим к основной системе, отбрасывая
шарнирно неподвижную опору (рис. 147, б). Получаем основную
систему в виде рамы, защемленной правым концом, со свободным
левым концом. Действие неподвижной опоры возмещаем силами
и Х.2— составляющими реакции неподвижной опоры. Это один из
вариантов основной системы.
Можно предложить другой вариант основной системы —в виде
двухопорной рамы; отбрасывая защемление правой опоры, заменя-
ем ее действие моментом Х'г; ликвидируя горизонтальное закрепле-
ние левой опоры, возмещаем ее действие горизонтальной реакцией
Х[ (рис. 147, в)
И еще один вариант основной системы —в виде трехшарнирной
рамы acb (рис. 147, а); действие лишних связей при этом возме-
щаем моментами Х2 и Х2, где моменты X'.i заменяют жесткую связь
соседних сечений в заданной системе. Меняя положение шарнира с,
получаем ряд вариантов основных систем.
Наиболее простой является основная система в виде защемлен-
ной рамы (рис. 147,6), для которой проще всего строится эпюра
изгибающих моментов.
Выбрав основную систему и представив действие лишних связей
неизвестными силами Х2 и Х2, составляем канонические уравне-
ния.
168
Каждое уравнение совместности перемещений, как было отме-
чено, выражает условие равенства нулю перемещения по направ-
лению лишнего неизвестного. В заданной раме (рис. 147, а) вер-
тикальное и горизонтальное перемещения центра неподвижной
опоры а равны нулю. Те же условия должны выполняться и для
основной системы (рис. 147,6). Условия равенства нулю верти-
кального и соответственно горизонтального перемещений точки а
можно выразить так:
АХ1(Л1Л-2р) = 0; AA-2(x,x2p) = 0,	(9.2)
где Ах.и.^р) — вертикальное перемещение точки а, т. е. перемеще-
ние по направлению силы X, от действия сил Хп Х2 и нагрузки р;
AXs(X1x2p) — горизонтальное перемещение точки а по направлению си-
лы Х2 от действия сил Х1( Х2 и нагрузки интенсивностью р.
Чтобы выразить уравнения (9.2) в явной форме через лишние
неизвестные, применим известный из предыдущего принцип неза-
висимости действия: перемещение, вызванное системой сил, пред-
ставим в виде суммы перемещений, вызванных отдельными силами
X,, Х2 и нагрузкой интенсивностью р. Вместо уравнений (9.2) по-
лучим:
Ах1Л-,-|-A.i|A1. | - АХ|Р — 0; ДЛ-2Х1Ах2Л.2Ах,р = 0,	(9-3)
где первый индекс в выражении перемещения указывает, по на-
правлению какой силы совершается перемещение, а второй индекс
отмечает, какой силой вызвано перемещение.
Для краткости опустим в индексах при всех перемещениях бук-
ву х, оставив лишь номер лишнего неизвестного. Тогда вместо
уравнений (9.3) получим
Аи + Л12 + Л1Д=°,1	(94)
а21 + а22+а2/,=о./	?
Перемещения А1р и А2р, вызванные нагрузкой интенсивностью р,
определяются в основной системе.
Для линейно-деформируемой упругой системы перемещения Ап,
А12, Д21, А22, вызванные силами Хх и Хг, представляем по обоб-
щенному закону Гука пропорциональными силами Х± и Х2 соот-
ветственно:
А11 = Х1б11; Д12 = Х2612; Л21 = Х1б,1; Д22 = Х2б22,
где — перемещение по направлению силы Хп вызванное единич-
ной силой X^l; 612 —перемещение по направлению силы Хх,
вызванное единичной силой Х2 = 1; б22 —перемещение по направле-
нию силы Х2, вызванное единичной силой Х2=1.
Уравнения деформаций (9.4) теперь можно представить в явной
форме от лишних неизвестных:
+ Х2612 + Л1? = 0; )
хд1+хд2+д2р=о. /	( }
169
Здесь 6П, 613, 621, б22 —«единичные» перемещения; их легко опре-
делить по соответствующим эпюрам моментов, пользуясь формулами:
бп = Зрй!ds/(E/); б12 = 621	ds/(£/); б22 = 2ds/(ЕЕ).
" о	» о	Л о
(9.6)
В выражениях (9.6): Мг — функция изгибающего момента в про-
извольном сечении основной системы от Л\=1; М2— изгибающий
момент в том же сечении от X2 = l; s —длина стержня рамы;
п — число ее стержней.
Рис. 148
Свободные члены уравнений (9.5), так называемые грузовые
члены, определяют по общей формуле для перемещений:
Аг, = 2 S м1мр ds;(Ely, \гр = 2 J м2мр dsKEiy
(9.7)
При этом в формулах (9.6) и (9.7), как обычно при расчете рам,
учтено лишь влияние на перемещения изгибающих моментов. Най-
дя выражения изгибающих моментов Мр, Mt и Л12 и вычислив пе-
ремещения по формулам (9.6) и (9.7), решаем канонические урав-
нения деформаций (9.5) и находим лишние неизвестные Хх и Х2.
Если стержни рамы имеют переменное сечение, меняющееся от
стержня к стержню, при решении уравнений (9.5) вводят соотно-
шения моментов инерции сечений стержней.
170
Эпюры моментов Мр и от единичных неизвестных и Л12 даны
на рис. 148, а — в.
Свойства канонических уравнений. Построение эпюры моментов.
Отметим следующие свойства коэффициентов при неизвестных
канонических уравнений:
1. Перемещения от единичных сил Л\=1 и Х2=1 с различны-
ми индексами равны между собой, т. е.
612 = 6.21,	(9.8)
или, иначе, «единичные» перемещения не меняются от перестановки
индексов—теорема о взаимности перемещений.
2. Перемещения от единичных сил и Х2 с одинаковыми
индексами всегда положительны (6П, 622), что непосредственно сле-
дует из выражений (9.6) для этих перемещений, содержащих квад
раты изгибающих моментов.
«Единичные» перемещения с одинаковыми индексами 6и, б2
называют главными, поскольку они не могут быть равны нулю
и всегда входят в уравнения. «Единичные» перемещения с различ
ными индексами б12, б21 называют побочными, так как при
удачном выборе неизвестных они могут оказаться равными нулю
Если наметим линию, соединяющую в уравнениях (9.5) главные
перемещения и ё22 (главная диагональ), то побочные переме-
щения, расположенные симметрично относительно главной диаго-
нали, согласно равенству (9.8) должны быть равны между собой
Найдя из канонических уравнений лишние неизвестные Xt и Х.г.
перейдем к построению эпюры моментов в заданной раме по ос
новной системе. Эту эпюру называют окончательной эпюрой момен-
тов AfcyM. Ее ординату в произвольном сечении находим, пользуясь
принципом сложения (см. рис. 147, б):
Мсуя = Мр + Х1М1^Х2М.1.	(9.9)
По правой части выражения (9.9) момент в заданной статически
неопределимой раме получается как сумма моментов от нагрузки
Мр и от каждого лишнего неизвестного Xt и Х2. Увеличивая ор-
динаты моментов от Xt = 1 и Х2 = 1 соответственно в Xt и Х2 раз
и складывая этот результат с ординатой эпюры моментов только
от нагрузки Мр (рис. 148,й), получаем ординаты окончательной
эпюры Л4суи (рис. 148, д). На этой эпюре показано, как найти
момент в середине ригеля.
Проверка вычисления перемещений. В случае дважды ста
тически неопределимой системы, решая систему уравнений
(9.5), выражаем лишние неизвестные так:
Xr = -DJD = - (А]/22-Д2/,6 12)/(511622-бУ;
Х2 = -D.JD = - (Д2/и - Д1/12)/(61Д2-б13),
где D — определитель системы, составленный из коэффициентов
при неизвестных; Dlt D2 — определители системы, которые получа-
ются путем замены соответствующего столбца членами Д1? и Д2р
171
Существуют специальные способы решения системы линейных
алгебраических уравнений вида (9.5), которые будут рассмотрены
ниже.
Решение канонических уравнений в этом случае необходимо
проводить с большой точностью, а каждую ступень вычислений
подвергать тщательной проверке. Естественно избавиться от со-
вместности канонических уравнений и сводить решение к опреде-
лению неизвестных из одного уравнения с одним неизвестным. Если
в системе уравнений (9.5) будет б1а = 0, то для Хг получим такое
решение:
Липшее неизвестное здесь выражено отношением двух переме-
щений. Основная задача упрощения расчета сложных статически
неопределимых систем и сводится к исключению совместности ка-
нонических уравнений путем специального выбора основной сис-
темы и лишних неизвестных. Для решения системы уравнений
успешно применяются электронные счетнорешающие машины и но-
вые приемы решения системы линейных уравнений.
Отметим важность осуществления контроля всех операций рас-
чета статически неопределимой системы, в особенности при нали-
чии совместности уравнений. Проведем проверку расчета
рамы, изображенной на рис. 147, а. Для отыскания всех переме-
щений, входящих в систему канонических уравнений, необходимо
построить эпюры Мг, ЛЕ и Мр. Они изображены на рис. 148, а—в.
Полагаем —12 = 1. Проверив правильность построения всех эпюр,
вычислим по правилу перемножения эпюр перемещения:
Д =	д =_£^.
1Р 8 EJ ’ 2Р 4EI ’
« _±Р_. ® Z3 8___________L
3 El '’ °м~2Е1’ °22~ЗЕ1’
Далее производят так называемую построчную проверку
единичных перемещений. Она состоит в следующем. Находят сум-
му перемещений (6п + 612), которую можно рассматривать как пе-
ремещение по направлению силы Xlt вызванное системой сил
Xj=l иХг=1, действующих одновременно. Тогда
(Su + 612) = 61(1. 2) =	$ MjW^ds/fEI),	(9.10)
« о
где ЛГ12 —изгибающий момент от действия системы сил Л\ = 1 и
X., = 1 по рис. 148,а.
Назовем момент АД, моментом в суммарном единич-
ном состоянии. (В общем случае этот момент обозначают Ms.)
Итак, сумма «единичных» перемещений первого канонического
уравнения может быть получена путем перемножения единичной
172
эпюры моментов на суммарную единичную эпюру моментов Л412.
Аналогично,
(S2i + 62г)=б2(11= 2 S М*М12 ds/(EI)
п
(9.11)
—	сумма единичных перемещений второго канонического уравнения
получается перемножением эпюры М2 на эпюру М12.
Кроме построчной проверки, проводим универсальную
проверку всех выражений (9.10) и (9.11), применяя теорему о
взаимности перемещений для групповых и простых перемещений
при наличии единичных силовых воздействий:
(^ll + ^ia) + (^21+622) =	2) + S2<1, 2)	$(1, 2)1 + 8(1, 2)2 = ^(1, 2)(1, 2) =
s
= 2$<Js/(£/).
п о
«Перемножая эпюру» Л112 па нее же, получаем сумму всех еди-
ничных перемещений. Для нашего примера (рис. 148, г)
а сумма всех единичных перемещений
^fi/fc —fin+2fii2  fiaa Ej (3 ;з+ з 3 E[
—	универсальная проверка соблюдается.
Проведем еще первую построчную проверку:
с , Л __H.jP
и +°12— 6 £/
С другой стороны, перемножая эпюры и Л112, находим
ds ___ 1
ч
2	3 \
11 Р
6 EI •
П 0
Таким образом, построчная проверка также выполняется. Кроме
универсальной и построчной проверок проводим постолбцовую
проверку грузовых членов Alj0 и Д2/,, к которой приходим на
основании следующих равенств:
S
^lp Чр ~ ^pl Т' ^р-г ~ ‘^/>(1, 2) = ^(1, 2)р = 2 J 12ds/(E/),
п о
т. е. сумму всех грузовых членов получаем «перемножением» эпюры
моментов от нагрузки Мр на эпюру моментов М12 (рис. 148, а, г).
173
В данном случае
\? Гмм fl,; л , Л	I < 1 р/'2	3 , I Р 3	7рР
Xj М'^МРЕ1	£7(3 2 ’4 + Р 2 ‘ 2 Z) — 8EI
П О
— постолбцовая проверка выполняется.
Проверив правильность всех предшествующих вычислений, пе-
рейдем к решению уравнений. В данном случае, подставляя чис-
ленные значения перемещений в канонические уравнения (9.5) и
умножая все члены на EI, находим:
X,  4/3/3 + Х,/3/2 - 5р/4 S/8 = 0; Х^,2 + X.JX3 -р/4/4 = 0.
Решая уравнения способом исключения неизвестных, получаем:
Х^ЗрЦТ, X2 = 3pZ/28.
Проверка суммарной эпюры моментов. Применяя принцип сло-
жения, получаем все ординаты «суммарной» эпюры моментов
(рис. 148, д). При этом суммирование ординат эпюр Х1М1,
Х2М2 проводим последовательно, вычисляя их для сечений, взятых
по концам каждого стержня рамы и соединяя концы ординат со-
ответствующими линиями (при отсутствии нагрузки — прямыми).
Получив суммарную (окончательную) эпюру моментов, проводим
проверку правильности ее построения. Для этого выясняем, вы-
полняется ли каждое условие совместности перемещений вида (9.2),
т. е.
Лщлр) = 0;	= 0.	(9.12)
Вместе с тем перемещения по направлениям Хл и Хг от одно-
временного действия нагрузки и неизвестных Хи Х2 можно найти,
перемножая суммарную эпюру Л1сум на соответствующую единич-
ную эпюру моментов Л11 или Л42. Вместо выражения (9.12) по-
лучим:
S	S
2 $ M.M^ds/tEl) = 0,2$ M.,M^ds,'(EI) = 0.	(9.13)
«о	«о
Результат перемножения суммарной эпюры моментов на любую
единичную должен равняться нулю. Заметим, что это соотношение
не выполняется при действии на статически неопределимую систему
температуры.
В частном случае, если 34,- = const вдоль всех стержней рамы
и рассматривается случай действия нагрузки, вместо выражения
(9.13) получим
S
2 $ A4cyMds/(£/) = 0
о
— приведенная площадь эпюры моментов [площадь Л1сум/(£/)], под-
считанная по всей длине оси рамы, должна быть равна нулю, если
для какого-либо состояния Х~ 1 эпюра Л4,- постоянна (например,
в случае замкнутого бесшарнирного контура).
174
§ 50. Построение эпюр поперечных и продольных сил
в рамах. Определение перемещений
Построение эпюр. По суммарной эпюре моментов, ординаты
которой отложены со стороны растянутых волокон рамы, строят
эпюру поперечных сил. При сложном очертании оси рамы эту эпюру
будем находить непосредственно по эпюре моментов. При этом
используем основную схему рамы в виде системы стержней, шарнирно
опертых на узлы рамы, а жесткость прикрепления конца каждого
стержня рамы к узлу возмещаем
роны узла на стержень. Таким
Рис. 149
моментом, действующим со сто-
образом, стержень 1 — 2 рамы
(рис. 149, а), жестко связанный
с узлами 1 и 2 и подверженный
действию равномерно распреде-
ленной нагрузки интенсивностью
q, рассматриваем как балку,
шарнирно опертую на узлы, за-
Рис. 150
меняя при этом жесткое прикрепление концов стержня моментами М12
и Л4а1 (первый индекс в обозначении моментов указывает номер
узла, у которого действует момент, а оба индекса соответствуют
наименованиям концов стержня). Найдя для простой балки 1 — 2
реакции Л12 и В21 из условия равновесия узлов 1 и 2 (рис. 149,6),
получаем величины поперечных сил:
Q12=-^12> Qal ~	^21-
175
При этом придерживаемся правила знаков для поперечных сил,
которое не связано с положением наблюдателя: поперечную силу
считаем положительной, если она дает момент от конца стержня
на узел по часовой стрелке, и наоборот. Принимаем, например,
поперечную силу <?12 положительной, так как она дает момент
относительно центра узла 1 по часовой стрелке. Поперечную
силу Q21, действующую у правого конца стержня, вводим со зна-
ком минус, так как она дает момент относительно центра узла 2
против часовой стрелки. Направление силы Q23, уравновешивающей
реакцию В21, устанавливаем по направлению предварительно най-
денной реакции B2i. Отложив ординаты опорных поперечных сил
Qis и Q21 н соединив их концевые точки прямой, получим эпюру Q
для стержня 1 — 2 в случае действия равномерной нагрузки (ниж-
няя схема рис. 149, б).
В случае отсутствия нагрузки на стержне рамы 1 — 2 (рис. 150, а)
эпюра моментов очерчена наклонной прямой и реакции Л12 и В21
дают пару сил общим моментом (М13 +
4-Л121); поперечная сила в стержне пос-
тоянна и равна (Afls + Л421) // (рис. 150, б).
Направление поперечной силы, действую-
щей со стороны стержня на узел, в этом
случае найти особенно просто: следует у
данного узла провести на эпюре момен-
тов вектор от очертания этой эпюры к
оси стержня (рис. 150, а).
Pt । 1
°13
I)
Рис. 151
По эпюре поперечных сил Q строим
эпюру продольных сил N. Устанавливаем
правило знаков: продольную силу, рас-
тягивающую стержень, считаем положи-
тельной. Для отыскания продольных сил
в стержнях обычных каркасных рам по
эпюре поперечных сил применяем с по-
—___\if/	соб вырезания узлов, известный
из теории расчета статически определи-
мых ферм. Расчет начинаем с узла, где
сходятся лишь два стержня рамы. Зная
узловые поперечные силы и нагрузку Р,
определяем продольные силы в стержнях из
условия равновесия в виде суммы проекций на выбранные оси
координат. Затем переходим к следующему узлу рамы, где имеем
два новых неизвестных усилия в стержнях, и определяем усилия
в них из условий равновесия и т. д.
Для простейшего случая — узел с взаимно перпендикулярными
осями стержней (рис. 151, а), — зная направления и величины по-
перечных сил Q12 и Q13, получаем для суммы проекций на ось X
£х = о, Л + У12-Q13 = 0,
откуда
^12 - Qis — -^li
(а)
g-f кН/м
из равенства нулю суммы проекций на ось У
£7 = 0; P2 + N13-Q12 = 0,
откуда
Л\3 = 012-Л-	(б)
В выражения (а) и (б) подставляем абсолютные значения узло-
вых поперечных сил, направления которых должны быть найдены
в соответствии с правилом знаков.
В более общем случае — произвольное направление стержней
рамы (рис. 151, б) —получаем по уравнениям проекций УХ = 0 и
27 = 0:	'
JV12 cosa12 + Q12 sina15 — Ni3 cosa13 — Q13 sin al3 = 0;
P + iVI2 sin a12 — Qla cos a12 + Nl3 sin a13 — Q13 cos a13 = 0.
Решая эти уравнения, находим Л7,, и /V,.,. Затем переходим к
следующему узлу рамы, где сходятся два новых стержня, и посту-
паем аналогично. Если в раме нет ни одного узла, где сходятся
лишь два стержня, система будет статически неопределимой в отно-
шении продольных сил и необходимо использовать соответствующие
уравнения деформаций.
Пример. Для рамы, изображенной на рис. 152, а, в первом пролете которой
действует равномерная нагрузка, построить эпюры Q и Л7. Суммарная эпюра М
дана на рис. 152, б.
Решение. Выделяя стержни рамы 1 — 2, 2— 3, 3 — 5, получаем расчетные
схемы в виде простых балок (рис. 152, в). Определяем левые реакции для ука-
занных схем:
Л12 = 2,35 кН;	А23 = 0,57 кН;
Д35 = —0,145 кН; .424 = 0,145 кН.
Теперь находим для нагруженного стержня узловые поперечные силы Q±2 =
= 2,35 кН и Q21 = — 3,65 кН и для стержней 2 — 3, 3 — 5 и 2 — 4 поперечные
силы, постоянные по длине стержня. Эпюра Q представлена на рис. 152, г. Так
как в узле 1 рамы опора подвижная, то Л'1г = 0. Вырезая последовательно
узлы 2 и 3 рамы, находим М2!, и
Так, для узла 2 получаем (рис. 152, д'):
2^ = 0; A'2S — (?24 = 0,
откуда
Az23 = Qи = 0,145 кН;
2^ “О’ @21 + @2з + А724 =0,
откуда
А724 — — (@21 + @2з) — —4,22 кН.
Эпюра N изображена на рис. 152, е.
Определение перемещений в статически неопределимой системе.
Для определения какого-либо перемещения в статически неопре-
делимой раме, вызванного нагрузкой Р, получив окончательную
эпюру моментов в этой раме Мсум, пользуясь методом Мора, во
втором состоянии прикладываем единичную силу К = 1 по направ-
лению искомого перемещения в статически определимой
178
системе и, получив эпюру /ИА, перемножаем ее по правилу
Верещагина на эпюру Л4сум. Так имеем право делать на том
основании, что: 1) возможная работа лишних неизвестных X;k от
силы К на перемещениях в статически неопределимой раме равна
нулю; 2) также равна нулю работа внутренних сил от лишних
неизвестных Xik, вызванных силой К = 1.
§ 51. Расчет статически неопределимых систем
на температурное воздействие и осадки опор
Температурное воздействие. При изменении температуры среды
в статически неопределимых системах возникают дополнительные
напряжения.
При равномерном нагревании всех элементов внутренне стати-
чески неопределимой системы дополнительных напряжений не воз-
никает. При нагревании какого-либо одного или ряда элементов
внутренне статически неопределимой системы (внешне статически
определимой) возникают дополнительные напряжения, так как
благодаря наличию лишних внутренних связей создаются препят-
ствия температурной деформации.
В системах внешне статически неопределимых (внутренне опре-
делимых или неопределимых) при одновременном нагревании всех
или части элементов возникают дополнительные усилия. Не возбуж-
даются усилия во внешне статически неопределимых системах лишь
в том случае, когда температурное воздействие вызывает переме-
щение по направлению безусловно необходимых связей, в которых
возникают статически определимые реакции. Так, при равномерном
нагревании неразрезной балки, имеющей одну неподвижную опору
179
(рис. 153,а), температурная деформация происходит свободно и
никаких усилий в системе не возбуждается; перемещение крайней
подвижной опоры будет atL, где а —температурный коэффициент
линейного расширения, a t — перепад температуры. В этом случае
напряжения в балке равны нулю.
Иначе обстоит дело при неравномерном по высоте балки нагре-
вании. Пусть, например, трехпролетная перазрезная балка посто-
янной высоты сечения с подвергается нагреванию верхних волокон
и охлаждению нижних волокон на t (рис. 153,6). За лишнее неиз-
вестное примем симметричную группу реакций, каждую величи-
ной Хх. Составим каноническое уравнение деформаций для неиз-
вестного Хх:
X18!1 + Alt = 0,
откуда
X1 = -Alf/611,	(9.14)
где А1Г- перемещение по направлению Хх от температуры.
По теории определения перемещений,
д = _ С м dx = — — 2l-2 = — — ;
1Г с J 1	с	с
о
где с — высота сечения элемента рамы; бХ1 — перемещение, соответ-
ствующее обобщенной силе, за которую принята группа сил Л\,
в состоянии Хх=1; оно равно
8 — 5 р
011 ~ 3 ЕГ
Таким образом, по выражению (9.14),
v \2atEl
A1 “ 5 cl •
Эпюру моментов в системе строим только от лишних неизвест-
ных, так как в статически определимой основной системе усилий
от воздействия температуры не возникает:
Эта особенность работы статически неопределимых систем на воз-
действие температуры сказывается в том, что условие (9.13) не
соблюдается:
S
M1Mds/(EI)^0;
п О
так как левая часть этого неравенства представляет собой выра-
жение перемещения по направлению вызванного только лиш-
ним неизвестным, и согласно уравнению совместности перемещений
2jM1Mds/(£/) = -A1<.
п
180
Таким образом, результат перемножения суммарной эпюры момен-
тов в статически неопределимой системе (при воздействии темпе-
ратуры) на какую-либо единичную эпюру от =1 равняется
(—Д(#), где Д/г— температурное перемещение по направлению Xi
в основной системе. Деформированная ось системы получается сум-
мированием действия температуры и лишних неизвестных, и потому
в указанном случае нет соответствия между положением растяну-
тых волокон и ординат эпюры Л1 (рис. 153,6, в).
Пример. Найти лишнее неизвестное и построить эпюру моментов в раме
постоянного сечения (рис. 154, а), если наружные волокна нагреваются на ti =
= 30°, а внутренние — на 12 = 10°. Высота сечения стержня рамы с = //10. При
отыскании температурных перемещений учесть влияние удлинений по оси. Длина
стержней рамы одинакова: l -h.
Рис. 154
Решение. Перемещение от действия температуры для основной системы
(рис. 154, б)
д1*=v S J Mids+а/» Е J" ds=
п	п
20а
с
Z2 \
Д 4- Z2 а-20/=— 2801а.
Единичное перемещение
Su
2	3 1 J 3 Е1
Лишнее неизвестное по уравнению (9.14)
Х1 = —Дя/611 = 210аЕ7//2.
Эпюра моментов в статически неопределимой системе показана на рис. 154, в.
Она подобна эпюре моментов в единичном состоянии действия неизвестного. Дефор-
мированный вид рамы представлен на рис. 154, г.
181
Действие осадки опор. Осадка опор внешне статически неопре*
делимых систем вызывает дополнительные усилия, если при этом
происходят смещения по направлению лишних связей. Так, при
осадке промежуточной опоры неразрезной балки в ней возникает
статически неопределимая реакция
(рис. 155, о) и создаются дополни-
тельные усилия. Отбросив эту опору
и возместив ее действие силой Х{,
составим уравнение деформаций, учи-
тывая, что в заданной системе в ре-
зультате действия силы X, и нагруз-
ки Р происходит смещение опоры At
(рис. 155, б):
ХДт + Д^Л,,	(9.15)
где At —осадка опоры; А1? —пере-
мещение от нагрузки в основной сис-
теме; 6П - единичное перемещение.
Из уравнения (9.15) получаем лиш-
нее неизвестное:
Х1 = (Ах-А1р)/611.
Рис. 155	Уравнение деформаций при нали-
чии осадки всегда можно предста-
вить так, чтобы правая часть уравнения (9.15) оказалась рав-
ной нулю. Для этого за неизвестное принимаем усилие в опор-
ном стержне, смещение, которого обусловлено отклонением опар-
ной площадки с —с на величину Ах (рис. 155, в). Полагая взаимное
смещение сечений разрезанного опорного стержня равным нулю,
имеем
Х^ц + Ацос + А^О,	(9.16)
где Аь ос —взаимное смещение сечений, вызванное действием осадки
на основную систему.
Если обозначить смещение опорной площадки Ах, то Аъ ос можно
выразить так:
^1, ОС =	^1-
Подставляя это соотношение в уравнение (9.16), приходим к пер-
воначальному уравнению (9.15).
Смещения опор, реакции в которых можно определить только
из условий равновесия статики, не вызывают дополнительных
усилий (например, вертикальные смещения опор двухшарнирной
арки).
Пример. Определить лишнее неизвестное для рамы (рис. 156, а) и построить
эпюру моментов в двух случаях:
1) при наличии осадки левой опоры, не зависящей от нагрузки и равной
Д.
182
2) при отсутствии осадки.
Длина стержней рамы одинакова: l = h. Сечение постоянно по длине.
Решение. За лишнее неизвестное принимаем реакцию подвижной опоры, кото-
рую направляем вверх. Составляем каноническое уравнение по уравнению (9.15).
Рис. 156
Осадка опоры происходит вниз, поэтому поставлен знак минус в выражении Др
При наличии нагрузки и осадки опоры каноническое уравнение будет
откуда
А'1 = (Д] — Д^) /бц.	(а)
По эпюрам моментов от нагрузки (рис. 156, б) и в единичном состоянии (см.
рис. 154, б) получаем:
. __	5 ph* « _ 4 Л3
8 Е1 '	3 EI ’
„	.	3 ph*	, .
Подставляя эти значения и величину осадки =--------g- в выражение (а),
находим
Х! = ЗрЛ/16,
а при отсутствии осадки реакция будет в 2,5 раза больше:
Х;=15рЛ/32.
Эпюра моментов при наличии осадки показана на рис. 156, в, а при ее отсут-
ствии— па рис. 156, г. В первом случае момент в узле увеличивается в 10 раз.
183
§ 52. Решение системы канонических уравнений
в матричной форме
Канонические уравнения для п раз статически неопределимой
рамы. Рассмотрим задачу расчета п раз статически неопределимой
рамы методом сил. Для основной системы, подверженной действию
нагрузки и лишних неизвестных Xlt Х2, Х3, . . ., составим урав-
нения совместности перемещений, каждое из которых выражает
условие равенства нулю перемещения по направлению i-ro неиз-
вестного (или i-й лишней связи). Получим следующую систему
канонических уравнений:
X\6u + X2Si2+...+Xn6ln +Ai;> = 0;
XiS21 + X2fi22+...+Х„в2п + Д2/, = 0; _	(9 17)
+ X2бл; + .'.. + Х,ДШ + Д^ = О J
Первое каноническое уравнение совместности перемещений выра-
жает условие равенства нулю перемещения по направлению пер-
вой отброшенной связи; второе уравнение — условие равенства нулю
перемещения по направлению второй отброшенной связи и т. д.
В системе уравнений (9.17) Alj9, Д ..., Д,,^ —перемещения от
нагрузки (грузовые члены); при действии температуры или осадки
опоры они соответственно заменяются величинами Д1О Д2/, . .. или
^1,ос> ^2,ос> ••• Коэффициентами при неизвестных являются пере-
мещения в основной системе от единичных сил, приложенных по
направлению отброшенных связей.
Система канонических уравнений (9.17) обладает симметрией
в коэффициентах при неизвестных относительно так называемой
главной диагонали, т. е. линии, соединяющей главные перемеще-
ния б11( б22...6„„.
Осуществив все проверки вычисления перемещений, решим сис-
тему уравнений (9.17) и найдем неизвестные X,, Х2, .... Х„.
Определяем действительный изгибающий момент в сечении рамы
по формуле
л1 = м9+2х,Д.
где Atlt_Af2!_ ..., Мп — моменты соответственно в состояниях дей-
ствия Хр Х2, .... Х„; Мр — момент от заданной нагрузки.
Решение системы канонических уравнений. Систему канониче-
ских уравнений (9.17) представим несколько иначе;
^i®ii + X26124-X36i34- ... +Х„61П = Д1;
^1^21 + ХД2 + Х3б23 + ... + Хп62„ — Д2;
Д i + Х2ба2 4- Х3633 + ... -1-XД„ = Д3;
Да+хд2+х Аз +... + хд„—^п-
184
Здесь:
А=-АР;
А=-АР;
А = —
В матричной форме эта система представится так:
Л-Х = А,
(9.18)
где А — квадратная матрица, составленная из единичных переме-
щений (матрица податливости):
^11^12^13 • • • А
АДД3.. Ля
М,Аг- -5
а X и А— вектор-столбцы лишних неизвестных и свободных чле-
нов [1].
Решая уравнение (9.18) в матричной форме, имеем
= A-1A; = ВА;,
(9.19)
где Л-1 —В — обратная матрица по отношению к матрице Л еди-
ничных перемещений. Для отыскания обратной матрицы В пред-
варительно вычисляем определитель матрицы податливости Det A=D.
При изменении нагрузки меняется лишь вектор Af.
Для получения обратной матрицы вычисляют так называемые
м и н о р ы матрицы Л из коэффициентов aik. Для системы трех
уравнений с тремя неизвестными представляем матрицу Л в общем
виде так:
Л =
Ццй12й13
^31^22^23
&31^32^33
(9.20)
При этом следует помнить, что соблюдаются взаимности коэффи-
циентов a;k = aki. Тогда миноры этой матрицы будут иметь следую-
щие значения:
Лц — ^22^33 '	й33,
Аг — (а21йза а31д23) = Л21,
Аз = ^21^32	^31^22 “ А 1>
Л22 — ^11^33	«13,
Л23	(й11Д32	^З1^1г)	=	Аг>
А33	^11Д22	^12*	,
(9.21)
185
(9.22)
D
зз
Зная определитель матрицы А, обозначенный выше через D, и
миноры по формулам (9.21), находим обратную матрицу В:
] АпА21А
в = ± а12а22а.
Д13 Д23 Д
Обратная матрица определяет влияние податливости системы.
Вычислив по (9.22) матрицу В, для определения значений лиш-
них неизвестных согласно решению (9.19) умножаем квадратную
матрицу В на столбцовую матрицу А,-. Для этого члены каждой
строки матрицы В умножаем на члены столбцовой матрицы А,..
Общие множители членов матрицы можно выносить за ограничи-
тельную вертикаль матрицы.
В случае системы четырех уравнений матрица А получается
продолжением матрицы (9.20) на
один столбец справа и строку
снизу. Для обращенной обрат-
ной матрицы вместо (9.22) по-
лучим
40JJPM
I
2
sMtPh
Рис. 157
OMPH
в О
^11^21^31^41
^12-^ 22^32-^42
А А А А
-'13-^23'133Z113
Д14 Д24Д34Д41
где,


например, миноры
2 2^ 2 3 ^2 4
^3 2^33^34
^42^43^44
^21^23^24
^31^33^34
fl41^43G44
A
но рис. 157, а;
ные перемещения, принимая £7 = 1:
«п=413; «12=-/3; 613=— /д
О
Свободные члены уравнений Д,- =—Д,';,:
л рр л Р13
Дт- г; Д2—т-,
Все операции легко проводятся
на ЭВМ [1].
Пример. Получить эпюру мо-
ментов для рамы
£7 = const.
Решение. Рама
ки неопределима,
вестные принимаем
опор: A'i>X2, Х3. Определяем единич-
трижды статичес-
За лишние неиз-
реакции крайних
<	5 n s Р я 4 „
°22— "У ‘ ; «23 =	1 «33=’з'‘ .
29
Д3 = -ф Р/3 = 0.604PZ3.
Определитель матрицы А единичных перемещений:
D = Is (’Иг? — 0,833 — 0,167) = 0,637».
186
По формулам (9.21) вычисляем значения миноров матрицы:
Дп=1,972/«; Л12 = 0,833/6; Л13 = 1,167Z6; Л22 = 0,77/6; Д,3 = 0,333/6; Л33 = 1,2221е.
Вынося из матрицы миноров общий множитель Is, получаем по формуле (9.22)
/6	1,972 0.833 1,167
В = 777^74 0,833 0,777 0,333
1,167 0,333 1,222
По общей формуле (9.19) для лишних неизвестных имеем (считая 1/0,63=1,587)
Х,- = Р. 1,587
1.972
0,833
1,167
0,833
0,777
0,333
1,167
0,333 X
1,222
(-0,5)
0,25
0,604
= 1,587/»
—0,074
—0,021
0,137
Каждый член строчки первой матрицы умножаем на члены матрицы столбца.
В результате получаем:
%! = —1,232Р; Х2 = —0,033Р; Х3 = 0,267Р.
Окончательная эпюра моментов представлена на рис. 157, б.
§ 53. Решение системы линейных уравнений
способом итерации
В том случае, когда главный коэффициент при дан-
ном неизвестном больше суммы абсолютных значений
всех побочных коэффициентов при остальных неизвестных в каж-
дом уравнении системы, целесообразно применять способ итерации
(способ последовательных приближений).
Выразим из системы канонических уравнений (9.17) каждое
неизвестное через все остальные неизвестные и свободный член:
	Фг у би 2 ’	613 у би 3	Р . 611 ’
Х2=	^21 у 622 А1	6 23 у" X А3 о 22	Ao/j 622
	о зз	6 32 у А ^2	’ * °33	А 3/7 баз
(9.23)
В первом приближении принимаем все неизвестные, входящие
в правые части уравнений (9.23), равными нулю. Тогда получим
первые приближенные значения неизвестных:
v'	Д,р . v'	• у	•
Л1	О , Л; —	С , л 3 —	S > • • •
Оц	^22	°33
Подставив значения первых приближений неизвестных в правые
части выражений (9.23), получим значения вторых приближений
для неизвестных:
	6l2 ~ФГ	х2	6ц °11	фр • -ФГ;			
	621 б22	Х[	Ф’ у, 622 Х>>	•	^2р 622 ’		>	(9.24)
х;; =	6*1 6*я		Фа у. — я Л.г— . ипп	^пр			
187
Проще находить не полные приближенные значения неизвестных,
а только поправки к ним, которые получаются из выражений
(9.24), если отбросить свободные члены. Поправки второго прибли-
жения будут:
дх;=	612 V'	°11	$14 у' X ^4 °11	>	
ДХ" =	$21 ул 1	$23 у-' А А3 и22	$24 у/ Л4	• • °22		(9.25)
дх;=	° 33	$32 у' Я Л2 Озз	$84 у< X	А 4	• ♦ °33	>	
				*	
Поправки третьего приближения получим, если в правые части
выражений (9.25) внесем вместо значений неизвестных поправки
второго приближения, и т. д.
Если поправки какого-то приближения окажутся в пределах
принятых отклонений, вычисляют полные значения неизвестных по
формулам:
Дд ,7
Xj = — ё—AXj4~ЛА^"4“ • • •’,
°н
До V
Х2---^+А^ + ДХГ+...;
А3 = —	+ ДЛ\ + ДХ3" 4-...;
° 33
§ 54. Упрощение расчета симметричных рам
Разделение системы канонических уравнений на две независимые
группы. Расчет симметричных систем имеет большое практическое
значение благодаря широкому распространению симметричных конст-
рукций в строительстве. Симметричной конструкцией
называют такую систему, которая обладает симметрией не только
в очертании оси и в расположении опорных закреплений, но и
в жесткостях элементов. Однопролетная рама прямоугольной формы
(рис. 158, а) имеет одну вертикальную ось симметрии, так как
очертание левой и правой половин рамы одинаково. Кроме того,
как в точке А, так и в точке В рама одинаково защемлена; сим-
метрично расположенные сечения стоек рамы имеют равные моменты
инерции /2, а сечения ригелей —равные моменты инерции Д. Рама
может обладать одной, двумя, многими осями и бесчисленным коли-
чеством осей симметрии (например, кольцо).
Важнейшим упрощением расчета симметричных статически неопре-
делимых сооружений при действии любой несимметричной нагрузки
является расчленение общей системы канонических уравнений для
лишних неизвестных на две независимые группы. При этом расчле-
нении первая группа уравнений включает лишь прямосимметрич-
ные неизвестные, а вторая —обратносимметричные. Прямосиммет-
ричным неизвестным называют такую совокупность усилий со сто-
188
ропы отброшенных связей, которая создает симметричную эпюру
моментов. В прямосимметричной эпюре моментов соблю-
дается равенство моментов и по величине и по знаку. В обратно-
симметричной эпюре в симметрично расположенных сечениях
моменты равны по величине, но противоположны по знаку.
Рис. 158
Для упрощения расчета симметричной системы необходимо:
1) за основную систему принимать только симметричную систему;
2) лишние неизвестные выбирать только в виде прямосимметричных
и обратносимметричных усилий.
Так, для заданной дважды
статически неопределимой ра-
мы, имеющей шарнир на оси
симметрии п— п (рис. 158, а),
в качестве основной принимаем
симметричную же систему —две
отдельные ломаные балки-кон-
соли со свободными концами
на осн симметрии (рис. 158, б).
От заданной системы переходим
к основной путем разрезания
ее по оси симметрии. За лиш-
ние неизвестные принимаем го-
ризонтальные и вертикальные
силы взаимодействия в шарни-
ре: Xt и Х2. Первое неизвест-
ное является прямосимметрич-
ным, а второе —обратносиммет-
ричным. Эпюра моментов от
Рис. 159
Xt=l симметрична (рис. 159,
«), а эпюра моментов от Ха=1 обратносимметрична (рис. 159,6).
Эпюра моментов от нагрузки р не обладает какой-либо закономер-
ностью и оказывается несимметричной (рис. 159, в). Если бы и
лишние неизвестные были несимметричными воздействиями, то
189
канонические уравнения деформаций имели бы такой общий вид:
XAi + Х2612 + &iP= 0; |
Х^ + ХД. + ^О, J
причем побочное перемещение 612 не равнялось бы нулю.
Заметим, что первое уравнение выражает условие равенства
нулю взаимного горизонтального смещения сечений разреза, а вто-
рое— условие равенства нулю взаимного вертикального смещения
сечений.
Докажем, что при данном выборе неизвестных побочное переме-
щение 612 по направлению симметричного неизвестного, вызванное
обратносимметричным неизвестным Х2 = 1, равно нулю. В самом
деле, по формуле для перемещения
612 = 2 $ ЖЖ ds/(El).
Но в данном случае —функция симметричная, a М.,— обратно-
симметричная и потому интеграл их произведений по симметрич-
ному контуру равен нулю (рис. 159, а, б):
°12 El V 2 2	2 2 J
Это свойство равенства нулю побочного перемещения 612 или 6,1
можно сформулировать и так: симметричная и обратносимметрич-
ная эпюры при перемножении дают нуль, или, иначе, являются
взаимно нулевыми. В результате система двух канонических урав-
нений (9.26) распадается на два отдельных уравнения:
Xi6n +A1JP=0; X26,2-j-A2jO = 0,
из которых легко найти каждое неизвестное:
Ж =	Х2 = A2j5/622.
В общем случае п раз статически неопределимой системы исполь-
зование симметрии при выборе лишних неизвестных приводит общую
систему п канонических уравнений к двум независимым группам
уравнений, каждая из которых содержит лишь часть из п неиз-
вестных, не обязательно равную половине их. Первая группа урав-
нений содержит лишь прямосимметричные неизвестные, вторая —
только обратносимметричные.
Рассмотрим, например, двухэтажную симметричную раму с шар-
нирами посередине каждого ригеля (рис. 160, а). В данном случае
имеем четырежды статически неопределимую систему. В качестве
основной системы выбираем две раздельные консоли, проводя раз-
резы ригелей по оси симметрии (рис. 160, б). В качестве неизвест-
ных принимаем продольные силы Хх и Х2 и поперечные силы Х3
и Х4 в разрезах на оси симметрии.
190
Вместо совместной системы четырех уравнений с четырьмя неиз-
вестными получаем две системы (группы) уравнений:
^1^11 +А'2612 +— 0; |
^1б21 + Х26.,2 + А2р = 0; ]
Х3633 + ХД4 + Д3/, = 0; |
ад3+ад4+А4/,=о. J
(9.27)
(9.28)
В первую группу уравнений (9.27) входят прямосимметричные
неизвестные, во вторую (9.28)— обратносимметричные.
Рис. 161
191
Метод группировки неизвестных при расчете многслролетных
симметричных рам. При расчете многопролетных симметричных рам
за неизвестные следует принимать групповые неизвестные в виде
системы сил, приложенных в различных симметрично расположен-
ных точках оси сооружения.
В виде примера рассмотрим двухпролетную симметричную раму,
крайние стойки которой оперты на подвижные опоры А и В
(рис. 161, а). За основную систему принимаем симметричную раму
с защемлением нижнего конца средней стойки, отбрасывая крайние
вертикальные опорные стержни. Первые неизвестные реакции край-
них опор обозначим Zr и Z2. Они оказываются выбранными неудачно,
так как в состояниях Zx=l и Z2=l (рис. 161, б) не получаем
в эпюрах ни прямой, ни обратной симметрии.
Поэтому для выбранных неизвестных 612у=0 и канонические
уравнения являются совместными:
+ Z2612 + Д1? = 0;
Z1621 + Z2S!S Д2/> = 0.
Естественно ввиду этого перейти к групповым неизвестным Х1 и Х2.
Применяя принцип замены первых неизвестных Zr и Z„ но-
выми неизвестными X, и Х2, им эквивалентными (рис. 161, в),
поступаем так: реакцию Zx заменяем суммой сил Хх и Х2, а реак-
цию Z2 —разностью тех же сил.
Таким образом, вместо двух сил Z, и Z2 вводим новые неиз-
вестные из четырех сил, определяемых двумя параметрами Хг и
Х2, причем —значение каждой из сил симметричной группы
(рис. 161, а), а Х2 — значение каждой из сил обратносимметричной
группы; Хх — величина симметричного группового неизвестного,
Хг — величина обратносимметричного группового неизвестного.
В единичном состоянии первого группового неизвестного, когда
прикладываем силы Хх = 1, эпюра моментов Мг симметрична; в еди-
ничном состоянии второго группового неизвестного Х2=1 эпюра
моментов М2 обратносимметрична; поэтому теперь побочное пере-
мещение равно нулю:
Р
2
.h-Jl.
3	2 3
с __ 1
12 ~ЁГР
= 0.
Неизвестные в уравнениях теперь разделяются:
Х1б11 + Д1р = 0; ХД2 + Д2Г = 0.
Первое уравнение выражает условие равенства нулю суммы
вертикальных перемещений точек А и В, второе —разности тех
же перемещений. Но так как отдельные перемещения равны нулю,
то суммы и разности их также равны нулю. Находим групповые
неизвестные Хх и Х2 обычным путем и строим полную эпюру мо-
ментов:
М = Мр+Х1М1+ Х2М2.
192
7 № 111G
Пример. Построить эпюры Л4, N и Q для симметричной рамы при дейст-
вии разномерно распределенной нагрузки интенсивностью р в первом пролете и
внешнего момента т, приложенного в конце второго пролета. Все данные, необ-
ходимые для расчета, указаны на рис. 162, а.
Решение. Заданная система трижды статически неопределима. Выбираем
симметричную по своей конструкции основную систему (рис. 162, б). В качестве
лишних неизвестных принимаем вертикальную реакцию средней опоры Хг, группу
симметричных составляющих реакций А« и группу обратносимметричных состав-
ляющих реакций А'3. Для симметричных неизвестных АД и Х2 составляем систему
двух уравнении:
Х1вц4-Х2612+ Д1^ = 0; А^ба!-)-А2832 +А«^ = 0.	(9.29)
Обратносимметричное неизвестное Х3 находим из уравнения
А-'з6зз+ &3р = 0.	(9.30)
Для определения всех перемещений, входящих в канонические уравнения
(9.20) и (9.30), находим эпюры моментов. Чтобы проще было отыскать грузовые
члены, заданную нагрузку расчленяем на равномерно распределенную интенсив-
ностью р и внешний момент т (рис. 162, в, г).
После построения эпюр мэментов от действия единичных неизвестных Xt — 1,
А'а=1 и А'3 = 1 (рис. 163, а—в) вычисляем единичные перемещения, применяя
правило перемножения эпюр. Учитывая различие в сечениях стержней рамы,-
получаем при Eli — 1МН-м2 (см. рис. 162, а):
А 2 6-12 2 .	_	6-24
oil =-4 —2~~ • -д 6 = 72 м/МН; 612=у2-6= 108 м/МН;
.	/6-6 2	6-12-6А „„„
022 = 2 I — • у 6-|-—I =360 м/МН;
.	„ Г6-6 2 . . 6-12-9 . 6-12 7. . 2 \ 9	1	;>JU
633 = 2 -у- --у 6-)----l-g-y	j+^24M=1224 м/МН.
194
Для простоты вычислений взято условное значение жесткости Е1-],
Расчленяя нагрузку по схемам, изображенным на рис. 162, в, г, находим гру-
зовые члены:
,	1 Г 144.12 2 „ , 72-12	6-24-121
AJpn = - -у —— •36-I-— . 2-3+ 144-24 ---*	=- 1944 м
Д2р,л = ~4 р44-12-6+-|-. 72-12-6-?^б]=-3024 м;
ч-=-| (4 • ®12-’)+4- [-2- («+{«)]-
1 Г	12-12 /	1 \ 1
-- р2.12-94—— ^64-2. 6) j = —1584 м.
Проведем универсальную проверку правильности определения перемещений
s группе симметричных неизвестных. Для этого строим суммарную единичную
эпюру моментов, полученную при одновременном действии Х1=1 и Ха = 1
(рис. 164, й). Перемножая ее на нее же, получим обобщенное перемещение, соот-
ветствующее силам А\ и Xs:
6,ieil,„-EjA<bg=2 [t¥6+^9+iT
Сумма же всех единичных перемещений для симметричных неизвестных
5и_|_26124-6-22 = 724-2164-Зб0 = 648 м/МН. Проверка выполняется. Аналогично
проверяем грузовые члены:
A (i',2) f =	\	— Aj^4_ Ajjj.
« о
Подставляем найденные значения перемещений в уравнения (9.29) и (9.30):
71XJ4-108X2—1944 = 0;
108Х,4-360Х2—3024 = 0;
1224Х3-1584 = 0.
Решая эти уравнения в матричной форме (см. § 52), находим:
Х1 = 262/11 МН; Х2 = 6/ПМН; Х3= 1,294 МН.
7*
195
Переходим К построению суммарной эпюры моментов. Пользуясь основной систе-
мой (см. рис. 162, б), получаем следующее выражение действительного изгибаю-
щего момента М:
М — Мрт-]-Х1М1-\- Х2М,-\-Х3М3.
Увеличив все ординаты эпюр моментов М,, М2 и М3 соответственно в Хъ Х2
и А'-; раз, найдем ординаты суммарной эпюры моментов (рис. 164, б). Эпюры
М, N и Q должны удовлетворять как условиям равновесия, так и условиям
совместности перемещений. Помимо выполнения условий равновесия всей рамы
в целом (У х=°; 2>Л=°; 5>=о) должны удовлетворяться условия равно-
весия отдельных ее частей и, в частности, условия равновесия узлов. Так, для
узла 2
2М2 = О; 12,84+31,06—43,89 = 0
— моменты, МН-м.
Для узла 3
2Л13 = О; 24 — 4,49—19,51 =0
<— моменты, МН  м.
Кроме проверки эпюры Л1 по условиям равновесия важно уста-
новить, удовлетворены ли условия совместности перемещений вида
S
д/(;;л^, = 2$Ямл/(£'Л = о-
« о
Проверим, например, равно ли нулю перемещение Д2(X1X2W):
4,49-6 2 „
11,04-6 2
-------6-
27,465-126	16,175.126 72Л26=;917 9 _ 917 9
1	4	1	4	4
= 0.
Значит равенство нулю перемещения выполняется.
После проверки действительной эпюры моментов можно при-
ступить к построению эпюры поперечных сил Q. Пользуясь новой
Рис. 165
основной системой в виде совокупности балок, шарнирно опертых
на узлы, возмещаем жесткость прикрепления стержней к узлам
моментами (рис. 165, а). Обозначая узлы 0, 1, 2, 3, 4, 5, выделяем
196
последовательно каждый стержень и обычным путем строим эпюры
поперечных сил для простых балок. Например, для стержня 1- 2,
принимая во внимание наличие равномерно распределенной нагрузки
интенсивностью р, получаем схему, изображенную на рис. 165, б.
Определяем левую опорную реакцию:
А1 = р//2 - (М21 - Л412)// = 4-12/2- (43,89— 11,04)/12 = 21,26 МН.
Следовательно, поперечные силы у конца стержня:
Q12 = A j = 21,27 МН; Q21 = At - pl = 21,26 - 4 • 12 = —26,74 МН.
Учитываем при этом правило для Q, изложенное выше. Так,
Q,j дает момент относительно узла 2 против часовой стрелки,
почему ее берем со знаком минус; Ql2 дает момент относительно
узла 1 по часовой стрелке, поэтому считаем ее положительной
(рис. 165, б). Для пенагруженпого стержня 2—4 ордината опор-
ного момента отложена справа (см. рис. 164, б), поэтому попереч-
Рис. 166
ная сила Q24 направлена справа налево и, следовательно, дает
момент против часовой стрелки.
В окончательном виде эпюра Q изображена на рис. 165, а. Она
должна удовлетворять соотношению
5=^
dx
(там, где Q = 0, момент будет Мтах)-
rnin
Пользуясь эпюрой Q и применяя метод вырезания узлов, строим
эпюру продольных сил N. В данном случае последовательно выре-
заем узлы 1, 2 и 3 (рис. 166, а —в).
197
Согласно рис. 166, а имеем:
1) 2* = 0; 310 + Л\г = О,
откуда
/V12 = -Qi0 = -1,84 МН;
2)	lVla-|-Qi2 — О
и
ЛГ10 = - Qn = -21,27 МН.
По рис. 166, б получаем:
1)	Х = 0; M12~b^23 — Qzi=O»
откуда
^s=QM—/V12 = 2,59—1,84 = 0,75 МН;
2) 2^ = °; ЛГ21+<?21-<?23=0
и
ЛГ21 = —Q2i+Qii3 = —26,744-0,56 = —26,18 МН.
По рис. 166, в находим
2jK=0; Лг35+<2з2=0>
откуда
ДГ35 = —Q32 = —0,56 МН.
Знак минус соответствует сжимающей стержень силе, знак плюс—растяги-
вающей.
Эпюра N изображена на рис. 166, г.
§ 55. Замена произвольной несимметричной нагрузки
прямосимметричной и обратносимметричной нагрузками
Основной вывод. Используя свойство взаимно нулевых эпюр,
можно добиться дальнейшего упрощения расчета симметричных рам
при действии несимметричной нагрузки, преобразуя эту нагрузку
в составляющие нагрузки закономерного вида: симметричную и
обратносимметричную. При этом заданную несимметричную нагрузку
определенной интенсивности заменяем двумя отдельно действую-
щими нагрузками — симметричной и обратносимметричной — половин-
ной интенсивности так, чтобы после сложения этих нагрузок полу-
чилась заданная нагрузка. Рассчитав раму на действие симметрич-
ной и отдельно на действие обратносимметричной нагрузок, най-
дем в каждом случае эпюры моментов — от симметричной нагрузки
Л4СИМ и от обратносимметричной нагрузки Мобр. Очевидно, эпюра
моментов от заданной нагрузки Л4зад будет получена суммирова-
нием отдельных эпюр от симметричной и обратносимметричной
составляющих нагрузок:
^зад = ^сим ^обр"
Вместо одной эпюры Л1зад по этому способу необходимо найти две
эпюры моментов —от симметричной и от обратносимметричной
нагрузок согласно приведенному выше выражению. Однако полу-
чение этих эпюр значительно облегчается.
198
Нетрудно показать, что при действии симметричной нагрузки
возникают только симметричные лишние неизвестные, а при дей-
ствии обратносимметричной нагрузки возбуждаются лишь обратно-
симметричные лишние неизвестные.
Рассмотрим простейшую дважды статически неопределимую раму
(рис. 167, й). Рама имеет вертикальную ось симметрии, проходя-
щую через центр шарнира С. При расчете на несимметричную
нагрузку интенсивностью р будем искать
два неизвестных Xi и Х2, где Хх— сим-
метричное неизвестное, Х2 — обратносим-
метричное неизвестное (рис. 167, б). Вмес-
то непосредственного расчета на несим-
метричную нагрузку ведем расчет: 1) на
симметричную нагрузку интенсивностью
р/2 (рис. 167, в) и 2) на обратносиммст-
рнчную нагрузку интенсивностью р/2
(рис. 167, г). При этом для горизонтальных
сил симметричная нагрузка имеет прямо
противоположное направление, а обратно-
симметричная — одинаковое направление.
Складывая нагрузки, приложенные в этих
двух состояниях, по правой стойке полу-
чаем равнодействующую нулевую нагруз-
ку, а по левой стойке —равномерную на-
грузку интенсивностью р.
Нетрудно видеть, что при действии
симметричной нагрузки обратносимметрич-
ные неизвестные должны быть равны ну-
лю. На рис. 167,в показана основная
система, деформированная симметричной
нагрузкой, при этом
А1р^0; Д2/> = 0.
Система уравнений будет иметь следую-
щий вид:
XAi + А^О; ХД2 = 0,
откуда Х2 = 0— обратноеиммстрнчное не-
известное равно нулю, так как 622 ^=0.
От действия обратносимметричной на-
грузки (рис. 167, г) вследствие обратно-
симметричности деформированного вида
в основной системе AIjP = 0 и потому ка-
нонические уравнения имеют вид
ХДх = 0; ХД2 + А2/,= 0
— симметричное неизвестное Д равно ну-
лю, так как 6и^=0.
При расчете любой симметричной кон-
199
струкции применяем указанное свойство: от симметричного па-
гружения ищем лишь симметричные неизвестные, от обратносим-
метричной нагрузки определяем только обратносимметричные не-
известные.
Общий случай разложения несимметричной нагрузки. В общем
случае несимметричного нагружения рамы вертикальной и гори-
зонтальной силами Р и парой т (рис. 168, а) поступаем аналогично.
Рис. 169
200
На рис. 168, б показано нагружение рамы симметричной систе-
мой сил и парами, а на рис. 168, в —обратносимметричной нагрузкой.
Сложение этих составляющих нагрузок приводит к нагружению
заданной нагрузкой.
Расчет на каждое симметричное или обратносимметричное нагру-
жение упрощается еще потому, что вычислять перемещения можно
перемножением эпюр только по длине половины всей системы.
Пример. Построить эпюры моментов и продольных сил для двухъярусной
симметричной рамы, подверженной действию горизонтальной узловой силы Р — 20 кН
(рис. 169, а). Пролет рамы / = 6 м. Высота этажа /7 = 5 м. Сечения стоек: нижней
40 X 50 см, верхней 40 X 60 см. Сечения ригелей: нижнего 30 X 100, верхнего
30 X 70 см.
Решение. Сводим задачу к действию двух симметричных сил, вызывающих
растяжение верхнего ригеля р/2 = 10 кН, и обратносимметричной нагрузки по
р/2 (рис. 169, б). На этом рисунке показана основная система и эпюра моментов
только от нагрузки Мр. На рис. 169, s, г даны эпюры моментов в состоянии
действия Х4=1 и Х2 = 1. От обратносимметричной нагрузки возникают лишь
поперечные силы Л'4 и X,.
По заданным размерам сечений находим моменты инерции:
12/i = 0,4-0,125 = 0,05 м4;
127а = 0,3.13 = 0,3 м4;
12/3 = 0,4-0,63 = 0,0864 м4;
12/4 = 0,3-0,73 = 0,1029 м4.
Соотношения между моментами инерции
/4:/3:/2:/4 = 2,058:1,728:6:1.
Определяем перемещения:
£/,.^ = -2 {^5 . _3_+75.5-з) =-2684,028;
Е/1Д2р = —2 (75 • 5• 3) = -2250;
/З.Ч 9	3	3-5-3	\
£/l61l = 2 (_ . - . ет+7__+3.5.з) = 150,8304;
£/4612 = 2-3-5-3 = 90;
£/Л2=2 (v ‘ Т ’ 4+3'5'3) ~93‘
Решая канонические уравнения, находим: 20=7,9487 кН, Х2 = 16,502 кН.
Суммарная эпюра моментов Л1сум представлена на рис. 169, д. По ней полу-
чена эпюра (?сум и затем эпюра lVcyM (рис. 169, е). На эпюре Л'сум по верхнему
ригелю добавочно показана эпюра Л/ от действия растягивающих симметрично
действующих сил Р/2.
§ 56. Расчет пространственных рам
В практике часто применяют пространственные рамы, которые
для простоты расчета, в случае применения регулярных систем,
заменяют плоскими рамами. Но нередко такая замена для нерегу-
лярных конструкций невозможна. Пространственной задачей яв-
ляется и задача расчета плоской рамы при действии нагрузки
перпендикулярной плоскости рамы.
Пример 1. Рассчитать горизонтальную четырехугольную балконную раму,
подверженную действию вертикальной нагрузки Р. приложенной к середине ригеля
201
круглого сечения пролетом I (рис. 170, а). Пусть длины выступающих элемен-
тов /т, сечение то же, что и для ригеля.
Решение. В общем случае в сечениях разреза (рис. 170, б) следовало бы
приложить два изгибающих момента (Л4Л, Л12), крутящий момент М две попе-
речные силы (Q,., Q2) и продольную силу Л/у. При действии данной симметричной
нагрузки крутящий момент и поперечные силы как обратносимметричные неиз-
вестные равны нулю, изгибающий момент в горизонтальной плоскости М2 и
продольная сила Л';; от вертикальной нагрузки также равны нулю, остается
лишь одно неизвестное—изгибающий момент [Л1х в вертикальной плоскости.
Эпюра моментов в единичном состоянии X = 1 представлена на рис. 170, б. Эпюры
моментов от нагрузки Р/2 изображены на рис. 170, в. Эпюры крутящих моментов
по длине Л заштрихованы петлеобразно. Полагая, что модуль сдвига С = ЗЕ/8,
и считая сечения элементов рамы круглыми, перемножением эпюр находим:
х > ( 1 I 8 л _ Pl ( 1 aS h\
^ХХ~Е1 ’у 2 + 3 hJ ’ Лл'р Е7\16^3П)"
Искомое неизвестное
(3//8+2Й)
ЗН-8Й •
202
Если /;=0, то имеем известное значение для защемленной балки XZ/_0 = P//8.
Если Л = 3//2, то Л'=9Р//40. Окончательная эпюра моментов для этого случая
приведена на рис. 170, г.
Пример 2. Рассчитать нерегулярную раму по рис. 171, а, имеющую
поверху лишь три ригеля. Пусть h = l, EZ= const, сечение всех элементов квад-
ратное, для которого при стороне а момент инерции кручения /кр = 0,141 я4,
осевой момент инерции /=а4/12; соотношение между модулями G и Е равно 0.4.
Отношение а= E//(G/Kp) = 1,48.
Решение. Основная система показана на рис. 171, б, за неизвестные прини-
маем горизонтальные силы взаимодействия Хг и моменты Х2 между левой рамой
ABCD и правыми полурамами. Левые силы XL и Х2 вызовут изгиб рамы ABCD,
правые силы Л\ и Х2—изгиб и кручение, причем силы X!—изгиб ригеля BF
и стойки FG и кручение стойки FG, а моменты Х2 —кручение ригеля BF и
изгиб стойки FG. Единичные перемещения для половины системы, в EF раз
увеличенные:
Л2 / Л 3 . \ . 2	/61 . \ ,,
£/6и=т (з- -14ЛJ +т h + = U+°7 h '
Е1Ъ1г= • т=7-Л2: Е!8^ = А1
Перемещения от нагрузки (для половины системы):
EIA]p = -^ Ph\ ElA2p = -±Ph*.
203
Лишние неизвестные из католических уравнений:
Х1 = О,О25Р; Х2 = 0,0081Р/г.
Эпюра моментов для рамы ABCD изображена на рис. 171, в. Моменты в верхних
узлах меньше на 6%, чем моменты в плоской системе.
Как видно, при учете пространственности принимается во внимание скручи-
вание отдельных элементов.
Глава 10
РАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
§ 57. Кинематическая неопределимость рам
Общие сведения. До сих пор мы рассматривали расчет различ-
ных статически неопределимых систем по методу сил, принимая за
основные неизвестные силы или моменты.
Если при расчете статически неопределимых систем по методу
сил выбирают силы (усилия в лишних связях) и для их отыскания
используют уравнения совместимости перемещений, причем приме-
няют обычно основную геометрически неизменяемую систему, то при
расчете по методу перемещений за неизвестные принимают пере-
мещения, а для их нахождения используют условия равновесия.
В случае свободной, незакрепленной рамы шарнирная схема рамы
(полученная введением во всех жестких узлах полных шарниров)
используется для установления числа неизвестных перемещений.
Метод перемещений в настоящее время получил большое рас-
пространение, особенно при расчете сложных статически неопреде-
лимых систем с большим количеством лишних связей, обладающих
малой подвижностью узлов (сложные каркасные рамы, фермы с же-
сткими узлами и т. д.). Метод перемещений явился основой для
разработки ряда цепных приближенных методов расчета рам (метод
Кросса, Кани и др.).
Существуют две формы решений задач по методу перемещений:
каноническая и развернутая. Развернутая форма применена Геле-
ром, Манном, Б. Н. Жемочкиным, Н. В. Корноуховым, автором и
распространена за рубежом.
Каноническая форма метода перемещений аналогична той же
форме записи уравнений метода сил. Она развита у нас трудами
И. М. Рабиновича, А. А. Гвоздева и А. Ф. Смирнова.
Степень кинематической неопределимости. Степенью кине-
матической неопределимости условимся называть число
тех неизвестных перемещений, знание которых позволяет опреде-
лить деформированный вид системы и, следовательно, при приме-
нении закона Гука — все усилия в ней.
Степень кинематической неопределимости может не совпадать со
степенью статической неопределимости. Для установления степени
кинематической неопределимости необходимо рассмотреть особен-
ности деформаций рам. При представлении деформированного со-
стояния рам будем пренебрегать, как это принималось и при рас-
204
чете рам методом сил: 1) продольными деформациями, вызванными
осевыми силами в стержнях (влиянием N); 2)разницей длин искрив-
ленного стержня и проекций его
стержня; 3) влиянием поперечных
сил на деформацию. При расчете
же на действие температуры про-
дольные деформации учитываются.
При указанных выше предпо-
ложениях для плоской рамы (рис.
172, а), каждый узел которой
прикрепляется последовательно к
двум другим узлам двумя стерж-
нями, не лежащими на одной пря-
мой, линейные смещения узлов от-
сутствуют. В самом деле, стержни
рамы считаются нерастяжимыми,
а система ее узлов образует тре-
угольники (/—6—0, 2—5—1, 3—
—4—2), длины сторон которых не
меняются и потому линейных сме-
щений не происходит. При этом
шарнирная схема рамы (рис. 17'
на первоначальное направление
Рис. 172
, б) неизменяема. Такие рамы
шарнирная схема которых неизменяема, относятся к первому виду
закрепленных, или несвободных, рам. Расчет рам этого
вида особенно прост по методу перемещений. За неизвестные пере-
мещения, определяющие всю картину деформаций рамы и, следова-
тельно, все усилия в системе, для рам этого типа принимают углы
поворота жестких свободных узлов. Для рамы, изоб-
раженной на рис. 172, а, эти углы обозначены <рх, ср2 и <р3. Кине-
матическая неопределимость системы для этого случая равна трем.
При расчете, как обычно, исходят из предположения об абсолютно
жестком взаимном соединении стержней в узле; концы всех стерж-
ней, связанных в данном жестком узле (/, 2, 3), поворачиваются
поэтому на один и тот же угол (рис. 172, а).
Ко второму общему виду рам относятся рамы, имеющие линей-
ные смещения узлов. Такие смещения возникают вследствие
того, что в рамах этого типа нет последовательного прикрепления
каждого узла двумя стержнями и, следовательно, шарнирная схема
рамы изменяема. В качестве примера рассмотрим простейшую раму
прямоугольного очертания (рис. 173, а). Идя слева направо, заме-
чаем, что узел 1 рамы прикреплен лишь одним вертикальным
стержнем, почему для этого случая возможно горизонтальное пере-
мещение узла А = 1 — Г (нет горизонтального закрепления). Узел 2
рамы прикреплен двумя стержнями 1—2 и 2—-4, и так как узел 1
перемещается, то узел 2 также получает линейное смещение 2—2'.
Смещения узлов 2 и 1 должны быть одинаковыми, поскольку стер-
жень принят нерастяжимым: 2—2' = /—•/' = А. Деформированный
вид рамы, так же как и для предыдущего типа, характерен тем,
что проекции искривленных линий каждого стержня на первона-
205
чальное направление равны начальным длинам стержней и узлы
рамы остаются жесткими—углы или <р2 одинаковы для концов
ригелей и концов стоек.
Для рамы данного типа за неизвестные при расчете методом
перемещений принимают как углы поворота жестких узлов tf, и ф3,
так и линейные смещения узлов А. В данном случае мы получили
одно неизвестное линейное смещение А, и нетрудно видеть, что
шарнирная схема рамы (рис. 173, б) имеет одну степень свободы
в отношении произвольных линейных смещений. Действительно,
для обращения шарнирной схемы в неизменяемую систему необхо-
димо ввести один дополнительный опорный стержень I.
Степень свободы шарнирной схемы
лом неизвестных линейных смещений
Рис. 174
рамы всегда совпадает с чис-
узлов заданной рамы или со
степенью линейной подвиж-
ности узлов рамы. Это поз-
воляет легко установить чис-
ло неизвестных линейных
смещений узлов А или про-
порциональных им углов по-
ворота стержней 6 (на рис.
173, a	для любой
рамы.
Рассмотрим, например,
раму, изображенную на рис.
174, а. Переходя к шарнир-
ной схеме рамы (рис. 174,
б), получаем кинематическую
цепь стержней 1—2, 2—3,
3—4, 4—7 — систему с двумя
степенями свободы (в отно-
шении линейных смещений).
К этому заключению прихо-
дим, устанавливая число до-
бавочных опорных стержней,
необходимых для обращения
шарнирной схемы в неиз-
206
меняемую. Для этого прежде всего нужно закрепить узел 1 доба-
вочным опорным стержнем I (кроме стержня 1—5); узел 2 теперь
прикреплен неподвижно двумя стержнями 1—2 и 2—6\ для за-
крепления узла 3 следует ввести дополнительный опорный стер-
жень II, после чего узел 3 оказывается прикрепленным двумя
стержнями; двумя стержнями прикреплен и узел 4.
Использование кинематической цепи—шарнирной схемы рамы —
важно и для установления неизвестных линейных смещений узлов,
точнее, взаимных смещений концов стержней данной рамы или не-
известных углов поворота стержней рамы 9 в картине ее перекоса.
Картиной перекоса рамы называют многоугольную линию,
вершинами которой являются центры узлов рамы в деформирован-
ном состоянии (на рис. 174, а это контур 5—Г—2'—3'—4'—7).
Так как в шарнирной схеме дополнительным стержнем подкреп-
лен узел 1, то первым неизвестным линейным смещением явля-
ется А4—смещение узла 1 относительно узла 5 в направлении, пер-
пендикулярном стержню 1—5. Поскольку же второй подкрепляющий
стержень дан в узле 3, вторым неизвестным линейным смещением
следует выбрать смещение Аа узла 3 относительно узла 2 по нор-
мали к первоначальной оси стержня 2—3. Положение дополни-
тельных опорных стержней дает возможность установить, взаимные
смещения концов каких именно стержней следует прини-
мать за неизвестные (в данном случае стержней 1—5 и 2—3).
Вместо взаимных линейных смещений концов стержней в развер-
нутой форме метода перемещений целесообразно принимать углы
поворота стержней рамы в картине перекоса (точнее, углы
поворота хорд изогнутых линий стержней). Эти углы, очевидно,
линейно связаны со смещениями:
®i=A1//I5; 02 —А2//23,
где /16, /23—первоначальные длины стержней.
Если теперь нанести на картину перекоса рамы искривленные
линии стержней, то углы 9 будут углами поворота хорд
изогнутых линий стержней рамы. Введение в качестве
неизвестных углов 9 особенно удобно для представления деформи-
рованного вида рамы, когда естественно сопоставление углов пово-
рота стержней 9 с углами поворота узлов <р. Это одно из преиму-
ществ развернутой формы метода перемещений.
Для рассмотренных свободных рам за неизвестные по методу
перемещений в развернутой форме принимают: 1) углы поворота
жестких свободных узлов и 2) углы поворота тех стержней рамы,
положение которых определяет ее картину перекоса. Так, для
рамы, изображенной на рис. 174, а, неизвестными угловыми пере-
мещениями будут четыре угла поворота узлов <р4, ф2, <р3 и ф4 и два
угла поворота стержней 94 и 92. Для зависимых углов поворота
03 и 04 получаем:
93 =	92/23 cos а//34; Э4 = (94/15 92/23 sin о:)//47.
207
перемещениями прямолинейного
§ 58. Соотношения между концевыми моментами
и угловыми деформациями
Стержень, жестко прикрепленный к узлам двумя концами. Важ-
ной частью всей операции расчета рам по методу перемещений
является выражение концевых моментов М1к и Mkf через угловые
перемещения и члены, отражающие влияние нагрузки.
Составим соотношения между концевыми моментами и угловыми
стержня рамы постоянного
сечения в предположении, что
концы стержня t и k жестко при-
креплены к узлам (рис. 175). В
результате общей упругой дефор-
мации всей рамы ее узлы полу-
чают неравные смещения t — t' и
k — k', которые в общем случае
наклонены к первоначальному
положению оси стержня, и стер-
жень рамы искривляется. Полное
перемещение стержня t—k в поло-
жение t'—k' можно представить
как поступательное перемещение в
параллельное положение /'—k",
затем поворот на угол Bik и искривление. В основной системе
(нижний рисунок) отбрасываем жесткое прикрепление концов и
возмещаем его моментами Mik и Mkt. Отмечаем углы поворота
касательных по концам к изогнутой линии стержня от начального
направления его оси <pt и срА; они равны углам поворота узловых
элементов t и k. Проведя хорду изогнутой линии t'k', укажем
также углы atk и akt между хордой и касательными по концам
к изогнутой линии стержня.
Принимаем следующее правило знаков: концевые моменты Mtk
и Mkt считаем положительными при действии их против часовой
стрелки; углы поворота узлов <pf и <рЛ, а также угол поворота
хорды изогнутой линии 6/ft принимаем положительными по часовой
стрелке; углы поворота касательных к изогнутой оси стержня по
концам его, отсчитываемые от хорды, считаем положительными про-
тив часовой стрелки.
Дадим выражение для углов atk и aki через концевые моменты
М1к, Mkt и нагрузку Р.
Перемещения, отсчитываемые от хорды изогнутой линии t'—k',
а также углы поворота aik, ак1 определяем по схеме простой
балки с горизонтальной осью, пренебрегая влиянием по-
ворота на угол Qtk за его малостью. Так же как и при выводе
выражения для углов поворота по концам простой балки от опор-
ных моментов и нагрузки, для akt и при постоянном сечении
имеем
atk = M-tbltk/fiEI и?) — Mktltk/(6EI tk)-\-aik; 1
akt~— Miklik!(§EIt.k)-pcckt, J
208
где а°/к, arkt — углы поворота по концам простой шарнирно опертой
балки только от действия нагрузки Р; EItk —жесткость балки на
изгиб.
Первые два члена правой части выражения (а) отражают влия-
ние на углы поворота неизвестных концевых моментов.
Введем для краткости записи понятие погонной жестко-
сти, т. е. жесткости па единицу длины стержня, обозначив ее ijk:
itk = El tklltk-
Вместо выражения (а) можем написать:
afft = Mtk/(3itk) 	-\-atk;
akt =	Mtk/(&ikt) -f-a*/.
Решая эти уравнения относительно моментов Mik и Mkt, получаем
Mfk = itk (4®ts4 ikt (4azfe + 2a^z); |
Mkt = 4k (^akt 4 2а(Л) iik (4akt -1- 2aik). |
Первые члены правой части этих выражений содержат стати-
чески неопределимые угловые деформации akt и affe; вторые же
члены включают лишь углы поворота по концам простой балки
а°/к и ак( от заданной нагрузки.
При действии сплошной равномерной нагрузки интенсивностью
р по всей длине балки
^ = -p/?4(24EZtft); cc« = p%/(24E7#ft)(	(в)
где учтено принятое правило знаков для углов ath, akt.
При расчете рам методом перемещений необходимо выразить
углы поворота alk, akh отсчитываемые от хорды изогнутой линии,
через углы поворота узлов ср±, <р/г и угол поворота хорды 0/А.
Из рис. 175 получаем:
= Фо =	—ф^	(0
Подставляя значения а1к и akt из выражений (г) в формулы
для концевых моментов (б), находим
Mik = i-tk (4ф<42<Рй 60/;.)— itk (4«z/i + 2a^);
Mkt =	Чк (4ф* 4- 2ф/—60/z.) —itk (4a^-|- 2atk). \
Мы получили выражения для концевых моментов
стержня рамы t—k, жестко закрепленного в узлах
t и k.
Заметим, что узлы рамы являются упругими защемлениями для
данного стержня. В самом деле, концы стержня получают повороты
(pt, (рк и, помимо того, происходят взаимные линейные смещения
вследствие податливости узлов, из чего и складывается угол смеще-
ния в!к для всего стержня.
Если же упругость защемлений концов стержня исключить,
т. е. если положить в выражениях (10.1) <р( = 0, <pfe = 0, 0(А = О, то
получим схему стержня в виде балки, абсолютно жестко
209
защемленной двумя концами (рис. 176, а). Так как на
стержне имеется нагрузка Р, то от нее возникают концевые мо-
менты, выражения для которых имеют вид последних членов фор-
мул (10.1). Обозначая эти мо-
менты, вызванные только на-
грузкой Р, через и Mht,
согласно формулам (10.1) по-
лучаем
М1к =— i(k (4aZfe + 2aj.z);	—
——ifk (4аи + 2а^).	(10.2)
Моменты и M°kt только
от нагрузки для балки t—k,
абсолютно жестко защемленной
двумя концами, легко вычис-
лить, пользуясь формулами
(10.2), по известным углам по-
ворота atk и ак1 шарнирно опер-
той балки при действии на нее
той же нагрузки. В случае на-
гружения стержня равномерно
распределенной нагрузкой ин-
тенсивностью q, подставляя зна-
чения углов из выражения (в),
согласно формулам (10.2) по-
лучаем:
Mf°k=qPtk/l2-,
В табл. 2 указаны значения
моментов и реакций для различных типов нагрузки.
Подставляя краткие обозначения моментов от нагрузки из фор-
мул (10.2) в выражения (10.1), окончательно получаем следующие
выражения для концевых моментов в стержне рамы с упругопо-
датливыми заделками:
Mfk — — (4<Pf 2<pfe— 60/й)-фМ^', I
=	1 га (4<р* + 2<pf—69/й) + Л1&. j
(10.3)
Формулами (10.3) далее и пользуемся при расчете рам, стержни
которых жестко прикрепляются к упругоподатливым узлам рамы дву-
мя концами. Влияние упругой податливости узлов выражается первым
членом правой части; влияние нагрузки, приложенной непосред-
ственно к стержню,— последними членами. На рис. 176, а показаны
моменты от нагрузки, на рис. 176,6 — моменты от поворота левой
заделки на угол (pf, на рис. 176, в—моменты от поворота правой
заделки на угол <pft и на рис. 176, г—моменты от взаимного сме-
щения заделок, соответствующего углу 0ffc. Эти моменты рассма-
триваются как «упругие реакции» при применении канонической
формы метода перемещений.
210
Таблица 2. Реакции для балок с защемленными концами
Реакции
Mai, = 4£7/Z; Л1г,а=2£7//; Ra=6EI/P
МоЪ = МЬа = ЬЕ1Цг\ Ra = 12El/P
МоЬ = — Mv (Зи — 1);
Мьа = — Ми (Зу— 1)
п ой2 я/	n
М]2 —-P-J2-; ЛТа!— — Р ~[2~
при а = 1/2 М12 = Р1/И
МаЬ = Рс(1-с)Ц; МЬл = -Рс(1-€)/1
Mab = pP/12; Mba=-pl^/12
211
Продолжение табл. 2
№ п/п
Схема
Реакции
^12— ^/г’ (4°+^);
м21 = —	(6а2 + iab + Ь”-);
при а~ 1/2
пл	Г-f Л л	1 1	».->
Л112=192рЛ; M2!=:~192P'
Стержень, жестко прикрепленный
одним концом и шарнирно —
другим. Пусть стержень рамы (рис. 177) жестко прикреплен к ее
узлу t и шарнирно —к узлу k. Тогда в месте шарнирного при-
крепления момент Mkt = 0, и после
отбрасывания жесткого прикреп-
ления в узле t получаем расчет-
ную схему в виде простой двух-
опорной балки, подверженной дей-
ствию лишь одного момента Mik
и нагрузки, непосредственно при-
ложенной к стержню.
Перемещение стержня t — k,
также как и в предыдущем случае,
представляется поступательным в
параллельное положение, затем
в форме поворота на угол смещения 0(А без искривления и далее
в виде искривления стержня (изогнутая линия t'k'). Выражаем
угол поворота aik в месте жесткого прикрепления стержня к узлу t,
отсчитываемого от хорды, через единственный концевой момент Mtk
и нагрузку:
atk — Mtkltk/(3E' tк)
(д)
где a°j.—угол поворота только от нагрузки для разрезной балки.
Вводя погонную жесткость, вместо выражения (д) получаем
atk —	+ a(fe-
Отсюда находим момент Mtk:
Mtk — 4k'^atk ltk'^atk-
Заменяем в первом члене правой части atk на 0fft — ср(:
= — 4k (3<Pt — 39м) —
(10.4)
Мы получили выражение момента Mtk в стержне рамы t — k,
упруго заделанном в узле t и шарнирно опертом в узле k. Выра-
жение (10.4) представлено в виде суммы влияний: упругости заделки
и взаимного смещения концов (первый член) и действия нагрузки,
212
непосредственно приложенной к стержню (второй член). Если за-
делка абсолютно жесткая (cpf = 0 и
t—k возникает момент, вызванный
Из формулы (10.4) этот момент
будет
Зная a°ik, легко определить
М0' — момент в защемлении от за-
данной нагрузки для стержня ра-
мы, абсолютно жестко заделанного
одним концом в узле t и шар-
нирно опертого другим концом
в узле k. Значения моментов М'1,',,
от нагрузки разных видов приве-
дены в табл. 3.
Окончательно момент Mtk
для жесткого конца t стержня,
шарнирно опертого другим кон-
цом, согласно формуле (10.4)
будет
0/s= 0), то в заделке t стержня
лишь нагрузкой (рис. 178, а).
Рис. 178

(10.5)
Таблица 3. Реакции в защемлении балки, заделанной одним концом
213
Продолжение табл. 3
Мы получили выражение концевого момента в зависимости
лишь от одного угла поворота жесткого узла cpf и угла смеще-
ния Угол поворота касательной в месте шарнирного прикреп-
ления в данном случае знать не требуется, поэтому в дальнейшем
при расчете рам, имеющих и жесткие и шарнирные узлы, за неиз-
вестные принимают лишь углы поворота жестких узлов.
Первый член правой части формулы (10.5) дает момент со стороны
защемления от поворота на угол <р( (рис. 178, б) и от поворота
всего стержня на угол 9fft (рис. 178, в). Эти реактивные моменты
от защемления, вызванные его упругостью и взаимным смещением
опор, называют упругими реакциями. Их значения исполь-
зуются и в канонической форме метода.
214
§ 59. Расчет рам по развернутой форме
метода перемещений
Основная система. Рассмотрим общий ход расчета двухэтажной
свободной рамы с жесткими
(что принято для простоты
случае имеем четыре неиз-
вестных угла поворота узлов
q>t, Фа> Vs> Фи и два угла по-
ворота стержней 0н и 0м—
по степеням свободы шарнир-
ной схемы рамы, т. е. всего
шесть неизвестных угловых
перемещений (степень кине-
матической неопределимос-
ти). Деформированный вид
рамы получен представлени-
ем картины перекоса г — t' —
k'—s' — и'—р и нанесением
искривленной оси всех стер-
жней так, чтобы удовлетво-
рялись условия жесткости
узлов рамы (равенство углов
поворота касательных к изог-
нутым линиям всех стержней,
сходящихся в данном узле).
Чтобы найти неизвестные
угловые перемещения, ис-
пользуем условия равнове-
сия, в которые войдут так
называемые концевые или
узловые моменты рамы, дей-
ствующие на особо выбран-
ную основную систему в виде
шарнирной схемы рамы. От
заданной рамы с жесткими
узлами переходим к основ-
ной системе, вставляя в цент-
ре каждого жесткого узла
рамы шарнир и возмещая
действие взаимных жестких
соединений концов стержней
и узловых элементов парны-
ми моментами Mth, Mkt, Mks и
На рис. 179, б показано л
узлами и вертикальными стойками
изложения; рис. 179, а). В данном
Рис. 179
т. д.
1шь действие жесткой связи узлов
на концы стержней в виде концевых моментов, которые прини-
маем положительными против часовой стрелки. Прямо противопо-
ложные им по направлению и равные по величине моменты Mtk,
215
Mkt, Mks, ..., действующие от концов стержней на узлы, назы-
ваются узловыми (на 179,6 не показаны).
Основная схема рамы является кинематической цепью балок,
обладающей определенной степенью свободы по числу произвольных
поворотов узловых элементов относительно концов стержней (таких
степеней свободы данная рама имеет четыре) и по числу произ-
вольных взаимных смещений концов стержней или произвольных
поворотов стержней шарнирной схемы, т. е. по числу дополни-
тельных опорных стержней (таких степеней свободы две). Полная
степень свободы основной системы (4 + 2 = 6) совпадает с числом
неизвестных угловых перемещений. Заданная же жесткая рама
неизменяема и находится в равновесии. Влияние жесткости в сое-
динении стержней рамы в узлах нами возмещено в основной
системе концевыми и узловыми моментами Mtk и Mkt. Эти моменты
следует подобрать так, чтобы они удовлетворяли условиям равно-
весия основной системы, отрицающим произвольные малые переме-
щения системы: повороты узлов и повороты стержней шарнирной
схемы.
Основные уравнения. Всю систему уравнений равновесия делим
на две группы; основные и дополнительные. Основные уравнения
составляются как условия
равновесия узлов в форме
равенства нулю суммы узло-
вых моментов. Дополнитель-
ные уравнения формулиру-
ются как условия равновесия
тнарнирой схемы рамы в це-
лом.
Представляем сначала об-
щий вид основного уравнения
метода перемещений! для Z-го узла в первом предположении отсутствия
внешнего момента (рис. 180, а, б).
На рис. 180, а выделена часть рамы у узла t и показаны как
концевые, так и равные им узловые моменты Mik,
Отбрасывая стержни рамы, рассматриваем равновесие узла, пред-
полагая размеры его ничтожными (рис. 180, б). Считая, что в узле I
сходится п стержней tklt tk2, tk3, ..., составляем условие равно-
весия в виде равенства нулю суммы всех узловых моментов:
2^ -0,
п 1
т. е. сумма всех узловых моментов, действующих со стороны всех
стержней, связанных с /-м узлом рамы, должна быть равна нулю.
Таков простой смысл основных уравнений при отсутствии внешнего
момента.
Нередко к данному /-му узлу рамы бывает присоединена кон-
соль, несущая какую-либо нагрузку. Тогда на центр узла консоль
оказывает воздействие в виде силы и пары сил, момент которой mt
должен быть учтен при составлении суммы моментов (рис. 180, в).
216
Выделяя в этом случае узел t, подверженный действию внеш-
него момента mt, а также действию узловых моментов от стержней
числом п, получаем
^Mtk, + mt = Q.	(10.6)
п 1
Таково основное уравнение метода перемещений в общем случае. Оче-
видно, вместо узловых моментов в уравнение (10.6) можно внести
концевые моменты, так как они равны между собой. Основных
уравнений можно составить по числу свободных жестких узлов,
т. е. по числу неизвестных углов поворота узлов <р(.
Заменяя теперь в уравнениях (10.6) все моменты M1k переме-
щениями, получаем уравнения (10.6) относительно углов поворота
Ф* и 6м •
Для возможности отыскания и углов поворота 0//г необходимо
составить группу дополнительных уравнений.
Дополнительные уравнения. Дополнительные уравнения, выра-
жающие общие условия равновесия рамы по основной системе и
отрицающие произвольные линейные смещения ее (или повороты
стержней), проще всего составить, применяя начало возможных
перемещений. Это наиболее общая форма записи дополнительного
уравнения для рам
без введения попе-
речных и продоль-
ных сил в элементах
рамы, что обычно де-
лается в каноничес-
кой форме.
Согласно началу
возможных переме-
щений, когда данная
система находится в
состоянии равнове-
сия, сумма работ всех
сил и моментов, нахо-
дящихся в равнове-
сии па любых малых
с любыми наклонными элементами
возможных переме-
щениях, должна быть равна нулю. Если задаться для основной
системы — кинематической цепи — картиной малых возможных пере-
мещений и составить сумму работ всех сил Рп и концевых момен-
тов Mtk, Mkt на возможных перемещениях основной системы
(рис. 181, а, б), то должен получиться нуль. В картине возможных
перемещений кинематической цепи (например, в первом состоянии
по рис. 181, а) имеются лишь перемещения стержней цепи как
элементов твердого тела без упругих деформаций и усилий в стер-
жнях. Картина возможных перемещений для каждого элемента
линейна и легко определяется «независимыми» возможными углами
поворота стержней.
217
Возможные углы нов грота стержней обозначаем ф и принимаем
их (так же как и углы 9) положительными по часовой стрелке.
Задаваясь в первом возможном состоянии цепи малым поворотом
первого «независимого» стержня (например, t — Л), равным единице
и полагая повороты остальных стержней равными нулю, получаем
наиболее простую картину возможных перемещений (рис. 181, а).
Составляя сумму работ концевых моментов Afa, Mki на поворотах
ф/д. и сумму работ нагрузки Рп на перемещениях f> , получаем по
началу возможных перемещений
2 р^Рп - 2(AW/ft+м*?Ь) = о,
или, ВЫНОСЯ за скобку,
2^Л„-2(Чй + Ма#)^ = 0,	(10.7)
где первая сумма выражает возможную работу заданной нагрузки
на возможных перемещениях, а вторая — возможную работу конце-
вых моментов (см. рис. 180, б) на возможных углах поворота
(рис. 181, а).
Уравнений (10.7) можно составить столько, сколько независимых
друг от друга картин возможных перемещений кинематической
цепи в отношении линейных смещений, т. е. по числу неизвестных
углов поворота Qtk. В данном случае для системы с двумя степе-
нями свободы имеем два независимых возможных состояния: в пер-
вом состоянии (рис. 181, а) сообщаем возможный угол поворота
стойке верхнего этажа, равный единице, ф<А = 1 и фн = 0; во втором
состоянии (рис. 181, б) принимаем возможный угол поворота стойки
первого этажа равным единице, фг( = 1 и ф/А = 0. При таком задании
в каждое уравнение будет входить наименьшее количество неиз-
вестных. Составив группу дополнительных уравнений (10.7) по
числу неизвестных углов 0, заменим в этих уравнениях все кон-
цевые моменты угловыми перемещениями ф4, 9М и получим всю
систему основных и дополнительных уравнений, содержащих лишь
неизвестные перемещения и влияние нагрузки.
§ 69. Уравнения метода перемещений в развернутой форме
Развернутая форма уравнений. Основные уравнения. Рассмот-
ренными выше уравнениями (10.3) — (10.7) исчерпываются все
необходимые соотношения для проведения расчета рамы методом
перемещений. В этих уравнениях коэффициенты при неизвестных
перемещениях получены в готовом виде. При наличии внешнего
момента в узле t основным уравнением метода перемещений
является (10.6).
Если рама имеет все жесткие прикрепления концов стержней
в узлах, для концевого момента Mtk применяем выражение (10.3):
2 [— 1 tk (4ф/ + 2<рк — 60/А.) +	+ mt = 0,
а
218
или после переноса известных членов вправо и умножения на —1
2 [iu (4<pf + 2Фй-69м)] = 2 ЛП( + mt	(10.8)
п	п
— абсолютное значение суммы реактивных моментов, вызванных
упругими поворотами, равно сумме реактивных моментов от нагруз-
ки и внешнему моменту.
Аналогично, подставляя в формулу (10.6) выражение момента
Mtk из выражения (10.5) для случая стержней рамы с одним шар-
нирным концом, получаем основное уравнение в виде
2 [Чй (3<pt - 30(ft)] = 2 Л4?й + mt.	(10.9)
п	п
Дополнительное уравнение. Общий вид дополнительного урав-
нения метода перемещений по началу возможных перемещений,
согласно выражению (10.7),
=	(а)
т	т
где т—число стержней рамы, получающих повороты в возможном
состоянии (рис. 181).
Для случая жестких прикреплений концов стержней к узлам,
составляя сумму моментов Mtk и Mkt по выражению (10.3), находим
Mtk-YMki — — itk (6<p(-f-6<pA — 120м) + М°ш,	(б)
где
— сумма моментов по концам стержня от нагрузки. Подставляя
выражение суммы концевых моментов из выражения (б) в уравнение
(а), получаем после преобразований
2 Нк (6<pt + 6<рй - 120fA) lb = 2 мш-2 P,fipn (10.10)
tn	tn	tn
— дополнительное уравнение метода перемещений в развернутой
форме для любой рамы с жесткими прикреплениями. Левая часть
выражения (10.10) представляет собой абсолютное значение суммы
работ концевых моментов, вызванных упругими поворотами (узлов
и стержней), правая часть—возможную работу нагрузки и реак-
тивных моментов от нагрузки на перемещениях в возможном
состоянии кинематической цепи.
Подставляя в уравнение (a) M/if = 0, а вместо Mtk—его выра-
жение из формулы (10.5), получаем
2 <:tk (Зфt 30tft) = 2 J* — 2 Ptfip (10.11)
tn	tn	tn п
— дополнительное уравнение возможных работ для случая рамы со
стержнями, имеющими односторонние шарнирные прикрепления. Ре-
шая систему уравнений (10.9) и (10.11), получаем угловые переме-
щения, после чего по выражению (10.5) вычисляем все концевые
моменты и строим суммарную эпюру моментов.
219
Проверку суммарной эпюры моментов можно осуществлять так
же, как это делалось при расчете рам по методу сил: при выборе
основной системы по методу сил и перемножении суммарной эпюры
моментов на единичную должен получиться нуль согласно условиям
совместности перемещений. Кроме того, необходимо проверить,
соблюдаются ли для полученной суммарной эпюры моментов, а
также для эпюр Q и условия равновесия.
Пример 1. Построить эпюру моментов для свободной рамы при действии
на нее узловой горизонтальной силы Р = ph и равномерно распределенной на-
грузки интенсивностью р, приложенной к ригелю (рис. 182, а). Размеры: l — h-
=3м; / = const; погонная жесткость ;' = const. Интенсивность нагрузки р = 30 кН/м.
Решение. Устанавливаем степень кинематической неопределимости системы:
имеем один угол поворота узла q?x и один угол поворота стержня 9Oi = 0 (шар-
нирная схема обладает одной степенью свободы). Находим соотношение между
принятым за неизвестное углом 0а и углом 012: так как длины стержней 0—1 и
1—2 одинаковы, то 012 = —9.
Заметим, что в узле 1 сходятся два стержня с жесткими концами и один
стержень с шарнирным концом. Поэтому основное уравнение составляем, комби-
нируя выражения (10.8) и (10.9):
Joi 0Ф14- 2<р0—6901)-|" г'12 (4ф1Н-2ф2 — 691г)-|-113 (Зф3— З913) = Л4?3,
220
где Л1?з берут из табл. 3, третья строка сверху:
Л11°з = —р/2/8.
Учтя, что фо = О, <р2==0, 913 = 0, 0О]=9, 012 = —9, получим
4<pt  Ti 3cpYi—60/-|-60/ = — pl2/8>.
В данном частном случае 9 исключается; окончательно
1^ = —
Угол поворота узла будет
<pj = —р/2/(88<) = —30- 32/(88/) = -270/(88/).
Составляем дополнительное уравнение как сумму работ концевых моментов
стоек и нагрузки р (рис. 182, б) на возможных перемещениях в возможном
состоянии кинематической цепи (рис. 182, в).
Задаваясь возможным углом поворота фо1 = 1, находим ф12 =— U возможное
перемещение узла 1 будет
б?=1- h.
Непосредственно по уравнению (а) находим
— (^1оМог) Фог — (^1 гЧ~ ^21) Ф12 —	Р^р = 0,
где Фот принимаем по часовой стрелке.
Подставляя выражения концевых моментов, значения возможных углов по-
ворота и возможного перемещения 6jtJ=l-/i, получаем
— 279/ — ph2,
откуда
0 = - рЛ3/ (27/) = -30-32/(27/) = -10//.
При этом учтено, что вертикальная равномерная нагрузка не совершает работы
на возможных перемещениях (они горизонтальны). Стойка 0—1 поворачивается
против часовой стрелки (см. рис. 182, а). По найденным перемещениям можно
22
Рис. 183
представить деформированный вид рамы (рис. 183, а); углы поворота стержней
О—1 и 3—4 равны 0 = —10// и направлены против часовой стрелки, угол пово-
рота узла ф! — также против часовой стрелки, но меньше по абсолютному зна-
чению, чем угол 0.
221
Переходим к вычислению концевых моментов по формулам (10.3) и (10.5):
Л11о = — i [4 (—270/88/)—6 (—10/»)] = — 1050/22 кН-м;
Ml2 = —i [4 (—270/88»)+6 (-10/»)] = 1590/22 кН-м;
Л113 = — i [3 (-270/88Z)] — 30-32/8 = —540/22 кН м.
В качестве проверки решения устанавливаем равенство нулю суммы
моментов для узла 1:
Mi. 2 + Mi 0 + Л413 = (159 — 105 - 54)  10/22 = 0.
Определяем еще моменты A/Oi, Л121, Mi3:
Ми = -»(2<Р1—60) = —1185/22 кН-м;
/И21 = — i (2<Pj+- 66) = 1455/22 кН м;
Л143 = — / (— 30) = —660/22 кН м.
Эпюра моментов (кН м) в раме изображена на рис. 183, б.
В качестве второй проверки выясним, соблюдается ли условие совмест-
ности деформаций для узла 3 рамы. Для этого проводим разрез в узле 3 и при-
кладываем силы взаимодействия:	(горизонтальные) и Х2 (вертикальные);
кроме того, отбрасываем заделку в узле 2. К полученной основной системе
применяем условие равенства нулю перемещения по направлению A\:
л	Ы 1	..	1	. 2235 1	1185) .
Д» (Sx, Р) • V j ^7 ММ, ds = m	+ _ . - Uo.
Условие совместности деформаций соблюдается.
Пример 2. Получить эпюру моментов и представить деформированный вид
рамы, если Л = I = 8 м. Погонные жесткости стержней:
<12=<23 = Д5;	»2а = 1зе=1/4;	»14=1/8.
Интенсивность равномерно распределенной нагрузки q = 3 кН/м. Горизонталь-
ная сила Р = 5 кН (рис. 184, а). Жесткость /14=1; /25 = 2; /12 = 4.
Рис. 184
222
Решение. Погонные жесткости вычислены по значениям моментов инерции.
Концевые моменты в стержнях рамы:
Л121"=— 12 *Зф» -- 1,5ф2;
Л123 = — z 23 (4ф2+ 2фз)-4- <; /2/12 = — 2<р2—фз+ 1S;
Л125 = -(25(4(р2-60) = -ф24- 1,59;
Л136 = -фз+1,50; М41 = 39/8;
Л432 =— 0,5фа-|-1,50;	— 0,5<р34- 1.59} 5432 =—2<р3—ф2—16»
Основные уравнения:
1)^jA12 = O; Л121|-Л125~|-Л423 = 0.
Внося значения моментов, получаем
— 4,5ф2—1,504-1G = 0.	(в)
2)	Л1.3 = 0; Л4324-Л1з8=о,
или
— фа— Зфз4-1,50—16 = 0.	(г)
Дополнительное уравнение
— Л441  1 — (М25-|“ ^4&г)' 1 — (44зв'|~ ^вз) "1 —5-8 = 0,
или после внесения значений моментов
1,5ф24*1>5фз—6,3750—40 = 0.	(д)
Решая систему уравнений (в) — (д), получаем:
ф,=3,21; фз = —10,385; 0 = —7,963.
По найденным угловым перемещениям вычисляем концевые моменты [эпюра
М (кН-м) изображена на рис. 184, б].
В качестве проверки выясним, равна ли нулю сумма моментов для
узла 2; имеем
2Л42, ,- = 4-19,97 —!5,155 —4,815=0.
Условие совместности перемещений при наличии разрезов
в узлах 1 и 3, как перемещение по направлению (горизонтальное):
I ( 1	2 2,985	28,705	13,55 \
дх (^.₽) =2-) ~Ё7“~Т П"з"Т-+'2-2д’
Деформированный вид рамы дан на рис. 184, в. В стойках 3—6 и 2—5 имеются
точки перегиба в сечениях, где изгибающие моменты равны нулю.
§ 61. Использование симметрии при расчетах рам
методом перемещений
Использование симметрии позволяет значительно упростить рас-
чет рам по методу перемещений. При действии симметричной нагрузки
на симметричную раму деформированный вид рамы будет симметрич-
ным, углы поворота симметрично расположенных узлов равны по
величине и обратны по направлению, в ряде случаев (при наличии
сквозных ригелей) углы смещений равны нулю. При действии об-
ратносимметричной нагрузки на симметричную раму деформирован-
ный вид рамы обратносимметричен (углы поворота симметрично
расположенных элементов равны и по величине и по знаку).
223
Пример 1. Построить эпюры моментов, поперечных и продольных сил для
двухэтажной рамы по рис. 185, а. Размеры рамы и соотношения в моментах инер-
ции сечений стержней даны ниже. Учесть симметрию в деформационном виде
S)
рамы. Данные: / = 6 м; Л = 5 м; Р = 52 кН; р = 6 кН/м. Размеры сечений
указаны на рис. 169.
Решение. Погонные жесткости стержней:
«01=1/5; i12= 1,728/5 = 0,3456; г13 = 6/6=1; iM = 2,058/6 = 0,343.
Выражения концевых моментов после подстановки значений
Л112 = —0,3456 (4<рх-|- 2ф2) = — 1,3824<р! —0,6912<р2;
Л410 = — 0,2 (4<Pi) = —0,8<рх;
Л413= — 1  (2<p1)-l- р/2/12 Р1/8 = —2cpj j- 57;
Af21 = —0,3456 (4<р2 + 2<pi) = — 1,3824<р2 —0,6912фх;
М 24 = —0,343 (2<р2) + р 1г/12 = —0,686<р2 +18.
224
Согласно симметрии в изогнутых осях ригелей получаем
фз =—ф2 =—ф2-
Имеем только два неизвестных: фх и <р2. Составляем два основных уравнения:
2ЛЛ=О; Va12 = 0.
Внося выражения моментов, получим:
—4,1824ф1 —0,6912<р2-|-57 = 0;
—0,6912<рг—2,0684ф2-|- 18 = 0,
откуда
(шесть углов поворота узлов и два
восьми
Рис. 186
ф1 = 12,9028, ф2 = 4,3913.
Эпюра моментов представлена на рис. 185, б. Условия равновесия узлов 1 и 3
выполняются: 2jA1,=-0. Эпюры поперечных и продольных сил изображены на
рис. 185, в, г. В нижних стойках получаются значительные продольные силы, а
изгибающие моменты больше в верхних стойках.
Пример 2. Построить эпюру моментов для безраскосной двухпанельной
фермы. Погонная жесткость всех стержней i = const (рис. 186, а).
Решение. В общем случае (при действии несимметричной нагрузки) кинема-
тическая неопределимость рамы равна
линейных смещения: горизонталь-
ное смещение узла 1 и вертикальное
смещение узла 3).
При действии симметричной
нагрузки
Фь=—<рь Фг= — <р2;
углы поворота стоек равны нулю.
Имеем три неизвестных: ф2,
ф, и 9 (угол поворота ригелей 1—2
и 0—3). Концевые моменты:
Л112 = — I (4фх — 60) 4- qZ2/12;
Л121 = —I (2фх —60) —<?/2/12;
Л4ю = — i (4ф1 + 2ф2);
Af ох — — 1 (4ф2 4" 2ф1);
А4Оз = — i (4ф2—60);
А420 = — «' (2ф2—60),
Основное уравнение для узла 1
•М12 4- А11о = 0 приводится к следую-
щему виду:
8ф14-2ф2—60 = <7/2/(12i).	(а)
Основное уравнение для узла О
А4»14- Afo3=O приводится к виду
2ф14-8фг — 60 = 0.	(б)
Дополнительное уравнение (воз-
можная работа моментов и нагруз-
ки для одной панели) будет
— (Alts 4- Л421)  I —(ZW034- Algo) X
Xl + ql-l/2 = 0,
или после внесения значений концевых моментов
6ф14”6ф2 — 240 = — ql2/(2i).
Решая систему уравнений (а), (б) и (в), получаем:
31 ql2	17 ql2 .	31 ql2
ф1—1008 i ’	4,2 1008 i ’	°-1008 i ‘
На рис. 186, б представлена эпюра моментов, все ординаты которой для по-
лучения действительных значений следует умножать на qP/504.
(в)
8 № 1116
225
§ 62. Расчет рам методом перемещений
на температурное воздействие и осадку опор
Расчет на температурное воздействие. Рассмотрим расчет рам
на действие температуры по методу перемещений, применяя раз-
вернутую его форму. При расчете закрепленных рам (рис. 187, а)
в качестве неизвестных принимаем лишь углы поворота узлов <р,
а углы поворота стержней 0 определяем непосредственно по кар-
тине перемещений неизменяемой шарнирной схемы рамы.
Пусть, например, ригель рамы нагревается на t градусов. Тогда
для шарнирной схемы имеем картину, изображенную на рис. 187, б.
Горизонтальное перемещение узла 1 будет atl, что соответствует
углу поворота стойки 012=а/. Таким образом, в закрепленных
рамах углы поворота стержней находят непосредственно по картине
перемещений шарнирной схемы рамы по известным удлинениям
стержней от изменения температуры среды. Эти известные углы
поворота стержней подставляют в основные уравнения, из которых
определяют углы поворота узлов, после чего вычисляют концевые
моменты.
Так, для рамы, изображенной на рис. 187, а, при i = const имеем
— 6012t = O,
откуда при 012=af
<pr = За^/4.
Затем вычисляем концевые моменты по формулам (10.3). Эпюра
моментов представлена на рис. 187, в.
Если свободная рама и температурное воздействие симметричны,
задача сводится к рассмотрению закрепленной рамы. Пусть в пря-
226
моуголыюй раме (рис. 187, г) нагреванию подвергается только
ригель. Из состояния основной системы (рис. 187, д) получаем при
l — h угол поворота левой стойки
fyji = — «1/2.
Составляем основное уравнение равновесия левого узла 7;
+ 41ц = О,
или
i (4<pj — 6012) 4- i (2фх) = 0,
откуда
<р£ — Оо। ~ ос//2.
Теперь определяем концевые моменты по формулам (10.3). Эпюра
моментов изображена на рис. 187, е.
Для свободных (незакрепленных) рам расчет на действие темпе-
ратуры проводим, принимая в качестве неизвестных как углы
поворота узлов, так и углы поворота стержней. Полный угол по-
ворота данного стержня рамы получаем как сумму двух углов по-
Рис. 188
ворота стержня закрепленной шарнирной схемы от действия
температуры и угла поворота 0*Л), вызванного подвижностью узлов
рамы. Угол 0f> определяем по картине перемещений закрепленной
шарнирной схемы от действия температуры, а угол 0;Л> от подвиж-
ности узлов находим из системы дополнительных уравнений методом
перемещений. Так, для рамы, показанной на рис. 188, а, при нагре-
8*	227
вании ригеля и правой стойки на t градусов из схемы по рис. 188, б
получаем
0$ = — at; бгз1 = at.	(а)
Принимая в качестве неизвестного угол поворота стержня, т. е. 0О1,
находим
е23 = ^)+бй>=0о1+ал	(б)
Составляя основные уравнения, получаем
М10 4- Л412 = 0; 7И21 + Л423 = 0,
или, подставляя выражения моментов,
— ' (4Ф1—60О1) — i (4с?! 4- 2<р2—60^) = 0;
— i (4ф2 4- 2<pt—60'V) — i (4ф2—6023) = 0.
Подставляя значения величин из выражений (а) и (б), окончательно
находим:
8ф14-2<р2—60о14-6а/= 0; 2ф14-8<р2 —60о1 = О. (в)
Дополнительное уравнение составляем как сумму работ «стоечных»
моментов на возможных перемещениях шарнирной схемы:
(М104-Л401).14-(Л4234-М32).1=0,	(г)
или, подставляя значения моментов в уравнение (г) и учитывая
выражение (б), получаем
6ф14-6ф24-240о1—12а/= 0.	(д)
Решая систему уравнений (в) и (д), определяем углы поворота:
Ф! = — 19а//14; <р2—5а//14; 0О1 = —13а//14.
Деформированный вид рамы представлен на рис. 188, в.
По формулам (10.3) вычисляем концевые моменты. Например,
Л401 = — i (2Ф1- 60О1); Л132 = — I (2ф 2 — 6023). Эпюра моментов изо-
бражена на рис. 188, г.
Расчет на осадку опор. Расчет на заданную осадку опор осу-
ществляется аналогично расчету рамы на действие температуры.
Пусть требуется построить эпюру моментов для прямоугольной
рамы при наличии случайной осадки правой заделки на величину А
(рис. 189, а).
Из картины перемещений закрепленной шарнирной схемы рамы
(рис. 189, б) получаем
0^’ = А// = а,
где а—заданное значение угла.
К углам поворота стержней закрепленной шарнирной схемы
рамы прибавляем неизвестные углы поворота стержней от подвиж-
ности узлов. Таким образом, в данном случае
0<Д> = 012 = А// = а; 023 = 0О1.	(е)
228
Рис. 189
Основные уравнения имеют вид
+ М12 = 0; Л421-}-Л123 = 0,
или, подставляя значения моментов из формул (10.3) и учитывая
выражение (е), получаем;
8ф14-2ф2 — 66O1 = GA/Z; 2<р1 + 8ср2 — 60О1 = 6Д//.	(ж)
Дополнительное уравнение возможных работ
(М1О+МО1). I +(М23+м32)-1 = о,
или после подстановки значений моментов
6ф! + 6<р2 — 240О1 = 0.	(з)
Решая систему уравнений (ж) и (з), получаем углы поворота:
<Pi =	= 6а/7, 0О1 = За/7.
Деформированный вид рамы изображен на рис. 189, в.
По формулам (10.3) вычисляем концевые моменты. Эпюра мо-
ментов представлена на рис. 189, в. В соответствии с характером
229
перекоса рамы от вертикальной осадки одной из опор получаем
обратносимметричную эпюру моментов; каждый узловой момент
6 .	6 А .
-pi.
§ 63. Построение линий влияния концевых моментов
с применением метода перемещений
Наиболее целесообразно при расчете рам на подвижную нагрузку
строить линии влияния по схеме, аналогичной решению этой задачи
для неразрезных балок: сначала находить линии влияния опорных
(концевых) моментов, а затем по этим линиям влияния строить
линии влияния в произвольных сечениях.
Линии влияния концевых моментов проще всего находить, при-
меняя кинематический метод. После включения шарнира в опорное
сечение k стержня выражение момента Мк по каноническому урав-
нению метода сил получаем в форме
^k~ —	(а)
где в выражении (а): 6рЛ1—эпюра вертикальных перемещений ри-
геля основной системы, к сечениям у шарнира которой приложены
,	парные моменты Mk = 1; 6Ш1 —
' л |р"'	главное перемещение (по нап-
равлению моментов).
1  ___1_£___________£—г	Для П0ЛУчения деформиро-
ванного вида рамы (перемеще-
l	I	ний ЪрМ, применяем метод
**	” перемещений.
Рис. 190
Пример. Построить линию влияния
Л112 для двухпролетной рамы (рис. 190,
а), применяя кинематический метод-
метод моделей. Принять El — const,
l = h. i = const.
Решение. Модель линии влияния
Л412 найдем по деформированному ви-
ду основной системы, полученной встав-
лением шарнира в узле (рис. 190, б).
Уравнение линии влияния будет
Л112==_ ЬрМ/6мм,	(а')
где —Ф12+Ф14-
Как известно из § 15 и видно из
выражения (а'), закон изменения мо-
мента М12 подобен эпюре (мас-
штабом линии влияния Л112 является
Проще всего деформированный
вид основной системы получить,
применяя метод перемещений. Имеем
три неизвестных: <р2, <р3 и 0. При
постоянной погонной жесткости урав-
230
нения метода перемещений таковы:
11(ра4-2ф3—694-0,5/1 = 0; А
2<р2-|-8ф3—69 = 0; [	(б)
6(р2 + 6<р3 —279—1,5//= 0. )
Решая систему уравнений (б), получаем:
<р8 = —1/(12/); <Рз = — 1/(24 /); © = —1/(12/).
Углы (f2 и 0 равны между собой по абсолютному значению. Деформированный
вид рамы приведен на рис. 190, б.
По найденным углам поворота находим концевые моменты; эпюра моментов,
построенная на рис. 190, в, соответствует деформированному виду. Выделяя каж-
дый стержень рамы и рассматривая его как балку на двух опорах, получаем:
<р12 = 7/(24/);	<р14 = 9/(24/); 6Л1Л1 = 2/(3/).
Итак,
9
£^Д1Л1=-у/.	(в)
По обобщенному уравнению изогнутой оси для первого пролета имеем
EibpM = 1х —	*3-	(г)
Линия влияния Л4 = Л1& подобна по очертанию кривой 1'2'3'
(рис. 190, б).
Для второго пролета
(д)
Теперь по выражению (а') получаем уравнения линии влияния Л/12, вводя зна-
чения ЬрМ и ‘блш из формул (г), (д) и (в).
§ 64. Каноническая форма метода перемещений
Основные понятия. Большое распространение у нас получила
так называемая каноническая форма метода перемещений. Для нее
характерно применение всех уравнений равновесия, необходимых
для отыскания перемещений, в раз навсегда установленной, кано-
нической, форме. При этом используется основная система в виде
рамы с фиктивными защемлениями узлов и дополнительными опор-
ными закреплениями, введенными по степеням свободы шарнирной
схемы. Абсолютное защемление узлов рамы (оно подштриховано у
узла /) и введение добавочных опорных закреплений обращает ее
(при наличии только жестких узлов) в систему отдельных балок,
жестко защемленных каждая двумя концами, т. е. в кинематически
определимую систему. Для таких балок легко определить реактивные
моменты, причем реакции от введенных защемлений или опор от на-
грузки обозначают R!p, где i—номер защемления или опоры. Так,
для простой угловой рамы, показанной на рис. 191, а, имеем одно
неизвестное Zi—угол поворота узла 1. Вводим защемление узла 1
с жесткой консолью, препятствующее его повороту (рис. 191, б).
Реактивный момент со стороны защемления будет равен моменту
в заделке от нагрузки для защемленной двумя концами балки 1—2
(рис. 191, в): Rlp —— pR/12; момент со стороны заделки против часо-
вой стрелки принимаем положительным.
231
При введении защемления получим систему, в которой узел 1
лишен возможности поворачиваться. Чтобы исключить это отличие
основной системы от заданной, введенное защемление, а вместе
с ним и узел 1 повернем на угол Zt, который возникает в задан-
ной системе. Для этого воспользуемся единичным состоянием, в ко-
тором принимаем поворот фиктивной заделки узла равным единице
(рис. 191, г). На конец каждого стержня 1—2 и 1—3 при этом
будут действовать моменты (рис. 191, г) М12 = 4t12, М18 = 4i13. Сле-
довательно, со стороны защемления (рис. 191, д) на узел будет
действовать момент ru, который легко найдем из условия равно-
весия узла:
Гц 4tla 4i13 = О,
откуда
ги — 4*12 + 4i13.
В действительности узел 1 поворачивается не на единичный
угол, а на неизвестный угол Z1( который найдем по основной си-
стеме с введеным фиктивным защемлением из условия, что реакция
защемления, действующая на узел и вызванная суммарным дей-
ствием поворота узла на угол и нагрузкой интенсивности р,
232
равна нулю. Это уравнение в канонической форме имеет вид
^ + ^=0,	(10.12)
где гп —реакция защемления от поворота его по направлению Zt
на величину Zx=l; Z,rY1—реакция защемления от поворота узла
на угол Zj; Rlp — реакция связи от нагрузки, когда 2г = 0.
Решая уравнение (10.12), получаем
Л -= — Rip/Гц = pR/'№ (112 + Чз)1-
Далее обычным путем находим концевые моменты в раме [в дан-
ном случае по формулам (10.3)].
Канонические уравнения метода перемещений. Расчет рамы
(рис. 192, а) по методу перемещений проводим, используя основную
Рис. 192
систему с дополнительно введенными связями, для которых далее
составляются условия равенства нулю полных усилий.
Вводим во все свободные жесткие узлы рамы защемления, пре-
пятствующие их поворотам, и дополнительные опорные закрепле-
233
ния, устраняющие линейные смещения узлов. Для данной рамы
(рис. 192, б) вводим защемления узлов 1 и 2 и дополнительный
горизонтальный стержень узла 2. В этой основной системе со стороны
введенных связей будут возникать реакции, которых нет в данной
системе. Исключая это противоречие между основной и заданной
системами, составляем условия равенства нулю реакций в введен-
ных связях, осуществляя упругие повороты защемлений 1 и 2 и
упругое смещение опорного стержня у узла 2. Необходимо мо-
менты Мр только от заданной нагрузки интенсивностью р в за-
крепленной системе (рис. 192, б) суммировать с моментами в системе,
вызванными упругими смещениями введенных связей. Осуществим
раздельно единичные повороты узлов J, 2 и единичное смещение
узлов 1, 2. В первом состоянии сообщим только поворот защемлен-
ному узлу 1 на угол Zx=l, причем поворот узла 2 и смещение
узлов считаем равными нулю (рис. 192, в). Тогда в защемлениях
1 и 2, а также в горизонтальном стержне возникнут реакции rllt
r2i и Гз1 (первый индекс указывает номер связи, второй—действие
данного упругого смещения связи). Легко построить эпюру момен-
тов и найти эти упругие единичные реакции:
ги ~	+ 4t13; 121 = 2i12; r31 = 6ij3/ft.
Теперь осуществим лишь поворот защемления узла 2 на угол
Z2= 1 (рис. 192, г), считая Z4 = 0 и Z3 = 0, и определим упругие
реакции г22, г12 и г32 по эпюре моментов:
Т22 = 4z'l24z24, f 12 ”2/12,	^*32 ” 6^'24/^*
Затем представляем состояние, в котором осуществляется лишь
линейное смещение узлов 1 и 2, Z3= 1, а повороты узлов Zj и Z2
равны нулю (рис. 192, д'}.
Каждая стойка системы в данном случае получает S-образный
вид искривленной оси с точкой перегиба посередине высоты. Эпюра
моментов М3 в состоянии Z3=l изображена па рис. 192, е. По
этой эпюре получаем:
г 1з = 6i13//i; г23 = 6/24//i; r33 = 12t24//i2 + 12t 13/Л2.
Заметим, что r2i = ri2> r3i = ri3 11 вообще rik — rh:.
При этом знак упругих реакций устанавливается в соответствии
со знаком для перемещений Zx, Z2 и Z3. В частности, Z3 прини-
маем положительным при смещении влево, поэтому и г33 имеет
знак плюс. Для основной системы (рис. 192, б) легко определяем
реакции от нагрузки:
Rip=-pR!\2- R2p=0-, R3p = ~pl/2.
После отыскания всех реакций в единичных состояниях и реак-
ций от нагрузки составляем канонические уравнения как условия
равенства нулю реакций во введенных связях, так как в действи-
тельности этих связей не существует. Полная реакция в защемле-
нии узла 1 от поворотов Zn Z2, линейного смещения Z3 и нагрузки
234
интенсивностью р но принципу сложения может быть представ-
лена так:
#i — ^1ги ~г^2гга +-Z3r 13 + Rip.
Аналогично, полные реакции в защемлении узла 2 и горизон-
тальном стержне будут:
= ZzT21 I ^2^22 “I ^3^23 I Rzp*
R3 ~ ^1^31 "Ф^2^32 "Ь	4“ ^Зр'
Так как условно введенных связей не существует, то можно
написать условия равенства нулю реакций в них:
Zir и + ^2ri2 + -^зг1з + Rip — 0;
^1^21 Ч” ^2^*22 Ч” ^-3^*23 Ч"
2Р = 0
(10.13)
^1^31 Ч- ^2^32 Ч- ^3^33 Ч~ R3p — О’
Это и есть система канонических уравнений метода
перемещений, значения коэффициентов и свободных членов
в которых определены выше.
Система канонических уравнений метода перемещений имеет
вид, аналогичный системе канонических уравнений метода сил.
После определения неизвестных
перемещений Z, вычисляем орди-
наты суммарной эпюры моментов
по формуле
+	(а)
п
т. е. используются эпюры мо-
ментов в единичных состояниях
(рис. 192, в, г, е).
Вычисление упругих реакций.
Упругие реакции rik (коэффи-
циенты канонических уравнений
при неизвестных) легко опреде-
ляем по найденным значениям
концевых моментов. Последние
приведены в § 58 (см. табл. 2иЗ).
По концевым моментам и внешней
нагрузке легко определить нор-
мальные реакции опор, применяя
схему балки, шарнирно опертой
своими концами. Реакцию Rip
проще всего находить по шарнир-
ной схеме рамы. Проверкой опре-
деления упругих реакций могут
теоремы Мора, согласно которой
данного состояния равна возможной работе внутренних сил (учи
тываем для рам и балок лишь изгибающие моменты).
о)
Рис. 193
служить результаты применения
возможная работа внешних сил
235
Так, для состояния I (рис. 193, а), принимая за возможное
то же состояние /, получаем
i
гн.1 = $ЛЛ ds/(EI).
о
Сопоставляя состояния I и И (рис. 193, а, б), находим
i
rkt-l = ^MtMkds/(EI).	(10.14)
о
В данном случае rht = ‘2i.
Перемножая эпюры моментов двух единичных состояний, опре-
деляем упругую реакцию rkt.
Это правило особенно целесообразно применять для проверки
вычисления реакций rik в состоянии, заданном линейным смеще-
нием Zft= 1.
Рис. 194
236
Применив теорему Бетти к двум состояниям, представленным
на рис. 193, а, б, найдем
rkt^k=rik^f
Но в данном случае <Р£ = Ф<=1, следовательно,
rkt = rtk.	(10.15)
Имеет место взаимность упругих реакций (аналогично
взаимности «единичных» перемещений метода сил).
Расчет рам с наклонными стойками. Рассмотрим особенности
расчета рам с наклонными стойками на примере рамы по схеме
рис. 194, а. В данном случае имеем три неизвестных перемещения
Zv Z2 и Z3, где Zx и Z2—углы поворота узлов 1 и 2, a Z3 — ли-
Рис. 195
нейное смещение узла 2, нормальное к стержню 2—3. Введя защем-
ления 1, 2 и наклонный стержень у узла 2 (рис. 194, б), напи-
шем систему канонических уравнений, вполне аналогичную системе
(10.13). В данном случае ввиду отсутствия местной нагрузки
7?i/, = 0; Т?2р = 0; R3p=-- — Р sina2.
Упругие реакции гп, г21 будут при i= const, 1и = 5м, /н=4м,
/23= 3/2 = 4,23 м:
гХ1 = 4-1 +4-1 =8; г21 = 2-1=2; г22 = 8.
Для определения г13, построив эпюру моментов в состоянии
Z1=l, находим по ней узловые поперечные силы (рис. 194, в):
Q10=l,2, Q12 = - Q21 = 1,5.
Действующие на каждый узел шарнирной схемы рамы силы
должны уравновешиваться.
237
Определяем продольную силу М12, проектируя все силы, при-
ложенные к узлу 1, на ось, нормальную к оси стержня 0—1,
откуда
— У12 sin a, — Qla cosccj + Q10 = 0; M12 = 3/8.
Рассматривая условие равновесия узла 2, получаем
г., +	sin а,—Q„, cos а., = 0; r13 = 0,798.
10 J	1Л	й	V. Ш	а	'	10	'
Итак, реакцию в подкрепляющем стержне (против линейного
смещения) находим последовательным рассмотрением условий рав-
новесия узлов шарнирной
рамы, начиная с узла,
где сходятся два стержня.
Аналогично поступаем для
многоэтажной рамы.
Для определения г23
рассматриваем состояние
Z, — 1 (рис. 195, а). Теперь
$» = —Qn= 1,5;	$23 =
= 1,418. Из условия рав-
новесия узла 1
Рис. 196	JVla = Q12 cosc^/sina^
Из условия равновесия узла 2
= 1,125.
Оз = — $2з + $2i cos a2 + jV12 sin a2 = 0,438.
Для определения r33, пользуясь состоянием, представленным
на рис. 195, б, находим:
А12 = (1/sinaJ ($10 + $12cosa1) = 1,1625;
Оз $23 -^12 sin сс2 )  Q23 cosсс2 = 2,023.
Ту же реакцию можно определить, пользуясь правилом перем-
ножения эпюр по формуле Мора (10.14):
S
Оз = Е$М^/(£7).
о
Система канонических уравнений в данном случае будет
8Z1 + 2Z2 + 0,798Z3 = 0;
2Z1 + 8Zs + 0,438Z3 = 0;
0.798Z, + 0,438Z2 + 2,023Z3 — P sin a2 = 0.
(6)
Если P —40 кН, sina2 = 0,707, Psina2 = 28,28 кН, то после реше-
ния системы уравнений (б) получим:
2^ = —1,342; Z2 = —0,476; Z3= 14,636.
Пользуясь формулой (а), строим окончательную эпюру моментов.
Она представлена на рис. 196.
238
§ 65. Матричный расчет рамы методом перемещений
Будем применять каноническую форму метода перемещений,
значительно развитую И. М. Рабиновичем, А. Ф. Смирновым и
др. [7]. Основную систему выбираем в виде рамы с фиктивными
защемлениями всех жестких неопорных узлов и с введенными до-
полнительными опорными закреплениями по числу независимых
линейных смещений узлов. В качестве примера рассмотрим раму,
изображенную на рис. 197, а. Размеры рамы и вертикальная на-
грузка те же, что и в работе [5], но добавлена горизонтальная
нагрузка Pt для получения более общего случая наличия свобод-
ного члена в третьем каноническом уравнении. Первый пролет
нагружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью
239
q = l,<2 кН/м, второй— сосредоточенной силой Р = 32 кН посередине
пролета; вторая стойка нагружена горизонтальной силой Рх=18 кН.
Пусть отношение моментов инерции стойки и ригеля будет /СтДр=
=4/5. Пролет | = 5м, высоты стойки й = 4 м. При данных размерах
отношение погонных жесткостей гст/г’р=1 и можно ввести постоянную
погонную жесткость i. Основная система с введенными фиктивными
закреплениями на поворот узлов 1, 2 и на смещение узла 3 пред-
ставлена на рис. 197, б. В этих фиктивных закреплениях полные
реакции R3, R2, R3 равны нулю. Условия равенства нулю реакций
Rr, R2 и R3 и дадут нам канонические уравнения метода переме-
щений, которые будут включать перемещения Z,-. Углы поворота
узлов 1 и 2 в действительной раме обозначим Zt и Z2, линейное
смещение узла 3 —Z3 (положительные их направления указаны на
рис. 197, б). Пусть реакции со стороны закреплений в состоянии
Zt = 1 будут Гп, Г21, Г31, В СОСТОЯНИИ Za= 1 — г21, г22, г32, в состоя-
нии Z3 = 1 — г31, г23, г33. Для упругих реакций соблюдается свой-
ство взаимности rtk — rkt. Реакции rih в указанных трех единичных
состояниях вычисляются по эпюрам моментов, представленным на
рис. 197, в—д соответственно. Эпюра моментов от нагрузки в за-
крепленной раме изображена на рис. 197, е. Из этих эпюр полу-
чаем «единичные реакции»:
r11 = 8i; r12 = r21 = 2i; r13 =r31 = —6///i = —l,5i;
r22 = 4i -j-3г4~4i = lit; r23 = r32 = —61/Л = —1,5i;
r33 = 12t/ft2 -f- 12t,7i2 = 1,5г.
Реакции в закреплениях от нагрузки:
7?v = -15; R2p= 15-30 + 9 = - 6; RSp = -$.
Полные реакции равны нулю; поэтому канонические уравнения
имеют такой вид:
л + ^2Г 12 ГД/ is + Rip — 0;
Д/з1 “Ь ^2^32 “Ь ^3^33 + Rsp —
или в матричной форме
ArZ + R = Q; ArZ = —R.
Решение для неизвестных

(а)
Для отыскания обратной матрицы Вг вычисляем определитель
матрицы жесткости Аг по упругим реакциям rtk:
Л, = г
8	2 —1,5
2	11 —1,5
— 1,5 —1,5	1,5
= 86,25г.
240
Обратную матрицу Вг вычисляем по формуле
« 1
'	86,25!
14,25 —0,75
9,75
9
—0,75
135
13,5
9
84
1
“ 123»
19	— 1	18
— 1	13	12
18	12	112
в
Решение для неизвестных по (а)
iz=—
123
19
— 1
18
18
— 1
13 12 х
12 112
представим
15
6
9
123
виде
441
171 .
1350
Отсюда имеем:
Z1 = <p1= 147/(410; Д = <р2 = 57/(410; 2з =450/(411).
Для угла поворота стойки получаем
0 = Z3//i= 112,5/(411).
Окончательная эпюра моментов и деформированный вид рамы изоб-
ражены на рис. 197, ж, з.
Обратную матрицу Вг легко использовать при построении линий
влияния, так как она содержит инвариантную характеристику
системы.
Глава 11
РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
§ 66. Расчет неразрезных балок методом сил
Основные положения. Неразрезной балкой называют брус, пере-
крывающий ряд пролетов и неразрывно связанный с опорами.
Неразрезные балки экономичнее разрезных, так как значения из-
гибающих моментов в них меньше. Недостатком неразрезных балок,
как и всякой статически неопределимой системы, является боль-
шая чувствительность их к неравномерной осадке опор, а также
появление дополнительных напряжений при неравномерном изме-
нении температуры. Расчет неразрезной балки на шарнирно непод-
вижных опорах на действие вертикальной нагрузки ничем не отли-
чается от расчета такой же балки на одной неподвижной и осталь-
ных подвижных опорах. Неразрезная балка при отсутствии про-
межуточных шарнирных включений столько раз статически неопре-
делима, сколько промежуточных опор (при условии шарнирного
опирания концов).
Уравнение трех моментов как частный случай канонического
уравнения. Расчет неразрезной балки можно выполнить по общим
правилам расчета статически неопределимых систем, применив метод
сил. Вследствие простоты статической схемы неразрезной балки
решение для нее можно дать в развернутой форме.
Рассмотрим такой способ расчета неразрезной балки, изобра-
женной на рис. 198, а. В качестве основной системы возьмем
241
Рис. 198
систему разрезных балок, полученную из заданной системы вклю-
чением шарниров в опорные сечения (рис. 198, б). За неизвестные
примем опорные изгибающие моменты. Очевидно, что число их
равно числу промежуточных опор (при наличии крайних шарнир-
ных опор). Преимущество выбранной основной системы заклю-
242
чается в том, что эпюры моментов от единичных усилий распро-
страняются в ней только на два соседних пролета и, стало быть,
большое число побочных перемещений обращается в нуль
(рис. 199, а).
Для составления типового канонического уравнения в развер-
нутом виде строим эпюры изгибающих моментов в основной системе
от внешней нагрузки и единичных усилий. Из рассмотрения этих
эпюр вытекает, что типовое n-е каноническое уравнение будет
трехчленным следующего вида:
+ Л1„6П1 И + Л!п+16Л1 л+1 + Д„, р = 0.
Коэффициенты в этом уравнении определяем по правилу перемно-
жения эпюр (рис. 199, а, бу.
=J_ ]l" 1-
«"-1	£/„' 2 ' 3 ’
б __L Lk 2 . 1	12±i 2-
«• n £/„ ’ 2 ' 3 “r £/n+i ’2	3 ’
A	1	+ i 2.
%«+i £/„ + 1 ' 2 ‘3’
Д ____ 1	-б.-1 fl i 1
IJJ ln "T £/ra+1' /„ + 1 '
Подставив их в каноническое уравнение и перенеся свободные
члены в правую часть, получим
ы I ом ( 1" 1 ‘ 1	। Л4	_2±1_ =
уи«-1 6£7„ + 2;И'Лб£/л+6£/п+J 1	+ 1 6£/н+1
__ _
Е1и1п £6i + l^n + l
В этом уравнении Q„ и Нл+1— площади эпюр моментов в п-й
и (п-\- 1)-й однопролетпых балках от внешней заданной нагрузки,
а величины а„ и Ьп+1 — расстояния от центров тяжести этих эпюр
до (п—1)-й и (п+1)-й опор соответственно. Выражение £ina„/l„ = В%
можно толковать как правую фиктивную опорную реакцию в п-м
пролете, а £2п4.1&п+,//л+1 = Д^+1—как левую фиктивную опорную
реакцию в (пф-1)-м пролете. Правая часть написанного выше урав-
нения есть угол перелома упругой линии па n-й опоре простых
балок от действия на них внешней нагрузки.
Умножив правую и левую части рассматриваемого уравнения
на 6Е1С, где 1С — произвольный момент инерции, и введя так назы-
ваемые приведенные длины пролетов Гп~ I п1 с> I	л+и
получим
Mn-J' + 2М„ (/„ + lnli) + Мп+1Гп+1 = —&£1пап1; Jin 6^1п+1Ьп + 11п+1/1п+1.
(Н.1)
Эго и есть уравнение трех моментов в общем виде. Урав-
нение трех моментов выражает отсутствие в упругой линии угла
перелома на п-й опоре, т. е. представляет собой условие неразрез-
ности балки на п-й промежуточной опоре.
243
Если неразрезная балка имеет постоянное сечение, т. е. /t=
=/2= ... =1п = 1с, то /; = /„;	= и т. д. и уравнение трех
моментов будет иметь следующий вид:
М,г-1?п + 2ЛТП (Z„ + Z„+1) + Мп+1/„+1 = —6Q„a„//„—
В уравнениях (11.1) неизвестными являются опорные изгибаю-
щие моменты Mn_lt Мп и т. д. Число этих неизвестных равно
числу промежуточных опор неразрезной балки. Таким образом,
для расчета неразрезной балки необходимо составить столько урав-
нений трех моментов, сколько промежуточных опор. Решая сов-
местно эти уравнения, находим все неизвестные опорные моменты.
Если конец неразрезной балки защемлен, для применения урав-
нений трех моментов вводим дополнительный фиктивный пролет.
При уменьшении этого пролета до нуля (/0—>-0) переходим
к аболютно жесткому защемлению.
Для опоры 0 составляем первое уравнение трех моментов, как
известно из курса сопротивления материалов, в следующем виде:
2М^Г, + 1[) + М^ = -69ЛМ11.
Подставив в предыдущее уравнение Го = О, окончательно получим
При отсутствии внешней нагрузки на крайнем левом пролете не-
разрезной балки у защемленного конца ее Д = 0 и Мо = —
т. е. изгибающий момент в заделке равен половине момента на
первой промежуточной опоре с обратным знаком.
Определение усилия в сечениях неразрезной балки и построение
эпюр усилий. Изгибающий момент Мх и поперечную силу QA. в про-
извольном сечении неразрезной балки определяют, как известно
из курса сопротивления материалов, по следующим формулам:
Мх =	- Мпх/1п + Мп_, (1п-х)Цп-,	(11.2)
+	(П.З)
В формулах (11-2) и (11.3) М‘хр> и Qxp> — изгибающий момент и попе-
речная сила в рассматриваемом сечении шарнирно опертой балки
с пролетом 1п от заданной внешней нагрузки. Опорная реакция Ап
может быть найдена как разность поперечных сил слева и справа
от опоры п.
При расчете неразрезной балки на неподвижную нагрузку ко-
нечной целью является отыскание эпюр изгибающих моментов и
поперечных сил.
Для получения эпюры моментов первоначально над опорами не-
разрезной балки откладываем в виде отрезков опорные моменты и
концы отложенных ординат соединяем прямыми линиями. Это дает
эпюру от опорных моментов. Затем в шарнирно опертых балках
с пролетами /1( /2 и т. д. строим эпюры моментов от заданной
внешней нагрузки. Сложив последние эпюры с соответствующими
участками эпюры опорных моментов, получим окончательную
эпюру М в неразрезной балке.
Аналогично строим эпюру Q.
244
§ 67. Расчет неразрезных балок методом моментных фокусов
Фокусные отношения. Рассмотрим общий ход расчета неразрез-
ной балки методом фокусов (рис. 200).
При нагружении только одного какого-либо пролета неразрезной
балки проявляется закон затухания влияния нагрузки и система
обладает следующей характерной особенностью: в каждом ненагру-
женном пролете возникает нулевая точка эпюры моментов, причем
положение этой точки не зависит от величины и места приложения
нагрузки Р в нагруженном пролете; опорные моменты последова-
тельно уменьшаются в сторону от нагрузки. В данном случае при
нагружении четвертого пролета постоянные нулевые точки будут
в трех первых и трех последних пролетах.
Нулевые точки эпюры моментов в ненагруженных пролетах, рас-
положенные слева от нагруженного пролета, называют левыми
фокусными точками (па рис. 200 они обозначены Fr, F„, F3
в соответствии с номером каждого пролета). Нулевые точки эпюры
моментов в правых ненагруженных пролетах называют правыми
фокусными точками (F(, F3, F',). Если фокусные точки не
меняют своего положения при изменении нагрузки нагруженного
пролета, то положение нулевых точек эпюры моментов нагружен-
ного пролета зависит не только от значения, но и от вида дейст-
вующей нагрузки Р. Положение фокусных точек определяется
фокусным отношением. Под фокусным отношением понимают
отношение длин частей данного ненагруженного пролета, на кото-
рые он делится фокусной точкой. Так, левое фокусное отношение
во втором пролете (рис. 200)
Л2 = у2/и2,	(а)
где и2 —большее, а и3 — меньшее расстояние фокусной точки до
соответствующих опор.
Аналогично, правое фокусное отношение в пятом пролете
= «О/Тз,	(б)
где и'й, v'i отличаются от «5, (при нагрузке справа).
Из выражений (а) и (б) видно, что фокусные отношения всегда
положительны. Иначе фокусное отношение k2 (из подобия соответ-
ствующих треугольников эпюр моментов) можно представить как
245
абсолютное значение отношения опорных моментов по концам дан-
ного ненагруженного пролета, например
Перед отношением берем знак минус, так как моменты М, и
разных знаков. Вообще для n-го левого ненагруженного пролета
=	=	О1-4)
I	I
Установим значение k2, составив уравнение трех моментов для
точки оси балки над первой промежуточной опорой. Согласно
уравнению трех моментов (11.1), для п = 1
2Л,11 (/L 4_ /2) 4~ Мг1г = 0;
при этом учтено, что Ме = 0 (шарнирная опора).
Из предыдущего уравнения определяем отношение момента
Мг к М2:
откуда
k, = 2 (/[ -|-
Фокусное отношение /?, зависит лишь от геометрических раз-
меров балки для первого и второго пролетов (приведенных длин).
Чтобы получить общую формулу для фокусного отношения, найдем
сначала выражение для k3, причем, согласно выражению (11.4),
k3 =—
Составляем уравнение трех моментов для точки оси балки над
второй промежуточной опорой:
A4j/2 4~ 2А12 (/., 4-13) + А13/3 = 0.
Делим все члены на Л42:
Af^^/Af, 4- 2(/2 + /3) + Al3Z3/Af2 — 0,
откуда, принимая во внимание, что АД = —M.jk,, получаем
Л43/А12 = - [2 (/, + /')//;-l’J(k2l3\],
или иначе
М3/Л42 = -[2 4- (/;73) (2 - 1 /Л2)] = - k3.
Мы получим выражение для левого фокусного отношения в третьем
пролете:
^ = 24-O;)(2-l/ft2).	(11.5)
Обобщая это выражение, заменяя 3 на п и 2 на п— 1, получим
вместо (11.5)
й„=2 4-(/;-1//;)(2-1/а„_1).	(н.6)
Это формула для левого фокусного отношения n-го ненагружен-
ного пролета, определяющая положение левой фокусной точки.
246
Для определения всех левых фокусных отношений последова-
тельно находим /?2, k3 и т. д., пользуясь формулой (11.6) для kn.
В формулу (11.6) входит при этом отношение предшествующего
пролета к данному /„. Заметим, что для случая абсолютной
заделки	и фокусное отношение kn = 2.
Аналогично получим правое фокусное отношение в n-м правом
иенагруженном пролете, проводя последовательный расчет справа
налево. Теперь предшествующий пролет будет (н-ф 1)-й, а потому
kn (рис. 200) примет вид
А'=2 + (/,'!+1//;)(2-1/^+1).	(11.7)
Для k‘6 получим по формуле (11.7) при k\ = °о выражение
= 2 -Т 2/7//6 = 2 (/6 + /;)//6.
Вычислив по формулам (11-6) и (11.7) необходимые фокусные
отношения и определив по специальным формулам опорные моменты
по концам ненагруженного пролета (Мэ и Л14), легко построить
эпюру моментов.
Опорные моменты по концам нагруженного пролета. Решая
уравнения трех моментов, составленные для сечений балки над
(п—1)-й и п-й опорой ее соответственно (причем с помощью фор-
мул для и Л,' они обращаются в уравнения двух моментов
и Л1И), получаем:
—аи) .
/п U~1	I	(Ц.8)
__ 6Q„ (ankn—b„)	j
/« — 1
Это формулы для опорных моментов по концам нагруженного про-
лета, которые нередко применяют при расчете на нагружение балки
в одном пролете.
§ 68. Пинии влияния опорных моментов
и усилий для неразрезной балки
Построение линий влияния опорных моментов кинематическим
методом. Для решения этой задачи можно применить формулы
(11.8).
Вид линии влияния опорного момента непосредственно легко
получить кинематическим методом. По этому методу для
получения линии влияния какого-либо опорного момента, напри-
мер Л!2 (рис. 201,а), переходят к основной системе, отбрасывая
лишь ту связь, которая передает искомый момент. Для этого не-
обходимо в сечении балки над второй промежуточной опорой вста-
вить шарнир, заменив отброшенную связь парными моментами М2
(рис. 201,6). Каноническое уравнение совместности деформаций,
выражающее условие равенства нулю взаимного угла поворота
247
Рис. 201
элементов оси у шарнира, будет
^2^22 + &ZP — О'
Но по теореме взаимности, 62р = Ь 2. Учтя это в уравнении дефор-
маций, получим
Л12 == — 6 /6И2,
а	Ай’
т. е. линию влияния момента М, можно найти по эпюре верти-
кальных перемещений в состоянии действия парных моментов
М2=1 на основную систему. Эпюра (прогибов от Л12=1)
изображена на рис. 201, в. Ее легко найти, решая задачу получе-
ния изогнутой оси двух отдельных неразрезных балок 0—2 и 2—5.
Деля все ординаты эпюры 6р2 на главное перемещение б22, опре-
деляем ординаты линии влияния М2 (рис. 201,г). Заметим, что
б22 — взаимный угол поворота касательных к упругой линии чуть
слева и чуть справа от шарнира; тогда
622 = а2-|-а(,
(11.9)
248
где а.,, «г —углы поворота указанных касательных на второй про-
межуточной опоре. Те же линии влияния можно получать по
формулам (11.8).
Линии влияния усилий в сечении балки и опорной реакции.
Рассмотрим построение линий влияния изгибающего момента Mk
и поперечной силы Qk в произвольном сечении k третьего пролета
неразрезной балки (рис. 202, а). Расстояния центра сечения до
левой и правой опор соответственно а и Ь. Переходим к основной
системе в виде балки 2—3 на двух шарнирных опорах с проле-
том 13, возмещая жесткость прикрепления концов ее опорными
моментами Л12 и М3. Линии влияния опорных моментов предпола-
гаем заданными (рис. 202, б, в).
Основная система в виде разрезной балки 2—3 изображена на
рис. 202,а. Применяя принцип независимости, момент в сечении k
получаем, суммируя момент только от единичной силы Р=1
(в простой балке) с изгибающим моментом от опорных моментов,
249
по формуле (11-2):
Mk = M^ + M2+AMa,	(И.Ю)
где M'kpi — момент в простой разрезной балке; Ам — левая опорная
реакция от опорных моментов;
^м= (М3 — Л12)//3.
Подставляя выражение АЛ1 в формулу (11.10), после преобразова-
ний получаем
Л1^р)Л!2£>/73 +	(Н.П)
Линия влияния М1^ показана на рис. 202, д.
Линия влияния Мк получится по формуле (11.11) наложением
трех линий влияния:	Л12, увеличенной в Ь//3 раз, и А13, уве-
Рис. 203
250
личенной в а/13 раз. Линия влияния Мк приведена на рис. 202, е.
В общем виде ее легко получить методом моделей, вставляя шарнир
в сечение k и представляя упругую линию такой системы от дей-
ствия парных моментов Мк=\.
Аналогично строим линию влияния поперечной силы исполь-
зуя первоначальную основную систему по схеме рис. 202, г. По
принципу сложения имеем
Q, = Q^ + (M3-Al2)//3.	(11.12)
Линия влияния (№, полученная на основе применения формулы
(11.12), изображена на рис. 202, д.
Линия влияния поперечной силы в сечении k неразрезной балки
может быть получена путем суммирования линии влияния попереч-
ной силы в простой разрезной балке £№' и линии влияния левой
опорной реакции Ам, выраженной через разность линий влияния
опорных моментов М3 и М.2, деленную на /3. В общем виде линия
влияния Qk показана на рис. 202, ж.
Остановимся еще на построении линии влияния полной опорной
реакции неразрезной балки для второй ее опоры (рис. 203, а).
Используя предыдущее решение, выразим опорную реакцию
через поперечные силы в сечениях k и klt расположенных чуть
правее и чуть левее опорного сечения. Согласно определению по-
перечной силы, имеем
Q* “= Q/c, +
откуда
=	(11.13)
В соответствии с формулой (11.13), суммируя ординаты линий
влияния (рис. 203,6) и (—Qk) (см. линию (фг на рис. 203, в),
находим ординаты линии влияния опорной реакции R, (рис. 203, а).
Ту же линию влияния по общему виду можно легко получить
методом моделей по эпюре 8рк для неразрезной балки с отброшен-
ной второй опорой, реакцию которой ищем (рис. 203, д').
§ 69.	Невыгоднейшие нагружения и построение
объемлющей эпюры моментов при действии
распределенной нагрузки
Из рассмотрения линий влияния различных усилий можно уста-
новить следующие закономерности невыгоднейших нагружений не-
разрезной балки временной нагрузкой при нагружении отдельных
пролетов:
1.	Наибольший отрицательный момент в опорном сечении балки
возникает при нагружении обоих пролетов, прилегающих к данной
опоре, и всех остальных пролетов через один.
2.	Наибольший положительный момент в пролете балки возни-
кает при нагружении данного пролета и всех остальных пролетов
через один.
251
Таблица 4. Значения опорных моментов в неразрезной балке
от различных нагружений (по отдельным пролетам)
Значения опорных моментов,
кН -м
мв	мс	MD
Характеристика нагружения
Постоянная нагрузка интен- сивностью q = — 10 кН/м	1	Нагружены все пролеты				—47,45	— 102,67	—104,16
Распределен- ная временная нагрузка ин- тенсивностью	2	Нагружен 1-й		пролет		— 18,08	+4,83	— 1,21
	3	Нагружен 2-й		пролет		-29,85	—32,55	+8,14
р = 7,5 кН/м	4	Нагружен 3-й		пролет		+ 14,48	—57,83	—52,95
	5	Нагружен 4-й		пролет		—2,14	+8,55	—32,1
			р	Р				
			1 1 У	L—J					
	6		А В	СОЕ		—51,05	-155,67	—158,32
Постоянная-г								
временная на- грузки			р					
				1 7 1				
	7		А В	В 0 Е		—79,44	— 126,67	— 128,12
								
			Р					
Постоянная + временная на-				ш						
	8		А В	СОЕ		—97,52	— 121,84	—129,33
грузки		Z	p-.f. С		г			
То же	9		р  '		J+		—62,82	— 193,05	—148,97
		\А В С	Р Е							
				ы	ы				
	10		JL	р			—53,19	— 147,12	—190,42
									
									
252
3.	Наибольшее абсолют-
ное значение поперечная сила
в сечении у опоры имеет при
нагружении обоих пролетов,
прилегающих к данной опо-
ре, и всех остальных проле-
тов через один.
4.	Наибольшее значение
реакция опоры получает при
таком же нагружении, как
указано в п. 3.
Для составления проекта
конструкции неразрезной
балки необходимо знать ве-
личины наибольших и наи-
меньших изгибающих момен-
тов не только на опорах и
у середины пролета, но и в
промежуточных сечениях.
Расчетные изгибающие мо-
менты в ряде сечений не-
разрезной балки определяют
по построенным для этих се-
чений линиям влияния мо-
ментов или по таблицам.
Если найденные для каж-
дого нагружения временной
и постоянной нагрузками рас-
четные изгибающие моменты
отложить от горизонтальной
оси (отрицательные—вниз,
положительные — вверх) и со-
единить концы отдельно от-
рицательных и отдельно по-
ложительных ординат момен-
тов, то получим объемлю-
щую эпюру моментов
(рис. 204). Она имеет две
ветви: ветвь 7, соответствую-
щую закону изменения наи-
больших по абсолютному зна-
чению отрицательных момен-
тов, и ветвь 7/, соответствую-
щую закону изменения наи-
больших расчетных положи-
тельных моментов в различ-
ных сечениях. На некоторых
участках (Аа, Ьс и др.) имеются
лишь расчетные моменты одного знака; на других же участках
(например, ad) для сечений балки получаем два расчетных мо-
253
мента — положительный и отрицательный. Объемлющая эпюра
моментов дает полную картину изменения Л1тах и Afmin для всех
сечений балки от действия расчетной нагрузки — временной совме-
стно с постоянной. Следует иметь в виду, что постоянная нагрузка
расположена на всех пролетах балки, а временная устанавливается
в соответствии с видом линий влияния момента в данном сечении.
Например, для отыскания максимума момента в среднем сечении
первого пролета Mtj временной нагрузкой нагружаем первый и
третий пролеты, для определения максимума момента в среднем
сечении второго пролета Л4, нагружаем второй и четвертый про-
леты, для нахождения минимума Мв нагружаем первый, второй
и четвертый пролеты и т. д.
Построение объемлющей эпюры моментов сводится к следую-
щему. Строят эпюры моментов для нагружения каждого пролета
в отдельности; на их основе находят эпюры моментов от расчет-
ных нагружений для отдельных сечений: Mlt, Mh, ..., Ms, Мс, MD
(рис. 204). Объемлющие очертания построенных эпюр сверху и
снизу от оси и образуют объемлющую эпюру моментов.
Пример. Построить объемлющую эпюру моментов для неразрезной балки,
изображенной на рис. 204 со следующими пролетами и моментами инерции сече-
ний: /1=6 м; /2 = 9 м; /3=12 м; й = 8 м; /1 = 2 м4; /г = 3 м*; /3 = 4 м4;
74 = 2,67 м4. Постоянная нагрузка интенсивностью </=10 кН/м; временная на-
грузка интенсивностью р = 7,5 кН/м.
Решение. В табл. 4 приведены значения опорных моментов такой балки для
отдельных и расчетных нагружений.
Расчетные опорные моменты Мв, Mr и MD получаем для 8, 9 и 10-го видов
нагружений. Отдельные эпюры моментов рис. 204 построены по нагружениям
6—10 табл. 4. Объемлющая эпюра моментов в общем виде представлена на
рис. 204.
§ 70.	Расчет неразрезной балки на упругих опорах
В качестве варианта расчета нерегулярной балки на упругих
опорах рассмотрим расчет ее с помощью уравнений трех моментов
с применением дополнительных уравнений возможных работ.
Рассмотрим неразрезную многопролетную балку на упругих
опорах с переменным сечением (рис. 205, а). Отметим осадки опор
Уп-и Уп и Уп+1> которые полагаем линейно связанными с реакциями
опор, причем
Rn =- — КпУп - — Уп/сп,	(а)
где Кп—коэффициент осадки опоры; сп — коэффициент жесткости
опоры (величина, обратная /<„), сп выражается в м/кН.
Так же как и в случае расчета перазрезной балки па жестких
опорах, за неизвестные принимаем опорные моменты Л4„ (рис. 205, б).
По условию единственности касательной к упругой линии над п-й
промежуточной опорой получаем
—<Рп>
(б)
254
где <рп, ф' — углы наклона касательной к горизонтали. Но согласно
рис. 205,6
Ф„ = а„—Фп = «п—en+i.	00
где 0„, 0„+1 —углы поворота хорд изогнутых линий в пролетах /„
и /и+1; а„, а,,—углы поворота касательных на опорах от линий,
Рис. 205
соединяющих центры опор, которые могут вычисляться по извест-
ным формулам; для этих углов имеем:
an^cc:t,n_1 + Mnln^Eln) + Mn_lln/(&EIn)-, 1
к/г=!а4,п+1“гЛ4л/п+1/(3£’/„+1)-{-Л1„+1/п+1/(6£/п+1). J
В формулах (г) первые члены в правой части суть углы пово-
рота па опоре п разрезных балок пролетами 1„ и /п+1 от заданной
нагрузки Р:
ап, п-1~	nEInY> a,n,n+l~^n + l^n + l/(.^n + lEI„ + 1).	(д)
Вносим теперь выражения (г) и (в) в соотношение (б):
- 1^П I Mnln , Mnln I , Л1„4_]/п + 1   , а , о \ j /П д \
6Е1п	3£/„“Г3£/„ + 1	6£/я + 1 — |'а'ь	п+1) -Г o„+J.
255
Умножая обе части на 6£7С, где Iс—средний момент инерции, и
вводя приведенные длины пролетов, получаем уравнения трех
моментов для случая податливости опор балки
Л^п-1^п + 2М„ (/„ -г ln+i) + Мп + 1/,1+1 —
= -6£/с (<,„_x + a;!>n+x) + 6£/c (9, -0„+1).	(е)
Первый член правой части легко определить по формулам (д).
Неравномерная осадка опор балки и дает угол перелома на опоре,
определяемый различным направлением хорд стержней.
Для балки на податливых опорах выражаем углы поворота
хорд 9„ и 9,i+1 через осадки опор (рис. 205,6):
0» = (Уп — Уп-х)Д«;	1 = (Уп+ X — Уп)Ип+X •
Обозначая еще для краткости записи 6£7c = ic, имеем вместо
уравнения трех моментов но (е)
jWn-i^ + 2Л1„ (/,, + /,,+1) + Л4„ + 1/,1+1 = (с (а„, п-х + ал, я+1) —
(^с/(п) Уп-1 К ( J Ип “Ь С'Лг + х) Уп 0с/1п-1)Уп-И‘	(1 ’ •
Таким образом, в уравнение трех моментов (уравнение совмест-
ности перемещений) кроме неизвестных опорных моментов входят
еще неизвестные осадки опор уп-±, уп и уп+1. Здесь можно дать
два варианта расчета. Один из них заключается в следующем.
Кроме системы уравнений трех моментов (11.14), составленных по
числу неизвестных опорных моментов, пишем систему уравнений
равновесия по числу неизвестных осадок опор. Эту систему урав-
нений равновесия получаем как вторую группу дополнительных
уравнений, исключающих смещения опор, совершенно аналогично
их составлению по методу перемещений. Дополнительные уравне-
ния, необходимые для исключения осадок опор, составляем по
началу возможных перемещений. В n-м возможном со-
стоянии основной системы предполагаем поворот стержня цепи
n-го пролета равным единице (рис. 205, в). Составляя далее сумму
работ опорных моментов и нагрузки Р на возможных перемеще-
ниях в указанном состоянии, получаем
^0-1%, п~Мп (ф„, п + фп+i, J + -Ми+1фл+х, „4-
+ 2ЛЛг + /?«'1-/« = 0’	(ПЛ5)
где последний член дает возможную работу упругой реакции;
возможный угол поворота фП1 „ будем принимать положительным
по часовой стрелке и равным единице.
Внося выражение упругой реакции по (а) в уравнение (11.15),
имеем окончательно
Уп = (с„/1п) [^„-хФп.	Мп (ф„. „ + ф„+х, „) + М„+1ф„+1, „ + 2 Pfipi]-
(11.16)
В каждом из уравнений (11.16) осадка n-й опоры выражена
через три соседних опорных момента и нагрузку. Уравнений (11.16)
можно составить столько, сколько неизвестных осадок; для исклю-
256
чения z/0 представляем возможное состояние по рис. 205, д', для
исключения у1 используем состояние по рис. 205, г.
Если внести теперь выражения (11.16) для у,,-^ у„ и yntl
в уравнение трех моментов (11.14), то получим уравнение пяти
моментов: Л1П_2, Mn_lt Мп, M,ihl и М„+2, так как уп_1 выразится
через моменты Мц_„, Мп_г, Мп, а уц+1 зависит от моментов Мп,
Л-1„ + 1 и Л1п+2.
Вместо решения системы уравнений пяти моментов можно ис-
пользовать метод последовательных приближений в такой форме.
Сначала, пренебрегая влиянием опорных моментов, из системы
выражений (11.16) найти осадки опор (как для разрезной системы).
Далее эти значения осадок опор внести в систему уравнений трех
моментов (11.14), после чего вновь использовать систему выраже-
ний (11.16) и определить все осадки опор с учетом неразрезности
балки. Затем вновь найти опорные моменты из системы уравнений
(11.14) по уточненным значениям осадок. Обычно второе или
третье приближение оказывается достаточно точным.
Глава 12
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ПЛОСКИХ ФЕРМ
§ 71. Общий ход расчета фермы при постоянной нагрузке
Виды ферм. Ниже рассматривается расчет статически неопре-
делимых шарнирно-стержневых плоских ферм на действие узловой
нагрузки. В действительности соединение стержней фермы в узлах
жесткое, в результате чего во всех узлах фермы возникают моменты
аналогично рамной конструкции. В особенности существенны до-
полнительные напряжения от неразрезности очень мощных поясов и
от жесткости узлов в фермах со сложной решеткой. Однако расчет
ферм с жесткими узлами крайне сложен и может быть рационально
проведен лишь методом перемещений или другими способами.
Мы остановимся на общепринятом расчете ферм как систем с
идеально шарнирными узлами.
Различают два вида статически неопределимых ферм — внешне
и внутренне статически неопределимые. Примером внешне стати-
чески неопределимых ферм является неразрезная ферма (дважды
статически неопределимая; рис. 206). К внутренне статически
9 №iii6	257
неопределимым фермам относятся некоторые комбинированные
системы (например, балочная ферма с гибкой аркой; рис. 207) и
различные фермы со сложными решетками (крестовой, многоре-
шетчатой).
Как было отмечено в § 47, это разделение условно: одну и ту
же систему можно рассматривать как внешне, так и внутренне
статически неопределимую.
Расчет ферм на действие неподвижной нагрузки. Общий ход
расчета статически неопределимой фермы при заранее заданных
размерах поперечных сечений стержней тот же, что и для рамных
систем. Следует лишь иметь
в виду особенность определе-
ния перегиещений узлов шар-
нирно-стержневых ферм, в
элементах которых возникают
только продольные силы N.
Порядок расчета однажды
статически неопределимой
фермы следующий.
Освобождаем заданную
ферму от лишней связи (рис.
208, а). В данном случае от-
брасываем промежуточную
опору неразрезной фермы и
реакцию этой опоры принима-
ем за лишнее неизвестное Х±.
Для основной системы (рис. 208, б) составляем каноническое урав-
нение деформаций, формулирующее условие равенства нулю пере-
мещения точки 1 по направлению отброшенной связи от действия
лишнего неизвестного Х1 и силы Р:
откуда
*Л! + Ч>=о.
х1 = -Д1?А1,
(12.1)
где бп—перемещение по направлению Хг в состоянии действия
Xj=l (рис. 209,а); Л 1р — перемещение по направлению Ху от дей-
ствия заданной нагрузки Р (рис. 209,6).
Обозначая продольные силы в произвольном стержне основной
системы в состояниях действия Xr = 1 и нагрузки Р соответственно
Л\ и Np, получаем по формуле Мора—Максвелла следующие вы-
ражения для перемещений:
=	\lp^NtNpS/(EF),	(а)
п	п
где s—длина стержня; У7 —площадь поперечного сечения стержня;
2— знак суммы, распространяющийся на все стержни фермы.
258
Лишнее неизвестное найдем подстановкой значений величин из
выражения (а) в формулу (12.1):
п	п
(12.2)
Если ферма внутренне статически неопределима, то суммиро-
вание в знаменателе распространяется и на рассеченный стержень.
Из выражения (12.2) видно, что лишнее неизвестное зависит
Рис. 209
от соотношения в площадях
сечений стержней. Суммар-
ные значения величин, вхо-
дящие в выражение (12.2),
вычисляют табличным путем.
Определив лишнее неизвест-
ное Xj, находим усилие в
любом стержне фермы, сум-
мируя влияние нагрузки Р
и лишнего неизвестного Хх:
N^Np + Xj^. (12.3)
Аналогично проводится рас-
чет п раз статически неоп-
ределимой фермы; лишние
неизвестные Хп Х2, Х3, ...,
Хл определяют, используя
систему канонических уравнений, а суммарное усилие в стержне фер-
мы вычисляют по формуле
формуле
^сум = ^ + 2Аг.Х,-
п
(12-4)
Пример. Найти лишнее неизвестное для неразрезной фермы, подверженной
действию сил Р (рис. 210).
Решение. За лишнее неизвестное принимаем усилие в среднем стержне
верхнего пояса. Можно удалять любую
лишнюю связь, за исключением необхо-
димой. Определяем перемещения <‘'и и
по табл. 5. Из табл. 5 получаем:
Гбц/2 = 50,09;
£Д1/,/2 = -301С0.
Лишнее неизвестное будет
Х1 = 30100/50,09 = 600 кН.
Заметим, что в данном случае нап-
ряжения во всех стержнях фермы оди-
наковые, следовательно, ферма равного
сопротивления.
9*
259
Таблица 5. Перемещения бц и
Обоз ка- чение стержня	Длина s, см	Площадь сечен ня F, СМ2	Усилие	— S А'.Т- 1 /см	A'lT	А'р, кН	кП/см
О.	500	11,17	0,625	28,4	17,75	—500	— 14200
Ог	400	53,6	1,00	7,46	7,46	0	0
и	800	8,94	—0,50	—44,75	22,38	400	— 17 900
D1	500	78,2	—0,625	—4.0	2,50	—500	2 000
2 = 50,09	2=-30 100
Далее, применяя формулу (12.4), находим полные усилия в стержнях данной
фермы.
§ 72. Линии влияния лишних неизвестных
и усилий в стержнях ферм
Так как усилие в ряде стержней статически неопределимой
фермы согласно формуле (12.3) выражается через лишнее неизвест-
ное, то при расчете фермы на подвиж-
ную нагрузку прежде всего строят ли-
нию влияния лишнего неизвестного Х>.
Рассмотрим общий ход получения
линии влияния Хх для двухпролетной
неразрезной фермы (рис. 211, а). По-
лагаем, что груз Р = 1 движется по
проезжей части, расположенной на
уровне нижнего пояса фермы. Отбрасы-
вая промежуточную опору фермы, за-
меняем ее воздействие силой Х1Т ли-
нию влияния которой требуется найти
(рис. 211, а). При произвольном положе-
нии груза Р=1, приложенного в точке
р, составляем каноническое уравнение
метода сил
ХДг + ^0,
откуда
(12.5)
где 6ljt) — перемещение среднего узла основной системы от силы
Р=1, поставленной в произвольное положение; 6и —перемещение
по направлению X, от силы Xt=l.
Так как решается задача о линии влияния, то груз Р= \ под-
вижный и, следовательно, — величина переменная. Эту задачу
можно заменить задачей построения эпюры перемещений точек
приложения силы Р от неподвижной силы Xi=l. В самом деле,
260
согласно теореме о взаимности перемещений,
(а)
где 6/;1 — вертикальное перемещение точки приложения силы/>=1
при данном ее положении, вызванное действием неподвижной силы
X,- 1 (рис. 211, б).
Применяя метод упругих грузов, легко построить эпюру про-
гибов точек оси нижнего пояса от действия силы Xt=l. Это и
будет эпюра 6 t (рис. 211, в). Пользуясь соотношением (а), нахо-
дим для X, выражение вместо формулы (12.5):
^ = -6^.	(12.6)
Отсюда следует, что линия влияния лишнего неизвестного Xj
может быть построена как эпюра вертикальных перемещений гру-
зового пояса фермы от действия силы X, = 1 делением всех орди-
нат ее на главное перемещение (—бп). Главное перемещение ищем
по формуле
=	(12-7)
В формуле (12.7) Х\ — усилие в стержне фермы для основной
системы в состоянии действия силы Х,= 1.
Ординаты эпюры Ьр1 легко определить, пользуясь методом упру-
гих грузов по известным усилиям Nt. Каждый упругий груз 1F„
находят по возможной работе внутренних сил в состоянии действия
двух равных и противоположных по направлению пар сил с мо-
ментом, равным единице. Из выражения (12.6) следует, что поскольку
линия влияния Ху определяется законом изменения путем деле-
ния любого значения 6/;1 на постоянную (—6,,), то эпюра 6^ пред-
ставляет модель линии влияния. Таким образом, модель
линии влияния Х1 получается по эпюре вертикальных перемеще-
ний основной системы в состоянии действия силы Xj=l. Деля
ординаты модели (эпюры 6/?1) на постоянную (—6П), получаем
ординаты линии влияния Хх (рис. 211, г).
Линию влияния усилия в произвольном стержне статически
неопределимой фермы получаем по линии влияния неизвестного Ху,
пользуясь формулой (12.3):
N^N^ + XyNt,	(12.8)
где NiP) — усилие в i-м стержне фермы от груза Р= \ в статически
определимой ферме; ЛГ —усилие в i-м стержне фермы для основной
системы от силы Xj=l (постоянная величина).
Так как при движении груза Р = 1 будут меняться значения
Л/р” и Ху, то выражение (12.8) можно сформулировать так: линия
влияния усилия в произвольном стержне фермы получается путем
суммирования двух линий влияния—линии влияния усилия в ста-
261
тически определимой ферме и линии влияния лишнего неизвест-
ного все значения которой умножены на 7V,-. В отдельных слу-
чаях /У,=0 и линия влияния Л\. совпадает с линией N'f*.
Пример. Построить линии влияния лишнего неизвестного Xi и усилий О3
и D3 для двухпролстиой неразрезной фермы (рис. 212, а). Длина панели d = 8 м,
Рис. 212
высота фермы h — 4 м. Площади сечений всех элементов поясов, за исключением
крайних, Fo_—Fy .= 200 см2. Площади сечений крайних элементов нижнего пояса
F(/,= 100 см3. Площади сечений всех раскосов и крайних элементов верхнего
пояса FD = 70,7 см2.
Решение. Определяем усилия во всех элементах фермы в основной системе
для вспомогательного состояния от силы Xi=l (табл. 6).
По методу упругих грузов вычисляем упругие грузы IF], IFu и IFm:
EIF[ = —0,225 кН/см2; £й7ц = — 0,4 кН/см2; НГц, = —0,95 кН/см3.
Система грузов, приложенных к фиктивной балке, изображена на рис. 212, б.
Если 1Г положительные, направляем их вниз. По системе упругих грузов строим
эпюру моментов. Ординаты эпюры 6р1 получаем по формуле
Ьр^М^.Е,
где Л4ф—фиктивный момент в сопряженной балке; Е = 2-104 кН/см2.
Перемещение 6ц [применяя (12.7)] находим используя табл. 6.
Таблица 6. Определение усилий
Обозначение стержня	Усилие TV.	Обозначение стержня	Усилие N.
Oi	+0,707	и3	—2,500
О,	+ 1,000	Di	—0,707
о3	+2,000	F>2	+0,707
о,	+3,000	D3	—0,707
Fi	—0,500	Dt	+0,707
u2	— 1,500	D3	—0,707
262
Эпюра представлена на рис. 212, а. Заметим, что пренебрежение деформацией
решетки при определении 6/)1 может привести к существенной ошибке (более 20%).
Для данного случая неразрезной фермы главное перемещение
^1 = йщ”’ = 0,098.
По формуле (12.6) получаем ординаты линии влияния (рис. 213, о). Орди-
наты линии влияния А'х для положения груза в узлах /, 11, 111 соответственно
Рис. 213
будут 0,449; 0,806; 1,000. Применяя формулу (12.8), строим линии влияния О3
и' D3. Подставляя значения единичных усилий для этих элементов, получаем:
03=0з₽)4-2Х1; £>3 = ^^’ —0,707X1.
Линия влияния изображена на рис. 213,6. Отыскание линии влияния D3
иллюстрировано рис. 213, в. Линия влияния D3 с ординатами, отложенными от
горизонтали, представлена на рис. 213, г.
263
§ 73. Матричная форма расчета ферм
В связи с распространением цифровых вычислительных машин
широкое применение получает матричная форма расчета статически
неопределимых систем. Достоинством матричной формы расчета
является ее компактность, стан-
ных стержней фермы линейно
р дартность и общность. Одна и та
же последовательность матричных
операций может быть использо-
вана для расчета самых различных
систем (рам, арок, ферм) (см. [У]).
Рассмотрим ход расчета стати-
чески неопределимой фермы, изо-
браженной на рис. 214. За лишнее
неизвестное примем реакцию X
в вертикальном опорном стержне.
Усилия S,- в каждом из осталь-
связаны с удлинениями v; стержней:
t’i-fiSi, v2 = /2S2,
(а)
Is	Is
где /=—!-; / = —удлинения стержней от единичных усилий
L. Г1	£ Г 2
(податливости); sx, s2 —длины стержней; Flt /ч — площади попереч-
ных сечений.
В матричной форме соотношения (а) можно записать так:
Ы=|л о IN
I V2 | I 0 A I Ы
(6)
или кратко
v = fS,
(в)
где v — матрица удлинений стержней; / — матрица податливости;
S — матрица усилий.
Отбросив лишний стержень и приложив внешнюю силу Р=\
(рис. 215, а), найдем перемещение г по направлению лишнего
Рис. 215
неизвестного. Усилия в этом состоянии будем далее обозначать Ь!р.
Для этого вводим состояние действия силыХ= 1 и применяем
264
принцип возможных перемещений (рис. 215, б). Получаем
= (г)
где Six — усилие в t-м стержне от силы Х=1; и,- —удлинение
стержня в состоянии действия силы Р=\. Усилия в состоянии
действия силы Х=1 будем обозначать Ь!х. Иначе правую часть
соотношения (г) представим так:
2 sixvip=blxv lp+ь.2хи.,р +... = | ь1хь2х \v'p-
Следовательно, равенство возможных работ по соотношению (г)
будет

= b'ixv,
(д)
где b’ix — транспонированная матрица от матрицы столбца b!x', v!p—
матрица-столбец удлинений, которая представляется по матричной
форме (б) и (в) так:
После подстановки выражения (е) в равенство (д) получаем для
перемещения матричное выражение
rxp = bixlbil„
или в развернутом виде
гхрЧЬМ ?! °
U /2 U'2p
Аналогично определяем перемещение гхх в состоянии действия
силы (рис. 215,6), выбирая за возможное состояние то же
действие единичного неизвестного:
г ~ I blxb„ | j	+ bhfa.
XX I 1Л 4Л Q J"	1	&
Каноническое уравнение будет
гххХ + гхрР = О,
откуда лишнее неизвестное
X = — rx„P!rxx = — г~'гх Р.
Полное усилие в стержне статически неопределимой фермы (рис. 215)
s;n = bipP+bixx.
Как видим, чтобы найти X, необходимо получить обратную ма-
трицу от гхх.
265
Глава 13
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ АРКИ
§ 74. Законы изменения сечений арок
В этой главе рассматривается расчет статически неопределимых
двухшарнирных и бесшарнирных арок со сплошной стенкой.
Двухшарнирная а р к а — криволинейный брус на двух
шарнирно неподвижных опорах,— очевидно, однажды статически
неопределима (рис. 216, а). Бесшарнирная а р к а— криволи-
нейный брус, защемленный двумя концами (рис. 216,6). Обычно
в силу криволинейности оси и переменности значения расчетных
усилий по длине оси арки она имеет переменное сечение, что ос-
Рис. 216
ложняет вычисление перемещений и не дает возможности приме-
нять правило перемножения эпюр. Поэтому при вычислении пере-
мещений в арках используем непосредственно формулу Мора и
проводим интегрирование по длине оси арки с учетом переменности
сечений. Лишние неизвестные в арках зависят не только от закона
изменения сечений, но и от очертания оси, которое должно быть
задано. Ось массивной арки целесообразно задать по кривой дав-
ления в соответствующей трехшарнирной арке от собственного веса.
Рассмотрим законы изменения момента инерции I
по длине оси арки. Для двухшарнирной арки пользуются
уравнением в форме
I = 70соз<р,
(а)
266
где /„—момент инерции в замке; <р — угол, образуемый касатель-
ной к оси арки с горизонталью.
Очевидно, уравнению (а) соответствует увеличение сече-
ния от пяты к замку с наибольшим сечением в замке.
Для бесшарнирных арок нередко, чтобы упростить расчет, при-
нимают такой закон изменения момента инерции;
/ = /„/cos <р.	(б)
Этому закону соответствует увеличение сечения от замка к пяте
с наибольшим сечением в пяте. Однако закон изменения по урав-
нению (б) не удовлетворяет действительному распределению рас-
четных моментов в бесшарнирной арке. Риттер, Штрасснер, Ман-
нинг и другие рекомендуют следующий закон изменения I для
симметричных бесшарнирных арок:
^т+W’	<13Л>
где Zj —длина полупролета; х—абсцисса, отсчитываемая от замка;
р—параметр закона изменения момента инерции, меняется от О
до —1.
Для пяты / = /А, х = 11 и вместо выражения (13.1) получаем
7
к cos фа 1+Р ’	' '
откуда
Э =/o/(/feCOS<pft) — 1 = п— 1; n = /0/(/ftcos<pfc). (13.2)
Окончательное выражение для закона изменения момента инер-
ции бесшарнирной арки после подстановки (13.2) в (в) таково:
/^/„/coscp.^l^.	(13.3)
Зная отношение 1в/1к и созф/; (косинус угла наклона пяты арки
к горизонтали), легко находим по выражению (13.3) параметр [3
или п. В среднем р = —0,75.
При определении перемещений, вызванных влиянием продоль-
ной силы в арке, важно знать закон изменения площади
сечения арки F. Если ширина сечения арки постоянна, то пе-
ременную площадь сечения можно выразить так:
F=Fti/iiT„	(13.4)
где Ео —площадь сечения в замке. Выражение (13.4) получено по
формуле для I.
§ 75. Расчет двухшарнирной арки
на неподвижную нагрузку
Общий ход расчета. Расчет двухшарнирной арки, как и других
систем с криволинейными элементами, при заданном очертании осп
производится по методу сил (рис. 217,а).
257
За лишнее неизвестное принимаем распор Хг— горизонтальную
реакцию неподвижной опоры (рис. 217,6), за основную систему —
криволинейную балку. В
отдельных случаях ис-
пользуют основную систе-
му в виде трехшарнирной
арки (рис. 217, в).
Сначала рассмотрим об-
щий ход расчета двухшар-
нирной арки при действии
вертикальной неподвиж-
ной нагрузки Р с исполь-
зованием первого типа ос-
новной системы. Отбросив
горизонтальное закрепле-
ние правой неподвижной
опоры, возместим ее дей-
ствие распором Хг Для
отыскания распора Xtсос-
тавляем каноническое
уравнение, выражающее
условие равенства нулю
горизонтального переме-
щения подвижной опоры:
Х1611 + А1/7 = 0,
где AIj0 — горизонтальное
перемещение правой опо-
ры, вызванное нагрузкой
Р; 6ц—горизонтальное
перемещение этой опоры
от действия единичной си-
лы Хг — 1.
Из канонического урав-
нения получаем
Х^-А^/бц. (13.5)
По формуле (13.5) опре-
деляется распор.
Определение перемещений. Если арка представляет собой кривой
(£>
радиус кривизны Ро велик, -^>8, где h—•
наибольшая высота сечения брусаj, применяем формулу, справед-
ливую для прямолинейного стержня (рис. 218, а):
л V'' f M-jMpds у-. f NtNpds
(S)	(s)
(13.6)
Далее рассматриваем лишь пологие арки, для которых fH < 1/6.
268
В этом случае продольная сила в сечении k в основной системе
от действия вертикальной нагрузки (рис. 218,6) выра-
жается формулой
TV,, = Q* sin <р,
где Q* — поперечная сила в простой балке.
Для пологой арки величина sincp незначительна, поэтому можно
пренебречь влиянием N в формуле (13.6) и вычислять \1р по
упрощенной формуле:
р М. 1М r.ds
(i)
где Мр различно на разных участках арки. Формула (13.7) при-
ближенна.
269
Пренебрегать же влиянием продольной силы при вычислении
горизонтального перемещения не всегда возможно.
Единичное перемещение (рис. 218, б) определяем поформуле (13.6);
о	о
где	_
Л12--—1-у, jV1=l-cos(p,	(13.9)
s — длина осн арки.
Сжимающую силу Л\ принимаем положительной. Подставляя
значения усилий из выражений (13.9) в формулу (13.8), получаем
s/2	S/2
=	+ 2 Jcos^^.	(13.10)
о	о
Здесь учтена симметрия арки.
В ряде случаев для гибких арок (при малом отношении Л/Z)
в выражении (13.10) вполне можно пренебречь влиянием продоль-
ных сил. Так, для одного из железобетонных мостов при /// = 1/7
и /г//=1/26 второй член в выражении (13.10) составил 0,2% от
первого члена.
Частный случай параболической арки и закона изменения мо-
мента инерции по косинусу. Принимаем следующий закон измене-
ния момента инерции:
I = 70/cos <р.
Этот закон, хотя и не соответствует действительному распреде-
лению расчетных моментов в двухшарнирной арке, дает весьма
простые выражения для перемещений и распора Xlt что исполь-
зуется в предварительных расчетах двухшарнирных арок.
В этом случае имеем
cis dx cos ср dx
1 /0СО5ф /о'
Следовательно,
Д1;, = V J МуМр^- = -gj- ^2 у уМр dx.
S	S
Для пологих гибких арок ((1 = 0,5/г)
о
Если =	——, то после интегрирования по выражению (а) по-
лучаем единичное перемещение
би=Г5#-	(13И)
Поформуле (13.11),6ц пропорционально /2.
270
§ 76. Линии влияния распора и усилий в двухшариирной арке.
Эпюры усилий
Линия влияния распора. Для построения линии влияния рас-
пора рассмотрим произвольное положение груза Р = 1 на расстоя-
нии а от левой опорной вертикали. Действие одного груза на ос-
новную систему представлено на рис. 218, а, действие силы —1 —
на рис. 218,6. Каноническое уравнение метода сил
A\6h4-5^ = 0.	(а)
По теореме о взаимности перемещений,
6^ = 6^-
Учтя это равенство, из уравнения (а) найдем
т. е. линию влияния Хг можно получить по эпюре вертикальных
перемещений 6/,1 основной системы от действия Xj = l. Деля все
ординаты эпюры 5р1 на 6П и меняя знак на обратный, находим
ординаты линии влияния X, (рис. 218,в). Задача, таким образом,
сводится к построению эпюры вертикальных перемещений 6 г, ко-
торую можно найти или аналитически, или способом упругих грузов.
Заметим, что влияние на ординаты линии влияния Хг для
относительно гибких и подъемистых арок незначительно. Так, для
арки с f/Z«l/3, h/f— 1/7 максимальные ординаты влияния линии Х±
с учетом и без учета влияния отличаются на 0,6%. Для той
же арки при замене закона изменения момента /0/cos<p на 70cos<p
получается разница в 4,2% (ордината линии влияния меньше в
последнем случае).
Пример. Пренебрегая влиянием продольных и поперечных сил па деформа-
цию, найдем уравнение линии влияния распора для параболической арки при
законе изменения момента инерции
1 — I0/cos <р.
Решение. Уравнение оси арки (рис. 218, б)
y = 4fx (I—х)/Р.
Определяем перемещения 6р1 и 6ц, входящие в выражение для линии влия-
ния Xi.
A'i = —
Перемещение 6^, можно найти непосредственно, применяя формулу Мора
и проводя интегрирование по двум участкам (0 Т х а; 0	х^^Ь):
271
Подставляя значение у и вынося постоянные за знаки интегралов, получаем
Для случая изменения момента инерции по закону 1 = /0/cos <р
Вычисляя интегралы, получаем при Р = 1
6^ = -	№3 (4l-3a)+ab3 (4/-3&)].
L. I о
Заменим b на I—а-, 41—ЗЬ на l-j-За.
Тогда после преобразований получим
’о—зЙгт('-т)(1+т-4)—зёт^'-^х'+’-Р»’ <6>
где 1 = а/1.
Будем считать положение груза меняющимся. Следовательно, в уравнении (б)
абсцисса § переменна. Придавая различные значения |. получим все ординаты
зпюры б^,. Значения функции £(1—g) (l-f-g — J;2) приведены ниже:
? = all	0	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50
g(l-s) (1 + 1-Г2)	0	0,0978	0,1655	0,2545	0,2975	0,3125
Теперь найдем перемещение 6П:
l _	l	1
.	( Mids ( „ dx 16/2 1 х~ (I — х)1 dx 8р1
611 = J ””Ё7-= ,1 У^~ЁЦ=~Р~ ЁТ0 = 15£/0 •
об	б
Таким образом, уравнение инфлюэнтной линии Х-\ будет по уравнению (а) таким:
4r=T7g(1-?)(1 + s-g2)-
Линия влияния Xi представлена на рис. 218, в.
Линия влияния и эпюры усилий в сечении арки. Имея линию
влияния распора, легко получить линию влияния момента Мк, по-
перечной силы Qk и продольной силы в любом сечении k арки
(рис. 219, а), пользуясь принципом наложения.
Так же как и для трехшарнпрной арки, изгибающий момент
в сечении k представляем как момент левых вертикальных и гори-
зонтальных сил:
Мк = М°к-Х1У,
(13.12)
где тЩ — балочный момент (момент левых вертикальных сил); при
положении груза Р=1 справа от сечения Mk = Vaak, \г а- левая
вертикальная реакция; Х1Ук — момент распора; Ук — ордината точки k.
272
Следовательно, ординаты линии влияния Л4Л находят вычитанием
ординат линии влияния момента от распора нз ординат балоч-
ного момента М°к (рис. 219,
а). Линия влияния Mk пока-
зана также на рис. 219, б,
где ординаты ее отложены от
горизонтали. Аналогично на-
ходят ординаты линий влия-
ния поперечной силы Qk и
продольной силы Nk, поль-
зуясь формулами, известными
из теории расчета трехшар-
нирной арки, с заменой И
на Хг.
Для поперечногй силы
имеем
Qk = Q* cos ф4 — Xt sin <pft;
(13.13)
для продольной силы
= Qk sin + Xt cos ф4,
(13.14)
где QI — балочная поперечная
сила (при грузе справа от
сечения Qk = Va); <j,: — угол
наклона касательной к оси
арки в точке k.
По выведенным уравнени-
ям найдены линии влияния
Qk и Nk, которые изображены	Рис. 219
на рис. 219, в, г. Эпюры Мк,
Qk и (при неподвижной нагрузке и переменности сечения fe) легко
построить, пользуясь теми же формулами (13.12) — (13.14). Вычислив
распор от заданной неподвижной нагрузки по выражению (13.5),
построим эпюру балочных моментов M°k и сложим ее алгебраически
с эпюрой ординат ук, увеличенной в Xt раз. Аналогично поступаем
для эпюр Qk и N к, вводя законы изменения з1пфй и cos<p/e.
§ 77. Построение линии влияния распора
двухшарнирной арки методом упругих грузов
Построение линии влияния XL сводится к отысканию линии про-
гибов основной системы, что в самом общем случае произвольного
очертания оси легко проделать, используя метод упругих грузов:
1. Заменяем заданный криволинейный стержень ломаным, раз-
бивая на равные части пролет арки или ее ось. На рис. 220, а
пролет арки расчленен на 12 равных участков. Находим ординаты
узловых точек ломаного стержня уп, значения тригонометрических
273
функций углов наклона всех элементов s„ с осью абсцисс (углов ф„),
моменты инерции и площади сечений /„, Fn для средних (проме-
жуточных) точек между узлами.
Рис. 220
2. В общем случае учитываем влияние и продольных сил. Тогда
для подсчета упругого груза Wn пользуемся формулой
= ТЕ/? (^"-1 + 2Л1,,) + бТ/'ФГ ^п+! + 2ЛГ„) +
+ ->±I-tgP,1+1->-tgPn,	(а)
L Л + 1	L-1 П
где Мл и Nn— соответственно изгибающий момент и продольная
сила в состоянии действия силы Х1 = 1;
= — lt/„; N„ = — 1 cos <р„;	(б)
рг. — угол наклона элемента sn с нормалью к направлению искомого
перемещения (для вертикальных перемещений |3„ = ср„; для горизон-
тальных —р,г = 90° — <р„).
Обычно задается закон изменения момента инерции lx=Iovx,
где тд. — какая-либо функция от х (например, vx^cos<px); /„ — мо-
мент инерции в замке. Тогда для случая арки, сечение которой
имеет постоянную ширину,
F —F ,/V I —I v
1 n 1 О V л n 1 0vn'
Сделаем эти подстановки и, кроме того, умножим обе части выра-
жения (а) на &Е1„:
6EI„Wn -= (M„.t + 2Л/„) +	«+1 +2/И„) +
 б/с, / .v„+1 tgp„+1  a;, tg р„\
274
Рассмотрим теперь развернутое выражение упругого груза для
построения упругой линии арки в состоянии действия силыХ1 = 1.
Подставим значения усилий по выражению (б):
6£/0Г„ = 6£/0 (Wn,Л1 + Wn, N) -	(«/„_, + 2у„)-
Sn + l ,у + _уе>у । 6/0 /cos Фл tg Р„ cosy„ + itgpn + 1>
v« + 1 " + 1	" ?0 I f/Vn	I/Vn + 1 )
(в)
Деля обе части формулы (в) на 6£/0, мы получим выражение
для промежуточного упругого груза.
В первых двух скобках правой части выражения (в) отражено
влияние моментов, в третьей — влияние продольных сил. При отыска-
нии вертикальных перемещений направляем грузы вниз, если
выражение (в) дает знак плюс (рис. 220, б). При этом для случая
вертикальных перемещений 0л = фл, т. е. углу наклона элементах,,
к горизонтали.
При отыскании горизонтальных перемещений используем то же
выражение (в), но с заменой tg р„ на ; меняется только влия-
фп
нпе продольных сил	влияние же моментов остается
постоянным. Таким образом (рис. 220, в), при отыскании горизон-
тальных перемещений имеем следующее выражение для упругого
груза:
6£/01Г<’>= -	(у,,., + 2Уа)(уп„ + 2t/„) +
V«	VTZ + 2
I 6/p / cos<p,;+i_____________cos <p„	\
F° \j/v„+1tg<p„+1	^tg<p„ j
(r)
Для верхнего упругого груза 1Г0 учитываем только выражение,
соответствующее элементу sn+1. Для среднего упругого груза влия-
ние продольных сил берем в каждом члене с одинаковым знаком.
3.	Определив величины всех упругих грузов Wп, переходим к
построению линии прогибов ?>р1. Приложив систему вертикальных
фиктивных сил W„ к простой двухопорной балке, найдем эпюру
фиктивных моментов Л4Ф (рис. 220, б).
4.	Отыскиваем — горизонтальное перемещение подвижной
опоры. Для этого, используя симметрию в изогнутой оси арки (угол
наклона упругой линии арки в замке равен нулю), представляем
левую ветвь линии горизонтальных перемещений арки, вводя за-
делку в замке и освобождая левую опору (рис. 220, в). Горизонталь-
ное перемещение свободного конца этой половины стержня и дает
бХ1/2. Для нахождения этого перемещения вводим условное соору-
жение-консоль с заделкой внизу и свободным концом в замке.
Упругие грузы, подсчитанные по формуле (г), прикладываются по
горизонтальному направлению. Средний упругий груз делится на 2.
Тогда фиктивный момент от горизонтальных сил относи-
275
тельно точки О будет
M^S^/2.
5.	Деля ординаты эпюры фиктивных моментов Мф на значение
2/ИОф, получаем ординаты линии влияния Xt.
§ 78. Арка с затяжкой
Арка с шарнирно прикрепленной к ней затяжкой (рис. 221, а)
является системой с одной лишней связью. За основную систему
может быть принята криволинейная балка с перерезанной затяж-
кой (рис. 221, б). Так как затяж-
ка АВ связана с аркой у опор
шарнирно, в ней возбуждается
только продольная сила X.
Перейдем к определению
лишнего неизвестного —усилия
в затяжке. Взаимное смещение
сечений разреза для основной
системы равно нулю. Поэтому
каноническое уравнение имеет
вид
X611 + AJp = 0,	(а)
где бп — взаимное смещение
сечений разреза по горизонтали
от действия силы Х = 1; &1р —
то же, от приложенной нагрузки
Р. Из уравнения(а)определяем
распор.
От действия нагрузки Р на основную систему работает только
криволинейная балка, перерезанная же затяжка не имеет усилий.
Следовательно, выражение для А1р будет то же, что и для анало-
гичной двухшарнирной арки. Для перемещения бп сравнительно
с двухшарнирной аркой добавляется влияние удлинения затяжки
в состоянии Х = 1, т. е. удлинение l-l/(EsFs), где ESFS — жесткость
затяжки на растяжение.
Итак, для имеем
S	5
S11 = у-ds/(EI) + J cos2 <fds/(EF) + l/(EsFs) = 61Ь a + l/(EsFs).
о	о
При пренебрежении влиянием продольных и поперечных сил
в арке значение усилия в затяжке или распора X будет
J уМ ds/(EI)
о
_______А] у;_____
6ц, а+ l/(EsFs)
(13.15)
y^ds/(El) + l/(EsFs)
о
276
а распор в двухшарнирной арке
Ха — \1р/^,а.	(б)
Как видно из выражения (б), распор в арке с затяжкой всегда
меньше распора в двухшарнирной арке, так как в первом случае
увеличивается знаменатель выражения (13.15):
у. _ ^11, Л уг	1
6ц, а+ b(EsFs) 6ц, а “ 1 +	а)
При Fs = 0 Х = 0 — арка обращается в балку. При Fs = оо X = Ха—
имеем двухшарнирную арку. При относительно небольшой площади
затяжки быстро нарастает распор X.
Таким образом, чем меньше сечение затяжки Fs, тем меньше
усилие в ней.
§ 79. Расчет бесшарнирной арки
на неподвижную нагрузку
Основная система. Бесшарнирная арка трижды статически не-
определима. Рассмотрим расчет симметричной арки в случае дей-
ствия нагрузки в плоскости ее оси (рис. 222, а). За основную при-
нимаем симметричную систему в
виде двух раздельных криволи-
нейных консолей (рис. 222, б).
Используя симметрию, разрезаем
арку в замке и в качестве пер-
вых неизвестных принимаем силы
и моменты взаимодействия: Z, (про-
дольные силы), Z2 (моменты) и Z3
(поперечные силы). Канонические
уравнения для этих неизвестных
будут иметь такой вид:
ZJ611+Za612 + A1/, = 0;
+ А^22 + A2jt, = 0;
2);бзз+Аз.р = 0.
(а)
Общая система трех каноничес-
ких уравнений по выражению (а)
распадается на две группы: в первую группу входят симметричные
неизвестные Zt и Z2; вторая группа содержит лишь одно обратно-
симметричное неизвестное Z3 (рис. 223, а —в).
Нетрудно видеть, что при данном выборе неизвестных б12=^0.
Поэтому переходим к новой системе неизвестных X'j, Х2 и Х3,
несколько преобразуя основную систему. К сечениям проведенного
в замке разреза присоединяем невесомые и абсолютно жесткие кон-
соли длиной с. К концам этих консолей и прикладываем силы
взаимодействия Xlt Х2 и Х3 (рис. 224).
277
Консоли считаем абсолютно жесткими и невесомыми, чтобы не
вводить добавочных перемещений их концов сравнительно с замко-
выми точками оси арки и добавочных усилий. Система сил Хг, Хг
и Х3 должна быть статически и кинематически эквивалентна системе
сил Z1( Z2 и Z3. Из сопоставления рис. 224 и 222, б получаем:
Z1 = Xi; Z2 = X2-X1c; Z3=X3.	(б)
Формулы (б) дают соотношения между старыми и новыми не-
известными.
Таким образом, момент в замке Z2 выражается как разность
между моментом на конце консолей X, и моментом от горизонталь-
ных сил взаимодействия Х2. Так как из условия равновесия Хг=Н,
то неизвестное X, называют распором. Система уравнений для сим-
метричных неизвестных X* и Х2 такова:
ХД^ХД^Д^О; 1
хд1+хд2+д2/,=о. J	(В)
278
Длину введенных консолей с выбираем так, чтобы побочное пере-
мещение 612 в системе (в) равнялось нулю.
Для вывода выражения б12 используем эпюры моментов в еди-
ничных состояниях X, — 1 и Х2 —1.
на конце консолей (рис. 225, а, б),
то при соответствующем выборе длины
с легко добиться равенства нулю
612. Моменты /VI, и Л12 в произволь-
ном сечении бруса:
М2=1,
где z/j — ордината оси арки относи-
тельно линии действия распора Xt.
Выражение для 612 при подстанов-
ке Мг и Л42 будет
s	S
о	о
S
= — J(c-y)-£T-	(Г)
О
Приравняв 612 в выражении (г)
нулю, получим равенство для опре-
деления с:
S
(Д)
о
где s —вся длина оси арки.
Из выражения (д) получаем, при-
нимая во внимание симметрию ар-
ки,
откуда длина абсолютно жесткой консоли
s/2	s/2
с= j yds/(EI)l§ds/(.
о	о
(13.16)
Мы получили формулу для определения длины введенной консоли
основной системы по рис. 224.
Примем ds/(EI) за величину фиктивной элементарной горизон-
тальной силы, сосредоточенной в центре элемента оси арки дли-
ной ds (рис. 225, в). Тогда числитель формулы (13.16) будет пред-
ставлять собой момент фиктивных горизонтальных сил ds/(EJ) от-
279
носительно центра замка (точки S), а знаменатель —сумму фиктивных
сил по длине оси арки. Тем самым определяется вертикальная коор-
дината точки приложения равнодействующей фиктивных сил упру-
гих грузов в состоянии Х3= 1—точки D. Поэтому эту точку —
центр тяжести упругих грузов —часто называют упругим цент-
р о м.
Положение упругого центра в различных случаях. Дадим опре-
деление координаты упругого центра в различных случаях.
Если момент инерции сечения параболической арки меняется
по закону косинуса:
I = /0/СОЗ ф,
то координата упругого центра
c = f/3.	(е)
Пусть ось арки—кубическая парабола, уравнение которой (по
Маннингу)
у = [цх2^ + (1-р)хз//13]Л	(13.17)
где р — заданный параметр (р меняется от 0 до 1,4); закон изме-
нения момента инерции по Риттеру
где р — заданный параметр закона изменения момента инерции
(р меняется от 0 до —1). При 3 = 0 момент инерции меняется по
закону косинуса. Уравнение (13.17) охватывает большое семейство
очертаний оси арок. Пользуясь формулой (13.16) и выражениями
(13.17) и (13.18), получаем после интегрирования следующее общее
выражение для координаты упругого центра в случае очертания
оси по уравнению (13.17):
[15 + 5ц+р (12+Зр)]
30(2+р)
(13.19)
По формуле (13.19) определяем с для данных р и р.
Расчет арок на неподвижную нагрузку. После выбора лишних
неизвестных с таким расчетом, чтобы все побочные перемещения
были равны нулю, канонические уравнения принимают такой вид:
ХД2 + Д27=0;
(13.20)
Влиянием Q1( Q3 и ЛГ , Qp пренебрегаем.
По рис. 225, а, б и 223, в находим выражения для внутренних
сил в произвольном сечении основной системы:
—\yt\ Nt = — 1созф; Л42 = 4-1; А43 = +1х.
280
Тогда единичные перемещения будут:
s/2	s/2
61г—2 J yl ds/(EI) + 2 5 cos2 cpds/(£7);
о	о
s/2
633 — 2 J x*ds/(El),
о
s/2
6,2 = 2 $ rfs/(£/);
о
где s/2—длина половины оси арки.
Перемещения от нагрузки, если пренебречь влиянием Np и Qp,
составят:
s	s	s
Д„ = - 5 MpyLds/(Ef)-, \ip = $ Mpdsl(Eiy, \3р= $ Mpxds/(EI).
О	0	0
Подставляя выражения для перемещений (определяемых спосо-
бом точного или приближенного интегрирования) в канонические
уравнения (13.20), находим лишние неизвестные, после чего пере-
ходим к отысканию усилий в произвольном сечении арки.
§ 80.	Линии влияния лишних неизвестных
для бесшарнирной арки
Кинематический метод. Рассмотрим получение общего вида ли-
влияния лишних неизвестных. Каждую линию влияния будем
вертикальных перемещений, Полу-
нин
находить по ее «модели» —эпюре
ченной в единичном состоянии
данного лишнего неизвестного.
Так как груз Р=1 (рис.
226), то канонические уравне-
ния (13.20) принимают такой
вид:
ХД,+ ^ = 0;	(а)
ХД2 + 62/, = 0;	(б)
•Д^зз + ^зр = 0-	(Б)
Рассмотрим построение ли-
нии влияния Д (рис. 227, а).
Пользуясь теоремой о взаимно-
сти перемещений, заменяем Ь1р
на Ьр1. Тогда вместо уравнения
(а) получаем
Рис. 226
Д811 + 6р1 = 0,
откуда неизвестное
равное распору, будет
(г)
где 6^ —ордината эпюры вертикальных перемещений оси арки от
действия Д —1. Эту ординату отмечаем на линии действия груза
281
Р=1, приложенного в произвольном месте (на расстоянии а от
замка). От действия симметричной системы сил Xt = 1 получим сим-
метричную эпюру перемещений с
Рис. 227
максимальной ординатой для
замка. Так как 621= О, то
жесткие консоли не получают
поворотов и смещаются в
положение, параллельное
первоначальному. Перемеще-
ние есть взаимное рас-
хождение консолей по гори-
зонтали. Эпюра имеет у
заделок горизонтальные каса-
тельные.
Построив эпюру бР1 и де-
ля согласно выражению (г)
все ее ординаты на — бп, по-
лучаем ординаты линии
влияния р а сп о р а А", -- //
(рис. 227, б).
Переходим к построению
линии влияния Х2 —момента
в упругом центре (рис. 228, а). Пользуясь теоремой взаимности
перемещений и учитывая, что б„р=6р2, из выражения (б) находим
Х2 = -6р2/622.
(д)
Линию влияния Х2, пользуясь выражением (д), получаем по
эпюре вертикальных перемещений основной системы др2 в состоянии
Х2 = 1. Деля все ординаты эпюры бр2 на —S22, находим ординаты
линии влияния Х2. Очевидно, б22 —взаимный поворот жестких_кон-
солей. Заметим, что так как 612 = 0, то в состоянии действия Х2 = 1
нет взаимного смещения концов жестких консолей и потому они
перемещаются одинаково и по вертикали. Линия влияния момента
в упругом центре симметрична (рис. 228,6).
Рассмотрим теперь построение линии влияния поперечной силы
Х3, которую находим из канонического уравнения (в) заменой б3/>
на 6р3:
Х3 = -6рз/бзэ.	(е)
Отсюда следует, что ординаты линии влияния Х3 могут быть
получены путем деления всех ординат эпюры вертикальных пере-
мещений 6р3 основной системы в состоянии действия Х3 — 1 (рис. 228, в)
на (—б33).
Здесь б33 —взаимное вертикальное смещение концов консолей,
или замковых сечений разреза. Заметим, что 633 = 2z/a, где у3 — прогиб
в замке. Так как парные силы обратносимметричны, то эпюра 6р3
также обратносимметрпчна. При положении груза Р=1 у замка,
очевидно, 6рз = б33/2, а потому ордината линии влияния у замка
282
согласно выражению (е) будет т]3,тах = 0,5. Линия влияния Х3 об-
ратносимметрична (рис. 228, г).
Аналитическое решение задач о линиях влияния. Для случая па-
раболической арки (ось — квадратная парабола) и закона изменения
момента инерции I = /0/соз<р легко аналитически по формуле Мора
найти бр1) бр2 и б„3 в функции от а (или лучше от £ = а/l), а также
главные перемещения бп, б22, б33. Пренебрегая влиянием Nr в вы-
ражении бп, получаем следующие уравнения для левой ветви линий
влияния Xi, Х2, Xs:
v _ 15 Z / 1
A1 4 f V 4	’
x3-—2 (4— g)\n-E), I
(13.21)
где с меняется от 0 (замок) до 1/2 (пята).
При этом максимальные ординаты линий влияния по уравнениям
(13.21):
_______________________________________15 I	________ /	_________г
”41, max 64/’ *^2, max “д' > Лз, max 0,0.
Практически в приближенном решении выбор оси арки по урав-
нению (13.17) с произвольным параметром р и закона изменения
момента инерции, выраженного уравнением (13.18) с произвольным
параметром р, охватывает большую область очертаний оси
и видов изменения жесткости арки по ее длине.
283
Уравнение для ординаты линии влияния момента в упругом
центре в этом случае будет
где t, = alll-^4all.
Максимальная ордината линии влияния
2 3 | 2р	(ж)
•la, max — 12 2 + Р ‘	'
Выражение (ж) справедливо для 0 от 0 до — 1.
Уравнение линии влияния поперечной силы в замке
у 1 ф2 (6 — 2ф) + Р(ф4 —4ф»+6ф2)
Лз~ 8	14-ЗР/4
где ^> = b/l1-, b — расстояние точки приложения груза до заделки;
— полупролет.
Линию влияния распора строим, пользуясь уравнением (г).
Построение линий влияния методом упругих грузов. Начинаем
с построения простейшей линии влияния Х2 (рис. 229, а), для ко-
Рис. 229
торой находим левую ветвь линии влияния. Нагрузив левую кри-
волинейную консоль моментом Х2=1, построим эпюру вертикаль-
ных перемещений как эпюру моментов от фиктивной нагрузки в виде
вертикальных упругих грузов (рис. 229, б).
Упругий груз W„ при учете влияния только изгибающих мо-
ментов будет
= £гп + 2уИ«) + 6^77+ 2М^	<13-22)
где sn — длина элемента арки между узлами п— 1 ин.
284
В данном случае при действии Х2 = 1 нет продольных сил.
Принимая во внимание, что Л4„=1, получаем для промежуточ-
ного узла по формуле (13.22)
Ну____$П ।	4-1
2£/„ +
(3)
Выражение (з) является точным при действии Х2=1.
Так как упругие грузы положительны, направляем их вниз
и прикладываем к фиктивной балке, защемление которой переносим
на правый конец (рис. 229,6). Перемещение 6р2 определяем как
момент левых сил:
6Р: = Л4^.
Как было показано на рис. 228, а, 6,,^ 2а есть взаимный угол
поворота жестких консолей, а а—угол поворота элемента оси
у замка, определяемый как фиктивная поперечная сила в защемле-
нии фиктивной балки:
Ординаты линии влияния Х2 могут быть получены делением
момента уИ,(,ф на 6„3 = 22^п-
Заметим, что так как для конца консоли (точка О) горизонталь-
ное перемещение равно нулю, то для системы горизонтальных упру-
гих грузов W„ (рис. 229, в) должно быть:
с ~	(и)
По формуле (и) легко определяем с.
Рассмотрим общий ход получения линии влияния Х3, которую
находим, пользуясь уравнением (в), причем 633 равняется удвоен-
ному прогибу замка в сос-
тоянии Х3=1 (см. рис.
228, в). В состоянии Xs = 1
строим эпюру моментов
Ms (рис. 230, а) и находим
узловые моменты:
Ч. = —(к)
Вычисляем упругие
грузы по формуле (13.22),
подставляя значение Мп
из выражения (к):
+2х„) — б£/„+1 (lx«+i +
+2х„). (л)
285
Так как упругие грузы отрицательны, направляем их вверх.
Построением эпюры моментов и определяется эпюра 8р3
(рис. 230,6):
(м)
Прогиб в замке г/5 = б33/2 получается как момент в фиктивном
защемлении:
Уз = 633/2 = Л^Ф.
Переходим к построению линии влияния распора которая
определяется уравнением (г); 6П есть горизонтальное расхождение
концов бесконечно жестких консолей. В состоянии Хг = 1 строим
эпюру моментов, опреде-
ляя все узловые моменты
s (рис. 231, а):
Мп-=—1у'п,
, где у,\ — ордината узла п
относительно линии дейст-
вия распора Хх; у’п считаем
положительным для узла,
расположенного выше ли-
нии действия Aj. Влияни-
ем продольных сил прене-
брегаем.
Упругий груз, вычис-
ляемый поформуле (13.22),
составит
Рис. 231
— бг/,+7 (1У«+1 + 2^- (н>
Выражения (л) —(н) являются приближенными, так как не учиты-
вают влияния N и Q.
Прикладывая упругие грузы к фиктивной горизонтальной балке,
строим эпюру моментов Mfy; получаем эпюру бр1 (рис. 231, б):
Заметим, что так как угол наклона упругой линии криволиней-
ного бруса в замке равен нулю, то поперечная сила у фиктивной
заделки для системы сил также равна нулю:
(°)
т. е. по выражению (о) сумма всех фиктивных грузов W„ должна
быть равна нулю.
Переходим к определению знаменателя в выражении Х3 по фор-
муле (б). Определяем горизонтальное перемещение конца жесткой
консоли или замка, которое можно найти как фиктивный момент
286
всех горизонтальных упругих грузов по расчетной схеме
рис. 231, в:
611/2 = Л1™р-5Г,Л/„.
Прикладывая к вертикальной консоли, защемленной на уровне
упругого центра, систему горизонтальных упругих грузов 1ГВ, вы-
числяем момент этой системы сил относительно точки S — получаем
бц/2.
Деля все ординаты эпюры 8р1 на —6и, находим ординаты ли-
нии влияния Л\.
§ 81. Линии влияния усилий
в сечении бесшарнирной арки
Рассмотрим общий ход решения задачи по построению линий
влияния момента Мк, поперечной силы Qk и продольной силы Nk
в произвольном сечении k арки по основной системе (рис. 232).
Предполагаем, что линии влия-
ния лишних неизвестных най-
дены, и выражаем усилия Мк,
Qk и Хк через лишние неизвест-
ные и непосредственное влия-
ние груза Р=1. Рассмотрим
сначала построение линии влия-
ния изгибающего момента в се-
чении (рис. 232, а). Будем на-
ходить момент по силам, при-
ложенным к правой части ле-
вой полуарки AS.
Когда груз находится спра-
ва от сечения k на участке kS,
имеем по правым силам
Мк = Х2 - Х.уь — Xsak - \хр,
(а)
где ук—ордината точки оси
арки относительно линии дейст-
вия X,; хр — переменное плечо
силы Р = 1 относительно точки
k, для которой определяется
момент.
Если груза на участке kS
нет, то по правым силам полу-
чаем
= Х2 Х1ук Х3ак. (б)
Рис. 232
По формулам (а), (б) и строим линию влияния момента Мк (рис. 232, б).
Для построения линии влияния продольной силы Хк находим
аналитические выражения ее при указанных выше положениях груза.
2S7
В первом случае (груз на участке kS)
Nk = X1 соз <рй + Х3 cos <fk + 1 sin <pt.
Во втором случае (груза на участке kS нет)
1Ук = Хг cos + Х3 sin ф/г.
Линия влияния Nк представлена на рис. 232,6. Знак плюс со-
ответствует действию сжимающей силы.
Переходим к построению линии влияния поперечной силы Qk.
При положении груза Р = 1 на участке kS
Qk = Х3 cos <p;< — Xt sin срА + 1 cos <pA.
Если груза на участке kS нет, то
Qk = X3 cosq?A —	sin cpfe.
Линия влияния поперечной силы Qk представлена на рис. 232, г.
Аналогично находим линии влияния усилий в других сечениях.
Линия влияния вертикальной опорной реакции VA дана на рис, 232, д.
По этим же формулам, считая переменными ак, ук и ц>к, строим
эпюры усилий.
§ 82. Расчет бесшарнирной арки
на температурное воздействие и смещения опор
Температурное воздействие. Рассмотрим случай равномерного
нагревания арки по всей толщине и длине ее на t градусов
(рис. 233, а). Нетрудно показать,
что из всех лишних неизвестных
Х1Т Х2 и X, неизвестные Х2 и X..
равны нулю (рис. 233, б). Вер-
тикальные силы взаимодействия
Х3 равны нулю, так как имеем
случай симметричного воздейст-
вия. Момент в упругом центреХ2
следует определять из уравнения
-^2^22 4“	= О,
где
N2at0 ds.
Но первый интеграл равен нулю,
так как разность температур tr = 0;
второй интеграл равен нулю вви-
ду нулевого значения АС; поэтому
A2f = 0. Следовательно, Х2 = 0.
Итак, при равномерном на-
гревании арки возникает лишь
распор Х\, определяемый из ка-
288
ионического уравнения
Х^ + Д^О,	(13.23)
где
Ди = j	j* N.at^s.
Так как
fr = 0; Л\ = —Icostp; ds = dx/cos<p; t0 = t,
то первый интеграл равен нулю и
Дх< = — at dx = — atl.
Учитывая лишь влияние моментов в выражении 6Х1, получаем
из уравнения (13.23)
% =____Ап _
611 \jl dsi(EI) *
При учете влияния продольных сил
6,1 = ^sylds/(EI') + \ cos'2 фds/(EI).
Найдя распор, получаем изгибающий момент A4f (рис. 233, в)
и продольную силу Nt в произвольном сечении арки:
Mt = — Х1у1; Nt = — Хх cosip.
Влияние смещения опор. Пусть под влиянием какой-либо при-
чины защемления арки получили взаимное смещение по горизон-
тали на величину Д10 без поворота (рис. 234). Каждая из опор
смещается на Ао. Требуется определить лишние неизвестные, вы-
званные таким смещением. Так как в основной системе имеем лишь
перемещение по направлению X,, то неизвестные X, и Х3 равны
нулю. Каноническое уравнение совместности перемещений для X,
с учетом того, что изменение расстояния между концами жестких
консолей равно нулю, будет
ХД1 + Д10 = 0,	(а)
10 № 1116
289
где
A10-2A0.
Так как перемещение А10 происходит в направлении действия
силы Х1( его берут со знаком плюс. Из выражения (а) получаем
Xi = Ajo/Sj!.
Итак, при симметричном и горизонтальном смещении опор, т. е,
при их раздвигании, возникает растягивающая сила X*.
§ S3. Поперечная, продольная силы и изгибающий момент
для круговой арки при радиальном давлении
При проектировании гидротехнических сооружений нередко при-
ходится рассчитывать круговые арки на действие гидростатической
нагрузки, направление которой нормально к оси (распределенная
радиальная нагрузка; рис. 235).
Рассмотрим решение задачи по определению усилий и переме-
щений такой круговой арки, подверженной действию радиальной
Рис. 235
нагрузки интенсивностью q„ и по концам — действию поперечных
сил Qo, Qs, продольных сил Хо, Ns и моментов Мо, Ms.
Предварительно напомним основные зависимости между М, Q
и N (см. гл. 5) при действии постоянной радиальной нагрузки:
7Ф = ^0; ^ф/г/<р = О.
При определении усилий будем принимать такое новое правило
знаков: поперечную силу Q и радиальную нагрузку считаем поло-
жительными при направлении к центру кривизны, момент М левых
сил — положительным против часовой стрелки, продольную силу N—
положительной, если она вызывает сжатие. Такое правило знаков
аналогично принятому при анализе изгиба кругового бруса.
290
Выделим элемент кругового бруса длиной ds, ограниченный
соседними сечениями (рис. 236).
Спроектировав все силы, действующие на элемент, на ось SS,
получим
dQ/d<f = — N+q4,r= — N + q„r.	(13.24)
Спроектировав все силы, приложенные к элементу, на ось,
перпендикулярную SS, найдем
dN/dtp^Q.	(13.25)
Составив сумму моментов сил, приложенных к элементу отно*
сительно его центра, получим
Q = dM/ds.
Подставив ds = г dtp, установим окончательно связь между Q и М
в такой форме:
dM/dtp = Qr.	(13.26)
Дадим теперь выражения для усилий Q, N и М в произволь-
ном сечении арки, представляя их в зависимости от начальных
значений Qo, No, Л4„ и нагрузки.
Дифференцируя обе части уравнения (13.24) по ф и учитывая
выражение (13.25), получаем
Начальные значения производных поперечной силы по уравнению
(13.24):
Qo = — М0 + д„г, Q" = —Q.
Интегрируя дифференциальное уравнение (а), получаем
Q — <20созф +qor sin ф — No sin ф.	(13.27)
Формула (13.27) дает общее выражение для поперечной силы.
Интегрируя дифференциальное уравнение (13.25), находим вы-
ражение для продольной силы:
уУ = Л;0со5ф + <20з!пф + 90г(1 — созф).	(13.28)
Общее выражение для изгибающего момента М в зависимости
от полярного угла ф получим, интегрируя дифференциальное урав-
нение (13.26):
М = Af0 + Q„r sin ф Д (q0r2 —	(1 — cos ф).	(13.29)
С помощью формул (13.28) и (13.29) вычисляют нормальные
напряжения в сечении.
ю*
291
§ 84. Определение перемещений круговой арки
Общие уравнения. Обозначим радиальное перемещение произ-
вольной точки оси через w, касательное перемещение (вдоль оси
арки) через и. Выразим сначала относительное удлинение по ней-
тральному слою для элемента арки СВ длиной ds (рис. 237, а).
Рис. 237
Пусть перемещения соседних точек оси арки С и В по касательной
к оси будут соответственно и и u + du. Тогда относительное удли-
нение по оси
du du
81 ds rdtp ’
где г — начальный радиус кривизны оси арки; </s=rd<p.
Радиальное перемещение элемента w (рис. 237, б) вызывает аб-
солютное сжатие величиной wdtp; относительное сжатие
 wd<f а>
Общее относительное удлинение элемента по нейтральному слою
du w
е = —-----------------------------.
rdy г
Удлинение по нейтральному слою выразим через продольную сжи-
мающую силу N:
N	du	w
е =-----------------.
EF	rdq	г
292
Мы получили основное соотношение между перемещениями и про-
дольной сжимающей силой:
Если влиянием продольной силы на деформацию пренебречь,
т. е. считать арку несжимающей, то
du/dtp—w = 0.	(а)
Установим связь изгибающего момента с изменением угла
между соседними сечениями арки.
Для бруса малой кривизны получаем изменение угла 0 анало-
гично прямолинейному стержню:
с/6 = ds = — г dtp,
tl LI
откуда
d0/d<p = Mr/(£7).	(б)
Найдем выражение утла 0 через и и w, полагая 9 положитель-
ным по часовой стрелке. Касательное перемещение точки вызывает
поворот на угол 6Х (рис. 238, о):
0j -= и/г.
Рассмотрим влияние приращения в радиальном перемещении
(рис. 238, б). Первое положение элемента определяется направле-
Рис. 238
нием касательной к оси в точке С (ось У); второе положение после
совмещения точки С с начальным ее положением определяется по-
ложением оси Kj; заметим, что точка В получает приращение в ра-
диальном перемещении dw.
293
Влияние приращения dw на угол поворота, т. е. 0а, составит
,, dui	dm
г'~ ds	rd<f '
Полный угол поворота сечения будет
и dm
г rdy
(13.31)
Дифференцируем это выражение по ср:
d9 ________________________ 1 / du . d-w\
d<f r \ dtp dtp2)
(B)
Рассматривая круговую ось арки и пользуясь формулой (б), при-
равниваем выражения (б) и (в); получаем следующее дифференци-
альное уравнение:
1 Idu d?w\ Mr
7W + d^J=TF-	(13'32>
Для несжимаемой арки согласно выражению (а)
du/dif = w.
Подставляя это выражение в формулу (13.32), получаем известное
дифференциальное уравнение радиальных перемещений круговой
арки малой кривизны по Буссинеску (1883):
<Pw . Mr"	QQ,
d^+W = -ET-	<13-33>
Уравнение (13.33) написано без учета обжатия.
Рассмотрим теперь более общую задачу отыскания перемещений
с учетом сжатия осп. Из уравнения (13.30) находим
du
dtp
= w
Nr
EF ‘
(13.34)
Подставляя это выражение в уравнение (13.32), получаем следую-
щее дифференциальное уравнение радиальных пе-
ремещений кругового бруса с учетом обжатия оси:
d’-uj , Mr- , Nr
~d^+W ~~ET^EF'
(13.35)
Уравнение (13.35) впервые дано нами.
Интегрируя дифференциальное уравнение (13.35), получаем
радиальное перемещение w в функции от ср. После этого переходим
к отысканию касательного перемещения по уравнению (13.34),
интегрируя которое, находим
<₽	«г
и = иа 4- J w dq — Лг ii<p.
о	о
(13.36)
По (13.36), и зависит от w и N.
294
Рассмотрим выражение начального значения первой производ-
ной от w, т. е. w', через начальное значение касательного пере-
мещения и0 и угла поворота се-
чения в начале координат 0О
(рис. 239).
Согласно соотношению
(13.31), имеем
, dii> п
W = -г = vr — и.
dtp
Следовательно, начальное
значение первой производной
радиального перемещения
w'0 = Q0r — u0.
Найдем интеграл дифферен-
циального уравнения (13.35)
для радиального перемещения
с учетом обжатия. Представим
это уравнение в виде
Рис. 239
w" -~=Mc-\-Nk — w,
где c^r^KEI)—в 1/МН; k = r/(EF)—в м/МН.
Интегрируя это уравнение с учетом уравнений (13.28) и (13.29),
получаем уравнение радиальных перемещений (рис. 239):
w = и>0 cos <р + 0О г sin <р — ил э1Пф + Л40с (1 —соэф) +
। п fcr4-k\ , .	. ,	, ,, /,	sin «А
+ ео ) (зшф —<pcos ф) + <7оГ (cr + k) ( 1 - - cos ф — ф—ф-
+ Л/о p_W_c/. (1_С03ф_ф^)] ,	(13.37)
где 0ог— u0=^w'o; Мо, Qo, No, g0 — начальные значения усилий и
нагрузки. Уравнение (13.37) получено нами (1938).
Зная начальные параметры Л40, Qo, No, w0, 0О, w0, из гранич-
ных условий по уравнению (13.37) находим радиальное перемеще-
ние в любой точке.
Перейдем к получению развернутого выражения касательных
перемещений в функции от угла ф.
Подставляя выражение w по уравнению (13.37) и N по уравне-
нию (13.28) в уравнение (13.36), после интегрирования получаем
следующее уравнение касательных перемещений для кругового
бруса:
« = //0созф + 00г (1 — cos ф) -|- w0 sin фф-Л40с(ф — з1пф)ф-
, Г I 1	sin k<i sin® I .
+ Qo [cr [ l —COS ф —ф—g-tj-+
[I 3 .	, cos <p\ k , 	V
cr (*₽ — У sW + T-y-J— -2-(sin<P — фСОЭф^
at Г (	3	, cos <p\ , k , .	,	x
— No \cr ( ф — у 51Пф+ф-у )+ ^-(ЗШф + фСОЗф)
.(13.38)
Уравнение (13.38) выведено автором (1938).
295
В качестве начальных неизвестных при расчете кругового бруса,
заделанного правым концом, свободного на левом, принимаем и„.
90 и w0, которые находим из условий на правом конце при ф — <ps:
« = 0, 0 = 0, w = 0.
Кроме уравнений для перемещений w и и необходимо восполь-
зоваться выражением для угла поворота сечения (рис. 239).
Из выражения (13.31) получаем
0 = (м + ®')/г.
Подставляя сюда значения и и w' из уравнений (13.38) и (13.37),
имеем следующее выражение для угла поворота:
6 = 6« + Ё7	(1 - cos <р) +
+	(ф — sin ср) — N0г2 (ср — sin ср)].	(13.39)
Рис. 240
Уравнение (13.39) также получено автором (1938).
По полученным уравнениям решают задачи на прочность и жест-
кость любого кругового бруса при действии постоянной радиальной
нагрузки с учетом и без
учета обжатия.
Случай равномерной ра-
диальной нагрузки. В этом
случае круговая ось арки
при неучете обжатия будет
кривой давления и потому
в любом сечении (рис. 240)
Л4 = 0; Q = 0.
По уравнению момента
(13.29) получаем
Л4 = (7„г2 —Уог)(1 — cos ср) = 0,
откуда У0 = <70г.
Продольная сила в любом сечении арки будет равна интенсив-
ности радиальной нагрузки, умноженной на радиус:
N =	cos ср + qar (1 — cos ср) = qar.
Пример. Определите распор двухшарнирной круговой арки постоянного
сечения при действии вертикальной сосредоточенной силы посередине (рис. 241,а).
Центральный угол между опорными нормалями 2<р1=120°, /// = 3.464.
Решение. Разрезая арку по оси симметрии и принимая здесь начало коор-
динат, получаем (рис. 241, б)
Qo^O,5P.
Начальные неизвестные Л10, NQ и ш0.
Граничные условия при q> = <Pi:
м<₽.=0; е’ф1=°; МФ1=0-	(О
Момент, радиальное и касательное перемещения равны нулю.
296
По уравнению момента (13.29), исходя из первого условия (г), получаем
Af„ = ,Vor(l—cos ср,) — 0,5Pr sin <pt.	(д)
Из уравнения радиального перемещения (13.37) согласно второму условию
(г) находим
m0cos cpi+/Woc (1 —cos qpt) + 0,5Pcr -S‘n—-—C°S ---
—	Nocr I — cos cpi — ФЦ!£Ф1 _ o.	(e)
По уравнению касательного перемещения (13.38), принимая во внимание
третье условие, имеем
sin ф! + Мос (cpi — sin ф^-рО.бРсг 1 —cos cpi — c°s —
*	r (	3	। фт cos ф1\ Л	\
—	^осЦфх —ySinq), +T1 2	i=0-	(ж)
На оси симметрии угол поворота сечения и касательное перемещение ид
равны нулю. Подставляя в выражения (е) и (ж) момент Л10 из выражения (д),
0
Рис. 241
получаем два уравнения с двумя неизвестными а>„ и N„, решая которые, находим
их значения. При ф1 = 60°, sin ф1 = 0,856; созф1 = 0,5 вместо выражения (е) и
(ж) имеем
^ + 0,408,Vo-0,262P = 0; ^^ш0 + О,082/Уо-О,О56Р-=О(
откуда распор
2Vo = O,632P,
а прогиб в замке арки
tao = O,OO4Pr3/(£7).
297
Глава 14
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА РАМ
§ 85. Комбинированный метод
Симметричные рамы. При расчете рам на один вид нагружения
рационально применять метод перемещений, а при расчете на дру-
гой— метод сил.
Рассмотрим, например, шесть раз статически неопределимую
симметричную раму, подверженную действию несимметричной
нагрузки Р (рис. 242, а). Применяя способ разложения нагрузки
на составляющие, закономерно действующие нагрузки, ведем расчет
отдельно на симметричное нагружение двумя силами по Р/2 раз-
ного направления и на обратносимметричное нагружение силами
по Р/2 одинакового направления. При действии симметричной на-
298
грузки (рис. 242, б) по методу перемещений получается более
простое решение, так как всего будет только два неизвестных:
<pt и <р2. В самом деле, углы поворота симметрично расположен-
ных узлов равны по величине, но противоположны по знаку:
<Рз=— ФВ ф4=— ф2-
Никаких линейных смещений узлов в данном случае не возникает.
При расчете по методу сил (рис. 242, в) получим четыре симмет-
ричных неизвестных (момент и продольную силу в сечении верх-
него и нижнего ригелей): Хг, X,, Х3 и Х4. Применение метода
сил в этом случае дает более сложное решение задачи.
При расчете на обратпосимметричную нагрузку, наоборот, целе-
сообразно применять метод сил (рис. 242, г). В данном случае при
расчете по методу сил будет два неизвестных: поперечные силы Хг
и X, в нижнем и верхнем ригелях. Использование метода пере-
мещений приводит к более трудоемкому решению. В самом деле
(рис. 242, д), теперь получаем четыре неизвестных перемещения:
Ф1’ Фг> и в2. Прежде всего отметим наличие в этом случае дей-
ствия нагрузки линейных смещений и, следовательно, углов
поворота стержней 0х и 02. По условию обратной симметрии в де-
формированном виде рамы углы поворота симметрично расположен-
ных узлов равны между собой по величине и по знаку:
Ф3 = Ф1; Ф4 = ф2-
При расчете симметричных конструкций часто используют
комбинированный метод: при расчете на симметричную на-
грузку применяют метод перемещений, а при расчете на обратно-
симметричную нагрузку — метод сил. Заметим, что и при симмет-
ричном воздействии могут возникать линейные смещения узлов,
если симметрично расположенные узлы рамы не связаны между
собой сквозным ригелем.
Комбинированный метод в ряде случаев применяют и при рас-
чете несимметричных рам.
Любые плоские рамы. Для любых несимметричных рам можно
применить следующую процедуру с использованием различных ме-
тодов. При наличии линейных смещений (А или углов 6) вводим
в узлах рамы горизонтальные закрепления, в которых возникают
реакции закрепленной рамы. Ее рассчитываем методом переме-
щений, применяя лишь основные уравнения равновесия узлов, или
используя метод фокусов. Определив реакции в дополнительных
закреплениях, освобождаемся от них и ведем расчет свободной
рамы на систему узловых сил (—/?,•). Этот второй расчет проводим
или методом сил, или методом перемещений. Далее суммируем
эпюры моментов, полученные в первом и во втором расчетах.
§ 86. Приближенные методы
Расчет несвободных рам. Большое распространение в практике
получили приближенные методы расчета рам. Обычным расчетом
рам при ориентировочном задании сечений можно найти лишь при-
299
ближенные значения усилий, так как усилия в статически неопре-
делимой системе зависят от соотношений в размерах поперечных
сечений. Важно достаточно обоснованно задаться размерами попереч-
ных сечений, для чего и
Рис. 243
служат приближенные ме-
тоды расчета. Приближен-
ность «точного» метода оп-
ределяется неучетом ряда
факторов: влиянием раз-
меров узловых соединений,
влиянием пространствен-
ности каркаса сооружения,
податливости опор и т. д.
Приближенными на-
зывают такие методы рас-
чета, при применении ко-
торых вводятся дальней-
шие упрощения, что дает
возможность сократить
объем вычислений и пол-
ностью исключить решение
систем канонических урав-
нений. Укажем на неко-
торые из приближенных
методов расчета рам.
При расчете сложных
закрепленных рам на на-
гружение одного пролета
при первом ориентировоч-
ном расчете возможно пре-
небречь влиянием всех уг-
лов поворота узлов, за ис-
ключением двух углов по-
ворота узлов рамы по кон-
цам нагруженного пролета
(рис. 243, а). При этом в
противоположных по отно-
шению к нагруженному
стержню 1—2 узлах а, Ь,
с, d, е, f вводим абсолютно
жесткие защемления.
В случае нагружения ряда пролетов рамы (рис. 243, б) исполь-
зуется метод расчета рам на «узловое нагружение моментами».
Вводя фиктивные защемления в узлах 1 и 2, находим реактивные
моменты в защемлениях от нагрузки М1р и М2р. На стержнях
1—2 и 2—4 строим эпюру моментов от местной нагрузки М°р.
Затем «раскрепляем» рамы, отбрасывая защемления, и приклады-
ваем к узлам ее моменты, равные и противоположные моментам
М1р и М2р (активные узловые моменты). Строим эпюры моментов
300
от узловых моментов М]р (рис. 243, в) и Мгр (рис. 243, г) отдельно.
В приближенном решении расчет можно вести путем итерации,
распределяя каждый момент только на стержни, сходящиеся в на-
груженном узле (в первом случае — стержни 1—2 и 1—0, во вто-
ром—стержни 2—1, 2—4 и 2—3). Таким образом, расчет несво-
бодных рам легко осуществляется по методу последовательного
распределения узловых моментов, предложенному в 1922 г. проф.
К- А. Чалышевым [10]. Метод этот был далее развит Харди
Кроссом и Кани.
Расчет свободных рам распределением этажных моментов и ите-
рацией. Первый ориентировочный расчет свободной каркасной рамы
на узловое действие горизонтальных сил весьма прост. Вычисляют
так называемые этажные моменты, т. е. моменты всех внеш-
Рис. 244
301
них сил, расположенных выше нижних концов стоек данного этажа
относительно этих точек. Так, для рамы, изображенной на рис. 244,а,
верхний этажный момент
W° = P2h2,	(а)
нижний этажный момент
^ = (^4-^)^.	(б)
Из выражения (б) ясно, что под этажным моментом понимается
момент внешней поперечной силы, приложенной к ригелю у верх-
них сечений стоек данного этажа относительно нижнего сечения
стойки. При горизонтальной нагрузке внешняя поперечная сила
равна сумме верхних горизонтальных сил.
Полагают, что нулевые точки эпюры моментов во всех неопор-
ных стойках рамы находятся посередине, а нулевые точки эпюры
моментов в опорных стойках — выше середины стоек и отношение
верхнего концевого момента к нижнему лежит в пределах 0,75 - 0,90.
Можно принимать последнее отношение равным 0,80. Составляют
условие уравновешивания этажного момента внешних сил суммой
концевых моментов стоек данного этажа. Так, для стоек верхнего
этажа
2(М41 + Л152) = 1П;	(в)
для стоек нижнего этажа
(М63 + Л136) + (М74 + Л147) + (М85 -н М 58) =	(г)
или, подставляя соотношения между верхним и нижним концевыми
моментами, для опорных стоек вместо выражения (г) получаем
1,8(Мв5-;-М74 + 7И85) = 1Г».	(д)
Выражение (д) —условие равновесия 2-го этажа.
Концевые моменты в стойках данного этажа полагают прямо
пропорциональными погонным жесткостям стоек, следовательно,
•^41 ' 2^52 = 41 ' Чг» ^33 • ^74 •^85 = 4з • 41 • f S3-	(^)
Из уравнений (в), (д) и (е) легко вычислить все концевые мо-
менты в стойках. Моменты в ригелях для узла, где сходится более
трех стержней (узел 4 для рамы, изображенной на рис. 244, б),
определяют по суммарному моменту в стойках, который распреде-
ляют пропорционально жесткостям ригелей. Так, для узла 4
Mi3 + Л145 = ТИ41 + Л147; М15:Л143 = /43:i43.
Получив первые значения концевых моментов, далее применяем
итерационный способ, при котором находим новые значения момен-
тов или их поправок.
Пример. Рассчитать раму, если Pi = 27 кН, Р2 = 8,7 кН, Д1 = 4,34м, Ла = 3,0м.
Относительные погонные жесткости показаны на рис. 244, а в кружках.
Решение. Этажные моменты согласно выражениям (а) и (б) составляют
= P2/i2 — 26,1 кН-м, 11’4; = (РгЧ-Рг) = 154,94 кН-м. Из уравнения (в), при-
302
нимая во внимание соотношение (е), находим:
1,67Л-15г = 0,5Г?; Л!5., = 7,82 кН-м; Л441 = 5,21 кН-и;
9 154 94	Ч
Мбз = ~	= 1 б,66 кН. м; Л171	16,66 = 41,65 кН • м;
М85=А 16,60 = 27,7 кН-м.
Вычислив верхние концевые моменты в опорных стойках Л1ЗЙ, Af4T, Af79
(как 0,8 от нижних моментов), находим по соотношению (ж) концевые моменты
в ригелях. Эпюра моментов, полученная описанным способом распределения
этажных моментов, изображена на рис. 244, б. Концевой момент 7US5 = 27,7 кН-м
отличается от значения его по Кани (26,0кН-м) на 6,5% (см. [10]). Максималь-
ные моменты Л474 почти совпадают (приближенное значение 41,65 кН-м, точное —
40,3 кН-м). Применяя итерационную процедуру, составляем для каждого этажа
условие равновесия У X = 0, считая равными нулю утлы поворота узлов qp(-.
В условие равновесия войдут внешние силы У Р, и концевые моменты, выражен-
ные только через углы смещений 6,-. Определяя последние, переходим к уравне-
ниям равновесия узлов метода перемещений: У Mj =0. Внося в них значения
углов 0; из первого расчета, получаем углы поворота <р;. Если новые значения
концевых моментов незначительно отличаются от предшествующих, итерацию на
этом заканчиваем.
Глава 15
РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ С УЧЕТОМ РАЗВИТИЯ
ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ МАТЕРИАЛА.
МЕТОД РАЗРУШАЮЩИХ (ПРЕДЕЛЬНЫХ) НАГРУЗОК
§ 87. Основные данные о методах расчета сооружений
Одной из главнейших задач статики сооружений является опре-
деление внутренних усилий, возникающих в сечениях элементов
сооружений от действия эксплуатационных нагрузок, передаваемых
на сооружение. В ряде предыдущих глав изложены методы нахожде-
ния внутренних усилий в элементах статически определимых и ста-
тически неопределимых систем; зная эти усилия, можно рассчитать
отдельные элементы, а следовательно, и все сооружение на проч-
ность, жесткость и устойчивость.
В свое время были разработаны три метода расчета сооружений:
метод расчета по допускаемым напряжениям, метод разрушающих
(предельных) нагрузок и метод расчета по предельным состояниям.
Метод расчета по допускаемым напряжениям. Этот метод, раз-
работанный еще в XIX в., вплоть до 1938 г. применялся в строи-
тельной технике и до сих пор применяется в машиностроении. По
методу допускаемых напряжений требуется, чтобы наибольшее
напряжение, возникающее в опасной точке стержня, не превышало
так называемого допускаемого напряжения. Например, при деформа-
ции растяжения условие прочности имеет вид
сттаХ = Л7^<[о-],
303
где <ттах —наибольшее нормальное напряжение; N — продольная
сила в сечении; F — площадь поперечного сечения стержня; [о] —
допускаемое нормальное напряжение, определяемое по формуле
[о] - <W[n]-
Здесь, в свою очередь, о0П —опасное (продольное) напряжение;
для пластичных материалов принимают о0П = ог —пределу текучести
материала, а для хрупких о0П =ов — пределу прочности материала;
[п]нормативный (задаваемый) коэффициент запаса прочности,
назначаемый с учетом ряда факторов.
Допускаемые напряжения устанавливаются руководящими госу-
дарственными органами и публикуются в технических условиях и
нормах проектирования, которые обязательны для всех инженерно-
технических работников.
Конкретные примеры расчета элементов сооружений по допу-
скаемым напряжениям приводятся в учебниках по сопротивлению
материалов и здесь не рассматриваются.
Существенным недостатком метода расчета по допускаемым на-
пряжениям является то, что многообразие различных факторов,
влияющих на прочность элемента, учитывается одни м лишь (общим)
коэффициентом запаса прочности; это в ряде случаев приводит
к тому, что прочностная способность элемента используется далеко
не полностью, т. е. наибольшие рабочие напряжения оказываются
значительно ниже опасных напряжений и, следовательно, возникает
ничем не оправданный перерасход материала, необходимого для
изготовления рассчитанного элемента.
Метод расчета по разрушающим (предельным) нагрузкам*.
В качестве условия прочности при этом методе расчета ставится
требование, чтобы наибольшая нагрузка Р, передаваемая на со-
оружение, не превосходила некоторой допускаемой нагрузки [Р],
равной разрушающей (предельной) нагрузке Рпр, деленной на ко-
эффициент запаса прочности [n] > 1, принимаемый таким же, как
и в методе расчета по допускаемым напряжениям. Итак, должно
соблюдаться условие
Р<[Р] = Рпр/[»].	(15.1)
Для определения разрушающей (предельной) нагрузки приме-
няется упрощенная диаграмма зависимости между напряжениями о
и продольной деформацией б—диаграмма Прандтля (рис. 245, а).
Полагаем, что в упругой области диаграмма о —е имеет вид
прямой ОА вплоть до предела текучести, а в области упруго-
пластической деформации она ограничена горизонтальной прямой
АВ, причем предел текучести <гт совпадает с пределом пропорцио-
нальности <тпц, что является известным приближением, но значи-
тельно упрощает решение данной задачи.
* В ряде литературных источников по строительной механике метод разру-
шающих (предельных) нагрузок называют методом расчета по допускаемым на-
грузкам, или методом расчета по предельному равновесию, или методом расчета
по несущей способности.
304
Многим материалам больше отвечает билинейная ломаная диа-
грамма ОАВ (рис. 245, б). Упругой области соответствует наклон-
ная прямая О А с наибольшей ординатой олц и тангенсом угла на-
клона tga = £, где Е — модуль упругой деформации. Упругопла-
стической области отвечает наклонная прямая АВ, тангенс угла
наклона которой tgat = Ег, где £,—модуль упругопластической
деформации. Конечно, под о и е понимаются их истинные значе-
ния (как всегда, должен быть учтен масштаб чертежа). Для били-
нейной зависимости (рис. 245, б) легко получить, что приращение
пластической деформации г/епл прямо пропорционально приращению
упругой деформации deyn:
^епл = р?/(1 -&)]<feyn,
где k = 1 — £j/£.
Применение билинейной зависимости позволяет достаточно просто
находить перемещения в упругопластической стадии работы.
Метод расчета по предельным состояниям. В отличие от ука-
занных методов в 1955 г. в СССР для строительных конструкций
принят метод расчета по предельным состояниям, дающий
возможность гибкого учета влияния различных факторов на проч-
ность элементов сооружения и устанавливающий связь самого
расчета с эксплуатационными критериями годности
сооружения. В одних случаях наступление предельного состояния
рассматривается как момент разрушения (нарушение эксплуатации),
в других —как затруднение нормальной эксплуатации сооружения.
По нормам СНиП П-А.10—71 в отличие от метода расчета по
разрушающим нагрузкам общий коэффициент запаса заменяется
рядом коэффициентов, учитывающих степень надежности
сооружения (k„), особенности работы материалов и приближен-
ность расчетных схем (т), возможность отклонения нагрузок от
нормативных значений (п).
Под предельным состоянием сооружения понимается такое его
состояние, при котором оно или непригодно к эксплуатации, или
нарушается условие нормальной эксплуатации его.
305
По нормам СНиП П-А. 10—71 различают две группы предель-
ных состояний.
Первая группа предельных состояний предусматривает
потерю несущей опасности сооружения или непригодность его
к эксплуатации; сюда относятся;
а)	прекращение эксплуатации сооружения в результате теку-
чести материала, сдвигов в соединениях, ползучести или чрез-
мерного раскрытия трещин;
б)	хрупкое, вязкое, усталостное разрушение и разрушение под
совместным воздействием силовых факторов и неблагоприятных
влияний внешней среды;
в)	общая потеря устойчивости формы;
г)	потеря устойчивости положения.
Вторая группа предельных состояний предусматривает
непригодность сооружения к нормальной эксплуатации. Сюда отно-
сятся состояния, которые сопровождаются появлением недо-
пустимых перемещений (прогибов, углов поворота, осадок),
колебаний, трещин и т. д.
Общее условие прочности метода предельных состояний по пер-
вой группе можно кратко представить так (для стержней ферм):
Сг = ^рас//7</?р,
(15.2)
где Л7рас — расчетное усилие, определяемое по схеме сооружения
от расчетной нагрузки Р, где Р Р"п-,РН — нормативная нагрузка;
« — коэффициент перегрузки; F — площадь сечения; — расчетное
сопротивление, вычисляемое по нормативному сопротивлению и
коэффициентам надежности ka и условий работы т;
Рр = P"kKm.
(15.3)
Коэффициент перегрузки п учитывает возможность изменения
(чаще превышения) нагрузки но сравнению с нормативным значе-
нием; обычно изменяется в пределах « = 0,94-1,4.
Коэффициент надежности kK отражает возможность снижения
сопротивления данного материала по сравнению с нормативным
ввиду изменчивости свойств материала (в отдельных случаях для
стали СтЗ /?„ — 0,9).
Коэффициент условий работы т отражает особенности работы
сооружения (например, влияние агрессивных сред, концентрации
напряжений и др.). Для стали СтЗ он может быть «1 = 0,84-1,1.
Значения указанных коэффициентов установлены нормами СНиП
П-А. 10 — 71 «Нагрузки и воздействия».
Метод предельных состояний в настоящее время является наи-
более прогрессивным методом расчета сооружений, приводящим,
как правило, к существенной экономии материалов. Этот метод
расчета сооружений связан с обязательным использованием СНиПа,
он традиционно и подробно излагается в курсе «Строительные
конструкции» и поэтому здесь в дальнейшем не рассматривается.
306
§ 83. Применение метода разрушающих (предельных)
нагрузок к расчету сооружений
Расчет простейшей статически неопределимой стержневой
системы. Для статически определимой системы, в элементах кото-
рой возникают лишь осевые усилия, расчеты иа прочность по
допускаемым напряжениям и по разрушающим (предельным) нагруз-
Рис. 246
кам дают один и тот же результат. Результаты аналогичных рас-
четов статически неопределимой системы различны.
Рассмотрим ход расчета диска BF, прикрепленного четырьмя
стержнями (рис. 246), из которых горизонтальный стержень счи-
тается жестким, и определим площади сечений стерж-
ней.
Вертикальная нагрузка, Лг4 = 0. Однажды статически неопреде-
лимая система подвергается действию вертикальной силы Р, при-
ложенной посередине жесткой плиты BF. Полагаем, что все стержни
АВ, CD и EF выполнены из одного и того же материала, край-
ние стержни АВ и EF имеют длину а и одинаковую площадь
сечения /у, длина среднего стержня Ь, площадь его сечения F2.
По способу допускаемых напряжений расчет ведем на основе двух
уравнений: уравнения равновесия (^К==0)
2Л\-|-ЛГ2 = Р	(а)
и уравнения совместности перемещений
^ = N1a/(EF1) = N2b/(EF^,	(б)
или иначе
Л72 = Л^2а/ О).
Из уравнений (а) и (б) получаем:
N1 = FJP/ (2F1b + F2a); N2 = F2aP/ (2FJ) + F,a).	(в)
307
Так как b < а, то a1 = N1/F1 меньше o2 — N2/F2 и средний стер-
жень более напряжен:
Oj ~ЬР! (2/?1Z? + 272a); <T2 = aP/(2771& + F2a).	(г)
Подставим соотношение в длинах стержней & = 2а/3 и в площа-
дях сечений /7,=2F1. Допускаемое напряжение обозначим [о].
Тогда по формуле (в) получим:
Л\ = 0,2Р; ЛГ2 = 0,6Р;	= 0,ЗР/[<т]; К2 = О.бР/[а].
При этом в стержнях будут следующие напряжения:
о^гИ/З; о2 = [о],
т. е. имеет место неравнопрочность стержней системы.
При возрастании силы Р предельное напряжение появится
прежде всего в среднем стержне. Заметим, что проведенный «упру-
гий» расчет позволяет установить наиболее напряженный из всех
стержней конструкции. Полагая, что стержни выполнены из плас-
тичной стали, приходим к заключению, что при возрастании нагрузки
усилие в среднем стержне, где предельное напряжение текучести
от появляется прежде всего, будет o^F.,. Появление предела теку-
чести в среднем стержне соответствует значению нагрузки РА, а
на диаграмме зависимости между переменной силой Р и верти-
кальным перемещением плиты Л (рис. 247) этому состоянию отве-
чает точка А. Участок О А соответствует линейной области работы
конструкции. При увеличении силы Р выше значения РА средний
стержень «потечет» и его удлинение будет нарастать без увеличе-
ния усилия Л72т = увеличение нагрузки вызовет возрастание
усилий в крайних стержнях, а вертикальное смещение плиты будет
вследствие текучести среднего стержня нарастать интенсивнее, чем
в упругой области. Поэтому диаграмма зависимости между Р и А
теперь —линия АВ, наклоненная к оси абсцисс под меньшим углом
(рис. 247). Приращение нагрузки (Р — РА) будет восприниматься
двумя крайними стержнями, и общую нагрузку можно увеличить
до значения РП[1, соответствующего появлению текучести в край-
них стержнях. При этом согласно условию равновесия будет соблю-
даться равенство
Pnp = (2F1 + F2)aT,	(д)
где <гт— предел текучести стали.
Разделив обе части (д) на [п] > 1 и учтя (15.1), получим
[Р] = (2Л + ^)[о].
Приняв, как и ранее, F2 = 2F1, будем иметь
4Л = Р] / [а],
откуда
К1 = 0,25[Р]/[сг] и К2 = 0,5[Р]/[а].
Как видим, площади сечений стержней, полученные расчетом
по разрушающим (предельным) нагрузкам, оказались меньше пло-
308
щадей сечений этих же стержней, вычисленных по допускаемым
напряжениям. Это свидетельствует об экономической выгодности
расчета по первому методу.
Резюмируя сказанное, можно указать следующий порядок
расчета сооружений по разрушающим (предельным) нагрузкам:
1.	Предварительно проводится обычный «упругий» расчет, что
позволяет определить наиболее напряженные (и следующие за ними)
стержни сооружения.
2.	Пользуясь результатами первого расчета, устанавливают
предельное состояние сооружения, полагая, что в наиболее напря-
женных стержнях напряжения при расчете сооружения из пластич-
ного материала равны пределу текучести и, следовательно, раз-
рушающая (предельная) нагрузка
Ряр=^-
3.	Число стержней, в которых предполагается опасное состоя-
ние, должно быть на единицу больше числа лишних связей. В этом
случае статически неопределимая конструкция обращается в меха-
низм.
4.	Для полученного предельного состояния сооружения состав-
ляется уравнение равновесия, которое после преобразования (деле-
ния на [я]> 1) позволяет найти искомые величины.
Расчет статически определимых балок. Рассмотрим процесс
развития пластических деформаций при чистом изгибе балки в слу-
чае, когда изгибающий момент действует в ее вертикальной плос-
кости симметрии (рис. 248, а, б). Увеличиваем изгибающий момент
до тех пор, пока не появится предел текучести в крайних волокнах
балки. Соответствующая эпюра нормальных напряжений по сече-
нию балки изображена на рис. 248, в. Изгибающий момент при
появлении текучести только в крайних волокнах можно предста-
вить по формуле сопротивления материалов
=	(15.4)
309
где W — момент сопротивления сечения, найденный по методу
упругого расчета.
Нейтральная линия Z — Z при этом проходит через центр тяже-
сти сечения. Но при действии момента Мт, соответствующего лишь
фибровой текучести, предельное состояние балки еще не достиг-
нуто, так как во всех остальных точках сечения напряжения
меньше предела текучести. Возможно дальнейшее увеличение мо-
мента М > Мт. При этом считаем, что материал подчиняется иде-
ализированной диаграмме Прандтля и соблюдается гипотеза плоских
сечений. При последовательном возрастании момента М > Мт теку-
честь появится в других волокнах, кроме крайних (рис. 248, г);
остается лишь часть балки высотой 2/г0, работающая в упругой
стадии. Эта упругая область сечения балки называется упругим
ядром. При следующем возрастании момента до предельного
значения текучестью будут затронуты все волокна балки и даль-
нейшее увеличение момента окажется невозможным (рис. 248,д).
Сечение уже не в состоянии воспринять большего момента, и при
Д4 = Д4пр будут быстро нарастать прогибы балки.
При возникновении во всех точках сечения напряжений, равных
пределу текучести, балка становится геометрически изменяемой,
так как ее части, расположенные справа и слева от сечения, могут
поворачиваться друг относительно друга. Такое состояние предель-
ного равновесия можно уподобить балке, у которой в этом опас-
ном сечении вставлен шарнир. Поэтому появление полной теку-
чести в одном из сечений балки называют образованием пласти-
ческого шарнира. Как показано в работе [11], при наличии
пластического шарнира в пролете балки быстро нарастают в этой
области прогибы.
Разрушающий (предельный) изгибающий момент можно опре-
делить как равнодействующий момент всех элементарных усилий
GcdF относительно оси Z — Z:
п/2	п/2
А4пр = 2 J yoTdF = 2or j ydF = 2gjSI),	(15.5)
о	о
где So — статический момент половины сечения относительно ней-
тральной оси Z — Z, положение которой соответствует переходу
от сжатой к растянутой зоне сечения (рис. 248,5).
Для прямоугольного сечения
S0 = Wi2/8.	(е)
Аналогично работе балки в упругой области представим выраже-
ние (15.5) в форме
^ПР = <гт1Кпл,	(15.6)
где 1РПЛ = 2S0 —«п л а с т и ч ес к и й» момент сопротивления
сечения. Пластический момент сопротивления прямоугольного
сечения
^'пл = 25о = 5/i2/4.	(ж)
310
Упругий момент сопротивления того же сечения
1¥' = Мг2/6.	(з)
Отношение пластического момента сопротивления lFnj к упру-
гому моменту сопротивления W показывает, во сколько раз пре-
дельный момент 7Илр больше упругого момента Мт, соответствую-
щего фибровой текучести:
а = Мпр/Л4т=1¥’„лЖ	(15.7)
Для прямоугольного сечения по выражению (15.7) а=1,5, т. е.
в этом случае расчет с учетом распространения пластичности по
всему сечению при изгибе позволяет повысить момент на 50%.
При расчете по методу допускаемых напряжений полагают, что
несущая способность балки исчерпана уже при появлении теку-
чести только в крайних точках сечения. Это предположение, как
видим из изложенного, не соответствует действительности. Для
двутаврового сечения а =1,16, т. е. несущую способность балки
можно повысить на 16%.
Рассмотрим теперь определение положения нейтральной линии
и пластического момента сопротивления для сечения, несиммет-
ричного относительно горизонтальной оси Z — Z (рис. 249, а).
Разрушающий (предельный) изгибающий момент определится
по моменту всех внутренних сил, интенсивность которых для сжа-
той и растянутой зон будет равна пределу текучести сгт(рис. 249, б).
Следовательно,
^2
Мпр = Пт 5 №у) у+ ог 5 (b2dy) у,	(и)
о	о
где первый интеграл относится к сжатой зоне, второй —к растя-
нутой, причем каждый интеграл представляет собой статический
момент части сечения относительно оси Z—Z.
Выражение (и) можно представить так:
Млр = aJS1 + crTS2 = <гт (Sp Д S2) = <гт1Рпл.
311
Пластический момент сопротивления И7ПЛ равен сумме статиче-
ских моментов соответственно сжатой и растянутой зон:
пл = + *S2.
Положение нейтральной линии определяется из условия равно-
весия = 0 (где X —ось балки), следовательно, oI/71 = oTF2 —
нейтральная линия Z—Z делит площадь сечения на две равные
части: F1 = F2.
На рис. 250, а для таврового сечения, площадь полок которого
равна площади стенок, нейтральная линия для пластической эпюры
(рис. 250, б) проходит на уровне сопряжения полки и стенки, а
нейтральная линия в упругой стадии Z0 — Za оказывается в пре-
делах стенки.
Отношение допускаемого момента по методу разрушающих (пре-
дельных) нагрузок к допускаемому моменту по методу допускае-
мых напряжений для двутаврового сечения а= 1,15 4-1,17.
Заметим, что учет влияния поперечной силы снижает значение
а (работы преф. Я- И. Безухова, автора и др.).
Расчет статически неопределимых балок и рам. Расчет одно-
пролетных статически неопределимых балок по методу раз-
рушающих (предельных) нагрузок (без учета влияния поперечной
силы) может быть в ряде случаев осуществлен по одним лишь
условиям равновесия без применения уравнений совместности пере-
мещений.
Пусть, например, требуется найти момент сопротивления балки,
защемленной одним концом и шарнирно опертой другим концом
с учетом развития пластических деформаций. Это состояние насту-
пит тогда, когда в каких-либо двух сечениях появятся пластиче-
ские шарниры.
Как показывает расчет по упругой стадии (рис. 251, а), наи-
больший отрицательный момент возникает в сечении А у защем-
ления, где прежде всего и образуется пластический шарнир. Плас-
тический шарнир на рис. 251,6 отмечен кружком.
Однако при этом несущая способность балки не будет исчер-
пана, а наличие пластического шарнира у заделки не вызовет
значительных прогибов. Поэтому можно увеличить нагрузку Р до
312
значения Рпр, при котором
появляется пластический
шарнир под грузом в сече-
нии В, где возникает наи-
больший положительный мо-
мент (рис. 251, в). В момент
исчерпания несущей способ-
ности, т. е. появления вто-
рого пластического шарнира,
система обращается в меха-
низм (три шарнира на одной
прямой). При этом возникают
весьма значительные прогибы
в сечении В. Составляем
условие равенства момента в
сечении В разрушающему
(предельному) моменту (рис.
251, г):
Р^-Ма^ = МП9, (15.8)
откуда
Л1Пр = РПр^/6 = СГг^пл- (к)
Следовательно, разрушаю-
щая (предельная) нагрузка
Рпр = 6<гтГпл//, (15.9)
или иначе
^пл = ^/(6ат).
Разделив числитель и зна-
менатель дроби па [/г] > 1,
получим
^пл = И //(6М).	(Л)
По методу допускаемых
напряжений при применении
расчета в упругой области,
W = Мл/[о] = 3[Р]//(16[о]) =
=[Р] Ц (5,33 [о]).	(15.10)
Итак, при расчете по ме-
тоду разрушающих (предель-
ных) нагрузок достигается
экономия в моменте сопро-
тивления сечения (1ИПЛ^1Г).
При расчете /г-п р о-
летной неразрезной
балки —число лишних свя-
Рис. 251
а	Ъ
Рис. 252
313
зей n — k— 1. Поэтому для обращения ее в механизм и пол-
ного исчерпания ее несущей способности можно допустить в
ней образование k пластических шарниров. Однако это условие
не является обязательным; несущая способность балки может быть
потеряна ранее, чем при образовании k пластических шарниров
(например, при наличии трех шарниров на одной прямой в дан-
ном пролете балки).
Рассмотрим частный случай такой нагрузки на неразрезную
балку, для которой при k пролетах несущая способность может
быть исчерпана при появлении k пластических шарниров.
Пусть, например, двухпролетная неразрезная балка (рис. 252, а)
подвергается действию сосредоточенной силы Р посередине первого
пролета. Требуется найти разрушающую (предельную) нагрузку Рпр,
соответствующую исчерпанию несущей способности балки. Проведя
упругий расчет балки, установим, что наибольший положительный
момент под грузом (рис. 252, б)
МР = Pl/4 - ЗР//64 = 13Р//64.
Опорный момент
Л40П = 3P//32.
Устанавливаем, что первый пластический шарнир появится под
грузом Р, после чего дальнейшее возрастание нагрузки вызовет
рост прогибов балки в первом пролете и последовательное разви-
тие пластических деформаций в сечении балки на промежуточной
опоре. Если нарастание перемещений под грузом не опасно, то
можно допустить состояние образования второго пластического
шарнира над промежуточной опорой (оба пластических шарнира
показаны на рис. 252, в кружками).
Итак, при наличии значительных прогибов в первом пролете
получим систему-механизм по рис. 252, в. При этом в сечении балки
под грузом и на опоре В моменты примут значения, равные раз-
рушающим (предельным):
М = а W
По эпюре моментов, изображенной на рис. 252, г, составляем
условие образования второго пластического шарнира:
Рпр//4-Л1пр/2 = Мпр,	(м)
откуда
Рпр = 6Л1пр/( = 6от1Упл//,	(н)
или иначе из выражения (н)
= Р„,1/ (6 Ы) = [Р] I/ (6 [О]),	(О)
что аналогично решению по формуле (л).
По упругому же расчету получается следующий момент сопро-
тивления:
W = 13 [Р] и (64 [о]) = [Р] и (4,9 [о]).	(п)
314
Расчет по методу разрушающих (предельных) нагрузок дает
более экономичное решение [ср. (о) и (п)].
Аналогично определяется несущая способность для рамных
конструкций включением п+1 шарниров. Так, для рамы,
изображенной на рис. 253, при действии нагрузки Р в точках В
и С оси рамы после обычного расчета получаем эпюру Л4 прнве-
Рис. 256
Рис. 255
денного вида. В предельном состоянии двухшарнирная рама обра-
щается в четырехшарнирную (рис. 254). Исходя из условия вырав-
нивания пролетного (в точке С) и опорного (в узле £>) моментов
(рис. 253), получаем
Рпрй/2-Мпр/2 = Мпр1
откуда разрушающая (предельная) нагрузка
Рпр = ЗМпр//г,
315
где А1пр вычисляют по формуле (15.6). Для шесть раз статически
неопределимой рамы по рис. 255 в результате деформации ее при
нагрузке Р = Р„р получаем раму с семью пластическими шарни-
рами (рис. 256), причем последний пластический шарнир создается
в точке D.
Анализ последовательного образования пластических шарниров,
произведенный по эпюрам моментов в различных стадиях, пока-
зывает, что сначала создается пластический шарнир в сечении А,
затем в сечении б, после этого в сечении С ригеля CF, потом в
сечении F стержня FG, далее в сечении Е, затем в сечении В
стойки и, наконец, в сечении D. Предельная нагрузка
Рлр=1Шпр/(й).	(15.11)
При этом взаимные углы поворота в первых пластических шар-
нирах будут:
Д<Ро = ЗШпр/1/(36£/).
Афл = ЗЗМпр/г/ (36£7); АФс = 30Мпр/г/ (36£7).
Глава 16
РАСЧЕТ БАЛОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
§ 89. Расчет балки при постоянном коэффициенте постели
Связь между реакцией основания и осадкой. Примерами балки
на сплошном упругом основании являются: фундаментная балка,
лежащая на грунте, железнодорожная шпала, покоящаяся на бал-
ласте, и др. Рассмотрим балку АВ, лежащую на упругом грунто-
вом основании, деформирующемся под действием вертикального
давления, передающегося от балки. При наличии нагрузки интен-
сивностью q (рис. 257, а), приложенной к балке, последняя будет
изгибаться; материал грунтового основания при этом сжимается,
причем в зоне сжатия осадка основания у равна прогибу балки.
Со стороны основания после его осадки возникает распределенная
реакция в виде поверхностной нагрузки, действующей на балку
АВ\ интенсивность этой нагрузки обозначаем через р. В действи-
тельности основание получает не только упругие, но и остаточные
деформации, однако мы будем считать его достаточно уплотненным
и работающим лишь в пределах упругих деформаций. Важно уста-
новить зависимость между интенсивностью реактивного давления
основания р и осадкой основания или прогибом балки у в произ-
вольной точке.
Как показывает опыт, осадка основания в данной точке зави-
сит от совокупного действия давлений вблизи нее и деформация
основания возникает не только под площадкой, передающей давле-
ния, но и в примыкающей зоне. Однако зависимость между ин-
тенсивностью давления р и осадкой у с учетом действительного
характера осадки оказывается сложной. Поэтому часто применяют
316
гипотезу о линейной связи между интенсивностью реакции основа-
ния и осадкой (гипотеза Винклера), которую можно выразить сле-
дующей простой зависимостью:
P=-Q,	(16.1)
где С —коэффициент постели, или коэффициент упругого сжатия
основания, равный интенсивности давления па единицу площади в
рассматриваемой точке, вызывающей осадку у, равную единице;
коэффициент упругого сжатия С выражают в кН/м3 или мН/м3.
В соотношении (16.1) перед Су принят знак минус, так как
положительной осадке у вниз соответствует реакция основания,
направленная вверх. Коэффициент С зависит от рода основания и
определяется опытным путем. Для песка в зависимости от его
уплотнения С принимают равным 30—60 мН/м3. В нормах даны
значения коэффициентов постели С. Точнее эти значения опреде-
ляются исходя из решения для грунтовой среды как упругого по-
лупространства по формуле
С = М(1 -В2) К?-®].	(а)
где £0—модуль деформации грунта основания (для песка от 11 до
50 мН/м2); р.— коэффициент Пуассона для основания; F — площадь
передачи давления (до 10 м2); со — поправочный коэффициент, зави-
сящий от отношения дли-
ны балки I к ее ширине Ь
(примерно 0,8). По форму-
ле (а) коэффициент С со-
гласуется с решением по
теории упругости.
Если интенсивность р
нагрузки по ширине & бал-
ки постоянна, то при отыс-
кании перемещений точек
оси балки переходим
от поверхностной реакции
основания к погонной ре-
акции, распределенной по
оси балки. Умножая ин-
Рис. 257
тенсивность р на ширину
сечения балки Ь, получаем интенсивность погонной реакции осно-
вания (рис. 257,6):
tx = pb = — Cby=—ky,	(б)
где k = СЬ — погонный коэффициент постели, кН/м2. Формула (б)
применяется для балок.
Таким образом, связь между интенсивностью линейно рас-
пределенной реакции основания и его осадкой или прогибом бал-
ки имеет вид
tx= — ky,	(16.2)
где k = Cb. Соотношение (16.2) образует гипотезу Винклера.
317
Коэффициент постели в этом разделе полагаем постоянным по
длине балки.
Уравнения изогнутой оси и усилий для балки. Решим задачу
отыскания уравнения изогнутой оси балки, ордината которой у
зависит и от интенсивности реакции основания. Для этого необ-
ходимо составить соответствующее дифференциальное уравнение
изогнутой оси балки. Будем полагать, что балка неразрывно свя-
зана с основанием и со стороны последнего может возникать как
реакция, направленная вверх (что соответствует сжатию основа-
ния), так и реакция, направленная вниз.
Применяя метод начальных параметров для оформления уравне-
ния для у, выражаем ординату у изогнутой оси балки на упругом
основании в функции от х, причем коэффициентами при отдельных
членах этого уравнения в правой части будут начальные парамет-
ры у„, ф0, Л40 и Q„, т. е. начальный прогиб, начальный угол на-
клона касательной к изогнутой оси, начальный изгибающий мо-
мент и начальная поперечная сила.
Установим следующее правило знаков, удобное в данном случае:
прогиб, левую поперечную силу и нагрузку считаем положитель-
ными при направлении вниз, момент левых сил —положительным
при вращении против часовой стрелки, угол поворота касательной
к изогнутой оси— положительным при отсчете его от первоначаль-
ной оси по часовой стрелке.
Балка изгибается от действия внешней активной равномерно
распределенной нагрузки интенсивностью q, сосредоточенных воз-
действий по концам Qo, Мо и Р/г My со стороны основания воз-
никает неравномерно распределенная реакция основания, интен-
сивность которой в произвольной точке обозначим tx.
Эпюра реакции основания, отнесенная к оси балки, изображена
на рис. 257.
На основании зависимости между поперечной силой и интенсив-
ностью нагрузки можно написать
Tx = q + t* = q~ky~	(в)
Соотношение (в) дает выражение полной интенсивности.
Решение задачи основано на использовании дифференциального
уравнения изгиба балки
Считая, что сечение балки постоянно по ее длине (£Z = const)
и дифференцируя дважды уравнение (г), имеем:
&У__0х. &у д -klj	ZIRQA
dx3 El ’ dx*	El 1
Получено основное дифференциальное уравнение изогнутой оси
балки постоянного сечения на упругом основании.
318
В дальнейшем обозначим:
Л40/(£7) = Л40; Q0/(£7) = Q0; <//(£7) = ?; а= р//г/(4 £/).	(д)
В выражении (д) а— коэффициент жесткости. Основной функцией
решения будет Ах = cosax-ch ах, где ch ах — гиперболический ко-
синус ах. Интегрируя дифференциальное уравнение (16.3) по методу
начальных параметров, получаем
(I)	_ (2>	_ (3)	_(4)
У = '/<А + <Г’о Axd* + M0 ЛА.+ Qo Axdx — q^ Axdx, (16.4)
(4)
где J ЛА.с1х— четвертый интеграл функции Ах в пределах от 0 до х.
Решение в форме (16.4) дано Н. П. Пузыревским (1923) для
жесткого фундамента.
Последовательные производные функции Ах = cos ах -ch ах будут:
ЛА=а2(—sin ах • ch ах + cos ах-sh ax); )
А"х =—2a2 sin ax-sh ax;	I
Ax" = —2a3 (cosax-shax + sinax-chax); |
Л1У =— 4a4 cos ax -ch ax = — 4a4 Ax. )
Введем следующие развернутые обозначения функций, входящих
в выражения производных Ах, данных в выражениях (е):
Вх = (sin ax-ch ax-| cosax-shax)/2;
Сх = (sin ax' - sh ax)/2;
Dx = (sin ax-ch ax —cos ax-sh ax)/4.
(16.5)
Соотношения (16.5) отражают интегральные зависимости, данные
в уравнении (16.4).
Тогда выражения (е) можно записать так:
Л^=— 4а£>А.; Ах =— 4а2СЛ.; Ах‘ =— 4а:!ВА; ЛАУ =— 4а1 Ах,
откуда
(I)	(2)
j Ах dx = Вл./а; J Ах dx = Сх/а2;
(3)	(4)
Axdx = Dx/a3; j Axdx= (1 — Лл)/(4а4).
(ж)
Теперь, пользуясь соотношениями (ж), вместо выражения (16.4)
получим для ординаты упругой линии следующее выражение:
У = УоАх + (р0Вя/а + MuCx/a2 + Q0Dxlas + q (1 — Л.х)/(4а4). (16.6)
Это и есть уравнение изогнутой оси балки на упругом основа-
нии по методу начальных параметров. Составлены таблицы функций
Ах, Вх, Сх и Dx.
Последовательно дифференцируя это выражение, получим урав-
нение угла наклона касательной к изогнутой оси, изгибающего
момента и поперечной силы.
319
Дифференцируя уравнение (16.6), получаем уравнение угла
наклона касательной к изогнутой осн:
У' = <1л- = — г/0 •	+ <р0Ах -1 М0Вх/а -1 Q0Cx/a2 -ф qDx/a3. (16.7)
Дифференцируя выражение (16.7) и умножая на EI, получаем
уравнение изгибающего момента в произвольном сечении балки:
Л4Х =— ya-4a2EJCx — (f„-4aEJDx-±M0AxJrQ0Bx/a + qCx/a!i. (16.8)
Дифференцируя уравнение (16.8), получаем уравнение попереч-
ной силы:
Qx = ~ У о'	Вх — <р0  4а2£ 1СХ — Л40 • 4аОд.  |- Qo А х + qBx/a. (16.9)
Уравнение (16.9) применяют и для отыскания местоположения
мтзх.
С помощью приведенных уравнений, зная начальные параметры,
легко найти значения прогибов, углов поворота касательной к
изогнутой оси, момента и поперечной силы в любом сечении балки
на упругом основании. Начальные параметры (их всегда два) на-
ходим из условий на конце балки. Так, для балки со свободными
концами, имея два начальных неизвестных у0 и <р0, пишем условия
на правом конце:
Mx=i = Mt- Qx=!-= Pt.
В случае прерывной нагрузки, когда при х = с приложены мо-
мент тс, сосредоточенная сила Рс и равномерно распределенная
нагрузка qc, выражаем ординату упругой линии на втором участке
у2 (х2) через ординату аналитически продолженной ветви упругой
линии первого участка.
По методу учета скачков в нагрузке, предложенному автором,
и принимая во внимание выражение (16.6), имеем
УЛ-ф) = У1(х2) + ^-^ + С7-^г + ^-^тФ.	(16-10)
гдег-(х.,—с) — расстояние от места приложения нагрузок тс, Рс
и qc до данного сечения;
(Х2) = у0Лх2 + ф АЛ + 5т • ^! + §7 •	•	(16.11)
Соотношение (16.10) дает уравнение для г/2 на втором участке,
а соотношение (16.11) — выражение для уг на том же участке.
При расчете длинной балки целесообразно применять расчетную
схему в виде бесконечно длинной балки на упругом
основании. Такую схему следует применять, если Х=/а =
= I VЛ/(4£/)> 6.
Рассмотрим схему балки с односторонним удалением правого
конца ее в бесконечность при приложении к левому свободному
концу момента Л40 и поперечной силы Qo, где помещаем начало
координат. Очевидно, при удалении от левого конца к правому,
т. е. при х=оо, прогиб балки должен быть равен нулю (t/ = 0).
Исходя из этого условия и применяя уравнение (16.6), получаем,
отбрасывая возрастающие функции, следующее уравнение изогнутой
320
оси балки:
у — [Мое-ал7(2а2)] (cosax — sin ах) + [()(£-“*/(2а3)] cos ах. (16.12)
Для применения уравнения (16.12) составлены таблицы.
Для начальных перемещений имеем:
Уо = 7И0/(2а2) -|’Q.,/(2+); <р0 = —/И0/а —Q0/(2a2).	(16.13)
Знаки для у0 и <р0 определяют выбором осей координат.
Пример. Построить эпюры прогибов изгибающих моментов и поперечных
сил для балки постоянного сечения, если / — 5 м, £/ = 560 мН №, коэффициент
постели А =140 мН/м2 при действии
сосредоточенной силы £=1000 кН и
момента т=100 кН-м (рис. 258, а).
Решение. Находим
а= ^/Л/(4£/) = 0,5 м-1, а? = 2,5.
Из таблиц гиперболо-тригонометри-
ческих функций находим:
Aai = — 4,913; Ва1 = — 0,589;
Az=2,129;
при /—Cj = 4 м
21=а(/—Ci) = 2; А, = 1,243;
А, = 1,649;
при I — с2 = 3 м
z2=a(Z— с2) = 1,5; Сг„=1,062;
Вг,= 1,249. '
Применяя граничные условия для
правого конца, т. е. при х = 1
y—yjll-ty, <pz = <pz£F =0, получаем:
Уь (—4,913) + ф0-2 (-0,589) + 8х
X 1000(1,243) +4-100 (1,062)=0;
—1/-2 (2,129) +ф0 (—4,913) + 4-1000Х
XI,649+2-100-1,249 = 0,
откуда 1/0 = 2226 кН м3; <р0 =
= —532 кП-м2.
Для длинной балки используем
формулы (16.13).
Действительные значения переме-
щений:
i/o = 0,4 см; <р0= —0,054.
Теперь, применяя уравнения типа (16.11) и (16.10), получаем эпюру проги-
бов (рис. 258, б). По уравнению (16.8) находим значения ординат эпюры изгиба-
ющих моментов (рис. 258, в). По уравнению (16.9) вычисляем значения ординат
эпюры поперечных сил (рис. 258, г). Проверкой может служить выполнение усло-
вий равновесия: У] У = 0; У Л1„ = 0. Кроме того, должны соблюдаться дифферен-
циальные зависимости (16.3).
11 № 1116
321
§ 90. Расчет балок при переменной жесткости
основания методом конечных разностей
В настоящее время большое распространение получили числен-
ные методы расчета различных конструкций с, применением быстро-
действующих вычислительных машин (см. [1]).
Рассмотрим один из численных методов—метод конечных
разностей, или метод сеток (см. [8], [1]), при расчете балки с пе-
ременным коэффициентом постели. Для балки на упругом основании
используем дифференциальные зависимости, приведенные выше
(см. § 89) для случая постоянной жесткости балки:
d~y_'Р-v . d'y _ Qx . d^y_qx ky	.. « ...
dx2 EI ’ dx2 ЕГ dx*~ El ‘
Применяя метод сеток, эти дифференциальные зависимости за-
меняем приближенными их выражениями — симметричными разност-
ными отношениями. Разбиваем балку на части, равные по длине:
а=-- Ijn. За неизвестную функцию принимаем функцию прогиба f  = у;
(можно принимать и функцию изгибающего момента). Отбрасывая
соответствующие остаточные члены [12], получаем такие приближен-
ные выражения для производных функций
W/-+Л+1);
X- 1	(i6i5>
= 2^ (-	+ 2Л-Г - 2Л-+1+ Л+2);
® = ^(Л-2-4Л-1 + 6/(.-4Л. + 1 + Л + 2).
В выражениях (16.15) даны разностные выражения для 1-й —4-й
производных. Предполагая, что на данном интервале жесткость
балки постоянна, применяем разностные выражения к соотношениям
(16.14). Соблюдая при этом правило знаков, принятое в §89, полу-
чаем для разностей второго, третьего и четвертого порядка выра-
жения:
+	'J
— z/,_.2 + 2i/1_1-2z/141 + i/i + 2 = [2a3/(£Z,)]Q(.;	I (16.16)
«/<-2 —+ 6i/,- —4t/,-+1 + «/;+2 = [a4/(£7,)](Qi—M.)- J
Каждой точке i(i = 0, 1, 2, 3, ...) соответствует свое значение
как коэффициента постели, так и жесткости балки. Момент М; и
поперечную силу Q; выражают с учетом всех внешних сил, т. е.
принимая во внимание и распределенную реакцию основания. Как
указано выше, возможно решение в моментах и в прогибах.
Для сваи постоянного сечения, изображенной на
рис. 259, а (свая повернута в горизонтальное положение), при
заданных начальных усилиях Л1о и Qo, приложенных к голове сваи,
322
и неизвестных ординатах интенсивности отпора t„, tlt t2 и t3, при-
чем	определяем моменты Л12. Разбивая эпюру t( на
треугольники, получаем:
= — — (2усЛ0 + у^) 4- Л10 4-
Л12 = — ^ (5г/Д + 6y1kI + уЛ) 4- Мо 4- <?о • 2а.
Теперь воспользуемся первым разностным уравнением системы
(16.16); для промежуточных точек 1 и 2 получим
Уо—2у14-У2 = [«7(£/)]^1;	—2у24-г/3 = [й7(£7)]Л12.	(б)
Требуется определить прогибы у;.
После подстановки выражения моментов по (а) получим в пер-
вом уравнении (б) три неизвестных: у6, у2, уу, во втором — четыре
неизвестных: у0, уг, у„ и у3.
Таким образом, система урав-
нений (б) будет содержать че-
тыре неизвестных. Остальными
двумя уравнениями будут слу-
жить два уравнения равнове-
сия:
£У = 0; 2М3 = 0.
Если для простоты перейти
к ступенчатой эпюре реакции
основания, то эти уравнения
запишутся так:
(0,5yoka 4- УЛ 4- У^2 +
4- O,5y3/?3)a = Qo;
(1,5z/0Z?04-2//1£1 +
Ч-1г/Л>)а2 = Л104-3<20а.
Решая системы уравнений
(б) и (в) на ЦВМ, легко опре-
деляем неизвестные узловые пе-
ремещения при любом числе
точек раздела балки. Метод при-
ближенно можно применить и
к случаю ступенчатого изме-
Рис. 259
нения жесткости.
Пример. Найти эпюру перемещений щ для сваи по рис. 259, а при следующих
данных: / = 3а=4,5 м, £/=94 мН м2, Ло = 1560 кН м^ = 4710 кН-м2,
Ла = 7820 кН-м2, А3=10 940 кН-м2 (рис. 259,6), коэффициент упругого сжатия
грунта у поверхности С0 = 6,24 мН/м3, Л/о=1ОО кН-м, <2о = 8О кН. У поверхно-
сти сваи грунт весьма слабый.
11*
зза
Решение. Если для простоты записи ввести yi^yiEIt, то уравнения (б) и (в)
примут такой вид:
1,279?О— l,577?i+'?2 = 495;
0,7т/0+ 3,536г/!— 1,298у2 + 1/а = 765;
0,125?»+ 0,752?!+ 1,248?2+ 0,873?3 = 80;
0,560у0+2,2541/1+ 1 ,872i/2 = 460.
Решая эту систему уравнений на ЦВМ, получаем:
у0 = 5,77; t/i = 0,41; 1/а==—1,08; у3 = — 0,2 см.
(рис. 259, в). Далее по выражению (а) находим моменты Mj. Проверкой являет-
ся условие соблюдения уравнений равновесия.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
УСТОЙЧИВОСТЬ И ОСНОВЫ ДИНАМИКИ СООРУЖЕНИЙ
Глава 17
УСТОЙЧИВОСТЬ стержневых систем
§ 91. Задачи и методы исследования устойчивости
Основные понятия. Исследование Эйлером явления выпучива-
ния сжатого в продольном направлении стержня (рис. 260, а) при-
вело к созданию большой области строительной механики — теории
устойчивости стержневых систем.
Рассмотрим задачу об устойчивости сжатого прямолинейного
стержня, подверженного действию осевой сжимающей силы Р. При
отсутствии побудительных причин
центрально приложенной осевой си-
лы Р соответствует лишь прямоли-
нейная форма равновесия. При дос-
тижении сжимающей силой Р кри-
тического значения возможны две
формы равновесия — прямолинейная
и криволинейная, вызванная искрив-
лением стержня (рис. 260, б), при-
чем прямолинейная форма равнове-
сия оказывается неустойчивой. Стер-
жень в этих условиях остается ис-
кривленным и после удаления при-
чины, вызвавшей искривление. Су-
ществуют и высшие формы потери
устойчивости стержня, когда для
шарнирно опертого стержня возника-
ет ряд полуволн искривленной формы.
Задачу о потере устойчивости
прямолинейной формы сжатого стер-
жня впервые решил Л. Эйлер в
мающая сила конечной величины
Рис. 260
1744 г., установив, что сжи-
может вызвать искривление
стержня при наличии любого незначительного начального откло-
нения. Если определить критическое значение сжимающей силы
точнее, чем это сделал Эйлер (который исходил нз приближенного
дифференциального уравнения упругой линии), критической на-
грузкой следует назвать такую, при очень незначительном превы-
325
шении которой возможно появление новой, искривленной формы
равновесия.
Рассмотрим ряд примеров потери устойчивости. На рис. 261, а
показана форма искривления двухшарнирной рамы при действии
узловых сил, достигших критического значения. На рис. 261, б
представлена форма искривления кругового кольца, подверженного
действию радиальной нагрузки. Пример потери устойчивости пло-
Рис. 261
ской формы поперечного изгиба дан на рис. 261, в; при достиже-
нии силой Р критического значения происходит искривление
балки в горизонтальной плоскости и скручивание ее относительно
горизонтальной оси.
Методы исследования устойчивости. Основными методами отыс-
кания критических нагрузок являются статический, динамический
и энергетический.
Статический метод. При использовании этого метода получают
характеристические уравнения для возможных форм статического
равновесия системы. Предполагая, что нагрузка незначительно
превышает критическую, и представляя себе искривленную форму
равновесия, используют уравнения для перемещений и усилий в
326
это.м отклоненном состоянии системы. Применяя граничные усло-
вия, по уравнениям деформационной теории сжато-изогнутых свс-
стем составляют характеристическое уравнение. Для прямолиней-
ных, ломаных и круговых стержней удобно использовать метод
начальных параметров, по которому основные уравнения содержат
лишь начальные элементы изгиба. Для сложных стержневых систем
весьма эффективно применение уравнений метода перемещений.
Имеются и другие варианты статического метода исследования
устойчивости (способ последовательных приближений; применение
уравнений в конечных разностях; матричная форма решения задач
устойчивости; способ интегральных уравнений и т. д.).
Динамический метод. Применяя динамический метод, составляем
уравнение собственных колебаний сжатого осевой силой Р стержня
и определяем то значение силы Рк„, при котором частота собст-
венных колебаний будет равна нулю'. Так, для сжатого шарнирно
опертого стержня постоянного сечения с распределенной массой
частота поперечных колебаний выражается формулой
0 = 0,)/1-Р/Ркр,	(а)
где со,, — частота поперечных колебаний при отсутствии сжимающей
силы Р.
Если Р— >РКр, то согласно выражению (а) со—*0 и период
колебаний становится бесконечным, т. е. стержень, колебавшийся
около своего положения равновесия, не возвращается к первона-
чальному состоянию. Найдя общее выражение частоты поперечных
колебаний сжатого стержня, приравнивают его нулю, откуда и
находят критическое значение сжимающей силы.
Энергетический метод, или метод потенциальной энергии. Он
основан на известном принципе Дирихле, согласно которому в
устойчивом состоянии равновесия потенциальная энергия системы П
имеет значение минимальное, а в безразличном состоянии раз-
ность двух соседних значений потенциальной энергии АП равна
нулю:
АП = \U -АЕр = 0,	(б)
где U — потенциальная энергия внутренних сил; Ер—потенциаль-
ная энергия внешних сил.
Согласно выражению (б), приращение потенциальной энергии
для двух смежных положений в безразличном состоянии должно
быть равно нулю, следовательно,
ДС/ = АЕ/>.
Для устойчивого состояния > ДЕф, для неустойчивого со-
стояния, наоборот, АП <\Ер, т. е. приращение работы внутрен-
них сил меньше приращения работы внешних сил.
Хорошие результаты дает метод потенциальной энергии, если
не только удовлетворяются граничные условия задачи (условия на
концах стержня), но и эпюры Q и М для заданной формы откло-
нения приближаются к действительным эпюрам усилий.
327
§ 92. Общее уравнение упругой линии
сжато-изогнутого стержня
Действие распределенной поперечной нагрузки и осевой сжи-
мающей силы. При решении различных задач по анализу устой-
чивости и несущей способности сжатых гибких стержней исполь-
зуют основные выражения перемещений при их деформации, вы-
званной одновременным действием сжимающей силы и поперечной
нагрузки.
Применение общего уравнения упругой линии сжато-изогнутого
стержня в форме метода начальных параметров позво-
ляет значительно упростить решение ряда задач определения пе-
ремещений при одновременном действии поперечной нагрузки и
продольной силы. Выведем это уравнение, используя приближен-
ное дифференциальное уравнение:
ух = МХ!(Е1\	(17.1)
Получаемое решение дает достаточно точные результаты при
действии сжимающей силы Se^0,85S3, где £э — эйлерово критиче-
ское значение [11].
Рассмотрим сначала случай действия равномерно распределен-
ной поперечной нагрузки и продольной силы S на стержень, ле-
вый конец которого оперт на вертикально-податливую опору
(рис. 262). На концах стержня приложены моменты Л1о и Mt.
Интенсивность сплошной поперечной нагрузки qx может меняться
постепенной функции п-й степени:
?х=£/о + (7о]Т + (?02г+ • •	(17.2)
Выражение (17.2) дает уравнение qx в форме полинома.
На рис. 262 показана ось стержня в деформированном виде.
Пренебрегая продольными перемещениями при изгибе в области
малых деформаций, а также влиянием продольных деформаций
сжатия, будем считать, что каждая точка оси стержня получает
лишь перемещение, нормальное к первоначальной оси. Выразим
ординату упругой линии ух в функции от х, учитывая влияние
328
продольной силы S на искривление, и, следовательно, в выраже-
ние изгибающего момента Мх кроме момента от поперечной на-
грузки войдет и момент силы S относительно любой точки дефор-
мированной оси. Применим следующее правило знаков: направляя
ось Y вниз, ось X — вправо и помещая начало координат в центре
левой опоры балки, считаем изгибающий момент Мх положитель-
ным при направлении его против часовой стрелки, поперечную
силу Qx —при направлении ее вниз. Ввиду наличия левой подат-
ливой опоры получаем начальный прогиб у0. Мы имеем дело со
случаем действия непрерывной нагрузки, и потому законы изме-
нения ух, у'х, Мх и Qx выражаются также непрерывными функ-
циями.
Для получения уравнения упругой линии представим изгибаю-
щий момент в произвольном сечении в виде суммы:
Мх = Мц -ф Ms,
где Mq — изгибающий момент только от поперечной нагрузки;
= -—3 (ух — у0)~ изгибающий момент от действия продольной
силы.
Подставляя значение получаем полный изгибающий момент
Mx = Mq-S(yx-ytt).	(17.3)
Дифференцируя Мх по х, получаем согласно известному соотно-
шению поперечную силу в произвольном сечении:
„ dMx clM ,
Q,. = —--------Syx.
ax ax
Первый член правой части представляет собой поперечную силу
от поперечной нагрузки Q7, второй член— поперечную силу от
осевой силы S:
Qx= Qq—Syx,
(17.4)
где Qf/ —поперечная сила, перпендикулярная недеформирован-
ной оси.
Первая производная поперечной силы Q(/ (вызванной действием
только поперечной нагрузки qx) согласно известному соотношению
из теории изгиба равна интенсивности поперечной нагрузки:
dx ^х’
(17.5)
где qx дается по уравнению (17.2).
Подставим теперь выражение изгибающего момента Мх из фор-
мулы (17.3) в дифференциальное уравнение (17.1):
y\ = Mq/(EI)-(yx-ya)S/(El).
Рассматривая случай балки постоянного сечения и обозначая
^ = S/(£7); Я„ = Лу(£/); Qt = Qq/(El), (17.6)
329
получаем дифференциальное уравнение упругой линии сжато-изо-
гнутой балки в окончательном виде:
у;==Л%-^(уА.-Уо).	(а)
При нахождении начальных значений производных у"х, у'х", ...
..ух" примем во внимание дифференциальные соотношения между
изгибающим моментом от поперечной нагрузки и поперечной силы,
а также между поперечной силой Qr, и интенсивностью попереч-
ной нагрузки. Очевидно, при х = 0 согласно рис. 262
Q4 = Q0', qx = q0.	(б)
В соотношениях (б) даны начальные параметры.
Интегрируя дифференциальное уравнение (а) по методу началь-
ных параметров и вводя основную функцию решения Bx — s'mkx/k,
а также учитывая интегральные зависимости между ух, у’х,
Л1А., Q.V(; и т. д. по (17.4)—(17.6), получаем выражение для ух в
замкиутой форме:
X (1)	.гф)	л(3)
Ух = У«+У'А + ^0 j Bxdx + QOll J Bxdx + q~0 J Bxdx. (в)
u	oo
Решение (в) по форме аналогично (16.4). Произведя подстановку
Вх и интегрирование этой функции, найдем:
, , sin kx , тг 1—ccs kx , тг kx— sin кх . —	’	2
Ух = У о + Уо -Т AI0 --------------F Qo./-----------Ь У о -------------•
(17.7)
Уравнение (17.7) впервые дано автором (1938). Это основное урав-
нение упругой линии сжато-изогнутого стержня при действии
сплошной равномерной нагрузки, которым далее будем
пользоваться для решения различных задач.
По уравнению (17.7) находим общее уравнение для тангенса
угла наклона упругой линии в произвольной точке ее:
,	,	,	. тт sin kx , тг 1—cos kx . —kx—sin Лх o.
Ух = «Л- = У о cos kx + Л1о -p- + QM —+ qa------, (17.8)
где Уо = ко — начальный угол поворота.
Дифференцируя уравнение (17.8) и умножая па Е/, получаем
уравнение изгибающего момента для сечения с абсциссой х:
Мх = E]tfx=-y'BkEI sin kx + MQ cos kx+Qeq	, (17.9)
где Л18 и QOl/—момент и перерезывающая сила от поперечной на-
грузки и нормальных к оси стержня реакций. По уравнению (17.9)
находится эпюра моментов.
ззо
Еще раз дифференцируя, находим общее выражение для попе-
речной силы:
Qx —— y'^k’EI cosAx— Mok sin kx + QUI)coskx +	. (17.10)
Там, где Qx. = 0, имеем экстремум для Мх. По выражению (17.10)
можно найти место, где Qx — Qmax.
Пользуясь найденными выражениями, легко построить эпюры ух,
у'х, Мх, Qx. В эти уравнения входит значение начальной поперечной
силы Q0(J, которое при наличии осадки опоры г/0 будет включать, ко-
нечно, и дополнительную реакцию парных сил S, равную Sya/l. Не-
трудно установить возможность применения принципа сложения
влияния отдельных факторов при S = const. Выведенные общие вы-
ражения применяем для отыскания ординат эпюр перемещений и
эпюр усилий от действия непрерывной нагрузки и приложения со-
средоточенных воздействий по концам, а также для эффективного
анализа устойчивости стержней.
Пример. Определить максимальный изгибающий момент в заделанной балке
от действия пары сил и осевой сжимающей силы (рис. 263, а). Момент воз-
никает от эксцентричного прило-
жения силы Л1о = 3е, где е —экс-
центриситет.
Решение. Принимая начало ко-
ординат в центре тяжести левого
крайнего сечения и направляя ось
X по линии действия осевой си-
лы после деформации, составляем
выражение для тангенса угла на-
клона по уравнению (17.8):
,	, , — sin kx
Ух = cos kx + М о —— •
Используя условие для заделки, а
именно что при х=/	ух=0,
имеем
sin kl .
а0 cos kl-\- Ма —-—=0,
откуда получаем начальный угол
наклона
«о= —
Максимальный момент будет в заделке; по уравнению (17.9) при х = 1
м
Л1Ш ах = —	7 Sin kl -|- М 0 COS k I = --.
COS Ы
Для стержня, шарнирно опертого пролетом /, в случае симметричного нагруже-
ния максимальный момент будет посередине пролета:
nux cos(fe(/2)‘
331
Максимальный прогиб по уравнению (17.7) для стержня, изображенного на
рис. 263, а,
_____ Мо 1—cos kl
Утах Elk'i COS kl
Общее уравнение упругой линии при наличии прерывной на-
грузки. Рассмотрим теперь действие прерывной нагрузки (рис. 263, б).
В случае приложения при х=-с внешних нагрузок — момента Мс
сосредоточенной силы Рс, распределенной нагрузки интенсивностью
qc — применяем метод учета скачков в аналитических функ-
циях, известный из курса сопротивления материалов. Получаем
иМ-и, W +4	+
+ ь [cos*(.t-<:)-l , ‘‘'У'Л + ...	(17.11)
Здесь влияние момента Мс, приложенного на расстоянии с от на-
чала координат, учитывается с функциональным множителем
1—coskz	и ,
•—р—, где г = х—с, причем вид этой функции тот же, что и в
уравнении (17.7) при начальном моменте.
Аналогично учитывается влияние скачков в поперечной силе и
интенсивности нагрузки.
Соответственно уравнению (17.11) составляем выражения для
тангенса угла наклона, изгибающего момента и поперечной силы
на втором участке оси балки.
Так, для момента имеем
М2 (х) =	(х) + Ме cos k (х - с) + Рс	р _cos k (х — с)],
где
ЛМ*) = — kEIa.smkx + Q, s-^.	(17.12)
Выражение (17.12) дает ZW, (х) при х > с.
Определение критических значений сил для различных случаев.
Приведенные длины стержней. Как известно из курса сопротивле-
ния материалов, критические значения осевых сил для четырех
основных случаев следующие:
для стержня, шарнирно опертого по концам,
PKp = n2£//Z2 = v2££Z2,
где v = л;
для стержня, защемленного одним концом,
PKp = n2£//(4Z2) = v2£//Z2,
где х = 0,5л;
для стержня, защемленного одним концом, другим—шарнирно
опертого,
Ркр « 2n2£//Z? = хгЕ1Ц\
где х=л'|/<2 = 1,41л;
332
для стержня, защемленного двумя концами,
PKV = 4л2£///2 = v'-E! /Р,
где v = 2n.
Все случаи определения критической силы могут быть сведены
к основному случаю шарнирно опертого стержня введением
так называемой! приведенной длины /0=-р/;
Ркр = n-EJ/l- = л2£//(р/)“- = v*EI/P,	(17.13)
где /„ — приведенная длина стержня; v— коэффициент устойчивости,
зависящий только от условий закрепления концов; v — kl,
А2 = PKp/(£Z); р — коэффициент приведенной длины.
Выражение (17.13) является общим для Ркр.
Решая соответствующее уравнение неустойчивого состояния, на-
ходим коэффициент устойчивости v, зная который, вычисляем при-
веденную длину данного сжатого стержня конструкции; очевидно,
Zo —n//v,	(17.14)
после чего, зная /„ из (17.14), находим приведенную гибкость для
данного случая;
~ ^оЛ'ии>
где 1ИН — радиус инерции при изгибе в данной плоскости. По при-
веденной гибкости можно определить коэффициент уменьшения
допускаемого напряжения ср. В дальнейшем будем выражать Ркр
по формуле (17.13) через v.
§ 93. Упругие реакции для сжато-изогнутого стержня
в единичных состояниях
Ниже при анализе потери устойчивости рамных конструкций
используем метод перемещений в канонической форме, которая
применительно к задачам устойчивости разработана А. Ф. Смир-
новым.
Как известно, по методу перемещений необходимо уметь опре-
делять реакции в введенных связях (заделках и в дополнительных
опорных стержнях), реакции при единичных значениях заданных
перемещений.
Рассмотрим определение этих реакций на основе применения
обобщенных уравнений (17.7)—(17.9).
1. Стержень, шарнирно опертый при наличии
взаимного линейного смещения. Для этого случая
(рис. 264, а) при взаимном смещении опор А=1 реакции будут
R = Р\Ц = Р-\Ц = v-El/P = v2i//2.	(17.15)
В случае стержня, шарнирно опертого одним концом и защем-
ленного другим (рис. 264, б), при повороте защемления без сме-
щения на угол аь = 1 момент в защемлении равен нулю.
333
2. Стержень,
бедным верх н и м
защемленный одним концом, со с в о-
концом. В данном случае поперечная сила
равна нулю. Положим, что защемление получает поворот на угол а0=-1
(рис. 264, в). Момент в защемлении Л10 уравновешен моментом от
силы Р. Обозначая k = V P/(EJ) но уравнению (17.9), пишем для
Рис. 265
верхнего свободного конца ус-
ловие равенства нулю изгибаю-
щего момента:
—a^kEI sin v 4- М0 cos v = О,
откуда
Л10 = aofv tg v = iv tg v.
3.	Стержень, защемлен-
ный ОДНИМ КОНЦОМ, дру-
гим шарнирно опертый
при Q = 0. Рассмотрим пер-
вый случай, когда Q = 0 (рис.
265, а). Пусть имеет место ли-
нейное смещение заделки без
поворота Д=1. Момент в за-
щемлении в этом случае равен
моменту силы Р, т. е.
Mt — Р\ — Р-1 = хг1/1.
Рассмотрим теперь второй
случай, когда Q = 0 и задан
угол поворота защемления аь =
334
— 1 при наличии линейного смещения заделки (рис. 265, б). По
уравнению (17.8) получаем при х = 1
аь ~ аа C0S V>
откуда aa = cc6/cosv.
Применяя теперь уравнение (17.9), находим при ab= 1
Mb — a.akEl sin v = («й/соз v) Zv sin v = iv tg v.
4.	Стержень, защемленный двумя концами при
0=0. Найдем моменты, действующие со стороны защемлений а и
b на стержень при повороте верхнего защемления на угол аь=1
(рис. 265, в), если аа = 0. По уравнению (17.8) имеем
л;„ sin v ,
= =1>
откуда Ma = iv/sinv.
Теперь по уравнению (17.9) получаем
Mb = Ма cos v = (zv/sin v) cos v = iv/tg v.
Важен еще случай защемления стержня двумя концами при
наличии взаимного смещения концов Л—1 без поворотов заделок.
По уравнению (17.7), при Q = 0
Л = [Л40/(£7)] (1 —cos vj'k2 = 1,
откуда
Мо = Ма = Mb = zv2/[/ (1 — cos v)].
5.	Стержень, шарнирно опертый одним концом и
защемленный други м. Рассмотрим влияние поворота защем-
Рис. 266
ления при на угол а=1 (рис. 266, а}. В этом общем случае
пользуемся условием равенства прогиба нулю на правом конце:
_ sin v Ма 1— cosVj-Alff V — sin д’ „
Уь а' k El ’ F 1 Ell' №	~ J’
откуда при аа= 1 получаем
= 3i 3(1_v/tgv) = Згсрг (v),
335
где
, к	v2
<Р1 (V) — 3 (1 —v/tg v) ’
Найдем в этом случае реакцию:
Рассмотрим теперь случай, когда для того же стержня задано
смещение защемления на Д = 1 без поворота (рис. 266, б). Применим
теорему Бетти к двум состояниям линейного смещения и поворота:
M'aaa = Rab,
откуда
М'а = Ra  1/иа = (3f/Z) cfl (v).
Далее, зная М'а и дополнительный момент от продольных сил РД,
определяем реакцию R'a:
R'a = M'a/l-P-\Ц = (3i//2) Ф1 (y)-v4lP=(3i/r-) ть (V). (17.16)
В формуле (17.16)
П1/О) = Ф1 (v) — va/3.	(17.17)
По формуле (17.17) составлены таблицы функции т]г
6.	Стержень, защемленный двумя концами при
Qt^O. Изучаем влияние единичного поворота левой заделки на
аа = 1 (рис. 267, с). Используя уравнения равенства нулю прогиба
и угла наклона у правой заделки, получаем:
Л1а = 4i<р2 (v); ф2 (v) = /1t7v'2SV \ •
4 РО;—1
Используя выражение (17.9), определяем момент Мь:
Мь = 27<р3 (v); ф3 (v) = -	с •
336
Определяем в этом случае реакцию Ra, выражая ее через опорные
моменты:
о ___+ ^6_________ 61
'а~ I ~ I
[4*P2(V)+t<P3 О’)]
61	. ,
=—47 b’),
где
Тд (v) = yf2(Pi ЬО + фзЬО]-
Отсюда имеем равенство
2<р2 (v) Ч-<р3 (v) = 3<p4 (v).
Рассмотрим теперь влияние взаимного линейного смещения за-
щемлений (рис. 267, б). В этом случае, очевидно, Ма — Мь. Приме-
нив теорему Бетти к двум состояниям (рис. 267, а, б), получим
Л4ааа= /?аД,
откуда
Afo = /?a-l = (6t7/)<p4(v).
Обозначив реакцию во втором состоянии через R'a, получим
R'a = 4MJI — v2i//2 = (V2i/F) <p4 (v)—v2z//2,
или
^=(12z//2)112 (v);
t]2 Ь) = <Р4 (v)—v2/12.
Таблица численных значений функций q>j, ср2, <p3, <р4, q, и i]2 дана
в работе [8] и в приложении 2.
Рассмотрим еще с л у ч а и потери устойчивости стерж-
ней на упругих опорах. Реакцию упругой опоры полагаем
линейно зависящей от смещения ее:
R = r\,
где г—коэффициент жесткости. Нередко этот коэффициент меньше
густ, где густ—устойчивый коэффициент жесткости, соответствующий
7’кр=Ра (Для стержня по рис.
268, а Р3 = л2Е1 /Р). В первом слу-
чае из условия равновесия полу-
чаем РА = Rl = гЫ, откуда Р =
~уЧ11=г1 и, значит,
v = lVr/i.	(а)
Получили выражение для крити-
ческого параметра в случае стерж-
ня по рис. 268, а.
Если в выражении (а) поло-
жить v=n, получим значение ус-
Рис. 268
337
тойчивого коэффициента жесткости
густ = л2</72.
Для второго случая (рис. 268, б), приняв начало координат
в шарнирной опоре и считая за неизвестные ос„ и Qu, пишем два
граничных условия для верхней точки, т. е. что прил' = / а( = 0;
!Л = Л:
a0cosv + Q0(l—cosv)/A3 = 0; а„ sin v/k ф- Qo (v — sin v)/fe3 = A. (6)
Исключив из системы уравнений (б) значение а6 и приняв Qc =
= R = гД, получим следующее уравнение для критического состоя-
ния:
V —tgv = -^.	(в)
Из этого уравнения находим критическое значение параметра v для
стержня, шарнирно опертого нижним концом и заделанного верхним
концом в подвижное защемление, подкрепленное упругой опорой.
Ниже приведены таблицы упругих реакций для сжато-изогиутого
стержня (табл. 7 и 8).
338
Продолжение табл. 7
339
340
Продолжение табл. 8
§ 94. Анализ устойчивости рам методом перемещений
в канонической форме
Общая потеря устойчивости. Общий ход решения задачи анализа
устойчивости рамы при узловом действии нагрузки следующий.
В качестве неизвестных в сжато-изогнутой раме (при отклонении ее
в искривленное состояние) принимаем углы поворота узлов и линей-
ные их смещения. Как и в классическом расчете на прочность, обо-
значаем неизвестное через Z,-. Если дана система узловых вертикаль-
ных сил Р-, определяем ее одним каким-то параметром Рп (одна из
продольных сил) и находим соотношение между силами. Будем далее
находить параметр продольной силы для n-го стержня:
Зная продольные силы и полагая их изменение до критического
состояния пропорциональным, определяем соотношения между пара-
метрами vz и v„. Задача заключается в определении наименьшего
критического значения параметра v„=v.
По канонической форме метода перемещений в соответствии
с ранее изложенным за основную систему принимаем раму с введен-
ными фиктивными защемлениями жестких узлов и дополнительными
против смещений опорными стержнями. При этом обычным путем
устанавливаем кинематическую неопределимость системы. Так, для
рамы по рис. 269, а имеем три неизвестных: угол поворота узла 1
(ZJ, линейное смещение узла 2 (Z,) и угол поворота узла 3 (Zs).
Основная система (при защемлении узлов 1 и 3 и подкреплении
узла 2 стержнем) представлена на рис. 269, б. В искривленном
состоянии (рис. 269, а) каждое каноническое уравнение метода пере-
мещений выражает условие равенства нулю полной упругой реакции,
вызванной всеми неизвестными перемещениями Zn Z, и Z3.
Если от Z, получаем упругие реакции ru, г21, г31, от Z2 — упру-
гие реакции г12, г22, г32, от Z3 —упругие реакции г13, г,3, г33, то
341
условия равенства нулю полных реакций в введенных связях будут
выражены так:
11 + ^2г12 + Z3r 13 — 0;
^1^21 “Г Zgfgg “Ь 23 = 0,
^1^31 “h-^2^3 2 “1“ ^ЛзСз ~ Q-
Если система получает искривление (происходит разветвление формы
равновесия), перемещения Z; отличны от нуля, что возможно только
в случае, когда определитель Dv из коэффициентов при неизвестных
Z; равен нулю.
Следовательно, условие потери устойчивости рамы запишется так:
G1
G1 Г22
G1 Г3!
^23
Г33
= 0.
(17.18)
В значения «единичных» упругих реакций rik войдут выражения
функций от параметра v(q:1, ф2, <p3, ср4, t]1( т]2). Раскрыв определи-
тель Dv по (17.18), получим трансцендентное уравнение относительно
v, которое имеет ряд корней; выбираем наименьшее значение v.
342
Решение этого уравнения проводим способом попыток.
Пример. Найти критическое значение силы Р (рис. 269, а), если Pi=P.i = P-,
Длины стержней h — l, момент инерции сечений / = const.
Решение. Параметр v — h У~Р/(Е1) для всех сжатых стержней 1—3, 3—4, 3—5
одинаков; стержень 1—2 не сжат. Система имеет три степени свободы; углы поворота
узлов 1 и 3 и смещение верхнего узла 2. Основная система представлена на
рис. 269, б. Эпюры моментов в единичных состояниях изображены на рис. 269, в — О.
Моменты, действующие на узел против часовой стрелки, принимаем положитель-
ными (реактивный момент при этом — по часовой стрелке); реакцию, действующую
Рис. 270
на стержень вправо, считаем положительной (тогда реакция со стороны дополни-
тельной споры вызывает растяжение стержня).
По рис. 270, а находим (действия на узлы и опоры):
Н1 = Зг- + 4г-<р2; r2i = (—6//Л) ф4; Тз1 = 2йр3.
По рис. 270, б имеем:
Г12 = (—61//г) <р4; /-.22 = (1217Л2) г]2; г32 = (—6Z/A) ф4.
По рис. 270, в получаем:
Г1з=2(<р3; /-23=(—6*/Л) ф4; /-33=3i<pi-j-4f<p24Zq>2.
При постоянном i пишем по (17.18) Dv/i:
(3 + 4<р2)
(—6ф4/Л)
2фз
(—6<р4/Л)
(12/Ла)1]2
(-6<р4)/й
2<Рз
(—6ф4)/й)
(Зфг + Зфх)
Развернув определитель, получаем следующее трансцендентное уравнение:
(3-р4ф2) [б>]г (8ф2-р 3<pi) — 18ф4] -|- Зф4 [ 12ф3ф4 — 6ф4 (2ф3—}- 3<р4)] —
+ фз (Зф4—24т]2ф3)=0.
Решая это уравнение способом попыток, получаем т = 3,57; PKP=12,72El./h2.
Приведенная длина /пр = 0,88/1.
Локальная потеря устойчивости. Вполне возможна локальная
(местная) потеря устойчивости в рамной системе, т. е. потеря устой-
чивости отдельными стержнями до потери устойчивости всей рамы
в целом.
Пример. Определить значения критических нагрузок при локальной потере
устойчивости для рамы (рис. 271, а), ригель которой во втором пролете имеет
343
Elv—<x> и подперт упругой опорой с малым коэффициентом жесткости г < густ.
Длина стержней lii = l, /г3 = 2/г1/3. Моменты инерции крайних стоек и консоли /,
средней стойки 1,5/, левого ригеля 21. Рама получает смещение А, которое связано
Рис. 271
с упругой реакцией линейным соотношением А’= гД. Жесткость £/ = 400 кН-м5;
/г1 = 6 м. Дано г = l,8EI/hi = 10/3 кН/м. Устойчивое значение гусг = 18,3 кН/м.
Решение. Последовательно увеличивая силы Р, приходим прежде всего к по-
тере устойчивости крайней левой стойки (рис. 271,6), для которой по формуле (6)
§ 93 получаем
v1=l,34; Ркр = г/ = (10/3) 6 = 20 кН.
Полагая, что левая стойка получила новые связи, переходим к анализу устойчи-
вости крайней правой стойки (рис. 271, в). Используем при этом характеристиче-
ское уравнение (в) § 93:
v3-tg v3 = vlE!/(Pr) = 1,875v|.	(a)
Решая это уравнение для наших данных, получаем
v3=l,77; Р3кр-34,8кН.
Рассмотрим еще локальную потерю устойчивости верхней консоли длиной
(рис. 271, г). Единичному углу поворота узла 2 а2=1 соответствует суммарный
момент
Л12 = 3i5 + 4i2q>2 (v2).	(б)
Этот момент уравновешивается моментом, действующим от консоли:
M2=l4V4tgV4.	(в)
Приравняв (б) и (в), получим условие потери устойчивости консоли (рис. 271, г):
v4 tg v4 = 3j5/<4+4 (г2/ц) ф2(v2),	(г)
где v2 = 0,736v4 — по данным примера; г5//4 = 4/3; /2//4=1.
344
Уравнение (г) для нашего примера таково:
v4tgv4 = 4[l -| <p2(v2)).
Низший корень этого уравнения
v4 = 1,37; Ркр = 46,9 кН.
Теперь, считая, что стержни /, 3 и 4 получили определенные ограничения в пере-
мещениях, вводя две степени свободы (Z4 и Z2), составляем два канонических
уравнения по методу перемещений (см. § 94), откуда получаем для средней стойки
v2 = 4,73; Ркр = 356 кН (рис. 271, д).
Таким образом, сначала теряет устойчивость стойка 1, затем 3, далее 2 и,
наконец, средняя стойка.
§ 95. Устойчивость симметричных рам и стержней
Рама. Ниже будем решать задачи об устойчивости симметричных
свободных рам и стержней при действии симметричной нагрузки.
В этих случаях можно упростить решение, не вводя в качестве
неизвестных линейные сме-
щения узлов, а ограничив-
шись лишь углами поворота
узлов.
Для симметричной рамы
(рис. 272, а)при нагружении
симметричной нагрузкой и
при обратносимметричной
форме отклонения, составляя
уравнения равновесия, напи-
санные в виде 2^ = 0 (где
X—горизонтальная ось), по-
лучим для нижнего этажа
2Qol = 0; Qol = O,
для верхнего этажа
2Q12 0; Qu = 0.
Следовательно, можно поль-
зоваться единичными состоя-
ниями для заданных состоя-
ний Z, -= 1 (рис. 272,6) и
Z, = 1 (рис. 272, б) с учетом
равенств нулю нормальных к
стержням реакций: 7?; = 0.
При использовании табл. 8 получаем по рис. 273, а, б следующие зна-
чения упругих реакций при i = const и v = const:
Гц = 6(4-2г (v/tgv); r21 = r13== — iv/sinv;
r.,.2 = 6i + tv/tg v.
345
Приравняв определитель при неизвестных Zr и Z, нулю, получим
уравнение потери устойчивости
(6 + 2v/tg v) (6 + v/tg v) — -visin'2 v = 0,
откуда v = 2,272; PKV = 5,15E1/E-.
Ступенчатый стержень. Рассмотрим определение критического
значения системы сил Ро и Рг для ступенчатого стержня, для которо-
го параметры верхнего участка с01, EIm, v01—Pv EIul, нижнего
участка —с12, Е/12, v12 = с12]/(Л + Р^ЦЕ!^) (рис. 274, а). Прини-
Рис. 274
маем в качестве неизвестного угол поворота Z} узла 1, где сопря-
гаются оба участка ступенчатого стержня 0—1—2.
В состоянии Z—\ получим эпюры моментов, изображенные на
рис. 274, б. Упругая реакция в фиктивной заделке (см. табл. 8)
7ц =	Нг) 4)1 voi 4)1
346
откуда характеристическое уравнение
tg v01 tg v12 = -*
^12 goi
^01 C12
(a)
Пример. Найти критическую нагрузку РОкр Для ступенчатого стержня
если c0i = cJ2; PL = 2PU; /J2//01 = l',792.
Решение. Имеем v12= l,294v01. Характеристическое уравнение (а) дает v31 =
= 0,862. Тогда РОкр = б,744£/м/4.
Аналогично получим характеристическое уравнение для ступенчатого стержня
с тремя участками:
2«1. . ^tgVoltgVi2-P^.^tgV((1tgV23+-^- • ^-tgV12tgV23=l.
►12	^12	*23	*23	*23	*23
Стержень, опертый посередине на упругую опору. Рассмотрим
определение критической силы для симметричного стержня па упру-
гой опоре с коэффициентом жесткости г (рис. 275, а). Возможны
Рис. 275
две формы потери устойчивости: симметричная и обратносимметрич-
ная. Для первой формы (рис. 275, б) имеем линейное смещение
опоры, для второй (рис. 275, в) — единичный поворот над промежу-
точной опорой.
По представленным эпюрам получаем:
Gi = (6t/Z2) Tii + г; r21 = r12 = 0; r22 = 6jq>!.
Определитель из коэффициентов при неизвестных
Г11Г22 ~ 0-
Отсюда следует
ra2 = 6i<p1 = 0; ru = (Gi/Z2) ч]! + г = 0.	(б)
Из первого уравнения найдем
<Pi(v) = 0	(в)
347
и v = n, т. е. Ркр— п3Е]/Р, при этом упругая опора не смещается
и критическая сила равна эйлеровой. Подставляя v = л в выражение
(17.17), получаем
Л1 (v) = — v2/3
и из уравнения (в) находим
(—6i//2)v2/3 + r = 0.
Для устойчивого значения коэффициента жесткости получаем
ryct = 2iv2/72 = 2£/v2//3.
Если г^густ, имеем обратносимметричную форму потери устой-
чивости. Обычно г < густ и возникает симметричная форма;
при этом упругая опора смещается.
Если г = ЬЕ1/13, из уравнения (б) получаем — 1 и v = 2,2;
Лр = 4,84Е//Р, что менее значения критической силы при обратно-
симметричной форме искривления.
§ 96. Устойчивость арок
Круговая двухшарнирная арка. Рассмотрим действие равномерно
распределенной радиальной нагрузки на двухшарнирную арку по-
стоянной жесткости EJ (рис. 276). Обозначим нормальнее к оси
арки перемещение любой точ-
ки ее через w. Как известно
из первой части, дифферен-
циальное уравнение переме-
щений при пренебрежении
обжатием круговой арки в
полярных координатах имеет
следующий вид:
d2a> Mr2
где 6—радиальный угол.
Между изгибающим мо-
ментом и продольной сжимающей силой имеем соотношение
М = — Nw.
(а)
При этом зависимость между продольной силой и интенсивностью
радиальной нагрузки будет
N=qr.
(б)
Внеся выражения (а) и (б) в
уравнение (17.19), найдем
d2w nr3
dQi~—"ETW'
348
Объединяя все члены, содержащие w, получим окончательное диф-
ференциальное уравнение
5 + ^=0,	(17.20)
где
&--= 1 +qr3/(EI).	(17.21)
Общий интеграл дифференциального уравнения (17.20) будет
w = A cos kQ + В sin k9.
Для определения произвольных постоянных необходимо, задав-
шись формой потери устойчивости, применить граничные условия.
Возможны две формы потери устойчивости: обратносимметричная
и симметричная. Симметричная форма искривления обычно для
непологих арок соответствует высшему значению критической на-
грузки. Имея в виду подъемистые арки (/"'>//10), рассматриваем
лишь обратпосимметричную форму потери устойчивости.
Используем теперь для определения произвольных постоянных
условия: 1) при 0 = 0, щ=0, 2) при 0 = а, w = Q. Второе условие
соответствует предположению об обратносимметричной форме потери
устойчивости, для которой при подъемистой арке имеем наимень-
шее значение параметра k. Из первого условия (опорное закреп-
ление) получаем Д = 0. Из второго условия находим при 9 —а,
te» = BsinAa = 0; отсюда, так как В =£0, то
sinfex = 0.	(17.22)
В формуле (17.22) получено характеристическое уравне-
ние потери устойчивости. Для первой формы потери устой-
чивости ka -л, учитывая (17.21), имеем
[1 +<7Г3/(£7)]аг = л2,
отсюда критическая нагрузка
?кр = (£//г3) (л2/а2—1).	(17.23)
При очертании оси арки по полуокружности а = л/2 и по выра-
жению (17.23) получаем
<7кр-3£7//-3.	(в)
Такое же решение, как по выражению (в), получаем для сжатого
кольца при обратносимметричной форме потери устойчивости. Для
пологих арок (f < //10) критическую продольную силу можно опре-
делять, пренебрегая единицей в скобке (17.23) и считая а малым
по сравнению с л, тогда
Л'кр = qr = £/лг/(аг)2 = Е1пг1&г,
где s—длина дуги полуарки.
Параболическая арка. Рассмотрим приближенное решение задачи
о критическом значении вертикальной нагрузки для параболиче-
ской арки со ступенчатым изменением жесткости ее сечения. Счи-
349
таем арку непологой (/>//10) и предполагаем обратносимметрич-
ную потери устойчивости.
Пользуемся общим методом приближенного решения, задачи
которого состоят в применении расчетной схемы в виде многоуголь-
ной рамы (аналогично тему, что имели в методе упругих грузов).
В данном случае, деля пролет на четыре части (рис. 277, а), имеем
/-—/Oi cosa01---/,., cosа12. Соответственно заменяем распределенную
вертикальную нагрузку (на горизонтальную проекцию) системой
узловых сил Р; определяем продольные силы в элементах шарнир-
ной рамы и получаем соотношения между параметрами v01 =
= /С1 кjV01 (£/01) И v12=>12’K/V12/(£/12). При наличии одного про-
межуточного между опорой и замком узла 1 имеем по методу пере-
мещений два неизвестных: линейное смещение узла 1 по нормали
к стержню 0—1 и угол поворота узла 1. Эти неизвестные обозна-
чим соответственно Zj и Z2. Прежде чем переходить к единичному
состоянию линейного смещения Zt, устанавливаем соотношение
между взаимным смещением концов стержня (/—2) —Д2 и взаим-
ным смещением концов стержня (О—7)—Zr. Для обратносиммет-
ричной формы искривления средний узел смещается только гори-
зонтально (перемещение Д2 на рис. 277, б). Из этой картины пере-
350
мещений находим
Д12 = Zx cos a01/cos а12 = 7хф,
где ф < 1.
Следовательно, смещению Z, = 1 соответствует смещение узла 2,
равное ф. Это учтено в эпюре моментов, возникающей в состоянии
Zj=l (для опорного момента Л112 внесен множитель ф). В соот-
ветствии с эпюрой моментов (рис. 277, е) получаем следующие
выражения для поперечных сил:
Qio — (Згoi/Zoi) Л1 (Vol); Qiz — (3l12//{2) Th (vl2) Ф,
где Q10 —нормально к 0—1, a Q12— нормально к 1—2. Для пере-
хода к полной реакции в введенном дополнительном опорном
стержне необходимо Q12 умножить на cos (сс01 — а12) = у. Кроме
того, вводим sin (а01—а12) = р. Таким образом, имеем из состояния
21=1
Гц = Т]! (v01) + (3r12//y ih (v12) фу - v?2i12P/(cosa12/12).	(г)
Последний член в выражении (г) дает влияние Л\2 на гг1. Побоч-
ная реакция
Г21 ~ ^12 “	Ф1 (via) 4i (3(О1Ло1) <Г1 (V01)-
Из состояния Z.,-1 (поворот) по эпюре моментов, данной на
рис. 277, г, получаем
г22 = Sfojqh (v01) Ч_3(1;!(р1 (v12).	(д)
Формула (д) дает момент в защемлении от поворота его на Z„~=l.
Условие потери устойчивости заменяющей рамы будет
ГцГ.2г—rL = 0.	(е)
Выражение (е) дает характеристическое уравнение.
§ 97. Применение энергетического метода
и учет влияния поперечной силы
Общий ход решения. Энергетический метод основан на извест-
ном принципе Дирихле, согласно которому в безразличном состоя-
нии приращение полной потенциальной энергии системы ДП равно
нулю. Обозначив приращение потенциальной энергии внутренних
сил U, приращение потенциальной энергии внешних сил &Ер, полу-
чим для безразличного состояния
ЛП = А(7-Л£/; = 0,
откуда критерий для момента потери устойчивости
А[/ = Д£/,.	(17.24)
351
Применим этот критерий для определения критической нагрузки
стержня, защемленного одним концом, другой конец которого сво-
бодный (рис. 278, а).
Рассмотрим малое отклонение стержня, соответствующее началу
потери устойчивости, когда при достижении силой критического
значения происходит искривление
стержня; при этом возникают изги-
бающие моменты и поперечные силы
(а также изменяются значения про-
дольных сил). Будем пренебрегать
влиянием поперечных сил. Верхний
конец стержня при изгибе получит
вертикальное смещение f. Для эле-
мента длиной dx (рис. 278, б) беско-
нечно малое сближение
df = dx (1 — cos а) = dx2 sin'2 (<x/2) »
tg2a/2= (y')2/2,
где a—угол наклона касательной
к искривленной осн по малости за-
менен на tga —у'; смещение f:
Рис. 278	i
f = ±\(y'ydx.	(а)
О
Формула (а) дает полнее сближение концов стержня по его оси.
Приращение работы внешней силы
i
bEp=Pf=P-^(y'ydX.	(б)
о
В формуле (б) получено значение работы силы Р.
Приращение потенциальной энергии внутренних сил (если учесть
только работу изгибающих моментов Мх ~ Ely")
W(в)
о	о
В выражении работы внешней силы имеем непосредственно про-
изведение силы на сближение, в выражении нарастающих момен-
тов половину произведения момента на взаимный угол поворота
сечений.
Из равенства (17.24) находим
i	i
p.l^y'ydX = ^-^(y"ydx	(17.25)
о	о
и получаем критическое значение силы, удовлетворяющее крите-
рию Дирихле.
Если в соотношение (17.25) внесем точное выражение ординаты
искривленной оси, получим точное значение критической силы.
352
Внося приближенное выражение для у от х, будем иметь при-
ближенное значение Ркр. Так, если внесем уравнение для у в форме
у = 6 [ 1 — cos лх/(2/)]
и производных
лх
, 6л . лх „	6л2 лх
У — 27sln2f ; У— 4ДСО31Д>
то получим точное значение PKf.
В самом деле, определяем
i	i
^(y'Ydx^^^iyydx
о	о
Внеся эти значения интегралов в соотношение (17.25), получим

— точное значение Ркр.
Если задаться уравнением искривленной оси, соответствующим
упругой линии при поперечном изгибе, когда
=/х/(£/)—-х2/(2Е7), получим из соотношения
(17.25) Р'^ = '2,ЬЕ1 /Р, что отличается от точ-
ного значения всего на 1,2%.
Учет влияния поперечной силы. Теперь
кроме работы изгибающих моментов по выра-
жению (в) имеем работу поперечной силы
Q = /’sin<z или приближенно Q = Ptga= Р
(рис. 279). Зная поперечную силу, находим
относительный сдвиг как угол сдвига:
nQ dy2
' GF ~ dx ’
(г)
где п—коэффициент неравномерности сдвигов
по сечению; dy2 — приращение прогиба от
сдвига; G—модуль сдвига. Добавочная кри-
визна от сдвига по уравнению (г) будет
d2y2 _ п dQ _ пР d2y
dx2 GF dx GF dx2 *
Мх~1 — 1-х, у' =
Дифференциальное уравнение изогнутой линии при учете попереч-
ной силы, кроме момента, будет
d2y _Р(6—у) , пР d2y	, ч
d^~ El	GF dx2 •	w
Уравнение (д) можно переписать так:
<?у	Р(&-у)
dx2 ~ EI[l—nP/(GF)]‘
(е)
12 № 1116
353
Сравнивая уравнение (в) с дифференциальным уравнением изогнутой
линии для случая учета только изгибающих моментов, получаем, что
Р	я-	Р3	.
El [1 — nP/(GF)] 4 Г- EI’
где
Рэ = л2£//(4/2).
Из соотношения (ж) находим критическое значение Р = Р-
l + np[/(GF) 1 + ^э’
(17.26)
где, очевидно, 7 = n-l/(CF) есть угол сдвига для элемента стержня
при Q=l. Это следует из выражения (г) этого параграфа. Фор-
мула (17.26) дает значение Ркр с учетом влияния Q.
Устойчивость составного стержня. Составные стержни, состоя-
щие из отдельных ветвей, связанных планками или решеткой, обла-
дают меньшей жесткостью, чем цельные. Решетка должна воспри-
нять действие поперечной си-
лы, влияние которой можно
учесть, введя выражение для
угла сдвига соседних элементов
где п—коэффициент неравно-
мерности сдвигов. Влияние по-
перечной силы для сжато-изог-
нутого стержпя учитываем,
принимая во внимание влияние
«единичного» угла сдвига
У = п- 1/(GF).
В результате этого учета
критическая сила составного
шарнирно опертого стержня
может быть выражена так:
Р =Р —-— .
к₽	э1 + уРэ’
где Р3 — критическая эйлерова
сила для сплошного стержня;
Ркр—критическая сила для сос-
тавного стержня; у— «единич-
ный» угол сдвига от поперечной
силы Q — 1.
Для стержня с раскосной
решеткой (рис. 280, а) «единич-
354
ныи» угол сдвига
у ~— (-------1-----------)
' Е ^fptga Га cos2 a sin а j
где F9 — площадь сечения двух распорок (по двум плоскостям,
параллельно оси У —У); Fd — площадь сечения двух раскосов;
и —угол наклона раскоса к оси.
Для стержня с планками (рис. 280, б) «единичный» угол сдвига
y = db/(\2EI)+dV(24EIc),	(17.27)
где /р — момент инерции сечения двух планок при изгибе их в вер-
тикальной плоскости; /с—-момент инерции сечения одной ветви
стойки относительно оси Zt — Zt.
Первый член в выражении (17.27) отражает влияние изгиба
планок, второй — влияние изгиба отдельных ветвей стоек.
Если пренебречь влиянием изгиба планок, то формулу для Ркр
после ряда преобразований можно представить в виде
/’kP = W(^ + ^),	(17.28)
где A = l/i — гибкость всего стержня со сплошной связью; ’ks. = d/i,.—
гибкость отдельной ветви.
Имея в виду выражение (17.28), составные стержни с планками
можно рассчитывать по приведенной гибкости:
АПр = ]/ХчД1.
§ 98. Устойчивость плоской формы изгиба полосы
Рассмотрим задачу о потере устойчивости плоской формы изгиба
полосы.
Полоса сечением hxb, длиной I, защемленная одним концом,
изгибается в плоскости ZX вертикальной силой Р, приложенной
к свободному концу (рис. 281, а). При некотором критическом зна-
чении силы Р происходит потеря устойчивости плоской формы
изгиба в виде дополнительного бокового изгиба и закручивания
ее на угол <р. Переходя к переменным по направлению осям коор-
динат У и Z, получаем составляющую силы (рис. 281, б)
Ру = Р sin <р « Рф,
которая вызывает боковой изгиб.
На рис. 281, в в плане представлена изогнутая ось при изгибе
в горизонтальной плоскости. Изгибающий момент относительно оси
У для произвольной точки k оси
Му = Рсрх.	(а)
Дифференциальное уравнение бокового изгиба для полосы по выра-
жению (а)
/--[РфХ/(£4)](1-И=).	(б)
12*
355
Рис. 281
где р,— коэффициент Пуассона; Е1г — жесткость на изгиб относи-
тельно оси Z; Iz = libs/\2.
Относительно произвольной точки k изогнутой оси (рис. 281,в)
получаем значение крутящего момента
М^Р^у,
где
^У = Уо——xtgp.	(в)
По формуле (в) определяем плечо силы Р.
Введем вместо tg р первую производную от у по х:
y'-tga- tg (л-Р) = —tgp.
Подставляя это выражение в соотношение (в), имеем
д	— У + ху'.
Очевидно, при х = 0 Дг/ = О, Мкр = 0, а при х = 1 получим
наибольший крутящий момент Мк^~Руа.
Крутящий момент в произвольной точке приравняем произведе-
нию жесткости при кручении на удельный угол закручивания <р':
— Е (уо у ху ) — GIКр<р .	(г)
Заметим, что при х = 0 Л4кр = 0 и, следовательно, <pJ = O
(а угол закручивания максимален и равен <р0).
Дифференцируя (г), получим
Pxy" = -Gl^".	(д)
356
Для исключения у" воспользуемся уравнением изгиба (б) и вне-
сем у" в левую часть уравнения (д):
Рх^(1-И2) = -С/Крф".
Отсюда получаем дифференциальное уравнение
„ , (1 —ц2)Р2 , п
* ++Ж7 h
Вводя обозначение
?4 _(!-+)Р2
£/г.О/кр ’
(е)
(ж)
окончательно получаем вместо уравнения (е) дифференциальное
уравнение
<р" + V.iAp = 0.	(з)
Формула (ж) дает выражение для Z.
В уравнении (з) X —критический параметр.
Дифференциальное уравнение (з) интегрируем в рядах, приме-
няя форму метода начальных параметров. Начальные условия:
при х = 0 фо+=О, фо = 0, фо = О.
Последовательно дифференцируя выражение второй производной
из уравнения (з), получаем:
<р'" = — Л4 • 2хф — Х4№ф';
Ф1 v = — л1 • 2ф — X4 • 4хф' —Х4+ф";
Фv = — X4 • 6ф' — V  бхф"—А4х2ф''';
фУ1 = _ v • 12ф" — V • 8лф"' —
Определяем начальные значения всех производных, начиная с ф,'":
Фо" = О; ф5У= —2А,4ф0; фУ = ф^1 =фУп = 0; <p0VI11 = 60Л,8<ро;
ф£х = фх = ФоХ1 = о; фхп = —540%12ф0, ...
Используем разложение в функции ф в ряд:
2Х4х4	, 60Л8ха 540.1012
Ф ~ Фо J]— Фо Н gj— Фо-------[2! Фо + • • •»
или, иначе, внося значения факториалов:
Фо = Фо [1 - (М7(3 • 4) + (М7(3 - 4 • 7 • 8) -
— (Хх)12/(3-4-7-8-11.12)+...].	(и)
В решении (и) ряд быстросходящийся.
Применяем условие для защемления: при x = Z ф = 0, тогда
Ф = Фо [1 -«/(3-4) + «2/(3-4-7-8) —и3/(3-4-7-8-11 • 12)+ ...] = О,
где м = %4/4.
Получаем при конечном значении угла ф0 характеристическое
уравнение
1 — п/(3-4) + «2/(3-4• 7-8) — п3/(3-4-7-8-11 • 12) + ... = 0.	(к)
357
Пример. Найти численное решение уравнения (к).
Решение. Для этого переписываем уравнение (к) так:
и = 3-4 [ 1 + «2/(3-4-7-8) —ь3/(3-4-7-8 • 11  12)-у ...] = / (и).
Если взять первые два члена в скобках, то получим квадратное уравнение
относительно и, откуда »j = 17,4, причем условие сходимости [/' («х)] = 1 со-
блюдается.
Взяв в квадратной скобке три члена и внеся и1 в правую часть, найдем
«2=;(и1)=1б,1.
Это значение можно принять как окончательное. Итак,
откуда
_	4,023 -./Elz-GlKf
Р*? = -[Г- V 	(Л)
Если / = 400 см^ 6=1 см, /1 = 4 см, р = 0,3,
G = 3£/8,	6’= 200 ГН/м2 (2-Ю7 Н/см2),	/кр=1,12 см4,
/г=1/3 см1, то по формуле (л) имеем Ркр=198 Н.
§ 99. Применение уравнений в конечных разностях
Применение уравнений в конечных разностях позволяет полу-
чить приближенное решение ряда задач теории устойчивости.
Упрощение получается вследствие замены дифференциального
уравнения упругой линии линейными алгебраическими уравнениями,
включающими лишь отдельные значения функции.
Целесообразно применять такой способ в особенности для стерж-
ней переменного сечения при действии сложной продольной на-
грузки, когда решение дифференциального уравнения становится
затруднительным, а для применения способа попыток необходимо
иметь приближенное решение.
Дифференциальное уравнение упругой линии шарнирно опертого
стержня переменного сечения при продольном изгибе его одной
силой для точки п
ЕЦУп = — Руп
заменяем приближенным выражением второй производной по вы-
ражению (16.16):
й/,,+1 — 2у„ + у^/а2—М„ = 0,	(а)
где Мп—момент левых сил, положительный при вращении против
часовой стрелки.
При составлении выражения момента следует учесть наличие
начальной поперечной силы для двухопорного стержня, возникаю-
щей при искривлении стержня и являющейся функцией продоль-
ных сил и соответствующих ординат упругой линии.
Применим уравнение (а) для решения задачи о продольном изгибе
стержня переменного сечения под действием четырех сил Ра, Plt
358
Р2, Р3, приложенных на равных расстояниях а = 1/4 друг от друга
(рис. 282).
Пусть моменты инерции сечений в местах приложения сосредо-
точенных сил /х, !г, /3. Ординаты упругой линии при продольном
изгибе стержня уг, у2, у3. Моменты левых сил в точках 1, 2, 3:
Мг = — P^—Qvl/4',
М2 = — Р„у2 — Р, (у2 - yj—Q0//2;
= — (Р о + Р 1~\- Р2-р Ps) Уз~р Qo^/4»
где Qo = (Р,уг + Р2у2 + Р3у3)'1.
Применяя уравнение (а), получаем следующую систему разност-
ных уравнений, имея в виду, что уо = у4 = О:
(—2у, + ys) EIJa- + Р„у, + <J\yi + Р2У2 + Р9У^ — 0; I
(У1 — 2у2 + у3) Е12!а~ + РОУ2 + Pi (уг - У1) +	|
+ (Р1У1 + Р2у2 + Р,Уз)/2 = 0;
(</2-2у3) Е1я/аг + (Р„ + Л + Р2 + Р3) у3 —
— (.Р1У1/РгУз~4~ Рз*/з)/4 = 0.	>
Для случая стержня по рис. 282 а = 1/4. Умножим каждое уравне-
ние на а-/(Е1п) и введем обозначения: p0l = P„a2/(EIj); р1Л — Р^/^ЕЦ);
р21 = Р2сР/(Е1 J и т. п. Здесь индексы при относительном коэффи-
циенте продольной силы обозначают: первый индекс —номер силы,
второй индекс — значение момента инерции.
Теперь систему (б) перепишем так:
У1 (Pai —2 + Рц/4) + уа (1 + ра1 /4) + у3р31/4 + 0;
yt (1 ~р12/2) + у2 {р02 + р12 -2 + у22/2) + у3 (1 + рм!2) = 0;
У1Р1з/^ + (/2 (1 —Ргэ/4) + у3 (р03 + Pis +Р2з +3ps3/4 — 2) = 0. (
Здесь все pik могут быть выражены через р01 по заданным соот-
ношениям между силами Р; и значениями моментов инерции сече-
ний в точках /, 2, 3. Для возможности существования отличных
от нуля значений ординат упругой линии у(, у2, у3 определитель
полученной системы уравнений, составленный из коэффициентов при
359
Ук Уз’ должен быть равен нулю. Приравняв определитель этон
системы уравнений нулю, получим, очевидно, алгебраическое урав-
нение третьей степени. Таким образом, нет необходимости в при-
Рис. 283
Пример. Определить критическое
продольном изгибе симметричного стерж
Решение. Уравнения (а) принимают
Qо отсутствует):
для точки 1
менении трансцендентных выра-
жений для коэффициентов при па-
раметрах.
Точность этого метода объясня-
ется непосредственным использо-
ванием дифференциального урав-
нения в форме разностного урав-
нения.
значение симметричной системы сил при
ня переменного сечения (рис. 283).
теперь следующий вид (поперечная сила
1 (у о—2у, -|- у2) /о? -|- Р аУ1 — 0;
для точки 2 (используется симметрия)
з (Pi — 2у2 + уР) + Роу2 + Pi (у2 — уО = 0.
Имея в виду, что z/o = O, и вводя краткие обозначения pik~Pполучаем
(Poi — 2) </1 + </2 = 0;	(2—pi2) 1/1 + (Р02 + Р12—2) у2 =0.
Приравняв определитель этой системы нулю, получаем квадратное уравнение
(Poi —2)(р02 + Р12—2) —(2—р13)=0.	(в)
Пусть РС = Р1 = Р; £7 = const. Тогда р01 = р02 = Р12 ==Р и уравнение (в) полу-
чает вид
2р2-5р+2 = 0.
Меньший корень этого уравнения дает значение коэффициента ркр:
Ркр = Ркр/а/(16£/) = 0.5.
Критическая нагрузка
Ркр = 8£///2.
По точному решению получаем трансцендентное уравнение
tgv01 tgvu = vJ2/vM,
откуда vol = 0,72 и критическая сила
Ркр Т = 8,294£7/Р.
ГЛАВА 18
ОСНОВЫ ДИНАМИКИ СООРУЖЕНИЙ
§ 100. Виды колебаний
При рассмотрении динамического действия нагрузки, меняющейся
по времени и вызывающей заметные ускорения движения элементов
сооружения, будем учитывать возникающие силы инерции, скорость
движущейся нагрузки и кинетическую энергию, передающуюся со-
360
оружению при ударе. Различают кратковременно прило-
женную нагрузку, когда продолжительность действия ударной
нагрузки т мала по сравнению с периодом собственных колебаний
системы Т (если т^Т/4), или продолжительную динами-
ческую нагрузку (если т>7'/4).
Все динамические нагрузки вызывают колебания, т. е. дви-
жения, обладающие известной повторяемостью. Колебания разли-
чают: 1) в зависимости от наличия динамической нагрузки; 2) по
виду деформаций, возникающих при колебаниях; 3) в зависимости
от учета сил сопротивления; 4) по виду функции отклонений при
колебании; 5) ио характеру закона изменения восстанавливающей
силы при колебании; 6) в зависимости от числа степеней свободы.
Частые колебания нередко называют пульсацией.
По первому признаку колебания подразделяют на собствен-
н ые, которые совершаются при отсутствии непрерывно действующей
силы, под влиянием какого-либо начального воздействия, и в ы-
н у ж д е иные, характеризующиеся непрерывным действием возму-
щающей силы. По второму признаку (по виду деформаций) раз-
личают продольные, поперечные и крутильные колеба-
ния. Нередко встречаемся со смешанными и згибно-к ру-
тил ьны ми колебаниями (пространственные системы). По третьему
признаку имеем затухающие и незатухающие колебания.
По виду функции отклонений при вибрации различают периоди-
ческие и непериодические колебания. Периодическими
колебания называют в том случае, когда каждое значение откло-
нения повторяется неограниченное число раз через равные проме-
жутки времени, называемые периодом. Если восстанавливающая
сила при вибрации линейно зависит от отклонения, имеем линей-
ные колебания; если эта сила нелинейно связана с отклонением,
возникают нелинейные колебания. По числу степеней свободы
различают системы с одной степенью свободы, со многими степенями
свободы и с бесчисленным количеством степеней свободы (при рас-
пределенности массы по длине оси). Вообще степени свободы равны
числу независимых параметров, определяющих положение любой
точки оси системы при колебаниях.
§ 101. Собственные колебания системы
с одной степенью свободы
Отклонение при колебании. Частота. Рассмотрим в качестве
примера собственные продольные колебания стержня, на конце
которого подвешен груз P = mg, где т — масса груза; g — ускоре-
ние свободного падения. Имеем систему с одной степенью свободы,
поскольку состояние ее вполне определяется вертикальным пере-
мещением груза (рис. 284, а, б). Отклонение центра массы груза,
вызванное каким-то начальным воздействием, для произвольного
момента времени t обозначаем у. При этом отклонении возникает
упругая сила Руп, которая возвращает груз в состояние равнове-
сия и потому называется восстанавливающей силой. Полагаем, что
361
Рис. 284
связь между силой Руп и динамическим перемещением у та же, что
и для статической задачи:
У„ = РЬ,	(18.1)
где б— перемещение точки приложения груза от действия единич-
ной силы Р=1 [в данном случае 6=1-//(EF); Е — модуль упру-
гости; F — площадь сечения].
В случае консоли, несущей груз на свободном конце (рис. 284, б),
8=\-13/(ЗЕ1),
где /—момент инерции сечения балки.
Выражение (18.1) можно представить так:
Уст = Р/с.	(18.2)
Из выражения (18.2) получаем выражение для силы Р, соответ-
ствующей упругому перемещению уст:
/э = сг/ст.	(18.3)
где с —жесткость системы, т. е. сила упругости, соответствующая
перемещению, равному единице.
Из сравнения выражений (18.1) и (18.3) имеем
с=1/6.	(18.4)
В процессе колебаний выделяем груз и прикладываем кроме вос-
станавливающей упругой силы Ру„ = су силу инерции по Даламберу:
/„ = — ту”.
Составляем условие равновесия для сил Руп и /и; получаем
Руп-/н = 0.	(18.5)
Очевидно, при этом был использован метод перемещений.
362
Подставляя значение сил, находим
су-]- ту" = 0,	(18.6)
где у" — d'y/dt2 — ускорение при колебании.
Деля обе части выражения (18.6) на т, обозначая
ш2 = с/щ	(18.7)
и внося (18.7) в уравнение (18.6), получаем дифференциальное
уравнение собственных незатухающих колебаний системы с одной
степенью свободы без учета сопротивлений
1/" + ш2у=0,	(18.8)
где ы = }Л?/т — круговая частота собственных незату-
хающих колебаний системы.
По Международной системе единиц (СИ) массу т выражают
в Н-с2/м.
Пусть в начальный момент времени t = 0 начальное отклонение
у0 и начальная скорость v0 известны. Интегрируя дифференциальное
уравнение (18.8) по методу начальных условий, получаем решение
для отклонения у в произвольный момент времени:
у— cos at i>o sin att'a	(18.9)
— начальное отклонение умножается на cos at, начальная скорость —
на sinioZ/w (интеграл от cos ой).
Это решение можно представить в более сжатой форме, введя
замены:
z/0 = HsinX; у0/со A cos X,	(18.10)
где X —начальная фаза колебаний; tg X = yoa/vo. Как видно, X отве-
чает начальному перемещению. Подставив соотношения (18.10)
в выражение (18.9), получим
у = A sin Л cos ш/ф- A cos X sin ей,	(18.11)
или, иначе, вместо (18.11) находим
г/ = A sin(w/ + X).	(18.12)
Уравнение (18.12) выражает процесс чисто периодического
собственного колебания системы с одной степенью
свободы.
Напомним связь между периодом и частотой. Если для перво-
начального момента времени t отклонение у, то и для момента времени
tx = t ф- 2л/ю
по уравнению (18.12) получим то же отклонение. Поэтому период
колебаний, т. е. время, в течение которого совершается
одно колебание, будет
Т = 2л/<о.	(18.13)
363
Если Т—время одного колебания [в 1 с совершается 1/Т =
= со/(2л.) колебаний], то в 2л с будет происходить со колебаний,
почему <о и носит название круговой частоты (в отличие от
технической частоты т=1/7’). Формула (18.13) дает связь между
Т и о).
Для круговой частоты со по выражениям (18.3)—(18.6) имеем
со = V dm = V 1/(тб) = ]/ Pl(my„) = Vgly^, (18.14)
где g— ускорение свободного падения.
Пример. Определить круговую частоту колебаний балки на двух опорах,
несущей груз Р = б,981 кН посередине пролета, если Z=1 м; £ = 196,2 ГН/м-;
/ = 8-10-’ м4.
Решение. Находим жесткость системы:
с = 48 £///’ = 48-196,2-8- 10-т/13 ГН/м = 48-19,62-8/1 =7534 кН/м.
По формуле (18.14) круговая частота
со = Vdm= У7534-9,81/0,981=276 с"1.
Метод инерционной нагрузки. Рассмотрим сначала систему с одной
степенью свободы (рис. 285). Применяя принцип Даламбера, откло-
нение у при свободных колебаниях
можем получить как результат дей-
ствия силы инерции /н и, следова-
тельно, в линейной области
Рис. 285
1/=/„б.	(а)
Подставляя в выражение (а) выра-
жение силы инерции
1„ = — ту",	(б)
получаем дифференциальное уравне-
ние свободных колебаний
у-. —ту" б,	(в)
что совпадает с выражением (18.6). В данном случае был применен
метод сил.
Подставим теперь в уравнение (в) решение (18.12);
z/ = z/°sin(co/+Х),	(г)
где у’ = А — амплитуда колебаний; к—начальная фаза колебаний.
В формуле (г) у0 не равно у„.
Имея в виду, что у" = — co2z/° sin (со(-фХ), вместо уравнения (в)
получаем
у° sin (со/ X) = ты-у* sin (со/ ф- X) б,
или после сокращения
z/° = (тсоу) б.	(д)
Но согласно выражению (б) величина тсогу° есть значение макси-
мальной силы инерции:
/шах = Л = /ПСО2/.
(18.15)
364
По выражению (18.15) /гаах пропорциональна со2. Таким образом,
для максимального отклонения при колебании получаем по выра-
жению (д).
=	(18.16)
По формуле (18.16) амплитуду колебаний можно полу-
чить как перемещение, вызванное статическим
действием максимальной силы инерции:
Zt = тел2 у°.
Составляя по формуле (18.16) выражение для перемещения у0,
получаем уравнение (д); после сокращения на уп находим
1 = Щ(|)26,
откуда квадрат круговой частоты
со2 = 1/(/п6).	(18.17)
Формула (18.17) совпадает с (18.7).
§ 102. Собственные колебания системы
со многими степенями свободы
Метод инерционной нагрузки. Рассмотрим собственные попереч-
ные колебания балки или рамы, несущей п точечных масс (рис. 286, а).
Рис. 286
Отклонение центра каждой массы можно получить как результат
действия системы сил инерции /1Н, /2Н, /зн, ...,
Ух = I iH^ii +12н^12 +•••+/ Н1А.П
У% ~ ^1Н^21 + ^2Н^22 “И ’ ’ ‘ "I” П«^2П<	(|g |g)
Уп —Ан^п1 “Ь	• • • “Ь ^пн^пп' /
При составлении уравнений (18.18) в этом случае использован ме-
тод сил.
365
Подставляем выражение каждой силы инерции 11п = —
=— т2у"2, ..., I„v = — т„Уп и частное решение системы
дифференциальных уравнений вида
{/!=«/? sin (со/4-Х);
уг=у° sin (со/ 4-Х);
(a)
y„ = y°sin(co/-|-X), )
полагая, что все отклонения происходят в одной фазе. Тогда после
сокращения на sin (со/ 4~Х) приходим вместо выражений (18.18)
к соотношениям:
У1 =	4- т,у°со2612 + ... 4-
«/" = т1у°1к>2Ь21 4- т2у“со2622 + ... 4- тпу°пы282п;
(18.19)
Уп = т]уг1ы-&п1 4- т2г/“со26„, 4- • • • 4- тпу°пкР-ЬпГ1. J
Мы получили систему линейных однородных алгебраических
уравнений относительно амплитуд колебаний у^, у2, ..., у,0,. Отлич-
ные от нуля значения эти амплитуды имеют лишь тогда, когда
общий определитель системы уравнений равен нулю. Объединяя
члены с одинаковыми амплитудами, вместо соотношений (18.19)
получаем
— 1) i/J 4- т2со2612у ° 4- • •  + тпа-Ь1пупп = 0;
4- («г2со’-622 — 1) у» 4-... 4- т„со2б,„у» = 0
(18.20)
системы
уравне-
степени
m^^yl 4- т2&%..у'; 4- • • • + (m„co26„n — 1) у“ = 0. j
Уравнение частот находим, приравнивая определитель
(18.20) нулю. Так получается частотное, или вековое,
ние, которое оказывается алгебраическим уравнением п-й
относительно со2. Корни этого уравнения находим или способом
попыток, или графическим способом, или способом А. Ф. Смирнова.
Заметим, что уравнениям (18.19) можно дать иную запись, вы-
делив максимальные по времени силы инерции:
Z, = w^y^co2;
Z.2 = /п2уйсо2;
(б)
Z„ = m„y’co2. )
В формулах (б) каждая Z,- пропорциональна со2.
Тогда вместо уравнений (18.19) получим
(18.21)
Уп —	Z26„2 4-Zn8„„.
366
Каждую амплитуду колебания сложной системы узловых масс
можно получить по принципу наложения как результат действия
системы максимальных сил
инерции (рис. 286, б).
Система с двумя степенями
свободы. Для системы с двумя
степенями свободы (рис. 287)
вместо уравнений (18.21) име-
ем:
ylt - Zj6ji —J?26X2;
У°: = Zj621 + Z2622,
или, подставляя силы инерции
[см. также систему (18.20)],
+т2(й2612(/»; = 0;	(
ml^21y°li+	[
+(m2<o2622 — 1) yn£i = 0. )
Приравняв определитель систе-
мы уравнений (в) нулю, получим
— 1) (m2w26„ — 1)—= 0,
или, раскрывая скобки после приведения,
co4/n1m2 (6П622—	— со’ (т^ц + Щ2б22) + 1 =0.	(18.22)
Обозначая D = бп622 — 6(2; В =	+ m2622, вместо уравнения (18.22)
получаем
(^туг^О — (о2В+ 1 =0,
откуда для то2, решая это уравнение, находим
< * =	+}/ В'" ~ 4Dm^  <18-23>
Получаем два значения частоты: низшую оц и высшую оэ2. Для
вычисления сох корень квадратный в выражении (18.23) берется со
знаком минус, для о»„—со знаком плюс.
Главные формы колебаний. Общее решение системы дифферен-
циальных уравнений собственных колебаний складывается из част-
ных решений вида (а). Так, для системы с двумя степенями сво-
боды путем сложения влияний двух форм получим
yt = р»! sin (со^ + + у«2 sin (ы2/ +Х2); |
y2 = i/"1sin(co1/ + X1) + z/»2sin(to2/ + X2). I	' '
Формулы (г) отражают сложное движение.
Каждой форме отвечает своя частота колебаний: у*п, ува, част-
ные амплитуды колебаний, соответствующие первой форме колеба-
367
ний с частотой оц (рис. 287, а); у?2,	—частные амплитуды коле-
баний, соответствующие второй форме колебаний с частотой соа
(рис. 287, б). Под главной формой колебаний понимают форму
отклонений системы, соответствующую данной частоте, для которой
sin(co(-Z-i-X)= 1.
Каждую из главных форм можно получить как результат дейст-
вия системы максимальных сил инерции: для первой формы — от
сил, изображенных на рис. 287, а, для второй формы — от сил,
представленных на рис. 287, б. Главные формы взаимно ортого-
нальны (возможная работа сил первой формы на перемещениях для
второй формы равна нулю). Амплитуды у°п, у^, а также фазы \
и к, находятся из начальных условий. Амплитуды у'^ и у%2 легко
выражаются через y4L и у$г из любого уравнения (в) следующим
образом:
О	я 2 о	Я 2
Ун _	__ O21W1CO1 .	#22 __	__
П г21	с 2	, ’ О Р 22	с 2	< *
У11	022^2^1—1	#12	^22^2^2—1
Эти отношения называются характеристиками форм и обозна-
чаются р21 и р22 соответственно.
§ 103. Частоты собственных колебаний рам
При определении частот свободных колебаний рамной системы
с распределенной массой по длине каждого стержня достаточно
точным является метод стержневых масс. Обычно равномерно рас-
пределенную массу каждого стержня рамы сосредоточиваем в сере-
дине длины стержня. Рассматривая деформированный вид оси рамы,
устанавливаем степень свободы системы по количеству возможных
перемещений центров масс. В ряде случаев возможно упростить
картину перемещений; так, в обратносимметричной форме колеба-
ний рам можно отбросить вертикальные перемещения в ригелях
и учитывать лишь горизонтальные их перемещения.
Пример. Найти низшую круговую частоту колебаний двухшарнирной сим-
метричной рамы, полагая жесткость EI и погонную массу т постоянными
(рис. 288, а).
Решение. Рассматриваем обратносимметричную форму колебаний рамы,
которая дает низшую круговую частоту колебаний. Используя обратносимметрич-
ность формы отклонений и разрезая раму по оси симметрии, получаем схему по
рис. 288, б с горизонтально-подвижной опорой для конца ригеля. Пренебрегаем
продольными деформациями стержней рамы, а также вертикальными перемеще-
ниями точек_ ригеля 6j. Тогда приходим к системе с двумя степенями свободы:
масса щ1 = тЛ имеет амплитуду горизонтальных колебаний у?, масса m2 = m//2
имеет амплитуду у2. Это состояние максимальных перемещений «вызывается»
силами инерции
Zi = m1co2</i; Z2=m2w2£/2.
Обозначая x = mh<ip, получаем:
Z1 = y°x\ Z2 = О.бу’х.
368
По рис. 288, б составляем уравнения (18.21):
yi=yi^u + 0,5y®x6ls;
У2=У1ХЬ21 -j-0,5^2^622.
Приравниваем определитель системы из коэффициентов при yj и у\ нулю:
1(х6п— 1)	0,5хб]2 I
I хб21 (0,5х622— 1)|
Развертывая определитель, получаем
0,5x2 (611623-6У-х(611+0,5622)+ 1 =0.	(а)
По правилу перемножения эпюр находим:
R 5 Л3 . * Л3 . R 5 А3
°11 —24 Е1 ’ °22- 2Е! ’ °12“16 Е1 ’
Подставим эти значения в выражение (а) и, обозначив г = х№ЦЕ1), получим
уравнение
5г2 —704г + 1536 - 0.
Решив это уравнение, найдем:
z1 = 2,2W-, г2= 138,52.
Низшая круговая частота колебаний
<b,=(1,48<W)/7^.	(б)
§ 104. Определение приведенной массы
Для приближенного решения сложных динамических задач часто
применяют метод приведения масс. Он состоит в замене
системы со многими степенями свободы системой с одной степенью
свободы с приведенной массой mfcnp в заданной точке сооружения k
(рис. 289, а). Приведенной массой будем называть такую сосредо-
точенную массу mfcnp, для которой полученная система с одной
степенью свободы динамически эквивалентна заданной
13 № 1116
369
системе со многими степенями свободы. Условие эквивалентности
можно выбрать в форме равенства кинетических энергий. Для си-
Рис. 289
стемы со многими степенями свобо-
ды удвоенное значение кинетической
энергии
s
27\ = 2 $	dx’ (а)
о
где V; — скорость точки приложения
t-й элементарной массы.
Для системы с одной степенью
свободы
2Тпр = tnk прг|.	(б)
Приравняв выражения (а) и (б), по-
лучим
Д_
= -fdx.	(в)
о Vk
Однако выведенной формулой (в)
воспользоваться затруднительно,так
как неизвестны скорости движения
точек 1, 2, . .., k. Приближенно от-
ношение скоростей заменяют отноше-
нием единичных перемещений, выз-
ванных статическим действием силы Рк= 1 (рис. 289,6).
Тогда окончательно получим
S
тк пр = J-У f mfi2ikdx.
(18.24)
Пример. Найти приведенную массу, поместив ее на свободном конце в слу
чае распределенной массы, погонное
значение которой m=const. Балка
защемлена одним концом (рис. 290).
Решение. Пользуясь формулой
(18.24), считая &ik~yx. &кк = ук-пе-
ремещения (прогибы) от силы Р = I,
имеем:
ух = 1х2/(2Е/) — х3/(6Е1);
ук = Р/(ЗЕ/);
I
/пух dx= 0,0262т/7/(Е/)2;
о
1,ф? = 9(£/)2//«.
Рис. 290
Приведенная масса поформуле (18.24)
тд пр —0,236 ml.
370
Точное значение приведенной массы для этого случая консоли
mnf — 0,243 ml,
где ml—масса всей балки.
Другой способ определения приведенной массы (или приведен-
ных масс) основан на знании точного значения частоты
системы с распределенной массой для данной формы ее отклоне-
ния. Приравниваем точное значение частоты <вт значению частоты
системы с одной степенью свободы, имеющей приведенную массу
в выбранной точке й; получим
<от = Уса/нгпр = ]/ 1/(тпр6ад),
где 8аа — единичное перемещение для точки а от действия силы
2Й = 1.
Из формулы (18.24), зная частоту колебаний, находим выраже-
ние для приведенной массы:
/ипр=1/((0?баа).	(18.25)
Имея точное значение круговой частоты колебаний и единичное
перемещение, определяем тпр. Для обратносимметричной формы
колебаний вводим групповую приведенную массу.
Отношение приведенной массы /ипр к полной массе системы на-
вивается коэффициентом приведения k„p:
^пр =
Приведенная масса для балки на двух опорах в случае приведения
массы к середине пролета
/ипр = 0,493т/ = 0,493m.
Пример. Найти приведенную массу системы для обратносимметричной формы
колебаний рамы (рис. 291, а), используя результат примера, рассмотренного в § 103.
Решение. Единичное перемещение по эпюре (рис. 291, б)
f>aa=h3/(2El).
13*
371
Значение квадрата частоты по формуле (б) § 106 для системы с двумя степенями
свободы
а _ 1.4892 EI	2,22 EI
Т к* т	№ т
Приведенная масса по выражению (18.25)
тпр ~—Г— = 0,901тЛ.
<0у6аа
Коэффициент приведения для данного случая
^пр —/ц |1 J,/ап — 0,6.
§ 105. Приближенные методы определения собственных частот
Энергетический метод. Этот метод позволяет в ряде случаев
просто и достаточно точно определить низшую частоту. При этом
влияние затухания не учитывается.
Метод, предложенный Рэлеем, основан на равенстве кинети-
ческой и потенциальной энергии системы:
Т =и
л max max*
Если для системы с распределенной массой (см. рис. 290) откло-
нение
у(х, t) ~ у (x)sin(<o^4-l),
то скорость
v = y (х) tocos (и/ 4-1).
Следовательно, кинетическая энергия
i	г
Т = у J mo2 dx = ~ «о2 cos2 (и/ + ^) J тУ2 (х) dx.
о	о
Максимальное ее значение во времени
I
Лпах = у “2 У2 W ЛХ.	(а)
о
Для потенциальной энергии имеем
z
U = ~ sin2 (со/ + X) J [у" (х)]2 EI dx.
о
Максимальное ее значение
i
U^ = ^[y'\xWEIdx.	(б)
о
Приравняв (а) и (б), получим
i	г
ы2= J [у" (%)]2 EIdx/J my-(x)dx.	(в)
о	о
Формула (в) дана Рэлеем.
372
Не зная y(x), задаются ею приближенно, удовлетворяя гранич-
ным условиям.
Пример. Определить частоту колебаний консольной балки, изображенной
на рис. 290, по Рэлею.
Решение. Для ординаты функции у (х) прогиб балки ст сосредоточенной силы
1	1 Л х3 \
ТГ	(г)
причем
А'" = -б7-('-*)•	(л)
Уравнение (г) дает кубическую параболу.
Уравнение (д) отвечает эпюре М от силы Р — !.
Внеся (г) и (д) в (в), получим:
со2= 12,73£7/(/4нг); ш = (3,57/1-) ]/ £//^, а точное значение сог=3,515 (l/!2)j/~pj fai
(отклонение 1,57%). По Рэлею получаем большее значение частоты, чем точное.
Метод переноса приведенных масс (метод наложения). По этому
методу получают меньшее значение частоты, чем точное.
Таким образом, возникает возможность двусторонней оценки,
что рекомендуется С. А. Бернштейном и А. Ф. Смирно-
вым. Метод переноса приведен-
ных масс предложен Донкерлеем.
Будем применять представле-
ние о приведенной массе. Рассмот-
рим два состояния простой бал-
ки. В первом состоянии в точке на
расстоянии х приложена сосре-
доточенная масса тх и частота ®
определяется через единичное пе-
ремещение Ьхх (рис. 292, а). Во вто-
ром состоянии масса приведена к
точке на расстоянии а (рис. 292, б).
Для этого второго случая при-
веденную массу выражаем через
коэффициент приведения:
^пр = ^ах^х'	(®)
Из равенства частот для первого и второго состояний
W = т-х^хх = тп/аа = kaxmx8aa
получим коэффициент приведения
^ах ^хх/^аа’
(ж)
(з)
Как видно из изложенного, исходя из равенства частот, массу тх,
приложенную в точке х, можно перенести в точку а, соблюдая
соотношения (е) и (з), т. е. умножая массу тх на коэффициент
приведения kax.
373
Если теперь балка несет i масс т1, т.2, ..., т,, то, применяя
приближенно принцип взаимной независимости этих масс, заменим
эту систему масс одной массой в точке на расстоянии а (рис. 293).
Аналогично выражению
(ж) напишем условие тож-
дественности частоты:
l/w2 = m1611+m2622 +
+ • • • -I mfiu, (и)
1/со2 =
где по (ж)
т,8и = ^а1т;8аа'
В случае распределенности массы интенсивностью тх формула (и)
обращается в следующую:
i
1 /о? = $ (тх dx) 8ХХ.	(к)
о
Соотношение (к) и есть формула Донкерлея.
Пример. Для консольной балки по рис. 290 определить
если m = const, £7 = const.
Решение. Находим f>xx— перемещение под грузом Р = 1,
точке х:
6хх=1х*/(ЗЕ1).
Внеся в формулу (k), получим
1 т [ xi |z ml1
‘w5’-3£7|''4| ~ 12£7 *
откуда
3,404	1/~ЁТ	3,515	-,/ДТ
®— /г	у —	<	/2	У ~ •
4	' т	1	' т
низшую частоту,
приложенным в
что менее точного значения частоты.
Как видно, метод наложения особенно прост.
§ 106. Вынужденные периодические колебания системы
с одной степенью свободы. Резонанс
Система с одной степенью свободы. Разберем сначала общий
случай действия любой возмущающей силы Pt на систему с одной
степенью свободы (рис. 294), вызывающей вынужденные колебания.
В качестве примера рассмотрим продольные колебания стержня,
причем не будем принимать во внимание затухание. В произволь-
ный момент времени отклонение центра массы т будет у —иско-
мая функция времени.
Выделив груз, к которому приложена возмущающая сила Pt,
учтем еще наличие восстанавливающей силы Руп и силы инерции /н.
374
Рис. 294
(18.30)
Составляем динамическое условие равновесия по методу пере-
мещений:
Руп-/„-Л = 0.	(18.26)
Подставляя выражение сил
Руп = су; 7„ = — ту"
и деля все члены уравнения (18.26) на т, находим
у"-\-ы2у — Pt/m.	(18.27)
Мы получили дифференциальное уравнение вынужденных не-
затухающих колебаний системы с одной степенью
свободы. Здесь со3 = с/т, где ш — частота собственных
колебаний.
Рассмотрим теперь частный случай действия
периодической синусоидальной силы (вертикальная
составляющая центробежной силы от неуравнове-
шенности двигателя):
Pt = .Posin0t	(18.28)
где Ро — постоянная амплитуда силы; 9 —частота
изменения возмущающей силы.
Дифференциальное уравнение колебаний при
подстановке значения Pt из выражения (18.28) и
обозначении ра = Ра/т будет
у"^-с>~у = р0 sin Ql.	(18.29)
Выражение (18.29) —дифференциальное уравне-
ние вынужденных колебаний. Общий интеграл это-
го дифференциального уравнения, как известно, равен
Р» (  а/ 0	Л
Ц = > Q, Sin W — --Sin (ОМ .
я £0“ —0’ \	(О	J
Решение (18.30) удовлетворяет дифференциальному уравнению
(18.27). Множитель при скобке правой части
£ _ Ро_____Р 0______
обозначим С:
о2 — 62 m (со2— О2)
Решение (18.30), выражающее отклонение
дической синусоидальной силы, представится
и = С sin97—С— sin со/.
J	О)
(18.31)
при действии перио-
так:
(18.32)
Заметим, что первый член правой части с переменным множителем
sin6/ соответствует чисто вынужденным колебаниям с частотой
самой возмущающей силы 9, а второй член с множителем sin со/ —
вынужденным колебаниям с частотой собственных колебаний е>.
Иногда второй член называют выражением для «свободных» коле-
баний.
375
Анализ показывает, что с течением времени колебания с часто-
той собственных («свободные» колебания) затухают и для этого
установившегося процесса движения можно пренебречь вто-
рым членом уравнения (18.32), ограничившись чисто вынужденными
колебаниями. Итак, имеем
С = ш (ш2 —92) =	' 1 — 02/<о2 = '/с| 1 - W = '/ст (18-33)
В уравнении (18.33) С —амплитуда чисто вынужденных коле-
баний (наибольшее динамическое перемещение). Величину ампли-
туды чисто вынужденных колебаний по выражению (18.31) пред-
ставим так:
у° = С; д =	=	(18.34)
где уст = Р0/(т©2) — статическое перемещение, вызванное силой
д—динамический коэффициент, показывающий, во сколько раз
0 = 0)
динамическое пере-
мещение больше ста-
тического.
Динамический ко-
эффициент устано-
вившихся периоди-
ческих колебаний по
выражению (18.34)
fX= 1—92/w2 • (18,35)
По мере увеличе-
ния частоты возму-
щающей силы 0 и
приближения ее к
значению со (рис. 295)
динамический коэф-
фициент по выраже-
нию (18.35) нараста-
ет. В случае
(18.36)
динамический коэффициент д становится бесконечно большим
(д=оо).
Если рассмотреть неустановившийся процесс по выра-
жению (18.30), то окажется, что при соотношении частот 0 и ©
по выражению (18.36) коэффициент д неограниченно возрастает
по времени. Этот случай совпадения частот 0 и и соответствует
резонансу.
Явление резонанса весьма опасно для сооружения, поскольку
в области резонанса наблюдается значительное увеличение ампли-
туд колебаний. Поэтому нередко требуют, чтобы 0^0,8©—фор-
мула расчета на резонанс.
373
При 0 > w значения чисто вынужденных отклонений и коэффи-
циента р. становятся отрицательными. На рис. 295 рассмотрен гра-
фик абсолютного значения ц (кривая /). При учете затухания
в зоне резонанса амплитуды получают конечные, но весьма значи-
тельные величины (кривая II). Заметим, что как только переме-
щения становятся значительными, необходимо применять иное диф-
ференциальное уравнение.
Учет затухания. При учете сопротивлений (вязкое трение мате-
риала, трение в соединениях и другие причины) динамическое
уравнение вместо (18.20) будет включать еще силу сопротивления,
которую принимаем по Фойгту прямо пропорциональной скорости
движения у':
R=2emy',	(а)
где е — коэффициент затухания. Он находится из эксперимента и
приближенно принимается по Фойгту линейно связанным с часто-
той собственных колебаний со.
Внося выражение (а) в условие равновесия (18.20), получаем
следующее дифференциальное уравнение:
у" + 2е,у' +<о2с/ = Pt/m = (Ра/т) sin©£,	(б)
где 0 — частота возмущающей силы. В левой части (б) второй
член отражает учет затухания. Далее введем значение р(1- Pjtn.
Общий интеграл этого уравнения, в случае когда в начальный
момент времени тело находилось в покое, по точному решению:
у= -~=sin (Qt ф-6)--/sin 6 cos«; ф-
v 4	V 4 I
4-[e sin6 4~0cos 6]^^ ,	(в)
где ф= (co2 — 02)24-402e5; sin6 = —2е0/|/ф; cos6 = (co2 —02)/]/ф; (г)
6 —разность фаз, отражающая запаздывание перемещения по
отношению к силе. В случае отсутствия затухания формулы (г)
дают cosd-=l, sin6=0.
Если в начальный момент действия силы тело находится в дви-
жении и начальные элементы перемещения и v0, к решению (в)
следует добавить собственные колебания
Усв = е-Е/ ^cos at sinw/J ф-^sino/j .	(д)
В выражение (д) входит в виде множителя функция e~Et.
Вторая часть выражения (в) отвечает вынужденным колебаниям
массы с частотой собственных. С течением времени они исчезают
и приближенно можно принять, что перемещение по формуле (в)
y ---^=sin(O/ J 6).	(е)
377
Максимум у получим из выражения (е), полагая синус угла рав-
ным единице:
утз х = -~= =  г Р* , ....................  (ж)
х	т /(Ы2 —е2) + 462е2	' '
Формула (ж) дает приближенное значение i/max.
Помня, что P0/(mw2) есть статическое перемещение t/CT, получаем
1/шах Ус гН»
где р—динамический коэффициент.
Итак, в случае учета сопротивлений динамический коэффициент
р = г.....	1 —.	(18.37)
K(i—еа/®2)а+4е2е2/<о4	'
где е = &« — коэффициент затухания; k находят экспериментальным
путем; для стальных конструкций А: = 0,02 4-0,08.
В случае резонанса (0 = <о) динамический коэффициент
р^-<о/(2е).
Сведя сложную систему к системе с одной степенью свободы и
применив формулу (18.37), легко учесть явление затухания.
Определение амплитуд вынужденных колебаний методом инер-
ционной нагрузки. Рассматривая случай установившихся вынуж-
денных незатухающих колебаний,
определяем отклонение при коле-
бании как результат действия воз-
мущающей силы и силы инерции
(рис. 296, а):
y = (Pt + I,.)8,
где 6 —единичное перемещение.
Подставляя выражение силы
инерции, получаем
y = (Pt-my"')6.	(18.38)
Рассматривая при действии пе-
риодической силы
Pt — Рв sin 0/
чисто вынужденные колебания,
подставляем частное решение
sin 0/,
причем
у’ —— г/°02 sin 0/,
где у° — амплитуда колебаний; получаем вместо выражения (18.38)
y°sin0/ = (Ро sin Qi + yW-m sin 0/) 6.	(18.39)
378
Сокращая обе части выражения (18.39) на sinOZ, находим
уа-(Р0 + y<W-m)b.	(18.40)
Но yf>62m — Z1 — максимальное значение силы инерции. Вводя это
обозначение, получаем
i/»=(P0+Z1)6.	(18.41)
По выражению (18.41) амплитуду чисто вынужденных периодиче-
ских колебаний можно получить как результат статического дей-
ствия амплитуды силы и максимальной силы инерции = у'^-т
(рис. 296, б).
Из выражения (18.40) имеем
„ Ро8	/’об
у ~ i-ew> —i-ew~ycTtt’
что совпадает с выражением (18.34).
§ 107. Вынужденные периодические колебания системы
со многими степенями свободы
Применим изложенный выше метод инерционной нагрузки к си-
стеме с п степенями свободы. В качестве примера рассмотрим балку,
несущую п точечных масс (рис. 297, а).
Изучается действие периодической силы Pt = Ро sin Of, причем
ищем решение по Н. И. Безухову для установившегося процесса
Рис. 297
чисто вынужденных колебаний, когда каждое перемещение центра
точечной массы можно представить частным решением
= sin6i,	(а)
где —амплитуда колебаний.
Применяя принцип Даламбера, вводим силы инерции	Iп
и каждое перемещение находим по принципу наложения, исполь-
37S
вуя метод сил:
=/16п +/2612+.../„6ln4-Pt61J0; 1
У2 — /1^21 + /2622 + . . . 4- /п62п + Pfizp', I
Уп = /i6„i + /26„2 +•+/я6„„ 4- Рt8np, ]
где 6Н1, 6Н2, ..., 8пр—единичные перемещения.
Подставляя решение (а) и значения сил инерции /, = т,У;62 sin0Z,
а также Pj = Posin0Z и сокращая уравнения (б) на sin 0/, получаем
У1 = ^1У1026П 4- т#202612 4-  • • + ЛА,,; '
=/П1У102621 + т2У2е2622+• • •+Д62/, „	(18 42)
Уп =-	+ т.2у^п2 4- ... 4- P<fi„p- .
Каждое перемещение у„ в его амплитудном значении можно
получить как результат действия системы максимальных сил инер-
ции ZT, Z2,   , Z„ и силы Ро в ее наибольшем значении; значения
сил Z, (рис. 297, б):
Zt =т,у^;
Z2 = т2у^\
Zn = tnny^.
(18.43)
Систему уравнений (18.42) можно представить, объединив члены
с одинаковыми амплитудами:
wijO2^ ^Sii —	) 4~ т$'2у2 612 4-... 4- Р= 0;
«Л2!/?8214- т20-«/Цб22— ^) + ••• 4-РДр-О;	>	.
mfi2y^nl + m2e-y^n2+ .. .+тп^у“ (бпн +P<finp = 0.
Система (в) имеет структуру канонических уравнений.
Подставляя обозначения сил Z; из выражений (18.43), полу-
чаем систему канонических уравнений для максимальных сил
инерции:
Zi ^$11—^02) +Z26J2 + • • • +2п61п4-/>0817, — 0;
Z^214- Z2 (б22 -	4- • • - 4-	+ Ро^Р - 0;
► (18.44)
^6,;14- Z26,2 4-... + Z„ (б„„ -) 4- Ро^р = 0.
380
Решая эту систему уравнений при заданном значении 9, отлич-
ном от частот собственных колебаний w;, находим конечные значе-
ния максимальных сил инерции Z(-.
В случае, если частота возмущающей силы совпадает с какой-
либо из частот собственных колебаний со,-, имеем явление резонанса —
неограниченное нарастание амплитуд колебаний. Найдя из системы
канонических уравнений (18.44) все силы инерции Z,-, строим эпюру
моментов в состоянии наибольших отклонений (рис. 297, б), поль-
зуясь формулой
Мсун = ЛМ 2 Z,M(,	(18.45)
Второй член в формуле (18.45) отражает влияние динамики. Зату-
хание приближенно можно учесть методом приведения масс.
Пример. Построить динамическую эпюру моментов и найти динамический
коэффициент при действии на статически неопределимую раму по рис. 298, а
вибрационной нагрузки в виде силы Рд = Р sin 9/ и опорного момента MS = M sin 0/,
Рис. 299
где Р = 6 кН; Л1 = 30 кН-м; массы т1 = т, т2~1,5т. Моменты инерции /2 = 3/i,
размеры / = /г = 6 м; 0 = 0,6(0!. Коэффициент жесткости опоры с =
= Eh/(0,5l)3 = EIil9.
Решение. Прежде всего определяем лишнее неизвестное X в состояниях дей-
ствия Pi=l, Р2=1 и Л1 = 1, Все перемещения вычисляем увеличенными в £7Х
381
раз, оставляя обозначение 6 (рис. 298, б):
/’1 = 1, тогда 105Xt — 43,5 = 0;	Л\=0,414;
Р2=1, тогда 105Х2—13,5 = 0; Х2 = 0,129;
М = 1, тогда 105ХЛ1 —18=0; ХЛ1 = 0,1714.
Переходим к определению частот собственных колебаний.
Рис. 300
Эпюры моментов для определения 6П, б12, 822> входящих в частотное уравне-
ние, представлены на рис. 299, б, в. По правилу перемножения эпюр перемеще-
ния в £/t раз увеличены: 611=2,991; 6]2=1,161; 623 = 2,759.
Из частотного уравнения (18.23) получаем:
св] = 0,443	<в3 = 0,701 УЕ/t/m-
Частота возмущающих сил
0 = 0,6coj = 0,266 VHTJin.
Для системы канонических уравнений (18.44) определяем:
*‘-^=2да-<таю?=“-"'16‘
Для определения A)j5 и в амплитудном состоянии строим суммарную
эпюру моментов от Р =60 кН и Л4 =30 кН-м в статически неопределимой системе,
помня, что Хл[= 1,714 кН и ординаты
эпюры моментов от Л1 = 30 кН-м в узле
10,28 и 5,14 посередине ригеля. Пере-
множая эпюру моментов по рис. 300, а
последовательно на эпюры рис. 300, б, в,
получаем:
Av= 194,2; Л2/,= 112,5.
Система канонических уравнений для вы*
нужденных колебаний
—11,16Zt+l,16Z,+194,2 = 0;
1,16ZL—6,65Z2+112,5 = 0,
откуда Zt=19,5; Z2 = 20,3kH.
Силы инерции направлены положи-
тельно (Zj — вниз, Z2 — вправо). Динами-
ческая эпюра моментов дана на рис. 301.
Наибольший динамический коэффициент
(по среднему сечению ригеля) р =
=53/25,4 = 2,08.
382
§ 108. Виброгасители для двухмассовой системы
Для гашения колебаний одной из масс системы можно исполь-
зовать зависимость амплитуды колебаний от коэффициентов жест-
кости отдельных масс и величины опорной массы.
Рассмотрим простейшую схему процесса виброгашения для си-
стемы двух жестких масс т1 и тг, связанных упругой рессорой
жесткостью с,, причем нижняя
масса упруго оперта на основание,
жесткость которого определяется
коэффициентом с2 (рис. 302, а).
Нижней массой может являться
фундамент, верхней —масса двига-
теля, который подвергается дей-
ствию вибрационной силы Рв=
= Psin9Z, где 0 —частота возму-
щающей силы.
Пользуясь рис. 302, б, состав-
ляем условия равновесия отдель-
ных масс [верхней т1 при введе-
нии силы инерции 11 и силы упру-
гости c1(yi — yl) и нижней лг2,
подверженной действию силы инер-
ции /2, силы упругости со сто-
роны рессоры ct(y2—yj и силы
упругости от основания с2у,]:
Рис. 302
С1(У2~ Уг) = Р s'm Ы; 1
m^ + cjy., — y±) + c2y2 = 0. f
При этом предполагаем, что у2 > ylt для которых положительное
направление предполагается вниз, и силами сопротивления при
затухании можно пренебречь. Рассматриваем далее установившийся
процесс колебаний. Вносим частное решение системы уравнений (а)
вида
у, sin О/; у2= А„ sin0/.
Сокращая все члены уравнений (а) на sinOZ, получаем:
А, (с1 — OTjO2) — Asct = Р;
— Д 1с14- Аг (q 4- q — m,0'2) = 0,
откуда находим формулы для амплитуд:
Л =Д2 =----------------------—------г* (б)
(ct—mx92J к— ci	(q— mL(P) k—cl	'
В формулах (б)
A = q + q—mfi2.	(в)
Коэффициент k (множитель при Р) в выражении амплитуды Аг
по формуле (в) зависит от коэффициентов q, с., и массы т,. Можно
383
так подобрать значение жесткости рессоры чтобы
с1 = т,9'2 — с2.	(г)
Тогда, как вытекает из формулы (в), k~0 и амплитуда колебаний
Л)0, т. е. двигатель массой mi будет находиться в покое,
а фундамент будет совершать колебания с амплитудой Л2 =— P/Cj.
Рессора с жесткостью, определяемой по выражению (г), будет
являться гасителем колебаний. Конечно, необходимо избегать явле-
ния резонанса, который возникает при равенстве частоты 0 воз-
мущающей силы одной из собственных частот колебаний системы
с двумя степенями свободы.
Рассмотрим еще случай вертикальных колебаний
двух массово fi системы, когда нижняя масса пред-
ставляет собой колесо вагона, а верхняя —подрес-
соренную массу вагона, и сила Рв, направленная вверх,
приложена к колесу вагона.
Положим, что возмущающей силой РЕ является динамическая
реакция, возникающая при прохождении выбоины в рельсе:
Рв = cji sin 9/ = cji sin (aw///),
где v—скорость движения груза; I — длина выбоины,
P = cji\ 9 = nv//.
В этом случае система уравнений (а) обращается в следующую:
+ (i/2—y1) + c2y2 + c2ftsin0/ = O. /
В формулах (д) учтена упругая связь двух масс. Предполагая то
же частное решение дифференциальных уравнений yt = At sinOZ,
получим для амплитуды колебаний колеса
=	(е)
(q—/п ,&-') k—cl
Формула (е) дает значение максимального перемещения массы т2.
Пример. Найти амплитуду колебаний колеса вагона, если амплитуда воз-
мущающей силы вызвана выбоиной глубиной h = 0,5 см, коэффициенты жесткости
<?1 = 3,5МН/м; с2=10МН/м, массы: т1 = 2т (20 кН-с2/м); m.z = 0,2i (2кН-с2/м);
частота 9= 10 с-1, длина 1 = 3,64 м. При этом скорость г=11 м/с.
Решение. Р = с2/г = 50кН; 6=13,3 МН/м; сг — /н102 = 1,5 МН/м; по фор-
муле (е) амплитуда колебаний
л _.	Р (ci—гщб2)
(С]—лгф2) k—cl
(5-104) (1,5-10е)	0,975, nrv7C
= (1,5-10») 13,3-10»—(3,5-10»)*	100	' м‘
Конечно, следует проверить возможность резонанса.
384
§ 109. Вынужденные колебания системы с одной степенью
свободы при действии непериодической нагрузки
Общее уравнение вынужденных колебаний. Рассмотрим случай
незатухающих колебаний системы с одной степенью свободы при
действии возмущающей силы по степенной функции
/	/2	/л
+ ---+р“ щ •	(18-46)
По функции (18.46), Pt — полином nil степени.
Составим общее выражение для вынужденных колебаний в этом
случае по методу начальных параметров.
Считаем для простоты, что в начальный момент масса груза
находится в покое и потому отклонение в произвольный момент
времени зависит исключительно от возмущающей силы. Это откло-
нение будем называть чисто вынужденным: у}, У- В случае, если
в начальный момент масса не находится в покое, полное откло-
нение будет
1/пол Усв Ув Усв Н- У,
где первый член —выражение свободных колебаний, вызванных
начальным отклонением и начальной скоростью:
Усв = У о cos + v0 sin tot /со.
Расчленение полного отклонения на два слагаемых —свободного
и вынужденного колебаний— закономерно в силу линейности диф-
ференциального уравнения колебаний. Для получения выражения
уе — у составим дифференциальное уравнение чисто вынужденных
колебаний.
Выделим массу т, к которой непосредственно приложена воз-
мущающая сила Pt, и составим дифференциальное уравнение коле-
баний:
у" 4- а>2у = Pjm.	(а)
В уравнении (a) P(t) — непериодическая сила, меняющаяся по сте-
пенной функции.
Интегрируем это дифференциальное уравнение в форме метода
начальных параметров при следующих начальных условиях:
при / = 0
!/<=о = О; «/Lo = O.	(б)
Эти значения t/0 и у'о учитываются при решении уравнения (а).
В результате интегрирования уравнения (а) получим
” т со2 ' m co:1	I
<«)	>	(18.47)
 Р'й cos со/—1+0,5«2/2 .	. ₽о° I 1—cos of
т со4 ' ’ ' ' "г т J о2 ’ J
385
(«>
П cos mt ji	v	и
где условимся ооозначать \ ———at—кратный определенный ин-
теграл от нуля до t основной функции решения
.	1 —COS <о/
Рв, Р'о, ...,Р[п> — начальные параметры возмущающей силы, пред-
ставляющей собой полином.
При помощи уравнения (18.47) решают различные задачи дина-
мики системы с одной степенью свободы. При наличии затухания
функции At включает влияние сопротивления и имеет такой вид:
Aet = 1 — e~st [cos at ф (e/w) sin wt].	(18.48)
Вместо функции At теперь по уравнению (18.48) в решение вво-
дится функция Aet.
Действие постоянной по времени силы. Считаем, что при t—-О
приложена постоянная сила = const. Так как все производ-
ные равны пулю, то в уравнении (18.47) следует сохранить
лишь первый член и потому отклонение
Выражение (в) дает решение для внезапного действия силы.
Учитывая, что а-т = с и, кроме того, Р/с- усг, получаем окон-
чательно
у = Уст (1 —coscot).	(18.49)
Согласно выражению (18.49), система колеблется по синусоиде от-
носительно положения равновесия (с/ср = ^сг). При at = л утах = 2(/ст.
Действие мгновенного элементарного импульса. При t = Q при-
кладывается внезапно сила Р, после чего при tl^-t~Fdt сила Р
внезапно снимается. Имеем случай действия элементарного (мгно-
венного по времени действия) импульса dF:
dF = Pdt.
По методу учета скачков в нагрузке после действия импульса
при произвольном t имеем
р	р	р
du = —— (1 — cosco/)----тг Г1 •— cos о) (t — dt)] = —- т dt sin со/.
или, подставляя значение dF из выражения (г), находим
d	(18.50)
J	т ti>	'	'
Формула (18.50) дает элементарное перемещение при действии
мгновенного импульса dF. Отклонение, как видим, меняется по
закону синуса.
Действие мгновенного конечного импульса. Пусть импульс ко-
нечной величины F0 = P\t приложен в начальный момент времени
386
почти внезапно (Ai очень мало). Тогда динамическое перемещение
(18.51)
и т со	4	'
По выражению (18.51) имеем приближенное решение задачи.
Действие любой возмущающей сосредоточенной силы. Рассмот
рнм теперь действие любой возмущающей сосредоточенной силы А
приложенной к данной массе.
Предполагаем, что закон изме-
нения силы Pt в зависимости
от времени известен (рис. 303).
Найдем выражение для от-
клонения у центра массы в мо-
мент времени t, считая, что
динамическое давление прило-
жено в начальный момент вре-
мени t0 -= 0.
Для отыскания перемеще-
ния в момент I применяем
принцип наложения, определяя
перемещение у как результат
действия системы бесчисленного
сов:
Рис. 303
количества элементарных импуль-
dF - Р (/х) dit,
и используем решение (18.50). Выделим промежуточный момент
времени и определим влияние импульса dF на перемещение
в момент t за интервал времени (/ — /х); отсюда согласно реше-
нию (18.50)
j	Pjiildti sin <о(/ —Zx)
V т	а)
(д)
Полное же отклонение как результат действия всех элементар-
ных импульсов находят интегрированием:
t
sin w _ dt»
о
(18.52)
где ti — текущее значение независимого переменного. Если Р (t) —
полином, вместо (18.52) применяем (18.47).
§110. Действие подвижной нагрузки
При движении нагрузки по сооружению возникают вынужден-
ные колебания сооружения, зависящие от скорости движения груза,
частот собственных колебаний, масс груза и конструкции. Дина-
мический эффект существенно увеличивается при наличии неров-
ностей пути или стыков в узловых точках пути.
387
Если рассмотреть движение сосредоточенного груза Р, то дина-
мический коэффициент для прогиба по середине простой балки
при распределенности массы ее
Удин Уст
I
(18.53)
где уС[ — Р/3/(48Е7); т — погонная масса.
Формула (18.53) для случая резонанса (когда знаменатель обра-
щается в нуль) дает так называемую критическую скорость. Для
данного случая она обычно очень велика.
Рассмотрим простейшее решение задачи о действии подвижной
нагрузки на главную балку АВ (рис. 304), несущую сосредоточен-
ника (рис. 304, б), когда при 0 < х < 1/2
функция
ную массу т посередине
пролета. Балка АВ под-
держивает продольно раз-
резные балки АС и СВ,
груз Р движется с равно-
мерной скоростью v по
продольным балкам, кото-
рые и передают его дав-
ление на средний узел С
(рис. 304, а). При движе-
нии по первой продольной
балке сила давления
Рс = P-2x/l = Pt/tr,
где 1/2 = vt±; соответст-
вует х = 1/2. Задачу можно
свести к действию возму-
щающей силы Рс на мас-
су т по закону треуголь-
и 0 iC t возмущающая
A (t) = 2 Pvt/(ml),
а при	эта функция будет
f2(t)^(2P/m)(l~vt/l).
(а)
(б)
По (а) функция (/) —линейная функция от t; по (б) функция
А (О—также линейная функция от t.
Производные этих функций по t (рис. 304, в):
f'1(t) = 2Pv/(ml); f'2(t) = — 2Pv/(ml).
При / = А имеем резкое изменение функции /'(/) на величину
[~4Pv/(ml)].	(в)
По выражению (в) при переходе груза через узел С имеем
скачок в /' (/).
388
При / = 2/j имеем скачок в /'(/) величиной 2Рц/(т/). Очевидно,
для положения груза в точках А и В f(t) = O и единственными
«факторами» динамического воздействия будут значения функции
/НО-
При	по формуле (18.47) динамическое перемещение
точки С
У =
2Ру
ml
(со/— sin со/)
со3
(г)
Выражение (г) действительно для участка АС.
При этом мы не учитываем затухания и массы груза. Для по-
ложения груза в точке С имеем при t = t± = l/(2v) = //CI<o2m(/(2Pv)
P /. sin (0/| \	(. sin OjZ| \	. .
'/дин-'^Г^1 wZ1 J — Уст	Ш?1 J-	(Д)
Если ioZj = 3ji/2, to
'/ли>1 = '/ст[1 +2/(3n)]= l,212yCT
— получен большой динамический коэффициент (р= 1,212) за счет
неучета затухания и массы груза. При наличии выбоины этот коэф-
фициент будет выше (см. § 108).
Заметим, что после схода груза с проезжей части будут про-
исходить свободные колебания системы, определяемые скоростью
движения возмущающей силы.
§111. Удар груза по сооружению
Применим обобщенное уравнение (18.47), данное для системы
с сосредоточенной массой. Считаем, что приведенная масса
балки т2 (рис. 305, а) сосре-
доточена в месте удара падаю-
щего груза массой т1.
Явление удара характерно
быстрым уменьшением скорости
движения ударяющего тела с
момента первого его контакта
с балкой до установления ско-
рости, соответствующей конеч-
ной местной деформации в об-
ласти контакта. Пренебрегая
последней, будем считать, что
ударяющее тело является абсо-
лютно жестким и ударяемое тело
не получает местных деформа-
ций. Итак, рассматривается
«абсолютно жесткий удар», но
само сооружение считается уп-
ругим. При таком предположе-
нии явление удара считают
происходящим мгновенно: ско-
389
рость падающего груза в начальный момент контакта мгновен-
но уменьшается до скорости v„, являющейся общей начальной ско-
ростью движения груза и балки (общей массой
Заметим, что скорость соответствует высоте падения h:
Vi = V 2gh .
В момент встречи груза и балки, приведенная масса которой т,,
к сооружению мгновенно присоединяется масса груза т1 — сразу
же после встречи груза и балки устанавливается общая скорость
их движения п0. Скорость v„ и соответствует моменту времени t — О,
который принимает за начало оси времени. Для упрощения ана-
лиза удара считаем, что после встречи груза с балкой обе массы
перемещаются, не отделяясь друг от друга. Полагаем, что в кон-
струкции возникают только упругие деформации.
Дальнейшее движение системы общей массой М = т1-\-тг пред-
ставляет собой колебание от действия приложенной постоянной
силы Р (рис. 305, б), причем начальной скорости v0 соответствует
мгновенно приложенный импульс Fo, который можно представить
как передающееся от груза балке количество движения
= mxvt.
Как видно, явление удара здесь рассматривается как процесс ко-
лебаний, вызванный импульсом Fo и силой Р.
Начальную скорость движения системы и(| находим из закона
сохранения количества движения, считая, что до удара балка на-
ходилась в покое. Массу и скорость груза перед ударом обозна-
чим гщ и V,, приведенная масса балки /п2 = тпр.
Для определения будем считать, что количество движения
перед самым ударом равняется количеству движения непосредст-
венно после удара:
откуда
Но т1-\-т2 = М—общая масса балки и груза, поэтому начальная
скорость
v0 = tn^vjM = Fo/M.	(18.54)
Начальная скорость выражена через Fo.
Уравнение движения системы после падения груза на балку,
считая уа = 0 и принимая во внимание схему рис. 305, б, можно
написать по обобщенной формуле:
z/ = uosin<of/fi> + [P/(M<B2)] (1 — coswt), (18.55)
где частота собственных колебаний системы
<й = )	= V 1/(Л1б) = У'Р/(Му„) .	(18.56)
390
По выражению (18.56) частота колебаний зависит от полной массы
системы.
Заметим, что по соотношению (18.54)
v0/w = т,ц1/(Л1о)) = Pcjco^g/Wco2) = tjct-tnvjg.
Внося это выражение в уравнение (18.55), получаем
г/= г/ст (мг'1 sincoZ/g-f- 1 — cos «/) = t/crpf.	(18.57)
В выражении (18.57) переменный по времени динамический ко-
эффициент при ударе
ц( = юи, sin at/g-\- 1 — coswf.
Найдем максимальное значение динамического коэффициента
Дифференцируя по t~.
cos , w sjn _ Q
at g 11	1	*
откуда
tg = — brvjg.	(18.58)
Из уравнения (18.58) определяем tv соответствующее р.шах, и на-
ходим:
cos со/, —---- — ,
К1 + (m/g)2
sin at1 = a>Vl'8 .
П + Wlf)2
Внося в выражение (18.57) эти значения sinatf, и coscof^, после
преобразований находим
Ншах - Ид = 1 + V1 + (WOi/g)2” .	(18.59)
По (18.59) имеем выражение динамического коэффициента. Пред-
ставим теперь (®y,/g)2 через h и отношение mjMt
( ок1, \2_ Р 7gh ____ 2h ni\
\g~ ) ~~ Mycs ~gr “ 1/77	'
Для наибольшего значения динамического коэффициента при
ударе окончательно получаем следующее выражение:
’-=1+/‘+£т=1 + /1+^-таГ- (18.60)
Таково выражение рд с учетом массы конструкции.
В формуле (18.60) Qnp—приведенный вес сооружения; Qnp =
— m2g, где тг—приведенная масса балки.
Если zn2 = oo, то М = оо и динамический коэффициент при лю-
бой высоте падения равен двум (массивная стенка). Определив
наибольшее значение динамического коэффициента, находим дина-
мическое напряжение:
^дия — Рд^ст'
391
Конечно, к динамическому напряжению от падающего груза при-
бавляем статическое напряжение от собственного веса сооруже-
ния. Заметим, что учет массы сооружения имеет существенное
значение.
Из формулы (18.60) видим, что с увеличением t/CT при
прочих равных условиях рд уменьшается. При h = Q, что соответ-
ствует внезапному действию силы, цд = 2. С возрастанием h
значение динамического коэффициента быстро увеличивается.
Общее решение в форме (18.55) дает возможность решать раз-
личные задачи, в частности задачу о действии повторных ударов,
когда новый удар может произойти в произвольный момент вре-
мени, не соответствующий максимуму перемещения от первого
удара.
Формула (18.60), конечно, применима как при поперечном, так
и при продольном ударе. Ею часто пользуются в практике рас-
четов на удар.
§ 112. Поперечные колебания стержней
с распределенной массой
Общий интеграл дифференциального уравнения собственных ко-
лебаний. Рассмотрим задачу о свободных колебаниях балки с рас-
пределенной массой, предполагая, что малые колебания ее проис-
ходят в главной плоскости изгиба и размеры поперечного сечения
незначительны по сравнению с длиной стержня.
Считаем, что ось балки прямолинейна и масса ее распределена
по заданному закону
m = p/q,
где т — погонная масса балки; р — вес единицы длины балки; q—
ускорение свободного падения.
Так как рассматривается случай малых колебаний, можем при-
менять обычные соотношения теории изгиба балок и, в частности,
приближенное дифференциальное уравнение упругой линии. Пусть
под влиянием какой-то причины балка получает в момент времени t
смещение в вертикальной плоскости (рис. 306). Ординаты динами-
ческой упругой линии балки у будут функцией двух независимых
переменных — абсциссы х и времени Е
= /),
где у отсчитывается от положения оси балки в ее статическом
состоянии. При таком движении балки каждый ее бесконечно ма-
лый элемент находится под действием: 1) сил упругости, возни-
кающих при поперечном динамическом изгибе; 2) сил инерции,
приложенных к каждому элементу и пропорциональных ускорению
движения.
Для данной системы с бесконечным числом степеней свободы
вертикальное отклонение произвольной точки балки будет сложной
гармонической функцией времени и абсциссы. Внутренние усилия —
392

to7
Рис. 306
динамические моменты и поперечные силы— также будут сложными
функциями от двух независимых переменных х и t.
Выделяя бесконечно малый элемент балки, ограниченный двумя
сечениями (см. рис. 306), представим действие ее отброшенных
частей в момент времени I внутренними силами
и ^Mx + ^-dx^ , ^Qx+^dx^ .
Кроме того, на элемент действует сила инерции, при верти-
кальном смещении равная
dl — — т dx,
at*
При этом ввиду малости углов поворота сечений не учитываем
влияния инерции поворота сечений и сдвигов их. Проектируя все
силы, действующие на элемент, на вертикальную ось, получаем
^dx—dI = 0.
дх
Подставляем выражение для dl и делим на dx:
Но поперечная сила связана с моментом известным соотношением
Qx = дМх/дх.
Подставляя это соотношение в уравнение (а), получаем
Теперь воспользуемся дифференциальным уравнением упругой ли-
нии балки при чистом изгибе
Мх
дх- ~ ЕГ
393
Подставляя выражение Мх в уравнение (б), получаем следующее
дифференциальное уравнение:
2L
дх2
(в)
Выражение (в) —приближенное дифференциальное уравнение
поперечных колебаний балки переменного сечения с распреде-
ленной массой.
Рассмотрим далее балку постоянного сечения, т. е. £7 = const.
Деля обе части уравнения на т, окончательно находим
дгу , Е! д*у
(Г)
Вместо бесконечной системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений имеем одно линейное дифференциальное уравнение в част-
ных производных четвертого порядка. Здесь у—функция двух не-
зависимых переменных х и t.
Так как дифференциальное уравнение (г) линейно, то линейная
совокупность частных интегралов этого дифференциального урав-
нения также будет его решением. Общий интеграл этого диффе-
ренциального уравнения получим как сумму отдельных его ре-
шений:
2 у,-,	(д)
1
где у,-—частное решение дифференциального уравнения (г) или
выражение так называемой г-й формы колебаний.
Применяя метод Фурье, представим каждое частное решение
у,- в виде произведения двух функций, полагая первую зависящей
только от х, а вторую — только от t:
yi = X(x)T(x).	(е)
Выражения частных производных, входящих в дифференциальное
уравнение (г):
-^ = Х(х)-^Д; -^ = 7(0-^#.	(ж)
dt2 ' ' dt1 дх* ' ' ах*	' '
Частные производные функции у,- представлены через полные
производные функции Т и X. Подставляя выражения (ж) в диф-
ференциальное уравнение (г), находим
d‘2T EI Td*T  „	, .
Из уравнения (з) можно получить следующее равенство отношений:
ЕГ_ d^XJdx*_==_^TJdt2_	/И)
т X	Т '
394
Левая часть равенства (и) зависит только от х, а правая часть
выражена только в функции от t, и все же имеем постоянное
равенство этих двух различных функций ст отдельных переменных.
На основании этого считаем, что как левая, так и правая части
равенства (и) не зависят соответственно от х и t и потому каждая
из них равна постоянному числу. Обозначим это постоянное отно-
шение со2.
Таким образом, вместо равенства (и) получаем
hit
+	=	(к)
__w2__X = 0.	(л)
Интегрируя первое дифференциальное уравнение (к), аналогич-
ное уравнению для свободных колебаний системы с одной сте-
пенью свободы, находим
Ti = Л,- sin (сог7 + X,),	(м)
где А; — постоянная; со,-—частота свободных колебаний для i-й
формы.
Решая второе дифференциальное уравнение, применяем метод
начальных условий. При постоянной массе и жесткости —
величина постоянная и уравнение (л) в известной степени анало-
гично дифференциальному уравнению упругой линии для балки
на упругом основании, но с изменением знака перед у на обратный.
Подставляя в выражение (е) решение (м), получаем
yz = ZzXz sin -j-Xz) = yi sin (wzZ + Xf),	(н)
где
У,- = Л,Х;.
Если для функции Xz соблюдается дифференциальное урав-
нение (л), то для у, имеем аналогично
d'i/i / m2m \ л	, х
Найдя решение дифференциального уравнения (о), получим
у; из выражения (н) и полное решение из выражения (д). Оче-
видно, если
sin (со;7 4- Xz) = 1,
то t-я форма колеблющейся балки у; становится равной yz:
У1 = Уг1,	(п)
т. е. по выражению (п) i-я форма колебаний обращается в функцию
лишь абсциссы х, не зависит от времени и дает амплитуды ординат
упругой линии. Поэтому у; будет выражен и ем нормальной
формы колебаний, т. е. выражением формы изогнутой оси,
395
которая соответствует значению
sin (и,7 +%,) = 1.
Полное решение дифференциального уравнения свободных колеба-
ний следует искать в форме
= 2	2 sin («,-/ф-X,.),	(18.61)
1	1
где f-я нормальная форма колебаний определяется из дифферен-
циального уравнения (О).
Обозначая
k* = m&/(El)	(18.62)
и зная k, по (18.62) определяем ш.
Окончательно получаем дифференциальное уравнение для у{:
-g—^ = 0,	(18.63)
где у, — функция лишь абсциссы х. Согласно уравнению (18.63),
— ордината нормальной формы.
Интегрирование дифференциального уравнения нормальной
формы колебаний. Для получения уравнения i-й нормальной формы
колебаний балки применяем метод начальных параметров, полагая,
что при х=0 имеется начальный прогиб у0, начальный угол на-
клона уо. динамический изгибающий момент Л40г- и поперечная
сила Qo,-.
Принимаем начало координат в центре левой опоры балки.
Ось Y направлена вниз; изгибающий момент, действующий против
часовой стрелки, считаем со знаком плюс; поперечную силу, на-
правленную вниз, принимаем положительной (см. рис. 306). Интег-
рируя дифференциальное уравнение (18.63) и применяя форму
метода начальных параметров, получаем после преобразований
для yt следующее уравнение:
yi = yoiSx + y’^ + Moi^-+Qo!^‘	(18.64)
Это уравнение для ординаты динамической упругой линии балки
с распределенной массой в зависимости от абсциссы х в состоянии
наибольших отклонений. Здесь Sx, Tv, U Х1 Vx— балочные функции
А. Н. Крылова. Для основной функции решения Sx имеем
<SX = (ch/г.х-j-cos/г.х)/2.	(18.65)
Функции Тх, Uх, Vx получаются последовательным интегрирова-
нием функции
Тх = (sh£x + sinH)/2; Ux = (сЬЛх—cosAx)/2; '
Vx = (shkx — sin£x)/2; Sxdx=Sxjk*.	(18.66)
о
396
Кроме того, учтем, что
ЛТ = М/(£/); Q = (?/(£/).	(18.67)
Последовательным дифференцированием функции £Л. найдем:
Sx = kVx; Sx = k-Ux; Sx'--=ksTx.	(18.68)
Дифференцируя выражение (18.64), получаем амплитуду угла на-
клона для i-й формы:
У: — Уо/^х + y'at^x Ч~ MoiTx/k + QOjUx/k\	(18.69)
Амплитуда изгибающего момента после дифференцирования выра-
жения (18.69)
Л1,- = ytiEIk4Jx + y'tiEIkVx + МС,.£Л. + QoiTx/k.	(18.70)
Амплитуда поперечной силы после дифференцирования выражения
(18.70)
Q; = y,:EIWTx + y^Elk4Jx + MoikVx + Qo!Sx. (18.71)
Пользуясь полученными выражениями для амплитуд колебаний
и усилий, легко решить задачу о нахождении частот свободных
колебаний в соответствии с характером опорных закреплений балки.
Условия на конце балки, которые можно составить по уравнениям
(18.64)—(18.71), не будут включать свободных членов, а поэтому
ненулевые значения начальных элементов динамической упругой
линии (например, для шарнирно опертой балки у'о и Qo) имеют
место, если определитель системы уравнений равен нулю:
А<о,- = 0.	(18.72)
Из этого уравнения и находят корни его k{ и, следовательно,
по выражению (18.62) значения частот колебаний балки со,. в за-
висимости от условий закрепления ее концов;
со,, ЕЦт.	(18.73)
Свободные колебания однопролетных балок. Определим частоты
колебаний балки на двух шарнирных опорах (рис. 307). Задача
сводится к анализу i-й стоячей формы колебаний, уравнение орди-
наты которой (18.64). По условию закрепления, начальный прогиб
z/Qt = 0; ввиду наличия шарнирной опоры Л401=0. На правом конце
397
балки равны нулю прогиб и момент:
Л = 0; Мг = 0.	(18.74)
Выражения (18.74) формулируют конкретные условия на конце.
Пользуемся уравнениями (18.64) и (18.70). Так как г/„,-= 0 и Л4о; = О,
получаем
+	^^Va + Q0i.^ = O, (18.75)
где Та и Va~ значения соответствующих функций при kl~a.
Для начального угла наклона и начальной поперечной силы,
возникающих при колебаниях системы, имеем ненулевые значения,
если детерминант системы (18.75) из коэффициентов при неизвест-
ных y'oi и QoZ равен нулю. Умножая первое уравнение на k, а вто-
рое на	получаем по уравнению (18.72)
к^ — Та.— У« = 0,	(р)
пли, иначе, из уравнения (р) находим:
Га-Уа = 0; Та + Уа = 0,	(18.76)
Соотношения (18.76) дают два условия; реально лишь первое.
Подставляя значения функций, получаем:
(sha Д sina)/2— (sh a —sin а)/2 = 0;
(sha-J- sina)/2 Д (sh a —sin а)/2 = 0.
После преобразований имеем:
sina = 0; sha = 0.	(18.77)
Первое уравнение и дает спектр частот свободных колебаний балки.
Из условия, что sina=0, получаем
a = kl = ля,
где п = 1, 2, 3, 4, ...
Частоты колебаний будут
^=41/ —	•	<18-78)
1 у tn z у m
Второму уравнению sha = 0 соответствует а = 0, т. е. отсутствие
колебаний. Итак, частоты колебаний получаем только из первого
уравнения (18.77) по формуле
со,, = a2a,
1 /~ЁТ ,	, ,
где « =-тт 1 / — 1 а" = п л2.
‘ | m
Наинизшая частота соо = 9,87a, первый обертон со, = 39,48а, вто-
рой обертон со. = 88,83a и т. д. Например для стальной балки
двутаврового сечения при 1 = 4,35 м
/71 = 20,4 кг/м (20,4 Н-с2/м2); / = 2,16-10~6 м‘;
£ = 210,9 ГН/м2; a = 24,9c~’; со0 = 246 с'1.
398
Балка, заделанная одним
балки, заделанной одним
(рис. 308 поз. 1, 2). Теперь
граничные условия — при
х=1. Пользуясь уравнениями
(18.70) и (18.71), получаем:
Mo!Sa + QoiT alk= 0;
M0(Va-|- QoiSalk = 0. (р)
Иначе: Л1( = О; Qt==O.
Приравниваем детерминант
системы (р) нулю:
S2a~TaVa-0,
где a — kl.
(с)
концом. Найдем частоты колебаний
концом, и с другим — свободным
Подставляем в уравнение (с) значения функций из выражений (18.65) и после
простых преобразований получаем 1—cosacha = 0.
Пользуясь таблицами гиперболо-тригонометрических функций, решаем это урав-
нение путем подбора. Находим:
2/-L- 1
ao = kol = 1,875; 0^ = 4,694; ...; а; = ——л.
Частоты будут: и0 = 3,515о; ог1 = 22с; и2 = 61,6а, ... Первая частота соо колеба-
ний балки, 'заделанной одним концом, почти в три раза меньше частоты <и0 для
балки на двух шарнирных опорах. Зная низшую частоту колебаний
3,515 Г EI
найдем приведенную точечную массу для защемленной балки, если приведение
делается к свободному концу балки, для которого б = /2/(3£/):
т„р-- 1/(йтоб) = 0,243т/.
Выше мы пользовались этим значением приведенной массы.
На рис. 309, поз. /, 2 приведены первые формы колебаний для
балки, защемленной двумя концами.
Рис. 309
§ 113. Продольные колебания стержней
с распределенной массой
Дифференциальное уравнение свободных колебаний. Рассмотрим
собственные продольные колебания прямолинейного стержня по-
стоянного сечения (рис. 310, а).
399
Обозначим продольное смещение в произвольной точке на рас-
стоянии х от начала координат uxt, относительное удлинение ех(,
продольную силу Nxt. Для упругих деформаций имеем по закону
Гука
txt=Nxi!(EF).	(а)
г»	дих»
Известно, что =
АГ ох
Следовательно, согласно выражению (а),
м — РРр — Ерд"'* •
дх , дх —С.г дх2 .
Пусть масса единицы длины стержня т. Тогда сила инерции,
приложенная к бесконечно малому элементу стержня,
dIB = ~(mdx)?^-.	(в)
Составляя по Даламберу условие равновесия элемента (рис. 310,6),
получаем
dI„ + ^dx = Q.	(г)
Подставляем в уравнение (г) значения величин из выражений (б)
и (в) и делим на т;
d2uxt .d^Uxt
dF ~ и Ox- *
Обозначая
EFitn = a?,	(д)
где а—скорость распространения упругой волны
деформации при колебании, получаем окончательно следующее
дифференциальное уравнение свободных продольных колебаний
стержня с распределенной массой:
Выражение для продольных колебаний по методу начальных
параметров. Полное решение линейного дифференциального урав-
400
нения (18.79) будет
u.:i = 2«,- = 2 мл;' sin (co^ + A.,),	(18.80)
i	i
где и; — i-я форма продольных колебаний.
Очевидно, <йг —частота колебаний, соответствующая i-й форме;
ttxj -выражение i-й нормальной формы продольных ко-
лебаний—функция только х.
Подставляя один член ряда (18.80) в уравнение (18.79) и опу-
ская индекс г, получаем
— оА/д. sin (со/ -j- А) = а2 sin (со/ -ф Л),
пли после сокращения на зт(®/-фА)
м2 = — <о2мх.	(е)
dx~	х
Для отыскания выражения нормальной формы колебаний поль-
зуемся обыкновенным дифференциальным уравнением (е).
Деля обе части выражения (е) на а2, выраженное по (д), и
обозначая
& = а2/а* = <>?т/(ЕР),	(18.81)
получаем окончательно для дифференциального уравнения нор-
мальной формы колебаний
Пусть при х = 0 начальное отклонение ux=f) = u0 и начальное
значение продольной силы NB, определяющее начальное значение
относительного удлинения при колебании
е0 = \ди/дх |д=0 = Na/(EF).
Интегрируя дифференциальное уравнение (ж) в форме метода на-
чальных параметров, получаем
их = uoi cask ;х +	sink [Xjk;.	(з)
Таким образом, решение дифференциального уравнения (18.79)
для i-й формы колебаний имеет вид
uxi = («oicos^,x + eoi ~5'П(<М + М- (18.82)
Пример 1. Найти частоты продольных колебаний стержня длиной L со
свободными концами (рис. 310).
Решение. На свободных концах стержня продольные силы равны нулю,
поэтому имеем следующие граничные условия:
е0 = | ди'дх |л = о = 0;	(и)
е/, = |с)ы,'5х|Л-_£ = 0.	(к)
Эти условия справедливы для любой Z-й нормальной формы колебании их'.
их = uOi cos k;x е0j sin kix/kj.
14 № 1116
401
Поэтому согласно уравнению (и) для их имеем
их = и0( COS kjX.
Находим выражение для удлинения:
8 =;—^ = — k;UQ; Sin k;X.
л дх
(л)
Применяем теперь второе граничное условие, т. е. уравнение (к); внося (л),
получаем
0 = — fe/Kofsin k(L.
Для k;, отличного от нуля, получаем
sin kiL =0,
откуда kjL — nn (л = 1, 2, 3, 4...).
Частоты колебаний находим из выражения (18.81):
ш,-=(пл/£) V ЕЕ 1т.
Пример 2. Определить частоты продольных колебании стержня, верхний
конец которого приклеплен к тяжелому вибратору массой М (рис. 311, а). Рас-
0) силе инерции массы М;
сматриваемый стержень длиной (, погонной
массой т при горизонтальном положении
может представлять собой схему поезда,
а М — массу локомотива. При вертикальном
положении стержень ОА — элемент бетонной
массы, уплотняемой вибратором.
Решение. Частотное уравнение для по-
езда (импульсное действие локомотива) сос-
тавляем, применяя решение (18.82) для про-
дольного отклонения. Вторая производная
от uxt по времени
„/
-	=—to-1 Hocosffx-f-
, sin kx \ . , , , ,,
-f-e° —у;— ) sin
Для данной задачи применяем первое ус-
ловие, что при х=1 дих/дх = 0, откуда
по уравнению (з) получаем
e0 = a0k tg kt.
Второе условие составляем, приравнивая
продольное усилие в начале стержня (точка
(м)
Внося значение иХ( по решению (18.82) и сокращая обе части на синус от
(ait-f-A,), находим из соотношения (м)
EFktgkl = Mt£fl.
Внося значение k, по выражению (18.81) получаем окончательно
tg(co//a) = Mual(EF),	(18.83)
где по формуле (д)
а = EF/m = У ЕГ1/т.
Выражение (18.83) представляет собой частотное уравнение.
Иной вид будет иметь частотное уравнение для уплотняемого столба, нижний
конец которого оперт, так как теперь первое условие другое, а именно: при
402
x = l ux = 0, что дает при сжатии
— WoA'/tg kl.
Из соотношения (м) теперь получаем
1 /1g (<й//а) — —Ma>a/(EF).	(18.84)
В случае вынужденных колебаний при приложении вибрационной
силы Р sin 0Z (рис. 311,6) бетонный столб будет сжат и из равновесия массы
вибратора будем иметь
Л'о( + Ш"—Psin6/ = 0.
Внеся jVCb «об получим, для установившегося процесса
Ра
“° Win = (EfW/ae) [1 /tg (<о//Оо) + /ИИЙ0/(£/-)] '	(18'85)
Из выражения (18.85) также можно получить частотное уравнение (18.84), если
<Je заменить на а.
U*
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ОБОЛОЧКИ
Глава 19
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
§ 114.	Основные положения
Общая теория тонких оболочек весьма подробно изложена в ряде
монографий *.
Оболочка, так же как и пластинка, представляет собой простран-
ственное сооружение; ее срединная поверхность в отличие от плас-
тинки, искривлена (цилиндрическая оболочка—с одним радиусом
кривизны, купольная оболочка—двойной кривизны). Полагаем, что
оболочка имеет малую толщину /г; далее рассматриваем усилия
в оболочке, приходящиеся на единицу длины разреза. Различаем
мембранные усилия в сечениях разреза (действующие в танген-
циальных направлениях —по меридианам или широтным линиям) и
не мембранные усилия: изгибающие и крутящие моменты и
поперечные силы. В ряде случаев оболочки получают в основном
мембранные усилия, а в непосредственной близости у краев обо-
лочки или в зонах приложения поперечной нагрузки возникают
отклонения от мембранного состояния. Обычно различают мембран-
ное напряженное состояние деформации, при котором должны удов-
летворяться геометрические и кинематические краевые условия, как
и условия равновесия. Далее делают исследования дополнительного
состояния «краевого возмущения» (краевого эффекта), которое необ-
ходимо ввести для выполнения краевых условий. Краевой эффект
характерен моментным напряженным состоянием и может дать зна-
чительные напряжения, но его влияние быстро затухает. Однако
в ряде случаев встречаемся с полным моментным состоянием, напри-
мер при изгибе стенок цилиндрического резервуара от распорного
действия жидкости.
§ 115.	Мембранная теория оболочек вращения
при осесимметричной нагрузке
Примем за координатные оси оболочки (рис. 312, а) меридиан
(q>= const) и широтную окружность (0 = const), где 0 — угол между
осью оболочки ОА и нормалью п к поверхности оболочки. По на-
* Новожилов В. В. Теория топких оболочек. Л., Седпромгиз, 2-е изд.,
1951; 3-е изд,, 1962.
404
правлению этих линий отмечаем продольные усилия: меридиональ-
ное Л'0 и окружное на единицу длины разреза (рис. 312, б).
По симметрии они —единственные мембранные усилия.
Рассматриваем действие внешней нагрузки в виде двух состав-
ляющих на единицу поверхности: в меридиональном направлении
Ре и перпендикулярно поверхности ра
(как составляющие интенсивности поверх-
ностной вертикальной нагрузки).
Составим условие равновесия для
верхней части оболочки ЛВС (рис. 312,
а, б}, определив вертикальную равно-
действующую нагрузки:
О
Рис. 312	Рис. 313
0
Va= 2nT?0(if)	(pesinif + pncos if), (19.1)
1|)=0
где if— меридиональная координата (рис. 313); (if) — радиус кри-
визны меридиана для if; 7?0 (if) — радиус кривизны широтного круга.
Сумму всех вертикальных составляющих от меридиональных
усилий Ne для if = 0 обозначим V’;; очевидно,
V; — 2л7?0 (0) Ne sin 0.	(19.2)
Условие равновесия будет
Va + V^O.
Внося сюда выражения (19.1) и (19.2), получим
е
#е = — j^o(e)s.n е' У (p0sin4> + p„cosif) (ip) 7?0 (tp)di)7. (19.3)
Ф=о
Таким образом определяется сжимающее меридиональное усилие
в оболочке от вертикальной нагрузки. Зная усилие N& и рассмат-
405
ривая условие равновесия бесконечно малого элемента оболочки,
получим связь между широтным и меридиональным jV0усилиями.
Выделяем элемент двумя соседними меридиональными и соответ-
ственно широтными разрезами; длина элемента широтного разреза
Рис. 314
по верху Rod(p, длина элемента меридионального сечения PjdO-
Нормальное давление на поверхность элемента pndF (рис. 314).
где dF = Rtdd Rodq. Проекция меридиональных усилий на нормаль
будет
2W0 Rodcp sin(d9/2) « Ar0/?odcpd9.	(a)
В выражении (а) синус малого угла заменяется углом, тогда
R, = 7?o/sin0.	(б)
Выражение (б) дает второй радиус кривизны.
Тогда
ЛГ0/?О d<j> d9 = ЛГ0/?2 sin 9 dtp d0.	(в)
Формула (в) представляет проекцию меридиональных усилий на
нормаль.
От широтных усилий получаем проекцию:
2NVR1 d9sin (dtp/2) sin 0 »	sin 9 dtp d9.	(г)
Сумма проекций трех указанных сил на нормаль п будет
PnRiR» dd d<p + NqR., sin 0 dtp d9 +	sin 9 dtp dO = 0,
откуда после деления на RrR2 получаем второе основное уравнение
Ne/Ri R<(>/R2 = — рП'	(19.4)
Это уравнение Лапласа.
(19^айдя из выРажения (19.3) Ne, определяем из уравнения
406
Ниже рассмотрим примеры приложения мембранной теории.
Сферическая оболочка. Нагрузка собственного веса. Интенсив-
ность собственного веса р = yh, где h — толщина оболочки, у —объем-
ный вес. Составляющие его: р„ = рсозф, pe = psinip. Радиусы:
/?о (Ф) = a sin ф; 7?1(0) = а; Р2 = а; /?0 (0) = a sin 9 (рис. 315, а).
По формуле (19.3),
а
Me = — J (Р sin2 ф Ц-р cos2ф) аз1пф-аДф =
О
0
s=----С sin ф с?ф =----^гд(1—cosO) = — ра д.	(19.5)
sin2 9 J 4 ' s.n2 6v	' 14-coso '	'
о
По формуле (19.5) определяются меридиональные усилия. Меридио-
нальное усилие — сжимающее и по абсолютному значению наиболь-
шее у виза оболочки.
Для окружного усилия по формуле (19.4) имеем
= — pa cos 9 J- 3-7——д = ра( г—!—5—cos 0) .
ф	1 l-J-cos0 ' \ 14-cos 0	]
(19.G)
Эпюра Л\р по высоте — разнозначная: вверху сжатие, внизу растя-
жение; это следует из выражения (19.6).
Гидростатическое давление. Давление задано на части оболочки
с центральным углом 20„ (рис. 315, б).
Интенсивности нормального и тангенциального давлений:
р„ = — ya (cos 0 — cos90); ра~0.
407
По формуле (19.3),
Л'ц — Г1 — соз29—^-соз90(1—cos 29)1 .	(19.7)
в 3sm2 9 L	4	"v	' J	4
Формула (19.7) дает значение меридионального усилия.
Из уравнения (19.4)
Уф = уа2[соз0 —(1 — cos29)/(3sin2 9) — cos 90/2].	(19.8)
Формулой (19.8) пользуются для определения широтного усилия.
Постоянное внутреннее давление. Теперь — — р; Ре = О. Из
формул (19.3) и (19.4) находим
Л^е = ^ч, = ра/2.
Коническая оболочка. Для всех широтных кругов угол 0 оди-
наков (рис. 316); вводим угол наклона образующей с осью а и
координату х. Имеем: 9 = л/2— а; Лф Л\;
Ре = Ра~ рсоза;
RldQ = dx-, Ro = xsina = xcos9.
Вводя эти величины в выражения (19.1) и
(19.2), получаем при Rx—то
j (Pe + P„tga)£^;
о
Nq> = — R2p„ = — p„xtga,	(19.9)
Рис. 316 где § — текущая координата; 0 < g < х.
При действии собственного веса р = yh на
единицу поверхности из выражения (19.9) при p„ = psina; рх =
= ре=р cos а получим:
Nx = — px/(2cosa); N,e~ — pxsinatga. (19.10)
Выражения (19.10) определяют усилия в оболочке. Знак минус
указывает на то, что они сжимающие.
§ 116.	Моментная теория цилиндрических оболочек
Как указывалось выше, в ряде случаев оболочка находится
в моментном напряженном состоянии. Так, например, выше рассмот-
ренная сферическая оболочка при защемлении ее концов получает
дополнительные поперечные силы и моменты, которые определяются
из условий равенства нулю углов поворота и радиальных смещений
концов (краевой эффект). Кроме того, оболочка может находиться
в полном моментном состоянии, например цилиндрическая оболочка,
подверженная действию поперечной нагрузки (рис. 317, а). Решение
такой задачи применяется при расчете котлов, цилиндрических
резервуаров, различного рода труб.
Здесь рассмотрим цилиндрическую оболочку, находящуюся под
408
действием распределенной нагрузки, нормальной к поверхности
оболочки, интенсивностью которая может меняться вдоль оси Z.
Составим основное дифференциальное уравнение для определения
радиального перемещения оболочки w, происходящего нормально
к ее поверхности.
Выделим бесконечно малый элемент оболочки, размеры которого
dz вдоль оси Z и adtf в окружном направлении, где а —радиус
Рис. 317
срединной поверхности. Напряженное состояние элемента характе-
ризуется продольными силами Af(p = A,! и Л'е — д^, поперечными
силами Q, и моментами Л4, и М2, которые принимают на единицу
длины соответствующего размера (па рис. 317, а показаны величины
усилий, действующих на сечения длиной adq> и dz). В связи с тем
что рассматривается осесимметричная задача, мембранные силы
сдвига S2q, = S^2 = S оказываются равными нулю, а усилия N2 будут
постоянными вдоль окружности. Очевидно, в силу симметрии
поперечные силы по вертикальным площадкам окажутся равными
нулю, также обращаются в нуль крутящие моменты Л12ф — Л4,{2, и
изгибающие моменты Л1Ф=Л12 будут постоянными по окружности.
Задача сводится к отысканию поперечных сил моментов Л1, и
М2 и продольных сил Л\ и N„. Для определения этих усилий
составляем три уравнения равновесия элемента и два соотношения
409
для деформаций, выражая их через следующие компоненты переме-
щений: составляющую w нормально к поверхности цилиндра и со-
ставляющую и вдоль оси цилиндра. Составляющая перемещения
вдоль окружности v по условию симметрии равна нулю. Влиянием
собственного веса цилиндрической оболочки пренебрегаем; соответ-
ствующие напряжения от этой нагрузки можно учесть дополни-
тельно, простым наложением. Усилия принимаем действующими
на единицу длины.
Рассматривается нагрузка в виде нормального давления интен-
сивностью pz (является функцией координаты г). Выпишем прира-
щения в значениях Nlt Qt и М, в связи с приращением dz
(рис. 317, а):
бУ1 = ^Лг; SQ^^dz; SM^-^dz.
1 dz	J dz ’	1 dz
Составляем три условия равновесия:
2z=o, ex-о,
Они представляются так:
(<^±dz'\ adcp = O;
\ dz J 1	’
(j^-dz'j adq>+N.zdzd(p+p2ad<pd2 = 0; }	(a)
a dtp — Q±a dtp dz= 0.	j
В систему трех уравнений (а) входят четыре неизвестных. Малыми
второго порядка пренебрегаем.
Из первого уравнения получаем, что силы постоянны. В даль-
нейшем, пренебрегая влиянием этих сил на изгиб, будем считать
их равными нулю.
Второе и третье уравнения после деления на (adtpdz) принимают
такой вид:
dQjdz + N2/a = — рг; dMjdz — = 0.	(б)
Уравнения (б) содержат три неизвестных: М2, и Мг
Учтем, что
Уравнение (в) известно и из теории изгиба.
Тогда вместо первого уравнения можно написать
^_ + ^ = __р2.	(19.11)
dz2 1 a rz
Для исключения N., воспользуемся соотношениями между дефор-
мациями Ej и е2 и усилиями Nr и У2, принимая согласно формулам
сопротивления материалов
e1 = du/dz\ е2 = еф = — w/a.	(г)
410
При этом считаем, что при положительном w в направлении
к оси цилиндра ZZ окружное относительное удлинение будет
со знаком минус (рис. 317).
Соотношения (г) выведены выше в § 84.
По формулам сопротивления материалов получаем выражения
для продольных сил:
,, Eh	,	,	. Eh f du	w \	„ \
---7- (e, + vs„) = -=-5- -v— = 0;
1	1 — v2	v 1 1	1—v2 \ dz	a /	* I
Eh	.	,	.	Eh	(	w ,	du \	j
N, — -.--г (e2 + vei) = 1-Г-----»
2	1—v2	2 1	17	1—v2	(	a 1	dz)	)
где v — коэффициент Пуассона.
В выражениях (д) усилия определяются для элемента, перпен-
дикулярный размер которых равен единице.
Из первой формулы имеем
dujdz = vw/a,
а внося ее значение во вторую, получаем
Л’2 - — Ehw/а.	(е)
По формуле (е) определяем М2, если Л\ = 0.
В случае, если Л\=#=0 [например, Л\ =— yh(l — z) от собствен-
ного веса, где у—объемный вес материала оболочки, z = 0 для
днища], пишем выражение для е2:
е2 =— w/a = (1/Eh) (jV2 — v.VJ.	(ж)
Из соотношения (ж) находим Ns:
Fh
M2 = — ™a>—vyh(l—z).	(3)
Теперь найдем выражение для момента 7М:, входящего в урав-
нение (19.11). Оно может быть получено аналогично формулам,
известным для моментов по теории тонких пластинок. Момент Мп
действующий в плоскости ZX, будет зависеть от кривизны в этой
а'-сг	А
плоскости х « и, кроме того, от изменения кривизны Дхф в пло-
скости <рХ (рис. 317, б):
Alx = —О(хг + тДхф),	(и)
где D —цилиндрическая жесткость;
F№
D = i2^-	(“)
Выражением (и) представлена связь момента М, и кривизны.
Очевидно, изменение кривизны при увеличении радиуса оболочки
от а до (а—ш) будет
Дхф = 1/а — 1/(а — w)	—щ/а2.
411
Таким образом, выражение изгибающего момента будет
d2W	W \
---у —	.
dz2,	а2, /
(л)
Mt =
Часто за малостью радиальных перемещений и при больших радиу-
сах а пренебрегают вторым членом в скобках формулы (л). После
подстановки выражений (л) и (з) в уравнение (19.11) получаем
следующее дифференциальное уравнение для w с учетом влияния
ьеса оболочки:
IV т	„ . Eh	р,
----w 4- -r—W==d7^—V -E-E--
a- ‘ Da1	D	Da
(19.12)
Уравнение (19.12) является точным уравнением задачи.
Упрощенное дифференциальное уравнение задачи при отбрасы-
вании второго члена в выражении (к) для момента и неучете
собственного веса получим в такой форме:
kjiv + Ehw^Da"} = pzlD.	(19.13)
В этом уравнении w принимается положительным в случае смеще-
ния точки срединной поверхности в направлении к оси цилиндра Z.
Заметим, что уравнение (19.13) аналогично дифференциальному вы-
равниванию изогнутой оси балки на сплошном упругом
основании.
Запишем это уравнение в форме
ш1У4~ 4|34ffii = рл/£>,	(19.14)
где р— коэффициент жесткости;
Р = Е/г/(4Оа2) = 3(1- т2)/(а2/г2).	(19.15)
Цилиндрическая жесткость определяется по формуле (к).
Найдя из уравнения (19.14) w, определяем изгибающий мо-
мент Мр.
M^ — Dw'^—Da’,	(19.16)
где а —угол наклона изогнутой поверхности по меридиану.
Если рг — интенсивность давления жидкости на глубине г, то
выражение ее будет
Pz = — z) = — p0 + p0z/l,	(м)
где р0 — ув1‘, Уз — объемный вес жидкости.
Уравнением (19.14) в качестве первого приближения пользуются
и при расчете других оболочек вращения. Выражение (19.16) яв-
ляется упрощенным для определения Mt.
§ 117. Расчет цилиндрических оболочек
по моментной теории
Рассмотрим получение основных уравнений для радиальных
перемещений, угла наклона, изгибающего момента и поперечной
412
Рис. 318
силы в случае действия давления жидкости, меняющегося по закону,
представленному выражением (м) (рис. 318, а, б).
Интеграл дифференциального уравнения (19.14) в форме метода
начальных параметров (и>0, а0, Л1о, Qo), как изложено в гл. 16, будет
Г01 _гв, д &z Мо Qo Dz р0 (1 — 4г) д0 (гр Вг)
+	----— JT-^-рз—ТГ-4рГ-+/о	< •
Функции Лг, В2, Сг и D,— гиперболо-тригонометрические, имеющие
выражения (гл. 16):
Л2 =-cospz-chpz;	)
В, =(sinpz-chpz + cos0z-shpz)/2, I
Сг = (sinpz-shpz)/2;	Г	О9'18)
Dz = (sin pz • ch pz—cospz  sh pz)/4. I
Коэффициент p определяется по формуле (19.15).
Таблицы функций (19.18) приведены, например, в работе К.
Гогенемзера и В. Прагера*. Дифференцируя выражение (19.17),
*Гогенемзер К. и Прагер В. Динамика сооружений. Л,— М., ОНТИ,
1936, с. 310.
413
получаем:
аг = -№04рО2 + а0Л-^^-^^—(19.19)
М2 = — w(, • 4р2£>С2 — а0 • 4[jDD2 — MOAZ~
+ (19-20)
Qz = - w0  ^DBZ-а0  4^DCZ + Мо  4f,D2 - <?0 Лг-
(19.21)
Выражения (19.19) —(19.21) служат соответственно для опреде-
ления угла наклона аг, момента Мг и поперечной силы Qz.
Положительные направления Л40 и Qo указаны на рис. 318, б.
Два начальных неизвестных в этих уравнениях находятся из гра-
ничных условий. Так, для сосуда с водой (рис. 318, а) имеем: при
z = l MZ = Q, Сг = 0, а из уравнений (19.20) и (19.21), принимая,
что стенки сосуда жестко защемлены в днище (zwo = O, а0—0), по-
лучаем:
-Л10Лг-30|-р0-^ + -^ = 0;	(а)
Af0-4₽£)z-Q0A-Pof + ^--^ = 0.	(б)
откуда, исключая из (а) и (б) Qo, находим
Л10 = -^
0 р
(в?-С,Лг)-1(СА-ад
	WtBt + A^
(19.22)
Выражение (19.22) выведено для начального момента.
Пример 1. Найти момент защемления и напряжение от изгиба для сосуда
при /= 10 м, с = 5 м, /i=39,8 см, v = 0,3; ро=105. Н/м2. Выделяется полоса
шириной 6=1 м.
Решение. По формуле (19.15) определяем:
Р = 0,69 м-1, р2 = 0,475 м-2, р3 = 0,32 м~3. Для р/ = 6,9из таблиц имеем следую-
щие значения функций: А =404,71; В/ = 345,85; Сг= 143,5; £>г =— 29,43.
По формуле (19.22) определяем момент Af0 = 9-101 Н м.
Момент сопротивления сечения
W = Wi2/6=l-0,3982/6 = 0,0264 м3.
Напряжение от изгиба
а = Л1о/1Г = 9-1О4/О,О264 = 38-1№ Н/м2 = 380 Н/см2.
Оболочка бесконечной длины. При больших значениях $1 необхо-
димо переходить к расчетной схеме бесконечно длинной оболочки,
так как иначе в решение входят отношения разностей больших
чисел. Переход к схеме оболочки бесконечной длины делается при
РО6.
Внося в решение (19.17) значения гиперболо-тригонометрических
функций и учитывая, что множители при возрастающих функциях
e₽z cos pz и е₽г sinpz должны быть равны нулю (при г —> оо w —> 0),
414
(19.23)
получим из решения (19.17) после несложных преобразований сле-
дующие выражения для начальных w0 и а0:
= — 2[VD + Фо +	’>
а° = 2fpZ)	+ Фо) •
Общее уравнение для we таково:
^ = - W + Qo) C0S рг + A*°e4pDinP-W • (1924>
По уравнению (19.24) находим радиальное перемещение.
Дифференцированием легко получить выражения для угла на-
клона, момента и поперечной силы. Заметим, что углом наклона весьма
пологой эпюры рг в данном решении мы пренебрегаем (рис. 318, б).
Для случая абсолютного защемления стенок сосуда в днище
получаем при z = 0 wo = O, ао = О и из решения (19.23) находим:
ЛД = р0/(2р);	(19.25)
Фо = -Ро/₽-	(19.26)
Пример 2. Для тех же данных, что и в примере 1, найти Л1о.
Решение. Для (3 = 0,69 м-1, р2 = 0,475 м~2, р0 = 105 Н/м2 момент
Л1о = Ро/(2₽2) = Ю5/(2• 0,475) = 10,5-10“ Н-м,
что отличается на 10,7% от решения по схеме конечной балки. Отличие объяс-
няется нсучетом изменения гидростатического давления воды в данном случае.
Пример 3. Найти момент защемления стенки сосуда при й = 1 см и тех
же прочих данных, что в примерах 2 и 1. Определить Л1о и о.
Решение. Теперь р=5,74 м-1, (32 = 32,86 м~2, момент
Л1о = Ро/(2Р2)= Ю5/(2-32,85) = 1,52-103 Н.м=152-103 Н-см.
Момент сопротивления сечения
Г = йй2/6= 100-12/6 см’.
Напряжение
о = Me/W = 152-103• 6/( 100-I2) =9120 Н/см2.
На рис. 318, в приведены эпюры к> и М,.
При. учете упругого защемления стенок резервуара в гибкое днище момент Л10
уменьшается. Исследование влияния упругости днища дано в работах автора
и Вольфа *.
* Снитко Н. К. К точной теории расчета цилиндрических резервуаров.—
Изв. вузов СССР. Строительство и архитектура, 1978 № 11; К. Wolf. Eine
exakte Theorie des Behalters auch die Elastizitat der Bodenplate. Ing—Arch. Bd.
12. S. 259, 1941.
ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Основные сведения о матрицах и матричных операциях
Эффективное применение электронных цифровых вычислительных машин (ЦВМ)
к расчету сложных систем получило широкое распространение.
Дадим основные понятия о матрицах, применяемых при решении задач рас-
чета статически неопределимых систем [11]. Определение лишних неизвестных
(например, по методу сил) сводится, как известно, к решению системы уравнений:
а12Х2~Г а13х3 + • • • ~Га1пХП = A1S
Й21Х1 + й22х2 I ' й23Л'з + •  • ~\~а2ПХП = AoJ
(а)
аГ11х1 + агг2х2 Т	“Т
Ф &ппхп--
где a;fe—коэффициент при неизвестном xk; А; = —А,-„ — грузовой член канони-
ческого уравнения.
Система уравнений (а) выражает линейное преобразование неизвестных .г;
в величины Л;. Система коэффициентов составляет матрицу А из числа 1,;>г:
л =
Цца12- • -й1и
й21а22-  -а2п
Й«1Й«2* • • ®ПП
Матрицей А называется система элементов а,/,, расположенных в определен-
ном порядке и образующих таблицу из т строк и п столбцов. Если т — п, то
матрица называется квадратной.
Сокращенно матрицу А можно записать так:

(б)
По (б) записывается прямоугольная матрица.
Если в матрице один столбец (n= 1), то имеем матрицу-столбец.
Матрицу-столбец записывают так:
{А} = {а1а2., .an} = {aj}.
Если матрица состоит из одной строки (т—1), то тогда она называется мат-
рицей-строкой.
Матрицу-строку представляем кратко таким образом:
[A]=I_flla2...<7MJ = LaiJ-
Квадратная матрица называется треугольной, если в ней все элементы
ац, = 0 при i > k. Она называется диагональной, если ацг — О при i 5= k.
Диагональная матрица имеет вид
О
О
r/j =
Ci О
О сг2
(в)
О 0 ... a,,
У диагональной матрицы отличны от нуля лишь диагональные элементы.
Если в диагональной матрице (в) все члены ац = 1, то такая матрица называется
416
единичной и обозначается обычно буквой Е:
1 0 ... О
00 ... 1
Единичная матрица Е играет ту же роль, что и единица в обычной алгебре. Если
в квадратной матрице все элементы ajk = aki (свойство взаимности), то такая мат-
рица называется симметричной. Отметим также в отличие от матрицы А
(упорядоченной системы чисел) понятие об определителе Det А, который представ-
ляет собой число, получаемое в результате раскрытия определителя по известным
правилам [12].
Полагаем, что матрица А неособенная, для которой определитель Det Л
не равен нулю.
Дадим понятие об обратной матрице [12].
Обратной по отношению к данной матрице А называется такая матрица
В = А-1, которая, будучи умноженной на данную матрицу А, дает единичную
матрицу. Обратная матрица В входит в соотношение
[Л][В] = [/](Л-1] = ]Е].	(д)
Достаточным условием существования матрицы В является неособенность мат-
рицы А. Для неособенной матрицы А определитель ее Det А ?= 0, в противном
случае имеем особенную, или вырожденную, матрицу. Нахождение об-
ратной матрицы В для данной называется обращением данной матрицы.
Собственными или характеристическими числами квадратной матрицы А
называются те значения скалярного параметра Л, для которого матрица (Л — ?.Е)
становится вырожденной, т. е.
Det ([Л]—Z[E]) = 0.	(е)
Эти условия применяются в задачах об устойчивости и колебаниях.
В матричной форме систему уравнений (а) записывают так:
ЛХ = Д,	(ж)
где X— матрица-столбец величины неизвестных, а Д—матрица-столбец величин
свободных членов:
{Х} = {х1х2...х„} = {х,};
{Д} = {Д1Д2...Д„} = {Д,}.
Решение уравнения (ж) в матричной форме можно записать так:
{Х} = [В]{Д} = [4-1]{Д},	(з)
где В —Л-1—обратная матрица по отношению к матрице А. Задача решения
уравнения (ж) или системы уравнений (а) сводится, таким образом, к определе-
нию обратной матрицы.
Отметим еще транспонированную и соответственные матрицы.
Транспонированной по отношению к данной матрице [Л] = [а^] на-
зывают такую матрицу, которая получается из данной, если поменять местами
строки и столбцы данной матрицы [Л]г= |а&/].
Символ Т дается для обозначения операции транспонирования. Для вектор-
строки транспонированная матрица есть вектор-столбец.
Соответственными называют такие матрицы, в которых число столбцов
первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Перемножать можно лишь
соответственные матрицы. Остановимся на основных действиях над матрицами.
Сложением двух матриц Л = ] a-lk ] и В = [Ь^.] одинакового типа получают
третью матрицу С = [с^] того же типа, элементы которой равны суммам со-
ответствующих элементов и матриц Л и В, т. е.	b
Аналогично производится вычитание матриц.
417
Умножение матрицы А на число а (скаляр) дает матрицу, все элементы
которой получены путем умножения элементов матрицы А на число а:
а[А] = [аа^].	(и)
Аналогично производится деление матрицы на число.
Отметим также, что для квадратной матрицы А порядка п
Det Aa=an Det А.
Умножение матриц А и В друг на друга производится лишь при условии,
что число столбцов матрицы А (тХп) равно числу строк матрицы B(pXq). Число
столбцов матрицы А пусть будет п, а число строк матрицы В пусть равно р=^п.
Тогда в произведении этих матриц образуется матрица С размерами mXq'.
[С] = [ А] - [В] = [в//] [bjk] = [C(ft],	(к)
где [C(-fe] = 2 «</&/&• По (к) введем умножение матриц.
Пример. Пусть требуется перемножить две матрицы А и В, например такие:
В матрице А—три столбца, а в матрице В — три строки, т. е. и = р=3. Тогда
их произведение будет иметь два столбца (как в В) и четыре строки (как в А).
Это произведение:
	2-5+Ы+6-4;	2-2+1-7 + 6-2		35 23
С= АВ =	2-5 + 4-1 + 1-4; 3-5+ 2  1 +5-4;	2-2 + 4-7+1-2 3-2 + 2-7 + 5-2	=	18 34 37 30
	7-5 + 3-1 + 1-4; 7-2 + 3-7+1-2			42 37
Остановимся на вычислении обратной матрицы В по отношению
к данной матрице А, т. е. на вычислении В = А-1. По заданной матрице
А =	Оц^12 • ^21^22 •	 а,п •Ячп
	ап1ап2-	Опп
составляется так называемая присоединенная, или союзная, матрица:
	AnAzi .	 А„1	
А =	^12^22 •	•АП2	. (“)
	^1п^2п-	АПп	
где Aki — алгебраические дополнения матрицы (миноры со знаками), получаемые
вычеркиванием i-ro столбца и k-ii строки, взятые с множителем (—1)(* + '>;
		• -ali	• • •
	°21а22 	a2i	• • • a2n
АА(-=(-1)<*+о	akl^k2	ал,-	• • >akn
	anlanZ-	 an.	•-ann
Эти миноры, определенные по (н), помещаются в (м) в соответствующих столбцах,
т. е. производится транспонирование.
418
Разделив все элементы присоединенной матрицы А [выражение ее по (м)] на
величину определителя матрицы А, получим обратную матрицу *:
Л-1 =
	Л21 •	• Ап1
1	Л12^22 •	 ^П2
Det Л	Ai„A2ll.	 А„„
(о)
Для вычисления определителя Det А используют формулу
Det А = «цСи’йзз • • • ОшГ1’,
где коэффициенты
о 1,=ац
а'-1-
Iй 11
а':
Решение системы уравнений (а) находится по (з).
В качестве примера приведем решение для трех уравнений
1 " , ' ' ;
в форме, содержащей найденные миноры А^ матрицы А:
В качестве примера приведем решение для трех уравнении с тремя неизвест-
ными. Решение данной системы трех уравнений по типу (а) можно представить
Xj — (t4iiAi + <421^2 + -43jA3)/D;
х« = (/tj2Ai-ф-А22Л2ф-Д32А3)ДД }
х3 =	3^1 + А 23^2 + 33A3) )
(п)
2. Функции для анализа устойчивости
Таблица 1
-V	<Р1 (V)	ф2 (V)	Фз (V)	Фа (V)	Til (V)	Th (v)
0,00	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000
0,20	0,9973	0,9986	1,0009	0,9992	0,9840	0,9959
0,40	0,9895	0,9945	1,0026	0,9973	0,9362	0,9840
0,60	0,9756	0,9881	1,0061	0,9941	0,8556	0,9641
0,80	0,9567	0,9787	1,0111	0,9895	0,7434	0,9362
1,00	0,9313	0,9662	1,0172	0,9832	0,5980	0,8999
1,10	0,9164	0,9590	1,0209	0,9798	0,5131	0,8790
1,20	0,8998	0,9511	1,0251	0,9756	0,4198	0,8556
1,30	0,8814	0,9424	1,0296	0,9714	0,3181	0,8306
1,40	0,8613	0,9329	1,0348	0,9669	0,2080	0,8025
1,50	0,8393	0,9226	1,0403	0,9620	0,0893	0,7745
(л/2) 1,57	0,8225	0,9149	1,0445	0,9581	0,00	0,7525
1,60	0,8153	0,9116	1,0463	0,9567	—0,0380	0,7434
1,70	0,7891	0,8998	1,0529	0,9540	—0,1742	0,7102
1,80	0,7609	0,8871	1,0600	0,9449	—0,3191	0,6749
1,90	0,7297	0,8735	1,0676	0,9383	—0,4736	0,6375
2,00	0,6961	0,8590	1,0760	0,9313	—0,6372	0,5980
2,02	0,6891	0,8590	1,0777	0,9299	—0,6710	0,5899
* Подробно о матрицах см.: Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычис-
лительные методы линейной алгебры. М., Физматгиз, 2-е изд., 1976, с. 226 — 315.
419
П родолжение тайл. 1
V	<Р1 (V)	<рг (V)	<Рз (V)	Ч>« (v)	Т|1 (V)	(v)
2,04	0,6819	0,8530	1,0795	0,9285	—0,7053	0,5817
2,06	0.6747	0.8499	1,0613	0,9277	—0,7398	0,5734
2,08	0,6672	0,8468	1,0732	0,9268	—0,7749	0,5650
2,10	0,6597	0,8437	1,0850	0,9260	—0,8103	0,5565
2,12	0.6521	0,8405	1,0868	0,9225	—0,8465	0,5480
2,14	0,6443	0,8372	1,0887	0,9210	—0,8822	0,5394
2,16	0.6364	0,8339	1,0907	0,9195	—0,9188	0,5307
2,18	0,6284	0,8306	1,0926	0,9180	—0,9557	0,5220
2.20	0,6202	0,8273	1,0946	0,9164	—0,9931	0.5131
2,22	0,6119	0,8239	1,0966	0,9148	— 1,0309	0,5041
2.24	0,6034	0,8204	1,0988	0,9132	— 1,0691	0,4951
2,26	0,5948	0,8170	1,1009	0,9116	— 1,1077	0,4860
2,28	0,5861	0,8134	1,1029	0,9100	— 1,1457	0,4768
2,30	0.5772	0,8099	1,1050	0,9083	—1,1861	0,4675
2,32	0,5681	0,8063	1,1072	0,9066	— 1.2260	0,4581
2,34	0.5589	0,8026	1,1095	0,9049	-1,2663	0,4486
2,36	0,5496	0,7989	1 ,1117	0,9032	—1,3069	0,4391
2,38	0,5401	0,7952	1,1140	0,9015	— 1,3480	0,4295
2.40	0.5304	0,7915	1,1164	0,8998	— 1,3896	0,4198
2,42	0,5205	0,7877	1,1188	0,8991	— 1,4316	0,4101
2,44	0,5105	0,7838	1,1212	0,8963	— 1,4743	0,4002
2,46	0,5003	0,7799	1,1236	0,8945	— 1.5169	0,3902
2,48	0,4899	0,7760	1,1261	0,8927	— 1,5602	0,3802
2,50	0,4793	0,7720	1,1286	0,8909	— 1,6040	0,3701
2,52	0,4685	0,7679	1,1311	0,8990	— 1 ,6383	0,3598
2,54	0,4576	0,7638	1,1337	0,8871	— 1,6929	0,3495
2,56	0,4464	0,7596	1,1363	0,8852	— 1,7381	0,3391
2,58	0,4350	0,7555	1,1390	0,8833	— 1 ,7838	0,3286
2,60	0,4234	0,7513	1,1417	0,8814	— 1,8299	0,3181
2,62	0,4116	0,7470	1,1445	0,8796	— 1,8765	0,3075
2,64	0,3996	0,7427	1.1473	0,8776	— 1,9236	0,2968
2.66	0,3873	0,7383	1,1501	0,8756	-1,9712	0,2860
2,68	0,3748	0,7339	1,1530	0,8736	—2,0193	0,2751
2,70	0,3621	0,7294	1,1559	0,8716	—2,0079	0,2641
2,72	0,3491	0,7249	1,1589	0,8696	-2,1170	0,2531
2,74	0,3358	0,7204	1,1619	0,8676	—2,1667	0,2420
2,76	0,3223	0,7158	1,1650	0,8655	—2,2169	0,2307
2,78	0,3085	0,7111	1,1681	0,8634	—2,2676	0,2192
2,80	0,2944	0,7064	1,1712	0,8613	—2,3189	0,2080
2,82	0,2801	0,7016	1,1744	0,8592	—2,3707	0,1963
2,84	0,2654	0,6967	1,1777	0,8571	—2,4231	0,1850
2,86	0.2505	0,6918	1,1810	0,8550	—2,4760	0,1734
2,88	0.2352	0,6869	1,1844	0,8528	-2,5296	0,1616
420
co co co co co
00 CT S S О
CO CO CO Co CO
О CT) CT) CT CD
Co CD 4^ ЬО О
Co Co Co Co Co
СЛ СП СЛ Cl СЛ
00 СТ) 4* ю о
CO CO CO CO CO
CO CO CO co co
00 CD 44. to Ф
CO CO CO CO CO
СОСО СО СО СО Со СО С.5 СОСО юьоюьэьо
1-L- У —О ФО ФО со'софф'со
00Ф 44. ГО О OOGD44.tCO 00 О 44. ЬЭ О
I I I I I
СТ о о о о
ю to ю го-
ст CD co ►— 0o
СЛ CTJ OO 4*
I— CO CO •-* -о
СЛ СЛ СЛ СП СЛ
О — to to СО
СО СТ> СО СО CD
Ю Ю — CD CD
о о о о CT
СЛ ел СЛ СЛ oi
kU 4^ cn CD CD
CO CO CD A3 CD
GO CD 4*. 00 —
О О О О CT
СП СЛ СП Сл СЛ
•“'J Оо СО ст ст
СЛ — *0 СО со
СО СЛ CD “О -О

О О о о о
Продолжение табл.

П родолжение табл.
О СЧ -Ф СО ОО
СО ОО ОС GC СО
"Ф -Ф Ф Ф Ф
О СЧ Ф	СО Q0	О	СЧ Ф1 со 00	С СЧ Ф	СО СО
СГ5 Ф О	Ф О	О	О о О О	— —	— —.
Ф Ф rr	t Ф	lO	lO Ю Ю LO	lO Ю lC	Ю Ю
1.0 Ю ю Ю 1О
О СЧ 'Ф СО 00
со СО со СО со
Ю lC- Ю lO lO
ю Ю Ю 1О lQ
О СЧ -ф со 00
LOiOiOiOiO
ю ю ю ю ю
Продолжение табл.
О	1,0000	1,0000	0,0000	1,00000	0,00000	0,00000	О
0,10	0,9967	1,0017	0,0100	0,99500	0,09983	0,10033	0 10
0,20	0,9866	1,0067	0,0405	0,98007	0,19867	0,20271	о’20
0,30	0,9698	1,0152	0,0928	0,95534	0,29552	0,30934	0’30
Продолжение та/ол. 2
V	tg V	V sin v	V tg V	cos v	sin V	tg V	V
0,40	0,9461	1,0272	0,1691	0,92106	0,38942	0,42279	0,40
0,50	0,9152	1,0429	0,2731	0,87758	0,47943	0,54630	0,50
0.60	0,8770	1,0626	0,4105	0,82534	0,56464	0,68414	0,60
0,70	0,8311	1,0866	0,5896	0,76484	0,64422	0,84229	0,70
0,80	0,7770	1,1152	0,8237	0,69671	0,71736	1,02964	0,80
0,90	0,7142	1,1489	1,1341	0,62161	0,78333	1,26016	0,90
1,00	0,6421	1,1885	1,5574	0,54030	0,84147	1,55741	1,00
1,10	0,5599	1,2343	2,1612	0,45360	0,89121	1,96476	1,10
1,20	0,4665	1,2875	3,0866	0,36236	0,93204	2,57215	1,20
1,30	0,3609	1,3493	4,6827	0,26750	0,96356	3,60210	1,30
1,40	0,2415	1,4207	8,1170	0,16997	0,98545	5,79788	1,40
1,50	0,1064	1,5038	21,1521	0,07074	0,99749	14,10142	1,50
1,60	—0,0467	1,6007	—54,7721	-0,02920	0,99957	—34,23253	1,60
1,70	—0,2209	1,7143	— 13,0842	—0,12884	0,99166	— 16,832	1,70
1,80	—0,4199	1,8483	-7,7153	—0,22720	0,97385	—4,292	1,80
1,90	—0,6491	2,0078	—5,5615	—0,32329	0,94690	—2,92710	1,90
2,00	—0,9153	2,1995	—4,3701	—0,41615	0,90930	—2,18504	2,00
2,10	— 1,2282	2,4328	—3,5907	—0,50485	0,86321	— 1,70985	2,10
2,20	— 1,6014	2,7211	-3,0224	—0.58850	0,80850	— 1,37382	2,20
2,30	—2,0550	3,0843	—2,5742	—0,66628	0,74571	— 1,11921	2,30
2,40	—2,6201	3,5531	—2,1984	—0,73739	0,67546	—0,91601	2,40
2,50	—3,3466	4,1773	— 1,8675	—0,80114	0,59847	—0,74702	2,50
2,60	—4,3218	5,0436	— 1,5642	—0,85'389	0,51550	—0,60160	2,60
2.70	-5,7115	6,3176	— 1,2764	—0.80407	0,42738	—0,47273	2,70
2,80	—7,8756	8,3585	—0,9955	—0,94222	0,33499	—0,35553	2,80
2,90	— 11,7690	12,1212	—0,7146	—0,97096	0,23925	—0,24641	2,90
3,00	-21,0452	21,2585	—0,4276	—0,98999	0,14112	—0,14255	3,00
3,10	-74,4888	74,5533	—0,1321	—0,99914	0,04158	—0,04162	3,10
3,20	54,7279	—54,8227	0,1871	—0,99829	—0,65837	0,05847	3,20
3.30	20,6573	—20,9192	0,5272	—0,98748	—0,15775	0,15975	3,30
3,40	12,8632	— 13,3052	0,8987	—0,96680	—0,25534	0,26432	3,40
3,50	9,3435	—9,9778	1,3111	—0,93646	—0,35078	0,37459	3,50
3,60	7,2953	—8,1352	1,7765	—0,89576	—0.44252	0,49347	3,60
3,70	5,9226	—6,9832	2.3115	—0,84810	—0,52984	0,62473	3,70
3,80	4,9123	—6,2106	2,9395	—0,79097	—0,61186	0,77356	3,80
3,90	4,1164	—5,6705	3,6949	—0,72593	—0,68777	0,94742	3,90
4.00	3,4548	—5,2854	4,6313	—0,65364	—0,75680	1,15782	4,00
4,10	2,8802	—5,0105	5,8365	—0,5751-2	—0,81828	1,42353	4,10
4,20	2,3625	—4,8188	7,4667	—0,41026	-0,87158	1.77778	4,20
4,30	1,8811	—4,6934	9,8291	—0,40080	—0,91617	2,28585	4,30
4,40	1,4210	—4,6238	13,6238	—0,30733	—0,95160	3,09632	4.40
4,50	0,9704	—4,6034	20,8680	—0,21080	—0.97753	4,63733	4.50
4,60	0,5197	—4,6292	40.7568	—0,11215	—0.99369	8.86017	4.60
4,70	0,0582	—4,7004	379,350	—0,01239	—0.99992	80,71276	4.70
4,80	—0,4216	— 4,8185	—54,6474	0,08750	—0.99616	— 11,3849	4,80
4,90	—0,9302	—4,9875	—25,8107	0,18651	-0.98245	—5,26749	4,90
425
Продолжение табл. 2
V	V tg v	V sin v	V tg V	COS V	sin v	ig v	V
5,00	— 1,4791	—5,2142	— 16,9026	0,28366	—0,95892	—3,38052	5,00
5,10	—2,0821	—5,5087	— 12,4919	0,37798	—0,92581	—2,44939	5,10
5,20	—2,7577	—5,8860	—9,8053	0,46852	—0,88345	— 1,88564	5,20
5,30	—3,5303	—6,3681	—7,9567	0,55437	—0,83227	-1,50127	5,30
5,40	—4,4352	—6,9879	—6,5747	0,63460	—0,77276	-1,21754	5,40
5,50	—5,5244	—7,7954	—5,4754	0,70867	—0,70554	—0,99558	5,50
5,60	—6,8801	—8,8710	-4,5581	0,77557	—0,63127	—0,81394	5,60
5,70	—8,6399	— 10,3506	—3,7605	0,83471	—0,55069	—0,65973	5,70
5,80	-11,0546	— 12,4839	—3,0431	0,88552	—0,46460	-0,52467	5,80
5,90	— 14,6362	— 15,7805	—2.3783	0,92748	—0,37388	—0,40311	5,90
6,00	—20,6178	—21,4731	— 1,7461	0,96017	—0,27942	—0,29101	6,00
6,10	—32,9263	—33,4867	— 1,1301	0,98327	—0,18216	—0,18526	6,10
6,20	—74,3604	—74,6184	—0,5170	0,99654	—0,08309	—0,08338	6,20
6,25	— 188,627	— 188,371	—0,2075	0,99945	—0,03318	—0,03320	6,25
6,26	—269,950	—270,023	—0,1452	0,99973	—0,02318	—0,02319	6,26
6,27	—475,501	—475,543	—0,0827	0,99991	—0,01318	—0,01319	6,27
6,28	— 1971,55	— 1971,56	—0,0200	0,99999	—0,003185	—0,000183	6,28
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Вайнберг Д. В., Вайнберг Е. Д. Пластины, диски, балки-стенки. Киев,
1952.
2.	Дарков А. В., Кузнецов В. И. Строительная механика. М., 1962.
3.	Киселев В. А. Строительная механика. М., 1960.
4.	Корноухое Н. ,В. Прочность и устойчивость стержневых систем. М., 1949.
5.	Митропольский М. Н. Применение теории матриц к решению задач строи-
тельной механики. М., 1969.
6.	Пухов Г. Е. Электрическое моделирование задач строительной механики.
Киев, 1963.
7.	Рабинович И. М. Курс строительной механики. М., 1960, ч. I, II.
8.	Смирнов А. Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений.
М„ 1947.
9.	Расчет сооружений с применением вычислительных машин/ Смирнов А. Ф.,
Александров А. В., Шапошников Н. Н., Лащеников Б. Я. М., 1964.
10.	Снитко Н. К. Расчет рамных сооружений итерационными методами. М.,
1962.
11.	Снитко Н. К- Строительная механика. М., 1972.
12.	Постнов В. А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л., 1977.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие............................................................. 3
Часть первая
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
Глава 1. Введение..................................................... 5
§ 1.	Строительная механика как наука. Краткий исторический
обзор........................................................ 5
§ 2.	Новые задачи строительной механики в связи с развитием
строительной индустрии. Расчетная схема...................... 7
§ 3.	Опорные устройства. Виды нагрузок....................... 10
§ 4.	Классификация сооружений и их расчетных схем. Основные 11
положения ............................................
Глава 2. Анализ неизменяемости плоских сооружений.................... 13
§ 5.	Признаки неизменяемости шарнирно-стержневых систем ...	13
§ 6.	Анализ геометрической структуры сооружений расчленением
на диски.................................................... 19
§ 7.	Системы в виде сочленения трех дисков................ 23
§ 8.	Кинематические признаки простейших мгновенно изменяемых
ферм........................................................ 26
§	9.	Аналитические методы исследования неизменяемости ферм 27
Глава 3. Теория линий влияния и ее применение к статически опреде-
лимым балкам......................................................... 30
§	10.	Понятие о линии влияния............................. 30
§	11.	Линии влияния усилий в простых балках............... 31
§	12.	Определение усилий по линиям влияния................ 37
§	13.	Линии влияния при узловом действии нагрузки......... 40
§ 14.	Линии влияния усилий для многопролетпых статически опре-
делимых балок .............................................. 41
§ 15.	Кинематический метод построения линий влияния.....	44
§ 16.	Невыгодное нагружение линий влияния................  46
§ 17.	Определение усилий по эквивалентной нагрузке........ 50
§ 18.	Матричная форма использования линий влияния. Матрица
влияния..................................................... 51
Глава	4. Балочные и консольно-балочные	плоские фермы.............. 54
§ 19.	Понятие о ферме. Статическая определимость ферм ....	54
§ 20.	Классификация ферм.................................. 55
§ 21.	Определение усилий в фермах......................... 58
§ 22.	Расчет	трехдисковых ферм на неподвижную	нагрузку ...	64
§ 23.	Расчет	ферм с составными элементами.............. 67
§ 24.	Линии	влияния усилий в простых балочных	фермах ....	70
§ 25.	Линии	влияния усилий в фермах со шпренгелямн .....	78
428
Глава 5. Расчет сплошной трехшарнирной арки.......................... 82
§ 26.	Трехшарнирная арка со сплошной стенкой. Аналитическое
определение реакций......................................... 82
§ 27.	Определение усилий в сечении трехшарнирной арки. Эпюры
моментов.................................................... 85
§ 28.	Линии влияния реакций и усилий в арке................. 88
§ 29.	Определение напряжений в арке при помощи ядровых мо-
ментов ..................................................... 94
§ 30.	Арка с затяжкой....................................... 96
Глава 6. Арочные фермы и комбинированные системы..................... 98
§ 31.	Расчет трехшарнирных арочных ферм..................... 98
§ 32.	Комбинированные системы. Арка с ломаной затяжкой ...	101
§ 33.	Балка с гибкой аркой. Цепь с балкой жесткости........ 104
§ 34.	Понятие о вантовых фермах и их расчет................ 109
Глава 7. Теория определения перемещений............................. 111
§ 35.	Перемещения. Работа внешних сил...................... 111
§ 36.	Теорема о равенстве возможных работ внешних и внутрен-
них сил. Потенциальная энергия............................. 116
§ 37.	Теоремы о взаимности работ и перемещений............. 121
§ 38.	Формулы для определения перемещений.................. 123
§ 39.	Упрощение техники вычисления перемещений в балках
и рамах.................................................... 127
§ 40.	Перемещения, вызванные изменением температуры........ 134
§ 41.	Определение перемещений от осадки опор............... 137
§ 42.	Теорема Кастильяно. Принцип наименьшей работы ....	140
§ 43.	Определение перемещений при помощи упругих грузов. Мат-
ричная форма............................................... 141
Глава	8.	Пространственные фермы.................................. 148
§ 44.	Понятие о пространственных системах.................. 148
§ 45.	Виды опор и неизменяемость пространственных ферм . . .	150
§	46.	Расчет пространственных	ферм........................ 157
Часть вторая
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
Глава 9. Расчет статически неопределимых рам методом сил............ 162
§ 47.	Статическая неопределимость.......................... 162
§ 48.	Основные свойства статически неопределимых систем. Методы
расчета.................................................... 166
§ 49.	Основная система при расчете рам методом сил. Канониче-
ские уравнения............................................. 167
§ 50.	Построение эпюр поперечных и продольных сил в рамах.
Определение перемещений.................................... 175
§ 51.	Расчет статически неопределимых систем на температурное
воздействие и осадки опор.................................. 179
§ 52.	Решение системы канонических уравнений в матричной форме 184
§ 53.	Решение системы линейных уравнений способом итерации 187
§ 54.	Упрощение расчета симметричных рам................... 188
§ 55.	Замена произвольной несимметричной нагрузки прямосим-
метричной и обратносимметричной нагрузками................. 198
§56.	Расчет пространственных рам.......................... 201
Глава 10. Расчет рам методом перемещений...........................
§ 57.	Кинематическая неопределимость рам................... 204
§ 58.	Соотношения между концевыми моментами и угловыми де-
формациями ... ”........................................... 204
429
§ 59.	Расчет рам по развернутой форме метода перемещений ...	215
§ 60.	Уравнения метода перемещений в развернутой форме . . .	218
§ 61.	Использование симметрии при расчетах рам методом пере-
мещений .................................................... 223
§ 62.	Расчет рам методом перемещений на температурное воздей-
ствие и осадку опор......................................... 226
§ 63.	Построение линий влияния концевых моментов с примене-
нием метода перемещений..................................... 230
§ 64.	Каноническая форма метода перемещений................... 231
§ 65.	Матричный расчет рамы методом перемещений.............. 239
Глава 11. Расчет неразрезных балок ................................... 241
§ 66.	Расчет неразрезных балок методом сил.................... 241
§ 67.	Расчет неразрезных балок методом моментных фокусов . . .	245
§ 68.	Линии влияния опорных моментов и усилий для неразрез-
ной балки................................................... 247
§ 69.	Невыгоднейшие нагружения и построение объемлющей эпюры
моментов при действии распределенной нагрузки .............. 251
§ 70.	Расчет неразрезной балки на упругих опорах.............. 254
Глава 12. Расчет статически неопределимых плоских ферм................ 257
§ 71.	Общий ход расчета фермы при постоянной нагрузке ....	257
§ 72.	Линии влияния лишних неизвестных и усилий в стержнях
ферм........................................................ 260
§ 73.	Матричная форма расчета ферм........................... 264
Глава 13. Статически неопределимые арки..............................  256
§ 74.	Законы изменения сечений арок........................... 266
§ 75.	Расчет двухшарнирной арки на неподвижную нагрузку . . .	267
§ 76.	Линии влияния распора и усилий в двухшарнирной арке.
Эпюры усилий.............................................. 271
§ 77.	Построение линии влияния распора двухшарнпрной арки
методом упругих грузов.................................... 273
§ 78.	Арка с затяжкой..................................... 276
§ 79.	Расчет бесшарнирной арки на неподвижную нагрузку	.	.	.	277
§ 80.	Линии влияния лишних неизвестных для бесшарнирной арки	281
§ 81.	Линии влияния усилий в сечении бесшарнирной арки	.	.	.	287
§ 82.	Расчет бесшарнирной арки на температурное воздействие
и смещения опор............................................. 288
§ 83.	Поперечная, продольная силы и изгибающий момент для
круговой арки при радиальном давлении....................... 290
§ 84.	Определение перемещений круговой арки.................. 292
Глава 14. Специальные методы расчета рам ............................. 298
§ 85.	Комбинированный метод.................................. 299
§ 86.	Приближенные методы..................................... 299
Глава 15. Расчет сооружений с учетом развития пластических дефор-
маций материала. Метод разрушающих (предельных) нагрузок 303
§ 87.	Основные данные о методах расчета сооружений........... 303
§ 88.	Применение метода разрушающих (предельных) нагрузок
к расчету сооружений ....................................... 307
Глава 16. Расчет балок на упругом основании .......................... 316
§ 89.	Расчет балки при постоянном коэффициенте постели ....	316
§ 90.	Расчет балок при переменной жесткости основания методом
конечных разностей.......................................... 322
430
Глава
Глава
Глава
Часть третья
УСТОЙЧИВОСТЬ И ОСНОВЫ ДИНАМИКИ СООРУЖЕНИЙ
17.	Устойчивость стержневых систем.........................
§ 91.	Задачи и методы исследования устойчивости ...........
§ 92.	Общее уравнение упругой линии сжато-изогнутого стержня
§ 93.	Упругие реакции для сжато-изогнутого стержня в единич-
ных состояниях.............................................
§ 94.	Анализ устойчивости рам методом перемещений в канони-
ческой форме...............................................
§ 95.	Устойчивость симметричных рам и стержней.............
§ 96.	Устойчивость арок....................................
§ 97.	Применение энергетического метода и учет влияния попереч-
ной силы...................................................
§ 98.	Устойчивость плоской формы изгиба полосы.............
§ 99.	Применение уравнений в конечных разностях............
18.	Основы динамики сооружений.............................
§ 100.	Виды колебаний......................................
§101.	Собственные колебания системы с одной степенью свободы
§ 102.	Собственные колебания системы со многими степенями сво-
боды ......................................................
§ 103.	Частоты собственных колебаний рам...................
§ 104.	Определение приведенной массы.......................
§ 105.	Приближенные методы определения собственных частот
§ 106.	Вынужденные периодические колебания системы с одной
степенью свободы. Резонанс ................................
§ 107.	Вынужденные периодические колебания системы со мно-
гими степенями свободы.....................................
§ 108.	Виброгасители для двухмассовой системы..............
§ 109.	Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы
при действии непериодической нагрузки .....................
§ 110.	Действие подвижной нагрузки.........................
§111.	Удар груза по сооружению............................
§ 112.	Поперечные колебания стержней с распределенной массой
§ 113.	Продольные колебания стержней с распределенной массой
Часть четвертая
ОБОЛОЧКИ
19.	Расчет оболочек........................................
§ 114.	Основные положения..................................
§ 115.	Мембранная теория оболочек вращения при осесимметрич-
ной нагрузке...............................................
§ 116.	Моментная теория цилиндрических оболочек............
§ 117.	Расчет цилиндрических оболочек по моментной теории . . .
Приложение.................................................
1.	Основные сведения о матрицах и матричных операциях
2.	Функции для анализа устойчивости..................
Список литературы....................................
325
325
328
333
341
345
348
351
355
358
360
360
361
365
368
369
372
374
379
383
385
387
389
392
399
404
404
404
408
412
416
419
427
Николай Константинович Снитко
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Редактор Т. М. Минаева
Художник В. 3. Казакевич
Художественный редактор И. К. Гуторов
Технический редактор А. К. Нестерова
Корректор Г. И. Кострикова
ИВ № 2 119
Изд. № От—290. Сдано в набор 16.11.79. Подл, в печать 20-05.80.
Формат GOXQOVie Бум. тип. № 1. Гарнитура литературная. Печать
высокая. Объем 27 усл. печ, л- 25,26 уч.-изд. л. Тираж 75000 экз.
Зак. № 1116. Цена 1руб.
Издательство «Высшая школа»,
Москва, К-51, Неглинная ул.} д. 29/14
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 28.