/
Текст
в. А. КИСЕЛЕВ
Заслуженный деятель науки и техники РСФСР,
д-р техн. наук, проф.
СТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКА
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ДОПОЛНЕННОЕ
ДОПУЩЕНО МИНИСТЕРСТВОМ ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ СССР В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНИКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ,
ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТЯМ ^АВТОМОБИЛЬНЫЕ ДОРОГИ».
<МОСТЫ И ТОННЕЛИ» И <СТРОИТЕЛЬСТВО АЭРОДРОМОВ»
\Z^' МОСКВА СТРОЙИЗДАТ 976
УДК 624.04@75.8)
Рецензент — кафедра строительной механики
Киевского автомобильно-дорожного института.
Киселев В. А. Строительная механика. Учебник для
вузов. Изд. 3-е, доп. М., Стройиздат, 1976. 511 с.
Изложены основные методы расчета статически
определимых и статически неопределимых стержневых систем на
неподвижную и подвижную нагрузки. Наряду с расчетом
упругих систем рассмотрен расчет по предельным
состояниям в условиях появления пластических шарниров при
идеально пластической диаграмме деформирования.
Приведены примеры, иллюстрирующие применение теории
расчетов к решению практических задач.
Учебник предназначен для студентов автомобильно-
дорожных вузов и факультетои, обучающихся по
специальностям . «Автомобильные дороги», «Мосты и тоннели» и
«Строительство аэродромов».
Табл. 21, рис. 494, список лит.: 16 назв.
„ 80205—570 „. _. „
'^47@1)-76 °^^^ ® Стро!!издат, 197»
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга представляет собой учебник по
общему курсу строительной механики. Она составлена
применительно к программе курса строительной ме- -
ханики для специальностей «Мосты и тоннели»,
«Строительство аэродромов» и «Автомобильныедороги»
автомобильно-дорожных институтов и факультетов. Но
содержание книги в основном соответствует и
программе общего курса строительной механики для
строительных специальностей высших учебных заведений.
В основу книги положены второе ее издание и
лекции автора в Московском автомобильно-дорожном
институте. Отдельные вопросы получили некоторое
развитие.
В соответствии с новой программой усилена
матричная форма расчета, удобная для
электронно-цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ), углублен
расчет неразрезных балок переменного сечения, дано
понятие о расчете арок с надарочным строением и
понятие о методе конечных элементов.
Все присланные замечания о недостатках книги
будут приняты автором с благодарностью.
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
§ 1. ПРЕДМЕТ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Сооружения различного назначения, проектируемые и возводимые в
настоящее время на основе расчеаа их на прочность, устойчивость и
жесткость, называются инженерными сооружениями.
Расчет сооружений на прочность обеспечивает сопротивляемость их
действующим нагрузкам.
Расчет на устойчивость выясняет способность сооружений сохранять
заданные положения и принимаемые ими формы равновесия в
деформированном состоянии.
Расчет на жесткость преследует цель оградить сооружения от больших
перемещений и вибраций, препятствующих их нормальной эксплуатации.
Наука о расчете сооружений на прочность, устойчивость и жесткость
называется строительной механикой.
Вопросами расчета на прочность, устойчивость и жесткость, как
известно, занимается и сопротивление материалов. Однако между строительной
механикой и сопротивлением материалов в этом смысле существует
различие, которое состоит прежде всего в том, что сопротивление материалов
рассматривает прочность, устойчивость и жесткость отдельных
конструктивных элементов сооружений, преимущественно балок и стержней, в то
время как строительная механика рассматривает сооружения в целом и
разрабатывает методы их расчета. Если объектом рассмотрения и изучения в
сопротивлении материалов были преимущественно отдельные элементы
сооружения, то объектом изучения в строительной механике, как правило,
будет целое сооружение, из них составленное. Таково принципиальное
различие между строительной механикой и сопротивлением материалов.
Однако строгое разграничение обеих наук затруднительно, поскольку многие
граничные вопросы могут быть отнесены к любой из них.
Рассматривая сооружения в целом, строительная механика изучает
также вопросы правильного соединения их элементов, от которого
зависит способность сооружения принимать на себя нагрузки.
Строительная механика, кроме того, занимается определением
теоретически рациональных форм сооружений, требующих наименьшей затраты
материала.
Знание строительной механики помогает инженерам-строителям в
выборе экономичных конструктивных решений, повышающих эффективность
строительства, на чтб большое внимание обращено в «Основных
направлениях развития народного хозяйства СССР иа 1976—1980 годы».
В своем развитии н теоретических построениях строительная механика
использует математику, физику, теоретическую механику и сопротивление
материалов, а также результаты продолжительных наблюдений за
сооружениями, рассчитанными по ее методам. С другой стороны, строительная
механика дает необходимую подготовку для изучения курсов инженерных
конструкций, мостов и дорог.
С расчетом сооружений на прочность, устойчивость и жесткость
связаны проектирование, возведение и реконструкция любого инженерного
сооружения, а также проверка его на новые, ранее непредвиденные
нагрузки.
Поэтому значение строительной механики для инженера-строителя
исключительно велико.
Строительная механика вооружает инженера-проектировщика такими
знаниями, которые помогают ему вскрывать действующие в сооружении
внутренние силы й, следовательно, находить рациональные формы
сооружения и его элементов, наиболее полно и разумно воплощать свои
творческие замыслы. Причем все это он может проделать до постройки соору-
жения, изменяя в процессе проектирования и расчета все то, что оказалось
непрочным или нерациональным. Таким образом, строительная механика
позволяет инженеру проектировать сознательно, уверенно и
целесообразно создавать конструкции легкие, смелые, но надежные.
Строительная механика дает возможность инженеру-строителю
правильно понимать работу сооружения под нагрузкой, вовремя устранять
неточности его возведения, которые при эксплуатации могут пагубно
отражаться на работе сооружения, правильно назначать размеры подмостей
и других приспособлений или заменять в них элементы другими
равнопрочными. Надо сказать, что в наше время при строительстве крупных
инженерных сооружений подмости и приспособления сами являются
своеобразными сложными и ответственными сооружениями. В отдельных случаях
строительная механика позволяет инженеру-строителю теоретически
обосновать и методы возведения инженерных сооружений.
Строительная механика как наука прикладная возникла из
потребностей строительной практики и развивается вместе с ней. Черпая основные
идеи из практики, она разрабатывает методы расчета инженерных
сооружений и создает благоприятные условия для их более быстрого развития
и совершенствования. Так теория и практика инженерных сооружений
взаимно обогащают и развивают друг друга.
Исключительно большое развитие строительная механика получила
в нашей стране, где ведется огромное по масштабам строительство самых
разнообразных и сложных инженерных сооружений. В Советском Союзе
созданы специальные научно-исследовательские институты,
занимающиеся проблемами строительной механики; большая научная работа
проводится также в высших учебных заведениях и других научных
учреждениях.
Строительная механика в настоящее время располагает большим
количеством надежных' методов расчета, проверенных опытом и инженерно-
строительной практикой. Однако не следует думать, что развитие этой
науки уже завершено и что она способна дать точные ответы буквально на все
вопросы проектирования инженерных сооружений. Строительная
механика, как и всякая наука, непрерывно развивается и совершенствуется
в соответствии с запросами быстрорастущей строительной промышленности.
Но всегда надо иметь в виду, что только те новые методы строительной
механики заслуживают доверия, которые подтверждены
экспериментальными исследованиями на моделях и сооружениях. Поэтому эксперимент
в развитии строительной механики при создании новых методов расчета
имеет существенное значение. Он проводится или до создания новой теории,
или после ее создания, а иногда и до и после. Задача эксперимента до
создания теории состоит в том, чтобы выявить основное в изучаемом явлении,
отделить от второстепенного, которым можно пренебречь, и тем самым
упростить создаваемую теорию расчета. Задача эксперим'ента после создания
теории заключается в проверке даваемых ею результатов.
Экспериментальные исследования проводятся сначала на моделях
сооружений, а затем в натуре на готовых сооружениях. В обоих случаях
измеряются деформации и перемещения, которые и сопоставляются с
данными теоретических расчетов.
Данные экспериментальных исследований самих сооружений,
поскольку они отражают действительное их поведение под нагрузкой, ил^, как
принято говорить, действительную их работу, являются более интересными
и полными, чем данные, получаемые при испытании моделей.
Однако испытания моделей, проводимые в лабораторных условиях,
имеют свои преимущества, состоящие в том, что модели проще самих
сооружений и легко могут быть изготовлены. Они отражают лишь главные
для изучаемого вопроса свойства сооружений, их можно изменять в
процессе экспериментирования для выявления каких-либо особенностей
поведения сооружения под нагрузкой; наконец, модели можно доводить до раз-
рушения, что особенно важно при оценке несущей способности сооружений
и чего, разумеется, нельзя сделать с самими сооружениями.
Прочность, устойчивость и жесткость сооружения зависят не только от
материала, размеров и формы его элементов, но и от внутренних сил,
которые возникают и развиваются в сооружении при действии на него
нагрузки. Следовательно, размеры прочных н устойчивых элементов сооружения
из данного материала определяются величинами внутренних сил в этих
элементах. Деформации элементов сооружения и всего сооружения в целом
определяются также внутренними силами. Поэтому при всяком расчете
должны быть в первую очередь найдены внутренние силы.
Если размеры элементов сооружения заданы, то по внутренним силам
можно в результате расчета судить о прочности, устойчивости и жесткости
каждого элемента сооружения и всего сооружения в целом (поверочный
расчет).
Если размеры элементов сооружения неизвестны; то по внутренним
силам в результате расчета можно определить эти размеры, удовлетворяющие
прочности, устойчивости и жесткости сооружения (проектировочный
расчет) . ,
Таким образом, основная задача строительной механики состоит в
определении внутренних сил.
В строительной механике внутренние силы обнаруживаются при
помощи известного метода сечений, который переводит их в равные внешние
силы и моменты воздействия одной части рассекаемого сооружения на
другую, именуемые заменяюи^ими [2]. Поэтому, когда пойдет речь о
внутренних силах, будем подразумевать равные им заменяющие силы. Эти
заменяющие силы, прикладываемые в местах разреза стержня, обычно
представляются в виде изгибаюш^их и крутящих моментов, продольных и
поперечных сил.
При определении внутренних сил надо иметь в виду, что всякое
сооружение под нагрузкой меняет свою форму — деформируется. Деформация
нарастает до тех пор, пока внутренние силы сооружения, развивающиеся
при деформации его материала, не будут в состоянии препятствовать
дальнейшему росту деформаций сооружения, после чего наступает его
равновесие в деформированном состоянии. Это значит, что любая выделенная часть
сооружения после приложения к ней в мысленно проводимых сечениях за-
меняюш^их сил взаимодействия (внутренних сил, переведенных разрезом
во внешние) будет находиться в равновесии.
Так как скорость развития деформаций в обычных строительных
материалах велика, то равновесие в деформированном состоянии практически
наступает одновременно с приложением нагрузки. Если же материал
сооружения по своей физической природе не в состоянии развить такие
внутренние силы, которые препятствовали бы росту деформации и создали бы
равновесие в деформированном состоянии, то деформация сооружения
продолжается до его разрушения.
При строгой постановке задачи внутренние силы следовало бы
определять в сооружении, находящемся в деформированном состоянии,
соответственно принятому > методу расчета, с учетом поведения нагрузки во
время деформации сооружения. Однако это сопряжено с большими
трудностями, поскольку внутренние силы сооружения в деформированном
состоянии и его деформации взаимозависимы. При этом надо иметь в виду,
что даже если материал сооружения следует закону Гука, то, как правило,
линейной зависимости между перемещениями и нагрузками не будет и
определение внутренних сил становится весьма сложным. Еще более оно
осложняется в случаях, когда материал сооружения не следует закону Гука
или работает за его пределом.
Поэтому, учитывая сравнительно малые изменения формы сооружения
при его деформации, для упрощения расчета внутренние силы обычно оп-
ределяют приближенно по начальному, недеформированному, состоянию
сооружения. Во многих случаях (но не всегда!) точность такого
определения внутренних сил практически приемлема. О том, что не всегда точность
определения внутренних сил по недеформированному состоянию
достаточна, необходимо помнить, особенно при расчетах, когда деформация
сооружения может быть значительной.
В тех случаях, когда определение внутренних сил по
недеформированному состоянию сооружения дает существенные погрешности, как,
например, при продольно-поперечном изгибе стержня, внутренние силы надо
определять с учетом деформации сооружения.
§ 2. ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИИ
Расчет сооружений в конечном счете сводится к оценке его прочности,
устойчивости и жесткости. Существуют три метода расчета сооружений:
1) метод расчета по допускаемым напряжениям; 2) метод расчета по
допускаемым (разрушающим) нагрузкам и 3) метод расчета по предельным со-
состояниям.
Метод расчета по допускаемым напряжениям — это старый метод,
принятый за рубежом и пока еще частично применяемый у нас в СССР для
расчета таких сооружений, для которых еще не составлены технические
условия расчета их по предельным состояниям. Этот метод состоит в том,^
что оценка прочности и устойчивости форм равновесия деформированного
состояния производится путем сопоставления наибольших нормальных или
касательных напряжений от действующей нагрузки, обозначаемых здесь
буквой о, с аналогичными допускаемыми напряжениями [о] для данного
материала. Допускаемое напряжение принимается как некоторая доля
напряжения, признаваемого по соображениям прочности или устойчивости
за опасное. Условие прочности (устойчивости) по этому методу может быть
записано в таком общем виде:
<'<[о] = —-^—. A-1)
где fe* > 1 — коэффициент запаса.
Коэффициент запаса предусматривает запас прочности материала на
возможный, рост нагрузок, отклонение прочностных качеств материала
в худшую сторону, на неточность расчета и изготовления сооружения
и т. д.
Метод расчета по допускаемым нагрузкам, разработанный в СССР
преимущественно для расчета железобетонных, бетонных и каменных
конструкций, состоит в том, что оценка прочности и устойчивости вооружения
производится путем сопоставления действующей на сооружение нагрузки,
обозначаемой здесь в общем виде буквой Р, с нагрузкой допускаемой [Р].
Допускаемая нагрузка принимается как некоторая доля нагрузки,
признаваемой по каким-либо соображениям за опасную. Как правило,
опасной нагрузкой считается нагрузка предельная — разрушающая,
определяемая с учетом работы материала за упругой областью, или
критическая, вызывающая потерю устойчивости. Условие прочности
(устойчивости) по этому методу записывается так:
Р<[Я] = -^^. A.2)
Основной недостаток обоих старых методов расчета состоит в том, что
у них единый коэффициент запаса на,все случаи работы сооружения, в то
время как, например, некоторые нагрузки обладают различной степенью
достоверности и различной' возможностью к их росту. Поэтому запас на
7
рост таких нагрузок должен быть различным. Этот недостаток был
устранен в новом методе расчета сооружений по предельным состояниям," также
разработанным у нас в СССР.
Метод расчета по предельным состояниям, принятый в настоящее
время в СССР и в некоторых странах за рубежом для расчета строительных
конструкций, состоит в том, что расчет сооружений проводится в условиях
так называемых предельных состояний. Предельным состоянием
сооружения называется такое состояние, при котором сооружение теряет
способность к сопротивлению внешним воздействиям, или приходит в состояние,
не пригодное для дальнейшей его эксплуатации.
Предельные состояния подразделяются на две группы:
первая группа — по потере несущей способности или непригодности
к эксплуатации;
вторая группа — по непригодности к нормальной эксплуатации.
К предельным состояниям первой группы относятся: общая потеря
устойчивости формы; потеря устойчивости положения; хрупкое, вязкое,
усталостное или иного характера разрушение; разрушение под
совместным воздействием силовых факторов и неблагоприятных влияний
внешней среды; качественное изменение конфигурации; резонансные колебания;
состояния, при которых возникает необходимость прекращения
эксплуатации в результате текучести материала, сдвигов в соединениях,
ползучести или чрезмерного раскрытия трещин.
К предельным состояниям второй группы относятся состояния,
затрудняющие нормальную эксплуатацию конструкций и оснований или
снижающие долговечность их вследствие появления недопустимых
перемещений (прогибов, осадок, углов поворота), колебаний, трещин и т. п.
Расчет по предельным состояниям должен оградить сооружение от
появления в эксплуатации какого-либо вида предельного состояния.
Сооружения прежде всего должны удовлетворять расчету по первому
предельному состоянию, а затем — по второму в зависимости от типа сооружения.
Так, например, для перекрытий, большое провисание которых может
вызвать растрескивание штукатурки или порчу отделки, важно
удовлетворить еще и второму предельному состоянию. Наступление предельных
состояний зависит от нагрузок, сопротивления материалов, условия работы
сооружения и в отдельных случаях других различных причин, на
изменчивость которых должны быть предусмотрены запасы. Поэтому при
расчетах по первому предельному состоянию внутренние силы в элементах
сооружений определяются не от действующих на сооружение в обычных
условиях нагрузок, называемых нормативными, а от нагрузок, называемых
расчетными, которые получаются из нормативных путем умножения их
на коэффициент п, как правило, больший единицы, называемый
коэффициентом перегрузки.
Коэффициент перегрузки по существу есть предусматриваемый
коэффициент запаса на возможный рост нагрузки. Если нагрузка ни при каких
обстоятельствах не может увеличиться во время эксплуатации, как,
например, нагрузка водяного бака определенной емкости, то для такой
нагрузки запас на ее рост не нужен и коэффициент перегрузки для нее может
быть величиной, мало отличающейся от единицы, определяемой только
возможным отклонением емкости бака от проектной величины. Собственный
вес сооружения представляет собой нагрузку, которая также не способна
возрастать во время эксплуатации сооружения и может отличаться от
принимаемой в расчете только вследствие отклонения удельных весов или
размеров элементов в натуре от проектных. Такие отклонения обычно
незначительны и для собственного веса коэффициент перегрузки может быть
небольшим. Другие нагрузки, как, например, нагрузка в виде поезда,
автомобиля, толпы и т. д., в силу своей способности к увеличению и
некоторой неопределенности, наоборот, требуют больших коэффициентов
перегрузки. Основной смысл расчета на расчетные нагрузки состоит в том,
8
что запас на рост нормативной нагрузки предусматривается
самостоятельно для каждого отдельного случая.
В качестве характеристики материала в методе расчета по предельным
состояниям принимается так называемое расчетное сопротивление R как
некоторая доля получаемого из опыта нормативного сопрот,ивления R',
представляющего собой напряжение, признаваемое для данного материала
за опасное. Поэтому при получении расчетного сопротивления к
нормативному сопротивлению вводится поправка в виде коэффициент.а
безопасности по материалу k больше единицы за счет возможного отклонения
прочностных показателей конкретного материала от среднестатистических
(R^lk). Коэффициент безопасности материала предусматривает запас на
возможное отклонение качества материала в худшую сторону от среднего
качества: Для учета других причин, влияющих на запас прочности, вводится
дополнительная поправка в виде коэффициента условий работы т, который
может быть меньше и больше единицы.
Коэффициентом условий работы т учитывается влияние: температуры,
влажности и агрессивности среды, длительности воздействия, его
многократной повторяемости и т. д.; приближенности расчетных схем и
принятых в расчете предпосылок; перераспределения силовых факторов и
деформаций. Таким образом, коэффициент условий работы — это запас на
изменение сопротивляемости сооружения, связанное с его эксплуатацией, на
неточности расчета и другие причины, требующие запаса прочности в
сооружении.
Степень ответственности и капитальности зданий и сооружений, а
также значимость последствий наступления тех или иных предельных
состояний учитываются в необходимых случаях коэффициентом надежности
Ан. который может вводиться в расчет также при недостаточной
изученности действительной работы и предельных состояний отдельных видов
конструкций и оснований. На коэффициент k^ следует делить предельные
значения несущей способности, расчетные сопротивления, предельные
деформации, величины раскрытия трещин либо умножать величины
расчетных нагрузок, усилий или иных воздействий^.
Внутренние силы сечения в методе расчета по предельным состояниям,
выражаемые через напряжения и элементы сечения, определяются в
зависимости от того, какого вида эпюра напряжений по сечению принята за
предельную.
Если за предельную эпюру напряжений по сечению принимается такая,
в которой ни одно напряжение на выходит за пределы упругости, то
зависимость между предельными внутренними силами и предельными
нагрузками устанавливается при упругой стадии работы сооружения. Если же
за предельную эпюру напряжений по сечению принимается эпюра при
полном исчерпании сопротивления сечения, то зависимость между
предельными нагрузками при строгой постановке задачи должна устанавливаться
по стадии разрушения сооружения с учетом развития пластических
деформаций, если сооружение изготовлено из пластичных материалов.
Условие прочности в методе расчета по предельным состояниям для
простых деформаций может быть представлено в двух видах:
1) 5<5„ред = 'п«^; A-3)
2)а = —<т/?, A.4)
где S — внутренняя сила от расчетной нагрузки;
5пред — предельная внутренняя сила, определяемая по эпюре
напряжений в предельном состоянии;
R — расчетное сопротивление;
^ Следовало бы запас на неточность расчета представить специальным
коэффициентом.
A — геометрическая характеристика сечения;
т — коэффициент условий работы;
а — наибольшее напряжение от расчетной нагрузки в эпюре, по
своему виду похожей на эпюру напряжений в предельном
' состоянии.
Формула A.4) условна, она как бы определяет левой частью
достаточное значение расчетного сопротивления материала с поправкой на
коэффициент условий работы, если предположить, что при данных расчетных
нагрузках наступило предельное состояние сечения с соответствующей
этому состоянию эпюрой напряжений.
Обе формы записи условия прочности в простых случаях таковы, что их
левые части от знака неравенства содержат величины, которых нет в
правой. В сложных случаях, когда в сечении несколько внутренних сил, такая
запись невозможна. В этих случаях удобна запись в форме A.4), только
с иным видом промежуточного члена [см., например, A0.25)].
При расчетах по первому предельному состоянию на усталость
материала при переменных нагрузках и при расчетах по второму предельному
состоянию на жесткость внутренние силы определяются от нормативных
нагрузок, что часто соответствует упругой работе сооружения с
присущими ей эпюрами напряжений по сечению для данного материала.
Основной смысл расчета сооружений по предельным состояниям заключается
в разделении единого коэффициента запаса на три самостоятельных:
коэффициент перегрузки, коэффициент безопасности по материалу и
коэффициент условий работы, которые в разных условиях различны, что позволяет
более гибко оперировать с ними. Разумеется, что такое деление
коэффициента запаса возможно и в методах расчета по допускаемым напряжениям
и допускаемым (разрушающим) нагрузкам. В самом деле, если за
предельное состояние принять, например, наибольшее напряжение в одной
точке сечения, равное пределу упругости или текучести, то расчет по
предельному состоянию по существу будет расчетом по допускаемым
напряжениям при повышенном допускаемом напряжении, равном расчетному
сопротивлению, и при повышенных расчетных нагрузках по сравнению
с теми нагрузками, которые будут действовать на сооружение в обычных
условиях.
Оценка жесткости сооружения по всем трем методам проводится
примерно одинаково, путем сопоставления наибольших перемещений от
действительной или нормативной нагрузки с перемещениями, приемлемыми
для эксплуатации сооружения.
Расчет сооружений по упругой стадии работы, подчиняющихся в
обобщенном смысле закону Гука, когда деформации и перемещения
пропорциональны нагрузкам, коротко называют «упругим расчетом», а расчет
сооружений по упругопластической стадии работы «пластическим расчетом».
В строительной механике под расчетом сооружений обычно принято
считать только его основную часть, а именно определение внутренних сил
и перемещений. В соответствии с этим методы определения внутренних
сил и перемещений принято условно называть также методами расчета
сооружений, чем и будем пользоваться далее.
§ 3. НАГРУЗКИ
Внешние активные силы, действующие на сооружения, называются
нагрузками. Нагрузки бывают сплошные и . сосредоточенные. Сплошные
нагрузки — это нагрузки, распределенные по поверхности, измеряемые
интенсивностью в кН/см^, или распределенные по объему, измеряемые
интенсивностью в кН/см^.
Сплошные поверхностные и объемные силы, действующие на брус,
обычно заменяются сплошной нагрузкой по длине бруса, измеряемой
интенсивностью в кН/см.
10
Если поверхностные нагрузки распределены по малой площади, то их
равнодействующая представляется в виде сосредоточенной силы.
Нагрузки, действующие на сооружение, делятся на постоянные и
временные. Постоянные нагрузки — это такие нагрузки, которые всегда
находятся на сооружении, как, например, его собственный вес. Временные
нагрузки, наоборот, не всегда действуют на сооружение. Временные
нагрузки дополнительно разделяются на подвижные и неподвижные.
Подвижные нагрузки — это нагрузки, перемещающиеся по сооружению, как,
например, автомобили, трамваи, троллейбусы, поезда и другие
транспортные средства, действующие на мосты. Неподвижные нагрузки — это
нагрузки, сохраняющие на сооружении продолжительное время неизменное
положение, в виде различного оборудования промышленных и
гражданских сооружений.
По характеру действия нагрузки разделяются на статические и
динамические. Статические нагрузки — это нагрузки, не меняющие ни своего
значения, ни своего положения, ни своего направления. Остальные
нагрузки — динамические. Если изменяющиеся нагрузки передаются
сооружению спокойно, плавно, с малыми приращениями во времени их
значений, с малыми изменениями положения или направления и вызывают
небольшие по сравнению с самими нагрузками силы инерции, то такие
нагрузки приближенно считаются статическими. В этом общем курсе будут
рассмотрены только статические нагрузки.
§ 4. РАСЧЕТНАЯ СХЕМА СООРУЖЕНИЯ
Инженерные сооружения обычно представляют собой совокупность
различных конструктивных элементов (стержней, балок, пластин, оболочек
и массивных тел), соединенных между собой связями в единое целое.
Расчет сооружения с точным учетом всех геометрических размеров и
формы его элементов, а также с учетом строгого их взаимодействия между
собой является или теоретически недоступным, или практически сложным
и, следовательно, неприемлемым. Поэтому строительная механика, как и
л1обая наука, использует метод научной абстракции, заменяя сооружения
их схемами.
Схема сооружения — это упрощенное его изображение, учитывающее
только основные данные, которые определяют поведение сооружения под
нагрузкой. В схеме сооружения стержни заменяются их центральными
линиями, называемыми осями; пластины заменяются их срединными
поверхностями; поперечные сечения стержней и нормальные к срединной
поверхности сечения пластин независимо от их формы характеризуются
в общем виде численными значениями площадей и моментов инерции;
реальные опорные устройства и связи между элементами сооружения
заменяются идеальными связями; нагрузки на поверхности элементов
переносятся на оси или срединные поверхности и т. д.
Если сооружение состоит только или в основном из стержней, то схема
сооружения представляет как бы его скелет.
Расчет сооружений производится по расчетной схеме. Наличие
электронно-цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ) часто позволяет
использовать полную схему сооружения в качестве расчетной схемы. Иное
дело при ручном счете.
Если полная схема сооружения проста и доступна для практического
расчета, то она используется и как расчетная схема. Если же полная схема
сложна для расчета, то она подвергается дальнейшему упрощению путем
дополнительного игнорирования некоторых свойств, играющих
второстепенную роль в работе сооружения. Это упрощение бывает необходимо для
выполнения практически приемлемого по сложности ив то же время
достоверного по точности расчета.
П
J L
'TTTttTttfttf ' T t f tTI'f"ftf
Следовательно, расчетная схе-
г) ма сооружения есть, вообще гово-
ря, упрощенная полная схема.
На рис. 1 показаны некоторые
сооружения (а), их полные (б) и
расчетные схемы (в).
Выбоо расчетной схемы
сооружения является сложной и
ответственной задачей. От него прежде
всего зависит качество расчета.
Расчет по неправильно выбранной
расчетной схеме, даже по точным
методам, не может быть
правильным. Так, например, расчет арки
без надарочной части (см. рис. 1)
дает малоудовлетворительные
результаты, пригодные только для
предварительных ориентировочных заключений. Из этого следует, что
выбор расчетной схемы зависит от требуемой точности проводимого
расчета. Для расчетов предварительных схема может быть предельно простой
и грубой, а для расчетов окончательных она должна быть строгой и
совершенной. В связи с тем, что электронно-цифровые вычислительные машины
{ЭЦВМ) оперируют с числами, а не с функциями, то и значения расчетных
величин они дают в числах и только для определенных мест (сечений).
Это вынуждает в практических расчетах упрош,ать нагрузки, заменяя,
например, распределенные нагрузки сосредоточенными (рис. 1, г), а
элементы переменного сечения заменять элементами с кусочно-постоянными
12
Рис. 1
Рис. 2
/!7Р77
/?Ш
сечениями, определяемыми на
основе каких-либо дополнительных
допущений.
Сооружения и их полные и рас«;
четные схемы- в строительной
механике классифицируются по
различным основным признакам.
Например, сооружения, составленные
из стержней, называются
стержневыми системами (рис. 2, а), сооружения, составленные из пластинок, —
складчатыми тонкостенными {призматическими) системами (рис. 2, б) и
сооружения, составленные из тел, примерно одинаково протяженных в
трех измерениях, — мсхсивньили системами (рис. 2, в).
По расположению отдельных элементов сооружения их схемы
разделяются на плоские и пространственные. Плоские стержневые сооружения—
это такие, в которых оси всех стержней лежат в одной плоскости,
проходящей через одну из главных осей инерции их поперечных сечений. Все
остальные стержневые сооружения — пространственные.
Плоские сооружения обладают тем свойством, что если расчетные
нагрузки лежат в их плоскости, то и перемещения, без потери устойчивости
сооружения, происходят в той же плоскости.
Плоские сооружения самостоятельно встречаются редко, чаще они
являются лишь составной частью пространственных сооружений, из которых
они выделяются обычно для упрощения расчета. Так, например, плоская
система на рис. 3 выделена из пространственной системы.
Выделение плоской системы из пространственной часто уменьшает
точность расчета. Во многих случаях инженерная практика вынуждена
мириться с этим ради простоты расчета, если потеря точности не слишком
велика.
§ 5. НЕИЗМЕНЯЕМЫЕ, ИЗМЕНЯЕМЫЕ
И МГНОВЕННО ИЗМЕНЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ
Геометрически неизменяемые, или просто неизменяемые, системы — это
системы соединенных между, собой твердых тел, допускающие
относительные перемещения тел только при деформации материала.
Геометрически изменяемые, или просто изменяемые, системы — это
системы соединенных между собой твердых тел, допускающие конечные
относительные перемещения тел без деформации материала.
Мгновенно изменяемые системы — это системы соединенных между
собой твердых тел, допускающие без деформации материала (если
пренебрегать изменениями размеров системы высших порядков малости)
бесконечно малые относительные перемещения тел, после чего системы
становятся неизменяемыми.
Мгновенно изменяемые системы представляют собой исключительные
случаи неизменяемых систем.
13
Простейшим примером неизменяемой системы может служить система,
составленная из двух стержней, соединенных между собой шарниром b »
шарнирно прикрепленных к неподвижному телу в точках а и с (рис. 4).
Так как по трем сторонам можно построить единственный треугольник аЬс,
то система неизменяема.
Эта система, как и всякая другая
неизменяемая система, способна принимать на себя .^ |
и уравновешивать внутренними силами
любые нагрузки до наступления разрушения
материала.
Система, состоящая из трех стержней,
соединенных между собой и прикрепленных к
неподвижному телу шарнирами (рис. 5, а),
является простейшим примером изменяемой
системы, которая способна изменять свою
форму без изменения длин ее стержней.
Всякая изменяемая система, как увидим
далее (§ 12), может принимать на себя и
уравновешивать внутренними силами, не
меняя заданной формы, только нагрузки
частных видов, свойственных этой форме.
Такими нагрузками для рассматриваемой
системы будут, например, нагрузки,
приведенные на рис. 5, а — в.
Поскольку изменяемая система подвиж-
на, то равновесие при определенной
нагрузке независимо от ее величины может быть
устойчивым, неустойчивым и безразличным.
Нетрудно представить, что положение
системы на рис. 5, а неустойчиво, на рис. 5, б
устойчиво и на рис. 5, в безразлично.
Если изменяемая система при данной ее
конфигурации не может уравновесить
действующую нагрузку (рис. 5, г), то система
приходит в движение. Одно из промежуточных
положений системы при движении указано
на чертеже пунктиром с точкой. Это
движение будет продолжаться до тех пор, пока
система не получит той формы, при которой
возможно устойчивое ее равновесие (рис. 5,г),
или она при движении не встретит на своем
пути какого-либо препятствия (рис. 5, д),
которое будет служить дополнительной связью,
и система перестанет быть изменяемой в
направлении совершаемого движения.
В таких случаях изменяемая система,
«приспосабливаясь» к нагрузке, как прави-
\ 1 /
^)
.^
д)
Рис. 4
Рис, 5
14
^>
cff —--A——— p
' I ^—I
Рис. 6 Рис. 7
ло, получает большие перемещения и занимает устойчивое положение
равновесия, если прочность системы не будет нарушена. Примерно так
же ведет себя изменяемая система, находящаяся в неустойчивом
равновесии (рис. 5, а). Она непременно придет в движение, которое
прекратится или в новом устойчивом положении (рис. 5, е), или в новом положении
с дополнительными связями (рис. 5, ж).
Естественно, что только устойчивые формы равновесия изменяемых
систем в какой-то мере могут быть использованы на практике. Так,
например, иногда при вертикальной нагрузке применяются гибкие нити и
шарнирные цепи (рис. 6).
Из сказанного следует, что изменяемые системы мало пригодны для
сооружений, несущих нагрузки различного вида.
Простейший пример мгновенно изменяемой системы дан на рис. 7.
Бесконечно малое движение системы объясняется тем, что шарнир b при
вертикальном перемещении Должен описывать дуги радиусами аЬ и сЬ,
проведенными из центров а и с, которые имеют общую вертикальную
касательную. Это значит, что бесконечно малое перемещение точки b возможно,
поскольку разница длин каждого стержня в наклонном и горизонтальном
положениях есть величина второго порядка малости
I 1
Д/= —/ж-—Мф2.
COS dф 2
Всякая мгновенно изменяемая система, так же как и изменяемая, может
уравновесить, не изменяя своей формы без деформации материала, т о л ь-
к о нагрузки частных видов и именно те, которые могла бы уравновесить
изменяемая система, полученная из мгновенно изменяемой (см. § 12).
Если нагрузка не может быть уравновешена мгновенно изменяемой
системой, то она получит бесконечно малые перемещения, которые в
реальных условиях, с учетом деформации материала, переходят в конечные и,
как правило, большие перемещения (см. § 12).
Мгновенно изменяемые системы, так же как и изменяемые, мало
пригодны для сооружений, несущих различного вида нагрузки.
§ 6. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ
И СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
Одна из основных задач строительной механики состоит в определении
внутренних сил в элементах сооружений. Методы определения их зависят
от того, является ли данная задача статически определимой или статически
неопределимой.
Если все внутренние силы в сооружении при данных допущениях
относительно их определения и принятой расчетной схеме могут быть
определены только по уравнениям статики, без изучения деформированного
состояния сооружения, то такие задачи называются статически
определимыми.
Если же все внутренние силы сооружения или их часть при данных
допущениях для их определения и принятой расчетной схеме не могут быть
определены только по уравнениям статики, а для их определения требуется
15
изучение деформированного состояния системы, то такие задачи
называются статически неопределимыми.
В апатически определимых задачах, в которых внутренние силы
определяются только из уравнений равновесия, внутренние силы не зависят от
поперечных размеров, формы и материала отдельных элементов сооружения.
В задачах статически неопределимых, в которых определение
внутренних сил связано с изучением деформированного состояния системы, а оно
зависит от размеров, формы и материала отдельных элементов, внутренние
силы будут также зависеть от размеров, формы поперечных сечений и
материала отдельных элементов сооружения.
Значения внутренних сил зависят от тех предпосылок, на основании
которых они определяются. От этих же предпосылок зависит и деление задач
на статически определимые и статически неопределимые. Как увидим
далее, для одной и той же расчетной схемы задача при одних предпосылках
может быть статически определимой, а при других — статически
неопределимой. Так, например, простейшая задача об определении момента в
защемлении консоли (рис. 8, а) будет статически определимой, если
пренебрегать горизонтальным перемещением ее конца, т. е. считать 1^ = I, и она же
будет статически неопределимой, если им не пренебрегать. При той же
предпосылке, если пренебрегать горизонтальным перемещением конца балки,
но при наличии на конце еще горизонтальной силы (рис. 8, б) задача
становится статически неопределимой. И только если в последнем случае
пренебрегать еще и вертикальным перемещением конца балки, задача будет
статически определимой.
Все сказанное о балке, защемленной одним концом, относится и к
балке на двух опорах (рис. 8, в, г). Если пренебрегать горизонтальными
перемещениями при вертикальной нагрузке (рис. 8, в), то задача будет
статически определимой, а если не пренебрегать — статически
неопределимой. Задача для той же балки, но при наличии еще горизонтальной силы
(рис. 8, г) будет статически определимой только в том случае, если
пренебрегать и горизонтальными, и вертикальными перемещениями. Иными
словами, задачи для этих балок будут статически определимы, если
внутренние силы определять по схеме недеформированной балки.
Следовательно, статическая неопределимость задачи зависит от вида
системы, от предпосылок, на основе которых определяются внутренние силы
и реакции, и от вида нагрузок.
Наряду с такими задачами существуют задачи всегда статически
определимые и всегда статически неопределимые. Так, например, на
рис. J9. ^ даны некоторые задачи на определение внутренних сил, которые
при любых предпосылках статически определимы, а.на рис. 9, б —
статически неопределимы, поскольку в них число неизвестных опорных реакций,
больше трех, т. е. больше числа уравнений равновесия.
Надо сказать, что задачи по определению внутренних сил, всегда
статически определимые при любых предпосылках для их определения,
достаточно редки и относятся лишь к отдельным частным случаям, не имеющим
большого практического значения, тогда как задачи, всегда статически
неопределимые, встречаются весьма часто.
Статическая неопределимость таких всегда статически неопределимых
задач уже не зависит от вида нагрузок. Она определяется в любых условиях
самой системой, а потому такие системы можно выделить и назвать
статически неопределимыми.
Задачи на определение внутренних сил в остальных системах будут или
статически определимыми, или статически неопределимыми в зависимости
от допущений при их определении.
Если внутренние силы определять, как это полагалось бы при строгой
постановке задачи, по деформированному состоянию сооружения с учетом
всех его перемещений и исключить частные случаи, показанные на рис. 9, а
и им подобные, то все задачи по определению внутренних сил были бы ста-t
16
Ml M2
M M
—!T-
Рис. 9
i
7777;
тически неопределимыми и, следовательно, статически определимых
систем не было бы совершенно.
Если же, как это часто принято, внутренние силы определять по неде-
формированному состоянию сооружений, то все задачи по определению
внутренних сил в остальных системах, находящихся в равновесии, которые
не являются статически неопределимыми, будут задачами статически
определимыми независимо от нагрузки. В таких случаях эти системы
молено назвать статически определимыми.
Из всего сказанного следует, что деление систем (а не задач!) на
статически определимые и статически неопределимые независимо от
действующей нагрузки возможно только в том случае, если внутренние силы
определять по недеформированному состоянию сооружения. В этом случае
статически определимые системы — это такие системы, при равновесии
которых все внутренние силы могут быть определены по уравнениям статики,
а статически неопределимые системы — это такие, при равновесии
которых все внутренние силы, или часть их, не могут быть определены по
уравнениям статики.
§ 7. ПРИНЦИП НЕЗАВИСИМОСТИ ДЕЙСТВИЯ ВНЕШНИХ СИЛ
Принцип независимости действия внешних сил, или, иначе, принцип
наложения, состоит в том, что какая-либо величина (опорная реакция,
внутренняя сила, напряжение, перемещение и т. д.) при нескольких
внешних силах, совместно действующих на сооружение, определяется как
алгебраическая или геометрическая сумма значений составляющих этой
величины от каждой силы в отдельности.
Алгебраическая сумма получается для скалярных величин и
численных значений векторов (модулей), когда векторы определяемой величины
расположены на одной прямой, а геометрическая сумма — для
векторных величин, когда векторы определяемой величины проходят через одну
точку. Так, например, величина опорной реакции подвижной опоры,
линия действия которой не зависит от нагрузки, может быть представлена
алгебраической суммой, а вектор реакции неподвижной опоры, линия
действия которого зависит от нагрузки, должен быть представлен геометри-
17
ческой суммой. Аналогично величина нормального напряжения по
заданной площадке может быть представлена алгебраической суммой, а вектор
полного напряжения по ней — геометрической.
Принцип независимости действия внешних сил играет в строительной
механике исключительно большую роль. Он значительно упрощает
расчеты, и потому многие из них построены на основе этого принципа. Следует,
однако, заметить, что, строго говоря, если внутренние силы и реакции
определять по деформированному состоянию сооружения с учетом всех
факторов, влияющих на перемещения системы, то принцип независимости
почти никогда не оправдывается^. Только лишь при некоторых
дополнительных предпосылках принцип независимости имеет место, и прежде всего
в неизменяемых системах. В системах изменяемых, поскольку они под
каждой нагрузкой принимают особую форму равновесия, о применении
принципа независимости сил можно говорить лишь в частных случаях по
отношению к таким нагрузкам, каждая из которых дает малые изменения
первоначальной формы изменяемых систем или не дает их совершенно.
Принцип независимости практически применим при соблюдении
следующих предпосылок:
1) |саждая нагрузка в отдельности и все вместе дают малые изменения
формы системы;
2) определение реакций и внутренних сил производится по недефор-
мированному состоянию;
3) материал должен быть упругим и следовать закону Гука.
Чтобы убедиться в справедливости принципа независимости при
определенных допущениях, надо при этих допущениях определить в общем
виде исследуемую скалярную или векторную величину от сосредоточенной
силы Р произвольного переменного направления, приложенной в любом
месте системы. Если исследуемая скалярная величина линейно зависит от
силы Р при любом ее направлении и положении, а для векторной
исследуемой величины направление или постоянно, или не зависит от величины
силы Р, то принцип наложения для исследуемой величины справедлив.
Так, например, опорные реакцищпростой балки (рис. 10), с учетом
только ее вертикальных перемещений, от силы Р в общем виде будут:
Л=
Р cos а{1-
-г) Р sin aj/z
В = -
Pcosaz
Р sin ауг.
Н-
I ■ I
Psina; tgP = WtB.
Поскольку величина г/^ сама зависит от силы Р, то опорные реакции Л
и В нелинейно зависят от Р, а потому принцип независимости для них при
таких предпосылках не применим. При тех же предпосылках принцип
независимости для опорных реакций Л и В будет иметь место, если нагрузка
вертикальна, когда а = 0. •
Если игнорировать вертикальные перемещения балки, то принцип
независимости будет применим при любом направлении нагрузок.
В тех случаях, когда
определяемая величина задается в
дифференциальной форме, как, например,
прогибы балки на упругом основании,
сжатой силой Р\
,.iv
£/ (г)
У"
k{z)b
EJ(z)
Я (г)
EJ(z) '
A.5)
1 Случаи, приведенные на рис. 9, а,
являются исключительными в отношении
определения внутренних сил.
18
применимость принципа мо"*?сно установить так. Предположим, что q ==*
— "?! + Ян тогда для каждой нагрузки:
TV Р k(z)b q^
Складывая эти уравнения и сопоставляя их g A.5), получим у = Уг + у^.
Признаки применимости принципа наложения в аналитической записи
та ковы:
1) исследуемая величина должна быть однородной линейной функцией
внешних сил
где S — исследуемая величина;
Ь\ — исследуемая величина от силы Р^, приходящаяся на единицу этой
силы и не зависящая от ее величины.
Это выражение по существу есть аналитическое определение самого
принципа независимости;
2| дифференциальное уравнение определяемой величины должно быть
линейным с коэффициентами, не зависящими от сил, по отношению к
которым исследуется принцип наложения, а правая его часть, если она не
равна нулю, должна быть линейно зависящей от этих сил.
ГЛАВА 2. ОБРАЗОВАНИЕ И СВОЙСТВА ПЛОСКИХ СИСТЕМ
§ 8. СТЕПЕНЬ СВОБОДЫ И ИЗМЕНЯЕМОСТИ СИСТЕМ
Инженерные сооружения, состоящие из отдельных элементов в виде
твердых тел, как правило, несут различного вида нагрузки и,
следовательно, в большинстве случаев являются неизменяемыми. Поэтому инженеру-
строителю важно знать, как правильно соединять элементы сооружения,
чтобы иметь систему неизменяемую, и как судить о неизменяемости
системы, если она задана.
Отдельными элементами плоских стержневых систем являются
различного вида стержни (рис. 11, а). Эти стержни независимо от их конкретной
геометрической формы, а также неизменяемые системы, составленные из
них, будем называть дисками и изображать их для анализа структуры
систем в виде плоской фигуры любой неопределенной формы (рис. 11, б).
Соединение дисков в системы связано с понятиями о степенях свободы
и изменяемости систем.
Свобода системы — это ее возможность совершать какие-либо
движения относительно земли без деформации материала. Степенью свободы
системы С* называется число независимых параметров, определяющих
положение системы относительно земли.
Изменяемость системы — это ее свойство изменять свою
геометрическую форму без деформации материала за счет конечных перемещений ее
элементов как твердых тел. Степенью изменяемости системы И называется
число независимых параметров, определяющих положение системы по
отношению к одному ее диску, принимаемому за неподвижный. Поскольку
неподвижный диск по отношению к земле обладает тремя степенями
свободы, то между степенью свободы и степенью изменяемости имеется простая
зависимость
И=С*—3. B,1)
Степень свободы можно рассматривать как степень изменяемости
системы, если в нее будет включена земля в качестве дополнительного диска.
В свою очередь степень изменяемости системы можно рассматривать
как степень ее свободы по отношению к одному диску, принимаемому
условно за землю.
Понятие о степени свободы системы С*, разумеется, применимо и к
одному диску.
«;■
/
Рис. 11
§ 9. СВЯЗИ И ПРОСТЫЕ СИСТЕМЫ
Образование систем из отдельных дисков
производится при помощи связей. Каждый изолированный
диск по отношению к другому обладает тремя
степенями свободы, так как может иметь два
поступательных перемещения по направлению координатных
осей и одно вращательное перемещение вокруг точки.
Правильно накладываемые связи будут
препятствовать" соответствующим взаимным перемещениям
дисков и уменьшать число их взаимных степеней
свободы.
Каждая связь имеет как кинематическую, так и
статическую (силовую) характеристику.
Кинематическая характеристика определяет,
каким движениям одного диска относительно другого
препятствует связь и сколько степеней свободы она
уничтожает, а статическая характеристика связи —
какие реакции в ней могут возникать.
20
Рассмотрим три вида связей плоских систем.
1. Связь первого вида — стержень с шарнирами по концам (рис. 12, а).
Кинематическая характеристика: связь препятствует поступательному
перемещению одного диска относительно другого по направлению стержня.
Она уничтожает одну степень свободы взаимного перемещения дисков.
Статическая характеристика: в связи может возникать реактивная
сила, направленная вдоль стержня.
2. Связь второго вида — цилиндрический шарнир (рис. 12, б).
Кинематическая характеристика: шарнир препятствует
поступательным перемещениям одного диска относительно другого. Он уничтожает две
степени свободы взаимного пере.мещения дисков.
Статическая характеристика: в шарнире может возникать реактивная
сила любого направления, проходящая через него, которую можно
разложить на две составляющие по заданным направлениям.
Шарнир в кинематическом смысле эквивалентен двум стержням, т. е.
двум связям первого вида.
3. Связь третьего вида — припайка (рис. 12, в).
Кинематическая характеристика: припайка (склеивание) препятствует
всем трем взаимным перемещениям, т. е. не допускает ни поступательных
перемещений, ни вращения одного диска относительно другого. Она
уничтожает три степени свободы взаимного перемещения дисков и два диска
соединяет в одно целое, в один диск.
Статическая характеристика: в припайке может возникать реактивная
сила любого направления, проходящая через любую ее точку и момент
относительно этой точки, иными словами — две силы заданных направлений
и момент относительно точки их пересечения. Припайка кинематически
эквивалентна трем стержням или шарниру и стержню, т. е. трем связям
первого вида.
Если шарнир или припайка соединяют не два диска, а больше
(рис. 13, а), то такие связи называются кратными. Они заменяют собой
столько простых
шарниров и припаек, сколько "Jg.
дисков они соединяют без
одного. Места соединения
дисков шарнирами или
припайками называются
узлами.
В системах,
составленных из стержней (брусьев),
различают узлы жесткие
(рис. 13, б), шарнирные
(рис. 13, е) и смешанные
(рис. 13, г). В смешанных
узлах шарниры условно
называются неполными.
Концы стержней в
жестких узлах при
деформации системы, если не
учитывать деформации сдвига,
поворачиваются на один и
тот же угол, а в
шарнирных, как правило, —
нет.
Рассмотрим случаи
образования неизменяемых
систем, составленных из
двух и трех дисков. ' Рис. 12
Рис. 13
21
1. Системы, составленные из двух дисков
Т^и степени свободы относительных перемещений двух дисков могут
быть уничтожены: тремя_ стержнями (рис. 14, а), шарниром и стержнем
(рис. 14, б) и припайкой (рис. 14, в).
Здесь указано лишь минимально необходимое число связей для
получения из двух дисков неизменяемой системы. Однако кроме этих связей
между дисками могут быть введены по каким-либо иным соображениям
еще дополнительные связи, которые называются лишними и которые,
разумеется, не следует рассматривать как ненужные связи. Если между
дисками будет введено недостаточное число связей, меньше, чем указано на
ркс. 14, то система будет изменяемой.
При соединении двух дисков тремя стержнями необходимо, чтобы три
стержня не пересекались в одной точке. Иначе, в случае их пересечения
(г^ис. 14, г) получим мгновенно изменяемую систему, допускающую
бесконечно малое относительное перемещение дисков как абсолютно твердых
тел. Дело в том, что любой третий стержень (на рис. 14, г показан
пунктиром) не может препятствовать бесконечно малому взаимному повороту
дисков вокруг мгновенного'центра вращения /С, возможному при соединении
дисков только остальными двумя стержнями. Это объясняется тем, что
концы стержня присоединены к та-
af
ш
\/\ /А
3)
ш^
Рис. и
КИМ точкам дисков avib, которые при
бесконечно малом относительном
вращении дисков вокруг центра К будут
перемещаться перпендикулярно
стержню аЪ. А при таком движении точек
а и 6 расстояние между ними не
изменяется (точнее, изменяется на
величину высшего порядка малости
относительно угла поворота). Поскольку
стержень препятствует только такому
движению дисков, при котором
происходит изменение расстояния между
точками а и 6, то в рассматриваемом
случае этот третий стержень не будет
препятствовать взаимному
бесконечно малому вращению дисков.
Поэтому любой из трех стержней в
системе (рис. 14, г) является
неправильно поставленным, или ложным.
Мгновенная изменяемость при
соединении двух дисков сохранится и
в том случае, если между дисками
будут дополнительно поставлены
стержни, также пересекающиеся с
тремя прежними стержнями в одной
точке.
При соединении двух дисков
шарниром и стержнем необходимо, чтобы
стержень не проходил через шарнир
(рис. 14, д), иначе он также не будет
препятствовать бесконечно малому
вращению дисков вокруг шарнира.
Система из двух дисков, связанных
шарниром и стержнем, проходящим
через него, также является
мгновенно изменяемой.
22
2. Системы, составленные из трех дисков
Два диска, соединенные между собой в неизменяемую систему, могут
далее рассматриваться как один диск. К ним может быть присоединен
третий диск, затем четвертый и т. д.
Рассмотрим еще специальные случаи- неизменяемых систем,
составленных из трех дисков, в которых каждые два диска соединены между собой
только двумя связями.
Если в системе из двух дисков, связанных шарниром и стержнем,
представить стержень в качестве третьего диска (рис. 15, а), то будем иметь
систему из трех дисков, связанных тремя шарнирами А, В и С. Стержень,
связывающий два диска, не должен проходить через шарнир, поэтому три
шарнира, попарно связывающие три диска, не должны лежать на одной
прямой. Поскольку в изменяемой системе шарнир, связывающий два диска,
при отсутствии других связей является мгновенным центром взаимного
вращения этих дисков, а мгновенный центр вращения их имеет место при
соединении двух дисков двумя и более стержнями, пересекающимися в
одной точке (рис. 15, б), то правило соединения трех дисков в неизменяемую
систему можно записать в таком виде: три диска могут, быть попарно
соединены шарниром или двумя и более стержнями, перескающимися в одной
точке, при условии, что шарниры и точки пересечения стержней не будут
лежать на одной прямой. В противном случае система будет мгновенно изме-
г няемой (рис. 15, е).
Соединение трех дисков з неизменяемую систему тремя шарнирами, не
лежащими на одной прямой, можно еще рассматривать как образование
нового шарнирного узла С между двумя дисками, присоединенными к
третьему диску шарнирами А и В (рис. 15, а). По такому правилу, например,
происходит образование некоторых особых систем, состоящих из прямых
стержней, соединенных по концам только шарнирами (рис. 16),
Неизменяемые системы, образование которых можно проследить по
правилам соединения двух и трех дисков, называются простыми.
В основе образования простых систем, состоящих из прямых стержней,
соединенных по концам шарнирами, лежит треугольник 12 3 (рис. 16),
неизменяемость которого очевидна. Дальнейшее последовательное
образование узлов такой системы происходит при помощи двух стержней, не
лежащих на одной прямой. Если два стержня,
«присоединяющие» новый узел, будут лежать
на одной прямой, то новый узел будет
обладать бесконечно малой подвижностью в
направлении, перпендикулярном этим двум
стержням. Если такая система состоит только
из треугольных полей, не накладываемых
друг на друга,, и ее внешний контур не имеет
точек самопересечения, то она заведомо
неизменяема. Противоположное заключение о
23
том, что если такая стержневая система состоит не только из треугольных
полей, то она изменяема, не всегда справедливо. Например, на рис. 16
показана система, у которой имеется четырехугольное поле 1 3 5 6, а между
тем система неизменяема.
§ 10. ПРИКРЕПЛЕНИЕ СИСТЕМ К ЗЕМЛЕ
Системы бывают неприкрепленные к земле, называемые свободными, и
прикрепленные к ней. Прикрепленные системы в большинстве случаев
неизменяемы относительно земли. Такие системы и будут здесь рассмотрены.
Прикрепление систем к земле производится при помощи связей, которые
называются опорными.
Если система, прикрепляемая к земле или к другой системе, ранее с ней
соединенной, неизменяема, то, рассматривая землю условно в виде
дополнительного диска, придем к выводу, что необходимо связать между собой
два диска — неизменяемую систему и землю (рис. 17). Значит,
неизменяемая система может быть прикреплена к земле по правилам соединения двух
дисков:
1) тремя стержнями, не пересекающимися в одной точке (рис. 17, а);
2) шарниром, который может быть образован двумя пересекающимися
стержнями и стержнем, не проходящим через шарнир (рис. 17, б);
3) припайкой (рис. 17, е), которая может быть представлена в виде
шарнира и стержня, не проходящего через шарнир.
Опорная связь в виде стержня есть символическое изображение шар-
нирно подвижной опоры, направление подвижности которой
перпендикулярно стержню, а реакция ее направлена по стержню. \
Опорная связь в виде двух стержней, образующих шарнир, есть
символическое изображение шарнирно-неподвижной опоры, реакция которой
проходит через шарнир и может иметь
произвольное направление.
Опорная связь в виде припайки (см. рис.
17, е) есть лишь символическое изображение
прикрепления системы к опоре с реакцией
в виде силы произвольного направления и
момента. Поэтому она, естественно, не всегда
способна образно отражать конструктивные
особенности прикрепления системы к опоре,
как, например, заделку балки в стену здания.
В этих случаях опорную связь обычно
называют заделкой или защемлением.
Конструкции опорных устройств в
вопросах строительной механики несущественны и
поэтому здесь не рассматриваются.
При рассмотрении вопроса прикрепления
неизменяемых систем к земле было указано
лишь минимально необходимое число связей,
обеспечивающее неизменяемость
прикрепленной системы.
Если система, прикрепляемая к земле,
изменяема, то она прикрепляется к земле
большим количеством минимально необходимых
связей, чем неизменяемая система. В этом
случае для получения неизменяемой
прикрепленной системы недостающие связи в самой
системе должны быть компенсированы
дополнительными опорными связями. Такие
прикрепленные системы, неизменяемые только
Рис. 17 на опорах, будем называть связанными.
24
§ 11. связи, НЕОБХОДИМЫЕ, ЛИШНИЕ И ЛОЖНЫЕ
При образовании простых неизменяемых систем в § 9 были указаны
некоторые примеры необходимых, лишних и ложных связей.
Необходимая связь в неизменяемой системе — это такая связь,
устранение которой из системы обращает ее в изменяемую или мгновенно
изменяемую.
Лишняя связь в неизменяемой системе — это такая связь, без которой
система остается неизменяемой.
Ложная связь — это связь, допускающая только бесконечно малые
относительные перемещения дисков, ею соединяемых.
Любая ложная связь поставлена так, что перемещение по ее
направлению при бесконечно малом относительном перемещении системы без этой
ложной связи будет бесконечно малой величиной высшего порядка малости
относительно параметра, определяющего бесконечно малое перемещение
системы. Таким образом, ложная связь не может препятствовать этому
бесконечно малому перемещению. Ложные связи имеют место только в
мгновенно изменяемых. системах.
В неизменяемых системах связи могут быть заменяемы: необходимая
связь на другук5 необходимую, а лишняя на другую лишнюю. На этом
основано преобразование систем путем замены связей (рис. 18, а). Оно
состоит в том, что из системы удаляется, например, необходимая связь и
система обращается в изменяемую (рис. 18,6), а затем вводится новая
необходимая связь в другом месте, чтобы система вновь стала неизменяемой
(рис. 18, е). Таким приемом из одной системы может быть получено много
других разнообразных систем. Если при этом необходимая внутренняя
связь заменяется необходимой опорной связью, то получается
прикрепленная система, неизменяемая только при наличии всех опорных связей.
Понятие о,необходимых и лишних связях можно перенести также на
изменяемые и на мгновенно изменяемые системы. В изменяемых системах
необходимой связью является такая связь, исключение которой из
системы повышает степень ее изменяемости на единицу, а лишней связью —
такая связь, без которой изменяемость системы сохраняется в прежнем виде.
В мгновенно изменяемых системах необходимой связью является такая
ложная связь, устранение которой обращает систему в изменйемую, а
лишней связью — такая связь, без которой система остается мгновенно
изменяемой.
Обобщая характеристику необходимых
и лишних связей в различных системах,
можем записать:
необходимая связь — это такая связь,
устранение которой изменяет
кинематическую природу системы: неизменяемая
система переходит в изменяемую или
мгновенно изменяемую, мгновенно изменяемая
система переходит в изменяемую и
изменяемая система переходит в изменяемую
со степенью изменяемости на единицу
выше;
лишняя связь — это такая связь,
устранение которой не меняет* кинематической
природы системы; неизменяемая система
остается неизменяемой, мгновенно
изменяемая — мгновенно изменяемой и
изменяемая система остается изменяемой с той
же степенью изменяемости. Рис. 18
25
§ 12. РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ ОТ НАГРУЗКИ
Неизменяемые системы могут принимать на себя и уравновешивать
нагрузки любых видов.
Изменяемые системы могут принимать на себя и уравновешивать, не
меняя заданной формы, только нагрузки частных видов, свойственных
данной форме. Эти нагрузки могут быть установлены по принципу
возможных перемещений, по которому, если система находится в равновесии, то
сумма работ всех сил, приложенных к ней, при идеальных и двусторонних
связях, на любых бесконечно малых возможных перемещениях, вычисленная
включительно до малых величин первого порядка малости, равна нулю.
Такому условию, например, удовлетворяют нагрузки, действующие на
изменяемую систему, приведенные на рис. 5, а, б и в.
Мгновенно изменяемые системы могут принимать на себя и
уравновешивать без деформации материала и бесконечно малых перемещений их
элементов как абсолютно твердых тел, так же как и изменяемые системы,
только нагрузки частных видов, и именно те, которые могли бы
уравновесить без изменения своей формы однократно изменяемые системы,
полученные из мгновенно изменяемых путем удаления ложных связей.
Нагрузки, действующие на системы, вызывают реакции связей.
Поскольку неизменяемые, изменяемые и мгновенно изменяемые системы
могут быть как с необходимыми, так и с лишними связями, то определение
реакций связей зависит от того, является ли данная связь необходимой или
лишней.
Докажем, что реакции необходимых связей неизменяемых и изменяемых
систем, находящихся в равновесии, если их определять по недеформирован-
ному состоянию системы, статически определимы, а реакции лишних
связей — статически неопределимы и что все реакции необходимых и лишних
ложных связей мгновенно изменяемых систем, находящихся в равновесии в
исходном состоянии, статически неопределимы.
Доказательства будем проводить на основе принципа возможных
перемещений.
Исключим из неизменяемой или изменяемой системы сначала
необходимую связь. Обратим неизменяемую систему в изменяемую
(рис. 19), а у изменяемой системы повысим на единицу степень ее
изменяемости. Действие на систему исключенной связи заменим искомыми
реакциями S. Зададим полученной системе такое бесконечно малое
возможное перемещение, при котором перемещение по направлению устраненной
связи отлично от нуля, и составим уравнение работ всех действующих на
систему сил
ЪPi^i+S^s = Q, B.2)
где Pi — одна из действующих (показанная на рис. 19) внешних сил;
S — искомая реакция связи;
Д; — перемещение по направлению силы Рй
As — перемещение по направлению искомой реакции необходимой
связи.
Так как по условию заданное перемещение As не равно нулю, то
S^-^. B.3)
Поскольку принцип возможных перемещений есть наиболее обшее
выражение условий равновесия, то реакция необходимой связи статически
определима. Справедливо и обратное заключение: если реакция связи
статически определима, то такая связь в неизменяемых и изменяемых
системах является необходимой.
Исключим теперь из неизменяемой или изменяемой системы лишнюю
связь. Полученная система или вообще не имеет возможных перемещений,
26
или имеет их, но обязательно с перемещением по направлению
исключенной связи, равным нулю. Значит, реакция лишней связи не может быть
определена по принципу возможных перемещений, следовательно, она
статически неопределима.
Доказанное свойство реакций связей позволяет вместо статического
дать кинематическое определение статически определимых и статически
неопределимых систем: неизменяемые {и изменяемые) системы, имеющие
только необходимые связи, статически определимы, а имеющие лишние связи —
статически неопределимы.
Для простоты доказательства статической неопределимости реакций
ложных связей мгновенно изменяемых систем от нагрузок, которые они
могут уравновесить без деформации материала и бесконечно малых
перемещений их элементов как абсолютно твердых тел, рассмотрим систему
только с необходимыми ложными связями.
Устраним из системы необходимую ложную связь и обратим ее в
изменяемую, для которой зададим возможное перемещение. Поскольку в этом
случае равновесие возможно и без ложной связи, то работа внешних сил
на бесконечно малом возможном перемещении с точностью до бесконечно
малых величин первого порядка равна нулю. С такой же точностью равно
нулю к перемещение As по направлению исключенной связи. Поэтому
реакция необходимой ложной связи неопределенна. Значит, она статически
неопределима.
Если реакция ложной связи из числа необходимых связей статически
неопределима, то реакция ложной связи из числа лишних связей — тем
более.
Если нагрузка не может быть уравновешена мгновенно изменяемой
системой, то равновесие в первый момент невозможно и система приходит
в движение. Но как только система получит бесконечно малое перемещение,
то она может стать формально уже неизменяемой. Так, например, три
стержня, соединяющие два диска и пересекавшиеся ранее в одной точке, после
бесконечно малого движения системы могут уже не пересекаться в одной
точке (рис. 20), но третий стержень будет проходить бесконечно близко от
точки пергсечения двух остальных стержней. Равновесие такой системы
формально возможно только при бесконечных реакциях связей, что можно
показать, применив принцип возможных перемещений, которые не могут
■быть развиты реальными связями. Для этого исключим ложную связь,
обратим систему в изменяемую и зададим ей возможные бесконечно малые
перемещения. Поскольку по условию нагрузка не может быть уравновешена
изменяемой системой в данном ее положении, то SPjAj не равна нулю, а
представляет собой бесконечно малую вeличинy^ первого порядка малости,
в то время как перемещение As
по направлению ложной связи
есть величина высшего порядка
малости. Значит, реакция
ложной связи стремится к
бесконечности.
Рис. 19
Рис. 20
27
Все рассуждения были проведены для
абсолютно жестких связей и дисков. Несколько
иная картина будет, если учесть деформации
связей и дисков, а также «люфты» в связях,
которые фактически имеют место. Вследствие
деформации связей и дисков указанное выше дви-
^"^- ^' жение системы будет продолжаться, реакции
связей будут уменьшаться и уже не будут
бесконечно большими. В отдельных случаях может наступить равновесие в
деформированном состоянии без нарушения прочности самих связей. Но при
этом система получает, как правило, большие перемещения. В других
случаях равновесие будет невозможно, если связи по своей материальной
природе не могут развить реакций, требуемых для равновесия.
Реакции ложных связей мгновенно изменяемых систем от нагрузок^
уравновешиваемы)с только в деформированном состоянии, могут быть
определены только в этом же состоянии. Значит, они статически
неопределимы.
Обратим внимание на то, что если нагрузка может быть уравновешенз
мгновенно изменяемой системой в заданном недеформированном
положении, то необходимо различать устойчивые и неустойчивые формы
равновесия.
Если два диска соединены между собой тремя и более параллельными
стержнями, то при одинаковой их длине происходит вырождение
мгновенно изменяемой системы в изменяемую с лишними для изменяемой системы
связями, не препятствуюш.ими конечному ее движению.
§ 13. РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ ПОЧТИ МГНОВЕННО ИЗМЕНЯЕМЫХ СИСТЕМ
Системы, почти мгновенно изменяемые, — это неизменяемые системы,
но с размещением связей, близким к тому, которое имеет место в
мгновенно изменяемых системах.
Как было показано, реакции связей мгновенно изменяемых систем от
нагрузки любого произвольного вида, с учетом деформации системы, хотя
и не бесконечно большие, но велики. Реакции связей являются внешними
силами для дисков. Если эти реакции велики, то и внутренние силы в
элементах диска будут тоже большими. При больших внутренних силах
потребуется большой расход материала.
Все сказанное относится и к почти мгновенно изменяемым системам.
Хотя почти мгновенно изменяемые системы и являются системами
неизменяемыми, но, как правило, они требуют большой затраты материала и
являются системами, допускающими большие перемещения, т. е. не жесткими.
Поэтому их не следует применять.
Необходимо обратить внимание на то, что в почти мгновенно
изменяемых системах &>шают случаи, когда деформация системы в сильной мере
изменяет реакции связей в системе (рис. 21). Такая система при некоторой
конфигурации и определенном значении нагрузки может обладать
свойством «перескока», при котором сжатые стержни становятся растянутыми.
§ 14. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ДИСКАМИ И СВЯЗЯМИ
Пусть мы имеем некоторое количество Д дисков, которые должны быть
соединены в единую неизменяемую систему (рис. 22).
Если один из дисков принять за неподвижный, к которому должны быть
присоединены остальные Д — 1 дисков, то необходимо уничтожить связями
их 3(Д — 1) степени свободы по отношению к первому диску.
Допустим, что диски соединены связями: первого вида — стержнями
в количестве С; второго вида — шарнирами в количестве Ш; третьего вида,
т. е. припайками, в количестве П.
28
Число степеней свободы, которое может быть ими уничтожено, равног
С*=С+2й/ + 3/7.
Между числом степеней свободы, подлежащим уничтожению, и числом
степеней свободы, которое может быть уничтожено связями, могут быть
различные соотношения
3(Д — 1)^С + 2Ш + ЗП. B.4)*
Для прикрепленных систем надо в левую часть уравнения B.4)
прибавить три, т. е. число степеней свободы, подлежащих уничтожению, а в
правую часть — число дополнительных связей С^^ с землей. После этого будем
иметь
ЗД^С + 2Ш + ПЗ + Соп. B.5>
< /
Если в B.4) или B.5) будет верхний знак неравенства, то число степеней
свободы, подлежащее уничтожению, больше, чем может быть уничтожена
связями. Значит, система изменяема.
Для более быстрого определения изменяемых систем надо за диски
сразу принимать неизменяемые части системы с лишними связями, если они
есть и если их выявление не представляет затруднений.
Степень изменяемости системы будет определяться количеством
недостающих в системе между дисками связей:
Я = 3(Д — I) — С — 2Ш — ЗП для свободных систем; B.6>
И = ЗД — С — 2ZZ/ — ЗП — Сцц для прикрепленных систем. B.7)
Если в B.4) или B.5) будет знак равенства, то введенных между дисками
связей достаточно, чтобы система могла быть неизменяемой. Такие системы
будем называть системами с достаточным числом связей. Нижний знак
неравенства в B.4) и B.5) указывает на то, что связей между дисками введено-
больше, чем требуется для образования неизменяемой системы. Это будут
системы с лишними связями.
Однако достаточное, и даже избыточное, число связей еще не решает
вопроса о неизменяемости системы, так как связи могут быть размещены
неправильно. При неправильном размещении связей могут быть системы
мгновенно изменяемые и изменяемые с лишними связями. Только при
правильном размещении связей система будет неизменяемой, что
устанавливается кинематическим анализом системы (§ 15). Таким образом, равенство
в B.4) и B.5), или нижний знак неравенства в них, есть лишь необходимое,
но недостаточное условие неизменяемости. Только один верхний знак
в B.4) и B.5) сразу и безоговорочно определяет изменяемую систему.
Следовательно, неизменяемость системы по формулам B.4) и B.5) определять
нельзя. По ним можно лишь установить, достаточно ли связрй для того,
чтобы система могла быть неизменяемой.
Если система неизменяема и в формуле B.4) или B.5) будет знак
равенства, то все связи в системе между дисками являются необходимыми, а
реакции связей, если считать диски и связи абсолютно жесткими, статически
определимы. Следовательно, система относительно реакций связей
статически определима.
Если система неизменяема и в формуле B.4) или B.5) будет нижний знак
неравенства, то в системе есть лишние связи. Следовательно, система
статически неопределима.
* Выражение B.4) и аналогичные ему выражения
B.6), B.8) и B.10), полученные далее, могут быть
применены и для прикрепленных систем, если землю
включать в число дисков, а опорные связи считать
обычными связями. Рис. 22
29
Степень статической неопределимости системы, определяющая
количество лишних неизвестных реакций связей между дисками сверх
определяемых по уравнениям статики, равна количеству лишних связей;
Л=С+2Ш + ЗЯ —3(Д—1) для свободных систем; B.8)
Л = С-|-2Д/ + ЗЯ+Соп—ЗД для прикрепленных систем. B.9)
Если некоторые диски статически неопределимы, то формулы B.8) и
{2.9) дают неполное количество лишних неизвестных реакций связей всей
системы. К ним надо прибавить число статически неопределимых реакций
связей в отдельных дисках. Поэтому для определения по формулам B.8)
и B.9) сразу полной степени статической неопределимости системы надо
рассматривать систему состоящей только из статически определимых дисков.
Для систем, у которых диски, в том числе и прямые стержни,
соединены между собой шарнирами, причем каждый диск имеет не более двух
шарниров, можно из B.4) и B.5) получить выражения, более удобные для
таких систем. Будем считать места соединения дисков узлами. Число их
в системе обозначим У. Число шарниров в системе, с учетом их кратности,
будет 2Д —=- У, поскольку в каждом узле шарниров на единицу меньше,
чем примыкающих к нему дисков. Подставляя Ш = 2Д — У в
выражения B.4) и B.5), получ'нм:
2У = Д+3 для свободных систем;
2У^Д + Соп для прикрепленных систем.
B.10)
B.11)
§ 15. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ
Кинематический анализ систем проводится для суждения об их
изменяемости. В простых случаях он основывается на правилах образования
простых систем из двух и трех дисков. При кинематическом анализе
прежде всего необходимо установить, достаточно ли связей для того, чтобы
система могла быть неизменяемой. Это удобно определить при помощи
выражений B.4) и B.5), по которым сразу могут быть выявлены явно изме-
няег1ые системы с недостаточным числом связей между дисками. При этом
если система содержит статически неопределимые неизменяемые части, то
их удобно рассматривать как диски.
Системы с достаточным и избыточным числом связей могут быть
неизменяемыми, мгновенно изменяемыми и изменяемыми, что зависит от
расположения связей и что можно установить только кинематическим анализом.
Для этого необходимо заведомо неизменяемые части в системе выделить и
рассматривать их как диски, с тем чтобы анализировать правильность их
соединения связями.
Рассмотрим систему, показанную на рис. 23. Система — явно
изменяемая, так как третий диск присоединен к ней только шарниром С, и в то же
время с избыточным числом связей. Действительно, в ней три диска, два
стержня, два шарнира и четыре
опорные связи. При этих данных
по формуле B.5) получаем
3-3 < 2+2-2+4.
Рис. 23
Рис. 24
30
Рис. 25
Рис. 26
Con^l
Con-t
Рис. 27
Следовательно, в системе имеется одна избыточная связь. Но связи
размещены неправильно. Два диска и земля соединены между собой тремя
шарнирами Л, S и С, не лежащими на одной прямой, и, стало быть, образуют
неизменяемую систему. Но они, кроме того, соединены между собой еще
двумя стержнями аЬ и cd вместо одного избыточного, определенного по
арифметическому подсчету. Вот почему третий диск оказался недостаточно
закрепленным.
На рис. 24 представлена система с тремя дисками, двумя стержнями,
двумя шарнирами и тремя опорными связями. По формуле B.5)
3-3=1-2+2-2+3.
Система при данном количестве связей может быть неизменяемой, что
дает основание для дальнейшего ее анализа. Первый диск прикреплен
к земле тремя связями в виде неподвижной и подвижной опоры. Такое
присоединение к земле неизменяемо. К первому диску присоединен второй диск
при помощи шарнира С и стержня аЪ, не проходящего через шарнир. Такое
присоединение Тоже неизменяемо. Третий диск присоединен к первым
двум дискам тем же шарниром С и стержнем cd, не проходящим через
шарнир. Система неизменяема и, поскольку в формуле B.5) имеет место
равенство, статически определима.
Система, изображенная на рис. 25, имеет пять дисков, девять
стержней, один шарнир и три опорные связи. По формуле B.5)
3-5>9-1-2-1-1-3.
Система изменяема.
На рис. 26 дана свободная система, в которой три диска, четыре
стержня, один шарнир. По формуле B.4)
3 C—1)=4+2-1.
Система может быть неизменяемой. Необходим дополнительный анализ.
В этой системе три диска соединены шарниром С и четырьмя стержнями,
попарно дающими мгновенные центры вращения дисков (/, 5) и B, S),
лежащие на одной прямой с шарниром С, который представляет собой
мгновенный центр вращения дисков (/, 2). Система мгновенно изменяема.
Необходимо обратить внимание на то, что кинематическим анализом
систем наиболее сложно устанавливается мгновенная изменяемость систем,
потому что эти системы почти неизменяемы и могут быть ошибочно
приняты за последние. В связи с этим, помимо непосредственного кинемати-
31
'^'^////////М
Рис. 28
Рис. 29
ческого анализа соединения дисков, далее (глава 4) будут указаны
специальные приемы выявления таких систем.
Кинематическим анализом мгновенная изменяемость систем
определяется по следующим признакам:
1) два диска соединены тремя и более стержнями, пересекающимися
в одной точке;
2) два диска соединены шарниром и стержнем, проходящим через шарнир;
3) три диска попарно соединены только шарнирами или двумя и более
стержнями, пересекающимися в одной точке, причем шарниры и точки
пересечения стержней расположены на одной прямой.
В частном случае шарнирный узел присоединен к неизменяемой системе
двумя стержнями, лежащими на одной прямой.
Рассмотрим несколько примеров.
пример I. Система представлена на рйс. 27. В ней шесть дисков, два стержня,
пять шарниров, шесть опорных связей. По формуле B.5)
3.6=2+2.5+6.
Система может быть неизменяемой. Ее неизменяемость проследим так. Два
первых диска и диск-земля соединены между собой тремя шарнирами А, В, С, не
лежащими на одной прямой. К ним присоединен третий диск шарниром С и стержнем аЬ, не
проходящим через шарнир. Четвертый диск присоединен к системе шарниром а и
опорным стержнем — к земле. Аналогично присоединяются пятый и шестой диски.
Система неизменяема в статически определима относительно реакции связей. Все связи
необходимые.
Пример 2. Система представлена на рнс. 28. В ней: четыре диска, четыре узла,
три опорных связи. Диски соединены только шарнирами и каждый диск имеет только
«по два шарнира. По формуле B.11) 2 < 4 > 4 + 3.
Система изменяема.
Пример 3. Система представлена на рис. 29. В ней: 34 узла, 65 дисков (в данном
-случае стержней), три опорных связи. По формуле B.11) 2 . 34 = 65 + 3.
Система может быть неизменяемой. Поля системы, состоящие из треугольников,
заштрихованные на чертеже, представляют собой неизменяемые диски. Соседние диски
соединены тремя стержнями, пересекаюш,имися в одной точке. Система мгновенно
лзменяема.
§ 16. КЛАССИФИКАЦИЯ ПЛОСКИХ СИСТЕМ
Классификация систем в строительной механике по различным
признакам учитывает лишь главные особенности большинства систем данного
класса, а потому и не является абсолютно строгой и совершенной. Всегда
могут быть найдены некоторые частные случаи систем, которые будут
расходиться с ней. По числу связей и их размещению системы прежде всего
разделяются на изменяемые, мгновенно изменяемые и неизменяемые.
Неизменяемые системы в свою очередь в зависимости от связей разделяются на
статически определимые — системы только с необходимыми связями и
статически неопределимые — с лишними связями.
.32
По образованию системы
ра зделяются на простые и
сложные. Простые — это
системы, образование которых
можно проследить по
правилам соединения двух и трех
дисков. Остальные —
сложные.
По характеру опорных
реакций при вертикальной
нагрузке системы принято
делить на безраспорные и
распорные [2].
Безраспорньсе системы —
это системы, у которых
вертикальная нагрузка вызывает
только вертикальные
опорные реакции (рис. 30, а).
Распорные системы — это
системы, у которых
вертикальная нагрузка вызывает
наклонные реакции (рис. 306).
По характеру опорных
связей независимо от
нагрузки системы можно разделить
на балочные, арочные и прочие.
Балочные системы — это
системы, у которых сила Р
одного единственного
направления при любом ее
положении на системе вызывает
опорные реакции,
параллельные себе, как, например, в
дисках, прикрепленных кзем-
ле неподвижной и подвижной
опорами. Балочные системы
включают в себя
безраспорные системы.
Арочные системы — это
системы, имеющие не менее
двух неподвижных опор, не
обладающие свойствами
балочных систем. Они
включают в себя распорные
системы.
Прочие системы — это
остальные системы."
По характеру связей
стержневые Системы разделяются
на шарнирные цепи, балки,
рамы, фермы и
комбинированные системы.
Шарнирные цепи — это
изменяемые системы, состоящие
из стержней или дисков,
последовательно соединенных
между собой шарнирами (рис.
31» а). Прямые стержни це-
2 Зак. 763
Рис. 30
Рис. 3!
33
пей при узловой нагрузке работают на растяжение, если выпуклость цепи
направлена в сторону действия нагрузки, и на сжатие, если выпуклость
цепи направлена навстречу действию нагрузки.
Балки — это один или несколько прямых стержней, последовательно
соединенных между собой по концам, на опорах, свойственных балочной
системе (рис. 31, б, в) и работающих в основном на изгиб.
Рамы — это системы, состоящие из прямых, ломаных и некоторых
кривых стержней, соединенных между собой по концам припайками, а иногда
частично шарнирами (рис. 31, г). Они могут быть системами как арочными,
так и балочными. Вертикальные и близкие к ним элементы рам называются
стойками, а горизонтальные и близкие к ним — ригелями. Элементы рам
работают на изгиб с растяжением или сжатием.
Шарнирные фермы — это неизменяемые системы из одного или
нескольких дисков, образованных прямыми стержнями, соединенными по концам
шарнирами (рис. 31, д). Они могут быть как балочными, так и арочными.
Стержни, расположенные по контуру фермы, кроме вертикальных и
близких к ним, называются поясными. Они образуют верхний и нижний пояса
фермы. Стержни, расположенные внутри контура, образуют решетку и
называются раскосами и стойками. Раскосами называются наклонные
элементы решетки, а стойками — вертикальные и близкие к ним.
Участки между смежными узлами поясов фермы называются панелями,
и их длины обычно измеряются по горизонтали.
Стержни шарнирных ферм при узловой нагрузке работают на
растяжение или сжатие, так как при узловой нагрузке любой стержень фермы можно
рассматривать как внутреннюю связь первого вида, реакция которой есть
продольная сила.
Фермы — это системы из одного или нескольких дисков, состоящих из
прямых стержней, соединенных между собой по концам или только жестко,
или жестко и частично шарнирно, в которых замена жестких узлов
шарнирами обращает их в шарнирные фермы. Стержни фермы при узловой
нагрузке работают в основном на
растяжение или сжатие с дополнительным
изгибом за счет жесткости узлов фермы.
Арки — это распорные системы,
состоящие из кривых стержней
(рис. 31, е), выпуклость которых
направлена навстречу действию
нагрузки. Арки работают на сжатие с
изгибом.
Если кривой стержень направлен
выпуклостью в сторону действия
нагрузки, то система работает на
растяжение с изгибом и называется
висячей, или подвесной системой.
• Комбинированные системы —^ это
системы, состоящие из комбинаций
некоторых ранее указанных систем,
объединенных между собой для
совместной работы. На рис. 31, ж
приведена система, представляющая
собой комбинацию балки и цепи.
§ 17. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА
СОСТАВНЫХ СИСТЕМ
777f MP,
Рис. 32
Среди статически определимых
систем выделяют составные системы^
в которых отдельные части являются
34
основанием для опирания на них других частей. Такие отдельные части
будем называть основными частями составной системы, а опирающиеся на
них — дополнительными. Основные части составной неизменяемой
системы остаются неизменяемыми после устранения дополнительных
(второстепенных) частей, а дополнительные части без основных — изменяемы.
Некоторые части, входящие в составную систему, могут выполнять
двоякую роль. По отношению д одним частям они будут основными, а по
отношению к другим — дополнительными. Так, например, диски 3 и 4 (рис. 32)
образуют систему, которая по отношению к системе дисков 1 и 2 является
дополнительной частью, а по отношению к системе из дисков 5 и 6 —
основной.
Составные статически определимые системы обладают тем свойством,
что нагрузки, расположенные на основных частях (силы Р^ на рис. 32), не
вызывают реакций связей и внутренних сил в опирающихся на них
дополнительных частях, а нагрузки, расположенные на дополнительных частях
(силы Р^), вызывают реакции сйязей и внутренние силы в элементах
основных частей. Это положение легко доказывается на основе принципа
возможных перемещений. По этому принципу при определении реакций связей
в дополнительных частях необходимо исключить связь, реакция которой
определяется, задать системе возможное перемещение и составить
уравнение работ. Так как при этом основная часть остается неизменяемой, то она
перемещений не имеет, а потому работа нагрузок, расположенных на ней,
всегда равна нулю. Следовательно, и определяемая реакция от нагрузки на
основную часть равна нулю. При определении реакций основной части
необходимо исключить в ней ту связь, реакция которой определяется, и также
задать системе возможное перемещение. Поскольку дополнительная часть
опирается на основную часть, то и она, как правило, будет иметь
перемещения в заданном возможном перемещении системы. Поэтому работа сил,
приложенных к дополнительной части, может и не равняться нулю, а
следовательно, может не равняться в этом случае нулю и искомая реакция
связи основной части.
Все сказанное указывает на то, что расчет составных систем часто
удобно проводить в обратном порядке их образования — от дополнительных
частей к основным частям. Иными словами, сначала рассчитываются
дополнительные части, а потом основные.
2*
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПЛОСКИХ
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ НЕИЗМЕНЯЕМЫХ СИСТЕМ
ПРИ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКЕ
§ 18. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Расчет всяких сооружений в конечном счете сводится к определению
внутренних сил в их элементах. Внутренние силы в элементах сооружений
зависят от всех внешних сил, действующих на эти элементы.
Внешними силами по отношению к отдельному элементу сооружения
являются как заданные, действующие на него непосредственно нагрузки,
так и подлежащие определению реакции связей, которыми этот элемент
присоединен к остальным. Внутренние силы в поперечном сечении стержня
можно рассматривать тоже как реакции связей, если соединение двух
частей одного и того же стержня по этому сечению условно считать
произведенным при помощи припайки. Наконец, опорные реакции системы есть также
реакции связей. Поэтому мет,оды расчета систем — по существу методы
определения реакций связей. ,
Определение реакций связей, опорных реакций и внутренних сил в
системе ведется чаще всего по схеме недеформированной системы. Напомним
еще раз, что, как следствие этого, в системах, статически определимых, при
заданной нагрузке внутренние силы не зависят от материала и поперечных
размеров элементов, а также от того, в какой стадии работы находится
сооружение— в упругой или упругопластической. Внутренние силы зависят
от материала и поперечных размеров элементов только при вычислении их
от неизвестного собственного веса, поскольку сам собственный вес в
правильно запроектированных сооружениях определяется внутренними
силами и свойствами материала.
, Если реакция связи не равна нулю, связь называют работающей, а если
равна нулю, то неработающей.
§ 19. СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ
I. Аналитическое определение реакций связей
Аналитическое определение реакций связей производится по
уравнениям равновесия на плоскости, которые могут быть записаны в различных
вариантах:
1) SX = О, 2У = О, SyVfCj = О, причем оси х и у непараллельны;
2) 2Х = О, 2Л1с1 = 0> 2Л1с2 = О, причем точки Q и Са не должны
лежать на одном перпендикуляре к оси х (рис. 33, а);
3) 2Л1с1 = 0. 2Л1с2 = О, 2Л1сз = О, причем точки Q; Cj и Сз не
должны лежать на одной прямой (рис. 33, 6).
Ограничительные условия к вариантам записи уравнений равновесия
обязательно должны соблюдаться. На рис. 33 показаны случаи, когда тела
не находятся в равновесии, хотя уравнения равновесия без этих условий
удовлетворены.
Уравнения равновесия при расчетах используются различными
способами. При этом полезно иметь в виду, -что реакции ненагружен-
н о г о диска, прикрепл'енного двумя шарнирами, проходят через эти
шарниры, что вытекает из рассмотрения равновесия такого диска,
выделенного из системы. Следо'вательно, такой ненагруженный диск при
определении реакций связей может быть для простоты заменен прямым стержнем,
проходящим через два шарнира диска.
36
Способ простых сечений
Способ простых сечений состоит в том, что система разделяется сечением,
проходящим по связям, на две самостоятельные части, а действие' каждой
из них на другую заменяется искомыми реакциями связей, определяемыми
из уравнений равновесия любой части. Направления реакций связей
в разрезах задаются произвольно. Положительный знак найденной реакции
показывает, что ее произвольно заданное направление совпадает с
действительным, а отрицательный знак — наоборот. В разрезанных стержнях
обычно принято считать реакцию положительной и на чертеже показывать ее
растягивающей (рис. 34, а).
Далее для простоты изображения на чертеже буде?)? условно показывать
реакцию стержня только одними стрелками в сечении, направленными от
узла (рис. 34, б).
По способу простых сечений можно определить только три неизвестные
реакции в разрезанных -сечением связях (на рис. 34 всех реакций),
используя для этого три условия равновесия по одному из указанных выше
вариантов.
При выборе варианта уравнений равновесия необходимо стремиться
к тому, чтобы поставленная задача решалась наиболее просто. Самым
простым решением будет такое, в котором каждое уравнение равновесия
содержит только одно неизвестное. Этого и следует добиваться при составлении
уравнений равновесия. При трех неизвестных в одном сечении разделение
неизвестных по уравнениям всегда возможно. Так, например, при
определении реакции связи 5^ (рис. 34) следует из уравнения равновесия исключить
два других неизвестных S^ и 5з. Это можно сделать, если уравнение
равновесия составить в виде суммы моментов всех сил, действующих на любую
из двух частей, относительно точки пересечения двух других сил S^ и 5з,
т. е. точки /, поскольку моменты этих сил относительно указанной точки
равны нулю.
Уравнение равновесия, содержащее только одну неизвестную силу 5i,
будет
2Л1лев = 0 или 2Л1прав =0.
Первое уравнение в развернутом виде
откуда
гМлев^Ла —P6-{-Sift = 0,
Aa—Pb
Рис. 33
Рис. 34
37
Отрицательный знак найденного значения реакции связи означает, что
ее направление неправильно показано на чертеже.
Аналогично при определении реакции связи 5з за точку моментов
следует взять точку пересечения двух других сил Si wS^, т. е. точку 3. При
определении реакции связи S^ за точку моментов следует принять точку
пересечения сил 5i и 5з. Если силы 5i и 5з окажутся параллельными, как в
данном случае, то вместо уравнения равновесия в виде суммы моментов
относительно некоторой точки следует составить уравнение равновесия в виде
суммы проекций сил на ось, перпендикулярную параллельным силам S^ и S^,
с тем чтобы исключить их из уравнения равновесия. Для системы,
изображенной на рис. 34, такой осью будет вертикальная ось, а уравнение
равновесия примет вид
5;улев = ^4—Р—52cosa = 0,
откуда
02 —
cos а
Таким образом, по одному сечению, если в нем не более трех неизвестных
сил, не пересекающихся в одной точке, всегда можно их определить из
уравнений, в каждое из которых будет входить только одна неизвестная сила.
Если рассчитывается неизменяемая система и каждое неизвестное
определяется из одного уравнения равновесия, то на любое уравнение
независимо от варианта его написания не распространяются указанные выше
ограничения.
Способ совместных сечений
Если в сечении, разделяющем систему на две части, более трех
неизвестных реакций связей, то по одному этому сечению нельзя определить все
неизвестные реакции связей, так как неизвестных больше, чем можно
составить независимых уравнений равновесия. В таких случаях приходится
проводить несколько сечений, поэтому сам способ и называется способом
совместных сечений. При этом необходимо стремиться к тому, чтобы
проведенные сечения позволяли составлять такие независимые уравнения, которые
содержали бы некоторое (желательно меньшее) число неизвестных и из
которых они могли бы быть определены. Определение любого неизвестного
из отдельного, не зависимого от других неизвестных уравнения по сечению,
содержащему более трех
неизвестных, как правило, невозможно. Это
возможно лишь в частных случаях и
только в отношении одного
неизвестного.
Чтобы получить систему
уравнений для определения некоторого
числа неизвестных, необходимо
совместные сечения проводить так, чтобы
каждое из них непременно рассекало
те связи, реакции которых требуется
определить из составляемых
уравнений.
Так, например, для определения
двух сил в шарнире С (рис. 35)
необходимо провести два сечения через этот
шарнир — одно через шарниры С и Л
и другое — через шарниры С и В. Это
позволит выделить из системы два
диска и рассмотреть условия их рав-
Рис. 35 новесия. Условия равновесия должны
38
быть составлены так, чтобы в них входили только неизвестные силы в
шарнире С, подлежащие определению. Это легко сделать, если для левого
диска составить уравнение равновесия в виде суммы моментов относительно
шарнира А и тем самым исключить из рассмотрения силы Хл и Ya, а для
правого диска составить аналогичное условие равновесия в виде суммы
моментов относительно точки В, т. е.:
для левого диска 2Ма = Хса — Ycb + P^pi = 0;
для правого диска 1,Мв = —Хсс— Ycd — Р2Р2 — 0.
Из этих двух уравнений определяются две искомые силы в шарнире С.
В этом и состоит идея способа совместных сечений.
Если в сечении пять неизвестных, то в общем случае придется провести
не два, а три сечения с таким расчетом, чтобы определить три неизвестных
из трех совместных уравнений. И так далее.
При составлении условий равновесия надо иметь в виду, что всегда
можно выбрать такой вариант уравнения, в который не войдут две неизвестные
реакции данного сечения.
Система линейных уравнений способа совместных сечений в общем виде
может быть записана так:
a2iSi-}-a^2Si+.. .-\-А2р = 0;
C.1)
где Gift — коэффициент при неизвестной реакции S^ в г-м уравнении
равновесия, а Aip — свободный член в нем.
Искомые реакции связей определяются из C.1) при помощи
определителей
5г = Ог: D,
C.2)
где
D =
ац ai2 ... an ... ощ
021 ^^22 ^2г ^П
^п! ^712 • • • Oni • • • Ojin
Способ вь
; Ог=-
I р е 3 а н
Оц «12 • • • ^IP • ■
Оц 0-2Я • • • А2Р • •
<1п1 ЙП2 - • • А^р . .
И я узлов
• ощ
• ^271
• йпп
Способ вырезания узлов применяется при расчете шарнирных форм с
узловой нагрузкой и основан на последовательном вырезании узлов. В
шарнирной ферме каждый стержень можно рассматривать как связь первого вида
с продольной силой в ней. Поэтому в вырезанном узле шарнирной фермы
сходится столько сил, сколько сходилось в нем стержней. Для каждого
вырезанного узла шарнирной фермы можно составить только два независимых
уравнения равновесия, обычно в виде суммы проекций на две
непараллельные оси. Способ удобен только тогда, когда в вырезанном узле не более двух
неизвестных. В этом случае возможно разделение неизвестных по
уравнениям, для чего необходимо за оси проекций сил принимать оси,
перпендикулярные искомым силам.
Если неизвестных сил в узле более двух, то непосредственное
определение их из одного вырезанного узла невозможно и приходится прибегать
к совместному вырезанию нескольких узлов. В этом случае уравнения
получаются типа C.1).
В простых шарнирных фермах всегда можно начать определение
продольных сил в стержнях с вырезания узла с двумя стержнями, а затем последо-
39
вательно переходить к вырезанию узлов, в которых будет не более двух
неизвестных сил в других стержнях. При таком порядке каждый раз можно
получить два независимых уравнения для определения двух неизвестных сил.
Способ вырезания узлов может быть применен и к системам, состоящим
■из дисков, соединенных между собой шарнирами, если примыкающие к
данному шарнирному узлу диски не нагружены, поскольку реакции на нена-
груженный диск направлены по прямой, проходящей через шарниры,
присоединяющие диск к системе.
2. Графическое определение реакций связей
Графическое определение реакций связей основано на известных
правилах графической статики: вс5?кая сила может быть разложена на две любые
составляющие, пересекающиеся с ней в одной точке, и на три
составляющие, не пересекающиеся между собой в одной точке, а также на одну
составляющую и силу, проходящую через заданную точку.
§ 20. МЕТОД ЗАМЕНЫ СВЯЗЕЙ
Метод замены состоит в том, что расчет заданной системы проводится
при помощи другой, более простой системы, полученной из заданной
заменой связей. Такую преобразованную систему будем называть заменяющей.
При переходе от заданной системы к заменяющей часть связей устраняется,
а вместо них накладывается столько же новых связей, чтобы система вновь
стала неизменяемой. Число устраненных и наложенных связей должно
быть таким, чтобы заменяющая система стала простой, реакции связей
которой определяются по способу простых сечений или по способу вырезания
узлов. Действие устраненных связей на преобразованную систему заменяется
их реакциями. Таким образом, заменяющая система будет нагружена
не только заданной нагрузкой, но и неизвестными реакциями устраненных
связей заданной системы. Поскольку в' заданной системе тех связей,
которые были наложены при образовании заменяющей системы, нет, то из
условия статической эквивалентности заменяющей системы и системы
заданной необходимо положить реакции наложенных связей равными нулю.
Тогда реакции соответствующих связей в заданной и заменяющей системах
будут равны.
Поясним все сказанное на примере .(рис. 36). Заменяющую систему
получим, устраняя из заданной системы (рис. 36, а) все стойки, замыкая
вместо них шарниры А, В и С и накладывая связи первого вида (стержни)
аЬ и cd (рис. 36, б). Действие устраненных связей заменяем неизвестными
силами Xi, ..., Xji- Затем необходимо составить в общем виде выражение
реакции каждой наложенной связи и приравнять его нулю. Таким путем
получим столько линейных уравнений, сколько неизвестных реакций
устраненных связей, которые и определяются из этих уравнений.
Составим в общем виде выражение реакции к-й наложенной связи
заменяющей системы и приравняем его нулю.
Предварительно введем следующие обозначения:
fkm — реакция k-и связи (сила или момент в зависимости от вида связи)
от силы Хт, приходящаяся на единицу этой силы с присущей ей
размерностью;
Rip — реакция k-й связи от заданной нагрузки.
Теперь, пользуясь принципом независимости действия сил, получим
»
rhl^l + rhi^i-^ ... -\-rknXn-\-Riip = 0. C.3)
Это k-e каноническое уравнение метода замены связей. По нему, полагая
последовательно fe = 1, 2, 3, ..., п, где п — число наложенных связей,
получаем систему канонических уравнений метода замены связей.
40
Для определения коэ(|)фициентов канонических уравнений надо
прикладывать к заменяющей системе по очереди силы Х^, равные безразмерной
единице, а для определения свободных членов прикладывать только
заданную нагрузку. Так, например, от силы Х^ = 1 (рис. 36, в)
определяются коэффициенты Г^^, Г^т, ■■■, Гпт- В ЧЗСТНОСТИ, Ггпт = J 3/И Гй,„ =-^2/.
После определения реакций устраненных связей Х^, ..., Х„ реакции
других связей системы 5, найдутся по выражению, аналогичному C.3),
составленному также на основе принципа наложения.
'Si = SjiXi-l-S;2^2+ • • ■ -l-Sj„X„-j-S(P,
;(з.4>
где Sjfe — искомая реакция связи i от единичной реакции Х^ = 1
устраненной связи k в заменяющей системе;
Sfp — искомая реакция связи i от нагрузки в заменяющей системе.
Метод замены связей применяется при расчете сложных систем, когда
они не могут быть рассчитаны по способам простых сечений и вырезания
узлов, если последний позволяет каждую реакцию определять из
независимого уравнения равновесия последовательно вырезаемых узлов.
С&язь т
СбязьК
Рис, 36
41
§ 21. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ
Кинематический метод определения реакций связей основан на
использовании законов равновесия изменяемых систем. Его идея состоит в том, что
неизменяемая система устранением из нее необходимой связи, реакция
которой определяется, обращается в систему, однажды изменяемую, иногда
называемую механизмом, к которой применяется принцип возможных
перемещений.
Искомая реакция двязи прикладывается к изменяемой системе в
качестве внешней силы. Поскольку на изменяемую систему будут действовать
заданная нагрузка и искомая реакция устраненной связи, то условие рэвно-
весия, составленное по принципу возможных перемещений B.2), будет
всегда содержать только одно неизвестное.В этом заключается преимущество
кинематического метода.
Принцип возможных перемещений применяется в различных вариантах,
опредааяющих собой различные способы кинематического метода.
1. Непосредственное применение принципа
возможных перемещений
Изменяемой системе задается возможное перемещение, и составляется
уравнение возможных работ B.2)
I,Pi^i+s^s=o.
Если к системе будут приложены внешние моменты М, то в B.2)
добавляется SMjAj, где Aj — соответствующий бесконечно малый угол поворота
диска в заданном возможном перемещении, к которому приложен момент
Mi. Угловые возможные перемещения А, и As определяются поворотами
соответствующих дисков в эпюре возможных перемещений. Поступательные
перемещения А^ и As можно определять как произведение длины
перпендикуляра, опущенного из мгновенного центра вращения (полюса) диска k
в заданном возможном перемещении, на направление сил Pt или,5,
приложенных к этому диску, на угол поворота этого диска ёц)^ в том же
возможном перемещении. Это правило можно легко доказать (рис. 37)
где d(fk^ угол поворота диска в заданном перемещении.
Если имеется всего одна сила
(один момент) Pj == 1 и имеется
перемещение As^^ = 1 по
направлению неизвестной силы,
то неизвестная сила 5^
определится из равенства
Отсюда
• Sft=-(Pe=l)Ap.:(As =
J
•Пример 4. Определить реакцию
связи аь (рис. 38).
Выбрасываем из системы
стержень аЬ и его действие заменяем
силами. Для удобства отделим систему
от земли, а опорные реакции примем
за внешние силы. Возможное
перемещение зададим в виде поворота
Рис. 37
Рис. 38
42
левой части вокруг шарнира С на бесконечно малый угол dcp по часовой стрелке,
оставляя правую чаеть неподвижной.
Составляем уравнение B.2)
2q8dcp—Sab 4d<p = О,
откуда Sab = 4ij.
2. Способ изображающих точек
Вектор скорости направлен по касательной к траектории. Поэтому
можем написать
dsi = oidt,
где Vf — скорость точки приложения силы Р^
t — время.
После этого общее выражение принципа возможных перемещений
представим в таком виде:
2PjdsjC0s(Pi, Vi)=='ZPiVidt cos {Pi, vi) = Q.
После сокращения на dt получим
SPjOj co3(Pi, 00 = 0. C.5)
Теперь рассмотрим некоторую силу Р^, приложенную в точке ki.
Скорость и мгновенный центр вращения диска, к которому приложена сила Р,,
показаны на рис. 39. Повернем вектор скорости, отложенный в любом
масштабе, на угол 90° почасовой стрелке. Конец повернутого вектора
скорости k'l назовем изображающей точкой, или изображением точки/гг
приложения силы Pi- На основе простых геометрических соотношений получаем
Pi ог cos (Рг oj) = Р, о, cos а = Р, A,i = М'^.,
где M'ki — момент силы Pf относительно изображения точки приложения
этой силы.
После этого выражение C.5) можно представить так:
2М;^=0. . C.6)
Следовательно, если система находится в равновесии, то сумма моментов
всех действующих на систему сил относительно изображения точек
приложения этих сил равна нулю. В таком виде и используется принцип
возможных перемещений в способе изображающих точек.
Если к дискам системы в качестве нагрузки приложены моменты М, то
они должны быть или заменены эквивалентными парами сил, или в левую
часть уравнения C.6) надо добавить слагаемые 2М • ю, где со — угловая
скорость того диска, к которому приложен данный момент.
Это следует из того, что бесконечно малый угол поворота диска, на
котором моменты совершают работу, равен угловой скорости, умноженной на
дифференциал времени йц) = (ndt.
Для использования выражения C.6) необходимо знать изображения
точек приложения действующих сил и угловые скорости дисков. Чтобы
установить общие правила построения
изображающих точек, рассмотрим
некоторые три точки на диске аЬс
и построим их изображения,
предполагая мгновенный центр
вращения диска известным (рис. 40).
Скорости этих точек при угловой
скорости диска ю равны:
Уо = Ро<а; оь = рьш; Ос=Рс«-
Повернув векторы скоростей на
90° по часовой стрелке, получим Рис. зэ
43
на радиусах вращения
точки а', Ь', с'.
Отношения скоростей
можно представить так:
аа' ЬЬ' ее'
изображающие
радиусам
Ро РЬ Рс
Следовательно, а'Ь' \\ аЬ, b'cf \\ be и
а'с II ас, а треугольник аЬс изобразился
подобным ему трегольником а'Ь'с'.
После этого можем доказать следующие
соотношения:
' Ь'
Ра
Ра —g'O
Ро
:1-
аЬ
аЬ-
Ь'
аЬ
Ьс—Ь'
be
C.7)
Значит, угловая скорость диска со равна
частному отделения разности длин
всякого отрезка на диске и его
изображения на длину этого отрезка.
Если расстояние между двумя
точками на разных дисках при бесконечно
малом перемещении не меняется, то
изображения этих точек должны лежать на
линии, параллельной прямой,
соединяющей данные точки, так как иначе
работа равных и противоположных сил Р,
приложенных в этих точках, согласно
C.6) не будет равна нулю. Все сказанное
приводит к следующим правилам:
1) изображающая точка лежит на
радиусе-векторе с началом в мгновенном
центре вращения;
2) изображение неподвижной точки
совпадает с самой точкой;
3) всякий отрезок прямой на диске
изображается отрезком параллельной
прямой;
4) всякая фигура на диске
изображается подобной фигурой;
5) если расстояние между двумя
точками на разных дисках при
бесконечно малом перемещении остается
неизменным, то их изображения лежат на
прямой, параллельной прямой,
соединяющей эти точки на дисках, и обратно;
6) изображение неподвижной опорной точки совпадает с самой точкой;
7) изображение подвижной опорной точки лежит на направлении
опорного стержня.
Эти правила во многих случаях дают возможность построить
изображающие точки системы, если известно положение одной изображающей точки,
не совпадающей с мгновенным центром. При построении изображающих
точек положение исходной изображающей точки на соответствующем радиусе
векторе может быть назначено произвольно, только не в мгновенном центре.
Рис. 41
44
откуда получаем
Пример 5. Определить реакцию связи ас от силы Р (рис. 41, а).
Выбрасываем из системы сте1^жень ас и заменяем его действие силами S„g
.(рис. 41, б). Землю считаем неподвижной. Изображение с' для точки с назначаем на ее
радиусе-векторе. Изображающие а' и ь' неподвижных точек а и ь совпадают с самими
исходными точками. Теперь построим изображение точки d. Рассуждение ведем так:
точка d лежит на прямой cd, а мы знаем, что изображенный отрезок параллелен
изображаемому, значит изображение точки d должно лежать на прямой, параллельной
€d, проходящей через точку с'. С другой стороны, точка d лежит на'вертикальной
прямой ad, поэтому изображение ее должно лежать на вертикали, проходящей через
изображение а' точки а. Следовательно, пересечение двух указанных прямых d' есть
изображение точки d. Далее, поскольку длина изображенного отрезка cd равна длине
исходного отрезка,' а он принадлежит диску cdfe, то изображение диска будет иметь
размеры исходного диска, так как изображенная неизменяемая фигура подобна
изображаемой. На основе сказанного легко получим изображения точек f а е. Составляем
уравнение C.6), записывая сумму моментов всех сил относительно своих
изображающих точек. В нашем случае только моменты силы Р и искомой силы Sac,
приложенной к узлу С, отличны от нуля:
Pv—SacV sin а = О,
S --^
■^"^ ~ sin а •
3. Способ мгновенных центров
Один из дисков однажды изменяемой системы принимается за неподвиж
ный, и определяются положения мгновенных центров вращения остальных
дисков.
Уравнение возможных перемещений приводится к виду
^Р tdsi cos (Pt,Vi)== S S Pihid(pk=. S Mo. йфй,. C.8)
. no дискам no силам no
на диске дискам
где Mo. — момент всех внешних сил, приложенных к диску /г относительно
мгновенного центра вращения этого диска.
Значит, если однажды изменяемая система находится в равновесии, то
сумма произведений моментов всех внешних сил, действующих на каждый
диск относительно его мгновенного центра вращения, на бесконечно малые
углы поворота соответствующих дисков равна нулю.
Если мгновенный центр вращения какого-либо диска удален по
некоторому направлению в бесконечность, то диск будет перемещаться
поступательно, по перпендикуляру к этому направлению. Выражение C.8) в этом
случае даст неопределенность, так как Мо = оо, а ^Ф^ = 0. Раскрывая
€6, получим
где R — равнодействующая сил на диске, а А — поступательное
перемещение диска по направлению силы R.
Для применения способа мгновенных центров необходимо,
следовательно, знать положения мгновенных центров вращения и углы поворота дисков
в заданном перемещении.
Приведем правила построения мгновенных центров для однажды изме-
дяемой системы, составленной из двух дисков:
1) если два диска соединены шарниром, то шарнир является взаимным
мгновенным центром вращения этих дисков (рис. 42);
2) если два диска, например 1 п 2 (рис. 42, а), соединены между собой
двумя стержнями АВ ч CD или, более общем виде, двумя дисками 3 ц. 4
(рис. 42, б), то взаимный мгновенный центр вращения дисков лежит на
пересечении стержней АВ и CD или на пересечении тех же прямых,
проведенных через шарниры дисков 3 я 4, так как соединение дисков стержнем или
диском любой формы на тех же шарнирах, что и у стержня, кинематически
эквивалентно.
4S
^J^Ji
с " (^,з) па првдломению
Рис. 42
Рис. 43
В более сложных случаях
построение мгновенных центров
производится при помощи теоремы о трех
мгновенных центрах: три взаимных
мгновенных центра вращения трех дисков
в изменяемой системе лежат на одной
прямой.
Докажем эту теорему от
противного. Допустим, что три взаимных
мгновенных центра вращения трех дисков
не лежат на одной прямой (рис. 43).
Пусть по предположению мгновенный центр дисков 1 к 3 расположен в
случайной точке С. В точке А расположен мгновенный центр вращения дисков
/ и 2, а в точке В — дисков 2 и 5. Исследуем движение дисков / и 2
относительно диска 3. Движение дисков 7 и 2 может совершаться путем поворота
их вокруг мгновенных центров B, 5) и (/, 5). При таком движении точка Л,
как принадлежащая диску 2, должна описывать дугу 1 — 1 с центром в
точке В, а как принадлежащая диску / — дугу 2—2 с центром в
предполагаемой точке С. Так как эти дуги пересекаются, то движение невозможно.
А это значит, что предположение о произвольном расположении
мгновенного центра [1, 3) в точке С неправильно.
Спрашивается, когда же движедие точки А будег одновременно возможно
как по дуге 1—/, так и по дуге 2—2?
Оно будет возможно только тогда, когда дуги будут касаться одна
другой, а именно, когда мгновенный центр (/, 3) будет лежать на прямой АВ,
т. е. на одной прямой с мгновенными центрами (/, 2) и B, 3), чем и доказана
теорема.
Определенные по своему положению мгновенные центры позволяют
найти зависимости между углами поворота дисков в заданном возможном
перемещении. Так, например, для рис. 42, если считать диск 1 неподвижными
определять перемещения остальных по отношению к нему, то, поскольку
точка В принадлежит дискам 2, 5, можем написать
где йфз — угол поворота диска .3 по часовой стрелке.
Отсюда получаем
^^ ^
da>2= — ■ "фз-
BE
Далее, рассматривая точку С, принадлежащую дискам 2 и ^, будем иметь
Ш d(f2,==-—DC ёщ,
откуда
<1ф4='
СЕ
DC
•Йф2 ■■
СЕ
DC
АВ
ггг-йфз.
BF
46
Таким образом, все углы поворотов дисков будут выражены через угол
поворота одного из них (^фз), что позволит разделить на него выражение
C.8). Кинематический метод заслуживает внимания при расчете слшкных
систем, когда их расчет по статическим методам затруднителен.
Непосредственное применение принципа возможных перемещений и способа
мгновенных центров удобно, если мгновенные центры вращения дисков
однажды изменяемой системы находятся без затруднений, что обычно бывает в
изменяемой системе, состоящей из малого количества дисков. Способ
изображающих точек удобен там, где легко могут быть найдены все
необходимые изображающие точки в изменяемой системе по одной, заведомо
легко наперед задаваемой.
§ 22. ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ, ПРОДОЛЬНЫЕ
И ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ В СЕЧЕНИИ СТЕРЖНЯ
Определение изгибающих моментов, продольных и поперечных сил в
сечении стержня производится из условий равновесия отсекаемой его части,
что приводит к следующим общим правилам (рис. 44, а).
Продольная сила N равна сумме проекций всех левых или всех правых
относительно сечения сил на касательную к оси стержня.
Продольная сила обычно считается положительной, если она
производит в поперечном сечении стержня растяжение, т. е. направлена по
внешней нормали к сечению. Для ее определения надо проектировать все левые
силы на ось Л^, указанную на поперечном сечении правой части стержня
(рис. 44, в), или все правые силы на ось Л^, указанную на поперечном
сечении левой его части (рис. 44, б).
Поперечная сила Q равна сумме проекций всех левых или всех правых
относительно сечения сил на нормаль к оси стержня.
Поперечная сила считается положительной, если она направлена по
внешней нормали к поперечному сечению, повернутой на 90° по часовой стрелке.
Иными словами, если сечение считать вертикальным, то поперечная сила
положительна, когда проекция левых сил на нормаль направлена вверх,
а проекция правых сил на нормал* направлена вниз. Для ее определения
надо проектировать все левые силы на ось Q, указанную на поперечном
сечении правой части стержня (рис. 44, в), или все правые Ьилы на ось Q,
указанную на поперечном сечении левой его части (рис. 44, б).
Изгибающий момент М равен сумме моментов всех левых или всех
правых от сечения сил относительно точки сечения, лежащей на оси стержня.
Изгибающий момент для
горизонтально
ориентированных элементов считается
положительным, если в крайнем
нижнем волокне стержня
(рис. 44, б, в) возникает
растяжение. Для его
определения надо взять сумму
моментов всех левых сил
относительно точки сечения,
лежащей на оси стержня, считая
моменты по часовой стрелке
положительными, или сумму
моментов всех правых сил,
считая положительными
моменты против часовой стрелки.
Положительные
направления изгибающих моментов,
продольных и поперечных
сил, приложенных к
бесконечно малому элементу стерж- .
ня, показаны на рис. 44, г. Рис. 44
47
ГЛАВА 4. ПРИЗНАКИ ИЗМЕНЯЕМОСТИ ПЛОСКИХ
СЛОЖНЫХ СИСТЕМ С ДОСТАТОЧНЫМ ЧИСЛОМ СВЯЗЕЙ
§ 23. СТАТИЧЕСКИЕ ПРИЗНАКИ ИЗМЕНЯЕМОСТИ
В этой главе рассматриваются сложные системы с достаточным числом
связей, изменяемость и, особенно, мгновенную изменяемость которых
трудно или невозможно проследить по правилам соединения двух и трех дисков
в неизменяемую систему.
Такие сложные системы могут быть:
1) неизменяемыми, т.-е. только с необходимыми связями, реакции
которых статически определимы;
2) изменяемыми, т. е. с лишними для них связями, реакции которых
статически неопределимы. Изменяемые системы могут быть с лишними
связями в неизменяемых частях системы и с лишними связями в изменяемых
частях системы. Последние будем называть особыми изменяемыми
системами;
3) мгновенно изменяемыми, т. е. с ложными связями, реакции которых
статически неопределимы, если нагрузки могут быть уравновешены такими
системами в неотклоненном и недеформированном состоянии (S • О = 0) и
■ стремятся к бесконечности, после бесконечно малого перемещения системы
без ее деформации, если нагрузка не может быть уравновешена мгновенно
изменяемой системой в заданном состоянии, без этого перемеш.ения
5р-|-2РЛ = 0, при р^О.
Следовательно, если реакции всех или некоторьа связей от нагрузки не
могут быть определены по принципу возможных перемещений или по другим
уравнениям равновесия, то система или мгновенно изменяема, или изменяема
с лишними связями.
Это — общий статический признак изменяемости.
Знать же, какова система, изменяема или мгновенно изменяема, вообще
говоря, не так важно. Этот вопрос решается на основе анализа конечных пе-
'ремещений системы без связи (см. § 25).
По статическому признаку можно лишь установить, что если хотя бы
одна связь помещена в пределах некоторой неизменяемой части системы
(диска) или если между двумя дисками поставлено больше трех связей,
или, наконец, какая-либо часть системы имеет лишнюю связь, то система
изменяема. Заключение о том, что если ни одна связь не помещена на диске
или если между двумя дисками поставлено не более трех связей, или,
наконец, что любая часть системы не имеет лишних связей, то система
мгновенно изменяема, не всегда справедливо, так как среди таких систем могут
быть особые изменяемые системы.
Общий статический признак имеет следующие разновидности.
1. Аналитический признак
Реакция любой связи 5; не может быть определена из совместных
линейных уравнений равновесия, если независимых уравнений равновесия
меньше неизвестных реакций, в них входящих.
Реакция любой связи 5; не может быть определена из совместных
линейных уравнений равновесия C.1) при достаточном их числе, если
определитель D в формуле C.2) обратится в нуль.
Значит, если уравнений равновесия недостаточно для определения
некоторой реакции St или если определитель из коэффициентов уравнений
равновесия при достаточном их числе обратится в нуль:
D--
оц ai2 ... сЦп
^21 ^22 • • • ^271
чщ ч-пг • ■ ■ ^^nn
=0, D.1)
48
Рис. 45
то система мгновенно изменяема или
изменяема с лишними связями.
При этом ясно, что должны быть
обследованы все независимые группы
уравнений равновесия, содержащих
некоторые реакции, и к каждой из них
применен аналитический признак.
Проследим обращение определителя
D.1) в нуль на простом примере заведомо мгновенно изменяемой системы
(рис. 45).
Условия равновесия левой части системы от сечения:
2Mfej = Sia-S3(ft-a) =
= 0;
^Mk^ = Sih+S2{h—a)+P{h-a)--
= 0,
Определитель из коэффициентов этих уравнений:
1 1 1
а О —(h — a)
h (h — a) О
D=
a(h — a)—h(h—a) + {h — aPs 0.
Несмотря на кажущуюся привлекательность аналитического признака,
он может быть применен лишь в тех случаях, когда простыми средствами
устанавливается недостаточное количество уравнений для определения
реакций и когда определители получаются не выше третьего порядка, так как
иначе их раскрытие представляет известные сложности.
2. Признак нулевой нагрузки
Так как реакции необходимых связей неизменяемых и изменяемых систем
от нагрузки однозначно определимы по уравнениям статики, то без
нагрузки реакции связей равны нулю. Значит, если можно доказать по уравнениям
статики, что реакции всех связей без нагрузки равны только нулю, т. е. иной
ответ для них невозможен, то система неизменяема, а если этого
доказать нельзя и отличные от нуля реакции связей удовлетворяют
условиям равновесия, то система мгновенно изменяема или изменяема с лишними
связями
Так, например, при правильном соединении двух дисков тремя
стержнями (рис. 46) легко показать, что реакции связей без нарузки равны нулю.
Для этого достаточно составить три условия равновесия в виде суммы
моментов сил относительно точек k^, k^ и kz. Другие значения реакций связей
не удовлетворяют условиям равновесия. Иное дело, когда три стержня
пересекаются в одной точке. В этом случае любая сила S-^ может быть
уравновешена силами 52 и 5з, пересекающимися с ней в одной точке. Значит
реакции 5^, Sa и 5з могут быть равными не только нулю, но и любым другим
значениям, удовлетворяющим условиям равновесия. Следовательно, система
мгновенно изменяема или изменяема с лишними связями. В данном случае —
мгновенно изменяема.
Рассмотрим еще симметричную систему (рис. 47), состоящую из восьми
дисков (стержней), соединенных, при учете кратности связей, восемью
шарнирами и восемью опорными связями. Нетрудно убедиться, что
равенство B.5) будет удовлетворено. Определим реакции в стержнях системы без
нагрузки. Проведем сечение 1—/ и составим для верхней части сумму
моментов относительно точки k:
откуда
•Sib = 540 = 5.
49
Рис. 47
Далее, из условия
равновесия вырезанных узлов
1, 2, 3 и 4 определим
продольные силы во всех
стержнях. Все они зависят от
S и не равны нулю, если
S Ф 0. Следовательно, при
нулевой нагрузке усилия в
стержнях могут быть
отличными от нуля, а значит
система мгновенно
изменяема или изменяема с
лишними связями. В
данном случае —. мгновенно
изменяема.
Иное дело, если будем
рассматривать
аналогичную систему (рис. 48), но
у которой стержень /—4
не параллелен стержню
d 2—3. Из условия равнове-
У7 сия верхней части в виде
суммы моментов
относительно точки k получим и
здесь 5ib = S^^ = 5. Но
при исследовании
равновесия узлов 1 и 4 (при
5 =7^ 0) встретимся с
противоречием: продольная
сила в стержне /—4,
определяемая из равновесия
первого узла, не будет равна
силе в том же стержне,
определяемой из
равновесия четвертого узла,а это-
^ го не может быть.
Противоречия не будет, если
положить 5 = О, а тогда
усилия во всех стержнях будут равны нулю. Эта система неизменяема.
Поскольку в мгновенно изменяемой системе реакции ложных связей
без нагрузки на системе могут быть отличны от нуля, то такие системы
допускают искусственное их самонапряжение. Так, например, разрезав
любой из трех стержней (см. рис. 14, е), можно при помощи домкрата
искусственно создать в нем силу, которая будет уравновешена продольными
силами в двух других стержнях, после чего стержень надо соединить, а
домкрат убрать.
§ 24. ПРИЗНАК ИЗМЕНЯЕМОСТИ ПО МЕТОДУ ЗАМЕНЫ СВЯЗЕЙ
Определение реакций заменяемых связей по методу замены связей
производится из уравнений вида:
Гц ^i-h'-12 ^2+...+ /?1р=0;
''21 ^l-}- '■22^2-t- ••• -}-/?2Р—0>
Рис. 48
Реакция связи не может быть определена, когда определитель из
коэффициентов этих уравнений обратится в нуль, т. е.
D=
SO
''11 ''12 ■
''21 ''22
I'm ''п2 •
i-ln
''271
= 0.
D.2)
Следовательно, если
определитель канонических
г/равнений метода замены
связей обращается в нуль,
то система мгновенно
изменяема или изменяема с
лишними связями.
Если хотя бы одна
заменяемая связь при этом
поставлена на диске, т. е.
является лишней, то
система изменяема. Заключение
о том, что если заменяемая
связь не является лишней,
то система мгновенно
изменяема, не всегда
справедливо, так как могут быть
особые изменяемые системы.
Признак изменяемости
по методу замены связей
хотя и близок по форме
к общему аналитическому
признаку, но в
действительности он значительно
удобнее последнего. Дело
в том, что часто путем
замены одной или двух
связей сложная система
обращается в простую. Поэтому
определитель уравнений
метода замены связей, как
правило, будет невысокого
порядка. В этом
заключается особое достоинство
рассматриваемого признака и
преимущество его перед
другими. Этот признак
особенно удобен для
практического применения
У////////// //////У///}
Рис. 50
Рассмотрим систему, показанную на рис. 47. Преобразуем ее (рис. 49, а)
к более простому виду. Для этого устраним стержень 2—3 и заменим его
стержнем /—с (рис. 49, а). Новая система неизменяема, что легко
проследить образованием узлов при помощи двух стержней в таком порядке: /,
4, 2 и 3 Так как в системе произведена замена одного стержня, то
определитель. D.2) первого порядка, т. е. D = /-ц; Гц — реакция заменяющего
стержня /—с (рис 49) от Xi ~ S^^ = I по направлению замененного
стержня 2—3.
Из вырезания узлов 2 к 3 получим продольные силы в стержнях /—2
и 3—4, которые по условию симметрии равны между собой. Обозначим их
буквой N. Далее рассмотрим часть системы b — 1 — 4 — с и напишем
условие равновесия ее верхней части (рис. 49, б): ,
ZX = Л^ cos Р—N cos Р—Si(.sina = 0,
откуда и получаем реакцию заменяющей связи S^^ — 0.
Значит, Гц = О, система мгновенно изменяема. Таким же образом нет-
трудно убедиться, что система, показанная на рис. 48, неизменяема.
Рассмотрим еще симметричную систему (рис. 50, а). Преобразуем ее,
заменив связь 2 — b замыканием шарнира е (рис. 50, б). Преобразованная
51
система простая, ее неизменяемость очевидна. Так как и здесь произведена
замена одной связи, то D = Гц. В этом случае Гц есть момент в припайке
от сил Sjb = 1- Раскладывая в точке k силу S^^, = 1 на направление
стержня i — а и на направление k — т, убедимся, что равнодействующая
левых или правых сил проходит через замкнутый шарнир. Это значит, что
момент в замкнутом шарнире равен нулю, т. е. Гц = 0. Система мгновенно
изменяема.
§ 25. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЗНАКИ ИЗМЕНЯЕМОСТИ
Неизменяемые системы после удаления любой необходимой связи
обращаются в изменяемые, допускающие бесконечно малые перемещения,
всегда содержащие отличные от нуля перемещения As по направлению
устраненной связи. Изменяемые системы после удаления любой лишней связи
допускают конечные перемещения, при которых перемещения As по
направлению устраненной связи всегда равны нулю.
Мгновенно изменяемые системы после удаления любой ложной связи
обращаются в однажды изменяемые системы, допускающие такие
перемещения, в которых величина перемещения As по направлени'ю исключенной
связи равна нулю^. только при бесконечно малых перемещениях, а при
конечных она отлична от нуля.
Если ложной связью является стержень, то он поставлен между двумя
точками системы, расстояние между которыми не изменяется только при
бесконечно малом перемещении. Если же ложной связью является связь,
способная развивать момент, то она поставлена между дисками, не
имеющими при бесконечно малом перемещении взаимного поворота. Иными
словами, угловые скорости этих дисков равны между собой.
Следовательно, если системе с некоторой исключенной связью нельзя
задать бесконечно малое возможное перемеи^ение с отличным от нуля
перемещением As по направлению устраненной связи, то система мгновенно
изменяема или изменяема с лишними связями.
Это — обилий кинематический признак.
Если перемещение As равно нулю только при бесконечно малом
возможном перемещении, то система мгновенно изменяема, а если равно нулю
и при конечном перемещении, то система изменяема с лишними связями.
Это — признак, по которому выявляются и особые изменяемые системы.
Кинематический признак имеет следующие разновидности.
1. Признак по способу изображающих точек
Как было установлено ранее, в изменяемой системе с одной недостающей
связью изображение стержня параллельно самому стержню. Поэтому если
удалить из системы какой-либо стержень, то можно построить изображения
точек прикрепления концов этого стержня, и если окажется, что
изображения этих точек лежат на прямой, параллельной устраненному стержню,
то система мгновенно изменяема или изменяема с лишними связями. Это
следует из ранее высказанного положения о том, что если расстояние между
двумя точками на разных дисках не меняется, то прямая, проходящая через
изображающие точки, параллельна прямой, которая соединяет эти точки
на системе. К этому же выводу можно прийти и на основе следующих
рассуждений. По способу изображающих точек реакция устраненной свя^и S
содержится в выражении C.6), которое запишем так;
2Mp + S7Ms = 0. D.3)
Здесь Ms — момент от сил S — I относительно изображений точек
приложения этих единичных сил. Если изображающие точки концов выкинутого
стержня одинаково удалены от линии действия сил S = 1, т. е. лежат
на прямой, параллельной исключенному стержню, то, поскольку две силы
^ Точнее — бесконечно малой величине высшего порядка малости по сравнению
с параметром, определяющим бесконечно малое перемещение.
52
cKd")
S = 1 направлены в разные стороны, Ms = 0. Тогда реакция устраненной
связи не может быть определена по уравнениям равновесия. А это признак
изменяемости. Следовательно, если изображения концов выкинутого стержня
лежат на прямой, параллельной самому стержню, то система мгновенно
изменяема или изменяема с лишними связями.
Снова рассмотрим систему, изображенную на рис. 47. Выбросим
стержень 2—3, и для полученной изменяемой системы построим изображающие
точки (рис. 51) по тем правилам, которые были ранее изложены.
Изображением первой точки 2' на
прямой а—2 задаемся
произвольно. , Затем, проведя прямые
2'—/' и Ь'—/' параллельно
стержням 2—1 и b—/,
получим изображение 1' точки / и
т. д. По условию симметрии
прямая 2'—3' параллельна
выброшенному стержню 2—3.
Система мгновенно изменяема.
Если таким же способом
исследовать систему,
показанную на рис. 48, то она
окажется неизменяемой, в ней
изображающая линия 2'—3'
не будет параллельна
выброшенному стержню 2—3.
Если выбрасываемая связь
заменяется моментами, то
признак состоит в том, что
угловые скорости дисков, к
которым приложены моменты,
должны быть равны между собой.
Это положение легко доказать.
Условие равновесия по
способу изображающих точек" при
моментной нагрузке имеет вид
1Мр ± M(BftqrM(Bm = 0, D.4)
где (Oh и (От — угловые
скорости дисков, к которым
приложены моментные реакции
выброшенной связи.
Из D.4) находим
ИМр
77797?,
77^77
М:
(Ofe-
Условие изменяемости
®h — Wm = О, или (uft = (От,
откуда следует, что углы
поворота этих дисков должны
быть одинаковыми.
Рис. 51
2. Признак по способу мгновенных центров
Признак по способу мгновенных центров вытекает из теоремы о трех
мгновенных центрах вращения трех дисков: если три взаимных мгновенные
центра вращения трех дисков, попарно соединенных изменяемо при помощи
шарнира или двух и более стержней, пересекающихся водной точке, лежат
на одной прямой, то система мгновенно изменяемая, или изменяемая, с
лишними для изменяемой системы связями (рис. 51, б).
53
ГЛАВА 5. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
ПРИ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКЕ
§ 26. ПОНЯТИЕ О ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКЕ
Подвижной цагрузкой называется такая нагрузка, которая непрерывно
меняег свое положение на сооружении, т. е. перемещается по нему с
некоторой скоростью. Примером подвижной нагрузки могут быть находящиеся
в движении автомобили, трамваи, троллейбусы, поезда и т. д.
Подвижная нагрузка, меняя свое положение на сооружении, вызывает
в нем переменные внутренние силы, напряжения и перемещения. Кроме
того, подвижная нагрузка по своей природе является ршгрузкой динамической.
Изменение какой-либо изучаемой величины — внутренней силы,
напряжения или перемещения — в зависимости от положения нагрузки на
сооружении зависит от того, каково само сооружение, что представляет собой
изучаемая величина и какова действующая подвижная нагрузка.
Если изучаемая величина при движении статической нагрузки по
сооружению может изменяться только однозначно, то она изменяется от нуля
при входе нагрузки на сооружение до наибольшего абсолютного значения
при некотором положении нагрузки, и снова возвращается к нулю после
прохождения всей нагрузки по сооружению. Таково, например, изменение
опорной реакции простой балки при движении по ней куска равномерной
нагрузки протяженностью с = / -f Д (рис. 52).
Если изучаемая величина при движении нагрузки по сооружению может
изменяться двузначно, то она изменяется от нуля при входе нагрузки на
сооружение и до нуля при ее сходе с наибольшим и наименьшим в
алгебраическом смысле значением при различных положениях нагрузки на
сооружении (рис. 53).
c=z*A
1ИиИИ1ииИЙНИ"
Двиукеиие
нагрузки
В = ~B1+Л^г)(г-Л)
Рис. 52
1
^
о
§
t
'о
*
-а
t
>!
©\
ДВиукение нагрузки
3"_
0
Рис. 53
to
54
Когда подвижная нагрузка содержит тяжелые и легкие грузы,
различным образом чередующиеся между собой, возможно несколько максимумов
и минимумов изучаемой величины как при общем ее возрастании, так и при
убывании, а также возможны различного вида угловые точки и разрывы
первого рода с одной или несколькими перемейами знака изучаемой
величины (рис. 53).
Поскольку сооружения должны быть рассчитаны на численно
наибольшие внутренние силы, напряжения и перемещения обоих знаков, то расчет
их при подвижной нагрузке связан прежде всего с определением таких ее
положений, при которых эти наибольшие величины имеют место. Такие
положения нагрузки называются расчетными, а наибольшие значения
изучаемых величин, им соответствующие, — расчетными значениями.
Расчетные положения нагрузки связаны с максимумами и минимумами
исследуемых величин, существование которых определяется следующими
экстремальными условиями для элементарных функций^.
1. Если S — f (z) функция непрерывная с непрерывными производными
до tt-ro порядка включительно, то в точке максимума или минимума при
2 = Zo необходимо:
а) для максимума
б) для минимума
dS
dz
dS
dz
= 0 и
= 0 и
d«S
dz"
d"S
<0;
dг'^
E.1)
где n — порядок низшей отличной от нуля производной, если она четная.
Или: ■
dS
dS
а) для максимума =0 и > О при z = Zo—dz,
dz dz ==
dS <
dz
= 0 при z = Zo + dz;
• dS dS <
6) для Минимума- =0 и < при z = Zg—dz,
dz dz =
dS >
a =5= при z:=zi)-{-dz.
dz
E.2)
E.2)
В неравенствах с тремя знаками как здесь, так и далее надо одновременно
принимать или верхние, или средние, или нижние знаки.
Условия E.2) справедливы и в тех случаях, когда старшие производные
порядка меньше п разрывны.
2. Если S = / (z) функция непрерывная с разрывной первой
производной, то в точке максимума или минимума на разрыве производной при
2 = 2o должно быть:
а) для максимума при z = Zo — dz
dS
dz =
dS
to
и при z — Za + dz ——=0;
dz ^
6) для минимума при z = Zo — dz
и при z= Zo + dz
dS <
dz =
_dS_ >_
dz ~
E.3)
E.4)
^ Наибольшие и наименьшие значения функции S = /(z) на концах промежутка
встречаются редко. В этих случаях надо заданную функцию условно считать
продолженной влево и вправо со значениями, равными нулю, и крайние точки рассматривать
как промежуточные.
5S
Для максимумов и минимумов на участках между разрывами
производной сохраняются условия E.1) и E.2).
3. Если S = f (z) функция кусочно гладкая с разрывами первого рода,
то в месте максимума или минимума на разрывах при г = Zo необходимо:
dS
а) для максимума, когда Д5>0, <|Опри z=2o + rfz,
dz =-
dS
» » » AS <0, > 0 при z = 2o—dz;
dz =
6) для минимума, когда Д5>0, < О при г = гп—dz,
dz =
dS
» » » Д5<0, > О при z = Zo + dz.
dz =
E.5)
E.6)
§ 27. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАСЧЕТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
1. Общий метод
Общий метод состоит в том, что подвижная нагрузка на сооружении
рассматривается как единое целое и фиксируется на нем некоторой текущей
координатой Z, в зависимости от которой составляется выражение искомой
величины. По нему аналитически или графически находятся наибольшее
и наименьшее расчетные значения и расчетные положения нагрузки, их
определяющие.
Несмотря на логическую ясность общего метода, его практическое
применение весьма сложно, так как функции исследуемых величин при большом
количестве разрывных нагрузок и сосредоточенных сил получаются
состоящими из большого числа кусков гладких функций, быть может, имеющих
максимумы и минимумы, для которых определение наибольшего и
наименьшего значений исследуемой величины затруднительно.
Только в отдельных частных случаях и при простых нагрузках, к
которым, например, можно отнести полосу равномерной нагрузки, общий метод
приводит к относительно простым (да и то не всегда) операциям. Даже
в этих простейших случаях
общий метод обычно
уступает методу линий
влияния, который будет
рассмотрен далее. Но этот
метод является общим
методом для всех систем,
независимо от того, применим
к ним или неприменим
Г- ■•"
'Щ\ит
/////Iz^^^
,|И11
J
а
"^кю
в!
'liXl^i^i^mm
Z
56
Рис. 54
ри
»
»
°^^^т ■^=-S-B'-^
/ а f 51
3 q
2 81
принцип независимости действия сил, находится ли сооружение в упругой
или пластической стадии работы. В отличие от общего метода метод линий
влияния, о чем мы узнаем далее, применим только к системам, для
которых практически справедлив принцип независимости действия сил, и
только для вычисления таких величин, для которых этот принцип
справедлив в алгебраической форме. Общий метод в настоящее время,
по-видимому, является единственным методом, применимым к системам,
для которых принцип независимости действия сил не может быть применен.
С общим методом познакомимся на простом примере определения
наибольших реакций Л и Б от равномерной нагрузки протяженностью с =
= Y (рис. 54). Движение нагрузки предполагаем слева направо. Начало
нагрузки фиксируем координатой z. В этом случае графики изменения
реакций будут состоять из трех кусочно-гладких функций в зависимости от
положения нагрузки.
* в-~.
-2гJ; B = -^Cl-2z){l + 22).
По этим уравнениям и построены графики изменения опорных реакций.
По ним легко определяются расчетные (наибольшие) значения реакций и
положения нагрузки, при которых эти расчетные значения имеют место
(см. рис. 54).
Одновременно с реакциями опор могут определяться моменты и
поперечные силы в балке и Tai^ же строиться их графики.
В сложных случаях, когда функциональные выражения искомых
величин получить затруднительно, приходится, надвигая нагрузку, перемещать
ее на малые конечные значения Az и строить их эпюры. Так же можно
поступать и при использовании ЭЦВМ.
2. Метод линий влияния
Метод линий влияния состоит в том, что сооружение вначале
рассматривается не под действием заданной подвижной нагрузки, а под действием
только одной подвижной сосредоточенной силы Р постоянного направления,
положение которой на сооружении определяется в общем виде текущей
координатой Z.
При таком положении силы определяется исследуемая величина
(реакция опоры или связи, напряжение, перемещение и т. д.), допускающая
применение принципа независимости действия сил в алгебраическом виде,
приходящаяся на единицу силы Р. Она будет функцией координаты z —
функцией положения груза на сооружении. Эта функция может быть
представлена в аналитическом или графическом виде. В связи с этим графическое
изображение закона изменения какой-либо изучаемой величины, для которой
справедлив принцип наложения, при движении по сооружению одиночной
сосредоточенной силы Р постоянного направления, приходящейся на
единицу этой силы, называется линией влияния, а аналитическое выражение
этого закона — уравнением линии влияния. Может быть, следовало бы
линию влияния называть линией изменения.
Линии влияния строятся в прямоугольной системе координат с осью
абсцисс, перпендикулярной силе Р. Абсцисса в такой системе координат
определяет положение груза на сооружении, а ордината — изучаемую ве-
57.
личину, для которой построена линия влияния. Линии влияния принято
штриховать ординатами. Ось абсцисс будем называть базой линии влияния.
Размерность ординат линии влияния определяется размерностью
частного от деления размерности изучаемой величины на размерность силы Р,
т. е.
размерность изучаемой величины
размерность л. в. = .
размерность силы Р
Изменение изучаемой величины, приходящейся на единицу силы Р,
формально может быть истолковано как изменение этой величины от
действия отвлеченной силы Р = 1. В соответствии с этим линией влияния можно
называть графическое изображение, закона изменения какой-либо
изучаемой величины при движении по сооружению отвлеченной силы Р = 1
постоянного направления, а аналитическое^ его выражение — уравнением
линии влияния.
Можно, однако, под линией влияния понимать графическое изображение
закона изменения какой-либо величины при движении по сооружению
размерного груза Р = 1 постоянного направления. При этом размерность
ординат линии влияния будет соответствовать размерности изучаемой
величины.
Следовательно, отличие линий влияния, построенных при отвлеченном
грузе Р = 1 и размерном, состоит лишь в том, что они имеют разные
размерности; это и должно быть учтено при применении тех или иных линий
влияния. В дальнейшем при построении линий влияния будем применять
отвлеченный груз Р = 1.
Установленный закон влияния единичной силы при любом ее
положении на изучаемую величину в виде линии влияния и ее уравнения дает
возможность определять по принципу наложения искомую величину от любых
сил, параллельных силе Р, как алгебраическую сумму величин от каждой
силы в отдельности. При этом каждая действующая в определенном месте
сооружения сила по этому же принципу будет пропорционально
увеличивать исследуемую величину, полученную от силы Р = I, расположенной
там же.
Из сказанного следует, что метод линий влияния применим только к
таким сооружениям и к таким величинам, для которых применим принцип
независимости действия сил в алгебраическом виде.
Закон влияния одиночного груза Р, перемещающегося по сооружению,
может быть, конечно, определен и в том случае, когда принцип
независимости действия сил к данной системе или величине не применим. Однако
использование этого закона при нескольких нагрузках без принципа
наложения весьма затруднительно.
Поскольку линии влияния дают возможность определять искомую
величину при любом положении любой подвижной нагрузки постояннрго
направления, то, естественно, они могут быть использованы и для определения
расчетного положения нагрузки. Если бы расчетное положение подвижной
нагрузки было заведомо известно без построения линий влияния, то
изучаемая величина могла бы быть определена обычными приемами и в линиях
влияния необходимости не было. Поэтому основное назначение линий
влияния состоит в установлении расчетного положения подвижной нагрузки.
А далее, поскольку линии влияния уже построены, по ним можно
определять и само расчетное значение изучаемой величины.
Линии влияния могут быть эффективно использованы при неподвижных
нагрузках только в случаях, когда отдельно действующих комбинаций
неподвижных нагрузок много.
Метод линий влияния был изложен применительно к любой изучаемой
величине, допускающей применение принципа наложения, в том числе и
для реакций связей.
58
§ 28. О ФОРМЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
Форма линий влияния зависит от
физической сущности исследуемой
величины и свойств рассматриваемой
стержневой системы. Линия влияния
может состоять из прямых или
кривых линий.
Докажем, что линии влияния
реакций связей статически определимых
систем состоят только из отрезков
прямых. Для этого обратимся к
кинематическому методу определения
реакций связей. Представим себе, что
вертикальный груз Р = 1 перемещается
по некоторой произвольной грузовой
линии т. — m на одном из дисков
однажды изменяемой системы,
полученной из заданной статически определимой системы выбрасыванием той связи,
для реакции которой строится линия влияния (рис. 55). Пусть мгновенный
центр вращения данного диска относительно земли есть точка Oj.
Примем эту точку за начало координат для определения положения груза.
Дадим системе с выключенной связью бесконечно малое возможное
перемещение относительно земли, при котором рассматриваемый нами диск
поворачивается на угол йц>, и составим уравнение работ на возможных
перемещениях. Работу будут совершать только сила Р = 1 и реакция
выброшенной связи S:
l^^p-\-S^s=Q.
Рис. 55
В этом случае Др есть величина переменная, представляющая собой
перемещение по направлению подвижного груза Р = 1. Так как Ар = рс^Ф
■cos а = 2й!ф, то S =
Д5
-Z.
Таким образом, реакция связи 5 линейно зависит от координаты груз1а и
не зависит от того, по какой грузовой линии данного диска будет
перемещаться груз Р = 1. Следовательно, в пределах данного диска линия влияния
реакции связи в статически определимых системах прямолинейна.
Если Др представить в виде эпюры вертикальных перемещений груза
Р = 1, то эта эпюра будет также эпюрой вертикальных перемещений
грузовой линии диска, поскольку Др не зависит от траектории груза Р. Это значит,
что эпюра вертикальных перемещений диска будет изображаться прямой,
пересекающей базу под мгновенным, центром вращения данного диска
относительно земли. Так как Др = zd(f пропорционально ^ф, то угол поворота
диска равен углу поворота эпюры его вертикальных перемещений Др.
Линии влияния упругих перемещений, как это будет показано далее,
криволинейны.
§ 29. СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
Изученные ранее различные приемы определения по законам статики
реакций связей применимы и для построения линий влияния. Отличие будет
лишь в том, что при неподвижной нагрузке реакция связи — постоянная
величина, а при построении линий влияния она величина перел1енная,
зависящая от положения груза Р = I. Аналитическое выражение искомой
реакции от текущей координаты груза и есть уравнение линии влияния.
Идею построения линий влияния по статическому методу проследим
па простом примере. Пусть требуется построить линии влияния опорных
59
реакций А я В в системе, представленной на рис. 56. Их аналитические
выражения получаются обычным путем:
2:Л1з=л/—1A—г)=0,
1~г
откуда Л=-
2Л1,
-вг+1.г=о.
откуда S == -^ ,
Эти выражения суть уравнения прямых, которые могут быть построены
по двум любым точкам (рис. 56):
при г = 0 Л = 1, 5 = 0:
» z = l А=0, 6=1.
При построении линий влияния продольной силы в стержне а—b
проведем сечение /—/ через стержень и шарнир С. Условия равновесия левого
или правого диска будут зависеть от того, где расположена сила Р = 1 —
правее или левее сечения 1—1. Поэтому приходится рассматривать два ее
положения.
1. Груз правее сечения (—^z^l + d
Рассматриваем равновесие левого Диска
2м- = л^-л/^л=о,
откуда
Nat,= A
I
~2Ь
I
2/1
2й
Полученное выражение есть уравнение прямой, которая в соответствии
с положением груза называется правой прямой. Ее построим по двум
точкам: при 2 = 0 N^t^ = — , при Z = / N^ = 0.
Однако отрезок правой
прямой, ограничивающий линию
влияния, определяется изменением
координаты груза г, когда он
находится на системе правее
сечения. Поэтому линия влияния в
правой части штрихуется только в
пределах этого отрезка, т. е. при
± ^z< l + d.
2. Груз левее сечения [—d^
'ШШШШ^^^^'^
<z<
/
"ТТтч
л. в. в
ГТТгъч,
JI.B.NaB
■'es.
"9.
"P-v,
-^-^^
Г^иС.,;
^j^flHH
Рассматриваем равновесие
правого диска
откуда
2й
/ 2й
Рис. 56
Эт^о выражение есть уравнение
прямой, которая в соответствии с
60
положением груза называется левой прямой. Ее также строим по двум
точкам: при 2 = 0 A^„j, = О и при z = I N^^ —
углевая часть линии влияния штрихуется также только в пределах
отрезка левой прямой, ограничивающей линию влияния, т. е. при —d <! 2 ^ -^.
Будем далее отрезки правой и левой прямых, ограничивающие линии
влияния, называть пригодными частями этих прямых.
Если искомая реакция связи не может быть определена непосредственно
из одного уравнения, как, например, при способе совместных сечений в
сложных системах, то она определяется из системы уравнений с несколькими
неизвестными. Свободные члены уравнений при построении линий Ьлияния
будут' представлять собой не числа, а функции положения груза Р = 1,
а потому и решение уравнений даст реакцию в виде функций от положения
этого груза.
Мы изложили лишь общие положения, которыми следует
руководствоваться при построении линий влияния по статическому методу. Отдельные
детали будут рассмотрены далее. Следуе'г указать, что статический метод
построения линий влияния особенно удобен при расчете простых систем.
§ 30. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПО МЕТОДУ ЗАМЕНЫ СВЯЗЕЙ
В сложных системах построение линий влияния по статическому методу
представляет некоторые затруднения. В этих случаях построение линий
влияния может быть выполнено по способу замены связей.
При построении линий влияния член Rf^p в C.3) есть реакция
заменяющей связи k от подвижной силы Р = 1. Она представляет собой уже не число,
а функцию положения груза Р,= 1 и определяет линию влияния реакции
заменяющей связи k преобразованной системы. Таким образом, линии
влияния реакции замененных (устраненных) связей сложной системы
получаются через линии влияния реакций заменяющих связей преобразованной
системы. Так как по замыслу метода замены связей преобразованная
система должна быть простой, то построение линий влияния реакций
заменяющих связей не представляет затруднений, поскольку они могут быть
построены по статическому методу.
Так, например, может быть построена линия влияния средней опорной
реакции Х^ в сложной системе (рис. 57, а). Для этого, отбрасывая опорную
связь и вводя вместо нее стержень аЬ, преобразуем заданную систему в
простую (рис. 57, б). Уравнение метода замены связей будет
где Гц — продольная сила в заменяющем стержне аЬ от силы Х-^ — 1
(рис. 57, б);
R-^p — функция влияния реакции заменяющего стержня аЪ.
При определении Гц сначала вырежем узел с и определим продольные
силы в стержнях ас и Ъс (рис. 57, г):
2 cos а
Потом отбросим эти стержни и их действие заменим найденными силами,
которые представим в виде двух составляющих.. Затем проведем сечение
через средний шарнир е и стержень аЪ (рис. 57, г) и составим условие ран-
новесия в виде момента левых сил относительно среднего шарнира:
\ I 1 , ... 1
yMf-=-——J^ — iga.-h-N,bh.V~d = Q,,
61
г^й^шшшщщш^ггг?^^
е)
л.б.х,
Рис. 57
€2
откуда
4 2 ^" 2
Nab = rii=—
Линия влияния в заменяющем стержне строится по обычным правилам.
Уравнение правой прямой
Уравнение левой прямой
/ 2Л
Линия влияния реакции заменяющего стержня а—b построена на
рис. 57, д. Искомая линия влияния реакции Х^ построена по выражению
^1=-^ (рис. 57, е).
§ 31. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
Построение линий влияния реакций связей по кинематическому методу
основано на идеях этого метода, изложенных при определении реакций,
связей от неподвижной нагрузки. Только здесь в качестве действующей
нагрузки будет всего одна подвижная сила Р = 1. Как уже известно, при
определении реакций связей по кинематическому методу необходимо
исключить из системы ту связь, реакция которой определяется, и обратить
систему в однажды изменяемую, а действие связи на систему заменить искомыми
реакциями. Затем системе необходимо задать возможное перемещение и
составить на этом перемещении уравнение работ всех сил, действующих на
систему. То же самое следует сделать и при построении линий влияния.
Уравнение работ при единственной силе Р = 1
где Др — вертикальное бесконечно малое перемещение грузовой линии
в точке приложения подвижного груза, в заданном возможном
перемещении относительно земли;
As — перемещение по направлению выброшенной связи.
Следовательно:
Ар
л. в. S=—-—-. E.7>
^s
Полученное выражение показывает, что форма линии влияния реакции
связи S определяется эпюрой вертикальных перемещений грузовой линии Др-
в заданном, возможном относительно земли, перемещении системы с
устраненной связью, так как в знаменателе величина Дз постоянна.
Это весьма важный вывод, который необходимо использовать при
проверке формы линий влияния реакций связей, получаемых по любым
методам. Из сказанного следует, что для построения линий влияния по
кинематическому методу от вертикального груза необходимо знать эпюру
вертикальных перемещений Др и постоянную величину Дз.
В отдельных случаях, когда заведомо известен закон изменения опорных
реакций от Р = 1, бывает удобно дополнительно отбросить опорную связь
и задать возможное перемещение системе, приняв за неподвижный диск не
земли, а один из дисков системы с выключенной связью. В этом случае
в уравнение работ дополнительно войдет работа реакции отброшенной
опорной связи.
В зависимости от того, как будут определяться величины Др и Дз 6
заданном бесконечно малом перемещении, различают способ мгновенных
центров и способ изображающих точек.
63
Рис. 58
центров
Способ мгновенных
центров состоит в том, что
эпюра- вертикальных
перемещений Др в заданном возможном
относительно земли
перемещении системы с
выключенной связью строится при
помощи взаимных мгновенных
центров вращения дисков и
мгновенных центров
вращения их относительно земли.
При помощи тех же
мгновенных центров определяется и
величина As-
Построение эпюры Др
проводится весьма просто,
если будут найдены все
требуемые мгновенные центры вращения дисков, по которым проходит
грузовая линия.
Эпюры вертикальных перемещений дисков строятся по следующим
правилам:
а) линия перемещения каждого диска — прямая, пересекающая базу
под мгновенным центром вращения данного диска относительно земли;
б) линии перемещения двух дисков пересекаются между собой под их
взаимным мгновенным центром вращения, поскольку последний можно
рассматривать как точку, принадлежащую одновременно обоим дискам;
в) угол поворота одному диску задается произвольно.
Так, например, на рис. 58 линия перемещения аЬ первого диска
проведена через точку а базы под мгновенным центром @,1) под произвольным
углом й!ф1. На эту прямую сносим мгновенный центр (J,2), получаем
точку Ь, через которую должна пройти линия перемещения второго диска, так
как линии перемещений первого и второго дисков должны пересекаться под
взаимным мгновенным центром. Кроме того, линия перемещения второго
диска должна пройти через точку с базы под центром B,0). Линия
перемещения второго диска будет be. Теперь на эту прямую be сносим мгновенный
центр B, 3), получаем точку d, через которую пройдет линия перемещения
третьего диска, так как она должна пересекаться с линией перемещения
второго диска под мгновенным центром {2, 3). Линия перемещения третьего
диска должна пройти также через точку е базы под мгновенным центром
C, 0). Прямая de есть линия перемещения третьего диска.
Таким образом, эпюра перемещений Др построена. Положительный знак
эпюры перемещений означает, что направление перемещения совпадает
с направлением силы Р = 1.
Величина перемещения Дз по направлению выключенной связи, которое
может быть поступательным или вращательным, определяется или
взаимным углом поворота двух дисков при устранении моментной связи, или
изменением расстояния между двумя точками приложения искомой реакции
к двум дискам при устранении стержня.
Если была устранена моментная связь, то взаимный угол поворота двух
дисков легко определяется по эпюре вертикальных перемещений дисков,
на которой поворот каждого диска определяется поворотом линии
вертикальных перемещений данного диска. Если же перемещение по
направлению устраненной связи есть изменение расстояния между двумя точками
приложения силы к двум дискам, то оно может быть определено по
следующим правилам.
64
а) Перемещение определяется, как сумма перемещений по направлению
каждой силы iS в отдельности по выражению
As= ±Pferf9fe ± Рт^фт. E.8)
где pfe и рп, — длины перпендикуляров, опущенных на направление силы 5
из мгновенных центров дисков k ц т, к которым приложена сила S,
относительно земли, а с^ф^ и d^>m — углы поворота дисков в заданном
перемещении.
б) Перемещение определяется, как перемещение силы S, приложенной
к одному какому-либо из двух дисков; другой диск предполагается
неподвижным:
As=±prf9ftms E.9)
где р — длина перпендикуляра, опущенного на направление силы S из
мгновенного центра вращения двух дисков k vi т, к которым приложены силы
S, а dfpkm — угол взаимного поворота этих дисков в заданном возможном
перемещении.
Второй прием определения перемещения проще первого. Им мы и будем
пользоваться.
Для определения знака перемещения As надо мысленно повернуть диск
вокруг того центра вращения, из которого был опущен перпендикуляр р
на соответствующий ему угол, взятый из эпюры вертикальных
перемещений, и по движению силы S на этом диске судить о знаке As. Перемещение
будет положительным, если оно направлено в сторону действия силы S.
Применительно к рис. 58 выражения E.8) и E.9) дают
Д5 = Р1Йф1—Ргсгфг; As=—P(''Фl+''ф2)•
Bтopoй прием позволяет просто определить по эпюре перемещений Др
масштаб линии влияния. Искомая реакция по абсолютной величине будет
равна единице, когда Ар — As, а это значит, что на эпюре перемещений Ар
надо найти ординату, равную As, и приравнять ее единице, что и определит
масштаб линии влияния. Для этого от точки пересечения линии
перемещения двух рассматриваемых дисков откладывается по горизонтали в любую
сторону длина перпендикуляра р (на рис. 58 вправо от точки Ь); отрезок,
заключенный между линиями перемещений рассматриваемых дисков по
вертикали, длиной, равной As, принимается за единицу. Иными словами, если ■
на эпюре перемещений найти ординату Ар, равную As, то в зависимости
от знака As получим на эпюре S = +1, что и определит масштаб линии
влияния со знаком.
Проследим все сказанное на примере (рис. 59).
Устраним связь k—т. Шарниры, соединяющие между собой диски,
определяют их мгновенные центры вращения. Такими мгновенными
центрами будут {(У, 1), B, 3), {3, 0). Диски 1 v. 2 соединены двумя стержнями, их
взаимный центр (/, 2) лежит на пересечении этих стержней. Мгновенный
центр {О, 2) по правилу трех мгновенных центров лежит на пересечении
прямых О—/, 1—2 и 3—О, 2—3. Все мгновенные центры найдены.
Строим эпюру вертикальных перемещений. Сначала произвольно через
точку а базы под мгновенным центром [О, 1) проводим прямую аЬ — линию
перемещения первого диска. Затем через точку Ь, лежащую на линии
перемещения первого диска под мгновенным центром (/, 2), и через точку с,
лежащую на базе под центром {О, 2), проводим прямую bd перемещения
второго диска, так как линия перемещения второго диска должна пересекаться
с линией перемещения первого диска подз1гновенным центром {I, 2) и с
базой эпюры под центром {О, 2). Аналогично перемещение третьего диска
определится прямой ef, проведенной через точку е на линии перемещения
второго диска под центром B, 5) и точку / базы под центром E, 0). Перемещение
грузовой линии между первым и вторым дисками, т. е. между узлами кап,
определится прямой gd, так как точка g определяет перемещение точки к
3 Зак. 763 65
Рис. 59
(к,т)
условно
Рис. 60
66
первого диска, а точка d—перемещение точки п второго диска. Таким
образом, эпюра перемещений Ар построена. Ниже базы она имеет
положительный знак, а выше — отрицательный. Величина As определится, если от *гоч-
ки b под центром (/, 2), на пересечении линий перемещения первого и
второго дисков, отложить по горизонтали (в любую сторону) длину
перпендикуляра р, опущенного из центра (/, 2) на направление реакции S и измерить
вертикальную ординату между линиями перемещения этих двух дисков.
Зту ординату следует принять.за единицу, что и будет служить масштабом
линии влияния при переходе к ней от эпюры перемещений Ар.
Знак линии влияния определяется следующим образом. Предположим,
что один из дисков, например первый, неподвижный. Тогда из эпюры
перемещений Ар видно, что второй диск по отношению к первому поворачивается
по часовой стрелке. Этот поворот создает положительное перемещение силы
S, приложенной ко второму поворачивающемуся -диску. Значит,
перемещение положительно, а тогда согласно E.7) знак линии влияния
противоположен знаку эпюры перемещений Ар.
Если два диска k п т, к которым приложены силы S, соединены двумя
параллельными стержнями (рис. 60), то их взаимный мгновенный центр
(k, т) лежит в бесконечности на пересечении этих стержней, а линии
вертикальных перемещений дисков параллельны. В этом случае перпендикуляр р
из мгновенного центра, находящегося в бесконечности, на прямую действия
сил S равен бесконечности, а взаимный угол поворота дисков dcpkm равен
нулю. Выражение E.9) даст неопределенность. Покажем, как ее раскрыть
применительно к схеме рис. 60. Для этого условно предположим, что
мгновенный центр {k, т) лежит не в бесконечности, а где-то справа, на
продолжении одного из параллельных стержней, соединяющих диски
(например, на верхнем), на некотором произвольном расстоянии а от точки
пересечения С силы S с этим стержнем. Таким образом, р =' а sin у. При таком
предположении линии перемещений дисков должны пересекаться под
условным центром. Проведем условную линию перемещения одного из
дисков, например диска т, так, чтобы ордината А под точкой С не изменялась,
а прямая пересекалась с линией перемещений диска k под условным центром.
Из подобия треугольников получаем -
Р
Д5 = Д
а cos а
Это выражение справедливо при любом значении а, в том числе и при
а = оо. Следовательно,
sin V
Дс = Д -. E.9а)
•^ cosa ^ '
Если выключаемая из системы связь заменяется моментами М, например
при введении шарнира, то перемещение по направлению моментов As
равно взаимному углу поворота дисков, к которым приложены моменты:
i!^S = ±'i'fk±dfem=±d(fkm- E.96)
Способ мгновенных центров относительно прост лишь в тех случаях,
когда определение мгновенных центров вращения дисков, по которым
проходит грузовая линия, не представляет затруднений.
2. Способ изображающих точек
В способе изображающих точек работы единичных сил Р=1 и S = l,
равные перемещениям Ар и As, заменяются соответственно
пропорциональными моментами этих сил относительно изображений точек их приложения.
Поэтому на основе выражения D.3) будем иметь
Мр
а. в. S= zr- . E-10)
• Ms
3* 67
где Мр — момент вертикального груза Я = 1 относительно изображения
текущей точки его приложения на грузовой линии, а Ms — момент от
единичных реакций S = 1 относительно изображений своих точек приложения.
Положительные моменты — по часовой стрелке.
Моменты Мр численно равны длинам перпендикуляров, опущенных
из изображающих точек грузовой линии на вертикали, проходящие через
исходные точки. Перпендикуляры легко находятся на плане изображающих
точек. Так же определяется и величина Ms.
Применение кинематического метода будет показано далее в различных
главах, где попутно будут выяснены и его детали.
Кинематический метод позволяет в сложных случаях находить формы
линии влияния на модели системы с выключенной связью, л. в. усилия
которой определяется.
§ 32. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ПРИ УЗЛОВОЙ ПЕРЕДАЧЕ НАГРУЗКИ
При расчете сооружений приходится встречаться со случаями, когда
подвижная нагрузка приложена не к основной части системы, а к дополни-
те^1ьным чайям, передающим давление на основную часть только в
определенных точках (узлах) а, Ь, с, d (рис. 61, а). Груз Р = \, расположенный
на диске 1—2, распределяется по закону рычага на стойки /—а и 2—Ь.
Давление на основную часть сооружения передается в точках а я Ь. Такая
передача нагрузки носит название узловой.
Учет узловой передачи нагрузки при построении линий влияния
проводится на основании следующих рассуждений. Пусть построена линия
влияния какой-нибудь величины 5 без учета узловой передачи нагрузки. Для
68
общности рассуждений предположим, что линия влияния криволинейна,
например, для прогиба шарнира С. Ее ординаты под узлами а и 6 пусть
будут у„ и уь- При грузе Р = 1, расположенном на диске /—2, давления
на стойки /—а и 2—b соответственно равны*
d—г _£_
По свойству линий влияния
d — Z 2
8=1у = ЯаУа+ЯьУЬ=— Уа+—ГУЬ.
I а а
Это выражение определяет прямую, проходящую через ординаты г/„
и t/i, линии влияния 5, построенной для непосредственного действия
нагрузки. Отсюда вытекает правило: для построения линии влияния при узловой
передаче нагрузки необходимо построить ее сначала без учета узловой
передачи нагрузки, при непосредственном ее действии, а затем снести на нее узлы
передачи нагрузки и соседние точки соединить прямьсми отрезками. По
этому правилу и произведено исправление линии влияния на рис. 61, б.
§ 33. ФУНКЦИИ влияния и их ПЕРВЫЕ ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Функцией влияния будем называть функцию нескольких переменных»
определяющую в общем виде изменение какой-либо величины в сооружении-
не только в зависимости от положения единичного подвижного груза и
размеров сооружений, но и от места определяемой величины. Пусть такая
функция будет иметь вид
R = t{z, S),
где Z — координата подвижного груза Р = 1;
S — координата места изучаемой величины.
Рассмотрим некоторые частные производные.
Частная производная по координате груза. Покажем, что частная
производная от функции влияния какой-нибудь величины по координате z
груза определит новую функцию влияния той же величины, но только уже
не от подвижного груза Р = 1, а от подвижного внешнего сосредоточенного
момента М = I.
Для доказательства сосредоточенный момент представим в виде двух
вертикальных сил Р с плечом Дг с таким расчетом, чтобы М = РДг. По
свойству линии влияния определяемая величина от этих двух сил, направленных
в разные стороны, равна:
Так как Р = т- > то
Дг '
S^ = PI,(z + Az, s)-P[(z, s).
..,/(гЧ-Дг, s)-f{z, s)
^м = М
Переходя к пределу, получим
Л1 dz oz oz
Значит действительно частная производная функция влияния по
координате подвижного груза дает нам новую функцию влияния от подвижного
момента УИ = 1, положение которого определяется той же координатой, что
и положение груза.
69
Частная производная по координате сечения. Частную производную
по координате сечения можно представлять как новую функцию влияния
Я ^
новой величины -к- о'^ т^ого же подвижного груза Я = 1. Иногда этой новой
dS
величине соответствуе'г реальный образ, если ^ имеет физический смысл.
Так, например, если S = f (г, s) представляет собой функцию влияния
прогиба простой балки, то -^ будет представлять функцию влияния угла
поворота от того же подвижного груза Я = 1. Если же S будет представлять
собой функцию влияния изгибающего момента М в балке , то -^ есть функ-
• ция влияния поперечной силы Q.
§ 34. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИССЛЕДУЕМЫХ ВЕЛИЧИН
ОТ НАГРУЗОК РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ПО ЛИНИЯМ ВЛИЯНИЯ
Для общности рассуждений положим, что линия влияния некоторой
величины 5 криволинейна (рис. 62). Пусть ее уравнение будет у — f (г)-
Рассмотрим нагрузки различного вида.
Сосредоточенные силы (рис. 62, а). При нескольких силах будем иметь
S^XPtyt.
E.11)
Значит величина S от сосредоточенных грузов определяется как сумма
произведений сил на ординаты линии влияния, под ними расположенные.
Если в точке приложения какой-нибудь силы Р, линия влияния имеет
разрыв, то олределяемая величина будет иметь два значения в
зависимости от того, где рассматривать эту силу, левее или правее разрыва.
Распределенная нагрузка (рис. 62, б). Рассматривая элементарную
силу q [г] dz как сосредоточенную на основании E.И), получим dS =
= q {z) dz • у. Полная величина 5 равна:
S=jg(z)ydz. E.12)
а
Если q (г) = q = const, то
6
а
где «а — площадь фигуры, ограниченной
линией влияния, на участке действия
нагрузки q, которую далее будем
называть просто площадью линии
влияния.
Следовательно, величина S от равномерно
распределенной нагрузки определяется
произведением интенсивности нагрузки q на площадь
линии влияния, расположенную под нагрузкой.
Моментная нагрузка (рис. 62, в). Действие
момента М в точке с координатой z заменим
двумя вертикальными силами Р с плечом Дг.
Величина 5 от них по E.П) равна:
Рис. 62 S = Р/ B + Лг)—Р/ (Z).
70
Так как Р— , то S = M
Дг
Переходя к пределу, получим
S = Mi' (г).
f(z + Az)-f{z)
Дг
E.13)
Таким образом, величина S от внешнего >
момента М равна произведению момента l£
на тангенс угла наклона касательной к ли- ~-
нии влияния в точке приложения момента.
При нескольких моментах
^
V
ff(z)dz
'
'
' '
г
м^
i^K
п
о
'
.dz
^й
■ '
' 1
я
9(^)
S = 2Mi/'(zj).
E.14)
Рис. 63
Если в точке приложения внешнего момента М линия влияния имеет
разрыв, то определяемая величина будет зависеть от того, где приложен
момент М — левее или правее разрыва.
§ 35. СВОЙСТВО ПРЯМОГО УЧАСТКА ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ
Докажем, что при определении величины S нагрузка, расположенная
на прямом участке линии влияния эгйой величины, может быть заменена
равнодействующей R (рис. 63). Для общности предположим нагрузку
распределенной. Согласно E.12) исходя из простых геометрических
соображений можем написать ^
ь ь
■5=J ? (г) dzy^tga^g (г) dzz.
Так как ^ q (г) йгг = Rzц, будем иметь,
а
E.15)
что и требовалось доказать.
Из приведенного доказательства также следует, что интеграл
произведения двух функций, одна из которых линейная, равен произведению
площади графика одной функции на ординату графика прямолинейной функции,
взятую под центром тяжести первой фигуры.
§ 36. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ИЗМЕНЕНИЯ ИЗУЧАЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ
Совместное определение расчетного положения подвижной нагрузки и
расчетной величины Spa^q наиболее полно производится путем построения
графика изменения изучаемой величины S при прохождении по сооружению
всей подвижной нагрузки. В тех случаях, когда применим принцип
независимости действия сил, график изменения величины S может быть -построен
при помощи линии влияния этой величины.
Он строится на основе таких соображений. Влияние на величину S
первого входящего на сооружение груза Р^ может быть представлено
линией влияния S, умноженной на величину этого груза. Влияние
второго груза Р^ начнется тогда, когда груз Р^ уже прошел
расстояние С2, отделяющее его от второго груза, ^то влияние груза Pg
также может быть представлено линией влияния S, умноженной на Ра.
но сдвинутой по отношению к графику влияния груза Pi на величину Cj
(рис. 64, б). Влияние третьего груза Р^ начнется тогда, когда первый груз
пройдет расстояние Сд до третьего груза. И оно может быть представлено ли-
71
нией влияния S, умноженной на Рз и сдвинутой по отношению к графику
влияния груза Pi на величину с^, и т. д.
Влияние всех грузов равно сумме влияний каждого груза в отдельности,
что и определит график изменения величины 5. Таким образом, график
изменения величины 5 получается суммированием линий влияния S,
умноженных на величину каждого груза Pi и сдвинутых от первой линии влияния на
расстояние Cj этого груза Pt от первого. На рис. 64, а, б, в показано
построение графика 5 от трех грузов при треугольной линии влияния.
Более просто для полигональных линий влияния окончательный
график 5 можно получить следующим образом. Любую полигональную
линию влияния ' 5 всегда можно условно представить как эпюру моментов
в простой балке большой длины от самоуравновешенной группы сил, которая
легко определяется из линии влияния. Для треугольной линии влияния
(рис. 64, а) такая самоуравновешенная групп£ сил представлена на
рис. 64, г. Обозначим эту группу сил символом Р. После этого график 5
(рис. 64, в) можно рассматривать как сумму эпюр, каждая из которых
строится от группу сил Р, последовательно умноженной на величину каждого
груза Pi и каждый раз сдвинутой по ходу нагрузки относительно первой
эпюры от грузов PiP на рассто
о)
Г
Сг
■X
^20нН\ ^2^г0хН \Рг/ОкИ^д
\^6ижение нагрузки
Группа Р
\f \Ю fPP,)
fjlPU
Рис. 64
яние Ci каждого груза Pi от
первого (рис. 64, б). Далее, вместо
суммирования отдельных эпюр
удобнее получить
окончательную эпюру моментов (график
S) как эпюру моментов от
самоуравновешенных групп сил Р,
умноженных на величину
каждого груза Pi и сдвинутых
относительно первой группы сил на
величину Ci (рис. 64, д). Все эти
силы, действующие на балку
большой длины и определяющие
эпюру моментов, представлены
на рис. 63, е.
При большом количестве
подвижных грузов полное
построение графика 5 сложно. В таких
случаях следует ограничиться
построением графика в зонах
экстремальных значений 5, где
эпюра поперечных сил от
действующей на балку
самоуравновешенной нагрузки типа
изображенной на рис. 64, е будет
изменять знак.
Здесь и далее следует иметь
в виду, что если подвижная
нагрузка может проходить по
сооружению в двух направлениях,
как, например, автомобили,
поезда и другие виды подвижных
нагрузок по мостам, то
необходимо определять два раза
расчетное положение нагрузки и со-
ответстаующие им расчетные
значения 5рас, в зависимости от
направления движения нагрузки
72
для обоих знаков величины 5, если они возможны. Из двух значений 5рас,
для каждого знака величины 5 выбирается наибольшее значение по
абсолютной величине. В тех случаях, когда очевидно, что только при одном
направлении движения нагрузки будет наибольшая по абсолютному значению
величина того или иного знака, то надобность в определении 5расч по другому
направлению отпадает. Направление движения нагрузки не играет роли при
симметричной загружаемой части линии влияния и при любом ее виде,
если грузы одинаковы по величине и расположены на равных расстояниях
друг от друга.
§ 37. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСЧЕТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
ПО НЕКОТОРЫМ НЕПРЕРЫВНЫМ ЛИНИЯМ ВЛИЯНИЯ
Первоочередная задача при определении Spa,,, от подвижной нагрузки
есть задача нахождения ее расчетного положения. Наиболее полно эта
задача может быть решена путем построения графика изменения величины S
с применением л. в. (см. § 36). Но такой путь громоздок.
Поскольку при движении нагрузки наибольшее и наименьшее значения
величины S ~ f (z) всегда совпадают с точками максимума и минимума,
а их может быть несколько, то расчетное положение надо искать среди тех
положений, которые дают эти максимумы и минимумы. Следовательно,
определение расчетного положения подвижной нагрузки прежде всего
связано с нахождением таких ее положений, при которых S — f (z) достигает
экстремальных значений.
Если функция 5 = / (г), определяемая по линии влияния, в которой
координата 2 фиксирует положение нагрузки на сооружении, непрерывна,
с непрерывной первой производной, то экстремальные значения этой
функции, среди которых будет и 5расч. находятся обычным путем. Для этого необ-
ходимо приравнять производную -^- нулю. Корни полученного уравнения Zt
дадут положения нагрузки, при которых функция 5 достигает экстремальных
значений. Среди них и будет 5расч- Но такие функции встречаются
относительно редко. Чаще функции 5 = / (г) разрывные или с разрывной первой
производной, что зависит от характера подвижной нагрузки и формы линии
влияния S. В таких случаях максимумы и минимумы определяются
условиями E.3) — E.6).
Разнообразие подвижных нагрузок и форм линий влияния не позволяет
дать единых общих правил определения расчетного положения более
конкретных, чем указанные условия. Поэтому возникает необходимость
составления таких более конкретных правил для некоторых, хотя бы и частных,
видов нагрузок при частных видах линий влияния, которые часто
встречаются в практике. Рассмотрим некоторые из них.
1. Полигональная линия влияния (рис. 65)
Рассмотрим сначала некоторую полигональную линию влияния одного
положительного знака и будем по ней определять расчетное положение
подвижной нагрузки, состоящей из сосредоточенных сил при неизменных
между ними расстояниях. Рассмотрим случайное положение нагрузки, при
котором ни один из грузов не расположен над какой-нибудь вершиной линии
влияния. В этом случае искомая величина 5 равна:
S = XRiyt. E.16)
где Ri — равнодействующая сила на i-м участке.
Будем считать положительное направление оси г по ходу подвижной
нагрузки, в данном случае вправо.
Сдвигая нагрузку вправо на величину dz, получим приращение S:
dS = I,Ridyi = I,Rilgaidz,
73
откуда следует
aS
dz
= 2/?,tgaf.
E.17)
Следовательно, до тех пор, пока при движении нагрузки не произойдет
изменения значений Я„ производная ^ будет величиной постоянной,
а сама функция 5 будет возрастать или убывать по линейному закону. Это
значит что график изменения 5 будет многоугольным в котором
экстремальные значения определяются условиями E.3) и {5А) и в общем случае
. связаны с изменением знака ^. Изменение же знака ^ возможно, как это
нипно из Г5 17) только при изменении хотя бы одной величины Rt,
которое в свою очередь возможно т о л ь к о при переходе хотя бы одного груза из
одного участка в соседний. А это сопряжено с переходом груза через вершину
линии влияния. Значит, экстремальные значения S могут быть только
тогда, когда хотя бы один какой-нибудь груз расположен над какой-либо
вершиной линии влияния. ,^^ сг-г. J3 =, -гпт rnv4
Такой ГРУЗ будем называть критическим и обозначать его f „р, а тот груз
из критических, который одновременно определяет и расчетное положение
нагоузки — расчетно-критическим и обозначать его /^«р. расч- часто (но
не всегда!) критический груз бывает единственным, тогда он является и
^^■Х™аж?м"™тГесТи критический груз переходит вбшуклую вершину
линии влияния независимо от ее знака, то может быть только максимум абсо-
л отного значения величины, а если-невыпуклую, — то минимум.
Для доказательства рассмотрим линию влияния с положительным
знаком На выпуклой вершине приращение тангенса отрицательно, Atga < U,
а на невыпуклой — положительно, Atga > 0. ^^
При переходе груза через выпуклую вершину приращение А ^ согласно
E.17) равно:
A^=A2/?;tgai=PKp(tgaapaB-fgaaeB) = PKpAtg«<0.
dz
что может быть только при максимуме 5. ^^
При переходе груза через невьшуклую вершину приращение А ^ равно:
dS
dz
д JL = AS/?i tg аг = Ркр (tg «прав- tg «лев) = Ркр А tg а > О,
ДВигкение
нагрузки
Рис. 65
что может быть только при
минимуме 5.
Все выводы сохраняются,
если одновременно несколько
грузов переходит через
выпуклые вершины, что может
соответствовать максимуму,
или одновременно несколько
грузов переходит через не-
выпуклые вершины, что
может соответствовать
минимуму. Если одновременно по
одному или по нескольку
грузов переходит выпуклые и не-
выпуклые вершины, то
может быть максимум или
минимум.
74
к аналогичным выводам придем, если рассмотрим линию влияния
с отрицательным знаком.
Значит, расчетное положение нагрузки на однозначной линии влияния,
определяющее максимум искомой величины по абсолютному значению, может
быть только при положении хотя бы одного какого-нибудь груза над какой-
либо выпуклой вершиной линии влияния независимо от ее знака.
Как следствие этого — грузы, расположенные в начале и конце линии
влияния, только над ее нулевыми вершинами, при случайном размещении
остальных грузов не могут быть расчетно-критическими.
Мы получили правило, хотя и не совсем совершенное, поскольку оно не
дает еще указания, какой груз и над какой выпуклой вершиной должен
располагаться, чтобы положение нагрузки было расчетным, но все же
весьма полезное для определения расчетного положения подвижной нагрузки.
Кроме того, следует иметь в виду, что это правило определяет вообще
максимумы и минимумы, которые еще могут и не быть расчетными. Правило
становится более определенным для треугольной линии влияния, что будет
рассмотрено далее. Здесь же вопрос о расчетном положении нагрузки решается
путем попыток. Выясняются все положения нагрузки, при которых будут
максимумы S, если линия влияния положительна, и минимумы S, езли
Линия влияния отрицательна. Наличие максимума или минимума
устанавливается по следующему правилу. „
По выражению E.17) определяется два раза величина -г-, один раз,
когда груз, расположенный над вершиной линии влияния, относится к
равнодействующей заднего по ходу нагрузки участка линии влияния
(смещение нагрузки назад), а другой, когда он относится к равнодействующей
переднего по ходу нагрузки участка (смещение нагрузки вперед). Если
хотя бы одно экстремальное условие при определении максимума E.3) или
одно условие E.4) при определении минимума удовлетворено, это значит,
что найден максимум или минимум функции 5 = / (г). Если в исследуемом
положении при отыскании максимума в обоих случаях -^ > О, а при отыска-
НИИ минимума -г- <10, то максимум или минимум не достигнут, выбранный
груз над вершиной линии влияния не может быть критическим и нагрузку
следует двигать вперед. Если же при отыскании максимума -j- ■< О, а при
отыскании минимума -т- > О, te обоих случаях, то максимум или минимум
пройден, выбранный груз также не может быть критическим и нагрузку
следует двигать назад. И так до тех пор, пока не будут удовлетворены
экстремальные условия E.3) или E.4).
В случаях, когда кроме критического груза над какой-либо вершиной
линии влияния окажется один или сразу оба груза Рдцв и Рдрав над
нулевыми ординатами линии влияния, то при использовании неравенств E.3)
или E.4) эти грузы должны быть по очереди включаемы в выражение E.17).
При смещении нагрузки влево включается груз Рцрав. а при смещении ее
вправо — груз Рдав-
Если наряду с сосредоточенными нагрузками имеются нагрузки
распределенные, то определение положения нагрузки для максимумов и
минимумов S можно проводить по изложенному выше правилу, заменяя
распределенную нагрузку бесконечно большим количеством бесконечно малых
сосредоточенных грузов. При этом следует иметь в виду, что любой
бесконечно малый сосредоточенный груз, расположенный над какой-нибудь
вершиной линии влияния, при любом положении остальных сил может стать
критическим. Если критическим грузом будет бесконечно малый груз,
выделенный из распределенной нагрузки, и если при этом нет грузов
конечной величины, расположенных над какими-нибудь вершинами линии
влияния, то достаточно, чтобы х- = О- '
75
Вопрос о том, какой из сосредоточенных грузов будет критическим —
конечной или бесконечно малой величины, решается путем попыток. Для
этого рекомендуется схему подвижной нагрузки начертить на кальке в том
же масштабе по длине, в каком построена линия влияния, наложить ее на
dS
линию влияния, а затем производить смещение нагрузки и подсчеты -j-
по E.17). Полезно при этом иметь под линией влияния график тангенсов
углов наклона ее прямолинейных участков.
Перейдем теперь к рассмотрению полигональных линий влияния с двумя
знаками. Если подвижная нагрузка состоит из отдельных разъединяемых
нагрузок, например автомобилей, трамваев, троллейбусов и т. д. с заданными
минимальными расстояниями между ними, то она может быть размещена
на сооружении с разрывами в виде частей, содержащих целое число
независимых объектов нагрузки. В этом случае при определении + S
необходимо расположить нагрузку на всех положительных участках линии
влияния, а при определении — 5 — на всех ее отрицательных участках. При
этом каждый участок линии влияния рассматривается как однозначный
и к нему применяется указанное выше правило загружения. Если при этом
часть грузов окажется на соседнем участке линии влияния другого знака,
то при определении 5 они должны быть учтены или исключены из
рассмотрения, если это возможно по типу нагрузки.
I 2. Треугольная линия влияния (рис. 66)
В этом частном, но часто встречающемся случае, когда загружаемая
часть линии влияния имеет форму треугольника, условие положения
нагрузки при максимуме S можно выразить в более простой форме.
Рассмотрим сначала подвижную нагрузку, состоящую из
сосредоточенных сил Р. Пусть она установлена в положение, при котором будет
-5макс. Для общности прсдположим, ЧТО кроме критического груза над
средней вершиной линии влияния имеются грузы P„gg и Р^рав на ее концах.
Груз, расположенный над средней вершиной, обозначим Р^р- Все грузы,
расположенные на левом участке, за исключением Рде^ и Р^р» заменены
общей равнодействующей /?дев. ^ на правом участке, за исключением Рцрав и
/*кр — равнодействующей Рарав- Движение нагрузки для вывода формул
предполагаем справа налево.
Согласно экстремальному условию E.3), пока груз Р„р не дошел до
вершины линии влияния, должно быть
(RnpaB + Ркр) *ба1 + (^пев + ^'лев) tgtta^O,
а когда он перешел вершину, то
(/^прав + ^'прав) tg «1 +(^пев+ Ркр) tg аа^О.
Так как tga^ = -^ , а tga^ == — -^,
то эти неравенства можно записать так:
°лев"ЬРлев <^драв + ^кр °лрв-ЬРкР > ^прав+Рправ ■ ,^ ,о^
< ; , = ; . E-18)
а "* I — а а > I—а
Ил\ же можно представить в более простом виде:
E.19)
< о
RsieB + Рлев < ~J~ i^Pi-j- Pneв)^
^лев + ^'кр = ~ B!Pj+ Рцрав).
где 2Рг = Р^ев + Pkv+ ^прав (без крайних грузов).
Формулы E.19) справедливы и при движении нагрузки слева направо.
Однако в этом случае иногда удобнее следующие формулы, полученные
таким же путем:
76
,^1 — a
"прав + Ркр^ T BР{ + Рлев)'
E.19')
Если наряду с
сосредоточенными нагрузками будут
распределенные нагрузки, то, как
уже отмечалось, максимум 5
может быть, когда ни один
сосредоточенный груз не будет над
какой-нибудь вершиной линии
влияния. В этом случае
необходимо, чтобы
движение
нагрузки
")
С
Рис. 66
RneB— . SPf.
E.20)
Если при распределенных
нагрузках сосредоточенные силы
окажутся над нулевыми
крайними ординатами линии вли-
б)
яния, TO расчетное положение | ' -l-"^<f j[~~
HaifpysKH должно удовлетворять лл «л'ям ^ ® ^
условиям E.19) при P^j, = О
Все полученные выводы
справедливы и для 5мин, если линия
влияния 5 отрицательна.
Рис. 67
Пример 6. Определить расчетное положение паровоза по линии влияния (рис. 67)
и расчетную величину S.
Движение нагрузки справа налево (рис. 67, а). Длина линии влияния больше
расстояния между первым и последним грузом. Поэтому предполагаем, что расчетное
положение нагрузки будет при всех грузах на линии влияния. Подсчитываем
некоторые величины:
а 4,5
SPi = 210-5+180-4= 177а кН, -—2Рг = —ГГ~ 1770 = 442,5 кН.
/ 18
По выражению E.19) ^?лeв + Ркр > 442,5 кН; /?лев < 442,5 кН.
Этим неравенствам удовлетворим, если примем третий груз критическим. При этом
420 + 220 > 442,5; 420 < 442,5. Но когда мы расположим нагрузку на линии
влияния, окажется, что последний груз выйдет за ее пределы, так как расстояние от
вершины линии влияния до конца составляет 13,5 м, а расстояние от третьего груза до
последнего— 13,9 м. Необходим пересчет.
а 4,5 '
Без последнего груза 2Ре = 1590 кН, J" ^^J = Те" 1590=397,5 «Н. Третий груз
уже не может быть критическим. Им будет второй груз. При этом /?лев = 210 кН.
При втором грузе, расположенном над вершиной линии влияния, предпоследний
груз окажется за ее пределами. Необходим новый пересчет.
Без предпоследнего груза:
а 4,5
2:Рг=1410кН, —-2Рг=--^ 1410=352,5 кН.
/ 18
Второй груз остается критическим.
Вычисляем S:
S=2Pi«/i=^[210B,9-|-4,5)]4- -^[210A1,9 + 10.3-|-8,7) +
-f 180E,7 + 4,1)] = 3228,75 кН-1у].
Движение нагрузки слева направо (рис. 67, б). При всех грузах на линии влия-
а
ПИЯ 2Рг = 1770 кН; -T-SPj = 442,5 кН. Критическим грузом может быть третий груз
77
тендера от его конца. При этом 2 ■ 180 •< 442,5, а 2 » 180 + 180 > 442,5, и первый
груз тендера окажется за пределами линии влияния, так как 6,1 > 4,5. Проведем
пересчет без этого груза. Второй груз тендера располагается над нулевой ординатой.
Поэтому Рлев = 180 кН, S Pj = 1410 кН, i?neB = 0. По выражению E.19) получим:
4,5 4,5
0+180 <-7—1410; 0+180<-7Г-A410+180).
18 18
В обоих случаях левая часть неравенства оказалась меньше правой. Значит,
максимум пройден, нагрузку следует двигать назад. Помещаем четвертый груз от конца
а
тендера над вершиной. При этом SPj = 1410 кН, -г-2Р1 = 352,5 кН, ^?лeв = 180 кН,
Ркр = 180 кН. По выражению E.19) A80 + 180> > 352,5; A80 + 0) < 352,5.
Следовательно, четвертый груз критический: j
S = —-[180B,9+4,5)]-!- —[210D,1+ 5,7-1-7.3+8,9+10,5)] = 2915,25 kH-[i/].
4 4
Иных расчетных максимумов в этом случае нет. Из двух максимумов выбираем
наибольший, он и будет расчетной величиной 5расч ~ 3228,75 кН . [у].
3. Криволинейная гладкая линия влияния
Величина 5 при криволинейной гладкой линии влияния даже при
сосредоточенных грузах определяется в общем виде непрерывной функцией
с непрерывной первой производной. Поэтому задача сведется к нахождению
максимума или минимума этой функции. Для этого необходимо: 1) составить
аналитическое выражение 5 как функцию текущей координаты одного из
грузов от нагрузки, помещенной на линии влияния; 2) взять первую
производную и определить г», при котором она обращается в нуль; 3) убедиться
в том, что все грузы при Zq остаются в пределах линии влияния; 4) составить
выражение второй прбизводной и по его знаку при z = Zo судить о наличии
максимума или минимума; 5) вычислить расчетное значение З^^^ч.
Пример 7j Определить расчетное положение нагрузки по криволинейной линии
влияния и расчетное значение S (рис. 68).
Уравнение линии влияния у = z — г'/Зб.
Составляем выражение S:
S=ZB)=10(^z-—j+20j^(z-2)- ^ ' '
Дифференцируя, получаем
dS —30 га+ 80?+ 280
dz ~ 12
отсюда находим 2о = 14 : 3 м; ,
Г 14 1 / 14 \П „ Г/ 14 „\ \ 3 / 1 4960 „ , ,
Spao,= 10[ —-^( —)J+20[(—-2]—-^^ J = -^kH.[,].
t
§ 38. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСЧЕТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
ПО НЕКОТОРЫМ РАЗРЫВНЫМ ЛИНИЯМ ВЛИЯНИЯ
Если линия влияния имеет разрыв, то функция S = f (z) при
сосредоточенных грузах разрывна, так как каждому сосредоточенному грузу,
проходящему разрыв линии влияния, соответствуют два значения величины 5.
Для того, чтобы проходящий через разрыв груз был критическим, а их может
быть много, должны быть выполнены условия E.5) и E.6). Поскольку нас
интересует наибольшая по абсолютному значению величина 5 независимо от
ее знака, будем удовлетворять условиям E.5), которые запишем так:
при Д5>0 = S^?jtgai <0 (после перехода критического
dz груза через разрыв); I .,. „.,
при Д5<0 = 2/?itgaj>0 (до перехода критического
dz груза через разрыв).
78
36
о.
Рис. 68
При вычислении 5„акс и 5мин критиче- '^
ский груз следует считать расположенным
над большей по абсолютной величине
ординатой.
Если линия влияния имеет форму
прямоугольного треугольника (рис. 69), то '\!f
при всякой величине 2Pj одно из условий
E.21) выполняется. А это значит, что
каждый груз над вершиной линии влияния
будет критическим. Расчетное положение нагрузки будет при том
критическом грузе, который определит наибольшее значение из всех 5мгкс-
Рассмотрим теперь треугольную линию влияния с разрывом в вершине.
Правую ординату будем всегда обозначать с, а левую — с гЬ Ас (рис. 70).
Для вывода условий максимума будем считать движение нагрузки справа
"налево.
Левая ордината больше правой (Дс > 0). По E.21)
, dS
dz
■ — (^црав + Рправ) tga + (^?лeв + Pкp)tgP<0.
Покажем последовательные преобразования этого выражения:
с
(°прав + ^прав)
1~а
с -4-Дс
-(^?лев + Ркр) <0;
Добавляя равные величины в левой и правой частях, получим
^прав-Ь^лев + ^кр)*
откуда
"лев-Ь^кр >
1+A—а)-
Дс
BPj-bf прав)»
E.22>
где IPi = 7?лев + /'кр + ^прав (беЗ КраЙНИХ rpjiSOB).
Такое же выражение E.22) получим при движении нагрузки слева
направо.
Левая ордината меньше правой (Дс < 0). По E.21)
dS
— = (/?прав+Ркр) tga-f (^?лев + Ялев) tgP > 0.
Одно из промежуточных выражений при преобразовании
(^лев + Рлев)(^ —а) И- "^ j+ а (^^левЧ-Рлев) < а (/^прав + Ркр + ^левЧ-Рлев).
^npaS
Рис. 69
Рис. 70
79
откуда будем иметь
■^лев~Ь^'лев ■<
l-(l-a)-
Ас
BРг + Рлев).
E.23)
Это выражение также справедливо при движении груза слева направо.
Еще раз напомним, что критических грузов, определяемых по E.22) и
E.23), может быть несколько. Неравенство E.22) при движении грузов
справа налево определяет лишь первый из критических грузов, а неравенство
E.23) — последний из них.
§ 39. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСЧЕТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОМЕРНО
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ ПО ЛЮБЫМ
ОДНОЗНАЧНЫМ ЛИНИЯМ ВЛИЯНИЯ
Если равномерная нагрузка непрерывна и ее длина не меньше длины
линии влияния, то вопрос о расчетном положении нагрузки решается просто.
В этом случае необходимо загрузить всю линию влияния и расчетную
величину 5расч определить по формуле
5расч = 9», E.24)
где (О — полная площади линии влияния.
Если равномерная нагрузка непрерывна, но ее длина меньше длины
линии влияния (рис. 71), то критическое положение нагрузки опр~еделяется
на основе следующих рассуждений. Величина 5 при случайном положении
нагрузки равна:
При любых линиях влияния эта функция непрерывна с непрерывной
первой производной. Поэтому
dS
dz
■ = q-
da
dz
= 0.
da>
Следовательно, критическое положение нагрузки будет, когда ^ = 0.
При смещении нагрузки на величину dz имеем
do) = -f i/прав dz — у „ев dz = 0,
откуда
^/прав = 1/лев- E.25)
Итак, критическое положение
куска равномерной нагрузки будет и}
такое, при котором ординаты линии
влияния под левым и правым его
концами равны между собой.
Рис. 72
80
Если нагрузка состоит из отдельных кусков равномерной
распределенной нагрузки (рис. 72, а) различной интенсивности при общей длине,
меньшей длины линии влияния, то
откуда
dS=9da = S9i (i/fP''»-i/f=) dz = Q,
Xqiy^^^^Hqtyf'
E.26>
Критическое положение нагрузки в этом случае определяется тем, что-
сумма произведений ординат линии влияния под левыми концами
отдельных кусков нагрузки на интенсивность нагрузки равняется сумме
произведений ординат под празьши концами на интенсивность нагрузки. Это
правило остается справедливым и в том случае, когда один или два куска
равномерной нагрузки по концам линии влияния не полностью помещаются
на линии влияния (рис. 72, б). В этом случае одну из ординат не
умещающейся на линии влияния нагрузки следует принимать равной нулю.
§ 40. ПОНЯТИЕ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ НАГРУЗКЕ
Эквивалентной нагрузкой для данной линии влияния называется такая
равномерная нагрузка, распределенная по всей ее длине, которая дает
расчетное значение 5расч« такое же, как и заменяемая ею нагрузка;
■^расч — 9экв W,
где со — площадь линии влияния.
Из выражения E.27) следует
-"расч
E.27>
E.28).
По этой формуле определяется эквивалентная нагрузка, заменяющая
заданную нагрузку.
Для определения 5расч от заменяемой нагрузки пользуются ранее
изложенными правилами.
На первый взгляд кажется, что здесь мы имеем порочный круг.
Эквивалентная нагрузка нам нужна для определения Sp^cq, а сама она
определяется через эту же величину. Однако это не так, поскольку для
пропорциональных линий влияния эквивалентная нагрузка одинакова.
Пропорциональными линиями влияния называются такие, у которых при одинаковых,
длинах отношения соответственных ординат постоянны (рис. 73). Докажем,
что для них эквивалентная нагрузка одинакова. Пусть по первой линии
влияния произведена установка нагрузки* в расчетное положение и
определена величина S
расч*
Эквивалентная - нагрузка равна:
'?экв =
-"расч
-"расч
1с
2
Для второй линии влияния
установка нагрузки в расчетное
положение не изменится, так как
тангенсы углов наклона ее
линий пропорциональны тангенсам
первой линии вЛи'яния.
Расчетная величина 5расч возрастает
в k раз. Но во столько же раз
Рис. 73
81
возрастет и площадь линии влияния, и, следовательно, эквивалентная
нагрузка не изменится.
Таким образом, для всех пропорциональных линий влияния необходимо
лишь один раз определить эквивалентную нагрузку, с тем чтобы ее
применять к остальным. Эквивалентные нагрузки позволяют определять
расчетную величину путем умножения ее на площадь линии влияния.
Эквивалентные нагрузки для типовых подвижных нагрузок и линий влия,ния обычно
бывают представлены таблицами и графиками, пользование которыми не
представляет затруднений. Однако не следует забывать, что данная
эквивалентная нагрузка применима только для пропорциональных линий
влияния того вида, на котором она была установлена.
§ 41. МАТРИЦЫ ВЛИЯНИЯ
Пусть на систему действуют силы Р^, Р^, ..., Рп (рис. 74, а), и требуется
найти значения некоторой величины (изгибающего момента, продольной
или поперечной силы, перемещения и т. д.) в местах приложения сил, когда
применим принцип независимости действия сил.
Для этой цели может служить матрица влияния, преобразующая вектор
сил Pj, Pg, ..., Pa в вектор значений величины S, для которой она составлена,
имеющая вид:
■^11 'Sl2 • • • Sii . . . Sjn
■Sal '^22 • • • S^i ,., S2n
S =
Sfel Sft2 .
Ski
5ftn
■Jnl Sn2- • . Sjj
E.29)
где S;ft ■
= 1. 2,
- значение величины S в месте, определяемом значком / (i —
..., п) от единичной силы Р^, приложенной в месте действия этой
силы, определяемом значком k {k =
= 1,2, ..., п) (рис. 74, б).
Всякий /-Й столбец матрицы может
быть получен (при силах Р^, Р^, ..., Р„
любых направлений) как значения S
от единичной силы Р^, приложенной
в месте ее действия, определяемом
значком I.
Всякая k-я строка матрицы может
быть получена (при силах Р^, Р^, ...,
..., Р„ одного направления) через
линию влияния величины в месте,
определяемом значком k, построенную от
силы Р = 1, параллельной заданным
силам.
Преобразование вектора сил Pi,
Pg, ..., Рп в вектор величины S, в
матричной форме записывается так:
S = SP.
E.30)
Рис. 74
Элемент вектора (матрицы
столбца) 5fc определяется умножением k-vi
82
строки матрицы S на вектор сил Р, что приводит к такому выражению?
Sft = 5ftiPi+Sft2P2+...+Sfe„P„. E.31)
Если величина S претерпевает под сосредоточенной силой разрыв, как,
например, поперечная или продольная сила, то элемент матрицы 8ц с
одинаковыми значками будет иметь два значения S: одно S"t^ «левее» силы
Pi = I, а другое 8"Г^ «правее» силы Р^ = 1, т. е.
Sjj = Sf/=i(Sf/^= E.32)
При этом надо иметь в виду, что если 5ц определяется по линии влияния
Si, то в числителе E.32) должна быть записана ордината л. в. Si правее
сечения, а в знаменателе — левее сечения.
ГЛАВА 6. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ
БАЛОК И ПЛОСКИХ РАМ
§ 42. ТИПЫ БАЛОК
Статически определимые балки разделяются на простые балки—балки
на двух опорах по концам (рис. 75, а), консольные — балки на двух опорах
со свешивающимися концами — консолями (рис. 75, б), консоли — балки,
защемленные одним концом (рис. 75, в), и шарнирные балки — балки,
составленные из двух или нескольких последовательно расположенных балок,
концы которых связаны между собой шарнирами (рис. 75, г, д) [2]*.
Неизменяемость балок, изображенных на рис. 75, а, б, в, очевидна.
Неизменяемость шарнирных балок (рис. 75, г, д) устанавливается по общим
правилам, изложенным ранее. Из этих правил, например, следует, что в
одном пролете не должно быть более двух шарниров на одной прямой.
Аналитическое условие неизменяемости и статической определимости
(необходимое, но недостаточное) в этом случае будет:
Соп—3=Ш, F.1)
где Сои — число опорных связей; v
Ш — количество шарниров между частями балки.
В шарнирных балках концы одних балок являются опорами для других.
Эти балки представляют собой основные части, а другие, опирающиеся на
них, — дополнительные части. Так, например, балка АВ (рис. 75, г) есть
основная по отношению к балке ВС, балка CD — основная по отношению
к балкам ВС и DE и балка EF — основная по отношению к балке 0£';балки
ВС и DE — дополнительные. Аналогично балка АВ (рис. 75, д) — основная
по отношению к балкам ВС, CD, DE и EF, балка ВС в свою очередь основная
по отношению к балкам CD, DE и EF и т. д. Только одна балка АВ является
для всех основной частью и только одна балка EF является дополнительной
частью по отношению к остальным. Другие балки — ВС, CD и DE
выполняют двоякую роль: по отношению к одним балкам они основные части, а по
отношению к другим — дополнительные.
Деление балок на основные и дополнительные имеет смысл для
производства расчета шарнирных балок, который часто удобно проводить в порядке,
обратном порядку образования (возведения) системы. Кроме того, оно
позволяет наиболее образно представить себе работу системы в целом, имея
в виду, что нагрузка, расположенная на основных балках, не будет вызывать
внутренних сил в дополнительных балках, а нагрузка, расположенная на
дополнительных балках, вызывает внутренние силы во всех основных по
отношению к ней балках. Наконец, исключение из шарнирной балки только
дополнительной балки оставляет систему неизменяемой, а исключение
основной балки обращает систему в изменяемую.
^
В С
в с
^ - ^'
II
^ '
S, р
£ F
° V ■ ' 9 Рис. 75
Е F
797" ТТТ
*Иногда балки разделяются на простые, т. е. балки на двух опорах по концам
(рис. 75, а), консольные (рис. 75, б), консоли (рис. 75, в) и сложные балки,
составленные из простых, последовательно соединенных между собой по концам (рис. 75, г, д).
84
§ 43. СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ. ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ
В ПРОСТЫХ И КОНСОЛЬНЫХ БАЛКАХ
1. Линии влияния опорных реакций
Рассмотрим для общности балку на двух опорах с консолями (рис. 76).
Положение подвижного груза Р = 1 на балке будем определять координатой
Z с началом на левой опоре. Определим реакции Л и S в общем виде:
откуда
2:Л1£=Л/ —!(/—г) = 0,
Л=-
F.2)
2Л1^=—й/+1г=0,
откуда
В = ^
/
F.3)
Полученные уравнения — это уравнения линий влияния опорных
реакций Л и S. Они линейны и справедливы при соблюдении неравенств —
с-1 ^ Z -^ I -\- с.^. Прямые, изображающие линии влияния, могут быть
построены по любым двум
точкам, например: - ,Р=1 ^ __ ^ \Р=1
при г = 0 Л = 1 и fi = 0;
» z = l Л = 0 и В = \.
По ЭТИМ данным построены
линии влияния опорных
реакций Л и S. Прямые продолжены,
как это следует из приведенных
неравенств, до концов консолей
в обе стороны.
2. Линии влияния М и Q
в заданном сечении
Сечения в консольной балке
могут быть двух видов (рис. 76):
а) сечения между опорами
(сечение /—/), которые будем
далее называть междуопорными
сечениями;
б) сечения на консолях
(сечение 2—2), которые будем
называть консольньши сечениями.
Приемы построения линий
влияния внутренних сил в этих
сечениях различны. Внутренние
силы зависят от того, где
находится груз Р ~ 1, правее или
левее сечения. Поэтому
необходимо рассматривать два
положения груза — правее и левее
сечения.
nssT'S^-nir^'
Ле6а^^'--:ЛЗ.(/,
^S^^
Л. В. М2
Прабая прямая
—■^тгГГП
Л. В. а г
Правая прямая
Рис. 76
85
Междуопорное сечение A—/)
1. Груз правее сечения: а ^ z ^ I + с^. При грузе правее сечения
внутренние силы выражаем через левые силы:
1—г 1—г
A!i = /4fl = —-—а; Qy^ — A= — .
Мы получили уравнения прямых, которые в соответствии с положением
груза будем называть правыми прямыми. Построим их по двум точкам. Эти
точки удобно выбирать на опорах:
г=0; Mi = a и Qi = l;
г = 1\ Mi = 0 и Qi = 0.
Прямые построены на рис. 76. Линии влияния, определяемые этими
правыми прямыми, штрихуем только в пределах из пригодных частей, т. е.
а ^ Z ^ I + с^.
2. Груз левее сечения: — с^^г^ а. При грузе левее сечения
внутренние силы выражаем через правые силы:
Mi = B{l-a)=±-(l-a);
Это уравнения левых прямых. Построим их по тем же двум точкам:
2 = 0; Mi = 0 и Qi = 0;
г = 1; Mi = /—а и Qi=—1.
Прямые построены на рис. 76.
Легко показать, что в л. в. М левая и правая прямые пересекаются под
сечением, а в л. в. Q они параллельны. Линии влияния, определяемые
левыми прямыми, штрихуем также в пределах их пригодных частей, т.е.
при — с^ :^ 2 < а. Линии влияния М^ и Qi в междуопорном сечении
построены.
Отметим одну особенность при построении л. в. М. Чтобы построить
правую прямую, необходимо под левой опорой отложить расстояние а от
нее до сечения и через эту точку и точку базы под правой опорой провести
прямую, а чтобы построить левую прямую, необходимо поД правой опорой
отложить расстояние / — а от нее до сечения и через эту точку и точку базы
под левой опорой провести прямую.
Линии влияний М^ и Qi показывают, что внутренние силы в
междуопорных сечениях возникают при любом положении груза Р = 1 на балке, за
исключением точек под опорами.
Для простой балки линии влияния располагаются только в пределах
пролета.
Консольное-сечение {2—2)
Положение груза рекомендуется определять координатой х,
отсчитываемой от заданного сечения (рис. 76), и независимо от положения груза
правее или левее сечения внутренние силы определять из условия равновесия
отсеченной коцсоли.
1. Груз правее сечения (л:<:0):
Правые прямые линий влияния M^hQ^ совпадают с базой для сечений на
мвой консоли. Для сечений на правой консоли, наоборот, левые прямые
совпадают с базой.
86
\p-f
Прадая прямой
Проба я прямая
Рис. 77
2. Груз левее сечения:
М2 = — \х; Q2= —I.
Построим левые прямые
(рис. 76):
х = 0; М2 = 0 и Q2=—1;
x = b; M2=—b и Q2= — 1.
1
Лб.М^
wm
%9Л.
4
Сопрягающая
Шв^
— —-
^^^ЛДПЕИГППзг-
Рис. 78
И В ЭТОМ случае у линии влияния Mg левая и правая прямые
пересекаются под сечением, а у линии влияния Qa они параллельны.
Аналогично построению линии влияния М, и Qa в консольных сечениях
производится их построение в консолях (рис. 77). Если имеет место узловая
передача давления (рис. 78), то линии влияния М и Q сначала строятся без
учета узловой передачи, а потом на правые прямые сносится первый правый
узел от сечения, а на левые прямые — первый левый узел от сечения.
Полученные точки на правой и левой прямой линии влияния соединяются
отрезком прямой, которая называется соединительной (передаточной).
§ 44. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ, ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ
В ПРОСТЫХ И КОНСОЛЬНЫХ БАЛКАХ
1. Линии влияния опорных реакций
При построении линии влияния левой опорной реакции А необходимо
отбросить эту опорную связь и заменить ее действие искомой силой А
(рис. 79, а), затем полученной изменяемой системе задать возможное
перемещение и использовать общее выражение линии влияния по кинематическому
методу E.7).
л. в. А = -
Перемещение Ал отрицательно, значит, знак линии влияния совпадает
со знаком эпюры перемещений Ар. Масштаб линии влияния определяется
выражением Ал= 1. Аналогично строится линия влияния опорной
реакции В,
2. Линии влияния М и Q в сечении
При построении линии влияния изгибающего момента М в заданном
сечении У^ необходимо в этом сечении исключить связь, препятствующую
взаимному повороту левой и правой частей балки. Так как в сплошной балке
соединение двух ее частей можно условно рассматривать как соединение их
припайкой, то замена припайки шарниром и будет исключать связь, препят-
87
p=1
ствующую взаимному повороту
этих частей (рис. 79, б).
Введение шарнира возмещено
неизвестными моментами М^. Задаем
возможное перемещение
изменяемой системе (перемещенное
положение показано тонкой
линией). По общему выражению
E.7) получаем
л. в. Мь= •
Рис. 79
Так как h.M = — (йф1 + Ара),
то масштаб линии влияния
определяется выражением йф^ +
+ Йф2 = 1 или, по малости
углов, tgd9i + ^ё^Ф2 = 1-
Следовательно, если в эпюре
перемещений от точки
пересечения левой и правой прямых
отложить по горизонтали в
любую сторону отрезок, равный
единице, и вертикальную
ординату между прямыми в этом
месте принять за единицу, то
получается линия влияния
изгибающего момента.
При построении линии
влияния поперечной силы Q^
необходимо в сечении исключить
связь, препятствующую
взаимному сдвигу частей по
направлению поперечных сил. Это достигается заменой припайки двумя стержнями,
параллельными оси балки (рис. 79, в), длина которых
бесконечно мала. При таком соединении взаимный мгновенный центр вращения
левой и правой частей балки лежит в бесконечности, на оси балки. Это
значит, что обе части балки при возможном перемещении остаются
параллельными. После этих разъяснений задаем преобразованной системе бесконечно
малое перемещение (перемещенное положение показано тонкой линией) и
по общему выражению E.7) записываем уравнение линии влияния
Рис. 80
л. B.^Qft =
Так как Aq = — (А^ -f Ag), то знак линии влияния совпадает со
знаком эпюры перемещений Ар и масштаб линии влияния определяется
выражением Ai + Аз = 1.
Аналогично строятся и линии влияния внутренних сил в консольных
сечениях. Если имеется узловая передача нагрузки, то необходимо строить
в заданном перемещении эпюру перемещений грузовой линии.
Предварительно строится эпюра перемещений оси балки, на которую сносятся узлы
передачи нагрузки; затем между этими точками проводятся прямые отрезки
(рис. 80).
88
§ 45. ОГИБАЮЩИЕ ЭПЮРЫ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ
И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ
В ПРОСТОИ БАЛКЕ ОТ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
Огибающими (расчетными) эпюрами называются эпюры, в которых
ординатами являются наибольшие значения изгибающих моментов и поперечных
сил во всяком сечении балки при проходе по ней подвижной нагрузки. Из
них определяются и самые наибольшие значения М и Q.
Поскольку всякая балка кроме подвижной нагрузки непременно несет
еще и постоянную нагрузку, рассмотрим построение огибающих эпюр с
учетом постоянной равномерной нагрузки q (рис. 81).
1. Огибающая эпюра изгибающих моментов
Рассмотрим моменты в сечении балки под грузом Рь при движении
нагрузки по балке (рис. 81). Расстояние этого груза Р^ от левой опоры
обозначим Zft, а его расстояние с^ от равнодействующей R будем влево считать
положительным, а вправо — отрицательным. При случайном положении
нагрузки опорные реакции
2
И момент под грузом Р^
Mh = — (/ —Cfe —2feJfe+
-Mf\
где
Mf^=.
-SPf=(ci-Cfe) Ci>c„.
F.5)
F.6)
Уравнение F.5) справедливо, если
Cl —Cfe < Zft < l + Cn — CTt.
F.7)*
Это уравнение параболы, которая легко может быть построена.
Огибающая эпюра состоит из кусков пересекающихся парабол (рис. 82, а).
При построении огибающей эпюры нет необходимости вычислять те ординаты
перекрываемой параболы по уравнению F.5), которые заведомо будут менее
ординат перекрывающей ларабольь Найдем в общем виде абсциссу z|
пересечения соседних парабол огибающей эпюры моментов под грузами Р^ и
Ph+i, правее которой огибающую эпюру определяет парабола под грузом
Pft+i, а левее — парабола под грузом Р^. Для этого запишем согласно
f
ч .■-
+с-
-с
Сп
И \ м i Ь т
X-
i I I f I и ; 11 ; i
Pr,
+
%
, I—~£. \ R {от подвижной
I нагрузки)
Рис. 81
Перед Сп знак плюс, так как с„ < 0.
89
'. c,''B,3't8 . c^=-5,BS2 F.5) при z = zl моменты под
'~~ 1^ ' '' , грузами Pfe и Pft+jL и приравняем
^'I 1 J^ 1 один другому:
I T^~Y IT f Л R ^^*(^-4)
«iV
-г|) 4+
I
940—г*)
-2Pf=(c£-cft)= — (^-Cfe+l-
"(Q■
Здесь использована известная
зависимость: -Мг+д = Л^г +
+ R'^^" А.
Произведя сокращения,
получим
еткуда
г| = _ г. F.8)
Огибающая эпюра ОкН ^^
{при сходе /tpaUHfix грузов)
^265 Таким образом, парабола под
■—г-к грузом Pft входит в состав оги-
. •^ бающей эпюры при
г%_, < Zfe < г%.
265 Необходимо, однако, иметь
Рис. 82 в виду, что парабола в
огибающей эпюре не может
начинаться под вторым грузом и кончаться под первым грузом при г <
<ССх — С2, так как иначе груз Р^ сойдет с балки и уравнение параболы
под грузом Ра будет уже иное. То же самое можно сказать и относительно
парабол под последним и предпоследним грузами. Парабола под последним
грузом Р„ не может начаться, а парабола под предпоследним грузом не может
продолжаться при z > / + с„ — c„_i, так как иначе последний груз Р„
сойдет с балки. .
Найдем теперь наибольший изгибающий момент под грузом Р^.
Составим производную от М^ и приравняем ее нулю:
d2ft I 2
откуда получим
..=[-f„-.,+^]:(^+,).
F-9>
Решение будет справедливым, если z^ удовлетворяет условию F.7).
Подставляя F.9) в выражение F.5), получим
М
ft, макс — "
\ R ql
4^ + 2,
+ Л1^
F.10)
т
Применим все приведенные рассуждения для балки, изображенной на
рис. 82, где R = 230 кН, ^ = 10 кН/м, с^ = 6,348 м, с^ = 2,348 м, Сд = —
—1,652 м, с^ = — 5,652 м. По формуле F.8) находим:
t
г*=0; 2t=-^=3,04 м;
^ R R
= 13,93 м и Zi = = 20 м.
R
По выражению F.5):
момент под первым грузом
230 „ 102iB0—zi)
^ = ^0~ B0-6,348-31K1+ —^ ^-i
при о ^ 2i ^ 4 м;
момент под вторым грузом
230 10z2B0—г»)
M2 = -^^ B0-2,348-22) гг + ^-^ ^^-35-4
При 4 м ^ Zg ^ 11,3 м;
момент под третьим грузом
( 230 10гзB0 —г,)
Мз = -^B0+1,652-гз)гз+ -^^ 2-'-35-8-95.4
при 11,3 м ^ 2з ^ 13,93 м
и момент под четвертым грузом
230 102iB0 —zj)
М^ = —— B0 + 5,652 —г^) 24 + ^ ^^-35-12 —95-8—30-4
при 13,93 м ^ 2з ^ 20 м.
По этим уравнениям построена огибающая эпюра изгибающих моментов
(см. рис. 82, а). Из нее видно, что самый наибольший момент будет под
вторым грузом. Найдем его.значение по выражению F.10):
'"г, макс
Г 230 10-20 12 /230 , \
= [-^B0-2,348) + —^J : (^4 ^^+2.10 j-35-4= 1250,9 кН-м.
Расстояние наибольшего момента от левой опоры по F.9)
, 230 „ 10-20 1/230 ,
22= I-;;;:-B0 —2,348) + —^7" = ( 2-1;Г"+10 1=9,18 м.
20 ' ' 2 V 20
Если подвижная нагрузка может быть расположена на балке в обратном
порядке, то за расчетный момент для симметричных сечений надо взять
наибольший из них в огибающей эпюре.
В тех случаях, когда огибающая эпюра изгибающих моментов
самостоятельного интереса не представляет, а требуется знать лишь самый
наибольший изгибающий момент, то его можно получить путем сравнения моментов
^к, макс, вычисленных ПОД разными грузами по выражению F.10). Это, по-
видимому, самый простой и надежный путь. Но при этом надо иметь в виду,
что часто не под всеми грузами может быть самый наибольший момент.
Так, например, если при положении нагрузки, дающем УИ^ „акс под грузом
Pfe, эпюра поперечных сил не переходит через нуль, то это значит, что при
таком положении нагрузки самый наибольший изгибающий момент в балке
будет где-то в другом месте. Следовательно, под этим грузом не может быть
и самого наибольшего изгибающего момента. Таким образом, не для
всех значений си, не под каждым грузом надо сопоставлять М^ макс. ^ только
под теми значениями, под которыми эпюра Q при положении нагрузки по
91
y^L.
Cf
rir
I
j.^ F.9) переходит через нуль.
^ I I ' I ^ В этом случае будет уверен-
I W'^^ 1Г' W V IИ 1 W ! I I I it ТТ' нйсть, что при таком положении
Sr
т пи i\
t т 111
~К, нагрузки по крайней мере в
—i/? других сечениях моменты будут
—^/jj, меньше. Но это еще не означает,
V? что найден самый наибольший
f t 1 I t ft * * * изгибающий момент. Он будет
^^ найден из сравнения М^макс
' под грузами, под которыми он
f/? возможен. Поэтому важно в
самом начале расчета выделить
сечения и грузы, по которым не
следует искать самый
наибольший изгибающий момент, так как он среди них невозможен. Критерием
будет служить условие перехода поперечной силы через нуль.
Для ориентировочного выявления тех грузов, под которыми не может
быть наибольшего максимума, рассмотрим подвижную нагрузку в двух
предельных положениях (рис. 83) и найдем
^мин —■'?лев —-Pft —9(^ + Сп —CfeM0; Лмакс —^лев —f ft —? (Ci—Cft)^ О,
где 7?дев — равнодействующая левых от груза Р^ сил. Так как
Рис. 83
•"мин —
I
+
2
■^МЯКР,
R{l-ci)
+
jL
2
Rcn
R-
И, следовательно,
jl
2
^лев —ffe—9(/-f-c„ —Cft) < 0;
— ^лев —ffe —9(Ci —Cft)'^0,
Cft-^ —+ Cn-
RCn -, «лев-f Pft
Cft < —-^-fci
gl
R(l~ci)
gl
RneB-\- Pk
F.11)
F.12)
Выражение F.11) определит предельное расстояние слева от
равнодействующей R, а выражение F.12) — предельное расстояние справа от нее,
левее и правее которых не следует искать самый наибольший изгибающий
момент. Более точные указания о том, под какими грузами надо искать
наибольший изгибающий момент, можно получить из тех соображений, что
сечения, определяемые величиной Zh, должны удовлетворять одновременно
двум условиям: условию F.9) и условию перехода эпюры Q через нуль в этом
месте. Раскроем эти условия:
A — R^eB—g^k^O; ^
Объединяя оба неравенства, получим
"лев < -^ ■
-q2h = RneB + Pk-
F.13)
Подставляя значение А из F.4) и z^ из F.9), приведем выражение F.13)
к виду
R , gl
Клев < : ТП ^ ^лев + Pk. F.14)
^(■^^)
92
HI
" " ■' " ,
♦ »♦♦ 'tttt
Ck
^—-^ Jt
Рис. 84
Рис. 85
TTTrh
Заметим, что это же выражение можно получить, составляя производную
rfMfe. макс „,.„„.„^„„„ (Р. л(\\ п^ „c^,^ылл„^.c Д'^ь.макс > Q JJ после максимума
dcb
выражения F.10). До максимума
dMfe.MaKc< _ „ ^^
•^ 0. при этом до максимума
'Лев
dCfe ^
dCb
dcs
= SPf^ + Pft и после
максимума ■
2Р"^^, так как координата с^ измеряется от равнодейст-
вующей влево.
Поскольку формулу F.14) в принципе надо использовать для каждого
груза, под которым на основании F.11) и F.12) может быть самый
наибольший изгибающий момент, а по сложности' она примерно одинакова с
формулой F.10), то можно рекомендовать сразу, минуя F.14), определять
изгибающие моменты под всеми этими грузами и из них выбрать наибольший
момент.
Полученные выражения F.11)—F.14) справедливы и в том случае,
когда подвижная нагрузка распределенная р = / (сь). В этом случае в них
надо положить Pft = О и сохранить знаки равенства. Так, например, при
равномерной нагрузке протяженностью а < / по F.14) будем иметь (рис. 84);
R=pa\ Rji
(i-
Ck
'{т-) = [^"—^^]'К'-^)
или
Ck
(^^-^f+^)='^'
откуда получаем Ck = 0. Ответ единственный. Далее, по F:9) будем иметь
Следовательно, самый наибольший изгибающий момент от подвижной
равномерной нагрузки р протяженностью а^ I с учетом постоянной
нагрузки q и без нее будет всегда посередине балки, когда подвижная нагрузка
расположена на балке симметрично относительно ее середины (рис. 84).
Если постоянная нагрузка q мала по сравнению с подвижной и ею можно
пренебречь, то М^, макс будет всегда под сосредоточенным грузом, что
вытекает из многоугольного очертания эпюры изгибающих моментов при
сосредоточенных грузах. Полагая во всех полученных выше выражениях ^ = О,
запишем их для данного случая:
гй = Ц^: F.15>
R
Mki
Ck-2k)Zk+Mf'';
R_
4/
-.-—A-с„^+МГ
Rcr,
< -^лев + Рй;
F. 16>
F.17>
F.18>
9a
Y.8 1^-^,^ Y' -^^^^^лев+Р.: F.19)
Ir sir ^ ^?лев|^(/-с^)|= ^?лев + Р^. F.20)
■} WOkHi 1,^ }^ WkH j^3 F.15) следует простое правило, что груз
Х-о ' г I ^^-—я ^ь., под которым определяется М^, макс, и рав-
^^1 ^7 I А)}~ нодействующая R должны быть расположёны
I 3 T/?=i?W/<H JJQ разные стороны от середины балки
(рис. 85) на равном расстоянии у.
Рис. 86 Выражения F.4) — F.20) справедливы
до тех пор, пока все грузы, входящие в
равнодействующую, находятся на балке. Если же окажется, что абсцисса
.Zft, определенная по формуле F.9), удовлетворяет неравенствам z^ <.Сх—Ст^
или Zk> I + Сп — Си, т. е. что один или несколько грузов сойдут
с балки, то изгибающий момент под грузом Р^ без сошедших с балки грузов
€удет больше, чем при них. Это следует из таких простых рассуждений.
Допустим, что рассматривается не простая балка, а балка с консолями,
на которых постоянной нагрузки нет. Очевидно, что все проведенные выше
рассуждения не изменятся, но пределы F.7) б1удут иные из-за консолей,
длины которых можно предположить любой величины. Вре сошедшие с
балки грузы будут помещаться теперь на ее консолях. Тогда вычисленный по
F.10) УИ ft. макс будет действительно самым наибольшим изгибающим моментом
под этим грузом из всех положительных изгибающих моментов под ним. Но
■он будет меньше изгибающего момента от той только части нагрузки, которая
расположена в междуопорной части балки, так как грузы на консоли будут
лавать для междуопорной части отрицательные изгибающие моменты.
Докажем еще, что если при координате г, вычисленной по F.9), под
грузом Pft будет максимальный моментУИft макс и при этом один крайний груз,
например первый, станет над опорой, то момент под грузом Pft без первого
груза будет больше ранее вычисленного Mft_ маке- Для этого достаточно
показать, что при новой равнодействующей R^ = R — Р^ новое значение z'k по
F.9) будет меньше прежнего значения z^ при старой равнодействующей R.
■Следовательно, максимум момента под грузом Pft при новой
равнодействующей еще не наступил. Нагрузку надо двигать влево. Расстояние груза Р^
от новой равнодействующей
Теперь по F.9)
[ R ql Л f 2R \
A2ft = Eft—2^=1 — (/—Cft)-i--^l : I —^ -f-<?j —
R — Pi (, PiCi N qt 'i \ 2(R—Pi)
PiCi \ , Ql 1 r 2(i?-Pi) ]
После преобразований —j~ + ^ ^^^^ '^^' > 0. Таким образом, при
^ft максимума момента под грузим Pft еще нет; он может быть при zi, т. е.
без груза Р^, стоящего над опорой. Аналогично доказывается, что если при
■Zk по F.9) последний груз оказался над правой опорой, то момент под грузом
Pft без последнего груза будет больше, чем при нем.
Итак, если по F.9) Zi^^ci — с^ или Zft ^ / + с„ — с^, то необходим
пересчет с исключением из рассмотрения сошедших с балки грузов и груза,
стоящего над опорой, за которую сходили грузы. Если сразу два груза будут
стоять над опорами, то надо произвести два пересчета: один с исключением
первого груза, а второй с исключением последнего.
94
Следует также иметь в виду, что, несмотря на то, что под некоторым
грузом Р^ изгибающий момент является максимальным и что при этом все
грузы остались на балке, т. е. условие F.8) соблюдено, все же под этим
грузом может быть другой максимум момента, который будет больше первого,
когда один или часть грузов сойдут с балки. Это можно установить
сравнительными подсчетами. Такой случай рассмотрен на рис. 86. Изгибающий
момент под вторым грузом при трех грузах на балке равен 170 кН • м, а при
двух грузах под ним же — 176,3 кН • м.
2. Огибающая эпюра поперечных сил
В соответствии с двумя знаками поперечных сил в балке при
вертикальной нагрузке, направленной вниз, огибающая эпюра поперечных сил будет
также двух знаков: 'Qmukc > О и Q^aa <. 0. Haибoльшa^J положительная
поперечная сила, как это легко представить по виду эпюры Q при
сосредоточенных грузах или по виду линии влияния Q, может быть на dz левее некоторого
сосредоточенного груза подвижной нагрузки (обычно одного из левых от
равнодействующей грузов и часто, но не всегда, первого груза PJ, а
наибольшая отрицательная поперечная сила — правее на dz некоторого другого
сосредоточенного груза (обычно одного из правых от равнодействующей
грузов и часто, но не всегда, последнего груза Р„).
Запишем в общем виде выражение поперечной силы левее на dz и правее
на dz некоторого сосредоточенного груза Р^:
Qr = A-gzk-i:Pr^^-~-(l-Ck-Zk)+-Y--gzk--^Pr'', F.21>
плев „ __ А .... ч ^
Q"^P«= = QfP_Pft=-YCft-fCft)-^ + <?(/-3ft)-t-2P^l'^« (б.22>
при
Cl—Ck < Zh < l+Cn—Ck.
Уравнения F.21) и F.22) определяют параллельные- прямые, которые
легко могут быть построены по двум любым точкам, например по точкам под
опорами балки при 2^ = О и при 2^ = /:
QI лев=7- (г-си)+~—-^РГ''; (б.2з>
Ч1. прав = —f с^ + ~ + ^РГ\ F.25>
Пригодные части этих прямых определяются по F.7). Тангенс угла
наклона этих прямых
iga=—(-Y + q]. F.27>
Построение огибающих эпюр Q зависит от того, могут или нет сходить
грузы с балки. Если грузы не могут сходить с балки, как в крановых балках,
то огибающая QuaKo будет состоять из отрезков параллельных линий, и
именно тех линий, которые на данном участке дают большую поперечную
силу, а огибающая Qmhh — из отрезков параллельных прямых, дающих на
данном участке меньшую (в алгебраическом смысле) величину поперечной
силы.
В качестве примера на рис. 82,6 построены огибающие (Змаке.
изображаемые линией ac'cd, и Qmhh. изображаемые линией е/, без учета схода грузов
с балки.
9S
Уравнения отдельных прямых таковы
Q
при о ^ 2i ^ 8 ж;
при 4 jti ^ г^ ^ 12 ж;
^прв 230 10 . 20
Qr = — B0-6,348-21) +—^-1021
230 10-20
Qf^ = ^ B0-2.348-2,)+-^ '° ^'~^^
пп<.„ 230 10 • 20
Q^P'^ =—^B,-5,652)—^ + 10B0-2,)
при 12 ж ^ 24 ^ 20 м;
230 10-20
QSP'" = - —(гз-1,652)—^—+10B0-2з) + 70
при 8 л ^ 2з^ 16 л.
Если грузы могут сходить с балки, как это бывает в мостах, то огибающие
■QmaKc И Qmhh будут представлять собой непрерывные линии, составленные из
отрезков. При построении огибающих надо сначала выделить те грузы,
которые определяют прямые, перекрывающие все остальные—снизу и сверху.
Это легко сделать по наибольшей величине F.23) и наименьшей (в
алгебраическом смысле) величине F.26).
Далее докажем одно важное положение.
Если под каким-нибудь грузом Р^ ордината Ct^^ при всех значениях
Ci — Cii^ Zii^ I-Ь Сп — Cft больше остальных значений СЙ+ь •--, 0^^^
справа, то QT^ будет больше них и при г,^^ I + Сп — Ck, т. е. когда часть
или все правые грузы располагаются правее правой опоры.
Для доказательства предположим, что балка имеет правую консоль, на
которую могут сходить правые грузы. В этом случае выражение F.21)
справедливо при значениях с^—с^^г^^ I. Значит, при наличии консоли
■QT^ будет больше остальных левых поперечных сил, вплоть до правой
опоры, при 2ft = I. Чтобы устранить действие грузов, сошедших на
воображаемую консоль, надо приложить к ней такие же грузы, действующие снизу
вверх. Такие грузы дадут положительную реакцию левой опоры балки,
а следовательно, и положительную поперечную силу, равную на всем
протяжении пролета. При такой поперечной силе, одинаковой для всех сечений,
C^'it^ не может стать меньше остальных правых поперечных сил, если она и
до этого была больше их.
Аналогично можно показать, что если Q^^^ при всех значениях: с^ —
■Cm ^ 2т ^ ^ + с„ — Cm меньше (в алгебраическом смысле) остальных
левых поперечных сил ($S^\, ..., Q^p^^, to Q^"^^ будет меньше и при 2^ <
^ Ci — Cm, т. е. когда часть или все левые грузы располагаются левее
левой опоры.
Доказанные положения приводят к такому правилу: при построении
огибающей (^макс не следует рассматривать Q под грузами правее силы Р^,
а при построении огибающей Qmhh — под грузами левее силы Р^- Часто
(но не всегда) такими грузами будут первый и последний. В таких случаях
■Qmbkc надо строить на всем протяжении, как Qj<^^, а Qmhh — на всем
протяжении, как Q^"'^.
Если грузы Pft или Рт промежуточные, то при построении Qmbkc иа
участке Zk<i Ci — Cft надо учитывать постепенное перемещение левых грузов за
левую опору, а при построении Qmhh при Zm> I + Сп — Cjn — постепенное
перемещение правых грузов за правую опору.
На рис. 82 Qmhh бсть Q^P^=, а Qmbkc есть Q^^, причем соответствующую
часть эпюры надо достроить с учетом расположения первого груза левее
96
левой опоры. В этом случае
новая равнодействующая равна
195 кН, расстояние с^ от нее до в__
груза Ра равно 3,487 ж, выраже- ^
ние F.21) принимает вид
Qr =
195
20
B0—3,487—22) +
+
10-20
-Юг,
■Ztf.y Sfr
ЬОкН
'ШкН
Зм
,50кИ
I 5 м ..2м
X.
\, ^м
22 л/
Рис. 87
'ЧООк,
гоокн
По этому уравнению^ построена огибающая эпюра Рмакс на участке
О ^ 22 ^ 4 ж (см. рис. 82, в). Если подвижная нагрузка может быть
расположена на балке в обратном порядке, то за расчетную поперечную силу
в данном сечении, как положительную, так и отрицательную, надо принять
наибольшую по абсолютной величине поперечную силу в данном сечении и
сечении, ему симметр ичном, взятую из огибающей эпюры.
Пример 8. Определить расчетный изгибающий момент для балки (рис. 87).
Найдем по F.18) и F.19) крайние грузы слева и справа от равнодействующей,
между которыми может быть наибольший момент.
По F.18)
550-6
<^?лев-ЬРк= 150 4-50 (третий груз).
По F.19)
22
550B2—9)
22
< ^?лев-ЬРк = 250-Ь200 (пятый груз).
Подсчитаем моменты под всеми грузами Pg, Ра и Ре по F.17).
Момент под грузом Pg: по F.15) и F.7) при 5 м < Zg = 9 < 12 м:
М
3, макс —
550
4-22
B2—4J — 50.5—100.3=1475 кН.м.
Момент под грузом Р4;
М
550
4, макс —
4-22
Момент под грузом P^t
9—1 <Z4=10,5<22—6—1;
B2 — 1J—50-8-100.6-50-3=1606.3 кН-м.
22-Ь 4
9 + 4 = -^ < 22-6-1-4.
Первый груз оказался на левой опоре. Необходимо Мб, макс вычислять без него.
Теперь равнодействующая R = 500 кН. Она проходит от бывшего четвертого
груза на расстоянии 1,9 м (см. рис. 87) при Су = 7,9 м:
22 + 3.1
С5=—3,1м, с„=—5.1м; 7,9+3,1 < ^^ < 22—5,1+3,1;
М
6. макс"
500
4-22
B2 + 3,1J — 100-11—50-8—50.5=1829,6 кН-м.
При всех грузах на балке Л1б, маке = 1825 кН • м.
§ 46. ОГИБАЮЩИЕ ЭПЮРЫ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ
И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ В ДВУХКОНСОЛЬНОЙ БАЛКЕ
ОТ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
В консольных балках часто изгибающие моменты и поперечные силы
в междуопорной части являются расчетными, определяющими в основном
сечении балки. Поэтому ограничимся для краткости разбором огибающих
эпюр только в междуопорной части балки. Длину подвижной нагрузки.
4 Зак. 763
97
т. е. расстояние от первого груза до последнего, будем считать меньше длины
пролета.
Особенность консольной балки при длине консо.;и а состоит прежде всего
в том, что в междуопорной части балки изгибающий момент от постоянной
нагрузки меньше, чем в простой балке того же пролета, на величину AM =
= —^ , в то время как поперечные силы между опорами в обеих балках
одинаковы.
В связи с этим выражение F.5) примет вид
R
gZkU—Zk) да»
■SP^^Cci-Cft)
при
ci = Ch—a < Zfe < l+Cji—Ck+a.
F.28)
F.29>
да'
Поскольку величина AM = — ^ ^^ внесет изменения в уравнение
JH^ = о, то выражение F.10) можно написать сразу:
Mh.us.m=\~-(l-Ch) + ~J:i^'ij-+2g^- ^f 2Pf=(Ci-Cft). F.30)
Все остальные выражения, приведенные для простой балки, и выводы,
построенные на них, сохраняются или легко приспособляются для двухкон-
сольной балки в связи с расширением границ изменения 2^.
§ 47. ЭПЮРЫ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ
И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ В ШАРНИРНЫХ БАЛКАХ
Как было указано ранее, расчет шарнирных балок удобно вести в порядке,
обратном их образованию,—от дополнительных балок к основным. При
расчете балки ее удобно расчленить на( части, отделив дополнительные балки
от основных и приложив к
") т IP. iPj IP,
л t в t с \ л I
^—1 ° у ' >^ gi ' ° 1
777 _ 77; 7777
А
7777
-г
f
ъ Ч
г
Тс %
77? 7777
L
Г
X
-о-
J
л
•тз—
7%
Р
X
1
Рис. 88
последним давления
отброшенных дополнительных
балок. Будем .далее
основные балки изображать
ниже дополнительных (рис.
88). В шарнирной балке,
изображенной на рис. 88, а,
сначала должны быть
рассчитаны балки АВ и CD^
а потом балки ВС и DE.
В шарнирной балке,
изображенной на рис. 88, б,
сначала должна быть
рассчитана балка DE, за ней
балка CD, затем балка ВС
и, наконец, балка АВ.
пример 9. Построить
эпюры М и Q в балке (рис. 89).
Балка АВ: опорные реак-
Р
1Й1И Л = В = -g = 20 кН,
эпюры М и Q построены под
балкой. Балка BD: опорная
реакция С = 65 кН, опорная реак-
98
\p=iiaKH
4-'=eo/<w-Ar
}ЬкН
ция D = 35 кН, эпюры М и Q построены
под балкой.
Эпюры в заданной шарнирной балке
получены путем объединения ранее пост^
роенных эпюр.
§ 48. СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ, ИЗГИБАЮЩИХ
МОМЕНТОВ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ
В ШАРНИРНЫХ БАЛКАХ
Построение линий влияния для
шарнирных балок основано на
четком разделении их на составные
части — основные и дополнительные.
Если какая-нибудь часть балки
будет только дополнительной, то
нагрузка, расположенная на основных
по отношению к ней частях, не будет
вызывать в ней внутренних сил.
Поэтому такая дополнительная балка
представляет собой однопролетную
балку, построение линий влияния
для которой уже было изложено.
Если какая-нибудь часть балки
окажется дополнительной по
отношению к одним частям балки и основной
по отношению к другим, 1Ъ при
построении линий влияния необходимо
прежде всего исключить из
рассмотрения те части балки, которые по
отношению к рассматриваемой балке остаются основными, так как
нагрузки, расположенные на них, не оказывают влияния на рассматриваемую
часть.
При построении линий влияния в такой части шарнирной балки
необходимо рассмотреть ее совместно с другими частями шарнирной балки, для
которых она является основной. Сначала необходимо рассмотреть груз
Р = 1 на самой рассматриваемой части. При таком положении груза все
дополнительные балки по отношению к рассматриваемой не будут нагружены,
и'они временно могут быть из рассмотрения исключены. После этого
рассматриваемая балка превращается в однопролетную, для которой линии влияния
строятся по известным правилам.
Далее, груз Р = 1 помещается на первую дополнительную балку,
которая опирается на рассматриваемую и на нее воздействует. Когда груз
займет положение над местом соединения дополнительной балки с
рассматриваемой, то давление на основную балку равно единице, а когда он займет
положение над второй опорой дополнительной балки, давление равно нулю.
В соответствии с этим, когда груз располагается над шарниром, искомая
величина равна ранее полученной ординате линии влияния в этом месте,
а когда он расположен над второй опорой дополнительной балки, искомая
величина равняется нулю. Следовательно, в первом случае линия
влияния под шарниром непрерывна, а во втором случае ордината равна
нулю.
Две ординаты линии влияния в пределах дополнительной балки
найдены. Поскольку воздействие дополнительной балки на основную меняется
по линейному закону, то между этими двумя точками должен быть
проведен отрезок прямой в пределах дополнительной балки. Если рассмотренная
дополнительная балка является основной по отношению к следующей, то
Рис. 89
99
e)
^г ф
s
-о-
Аа
,>[lllb,
\
>ч
\
I
\
\
ч
X
с
-о-
и-ггТТТгаГГТТтт^!
X
Ли
Мк-
'ЧЦЩЩЩЦГР»-
иггГЛ
Рис. 90
1~П
-i-
■^
Т
Г^'ЩШШИР''^
I I I I I '\\л1*^ 1--ГТГГГТГГТТГТ-Г,
"•JJJOimjXis»'
Л.в.М;, I
Гпр
^"О
рЯ
м""
UrrrfpTrnTn
Чр^
моя Л.й.й/^ I
^'ггГГГТГт-г^
"^ . \к ,1 о о' г -п' -п линия . влияния может
быть продолжена на
вторую дополнительную
балку по тому же
правилу.
Так, например, для
балки, показанной на
рис. 90, а, следует,
линии влияния на участке
CD строить, как в балке
на двух опорах С и D',
на участке ВС — как в
балке на двух опорах В
и В' с добавлением
дополнительной балки CD
и, наконец, на участке
АВ — как в балке на
двух опорах А я А' с
добавлением
дополнительных балок ВС и CD.
Если бы требовалось
построить линию
влияния изгибающего
момента в сечении балки
АВ, то следует
поступить так. Сначала,
рассматривая только балку
АВ, необходимо
построить линию влияния
этого момента, как в
простой балке (рис.
90, б). Затем,
рассматривая первую
дополнительную балку ВС,
следует провести прямую
через ординату линии влияния на левом ее конце и через точку базы под
второй опорой дополнительной балки. Наконец, то же повторить для
третьей балки CD (рис. 90, в).
По этому же правилу построены линии влияния опорной реакции,
изгибающего момента и поперечной силы на рис. 91. Сначала балки АВ и CD
как дополнительные по отношению к балке ВС были исключены из
рассмотрения, и линии влияния построены в консольной балке. Затем все линии
влияния распространены на участки дополнительных балок. Ординаты
всех линий влияния под щарниром В соединены с точкой базы под опорой
А балки АВ, а под балкой CD все ординаты под шарниром С соединены с
точкой базы под опорой D.
■яхаН
I
I
I
«ззаз!
Рис. 91
§ 49. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ
ВЛИЯНИЯ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ, ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ
И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ В ШАРНИРНЫХ БАЛКАХ
Уравнение линии влияния может быть составлено на основании общего
выражения E.7).
Эпюру вертикальных перемещений Ар лучше всего строить по способу
мгновенных центров. К известным ранее правилам определения последних
надо добавить, что мгновенный центр относительно земли части балки,
прикрепленной к земле только подвижной опорой, располагается в точке
опоры, а часть балки, прикрепленная к земле неизменяемо, может быть
100
Рис
^40 (Й
i-МД
ГН
J
12.3)
^ ^W
t
п:8.м„
принята вместе с землей
за один диск.
На рис. 92 дано
построение линии влияния
левой опорной реакции
основной части. В этом
случае л. в. Л = —
—-г^. Величина А^ < О,
значит знак линии
влияния совпадает со
знаком эпюры
перемещений. Масштабом линии
влияния служит отрезок
Дл, который надо
принять равным единице.
На рис. 93 дано
построение линии влияния
изгибающего момента.
Здесь л. в. Mft = —
—/-; Лл1 = — №2 +
+ с(фз)- И в этом
случае знак линии влияния _ ^„„
совпадает со знаком эпюры перемещений Ля. Масштаб линии влияния
определяется из выражения с^ф, + ^Фз = 1 или. по малости углов, tgdT, +
+ tgTs = Ь
§ 50. РАСЧЕТ РАМ
. Будем рассматривать плоские статически определимые рамы, у которых
или три опоры подвижные, или одна подвижная, а другая неподвижная
(рис. 94).
1. Определение реакций и построение эпюр изгибающих моментов,
поперечных и продольных сил
Опорные реакции определяются из трех уравнений равновесия. При
трех подвижных опорах уравнения равновесия рекомендуется записывать
в виде суммы моментов относительно точек пересечения двух других
реакций Так при определении реакции А за точку моментов следует принять
точку Гпер^ечен'ия реакцией В и С; при определении реакции 5 - точку Ь
пересечения реакций Л и С; при определении реакции С — точку с пересече
ния реакций Л и В. В тех случаях, когда две реакции параллельны, третья
реакция определяется из уравнения равновесия в виде ^^-^ь! проекции сил
на ось перпендикулярную этим параллельным реакциям. При одной
подвижной и второй неподвижной опоре уравнения равновесия рекомендуется
составлять сначала в виде суммы моментов относительно неподвижной
опоры затем в виде суммы моментов относительно точки пересечения
реакций Ли С и%аконец: в виде суммы проекций на ось, перпендикулярную
^ Пм построении эпюр M,Q и iV проводится сечение, разделяющее раму
на две частиТрис 94). Сечение или располагается в характерных точках, или
SSpyeTcVнекоторой текущей координатой. Внутреиниесилы определя-
ГтсяТо^общим правилам (§ 20). При этом будем придерживаться следующего
™Тфиксируем положение наблюдателя относительно проведенного
сечения стержня чтобы было ясно, какая часть стержня «левая» и какая часть
101
«прайая», какие силы считать «левыми» и какие «правыми».Это можно
сделать различными приемами. Можно, например, около сечения показать на
чертеже левую и правую стороны стержня или под каждым стержнем
показать его бесконечно малый элемент с положительными направлениями
внутренних сил (см. рис. 44), или, наконец, просто условиться все стержни
мысленно поворачивать в ту или иную сторону до совпадения с горизонталью^.
Например, вертикальные стержни поворачивать на угол 90" по часовой
стрелке, а наклонные — на угол, меньший 90°;
б) эпюру изгибающих моментов строим с растянутой стороны стержня.
Знак на эпюре при этом не следует ставить;
в) эпюру поперечных сил строим, откладывая положительные ее
значения вверх от представленного в горизонтальном положении стержня. Знак
на эпюре Q обязателен;
г) эпюру продольных сил строим, откладывая значение N в одну какую-
нибудь сторону. Знак на эпюре N обязателен.
2. Линия влияния опорных реакций, изгибающих моментов,
продольных и поперечных сил
Построение линий влияния опорных реакций и внутренних сил в
плоских статически определимых рамах производится на основе общих правил,
изложенных ранее. Так, например, найдем уравнение линии влияния опор-,
ной реакции А (рис. 95) 2уИ„ = А • 15—1 A5 — г) = О, откуда л. в.
15 ■
При Z = О Л = 1, при 2 = 12 м Л = 0,2. Линия влияния показана на
рис. 95, а. Эта же линия влияния может быть построена по кинематическому
методу. Выбрасывая опорную связь, обратим систему в однажды
изменяемую, состоящую из одного диска (рис. 95, б). Его мгновенный центр
вращения относительно земли находится на пересечении оставшихся опорных
стержней. Задаем бесконечно малое перемещение диска, поворачивая его от.
Вм
у777777^(даскО) \
-J
Рис. 95
102
носительно мгновенного центра (О, 1).
Масштаб линии влияния определяет- _^
ся выражением Л^ = 1.
Гп-0
§ 51. МАТРИЦА ВЛИЯНИЯ
ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ
Строка матрицы влияния
изгибающих моментов для любой балки
или рамы получается из линии
влияния изгибающего момента
соответствующего сечения, а столбец
матрицы — из эпюры изгибающих
моментов от силы Р = 1,
приложенной в этом сечении. Покажем, как это Рис. 96
делается, на простой балке. Найдем
1-ю строку матрицы по линии влияния момента в t-м сечении, которая
изображена на рис. 96. На линии влияния указаны ординаты, определяющие
i-ю строку матрицы.
Аналитически строка матрицы при п делениях пролета балкн
определяется выражениями:
_ <
при * < г; Aiftj=—:г *(я—0;
Я2
k>i: Mhi=--— i(n—k).
П2
F.31)
ГЛАВА 7. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ
БАЛОЧНЫХ ШАРНИРНЫХ ФЕРМ
§ 52. ТИПЫ БАЛОЧНЫХ ФЕРМ
Балочные фермы в зависимости от размещения опор бывают простые,
когда две опоры расположены на концах фермы, консольные, когда две
опоры расположены не на концах фермы, и фермы-консоли, когда обе опоры
фермы расположены на одном ее конце.
По очертанию поясов фермы бывают с параллельными поясами (рис. 97, а),
треугольные (рис. 97, б) и многоугольные (рис. 97, в).
Решетки ферм разделяются на раскосные (рис. 98, а), когда раскосы
чередуются со стойками, треугольные (рис. 98, б), когда раскосы одного
направления чередуются с раскосами другого направления, полураскосные
(рис. 98, в), когда в раскосной решетке вместо одного раскоса в панели
ставятся два меньшей длины, и на шпренгельные (рис. 98, г), когда в
раскосную или треугольную решетку вставлены дополнительные
шпренгельные стержни, стойки и подвески (указанные пунктиром), работающие
только на местную нагрузку и разделяющие панель грузового пояса
основной фермы на две части или большее число частей.
Треугольная, раскосная и полураскосная решетки называются простыми.
§ 53. СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ (УСИЛИЙ) В СТЕРЖНЯХ
ФЕРМ ОТ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
Определение внутренних сил в стержнях
ферм производится по их расчетным схемам.
За расчетную схему фермы при узловой
передаче нагрузки обычно принимают шарнирную
ферму. Расчет, основанный на такой
расчетной схеме, является приближенным. Он не
учитывает влияния жесткости соединений
Панель
-\ Г
Раскос Стоика Нижний
рояс
Рис. 97
Рис. 98
104
элементов фермы в узлах, которое тем больше, чем больше коэффи-
EI
циенты жесткости стержней -р. Поскольку при узловой нагрузке для
многих ферм влияние жесткости узлов не слишком велико, практика в этих
случаях мирится с неточностью такого расчета. Для ферм, в которых
влиянием жесткости узлов пренебрегать нельзя, расчет по шарнирной схеме
является расчетом первого приближения, к которому надо вводить поправки.
В дальнейшем будут рассмотрены методы расчета только шарнирных ферм.
Каждый стержень шарнирной фермы можно рассматривать как связь
первого вида. Поэтому все приемы определения реакции связей различных
систем при неподвижной нагрузке применимы и для определения
продольных сил в стержнях ферм. В силу этого остается лишь показать применение
этих способов на отдельных примерах и выяснить некоторые их детали.
Определение продольных сил по статическому методу основано на общем
методе сечений, при помощи которых из фермы выделяется ее часть.
Внутренние силы в перерезанных сечением стержнях рассматриваются как
внешние силы по отношению к отсеченным частям фермы. Затем рассматривается
равновесие какой-нибудь из отсеченных частей.
1. Аналитический расчет
Способ вырезания узлов
Способ вырезания узлов состоит в том, что сечениями последовательно
отделяются от фермы один узел за другим и рассматривается их равновесие
(рис. 99). Для сил каждого вырезанного узла составляются два уравнения
равновесия в виде суммы проекций на всякие две непараллельные оси
2Х = О и 2F = 0.
Если в вырезанном узле только две неизвестные силы, то они могут быть
определены из независимых уравнений. Для этого необходимо составить
суммы проекций сил на две оси, перпендикулярные искомым силам
(рис. 100, о). Если неизвестных сил в узле более двух, то в общем случае
посредством вырезания только одного узла ни одна сила определена быть не
может. Исключение составляет лишь частный случай, когда в вырезанном
узле сходятся три неизвестные силы, но две из них лежат на одной прямой
(рис. 100, б). В этом случае сила Ni может быть определена из условия
проекции сил на ось, перпендикулярную двум неизвестным силам, лежащим на
одной прямой:
2K = //isina—Р = 0.
По способу вырезания узлов, вообще говоря, может быть произведен
расчет всякой статически определимой фермы. Однако для сложных ферм он
приводит к большему числу совместных уравнений и применяется для них
главным образом как вспомогательный.
В простых фермах, образование которых можно проследить
присоединением новых узлов двумя стержнями, вырезание узлов надо производить
в последовательности их образования, что приводит не более чем к двум
неизвестным силам в каждом вновь вырезанном узле. Так, например, в ферме на
Л
Рис. 99 - *. Рис. 100
105
рис. lOI номерами узлов обозначена
последовательность их вырезания. В узле / две
неизвестные силы Ni.2 и N1.3. В узле 2, где
сходятся три стержня, неизвестных опять
два, так как сила iV/.j определена из выре-
^.^ зания узла /. В узле 3 четыре стержня, но
Л а силы в двух стержнях Ni.s и N2-3 определены
' из вырезания / и 2 узлов. Некоторый недо-
Pj,^ jqj ■ статок способа в этом случае состоит в том,
что погрешность или ошибка при вычислении
силы в каком-нибудь стержне отражается на значениях последующих
определяемых сил. Контролем может служить равновесие последнего узла 5,
силы в стержнях которого были определены ранее.
Способ простых сечений
Способ простых сечений применяется, когда можно одним сечением
разделить ферму на две части, причем неизвестных сил в этом сечении не более
трех. Этому условию удовлетворяют сечения, проводимые через три стержня.
Уравнения равновесия составляются так, чтобы каждое из них содержало
одно неизвестное. Для этого необходимо составлять уравнения равновесия
в виде суммы моментов относительно точки пересечения двух других
неизвестных сил или в виде суммы проекций сил на ось, перпендикулярную
двум стержням, если они параллельны. Так, например, для определения
усилий в трех стержнях по сечению 1—/ (рис. 102) условия равновесия надо
составить в таком виде: ^
1) для определения iV/.j
SM?^«=130•0^-/V^.2• 2 = 0, отсюда /V,.2 = 0;
2) для определения N3.4
ZMf^ = —\3u-&~Ng.4 .2=0, отсюда yVj.4 = —390 кН;
3) для определения Ns-e
2К"^°=130—iVj.5Sina = 0, отсюда iVj.g = 130 : sin а.
Если сечение пересекает четыре стержня и более с неизвестными силами,
то определение неизвестных сил из одного сечения в общем случае
невозможно. Только в случае, когда все рассеченные стержни, кроме одного,
пересекаются в одной точке (рис. 103, а), силу в этом стержне можно
определить из одного сечения. Для этого необходимо составить сумму моментов
всех сил, приложенных к одной части фермы, относительно точки k
пересечения всех остальных стержней.
До сих пор сечение изображалось непрерывной линией, разделяющей
схему фермы на две части. Такое изображение сечения совершенно не
обязательно. Существенно лишь разрезанием отдельных стержней выделить из
фермы какую-нибудь ее часть. Так,
например, при определении сил в
стержнях фермы (рис.. 104) можно
разрезанием трех стержней выделить
часть фермы и составить уравнения ее
равновесия. Одно из них имеет вид
■ SMfe = Aa+P6+A^6-6P = 0,
"''=^^'^«» Аа+РЬ
Рис.102 °™^^^ ^*-'^ = -7Т~'
2/f
106
Рис. 103
Пример 10. Определить продольную силу Nj,2 ('^*'- Р"*^- ^^^' ^"
Сечение через стержень 1—2 и еще только через два других стержня здесь
провести нельзя. Например, сечения /—/ и 2—2 разрезают еще три стержня. Но в том и
другом сечении все остальные три стержня пересекаются в одной точке fe. Значит сила
может быть определена из одного сечения. Примем точку k за моментную. Тогда
-ZMf^--
-P-Zd + iV;.^/i = 0, откуда N,_2=^
P-3d
Пример 'И. Определить продольную силу
Ni.2 (рис. 105).
Проводим сечение /—/. Хотя сечение и
проходит через четыре стержня, но три из них
параллельны. Значит, сила Nj_2 может быть
определена из одного сечения:
откуда Ni-2=A = 60 кН.
Остальные продольные силы в стержнях,
разрезанных сечением /—/, определить уже
нельзя. Так, например, сумма моментон
относительно точки iSAlf'^^ =60 • 9— N4^ • 6 —
Ч.5
N
N2.3 «4=0 содержит две неизвестные силы
В таких случаях может быть при-
2-3
и N
4-5'
менеи способ совместных сечений.
Рис. 104
eof<H
Рис. 105
107
Способ совместных сечений
Способ совместных сечений применяется, если неприменим способ
простых сечений, когда в сечении более трех неизвестных, подлежащих
определению. Идея совместного использования нескольких сечений состоит в том,
чтобы составить такие уравнения равновесия, которые содержат только
некоторые неизвестные силы в количестве, равном числу разрезанных первым
сечением стержней без двух. Поэтому при использовании способа
совместных сечений необходимо составлять уравнения равновесия таким образом,
чтобы они не содержали иных неизвестных, кроме неизвестных сил,
подлежащих определению.
При двух совместных сечениях два неизвестных определяются, если по
этим сечениям можно составить два уравнения равновесия, которые
содержат только две определяемые силы. При трех совместных сечениях три
неизвестных определяются, если по этим сечениям можно составить три уравнения
равновесия, которые содержат только три неизвестные силы, подлежащие
определению. И так далее. Из этого следует, что каждое сечение должно
разрезать хотя бы один из стержней, в котором определяется продольная
сила. Далее, если исключить некоторые частные случаи, то сечение должно
разрезать еще не более двух стержней с неизвестными силами. Иными
словами, надо помнить, что, при всех обстоятельствах две неизвестные силы
в других стержнях, не подлежсицие определению на данном этапе задачи,
могут быть из уравнения равновесия исключены. Для каждого из совместных
сечений составляется только
одно уравнение равновесия.
Этими правилами, и следует
руководствоваться при выборе
совместных сечений. Так,
например, при определении силы
N 1.2 (рис. 106) сечения,
разрезающего этот стержень и два
других и разделяющего ферму
на две части, провести нельзя.
Поэтому надо стремиться
провести его, если возможно, через
три других стержня. Таким
сечением будет сечение /-/.
Составив сумму проекций на
горизонтальную ось, исключим из
условия равновесия Ni.4 и N2-5'-
Уравнение содержит
неизвестную силу N3.4, которая нас
в данном случае не интересует.
Необходимо второе сечение,
разрезающее стержень 3-4 и два
других, если это возможно, а
если нет, то сечение,
проходящее через два стерну1Я 1-2 и 3-4
и два других. В нашем случае
возможно провести сечение 2-2
через стержень 3-4 и два
других, причем уравнение
равновесия, а именно сумма моментов
сил относительно точки /
108
c^.
содержит только неизвестную силу Nj.^. jy-w-.^
Из этих двух уравнений определяется искомая си- '^'^^1
лаЛ^,.2. -V^ !
Аналогично составляются два уравнения для
определения сил N2.5 и N3-5 в раскосах полураскос- б) ы^
ной фермы (рис. 107). Проводим сечение / — 7 и со- Z'
ставляем уравнение равновесия /V,
Вторым речением будет сечение вокруг узла 5 ^^^- '^^
(вырезание узла). Чтобы исключить из уравнений
•равновесия силы Nt.^ и Л/^^-б, надо составить сумму проекций сил на
горизонтальную ось
^X = N2.S cos а+ Л^з-j cos р = 0.
Эти два уравнения определяют искомые силы в раскосах.
Дополнительным сечением при определении силы N2.3 в примере 11 будет сечение 2-2
(см. рис. 105), из которого легко определяется N4-5-
2. Графический расчет
Графический расчет ферм основан на правилах графического
определения реакций связей. Из способов расчета наиболее удобен способ
Максвелла — Кремоны последовательного графического определения
неизвестных сил в вырезанных узлах фермы. Этот способ приводит к построению
известной в теоретической механике диаграммы.
§ 54. НЕКОТОРЫЕ ПРАВИЛА, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ РАВНОВЕСИЯ УЗЛОВ
Способ вырезания узлов позволяет установить некоторые простые
правила о значениях продольных сил в стержнях шарнирных ферм.
1. Если в узле сходятся два стержня и нет узловой нагрузки (рис. 108, а),
то оба стержня не работают, т. е. продольные силы в них равны нулю. Это
положение вытекает из уравнений равновесия, выражающих сумму
проекций сил ца оси, перпендикулярные стержням.
2. Если в узле сходятся три стержня, причем два из них лежат на одной
прямой и нет узловой нагрузки (рис. 108, б), то продольная сила в третьем
примыкающем стержне равна нулю, а продольные силы в двух остальных
стержнях равны между собой: ,
XK^A^ssin р = 0, откуда Ыъ = ^\
ХХ=—^Vi-b//a + ^^3cosp=0, откуда Ni = Ni.
% ЪЪ. СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ
В СТЕРЖНЯХ ФЕРМ СО СЛОЖНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
ОТ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
Фермы со сложными элементами—это такие фермы, у которых
отдельные их элементы представляют собой самостоятельные фермы (рис. 109, а).
Рассмотрим один из нагруженных сложных элементов фермы, например .
элемент 2-3. Выделим его из фермы (рис. 109, б), прикладывая при этом
реактивные силы X и F со стсрэны отброшенной части, направление и
величина которых пока неизвестны. Равные и противоположно направленные силы
действуют и на остальную часть фермы (рис. 109, в). Равнодействующую
заданных внешних сил, приложенных к сложному элементу, обозначим Я.
Разложим неизвестные силы X и F на два направления: одно направление,
109
параллельное равнодействующей R, другое по прямой, проходящей через
точки 2 и 3. Составляющие силы X обозначим Л* и Sj-s, а составляющие
силы К обозначим В* и Зз.г- Составим три уравнения равновесия
выделенного сложного элемента. Из 2Л1з = О определим А*. Из IiM^ определим В*.
Из 2и = Зг-з cos а — S3-2 cos а = О найдем Sg-s = S3.2 = S.
Силы X и Y, действующие на оставшуюся часть фермы со стороны
сложного элемента, также разложим на те же составляющие. Силы S2.3 и S3.2
есть внешние силы для фермы без сложного элемента, находящейся в
равновесии. Поскольку S2.3 = Sj.2, то эти внешние силы можно условно
рассматривать как внутренние силы стержня, поставленного между узлами 2—3.
Таким образом, сложный элемент заменен простым (рис. 109, г). На ферму
с замененным элементом вместо равнодействующей R будут действовать
силы Л* и В*, представляющие собой давления сложного элемента на узлы
фермы, параллельные равнодействующей R. Отсюда
вытекают правила расчета шарнирных ферм со сложными элементами.
1. Всякий сложный элемент фермы должен быть заменен простым
стержнем.
2. Нагрузка, действующая на сложный элемент, должна быть заменена
узловыми давлениями, параллельными равнодействующей нагрузки на
сложном элементе и
определяемыми по закону рычага.
3. Должен быть
произведен расчет преобразованной
фермы с простыми
элементами.
4. Должен быть проведен
расчет каждого сложного
элемента от заданной на него
нагрузки, опорных реакций
Л* и 5* и найденной из
расчета преобразованной фермы
силы S (рис. 109, д). Иными
^ словами, сложный элемент
должен быть рассчитан как
:/а*- а
1а^ /в
Рис. 110
110
«)
\' A'
Рис. Ill
7 » - f ^ Л
t. '
ферма на двух опора^: одной — подвижной, стержень которой должен
быть направлен параллельно равнодействующей R, и другой —
неподвижной. Элемент рассчитывается на заданную на нем нагрузку и силу S,
приложенную в подвижной опорной точке и проходящую через неподвижную
опорную точку (рис. 109, й). Аналогично проводится расчет ферм с
нагрузками, непосредственно действующими на простые стержни (рис. 110).
Если стержень, заменяющий сложный элемент, совпадает с одним из
поясов сложного элемента, то все стержни сложного элемента, кроме
стержней пояса, совпадающего с заменяющим стержнем, работают только на
нагрузку, непосредственно действующую на сложный эл'емент, или, как
принято говорить, на местную нагрузку. Поэтому сложный элемент сначала
рассчитывается только на нагрузку, к нему приложенную, с реакциями А*
и В* при 5 = 0. Затем к продольным силам пояса, совпадающего с
заменяющим стержнем,' следует прибавить продольную силу в этом заменяющем
<стержне, взятую из расчета преобразованной фермы.
Пример 12. Определить силы A/j.g, Ng.g, Ng_^ (рис. Ill, а).
Выделяем сложный элемент и составляем ферму с заменяющим простым стержнем
рис. 111, б, в). Продольную силу в заменяющем стержне. 2—5 определяем из
сечения /-/:
откуда N^.s^———•
Прикладываем эту силу к выделенному сложному элементу и определяем силы
в его стержнях (рис. 111, б). Из сечения 2-2 имеем:
2Л1^^= =Р.2_Р.-—1,5 —/V2-8-1.5 = 0. откуда N2.s=0;
О
4Р
ZMf= P-A — P.2 + Ng_4.l,5 = 0, откуда Nj.^^-
^.уллев^ Р— Р—yV3.gSina=0. откуда N^.g^O.
§ 56. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ В СТЕРЖНЯХ ФЕРМ
ОТ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ ПО МЕТОДУ ЗАМЕНЫ СВЯЗЕЙ
Рассмотрим применение метода замены связей к расчету шарнирных ферм
на конкретном примере.
Пусть требуется определить продольную силу в стержне 2-3 (рис. П2, а).
Выбрасываем этот стержень и заменяем его другой связью, например
дополнительной опорой Б узле 6 (рис. 112, б). Действие выброшенного стерж-
m
a) 2
Рис. ИЗ
ня заменяем искомыми силами Х^.
Записываем каноническое уравнение
C.3), по которому реакция
дополнительной опоры равна нулю:
'■ii^i+J^ij= = 0,
где R\p — реакция введенной опоры
от силы Р (рис. П2, в).
Последовательно составляя
уравнения равновесия узлов 2, 3, 1 я 7,
убедимся, что во всех стержнях,
кроме стержней 4-5, 4-6 и 5-6,
продольные силы равны нулю. Поэтому R \р
находится просто:
I . ^ 2Ph
Rip- P'i = 0, откуда Rjp = ——.
Реакцию r^ дополнительной опоры от сил Xi = 1 (рис. 112, г) найдем
из равновесия узла 6. По симметрии Nis = N4.6 и, следовательно.
'•u+(A'i.6SinaJ = 0,
откуда
Гц=—2Nf_g sin а.
Силу Ni-s найдем из сечения /-/:
SMb=-la—yV;.^p = 0, ^
откуда Ni-e = — -^ •
Значит, Гц = — sin а. Подставляя Гц и Rip в каноническое уравнение,
будем иметь
^SinaAi-j-—;— = 0,
откуда и получаем искомую силу Х^ ■
112
Php
al sin а *
Силы в остальных стержнях находятся по выражению C.4).
Так, например, сила в стержне 1-6 равна:
N
-(-f)^-+°=(-f)(-inb)
Ph
/sin а
Шарнирная ферма на рис. 113 мгновенно изменяема, так как при
аналогичной замене связей Гц = О, т. е. выполнен признак изменяемости.
Метод замены связей заслуживает внимания при расчете сложных
шарнирных ферм, особенно когда заменой одного стержня ферма из сложной
обращается в простую.
§ 57. АНАЛИЗ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ В СТЕРЖНЯХ НЕКОТОРЫХ
ПРОСТЫХ БАЛОЧНЫХ ФЕРМ ПРИ ВЕРТИКАЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ
Представим себе простую балочную шарнирную ферму произвольного
очертания с раскосной решеткой, находящуюся под действием произвольной
вертикальной нагрузки (рис. 114). На этом рисунке доказана и эпюра
изгибающих моментов от той же нагрузки, действующей на балку такого же
пролета. Определим в общем виде продольные силы в стержнях этой фермы.
1. Продольные силы в элементах нижнего пояса
Составляем уравнение равновесия в виде суммы моментов относительно-
узла (п — 1)' верхнего пояса
Mn-1—Un hn-i cos Р„ = 0,
где Л1„ _х — момент внешних сил, расположенных левее сечения, и получаем
Мп-1
Un=-
hn-icos р„
Нижний пояс при вертикальной нагрузке, направленной вниз, растянут
G.1>
(• >Ja
Рис. 114
113
2. Продольные силы в элементах верхнего пояса
Уравнение равновесия составляем в виде суммы моментов относительно
■узла п нижнего пояса
Л^«+0„й„со8а„=0
я получаем
0»=^,^" . G.2)
Л„ cos а„
Верхний пояс при вертикальной нагрузке, направленной вниз, сжат.
3. Продольные силы в раскосах
Уравнение равновесия записываем в виде суммы проекций сил на гори-
зонтальную ось:
0„ cos an+Un cos P„+Dn cos Yn = 0-
Используя G.1) и G.2), получаем
"^"=1^-"l^;:т'j='=°^^"•
G.з)
4. Продольные силы в стойках
Из вырезания узла п нижнего пояса '
Vn—Pn—Un+i sin Pn+i+f/n sin Pn + D„ sin v„=0.
Используя G.1)—G.3), получим
1^» = ^'»+-—-tgP»+i——;; tgPn— — fgY„. G.4)
Рассмотрим теперь фермы, у которых высоты стоек пропорциональны
моментам внешних левых сил (изгибающим моментам балки), т. е.
М.
Mr,
= Я = сопз1 (рис. 115).
Конфигурация поясов при этомде имеет значения.
Из выражения G.3) непосредственно следует, что D„ = О, т. е. р а с -
iiocbi не работают.
, Продольные силы в поясах
Pn*!^Pni-f согласно G.1) и G.2) равны:
и^
н
; о„=
н
Рис. llfi
cos (J„ ■ COS «re
G.5)
Продольные силы в стойках
по G.4)
М
Vn=Pn+-r- tgP»+i-
м.
Чп-1
■1£Р„ = Р„ + ЯA£р„+1_
-tgP„).
G.6)
Если в такой ферме нижний
пояс прямолинеен (Р„ = Рп +1,=
= Р = const) и в частном
случае горизонтален, то продоль-
114
продольная
Рп. Если к
Н = const, раскосы и
стойте сила в нижнем поясе на
всем протяжении постоянна и
н
равна и = —о < а
сила в стойке Уп =
тому же нагрузка приложена
только к верхнему поясу, то
работающими стержнями фермы
будут только пояса. Это
заключение справедливо и для
шарнирных ферм, у которых
верхний пояс прямолинеен, а
нагрузка приложена только к
нижнему поясу.
Таким образом, в простой
балочной шарнирной ферме с
одним прямолинейным поясом при
нагрузке, приложенной только
к узлам другого пояса, если
Мп
hn
ки не работают.
Частным случаем
рассматриваемых ферм является ферма с
одним горизонтальным поясом и
с другим поясом, узлы которого
расположены на параболе
(параболические фермы); в такой
ферме при равномерной узловой
нагрузке на параболическом
поясе раскосы и стойки не
работают. Всякий излом
прямолинейного пояса в параболической
ферме при сохранении высот
стоек сохраняет нулевые
продольные силы в раскосах (рис.
116). Однако в стойках в местах
излома пояса продольные силы
уже не равны нулю независимо
от места приложения нагрузки.
На рис. 117 показаны фермы с
неработающими раскосами и
всеми или некоторыми стойками
при нагрузке сосредоточенной
силой в среднем узле верхнего
Пояса.
Если для фермы не на всем
ее,протяжении соблюдается
равенство ~= Н = const (рис.
118), то полученные выше
выводы справедливы только для той
части фермы (заштрихованная
часть эпюры), где это
равенство имеет место.
Рассмотрим еще ферму с
параллельными поясами и
треугольную ферму под равномер-
' НераВотающие стержни
Рис. 116
Нвра5оглающив cmejDKHU
Рис. 117
115
Рис. 118
ной узловой нагрузкой (рис. 119). Моменты левых сил при z = nd а I = md
могут быть записаны так:
M = -
qd^ п {т — га)
G.7)
Для фермы с параллельными поясами hn = h = const
и продольные силы в нижнем поясе
qdi (я—I)(m —га + 1)
Un = -
k
возрастают от опоры к середине пролета.
Продольные силы в верхнем поясе
qd^ п(т — га)
Оп--
h
также возрастают от опоры к середине пролета.
Продольные силы в раскосах данного направления
qdi
Dn=r (Л»»-л»»-1)=:
(m+l—2я)
G.8)
G.9)
G.10)
Л cos Y " " ^' h cos Y 2
положительны (раскосы растянуты) и убывают от опоры к середине пролета.
Величины продольных сил в стойках при нагрузке по верхнему поясу
Мп Мп-1 \ ^_ —tgv
■(M„—Af„_i)
G.11)
противоположны по знаку величинам продольных сил в раскосах (стойки
сжаты) и численно убывают от опоры к середине.
Все продольные силы в симметричных элементах симметричны. Для
треугольной фермы
2\ Y Г 1' 1' 1' 1" ( I
2Лга
, Рп=0, an = a = const,
md
cos а = -
vm
+ Л2
Рис. 119
Продольные силы в нижнем
поясе
qdi т ,
t/„=-^^ (m-n+1) G.12)
116
убывают от опоры к середине пролета. Продольные силы в верхнем поясе
Оп^—^'—г-- — G.13)
4я cos а
также убывают от опоры к середине пролета.
Продольные силы в раскосах
1
COSY»
-——(m_„_m + n-l) = ■^—— G.14)
4/1 J COSY» 4Л
отрицательны (раскосы сжаты) и возрастают от опоры к середине пролета.
Продольные силы в стойках положительны (стойки растянуты) и возрастают
от опоры к середине.
§ 58. СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ И ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ В СТЕРЖНЯХ
БАЛОЧНЫХ ФЕРЛ\ С ПРОСТОЙ РЕШЕТКОЙ
Построение линий влияния опорных реакций и продольных сил в
стержнях рассмотрим на примере консольной фермы (рис. 120). Прежде всего
условимся называть тот пояс, по которому перемещается груз Р ~ I, или
точнее— тот пояс, на узлы которого он будет передавать свое давление,
грузовым поясом. Положение груза Р = 1 на ферме будем, как и ранее,
фиксировать координатой z, отсчитываемой от левой опоры. Уравнения
опорных реакций и их линий влияния такие же, как и в балках:
I I
Для построения л. в. продольных сил в стержнях ферм применяются все
способы статического метода их определения при неподвижной нагрузке.
Начнем с рассмотрения способа простых сечений.
По этому способу необходимо провести сечение через тот стержень,
линия влияния продольной силы которого определяется, и через два других.
В фермах с простой решеткой это почти всегда возможно. Далее следует
различать два вида сечений: междуопорное, разделяющее ферму на две части,
причем на каждую из них действует одна из опорных реакций, и консольное
сечение, также разделяющее ферму на две части, причем одна из них
свободна от опорных реакций. Способ построения линий влияния зависит от вида
сечения.
1. Междуопорное сечение
Рассмотрим методику построения линий влияния на конкретном
примере. Пусть требуется построить линию влияния продольной силы стержня
1-2 фермы (см. рис. 120). Проводим междуопорное сечение /-/ через него
и два других стержня 1-3 и 2-4. За моментную точку принимаем точку k
пересечения двух других разрезанных сечением стержней. Рассмотрим
положение груза правее сечения. Условие равновесия запишем для левой
части фермы
.лев _,...., о. . ._„ ., ,. 5d (/-г) 5
2Л1"^" = A-bd + yV;.2-3rf=0, откуда N,.2 = —A
Ы I
Эту правую прямую можно построить по двум точкам. При z = О Ni.2 =
5
= — Y' при z = l Ni.2 = 0. По этим данным строим правую прямую. Ее
пригодная часть при грузе правее сечения располагается правее первого
правого относительно сечения узла грузового пояса. В нашем случае таким
узлом будет узел /.
117
.P'f
Рассмотрим положение
груза левее сечения и
составим условие равновесия
правой части фермы
откуда N,,2=—-^ = — — -^ •
Левую прямую строим также
по двум точкам:
при 2 = 0 N,.2 — О, при
Пригодная часть левой
прямой располагается левее
сечения, т. е. левее первого
левого относительно сечения
узла грузового пояса. Таким
узлом будет узел 3.
Нетрудно показать, что правая и
левая прямые пересекутся под
моментной точкой k.
Между ближайшими к
сечению ординатами,
ограничивающими пригодные части
правой прямой (под узлом /)
и левой прямой (под узлом
5), по свойству узловой
передачи нагрузки пройдет
соединительная прямая.
При построении линии влияния силы N^.4 надо, используя то же
сечение, за моментную точку принять точку / пересечения двух других
разрезанных стержней 1-2 и t-3.
При грузе правее сечения уравнение равновесия левой части
'2Mi^^ = A-2d—N2.4 9i = ^,(rmyAaN2. = A ~ =-i^:i^—
Pi « Pi
(правая прямая)
При грузе левее сечения уравнение равновесия правой части
n.B.Ns-ii I \sS?r
/"^Л"^
[Соединительная^ ^ ■'^^
прямая "~»^
Л.ЬМч-к Прочая прямая
Соединительная прямая
Рис. 120
4d
SM4P^» = —5.4Й+Л^2-4Р1 = 0. откуда N2-4 = ^
Ad
Pi ' Pi
(левая прямая). '
Пригодная часть правой прямой располагается правее узла /, а левой
прямой — левее узла 3. Соединительная прямая в этом случае совпадает
с левой прямой.
Условие равновесия левой части фермы для определения правой прямой
линии влияния продольной силы в любом стержне можно записать в общем
виде
SAlf = Лгь ± yv"" рь=0, откуда yV = Т Л-^ = Т -Ц^-^ ,
РА ' Рк
где 2ь — координата точки k, отсчитываемая от левой опоры вправо;
Рь — плечо определяемой силы N относительно точки к.
При2 = 0 ЛГ= Т-, при 2 = / N = 0.
Правая прямая проходит через точку базы под правой опорой и отсекает
под левой опорой ординату =F—'. Верхний знак принимается, когда момент
118
левой положительной
продольной силы N"^'>Ph.>0, т. е.
направлен по часовой
стрелке, а нижний — когда против.
Аналогично условие
равновесия правой части фермы
для определения жвой
прямой линии влияния
продольной силы в любом
стержне в общем виде будет
± Л^""^" Pk--
откуда
прямая
точку базы
проходит
под левой
опорой и отсекает под правой опорой ординату ±
l—^h
Верхний знак
принимается.
9k
когда момент правой положительной продольной силы
'npaePifi^O, т. е. направлен по часовой стрелке, а нижний — когда
против.
Можно показать, что во всех случаях правая и левая прямые пересекаются
под моментной точкой.
Во всех случаях пригодная часть правой прямой располагается правее
первого правого от сечения узла грузового пояса, а левой прямой — левее
первого от сечения узла грузового пояса.
Между пригодными частями правой и левой прямых располагается
соединительная прямая.
Если в сечении два других разрезанных стержня параллельны и,
следовательно, точка моментов k удаляется в бесконечность, то, сохраняя
приведенные рассуждения, можно раскрыть неопределенность в выражении
=F — путем перехода к пределу, предположив сначала точку k лежащей на
Ра
■одном из параллельных стержней, на конечном расстоянии. Однако проще
в этом случае уравнения равновесия записывать в виде суммы проекций сил
ла ось, перпендикулярную параллельным стержням.
Для поясных стержней ферм с простой решеткой плечо рь и отношение
— определяются достаточно просто. Сложнее определяются плечи для стерж-
ней решетки. Покажем их определение в общем виде (рис. 121). Могут быть
три случая: когда моментная точка k правее разрезанной панели, левее ее
и удалена в бесконечность.
Моментная точка k правее сечения (рис. 121, а):
Pfe = -
гь—а
cos а
sin у.
G.15)
где Zft — координата точки k, отсчитываемая от левой опоры;
а — координата узла верхнего пояса, к которому приложена сила N;
а — угол наклона разрезанного стержня верхнего пояса к горизонтали;
Y — угол, составленный разрезанным стержнем решетки (раскосом
или стойкой) с разрезанным стержнем верхнего пояса.
119
Моментная точка k левее сечения при 2ь > О (рис. 121, б):
Рь = ^—^sinv. G.16)
cos а
Моментная точка k в бесконечности справа
Из выражения G.15) имеем
гь cos а а
UL. =— +
Рй sinv 9k
При Zb->-00 HPfe->CXD
Zft COS a
Pfe sinv
G.17)
Из всего сказанного вытекают следующие правила построения линий
влияния при междуопорном сечении.
Выбирается моментная точка на пересечении двух других разрезанных
сечением стержней фермы, и уравнение равновесия записывается в виде
суммы моментов относительно этой точки. Если два других стержня
параллельны, т. е. точка их пересечения удаляется в бесконечность, то условие
равновесия записывается в виде суммы проекций сил на ось,
перпендикулярную этим параллельным стержням.
При грузе справа от сечения рассматривается равновесие левой
части фермы, что определяет правую прямую л. в., а при грузе слева —
равновесие правой части,- что дает левую прямую л. в.
Правая прямая проходит через точку базы под правой опорой и отсекает
под левой опорой ординату =F — . Верхний знак принимается, когда момент
Pfe
положительной силы Л^-"^", приложенной к левой части, относительно мо-
ментной точки направлен по часовой стрелке, а нижний — когда против.
Если моментная точка удалена в бесконечность, то, условно полагая ее
справа от сечения, путем предельного перехода получим согласно G.17)
гь COS а
-^ = Т — . G.18)
рь sin V
где а — угол наклона параллельных стержней к горизонтали;
у — угол наклона третьего стержня к двум параллельным.
Верхний знак принимается, когда момент положительной силы iV-"^»
относительно моментной точки, расположенной в бесконечности с п р а в а»
направлен по часовой стрелке, а нижний — когда против.
Это же значение ^ —.— вытекает и из условий прхзекции сил на ось,
перпендикулярную параллельным стержням.
Левая прямая проходит через точку базы под левой опорой и отсекает
под правой опорой отрезок ± ~ '^. Верхний знак имеет место, когда момент
Pfe
положительной силы N^p^^, приложенной к правой части фермы,
относительно моментной точки направлен по часовой стрелке, а нижний — когда
против. Если моментная точка удаляется в бесконечность, то ± ^Zlh. =;
cos а
-*- sin 7 '
Правая и левая прямые всегда пересекаются на вертикали моментной
точки. Если моментная точка удалена в бесконечность, то правая и левая
прямые параллельны.
Пригодная часть правой прямой располагается правее первого правого
относительно сечения узла грузового пояса, а левой прямой — левее
первого левого относительно сечения узла грузового пояса. Между правой и
левой прямой проходит соединительная прямая»
120
Поскольку правая прямая своим положением определяет всю линию
влияния, то построение может быть проведено так:
1) под левой опорой откладывается отрезок + — и соединяется с точкой
базы под правой опорой (правая прямая);
2) на нее сносится моментная точка k и полученная точка соединяется
с точкой базы под левой опорой (левая прямая)
3) на правую прямую сносится первый правый относительно сечения узел
грузового пояса, на левую — первый левый относительно сечения узел
грузового пояса и через полученные точки проводится соединительная
прямая. Это справедливо и для случая, когда моментная точка удалена в
бесконечность, а следовательно, правая и левая прямые параллельны.
2. Консольное сечение
Пусть для примера требуется построить л. в. Ns-e (см. рис. 120).
Проводим консольное сечение 2—2 через этот элемент и два других. За точку
моментов принимаем точку 7 на пересечении двух других разрезанных
стержней. При консольном сечении независимо от положения груза следует
рассматривать равновесие отсеченной консоли.
Груз правее сечения: ЪМ']^^ = N^.e h^ = О, откуда Ns-e = 0. Правая
прямая совпадает с базой. Так будет для всех элементов на левой консоли.
Аналогично левая прямая совпадает с базой для всех элементов правой
консоли.
Груз левее сечения. Его положение рекомендуется определять
координатой, отсчитываемой от точки моментов. Уравнение равновесия
отсеченной консоли: 2УИ^^= == —\х + Ns-e К = 0. откуда N^.e = ^ •
til
Левую прямую строим по двум точкам: при л: = О N5.6 ~ О, при х = л
И здесь правая и левая прямые пересекаются под моментной точкой 7.
Пригодная часть правой прямой расположена правее первого правого
относительно сечения узла 6 грузового пояса, а левой прямой — левее первого
левого относительно сечения узла 5 грузового пояса. Между правой и левой
прямой располагается соединительная прямая. В данном случае она
совпала с базой. Если и при консольном сечении моментная точка удалена в
бесконечность, то надо уравнения равновесия писать в виде суммы проекций
сил на ось, перпендикулярную параллельным стержням.
Характерная особенность построения линии влияния при консольном
сечении состоит в том, что независимо от положения груза — правее или
левее сечения — всегда рассматривается равновесие отсекаемой консоли.
Как следствие этого, при сечении на левой консоли правая прямая совпадает
с базой, а при сечении на правой консоли левая прямая совпадает с базой.
Поэтому нет необходимости каждый раз их определять. Точки пересечения
правой и левой прямых и границы их пригодных частей определяются как
и при междуопорном сечении.
3. Вырезание узлов
В тех случаях, когдз продольная сила проще определяется по способу
вырезания узлов, то он используется и для построения линий влияния. Так,
при определении продольной силы в стержне 1-2 (рис. 122) сечение через
него и два других стержня провести нельзя. Однако продольная сила просто
определяется из вырезания опорного узла. При построении линии влияния
способом вырезания узлов исследуются два положения груза: 1) груз вне
узла, когда он находится правее первого правого и левее первого левого узла
относительно вырезанного, если вырезанный узел принадлежит грузовому
121
Рис. 122
поясу, и при любом положении, когда вырезанный узел не принадлежит
грузовому поясу; 2) груз в узле, если узел принадлежит грузовому поясу.
Для продольной силы в стержне 1-2:
1) груз вне узла
2Y = A+N,,2=0,
откуда
1—г
N,.2=-A=^-
I
Следовательно, когда груз вне узла, л. в. N/.2 отличается знаком от
л. в. реакции А. Груз находится вне узла, когда он правее узла 3 и левее
узла 4;
2) груз в узле
2У = ^_1-{-ЛГ,.2=0. откуда М,.2=—А+\.
Так как при таком положении груза Л = 1, то продольная сила N/.i —
= О-
В пределах правой и левой относительно вырезанного узла панелей по
свойству узловой передачи располагаются две соединительные прямые.
Если вырезанный узел не принадлежит грузовому поясу, то линия влияния
на всем протяжении строится по выражениям, установленным для груза,
находящегося вне узла. Аналогично строится л. в. силы iVs-s- При грузе
вне узла, т. е. правее узла 5 и левее узла 7, N&.e = О, а при грузе в узле
5 Ns.6 = 1.
Матрицы влияния продольных сил в стержнях ферм составляются на
основе общих указаний по E.29).
§ 59. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ
И ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ В СТЕРЖНЯХ ФЕРМ ПО МЕТОДУ ЗАМЕНЫ СВЯЗЕЙ
Этот метод используется при расчете сложных ферм. При этом расчет
сложной фермы приводится к расчету простой фермы, преобразованной из
заданной посредством замены связей (стержней). Замеряющая ферма при
построении линии влияния находится ^юд действием не только груза Р = 1,
но еще и реакций выброшенных связей.
Как увидим далее, линия влияния искомой продольной силы в заданной
ферме при замене одной связи будет определяться линией влияния
продольной силы в заменяющем стержне преобразованной фермы. Прн замене
двух связей искомые линии влияния будут определяться линиями
влияния продольных сил в двух заменяющих стержнях. И так далее. Поэтому
заменяющую ферму следует выбирать так, чтобы линии влияния продольных
сил в заменяющих стержнях строились просто. Дальнейшие рассуждения
удобно проводить на примере.
122
Пусть требуется построить линии влияния опорных реакций Xi и Х^
шарнирной фермы, показанной на рис. 123, а. Отбрасываем эти опорные
связи и взамен их вводим стержни 1-2 и 3-4 (рис. 123, б). Составляем
канонические уравнения метода замены связей:
'll^l+''l2 ■^a + ^l/>=0: ''21 .Xi +''22-^а +^2Р—^'
откуда
''га /? I р + ''13 R
2Р
''11''22 — ''12 ''21
'■ц'^аг — ''12''21
Здесь RiP — линия влияния реакции заменяющего стержня 1-2
<рис. 123, б), а R^p — линия влияния реакции заменяющего стержня 3-4;
'■ц и Гха — реакции заменяющего стержня 1-2 от Х^ = 1 и Xg = 1; Tji и
fga — реакции заменяющего стержня 3-4 от Xj = 1 и Ха = 1.
Так как в заменяющей ферме от Р = 1 в стержнях С-1, С-2, D-3,
D-4 продольные силы равны нулю, то л. в. продольных сил в стержнях
1-2 и 3-4 могут быть легко построены, поскольку заменяющая ферма' есть
простая балочная шарнирная ферма на двух опорах (рис.123, в). Для опреде-
Рис. 123
123
ления коэффициентов Гц, г^^, г^^ и г^^ надо рассмотреть раздельно действие
сил Х] = 1 и Xg = 1 на заменяющую ферму (рис. 123, г).
Затем по выражениям для основных неизвестных Х^ и Х^ путем
сложения найденных л. в. в заменяющих стержнях, умноженных на
соответствующие коэффициенты, получим уравнения искомых л. в. опорных
реакций.
После того как л. в. Xi и Xj получены, построение я. в. опорных реакций
Л и fi и продольных сил в стержнях фермы может быть проведено по
выражению C.4):,
л. в. Л^г = (л. в. Xi) Лц+(л. в. Хз) Л^ггЧ-л. в. Ni.
Так, например, выражение линии влияния опорной реакции А имеет
вид (рис. 123, д)
2 1
л. в. А= ——- (л. в. Xi)—— (л. в. Xa)-f л. в. Л",
о о
где
8d—г
л. в. ^0 = -
8d
§ 60. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ И ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ В СТЕРЖНЯХ ФЕРМ
Построение линий влияния по кинематическому методу в соответствии
Ар
С выражением E.7), т. е. л. в. N =—-г-, сводится к построению эпюры вер-
■тикальных перемещений Др фермы с выключенной связью и определению
перемещения An по направлению выключенной связи. Перемещения Ар,
направленные вниз, считаются положительными. Если величина An
отрицательна, то знак линии влияния совпадает со знаком эпюры перемещений
Ар, и наоборот.
Эпюра вертикальных возможных перемещений Ар проще всего строится
при помощи мгновенных центров вращения отдельных дисков, содержащих
грузовую линию, в системе с устраненной связью. Из этой эпюры
определяется и величина Алг. Применение способа рассмотрим на примерах. Нач- •
нем с построения линии влияния продольной силы в стержне 1-2
простой фермы (рис. 124) при движении груза понизу. Выбрасываем этот
стержень и тем самым обращаем ферму в однажды изменяемую систему,
состоящую из двух дисков.
Мгновенный центр вращения второго диска относительно земли совпадает
с неподвижной опорой, а первого диска лежит на направлении подвижной
опоры. Относительный мгновенный центр дисков (/, 2) лежит в шарнире 3,
соединяющем оба диска.
Мгновенный центр (О, 1) найдем по теореме о трех мгновенных центрах,
или еще проще, заменяя мысленно второй диск стержнем. Тогда первый
диск будет присоединен к земле двумя стержнями: подвижной опорой и
воображаемым вместо второго диска стержнел^ В — A-2). На пересечении
этих стержней и лежит мгновенный центр {О, 1). Для построения эпюры
вертикальных перемещений Ар задаем поворот первому диску на угол ^ф^
(прямая ak). Линия перемещения kb второго диска пересекается с линией
перемещений первого диска под мгновенным центром {1, 2) ъ точке k и
проходит через точку базы под мгновенным центром {0,2). Затем на линию
перемещения первого диска сносим узел /, а на линию перемещения второго
диска— узел 2. Ординаты эпюры положительны, так как перемещения
направлены вниз, по направлению силы Р = \. Эпюра перемещений Ар
построена.
Чтобы получить величину An и масштаб линии влияния, надо по
общему правилу в эпюре перемещений Ар от точки k пересечения линий перемеще-
124
^4___^
j/\. / \ / Vc
\ t
/}FA
г \ Ч
:• 77
_ A.2)
/n
ЗпюраАр
<1Уг
Jb
<>o-^''**^
Л
t^H
^^^-го^"'
Рис. 124
., \ I Эпюра An
-^--^щщг^
^У'г
90° /
'^Фел,
'~^^:т'^^^^.
Рис. 125
Линия
перемещений и-го
\диска
1 j B,3)
Линия перемеш,ений ^
3-го диска /(
Линия перемеш,е^.^
пий 1-го диска ^
Линия перемеш,ении
2-го диска
Рис. 126
125.
НИИ первого и второго дисков отложить по горизонтали в любую сторону
длину перпендикуляра, опущенного из мгновенного центра (/, 2) на
направление искомой силы, и в этом месте измерить вертикальную ординату между
линиями перемещений первого и второго дисков. Эта ордината и есть
единица масштаба линии влияния. Знак A/v устанавливается так.
Предположим, что мы исследуем смещение первого диска по отношению ко второму.
По эпюре перемещений Ар видно, что первый диск по отношению ко второму
поворачивается по часовой стрелке. При таком повороте точка / первого
диска перемещается влево, т. е. в сторону, противоположную силе N, а это
значиу, что величина Ам отрицательна. При отрицательной величине An
знак линии влияния совпадает со знаком эпюры перемещений.
При построении линии влияния продольной силы в элементе /—3 той же
■фермы отбрасываем его и заменяем искомыми силами (рис. 125). И здесь
преобразованная система состоит из двух дисков. Мгновенные центры (/, 2)
и {О, 2) находятся просто, и специальных разъяснений не требуется.
Мгновенный центр {О, 1) должен находиться на линии стержня подвижной опоры и по
теореме о трех мгновенных центрах на прямой (/, 2)—{О, 2). Следовательно,
этот мгновенный центр лежит в верхнем шарнире подвижной опоры. Эпюру
перемещений Др строим, задавая линию вертикальных перемещений первого
диска под углом йц)^. Эта прямая ас пройдет через точку базы под мгновенным
центром {О, 1). Линия перемещений bd второго диска будет пересекаться с
линией перемещений первого диска под взаимным мгновенным центром (/, 2)
и проходить через точку базы под мгновенным центром {О, 2). Чтобы получить
линию перемещений грузового пояса, сносим на линию перемещений
первого диска узел / (точка с), а на линию перемещений второго диска — узел
2 (точка d).
Эпюра перемещений А/> в этом случае двузначна. Для определения по
ней величины An по общему правилу откладываем от точки k длину
перпендикуляра р и измеряем ординату между линиями перемещений первого и
второго дисков. Эта ордината и будет единицей масштаба линии влияния.
Знак An устанавливается по тем же правилам, которые были изложены
выше. По эпюре перемещений Ар видно, что первый диск поворачивается
относительно второго диска по часовой стрелке. Это значит, что если
предположить второй диск неподвижным, а первому диску задать поворот по
часовой стрелке вокруг мгновенного центра (/, 2), то точка / будет удаляться
от точки 3 И перемещение А^ отрицательно. Знаки линии влияния
совпадают со знаками эпюры перемещений Ар'.
Покажем применение способа полюсов на более сложном примере.
Ферма с выброшенным стержнем с—d, линия влияния усилия которого
определяется, представлена на рис. 126. В этом случае имеем четыре диска. Полюса
</, 2) {О, 2) {О, 3) B,3) C, 4) (О, 4) пояснений не требуют. Полюс {О, 1) найден
на пересечении линии стержня подвижной опоры и линии В—е, если диск 2
мысленно заменить стержнем В—е. Полюс {1, 3) лежит на пересечении линий
а—в и В—е, так как диски / и 5 соединены между собой стержнем а—в и
диском 2, который эквивалентен воображаемому стержню В—е. Все
полюса найдены, строим эпюру вертикальных перемещений. Линию перемещения
первого диска проводим под произвольным углом ^ф^ (линия a^k). Линия
перемещений втррого диска пересечет линию перемещений первого диска
в точке k под полюсом (/, 2) и пройдет через нуль под полюсом {О, 2) (линия
кв^. Линия перемещений третьего диска пересечет линию перемещения пер--
вого диска в точке т под полюсом (/, 3), а линию перемещений второго диска
в точке в^ под полюсом B, 3) и пройдет также через нуль под полюсом @,3).
Линия перемещений четвертого диска пересечет линию перемещений
третьего диска под полюсом {3, 4) в точке п и пройдет через нуль под полюсом @,4)
в точке q. Так будет построена эпюра перемещений Ар. По ней определим
величину An. Для этого надо от точки пересечения линий перемещений
первого и второго дисков отложить по горизонтали в любую сторону
перпендикуляр h, опущенный из полюса (/, 2) на направление сил Nd, и измерить
126
в эпюре перемещений Лр ординату между линиями перемещений первого
и второго дисков Ал?. Эту величину далее принять равной единице, в
качестве масштаба линии влияния N,^ к эпюре перемещений Ар. Знак An опять
устанавливаем путем таких рассуждений: на эпюре Ар первый диск по
отношению ко второму поворачивается по часовой стрелке. Поэтому, если на
чертеже фермы мысленно считать второй диск неподвижным и задать
первому диску поворот по часовой стрелке вокруг полюса (/, 2), то узел с будет
смещаться влево, отходить от узла d. Смещение будет против
направления силы A/(.d, приложенной к первому диску, значит An отрицательно.
Линия влияния при Ayv < О имеет знаки те же, что и эпюра перемещений Ар.
Способ мгновенных центров при построении линий влияния удобен,
когда ферма с выключенной связью содержит малое число дисков, взаимные
мгновенные центры которых и мгновенные центры их относительно земли,
определяются просто.
пояс
§ 61. ПОНЯТИЕ О ШПРЕНГЕЛЬНЫХ ФЕРМАХ
Шпренгельными фермами называются фермы со шпренгельной решеткой.
Они образуются из ферм с простой решеткой, у которых все или некоторые
панели грузового пояса путем введения дополнительных стержней,
работающих на местную нагрузку, подразделяются на части.
Фермы с простой решеткой без дополнительных стержней, составляющие
основную часть шпренгельных ферм, называются основными (рис. 127, а).
Подразделение грузового
пояса на части может быть прове- °^i' з' s' . .Грузойои
дено различно, например путем
обращения одного поясного
стержня (реже раскоса)
основной фермы в сложный элемент
(рис. 127, б, в) или путем
образования промежуточных узлов
на раскосах основной фермы
при помощи дополнительных
шпренгельных раскосов (рис.
127, г).
Сложные элементы с одним
прямым поясом, у которых все
стержни, кроме стержней
прямого пояса, работают только
на местную нагрузку, будем
называть шпренгельными
элементами, или итренгелями.
Промежуточные узлы шпрен-
гелей грузового пояса
разделяют панель этого пояса
основной фермы на части, а при ла-
личии промежуточных узлов
других шпренгелей и узлов на
раскосах основной фермы это
может быть сделано при помощи
дополнительных стоек рли
подвесок.
Образование промежуточных
узлов на раскосах треугольной
или раскосной решетки основной
фермы (рис. 127, г) можно
условно рассматривать, как
конструктивное объединение в один стер-
Рис. 127
127
Грузобой
ГрузоВой-
I ПОЙС
Рис. 129
Жень примыкающих стержней
щпренгеля и основной фермы
(рис. 127, д) и считать, что этот
стержень есть сложный поясной
элемент — шпренгель, но
только в скрытом виде (рис. 127, г).
Это дает возможность при
расчете выделять скрытый
шпренгель, один пояс которого
образован поясным стержнем
основной фермы, а другой—крайним
шпренгельным раскосом (если их
несколько) и стержнем, совпа-
даюш,им с раскосом основной
фермы, на участке от поясного
стержня до этого крайнего
шпренгельного раскоса.
Поэтому очень важно уметь при
расчете правильно выделять в ферме
скрытые шпренгели. В качестве
примера на рис. 128, а выделены
пунктиром и заштрихованы такие шпренгели. Отметим, что в данном случае
можно было бы рассматривать в качестве сложных элементов не пояса, а
стойки (рис. 128, б), но это менее удобно для расчета.
Если на грузовом поясе есть дополнительные (промежуточные) узлы,
то можно на них поставить дополнительные поперечные балки проезжей
части мостов, уменьшив пролеты продольных балок, на них опираюш,ихся,
и сделать проезжую часть в целом более легкой.
К разделению панели основной фермы прибегают в фермах большой
высоты, перекрываюш;их большие пролеты, поскольку конструктивно удобно,
а теоретически рационально, чтобы раскосы основной фермы были
наклонены к горизонтали под углом, близким к 45°.
Шпренгели, явные и скрытые, представляющие собой сложные элементы
грузового пояса, будем называть грузовыми, а представляющие сложные
элементы другого пояса — негрузовыми. Шпренгели-раскосы основной фермы
практического интереса не представляют и далее не рассматриваются.
Нагрузка с дополнительных узлов грузового пояса грузовыми шпрен-
гелями передается на основные узлы того же пояса (см. рис. 127, б, г), а не-
Рис. 128
i28
грузовыми шпренгелями — на основные узлы другого, негрузового, пояса
(рис. 129; а — верхними шпренгелями — с дополнительных узлов нижнего
пояса на основные узлы верхнего пояса; б — нижними шпренгелями — с
дополнительных узлов верхнего пояса на основные узлы нижнего пояса).
Передача негрузовыми шпренгелями давлений подвижного груза,
расположенного на дополнительных узлах грузового пояса, на основные узлы
другого пояса позволяет при построении линий влияния продольных сил
стержней основной фермы условно считать движение груза по негрузовому поясу,
когда он расположен на этих дополнительных узлах грузового пояса.
Покажем, что дополнительные стержни, обраш,аюш,ие прямой стержень
основной фермы в шпренгель, шпренгельные раскосы, а также
дополнительные стойки и подвески, передаюш,ие на шпренгель или н^ промежуточные
узлы основных раскосов давления с дополнительных узЛов грузового пояса,
работают только на местную нагрузку. Это следует, например, из
равновесия вырезанного узла 2' (см. рис. 127), в котором стержень 2'-2", а за ним
и стержни 1-2" и 2"-3' будут работать только тогда, когда узел 2' нагружен.
Стержни основной фермы работают на общую нагрузку, что не требует
доказательств.
Прямой пояс шпренгеля, явного или скрытого, совпадающий с поясным
стержнем основной фермы, работает как на местную, так и на общую
нагрузку фермы.
§ 62. СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПРОДОЛЬНЫХ сил в СТЕРЖНЯХ ШПРЕНГЕЛЬНЫХ ФЕРМ
Если в шпренгельной ферме можно провести сечение через стержень,
линия влияния продольной силы которого определяется, и еще только через
два других стержня, а такие случаи встречаются часто, то линия влияния
строится по ранее изложенным правилам с учетом промежуточных узлов
грузового пояса. Так, например, могут быть построены л. в. продольных сил
стержней 2'-3', 3'-4" и 5-6 (рис. 130), в которых пригодные части правых
прямых располагаются правее узла 6, а левых прямых — левее узла 5.
Линии влияния N4.S и Ыб-7 одинаковы с л. в. Ns-e, так как
в других случаях рассмотрим два варианта построения линий влияния.
Рис. 130
5 Зак. 763
129
Первый вариант. Ферма рассматривается как ферма со сложными
элементами и к ней применяются правила расчета таких ферм. Для этого шпрен-
гельная ферма расчленяется на основную ферму с прямыми стержнями
между основными узлами и шпренгели в виде ферм на двух опорах, дающих
вертикальные реакции при вертикальном грузе. Опорами шпренгелю служат
основные узлы пояса фермы (см. рис. 128, и). К негрузовым шпренгелям
удобно еще присоединить дополнительные вертикальные стойки или подвески!,
передающие на них давления с узлов грузового пояса, и стержни грузового
пояса, примыкающие к стойкам или подвескам в виде шарнирной цепи с
двумя опорами по ее концам, дающими вертикальные реакции от вертикального
груза (см. рис. 128, а). После такого разделения будем иметь стержни
четырех видов: 1) дополнительные стойки и подвески; 2) стержни, входящие
только в шпренгель; 3) стержни, входящие'только в основную ферму, и
4) стержни, входящие в основную ферму и шпренгель.
Построение линий влияния зависит оттого, к какой категории относится
данный стержень. Приведем некоторые указания, вытекающие из расчета
ферм со сложными элементами и свойств выделенных шпренгелей при
вертикальной нагрузке.
Линии влияния продольных сил дополнительных стоек и подвесок стро-
.ятся по способу вырезания дополнительных узлов грузового пояса.
Линии влияния продольных сил стержней, входящих только в
шпренгель, строятся, как в простой ферме на двух опорах, с учетом для
негрузовых шпренгелей условий передачи давлений груза Р = 1 на вертикальные
стойки или подвески.
Линии влияния продольных сил стержней, входящих только в основную
ферму, строятся, как в основной ферме, но с обязательным учетом
расположения шпренгелей и передачи ими давлений с дополнительных узлов
грузового пояса на узлы основной фермы.
Если все шпренгели грузовые или линии влияния продольных сил
стержней основной фермы одинаковы при езде поверху и понизу, то линии влия-
ния строятся, как для стержней, входящих только в основную ферму. Если
же все или некоторые шпренгели негрузовые, а линии влияния продольных
сил стержней основной фермы зависят от езды понизу и поверху, то линии
влияния этих продольных сил в основной ферме сначала строятся в двух
предположениях: езды понизу и езды поверху. Затем на протяжении
рассеченных панелей верхнего и нижнего поясов основной фермы, где линии
влияния при езде понизу и поверху различны, помещается груз Р = 1
в различные узлы грузового пояса и определяется, куда передается от него
давление — верхним или нижним поясным узлом основной фермы. Ордината
искомой линии влияния под данным узлам равна ординате линии влияния
при езде по тому поясу, узлам которого передается давление груза,
помещенного в этом узле. В частности, под основными узлами грузового пояса
справедливы ординаты линий влияния, построенных при езде по этому
поясу.
Линии влияния продольных сил стержней, входящих в основную ферму
и в шпренгель, получаются сложением линий влияния этих сил,
построенных раздельно в основной ферме и шпренгеле. При этом надо иметь в виду,
что линия влияния продольных сил основной фермы, различные при езде
поверху и понизу, должны быть построены с учетом передачи давлений с
дополнительных узлов грузового пояса негрузовыми шпренгелями на узлы
другого пояса, как это было изложено ранее. Рассмотрим некоторые
примеры.
Построим линии влияния продольных сил в нескольких стержнях фермы,
показанной на рис. 130. Сначала построим линию влияния продольный
силы стержня 3'-4", проводя сечение через три стержня 2'-3, 3'-4" и 5-6.
' Случаи наклонных дополнительных стоек и подвесок здесь не рассматриваются.
130
\—^—^~ж~ ^—\'~x
l.<Tt?mT>^l^^f^>r>J I
e л
^r i'
с
ъ
Рис. 131
При грузе правее сечения из равновесия левой части:
2У««« = Л + Л/^, ^., sina = 0, откуда N„. .„= _^-i—=.
sin а
При грузе левее сечения из равновесия правой части:
1 — Z
1
sin а
2у^прав^д—A'5'-4'sincc = 0, откуда N3--4" =
В
sina I sin а
Левая и правая прямые построены по двум точкам. Пригодная часть
правой прямой расположена правее первого правого узла от сечения по
грузовому поясу, т. е. правее узла 6, а левой прямой — левее узла 5.
Аналогично по тому же сечению строятся линии влияния продольных сил в
стержнях 2'-3' и 5-6, показанные на рис. 130.
Теперь рассмотрим построение линии влияния с расчленением той же
фермы, показанным на рис. 131. Сначала рассмотрим негрузовой шпрен-
i3i
гель 2'-3'-4'' с дополнительной подвеской 5-4" и дополнительными
узлами грузового пояса 4-5-6, нагрузка между которыми оказывает давление
на подвеску 5-4" (рис. 132, а).
' Линия влияния для стержня 4''-5 получается из вырезания узла 5.
При грузе вне узла Л^4».5 == О, при грузе в узле N4"-6 = 1-
Линия влияния изображена на рис. 132, б. Из вырезания узла 4"
(рис. 132) получим
^2'.4" cosP4-A/j,.^„sin a — N^o.s =0,
откуда
N2^.4"=-
N
4'-6
N
cos p + sin а
sin р
cos а
N_,
4'-S
-4" COS a
sina+cosp-
sin p
Из этих выражений следует, что л. в. N2'-4" и Мз'-4" могут быть получены
через л. в. Л^4"-5 (рис. 132, в, г).
Из равновесия вырезанного узла 2' получим
2Х = Л/2'.з' +Л/2'.4" sin р = 0, откуда Л?2'.з =
tg a + ctgp
2'
3'
«;
I
5~ 2
Л. В. N2'-3' также может быть получена через л. в. Л^4"-5-
Таким образом, рассмотрены все элементы шпренгеля.
Рассмотрим теперь некоторые стержни, входящие только в основную
ферму, например стержень 4-7 и участок 4-4" стержня 4-3'. Линии
влияния продольных сил в этих стержнях строятся с использованием сечения
J-1 (см. рис. 131). Они различны при езде поверху и понизу. Линия
влияния Мз'.4 при езде понизу — abed, а при езде поверху — abc'd (рис. 131, а).
Для получения из них л. в. N4-4" надо учесть передачу давлений шпренге-
лями на узлы негрузового пояса. Давление груза, расположенного в узлах
5 и 6, шпренгелями 2'4' и 3'4'5"
передается на узлы верхнего пояса, а потому
под этими узлами справедлива линия
влияния с ездой поверху.
Сносим эти узлы на л. в. М,ч'.4 с ездой
поверху, получаем точки е и / и соединяем
их между собой и с точками под узлами 4
VI 7 яг л. в. Мз--4 с ездой понизу. Таким
образом, получаем abefd — л. в. N4-4".
Л. в. N4-7 в основной ферме при езде
понизу — abed, а при езде поверху — аЬ'd
(рис. 131, б). Учет шпренгелей, как и в
предыдущем случае, сводится к тому, что при
положении груза в узлах 5 и 6 давление от
него будет передаваться теми же
шпренгелями на узлы верхнего пояса, значит
справедлива л. в. при езде поверху. Поэтому
узлы 5 я 6 сносим на л. в. N4-7 с ездой
поверху, получаем точки е и Д которые и
соединяем между собой. Окончательная
л. в. N4-7 (линия aefd) заштрихована на
чертеже. Она такая же, как и ранее
полученная другим и более простым путем (см.
рис. 130).
Л. в. Л/ з'-4" получается сложением л. в.
Ns'-4" в основной ферме с исправлением
на передачу давлений шпренгелями {abefd)
Рис. 132 и л. в. Ыз'.4". в шпренгеле, так как этот
S)
^)
г;
^
л В. N^n_^
\ 1 \
л.в.ы.
1
С+
■УгН
1 \
132
элемент входит в основную ферму и в шпренгель. Л. в. Ng^.r- показана
на рис. 131, в. Посредством кинематического построения этой линии
влияния можно доказать, что точка h лежит на прямой аЬ. Как видно из
рис. 130, при выбрасывании стержня 4"-3' панель 4-5 будет
принадлежать левому диску, а значит, и будет лежать на линии перемещения этого
диска. Построенная линия влияния совпадает с ранее построенной
другим, более простым способом линией влияния той же силы (см. рис. 130).
Таким образом, к разложению фермы надо прибегать только тогда, когда
нельзя провести сечение через три стержня, как, например, при построении
л. в. N4-4", N2-3 и др. Л. в. N2--S' при разложении фермы должна быть
получена как сумма линий влияния N2--S- в основной ферме и в шпрен-
геле (см. рис. 131, г). На рис. 103 в линии влияния Л^г--*- треугольник
bed есть линия влияния в шпренгеле, присоединенная к треугольнику аЬе,.
т. е. к линии влияния N4-.3- в основной ферме (см. рис. 131, г).
Построим еще л. в. N4:7. Эта линия влияния в основной ферме
зависит от езды понизу и поверху. При езде понизу продольная сила в стойке
равна нулю и линия влияния для нее совпадает с базой (линия аЬс
на рис. 131, д). При езде поверху ордината л. в. под узлом 4', как это следует
из вырезания узла 4', равна отрицательной единице, а под узлами 3' и 5'
равна нулю (линия a^dc^. Когда груз расположен в узлах 5 и 9, N4'-? = О,
так как обе л. в. при езде понизу и поверху под этими узлами имеют
ординаты, равные нулю. При грузе в узлах 5 и б он передается на узлы верхнего
пояса, значит справедлива л. в. с ездой поверху. При грузе в узле 7 вновь
справедлива л. в. при езде понизу. Снося узлы на соответствующие
предварительно построенные линии влияния при различной езде, получим
окончательно л.в. N4-.7 (линия efbhg на рис. 131).
Рассмотрим еще построение некоторых линий влияния продольных сил
в стержнях фермы (рис. 133). Стержни основной фермы изображены
жирными линиями. Начнем с построения линии влияния продольной силы
а)
S)
г)
! I ! /'
Ч I
от шпренгелей ~'
^^■■-^^^П^--^
L-----
'у7гг«яеР1^^-—-5/?^
fl.b.N-j.gii
БИ. 1----,J-I
\Соединитепьная прямая {^^ _ — "^^у
I 1
чая
fiCOSQC
l^.JihAmrmT^^^^^:^'^%
Рис. 133
133
Б стойке 7—7'. Эта л. в. в основной ферме зависит от ег\^ы поверху и понизу.
Строим ее обычным способом в двух предположениях: при езде понизу и
езде поверху. Для этого надо провести сечение /—/ и уравнения равновесия
составить в виде моментов сил относительно точки k. Л. в. при езде понизу —
abed,а при езде поверху — ab^c^d. Исправляем их с учетом передачи шпрен-
гелями 4'5' и 7'8"90' давлений на узлы верхнего пояса, когда груз
располагается в промежуточных узлах 5, 6, 8, 9. Эти узлы надо снести на л.в.
с ездой поверху; остальные узлы 4, 7, 10 — на л. в. с ездой понизу.
Окончательная л. в. N7-7' есть многоугольник abjbgd (рис. 133, а). Л. в. N?.?'
могла бы быть построена путем сложения основной л. в. с ездой понизу
{abed) и л. в. вертикальных давлений на узел 7 от шпренгелеи, опирающихся
на этот узел (рис. 133, б), создающих в стойке отрицательную продольную
силу. Наконец, эта же линия влияния может быть построена через л. в.
Ne-.? способом вырезания узла 7 с рассмотрением груза в узле и груза
вне узла.
Л. в. Ns-.7 продольной силы участка раскоса, входящего только в
основную форму, может быть построена с применением сечения 2—2 дЛя
основной фермы без всяких исправлений, так как л. в. одинакова приезде понизу
и поверху. Правая прямая пригодна до узла 7, а левая — до узла 4
{рис. 133, в). По сечению 2—2 можно сразу, не принимая во внимание шпрен-
гели, построить л. в. N4.5 = Ns-e = Ne-?, N4'-5" и N4'-?'.
На рис. 133, г показана л. в. N4--7-- Вместес л. в. Л^5"-7, показана и л.в.
N4'-5", В которой Пригодная часть правой прямой располагается до узла 5,
а левой — до узла 4.
Сложнее будет построение л. в. Ns-.e-. Дело в том, что этот стержень
принадлежит как главной ферме, так и шпренгелю 4'5'. Линия влияния
строится наложением двух линий влияния.
Резюмируя все сказанное, придем к следующим правилам.
1. Линии влияния продольных сил стержней шпренгельной фермы,
через каждый из которых и не более как через два других можно провести
сечение, строятся без разложения шпренгельной фермы.
2. Линии влияния продольных сил стержней, входящих только в
основную ферму , через каждый из которых и еще два других стержня нельзя
провести сечение, причем линии влияния в основной ферме одинаковы при
езде понизу и поверху, строятся, как в основной ферме, без всяких
исправлений.
3. Линии влияния продольных сил стержней, входящих толькб в
основную ферму, через каждый из которых и еще два других стержня нельзя
провести сечение, причем линии влияния в основной ферме различны
при езде понизу и поверху, строятся сначала, как в основной ферме при двух
предположениях: при езде понизу и езде поверху. Затем на линию влияния
с ездой понизу сносятся все узлы грузового пояса, груз в которых передает
давление на основные узлы нижнего пояса, а на линию влияния с ездой
поверху сносятся все узлы грузового пояса, груз в которых передает давление
на основные узлы верхнего пояса, и соседние ординаты соединяются
прямыми.
В частном случае, когда имеются только грузовые шпренгели, линии
влияния строятся только с ездой по этому грузовому поясу и исправлений не
требуют.
4. Линии влияния продольных сил стержней, входящих только в
шпренгели, опорами которых служат узлы основной фермы, строятся, как в
простой ферме на двух опорах.
5. Линии влияния продольных сил стержней, входящих в основную
ферму и шпренгель, получаются сложением линии влияния стержня в основной
ферме, исправленной на передачу давления шпренгелями, и линии влияния
того же стержня в шпренгеле.
6. Линии влияния продольных сил дополнительных стоек и подвесок
строятся по способу вырезания дополнительных узлов,
134
^' -^^^f^
Езда понизу
~-ч
Рис. 134
Второй вариант. Во
втором варианте шпренгельная
ферма не расчленяется на
основную и шпренгели.
Построение линий влияния ведется
на основе аналитических
выражений условий равновесия
по сечениям, проходящим
через основные и шпренгельные
стержни фермы, не
совпадающие с основными
стержнями. Поэтому сначала строятся
линии влияния продольных
сил в этих шпренгельных
стержнях, не совпадающих
со стержнями основной
фермы. Так, например, в ферме,
показанной на рис. 134,
таким стержнем будет стержень
4"-5', для которого линия
влияния продольной силы
строится через линию
влияния продольной силы
дополнительной подвески 4-4".
Линия влияния для подвески строится при помощи вырезания узла 4. При
грузе вне узла N4-4-' = О, а при грузе в узле N4.4" ~ 1 (рис. 134, а). Иа
вырезания узла 4" получим N4''-5'=-q N4.4" (рис. 134, б). Если при
построении линии влияния продольной силы в стержнях основной фермы можно
провести сечение через стержень, линия влияния продольной силы которого
определяется, и через два других, то построение линии влияния проводится
как в фермах, не содержащих шпренгели. Так может быть построена л. в.
Ns'-s' с использованием сечения /—1 и моментНой точки 5. При грузе
справа А • 16 + Na'.s' «6 = 0 и Мз'.5' = —А • -^■, при грузе слева —
—В • 32 — Ns'.s' . 6 = О и Ns'-s' = —В • ^.
Пригодная часть правой прямой расположена правее узла 4, а левой
прямой — левее узла 3. Линия влияния изображена на рис. 134, в.
Если при построении линий влияния продольных сил в стержнях
основной фермы сечение через стержень и два других провести нельзя, то
надо провести его так, чтобы третьем из других стержней оказался щпрен-
гельный. Затем составить такое уравнение равновесия, какое требовалось
бы составить, если бы шпренгельного стержня в разрезе не было.
Полученные выражения покажут, что искомую линию влияния можно построить
путем сложения линии влияния в основной ферме, если мысленно удалить
разрезанный шпренгельный элемент, и линии влияния этого шпренгельного
элемента, умноженной на коэффициент, значение которого имеется в
составленных условиях равновесия.
Покажем это на примере построения линии влияния продольной силы
в стойке 5'-5. Провести сечение через стойку и два других стержня, здесь
нельзя. Проведем его, разрезав шпренгель 4"-5'. При грузе справа из
равновесия левой части
Ns.5''^-^A~N^.,_g, cos а
При грузе слева из равновесия правой части
2Уп„ав=В —Л'
"рав
Л'
5-5
-N.
5-5
==B-N,..,
4~.ц' cosa = 0;-
cos а.
(а)
(б)
135
p=1
l-tgoL
'ЩЩЩШШШШ^^^^^^
лл.н.
©
Рис. 135
Рис. 137
Первые слагаемые в
выражениях (а) и (б)
содержатся в них и в случае,
когда шпренгеля 4"-5' нет,
а вторые слагаемые
обозначают влияние
шпренгеля. Значит, сначала надо
построить линию влияния
без учета шпренгеля, а
затем на нее наложить
линию влияния шпренгеля с
поправочным множителем
(—cos а). Линия влияния
без учета шпренгеля
обозначена abed (рис. 134, г), а
с учетом его аа^Ъ^Ьс.
Второй вариант
построения линий влияния
применяется также для ферм,
у которых дополнительные
стойки или подвески, пе-
редаю1цие давления с
дополнительных узлов
грузового пояса негрузовым
шпренгелям, не
вертикальные, а наклонные.
§ 63. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ
ВЛИЯНИЯ ОПОРНЫХ
РЕАКЦИЙ И ПРОДОЛЬНЫХ
СИЛ в СТЕРЖНЯХ
ДВУХОПОРНЫХ ФЕРМ
@,2) С РАСПОРОМ
Рассмотрим двухопор-
ные шарнирные фермы с
наклонной подвижной
опорой (рис. 135). По нашей
классификации эти фермы
балочные, но в то же время
они распорные, поскольку
при вертикальной нагрузке (см.
опорные давления от них, например
рис. 135), наклонны. Построение л. в. для таких ферм производится на
основе об1цих положений, изложенных ранее.
Линии влияниУ' опорных реакций определяются выражениями:
Va-
I-
\Ha==Va tg а = —^ tg а; Yb== \;Нв
На
G.19)
Линии влияния продольных еил в стержнях ферм наиболее просто
строятся по кинематическому методу. На рис. 136 и 137 дано построение линии
влияния продольных сил в поясных стержнях фермы. Линии влияния в этом
случае двузначные. Если бы ферма имела вертикальную подвижную опору,
то замыкающими линиями в построенных линиях влияния были линии а,&.
Сопоставление л. в. при наклонной опоре с л. в. при вертикальной опоре
показывает, что продольные силы в поясах ферм при наклонной опоре по
абсолютной величине меньше, чем при вертикальной. Линии влияния
раскосов, за исключением примыкающих к опорам, в этой ферме от угла наклона
подвижной опоры не зависят.
136
ГЛАВА 8. РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ СИСТЕМ
§ 64. ТИПЫ ТРЕХШАРНИРНЫХ СИСТЕМ
Трехшарнирной системой называется система, состоящая из двух дисков,
соединенных между собой шарниром С (рис. 138, а, б) и с землей двумя
неподвижными опорами Л и В. Если шарнир С расположен выше линии
опорных шарниров А—В, система называется арочной, если ниже — висячей.
Трехшарнирная система неизменяема, так как недостающий стержень между
дисками возмещен дополнительной опорной связью.
Трехшарнирные системы статически определимы относительно реакций
связей между дисками, что следует из выражения B.5). Они в отличие от
балочных систем являются системами распорными, производящими даже при
вертикальной нагрузке наклонные давления на опоры (рис. 138, а, б). Это
легко установить путем следующих рассуждений.
Реакция неподвижной опоры В при вертикальной силе Р на левом диске
должна по свойству незагруженного правого диска проходить через
шарнир С. Эта реакция В пересечет силу Р в точке т. Так как к левому диску
приложены три силы: сила Р, опорная реакция А и реакция в шарнире С,
равная реакции В и совпадающая с ней по направлению, то при равновесии
все силы должны пересекаться в одной точке. Следовательно, опорная
реакция А направлена по прямой А — т. Тлкимобразом, при вертикальной
нагрузке опорные реакции наклонны. Вертикальная нагрузка, направленная
вниз и действующая на арочную систему (рис. 138, а), стремится раздвинуть
опоры, как бы «распирает» их, а действующая на висячую систему
(рис. 138, б) стремится их сблизить. Поэтому трехшарнирные системы
являются распорными. Подопорные части трехшарнирных систем (устои,
быки) отличаются от подопорных частей балочных систем, так как они должны
принимать на себя при вертикальной нагрузке не только вертикальные, но
и горизонтальные давления. В тех случаях, когда надо избавиться от
горизонтальных давлений при вертикальной нагрузке, трехшарнирную систему
обращают в балочную путем замены неподвижной опоры подвижной и
постановки стержня между дисками, называемого затяжкой (рис. 138, в).
Такие неизмененные системы называются трехшарнирными системами с
затяжкой, поскольку внутренние силы в дисках, если затяжка поставлена
между точками Л и В, не изменяются. Если затяжка поставлена выше
(рис. 138, г), то систему будем называть
/pjL г трехшарнирной с повышенной затяжкой.
^■) /^жтТ^'^йп^ Ее работа отличается от работы обычной
трехшарнирной системы.
4^
Рис. J 38
Рис. 139
137
в зависимости от того, что представляет собой диск; входящий в
трехшарнирную систему, различают: при кривом стержне трехшарнирную
арку (рис. 139, а) или высячую систему, при ломаном стержне трехшарнирную
раму (рис. 139, б) и, наконец, трехшарнирную ферму, если каждый диск
представляет собой ферму (рис. 139, в). Трехшарнирные системы находят
применение в различных сооружениях — мостах, промышленных и
общественных зданиях, вокзалах и т. д.
§ 65. АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ
ТРЕХШАРНИРНЫХ СИСТЕМ НА НЕПОДВИЖНУЮ
НАГРУЗКУ ПО СТАТИЧЕСКОМУ МЕТОДУ
Расчет трехшарнирных систем начинается с определения опорных
реакций.
В двух неподвижных опорах имеют место две реакции неизвестной
величины и направления. Каждую из них удобно разложить на две
составляющие по заданным направлениям. Удобнее всего раскладывать по
вертикальному направлению и по линии АВ опорных шарниров. Вертикальные
реакции обозначим Va У1 Vb и назовем их балочными, а наклонные силы,
действующие по прямой АВ, обозначим Za а Zb а назовем арочными силами
(рис. 140). Хотя неизвестных составляющих реакции и четыре, но, как уже
было Сказано, система все же статически определима. Наличие в системе
промежуточного шарнира С позволяет приравнивать нулю момент сил,
лежащих по одну сторону ОТ'него, что и дает дополнительное уравнение
помимо трех уравнений равновесия.
Уравнения равновесия для определения опорных реакций удобно
записывать в такой последовательности:
DMg^O, из которого определяется V^;
2М^ = 0', из которого определяется V^;
2М2^^ = 0, из которого определяется Z^;
2М^Р^° =0, из которого определяется Z^.
(8.1)
Из первых уравнений (8.1) видно, что реакции Va и Vb определяются как
в простых балках. Поэтому они и названы балочными реакциями.
После определения опорных реакций расчет трехшарнирных систем,
как и балочных систем, сводится к определению внутренних сил. При
определении внутренних сил в системе пользоваться наклонными
-составляющими опорных реакций Za а Zb неудобно, поэтому их в свою очередь
раскладывают на горизонтальные и вертикальные составляющие.
Горизонтальные составляющие И а и Ив называются распорами.
Величина горизонтальных и вертикальных составляющих Za и Zb:
Я^ = 2^со8р; Hb = Zj^cos^; (8.2)
AKg=-ZBSinp= -Wstgp.
(8.3)
Полные вертикальные составляющие полных реакций при разложении
их на вертикальные и горизонтальные составляющие выражаются так:
v*A-VA+fiA^s^;
1 Если нагрузка на систему только вертикальная, то из условия
равновесия 2Z = О получим, что арочные силы и распоры равны между собой, т. е.
Za = Zb = Z и На = Нв.= И.
Составим в общем виде выражения заменяющих сил трехшарнирной
арки от вертикальной нагрузки, выразив их через изгибающий момент М^^
138
Рис. 140
И поперечную силу ЦГ" простой
балки такого же пролета и от такой же
нагрузки (рис. 141). Продольную
силу, вызывающую сжатие арки, будем
считать положительной. На
основании этого можем записать:
Мь
-Ml'^-Hy^:
Ch = QPcos(^-«(sina-
(8.5)
tgticosa); (8.6)
Nh = Q.t^'' sin а+Я(со5 a + tg p sit) a): (8.7)
Рис. 141
Из этих выражений видно, что
изгибающие моменты и поперечные силы
в арках меньше, чем в балках. Но зато в арках действует продольная сила,
которой нет в балках. Балка работает на изгиб, тогда как арка работает на
изгиб со сжатием. Изгибающие моменты в арках, как это видно из
выражения (8.5), зависят от ее ординат 1/^, которые можно подобрать так, чтобы
уменьшить или обратить в нуль изгибающие моменты (см. § 68) и заставить-
арку работать только на сжатие. В балках изгиба избежать нельзя. Поэтому
на арку меньше расходуется материала, чем на балку равного пролета, и
аркой можно перекрывать большие пролеты, чем балкой равного объема.
При экономическом сопоставлейии арки и балки не следует забывать также
о действии наклонных давлений арки на опоры, которое требует увеличения
размеров подопорных частей арок.
§ 66. ГРАФИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ СИСТЕМ
НА НЕПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ ПО СТАТИЧЕСКОМУ МЕТОДУ
1. Определение опорных реакций
Предположим сначала, что только на левую часть трехшарнирной
системы действует сила /?лев (рис. 142, а). В этом случае легко установить
направление опорных реакций. Реакция Бдев должна проходить через
шарнир С. Значит, в точке С на левый диск действует Сила В. К левому диску
приложены три силы: нагрузка /?лев. реакция В^^^ в точке С и реакция
Лдвв в точке А. Так как диск в равновесии, то они пересекаются в одной
точке т, которая лежит на пересечении линии действия известных сил
/?лев и ^лев- Таким образом определяется линия действия опорной
реакции А„ев- Теперь остается уравновесить силу R^^^ двумя силами
найденных направлений. Для этого строим силовой треугольник, откладывая
силу Raea И ИЗ бе верхнего конца проводя линию, параллельную реакции
Лдев, и ИЗ нижнего конца — параллельную реакции Вдев- Стрелки на
си^^овом треугольнике расставляем так, чтобы они следовали одна за
другой. Так определяют величину и направление реакции от нагрузки,
расположенной на левом диске.
Аналогично определяются реакции от нагрузки на правом диске
(рис. 142, б). В этом случае заведомо известна линия действия реакции
йцрав> которая должна проходить через шарнир С. Она будет пересекаться
13»
Рис. 142
с силой /?прав В точке п. в этой же
точке с этими силами будет
пересекаться и реакция В^^^^^. После этого
можно построить силовой
треугольник и определить величину и
направление реакций от нагрузки на
правом диске системы.
Если имеются нагрузки
одновременно на левой и правой частях
системы, то каждую нагрузку следует
рассмотреть самостоятельно, по
принципу независимости действия сил (рис.
142, в). Разница заключается только
в том, что силовые треугольники надо
строить в одном масштабе и так, чтобы
за /?лев следовала ^?прав. а затем
полученные реакции Лдев и Л^рав и В^^^
и finpaB геометрически сложить. Для
этого на сторонах Влев и ^ппав надо
построить параллелограмм с
вершиной О. Паралллельно смещая Лцрав и
5лев ДО совпадения со сторонами
параллелограмма, проведенными
пунктиром, получим возможность сразу
геометрически сложить реакции, так
как после такого смещения сое тавляю-
щие реакций будут следовать одна за
другой. Таким образом, получим
полные реакции А vi В. Полный многоугольник сил при таком построении
будет замкнут. В нем силы расположены в такой же последовательности,
что и на арке, при обходе ее по часовой стрелке. За силой R^^^ следует
сила /?прав. за ней реакция В и, наконец, реакция А.
2. Многоугольник равнодействующих и веревочная кривая
Многоугольник равнодействующих — это веревочный многоугольник
для действующих на систему сил, но не случайный, а построенный при
специальном полюсе таким образом, что первый луч проходит через левый
опорный шарнир А (рис. 143, а). За полюс в силовом многоугольнике
принята точка О, которая лежит на конце вектора реакции Вив начале
вектора реакции А. Первый луч силового многоугольника О — а^ (рис. 143, б)
определяет реакцию А по величине и направлению, а первый луч
веревочного многоугольника А — k есть линия ее действия. Второй луч силового
многоугольника О — Ь^ определяет
собой равнодействующую опорной 1}„^е\ ^'^
реакции А и силы Pj, имеющую
начало в полюсе О, а второй луч
веревочного многоугольника k — т
есть линия действия этой
равнодействующей. Аналогично третий
луч силового многоугольника О—
Ci определяет равнодействующую
реакции А и сил Р^ и Р^ с
началом в полосе О, а третий луч
веревочного многоугольника т — п
есть линия действия этой
равнодействующей. На каждом данном
участке арки равнодействующая
^1^лев
Рис. 143
140
сил, соответствующая определенному лучу веревочного многоугольника,
■ есть равнодействующая всех левых сил. Поэтому, обобщая, можно сказать,
что каждый луч веревочного многоугольника есть линия действия раенодей-
ствующей всех левых сил, величина которой определяется соответствующим
лучом силового многоугольника. В силу этого обстоятельства третий луч
веревочного многоугольника на рис. 143 обязательно должен проходить
через шарнир С, так как иначе равнодействующая левых сил не проходила
бы через эту точку, что невозможно.,Также и четвертый луч веревочного
многоугольника должен по тем же соображениям проходить через
шарнир В.
Поскольку каждый луч веревочного многоугольника и соответствующий
ему луч силового многоугольника вполне определяют равнодействующую
левых сил, то веревочный многоугольник и назван многоугольником
равнодействующих.
Даем сводку полученных результатов:
• 1) многоугольник равнодействующих — это специальный веревочный
многоугольник для заданной нагрузки, построенный при полюсе О, где
сходятся в замкнутом силовом многоугольнике, построенном при обходе
системы по часовой стрелке, реакции Л и Я с первым лучом, проходящим
через шарнир А;
2) многоугольник равнодействующих и силовой .многоугольник
полностью определяют для любого сечения равнодействующую левых сил,
так как каждый луч многоугольника равнодействующих есть линия
действия ее, а соответствующий луч силового многоугольника, при котором
построен многоугольник {)авнодействующих, есть вектор равнодействующих
левых сил;
3) многоугольник равнодействующих обязательно должен проходить
через шарниры В п С.
Если арка нагружена сплошной нагрузкой, то при построении
многоугольника равнодействующих нагрузка может быть заменена несколькими
сосредоточенными грузами. При беспредельном увеличении количества
сосредоточенных сил, заменяющих распределенную нагрузку, многоугольник
райнодействующих на этом участке превращается в кривую
равнодействующих или, иначе говоря, веревочную кривую, а многоугольная цепь
внешних сил в многоугольнике сил — в силовую кривую или прямую.
Касательная к веревочной кривой определяет линию действия
равнодействующей левых сил, а величина равнодействующей определяется лучом до
силовой кривой, параллельным этой касательной.
Уравнения многоугольника равнодействующих и веревочной кривой
могут быть найдены из условия равенства нулю момента всех левых (или
правых) сил относительно какой-нибудь их точки. Это условие при вертикальной
нагрузке позволяет просто найти уравнение многоугольника
равнодействующих или веревочной кривой. Запишем условие в этом случае в общем
виде:
где М^^^ — момент от левых вертикальных сил, равный изгиба[Ющему
моменту в простой балке от той же вертикальной нагрузки;
у — вертикальная ордината многоугольника равнодействующих
или веревочной кривой, измеряемая от линии опорных шарниров
А—В.
Отсюда получаем
д^бал
у= (8.8)
Это есть уравнение многоугольника равнодействующих или веревочной
кривой в общем виде. Из него можем получить дифференциальное уравне-
141
ние веревочной кривой. Для этого продифференцируем выражение (8.8>
дважды:
dig 1 с;г/ибал у ■
dzi ~ и dzi "" , Я *
где д — интенсивность распределенной нагрузки.
(8.9>
3. Определение заменяющих (внутренних) сил
Многоугольник равнодействующих и силовой многоугольник полностью^.
определяют для любого сечения равнодействующую левых сил по величине
и положению, по которой и могут быть найдены внутренние силы М, Q и
N (рис. 143, в). Однако практическое значение определения внутренних сил
по многоугольнику равнодействующих в настоящее время не велико. Н»
зато многоугольник равнодействующих дает наглядное представление о
работе арки. Так, например, по выражению изгибающего момента
можно судить о том, что если многоугольник равнодействующих
приближается к оси арки или рамы, то изгибающие моменты уменьшаются. Если
же многоугольник равнодействующих совпадает с осью рамы, а веревочная
кривая — с осью арки, то изгибающие моменты равны нулю.
§ 67. МНОГОУГОЛЬНИК и КРИВАЯ ДАВЛЕНИИ В АРКЕ
Линия, соединяющая центры давлений в поперечных сечениях арки.^
называется многоугольником давлений — при сосредоточенных нагрузках
и кривой давления — при распределенных нагрузках.
Покажем, что многоугольник и кривая давлений, вообще говоря,
отличаются от многоугольника равнодействующих и веревочной кривой.
Рассмотрим сначала многоугольник равнодействующих и
многоугольник давлений при сосредоточенных силах (рис. 144, а). Многоугольник
равнодействующих состоит из прямых аЬ и be. Центры давлений в сечениях арки
левее сечения d^ и правее сечения d^ лежат на многоугольнике
равнодействующих и, следовательно, на участках а — /ив — с многоугольник
давлений совпадает с ним.
В сечении на ds левее точки при;1ожения силы Р центр давления будет
в точке /, а в сечении на ds правее — в точке 2. поскольку равнодействую-
Селения
Левая
нагрузка'
'
'1
'
>
'^
У^
\
С
^
ф
^1
ПраВо^
HI
'
'J
ггр
>
узк
а
• 1
' 1
'^Х-^—1
■^ ^'
\ /^^*^^
/Ч^*^
">.
1
Bfin
/
Кйг.
хрибая'
Рис. 144
142
■щая левых для него сил совпадает с лучом be. Многоугольник давления со
стоит из прямых al и 2с я в этих двух бесконечно близких сечениях около
силы Р имеет разрыв. Таких разрывов около сосредоточенных сил не будет
только там, где сосредоточенные силы направлены по нормали к оси арки.
В этих случаях многоугольник давлений будет совпадать с
многоугольником равнодействующих.
Теперь рассмотрим веревочную кривую при распределенной нагрузке.
Равнодействующая левых сил направлена по касательной к веревочной
кривой на границе левых и правых нагрузок (рис. 144, б). В случае
вертикальной нагрузки равнодействующая проходит через точку т,
расположенную на вертикали раздела левых и правых нагрузок. Она пересекает
сечение в точке k, не лежащей на веревочной кривой. Это значит, что кривая
давлений, как это часто бывает, не совпадает с веревочной кривой.
Эти кривые при распределенных нагрузках совпадают, если нагрузки
направлены по нормалям к оси арки. Кроме того, они будут совпадать п
случае, когда ось арки совпадает с веревочной кривой, а сама нагрузка
ппиложена к оси арки.
§ 68. РАЦИОНАЛЬНАЯ ОСЬ ТРЕХШАРНИРНОИ АРКИ
/
Теоретически рациональной осью арки будем считать такую ось, при
которой теоретический объем материала арки при обеспечении надлежащей
прочности будет наименьшим. В общем случае в арке произвольного
очертания от заданной нагрузки возникают внутренние силы N, Q и Л1. Площадь
поперечного сечения арки будет функцией этих величин и характеристики,
■материала о о. т. е.
F=t(N,M,Q, ...,а„).
Вид этой функции будет зависеть от выбранного метода подбора сечений.
Соответственно объем арки равен:
V^^t,(N,M,Q a„)ds. (8.10)
Содержащиеся в этом выражении величины внутренних сил М, Q и
N при заданной нагрузке изменяются с изменением оси арки. Таким
образом, определение рациональной оси арки сводится к задаче о минимуме
интеграла (8.10) при варьировании оси арки, которая даже в простых
случаях весьма сложна. Однако некоторые качественные результаты могут
<)ыть получены на основании следующих простых соображений.
Непосредственный опыт проектирования и результаты проведенных расчетов
показывают, что при изменениях оси арки и при неизменных пролете и стреле
подъема длина оси арки и продольная сила N в ней изменяются
незначительно, тогда как изгибающий момент М и поперечная сила Q изменяются
существенно. Наличие же М и Q при прочих равных условиях вызывает всегда
значительное увеличение сечений, а следовательно, и значительное
увеличение теоретического объема арки. Поэтому минимальный теоретический
объем арки следует ожидать в том случае, когда изгибающие моменты
в ней, по всем ее сечениям, будут равны нулю.
А это значит, что рациональная ось арки совпадает, с кривой давления. Это
хорошо известное правило, проверенное практикой проектирования; его
обычно стараются соблюдать при назначении оси арки, при заданной не-.
подвижной нагрузке.
Как было установлено, кривая давления, вообще говоря, не совпадает
■с веревочной кривой и совпадает с ней, если ось арки совпадает с кривой
равнодействующих, а нагрузка приложена к оси арки. Такие случаи мы
и будем рассматривать, считая рациональной осью такую ось арки,
которая совпадает с веревочной кривой. Определение веревочной кривой для
заданной нагрузки зависит от того, изменяется ли сама нагрузка С измене-
]43
нием оси арки или нет. Если строго учитывать собственный вес арки, то
нагрузка на арку всегда будет зависеть от ее очертания. Если же
собственный вес арки учитывать приближенно, то могут быть случаи, когда
действующая нагрузка не зависит от очертания арки.
§ 69. РАЦИОНАЛЬНАЯ ОСЬ ТРЕХШАРНИРНОИ АРКИ
ПРИ ВЕРТИКАЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ, НЕ ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ЕЕ ОЧЕРТАНИЯ
В арке с рациональной осью моменты во всех сечениях равны нулю. При
вертикальной нагрузке это можно выразить так:
где Mt^ — изгибающий момент в простой балке от заданной нагрузки;
г/ь — вертикальная ордината оси арки, отсчитываемая от линии
опорных шарниров А—В.
Если вертикальная нагрузка не зависит от очертания арки (рис. 145),
то и реакции арки не зависят от него. Реакции зависят только от
положения шарниров А, В к С я, следовательно, М^^^ также не зависит от
очертания арки. Поэтому
У^^мр^-.Н.
(8.11)
Это и есть уравнение рациональной оси арки, совпадающей с веревочной
кривой, при нагрузке, не зависящей от очертания арки. В этом случае
рациональная ось арки определяется формой эпюры изгибающих моментов в
простой балке М^^ от нагрузки, действующей на арку. Так, например, при
равномерной нагрузке эпюра изгибающих моментов в балке изображается
квадратной параболой. Следовательно, и рациональная ось арки есть
квадратная парабола (рис. 146, а). Если
заданная нагрузка изменяется
линейно (рис. 146, б), то эпюра
изгибающих моментов в простой балке
и рациональная ось арки суть ку- jk^^ '' ^**^>^,>^вадратная
бические параболы. У^ ^<^паробо/!а
[ I j J J j j J j j j I J 11
g^rr-rrrrnTTTX
'j^
Кубическая
парабола
Рис 145
Рис, 146
144
§ 70. РАЦИОНАЛЬНАЯ ОСЬ ТРЕХШАРНИРНОИ АРКИ
ПРИ ВЕРТИКАЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ, ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ЕЕ ОЧЕРТАНИЯ
Составим дифференциальное уравнение рациональной оси арки,
совпадающей с веревочной кривой. Рассмотрим бесконечно малый элемент
арки рационального очертания, внутренние силы в которой сводятся
только к продольным силам (рис. 147). Составим условие равновесия элемента
в вще проекции сил на ось г:
^Z=N cos а —(N + dN) cos (а +da) = 0
или
/Vcos а —[A'cosa4-ii(A'cosa)]=0,
откуда получаем d (N cos a) = О, a это значит, что
^V cos а = я = const. (8.12)
Теперь составим условие равновесия в виде суммы проекций сил на ось у,
^Y = N sin а-\-д (г) dz~(N + dN) sin (a-\-da)^0
или
N sin a + 9(г) dz—lN sin a + d(N sin a)}=0.
Или иначе ^ (N sin a) = q (г).
Используя (8,12), получим
— (Wtga=—- W-f- =Я —2- = о(г),
dz dz \ dz J dz-i ^^ ''
откуда будем иметь дифференциальное уравнение рациональной оси,
совпадающей с веревочной кривой.
d2 (, q (г)
dz^
н
(8.13)
Оно такое же, как и уравнение (8.9).
Нагрузка, действующая на арку, мржет различным образом зависеть от
очертания арки. Рассмотрим лишь один частный случай симметричной арки
с нагрузкой, выражение которой таково (рис. 148):
'7B) = <?о + 71/. (8.14)
Дифференциальное уравнение (8.13) для такого случая имеет вид
rf2 у
с(г2
Яа+УУ
ИЛИ
dz2
— k2y =
Н
fe2, (8.15V
где k^ = ^, a Н
распор арки.
.9*
Рис. 147
145
Решение уравнения (8.15) имеет вид
(/= А sh kz+Bch kz ~.
Y
Соответственно • >
^ du
~-=kA ch kz + kB sh kz.
dz
Постоянные интегрирования определяем из условий в начале
координат для симметричной арки:
dy
при г = 0 = 0, что дает Л = 0;
dz
Яо
при г = 0 и —О, что дает В= .
Y
Уравнение рациональной оси принимает вид
Qn
«/ = -^(Chfe2 —1). (8.16)
У I
Кривая, определяемая этим уравнением, называется катеноидом.
Запишем уравнение (8.16) в другом виде. Для этого сначала, используя
(8.14), получим следующее равенство: ,
Япят = Яо + у1,
откуда у^9пят-9о ^ ч, (т-1) ^ ^де m = -^^^з:.
Подставляя выражение для у в (8.16), будем иметь
(chfez —1). Г8.17)
m— 1
Параметр кривой k^ — тт определяется по условию прохождения оси арки
через опорную точку, т. е. при г = -^, у ■= f
откуда
ь; _ / V 2
(8.18)
'" = ch-^„ fe=|/ -^= —arch m.
После определения k легко получаем выражение для распора арки от
нагрузки
Y Qn{m — 1)
Продольная сила в любом сечении арки
N = = Hyi + tg2a ,tga = -^ = —'—feshfez;
Cos a az m—1
м^иуГ
fe2/2
/" ft2 /2 kl /
Л^макс-Я|/ 1+ ^^^-^ sh2— =Я]/ l + fe4---±t . (8.21)
m — 1
146
Вертикальная составляющая опорной реакции определяется проекцией
силы Л^мако иа вертикальную ось:
^ = ломаке sin «пят = Я tg а
пят»
y=H-^^^k%\^k—. . (8.221
Если нагрузка изменяется по закону
то дифференциальное уравнение (8.13) имеет вид
где ^? = 7i ■ ^•
Интегрируя это уравнение, полунаем
{/ = Csin fexz+i)cosfei2+-— .
7i
Соответственно
йг
По условиям в начале координат:
= feiCcos kxz — feiDsin kx г.
1) при г = 0 =0, что дает С=0;
dz
2) при 2 = 0 {/=0, » » D=—2i-
71
Теперь уравнение оси арки будет
у = A—cos^i г)= A — cos feiz),
где mi = <1..
Параметр кривой ^^iопределяется из условия
1=- ( 1—cos^Ji—- ),
1 —mj V 2 ;
откуда
/"vi" , 2
— = —a)-cos «t.
Так же легко можем получить выражения, аналогичные (бЛЭ)—(8.22).
Сжимающие напряжения в арке с рациональной осью от постоянной
нагрузки определяются по формуле
От подвижной нагрузки в арке возникают изгибающие моменты и тогда
напряжения определяются по другой формуле:
"= J ±-~^-'
В тех случаях, когда напряжения во всех сечениях арки от постоянной
и временной нагрузох сжимающие (а иногда малые растягивающие
напряжения), арка может быть выполнена из материалов, хорошо работающих на
сжатие и плохо — на растяжение, как, например, из камня (каменные
мосты) и из бетона (бетонные мосты).
147
§ п. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ОСИ ТРЕХШАРНИРНОИ АРКИ
ПО СПОСОБУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ
На основе принятых упрощенных предпосылок рациональная ось трех-
шарнирной арки совпадает с веревочной кривой при распределенных
нагрузках и с многоугольником равнодействующих при сосредоточенных
нагрузках. Совпадение оси арки с веревочной кривой или многоугольником
равнодействующих в тех случаях, когда нагрузка зависит от очертания арки,
можно получить путем последовательных приближений. Последовательные
приближения могут быть выполнены как аналитически, так и графически.
1. Аналитическое решение
Сложность интегрирования дифференциального уравнения (8.13)
состоит в том, что нагрузка q B) есть функция неизвестного очертания арки.
Для выражения нагрузки задается уравнение какой-либо кривой, близкой
к оси арки. После этого производится интегрирование дифференциального
уравнения (8.13). Полученная веревочная кривая принимается за новую
исправленную ось, по которой снова определяется интенсивность нагрузки
<j, и уравнение (8.13), в котором правая часть уже определена, снова
интегрируется. И так до тех пор, пока последующая веревочная кривая будет
достаточно близка к предыдущей. Во многих случаях второго приближения
быварт достаточно. Так, например, для случая, когда q (z) = 9о + W>
Дифференциальное уравнение (8.13) имеет вид
d^y ^ fo + yy
dz2 Н
В первом приближении для его правой части положим у = -j^, тогда
^J^ = 1o + y^-
Интегрируем первый раз Н -— = q^z + у —г + С. Постоянную
интегрирования С определим из условия: при г = О ^^ = О, что дает С = 0.
Интела v/i z'^
грируем второй раз Яг; = ^о у + 75-3 +D- Постоянную интегрирования D
определяем из условия: при г = О г/ = О, что дает D = 0. Следовательно,
Получено уравнение веревочной кривой второго приближения. Оно
определяет ординаты, близкие к ординатам, вычисляемым по уравнениям
{8.16) и (8.17). При необходимости решение может быть уточнено
дальнейшим приближением.
2. Графическое решение
Графическое решение основано на тех же операциях, которые
применяются в аналитическом решении, но проводятся они графически. При этом
необходимо выполнить следующее:
1) задать случайную ось арки и определить действующие нагрузки;
2) разбить распределенные нагрузки на сосредоточенные и построить
многоугольник равнодействующих;
3) за новую ось принять кривую, лежащую между старой осью и
многоугольником равнодействующих (ближе к последнему), и операцию
повторить. И так до тех пор, пока новый многоугольник равнодействующих
не будет достаточно близок к предыдущему.
Способ последовательных приближений применим для любых нагрузок.
J48
§ 72. РАЦИОНАЛЬНАЯ ОСЬ
ТРЕХШЛРНИРНОЙ АРКИ
ПРИ~РАДИАЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ
Рассмотрим равновесие бесконечно
малого элемента арки при радиальной
нагрузке (рис. 149). Возьмем сумму моментов
сил относительно центра кривизны
элемента:
2Ма = Л'р —(A/ + diV)p = 0,
откуда получаем, что dN = О, а это значит,
что N = const. При радиальной нагрузке
продольная сила в арке, очерченной по вере- р^^. j^g
точной кривой, постоянна по всей ее длине.
Составим теперь сумму проекции сил на направление биссектрисы угла:
da da
ILU — N sin —— Ч-Л' sin — qds = 0.
Производя замену sin -g- = -g" » получаем qp=N = const. Радиус
кривизны арки
Л' = const
(8.23)
Радиус кривизны арки обратно пропорционален интенсивности дейст-
еующей нагрузки. Выражение (8.23) есть дифференциальное уравнение
рациональной оси арки, совпадающей с веревочной кривой, при радиальной
нагрузке, решение которого обычно бывает сложным. Для случая, когда
q = const, р = const, и эта кривая есть дуга окружности.
§ 73. СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ
ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ В ТРЕХШЛРНИРНОЙ АРКЕ
Линии влияния необходимы при расчете на подвижную нагрузку
мостовых арок, когда арка является основной несущей конструкцией моста.
В таких случаях над ней или под ней (см. рис. 61) имеется так называемое
«надарочное» или «подарочное» строение для образования ездового полотна.
Таким образом подвижная нагрузка на арку передается через «надарочное»
или «подарочное» строение. Если это строение статически определимо, то
оно образует узловую передачу подвижной нагрузки на арку. В таких
случаях линии влияния строятся вначале без учета узловой передачи нагрузки,
а затем вносятся исправления на узловую передачу (см. рис. 61). Поэтому
здесь и далее рассматривается построение линий влияния при
непосредственном действии подвижного груза Р = 1 на арку.
1. Линии влияния балочных реакций
Аналитические выражения опорных реакций от Р = 1 имеют вид:
1^^ = 1
/
Vb=1-^
Они совпадают с выражениями реакций в простой балке. Линии влияния
опорных реакций Va и Vb изображены на рис. 150.
149
\p=f
'['^^^^щ^т^^^^'^'^
t Лб. Vc
-^^шщшщщщ]]:^
f(h*i^)
tgp,
Рис. 150
2. Линия влияния распора
Общее выражение распора при
вертикальной нагрузке из (8.5)
Я =
М,
бал
i
ВЛИЯНИЯ распора Н представляет
средним шарниром Сие ординатой в
Из него следует, что линия
влияния распора Н может быть
построена с использованием линии
влияния момента М*"-" в простой
балке для сечения с координатой
/j, если ее ординаты разделить на /.
Поэтому в соответствии с
правилами построения линии влияния
моментов в простых балках
отложим под левой опорой отрезок у-
и, соединив его с точкой базы под
правой опорой, получим правую
прямую; под правой опорой отло-
и
жим отрезок J и, соединив его с
точкой базы под левой опорой,
получим левую 'прямую. Линия
собой треугольник с вершиной под
вершине, равной --—гттт •
3. Линии влияния полных ве|)тикальных составляющих реакций
Полные вертикальные составляющие реакций определяются по
формулам (8.4). Поскольку они выражаются через Vа-, Vb и Я л и н е й н о, то
их линии влияния могут быть получены сложением известных линий
влияния У А, У в и Я, умноженных на соответствующие поправочные
коэффициенты, как это следует из (8.4), по следуюхцим выражениям:
л. в. У\=-л. в. Уа-\-(л. в. Я) tg Р; л. в. У'в^л. в. Vb—(л. в. Я) tg р.
§ 74. СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ
ВЛИЯНИЯ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ, ПРОДОЛЬНЫХ
И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ В ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКЕ
Линии влияния внутренних сил строятся на основе их обших выражений
по (8.5) — (8.7):
(8.24)
(8.25>
(8.26)
<бал_
Л. В. Мй=Л. в. M^^'^ — (,Л. в. Я) I/ft;
л. в. Сй = (л. в. Q^^-") cos а—(л. в. Я) (sin а —tg Р cos а);
л. в. Ык = (л. в. Q?^■")sina^-(л. в. Я) (cos а+tg Р sin а).
Это значит, что линии влияния внутпенних сил М^, Q^ и N^ могут быть
получены сложением известных л. в. М^^", Qt^ и Я, умноженных на
соответствующие коэффициенты выражений (8.24)—(8.26),чтоприводит к простым
правилам построения л. в. Мь, Qh и A^h в арках, которые наиболее просто
и наглядно вытекают из кинематического метода. Там они и будут
изложены.
150
§ 75. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ
влияния ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ, ПРОДОЛЬНЫХ
И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ В ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКЕ
1. Линия влияния изгибающего момента ■
Арка с выключенной связью, допускающая перемещения по
направлению изгибающих моментов Ми, показана на рис. 151. Она представляет
собой однократно изменяемую систему. Уравнение линии влияния по E.7)
л. в. Mfi--
^м
На схеме арки показаны взаимные мгновенные центры вращения дисков:
{О, /), (/, 2), B, 3), {О, 3). Диск 2 соединен с землей двумя дисками / и 5,
которые эквивалентны двум связям первого вида Ak и СВ. Значит,
мгновенный центр (О, 2) (точка D) лежит на пересечении этих прямых.
Строим эпюру вертикальных перемещений Лр. Задаем первому диску
произвольный угол поворота dtpi (прямая ае). Линия перемещений второго
диска пересекает линию перемещений первого диска под мгновенным
центром {], 2) и проходит через точку базы под мгновенным центром {О, 2)
(прямая ее). Линия перемещений третьего диска пересекает линию
перемещений второго диска под мгновенным центром B, 3) и проходит через
точку базы под мгновенным центром {О, 3) (прямая сЬ). Эпюра Ар построена.
Линия влияния Ми отличается от нее лишь масштабом ординат. Из
эпюры Ар получаем Ам = ^Фх + йфа « (tg d(pi + tg йщ). Эта величина может
быть определена на эпюре Ар, если по точки е пересечения линий
перемещений первого и второго дисков отложить по горизонтали отрезок, равный
единице, и измерить ординату между ними (рис. 151). В линии влияния М^
надо эту ординату принять равной единице. Следовательно, ордината аа^,
отсекаемая линией перемещений второго диска под левой опорой, равна
Zft. Поскольку Ам < О, знак линии влияния совпадает со знаком эпюры
перемещений Ар.
Все сказанное приводит к следующим правилам построения линии
влияния изгибающего момента в сечении на левой части арки.
1. Определяется нулевая
точка л. в. Mft под точкой
пересечения прямой Ak, проведенной через
шарнир А и сечение k, и прямой
ВС, проведенной через шарниры В
и С (точка d).
2. Под левой опорой
откладывается отрезок Zft, координата
сечения, и через полученную точку
«1 и нулевую точку d проводится
средняя прямая а^й. Ее пригодная
часть расположена между
сечением и шарниром арки, т. е. на
участке ее.
3. На среднюю прямую
сносится сечение k и соединяется с
точкой базы под левой опорой.
Так получается левая прямая ае.
Далее, на среднюю прямую
сносится шарнир С и соединяется с
точкой базы под правой опорой.
Так получается правая прямая сЬ.
г-и
ay^tf
151
Аналитически положение нулевой точки находится из подобия
треугольников на схеме арки:
откуда
Я = и, Х=—(/—и)>
П
Ук f ,, ^
иъ
(8.27)
2. Линия влияния поперечной силы
АрКа с выключенной связью, допускающая перемещение по
направлению сил Qji, показана на рис. 152. Она также представляет собой однократно
изменяемую систему. Уравнение линии влияния по E.7)
л. в. Qk = -
Положения взаимных мгновенных центров вращения дисков (О, /)»
(О, 3) и B, 3) очевидны и пояснений не требуют. Мгновенный центр (], 2)
лежит в бесконечности, на направлении двух стержней, параллельных
касательной к арке, соединяющих диски 1 я 2. Тогда мгновенный центр {О, 2)
(точка D) по теореме о трех мгновенных центрах лежит на прямой,
параллельной касательной, проведенной через шарнир Л, и на прямой,
проходящей через шарниры В и С.
Для построения эпюры перемещений Ар задаем первому диску поворот
на произвольный угол dfpi (прямая ае). Линия перемещений второго диска
должна пересекать линию перемещений первого диска под мгновенным
центром {1, 2), который лежит в бесконечности. Значит, она должна быть
параллельной линии перемещений первого диска и проходить через точку
базы d под мгновенным центром (О, 2) (прямая а^с). Линия перемещений
третьего диска пройдет через точку базы под мгновенным центром {О, 3) и
пересечет линию перемещений второго диска под мгновенным центрол! B, 3}
(прямая сЬ). В эпюре Ар под
сечением будет разрыв, равный А. Этот
разрыв есть вертикальная
проекция полного относительного
перемещения концов первого и второго
дисков Aq по направлению
нормали арки в данном сечении. Поэтому
и Aq =
cos а
4
Рис. 152
В линии влияния Qj, надо
величину Aq положить равной единице.
Это значит, что величина разрыва
А = cos а. Поскольку в данном
случае Aq положительно, так как
перемещение первого и второго
дисков заданы по направлению
сил Qft, то знак л. в. Q^
противоположен знаку эпюры
перемещений Ар.
Отсюда получаем следующие
правила построения линии
влияния поперечной силы Q^ в
сечении на левой части арки.
152
1. Определяется нулевая точка л. в. Q^ под точкой пересечения прямой
AD, проведенной через шарнир А параллельно касательной в точке ftap-
_ки, и прямой ВС, проходящей через шарниры В я С (точка d).
2. Под левой опорой откладывается отрезок cos а и через полученную
точку ui и нулевую точку d проводится средняя прямая а^с. Ее пригодная
часть расположена между сечением и шарниром С.
3. Через точку базы под левой опорой параллельно средней прямой
проводится левая прямая до сечения. Под сечением линия влияния Q всегда
имеет разрыв, равный cos а.
4. На среднюю прямую сносится шарнир С и соединяется правой прямой
€b С точкой базы под правой опорой.
Аналитически положение нулевой точки определяется так:
А, = « (tga-
-tgp). А, = -/-_а-«) и u(tga-tgp) = -;^a-
■«).
откуда
/'
^2(tga-tgP)-f-/
(8.28)
3. Линия влияния продольной силы
Арка с выключенной связью, допускающая перемещение по направлению
продольных сил Nji, показана на рис. 153. Ив этом случае она представляет
собой однажды изменяемую систему. Уравнение линии влияния
Ар
л. в. A'fj= .
An
Мгновенные центры вращения дисков (О, 1), {О, 3) и {2, 3) находятся
просто. Мгновенный центр (/, 2) лежит в бесконечности на направлении Двух
Рис. 153
153
стержней, параллельных нормали к арке, соединяющих первый и второй
диски. Значит, мгновенный центр B, 0) (точку D) надо искать на
пересечении прямой ВС и прямой, проведенной из шарнира А параллельно
нормали.
Строим эпюру Ар. Задаем первому диску поворот на произвольный
угол d(pi (прямая ае). Линия перемещений второго диска должна пересекать
линию перемещений первого диска под мгновенным центром (/, 2), который
лежит в бесконечности. Значит, она параллельна линии перемещений
первого диска и проходит через точку базы к под мгновенным центром B, 0)
(прямая а^с). Линия перемещений третьего диска пересекает линию
перемещений второго диска под мгновенным центром B, 3) и проходит через точку
базы под правой опорой, мгновенным центром E, 0) (прямая be). Эпюра Лр
построена. Разрыв эпюры под сечением А равен вертикальной проекции
относительного перемещения концов первого и второго дисков Ajv по
направлению касательной к арке в заданном сечении. Поэтому Ал/ sin а = А и An =
^ А
sin а
В линии влияния Nh надо величину A,v положить равной единице, что
дает А = sin а. По:кольку Ал/ отрицательно, так как конец второго диска
опущен ниже конца первого диска, то знак л. в. совпадает со знаком эпюры
Ар.
Правила построения л. в. продольных сил Л^^ в сечениях на левой
части арки следующие.
1. Определяется нулевая точка л. в. Л^^ под точкой пересечения прямой
AD, проведенной через шарнир А арки перпендикулярно касательной в
точке k, и прямой ВС, проходящей через шарниры В и С.
2. Под левой опорой откладывается отрезок since и'через полученную
точку и нулевую точку d проводится средняя прямая йуС. Непригодная часть
расположена между сечением и шарниром С.
3. Через точку базы под левой опорой до сечения проводится левая пря-
мая параллельно средней. Под сечением л. в. N и всегда имеет разрыв,
равный sin а.
4. На среднюю прямую сносится шарнир С и соединяется с точкой
базы под правой опорой. Так получается правая прямая.
Аналитически положение нулевой точки определяется так:
f
'а
«(tgp+ctga) = -f а + «).
'2
откуда
П
/2(tgp+ctga)—^
(8.29)
§ 76. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ КРАЕВЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ЯДРОВЫХ МОМЕНТОВ ]
Напряжения в стержнях большой кривизны определяются по формулам
(рис. 154):
а= 4- +—г » т = ;— ^» (8.30)
где'
J, _Г pyidF
р+г/
154
^sle^^'^^^""^^^^^"»»^»J"
noS
: >!•
Рис. 155
Сжимающее нормальное
напряжение считается здесь положительным,
а формула касательного напряжения
выведена для О/тучая, когда
касательная нагрузка отсутствует^.
Прочность материала арок часто
оценивается по краевым нормальным
напряжениям в точках, где у = h^ и
У = —hf
Определение численно наибольших
краевых напряжений в сечении от
подвижной нагрузки осложнено тем, что линии влияния изгибающего
момента и продольной силы различны по своей конфигурации, а значит, и
расчетные положения подвижной нагрузки для них различны. Поэтому
наибольшие краевые напряжения от подвижной нагрузки при раздельном
использовании линий влияния изгибающего момента и продольной силы не
могут быть точно определены. Они могут быть найдены лишь приближенно,
что иногда и делают. При этом поступают так:
1) определяют расчетное положение нагрузки по л. в. Л^, находят Л^мако
и соответствующее ему значение момента М при данном положении
подвижной нагрузки;
2) определяют расчетные положения нагрузки по положительной и
отрицательной части л. в. М, находят +М|^,акс Щ —-^макс и соответствующие
расчетным положениям нагрузки значения продольных сил; *
3) после этого при каждом из этих трех расчетных положений
подвижной нагрузки определяют краевые напряжения и выбирают из них
численно наибольшие для каждого знака. '
Для точного определения наибольших краевых напряжений
следует использовать их линии влияния. Они могут быть построены по линиям
влияния N и М, так как краевые напряжения по выражению (8.30) есть
линейные функции этих величин.
Строительные арки обычно бывают малой кривизны (j- > 10), и в них
нормальные напряжения можно определять по формуле для прямого
стержня (рас. 155):
N М N М
ai= 1 ; 02 = — , (8.31)
где W^^Jxh^; W^^Jthi.
' При учете касателытой нагрузки на поверхности стержня прямоугольного
сечения (рис. 154) касательное напряжение определяется по формуле
1= ■
Q'->OT
р2
ЯГ
(Р+М^
/' b (р + 1/)г
(Р+УР
(-
pf
+
'7Г(Р + М'12Р So
где Fo
-■ото
~пов
fc(p-fl/J J'
суть площадь и статический момент той отсеченной части сечения, где
приложена i/;'"". Эта формула получена из условия равновесия 2Л1п=0 верхней
отсеченной части, из первой формулы (8.30) и на основании дифференциальных
зависимостей A7.82)
155
Соответственно влияния краевых напряжений будут:
л. в. /V , л. в. М
л. в. Л/ л. в. /И
л. в. ai= -U
F ^ W.
л. в. 02=
(8.32>
F 1^2
Линии влияния краевых напряжений получаются из двух линий
влияния: линии влияния продольной силы Л^, деленной на площадь сечения,
и линии влияния изгибающего момента М, деленной на соответствующий
момент сопротивления.
Выразим краевые напряжения через ядровые моменты (рис. 155).
Известно, что
Р Рс Р
Р Рс Р
02=-
W,
w.
(—е2 + с) = -
-М1У : W^
(8.33).
Эти выражения позволяют использовать линии влияния ядровых
моментов вместо л. в. краевых напряжений. Л. в. ядровых моментов строятся по
тем же правилам, что и линии влияния центрального момента, с той только
разницей, что левая и средняя прямые теперь будут пересекаться под
соответствующей ядровой точкой, а их пригодные части расположены до-
вертикали, проходящей через центральную точку сечения (рис. 156). Л. в.
ядровых моментов УИ^'Др = y-N ±М, вообще говоря, имеют разрыв под
центральной точкой сечения, поскольку там имеет место разрыв л. в. Л^.
По каждой линии влияния ядровых моментов определяется два
расчетных положения нагрузки для определения +MlZc и —M^^L- После
этого по формулам (8.33) определяются для каждого расчетного положения
напряжения а^ и о^. При этом надо помнить, что положительные моменты,
приложенные к правой части арки, направлены по часовой стрелке и
соответственно положительные напряжения сжатия будут на внешнем крае арки.
На основе изложенного можно сделать и более общий вывод: если
расчетные напряжения в какой-либо системе линейно зависят от продольной
JJ2 ^ силы и изгибающего момента, то
всегда, когда это возможно, следует
использовать линии влияния самих
напряжений или линии влияния
ядровых моментов, а не пользоваться
линиями влияния М и N раздельно.
§ 77. СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПРОДОЛЬНЫХ сил в СТЕРЖНЯХ
АРОЧНЫХ ФЕРМ
Линии влияния продольных сил в
стержнях арочных ферм могут быть
построены по способу сечений. Если
сечением в ферме разрезаются только
три стержня, в том числе тот, для
которого строится линия влияния, то
для построения л. в. составляется
условие равновесия в виде суммы
моментов сил относительно точки к,
лежащей на пересечении двух других.
Ч
«г
'Wfifemrrn^!
я6.н"^^Р
<^iA^ 11 im-m-rn-^
Рис. 156
156
разрезанных стержней (рис. 157, а). Это условие равновесия при грузе
Р ~ I можем записать в таком обихем виде:
откуда
2Mb = Mb ± Л/лев P}i = 0.
N = :
(8.34)
Pk
гдеЖй
• изгибающий момент в некоторой воображаемой вспомогательной
арке произвольного очертания, но обязательно последовательно
' проходящей через точки А, k, С я В арочной фермы (рис. 157, а)-,
р^ — плечо определяемой продольной силы N относительно моментнои
точки.
Верхний знйк принимается, когда момент левой от сечения
положительной силы ЛГдев относительно моментнои точки k направлен по часовой
стрелке. В соответствии с (8.34) можем написать
л. в. Mk
л. в.
Pft
Отсюда следует, что линия влияния продольной силы N может быть
выпажена через линию влияния момента М^ во вспомогательной арке любого
очертания, проходящей через точки А, k, С я В арочной фермы. Эту линию
влияния надо разделить на р^, но границы пригодных частей прямых здесь
будут несколько иные. Пригодная часть левой прямой при грузе левее
первого левого относительно сечения узла грузового пояса расположена до
шарнира Л; средней прямой при грузе правее первого правого относительно
сечения узла грузового пояса — до шарнира С и, наконец, правой прямой —
между шарнирами С и б. Деление л. в. Ми на р^ можно произвести сразу^.
откладывая под левой опорой при построении л. в. Ми отрезок, равный
Последовательность построения линии влияния продольных сил в
стержнях левой части фермы такова:
1) проводится сечение через стержень, линия влияния ^Продольной силы
которого определяется, и через два другие, на пересечении которых
располагается моментная точка k;
2) через точки А, k, С я В проводится вспомогательная арка
произвольного очертания; „ ..
3) определяется направление момента от положительной .силы /v„eB^
приложенной к левой части фермы, относительно моментНои точки k;
4) по известный ранее пра-
иилам строится линия влияния -jf =|-
взгибающего момента Ми во '5'.
вспомогательной арке, деленная
на ри.
Для этого необходимо:
а) определить положение
нулевой точки под точкой
пересечения прямых Ak и ВС;
б) под левой опорой
отложить отрезок =F^. где
Zfe—абсцисса моментнои точки, отсчи-
тывается от опоры А вправо,
pft — плечо силы N относитель^-
но моментнои точки. Верхний
3H9K принимается, когда момент
положительной силы AT^gg, при-,
ложенный к левой части,
направлен по часовой стрелке. За-
157
тем через
полученную точку и нулевую точку провести среднюю
прямую. Отношение — определяется выражениями G.15)—G.17);
в) на среднюю прямую снести моментную точку и соединить ее прямой
с точкой базы под левой опорой. Эта прямая есть левая прямая линии
влияния;
г) на среднюю прямую снести шарнир С и соединить ее с точкой базы под
правой опорой. Эта прямая есть правая прямая линии влияния;
д) определить границы пригодных частей прямых. Пригодная часть левой
прямой располагается левее первого левого от сечения узла грузового пояса;
средней прямой — правее первого правого от сечения узла грузового пояса
до шарнира С, правой прямой — от шарнира С до шарнира В.
В случае, когда два других разрезанных сечением стержня-
параллельны (рис. 157, б), условие равновесия можно записать в виде суммы проекций
сил на ось Q, перпендикулярную параллельным разрезанным стержням
ферм^:
откуда
= т —-5—. (8.35)
Л':
sin у
где Q — поперечная сила во вспомогательной арке, проходящей через
шарниры А, С и В я обязательно имеющей на месте перерезанной панели фермы
участок, параллельный двум параллельным разрезанным стержням фер-
„ы; у — угол наклона стержня, продольная сила в котором определяется,
к двум параллельным разрезанным стержням.
Верхний знак принимается, когда проекция Л^ sin у силы N^^^,
приложенной к левой части, на ось Qb арке (см. рис. 143, в) положительна.
На основании (8.35)
л. в. Q
yv = T
sin у
Следовательно, линия влияния продольной силы N в этом случае
может быть выражена через линию влияний поперечной силы во
вспомогательной арке в том же сечении, где проходит сечение на ферме; эту линию
влияния надо разделить на sinv-
Рис. 158
1SR
I л-/
='ШШй^
l-f I'l I I I I L-
d
Прабия пряна"
Рис. 159
Изложенная выше последовательность построения л. в. сохраняется и
здесь. Только прямая Ak теперь должна быть параллельна касательной
вспомогательной арки, т. е. двум параллельным стержням фермы, и под
левой опорой должен быть отложен отрезок
sin Y
Проследим все сказанное на примерах. Построим линию влияния
продольных сил в стержнях 1-2 и 2-4 (рис. 158).
Для построения линии влияния Ni.2 проводим сечение /-/ через три
стержня. Моментную точку k выбираем на пересечении стержней 1-3 и
2-4. Нулевую точку d л. в. найдем под точкой D пересечения прямых Ak
и СВ. Поскольку момент NT-2P^ положительной силы, приложенной
клевой части фермы, направлен по часовой стрелке, то под левой опорой откла-
дываем отрезок и через нулевую точку л. в. проводим среднюю пря-
мую Uxd. На нее сносим точку k и соединяем с точкой базы под левой опорой
(прямая ае). На нееже сносим шарнир Си соединяем с точкой базы под
правой опорой (прямая 6с). На среднюю прямую сносим узел / (точка/), а на
левую прямую — узел 3 (точка е). Эти точки соединяем прямой ef. Для линии
влияния . N2-4 сечение 1-1 сохраняется. Моментную точку / выбираем на
пересечении стержней 1-2 и 1-3. Нулевую точку л. в. найдем под точкой
Di пересечения прямых А1 и СВ. Момент положительной силы NT-l'
приложенный к левой части, направлен против часовой стрелки, значит, под
опорой А надо отложить отрезок + ^ (точка Ui). Через эту и нулевую точку
п;1оводим среднюю прямую a^d. На нее сносим моментную точку / (точка /)
и соединяем с точкой базы под левой опорой (левая прямая af). На нееже
сносим шарнир С и соединяем с точкой базы под правой опорой (правая
прямая сЬ). На левую прямую сносим узел 3 (точка е), а на среднюю —
узел / (точка /). Линия влияния построена.
В такой же последовательности построена л. в. Ni.2 (рис. 159).
Построим теперь линию влияния Ni.2, когда моментная точка удалена
в бесконечность (рис. 160). Положим, что моментная точка расположена
справа. Момент силы NT^,
приложенной к левой части
относительно моментной точки,
направлен против часовой стрелки.
На основании G.18) под левой
опорой надо отложить отрезок
, cos ал CL '
+ -.—. Нулевая точка будет
sinv •'
находиться под точкой
пересечения прямой AD, проведенной
из точки А параллельно
стержням 1-3 и 2-4, и прямой ВС.
Прямая a^d есть средняя прямая. Рис. 1б0
159'
Левая прямая сиг проводится параллельно средней прямой. На среднюю
прямую сносим узел С_и соединяем с точкой базы под правой опорой
(прямая сЪ). На левую прямую сносим левый узел /, а на среднюю — узел .3,
и эти точки соединяем прямой е/.
§ 78. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ в СТЕРЖНЯХ АРОЧНЫХ ФЕРМ
Кинематический метод весьма удобен для построения линий влияния
продольных сил в стержнях арочных ферм, так как определение мгновенных
центров трех дисков в дреобразованной системе при выбрасывании стержня
проводится весьма просто. Мгновенные центры вращения дисков,
соединенных с землей опорами Л и В, совпадают с этими опорами. Мгновенный
центр второго и третьего дисков (рис. 161) находится в шарнире С.
Мгновенный центр первого и второго дисков находится на пересечении двух
стержней, соединяющих эти диски. Наконец, мгновенный центр второго
диска относительно земли в соответствии с теоремой о трех мгновенных
центрах находится на пересечении прямых А A, 2) и ВС.
Общее уравнение линии влияния [см. E.7)]
л. в. N = — .
Эпюра перемещений Ар получается следующим образом.
Первому диску задается произвольное перемещение d(pi (прямая ае).
Линия перемещений второго диска должна пройти через нулевую точку d
под мгновенным центром (О, 2) и пересечь линию перемещений первого диска
в точке k под мгновенным центром (/, 2). Линия перемещений третьего диска
пройдет через точку базы под правой опорой, мгновенным центром {О, 3)
и пересечет линию перемещений второго диска под шарниром С B, 3).
Затем на линии перемещений первого и второго дисков сносят соответствующие
узлы 1 я 3 грузового пояса фермы и полученные точки ей/ соединяют
прямой.
Величина А^ находится как вертикальный отрезок между линиями
перемещений первого и второго дисков, измеряемый на расстоянии р^ от точки
пересечения этих линий в эпюре перемещений Ар, где рь — длиаа
перпендикуляра, опущенного из мгновенного центра (/, 2) на направление искомой
продольной силы. В линии влияния эту величину Ajv надо принять равной
единице. Если Ajv < О, то знак линии влияния совпадает со знаком эпюры
перемещений, и наоборот. По этим правилам построена линия влияния Л^;.г.
Знак Ajv определяется так: второй диск в заданном перемещении Ар отно-
Р.(с. 161
160
сительно первого диска поворачивается вокруг мгновенного центра (/, 2) по
часовой стрелке, а это значит, что узел / поднимается или, наоборот,
первый диск поворачивается относительно второго диска против часовой
стрелки и узел 2 опускается. В обоих случаях расстояние между узлами 1 vi 2
увеличивается. Следовательно, величина A/v отрицательна и знак линии
влияния совпадает со знаком эпюры перемещений Ар.
Нетрудно из подобия треугольников найти ординату аа^ = сред-
ней прямой под левой опорой.
Если два стержня между первым и вторым дисками окажутся
параллельными (л. в. Ni.2, рис. 160), то масштаб линии влияния и ординату линии
перемещений второго диска под левой опорой можно определять, переходя
к пределу при удалении мгновенного центра {1, 2) в бесконечность, как это
было сделано при выводе формул E.9а) и G.18).
§ 79. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ
И ЗАМЕНЯЮЩИХ (ВНУТРЕННИХ) СИЛ В АРКАХ
И АРОЧНЫХ ФЕРМАХ С КОНСОЛЯМИ
Линии влияния балочных опорных реакций в арках и арочных
фермах с консолями такие же, 'как и в консольных балках (рис. 162, а). Линии
влияния внутренних сил в междуопорной части арок и арочных ферм
строятся по правилам их построения для арок и арочных ферм без консолей.
Только здесь левая прямая должна быть продолжена до конца левой
консоли, а правая прямая — до конца правой консоли. На рис. 162, б, в
построены линии влияния М и Q. Они построены сначала без учета
дополнительных балок Di — Dg и £i — £2, а затем исправлены по обычным
правилам. Ординаты каждой линии влияния под точкой D^ соединялись с точкой
базы под точкой D^ , а ординаты под точкой £1,—' с точкой базы под точкой
£2- Линии влияния внутренних сил в консольных частях строятся по
правилам построения их в консолях. На рис. 162, г показана линия влияния
изгибающего момента в сечении на левой консоли.
Ю
I ■ ! кГ 1> I '"■'"
Правая лрлмо"
za
Рис. 162
/
6 Зак. 763
161
Рис. 163
На рис. 163 построены линии влияния продольных сил стержней в
междуопорной и консольной частях фермы. Их построение ясно из рисунка и
специальных разъяснений не требует.
§ 80. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ
И ЗАМЕНЯЮЩИХ (ВНУТРЕННИХ) СИЛ
В ВИСЯЧИХ СИСТЕМАХ
Висячие сплошные системы при вертикальной нагрузке, направленной
вниз, работают на растяжение с изгибом. Если прцнять положительными
направления опорных реакций и другие величины, указанные на рис. 164,
то расчет висячих систем можно проводить по тем же формулам и правилам,
которые были изложены для арочных систем. Дело в том, что при
опрокидывании системы и одновременном изменении направлений Za и Zb
сохраняются все формулы и правила арочных систем, только правило знаков для
продольной силы должно быть изменено на противоположное. Так, например, на
рис. 164 показано построение линий влияния изгибающего момента и
продольной силы в сечении k висячей системы. Нулевая точка л. в.
изгибающего момента располагается под точкой Dm пересечения прямых Ak и ВС.
Под левой опорой отложен
отрезок 2ft. Через
полученную точку fli и нулевую
точку d проведена средняя
прямая. На нее снесена момент-
ная точка и проведена левая
прямая. На нее же снесен
шарнир С и проведена
правая прямая. Аналогично
построена л. в. продольной
силы iV.' Нулевая точка лежит
под точкой Dn пересечения
прямой ^Djv,
перпендикулярной к касательной арки в
точке fe, и прямой 5С. Левая
прямая проведена параллельно
средней прямой.
На рис. 165 показано
построение линии влияния
продольной силы в стержне 1-2
фермы (рис. 165, а). Сначала
I
I
I
rf *с — т»
Рис. 164
162
л.в. построена без учета
узловой передачи нагрузки по
грузовой линии (рис. 165, б).
Нулевая точка лежит под
точкой пересечения прямых ЛЗ и
ВС. Под левой опорой
отложен отрезок -, так как
момент положительной силы
iV^™ относительно моментной '
точки 3 направлен по часовой
стрелке. Через полученную
точку и нулевую пройдет
средняя прямая. На нее
сносим точку моментов 3 и
соединяем с точкой базы под левой
опорой (левая прямая). На
нее же сносим шарнир С и
соединяем с точкой базы под
правой опорой (правая прямая). На левую прямую сносим узеЛ 5, а на
среднюю—узел 3. Полученные точки соединяем прямой. После этого
производим исправление полученной линии влияния на узловую передачу. Для
этого сносим на линию влияния узловые точки /По, mi, ..., т^ и
полученные точки соединяем отрезками (рис. 165, в).
'''МЩ1ф\\}1^^
Рис. 165
§ 81. РАСЧЕТ байтовых ФЕРМ
Байтовыми фермами называются неизменяемые висячиефермы, все
стержни которых изготовляются из гибких элементов (например, стальных тросов),
способных работать только на растяжение. В силу этого очертания поясов
и решетки ферм не могут быть произвольными. Они должны обеспечить
работу всех стержней фермы на растяжение при любом положении
расчетной нагрузки.
Если постоянную расчетную нагрузку, равную нормативной </",
умноженной на коэффициент перегрузки k, который в этом случае надо
применять меньшим единицы, и временную расчетную fejp" с коэффициентом
перегрузки ki >■ 1 для простоты представить в виде равномерно
распределенных нагрузок, то условие работы каждого элемента
Байтовой фермы на растяжение запишется так:
кд"(щ —Шг)—ki р"щ>^0.
(8.361
где Ш1ИШ2 — абсолютные величины площадей положительной и
отрицательной частей линии влияния продольных сил рассматриваемого
элемента.
Вантовые фермы обладают следующими преимуществами:
1) отсутствуют стержни, работающие на сжатие, требующие понижения
расчетных сопротивлений вследствие продольного изгиба, что позволяет
применять тросы с высоким сопротивлением;
2) гибкие элементы в значительной мере приближают вантовые фермы
к шарнирным;
3) отсутствуют ослабления стержней заклепочными отверстиями;
4) узловые соединения требуют малой затраты материала.
Все это приводит к уменьшению количества материала, требуемого для
изготовления ферм, в результате чего вантовые фермы оказываются легче
стержневых.
Многие виды вантовых ферм могут быть получены из многопоясной фермы,
рассмотренной проф. И. М. Рабиновичем (рис. 166). Им же предложен и
метод их расчета.
6»
163
«J л
Рис. 166
Рис. 167
164
Рассматривая стержень СВ как опорный, можем установить зависимость
между числом сторон пояса и числом поясов. Обозначим число сторон в
поясе буквой т, а число поясов — п. Число стержней левой фермы Д =
= тп + (/п — 1)(/г — 1). Число узлов У = 2 + п{т — 1).
Необходимое условие неизменяемости фермы 2У = Д + 3 принимает
вид
2B+тга—n) = mn+(m—1)(/г—1)+3,
откуда получаем
п=т. (8.37)
Число сторон в каждом поясе левой полуфермы равно числу поясов. Условие
(8.37) не изменится, если последовательно устранять узел с двумя
стержнями. Так могут быть устранены узлы 1, 2 к 3 (рис. 166, б). В
преобразованной ферме по-прежнему остается пять поясов, только некоторые стержни
пятого пояса теперь слились со стержнями четвертого пояса. Четвертый
узел устранен уже быть не может, так как иначе ферма станет изменяемой.
Далее, можно устранить узлы 5 r 6 (рис. 166, в). В новой ферме некоторые
стержни пятого и четвертого поясов слились со стержнями третьего пояса.
Из этого видно, как можно получать новые фермы из фермы, имеющей
полное количество поясов.
Поскольку все стержйи поясов гибкие, то каждый пояс может принять на
себя, как веревочный многоугольник, вполне определенную его очертанием
нагрузку, независимо от той нагрузки, которая действует на ферму в целом.
Нагрузка, действующая на ферму, распределяется между поясами в
соответствии с их очертаниями. На этом основан расчет вантовых многопоясных
ферм.
Если действующая на ферму нагрузка такова, что веревочный
многоугольник для нее совпадает с одним из поясов, то будет работать только
этот пояс, а остальные пояса работать не будут. Для расчета фермы
построим п силовых многоугольников, соответствующих каждому поясу фермы.
Для этого из произвольного центра О проводим лучи, параллельные
сторонам t-ro многоугольника (рис. 166, г), в том числе луч, соответствующий
оттяжке СВ. Затем отложим полюсное расстояние Н, равное единице, и
отметим силы Pf^i, приходящиеся на узлы этого пояса. Индекс k указывает
номер ^ узла, индекс i — номер пояса. В действительности мы не знаем еще
сил, приходящихся на узлы данного пояса, но они пропорциональны
найденным силам Pftj при Н = \. Примем коэффициент Zi в качестве
неизвестной величины, на которую надо умножить силу Р^^, чтобы получить силу,
действующую на узел данного пояса фермы. Теперь сложим все силы,
действующие на й-е узлы всех поясов, и приравняем их сумму действующей
в этом узле фермы нагрузке (рис. 166, а):
Ч Ри + г^ Pi2+ • •. +ZmPim = Pl'>
21^21+Z2P22+---+Zm^2m = Pi.
(8.38)
Мы получили достаточное число уравнений для определения всех
неизвестных коэффициентов пропорциональности 2,-. После этого задача
определения продольных сил в стержнях фермы может считаться решенной, так
как из силовых многоугольников определяются продольные силы при Я= 1,
которые надо умножить на найденные коэффициенты пропорциональности.
При построении линий влияния надо ставить нагрузку Р = 1
последовательно во все узлы фермы, что будет менять только правую часть уравнений
(8.38). В тех случаях, когда можно провести сечение через три стержня, ли-
^ Одинаковый для узлов всех поясов, расположенных на одной вертикали.
165
НИИ влияния продольных сил в вантах могут строиться по правилам их
построения в трехшарнирных фермах. Так, например, линия влияния
продольной силы в стержне ЛС (рис. 167) может быть построена с
использованием сечения /-/ и ^юментной точки 5. Нулевая точка d располагается под
2rt
пересечением прямых A3 и ВС. Под левой опорой откладываем отрезок
(точка ui) и проводим через нулевую точку d среднюю прямую a^d. На нее
сносим моментную точку 3 и, соединяя с точкой базы под левой опорой,
получим левую прямую. На нее же сносим шарнир С и, соединив с точкой базы
под правой опорой, получим правую прямую. На левую прямую сносим
узет 2, на правую — узел 3, и проводим соединительную прямую.
Линии влияния продольных сил в стержнях Л-/ и 1-2 могут быть пост^
роены путем вырезания узла /. Когда груз вне узла /, силы Na-] и ЛГ/.г
равны нулю. Когда груз в узле, они равны: j
cos Р cos а
Sin(a —Р) ' '-^ Sin(a —Р) ■
Линии ВЛИЯНИЯ этих сил простираются только в пределах двух первых
панелей. Л. в. N2-3 может быть построена с использованием сечения /-/ и
моментной точки А, где z = 0. Это значит, что средняя прямая совпадает
с базой. Левая прямая проходит через точку базы под левой опорой. На
левую прямую сносим узел 2, а на среднюю — узел 3. Ординату линии
влияния под узлом 2 определим так: поставим груз Р = \ в узле 2 и рассмотрим
равновесие левой части
ОТКуд!
2d
(
ГЛАВА 9. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫХ КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ
§ 82. КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
Комбинированные системы — это неизменяемые системы, составленные
из двух или нескольких систем (простых и шарнирных балок, арок,
балочных и арочных ферм, рам, шарнирных стержневых и дисковых цепей и т. д.),
соединенных между собой дополнительными связями для совместной работы.
Мы ограничимся рассмотрением комбинированных систем, состоящих
из балок и балочных ферм, соединенных с шарнирной цепью (рис. 168), как
наиболее часто встречающихся.
Комбинированные системы, в которых балка или ферма усилена
шарнирной цепью, работающей на растяжение, при вертикальной нагрузке,
направленной вниз, будем называть висячими (рис.168, а, в), системы, в
которых балка или ферма усилена цепью, работающей на сжатие, — арочными
(рис. 168, б, г).
Балки и фермы, усиленные цепью, могут быть однопролетными и
многопролетными, статически определимыми и статически неопределимыми.
Присоединение к балкам и фермам шарнирной цепи есть наложение одной связи,
вследствие чего степень статической неопределимости системы
увеличивается на единицу. Такие комбинированные системы всегда статически
неопределимы. Из них путем удаления лишних связей, например введением
шарниров в балку и исключением стержней из фермы, можно получить
статически определимые системы (рис. 168, в, г), которые являются соедине-
нениями изменяемых систем, получаемых из балок или ферм, с шарнирной
цепью.
Поскольку комбинированные системы применяются прежде всего в
мостах, рассмотрим их расчет на подвижную нагрузку. Будем считать, что для
■системы приближенно справедлив принцип независимости действия сил.
^HkLlX-^^^
Рис. J 68
167
§ 83. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ И ЗАМЕНЯЮЩИХ
(ВНУТРЕННИХ) СИЛ В ВИСЯЧИХ КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ
Разрежем цепь над опорами балки или фермы, отбросим ее крайние
части и продольные силы в разрезанном стержне цепи разложим на
вертикальные и горизонтальные составляющие (рис. 169, а, б). Будем считать, что
система симметрична, и, следовательно, точки разложения сил находятся
на одном уровне.
Составим условие равновесия в виде суммы моментов относительно этих
точек:
2Ms-^(V'j^+V\)i-ni-z)=0;
1—г
откуда
Va-\-Va=-
^ I
(9.П
Значит, сумма сил V' и V равна опорным реакциям простой балки, линии
влияния которых известны. Теперь вырежем какой-нибудь п-к узел цепи
(рис. 169, в). Из его равновесия получим
(9.2)
Рис. 169
168
Таким образом, горизонтальная составляюшая Н продольных сил в
элементах цепи есть величина постоянная и Н^ ■=■ Нв =^ Н — распору цепи.
Продольная сила в элементах цепи
Н
Nn= . (9.3)
cos an
Продольная сила в подвесках из условия проекций сил вырезанного
узла на вертикальную ось
Вертикальные составляющие продольных сил в крайних элементах цепи
Va=H tgaii V'b = H tgai. (9.5)
Опорные реакции балок
VA=-^-J^-Htgai; К^=-у—Яtgal. (9.6)
Как видно, линии влияния опорных реакций и внутренних сил цепи
и подвесок определяются линией влияния распора цепи Н. Для ее
построения дополнительно разрежем средний стержень цепи над шарниром балки
С и составим относительно него сумму моментов всех левых сил
где Мс"'" — момент всех левых вертикальных сил относительно С, равный
моменту в простой балке, относительно" такой же точки.
Отсюда
Н = -!£—. (9.7)
Ь
Значит линия влияния распора Н может быть построена, как линия
влияния изгибающего момента Мс^" просто'й балки, для сечения,
совпадающего с шарниром С, с ординатами, деленными на / (рис. 169, г). А это,
в свою очередь, значит, что линия влияния распора Я может быть получена,
как линия влияния распора висячей вспомогательной трехшарнирной
системы, проходящей по цепи и имеющей три шарнира Л', В' и С (рис 169, б).
Линия влияния реакции балки Va, как это следует из (9.6), складывается
из двух линий влияния: л. в. реакции Л простой балки и л. в. распора Н,
умноженной на (—tg а^). Их алгебраическое сложение посредством
наложения показано на рис. 169,5. Результирующая л. в. V'a может быть
построена при помощи нулевой точки. Она определяется из равенства А —
V"
—Н tg cxi=0. Так как в этом случае V^=0, то Л = Ул- Следовательно, -^ =
= tg tti, что может быть только тогда, когда груз Р = 1 лежит на
пересечении прямой В'С и прямой, проведенной из точки Л' под углом а^, т. е.
прямой, проходящей по первому звену цепи.
Разрежем теперь цепь над заданным сечением балки (рис. 170).
Продольную силу в цепи разложим на вертикальную и горизонтальную
составляющие. Момент и поперечная сила в балке:
М^=м1^-Нуи; (9.8)
Q^ = QT''-H tgoi. (9.9)
где М*"'" и QI^" — изгибающий момент и поперечная сила в простой балке;
у^ — вертикальное расстояние точки цепи на вертикали
сечения от линии Л'В'.
169
\ 2к- ..W?.Vrf III, л.6.0<,
')W I
^.fi><,
"^-mj
■^^exfisa
-?,^^«Г '
-ср^й'2
ПраВаяпряг^аа
Рис. 170
I I 1 I
AS.Ht~'
М№да^="
^6
■ ПраВаяпрям
^^^WrmS— — ___
Рис. 17,1
-■4/Г,
170
Эти выражения совпадают с аналогичными выражениями М^. и -^
в трехшарнирнои арке, проходящей по цепи без узловых шарниров, но
стремя шарнирами А', В' и С, что позволяет искомые л. в. М^ и Q^ в балке
получать, как линии влияния их в такой вспомогательной арке. Их
построение при помои\и нулевых точек показано на рис. 170. Нулевая точка линии
влияния изгибающего момента УИ^ получается на пересечении Прямых A'k^
и В'С, а для линии влияния Q^ — на пересечении прямой A'Dq,
параллельной стержню цепи над заданным сечением, и прямой В'С. При построении
л. в. Mfe под левой опорой откладывается отрезок 2^, а при построении л. в.
Qfe — отрезок, равный единице, так как л. в. Q^ в балке равна л. в. Q^ в
арке с ординатами, деленными на cos а.
Все изложенное выше для балки остается в силе и для фермы, усиленной
цепью (рис. 171). Построение линий влияния продольных сил в стержнях
ф>зрмы начнем с простейшего случая. Пусть требуется получить линию
влияния продольной силы в стержне пояса фермы Ni.2. Проведем сечение /-/,
рассекающее ферму и цепь в точке 3', лежащей над точкой 3. Точку моментов
3 выбираем так, как если бы цепи не было.
Продольную силу в точке 3' в цепи разложим на составляющие.Условие
равновесия будет:
откуда
Щ
A^j.2 = - . ■ (9.10)
Это выражение показывает, что л. в. Nt.2 может*^ быть получена из
линии влияния изгибающего момента в сечении 3', расположенном над мо-
ментной точкой 3 той же вспомогательной арки А'В'С, путем деления ее
на рз и изменения знака на обратный.
Для этого сначала определим нулевую точку d линии влияния под
точкой пересечения прямых А'З' и В'С. Под левой опорой отложим отрезок
-я через его конец и нулевую точку линии влияния проведем среднюю
Р.9
пpя^lyю aid. Иа нее сносим моментную точку 3 и, соединяя с точкой базы
под левой опорой, получаем левую прямую ае. На нее же сносим шарнир С
и, соединяя с точкой базы под правой опорой, получаем правую прямую
сЬ. На левую прямую сносим левый от разреза узел 1 по грузовому поясу
(точка ё), а на среднюю — правый узел 2 (точка /). Между ними
располагается соединительная прямая, в данном случае совпадающая со средней.
Разобранный порядок построения линии влияния остается справедливым
и в том случае, когда точка моментов не лежит под разрезанны1у1 элементом
цепи, как, например, при построении линии влияния продольной силы в
стержне 5-6. Только в этом случае вспомогательную арку следует
представить проходящей последовательно через точки Л', k^, С и В'. При этом
точка fej обязательно лежит на прямой разрезанного стержня цепи,
под моментной точкой k. i
Построение л. в. N$-6 при помощи вспомогательной арки и нулевой
точки может быть выполнено в том же порядке, который изложен выше.
Нулевая точка d находится под точкой пересечения прямых A'kj^ и В'С
Как и ранее, под левой опорой откладывается'вверх отрезок (так как
Pfe
момент левой от разреза положительной силы N5-6 относительно точки
моментов k направлен по часовой стрелке). Далее построение обычное. На
среднюю прямую a^d, проведенную через отложенный отрезок под левой
опорой и нулевую точку линии влияния, сносится точка моментов k и
соединяется с точкой базы под левой опорой. Так. получается левая прямая
171
ak^. На нее же сносится шарнир С и соединяется с точкой базы под правой
опорой. Так получается правая прямая сЬ. На левую прямую сносится
левый от разреза узел 2, а на среднюю прямую — правый узел 6. Между
ними соединительная прямая ef.
Это же правило можно применить и для случая, когда точка моментов
удаляется в бесконечность, как, например, при построении линии влияния
Ni.3 (рис. 172). В этом случае точка k^ вспомогательной арки, лежащая на
разрезанном стержне цепи, удалена тоже в бесконечность. Значит, нулевая
точка линии влияния будет лежать под пересечением прямой А k^,
проведенной из точки А' параллельно перерезанному стержню, и прямой В'С.
Неопределенность выражения — в этом случае раскрывается так.
Предположим, что точка моментов лежит на том поясе, где расположен левый узел
с силой N IS, и что она пока не удалена в бесконечность. Тогда из
простых геометрических соображений будем иметь
PA = (zfe—a)sinP,
откуда
Ph
1
sin i> р),
Теперь начнем удалять точку моментов в бесконечность, тогда
Zfe
Ph sin р
Это выражение принимается со знаком плюс, когда "момент
положительной силы Nj.3, приложенной к левой части относительно точки моментов
k в бесконечности справа, направлен против часовой стрелки. Отметим, что
л. в. Ni.3 могла бы быть построена через л. в. поперечной силы Q
разрезанного стержня цепи в воображаемой арке А'В'С, как это было указано
для арочных ферм.
§ 84. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ И ЗАМЕНЯЮЩИХ
(ВНУТРЕННИХ) СИЛ В АРОЧНЫХ КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ
Если мы разрежем крайние стержни цепи в точках под опорами балки
или фермы (рис. 173), разложим продольную силу в стержнях цепи на
вертикальную и горизонтальную составляющие и зададим им направление,
показанное на рисунке, то заметим, что все выражения (9.1)—(9.9) § 83
повторяются и здесь. Это значит, что все приемы построения линии влияния,
172
Рис. 173
изложенные там, сохраняются и для балок и ферм, усиленных шарнирной
аркой. Только стержни арки и стойки в этом случае сжаты.
Построим для примера линии влияния М^^ и Q^ в сечении балки (рис.173).
Нулевая точка линии влияния изгибающего момента Mh найдется под
пересечением прямой A'ki, проведенной из точки А' через точку k^ на стержне
шарнирной арки под сечением, и прямой В'С, а нулевая точка линии
влияния поперечной силы Q^ — под пересечением прямой, проведенной из точки
А' параллельно разрезанному элементу шарнирной арки, и прямой В'С.
При построении линии влияния изгибающего момента М^ в сечеНии балки
под левой опорой откладывается отрезок 2|, и через его конец и нулевую
точку проводится средняя прямая. На нее сносится сечение и соединяется
с точкой базы под левой опорой, получается левая прямая. На нее же
сносится шарнир С и точка с соединяется с точкой базы под правой опорой,
получается правая прямая. При построении линии влияния Q^ под левой опорой
откладывается отрезок, равный единице. Через него проводится средняя
прямая. Ее пригодная часть расположена правее сечения до точки с под
шарниром С. Левая прямая проводится через точку базы под левой опорой
параллельно средней прямой. Ее пригодная часть располагается левее
сечения На среднюю прямую сносится шарнир С, и точка с соединяется с
точкой базы под правой опорой.
ГЛАВА 10. ПРЕДЕЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ
ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
§ 85. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ В СЕЧЕНИИ СТЕРЖНЯ
Предельным состоянием сечения стержня называется такое состояние,
при котором увеличение любой внутренней силы в нем физически
невозможно или ограничено принятыми допущ,ениями, В последнем случае
предельное состояние сечения зависит не только от физических свойств
материала, но и от принятой в каждом конкретном случае точки зрения на само
предельное состояние.
Теоретические исследования предельного состояния сечения
основываются на диаграммах деформирования материалов при одноосном
напряженном состоянии, которые заменяются упрош,енными диаграммами, лишь
приближенно (в основном) отражающими реальные. Примерные виды таких
упрощенных диаграмм для хрупких материалов даны на рис. 174, а,б,
а для пластичных — на рис. 174, в, г. Формулы предельных внутренних сил
в сечении зависят также и от принятого вида упрощенной диаграммы
деформирования. Здесь ограничимся рассмотрением только наиболее простых
диаграмм деформирования: линейной (рис. 174, а) и идеально пластической
(рис. 174, в). Примененный при этом метод исследования может быть
использован и при рассмотрении более сложных диаграмм.
Линейная диаграмма деформирования для многих хрупких материалов
может служить лишь первым и грубым приближением. Но она
позволяет простыми средствами определять предельное состояние сечения.
Идеально пластическая диаграмма не учитывает упрочнения материала.
Однако, как показывают исследования, это не ведет к большим
погрешностям, если материал имеет большую площадку текучести, так как у таких
материалов упрочнение наступает тогда, когда сопротивление сечения почти
полностью исчерпано. Проведенные опыты показали, что для стальных
конструкций при большой площадке текучести материала разрушающие
нагрузки близки к теоретическим, определяемым на основе такой
диаграммы.
При расчете по методу допускаемых напряжений обычно принимается,
что предельное состояние сечения наступает, когда приведенное
напряжение, определяемое по принятой гипотезе прочности, равно пределу
прочности для хрупкого материала и пределу текучести для пластичного
материала.
Разрушение стержня в данном сечении, выполненного из материала,
линейно деформируемого до разрушения, может начаться в одной точке,
где приведенное напряжение достигнет предела прочности. После этого
обычно разрушение при неоднородном напряженном состоянии быстро
распространяется и на все сечение.
Достижение приведенным напряжением предела текучести только
в одной точке сечения стержня из пластичного материала еще не вызывает
ни разрушения, ни остаточных деформаций. Но дальнейшее увеличение
внутренних сил в сечении уже вызывает остаточные деформации и
напряжения в нем. Предельное состояние сечения стержня из пластичного
материала, по методу допускаемых напряжений, совпадает с его разрушением
только тогда, когда приведенные напряжения одновременно по всему
сечению будут равны пределу текучести, как, например, при растяжении и
сжатии прямого стержня.
При расчете по методу разрушающих нагрузок за предельное состояние
сечения принимается такое, при котором дальнейший рост внутренних
сил в сечении физически невозможен, иными словами, материал в сечении
не может сопротивляться дальнейшему росту внутренних сил. Для
материалов, линейно деформируемых до разрушения, разрушение наступает
почти сразу по всему сечению, как только приведенное напряжение в од-
174
ной точке достигнет предела "^
прочности. Поэтому для таких
материалов предельные
состояния сечения по методам
разрушающих нагрузок и
допускаемых напряжений одинаковы.
В пластичных материалах
предельное состояние сечения
наступает при полном развитии
пластических деформаций
(текучести) по всему сечению, или,
как говорят, в сечении
возникает «пластический , шарнир».
Внутренние силы в пластичеС'
ком шарнире нарастать уже не
могут, сечение не оказывает
сопротивления пластической
деформации и пластический
шарнир может «раскрываться» в
направлении нарастающей
деформации. Вследствие
пластичности материала внутренние силы пластического шарнира ' могут
существовать до разделения стержня на две части по всему сечению. Из всего
сказанного видна принципиальная разница предельных состояний сечения
в стержнях из хрупких и пластичных материалов.
S) d
f ■' ■
h
/>
Рис. 174
§ 86. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗАМЕНЯЮЩИХ
(ВНУТРЕННИХ) СИЛ В СЕЧЕНИИ
1. Предельное состояние сечения при растяжении или сжатии
Для хрупких материалов независимо от вида диаграммы
деформирования:
Л' =0"' F при растяжении;
Л/ „ = а"" F при сжатии;
пр ^-*
Л/пр = (Ткт) F при продольном изгибе.
Для пластичных материалов (пластический шарнир):
Л/пр = а^ F при растяжении и сжатии; 1
Л'пр = акр Р при продольном изгибе. )
2. Предельное состояние сечения при чистом изгибе
(Ю.Н
A0.2)
Сечение будем считать симметричным относительно вертикальной оси,
а действующую нагрузку в вертикальной плоскости — проходящей через
Ось стержня (рис. 175, а).
Для хрупких материалов:
Л^пр = С«'р I
Л1пр = <ж«^сж,
меньшее из них.
A0.3)
Здесь \Fp и \Fg^ — предельные моменты сопротивления сечения,
зависящие от вида принимаемой диаграммы деформирования. В частности, при
линейной зависимости между напряжениями и деформациями до
разрушения они равны обычным момента!^ сопротивления W, используемым в
упругом расчете. ■
175
Рис. 175
Для пластичных материалов {пласгическпй шарнир) (рис. 175, б)
выражения заменяющих (внутренних) сил при одинаковых пределах текучести на
растяжение и сжатие имеют вид: .
Л/пр==5 а'' dF— ^ а^ rff=0; Мио= ^ а^ dFy+ ^ а''dFy.
Из первого равенства получаем
•^р — ^сж-
A0.4>
Это значит, что нулевая линия в пластическом шарнире при чистом
изгибе делит сечение на две равновеликие части.
Второе равенство определяет
Alnp = aTWnn, ' A0.5)
где (Р'пл — пластический момент сопротивления,
1^пл=|5р|4-|5сж1 = 2|5р| = 2|5сш|;
S — статические моменты сжатой или растянутой частей сечения
относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости
изгиба:
bh^
W
A,15
• для прямоугольника IF^jj = — =" 1,5\F; для двутавра
— 1,17)\F; для круга W^^ « 1,7\F.
Отметим, что теоретическое распределение нормальных напряжений по
сечению в пластическом шарнире в виде двух прямоугольников практически
неосуществимо. Всегда около нулевой линии при изгибе будет оставаться
упругое ядро, которое в расчетах игнорируется, так как его влияние
малосущественно, а расчет с учетом ядра усложняется. Не учитывают обычно
и упрочнение материала.
Если учитывать действительную диаграмму деформирования, то
нормальные напряжения по сечению прямых стержней будут распределяться
по кривой, представляющей собой диаграмму деформирования в
перевернутом виде и измененном масштабе (рис. 175, в). Это следует из гипотезы
плоских сечений, по которой удлднения пропорциональны расстоянию от
нулевой линии. Погрешности от игнорирования упрочнения и упругого ядра
качественно противоположны, а потому частично взаимно компенсируются.
3. Предельное состоянне сечення при изгибе
с поперечной силой
■Для хрупких материалов, линейно деформируемых до разрушения,
предельное состояние по какой-либо гипотезе прочности определяется
приведенным напряжением, которое должно быть равно пределу прочности
176
Эпюраd
Эпюра t
?^/,
==-v^
^ч
\
«■^слгЦ
J
У
^,.^
Рис. 176
материала. Приведенное напряжение вьфажается через нормальные и
касательные напряжения
При изгибе опасными точками часто будут краевые точки, где
касательные напряжения равны нулю, а приведенные напряжения равны
нормальным напряжениям. В таких случаях условиями предельного состояния
будут условия A0.3).
Цля пластичных материалов (пластический шарнир) касательные
напряжения будут несколько снижать величину предельного момента при
чистом изгибе. Приведем приближенное решение, построенное на том, что.
касательные напряжения воспринимаются только упругим ядром
сечения. Эпюра нормальных напряжений по краям сечения вне упругого ядра
(рис. 176) будет прямоугольная, а в упругой части сечения —треугольная.
Касательные напряжения в пределах упругой зоны, если сечение там
прямоугольное, изменяются по параболическому закону. Сопротивление
сечения исчерпывается, когда т^а„с на нулевой линии достигает предельной
величины т^, устанавливаемой на основе принятой гипотезы прочности. При
таких предпосылках сечение еще не полностью находится в пластическом
состоянии 115J. что идет Ь запас прочности. Чем меньше упругое ядро, тем
точнее результат расчета.
Покажем применение этого способа на Двутавровом сечении (см. рис. 176)^
Пусть 1у^—высота упругого ядра. Тогда
''макс —'
откуда
J/t =
2 Щ^
Q
_3_
4 бт
Предельный момент в сечении равен:
Мпр = а''1^'пл
-(
д^ёут
У,
Подставляя сюда г/^, окончательно получим
где о^ IFjijj — предельный момент при чистом изгибе.
Условия предельного состояния можно представить так:
Л1пр 3 , Qnp
A0.7)
A0.8)
• +
•6 bWf
= r„
A0.9)
177
Полученные выражения справедливы до тех пор, пока 2у^ ^ ftp Для
прямоугольного сечения они справедливы при 2у^ ^ Л и б = ft, т. е. при
^ > от. В тех случаях, когда ^ < а'', пределы величины Q^p
приближенно равны следующим значениям:
при -^"^^ Qnp = —т Sh,
Qnp-T^Sft.
A0.9')
4. Предельное состояние сечения при чистом изгибе
с продольной силой
Для хрупких материалов, линейно деформируемых до^ разрушения
веденное краевое напряжение равно нормальному напряжению:
р '^ W
а=-
при-
A0.10)
Предельные условия при разнозначной эпюре будут:
''макс —% •
=? —а.
A0 II)
Лля пластичных материалов (пластический шарнир) при выводе формул
предельного состояния удобно считать сжимающую продольную силу
положительной. Эпюра нормальных напряжений в пластическом шарнире при
сжатии с изгибом показана на рис. 177, где аЬ есть нулевая линия при
изгибе, cd — нулевая линия при изгибе с продольной силой, AF —
дополнительная площадь сжатой части сечения от действия продольной силы. При
растяжении с изгибом эпюра будет аналогичной, только нулевая линия cd
и площадь AF располагаются по другую сторону прямой аЬ.
Обозначим, как и ранее, Fp и F^^ — площади растянутой и сжатой
частей сечения при действии на рассматриваемое сечение только
изгибающего момента. Напомним, что Fp =
= ^сж~ ^^ I "^Р I ^ I "^сж I ——Y '
Выражения внутренних сил
через напряжения;
A/np = a^f —2аЧ/='р—Af)= 2а''AF;
A0 12^
ир=- 5 2a^dFy=2aUSp-AFyo),
М
Рис. 177
ш-
1 , 1
/iF
L_
i
(f^
=§
-c'^
—1 V
A0.13)
где AF — приращение площади
сжатой части сечения от действия про-
" дольной силы N, а г/о-~
расстояние ее- центра тяжести от
центральной оси всего сечения.
Исключая AF из A0.12) и
A0.13), получим общее З'^словие
предельного состояния сечения
М
пр
л/
- +
пр
Уо
= 25.
W.
A0.14)
Рис. 178
Оно не зависит от знака
продольной силы. В этом выражении
величина уд зависит от формы се-
178
чения и величины Д^, равной —^ ■ Лля двутаврового и прямоугольного
сечений (рис. 178)
ДР=б2{;о; до'
N
пр
Wb
Подставляя значение г/о в A0.14), получим
м
пр
Nn
■ = Я^пл.
Для двутавра должно быть выполнено условае
A0.15>
^Уй'
'пр
2атй ^ 2 ■
Формула A0.15) справедлива « для растяжения с изгибом, поскольку
она содержит величину N^^ в квадрате.
5. Предельное состояние сечения при изгибе с поперечиой
и продольной силами
Для хрупких материалов, линейно деформируемых до разрушения,
напряжения в сечении
л/ м QS
Jb '
Т^Т^' ''
A0.16).
Точка поперечного сечения с наибольшим приведенным напряжением,,
вообще говоря, неизвестна.
Во многих случаях наибольшее приведенное напряжение будет на крак>
сечения, и тогда,условия предельного состояния A0.11) сохраняются.
Для пластичных материалов (пластический шарнир) внутренние силы
в пластическом шарнире показаны на рис. 179. Наличие в сечении
поперечной силы Qjjp, как видно, не меняет величины продольной силы Л^цу, но
уменьшает момент М^^ на величину AM = — • ^"^° . Подставляя в A0.15)
вместо уМщ, увеличенное на AM ei.o значение, получим условие предельного
состояния сечения в таком виде:
Mr
3
16
Qnp
Л^п
О(т0' 46 (аМ'
:Гп
A0.17).
Все ранее рассмотренные случаи являются час1ными случаями этога
общего выражения.
Пример 13. Определить предельную продольную силу в сеченив 10 X 20 см
прямоугольного стержня, если предельный момент Map — 192 кН * м, а' = 20 кН/см^.
По формуле A0.15) Эпт/ш^ эпюра т
192-102 N1^
20
4-202.10
10-202
■ = 1000см«.
ГЛ:::.
откуда Л?пр = S00 кН.
Рис. 179
179
Пример 14. Определить предельную поперечную силу при тех же данных, при-
«имая т^ = B0 : УЗ)' кН/см^ По формуле A0.9)
192.102 3 Qnp 10-202
+ — ^ _ = = 1000 см».
20 16 10B0: |/^3J
Откуда Qnp = 533,3 кН.
§ 87. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ ПО НЕСУШЕЙ
СПОСОБНОСТИ
Предельным состоянием системы называется такое состояние, при
котором система теряет способность сопротивляться внешним воздействиям
«ли приходит в состояние, непригодное для дальнейшей ее эксплуатации.
Напомним, что при расчете сооружений различают две группы
предельных состояний: первая— по потере несущей способности (по
прочности, устойчивости, текучести и т. д.), вторая — по непригодности к
нормальной эксплуатации (по жесткости, появлению колебаний, трещин
« т. д.) (см. § 2).
Расчет по первому расчетному предельному состоянию на прочность и
устойчивости, проводится на расчетную нагрузку, равную нормативной,
умноженной на коэффициент перегрузки п (запас на нагрузки), больший
■единицы. Расчет на усталость по первому предельному состоянию и на
жесткость по второму предельному состоянию проводится на нормативные
нагрузки.
В качестве характеристики прочности материала принимается
расчетное сопротивление R, равное нормативному сопротивлению R^ (предояу
текучести, пределу прочности, пределу усталости), деленному на
коэффициент безопасности по материалу k (запас по материалу), больший единицы.
Особенности работы системы учитываются коэффициентом условий работы т,
который может быть больше и меньше единицы.
Расчет сооружений из материала с линейной зависимостью между
напряжениями и деформациями вплоть до разрушения соответствует «упругому»
расчету. Если в этом расчете по-прежнему пренебрегать изменениями
размеров сооружений от деформации при расчетной нагрузке, что, вообще
говоря, менее точно, чем при нагрузке нормативной, то часто применим
принцип независимости действия сил.
Расчет сооружений из пластичных' материалов при наличии
пластических деформаций соответствует «пластическому» расчету, в котором
принцип независимости действия сил применим уже редко и то с
дополнительными оговорками.
Предельное состояние системы по несущей способности есть такое
состояние, при котором система под нагрузкой, вызывающей текучесть или
разрушение материала, становится как бы изменяемой. При этом в отдельных
сечениях возникают предельные состояния, т. е. в хрупких материалах
появляются и развиваются трещины и в пластических материалах
появляются пластические шарниры. Трещина в сечении устраняет от одной до трех
связей, а пластический шарнир — только одну связь, поскольку он не
препятствует дальнейшему развитию деформации бесконечно малого
элемента стержня в этом месте и в том же направлении, которому соответствует
раскрытие пластического шарнира. Иными словами, пластический шарнир
допускает перемещение системы в том направлении, при котором
происходило его образование. Однако пластический шарнир препятствует развитию
всяких деформаций, при которых происходит разгрузка материала,
находящегося в пластической стадии, так как при этом материал ведет себя, как
упругий. ■ Таким образом, пластический шарнир является односторонним,
«раскрывающимся» только в одном, вполне определенном направлении,
чем он и отличается от обычного шарнира. Кроме того, изгибающий момент
в пластическом шарнире не равен нулю, а равен предельно возможному
моменту при данном сочетании внутренних сил в сечении.
. 180
При возникновении пластического шарнира в системе внутренние силы
8 этом сечении не исчезают, а при появлении трещины в сечении они могут
или исчезать, или изменяться в значительной мере, или иногда оставаться
неизменными (сжатие). Исчезновение или изменение внутренних сил при
появлении трещины в хрупком материале может происходить быстро, что
связано сдинамическим эффектом их изменения и может
отразиться на прочности остальной части системы.
Нагрузка, соответствующая такому предельному состоянию системы,
называется предельной или разрушающей.
Статически определимая система переходит в предельное состояние при
появлении лишь одной трещины по всему сечению или одного пластического
шарнира. ^
Для определения предельных нагрузок систем из пластичных материалов
существуют два метода: статический и кинематический.
Статический метод состоит в том, что по предельным моментам в
пластических шарнирах (в ожидаемых местах их появления), когда система
становится изменяемой, составляется эпюра изгибающих моментов по всей
системе. На основе этой эпюры по условиям равновесия определяется предельная
нагрузка.
Кинематический метод основан на применении принципа возможных
перемещений к однажды изменяемой системе, полученной после появления в
заданной системе пластических шарниров, нагруженной предельными
моментами в них и заданного вида предельной нагрузкой. При этом за возможное
перемещение принимается то, которому не препятствуют пластические
шарниры.
§ 88. ПРЕДЕЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ ДЛЯ БАЛОК
Предельное состояние статически определимых балок наступает при
появлении одной трещины по всему сечению или одного пластического
шарнира. Разрушение происходит при предельных внутренних силах М^р и Q^p
в сечении.
Если материал балки хрупкий, то, исключая из рассмотрения особые
случаи, когда предельное приведенное напряжение имеет место внутри
сечения, рассмотрим только те случаи, когда оно будет равно краевому
напряжению и, следовательно, не будет зависеть от касательных напряжений.
Условие предельного состояния балки (см. 10.3) определяется меньшим из
двух значений:
М =a"''W ; ]
■"' Р ^' A0.18)
где Ор" и Осж — пределы прочности на растяжение и сжатие, а W^ я W^^ —
предельные моменты сопротивления сечения для растянутой
и сжатой частей сечени (
Предельные моменты сопротивления зависят от диаграммы
деформирования материала. При линейной диаграмме они равны обычным моментам
сопротивления.
Общий параметр данной предельной нагрузки определяется по
наибольшему изгибающему моменту, выраженному в общем виде через этот искомый
параметр и приравненному М^р, выраженному через o"'^. При
неподвижной нагрузке положение сечения и величина наибольшего момента от
нагрузки заданного типа определяются по эпюре моментов (рис. 180 и 181).
При подвижной нагрузке не известны не только величина Al^p, но и
положение сечения с наиоольшим изгибающим моментом. Поскольку выражение
A0.18) линейно относительно М^'р, то, если в предельном состоянии принцип
независимости действия сил еще справедлив, место и величина
наибольшего изгибающего, момента могут быть найдены по педеформированному со^
18J
стоянию балки изложенными ранее приемами. В частности, могут быть
использованы линии влияния изгибающих моментов для некоторых сечений,
по которым устанавливается расчетное положение нагрузки и производится
вычисление расчетных значений. Из них для сопоставления по формуле
A0.18) выбирается численно наибольшее значение.
Если материал балки пластичный, то условие предельного состояния
балок по A0.9) имеет вид
Ма-(, + -
16
Qnpq"
6(t^)'
= ат Г„
A0.19>
Полагая f = %а^, где | < 1 зависит от принимаемой гипотезы прочности,
выражение A0.19) можно представить в виде
м
■пр
W,
[i-/(ir-
I' Мпр б
A0.20>
Общий параметр нагрузки определяется по наибольшему значению
величин, содержащихся в левых частях формул A0.19) и A0.20). При
неподвижной нагрузке, если допустимо определение внутренних сил в предельном
состоянии по схеме недеформированной балки, этот вопрос может быть решен
или путем построения эпюры величин, содержащихся в левых частях
формул, или путем выборочного вычисления ее ординат для нескольких
сечений, в которых ожидаются наибольшие значения этих величин.
Сложнее будет обстоять дело при нагрузке подвижной. Поскольку
величины, содержащиеся в левых частях выражений A0.19) и A0.20), не
являются линейными функциями внутренних сил М и Q, '^о даже если
считать, что принцип независимости действия сил применим для вычисления
УН и Q в предельном состоянии, он уже неприменим для вычисления левых
частей выражений A0.19) и A0.20). Поэтому построить л. в. выражений
этих левых частей уже нельзя. Если для М и Q справедлив принцип
независимости действия сил в предельном состоянии, то линии влияния для М и Q
можно безоговорочно использовать только в тех редких случаях, когда
расчетное положение подвижной нагрузки по ним одинаково. Поскольку,
однако, влияние поперечной силы обычно невелико, то приближенное
ее значение может быть принято по расчетному положению подвижной
нагрузки, определенному по линии влияния момента М. Результат такого
расчета при желании может быть уточнен последовательными приближениями.
Для этого необходимо значение поперечной силы Q* от нагрузки,
установленной по линии влияния момента М в расчетное положение, подставить
в A0.19) вместо одного из множителей Qnp и получить новое выражение в
таком виде:
Л1пр +
_3_
16
Q*Qn
б(.-)
T'lZ
- = d'Wr
A0.21>
Далее, поскольку левая часть A0.21) линейно зависит от М и Q, то можно
построить ее линию влияния, найти по этой линии влияния второе
расчетное положение подвижной нагрузки и при нем определить максимальное
Рис. 180
Рис. 181
182
значение левой части. Линия влияния левой части-A0.21), обозначаемая
далее через л. в. С, будет состоять из линий влияния М и Q, умноженных на
коэффициенты выражения A0.21), т. е.:
3 Q* а''
л. в. С=л. в. М+~ ^ (л. в. Q).
A0.22)
Если при втором расчетном положении нагрузки значение поперечной
силы Q** значительно отличается от значения Q* при первом расчетном
положении, то может быть сделано следующее приближение, принимая для
A0.22) вместо Q* новое значение Q**.
В отдельных случаях поперечной силой в A0.19) можно по малости
пренебрегать. Получаемая при этом относительная погрешность приближенно
равна:
2 \ ^У ^4 fMl^b
ч A0.23)
Решение уравнений A0.19) и A0.20) при определении предельной
(разрушающей) нагрузки удобно проводить последовательными приближениями,
полагая в первом приближении Q = 0.
Заменяя в выражениях A0.18)—A0.20) М^^ и Q^p соответственно
изгибающим моментом М и поперечной силой Q от расчетной нагрузки, а о'^,
о"° и т'^ — расчетными сопротивлениями R, с учетом коэффициента
условий работы т, получим формулы для расчета по первому расчетному
предельному состоянию:
M<mR^W^, МКтКсш^сж' A0.18')
3 Q^mR
М+-ТТ т: :r<mRWaii'.
М
W„
16 б (nR^f
Q^W,
16 g2 Д^2 й
< mR.
A0.19')
A0.20')
Все сказанное относительно левых частей A0.18)—A0.20) справедливо
и для формул A0.18') и A0.20').
Пример 15. Определить предельную силу Р для балки (рис. 182, а) при / = 8 м,
q= 2 кН/м, а' = 20 кН/см^,
^ . т. е. 1 =
1
'- уз
Предельный момент сопротивления W^
1/3 ■ '
= A0 ■ 9,5 -Ь 9 • 4.5) 2 = 271 см».
По статическому методу
Предельную силу Р определим по выражению A0.19), пренебрегая сначала
поперечной силой:
р. 800
0,02.8002
4 • 8
= 20.271=5420 кН.см,
откуда Р = 19,1 кН.
Выясним влияние поперечной
силы при найденной силе Р=19,1 кН:
19,1.800 0,02-8002 3
A9.1 : 2J 20
^ B0. VW -5^^+2>5^«Н-'^"-
«;
\\\\\
fTTTT
1=дм
.\У\\ \
18 > ten
-=»<r'
Рис. 182
\m
Как видно, поправка ничтожно мала. Если при тех же данных принять / = 1 м, то:
а) без учета Q
Р-100 0,02-1002
Ь—^ =5420 кН-см,
откуда Р = 215,8 кН;
б) с учетом Q
Р-ЮО
0,02-1002
НУ
20
8
откуда Р = 203,68 кН.
Поправка от учета Q равна 6%.
16 lB0il/3)
2 = 5420 кН-см,
По кинематическому методу
Возможное перемещение балки при наличии пластического шарнира показано
на рис. 182, б.
Работа внешних сил и моментов в пластическом шарнире на возможном
перемещении
/ 4/
Отсюда
4Л1пг, al 4-5420 0.02-800
Р = —~ — -^ = —г::: ———: =19,1 кН.
800
§ 89. ПРЕДЕЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ ДЛЯ РАМ И АРОК
Разрушение рамы или арки может прбисходить при различных
комбинациях внутренних сил М, Q п N.
Если материал рамы или арки хрупкий, то ограничимся рассмотрением
только случаев, когда наибольшее приведенное напряжение равно
краевому, а материал приближенно следует закону Гука до разрушения.
Условие предельного состояния сечения A0.11) является и условием
предельного состояния рамы или арки. Обш,ий параметр предельной неподвижной
нагрузки определяется по наибольшей положительной и отрицательной
величине левой части A0.10), которая приравнивается соответствующему
по знаку предельному напряжению. Из двух параметров выбирается
наименьший. Наибольшие значения величины, содержащейся в левой части
A0.10), устанавливаются по ее эпюре. Общий параметр предельной
подвижной нагрузки может быть определен при помощи линий влияния краевых
напряжений, по которым находятся наибольшие их значения. Эти краевые
напряжения, так же как и при неподвижной нагрузке, приравниваются
соответствующим по знаку предельным напряжениям, и также из двух
параметров выбирается наименьший.
Из линейной зависимости напряжений от внутренних сил М п N
вытекает возможность использования линий влияния краевых напряжений.
Поэтому, если перемещения рамы в предельном состоянии таковы, что
принцип независимости действия сил для вычисления внутренних сил /И и Л/
еще справедлив, то* могут быть использованы линии влияния краевых
напряжений.
Если материал рамы пластичный, то предельное состояние сечения
согласно A0.17) будет также условием предельного состояния рамы:
Мпр-Ь
Qnpcj'
16
б(г^)
т\2
IVnp
46(j^
= Wr
Заменяя т^ = 1
;сг^, представим его в таком виде:
1 /Vnp\
46 MnpJ
A0.24)
A0.25)
184
При неподвижной нагрузке наиоольшие значения величин,
содержащихся в левых частях A0.24) и A0.25), могут быть найдены построением
эпюр этих величин или путем выборочных вычислений их ординат для
нескольких сечений, в которых ожидаются наибольшие значения этих
величин.
Иначе будет обстоять дело при подвижной нагрузке. Даже если
предположить, что перемещения рамы в предельном состоянии позволяют
применять принцип независимости для вычисления внутренних сил, то этот
принцип все же неприменим к вычислению значений величин, содержащихся
в левых частях A0.24) и A0.25), поскольку они нелинейно зависят от
внутренних сил. Это значит, что определение наибольших значений этих
величин по линиям влияния уже принципиально невозможно.
Приходится отдельно рассматривать различные положения подвижной нагрузки.
Поскольку, однако, влияние Л/^р и Qnp во многих случаях может быть
небольшим по сравнению с М^р, то приближенно вопрос о наибольшем
значении величин, содержащихся в левых частях A0.24) и A0.25), может
быть решен по расчетному положению нагрузки, определяемому по линии
влияния момента. Полученный таким путем результат расчета, так же как
и при расчете балок, может быть уточнен последовательными
приближениями. Для этого необходимо значения Q* и Л/*, соответствующие расчетному
положению нагрузки, определяемому по л. В. момента М, подставить
в A0.24) вместо одного множителя Qnp и Л^пр и получить выражение в таком
виде:
Затем построить линию влияния левой части A0.26), которую обозначим
через л. в. Z), по уравнению
3 о* ст" Ы*
л. в. 0 = л. в. М-Ь— ~ ; (л. в. Q)+ (л. в. N). A0.27>
По этой линии влияния установить нагрузку во второе расчетное
положение и определить максимальную величину левой части A0.26).
Если при втором расчетном положении подвижной нагрузки новые
значения Q** и Л^** существенно отличаются от Q* и Л'* при первом расчетном
положении, то расчет можно еще уточнить, приняв для A0.27) вместо Q*
и Л^* их новые значения Q** и N**.
В тех случаях, когда расчет ведется без учета Л^^р и Qnp, относительная
погрешность приближенно равна:
А = ±
y\ + iV^mi(-
Qnp _j._l Nt,
166g2 /и^р 46 М'^р
A0.28)
Аналогично расчету рам проводится расчет трехшарнирных арок. Надо
только иметь в виду, что в арках влияние Л^^р и Q^p, как правило, больше,
чем в рамах.
На основе полученных условий предельных состояний рам и арок могут
быть составлены формулы расчета их по первому расчетному предельному
состоянию. Для этого, как и в § 88, надо заменить /И.пр, Qnp и VV^p
соответственно М, Q и Л/ от расчетной нагрузки, а а'', а"" и т'^ ■— расчетными
сопротивлениями, с учетом коэффициента условий работы. Так,
например, из A0.25) получим
М
Гг
2 + 1/ 4 •+ "^°Ч 1661^ М^ ^ 46 ~т)
<^mR. A0.25')
Отметим и здесь, что все сказанное в отношении каждого условия
предельного состояния справедливо и для формулы расчета по первому
расчетному предельному состоянию, из него полученной.
J 85
§ 90. ПРЕДЕЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ ДЛЯ ФЕРМ
Разрушение фермы произойдет при разрушении одного стержня. По
величине продольной силы в этом стержне в момен"? разрушения может быть
определена предельная нагрузка для фермы. Предельная продольная сила
при этом должна быть выражена в общем виде через параметр заданной
нагрузки. Предельная нагрузка устанавливается по равенствам A0.1) и A0.2),
которые запишем в таком виде:
для хрупких материалов
Nnv
"«^ ПЧ
—^ = *>п\ ^^Ри растяжении;
р
для пластичных материалов
Р
а""
—В— = 0р'' при сжатии;
при растяжении;
_ = а'' при сжатии.
A0.29)
A0.30>
^ Окр
Во всех случаях вопрос сводится к определению наибольших значений
величин, содержаш,ихся в левых частях равенств A0.29) и A0.30). При
неподвижной' нагрузке stji наибольшие значения необходимо определять для
каждого стержня фермы. При подвижной нагрузке, если принять, что
принцип независимости справедлив и э предельном состоянии, могут быть
использованы линии влияния продольных сил в стержнях ферм.
При расчете ферм по первому предельному состоянию продольные силы
в стержнях должны быть определены от заданной расчетной нагрузки, а
соответствующие характеристики материала должны быть взяты с
коэффициентом однородности и условий работы. В этом случае левые части
A0:29) и A0.30) должны быть равны или быть менее правых частей.
§ 91. ОСТАТОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ ПОСЛЕ РАЗГРУЗКИ
В СИСТЕМАХ ИЗ ПЛАСТИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Всякое нагружение системы за пределы упругости материала в каких-
либо ее местах всегда создает остаточные деформации и, как
правило, остаточные напряжения. Частные случаи остаточных деформаций
без остаточных напряжений всегда имеют место в статически определяемых
фермах и иногда, что весьма -редко, в статически неопределимых системах,
как, например, в системе, изображенной на рис. 455, при равных длинах
стержней.
При разгрузке материал ведет себя, как упругий с начальным модулем
упругости. Следствием наклепа материала является своеобразный наклеп
самого сооружения, и оно при разгрузке ведет себя тоже, как упругое,
но только до тех пор, пока при разгрузке не возникает в какой-либо точке
напряжение выше предела текучести другого знака, чем было напряжение
до разгрузки. В таких случаях будем говорить, что разгрузка совершается
по линейному закону. В начале разгрузки сооружения диаграмма Р, Д
(рис. 183) линейна. Но этот линейный закон в начале разгрузки может
отличаться от линейного закона в начале нагрузки. Дело в том, что в
отдельных случаях в некоторых зонах сечений при разгрузке по упругому закону
напряжения, в самом начале разгрузки, равные о'^, должны были бы
численно возрасти, что физически невозможно. Эти зоны сечений должны как
бы исключаться из работы при разгрузке по линейному закону, сечение как
бы уменьшается, и разгрузка сооружения на диаграмме Р, Д совершается
по линейному закону с меньшим углом наклона к оси перемещений (рис. *183).
186
Такой случай будет, когда нулевая линия пластического шарнира не
совпадает с нулевой линией эпюры о по упругому расчету, основанному на
линейной диаграмме деформирования при нагрузке, например при чистом
изгибе стержня, для которого центральная ось поперечного сечения,
перпендикулярная плоскости изгиба, делит сечение на неравные 4actH.
Выключаемая часть сечения при чистом изгибе в основном будет заключена между
нулевыми линиями пластического шарнира и эпюры о по упругому расчету
(см. рис. 185).
Если при разгрузке по линейному закону -приведенные напряжения
в каком-либо сечении будут больше предела текучести при знаке,
противоположном знаку напряжений при нагрузке, то они физически невозможны
и линейный закон разгрузки нарушается. Это нарушение начнется с момента,
когда по упругому расчету при разгрузке в какой-либо точке возникнет
напряжение а'' другого знака, чем напряжение а'^ пластического шарнира
при нагрузке.
Вопрос об изменении при разгрузке линейного закона, имевшего мзстэ
в начале нагружения (см. рис. 183), и нарушении линейного закона раз
грузки может быть приближенно
решен на основе анализа нормальных
напряжений в сечении стержня,
поскольку при определении
приведенных напряжений касательные
напряжения изгиба -часто играют малую
роль, а иногда они равны нулю.
При таком решении надо найти
из расчета по упругой стадии эпюру
о при разгрузке в наиболее
напряженных сечениях, наложить ее на эпюру
упругопластйческих или
пластических напряжений а при нагружении,
нагрузка
Лергпе/иете а
Рис. 183
-г;
•с
^
:®:
ё-'
V
!
Рис. 184. Эпюры нормальных напряжений а в сечении
а — при нагрузке; б — при разгрузке; в — остаточные
187
т. е. получить эпюру остаточных напряжений Аа. Если в последней
напряжения не превышают предела текучести, то линейный закон разгрузки
соответствует линейному закону 3 начале нагружения и не нарушается до конца
разгрузки.
Если же в эпюре Да окажутся напряжения, большие а'^, и притом
одного знака с напряжениями а'^ пластического шарнира, то линейный
закон разгрузки не соответствует линейному закону начала нагружения.
Линейный закон разгрузки нарушается в случае, когда некоторые
напряжения по эпюре До превышают а'^ со знаком, противоположным знаку
о'^, в пластическом шарнире.
Иными словами, линейный закон разгрузки одинаков с линейным
законом начала нагружения, лишь когда знак напряжений во всех точках
поперечного сечения при разгрузке по линейному закону противоположен
знаку напряжений в пластическом шарнире при нагружении. Это может
быть при чистом изгибе стержня с симметричным относительно
центральной оси, перпендикулярной плоскости изгиба, сечением и при растяжении
или сжатии стержней шарнирных ферм.
Прежде всего заметим, что в любых статически определимых системах
при полной разгрузке остаточные напряжения в сечении самоуравновешены.
В силу этого в статически определимых шарнирных фермах остаточных
напряжений о не может быть, так как прямоугольная их эпюра с
напряжениями о, не ^равными нулю, не самоуравновешена. При изгибе балок
уменьшение изгибающего момента при разгрузке равно моменту при
нагружении. Остаточные краевые напряжения после разгрузки равны:
Дсг = — сг' = сг I
W \ W
W
Поскольку отношение -^~ обычно меньше двух, то остаточные
напряжения не превышают предела текучести другого знака. На рис. 184
показано развитие остаточных напряжений при изгибе балок
прямоугольного сечения вплоть до возникновения пластического шарнира. Нарушение
линейности разгрузки вследствие появления а'^ другого знака при
действии в сечении М и Q, видимо, маловероятно. При изгибе бруса с
несимметричным относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости
изгиба, сечением (рис. 185) нулевая линия при разгрузке по упругому закону
не совпадает с нулевой линией пластического шарнира. Поэтому в начале
разгрузки в некоторых местах сечения знак напряжения при разгрузке
одинаков со знаком о'' пластического шарнира, что приводит к выключению
этой части сечения из работы. Так, например, для таврового профиля
(рис. 185) это будет часть сечения от полки до центра тяжести сечения
и даже немного выше его. На рис. 185 показана и эпюра остаточных
напряжений До при выключении из работы части сечения с предельным
моментом ТИцр = 7680 кН • см.
Если разгрузка до конца совершается по прямой, параллельной
начальной прямой нагружения, то второе нагружение будет совершаться по тому
же линейному закону вплоть до возникновения второй раз того же
пластического шарнира.
Если же разгрузка происходит по линейному закону, отличному от
начального закона нагружения, то второе нагружение на диаграмме Р,
Д вначале тоже совершается по прямой, угол наклона которой
на этой диаграмме больше угла наклона прямой разгрузки. Он будет
ближе к углу наклона начала прямой первого нагружения, так как по
рис. 185, ж эпюра о второго нагружения по упругому расчету при
'полном речении лишь на небольшой части сечения, значительно меньшей,
чем при первой разгрузке, имеет знак, совпадающий со знаком ог^ в эпюре
остаточных напряжений. Значит, произойдет выключение из работы части
полного сечения, меньшей, чем при первой разгрузке. Этот вначале линей-
188
ifcM I
^^-^тн/см^ 35.29
ajc
=FF
гив
21,18
Рис. 185. Эпюры нормальных напряжений о в сеченни
а — сечение; б — эпюра о в пластическом шарнире при нагрузке; в — эпюра о при разгрузке по
линейному закону'при полном сеченни; г — фактическое сечение, работающее при разгрузке; <3 —
действительная эпюра о при разгрузке; е — эпюра остаточных напряжений ло; ж — эпюра о при
втором нагружении по линейному закону при полном сечении
ный закон второго нагружения будет в какой-то момент нарушен, так.
как иначе краевые напряжения, например вверху, были бы больше tf*.
Если линейный закон разгрузки или нового нагружения будет нарушен,
то при втором нагружении на диаграмме появится петля гистерезиса.
Аналогичную картину следует ожидать и в случае внецентренного сжати»
или растяжения, где также нулевая линия разгрузки по упругому расчету
не совпадает с нулевой линией пластического шарнира.
§ 92 ПРЕДЕЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ ПРИ МНОГОКРАТНОМ ИХ ПРИЛОЖЕНИИ
Многократность приложения нагрузки надо понимать в том смысле,,
что как только нагрузка достигает предельного значения, она сразу же
начинает убывать, не давая развиваться пластическим деформациям в
условиях изменяемой системы. И так повторяется много раз. При этом возникает
вопрос, не снижает ли многократность приложения нагрузки ее
предельного значения.
Для ответа на этот вопрос рассмотрим сначала случаи, когда на
диаграмме Р. А (см. рис. 183) разгрузка совершается по линейному закону, соот-
ветствующ,ему линейному закону начала нагружения. Поскольку в этих
случаях последующие нагружения и разгрузки после первого их цикла,
выражаются на диаграмме Р, А одной и той же прямой, совпадающей с
прямой первой разгрузки, то нарастание остаточных деформаций и
напряжений вследствие повторяемости нагружении не происходит.
Система после первого цикла нагружения работает на эту нагрузку,
как упругая. Это значит, что если игнорировать усталость материала, то-
снижения предельной нагрузки вследствие ее повторяемости не происходит.
Поскольку, однако, при повторных нагружениях возникает усталость
материала при больших напряжениях, равных пределу текучести, то она
должна обязательно учитываться при определении предельной многократна
повторяющейся нагрузки. Такая предельная нагрузка вследствие устало-
18»
сти материала будет меньше однократно прилагаемой нагрузк'и. Если число
повторных нагружений невелико, то расчет на усталость должен быть
проведен по пределу выносливости с ограниченным числом циклов. В детали
такого расчета мы здесь не входим, ограничившись рассмотрением
существа явления. В еще большей степени усталость материала будет
проявляться в тех случаях, когда графики нагружения и разгрузки дают на
диаграмме Р, А петлю гистерезиса.
Нагружение системы предельными нагрузками различного вида,
определенными из расчета однократного раздельного их приложения при
различных их чередованиях и при линейном законе нагружения и разгрузки,
после первого цикла нагружения тоже не снижает их величины, если
игнорировать усталость материала. Но усталость материала, безусловно, имеет
место. Она может проявляться даже в месте пластического шарнира,
образованного действием одной предельной нагрузки от действия другой.
Поэтому предельные чередующиеся нагрузки могут дополнительно
уменьшаться из-за усталости материала, порождаемой их чередованием. Все сказанное
■относится также к подвижной нагрузке.
ГЛАВА 11. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ
СИСТЕМ
§ 93. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Изменение формы сооружения под действием нагрузки или температуры
называется деформацией. Деформация сооружения есть следствие
деформации бесконечно малых элементов его стержней, т. е. изменения размеров и
формы этих элементов. При деформации сооружения все или почти все его
точки занимают новые положения. Изменение положения точки при
деформации сооружения называется перемещением. Перемещение любой точки,
например точки а оси стержня (рис. 186), определяется изменением ее
координат Ха и (/(J. Вектор аа^, где а — начальное положение точки и а^ —
положение точки после деформации, называется вектором полного перемещения
точки, а его длина — полным поступательным перемещением точки. Пря- •
моугольная составляющая вектора полного перемещения точки по заданному
направлению называется вгктором перемещения, а его длина —
поступательным перемещением по заданному направлению.
График перемещений по заданному направлению точек осей стержней,
отложенных от схемы недёформированного сооружения или от проекции
этих точек на прямую, перпендикулярную направлению перемещений,
называется эпюрой перемещений.
Положение любой материальной линии или части сооружения в
деформированном состоянии определяется перемещением точек, им принадлежащих.
Так, например, по!дожение линейного элемента аЬ, соединяющего две точки
на оси стержня, после деформации сооружения определится перемещениями
точек а и b (рис. 186). Угол Да, составленный новым направлением
линейного элемента с его первоначальным направлением, называется угловым
перемещением, или просто углом поворота линейного элемента. Этот угол
может быть выражен через перемещение концов линейного элемента а и 1>
по направлению, перпендикулярному его начальному положению:
A1.1,
sin Да
ds 1 + -
ds
■ Если приближать точку b к точке а, то в пределе полу*1им выражение для
угла поворота касательной к оси стержня в точке а. Отметим, что выражение
'' 7"—- равно тангенсу угла наклона хорды в эпюре перемещений по
направлению, перпендикулярному начальному положению линейного
элемента аЬ, построенной на линии, ему параллельной, а в пределе — тангенсу
угла наклона касательной к этой эпюре в точке а. ■
Угол поворота линейного элемента поперечного сечения в плоскости
системы, расположенного на оси стержня, отличается от угла поворота
касательной на средний угол сдвига Усред-
Изучение перемещений сооружений необходимо для:
1) оценки жесткости сооружений и расчета их по второму расчетнэму
предельному состоянию;
2) сопоставления теоретических и
опытных перемещений — для
контроля сооружений после их
постройки и после длительной эксплуатации;
3) расчета статически
неопределимых систем, поскольку
дополнительные уравнения для раскрытия
статистической неопределимости являются
условиями, накладываемыми на
перемещения системы. Рис. Г86
■^к
19J
Всякое поступательное и угловое перемещение в дальнейшем будем
обозначать буквой А с различными индексами. В тех случаях, когда
рассматривается конкретное перемещение, вызванное заданной причиной,
обозначение перемещений будем сопровождать двумя индексами Aj^n. Первый
индекс k указывает направление перемещения, а второй т — причину, его
вызвавшую. Перемещение от одной силы Р^ по ее направлению
обозначается Aftft и называется собственным перемещением, а перемещение от одной
силы Рт по направлению другой силы Р^ обозначается A^^ и называется
побочным перемещением. Перемещения от одной силы, приходящиеся на
единицу этой силы, называются единичными (удельными) перемещениями и
обозначаются буквой б. Единичные перемещения тоже могут быть
собственными 6ftfe = -^ и побочными 6ftто = -^ .
В дальнейшем будем рассматривать только линейно деформируемые
-системы, для которых применим принцип независимости действия сил.
Для них любое перемещение А^ по заданному направлению от нескольких
сил Pi, ..., Рп есть линейная функция этих сил:
^i=-ЬliPl+ЬliPi+... + ЬinPn, A1-2)
где dill = —■ — единичное перемещение от силы Р^.
Формула A1.2) для полного поступательного перемещения справедлива
.лишь в тех частных случаях, когда направление полного перемещения не
зависит от внешних сил, например, при изгибе балок, ^ри обычно
принятых допущениях.
§ 94. РАБОТА ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ
Общие методы определения перемещений линейно деформируемых
систем основаны на анализе работы внешних и внутренних сил
взаимодействия между материальными частицами системы. Внешние силы совершают
работу на перемещениях точек их приложения к системе, а внутренние
■силы — на деформациях.
Работа называется действительной, если ее совершают данные силы
в процессе деформирования сооружения на перемещениях и деформациях,
созданных этими силами. Работа называется возможной, если ее совершают
данные силы на перемещениях и деформациях, созданных другими
внешними силами или иными причинами.
Работу внешних сил будем обозначать буквой Т, а внутренних сил —
-буквой V.
Действительная работа обозначается буквой Т без индексов, если она
вычисляется от одной силы или нескольких сил, и с двумя одинаковыми
индексами той группы сил, от которой она вычисляется, если таких групп
несколько.
Возможная работа обозначается буквой Т с двумя различными
индексами, т. е. Tfirn- Первый индекс k указывает, какие силы совершают работу,
а второй индекс т — причину, которая вызвала перемещения из
рассматриваемого состояния.
§ 95. ОБОБЩЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЕ РАБОТЫ
Механической работой силы переменной величины на конечном
криволинейном пути, как известно, называется предел суммы элементарных работ
4Т = Pds cos (Р, v), представляющих собой произведение величины силы
в данный момент на бесконечно-малый путь и косинус угла между
направлением силы и касательной к траектории (скоростью). Механической работой
силы постоянной величины и постоянного направления называется
произведение силы на проекцию траектории на направление силы.
182
^ab
lab*^iab
a •
2P
b
Д Перемещении
3P
"^ Рис. 188
Работа нескольких сил равна
сумме работ каждой силы в отдельности.
Работу нескольких постоянных сил
удобно представить следующим
одночленным произведением- двух
скалярных .величин, а именно, некоторой во-
Рл^^ ,gj ображаемой силы Р*, косвенно
представляющей в Этом произведении
заменяемую группу сил, и некоторого воображаемого перемещения А*,
зависящего от тех перемещений, на которых заданные силы производят работу;
2PftAfe = P*A*. A1.3)
Такие воображаемые силы и перемещения принято называть
обобщенными силами и перемещениями^.
Рассмотрим для иллюстрации некоторые простые случаи. Пусть две
силы Р, действующие в точках аиЬ, переместились в точки а^ и 6^ (рис. 187, а).
Их работа по (И.З)
ЯЛ1+РД2 = Я(Д1 + А2) = Я*А*.
Значит, величину Р можно принять за обобщенную силу Р*, а взаимное
смещение Ai + А2 точек а и 6 по направлению сил Р — за обобщенное
перемещение А*.
Рассмотрим теперь работу пары сил при повороте отрезка, к концам
которого приложены силы, поворачивающиеся вместе с отрезком
(рйГс. 187, б):
Р (р-i-Л) Дф —ЯрАф = ЯМф.
В ЭТОМ случае момент пары М = Ph можно принять за обобщенную силу,
а угол поворота Аф — за обобщенное перемещение.
Наконец, если имеем группу сил (рис. 188) и перемещения по
направлению каждой силы есть Ai, A3 и Ад, то работа группы-сил по A1.3) равна:
ЯД1 + 2ЯА2-1-ЗРАз = Р(А1 + 2Д2 + ЗАз) = Я*А*.
где Р* = Р — обобщенная сила, а А* = А1+2А2 + ЗАз — обобщенное
перемещение^
Выражение работы сил в виде произведения обобщенной силы Р* на
обобщенное перемещение А* позволяет далее не делать различия между
обобщенной и простой силой, между обобщенным и простым перемещением.
Поскольку доказательства различных положений при одной простой силе
нагляднее, то мы часто так и будем их проводить, распространяя
получаемые выводы на обобщенные силы и обобщенные перемещения.
§ 96. ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ *
Действительная работа внешних сил — это работа их на перемещениях,
ими самими создаваемых. Внешние силы, деформируя сооружения (рис. 189),
совершают положительную работу. Если считать материал идеально упру-
^ Может быть, следовало бы называть обобщающими силами и перемещениями.
7 Зак. 763 ' 193
ж-
\f
Рис. 189
Рис. 190
^й
Рис 191
•#^
гим, то по закону сохранения энергии эта
работа полностью переходит в
потенциальную энергию деформации, накапливаемую
сооружением при его деформации.
Накопление потенциальной энергии принято
объяснять работой внутренних сил
взаимодействия между материальными частицами
тела. Эти силы при нагрузке сооружения,
препятствуя деформации тела, совершают
отрицательную работу. При разгрузке
сооружения, наоборот, внешние силы
совершают отрицательную работу, а внутренние
силы взаимодействия, возвращая
сооружение к исходному недеформированному
состоянию, — положительную работу. При
этом расходуется потенциальная энергия
деформации. Таким образом, работа
внутренних сил равна и противоположна по
знаку работе внешних -сил и
потенциальной энергии деформации, отсчитываемой от
начального состояния:
T=' — V=U,
A1.4»
Где Т — работа внешних сил;
V — работа внутренних сил;
и — потенциальная энергия
деформации.
Рассмотрим сначала работу одной силы
Р постоянного, направления (рис. 190, а)
на перемещении, йю созданном в ее
направлении.
Известно, что работа силы равна
площади диаграммы Р = f (А) (риа 190, б):
Т =
PdA=TiPfi Afeh, A1.5>
Рис 192 • где TJ — коэффициент полноты диа-
гр аммы.
Разность между Р^А^й и Г называется дополнительной работой Г'. Она
равна площади диаграммы А = /i (Р):
Г' = ПДй*-Г= С AdP.
о
A1.6)
Для линейно деформируемых систем А = сР (рис. 191) и
hin Pk^kh
2с
= Г' (формула Клапейрона),
A1.7)
Рассмотрим теперь действие нескольких простых сил на линейно
деформируемую систему (рис. 192). Из физических представлений следует, что
деформированное состояние таких систем не зависит от порядка приложения
сил. Не зависит от порядка приложения сил и потенциальная энергия
деформации. Значит и действительная ра&эта внешних сил, равная потен-
194
циальной энергии, не зависит от порядка приложения сил и закона их
изменения. Поэтому для,простоты рассуждений предположим, что все силы
прикладываются одновременно и изменяются пропорционально. По (П.2)
имеем:
Ai=Sii^i+6iaPaH-... + fii„Pn = ^i ^6n+6i2^ + ... + 6i„ ~\ ;
Д2=б21Я1 + б22Я2+... + е2пР« = Р2(б21 "Г" + «22 + - + San ^1 *
\ Г2 F2 /
An = е«1 Я1 + б„2 Я2+... + бпп Я„ = Я„ f finl ^ + бп2 —- + ... + Ьпп) ■
\ гп гп I
При пропорциональном изменении сил их отношения постоянны. Это
значит, что перемещение от всех сил по направлению любой силы Р^ ей
пропорционально. Следовательно, работа всех сил может быть представлена
в таком виде:
Т =
PiAi , Р2А2 . , -РпАп V^feAft
+...+^-f-=2:^. (П.8,
При ином порядке приложения сил отдельные слагаемые изменятся,
но выражение работы всегда может быть приведено к виду A1.8).
Действительная работа нескольких сил постоянного направления при
любом порядке и законе их приложения равна полусумме произведений каждой
силы на перемещение по ее направлению, вызванное действием всех сил.
формула A1.8) может быть приведена к виду A1.7), если ввести
обобщенную силу Р* и обобщенное перемещение А*:
Р*л*
Действительная работа обобщенной внешней силы на обобщенном
перемещении равна половине их произведения.
Выразим работу заданных внешних сил через внутренние силы, ими
вызванные. Для этого выделим из системы бесконечно малый элемент ds прямого
стержня и приложим к нему внутренние силы N, М и Q, которые по
отношению к элементу являются внешними силами (рис. 193). Силы N вызовут
удлинение элемента без поворота его крайних сечений, моменты М вызовут
поворот крайних сечений без поступательного смещения осевых точек,
а силы Q вызовут сдвиги сечений и их искривление. На рисунке условно
изображен средний угол сдвига Услед- Выразим потенциальную энергию
деформации элемента прямого стержня через работу внешних для него сил N,
М и Q, величины которых принимаются за обобщенные силы.
От продольной силы N:
NAds N JVds
EF
^f^W=—Г-=— -Т:^- (И.9)
Остальные силы М и Q на перемещениях от N работы не совершают.
От момента М:
, ■ MAdcp ММ
dV^^-^=- —ds. _ (II.IO)
Остальные силы N и Q работы на перемещениях от М не совершают.
От поперечной силы Q:
Qds Аусред Q Qds
du^^ 2 =T^-5F' . ^^^-''^
7* 195
dS
М
■Г
N I
•^ 1-
I
I
as
ds*ads
I fj
Рис. 194
где \1 — поправочный коэффициент,
определяемый далее по действительной работе
распределенных по сечению касательных
напряжений. И здесь работа остальных сил N w М
на перемещениях от Q равна нулю.
Полная потенциальная энергия
деформации системы получается интегрированием
полученных выражений по участкам стержня и
суммированием получаемых результатов пО'
всем стержням. Поскольку потенциальная
энергия деформации равна работе внешних
сил и равна по абсолютной величине, но
противоположна по знаку работе внутренних
сил, то можем написать
Рис. 193
■ +
т=и-.
SI
— 5^1
!s+
М,^
2EJ J^^i } ^
j9L
2GF
ds. A1.12>
Из этого выражения следует, что действительная работа внешних сил
и потенциальная энергия деформации системы всегда положительны и не
подчиняются принципу независимости действия сил, т. е. при действии
нескольких сил, вообще говоря, не равны сумме слагаемых при действии
каждой силы в отдельности. Дело в том, что хотя внутренние силы и
подчиняются принципу независимости действия сил, т. е., например, М = УИ^ + М^ +
+ Мд + ... + Мп, но квадрат этой величины в формуле (П. 12) не равен
сумме квадратов слагаемых. Только в тех случаях, когда суммы интегралов
из парных произведений величин внутренних сил от разных нагрузок
обращаются в нуль, работа и потенциальная энергия от нескольких сил равны их
сумме от каждой силы в отдельности. •
Выясним теперь значение коэффициента [х неравномерности
распределения касательных напряжений при изгибе. Выразим работу поперечной силы
через работу касательных напряжений (рис. 194). Касательные напряжения
при свободной от нагрузки поверхности стержня т — ""'^
сдвиг у ~ —
Jb
относительный
т
JbG
Действительная работа касательных напряжений
1т^^т'^=1
2G/2 62
■dsdP'-
2GF
ds.
195
откуда
Для прямоугольника
F [ SoTf
dP.
A1.13)
bh
/ bh.3 у
[ 12 )
Н-т-']Ц+у)тТ"''
62
= 1,2.
32 F
Для круга М' = 27 • ^■''^ прокатных двутавров [х « -^j— , где F — полная
плош;адь, а F^^ — площадь вертикальной стенки.
Все рассуждения были проведены для систем, состояш,их только из
прямых стержней. Если система содержит стержни большой кривизны, то
для них формула работы внешних сил и потенциальной энергии будет иная.
Из курса сопротивления материалов известно, что (рис, 195, а, б)
Ads = —— ds
EF
М
М
М Nds
ds,
где p — радиус кривизны стержня
^--1
Р + У
Потенциальная энергия элемента стержня большой кривизны равна:
iVAds M^d(p QAy'^P^'^ ds N^ М^
dU-.
2
Q2
2GF
2 2EF
NM
ds-\- ^^ ds-\-
EFp
ds +
2£fp2
2EJ'
ds.
■ds +
Полная потенциальная
энергия во всех кривых стержнях
определяется выражением
и
+
2EF
/И2
Q2
2GF
NM
ds +
EFp
ds +
+21
2EFp2
ds.
A1.14)
Касательные напряжения в
кривом стержне определяются
по (8.30):
J'b (р+(/J
Величину коэффициента ц'
определим так же, как это было
197
сделано для прямого стержня:
г* rfi с* п' 1 пА-и
dsdF
2GF J ■ 2G " J (J'J 62 (p-j-y)* 2G p
/=• F
откуда
<^ w,_
2GF
J 2G J (J'J 62
F
Q' 1
(p-i-y)* 2G
dF.
P+y
P
A1.15)
Изформул A1.14) И A1.15) при p = oo получаются формулы для прямого
стержня, пригодные и для стержня малой кривизны.
§ 97. ВОЗМОЖНАЯ РАБОТА ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ
Возможная работа внешних сил — это работа действующих на систему
сил неизменного направления на перемещениях, созданных другими силами
или иными причинами. В силу этого возможная работа равна сумме
произведений каждой силы Pfe на перемещение А^^ по ее направлению, т. е.
Найдем теперь возможную работу внутренних сил. Для этого вновь
рассмотрим бесконечно малый элемент прямого стержня с приложенными
к нему внутренними силами в сечениях, которые для него стали внещними
силами (рис. 196). Пусть в результате каких-нибудь причин этот бесконечно
малый элемент получил удлинение Ads^, угол поворота крайних поперечных
сечений М(ргп и средний сдвиг Аут^^''.
Работу внутренних сил выразим через работу внешних сил. Поскольку
внутренние силы взаимодействия между материальными частицами в
бесконечно малом элементе уравновешивают внешние для него силы, то работа
внутренних сил равна по абсолютной величине и противоположна по знаку
работе внешних сил, т. е.
Возможная работа внутренних сил всей системы
Vkm=-(I>1 Nu&ds^+I,lMh^d^m+ I^'^Q/.^yT'^ ds). A1.17)'
Знаки произведений N^Ads^n, М^Айф^ и Q,^Ay'^^"' ds соответствуют
знакам работы, совершаемой силами Л^^, М^ и Q^, приложенными к
бесконечно малому элементу, на соответствующих им перемещениях.
Если дополнительные перемещения А^^ вызваны действием нагрузки т.,
то деформации бесконечно малых элементов, выраженные через внутренние
силы Л''^, Мтп и Qm от ЭТОЙ нагрузки, определяются следующим образом:
а) для прямых стержней:
Ms^ = -jf-ds; Adcp^^^ds; Ду;Р^я=1^-^; A1.18)
б) для стержней большой кривизны:
"^ \EF EFpJ ^'" \ EJ' EFp^ EFp )
GF
где p—радиус кривизны стержня;
J'—условный момент инерции.
198
\
ds
I .
ds
ds *uds„,
a) ^^г* 6)
*2 '■ Й Y*'
ds
8)
J3t,ds
фУйс1у„
ds \
ds
JSt^ds
Рис. 197
'-^£C-~-
Рис. 196
Если перемещения A^^ вызваны изменением
температуры, то, принимая для температурных
деформаций бесконечно малого элемента
гипотезу плоских сечений, получим:
а) для прямых стержней (рис. 197, а, в):
hdst = — (t\ hi+ti hi) ds',
Ad(ft = ^-^— ds,
n
A1.20)
A1.21)
где P
i2 и ti
h
Л] и ^2
коэффициент линейного расширения;
приращения температуры в краевых точках сечения;
высота сечения;
расстояния от центра тяжести сечения до краевых точек.
В прямых стержнях и приближенно в стержнях малой кривизны полную
температурную деформацию можно считать состоящей из двух деформаций:
удлинения Kds^, вызванного приращением температуры на оси стержня
t ^ -г- (tih^ + ^2^i)> и взаимного поворота сечений Ad%, вызванного
разностью приращений температур в краевых точках;
б) для стержней большой кривизны (рис. 197, б, г):
cai = Ph 1
bbi = ?,t2{\ +-^]ds; Ау(==0;-
^]ds;
Р /
A1.22)
A1.23)
где р
hi и /ij
ti и t^
радиус кривизны стержня;
расстояние от центра тяжести сечения до краевых точек;
приращения температур (см. рис. 197, б, г).
В общем виде работа внутренних сил A1.17) на деформациях от нагрузки
и температуры будет выражаться так:
199
а) для тгрямых стержней и стержней малой кривизны
^^^^^'^'Ър'''^ 2|уУйА^5,т2]'л1^АЙф*], A1-24)
где AdSf и Ad(ft определяются выражениями A1.20) и A1.-21);
б) для стержней большой кривизны
Т ^{Nk&dst т2\лГйА^фН, A1.25)
где Ads't и Ad(f)t определяются выражениями A1.12) и A1.23).
В обоих случаях верхние знаки принимаются при положительных внут-
■ ренних силах по рис. 195, а и температуре по рис. 197, а, б, а нижние —■
при положительных внутренних силах по рис. 195, б и температуре по
рис. 197, в, г.
Если дополнительные перемещения А;,^ вызваны наличием
сосредоточенных конечных деформаций элементов стержня в виде удлинения Asm,
угла излома Дф™ и абсолютного сдвига Апт, то в формулы возможной
работы внутренних сил A1.24) и A1.25) надо ввести дополнительные слагаемые
Vfem=-[2yVfeASm + E7HfeA9„ + EQfeAram]. A1.26)
Знаки произведений, содержащиеся под знаками суммы, соответствуют
знакам работы, производимой силами Л/^, M^nQfe, приложенными к
деформируемому элементу.
§ 98. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
К УПРУГИМ СТЕРЖНЕВЫМ СИСТЕМАМ
В неизменяемых упругих статически определимых и неопределимых
системах возможными перемещениями, не нарушающими наложенных
связей и не вызывающими смещения опор, могут быть только перемещения
системы из исследуемого положения равновесия, вызванные действием какой-
нибудь нагрузки или изменением температуры. Такие возможные
перемещения сгстемы из исследуемого положения равновесия сопровождаются
деформацией системы. Следовательно, работу на таком возможном
перемещении будут совершать не только внешние, но и внутренние силы. Так как
работа всех сил на возможных перемещениях равна нулю, то
где Ttim — работа внешних сил состояния k на перемещениях состояния
т, а Vjim — работа внутренних сил состояния k на деформациях
состояния т. "
Из этого равенства следует, что
Возможная работа внешних сил равна по абсолютной величине и
противоположна по знаку возможной работе внутренних сил.
При использовании принципа возможных перемещений необходимо,
чтобы возможные перемещения были бесконечно малыми и отсчитывались от
200
г I'
"v^^
6)
±
Ур,
Ур,
в)
Ур,
^^^^~—i--—'т:^
Рис. 198
исследуемого положения равновесия си- "-^
стемы. Поскольку мы рассматриваем
линейно деформируемые системы, для
которых применим принцип
независимости действия сил в отношении
перемещений и деформаций, то в качестве
возможных перемещений можно
использовать малые перемещения конечной
величины от начального
недеформированного состояния. Так, например, для
балки (рис. 198, а) прогиб г/ = г/р, + г/р
от двух сил Pi и Р^ равен сумйе
прогибов от каждой из них. Перемещения
Ур, от силы Ра, отсчитываемые от
начального состояния (рис. 198, в), могут
быть приняты в качестве возможных перемещений при исследовании
упругого равновесия балки при действии силы Pi (рис 198 g^"'^^"'^" У"
Так же допустимо в качестве возможных перемещений принимать малые
конечные перемещения от температуры, смеще^^ия опор и сосредоточенных
деформации, отсчитываемые от недеформированного состоя^я системы
§ 99. ОБЩАЯ ФОРМУЛА ВОЗМОЖНОЙ РАБОТЫ
Р ассмотрим два состояния какой-нибудь статически определимой или
статически неопределимой системы (рис. 199). Положим, что в одном состоянии
которое назовем состоянием й, действуют внешние активные силы Р, реакции
опор i?, и внутренние силы Л/„ М, и Q,; имеют место смещения опор Д,
упругие деформации - удлинения А^„ ■ углы поворота сечений д1:
средние относительные сдвиги ^fr\ сосредоточенные деформации конечной
величины -- удлинения As,, углы излома Дф,, абсолютные сдвиги Ад, и
наконец, приращения температуры 4- В другом состоянии, которое назовем
состоянием т, будем иметь внешние активные силы Р^, реакции опоо Р
внутренние силы N^,M^^^ Q^; смещения опор Д^, упругие деформации _
^'^■"f ср"Г "' ^'''" поворота сечений Дйф^, средние относительные
сдвиги tsr^^ ; сосредоточенные деформации конечной величины — удлинения
As™, углы излома Дф^, абсолютные сдвиги Дп„ и приращения
температуры 1уп- ^
Все перемещения при этом будем считать малыми, допускающими пои-
менение принципа независимости действия сил.
Для получения общей формулы возможной работы исследуем
равновесие состояния fe приняв в качестве возможных перемещений перемещения
состояния т. Работу внешних активных сил Р^ и реактивных pjвыражен-
201
ную в общем виде через работу внутренних сил, запишем, используя
выражения A1.17) и A1.24) —A1.26).
В общем случае
В системах из прямых стержней и стержней малой кривизны
^-2^VfeДSm^-2Л^feДфm + 2QhД«™. A1.27)
в системах из стержней большой кривизны
^Pkl^hm + ^Rhl^m=Tkn, + Tut^ + fum, A1.28)
где
'■1.-2 j'*'.i?<fc+2 ]■«. |р-* + 2 |>''0»57''ч-
Тмга = Т, 21 Л?й Ads('^ Т 21 Mft Дйф('^; A1.30)
■Г^т=2Л/йД8т+2МьДф^ + 2(ЗйД/г„. '. A1.31)
Знак произведения Rh^m определяется знаком работы реакции Rf^ на
соответствующем ей перемещении Д^. Иными словами, перемещение Д^
считается положительным, если оно совпадает по направлению с реакцией
Ru-
Верхние знаки в A1.27) и A1.30) принимаются при положительных
заменяющих (внутренних) силах по рис. 195, а и температуре по рис. 197, а, б,
л нижние — при положительных заменяющих силах по рис. 195, б и
температуре по рис. 197, в, г.
Из выражения A1.28) при р = оо получается выражение A1.27).
§ 100. ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ
1. Теорема взаимности работ
Рассмотрим систему, показанную на рис. 199, в двух состояниях.
Сначала будем исследовать систему в состоянии k, принимая в качестве
возможных перемещения состояния т, а затем — систему в состоянии т, принимая
Б качестве возможных перемещения состояния k. По формуле возможной
работы A1.28) будем иметь:
2Р^ Amft + 2/?m Дй = Гш* Ч-Т^г^ + r^ft.
, Согласно A1.29) Tim = Tmk, поскольку перестановка множителей в
подынтегральных выражениях не изменяет величины интегралов.
Следовательно:
^Pk^km + ^Rh^m-Tktr^-fkm= '
= ^Pm^mk+^Rm^h—Tmtk-tmk- . (П.32)
Это равенство содержит дополнительные слагаемые Tkm и Т^п,
введенные проф. А. А. Уманским. Если в рассматриваемых состояниях производят
202
работу только внеяиние актив- ip^ _ ^
ные силы Pft и Рт, то равенство | .■^'"' "^С^^^
A1.32) примет более простую J^-^jy ^JHt^ i '^
форму (теорема Бетти): tp'^\i<ix .-^ ! \flm
ИЛИ Р^ДАт = РшДш*- A1.33) /^.^ ^' " "^
В ЭТОМ случае теорема взаим- р^,^, joo
ности работ формулируется так: . ' '
возможная работа внешних сил состояния k на перемещениях состояния
т равна возможной работе внешних сил состояния т на перемещениях-
состояния k.
Например, для системы изображенной на рис. 200 в двух состояниях^
по теореме взаимности работ получим
2. Теорема взаимности единичных перемещений
(теорема Максвелла)
Запишем теорему взаимности работ через обобщенные силы и
перемещения РХ^Гнт = Pm^mk.
Разделим обе части этого равенства на произведение обобщенных
сил PiP*nt:
Aftm Amfe
Рт Pk
Обозначим di^jn = —г и 6^^ = -^ и назовем эти отношения единич-
Рт Pk
ными обобщенными перемещениями. Размерность единичных перемещений
вытекает из самого их определения.
размерность обобщенного перемещения Atm
Размерность Ohm= 1—' •
размерность обобщенной силы Рт
Следовательно,
^km^^mh- ■ A1-34)
Единичное обобщенное перемещение, соответствующее обобщенной силе
Р1 от обобщенной силы Р'т, равно единичному обобщенному перемещению,,
соответствующему обобщенной силе Р'т от
обобщенной силы P'k.
Равенство A1.34) справедливо и для
простых сил. Для них единичное
перемещение Ьу^тп по направлению силы Р^ от
силы Рт равно единичному перемещению
&Tnh по направлению силы Рт от силы Р^.
Пример 16. Какие перемещения равны по „ _.-
теореме о взаимности перемещений (рис. 201)? ^
Векторы аЬ и cd суть векторы полных
перемещений конца стержня. Перемещение б^т— это
вертикальная проекция вектора полного
перемещения ей в состоянии т., а перемещение б^^—
горизонтальная проекция вектора полного
перемещения аЬ в состоянии k. Рис, 201
/77
2оа
в статически неопределимых
системах (первая теорема
v) 3. Теорема взаимности
^""IB^-^^ единичных реакций
У77 /Г7 /77 /77 /77 Л. , .
6) f '^кт'''кт^т РЭЛСЯ)
JL ^Г~ —^ "^ ^Х"-~-^ Рассмотрим какую-нибудь
^^ k^ ^'^ ^^ статически неопределимую си-
\'^т1Г'~тк'^п стему в двух состояниях от и й.
Рис. 202 Положим, что в каждом
состоянии имеют место перемещения
Дт или Д,^ по направлению только одной из опорных связей т или k
(рис. 202, а, б). Эти перемещения вызовут реакции связей, из которых
отметим только реакцию i^^m связи k от смещения связи т и реакцию Rmh связи
т от смещения связи k. Составим уравнение возможных работ внешних
сил каждого состояния на перемещениях другого:
Разделив
на
А;
k^mt
Rhm^h =
получим
■ Rmh Дщ-
Rmh
Rb
Обозначим Tfem = -/г^ и назовем это отношение единичной (удельной)
^т
R ь
реакцией связи k от смещения связи т, а Гтк — -f^ единичной реакцией
■связи т от смещения связи k. Тогда
''km = ''mh- A1.35)
Реакция связи k от единичного смещения связи т равна реакции связи т от
единичного смещения связи k.
Размерность реакции г^^^ равна размерности отношения -г^ ■ Все изло-
^т.
женное справедливо и для Обобщенных реакций с соответствующими им
•обобщенными перемещениями.
■ 4. Теорема взаимности единичных реакций и перемещений
(вторая теорема Рэлея)
Рассмотрим два состояния. В первом из них задано одно перемещение
но направлению связи k, а во втором только одна внешняя сила Рт
■(рис. 203, а, б). По уравнению взаимности работ i^ftmAft + /'mAmft = 0-
Разделив это выражение на Рт^и, получим
4m=-6mft. A3.36)
"^ ^-- Т;-^--, -Г где Гйт = ^ есть единичная ре-
Y 7 <У^--4--у\ акция связи k от силы Р^. а
"^d) "^ Y-^^ 6„ft = ^ есть единичное переме-
" ~" щение по направлению силы Рт <у^
смещения опорной связи А,^.
Значит, единичная реакция свя-
'кт зи k от силШ Рт — 1 ровнй cdu-
Рис. 203 иичнолш^ перемещению по направ-
/77 /77 У77 /77
Л
204
пению силы Рт от перемещения связи А^ = /, взятому с
противоположным знаком.
Размерности реакций г^^ и перемещений б„^ равны размерностям
отношений %2 и ^. ■
Равенство A1.36) справедливо и для единичных обобщенных реакций
от внешних сил, и единичных обобщенных перемещений от перемещений
связей.
§ 101. ПОНЯТИЕ О МАТРИЦЕ ПОДАТЛИВОСТИ И МАТРИЦЕ ЖЕСТКОСТИ
Представим себе какую-либо статически определимую или статически
неопределимую систему с действующими сосредоточенными силами и
моментами Xi, Х2, •.., Хп (рис. 204).
Перемещения от этих сил по их направлениям обозначим соответственно
через Zi, Z2, ..., Zn.
Если известны силы, то соответствующие им перемещения могут быть
найдены по выражениям, составленным на основе наложения перемещений
-от отдельно действующих нагрузок;
^1=611X1+612X2+ ... +Si„X„;
^2 = 621 •^1+ S22 Х2+ ... +б2ге-Хп;
271.= S7ilX'i+6„2 ■'^2 + — +0„дХ„.
'Здесь bhm (единичное перемещение) — есть перемещение по направлению
каждой силы Хи (k = I, 2, ..., п), приходящееся на единицу силы Хщ, когда
-все остальные силы на системе, кроме силы X„, равны нулю.
В матричной форме эти уравнения будут
Z=DX,
"Где
1 ^11
Z=\\ Z2
liz„|l
— матрица-столбец (вектор) искомых перемещений;
<а)
D=
Oil 012 ..
821 622 ••
8271
матрица податливости;
х=
Xi
Xr,
— матрица-столбец известных
•внешних сил.
Любой ^-тый столбец
матрицы податливости D есть
перемещения от одной только силы
Xk = 1 по направлению всех
сил Xi, Ха,..., Х„, когда все
остальные силы на системе
равны нулю.
Матрица податливости D
позволяет, как принято говорить,
перевести вектор внешних сил X
в вектор перемещений Z по их
•направлению.
S
у "\
•о
~Ъ'
\.
/7/7
Рис. 204
205
Если же известны перемещения Zi, Z^, ..., Z„ по направлению сил Х^,
X,, ..., К^, от которых они получены, то по перемещениям могут быть
найдены сами силы Xi, Х2 ...» Х„:
^1т=''11 ■Zi+/-i2 Z2+ •-. +''ln ^n!
X2=''21 Zi4-r22 22+ ... +''2/1 Zn",
X.
= '"ni Zj + '-na ^2+ ••• +''ti
В этом случае r^^^ (единичная сила) есть сила по направлению силы Х'^
(^ = 1, 2, ..., п), приходящаяся на единицу смещения Z^ по направлению
силы Хтп, когда все перемещения по направлению остальных сил Х^, Х^, ...
..., Хп, кроме перемещения Z™ по направлению силы Х^, равны нулю.
Иными словами, r,^„ есть реакция в воображаемых связях по направлению
сил Xh (k = 1, 2, .... п), приходящаяся на единицу смещения Z^ (единичная
реакция), когда перемещения по направлению остальных связей (остальных
сил) равную нулю
В матричной форме
X=RZ, (б)
где '
X,
— матрица-столбец искомых сил;
R
— матрица жесткости;
Хп
'■Ц ''12 — >'1п
Г21 Г^ ... Г2п
'"Ш '^П2 ••• ''пп
z=
Z2
Zn
— матрица-столбец известных перемещений.
Любой fe-тый столбец матрицы жесткости /? есть силы Xi, Х^, ..., Х„ по
направлению перемещений Zi, Z2, .., Z„, когда только одно перемещение
Zft = 1, а все остальные перемещения Z^ равны нулю.
Матрица жесткости позволяет находить силы по направлению заданных
перемещений Zi, Z2, ..., Z„, т. е. перевести вектор заданных перемещений
в вектор сил, от которых они получены.
Если из системы выделить элемент и приложить к нему заменяющие
(внутренние) силы, то матрица податливости позволяет перевести вектор
известных заменяющих сил в вектор перемещений по их направлению,
а матрица жесткости—вектор перемещений в вектор заменяющих сил по
направлению перемещений. >
Из выражений (а) и (б) следует
X=D-^Z (в) и Z^R-^X. (р)
Сопоставляя (в) с (б) и (г) с (а), можем написать:
R=D-H D=R~K
Л
Таким образом, матрица жесткости R по отношению к данной группе гтт.тг
(см. рис. 204) обратна матрице податливости D, и наоборот. Следоват&аьно»
DR=E.
206
Таким образом, зная одну матрицу, можно найти другую.
Из изложенного видно, что каждой группе сил на системе соответствует
своя матрица податливости и своя матрица жесткости. Так, например, для
балки на двух опорах постоянного сечения, нагруженной на опорах
моментами Ml и Ala, матрица податливости
D=
S21 О22
6£У
Соответственно
Z=DM =
&EJ
2 I
1 2
2 1
1 2 I
II Ml
Mi
Можно показать, что для балки переменного сечения матрица
податливости приближенно запишется так:
D=
6EJ„
(С^ + ^ср) а.
ср
''ср . (аср+<Г)
at==EJo : EJt
§ 102. ОБЩАЯ ФОРМУЛА ПЕРЕМЕЩЕНИИ
Рассмотрим какую-нибудь систему под действием заданной нагрузки
Рт, смещения опор Л^, сосредоточенных деформаций As^, Аф™, Апт и при-
•ращения температуры tm (рис. 205, а).
Такое состояние будем называть действительным состоянием.
Рассмотрим далее .вспомогательное состояние k той же системы под
действием приложенной где-либо одной силы Р^.
Внутренние силы действительного состояния обозначим Nт. Mm я Qm,
■а внутренние силы вспомогательного состояния — ЛА^, Af^ и Q^.
Исследуем по принципу возмож:ных перемещений упругое равновесие
вспомогательного состояния k, принимая в качестве возможных перемещения
действительного состояния т. Используя формулу возможной работы A1.28),
■можем написать
Pk^km + Jii ^ftAm^
+
l^hMm
ds +
^2J
21
Nf, — ds-
EF
MkNr,
ds +
2j
QhQr,
Mb
Mn
T "ZJMk Д^ф/^ + ^Ла ^Sm + IMk Дфт + SQft Д«:
1^^ Of -'
(a)
Полученное выражение разделим на Pf, и после простых преобразований
лолучим общую формулу для определения перемещений (Максвелла —Мора):
■где
EFp-"" ' ^^ J EFp '^ д EPp^
4^ S j Alft Дй^фг'^ -H 2 ЛГй ASm -h SAi\ Дфт + 2Qft Д«т - 2^ft Дщ.
yVft _ Mk ^ «ft . n- ^ft
iVfe=—; A1fe= — ; Qft=—; Rh= — ■
Pk Ph Ph Pk
A1.37)
В формуле A1.37) Afem — перемещение в действительном состояния
Jn в месте приложения силы Ph по направлению этой силы. Поскольку сила
Ph приложена в произвольной точке и по произвольному направлению,
то силу Ph следует прикладывать именно там, где мы желаем определить
перемещение и направить ее по направлению искомого перемещения.
20Т
Рис. 205
^т'^гтггОт Следовательно, для опре-
Ап^—L^^^ деления поступательного
перемещения заданной точки по
заданному направлению Д^^
(рис. 205, а) надо рассмотреть
помимо данного
действительного состояния т еще
вспомогательное состояние k с
силой Pfe, приложенной в этой
точке по направлению
искомого перемещения (рис. 205, б).
• Затем выразить внутренние
силы Nh, -Mft и Qh в
состоянии k через силу Р^,
подставить эти выражения в
формулу A1.37) и после
интегрирования получить искомое
перемещение, имеющее
размерность длины.
Для определения угла
поворота Др отрезка между
двумя точками следа
поперечного сечения стержня на
плоскости системы надо вместо
силы Pft приложить перпендикулярно отрезку пару сил с моментом М^-
(рис. 205, в) и далее проделать все то, что было необходимо для случая
одной силы Pf^. Поскольку при загружении одной силы Р^ во
вспомогательном состоянии формула A1.37) определяет перемещение по ее
направлению, то при загружении парой сил эта формула определяет разность
перемещений двух точек, деленную на плечо пары сил, т. е. Д^т = sin ДР ^■
л; tgДp « др.
Для определения угла поворота касательной к оси стержня в точке-
а надо к линейному элементу аЬ, соединяющему две близкие точки а и й на
оси стержня, вместо силы Р^ приложить по концам этого линейного отрезка
две силы, перпендикулярные ему, составляющие пару с моментом М^
(рис. 205, г), и так же проделать все операции, требуемые при одной силе
Pk, после чего перейти к пределу, когда отрезок аЬ стремится к нулю.
Покажем, что этот предел всегда равен осредненному углу сдвига у от заданной
нагрузки в точке а, на который отличается угол поворота - касательной
к оси стержня от угла поворота сечения в этой точке.
Действительно, если из всей эпюры поперечных сил Qu, от загружения
во вспомогательном состоянии по рис. 205, г, выделить поперечную силу
т о л ь к о от пары сил на участке стержня аЬ, равную при пределе ^ , то по.
A1.37) будем иметь
s + iis Л
" (s) М- '
М- 7 —;ГРГ" ds= -^ Qm (в точке а).
I '^i
GF
OF
Полное перемещение Akm, соответствующее вспомогательному состоянию'
по рис. 205, г, определяемое по формуле A1.37), будет
Aftm = sinAa
(> + ^)
[см. (Ц.1)].
Для определения тангенса угла наклона хорды к эпюре перемещений по-
какому-либо, например, вертикальному направлению, построенной на
прямой базе, надо в точках оси системы, соответствующих перемещениям.
208
на концах хорды в эпюре перемещений, приложить две силы по заданному
направлению перемещений, составляющих пару с моментом М^ (рис. 205, д),
и проделать все, что надо было сделать при одной силе Р^. Если сближать
силы этой пары, то при Дг -> О получим тангенс угла наклона касательной
к эпюре перемещений в точке а.
Для определения сближения двух точек а я b надо к каждой из них
приложить силу Ph так, чтобы эти силы были направлены навстречу (рис. 205, е).
Поскольку не всегда ясно, в какую сторону фактически направлено
искомое поступательное или угловое перемещение, то направление силы Р^ или
пар сил с моментами Л1(, может быть принято произвольным. Положительный
знак ответа по формуле A1.37) укажет, что перемещения совпадают с
принятыми направлениями сил Ph и пар с моментом Л1^, а отрицательный
знак — наоборот.
Деление выражения (а) на силу Р^ или на момент пары сил М^
формально может быть осуществлено, если силу или момент пары считать равными
безразмерной единице. В таком случае во вспомогательном состоянии k
надо прикладывать безразмерную силу Р^ = 1 или пару сил с безразмерным
моментом Mfi = 1, которые будут вызывать внутрен.ние силы М^., N^ и Q^,
приходящиеся на единицу силы Р^. или момента М^. Остальные действия
сохраняются в прежнем виде.
Можно, конечно, принять, что единичная сила Р^ = 1 имеет физическую
размерность (Н • кН), но тогда произведение 1 • Д^т будет представлять
собой работу, численно равную определяемому перемещению. Мы будем
пользоваться отвлеченной единичной силой.
В сооружениях кривые стержни часто являются стержнями малой
кривизны, у которых ~> \0. В таких стержнях для упрощения вычислений при
ручном счете кривизной обычно пренебрегали, что при наличии ЭЦВМ уже не
имеет особого значения.
Формула A1.37) при р = оо , положительных внутренних силах по
рис. 195, б и изменении температуры согласно рис. 197, в принимает вид
-fSMfeA(Pm-l-SQftA«m-S^ftAm. - (И.38>
Здесь AdSj и Дйф^ определяются выражениями A1.20) и A1;21).
Отметим, что в формуле перемещений A1.38) большее прира'З^ение температуры
принято совпадающим с растянутым волокном от действия момента М^-
■ Для шарнирных ферм только продольные силы N отличны от нуля, и
формула A1.38) принимает вид
Длт=2^гл ^h + ^Nik^Sim + ^Nih^ht-^Rh^m. (И.39>
где Nih — продольная сила от Р^ = 1;
Nim — продольная сила от нагрузки Рт',
If — длина г-го стержня;'
El и Fj — модуль упругости и площадь сечения г-го стержня;
Asij„ — вынужденное удлинение (например, вызванное
неправильным изготовлением элементов системы);
Alff — свободное температурное удлинение i-ro стержня фермы.
Подсчеты показывают^ что для элементов работающих на изгиб и
продольную силу, интегралы, содержащие моменты М, значительно больше
209
-^
Внутр. силы
Ay
P.-1
-%
Внутр. ciryiii
/W^
-c'■^ ^
Внутр. силы
fif f
Внутр. силы
'^т,'^т.^т
Внутр. силы
А
Внутр. силы
ш м ' Аг
Рис. 206
остальных. Поэтому для дальнейших упрощений расчета формулу A1.38)
записывают в таком виде: • ;
iftm =
21
— !Л-т
Mh ~7Г7 ds-h
EJ
J. j^ftAds,^+ 2 |л1йД^Ф^„ +
+ SA/ft Asm + ЗЛ'й Афт + SQft А/г„ - S^fc Ащ-
A1.40)
Для правильного применения формулы перемещений надо четко пред-
•ставлять себе вспомогательное состояние. На рис. 206 показаны
вспомогательные состояния для некоторых случаев. Направления определяемых
перемещений при этом показаны пунктиром на схемах действительных
состояний.
Будем далее для сокращения записи эпюры усилий S^ и 5^ по всей Ьис-
теме обозначать через (S^) и (Sm), а перемещения А^^ от нагрузки по A1.38)
и интегралы, входящие в нее, представлять в виде условного произведения
эпюр:
= (Мт) (M^) + (Nm) (Nh) + (Qm) (Qk) = (Lm) (U).
<11.41)
Пример 17. Определить прогиб и угол поворота конца балки, а также прогиб
с[осередине балки (рис. 207, а).
Для определения прогиба конца балки используем вспомогательное состояние
с силой Pii = 1 (рис. 207, б). Будем учитывать влияние на прогиб только изгибающие
моментов. Уравнения последних
/Ит= — Рг'г ЛТ,^= —1г; 8 = г.
Искомое перемещение определяется только одним интегралом, так как составлен-
■ные ^ыше уравнения справедливы на всей длине балки:
I
РР
А.™=|(-г)(-^)..=-
3EJ
Положительный знак у ^jim показывает, что прогиб балки направлен в сторону
действия силы Я^ = 1, т. е. вниз. Для определения угла поворота сечения на конце
балки используем вспомогательное состояние с внешним моментом М^ = 1 (рис. 207, в).
Ловое значение Ми = !• Искомое перемещение
.= 1'(-^)-=-^
-210
°)
б)
p.=f
M„^P-Z
В) Чг
г)
^¥7-1
Рис. 208
1/г
£:
rt
Знак минус показывает, что угол
поворота направлен в сторону,
противоположную /Mfe = I, т. е. против часовой
стрелки.
Для определения прогиба посередине
балки используем вспомогательное
состояние с силой Рд = 1, приложенной посе-
Рис. 207 редине балки (рис. 207, г). В этом случае
надо различать два участка: один участок
левее середины балки, а другой—правее. Во вспомогательном состоянии Му^ не равен
нулю только на втором участке, а потому и здесь будет всего один участок интегриро-
I
вания при -п" < Z < /. Искомое перемещение
^hm.--
■■1-(^Ч)(^)-
f/2
_5_
48
Пример 18. Определить горизонтальное перемещение конца наклонного стержня,
защемленного другим концом, от сосредоточенного груза Р (рис. 208).
Используем вспомогательное состояние с горизонтальной силой Р^ = 1.
Виутренние силы в обоих состояниях определяются одним выражением по всей
аляне балки:
Mr,
■ —Рг; Mh=—l-y=>~2iga.
причем ds = -
Перемещение
dz
^km ■
J(_.tga)(-^]
d?
Pf since
3£./ cos2 a
Если сечение определять координатой s вдоль оси стержня, то Мт= —Ps cos а; М^ =
= —'у = —S sin а.
Перемещение
^hm
(/COS
'I-
ssin a)
(— Ps cos a)
■ds =
PP
3EI
sm a
cos2 a
Положительный знак в обоих случаях показывает, что искомое перемещение Д^^
направлено в сторону действия силы Р;, = 1, т. е. вправо.
Пример 19. Определить перемещение точки а (рис. 209) по вертикальному и
горизонтальному направлениям, если левая опора сместилась вниз на Д.
При определении вертикального неремещення используем вспомогательное
состояние с вертикальной силой Pfe = 1 (рис. 209. б). Опорные реакции 4^ = В^ = -«^. По
формуле A1.40)
д,„=_(—La):
2
21}
a)
Г
\
. -— a
/7^
У7^
M
Wf
.Рк=Г
Wi
в)
a,
\
t1„-1
Рис. 210
Перемещение положительно, з»ачит
оно направлено в сторону действия силы
Pft = 1, т. е. вниз (рис. 209, а).
При определении горизонтального
перемещения используем вспомогательное
состояние с горизонтальной силой Р^ ^=
= I (рис. 209, в). Реакции показаны на
рисунке. Искомое перемещение
V-f
pY
■s_h
Ь
Чт-
-(.А.).
НА
I
Знак минус показывает, что
горизонтальное перемещение точки а направ-
Рис. 209 лено в сторону, противоположную силе
Р); = 1, т. е. влево.
Пример 20. Определить горизонтальное перемещение левого конца
ломаного стержня вт приращения температуры на участке /—2 (рис. 210, а) при
симметричных относительно горизонтальной оси поперечных сечениях нагреваемого участка
стержня.
Вспомогательное состояние показано на рис. 210, б. При определении TeMnejaTyp-
«ых перемещений надо от силы Р^ = 1 определить внутренние силы N^ и ЛГ^. По.
скольку в данном примере изменение температуры произошло только на участке /—2
то и внутренние силы iVft и Л!;, надо определять только на нем:
По формуле A1.40) с учетом A1.20) и A1.21) получим
С 20°+ 10° С ^ 10°—20° Н
Дй,= -1Р ^ ds-f j -Н^ ds=-^l5°l+p— 10° i.
Ъ О .
§ 103. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ В ФОРМУЛЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ,
КОГДА ОДНА ИЗ ПОДЫНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНАЯ
В случаях, когда стержни в системе прямые, а поперечные сечения их
постоянны на некоторой или всей длине, вычисление интегралов, входящих
в формулы перемещений, на этих участках может быть заменено «перемно-.
жением» эпюр подынтегральных функций. В этих случаях внутренние силы
вспомогательного состояния Л^^, Л1^ и Qk — суть кусочно-линейные
функции, т. е. их эпюры прямолинейны на отдельных участках, а характеристики
сечений могут быть вынесены за знак интеграла. Под интегралом останется
произведение двух функций, одна из которых кусочно-линейная.
Рассмотрим (рис. 211) вычисление интеграла вида
Д= 1 ^'^ 'ej' '**^ i7 Г * ^"* '**■
212
Этот интеграл по форме совпадает с интегралом для определения
величины А по линии влияния от распределенной нагрузки. Поэтому, используя
-аналогию, условно представим себе эпюру М^ линией влияния, а М„ —
интенсивностью распределенной нагрузки. Как уже известно, на прямом
участке л. в. вся нагрузка может быть заменена равнодействующей, т. е.
площадью (йт эпюры Mm- Эту равнодействующую, приложенную в центре
тяжести эпюры М^, надо умножить на ординату л. в. М^. Теперь
интеграл можно записать так:
I
■77 ^'^ \, ^тУк
Mk -gy- ds= ^j - . A1.42)
Интеграл равен произведению площади эпюры Mm на ординату под ее
центром тяжести, взятую в прямолинейной эпюре М^-
Положительный знак произведения получается, когда эпюра М^ и
ордината у^ одного знака, т. е. когда они отложены с одной стороны стержня.
Эпюра Mm может быть по принципу независимости действия сил
получена как алгебраическая сумма эпюр от различных нагрузок, сумма которых
равна нагрузке, вызвавшей данную эпюру. Это позволяет при вычислении
интеграла A1.42) эпюру Mm представить состоящей из суммы или разности
любых простых фигур.
В таких случаях
(ИтУк=Ч>1тУ1Ь+(^^2тУ2к+ — + «тгт {'nfe = 2<»Jm {'гй- A1.43)
Например, эпюра, изображенная на рис. 212, может быть представлена
в виДе простых фигур, ее составляющих. АналогичнЬ следует поступить и
в том случае, когда эпюра Mm двузначна, а площадь ©^ равна нулю
(рис. 213, а). В простых фигурах центры тяжести легко определяются. Если
обе эпюры Мй и Mm прямолинейны, то при «перемножении» эпюр
безразлично, из какой эпюры брать площадь и из какой ординату. В качестве примера
приведем «перемножение» двух трапеций (рис. 213,6) и получим формулу,
которая может быть полезна для частных случаев перемножения линейных
эпюр:
_ al_ { I . . 2 \ Ы { I .2
2
/1 2 \ Ы Г I 2 \
^туи=- - (т^ + T'j + Tl"?'+ Y'J =
= — lad + bc + 2{ac + bd)]. A1.44)
6
Если эпюра Mm (рис. 214, а) представляет собой параболу второго
порядка, а эпюра Mft — линейная (рис. 214, г), то, раэоивая первую эпюру
на составные части (рис. 214, б, в), можем получить удобную формулу
Окончательно, после упрощений
©т у; = -^ (К^" Mf + 4Л1^Р«« М^^Р«« + М^Р"" М^Р^"). A1.45)
Отметим, что к такому же виду можно привести и формулу A1.44).
Если жесткость стержня переменная, то для вычисления интеграла
посредством «перемножения» эпюр надо эпюру Mm предварительно привести
к одной жесткости, умножая ее ординаты на отношение -j , где/о—момент
213
Эгеорл Мщ
Рис. 211
Эпюра Л^
\±>i::M
адшж;;
I ujj^ 1 1
-л
Рии. 213
flapaSaJiL
'Парабола
Рис. 212
Рис. 214
инерции одного из сечений стержня или произвольное число, имеющее
размерность длины в четвертой степени. После этого буде^ иметь
1^«^Г'^-гз;1"'('""т)^-
EJn
A1.42')
где (От — площадь приведенной к одной жесткости эпюры М^
§ 104. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ,
ВХОДЯЩИХ В ФОРМУЛУ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Определение перемещений кривого бруса (арки) возможно лишь путем
непосредственного вычисления интегралов, входящих в формулу
перемещений A1.38), которые во многих случаях не интегрируются, т. е. не могут
быть выражены в конечном виде через элементарные функции. Поэтому в та-
214
ких случаях приходится прибегать к
приближенному вычислению
определенных интегралов следующего вида:
dz
\'''=]
- S
в
COS а
A1.46)
где cos а = 1 : ]/ 1 + ( — j ;
Рис. 215
у B) — уравнение оси кривого бруса '
(арки). Для этрго надо иметь
значения подынтегральной функции в некоторых сечениях кривого бруса,
разделив его на части с одинаковыми проекциями на ось г.
Если приближенно допустить, что между сечениями подынгтеральная
функция т) = Sft „ ^"^ изменяется по оси г-линейно (рис. 215),
то-интеграл A1.46) вычисляется по формуле трапеций
~л
l=nd
Г r]dz = d (^ + Ц1 + г]2-\-
+ Т1„_1 +
■Пл,
A1-47)
Если же приближенно считать подынтегральную функцию
изменяющейся по квадратной параболе на двух смежных промежутках по оси z, то при
п четном получим формулу Симпсона: ,
l=nd
[ T)d2=--'[т)„-Ь4(тI + т)з-|- ... -f T)„_i)-f2(TJ-|-TL-f ... -|-т)„_г)-Ьт)„]. A1.48)
о
Поскольку формула Симпсона обычно точнее формулы трапеций, то ее
и следует применять. ' . .
Количество вычислений зависит прежде всего от числа принятых
участков. Чем больше промежутков, тем, естественно, точнее результат.
Основная сложность состоит в вычислении значений У] подынтегральной функции,
ибо дальнейшее применение формулы Симпсона сводится к простым
операциям.
Если подынтегральная функция кусочно-гладкая, то изложенное выше
справедливо для каждого участка.
Если участок длиной / разбит всего на два промежутка, т. е. когда п = 2
и d = 1/2, то по A1.48) получаем
T)dz= — (rlo-f 4Т]1 + ТJ).
о
A1.49)
Особо отметим, что если т] (г) есть многочлен до третьего порядка
включительно, то формула (И-49) дает точный ответ. Нетрудно видеть, что она
в этом случае совпадает с формулой A1.45).
§ 105. МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
' Формулу перемещений A1.38) запишем для простоты только с одним
слагаемым, учитывающим деформацию изгиба:
'Дйл
^2|й.^
ds.
A1.50)
Рассмотрим один интеграл с непрерывным подынтегральным
выражением на некотором i-м стержне или участке длиной di, начало которого обоз-
215
начим индексом i — 1, а конец — индексом i (рис. 216):
^--1«"|^-
A1.51)
Приближенное его значение по формуле A1.49) будет:
Д;^„ = ^ [Щ Mi'„< + 4M?, M^,^a^ + Ml М-^а-],
где
ai = EJo ■ EiJf,
A1.52>
A1.53)
£j — жесткость какого-либо сечения системы, принятая за основную.
Напомним, что если в A1.51) М,^ — линейная функция, а '■— — пара-
бола второго порядка (или линейная), то A1.52) дает точное значение
интеграла
Формулу A1.52) представим в матричной форме:
A'l^„ = Mik AiMim,
где
1) Mik--
M':,M%Mi\]
A1.54)
A1.55)
— матрица-строка единичных моментов Miu, или лначе —
транспонированный столбец матрицы влияния моментов от Ри = 1 на i-м участке;
2)
— матрица податливости на t-u участке;
а
di
6EJo
af 0
0 4а'
0 0
VI участке;
3) Mirn =
0
0
<
Af,m =
М"
A1.56)
-/К,
npaS
Гра(рих(М^^)
-MtH
l"'lK
Градаих (J^)
^yeS
-./
A1.57)
— матрица-столбец (вектор) моментов
М,,т на i-M участке от заданной
нагрузки.
В формуле A1.57) указано
обозначение матрицы-столбца (вектора) в трех
употребляемых видах.
Напомним, что в результирующей
матрице независимо от числа
перемножаемых матриц число строк всегда как
в первой (левой) матрице, а число
столбцов — как в последней (правой)
матрице. Полное перемещение при п
участках по A1.50) будет
_^уПра1
^hm= 2 ^L= ^MikAiMij,
A1.58)
Рис. 216
Это же выражение в ином виде
Aftm=l|^f|'*jW2ft ...
^. MkkW А\{МггпМ^^ ... Мпт}\, A1.59)
216
где
Л =
^1
0
0
0
0
0 . . . 0
0 . . . 0
0 ... An
A1.60)
— квазидиагональная матрица из матриц податливости стержней или их
участков.
Если эпюры Mih и Mim — линейны, то:
^?*=(Aiffc+M,y :2 и M?„ = (Mf„+Alf„):2.
Подставляя эти выражения в A1.52), получим
e>EJ,
"г [^^i- ^^гп « +«•) + Mf, Mf^ aj + MZ, Mf^ a? +
В матричной форме
где
+ Щ^Щт{<-?^'^)].
^im^'^il^AiMim,
1) Mlk^\\M^,M-,l
2) Ar-
di
6EJ„
« + «?)
3) Min
"^^m
M"
A1.61)
A1.62)
A1.63)
A1.64)
A1.65)
Если, кроме того, сечение на участке постоянно, то а] = а!} = dl = щ
и матрица At будет:
Ai
di II 2аг а;
6£У„
2а;
dj II 2 1
&EJi II 1 2
A1.66)
В тех случаях, когда жесткости всех стержней одинаковы и постоянны,
надо положить EJq = EJ, и тогда все а; = 1.
Матричная запись слагаемых в A1.38), учитывающих деформации
удлинений и сдвигов, производится аналогично. Она может быть получена из
приведенной выше матричной записи слагаемого, учитывающего деформацию
изгиба, путем соответствующей замены символов:
Л^к, MimJo И Щ соответственно на Л^.'^, NimFo и bj = EFo : EiFr, A1.67)
-Mil;, MimJо и flj соответственн_о на Qlk, Qim Fo^Cj = ftfFo "• GiFt- (И.68)
Если, как это часто бывает, Niu, NimT^bi или Qj^, Qi^ и Cj постоянны по
длине стержня или его участка, то матрицы A1.56), A1.64) — A1.66) будут
At-
dib,
diCi
EFo EFo
Первое слагаемое в формуле перемещений для ферм A1.39)
A1.69)
=2^. ^'•'"
li
в матричной записи будет
где
EiFi
Akm=NlkANim,
1) Nlk'=l¥ikN2k...Nnkl
A1.70)
A1.71)
217
— матрица-строка единичных усилий Л^г^, или иначе — транспонированный
столбец матрицы влияния усилий от Р& = 1;
2) /1 =
bill О О о ... О
О бг'2 О о ... о
EFo
О
0 0 0
Ьп1п
матрица податливости;
3) Nim = \{NimNim ... Nnm}\
A1.72)
A1.73>
— матрица-столбец (вектор) усилий Л^^т-
В тех случаях, когда наряду со стержнями, имеющими только
продольную силу, есть еще стержни с изгибом, матрицу A1.72) надо записать такг
4 =
EJ.
bill 0
0 62'2
0
0
0
0
...
. . .
0
0
0 0 0 0 0 0
bn и
Здесь
bi =
EJq
'EiFi
Пример 21. Определить сближение точек а и 6 (рис. 217, а).
Сближение точек а к Ь представляет собой не простое, а обобщенное перемещение.
Поэтому во вспомогательном состоянии под Р^ = 1 надо понимать группу сил,
обобщенная сила которой равна единице. В этом случае группа сил состоит из двух сил,
приложенных в точках а и i> по направлению аЬ (рис. 217, б). Эпюры действительного,
и вспомогательного состояний показаны на рис. 217, б, в.
1. Вычис/гение перемещений обычным спрсобом
Перемножая эпюры, получаем
1 3 ^ ,-
-—6.189 — ЗУ2-
1
R]
+
зуг-б
а?
1
E^}
94.51/2.
EJ
q (в м).
4/
»
i
7 t
Sm
а;
-А
Рис. 217
X
' ("■)
А
218
2. Вычисление перемещения в матричной форме
Матричное равенство составляем по формуле A1.59). Условимся считать на
верхнем Вертикальном элементе моменты положительными, если они на эпюре отложены
слева, а на горизонтальном элементе, если они отложены вниз. Матрицу податливости
А по A1.60) составим для практики в двух вариантах: .
1) для обоих элементов применяем матрицу A1.56), полагая EJo= EJ:
10 0 0 0 0
EJ^km =
О 1У^ ЗУ2 ЗУй .^^^ О
2 2
0 4 0 0 0 0
О о 1 0 0 0
0 0 0 1/40 О
0 0 0 0 10
0 0 0 0 0 1/4
О
4,59
18q
18<7
О
— 18^
Производим последовательное раскрытие матричного равенства:
а) справа налево
ЗУ2
EJAhv
О
- 31^2
ЗУ23У2~—О
|[о 18918G4,590—4,59} 1 =
2 ' ' 2
= @ + 271/2 +541/2+ 13,'5/2+ 0 + 0) 9 = 94,5/29;
б) слева направо
_ _ 3 - 3 —
61/231/2 1/2—-1/20 -1 {04,591891890 — 189} 1 =
4 2
@ + 271/2 + 541/2+13,51/2 + 0 + 0)9 = 94,51/29.
EJp-hm--
Ютвет совпадает с ранее полученным;
2) для вертикального элемента применим матрицу A1.56), а для горизонталь-
лого— матрицу A1.66):
EJAjtm =
0 ^Х?.. 31/2 31/20
6
6
10 0 0 0
0 4 0 0 0
0 0 10 0
0 0 0 2/4 1/4
0 0 0 1/4 2/4
0
4,59
189
189
— 189
Последовательное раскрытие равенства:
а) справа налево
31/2
EJAur,
31/2 ЗУ2 О
•I {01891894,59-4,59I =
= @ + 271/2 + 541/2 + 13,51/2 + 0)9 = 94,51/2 9;
■б) слева направо
EJAhm=
- 3 - 3
0 61/2 31/2 1/2 1/2
1@4,59189189-189}! =
= @ + 271/2 + 641/2 + 271/2—13,5у^2) 9 = 94,5/2 9.
И в этом случае ответы совпадают с ранее полученными.
§ 106. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНУЮ ЭНЕРГИЮ
Потенциальная энергия деформации системы, выраженная через работу
внешних сил, согласно A1.8) может быть представлена в виде
и=:
PiAi Р2А2
Ph^h
+
PnAn
219
Под силами Pi и перемещениями Л; можно пойимать как простые силы и
перемещения, так и обобщенные. На основании принципа независимости
действия сил перемещения А^ могут быть разложены lia слагаемые:
„ 6Л2 5Aft
dPh dPk
= 62ft, ..., TO
dPk "'
•
Aft = 6ftlP2 + 6ft2P2+ - +bukPk+ - +^knPn;
&n = &nlPl + ^n2P2+ - +enhPh+ - +^nnPn-
Составим частную производную потенциальной от энергии по силе Р^г
dPh 2 L dPk^
^ ■ д^l д^2
Так как = Ьлъ;
dPh dPk
Л//
A1.74).
Следовательно, частная производная потенциальной энергии деформации
по силе Pfi равна перемещению по направлению этой силы {теорема Кас-
тильяно).
Используем выражение потенциальной энергии A1.12)
^ '=zLi\ -7.— ds+ 2' \ —г rfs+ Zj \ц -^ ds. (аУ
^^ J 2EF ^ -^ J 2EJ -^ У 2GF '
Дифференцируя, получим
=Дь= Zj \ ^s+ 7j ds+ 7, Pi — —^ds. A1.75>
^^'a ^ J EF dPf, ^ ^] EJ dPh ^J GF dPh .
Приложение формулы A1.75) рассмотрим на примере. Формула A1.75)-
позволяет определять перемещение по направлению действующей силы Р^.
Но ее можно распространить и на определение перемещений в том месте,
где нет действующей силы. Добавим к действующцм силам силу Р^ в том
месте и по тому направлению, где надо определить перемещение. Тогда
потенциальная энергия и ее частная производная будут зависеть от этой
введенной силы Ри- Но так как ее в действительности нет, то в окончательном
выражении перемещения эту силу надо положить равной нулю.
При определении углового перемещения сечения прикладывается момент
Мй, а далее порядок определения перемещения сохраняется. Определение
перемещений через потенциальную энергию сложнее, чем по общей формуле
перемещений.
Частная производная потенциальной энергии деформации по
перемещению Aft равна силе Pk, т. е. -^ = Р^ (теорема Лагранжа).
Если взять частную производную от дополнительной работы по силе,
например, от выражений A1.6), получим перемещение по направлению-
силы (теорема Энгессера)
: ■ • дт'
r-1
б)
LT
Этой формулой пользуются при определении
перемещений в системах, не следующих закону
Гука.
Пример 22. Требуется определить прогиб конца
консоли (рис. 218). Изгибающий момент М = ■—Pz. Потен-
Рис. 218 циальная энергия в балке, без учета поперечной силы, по
220
выражению (а) будет
I
-I
о
Искомое перемещение
Д,
h •
рг га ра /»
dz=
2EJ &EJ
дР " ZEJ
Искомое перемещение проще определять по формуле A1.75). Дифференцируя вы-
дМ
ражение изгибающего момента, получим -^ = —г.
Подставляя в A1.75), найдем
t
С —Рг PI""
о
§ 107. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ СИСТЕМЫ
Система называется симметричной, если ее можно прямой — осью
симметрии — разделить на две одинаковые части, каждая из которых
представляет собой зеркальное изображение другой (рис. 219, а). Наряду с
симметричными системами существуют такие не вполне симметричные системы,,
которые при некоторых условиях могут рассматриваться как симметричные.
Так, например, балка (рис. 219, б) хотя и не вполне симметрична, поскольку
слева имеет подвижную опору, а справа неподвижную, но при вертикальной
нагрузке обе опорные реакции вертикальны. Поэтому при вертикальной
нагрузке такую балку можно условно рассматривать как балку, имеющую-
одинаковые подвижные опоры на обоих концах, т. е. как симметричную.
Будем называть систему такого типа условно симметричной*.
Понятие симметрии распространяется и на нагрузки, приращения
температуры и смещения опор. Воздействие считается симметричным, если
оно на одной половине системы представляет собой зеркальное изображение
его на другой, как, например, силы Р на рис. 219, в. Если воздействие
симметрично по расположению, но противоположно по направлению или знаку
по обе стороны от оси симметрии, то такое воздействие называется кососим-
метричным (обратно симметричным), как, например, силы Р^ на рис. 219, е.
Системы могут быть симметричными не только относительно одной оси,,
но и относительно двух и более осей (рис. 219, г). При двух осях симметрии
воздействия могут быть: симметричными относительно двух осей,
симметричными относительно одной и кососимметричными относительно другой оси и
кососимметричными относительно двух осей.
Очевидное свойство симметричных систем состоит в том, что при
симметричном воздействии на систему перемещения и внутренние силы по
направлению (а не по знаку) симметричны, а при кососимметричном воздействии —
кососимметричны. ^
Это свойство часто используется при определении перемещений. Так,,
например, при определении прогиба балки в сечении z = а от симметричной
нагрузки (рис. 220) надо определить сумму двух прогибов в заданной точке
и в точке, ей симметричной, и результат разделить на два. Все это можно-
получить сразу, если во вспомогательном состоянии приложить две силы
Pft = 1 в симметричных точках, а вычисление интегралов, содержащихся
в формуле перемещений, производить только по одной половине системы.
В этом состоит упрощение определения перемещений в симметричных
системах от симметричной нагрузки. Аналогично следует определять кососим-
метричные перемещения от кососимметричной нагрузки. Упрощение может
быть использовано при всяких воздействиях на симметричную систему,
если к ней применим принцип независимости действия сил. Для этого воз-^
221
2-а 1^=7 |Я.=/
Г
Y" Г''
Рис. 221
Рис. 220
Рис. 222
действие должно быть разложено на два составляющих: симметричное и ко-
сосимметричное. Так, например, две симметрично расположенные силы
Pi и Р^ (рис. 221) заменяются двумя симметричными силами X и двумя
кососимметричными силами Y. При этом необходимо, чтобы X + Y = Р^;
X — Г = Ра. откуда получаем X = Щ^ \ Г = -^i:=^.
Определение перемещений от симметричного и кососимметричного
воздействий надо вести раздельно, проводя вычисления только для половины
системы.
Из свойства симметрии системы вытекает важное правило: если при
перемножении эпюр для определения перемещений одна из них, например
эпюра Mjn, симметрична, а другая эпюра М^ кососимметрична (рис. 222), то их
^произведение-/) равно нулю. Это правило вытекает из того, что симметричная
нагрузка не вызывает кососимметричных перемещений, и наоборот.
Симметричную эпюру М^. можно рассматривать как эпюру от
симметричной нагрузки, а кососимметричную эпюру М^ какэпюру от
кососимметричных сил.Так, например, при определении вертикального взаимного
смещения концов стержней (рис. 222) от симметричных нагрузок будем иметь
•симметричную и кососимметричную эпюры. Их произведение равно нулю.
222
§ 108. линии ВЛИЯНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Пусть требуется в некоторой системе, например в балке (рис. 223), по-
сгроить линию влияния перемещения в сечении с абсциссой z = a. Искомое
перемещение от вертикального груза Р = 1, положение которого
определяется текущей координатой z, будет б^р (рис. 223, а). Рассмотрим теперь
эпюру перемещений от силы Р = I, приложенной в точке k, и отметим,
прогиб брй произвольной точки с координатой г. По теореме взаимности
единичных перемещений Ъ^^р = 8р^. Смысл этих перемещений различен:
бкр — перемещение фиксированной точки k от подвижного груза Р = 1,
а 8pk — перемещение точки приложения подвижного груза от неподвижной
силы Pft = 1, приложенной к точке k. Аналогично при рассмотрении угла
поворота сечения k из двух состояний, изображенных на рис. 223, б,
получим а = 6fep = бр/г. Следовательно, линия влияния поступательного
перемещения какой-нибудь точки есть эпюра вертикальных перемещений от
силы Pj^ = 1, приложенной в этой точке по вертикальному направлению,
а линия влияния угла поворота сечения в какой-нибудь точке есть эпюра
перемещений от момента М^ = 1, приложенного в этой точке.
§ 109. ПОСТРОЕНИЕ УЗЛОВОЙ ЭПЮРЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ КАК ЭПЮРЫ
ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ ОТ УСЛОВНОЙ НАГРУЗКИ
Пусть перемещения Д по заданному, например вертикальному,
направлению некоторых точек, лежащих на осях стержней и последовательно
расположенных в перпендикулярном
перемещениям направлении,
известны. Отложим эти
перемещения от проекции точек на
линию, перпендикулярную
заданному направлению, и соседние
точки соединим отрезками
прямых (рис. 224, а, б). Такую мно-
•гоугольную эпюру, ординаты
которой в вершинах определяют
перемещения рассматриваемых
«узловых» точек системы по
заданному направлению,
будем называть эпюрой узловых
перемещений. Она состоит из
«я'-»^
qg—1~
Ц
^=/
ж^
.—4—-
\
^^" 14^
Рис. 223
Рис. 224
223
хорд полной криволршеиной эпюры перемещений всех осевых точек
стержней, расположенных между принятыми соседними узловыми точками, как
это имеет место в балках, арках и рамах, и совпадает с перемещениями всех
точек осей некоторых стержней шарнирных ферм, если узловые точки
приняты на концах этих стержней, оси которых составляют непрерывную линию.
Поставим задачу построить эпюру узловых перемещений Д как эпюру
изгибающих моментов в некоторой условной балке без опор,
перпендикулярной направлению определяемых перемещений, от условных
сосредоточенных сил Wh, называемых упругими грузами, условных внешних
моментов М'о и Мп и условных сил Qo и Q*„ на ее концах, положительные
направления которых указаны на рис. 224, в. Поскольку эпюру условных изгибающих
моментов М* можно построить по левым или правым силам, то все силы,
приложенные к условной балке, должны составлять самоуравновешенную
систему сил. Найдем значения промежуточных упругих грузов, используя
для этого известные зависимости между сосредоточенными внешними
силами и изгибающими моментами:
Следовательно, промежуточный упругий груз Wh есть приращение
тангенсов углов наклона смежных отрезков эпюры условных моментов М* или
эпюры узловых перемещений в точке k.
Условные моменты Мо и Мп и поперечные силы Qo и Qn представл яю
■собой соответственно поступательные перемещения крайних точек и тангент
сы углов наклона крайних отрезков эпюры узловых перемещений, т. е-
Л1*=Д„; М*=Д„; Q*=lJf„ = tg Ра; Q* =-lF„ = tg р„. (б).
Выражения (а) и (б) запишем через поступательные перемещения:
Mt+г-Щ М1-М1_, Д,+,_Д, Дй-Дй+1
Cft+1 Cft Cft+1 Cft
Qo- ^^ - ^^ . Q„-
М*-Л1* , Д„-А„
(в)
Определим упругий груз W^ как обобщенное перемещение для некоторой
труппы сил, обобщенная сила которых равна единице. Эту группу составим
на основе таких рассуждений.
Для определения перемещения А^ +1 в точке k + 1 надо во
вспомогательном состоянии приложить в этой точке силу Р = 1 по направлению
определяемого перемещения A^ + i (в нашем случае вниз). Поскольку согласно
(в) нам надо определить величину _А±2 ^ jq ^q вспомогательном состоянии
приложим сразу силу (рис. 224, г). Рассуждая аналогично, получим,
ЧТО в точке k системы надо приложить две силы, направленные вверх,
1 1 _ _ 5 + 1
и —, а в точке k — 1 — силу — , направленную вниз. Если Mf^, М^я Qh —
внутренние силы вспомогательного состояния от этой группы сил, а Айф^,
A&nj, Ау^''^", AdSj^, Ас!ф(^ — деформации действительного состояния,
•определяемые по формулам A1.18) — A1.23), то выражение упругого груза
можем составить по общей формуле перемещений в таком виде:
A1.77)
Для прямого стержня или стержня малой кривизны упругий груз при
■определении перемещений от нагрузки, вызывающей внутренние силы Mm,
224
Л^т И Qm, определяется выражением
+ >:1^'.-—^^+21^^^'' "^"^
2J^
ds.
Gf
A1.78)
Для шарнирных ферм при тех же о
условиях
^f^ = ^^if^T^^i■ ('»-79)
Рис. 225
Если в фермах определяются
перемещения узлов нижнего пояса, то
группы сил прикладываются только к узлам этого пояса (рис. 225, а), а если
определяются перемещения обоих поясов, то и группы сил
прикладываются к узлам верхнего и нижнего поясов (рис. 225, б).
Если упругие грузы, определяемые выражениями A1.77) — A1.79),
будут вычислены точно, то изгибаюпдае моменты от них в условной балке
равны точным значениям перемещений в местах приложения упругих
грузов. Поскольку группа сил вспомогательного состояния для определения
упругих грузов самоуравновешена, то в статически определимых системах,
если группа сил приложена к неизменяемой части, внутренние силы от нее
локальны, т. е. они отличны от нуля только на участке действия этой группы
сил. В этом и состоит упрощение при построении эпюры узловых
"перемещений с помощью упругих грузов по сравнению с определением каждого
перемещения в отдельности по общей формуле.
Два граничных условия из четырех Мо, Mi^, Qo и Qn определяются по
уравнениям равновесия условной балки, а два остальных — по условиям
закрепления заданной системы, о чем сказано ниже. Группа сил
вспомогательного состояния для определения Qo показана на рис. 224, д, а для
определения Qn — на рис. 224, е.
Используя выражения A1.78), составим общую формулу упругого груза
для определения перемещений в узлах ломаного стержня, часть которого
показана на рис. 226. Будем обозначать заменяющие (внутренние) силы
действительного состояния в его узлах следующим образом:
^(ft-l)m' ^fem.
'^(ft+1) т' "(h—1) т'
Nkm, N
(ft+1) m' Q(ft-l)m'
Qkn
^(k+1) I
Их эпюры между узлами будем считать прямолинейными. Эпюры М^,
TVft и Qft вспомогательного состояния показаны на рис. 226.
Упругий груз Wh найдем при помощи «перемножения» эпюр
Wb
Ch
6 cos ад EJfi
(^ik-Vm + ^^^m)-
Cft + 1
6cosaft+i£/ft+i
G^'^n^ + ^^M)J +
дгправ , д/лев
+ f*fc+l
tgaft+i— ;;-^ tgaii-}-
2GF
ft+i
-lift
2£fft
QneB I /1прав
km ~rv(fe—I) m
2GFb
(M.80)
Аналогично, используя A1.77), можем составить общую формулу
упругого груза с учетом кривизны бруса и температуры.
Отметим, что формула A1.80) безоговорочно применима только для
вычисления промежуточных грузов Wx,--., Wn-^, и только в том случае,
если группы сил (см. рис. 226) приложены к неизменяемой части стержня.
Для вычисления крайних упругих грузов Wo = Qo и Wn = — Qn она
применима, если на данном конце стержня есть защемление, которое рассмат-
8 Зак. 763
225
ривается как дополнительный участок стержня за ним с бесконечной
жесткостью. Это объясняется тем, что в защемлении тангенсы углов наклона
начального или конечного отрезка в эпюре узловых перемещений равны по
абсолютной величине их приращениям в этом месте.
Если будем беспредельно уменьшать длины сторон ломаного стержня
(Cft = Cfj 4-1 = d^)i то в пределе получим кривой стержень и бесконечно
большое число сосредоточенных упругих грузов, от которых далее можно перейти
к сплошной распределенной условной нагрузке.
с л, Л/tga Q
Если при этом функции ^с ^ F^G? непрерывны, то сосредоточенные
упругие грузы согласно A1.80) бесконечно малы:
dW--
Mmdz
EJ cos a
+ .(|^ + Ц+.(.-^). A1.81)
Бесконечно малый упругий груз dW есть приращение тангенса угла
наклона касательной к эпюре перемещений, т. е. dW — d I — ] . Разделив
бесконечно малый груз dW на
dz, получим интенсивность
распределенной условной
нагрузки
^ dW Mm
Я*
dz
EJ cos a
Если функции
Niga.
EF
[x -^ разрывны, TO местам
разрывов соответствуют
сосредоточенные условные
грузы конечной величины
^w=^
+
»(l.Jf-). A1.83)
Зависимость между
интенсивностью условной
нагрузки, условными
внутренними силами и
перемещениями действительного
состояния может быть
представлена в таком виде:
Яй4*7
■%« -
d2A
dz2
— 9 .
d\
-r-=Q*, А=Л1*.
dz
A1.84)
Рис. 226
f «'«4ri Покажем, что выраже-
A1.82) можно рассматои-
226
на ней интенсивностью m'
4- U —
вать как интенсивность условной
нагрузки для условной балки, полученную от
замены условной моментной нагрузки
, Для этого рассмотрим два
соседних бесконечно малых элемента dz
условной балки с моментной нагрузкой т*
(рис. 227). Заменим распределенную мо-
ментаую нагрузку на каждый из них
статически эквивалентными парами сил
т* с плечами dz. На границе между
этими участками будет иметь dp = т* (z)+
+ Ш1* (г) — т* (z) = dm* (г), откуда
йр d it / \
dz dz ^ '
w*Cz)
ш
^^^1^Т)^1Г>
dz
dz
d^
m*(z)+dm4z)
m'^Cz
I
^dp = dm*(z)
Рис. 227
При такой замене на концах и в
местах разрывов моментной нагрузки
т* появляются сосредоточенные грузы AW. Таким образом, условная
нагрузка интенсивностью ц*- может быть заменена в свою очередь двумя ус-
'. „ Ф^, /И
ловными нагрузками: силовой — интенсивностью
ц** = —
Ej cos а
N
EF
моментной — интенсивностью т* = -^р iga + ]х
GF'
причем
=9"+-
dm*
dz
A1.85)
В более общем виде эти условные нагрузки могут быть записаны еще
так:
q**
dz
т*-.
Adsm+^ds^^
ds
tg a+Adyr,
A1.86)
Для силовой и моментной условных нагрузок дифференциальные
зависимости (И.84) принимают вид:
d2 д dm*
d\
dz
dz^
■ = Q* + m*
?** + ■
dz '
Д = М*.
A1.87)
Отметим, что от распределенных силовых и моментных условных
нагрузок по A1.82) и A1.86) в свою очередь можно перейти к сосредоточенным
силам и моментам, если распределенные нагрузки разбить на участки и
заменить их любы ми и статически эквивалентными силами и моментами, от
чего изгибающие моменты в условной балке на границах участков не
изменятся.
Краевые и, промежуточные условия принятых условных балок
определяются по A1.84) и A1.87) в соответствии с типами опорных закреплений
системы. Они могут быть выражены реакциями опор условной балки.
Разберем некоторые из них для условной нагрузки q*.
1. Шарнирная краевая опора, препятствующая перемещению в
определяемом направлении. Поступательное перемещение равно нулю, а угол
наклона касательной в эпюре перемещений не равен нулю. Это значит, что
в условной балке в этом месте момент ТИ* = О, а поперечная сила Q* Ф 0.
При такой опоре одно краевое значение внутренних сил в условной балке
неизвестно. Неизвестная поперечная сила может рассматриваться^ как
реакция шарнирной опоры условной балки. Значит на месте шарнирной опоры на
конце заданной системы такая же опора должна быть поставлена в условной
балке.
227
2. Шарнирная промежуточная опора, препятствующая перемещению
в определяемом направлении. Поступательное перемещение равно нулю,
но возможна точка излома в эпюре перемещений. Поэтому в условной балке
в этом месте момент М* = О, а поперечная сила Q* может иметь конечное
приращение. Значит в этом месте условная балка должна быть нагружена
сосредоточенным условным грузом. Если эпюра перемещений определяется
по условной распределенной нагрузке, то сосредоточенный условный груз
W определится по A1.83).
Следовательно, условная балка должна иметь в этом месте шарнирную
промежуточную опору, верхний шарнир которой разрезает условную
балку. Реакция такой опоры равна сосредоточенному условному грузу,
который должен быть приложен в этом месте.
3. Защемление. Поступательное перемещение в нем равно нулю, а угол
наклона отрезка в эпюре узловых перемещений не равен нулю. Угол наклона
касательной к эпюре перемещений также не равен нулю, если перемещения
определяются по распределенной нагрузке с учетом удли'ненийи
сдвигов. Поэтому в общем случае в условной балке на месте защемления
в заданной системе момент М* равен нулю, а поперечная сила Q* может
быть и не равна нулю. Она равна упругому грузу W или AW в защемлении,
который определяется по A1.80) и A1.83) или из условия равновесия
условной балки. Таким образом, при защемлении заданной системы одно краевое
значение внутренних сил в условной балке неизвестно и значит защемлению
в заданной системе соответствует в этой балке или свободный конец, к
которому приложен упругий груз W или AW, или шарнирная опора — без
упругого груза.
4. Свободный конец. Поступательное перемещение и угол наклона
отрезка или касательной в эпюре перемещений не равны нулю. В этом месте
к условной балке должны быть приложены момент М* и поперечная сила
<2*, как в случае защемления в условной балке. Таким образом, на месте
свободного конца заданной системы два краевых значения внутренних сил
в условной балке неизвестны.
Различные закрепления системы и соответствующие им закрепления
условных балок показаны в табл. 1.
Если расчет проводится с использованием условной силовой и момент-
ной распределенных нагрузок по A1.86), то краевые и промежуточные
условия для условных балок в соответствии с A1.87) несколько изменятся.
На месте промежуточной шарнирной опоры и защемления на конце
заданной системы в условной балке не действуют сосредоточенные, условные
грузы AWvi, следовательно, заменяющие их опорные реакции условной
балки в этих местах равны нулю.
В заключение запишем условия для защемлений в тех случаях, когда
эпюра перемещений определяется через условную распределенную нагрузку
A1.82) с учетом удлинений и сдригов.
В защемлении на левом конце при z = О (рис. 228)
dA Ads„ sin ал
—- = -+^yo=^w^. A1.88)
az аг
В защемлении на правом конце при z = I
dA Adsi sin a;
"dT ^ Iz +А7г=-Д1^г. A1.89)
Эти же условия при определении перемещений только от нагрузки в
прямом стержне или в кривом стержне малой кривизны, выраженные через
внутренние силы, можно записать так:
d^ No Qa
-^ =•;^tg«o + ^l—=Д5«'|,. груз ЛГо по A1.83); A1.90)
й\ Ni О
■ tga£ + (x -——= —ДГд, груз ДУГд по (И.йЗ). A1.91)
йг ЕР " ' Gf
228
Таблица 1
Заданная система
^fe
Условная балка с краевыми
условиями
С
\ао'^о
<-%
М^'О
а{=?
Условная балка с условными
опорами
.4 i .v„-/.
w^
f'f t
u;-i
<!.
M*^0
M^'O
a.t'?.
^
i-\"\ t\
7$^
,:iiu-
vf :—\)
i4 iW,
yn-tkWn
К 1^2 .U/^.,
У t 4^ г ^
G
D
t f i
пример 23. Определить прогибы в трех точках О, 1, 2 (рис. 229). Упругие грузы
по концам не вычисляем за ненадобностью. Упругие грузы W^ и W^ по формуле A1.80):
й!'1 =
Р/2
^~ 2.bEJ ["^'^^ 4 j 48£J *
W,= — ^—• ( 0 + 2
' 2-6£/ I 4
2—+°h--f^
Условная балка с упругими грузами показана на рис. 229.
Рис. 228
Рис. 229
229
Реакция правой опоры равна 1^2/2.
ПрОгиб под грузом Р:
У2-=М%:
Прогиб конца консоли:
Уо--
--М*
Wbl
:—Шта~-
г.
р/'
A8EJ
РР а
16£/
§ ПО. МАТРИЦА УПРУГИХ ГРУЗОВ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Рассмотрим распределенную условную нагрузку для кривого бруса малой
кривизны по A1.82) с учетом только деформации изгиба (см. рис. 224):
дт
* = —Mm : EJ cos а.
A1.92)
Для большей общности предположим, что нагрузка qm имеет разрывы
<рис. 230, а), вызванные разрывами величин, входящих в фор мулу A1.92).
Разобьем ее на участки, и в центре тяжести площадей а^т приложим
равнодействующие Vkm = fi>hm (рис. 230, б). От такой замены изгибающие
моменты в условной балке, определяющие перемещения бруса по заданному
направлению, на границах участков, т. е. в точках деления, не изменятся.
Эти силы Vftm Б свою очередь могут быть заменены по закону рычага
составляющими на границах участков, дающими общую силу в точке /fe,
Wkm (рис. 230, е), от чего изгибающие моменты на границах участков
также не изменятся. При этом получим
Oft 6ft+l
A1.93)
Нетрудно установить, что V^m есть приращение тангенса угла наклона
касательной к криволинейной эпюре перемещений на участке с^, а Whm —
приращение тангенсов углов наклона хорд криволинейной эпюры
перемещений в точке k, или иначе — смежных отрезков эпюры узловых
перемещений.
В связи с этим отметим, что сосредоточенная реакция условной балки
от всех Vkm или Wkm определяет тангенс угла наклона касательной
в'данной точке к криволинейной эпюре перемещений.
Умножим далее условную нагрузку q'n на EJg, где /q — момент
инерции одного из сечений бруса, и обозначим
Mm Jo
ilm = q*mEJa = —
J COS a
A1.94)
* ''"'"""'"'^Jt
m
H-Z
K + l
Рис. 230
23Э
jaS
В этих условиях
A1.95)
где ©?;„ и (й(А+Dm —площади ус- ^
лонной нагрузки 9т на ^-м и fe +1 -м ((-]
участках, аь. и Ь^ + j —
расстояния центров тяжести этих эпюр
соответственно от точки k и точки
& + I.
Если на каждом участке нелинейную эпюру q^m приближенно заменить
линейной (рис, 231), то по A1.95) получим:
1) промежуточные упругие грузы
Рис, 231
г., ,у, /"прав _£L. _ I Глев _fft_ _d гГп
А = A. 2... п—\) \ ^ ■з ^; it
,-Лев _£i±L-L\
Представим их в таком виде:
~прав
2 3
<И.96)
[А = 1, 2...(/г—О] Ь£Уо
( 7Г 1 + 2?Г'+2^Г^ +?f^!,), (И .97)
где Со — длина какого-либо участка:
^прав _ _Mnpa_Bj^ ^ у, с^ : 7Пр_ав ^„3 a^L^^ О,,
gf<^ = -Л1 J- J„ ck : ^Г^ COS af ^ с,;
■ираь _ „AllJPf = Jo Cfe+1: y^"P^« cos a,"P^= c,;
A1.98)
A1.99)
A1.100)
A1.101)
A1.102)
2) крайние упругие грузы, выделенные из Q5 и Qn (см. рис. 224):
левый (нулевой)
правый (последний)
Wnr
Со
6£Ув
{я?-1+^^Г)-
A1.103)
A1.104)
Заметим также, что формула A1.80) в одинаковых условиях является
частным случаем формулы A1.97), если эпюра Mm непрерывна и если
A1.105)
231
Вектор упругих грузов (крайних и промежуточных) представим в
различных видах матричной формы:
6£Уо
2<7?Р
??Р
0
чГ
2дГ
0
Wm=W.E
0 0 0
2q^P ^f ^ 0
9?Р 2gf = 2^"
=
0
0
яГ
0 .
0 .
0 .
.. 0
.. 0
. 0
пр 2л"^
Чп—\ ■^п
A1.106)
Выделяя вектор ^^(матрицу-столбец), получим
Со
я oEJo
21000000000000
12210000000000
00122100000000
00001221000000
0000000012 2 100
00000000001221
00000000000012
90
'я?
^2
„лев
'яГ
A1.107)
В тех случаях, когда нагрузка q^ = qk^, будем иметь
Wm=W..q-,
Со
6EJa
210000000000
141000000000
014100000000
000000001410
000000000141
000000000012
90
91
Я2
Чп-1
Яп
■ A1.108)
Если в качестве исходного вектора принять вектор изгибающих
моментов Mm,, ТО В ЭТОМ случае вместо A1.107) будем иметь
X
2а"„Р
,лев
1
а:
а"„Р 2а^
О О
Wm=W^ ■Мт =
М„
О
2а"Р а
О
,лев
О
О
а'1
О О
Со
6£^о
"«—1
м7ш
дллев
'т
'"(/1—1) т
м'
A1.109)
232
где
"а -
„прав.
COS аь
лев.
- / , глев _
Ofe + 1 = Cfe+1 ^0 : -^4+ 1 Co cos a^!^ j
прав •
A1.110)
A1.111)
A1.112)
A1.113)
Когда моменты М^. непрерывны, то при с^ = c^ + i = с^ = с; а"^
^аТ и УГ = ^F"'" из A1.109) получим
с .
6£Уи
2ао ai 0
Qq 4ai аз
0 aj 4а2
0 0 0
0 0 0
0
0
аз
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 а„_2 4а„_1 а„
0 0 0 а„_1 2а„
'Worn
Ailm
Л12т
^(n-l) m
Л1пт
(И.114>
ah =
: COS aft.
Если, как это часто бывает при шарнирном опирании концов бруса.
Мот = О и 9о = О и нет надобности в вычислении упругого груза W'om. то
в матрицах A1.107) — A1.114) надо исключить первую строку и первый
столбец. Если же Мпт = О и ^„ = 0, то при тех же условиях надо
исключить последнюю строку и последний столбец.
В тех случаях, когда эпюра q непрерывная и гладкаая, ее можно на
двух соседних участках приближенно заменить параболой, проходящей
через три соседние на границах участков ординаты (рис. 232). Разбив далее
эпюру на трапецию и параболический сегмент, при с& = с^^^^ = с^ = е,
получим:
1) для промежуточных грузов
1 . с 1 . с
3 2
Т|2+
+
-т \4k-
Як-1 + П+1
2
н
После преобразований
l2EJa
■(?fe-l+10?fe + ?fe+i);
A1.115)
2) для крайних упругих грузов, выделенных из Q5 и Qn (см. рис. 224):
а) для левого (нулевого)
EJeWom = ~^ 9в~^ +
, 1 Яо-
-Я2
■у+Т'"^-
&-}
40 + 92
'Ян-1 ^^-'
Он = С
'-^
-^
Рнс. 232
'^■H*t
Н+1
23Я
■или
«^om=:
12£Уо
б) ДЛЯ правого (последнего)
C,5qo'-^3ql-0,5q\);
Г„
\2EJr,
(—0,5g„_2+3g»_i + 3,59„).
A1.116)
A1.117)
В этом случае матричная форма вектора упругих грузов будет
Wrr
■W^ •Л1т =
12£У„
3,5ао Sfli —0,5аг 0 0 0 0
lOai
аа 0 0 0 0
Юаг аз О О О
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о о 0 0 0 0 0 а„_2 10а„_1 а„
О О О 0 0 0 0 —0,5а„_2 За„_1 3,5а„
Мот
Мщ
М
(п—1) т
М„т
A1.118)
Матрицы, преобразующие вектор нагрузки д или вектор моментов AJm
в вектор упругих грузов Wmi называются матрицами упругих грузов.
Матричная запись перемещений А при помощи упругих грузов имеет
вид
A = BW
,-q
A1.119)
ИЛИ
h==BWM -Мп
A1.120)
Здесь В—матрица влияния изгибающих моментов в условной балке.
Пример 24. Определить вертикальные перемещения узловых точек ломаного бруса
(рис. 233, а) и угол поворота свободного конца при помощи упругих грузов в
матричной форме.
Эпюра изгибающих моментов дана на рис. 233, б, а эпюра q при Jo = J — на
рис. 233, в, где изображена условная балка.
Матричное равенство для определения вертикальных перемещений запишем
по A1.119)
^^B■W■ -д.
(а)
Составляем матрицу влияния изгибающих моментов в условной балке, пользуясь
для этого эпюрами от единичных сил по направлению W^, Wi и W2 (рис. 234):
Моо Л1о1 Мо2
Мхо Л1и Л112
лТао 'Wai М22
= 1 cos а
=
0 1 COS а
0 0
0
0 1 2
0 0 1
0
0 0
0
.
21 cos а
1 cos а
0
234
p
\^
\
^^"^
"r-
IcobcL
*^^^"-v^
?5\^
I COSd
'/>
i
1
'A
Min'O
(M,)
I
e,-/
Mu-O
C^,)
Мог'21 COSd-
ZPl coscc
Phc. 234
-5^
K=
•*rl'COScL
Рис. 233
. й^-
Матрицу упругих грузов записываем по /
A1.107):
Pl'cosci
6ВЗ
eej
w.
IcosoL
ев7 '
I COS и
w-
/cos a
2 10 0
12 2 1
0 0 12
&EJ
Вектор (матрица-столбец)
i=|[op/p-^p/j
Теперь (a) примет вид
Ф
• 2
tx;;^.^w^ - --
Рис. 235
Д = / cos а
О 1 2
О О 1
0 0 0
/cos а
6£У
2 10 0
12 2 1
0 0 12
X
О
р/
р/
W' на вектор нагрузки q, получим вектор упругих грузов (записан в правом столбце)'
Раскрываем последовательно это равенство. Сначала перемножим матрицу грузов--
V' на вектор
/рнс. 235, а):
Д = /со5 а
О 1 2
О О 1
0 0 0
1
4
2.5
Р/2 COS а
6EJ
Производим последнее перемножение матрицы влияния В на вектор W упругих
грузов, получаем вектор перемещений узлов бруса (рнс. 235, б):
Д = -
Р/» COS2 а,
{fi»)|
235'
Угол поворота конца бруса равен поперечной силе в заделке условной балки, т. е.
сумме всех упругих грузов:
PPcosa 5 Pftcosa
ф = A-Ь4 + 2.5)-
6EJ
EJ
Во всех случаях этого примера мы получили точные значения искомых перемещений.
Это получилось потому, что эпюра q линейная, а тогда формулы A1.107)—A1.114)
становятся точными.
§ 111. ПОНЯТИЕ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ СТАДИИ
Определение перемещений систем, работающих в упругопластической
стадии, значительно сложнее, чем при упругой их работе. Сложность
возникает прежде всего из-за того, что упругое ядро по длине стержня, вообще
говоря, переменно. Поэтому ограничимся для простоты рассмотрением
только систем, работающих на изгиб, с прямоугольными поперечными
сечениями стержней. Для вывода формулы перемещений рассмотрим балку,
работающую в упругопластической стадии (рис. 236). В качестве возможных
перемещений для вспомогательного состояния с силой Р^ = 1 примем эпюру
перемещений рассматриваемого действительного состояния. Принимая
гипотезу плоских сечений, запишем работу внешних и внутренних сил
вспомогательного состояния на перемещениях действительного:
Для сечений, работающих в упругой стадии, Ad(fm = —§j—.
Для сечений, работающих в упругопластической стадии (рис. 237),
о^ ds
Дйфпг = -
ЕУт
Отсюда следует формула перемещений
Afei
-2J
vnn *^
Та ^"^
ds-\-
2 f
гопласт ь*
Mh
ЕУт
A1.121)
упр «^ '^" упру гопласт ■
Найдем величину у^ для прямоугольного сечения (рис. 237):
откуда получаем
ЬBу
■ + г/т
^т
= |/з(,
Mr
М
пр
A1.122)
где /Ипр =
bhi
Верхний знак минус при Мю>0, а нижний плюс — при М^<0.
Г
Рис. 236
М„
(
к
Рис. 237
236
Пример ?5. Определить прогиб балки посе- Мщ=088М„
редине при чистом изгибе в упругопластической ^ ' ^ -да
стадии (рис. 238), если М-т = 0,88 Мпр. ( о; 'N
Величина у^ здесь постоянна: Ут = уЯ'у''--- \f -••ffl'
= Y Уз A —0,88) = 0,3ft. • '
По формуле A1.121) получим
1/2 1/2
С — о' йг С \ о'
f = A.. = 2jM. —. —= 2j-3—X
о о
Рис. 238
X
0,3/1 2,4£'ft
Если принять М равн-ьш предельному моменту в упругой стадии, то
М/2 ML а^ /2
t=-
8EJ „„ h 4Eh
8EW—
2
Пример 26. Определить предельную силу Р, приложенную посередине пролета
двухопорнои балки, и прогиб под силой в момент образования пластического шарнира
при таких данных:
/ = 6 м; £ = 2 . 10* кН/см2; 6 = 10 см; ft = 24 см; а'^ = 20 кН/см^.
I) Геометрические характеристики:
10-242 10-242
Г = = 960 см^; Гпл = = 1440 см»;
о 4
10,24»
11 520 см».
12
2) Предельные силы. При достижении фибрового напряжения а" в среднем сечении
балки Р = 128 кН. При образовании пластического шарнира Р = 192 кН,
3) Прогибы посередине пролета балки:
а) в упругой стадии
128-6003
^= 48.2.10*.11 520 =2-5™;
б) при образовании пластического шарнира.
По формуле A1.121) при начале пластической зоны в балке на расстоянии 200 см
от левой опоры
200 300 —20 dz
f С г 96 г С ^
— = \ dz-f- \ г ' =2,777 см.
2 J 2 2.10*.И520 ^ J / 24 \-, / / 96 г \
о 2002-104 1/ 3 1- -]
\ 2 V \ 28800/
ГЛАВА 12. ОБРАЗОВАНИЕ И РАСЧЕТ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
§ 112. СВЯЗИ, ПРОСТЕЙШИЕ СОЕДИНЕНИЯ
И ПРИКРЕПЛЕНИЕ СИСТЕМ К ЗЕМЛЕ
Пространственные системы подобно плоским в большинстве случаев
являются неизменяемыми, поскольку они, как правило, несут различного
вида нагрузки. Все рассуждения о поведении изменяемых и мгновенно
изменяемых систем при различных нагрузках, а также и соображения о их
применении, которые были приведены для плоских систем, принципиально
сохраняют свою силу и для систем пространственных. Всякую неизменяемую
пространственную систему будем называть телом. Каждое свободное тело
по отношению к другому имеет шесть степеней свободы, т. е. может
совершать три поступательных перемеш,ения и три поворота. Соединение
отдельных тел в одно неизменяемое тело производится при помош,и связей.
Каждая связь имеет кинематическую и статическую характеристики.
Кинематические характеристики связей будем рассматривать при бесконечно
малых перемеш,ениях.
Различают следуюш,ие виды связей пространственных систем.
1. Стержень с шаровыми шарнирами по концам, допускающим повороты
в любом направлении (плоско-подвижная шаровая связь — рис. 239, а).
Кинематическая характеристика: связь уничтожает поступательное пе-
ремеш,ение присоединяемого тела вдоль стержня (по оси у), т. е.
уничтожает одну степень свободы, но допускает поступательное перемеш,ение
присоединяемого тела в плоскости, перпендикулярной стержню (две
степени свободы), и повороты вокруг трех осей, проходяш,их, например, через
шаровой шарнир (три степени свободы).
Статическая характеристика: в связи может Возникать реактивная сила
вдоль стержня.
Стержень с шаровыми шарнирами по концам является основным
элементарным видом связи пространственных систем. Связи остальных видов
обычно являются различной комбинацией нескольких таких стержней.
2. Два стержня с общим шаровым шарниром на одном из их концов
(линейно-подвижная шаровая связь — рис. 239, б).
Кинематическая характеристика: связь уничтожает поступательные
перемеш,ения в плоскости двух стержней (в плоскости хОу), т. е. уничтожает
две степени свободы, но допускает поступательное перемеш,ение
присоединяемого тела но прямой, перпендикулярной плоскости двух стержней (по
оси Z — одна степень свободы), и повороты вокруг трех осей, проходяш,их,
например, через общий шарнир (три степени свободы).
Статическая характеристика: в связи может возникать реактивная сила»
лежащая в плоскости стержней и проходящая через общий шарнир, которая
может быть разложена на две составляющие.
3. Два параллельных стержня (плоско-подвижная связь с двумя
поворотами — рис. 239, в).
Кинематическая характеристика: связь уничтожает поступательное
перемещение присоединяемого тела вдоль стержней (по оси у) и поворот в их
плоскости (в плоскости yOz), т. е. уничтожает две степени свободы, но
допускает поступательное перемещение присоединяемого тела по
направлению, перпендикулярному стержням (в плоскости xOz — две степени
свободы), и два поворота вокруг вертикальной и горизонтальной осей,
например, проходящих через два шарнира (вокруг осей у и z — две степени
свободы).
Статическая характеристика: в связи могут возникать две реактивные
силы вдоль стержней, которые могут быть сведены к силе, действующей
параллельно стержням, и паре сил в плоскости стержней.
4. Три стержня, не лежащие в одной плоскости, с общим шаровым шар-
238
ниром на одном из их концов (неподвижная шаровая связь или шаровой
шарнир — рис. 239, г). .
Кинематическая характеристика: связь уничтожает все три
поступательные перемещения присоединяемого тела, т. е. уничтожает три степени
свободы, но допускает повороты вокруг трех осей, проходящих через общий
шарнир (три степени свободы).
Статическая характеристика: в связи может возникать реактивная сила,
проходящая через общий шарнир, которая может быть разложена на три
составляющие.
5. Три параллельных стержня, не лежащих в одной плоскодти
(плоскоподвижная связь с одним поворотом — рис. 239, д).
Кинематическая характеристика: связь уничтожает поступательное
перемещение присоединяемого тела вдоль стержней (по оси у) и два поворота
вокруг осей X и Z, т. е. уничтожает три степени свободы, но допускает
поступательное перемещение присоединяемого тела в плоскости,
перпендикулярной стержням (в плоскости xOz — две степени свободы), и поворот
вокруг оси, параллельной стержням (параллельно оси у одна степень
свободы).
Статическая характеристика: в связи могут возникать три реактивные
силы по направлению трех стержней, которые могут быть сведены к силе,
действующей, например, вдоль углового стержня, и к двум парам сил в
плоскостях хОу и zOy.
6. Три стержня в одной плоскости, из которых два параллельны, а
третий имеет общий шаровой шарнир с одним из них
(линейно-подвижная связь с двумя поворотами — рис. 239, е).
Кинематическая
характеристика: связь уничтожает
поступательные перемещения и
поворот присоединяемого тела в
плоскости стержней (в
плоскости хОу), т. е. уничтожает три
степени свободы, но допускает
поступательное перемещение по
прямой, перпендикулярной
плоскости стержней (одна степень
свободы), и два поворота,
например, вокруг осей X к у (две
степени свободы).
Статическая характеристика:
в связи могут возникать
реактивные силы вдоль стержней,
которые могут быть сведены к
силе и паре сил в плоскости
стержней.
7. Припайка (неподвижная
связь без поворотов — рис.
239, ж).
Кинематическая
характеристика: связь уничтожает все
перемещения присоединяемого
тела, т. е. уничтожает все шесть
степеней свободы.
Статическая характеристика:
'в связи могут возникать три
реактивные силы по направлениям
координатных осей и три
реактивных момента в
координатных плоскостях. Рис. 239
239
^ '"^^.^^S^Poffopo,
/Шиия смещении
^■^ Ось тВарота
Рис. 240
Припайка эквивалентна шести стержням.
Кроме рассмотренных простых связей возможны и более сложные,
получаемые из простых добавлением стержней. Так, например, если к связи,
показанной на рис. 239, г, добавить два стержня, препятствующих
поворотам вокруг двух осей, получим так называемый цилиндрический -шарнир,
допускающий поворот только вокруг одной оси X, проходящей через
шаровые шарниры на концах пяти стержней (рис. 239, з).
Если припайка или шаровой шарнир одновременно соединяют
несколько тел, то они являются кратными связями. Их кратность равна числу тел,
которые они соединяют, без одного.
Рассмотрим некоторые неизменяемые соединения из двух тел. Как уже
было сказано, для образования неизменяемого соединения из двух тел надо
уничтожить шесть степеней свободы одного тела по отношению к другому.
Это можно сделать при помощи различных рассмотренных и
нерассмотренных здесь связей. Поскольку, однако, различные связи сами по себе
представляют комбинации стержней, то удобнее для общности рассуждений и
соединения тел рассматривать в общем виде как соединения, образованные при
помощи стержней. Шесть степеней свободы одного тела по отношению к
другому могут быть уничтожены не менее как шестью стержнями. Но они
должны быть правильно расположены. Неправильное размещение
стержней влечет за собой изменяемость соединения. Исключительные случаи
соединения двух тел при помощи шести стержней,"порождающие мгновенную
изменяемость или изменяемость при конечных перемещениях, следующие.
240
Рис. 241
/. Шесть стержней пересекают одну прямую
(рис. 240, а). Эта прямая будет осью бесконечно
малого или конечного вращения одного тела по
отношению к другому. Здесь могут быть
следующие частные случаи.
В одной плоскости
расположено четыре стержня. В этом случае
два стержня пересекут плоскость, в которой
расположены остальные четыре стержня, в двух
точках, через которые проходит прямая,
пересекаемая всеми шестью стержнями (рис. 240, б).
Стержни расположены в двух
плоскостях. Прямая пересечения
плоскостей пересекается всеми стержнями (рис. 240, в).
Стержни расположены в
параллельных плоскостях.
Параллельные плоскости пересекаются в
бесконечности по одной прямой, которую пересекают все
стержни (рис. 240, г).
Стержни по три
пересекаются в двух точках. Через эти точки
проходит прямая, пересекаемая всеми шестью
стержнями ipnc. 240, д).
2. Более трех стержней пересекаются в одной
точке.
Стержни параллельны. Четыре и более параллельных
стержня могут уничтожить только три степени свободы: поступательное
перемещение по их направлению и два поворота вокруг двух осей,
расположенных в плоскости, перпендикулярной стержням. Остальные три степени
свободы в Ьиде поступательного перемещения по любому направлению в
плоскости, перпендикулярной стержням, и поворота вокруг оси, им
параллельной, не могут быть уничтожены двумя и менее связями (рис. 240, е).
Стержни непараллельны. Такие стержни уничтожают
только три степени свободы. Остальных стержней (менее трех) недостаточно для
уничтожения еще трех степеней свободы.
3. Три стержня лежат в одной плоскости и пересекаются в одной точке
(рис. 240, ж). Такие стержни уничтожают только две степени свободы, а
именно, поступательные перемещения в плоскости, параллельной
плоскости стержней.
Трех других стержней недостаточно для уничтожения четырех степеней
свободы.
При правильном размещении шести стержней реакции связей статически
определимы.
Прикрепление неизменяемой системы к земле можно производить по
правилам соединения двух тел — этой системы и земли. Опорные связи по
своим кинематическим и статическим характеристикам не отличаются от
описанных выше связей. Правила неизменяемого прикрепления тела к
земле те же, что и при образовании соединения из двух тел, со всеми
ограничениями, которые были там изложены. Некоторые примеры правильно1о
прикрепления неизменяемых систем к земле показаны на рис. 241.
Конструктивное оформление опорных связей не рассматриваем.
§ ИЗ. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ числом ТЕЛ и СВЯЗЕЙ
1. Свободные системы
Число тел, из которых составлена пространственная система,
обозначим буквой Т. Для общности рассуждений положим, что среди этих 7 тел
имеется Т^ тел только с двумя шаровыми шарнирами (стержни). Такие те-
241
ла могут вращаться вокруг оси, проходящей через эти шарниры, т. е. у них
Сохраняется одна степень свободы, не порождающая\ иной изменяемости
системы. Число степеней свободы, подлежащее уничтожению для
образования неизменяемой системы:
Л = 6(Г—1)—Г1. A2.1)
Пусть число связей, приведенных к простым стержням, равно С. Тогда
число степеней свободы, которое может быть уничтожено, при правильном
расположений связей таково:
£==С. A2.2)
Сопоставляя А к Б, можем написать
А=Б или 6 (Г—1)—Г1 = С.
A2.3)
Верхний знак в A2.3) показывает, что в системе недостаточно связей
и система изменяема. Средний знак при правильном размещении связен
показывает, что система неизменяема и статически определима, а нижний
знак — что она статически неопределима.
2. Прикрепленные системы
Обозначая, как и в плоских системах, через С^^ число приведенных
опорных связей (не опор) и имея в виду, что при соединении системы с
землей надо уничтожить еще шесть степеней свободы системы относительно
земли, выражение A2.3) моЖно представить в таком виде:
>
6T—Ti = C+C,
A2.4)
Все сказанное относительно знаков в A2.3) остается справедливым и
•здесь.
Еще раз подчеркнем, что верхний знак в A2.3) и A2.4) показывает, что
система изменяема, а средний и нижний знаки позволяют судить об
изменяемости только при правильном размещении связей.
§ 114. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ШАРНИРНЫЕ ФЕРМЫ
Шарнирной фермой называется пространственная неизменяемая система,
■состоящая из прямых стержней, соединенных по концам шаровыми
шарнирами. При узловой нагрузке в стержнях шарнирной фермы возникают только
продольные силы. В основе образования простых ферм лежит тетраэдр
(рис. 242). Каждый новый узел фермы образуется тремя стержнями, не
лежащими в одной плоскости, так как иначе присоединяемый узел будет иметь
■бесконечно малое или конечное перемещение по направлению,
перпендикулярному плоскости стержней. Такое же перемещение будет иметь узел
с любым числом стержней, лежащих в одной плоскости.
Количественные соотношения между стержнями фермы и ее узлами по-
.лучим из выражений A3.3) и A3.4) . Пусть ферма содержит С стержней, У
узлов и Сцд опорных связей. Тогда Т = С; Т^ = С; количество шаровых
шарниров в узлах с учетом их кратности равно 2С — У, а количество свя-
Рис. 242
Рис. 243
242
зей С = 3 BС — У). Подставляя эти величины в A3.3) и A3.4),
соответственно получим
ЗУ-^С + 6 и ЗУ==СЧ-Соп- A2.5>
И здесь верхние знаки показывают, что ферма изменяемая, а средний
и нижний знаки позволяют судить об изменяемости только при правильном
размещении связей.
Среди пространственных ферм особое место занимают так называемые
сетчатые фермы, у которых все стержни расположены только в плоскостях
граней замкнутого многогранника, образуя в каждой грани неизменяемук>
систему. Доказано, что если многогранник выпуклый и все его грани
неизменяемы, то и ферма неизменяема. По этому признаку весьма просто
установить неизменяемость мостовой пространственной фермы с ездой поверху
(рис. 243, а). Все шесть граней ее неизменяемы: две вертикальные
продольные грани, образующие основные несущие части; две горизонтальные
грани — ветровые связи и две вертикальные грани по торцам. Значит
ферма является сетчатой и, следовательно, неизменяема. При езде понизу
диагональные стержни на торцах должны быть устранены, что приводит
к изменяемости фермы. Наложение новых связей, превращающих торцовые
грани в неизменяемые рамы (рис. 243, б), образует вновь неизменяемую
статически неопределимую систему.
§ 115. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ
Если неизменяемая система прикреплена к земле только шестью
стержнями, правильно расположенными, то опорные реакции могут быть
определены из уравнений равновесия, которые могут быть составлены самым
различным образом. Чаще всего используются следующие два вари&нта.
Первый вариант уравнений равновесия:
2Х=0; 2У = 0; 2Z = 0; 1,Мх = 0; 2Му = 0; 2A1^=0 A2.6>
При этом оси X, y,-z не должны быть параллельны и не должны лежать
в одной плоскости. Иначе могут быть случаи, когда эти уравнения
равновесия удовлетворены, а равновесия нет (рис. 244). Так, например, если оси
лежат в одной плоскости, то уравнения A2.6) удовлетворяются при
внешних силах, приводящихся к паре сил в этой же плоскости, а если три оси,
кроме того, пересекаются в одной точке, то еще и к силе,
перпендикулярной плоскости и проходящей через точку пересечения осей (рис. 244, а).
Если оси параллельны, то уравнения A2.6) удовлетворяются, а
равновесия при действии пары сил, лежащей в плоскости, проходящей через две
оси (рис. 244, б), не будет.
Отметим, что не обязательно составлять суммы моментов относительно
тех же осей х, у иг, на которые проектируются силы. Они могут быть
составлены относительно других осей, удовлетворяющих изложенным выне
требованиям.
Второй вариант уравнений равновесия:
2Mi = 0; 2;M2=0; 2Л1з=0; I:M4=0; 2M5=0-, 2Me=0 A2.7)
при соблюдении следующих условий:
1) оси не должны пересекать одну прямую, иначе при действии силы
Р вдоль этой прямой (рис. 244, в) уравнения A2.7) будут удовлетворены,
а равновесия не будет. Как следствие этого, шесть осей не должны по три
пересекаться в одной точке и все не должны лежать в одной или двух
плоскостях;
2) не более трех осей могут быть параллельны (рис. 244, г);
3) если три оси пересекаются в одной точке, то три остальные не
должны быть параллельны (рис. 244, д).
Могут быть и другие варианты уравнений равновесия.
243
Рис. 245
Рис. 244
Рис. 246
В системах статически определимых
относительно опорных реакций возникает шесть
составляющих опорных реакций. При их
определении надо иметь в виду, что через
всякие четыре силы всегда можно провести две
прямые, их пересекающие, которые удобно
принять за оси моментов при составлении
условий равновесия. В частности, если четыре
силы по две лежат в двух плоскостях (рис.
245, а), то такими прямыми будут: прямая аЬ
пересечения плоскостей и прямая cd,
соединяющая точки пересечения сил, лежащих в
одной плоскости. Если из четырех сил
только две лежат в одной плоскости, то две
прямые, пересекающие все четыре силы, находятся следующим образом.
Надо провести плоскость через силу Яз и точку пересечения с сил Р^ и
Яг (рис. 245, б), найти точки акЬ пересечения силы Я^ с двумя плоскостями
и силы Яз с первой плоскостью (точка d). Прямые ad и be пересекают все
четыре силы.
Два уравнения равновесия в виде суммы моментов относительно этих
двух прямых, пересекающих четыре силы, содержат только Две
неизвестные силы, откуда они и могут быть определены.
пример 26. Определить опорные реакции (рис. 246). Составляем условия равновесия:
2/Ис_й=—^?5-3 = 0, откуда ^?б = 0;
2Л1т-п = ^1-3—Р-3=0, откуда Ri=P;
SX=—^?4 = 0, откуда /?4=0;
^Z = Re=0. » Ri = 0;
2
-6 = 0, » Rs.=.— Pi
2
'а = — о Р-
244
2Л1^_^= — /'•4 sin ее — /?2'6sina=0 »
§ 116. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ ПРИ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКЕ
Методы определения реакций связей плоских систем переносятся и на
определение реакций связей пространственных систем. Таким образом,
могут быть использованы способы простых и совместных сечений, метод
замены связей, способ вырезания узлов (для ферм) и кинематический метод.
Содержание этих способов и методов не меняется, но применение их к
пространственны J системам значительно сложнее, поскольку равновесие
рассматривается в пространстве.
Способ простых сечений состоит в том, что система воображаемой
поверхности, проведенной через шесть связей, разделяется на две части и
рассматривается равновесие одной из них. Если система неизменяема, то все
неизвестные могут быть найдены из шести уравнений равновесия. При этом
рекомендуется составлять уравнения равновесия в виде суммы моментов
относительно двух прямых, которые пересекают четыре силы. Это дает
возможность определить остальные два неизвестных из двух уравнений. В
отдельных случаях могут быть использованы и уравнения в виде суммы
проекций сил на ось, которую следует выбирать с таким расчетом, чтобы
возможно большее число неизвестных сил исключалось из этого уравнения.
Если при рассечении системы на две части число неизвестных сил в
рассеченных стержнях больше шести, то их определение по одному сечению
невозможно. В этом случае приходится использовать способ совместных
сечений.
Метод замены связей состоит в том, что в сложной системе удаляется одна
или большее число связей, которые вводятся в других местах системы,
с тем чтобы новая система была проще заданной. Преобразованная система
нагружается заданной нагрузкой и неизвестными реакциями отброшенных
связей. Затем реакции заменяющих связей от действующей нагрузки и
неизвестных сил приравниваются нулю, так как в действительности таких
заменяющих связей нет.
■ Кинематический метод состоит в том, что из системы выбрасывается связь
и ее действие на систему заменяется неизвестной реакцией. Полученной
изменяемой системе задается бесконечно малое возможное перемещение, на
котором составляется уравнение работ. Из этого выражения определяется
искомая реакция связи.
Способ вырезания узлов (для ферм) есть разновидность способа сечений,
в котором от фермы отсекается один узел. Для сил, сходящихся в узле,
составляются только три независимых уравнения равновесия, причем каждое
может быть или суммой проекций сил на ось, или суммой моментов
■сил относительно оси, пересекающей не менее двух стержней. Если в узле
сходятся только три стержня, то продольные силы в каждом из них могут
быть определены из уравнений равновесия этого узла. В таком случае можно
рекомендовать уравнения равновесия записывать в виде суммы проекций
сил на ось, перпендикулярную плоскости каких-либо двух стержней, или
в виде суммы моментов относительно оси, их пер^екающей, что Даст
уравнение с одной неизвестной продольной силой третьего стержня.
Расчет простых ферм, в которых всегда имеется узел с тремя стержнями,
вадо начать с вырезания этого узла. Далее следует переходить к тем узлам,
где не более трех неизвестных продольных сил, каждая из которых может
быть определена из одного уравнения равновесия. По способу вырезания
узлов, вообще говоря, может быть рассчитана любая ферма.
Способ вырезания узлов позволяет установить некоторые правила
определения неработающих стержней:
1) если в узле сходятся три стержня и в узле нет нагрузки, то
продольные силы во всех трех стержнях равны нулю;
2) если в узле сходится п стержней, причем п — 1 этих стержней лежат
в одной плоскости, то продольная сила в примыкающем стержне равна
нулю, когда в узле нет нагрузки или она расположена в плоскости остальных
стеожней.
245
§ 117. РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ РАЗЛОЖЕНИЕМ
ИХ НА ПЛОСКИЕ
В тех случаях когда пространственная ферма состоит из отдельных
плоских неизменяемых ферм, ее расчет удобно проводить разложением на
плоские фермы. Это разложение основано на том, что если на плоскую
неизменяемую ферму, входящую в состав пространственной, действует; в ее
плоскости самоуравновешенная нагрузка или нагрузка, которая может быть
уравновешена опорами этой плоской фермы, то продольные силы будут
возникать только в стержнях этой плоской фермы, а в остальных стержнях
данной фермы они равны нулю. Так, например, продольные силы в
стержнях пространственной фермы (рис. 247, а) отличны от нуля только в
стержнях плоских вертикальных ферм и могут быть найдены из расчета этих
плоских ферм (рис. 248, б, в). Если нагрузка на данную пространственную
ферму произвольная, например в виде силы Р в узле 1 (рис. 248), то такую
нагрузку надо разложить на три составляющие: Pi, Р^ и Яз. Сила Pi
вызывает продольные силы в стержнях фермы а-5-1-4-8-д\ а сила Pj —
в стержнях фермы а-5-1-2-6-Ь. Сила Рз может быть отнесена к любой
из этих ферм. Она вызывает продольные силы в стержнях а—5 и 5^1,
входящих в обе фермы, которые должны определяться сложением продольных
сил, найденных из расчета этих двух плоских ферм.
§ 118. МГНОВЕННАЯ ИЗМЕНЯЕМОСТЬ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
Если мгновенную изменяемость не удается установить на основе правил
образования стержневых систем, то необходимо применять специальные
способы. Они по содержанию не отличаются от тех, которые применялись при
определении мгновенной изменяемости плоских систем. Напомним их: общий
аналитический признак, способ нулевой нагрузки, метод замены связей и
кинематические методы. Однако
реализация этих способов в
пространственных системах сложнее чем в
плоских, как и вообще весь расчет
пространственных систем.
Покажем, как по способу
нулевой нагрузки судить об изменяемости
Рис. 248
246
фермы, изображенной на рис. 248,
содержащей достаточное для
неизменяемости число связей. Продольная
сила в стержне /—4, как в
примыкающем к остальным в узле 4, равна
нулю. Исследуем последовательно
узлы /, 2, 3 п 4. Поскольку в каждом
из них сходится не более трех
стержней и в узлах нет нагрузки, то
сходящиеся в них стержни
неработающие. После этого имеем, что
продольная сила в стержне 5—8, как в
примыкающем к остальным в узле 8, равна нулю. Затем исследуем
последовательно уэлы 5, 6, 7 и 8. Сходящиеся в них стержни неработающие.
Следовательно, продольные силы во всех стержнях фермы при нулевой нагрузке
равны нулю, значит ферма неизменяема.
§ 119. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
Определение перемещений в пространственных системах основано на
тех же принципах, что и определение их в плоских системах. Но
поскольку в пространственных системах внутренние силы (рис. 249) имеют шесть
составляющих М^, My, М^, Q^, Qy, N^, то формулы будут иные. Приведем
только формулу перемещений от нагрузки для систем из прямых стержней
Дй)
■=2j
_ /и,
Mxh-
EJ.
ds+
21
м
м
ук
Ут
EJu
d^+ Z] ^^^
^ М^
I ds
GF
где GT — жесткость при кручении.
Величина Т равна:
для квадрата Т л; 0,1426а*;
для узкого прямоугольника при а'>- b Т
21
2^ \ ^^ ^^^
GT
GF
rfs +
ds.
A2.8)
63
(a — 0,636);
для круга
т — "^
' ~ 2''
составленных из узких прямо-
для тонкостенных незамкнутых сечении,
угольников, при ui^bi Т ра ^ "Е^Ь^щ.
Для шарнирных ферм формула перемещений сохраняет свой прежний
вид A1.39). Все теоремы о работе и перемещениях, изложенные для плоских
систем, справедливы и для пространственных систем.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
ГЛАВА 13. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА
§ 120. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
Статически неопределимыми называются системы, в которых не все
реакции и внутренние силы, определяемые по недеформированному
состоянию системы, могут быть найдены по уравнениям равновесия.
Статически неопределимые системы содержат лишние связи, что
является их кинематическим признаком.
Число лишних связей, устранение которых обращает систему в
статически определимую, называется степенью статической неопределимости
системы.
Реакции и внутренние силы в статически неопределимых системах могут
быть определены только при использовании наряду с уравнениями
равновесия дополнительных уравнений, вытекающих из деформированного
состояния системы. Величины реакций и внутренних сил статически
неопределимых систем зависят от того, в какой стадии находится сооружение, т. е.
работает ли материал сооружения до предела пропорциональности или за
пределом.
Если материал сооружения работает до предела пропорциональности,
то реакции и внутренние силы определяются по упругой стадии работы
сооружения, т. е. по «упругому» расчету. Если же материал сооружения
работает за пределом пропорциональности, то реакции и внутренние силы
надо определять по упругопластической стадии его работы, по
«пластическому» расчету.
Статически неопределимые системы обладают следующими свойствами.
1. Внутренние силы в статически неопределимой системе зависят от
количества и качества (жесткости) лишних связей. Это можно уяснить из
рассмотрения простых статически определимых систем, которые лишними
связями аЪ и cd обращены в статически неопределимые (рис. 250). Ясно, что
работа системы с одной лишней связью, например со стержнем аЬ, будет
иной, чем при двух связях. Но работа системы будет зависеть и от
жесткости этих связей.
Допустим, что тонкие элементы аЪ и ей (см. рис. 250) выполнены из
резины. Легко убедиться, что хотя системы с этими связями и статически
неопределимые, однако внутренние силы в них будут незначительно отличаться
от внутренних сил в статически определимых системах без этих связей.
2. Перемещения статически неопределимых систем, как правило,
меньше перемещений тех неизменяемых статически определимых систем, из
которых они могут быть получены. Это объясняется тем, что всякая лишняя
работающая связь повышает жесткость системы, так как связь препятствует
перемещению по ее направлению.
Если все введенные в статически определимую систему дополнительные
связи при данной нагрузке неработающие, то перемещения статически
неопределимой, и статически определимой системы одинаковы. Если в
статически неопределимой системе с п лишними связями при данной нагрузке
окажется п неработающих связей, то, исключив их, можно получить
статически определимую систему с такими же внутренними силами и
перемещениями, как в статически неопределимой системе (рис. 251).
3. В статически неопределимых системах возникают дополнительные
внутренние силы от изменений температуры. Уясним это на простом
примере. Пусть температура двухпролетной балки (рис. 252, а) увеличилась
сверху на t^, а снизу — на t.^. После изменения температуры ось балки зай-
248
Рис. 250
а)
а
Рис. 251
ii Ь
6)а
^
В)
^
^„-"# ^
' ———■
1'
Рис. 252
мет новое положение а&с. Если
бы средней опоры не было, то
положение оси было бы иное —
аЪ^с (рис. 252, б). Для того
чтобы поднять точку Ь^ в
положение Ь, надо приложить силу Х^
у средней опоры.
4. В статически
неопределимых системах, как правило,
возникают дополнительные
внутренние силы от смещения опор
(рис. 52, в). Действительно,
если бы средней опоры не бьшо, то
балка от смещения левой опоры
повернулась бы без изгиба
относительно правой опоры с
(рис. 252, г). Для того чтобы
поднять точку Ъ-^ балки в
положение Ъ, надо у средней опоры
приложить силу Xti..
5. В статически
неопределимых системах возникают вдут-
ренние силы от натяжений
неточно изготовленных элементов
системы. Так, например, если
стержень Ъс имеет
недостаточную длину (рис. 253), то для
присоединения его к узлу с
надо его натянуть, а также
деформировать остальную часть
системы двумя силами, вызывающими
внутренние силы и в остальных
стержнях системы.
6. Внутренние силы в
статически неопределимых системах от
нагрузки зависят от
соотношения жесткости сечений
стержней, т. е. от соотношения
произведений геометрических
характеристик сечений на
соответствующий модуль упругости, а от
температуры и осадки опор —
от самих величин жесткостей.
7. Статически
неопределимые системы оказывают
большее сопротивление
разрушению, чем системы статически
определимые.
а)
J
S)
Рис. 2S3
Рис. 254
249
Статически определимая система обладает только необходимым "^ля
неизменяемости числом связей. Поэтому устранение хотя бы одной ее связи
обращает систему в изменяемую, которая, вообще говоря, может быть в
равновесии только при нагрузке частного вида. Так, например, устранение в
статически определимой ферме одного стержня (рис. 254, а) ведет к ее
обрушению.
В статически неопределимой системе исключение лишней связи не
обращает систему в изменяемую. Поэтому разрушение одного стержня в ферме
на трех опорах (рис. 254, б) еще не означает разрушения фермы, поскольку
она сохранила свою неизменяемость. Ее обрушение произойдет только при
разрушении еще одного стержня.
Некоторые свойства статически неопределимых систем, например
чувствительность систем к И|3менению температуры, смещению опор и
неправильному изготовлению, проявляются различным образом в зависимости от
того, в какой стадии работы находится сооружение — в упругой или упруго-
пластической. Так, например, в тот момент, когда в системе образуется
такое число пластических шарниров, при котором система превращается в
статически определимую, все эти побочные влияния исчезают и предельная
нагрузка не зависит ни от температуры ни от смещения oriop, ни от
неправильного изготовления.
Все сказанное выше относится и к пространственным системам.
§ 121. ПОНЯТИЕ ОБ ОСНОВНЫХ МЕТОДАХ РАСЧЕТА
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Основными методами расчета статически неопределимых систем принято
считать метод сил, когда за неизвестные принимаются силы, и метод
перемещений, когда за неизвестные принимаются угловые и линейные
перемещения узлов системы-
Оба метода объединены одной общей идеей, состоящей в том, что
расчет проводится на основной системе, получаемой из заданной.
В методе сил основная система получается путем исключения всех или
части избыточных связей с таким расчетом, чтобы получаемая система была
проста и доступна для определения в ней усилий и перемещений
изученными ранее методами. Прежде всего такой системой
будет статически определимая система (рис, 255).
Поскольку в данных условиях различные связи
можно считать «лишними», то основная система в
методе сил не одна, а их может быть несколько,
принципиально различных между собой (рис. 255, а, б, в).
Исключение из системы только лишних связей
должно всегда приводить к системе неизменяемой, а это
значит, что основная система в методе сил
неизменяема.
Взамен устраняемых связей к основной системе
кроме заданной нагрузки прикладываются ещё
неизвестные реакции этих связей Х^, ..., Хп, подлежащие
определению, которые называются основными
неизвестными метода сил (рис. 255).
Значения реакции Х^, ... Хп должны быть
такими, чтобы перемещения по их направлениям в
основной системе равнялись бы соответствующим
перемещениям системы заданной, где они при жестких
связях невозможны, а при податливых связях
ограничены. При этих условиях основная система не будет
отличаться от системы заданной.
Если устраняемые связи жесткие, то перемещения
Рис. 255 по их направлениям в заданной системе равны нулю,
250
что можно записать в так ом'каноническом виде:
д.
ЦХ^Хг Л„, Pj =0,
A3.1)
^п(х^. Xj х„, Р)
довели устраняемые связи податливые (деформируемые), то перемещения
по их направлениям в заданной системе не равны нулю и определяются они
деформациями связей. Однако и в этом случае уравнения A3.1) могут быть
использованы, если податливую связь не выбрасывать, а разрезать и
неизвестные ее реакции прикладывать в разрезе в виде двух сил. В этом
случае перемещением по направлению неизвестного будет взаимное
перемещение разрезанных частей связи, а оно всегда равно нулю.
Уравнения A3.1) являются основными уравнениями метода сил,
справедливыми при любых стадиях работы сооружения и одинаково
применимыми для систем, подчиняющихся принципу независимости действия сил и
неподчиняющихся ему.
В методе перемещений основная система получается введением новых
дополнительных связей, препятствующих угловым и линейным
перемещениям узлов заданной системы, и так же с расчетом, чтобы получаемая
основная система была проста и доступна для определения в ней усилий и
перемещений.
Введение новых связей в заданную систему должно быть
компенсировано дополнительными внешними воздействиями на основную систему, а
именно — перемещениями по направлению введенных связей. Иными
словами, к заданной системе приложены только заданные воздействия, а
основной — еще искомые перемещения введенных связей.
Как известно, перемещения стержня могут быть выражены через
угловые и поступательные перемещения его концов (а, р, Ад и А^) и нагрузку
(рис. 256, а). Действительно, помещая начало координат в точке а^, можем,
например, составить уравнение оси изогнутого стержня по методу начальных
параметров. Неизвестные начальные параметры Mq и Qo определяются
условиями на правом конце стержня, где г/ = А^ — А^ и ^ = р.
Если составлено уравнение оси изогнутого прямого стержня, то
последовательным его дифференцированием можно определить изгибающие
моменты {М = —EJy") и поперечные силы (Q = —EJy"'), а затем и
продольные силы.
Перемещения концов стержня определяются перемещениями узлов
системы, к которым он примыкает. Поэтому необходимо знать их угловые и
поступательные перемещения. Эти угловые и поступательные перемещения
узлов системы и являются основными неизвестными метода перемещений.
В соответствии с основными неизвестными метода перемещений вводимые
в основную систему связи должны быть двух видов:
моментная (угловая) связь, накладываемая на узел, препятствующая
только его повороту и способная создавать только реактивный момент; два
варианта символического изображения такой связи показаны на рис. 256, б;
силовая (поступательная) связь, накладываемая на систему,
препятствующая только поступательному перемещению узлов и способная создавать
только реактивную силу по направлению этой связи; такая связь
изображена на рис. 256, в. ч
Моментные связи обычно накладываются на все жесткие узлы системы,
а силовые — там, где есть независимые поступательные перемещения узлов
(рис. 257, а, б). Полученная таким образом система называется основной
системой с полным числом связей. Она состоит из стандартных элементов:
балок, защемленных двумя концами, и балок, защемленных одним и шар-
нирно опертым другим концом. Эти стандартные балки должны быть
предварительно изучены на действие нагрузки и смещений их концов
<см. § 189).
25)
F^fc^:
у ^'
т
В}
^
Рис. 256
a)
/77
0)
-i—?x^
1
Из сказанного следует, что основная
система метода перемещений с полным числом
связей может быть по существу получена
единственным образом.
Для получения канонических уравнений
метода перемещений переместим каждую
наложенную связь основной системы, т. е. момент-
ную повернем на соответствующий угол
поворота заданной системы, а силовую сместим
поступательно на величину этого перемещения
в заданной системе. Эти перемещения обозначим
Zi, Z2, .... Z„. Напишем выражения реакций
наложенных связей, возникающих от
перемещений связей и нагрузки. Рассмотрим
какую-нибудь связь &. Ее реакция /?й (z„z„ ...,z„. Р) есть
функция перемещений Zy, Z^, ..., Z^ и"
нагрузки Р. Эта реакция должна быть равна нулю, по-
скольку в заданной системе этой связи нет.
Только тогда основная система с наложенными связями будет
эквивалентна заданной системе, не имеющей этих связей. Следовательно:
уТГ
1
>4
/7777
Рис. 257
^fe B,,Z2
= 0.
Полагая k — \,Ч п, получим необходимое число уравнений:
\B.x»z^,...,z^ Р)—0;
R
п (ZuZ^,.... Z„ Ру'
= 0.
A3.2)
A3.3)
Уравнения A3.3) являются основными уравнениями метода
перемещений и так же, как уравнения A3.1), справедливы при любых стадиях
работы сооружения и одинаково применимы для систем, подчиняющихся
принципу независимости действия сил и не подчиняющихся ему.
В заключение отметим, что метод сил применим для расчета любых
систем, а метод перемещений — преимущественно для расчета рам и
неразрезных балок. Как ув-идим далее, подготовительная работа для метода
перемещений также проводится на основе метода сил. Поэтому метод сил
является самым общим методом.
При матричной форме расчета статически неопределимых рам по методу
сил иногда удобно предварительно заменить действующую (особенно
сложную) нагрузку, перпендикулярную к элементам рамы, эквивалентной
узловой нагрузкой. Идею такой замены можно проследить на основе следующих
рассуждений:
1) заданную раму (рис. 258, а) наложенными в узлах связями обратим
в раму с неподвижными узлами (рис. 258, б);
252
<ч
"/
в)
<^
^
^-
*•
^
^
^
Г-*
1
Лг
ТА
z>
,
^^^-"^—
,2 8
i^ ^^
Рис. 258
2) построим эпюру изгибающих моментов на элементах рамы, где есть,
нагрузка (рис. 258, в);
3) вырежем из рамы элементы в деформированном состоянии и заменим
их действие на раму моментами и поперечными силами (рис. 258, г);
4) обратим моменты и поперечные силы в узловые внешние нагрузки
(рис. 258, д);
5) вновь введем недеформированные элементы вместо убранных
(рис. 258, е);
6) снимем введенные связи на рис. 258, е и рама окажется под действием
только узловой нагрузки.
При этом надо помнить, что к эпюре моментов в раме только от узловой
нагрузки надо присоединить эпюры моментов на стержнях от
непосредственно действующей на них нагрузки (см. рис. 258, б).
ГЛАВА 14. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МЕТОДА СИЛ И РАСЧЕТ
ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ
§ 122. СТЕПЕНЬ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ
Степень статической неопределимосуи определяется аналогично
формуле B.9):
п = С+2Ш+ЗП+Соп—ЗД. A4.1)
Здесь Д — число любых статически определимых дисков.
Наряду с этой формулой можно получить более простую формулу для
определения степени статической неопределимости на основе следующих
рассуждений. Всякий замкнутый контур (рис. 259) отличается от
незамкнутого тем, что в месте замыкания как бы поставлена припайка — связь,
статически эквивалентная трем связям первого вида. Следовательно, степень
статической неопределимости замкнутого контура равна трем. Каждый
шарнир, введенный в замкнутый контур, уменьшает степень статической
неопределимости на единицу. Таким образом, получаем
п=ЗК—Ш, A4.2)
■где К — число замкнутых контуров в
Ш — число шарниров в замкнутых
При использовании этой
формулы земля должна
рассматриваться как незамкнутый диск.
Наряду с полной статической
неопределимостью различают
внешнюю и внутреннюю статическую
неопределимость.
Степень внешней
неопределимости системы «1 определяется
числом лишних связей с землей, а
степень внутренней
неопределимости «2 — числом лишних связей
в системе, изолированной от земли.
Степень внешней неопределимости
может быть определена по
формуле
П1 = Со—3—Сз
A4.3)
1
[
L
[
L
П=Э
п = а
п=2
J
]
J
'
_^
системе без учета шарниров;
контурах.
а)
^7777777777777777??;^^^
Рис. 259 ■
Рис. 260
254
где Cj — число опорных связей (не опор);
Cgajj — число связей с землей, заменяющих недостающие связи внутри
системы. /
Число заменяющих связей устанавливается из анализа системы без опор..
Степень изменяемости такой системы равна числу заменяющих связей С^аму
содержащихся в опорных связях.
Степень внутренней неопределимости равна:
П2=п—«1. . A4,4)
Величина % есть наибольшее число опорных связей, а /Zj — число
внутренних связей, которые могут быть исключены при переходе к основной
статически определимой системе. При этом полезно иметь в виду, что вместо
исключения всех или части опорных связей можно исключить такое же
дополнительное к «2 число внутренних связей. Отбрасывание же опорных
связей сверх n-i взамен внутренних связей недопустимо, так как при
этом образуется изменяемая система.
Пример 27. Определить степень статической неопределимости (рис. 260, а)..
Решение по формуле A4.1)
Расчленяем систему так, чтобы каждая часть была неизменяема и статически
определима (рис. 260, б). Имеем: Д=3, С=0, П = I, Ш = 2 (кратный шарнир),
С„ = 11, «=2.2 + 3- 1-fll—3.3 = 9.
Для определения числа заменяющих стержней Сдам устраняем опоры (рис. 260, ву
и анализируем ее изменяемость. В этом случае части 2 и 3 присоединены к части /
только при помощи шарнира, т. е. изменяемо. Для неизменяемости недостает двух
стержней, показанных пунктиром. Следовательно, Сзам = 2. Степень внешней
неопределимости по A4.3) «1^ 11 — 3 — 2=6. Степень внутренней неопределимости по A4.4)
«2 = 9 — 6 = 3.
Числа «1 = 6 и «2 ^ 3 показывают, что в заданной системе при обращении ее в
статически определимую можно отбросить не более шести связей с землей и не более трех
внутренних связей.
Если систему расчленить иначе (рис. 260, г), то часть, которая ранее принималась
за третий диск, будем считать стержнем. Тогда Д = 2, С = I, Ш = 1, Я = 1, Со = 9;.
п=1-1-Ь2»1 + 3. 1 + 9 — 3.2=9.
Решение по формуле A4-2)
Землю включаем в число дисков (рис. 260, д). Число замкнутых контуров К = 5,.
число шарниров iZ/= 6, « = 3.5^6 = 9. Числа пх и п^ определяются, как в
решении по формуле A4.1).
§ 123. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ
НА НЕПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ
Везде далее, где не сделано специальных оговорок, будем рассматривать
только линейно деформируемые системы. Это значит, что в основном будет
рассмотрен так называемый «упругий» расчет.
Для систем, допускающих применение принципа независимости
действия сил, представим k-e уравнение A3.1) в таком виде:
^ft (X.. X,...., х„_р) = \х.+Д*х,+ .-- + А*х„-1-Д*р=0-
Заменяя далее
Д&х,=^fei^i > • • •' ^/tx^= ^fen ^п,
получим
fifel .'^l + fifea .'^2+.. •+6fen ^п + \р = 0,
где Sftm —• единичное перемещение в основной системе по направлению силы.
Xk от силы Хт = 1, а Aftp -^ перемещение в основной системе по
направлению Xft от нагрузки.
25&
Полагая в этом уравнении последовательно k= 1,2, .... п, получим
«столько уравнений, сколько необходимо для определения неизвестных Х^,
^2 ^п-
Ьп1^1 + &п2Х2+ •■•+^nnXn-i-^nP = ^-
A4.5)
Система уравнений A4.5) называется системой канонических уравнений
метода сил.
Запишем эту систему в матричной форме
DX+Dp = 0, A4.6)
где
бц 6x2 .. . бщ
1) /)= II е&и 11=
^21 ^22 ... О,
— матрица коэффициентов канонических уравнений;
2) Х^1{Х:,Х,...Хп}[
— матрица-столбец (вектор) неизвестных;
3) /?р = |{Д,рД2р...Д„р}(
A4.7)
A4.8)
A4.9)
— матрица-столбец (вектор) грузовых перемещений.
Собственные перемещения б^х, 622, S„„ расположены на главной
диагонали матрицы перемещений.
Определим теперь коэффициенты и свободные члены системы
канонических уравнений A4.5). Прежде всего определим в общем виде
коэффициенты Sftm = ~v^- Л^^ этого применим общую формулу перемещений A1.38)
для систем из прямых стержней и стержней малой кривизны, которую
представим в таком виде:
Jftm Лт =
ж,.^^
'-?]■-" EJ
Разделив на Х^, будем иметь
■_ М
'^+2j-'^-^'^+7^^^^-^^-^'^-
^km
-У]
Ми
ds-\-
У]
Nm
У\
EJ ' У ' J EF
(Ми) (Mm) + (Nh) (Nm) +(Qh) (Qm),
- Q
GF
ds =
A4.10)
где Ми, A/'fe и Qft — изгибающие моменты, продольные и поперечные силы
от безразмерной силы Л^^ = 1 в основной системе, а Mm, ^т и Qm — они
же от безразмерной силы Х^ = 1-
Соответственно (Ми) (Nu) (Qfe-) и (Mm)(^m)(Qm) — эпюры изгибающих
моментов, продольных и поперечных сил в основной системе от тех же
сил Xft = 1 и Хт = 1.
По этой же формуле A4.10) определяются и собственные коэффициенты
вида 6ftft. Поскольку при определении 6^^ под интегралами будут квадраты
заменяющих сил, то собственное единичное перемещение положительно,
а побочное 6^^ может быть положительным, отрицательным и равным
нулю, т. е. 8ии > 0. ^кт = 0.
256
Перемещение А^р определяется по формуле перемещений A1.38) для
плоских систем:
v-2i
Mk
МОр
EJ
ds +
?J
Nk
N%
EF
ds +
У]
\^Qh
X
Q%
^-7^'^' = (^^) (^h) + W) (Nk) + (<?p) (Qu),
A4.11)
где Mp, Np viCfp — изгибающие моменты, продольные и поперечные силы,
от нагрузки, а {МЬ), (Np) и (Qp) — соответствующие эпюры от нее в
основной системе.
В тех случаях, когда в системе есть прямые стержни постоянного
сечения, вычисление интегралов A4.10) и A4.11) по этим стержням может быть
проведено по способу перемножения эпюр.
Вычисление б^^ и Akp можно провести и в матричной форме. Покажем,
как это сделать, учитывая для простоты только деформации изгиба.
Предположим, что ед^иничныеи грузовая эпюры в основной системе разбиты на t
участков. Тогда согласно A1.59) можем записать:
bkm = \\ Л1\ к M2k ... Mtk\\ ■A-\{MimM2m-' Mtm}\\
Aad =
kP = \\M[kM2k:. Mik\\-A.[{MipM2P.-- Mtp}l
A4.12)
A4.13)
где в зависимости от условий: Mlk по A1.55) или по A1.63), Mim и М1р
по A1.57) или по A1.65), Ai по A1.56) или по A1.64], А по A1.60). В
соответствии с этим матрицу коэффициентов канонических уравнений A4.6)
можно представить так:
£>=1|бьт||=/Й' .Ш =
Ai О О ... О ЯцМи
О Л, О ... о
Ми М21 ••
/И 12 М22 ■■
Mt\
М]пМ2п ... Mtn
п — строк
t—столбцов
О О О ... At
t—строк
t—столбцов
Mai Mi4
..Mm
.. М,„.
t—строк
п—столбцов
A4.14)
Аналогично записываем
Dp = M'-A-Afp=^
Mil Л121 ... Л?П
M'i2 М22 гг. Л1B
М\п М2п .... Mt
^i 0 0
0 Дз 0
0 0 0
... 0
... 0
.. At
Щр
М\р
t
Щр
A4.15)
Если расчет производится на несколько различных нагрузок раздельно,
то матрица-столбец Жр в A4.15) превращается в матрицу, имеющую
столько столбцов, сколько раздельных нагрузок.
Подставляя выражения A4.14) и A4.15) в канонические уравнения A4.6),
получим их в таком виде:
Ж -А-Ш-Х-^М' -А-т^^. A4.16)
Из сказанного следует, что для определения коэффициентов и
свободных членов канонических уравнений необходимо иметь аналитические
выражения заменяющих сил М, Л^ и Q по всем стержням основной си-
9 Зак. 763 257
стемы или на прямых стержнях постоянного сечения их эпюры от всех
неизвестных Х^ = 1 и от заданной нагрузки.
После того как система канонических уравнений составлена в
численном виде, она может быть решена относительно основных неизвестных
-^^1, -^^2.
Х^
§ 124. ЗАМЕНЯЮЩИЕ (ВНУТРЕННИЕ) СИЛЫ ОТ НАГРУЗКИ
В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
И ПОСТРОЕНИЕ ИХ ЭПЮР
В результате' решения системы канонических уравнений получим
значения основных неизвестных Х^, Х^, ..., Х„. После этого заменяющие силы
и реакции в заданной системе, определяемые по недеформированному
состоянию системы, и другие величины, допускающие применение принципа
независимости действия сил, могут быть найдены по следующему
выражению:
S=5iXi+S2X2-b...+SnX„+S»,,
A4.17)
где S — определяемая величина (заменяющая сила М, N, Q; реакция
опоры R; перемещение Д и т. д.) в заданной системе, 5^ — определяемая
величина в основной системе от .Х^ = 1 и Sp — определяемая величина в
основной системе от нагрузки.
Эпюры заменяющих сил и других величин также могут быть построены
на основе этого принципа по аналогичному выражению
E)=E,)Xi+(S2)X2+...+(SjX„+(S«)^
A4.18)
Где (S) — эпюра М, Q или Л^ в заданной системе от нагрузки, E^) — эпюра
Л^к> Qk или Nk в основной системе от Х^ = 1, (Sp) — эпюра Мр, Qp или
Np в основной системе от нагрузки.
Произведение E^)^^ будем называть исправленной эпюрой или просто
эпюрой от Xf^.
Можно, разумеется, эпюры заменяющих сил строить и непосредственно
в основной системе, не прибегая к сложению исправленных эпюр по A4.18).
Для этого надо рассмотреть основную систему под действием нагрузки и
найденных значений основных неизвестных Х/^.
Вектор Sp, например, вектор изгибающих моментов для построения
эпюры Мр в матричной форме записывается так:
MuMi^ ... Min
Л121 -*fz2 ••• ^2п
•
Хг
х^
х'„
+
Щр
Щр
Кр
A4.19)
Пример 28. Построить эпюру изгибающих моментов в раме (рис. 261, а) в
обычной и матричной форме. Система дважды статически неопределима. Основная система
приведена на рис. 261,6.
Канонические уравнения: ,
«ii^i + «12^:2 + AiP = 0;
«21^1 + 622X2 + А2Р = 0.
Все необходимьге для расчета и проверок эпюры даны на рис. 261, в, г, д, е.
258
1. Обычный расчет
а5 По формуле A1.45):
6u=-g^@-0 + 4.3.3+6.6) + -^-^^F.6 + 4.6.64-6-6) +
3 243
+ Т^ГГ(б-б + 4-4,5-4,5фЗ-3) =
6EJ
EJ •
2 3 144
@-0 + 4-3.3-f 6.6)+ -^г;гг F-6+4.6-6 + 6.6)= -;г7-1
6.2£У
6EJ
EJ
^12 =
^'= ~T2ir^°'^'*"'''^"^ + ^'^^~i7 F-6 + 4.4,5.6+6-3)
135
EJ
ки-
1о
+«
")f.
(~)
+м
г/^-,;
,Лг=?
^;
(мр
Рис. 261
A,D =
1Р = -^7^^@-6 + 4-1,5Р.6фЗР.6) +
3 54Р
+ -^^^(ЗР.6 + 4.3Р.4,5 + ЗР.З) =
&EJ
3
EJ *
@.3 + 4.1,5Р.4,5 + ЗР.6) —
65,25 Р
GEJ
(ЗР-б + 4-ЗР.б + ЗР.б)
EJ
Проверки: [см. A4.31) и A4.32)].
Сумма коэффициентов
«И+ «22 + 2ei2 = -^:7" B43+144—2-135)= ' '
EJ
EJ
{Ms) {Ms) = —— @-0 + 4-3-3 + 6-6) +
+
6.2£/
• F.6 + 4-3-3 + 0-0) +
3 117
+ -——@-0 + 41,5-1.5 + 3-3) =
6EJ
Сумма грузовых членов
1
\P+V= £У
E4P—65,25P)=-
EJ
11.25P
EJ
Ax
Рис. 262
259
ст' 3
Hf (^р) (iWs)=-^;^^@.3 + 4.1,5Р.1,5 + ЗР.О)-
3 11 25Р
-"^ГГ(ЗР-0 + 4.3Р.1,5 + ЗР.З) = ^7 .
&EJ EJ
б) По формуле A1.43):
6-6 2 6 6.6-6 , 3-3 / 2 „\ 243
,_,,_, 6-6 2 6 6.6-6 3-3 / 2 \
бп= и,)(Ж,) = ^---^+-^^ + 3.3-4,5 + —C+-3) =
^^,_. 6-6 2 6 6-3-6 144
£У
2 3 2£У "^ £У £У '
2 2£'У 2 £7 EJ '
,_ ,,_„, 3-ЗР 6 ЗР-3-4,5 54Р
3-ЗР 5 ЗЯ-3-6 65,25Р
А,Р= {М<,)(Мр)=
-2Р-^^"^>v"^'-- 2 1^-^^:^=- £7 •
Проверки:
._,._. 6-6 2 1 6-6 2 1 3-3 2 1 117
^ '^'' 2 3 2£У 2 £У EJ
Канонические уравнения в числах:
243Xi — 135 Хз + 54 Р = 0;
— 135 Xi + 144 Хг — 65,25 Р = 0.
Из них получаем: Xj = О • 0615942 Р, Х^ = 0,5108696 Р.
Эпюру моментов составим по A4.18):
(Жр) = (^i) Xi + (Жа) Хг + (Ж»,).
Эпюра представлена на рис. 262. Производим ее проверку по A4.33), применяя A1.45)
и считая на ригеле два участка:
(Жр) (Ж5) = -7ТГ7-@'° + 4-3-0''^48Я + 6-0,3696Р)+ i
3
+ -r-r—г F-0,3696Я—4-4,5.0,39675Р—3-1,1631Я) +
\>^ IhJ
3
+ -Г-ГГ7 ( —3-1,1631Р —4-1,50,4294Р+0-0,3043Я) +
+ т1г("-"'3043р-4-1,5-0,21195Р-3-0,1196Я)= ^'^^^^^ _ ^'^^^° ^ о.
ос-/ EJ EJ
То же, с применением A1.43):
,.л AС; \ 0,3696 Р-6 2 6 , 0,3696 р.3 / 2 1
1,1631 р.3 /1 2 ^Ч 1 1,1631 Р-3 /2 1 \ 1
2
0,3043 р-3 / 1 2 N 1 0,3043 Р-3
^г 3+ — О
^ _!__ 0,3043 Р-3 /Ao+_L3^-_L_
У 2£У 2 V 3 3 У £7
2 V 3 3
0,1196Р-3 ( 1 ^ 2 ^"\ 1 4,4352 Р 4,4350 Р
2
/1 2 „\ 1 4,4352 Р 4,4350 Р
■ ( 0 + 3 = —■ — —■ жО.
V 3 ^ 3 У £У EJ EJ
260
D^
hm II =
2. Расчет в матричной форме
Условимся для расчета в матричной форме считать изгибающие моменты
положительными, если они на эпюрах отложены внутри контура. Принимаем Jq ~ J. По
формуле A4.14):
—6
О
О
О
1
0,5
О
О —6
О О
6EJ
О
О
О
О
2 1
1 2
О
О
О
О
GEJ
О
О
—6
6
О
О
0,5
1
—6 —3
6 6
о о
о о
о
0
0
3 1
QEJ 1
0
0
2 1 1
1 2 1
*
X
00
— 60
— 60
—66
— 66
— 36
1
~ EJ
— 6 -12
О О
-9
3
-9 -7,5 -6
X
0
—6
—6
—6
—6
— 3
0
0
0
6
6
6
EJ
243
— 135
-135
144
В другом виде
6u=№i) (vnO = || О- 6 II
6
6£У
1 0,5
0,5 1
— 6
— 6
+ 1
6EJ
— 6
2 1
1 2
-3 II .-
6£
0
6
J
+ 11
2 1
1 2
—6
-6 ИХ
_243_
EJ
е22 = (М2)(Ма)=и О -6
3
^ &EJ
6i2=(^i)(Al2)=ll -6 -6 11-
6EJ
1
0,5
0,5 1
6EJ
По формуле A4. 15): .
AiP = (M^)(Mi)= II -
+ II -6 -3 II
2 1
1 2
6
6EJ
2 1
1 2
6 —6
3
6
6
1 0,5
0,5 1
6
6
3
144
EJ
О
6
135
EJ
+
+ II 6 6 II X
-6 -3
" 6£/
Д2Р = (Ж^)(Ж2)=11 3 6 II
+ 116 6|,.-^|
' e,EJ
2 1
1 2
3
6EJ
1
1 0,5
0,5 1
—SP
— ЗР
0,5
О
—ЗРЦ
+
2 1
1 2
0,5 1
—ЗР
— ЗР
54Р
EJ '
— О
— ЗР
65,25Р
EJ
+
261
Проверки:
6ss = (^is)(^s)=l|0 -6|l-l|r
2 I
1 2
X
e,EJ
1 0,5
0,5 1
0
+ 11 0 3
6EJ
0
—6
2 I
1 2
+ 11-6 0 II X
1 0
3
117
EJ '
+
(iW»p) (AJs) = II 0 -3P II
3
— 3P —3P
e,EJ
&-2EJ
2 1
1 2
2 1
1 2
0
3
—3
0
11,25P
+
Эпюру моментов составим по равенству A4.19):
О О
(М) = МХ-\-М''р =
— 6 О
-6 3
— 6 6
— 3 6
0,0615942Р
0,5108696Р
EJ
+
+
О
О
о
-ЗР
-ЗР
0
—0,3696Р
-f 1,1631Р
— 0,3043Р
—0,И96Р
Здесь столбцы матриц получены по эпюрам моментов (Mi), (Жг) и (Мр) для точек а,
Ь, с, d и е.
Эпюра моментов показана на рис. 262.
Проверяем полученную эпюру:
(Мр) [Ms) = II О -6 II
+
X
6£/
—3
3
' ■ e,EJ
1 0,5 1
0,5 1 1
11
■||-
—0,3043Р
—0,1
196
Р
6£/
1 0,5
0,5 1
1,1631Р
—0,3043Р
4,4352Р
2 1
1 2
О
+
-0,3696Р
1,1631Р
+ II О 3 К.
-0,3696Р
+ 11-3 О II X
3
6£/
2 1
1 2
EJ
4,4350Р
EJ
§ 125. ОБ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЕ МЕТОДА СИЛ
Любая неизменяемая основная система, получаемая из заданной (см.
рис. 255), если вычисления проводятся точно, может быть принята для
расчета. Но не всякая основная система удобна для него, особенно при ручном
расчете или расчете с «малой механизацией» в виде настольных клавишных
машин.
Неизменяемость основной системы лишь необходимое, но недостаточное
качество для удобной основной системы. Поэтому важно выбрать из
основных систем ту, при которой расчет совершался бы проще.
Расчет состоит из следующих операций: составление выражений
внутренних сил от единичных неизвестных и нагрузки в основной системе или
построение их эпюр на прямых стержнях рам и балок, определение по этим
выражениям или по эпюрам коэффициентов и свободных членов
канонических уравнений, решение этих уравнений и составление выражений
внутренних сил или постр оение искомых эпюр в заданной системе.
262
Сложность составления выражений внутренних сил в основной системе
и построения их эпюр, а также построения искомых эпюр в заданной
системе зависит от выбранной основной системы. Сложность определения
коэффициентов и свободных членов определяется сложностью необходимых
для расчета выражений внутренних сил или сложностью их эпЮр в
основной системе. Наконец, сложность решения уравнений определяется числом
неизрестных и тем, являются ли уравнения полными или нет, т. е.
содержит ли каждое уравнение все неизвестные или же некоторые побочные
перемещения равны нулю. Число основных неизвестных изменить
невозможно, оно одинаково для всех основных систем, образованных из заданной.
Иногда возможно обратить в нуль побочные перемещения путем выбора
основной системы. А это может привести к значительным упрощениям при
решении уравнений. Простота аналитических выражений и эпюр
внутренних сил от единичных неизвестных и от нагрузки может быть также иногда
достигнута соответствующим выбором основной системы.
Из сказанного вытекают требования к удобной основной системе: 1) как
можно большее число побочных перемещений должно обращаться в нуль
и 2) выражения заменяющих сил от единичных неизвестных и от нагрузки
или их эпюры должны быть как можно проще.
Дать какие-либо определенные указания для выбора удобной основной
системы сложно, поскольку они зависят от конкретных особенностей
рассматриваемой статически неопределимой системы. Можно лишь сказать, что
отбрасывание внутренних связей вместо внешних при внешней
неопределимости системы дает возможность, вообще говоря, выбрать более удобную
систему. В целом вопрос о выборе наиболее удобной основной системы
решается на основе анализа возможных ее вариантов. Например, на рис. 263
дано сравнение двух вариантов основных систем. Вторые варианты удобнее
первых тем, что в них проще определяются заменяющие силы от нагрузки.
Эпюра изгибающих моментов в раме во втором варианте от нагрузки будет
только на одном пролете, и к тому же простая, а в первом варианте — в двух
пролетах и сложная. Во втором варианте основной системы фермы
продольные силы от нагрузки не равны нулю в трех стержнях, а в первом варианте
почти во всех стержнях.
Sanaattff
J-/I Bapaannt
Рис. 263
^-й Вадияап
263
§ 126. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПОПЕРЕЧНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ
Если в статически неопределимой системе, состоящей из прямых стержг
ней, эпюра изгибающих моментов известна (рис. 264, а), то эпюры Q я N
могут быть построены более просто, чем по общей формуле A4.18). Сначала
строится эпюра Q по эпюре М, а затем эпюра Л^ по эпюре Q.
Построение эпюры Q по эпюре М основано на равновесии вырезанного
из системы стержня или его части. При вырезании стержня надо приложить
к нему нагрузку, а по концам — неизвестные поперечные и продольные
силы Q и N и известные, взятые из эпюры моментов, изгибающие моменты М
(рис. 264, б). Обозначения внутренних сил будем сопровождать двумя
индексами того стержня, в котором они действуют. При этом первый индекс
должен указывать конец стержня, где действует эта внутренняя сила.
Из уравнения 1.М^ = О определяется Q„^„ после чего эпюра Q на
вырезанном стержне строится, как в балке, путем составления проекции левых
сил на ось, перпендикулярную стержню, или путем составления
аналитического выражения изгибающих моментов М и применения известной
дифференциальной зависимости Q = -г-. Согласно этой дифференциальной
зависимости поперечная сила равна тангенсу угла наклона касательной к эпюре
изгибающих моментов. Она положительна, если углу а < 90° наклона
касательной к эпюре моментов М, построенной со стороны растянутой зоны,
соответствует вращение от оси стержня по часовой стрелке.
Если на каком-либо стержне или участке длиной / эпюра изгибающих
моментов прямая, то, располагая этот участок горизонтально, при обычно
принятых правилах знаков получим
Q = -
Л1п
-м.
I
A4.20)
где
■''^прав
изгибающий момент на правом конце;
■лев — изгибающий момент на левом конце.
Построение эпюры Л^ по эпюре Q основано на вырезании из системы узлов
и рассмотрении их равновесия (рис. 264, в). К вырезанному узлу надо
приложить неизвестные продольные
силы Л^ и поперечные силы Q без
указания численных значений по
их положительному
направлению (так, чтобы поперечные
силы Q вращали узел по часовой
стрелке) с индексами,
обозначающими стержни, в которых
они действуют. Далее из
уравнений равновесия в виде суммы
проекций сил на две оси
неизвестные продольные силы
выражаются через известные силы Q
в общем виде, после чего
подставляются числовые значения Q
с соответствующим знаком.
Поскольку используются
уравнения равновесия в виде суммы
проекций сил, то изгибающие
моменты к вырезанному узлу
можно не прикладьшать.
Так как из проекций сил на
две оси можно найти только две
неизвестные силы Л^, то их
определение надо начинать с выре-
264
зания узла, в котором сходятся только два элемента. Затем следует
переходить последовательно к вырезанию таких узлов, где будет не более двух
неизвестных. Например, на рис. 264, а надо начать с вырезания узлов d
или е, а потом переходить к узлам а или с. По найденной силе N^^ в узле d
обычными приемами определяется Ы^. После этого из. вырезания узла о
могут быть найдены продольные силы N^x и Л^„^ и т. д,
§ 127. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ
НА ДЕЙСТВИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ И СМЕЩЕНИЕ ОПОР
Канонические уравнения при расчете на действие температуры имеют
вид
6м'^1+6й2^2+-.. + б*„Х„+Дм=0, A4.21)
где Aftj — перемещение в основной системе по направлению неизвестного
Xft от действия температуры.
Перемещение Д^^ определяется по выражению A1.38):
^M = 2jAffeAdS(+2jAlftAd9t, A4.22)
где AdS( и Дйф( находятся по формулам A1.20) и A1.21).
Для систем, состоящих из прямых стержней, при постбянной по длине
стержня температуре формула A4.22) может быть представлена в таком
виде:
где Q^^ и Q^-jn — соответственно площади эпюр продольных сил и
изгибающих моментов от Х^ = I;
ti и t2 — приращения температур соответственно на сжатой и
вытянутой стороне стержня (см. рис. 197, в);
р — коэффициент линейного температурного расширения.
Эпюра изгибающих моментов от действия температуры составляется по
выражению A4.18):
' (Ж() = (Жг)Х1+(Жг)Хз+... +(Ж„)Х„. A4.23)
При расчете на смещение опор условимся основную систему получать
только разрезанием (но не выбрасыванием) связей и введением шарниров.
Это даст возможность всегда записывать канонические уравнения при
смещении опор в таком виде:
6й1^1+6й2^2+... + бй„Х„ + Д4д = 0, A4.24)
где Дм — перемещение по направлению неизвестного Х^ от смещения тех
же опор в основной системе.
Это перемещение может быть определено или на основе чисто
геометрических соображений или по формуле
Дм=-2ййД™. A4-25)
где i?ft — реакции опор от Х^ = 1 в основной системе, а А^ — перемещения
опор по их направлениям в.заданной системе.
Чтобы уяснить применение формулы перемещений от смещения опор,
рассмотрим двухпролетную балку, у которой левая опора сместилась вниз
на величину А (рис. 265, а).
Основную систему первый раз получим, разрезав левую опорную связь
(рис. 265, б).
26S
Реакции от силы Xj = 1 показаны
на рисунке. По формуле A4.25)
Если же основную систему выбрать
путем разрезания средней опорной
связи (рис, 265, в), то Д^д =
Rr2 Щ = _ 1- Д = -|.
iXj=f Эпюра изгибающих моментов от
. смещения опор определяется выраже-
"■ нием
Гх,-Г grjt^ (Жд)=(Ж1)Х1+(ж2)Х2+...+{ж„)Х„.
*^'=if A4.26)
Рис. 265 Поскольку Дй( и Дм не зависят от
жесткости системы, а коэффициенты
канонических уравнений 5^^ обратно пропорциональны жесткостям, то
основные неизвестные Х^, Х^, ..., Хп от действия температуры И'смещения
опор увеличиваются с возрастанием жесткости системы.
§ 128. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
1. Перемещения от нагрузки
При выводе общей формулы перемещений было использовано
вспомогательное состояние той же системы с силой Р^ = 1 по направлению
искомого перемещения независимо от того, какова сама система. Следовательно,
такое вспомогательное состояние может быть использовано и для статически
неопределимых систем, и перемещение может быть определено по формуле
Однако это неудобно, так как статически неопределимую систему
(рис. 266) пришлось бы рассчитывать дважды: на нагрузку — для построения
эпюры Мр (рис. 266, а) и на силу Р* = 1 — Для построения эпюры М^
(рис. 266, б).
Это неудобство может быть устранено на основе следующих простых
рассуждений: деформации заданной статически неопределимой системы от
нагрузки не изменятся, если ее обратим в любую статически определимую,
приложив к ней реакции исключенных связей. Но тогда мы имеем
возможность определять перемещения в этой новой статически определимой
системе, полученной из заданной. Значит, вспомогательное состояние с силон
Ph = 1 будет не в заданной системе, а в системе статически определимой,
для которой выражения и эпюра моментов М^ находятся просто
(рис. 266, в, г). Искомое перемещение равно:
Покажем еще, что можно поступать и иначе — выражения моментов от
нагрузки ^и их эпюру Мр получать в статически определимой системе, а от
единичной силы Р^= 1 -г в заданной статически неопределимой системе.
* Ограничимся для краткости изложения только одним слагаемым в формуле
перемещения.
266
Для этого рассмотрим работу нагрузки на перемещениях от силы Р^ = I,
приложенной к статически неопределимой системе:
l'■^'-^-'Z\
^^А \
М,
EJ
ds--
Чр-
(в)
Обратим теперь заданную систему в любую статически определимую
(рис. 267) и приложим к ней нагрузку, которая действовала на статически
неопределимую систему. От этой нагрузки получим эпюру Мр. Работа этой
нагрузки на прежних перемещениях не изменится, но ее выражение будет
иное:
Из равенств работ (в) и (г) и из других равенств (а) и (б) получаем
(г)
^*р
=21*^-7.1
М\
Мр
EJ
ds =
21
Ml
М^р
EJ
ds.
A4.27)
Отсюда следует правило: для определения перемещений в статически
неопределимых системах от нагрузки следует вспомогательную силу Рц = 1
прикладывать к любой статически определимой системе, которая может
быть получена из заданной системы, или вспомогательную силу Рд = 1
прикладывать к заданной статически неопределимой системе, а нагрузку —
к любой статически определимой, из нее полученной, а далее определять
перемещение по общей формуле перемещений обычным порядком.
Если системы допускают применение способа перемножения эпюр при
вычислении интегралов в A4.27) , то выражение A4.27) будет:
Дар = (Мр) (iWft)={Мр) {Ml) = (Ml,) (Mk)-
{
A4.27')
В ЭТОМ случае одна из эпюр от нагрузки или от силы Р^ = 1 при
определении перемещений от нагрузки может быть взята в любой статически
определимой системе, полученной из заданной, а другая— обязательно в заданной
статически неопределимой системе.
Так как составление выражений внутренних сил или их эпюр в
статически неопределимой системе от единичной силы Р^ = 1 иногда бывает
проще, чем от заданной на-
р грузки, то в тех случаях,
^/ когда это возможно, таким
упрощением надо
пользоваться.
Если перемещения
определяются по упругим
грузам, то упругие грузы
надо определять по вспо-
'Ш
Н)
у?т-
Рис, 266
Рис. 267
267
могательному состоянию (см. рис. 224, г) в любой статически определимой
системе, полученной из заданной.
Если перемещения вычисляются с учетом продольных и поперечных сил,
то можно провести аналогичные доказательства в более общем виде с
применением символов (L) согласно A1.41).
2. Перемещения от действия температуры и смещений опор
Перемещения от действия температуры и смещений опор статически
неопределимых систем могут быть расчленены на два слагаемых: перемещения
от основных неизвестных Xi, ..., Хп и перемещения от действия
температуры или смещения опор в статически определимой системе. Поэтому для
определения перемещений в статически неопределимых системах от действия
температуры или смещений опор силу Р^ = 1 надо приложить к любой
статически определимой системе, полученной из системы заданной, а затем
перемещения такой статически определимой системы от основных неизвестных
сложить с перемещениями от действия температуры Д^ или смещений
опор А^:
A4.28)
гдеЛ1(ИЛ1д — изгибающие моменты от действия температуры и смещений
опор в статически неопределимой системе;
Д« и Ддд — перемещения от действия температуры и смещений опор
в статически определимой системе, к которой приложена
сила Pft = 1.
Перемещение Дй< определяется по формуле A4.22), а перемещение Ддд —
по формуле A4.25).
Для систем, допускающих «перемножение» эпюр,
Д« = (Ж*)(Ж)+Д^,; Д,д = (Л;д)(Ж)+\"д. A4.28')
§ 129. ПРОВЕРКИ РАСЧЕТА
Чтобы избежать погрешностей и ошибок при расчете, необходимо
проводить контроль всех операций расчета.
Проверки в процессе расчета. Основой правильного расчета является
правильный выбор основной, системы, правильное составление
аналитических выражений или правильное построение эпюр внутренних сил от
единичных неизвестных и нагрузки.
Поэтому прежде всего надо проверить основную систему и аналитические
выражения заменяющих (внутренних) сил или их эпюры. Затем надо
проверить коэффициенты и свободные члены канонических уравнений.
Допустим для краткости изложения, что расчет был произведен только
с учетом изгибающих моментов в формуле перемещений. Доказательства
будем проводить на основе перемножения эпюр (Мк) (Mm) = ^km,
подразумевая при этом заменяемый таким символом интеграл J Мь -pfds в тех
случаях, когда перемножение эпюр невозможно. Составим специальную эпюру
(Ms) из единичных эпюр и эпюры грузовой:
(М5)=(Ж1) + (Л?2) + ...+(Л?„)+(Ж^). A4.29)
Умножим ее на единичную эпюру (Ми) от Xf^ = 1:
^Sk = (^s) (Л1к) = [Ш1)+(Мг) + ... +(Мп)+{М%)] (Mk)-
268
Раскрывая почленно, получим
Ash = (^s)(^fe) = 6fti+Sft2^...+8ftn+V- <'4-30)
Значит, сумма коэффициентов и свободного члена ^-го кононического
уравнения должна быть равна результату «перемножения» такой
специальной эпюры (Ms) на эпюру (Mk) от Xj, = 1.
Если эта специальная эпюра не содержит эпюру от нагрузки, то
результат «перемножения» эпюр A4.30) не будет содержать члена Д^р. Сама
проверка носит название построчной. Недостаток такой проверки состоит в том,
что она основана на таких же операциях, что и получение проверяемых
коэффициентов и свободных членов (перемножение эпюр), а это значит, что
ошибку можно допустить и в самой проверке. Поэтому в случае неравенства
в A4.30) неизвестно, где допуш,ена ошибка — в прежних ли вычислениях
или при проверке. Наконец, если будет установлено, что ошибка допущена
в вычислениях бйщ» то неизвестно, в каком из них.
Если же умножить специальную эпюру (Ms), составленную только
из единичных эпюр, которую называют суммарно единичной эпюрой, саму
на себя, то будем иметь
6s S = (^^s) (^Jfs) = №i) + (Жг) + ... + (Жп)] K^i) + (Жг) +... + (Ж„)].
Раскрывая скобки, получим
hs = {^s){'^s)= Z^hm^ =26ftft+2Sftm. A4.31)
fe= 1, 2,..., n кфт
m= 1, 2...., n
Результат умножения суммарно единичной эпюры самой на себя равен
сумме всех коэффициентов канонических уравнений, или иначе — сумме
главных коэффициентов и удвоенной сумме побочных коэффициентов,
лежащих по одну сторону главной диагонали матрицы канонических
уравнений. Эта проверка называется универсальной. Ее недостатки такие же,
как и недостатки построчной проверки. Поскольку результат умножения
эпюры Ms самой на себя положителен, то из этой универсальной прорерки
вытекает важное свойство
2Sftft+2Sfeni>0.
Наконец, если умножить суммарно единичную эпюру на грузовую эпюру
Mb, то _
^sp = [Ms] {м%)= д^р+ ^^p+...+^^p, A4.32)
После проверки коэффициентов и свободных членов производится
решение канонических уравнений. Если операции при решении их не были
специально контролируемы, то необходимо найденные значения основных
неизвестных Xk подставить в исходные уравнения, которые при правильно-
найденных неизвестных должны обратиться в тождества.
Если расчет производился с учетом влияния на перемещения всех
внутренних сил М, N я О, то надо в выражения A4.30)—A4.32) дополнительно
ввести произведения эпюр Ns, Nj^, Np, Qs, Qu^Qp, аналогичные
произведениям эпюр Ms, Ми и Мр, которые там содержат£я, или вести
доказательство в общем виде с применением символов (Ls), (Lk) и (Lp) в соответствии
с формулой A1.41).
Проверки в конце расчета. В результате расчета по выражению A4,18)
будет получена эпюра изгибающих моментов
'' ' (Мр) = (Жх) Хг + (Жг) -^2 + ... + (Ж„) Х„+(Ж » ).
Если расчет был произведен с учетом влияния на перемещения только
•одних изгибающих моментов, то полученную эпюру надо проверить до по-
269
строения по ней эпюры поперечных сил. Умножим ее на какую-либо
единичную эпюру (Ми) от Xh = 1:
(Мр) (Жй) = [(Л?1)Х1 + (Ж.2)Х2+... +(Ж„) Xn+(M^)]{Mh)-
Раскрывая Скобки, будем иметь *
Мы получили левую часть ^-го канонического уравнения, которая должна
быть равна нулю. Значит и результат перемножения эпюр (Мр) и (Ж^) дол-'
жен быть равен нулю. Следовательно, тот же результат получим, умножая
эпюру (Мр) на суммарную единичную эпюру (Ms), содержащую все или
часть единичных эпюр. Поэтому
{Mp)('Mk) = (Mp)(Ms) = 0. A4.33)
Поскольку расчет статически неопределимой системы может быть
проведен при любой основной системе, то и изуюженные приемы проверки
применимы к любой основной системе. Все это приводит к правилу: результат
умножения эпюры (Мр), полученной при расчете на нагрузку, на любую
единичную (Мп) или суммарно единичную эпюру (Ms) в любой основной системе
должен быть равен нулю.
Если проверяемая эпюра (М) получена при расчете на действие
температуры или смещение опор, то она в отличие от эпюры, полученной при
действии нагрузки, не содержит слагаемого (МЬ). Поэтому результат
перемножения таких эпюр и эпюры (Ми), как и ранее, равен левой части
канонического уравнения без свободньгх членов, а результат перемножения их
и суммарно единичной эпюры (Ms) есть сумма левых частей канонических
уравнений без свободных членов. Из этого следует, что в результате
умножения эпюр изгибающих моментов, полученных из расчета системы на
действие температуры или смещения опор, на единичную эпюру изгибающих
моментов от Хи = i, в любой основной системе должен быть получен свободный
член Д ut "^" ^ ь.!^ ^"^^ канонического уравнения, относящегося к принятой
при проверке основной системе, с обратным знаком, а в результате
умножения их на суммарно единичную эпюру в любой основной системе — сумма всех
свободных членов ИД^^ или ЗД^д, относящихся к той же основной системе и
тоже с обратным знаком.
Если расчет был проведен с учетом влияния М, Q и Л^ на перемещения,.
то в изложенную выше проверку вводятся наравне с эпюрой М эпюры N и Q.
В заключение проводятся статические проверки полученных из расчета
эпюр М, Q и N, основанные на рассмотрении равновесия отсекаемых
частей системы.
Однако одна статическая проверка эпюр М, Q я N недостаточна, потому
что эпюрам, которая часто служит основой для построения эпюр Q и Л/,
получается по выражению A4.18) из эпюр, удовлетворяющих статическим
проверкам, при любых значениях основных неизвестных Х^.
§ 130. НЕКОТОРЫЕ УПРОЩЕНИЯ В МЕТОДЕ СИЛ
Здесь излагаются способы, которые в какой-то мере на каком-то этапе
упрощают ручной расчет или расчет с малой механизацией.
1. Статически неопределимая осиовиая система
Основная система в методе сил, как об этом было уже сказано, не
обязательно должна быть статически определимой, но она должна иметь меньшую
степень статической неопределимости, чем система заданная.
270
щ
L
Д ' А
S)
ч\
h
^777/
ч
6)
Xl
ггтт:
Рис. 268
V7?,
9777 /7777
Рис. 269
Статически определимая
система часто применяется потому, что
во многих случаях удачно
выбранная основная система удобна для
построения единичных и грузовых
эпюр, необходимых при расчете.
Однако статически
неопределимая основная система имеет и свои
достоинства, поскольку требует
составления и решения меньшего
числа канонических уравнений, чем статически определимая основная
система, что Для ручного расчета и расчета с малой механизацией
весьма существенно. Так, например, при расчете рамы (рис. 268, а)
применение основной статически определимой системы (рис. 268, б) дает пять
основных неизвестных, а применение статически неопределимой основной
системы (рис. 268, е) — всего два основных неизвестных.
Но статически неопределимая основная система требует
предварительного ее изучения, так как в ней не могут быть простыми средствами
построены необходимые для расчета эпюры. Тем не менее все же несомненно, что
если один раз предварительно изучить в общем виде на различные
воздействия некоторые статически неопределимые системы, часто входящие в
заданные системы, как, например, рамы на рис. 269, то они с успехом могут быть
включены в основную систему для упрощения расчета.
Поэтому, если из заданной системы может быть образована такая
основная статически неопределимая система, которая или предварительно хорошо
изучена, или результаты расчета которой приведены в справочниках, по
указаниям которых в ней могут быть просто построены единр[чные и
грузовая эпюры, то такой основной системой следует воспользоваться в целях
упрощения расчета заданной, системы.
2. Условно единичные эпюры
Единичными эпюрами были названы эпюры от Х^ = 1. Допустим теперь,
что каждая сила Х^ измеряется другой, специально выбранной единицей,
которая равна.Лй прежним обычным единицам. Все ранее приведенные
рассуждения сохраняются полностью. Не изменяется и вид каноиических
уравнений A4.6), но коэффициенты в них принимают другие значения. Теперь
«единичные» эпюры должны быть построены от Х^ = Л^, а сами основные
неизвестные Х^ представляют собой силы, измеренные в новых единицах.
Эти «единичные» эпюры назовем ус%овно единичными. Таким образом, при
271
построении единичных эпюр совершенно
необязательно принимать Xft = 1, а можно принимать
Xk = Ah, где Л ft — любое число. Операции с
такими условно единичными эпюрами такие же»
как и с единичными. Все формулы для
внутренних сил и их эпюр A4.17), A4.18) сохраняются
полностью.
Подтвердим это аналитическим
доказательством, для чего умножим единичные эпюры на
произвольные числа Л^, А^,..., An.
Обозначение полученных условно единичных
эпюр будем сопровождать штрихом. Их
произведения обозначим так:
Рис. 270
Подставляя в k-e канонические уравнения A4.5), получим
14.34>
Ki
X,
AhAi
+ К
X,
k1
AhA2
+ ...+S,
Akp
kn
Ah An
Ah
- = 0.
Приняв далее в качестве неизвестных Yi = XJAi и сократив на А^ ф О,
будем иметь
6;^i>'l+S^2>'2+...+ 6^f„+A№=0- A4.35).
Мы получили каноническое уравнение того же вида, что и ранее,
коэффициенты которого и свободные члены определяются так же, как и в обычном
каноническом уравнении, но только с неизвестными Yh, которые меньше
Xh соответственно в А^, Л2,...., Л„ раз. Условно единичные эпюры во
столько же раз больше единичных. Значит произведения {Mh) Xk и (Mk)Yk,
дающие исправленные эпюры, равны между собой. Поэтому и окончательная
эпюра может быть составлена по условно единичным эпюрам по выражению-
A4.18). Следовательно, при расчете можно пользоваться как единичными,
так и условно единичными эпюрами. При этом нет необходимости знать сами
числа А^ Ла, ...., Л„, а достаточно знать одну какую-либо ординату условна
единичной эпюры.
Условно единичные эпюры удобны, поскольку ордината, определяющая
эпюру, может быть задана любым удобным для вычисления числом.
Например, вместо единичной эпюры (рис. 270, а), для которой необходимо была
бы определять угловую ординату h sin а, можно использовать условна
единичную эпюру (рис. 279, б) с ординатой, равной 6.
Поскольку пользование условно единичными эпюрами такое же, как и
единичными, то в дальнейшем будем называть те и другие единичными.
Также не будем различать неизвестные Xh и Yh, и все основные неизвестные
будем одинаково обозначать Х^. Все коэффициенты и свободные члены
канонических уравнений будем обозначать б^^ и Д^р без штрихов.
Если при расчете в уравнениях A4.21) и A4.24) использованы условно
единичные эпюры, то для вычисления Д^, и Д^д по A4.22) и A4.25)
необходимо использовать величины Nk, Mh и Rh, соответствующие принятой
условно единичной эпюре.
Пример 29. Построить эпюру М в раме (рис. 271, а).
Основная система и единичные эпюры показаны на рис. 271, б, в, г; грузовая,
эпюра — на рис. 271, д, суммарно единичная — на рис. 271, е. Канонические
уравнения:
6iiA:i -I- Ь^^Х^ -\- Aip = О, Ь^^Х-, -\- Ь^^Х^ Н- Дар = 0.
272
Вычисляем коэффициенты перемножением эпюр. Учитываем только М-
,_.,__. 6.8 2 1 6-18 2 1
1 , 12-4 2 „ 1
+ 12.8-12 —12 -
^ 2EJ 2 3 EJ
,_,,_, 8.18 ,„ 1
6.8 2
2£У
18-
,_.,_,/ 8-18 2 I \
6. = (Ж.)(Ж..)=(-^-18-^)
1464
EJ '
1
2£i
864
EJ '
288
£У ■
Проводим построчные проверки, умножая эпюру (М^) на эпюры (М^) и (М^У-
ix)=
+
-6u+6i2— -
6-18 2
2 3 '«
Gifs)№) =
8.1«
4-
6-»
2
1
EJ
= 621
r^
2
3
- +
+ 62
fi —
24
12
2
! —
1
1
2EJ "^
4 2
3
8-18
2
,n -
A2 —
'^ 2
12
2
3
1
1
EJ ~
0. I
2EJ
576
6) 1
2£У "^
1176
EJ '
" +
2EJ
EJ
X, = 30^09353311.
Рис. 271
/■
27a
Универсальная проверка:
8 24 2
[aIs) {Ms) =Su+822+2612= -—- — 24
2EJ
^[ 2 ^2V33/j2£/^2 3 EJ ^
4-12 2 1 1752
J- 12 = ■.
^ 2 3 £У EJ
Вычисляем грузовые члены: '
,_ V 2 1 64G
AlP=(Mf>)(M]) = —8-8q.3 -^•
2EJ EJ
/ 0 4 /— X 2 „ 1 192G
Канонические уравнения с численными коэффициентами:
1 464 Хг — 288 Х^ + 64? = 0;
—288 Xi + 864 ^2 + 192G = 0.
Отсюда получаем: Xi = —0,09353?, Х^ = —0,2534i7.
Исправленные эпюры показаны на рис. 271, ж, а результативная — на рис. 271, э.
Производим проверку перемножением результативной эпюры и суммарно
единичной (AIs): ,
,— . 1/2 8- 5,1224G 2 \
1
2EJ
[^^(-Т»-ЬТ-)+'^^(т-Т-)]-
1 1,6836G-6 2 1 1.1224?-4 2 92,083? 92,037?
— . — jg—— J 2 ^ — ■ Л^ 0.
£/ 2 3 £У 2 3 £У EJ
Эпюра на левом ригеле при перемножении считалась составленной из параболи-
ческого сегмента снизу с наибольшей ординатой -„- = —н— = 8? и треугольника
сверху, а на правом ригеле — из двух треугольников (сверху с ординатой 3,4388?
и снизу с ординатой 1,1224?).
3. Присоединение к заданной нагрузке любых сил
по направлению основных неизвестных
Покажем, что при расчете статически неопределимых систем на
нагрузку можно к ней присоединить любые силы по направлению основных
неизвестных Xi, ..., Х„.
Положим, что основное неизвестное представлено в виде суммы двух
слагаемых
Xi^X^+AXi,
где Xi — любая величина, произвольно задаваемая;
AXi — неизвестное дополнение к ней.
При этом каноническое уравнение можем записать так:
6fti(X»+AXi) + 6ft2(X»+AX2) + ...+6ft„(X^+AX„)+AftP = 0.
Приведем его к такому виду:
hi ^^l + ^h2^^2+ • • ■ +6hn^^n + ^lp = 0, A4.36)
где
274
^kP = AkP+6hiX\+8h2Xl + ...+6knXl
Величина А|р есть перемещение по
направлению силы Xf^ от нагрузки и произвольно
задаваемых сил по направлению основных
неизвестных Х.1, ..., An.
Вообще говоря, задаваемые силы Х\, ...., Хп ^^
могут быть произвольными, но их значения
следует выбирать такими, которые упрощают расчет.
Если будем задавать значения Х?, ..., Хп, близкие
к ожидаемым значениям Х^, ...Хп, то дополнения
AXi, АХ2...,;АХ„ будут величинами малыми и
могут быть вычислены по уравнениям A4.36) с мень-
шер точностью, чем это требовалось бы при
вычислении полных неизвестных Xi, .... Х„. В этом
состоит одно из упрощений расчета.
Кроме того, иногда грузовые эпюры от нагрузки
и присоединенных к ней сил Х?, ..., Хп могут быть
проще, чем от одной нагрузки. Например, на
рис. 272 грузовая эпюра с присоединением к
нагрузке силы Xi = ~ проще,чем без нее.
Возможность присоединения к нагрузке сил по
направлению неизвестных Х^ , Х^ вытекает еще
из следующих рассуждений. Силы Х^, ..., Х„
в основной системе есть внешние силы, как и нагрузка.
представить в виде двух составляющих — известных Xl,
i I ♦ i f^i
'77JZ
(t^l)
le
7Ж'
If
7T7
2
Рис. 272
Их всегда можно
Х^ и
неизвестных дополнений AXi,
к нагрузке.
АХ„. Известные силы XJ ,..., Хп следует отнести
4. Уничтожение побочных перемещений
1) Преобразование системы введением жест-
кихконсолей
Идея преобразования состоит в замене заданной системы статически
эквивалентной, из которой потом образуется основная система. Замена
заданной системы эквивалентной основана на преобразовании системы
введением в нее абсолютно жестких консолей.
Например, в раме (рис. 273, а) можно разрезать ригель и к каждой
образовавшейся части присоединить жесткий стержень любой формы, а затем
эти жесткие консоли соединить неизменяемо между собой хотя бы тремя
стержнями, не пересекающимися в одной точке (рис. 273, б). Разрезая затем
три стержня, которыми соединены жесткие консоли, получим основнук>
систему (рис. 273, в).
Можно поступить и иначе, а именно: отбросить левую опору и
присоединить к левому концу жесткую консоль, конец которой заделать в
некоторой точке С (рис. 273, г).
Статический смысл введения жестких консолей состоит в том, что
неизвестные внутренние силы, действующие в месте разреза, или реакции опор
заменяются статически эквивалентными силами, приложенными для
наглядного представления к жестким консолям. Поскольку такая замена возможна
в различных вариантах, то надо эту возможность использовать для
уничтожения побочных перемещений в целях упрощения расчета.
Как это сделать, покажем на примере П-образной рамы, часто
встречающейся в практике (рис. 274, а). Преобразованная и основная системы
показаны на рис. 274, б, в. Единичные эпюры изображены на рис. 274, г, д, е..
Из условия симметрии получаем б^^ — 623 = 0. Для того чтобы б^з обра-
2
тить в нуль, надо положить с = о-/г. Итак, все побочные перемещения в ос-
275
'НОВНОЙ системе (см. рис. 274, в) равны нулю, и канонические уравнения
принимают вид:
Aii^i+Aip=0;
622^2+^2^ = 0;
^з+ДзР = 0.
Одну из ординат единичных эпюр можно назначать произвольно,
выбирая число, удобное для вычислений, независимо от размеров рамы, что и
сделано на рис. 274, г, д, е. Изложенный расчет такой рамы является самым
•простым.
2) Упругий центр
Обычно понятие упругого центра
применяется к системам, замкнутым или
защемленным двумя концами (рис. 275).
Рассмотрим последнюю (рис. 276, а).
Преобразованная система и основная,
полученная из нее, показаны на рис. 276, б, в.
В этой основной системе будет три
побочных перемещения: 612,613 и баз- При
переносе неизвестных в точку с мы располагаем
двумя ее координатами, соответствующим
выбором которых можно обратить в нуль
два побочных перемещения. Третье
побочное перемещение можно обратить в нуль,
выбирая направления сил Х^ и Xj^
приложенных в точке с. Таким образом, мы
располагаем тремя условиями. Которые и
используем для обращения в йуль побочных
перемещений.
Покажем, как это сделать. Запишем
выражения единичных изгибающих моментов
Б основной системе (см. рис. 276, в):
уЙх =—!(/; M2 = lz; Мз=1.
Потребуем сначала, чтобы б^з = баз = О-
^}
Wffl
12
Рис, 273
Рис. 274
'276
Учитывая, что N^
писать:
Qs = О, можем на-
-Jj^x ^^
EJ
ds
■-■^J
— Мз
ds =
l-dv = 0;
z-l-dv = 0.
ds
где dv = -^ называется упругим rpy-
Рис. 275
зом.
Упругий груз dv можно рассматривать как угол взаимного поворота
крайних сечений элемента ds при изгибе, приходящийся на единицу
изгибающего момента. ,
Эти условия определяют, что статические моменты упругих грузов
относительно случайных ортогональных осей гну должны быть равны нулю. А
это значит, что оси гиг/ проходят через центр тяжести упругих грузов,
который называется упругим центром.
При 6^3 = ^23 = О точка _с конца жесткой консоли при деформации
основной системы от момента УИз = 1 будет оставаться на месте. Это значит,
что независимо от направления неизвестных Xi и Х^ перемещения 613 и баз
будут равны нулю. Следовательно, канонические уравнения при
неизвестных Xi, Х2, и Хз, приложенных в упругом центре независимо от
направления Xi и Х^, принимают следующую форму:
hl^l + hi^i + ^lP^
= 0;
621 -^i -t- 622 -^2+ДгР = 0;
бзз-Х^з+ДзР = 0.
Третье каноническое уравнение стало не зависимым от Xi и Х^.
Теперь потребуем, чтобы и 6^2 = 0.
Это условие запишем без учета продольных и поперечных сил:
A4.37)
'=?Л
— /Из
= y^\-yzdo = 0.
Из него следует, что если в выражении 6,^2 = О пренебрегать влиянием
N hQ,to центробежный момент инерции упругих грузов относительно осей
г и у равен нулю. Значит, оси гиг/ должны быть главными осями инерции
упругих грузов.
Положение упругого центра и направление главных осей
определяются по известным формулам:
1о =
где 1о и т1о
а
2И"
Ло =
Si
do
tg2a =
2/|л
A4.38)
координаты упругого центра в произвольной системе
прямоугольных координат | и ti;
угол поворота главных осей;
4»
Ю
I (^'(^
?
Рис. 276
277
-+ т) ;
4
^
I I I. II I I 1/5 3)
5
f
Г
'
л
\ lU'i 1
Mill
' у.
г
.
й
Рис. 277
5 И ti — координаты
упругих грузов;
Jg, Jti и Jg^ — моменты инерции
упругих грузов
относительно осей
I и т).
Следует отметить, что
определение упругого центра не
представляет затруднений.
Значительно сложнее определять
направления главных осей
инерции. Часто время,
затрачиваемое на их определение, не
окупается получаемым
результатом Fi2 = 0). Поэтому, отметив
принципиальную возможность
обращения в нуль побочного
перемещения б^^, нельзя
рекомендовать использовать в
расчете главные оси инерции, если
нет каких-либо специальных
соображений, а следует
ограничиться переносом сил в
упругий центр.
Свойство главных осей
инерции, несомненно, надо
использовать в симметричных
системах, в которых положение
главных осей, поскольку одна иэ
них совпадает с осью
симметрии, известно. В этом случае и
при учете N н Q перемещение
6i2 будет равно нулю.
Уничтожение побочного
непутем изменения направления только
менее сложно, чем путем поворота осей
одного неизвестного, но это не
Пример 30. Построить эпюру изгибающих моментов (рис. 277, а).
По условию симметрии упругий центр лежит на оси симметрии. Вычисления
при определении упругих грузов и упругого центра относительно нижнего ригеля
сведены в табл. 2. I
Таблица 2
Обозначение
стержня
J—4
2—3
1—2
3—4
S
Равнодействующая
упругих грузов
8 _4
2EJ EJ
8
EJ
6
EJ
6
EJ
24
EJ
Я-"
0
6
3
3
Статический момент
упругих грузов
0
48
EJ
18
EJ
18
EJ
84
EJ
Положение упругого
центра
84 ^ .
278
Поскольку упругие грузы ^о = gj при постоянном- сечении стержня равномерно
распределены по длине, то их равнодействующие равны:
S
"=17-
Основная система, единичные и грузовая эпюры изображены на рис. 277, б в
е, д, е. Канонические уравнения:
6iiA-i + Д1Р = 0;
^22X2 + ДаР = 0;
^зз-'^з + Дз^ = О-
Их коэффициенты и свободные члены:
16-8-15 21.8-21
/15-2,5 2
6-4
622 = 0Й2)(Ж2) =
6зз = (Жз)(Жа): '■^■'
\р = (Мр) (Ж1) = --|-8. 8,7 -^ = ^: А,р = (М%) (Щ) = 0;
ДзР=(жМ(Жз) = -|-8.8, ^^^ 3£/
Канонические уравнения с числовыми коэффициентами:
64
4968Xi—448<7 = 0; 228^2+0=0; 24^8 — — ^ = 0.
О
, 56<7 8
Из Них получаем: -^1=Т5Г' -^2 = 0; Хз= — q.
Исправленные и окончательная эпюра даны на рис. 277, ж, в, и. Производим
проверку полученной эпюры умножением ее на эпюру (Мз):
, ч /—, 32<7-8.1 A92<7—329) 6.1 1929-8.1 2 1
§ 131. ИСХОДНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
И ПЛОЩАДЕЙ СЕЧЕНИЯ
Для составления канонических уравнений в численном виде
необходимо иметь исходные значения геометрических характеристик поперечных
сечений.
Прежде всего выясним, что надо знать при расчете на нагрузку.
Обозначим момент инерции и площадь какого-нибудь сечения через J^ и F^.
Моменты инерции и площади остальных сечений пусть будут заданы
соответствующими поправочными коэффициентами kt v. mi в таком виде:
Ji = kiJg и Fi = iriiFo. . ,
Коэффициенты канонических уравнений б^^ и свободные члены А^р
при учете деформаций от изгибающих моментов, продольных и поперечных
сил можем представить так:
1 / /о EJa \
д,р=-L-( л,р-ь V-^+CftP-|^).
279
где a^m.bftm.Chm. ^ hP, 1^hP « ChP—числа, независящие от размеров
сечений; Uffjn и Л;,я зависят только от коэффициентов ki; bf^^ и В^р — от /tzj;
Chm и С^Р —от [Л; и rrii.
Подставляя эти выражения в k-t каноническое уравнение A4.5),
получим
EJq \ Fo GFa J
+ —Г- MbP + ^bP —^+c^p—^ =0. F>
Величина £Jo в каноническом уравнении может быть сокращена.
Следовательно, эту величину нет необходимости знать при расчете.
Необходимо лишь знать коэффициенты ki, mi и [л^ и отношение —-.
Если расчет производится только с учетом деформаций от изгибающего
момента, то надо знать одни коэффициенты ki-
Из канонического уравнения (б) видно, что оно не изменяется только
при пропорциональном изменении J^ и F^. Если же расчет, проводить
с учетом только деформации от изгибающего момента, то любые изменения
Jq и Fq не будут менять его результатов.
Если расчет производится на действие температуры или смещение опор,
то величину EJg в канонических уравнениях (б) сократить уже нельзя, так
как свободные члены Ah, и А^д ее не содержат. Поэтому здесь кроме
величин, необходимых при расчете на нагрузку, надо еще знать численное
значение EJf,. При этом нетрудно понять, что с увеличением EJ^ будут
возрастать и основные неизвестные Х^..., Х„.
§ 132. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕЙ РАБОТЫ
Представим себе многопролетную балку на упругих опорах (рис. 278, а).
Для рассуждений применим основную систему в виде балки на двух
крайних опорах, для чего разрежем упругие опоры заданной системы
(рис. 278, б). Составим выражение потенциальной энергии деформации
системы и. Она является функцией нагрузки Р и основных неизвестных
^1 ^„, т. е.
U = t(Xx.X^ Х„,Р).
Составим частные производные от потенциально й энергии деформации
системы по основным неизвестным
дР ди д''
dXi ' дХ^ ' дХп
Согласно теореме Кастильяно эти частные производные равны
перемещениям по направлению сил Х^..., Х„ и, следовательно, в заданной
системе равны нулю:
'' =0.-^=0
dXi dX-i
dU
дХп
= 0. A4.39)
Раскрывая эти уравнения, придем к известному виду канонических
уравнений.
Уравнения A4.39) определяют условия максимума или минимума
потенциальной энергии и как функции многих переменных Xi J^^.
280
С)
■*!
7w>
W77-
Рис. 278
Рис. 279
шишшиш
4 1
E3U
Vttz
Рис. 280
Максимума быть не может, так как при безграничном увеличении
неизвестных Хь потенциальная энергия возрастает. Это значит, что
неизвестные Xi,...X„ принимают такие значения, при которых потенциальная
энергия деформации системы минимальна. Поскольку потенциальная
энергия деформации равна работе внешних сил, то и внешние силы,
деформируя систему, совершают наименьшую работу. В этом и состоит принцип
наименьшей работы.
Условие минимума потенциальной энергии деформации можно
установить и математически. Составим вторые частные производные
потенциальной энергии деформации по неизвестным Х^, ...Х^:
dXk
= 5йь>0.
A4.40)
А ЭТО и есть условие минимума функции.
Продолжим наши рассуждения. Из уравнения A4.40) получим
значения основных неизвестных Xi,...X„. Пусть все они отличны от нуля. Если
теперь положим Х„ = О, то обнаружим, что условия A4.39) не будут
выполнены и минимума потенциальной энергии нет. Новое значение
потенциальной энергии при X„ = О будет больше прежнего.
Рассмотрим теперь новую систему без связи п (рис. 279) с
потенциальной энергией деформации Ui — Д (Х^, Х^ Х^^-^, Р).
Новые условия для минимума
dUi
dXi
-О,...,
dUi
дХг,
- = 0.
Из этих условий найдем новые значения Х^, .... X„_i, которые
определят минимум потенциальной энергии U^, „„g для системы с (п—1)
неизвестными. Если к этой системе присоединим силу Х„ = О, то величина
потенциальной энергии Ui не изменится. Но ранее для системы с п неизвест-
281
ными было найдено, что праХ^ = О величина потенциальной энергии при
остальных силах Х^..., X„_i, не равных нулю, больше, чем f/мин-
Значит потенциальная энергия в системе с выключенной связью имеет
свой минимум, но этот минимум больше минимума потенциальной энергии
системы с полным числом связей, т. е.
f^l,MHH>f^MHH. A4.41)
Только в частном случае, когда в системе с полным числом связей
случайно окажется Х„ = О эти значения потенциальной энергии будут
равными.
Следовательно, при устранении связи внешние силы будут совершать
большую работу, чем ранее, т. е. система становится менее жесткой.
Значит наложение связи повышает жесткость системы, а устранение понижает,
если связь работающая, и не изменяет ее, если связь неработающая.
Это заключение соответствует ранее установленному положению о том,
что всякая работающая связь, препятствуя перемещениям по ее
направлению, уменьшает перемещения системы, т. е. повышает ее жесткость.
В заключение рассмотрим график изменения потенциальной энергии
деформации балки в зависимости от изменения момента М (рис. 280).
Минимум потенциальной энергии будет при М = — ~. Это следует из
уравнения
д^Й Щ1^ mi \ ди
— ' — - ' откуда —
~ £/ V 240 '*' 24 '*' 6 /'
дМ
1 ( qi^ , J^L
EJ [ 24
Значение М = —-^ соответствует случаю защемления конца балки.
§ 133. вывод КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ИЗ ТЕОРЕМЫ
ВЗАИМНОСТИ РАБОТ
Основную систему с нагрузкой и основными неизвестными Xi, ..., Х^,
к ней приложенными (рис. 281, а), назовем действительным состоянием.
Пунктиром на рисунке показано примерное очертание упругой линии
балки. Рассмотрим вспомогательное состояние с силой Х^= 1 (рис. 281, б).
На основании теоремы взаимности работ сил действительного и
вспомогательного состояний найдем
^i5ift-|-X2 62&-|-...+^nS„ft-|-Papj^ = ^b.O+1.0-l-5ft.o=0.
^ У ' Мы получили каноническое урав-
' ""о--, ''^'^"^^"Ь. нение из теоремы взаимности работ.
^^ '^ :ф" ^ ^t Каждое его слагаемое, если считать
V' Т , т ■ Tj^ силу Xh = 1 имеющей физическую
' '^^» ' '*' ^ размерность, есть работа действи-
4? _/-- i-^-^'—^nK тельной силы на перемещении
вспомогательного состояния. Такое
написание канонических уравнений не
имеет особых преимуществ. Оно
удобно лишь при расчете систем на
смещение опор, »
282
§ 134. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Решение канонических уравнений при помощи электронных цифровых
вычислительных машин (ЭЦВМ) не представляет каких-либо затруднений.
В настоящее время разработаны специальные стандартные программы для
решения уравнений со многими неи^естными. Но для расчетов вручную
или с применением так называемой «малой механизации» в виде
настольных клавишных машин решение канонических уравнений при трех и
более неизвестных представляет собой весьма трудоемкую часть расчета.
Поэтому важно знать приемы решения, которые кратчайшими путями ведут
к цели и которые исключали бы появление ошибок и накопление
погрешностей.
Эти же методы применимы и при ЭЦВМ.
1. Общая форма решения уравнений через коэффициенты влияния
Запишем канонические уравнения:
бц ^1+ ^П^2+ . • • + ^Ik Xh+ ■ ■ ■ -\- Sim -f m-Ь . • ■ + Si„ Х„-1- ^^p = 0;
^hl^l+^h2^2+ ■■■-\-^hkXk+ ■ .. +5hmXm+ ...-r5hn^n + \p — 0;
■A4.42)
Kl Xi-\-dn2^2-\ +Snb Xft-h b^nm Xm+ ... + 6„n Xn + &-^p = 0.
Решение системы канонических уравнений представим в таком виде:
^i = ?il^\P+ Pj2 Д2Р+ • •
^k=^Pkl^lP+Ph2^2P'^ •
. + РггЛгр+"
■ ■ + Hi^iP+.
■ + Pjfe AftP+ • • •;+ Pin Д/гР",
.. + РььДАР+.--Ч-Рй7гЛ„р;
A4.43)
■X„ = PuiA,p-|-p„2A2P+--- + PnjA,p-t-...-t-PnbAfep-| -t- РтгпА^р.
Коэффициенты вида p^fj носят название коэффициентов или чисел
влияния свободного члена Д^р = 1 на величину неизвестного Xi.
В матричной форме A4.43) записываем так:
X = BD^
р.
где
fi = l|Piftll =
PllPl2---Plb-- -PlTl
Р21 P22---P2fe-. -Ргтг
nn
A4.44)
— матрица коэффициентов влияния.
Покажем, что коэффициенты влияния pj^ могут рассматриваться как
реакции связей i от единичных смещений связей k в заданной системе. Для
этого сообщим заданной системе смещение по направлению связи k (по
направлению силы Xh), равное единице, и найдем все неизвестные Х.^, ... ,
Хп- Примем их в качестве нагрузки на основную систему. Очевидно, что
при такой нагрузке только Аьр= 1, а все остальные Д,р = 0. Тогда
из A4.43) получаем, что Xf = pj^.
Размерность коэффициентов р^^ вытекает из определения их как
сил, приходящихся на единицу смещений, т. е.
размерность Ргй =
размерность реакции связи i
размерность смещения связи k
283
Коэффициенты влияния обладают свойством взаимности р,-^ = p^j,
что уже известно из теоремы взаимности единичных реакций.
Докажем, что матрица коэффициентов влияния || pj^ Ц представляет
собой обратную матрицу коэффициентов канонических уравнений Ц б^^ ||
с противоположным знаком.
Для этого подставим выражение A4.44) в A4.6):
DBDp-\-Dp = 0.
После упрощений
DB=~E
Поскольку DD~^ = Е, то получаем
J3=—Д-Ч
A4.45)
A4 46)
Следовательно, определение матрицы коэффициентов влияния по
существу есть обращение матрицы коэффициентов канонических уравнений.
А это значит, что коэффициенты влияния зависят только от
коэффициентов канонических уравнений и не зависят от свободных их членов.
На основании выражения A4.46) можем записать правило проверки
коэффициентов влияния.
Произведение строки матрицы || 6jft Ц на одноименный столбец (или
одноименную строку) матрицы Ц р,-ь || равно отрицательной единице, а
произведение ее на любой разноименный столбец (или разноименную строку)
равно нулю. Так, например, умножая матрицу Ц 6;^ || на k-й столбец
матрицы II pih II , получим:
Su р1ь-Ь Si2p2b-b .. •-1-Sifepbb+...-h 6i„p„ft-ь О=0;
StiI Plb-t- Sn2 ^2k+ ]r^nkPhk+ ■•■ + Stiti Pnfe4- 0= 0.
I
A4.47)
Представление неизвестных в общем виде через коэффициенты влияния
и свободные члены особенно удобно, когда расчет статически
неопределимой системы ведется на несколько чередующихся нагрузок, что обычно и
имеет место на практике, или на подвижную нагрузку при построении
линий влияния. Если коэффициенты влияния определены, то расчет на
каждую новую нагрузку сводится к определению от нее А^р и вычислению
неизвестных Xj, .... Хп-
Коэффициенты р^ь определяются различными способами, которые
применяются и для непосредственного решения канонических уравнений.
2. Решение канонических уравнений и вычисление
коэффициентов влияния при помощи определителей
Любое неизвестное определяется по формуле
Xi = Di:D,
где
D =
Sll 6i2
621 S22
811
б2п
6fel Sft2 ... Sfti ... 6ft„
S71I Sn2
6ni ... 6„
Di=-
столбец i
Sii 612 ... Aip
621 622 . • • ^2P
Sfel 6ft2
A4.48)
Sin
S2n
Unl O712
^^kP
^nP
SfeTl
. . Kn
284
Можно доказать, что определитель D всегда больше нуля.
Формулу для pjft получим из выражения A4.48), если положим в нем1
AfeP = 1, все остальные А/р
Xi = Pib=
>ные Д/р
6ii 612 .
621 622 •
бы 6ft2 •
Snl S„2 •■
= и
. 0
.. 0
. 1 .
. 0 .
.. бщ
.. S2„
.- Sbn
.. Snra
D = (-l)(' + ''±^)
A4.49).
Определитель Dj^ получается из основного определителя D путем
исключения t-й строки и А-го столбца или k-a строки и t-ro столбца.
Способ определителей имеет следующие недостатки:
1) определители просто вычисляются только до третьего порядка, т. е,
при числе неизвестных не более трех;
2) результат в числителе и знаменателе A4.48) и A4.49) часто
получается как разность больших близких чисел, что требует точных вычислений,
иначе получается большая погрешность в результате.
Способ заслуживает внимания при малом числе неизвестных.
Пример 31. Решить систему канонических уравнений при помощи определителей"
4Л:1—2Л:2+2Хз— 6=0;
—2X1+6X2+2X3—16=0;
2X1+2X2+4X3—18 = 0.
Определители:
24;
£) =
D2=-
Неизвестные:
4—2 2
— 2 6 2
2 2 4
4 — 62
— 2 ^16 2
2 —18 4
= 24; Di = —
-6—22
— 16 6 2
— 18 2 4
= 48; Сз=-
=
4—2 — 6
—2 6 —16
2 2 —18
= 72.
Хг-^^-1. Х2-24-2, ^3=24=3-
Коэффициенты влияния по формуле A4.49) при D = 24:
6 2
2 4 5
24 6
— 2 6
2 2
Pii = (-l)(l + l + l)
Pl3 = (-])(>+3+l)
Р2з = (-1)B + 3+'> J^_
24
-21
2
Pi2 = (-l)('+2+'>
Р22 = (-1)B + 2 + ')
—2
2
24
4 2
2 4
24
Рзз = (-1)<3 + 3+1).
24
4 —2
— 2 6
2
J_
2
24
Проверку полученных коэффициентов производим по формуле A4.47), используя,
подчеркнутую там строку, при fe = 1, 2, 3:
-2(-f)+6(-y)+2-f+l = 0:
285.
3. Решение уравнений и вычисление коэффициентов влияния
по способу Гаусса
Способ Гаусса является способом последовательного, проводимого в
в определенном порядке, исключения неизвестных, позволяющим
совершать контрольные проверки в процессе решения.
Сначала из первого уравнения заданной системы Xj выражается через
все остальные неизвестные Х2,...Х„ и подставляется в оставшиеся
уравнения. Затем из первого уравнения новой системы Х^ выражается через все
остальные неизвестные и также подставляется в оставшиеся уравнения.
И так далее.
Затем из каждой группы полученных уравнений расссматриваются
только первые уравнения, что приводит к системе уравнений с треугольной
матрицей такого вида:
б^У ^2 + 6^V Хз-f ... + б'V Xft-Ь... + 6<2l> Хп+А^^^ = 0:
A)
BС1.)
6ir'^^i+6r*^^ft+"-+6<^»)X„-fAfJr'> = 0, (/"-!')
6'^-''^п+АЙГ'>=0. (п'"-Ь)
A4.50)
Решение этой системы уравнений ведется в обратном порядке — снизу
вверх: ^
где
■^П-1 = 0Ссп-1) П ^П ■
а(п-2)
0(а—1)(П-1)
Xi=ai (i+i) Xi+i-\-...-^atnXa-
6Г'> '
Xi = ai2 X2+a.i3 Хз-{-а14 X4+ ... -{-«щ Xn ■
Д1Р
«Ьт=-б^-*>:б11-Ч, при m = (fe+l), (A + 2),
..,n.
A4.51)
Получение уравнений с треугольной матрицей коэффициентов
называется прямым ходом, а решение этих уравнений — обратным ходом.
Уравнения A4.50) могут быть получены так же, как канонические
уравнения для различных основных систем.
Рассмотрим статически неопределимую систему и основную систему
для нее (рис. 282, а). Составим для нее первое каноническое уравнение
типа уравнения A) в A4.50).
Теперь введем связь по направлению Xi и полученную однажды
статически неопределимую систему примем в качестве основной (рис. 282, б).
Напишем для нее первое каноническое уравнение, которое начнется с Х^и
будет уравнением B<^>) в A4.50). Теперь становится ясным смысл верхнего
индекса в выражениях A4.50) и A4.51), который означает степень
статической неопределимости основной системы.
286
Таким образом, выявляется механический смысл коэффициентов б'гй*
как единичных перемещений по направлению силы Xj от остальных
неизвестных Хи в однажды статически неопределимой системе.
Написав уравнение {2<^>), введем в основную систему еще одну связь по
направлению силы Ха (рис. 282, в) и снова напишем только первое
уравнение, что даст нам третье уравнение C<^^) в A4.50). Верхний индекс у
номера уравнения и его коэ(|к|)ициентов показывает, что это уравнение
относится к дважды статически неопредримой основной системе. Его
коэффициенты 6^1' есть единичные перемещения по направлению силы Хд от
остальных неизвестных Х^ в такой основной системе, и так далее.
Последней основной системой будет (п—1) раз статически
неопределимая система, получаемая последовательным введением связей. Обобщая,,
можно сказать, что индекс (i—1) в обозначении jC-') уравнения A4.50)
означает степень статической неопределимости основной системы, а
коэффициенты б<^^'' уравнения г(«-'> — единичные перемещения по направлению-
силы Xi от остальных неизвестных ХьВэтой(/—1) раз статически
неопределимой основной системе.
Поскольку уравнения A4.50) могут быть интерпретированы как
канонические уравнения для различных основных систем, применяемых
одновременно, то их коэффициенты могут быть получены не только
арифметическим путем, но и на основе теории перемещений.
Рассмотрим этот второй способ, который попутно даст нам
дополнительные сведения. Поставим задачу определить коэффициенты уравнения B<^^),
т. е. коэффициенты вида б^.^'. По теореме о взаимности бгУ = ^L¥, где б^г'
есть единичное перемещение по направлению любой силы k от силы
Х^, приходящееся на единицу этой силы. Следовательно, нагрузкой на
основную систему будет сила Х^ = I (рис. 282, г), которая даст эпюру M^^^
Эта система однажды неопределима. В качестве основной для нее примем,
начальную статически опре-
делимую систему (рис. 282, а)
Каноническое уравнение
будет 6iiZ, + 6i2 = О, откуда
Следовательно, а^^ есть
реакция введенной связи
однажды неопределимой
основной системы от Хг = 1.
Аналогичное толкование
как реакции от сил Х^ = I
получат и остальные
коэффициенты вида а^^. После
этого можем сказать, что эпюра
МЬ^' будет состоять из двух
эпюр
(Ж'з')) = (M2) + ai2 (Жх). A4.52)
Для определения
перемещения ЬЦ^ вспомогательную
силу Хь = 1 прикладывмаем
к основной статически
определимой системе (рис. 282, д),
что определит эпюру М^.
Теперь найдем б^г'
**y = 6yb(^ft)[(^2)-t-«l2'№l)] =
= б2й-|-«12614. (а)
Рис. 282
287
Полученное выражение показывает, что уравнение B<'>) может быть
получено по следующей символической формуле:
2<'' = 2+ai2-l. A4.53)
Из этого выражения видно, что коэффициенты уравнения B<'>) могут
■быть получены исключением неизвестного Х^ из первых двух уравнений
A4.42).
Перейдём к определению коэффициентов 8^р.— 8Ц\ Нагрузкой на
основную систему для 6^1' будет сила Хд = 1 (рис. 282, е). От этой силы
получим эпюру (М^^'). Решение дважды неопределимой системы проведем
последовательно. Сначала используем основную систему без связи по
направлению Х^ (рис. 282, ж). Каноническое уравнение
б'аУ Z^-\- б<2 3=0, откуда Z2= —— = «23-
О22
На основе этого всякий коэффициент вида a2k есть реакция связи 2 от
■силы Xft = 1 в однажды статически неопределимой основной системе.
Получив силу Z2, которую теперь будем считать нагрузкой, перейдем
к основной статически определимой системе (рис. 282, з):
Sll Zi + 613 + «23 S12 = О, откуда Zj = — — 033 "Т = «13 +«23 «12.
Oil Oil
Значит, эпюра (Ж^^*) будет состоять из следующих эпюр:
(Ж<2') = (л7з) + («13 + агз «12) (^1>+ «23 Шг). A4.54)
Для определения бз1' создаем вспомогательное состояние,
прикладывая к статически определимой системе силу Х^ = 1 (рис. 282, д).
Перемещение 6^V выражается так:
б?2 = б^^з' = 1№з) + («1з + «2з«12)№1) + «2з (Жа)] (Ж^),
или
С=^3*+Кз + 3«12) ^А+3 V =
= Safe + «13 6i ft + а2э («12 Sift + 62b) = 63ft + «13 Sift + «23 S^ (^'. A4.55)
Следовательно, уравнение C'2>) может быть получено по символическому
выражению
3<2'=3 + ai3-]+a23-2'". A4.56)
Сопоставляя A4.53) и A4.56), получим символическое уравнение
4<3' = 4+ai4.1-f aj4-2<" + a3i-3<^* A4.57)
Закон образования таких символических выражений ясен.
Использование их позволяет составить табл. 3 для построения неполных
уравнений A4.50). Общая формула a^i имеет вид
g(A!-ll
'^ki==-~ZTr. ' A4.58)
В первой строке табл. 3 записывается первое из заданных уравнений
■<14.42) и определяется сумма коэффициентов этой строки, в которую можно
включить и свободные грузовые члены, записываемая в последний столбец
таблицы.
В строке 2 вычисляются коэффициенты а^^. Затем для получения
уравнения B<") в строке 3 согласно A4.53) записывается второе из заданных
уравнений A4.42) и также определяется сумма его коэффициентов, запи-
288
№
строк
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
№ уравнений
и
коэффициенты '
A)
'^ХЪ
B)
агг-(П
B<'>) ,
«ЗА
C)
ai3-(l)
«м-B*")
CB'>
Неизвестные
X,
бц
б21
6з1
■
X.
бь
Sl2
^22
«1,61.
fid)
2
Ьз:г
•
.V,
6l3
6l3
«19=
бгз
CtlsSls
fid)
°23
лA)
3
«23=—77,
fid)
2
<^33
«гзбхз
3 3
б'з^з'
• 1 'п
бщ
6ln
бгп
о^тг^щ
п
6A»
0'2П= ,,,
2
бзп
«isSm
"'гз п
6g;
Таблица 3
Свободные
члены Д,Р
Д,р
Д2Р
ai2^1P
дО)
Р
•
Дзр
"iS^IP
"'гз 2Р
ЛB)
^ЗР
Сумма
эффициентов S£
«1
«2
aiaSj
• 1
■
S3
ai3Si
•^23 *2
1
^ *3
сываемая в последний столбец таблицы. В строку 4, опять-таки согласно
A4.53), записывается первое уравнение из A4.42), умноженное на а^^.
В столбце Xi этой строки ставим точки, поскольку в уравнении B<'')
коэффициент у Xi равен нулю. Складывая по A4.53) строки 3 и 4 таблицы,
Б строке 5 получим уравнение B")).
В качестве контроля составляем сумму коэффициентов по строке 5 и
по строкам 3 и 4 в столбце — суммы коэффициентов s^.
Если эти суммы по горизонтали и вертикали совпадают, значит
вычисления проведены правильно. Можно продолжать вычисление.
После получения уравнения B")) в строке 6 таблицы вычисляются
коэффициенты agft. Затем в соответствии с A4.56) в строке 7 записываем
третье заданное уравнение, а в строке 8 — уравнение A), умноженное на а^^,
и в строке 9 — полученное уравнение B<*'), умноженное на agg- Как и
ранее, зная, что коэффициенты у Х^ и Xj в уравнении C*^') равны нулю,
ставим в столбцах Х^ и Хг точки. Складывая строки 7, 8 и 9, получим в
строке 10 коэффициенты уравнения C<^^). Затем производим контроль
суммы б по строке 10 и по строкам 7, 8, 9 столбца Sj. В строке И (если она
есть) вычисляем коэффициенты ag^. И так далее.
Таким образом, будет составлена система уравнений A4.50) или иначе —
выполнен прямой ход решения (сверху вниз). Вычисления неизвестных
производим по выражениям A4.51), совершая обратный ход (снизу вверх).
Если данная система пересчитывается на другую нагрузку, то
основная часть вычислений прямого хода сохраняется, но в столбцах Д^р и s
будут содержаться другие числа.
10 Зак. 763
289
в заключение укажем, что если система A4.42) содержит неполные
уравнения, то количество вычислений прямого и обратного хода зависит
от нумерации неизвестных.
Поскольку во второй строке таблицы вычисляются коэффициенты вида
Sib
а^ь = —-р, на которые потом умножаются соответствующие уравнения,
то удобно, когда эти коэффициенты равны нулю. А они будут равны нулю
тогда, когда побочные перемещения б^^ равны нулю. Отсюда вытекает
следующее правило: за первое неизвестное следует принять то неизвестное Х^
по предварительной нумерации неизвестных, для которого наибольш.ее
число побочных перемещений, содержащих индекс k, равно нулю [7].
Менее существенно второе правило, вытекающее из того, что
коэффициент а^а умножается на большее число множителей, чем ajg, а ajg в свою
очередь — на большее число множителей, ■ чем а^^ и т. д. За неизвестные
Лг, Хд...., Х„ следует принять те неизвестные, для которых 6i2 = S^g =
= б,, = 0.
Перенумерация неизвестных после составления канонических
уравнений не представляет большого труда, но может дать заметные упрощения
при решении уравнений по способу Гаусса. Подробности приведены в [7].
Суммы коэффициентов по строкам и столбцу не будут равны в строгом
смысле, если вычисления совершаются приближенно. Поскольку
погрешности могут накапливаться, то вычисления должны проводиться с
большой точностью.
Способ Гаусса может быть рекомендован при числе неизвестных до
10—15.
Рассмотрим теперь вычисление коэффициентов влияния р^^. Для этого
положим AftP = 1, а все остальные А^р = 0. Нетрудно убедиться, что
Д&~" = 1. а остальные нижележащие в A4.51) Д^р равны нулю (т.- е.
Д*р~^'= ^%7^^ = Д*^"' == •- = ^hP = 0). Тогда по A4.43)—A4.51)
составим табл. 4.
Таблица 4
^1+1 =
Xh+1 =
Из уравнения
, A4.43)
Plft
t
Иэ уравненна A4.51)
■ ««/+1> Р«+1)*Ч hajnPnft
"*(ft+l) P(ft+l)* + "*(ft+2) P(*+2)aH \-
6<*r"
Из табл. 4 получаем формулы для коэффициентов влияния:
РьЬ= ык-!) +"*(fe-l-l)P(A+l)ft + — + "'hnKh,
(последний член)
при этом а„„ = 0;
^ (последний член)
A4.59)
A4.60)
290
в этих формулах индексы k и i принимают следующие значения.
Первая операция: для формулы A4.59) й=п, полагая при этом а„„=0;
для формулы A4.60) k = п, i = п—1, i = п~2,..., i = 1.
Вторая операция: для формулы A4.59) k = (п —1); для формулы
A4.60) k = (м—1), i = (м—2), г = (п—3), .... i = 1.
Дальнейшие операции ясны. Коэффициенты а берутся из таблицы
прямого хода.
Пример 32. Решить систему уравнений, рассмотренную в примере 32:
4Л-1 — гХа + 2Хз — 6 = 0;
-2A^t + 6X2 + 2X3 — 16 = 0;
2X1 + 2X2 + 4X3 — 1^
0.
Составим табл. 5. Неполные уравнения записаны в строках 1, 5 н 10. Их решения
по A4.51):
Х,= -
^?Р
_18
5
^fl
=3;
АГ2=0'23 ^Я'
Ai
2Р
б<
и=-Т^
— 19
5
= 2;
Ai = a][a АГ2~1"а1з А^з"
MP
бц ■ ~ 2 ^ 2 ^ ~
= 1.
№ строки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
№ уравнения и
коэффициенты 0.
A)
«ift
B)
ai2-(l)
B<'>)
«aft
C)
ai3-(l)
«зз-B("')
CB))
а:,
4
•
—2
•
.'
2
' •
•
•
X,
—2
1
«13=2
+6
—1
5
•
2
•
•
Неизвестные
•.^3
+2
1
ахз— — 2
+2
1
3
3
«23— — 5
4
— 1
9
6
Та
Д*Р
—6
•
— 16
—3 •
— 19
-
— 18
+3
57
5
18
"~ 5
б л и. п а 5
5
—2
•
— 10
— 1
•
—ю
+1
33
5 .
_» •'' 12
"^ 5
10 <
291
Коэффициенты влияния находим по формулам A4.59) и A4.60):
первая операция: для формулы A4.59) k = Z, для формулы A4.60) & = 3, i = 2,1!
В ' __. ' ___ 5 .
Р" б<2) 6 6 •
J = «23 РЗЗ= "
О о о ' ' ' /' 5 ^ 2
Pi3 = ai2f523 4-ai3 [5зз = ~;: 7Г-^~1Г I ~]~~~:Г^
2 2 2 V 6 У 3
вторая операция: для формулы A4.59) k = 2, для формулы A4.60) fe = 2, » = 1:
1
Р22=-
13 1 I
-2
Pl2 = «12^22+ «13^32=-^ ( —— j —
I \ _)_ J_
2 2
1
третья операция: для формулы A4.59) fe = 1:
Pii= — Г—+°'i2P2i+ai3 Р;
'^-~ 4+2 ("sj
М j_ _2_
2 3
4. Способ последовательных приближений
Выразим из каждого уравнения A4.42) неизвестное с коэффициентом
fifcfc через остальные неизвестные в таком виде:
Д,
Xi=-
MP
-bci2-Х^г+си-^з + .-Ч-Сщ Хп',
Xh--
^kp
6feft
+Cfei Xx-\-Ch2 ^2+—+Cfc(ft^i) ''fft+1 + ...-bcfen Л'п;
a:„=
"^nP
67171
■fC7jlAi + C7i2-'!:2+••• + <;„ („_l, -"i^n-l.
где
Cfe7= ■
При вычислении значений неизвестного Х^ по i-му приближению будем
использовать последние, найденные из предыдущих приближений,
значения остальных неизвестных, т. е. проводить вычисления по такой схеме:
Х =■
MP
uu
4'-"+^i3^^-"+-+^in^r
Xi =
^kp
b^fti ^i +^и A + -. + C kik-1, П-1 +
, nP
"П71
^7г1^1+^7»2^2+- +C„,„_n^„-1.
A4.61)
где верхний индекс означает порядок приближения.
292
Для вычисления значения неизвестного Х^ по первому приближению
значения неизвестных Xl+i, Xl+i. ••-, Хп по начальному приближению
могут быть заданы произвольно, например, равными нулю.
Доказано, что для уравнений типа канонических уравнений метода сил
(и метода перемещений, см. главу 18) изложенный процесс приближения
всегда сходится.
Значения неизвестных по приближениям в начале процесса нет
необходимости определять точно, и выч^1сления можно выполнять на
логарифмической линейке. И только в конце следует перейти к более точным
вычислениям. Интересно отметить, что при сходящемся процессе
допущенная в вычислениях ошибка постепенно погасится и не отразится на
окончательном результате, но процесс приближения от ошибки несколько
затянется.
Пример 33. Решить систему уравнений по способу последовательных
приближений:
8Xi — Хз -Ь Хз — 18 = 0;
—Xi + 4Х, -f X, — 10 = 0;
■ 36 = 0.
По схеме A4.61):
)-— л:<з'-'>:
8 •
- ^ X, ,
' X^ л 2-
■ ^ о 8 8
Значения неизвестных по первому приближению при Х^ = О, Хд
X
. X,
'- 8
Х'2=-
xi
+
■+
10
4
[ ^^
^2
1
8
-f-
36
+
■ X
\
4
8Хз
г
х\-
1
— л
^\=—+-
J0_ J_ J£_i9 _
4 "^ 4 8 ~ 16 '
j__36_ _^ _18_ 1 49 491
'^8~8 8~8 16 ~ 128
И так далее. Значения неизвестных по третьему приближению: Xi = 2,013,,
Xj = 2,011, Xg = 3,996. Точные их значения; Xj = 2, Ха = 2, Хз = 4.
§ 135. ПОНЯТИЕ ОБ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЭПЮРАХ
Последовательное изменение основной системы для получения уравнений
обратного хода A4.50) позволяет иметь эпюру М^*~'' от Хй = 1 в основной k—1 раз
статически неопределимой системе, которая ортогональна ко всем эпюрам М^'~'' от
от Xi = 1, при t < fe, полученным в основных i — 1 раз статически неопределимых
системах. Это значит, что 2 { М'/ '* ds по всей системе, а если возможно «пере-
множение» эпюр, той произведение двух ортогональных эпюр ^М^'"~ М • (М^ *\
должно быть равно нулю.
Действительно, сила Х^ = 1, приложенная к основной k — 1 раз статически
неопределимой системе, не вызывает перемещений по направлению неизвестных с
меньшим индексом, поскольку в fe — 1 раз статически неопределимой системе введены
связи по их направлениям.
Сами ортогональные эпюры можно рассматривать как групповые эпюры в
статически определимой основной системе от силы Хй = 1 и всех реакций в лишних
связях fe — 1 раз статически неопределимой системы, вызванных ею.
,_ ._, м<^^-'>
Поскольку 2 1 М\' ' ds можно рассматривать как групповое перемещение
•' EJ
в статически определимой основной системе от сил, вызванных неизвестным Xfe = 1
по направлению сил, вызванных Xj = 1, в соответствующих fe — 1 и < — 1 раз стати-
293
чески неопределимых системах, то результат нетрудно предугадать. Он равен нулю,
поскольку составляющие группового перемещения, т. е. перемещения по направлению
каждой силы, вызванной силой Xt = I, равны нулю. Следовательно,
Групповые ортогональные эпюры могут быть получены из простых по следующей
схеме:
(Mi} = (Mi);
(ЖУ>) = Ш2)-Ьа12Ш1);
(Ж<з2') = (Жз) + ai3 (Ml) + «23 (ЖУ >).
'Или в общем виде:
(Ж5^*-")=(Жй) + а1й (Ж1) + а2й(ЖУ>) + ...-Ьа,^_„4 (Ж(*Г1^>) A4.62)
при fe = 1, 2, ..., п.
Коэффициенты а вычисляются по табл. 3 прямого хода решения уравнений по
способу Гаусса.
Примем теперь в качестве неизвестных не простые силы Х^, а групповые. Пусть
Yh — групповая сила fe-й группы сил, приложенной к основной статически
определимой системе и вызванной силой Х^. = i в fe -^ 1 раз статически неопределимой
основной системе. Тогда эпюру (Л1^ ') можно рассматривать как единичную эпюру
групповой силы Kft = 1. Перемещение, соответствующее групповой силе Kfe, будет
групповым перемещением, составленным из долей перемещений по направлению
прежних неизвестных Х], Х^, -.-■ Хп-
Ортогональность эпюр позволяет написать канонические уравнения в таком виде:
fi(l> Y 4- ЛО—n-
, С~'^У„-ЬД{.Г" = 0. A4.63)
Перемещения бц, б^|', ..., SjJ^j"" содержатся в таблице прямого хода, по которой
вычислялась коэффициенты ос. Если в этой же таблице заполнить и графу ДьР, то в
ней будем иметь все свободные члены Д,р, Д^'^l Дпр"' уравнен(ий A4,63).
Кроме того, поскольку групповые перемещения вида б*^' и Д^^' в статически
определимой основной системе равны простым перемещениям в fe — 1 раз статически
неопределимой основной системе, а последние могут быть определенытчерез
вспомогательное состояние в статически определимой системе, то можем написаь;
С-" = jf^lfti^l^ds; A4.64)
<p-"=2f^r"^rfs. A4.65)
Учитывая выражение моментов М'^~^^ по A4.62), получим:
С~ '* = 6ftft+«ift Sift-f aaft б'гУ-Ь... +а,^_ „^ 6{*Z?>)fe; A4.64')
Д&"'>=Дбр+ а1ьД,р-1- а2к4^^+... -1-«,ft_i)fe A(t?U . A4.65')
Решение уравнений A4.63) не представляет затруднений. Искомая эпюра Мр
в заданной системе будет:
(Mp)^(Mi) Yi+ (Ж<2") Y2-i-(Mf>) Уз +...+(W;^-^>) Yn -1-«). A4.66)
294
§ 136. ГРУППОВЫЕ НЕИЗВЕСТНЫЕ И ЭПЮРЫ
Частный вид групповых неизвестных и эпюр мы уже рассматривали в § 135.
Рассмотрим здесь этот вопрос в общем виде.
Произведем замену простых неизвестных Xi, .... Х„ новыми неизвестнымв Yj^
.... Yn посредством соотношений:
Xn = f\ni У1+Цп2У2 + — + ПпкУк + — +
A4.67>
где Yi — новые Неизвестные, f\i^ — некоторые произвольные коэффициенты, часть
которых может быть равна нулю.
Для возможности такой замены, т. е. чтобы старые и новые неизвестные были
взаимно определяемы, необходимо, чтобы определитель коэффициентов х\ не равнялся
нулю, т. е.
Ли тг •" Лш
D =
ЦкХ
Цпх
rlfe2"
f\n2-
■"Ппи
■ ПГ1П
ФО.
A4.68>
Поэтому ни один столбец определителя A4.68) и ни одна его строка не могут состоять
только из нулей. Следовательно, минимальное число т), не равных нулю, равно числу п
неизвестных.
Выясним теперь статический смысл новых неизвестных (рис. 283, а). Из выра-
жени51 A4.67) видно, что Kfe есть общий множитель группы сил, приложенных по
направлению всех сил X (рис. 283, б), который может быть принят за обобщенную силу
этой группы. Группа сил, приходящаяся на единицу обобщенной силы К^, показана
иа рис. 283, в. Эпюры от группы сил представляют собой групповые эпюры,
составленные из единичных эпюр от простых неизвестных. Эти групповые эпюры Mk
определяются выражениями:
№t)=T|ii-№i) + %i-(^2) + ...-bn7,i-№n);
(Ж2) = 1а12-(ЛГ1)-1-г122-(Л?а)-Ь--ЬЯп2-(Л1„);
A4.69)
(^I) = Tlift • (Ж1)+ri2fe • (^2)-Ь ...-1-ri„ft • (Ж J;
(М*п) = Л171 • (Ml) -f VQn ■ СлТг) + - -\-Цп,г- (Мп)-
Строки матрицы коэффициентов т| выражений A4.69) есть столбцы матрицы
коэффициентов Г) выражений A4.67). Составление групповых эпюр по выражениям
A4.69) может быть проведено независимо от преобразований A4.67) при условии, что
определитель коэффициентов A4.69) отличен от нуля.
Частным случаем таких групповых эпюр будут простые эпюры М.-^.
Если обозначим буквой б^^ обобщенное перемещение, соответствующее
обобщенной силе Yk от обобщенной силы Кщ. приходящееся на единицу последней (единичное
перемещение), а через Д^р — обобщенное перемещение, соответствующее обобщенной
силе Fft от нагрузки, то канонические уравнения можем записать в виде
6fei У1 + бл2 Кз-Ьб^з Ks + ... + 6ft„ К„-ЬД,р = 0.
(I'l.yO)
Правая часть канонических уравнений равна нулю, потому что обсСщенное
перемещение в заданной системе равно нулю, поскольку оно есть линейная комбинация
простых перемещений, а последние равны нулю.
Обобщенные перемещения определяются по обычным формулам:
EJ
ds = {Ml) Um);
ds= Шк) iMp).
295
Для краткости изложения интегралы с N к Q опущены. Однако в приведенных
выражениях внутренние силы единичных состояний определяются не от простых сил,
а от групповых.
Окончательные эпюры составляются по выражению A4.18). Например, эпюра
изгибающих моментов
(Л1р)=(жп Yi+mi) У2+... +{Жп) Уп+ш'р).
A4.71)
Итак, вместо простых неизвестных можно использовать групповые неизвестные,
выраженные обобщенными силами, а вместо простых эпюр — групповые. При этом
весь порядок расчета при простых неизвестных полностью сохраняется и здесь.
Иными словами, можно пользоваться в расчете групповыми единичными эпюрами,
составленными из простых единичных эпюр по выражению A4.69),- как обычными
единичными эпюрами. Однако неизвестными уже будут не обыкновенные, а обобщенные
силы.
Поскольку канонические уравнения A4.70) при групповых неизвестных (при труп"
новых эпюрах) не отличаются по форме от обычных канонических уравнений, то
простая замена одних неизвестных X на другие неизвестные не имела бы смысла. Такую
замену надо использовать для упрощения расчета.
Необходимо так составлять групповые эпюры, чтобы они обладали свойством
ортогональности по отношению ко всем остальным эпюрам или к возможно большей их
части. На рис. 284, г показана групповая эпюра (М*), равная разности двух эпюр
(Ml) и (Ма) и ортогональная к эпюре (Ms).
Вопрос о построении ортогональных эпюр аналитически решается на основе таких
рассуждений. Пределом возможных упрощений канонических уравнений будет
случай, когда все побочные перемещения обращаются в нуль. Тогда каждое уравнение
будет содержать только одно неизвестное. Для этого необходимо обратить в нуль,
АЛ, П (П — I)
с учетом взаимности коэффициентов, ^ побочных перемещении, что позволит
составить столько же уравнении для определения
п(п— I)
коэффициентов Tijfi..
Общее число коэффициентов ti равно п^. Следовательно, число т коэффициентов
т|, которые могут быть заданы произвольно, определяется выражением т = п^ —
п(п— \) п(п+ \)
— о = 2 ■ '-змым простым и удобным числом будет нуль. Поэтому
п(п+ \)
удобно все 2 коэффициентов положить равными нулю. Но это невозможно,
так как или определитель A4.68) обратит-
п (п — 1)
ся в нуль, или обращение в нуль „
побочных перемещений неосуществимо.
п (п — 1)
Обычно задают „
коэффициентов, расположенных ниже или выше глав-
7*^
Хп
а)
;Я7?,
'Ш-
—II—
—II—
S)
vrr
-щ
СМу)
'АУ,'
Ф
г)
296
=?*7
Рис. 283
?/>/f
W
(Ms)
—11—
13^
n
Рис. 284
Cm")
VX7.
ж^
ной диагонали матрицы A4.69), равными нулю, а все коэффициенты, лежащие на ней,
равными единице, т. е.
(Ж«) = Л1„ Ui) + Т12„(Жг) + ... + (ж„).
A4.72>
При этом ортогональные эпюры получаются такими же, как и из решения
канонических уравнений по способу Гаусса (см. § 134).
§ 137. УПРОЩЕНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ СИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ
Системы могут быть симметричными относительно одной оси
(рис. 285, а) относительно двух осей (рис. 285, б) и относительно многих
осей (рис. 285, в)
Основная система для упрощения расчета должна быть симметричной
или условно симметричной. Если заданная система симметрична
относительно одной оси, то и основная система должна быть симметричной
относительно нее (рис. 286, а). Если же заданная система симметрична
относительно двух осей, то и основная система, когда это возможно, должна быть
симметрична относительно этих двух осей (рис. 286, б), а когда
невозможно — симметрична относительно одной из них (рис. 286, в).
S)
—
—-
ф
1. Системы с одной осью симметрии
(способ парных неизвестны)
Рассмотрим некоторую симметричную основнук>
систему (рис. 287) с неизвестными Х^, ... Х^.
Симметрично расположенные (но не равные) силы, Х^ и
Хз представим состоящими из двух сил У^ и У^ при
^;
Li
Р ^
t ,
тттг
В)
А-^
'±
^tf
I
т——гч
В
it
i
»—
'С
I
*>-
4к
1г
Рис. 285
Рис. 286
297
условии, что ^1 = Ki + 1^2 и Хз = Yi—Y^, а силы Х^ и Х^ — из двху сил
Гз и Г„ причем Xj = Гз + У^ и' X, = Кз — Y,.
Примем группы сил Y^..., Y^ в качестве новых парных неизвестных.
Группы Yi и Уз симметричные, а группы У^и Y^ — кососимметричные.
Величины парных неизвестных У^..^ Y^ будем рассматривать как
обобщенные для них силы. Соответствующие им единичные обобщенные
перемещения 6^^ будут состоять из суммы или разности двух простых
перемещений по направлению каждой группы сил.
Канонические уравнения напишем для обобщенных сил. Поскольку
в заданной системе простые перемещения равны нулю, то и обобщенные
перемещения также будут равны нулю. Поэтому канонические уравнения
имеют обычный вид:
«11 5^1+612 Kj!+Sl3 Yb + ^U Г4-ЬА1Р = 0
б21 У 1 + ^2 ^2+б23 Уз + ^И Г4 + Д2Р=0
бз1 Yi + ^si Кг+бзз 1'з-Ьбз4 Yi + ^зp = 0
«41 1^14-642 F2+643 Кз-Ьб« К4+Д4р = 0.
(а)
Известно, что симметричная группа сил, действующая на
симметричную систему, не вызывает кососимметричных перемещений, и наоборот.
Это значит, что работа симметричной (кососимметричной) группы сил на
перемещениях от кососимметричной (симметричной) группы сил равна
нулю. Следовательно, и обобщенные перемещения от группы
симметричных (кососимметричных) сил, соответствующие обобщенной силе группы
кососимметричных (симметричных) сил, будут равны нулю. Поэтому
побочные перемещения б^а, ^и, ^2з и ^34 равны нулю, и канонические
уравнения упрощаются:
б11К1-Ьб1зКз-ьД,р=0;
622^2+624 Yi + Ar,p = 0
бз1К1 + бззКз+Дзр = 0
б42К2-Ьб44К4-ЬД4р = 0
A4.73)
Первое и третье уравнения содержат только обобщенные силы
симметричных групп парных неизвестных (симметричные неизвестные), а второе
и четвертое — обобщенные силы кососимметричных групп парных
неизвестных (кососимметричные неизвестные).
Иными словами, система канонических
уравнений (а) распалась на две независ-
мые системы.
Рис. 287
Рис. 288
298
и так будет для любой симметричной системы. Общее число основных
неизвестных сохраняется, но канонические уравнения при парных
неизвестных распадаются на две независимые системы; систему, содержающую-
симметричные неизвестные, и систему, содержащую кососимметричные
неизвестные.
А это большое упрощение. Решать две системы уравнений с меньшим
числом неизвестных в каждой значительно проще, чем решать одну систему
с полным числом неизвестных. Разумеется, не всегда канонические
уравнения будут распадаться на две системы с одинаковым числом неизвестных
даже в системах, имеющих четное число неизвестных. Но всегда одна
система будет соде1^жать симметричные неизвестные, а другая —
кососимметричные.
В парные неизвестные группируются реакции устраненных связей,
симметрично расположенные в основной системе. Если неизвестные
расположены на оси симметрии (рис. 288), то или они по существу являются уже-
парными (Xi, Х^ и Хз на рис. 288, а), или представляют собой
неизвестные, уже симметричные (Х^ на рис. 288, б), или кососимметричные,
которые не надо группировать.
Все рассуждения были прсйедены независимо от типа и величины
нагрузки. Это значит, что все выводы справедливы при любой нагрузке,
действующей на симметричную систему. Поскольку, однако, всякую нагрузку
можно представить как сумму двух нагрузок — симметричной и кососим-
метричной, то групповые члены от нагрузки можно записать так:
AftP = Alp + Afp, A4.74)-
где А^р — перемещение, соответствующее обобщенной силе Yf^ от
симметричной нагрузки, а Д^^ — то же, от кососимметричной.
Симметричная нагрузка в симметричных системах не вызывает косо-
симметричных перемещений, а кососимметричная нагрузка не вызывает
симметричны}^ перемещений. Значит, если У,^ есть симметричное
неизвестное, то А'^^р = 0, а если F^ кососимметричное неизвестное, то А^р = 0.
Если действующая нагрузка симметрична, то все А|^^ = О, а это
значит, что канонические уравнения, содержащие кососимметричные
неизвестные, не имеют свободных членов и все неизвестные равны нулю.
Следовательно, при симметричной нагрузке все кососимметричные неизвестные-
равны нулю. Такими же рассуждениями можно показать, что при
кососимметричной нагрузке все симметричные неизвестные равны нулю. Это
обстоятельство позволяет применять различные основные системы для расчета
на симметричную и кососиммегричную нагрузки.
Дальнейшее упрощение расчета симметричных систем может быть
получено, если в пределах ,каждой категории неизвестных использовать
различные упрощения, изложенные ранее, в частности ортогональные
групповые эпюры.
2. Системы с двумя осями симметрии
В основных системах с двумя осями симметрии неизвестные приходится
группироваггь в следующие группы (рис. 289): симметричные относительно
двух осей (рис. 289, а), симметричные относительно одной оси z и
кососимметричные относительно другой оси у (рис. 289, б) симметричные
относительно второй оси у и кососимметричные относительно первой оси z (рис. 289, в),
дсососимметричные относительно обеих осей (рис. 289, г).
СЬответственно такой группировке канонические уравнения распадутся на
четыре независимые системы, каждая из них будет содержать неизвестные
только одной из четырех категорий.
Если и нагрузку расчленить на такие же четыре категории, то кажда»
категория нагрузки будет вызывать неизвестные только своей категории.
299
Неизвестные остальных трех'категорий от такой нагрузки равны нулю.
Например, симметричная относительно двух осей нагрузка вызовет только
неизвестные первой группы.
Если в основной системе, симметричной только относительно одной оси,
■есть четыре неизвестных, симметрично расположенных относительно двух
осей симметрии заданной системы, то их группировка по рис. 289 часто
может привести к уничтожению некоторых побочных перемещений.
Пример 34. Построить эпюру изгибающих моментов в раме (рис. 290, а).
Основная система с парными неизвестными, единичными эпюрами от них и грузовой
эпюрой показана на рис. 290, б, в, г, д.
Канонические уравнения:
бпК,+Д,р^О;
Коэффициенты и свободные члены:
,_,,_-, /6-6 2 6
А,р^{МОр)(Ж,)-
ЗЯ-3 5
^22 = ^11 +
2 iEJ SEJ '
12.4-12 612
'^2Р = {Мр}{М2) =
ЗР.4-12
~~ EJ
EJ EJ '
ЗРЗ 5 ^
2 AEJ
1197
8£У
Канонические уравнения с численными ко
эффициентами:
36Fi
45
■Я = 0:
И97 „ „
612F2——г—Р = 0,
О
5 133
откуда Y,=—P, У.^-^Р,
I
М .и
♦
а,\
l-a-z >
\
\
!!z\
к 1 * II *
\
г) I
I
%t
к II A 1 I A
n
y. I
й^|
*-z
II II
Уг'1'
Рис. 289
Рис. 290
300
Эпюра изгибающих моментов изображена на рио. 290, е.
Проверяем ее путем умножения на единичные эпюры:
{Мр){М^)=^-^Р-
{Мр){М,) = ~-Р
iEJ
288
4£J
б 2
544
324
544
324
544
б
б
2 3
AEJ
2 6
= 0;
2 3
36Р-4 12
544 EJ
iEJ
= 0.
3 4EJ
288
544
б 2
4£У
§ 138. СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
При статическом методе построения линий влияния прежде всего
строятся линии влияния основных неизвестных Xj, ..., Х„, которые будем
называть далее основными л. в., поскольку через них могут быть выражены
линии влияния других величин.
Основные линии влияния получаются по уравнениям A4.43):
л. в. a:^ = P^^6ip + Pj^2<52P+-+^i„„p;
грузовые члены bkP есть функции положения груза Р = I, т. е.
аналитические выражения линий влияния перемещений б^р, или, по теореме
взаимности единичных перемещений, аналитические выражения
перемещений грузовой линии 6pft по направлению единичного подвижного груза от
единичных сил ХA = 1 в основной системе.
Эта же запись в матричной форме
Ри Pi2— Pi»
Р21 р22-" fen
л. в. X—BDp =
-'\р
'2Р
Кр
04.76)
Поскольку грузовые члены 6ip, 62р..., б„р есть функции положения
сруза, то и значения основных неизвестных по A4.76) будут также
функциями его положения. Это значит, что выражение A4.76) будет давать
уравнения линий влияния основных неизвестных.
Линии влияния внутренних сил М, Q и Л^ и других величин,
допускающих применение принципа независимости действия сил, выражаются через
основные влияния по общему выражению A4.17.) При этом надо иметь
в виду, что для заданного сечения величины Sj ..., S„ постоянные, а Х^ ...
..., Х„ и S** переменные. Это значит, что л. в. S получается сложением л. в.
Xi..., Xji, умноженных на коэффициенты Sj, и линии влияния той же
величины Sp в основной системе. Этр можно представить в общем виде
следующим символическим выражением':
л. в. 5=(л. в. л:1)^1-м;л. в. л:2)^2+-+(л. в. x„)l„-f л. в. s». A4.77)
в тех случаях, кся'да не требуется иметь уравнения линий влияния или
получение их затруднительно, можно при их построении использовать
матричную форму Dp по A4.15), устанавливая последовательно груз Р = 1
« местах, где вычисляются ординаты линий влияния. В этом случае матри-
301
ца М> в A4.15) будет состоять из стольких столбцов, в скольких точках
(в том числе и крайних) вычисляются ординаты линий влияния, как это
имеет место при расчете системы на отдельные независимые нагрузки.
Иными словами, при построении линий влияния основных неизвестных
как бы производится их определение раздельно на каждое положение
подвижного груза.
Если система симметрична, надо применить парные неизвестные.
Основными линиями влияния в таких случаях будут линии влияния парных
неизвестных. Выражение A4.77) сохраняет cвQЮ силу, только здесь Sh есть
соответствующая величина от единичных парных сил.
Пример 35. Построить линии влияния /И и Q в сечении рамы (рис. 291, а).
Основная система, единичные и грузовая эпюры показаны на рис. 291, б, в, г, д.
Канонические уравнения:
^11''^1+^12-^а + S1 р = 0;
Коэффициенты и свободные члены их:
,—ч,—, / 6.6 2 1
6п=и.)(Л1,) = (-^-6—+
«12 = (^)(^ = -f-
6-12 2
— 12 =
EJ I
6-12 1
2EJ J
2EJ
2
288
EJ
12
£^ '
б. = (Л^.)(Л..) = (^12-} 1-^J=^,
При грузе в первом пролете:
г"
8,р=.(М'р)(Жг)=-=^
8.рМ^"р)(Щ
гA2 —г)
•г) 6 1 B4 —г)
12 3 2EJ
6 1 B4 —г)
или
где
h(z) =
2 12 3 2£J
£/6ip=-fi(z): EJb^p^h(z),
гA2 —г)B4 —г) ■ , гA44 —г2)
Ь(г) =
24 . ^-^ / J44
Канонические уравнения с численными коэффициентами:
288^1 _ 12Xa-t-£/6 ,р = 0;
,—12X1 + 4X2+ £7б2р=0.
Уравнения линий влияния по A4.75) представим так:
л. в. Xx = Pii £/6jp-(-Cx2 ^-^^зр!
л. в ^^ = ^2lEJb^p-\-^22EJ8^p,
Коэффициенты влияния могут быть определены по A4.49):
288 —12
(а>
Pl2 = P21
P21 = (-l)'
12 4
= 1008; j?ii={ —1)<1 + ' + "
12
1008
1006
(_1)<2+2 + 1)
ЮОй
288
288
12
1008
Проверяем их по A4.47):
4 12
— 288 (—12) + 1=0,
1008 1008 '^ . 1008
Уравнения линий влияния при грузе в первом пролете:
4 12
1008
1008
(-12)-
288-4
100в
+ 1=0.
л. в
Xi=
Х.=
1008
12
1008
■/i(z)-
1008
288
1008
■ h (г);
■h (г).
(б>
302
По УСЛОВИЮ симметрии мостам сказать, что этими же уравнениями определяются
линии влияния и во втором пролете, надо только абсциссу г отсчитывать от правой
опоры.
По уравнениям (б) вычислены ординаты л. в. Х^ и Хг, а сами линии влияния
изображены на рис. 292, а, б. -л
Построим линию влияния вертикальной составляющей левой опорной реакции А.
По A4.77) имеем
л. в. Л=(л. в. Х1)Л1 + (л. в Xs) Л; + (л- в Лв) =
1 I 12—г
= (л. в. Xi) —+ (л. в. ^2)-^+ —^
Линия влияния А построена на ряс. 292, в.
Уравнения линии влияния изгибающего момента и поперечной силы в сечении *
по A4.77):
л. в. /И>. = (л. в. Xi)(—3)+
_1^
2
+ (Л. в. Х,)^+Л. в. М^;
Л. в. Сь=(л. в. Xi) 2 +
+ (л. в. Хг)— +
+ (л. в.) Qt
Линии влияния 1Л\\иЩ в
основной системе показаны на рис.
292, г, й в заданной системе — на
рис. 292. д.
0
i"'^
6м
\ 23
\12M
/7л77
-t
1ZM
-U I 8 1 I .л,
^\ 1^- сэ- са- tb
М-
ГЩЩ^,
9)
ли1
1-^-
mJlLl^
-i-
ел
"■^^ч^ш^^
|.<<Г^
to- ta
«a*- «a-
ЛО.Мк
П"Т7ТТ-гт-г^
г= «*•
CS^ VO vo ,1,1
лВЛк
I
■«a
«ад-
Рис. 291
Рис. 292
303
§ 139. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
Линии влияния по кинематическому методу в статически
неопределимых системах строятся на основе тех же идей, что и в системах статически
определимых. В системе устраняется связь, линия влияния реакции
которой определяется, а ее устранение компенсируется приложением искомой
реакции. Затем преобразованная система под действием груза Р = 1
исследуется по принципу возможных перемещений.
В статически определимых системах, которые после исключения связи
обращались в однократно изменяемые системы, возможные перемещения
не сопровождались деформациями системы.
В статически неопределимых системах, которые после исключения
связи остаются неизменяемыми, перемещения без деформации системы
невозможны. Поэтому возможными перемещениями в них могут быть лишь
перемещения, сопровождаемые деформацией системы. На них будут совершать
работу не только внешняя сила Р = 1 и реакции устраненной связи, но и
внутренние силы. В статически определимых системах перемещение при
устранении одной связи было единственным. В статически неопределимых
системах возможных перемещений, сопровождаемых деформацией системы,
может быть сколько угодно.
Однако для сохранения аналогии со статически определимыми системами
из большого разнообразия возможных перемещений будем рассматривать
только упругие перемещения от единичной реакции по направлению
устраненной связи.
Например, при построении линии влияния изгибающего момента в
заданном сечении рамы (рис. 293) введем в этом сечении шарнир и
компенсируем его введение неизвестными моментами Х^ (рис. 293, б). Уравнение
работ внешних и внутренних сил действительного состояния на
перемещениях от единичной реакции устраненной связи
Xi6u+1.6,
'РГ
2:j"«'lr*+2j«'l^* + 2j^«^|^
ds.
а>
где Мр, Np и Qp — внутренние силы в действительном состоянии
(рис. 293, а, 6) и Ml, N^ я Q^ — внутренние силы в единичном состоянии
(рис. 293, в).
Рис. 293
304
Правая часть выражения (а) определяет, согласно общей формуле
перемещений, взаимный угол поворота сечений левее и правее шарнира от
Р = 1, а он равен нулю. Значит и правая часть (а) равна нулю. В этом и
состоит особый смысл принятого нами перемещения — работа внутренних
сил на нем всегда равна нулю. Поэтому
XiSii+|.6pi=0. (б)
Равенство (б) можно получить проще из теоремы взаимности работ,
примененной к состояниям б и в на рис. 293, но тогда исчезла бы общность
изложения кинематического метода построения линий влияния в статически
определимых и неопределимых системах.
Из равенства (б) получаем
л. в. Ai = . A4.78^
Оц
Т. е. мы пришли к такому же выражению, что и для статически
определимых систем. Это значит, что эпюра вертикальных перемещений грузовой
линии от единичной силы по направлению исключенной связи определяет
форму линии влияния реакции этой устраненной связи. Для получения самой
линии влияния надо эпюру перемещений грузовой линии разделить на б^
и изменить знак на противоположный, как это делается для статически
определимых систем.
Изложенное правило, как и для статически определимых систем,
особенно эффективно при определении формы линии влияния, так как форма
эпюры перемещений грузовой линии во многих случаях может быть наглядно
представлена. Для построения линии влияния надо рассчитать статически
неопределенную систему со степенью статической неопределимости на
единицу ниже заданной на нагрузку от силы К.^ = 1, а затем построить эпюру
перемещений 6pi.
Если бы потребовалось построить еще какую-либо линию влияния,
например в том же сечении л. в. поперечной силы, то следует исключить
другую связь и использовать другую эпюру перемещений (рис. 293, г). Это
значит, что основная система, примененная ранее для построения л. в. М, не
может быть использована при построении л. в. Q. Это является недостатком
кинематического метода при построении большого числа различных линий
влияния. Поэтому кинематический метод построения л. в. следует
рассматривать преж^1е всего как метод, позволяющий образно представить форму
(модель) линий влияния. В этом смысле в целях контроля кинематический
метод незаменим.
Отмеченный недостаток кинематического метода при многократном
построении различных линий влияния, состоящий в том, что для каждой
линии влияния используется особая основная система, в которой
определяется bpi от Xj = I, может быть устранен следующим образом. Будем
изменять величину силы Xi на рис. 293, в. От такого изменения будет
изменяться числитель и знаменатель A4,78), а дробь сохранит постоянное
значение. Изменим величину Х^ до значения Х^ = Л, при котором
знаменатель A4.78) обратится в единицу.
- Тогда Xi = —бр1. Эпюру Spj (рис. 293, д) можно рассматривать как
эпюру перемещений от вынужденного смещения на единицу по направлению
устраненной связи. Значит эпюра вертикальных перемещений грузовой
линии в системе с устраненной связью- от вынужденного смешения, равного
единице по ее направлению, есть линия влияния реакции устраненной связи
с противоположным знаком.
Эпюра перемещений бр^ от Xi = Л, очевидно, не изменится, если после
перемещения системы шарнир замкнуть (рис. 293, е). После этого на системе
не будет внешних сил, а будет только вынужденное смещение заданной си-
305
стемы по направлению ранее устраненной связи Дф = I. И так будет при
вынужденном смещении по направлению любой связи в заданной системе.
Следовательно, общая часть расчета, связанная с получением
коэффициентов влияния P;h, может быть проведена при любой, одной для. всех линий
влияния, основной системе, получаемой из системы заданной. Но такая
общая основная система будет иметь на одно неизвестное больше, чем особая
основная система для каждой линии влияния.
Если система всего один раз статически неопределима, то устранение
любой связи обращает ее в систему статически определимую, н в этом
случае нет смысла использовать вынужденные перемещения в заданной
системе, поскольку разнообразие статически определимых систем не может
служить большим препятствием для построения эпюры бр^.
§ 140. РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ РАМ
При расчете сложных рам особенно важно уничтожение как можно
большего числа побочных перемещений. Наряду с ранее указанными приемами
уничтожения побочных перемещений посредством переноса неизвестных,
группировки эпюр, использования симметрии можно указать и некоторые
приемы выбора основных систем, способствующих их уничтожению. Прежде
всего необходимо стремиться к томи, чтобы основная система состояла из
как можно большего
количества отдельных
независимых частей, иначе
говоря, чтобы единичные
эпюры внутренних сил от
любого X = 1 имели
локальной характер, т. е. не
распространялись по всей
системе или большей ее части.
В таких случаях
отдельные единичные эпюры на
раме не будут перекрывать
друг друга, и некоторые
побочные перемещения ©бра-
тятся в нуль. Например, в
многопролетной
одноэтажной раме (рис. 294, а)
такая основная система
может быть получена
разрезанием ригелей (рис. 294, б)
.или введением шарниров
(рис. 294, в). Деформация
основной системы от
любого Х = 1 происходит в
пределах контура данного
пролета. Поэтому
перемещения будут иметь место
только в трех пролетах: в
пролете, где приложенная
сила Xh = 1, и в смежных
пролетах слева и справа от
него. В основной системе
(рис. 294, б) от Xi = 1
побочные перемещения
^
г^ ф, "W ^■
Риа 294
Xi
h'
Х?
Г
6i6.i равны нулю.
Рис. 295
О71. -.-
Затем следует
использовать перенос сил и груп-
306
пировку единичных эпюр, что обращает в нуль еще несколько побочных
перемещений. На рис. 294, г дополнительно обращаются в нуль
перемещения 641, баь бв1 и др.
Аналогично выбирается основная система при расчете однопролетной
многоэтажной рамы (рис. 295, а) и при расчете многопролетной
двухэтажной симметричной рамы (рис. 295, б). В симметричной раме необходимо
использовать парные неизвестные.
Не следует думать, что указанные основные системы являются наилуч-^
шими. Эти примеры показывают лишь приемы получения удобных основных,
систем.
§ 141. РАСЧЕТ РАМ НА НЕСКОЛЬКО ВРЕМЕННЫХ НАГРУЗОК
В практических расчетах рам, как правило, приходится производить
их расчет на несколько видов, или расположений, Ьременных нагрузок,
которые могут действовать на сооружение как одновременно, так и порознь.
При этом возникает вопрос о выборе неблагоприятного для прочности
материала их сочетания в каждом поперечном сечении рамы.
Если материал при расчетных нагрузках находится в упругой стадии
и эпюра нормальных напряжений по всему сечению прямолинейна, то
неблагоприятное сочетание нагрузок обычно определяется наибольшими
краевыми напряжениями. При этом если материал одинаково сопротивляется
растяжению и сжатию, — то наибольшим по абсолютной величине
краевым напряжением,, а если материал различно сопротивляется растяжению>
и сжатию, — то одним из наибольших по абсолютной величине краевых
напряжений, которое окажется менее благоприятным для прочности
материала.
Наиболее полно и точно вопрос о наибольших значениях краевых
напряжений может быть решен при помощи их линий влияния или линий влияния
ядровых моментов. Эти линии влия-ния есть линейные комбинации линий
влияния М VI N согласно формулам (рис. 296):
л. в. о^ ±
в. л. M|fP =
л. в. Л1^ДР =
л. в. N
л. в. М
F W
в. М — (л. в. Л') ei;
в. Л1+(л. в. Л')е2-
A4.79>
Однако такой путь является сложным. Часто ограничиваются расчетами
рамы на каждую расчетную временную нагрузку в отдельности и выбором
из них наибольших краевых напряжений, представляющих интерес.
Краевые напряжения определяются по выражениям:
+ <^paC4 = Oq-l-2(-f ар), — арасч=^<^9 + 2(—ар).
A4.80)
где о^ — алгебраическое значение напряжения от постоянной нагрузки;
-\-Ор — положительные напряжения от различных расчетных временных
нагрузок;
—Ор — отрицательные напряжения от этих же нагрузок.
Можно noctynHTb и иначе, а именно: построить
огибающие эпюры, ядровых моментов от расчетных
временных нагрузок. Для этого сначала надо построить эпюры
ядровых моментов по эпюрам М 'я N, пользуясь
выражениями A4.79):
(Af|f) = (Af) - {men {^Ml'^^) = (M) + (N)e2.
Затем следует построить огибающие эпюры ядровых
моментов по формулам Рис. 296
Зо7
где М^ДР — ядровый момент от постоянной нагрузки с присущим ему
знаком;
-|.Мядр — положительные ядровые моменты от различных расчетных
временных нагрузок; ч
—Д|ядр — отрицательные ядровые моменты от этих же нагрузок.
§ 142. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПО РАСЧЕТУ РАМ
Отдельные элементы рамных систем, как правило, работают на сжатие
или раст5Гжение с изгибом, т. е. находятся в условиях
продольно-поперечного изгиба. Как известно, внутренние силы, напряжения и перемещения
при продольно-поперечном изгибе в деформированном состоянии, при учете
влияния продольных сил, на изгибающие моменты, не пропорциональны
нагрузкам, если и продольная сила изменяется вместе с нагрузками. А это
как раз и имеет место при расчете статически неопределимых рам. При
сжатии с изгибом внутренние силы, напряжения и перемещения растут быстрее
нагрузок, а при растяжении с изгибом — медленнее нагрузок:
Поскольку продольные акимающие силы при определенных условиях
.существенно влияют на деформированное состояние системы, увеличивая
поперечные перемещения, то расчет рам при строгой постановке следовало
бы вести по деформированной схеме. Но такой расчет является сложным,
так как принцип независимбсти действия сил здесь уже не применим.
Уравнения перемещений A3.1) уже не могут быть развернуты в столь удобную
форму канонических уравнений A4.5).
Поэтому в целях упрощения расчета обыкновенно при расчете рам
влиянием продольных сил на поперечный изгиб пренебрегают и пользуются
обычным расчетом, как он был изложен, с применением принципа
независимости действия сил и вытекающими из него каноническими уравнениями
A4.5).
Следовательно, такой расчет не является точным и, как правило,
погрешность идет не в запас прочности, о чем необходимо помнить. Степень
точности такого расчета, по-видимому, зависит от того, насколько
продольные сжимающие силы в стержнях рамы отличаются от их критических
значений.
В целях упрощения расчета при определении перемещений
обыкновенно пренебрегают деформациями растяжения или сжатия и сдвига по
сравнению с деформациями от изгиба, т. е. пренебрегают силами /V и Q в общей
формуле перемещений. Часто, но не всегда, влияние этих сил при наличии
изгиба мало. В случаях, когда в формуле перемещений слагаемые с
продольными и поперечными силами дают величины, сопоставимые с слагаемым
изгибающих моментов, этими слагаемыми пренебрегать уже нельзя, и они
должны быть учтены. Например, в фермах с жесткими узлами и в затяжках
должны быть обязательно учтены продольные силы N.
ГЛАВА 15. РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
ПО МЕТОДУ СИЛ
§ 143. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Неразрезной балкой называется статически неопределимая сплошная
балка, имеющая более двух опор и, следовательно, перекрывающая не
менее двух пролетов (рис. 297). Если балка своими концами опирается на
шарнирные опоры, то она называется простой неразрезной (рис. 297, а);
если балка имеет консоли (рис. 297, 6) — консольно неразрезной и, наконец,
если балка имеет по концам защемления (рис. 297, в), — неразрезной балкой
с одним или двумя защемлениями.
Степень статической неопределимости может быть найдена по общим
правилам. Однако для неразрезных балок более удобна специальная формула
1 = Со«-3, A5.1)
где Сдц — число опог;ных связей (не опор).
Если балка имеет более одной неподвижной опоры, то при вертикальной
нагрузке и внешних сосредоточенных моментах, когда внутренние силы
определяются по недеформированному состоянию, горизонтальные реакции
неподвижных опор равны нулю. В таких случаях количество основных
неизвестных, отличных от нуля, равно:
я* = СцромН-/7 <1. A5.2)
где Сцром — количество промежуточных шарнирных опор (не связей), а /7 —
количество защемлений, неподвижных или подвижных, на
концах балки.
Формула A5.1) дает число неизвестных, отличных от нуля, при
вертикальной нагрузке и сосредоточенных моментах только в случае, если балка
имеет одну неподвижную шарнирную опору или одно неподвижное
защемление, а остальные опоры и второе защемление подвижные.
Если вводить в балку шарниры (рис. 298), то каждый шарнир уменьшает
степень неопределимости на единицу.
§ 144. ОСНОВНАЯ СИСТЕМА
Основную систему для неразрезной балки, показанной на рис. 299, а,
можно получить, устраняя все промежуточные опоры и принимая в
качестве основных неизвестных опорные реакции (рис. 299, б) или вводя
шарниры над опорами и принимая за основные неизвестные опорные
изгибающие моменты (рис. 299, в).
Условимся нумеровать пролеты заданной балки слева направо. Правую
опору каждого пролета и неизвестный опорный момент над ней будем обоз-
' начать буквами с индексами
(номерами) этого пролета. ^^
Нетрудно убедиться, что в J" ^ ^ J^ ^
первой основной системе любая г,
сила Xi = 1 вызывает переме- —п о в- о -гг—
щения по направлению всех gj/^ -^ ^ ,^ -^^
остальных неизвестных (рис. ^ g
299, г), а во второй- основной си- ^1 "^ "^ "Y ^
стеме любой момент Mi = I
деформирует только два смежных ''ис. 297
пролета по обе стороны от
опоры, где он приложен (рис. 299,5), > в—8 я о—п -^
и вызывает перемещения толь- *■' * т *- ^^
ко по направлению основных
неизвестных УИ{_1, /Mj и Mj+i,. Рис. 298
309
Следовательно, в первой осноеной системе каждое побочное
перемещение не равно нулю и канонические уравнения будут полными, а во второй
основной системе большое число побочных перемещений равно нулю и
канонические уравнения будут неполными. Поскольку вторая основная
система рациональнее первой, то она и будет рассматриваться в дальнейшем.
§ 145. УРАВНЕНИЕ ТРЕХ МОМЕНТОВ
Рассмотрим два смежных пролета, 1-й и (t + 1)-й основной системы
(рис. 300, а). Напишем i-e каноническое уравнение метода сил. Нетрудно
убедиться, что моменты Mi-2 и Мг+а не деформируют рассматриваемые
пролеты балки и, следовательно, не вызывают перемещений по направлению
момента Mi- Поэтому каноническое уравнение имеет вид
б,(,-_1,/И,_1+б,,УИ,+б,(,+ 1,УИ,+ 1+Д,р=0. A5.3)
Коэффициенты этого уравнения и свободный член представляют собой
взаимные углы поворота сечения по направлению действия опорного
момента УИь положительное направление которых совпадает с положительным
направлением этого момента.
Положим,'что балка имеет ступенчато переменное сечение с,постоянным
моментом инерции в каждом пролете.
При определении коэффициентов и свободных членов будем пренебрегать
в формуле перемещений поперечными силами. Необходимые для
определения коэффициентов и свободных членов эпюры моментов пострйены на
рис. 300, 6, в, г, д.
Коэффициенты находим, перемножая единичные эпюры:
6,(,_1) = (Ж.-1))(Ж^) = ^ —
h
3 EJi 6EJi
S,(,4-i) = (^'+i)(Afi) =
i+V
_ _ hi
h+l-^
EJi
"Теперь каноническое уравнение
принимает вид
h .. , I h h
M
GEJi
+
i —1 I
+ 1
<•+!
bEJ
i+l
л^/+1+Д,р = о.
i
1Л'^1 /л IЛМ: f \Ма
r-¥^^-#—^
Х
J,/
'И
л.-
г
«ё-
У777?
ч*г
^EJi^,
Wl
EJ
'+1
3£Ji "•" bEJ
'+1
7-< \ 1Д \ \7:<
-%
f'b=^:p^'*'*-'
лс
■X
--~-^
Рис. 299
310
Рис. 300
Умножая его на произвольное значение bEJf,, окончательно
получим
'^гЛ<._,+2(Я^ + ?.,.+ ,)М. + Я,+ ^Л1,+ ,+6£У„Д,р = 0, A5.4)
где X,-=/^-г — приведенная длина г-го пролета.
Каноническое уравнение A5.4) называется уравнением трех моментов,
поскольку оно связывает три последовательных неизвестных опорных
момента, у-
Найдем теперь свободный член.
Действие нагрузки. Перемножая грузовые эпюры с единичной эпюрой
{Ml) (рис. 300), получим
■ ^iP=h+^i+^ -ТЕГ'^ I Ej ' ^'^-^^
где (В; — площадь грузовой эпюры изгибающих момейтов в г-м пролете,
а (Вг+1 — в (t + 1)-м пролете; а к b — расстояния от центра
тяжести эпюр до левой и правой опор.
Иногда свободные члены уравнения трех моментов выражают через
условные опорные реакции в основной системе
МFг ^ Юга;
—:— = Ai и —;— = Bi.
Смещение опор или размещение их при возведении не на одной прямой.
Смещение опор в основной системе показано на рис. 300 е.
Из этого рисунка следует
Д/д=«^+.+Р,=-^Т -+ , • A5.6)
Уравнение трех моментов после преобразования свободного члена
принимает вид
Если балка имеет постоянное сечение, ,то следует принять Jo = J-
В этом случае приведенные длины пролетов равны заданным и уравнение
трех моментов запишется так:
<г/и,_1-1-2(г.+;;^,)Л1^+г,+1/и,^1+ '.
\ ^г 'i+i / \ '/ + 1 ^^ J
Значения некоторых величин, необходимых для расчета неразрезных
балок, приведены в табл. 6.
§ 146. ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕХ МОМЕНТОВ
Применение уравнения трех моментов зависит от условий на концах
балки.
Если балка имеет на концах шарнирные опоры, то в уравнении трех
моментов индекс i принимает последовательно значенця 1, 2, .,., т — 1, где
т — номер последнего пролета. При этом число уравнений достаточно для
311
!3
Таблица 6
Виды на-рузок
I
.=ГГ-;
i^MTTlT^
X
д Зпшра Q
Изгибающие моменты Л/
Поперечные силы Q
/И= — г :
2 2
м
'/4-
32
Мс
_££_(N-£)_
o-i-^
Qo =
P(l-c)
I
V2
Pc(l-c)
2
Y@4-c4-0 =
1
-@ + l+l-c)-
4B/-.)
Продолжение табл. ^
Виды нагрузок
Изгибающие моменты М
Поперечные силы Q
СО
^
г Зп/орий I
И
!ii^
/Ис-йг=-4^с;
Mc+dj
_ /И (/-С)
/И=— г—-—
6 6/
/И„ = 0
.^'/"=¥4"?"
^^//2 = -[?'?''■• .
9''
'"макс— ,— >
91/3
i , 128 ^
4
^6 2 '
9'
0
•3
Q/ZZ^^?''-
L; 96 ^
4
^' 3
/Иг = 0
йI = —
/Ис2
0J
2/ '
_M(l—cf-
21
24
ai^Y"'
a,^ = l- — {l-c)
b^ = l——-c^.
b. = ~(l-c)
EL
15
15
o^ ^' T T-
Щ^Сз
a)iPf fii определения всех основных неиз-"
вестных. Если балка имеет
консоли (рис. 301, а), то можно
сначала их отбросить, заменив
действие отброшенных консолей силой
и моментом (рис. 301, 6), а затем
составить уравнения трех моментов
для балки, шарнирно опертой по
концам.
Если балка имеет защемления
(рис. 301, в), то их надо мысленна
заменить дополнительными
бесконечно малыми пролетами,
эквивалентными защемлениям (рис. 301,г),
а затем также составить уравнения
трех моментов ддя балки,
шарнирно опертой по концам, начиная с
г = О до I = т.
Уравнение трех моментов и все следствия из него могут быть применены
также при расчете однопролетных статически неопределимых балок.
■is^rO
Рис. 30)
§ 147. ВЫРАЖЕНИЯ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА И ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛЫ
В ПРОЛЕТЕ БАЛКИ.
Каждый пролет нера^резной балки можно рассматривать как простук>
балку на двух опорах, нагруженную заданной на этом пролете нагрузкой
и опорными моментами, найденными из уравнений трех моментов.
Положительные направления опорных моментов показаны на рис. 302.
Изгибающий момент в любом сечении можно записать по формуле A4.19)
М^
= Mf'" +
Л4/_, Mi
-—(li-z)-\-—z.
A5.9)
где М'^^^ — момент в простой балке от заданной нагрузки.
Поперечную силу найдем, дифференцируя выражение изгибающего
момента
dz
■ = Q°^ +
Mi-M,._,
h
A5.10>
где B,'
,бал
Mild
поперечная сила от заданной нагрузки в простой балке.
Из выражения поперечных
сил легко найти реакции опор-
(рис. 303):
t-'2
t
■Ф
М;
~77Sajr
Mi.
-^Hi
^« = [Q/+ib=o-[Qj3=^i.. A5.11>
i dz
dz
I
4*1
Рис. 302
Рис. 303
314
Пример 36. Построить эпюру а)
■изгибающих моментов в
неразрезной балке (рис. 304, а). Отсекаем \
левую консоль, а защемление за- ^
меняем бесконечно малым пролетом
Ig -»О (рис. 304, б). Принимаем
Jo = J. Приведенные длины про- V
летов:
7^лУ/
/2М
■ Hi=-ZK}f-M
Я1 = /х='0 м; Хг--
8J
= 10 м.
'"'iT^^^^'^^L
0,SJ
Уравнения трех моментов:
+ 6J
(•
@2 а^
kO,SJ
+
и J
■)=»■
laztKH-tt
Эпюры изгибающих моментов в простой балке изображены на рис. 304, в.
Исходим: . ,
2 '^
1
©2--
<7Р
f,i = —@+10 + 2) = 4 м;
6-83
24
24
8 „ 64
= 128 кН-м2; 02 = -уг-8 —
7 56
Теперь можем написать уравнения трех моментов с численными коэффициентами
яри УИо = —2 кН • м: - . -
56
128——
, 96-6 , 15
-10-24-2A0-f 10)Mi-f 10уИ2+6\ —[f-+ 8.0,8
= 0;
10Mi-f2A0-[-0)M2+0+6|
8-0,8
- =0.
'Или
■отсюда получаем
40Mi-f 10M2+6E7.6-f74,67)-20 = 0;
10Ali-f20Al2 + 6 (85,33+0) = 0,
AJ2= —18,205 кН-м; УИх= —14,789 кН-м.
Ппгтпоение ЭПЮРЫ изгибающих моментов производим по формуле A4.18). Сначала
в каждом пролеТ''проводим пунктирную прямую, представляющую собой эпюру
нягибаюших моментов, от найденных опорных моментов (рис. 304, г), а затем к этой
прямой «Подвешиваем; эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки в этом
пролете, как в балке на двух опорах.
§ 148. МЕТОД МОМЕНТНЫХ ФОКУСОВ
Представим себе многопролетную неразрезную балку, загруженную во
всех или некоторых пролетах правее рассматриваемого (рис. зиь, а).
Рассечем балку на dz правее i-й опоры, и действие отброшенной правой
части на оставшуюся левую часть балки заменим поперечной силой ^(,-+1H
315
тис -—' 'VME
'Прабыи ipoKi/t;
Ь
М;
Щ 77777
Рис. 305
И изгибающим моментом Mi (рис. 305, 6). Изгибающие моменты на всех
левых пролетах вызывает только момент Mi, а поперечная сила Qc^+do
воспринимается крайней t-й опорой и изгиба не создает.
Эпюра изгибающих моментов в левых пролетах изображена на рис. uiuo, о.
В каждом левом пролете эпюра изгибающих моментов пересекает балку &
некоторой точке, отмеченной на рисунке звездочкой. Положение этих точек
не зависит от величины момента М;, а следовательно, не зависит и от
нагрузки любых пролетов правее г-го. Такие точки называются левыми момешп-
ными фокусами, поскольку в них изгибающие моменты равны нулю при за-
гружении всех или некоторых пролетов неразрезной балки правее
рассматриваемого. Аналогично определяются правые моментные фокусы
. при загружении всех или некоторых пролетов неразрезной балки левее
рассматриваемого.
Итак, каждый пролет неразрезной балки имеет два моментных фокуса —
левый и'правыйДрис. 305, в), положение которых не зависит от нагрузки,
а зависит лишь от размеров и жесткости балки. Левый моментный фокус
это точка, в которой изгибающий момент равен нулю, если нагрузка
расположена правее рассматриваемого пролета, а правый моментный фокус —
точка, в которой изгибающий момент равен нулю, если нагрузка
расположена левее рассматривашого пролета. В фокусах в таких случаях упругая
линия имеет точку перегиба. Отношения большего по абсолютной величине
опорного момента незагруженного пролета к меньшему, взятые с
противоположным знаком, называются фокусными отношениями.
Левое фокусное отношение
Mi
ki= -. A5.12)
Правое фокусное отношение
м,
м,_
kr
Mi
A5.13>
Фокусные отношения позволяют простыми средствами устанавливать
положение фокусов и определять один из опорных моментов, если известен
другой,
316
Представим теперь балку, загруженную только в одном пролете
(рис. 305, г). Допустим, что опорные моменты этого загруженного пролета
и фокусные отношения для всей балки известны. Тогда опорные моменты
левых и правых незагруженных пролетов определятся, по выражениям:
для левых незагруженных пролетов
'"прав
Л1лев= ——Г-! A5.14>
ДЛЯ правых незагруженных пролетов
ял '"лев ,,_ ,_,
Л1прав=——р— . A5.15),
где Мдев И УИдрав — лсвый И правый моменты незагруженного пролета.
Поскольку в незагруженных пролетах балки эпюра моментов
прямолинейна, то она в каждом пролете строится по вычисленным опорным
моментам.
Загруженный г-й пролет можно рассматривать как простую двухопорную
балку, нагруженную заданной нагрузкой и опорными моментами M^-i
и Mi. Поэтому при построении эпюры моментов в этом пролете надо к
пунктирной линии опорных моментов «подвесить» (приложить) эпюру моментов
простой балки от заданной нагрузки. Если балка рассчитывается на
нагрузки в нескольких пролетах, то необходимо загружение каждого пролета
рассмотреть отдельно, а затем на основании принципа независимости действия
с.^л все эпюры сложить.
Как видно из сказанного, для расчета по методу фокусов надо знать
фокусные отношения и значения опорных моментов загруженного пролета.
1. Определение фокусных отношений
Рассмотрим два смежных пролета г и i — 1, считая нагрузку где-то
правее их (рис. 306). Запишем для них уравнение трех моментов
г^,-_,Л1,_2+2(Х,_,-ЬХ.)/И,._,-НХ.УИ.=0.
Разделив его на M^-i, найдем
Заменив отношения нзгибаюш,их моментов фокусными отношениями,,
получим
■ Отсюда получаем формулу последующего фокусного отношения,
выраженного через предыдущее:
Аналогично для правых фокусных отношений формула имеет вид
;^; = 2+-^^^^^^B 7-Л- A517>
Для определения левых фокусных отношений надо знать левое
фокусное отношение первого пролета, а для правых — г.равое фокусное
отношение последнего пролета.
Покажем, как их определять в зависимости от типа крайних опор.
317
М;.
1 ^
а)
1'
4>
I
Ml
Рис. 306
1^^ ^ттттМШМ
М-пО_Мо
1,-^0
Рис. 307
УИ,
Рассуждения проведем для левых фо-
'кусных отношений гервого пролета, а
результаты используем и для правых
фокусных отношений последнего пролета.
Если левая опора первого пролета (рис.
307, а) шарнирная, то левое фокусное отношение ^i = —-^ = с». Если
левая опора первого пролета — защемление (рис. 307, б), то, заменив ее
бесконечно малым пролетом (рис. 307, в), будем иметь для него ^о =
= -^;^ = сю. После этого по A5.16) найдем ^1 = 2+^B--—j= 2,
т£к как ^0 — 0.
Следозательно, при шарнирном Ьпирании конца первого (последнего)
пролета левое {правое) фокусное отношение равно бесконечности, а при ьа-
шемлении конца первого (последнего) пролета левое (правое) фокусное
отношение равно двум.
Каждый пролет неразрезной балки мжно рассматривать как упруго
защемленный, т. е. занимающий промежуточное положение между балкой
с шарнирными опорами и бал1<ой с защемлениями. Поэтому фокусные
отношения удовлетворяют неравенствам 2 ^ ^ ^ сю.
2. Определение опорных изгибающих моментов
загруженного пролета (рис. 308)
Запишем уравнение трех моментов сначала для пролетов i — 1 и г, а
затем для пролетов i н i + 1:
?^гЛ4,-, + 2(Х. + Х, + 1) /И.+^,^, М, + г + 6£У„Д,р=0.
В этих уравнениях четыре неизвестных опорных момента: M,-_2, М{_1,
Mi и Mi+i- Два из них Мг-2 и Mt+i при помоги фокусных
отношений могут быть выражены через два остальных опорных момента Mt-i
и Mil ,
М,._,
Л^.-2
■.—k
Mi
J-Ь
м
i+l
■= —ki+\.
После ЭТОГО уравнения примут вид:
"i —1
. /И,_,+2(Х-,_, + Х.)/и,_,+
Mi
X
Рис. 308
ki+ 1
•+6£/^Д,.р = 0
318
или
м,
+ Mi+6EJo ■ =0;
г ^/+1 / 1 М Д/р.
Учитывая A5.16) и A5.17), окончательно будем иметь:
Мг_1 ifej+Mj= — 6£Уо-
h
■: Mi_i+M^ki = —6EJo
h
Отсюда:
Mi_
^EJq A,i_ 1, p k'l —Sjp
i — [
k^ki-l
Mt=-
h
6EJo Aipkf—\g_y^p
A5.i8>
M
k.k',-l
Перемещения A^p и A(,-_,)p выражаются так:
a) при нагрузке по A5.5)
т bi
■»«—!) Р-
hEJt
S,P =
И>; а;
hEJi
б) При смещении опор по A5.6)
Формулы опорных моментов при нагрузке:
бел, Ь; ft;—а^
^Г
Д/-
-д^
к
1 ~
— 1
-^
A5Л9>
A5.2&).
М
г— I
= -
/^
'If
k.k[
atki-
-I '
— I ■
A5.21>
Если крайние опоры неразрезной балки шарнирные и, следовательно,
фокусные отношения для крайних пролетов равны бесконечности, то одно'
из выражений A5.21) будет содержать неопределенность. Раскрывая ее,
получим:
а) правый опорный момент первого пролета
УИ1= J- —5
б) левый опорный момент последнего m-ro пролета
м,
т—У-
^m ктп
A5.22>
A5.23)-
Формулы A5.21)—A5.23) справедливы и для балок постоянного сечения„
меняются лишь значения фокусных отношений A5.16) и A5.17):
ki = 2
A5.24>
A5.25 >•
319-
Таким образом, расчет должен производиться в следующем порядке:
1) по формулам A5.16) и A5.17) или по формулам A5.24) и il5.25)
определяются фокусные отношения;
2) по формулам A5.18)—A5.23) определяются опорные моме>нты
загруженного пролета:
3) по формулам A5.14) и A5.15) вычисляются опорные моменты
незагруженных пролетов.
Пример 37. Построить по методу фокусов эпюру изгибающих моментов в балке
(рис. 309, а). Приведенные длины пролетов при J„ = J
м, А.2 = ■
12./
1,5/
= » м, Я,з = 8 м, ?i,j = 8 м.
■По формулам A5.16) и A5.17) определяем фокусные отношения:
15
4
8 /„ 4 \ 56
' 8 \ \5 15
Правые фокусные отношения определяем из условий симметрии:
56 15
15 • '- 4
к',--
/гз = 4, fe;=oo.
■Опорные моменты загруженного пролета определяем по формулам A5.21);
«3 =
12
: 144?; аз = Ьз = 6 м;
/Ио
6.144iy F-4—6)
122
15
= — 7,714?;
-4 — 1
Mi
6-144?
(»^-)
12^
15
— 7,072?.
-1
Опорные моменты незагруженных пролетов по формулам A5.14) и A5.15)i
/Иг
М, = ■
7,714? Мл /И,
' ^ = 1,928?; Мо=-—!- = 0: М,= -^=0.
4 fei fe;
Эпюра моментов показана на рис. 309, б.
Если в этой балке первая промежуточная опора просела на а метров, то решение
ладо проводить в таком порядке
1. Просадки первого пролета балки по A5.20):
Д1-
а—0
>од-
Д1-
у 1,'ем J 6
Чд =
м
h 8 .
Опорные моменты по A5.18)
6EJ ^o^k{—^^^
I,
.feift,'-1
0;
^T^^^'^^W^m
Ml
6EJ ^'^'
'од
'к ., 1
А, —-—-
45EJd
Рис. 309
1792
^20
Следовательно!
Ml
М,
l2EJd
ftg
1792
2. Просадки BTopoFO пролета!
М ^-^' -
o—d
к
GEJ ^ia'^2—^гд
Опорные моменты!
Л1,=
Л2
При этом:
k^k2 I
Ml
12 '
38gJd.
1792
ftq
Д2Д==
3g/rf
1792 '
о—rf
12
М,
М,
К
-=о.
12
ft,
= 0; /Из=-
Полные опорные моменты:
%3EJd
М»
/И,
1792 '
М,
/Ио=0.
b2EJd
: Мг= —
10ЕУ
1792
bEJ Дзд^г —AiA
AOEJd
i М,
1792
= 0.
13E/d ., „
1792 * 1792
§ 149. РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК НА УПРУГИХ ОПОРАХ
Неразрезными балками на
точки которых при нагрузке
балки. Примером может
служить неразрезная балка на
длинных стойках (рис. 310, а).
Упругие опоры будем считать
линейно деформируемыми,
при которых перемещения
опорных точек балки
пропорциональны реакциям опор
где Cm — коэффициент
податливости т-й опоры
в см/кН.
Такая балка может быть
схематически изображена с
опорами в виде пружин (рис.
310, б). Основную систему
выбираем с шарнирами над
опорами (рис. 310, в).
Канонические уравнения для
неразрезной балки на упругих
опорах в общем случае будут пя-
тичленными, а не
трехчленными, как для балки на
жестких опорах. Это не трудно
понять, поскольку вследствие
упругости опор перемещения,
вызванные опорными
моментами Mi, теперь распростра-
няюгся на два пролета слева
и два пролета справа от
опары i (рис. 311, а).
Каноническое уравнение
перемещений по направлению
И Зак. 763
упругих опорах называются балки, опорные
могут перемещаться перпендикулярно оси
7"^
Лг \Р
I
1м ^^
^^ ж ~Х~7~~1 ^
■777 yff? Т77 У^
S)
'Ъ
а)
^а-гп
т^ш^ж^.
к
Рис. 311
321
среднего опорного момента Mi имеет вид .
*г (/-2) Л^,- 2+^i u-i)^i-i+^it Щ-i-'^i (i + 1)^.+ I +^i (i+z)J^i+ i+^iP=0-
A5.27>
Oho называется уравнением пяти моментов. Его коэффициенты и свободные
члены определяются, по формулам:
^ih^-^^Mi^ds + у, о„ Rn^t Rmhi A5.28)
где Mt — моменты в балке от Mj = I, М^ — моменты в балке от Мь = 1;
Мр — моменты от заданной нагрузки, R^t — реакция опоры т от
Mi = 1, Rmh — реакция опоры m от Л!^ = 1;
Rmp — реакция опоры т от нагрузки;
Cjn — коэффициент податливости опоры т.
Например, перемещение Ьщ.^) согласно A5.28) равно C11,6);
1 '
^i— 1 'г
Если опоры абсолютно жесткие, то для них с^ = О и уравнение пяти
моментов превращается в уравнение трех моментов.
§ 150. РАСЧЕТНЫЕ ОГИБАЮЩИЕ ЭПЮРЫ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ
При подборе поперечных сечений неразрезных балок, как и всяких
балок, размеры сечений определяются главным образом изгибающими
моментами. Поэтому возникает необходимость определения их наибольших
значений.
Если неразрезная балка рассчитывается только на одну нагрузку при
одном ее положении и если в предельном состоянии балка находится в
упругой стадии, то эпюра моментов от нее, построенная по уравнению трех или
пяти моментов или по методу фокусов, будет расчетной эпюрой, по которой
и пpoизвoдиtcя подбор сечений балки или проверка ее прочности.
Если же, кроме постоянной нагрузки, как это обыкновенно и бывает,
на балку будут действовать различные временные нагрузки, которые могут
•находиться на ней как совместно, так и раздельно в различных сочетаниях,
то необходимо для каждого -сечения балки подобрать такое сочетание
нагрузок, при котором в этом сечении появлялся бы наибольший изгибающий
момент.
Наиболее полно и точно этот вопрос решается построением линий
влияния изгибающих моментов в отдельных сечениях балки. Но такой путь
является и достаточно сложным.
Если считать временную нагрузку в пределах каждого npojjera несме-
щаемой и действующей одновременно на всем пролете, то более просто этот
же вопрос можно решить посредством определения наибольших расчетных
значений изгибающих моментов в каждом сечении, загружая каждый
пролет неразрезной балки в отдельности.
Рассмотрим для простоты рассуждений равномерно распределенные
нагрузки — постоянную q и временную р, причем последняя распределяется
по всей длине пролета и размещается в одном или нескольких пролетах
сразу. Построим эпюры изгибающих моментов от заданных посгоянной и
временной нагрузок, помещая временную нагрузку последовательно в каждом
пролете балки. Затем составим выражения наибольших по абсолютной ве-
322
''^расч
Рис. 312
личине значений положительных и отрицательных изгибающих моментов
по формулам:
-|-Mpac4-M9 + 2(+Mp); \
_Л1расч = Л1д + 2(-Л1р). 1 ^^^-""^
где Mq — изгибающий момент от постоянной нагрузки в данном сечении;
+ Л1р — изгибающие моменты от временных нагрузок, которые вызывают
в сечении положительный момент;
—Мр — изгибающие моменты от временных нагрузок, которое вызывают
в сечении отрицательный момент.
Примерный вид расчетной эпюры изгибающих моментов показан на
рис. 312. Такая огибающая эпюра расчетных моментов особенно удобна при
проектировании балок переменного сечения, например сварных и клепаных
■балок с обрывами поясных листов. При этом не надо забывать, что если
огибающая эпюра была построена без учета переменности сечений балки, то
•она лишь приближенно отражает действительную эпюру для балки
переменного сечения. Поэтому для точного расчета она должна быть
перестроена с учетом переменности сечений балки.
§ [51. СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ
ВЛИЯНИЯ ОПОРНЫХ МОМЕНТОВ
1. Применение коэффициентов влияния
Уравнение трех моментов при Р = 1 представим в канонической форме
б*(/-1)Мг_1 + б;7/Иг + б*(;+1)/Иг+1 + б/1р = 0. A5.31)
где
bi(i—\) = 'ki\ бй = 2(Л, + Яг+i); , б,-(,-+1)=Ягч-1; "Ki-
h •'о
6ip=i6EJo biP = 6EJit
три грузе в пролете i;
б¥р=6£Уоб,7>=6£Уо (_^£±L*i±L ) при грузе в пролете i+l.
Уравнения линий влияния опорных моментов выражаются через
коэффициенты влияния следующим образом:
л. в. A1i = Pu6tp+Pi2 6|p+---+|3inS*p;
л. в. Mfe = Pfti6fp + Pft262^+..-+PftnS*p;
л. в. /И„ = р„1б*р + Зпгб^р+... + Рппб*р.
A5.32)
Коэффициенты влияния могут быть найдены через определители по
формуле A4.49) или по способу Гаусса по формулам A4.59) и A4.60), либо по
способу моментных фокусов по формуле
t*A/ —
n«
A5.33)
323
^■-,).
^,-/
^^f^g...rr^Ж ( ).
'^л*,;:
i& S!^' 5^7
t-2
^'ЧЦШliLIXLЦ■^^
Рис. 313
^'/ г;
где Ми — опорные моменты от М.ц = 1
S,. \, - (рис. 313);
Y kiH k'i — фокусные отношения в
пролете /; -fe = 1, 2, 3...;
h
hJ»
Эпюру опорных моментов от Мц = 1
Рис. 314 (рис. 313) следует строить по методу мо-
ментных фокусов.
Коэффициенты влияния проверяются по выражению A4.47):
Для определения 8ц-1)р и 6|р рассмотрим пролет i, загруженный
силой Р = 1 (рис. 314).
В этом случае:
Согласно A5.31):
Ьг = —B/г—2).
(a;bt г Hi—г) B1,-z)
ttiOi z{li — Z)(li±Z)
6
IP
liEJi
6li EJi
Следовательно:
бf,_,)^>=6£^б(,._„^, = ^,» -f^Muy,
A5.34)
A5.^5)
где
fi(u)= «A—«)B—u); и{и)^и{\-Ф)\ u = -
B табл. 7 приведены значения этих функций.
Таблица '
к
fl<«)
UW
0
0
0
0.1
0.1710
0,0990
0.2
0.2880
0,1920
0,25
0,3281
0,2344
0.3
0,3570
0,2730
0,4
0,3840
0,3360
0.5
0,3750
0,3750
0,6
0,3360
0,3840
0,7
0,2730
0,3570
0,75
0,2344
0.3281
0,8
0,1920
0,2880
0.9
0,099')
0,1710
'
0
0
Принимая различные значения индекса i = 1, 2, ... в A5.34) и A5.35),
получим свободные члены уравнений A5.31) в зависимости от положения
груза в том или ином пролете. Подставляя их в уравнения A5.32), получим
324
уравнения линий влияния опорных моментов при положении груза в
соответствующем пролете.
Например, при положении груза в первом пролете
Уравнения линий влияния при грузе в первом пролете согласно A5.32):
Mh = ?>Ml\
= («);
A^n=Pnl/?^^2(«).
Если балка на левой опоре имеет консоль длиной с, то линии влияния
опорных моментов на участке консоли изображаются касательными к
линиям влияния на левой опоре. Это следует из кинематического метода
построения линий влияния, по которому форма линии влияния определяется
эпюрой вертикальных перемещений грузовой линии. Эпюра вертикальных
перемещений консоли есть прямая, касательная к эпюре перемещений на
крайней опоре.
Для вычисления ординаты линии влияния на конй,е консоли надо
использовать формулу
/ dMt \ ( dMi du \ ^,^ _
Mi=~c[—-~\ =-с —^ — . A5.36)
\ аг Упри г=о \ аи dz Уприи=о
Уравнения линий влияния при грузе во втором пролете:
6!р = /| -^ jFi (U); 65p = /i -^ Ь (U);
Mi = ?u/l-r-ifi(") + Pi2'l
^0
f 2 («v.
J 2 ''3
•12 Jn
и T Д,
Приведем запись равенств A5.32) в матричной форме:
M=^BD*p =
|3llPl2...Pln
Pal Рга • • • р2п
Pni Pna • • • Pnn
Ojp
^2P
. . .
°aP
Bee сказанное в отнощении A4.46) справедливо и здесь.
A5.32')
325
2. Применение метода фокусов
Применение метода фокусов состоит в использовании формул опорных
моментов загруженного пролета A5.21) при силе Р = 1:
м — — ^^^г —^) Л 3
'-'~~ Й 2 kikl-\ *
После преобразований получим уравнения линий влияния опорных
моментов загруженного пролета i:
Mi-i^-ti —-—; ; A5.37)
«j Kj — 1
Mi^-h '^\ I 'l^ ' . A5.38)
«J R^ —1
где fi (m) и fa (u) — прежние функции A5.34) и A5.35).
Если балка имеет по концам шарнирные опоры, то выражения A5.37)
и A5.38) содержат неопределенность, раскрывая которую получим:
Mi=—/i ;—при грузе в первом пролете; A5.39)
ti{u) »
Mm-i= —Im—7 при грузе в последнем т —ом пролете. A5.40)
Линии влияния остальных опорных моментов при положении tгруза в
пролете / определяются уравнениями линий влияния опорных моментов
этого загруженного пролета jM^-i и Mi'.
линии влияния левых опорных моментов
л. в. М,-_1 л. в. /W;_e
л. в. /И;_2=— ; л. в. /Мг_з= ^-^и т. д.; A5.41)
линии влияния правых опорных моментов
л. в. Ml л. в. Мг+г
л.в. Мг+1= Г1 ; л.в. /Mj+2=— р ^i^- и т. д. A5.42)
После построения всех линий влияния при положении груза Р — \
в пролете i он переставляется в следующий пролет, и операция повторяется.
Пример 38. Построить линии влияния опорных моментов (рнс. 315, а) J^= Ji =
= /. Приведенные длины пролетов:
?^1=10 м, Х,2=12——-=10 м, ?^з=10 м, ^4 = 12 =10 м.
Уравнения трех моментов по A5.31):
2AliA0 + 10) + M2lO . . +б5=р = 0;
/Их 10 +2Л12A0+10) + Мз10 -\-Щр = 0;
.■Иа 10+2Мз A0+10)+а5р = 0.
326
"^•ЛшТиуА!]^
Рис. 315
Решение этих уравнений, или уравнения линий влияния, по A5.32):
л. в. Л11 = риб;р + Р12б|р+Р1з6|р;
л. в. A^2 = P2lSip + P2a6Jp + P23 6^p;
л. в. Л1з = Рз1б|р + Рз2б|р + Рззб^Р.
Коэффициенты влияния РгТг определим двумя способами.
1. Определение Ргь по способу Гаусса. Приводим табл. 8 прямого хода.
(а)
JVv строки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
№ уравнения и
коэффициент а
(!)
«IS
B)
«12 A)
B<")
«aft
■ C)
«13 A)
«23 B<'0
C<^>)
м,
40
•
10
•
•
•
0
»
•
•
Мг
10
1
«12 = - -4-
40
—2,5
37,5
•
10
•
•
•
Та
м.
0
«13=0
10
0
10
4
«23 - — 15
40
0
40
~15
560
15
блица 8
S/
50
60
—12,5
i
-^ 47,5
50
190
5
560
"" 15
327
Вычисляем коэффициенты влияния по формулам A4.59) и A4.60).
Первая операция; а) для формулы A4.59) fe = 3; б) для формулы A4.60) fe = 3,1 = 2,1,
Р;
I
15
33 =
6i>V
560
15
560
Рз. = а,з|5зз = (-—)(-^) =
Рз1 = а12 Рзг + О'хз Рзз = ( ~ " ]
560
560
560
Вторая операция: а) для формулы A4.59) k = 2;
б) для формулы A4.60) ft = 2, t = 1:
1
б^.^>
+ «23^32=-
1
75
2
+
(-^)
560
16
560
Р21 = «12 Р22 + «13 Раз =
-м
15
Третья операция: а) для формулы A4.59) ft = 1:
hi =
1
<
1:
1
40
560 )
4
"•560 •
4
560
15
560
+ «12 Pal = «13 Р 31= ■
2. Определение Рг^ с использованием определителей A4.49)
40 10 О
Определитель коэффициентов D= 10 40 10
О 10 40
= 56 000.
Прн вычислении Pj^ из определителя D исключаем г-ю строку и fe-й столбец
или ft-ю строку и t-й столбец:
10 10
О 40
Pi3 = (-l)"+' + ^>-
40 10
10 40
56 000
10 40
О 10
15
560
; Pi2=(-i)'
fI+2+I)!
56 000
40 О I
О 40
56 000
Р,3 = (-1)<^ + = +"
— ; Р22=(-1)^ + ^ + "
560 ^^" * ' 56 000
560
16
560 '
40 10
О 10
56 000 = -
езз = (-1)<^ + з+'>| J° ]° 1:56 000=.
560 •
15
560
Проверим коэффициенты по A4.47):
15 4
40 +
560
560
10=—1;
560
•10 —
16 4 , .
40+ -^^;^10=—1;
560
560
I 4 15 .
0+ -гг:^ 10— -г:::- 40= —I.
560
560
560
Необходимые равенства удовлетворены.
Уравнения (а) с численными коэффициентами:
л. в. /И| = ■
15
я. в. М2=-
п. в. Мз-
560
4
560"
560
-61я +
560
16
-б;
2Р"
560 ^ЗР-
^l^,-
560
б|р +
560 ^'з^'
бЫ-
560
Чр —
15
560
б*о
ЗР-
(б)
328
Значения грузовых членов определяем по формулам A5.34) я A5.35).
Груз в Первом пролете
^lP = ll —Г ti («)= 102 /2 (U).
Груз во втором пролете:
J
•i.2
6,'c = /?-^/l(u)=122
1,2У
/i(u)=120/i(u);
-гР-'г у,
^"^-fa(«)=122-—-
а 1,2^
b(u)=120Z2(u).
Груз в третьем пролете:
^ip = n-T-h(u)=mii(u);
Ja
J3
Груз в четвертом пролете:
Jgp-
= '!-r-fi(«)=120/i(u).
Составим уравнения линий влияния согласно (б).
В первом пролете:
л. в. /Ml = —2,68/2 (");
л. в. /Из = 0,7И/г (и);
л. в. /Из=—0,1785/а(м).
Определим ординату л. в. Mi на конце консоли длиной 2 м, если бы балка была
консольной:
/Ml
:—2
-2.68/^ (U)-j-l =_2[_2,68(l-3u2)-i-] =0,536 м.
'1 Ju=0 L 10 Ju=0
Bo втором пролете:
я. в. /Mi=—3,23/i(uL-0,857/2 (u);
л. в. M2 = 0,857/i(u)—3,429/2 (м);
л. в. Мз=—0,2l42/i(ML-0,857f2(").
В третьем пролете:
л. в. /Mi = 0,714/i(u) —0,1785/2("):
л. в. /Ма=—2,857/Fi(u)-|-0,7l4/2(u);
л. в. /M3 = 0,714/i(u) —2,68/2(и).
В четвертом пролете:
л. в. /Mi = —0,2l42/i(u);
л. в. /Vl2 = 0,857/i(u);
л. в. /Из =-3,23/1 (U).
(г)
(Д)
(е)
Лиини влияния Ml и Mi показаны на рнс. 315, б, в.
Пример 39. Построить линии влияния опорных моментов неразрезной балки по
методу фокусов (рис. 316, а). При Jq—J приведенные длины пролетов %i='K2 = ^3 =
= Я4 = 8 м.
Фокусные отношения по A5.16) и A5.17):
/., = <.; ,, = 2+-f B--^)=4:
8 / 1 \ 15 8 /-„ 4 N 56
*з-2+-B--)=—;. ,, = 2+-B-—j=—.
Соответственно:
й^ = оо; ^3 = 4; *2 =
15
; k'l-
56
15
329
Груз а первом пролете: по A5.39)
56 15
л. в. Mi=-8/2(«): ТГ = 7~^2(«).
15 7
Если бы балка имела левую консоль, то ордината л. в. на конце консоли могла быть
определена по выражению A5.36). Покажем это, полагая длину консоли равной 2 м:
dMi ■ 15 , „ 1 / йМх \ 15
—7^ = 7-A-3«2)-Г; (—7^ =--—-=-0,268.
dz 7 8 \ dz /«=0 56
Ордината л. в. на конце консоли М±= — 0,268 (— 2) ■= 0,536 м.
Уравнения линий влияния остальных опорных моментов на участке первого
пролета найдем по A5.42):
л. в. Ml 4 ,
л. в. ^2 = —=—^2(«), л. в. /Из
«2 7
л. в. Мп 1
Гоуз во втором пролете: по выражениям A5.37) и A5.38) получим уравнения
линий влняни.ч опорных моментов на участке второго пролета:
Ml = -12
4
15
-I
45 . 6 .
-fj-/i(«)+-y-/2(«);
Mi=- 12
f2(«L-/i(«)
15
4 1
4
24 6
-7-/2(«)+Y^i(«):
Л. B. /Из =
л. в. /Из 6 3
«3 7 14
Полученных уравнений достаточно, чтобы по условию симметрии балки построить
линии влияния в третьем и четвертом пролетах.
Однако найдем эти уравнения непосредственно, не пользуясь условиями си-м-
метрии.
Груз в третьем пролете: по тем же выражениям будем иметь:
-j^ = —— h{u)+ — fAu);
4 — 1 /
Mo=-12-
/Мз= -12
4
15
h(ti)— /l(«)
4
15
Л. B. Mi=-
■4—1
Л. B. M2
45 6
fi о
?=/
Рис. 316
330
Груз в четвертом пролете: по выражению A5.40)
Л1о=—8
56
15
15
■h(«).
Уравнения л. и. остальных опорных моментов на участке четвертого пролета:
„. 3. м, = -^!4^=-Т^1(«)-. л. в. Л1,= -""^-
"Y^i^")-
По полученным уравнениям построены линии влияния (рис. 316, б, в).
§ 152. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ В СТАТИЧЕСКОМ МЕТОДЕ
ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ОПОРНЫХ МОМЕНТОВ
Упрощение построения линий влияния опорных моментов в
симметричных балках возможно путем применения парных неизвестных. Здесь же
мы рассмотрим иные упрощения построения линий влияния опорных
моментов, вытекающие из существа изложенных ранее способов.
1. Упрощения при применении коэффициентов влияния
Силу Р = 1 (рис. 317, а) разложим на симметричные и кососимметрич-
ные составляющие (рис. 317, б, в). При симметричных силах симметрично
расположенные опорные моменты равны, а при кососимметричных силах
они равны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
Это позволяет составить уравнения трех моментов не для всей балки,
а только для ее части до оси симметрии или до первой опоры за ней. При этом
надо различать два случая.
Балки с четным числомпролетов (см. рис. 317)
Если т — число пролетов балки, то можем написать
М
т/2 —1
= Л/
m/2 + l •
^т/2 —^'•
A5.43)
В этом случае уравнения трех моментов при симметричных силах
составляются до тех пор, пока в последнем уравнении не будет содержаться
а)
4)
.F
р=1
Г
4).
-F-^gy—ж
^ ж^ ж
ЛВ.м' от симметрачиых
грузов
4 pJX zj ^
Ле. Mj^'- от касвсимпетричных грузов
Рис. 317
33 J
t h
1 51
Рис. 3J8
«jtM.
7 I
I сред
[2
w
w
i
it
—I
if
первый опорный момент за осью
симметрии, а при кососимметричных —
опорный момент на оси симметрии. Это
значит, что индекс i в уравнении трех
моментов A5.31) принимает последова-
тельно значения от 1 до t = -g- при сим-
метричных силах и до f = ^ 1 при
кососимметричных силах.
В обоих случаях должны быть
учтены выражения A5.43).
Свободные члены A5.34) и A5.35)
при парных грузах равны:
/2
ч
2Ji
Jo ?2 (и).
A5.44)
Эти выражения пригодны для всех
пролетов до средней опоры как при
симметричных, так и при
кососимметричных грузах.
Линии влияния опорных моментов
от парных грузов строятся до оси
симметрии, а на второй половине балки
строятся на основании симметрии.
Линии влияния от симметричных грузов
симметричны (рис. 317, г), а от
кососимметричных — кососимметричны (рис.
317, д). Ордината, определяющая
опорный момент от парных половинных грузов, откладывается под
грузом Р^ = —. Линии влияния опорных момейтов от груза Р = 1
получаются сложением линий влияния от симметричных и кососимметричных
половинных грузов (рис. 317, е).
Балки с нечетным числом пролетов (рис. 318). В этом
случае
Рис. 319
М"
■ I ^'W^+l
^""^-х =
A5.45)
Уравнения трех моментов при симметричных и кососимметричных
грузах составляются до тех пор, пока в последнем уравнении- не будет
содержаться первый опорный момент за осью симметрии. Иными словами,
индекс i в A5.31) принимает последовательно значения от t == 1 до i ~ —^—.
Свободные члены б,р по-прежнему определяются выражением A5.44)
при положении грузов во всех пролетах левой половины, кроме среднего.
332
При расположении грузов в среднем пролете (рис. 319) выражения 6^1- будут
иные. Получим их, используя общую формулу перемещений;
(I г \ г г
— г — I 2+ — (/сред—2г)= -уИсред—гУ.
1 ^СРед , (/сред—2г) ^ ,, п \
«2=-Г-—;— ^ о} ■="Г"('сред—2г);
г L Г _{сред. , _/сред _ _ _1_ ,, ,.
"- Ъ\ 2 + 2 ^j- 3 ^'=Р««-^Ь
г I
5=0J с-2=— (/сред—22) —(/сред—г) 2.
Умножая соответствующие эпюры от нагрузки на эпюры от Мп/2—1/2=
= 1 и Л1/1/2+1/2 = 1, получим:
1 '
"(л/2-1/2)Р—"(я/2 + 1/2)Р= р,
■t'-'cpett
s-i
дкс Л''" ""'
U/„ /о ] )ti\ D "**■',
«ЛИ
(п/2-1/2)Р—~"(гг/2 + 1/2)Р— pj
■с^сред
/^
'сред
Таким образом:
б(„^2-1/2)Я=-б(я/2+1/2)Р = -^^|7^—[^l(«)-f.(«)]- A5-47)
6Г« M,=S«/2 + i/2)P = ^7^ '?редГ^1(">+?=<«>1: ('5-48)
^— _jP ^^сред
6^2-1/2) Р = -6Г«72+ 1/2) Р = 57^ '?реД t^l ^"/^ («»• A5.49)
■''' сред
2. Упрощение при применении метода фокусов
Линии влияния симметрично расположенных опорных моментов
представляют собой взаимное зеркальное изображение относительно оси
симметрии. Это позволяет вести построение линий влияния всех опорных
моментов на одной, например, левой половине балки только до оси симметрии,
а за ней строить их, пользуясь тем, что линии влияния симметрично
расположенных опорных моментов совмещаются при повороте одной из них
вокруг оси симметрии на 180°. При этом ясно, что координата и в
аналитических выражениях линий влияния правее оси симметрии должна отсчнты-
ваться в обратную сторону справа налево.
Пример 40. Построить линию влияния опорного момента с использованием
симметрии (рис. 320, а).
Уравнение трех моментов при Jq = J:
при симметричных грузах
2(8-|-I2)Mf-t-12Mj-f6t^ = 0; (а)
при кососимметричных грузах
^ -2(8-l;-12)AIJ'= —I2Mf-t-6J^'==0. F)
333
«;
Мо=0
7= const
f
вм
S)
6)
Fpge в первом пролете: по
^_. A5.44)
вм
■^3 61^=6;^'^
/5
Ь(м) = 32/^2 (м).
угпиимттаж
саг- «гГ <а~ сэ- <5f •-■" СГ '5>'^
cq счЗ «
«а,- ti- саг
л8.м1
КС
[гГГТ|ПЩ1ГГ\|^т^ГТТТГ^,
«а S
S S3
V». »> ?!.
J-; rj tQ
- ^-^ fro -^ cvj
сэ^ 5а~ сэ «5,- сг са- о
Уравнения линий влияния
из (а) и (б)
Л. В. М^ = 1з"'^^"^'
О
л. в. ynf= r-fo(M)
(в)-
Fpge во втором (среднем)
пролете: по A5.48) и A5.49)
б
\р'
д. КС.
122
2
122
[/l(M) + fa(«)];
■Ui(«)-^2(«)b
cs S
Уравнение л. в. из (а)
Л. в. М^= — [h(«)+/n«)].
~з- <S "^
«~ с>- '^гг-
(Р>
Рис. 320
л. в. Mf
Уравнение л. в. из (б)
18
■IhW-kW].
(Д>
Линии влияния от симметричных и кососимметричных грузов изображены н»
рис. 320, б, а, а суммарная линия влияния опорного момента Mt — на рис. 320, е.
§ 153. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ОПОРНЫХ МОМЕНТОВ
При построении линии влияния опорного момента Mt по
кинематическому методу следует у i-й опоры ввести шарнир и приложить там М,- = I
(рис. 321, а). Затем от такого загружения построить эпюру вертикальных
перемещений брГ'* и определить перемещение б^?"".
Уравнение л. в. М,-
л. в. Mi-.
A5.50>
Величины 6^^ * и 6Й~'* определяются из эпюры изгибающих моментов
от Mi — 1. Для ее построения применим метод фокусов (рис. 321, б).
Величина biT~ ' может быть получена умножением этой эпюры на себя. Но такое
перемножение сложно. Лучше вторую единичную эпюру от Mj = 1 построить
в статически определимой балке (рис. 321, б).
Перемножая эпюры, будем иметь
S(n-^)^±h.(l.^ ' М ' |_ t-ii+i / g , J IN ;_
2 U 3 ki) EJ,'^ 2 1, 3 '- 3 ^/+, I7~;^'
Или окончательно в двух видах
Xi kikj — l
EJ.b^'}-'^-.
^J+i
ki+\ k')^ 1
-I
ki
"i+i
(I5.51>
Из этого \ авенства вытекает возможная проверка фокусных отношений
li
ki Щ — 1
-=Лг
+1
*i+i
A5.52У
334
Для определения б^^Г" в каком-либо пролете k применим общую
формулу перемещений. Опорные моменты при выводе выражения Ь^ ' будем
считать положительными (рис. 322). Перемножая эпюры, получим
После простых преобразований окончательно получим 6Й~'* при грузе
в пролете k
-{M^^_^Уih(«■)+'^tчh{u)\, A5-53)
/2
б(п-1)^.
где h («) ^ « A - «)B - «) и /а («) = « A - «*) - полученные ранее
функции A5.35). ,
Уравнение линии влияния опорного момента Mi в пролете к.
ih ^h *!{
п. В. Mi=^ - x,(%fe--l)- [A<(fe-i).^i(«)+^'^^b(«)]-
A5.54)
Использование симметрии состоит в применении парных неизвестных,
симметричных и кососимметричных. Построение их л. в. проводится так же,
как построение л. в. простого неизвестного. Единичные эпюры от парных
неизвестных удобно получать сложением единичных эпюр от простых
неизвестных. Последние просто строятся по методу фокусов.
Пример 41. Построить линию влияния опорного момента /Mi (рис. 323, а).
. Фокусные отношения
Al=iOO,
10
3 *
91
20 '
^3 = 2+—B-—j =
Эпюра моментов от Mi = I построена на рис. 323,6.
Уравнение линии влияния Щ в любом пролете ft по (lO.S^)
л. в. /Wi=-
^"'•"f' .f^'fe-i'^i(")+MftifeWb
Л(*1*(-1)
П . =, <„оно содержит неопределенность. Раскроем ее посредством деления
числителя и знаменатели на fei, после чего получим
л. в. Alj =
h'^h
Хл к
■1«1
Г [Mik-u ikiu)+ М^1 hW].
Л'^ Л Г^>Н1Г
*^ «:^
Рис. 321
Рис. 322
335
<il
J'Cvnst
ем
Ж
IZm
X^^^^iilii^iiiili-LU^
rpqa e первом пролете: Mq\==
3 = 0, /и« = 1
л, в. /Mi= ~ i2(M) =
8
91
Рис. 323
20
= —1,7582/2 (M).
Fpye во втором пролете: /Иц
3
= 1, MjJ = — jg
Л. В. М,. ^[lfi(«)--l^/^(«)] =3.956 til («)-0.3f,(«)].
20
Гр^/з s третьем пролете: Al^j = — г-, д^з^ = О
8-8
л. в. Мх=>-
8-
91
20
[-^Zi(«)+o].
Вычисленные по этим выражениям ординаты линии влияния равны ординатам
полученным ранее (см. рис. 320, г). ординатам.
Пример 42. Построить линию влияния опорного момента /И» (рис 324. аи
Прииеденные длины пролетов при У, = Ji
Ч ,= Я-г = 8.3 = ^4 = 10 м.
Левые фокусные отношения
Ai=oo„
'-^+45-(^-^)-. ^.-^^^{г-±).
15
.. = 2+^/2--»
10
1Ё.
4
56
15
Правые фокусные отношения по симметрии
k!..
56
15
15 •
■» ^3 = 4, k'i=oo.
Эпюра моментов от М^ = 1 показана на рис 324. б.
Уравнение линии влияния по A5.54)
л. в. M2C=-
ihK'^
10
(^т--.)
t'M,ft,i,i/l(«)-l.Alftjf2(M)].
Fpya в первом пролете: /Mos = О, /И<г
л. в. Л1а= 10-10
35
[о-^^а(а)]=у-/2(«).
о)
I Р=*
^
й)^
yow
4-
12м
4-
-Т^Г ^^^ЩЦш^ IT"
Рис. 324
336
Груз во втором пролете: Мц = — -j-, M^t = 1
я. в. Жг= gg-J2.10r--^/i(«) + ^2(M)].
Груз в третьем пролете: Aljjcal, Л4зг=
4
л. в. Ма» 55"'^"'^Г*^"^ Г^^^"Ч'
/"pi/e в четвертом пролете г Мд^= , Alj^^O.
4
л. в. Л1г= ^12.1оГ—-^/i(ML-o|= -|-/а(м).
Вычисленные ордината линии влияния равны ординатам, полученным ранее дру-
гим способом (см. рис 315, в).
§ 154. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ М И Q В ПРОЛЕТЕ
Линии влияния М и Q в любом сечении г^ любого пролета k
неразрезной балки определяются общим выражением A4.77), которое в этом случае
принимает вид:
л. в. /И, =я. в, Mf+{n. в. Alft_i) ^^~''' +(а. в. М^)-^1 05.55)
h к Ij^ i^
я. в. (Эгь = л. в. С?*"-1-(л. в. /И^—л. в. /Mfe_i) —. A5.5б>
"ft ift
Линия влияния изгибающего момента в сечении г^ пролета k склады
вается из линии влияния момента в этом же сечении статически определимой
основной системы, т. е. простой балки Мг^", из линии влияния левого
опорного момента /М^^^, умноженной на ^ ~ '^, и из линии влияния правого
момента М^, умноженной на —. Линия влияния поперечной силы склады-
вается из линии влияния ее в простой балке Qz^" и из разности линий
влияния опорных моментов Л!^ и М^^л, деленной на длину пролета.
Пример 43. Построить линии влияния М я Q в сечении второго пролета балки,
рассмотренной в примере 42 (риа. 325, а), при zj = 4,8 м.
Уравнения линий влияния ио A6.56) и A5.56):
л. в. М^^д, в. М^''+ia, в. Mi)^^^+(n. в. /Иа)-^ =
12——4 8 4 8
=л. в. Л1?^1Ч-(я. в. All) ^^^ + (л.в. Mi)-—i
л. в. Q^ -=л. в. Q^*"+(^. в. М'2—л, в. Afi)—— =
= л, в. (Э2^1+(л. в. Mi—п. в. Mi)-— ,
Линии влияния М^^ и Q***" построена ва ряс. 325, б, а искомые линии влияния
М и Q — на рис. 325, «. &
337
(^
.z
Юн
i
7i-k,BM yg
12m
V
i,,8
^
/
>-.■- csj >^- <Si-
« S? ?^. АдМ°(м)
/T//7
—Г
5a^ 1-
45- ^•- «a- <uf"
Рис. 325
§ 155. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ОПОРНЫХ РЕАКЦИИ
Уравнения линий влияния опорных реакций получаются из выражений
A4.77) и A5.11):
л. в. У?г = л. в. Л9^, +л. в. В?*"-}
л. в. Ml — л. в. Nii^i
л. в. /Иг+1—л. в. Mi
'i+l
A5.57)
Линия влияния опорной реакции Ri может быть построена сложением*.
I) линий влияния левой реакции Ai^\ пролета i + 1 и линии влияния
правой реакции 5,^" пролета i для балок на двух опорах; 2) разности
линий влияния опорных моментов /M^+i и Mt, деленной на длину пролета
^i+il 3) разности линий влияния опорных моментов Mt и Mj_i, деленной
на длину пролета 1и взятой с противоположным знаком.
§ 15в. РАСЧЕТ НЕРЛЗРЕЗНЫХ БАЛОК ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
Имеются в виду балки, непрерывно изменяющие сечения по пролету
(рис. 326). .
Будем рассматривать только такие случаи, когда сечения балки
изменяются по длине пролетов не очень сильно и тогда кривую ось балки будем
считать приближенно прямой.
^0 X
^ч-
Рис 326
338
1. Расчет на постоянную нагрузку
Расчет неразрезных балок
переменного сечения производится на
основе тех же канонических уравнений
A5.3) и A5.27), что и расчет балок с
постоянными сечениями в пролетах.
Умножим уравнение A5.3) на EJq—
жесткость любого сечения балки:
''
<^0
\ '^ J
^7
"^г
1
■"
/4у,-а
- '
«Л-/
Рис. 827
где
о«-<^= + С = бГ EJo+^T^ EJo ■■
(I5.58>
(I5.59>
] \ii J Jaz) J V li+i J Ji+i(z)
4+1
i+i (г)
dz\
A IP =Д^-р £У
-21
Л^.Л!/'-
У(г)
<fz.
A5.61>
{15.62)
Интегралы в A5.59)—A5.62) часто не берутся в замкнутом виде и их
обычно приходится вычислять приближенно по формулам A1-48), A1.49)
или в матричной форме по A1.58).
При непрерывном изменении по пролету изгибающих моментов и
моментов инерции можно построить матрицу Л, разделив пролет на четное число
частей одинаковой длины d (рис. 327), в таком виде:
й
£У„
а„
0
0
0
0
0
0
4ai
0
0
ft»
0
0
0
0
2а2
0
0
0
0
0
0
4аз
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
и
0
0
0
0
0
0
'4а„_1
0
0
0
0
0
On
A5.6^)
2. Построение линий влияния опорных моментов
Канонические уравнения в этом случае будут:
"г u-D'Wi-i+a»'Мг+0,-0+1,/Mj+i+о,.р =0.
A5.64)
Их решение удобно проводить при помощи коэффициентов обратной
матрицы
я. в. 'Mi==Pii<'i/) + Pi2a2/'+--'+Pina„p
A5.65)-
* 339
■ Mi=1
loi(ei-1-r^ пролете) ^ ^ Opi(Bi*i. ,^„ролете)
a) -_ X. ■ ^-° °^ ^
_,_-'-X
Рис. 328
Коэффициенты и свободные члены здесь помимо формул A5.59)—A5.62)
MJo
удобно вычислять через условную нагрузку q=
J(z)
Для этого
рассмотрим два смежных пролета': 1-й и г -j- 1-й (рис. 328, а). Обставим условную
нагрузку q по пролетам и нагрузим ею условные балки, которые в этом
случае будут такими же балками, как и балки основной системы (рис. 328, б).
Напомним, что изгибающие моменты в условной балке от условной
нагрузки определяют aip — api, а реакции опор — углы поворота на концах
балки, увеличенные в EJ^ раз.
Значения ар,- при грузе в г-м пролете определяются по
дифференциальному уравнению
d2a
Pi
dz^
Ml J»
Ji{z)
h Ji(z)
. A5.66)
Произвольные постоянные интегрирования определяют по граничным
условиям:
1) при Z = О api = 0;
2) при Z = li api = 0.
Из полученного выражения apt (г) попутно получаем
dapi @)
dz
--Аг = а.,_
\i-l)i'
dap I (It)
' и
A5.67)
Значения api при грузе в / -j- 1-м пролете получим из
дифференциального уравнения
rf2a
Pi
az^
= -М. -^«
Ji+i (г)
\ h+l J Ji+l(z)
И здесь так же получаем
dap, @)
— ^1+1 —"(■(•
ddpi (h+i)
--Bi+^=—a^l
+ i)i-
A5.68)
A5.69)
dz ^1^ „ - ^2
Построение линий влияния на основе дифференциальных уравнений A5.66)
и A5.68) будем называть условно точным.
В тех случаях, когда дифференциальные уравнения A5.66)—A5.68) не
интегрируются, надо для вычисления api применять упругие грузы или
непосредственно матричную форму.
Если пролеты разбивать на равные части, то матрицы упругих грузов
Wg можно записать по A1.107) или по A1.108), а матрицу Wm по A1.114),
Матричная форма записи api будет
^'Pi-
--BW,
\ч>
или а
Pi
-BWf^M
A5,70)
340
При матричной форме построения линий влияни-я можно придерживать
ся такого порядка.
1. Если необходимо иметь ординаты линий влияния в {tit + 1) точках,
с учетом крайних опорных точек, каждого пролета /j балки, то надо
разделить каждый пролет /^ на 2пг равных частей (каждая длиной rf^ = /^ : 2/гг)
и занумеровать их слева направо О, 1,2, ... . Число tit может быть свое для
каждого пролета.
2. Для каждого пролета /,- составить матрицы:
а) изгибающих моментов от единичных неизвестных опорных моментов
\М
Hi-и I
2п{
о(г-1)
=2яг
_, =2«i —1
iu-i>
Al2n,-(i_,) = 0
I Ми I
2яг
A5.71)
В этих матрицах у Mid-i) и Мг,-первый знак индекса есть номер
пролета балки, а второй — номер единичного неизвестного, и соответственно
в столбцах у M^d-i) тл Mhi первый знак индекса — номер сечения, а второй—
номер единичного момента;
б) податливости
Ai-
2di
6EJo
«в
0
0
0
0
0 0 0. 0
4ai 0 0 0
0 2а:2 0 0
0 0 S^n.-i) 0
0 0 0 а,„,
A5.72)
в) изгибающих моментов от родвижного груза Р — I,
устанавливаемого только в четных точках деления пролета: О, 2, ..., 2/Zi.
\м
ip\
Ma
М
10 =
О
О
Ми
Мц2п) =0
^B«j) О —О ^^B/!^) 2 ^B«jL '^Bпр Bл^) —^
A5.73)
Пример 44. Построить эпюру изгибающих моментов от равномерной нагрузки
в первом пролете иеразрезнои балки (рис. 329, а) и линию влияния опорного момента,
если для первого пролета
где 6=^—4A—п)= —1,6; п
/(.)=/о:[ц-.(-^П
^0
0.6; ./^л—момент инерции балки на опоре.
1.Построение эпюры моментов
Каноническое уравнение ОцМх + Aip = 0. По формулам A5.60) и A5;^2)
оц
Чя
1(-1гГ['+т(-гI-'.(
=i-r-^<"-'['-T(v)>-'K-i
3 + 20 ) •
24 ^ 240 /
A5.74)
A5.75)
341
°) I
M i П M П П t
z-^
Точное
Шридлихенно
г. To же
0
0
> 0
0
v«
- iifiSBOS
-i,oi3a8
~i,0J93S
%
-6,29 и г
-6,3009
-б,гэбЗ
^/^t
-5,гб187
-S,266i
. -5,гббго
L
0
0
и
Рис. 329
Для нашего случая
Оц
■=»(т-^)=-.
/llp = (?-60
V 24
20
1,6
= 7 560(?.
240
Значение опорного момента Mi = — 7 560? : 30,4 = — 248,6842^ Срис. 329, П-
Проведем решени-е в матричной форме и сравним результата.
Разобьем пролет балки для простоты расчета только на четыре части и применим
при вычислении Оц ^ А^р формулу A1.59), объединяя по два участка в один, приняв
катрицу А по A1.60), а Л г по A1.56):
^^ = —»^ii = £/oI|Ai;iAl2l[U |{AIu^2j}|=|10 0,25 0,50 0.50 0,75 1 ||
30
6
X
X
1
0
0
0
0
0
0 0 0
3,9 0 0
0 0,9 0
0 0 0,9
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
3,1
0
0
0
0
0
0
0,6
0
0,25
0,50
0,50
0,75
1,00
342
Раскрываем матричное равенство по ходу слева направо:
€lft
-J = 5II о 0.975 0,45 0.45 2,325 0.6 || . | {О 0,25 0.50 0,50 0.75 1} |з
Y = 5 (О + 0.24375 + 0.2250 + 0,2250 + 1,74375 + 0,6) = 5 • 3.0375 = 15,1875
(точное значение 15.2). Вычисляем свободный член:
Aip=-EJo\ip='EjjM{im\\\A\{MipM2p}\.
Или, учитывая результат перемножения матрицы строки на матрицу А при
вычислении a-ii, получаем:
^jp = 5|| О 0,975 0,45 6,45 2,325 0,6||.|{0 337,5G 45ft? 450<? 337,5<? 0|| =
= 5 @-1-329,0625+202,5+202,5+784.6875) (? = 7593,75(?,
Значение опорного момента Mi — — 7593.75^ : 30,375 = — 250о (точное
значение Mi= — 248,6842(?).
Несмотря на хорошие результаты приближенного расчета в данном частном
случае, полученные при делении пролета всего на четыре части, все же при практических
расчетах надо делить пролет на большее число частей, по крайней мере не менее 8—12.
2. Построение линии влияния опорного момента Mi
Составим дифференциальное уравнение A5.66):
^^ДР1 Ml J о г_
Интегрируем его два раза:
Зp^
(■-il-)-
йОг
йг
Постоянные интегрирования определяем по условиям:
1) при г = 0 apj=0 \ ge ^в
„ } , что определяет Di=0 и Ci= -1---'- |-i ——.
2) при z = /i Op, =0J' '^ ^ ^ 6 ' 80
Теперь можем записать:
api==4lfiiu) + bh(u)], A5.76)
где
fi(u)=—(u—u^: ta(u) = ~(u~ifi).
Составим от A5.76) производную
^°P1 Г 1 « b
йг
При z = ti и и=1
dop,(У
011= —
/i[-fB-3«=>)+-^(I-5«*)]
dz
Это выражение совпадает с A5.74).
Для нашего случая
ap,==602f/i(«)-1.6fj(«)].
Уравнение линии влияния опорного момента
°Я1 3600r/i(«)-1.6^(«)]
л. в. Mi=. = —— •
оц 30,4
По этому выражению подсчитаны ординаты линии влияния, которая построена на
рис. 329, в. Теперь построим линию влияния опорного момента при помощи
упругих грузов. Матричная форма по A1.120):
Сначала иычислим вектор упругих грузов, применив матрицу A1.114):
W^Mi--
15
e,EJ,,
0,975
3,90
0,975
О
О
О
0,90
3,60
0,90
О
0 0
0 0
0,775 0
3,10 0.60
0,775 1,20
-
0
V,
42
=>/.
1
0,609375
-3,5625
—6,5625-
—8,4375
1
£^0
1
-4,453125-
£^0
1
EJo
1
£/о
1
EJ^
Условная балка с упругими грузами дана на рас. 330.
Теперь вычисляем opj. Матрица влияния упругих грузов принята с учетом того,
что положительные упругие грузы направлены вверх:
Яр t — Op I CJ t)-
-60/16
0
0
0
0
0
0
3
2
1
0
0
2
4
2
0
0
1
2
3
0
0
0
0
0
0
—0,609375
— 3,5625
— 6,5625
— 8,4375
—4,453125
= 1@ 120,9375 188,4375 157,5 0}|.
Вычислим при помощи упругих грузов aii/2, как реакцию от них и условной балке
на правой опоре, в матричной форме
а11/2 = вИ^=—1101/4^2^»111-1(—0,609375—3,5625—6,5625—8,4375—4,453125I =
= 14,953125 (точное значение 15,20).
Подсчитанные ординаты л. в. Mi = — записаны на рис. 329, в. Вычислим упру-
"■11
гие грузы по более точной матрице A1.118): ■
W,
м
ЛГ1=—_li.
12
3,5
1
О
о
О
2,925 —0,45
9,75 0,90
0,975 9
-0,90
О О
О О
0,775 О
7,750 0,6
-0.45 2,325
1
2.10
•
0
44
'и
.'и
1
—0,632ai25
— 3.609375 •
—6.656250 •
—8.57J8125-
—4,5234375
EJ„
1
1
£/о
1
EJo
1
EJo
344
Подсчитываем Ор^ =
15
°Я1 = J-
^f^iEJoZ
0 0 0 0 0
0 3 2 10
0 2 4 2 0
0 12 3 0
0 0 0 0 0
.
—0,6328125
— 3,609375
—6,656250
—8.578125
—4,5234375
=
0
122,6953125
191,25
159,9609375
0
Вычисляем ail/2 как реакцию на правой опоре основной системы:
-^- = — 110 0,25 0,5 0,75 1 (| - 1 {—0,6328125 —3,609375 —6,65625—
-8,578125 —4,5234375I = 15,1875 (точное значение 15,20).
Ординаты л. в. Ml
Oil
показаны на рис. 329, в.
Пример 45. Построить линии влияния опорных моментов в неразрезной балке
фис. 331) при изменениях моментов инерции по законам:
в первом пролете /(г) = /о • 1 +
->ш
во втором п ролете J (z) = J,
-ht(V')T
6 = 4(/г—1), П--
0,5.
'опор
Решение проведем с использованием симметрии балки. Основная система
приведена на рис. 331, а, а группировка неизвестных опорных моментов — на рис. 331, б, в.
Канонические уравнения:
Точное решение
1. Симметричное неизвестное М\ (см. рис. 332)
Первый пролет
Дифференциальное уравнение A5.66)
(а^
(б)
= EJd =—Ml
Его интегрирование дает
1
~бо"
Ji(z)
60
fl-0.5^V
°pi = -
-0,5
г5
20 . 602
\ + Ciz+Di.
Л.
Щ7>
\P'1
55
ш^ш
^
60м
96н
'^Р'
Л
60м
'L ^^' (#
1 Ш
к
г,-to If
ik9531Z^
/77^777
d
JT^i^
17!^
£ис. 330
Рис. 331
345
Определив произвольные постоянные из условий, что при г = О Opj = О н при
g = li йр^ — 3, получим!
ар,=8.5г————+
6-60 ' 40 • 60«
Соответственно
°"Р1 г2_ г*
dz " ' 120 + 8.605
Составляющая величины -^ на первом пролете '
То же, по формуле A5.74):
Второй пролет
Дифференциальное уравнение
=:EJo : = = — 0,5+ — 1 .
dzn dzi /2B) V 4 2.48.4s ;
Его решение с определенными значениями произвольных постоянных
0,5г2 гз г*
Opi =40г— 4- •
^' 2 6.48 ^ 24-48.48
Соответственно
= 40-0.5г-4- +
dz 96 6-40.48
_ «11
Составляющая -^ на втором пролете
2 I d2 1,^0
Полное значение Оц будег
«11= f Дх Y+^2 y)^ = 2 A4 + 40) = 108.
Уравнения линии влияния:
на первом пролете
л. в. М1= — f8,5z--4-+ 1;
108 ^ ' 6-60 ^ 40-603 )'
на втором пролете
,.с 1 Л« 0,5г2 гЗ , г* \
• л. в. Mi= 40г — h »
108 1», 2 6.48 ^ 24-48.48 У
Подсчитанные ординаты показаны на рис. 332*. Ординаты на третьем пролете
^ записаны по условию симметрии.
2. Кососимметричное неизвестное М^'^ (рис. 333).
Аналогично получаем:
022 = 2 A4+11,2) = 50,4;
^ Вычисления проиедеиы с большой точностью для сравнений.
Я46
Рис 332
По упругим
грузам A1.114)
0
— 1,09456
—1.6927
—1,396
0
—7.174
—9,793
-7.174
По упругим
гЬузам A1.118)
—1,094881
— 1.6:KI95
—1,396075
О
—7,168741
—9,780608
—7,168741
В матричной
форме
—1.094584
—1,692739
—1,395696
О
-7,106796
—9.777955
—7.166796
Точно
О
—1.094564
— 1,692708
—1,395671
О
—7,166657
—9,777778
—7.166667
Рис, 333
По упругим
грузам A1.114)
О
—2,345
—3,627
—2,991
О
—2.32
По Упругим
грузам A1.118)
О
—2,36574
—3,65854
—3,016534
О
—2.341463
В матричной
форме
О
^2.346749
—3,629173
—2,992323
О
—2,322671
Точно
О
—2.345494
—3,627232
—2,990723
О
—2,321429
347
Для балки
постоянного сечения
'8.Н,
Для foAku nepeHi'Hhoev
сечени/ (п-45)
По упругим
грузам A1.114)
0
—3,523
—5 445
—41485
0
—9,429
-9,793
—4,919
0
1,683
2,043
1,250
0
Рис.
По упругим
грузам A1.118)
0
—3,46062
—5,35174
—4,41260
0
—9,51020
—9,78061
—4,82738
0
1,62046
1.96534
1,27086
0
334
В матричной
форме
0
—3,44133
—5.32191
—4,38802
0
—9,48947
—9,77796
—4,84413
0
1,59723
1,93643
1,25217
0
Точно
0
—3,44005
—5,37994
-4,38639
0
-9.48810
-9.77778
-4,84524
0
1,59505
1,93452
1.25093
0
Уравнения линий влиянии;
на первом пролете
л. в. Л1к.с=: -
50,4 1,
5г-
гз
на втором пролете
л. в. Л15<= =
~—f 11.2г —
50,4 \
4
6-60
гз
■ +
40-603
6-96
8-482
40-483
Ординаты представлены на рис. 333. Ординаты на третьем пролете показаны по
условию косой симметрии. Ординаты л. в. опорного момента /И^ = М^+Мг'^ даны на
рис. 334.
Построение л. в. в матричной форме
Каждый пролет делим на восемь частей, что-позволит нам определять ординаты
л. в. в трех точках каждого пролета, не считая опорных.
1. Симметричное неизвестное
Первый пролет
а(г) = 1-0,5(^)\
Матрица-столбец а
lla|l = |{l 0,9921875 0,96875 0,9296875 0,875 0,8046875 0,71875 0,6171875 0,50000I,
Матрица податливости A5, 63)
15
6£7о
10 О 0 00 О ,0 0
О 0,96875 О
О О 1,9375 (нули)
О О 3,71875 О
О (нули) О 1,75 О
О О 3,21875 О
О О 1,4375 О
О О 2,46875 О
О О 0.5
348
На первом пролете
Mi=l/8\{0 I 2 3 4 5 6 7 8} I;
—о 15
0 0 0 0 0
0 3 2 10
0 6 4 2 0
0 5 6 3 0
0 4 8 4 0
0 3 6 5 0
0 2 4 6 0
0 12 3 0
0 0 0 0 0
-^ = ЕЛАц —= £УоЛ11 4i^i=l3,9990234375 (точно 14);
a^p=EJobiP = M'i Д1Л1я=1 {0,118.212890625 118Д125 150,732421875 0) {.
На втором пролете
а(г) = 1-0,5A-^У;
II а 11 = 1 {0,5 0.71875 0,875 0,96875 0,875 0,71875 0,5]
матрица податливости A5.63)
0,5 О О
А2 =
24
6EJo
О О
О
0
0
0
0
0
0
0
0
2.875
0
(нули)
0
1,75
0
0
3,875 0
0 2 0
0 3,875
0
О
(нули)
О
1,75
О
О
О
2,875
О
На втором пролете
О
0,5
Mi = ]a 1 1 1 1 1 1 1 1I;
0 0 0 0 0
0 3 2 10
0 6 4 2 0
0 5 6 3 0
0 4 8 4 0
0 3 6 5 0
0 2 4 6 0
0 12 3 0
0 0 0 0 0
—о 24
Мр=—
an
A2-j- = E.J^Mi 42^1=40 (точно); ац = A3,999+40) 2=107,998
a^p = EJaMi А^Ш^ЦО 774 1056 774 0) |.
Ординаты л. в. М^ = — показаны на рис. 332.
2. Кососимметричное неизвестное
На первом пролете
022 . ОЦ
и 02Р~'^
и^р.
На втором пролете
Л?2 =
1
[{43210 —1 —2
-4I
A2a22 = £/o-Af2/l2jM2 = 22,375 (точно 22,4);
ааР = £/оЛ12 Л2Мя = |{0 117 О —117 О)];
022 = 2 A3,9990234375) + 22,375 = 50,373046875.
Ординаты л. в. М^^ = —-2f. показаны на рис. 333.
«22
349
£^0 W=
15
12
Построение линий влияния по упругий грузам
Для сокращения вычислений каждый пролет балки разделим только на четыре
части (рекомендуется 8—12 частей). Матрицы упругих грузов составим по формуле
<11 118).
1. С имметричное неизиестное М" (рис. 332).
Матрица упругих грузов на первом пролете
3.5 2.90625 —0,4375 О О
I 9,6875 0,875 О О
О 0,96875 8,75 0,71875 О
О О 0,875 7,1875 О,
О О , —0,4375 2,15625 I,
0,634765625
3.57421875
6,4453125
7,91015625
3,935546875
Слагаемое перемещения—ii иа первом пролете определим как реакцию балки на
«равой опоре первого пролета от упругих грузов.
Ai -^ = 13,984375 <точно 14).
5
75
J_
-4
0
1
2
Э
4
Матрица упругих грузов на итором пролете
£^0 W= •
24
V2
1,75
0,5
О
О
О
2,625
8,75
0,875
О
О
-0,5
1
10
1
-0,5
О
О
0,875
8,75
2,625
5
75
7,75
20,5
23,5
20,5
7 7.5
По второму пролету А^ —^
2
Полное значение
40.
Ои = 2 A3,984375 + 40) = 107, 96875 (точно 108).
Ординаты эпюры перемещений Opj = E/q^pi определим как изгибающие моменты
IB простой балке от упругих грузов (рис. 332).
На первом пролете
0 0 0 0 0,634765625 О
3 2 10 3,57421875 118,212890625
2 4 2 0- 6,4453125 = 182,8125
12 3 0 7,91015625 150,73241875
\ 0 0 0 0 0 3,935546875 О
*р\
= +
На втором пролете
VI
= +
96
16
0
0
0
0
0
7,75
20,50
23,50
20,50
7,75
^
0
774
1056
774
0
Ординаты л. в. М\
"Р\
показаны на рис. 332.
2. Кососимметричное неизвестное Mj*^
Упругие грузы в первом пролете и эпюра ар2 будут такие же, как и для получения
в. Ml. Также Ai^=Ai-?li
' 2 2"
Матрица упругих грузов на втором пролете
EJo W-
24
12
1.75
0,5
0
0
0
2,625
8,75
0,875
0
0
— 0,5
I
10
1
—0,5
0
0
0,875
8,75
2,625
О
о
о
0,5
1,75
.
1
0,5
0
-0,5
— 1
= —
6,125
9,75
0
—9,75
—6,125
350
Значение IL на втором пролете определим как реаккню опор от упругих грузов-
2
Полное значение
ваа = 2 A3,984375 + 11) = 49,96875 (точно 50,4).
Ординаты л. в. М^^'^ = —— показаны на рис. 333. Ординаты л. в. опорного мв-
022
мента All = M^-h М'^'^ааны на рнс. 334. На этом же рисунке-яунктиром показана л. в.
для балки постоянного сечения ^"
§ 157. ФОРМЫ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ М, Q И /? И РАСЧЕТНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ
Форма линий влияния во многих случаях может быть найдена по
кинематическому методу. На рис. 335 изображены примерные очертания линий
влияния изгибающих моментов, поперечных сил и опорных реакций.
Линии влияния изгибающих моментов могут быть трех видов: для
сечений между фокусами (рис. 335, а); для сечений в фокусах (левых на
рис. 335, б) и для сечений между опорами и фокусами (рис. 335, в).
Линии влияния поперечных сил изображены на рис. 335, г, а линии
влияния опорных реакций — на рис. 335, д.
Для получения расчетных положительных значений М, Q и R надо
нагрузку р расположить на положительных участках линий влияния, а дл»
получения расчетных отрицательных значений М, Q а R надо нагрузку р
расположить на отрицательных их участках.
Например, для получения расчетного положительного значения реакции
R нагрузка должна быть расположена в соответствии с рис. 335, е, а
для получения расчетного отрицательного значения — в соответствии
с рис. 335, ж.
В)
iR лдМ \P'1
Щ .0 D P
t Р.чс. S6b
ГЛАВА 16. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ШАРНИРНЫХ ФЕРМ
И КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ ПО МЕТОДУ СИЛ
§ 158. СТЕПЕНЬ статической НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ И^НОВНАЯ СИСТЕМА
Стержни и опорные связи статически неопределимых ферм разделяются
на необходимые, устранение которых обращает систему в изменяемую, и
лишние — все остальные. Как известно, продольные силы необходимых
стержней и реакции необходимых опорных связей статически определимы.
Степень статической неопределимости шарнирных ферм определяется
по формуле, вытекающей из B.9):
«=С+Сои—2У. A6.1)
Основную систему для расчета ферм будем образовывать только разре^
занием (не устранением) лишних стержней и устранением опорных связей;
При расчете на смещение опор опорные связи будем также разрезать.
Неизвестные продольные силы в разрезанных стержнях фермы будем считать
положительными, если они растягивающие.
Основная система, получаемая только разрезанием стержней фермы,
оказывается во многих случаях удобнее основной системы, в которой
устраняются опорные связи. Например, первая основная система (рис. 336, а)
удобнее второй (рис. 336, б), потому что в ней продольные силы от нагрузки
во многих стержнях равны нулю, тогда как во второй основной системе
этого нет. Кроме того, в первой основной системе продольные силы
некоторых стержней от X, = 1 также равны нулю. Поэтому, например,
перемещение 6i3 = 0. Все это уменьшает количество вычислений при расчете фермы
по первому варианту основной системы.
§ 159. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Общее k-e каноническое уравнение для расчета ферм на нагрузку,
действие температуры, смещение опор и натяжение стержней неправильной
длины, согласно A4.5), имеет вид
би-^хЧ-бйа^а-Ь.-.-Ьбйп^^п+А^р+Дм-ЬДлд^О. A6.2)
где
"V '^ih ^IP .
Дзгт — разность между необходимой и фактической длиной 1-го
стержня.
•"^ а /t_ 6 с Гр d д Уравнение A6.2) мож-
■^ ^' "^ *■**-* ■о^*<л а цр дз основании (П.39)
записать так:
^
!/>
Aft= 2. —:r-z X
Phc. 336 Х/1-1-Дй(Ч-Д^д = 0. A6.3)
3 52
Здесь
Nip = Na Хг +NiiX^+... + Nfp.
A6.4)
\1200kH
у1200км'
Выразим это уравнение через
напряжения ff| в любом i-u стержне
фермы:
El
аг/г+А« + Дйд=0. A6.5)
Суммирование производится по
всем стержням фермы.
Если основная система, образо- Рис. 337
ванная только разрезанием
стержней, при равномерном нагревании или охлаждении остается подобной
себе, то все А^^ = О и в стержнях фермы температурные напряжения
равны нулю. Следовательно, для таких ферм имеет место тождество
Пример 46. Определить продольную силу в стержне 2—4 фермы (рнс.337).
Каноническое уравнение би Х^ + Ajp = 0. Подготовительные вычисления приведены
в табл. 9.
Таблица 9
1
о
1—2
2—3
1—S
2—4
If Ы
5
5
8
8
2
Fg. ы'
0,0070
0,0130
0,0056
0,0048
^■"-
714,290
384.615
142,860
833.333
^i.
0,625
—0,625
—0,500
1.000
N2
0,390625
0,390625
0,250000
1,000000
—2 h
279,02
150,24
357,15
833.33
кН
— 1000
—lono
800
0
кН
—625
625
—400
0
—446430
240384
—571440
0
2 на половине фермы:
1619,74 м-'
—777486 кН/м
Из таблицы получаем
AiP
777 436-2
1619,74-2
= 480 кН.
§ 160. ВЛИЯНИЕ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ ЛИШНЕГО СТЕРЖНЯ
НА ПРОДОЛЬНЫЕ СИЛЫ И НАПРЯЖЕНИЯ
Продольные силы и напряжения в лишних стержнях статически
неопределимых ферм при действии нагрузки зависят от соотношений площадей
сечений всех лишних стержней фермы, а при действии температуры и
смещениях опор они зависят от величин площадей сечений этих стержней.
Поэтому важно знать, как будут изменяться продольные силы и напряжения
при изменении площадей сечений отдельных стержней.
Пусть я -— степень статической неопределимости фермы, am — число ее
стержней. Выясним, как изменяется продольная сила в стержне k от
изменения площади сечения этого стержня. Образуем основную п — 1 раз
статически неопределимую систему, разрезая один стержень k, в котором
изменяется площадь сечения.
Каноническое уравнение
12 Зак. 763
353
Величину bkki представим как сумму двух слагаемых
■1 Т/2
^'kk
Следовательно;
. 06.6)
Ih
Продольная сила в разрезанном стержне k от нагрузки равна нулю.
а потому перемещение Ai"p~ '* не зависит от площади сечения /^^ этого -fe-ro
стержня. Также не зависят от площади /"^ и перемещения Д*"""" и ДйГ^'.
Поэтому:
1) с увеличением площади сечения Fj^ исследуемого стержня k
продольная сила в нем возрастает, ас уменьшением ее — убывает;
2) возрастание и уменьшение продольной силы имеет пределы:
при Fft —» о Xft-»-0; при F^ —» оо Х^ —» .
3) поскольку бйТ;" ', а значит и знаменатель A6.6) всегда положителен,
то знак продольной силы Х^ зависит только от знака числителя A6.6)
Д^~'* + ДЙ~ ' -f ДЙГ" \ а он не зависит от площади сечения F^. Значит,
изменение плоигрди селения F^ не влияет на знак продольной силы в этом
стержне. Иными словами, если при заданных площадях сечений всех остальных
стержней данный стержень растянут или сжат, то изменением плошади
сечения только этого стержня изменить знак продольной силы в нем нельзя.
Напряжение в исследуемом стержне k равно:
Y Л<""-'>4-А1"~"л-Л<"—"
aft = -
Eh
При Ffe —0 Oft= : ; ,anpHffe-.oo (Ть=0
Ik
Таким образом:
1) при увеличении площади сечения Fh напряжение в стержне
уменьшается и при F^ = оо оно равно нулю;
2) при уменьшении площади сечения стержня до нуля напряжение воз-
растает до величины (Тй = -^ -,
3) знак напряжения, как и знак продольной силы, не зависит от
площади Fk-
Изменение площади сечения стержня k влечет за собой изменение
продольных сил во всех остальных лишних стержнях фермы.
Для исследования продольной силы в любом i-м стержне фермы, при
изменении площади сечения в k-u стержне, запишем продольную силу Ntt^
в таком виде:
причем Л/1*"~'* и NTp~ '* не зависят от площади F^.
Поэтому с увеличением площади F^ первое слагаемое Nip будет
возрастать по абсолютной величине, а с уменьшением ее — убывать. Если знак
первого слагаемого N%~^''Xk противоположен знаку второго слагаемого, то-
в отдельных случаях изменением площади сечения ^-го стержня можно до-
354
биться изменения знака продольной силы в i-м стержне. Если же знаки
одинаковы, то изменение знака продольной силы i-ro стержня при изменении
площади Л-го стержня невозможно.
§ 161. ФЕРМА РАВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Фермой равного сопротивления называется ферма, во всех стержнях которой прн
возрастании нагрузки данного типа предельное состояние наступает одновременно.
В каждом стержне такой фермы материал будет использован полностью, т. е.
напряжения в нем будут предельными.
В статически определимой ферме продольные силы не зависят от площадей
сечений, а потому статически определимые фермы во исех случаях могут быть фермами
равного сопротивления. Иначе обстоит дело в статически неопределимой ферме. В неб
продольные силы зависят от площадей сечеиий. Поэтому статически неопределимая
ферма только в редких случаях может быть фермой равного сопротивления.
Действительно, если во всех неразрезанных стержнях некоторой основной
системы (рис. 336, а) напряжения равны предельным (Oj), то взаимные смещения узлов аиЬ,
с и d н других будут вполне определенными. Поэтому относительные упругие
удлинения стержней аЬ, cd и других, а следовательно, и напряжения в них также вполне
определены. Они зависят только от схемы фермы и удлинений (напряжений)
неразрезанных стержней основной системы и, как правило, не равны предельным напряжениям
для разрезанных ее стержней.
Только в исключительных случаях относительные удлинения стержней аЬ и cd
таковы, что и в них напряжения будут равны предельным.
Приведенные рассуждения вытекают и из канонических уравнений A6,5), которые
при предельных напряжениях (а^) должны обратиться в тождества
ll + I^M+\l!, = Q-
A6.7)
Эти тождества являются условиями равнопрочности ферм. Из них видно, что
равнопрочные фермы определяются только схемой фермы и предельными напряжениями.
На рис. 337. показана ферма, которая будет равнопрочной, если предельные
напряжения для растянутых и сжатых стержней равны по абсолютной иеличине. Для
этой фррмы.
Nii (^i) h
2 Г 5
"" £ [ 8
(_аM--^(а)8-—(-аM+1(а)
т\
Условие A6,7) выполнено, значит такая ферма при таких данных может быть
фермой равного сопротивления.
Ферма, изображеннаи на рис. 338, также при равных предельных напряжениях
на растяжение и сжатие может быть равнопрочной. Для нее имеем
У 7/а (ai) li= --- (о) 5-1-1 (а) 6.25 —— (а) 5 = 0.
#« о о
Если равнопрочную ферму с предельным^! напряжениями во всех стержнях
получить нельзя, то необходимо в одном или нескольких стержнях уменьшить
напряжения по абсолютной величине с тем, чтобы равенства A6.7) были выполнены.
Покажем, как это сделать в однажды неопределимой ферме, для которой
должно быть выполнено равенство
Ei
-i
Пусть при заданных предельных напряжениях
!
A6.8)
^й^
El
+Alt-^A^д=^0.
Слагаемые под знаком суммы могут быть
положительными или отрицательными Пусть в s стержнях
выражения JVji (Oj) li положительные, а в остальных (т—s)
отриииательные. Тогда
2
л^п (ffj) h
Ei
y. —^^^7^^-^+Д1*+Дгл^ 0.A6.9)
Г2*
355
Если левая часть A6.9) больше нуля, то необходимо в одном или нескольких
стержнях из числа s уменьшить по абсолютной величине напряжения так, чтобы
неравенство A6.9) превратилось в равенство A6.8). Если же левая часть меньше нуля, то
то же самое надо проделать для стержней из числа (т—s).
Таким образом, всегда может быть найдена ферма, рассчитываемая на одну
нагрузку, действие температуры, смещение опор и натяжение стержней неправильной
длины, у которой напряжения в одном или нескольких стержнях фермы прн данных
условиях будут меньше предельных.
В дважды неопределимых фермах уменьшать напряжения в общем случае
придется не менее чем в двух стержнях. Уменьшение напряжения в двух стержнях
находится в этом случае из двух уравнений типа A6.9).
§ 162. ДВЕ ФОРМЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
Целью расчета ферм является или определение напряжений в стержнях
(поверочный расчет), или определение размеров сечений стержней
(проектировочный расчет). В обоих случаях надо знать продольные силы во всех
стержнях фермы. При поверочном расчете должны быть известны
поперечные сечения стержней, а при проектировочном расчете — напряжения,
которые могут быть допущены в стержнях, т. е. расчетные сопротивления Rt
(допускаемые напряжения). Определение напряжений и подбор сечений
производятся при помощи известных формул
Ni „ Ni
Fi=-
' Fi ' ^ Ri
Таким образом, если ферма имеет С стержней, то для полного расчета
необходимо знать 2С + Соп различных величин: С — продольных сил, С —
площадей или напряжений и С(,п — опорных реакций.
В статически определимых фермах продольные силы, если пренебрегать
собственным весом или учитывать его приближенно, не зависят от площадей
сечений стержней. Поэтому продольные силы во всех С стержнях фермы и
все опорные реакции С^а могут быть определены по уравнениям статики.
Это значит, что должны быть заданы или площади сечений всех С стержней,
или расчетные сопротивления, или и то и другое вместе, но общим числом С.
Иное дело в фермах, статически неопределимых, в которых продольные
силы зависят от площадей сечений. Посмотрим, какие уравнения могут быть
использованы при расчете п раз статически неопределимой фермы.
1. Уравнения равновесия числом С — я + Соп, содержащие только
силы.
2. Канонические уравнения перемещений числом п, содержащие силы
Xi, ..., Хп и площади'сечений всех стержней A6.2) или напряжения во всех
стержнях A6.5).
Таким образом, С + Соп уравнений недостаточно для определения всех
2С + Соп неизвестных величин, и задача является неопределенной.
Необходимо иметь С дополнительных уравнений для ее решения.
Если зададим площади сечений всех С стержней фермы, то канонические
уравнения будут содержать только продольные силы. Тогда С -Ь Соп
уравнений определяют С + С^п продольных сил в стержнях фермы и опорных
реакций, и задача становится определенной. После вычисления из
канонических уравнений основных неизвестных Х^, ..., Х„ продольные силы в
остальных стержнях могут быть найдены по выражению A6.4). Мы пришли
к обычной форме метода сил.
Если же задать произвольно напряжения во всех С стержнях фермы,
то, во-первых, канонические уравнения A6.5) могут быть не удовлетворены и,
во-вторых, даже если они и будут удовлетворены, все равно продольные силы
стержней фермы не могут быть найдены, так как уравнений статики для
этого недостаточно. Следовательно, не могут быть найдены и площади
сечений стержней. Поэтому необходимо задать я значений продольных сил
в лишних (обычно разрезанных), стержнях фермы, с тем чтобы уравнений
статики стало достаточно для определения остальных неизвестных продоль-
356
ных сил и опорных реакций. Кроме того, необходимо задать С—п значений
напряжений в остальных стержнях фермы, чтобы из канонических
уравнений A6.5) можно было определить напряжения в п стержнях, в которых были
заданы продольные силы.
Такая форма расчета, поскольку канонические уравнения будут
содержать неизвестные напряжения, называется методом напряжений. Если
задача содержит какие-либо дополнительные условия, например условия
минимума объема фермы, которые выражаются дополнительными уравнениями,,
то число независимо задаваемых величин уменьшается.
§ 163. МЕТОД НАПРЯЖЕНИЙ
Уравнения A6.5) при всех значениях k являются каноническими
уравнениями метода напряжений, пригодными в принципе для любой основной
системы. Но удобны они, лишь когда основная система выбрана только
разрезанием лишних стержней фермы. В таких случаях канонические
уравнения будут раздельным,и, т. е. каждое из них будет содержать только одно
неизвестное напряжение в разрезанном стержне.
В этом можно убедиться, если каноническое уравнение A6.5)
представить в новом виде, которым будем пользоваться далее, выделив из-под
знака суммы,слагаемое, относящееся к k-щ разрезанному стержню:
Z -г^'^г/гЧ—^-ЬАй*-Ь\д = 0, A6.10)
неразр '-■i ^ft
где Oft — искомое напряжение в k-u разрезанном стержне, а //,6 —
единичные продольные силы в i-м неразрезанном стержне основной системы от
растягивающей силы Xfe = 1.
Поскольку в разрезанных стержнях основной системы продольные силы
от Xft ^ I равны нулю, то суммирование производится по неразрезанным
стержням основной системы и под знаком суммы будут содержаться только
заданные напряжения в неразрезанных ее стержнях. Поэтому каждое
уравнение A6.10) содержит только одно неизвестное. В этом заключается особое
достоинство метода напряжений.
Для того чтобы задать правильный знак напряжения в неразрезанных
стержнях основной системы, необходимо знать знаки продольных сил. А для
этого следует задать продольные силы в п разрезанных стержнях основной
системы. Задаваемые напряжения в неразрезанных С—п стержнях
основной системы желательно полагать равными расчетным сопротивлениям.
Однако не всегда это возможно. Дело в том, что взаимные перемещения
двух узлов основной системы, к которым примыкают разрезаншле стержни,
по направлению этих разрезанных стержней и при заданных напряжениях
в остальных стержнях основной системы будут вполне определенными,
зависящими только от схемы фермы. А это значит, что относительные
удлинения и напряжения разрезанных стержней, зависящие от перемещений узлов,
к которым они примыкают, могут оказаться больше расчетных сопротивле-
HHftj что конечно недопустимо. В таких случаях задачу приходится решать
путем повторных попыток, а это является недостатком метода.
Порядок расчета по методу напряжений следующий:
1) задают продольные силы в разрезанных стержнях Xi, .... Х„ в
пределах возможных по характеру работы фермы значений, определяемых или
приближенно, или на основе теоретических соображений (§ 164);
2) по формуле A6.4) определяют продольные силы Nip во всех стержнях
основной системы;
3) в соответствии со знаком продольной силы N ip назначают расчетные
напряжения по величине и знаку во всех неразрезанных стержнях основной
системы;
357
4) из канонических уравнений A6.10) определяют напряжения во всех
разрезанных стержнях. Знаки этих напряжений должны соответствовать
знакам ранее заданных продольных сил в этих стержнях, а их значения —
условию прочности или устойчивости.
Если хотя бы одно из перечисленных условий п. 4 не выполнено, то
расчет не пригоден. Надо изменить или напряжения в некоторых стержнях
основной системы, или некоторые продольные силы Х^, ..., Хп, или и то и
другое, и расчет произвести заново.
Обратим внимание на одно интересное свойство статически
неопределимых ферм. Если ферма может быть спроектирована при каких-нибудь
заданных продольных силах ^i, ..., Х„ в разрезанных стержнях основной
системы и заданных напряжениях в неразрезанных стержнях, то она может
быть спроектирована и при других силах Xi + АХ^, ..., Хп + АХ„ при
тех же напряжениях, что и ранее, но при условии, что знак продольной
силы в каждом стержне сохранен (теорема Леви). Это нетрудно понять,
поскольку деформированное состояние фермы, при неизменных напряже-
'ниях, является единственным. Из канонических уравнений A6.10) также
видно, что напряжения в разрезанных стержнях при новых значениях
продольных сил не изменяются.
Если при действии на ферму только нагрузки канонические уравнения
A6.10) удовлетворены, то они будут удовлетворены и при пропорциональ- ■
ном изменении всех напряжений. При этом надо иметь в виду, что
увеличение напряжений влечет за собой уменьшение площадей сечений стержней,
т. е. уменьшение объема и веса фермы.
Все приведенные рассуждения относятся к расчету фермы только на
одно какое-либо отдельное или совместное воздействие — нагрузку,
смещение опор, действие температуры и натяжения стержней неправильной
длины. Расчет на несколько отдельных воздействий здесь не
рассматривается.
§ 164. ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОСНОВНОГО НЕИЗВЕСТНОГО
В ОДНАЖДЫ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЕ
При использовании метода напряжений приходится задаваться
значениями продольных сил в лишних стержнях, причем эти значения не могут
быть совершенно произвольными. Покажем, что для них существуют
пределы, за которыми при любых напряжениях, даже превышающих
пределы прочности, канонические уравнения не могут быть удовлетворены.
В этих пределах существуют еще более тесные границы для
возможных значений основных неизвестных X, при которых напряжения в
стержнях фермы не превышают расчетных сопротивлений.
Не рассматривая этот вопрос в общем виде, ограничимся расчетом
однажды статически неопределимой фермы на одну нагрузку. Каноническое
уравнение запишем в таком виде:
- NiP
Nil —-— /, = 0. (а>
Pi
7.
Если произведения A^iiA/,P для всех стержней однозначны, то это
уравнение не может быть удовлетворено.
Исследуем, при каких условиях эти произведения однозначны. Для этого
найдем значение Xi, при котором продольная сила в каком-либо i-м стержне
фермы равна нулю:
Л?г1-^1+Л/?р = 0, откуда Xi=-—^.
Nil
Пусть Х„ есть наибольшее, притом положительное, значение Х^ при
обращении в нуль продольной силы в стержне а, а Х^ есть наименьшее,
358
притом отрицательное, значение Х^ при обращении в нуль продольной силы
в стержне Ь. Докажем сначала, что произведения NuNcp при Х^ = Ха +
+ АХа, где ДХд ^ О, положительны. Продольные силы в других
стержнях обращаются в нуль при Х^ < Х^. Пусть они обращаются в нуль
при Xi = Ха — ^Xi, где AXj — положительная величина. Для них
справедливо равенство
NiP = Na(Xa-AXi)+IV9p^0. (б)
Найдем теперь продольную силу Nгр при Х^ = Х„ + АХ^ с учетом (б):
^lP=lvn(Xa-]-^Xa)+ N^p=^ii(AXa+AXi). (в)
Произведение Ni\NiP= N}\ {АХ^ + АХ^) > О, т. е. положительно.
Таким образом доказано, что при Х^ ~ Ха + АХ^ и АХ^ ^ О
произведения NiiNip положительны, и каноническое уравнение при любых
напряжениях не может быть удовлетворено. Только при Х^ = Х^ + АХа и
АХ^ < О некоторые слагаемые в каноническом уравнении (а) могут быть
отрицательны и оно может быть удовлетворено. Аналогично можно показать,
что при Xi = Х^ — AXt, и АХ,, > О произведения N^Ntp отрицательны.
Поэтому значения Х^, при которых каноническое уравнение (а) может быть
удовлетворено, если бы напряжения можно было назначать без
ограничений, удовлетворяют неравенствам
Xb<Xi<Xa. A6.11)
В этих пределах существуют более тесные границы для значений X],
при которых напряжения в разрезанном стержне не превышают расчетного
сопротивления.
" Если при заданном значении Х^ = Х„ продольная сила в каком-либо
i-M стержне фермы N{р окажется равной нулю, то статически неопределимая
ферма, как правило, неосуществима. Дело в том, что расхождение узлов,
к которым присоединен такой стержень с Nip = О, за редким исключением,
не равно нулю. Следовательно, в этом стержне статически неопределимой
фермы напряжение и продольная сила не могут быть равны нулю, что
противоречит уравнениям статики. Если принять площадь сечения этого стержня
равной нулю, то ферма станет статически определимой. Чтобы сохранить
по каким-либо соображениям статическую неопределимость фермы с
продольной силой в 1-м стержне, равной нулю, надо, чтобы его длина в неде-
формированном состоянии была равна расстоянию между узлами фермы,
находящейся в деформированном состоянии, к которым присоединен этот
стержень.
пример 47. Найти некоторые возможные значения Х^ для фермы (см. рис. 337).
Найдем значения Xi, прн которых продольные силы в стержнях фермы равны
нулю:
N
N,-
2—3
Nj.
-2
=
-3'-
5
~ 8
5
"" 8
= —
Л'г-
■Xi-
■Xi-
3 '
..=1
■1000 = 0,
■1000 = 0,
-f 800 = 0
•Xi = 0.
откуда
откуда
, откуда
откуда
Xi =
Xi =
Хг
^1 =
= 1600 кН;
= —1600 кН;
= 1600 кН;
0.
Следовательно, — 1600 кН < Xi < 1600 кН.
Статически определимые фермы при Xi = 1600 кН, Xj = О и Xj = —1600 кН
показаны на рис. 339, где пунктиром изображены стержни и опоры с продольными
силами и реакциями, равными нулю. Рассмотрим какое-нибудь в указанных пределах
значение Хх = —800 кН. Продольные силы в стержнях Nj^2 ~ —^^^^ '^^' ^2—а ~
359
При- 1гоОкн
= —500 кН, N,_g = 1200 кН, /Vj_^ =
= —800 кН. В соответствии со знаком
продольной силы назначаем предельные
напряжения для растянутых (+а) и дли
сжатых (—а) стержней. Каноническое
уравнение A6.10)
X (-аM—j-(+o)8 + l
8 1
•ох-J 2 = 0.
Следовательно, Oi = (+а), что
противоречит принятому знаку основного
неизвестного Ki = —800 кН. Это значит, что
принятое значение Xj == —800 кН при таких
заданных напряжениях невозможно.
Если в стержне 2—3 назначить
напряжение (—а) 89, то Oi = (—а), и тогда при-
Рис. 339 нятое значение К^ = —800 кН становится
возможным.
Рассмотрим еше значение Xj = +480 кН. Продольные силы в стержнях:
N ,_2 = —700 кН, N2_3~ —1300 кН, Af;_3=560 кН, Л'2_^= 480 кН. Каноническое
уравнение A6.10).
" 5 . 5 1 8 ■
— (_аM ^(-aM-Y(+o)8-l-l.ai-^
2 = 0,
откуда Of = (+о). Знак напряжения Oj совпадает со знаком заданной продольной
силы. Следовательно, принятое значение Xj = 480 кН при заданных напряжениях
является возможным.
§ 165. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ОБЪЕМ ФЕРМЫ
Теоретическим объемом фермы называется объем ее стержней, вычисленный по их
теоретической длинен по площади сечений нетто Т^нт Растянутых стержней, без учета
узловых соединений. Фактический объем (и вес) фермы получается умножением
теоретического объема (веса) на конструктивный коэффициент, больший единицы.
Теоретический объем является показателем рациональности схемы фермы, а
конструктивный коэффициент — показателем рациональности ее конструкции.
Теоретический объем п раз статически неопределимой фермы может быть
выражен формулой
■J,F,... J,
нсразр
0£
7,
разрез
Oft
A6.12)
Первый знак суммы распространяется на неразрезанные, а второй на разрезанные
стержни основной системы.
Рассмотрим ферму под действием какой-нибудь определенной нагрузки. Пусть
неизвестные Xj..., Х„ удовлетворяют каноническим уравнениям метода напряжений
A6.10). Объем фермы, изготовленной из одного материала, по A6.12) и с учетом A6.4)
и A6.10) будет
v„=2
(IVjl Xi +Nii X2+ ... +Nin Xn + Nh) It
Xhlk
неразр
Это выражение представим в таком виде:
у -
разрез
иеразр
где
У.
л
неразр
м\рц
ot
Vn
•
= А+ 2 ВдХй.
разрез
В,- У. '''^^
неразр '
Ik
неразр
A6.13)
360
Нетрудно убедиться, что /4 и Вд не зависят от Х)^. Это значит, что теоретический
объем фермы линейно зависит от каждой силы, Х^ Х^, т. е. он возрастает или
убывает с изменением каждого Xk. Наименьшее значение функции Vn A6.13) при
заданных напряжениях будет на границе,ее области определения. Эта граница
определяется изменением знака продольной силы, хотя бы в одном стержне фермы, при
изменении величины Xi-.., Хп, поскольку при дальнейшем их изменении изменится и
знак напряжения в этом стержне, а стало быть, изменится и сама функциональная
зависимость A6.13).
Напомним, что если в статически неопределимой ферме, находящейся под
действием какой-либо определенной нагрузки, найдены сечения стержней с заданными
напряжениями при заданных силах Х-^,..., Хп в разрезанных стержнях основной систе-
мы, то могут быть найдены новые сечения стержней с теми же напряжениями, но при
других силах Ai+A^i Хп+^Хп, если при этих силах знаки продольных сил
во всех стержнях фермы остаются прежними.
На основании этого будем изменять любое неизвестное Х^ или сразу несколько
неизвестных, каждое в том направлении, чтобы объем фермы уменьшался до тех пор, '
пока в каком-нибудь стержне а продольная сила Л/д не обратится в нуль. При
дальнейшем изменении неизвестных Xi,..., Хп, в том же направлении продольная сила Л/о
изменит знак. Значит, объем фермы Vn, при заданных напряжениях в стержнях фермы
при некотором изменении сил Xt,.., Хп^ будет наименьшим, когда продольная сила в
каком-то стержне обратится в нуль.
Если исключить из фермы этот стержень, то ферма станет л—1 раз статически
неопределимой, объем которой меньше объема исходной п раз статически
неопределимой фермы, и равен ему, если неизвестные X, при данном порядке и законе их
изменения, принимают значения, при которых продольная сила Л/^ равна нулю, т. е.
Vn-i<Vn- A6.14).
Поскольку переход к п—1 раз неопределимой ферме связан законом изменения
неизвестных X при уменьшении объема фермы, то таких п—1 раз неопределимых ферм
может быть не одна, а несколько. Все они при заданных напряжениях в стержнях
удовлетворяют неравенству A6.14) При некотором изменении неизвестных X могут
совместно обратиться в нуль продольные силы в нескольких стержнях фермы, их удаление
из фермы .еще более понизит ее степень статической неопределимости.
Например, в симметричных фермах при симметричной нагрузке продольные силы
в симметричных стержнях совместно обращаются в нуль. В этом случае, если
ферма однажды неопределима, один стержень должен быть сохранен, чтобы ферма
осталась неизменяемой.
Так же рассуждая, можно перейти от фермы, п—1 раз неопределимой, к ферме,
л—2 раза неопределимой, и в конце концов перейти к статически определимой
ферме. Значит, теоретический объем всякой статически определимой фермы, полученной
из заданной статически неопределимой фермы удалением стержней, при
наперед заданных напряжениях меньше объема исходной статически неопределимой
фермы или, по крайней мере, равен ему. Следовательно, фермы наименьшего объема при
наперед заданных напряжениях есть статически определимые фермы, получаемые иэ
данной статически неопределимой удалением из нее я стержней. В числе этих ферм
наименьшего объема содержится ферма с самым наименьшим объемом.
§ 166. НАПРЯЖЕНИЕ ОТ ДЕЙСТВИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ, СМЕШЕНИЯ ОПОР
И НАТЯЖЕНИИ СТЕРЖНЕЙ НЕПРАВИЛЬНОЙ ДЛИНЫ
Коэффициенты канонического уравнения A6.2)
могут быть записаны в виде
'^-T.y.^^i^h
где /^0 — площадь какого-нибудь стержня фермы.
Свободные члены A^j и А^д не зависят от F^, а потому
где D и Dft — определители, а А^ ч Bt — некоторые постоянные числа.
361
Напряжение в любом стержне фермы а^
F,
-^ = Bi~^. Как видно, на-
пряжение зависит от принятого отношения ^ и не зависит от величины f „.
Поэтому при пропорциональном изменении площадей сечений всех
стержней фермы напряжения от действия температуры, смещения опор и
натяжений стержней неправильной длины не изменяются.
§ 167. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ сил
Ограничимся рассмотрением статическего метода построения линий
влияния. Линии влияния основных неизвестных Xi, ..., Х„ выразим через
коэффициенты влияния (рис. 340, а):
л. в. Xi=^ii6pi+^ii8p2+ ... -b,Pi7i6p„;
л. в. X„ = P„i6p,+Р„2бр2+ ••• +f>nn^p„
A6.15)
График величины 8pk есть эпюра вертикальных перемещений грузового
пояса от Xh~= 1 (рис. 340, б). Следовательно, линии влияния неизвестных
Xi, ..., Хп состоят из эпюр перемещений bpk, умноженных на
коэффициенты влияния. Эпюру перемещений bpk удобно строить при помощи
упругих грузов. Для определения упругого груза п-го узла надо в этом узле
приложить eдиJничнyю группу сил (рис. 340, в) и от нее определить
продольные силы Ntn в стержнях основной системы. Величина упругого груза
определяется по формуле A1.79)
W
nh
= Ii^гr^J^^^^
A6.16)
Эпюра изгибающих моментов в простой балке от упругих грузов
(рис. 340, г) есть узловая эпюра bpk.
Если основная S система имеет несколько пролетов (см. рис. 336, а),
то эпюра изгибающих моментов от упругих грузов строится в цепи однопро-
летных балок. Линии влияния продольных сил в стержнях ферм могут быть
построены по общему выражению A4.77), которое в этом случае имеет вид
л. в. Л',-р = (Л. в. Х})Мц + (Л. в. X2)Ni2+ ... +
-|-(л. в. Х„) лГг„+л. в. NiP.
A6.17)
г;
ей'
t/d f 7/riWr V/'^r !
^^4 р±-1^^-^^'^'-\-у-рц ц^
Рис. 340
362
§ 168. ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ
КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ
1. Балки или фермы, усиленные
шарнирной цепью
Наиболее распр.остраненным
типом комбинированных систем
являются висячие мосты. Рассмотрим
для общности систему с распором,
воспринятым балкой (рис. 341, а).
Эта система трижды статически
неопределима.
В качестве основной удобно
принять статически
неопределимую систему, получаемую разрезом цепи (рис. 341, б). В
рассматриваемом случае основная система дважды статически неопределима.
Каноническое уравнение имеет вид
l>?^X, + 6f) = 0.
A6.18>
Для определения б(|2> и 6ip надо найти продольные силы N^ в цепи
и подвесках и построить эпюру изгибающих моментов М^ в неразрезной балке
от Xj = 1. Перемещение б<{\) определяется по формуле
6iv = 2
Nh и — —
EFi
+ (Mi)(Mi) +
\-L
(£f) балки
A6.19)
Эпюра изгибающих моментов Mj строится по уравнению трех моментов
(рис 341, в). Если цепь присоединена к балке с эксцентрицитетом, то надо
учесть изгибающие моменты в балке от эксцентрично приложенной
горизонтальной силы.
Выражение 8\р = 6pi определяет эпюру вертикальных перемещений оси
неразрезной балки в основной системе от Х^ ~ 1, которая может быть
найдена различными способами, например по общему уравнению оси изогнутой
балки, если неразрезная балка постоянного сечения, или по упругим
грузам (графоаналитическому' методу), если балка переменного сечения.
Линии влияния УИ и Q в балке и продольных сил в подвесках и цепи
определяются общим выражением A4.77):
л. в. М=(л. в. Xi)Mi+n. в. М*;
л. в. Q= (л. в. Xj) Qi -f л. в. Q»;
л. в. Nt = (л. в. X]) Nil.
A6.20)
Здесь л. в. М° и л. в. Q" — линии влияния этих величин в неразрезной трех-
пролетной балке.
Линии влияния краевых напряжений в системе с воспринятым
распором строится через л. в. Xi и л. в. М по формуле
в. Окр=' ±
л. в. Х^ л. е. М
W
A6.21>
В изложенном способе расчета внутренние силы определялись понеде-
формированному состоянию системы. Поэтому не были учтены изменения
продольных сил в цепи и изгибающих моментов балки при деформации,
системы. Не были учтены и дополнительные моменты в деформированной
балке от воспринятого распора, что допустимо лишь в таких системах, когда
распор цепи Х^ невелик по сравнению с критической силой для неразрезной
балки.
363
Рис. 342
Поскольку деформации такой системы, особенно при больших пролетах,
оказывают существенное влияние на величину внутренних сил, то
приведенный расчет в этих случаях нуждается в уточнении, что можно сделать путем
последовательных приближений.
Уточненный расчет по линиям влияния невозможен, так как учет
деформированного состояния нарушает принцип независимости действия сил.
Если система не воспринимает распор (рис. 342), то все изложенное выше
применимо и к ней, если считать продольную силу в балке равной нулю.
Расчет такой системы по недеформированному состоянию точнее расчета
системы, воспринимающей распор.
При расчете комбинированной системы в виде неразрезной фермы,
усиленной цепью, удобнее применять в качестве основной системы статически
определимую, полученную разрезанием цепи и еще двух стержней фермы
над опорами. Коэффициенты вида 6^^ определяются по формуле A6.2).
Эпюры перемещений брь 6^2 И брз строятся по упругим грузам A6.16).
Линии влияния неизвестных определяются выражениями A6.15), а линии
влияния продольных сил в стержнях цепи и фермы — выражениями A6.17).
2. Балки или фермы, усиленные шарнирной аркой (рис. 343, а)
Расчет проводится на основе тех же соображений, которые были
изложены при расчете балок или ферм, усиленных шарнирной цепью. За
основную систему также принимается трехпролетная неразрезная балка
(рис. 343, б) и сохраняются выражения A6.18)—A6.20). Поскольку
средний пролет балки будет работать на изгиб с продольной силой,
передающейся ей от арки, то в сечениях среднего пролета надо строить линии влияния
ядровых моментов или линии влияния краевых напряжений. В крайних
пролетах строятся линии влияния центральных моментов. ■
Так как в среднем пролете балки, усиленной шарнирной аркой,
продольная сила может иметь различные знаки в зависимости от положения
нагрузки, то неточности расчета, как и в балке, усиленной цепью, состоят
прежде всего в том, что не учитывается влияние сжимающих балку продольных
сил на ее изгибающие моменты в деформированном состоянии и не
учитываются изменения продольных сил в шарнирной арке и изгибающих
моментов в балке, связанные с изменением системы при ее деформации.
Указания по расчету ферм, усиленных шарнирной цепью, сохраняются
без изменений и для ферм, усиленных шарнирной аркой.
364
Рис. 343
ГЛАВА 17. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ АРОК
ПО МЕТОДУ СИЛ
§ 169. КЛАССИФИКАЦИЯ И ФОРМЫ АРОК
Статически неопределимые арки бывают двухитрнирные (рис. 344, а),
бесшарнирные (рис. 344, б) и редко применяемые одношарнирные (рис. 344, в).
Арки могут быть симметричные и несимметричные. Двухшарнирные арки
однажды, одношарнирные дважды и бесшарнирные трижды статически
неопределимы. Замкнутые кривые стержни (кольца), если в них нет шарниров,
также трижды статически неопределимы.
Ось кривого стержня и его поперечные сечения определяют форму арки,
которая назначается на основании различных соображений. Главное
соображение состоит в том, чтобы арка была рациональной. Теоретически рацио-,
нальной формой арки данного типа при заданных значениях нагрузки, дли- .
иы пролета и стрелы подъема арки считают такую, которая обеспечивает
необходимую прочность и устойчивость арки при наименьшем ее объеме.
Ось рациональной арки и ее сечеиия определяются специальными
исследованиями. Распределение материала по длине такой арки соответствует
распределению в ней внутренних сил.
Распределение материала по длине арки с заданной осью также должно
соответствовать распределению внутренних сил и прежде всего
изгибающих моментов и продольных сил. Примерное распределение наибольших
по абсолютной величине изгибающих моментов от некоторой подвижной
нагрузки по длине различных арок показано на рис. 345.
Второе соображение при выборе формы арок основано иа желании
получить результаты расчета в виде простых формул. В соответствии с этим
законы изменения площадей и моментов инерции поперечных сечений
необходимо назначать исходя из двух условий:
1) размеры и форма сечений должны соответствовать распределению
расчетных внутренних сил;
2) интегралы в формуле перемещений должны выражаться в конечном
виде через элементарные функции при простых очертаниях оси арки.
Приведем некоторые законы изменения моментов инерции сечений для
симметричных арок, которые в отдельных случаях в некоторой мере
удовлетворяют этим условиям.
а) Для бесшарнирных арок (см. рис. 344, б)
7 = ./о :cosa 1—A—п)-у- , ./ = /о : cos а [ 1 —A—п)-^ |. A7.1)
Рис. 344
Рис. 345
/ — бесшарнирная арка; 2 — одиошарнир-
вая; 3 — двухшариирная; 4 — трехшарннр-
ная
365
б) Для двухшарнирных арок (см. рис. 344, а)
J = J^ cos а,
J = Jo ■ cos all+ {п — 1)-^\, 7 = 7o:cosa 1+{п'—l)-j-|, A7.2)
У=7„ : созаГ l + (l + n) ^-y-yi.
где n = Jo '• Ja COS a^; Jq — момент инерции в замке арки; /^ — момент
инерции в пяте арки.
При проектировании мостов, особенно городских, выбор формы арок
определяется также архитектурными соображениями.
§ 170. ЗАМЕЧАНИЕ К РАСЧЕТУ АРОК
Поскольку арка есть кривой стержень, то при точном ее расчете надо
учитывать кривизну, т. е. напряжения определять по формулам (8.30),
а перемещения — по формуле A1.37).
Заметим, однако, что применяемые в строительстве арки и своды хотя
иногда и могут иметь большую кривизну, как, например, трубы малых
пролетов под большими насыпями, но, как правило, они являются арками малой
кривизны, для которых ^ > 10. Для таких арок сложный учет кривизны
в формуле перемещений A1.37) часто дает мало существенные поправки,
поэтому их расчет при ручном счете обычно приводится по формулам для
стержня малой кривизны, что при использовании ЭЦВМ уже теряет смысл.
Влияние внутренних сил Л' и Q на перемещения в арках по сравненик>
с изгибающими моментами М, как правило, больше, чем в рамах. Оно
зависит от нагрузки и может быть оценено только по результатам расчета.
При прочих равных условиях влияние N и Q для бесшарнирных арок
обычно больше, чем для двухшарнирных 11].
Если изгибающие моменты М в арке велики, влияние N и Q по
сравнению с влиянием М уменьшается, и наоборот. В случаях, когда арка имеет
очертание по кривой давления для трехшарнирнои арки, влияние М я Q
относительно мало. При очертаниях арки, близких к кривой давления для
трехшарнирнои арки, особенно в пологих арках, преимушественное влияние
на перемещения или, по крайней мере, равное влиянию изгибающего момента
оказывает продольная сила Л'.
Существующее суждение о преимущественном во всех случаях влиянии
N по сравнению с Q не всегда, даже для относительно пологих арок,
правильно. Дело в том, что нельзя забывать о коэффициенте ц > 1 (для
двутавровых сечений [i = 2,5 — 3) и модуле упругости G « 0,4 Е, которые
увеличивают слагаемое в формуле перемещений, учитывающее влияние Q.
Поскольку арка во многих <У1учаях представляет собой основную часть
дорогого и ответственного сооружения, то не следует игнорировать без
анализа влияние отдельных слагаемых при определении перемещений по
формуле A1.37). Все принципиальные вопросы расчета арок могут быть изложены^
на основе более простой формулы перемещений стержня малой кривизны
A1.38), поэтому далее только для простоты и краткости изложения она и
будет часто применена. Положительные внутренние силы будем принимать-
по рис. 200, а. В тех случаях, когда это необходимо, расчет арки можно
провести с учетом ее кривизны, применяя вместо формулы перемещений A1,38)
формулу A1.37) и сохраняя при этом весь порядок излагаемого ниже
расчета.
Мы ограничимся расчетом только симметричных арок, как наиболее
часто применяемых. Расчет редко встречающихся несимметричных арок мало
отличается от расчета симметричных арок. Координаты упругого центра
несимметричных арок определяются двумя выражениями, а канонические
уравнения имеют вид A4.37).
366
§ 171. ОСНОВНЫЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ БЕСШАРНИРНЫХ АРОК
Различные основные системы для симметричных бесшарнирных арок
изображены на рис. 346. Они разделяются на балочные (рис. 346, а—в) и
арочные (рис. 346, г, Ъ). Все основные системы допускают расчленение
канонических уравнений и приведение их к виду:
A7.3)
В балочных основных системах а и б это достигается переносом сил в
упругий центр, в основной системе в — переносом сил на уровень упругого
центра и группировкой неизвестных, а в основных арочных системах г и й —
группировкой неизвестных.
Основная система а несимметричная, а потому неудобная. Основная
система б симметричная и удобная. Внутренние силы в этой системе от
нагрузки определяются просто и во многих случаях на части "основной системы
они равны нулю. Основная система в также симметричная, но в ней при
любой несамоуравновешенной нагрузке внутренние силы по всей ее длине
не равны нулю. Основные арочные системы end симметричны. В них
внутренние силы определяются сложнее, чем в балочных основных системах, и
также, как правило, они не равны нулю по всей длине основной системы.
Внутренние силы от нагрузки в балочных основных системах
значительно отличаются от внутренних сил в бесшарнирной арке, а в арочных основных
системах продольные силы, например, близки к продольным силам в арке.
Поэтому арочные основные системы (особенно д) ближе по своей работе
к бесшарнирной арке, чем балочные.
Внутренние силы от нагрузки в бесшарнирной арке при использовании
балочных основных систем вычисляются обычно как разность больших
близких чисел, что требует точных вычислений, а при использовании арочных
систем они вычисляются как дополнительные слагаемые к внутренним силам
трехшарнирных арок и могут быть вычислены с меньшей точностью. Это су--
щественно при численном интегрировании содержащихся в формуле
перемещений интегралов. Если интегралы в формуле перемещений выражаются
в конечном виде через элементарные функции, то преимущество арочных
основных систем перед балочными уменьшается.
Внутренние силы от нагрузки в балочных основных системах могут быть
искусственно приняты равными внутренним силам арочных основных
систем, если к действующей на балочную основную систему нагрузке
присоединить некоторые силы по направлению основных неизвестных. Это дает
возможность устранить отмеченный недостаток балочных основных систем.
а)
г)
-5^5 ^ ^ 6)
Рис. 346
Рис. 347
367
Например, для оШОвной системы б (см. рис. 346) в разрезе должны быть
приложены распор Н и поперечная сила Q, взятые из расчета данного типа
арочной основной системы (рис. 347, а). Для этого в упругом центре
основной системы надо приложить силу Х^ = Н, силу Х^ = Q и момент Хд = Яс
(рис. 347, б). Это выполняется особенно просто при расчете арки на
неподвижную нагрузку. При построении линий влияния присоединяемые силы
будут функциями положения груза.
В дальнейшем будем применять основную систему б как наиболее
простую.
§ 172. РАСЧЕТ БЕСШАРНИРНЫХ АРОК НА НЕПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ
Координата упругого центра определяется формулой
г/2 г/2
с= ^ ydv: J dv, A7.4)
О О
d2
где dv= -— .
EJ cos a
Значения внутренних сил от единичных основных неизвестных показаны
на рис. 348. Величины бц, 622 и бзз в канонических уравнениях A7.3) не
зависят от нагрузки. Определим их по формуле A1.38), полагая р = оо,
т. е. пренебрегая кривизной арки.
Первое единичное перемещение
1/2 1/2 1/2
dz
GF cos а
би С — dz С — -dz Г —
2 J EJ cos а, ,) EF cos a J
00 0
Подставим сюда значения М^, N-^ и Q^:
1/2 1/2 1/2
-г = \ (У-<=)Т-, + соза—+ ц зш^ат^т: • ^17.5)
2 J £J cos а J EF J GF cos a
0 00
Выражение первого слагаемого на основании A7.4) можно написать
иначе:
1/2 1/2 1/2
Г dz f „ d2 , Г , dz
J EJ cos a J EJ cos a J EJ cos a
00 0
где k — произвольное число. Окончательно
1/2 ./2
dz с dz
EJ cos a ,J E J cos a
0
If £.
Полагая A = с, получим
1/2 1/2
? „ dz С dz
(y-c)^-— = (y-cyy— . A7.7>
J EJ cos a J EJ cos a
0 0
Правая часть A7.7) в некоторых случаях проще левой.
При интегрировании все величины, содержащиеся в подынтегральном
выражении, должны быть выражены через неременную г, в частности
1
cos а = —, ,
36а
где у — ордината оси арки. Остальные единичные перемещения:
//2
2 = J '
Ml
о
i/2
EJ eos a
44 t/2
■+ \ ^^^TT^ +И f Q^
J £fcosa f^ 1 ■<.
0 ?
~ ^^"p/rn^rv" + ='"'"TF^ +Pi г COS a
J t./ cos a J £f cos a 1
0 0
2 J £У cos a J
B2
GF cos a
rf2__
EJ cos a
A7.8>
A7.9>
При определении грузовых перемещений нагрузку разложим на
симметричную и кососимметричную (рис. 349). Симметричная нагрузка будет
вызывать только симметричные перемещения Aip и Лзр, а кососимметричная —
только кососимметричное перемещение Аг^:
Д.
2
Л'?, dz
^ = ^ (У — <=)-Г, +2а cos а-— + Zj\y
2 "~J £7 cos а "*^ J £f cos а - "^'^ J
sin а-
^^J^ £ycosa +^J
( — sin a)
Nfdz
EF cos
7+2 J
cos a
GF cos a
GF cos a
2 ~^al J £jcosa ■
A7.10)
A7.11)
A7.12)
При ЭТОМ интегрирование производится на протяжении правой половины
основной системы.
И здесь все подынтегральные выражения и пределы интегрирования надо
выразить через переменную г.
Если интегралы в выражениях A7.4)—A7.12) не выражаются в
конечном виде через элементарные функции и вычисляются лишь численным
интегрированием, то в тех случаях, когда внутренние силы в основной системе
по всей длине арки не равны нулю, удобно к симметричной нагрузке добавить
распор Я от нее в трехшарнирной
арке (см. рис. 347).
В случаях, когда нагрузка
расположена только на одной поло-
\V Q,=iQOSaL
Самметричиая
нагрузка.
Рис. 348.
1 i
нагрузка.
Рис. 349
369
вине арки, нет необходимости раскладывать ее на симметричную и косо-
симметричную, так как при определении грузовых перемещений
интегрирование в этом случае совершается только по нагруженной половине арки.
Выражения заменяющих (внутренних) сил в арке могут быть'получены по
общей формуле A4.17), которые для принятой основной системы имеют
вид:
Mp=(y—c)Xi + zX2+l'Xs+M%+M^'l ,A7.13)
A'p=cosaXi —sina^a + O + A'^+A/^*! A7.14)
Qp= sin aXi+cosaX2+0+Q%+Ct^. A7.15)
Проверка правильности расчета может быть проведена по выражению
2 J М, ^dsj- 2 j ^ ^^ds + 2 »^ J Qs ^ ^^ = 0. A7.16)
где ]Ms = aTi+M2 + M3 = (i/—с) + г + 1;
^5~^1 + ^2+Л'з=со5а—sin а;
<?5 =^+^2 + Оз = sin а + cos а.
Выражение A7.16) сохраняет силу и в случае, когда Ms, Ws и Qs будут
содержать не все единичные заменяющие силы, а только от двух основных
неизвестных.
Если применить формулу перемещений A1.37) для более точного расчета
арки с учетом кривизны, то координата точки переноса неизвестных с, в
которой побочное перемещение б^з будет равно нулю, определится из равенства
1/2 t/2 1/2
(и—с) 1 ■ с1г
6i3 С (У-с) 1 чг Г 1 d^ , С
— = \ -|- I cos а -|- \
2 J EJ cos а J EFp cos a J EPp^ cos a
0 0 0
Отсюда
■=0.
1/2 1/2 1/2
dz
J EJ' cos a "^ J EFp J EPp^
0 0 • 0
(/2 I./2
r_^L_^ r_^!
J EJ' cos a J EFp^ cos a
0 0
В ЭТОМ случае точка переноса неизвестных уже не будет упругим центром
в обычном его понимании.
Соответственно формулы перемещений в этом случае будзгг:
1/2 1/2 1/2
бу с (у—с)^ dz с cos'а dz С \х.' sin^ а dz
2 "^ J EJ' cos а J £F cos а J GF ■ cos a "^
0 0 0
</2 1/2
r* cosa(y—c) dz С (y—c)^ dz
"*" 1 EFp cos a J £f p2 cos a'
1B t/2 1/2
622 _ С _2f_ dz С s?n'«. dz ^ r , cos'a dz
2 ~ 1 £У' cosa "^ J EP cos a "^ J ^' GF cos a "^
000
1/2 1/2
С (—sin a) г dz С г' dz ■
J EFp cos a J EFp^ cos a'
и 0
i/2 ■ 1/2
644 С dz С dz
2 J EJ' cos a "^ J
£Fp' cos a
0
370
{у—с)М% dz
+
л"- с.
Qp dz
GF cos a
'] EJ' cosa'^'^J EF cos a'^-*^ J ^^ GF cos a
cos a
--2i.#,-^+2l..^t^-^.jJ,.
^^ dz
EFfr^ cos a
§ 173. РАСЧЕТ БЕСШАРНИРНЫХ АРОК НА ДЕЙСТВИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
Рассмотрим случай увеличения температуры арки после ее
изготовления: сверху — на ^° и снизу — на t] (рис. 350, а). При симметричном
температурном действии на арку кососимметричное неизвестное Ха = 0.
Канонические уравнения будут:
Oil
бзз
A7.17)
откуда получаем
V -■!' V '^3t
Лт = — г— . Ло= — -—
il«
1
лз =
433
По формулам A1.38), A1.20) и A1.21), имея в виду, что в арках
сжимающая продольная сила принята положительной, получим:
2
f — Р , . , dz С — ^ dz
\ Ni—(hh2 + t2bj) \ Mi — U2-ti)
J Л cos а J 1г cos ос
1/2
Г — е , dz
— \ Ma—(t-i—ti) .
J h cos a
^3t
2
Производя подстановку
iVi = cosa, Mi = (y—c) Й Мз=1,
будем иметь;
1/2 I
Alt Г P
■y=-J у(<1Л2 + /2Й1)^г-
0
//2
J л COS a
t/2
Л COS a
Рис. 350
371
в частном случае, при ^i = ^г = ^. получим
и, следовательно.
A7.t9)
Вид эпюры изгибающих моментов для этого частного случал показан
на рис. 350, б. Поскольку бц можно представить в виде -ру-, где А — по-
стоянное число, а £J„—жесткость на изгиб любого сечения, через которую
А
выражаются жесткости остальных сечений, то Xi = EJ ^. Это значит, что
распор арки от действия температуры пропорционален ее жесткости.
По формуле A7.19) также проводится расчет бетонных арок на усадку
бетона, которая эквивалентна некоторому понижению температуры.
§ 174. РАСЧЕТ БЕСШАРНИРНЫХ АРОК НА СМЕЩЕНИЕ ОПОР
Канонические уравнения:
е22Х2+Д2д = 0:
бз2-'^з+Дзд = 0-
I/
Рис. 351
Из них.получаем:
Х, = _
Мл
^^11
; -^2= —
^2Д
баг
Х,= -
A7.20)
8зз
Так как величины бц, 622 и б^з
можно, как это было сделано ранее,
представить в виде бц = -pTj-, 622 = -pj- и 633^
EJo'
EJa
EJ^
где A, В я С — числа, а EJg—
жесткость любого сечения, то
Xi
— EJa
Мд
Х2= —ЕУл
^2Д
Хз= —EJo
С
Следовательно, все основные
неизвестные при смещении опор
пропорциональны жесткости арки.
Свободные члены канонических
уравнений определяются по формуле
^k^=-lRk^h, A7.21)
где Aft — смещения опор;
R}^ — составляющая опорной
реакции от Xft = 1 в основной
системе по направлению
смещения Aft.
Знак произведения Rk^k
устанавливается по знаку работы силы /?л,
совершаемой на перемещении по ее
направлению Aft.
:372
Свободные члены могут быть также определены и чисто геометрическим
путем. Для этого надо сообщить основной системе заданные перемещения
опор, а затем перемещения А^а, Аад и Адд определить геометрически.
Определение перемещений основной системы в направлении основных
неизвестных от смещения опор по обоим способам покажем на конкретном
примере (рис. 351). Пусть правая опора арки поступательно сместилась
в горизонтальном направлении вправо на величину а и по вертикальному
направлению вниз на величину b и повернулась по часовой стрелке на угол ф
(рис. 351, а). Единичные реакции от Х^ = I в основной системе показаны
на рис. 351, б, в, г. По формуле A7.21)
А1д=-Е^1Д1=-|-Ь,а-(/-с)ф] = а + (/-с)ф;
Д2д=-2^2Д2= - f+ 1-6-Y •?)=-* + "^'Р'
'^зд=—2ЖзАз=—(—Ьф) = Ф-
Для геометрического их определения рассмотрим перемещения основной
системы (рис. 351, д). Из геометрических соображений получаем
I
Au=«+(/—с)ч>: Д2д^—*+уч>: Дзд=Ф>
т. е. те же величины, что и по формуле A7.21),
§ 175. РАСЧЕТ БЕСШАРНИРНЫХ АРОК С ОСЬЮ
ПО КРИВОЙ ДАВЛЕНИЯ В ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКЕ
Кривая давлений для трехшарнирных арок, если нагрузка приложена
по оси арки, совпадает с веревочной кривой и является для них
рациональной осью, при которой изгибающие моменты от нагрузки равны нулю.
В бесшарнирной арке с таким очертанием, как увидим ниже, изгибающие
моменты вследствие деформации арки от продольной силы, называемой
упругим обжатием арки, уже не равны нулю. При расчете такой арки к
нагрузке, действующей на основную систему, присоединим распор Я трех-
шарнирной арки, приложенной в {зазрезе основной системы (рис. 352).
Изгибающие моменты Мр в основной системе будут равны нулю,
поскольку очертание оси арки принято по кривой давления. Так как изгибающие
моменты равны нулю, то равны нулю и поперечные силы Qp, остаются только
продольные силы Np =
cos а
Кососимметричное неизвестное Х^ от симметричной нагрузки равно
нулю. Канонические уравнения для такого случая будут:
Sii^i + AiP=0;
бзз-^з + ДзР^О'
Поскольку Мр = 0; Qp = О, то Дзр, а следовательно, и Х^ равны нулю.
Остается определить только Х^. Грузовое перемещение
А "^
2 ~] ■
Np dz
ЕР cos а
111
J cos a,
a.EF
-dz
m IПII iTTT]
или
л '/2
dz
EF cos a
Рис. 352
373
с ледовательно.
Х,=
2Я
6
//2
-I-
11 J
rf2
EF cos a
A7.22)-
Эпюра изгибающих моментов от упругого обжатия будет иметь такой же
вид, как эпюра изгибающих моментов от равномерного нагревания (см.
рис. 350).
§ 176. О БЕЗМОМЕНТНОЙ БЕСШАРНИРНОИ АРКЕ
В § 175 было показано, что в бесшарнирной арке с очертанием по кривой
давления трехшарнирной арки неизбежно появляются изгибающие моменты
за счет упругого обжатия. При таком очертании, следовательно,
бесшарнирная арка не является безмоментной.
Покажем, что при любом другом очертании бесшарнирная арка не может
быть безмоментной. Дело в том, что деформация бесшарнирной арки при'
заданном положении ее опор всегда связана с изменением кривизны (рис. 353)
и, следовательно, с появлением.изгибающих моментов, а потому она при
любом очертании не может быть безмоментной. Это положение можно
доказать иначе. Допустим, что бесшарнирная арка может быть безмоментной
(рис. 354, а). Из всех заменяющих сил в ней только продольная сила Np =
И
— не равна нулю. Определим горизонтальное перемещение точки Л,
которое заведомо должно равняться нулю. Для этого по известным
правилам приложим вспомогательную силу Р^ = 1 к статически определимой
основной системе (рис. 354, б). В этой системе внутренние силы от Р^ = 1
не равны нулю, причем N^ ~ cos а. Поэтому искомое перемещение точки А
определяется выражением
Я dz
^kP-
4'
^0.
COS а EF cos a
Такой результат противоречит допущению, что в арке изгибающие
моменты равны нулю, а значит, принятое допущение ложно.
Сказанное относится и к двухшарнирным аркам. Никаким изменением
оси арки нельзя уничтожить изгибающие моменты; их можно более
рационально распределить по длине арки.
Строго говоря, ось трехшарнирной арки, очерченная по кривой давления
для недеформированного состояния арки, тоже не является безмоментной,
так как деформации арки вследствие обжатия связаны с изменением
кривизны стержня и появлением в арке изгибающих моментов (см. [1]).
§ 177. РЕГУЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИИ В БЕСШАРНИРНЫХ АРКАХ
В бесшарнирной арке с очертанием по кривой давления трехшарнирной
арки возникают изгибающи'е моменты при ее упругом обжатии. Если при
возведении арки с таким очертанием, а оно применяется часто,
искусственно создать в ней продольную силу iV,
равную той, которая вызывается
действием нагрузки при отсутствии давления
на арку со стороны подмостей, то
изгибающие моменты в арке будут равны
нулю.
ттт?
Рис. 353
Рис. 354
374
''"'' ,Занок
^<-J-^
Рис. 355
Это можно сделать при помощи
домкратов, устанавливаемых в замке еще
не замкнутой арки (рис. 355). Обычно Рис. 356
домкраты устанавливаются по обе
стороны от оси арки и могут создавать продольную силу и изгибающий
момент в замке арки.
Чтобы изгибающие моменты от постоянной нагрузки сделать равными
нулю, необходимо при действии этой нагрузки и убранных подмостях
создать домкратами давления Z^ и Zg, равные между собой и в сумме равные
распору трехшарнирной арки от этой нагрузки, т. е.
Zi=Z2= —. A7.23)
Отметим, что при таком давлении в домкратах арка теоретически не
должна уже оказывать давления на подмости, и они легко могут быть убраны.
При помощи тех же домкратов в арке искусственно могут быть
дополнительно созданы предварительные напряжения, которые выравнивают
напряжения от временной нагрузки, действия температуры и усадки бетона.
Поскольку домкраты могут создавать в замке арки продольную силу и
изгибающий момент, то могут быть удовлетворены два заданных условия.
Например, можно искусственно создать такие дополнительные
внутренние силы в пяте и замке арки (или в двух других сечениях), при
которых неравные расчетные краевые «напряжения сверху и снизу
сечения арки от постоянной нагрузки, от действия температуры и от
временной нагрузки, установленной в расчетные положения (рис. 356), станут
равными.
В приведенных выше рассуждениях не было учтено явление
ползучести материала, которое со временем может существенно ослабить
эффект искусственно созданного напряженного состояния арки. Поэтому
ползучесть материала арки должна быть учтена при создании
первоначального предварительно-напряженного ее состояния,
В заключение рассмотрим еще один искусственный прием,
позволяющий уменьшить изгибающие моменты в арке от ее обжатия при
постоянной нагрузке. Арка с очертанием по кривой давления трехшарнирной
арки возводится и раскружаливается, как трехшарнирная. Происходит
обжатие арки при постоянной нагрузке. В ней возникают изгибающие
моменты. Но в силу того, что кривая давлений фиксируется тремя
шарнирами, они будут меньше изгибающих моментов, которые возникли бы
в бесшарнирной арке от того же обжатия. После раскружаливания
арки ее шарниры замыкаются, и арка превращается в бесшарнирную.
Таким образом, арка работает на постоянную нагрузку как
трехшарнирная, а на все остальные — как бесшарнирная. Рассмотренный прием
уменьшения изгибающих моментов от постоянной нагрузки может быть
использован и для двухшарнирных арок.
Изгибающие моменты в трехшарнирных арках рационального очертания
от обжатия постоянной нагрузкой могут быть также уничтожены
домкратами. Для этого необходимо создать в домкратах давления, равные половине
распора от постоянной нагрузки, и произвести замыкание арки шарниром
при заданной стреле подъема и ослабленных или убранных подмостях.
375
Дальнейшее регулирование напряжений в трехшарнирных арках
невозможно, так как они статически определимы и предварительных напряжений иметь
не могут.
§ 178. РАСЧЕТ БЕСШАРНИРНЫХ АРОК НА УПРУГИХ ОПОРАХ
Если опоры арки упругие, то пяты арки под нагрузкой смещаются, что
отражается на ее работе. Эти смещения опор должны быть учтены при
расчете арки. Основную систему для расчета образуем разрезанием арки
посередине (рис. 357). Упругий центр пока не используем. Канонические
уравнения для симметричных арок, расположенных, как это часто бывает, на
упругих опорах с различной податливостью, имеют вид
flfti^i-l-aft2-^2+aft3^3 + ^feP = 0 A7.24)
при k = 1, 2 и 3.
Коэфсрициенты и грузовые члены для них:
^kp'
A7.25)
где 6fe„ и л
Ьцт. и BkP ■
■ перемещения, вызванные деформацией марки;
перемещения от смещений упругих опор.
Величины б^т и ДйР определяются обычным способом, как и ранее,
а для определения перемещений вида 6^^ и -Sfep получим специальные
формулы. Для этого применим принцип возможных перемещений,
рассматривая работу силыР^=1 на перемещениях от нагрузки, вызванных
упругими смещениями опор арки (рис. 358, а, б). Эта работа равна работе давлений
от Pfe = 1 на упругую опору (рис. 358, г), смещение которой от нагрузки
можно выразить через давление нагрузки на эту опору (рис. 358, в).
Если давления и момент от нагрузки, приложенные к упругой опоре,
обозначить Yp, Хр и Мр, а поступательные и угловое смещения пяты арки
в основной системе бу"у, д'ху, бму от У = 1; 8^х, ^"хх, бл« от X = 1 и бум,
бд:"л1, 6°мм от М = 1, то работа
давления от силы Pft = 1 на смещениях
от нагрузки для левой опоры
выразится так:
1 В
kp-
= Yk {^'y'y Yp
+
^УЛ ^P +
+ ^Y"MMp)+X,{8fyYp +
+ &XX ^p + ^Tm Mp)+^ft (%y Ур +
+^мхХр + ^ммМр). A7.2.6)
Рис. 357
Рис. 358
376
Г'
V777777777m-
Рис. 359
+ блм^т) + Л1й№у1'
Рис. 360
Из этой формулы заменой Ур, Хр,
Мр на Ym, ^m. Mm ПОЛуЧИМ
+ ^ммМт). A7.27)
+ ^AdX^m-
Аналогично составляются формулы и для правой опоры.
Упрощение расчета возможно при переносе сил в упругий центр системы.
Координаты Ci и di упругого центра определяются из условий а^з = а^з = О-
Канонические уравнения после переноса сил в упругий центр принимают
вид:
A7.28)
Если арка симметрична и расположена на симметричных опорах, то
канонические уравнения для нее без переноса сил в упругий центр по форме
будут такие же, как уравнения A7.28):
A7.29)
Дальнейшее их упрощение возможно при переносе сил в упругий центр,
положение которого определяется из условия Oig = 613 + &1з = О-
При этом Получим
1/2
I
(y—ci)
dz
EJ cos a
+ i-e°"^( + i)+(f-ci)e°"^(+i)=o.
откуда
Cl
fill
dz
EJ cos a
+e°"+/6-
MM
dz
EJ cos a
I son
A7.30)
Если в качестве упругой опоры рассматривать жесткий фундамент на
упругом основании (рис. 359), то все смещения опоры надо выразить через
перемещения подошвы фундамента, к которой и следует относить силы,
содержащиеся в формулах A7.26) и A7.27). В этом случае побочные
перемещения упругой опоры равны нулю, и останутся только главные
перемещения буу, Ь°хх и Ь^м. Формулы A7.26) и A7.27) вследствие этого станут
проще.
Учет влияния деформации грунта под массивными опорами арки на ее
работу представляет собой сложную задачу. Ее приближенное решение
возможно на основе следующих грубых допущений: 1) фундамент считается
абсолютно жестким; 2) давление на грунт передается только подошвой фун-
377
дамента и 3) силы сопротивления грунта по подошве пропорциональны
смещениям. При этих допущениях будем иметь:
son ^ _^__L__^ son '__^ son ^ -17 о 14
^У- ky ^фунд • ^хх = k^ ^.фy^„ . Омм- i^j^^^ . A7.31)
где ^фунд и ^'фунд — площадь и момент инерции подошвы фундамента
(рис. 360); ky, kx 'Я. k — коэффициен'гы податливости основания.
Если опоры арки симметричны, то имеет смысл неизвестные перенести
в упругий центр, который определяется по формуле A7.30), только здесь
в нее вместо / надо подставлять величину / + Л (рис. 360):
г/2 , ч /г/2 V*
dz f+h \ Г dz 1 \
+ иг : -7Г7 + -Г, • '7.32).
\ о
ЕJ cos а ^-^фунд / \ J Е J cos а ^-/фунд
Канонические уравнения в этом случае будут:
§ 179. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ОСНОВНЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ,
ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ, ПРОДОЛЬНЫХ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ
В БЕСШАРНИРНОИ АРКЕ i
1. Линии влияния основных неизвестных
Рассмотрим действие на арку сосредоточенной силы Р, приложенной на
расстоянии а от начала координат (рис. 361, а).
Внутренние силы в основной системе будут только правее этой силы Р,.
т. е. при а ^ 2 ^ 1/2.
Их выражения таковы:
. М°р=—Р{г—а), NOp = P sma. QJ>=—Pcosa.
Выражения грузовых членов канонических уравнений:
1/2 1/2
С Р{г — а) С Psina
Д,„=— (у—с)—- dz+ \ cosa-r^^ dz-
"^ J Е J cos а J
EF cos a
a
1/2
1 si n a
GP cos a
1/2 1/2
С P cos a
— \ Hsina ^^ dz=Pi|?i(fl); {17.33У
С P(z — a) r Psina
Дор=— \ z dz— 1 sin a dz -)-
^ J EJ cos a J £F cos a
a a
1/2
С P COS a , „ , ,
+ \ Licosa— — rfz=P(p2(a); A7.34)-
J GF cos a
a
1/2
A „= _ f 1 ^^^^~"^ d2= Рярз (fl). A7.35).
"* J £/cosa
Выражения основных неизвестных:
У ^\р Pti (g) „ ^2я Р^2 (fl)
011 ОII 022 022
• Хз=-^=--^2М2).. A7.36).
^33 ^33
378
■В)\
"^г
M.BJ(,
*" Z
I
Since
а
4V
\Прад}№
\прямыв
CDSoL
Ле бая прямая „
Левая прямая '"'■'^к
Рис 361
Рис. 362
Разделив их на Р и заменяя символ а на текущую координату 2, получим
•уравнения линий влияния основных неизвестных при положении груза на
правой половине арки:
Y ^1<г)
л. в. Aj = — — }
Л. В. Х» == —
^2(г)
л. в. Хя= —
^3B)
A7.37)
Линии влияния при положении груза на левой половине арки могут
быть построены по условию симметрии. Линии влияния симметричных
неизвестных симметричны, а кососимметричных — кососимметричны. Это
заключение вытекает из кинематического метода построения линий влияния.
Вид линий влияния показан на рис. 361, б, в, г.
Проверки линий влияния могут быть произведены следующим образом-
Линия влияния Ху (приближенная проверка)
Допустим, что л. в. Хх приближенно определяется уравнением схожей
с ней кривой
Ь I 2яг\
A7.38)
где Ь — ордината л. в. X, при г = 0.
При равномерной нагрузке q распор бесшарнирной арки близок к
распору трехшарнирной арки. Поэтому
(/2
2 1 <? — 1+ cos -— 1 dz » ^^— ■
•откуда получаем
ft=r— A7.39)
Эта приближенная формула может обнаружить только грубые просчеты.
• Линия влияния Хз
л. в. Л2= —
баг
379
Как было показано ранее, линия влияния есть эпюра перемещений
бр2, если перемещение 622. т. е. разрыв по направлению Xj, принять равньш
отрицательной единице. Это и является проверкой л. в. Х^.
Линия влияния Ха
-"зя
-"рз
3
бзз
Проводя аналогичные рассуждения, придем к выводу, что линия-
влияния есть эпюра перемещений брз, если перемещение 633 принять равным
отрицательной единице. В этом случае 633 есть сумма углов поворота
касательных к эпюре брз посередине арки, которые по малости могут быть
заменены тангенсами. Аналитически это условие с учетом знака л. в. Хз^
(рис. 361, г) может быть представлено в таком виде:
/ЙХз\ 1
Поэтому касательная и горизонталь, проведенные в середине л. в. Хз»
отсекут на вертикали под опорой отрезок &i= -j в масштабе линии влияния.
Построение линий влияния основных неизвестных в матричной форме
может быть проведено по следующим правилам.
1. Если желательно иметь ординаты л. в. в (п + 1) точках на половине
арки, то надо ее основную систему на правой половине арки разделить на
2п равных частей по оси z длиной d^ = j-. Точки деления занумеровать
последовательно слева направо О, 1, 2, ..., 2п.
2. Составить матрицу изгибающих моментов (а при более точном расчете
и остальных внутренних усилий) от единичных неизвестных:
Ж„1 Ж„2 Жоз
Жц Ml2 Ml3
М21 М22 М23
М-
Mr
м.
м.
Ч2пI ""'BIJ '"B7») 3
3. Составить матрицу податливости А по A1.56):
л =
3£У,
До
О
О
О
О
О
о
о
о
о
О
(нули)
о
О
202
О
О
О
4аз
О
О
(нули)
о
2fl4
4fl
BП-1)
о
о
О
О
О
О
О
О
О
027»
V
где Ui = £^0 • EJi cos а^.
4. Составить матрицу Мр, устанавливая подвижной груз ^ = 1
только в четных точках деления:
Моо=0 Моа=0 М.
Alio=l Mi2 = 0 М
М2о = 2 М22 = 0 М
Мз2=1
Mb=^d
0 Bп)'
1 (in)'
'а B71)'
М
BпH'
-.2п М
(.in) 2'
= Bл—2)
М
Bn)Bn>'
38 0
5. Матрицы D — \\ 6^^ II и AkP= \\ ЬкР || вычисляются соответственно
по формулам:
6. Ординаты л. в. основных неизвестных вычисляются по выражениям:
л. в. ^2^ т—; л. в. Хз= —
-/-
''2Р ^ "ЗР
——; л. в. Лз=———
иц ©22 Озз
2. Линии влияния М, N к Q в сечении
A7.41У
Запишем выражения линий влияния внутренних сил по A4.77) в общем
виде:
л. в. Мк = (л. в. Xj) (у^—с) + (л. в. Хз) Zft +
+ (л. в. Хз) 1 + л. в. М*;
л. в. Л^й=(л. в. Xi) cos ttd—(л. в. Xi) sin а(, +л. в. Л^^;
л. в. Qft = (л. в. Xi) sin aft + (л. в. Хг) cos а^ + л. в. Q^.
Таким образом, линии влияния внутренних сил складываются из линий
влияния основных неизвестных, умноженных на постоянные величины по
выражениям A7.41), и из линий влияния соответствующих внутренних сил
в том же сечении основной системы. Линии влияния Ml, Ql и N%b
основной системе изображены на рис. 362 для сечений на правой половине арки.
Их уравнения таковы:
груз левее сечения (О ^ z ^ 2^)
A1g=—l(zfe-z), W^=lsinaft, Q^=—Icosttfe;
груз правее сечения (ztt^z ^— ]
Ml=Q, ■ N1 = 0. Ql = Q.
Линии влияния изгибающего момента и продольной силы различны по-
виду. Поэтому для определения наибольших краевых напряжений в арке,
когда их можно определять по формулам (8.31), надо применять линии
влияния краевых напряжений (8.32) или линии влияния ядровых моментов,
которые могут быть построены независимо от линий влияния М и N,
поскольку напряжения выражаются через них по одночленным формулам
ai = M^f : Wu 02= -M«f : W^
Линии влияния ядровых
моментов выражаются через линии
влияния основных неизвестных
следующим образом:
л.в./И««Р = (л. B.Xi)((,fe^-c)-h
+(л. в. Х2) 2^^ + (л. в. Хз) 1 +л. в. Mg^;
A7.43)
л.в./И««Р = U.B.Xi)((/fe^-c) +
-1-(л. в. Xjj) г^_^-|-(л. в. Хз) \+л.в.Мк,,
' A7.44)
где Zf, и у^ — координаты
ядровых точек;
л. в. Mkt и л. в. Mk, — линии влияния
ядровых
моментов в
основной системе.
A7.42>
прямая
Рис. 363
381
Уравнения линии влияния ядровых моментов в основной системе:
груз левее сечения @^2^ Zk)
М%,-
груз праве е сечения ( Zft ^ 2 ^— j
щ,-
■■Щ,=^-
Левая и правая прямые пересекаются под моментными точками (рис. 363).
Линии влияния ядровых моментов имеют разрывы под центральной точ-
W
кой k сечения на величину sm а^у, а линии влияния напряжении — на
величину illL^. Для сечений посередине арки, где а = О, разрывы равны
нулю.
§ 180. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ
ВЛИЯНИЯ ОСНОВНЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ В БЕСШАРНИРНОЙ АРКЕ
Графоаналитический метод построения линий влияния основных
неизвестных состоит в том, что эпюры вертикальных перемещений бр*,, через
которые по кинематическому методу выражаются линии влияния,
получаются как эпюры моментов от условной распределенной нагрузки в
условной балке. В § 109 было выяснено, что условная балка для правой части
основной системы имеет защемление слева и свободный конец справа
(рис. 364). Два варианта условной распределенной нагрузки показаны на
рис. 364, а, б. Ее интенсивность по A1.85) и A1.86) для брт, считая
сжимающую продольную силу положительной, будет:
dm'^(z)
dz
« Ч,
;(г)=(-
М„
Mr,
cosaEJ' cosaEFp'^ сов
aEFpI \
m- (z) = —
EF
Mmtga
GF
EFp
при OT=l, 2, 3.
A7.45)
Дифференциальное уравнение перемещений
rf'6o„ dm' (г)
Pm
dz''
= ?ш (г) +
dz
A7.46)
ffj I'J^Hl^rzh^^'
B)
<{^)
0
Рис. 364
k k \ k \ \
f^^^
382
граничные условия в защемлении при 2 = -^
^^^^^^ 7^='"«iTJ- A7.47)
Все выражения без учета кривизны становятся проще.
В случаях, когда дифференциальное уравнение A7.46) не интегрируется
в элементарных функциях, необходимо переходить к сосредоточенным
упругим грузам от Хт = 1. Выражения для упругих грузов при замене арки
ломаным брусом, с осредненными значениями У и F по участкам могут
быть получены по формуле A1.80) или на основе иных допущений no'draoMv-
лам [A1.97) - A1.104) и (П.Л5 ) - A1.117)], с заменой^обоих ™7x
знака у продольной силы.
Так, например, по формуле A1.80) с учетом yv и Q и без учета кривизны
будем иметь: ^
1) промежуточные упругие грузы (см. рис. 226)
|лев
2£f, ^S "" J + [ ^^*« -^^^^
QnpaB r Т^лес
■^^ '^, I <'7-48>
при /n = 1, 2, 3;
2) крайние упругие грузы, выделенные из QS и Q* (см. рис 224)-
левый (нулевой) ' ''
+
+
правый (последний)
ЧЕРп
При Cft = Cft + i = с формулы становятся более простыми.
Собственные перемещения могут быть вычислены до формуле,
полученной на основе A1.44):
+ бо/::;соГаи. (^Qr°+Qrj.)^r°]. A7.49)
38 3
Формула W^hH, составленная по A1.97), имеет вид:
1) промежуточные упругие грузы
km
6£У„ L
Ц7(Л*) _ _ О tft-l)m " «
^(fe-Dm-^o'^ft
cosaft_iyft_iC„
COS tth Уь Co COS aft+] Уй+1 Co
При m = 1, 2, 3; '
2) крайние упругие грузы, выделенные из QS и Q;j:
левый (нулевой)
jp,(Af) ^ __ Со / 2М„гп J а Cj Mim J а Ci
бЕУо \ cos tto ^0 Со cos tti Jx Co
правый (последний)
A7.50)
Co / ^(n-l)m ■^«'^Д , 2Mnm -/q Cn
6£Уо \cosa„_iy„_iCo cos a„ У „Co
Упругие грузы K^tJ и W'^X могут быть взяты из A7.48).
§ 181. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ основных НЕИЗВЕСТНЫХ
ДЛЯ БЕСШАРНИРНЫХ АРОК СПЕЦИАЛЬНОГО ОЧЕРТАНИЯ
1. Параболическая арка
Форма параболической арки определяется выражениями
^fz^ , Jo
l^ ' cos ОС
Координата упругого центра по A7.4)
1/2 1/2
_ Г 4fz^ _dz_ _ Г J2 f_
~ J Р EJ„ ' J £У„ ~ 3 '
Влияние кривизны и внутренних сил N и Q па перемещения не учитываем.
Дифференциальное уравнение вертикальных перемещений 8pk по A7.46)
5pfe Mfe Mft
dz^ cos aEJ EJo
Линия влияния Xi
A7.51)
По формулам A7.5) — A7.7)
1/2
6ц С f4fz^ f \Чг^ dz 2fH
^^ Г /^fz" _ f \
2 ]\l^ 3 j
2 J V '^ Z J P EJ» 45£Уо
0
Дифференциальное уравнение перемещений 6pi по A7.51)
^0 w^ 3; "
Интегрируем первый раз
384
2 ~г
Интегрируем второй раз
При г= — —7— = О (без учета N и Q), что дает Ci = 0.
5 дает D
Уравнение линии влияния Х^
При 2 = -Y Spi = О, что дает Dj = ^
°Р1 15 г
я. в. ^1= - —- = — — A _8м«+ I6u«). A7.52)
бц 64 i
где « = —,
Проверка: при « = О Xj = ^, что близко к величине -jr.
Линия влияния Ха
По формуле A7.8)
2 J ^ £Л 24£Уо •
Дифференциальное уравнение перемещений бяг
Интегрируем первый раз
d6p2 г*
— til. = О, что
2 dz
Интегрируем второй раз
При г = у -^ = О, что дает С^ ^
/ /3
Приг=-2- бр2 =0, что дает D2= — 24""
Уравнение линии влияния Х^
ftp2 J
л. в. Хз = — = — A — Зи + 4«з). <17.53)
С22 ^
Проверка: при и = О Х^ = -^.
2
Линия влияния Хз
с _dz 1_
J £Уо ~ 2£Уо '
По формуле A7."9)
2 ""
о
Дифференциальное уравнение перемещений брз
rf^6pa
13 Зак. 763
385
Интегрируем первый раз
d5p3
ел—7—= -г+Сз
dz
I d.bp^ I
При г= —■ —-—=0, что дает Сз= ~ •
Интегрируем второй раз
?2 ' t
EJa6p^= — — -f- —г+Оз.
При? = - брз —О, что дает Оз= g--
Уравнение линии влияния Xg
л. в. Хз= —^ = -г- A—4m + 4u2). A7.54>
Проверка по формуле A7.40):
= .(— 4 + 8u), при ы=0
dz i йи 8 dz 2
2, Катеноидная арка
Уравнение оси арки по формуле (8.17)
Выражение момента инерции сечения по формуле A7.1)
J = Jo:co&a[l—(\—n)l]; гже 1=г:— ;
ft = arch т; m = 9n • 9о; , " = -^о ^-^п cosotn-
Образуем основную систему по рис. 365, а. Расчет приводим без учета
влияния кривизны, Q и при неполном учете влияния Л^ на перемещения.
Основные неизвестные обозначим Х^, Xj и Я (вместо Х^).
Дифференциальное уравнение вертикальных перемещений по A7.46)
[1-П-п)|].
dz^ EJ
о
После замены г = |— -^^ = —— — [i_(i_„)|]. A7.55)
Упругие грузы da=-|j=-^^ [l-(l-«)g].
Линия влияния Xi (рис. 365, б)
Mi=l;
о о
По выражению A7.55)
d^8r
386
^' [l-(l-n)^I.
Интегрируем первый раз
d6[
upi
dl
н
р^
"^iLa^ ^2
I
2 ■
сТ"
''У
1
2
Z
^^i
4£J
Постоянную интегрирования
Ci определяем по условию при
1=0 ^ = 0, так как эпюра х,-%
Ьр\ симметрична. Из него полу
чаем Q = 0.
Интегрируем второй раз
-(l-n)-f]
+ Di.
ту M„=l(ij-c),M„=cos<^tf ^
Рис. 365
Постоянную-интегрирования Dj определяем по условию при | = 1, 6pi = О,
что даетД, =-|^[|-(l-n)i].
Уравнение линии влияния' Xj
л. в. Xj = •
jp.
Jii
12(l+n)
[3A_|2)_A_„)П -?')].
A7.57)
Линия влияния ^2 (рис. 365, в)
1
. = 2]--
4 2£Уо
Мг = ~ = ~1
' [1-A-я)|]<^|=- ' '+'"
£Уо 48
A7.58)
По выражению A7.55)
Интегрируем два раза:
dSoo
dl
Р . г
8EJo
[l-(l-n)g].
■(l-n)^] + C2;
^P2 =
p г рЗ £4-1
По условию косой симметрии при | = 0 бра = О, что дает D2 = 0; при
£ = 1 бр2 == О, что дает
Уравнение линии влияния Х^
л, в, Хц=-
^'P2
Ч
2(H-3fi)
[2A_^2)_A_„)A_|3)].
13*
A7.59)
387
Линия влияния рйспораЯ (рис. 365, г)
/Mu=(t/—с), ^V^ = cosoc.
Координата упругого центра
1
с
После интегрирования получим
2t ( Ут^—\ , Г Ут-^ — 1 т —1 1 1)
-=(^-1)(.+1) {—-,—-1-а-")|—г—-—^—тЛ- ^'^•^°>
Перемещение бнн определим с учетом продольных сил, используя
преобразование A7.6):
в//н = 2A + П) f ^1-ТГ^ =2(Ц-Г1) Г (y-c)(y-c + k)—-^^— , A7.61)
1 tJ соь а J ЕJ cos а
о о
где
\ Л/н-—^ ^ COS'S ОС-
J ЕР cos а J
с 6 fifcosg
^~ ,./2 . ~ т
а? с .6.2
\ /Ир——^ \ (y — c){y—c + k)-
J EJ cos a J
EJ cos a
Произведя подстановку величин и замену переменной 2 = | у.
получим
1
6^,^, = 2(l^-^l)f[—Ц-(сЬ/г^-1)-с]—Ц- фЩ[1-A-пI]-^ .
о
После интегрирования будем иметь
с 1 T/m^ — i ]
//2 ,-г ^_2 с 1
k(m — i) 2(m—1J
Г/ т —2 _ с \ Ут^—1 1 _ ' / "" —'^ -^"^11
Дифференциальное уравнение перемещений бян по A7.55) будет
'^^рн (у—С)/' /^^2 г с chftE —1
d|2 4£Уо
Интегрируем первый раз
d8pH fP
Н'^ Г с chftE —1 л
I I Ishkl 1 \ 1
1 shfeg 1—ra / _£ sh ft|^ ^
(m — 1) * m
dbptj 1—/2
По условию симметрии при 1 = 0 - ^ - = О, что дает Си = _., -.
Следовательно:
dbpH fl^ Г/ с 1 V / с 1 N J2_ 1 snkl
dg ~ 4£У„ [[ Г "^ т-1 j»~V / "*" т-1 )^^~'^^ 2 ~ т-1 к ^
1—га / |shfe| 1 1 \1
от —1 ^ is й^ ^^ й» )\
388
Интегрируем второй раз
(\—п) г I / Echfeg 1 ч shfeS 11 1
По условию при 1=1 Ьрн = о получим
chfe
(от —l)fe2
1 ^ ^ 2 sh fe 1 \
Так как chfe=m, shfe=Vm2 —1, ch feg= 1+-^-(m —1), shfcg =
:]/ Jl+-|-(m-l)j^_l.
TO после преобразований окончательно получим
/Р и с \ \ 1—12 1
^Р"~ 4EJo U / "^ т-1 ) 2 k'
с
■ +
т-
1 - ъ ■ ■/ ■ ! + -!-('"—1)
(г2(от_1) \ * fe fe J/ L /
Уравнение линии влияния Н
A7.63)
"рн
л. в. Н=——— . A7.64)
онн
Для л. в. Xj, Х^ я Н составлены таблицы [8].
Линии влияния изгибающих моментов в сечениях арки получаются по
выражению
л. в. М = (л. в. Xi) М1 + (л. в. Х^'М2 + (л. в. Н)'Мн + л. в. М». A7.65)
Поскольку л. в. Xi, Х2 и М" не зависят от очертания арки, а л. в. Х^
и Ха зависят только от закона изменения моментов инерции сечений, т. е.
от параметра п, то сумму слагаемых, их содержащих в A7.65), можно
обозначить символом М^. Линия влияния Мб есть линия влияния изгибающего
момента в сечении балки, образованной из арки заменой полного
защемления скользящим. Для л. в. Afg составлены таблицы [9]. Линии влияния
изгибающих моментов в сечениях выражаются через л. в. М^ по формуле
л. в. М=л. в. Мб + (л. в. Н) М„. A7.66) '
§ 182. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ МОСТОВЫХ АРОК С НАДАРОЧНЬШ СТРОЕНИЕМ
Если надарочное строение статически определимо или оно обоснованно
может быть принято для расчета, как статически определимое, то его учет
сведется к исправлению всех линий влияния, построенных при
непосредственном приложении к арке подвижного груза Р = 1, на узловую
передачу (см. рис. 61). -
Если надарочное строение статически неопределимо, то оно в значитель'
ной мере может исказить линии влияния, даже построенные с условным
учетом узловой передачи в местах стоек надарочного строения (см. рис. 422).
Наличие ЭЦВМ в настоящее время освобождает расчетчика от
использования приближенных методов расчета без учета или с приближенным учетом
389
статически неопределимого над-
арочного строения.
Рассмотрим в порядке
понятия некоторые основные
положения расчета мостовых арок с
надарочным Строением на
конкретном примере арки (рис.
366, а). ^
Одна из возможных
основных систем для нее приведена на
рис. 366, б. При такой основной
системе многие эпюры
заменяющих сил от единичных
неизвестных в надарочной части —
локальны, и в этом отношении
она заслуживает внимания.
Перенос неизвестных усилий
в разрезе арки в упругий центр,
если он заведомо неизвестен, в
этом случае не является
необходимым.
В силу симметрии основной
системы надлежит использовать
парные неизвестные, что
позволит рассматривать только одну
правую половину основной
системы.
Некоторые характерные
эпюры изгибающих моментов на
правой половине основной
системы приведены на рис. 366,
в, г, д, е.
Матрица изгибающих моментов от подвижной силы Р = I будет состоять
из столбцов изгибающих моментов от Р = 1, последовательно
устанавливаемой через равные отрезки, при ее движении от середины основной системы
к правой опоре.
Линии влияния симметричных-неизвестных на левой половине арки
будут симметричными, а линии влияния кососимметричных неизвестных —
кососимметричными.
г
390
Рис. 366
§ 183 РАСЧЕТ ДВУХШАРНИРНЫХ АРОК НА НЕПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ
Двухшарнирная арка однажды статически неопределима. Основная
система может быть образована двумя способами (рис. 367). Балочная
основная система проще арочной. Однако арочная система ближе по своей
работе к заданной системе. Она в первом приближении уже определяет
внутренние силы в двухшарнирной арке. Этим же преимуществом будет
обладать и первая основная система, если ее рассматривать при совместном
действии заданной нагрузки и распора трехшарннрнои арки от этой нагрузки.
В дальнейшем будем применять первую основную систему.
Каноническое уравнение
I г _ *
6ii= \ М\— + -—^ +ц Q\
J EJ cos a J EF cos a J
di
GF cos a
n 0
Заменяющие (внутренние) силы от Xj => 1 (рис. 368, а)
Мг=—iyi A'i=lcosa; Qi=—Isina.
Следовательно,
•-i
dz
EJ COS a
С cos^ a йг С
J EF cos a J
dz
GF cos a
A7.67)
Грузовое перемещение
EF cos
:osa -<bJ J^
GF
dz
cos a
A7.68\
При расчете двухшарнирной арки разложение нагрузки на
симметричную и кососимметричную не вносит существенного упрощения. Отметим
только, что при кососиммет-
ричной нагрузке расдор Х^ 9
равен нулю.
Выражения внутренних
сил:
Np = cos ocXi+N^;
Qp= —sin aXi+Q^. A7.69)
• Если арка имеет затяжку
(рис. 368, б), то основная
система может быть получена
разрезанием затяжки. При
этом изменяется только
формула для 6ii:
о о
X Н м. \ sin* а
cos а J
cos^a
EF
dz
GF cos a.
X
\-t
A7.70)
Рис. 368
391
§ 184. РАСЧЕТ ДВУХШАРНИРНЫХ АРОК НА ДЕЙСТВИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
И СМЕЩЕНИЕ ОПОР
1. Расчет на действие температуры
Каноническое уравнение Ь^Х^ + Aj^ = 0.
При одинаковом приращении температуры .сверху и снизу
d2
Ак = — \ COS а- Рг = —Pii.
' cos а
Температурный распор
Х,=
3»
^^n
Для арки с затяжкой (рис. 368, б)
^1< = — Ваики ti + Рзат <'•
A7.71)
A7.72)
2. Расчет на смещение опор
Вертикальное смешение опоры вниз на величину а (рис. 369, а).
Каноническое уравнение
6uXi-fAiA=0.
Перемещение Aia при малых значениях а согласно A7.21) равно нулю.
Следовательно, равен нулю и распор арки Х^.
Для больших смещений опоры приведем приближенное решение, в
котором А1Д определяется из геометрических соображений (рис. 369, б);
А1Л=гA-со5ф)==Л 1-|/ 1—^j.
а 6ii сохраняет свое прежнее значение.
Горизонтальное смешение опоры внутрь арки на величину Ъ (рис. 369, в).
Каноническое уравнение
б11'^1+41Д=0;
Распор
Рис. 369
§ 185. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ РАСПОРА,
ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ,
ПРОДОЛЬНЫХ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ
В ДВУХШАРНИРНОЙ АРКЕ
1. Линия влияния распора
Рассмотрим действие сосредоточенной
силы Р, приложенной на расстоянии а от
начала координат (рис. 370).
Каноническое уравнение
392
Рис. 370
Внутренние силы в арке от
груза Р по участкам:
0<г<а; а < г <. 1\-
1—а Ро
МЧ,= Р—j-z; М'^ = -у-{1 —
С03Л\
I I!
I I
I Ml
N% = P
I—а Pa
—-—sin a; N%= — sin a;
z,,-^'
I—a Pa
Q"p=P—I—cos a; Q^= cos a.
Ь
^5</
ЦЕО^'
ле.м;
•хг
■Кг
Свободный член
Г РA — а) dz с Ра
Д1Р=\ -У ; г—- н- _г^-_(;_г)
J ' EJ cos а 1 /
Рис 371
dz
EJ cos а
Г РЦ — а) sing dz ^ р ( Ра \ sin а dz
+ » cos а ; — + cesal ;-1-r^ -f
J I EF cos a. ' J \ I I EF cos a
f P(l — a) cesa dz f / Яа \
cos a dz
GF cos a
= Рф(а).
Величина распора X, = %^ •
Уравнение линии влияния получим делением Xj на Р и заменой а на
текущую координату г, т. е.
л. в. Xi= ■
ф(г)
A7. 73)
2. Линии влияния заменяющих (внутренних) сил
Линии влияния внутренних сил на основании A4.77) определяютс»
выражениями (рис. 371):
л. в. Мд = —(л. в. Xi)yji + n. в. м^х
л. в. Л^^==(л. в. Х1)соьай + л. в. Л^^!
л. в. Qft=—(л; в. Хх)в\па.^+л. в. Q°; \ A7. 74)-
л. в. М^да=-(л. в. Xi)y^^+n. в. Л^«^;
л. в, УИ4««Р = -(л. в. Х1)«/4^ + л. в. УИ0^5
Все они получаются сложением линии влияния распора, умноженной
на соответствующий коэффициент, и линии влияния определяемой
величины в основной системе. Линии влияния величин М%, N%, Q\, , li и МЬ
изображены на рис. 371.
393.
'ТТТТТТТ'
§ 186. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ
ВЛИЯНИЯ РАСПОРА
В ДВУХШАРНИРНОЙ АРКЕ
Перемещение бр1,
определяющее линиЮ'Влияния Х^ по
кинематическому методу, есть
изгибающий момент от условной
нагрузки в условной балке (рис.
372). Интенсивность условной
нагрузки по A1.82) и A1.86)
Рис. 372
лри новом направлении оси у и положительной сжимающей силе:
Mi
91 = ■
<7Т" = -
EJ cos а
N-,
tga + ц
О.
fiVcosa' EF '"" ' ' GF
Дифференциальное уравнение перемещений 8р\
d2 6
р{
dzi
■ = <7?=9Г<г) +
dm* (г)
d?
A7.75)
A7.76)
A7.77)
Граничные условия: при z = О 6pi = О, при z = f 6pi = 0.
Промежуточные сосредоточенные упругие грузы, при замене арки
ломаным брусом, с осредненными значениями J и F по участкам, без учета
кривизны арки, определяются по A1.80) при т = I:
-[■
Cft
K,_,H+2Alfti) +
6 cos ajj EJ
T^npSE , дГлев
+
tg «fe+i-
6cos «fe+i £Уй+1 ^ (й+ии J
'^ц._1) 1-1-/Vjj,
+
+
M-A-l-l'
2GFk+i
■Цй"
teocfeM-
2Gfft
■]•
A7.78)
Крайний левый (нулевой) и крайний правый (последний) упругие грузы
, .легко получаются из A7.78) или по A7.48) с заменой знака перед скобками
с продольными силами, вызванной здесь иной системой координат.
Собственное перемещение бц вычисляется по формуле A7.49) при
т == I.
Для гычисления Ш'^' можно применить формулу A7.50) также при
■т ~ \.
§ 187. РАСЧЕТ ДВУХШАРНИРНЫХ АРОК С ОСЬЮ
ПО КРИВОЙ ДАВЛЕНИЯ В ТРЕХРШАРНИРНОЙ АРКЕ
Для общности рассуждений будем считать, что арка имеет затяжку.
Для арки без затяжки в полученных результатах следует положить
/•ват = °0-
к нагрузке, приложенной к основной системе, присоединим распор Н
от заданной нагрузки в трехшариириой арке (рис. 373). При этом Мр =
= О, Q> = О и ЛГ?. = -^ .
♦ ^-^ cos а
394
Каноническое уравнение
Перемещение 6u=6ii+j
гГГПТП! 11 III iUITTTTTn
1 • /
^зат ^зат
где бц — аналогичное
перемещение в арке без затяжки.
Свободный член
Д,Р= I 'V
Npdz
ЕР cos а
зат ^^зат
A7.79)
Основное неизвестное для арки с затяжкой
•..= -„(|;
йг
I
ЕР cos а £зат f
Основное неизвестное для арки без затяжки
•
Оцеп.80)
-
ЕР cos а
«бц.
A7.8П
Расчет двухшарнирных арок с очертанием по катеноиду и другим видам
веревочных кривых на постоянную нагрузку и уравнения линий влияния
распора Xi, при различных законах изменения моментов инерции и
площадей сечений, приведены в работе автора IIOJ.
§ 188. РАСЧЕТ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ
Кривой стержень постоянной кривизны обладает особым свойством, при
котором шесть первых членов формулы грузовых перемещений A1.37)
могут быть сведены к трем членам.
, Найдем сначала ди(|)ференциальные зависимости между внутренними
силами и нагрузками, рассматривая равновесие бесконечно малого элемента
кривого стержня. Для общности рассмотрим элемент под действием
распределенной нагрузки по внешней поверхности (рис. 374). Из условий
равновесия 2Mo = 0; 2УИ|1 = 0; 2i/ = О с точностью до бесконечно малых
величин первого порядка получим дифференциальные зависимости в таком
виде:
dN
1 dM
ds
аМ
ds
= QH-9^
p ds
ДОВ Р + ^'г
^^пов (P + ^s)^
qtP + m
lгг = Q + nl;
p2
dQ
ds
._„noB P + ''=^
= fn
ПОБ P + ^s ^ ПОБ P+''г
A7.82),
p ■ P
Из первого выражения 17.82) при p = г получаем
dM = — dN-r-^(qt r+m) ds.
s
Интегрируя, получим М = — Ni" + j (q/ 4- m) ds + D.
0
Постоянную интегрирования D выразим через начальные условия,
положив при S = О, Ж = Мо и Л^ = Na. Тогда D = Мо + Л^о^.
395-
!№'
M+dM
^Af
4n In p .
Рис. 374
Рис. 375
Следовательно,
/И = —Л/r+C.
A7.83)
где С= \^(,qtr-\-m-)ds-\-D, а D = Mo+'Vo''.
о
От единичной силы Pf, = 1
Mft=—/Vhr+Dh. A7.84
Подставляя 'A7.&3) в четвертое и
шестое слагаемые формулы перемещений,
получим:
^kP
Mh
й&-\-
24
+7,-^.1^-+2='Ь^-
Теперь в последнее слагаемое подставим от нагрузки Мр= —Ырг-^
Ср и окончательно получим трехчленную формулу перемещений
^kp
=21
_ /И,
£/
7- rfS +
2и-1
2^-4
ffra
ds. A7.85)
Соответственно для единичных перемещений, когда Cm^Dm, будем
ад меть
^>km
=21
Л^ь-|^й«+
2.,-j-u%*+i;J^#-^. <.^.
86)
При расчете колец основная система образуется разрезанием кольца,
причем основные неизвестные переносятся в упругий центр. Для круговых
колец с постоянным поперечным сечением, а мы такие кольца и будем
рассматривать, упругий центр совпадает с геометрическим центром (рис. 375).
Канонические уравнения:
. 6цХ^-{-А2р = 0;
A7.87)
^9в
Единичные состояния показаны на рис. 375. Из них находим:
Ml = — г cos ф; М2 = г sin ф}
/У5 = со5ф; N2=—sin ф;
Qi = sin9; Q2 = cos9;
Da = l.
По формуле A7.86) получим:
л я
Оц С /^ COS^ ф' rdff ^ Г 51П2ф-ГС!ф
2 ^J FJ' +*" J ;g?
ягз
2EJ'
Грузовые члены вычисляются по формуле A7.85).
ЦлГ
2GF
§22 Сг^ sing ф-ГС(ф ^ ^ с C0S2 ф.ГС(ф ЯГ^ ц'
2 ^J £У' "^^ J GF ~'2EJ''^ 20
о о
и я
33 ('' l^-rdff I Г rd(f) т- я
~^1 £У' "^"t^J ef "^ Е.1'"^ rEF '
пг
2аУ
A7.88)
ГЛАВА 18. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ ПО МЕТОДУ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
§ 189. СТЕПЕНЬ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ
Под степенью кинематической неопределимости принято понимать число
основных неизвестных методов перемещений — углов поворота и линейных
перемещений жестких узлов системы.
Это число зависит от допущений, принятых в методе:
1) концы стержней, сходящихся в одном жестком узле, т. е. связанные
а)
1
а
6)
тш
ь
Рис. 376
между собой припайками, поворачиваются
на один и тот же угол; v
2) не учитывается влияние Л/ и Q на
перемещения узлов;
3) расстояния между узлами при
деформации изгиба прямых стержней не
изменяются;
4) углы поворота, по малости,
принимаются равными их тангенсам.
Число угловых перемещений узлов
определяется числом жестких узлов, которые
могут независимо поворачиваться. При этом
за жесткий узел принимается всякий узел,
в котором не менее двух стержней
соединены между собой припайкой.
п=6*3-3
Рис. W7
398
откуда получаем
,. 3EJ 3EJ .
3EJ 3EJ
/2
р
A8.9>
По найденным выражениям начальных параметров Мд и Qo можно
.построить эпюры изгибающих моментов от каждого перемещения в
отдельности, приходящиеся на единицу перем*ещ£ния. Такие эпюры показаны
в табл. 10.
Аналогично определяются изгибающие моменты при действии нагрузки
(табл. 11).
Данные, приведенные в табл. 10 и И, могут быть использованы для
построения единичных и грузовых эпюр изгибающих моментов в
основной системе.
§ 192. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ КОНЦОВ
СТЕРЖНЕЙ ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ УЗЛОВ
При построении единичных эпюр от поступательных перемещений узлов
необходимо знать относительные перемещения концов каждого стержня
по перпендикулярному к его оси направлению. Эти перемещения могут быть
определены из плана изображающих точек для шарнирной схемы рамы
с наложенными поступательными связями, кроме той, по направлению
которой задается перемещение.
Поступательные относительные перемещения концов стержней по
перпендикулярному к ним направлению на плане изображающих точек
пропорциональны разностям длин стержней и их изображений.
На рис. 379 в качестве примера показаны основная система и план
изображающих точек для шарнирной схемы. Этот план построен так:
изображения несмещающихся точек а и f> находятся в этих точках, изображение.м
точки с задаемся произвольно на прямой
ас (точка с'). Из точки с' проводим
прямую, параллельную cd, а из
точки 6 — прямую, параллельную bd.
На пересечении этих прямых лежит
изображение d' точки d.
Если принять перемещение точки с
за единицу, т. е. ас — а'с' = сс'= 1,
то относительные перемещения
концов остальных стержней таковы:
3
bbd = bd—b'd'=—, bcd=^cd~c'd'=
-(
1 cos се +-
4
3
'"*) = "Т'
Рис. 379
Рис. 380
403
Аналогично для рамы (рис. 380, а) построены изображающие точки при
последовательном выключении силовых связей. При выключении первой
силовой связи (рис. 380, б) изображением точки / задаемся на прямой а — /
произвольно. Длину отрезка /—/' принимаем за единицу. Как и в
предыдущем построении, получается изображение 4' точки 4. Точка 2 может
перемещаться только по вертикали, так как горизонтальный опорный стержень
препятствует ее горизонтальным перемещениям. Следовательно, ее
изображение лежит на горизонтальной прямой, проходящей через эту точку.
Кроме того, изображение стержня 1-2 должно проходить через известную
изображающую точку /' и быть параллельно самому стержню. Таким
образом находится изображение 2' точки 2. После этого на пересечении прямых
2'-3' и 4'-3', параллельных стержням 2-3 и 4-3, находится изображение 3'
точки 3. Изображающие точки при выключении второй силовой связи
{рис. 380, в) находятся просто, и их построение не требует пояснений.
Относительные поступательные перемещения концов стержней определяются
разностью длин стержней и их изображений. Из плана изображающих
точек (рис. 380, (?) получаем важное следствие: при параллельных стойках
относительные перемещения концов всех стоек одинаковы, а, относительные
перемещения концов ригелей равны нулю.
§ 193. КОЭФФИЦИЕНТЫ И СВОБОДНЫЕ ЧЛЕНЫ
КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим два перемещения основной системы по направлению
связей k VI т (рис. 381, а, б) и эпюры изгибающих моментов от них М^ и Mm-
Составим выражение работы сил состояния т на перемещениях состояния k:
R
kZ^
=21
Mr,
Mk
EJ
ds.
Разделим это выражение на произведение Z,iZ
Mm Mk
■■71г,
ds
Zh EJ
=?J
"* EJ
ds=(Mm)(Mf,), A8.10)
— изгибающие моменты, приходящиеся на единицу переме-
'■ftn
где Мь. и М„
щений Zft и Zni-
Следовательно, коэффициенты г^щ канонических уравнений могут быть
определены по формуле A8.10), аналогичной общей формуле перемещений.
Вычисление интегралов может быть
выполнено перемножением единичных
эпюр. Поскольку единичные эпюры в
основной системе стандартны, то
результат перемножения можно свести в
табл. 12.
Собственные реакции 'ьь всегда
положительны, а побочные г^^ могут быть
любого знака, а значит, и могут быть
равны нулю.
Для определения грузовых реакций
рассмотрим грузовое состояние (рис.
381, в). От нагрузки в связях k ц т
возникнут реакции Rkp и Rmp. Найдем
возможную работу сил грузового
состояния на перемещениях состояния k,
т. е. вызванных перемещением Z^:
<*.—
ds. A8.in
404
Эпюры изгибающих моментов Ml
Г ^"
. Ь-пм", --rrf^i
^,.lpii>'"^^
^1^,<гГт\н
' phr. .
' • ^f <)>
л-рш^^
f^^firmrrr».
5^
4(
а
—
—
Эпю
2(
4(
-
—
зы изгибающих моментов
—~0т
12/ .
-
—
^ш
—
—
—
3(
Таблица 12
-
3' л
— —-- От
— Mm
Примечание, б^и 6^—относительные перемещения концов стержня от поступательных перемещений 2д = 1 и 2^=1. Они положитель
ji. иы, если хорда стержня поворачивается по часовой стредке. На вертикальных стойках при горизонтальных единичных перемещениях о^ и 0;„
g равны единице.
На основании теоремы взаимности работ имеем
Сравнивая полученные выражения, получим
Мъ
и
Из этого выражения следует, что реакция от нагрузки Rtp не может быть
найдена путем перемножения эпюр грузовой Мр и единичной Mk основной
системы метода перемещений, как это делалось при вычислении Akp в
методе сил, так как это произведение всегда заведомо равно нулю. Теперь из
•A8.11) получаем
Следовательно, грузовая реакция Rkp выражается через работу нагрузки
на перемещениях от единичного перемещения связи k в основной системе.
Эта работа равна работе узловых давлений, силовых и моментных, от
нагрузки на опоры по концам стержня в основной системе на тех же
перемещениях. При определении силовых грузовых реакций работу узловых
давлений можно выразить через моменты их относительно изображающих
точек узлов, к которым приложены узловые давления. Например, при
определении силовой грузовой реакции Rsp (см. рис. 379) можно написать
«зР=-(т-тО
Работа нагрузки 2Рбрй, а следовательно, и реакция Rkp может быть
выражена через работу внутренних сил. Очевидно, что работа нагрузки на
перемещениях от Z^ = 1 не зависит от того, к какой системе, основной или
полученной из нее путем устранения связей, она приложена. Найдем такую
систему, получаемую из основной исключением из нее связей, чтобы работа
внешних сил на перемещениях от Z^ = 1 не содержала грузовых реакций.
Поскольку состояние k содержит только одно перемещение по
направлению введенных в основную систему связей, а именно, по направлению
связи k, то помимо нагрузки может совершать работу только реакция
связи k. Если эту связь исключить из основной системы, то реакция и работа
ее будут равны нулю. Значит, искомая система не должна содержать
связи k. >
Поскольку остальные реакции связей, введенные в основную систему,
, не совершают работы на перемещениях состояния k, то и эти связи в
искомой системе могут быть исключены. Если в основной системе исключить
любую лишнюю внутреннюю связь и ее реакцию рассматривать как
внешнюю силу, то и она не совершает работы на перемещениях от Z^ = 1.
Значит, такая связь в искомой системе также может не содержаться.
Итак, искомой системой может быть любая статически
неопределимая или, что обычно бывает удобнее, статически определимая система,
полученная из основной, путем обязательного исключения связи k и любых
других лишних связей по усмотрению.
Работа нагрузки, приложенной к найденной системе, равна:
Искомая реакция ' _
RkP=-^j^*-%-ds=-{^niMu), A8.13)
где (Мр*) — эпюра изгибающих моментов от нагрузки в любой
неизменяемой, в том числе статически определимой системе, получен-
^ ной из основной, при обязательном исключении связи k.
406 '
После определения коэффициентов и свободных членов канонические
уравнения могут быть представлены в численном виде. Они могут быть
решены различными способами. При большом числе основных неизвестных
можно рекомендовать способ последовательных приближений.
§ 194. СТАТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
И СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В предыдущем параграфе был изложен общий способ определения
коэффициентов и свободных членов канонических уравнений метода
перемещений. Наряду с ним имеется и другой, во многих случаях весьма наглядный
и простой статический способ. Он основан на использовании уравнений
статики. Поскольку коэффициенты и свободные члены канонических
уравнений суть реакции связей основной системы, то они могут быть определены
из уравнений равновесия. Например, всякая моментная реакция может
быть определет1а из условия равновесия вырезанного узла основной
системы в виде суммы моментов сил, приложенных к узлу, относительно его
центра. Всякая силовая реакция во многих случаях может быть определена из
уравнения равновесия некоторой отсеченной части основной системы,
содержащей силовую связь. Положительное направление определяемых
реакций, силовых и моментных, как уже было сказано, совпадает с
положительным направлением, едидшчного перемещения данной связи в основной
системе.
Определение реакций в общем виде по статическому способу покажем на
примере рамы (рис. 382). На рис. 382, а, б, в построены некоторые
единичные и грузовая эпюра. На этих же рисунках показаны определяемые
реакции. Напомним, что первый индекс обозначает связь, в которой реакция
возникает, а второй — перемещение, ее вызвавшее.
Единичная реакция /4 — это реакция второй связи от перемещения
четвертой связи. Вторая связь моментная. Значит, реакция г^^ определяется
из уравнения равновесия вырезанного узла 2 основной системы,
находящейся под заданным единичным перемещением четвертой силовой связи
(рис. 382, г), т. е., иными словами, из равновесия этого узла по эпюре М^.
"Г Т \ Ш. ^
3)
I—»—(
и.=а
bEJ
--у>-о|
Па
Рнс. 382
Ю7
Составляем уравнение
равновесия
, &EJ „
hi + -52" ~ ^^» откуда получаем
&EJ
'■24=
52
Определим Г42 — реакцию
четвертой силовой связи от
единичного перемещения второй момент-
ной свя,зи. Для этого вырежем
ригель в основной системе с
единичным перемещением второй связи
(рис. 382, а, д) и рассмотрим era
равновесие. К силовой связи
прикладываем искомую
положительную реакцию г^^, а на
разрезанных стойках системы —
поперечные силы. Уравнение равновесия
составляем в виде суммы
проекций сил на ось, параллельную ри-
&EJ
гелю 2Х = r.j +
52
О, откуда
Гл->. =
и
6£У _
5'' ~''24-
Определим RiP — реакцию
второй моментной связи от нагрузки.
Для .этого вырежем узел 2
основной системьц находящейся под
нагрузкой, и рассмотрим его
равновесие, т. е. равновесие этого узла
в грузовой эпюре МЬ (рис. 382, в).
Уравнение •равновесия R2P —
Я.6 „ „ Р •&
g— = О, откуда R2P = —g—.
Аналогично определяются
другие реакции.
Пример 48. Определить единичные
и грузовые реакции (рис. 383).
Грузовая эпюра показана на рис, 383, а
единичные эпюры от уг^^овых
перемещений — на рис. 383, б и в и от
поступательных перемещений — на рис.
383, гид.
Определяем гц — реакцию первой
связи от перемещения этой же связи.
Следовательно, ее надо определять по
основной системе при перемещении
первой связи. Связь моментная, ее реакция
определяется из равновесия узла /
с первой связью в единичной эпюре
Ml (рис. 384, а). Уравнение
равновесия
\6EJ ЪЕЗ
■:—- —г-=о.
'^11-
\&EJ
3EJ
откуда '■11 = -
Рис. 383
Определяем г^ — реакцию первой
моментной связи от единичного пере-
408
*1ещения седьмой силовой связи. Она определяется из равновесия узла / в эпюре M^
.(рис. 384, б) Уравнение равновесия.
3£/ 3EJ
Определяем r-ji — реакцию седьмой связи от единичного перемещения первой
связи. Поскольку се331мая связь силовая, то искомая реакция определяется из равновесия
вырезанного ригеля в основной системе с единичным перемещением первой связи
<рис. 384, в) Уравнение равновесия
ZEJ SEJ
= 0, откуда ''71= — — Г17-
Определяем Гв, — реакцию шестой связи от единичного перемещения седьмой
связи. Шестая связь также силовая. Ее искомая реакция определяется из равновесия
отсеченного верхнего ригеля основной системы с единичным перемещением седьмой
■связи (рис. 384, г). Уравнение равновесия
12EJ nEJ 24EJ
'"+-17-+-15- = °' откуда г,,= —^-.
Определяем г,е — реакцию седьмой связи от единичного перемещения шестой
связи. Седьмая связь силовая, ее реакция определяется из равновесий вырезанного
нижнего ригеля основной системы при единичном перемещении шестой связи (рис. 384, д).
Условие равновесия
\2EJ \2EJ 24EJ
Определяем ^?^p — моментную реакцию первой связи от нагрузки. Она
определяется из равновесия узла / в эпюре Мр (рис. 384, е). Так как в стержнях, сходящихся
в уйле, изгибающих моментов нет, то R^p = 0.
Определяем R^p — моментную реакцию четвертой связи от нагрузки. Вырезан-
•ный узел 4 основной системы при действии нагрузки изображен иа рис. 384, ж. Из его
равновесия имеем >
Р Р
/?4Р—~^=0. откуда R^p = —.
Определяем Rjp — силовую реакцию седьмой связи от нагрузки. Она
определяется из равновесия вырезанного нижнего ригеля основйой системы в грузовом состоя-
йии (рис. 384, з). Уравнение равновесия
Р Р
R7P+—=0, откуда R^p=——.
Определим эту же реакцию из выражения работы узловых давлений. От нагрузки
р
давления на узлы 2 и 4 равны — . При перемещении седьмой связи узел 4 останется
на месте и узловое давление на него работы не производит. Узел 2 перемещается
Р Р
аа единицу, и узловое давление на него произнодит работу _-•!. Значит, Rjp= —-—.
Аналогично определяются и остальные коэффициенты и свободные члены.
Рис. 384
409
§ 195. ЗАМЕЧАНИЯ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ КОЭФФИЦИЕНТОВ
И СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Выше были изложены два способа определения коэффициентов и
свободных членов канонических уравнений — общий и статический. Общий
способ применим к любой системе и позволяет путем перемножения эпюр
получить формулы для реакций в общем виде. Статический способ прост,
нагляден и удобен при определении моментных реакций во всех случаях,
а при определении силовых — только тогда, когда выделяемая часть с
элементами основной системы получается разрезанием параллельных
стержней. Дело в том, что при непараллельных разрезанных стержнях условия
равновесия будут содержать не только поперечные, но и продольные силы,
которые определяются значительно сложнее первых.
Поскольку в практике чаще всего встречаются рамы с вертикальйыми
стойками и горизонтальными или наклонными ригелями, то статический
способ заслуживает особого внимания. Применение его, как увидим ниже,
позволяет контролировать правильность получаемых результатов. К
общему способу определения коэффициентов посредством перемножения эпюр
надо прибегать только в сложных случаях, например при определении
силовых реакций в рамах с наклонными стойками.
Таким образом, можно рекомендовать следующее.
1. Все единичные моментные реакции определять только из
равновесия вырезанного узла с моментнои связью. Это приводит к таким формулам:
а) собственная моментная реакция
rftft = 24(+23i, A8.14)
ж ш
где 2 — сумма по стержням, сходящимся в узле k и имеющим на других
ж
концах защемления, а 2 — сумма по стержням, сходящимся в узле k и
ш
имеющим на другом конде шарнирное опирание:
б) побочная моментная реакция связи k от поворота другой моментнои
связи" т
rkm=2i, A8.15)
где i — коэффициент жесткости стержня k — т, соединяющего узлы кит;
в) побочная моментная реакция связи k от ноступательвого перемещения
связи п или равная ей побочная силовая реакх^ия связи я от поворота
связи k
ж ш
где 2 — сумма по защемленным с двух концов стержням, сходящимся
ж
В узле с моментнои связью к, имеющим относительные перемещения концов
8п, от единичного смещения связи п, т. е. от Z„ = 1; 2 — то же, по стерж-
ш
ням, имеющим шарниры на противоположных от связи k концах.
Напомним, что б„ положител'ьно, если хорда этого стержня при перемещении
поворачивается по часовой стрелке.
2. Собственные и побочные силовые реакции от поступательных
перемещений определять из равновесия вырезанной части системы при
параллельных разрезанных стержнях (стойках), а при наклонных разрезанных
стержнях посредством перемножения эпюр. Перемножение эпюр приводит к
следующим формулам:
а) побочная силовая реакция связи п от поступательного перемещения
силовой связи S
ж ш
410
где бд и бз — относительные перемещения концов стержней основной
системы от единичных поступательных перемещений силовых связей п и s,
т. е. от Z„ = 1 и Zg = 1; 2 — сумма по стержням с защемлениями на двух
ж
концах, для которых как б„, так и б^ не равны нулю, а 2—аналогичная
ш
сумма по стержням, имеющим на одном конце шарнирное опирание;
б) собственная реакция силовой связи п
ж ш
Формулы A8.17) и A8.18) просты и могут бытЁ использованы и при
параллельных разрезанных стержнях, для которых б„ и б^ по абсолютной
величине обычно равны единице.
3. Моментные реакции от нагрузки Rkp определять только из
равновесия вырезанного узла k.
4. Силовые реакции от нагрузки во всех случаях удобно определять из
работы узловых давлений Ар на единичных перемещениях связи п, взятой
с обратным знаком:
А?„р = -2ЛрД„р. A8. \9)
При параллельных разрезанных стержнях эту реакцию удобно также
определять из равновесия вырезанной части.
§ 196. ПОСТРОЕНИЕ И ПРОВЕРКА ЭПЮРЫ
ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ ОТ НАГРУЗКИ
После определения из канонических уравнений основных неизвестных
Zi, ..., Zn эпюра изгибающих моментов от нагрузки .(грузовая эптора)
строится по общей формуле
{Мр) = (My) Zi + (Жа) Z^+... + iMn)Zn+{M%), A8.20)
где (Ml) ,...,{Мп) — эпюры изгибающих моментов от единичных
перемещений в основной системе;
(Мр) — эпюра изгибающих моментов в ней же от нагрузки.
Проверка построенной эпюры изгибающих моментов наиболее просто
может быть выполнена путем определения реакций связей основной системы
от нагрузки RkP, если за грузовую эпюру Мр принимать проверяемую эпюру
Мр. Если все реакции равны нулю, то построенная эпюра правильна. Это
условие является необходимым и при правильных исходных единичных и
грузовых эпюрах достаточным условием правильности эпюры. Такая
проверка отражает условия равновесия. Поскольку единичные и грузовая эпюры
в основной системе удовлетворяют условиям равновесия только совместно
с реакциями связей, то такая проверка в отличие от статических проверок
в методе сил, где все единичные и грузовая эпюры в основной системе
удовлетворяют условиям равновесия, является проверкой надежной. Однако ею
не могут быть вскрыты ошибочно принятые исходные данные. Тек, например,
если при расчете использованы неправильные значения жесткостей
стержней, то допущенная при этом ошибка такой проверкой не может быть
обнаружена.
Перемножение полученной эпюры Мр и суммарно единичной эпюры Ms
приводит к такому результату:
{Mp){M^+I,Rkp = 0. A8.21)
Возможна также проверка умножением полученной эпюры на любую
единичную или суммарно единичную эпюру для какой-нибудь основной
системы метода сил.
411
a)
Ж
i \U i и
XD.
Ц, Q
8m
Шх
6)
Й
Sm
2,l2Biq^
Л,г52Ц
3^896if.
t, Ml
6j 8
3
"TVTW/
'^6^
g',pn<
Ywh,
,16
^ -уД'^
-*k-«l—•'?л/
;^гд
0fl9195q.
0,09f9J(f.
Рис. 385
Пример 49. Построить эпюру изгибающих моментов в раме (рис. 385, а).
Кружками на схеме рамы обведены значения коэффициентов жесткости »"=—• Основная
система и необходимые для расчета эпюры показаны на рис. 385,5, в, е, д. Система
канонических уравнений:
''11 ■^i +''12 ^2 +''13 ■^з +/? 1 р = 0;
''21 ^1 +''22 •^з +/"гз •^з + Й2Я = ^!
''31 •^l + ''32 ■?2 + ''33 •^З + ^ ЗР ~ ^*
4 12
Ms: 'Г33--
-—=—-— кН/м, ri3 = l кН, ''23 = 0;
Определяем коэффициенты и свободные члены:
из эпюры Mi: /■11 = 4-1-12 + 16 = 32 кН-м, /'21 = 2 кН-м, Гз1 = 1 кН;
» » М^: Г22=16-Ь4 + 4 = 24 кН-м, Г12 = 2 кН-м,/2 = 0;
1 + 1 J 7_
6 ^ 4 "" 12
» » Жр: ^iP=—89кН.м, Я2Р = 0, НзР = 0.
Система канонических уравнений в числах:
32Zi + 2Z2+bZ3-89 = 0:
2Zi+24Z2+ 0+0=0;
l-2i + 0+-^Z3 + 0=0.
Ее решение: Zf ~ 0,2658 q, Zj =—0,02215G, Z3 = —0,4551 (f м. Исправленные эпкг-
ры показаны на рис. 385, е, ж, в, а искомая эпюра — на рис. 385, и. Производим
ее проверку. Для этого вырежем узлы со связями / и 2 и ригель со связью 3
(рис 385, к, л м). Условия равновесия: Ях + 4,8104 <7 — 0,5638 q — 4,2528 q = 0;
Яа + 0,0121 q + 0,3544 q — 0,3665 q = Q; R9 + 0,09162 q —0,09195 9 = 0. Откуда
получаем: /?i =0,0062 qc^O; i?2=0; R^ = 0,00033 «ysiO. Реакции оказались не
равными нулю, но близкими к нему, что объясняется погрешностями вычислений.
§ 197. УЧЕТ ВУТОВ
Бутами называются утолщения на концах ригелей рам (рис. 386). При
таких утолщениях ригель становится, строго говоря, ломаным стержнем
переменного сечения. Возникает необходимость предварительного расчета
стандартных элементов основной системы переменного сечения на единичные
перемещения его концов и действие нагрузки. Обычно предполагают, чта
стержень прямолинеен по всей длине и имеет только переменные сечения
(различную жесткость) в пределах вутов. Расчет таких элементов
проводится по методу сил. Например, при повороте левого конца защемленной
двумя концами балки на угол, равный единице (рис. 387), канонические
уравнения для основной системы в виде балки на двух опорах будут:
fill ■'^Х+бхг ^2^=1;
^21-^1+622'f 2=0.'
Коэффициенты определяются выражением
%1 i — Xl
С j\^ 1С
6ftm=J Atfe-^-^d2+— J MuM^dz-\-
Расчет сводится к определению
некоторых поправочных коэффициентов
Со и Ci к моментам на концах
стержня пЬстоянного сечения (см. рис. 387).
Аналогично проводятся исследования
и других случаев. Для поправочных,
коэффициентов имеются специальные
таблицы [11]. Приводим некоторые из
них (табл. 13, 14 и 15).
_ м
I— XI
EJ(z)
■dz.
V/)m
il
'ттт
Рис. 386
шт.
г,ЕЗ,
Рис. 387
413:
Схемы балок и смещений
*
.__^_,^_й»
X" г 1.
^r^trri^'f/
^^г. |шрр^
'S-
Зса
-.^^—:^-^
(^
PPlUili^^^
л.
0,25
0,2
0,25
0,2
0,25
0.2
фициенты
С„ =
Cl =
а =
Та блина 13
n=J : У„
1
0,6 1 0,3 1 0,25
1,260
1,212
1,394
1.326
1,163
1,131
1,667
1.527
2.071
1,840
1,376
1,294
1,801
1,615
2,280
1,989
1,429
1,333
0,2
1,958
1,726
2,550
2,178
1,493
1.379
Таблица 14
Нагрузки
Коэффициенты
8,25
0.75
Ui
1\ЩЩР^
ui
Mab-Pt-uj I
Mab'Plu, t '^ba'Pl^/
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,20
0,30
0,30
0,30
«1
Щ
0,170
0,041
0,195
0,144
0,144
0,231
0,041
0.170
0.145
0,25
0,25
0,25
«2
«3
0,173
0,041
.0,199
0,146
0.146
0,237
0.041
0,173
0,149
Таблица 15
Нагрузки
n = J : J,
<h
0,20
0,20
0,30
0,25
1,128
1,143
1,212
1,239
414
§ 198. РАСЧЕТ РАМ
БЕЗ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ
ПЕРЕМЕЩЕНИИ УЗЛОВ
НА УЗЛОВУЮ НАГРУЗКУ
*;
,^
:t
\^
•4
-4
2Й5
Рис. 388
Если рама не имеет поступа- ,
тельных перемещений узлов и на нее л,
действует только узловая нагрузка ^
(рис. 388, а), то все грузовые члены "^
канонических уравнений равны
нулю, так как при такой нагрузке
изгибающие моменты в основной л
системе повсюду равны нулю. Это
значит, что все углы поворота узлов
также равны нулю. Следовательно,
стержни рамы не будут изогнуты, В них действуют только продольные
силы, которые могут быть найдены из рассмотрения шарнирной схемы
рамы (рис. 388, б). Все это, разумеется, справедливо, если выполняются
допущения, принятые в методе перемещений, в частности, если в расчете
можно пренебрегать деформацией стержней от продольных сил.
Таким образом, мы получили некоторое обоснование расчета ферм с
жесткими узлами при узловой нагрузке, как фермы с шарнирными узлами.
Однако, если учитывать деформации от продольных сил, то стержни фермы
будут изогнуты и величина изгибающих моментов будет зависеть от схемы
фермы и коэффициентов жесткостей ее стержней. Поэтому расчет фермы
с жесткими узлами по шарнирной схеме является приближенным даже при
узловой нагрузке, а тем более при нагрузке неузловой.
§,199. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ
Использование симметрии в методе перемещений основано на тех же
идеях, что и в методе сил. Неизвестные перемещения симметрично
расположенных узлов группируются в новые парные неизвестные,
представляющие собой симметричные и кососимметричные перемещения. За неизвестное
принимается общий множитель парного перемещения, т. е. обобщенное
перемещение для этого парного перемещения, и оно цо-прежнему
обозначается буквой Z.
Канонические уравнения составляются для обобщенных перемещений.
Форма канонических уравнений сохраняется, прежней. Однако значения
единичных и грузовых реакций в них приобретают иной смысл. Здесь г^^ —
обобщенная реакция, соответствующая обобщенному перемещению Z^,
от парного перемещения т, приходящаяся на единицу этого обобщенного
перемещения Z^; Rkp — обобщенная реакция, соответствующая
обобщенному перемещению Z^ от нагрузки. Обобщенные реакции определяются как
суммы простых реакций в связях, которые одновременно смещаются при
групповом парном перемещении. Положительные направления реакций
принимаются совпадающими с положительным направлением задаваемых
перемещений связей при единичных групповых перемещениях. Например, если
обозначить симметричные угловые перемещения узлов 1 и 2 (рис. 389) Z^,.
а кососимметричные угловые перемещения тех же узлов Zf, то реакции г^т
и Tim от симметричного перемещения Z^ узлов 3 и 4 равны сумме двух
реакций в связях 1 и 2, положительное направление которых показано на
рис. 389, а, б. Нетрудно убедиться, что кососимметричная реакция rim,
соответствующая кососимметричному перемещению Zj от симметричного
перемещения Zm узлов 3 И 4 равна нулю. В этом и состоит смысл применения
парных неизвестных в виде симметричных и кососимметричных
перемещений. Симметричные реакции от кососимметричных перемещений и нагрузок
и кососимметричные реакции от симметричных перемещений и нагрузок
415
равны нулю. Поэтому, как и в методе
сил, канонические уравнения при
всякой нагрузке распадаются на две
независимые системы: одна содержит
только симметричные неизвестные, а
другая — кососимметричные.
Поэтому при симметричной нагрузке все
кососимметричные перемещения
равны нулю, а при кососимметричной
нагрузке все симметричные
перемещения равны нулю.
^Перемещения по направлению
связей, расположенных на оси
симметрии, например по направлению связи
г-тт 7 (рис. 389) ИЛИ ПО направлению
J^ " J^ ^ '^ ^^ связей, расположенных только по од-
' )К --^^7 г-^*^-- W^ "У сторону от оси симметрии, напри-
I " "F "Г" I ^^Р п° направлению связи 10 (рис.
389), обладают симметрией или косой
симметрией и не группируются.
Перемещением по направлению связи 7
является кососимметричный угол
поворота узла, а перемещением по на-
^v?
от?
^te
Рис. 389
кососимметричное поступательное перемещение
ттравлению связи 10
узлов первого яруса.
Использование симметрии в методе перемещений возможно и в случае,
когда система обладает двумя осями симметрии. В этом случае группировка
лроизводится по двум осям в четверные перемещения, как и в методе сил.
' § 200 СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
Статический метод построения линий влияния сводится к расчету
заданной системы на единичную нагрузку Р = 1, положение которой
определяется текущей координатой. Как и в методе сил, здесь надо построить
сначала линии влияния основных неизвестных (углов поворота и поступатель-
лых перемещений узлов), а затем по ним построить и линии влияния
внутренних сил.
1. Линии влияния угловых и поступательных перемещений узлов
Выражения линий влияния основных неизвестных через коэффициенты
влияния имеют вид:
■Zi = Pii ^ip+Pia/^гяЧ-• • •+ Pi7i г„р;
^п=Pni »■ IP+Рп2''гр + - • - + Pnn »■„
A8.22)
Коэффициенты влияния определяются, как и в методе сил. Грузовые
члены вида гир есть функции положения груза Р= 1. Они могут быть
получены или непосредственно как реакции связей основной системы от
единичного груза (рис. 390), или по теореме взаимности гир = — б^р, как
ординаты эпюры перемещений стержней от единичных поворотов и поступательных
перемещений узлов в основной системе. Формулы реакций от груза Р = 1
приводятся ниже, а числовые значения различных функций, содержащихся
в выражениях реакций, приведены в табл. 16.
Балка, защемленнаядвумя концами (рис. 390. а):
»•«=—«A—иJ/ = —/^я(и); '•ь = A—и)ц2/ = /Ь(ц): \
Ка=1-и2(а_2и) = ф1(и); 1/ь = 1 —1/а=1—H^iW.
A8.23)
416
Уравнения линий влияния М и Q в се- а)
ченииг = а: К»1 г.щ \^'4i-u}t^
груз правее сечения: ^A■=ra-^■^аа,0. = ^а\ ■> ^^^^t^—— L.
1^
Q= К»-! = -!/(,. ) .J"
Z^ut
A8.24) " ЧХ
Балка, затдемленная пра-/;^ *ч^<г г-иг
вым концом и шарнирно- ^
опертая левым (рис. 390, б): '^ й
^b=-^(l-«2)i = /jF6(«), 1/„ = 1—^C-u2)=,
= ф2(«). Иь=1—Ф2("). A8.25)
Уравнения линий влияния М и Q в сечении г = а:
Р'1
р--;
Рис. 390
»Va
'Ь''
\ч
'•*
К'-»-''
груз правее сечения: Л1 = Иаа, Q=Ha;
» левее » Л1 = Иаа — 1 (а—и/), 0=1^0—1=—Уь- I
A8.26)
Балка, защемленная левым кон1юм и шарнир-
но-опертая правым (рис. 390, в):
га= -—A-и)B-и) 1 = -П,(и);
К„=1 ——C-и) = фз(и): Иь = 1-фз(и).
A8.27)
Уравнения линий влияния М и Q в сечении z = а:
груз правее сечения: М = Га+Уаа, Q=Va;
» левее » М = Га-\-Уаа — 1 (а—ul);
Q = Va-\ = -Vb.
A8.28)
nU
г
3
0
0,1
0.2
0,25
0.3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,75
0,8
0,9
1.0
3
5S
II
'а
-
0
0,0810
0,1280
0,1406
0,1470
0,1440
0,1250
0,0960
0,0630
0,0469
0,0320
0,0090
0
^
J^
II
'^
<»
0
0,0090
0,0320
0,0469
0,0630
0,0960
0,1250
0,1440
0,1470
0,1406
0,1280
0,0810
0
СМ
1
СО
и а
Si
&11
1,0000
0,9720
0,8960
0,8437
0,7840
0,6480
0,5000
0,3520
0,2160
0,1563
0,1040
0,0280
0
«г
а
1
И г
^ ар
-; II
0
0,0495
0,0960
0,1172
0,1365
0,1680
0,1875
0,1920
0,1785
0,1640
0,1440
0,0855
0
1
со
„ =*1 "^
И '
S 1
& И-
1,0000
0,8505
0,7040
0,6328
0,5635
0,3920
0,3125
0,2080
0,1215
0,0860
0,0560
0,0145
0
Та
1
^
1
л Г
g а|с-.
..; 11
0
0,0855
0,1440
0,1640
0,1785
0,1920
0,1875
0,1680
0,1365
0,1172
0,0960
0,0495
0 .
5 лица 16
1
^ <N
II '
? 1
» 1
1,0000
/ 0,9855
0,9440
0,9140
0,8785
0,7920
0,6875
0,5680
0,4365
0,3672
0,2960
0,1495
0
14 Зак. 763
417
p^
]LЛ
в мртричной форме
равенства A8.22) будут:
вц Pi2 - • - t^m
В21 Р22 • •• Ргп
'\р
'1h
Up
;Ж7
Рис. 391 Pni Рп2 • • • вл
A8.29)
И здесь, если требуется вычислить только ординаты линии влияния в
отдельных точках положения груза, а не уравнение линии влияния, то надо
матрицу-столбец Rp = || Tip || обратить в полную матрицу, столбцы которой
дают Rp в зависимости от конкретного положения груза.
Применение формул A8.23) — A8.28) для составления уравнений линий
влияния основных неизвестных углов поворота и поступательных
перемещений по выражениям A8.22) рассмотрим на примере мостовой рамы
(рис. 391).
Выражения линии влияния основных неизвестных через коэффициенты
влияния:
л. в. 2i = Pii/•,p-|-Pt2''2P+Pl3 "ЗР"!" Pl4''4/''
л. в. 2^2 = Р21''1р-|-Р22''2Р+Раз''зр+^г4''4р'
л. в. ^3=^31''ip + Psa'"гр + Ззя'■зр+Рз4'4Р'
л. в. 24=^41''1Р+Р4а''2Р+Р43''зР + Р44'р-
(а>
Значения грузовых членов т\р, г^р, г^р, Г4Р^определяем в зависимости от
положения груза Р = 1 по пролетам рамы.
Груз в первом пролете. Реакции Г2Р = Гзр = г^р = 0. Так как ригель
первого пролета в основной системе представляет собой балку, защемленную
правым концом и шарнирно опертую левым, то согласно A8.25) получим
мA—u2)
IP
= h-
■=llfb{U).
Теперь согласно (a) уравнения всех линий влияния при положении
груза в первом пролете будут:
л. в. Zi = Pu/il5(aM л. в. Z3 = ^sitik(u)i
л. в. Z2 = hihh(uy, л. в. Z, = ^alih{u)-
(б>
Груз во втором пролете. При положении груза во втором пролете
реакции '•зр = г^р = 0.
Ригель второго пролета в основной системе представляет собой балку,
защемленную двумя концами. Поэтому согласно A8.23)
fip = —/««A—иJ=—/ateC"). г^р^hu^{i-~u)=htiW-
Уравнения линий влияния согласно (а):
л. в. Zi=—Pii'2^3(M) + Pi2'a^4(a)!
л. в. Z2=—Pai'als(«)+fe'a/4(«)S
л. в. 2з= —Рз1'2fe(a) + Ps«'8/4(«)i
л. в. Zi=— Р4113 Ь(и) + Рй li ft (а).
Груз в третьем пролете. Аналогично будем иметь:
riP = Г4Р = 0;
r2P=^ — hull—и)^=—lata (u)i v зр ='з «"Ч1 —«^ ='з i* (")•
(в)
418
(г)
Уравнения линий влияния:
^ л. в. 2i=—Pi2«3^3(")+Pl3'8?4(«);
л. в. Z2=—Р2г'зЬ(«) + Р2з/з/4(и>;
л. в. .Zg = —Рзг'з/з («)+Рзз'8 ^4(«);
л. в. Z4=-p43isf3(«)+P43^3f4(«)-
груз в четвертом пролете. В, этом случае только гзр не равно нулю.
Ригель четвертого пролета в основной системе представляет собой балку,
защемленную левым концом и шарнирно-опертую правым. Согласно A8.27)
получим
Гзр= — ^4— A—«)B—Ы) = —/4fв(и)■
(Д)
Уравнения линий влияния:
л. в. 21 = —Pi3/4^e(«);
л. в. 22=—Р2з'4/й(«);
л. в. 2з=—Рзз'4/'б(«);
л. в. Z4=—P43^4^6(")•
2. Линии влияния заменяющих (внутренних) сил
Линии влияния внутренних сил М, Q v^ N могут быть построены по
линиям влияния основных неизвестных по общему выражению
л. в. 5 = (л. в. Zi) 51+(л. в. Z2) 5+... + (л. в. Z„)S„-ffl. в. S», A8.30)
где л. в. Zt — линии влияния основных неизвестных: Sj, ..., S„ —
коэффициенты; л. в. S** — линия влияния рассматриваемой внутренней силы
в основной системе.
Следовательно, линия влияния внутренней силы получается сложением
линии влияния 5" той же внутренней силы в основно» системе метода
перемещений и линий влияния неизвестных Z^, ...,Z „, умноженных на единичные
внутренние силы S^, ..., S„ в той же основной системе.
Линии влияния М и Q в основной системе определяются выражениями
{18.24), A8.26) и A8.28). Значения М и Q легко определяются из единичных
эпюр изгибающих моментов.
Несколько сложнее построение линии влияния продольной силы N.
Продольные силы в основной системе выражаются через поперечные силы,
причем это выражение зависит от вида системы, а потому для продольных
сил нельзя составить готовых выражений в общем виде. Поэтому линии
влияния продольных сил удобнее строить не по выражению A8.30), а по
линиям влияния тех поперечных сил, через которые они определяются.
Укажем еще один возможный способ построения л. в. Л1 и Q в сечениях
«тержней по линиям влияния узловых моментов, которые должны быть
предварительно построены по A8.30). Выражения для Л1 и Q в сечении стержня
такие же, как и для неразрезной балки (рис. 392):
I—а а
Ча—-Чд
-■M.l^''+М^г^-Ч^ +Мвдав-^ ;
I
A8.31)
Значит я. в. М и Q в сечениях стержня могут быть построены сложением л. в.
MJ^'^ и Q^"'" в простой балке и л. в. опорных моментов Мдед н М.^^,^^.
Пример 50. Построить линии влияния перемещений узлов изгибающих
моментов и поперечных сил в заданных сечениях / и 2 рамы (рис. 393, а). Кружками на схеме
FJ
рамы обведены значения коэффициентов жесткости г = -U-.
14* 419
Линии влияния перемещений. Единичные эпюры изображены на рнс. 393, 6, в, а.
Канонические уравнения:
'■ц ■^^i+''12 ■^г +''13 ■Zs +'■ 1 р = 0;
''21 ■^i +''22 ■Za+/3 ^3+Г2Р = 0;
''31 ■^i+''32 ■^г +'■33 ■^з+'■ зя'^ ^ •
Их коэффициенты: гц
Г12 = 4 кН . м; Газ =
= 9 + 8 + 3 = 20 кН • м; rgi = 4 кН . м; Лз1 = — 0,75 kHj
; + 9 + 3 = 20 кН . м; лз2 = —0,75 кН; /-is = —0.75 кН;
''зз'
0,75
1,5
4 ' 6
Канонические уравнения в числах;
202i + 42a-0,75Z3 + /-,p = 0;
4Zi+20Za—0,752з + '-2р = 0;
— 0,75Zi —0,752а + 0.43752з+Гзр = 0.
Вычислим коэффициенты влияния,
а) По способу определителей A4.49):
20 4 —0,75
4 20 —0,75
—0,75 —0.75 0,4375
Р„ = (_1)A + 1-»—L 20
^" ' 150 —0,75 0.4375
= 0,4375 кН/м.
D=
= 150(кНK.м;
-0,75 I
р^ = ,_1)П+2-.)
= —0,054583
I
1
150
= 0,0079166
1
кН-м
4 —0,75
—0,75 0,4375
1
Р^ = (-1)<1+з-"
,j<2 + 2-l,
150
= —0,08-
1
кН-м
4 20 I
— 0,75 —0,751
1
150
= —0,054583
1
Р^ = (-1)<2 + 3-1
Рзз = (-
= —0,08
_jj{3+3 —п
кН
20
—0,75
1
кН-м
I 20
150 1—0,75
1
кН •
1_|20
4
150 I
= —2,56 м/кН.
-0,75
0,4375
4
— 0,75
Млей.
Рис. 392
-ТО-
3)
ГШШ^'1
\
ж
ш^^^^т
«в»
xj
IS
«■S-l, 1
IP-i
iifff^4^*
^^ §-1
I
-Till
s. &
«^•' E3^ ^-^ t >-o.
Й S £s fe S; § §
i I § I fe ^ i
a, § S- ea-ej» «a- Ы- ta-
[^ I I [ll J bji I I I. . . / 1 . I .
'ШP^^
^] & ^ S^J
S S SI I
MIJ:
лЩ
Рис. 393
420
б) По способу Гаусса:
Прямой ход приведен в табл. 17.
Ns отроки
1
2
3
4
б
6
7
8
9
10
№ уравнения и
коэффициенты а
A)
«ift
B)
ai2-(l)
B<'>)
<4h
C)
ais-(l)
«,,-,-{2">)
CB>)
ТаС
Неизвестные
Z,
20
С
4
@
®
@
—0,75
^'З
@
@
Z,
4
4
«12— — 20
20
—0,8
19,2
@
—0,75
'@
@
®
г.
—0,75
—0,75
«18= — - 25" =0.0375
—0,75
+0,15
—0,6
—0.6
«23—— '~19 2'—Q'Q3125
0,4375
—0,0281
—0,0188
0,3906
лица 17
эффициеи1ов
23,25
23,25
—4,68
i
^ 18,6
—1,0625
0,8719
0,5812
->• 0,3906
Вычисляем коэффициенты влияния по A4.59) и A4.60).
1-я о. п е р а ц и я . Для формулы A4.59)^А = 3, для формулы A4.60)
fe = 3; »■ = 2 и »■ = 1.
Коэффициенты влияния:
Рзз=~=-^=-2.56м/кН;
Р23 = «2зЭзз = 0,03125(—2,56)=—0,08—- j
кН
Р13 = «12Э23+«1зЭзз = (—0,2)(—0.08) + 0,0375(—2.56)=—0,08-4г'
кН
Проверка по A4.47):
''si Pi2 + га2 P2S + гзз Рзз + 1 = 0;
(—0,75) (—0,08) + (—0,75) (—0,08) + 0,4375 (—2,56) +1 = 0.
2-я операция. Для формулы A4.59) k = 2, для формулы A4.60) ft = 2 и / = 1.
Р22=-7ГГ+«2зР23= —-Г-+0.03125 (-0.08) = —0,054583 ^
Р12=«12Р22+«1зРз2=—0,2 (—0,054583)+0,0375 (—0,08) = 0,0079166
кН.м
1
кН-м
421
Проверка цо A4.47):
''2x^12 + '2Р22 + ''гзРзг + 1 = 0;
4 . 0,0079166 + 20 (— 0,054583) — 0,75 (— 0,08) + I = 1,091664 — 1,09166 ~ 0.
3-я операция. Для формулы A4.59) fe = 1.
Pii =
1
ги
+ai2 3i2+ai3Pi3 =
1
20
+ (—0,2) 0,0079166+
+ 0,0375 (—0,08) = —0,054583 ■
1
кН-м
Проверка по A4.47):
'■цРи + П^Ы + гхзРа! +1 = 0;
20 (— 0,054583) + 4 @,0079166) — 0,75 (— 0,08) + 1 = — 1,09166 + 1.091666 ~0.
Следовательно, основные неизвестные выражаются через коэффициенты влияния
следующим образом:
Zi = —0,05458(^,р+0,007917г2р—0,08/-зр;
Z2=0,007917rip—0,05458Г2Р—О.ОЗгзр;
Zs=—0,08л1р—0,08л2р—2,56гзр.
При вертикальной нагрузке Гзр = 0, rjp и Г2р зависят от положения груза Р= 1
Груз в первом пролете. По A8.25)
2 =8 2 • '2^=°
(а)
rip = ll
(б)
Уравнения линий влияния:
цA—ц2)
2
л. в. Zi=—0,05458.
л. в. Z2 = 0,007917-8
и A —u2) %
л. в. Z3=—0,08-
u(l—u2)
Груз во втором пролете. По A8.23)
tip= —/2" A —аJ= — 12и A—UJ; ■
Уравнения линий влияния:
л. в, Zi = 0,05458.12u(l—иJ+0,007917-12ц2A—и); л
л. в. Z2 = 0.007917.12u(l—иJ—0,05458.12u2(l—U); 1
л. в. Z3=—0,08-12иA—иJ—0,08.12u2(l—и). |
Груз в третьем пролете. По A8.27)
'■2Р=-'з-^A-«)B-«) = -8-|-A-и)B-а); т^р = а.
Уравнения линий влияния:
л. в. Zi=—0,007917-8—A—и)B—U);
л. в. Z2 = 0,05458-8—-A-и)B—U);
л. в. Zs = 0,08.8-|-A—U) B—ц).
(б')
(в)
(в')
(Р)
(р')
Линии влияния показаны на рис. 393, д, е, ж.
Линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил. Уравнения линии
влияния Л1 и Q в сечении /-/ цо A8.30):
л. в. М1 = (л. в. Zi) 8+(л. в. 22) 4+л. в. М«;
л. в. д1 = (л. в. Zi)( —1) + (л. в. Z2)( —1) + л. в. Qi,
422
где согласно A8.23) при положении груза во втором пролете!
М«=л„ = —иA—uJl2;
Q; = Va=l—u2C—2u)
г
при "=^="[9" •
Уравнения линий влияния М и Q в сечении 2—2 по A8.30)
л. в. Л12 = (л. в. ZiJ+ (л. в. ZaX—2)+л. в. Л1»,
где по A8.24) при положении груза во втором пролете:
правее сечения; М« = — и A — uf 12 + [1 — u^ C — 2u)] 6;
левее сечения: М§ = — и A — u)M2 + [1 — и» C — 2и)] 6 — 1 F — 12и);
л. в. Qa = (я. в. Zi) (—1) + (л. в. Z^ (— 1) + л. в. Ql,
где при положении груза во втором пролете:
правее сечения: Ql^=\—и^ B>—2и);
левее сечения: Q\='—и?(д—2и).
При положении груза в первом и третьем пролетах М^ и Q" равны нулю. Лини»
влияния Л1 и Q изображены на рис. 393 а, и, к, л.
§ 201. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
УГЛОВЫХ И ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИИ УЗЛОВ
Линия влияния угла поворота заданной системы есть эпюра
вертикальных перемещений ее грузовой линии от внешнего момента N1% — 1,
приложенного в этом узле (рис. 394, а), а линия влияния поступательного
перемещения,— от внешней силы Рт = 1, приложенной по направлению
поступательного перемещения (рис. 394, б).
От таких нагрузок должны быть
найдены углы поворота и
поступательные перемещения узлов рамы,
после чего линия влияния
строится на основании данных табл. 18.
§ 202. РАСЧЕТ НА ДЕЙСТВИЕ
ТЕМПЕРАТУРЫ И СМЕЩЕНИЕ ОПОР
Канонические уравнения при
расчете на действие температуры
имеют вид
ruiZi + tki Z2+...+r,^„Zn + Rkt = 0.
A8.32)
Для определения Rf^^
необходимо иметь температурные эпюры
изгибающих моментов в основной
системе. Для этого рассмотрим два
стандартных стержня основной
системы под действием изменения
температуры ^2 снизу и ti сверху,
причем 4^4- Эпюры изгибающих
моментов от действия температуры
для стандартных стержней
основной системы при неравномерном
нагревании, построенные по
методу сил, показаны на рис. 395. От-
а)
m.-i
t
,*i-
v^7^,
ZVt:
О
Si
->г
7л7,
=;«
Рис. 394
Рис. 395
423
Таблица 18
Виды перемещений коицов стержней
Уравнения оси изогнутого стержня
(■—)
у = 1иО-иГ = Па(и)
^ггт^^^ъ^.
(/=—/ (l—U)U^=—lfi(u)
У = ц2(з_2и)=1 —(pi(u);
(/1=1—(/ = (Р1(И)
№="
y=l—u(\—u)B~u) = lU(.u)
у= —I— иA — и^)= —It^ (и)
Г~Ргг$
(/ = — C—U) = 1 —фз (ы);
(/! = • —(/ = Фз(«)
метим, что растянутая при изгибе зона располагается по стороне меньшего
приращения температуры.
Изгибающие моменты будут:
для стержня, защемленного по концам:
/И(=Р 7 EJ (постоянный по длине); A8.33)
ДЛЯ стержня, защемленного одним концом и шарнирно опертого другим
в месте защемления:
3 t2 — tl
2 h
A8.34)
где h — высота сечения.
Кроме изгибающих моментов М^ от неравномерного нагревания
стержней возникают также изгибающие моменты от равномерного их нагревания,
так как равномерное нагревание основной системы вызывает поступательные
перемещения ее узлов, а следовательно, и изгиб стержней. В этом легко
убедиться, рассмотрев какую-нибудь основную систему (рис. 396).
Поступательная связь, введенная в первом узле, препятствует только
горизонтальному его перемещению и не препятствует вертикальному перемещению
при температурном удлинении стержня а-\. Поэтому узел / займет новое
положение 1'. Вследствие удлинений других стержней узлы 2 и 3 также зай-
424
2'
?'
^fe
— d" '
11 '^(а-ьн ^■
^ta-b)t
EttbZ
^^^
2да
Рис. 396
мут новые положения 2' и 5', при
которых в общем случае стержни системы
будут искривляться (рис. 396) и в них Рис. 397
возникнут изгибающие моменты.
Значит, температурная эпюра М^ в основной системе будет состоять из
двух частей: эпюры от неравномерного нагрева M't и эпюры от
равномерного нагрева M't.
Эпюра M't от неравномерного нагрева строится на основании формул
A8.33) и A8.34). Эпюра M"t от равномерного нагрева строится сложнее
Для ее построения надо знать температурные перемещения узлов основной
системы, через которые можно выразить перемещения концов каждого
стержня А( по перпендикулярному к его оси направлению. Эпюра
изгибающих моментов при таком смещении по стер"^<ням, защемленным двумя
концами, представляет собой равнобокую перекрученную трапецию (рис, 397),
как при единичном смещении концов стержня, с моментами по концам
6£J .
Щ = Дь
A8.35)
а эпюра для стержней, защемленных одним концом при шарнирном опира-,
НИИ другого, представляет собой треугольник с ординатой в защемлении
щ=-
ЪЕ}
А*.
A8.36)
Перемещения узлов основной системы от равномерного нагрева можно
получить из следующего построения (рис. 398, а).
Разрежем мысленно стержень 1-2 около узла 2, а стержень 2-3 — около
узла 3. Пусть от н агревания стержень 1-а удлинился на величину ЬЛ(д^ _ j, ^.
При этом узел / переместится по вертикали на эту же величину и займет
положение /'. Вместе с узлом 1 параллельно переместится и стержень 1-2.
Он займет положение 1'-2". От точки 2" отложим температурное удлинение
Д/A_2)( стержня 1-2, получим точку Т.
Оставим пока стержень 1-а и рассмотрим стержень Ь-2. Вследствие его
удлинения конец 2 поднимется на величину удлинения tu(^ - г) г и займет
положение 2*. Таким образом, концы стержней 7-2 и Ь-2, сходящиеся в узле
2, заняли при воображаемых разрезах два разных положения 2'" и 2*, что
невозможно. Эти концы стержней в разных положениях надо совместить,
что может быть сделано путем изгиба стержней. Поскольку температурные
удлинения стержней малы по сравнению с их длинами, то движения концов
стержней можно рассматривать как их перемещение по перпендикулярным
к осям стержней направлениям. Истинное положение 2' узла 2 будет в точке
пересечения перпендикуляров к стержням 1'-2'" и Ь-2*, восставленных из
точ€к 2"' и 2*.
Отметим, что такое совмещение происходит без поворота узлов, чему
препятствуют моментные связи основной системы.
425
a)
^^A-гн
^^^^^ --о4-о^";
■м-
^ fe-3}i
Рис. 398
Теперь рассмотрим стержни 2-3 и с-5. Стержень 2-3 при совмещении
концов стержней 7-2 и fc-2 и наличии воображаемого разреза в узле 5 займет
положение 2'-3". Отложим от точки 3" удлинение А/B _з)* этого стержня,
получим точку 3"'. Конец с стержня с-3, как защемленный, останется на
месте, а конец 3 вследствие удлинения стержня при наличии воображаемого
разреза поднимется на величину этого удлинения Д/(р _ з) * и займет
положение 5*. Совмещение концов стержней, оказавшихся в разншх местах,
проводим по перпендикулярам к осям стержней, восстановленным из точек 3"
и 5*. Истинное положение 3' и узла 5 будет на пересечении этих
перпендикуляров.
Теперь можно изобразить деформированное состояние основной системы
<рис. 398, а) и выразить искомые температурные относительные перемещения
концов стержней (сдвиги):
\a—\)t'
=0;
м-
-2) Г
=Д/,о_1,^-А/(й.
-2) t>
"B
Д,
(Ь-гх^Д^! —2)<'
3) * = Д^ь —2)*—Д^е—а) <5
(с—3) <=Д'A —2)'"Ь^^B —ЗХ'
Температурные удлинения стержней от равномерного нагревания
определяются по выражению A1.20), которые можно представить в таком виде:
Д/,
(а—Ь) f
'^lab — ihh^+hhj).
A«.37)
Поскольку температурные удлинения элементов малы, то на схеме рамы
они должны быть отложены в большем масштабе, чем стержни системы.
Обычно в этом случае строится специальная полярная диаграмма
перемещений, в которой откладываются только удлинения стержней. Она строится
так.
426
От полюса О, с которым на диаграмме совмещаются положения всех
неподвижных точек системы (точки а, Ь, и с) (рис. 398, б), откладывается по
вертикали в удобном масштабе величина удлинения A/(<j_i)( стержня a-t
и получается точка 1', которая своим положением относительно полюса О
определяет перемещение этого узла основной системы. Затем от точки /'
откладывается удлинение A/(i_2)t стержня 1-2 по его направлению,
получается точка 2", из которой восстанавливаем перпендикуляр к отложенному
удлинению. На этом перпендикуляре должна лежать точка 2',
определяющая положение этого узла. Откладывая отточки Ь, совмещенной с полюсом О.
вектор удлинения Д/E,_2)( стержня fc-2, получаем точку 2*, из которой также
восстановим перпендикуляр к только что отложенному удлинению.
Пересечение его с перпендикуляром, ранее восстановленным из точки 2",
определит положение узла 2'. Полное перемещение узла определится вектором,
имеющим начало в полюсе О и конец в точке 2'. От точки 2' откладываем
удлинение А/B _ з)« стержня 2-3 и из полученной точки 5" восставляем
перпендикуляр к отложенному удлинению. Затем от точки с, совмещенной с
полюсом О, откладываем удлинение А/(д _ з) t стержня с-3 и восставляем к нему
из новой точки 3* перпендикуляр. Пересечение двух перпендикуляров
определит на диаграмме положение узла 3'. Диаграмма построена.
Таким образом:
1) перемещения узлов основной системы на полярной диаграмме
перемещений определяются векторами, проведенными из полюса О в точку, изо-
бражащую данный узел;
2) относительные перемещения концов стержней определяются
векторами, соединяющими изображение их на диаграмме. Проекция этого
вектора на ось, перпендикулярную оси стержня, определяет искомое
относительное перемещение концов стержня по перпендикулярному к нему
направлению или иначе — сдвиг.
Например, полное перемещение узла 3 на диаграмме изображается
вектором О—3'. Относительное перемещение концов стержня 2-3 определяется
вектором 2'—3', который показывает, что конец2 стержня поднимается
относительно конца 3. Проекция полного относительного перемещения 2'-3'
на ось, перпендикулярную стержню 2-5, есть сдвиг АB -g^ этого элемента.
Знак сдвига определяется направлением поворота хорды стержня. Если
она поворачивается по часовой стрелке, т. е. правый конец опускается
относительно левого, то сдвиг положителен, и наоборот. Сдвиг для стержня
2-3 положителен, так как узел 3 опускается относительно узла 2. Так могут
быть определены все перемещения концов стержней. Нетрудно убедиться,
что их значения совпадают с ранее определенными на схеме рамы.
После определения перемещений концов стержней эпюра M'i строится
по выражениям A8.35) и A8.36). Температурные реакции i^^j
определяются как суммы двух реакций: реакции Rkt от неравномерного нагрева,
создавшего эпюру M't, и реакции Rlt от равномерного нагрева,
определившего эпюру УИ(.
Моментные реакции проще всего определять из равновесия вырезанных
узлов в указанных двух эпюрах Mt и M"t.
Силовые реакции при параллельных разрезанных стержнях (стойках)
могут быть определены из равновесия вырезанных ригелей в эпюрах Mi и
M't. Но они же в этом случае и в случаях, более сложных, могут быть
определены перемножением эпюр. Покажем это.
Рассмотрим возможную работу сил основной системы при действии
температуры на перемещении от Z^ = 1 (рис. 399):
RhtZh = y^\Mi^ds; Rht^'S^^ Mt J^ds = (Mt) т). A8.38)
При определении силовых реакций надо перемножать температурные
эпюры и эпюры от поступательных перемещений. Единичные эпюры от
поступательных перемещений на стержнях, защемленных двумя концами, есть
427
«^^^ i¥-'^^
Рис. 399
перeKj)ученные трапеции, а от
неравномерного нагревания — прямоугольники.
Результат перемножения таких эпюр равен
нулю. Эпюры на стержнях с одним
защемлением в обоих случаях треугольные, и
результаты их перемножения уже не равны
нулю. Следовательно, при умножении
первой температурной эпюры M't от
неравномерного нагревания на эпюру от
единичного поступательного перемещения надо
перемножать только их участки по
стержням, имеющим защемление в основной р^^ ^qq
системе на одном конце, если такие
стержни есть. Результат перемножения можно представить в таком виде
(рис. 404, а):
, ,.,— . "v 3 ti—ii ; 2 а 1
■2.
3 t2~ti
A8.39)
Эпюры от равномерного нагревания и от единичных поступательных
перемещений узлов имеют одинаковое очертание (рис. 400, б, в).
Перемножая их, получим
12( . -С1 3(
■2-^л,а.+2
Р
Дгб,
h>
A8.40)
где Д( и 6A — температурные и единичные перемещения концов стержней
в основной системе.
Температурная эпюра моментов определяется выражением
(М,) = (Мг) Zl + (Лfг) Z2+ ... + (Л1„) Z„ + (Лf/)+(^t").
A8.41)
Ее проверки обычные. Наряду с ними возможна проверка
перемножением этой эпюры и любой единичной или суммарно единичной эпюры
метода перемещений
(Mt)(Ms) = 0- A8.42)
Канонические уравнения при расчете на смещение опор имеют вид
rkiZi+rk2Z2+... + rhnZn+RkA = Q. A8.43)
Для определения 7?4д надо знать эпюру изгибающих моментов УИд в
основной системе от заданного смещения опор А. Такую эпюру легко построить,
если будут определены относительные поступательные перемещения концов
428
ш
-т
т
:н
стержней в основной системе по пер- 4i ог i „^
пендикулярному к ним направлению г ~~"
(сдвиги), при заданных смещениях
опор (рис. 401). Эти смещения нахо- (^е^ ^^
дятся так же, как при равномерном у)^^
нагревании, только в этом случае все
А/ = 0.
В частности, может быть построена
для этого и полярная диаграмма пере- Рис. 401
мещений (см. рис. 398).
Возможность определения реакций Rk& посредством перемножения эпюр
доказывается так же, как и при действии температуры.
Моментные ракции надо определять из равновесия вырезанного узла,
а силовые — из равновесия отсеченной части или, где это невозможно,
перемножением эпюр. Поскольку эпюры на стержнях основной системы
от смещения опор по форме будут такими же, как и от единичных
поступательных перемещений, то результат перемножения при определении силовых
реакций может быть представлен в таком виде:
-^Ддбй + 2,—Ддбй, A8.44)
где Ад и 6ft — перемещения концов стержней основной системы (сдвиги)
от смещения опор и единичного поступательного перемещения.
Эпюра изгибающих моментов от смещения опор определяется выражением
(М/,) = (Мг) Zi + {M2) Z2+ ...+ШпJп+Ша). A8.45)
Ее проверка проводится аналогично проверке температурной эпюры.
§ 203. СТАТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЯ
КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ
Решение уравнений A8.2) по первому приближению при использовании
найденных значений предыдущих неизвестных для определения
последующих согласно A4.61) представим в таком виде.
Z\ =
ЧР
A8.46)
Гц
Z* = — (R<fp-¥''2i ^*)'.
Zt = - — (R3P + r3i Zt + rs2 Z%)
''33
и T. д.
Эти выражения могут быть получены из
статических соображений. Рассуждения
проведем на примере рамы, основная система
для которой и некоторые необходимые эпюры
по^^азаны на рис. 402. Будем сначала искать
Zj не для заданной системы, а для системы,
образованной из основной устранением
первой связи. Тогда будет только одно
каноническое уравнение
откуда получаем
Rip
Zi.
'"u
hJLJ\.
X.I.X
ч!^
(m'j
^^Лы-^^
^
[M,)
Nt
^S'
(МЛ
Рис. 402
429
Это есть первое приближение Z'.
Затем составим новую грузовую эпюру Мр такого вида:
Использование ее в дальнейшем расчете соответствует подстановке
первого приближения Z\ во все остальные канонические уравнения.
Действительно, дополнение к свободным членам Rkp последующих уравнений равно:
liRlp = {Mh) [Ml) Z\ = rkiZ\ = rKi Z\.
Теперь вновь наложим на систему первую связь и будем рассматривать
систему, образованную из основной устранением второй связи, и для нее
определим 2j. Каноническое уравнение будет
'■22^2 + ^2^ —^> откуда Z = — = (^?2Р + Д^2Р) —
Ггг '"га
Такая операция соответствует определению первого приближения Z\,
Теперь составим новую грузовую эпюру Мр такого вида:
(Л1 р ) = ( Жр) + (Жг) 2^2 = (^р) + (^i) Z\ + (Жг) 1\.
Ее дальнейшее применение в расчете соответствует подстановке Z\ во все
остальные уравнения при их решении последовательными приближениями.
Действительно, новое дополнение к Rkp равно:
\ Д R-^p = (жft) (Л^г) 2.\ = гг,2 Z\ •= гг,2 Z\.
Снова вводим вторую связь и рассматриваем систему, образованную из
основной устранением третьей связи. Каноническое уравнение
х\3р 1
'•зз2з + /?зр=0> откуда гз'=—' = {Rzpr\-rz\Z\-\-r^^Z'^.
'^33 '■33
Эта операция соответствует определению первого приближения Z\ при
решении уравнений. И так далее ...
На таких операциях и основан способ расчета, называемый способом
уравновешивания узлов или способом распределения изгибающих моментов.
Практически этот способ обычно осуществляется без построения
промежуточных грузовых эпюр посредством записи дополнительных моментов ДУЙ'
на концах стержня рамы. Для удобства такой записи рама изображается
в крупном масштабе, чтобы можно было на концах стержней свободно
приписывать значения дополнительных моментов.
Способ уравновешивания узлов, как было показано, есть лишь
статическая интерпретация решения канонических уравнений метода
перемещений по способу последовательных приближений и по сравнению с
последним не обладает какими-либо преимуществами. Более того, ошибка,
допущенная в решении уравнений способом последовательных приближений,
при сходящемся процессе постепенно погасится, затянется лишь процесс
приближений, тогда как ошибку, допущенную в записи дополнительных
моментов, трудно обнаружить.
Попутно заметим, что статическая интерпретация решения
канонических уравнений метода перемещений по способу Гаусса сводится к
применению нескольких основных систем с постепенным исключением наложенных
на систему связей. Подробности изложены в, [1], стр. 495.
430
«; J;
^^--loC '^^
■9
J- X
2 J
'Я^ ^ ф;
«I
Рис. 403
Рис. 405
Рис. 404
§ 204. УПРОЩЕНИЯ В МЕТОДЕ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Возможные упрощения в
методе перемещений сводятся к
следующему.
1. Используются сложные
стандартные элементы основной
системы, которые могут быть
предварительно рассчитаны в
общем виде на действие нагрузки
и смещения, например рамы,
изображенные на рис, 403, а, б.
Эти рамы должны быть
предварительно рассчитаны на
нагрузку, угловые единичные
перемещения их защемленных концов
и на относительные
поступательные перемещения по горизонтали точек Л и В. Введение таких элементов
в основную систему (рис. 403, в) сокращает число основных
неизвестных.
2. Применяются основные системы с неполным числом наложенных
связей, что также уменьшает число основных неизвестных, но требует
дополнительных исследований по методу сил или по методу перемещений
нестандартных элементов, содержащихся в основной системе, на нагрузку
и перемещение узла, которым он примыкает к остальной части системы
(рис. 404). При этом решение канонических уравнений с полным числом
неизвестных при основной системе с простыми элементами заменяется
решением двух отдельных систем уравнений: одной — при исследовании
нестандартного элемента, а другой — соответствующей основной системе с
неполным числом связей.
3. Принимаются в качестве неизвестных групповые перемещения
аналогично тому, как в методе сил, при использовании неизвестных групповых
сил.
Особого внимания заслуживают групповые поступательные перемещения
узлов при расчете многоэтажных рам (рис. 405). При таких перемещениях
некоторые побочные силовые реакции равны нулю, как, например, г^^, что
нетрудно обосновать, если применить для определения г^^ перемножение
эпюр.
Заметим, что, как и в методе сил, используя решение канонических
уравнений по способу Гаусса, можно построить ортогональные единичные
эпюры, соответствующие некоторым групповым перемещениям.
431
§ 205. ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Идея метода конечных элементов состоит в том, что система для расчета
разбивается на отдельные элементы конечных размеров такой формы,
которая доступна для предварительного исследования их
напряженно-деформированного состояния под нагрузкой и силами (усилиями) взаимодействия
между элементами, нахождения зависимостей между силами взаимодействия
и соответствующими им перемещениями и т. д.
В стержневых системах конечными элементами будут отдельные стержни
или их участки, в пластинах и оболочках—пластинчатые элементы
различной формы, например, треугольные, прямоугольные и другие и в массивных
телах — малые объемные тела в виде тетраэдров, параллелепипедов и т. д.
Таким образом, в методе конечных элементов непрерывная среда
пластин, оболочек и массивных тел заменяется дискретной, что и позволяет
применять методы строительной механики; при этом часто находит
применение метод перемещений.
Условия сопряжения отдельных элементов с соседними элементами в
смысле непрерывности деформаций и перемещений, сил взаимодействия и
условий равновесия с заданной нагрузкой дают уравнения для определения
неизвестных в местах соединения элементов.
Методом конечных элементов при наличии ЭЦВМ может быть рассчитана
любая система, если вы'деляемые из нее конечные элементы доступны для
предварительного их изучения и если их число, достаточное для получения
практически приемлемых результатов, не превысит при обработке
возможности вычислительной машины.
Метод конечных элементов принципиально приложим к различным
системам, в том числе и стержневым, но все же его основное назначение — это
расчет континуальных систем, пластин, оболочек и массивных тел.
Если предварительное изучение конечных элементов проведено точно
и затем точно составлены условия их сопряжения, что иногда возможно,
например в стержневых системах, то метод будет точным. В остальных
случаях, что обычно и имеет место, метод будет приближенным. При этом чем
полнее в расчете отражены условия сопряжения элементов между собой,
тем обычно метод бывает точнее. В сложных случаях точность метода обычно
повышается с увеличением числа конечных элементов.
Учитываемые в расчете условия сопряжения конечных элементов для
пластин, оболочек и массивных тел, а также условия равновесия
составляются только в фиксированных местах (углах элементов), называемых узлами,
что и приводит при использовании методов строительной механики к
алгебраическим уравнениям вместо дифференциальных.
Условия сопряжения между узлами конечных элементов осуществляются
на основе дополнительных допущений на стадии изучения конечного
элемента.
В качестве понятия и начального ознакомления с методом конечных
элементов рассмотрим его приложение только к стержневым системам, на
котором в какой-то мере можно проследить и порядок применения этого
метода. При этом ограничимся изложением метода на расчете рам, когда за
неизвестные принимаются перемещения узлов, т. е., по существу, изложим
метод перемещений с позиций метода конечных элементов. В этом случае для
предварительного исследования элемента необходимо:
1) записать для каждого элемента (стержня) неизвестные
перемещения его концов, выражая их через принятые неизвестные перемещения
узлов;
2) составить для каждого элемента матрицу жесткости,
устанавливающую связь между перемещениями и усилиями на концах элемента;
3) составить для каждого элемента матрицу-столбец (вектор) усилий на
концах элемента, как произведение матрицы жесткости на матрицу-столбец
неизвестных перемещений на его концах;
432
C(~-
~4+>^f^
4) объединить матрицы усилий отдель- aj
ных элементов в общую матрицу для всей "^^гя
системы и раскрыть матричное равенство
в общем виде;
5) составить условия равновесия в
узлах, заменив действующую нагрузку
узловой.
После определения неизвестных
перемещений по общей матрице могут быть
найдены усилия на концах элементов.
Покажем, как это сделать.
Рассмотрим сначала элемент рамы, на р^,^. ^^g
концах которого будем, как и в методе
перемещений, учитывать только изгибающие моменты и поперечные силы
(рис. 406, а).
Первые значки в индексах указывают четыре фиксированных
направления силовых воздействий, а вторые — номер стержня: М-^^ — изгибающий
момент на левом конце элемента; M^k — изгибающий момент на правом
конце; Qsft — поперечная сила на левом конце и Q4ft — поперечная сила на
правом конце.
Скэответетвующие усилиям перемещения будут: Zj — угол поворота
левого конца; Z^ — угол поворота правого конца; Zg — линейное перемещение
левого конца, перпендикулярное стержню, и Z^ — линейное перемещение
правого конца, перпендикулярное стержню.
Составим для этого элемента матрицу жесткости. Первый ее столбец
определяет усилия на концах элемента, когда Zi = 1, а остальные Z^ = Zg =
= Z4 = О, второй столбец, когда Zg = 1, а остальные Z^ = Zg = Z^ = О,
и так далее ...
Простыми средствами км. A8.7) и A8.8I получаем:
A8.47)
i?=
4( 2« —6»/г
ii и —ec/i
6/ 61 12i
T~ ~ I fi
6i 6( 12(
1. / /2
м записать матрицу усилий
M2k
6t
4( 2J —
i
61
2t 4i — —
6( 6i 12/
~ I ~ I P
6i 6( 121
—61//
—6«7i
12i
P
\2i
/2
на концах
&
~ i
6/
12/
(?
Ill
-
сте
2i
22
23
A8.48)
Аналогично для элемента, на одном конце которого изгибающий момент,
например М^, равен нулю (рис. 406, б).
/?=
3i
3(
1
3;
1
3
1
_3(_
Р
3i
~ 1
3i
р
а
р
A8.49)
433
dV<f
м
,Стер>нень И^З
Стер>нень i^'Z
'Ш
. Стержень /V- /
Зг
3i
3(
1
S=
3(
~ 1
3(
3i
р
/Ии
1 Q4ft
3(
3(
/2
—
•
2,
24
A8.50)
а
<^1
Рис. 407
%
Поскольку для стержней, свободных от
нагрузки, всегда Q4 = Qs» то матрицы /? 1см.
A8.49) и A8.50I могут быть сокращены, но
тогда, исключив перемещение Z^, под Zg
будем подразумевать относительное
перемещение концов стержня по перпендикулярному
к нему направлению:
R=
м
i
2( — -—
4( —
6t
6i
I
I
Ш
/2
A8.51)
/?=
3t —-7-
I
A8.52)
Соответственно A8.48) и A8.50) будут:
S =
Qzh
M 2i
f
2i 4( — —-
_6(_
S =
Q3h
_б!_
3( —-=-
_3£_
6(
/
6'
/
12 i
P
,
Zi
Z2
2з
A8.53)
3t
i
3t
/2
Zi
Zz
A8.54)
Ход расчета покажем на примере конкретной рамы (рис. 407, а).
Нумерация стержней: стержень аЬ за № 1; be за № 2; bd за № 3.
Неизвестные перемещения:
Zj — угол поворота узла b по часовой стрелке, общий для всех стержней;
Zj — линейное перемещение узла b вправо, общее для стержней № 1 и 3.
Условия равновесия узла йДрис. 407, 6):
Q3i-Q33=/?. J ^^^
434
Матрица усилий на концах стержней по A8.53) и A8.54):
Mil
Qsi
Мп
Qs?
Mis
4ii
2ii
6/1
0
0
0
0
2ix
0
0
0
6A
124
0
0 ■
0
0
0
0
0
3«2
3£2
t2
0
0
0
3/
3ij
'2
0
0
= Mil = 2t 1 Zi •
6ii
0
0
0
0
0
3/s
^2*
О
О
3^
k
Згз.
t.4
6A
Al2i=4jiZi— -—Zg;
'1
6A 12A
Q31 = —7- Zi+ -7^ Z25
'1 '1
Afl2 =
^32 =
= 3B Zi5
Згз.
Mi3 = 3t3Zi+--^Z25
'3
3C 3C
Q33= — y^i — 7Г ^2
'3 '3
Подставляя в уравнения (a), получим:
4ii Zi--i Za + 3^2 Zi + 3C Zi + 3-i Z2 =
h '3
= M;
Eii, , l£i7 ,3C , 3(з„_„
'1 '1 '3 '3
/ 6A 3^3 \
D«4+3B+3f3)Zi+( - -^ + -y^jZ2-/M = 05
0
Zi
Za
2i
0
Zi
-Z2
F)
(B>
A это не что иное, как канонические уравнения метода перемещений. После
нахождения неизвестных Z^^nZ^ усилия на концах элементов определяются
по выражениям (б).
435
ГЛАВА 19. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ ПО СМЕШАННОМУ
И КОМБИНИРОВАННОМУ МЕТОДАМ
§ 206. СОПОСТАВЛЕНИЕ МЕТОДОВ СИЛ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
И ВЫБОР МЕТОДА РАСЧЕТА
Сравнение метода сил и метода перемещений показывает, что они имеют
как сходства, так и различия.
1. В обоих методах расчет проводится с применением основной системы.
Однако основные системы этих методов различны: в методе сил основная
система получается исключением связей из заданной системы, что снижает
степень ее статической неопределимости, а в методе перемещений, наоборот,
основная система получается введением дополнительных связей, что
повышает ее степень статической неопределимости.
2. В обоих методах рассматриваются основные неизвестные: в методе
сил — реакции отброшенных связей Х^, ..., Х„, а в А^етоде перемещений —
перемещения по направлению введенных связей Z^, ..., Z„.
3. В обоих методах составляются канонические уравнения,
одинаковые по форме, но различные по содержанию. В методе сил канонические
уравнения содержат силы Х^, ..., Х„, уничтожающие перемещения в основной
системе по направлению отброшенных связей, поскольку этих
перемещений нет в заданной системе. В методе перемещений они содержат
перемещения Zj, ..., Z„, уничтожающие реакции введенных связей основной системы,
которых нет в заданной системе.
4. В обоих методах используются единичные эпюры. Однако в методе
сил единичные эпюры строятся от сил, а в методе перемещений — от
перемещений.
5. В обоих методах используется один и тот же принцип построения
окончательной эпюры изгибающих моментов.
Сопоставление могло бы быть продолжено.
Естественно, возникает вопрос, какой метод и в каких случаях-
оказывается удобнее для расчета.
Анализируя расчетные операции обоих методов, можно отметить, что
в методе перемещений они значительно проще, чем в методе сил. Основная
система в методе перемещений, по существу, единственная, в то время как
в методе сил основных систем можно образовать несколько. Единичные и
грузовые эпюры в методе перемещений стандартные и всегда просты, а в
методе сил они могут быть сложными. Вычисление коэффициентов и
свободных членов канонических уравнений в методе перемещений во многих
случаях значительно проще, чем в методе сил. Канонические уравнения в
методе перемещений при большом количестве неизвестных — уравнения
неполные; в методе сил этого надо добиваться специальными приемами.
Число неизвестных во многих случаях меньше в методе перемещений.
Таким образом, метод перемещений во многих-случаях (но не во всех!)
удобнее метода сил. Однако, несмотря на перечисленные преимущества,
он не может всецело заменить метод сил.
Во-первых, потому что одни системы удобны для расчета по методу
перемещений, а другие — по методу сил. Например, система,
изображенная на рис. 408, а, имеющая 9 основных неизвестных по методу перемещений
и 27 основных неизвестных по методу сил, удобна для расчета по методу
перемещений, а система, изображенная на рис. 408, б, имеющая одно
основное неизвестное по методу сил и 11 основных неизвестных по методу
перемещений, удобна для расчета по методу сил.
Во-вторых, метод перемещений становится весьма сложным и
утрачивает свои преимущества, если расчет ведется с учетом деформации стержней
от продольных и поперечных сил, тогда как метод сил в этом случае ослож-
436
ж
S)
■^ /""^^^
^.
няется значительно меньше, в; | ■ ; р- Щ
Например, учет продольных
деформаций в методе
перемещений для системы,
изображенной на рис. 408, а, вво- . ] | 1 к
дит еще 18 основных
неизвестных—поступательных
перемещений узлов, а в методе
сил дополнительные осложне- р„с. 408
ния связаны только с
построением единичных и грузовых
эпюр N и Q w вычислением перемещений от них. В методе сил количество
неизвестных от учета деформаций, вызванных N а Q, не изменяется, а в
методе перемещений оно значительно возрастает.
В-третьих, при расчете шарнирных ферм число основных неизвестных
по методу перемещений при учете продольных деформаций всегда больше,
чем по методу сил.
Наконец, элементы основной системы метода перемещений статически
неопределимы, и для построения в них эпюр изгибающих моментов от
различных перемещений и нагрузки в том или ином виде применяется метод
сил. Следовательно, каждый метод имеет свою область применения.
Выбор метода расчета прежде всего определяется числом основных
неизвестных. Ясно, что выбор должен быть сделан в пользу метода с меньшим
их числом. Однако, учитывая, что многие операции в расчете по методу
перемещений все же проще, чем по методу сил, есть основания рекомендовать
метод перемещений и в тех случаях, когда число основных неизвестных
будет несколько больше, чем по методу сил.
Если же система в одной своей час1"и, например левой (рис. 409, а),
удобна для расчета по методу сил, а в другой, правой, она удобна для
расчета по методу перемещений, то возникает вопрос, нельзя ли использовать
оба метода для уменьшения числа основных неизвестных? Это оказывается
возможным при использовании смешанного или комбинированного метода.
В этих методах в качестве основных неизвестных на том или ином этапе
расчета принимаются реакции устраненных связей Х^ и перемещения
наложенных связей Zft.
§ 207. СМЕШАННЫЙ МЕТОД
Основная система в смешанном методе (А. А. Гвоздева) образуется устра'
нением связей, как в методе сил, в той части системы, где она удобно
рассчитывается по методу сил, и введением связей, как в методе перемещений,
где система удобно рассчитывается по методу перемещений (рис. 409, б).
Основные неизвестные: реакции Х^ устраненных связей и перемещения Z^
наложенных связей.
Канонические уравнения смешанного метода будут двух видов.
Слагаемые уравнения одного вида суть перемещения по направлению устраненных
связей, как в методе сил, а слагаемые уравнений другого вида — реакции
наложенных связей, как в методе перемещений.
Число канонических уравнений первого вида равно числу устраненных
связей при образовании основной системы, а число канонических уравнений
второго вида — числу наложенных связей
В канонические уравнения обоих видов входят основные неизвестные —
силы Xft и перемещения Z^. Применительно к системе, изображенной на
рис. 409, б, канонические уравнения имеют вид:
'■31-^1 + ''32-^2 + '"Зз2з-Ь''34 24 -(-'5 ^ъ + Гзе 2б-Ь/?зя = 0.
A9.1)
4 37
Канонические уравнения первого вида содержат единичные
перемещения не только от сил, ,но и от единичных перемещений введенных связей
(б), а канонические уравнения второго вида содержат единичные реакции
не только от единичных перемещений связей, но и от единичных сил (г).
Например, б^з — перемещение по направлению силы Х^ от перемещения
2з = 1, а Гз1 — реакция в связи 3 от силы Х^ = 1. Единичные реакции
от сил и перемещения от перемещений связей на основании теоремы
взаимности связаны зависимостью [см. A1.36)].
■>кт— ■
A9.2)
Перемещения от сил и реакции от перемещений определяются по
обычным правилам, изложенным в методе сил и в методе перемещений.
Перемещение 6,j„ от перемещения введенных связей определяется на
основе простых геометрических соображений или по формуле A4.25). Как
известно, при повороте какой-либо свободной части основной системе на
некоторый угол, без ее деформации (рис. 410, д), угловое перемещение
в любом месте этой части равно заданному углу поворота, а поступательное
перемещение равно длине перпендикуляра, опущенного из центра
вращения на направление искомого перемещения, умноженной на угол поворота.
При поступательном перемещении геометрические соображения во многих
случаях становятся совсем простыми.
Реакции г^^ от сил определяются, как в методе перемещений, из условий
равновесия.
В силу теоремы взаимности A9.2) перемещения б^^ от перемещения
связей можно определять как взаимную реакцию г^ц, от сил, которая
определяется просто.
Грузовые члены А^р и Rkp определяются так же, как в методе сил и в
методе перемещений. Окончательная эпюра изгибающих моментов
составляется по выражению
+ iMl)Z^-{-{M%).
A9.3>
Рис. 409
Проверка окончательной эпюры
производится так же, как было
указано для этих методов:
перемещения по направлению
устраненных связей и реакции наложенных
связей должны быть равны нулю.
Пример 51. Построить эпюру
изгибающих моментов по смешанному
методу (рис. 410, а). Основная система
и эпюра изгибающих моментов в ней от
нагрузки показаны на рис. 410, б, в.
Канонические уравнения:
^iiXi+8iiZ2+&ip = 0;
''21 -^1+ Га2 22 + /?2Р —^^
Единичные эпюры показаны на
рис. 410, г, д. Коэффициенты и
свободные члены канонических
уравнений:
438
о,тн
из перемножения эпюр
8.8 2
2 3
Рис. 410
8 8-2.8
£.2У
1
Мр =
1 3
-— .320.8. 8-
3^4 £.2У
640_
EJ ~ 3EJ
2.8
-32,7
768G
£У
£У
из равновесия вырезанного узла
4 7EJ
r^, = —EJ+EJ=-j-
fzi-
-8=—t
Канонические уравнения в численными коэффициентами:
640
3EJ
■Aj+SZa-
768
EJ
=0i
-SXj^+—EJ.Zi+32c,=0,
откуда получаем Xj = 3,646G; Zj = — 1,2159.
Исправленные единичные и ©кончательная зпюры изгибающих моментов показаны
аа рис. 410, е, ж, в. \
§ 208. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД
Комбинированным методом будем называть метод расчета статически
неопределимых систем, при котором основная система выбирается по одному
из методов — методу сил, с устранением не всех лишних связей, или по
методу перемещений, с наложением неполного числа связей, а определение
439
в)
"W
•г^ yV7
Й
a)
d)
Рис. 412
Рис. 411
внутренних сил в основной системе от
нагрузки и единичных воздействий
проводится по другому методу.
Следовательно, основная система, выбранная
по методу сил, в комбинированном
методе статически неопределима, а
основная система, выбранная по методу
перемещений, содержит нестандартные эле-
А тт w^^ менты. В случае, когда основная систе-
vJ)JB// I Рг ма выбирается по методу сил, расчет ее
статически неопределимой части
выполняется по методу перемещений, а в
случае, когда она выбирается по методу
перемещений, расчет нестандартных
элементов проводится по методу сил.
Таким образом, помимо основных
неизвестных, соответствующих
принятой основной системе, в
комбинированном методе вводятся вспомогательные
неизвестные при предварительном ее
изучении.
Устранение связей при образовании основной системы по методу сил и
наложение связей при образовании основной системы по методу
перемещений надо производить в той части системы, где она удобно рассчитывается
по соответствующему методу. Общее число неизвестных в этом случае равно
числу неизвестных по смешанному методу.
Комбинированный метод во многих случаях является более удобным,
чем смешанный метод, так как в нем основные неизвестные отделены от
вспомогательных, а канонические уравнения разделяются на два вида, которые
соответствуют методу сил и методу перемещений, тогда как в смешанном
методе канонические уравнения не раздельны.
Поясним сказанное на примере системы, изображенной на рис. 409, а.
Образуем статически неопределимую основную систему по методу сил
(рис. 411, а), а расчет статически неопределимой ее части (рис. 411,6)
выполним по методу перемещений. Таким образом, будем иметь два
основных неизвестных Xi и Xg и четыре вспомогательных Z^, ..., Z^. Статически
неопределимая* часть основной системы должна быть рассчитана на
действие сил У, Я и момента М. По результатам такого расчета могут быть
построены эпюры Ml, Mg и УИр в основной системе.
Можно поступить наоборот. Основную систему выбрать по методу
перемещений (рис. 412, а), а нестандартный элемент (рис. 412, б)
предварительно изучить по методу сил. Будем иметь четыре основных неизвестных Zj,
..., Z4 и два вспомогательных Х^ и Х^. Для построения эпюр М-^ и МЬ в
основной системе необходимо рассчитать нестандартный элемент на действие
нагрузки и поворота защемления. Этот второй'вариант комбинированного
метода может рассматриваться как метод перемещений с использованием
нестандартных элементов.
440
p p p
< I <
Рис. 413
В обоих вариантах комбинированного метода канонические уравнения
распадаются на две независимые системы. Первая система состоит из двух
уравнений с двумя неизвестными, а вторая — из четырех уравнений с
четырьмя неизвестными, тогда как канонические уравнения смешанного
метода состоят из шести уравнений с шестью неизвестными.
§ 209. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА СИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ
Комбинированный метод расчета симметричных систем (И. М.
Рабиновича) состоит в раздельном применении методов сил и перемещений к
расчету систем на симметричную и кососимметричную нагрузки. При расчете
по этому методу нагрузка раскладывается на симметричную и
кососимметричную. На симметричную нагрузку система рассчитывается по методу
перемещений, а на кососимметричную — по методу сил. При этом общее
число основных неизвестных иногда оказывается меньшим, чем при
раздельном применении метода сил или перемещений. Например, число
основных неизвестных по методу сил и методу перемещений для рамы,
изображенной на рис. 413, равно девяти. При симметричной нагрузке число
основных (симметричных) неизвестных метода сил равно шести, а метода
перемещений равно трем. В этом случае удобнее метод перемещений. При косо-
симметричной нагрузке число основных (кососимметричных) неизвестных
метода сил равно трем, а число неизвестных метода перемещений равно
шести (три угла поворота и три поступательных перемещения).В этом случае
удобнее метод сил.
ГЛАВА 20. ПРИБЛИЖЕННЫЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
РАСЧЕТА ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
§ 210. НАЗНАЧЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ
Приближенные методы — это методы, которые построены на различных
дополнительных допущениях, относящихся к выбору расчетной схемы
сооружения, распределению внутренних сил, игнорированию некоторых нагрузок,
преобразованию нагрузок и замене их более простыми и приблизительно
эквивалентными.
Назначение приближенных методов состоит в том, чтобы упростить
расчет, сохранив приемлемую его точность для предварительного, а иногда
и для окончательного расчета сооружения.
Идеи различных упрощений черпаются из анализов результатов расчета
сооружений, проведенных по точным методам, а также из самих точных
методов.
Основным приемом упрощения является упрощение расчетной схемы.
Если расчетная схема получается на основе грубых допущений, то
результат расчета верен лишь в первом приближении и годен только для
предварительного определения сечений при последующем расчете по более точной
расчетной схеме
Например, сечения ригелей рамы могут быть предварительно найдены
по некоторой доле наибольшего изгибающего момента М^^^ от нагрузки,
расположенной на этом ригеле, если принимать его за простую балку.
При этом обычно принимают:
М = @,6 — 0,7) М*"^-" при малых вутах;
М = @,4 — 0,6) М'^''-" при больших вутах.
Аналогично сечения стоек подбираются по наибольшей продольной
силе, которая определяется в предположении, что примыкающие к стойкам
ригели оперты на них шарнирно. При этом расчетные сопротивления
уменьшаются на 20—50%, так как стойки будут работать при
продольно-поперечном изгибе от действия моментов, передающихся на концы стоек. Большее
уменьшение принимается для крайних стоек и меньшее — для средних.
Разумеется, при предварительном определении сечений для
последующего расчета по более точной расчетной схеме ,не исключается возможность
назначения сечений на основе анализа расчета аналогичных сооружений.
Расчет по более точным расчетным схемам позволит уточнить
предварительно назначенные сечения. В некоторых случаях этим и ограничиваются.
В друглх случаях уточненные сечения принимаются за основу для
окончательного точного расчета.
Практическая потребность в приближенных методах расчета велика.
К сожалению, они еще недостаточно разработаны.
§ 211. ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ РАМ НА ВЕРТИКАЛЬНУЮ НАГРУЗКУ
Точные расчеты показывают, что нагрузка, расположенная на ригелях
одного этажа, не оказывает существенного влияния на изгибающие моменты
в ригелях других этажей (рис. 414, а), поэтому рама расчленяется на
отдельные части, как показано на рис. 414, б. Стойки в каждой части
считаются упруго защемленными по концам, без поступательных перемещений.
Каждая часть рамы рассчитывается самостоятельно, и на ней строится эпюра
изгибающих моментов. Эти эпюры накладываются на общую схему рамы,
после чего строятся эпюры поперечных и продольных сил. Поскольку расчет
приближенный, полного равновесия в узлах и по различным сечениям,
отсекающим часть рамы, не будет.
442
Дальнейшее упрощение состоит в выделейии из рамы ее части, состоящей
из трех ригелей и имеющей нагрузку только на среднем ригеле (рис. 414, в).
Для крайних пролетов выделяемая чисть показана на рис. 414, г.
Расчет составных частей рамы удобно проводить по методу перемещений.
Для этого необходимо иметь эпюры изгибающих моментов от перемещений
на стандартном элементе, один конец которого упруго защемлен (рис. 415, а).
При повороте его левого конца на угол Z„ = 1 (рис. 415, б) правый конец
повернется на угол Z^. Изгибающий момейт в защемлении левого конца
уменьшится. Пусть он равен Aki, где fe < 1 — поправочный коэффициент,
который при жестком защемлении другого конца равен 1, а при шарнирном
опирании — 0,75. Изгибающие моменты на концах:
M<,b=4/5( = 4(+2(Zb; (а)
Л1ьа=—2г —4(Zb. (б)
Из (а) имеем Z^ = 2 (fe — 1) и, следовательно (рис. 415, б):
Л1ьа=—2t —4f2(fe—1) = 6( —8fe(. ' B0.1)
Истинное значение k будет между
1 и 0,75.
Аналогично поступаем и при
поступательном перемещении (рис.
415, в) полагая изгибающий моменту
6(
в левом защемлении равным -г т, где
т <; 1 поправочный коэффициент.
Изгибающие моменты на Концах:
а;
£
12
13
'15
Vfr,
10
«5)
и
Г'
i. 12
М,ь= -
Ы'т
6i
■—-{■2iZb\
13
14
IS
м.
а
7Я7
11
6
7
■гт
■utu
П
9
7*7
JMJ-
14
3
■7^
10
- -гМ
15
10
Ё
7*г
а.
щи
е*г
:7Р7,
Ьа-
- — MZb.
(в)
(Г)
Из (в) получаем Z^ = -j- A —m) и,
следовательно (рис. 415, в):
6(
-4( — A—т) = -
6(_
I
Bт—1). B0.2)
5
■7*7
JJkJ
10-
S)
г)
^тяШ
8н1'SI
11
rJT/
?2
■i ^
г
O.a/im^r
^^Щ^рт-1)
Рис. 414
Рис. 415
443
При жестком защемлении наконце b коэффициент т = \,г при
шарнирном опирании т = 0,5. Истинное значение т будет между ними.
Часто горизонтальными перемещениями узлов рамы пренебрегают.
Если конструкция сооружения такова, что горизонтальные перемещения
рам невелики (наличие жестких перекрытий), то при этом получаются
приемлемые результаты.
§ 212. ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ РАМ НА ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ НАГРУЗКУ
Точные расчеты показывают, что при горизонтальных силах в узлах
рамы (рис. 416, а) нулевые точки в эпюре изгибающих моментов
располагаются около середины стоек на всех этажах, кроме первого, где они
располагаются примерно в двух третях высоты стойки снизу. Поэтому степень
статической неопределимости системы может быть понижена введением
шарниров в нулевых точках стоек.
Поперечные силы в стойках каждого -этажа примерно пропорциональны
отношению р. По такому отношению распределяются поперечные силы при
сдвиге каждого этажа в основной системе метода перемещений. Поперечные
силы на стойках определяются из условия равновесия (рис. 416, б):
0' = H''J-if'
B0.3)
1* L
где Sfl7 — сумма горизонтальных нагрузок выше сечения; ~—отно-
J},
шение для каждой стоики данного этажа; —г — отношение для стоики,
в которой определяется поперечная сила.
При одинаковой высоте стоек формула B0.3) принимает вид
Qft = /fe2H7!27i.
B0.4У
После определения поперечных сил в шарнирах всех стоек можно
выделить из рамы ригель с частями стоек до шарниров (рис. 416, в).
Прикладывая к концам стоек найденные ранее
поперечные силы, можем построить
по стойкам эпюры изгибающих
моментов. Затем неуравновешенные
моменты в узлах уравновешиваются
моментами на ригелях, пропорциональными
их коэффициентам жесткости i = -т-.
Эпюра изгибающих моментов М
построена. По ней строятся эпюры
Q и N.
Если горизонтальная нагрузка
распределенная, то она заменяется
сосредоточенной по узлам. В конце
расчета эпюры изгибающих
моментов на стойках, принимающих на
себя распределенную нагрузку,
могут быть уточнены наложением на
эпюру от сосредоточенных нагрузок
эпюры изгибающих моментов на
стойке от распределенной нагрузки, если
^ рассматривать эту стойку как балку
"■* "* на двух опорах. Подробности изло-
Рис. 416 жены в 112].
Й
W,
W,
^к~
444
§ 213. МЕХАНИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Как известно, сложность расчета статически неопределимых систем
заключается в определении коэффициентов канонических уравнений и
особенно их решении.
Однако не следует смешивать всякую, хотя и весьма желательную,
механизацию трудоемких процессов расчета статически неопределимых систем,,
например решение канонических уравнений на современных счетных
машинах, с механическими методами расчета этих систем.
Механическими будем называть методы расчета статически
неопределимых систем, в которых измеряются перемещения, реакции и деформации на
моделях вместо их вычислений.
Теоретические основы механических методов вытекают из анализа
деформированного состояния статически неопределимых систем и
вычислительных методов их расчета. Наиболее совершенные механические методы
основаны на измерениях перемеш,ений и деформаций модели систем.
Рассмотрим сначала механические методы, теоретические основы
которых вытекают из метода сил. Можно, например, при расчете на нагрузку
измерять на модели основной системы перемещения по направлению
исключенных связей, а по ним аналитически вычислять основные неизвестные.
Поскольку способы измерения перемещений не зависят от статической
определимости модели, то основная система может быть статически определимой
или неопределимой. Поэтому удобно использовать п моделей различных
основных п — 1 раз статически неопределимых систем, для которых каждое
основное неизвестное определяется выражением
д(п-1)
а
Можно поступить и иначе, а именно: измерять на моделях основных
систем не перемещения, а силы в устраненных связях, уничтожающие
перемещения по их направлениям, т. е. механически определять величину
неизвестных сил. Основная система и в этом случае может быть как статически
определимой, так и неопределимой. Если основная система статически
определима, то по показаниям всех приборов, измеряющих силы, могут быть
найдены основные неизвестные для построения эпюр внутренних сил. Если
же основная система статически неопределима, то одной модели может быть
недостаточно для построения эпюр внутренних сил. Приходится применять
несколько моделей различных основных систем.
Построение линий влияния внутренних сил по механическому методу
основано на кинематическом способе их построения методом сил. Оно
заключается в определении на модели перемещений грузовой линии 6pi и
собственного перемещения бц по направлению исключенной связи в п — 1 ра»
статически неопределимой основной системе от .^^ = 1, как это следует
из выражения
6(п-1)
"и
Поскольку отношение в B0.6) не изменится, если воздействовать на
модель силой в направлении Xi, не равной единице, то величина этой силы
может быть взята произвольной при условии, что модель находится в
упругой стадии и имеет малые перемещения, когда принцип независимости
действия сил приближенно справедлив. Это отношение, как показывает
формула перемещений, почти не зависит от свойств материала модели,
поскольку измеряемые перемещения bpi и бц лишь незначительно зависят от
сдвигов, а стало быть, от упругих постоянных материала.
Теоретические основы механических методов могут вытекать и из
метода перемещений. Эти методы основаны на измерениях угловых и поступа-
445
тельных перемещений узлов рассматриваемой системы от нагрузки.
Построение линий влияния 3s:hx перемещений по механическому методу основано
«а кинематическом способе их построения по методу перемещений. При
этом необходимо измерять перемещения грузовой линии bpi от
соответствующих сил, действующих по направлению перемещений узлов, линии влия-/
ния которых определяются. Например, линия влияния угла поворота Z^
определяется перемещениями грузовой линии от момента М =\,
приложенного в узле k заданной системы, а линия влияния поступательного
перемещения Zjn — перемещениями грузовой линии от силы Р = I, приложен-
Аой к заданной системе по направлению перемещения Zm (см. рис. 394).
Модели, применяемые в механических методах расчета, должны быть
выполнены с учетом упруго-механического подобия, т. е. геометрические
размеры моделей, действующие на них нагрузки и упругие свойства
материала моделей должны соответствовать сооружению. При переходе от
величин, получаемых на моделях, к таким же величинам в натуре должны
учитываться соответствующие масштабы. Этот вопрос изложен в следующем
параграфе.
Поясним сказанное на примере неразрезной балки (рис. 417, а). Для
построения линии влияния первой опорной реакции (рис. 417, б) надо
изготовить модель балки без этой опоры и нагрузить ее силой Х^ = А
произвольной величины. Затем измерить перемещения брТ' и б^Г' и составить
их отношение, что и определит линию влияния реакции модели, а затем
чэт нее перейти к линии влияния реакции в натуре. При построении линии
влияния опорного момента (рис. 417, в) модель изготовляется с шарниром
над опорой. В этом шарнире к модели прикладывается момент М = А
произвольной величины и также производится измерение ЬрТ и 6fГ' и
находятся их отношения. Для перевода полученной линии влияния в
натуральную служит специальный масштаб. При построении линии влияния
угла поворота на второй опоре-надо к модели системы приложить на этой
опоре внешний момент произвольной ^ величины (рис. 417, г), измерить
перемещения 6р2 и разделить их на величину момента. Для перевода
полученной линии влияния модели в натуральную учитываются масштаб и
модуль упругости модели.
Если по каким-либо мотивам изложенные приемы построения линий
влияния, основанные на теореме о взаимности перемещений, окажутся
неудобными, можно для их построения применить теорему Вахеда с
указанным ниже ее обобщением. По этой теореме линия влияния внутренней
силы в статически неопределимой системе пропорциональна разности
ординат изогнутых линий в заданной сист£ме we системе с выключенной связью,
■соответствующей определяемой внутренней силе, от произвольной
нагрузки. Для построения линии влияния эту разность надо разделить на
перемещение по направлению выключенной связи от той же нагрузки.
Это положение легко доказать. Пусть требуется построить линию
влияния изгибающего момента в сечении неразрезной балки (рис. 418, а). Ее
-Ъм'
уравнение: л. в. УИ = ^^^ri • Загрузим теперь неразрезную балку с шар-
ниром и без него произвольной нагрузкой (рис. 418, б, в). Пусть Мр —
изгибающий момент в этом сечении в балке без шарнира, а г/^ и г/^ — ординаты
оси изогнутого стержня. По принципу независимости действия сил
/
•откуда получим
446
У2=У1 + ^^Ш^^ Мр,
л. в. м= — ;—=-;—г: • (^O-'J
"мм "мм '"р
Ч)
1
p'ti
Го Р l2 р "Ъ?
IX} =4
^--O^.-^^-^ Рис 420 '
Обобщим эту теорему на линии
Рис. 417 ' влияния перемещений. Покажем, что
линия влияния углового или поступа-
« ,/frf'"'* тельного перемещения рамы или нераз-
-f/ Ч'^ Р^^^^^ бйлки пропорциональна раз-
а~. --о '' \^ '^- ;^' ности перемещений грузовых линий »
^ * /W"/ ' заданной системе и в системе с введен-
^■j 11' ной связью, соответствующ^ей опреде-
_- -., ^ I ' .1^" ^^1 ляемому перемеш^ению. Для постро-
^ ^1 °У~^Р% ^ ения линии влияния эту разность на-
■ "^>^ '^К'^мм'мр до разделить на реакцию введенной
связи от той же нагрузки. Докажем
это на примере той же неразрезной
балки. Линия влияния угла поворо-
•^г та выражается через эпюру перемеще-
Рис. 418 НИИ по равенству л. в. Z^ = бр^
(рис, 419, а). Загрузим заданную си-
. ^^ SfK ^ стему и систему с введенной связью-
^ ^^;; г/-—^^ ——^ ■ (рис. 419, б, в) произвольной нагруз-
*, -- 4- —- * ' р^ой. По принципу независимости
действия сил
■-cd
в)
1^ I __
л)
«■
1 t .-
g "f^r^ry^—S* !/.-й+бр.«
kP<
^4
откуда получаем
л. в. Zfe = 6pj(,= ■^^-^. B0.8)-
P"*^- ''^^ Отметим, что приведенные выше
рассуждения на неразрезной балке,
приводящие к выражениям B0.7) и B0.8), справедливы и для любой системы
(рамы, арки, фермы, пластинки, оболочки ...) соответственно при любой
выключенной и включенной связи, если после выключения связи система
остается неизменяемой. Следовательно, и приведенные формулировки
теоремы справедливы и для таких систем.
Модели изготовляются главным образом из целлулоида. Силы и моменты,
создающие перемещения в модели, прикладываются к ней посредством
специальных приспособлений, устройство которых здесь не рассматривается.
Перемещения на модели определяются при помощи различных приборов
и прежде всего — измерительного микроскопа (рис. 420).
Рассмотрим некоторые линии влияния, полученцые механическим
методом. На рис. 421 показаны л. в. М, Q и N в замке и пяте бесшарнирной арк»
без надарочного строения, а на рис. 422 — л.в. M,Q и N в сечении
бесшарнирной арки с надарочным строением. Там же изображены и линии влияния,
447
-^.^.rr^r^^:^:''.
Линии Влияние 8
левой пяте арки
лв.м
лб.Н
\ IS
1 * 1
^ 1
Рис. 421. Сопоставление теоретических
и опытных линий влияния
по расчету; на модели
Рис. 422. Сопоставление теоретических
и опытных линий влияния
по расчету, в арке без надарочно
го строения; . . . .на модели без над-
арочного строения; то же, с над-
арочным строением
полученные расчетом без учета надарочного строения. Из этих линий
влияния видно, что в случаях, когда расчетная схема" близка к схеме самого
сооружения, линии влияния, полученные расчетом, близки к линиям
влияния, полученным на моделях. Игнорирование надарочного строения при
расчете арок приводит к большим погрешностям. •
Практические возможности расчета статически неопределимых систем
путем вычислений ограничены некоторым числом основных неизвестных.
Это вынуждает применять упрош,енные расчетные схемы, что дает неточные
результаты. Механические методы могут быть применены к расчету системы
с произвольным большим числом основных неизвестных без существенной
потери точности.
Поскольку модель сооружения может быть выполнена с большим подо-
-бием, чем его расчетная схема, даже при одинаковой степени их статической
неопределимости, то механические методы расчета, правильно проведенного
на моделях, ближе отражают действительную работу сооружений, чем
расчеты, проведенные по расчетным схемам, тем более, когда расчетная
схема упрощается в целях упрощения расчета. Поэтому механические методы
расчета заслуживают особого внимания. Они, кроме того, могут
использоваться для сопоставления результатов расчетов, полученных посредством
вычислений с действител^>ной работой сооружения. Некоторые другие
механические методы расчета изложены в [13].
§ 214. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ МЕХАНИЧЕСКИХ МЕТОДАХ РАСЧЕТА
Чем лучше отражает модель свойства системы, тем точнее расчет,
проведенный на ней. Наиболее пално модель отражает моделируемое
сооружение, если она геометрически подобна сооружению и выполнена из материа-
448
-ла, коэффициент Пуассона которого одинаков с коэффициентом Пуассона
материала сооружения.
Плоская модель постоянной толщины может быть подобна сооружению
в строгом смысле, лишь когда сооружение есть плоская система, имеющая
постоянную толщину элементов. В других случаях подобие будет
приближенным.
Из геометрического подобия следует
•'моа^'- 4 ' '^мод— 2 ' B0.9)
1 -
где масштаб модели.
т
Поскольку пропорциональное изменение моментов инерции и площадей
сечения теоретически не отражается на результатах расчета при нагрузке,
то можно применить увеличенные Умод и ^мод-
J F
•'мол = й —, F^on=k— B0.10)
где k — произвольное положительное число.
При этом надо иметь в виду, что изменение У мод и ^мод вследствие
изменения высоты сечений элементов модели может исказить ее «фасад» по
сравнению с заданной системой и внеёти некоторые погрешности. Во
всяком случае следует стремиться к тому, чтобы «фасады» модели и системы
были как можно ближе к геометрическому их подобию.
Моделирование зависит от особенностей системы.
Системы, работающие только на продольные силы (шарнирные фермы).
Такие системы должны быть моделированы по площади. Если площадь
какого-нибудь стержня системы принять за основную F^, а площади его
на модели /^мод, о> то согласно B0.10)
„ ^ „ ^мод.о
/'мод;о= "l^'o, откуда — = — .
т'- гф Fo ■
После этого получим формулу площади сечения элементов модели
р.
^мод, г = ^мод, о "Г~ » B0.11)
где F( — площадь сечения любого стержня системы, а /^„од> ^ ■— сечение
на модели.
При постоянной толщине модели е высоты сечений определяются
выражением
р.
hi = ho~ , B0.12,
где fto — высота основного сечения на модели.
Системы, работающие на изгиб. Эти системы должны быть
моделированы по моментам инерции. Принимая некоторое сечение системы за
основное, его момент инерции обозначим Jq. Момент инерции этого сечения на
b Ь 1
модели по B0.10) равен: Умод.о = ~4 «^о» откуда —j =-—^^-2-и момент
инерции любого сечения на модели
■'мод. г = J мод. о , • B0.13)
Если модель имеет постоянную толщину с, то высоты отдельных
сечений на модели равны:
я / —
B0.14)
hz = hA/
где Ао — высота основного сечения на модели.
15 Зак. 763 449
Системы, работающие на изгиб в продольными и поперечными силами.
Такие системы при строгом подходе надо моделировать и по моментам
инерции, и по площадям сечений. Принимая одно сечение за основное, в котором
J = Jq и F = Fq, получим:
Fmoix,-z=^ ^мод, о „ р "'мод, 2 = ''мод» о "; • B0.15)
^0 •'о
Удовлетворить двум условиям при постоянной толщине модели можно
только в отдельных случаях. Если изготовлять модель переменной толщины
при прямоугольном сечении элементов, то
, _ . _f^ . ^г ^1 Со h^ 4
c.H,-c,h, ^^ . 12 - и Jo-
Разделив второе равенство на первое, получ,им
Теперь из первого уравнения найдем
B0.17)
\ V F^Jz'
где ho W Со — высота и толщина основного сечения на модели. Основное
сечение на модели принимается произвольно.
Из B0.17) следует, что постоянная толщина модели удовлетворяет
одновременно условию моделирования по площадям и моментам инерции
сечений в случаях, если:
1) моменты инерции и площади сечения элементов системы постоянны;
2) сечения элементов системы прямоугольные, с постоянной шириной
(толщиной).
Переход от результатов измерения величин на моделях к
соответствующим величинам на сооружениях проводится с учетом масштабов модели.
1. Определение перемещений
Пусть на модели измерено перемещение А^од (поступательное или
угловое) от нагрузки, общий параметр которой — Рмоп (кН). По этому
перемещению надо найти перемещение в сооружении А от такой же нагрузки,
параметр которой Р (кН). Согласно теории перемещений можем написать
Е
Лмпп— _
•'мод, о
А В СЕ!
+ ^^^ + (х„од7^^^ —^1 <2Р.19)
''мод,л ''мод. о ^'мод J
где Jq, Fq, ^мод, о» ^мод, о — моменты инерции и площади основного
сечения системы и модели, а А, В,С и Ли^д, йм^д, Смод — некоторые числа,
зависящие от основных размеров системы и ее модели; \i и [г„од —
коэффициенты Пуассона материала сооружения и модели.
Из анализа размерности перемещений можем заключить, что
Л = лотМ„од, В = лВ„од. С = лС„од, B0.20)
где масштаб модели; п — число, зависящее от вида перемещения.
При определении поступательных перемещений п = т, при
определении угловых перемещений « = 1,
450
Подставим B0.20) в B0.18), и учитывая B0.10), получим
Pnk «иод J МОД . ^-МОД / ^
+ — + (^т:
ffl h \^ •'мол. о "^мод, о
Разделив результат на B0.19), найдм
л_л Р 5мод п^
" — "мод 71 г 9
Рмод Е от2
^мод 1 омод , ^'мод / Е
1 ^"р +^7 [Т
•'мод, о '^мод, о '^мод. о \ U
"мод ^'мод / J
+ 7: +М-МОД-Т: :
'^мод, о ^мод, о Ч^
B0.21>
р /7
Из этого выражения видно, что только при -r = J^°^ , т. е. при одина-
ковом коэффициенте Пуассона материала модели и сооружения,
перемещение в сооружении А просто выражается через перемещение,
определенное на модели. В этом случае получим
Д = Амод^^^. B0.22,
"мод ^ "'
В остальных случаях формула B0.22) будет приближенной. Поскольку
€е приближенность связана с учетом влияния на перемещения поперечной
силы, а последнее обычно не велико, то данное замечание имеет скорее
теоретическое значение. Формула B0.22) позволяет просто определить нагрузку
с параметром Р*, при которой деформированное состояние
сооружения геометрически подобно деформированному состоянию модели. В этом
случае Д = пДм,
„л _ л ' Р* ^мод пк_
^^мол '-■ "'
откуда
Е rrfi
Р* = Рмоя- -. . B0.23)
^^мол *
Если в качестве параметра нагрузки принимается интенсивность
распределенной нагрузки, то аналогично получим
Д = А^од^^^ ^_. . B0.24)
<7мод с т
То же, при внешнем моменте в качестве параметра нагрузки
М Ямод nk
Д = Лмод ^ — . B0.25>
2. Построение линий влияния
Поскольку линии влияния внутренних сил и опорных реакций
определяются отношением перемещений, величина нагрузки не играет роли.
Поэтому переход от линий влияния для модели к линиям влияния для
сооружения можно совершить на основе анализа размерности линии влияния
с учетом масштаба модели.
Линия влияния изгибающего момента имеет размерность длины, а
потому ее ординаты должны быть умножены на масштаб модели т.
Линии влияния продольной силы, поперечной силы и опорных силовых
реакций безразмерны. Их ординаты в линии влияния, полученной на модели,
сохраняются без изменения и для самого сооружения.
Абсциссы всех линий влияния измеряются в масштабе модели.
Линии влиния перемещений определяются по формуле B0.22) при
Р = 1 (для поступательных перемещений) и по формуле B0.25) при М = 1
(для угловых перемещений).
J5* 451
Пример 52. Определить размеры
целлулоидной модели для арки (рис. 423V Мае-
штаб модели — = Jqq. Высота сечения арки
в пяте ft = 1 м, ширина ё = 1 м.' Высота
сечения арки в замке ft = 0,6 м, ширина
b = 0,512 м. Найдем размеры модели в двух
вариантах.
Первый вариант; за основное сечение принимаем пятовое, высоту его на
модели назначаем равной 1 см. Высоту сечения в замке модели определяем по формуле
B0, И)
Рис. 423
,^j^2^
ill!
12
= 0,48 см.
Второй вариант! за основное сечение принимаем замковое, высоту его
на модели назначаем ранной 0,6 см. Высота сечения в пяте модели
'°'^l/-lf
0,512.0,6
12
i,zb см.
ГЛАВА 21. ПРЕДЕЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ ПЛОСКИХ
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
§ 215. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ ПО НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
Разрушение статически неопределимых систем, как и статически
определимых, под действием нагрузки зависит от свойств материала, из которого
они изготовлены, и связано с наступлением изменяемости в какой-либо
части системы. Неизменяемость статически неопределимой системы в той
части, где имеются лишние связи, может быть нарушена только при
исключении из системы не менее двух связей. Поэтому в статически неопределимых
системах появление сквозной трещины какого-нибудь стержня иногда,
а возникновение одного пластического шарнира всегда еще не влечет за
собой изменяемость системы.
Статически неопределимая часть системы может стать изменяемой при
возникновении в ней не менее двух пластических шарниров или, в некоторых
случаях, при разделении какого-нибудь стержня на две части. Поскольку
пластический шарнир является односторонним (§ 83); то возникновение двух
шарниров даже в системе однажды неопределимой не всегда приводит к ее
изменяемости.
Например, наличие двух пластических шарниров на стойках двухшар-
нирной рамы (рис. 424) при условии, что изгибающие моменты в них
растягивают наружную сторону стоек, что бывает, в частности, при вертикальной
нагрузке ригеля, направленной вниз, теоретически не обращает раму
в изменяемую систему. Дело в том, что при горизонтальном перемещении
ригеля один из пластических шарниров будет «закрываться», т. е< перестанет
•существовать. Рама теоретически обращается в трехшарнирную с третьим
шарниром, совпадающим с одним из двух пластических. Предельное
состояние такой рамы наступит при возникновении третьего пластического
шарнира — на ригеле.
Для полного разрушения п раз статически неопределимой системы, при
которой ни одна ее часть не может уравновешивать нагрузку, надо
исключить из нее не менее п + 1 связей, чтобы превратить ее во всех частях в изт
меняемую систему без лишних связей. '
Поскольку для систем из хрупких материалов, линейно деформируемых
до разрушения, справедлив до разрушения сечения расчет по упругой
стадии, то все изложенное при рассмотрении предельных нагрузок для
статически определимых систем из таких материалов может быть с некоторыми
изменениями использовано и здесь. Поэтому далее будут рассмотрены
главным образом системы из пластичных материалов.
§ 216. РАСЧЕТ ОДНОПРОЛЕТНЫХ БАЛОК ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
Будем для простоты расчета предельные нагрузки определять без
учета поперечной силы Q, поскольку ее влияние обычно не значительно,
а учет только осложняет расчет. При этом надо иметь в виду, что предельные
нагрузки при таком расчете будут несколько завышен- . р
ными I
1. Балка, шарнирно-опертая левым концом
и защемленная правым
Предельное состояние наступит при возникновении
двух пластических шарниров: одного — обычно в
защемлении с раскрытием вверх, а второго — в пролете, с
раскрытием вниз (рис. 425). Если место шарнира в пролете Рис. 42Л
453
при z = а известно, как, например, на рис. 425, то из геометрических
соображений получаем
лбал
B1.1)
Mf" = M
M°
пр + ~ Л1пр. откуда Мдр :
а '
jSan
где Ма — изгибающий момент от нагрузки в простой балке.
Если место пластического шарнира неизвестно, например, при
нескольких силах (рис. 426) или распределенной нагрузке (рис. 427), то
пластический шарнир будет в сечении, для которого правая часть выражения B1.1)
достигает максимума.
Условие предельного состояния без учета поперечной силы
/И°
м
up
--a'^Wr,
B1.2)
1+-
Это условие при замене о"^ на расчетное сопротивление с коэффициентом
условий работы mR = mkR" может быть использовано для определения
предельной расчетной нагрузки по заданному сечению балки или для
подбора сечения балки, если дана расчетная нагрузка.
Пример 53. Определить параметр Р (кН)
расчетной нагрузки для балки (рис. 426, а), если
^пл = 300 cм^ mR = 20 кН/см^, / = 6 м.
Влияние собственного веса балки и поперечной силы
не учитывается.
Сначала выясним, где может возникнуть
пластический шарнир. Для этого построим эпюру
изгибающих моментов от нагрузки в простой
балке (рис. 426, б). Пластический шарнир может
быть под одной из сил Pi или Pj. По формуле
B1.1) получим: если пластический шарнир под
8Р
Рис. 425
силой Pi, то УИпр
== 6Р кН • м; если
а)
\P,'JP
2м
1-6м
Р2--6Р
2м
Рис. 426
1 -f 2/6 ■
пластический шарнир под силой Р^, то /Мц^, =
ЮР '
= ТТт = 6Р кн . м.
Значения Мцр получились одинаковыми.
Это значит, что всякое 'поперечное сечение
балки между силами Pj и Р^ будет находиться в
состоянии пластического шарнира (рис. 426, в). По
Условию предельного состояния 6Р 100 =
= 20 • 300, откуда Р = 10 кН.
Пример 54. Определить параметр
расчетной нагрузки q (кН/м) для балки (рис. 427)
без учета поперечных сил и собственного веса,
-ер если «7пд = 300 cм^ mR = 20 кН/см^, ; = 6 м.
Положение пластического шарнира
неизвестно. Для его определения составим выражение
правой части B1.1); возьмем производную и при-
■ равняем ее нулю:
Л =
длбал
а
—f
!+■
2
а (I—а)
1-}-а
dA
da
2
(г —2fl)(/-f g)—a(/—а) 1
{l+aJ
=0,
откуда получаем
Рис. 427
а = ;A/2 —l)==0,4U«.
B1.3)
После этого по B1.1) будем иметь
Л1пр = —^C—2У2)г=гО,086(?/2кНм. B1.4>
Условие предельного состояния по B1.2)
0,086(? . 6^ • 100 = 20 ■ 300, откуда q = 19,38 кН/м.
Приближенный результат получим, если предположим, что пластический шарнир
расположен посередине пролета. В этом случае
9-62
<-+i)
100=20-300, откуда 9 = 20кН/м.
2. Балка, защемленная двумя концами (рис. 428)
Предельное состояние обычно определяется возникновением трех
пластических шарниров: двух в защемлениях и одного в пролете. Положение
пластического шарнира в пролете в
этом случае известно, оно совпадает
с местом наибольшего изгибающего
момента от нагрузки в простой
балке. Условие предельного состояния
по B1.2)
л бал
А^пр =
Ml
<а^1Г„р.
B1.5)
Рис. 428
Р"--20нН
Предельная нагрузка для балки,
защемленной двумя концами, если
не учитывать поперечную силу, всегда
в 2 раза больше предельной
нагрузки для простой балки.
Пример 55. Подобрать сечение
двутавровой балки (рис. 429), если / = 8 м,
9" = 5 кН/м, Р" = 20 кН, коэффициенты
перегрузки Пд=1,1 и Пр= 1,5; mR =
= 20 кН/см2.
Из условия предельного состояния
B1.5)
i / Ы i^ М i W W ТТ>
it-
I-Sm
/.
1,5-20-8
1,Ь5-8
100 = 20W„jj.2,
откуда Wrm = 260 см^ и приближенно
W =.-—-= 225 смз.
1,1э
§ 217. РАСЧЕТ ОДНОПРОЛЕТНЫХ
БАЛОК ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
Переменность сечений осложняет
расчет балок, так как затрудняет
определение положений пластических 7
шарниров и может привести к
возникновению трех последовательно
расположенных пластических
шарниров с изгибающими моментами одного
знака и различными комбинациями
шарниров с положительными и
отрицательными изгибающими
моментами. Однако только при трех шар-
Рис. 430
45S
нирах, последовательно раскрывающихся в разные стороны,
балки становятся изменяемыми. '
Для определения положения пластических шарниров без учета
поперечной силы надо построить эпюру предельных изгибающих моментов по
выражению УИдр = o^Wjiji, причем в статически неопределимых балках с двух
сторон (рис. 430, б, в). Затем в эту эпюру надо вписать эпюру изгибающих
моментов простой балки от нагрузки так, чтобы она проходила или через
два шарнира и касалась снизу в точке 2 линии предельных моментов
{рис. 430, а), или через один шарнир и касалась линии предельных моментов
в двух точках 2 и 3 с разных сторон балки (рис. 430, б), или касалась линии
предельных моментов в точках ], 2 и 3, последовательно расположенных
с разных сторон балки (рис. 430, в).
Затем на основании геометрических соображений составляются условия
предельных состояний. Например, для балок, изображенных на рис. 430, а,
6, в, они будут:
Р{1—а)
^ с = /Ипр, г;
РA~а)с ., ■ с
j = Л^пр, 1 + /Ипр, 3 Y ;
у (/ —с) = 2/Ипр,з н —; —и—с).
§ 218. РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
В ОТДЕЛЬНЫХ ПРОЛЕТАХ
Будем для упрощения определять предельные нагрузки без учета
поперечной силы.
Предельным состоянием неразрезной балки является состояние, когда
в пределах какого-нибудь одного пролета возникают три пластических
шарнира, раскрывающихся последовательно в разные стороны. Обычно
два из них возникают на опорах, а третий — в пролете, что мы и будем здесь
предполагать.
При это1^ разумеется, что если пролеты, примыкающие к опоре, имеют
различные сечения, то опорный пластический шарнир будет развиваться
в слабом сечении.
Полное разрушение неразрезной балки произойдет, когда в пределах
каждого ее пролета возникнут три пластических шарнира. Порядок расчета,
вытекающий из характера разрушения статически неопределимых одно-
пролетных балок, зависит от того, определяется ли предельная нагрузка
или подбирается сечение.
1. Определение предельной нагрузки
Расчет ведется следующим образом (рис. 431).
Нагрузка по всей балке должна быть выражена одним параметром.
который и является искомой величиной.
По наименьшим сечениям из примыкающих к опоре пролетов
определяются предельные опорные моменты УИ^р = a'^W^^. Их значения
откладываются от базы эпюры изгибающих моментов, совмещаемой с осью балки,
и пунктиром изображаются эпюры изгибающих моментов от этих опорных
моментов.
В каждом пролете в соответствии с его сечениями определяются
предельные моменты ТИдр = а^ W^^^ и снизу балки проводится линия предельных
моментов.
К линии опорных моментов «подвешивается» эпюра изгибающих
моментов простой балки, соответствующая типу нагрузки на данном пролете,
с таким расчетом, чтобы она снизу касалась линии предельных моментов.
456
PrKf I Рг'ХзР
ГЦ
-ъ
-тГ
щ
'
р
k—6J^__
A-'i^
♦ г ♦ s м м
Т '' .
;^
'/
•''по.Ъ
13Ш0^.
^'ед^
Мпр,1 = !00.кИп
'пр,1
Рис. 431
S)
Исходя из предположения о
разрушении каждого пролета в отдельности,
определяем параметр предельной нагрузки
и выбираем наименьшее его значение.
Г
Р = 75кН
S. 4=12,5 к н/м'
t f i И ТТ
Рис. 432
Пример 56. .Определить предельную
нагрузку для иеразрезной балки (рис. 432, а) ^ ■
при условии, что предельные моменты в первом пролете /Ицр = ЮО кН • м, а во
втором /Ицр = 50 кН • м.
Опорный момент над средней опорой надо принять меньший, т. е. 50 кН • м.
Все необходимые построения показаны на рис. 432, б.
Предельная нагрузка в первом пролете
р.6 50
=100+ -— , откуда Р = 83,ЗЗкН.
Предельная нагрузка во втором пролете
9-82
_Р_
в
й
= 50-1-50, откуда Р = 75 кН.
Предельная нагрузка при меньшем значении параметра Р = 75 кН показана нз
рис 432, »
2. Подбор сечений по заданной расчетной нагрузке
Подбор сечений требует определения расчетных изгибающих моментов
в пластических шарнирах от заданной расчетной нагрузки.
Они.определяются по расчетным эпюрам изгибающих моментов, которые строятся
следующим образом (рис. 433).
В каждом пролете неразрезной балки строится эпюра изгибающих
моментов от действующей нагрузки, как в однопролетной статически
определимой балке.
В каждом пролете проводится линия опорных моментов с таким
расчетом, чтобы опорный момент, если он один в пролете, равнялся изгибающему
моменту в пролете или чтобы опорные моменты, если их два, равнялись
изгибающему моменту в пролете.
Такую операцию будем называть
предварительным выравниванием"
моментов.
Если подбирается балка
постоянного сечения, то необходимо
принять за расчетный момент
наибольший из предварительно выравнен- Рис. 433
"А г
457
ыых моментов по отдельным пролетам балки. Сечение определяется из
формулы
Г„-^. ,2,.6,
Предельное состояние в этом случае определяется возникновением
трех пластических шарниров в том пролете, где предварительно
выравненные моменты оказались наибольшими. Остальные пролеты остаются не
разрушенными. Таким расчетным моментом на рис. 433 будет момент TW^p ^.
Если балка подбирается с различными сечениями в отдельных пролетах,
т. е. предполагается возникновение пластических шарниров сраау во всех
пролетах, то, поскольку на одной опоре не может быть двух пластических
шарниров, расчетная эпюра строится в зависимости от величин
предварительно выравненных изгибающих моментов.
Если предварительно выравненные по пролетам расчетные изгибающие
моменты монотонно изменяются по длине балки (рис. 434, а), то
необходимо эпюру крайнего пролета с наименьшим расчетным моментом сохранить
без изменений. Затем в следующем пролете произвести выравнивание
положительного момента в пролете и отрицательного на последующей (на
рис. 434, а на правой) опоре при наличии заданного момента на предыдущей
'(левой) опоре. И так далее (рис. 434, б). Эта операция может быть
проведена аналитически на основе простых соображений (рис. 434, в).
Будем считать, что положение пластического шарнира в пролете
известно. Оно определяется координатой г = а. Обозначим правый момент на
опоре yWnp^° и выразим его через левый:
д^прав_д,левц.дд1_
Величина приращения AAf по абсолютному значению определяется из
равенства j
■откуда получаем
пр,3
^пр
&0кн.м
7Л!кнЖ'^'""^^ Зпмра не известна,
f— П
Рис. 435
458
Следовательно, искомый правый момент равен:
1 + у j . B1.7)
В тех случаях, когда правый пролет имеет на конце шарнирную опору
замыкающая опорных моментов в этом пролете находится без вычислений
путем соединения левого опорного момента сточкой базы под правой опорой.
Сечение в каждом пролете подбирается по наибольшему изгибающему
моменту в пролете.
Если предварительно выравненные изгибающие моменты в пролетах
(рис. 436, б) изменяются по длине балки не монотонно, то для получения
расчетной зпюры изгибающих моментов необходимо следующее.
Эпюру изгибающих моментов в пролете с наименьшим расчетным
моментом сохранить.
Затем рассмотреть пролет с наименьшим предварительно выравненным
моментом из оставшихся пролетов. Если он примыкает к рассмотренному
ранее пролету, то на нем расчетную эпюру надо строить выравниванием
пролетного момента со следующим опорным, используя выражение B1.7).
Если же он не примыкает к ранее рассмотренному пролету, то
предварительно выравненную эпюру на нем следует сохранить. И. так далее до тех
пор, когда, новый пролет окажется между рассмотренными ранее. Тогда
замыкающая линия опорных моментов на нем проводится по ранее
определенным опорным моментам соседних пролетов.
Пример 57. Построить расчетную эпюру изгибающих моментов в балке от
заданной нагрузки (рис. 435, а).
На рис. 435, б произведено предварительное выравнивание моментов. Если балка
постоянного сечення, то расчетный момент М = 120 кН • м. Пластические
шарниры будут только в первом пролете. Если сечения балки в разных пролетах различны,
то надо опорный момент иад средней опорой принять равным 80 кН • м, а в nepaoivt
пролете провести линию опорных моментов через точку базы под левой опорой
(рис. 435, в). Сечение первого пролета подбирается по моменту /И^р = 140 кН • м,.
а сечение второго пролета — по моменту М =80 кН • м. В балке будет четыре
пластических шарнира. Подбор различных сечений по пролетам может быть проведен
и иначе. Можно, например, подобрать сечение первого пролета по моменту М =
= 130 кН • м (между 120 и 140 кН • м), но тогда сечение второго пролета должно быть
подобрано по моменту М^р = 100 кН ■ м, чтобы обеспечить надлежащий опорный
момент для первого пролета, при котором момент в пролете не был бы больше принятого-
Л1 = 130 кН - м (рис. 435, г). Такая возможность позволяет найти балку
наименьшего объема. /
Пример 58. Построить расчетную эпюру изгибающих моментов при возникновении
пластических шарниров во всех пролетах балки (рис. 436, а) от заданной нагрузки.
• Эпюры предварительно выравненных моментов показаны на рис. 436, б. Если
бы балка имела постоянное сечение, то для нее расчетный момент УИпр = 80 кН • м.
Величины предварительно выравненных моментов изменяются по длине балки
не монотонно. Поэтому поступаем, как изложено выше. Сначала рассматриваем
четвертый пролет, эпюру на котором сохраняем в неизменном виде. Расчетный момент
Мпр,! = 20 кН • м. Затем рассматриваем шестой пролет, эпюру иа котором также
сохраняем в неизменном виде. Расчетный момент для него УИпр.в = 30 кН • м. Потом
рассматриваем первый пролет, эцюру на котором сохраняем. Расчетный момент для
этого пролета /М^р,] = 40 кН • м. Наконец, рассматриваем второй пролет.
Поскольку к нему примыкает первый пролет, уже рассмотренный, то производим выравнивание
пролетного момента с правым опорным. По выражению B1.7) находим расчетный момент-
для второго пролета:
Мар,г--
П_4(^1_-|-]]:()+^)=60кН.м.
В третьем и пятом пролетах замыкающие опорных моментов проводим по
найденным ранее опорным моментам сосед-них с ними пролетов. Расчетные моменты для них
соответственно будут /Ицр.з = 120 кН • м и Л1пр,б = 95 кН • м (рис. 436, б).
Если не предполагать возникновения в балке всех пластических шарниров, то-
балка с различными сечениями в пролетах может быть получена различным образом.
Например, возможен подбор сечений этой балки по следующим значениям изгибающих
моментов: в первом пролете /И^р,! = 40 кН ■ м, во втором, третьем и четвертом
Мщ) ^ 80 кН • м, в пятом и шестом /Ицр = 60 кН • м. Эпюра расчетных моментов
4."^»
Mnf а=20кн.м
Мщ5 'SSfKHM
Mpuj'iOirH.M
M„hI=70kW
^M„p^3'SllKH.M
\
Рис. 436
Heasoecmtfit
^np,
HSkHm
Рис. 437
В третьем пролете М^Р^" =[17 — 7 A
показана на рис. 436, в. В этом
случае пластических шарниров не
будет во втором, четвертом и
шестом пролетах.
Иной вариант показан на
рис. 436, г, где:
^пр.1=40кН.м, Мпр_2 = 70кН-м.
/Ицр_ 3 = 90 кН-м,
/Ипр_ 4=70 кН-м
и '^пр. 6 = 60 кН-м
Л^пр,5 = 60кН.м
Пластических шарниров не
будет во втором, в четвертом и
шестом пролетах.
Пример 59. Построить
расчетную эпюру изгибающих моментов
при возникновении пластических
шарниров во всех пролетах балки
(рис. 437) от заданной нагрузки.
Эпюра предварительно
выравненных моментов по пролетам
показана на рис. 437, а. Для
балки постоянного сечения
наибольший расчетный момент в
четвертом пролете равен Л^пр =
= 120 кН - м. Предварительно
вьфавненные моменты
изменяются монотонно. Поэтому поступаем
в соответствии с изложенным на
стр. 458.
В первом пролете оставляем
эпюру брз изменений. Во втором
и третьем пролетах производим
выравнивание пролетных и
правых опорных моментов, используя
■ выражение B1.7).
Во втором пролете./И[]Р^°=[12—
— 4 A - 2/6)J : A + 2/6) =
= 70 кН . м.
2/4I : A + 2/4) = 90 кН • м. Эти моменты
и будут расчетными моментами в данных пролетах.
В четвертом пролете замыкающая опорных моментов соединена с точкой базы на
вертикали правой опоры. Расчетный момент для него /Ипр,4 = 135 кН • м.
Расчетная эпюра моментов показана на рис. 437, б.
§ 219. РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ \
Предельное состояние неразрезных балок переменного сечения, так же
как и постоянного сечения, наступит, когда в каком-нибудь пролете
возникают три пластических шарнира, раскрываюш.ихся поочередно в разные
■стороны. Поэтому сначала по эпюре предельных моментов УИцр,
определяемых размерами сечений, необходимо в каждом пролете выявить возможные
варианты возникновения трех пластических шарниров (или двух, при
наличии одного "реального) путем вписывания в нее эпюры предельных моментов
для простой балки от нагрузки в данном пролете. Вписываемая эпюра должна
иметь не менее трех общих тоЧек с эпюрой предельных моментов,
определяемых размерами сечений. Эти общие точки должны лежать на эпюре
предельных моментов поочередно с разных сторон балки. При наличии в крайнем
пролете шарнирной опоры на конце одна из трех точек будет совпадать
с шарниром. Расчет должен быть проведен для каждого возможного варианта,
которых бывает немного (один-два). В качестве предельной нагрузки надо
460
^пр,^ >
Рис. 438
принять наименьшую из результатов
расчета. Примеры вписывания эпюр
показаны на рис. 438.
§ 220. РАСЧЕТ РАМ И АРОК
Сложность расчета рам и, особенно,
арок объясняется тем, что не всегда
ясно, где будут возникать пластические
шарниры, так как их появление зависит
от величин всех внутренних сил УИ, Q и
N и возможных вариантов их
возникновения больше, чем в балках. Во многих
случаях, если пренебрегать влиянием
продольных сил на появление
дополнительных моментов в деформированном
состоянии системы, которое, вообще говоря, при предельном состоянии
с большими перемещениями может быть существенно, то учет
продольной и поперечной сил в предельном состоянии сечения оказывает
небольшое влияние. Это позволяет при таких предпосылках приближенно,
а иногда и точно определять положения пластических шарниров по эпюре
предельных изгибающих моментов, вид которой подсказывается обычным
упругим расчетом статически неопределимых систем. ■
Расчет рам и арок с учетом развития пластических деформаций
производится на основе следующих обычно принимаемых допущений:
1) не учитывается влияние поперечных сил;
2) внутренние силы определяются по недеформированному состоянию
без учета дополнительных изгибающих моментов в деформированном
состоянии, которые при больших перемещениях в предельном состоянии
системы могут быть существенны;
3) считается, что пластический шарнир допускает только одно движение,
а именно поворот сечений относительно нейтральной линии в сторону
раскрытия шарнира, что уменьшает степень статической неопределимости
системы на единицу.,
Первое и часто второе допущения приводят к преувеличенному против
действительного запасу прочности.
Условие предельного состояния сечения при изгибающем моменте и
продольной силе согласно A0.15) будет
Л^пр
/V
пр
4 @^J о
-=IF„
B1.8/
Вычисления показывают, что во многих случаях влияние продольной
силы в B1.8) невелико и составляет примерно следующую долю
изгибающего момента:
N1
/Ипр4а^б-
B1.9)
Если /Уцр выражено в кН, УИцр в кН
м, б в см и а^ в кН/см^, то
относительная погрешность без учета продольной силы равна:
Л =
N1
400УИпр От б
B1.10)
Поэтому можно рекомендовать начинать расчет при обычно принятых
допущениях без учета продольных сил, а затем, приближенно определив
процент погрешности, уточнить расчет, учитывая влияние продольных сил,
^сли в этом есть необходимость.
4 61
* 1. Двухшарнирная симметричная рама
Разрушение двухшарнирной рамы
наступает при возникновении не менее двух
пластических шарниров. Поскольку пластические
шарниры односторонние, т. е.
раскрывающиеся в одну сторону, то теоретически
необходимо, чтобы два шарнира раскрывались в
разные стороны: один — внутрь рамы, а
другой — наружу. Возможных сочетаний таких
шарниров может быть несколько. Все их надо-
рассмотреть и при определении предельной
нагрузки принять наименьшую, а при.
подборе сечений — наибольшие сечения.
Вертикальная нагрузка на
ригеле (рис. 439, а).
При вертикальной нагрузке распоры Ха.
и Хв равны между собой, и, следовательио^
при одинаковой длине стоек равны и
изгибающие моменты в узлах рамы. Теперь
нетрудно представить себе вид эпюры
изгибающих моментов в раме. Для этого надо к
линии опорных моментов ригеля «подвесить»-
эпюру изгибающих моментов от нагрузки, к
нему приложенной. При этом ригель
рассматривается как простая балка (рис.' 439, а).
Неменее половины ординаты наибольшего
момента такой «подвешиваемой» эпюры
должно быть расположено ниже ригеля, так как в случае образования трех
пластических шарниров на ригеле опорные моменты и изгибающий моменг
в пролете должны быть равны. Можно, конечно, но сложнее исходную эпюру
для дальнейших рассуждений получить и из расчета рамы по упругой
стадии. Получив такую эпюру, нетрудно определить положение пластических
шарниров и возможные их сочетания при разрушении рамы.
Рассмотрим раму ео стержнями постоянного сечения. На ригеле возможно-
возникновение шарнира /, раскрывающегося внутрь рамы, в сечении с
наибольшим изгибающим моментом и шарниров 2 и 2' в узлах рамы,
раскрывающихся наружу рамы. Все три шарнира возникают одновременно, поскольку
продольная сила на ригеле постоянна, а изгибающие моменты в узлах равны
между собой. На стойке пластический шарнир 3 может возникнуть только
вверху, в узле С или D, в зависимости от того, на какой стойке будет большая
продольная сила. Возможные варианты разрушения рамы будут при
следующих сочетаниях шарниров: 1 -{- 2 + 2' и 1 + 3.
Первый вариант. Пластические шарниры только на ригеле (рис. 439, б)..
Из геометрических построений
Продольная сила в ригеле
М
бал
2MZ'-
MP"'
"Р Н
МЧ
2Я
Условие предельного состояния
М\
бал
+
м'
бал\ 2
2Я
2а^ 4 @^J бриг
7РИГ
пл •
B1.П>
Второй вариант. Пластический шарнир на ригеле и на стойке,
(рис. 439,6).
462
Из геометрических построений
B1.12)
Согласно B1.8):
Л^^р - \^'^пл 4 (а-)'^ бри. у ' "Р г "^
/v^
4(а^)^«ст
/И^
Так как Л^^Г =^. Л^пр = ^макс, где ^„ако — наибольшая реакция,
то условие предельного состояния B1.12) принимает вид
/И^''^ =
7 риг.
пл
if;
4 @-^J бс
4Я-^б
РИ1
^\ "^ 4-(аТб„,/*'
B1.13)
Без учета продольных сил условия предельных состояний B1.11) —
'B1.13) значительно упрощаются:
д^бал^^ригзот, д^ба^_(^рнг^^о-^^,_ ^21.14)
При расчете по расчетному предельному состоянию надо вместо а^
■принять величину tnR.
Пример 60. Определить расчетную нагрузку для рамы (рис. 440) с двутавровым
поперечным сечением B0 • 1 + 12 • 2 • 2). Расчетное сопротивление mk = 24кН/см^.
Момент сопротивления сечения W„a = 2 A2 • 2 • 11 + 10 ■ 1 • 5) = 628 см*.
Сначала выполним расчет без учета продольной силы. По B1.14) имеем
М'
бал .
F28 + 628) 24 = Р
200-400
600
откуда Р = 226,08 кН.
Теперь проведем расчет с учетом продольной силы
Первый вариант. По B1.11) при
400 Р 4003 Р2
Mf" = Р ^ кН
3-2.24
+
у.300!!. 16-24.1
628,
откуда Р = 225,8 кН.
Второй вариант. По B1.13) при 1/макс = а" Р кН
400 Р
3
24-628-
4-300'''-1-24'^
А
+
24-628-
(^)'
4-24-1
Это уравнение надо решать последовательными приближениями, полагая для
правой HdcTH начальное значение Р = 226,08 кН, ранее найденное без учета продольной
силы. После уточнений получаем Р = 224,2 кН. Таким ,
•образом, в этом примере учет продольной силы внес
несущественное изменение в &иачения предельной
нагрузки, определенной без ее учета. Наименьшая нагрузка
получилась^ как и следовало ожидать, по второму
варианту.
р
\
€М
1 ' J
Горизонтальная нагрузка на
стойке (рис. 441). ^А.
Примерный вид эпюр изгибающих моментов для \\р
упругой стадии от горизонтальных нагрузок на ^
левой стойке показан на рис. 441. Поскольку ' Рис. 440
%
463
продольные силы по длине каждого элемента постоянны, то по эпюре
изгибающих моментов можно определить вероятные положения пластических
шарниров. На ригеле могут возникнуть одновременно два шарнира в узлах
рамы С и D: шарнир / в узле С, раскрывающийся внутрь рамы, и шарнир 2
в узле D, раскрывающийся наружу. На стойке АС пластический шарнир 3
совпадает с местом наибольшего изгибающего момента и раскрывается внутрь
рамы. При его возникновении обычно и происходит разрушение рамы.
На стойке BD шарнир 4 моЖет возникнуть только наверху стойки и
раскрыться наружу рамы. Возможные варианты расположений шарниров при
разрушении рамы: 1 и 2, 3 и 2, 3 и 4.
Общее условие предельного состояния для всех вариантов
^А + ^в=Р- B1.15)
Рассмотрим все варианты без учета продольных сил, когда УИц, =
1. По статическому методу
Первый вариант: шарниры 1 и 2 (рис. 442, а). Момент в пластическом
шарнире /
Момент в пластическом шарнире 2
Определяя из них Х^ и Хв и подставляя в B1.15), получим
Ра
-j = Wl"/a\ B1.16)
Второй вариант: шарниры 3 и 2 (рис. 442, б). Момент в пластическом
шарнире 3
AtoMCHT в пластическом шарнире 2
К^ = К7<^=^в"-
Определяя из них Хл и Хв и подставляя в B1.15), будем иметь
+ = Р. B117)
а Н
Третий вариант: шарниры 3 и 4 (рис. 442, в). Момент в пластическом
шарнире 3
"^'пр пл А '
Момент в пластическом шарнире 4
Л1пр = П>^=-^В«-
Как и ранее, подставляя Ха и Хв в B1.15), получаем
\а Н
+ — ]Kl^''=P- B1-18)
2. П О кинематическому методу
Первый вариант (рис. 442, г)
• Отсюда
464^
р —МР'"' —УИРИ'' =0.
2 °Р И "Р Н
Р = 4/ИР^' ;Я.
fe^-^^
Рис. 441
Рис, 442
465
Второй вариант (рис. 442, д)
Отсюда
PA-M^,;^~AQ~^0.
Р =
МРиг
2Л1Гр
Третий вариант (рис. 442, е)
РА — М:
Н
2Д
пр ^^
н
MZ^==0.
Отсюда Р
3MSn : Н.
Пример 61. Определить расчетную нагрузку Р для рамы (рис. 443), если ? = 6 м»
// = 6 м, rPJI" = 600 см», Г^ = 300 см* mR = 20 кН/см^ а = 3 м.
Предельные моменты:
д^риг^20-6=120кН.м;
/И="р = 20-3=60кН.м.
По статическому методу
Первый вариант Р =-——600.20 ==80 кН.
оОО
Второй вариант Р=-
300-20
300
600-20
600
=40 кН.
Третий вариант Р=./—-—+ -——) 300-20 = 30 кН.
у 300 оОО /
I
По кинематическому методу
Первый вариант Р = 4-12 000 : 600 = 80 кН.
Второй вариант Р-.
!2 000
+
2-6000
3=40 кН.
600 ■ 600
Третий вариант Р=3-6000 : 600=30 кН.
Наименьшая сила — при третьем варианте. Найдем относительную погрешность
вез учета продольных сил при 6c.j = 1 см. По выражению B1.9) при iVnp = 15 кН
152
6 000-4-20.1
0,0005, или 0,05%.
Пример 62. Подобрать сечение стоек рамы при горизонтальной нагрузке (рис. 444),
жестком ригеле и расчетном сопротивлении mR = 20 кН/см^.
По третьему варианту
7СТ
пл
100
• = 1500см«.
600
600
20
гя-
Р-ЮОкН
^
Т-
4
Вм
Ш^
Рис. 443
ть^'
Q
Рии. 444
466
2. Бесшарнирная симметричная рама
Разрушение бесщарнирной рамы наступает при -возникновении трех
пластических щарниров на одной прямой, раскрывающихся по очереди
в разные стороны, или не менее четырех шарниров, не лежащих на одной
прямой и также раскрывающихся по очереди в разные стороны.
При определении предельной нагрузки надо принимать наименьшее из-
тех значений нагрузки, которые соответствуют возможным вариантам
расположения шарниров при разрушении рамы, а при подборе сечений —
наибольшие сечения.
Вертикальная
нагрузка
(рис. 445).
на ригеле рамы
При вертикальной нагрузке распоры рамы равны между собой. Вид
эпюры изгибающих моментов для упругой стадии показан на рис. 445.
Возможные положения пластических шарниров: на ригеле шарнир /,
раскрывающийся, внутрь рамы, в сечении с наибольшим изгибающим моментом и
шарниры 2 н 3 в узлах рамы, раскрывающиеся наружу рамы; на стойках —
по их концам: шарниры 4 ц 5, раскрывающиеся наружу рамы, и шарниры 6
и 7, раскрывающиеся внутрь рамы. Возникновение четырех шарниров на
стойках не обращает раму в изменяемую систему, поскольку они
раскрываются в разные стороны не последовательно, и при горизонтальном
смещении ригеля некоторые из них должны закрываться, т. е. фактически перестать
существовать. Возможные варианты расположений шарниров при
разрушении рамы: 1, 2 я 3; 1, 4 R 5. Шарниры 4 и 5 теоретически считаются
расположенными в узлах рамы.
Первый вариант: шарниры 1, 2 я 3 (рис. 446, а).
При одинаковых изгибающих моментах в узлах рамы в. предельном
состоянии и одинаковых распорах 0^ = 02 = с. Следовательно, эпюра
изгибающих моментов в стойках и деформации их в предельном состоянии
симметричны независимо от расположения и величины нагрузки. Если
пренебрегать сближением узлов С и D рамы в предельном состоянии, то верхние
концы стоек будут расположены на одних вертикалях с нижними концами.
Следовательно, если стойки в предельном состоянии рамы еще работают
в упругой стадии по всей их длине,, то на верхних их концах изгибающие
о
моменты в 2 раза больше, чем на нижних, и с = -^ Н. ,
Верхняя часть стойки первой
вступит в упругопластическую стадию,
поскольку в ней большие изгибающие
моменты, чем в нижней.
Как только верхняя часть стойки
при нагружении начнет работать в уп-
ругопластической стадии, ее жесткость
на изгиб будет уменьшаться. По об-
Рис. 445
Рис. 446
467
шему свойству статически неопределимых систем нижняя часть стоики,
как более жесткая, будет воспринимать при дальнейшем нагружении
большие приращения изгибающих моментов, чем верхняя, и нулевая точка пере-
2
местится вверх, т. е. с<С-о-Н. Перемещение нулевой точки будет
продолжаться до середины стойки, когда жесткости обоих ее участков стан;ут
одинаковы.
Если бы нулевая точка продолжала перемещаться вверх, то моменты
в нижней части стойки были бы больше, чем в верхней, и жесткость нижней
части уменьшалась бы, и, следовательно, в ней было бы меньшее
приращение изгибающих,моментов, т. е. нулевая точка должна была бы перемещаться
вниз.
Итак, величина с находится в пределах между -к-Н и у Я.
Условие предельного состояния рамы по первому варианту
/Mf-"=2MP^'-. B1.19)
Д1РИГ
Продольная сила в ригеле /VSp" = —^ •
Предельный момент в пластическом шарнире по выражению B1.8)
/ мР"' \
Условие предельного состояния
-—-=o-rP--(^-^j :4а-Л„иг. B1.20)
где с — неопределенная величина, которая при наших допущениях нахо-
1 2
дится в интервале от -^ Н т -тг Н.
Условие предельного состояния без учета продольных сил
• Л1б- = 2а-ГР-. B1.21)
Сопоставляя B1.20) с аналогичным выражением для двухшарнирных
рам B1.11), находим, что предельная вертикальная нагрузка для
бесшарнирных рам при учете продольных сил будет немного меньше предельной
нагрузки для двухшарнирных рам и равна ей, если продольные силы не
учитываются.
Второй вариант: шарниры 1, 4 и 5 (рис. 446, б). Поскольку при
несимметричной нагрузке УИц^, N^p и с на стойках не равны между собой,
ограничимся рассмотрением расчета с учетом продольных сил только на
симметричную нагрузку. Полученный при этом расчет без учета продольных сил
будет пригоден и для расчета на несимметричную нагрузку.
Из геометрических построений (рис. 446, б) имеем
Mt'-^Mll' + M^l. B1.22)
Продольная сила в ригеле A^Up"" =. —— .
Продольная сила в каждой стойке N^^ = Va — ^ь. где V —
балочная реакция.
Предельные моменты в пластических шарнирах по выражению B1.8);
AlP- = axWPr- -^ :4атбр„,.
468
Условие предельного состояния B1.22) принимает вид
(дтг"- ^\ V
mS'-" =
o-'WZ'-
с2 4а'' б
риг
-^[o'Wl
4ат 6с
B1.23)
1 2
где с, как и ранее, удовлетворяет неравенствам -к- Н ^с ^-тгН. Оно же
без учета продольных сил
д^ба._^,(^риг_^^сту
B1.24)
Это выражение сохраняет силу и при несимметричной нагрузке.
Сопоставление B1.23)—B1.24) с такими же условиями для двухшар-
нирных рам B1.13)—B1.14) показывает, что и по второму варианту
предельная вертикальная нагрузка бесшарнирной рамы при прочих равных
условиях немного меньше предельной вертикальной нагрузки двухшарнир-
ной рамы, если учитывать продольные силы, и равна ей, если их не
учитывать.
Пример 63. Определить предельную нагрузку рамы (рис. 447), если / ■
Н = 4 м, а = 2 м, W'^'' = 600 см^, W^ = 400 см^, а^ == 20 кН/см^.
Расчет ведем без учета продольных сил. В этом случае имеем:
Р • 2 • 4
по первому варианту ^ • 100 = 2 • 20 • 600, откуда Р = 180 кН;
б м,
по второму варианту
6
2
100 = 20 F00 + 400), откуда Р = 150 кН.
Относительная погрешность для пластического шарнира на левой стойке по
выражению B1.9) при б = 1 см
10 0002
-^= 2 000.400.4.2 000.1 ^^ "'°'^' "^" '^''''-
Горизонтальная нагрузка
узле рамы (рис. 448)
Вид эпюры изгибающих моментов для упругой стадии и возможные положения
пластических шарниров показаны на рис. 448, а. Предельные состояния могут быть
при следующих сочетаниях шарниров: /, 2, 3
и 4; /, 2, 5 и 6. Для простоты расчета будем
пренебрегать продольными силами.
Первый вариант: шарниры / 2, S vt 4
(рис. 448, б). Нулевая точка эпюры моментов
на стойках в предельном состоянии будет на
середине их высоты.
Условие предельного состояния
Р =
/И" •
пр
М"
н
н
B1 .25)
Второй вариант: шарниры I. 2, 5 к 6 (рис.
448, ч). Положение нулевой точки эпюры
изгибающих моментов на стойках
пр
Д^риг
пр
Ml
гм
1*М
~/ 5"
W„„=WOcM^
Рис. 447
Рис 448
469
Условие предельного состояния
пр
н
'^=-jf{wZ + K7)<y'-
B1.26>
Сопоставляя B1.25) с B1.18) и B1.26) с B1.17), заметим, что предельная
горизонтальная нагрузка в узле С бесшарнирной рамы в 2 раза более такой же нагрузки для-
двухшарнирной рамы.
При расчетах по первому расчетному предельному состоянию во всех выражениях,
как и ранее, вместо а'" надо полагать величину mR.
Пример 64. Определить предельную нагрузку для рамы (рис. 449), если W^ =
= 1500 см», HfPj;'' = 600 смз, а^ = 20 кН/см", б = 1 см.
4
По первому варианту Р =
по второму варианту Р =
600
2
600
1500-20 = 200 кН;
\
A500 + 600) 20^ 140 кН.
Определим относительную погрешность по второму варианту без учета продольных
сил. Вспомогательные величины:
20-600-600
20F00+1500) 3,5
лгРиг.
пр ■
600 . Рс
см; NZ = -—-
140
600
3,5
Р
2
; пр
140
600
= 40 кН;
■ = 70кН.
Относительная погрешность для стойки и ригеля по выражению B1.9):
402
^'' 20-1500.4-20-1
702
'^Р"^~ 20.600.4-20.1
= 0,0007, или 0,07%;
«0,005, или 0,5 %.
Пример 65. Определить расчетную нагрузку для рамы (рис. 450), если W'^
= 1500 cм^ W'P^'' = 6000_^смЗ, mR = 20 кH/cм^ 6 = 1 см.
По первому варианту
Р = -
пр
600
Рс
I
1500-20 = 200 кН;
200-3
6
100 кН,
Относительная погрешность без учета продольной силы
Л = 1002:20.1500.4.20.1=0,0042, или 0,42%.
/
"^ /7777
' 7 "
-V-
/7777^^
М^
Cm ^
/7777
6м
Ри1 И9
Рис. 450
470
3. Двухшарнирные и бесшарнирные арки
Расчет арок из пластичных материалов по предельному состоянию о
учетом пластических свойств материала значительно сложнее расчета рам.
Продольная сила в арке и, как правило, поперечные сечения арки переменны
по ее длине, что затрудняет определение положений пластических шарниров,
которые не очевидны, как в рамах. Кроме того, в арках влияние продольных
•сил может быть больше, чем в рамах. Поэтому игнорирование продольными
силами в арках может привести к значительным погрешностям, особенно
в случаях, когда кривая давления близка к оси арки.
Разрушение двухшарнирной арки происходит при возникновении не
менее двух пластических шарниров, раскрываюш,ихся в разные стороны
(рис. 451, а), а бесшарнирной арки — при образовании не менее четырех
шарниров, поочередно раскрывающ,ихся в разные стороны (рис. 451,6).
Если нагрузка на арку симметрична, то и разрушение (потеря устойчивости
исключается из рассмотрения) арки должно быть симметричным, при
котором в двухшарнирной арке возникает не менее трех пластических
шарниров (рис. 451, б), а в бесшарнирной арке — не менее пяти шарниров
<рис. 451, г). '
Приблизительное (а иногда и точное) положение пластических
шарниров может быть намечено по эпtope изгибающих моментов для упругой
стадии, особенно, если в арке значительные изгибающие моменты.
Рассмотрим двухшарнирную арку с силой Р посередине пролета
(рис. 452, а). Примерный вид эпюры изгибающих моментов "показан на
рис. 452, б, из которого видно, что пластический шарнир, раскрывающийся
вниз, расположен посередине арки, а шарниры, раскрывающиеся вверх, —
примерно в третях пролета арки. Допустим, что их положения нам известны
и левый шарнир расположен в сечении-^. Тогда можем выразить внутренние
силы пластических шарниров через нагрузку.
Посередине арки М^р, с
арки;
Р
в сечении k Мт,г..ъ ^ —г—Хи <Q. N
■^-X/>0. N,
X, т. е.
распору
пр< k
==— г—Ху <0,
пр, h'
-—- sin а + X cos а.
Условия предельного состояния пластических шарниров по выражению
B1.8)
(—-Xf)+X^:4a-Sc=r„^.ca-; B1.27)
( Хг/—— j + (—-sina + Xcosa j :
B1.28)
Рис. 451
" '^'wгттт1^^штт^^.|,ц,,,^>^rтттшттmrJ
Рис. 452
471
Из этих двух выражений найдем X и Р, они будут функциями z
положения шарнира в сечении k. Предельную нагрузку надо взять наименьшей,
dP г.
удовлетворяющей условию -у- = 0.
Если приближенно шарнир, расположенный в сечении k, назначать
в сечении с наибольшим отрицательным изгибающим моментом по «упругому»
расчету, то
=——л =0, откуда =-—. B1.29)
Это значит, что касательная к арке в сечении к, где расположен шарнир,
должна быть параллельна направлению полной реакции в шарнире А
(рис. 452).
§ 22i. РАСЧЕТ ФЕРМ '
Предельное состояние ферм определяется текучестью стержней,
исключение которых из фермы обращает ее в изменяемую систему. Текучесть
в этих стержнях может возникнуть или одновременно, или чаще
последовательно. Если текучесть в стержнях возникает последовательно, то
предельное состояние наступает с появлением текучести в первом
необходимом стержне в той ферме, которая получается из заданной, при
исключении из нее лишних стержней, находящихся в состоянии текучести.
Таким образом, если ферма имеет необходимые и лишние стержни, то ее
предельное состояние может наступить при текучести некоторых Пц лишних
стержней и одного, обязательно необходимого в ферме, которая соответствует
состоянию, предшествующему предельному состоянию заданной фермы.
Число стержней Пц удовлетворяет неравенствам О :^ По ^ п, где п — число
лишних стержней в заданной ферме.
Если По = О, то предельное состояние наступает одновременно с
наступлением текучести в одном необходимом стержне заданной фермы.
Если По = п, то предельное состояние наступает при наступлении
текучести во всех лишних стержнях и одном необходимом.
Если О < «о < "> то предельное состояние наступает при наступлении
текучести не во всех лишних стержнях. При этом, как уже было отмечено,
последний стержень, в котором наступила текучесть, был
необходимым в ферме, которая соответствует состоянию, предшествующему
предельному состоянию заданной фермы.
Предельная нагрузка может быть определена различными приемами,
например из рассмотрения равновесия в начале разрушения ферм при
различных видах разрушения, иными словами, из рассмотрения равновесия
различных изменяемых ферм, получаемых из заданной исключением
некоторых стержней, с заменой их действия на ферму внешними силами,
приложенными в узлах фермы и равными продольным силам этих стержней в
состоянии текучести. Из всех получаемых предельных нагрузок надо выбрать
наименьшую.
Поскольку видов разрушения, .соответствующих предельным
состояниям, даже в простых случаях много, то такой путь приемлем только тогда,
когда по каким-либо признакам форма разрушения при наименьшей
нагрузке известна.
Например, форма разрушения системы с растянутыми стержнями,
показанной на рис. 453, очевидна. Разрушение произойдет в результате
наступления текучести во всех стержнях (подвесках), и форма разрушения
будет соответствовать симметричному опусканию жесткой балки. Из
условия равновесия будем иметь
Если форма разрушения не очевидна, то способ является слишком
громоздким, так как надо произвести много обследований различных изменяе-
472 ,
мых систем. К тому же не всегда ясно,
работает ли устраняемый из фермы стержень на
сжатие или растяжение. В таком случае
более надежным, но тоже трудоемким является
способ последовательного расчета фермы как
упругой системы, теряющей при увеличении
нагрузки некоторые связи.
Сущность этого способа состоит в том, что
сначала ферма (рис. 454, а) рассчитывается
как упругая система на нагрузку,
определяемую параметром неизвестной величины.
Расчетом определяется стержень с большим напря-
а)
^
^
^
^>-<^^^^
Рис. 453
Рис. 454
жением, в котором раньше всего появится текучесть. Приравнивая
напряжение в нем пределу текучести, найдем параметр нагрузки Ру,
соответствующий наступлению текучести в этом стержне (рис. 454, б). После этого
стержень удаляется из фермы, а его действие заменяется внешними силами,
равными предельной продольной силе в этом стержне. Степень
статической неопределимости фермы уменьшается на единицу. Затем проводится
расчет этой новой фермы и определяется второй стержень, который
выключается из работы при наступлении текучести^. Так будет определен
параметр нагрузки Pg. соответствующий началу текучести второго стержня
(рис. 454, в). И так. далее, пока ферма не обратится в изменяемую
(рис. 454, г). Тогда и будет найдена предельная нагрузка для фермы
(рис. 454, д).
Следует обратить особое внимание на возможность выпучивания сжатых
стержней фермы до появления текучести по всему поперечному сечению,
так как в этом случае отпорная сила стержня будет меньше o'^F. Если
выпучивание происходит в упругой стадии, то теоретическое значение отпорной
силы слегка возрастает с увеличением выпучивания. В практических
расчетах с этим можно не считаться и полагать, что отпорная сила равна
эйлеровой силе.
Если выпучивание сопровождается текучестью, то возрастание отпорной
силы стержня может быстро прекратиться, после чего начнется ее
убывание.
Все изложенное говорит о сложности задачи по определению
предельной нагрузки для статически неопределимых ферм, особенно в тех случаях,
473
когда сжатые стержни выходят из строя при их выпучивании. Расчет фериг
при выпучивании стержней здесь не рассматривается, и о явлении
выпучивания упоминается только в связи с определением предельных нагрузок.
Если ферма изготовлена из хрупких материалов, что нецелесообразно,
то ее разрушение связано с разрушением По лишних стержней и однога
последнего, необходимого в той ферме, которая соответствует состоянию,
предшествующему разрушению заданной фермы. При последовательном
разрушении стержней фермы необходимо- найти стержень, самый
напряженный в упругой стадии, который разрушится первым. Так как его
разрушение происходит почти мгновенно, то необходимо иметь в виду
динамический эффект, сопутствующий исчезновению продольной силы в стержне.
Разрушение этого первого стержня может вызвать первое предельное
состояние системы. Если после разрушения первого стержня оставшаяся
часть фермы под действием нагрузки и динамического эффекта,
сопутствующего исчезновению продольной силы в стержне, все же не разрушилась, то
действующая на ферму нагрузка еще не является разрушающей.
Дальнейшие расчеты по определению разрушающей нагрузки совершаются в tomi
порядке, который был изложен выше^
§ 222. РАЗГРУЗКА И ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
Основные положения о разгрузке и остаточных напряжениях и
деформациях были рассмотрены в главе 10. Они с некоторыми дополнениями
могут быть использованы и для статически неопределимых систем.
В статически неопределимых системах почти всегда, за редким
исключением, остаточные деформации сопровождаются остаточными
напряжениями в сечениях стержней, и эпк>ра остаточных напряжений в сечениях не
будет самоуравновешенной, как в статически определимых системах.
Дело в том, что после разгрузки статически неопределимой системы,
работавшей за пределами упругости, как правило, возникают остаточные
внутренние силы. В этом состоит отличие разгрузки статически неопределимых
систем от разгрузки статически определимых.
Например, в статически определимых системах линейный закон
разгрузки на диаграмме {Р, Л) всегда справедлив для систем, работающих на
продольную силу (ферм), и балок с симметричным относительно
нейтральной линии сечением. В статически неопределимых системах это будет не
всегда. Покажем это.
Рассмотрим систему, работающую на продольные силы (рис. 455, а).
Ее предельное состояние показано на рис. 455, б, из которого получа^
Pap=3a-^F.
При расчете по упругой стадии с основной системой, изображенной
Pt
на рис. 455, в, продольная сила р среднем стержне /Vj = Х^ = -—^- и
Ра
В крайних стержнях N^ = , , „ . При а<. I наиболее напряженный
стержень средний^ Крайние стержни до предельного состояния будут
находиться В упругой стадии.
Остаточные напряжения в среднем стержне
За'' I
До= — ■; + (f.
1 + 2а
При а ^-^ , Аст> — ст^ остаточные напряжения сжатия меньше предела
текучести, а при а < -г- они больше него. Значит, при а~^ -^ разгрузка
будет происходить по линейному закону, а при а <; -—сначала по линей-
474 •
^^p-^S^zptM^
'1РпрЬ''1'^'^^л
^wm^^'^A
-sz" "•'
■Л ----^гхтхгптгтТГПТГ!1тггп^
Рис. 456 1
a-^ при нагрузке; б — при разгрузке; в — остаточная
ному закону в упругой стадии, а затем по
линейному закону в упругопластической
стадии, поскольку средний стержень в
конце разгрузки будет находиться в
пластической стадии.
Рассмотрим теперь неразрезную балку
(рис. 456). Эпюры изгибающих моментов
нагрузки и разгрузки показаны на рис.
456, а, б. Предельная нагрузка Рцр =
Изгибающий момент в среднем сечении первого пролета при действии
разгружающей силы Рцр
13
64
/
« — 1,22 ат Гг
Остаточное напряжение в краевых точках этого сечения
-±а^=Та^ 1.22^
Ла =
— 1
При прямоугольном сечении Аст = =F ст' A,22 • 1,5 — 1) = + 0,83ст''.
При круглом сечении Аст = =F ст"" A,22 • 1,7 — 1) = =р 1,074 ст^.
Сечение на опоре будет находиться в более благоприятных условиях.
Следовательно, при прямоугольном сечении линейный закон разгрузки
справедлив, а при круглом сечении — нет. В той же балке (рис. 457) при
другой нагрузке большие остаточные напряжения будут в сечении над
опорой. В этом случае Аст = ± а'' j 1,125^^ — 1 ]• При круглом сечении
Act = ± О.ЭШст', а при прямоугольном Аст = ± (^,685 ст^". Значит, при
такой нагрузке линейный закон разгрузки будет справедлив для обоих
■Сечений.
Проследим теперь развитие перемещений и напряжений йри последовательном за-
грунсении системы и ее загрузке. Для простоты рассуждений рассмотрим систему,
изображенную на рис. 455.
Первое нагружение. Вначале опускание Д жесткой балки пропорционально
нагрузке Р до появления в среднем стержне напряжения а"^. Этому состоянию соответствует
■сила Pi, определяемая из выражения
N-t=a'F=-
l + 2a
откуда Рх =
I
(а)
После этого средний стержень выключается из работы и в нем сохраняется
постоянное значение продольной силы a'^F. При этом продольные силы в крайних стержнях
475
определяются выражением
Pia Р —Pi P—a-'F
N2=— 4- -= . (б>
/ ■
В предельном состоянии крайние стержни только достигнут предела текучести,
а потому будут работать в упругой стадии. Поэтому опускание жесткой балки
определяется выражением
А=^^. (В)
Средний стержень получает пластические деформации, а крайние работают в
упругой стадии. Поэтому при разгрузке будут появляться остаточные напряжения сжатия
в среднем стержне (— Да) и растяжения в крайних стержнях I Н—— , вследствие чего-
система получает наклеп.
Разгрузку системы можно рассматривать как ее нагрузку силой R = Р^р,
направленной вверх. Система вначале работает как упругая. Суммарные продольные силы.
в стержнях равны:
в среднем стержне <
т
Ni = a'^F >—a^^F;
1-\-2а
в крайних стержнях
P — a-'F
Ni= —/?■
I (г)
2 l+-2a
Предел разгрузки в упругой стадии определится из равенства
Ril ^ 2ат/=■(/ +2а)
о^/" 7Т1Г =—о^-Р, откуда «1= , ■ (дУ
Остаточные напряжения в среднем стержне при разгрузке в упругой стадии будут
Ла = =0^ . (е)
F F{l + 2a) '
В случаях когда R > Ri, разгрузка происходит в упругопластической стадии,
при которой крайние стержни работают в упругой стадии, а средний — в состоянии
текучести. В этом случае продольная сила в среднем стержне Ni = — o'^F, остаточное
напряжение Да = — о" и продольная сила в крайнем стержне ,
P—a'^F Ria (R—Ri) P — a-^F R — 2a-'F
^^= 2 T^- 2 = T~~ 2 • '^>
Сущность явления наклепа системы состоит в том, что для получения текучести
в среднем стержне после разгрузки при новом нагружении надо создать в стержне
напряжение а*:
о*=аТ —( —Да) = аТ4-До. (з)
При этом нагрузка принимает новое значение Р^, до которого нагружение будет
происходить в упругой стадии:
1 + 2а
^ Pl = (a^ + ho)F-^^—^ (И)
Дальнейшие рассуждения будем сопровождать вычислениями. Сначала рассмотрим
случай, когда разгрузка полностью совершается в упругой стадии. Для этого надо поло-
/
жить а > -д. Примем следующие значения: /=6м, а = 3м, F= 1 см^, а'^ = 20 кН/см^,
С = 2 • 10* кН/см^. Продольный изгиб исключаем из рассмотрения. Предельная сила
Рпр = 3 - 20 • 1 = 60 кН.
Первое нагружение. Значение нагрузки при пределе текучести найдем по
выражению (а):
20-1 F00-Ь 2-300)
р ^ V JZ L ^ 40 кН.
' 600
476
Г
' ' Ч 19 I'l'T^
wrr-^
'^^d'Wnn
^' При. нагрузкеб' При разгрузке
—(±
SJ
7^
30 .rWn
При нагрузке й'' при ракруже ^"^ Ji<^^ ~^
Рис. 458
Продольную силу в крайнем
стержне —» по выражению (б):
VlZZ^
Л?2 =
40 — 20-1
10 кН.
Опускание жесткой балки — по-
выражению (в), при Р = Р-^
Рис. 457
Ai =
10-600
-=0,3 см.
20 000-1
Во второй стадии нагружения-
а. — эпюра изгибающихся моментов при нагрузке;
б —то же, при разгрузке; в — то же, остаточная;
г — эпюры напряжений в сеяеиин на средней
опоре; й-то же, посередине пролета 2 000 000-1 средний стержень ВЫКЛЮЧИТСЯ ИЗ
работы.
Опускание жесткой балки — по выражению (б) и (в) (рис. 458, а), при Яцр = 60 кН
д =
60—20-1
600
20 000-1
■ = 0,6 см.
Первая разгрузка. Предельная разгружающая нагрузка, до которой разгрузка-
будет происходить по линейному закону, определяется по выражению (д):
/?1 = 2.20.1
^600-1-2-3004
600
= 80 кН>60 кН.
Значит, разгрузка будет происходить в упругой стадии. Продольную силу N^ в крайнем-
стержне после разгрузки найдем по выражению (р):
/V2 =
60—20-1
-60
300
600 -f 2-300
= 5 кН.
5-600 ^ ,^
Остаточное опускание жесткой балки Aqct = 20 0000 • 1 ^^ ' '^^'
Остаточное напряжение в среднем стержне — ио выражению (e)i
60-600
Да=20—
-=_10 кН/см\
1 F00-)-2.300)
Второе нагружение. Новый груз ври нределе текучести найдем по выражению (и):
6004-2-300
Pi = B0-t-10)l ^^ =60 кН.
477
Значит, диаграмма второй нагрузки совпадает с диаграммой разгрузки d—с (см.
рис. 458, а). Система далее при нагрузке и разгрузке будет вести себя, как упругая.
Теперь рассмотрим систему при а= 1 м < -г-. В этом случае, как увидим ниже,
разгрузка будет происходить в упругопластической стадий.
Первое нагружение. Нагрузка при пределе текучести по выражению (а)
20-1 F00 + 2-100) 80
Pi = ^—--^ = -:- кН (рис. 458, б).
600 . 3
Опускание жесткой балки при Р = Pj —>по выражениям (б) и (в):
80:3—20-1 600
Л= = 0,1 см.
2 20 000-1
Предельная нагрузка, как и ранее, Рцр = 60 кН. Прлное опускание жесткой балки
■при ней Д = 0,6 см.
Первая разгрузка. Предельная разгружающая сила, до которой разрузка
происходит по линейному закону, — по выражению (д);
2-20-1 F00 + 2-100) 160 ,
Pi= ^^ — — =± — кН,
' 600 3
■что меньше 60 кН. Значит, полная разгрузка будет действительно происходить в упруго-
пластической стадии. Опускание жесткой балки в момент, когда разгрузка достигнет
предела текучести, при Р = Р — ^?i найдем так:
60 — 20-1 160/3—2-20-1 40-600
Л^2= — ■ =40/3 кН; Л= ;; = 0,4 см.
^2 2 3-2-10*1-1
Остаточное опускание жесткой балки после полной разгрузки — по (ж)' и (б):
60 — 20-1 60 — 2-20-1 H-600
/Va= 7. — =10 кН; Л = = 0,3 см.
2 2 2101-1
Остатбчнае напряжение в среднем стержне
Да^—а^, и тогда а* = 2а'''.
Второе нагружение Нагрузка при пределе текучести по выражению (и)
F09-f 2-100) 160 ,
Pi = 2-20-1 -^— = -— кН.
* , 600 . 3
Это значение Pj соответствует точке f, лежащей на прямой Ьс при первом нагру-
жении. Правее точки / диаграмма второго нагружения на участке fc совпадает с
диаграммой первого нагружения. При повторных разгрузке и нагружении величина
перемещения жесткой балки не возрастает. Но каждый цикл нагружения и разгрузки образует
петлю гистерезиса, которая влияет иа прочность материала.
Мы рассмотрели диаграммы нагрузки и разгрузии на частном примере, ио они
характерны и для других случаев. Нетрудно показать, что если начинать разгрузку с
точки / (рис. 458, 6) или левее ее, то разгрузка будет происходить по линейному закону.
§ 223. ВЛИЯНИЕ УПРУГОСТИ И СМЕЩЕНИЙ ОПОР
НА ВЕЛИЧИНУ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
Рассмотрим двухпролетную неразрезную балку под действием сил Р^
и Pj (рис. 459, а). Допустим, что изгибающий момент под силой Р^ в
упругой стадии больше, чем под силой Р^- Первый пластический шарнир
возникает под силой Pj, второй пластический шарнир — над опорой (рис. 459, б).
Допустим, что средняя опора упруга (рис. 459, в). Вследствие ее
упругости'к эпюре изгибающих моментов балки на жестких опорах (рис. 459, а)
добавится эпюра моментов по рис. 459, г. Однако предельная нагрузка от
этого не изменится. Дело в том, что в предельном состоянии первый пролет
•балки обратится в изменяемую систему, и эпюра Мпр" должна быть вписана
в фигуру, ограниченную линией предельных отрицательных моментов
'Сверху и линий предельных положительных моментов снизу (рис. 459, б).
478 , ' ■
Рис. 459
Рис. 460
А это может быть сделано только
единственным образом. Значит,
несмотря на дополнительную эпюру
моментов вследствие упругости
опоры^ положение пластического
шарнира не изменится.
Аналогичные рассуждения можно было бы
провести для балки с упругим
защемлением (рис. 46Q).
Следовательно, предельная нагрузка не
зависит от упругости опор. Также
можно показать, что предельная
нагрузка не зависит от напряжений, свойственных статически
неопределимым системам и возникающих от различных причин, например от
действия температуры, неточного изготовления элементов системы и т. д.
§ 224. РАСЧЕТ НА РАЗЛИЧНЫЕ ПОВТОРНЫЕ И ЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ
НАГРУЗКИ
1. Повторное действие одной и той же нагрузки
Повторное действие одной и той же нагрузки на статически
определимые системы было подробно рассмотрено в главе 10. Сказанное там в
принципе справедливо и для статически неопределимых систем. Напомним
основной вывод о том, что усталость материала снижает предельную нагрузку,
определяемую по однократному ее действию.
2. Повторное действие различных чередующихся нагрузок
Расчет сооружений на повторные нагружения различными-
чередующимися нагрузками значительнр сложнее расчета их на одну повторяющуюся
нагрузку. Особенностью последовательного действия различных
чередующихся нагрузок является то, что в случаях, когда каждая из них в
отдельности при повторных действиях не вызывает возрастания деформации, их
чередование при некоторых обстоятельствах в статически неопределимых
системах может вызвать возрастание деформаций и довести сооружение
до разрушения. Иными словами, действие чередующихся нагрузок, которые
сами по себе не являются предельными, при некоторых обстоятельствах
может разрушить сооружение.
Разрушение сооружения от поочередного действия различных нагрузок
происходит вследствие возрастаний остаточных деформаций и напряжений.
Последние не являются самоуравновешенными в сечении, ка?{ в статически
определимых системах. Для того чтобы представить характер разрушения
■if
1
'if
>^
1-я нагрузка.
1
Г^з
*>?■
т
Z-я нагрузка
I
'■^
~~^Н |3°^?^^Г
т ,
После 1-й
нагрузки
1
^PS — -^
Рис. 461
47&'
сооружения при последовательно действующих нагрузках, рассмотрим
упругую балку, подвешенную на трех стержнях (рис. 461). Будем к балке
поочередно прикладывать силу Pj в среднем узле и две равные силы Р^
в крайних узлах.
Допустим, что балка при обоих нагружениях работает упруго, а
стержни поочередно переходит в пластическое состояние: средний при нагружении
силой /*1 и крайние при нагружений силами Р^.
После первого нагружения силой Р^ в среднем стержне возникает
остаточное удлинение, вследртвие чего при разгрузке в нем возникнут
остаточные напряжения сжатия, а в крайних стержнях — остаточные
напряжения растяжений. Загрузим затем систему силами Pj- Средний сжатый
стержень будет разгружаться, и средний узел опустится. Крайние стержни
вследствие текучести получат остаточные удлинения, а средний стержень
будет работать в упругой стадии.
При разгрузке в среднем стержне возникнут остаточные напряжения
растяжения, а в крайних — остаточные напряжения сжатия. Балка после
разгрузки будет иметь выпуклость вверх.
Новое нагружение силой Р^ будет разгружать крайние стержни,
вследствие чего крайние узлы будут опускаться, находясь в упругой стадии, а
средний узел будет опускаться больше, так как средний стержень
находится в состоянии текучести.
После разгрузки в среднем стержне опять возникает сжатие, а в крайних
стержнях растяжение.
Как видно, после первого цикла нагружения балка переместилась
вниз. Это перемещение будет продолжаться до тех пор, пока удлинения
стержней не станут предельными и стержни разрушатся.
При других условиях последовательное нарастание удлинения
стержней может прекратиться еще до того, как они получат предельные
значения, и тогда система станет работать, как упругая.
Для того чтобы сооружение не разрушилось под действием
чередующихся расчетных нагрузок, необходимо, чтобы деформации перестали
увеличиваться. Условие ограниченности деформаций может быть выражено
посредством следующей теоремы (Блейха): если можно найти такую эпюру
остаточных напряжений, которая в соединении с действием каждого из
возможных загружений системы дает напряжения, нигде не выходящие
за пределы текучести, то деформации системы будут ограниченными при
любом количестве загружений и при любой последовательности приложения
отдельных нагрузок 1151 .
При оценке прочнос1и сооружения при большом числе повторений
нагрузки должны быть учтены усталостные явления в материале.
Подробности изложены в [14] и [15].
ГЛАВА 22. РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
§ 225. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Расчет пространственных статически неопределимых систем
проводится на основе тех же идей, которые положены в основу расчета плоских
статически неопределимых систем. Поэтому все методы расчета плоских систем
без принципиального их изменения могут быть распространены на
пространственные системы.
Однако расчет пространственных систем значительно сложнее расчета
плоских систем. Поэтому их расчет часто подменяется расчетом плоских
систем, на которые раскладываются пространственные системы. При этом,
разумеется, вносятся некоторые погрешности в результаты расчета.
Расчет пространственных систем сложнее по двум причинам:
1) число основных неизвестных по методу сил и перемещений в
пространственных системах значительно больше, чем в плоских;
2) поскольку число различных внутренних сил в стержнях
пространственных систем больше, чем в стержнях плоских систем, то вычисление всех
величин, зависящих от деформации стержней, значительно сложнее.
Распространим основные методы расчета плоских систем, подробно
изложенные выше, на расчет пространственных систем и отметим особенности
методов для таких систем.
§ 226. РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ ПО МЕТОДУ СИЛ
Число основных неизвестных метода сил можно определять по формулам
количественных соотношений между телами и связями пространственных
систем, рассмотренным в главе 12. Однако удобнее и надежнее их
непосредственное определение при обращении заданной системы в основную. При
этом можно рекомендовать вести подсчет степени статической
неопределимости путем исключения лишних связей в свободной системе (внутренняя
неопределимость) и отбрасывания лишних опорных связей (внешняя
неопределимость). Ограничимся подсчетом статической неопределимости в
простейших случаях.
Система на рис. 462, а, снятая с опор, может быть обращена в
статически определимую разрезом любого ригеля (рис. 462, б), устраняющим шесть
связей. Следовательно, степень внутренней неопределимости системы равна
шести. Опорных связей в системе 4 • 6 = 24, из них лишних 24 — 6 = J8.
Следовательно, степень внешней неопределимости системы равна 18,
Степень полной статической неопределимости системы равна 24.
Разумеется, как и в плоских системах, при образовании основной
системы не обязательно отбрасывать все лишние внешние связи. Вместо этого
могут быть дополнительно исключены внутренние связи, кроме тех,
которые соответствуют внутренней неопределимости системы. Отбрасывание
дополнительных внешних связей взамен внутренних, как известно,
невозможно.
Система, показанная на рис. 463, отличается от рассмотренной тем, что
у нее лишних опорных связей 12 — 6 = 6. Поэтому ее степень статической
неопределимости равна 12.
Для обращения системы (рис. 464, а), снятой с опор, в систему,
статически определимую, надо провести 5 разрезов (рис. 464, б), причем
устраняется 6 • 5 = 30 связей. Лишних опорных связей 18, как и в системе
изображенной на рис. 462; степень статической неопределимости этой системы
равна 48.
16 зяк. 763 481
Рис. 464
Рис 463
Степень статической
неопределимости ферм проще всего определять
по формуле
п=С+Соп-ЗУ. B2.1)
где С — число стержней ферм; Сщ, —
число опорных связей и F — число
узлов ферм.
Канонические уравнения имеют
прежний вид:
B2.2)
Смысл коэффициентов и свободных членов тот же, что и в плоских
системах, а их величины определяются по A2.8):
— М
Ут
EJ^
tfs +
•77 ^гт . ,
Л- Qb
V'vQyh
GF
-— МуР
Myh
EJ„
^ Qyf
V'yQyh
Соответственно для ферм:
2l
B2.3)
^kP
=2^..
- N^P
EFi
B2.4)
B2.5)
B2.6)
Любая заменяющая (внутренняя) сила определяется по выражению
Sp=SiXi + S2Xs+ ... +S%, B2.7)
По этому же выражению могут быть построены и эпюры внутренних
сил. I
Проверки эпюр, получаемых после расчета, те же, что и в плоских
системах.
Если система симметрична, то симметрия системы должна быть
использована аналогично тому, как это было указано при рассмотрении плоских
систем.
482
При расчете пространственных систем, как и при расчете плоских,
обычно в целях простоты расчета пренебрегают влиянием на перемещения
внутренних сил N^, Qx и Qy. Поэтому при расчете пространственных систем
чаще всего приходится строить эпюры М^, My и М^ от каждого основного
неизвестного и от нагрузки, по которым и определяются коэффициенты
и свободные члены канонических уравнений.
Пример 66. Построить эпюры изгибающих моментов в раме (рис. 465, а), если
Основная система и грузовая эпюры показаны на рис. 465, б. Единичные эпюры
показаны на рис. 465, в, г. Коэффициенты и свободные члены определяем перемноже-
■нием эпюр:
Su=(Ati)(/Wi) =
б22=(ЛГ2)(/Й2) =
*
^1Р =
Канонические уравнения:
■откуда Хх=—Р, ^2=
lb
6-6 2 „ 1 6-6 2 1
— —6 + 6
2 3 £Узс 2 3 EJx
6-6 2 1 6-6 2 I
6 h 6
2 3 EJy 2 3 EJy
_ _ 6-6-6 216
„ "_ 6-6P 2 6
З6ОХ1 + 216Х2 —72P=0;
216Xi4-360X2 + 0 = 0,
3
-Те'-
6.6-6
+
GT
6-6-6
or
72P
"" EJ '
360
~ EJ
360
~ EJ '•
Исправленные и окончательные эпюры показаны на рис. 465, д, е, ж. Одна из
проверок:
_ 30 626 66626 12 6
§ 227. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ РАМ
НА ПРОСТРАНСТВЕННУЮ НАГРУЗКУ
ПО МЕТОДУ СИЛ
В плоской раме (рис. 466) основные неизвестные Xi, Xg и Xg, лежащие
в плоскости рамы, вызывают перемещения только в этой плоскости. Поэтому
все побочные перемещения от этихгил Х^, Xj и Хд по направлению
остальных основных неизвестных Х^, Х^ и Х^, как и взаимные их перемещения,
равны нулю.
, Следовательно, канонические уравнения для таких систем независимо
от нагрузки распадаются на две независимые группы. В одну из них будут
входить неизвестные типа Х^, Хг и Хд, а в другую — неизвестные типа
Х^4> Xj и Xg.
Если нагрузку также разложить на нагрузку, лежащую в плоскости
рамы, и нагрузку, перпендикулярную ей, то нагрузка, лежащая в
плоскости рамы, вызывает только основные неизвестные, расположенные в
плоскости рамы (Xi, Х2 и Хд), а нагрузка, перпендикулярная плоскости рамы,
вызывает неизвестные Х^, Хд и Xg.
Пример 67. Построить эпюры изгибающих и крутящих моментов в раме
Е Т
(рис. 467, в), если сечения стержней круглые, -т^ = 2,5, у = 2.
16*
483
(M2)
Рис. 465
Рис. 466
*-д;
Основная система показана иа
рис. 467, б. По условию симметрии
будем иметь одно неизвестное Xj
(изгибающий момент). Эпюры от Xj = 1
показаны на рис. 467, в, а грузовые — иа
рис. 467, г. Каноническое уравнение
иц
Xi+Aip = 0.
Коэффициент бу и свободный член
Ь.^р при Т = 2J будут:
I-3.I\. 13,5
+
+
G2J I
EJ
484
^^ л (м'р) Mx.f-^
V
Mi^0,d33P
, .. _ . -_ . , 15,75P
Д1Р=(ЖР(Ж1) ....
Следовательно:
13,5Xt — 15,75P = 0, откуда Xi = 1,167P.
Окончательные эпюры показаны на рис. 467, д.
§ 228. РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМ ПО МЕТОДУ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Каждый узел пространственной рамы может иметь шесть перемещений:
три угла поворота вокруг координатных осей и три поступательных
перемещения по их направлению. Как и в плоских системах, при тех же
предпосылках не все поступательные перемещения являются независимыми.
Число неизвестных углов поворота определяется просто: оно равно
утроенному числу Жестких узлов, которые могут независимо поворачиваться. Число
независимых поступательных перемещений определяется сложнее. Для его
определения необходимо во все узлы рамы (рис. 468, а), в^том числе и
опорные, поставить шаровые шарниры и исследовать изменяемость такой
шарнирной схемы (рис. 468, б). Число независимых перемещений равно числу
дополнительных силовых связей, которые надо ввести в шарнирную схему,
чтобы она была неизменяемой (рис. 468, в). Для рассматриваемой рамы надо
ввести четыре силовые связи.
li) ^-if
Рис. 468
4в5
I'
УТ/Т
Рис. 469
Основная система составляется
обычным образом. Только теперь момент-
ная связь будет не простой, а сложной,
одновременно препятствующей повороту
вокруг трех осей. Иными словами, она
способна создавать моментные реакции
вокруг трех осей. Основная система
рассматриваемой рамы, у которой 12
углов поворота и 4 поступательных перемещения, показана на рис. 469, а.
Некоторые эпюры от угловых и поступательных перемещений показаны
на рис. 469, б, в.
Особенностью построения эпюр от поворота узлов является то, что все
сходящиеся к одному узлу стержни деформируются. Если стержни взаимно
перпендикулярны, то одни из них при повороте узла работают на изгиб,
другие — на кручение. На изгиб работают стержни, лежащие в плоскости
изгиба, а на кручение — стержни, перпендикулярные ей. Крутящий
момент, приходящийся на единицу поворота узла, равен:
GT
Tj'
Канонические уравнения имеют обычный вид:
B2.8)
B2.9)
Смысл коэффициентов и свободных членов канонических уравнений
прежний. Из величины могут быть определены теми же приемами, которые были
изложены при рассмотрении плоских систем. В частности, удобен
статический метод их определения.
Суммарная эпюра-строится по выражению
(Жр) = (ЖгJ, + (Ж2J2+ ... +(Mf>).
Симметрия используется так же, как и в плоских системах.
486
B2.10)
Пример 68. Построить эпюры моментов по методу перемещений для рамы,
изображенной на рис. 470, о, если сечении стержней квадратные, EIG = 2,6, Т = 0,1426 а*,
J = ^ = 0,0833 а\
Рама, вообще говоря, имеет три неизвестных угла поворота, а при заданной
нагрузке — только одно основное неизвестное — угол поворота вокруг оси г. Основная
система показана на рис. 470, б. На этом же рисунке изображена грузовая эпюра. Единичные
эпюры от поворота показаны на рис. 470, в.
Крутящий момент в стержне AD
1 0,1426 а^
Из вырезания узла находим
3
/■ц = 84-4^4=16, Rip= — P.
Каноническое уравнение в числах
1бгг+^Р = 0.
откуда Zj = — -у- Р.
Ь4
Исправленная и суммарная эпюры показаны на рис. 470, г, д. На рис. 470, е
для сравнения показана эпюра взгнбающих моментов в плоской раме.
ГЛАВА 23. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СИСТЕМ
ПО ДЕФОРМИРОВАННОМУ СОСТОЯНИЮ
§ 229. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ПО ДЕФОРМИРОВАННОМУ СОСТОЯНИЮ
Как уже было выяснено ранее (см. § 1), обычно проводимый расчет
сооружений с определением внутренних сил по схеме системы в недеформиро-
ванном состоянии, т. е. без учета изменения схемы после деформации
системы, является расчетом приближенным.
Более точным расчетом является расчет сооружений по
деформированному состоянию, условно называемому ^деформационньш расчетом-».
В этом расчете внутренние силы определяются по схеме сооружения
в деформированном состоянии, которое само зависит от внутренних сил.
Поэтому, во-первых, почти все системы становятся в строгом смысле
статически неопределенными, и^ во-вторых, что самое главное, при учете
деформированного состояния сооружения линейная зависимость между
силами и перемещениями уже не соблюдается, принцип независимости
действия сил становится не применим со всеми вытекающими отсюда
осложнениями расчета. Порождаемая при этом нелинейность между силами и
перемещениями может быть условно названа «геометрической нелинейностью»
в отличие от «физической нелинейности», порождаемой отсутствием в
материале прямой пропорциональности между напряжениями и относительными
деформациями.
Особенно важно четко представить себе, что хотя обычный расчет
статически неопределимых систем по схеме недеформированного состояния
сооружения и основан на исследованиях деформированного состояния
системы, но в нем внутренние силы при вычислениях перемещений все же
определялись по схеме недеформированной системы, и не о таком учете
деформированного состояния идет речь в этой главе.
В обычном расчете не учитывается влияние продольных сил на появление
дополнительных изгибающих моментов в деформированном состоянии,
которые при определенных условиях могут играть существенную роль. Так,
например, хорошо известно, что изгибающие моменты от продольных сил
в деформированном состоянии при продольно-поперечном изгибе балок
таковы, что ими не всегда можно пренебрегать.
Результаты обычного расчета, основанного на определении внутренних
сил по недеформированному состоянию, не удовлетворяют в строгом смысле
уравнениям равновесия отсекаемых частей
системы в деформированном состоянии.
Степень достоверности обычного расчета
зависит от свойств системы и от того,
насколько далеко состояние сооружения от
критического, при котором происходит быстрое
нарастание перемещений с малым ростом
нагрузок. Это нарастание происходит прежде
всего от влияния продольных сил на
изгибающие моменты в деформированном
состоянии системы. Часто обычный расчет дает
удовлетворительную степень точности,
поэтому расчет по недеформированному состоянию
достаточно распространен. Часто, но не
всегда! Об этом надо знать и помнить.
Последнее замечание весьма существенно
для арок и висячих мостов (особенно с
воспринятым распором), и в первую очередь
пологих. В еще большей степени оно относится
Рис. 471 к расчетам сооружений по первому предель-
488
ному состоянию, в котором влияние продольных сил на появление
дополнительных изгибающих моментов значительней, чем при расчете
сооружений в упругой стадии.
Расчет сооружений по схеме систем в недеформированном состоянии
может давать погрешность в ту и другую сторону. Это видно, например, из
рассмотрения системы, изображенной на рис. 471. В первом случае при
растяжении стержней происходит уменьшение угла а, что ведет к снижению
усилий Л/ в стержнях. Во втором случае при сжатии стержней угол а
увеличивается и усилия в стержнях возрастают.
Расчет арок по схеме недеформированного состояния, особенно пологих,
дает также уменьшенные значения внутренних сил, причем в большей
степени это относится к двухшарнирным аркам, чем к бесшарнирным.
Далее будем рассматривать расчет по деформированному состоянию
только в упругой стадии.
§ 230. ТОЧНЫЙ РАСЧЕТ ПО ДЕФОРМИРОВАННОМУ СОСТОЯНИЮ
Расчет сооружений по деформированному состоянию рассмотрим на
примере некоторых простых систем.
Рассмотрим сначала систему, изображенную на рис. 472, где пунктиром
изображено деформированное состояние.
Продольная сила в стержнях:
N = P : 2 cos р. • B3.1)
Абсолютное укорочение стержней физическое по закону Гука
As = .
■ 2 cos 8 2 sin aEF
Абсолютное укорочение стержней геометрическое, как разность длин:
I I
^s =
2 sin а 2sin р
Приравнивая удлинения, получим:
Р1 Lf_J !_'\
4£f cos а cos^ 2 \ sin а sin Р /
Отсюда будем иметь
sinp = sina I I 1 —-— —-]. B3.2)
Решение уравнения удобно проводить по способу последовательных
приближений, полагая сначала в правой части Pi = °'> затем Рг = Pi и т. д.
По найденному значению угла Р определяется продольная сила в стержне
по B3.1).
Рассмотрим теперь продольно-поперечный изгиб балок и составим обш,ее
уравнение упругой линии (рис. 473, а), необходимое для дальнейших
расчетов.
Выражение изгибающего момента на первом участке
г* г' д" @) г
MB) = M @) -1-Q @) г+? @) —+?' @) — -1- ^ '^1 -J-
... +Р [У-У т\ = Мб^-{-Р [У-У т, B3.3)
где М^^" — изгибающий момент только от поперечных нагрузок.
Дифференциальное уравнение упругой линии
/и (г) м^'^+Р[у—у{Щ
^ EJ EJ
489
Или
y»+.aV=-
уИбал_ру@)
EJ
B3.4)
где а^ — Р : EJ.
Производя интегрирование этого уравнения и выражая произвольные
постоянные через начальные параметры, получим общее уравнение упругой
линии при продольно-поперечном изгибе балок на первом участке:
У1 (г) = уФ)-¥ sin аг
X (аг—sin аг)
а a^EJ
q @) / аЧ
М @) Q @)
- (I—созаг)— Л. X
9@) /
21
f- cos аг — 1
аЗ£7
@)
\ _ Я'(Ч)
) a^EJ
X
X
Дифференцируя посл^овательно, будем иметь:
м @) Q @)
y'l (z)=y'@)cosaZ'- ——-Sina2— ——• A—cosaz)—
ccEJ a cj
9@)
a''£7
^ 9'@) /a^iE» , , \
(аг-зшаг)-^^^—+cosa3_lj_
/@) / oV
aS£^ V 31
(-
-«2 +sin (xz 11
)'
B3.6)
Ml (г) = — EJy'i @) = aEJy' @) sin аг+/И @) cos аг +
Q@) o@) o'@)
+ ■ ■ ■ sinaz + —V"(l—cosazL- —r- (аг —sina2L-
a a^ a"
q"@) /a^?^ \
B3.7)
Поперечную силу будем для удобства вычислять по недеформированному
состоянию балки (рис. 473, б):
Qi(z) = Mi(z)-Py'(z} =
= Q @) +? @) z+q'@) ^ + Ч" @) -|- + " + -
B3.8)
В силу линейности дифференциального уравнения B3.4) при постоянной
продольной силе Р в отношении поперечных нагрузок справедлив
принцип независимости действия сил.
■ о;
М(о)' .
Р /^ ~у(о) уA)~
6)
Ф
\-^i^-}
/у
Рис. 172
dz
Рис. 473
М+М
490
По этому принципу уравнения у (г), у' (г), М (г) w Q [z) на следующих-'
участках могут быть записаны путем присоединения к выражениям'
B3.5) — B3.8) добавочных членов.
Если разрывы в величинах у (г), у' (г), М {z) и Q (г) имеют место при
координате z = Gj, то добавочные члены в общем виде соответственно будут:
к уравнению B3.5)
^y'(ai) ДМ (аЛ
hy(z) = ^y(ai)Jf. uaa(z—at)— ——j-[1 —cosa (г—а,-)] —
AQ (at)
— J7J-(«(z —a.) —sina(z —a.)] —
Д9(аг)[-аМг-а;)« . 1
-■^^[—11 + cos«U-ai)-lJ-
До'(аг) Га» {г —«if . 1
До"(аг) Га* B—а;)* а^г—a,)^ ,
--ЙГ[^1Г^--^^ +l-cos«B-aoj-...-; B3.9>
К уравнению B3.6)
ДМ (at)
Ay'(z) = ay'{ai) cos а (г —Oi)— —— sin а (г—аг) —
aEJ
— —^^j- [1 —cos а (г—агI — ^з^у 1^^ (г — Oj) —sin а (г — aj)] —
Ад'{at) [a^(z—aif
''{at) Га2(г —а,-)'' 1
— +cosa(z—ai) — 1 —
a (г — aj) + sin a (г — ai} —•••—.•!
Д9"(а;) Га" {г-at)»
aiEJ L 31
B3.10)
К уравнению B3.7)
ДЛ1 (z) = aEJAy'{ai) sin a (г—ai)-\-AM (щ) cosa(z—аг) +
AQ {ai) Aq (a,-)
+ sinaB —02)+ — [1—cosaB —аг)] +
Ag'iat)
+ Z—1а(г—at) —sin a (г—at)] +
Д9"(аг) Га2(г—oj)'' 1
+ ^4 I 2 +'=°^"('-°i)-' 1+-г B3-"*
к уравнению B3.8)
^Q(z)^AQ(ai) + ^q{ai)(z-al)+ -^-^^^ ^ + '^^^ ^ + ... B3.12)
Приложение полученных уравнений рассмотрено далее.
Рассмотренные здесь случаи применения точного расчета по
деформированному состоянию хотя и дают некоторое представление о
принципиальной его сущности, но не раскрывают тех сложностей, которые бывают в
большинстве случаев. Дело в том, что в рассмотренных случаях внутренние силы
деформированного состояния легко выражались через внешние силы с его
учетом.
Совсем иначе бывает в других случаях, когда взаимная зависимость
между внутренними силами и деформированным состоянием раскрывается
сложно. Такой случай будет, например, при расчете рам и арок.
Поэтому более точный расчет по деформированному состоянию и
является, как правило, расчетом сложным. Так как результаты расчета подеформи-
49>
рованному состоянию зависят от перемещении системы, т. е. от ее
жесткости, то, чем система более жестка, тем обычный расчет более точен.
Некоторые упрощения расчета по деформированному состоянию можно
получить, если применять метод последовательных приближений (см. далее).
Но все же расчет продолжает оставаться сложным.
§ 231. РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
Рассмотрим расчет неразрезных балок ступенчато переменного на
опорах сечения с различными, но постоянными в пределах каждого пролета
продольными силами по двум методам.
1. Расчет по методу сил
Основная система представлена на рис. 474. Уравнение трех моментов
«,(,_1)Мг_1+бггМг+вг(/+1)^г+1 + А/р=0. B3.13)
Действия опорных моментов на элемент основной системы — балку
на двух опорах, рассмотренные по выражениям B3.5) — B3.8),
представлены в табл. 19.
Таблица 19
Схема нагружения балки
1/'@)
f'(X]
^■•^^'^^=т(г-1^г)
А, \ sinA X J
Примечание. /i@) =/г @) =/^5@) = 1 •
Ml
iEJ
:П(^)
ГзМ =
8tgl
('^T-D
tgk—X
Согласно этой таблице получаем:
h
"-т-и- (,Ej.
п ад;
Sii = :Sr It C^i) + о!'Г й (^г+i);
А/г.,
3EJi
б..
3EJi+i
Pi
ai
li
Hitf
i+t-
^ilf
Mv
B3.14)
B3.15)
B3.16)
492
Рис. 474
OLI
^^,
w> ^,
0
-^^^^^-^
y'@)
t
РйС. 475
M.
h
-^
Рис. 476
M„
-4
Рис. 477
_^-
Рис. 478
Ir,.
%
Теперь уравнение трех моментов будет:
к j: П (h) Mi.i+2 \li j7 К (^.i)+ h+i
Ji
i+i
•X
x/i('^m)lMi+
i+l-'o
Ji
+1
П (Wi)Mm + 6e^AiP=o,
B3.17)
где Jo — момент инерции, принятый за основной.
Если неразрезная балка на одном или обоих концах имеет
защемления (рис. 475, а), то для простоты расчета удобно принять в качестве
основной системы статически неопределимую (рис. 475, б).
Это потребует предварительного исследования балки (рис. 476) на
опорный момент М на левой опоре, из которого будем иметь
B3.18)
У'Ф)-=^1'Л^).
где
И W =
4 B — 2 cosX—IsinI)
8tgX,
/А, Х\
X, (sin X,—А, COS А,) k(igX — 'K)
При наличии левого защемления (рис. 477)
B3.19)
■fU^i)-
П С^г).
" 4£7i ""• " • 3EJ2
Соответственно первое уравнение трех моментов вместо B3.17) будет
А i^ i± f. (Х^) + 21Л i; (X,)] Mi + tAn (Ч) /Из+беЛ Д, p = 0, B3.20)
4 Jj ' Ji J Ji
Аналогично при наличии правого защемления (рис. 478)
бил =
^" -/i(?^п)-И .Ь?'^ k'AK+i)-
■SEJn ' ^ ' "' 4EJn+i
Последнее уравнение трех моментов в отличие от B3.17)
J-^n (Х„)Л1„_1+[2/„ ''ftl (М +^^±i^ П (Wi)! М„ + 6£У„Д„р = 0. B3.21)
Jji i Jn *'n+l J
Для определения грузового перемещения А,7> надо рассмотреть два
соседних пролета (рис. 479) и определить в пролете /,- угол поворота Р^ на правой
опоре основной системы, а в пролете h+i — угол поворота a^+i на левой
опоре, положительные направления которых указаны на рис. 479. Поскольку
эти углы могут определяться по уравнениям метода начальных параметров
493
ai
Г -.ь^гЧ
Pi,r
_ Lhx.^ j •
Рис. 479
Pi
ii
Рис. 480
Рис. 481
B3.5) — B3.12), в которые обязательно войдет начальный параметр у' @)
в качестве неизвестной, то в этом случае можно рекомендовать пролет 1^
повернуть, как это показано на рис. 480.
Рассмотрим два частных случая нагружения балок основной системы.
1. Балка с сосредоточенной силой (рис. 481).
По выражениям B3.5) — B3.8) и B3.9) — B3.12)
У'Щ PU—a)
у (г) = sin аг — г—;— (аг — sin аг)
4-
a^EJ
[а B — а) — sin а (г—а)]
B3.22>
Граничное условие на правом конце Ьри z = I
у'@) , РA—а)
4-
а
Р
a^EJ
la^EJ
[а (/ — а) — sin а (/—-)] = 0.
Отсюда получаем:
Pi^ [sin а {I—а) 1—а 1
где 'k = al=l\/ ~: 1 Л'—продольная сила. '
Заменой в B3.23) (/ — а) на а и изменением знака получим
Pt^ /sin сш а \
уравнение упругой линии B3.22)
Р1^ sin а « — а) Я (/—а) ,
У (г) = -TTzr, Т-. sin аг — —..„„.■ 14
X'^EJ
siaX,
РР
IX^EJ
I
+ ~jj^ l'^ (г—a) —sin a (г—a)]
B3.23>
B3.24>
B3.25>
494
Если сила Р приложена посередине пролета, то
(sin — \
2 1 \
—^--j. B3.26,
Уравнение упругой линии на первом участке при O^z ^ -g- по B3.25)
будет
PI» J рр
^ <^)= Т^ Г ^'" °'^- ^^'- <23-27)
2 cosy
Уравнение изгибающих моментов по B3.7) на первом участке
Р1 sin аг
Л1(г)=— -. B3.28)
cosy
Соответственно прогиб и изгибающий момент под грузом:
2. Балка с равномерной нагрузкой по всему
пролету (рис. 482)
J, (г)= ^р sin аг- ^^^5^ (az-sin аг) +
q ( а?г^ , \
B3.31)
Граничное условие на правом конце баЛки
«'@) qi
У@= —^ Sinai- ^^^5^ («г-sin«о +
Отсюда
qP \ ( ^ % К\
Уравнение упругой линии по B3.31)
q(* f ^ 1 \ q2(.l — z)
Прогиб посередине пролета
I I \ q(* / I %^ \
\cos — /
Изгибающие моменты по B3.7)
ql q
+ — sin аг — —- A —cos аг).
^ 2a «2
• 4S3
м
«if :
н
/^77
i
Рис. 482
После упрощений
Рис. 483
Л1 (г) = — I tg — sin аг — 1+ cos аг I
Изгибающий момент . посередине пролета
М
V 2 j ЯМ %
\cos —-
B3.35)
B3.36)
3. Балка с моментом на правом конце (рис. 483).
Изгибающие моменты
М {г) = М sin
K^f)
: sin \.
B3.37)
По этому уравнению составлена при некоторых значениях X табл. 20
изгибающих моментов М {z) от опорного момента М = 1. Отметим, что все
выражения при X = я и N = Ng равны бесконечности.
Таблица 20
i.
0
0,50
1,00
1,50
2,00
. 2,50
3,00
г=0
0
0
0
0
0
0
0
2 =
1
0,25
0,26004
0,29401
0,36719
0,52725
0,97766
4,83022
sin \)i, — j : sin X
1
2
0,50
0,51-603
0,56975
0,68336
0,92540
1,58568
7,06838
г=±;
i
0,75
0,76397
0,81006
0,90454
1,09699
1,59422-
5,51353
z = l
1,00
1.00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
Пример 69. Построить эпюры изгибающих моментов в график изменения
опорного момента в неразрезной балке (рис. 484) при некоторых значениях Jij = а^/^.
«1
УШ' "^=1/ tS"=°'''
Уравнение трех моментов для нашего случая по B3.17)
2[-^ П (h)+ -^ П (^) 1 M,+6£^Л,^, = 0.
9 1^=^^
Отсюда
Ali= —
3£Д
IP
V
(a)
F)
Рис. 484
Для определения Ajp рассмотрим
основную систему под заданной иа-
грузко!! (рис. 485).
496
Рис. 485
' 3,9 375II
R-^t
9m
2,S31ZSq,
Рис. 486
По формулам B3.26) и B3.32) получим
(в>
Подставляя (в) в (б), будем иметь
Построим эпюры изрибающия моментов при некоторЫ!Х значения!Х Jijs
1) Xi = 0. В этом случае выражение (р) дает неопределенность, раскрывая которую,
будем иметь УИ = — 3,9375 q, ?то, соответствует неразрезной балке без продольных
нагрузок (рис. 486);
2) Х,1=1,00; %2=\,Ьй. По формуле (») получаем
i=-[-l^(tg0'5-0.5) + ^ (a^SiW - Т)].'<*'^37 + 1.1915)=--4 1501 9.
/И
Эпюра моментов от единичного опорноро момента, построенная по табл. 20, дана н»
рис. 487, а, а от полного момента /И( = — 4,15010 q — на рис. 487, 6.
Уравнение изгибающих моментов в первом пролете основной системы от равно-
мерной нагрузки записываем по B3.35)'.
/И (г) = 9 • 6* (tg 0,5 sin аг — 1 + cos аг).
По этому уравнению построена эпюра на рис. 488, а.
А,'1
>2Ч5
Рис. 487
497
Рис. 488
Уравнение изгибающих моментов во итором
^.3f пролете основной системы по B3.28)
/И(г) =
2?-9
sin аг : 0,75 cos 0,75.
Рис. 489
Эпюра моментов по этому уравнению дана
на том же рисунке.
Полная эпюра изгибающих моментов
изображена на рис. 488, б. Аналогично были
построены эпюры моментов при %^ = 2,00 и ^ =
= 2,30. При li = 2.355 fi B,355)-Ь/5: C.5325)=0*
и /И = —оо. Это значит, что при ^ = 2,355
продольные силы равны критическим. График
зависимости Ml от %^ дан на рис. 489.
2. Расчет по методу перемещений
Основная система обычная (рис. 490)." Каноническое уравнение трех
углов поворота будет
Гщ-г) ^i-i+niZi + rni_^t^ Zi^i + Rip = 0.
B3.38)
Данные о единичных реакциях г^т содержатся в табл. 21.
Функции Р-* (К) в этой таблице имеют вид:
1x1 (Х):
1,Ц%)-.
к (sin X, —Jtcos?0
tg %—%
4B—2cosX,—X,sin^) StgA, x, \
X,(^—sinX)
X X — sin A,
'2B—2 cos A,—?i, sin A,) "~4sinX, }, X^
^2 2
B3.39)
B3.40)
III {k) =
'{1 —cosX,)
6B—2 cos Jt—Xsin Jt)
12
tg— —
^2 2
Г'
Я,»
\il(X)^lil(X)-. — =^
X.8
/ X
-i)
B3,41)
B3.42)
* Числовые значения функции fl (X)—fl{X), a также функций {ij(^), —Ц^Х,)
(см. стр. 503), но при других обозначениях содержатся в работе [6].
498
Zi-
L-1
Г !: \
Pl*1
2i + /
^i-l Л - il
11*1
1Ы2_
Рис. 490
ЦИ^)
X,2 sin %
3(sinJi, —ЛсозЛ) ~3(tgA, —X,)
; B3.43)
^ ,<
B3.44)
'
-
t/2
'
Z
Ь P
V
Рис. 491
Для определения грузовых реакций
/?)?^ надо рассмотреть элементы
основной системы с конкретно заданной нагрузкой и применит, выражения
B3.5) — B3.12). Так, например, если на сжимаемой балке, защемленной
двумя концами, расположена сила посередине пролета (рис. 491), то
решение будет таким.
Таблица 21
^•^
<= ; "k^U; ai = N:EJ
Вид смещения
М 0) = М
аЪ
мщ^м^^
О@) = 0@
^Щ (?1)
2IM-2 0^)
6(
1д/&) ■ ^^^^
2in5 (Jt)
4(>I (X,)
6(
6'
6'
Зг>; (X,)
л/ ^^Гй;
аA)\
-т^^-'^"^
Но B3.6)
/М@) /? „
у'(г)= — —Г7~ sm аг— ^ттт^тт A—cosaz).
12г
ixH'^)
3'
^^liX)
aEJ ■' 2а2ЕУ
Граничное условие для симметрично нагруженной балки
'iih
М{0) . 2l _ ^
aEJ ^'" 2 2а2£У
(.-С.А),
= 0.
499
Отсюда получаем
Уравнение изгибающих моментов на первом участке по B3.7)
/И (г)= — — г— cos аг + —- sin аг. B3.46)
2 Josiny 2«
Отметим, что при Р = Pi,p = —j^—, тогда А, = а/ = 2я, М @) и М (г)
■становятся равными бесконечности.
§ 232. РАСЧЕТ ПО ДЕФОРМИРОВАННОМУ СОСТОЯНИЮ
СПОСОБОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Способ последовательных приближений расчета систем по
деформированному состоянию может применяться в различных вариантах.
Первый вариант: I) Проводится обычный расчет по недеформированному
состоянию, находятся внутренние силы М, Л^ и Q и определяется
деформированное состояние первого приближения.
2) По деформированному состоянию первого приближения находятся
новые внутренние силы первого приближения Mi, N^ и Qi и вычисляются
их приращения: AMi = Mi — М, AN^ = N^ — Л^ и AQ^ = Qi — Q.
3) Проводится новый расчет полученной деформированной системы на
приращение внутренних сил AMi, AN-^ и AQj, определяются
дополнительные перемещения к ранее найденным и устанавливается деформированное
состояние второго приближения.
4) По деформированному состоянию второго приближения находятся
внутренние силы второго приближения М^, N^n Q^k вычисляются
приращения: ДМг = Ма — Ml, АЛ^2 = Л^2 — Л^! и AQ^ = Qa — Qi-
Далее операция повторяется с третьего пункта.
Второй вариант. Первые два пункта сохраняются.
3) Проводится новый расчет недеформированной системы на
приращения внутренних сил ДМц AN^ и ADj., определяются дополнительные
перемещения к ранее найденным и устанавливается деформированное состояние
второго приближения.
4) По деформированному состоянию второго приближения находятся
внутренние силы второго приближения Мз, Жг и Qa и вычисляются
приращения: ДМг, ДЛ'а и AQz.
Операция повторяется с третьего пункта.
Третий вариант. Первые два пункта сохраняются и здесь.
3) Проводится новый расчет недеформированной системы при
внутренних силах первого приближения и определяется деформированное
состояние второго приближения.
4) По деформированному состоянию второго приближения находятся
Ма, Л^2 и Q2 второго приближения, а затем операция повторяется с третьего
пункта.
Второй и третий варианты более просты, чем первый, а потому
заслуживают внимания. Но от первого варианта надо ожидать более быстрой
сходимости процесса приближений.
Заметим, что сходимость процесса приближений зависит от того, как
далека система от своего критического состояния.
Покажем применение способа последовательных приближений на
некоторых простых системах. Рассмотрр^м сначада балку в условиях продольно-
поперечного изгиба (рис. 492, а). Прогиб первого приближения для нее
д = 2р7 (рис. 492, б). При учете деформированного состояния в балке
500
появляются дополнительные изгибающие моменты от продольной силы
Ру^.{г),г от дополнительных моментов появляются дополнительные прогибы
Ayi(z). Их можно, например, определить по графоаналитическому методу
(рис. 492, в). При дополнительных прогибах появляются новые дополнн-
■ тельные моменты РАу^ (z), а от них снова дополнительные прогибы Ау^ (z)
(рис. 492, г) и т. д.
Полный прогиб и изгибающий момент посередине балки равны:
M = ^+Ph+PAfi+PAh + ....
Изложенный здесь ход последовательных приближений соответствует
второму варианту.
Аналогично проводится и расчет статически неопределимых балок
(см. рис. 491) с той только разницей, что перед определением Af-^ надо
раскрыть статическую неопределимость балки от действия на нее неучтенных
ранее дополнительных моментов РАу^ (z).
Покажем теперь, что если продольная сила Р равна критической, то
процесс последовательных приближений не будет сходящимся и прогиб
балки будет беспредельно возрастать (рис. 493, а) независимо от типа и
значения поперечной нагрузки. Нагрузка для простоты доказательства выбрана
синусоидальной (рис. 493, б), потому что эпюры изгибающих моментов
и прогибов изображаются также синусоидами:
g{z) = gs\n —;
Р пг
/И (г) = —- (? sin — ;
п' I
Первый прогиб без учета продольной силы
будет /i = J^lJ- Упругая нагрузка от
изгибающих моментов, вызванных
продольной силой, показана на рис. 493, в.
Изгибающий момент от нее посередине балки,
т. е. дополнительный прогиб там Afi =
= ql'^ : Ti^EJ = fi. Значит прогиб будет
неограниченно возрастать.
Теперь рассмотрим систему, ранее
решенную точным методом (рис. 494).
Определим деформированное состояние
первого приближения. Пусть оно определяется
углом Р > а. Продольные силы в
стержнях по недеформированному состоянию
Л^ = Р : 2 cos а.
</B) =
й>
/"
K^EJ
q sin
4>
— ^ I
-^'
Рис. 492
B)if^->E3
Рис. 493
Рис. 494
501
Абсолютные укорочения стержней:
а) физическое по закону Гука
As = (Р : 2 cos а) {I : 2EF sin а);
б) геометрическое как разность длин
As = (/ : 2sina) —(г : 2sinP).
Приравнивая их между собой, получим
sin 6 = sin а : A — 1. (а)
Продольные силы в стержнях по первому приближению N^ = Р :2 cos^.
Применим третий вариант решения. Произведем новый расчет недеформи-
рованной системы на продольные силы в стержнях первого приближения.
Пусть деформированное состояние определяется углом р^ > р. Укорочение
стержней физическое
As = (Р : 2 COS Р) (I I 2EF cos а).
Укорочение геометрическое
As = (« : 2sina) —(/ : 2sinPi).
Приравнивая их, будем иметь
sin 6i= sin а : I 1 — I .
^ V 2ЕР cos р)
(б>
Продольные силы в стержнях по второму приближению N^ = Р : cos ^i.
Далее операция повторяется. Она совпадает с решением уравнения B3.2)
способом последовательных приближений.
Аналогично метод последовательных приближений применяется и к
расчету других систем. Он может быть применен и для расчетов по предельным
состояниям.
§ 233. РАСЧЕТ РАМ ПО ДЕФОРМИРОВАННОМУ СОСТОЯНИЮ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ
Расчет рам по деформированному состоянию последовательными
приближениями удобно проводить методом перемещений. Основная система
и канонические уравнения обычные. Расчет проводится в таком порядке:
1) производится обычный расчет по методу перемещений без учета
продольных сил и определяются продольные силы первого приближения;
2) выполняется новый расчет рамы по методу перемещений с учетом
найденных продольных сил первого приближения, по которому находятся
силы второго приближения. Далее операция повторяется.
Данные для вычисления коэффициентов канонических уравнений, если
стержни сжаты, можно получить из табл. 21.
Если стержни растянуты, то во всех выражениях надо произвести замены
по таким равенствам:
^РУ—1 = Рг; sinjp=ishP;
Созф = сЬР; P=V'VpacT : £•/•
502
§ 234. ЗАМЕЧАНИЯ К РАСЧЕТУ ПО ДЕФОРМИРОВАННОМУ СОСТОЯНИЮ
Здесь, как и по всей книге, не рассматривались вопросы устойчивости
деформированного состояния системы.' Однако можно отметить, что если
расчет прочности системы проведен в упругой стадии по деформированному
состоянию на расчетную нагрузку (нормативную, умноженную на
коэффициент перегрузки « >■ I), то часто, за исключением некоторых
сомнительных случаев, устойчивость в плоскости действия сил будет обеспечена. К
таким сомнительным случаям можно, например, отнести симметричные
системы с симметричной или кососимметричной нагрузкой, системы с нагруз*
ками, при которых все или часть угловых и линейных перемещений узлов
системы равны нулю, и др. Такие сомнительные случаи подлежат
специальному обследованию на устойчивость.
список ЛИТЕРАТУРЫ
1. Киселев В. А. Строительная механика. М., Стройиздат, 1967.
2. Строительная механика, терминология. АН СССР и Госстрой СССР. Вып. 82
«Наука», 1970.
3. Смирнов А. Ф., Александров А. В., Шапешииков Н. Н., Лащеииков Б. Я.
Расчет сооружений с применением вычислительных машин. М., Стройиздат, 1964.
4. Масленников А. М. Расчет статически неопределимых систем в матричной
формулировке. ЛИСИ, 1964.
5. Филин А. П. Матричная форма методов строительной механики (четыре
выпуска). ЛИИЖТ, 1965.
6. Смирнов А. Ф. Таблицы функций дли расчета стержневых систем на
устойчивость и колебания. МИИТ. М., 1965.
7. Киселев В. А. Решение уравнений статически неопределимых систем
сокращенным способом Гаусса [М], I1932J, 55 с. (Московский институт инженеров водного
хозяйства) [литограф, нздан.].
8. Каменцев П. Я. и Дучинский Б. Н. Бесшарнирные арочные мосты. Расчет по
методу Штрасснера н данные для проектирования. М., Транспечать, 1928, 188 с.
9. Завриев К- С. Расчет арочных мостов. М., Трансжелдориздат, 1956, 116 с.
10. Киселев В. А. Расчет двухшарнирных арок с очертанием по веревочной
кривой. Труды Московского автомобильно-дорожного института, вып. 20, 1957, с. 21—94.
11. Именитов М. С. Расчет рам железобетонных мостов с учетом влияния вут
ригеля и жестких участков стоек. М., Трансжелдориздах, 1934, 234 с. (НКПС—Цу-
строй. Проектная контора Моспроекттранс).
12. Перельштейн Н. Л. Приближенные методы расчета рам. «Справочник
инженера-проектировщика промсооружений». Том 2. Расчетно-теоретический. М.—Л., Гос-
стройиздат, 1934, с. 546—589 (Промстройпроект).
13. Рабинович И. М. Механический расчет сооружений. «Справочник инженера-
проектировщика промсооружений». Том 2. Расчетно-теоретический. М.—Л., Госстрой-
издат, 1934, с. 589—602 (Промстройпроект).
14. Рабинович И. М. Курс строительной механики. Часть 2. Статически
неопределимые системы. М., Госстройиздат, 1954, 544 с.
15. Ржаницын А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств
материалов. Изд. 2, М., Госстройиздат, 1954, 287 с.
16. Строительные нормы и правила, часть П, раздел А, глава 10. Строительные
конструкции и основания (основные положения проектирования). М., Стройиздат,
1972.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1
Введение
Стр.
§ 1. Предмет строительной механики ....» 4
§ 2. Понятие о методах расчета сооружений 7
§ 3. Нагрузки , . . 10
§ 4. Расчетная схема сооружения И
§ 5. Неизменяемые, изменяемые и мгновенно изменяемые системы .... 13
§ 6. Статически определимые и статически неопределимые системы .... 15
§ 7. Принцип независимости действия внешних сил 17
Глава 2
Образование и свойства плоских систем
§ 8. Степень свободы и изменяемости систем • . , . 20
§ 9. Связи и простые системы 20
§ 10. Прикрепление систем к земле 24
§ И. Связи необходимые, лишние и ложные 25
§ 12. Реакции связей от нагрузки 26
§ 13. Реакции связей почти мгновенно изменяемых систем . ., 28
§ 14. Количественные соотношения между дисками и связями 28
§ 15. Кинематический анализ систем 30
§ 16. Классификация плоских систем 32
§ 17. Некоторые свойства составных систем 34
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Г л а в а 3
Основные методы расчета плоских статически определимых неизменяемых
систем при неподвижной нагрузке
§ 18. Общие соображения . 36
§ 19. Статический метод определения реакций связей 36
§ 20. Метод замены связей 40
§ 21. Кинематический метод определения реакций связей 42
§ 22. Изгибающие моменты, продольные и поперечные силы в сечении стержня 47
Глава 4
Признаки изменяемости плоских сложных систем с достаточным числом связей
§ 23. Статические признаки изменяемости 48
§ 24. Признак изменяемости по методу замены связей 50
§ 25. Кинематические признаки изменяемости 52
Глава 5
Основные методы расчета плоских статически определимых систем при
подвижной нагрузке
§ 26. Понятие о подвижной нагрузке ....,.,,,. 54
§ 27. Методы определения расчетного положения подвижной нагрузки .... 56
§ 28. О форме линий влияния ^ 59
§ 29. Статический метод построения линий влияния 59
§ 30. Построение линий влияния по методу замены связей 61
§ 31. Кинематический метод построения линий влияния . 63
505
Стр.
§ 32. Линии влияния при узловой передаче нагрузки 68
§ 33. Функции влияния и их первые частные производные 69
§ 34. Определение исследуемых величин от нагрузок разл^1чных видов по
линиям влияния 70
§ 35. Свойство прямого участка линии влияния 71
§ 36. Построение графика изменения изучаемой величины с использованием
линии влияния 71
§ 37. Определение расчетного положения подвижной нагрузки по некоторым
непрерывным линиям влияний 73
§ 38. Определение расчетного положения подвижной нагрузки по некоторым
разрывным линиям влияния ..... 7&
§ 39. Определение расчетного положения равномерно распределенной
подвижной нагрузки по любым однозначным линиям влияния .,.,... 80
§ 40. Понятие об эквивалентной нагрузке . . , 81
§ 41. Матрицы влияния 82
Глава 6
Расчет статически определимых балок и плоских рам
§ 42. Типы балок 84
§ 43. Статический метод построения линий влияния опорных реакций,
изгибающих моментов и поперечных сил в простйх и консольных балках .... 85
§ 44. Кинематический метод построения линий влияния опорных реакций,
изгибающих моментов и поперечных сил в простых и консольных балках 87
§ 45. Огибающие эпюры изгибающих моментов и поперечных сил в простой
балке от подвижной нагрузки 89
§ 46. Огибающие эпюры изгибающих моментов и поперечных сил в двухконсоль-
ной балке от подвижной нагрузки 97
§ 47. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил в шарнирных балках . . 98
§ 48. Статический метод построения линий влияния опорных реакций,
изгибающих моментов и поперечных сил в шарнирных балках 99
§ 49. Кинематический метод построения линий влияния опорных реакций,
изгибающих моментов и поперечных сил в шарнирных балках 100
§ 50. Расчет рам ' 101
§ 51. Матрица влияния изгибающих моментов 103
Глава 7
Расчет статически определимых балочных шарнирных ферм
§ 52. Типы балочных ферм 104
§ 53. Статический метод определения продольных сил (усилий) в стержнях
ферм от неподвижной нагрузки 104
§ 54. Некоторые правила, вытекающие из равновесия узлов 109
§ 55. Статический метод определения продольных сил в стержнях ферм со
сложными элементами от неподвижной нагрузки . . ' 109
§ 56. Определение продольных сил в стержнях ферм от неподвижной нагрузки
по методу замены связей ....111
§ 57. Анализ продольных сил в стержнях некоторых простых балочных ферм
при вертикальной нагрузке 113
§ 58. Статический метод построения линий влияния опорных реакций и
продольных сил в стержнях балочных ферм с простой решеткой . . . . . .117
§ 59. Построение линий влияния опорных реакций и продольных сил в
стержнях ферм по методу замены связей 122
§ 60. Кинематический метод построения линий влияния опорных реакций и
продольных сил в. стержнях ферм 124
$ 61. Понятие о шпренгельных фермах 127
505 .
Стр.
§ 62. Статический метод построения линий влияния продольных сил в
стержнях шпренгельных ферм ' 129
§ 63. Построение линий влияния опорных реакций и продольных сил в
стержнях двух опорных ферм с распором , 136
Глава 8
Расчет трехшарнирных систем
§ 64. Типы трехшарнирных систем ' 137
§ 65. Аналитический расчет трехшарнирных систем на неподвижную нагрузку
по статическому методу 138
§ 66. Графический расчет трехшарнирных систем иа неподвижную нагрузку
по статическому методу 139
§ 67. Многоугольник и кривая давлений в арке , 142
§ 68. Рациональная ось трехшарнирной арки 143
§ 69. Рациональная ось трехшарнирной арки при вертикальной нагрузке, не
зависящей от ее очертания ; ' 144
§ 70. Рациональная ось трехшарнирной арки при вертикальной нагрузке
зависящей от ее очертания . , . .' 145
§ 71. Определение рациональной оси трехшарнирной арки по способу
последовательных приближений 148
§ 72. Рациональная ось трехшарнирной арки при радиальной нагрузке . . . 149
§ 73. Статический метод построения линий влияния опорных реакций в
трехшарнирной арке 149
§ 74. Статический метод построения линий влияния изгибающих моментов,
продольных и поперечных сил в трехшарнирной арке 150
§ 75. Кинематический метод построения линий вляяния изгибающих моментов,
продольных и поперечных сил в трехшарнирной арке 151
§ 76. Линии влияния краевых напряжений и ядровых моментов 154
§ 77. Статический метод построения линий влияния продольных сил в стержнях
арочных ферм 156
§ 78. Кинематический метод построения линий влияния продольных сил в
стержнях арочных ферм 160
§ 79. Линии влияния опорных реакций и заменяющих (внутренних) сил в арках
и арочных фермах с консолями 161
§ 80. Линии влияния опорных реакций и заменяющих (внутренних) сил в
висячих системах 162
§ 81. Расчет вантовых ферм ,., 163
Глава 9
Расчет плоских статически определимых комбинированных систем
§ 82. Комбинированные системы 167
§ 83. Линии влияния опорных реакций и заменяющих (внутренних) сил в
висячих комбинированных системах 168
§ 84. Линии влияния опорных реакций и заменяющих (внутренних) сил
в арочных комбинированных системах 172
Глава 10
Предельные нагрузки плоских статически определимых систем
§ 85. Предельные внутренние силы в сечении стержня 174
§ 86. Уравнения для предельных заменяющих (внутренних) сил в сечении . . 175
§ 87. Предельные состояния систем по несущей способности 180
§ 88. Предельные нагрузки для балок 181
§ 89. Предельные нагрузки для рам и арок 184
§ 90. Предельные нагрузки для ферм 186
§ 91. Остаточные деформации и напряжения после разгрузки в системах из
пластичных материалов 186
§ 92. Предельные нагрузки при многократном их приложении 189
507
Стр.
Глава 11
Перемещения плоских стержневых систем
§ 93. Основные понятия , Г91
§ 94. Работа внешних и внутренних сил 192
§ 95. Обобщенное выражение работы '. 192
§ 96. Действительная работа внешних и внутренних сил 193
§ 97. Возможная работа внешних и внутренних сил 198
§ 98. Приложение принципа возможных перемещений и упругим стержневым
системам 200
§ 99. Общая формула возможной работы 201
§ 100. Теория взаимности 202
§ 101. Понятие о матрице податливости и матрице жесткости 205
§ 102. Общая формула перемещений 207
§ 103. Вычисление интегралов в формуле перемещений, когда одна из
подынтегральных функций линейная 212
§ 104. Приближенное вычисление интегралов, входящих в формулу перемещений 214
§ 105. Матричная формула вычисления перемещений 215
§ 106. Определение перемещений через потенциальную энергию 219
§ 107. Использование симметрии системы . 221
§ 108. Линии влияния перемещений 223
§ 109. Построение узловой эпюры перемещений как эпюры изгибающих
моментов от условной нагрузки 223
§ 110. Матрица упругих грузов и ее применение 230
§ 111. Понятие об определении перемещений в упругопластической стадии . . 236
Глава 12
Образование и расчет пространственных систем
§ 112. Связи, простейшие соединения и прикрепление систем к земле . . . 238
§ 113. Соотношения между числом тел и связей , 241
§ 114. Пространственные шарнирные фермы 242
§ 115. Определение опорных реакций 243
§ 116. Определение реакций связей при неподвижной нагрузке 245
§ 117. Расчет пространственных ферм разложением их на плоские 246
§ 118. Мгновенная изменяемость пространственных систем 246
§ 119. Перемещения пространственных систем ' 247
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Г л а в а 13
Статически неопределимые системы и основные методы их расчета
§ 120. Статически неопределимые системы 248
§ 121. Понятие об основных методах расчета статически неопределимых систем 250
Глава 14
Общая теория метода сил и расчет плоских статически неопределимых рам
§ 122. Степень статической неопределимости 254
"§ 123. Канонические уравнения при расчете на неподвижную нагрузку . . . 255
§ 124. Заменяющие (внутренние) силы от нагрузки в статически неопределимых
системах и построение их эпюр 258
§ 125. Об основной системе метода сил 262
§ 126. Построение эпюр поперечных и продольных сил 264
§ 127. Канонические уравнения при расчете на действие температуры н
смещение опор 265
§ 128. Перемещейия в статически неопределимых системах 266
§ 129. Проверка расчета 268
§ 130. Некоторые упрощения в методе сил 270
508
Стр..
§ 131. Исходные значения моментов инерции и площадей сечений 279
§ 132. Принцип наяменьшей работы 280
§ 133. Вывод канонических уравнений из теоремы взаимности работ: .... 282
§ 134. Специальные приемы решения канонических уравнений 283^
§ 135. Понятие об ортогональных эпюрах 293
§ 136. Групповые неизвестные и эпюры 295
§ 137. Упрощения при расчете симметричных систем 297
§ 138. Статический метод построения линий влияния 301
§ 139. Кинематический метод построения линий влияния 304
§ 140. Расчет сложных рам 306
§ 141. Расчет рам на несколько временных нагрузок 307
§ 142. Заключительные замечания по расчету рам 308-
Глава 15
Расчет иеразрезиых балок по методу сил
§ 143. Общие сведения 309
§ 144. Основная система 309
§ 145. Уравнения трех моментов 310
§ 146. Особенности применения уравнения трех моментов 311
§ 147. Выражения изгибающего момента и поперечной силы в пролете балки 314
§ 148. Метод моментных фокусов 315
§ 149. Расчет неразрезных балок на упругих опорах . . , 321
§ 150. Расчетные огибающие эпюры изгибающих моментов 322
§ 151. Статический метод построения линий влияния опорных моментов . . . 323
§ 152. Использование симметрии в статическом методе построения линий
влияния опорных моментов . 331
§ 153. Кинематический метод построения линий влияния опорных моментов 334
§ 154. Линии влиния М и Q в пролете 337
§ 155. Линии влияния опорных реакций 33&
§ 156. Расчет неразрезных балок переменного сечения 338-
§ 157. Формы линий влияния М, Q я R и расчетные положения равномерно
распределенной нагрузки ....... 351
Глава 16
Расчет плоских статически неопределимых шарнирных ферм и комбинированных
систем по методу сил
§ 158. Степень статической неопределимости и основная система ■. 352
§ 159. Канонические уравнения 352-
§ 160. Влияние площади сечения лишнего стержня на продольные силы и
напряжения 353
§ 161. Ферма равного сопротивления 35S
§ 162. Две формы расчета статически неопределимых ферм 356
§ 163. Метод напряжений 357
§ 164. Возможные значения основного неизвестного в однажды статически
неопределимой ферме 358
§ 165. Теоретический объем фермы 360
§ 166. Напряжение от действия температуры, смешения опор и натяжений
стержней неправильной длины 361
§ 167. Линии влияния продольных сил 362
§ 168. Приближенный расчет комбинированных систем 363
Глава 17
Расчет статически неопределимых арок по методу сил
§ 169. Классификация и формы арок 365
§ 170. Замечание к расчету арок 366
§ 171. Основные системы для бесшарнирных арок 367
§ 172. Расчет бесшарнирных арок на неподвижную нагрузку 368
/
509
Стр.
■§173. Расчет бесшарнирных арок на действие температуры .«...*< . 371
§ 174. Расчет бесшарнирных арок на смещение опор , . 372
§ 175. Расчет бесшарнирных арок с осью по кривой давления в трехшарнирной
арке 373
§ 176. О безмоментной бесшарнирной арке - 374
§ 177. Регулирование напряжений в бесшар^ирных арках ......... 374
§ 178. Расчет бесшарнирных арок на упругих опорах 376
•§ 179. Линии влияния основных неизвестных, изгибающих моментов,
продольных и поперечных сил в бесшарнирной арке 378
§ 180. Графоаналитический метод построения линий влияния основных
неизвестных в бесшарнирной арке 382
§ 181. Линии влияния основных неизвестных для бесшарнирных арок
специального очертания , 384
■§ 182. 1'1онятие о расчете мостовых арок с надарочным строением 389
§ 183. Расчет двухшарнирных арок на неподвижную нагрузку 391
J§ 184. Расчет двухшарнирных'арок на действие температуры и смещение опор 392
■§ 185. Линии влияния распора, изгибающих моментов, продольных и
поперечных сил в двухшарнирной арке ., 392
§ 186. Графоаналитический метод построения линий влияния распора
в.двухшарнирной арке 394
•§ 187. Расчет двухшарнирных арок с осью по кривой давления в трехшарнирной
г»рке 394
■§ 188. Расчет круговых колец 395
V
Глава 18
Расчет плоских статически неопределимых систем по методу перемещений
§ 189. Степень кинематической неопределимости 398
^ 190. Канонические уравнения при расчете на неподвижную нагрузку , . , 399
§ 191. Эпюры изгибающих моментов в элементах основной системы с полным
числом связей 400
§ 192. Определение относительных перемещений концов стержней при
поступательных перемещениях узлов 403
§ 193. Коэффициенты и Свободные qfleHH канонических уравнений 404
■§ 194. Статический способ определения коэффициентов и свободных членов
канонических уравнений 407
•§ 195. Замечания к определению коэффициентов и свободных членов
канонических уравнений . 410
•§ 196. Построение и проверка эпюры изгибающих моментов от нагрузки . . .411
§ 197. Учет вутов 413
§ 198. Расчет рам без поступательных перемещений узлов ра узловую нагрузку 415
§ 199. Использование симметрии ^ . . . 415
§ 200. Статический метод построения линий влияния , . . 416
^ 201. Кинематический метод построения линий влияния угловых и
поступательных перемещений узлов ' 423
§ 202. Расчет на действие температуры и смещение опор 423
■§ 203. Статическая интерпретация решения канонических уравнений
последовательными приближениями 429
§ 204. Упрощения в 'методе перемещений 431
■§ 205. Понятие о методе конечных элементов 432
Глава 19
Расчет плоских статически неопределимых систем по смешанному и
комбинированному методам
■§ 206. Сопоставление методов сил и перемещений и выбор метода расчета , . . 436
^ 207. Смешанный метод 437
§ 208. Комбинированный метод 439
§ 209. Комбинированный метод расчета симметричных систем ....... 441
510
Стр.
F л а в а 20
Приближенные механические методы расчета плоских статически
неопределимых систем
§ 210. Назначение приближенных методов ....• ^ 442
§ 211. Приближенный расчет рам на вертикальную нагрузку 442
§ 212. Приближенный расчет рам на горизонтальную нагрузку 444
§ 213. Механические методы расчета 445
§ 214. Моделирование при механических методах расчета i 448
Глава 21
Предельные нагрузки плоских статически неопределимых систем
§ 215. Предельные состояния систем по несущей способности , • 453
§ 216. Расчет однопролетных балок постоянного сечения ......... 453
§ 217. Расчет однопролетных балок переменного сечения 455
§ 218. Расчет неразрезных балок постоянного сечения в отдельных пролетах 456
§ 219. Расчет йеразрезных балок переменного сечения 460
§ 220. Расчет рам и арок 461
§ 221. Расчет ферм 472
§ 222. Разгрузка и остаточные напряжения и деформации 474
§ 223. Влияние упругости и смещений опор на величину предельной
нагрузки ; 478
§ 224. Расчет на различные повторные и чередующиеся нагрузки 479-
Глава 22
Расчет пространственных статически неопределимых систем
§ 225. Общие замечания 481
§ 226. Расчет пространственных систем по методу сил 481
§ 227, Расчет плоских рам на пространственную нагрузку по методу сил . . . 48S
§ 228. Расчет пространственных рам по методу перемещений 485
Глава 23
Расчет плоских систем по деформированному состоянию
§ 229. Особенности расчета по деформированному состоянию 488
§ 230. Точный расчет по деформированному состоянию . ." 489
§ 231. Расчет неразрезных балок 492
§ 232. Расчет по деформированному состоянию способом последовательных
приближений 500
§ 233. Расчет рам по деформированному состоянию последовательными
приближениями . 502
§ 234. Замечания к расчету по деформированному состоянию 503
Список литературы 504