Digital and Sampled-data
Control Systems

JULIUS T TOU

Associate Professor of Electrical Engineering

Purdue University

McGRAW-HILL BOOK COMPANY. INC

New York Toronto London

1950

ЦИФРОВЫЕ

И ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ

Под редакцией
д-ра техн наук проф В В Солодовникова

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МАШИНОСТРОЕНИЕ»

Москва- 1 964
УДК 62 50 503 (022)

В книге основное внимание уделено анализу и синтезу импульс
них и цифровых систем автоматического управления. Весьма
подробно изложен метод z-преобразования и его модификации.
Рассмотрены вопросы преобразования непрерывных величин
в цифровые, а также приведен расчет систем с конечной длитель
ностью замыкания.

В книге изложены также вопросы анализа систем на основе
т-преобразования с использованием приближенных методов.
Она содержит многочисленные примеры и числовые расчеты,
иллюстрирующие рассматриваемые вопросы. В приложениях
даны таблицы z-преобразовании и модифицированного z-npe
образования, а также задачи.

Книга представляет интерес для научных работников и инже
неров, интересующихся вопросами теории и проектирования циф
ровых и импульсных систем автоматического управления Кроме
того, она может быть полезна студентам вузов соответствующих
специальностей
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

В советской технической литературе имеется ряд книг совет-
ских авторов, посвященных теории импульсных и дискретных
систем 1

До настоящего времени не было издано ни одной переводной
книги по этому важному и актуальному вопросу Поэтому издание
Книги Ю Ту на русском языке в какой-то мере восполнит указан-
ный пробел, а также позволит советскому читателю судить об
уровне развития теории дискретных систем за рубежом.

Книга Ю Ту отличается большой ясностью и систематичностью
изложения Следует отметить что автор строит теорию импульсных
и дискретных систем, пользуясь z преобразованием, повсеместно
принятым за рубежом и все шире применяемым в последнее время
в советской технической литературе

Положительная черта книги К) Ту заключается также в том,
что автор излагает теорию дискретных систем как непосредствен
ное развитие и продолжение теории непрерывных систем, широко
используя частотные понятия, методы анализа и синтеза, обычно
применяемые при расчете и проектировании непрерывных систем

Несмотря на значительный объем книги, автору все же не уда
лось охватить весь круг вопросов, связанных с теорией дискрет-
ных систем

В частности, мало внимания уделено таким разделам, как ста-
тистическая динамика, а также теория дискретно-непрерывных
систем, содержащих переменные и нелинейные параметры и до-
статочно подробно изложенных Л Т Кузиным (см сноску1)

В целом книга безусловно является значительным вкладом
в теорию и практику расчета дискретных систем и принесет не-
сомненную пользу для широкого круга инженеров и научных
работников, интересующихся дискретными системами автомати-
ческого управления	„ _ „	_

В В Солодовников

1 См., например Я 3 Цыпкин. Теория импульсных систем М., Физмат
гиз, 1958; В. П Перов Статистический синтез импульсных систем М., «Совет-
ское радио», 1959 Л Т Кузин Расчет и проектирование дискретных систем
управления, М , Мащгиз, 1962
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Эта книга написана для научных работников и инженеров
как доступное, методически отработанное современное руковод
ство по основам теории и методам анализа, а также проектирования
цифровых и импульсных систем автоматического управления и
решения смежных проблем Материал книги состоит в основном
из обработанных записей лекций, впервые прочитанных автором
в 1956 г для студентов старших курсов школы Моора Пенсиль-
ванского университета в течение двух семестров

За последнее время в результате большого интереса к цифро-
вому и импульсному регулированию достигнуты большие успехи
в развитии теории и методов анализа и синтеза систем автомати-
ческого управления, в состав которых входят цифровые машины
В течение последних десяти лет цифровые и импульсные системы
автоматического управления стали одной из важных областей
техники автоматического регулирования и управления Однако
изложение материалов, относящихся к рассматриваемому пред-
мету, было разбросано по различным техническим журналам
и трудам различных конференций Поэтому изучить состояние
данного вопроса было весьма трудно Эта книга является попыт
кой последовательного и систематического изложения методов
и основных принципов рассматриваемого предмета В книге имеется
некоторое количество оригинального материала, однако его
большая часть составлена на основании других литературных
источников, что отмечено ссылками

Данная книга может быть использована как в качестве учеб
ника, так и в качестве справочника Материал расположен в по
рядке возрастающей сложности рассматриваемых проблем Для
студентов он представляет интерес как последовательное изло-
жение основ теории и наиболее важных методов, для инженеров —*
6
как систематически изложенный справочный материал При
написании книги автор стремился к тому, чтобы по возможности
большее количество глав было самостоятельным или хотя бы от-
части независимым При этом предполагалось, что читатель
знаком с курсом теории автоматического регулирования и хорошо
знает преобразование Лапласа и теорию функций комплексного
переменного

При изложении материала основное внимание уделено раз-
витию основ теории В тексте приведено большое количество ре-
шенных примеров для пояснения отдельных вопросов теории
и для иллюстрации рассматриваемых методов Отличительной
чертой книги является унифицированный, четкий и определен
ный математический аппарат Около 70 задач различной сложности
помещено в конце книги

Книга может быть разделена на три основные части вводную
часть анализ систем, синтез систем Гл 1—3 являются по суще-
ству вводными и содержат краткий обзор основных понятий и
принципов Читатель, знакомый с основами теории автоматического
регулирования, может пропустить гл 2 Вторая часть состоит
из гл 4—7 В гл 4 рассмотрен частотный метод анализа систем,
основанный на применении обычных методов В гл 5 читатель
знакомится с методом z преобразования и его модификациями,
что является основой для последних глав книги Третья часть
включает гл 8—10 В гл 8 изложены методы и средства преобра-
зования непрерывных величин в цифровые, а гл 9 и 10 посвящены
принципам и методам синтеза В книге рассмотрены вопросы рас
чета систем с конечной длительностью замыкания В последней
главе изложен метод анализа на основе т преобразования и рас
смотрено несколько приближенных методов В конце книги при
ведены таблицы z преобразований и модифицированного z пре
образования, а также задачи

Юлиус Т Ти

ГЛАВА 1

ВВЕДЕНИЕ

1 1 ТИПЫ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

Системой автоматического регулирования с обратной связью
называется система регулирования, имеющая одну или несколько
цепей обратной связи, которые объединяют процесс выработки
команд с процессом измерения регулируемых величин для под-
держания требуемого соотношения между командами и регулируе-
мыми величинами Сервомеханизмом называется система с обрат-
ной связью в которой отработка входных сигналов осуществляется
в виде механического движения 1

Значение систем автоматического регулирования и следящих
систем для современного общества и в особенности для обороны
исключительно велико Например, в современных домах темпе-
ратура и влажность воздуха регулируются автоматически, в про-
мышленности системы автоматического регулирования (САР) ис-
пользуются для увеличения производительности и улучшения
качества продукции следящие системы применяются для управле-
ния кораблями и самолетами, обеспечивая безопасность и удобство
движения, САР необходимы в обороне для наведения управляе-
мых снарядов, а также для быстрого и точного управления зенит-
ной артиллерией и другими видами оружия

Основными назначениями обратной связи в САР являются
управление выходным элементом системы, обладающим высокой
мощностью и сравнительно низкой точностью, с помощью точного
чувствительного устройства, включенного в обратную связь,
а также уменьшение нежелательных отклонений выходной регу-
лируемой величины, появляющихся вследствие наличия возму-
щений в прямой цепи САР Когда возмущения вызывают в системе
нежелательные отклонения выходной величины, появляется сигнал

1 IRE Standards on Terminology for Feedback Control Systems Proc IRE,
January, 1956	7
ошибки, попадающий в прямую цепь для необходимой корректи-
ровки работы САР За последние два десятилетия была прове-
дена большая работа по анализу и синтезу систем автоматического
регулирования с обратными связями В настоящее время САР
и следящие системы являются одной из наиболее интересных
областей инженерной практики

САР могут быть классифицированы различным образом Их
классификация может быть выполнена в зависимости от свойств
входящих в них элементов или в зависимости от природы сигналов,
имеющих место в САР В соответствии со свойствами элементов
САР можно разделить на две группы

1	Линейные системы автоматического регулирования

2	Нелинейные системы автоматического регулирования

Линейные и нелинейные САР, в свою очередь можно разделить
на системы с постоянными параметрами и системы с переменными
параметрами

В линейных САР соотношения между сигналами также ли
нейны Линейная САР с постоянными параметрами состоит из
линейных элементов, которые могут быть описаны линейными
дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами,
а также передаточными функциями Проблема расчета линейных
САР такого типа является довольно простой и решается с помощью
обычных средств

САР с изменяющимися коэффициентами которые являются
явными функциями времени называется САР с переменными
параметрами Примерами таких систем служат САР для управляе
мых снарядов с ракетными двигателями для сверхзвуковых само-
летов, истопрокатных станов и бумагоделательных машин
Обычно САР с переменными параметрами относятся к линейным
системам с переменными параметрами, которые могут быть пред-
ставлены линейными дифференциальными уравнениями с пере
Мсцными коэффициентами

Анализ линейных САР с переменными параметрами более
сложен чем анализ линейных САР с постоянными параметрами
Временная характеристика линейной САР с переменными пара
метрами является функцией двух независимых переменных
времени приложения входного сигнала или возмущения и вре
мени в которое данная временная характеристика измеряется
В линейной САР с постоянными коэффициентами временная ха
рактеристика является функцией одного переменного предста
вляющего собой разницу во времени между приложением вход
ного сигнала или возмущения и временем измерения данной вре-
менной характеристики Поведение линейных САР с переменными
параметрами существенно отличается от поведения линейных САР
с постоянными параметрами и не может быть* представлено про-
стыми экспоненциальными функциями
in
Строго говоря, линейные CAP являются идеализированными
системами так как большинство элементов входящих в их состав,
является линейными лишь для малых значений действующих
сигналов В любой реальной следящей системе всегда существуют
некоторые нелинейности Их влияние зависит от величины воз-
мущений которым подвергается система Например сервомотор
не всегда может развить крутящий момент, пропорциональный
управляющему сигналу При постоянно возрастающем сигнале
сервомотор в конце концов достигнет границы своей выходной мощ
ности вследствие магнитного насыщения или других причин
При большом значении входного сигнала электронные усилители
вносят нелинейные искажения САР, состоящие из элементов,
которые являются нелинейными для рабочего диапазона управ
ляющего сигнала, называются нелинейными САР В нелинейной
САР соотношение между входным и выходным сигналами можно
точно описать с помощью нелинейных дифференциальных уравне
ний Следящая система в которой используются реле, является
нелинейной САР Иногда нелинейности в следящей системе воз
никают вследствие наличия трения в сервомоторе и в нагрузке
Люфты в зубчатых передачах представляют собой еще один рас
пространенный тип нелинейности Наиболее широкое применение
в инженерной практике нашли следующие методы расчета нели
нейных систем 1

1	Метод приближенных дифференциальных уравнений

2	Метод гармонического баланса

3	Метод фазовой плоскости

4	Численные методы

Системы автоматического регулирования, которые состоят из
элементов с переменными коэффициентами и нелинейных эле-
ментов относятся к нелинейным САР с переменными параметрами
Их анализ очень сложен

В соответствии с природой сигналов САР можно классифи-
цировать следующим образом

1	Непрерывные системы автоматического регулирования

2	Импульсные системы автоматического регулирования

Регулирование в непрерывной САР производится непрерывно
в зависимости от текущего значения ошибки В системах этого
типа управляющие сигналы непрерывны Этот тип САР можно
разделить следующим образом

1	САР на постоянном токе

2	САР на переменном токе

В САР на постоянном токе сигналы непрерывны и не модулиро-
ваны В САР на переменном токе сигналы в некоторых частях

1 К u Y H Analysis and Control of Nonlinear Systems The Roland Press
Company New York 1958.
системы являются модулированными функциями Наиболее часто
применяются САР на постоянном токе Наиболее общим типом САР
на переменном токе является следящая система переменного тока,
в которой используется несущая высокой частоты. В этих системах
в качестве чувствительного элемента и модулятора могут при
меняться сельсины, а в качестве демодулятора — двухфазный
асинхронный двигатель Поскольку в динамическом отношении

Регулятор

Регулируемая

система

Элемент обратной
сдязи

Фиг 1 1—1 Структурная схема типичной САР постоянного
тока

Двигатель и нагрузка аналогичны низкочастотному фильтру, они
обладают свойствами демодулятора На фиг 1 1—1 и 1 1—2
изображены структурные схемы типичных систем на постоянном
и переменном токе В последних системах наиболее часто в ка

Несущая
частота

Несущая
частота

Фиг 1 1—2 Структурная схема типичной САР переменного тока

честве несущей применяются синусоидальный сигнал, (фиг 1 1—
3, а), а также сигналы, изображенные на фиг 1 1—3, б, в

В импульсной САР регулирование осуществляется с помощью
некоторой функции от ошибки, которая прерывается с постоянной
частотой В системах такого типа управляющий сигнал в какой-то
части САР представляет собой ряд импульсов На фиг 1 1—4
показана структурная схема типичной импульсной САР, в которой
управляющий сигнал на выходе импульсного элемента образуется
в дискретные моменты времени, равноотстоящие друг от друга
Системы подобного типа являются предметом рассмотрения на-
стоящей книги, в последующих главах детально излагаются методы
анализа и синтеза этих САР

12
САР могут быть также классифицированы как модулирован
ные (с несущей) и немодулированные (без несущей) Импульсная
система относится к первой категории В этом отношении импульс
ные САР похожи на САР на переменном токе В последних си

фиг 1 [—3 Виды несущей применяемой в САР переменного тока

стемах несущая представляет собой синусоидальный сигнал, а в
импульсных САР несущая представляет собой ряд очень узких
импульсов единичной высоты, образуемых импульсным элементом

Импульсный
элемент

Фиг 1 1—4 Структурная схема типичной импульсной САР

В некоторых импульсных системах время между двумя сосед
ними импульсами непостоянно оно изменяется периодически или
регулируется по некоторой функции от сигнала, действующего на
входе импульсного элемента Например, в некоторых случаях
импульсный элемент работает со скоростью, пропорциональной
степени флюктуаций входного сигнала Такие системы можно
называть импульсными системами с переменным периодом преры
вания

1 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ И ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ

Импульсной САР называется такая система, в той или иной
части которой управляющий сигнал представляет собой последо-
вательность импульсов В импульсной САР сигнал в одной или
нескольких точках представляет собой последовательность им
пульсов, модулированных в соответствии с непрерывным сигналом
на входе импульсного элемента Эти импульсы адекватно пере
дают всю существенную информацию, содержащуюся в непрерыв
ной функции Такие системы могут быть подразделены на не
сколько различных типов На фиг 1 1—4 изображена импульс-
ная САР основного типа в которой импульсному преобразованию
подвергается сигнал ошибки На этой фигуре т (/) с (/) и е (О
соответственно обозначают входной сигнал выходной сигнал

и действующий сигнал ошибки, а е * (/) обозначает преобразован
ный сигнал ошибки Для данного типа сигнал ошибки на выходе

чувствительного элемента является непрерывной функцией вре
мени Затем сигнал преобразуется

W	импульсным элементом S в им

Фиг 1 2—1 Форма сигнала на вхо-
де (а) и на выходе (б) импульсного
элемента

пульсы с постоянным интервалом
повторения, после чего он по-
дается на регулятор и регулируе
мый объект Связь между непре
рывным сигналом ошибки и им
пульсным (преобразованным) сиг
налом показана на фиг 1 2—1
Через равные интервалы сигнал
измеряется устройством, которое
называется импульсным элемен
том Интервал времени Т назы-
вается периодом прерывания 1
Как видно из фигуры, сигнал

с выхода импульсного элемента
е * (/) представляет собой последовательность узких импульсов,
амплитуды которых определяются значениями сигнала е (I) на
входе импульсного элемента для моментов времени О Т 2Т,ЗТ,
и т д Информация, содержавшаяся в непрерывном сигнале
ошибки заключается в амплитудах импульсов Импульсная САР

основного типа содержит следующие составные части

1	Регулируемый объект

2	Устройство для измерения ошибки

3	Регулятор

4	Запоминающий элемент

5	Импульсный элемент.

Следящая система радиолокационной станции является при-
мером импульсной САР Луч радиолокатора в процессе сканиро
вания выполняет функцию преобразования данных об азимуте
и угле возвышения в информацию, содержащуюся в импульсах

В импульсных САР управляющий сигнал преобразуется в им
пульсы с равными интервалами Иногда значения сигнала в ди

1 Период прерывания иногда называют периодом повторения, или интер
валом дискретности. —- Прим ред

14
скретные моменты времени квантуются по уровню и кодируются
посредством группирования в пачки импульсов для передачи
в цифровое оборудование используемое для обработки необходи-
мой информации Такая импульсная система относится к цифро-
вым системам автоматического регулирования Таким образом, хотя
цифровые системы могут считаться разновидностью импульсных
САР они являются наиболее важным типом импульсных систем
Цифровой системой автоматического регулирования называется
САР в которой управляющий сигнал в одном или большем числе
элементов системы выражается в числовом коде (например, двоич-
ном) для использования в цифровых устройствах применяемых
в системе для обработки информации Цифровая САР может быть

Цифровой
вход

Цифровая
вычислительная
пашина

-о- Преобразователь Ц Н ♦

Непрерывный

Регулируемая
система

*



Преобразователь Н

Фиг 1 2—2 Структурная схема типичной цифровой САР

сведена к импульсной САР основного типа, если кодированный
сигнал декодируется в импульсные сигналы с амплитудной моду
ляцией и работа цифровой вычислительной машины описывается
передаточной функцией эквивалентной импульсной схемы Экви
валентная импульсная цепь или цифровой фильтр оперирует
с последовательностями импульсов так же, как вычислительная
машина оперирует с цифровым кодом или цифровой информацией
Эффект выхода эквивалентной импульсной схемы эквивалентен
эффекту цифрового выхода вычислительной машины Методы
расчета импульсных систем применимы для расчета цифровых
САР Цифровая система автоматического регулирования основного
типа содержит следующие основные части

1	Регулируемый объект

2	Управляющий элемент

3	Преобразователь цифровых величин в непрерывные

4	Преобразователь непрерывных величин в цифровые.

5	Цифровое оборудование для обработки информации или
вычислительная машина

Цифровая вычислительная машина играет важную роль в обра
ботке информации и коррекции системы В некоторых случаях она
может служить для выработки решений, входить в состав системы
автоматического управления Преобразователи непрерывных вели
чин в цифровые и цифровых в непрерывные служат для сопряже-
ния непрерывных и цифровых частей системы, а также для под-
ключения измерительных приборов Таким образом, в цифровой

IS
САР осуществляются три новые операции кодирование величин
на входе вычислительной машины, программирование или обра
ботка цифровой информации и процесс декодирования на выходе
вычислительной машины Цифровой системой автоматического
регулирования называется САР, в которой информация передается
в виде цифрового кода Структурная схема типичной цифровой
следящей системы показана на фиг 1 2—2 Примером такой
системы может служить цифровая следящая система для управле-
ния станком

1 3 ЗНАЧЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ И ЦИФРОВЫХ МЕТОДОВ
ДЛЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

После окончания второй мировой войны наступил период
быстрого развития цифровых вычислительных машин благодаря
тому, что их применение для научных вычислений обеспечивает
высокую точность и быстроту, а также гибкость и универсаль
ность, которыми не обладают аналоговые машины Так как преиму-
щества цифровых методов перед аналоговыми стали очевидными,
то естественно, что в САР стали применяться цифровые средства
Применение импульсного принципа передачи сигналов в САР
позволило создать простые, чувствительные и эффективные сред
ства регулирования Импульсные методы позволяют управлять
большой мощностью с помощью маломощных измерительных
элементов с высокой чувствительностью, а также уменьшать влия
ние нагрузки на чувствительные приборы

Использование импульсных и цифровых элементов в САР
позволяет производить разделение по времени работы отдельных
частей системы, что является наибольшим преимуществом цифро
вых САР Разделение по времени дает возможность использовать
один и тот же элемент системы для выполнения нескольких функ
ций Это также облегчает координацию различных частей системы
Поскольку информация, представленная в виде импульсов, может
быть легко закодирована, сигналы в цифровых САР принимаются
и передаются в виде цифрового кода, что обеспечивает почти без
ошибочную передачу информации даже при наличии помех
Единственной помехой при передаче сигналов с цифровым коди
рованием является ошибка квантования Таким образом, благо
даря гибкости и универсальности цифровых вычислительных ма
шин можно улучшить характеристики последних Кроме того
методы цифрового управления делают возможной коррекцию
систем посредством нелинейного программирования, самонастрой
ки и самооптимизации Следовательно, методы цифрового упра
вления обеспечивают большие преимущества САР

Цифровые вычислительные машины широко применяются как
элементы в разрабатываемых системах автоматического управле
16
класса авиационных проблем, например управления полетом,
систем Массачусетского технологического института и несколько
ведущих авиационных и станкостроительных компаний занима
лись разработкой цифровых систем управления станками Основ-
ные принципы цифрового управления нашли применение не только
в самолетных системах и системах управления станками но и дчя
решения других задач автоматического управления Использование
цифровых методов целесообразно для управления различными
процессами В химической промышленности на нефтеперерабаты
вающих заводах а также в фармацевтических лабораториях огром
ное количество информации должно обрабатываться как вручную,
так и автоматически Вследствие ограниченности обычных методов
для решения задач управления, возникающих в связи с успожне
нием процессов производства появилась необходимость в новых
методах управления Для обеспечения ритмичности эффективно
сти рабочего процесса и высокого качества продукции на этих
предприятиях будут широко применяться методы цифрового
управления

Цифровые системы имеют возможность управлять работой
всего завода В процессе работы цифровые вычислительные ма
шины могут выбирать сырье при его минимальной стоимости,
предусматривать устранение неполадок в системе управления и в
работе завода определять оптимальные режимы и т п Цифровая
система автоматического управления на заводе может рассматри-
ваться как некоторый оператор, который на основании очень слож
ной инструкции выполняет арифметические вычисления следит
за показаниями приборов и управляет рабочим процессом непре
рывно и автоматически Однако цифровая система управления
может работать более эффективно чем оператор особенно в тех
случаях, когда регулируемые величины и соотношения между ними
изменяются настолько быстро что операторы не успевают напра
влять процесс по наиболее эффективному пути С помощью вычис
лительных и логических операций цифровая вычислительная
машина может анализировать состояние рабочего процесса учи
тывая предыдущий опыт, принимать целесообразные решения и та
ким образом оптимизировать процесс управления С помощью
вычислительной машины может быть достигнута более высокая
степень автоматизации производственных процессов, чем с по
мощью обычных методов регулирования Автоматизация в конеч
ном итоге приводит к существенному увеличению производитель
ности, а также к повышению качества и количества продукции
с одновременным снижением себестоимости

Первой вычислительной машиной, спроектированной для упра
вления производственными процессами, сбора информации и стен
довых испытаний была цифровая вычислительная машина типа
RW-300, которая отличалась значительной гибкостью и универ-
сальностью Операции, выполняемые этой управляющей маши
18
ной, определялись программой, заложенной в ее блоки памяти
Ее использование для решения различных задач требовало лишь
изменений программы Конструктивно управляющая вычисли-
тельная машина выполнена таким образом, что входные и выход-
ные устройства промежуточные преобразующие устройства, пре-
образователи непрерывных величин в цифровые составляют с ней
единое целое Это позволяет просто подключать машину к измери-
тельным приборам и управляющим исполнительным устройствам
Количество входных и выходных соединений превышает 500
На вход машины типа RW 300 можно подавать 96 пневматических,
64 температурных и 32 специальных электрических сигнала (вклю-
чая сигналы с масс спектрометра, манометров хроматографов и
т п.) На выходе можно получить 64 пневматических и 32 электри
ческих сигнала

Таким образом, эффективность быстродействующих вычисли-
тельных машин при использовании их в научных исследованиях
и в промышленности несомненна С появлением компактных и уни
версальных вычислительных машин на полупроводниковых эле-
ментах цифровые методы проникают в область управления
Нетрудно предсказать что преимущества цифровых и импульсных
методов обеспечат цифровым системам автоматического управления
еще более широкое применение в будущем

1 4 МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ИМПУЛЬСНЫХ И ЦИФРОВЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Благодаря возросшему значению импульсных и цифровых*
систем в последние несколько лет к ним проявляется большой
интерес Опубликовано большое количество работ по их анализу
и синтезу Основными методами анализа таких систем являются
следующие

1	Метод дифференциальных уравнений

2	Обычный метод частотных характеристик

3	Метод импульсных переходных характеристик

4	Методы, основанные на z преобразовании и модифицирован-
ном z преобразовании

5	Метод синтеза в плоскости w посредством билинейного
преобразования

6	Метод корневого годографа

Сущность этих методов состоит в том что аналитический дис-
кретный метод применяется к непрерывной части системы или
обычные методы непрерывных систем используются для дискрет-
ной части системы Недостаток применения аналитического
дискретного метода к непрерывной части системы заключается
в том что выход большинства систем автоматического управле-
ния является непрерывной величиной и должен быть выражен
в виде непрерывной функции времени, кроме того, в импульсных
Системах по значительной их части проходят непрерывные сигналы,
поэтому многие элементы этих систем могут быть описаны обыч
ными передаточными функциями

Первый метод состоит в решении дифференциальных уравне
ний, описывающих импульсную систему автоматического управ-
ления второй — в обобщении обычного частотного анализа и син
теза на импульсные САР С помощью этого метода строятся ампли
тудно фазовые характеристики импульсных систем; в этом слу
чае применим амплитудно-фазовый критерий устойчивости и сохра
няется обычная последовательность расчетов Третий метод осно-
ван на оценке реакции системы на импульс. Реакция системы на
последовательность импульсов определяется суммой реакции на
эти импульсы При использовании четвертого метода элементы
импульсной системы представляются передаточными функциями,
являющимися функциями z Устойчивость системы определяется
на основании амплитудно фазового критерия или по -критерию
Шур Кона (Schur Cohn) Реакция системы определяется с по
мощью обратного модифицированного z преобразования Метод
синтеза в плоскости w основан на построении передаточной функ-
ции разомкнутой импульсной системы в плоскости w посредством
билинейного преобразования Метод корневого годографа может
также применяться к импульсным САР Первоначально он был
разработан для обычных САР Построение корневого годографа
характеристического уравнения системы в плоскости z определяет
характеристики импульсной САР

Все эти методы основаны на предположении, что квантование
по времени осуществляется мгновенно и ширина импульсов бес-
конечно мала или равна нулю. Таким образом, при анализе им-
пульсы в САР представляются либо идеальными, либо импуль-
сами эквивалентной площади Однако это допущение справедливо
лишь в том случае, если длительность импульса значительно
меньше постоянных времени системы или после импульсного эле-
мента в системе расположен запоминающий элемент нулевого
порядка. Однако в реальных импульсных САР квантование не
осуществляется мгновенно, и длительность импульса может быть
сравнима с постоянными времени системы Если длительность
импульса значительна, то указанные выше методы не обеспечат
необходимой точности В конце книги изложен метод т преобра
зования для анализа импульсных САР с квантованием на конечном
интервале времени

1 5 ПРИМЕРЫ ЦИФРОВЫХ И ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Цифровые и импульсные системы автоматического управления
широко применяются как в военном деле, так и в промышленности
Для получения общей картины рассмотрим несколько примеров
20
таких систем В качестве примера импульсной системы автомати-
ческого управления может служить система наземного наведения
перехватчиков противовоздушной обороны В процессе работы
этой системы в воздухе одновременно находится большое коли-
чество самолетов перехватчиков и вражеских целей Положение
перехватчиков определяется с помощью наземного радиолокатора,
который посылает сведения об их расположении боевому расчету
другого радиолокатора, определяющего расположение целей. Здесь
вычерчивается траектория полета перехватчика, вычисляется его
необходимый курс и эти сведения передаются непрерывно по радио
пилоту перехватчика до его встречи с предписанной для него
целью В этой системе автоматического управления человек опе-
ратор играет роль элемента системы управления

В настоящее время такая система при огромных скоростях как
целей, так и самолетов не может решить проблему перехвата из-за
своей низкой точности и скорости, поскольку информация обра-
батывается вручную Возникла проблема создания новой более
совершенной системы противовоздушной обороны Эту задачу
может решить система, способная непрерывно определять картину
воздушной и наземной обстановки на обширной территории страны,
быстро и точно управлять современными видами вооружения,
кроме того, давать командному составу противовоздушной обо-
роны четкую картину обстановки боя

Этим требованиям отвечает система Сейдж (Semi Automatic
Ground Environment), которая является примером цифровой
системы автоматического управления противовоздушной оборо
ной В системе используется большая вычислительная машина
для обработки сведений, получаемых от радиолокационных стан-
ции, и выработки команд для перехватчиков Сейдж является
широкодиапазонной электронной системой воздушного наблюде-
ния и управления средствами противовоздушной обороны, со-
стоящей из трех основных частей* оборудования для получения
данных наблюдения и передачи его в центры обработки информа
ции, оборудования для преобразования информации в сведения,
описывающие обстановку, и для выработки команд, подаваемых
на системы управления оружием; оборудования для передачи
команд на системы управления оружием, на командные пункты,
промежуточные центры и другие точки В системе Сейдж вся
информация подвергается цифровому кодированию в местах рас
положения радиолокаторов и передается по телефонным проводам
в центры обработки информации Сейдж является замкнутой си-
стемой, так как выходные данные цифровой машины передаются
по каналам связи на перехватчики для управления их полетом

В качестве второго примера рассмотрим систему цифрового
Управления металообрабатывающими станками Методы цифро
вого управления механическим движением, например рабочего
стола станка, могут быть разделены на два вида непрерывное
движение по контуру и прерывистое движение В первом случае
непрерывное движение рабочего инструмента составляет суще-
ство операции во втором случае существенна лишь точка уста-
новки, а путь, пройденный рабочим инструментом от точки до

Сигнал перемещения перфоленту

точки, не имеет значения Например, в сверлильном станке очень
существенна точная установка оси сверла над точкой сверления,
тогда как путь, пройденный сверлом до этой точки, не имеет суще-
ственного значения В систему цифрового управления прерыви-
стого движения рабочего инструмента таких станков, как сверлиль-
ный, входят следующие основные боки входные элементы, дат-
чики положения, сравнивающие устройства и исполнительные
двигатели

Структурная схема такой системы изображена на фиг 1 5—1
Она включает два канала управления Цифровое управление
начинается с команды переместить рабочий стол в новое поло-
22
Жение, начать или остановить операцию сверления и т д Все
эти команды записаны в виде цифрового кода с помощью перфо-
ленты или карт, которые подаются в считывающее входное устрой-
ство системы при ее включении В этой системе должно быть
чувствительное устройство для получения информации о точном
осевом расположении сверла Эти данные подаются на вход для
сравнения со входными командами Разница между входным
сигналом и сигналом обратной связи используется для пуска,
останова и регулировки скорости исполнительных двигателей
станка, для пуска сверлильной головки и перемещения перфоленты
Исполнительные двигатели перемещают рабочий стол и сверлили
ную головку в необходимое положение

При наличии входного сигнала сверлильная головка станка
перемещается в направлении X, а его рабочий стол — в напра
влении Y до тех пор, пока не будет достигнуто требуемое положе
ние, которое определяется нулевым значением входа цифрового
сравнивающего устройства В этом положении сравнивающее
устройство канала Y выдает сигнал запуска сверлильной головки
После завершения операции сверления подается сигнал для пере
мещения перфоленты в следующее положение
ГЛАВА 2

НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

2 1 ВВЕДЕНИЕ
поворачивает руль в необходимом направлении Таким образом,
функции исполнительного элемента регулятора выполняют руки
Данный процесс может быть изображен структурной схемой,
приведенной на фиг 2 1—2

При анализе и проектировании САР обычно определяется

устойчивость системы, а также оценивается ее реакция при подаче

Фиг 2 1—1 Структурпая схема САР

на вход импульса, ступенчатого, непрерывно нарастающего или
синусоидального сигналов; кроме того, осуществляется коррекция
системы для выполнения определенных требований Цель коррек-
ции состоит в таком изменении характеристик системы, при котором
она имеет удовлетворительный запас устойчивости, а результи

Фиг 2 1—2 Структурная схема системы шофер управляет авто-
мобилем

рующая ошибка не превышает заданной величины Одним из
наиболее распространенных методов анализа и синтеза САР
является частотный метод, основанный на исследовании устано-
вившейся реакции системы на синусоидальный входной сигнал
Учитывая, что периодическая функция может быть представлена
рядом Фурье, а непериодическая — интегралом Фурье, устано-
вившаяся реакция данной линейной системы на входное воздей-
ствие представляющее собой функцию времени, удволетворяю-
Щую условиям Дирихле, может быть определена с помощью прин-
ципа суперпозиции, если известны реакции системы на синусо-
идальные сигналы для всех положительных частот

При анализе САР оказалось удобным пользоваться понятием
Передаточной функции и составлять их структурные схемы
Идея передаточной функции охватывает всю теорию САР и яв-
ляется основой применения частотного метода Связь между
входом и выходом отдельных элементов САР описывается пере-
даточными функциями, а элементы изображаются блоками на-
правленного действия, которые образуют структурную схему
САР, показывающую пути распространения сигналов через си-
стему Таким образом, структурная схема САР является функ-
циональной а не физической схемой Для инженеров структурная
схема САР имеет большее значение, чем система уравнений,
описывающих САР, так как структурная схема до некоторой
степени напоминает физическую систему, а уравнения абстрактны
Структурная схема показывает графически прохождение сигнала
в системе и взаимосвязь составляющих элементов системы, с дру-
гой стороны, система уравнений математически выражает связи
между переменными в физической системе Кроме того, структур-
ная схема дает представление о влиянии изменений отдельного
параметра на характеристику всей системы, в то время как система
дифференциальных уравнений не обладает такой наглядностью
Таким образом метод структурных схем в анализе САР получил
широкое распространение

При анализе и проектировании САР с помощью частотного
метода обычно выполняются следующие операции:

1	Получение передаточных функций или передаточных харак-
теристик всех элементов системы из дифференциальных уравне-
ний, описывающих элементы, или из физических измерений

2	Составление структурной схемы системы

3	Упрощение сложной структурной схемы САР до простой
схемы с одной обратной связью, имеющей передаточную функцию
в прямой и обратной цепях

4	Определение передаточной функции разомкнутой системы
и преобразования для ее выхода из упрощенной структурной
схемы

5	Построение амплитудно фазовой или логарифмических ча-
стотных характеристик

6	Определение параметров корректирующих устройств на
основании деформации амплитудно-фазовой или логарифмических
частотных характеристик в соответствии с техническими требо-
ваниями

Кроме перечисленных операций, проектировщик должен иссле-
довать влияние изменения отдельных параметров, возмущающих
воздействий, различных типов корректирующих устройств, а также
допусков элементов, и, наконец, он должен провести испытаний
или моделирование системы

Передаточная функция устройства или элемента определяется
как комплексное отношение выхода устройства к его входу, или
как отношение преобразования Лапласа выходной величины ко
26
входной Передаточные функции являются основой аналитического
описания САР. Несмотря на большое разнообразие элементов
САР, линейные элементы могут быть представлены комбинацией
нескольких из девяти элементарных звеньев, передаточные функ-
ции которых приведены в табл 2 1—I Эти типовые передаточные
функции охватывают большое количество элементов, представлен-
ных обычными дифференциальными уравнениями или дифферен-

7 аблица 211

Элементарные
звенья

1	Усилитель
ное

2	Дифференцн
рующее

3	Инте'рир^ю
щее

4	Форсирую
щее простое

5	Апериодиче
ское

6	Форсирую
щее сложное

7	Колебатепь
ное

8	Чистого за
паздывания

9	Распределен
ного запазды
вания

Передаточная функция

циальными уравнениями
в частных производных
с постоянными коэффици-
ентами Первые семь основ
ных видов передаточных
функций очень просты и не
требуют дальнейших по
яснений

Запаздывание предста
вляет собой время, в тече-
ние которого реакция эле-
мента равна нулю после
момента подачи входного
сигнала На фиг 2 1—3
приведена структурная

е (t)

Чистое
запаздывание

Фиг 2 1—3 Элемент чистого

запаздывания

схема элемента чистого запаздывания, вход которого обозна-
чен ei (/), а выход —е0 (/) Вход и выход связаны уравнением

(2 1-1)

где Т — время чистого запаздывания элемента, а входная и вы-
ходная функции равны нулю для отрицательных значений t

Преобразование Лапласа уравнения (2 1—1) приводит к урав-
нению

E0(s) = e"Ts Et(s),	(2 1-2)

где Eq и Е — преобразования Лапласа соответственно для выхода
и входа. Следовательно, передаточная функция элемента чистого
запаздывания равна

(2 1—3)
Распределенное запаздывание вносится элементом, предста
вленным дифференциальным уравнением в частных производных
Примерами таких элементов могут быть линии передачи тепла
через однородную непрерывную среду, длинная линия передачи
воздуха и электрические линии передачи Передаточная функция
элемента распределенного запаздывания равна

2 2 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ

Структурные схемы большинства САР содержат несколько
контуров, и, следовательно, передаточные функции систем в разомк-
нутом состоянии не могут быть определены непосредственно из
структурной схемы Для облегчения определения передаточной
функции системы в разомкнутом состоянии и преобразования
Лапласа выхода системы сложная структурная схема преобра
зуется в простую одноконтурную схему, из которой определяются
обе эти величины

Суммирующее
устройство

Блок Вь годная
точка

На фиг 2 2—1 изображены
три основных элемента, из кото-
рых состоят структурные схемы
динамические элементы, сумма-
торы и узлы Основным прин
ципом упрощения структурных

Фиг. 2.2—1 Три основных элемента	схем является перемещение сум-

образующих структурную схему маторов влево от основного кон-
тура и сдвиг узлов вправо Основ-
ные правила преобразования структурных схем даны ниже

Правило 1 Последовательное соединение N элементов с пере-
даточными функциями G2 (s), G2 (s), . , Gn (s) эквивалентно

элементу с передаточной функцией G (s) = П Gk (s)

Правило 2 Перестановка элементов суммирования

d*a b Q

28
Правило 3 Перегруппировка

элементов суммирования

а

b

d

Ь+с

Правило 4 Перемещение точки съема за суммирующий элемент

Правило 5 Перемещение точки съема с выхода элемента на вход

Правило 6 Перемещение точки съема со входа элемента на
выход

ед

Правило 7 Перемещение точки на вход суммирующего эле-
мента
Правило 8 Перемещение элемента суммирования с выхода
элемента системы на вход



Правило 9 Перемещение элемента суммирования со входа

элемента системы на выход

Правило 10 Удаление элемента системы из цепи обратной

связи

a aG(s)	(Ms) о aG(s)

°’	H(s) 1*GH(s)

Правило 11 Удаление параллельной прямой цепи

b*a[G,(s) +Gi(s)]

b^a(G,(s)±G2(s)J

Правило 12 Передаточная функция одноконтурной САР



35

G(s)

1->-G(s) Н(з)
В качестве примера использования этих правил рассмотрим
преобразование структурной схемы системы, изображенной на

G^G^s)

в)

Фиг 2 2—2 Упрощение структурных схем

фиг 2 2—2, а Применение правил 8, 2 и 6 позволяет преобразо-
вать структурную схему а в схему б Пользуясь правилом 1,
структурная схема б преобразуется в схему в, которая упрощается
до схемы г с помощью правила 12 Затем общая передаточная
функция системы может быть легко получена из фиг 2 2—2, г
с применением правил 1 и 12 Как видно, применение этих правил
позволяет значительно сократить объем работы при нахождении
общей передаточной функции системы
при упрощении структурных схем САР необходимо выполнить
следующие операции

1	Заменить простые контуры, включающие последовательные,
параллельные прямые и обратные цепи, эквивалентными динами-
ческими элементами Эта операция выполняется с помощью пра
вил 1, 11 и 12

2	. Передвинуть суммирующие элементы и точки съема таким
образом, чтобы можно было исключить перекрещивающиеся связи
между контурами Правила 2, 3, 4, 7, 8, 9 используются для пере
мещения суммирующих эпементов в требуемое положение, пра
вила 4, 5, 6 и 7 — для перемещения точек съема.

3	Заменить неперекрещивающиеся внутренние контуры от
дельными динамическими элементами, чтобы привести всю струк-'
турную схему к одному контуру Эта операция связана с приме-
нением правила 12 Правило 10 используется для преобразования
системы с неединичной обратной связью в систему с единичной
обратной связью

2 3 КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Анализ систем автоматического регулирования с обратной
связью обычно состоит из трех этапов анализа устойчивости
системы, ее поведения в переходном режиме и ее поведения в уста
новившемся режиме Устойчивость является основным требова
нием к САР. Система считается устойчивой, если ее реакция на лю
бой ограниченный входной сигнал является абсолютно интегри
руемой функцией Предположим, что вход и выход линейной
системы соответственно е (0 и е0 (/), а импульсная переходная
функция (функция веса) — w (/), тогда система устойчива, если



(s) =^w(t)e-sidt
Полагая $ = с + ]а, функцию W (s) можно представить в виде

IF ($) = J w (t) e~ct (cos at — ] sin at) dt

которая меньше, чем J | w (t) | dt, так как с положительно

Можно показать, что w (t) стремится к нулю, когда t стремится
к бесконечности, и что выражение J | w (t) | dt конечно, если пере
даточная функция системы не имеет особенностей в правой по
ловине плоскости s и на мнимой оси Таким образом, система
считается устойчивой, если все полюсы W (s) расположены в левой
полуплоскости плоскости s, за
исключением возможного полю
са первого порядка в начале
координат Если передаточная
функция W (s) включает выра
жение вида e~as, то это выра
жение можно аппроксимировать
рациональным полиномом от s

Как видно из обратного преобразования Лапласа, действитель
ному полюсу W (s) в правой полуплоскости s соответствует экспо-
ненциально возрастающая функция во временной области, паре
комплексных полюсов в правой полуплоскости — расходящиеся
колебания; паре сопряженных полюсов первого порядка на мнимой
оси — незатухающие колебания с постоянной амплитудой, а по-
люсу первого порядка в начале координат соответствует реакция,
постоянная по величине Полюсам W (s) в левой полуплоскости
соответствует затухающая экспоненциальная функция или затухаю-
щие колебания во временной области Следовательно, в области s
проблема устойчивости сводится к тому, чтобы определить, лежат
ли все полюсы W (s) в левой полуплоскости s

Для САР, структурная схема которой показана на фиг 2 3—1,
передаточная функция всей системы определяется выражением

R(s)
и левой полуплоскости Иными словами, условие устоичи
вости требует, чтобы все корни характеристического уравнений
системы

располагались в левой полуплоскости Методы, позволяющие
установить наличие корней характеристического уравнения не
в левой полуплоскости, называют критериями устойчивости

Критерии устойчивости Рауса 1 Этот критерий лежит в основе
аналитического метода анализа устойчивости Для применения
критерия Рауса вначале необходимо получить передаточную
функцию системы в замкнутом или разомкнутом состоянии Харак
теристическое уравнение системы получается приравниванием
нулю знаменателя передаточной функции системы в замкнутом
состоянии Это уравнение имеет вид полинома от s

Так как критерий Рауса применим только к рациональным
функциям, то экспоненциальные функции от s, входящие в выра
жение для передаточной функции системы в разомкнутом состоя
нии, должны быть аппроксимированы полиномами Первым шагом
применения критерия Рауса является запись коэффициентов ak
уравнения (2 3—5) в виде таблицы

Коэффициенты третьего ряда находятся перекрестным пере
множением

Аналогичным образом коэффициенты четвертого ряда опреде-
ляются перекрестным перемножением из второго и третьего рядов-

(2 3-8)
Новые ряды образуются таким же образом до тех пор, пока
в таблице (2 3—6) не появится п -ф 1 рядов В ходе определения
„Ядов коэффициенты любого ряда могут умножаться или делиться
на положительное число без изменения характера таблицы Рауса.
Это значительно упрощает численные расчеты, связанные с опре-
делением коэффициентов последующих рядов '

Если таблица (2 3—6) полностью составлена, то согласно кри-
терию Рауса все корни уравнения (2 3—5) лежат в левой полу
плоскости, если выполняются следующие условия:

1)	коэффициенты ak уравнения (2,3—5) имеют один и тот же знак,

2)	все коэффициенты первой колонки имеют один и тот же
знак Количество корней уравнения (2. 3—5) в левой полупло
скости равно количеству перемен знака коэффициентов первой
колонки таолицы Рауса

Этот критерий имеет два исключения, на которые необходимо
обратить особое внимание Первое исключение возникает, когда
первый член любого ряда равен нулю, а любой из остальных чле
нов этого ряда не равен нулю Попытка вычислить коэффициенты
следующего ряда обычным способом неприемлема, потому что
коэффициенты в этом случае обращаются в бесконечность Для
преодоления этой трудности нуль в первой колонке заменяется
произвольно малым действительным числом 8 и вычисления затем
проводятся обычным способом Количество изменений знака
в первой колонке не зависит от знака произвольного 8 Второе
исключение возникает, когда все коэффициенты во втором или
в любом другом полученном ряду равны нулю Этот результат
указывает на существование корней одинаковой кратности, ле
жащих друг против друга и на равных расстояниях от начала
координат Процесс может быть продолжен образованием вспо
могательного полинома по убывающим степеням s2 порядка
п — k + 1, коэффициенты которого являются коэффициентами
последнего ненулевого ряда, причем п является порядком урав-
нения (2 3—5) и k — номер последнего ненулевого ряда Нули
этого ряда заменяются коэффициентами вспомогательного поли
нома, продифференцированного по s Затем коэффициенты после-
дующих рядов определяются обычным способом

Условия устойчивости для САР третьего и четвертого поряд-
ков относительно просты и даются ниже

1	Система третьего порядка Характеристическое уравнение
системы третьего порядка имеет следующую форму

Если коэффициенты уравнения (2 3—9) положительны и ни
один из них не равен нулю, то условие устойчивости записывается
в виде
2	Система четвертого порядка Характеристическое уравне
ние имеет вид

Для иллюстрации применения критерия Рауса разберем при
мер

Пример 2 3—1. Рассмотрим структурную схему САР, изобра-
женную на фиг. 2 3—2 Требуется определить максимальное зна
чение коэффициента усилия К при одновременном обеспечении
устойчивости системы Передаточные функции системы в разомк
нутом и замкнутом состоянии легко получить из фиг 2 3—2

иллюстрирующая применение кршх

Характеристическое уравнение имеет вид

0,06s3 + 0,7sa + s 4- К = 0

(2 3-15)

1 X 0,7 - 0,06Х > 0

(2 3-16)

К <11,65

(2 3-17)
недостаток критерия Рауса состоит в невозможности определения
запаса устойчивости и влияния изменений отдельных параметров
на устойчивость системы

Критерий устойчивости Найквиста Этот критерий лежит
в основе графического метода анализа устойчивости Система
автоматического регулирования является устойчивой, если число
оборотов против часовой стрелки вокруг критической точки
(—I, +/0) графика ее передаточной функции в разомкнутом
состоянии A (s) для значений s, изменяющихся вдоль замкнутого
контура по часовой стрелке, равно числу полюсов A (s) в правой

полуплоскости Этот замкнутый контур охва
тывает всю правую полуплоскость s Кри
терий Найквиста непосредственно следует
из теоремы теории функций комплексного
переменного, которая утверждает если f(s)
является мероморфной функцией от s, одноз
начной на границах и внутри простого замкну
того контура С, а также аналитической и
отличной от нуля на границе контура С, то

(j) j ds — Р— N, (2 3—18)

Плоскость s

Й = Р-N
Так как на мнимой оси действительная часть комплексной
переменной sравна нулю, а мнимая часть равна /со, то A (s) пере
ходит в А (/со) и это справедливо на бесконечной полуокружности

для реальных систем Поэтому при практическом построении гра-
фика передаточной функции комплексная переменная s заме
няется /со График передаточной функции в полярных координа-
тах для значений изменяющихся от —у со до +/со и далее
по бесконечной полуокружности, называют диаграммой Най
квиста или амплитудно-фазовой частотной характеристикой Этот
график для диапазона частот от —со до 0 является зеркальным
отражением графика для диапазона частот от 0 до 4-со относи
тельно горизонтальной оси Таким образом, для построения гра
фика передаточной функции в полярных координатах можно
использовать часть мнимой оси, соответствующую диапазону
частот от 0 до + со, а также часть бесконечной полуокружности,
идущей к положительной части действительной оси

Неооходимо отметить, что для передаточной функции, со
держащей полюсы на мнимой оси, контур С необходимо изменить
с помощью изгибов так, чтобы на его границе не было полюсов,
как показано на фиг 2 3—3; в противном случае условия спра
ведливости уравнения (2 3—18) будут нарушены Полюсы могут
быть либо исключены из контура С, либо включены в него посред
ством полуокружностей малого радиуса (обычно вычерчиваемых
справа от мнимой оси) Для полюса в точке s = /со значения s на
полуокружности около него определяются в виде
не только об абсолютной устойчивости системы, но и о ее склон
ности к колебаниям, характеризуемой величиной резонансного
пика и резонансной частотой

Пример 2 3—2 С помощью критерия Найквиста исследуем
устойчивость САР, передаточная функция которой в разомкнутом
состоянии имеет вид

Из уравнения (2 3—23) видно, что при ® = со
На полуокружности около точки s = 0, ® — ге‘* при



для некоторого значения коэффициента
усиления К = Аф, соответствующий изме
нению s вдоль контура С, охватываю
щего правую полуплоскость по часовой
стрелке Так как A (s) не содержит полюсов в правой полу

плоскости и график не делает ни одного оборота вокруг крити
ческой точки (—1 -Т /0), то система устойчива для данного значе
ния коэффициента усиления При возрастании коэффициента уси
ления амплитудно фазовая характеристика будет смещаться влево
и охватит критическую точку дважды по часовой стрелке Это
указывает на то, что 1 ф- A (s) содержит два нуля в правой полу
плоскости, т е система неустойчива Если усиление уменьшается
то амплитудно-фазовая характеристика смещается вправо и также
будет охватывать критическую точку дважды по часовой стрелке,
показывая, что система неустойчива САР, которые являются
устойчивыми для определенных значений коэффициента усиления,
помогут быть неустойчивыми как при увеличении, так и при умень
шении коэффициента усиления, называются условно устойчивыми
Пример 2.3—3 Исследуем устойчивость многоконтурной САР,
структурная схема которой изображена на фиг 2 3—5 Переда-
точные функции имеют вид

на фиг 2 3—6, б, показывает что 1 + А г (s) имеет два нуля
в правой полуплоскости Это означает, что А г (s) имеет два по
люса в правой полуплоскости Следовательно, условие устой-
чивости (2 3—20) полностью выполнено и система устойчива

Так как эта система является двухконтурной, то ее переда
точная функция в разомкнутом состоянии может иметь два раз
личных выражения в зависимости от того какой из контуров раз
мыкается Если основной и вспомогательный контуры разомк
нуты как показано на фиг 2 3—5 в точке 2, то передаточная
функция системы в разомкнутом состоянии примет вид

1000(1 4-40s)

Функция A2(s) в уравнении (2 3—32) существенно отли
чается от функции Ах (s) в уравнении (2 3—29) получаемой при
размыкании основной обратной связи Функция A2(s) не содер
жит полюсов в правой полуплоскости Как видно из фиг. 2 3—6 в,
амплитудно фазовая характеристика А 2 (s) не охватывает крити-
ческую точку поэтому система устойчива Это заключение соот-
ветствует результату первого исследования Из сказанного еле
дует, что одна амплитудно фазовая характеристика УЦ (s), соот
ветствующая разомкнутой основной обратной связи, не дает пол
ной информации об устойчивости системы, в то время как функ
ция A2(s), полученная при размыкании обеих цепей, позволяет
проанализировать устойчивость системы

2 4 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ

Тот факт, что важные свойства САР могут быть определены
из частотных характеристик, легко определяемых по передаточной
функции делает эти характеристики наиболее удобным средством
анализа и проектирования Частотные характеристики могут быть
изображены графически различными способами. Наиболее рас
пр остр а ненными способами графического представления частот
ных характеристик САР являются амплитудно-фазовая характе
ристика (диаграмма Найквиста), логарифмические, амплитудная
и фазовая частотные характеристики и диаграмма амплитуда —

Хотя способ представления передаточной функции в виде
амплитудно фазовой характеристики на комплексной плоскости
кажется более наглядным для изучения динамических свойств САР,
логарифмические характеристики и диаграмма амплитуда—фаза
более удобны для применения Для построения амплитудно фа
зовой характеристики последовательно соединенных элементов
необходимо перемножить модули амплитудно фазовых характе-
ристик элементов для каждой частоты, что представляет большие
затруднения Однако при использовании логарифмических частот-
ных характеристик значение эквивалентной передаточной функ-
ции для каждой частоты может быть найдено из соответствующих
значений передаточных функций элементов простым сложением,
так как операция логарифмирования преобразует умножение
в сложение Следовательно, использование логарифмических ча-
стотных характеристик может значительно сократить работу

Логарифмические частотные характеристики состоят из двух
кривых амплитудной характеристики и фазовой характеристики
Первая является графиком амплитуды или усиления в логарифми-
ческих единицах в функции логарифма частоты, а вторая кривая
представляет собой график фазового угла в градусах (или радиа
нах) в зависимости от логарифма частоты Логарифмические
частотные характеристики обладают следующими важными свой
ствами’

1	Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
сложной рациональной передаточной функции представляет собой
простую линейную комбинацию логарифмических амплитудных
характеристик, множителей передаточной функции

2	Логарифмическая амплитудная характеристика (Л А X )
может быть легко аппроксимирована посредством прямых ли
ний — асимптот

3	Для большинства передаточных функций, которые при
надлежат к минимально фазовому типу, амплитудная частотная
характеристика полностью определяет (однозначно) фазовую ха
рактеристику и наоборот

Согласно первым двум свойствам построение логарифмических
амплитудных частотных характеристик даже сложных систем до
вольно просто Кроме того, первое свойство может быть исполь
зовано для облегчения выбора требуемой коррекции системы
Третье свойство позволяет проектировщику обходиться во всех
расчетах лишь одними логарифмическими амплитудными ха
рактеристиками Вследствие этих свойств логарифмические ча
стотные характеристики широко применяются при анализе и проек
тировании САР

Как указано выше, рациональная передаточная функция мо
жет содержать полюсы и нули в начале координат, действитель
ные полюсы и нули, а также комплексные сопряженные полюсы и
нули, которые приводятся к шести элементарным формам

1)	s — нуль в начале координат,

2)	—---полюс в начале координат,

3)	1 + Ts — действительный нуль,

полюс,

4) у— ?----действительный
5)	1 _|-2£~ + 4----пара комплексных сопряженйых нулей

6)	_——!-------—- —пара комплексных сопряженных полюсов

I +	4- s

Логарифмические частотные характеристики этих основных
передаточных функций изображены на фиг. 2 4—1 Частота,
при которой асимптоты пересекаются, называется сопрягающей
частотой со* Для звена первого порядка со* = 1/7 и для звена
второго порядка со* — cort Так как логарифмические частотные
характеристики сложной передаточной функции могут быть по
строены по характеристикам составляющих звеньев, то это значи
тельно упрощает их построение

При проектировании САР с помощью логарифмических ха
рактеристик очень часто используются асимптотические лога
рифмические частотные характеристики Эти характеристики
можно построить легко, если передаточная функция выражена
в виде комбинации звеньев первого и второго порядков Однако
построение их не всегда является столь простым Для неминималь
нофазовых передаточных функций фазовая частотная характери
стика становится очень важной Асимптотическуюфазовуюлогариф
мическую частотную характеристику можно построить по асимпто
тическим фазовым характеристикам звеньев первого и второго
порядков входящих в состав передаточной функции, путем ело
жения Если известны наклоны и сопрягающие частоты асимпто
тических фазовых характеристик для звеньев первого или второго
порядка, то такие характеристики легко построить Звенья первого
порядка соответствуют

<?x(s) = (1 +Ts)k,	(2 4-1)

где k — положительное или отрицательное целое число Фазовый
сдвиг определяется выражением

Р =* k arctg соТ

(2 4—2)

Как следует из фиг 2. 4—2 график фазы стремится к линии
Р — 0 при со15 стремящейся к 0 и стремится к линии Р = /гл/2
при со стремящейся к со При со = со* = 1/7, которая является
сопрягающей частотой асимптотической амплитудной частотной
характеристики Gx (/со), фазовый сдвиг Р равен Ъс/4 Асимптоти
ческая фазовая частотная характеристика состоит из трех частей
Наклоны низкочастотной и высокочастотной частей равны нулю,
а наклон среднечастотной части равен наклону фазовой частотной
характеристики при со= 1/7, который может быть легко опре
делен из уравнения (2 4—2) Дифференцируя это уравнение,
получаем

__	(о 4___3\

dco “ 1 + Т2со2	{	'

44


Фиг 2 4—1 Логарифми-
ческие частотные характе-
ристики для основных
передаточных функций

у	....й~—* -д-
Учитывая соотношение

d <о_________

А/(log «9 ~ logs ’

(2 4—4)

производная от Р по logco равна
бф _	d(0	1 k7	9 4

(log соГ d(0 d (log to)	loge 1 Ь^2«>2

Следовательно, наклон среднечастотной части асимптотической
фазовой частотной характеристики определяется выражением

-—Д-—	= ~оА~ = 1,15^ при (0= ИТ (2 4—6)

d (log to) 1со=1/т	2 log e	r	v ‘

Фиг 2 4—2 Асимптотичес
кие логарифмические ампли-
тудная и фазовая характера
стики (?! (s) = (1 + Ts)k

Сопрягающие частоты со j и со2асим
птотической характеристики могут быть
вычислены из соотношений

kn/4
log toff—10g toi

£л/4
log"to2 —Tog totf

Таким образом,

0)1 “ T81

k

2 log e ’
k

2 log e

(2 4—9)

co2 -- 4,81coff (2 4—10)

Из уравнений (2 4—6), (2 4—9) и (2 4—10) можно построить
асимптотическую фазовую частотную характеристику

Звенья второго порядка соответствуют

С?2 (s) = (s2 + 2&>ns + ®2),	(24-11)

где £ — коэффициент демпфирования, значения которого лежат
между 0 и 1, а сол—недемпфированная собственная частота
в рад/сек

Фазовый сдвиг G2 (/со) определяется выражением

Р arctg

(2 4—12)

Как видно из фиг 2 4—3, при малых частотах фазовая частот
ная характеристика приближается к линии р — О как к асимп
тоте, а при больших частотах она асимптотически стремится к ли
нии р = л При со = которая является сопрягающей частотой
асимптотической частотной характеристики усиления б2 (/со), фа-
зовый сдвиг р — л/2 Асимптотическая фазовая частотная харак
46
теристика состоит из трех частей Низкочастотная и высокочастот-
ная части имеют нулевой наклон Наклон среднечастотной части
можно определить с помощью дифференцирования выражения
(2 4—12) по logco и оценки производной при со — со,г Таким
образом,

1	2	8	/о	я 1 ох

—г =	VI—’	= “7“	ПРИ	со-=	со.	(2	4—13)

с/ (log со	С log е	g	F	п	v	7

Уравнение (2 4—13) показывает, что наклон среднечастотной
части асимптотической фазовой характеристики G2 (/со) обратно

пропорционален коэффициенту демпфи
рования £

В соответствии с фиг 2 4—3 можно
получить
л/2	1

log con — log "" £ log е ’

-....

log со2 — log СОд

Уравнения (2 4—14) и (2 4—15)
дают следующие значения сопрягаю
щих частот асимптотической фазовой
частотной характеристики

и1 = (4 81Г:и„,	(2 4—16)

со2 - (4 81 )S со„	(2 4-17)

Фиг. 2 4—3 Асимптотичес
кие логарифмические ампли
тудная и фазовая характера
стики вида G2 (s) = (s2 ф-

L 2g Wns + w2)

Если звено второго порядка находится в знаменателе, наклон
средней части асимптотической фазовой частотной характеристики
равен — 2,3/С и сопрягающие частоты также определяются вы
ражениями (2 4—16) и (2 4—17), но фазовая характеристика
стремится к линии р = —л при частоте со, стремящейся к беско-
нечности

Точность построения асимптотической фазовой характеристики
легко оценить Асимптотическая фазовая характеристика для
звена s является точной, но для звеньев типа (1 4- 7s)^ она не
является точной и наибольшая ошибка наблюдается при сопря
гающих частотах фазовой ♦асимптотической характеристики со -
= 1/4,81 Т и со2 = 4,81/7 На этих частотах ошибка появляется
вследствие асимптотической аппроксимации и равна

Ps - arctgyU — 11 8° или 0 205 рад при сох — 1/4 817 (2 4—18)

Для звеньев типа (s2 +	+ co«)±i наибольшая ошибка

также наблюдается при сопрягающих частотах со 2 = (4 81)~^cort
47
100s (1

Ниже приводится пример построения асимптотической фазовой
характеристики сложной передаточной функции с использова-
нием вышеизложенных результатов

Пример 2.4—1. Построим асимптотическую фазовую харак
теристику передаточной функции

‘24-20>

Так как порядок знаменателя выше порядка числителя G (s)
на единицу, то на высоких частотах асимптотическая фазовая ха-
рактеристика стремится к линии р = —л/2 Член s знаменателя
G (s) дает фазовый сдвиг р = л/2 Таким образом, на низких часто
тах асимптотическая фазовая характеристика стремится к линии

Для звена (1 + s/5) наклон среднечастотной части асимптоти
ческой характеристики равен +1,15, а сопрягающие частоты равны

0)1 = 41Й = 1,04 Рад/сек, со2 = 5 4,81 = 24,05 рад/сек

Для звена (1 + s/50)'1 наклон среднечастотной части асимпто
тической характеристики равен —1,15, а сопрягающие частоты
равны 10,4 и 240,5 рад/сек
Для звена (s2 + 6з + 25)_1и„ = 5 рад/сек и £ = 0,6. Наклон
среднсчастотнои части асимптотической фазовой характеристики
равен —2,3/0,6 = —3,84, а сопрягающие частоты равны

2 5 КОРРЕКЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ

питания, исполнительные элементы, усилители, а также выпрями
тели и соединительные элементы Третий этап заключается в полу-
чении передаточных функций всех элементов, составлении струк
турной схемы, а также предварительном анализе системы Четвер
тый этап состоит в синтезе корректирующих устройств с целью
улучшения характеристик предварительно составленной системы
в соответствии с техническими требованиями Кроме этих основ-
ных этапов, необходимо провести исследование влияния допусков
и изменения параметров Сложные САР обычно проектируются
с использованием средств вычислительной техники и моделиро
вания В последующих параграфах кратко излагаются методы
коррекции САР

Проектирование САР можно выполнять как в частотной об
ласти, так и во временной Требования к частотным характеристи-
кам обычно включают данные о допустимых значениях ошибки
в установившемся состоянии, о запасе по амплитуде, запасе по
фазе, о максимальном отношении амплитуд выходного и входного
синусоидальных сигналов Мр (иногда называемом резонансным
пиком), о резонансной частоте со,, полосе пропускания В и наклоне
частотной характеристики системы. Ошибка в установившемся
состоянии определяет точность системы Запас по фазе, запас по
амплитуде и резонансный пик Мр определяют относительную
устойчивость, о которой упоминалось выше Резонансная ча
стота сог определяемая как частота, при которой отношение
амплитуд максимально тесно связана с быстродействием системы
Высокая резонансная частота соответствует быстрой реакции,
а низкая резонансная частота — медленной реакции

Полоса пропускания В связана со сложностью и стоимостью
системы ц определяет время нарастания переходного процесса
фильтрующие свойства и по
мехоустойчивость системы
САР с широкой полосой про
пускания обычно имеют более
короткое время нарастания
и более высокую скорость
реакции, но при большой
полосе пропускания увеличи-
вается уровень шума Кроме
того, в системе может возник
нуть насыщение С другой
стороны, уменьшение полосы
пропускания улучшает ха
рактеристики подавления шу
ма и фильтрации и может упростить коррекцию Наклон частот
ной характеристики системы также влияет на ослабление шума
При большом наклоне характеристики можно добиться значитель
ного подавлейия шума, поступающего вместе с входным полезным
сигналом и имеющего наибольшую мощность на частотах, лежащих
выше верхней границы спектра полезного сигнала.

Во временной области требования к системе обычно формули
руются в виде требований к переходной функции, представляющей
собой реакцию системы на ступенчатую функцию Обычными коли
чественными характеристиками при этом являются коэффициент
демпфирования £ недемпфированная собственная частота соп,
частота колебаний переходного процесса coz, максимальный за
брос Мт, время нарастания Тг, время переходного процесса 7\
и время задержки Td Типичная реакция САР на ступенчатую
функцию показана на фиг 2 5—1 Коэффициент демпфирования
показывает, как быстро затухает переходный процесс Он часто
используется как мера качества системы. Перерегулирование,
которое определяется как процентное отношение максимального
заброса к установившемуся значению реакции, также является
мерой качества САР Величина перерегулирования зависит от
коэффициента демпфирования и возрастает с его уменьшением
50
Время нарастания обычно определяется как величина, обратная
наклону касательной к кривой переходного процесса в точке,
соответствующей половине установившегося значения, или как
время, необходимое для нарастания переходного процесса в диа-
пазоне 10—90% установившегося значения Время нарастания
определяет искажение сигнала, вызываемое системой

Время переходного процесса часто определяется как время,
необходимое для того, чтобы колебания уменьшились и остава
лись в пределах определенной трубки Обычно на практике исполь
зуются пределы, составляющие 5—2% от установившегося зна
чения сигнала в зависимости от области применения системы
Время переходного процесса является наиболее важной временной
характеристикой САР Время задержки иногда определяется как
время, необходимое для достижения переходным процессом поло
вины установившегося значения Время задержки зависит от ско
рости изменения фазового сДвига с частотой

Хотя точных математических соотношений между техническими
требованиями в частотной области и во временной области не
имеется, однако они тесно связаны между собой Этот вопрос
кратко излагается ниже

1	Зависимость Л4„ от Мт и £ Обычно (1 |- Мт) меньше,
чем Мр Резонансный пик возрастает с уменьшецием коэффициента
демпфирования Система с общим коэффициентом демпфирова
ния 0,5—0,8 обычно имеет резонансный пик, не превышающий
1,35 для частотной характеристики замкнутой системы

2	Зависимость ыг от и Td Вообще резонансная частота
мало отличается от основной частоты колебаний, которая при £
меньше 1 равна = а>п ]/1 — с2 Время задержки возрастает
с уменьшением резонансной частоты

3	Зависимость В от Гг и Т&. Произведение времени нараста
ния Тг на полосу пропускания В непосредственно связано с пере
регулированием Обычно чем больше произведение Тг В, тем
больше перерегулирование Системы с незначительным перере-
гулированием имеют величину Тг В около 1,9, а системы с пере
регулированием 10% имеют величину Тг В около 2,8, если Тг
выражено в секундах, а В — в рад/сек Время переходного про
цесса обычно уменьшается с увеличением ширины полосы про
пускания

Выбор передаточного коэффициента Если предварительный
анализ САР указывает на то, что система неустойчива, или что ее
динамические свойства неудовлетворительны, то необходимо изме
нить характеристики системы Наиболее простым и непосредствен
ным способом изменения характеристик является варьирование
передаточного коэффициента системы. Однако во многих САР тех
нические требования нельзя выполнить при изменении только пе
редаточного коэффициента вследствие чего появляется необхо

4*	51

хелЬного контура Корректирующее устройство Может обеспечить
устойчивость для всех значений передаточного коэффициента,

л _	500

W ~ s(l +0 Is) (1 4- 0 01s)

(2 5-1)
Сточки зрения требования точности передаточный коэффициент
должен быть более 100 При этом коэффициенте передаточная

функция

(2 5-2)

f^arctg^-arctg^	(2 5-4)

Следовательно, это корректирующее устройство дает макси-
мальный фазовый сдвиг на частоте

(2 5-5)
этого корректирующего устройства Примем = 69°, тогда из
уравнения (2 5—6) получим

]/-g- =0,183	(2 5—7)

При последовательной коррекции фазовый сдвиг Ас (s) на
частоте среза сос определяется выражением

+	₽5-«)

Подставляя = 40°, т е требуемый запас по фазе, в урав
нение (2. 5—8), получаем

(2 5—10)
Решая совместно уравнения (2 5—7) и (2 5—10), получаем
а2с — 50,7оз, — 1000 =0	(2 5—11)

Положительный корень уравнения (2 5—11) дает частоту среза
(о,— 66 рад/сек	(2 5—Па)

Величины оз,, и со,, могут быть затем определены из уравнений

соа — 12,1 рад/сек, аь = 360 рад/сек (2 5—12)

Таким образом, передаточная функция последовательного кор
ректирующего устройства определяется выражением

л. м = 1 + S/12J =	(2 5—13)

и передаточная функция скорректированной системы принимает
вид

100(1 -f- 0,0826s)

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
скорректированной системы в разомкнутом состоянии строится за

тем по уравнению

педующий шаг заключается в лро

верке, удовлетворяет ли вычисленная Ас (s) заданным требованиям
Логарифмическая амплитудная характеристика Ас (s) показы-
вает, что частота среза составляет 70 рад/сек, что несколько
больше, чем вычисленная величина 66 рад/сек Из уравнения
(2 5—14) следует, что запас по фазе скорректированной системы
составляет около 42° Таким образом, требования точности, ка
чества и устойчивости полностью выполнены и выбранная после
довательная коррекция полностью пригодна Следует отметить,
что вместе с корректирующими устройствами, дающими опереже
ние по фазе, обычно используется предварительный усилитель
для поддержания коэффициента усиления равным 1

Коррекция при помощи параллельных корректирующих
устройств Выбор метода коррекции обычно зависит от специфи
ческих свойств системы, применяемых элементов, соображений
экономии, опыта расчетчика Параллельная коррекция иногда
имеет преимущество перед последовательной коррекцией, заклю
чающееся в том, что изменение параметров элементов системы
охваченных обратной связью, мало влияет на характеристику
системы, если передаточный коэффициент контура достаточно
велик и параметры корректирующего устройства в обратной связи
не изменяются Благодаря этому параллельная коррекция часто
используется для улучшения характеристик САР, в состав кото
рых входят элементы с переменными передаточными коэффи
Для внутреннего контура передаточная функция в разомкну
м состоянии равна

Лт(з) = б2(з) Hc(s)	(2 5-15)

зыход и вход контура связаны выражением

ТГГ) °	».<.)	<25-16’

(2 5-17)

(2 5-18)

и, следовательно, обратная связь не оказывает существенного
влияния

Если же коэффициент усиления внутреннего контура значи
тельно больше 1

(2 5-19)

(2 5-20)
Передаточная функция скорректированной системы в разомк
нутом состоянии имеет вид

(2 5-21)

Ас (/со)	(/со) 6, (/со) = А (/со),	(2 5—22)

или в функции от

(2 5-24)

2 6 МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА

Предыдущий параграф был посвящен краткому изложению

частотных методов проектирования, где частотная характеристика
цесса, тесно связаны с корнями характеристического уравне
ния САР, которые являются полюсами передаточной функции
замкнутой системы Если эти корни определены, то можно опре
делить различные параметры переходного процесса Следова
тельно, для того чтобы спроектировать САР на основании требо-
ваний, заданных во временной области, необходимо знать, каким
образом изменение характеристических корней будет влиять на
переходную характеристику системы Эти данные можно легко
получить из траектории корней САР в зависимости от коэффи
циента усиления системы как параметра График такого рода
обычно называется корневым годографом

Метод проектирования системы с помощью корневого годо
графа основан на изучении влияния перемещения корней на ее
поведение в переходном режиме по графику корневого годографа
системы С помощью корневого годографа проектирование САР
можно выполнять простым подбором нулей передаточной функции
системы, корней характеристического уравнения и передаточного
коэффициента системы в разомкнутом состоянии таким образом
чтобы добиться нового расположения нулей и полюсов переда-
точной функции разомкнутой системы, удовлетворяющего пока
зателям качества переходного процесса Метод корневого годо
графа позволяет учитывать как частотную характеристику, так
и переходную характеристику, связывая таким образом широко
используемый частотный метод синтеза с довольно трудным мето
дом синтеза во временной области

Так как метод корневого годографа, первоначально разрабо
тайный для расчета непрерывных САР, может быть легко распро
странен на импульсные и цифровые САР, необходимо краткое
изложение некоторых важных аспектов этого метода Основные
правила составления корневых годографов, освещенные в боль
шинстве книг по линеинои теории следящих систем, здесь при
водиться не будут Данный параграф в основном посвящен рас
смотрению методики проектирования с помощью метода корне
вого годографа Этот материал будет впоследствии использован
при изложении метода проектирования импульсных САР б по
мощью метода корневого годографа в параграфе 9 8

На основании рассмотренной структурной схемы САР, изо
браженной на фиг 2 6—1, можно записать характеристическое
уравнение в виде

где A (s) = G (s) Н (s) — передаточная функция системы в ра
зомкнутом состоянии
Уравнение (2 6—2) может быть переписано в виде

Л (в) = — 1 = е/(180°±п3604

(2 6-3)

График этого уравнения в комплексной плоскости при коэф
фициенте усиления в качестве параметра называется корневым
годографом системы Уравнение модулей
ЭД определяет величину усиления для каждой
точки годографа

Проектирование САР с помощью метода
корневого годографа состоит в изменении
графиков корневых годографов перемещением
или введением новых полюсов и нулей пере
даточной функции разомкнутой системы
Ниже приводятся примеры, показывающие

влияние перемещения нулей и полюсов разомкнутой системы
на характеристики замкнутой системы

Пример 2.6—1. Влияние перемещения полюса передаточной
функции системы в разомкнутом состоянии Рассмотрим САР
с передаточной функцией в разомкнутом состоянии

(2 6-6)
Если эта точка весьма близка к действительной оси, то

V- 180°--^т> 0г1 = 180° —<2 6~8)

(2 6-9)

	хо	«,	1	
0  2  10	1*8  2,14  25	0  0 578  0,707  0,774  0,845 0 968	ОО  8  9  10,7  242

(1 + K)ss + (2 + Р1) s2 + (1	2Р1)з + рх - О, (2 6-11)

(2 + Pj) со2 — pi = О,

(2 6—12)

(1 + К) а2 - (1 + 2pi) = О

(2 6-13)

61
Решением этих уравнений является

(2 6-14)

которое определяет точки пересечения мнимой оси Величина

(2 6—15)
причем эта точка на действительной оси является центром распо
ложения нулей и полюсов Когда Zj = 4, хс = 0 и годограф при
ближается к мнимой оси асимптотически При zt < 4 центр ле
жит на отрицательной половине действительной оси, а при zt > 4
центр располагается на положительной части действительной оси

Пересечения годографа с мнимой осью можно легко определить
по характеристическому уравнению системы

s3 + 4s2 + (20 + К) s — Kzt - 0	(2 6—18)

На мнимой оси s = /®, и уравнение (2 6—18) принимает вид
_/из_ 4®2-l / (20 + К) со + Kzt = 0,	(2 6—19)

из которого получаем систему из двух совместных уравнений

4®2 — Kzt - 0,	(2 6—20)

co2—(20 +К) = 0

Решениями этих двух уравнений являются

80
				»pl
0  2  8	—2  0  2	co  7 75  6 32	oo 40  20	90  63 5  18 5  72

(2 6-24)
из комплексных полюсов и перемещаются влево при уменьше
положных направлениях

Соображения по проектированию Вследствие простоты и лег
кости, с которыми строятся корневые годографы САР по нулям
и полюсам разомкнутой системы, а также вследствие возможности
определять по корневому годографу влияние изменений пара
метров системы на ее характеристики, метод корневого годографа
широко применяется для проектирования САР Этот метод может
быть использован для определения передаточного коэффициента
исходя из требований к качеству системы во временной области

часто характеризуется коэффициентом демпфирования пары пре

записываются в следующем виде

Эта линия, соответствующая постоянному значению £, часто
называется линией постоянного демпфирования Чем меньше
угол ф, тем выше коэффициент демпфирования Когда коэффи
циент демпфирования задается в технических условиях, линия
демпфирования соответствующая требуемому значению £, про
а0«1а2 =
а сопряженный корень



(2 6—33)

Разлагая на множители, получаем

C(s) =	+ 7^7-,

(2 6-41)

где Ко = 1, Ki = r2rj(rr — г2) (/-! — г3), К2 является сопряжен
ным по отношению к К, и К3 = — r1r2/(r3 — rj (г3 — г2) Пере-
ходный процесс, следовательно, определяется в виде
Тогда





(2 6-43)

(2 6-44)

(2 6-45)

Используя уравнения (2 6—44) и (2 6—45), получаем колеба-
тельную часть с (t) в виде

+ е^К2 ==	| e-“i< cos (®^ — л — Фх — Ф2) -

= у=т | 7Г=771 e~ai< cos (®iZ ~ л “ ф1 ~ ф2) <2 6~46)

(2 6-47)
полюс, корневой годограф смещается вправо (фиг 2 6—6, б)
и делает систему неустойчивой при большем передаточном коэф
фициенте Если же в передаточную функцию разомкнутой системы
вводится нуль, то годограф смещается влево (фиг 2 6—6, в)
Таким образом, добавление нуля делает систему более устойчи
вой С помощью введения соответствующих комбинаций полюсов
и нулей корневой годограф преобразуется так что корни характе
ристического уравнения могут быть сдвинуты в требуемые поло
жения, в результате чего улучшаются как временная, так и ча
стотная характеристики
то передаточная функция замкну
той системы становится

без коррекции изобра

Если для коррекции исполь

зуется цепь
включенная

отставания Gc (s),
последовательно
передаточная функция скорректированной системы в разомкну
том состоянии будет
Таким образом, возрастание угла выхода равно фазовому
сдвигу вносимому цепью опережения Как видно из фиг 2 6—
9 Фо возрастает с увеличением расстояния между корректирующим
нулем и полюсом Если коэффициент усиления заранее известен,
то опережающая цепь необходима для осуществления заданного
демпфирования, определяемого из графика корневого годографа
Это может быть осуществлено с помощью оценки желаемого
расположения нового корневого годографа и угла выхода Линия
требуемого демпфирования должна пересекать новый корневой
годограф в точке, которой соответствует коэффициент усиления
больший, чем установленное значение Требуемую цепь опереже
ния можно найти посредством вычисления угла выхода нового
годографа Удовлетворительный результат может быть получен
с помощью нескольких пробных расчетов

В случае, когда требу, о пф по ан	> обеспе

чить за счет введения простой реализуемой опережающей цепи,
требуются более стожные корректирующие цепи Передаточная
функция сложной цепи, которая состоит из нескольких простых
пар нулей и полюсов, может быть определена из корневого годо
графа с помощью применения указанного выше порядка действий
для каждой пары нуль — полюс Каждая такая пара будет улуч
шать корневой годограф системы. Совместный эффект пар нуль —
полюс приведет систему в соответствие с требуемыми характери-
стиками Однако в САР, передаточные функции которых содержат
пару комплексных сопряженных полюсов, близких к мнимой оси,
опережающая коррекция не является эффективным средством
В этом случае необходима коррекция за счет сдвига полюсов
и нулей
Наиболее общим методом коррекции является коррекция с по
мощью сдвига нулей и полюсов которая заключается в переме
щении нулей и полюсов в требуемое положение с помощью частич
ного или полного сокращения нулей и полюсов в передаточной
функции системы в разомкнутом состоянии С помощью такой
коррекции весь корневой годограф может быть перемещен в новое
положение в котором корни характеристического уравнения
системы будут удовлетворять требуемым частотной и переходной
характеристикам Рассмотрим САР, структурная схема которой
изображена на фиг 2 6—7 Передаточная функция регулируемой
системы представлена в виде

(2 6—60)

Когда С4 мало пара сопряженных комплексных полюсов Gx (з)
располагается поблизости от мнимой оси и коррекция с помощью
цепей опережения, имеющих простые полюсы и нули не приводит
к требуемым результатам Однако легко показать, что если эту
пару комплексных полюсов удалить от мнимой оси то динамиче
ская характеристика системы может быть значительно улучшена
Перемещение комплексных полюсов может быть выполнено с по
мощью введения корректирующей цепи с передаточной функцией

‘ (s J- ас- /wc) (s l цс

причем a, = ai и tOj = «и Тогда пара комплексных сопряжен
ных нулей сократится с комплексными полюсами Gx (з) в резуль
тате чего передаточная функция в разомкнутом состоянии будет

Л, (s) - G, (S) G. (») >	(2 6-62)

Эта передаточная функция содержит пару новых комплексных
сопряженных полюсов Корневые годографы нескорректирован
ной и скорректированной систем изображены на фиг. 2 6—
10, а и б Полное сокращение нежелательных комплексных полю
сов с помощью нулей корректирующего устройства трудно реали
зовать на практике Обычно можно расположить нули корректи
рующего устройства вблизи от нежелательных полюсов переда
точной функции разомкнутой системы, чтобы получить частичное
сокращение, а вводимые новые полюсы поместить в некоторое
требуемое положение В этом случае передаточная функция
в разомкнутом состоянии будет



Х2 (0 = Xx (t) COS (j)ct

cos act = (e'“cZ + e ,a^t

уравнение (2 7—1) преобразуется к виду

x2(t) = ^(e^ + e~!ae^Xi(t)

(2 7-3)

= ~ [Xj (s — jcoc) f-Xj (s 4-/<ос)]

^(S)-	x2(s) = 5?K(0}

= Gc

(2 7-5)
Применяя обратное преобразование Лапласа к уравнению
(2 7—6), получаем

Применяя теорему смещения в комплексной области уравне
ние (2 7—7) можно записать в виде

г3 (0 = 4-	{Gс (з + 1 йс) X , (5)} е~1и>с‘

+ {Gc(s~ /сос) X. (s)} е1<л‘‘	(2 7-8)

С помощью уравнения Эйлера

— cos 4- j sin	(2 j—9)

уравнение (2 7—8) можно представить в виде

А'з (0 А'р (/) c°s 4 jxq(t) sin (&ct (2 7—10)
в котором

xP(t) = ~^-'{[Gc(s /Мс) г Gc(S-7®c)]X1(S)) (27-11)

и

xq(t)^ {[Gc(s-](i>c)-Gc(s4- I(£>C)]X1(S)} (2 7-12)

здесь xp (t) и Xq (t) — низкочастотные сигналы

Уравнение (2 7—10) показывает, что реакция элементов на
переменном токе х3 (t) представляет собой модулированный сиг
нал, состоящий из двух составляющих, сдвинутых по фазе на 90°
Низкочастотный сигнал хр (t), который находится в фазе с несу
щей, называется синфазной составляющей, а низкочастотный
сигнал хд (/), сдвинутый на 90° относительно несущей называется
квадратурной составляющей Выход синхронного детектора х0 (/)
определяется по информационному сигналу содержащемуся
в функции 2x3 (f) cos (($ct + 0J

Выходной сигнал (t), который получается из этой функции
с помощью фильтрации и детектирования, может иметь различные
формы, зависящие от величины фазового угла 0С

Используя уравнение (2 7—10), получаем

2х3 (/) cos ((act 4 0с) = [хр (t) cos Qc + l^q (0 sin 0c] —

+ [cos O^cos 2(dct + sin 0r sin 2(0^] xp (t) -p

+ ] [cos 9C sin 2co^ — sin Occos 2ш^] xq (t)	(2 7—13)
Так как синхронный детектор пропускает только низкочастот
ные сигналы, а несущая частота обычно намного выше, чем
наивысшая частота составляющей выходного сигнала, выход
детектора определяется первым членом уравнения (2 7—13), т е

Х0 (0 = Хр (О Cos -t- ]Xq (О sin	(2 7—14)

Применяя преобразование Лапласа к уравнению (2 7—14),
получаем

Хо (s) = Хр (s) cos 0с + ]Xq (s) sin 0C,	(2 7—15)

где

(s) = X К (/)}, xp(s) = X \xp(t)\ Xq(s) = X \xq(t)\

Преобразования синфазной и квадратурной составляющих
находятся из уравнений (2 7—11) и (2 7—12)

Хр (з) = 2- [Gc (з п /со.) + Gc (s - Ж)] X, (з),	(2 7-16)

X9(s)^4-[G^s-/m^-G^s + /m^XHs) (2 7~17)

Определяя

Gp (з) = 4" [$с (s + /“J -г Gc (s — /сос)] cos 0C (2 7—18)

[Gc (s — j(£>c) — Gc (s r/cof)] sin 0C

(2 7—19)

и подставляя выражения Xp (s) и Xq (s) в уравнение (2 7—15),
можно найти преобразование выхода всей цепи переменного тока

Хо (s) = [Gp (s) -J- jGq (s)] Хг (s)

(2 7—20)

Затем, разделив обе части уравнения (2 7—20) на Хг (з)
и обозначив отношение преобразования выхода к преобразованию
входа через Ge (з), получим

G*<s)=4r^=	(2 7-21)

= Gp (s) + jGq (s) =	(2 7-22)

= 4-	(« 4 /“c) + Gc (s — jcof)] cos 0C +

+ 1 4- IGc(s — 1 “J — Gc (s + / cof)] Sin0c (2 7—23)

80
Ge (s) определяется как эквивалентная передаточная функция
цепи на переменном токе Уравнение (2 7—23) можно упростить,
если частотная характеристика элементов на переменном токе
симметрична относительно несущей частоты В этом случае

Gc (s +- / co J = Gc (s — / coc)	(2 7—24)

Следовательно, квадратурная составляющая становится рав
ной нулю, и эквивалентная передаточная функция запишется

Ge (s) = Gc (s+ /coc)cos0c

или

Ge (s) = Gc (s — jcoc) cos 0C

(2 7—25a)

(2 7— 256)

Фазовый угол 0C опорного напряжения детектора не только
влияет на коэффициент усиления системы, но также вызывает
искажения сигнала и лишний расход мощности Таким образом,
для более эффективной работы 06 должен быть равен нулю, т е
сигнал несущей модулятора и опорный сигнал демодулятора
должны находиться в фазе В этом случае сигнал на выходе детек
тора равен синфазной составляющей хр (/), которая является
требуемым выходным сигналом Эквивалентная передаточная
функция для 0С = Q непосредственно получается из уравнения
(2 7—23), т е

Ge (s) = [Gc(s + /<oc) + Gc(S —(2 7 -26)

Кроме того, если цепь на переменном токе имеет симметричную
частотную характеристику, то эквивалентная передаточная функ
ция примет вид

или

(2 7—27а)
(2 7—276)

Эти уравнения позволяют переходить от высоких частот к низ
ким, тес помощью этих уравнений цепь переменного тока
преобразуется в свой низкочастотный эквивалент

Следовательно, когда цепи на переменном токе САР описы
ваются эквивалентными передаточными функциями, система пре
образуется в эквивалентную САР на постоянном токе, вследствие
чего могут применяться обычные методы анализа и синтеза САР
Уравнения (2 7—27а) и (2 7—276), которые выражают переход
от высокочастотной цепи к ее низкочастотному эквиваленту,
с успехом применяются при анализе систем. При проектировании
следящих систем на переменном токе с помощью обычных методов

5 Юлиус Т Ту	81
В функции ОТ ](£>

Gc (J“) = Ge (/“ + J“c) ДЛЯ со < О

(2 7—29а)
(2 7-296)

лятора, когда несущая является последовательностью импульсов
может легко выполнять прерыватель, работающий со скоростью
равной частоте несущей. Если последовательность очень узких
однородных импульсов используется в качестве несущей, то моду
лятор преобразует информационный сигнал САР в последователь
ность узких модулированных по амплитуде импульсов Как ука
зано в гл 1 такой вид работы характеризует импульсную САР.
Следовательно, импульсная САР может считаться специальным
видом системы автоматического регулирования с модуляцией
(с амплитудной импульсной модуляцией), в которой несущей
является последовательность узких импульсов и передача инфор
мании осуществляется прерывисто В таких САР модуляция
выполняется импульсным элементом, а демодуляция — запоми
нающим элементом (фиг 2 7—4 б) Кроме того, цифровая система
может рассматриваться как САР с импульсно-кодовой модуляцией
так как в системах, использующих цифровую вычислительную
машину, процесс преобразования непрерывной информации в циф
ровую является отчасти процессом модуляции В этих САР моду
лятору и демодулятору соответствуют преобразователь непрерыв
ной величины в цифровую и преобразователь цифровой величины
в непрерывную (фиг 2 7—4, в)
чяцией использующая преобразование непрерывных величин в’ цифровые
цифровых в непрерывные, т е цифровая САР (в)
ГЛАВА 3

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕРЫВАНИЯ
И КВАНТОВАНИЯ

3 1 ПРОЦЕСС ПРЕРЫВАНИЯ
элемента

последовательность очень узких импульсов огибающая которых
в точности соответствует входному сигналу Следовательно,
процесс прерывания может рассматриваться как процесс импульс
ной модуляции, который преобразует непрерывный сигнал в после
довательность узких —'

амплитудной

пульсов

модуляцией, а импульсный
элемент может рассматри
ваться как модулятор с не
сущей в виде последова-
тельности единичных им

пульсов

пульсов представляет со
бой ряд одинаковых узких
импульсов с высотой, рав
ной единице, следующих
друг за другом через один и тот же интервал времени Т Интер
вал времени Т между двумя соседними импульсами называется
периодом прерывания, а ширина импульса т называется дли
дельностью прерывания При наличии прерывания в виде импульс
ной модуляции выходная функция у (t) импульсного элемента свя
зана с его входным сигналом х (/) выражением
Форма функции U (г. /) изображена на фиг 3 1—2 б При
последующем изложении вход импульсного элемента будет назы
ваться непрерывным сигналом, а его выход — импульсным сиг
налом

3 2 АНАЛИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЕДИНИЧНЫХ
ИМПУЛЬСОВ

Как уже указывалось в предыдущем параграфе импульсный
сигнал равен произведению последовательности (функции) еди
ничных импульсов на непрерывный сигнал Функция единичных
импульсов играет важную роль в исследовании процесса преры
вания Знание характеристик этой функции является существен
ным для изучения поведения импульсных устройств и импульсных
систем Ниже приводится анализ функции единичных импульсов

Так как функция единичных импульсов U (т^) которая состоит
из последовательности одинаковых импульсов единичной высоты
(фиг 3 1—2, б), является периодической функцией, то она может
быть представлена в виде ряда Фурье Предположим что

cos = 2H/s	(3 2-1)

является частотой импульсной функции в рад/сек Тогда

период прерывания в сек. и т — ширина импульса в сек В этом
случае функцию единичных импульсов можно представить в виде
ряда Фурье следующим образом

где Сп — коэффициенты Фурье, определяемые по формуле

Так как в течение периода прерывания Т функция единичных
импульсов описывается выражением

то уравнение (3 2—4) можно преобразовать к виду

(3 2-6)
Легко показать, что для п

(3 2—7)

Подставляя уравнение (3 2—6) в (3 2—3), получим



т , \Л 2[sinncosz — sinncos(Z
~ Т + Zj	nwsT

(3 2-8)

Следовательно,

U (г?) =	cos п (&V ~ Ф)1 (3 2-9)

где

=	(3 2-10)
3 3 ЧАСТОТНЫЕ СПЕКТРЫ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ

Используя уравнения (3 1—1) и (3 2—9), получим следующее
соотношение между импульсным и непрерывным сигналами
Из уравнений (3 3—1) и (3 3—2) следует, что импульсный
сигнал может быть записан в виде

!/ (О = -у- c°s + 9о) + X '^пп^-Г~ cos +

+ 90) cos п (ю^ — Ф) = ~ cos (соо£ + 90) +

+ у	cos **• n(^f + e° “ Пф1 +

+ ~ 2	cos [(fflo — «4) t + $0 + пФ] (3 3-3)

У (t) = у- j]	cos	+ 0o — пФ] =

+we-/9° S -SrT} е1пфe~!(й,“+nй,s, 1 <3 3~4)

e±/ (9“"ПФ> = ।c" 1 (3 3~5)
которые отличаются по частоте и фазе от непрерывного сигнала
соответственно на ±псо5 и ±пФ Фазовый угол Ф определяется
уравнением (3 2—11) Эти дополнительные синусоидальные со
ставляющие, которые появляются вследствие прерывания, часто
называют боковыми или дополнительными составляющими Сле
дует отметить, что высокочастотные составляющие в уравне

Если частота прерывания cos более чем в 2 раза превышает
частоту сигнала со0, то при прохождении импульсного сигнала у (/)
через идеальный низкочастотный фильтр с шириной полосы
cos рад/сек сигнал на выходе фильтра будет равен

y^-cos(coo/ + 0О)	(3 3—9)

и практически является непрерывным первоначальным сигналом
только ослабленным в х/Т раз Таким образом, при этих условиях

3 4 ЗАПОМИНАНИЕ

Как уже указывалось в предыдущем параграфе, прерывание
вызывает генерацию боковых или дополнительных частот в им
пульснои системе Эти побочные частоты являются нежелатель
ными, так как они вызывают нежелательные пульсации на вы

ЕГУ	— а1

ходе САР Одним из спосо
бов устранения этих пуль
саций является запоминание
Здесь под запоминанием под
разумевается процесс сохра
нения постоянства измерен
ных значений сигнала (в мо
менты прерывания О, Т, 2Т,
ЗТ, ) в течение части или
всего периода прерывания
Сигнал с выхода импульс
ного элемента, поступая в за
поминающий элемент, преоб
разуется в последователь

ность прямоугольных импульсов (фиг

б), если

запоминание осуществляется только в течение части периода
прерывания (частичное запоминание), или преобразуется в сту
пенчатую функцию (фиг 3 4—2), если запоминание осущест
вляется в течение всего периода прерывания (полное запомина
ние) В этом параграфе излагается влияние запоминания

На фиг 3 4—1, а изображена блок-схема импульсного эле
мента, на выход которого включен запоминающий элемент Для
графе 3 3, для синусоидального сигнала, определяемого уравне
нием (3 4—1), последовательность амплитудно модулированных
импульсов шириной т может быть записана в виде

У (0 = у- 2 S‘Xr7) cos «“о +	+ 0о ~ нФ], (3 4-3)

здесь Ф = cost/2 Последовательность элементарных импульсов
для моментов времени 0, Т, 2Т,	, изображенных на фиг 3 4—3,

может рассматриваться как последовательность амплитудно моду
лированных импульсов, так как их ширина бесконечно мала
и, следовательно, справедливо выражение

А» (0) =	‘ +


Так как в пределе

At/ (0) = ~ 2 cos [(и0 -t- /гы5) t + 0О] Ag

+ «“s) (i — £) -1- 0ol dl

Вынося знак суммы из под интеграла, получаем

Ус (0	2 f cos [(соо ) flcos) (t — 0 + 90] di-

(3 4-6)

(3 4-8)

(3 4-9)

Интегрируя уравнение получаем

sin [((Op + n<os) / + 60] — sin [((Op + «(Os) (j — aT) + 60]

-aV S -51(ш„+t^Hc/Fcos(/—Tc/2)~e0] (3 4-11)
aV	co, [co0 (t - Tc/2) + 0O],

(3 4-12)

(3 4-13)

.. (f\ — V V sm [(юо + n(°s) Tf.

+ ncos) —4") + 0ol

(3 4-15)

Очевидно, вследствие процесса запоминания амплитуда допол
нительных составляющих уменьшается Однако применение запо
минающего элемента приводит к появлению постоянного запазды
вания в системе

Для простоты рассмотрения действия запоминающего элемента
его можно считать линейной цепью. Характеристики запоминаю
щего элемента, который относится к задерживающим цепям
используемым в импульсных системах, могут быть получены из
передаточной функции, описывающей запоминающий элемент
Согласно фиг 3 4—1 а, входом запоминающего элемента у (t)
является последовательность равномерно расположенных узких
импульсов, а его выходом yc(t) — последовательность равномерно
расположенных импульсов шириной Тс Представляя входную
последовательность импульсов в виде эквивалентной последова
тельности импульсов, преобразование Лапласа от входа у (/)
можно представить в виде

где yk — величина k го импульса (или значение k го эквивалент
ного импульса) Преобразование Лапласа сигнала с выхода запо
минающего элемента уе (t) (фиг 3 4—1, 6) может быть получено

Следовательно, передаточная функция запоминающего эле
мента имеет вил

Подставляя /со вместо s в уравнение (3 4—18), получаем ча
стотную характеристику

Фазовая характеристика запоминающего элемента

Отсюда ясно, что время запаздывания, вводимое запоминаю
щим (или удерживающим) элементом, равно половине периода
запоминания Характеристики запоминающих элементов рас
сматриваются в следующей главе

3 5 ТЕОРЕМЫ ПРЕРЫВАНИЯ

Основная теорема прерывания Сигнал f (/) с ограниченным
частотным спектром от 0 до f0 гц полностью определяется последо
вательностью своих дискретных значений (импульсов), разделен
ных интервалом Т — сек, где Т — период прерывания

Эта теорема означает, что если сигнал преобразуется в после
довательность импульсов, частота повторения которых вдвое
превышает наивысшую частоту сигнала, то при преобразовании
первоначального сигнала в импульсный информация не теряется
Можно также сказать, что согласно основной теореме непрерывный
сигнал может быть передан в импульсной форме без потери инфор
мации, если частота прерывания, по крайней мере, в 2 раза больше


(3 5-1)

F (ш) = Ij ® e~,V>tdt

(3 5-2)

f(t) = 4r f

(3 5—3)

где

(oo = 2rt/0	(3 5—4)

Далее, если функция f (Z) прерывается с постоянной частотой
Д = 2/0, то в любой момент прерывания

t = n/2/o — пТ	(3 5—5)

величина сигнала равна

f^T) = ^ \F^)e^rda	(з 5_6)



F(to)- с„е-'лмГ,

(3 5—8)

97
здесь коэффициенты Фурье определяются по формуле

f F (©)

(3 5-9)

Сравнение уравнения (3 5—9) с уравнением (3 о—6) дает

Уравнение (3 5—10) показывает, что коэффициенты Фурье сп
частотной функции F (со) могут быть легко вычислены если изве
стны значения сигнала f (/) в моменты прерывания пТ Иными
словами, дискретные значения f (пТ) сигнала, взятые в моменты пТ,
полностью определяют коэффициенты Фурье сп, которые, в свою
очередь, определяют функцию F (со) Так как сигнал считается
полностью определенным, если известен его частотный спектр,
то ясно, что дискретные значения f (пТ) сигнала, взятые в мо
менты пТ, полностью определяют сигнал f (/) Приведенное дока
зательство этой теоремы не является строгим, однако оно доста
точно для иллюстрации

Кроме того, можно легко показать, что сигнал с ограниченным
частотным спектром /0 гц полностью определяется его дискретными
значениями, взятыми в последовательные моменты времени,

разделенные интервалами Т

?0 сек Подстановка уравне

ния (3 5—10) в уравнение (3 5—8) дает

F(co) = T J f(nT)e-i™r

Вынося знак суммирования за интеграл, получим

f(O = -^F 2 t(nr> f eia{t~nT}dti> -

2
так как



Уравнение (3 Ь—13) можно записать в виде

И')'

Уравнение (3 5—15) показывает, что сигнал

определяется

суммой произведений из его дискретных значений в моменты
прерывания на функцию



которая равна единице в п й момент п]
во все остальные моменты прерывания

1, а Поэтому если известны зна

п — 0 изображен на фих

чения сигнала в моменты прерывания, то, используя уравне
ние (3 5—15), сигнал может быть воссоздан по этим импульсам,
как показано на фиг 3 5—1, б

Среднеквадратичное значение импульсного сигнала Если сиг
нал f (0 не содержит составляющей с угловой частотой nas/2
или двух составляющих с угловыми частотами <0i и и,
то среднеквадратичное значение импульсов /2 (kT) равно средне
квадратичному значению самого сигнала /2 (/), где cos — частота
прерывания в рад/сек, f2 (kT) — среднее значение квадратов
мгновенных импульсов сигнала f (/) при бесконечном количестве
импульсов При этом

Последовательность единичных импульсов [уравнение (3 2—9) ]
в случаё мгновенного прерывания определяется выражением

причем фазовый угол Ф = cost/2 становится равным нулю при т
стремящемся к нулю Для определения квадратичной импульсной
функции необходимо перемножить квадрат сигнала /2 (/) на после

довательность единичных импульсов

п п Л

r J + Л р у _51П(д.у) ,

'ИГ 3 5—2 Последовательность Т	плт/Т

(3 5-20)

Среднее значение квадратов величин импульсов является
пределом среднего значения /2 (t)U (/), взятого на интервале т
определяющем длительности замыкания Как видно из фиг 3 5—2
среднее значение последовательности импульсов взятое на интер
вале замыкания (длительности импульса), в Т/х раз больше ее
среднего значения, взятого на всем периоде повторения Т Следо
вательно, среднеквадратичное значение последовательности им
пульсов определяется выражением

f^kTj = U (0	(3 5-21)

Подставляя уравнение (3 5—20) в (3 5—21). получим

hm jf2 (0 ф 2 ^2(Oc0s/r<os/-sin-g;/n ] =

Г (0+ 2

(3 5—22)

Среднее значение функции /2 (/) cos nast взятой на очень боль
шом интервале времени, равно нулю, несмотря на то. что f“ (t)
100


что и требовалось доказать

3 6 КВАНТОВАНИЕ ПО АМПЛИТУДЕ

вается кодированием

Так, в системе с двоичным кодом кодовая группа состою из
нескольких импульсов, причем присутствие импульса обозна-
чается с помощью 1, а его отсутствие 0 Кодовая группа, состоящая
из п посылок (посылка означает присутствие или отсутствие им-
пульса в определенном месте кодовой группы) может определить
2п уровней амплитуды дискретного значения сигнала Процесс
прерывания, квантования по амплитуде и кодирования в цифровых
системах частот называется аналого-дискретным преобразованием
Посредством этого процесса значение физической величины пре
образуется в числовой код. являющийся средством передачи
и обработки информации в цифровых вычислительных устрой
ствах Квантование и прерывание оказывают основное влияние
y(t)

ренная величина определяется числом, соответствующим ближай-
шему значению этой величины, целому кратному шагу квантова-
ния по уровню По существу квантование приводит к искажениям
измеряемой величины, и точность измерения зависит от величины
шага квантования Это искажение, являющееся следствием кван
тования, часто называется ошибкой квантования Для определе
ния необходимого количества уровней амплитуд или шагов кван
тования, требуемых для точного измерения или представления
сигналов, необходимо знать связь между величиной уровней
квантования и получаемыми при этом искажениями

На фиг 3 6—1 представлены статическая характеристика
устройства квантования (квантователя) и его схематическое изо
бражение Выход у квантователя является однозначной функцией
его входа х Входной сигнал, значение которого находится в пре
делах некоторого шага квантования, вызывает на выходе сигнал,
уровень которого соответствует середине этого шага Например,
вход х ~ Ь7,468	, который лежит в пределах 5?-го уровня

квантования, будет давать на выходе у = 57; аналогично входное
значение х = 56,895	, которое также лежит в пределах 57-го

уровня квантования, тоже даст выходное значение у = 57 Вход
ная величина х может выражаться любым конечным числом,

в то время как выходное значение у может определяться лишь
целым числом уровней квантования (или квантов), наименее

отличающимся от величи
ны входного сигнала х

Поскольку квантование
является п роцессом при
ближенного численного
представления непрерыв
ной величины, то оно свя
зано с округлением и ошиб
ка квантования эквива
лентна ошибке округления

в числовом анализе. Число

обычно представляется в
виде последовательности
цифр, располагаемых слева
и справа относительно за
пятой Количество цифр
слева от запятой — конеч
ное, в то время как коли
чеотво цифр справа от за
пятой может быть беско



Фиг 3 6—2 Форма квантованного сигнала (а)
график ошибки квантования (б)

нечным При вычислениях может быть учтено только конеч
ное количество этих цифр Ошибка, возникающая вследствие
пренебрежения остальными цифрами, называется ошибкой округ
ления В процессе квантования ошибка округления появляется
вследствие конечной величины шага квантования Чем меньше шаг

квантования, тем меньше ошибка округления

Если на квантователь подается непрерывный сигнал, то выход-
ной квантованный сигнал имеет ступенчатую форму (фиг 3 6—
2, а) Различие между входным сигналом и квантованным выход-
ным сигналом представляет собой ошибку квантования, которая
является функцией величины шага квантования и входного сиг-
нала Таким образом,

е (</, х, t) = х (0 — у (t),

(3 6-1)

где	q — величина шага квантования,

е ((?, х, /) — мгновенное отклонение выходного сигнала от
входного и

о < е (q, x,t)<q

(3 6-2)

103
Для входного сигнала показанного на фиг 3 6—2, а ошибка
квантования в функции времени изображена на фиг 3 6—2, б
Следует отметить, что любое изменение входного сигнала в преде
лах одного шага квантования не изменяет выходной сигнал
и искажения, вызываемые ошибкой квантования равносильны
искажениям, вводимым от источника шума. Поэтому ошибка
квантования может рассматриваться как шум, который вводится
в систему в результате квантования Частота этого шума зависит
от частоты входного сигнала квантователя и превышает ее
Так как максимальная разность пиковых значений равна одному
шагу квантования, то для уменьшения ошибки квантования
необходимо, очевидно, уменьшать шаг квантования

Хотя аналитическое представление ошибки квантования полу
чить трудно, среднеквадратичное значение этой ошибки, которое
часто используется для ее оценки при проектировании системы
может быть приблизительно определено по шагу квантования q
При большом количестве шагов квантования (фиг 3 6—2, б)
ошибка квантования может быть представлена приближенно
в виде графика, состоящего из отрезков прямых линий с различ
ными наклонами, ограниченных сверху и снизу половиной шага
квантования, за исключением тех шагов, внутри которых сигнал
достигает максимального или минимального значения В этом
случае временная функция ошибки не будет иметь форму линей
ного отрезка на этом интервале как это видно из фиг 3 6—2, б
Тем не менее приближенное значение среднеквадратичной ошибки
квантования можно определить при условии, что шаги квантования
берутся очень малыми В этом случае среднеквадратичная ошибка
будет приближенно определяться среднеквадратичным значением
типичного линейного отрезка сигнала ошибки, заключенного
в пределах от минус половины до плюс половины шага квантова-
ния с произвольным наклоном Для интервала времени

получим следующее уравнение, определяющее типичный линейный
отрезок ошибки

е — mt	(^3 6—4)

В этом уравнении переменная t отсчитывается от точки пере
сечения линейного отрезка с осью времени Следовательно, средне-
квадратичная ошибка определяется уравнением

q/2m

s2==T^T I И)2л = -^-,	(3 6 — 5)

U f /Р J	1

— q/2m
т e среднеквадратичная ошибка квантования приблизительно
равна V12 квадрата шага квантования Уравнение (3 6—5)
104
также справедливо, если сигнал на выходе квантователя является
импульсным

Для иллюстрации эффекта квантования рассмотрим простую
систему, показанную на фиг 3 6—3 а выход которой квантуется
в соответствии с пятью возможными уровнями При действии
единичной ступенчатой функции на вход системы форма реакции
системы до и после квантования совершенно различна, как это
видно из фиг 3. 6—3, б Реакция системы до квантования имеет
форму непрерывной гладкой кривой, а выход квантователя имеет

Фиг. 3 6—3. Простая система, содержащая квантователь с малым
шагом квантования (а); форма сигнала на выходе системы до и
после квантования (б)' эквивалентное изображение системы (в)

ступенчатую форму Эффект квантования виден из сравнения с (/)
и cq (/) Различие между этими двумя функциями представляет
собой ошибку или шум, появляющийся вследствие процесса
квантования Если шаг квантования мал, то ошибка квантования
имеет природу независимого случайного шума Таким образом,
квантователь ведет себя как источник белого шума Следовательно,
при анализе системы, в состав которой входит квантователь с ма-
лым шагом, он может рассматриваться как сумматор, на который
подается равномерно распределенный шум (фиг 3. 6—3 в)

Статистический анализ Так как ошибка квантования анало
гична шуму в электронных системах и САР, то для изучения
процесса амплитудного квантования можно с успехом применять
статистические методы 1 Статистический анализ позволяет опре
делять только средние значения Однако часто этого достаточно

* Cramer Н Matematical Methods of Statistics Princeton University
Press Princeton N Y 1946. D a \ en p or t W B. and R о о t W. L. An I tro-
duction to the Theory of Random Signals and Noise Me Graw — Hill Book Com
pany Inc New York 1958


(3 6-6)
W (2q) — P(x)dx,

(3 6-10)

квантования, определяется

выражением

W(kq)

P(x)dx,

(3 6-11)
при х = kq Поэтому функция распределения вероятности сигнала
на выходе квантователя может быть представлена в виде дискрет
ных значений функции W (х), определяемой уравнением (3. 6—14)

Согласно основной теореме прерывания, для того чтобы дискрет
ные значения W (kq) содержали всю информацию о W (х), частота

108
Fl ]f~IUXp(x)dx>

(3 6-16)

= e>xuFtdu)du,
F(u)=] e~!UXW (x)dx

(3 6-17)

(3 6-18)

w w=4- Ae>XUF (u) du <3 6~19>

Характеристическая функция распределения вероятности яв-
ляется ее преобразованием Фурье

Взяв преобразование Фурье от обеих частей уравне
ния (3 6—15), получим

Обозначая

(3 6—20)

(3 6—21)
где Q (х) — функция распределения вероятности ошибки кванто
вания Следовательно, функция Fn (ы) может рассматриваться

ш i f - 1k f	(3 6-24)
где е2 — среднеквадратичное значение ошибки квантования т2,
которое означает второй момент Q (х) Подставляя уравне-
ние (3 6—21) в (3 6—26), получаем среднеквадратичную ошибку

Этот результат совпадает с уравнением (3 6—5) полученным


ГЛАВА 4

ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ

4 1 СВОЙСТВА ИМПУЛЬСНОГО ЭЛЕМЕНТА

*(t)
ному элементу или к включенному последовательно с ним запоми



(4 1-3)

дающим площадь k го эквивалентного импульса
где



(4 1-4)

1—3 Импульсный элемент, эквивалентный импульс
ному модулятору

Так как

(4 1 7)



(4 1-8)

и из уравнения (4 1—1) следует что выход импульсного элемента

Уравнение (4 1—9) устанавливает связь между выходом
и входом идеального импульсного элемента

Если на входе импульсного элемента действует синусоидальный
сигнал с частотой со и амплитудой V,
то сигнал на выходе импульсного элемента равен

(0 -	_ е-!^ + 2 (е (“0+'1“S) ' -

IX(ju))/

x* (0 = n ij x (nT) 6 (/ — nT),

(4 1-18)
здесь

х (пТ) = х (t) b(t — пТ) dt

(4 1-19)

х* (0 = Д х (пТ) &(t — nT) (4 1-20)

Преобразование Лапласа уравнения (4 1—18) дает

%x(nT)Se\t>(t-nT)\ (4 1-21)

X*(s)= 2х(пГ)с nTs

(4 1-22)

X*(s) = X(s)*Ar(s)

Из уравнения (4 1—2)

(4 1-23)

Ar(s)=2^S-l I с rs + e-2rs +

Этот ряд сходится, и его сумма равна

(4 1-24)

(4 1-25)

при условии что

(4 1-26)

Следовательно, преобразование Лапласа сигнала на выходе
импульсного элемента равно
Из теоремы свертки в комплексной области следует, что

X* (s) =	ф X (s - х)	dx. (4 1-28)

Поэтому из уравнения (4 1—32) следует, что

4 Z1=?oox(s + /nc°s)

(4 1—34)

1 Р 1 р е s L A Applied Mathematics for Engineers and Physic
McCraw Hill Book Company, Inc., New York, 1958.
сигналы, помимо желаемого первичного сигнала Решая совместнс
уравнения (4 1—14) и (4 1—22), получаем

Т J? (S + //гш) = Д* №e-nTs

(4 1-35

Х(х)т

(4 1-36)

х* (S) = ^r2e-(s-^)T Res х (х) прй х = Sk (4 1~38)

Если X ($) имеет только простые полюсы и записывается в форме

(4 1-39)

(4 1-40)

где

Q &)

(4 1-41)
является производной от Q (%) при % = sk Поэтому из ураййё
ний (4 1—38) и (4 1—40) получим

** W “ ( ( 2 д «X у-1-42)

(4'-44)

Используя уравнение (4 1—14), получаем

X*<s) = T^H27^ = T^IT77X77+7- <4 1—42)
I ак как величина п го дискретного значения х (/) есть х (п1) —
ГапТ, то из уравнения (4 1—22) найдем

при условии, что |е (s+a> |<1

Применение уравнений (4 1—37) или (4 1—38) приводит
к равенству

X*(s) = zpzpp Res X (х) при х - sk = — а

**(*) —

(4 1-49)

Этот же результат можно получить, пользуясь уравне-
нием (4 1—22)

4 2 СРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ И_ИМПУЛЬСНЫХ
СИСТЕМ

W(s)

двух типов.

Непрерывные системы. Для того чтобы
вкратце рассмотреть некоторые основные
характеристики непрерывных систем, обра
тимся к системе, изображенной нафиг 4 2—1
где х (t) и у (/) — входной и выходной сигна
лы, a w (t)—функция веса (импульсная пере

ходкая функция) системы Выходной и входной сигналы свя
заны интегралом свертки

= \x(x)w(t-r)dr	(4 2-la)

или

y(t) - \w(r)x(t — r)dr

(4 2—16)
Если на входе действует сигнал в виде единичной импульсной
функции

то выходной сигнал равен функции веса системы,

У (t) = w (0	(4 2-3)

Если входной сигнал является единичной ступенчатой функцией

то из уравнения (4 2—1) следует, что реакция системы равна

А (со) = J у (/) cos at dt

В (со) = — Г у (t) sin at dt,
о

Y (ja)— у (t)e~iaitdt

Применяя уравнение Эйлера

e~iat — cos at — j sin at,
выражение (4 2—8) преобразуем к виду

(4 2-8)

(4 2-9)

Y (]&) = f y(t) cosatdt — y(t) sin at dt, (4 2—10)
0	0

котором действительная часть определяется

по уравне

нию (4 2—6), а мнимая часть — по уравнению (4 2—7) Частот
цые характеристики А (а) и В (со), эквивалентные у (t), можно
123
«/ (О -=

J А (со) cos ta da

хп^х(нТ)	(4 2—12)

Уп~У(пТ)	(4 2-13)

Входная импульсная функция х* (/) и ее значение в п й момент
х (пТ) связаны уравнением

х*(0= 2x(nT)6(/-nT)	(4 2-14)
Аналогично у* (f) и у (пТ) связаны уравнением

У* (0 = 2 У (пТ) 6 (t - пТ)	(4 2— 15)

В противоположность уравнениям (4. 2—1а) и (4 2—16)
непрерывная выходная функция импульсной системы определяется
суммой, а не интегралом, так как вход является дискретной функ
цией времени Таким образом, для 0 < t < пТ выход у (0 равен

%W(t~kT)x(kT)

y(t)= 2 x(t-kT)w(kT)

На фиг 4 2—2, а импульсный вход x* (/) представлен в виде
последовательности идеальных импульсов с различными ампли
тудами Следовательно, реакция на вход представляет собой сумму
реакций на отдельные импульсы, т е для 0 < t < пТ

1 w (t — kT) х (kT) +	+ w (t — пТ) x (пТ),

что можно записать в виде уравнения (4 2—16а)
Для моментов пТ уравнение (4 2—16) дает

y(nT) = £w(nT-kT)x(kT)

(4 2—18a)

y(nT)= 2 x(nT-kT)w(kT)

(4 2-186)

Учитывая уравнения (4 2—12) и (4 2—13), предыдущие два
уравнения могут быть записаны в виде

(4 2—19a)

(4 2—196)

Из сравнения уравнений (4 2—1а) и (4 2—16) видно, что
последовательность wn импульсной системы соответствует весо
вой функции w (/) непрерывной системы Поэтому wn часто назы
вают весовой последовательностью импульсной системы, функ
ции w„ и w (0 связаны уравнением
Если вход является идеальным импульсом с единичной высо|
той, который можно представить единичным эквивалентный
импульсом, то

х f! для k = «	(4 2-21)

I 0 для k п

и на основании уравнения (4 2—18) получим

(4 2-22)

то из уравнения (4 2—18) получаем


A* (co) = 2 у(пТ)со$пТа>

В* (co) = — 2 У (nT)sin пТа	(4 2—30)

или

У (пТ) =

j* В* (со) Sin пТ(£> d&

(4 2—32)

Заменяя со? через 9, эти уравнения можно привести к виду

у (пТ) = j А* (0) cos nQdQ

(4 2-33)

у(пТ) = —j В* (0) sin/гб d0 (4 2—34)
Следовательно если частотная функция выхода импульсной
системы получена аналитически или экспериментально можно
вычислить выходную последовательность по коэффициентам раз
ложения действительной части частотной функции в виде коси
нусного ряда Фурье или разложения мнимои части в виде chhjc
ного ряда Фурье В этом заключается один из методов вычисле
ния переходного процесса импульсных систем для дискретных
моментов времени Уравнения (4 2-—33) и (4 2—34) особенно

	Непрерывная система	Импульсная система
1 Вход и выход 6(0  Х(0	У (0 = ® (f)  У (0 = f w (т) dr y(t)-\w(x)x(t x)dx y(t)~ \x(x)u(t-x)dx	Уп = 2 xkwn k
2 Частотные функции	Y (]№>)—A (co)-ф/В (co)  A (co) - [ у (0 cos at dt  В (co) = — J у (t) sin cat dt	Y (/со) = А (со) ф- ]В (со)  А* (со) = 2 У <nl) cos пТ®  5*(со)= — 2 У	С^со
3 Функции вре	У (0 =	f A (co) cos^co dco  2Л Q	9  у (п7) = — J А' (0) cosn0d0 у(пТ) — — -^-yB*(0)sinn0d9
4 Условия устои	J|ai(Ol<ft<oo	2 К | < оо
5 Математиче  ская запись	В виде дифференциальных	В виде разностных урав
4 3 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
ИМПУЛЬСНЫХ И ЦИФРОВЫХ САР

Метод проектирования следящих систем с помощью частотных

y(t) = 2 g(t-kT)x(kT)

(4 3-1)

Преобразуя по Лапласу обе части уравнения (4 3—1), полу
чим

 (s) = j [ 2/ (z -kr>x (^)] e~st dt

(4 3-2)
которое представляло бы частотную функцию системы, если бы
отсутствовали импульсные элементы

Преобразование со звездочкой. Используя уравнение (4 1 — 14),
можно легко получить выражение импульсного выходного сиг
нала системы Совместное решение уравнений (4 1 — 14) и (4 3—4)
дает

Y*(s)=± 2 G(s + jmos)r(sH4) (4 3-7)

Так как функция X* (s Н ]па5) периодична, то уравнение
(4 3—7) можно переписать в виде

(4 3-8)

а частотная функция

Y* (s) = G* (s) X* (s),

(4 3-9)

(/со) = G* (/<о) Xй (/<о),

(4 3—10)
где G* (]&) — передаточная функция всей импульсной системы,
определяемая по уравнению

G* (/®)	G (s + J«®s)

Уравнение (4 3—9) означает что преобразование Лапласа

(4 3-12)
f)
в виде последовательно включенных импульсного элемента и

квантователя; программа цифровой вычислительной машины может
быть заменена эквивалентной импульсной системой, и преобра
зователь Ц — Н — запоминающим элементом Как указано
в гл 3, процесс квантования сигнала вводит в систему ошибку

X;(S)^D*(S)X(S),

(4 3—13)
а для запоминающего устройства и сглаживающего фильтра в виде

Y(s) = Gh(s)X*0 (s)

(4 3-14)

Замкнутые системы Импульсные САР могут иметь различные
структурные схемы Схема, которую можно рассматривать как
основную, изображена на фиг 4 3—7 В данной системе преры
ванию подвергается сигнал ошибки Gh (s), Gb (s) и H (s) обозна
чают передаточные функции соответственно запоминающего эле
мента регулируемого объекта и элементов обратной связи В боль
шинстве САР дополнительные вредные составляющие, пояёляю
щиеся вследствие прерывания, должны быть отфильтрованы
прежде чем управляющий сигнал достигнет выходного элемента
регулируемой системы Эти помехи в значительной мере филь
труются элементами регулируемой системы, которые ведут
себя как низкочастотные фильтры

Однако для обеспечения лучшего сглаживания пульсаций
часто в импульсных САР применяется запоминающий элемент,
который фиксирует дискретные значения, как показано на
фиг 4 3—7 Запоминающий элемент преобразует импульсный
управляющий сигнал в непрерывный приблизительно воспроиз
водящий действительный сигнал ошибки, который получается на
входе регулируемой системы Одним из простейших запоминаю
щих элементов является запоминающая цепь нулевого порядка
или устройство в котором величина входного импульса (ампли
туда эквивалентного ему импульса) удерживается постоянной
до прихода следующего импульса На фиг 4 3—8 показаны формы
134
входного и выходного сигналов запоминающего элемента нулевого
порядка

Согласно уравнению (4 1 — 1) действующий импульсный сиг

нал ошибки равен

£*(s) = i 2 £(М

+ /лч) (4 3—18)
Из фиг 4 3—7 видно,

C(s)-G(s)£*(s),(4 3-19)

где

G(s) = Gft(s)Gs(s)(4 3-20)

получим

E*(s)~ 1 Дя* (s)

(4 3—23)

Из уравнения (4 3—18) следует, что

Т' 5 /?(« + /n®s)

Е* (s) =------------------------------------

l+T’J Gtf(s + /no>s)

(4 3-24)
Функция

<7 (/со) У 1 2	+/n<os)

G/7*(s)=4-2 GH(s + jn^)

(4 3-26)

(4 3-27)

которые могут быть выражены в компактной форме аналогично
соответствующим отношениям Е (s)/R (s) и С (s)/R (s) для не-
прерывной САР Поведение Непрерывной системы часто описы-
вается полярным графиком

677 (/со),

(4 3-29)
4- J GH О® + /m<os),

(4 3—30)

входящей в уравнение (4 3—26) В большинстве случаев эти
полярные графики можно легко построить, так как передаточная

.Эквивалентная структурная

Передаточная функция

CG) G(s)
В правой части уравнения (4 3—31) функция GH (/со) яв

обычно называют амплитудно фазовой частотной характеристикой
или диаграммой Найквиста импульсной САР Способ построения
амплитудно фазовой частотной характеристики импульсной си
стемы по полярному графику GH (](£>) излагается в следующем
параграфе

4 4 ПОСТРОЕНИЕ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ

Полярный график функции GH (jo), являющейся передаточ
ной функцией импульсной САР в разомкнутом состоянии при
отсутствии импульсного элемента, может быть легко построен по
хорошо известным правилам. Амплитудно фазовая характеристика
импульсной САР может быть построена по амплитудно фазовой
характеристике 7’-1 GH (/со) ее непрерывной части Для этого
необходимо передаточную функцию представить в виде ряда

2 GH(ja -г ]nas) - ~ \оН (/со) 4 J GH (/® + lnas) +

2 0/7 (/со —//704) ] = -L[GH(j(o) h GH(]a + ]as) +

GH (/co 2/co,)	- -GH (]ы — /cos) 4~

4-G^(/(o-2/(os)4-	]	(4 4-1)

GHX (jai) = -^- GH(ja -I- j«(os)

(4 4-2)
-^Г СЯ(/(О +/ncos)^-|r СЯ(/со) + (/CD —J(DS)

+ -f- GH (](а + /соь)
член взят для повышения точности На более высоких частотах
третий член этого уравнения значительно меньше второго

Процесс построения поясняется на фиг 4 4—2 Вначале стро
ится амплитудно фазовая характеристика T~1GH как для
положительной, так и для отрицательных частот На ветви харак
теристики, соответствующей положительным частотам, отмечаются
точки со1( соа, со3, , а на ветви, соответствующей отрицатель
ным частотам (coj — cos), (со2 — cos), (со3 — cos), К этим
точкам проводятся векторы OAlt ОАй, OAS и OBlr ОВ2, OBS
о------ ------ л л л	складываются с векто

рами ОА1; ОА2, ОАз, Век

Фиг 4 4—2. Построение годографа ча
стотной характеристики

равны соответственно векторам
ОВг, ОВ2, QB3, Точки Съ С2,
С3, располагаются на при
ближенной амплитудно фазовой
характеристике импульсной си
стемы Более точная характе
ристика может быть легко по
строена, если векторы, соответ
ствующие частотам («ц + cos),

для положительных частот
Т-1б7/ (/со), и векторы, соот
ветствующие частотам (coj—2cos),
(со2 —2соь), (со3 — 2cos), на
ветви для отрицательных час
тот, просуммированы соответ

Если в процессе построения
учитывается большее количество
членов ряда уравнений (4 4—1),

то обеспечивается большая точность

Для облегчения построения и пояснения амплитудно фазовой
характеристики для импульсной САР ниже излагаются некою
рые основные свойства амплитудно фазовой характеристики

У GH (/со + /цсо$) и ее полярного графика

1	S GH (]а + является периодической функцией ча-
стоты с периодом, равным /cos

2	Амплитудно фазовая характеристика 2 GH (]а> +]паь)
для диапазона частот — со < со < + оо такая же, как для час
точного диапазона 0 < со < со$
140
3	При со = cos/2 У GH (]со + ]Пcds) является деиствитель
ной величиной При о.) = cos/2 выражение

J] GH(j(£> + ]па>,) = GH(^) + GH(J^-) 4-	4-

+ GH 4- GH 4-

= 2[w(4)+w44+ ]

S GH [] (co 4- jnco,)] = GH {jo) 4- GH[] (co — cos)] 4-

и GH (ja) = co при (o = 0 и GH (](й — j(os) = co при co =
= (os, то амплитудно-фазовая характеристика равна бесконеч
ности при этих двух частотах

Пример 4. 4—1. Построим амплитудно фазовую характери-
стику разомкнутой импульсной САР, изображенной на
фиг 4 4—3 Частота прерывания равна 8 рад/сек,, а постоянная
времени регулируемой системы равна 0,5 сек

Передаточная функция непрерывной части системы в разом
кнутом состоянии (фиг 4 4—3) имеет вид

G»W= 1Ю(1^05в)

GH* (jco)

4- 2 GH^^-jn^
где Т — 2л/со, — период прерывания в сек В качестве первого
приближения при построении амплитудно фазовой характери
стики учитываются только первых два члена уравнения (4 4—5)
Таким образом,

GH* (ia>) —

и 8 рад!сек Я* (/со) | — со

Построение амплитудно-фазо

зои характерна

устойчивости системы При

GH (/мН-/ncos) является действи
гельной величиной при co=cos/2=
=4 рад, сек Для частот, больших
половины частоты прерывания
амплитудно фазовая характеристи
ка уходит в верхнюю части ком
плекснои плоскости Часть харак
геристики в окрестности частоты
®s/2 представляет наибольший
интерес и в некоторых случаях
является важной при изучении
увеличении частоты прерывания
OPl ~ G* (/co) - OP^91,

CPj - 1 f- G* (/co) - CP^2

(4 4-10)
Таким образом,	__

0;(/а)^ = ^л

где

ф =61 —еа

Уравнение (4 4—12) может быть записано в i
. OPj cos Ф + /OPi sir Ф

Go (/©) =--!--gr—2------

(4 4-12)

(4 4—13)

(4 4-14)

(4 4-16)
Фиг 4 4—7 Типичная частотная характеристика для Ло (и) (а)
для В* (и) (6)

4 5 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ

Одной из основных проблем анализа САР является проблема
анализа устойчивости Этот параграф касается некоторых основ
ных соображений об устойчивости импульсных САР, которые
могут быть получены из анализа амплитудно фазовой характери-
стики Детальный анализ критериев устойчивости для импульсных
систем изложен в гл 6

В параграфе 4 3 указано, что преобразование Лапласа выхода
импульсных САР (фиг 4 3—7) определяется выражением

G(s)T-1 2
с (S) =?-----------------------,

1+7-1 2 GH(s-^jnas)
в пря

разом

1 J- G ($) И (s) - 0	(4 5—2)

и по аналогии характеристическое уравнение импульсной САР
равно

1	2 GH(s + jn<i>s) = 0

(4 5-3)

Gtf* (/со) -2 GH /«®s)	(4 5—4)

для диапазона частот от нуля до бесконечности Так как амплитуд
но фазовая характеристика (4. 5—4) является периодической
функцией с периодом /со5 >о можно построить бесконечное ко
лйчество амплитудно фазовых характеристик внутри диапазона

диапазонов

) ист ик и для частотных
cos 2cos < со < 3cos

являются одинаковыми, а характеристика для диапазона частот
or cos/2 до cos является заркальным отражением характеристики
для диапазона частот от 0 до cos 2 Таким образом, для анализа
устойчивости импульсной САР необходимо рассматривать ампли
тудно фазовую характеристику GH* (/со) только для частотного
диапазона от 0 до со ,/2

Подобно непрерывным САР импульсные САР могут быть как
устойчивыми, так и неустойчивыми в разомкнутом состоянии.
Условие устойчивости для импульсной системы которая устой-
146
Может показаться что дискретное регулирование может
вызвать ухудшение характеристики системы вследствие потери

информации Кривая б на фиг

показывает что импульс

ная САР менее устойчива чем соответствующая непрерывная
система (при отсутствии импульсного элемента) Если частота
прерывания уменьшается то вектор Т lGH (ja — jcos) для дан
ной частоты со возрастает по модулю и немного поворачивается

влево а другие члены в формуле Т 1 2 G/7 (/со ± j«cos) кото

рыми ранее пренебрегали при вычислении амплитудно фазовой
характеристики по уравнению (4 4—3) становятся значительными
и должны учитываться В результате уменьшение частоты преры
вания вызывает смещение амплитудно-фазовой характеристики
импульсной системы в разомкнутом состоянии влево, Совершенно
очевидно из фиг 4 4—4 что смещение амплитудно фазовой
характеристики влево уменьшает относительную устойчивость
или даже приводит к неустойчивости Таким образом введение
процесса прерывания в САР приводит к уменьшению устойчи
вости; а частота прерывания является важным фактором опре
деляющим степень устойчивости системы Дальнейший анализ
устойчивости импульсных САР дается в гл 6 и 9

Кроме того можно сказать, что введение импульсного эле
мента в САР представляет собой специальный метод изменения

Ю*	147
вида передаточной функции системы в разомкнутом состоянии
Т"1 GH (/®) за счет добавления члена

4 6 СВОЙСТВА ЗАПОМИНАЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Приблизительное значение второй производной при t — пТ

у{2) {пГ) = У, (пТ)~у^

(4 6-5)
Запоминающий элемент нулевого порядка Работа простейшего
запоминающего элемента нулевого порядка основана на быстром
заряде и медленном разряде конденсатора В дискретные моменты
времени конденсатор запоминающего элемента полностью заря
жается, в промежутки между последовательными моментами пре
рывания конденсатор медленно разряжается Принципиальная
схема типового запоминающего элемента показана на фиг 4 6—2
Запоминающим конденсатором в этой цепи является С Входной
сигнал нормально отсоединен от выхода вследствие смещения,
вводимого цепями и Т?2С2 образующегося под действием на
них синхроимпульса, т е импульса прерывания Положитель
ный синхроимпульс, приложенный к сеткам ламп Va и Vb вызы
вает проводимость как для положительных так и для отрицатель
ных сигналов Значения сопротивлений и конденсаторов смещаю
щих цепей выбраны так что постоянные времени значительно
больше периода прерывания Если входной сигнал имеет импульс
ную форму, это устройство является запоминающим элементом
нулевого порядка если же входной сигнал является непрерыв
ным то это устройство осуществляет прерывание и запоминание
элемента является последовательность узких импульсов, которые
при анализе могут быть представлены эквивалентными импуль-
152
сами В первый момент замыкания t — 0 входной сигнал запоми
нающего элемента равен

где /Со — сила эквивалентного импульса

В течение первого интервала прерывания выходное напряже
ние определяется выражением

Во второй момент замыкания t = Т

Уо (Т) = Кое-т!т«,
где Т — период прерывания входного сигнала
Сигнал на выходе запоминающего элемента

также представ

ляет собой последовательность импульсов, но ширина каждого
импульса равна периоду прерывания На фиг 4 6—5 показаны
формы входного и выходного сигналов запоминающего элемента
нулевого порядка

Входная информация запоминающего элемента определяется
следующими уравнениями

временные функции

х0(/) = W),

х2(0 = ^(/-2Т),

преобразования Лапласа

Тогда сигнал на входе запоминающего элемента имеет вид

2 Wt-kT)

(4 6-14)

и преобразование Лапласа равно
Выходные функции запоминающего элемента в течение после
довательных интервалов прерывания определяются следующими
уравнениями

временные функции

Ух (t) -	т° [u(t-T)-u(t- 2Т)],

Уъ (д) = К2е- [н _ 2Т) - и (t - ЗТ)]

преобразования Лапласа

Выходная временная функция имеет вид

а ее преобразование Лапласа равно

Из уравнений (4 6—15) и (4 6—19) следует что передаточная
функция запоминающего элемента которая определяется отно
шением Y (s)/X* (s), равна

Кроме того, передаточная функция запоминающего элемента
нулевого порядка может быть выведена более просто Как видно
154
из фиг 4 6—5, импульсная переходная функция запоминающего
элемента нулевого порядка имеет вид

[и (t) -

Л]

С помощью преобразования Лапласа уравнения (4 6—21) по
лучаем выражение

которое после упрощении принимает вид уравнения (4 6—20)

Однако постоянная времени разряда Та обычно настолько
велика, что могут быть сделаны следующие допущения

(4 6—24)

Следовательно уравнение (4 6—20) преобразуется к виду

Передаточная функция идеального запоминающего элемента
нулевого порядка может быть выведена непосредственно из ана
лиза форм входного и выходного сигналов показанных на

Преобразование Лапласа входной функции, которая состоит
из последовательности эквивалентных импульсов, представляет
собой 2 e~kTs а преобразование Лапласа выходной функции

Передаточная функция запоминающего элемента нулевого по
рядка определяется выражением

Из фиг 4 3—8 видно что запоминающий элемент нулевого
порядка не дает на выходе пульсаций если входной сигнал пред
ставляет собой последовательность импульсов с постоянной ам
плитудой. Уравнение (4 6—26) означает что на больших частотах
запоминающий элемент ведет себя как интегрирующее устройство
Подставляя /<о вместо s и 2л/as вместо Т в уравнении (4 6—26),
получим выражение для частотной характеристики

Gh0 (iw)

(4 6-28)



(4 6-30)

Уравнение (4.6—29) показывает, что запоминающий элемент ну
левого порядка вносит запаздывание в Т/2 сек Аплитудная и фазо
вая частотные характеристики показаны нафиг 4 6—6 и 4 6—7

Из фиг 4 6—6 видно, что запоминающий элемент нулевого
порядка является низкочастотным фильтром который пропускает
низкочастотную первоначальную составляющую и фильтрует
сдвинутые высокочастотные дополнительные составляющие, поя
вляющиеся в результате процесса прерывания Несколько значе
нии частотной характеристики приведено ниже

На частоте, равной половине
частоты прерывания, усиление
по сравнению с усилением на
нулевой частоте составляет

—= 4 = 63’6°/о

co/cos	ф°	1 Gh0 0®) 1
0  Т  3  4	0  —45  —45  - 135  —180	о 1	1	1  <?|а <?|а

Амплитудная характеристи
ка этого фильтра не умень
шается резко с ростом частоты,
хотя фаза уменьшается очень
быстро Если входной сигнал
изменяется незначительно, то
запоминающий элемент нулево
го порядка является эффектив
ным сглаживающим устрой

ством В большинстве случаев запоминающий элемент является
интегрирующей частью прерывателя (фиг 4 6—3)

Действие неточного запоминающего элемента описывается
уравнением (4 6—20) Постоянная времени разряда То оказы-
156

y0(t) = K0-r^-t,

(4 6-35)
зом импульсная переходная функция gM (t) определяется выра
жением

£,i(0 = (l h4-)w(o-2(i



^)u(t-2T)

(4 6—36)

(4 6—37)

Ф(/“)- arctg^ —:

(4 6—40)

|0,1(/ш)|^(1+1^Р^у (4 6-4.)

влияют на устойчивость системы Из этой фигуры следует что без
запоминающего элемента система устойчива а при введении за
поминающего элемента первого порядка система становится неу
стойчивой Запоминающий элемент нулевого порядка увеличивает
запас по амплитуде с 1 09 до 1 31 но уменьшает запас по фазе
с 15 до 8° Следовательно запоминающий элемент нулевого по-
рядка ведет себя как цепь запазды-
вания и при надлежащем выборе ча
стоты прерывания и постоянных вре
мени системы он может улучшить
устойчивость импульсной системы
если стабилизация системы требует
коррекции введением отставания по
фазе Так как запоминающий элемент
первого порядка дает слишком боль
шой фазовый сдвиг то он обычно
уменьшает степень устойчивости им
пульсной САР

4 7 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
И НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ

В САР возмущающие сигналы мо
гут быть приложены к любой точке
Возмущения обычно воздействуют на
определенные элементы системы
Одним из основных требований
предъявляемых к САР, является ее
способность подавлять влияние вред
ных возмущений на выход системы

Хорошо спроектированная САР должна минимизировать или по
крайней мере, ограничивать влияние возмущении на выход си

Для изучения влияния возмущений на выход САР рассмотрим
структурную схему, показанную на фиг 4 7—1 Возмущающий
сигнал U ($) поступает на регулируемую систему Gs (s) которая
состоит из фиксированных элементов Gsl (s) и 6s2 (з) Для ана
лиза эффективности системы в подавлении возмущения предпо
лагается что на нее действует только возмущающий сигнал
и (/) Пусть Ed (з) сигнал поступающий на оконечный элемент
Gs2 (з), являющийся результатом воздействия на систему возму-
щения V {S)

Тогда	__	7__п

После преобразований получаем
Уравнение (4 7—2) может быть переписано в виде

- [1 — 1+ gc)(Jg^J/S)(s) ] U (s)

(4 7—3)
так и дополнительные составляющие с равными амплитудами
Только первичная составляющая действующего сигнала способна
уменьшить влияние возмущения Дополнительные составляющие
вызывают пульсации и ухудшают характеристики системы

Сигнал на входе импульсного элемента состоит из двух частей

где

здесь b„ (s) является результатом действия возмущающего сиг
нала и (t) Eb (s) появляется вследствие импульсного сигнала
ошибки е* (7) Сигнал на выходе импульсного элемента полу
чается из уравнения (4 7—6) в виде

Из уравнения (4 7—7) и (4 7—8) следует что

Тогда уравнение (4 7—9) можно переписать в виде



Так как сигнал на входе выходного элемента Gc, (s) опреде-
ляется выражением

то, учитывая уравнения (4 7—13) и (4 7—14), получаем

Соответствующая частотная характеристика имеет вид

1 + GCGSH* (js>)

где

GsiHU* (/«) =

•P®s)
Во многих случаях уравнение (4 7—17) может быть аппрокси
мировано в виде

G&HU* (/«) Gs2 (/«) Н (joj) U (/«)	(4 7—18)

Тогда уравнение (4 7—16) приобретает вид

(/<”) —	'	! + GCGSH* (гю) J и (J®) t-iv)

Уравнение (4 7—19) показывает, что возмущение подавляется,
если второй член в скобках равен единице в диапазоне частот воз
мущающего сигнала Отношение

можно использовать как параметр, определяющий способность
импульсном САР подавлять возмущающий сигнал определенной
частоты или диапазона частот

Частота возмущающего сигнала (о., может быть либо меньше
половины частоты прерывания, либо больше ее Рассмотрим эти
два случая

Случай 1 Если

частота возмущающего сигнала составляет менее половины ча
стоты прерывания, то частоты дополнительных составляющих
действующего сигнала ошибки превышают «/2 и поэтому могут
быть отфильтрованы низкочастотными элементами в прямой
цепи Gc (s), Gs (s) Низкочастотные возмущающие сигналы обычно
влияют незначительно

Случай 2 Если	частота возмущающего сигнала

превосходит половину частоты прерывания, то частота некоторых
дополнительных составляющих действующего сигнала ошибки
менее чем со/2 Эти низкочастотные составляющие которые появ
ляются в результате прерывания, образуют возмущающий сигнал
с большой амплитудой, поступающий на выходной элемент си
стемы Gs2 (s), который является более нежелательным, чем пер
воначальный возмущающий сигнал

Следовательно, в этом случае действие обратной связи ухуд
шает характеристику системы вследствие введения низкочастот-
ного возмущения большой амплитуды на выходе Одним из путей
решения этой проблемы является фильтрация высокочастотного
возмущающего сигнала таким образом, чтобы он не попадал
на импульсный элемент. Это можно выполнить, поставив между
точками, в которых действуют высокочастотные возмущения,
164
больше половины частоты прерывания, шум, появляющийся
вследствие взаимной модуляции первичной и дополнительных
составляющих в нелинейных элементах, имеет высокую частоту
и может быть легко отфильтрован в выходном каскаде системы.
Однако, если частотный спектр входного сигнала захватывает
частоты, близкие к половине частоты прерывания, эффект взаим-
ной модуляции в нелинейных элементах становится более замет-
ным Взаимная модуляция первичной и дополнительных состав-
Другим способом является увеличение частоты прерывания до
величины, значительно большей, чем удвоенная наивысшая ча
стота входного сигнала Однако отметим, что иногда нелинейные
элементы специально вводятся в САР для улучшения ее харак
теристики

4 8 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой главе были рассмотрены частотные методы анализа
цифровых и импульсных САР Выход импульсного устройства
может быть описан тремя различными выражениями (4 1—14),
(4 1—22) и (4 1—37) На основании этих соотношений выведены
передаточные функции (со звездочкой) импульсных цепей и си
стем. Первое выражение особенно полезно для обобщения обыч
ного частотного метода на цифровые и импульсные САР Исполь
зуя это выражение, можно построить амплитудно фазовую харак
теристику импульсной системы по характеристике соответствую-
щей непрерывной системы Второе и третье выражения лежат
в основе z преобразования, которое рассматривается в следующей

Прерывание дает нежелательные дополнительные сигналы
Хотя большая часть этих нежелательных сигналов может быть
отфильтрована низкочастотными элементами системы, обычно
более полное сглаживание выполняется с помощью запоминаю
щего элемента Наиболее широко используется запоминающий
элемент нулевого порядка, иногда применяются элементы первого
порядка Несмотря на то, что запоминание увеличивает фазовый
сдвиг в контуре управления и таким образом уменьшает устой
чивость системы, запоминающий элемент на практике является
необходимым также для подачи сигнала управления на непрерыв
ную часть системы
ГЛАВА 5

ТЕОРИЯ z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Величина у (пТ) может быть получена из непрерывной выход-
ной функции у (t) системы, которая согласно уравнению (4 2—16)
равна

У ~ ^g(t-kT)x(kT),

(5 1 — 10)

ym

Подставляя уравнение (5 1—11)
в (5 1—9), получаем

Г(г)= 2

— kT) х (kT) zrn

Подстановкой m =
приводится к виду

ной системы

Преобразование уравнения (5 1—13) дает

F(z)= 2 g(mT)z-

Так как согласно уравнению (5 1—3)



(5 1-16)

то преобразование выхода, определяемое уравнением (5 1—14),
можно записать в виде
Это уравнение является существенным, так как оно связывает
импульсный выход системы с ее импульсным входом Относительно
импульсных функции импульсная система (фиг 5 1 — 1, а) может
быть представлена эквивалентной блок-схемой (фиг 5 1 — 1, б)
Уравнение (5 1—17) описывает выходной сигнал у (/) в дискрет
ные моменты так как z преобразование применяется только для
дискретных сигналов

В уравнении (5 1—17) функция G (г), которая является
отношением выхода ко входу

часто называется импульсной передаточной функцией или z пере
даточной функцией импульсной системы Следовательно, импульс
ная передаточная функция импульсной системы может быть
определена как отношение z преобразований импульсного выхода
системы к ее импульсному входу Отметим, аналогию между урав-
нением (5 1—18) и известным выражением

Сг м = ДЖ.	(5 1 — 101

определяющим передаточную функцию системы без импульсных
элементов Эта аналогия позволяет использовать z преобразова
ние и импульсные передаточные функции таким же образом, как
преобразование Лапласа и обычные передаточные функции, что
делает z преобразование удобным математическим методом в тео-
рии импульсных систем

Можно также представить z преобразование функции х (/)

Х(2)-3{Х«	(5 1-20)

где X (s) — преобразование Лапласа от х (/). В этом случае
подразумевается, что преобразованию подвергается временная
функция

Из фиг 5 1 — 1, а видно, что преобразования Лапласа непре
рывного выхода у it) и импульсного выхода у* (/) определяются
выражениями

(5 1-22)

Импульсную функцию у* (/) можно представить как сигнал
на выходе фиктивного импульсного элемента, который включен
на выходе системы и работает синхронно с импульсным элементом
170
5 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ z ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ИМПУЛЬСНЫХ
ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Основываясь на приведенных выше определениях z преобра-
зования временной функции и импульсной передаточной функции,
можно вычислить импульсные передаточные функции элементов
системы по их обычным передаточным функциям или по z-преоб
разованиям их импульсных переходных функций Из уравнения
(5 1—3) можно легко получить z преобразование временной функ-
ции Сравнение уравнений (5 1—15) и (5 1—36) показывает,
что импульсная передаточная функция системы представляет
собой z преобразование импульсной переходной функции си-
стемы Это дает путь для определения импульсной передаточной
функции импульсной системы. Следующие параграфы иллюстри-
руют процесс получения z преобразований и импульсных пере-
даточных функций В конце этого параграфа приведена краткая
таблица z преобразований функции, наиболее часто применяемых
на практике, а в конце книги дана более подробная таблица
z преобразований

Вычисление z преобразований некоторых основных функций
с использованием уравнения

«т=]»да=(^“40°	(52-4,
Из уравнения (5 2—1) следует, что z преобразование импульс-
ной функции, имеющей площадь К, определяется уравнением

В данном случае z преобразование импульсной функции
вно ее преобразованию по Лапласу

2 Ступенчатая функция

К(1 4

G(z)-

Подстановка в уравнение (5 2—6)
пТ вместо t дает весовую последова
тельность

g (пТ) = Ки (пТ) = К (5 2-8)

Предполагается, что начало преры
вания совпадает с началом ступенчатой
функции Используя уравнение (5 2—1),
получим

что представляет собой z преобразование ступенчатой функции
(фиг 5 2—1)

3. Функция с постоянным наклоном

Из уравнения (5 2—11) при t = пТ получаем
g (пТ) = КТп,	(5 2-

где п — целое число Подставляя выражение (5. 2—13) в (5 2-

получим z преобразование функции с постоянным
(фиг 5 2-2)

1 4 2z-

. +(^ + 1)^4 ••]	Для |z-V
Правая часть уравнения (5 2—15) дает z преобразование
функции с постоянным наклоном, а также является импульсной
передаточной функцией для системы с обычной передаточной
функцией G (5) = K/s2

gft)	4 Степенная функция

=

Весовая последовательность опре

Производящая функция для ряда (5 2—19) равна

G (й + 1, z) = -у 6 (k, z),	(5 2-20)

g (/) = Кб (t- kT),

(5 2-21)

G (s) - $ {g (t)} — Ke~kTs,

(5 2-22)

где k — целое число При t = пТ площадь данной функции g (/)
определяется выражением

«<"О = lKbV~kT}dt= ( *	(5 2- 23)
Подставляя его в уравнение (5 2—1), получим

G(z)= 2 g (,nT)z~n — Kz~k

(5 2-24)

G(s) = ${g(t)}

(5 2-26)

G {z) = 2 Ke anTz-n = К [1 -r (e-^z’1) + (e~aT z"1)2 +	] -=

-	при I eraTz-r I < 1	(5 2—28)

или

G <z) =	при | e-^z-i | < 1	(5 2-29)

7. Произведение степенной и экспоненциальной функций
g(t) = ^tre~at ,	(5 2-30)

G(s) = £ {g(t)\ -

(5 2-31)

Так как уравнение (5 2—30) можно записать в виде

^(o = (-ir4£-^"a<’	<5 2~32)

175
то весовая постедовательность определяется

(5 2-33)

Подставляя это выражение в (5 2—1), получим

G(z) =

(5 2-34)

Преобразование уравнения (5 2—34) приводит к виду

и может быть разложена на простые дроби



(5 2-38)

9 Синусоидальная функция

g (0 = sin ®о (О,

При t = пТ

g (пТ) = sin &опТ = -—

(5 2-40)

(5 2-41)

(5 2-42)
Функции g (/) и g (пТ) изображены на фиг 5. 2—4 Подставляя
уравнение (5 2—42) в (5 2—1), получим

что является z преобразованием

10 Косинусоидальная функция

Суммирование дает

G(z) =

Упрощая, получим

Из уравнения (5 2—47), делая замену t на пТ, получаем
весовую последовательность

g (пТ) = cos аопТ = ~ {eina>,iT e~in^T) (5 2—49)

Следовательно, z преобразование, соответствующее уравне-



(5 2-50)

Упрощая, получаем
(5 2-53)

Весовая функция и весовая последовательность соответственно

По определению импульсная передаточная функция



Последнее выражение может быть записано в более компактной

При упрощении G (z) принимает вид


X (s + jnas)

X*(s)=

X* (s) = 2 Res	X to) при x

(5 2—59)

(5 2—60)

(5 2-61)

G* (s)

4- 2 G (s+ina^,

(5 2—62)

G*(s) = ]ЙИ'К!‘Л',	(5 2-63)

G* (S) = 2 Res ^еТ-Хе-7-5 G ПрИ X = Sk> 2—64)

Gto)^	(5 2-66)

G (z) = J Res	при % = sk (5 2-67)

12*	179
G =2----------Res G W ПРИ X = sk (5 2—68)

Наконец, если G (s) является дробно рациональной функцией

G(s)== Q(s) ’

(5 2-69)

с порядком знаменателя выше, чем порядок числителя, то урав
нение (5 2—68) сводится к виду

G & =	(5 2—70)



(5 2-72)

функция G (з) может быть записана в виде


й импульсная передаточная функция определяется выражением

(5 2-75)

Используя уравнение (5 2—72), получаем импульсную пере
даточную функцию

3 Передаточная функция системы имеет полюс кратности

(5 2-78)

где k — целое число

G (s) можно представить в виде

(5 2-79)



(5 2—80)



(5 2-81)

4 В уравнении (5 2—19) z преобразование, соответствующее



(5 2—82)
Краткая таблица z преобразований

G(s)	g (0	G («)		g(nT)
2 e~kTs  S2 +  *2 + “0  15	Ю°  16 			2  (s+a)*+co0	H П f i Й	P	a™0 <*-!>! dok — 1 С — e~яГ)  Z(l—COSCOp T) (z+ 1) (z — 1) (z2 — 2 z cos coo T + lj ' z2 -2e- aT z cos и„ T + e 2a^	6 (nF)  и (ПТ) или 1 пТ  ie—anTj  ь 1 dk  ' ° kldak (e—anT)  snncooT  e—anTSin n a0T
lim 1

(5 2—83)

<5 2-S4>



(5 2—85)

5 3 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В параграфах 5 1 и 5 2 рассматривались z преобразование
и импульсная передаточная функция, которые вычисляются как
сумма бесконечного ряда значений весовой последовательности
(5 2—66) или как сумма вычетов (5 2—67) В параграфе 5 2
дано большое количество примеров, иллюстрирующих нахожде
ние z преобразований и импульсных передаточных функций
Однако для лучшего понимания свойств z-преобразования необ
ходимо вывести основные теоремы В дальнейшем предполагается,
если не делается особых оговорок, что начало процесса прерыва
ния совпадает с началом временных функций

преобразуемы no z и имеют z преобразования, соответственно
равные G (z), G± (z) и G2 (z) и а, постоянная или переменная,
независящая от t и z, то

8 \ag (0} = aG (z)
b\g1(t)±g2(t)} = G1(z)±G2(z)

(5 3—la)
(5 3-16)
Теорема 2 Сдвиг во временной области Если функция g (/)
преобразуема по z и имеет z преобразование G (г), то

i\g(t-nT)\-z-"G(z'),	(5 3-2)

% \g (t + пТ)\ = z+" G(z)	(5 3-3)

где п — неотрицательное целое число,

Т — период прерывания фиктивного импульсного элемента,
преобразующего g (/) в g* (/) При этом предполагается,
что начало прерывания совпадает с началом временной
функции Уравнение (5 3—3) справедливо при условии,
если

g (kT) = 0 для 0 < k С п — 1

Эта теорема устанавливает, что сдвиг во временной области
соответствует умножению на z± п в области z при выполнении ука-
занных выше условий Уравнение (5 3—2) следует из самого
определения z преобразования

а {£ (/ - пТ}\ = Sg (kT - пТ) г-*,	(5 3-4)

которое можно записать в виде

= <53~7>

Согласно определению G (z), уравнение (5 3—7) можно пре-
образовать к виду (5 3—3), что и доказывает теорему
184
Для иллюстрации ее применения рассмотрим следующий
пример

Пример 5.3—1 С помощью теоремы 2 определим z преобра-
зование от (/ — ТУ

Из краткой таблицы z преобразований находим, что

Согласно уравнению (5 3—2)
5{(/-Л2Н

Следовательно,

Ш~ТУ} =

Теорема 3 Изменение масштаба в области z Если функция
g (0 преобразуема по z и имеет z преобразование G (z), то

где а — неотрицательное целое число

Эта теорема устанавливает, что умножение на экспонецту e±at
во временной области соответствует изменению масштаба в об-
ласти z (переменная z умножается на постоянную е^аТ) Из опре-
деления z преобразования следует, что

W)! = ^тё{пТ}2-п

Подставляя eTs вместо z в уравнение (5 3—13), получим

Подставляя

выражение (5 3—14) можно переписать в виде



Подставляя уравнение (5 3—15) в (5 3—16), получим соот-
ношение

что и требовалось доказать
Пример 5.3—2 Найдем с помощью доказанной выше тео-
ремы z преобразование функции te~at

Так как

то согласно уравнению (5 3—12)

Умножая числитель и знаменатель на е~'>аТ, получим

что согласуется с формулой (9) краткой таблицы z преобразова

Теорема 4 Конечное значение Если функция g (f) имеет z пре
образование G (z), которое не имеет полюса на окружности единич
ного радиуса или вне ее, то



Эта теорема показывает, что поведение функции g* (/) при t,
стремящемся к бесконечности, соответствует поведению

G (z) вблизи z = 1 области z Для доказательства этой тео
ремы пусть функция g (/) выражается в виде

Тогда при t, стремящемся к бесконечности, предел g (/) стре
мится к К, так как



z преобразование уравнения (5 3—22) имеет вид

G(z)

Умножая это уравнение на-

и устремляя z к 1, получим
G(z)

(5 3—29)

Предел-—- G (z) при z, стремящейся к единице, определяется

(5 3—30)

lim {& (1 — е~аГ)} = &

(5 3—31)

G (z) = Si g (nT)	= g (0) + g (T) z -1 + g (2T) г’2 -l

+ g(3T)2-3+	(5 3-33)

187
При z, стремящемся к бесконечности, G (z) становится равным
g (0), что соответствует пределу

lim|g(/)}	(5 3-34)

Пример значении ра< с другом ZI	5.3—4 Для иллюстрации теоремы о начальном ссмотрим следующую пару функций, связанных друг ^образованием  g (i) = е~аТ cos aot,	(5 3—35)  <S 3 36>
Начал ьн<	эе значение должно быть равно  hm|G(z)}=l	(5 3-37)
ЭТО МОЖ]	го проверить, если учесть, что hm{g(/)}=l	(5 3—38)
Пример hm f->0	5. 3—5 Покажем, что если G (z) = $ {g (/)} и то  lim {g (/)} =. hm \z G (z)}	(5 3—39)
Так как	G(z) = 3{g(O}(	(5 3-40)
то из теорел	4Ы 2 следует, что zG(z) = 3|g (/ + ?)}	(5 3-41)
Ис пользу	гя теорему о начальном значении, получим  lim{g(/ + T)} = lijn|zG(z)}	(5 3-42)
Следоват	ельно,  lim {g (/)} = hm \zG ( )}	(5 3—43)
Можно Л(	ггко показать, что, если g (kT) = 0 при 0 < k < п—1, g (пТ) = hm {g (/)) = hm \zn G (z)}	(5 3—44)
5 4 СВОЙСТВА ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

(5 4-1)

Соответствующая импульсная передаточная

функция



При z = 1 (и = 0 или n®s) G (z) = со
При z = —1 (ю — n®s/2)

G (s)
Соответствующая импульсная передаточная функция имеет

вид

(5 4—4)

При z = 1 (со = О или ncos)

При z = —1 (со = ncos/2)

$	—	2 (1 + cos со0 ту

(5 4-6)

где предполагается, что

(5 4—7)
191
й при z, стремящемся к 1, получим

Р (0)

Gi(z) -= lim-QT^y.

(5 4-14)

диуса по часовой стрелке Это определяет поведение G (z)
в бесконечности

5 5 ГОДОГРАФЫ г-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
(5 5-2)
193
Подставляя уравнение (5 5—1) в (5 5—2), получим

(5 5-3)

а отрицательная действительная ось плоско^

зования
Рассмотрим следующие основные г преобразования

(5 5—6)

и подставляя это в уравнение (5 5—5), получим

(5 5-7)

Покажем, что действительная часть равна

(5 5-9)

а мнимая часть

Ниже приводятся значения и и и, соответствующие различным

частотам

<0	0	Л/2Т	л/Т	Зл/27	2л/Т
и			1/2	*/2	
v	-ОС		0	1/2	ФО

На фиг 5 5—3 изображен годограф G (z) = z/(z — 1) в пло-
скости z, представляющий собой линию, параллельную мнимой
оси и проходящую справа от нее на расстоянии г/2 единицы
Это выражение является z преобразованием, соответствующим

(s) = Полагая z = cos тТ + / sin <оТ, преобразуем урав

Упрощая, получим
в виде

С(^) = Г^?-гГ^е"У5

(5 5-19)

Это уравнение семей-
ства окружностей с ради-
усами, равными

|пЬ|' (55~2<|)

и с центрами, расположенными в точках с координатами

W = T~^’ у==0	(5 5—2!)
G (z) = 1 является z преобразованием единичной функции	импульсной
	(5 5-22)
Это уравнение можно переписать в виде	(5 5-23)

Это уравнение описывает семейство окружностей с радиусами
равными

1г^|.

(5 5-25)

и с центрами, расположенными в точках с координатами

(5. 5-26)
где Т — период прерывания,

К — коэффициент усиления системы,
Ча — постоянная времени

Передаточная функция в разомкнутом состоянии

имеет вид

(5 5—29)

Соответствующее z преобразование

то из краткой таблицы z преобразований получаем

гг_1 +д2 г (5 5-32)

(5 5—33)

5 6 ОБРАТНЫЕ г-ПРЕ0БРА30ВАНИЯ

На фиг 5 6—1 показана простая импульсная система, вход
х (t) и выход у (/) которой синхронно прерываются В области z
выход системы определяется выражением
y*(t)

Из предыдущих параграфов видно, что преобразование функции
из временной области или области s в область z является одно
значным Но переход из области z к временной области или обла
сти s является неоднозначным Для данного z преобразования

Плоскость

J^s/2

j3us/2



-J5»s/2
G(z) = ^g(nT)^

(5 6-3)

(5 6-4)

G(s)- U(Oe-wd/,

обратное преобразование

(5 6-6)



(5 6-7)

где дЛя удобства переменная s заменена комплексной перемен

Интегрирование производится вдоль линии, параллельной
мнимой оси и расположенной от начала координат на расстоя
нии с, где с — абсцисса сходимости Если путь интегрирования
разделить на равные отрезки, соответствующие основным и допол

201
£(«Л = 24)[ Y G®enT^ + !\SG^e^dl +

+ j2 G^e^d^+-

8(nT) = ^k^ S<?(S +

+ jkas) enTs ds 2 (5 6—10)

Меняя местами интегрирование
и суммирование, получим

8(пТ) = ^ f 4" 2 ika>s)enTsds (5 6—11)

Используя уравнение (4 1—14), можно написать

(5 6-12)

(5 6-13)

(5 6—14)

(5 6—15)
Интегрирование можно производить по любому замкнутому
контуру, охватывающему все полюсы G (z), так как справа от
линии о = с (фиг 5. 6—3) не имеется ни одной особой точки G (z)
и контур Г охватывает все полюсы G (z) Для физических систем
полюсы лежат в левой полуплоскости $, поэтому контур инте-
грирования в плоскости z может быть выбран в виде окружности
единичного радиуса

Методы вычисления обратного z преооразования

а) С помощью формулы обратного преобразования Этот метод
требует вычисления интеграла (5 6—4) С помощью теоремы
вычетов Коши значение интеграла опре
деляется как сумма всех вычетов вну
три контура Г, т е

g(nT) = 2ResG(z)z'’-^, (5 6-17)

где G (z) z”-1 — рациональная функция
от z, которая конечна на всем пути
интегрирования, контур Г — окруж
ность с центром в начале координат
плоскости Z (или любой другой замк
нутый контур), охватывающий все по
люсы zk функции G (z) zn~x

рования в плоскости

Пример 5 6-1 Определим обратное преобразование для
функции



-19,1 х 0,8

18,75

0.89 | + 56 5° 1.75|+85°

0,89 | — 56 5° 1.75|-85°

Обратное z преобразование можно получить по формуле
6—17), т е

g(nT) = - 19,1 (0,8)n+1 +18,75 + (0,89156,5°)"+‘ (1,75185°) +
+ (0.891 —56,5°)»+' (1.751—85°)	(5 6—19)

203
Из этого выражения можно легко вычислить значения g (пТ}
для различных дискретных моментов времени Некоторые зна
чения g (пТ) приведены ниже

п	0	1	2	3	4 1 6
g(nT)	1	3 80	8 20	124	14 68 |	16 62

где

(z — 0 8)(z — 1)(z2 — z + 0 8)

(5 6-21)

уравнение (5 6—20) принимает вид

G{z) = 18,75
Однако уравнение (5 6—26) справедливо только для дискрет-
ных моментов Несколько значений g (/) приводятся ниже

Г (0 = 2g(»Л 6 (* - пТ) = £(0) 6 (/) ч- g(T) 6 (/-?) +

+ g (2Т) 6 (t - 2Т) -г + g (пТ) S (/ - пТ) +	(5 6-27)

Находя z преобразования обеих частей уравнения (5 6—27)

получим

G(z) g(P) + g(T)z-^g(2T)z^ +

(5 6-28) •
Разложение G (z) получается в виде

G (z) = а0 + а^1 + a2z“2 + a3z“J +

(5 6—30)

Пример 5 6—3 Вычислим с помощью данного метода обрат
ное преобразование функции (5 6—18)

G = (г-0 8) (z(-lJ(z2+-z+0 8) =

(5 6-31)

Деление выполняется следующим образом

1-2 804 3 40—



—2 24+0 61 1- 2,80+ 3,40-2,24+0,64

3’80-1060+12’91-8’52+2,44

820-23’07+27>0-18^36+5 25

'	1^40=20,02+15:92- 5,25

12 40-34,70+40,30 -27,80+7 94

(5 6-35)
Импульсная передаточная функция равна

° ? -Т	<56~36>

ляются выражениями

£(2) = тт^) (5 6~37)

б)


9,(4'V(t D)

yD(t) — у (t— D) = у (t— KT)

(5 7—2)

и сигнал на выходе фиктивного импульсного элемента равен

Уй (0 = У (Г - КТ) 6 (t - Т) + у (2Т - КТ) S (/ - 2Т) +

+ у(ЗТ — KT)6(t — ЗТ) + +y(kT — KT)6(t —

~kT)+ • = £y(kT-KT)&(t-kT)
Для уравнения (5 7—2) z преобразование имеет вид



(5 7—4)

где G (z) z преобразование, соответствующее G (s) Используя
определение G (г), уравнение (5 7—6) можно переписать в виде

GD(z) = z~*i;£(feT)z-*	(5 7-7)

У о (0 - 2 У [kT + (т-\)Т]Ъ(1- kT) (5 7-8)

и z преобразование примет вид

^(z^z-1 ^у(кТ + тТ)г *

(5 7-9)

Правые части уравнений (5 7—8) и (5 7—9) содержат пара
метр m

Значения запаздывающего сигнала yD (/) в дискретные моменты
(фиг 5 7—3) равны соответствующим значениям выходного
которые обозначим через у* (/, т) В символической записи
yD(kT) = y(kT, т)	(5 7-

Y (z, т) = z-1 2оУ (kT +mT)z~k

(5 7-13)

У* W = ^y(kT-T)8(t-kT)

(5 7-15)
Y (z,Q) = z 1 J^y (kT) z~k = z-1Y (г)	(5 7-16)

Г (M) = ^oy(kT)b(t-kT) = y^(t)	(5 7-17)

ltg(kT + mT)z-k,

(5 7-20)
и последовательность значений у (/) в моменты t = пТ — пгТ,
(п + 1) Т — пгТ, (и + 2) Т — пгТ, , описывается выражением

y[(k+m)T — nT]8(t — kT)

Модифицированное z преобразование от у (/) равно



При п = 1 уравнение (5 7—24) сводится к уравнению

Другое определение модифицированного z преобразования Выше
модифицированное z преобразование было выведено в виде суммы
бесконечного ряда Применение приведенного ранее выражения
зависит от возможности и простоты определения суммы ряда
В большинстве случаев на практике сумму ряда можно легко
определить Однако, если возникают трудности в сведении беско-
нечного ряда к замкнутой форме, необходимо использовать дру-
гое выражение, определяющее модифицированное z преобразова
ние функции или модифицированную импульсную передаточную
функцию системы

Как показано в параграфе 5 2, в основу определения z пре
образования (или импульсной передаточной функции) может
быть положена любая из формул (5 2—66) и (5 2—67) Благодаря
тесной связи с z преобразованием модифицированное z преобра-
зование можно также определить двумя различными способами
Из фиг. 5 7—2 видно, что для импульсной системы с фиктивным
запаздыванием справедливы выражения

[ ]* — операция преобразования со звездоч

D = XT и /. — правильная дробь,

G (s), Gd (s) и G*d (s) — преобразования Лапласа соответ
ственно импульсных переходных

то соответствующее преобразование со звездочкой имеет вид

G*D(s) = X\g4t~D)\ = X\g(t-D)8T{t)\, (5 7-28)
где Дг (s) — преобразование Лапласа от бг (/) Ранее было по-
казано, что

Ar(s) = -Z;1_7-s	(5 7-30)

Учитывая (5 7—25), уравнение (5 7—29) можно записать
в виде

X {g(t — D)} — e~Ts X \g* + тТ)} — G* (s,m)	(5 7-35)

Так как

X \g* (t + /пТ)\ ^X\g(t + тТ) bT(t)\ = G (s)*bT(s) =

= ~яг|т£%'.-»> ЛУ- (5 7—36)

то из уравнения (5 7—35) следует, что
Применяя теорему вычетов, уравнение (5 7—37) приводим

-^Res—'

В случае, когда G (s) не имеет кратных полюсов, уравнение
(5 7—38) можно записать в виде

Используя подстановку z — eTs, уравнения (5 7 -38) и
(5 7—39) можно привести к виду

G (2 т) = 2-1 2 Res	ПРИ X ~ s* (5 7~40)

G (2, m) =

Res G (x) при x = sk

Уравнение (5.7—40) является другим способом определения
модифицированной импульсной передаточной функции системы
G ($) или модифицированного z преобразования ее импульсной
переходной функции g (/)

Вычисление модифицированных z преобразований Модифици
рованное z пр ^образование функции можно легко определить
с помощью уравнения (5 7—20) или (5 7—40) Таблица обычно
используемых модифицированных z преобразований дана в при-
ложении 1 Ниже иллюстрируется вычисление модифицированных
z преобразований

1. Ступенчатая функция

- к для k = 0, 1, 2,	(5 7—42)

Согласно уравнению (5 7—20) модифицированное z преобра
зование равно

G (г, т) ~ г 1 2 g (kT тТ).

(5 7-43)
Модифицированное z преобразование ступенчатой функции
не зависит от параметра т, так как весовая последовательность
представляет собой последовательность импульсов равной ампли-
туды и первый импульс запаздывающей функции gD (0 равен
н>лю (фиг 5 7—5) Для ступенчатой функции

G (z, т) = z-lG (z), (5 7—45) g(t)

где G (z) ее z преобразование

2 Линейно-возрастающая функ

Легко видеть, что при /л

Модифицированное z преобразс
ванне равно

G (z, m) - z-1 2 KT (k + m)

+ (m + k) KTz~k +

является z преобразованием линейно возрастающей функции

При т ----- 1 модифицированное z преобразование переходит
в обычное z преобразование

^^1)—= (5 7~51)

3, Экспоненциальная функция
Используя уравнение (5 7—20), найдем модифицированное
z-преобразование

полюс в точке s — —а, то вычет u (S)
в этом полюсе равен единице Следо-
вательно,

(5 7-56)

(5 7-57)

(5 7—58)
В уравнении (5 7—58) суммирование производится от k = 1,
так как при t = 0 функция времени равна нулю Уравнение
(5 7—58) можно записать в виде

что равно G (z, 1) При определении модифицированного z пре
образования временной функции ее дискретное значение при
t = 0 принимается равным нулю, между тем как при вычислении
обычного z преобразования дискретное значение функции при
t = 0 принимается равным действительному значению функции
в этот момент Следовательно, несмотря на то, что временная
функция непрерывна и равна нулю в начальный момент, ее моди-
фицированное z преобразование при т — 1 отличается от ее
z преобразования

4 Произведение_степенной и экспоненциальной функций



Эту функцию можно записать в виде



(5 7-61

но

(5 7-62)

Из уравнения (5 7—20) получаем модифицированное г пре-
образование

& ''

которое приводится к виду

(5 7-64)
Обратное модифицированное z преобразование Обратное мо
дифицированное z преобразование определяется

(5 7-65)

g (пТ, т) -	( Gd (g) епТЩ =

= -2ST S +!'+f} SGD^e^dl (5 7-66)

Полагая

£ - s + jkas,	(5 7-67)

уравнение (5 7—66) можно преобразовать к виду

g (пТ, т) = —- j 2 (s + /^®s) enTs (5 7—68)

При подстановке z = eTs функция

1- G0(s + ^s)-G’D(s)	(5 7-69)

упрощается
(5 7-70)

(5 7-71)
Этот интеграл можно вычислить с помощью теоремы вычетов

g(nT, tri) = Res 2'е^г~ = е-^+т-Наг при z = е~аТ (5 7—73)

Для первого дискретного момента п ~ 0,tn—\ttg (пТ,т) = 1
В течение первого периода прерывания п = 1 и g (?, т)=- е~атТ,
в течение второго периода прерывания п — 2 и g (2Т m) == e-a(m+i) т
в течение А-го периода прерывания п — k и g(kT, tri) =
Таким образом если m изменяется от 0 до 1, то g (пТ, tri) совпа
дает с экспоненциальной функцией e~at (фиг 5 7—7)

Пример 5.7—2 Определим
обратное модифицированное z пре
образование от функциг

G (z, tn) -

равны — V»e;i

Следовательно,
g(n.T, tn) =

Обратное преобразование опре-
деляется как

g (nl, пг) = 2 Res G (z, т) гп~' внутри Г

Вычет при z = 1 равен 1, так как

то вычеты G (z, rri)zm~l при z

-= 1 — cos(n-r m —1)ш07

Второй метод вычисления обратного модифицированного z пре
образования основан на разложении в степенной ряд Согласно
этому методу G (z, tri) разлагается в степенной ряд по z-1 с по
мощью последовательного деления, при котором величина m по
лагается постоянной Коэффициент при члене z~n является функ
цией от tn, совпадающей с соответствующей временной функцией
g (пТ, tri), в течение п го периода прерывания, если т изменяется
от 0 до 1 В качестве примера найдем с помощью данного метода
обратное модифицированное z преобразование уравнения (5 7—71)
Разлагая правую часть уравнения (5 7—71) в степенной ряд
по степеням z-1, получаем

(5 7-78)

Из данного ряда видно, что в течение первого периода прерыва
ния временная функция определяется выражением g (Т, tri) =
e~amT, в течение второго периода g (2Т, tri) = e~a<~m+^T и в тече
ниеА го периода g (kT, m)=e~a^m+k-'i'>T Это согласуется с резуль
татом, полученным выше

Определение начального и конечного значений функции с помощью
модифицированного z преобразования Теорема о начальном значе-
нии Если функция g (t) имеет модифицированное z преобразова-
ние G (z, tri) и предел lim {(zG (z, ni)\

существует, то

lim { zG (z, tri)}

Можно показать, что если модифицированное z преобразова
ние получается непосредственно по функции времени, то выраже
ние (5 7—81) позволяет найти всю функцию времени при изме

Пример 5.7—3 Рассмотрим следующую пару функций, свя
занных друг с другом модифицированным z преобразованием

g(nT, tri) = e-f"

(5 7—82а)
(5 7-826)

(5 7—83)
Начальное значение равно

lim | zG (z, т)} = 1

В самом деле



(5 7-84)

(5 7-85)

lim { zG (z, т)}

(5 7-86)

G(z, m)} = lim | g(«T,m)} = lim {£(/)}	(5 7-87)

G (2>	= —L- _	(5 7-89)

При z -> 1 предел lim (z -
Проверим этот результат

(5 7-90)

lim| 1 -е-(м-™-1ИТ} = 1

(5 7-91)
5 8 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ, г ФОРМЫ

Вычисление определенного интеграла может быть выполнено
либо по правилам интегрального исчисления либо с помощью
методов численного интегрирования1

Численные методы применяются в том случае когда соответст
вующий неопределенный интеграл нельзя выразить в замкнутой
форме или когда он очень сложен и требует трудоемких вычисле
ний. В цифровых САР при интегрировании импульсного сигнала
его обработка осуществляется с помощью процесса численного
интегрирования Этот параграф
посвящен рассмотрению вычисле

ния z преобразований с помощью
различных методов численного
интегрирования

y(t)



На фиг 5 8—1 показана блок схема идеального интегратора

Выход у (/) и вход х (0 связаны выражением

Преобразуя по Лапласу обе части этого уравнения, получаем

F(s) = -|-*(s)	(5 8-2)

Таким образом, оператор интегрирования или передаточная
функция идеального интегратора

Численное интегрирование является процессом вычисления
определенного интеграла по ряду численных значений подынте
трального выражения, В основе численного интегрирования лежит
принцип интерполирования Основная задача интерполирования
состоит в определении значений функции аналитическая форма
которой либо полностью не известна, либо очень сложна^ по и-звест
ным значениям функции для ряда моментов времени

На фиг 5 8—2 х (/) обозначает рациональную функцию от
/, хй, х1У х2 хп являются значениями х (/) в моменты /0, ti

Johns Hopkins Press
224
/2, tn Тогда данная функция х (/) может быть приближенно
представлена с помощью более простой функции или полинома
Р (t) который имеет те же значения, что х (/) в моменты t0, tA,
/2 tn Определение х (/) с помощью Р (/) на данном интервале
независимой переменной называется интерполированием а функ
ция Р (t) называется функцией интерполирования Функция Р (/)
может иметь различные формы Если Р (/) является полиномом, то
процесс замены х (/) на Р (/) называется полиноминальным интер
полированием Наиболее важными формулами интерполирования
являются формулы Ньютона, Стирлинга и Бесселя В данном
параграфе для выполнения численного интегрирования приме-
няется формула Ньютона

Основной идеей численного интегрирования является, во пер-
вых, приближенное представление данной функции х (f) на корот
ком интервале t с помощью функции ити полинома р (/) и, во
вторых, интегрирование этого полинома, а не функции х (/)
Преимущество метода заключается в том, что, если даже х (/)
трудно или практически невозможно проинтегрировать полином
Р (/) обычно легко поддается интегрированию Согласно формуле
Ньютона в интервале t0 < t < t0 + пТ функция х (/) может
быть представлена с помощью следующего полинома

Р (t) = Р (t0 + Tu) = f (и) = х0 + ЫДх0 + ^2^1 Д% +

где

Дх0-

хп — значения х (/) в моменты времени t0, t0 + Т,

Величина интеграла
может быть найдена по приближенной формуле

х (0 dt =	(0 dt = т ]Р + Та) du = T]f (u)du (5 8-9)

В этом выражении
dt = Tdu	(5 8—10)
Уравнение (5 8—12) дает простейшую формулу акстраполиро
вания, основанную на правиле прямоугольной аппроксимации

где при t

Находя z преобразование уравнения (5 8—13)

получаем

вид



(5 8-17)

Следовательно, амплитудная и фазовая характеристика имеют

| D*a (/®) I = ~Т | C0SeC | ’

(5 8-18)

Фа («)

(5 8—19)

£>* (/и) =
<№)

как сумма из площади и площади заштрихованной трапеции.

(5 8—20)

откуда выводится экстраполяционная формула, основанная на
правиле трапецеидальной аппроксимации

Уравнение (5 8—21) может быть также выведено из основной
формулы (5 8—11), если положить п = 1 Так как интервал
интегрирования берется от t0 до t0 + Т, то в результате получаем
лишь значения и xi функции х (/) При наличии только двух
значений х (/) нельзя получить разность выше первого порядка
Таким образом,

[ x(t)dt^yi-y0 = T (хв + 4-Ах0).	(5 8-22)

Имея в виду выражение (5 8—6), учитывающее первую раз
ность, уравнение (5 8—22) упрощается до

Амплитудная и фазовая частотные характеристики равны



(5 8—28)

(5 8-29)

Из частотных характеристик, приведенных на фиг 5 8—6,
видно, что хотя оператор интегрирования, основанный на трапе-
цеидальной аппроксимации, имеет идеальную фазовую характе-
ристику, его амплитудная характеристика значительно отличается
от идеальной кривой

в)	Интегрирование с помощью правила Симпсона V3 Экстра-
поляционная формула основанная на правиле Симпсона V3, мо-
щет быть легко получена из уравнения (5 §—11), если положить
п = 2 Так как на интервале интегрирования от t0 до /0 + 27
известны лишь значения х0 хг и г, функции г (/), то нельзя найти
разность выше второго порядка Таким образом,

Заменяя все разности значениями х (t), определяемыми урав-
нениями (5 8—6) и (5 8—7), получим

У^Уо + ^ + ^+х»),

(5 8-31)

y*(t) = y*(t-2T)	[х*(/) + 4х*(/-Т)4 x(t-?T)] (5 8-32)



трапецеидальной аппроксимации (б)

(1 - z-2) Y (г) -	(1 + 4Z-1 + z-«) X (?)	(5 8-33)



(5 8—34)
Подставляя е^Т вместо z, получим частотную функцию циф
рового интегратора

(5 8-35)

Таким образом, амплитудная и фазовая характеристики имеют
РИД

Эти характеристики построены на фиг 5 8—7 Интересно от
метить, что оператор численного интегрирования, основанный на

/ГМ

правиле Симпсона Vg, также имеет идеальную фазовую характе-
ристику

г)	Интегрирование с помощью правила Симпсона 3/4 Экстра
поляционная формула, соответствующая этому правилу, мсжет
быть получена из уравнения (5 8—11), если положить п = 3 и
пренебречь всеми разностями выше разности третьего порядка.
Это эквивалентно проведению кривой третьего порядка через че-
тыре равноотстоящие точки х (/) внутри интервала интегрирова-
ния Таким образом,
Заменяя все разности значениями х (/), определяемыми по
уравнениям (5 8—6) — (5 8—8), и упрощая, получим

откуда может быть получена экстраполяционная формула, осно
ванная на правиле интегрирования Симпсона

„* (/\ = „* It _	— fv* tt\ 9.Y* It _ Т\ I Ч1.

+ ** (Z-37)]

(5 8-40)

Определяя z преобразование уравнения (5 8—40) и группи-
руя члены, получим

Следовательно, импульсная передаточная функция цифрового
интегратора, реализующего уравнение (5 8—40), принимает вид

(1 - Z”) Y (г) = 4- 1-+-3--;р3Д‘Хг‘	(5 8-42)

д)	Интегрирование с помощью правила Веддла Квадратурная
формула, основанная на правиле Веддла, может быть получена
из уравнения (5 8- 1), если положить п = 6 и пренебречь всеми
разностями выше шестого порядка Это эквивалентно проведению
кривой шестого порядка через семь равноотстоящих точек х (/)
внутри интервала интегрирования Таким образом,

' J х (0 dt = уе - у0 = 7 (6х0 + 18Дх0 + 27Д2х0 +

+ 24Д3х0 + 123/10Д4х0 + 23/10Д5х0 + 41/140Д6х0) (5 8—43)

Так как коэффициент при Д6 х0 отличается от 3/10 лишь на
VM0, то он может быть заменен величиной 3/10 без внесения за-
метной ошибки Итак, заменяя последний член уравнения (5 8—
43) через (3/10) Д®х0 и выражая все разности через х0, х1; х2, хв,
уравнение (5 8—43) можно привести к виду

Из уравнения (5. 8—44) следует экстраполяционная формула,
основанная на правиле Веддла

(/X = >,* It _Р.Т\ 4- — Гг* /А 4- It _ Т\ V* It __ ОТ\ L

+ 6х* (t - ЗТ) + х* (t - 47) + 5х* (t - 57) + х* (t - 67) (5 8-45)
Определяя z преобразование уравнения (5 8—44), получим

(5 8-46)
Учитывая, что Inz можно представить в виде степенного ряда

где

уравнение (5 8—50) можно переписать следующим образом

Последовательное деление дает ряд Лорана

-1 _ 7 / 1 v 4И3	44и3
Так как этот ряд сходится довольно быстро, он может быть
аппроксимирован ’главной частью, т е

(5 8—55)

Аппроксимируя этот ряд главной частью и постоянным чле
ном, получим

Учитывая уравнение (5 8—2) найдем

2	^2 ] +10г 1 + г 2

8 ^Т2""’(Г-г1)2—

(5 8-58)
Эти z формы можно использовать Для определения npi бли-
женного обратного преобразования Лапласа Предположим, что
G (s) является преобразованием Лапласа от g (/) Тогда выраже
ние для обратного преобразования Лапласа примет вид

g(t)

j G (s) eis ds

ЯЛ

1т Плоскость
jn/T 5

выбрать мнимую ось, ч"л означает с = 0 Разбив путь интегриро
вания на три части (фиг 5 8—9, а), уравнение (5 8—59) можно
переписать следующим образом

т/т

= f G(s)^Ms + J [G(s)^ +

4-G(— s)e-'s]ds	(5 8—60)

g(t)^ga (0=2^ J G(s)etsds

(5 8-61)
при условии, что период Т выбран соответствующим образом

В уравнении (5 8—61) ga (0 определяется как аппроксимация g (г)

Заменяя в уравнении (5 8—61) t = пТ, получим значения
приолиженнои временной функции в дискретные моменты

Для того чтобы применить z формы, в уравнение (5 8—62)
необходимо подставить z вместо s Используя уравнение (5 8—49)
и упрощая его, получим

£« (пТ) =	$ -Г G (4 ln z) zn~ldz’ <5 8~63>

G(s)=	(5 8-64)

(5 8-65)
При подаче на вход единичной ступенчатой функции преобра
зование Лапласа сигнала на выходе системы равно

(5 8—66)
определить с помощью суммирования бесконечного ряда (5 2—66)
или из интегрального выражения (5 2—67) Во многих случаях
для определения z преобразования в замкнутой форме последний
метод является наиболее удобным

Вычисление обратных z-преобразований может выполняться
тремя различными методами с помощью формулы обратного пре-
образования, с помощью разложения на простые дроби и с по
мощью разложения в степенной ряд Первый метод применяется
для нахождения временной последовательности в замкнутой
форме Второй метод позволяет найти не только значения времен
ной функции в моменты замыкания, но в некоторых случаях ее
приближенные значения внутри периода прерывания Этот метод
может использоваться для приближенного определения переход
ного процесса импульсной системы при условии, если частота
прерывания значительно выше полосы пропускания частот си
стемы Третий метод является наиболее простым. Он используется
лишь в тех случаях когда требуется найти только несколько пер
вых значений временной последовательности

Для того чтобы можно было определить переходный процесс
импульсной САР в любой момент времени вводится модифициро
ванное z-преобразование Однако по сравнению с основным z-npe
образованием модифицированное z преобразование имеет второ-
степенное значение Обратное модифицированное z преобразова
ние можно найти либо с помощью выражения (5 7—70), либо
посредством разложения в степенной ряд Первый из этих методов
может дать общее выражение временной функции, в то время как
второй метод используется для определения временной функции
в течение первых нескольких периодов прерывания Хотя метод
z преобразований был разработан преимущественно для решения
линейных разностных уравнений а также для анализа и синтеза
линейных импульсных систем, однако он может также применяться
для анализа непрерывных систем при условии, что непрерывная
система заменена ее импульсной моделью

Глава заканчивается рассмотрением методов численного инте
грирования формул экстраполяции и метода z форм При числен
ном интегрировании импульсная передаточная функция может
принимать различный вид в зависимости от применяемых правил
интегрирования Рассмотрены наиболее простые и часто приме
няемые правила численного интегрирования Процесс интегриро
вания может быть выражен в виде функций от z которые назы
ваются z формами Метод z форм позволяет вычислять реакции
непре] в	'м с помощью z преобразования. Кроме того,

циальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами
Использование метода z-форм облегчает решение таких задач на
цифровой вычислительной машине
ГЛАВА 6

АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ /-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

6 1 СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И Z ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕЛИЧИН
НА ВЫХОДЕ ИМПУЛЬСНЫХ САР

Одним из основных средств анализа систем автоматического
регулирования с обратной связью является метод структурных
схем Согласно этому методу система представляется в виде соеди
нения структурных элементов направленного действия Каждый
элемент характеризуется обычной или импульсной передаточной
функцией Таким образом, структурные схемы графически изоб
ражают направление распространения сигналов в системе, а также
взаимосвязь составляющих ее элементов Для того чтобы произ
вести анализ импульсной и цифровой САР с помощью метода
z преобразования, прежде всего составляется структурная схема,
показывающая пути прохождения информации в системе а также
взаимосвязь ее элементов С помощью структурной схемы можно
найти z преобразование или модифицированное 2 преобразование
выхода системы, а также вывести характеристическое уравнение,
составленное относительно 2 По преобразованию выхода можно
найти реакцию системы на заданный входной сигнал, а с помощью
характеристического уравнения по 2, используя аналитические или
графические методы, легко провести анализ устойчивости системы

В этом параграфе рассматриваются методы преобразования
структурных схем импульсных и цифровых САР, а также методы
определения импульсных передаточных функций и 2 преобразо
ваний выходных переменных Для иллюстрации применения ме
тодов рассмотрено несколько примеров

а) Рс замкнутые системы. Простая импульсная система с пре-
рыванием на входе Из фиг 6 1—1 видно, что преобразование
Лапласа выхода определяется выражением

Используя определение преобразования со звездочкой
уравнение (6 1—1) можно преобразовать к виду

C*(s) = 4- 2 G(s + W7?*(s + pcos)

(6 1-3)

стемы можно представить в виде
C (s) = G2 (s) £ (s),
E (s) = G, (s) 7?* (s)

1-19)

1—20)
Определяя преобразование со звездочкой уравнения (6 1—1$),
получим

С* (s) ~ Gfi^s) R* (s)

(6 1-21)

(s) = — GiG2 (s + lnas)

(6 1-22)

C(z)^G1G2(z)R(z)

(6 1-23)

C (z, m) - GjG2 (z, m) R (z)	(6 1—24)
Определяя преобразование со звездочкой уравнения (6 1—33),

Е* (s) = Gx/?* (s)	(6 1-35)

Из уравнений (6 1—34) и (6 1—35; найдем преобразование
Лапласа от выхода С (s)

С (s) = G2 (s) G^* (s)	(6 1-36)

Если выход системы далее прерывается, то его преобразование
со звездочкой принимает вид
E(S)=/?(S)-//(S)C(s)

Так как выход и вход системы связаны уравнением

то выражение (6 1—40) можно переписать в виде

Преобразование со звездочкой уравнения (6 1—42) имеет вид

Преобразование и упрощение этого уравнения дает

1 + Gh*(s) ’

C*(s)-G*(s)E*(S),

(6 1—46)

245
то выход С* (s) связан со входом R* (s) уравненйем

(6 1-47)

Соответственно z преобразование выхода, определяющее зна
чение выхода в дискретные моменты времени, имеет вид

 GH (г)

(6 1—48)

Модифицированное z преобразование выхода системы можно
получить из уравнения (6 1—45)

1 + GH (г)

(6 1-49)

Следовательно, г преобразованием выхода системы является



(6 1-54)

Е (s) = R (s) —	(s)	(6 1—55)

С (s) = G (s) Е* (s)	(6 1-56)

Преобразования со звездочкой приводят уравнения (6 1—55)
и (6 1—56) к виду

Е* (s) = R*(s)-H*(s)C*(s)	(6 1-57)
C* (s) = G (s) E* (s)

(6 1-58)


что является модифицированным z преобразованием выхода си-



методы анализа и преобразования структурных схем импульсных
систем могут быть использованы и для более сложных структур
Для определения преобразования выхода многоконтурной системы

(6 1—69)
Система без прерывания сигнала ошибки может быть сведена
к системе с прерыванием сигнала ошибки, после чего можно полу-
чить z преобразование выхода Для иллюстрации рассмотрим си
стему, изображенную на фиг 6 1—9, а Применяя правило 9
в параграфе 2 2, преобразуем структурную схему на фчг 6 1—9, а

fli(z) = G1R(z)	(6 1-71)
C (s) = G R (s) -	(s) G R* (s)

(6 1-74)

Преобразуя no z обе части уравнения (6 1—74), получим

(6 1-75)

Модифицированное z преобразование выхода системы можно
найти из уравнения (6 1—74), т е

С (z, т) = G R (г, т)-(г)	(6 1 -76)

функции от s соответствующим z преобразованием, например
функция G* (s) или G (s) заменяется функцией G (z), a G (s)H (s)
заменяется GH (z)

3 Определяется модифицированное г преооразование выхода
с помощью замены функции со звездочкой от s соответствующим
z преобразованием, а функции от s соответствующим модифициро
ванным z преобразованием Например, функция G* ($) заменяется
G (z), a G (s) — функцией G (z, т) Преобразования выхода не-
скольких основных импульсных систем приведены в табл 6 1—1
В этой таблице даны преобразования Лапласа (со звездочкой и
без звездочки), z преобразования и модифицированные г преобра-
зования выхода системы

Пример 6.1—2. Определим z преобразование и модифициро
ванное г преобразование выхода системы, изображенной на
250
G(s) = VT5r = 4	<6 !-77)

G/?(s) = G(WH^	(6 1-78)

GH (s) - G (s) H (s) =	(6 1 -79)

Для периода прерывания 0 2 сек z преобразования, соответст
вующие этим уравнениям, имеют вид

 0 368)

G^ = ^.jp-oW	(б1~81)

С помощью правил, описанных в гл 5 или с помощью таблицы

модифицированных z преобразований приложения 1, можно опре

----л.----------- -----*---------- ..	G//(s)

деЛтть модифицированные z-преобразования GR (s)
Они равны соответственно

Oses'”

СЯ (г, т) = 10 (Дт ~	<6 1 -8<)

Модифицированное z преобразование выхода системы можно
найти из уравнения (6 1—68)

г !	2 (г2 + 4 95z - 5,95) [(l - 0,368m) г + 0,368m - 0 368]

С (Z’ т> = -----(г -И) (г -Д368) (Д + 4 95г + 0368)-

(6 1-85)

Более сложные системы Ниже рассматриваются два примера,
иллюстрирующие определения z преобразований выходных сиг-
налов и упрощение структурных схем сложных импульсных САР
i"*** <s> - a-H‘R* <s>l <6 '-86>
Следовательно, z преобразование и модифицированное преоб-
разование выхода имеют вид

С (z) = G.H.R (z) +	[H1R (z) - GSH,R (z)],

C (S\ -

l+GH(s)

(6 1-89)
354

структурной схемы, приведенной на фиг 6 1—13, если положить
R (s) = 0 На фиг 6 1—14 следует, что

(6 1-90)

с (S) = С1 (S) + с, (S) =	+	Е* (S)

(6 1-91)

Из фиг 6 1—13 следует, что

Е (s) = R (s) - [GH (s) Е (s) + D* (s) Gh Н (s) £* (s)J

Это уравнение можно преобразовать к виду



(6 1-92)

(6 1 -93)

i +	(S)

С W ~ 1 + £>* (s) {GhH (s)/U + GH (s)

(6 1-94)

6 2 ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ,
КРИТЕРИЙ ШУР-КОНА, БИЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
A(z) = j(G//(s)HG^(2),
а для системы на фиг 6 1—7

X(z) = 3{G(s)}S{/7(S)} = G(z)H(z),
17 Юлиус Т Ту

(6 2—2)

(6 2-3)

257
где

G (z) = 3 { G (з)| и /7(г) = 3{Я(з)}	(6 2-4)

Импульсная передаточная функция импульсной САР в разом
кнутом состоянии может быть определена при размыкании системы
в точке, где прерывается сигнал

Характеристическое уравнение импульсной или цифровой
системы можно наити, если приравнять нулю знаменатель пре
образования выхода системы Например, характеристическое
уравнение для системы на фиг 6 1—5 имеет вид

а для системы на фиг 6 1—7

1 - G (z) H(z) = 0

Вообще характеристическое уравнение имеет вид

1 + А (2) = 0

Корни уравнения (6 2—7) определяют устойчивость системы
и ее поведение в переходном режиме. Как указывалось в гл 5,
z преобразование может рассматриваться как конформное пре
образование. При этом z — eTs является отображающей функцией
Эта функция отображает мнимую ось плоскости s в единичную
окружность в плоскости z, а левую полуплоскость s — в область
внутри этой единичной окружности (фиг. 5 5—2). Следовательно,
импульсная или цифровая система устойчива, если все корни ха
рактеристцческого уравнения (6 2—7) лежат внутри единичной
окружности с центром в начале координат плоскости z

Импульсная передаточная функция разомкнутой системы
A(z) может быть выражена в виде отношения двух полиномов

Предположим, что порядок полинома P(z) равен т, а порядок
Q(z) равен п, причем п > т, тогда

Уравнение (6 2—10) можно записать в виде
график в плоскости W (б)

что является критерием устойчивости для цифровых и импульс-
ных САР

Вкратце можно рекомендовать следующий порядок действий
при анализе устойчивости импульсных САР

1	Определяется импульсная передаточная функция системы
в разомкнутом состоянии при помощи ее структурной схемы.

2	Строится годограф z преобразования импульсной переда-
точной функции разомкнутой системы для значений г, пробегаю-
щих окружность единичного радиуса один раз в плоскости г

3	Подсчитывается количество оборотов годографа вокруг
критической точки (—1 + /0)

4	Если импульсная передаточная функция не имеет полюсов
вне окружности единичного радиуса, то для проверки устойчи-
вости применяется уравнение (6 2—19) или (6 2—20)

Ниже дается несколько простых примеров, иллюстрирующих
анализ устойчивости в плоскости z, с помощью критерия устой-
чивости Найквиста для импульсных систем

Пример 6 2—1 Рассмотрим простую систему с единичной
обратной связью и с передаточной функцией в разомкнутом со-
стоянии


(6 2-24)
р = 1, Q = 1, и уравнение (6 2—20) удовлетворяется Это со

Годограф А (2), построенный на фиг 6 2—6, б, охватывает
критическую точку (—1 + /0) один раз по часовой стрелке

й = —1, & + п — р	(6 2—27)
Таким образом, условие устойчивости (6 2—20) не выпОЛ
няется, и система неустойчива

Наличие одного нуля 1 + А(г) внутри единичного круга,
можно показать на основе равенства
имеет вид

Gft(s)=. L-1...2,

(6 2-31)

Соответствующее z преобразование есть G(z), причем

G (z) = (1 — 2 5 { s3 (s+ 10) (S_|_2oy } =

-n f 2	03 ,	0,4	0,1 )	/л о

= (1 ~— + #To-T+loj- (62~33)

Соответствующие z преобразования находятся из таблицы
в параграфе 52В результате получаем

0’3 (6 2-34)
гаются внутри окружности единичного радиуса Критерий Шур-
Кона дает метод определения наличия корней характеристиче
ского уравнения вне единичной окружности плоскости z

Характеристическое уравнение имеет вид полинома

При использовании критерия Шур Кона необходимо распо
дожить коэффициенты а в виде определителя

где k = 1, 2,_ 3, 4,	, п, л — порядок характеристического

уравнения и ап — сопряженное значение

Определитель имеет 2k рядов и 2k столбцов Все корни
характеристического уравнения лежат вне единичной окружно
сти, и система устойчива, если коэффициенты уравнения (6 2—35)
удовлетворяют следующим условиям

ДА<0 для нечетных значений k,

= ап Следовательно,

Определитель Л, имеет четыре ряда и четыре столбца:
(6 2-39)

(2 45г + 1) (2 45z — 1)'

Характеристическое уравнение системы равно

(6 2-40)

(6 2-41)

Подстановка соответствующих коэффициентов
(6 2—36) позволяет получить

= 161

уравнение

(6 2-42)

(6 2-43)

F (г) = (2г1) (Зг—1) = 0,	(6 2-44)

2 = - z = 1/з	(6 2-45)

(6 2-46)

267
Характеристическое уравнение имеет виД

Следовательно, значения определителей Шур Кона равны

Отсюда видно, что, по крайней мере, один корень этого харак
теристического уравнения находится вне единичной окружности
Следовательно, система неустойчива

Решение характеристического уравнения дает следующие зна-
чения корней-

что. согласуется с результатом, полученным из критерия Шур
Кона

Пример 6.2—6 Рассмотрим систему с передаточной функ-
цией в разомкнутом состоянии

Характеристическое уравнение системы имеет вид

Определители Шур Кона соответственно равны

(6 2-54)

Система неустойчива, так как один корень характеристиче-
ского уравнения лежит внутри единичной окружности, а другой —
на ее границе Решение уравнения дает

(6 2—55)
Критерий Шур Кона дает удобный аналитический метод ана-
лиза абсолютной устойчивости импульсных и цифровых САР
Он также может использоваться для определения границы устой
чивости импульсной системы. Однако применение этого критерия
обычно ограничивается простыми системами, так как он требует
вычисления определителей высокого порядка

Упрощенный критерий для полиномов второго порядка Кри
терий устойчивости Шур Кона можно упростить, если A(z), чи
слитель 1 + A (z), является полиномом второго порядка с дей
ствительными коэффициентами, а коэффициент при z2 равен еди
нице В этом случае необходимые и достаточные условия для того,
чтобы все корни F(z) — 0 лежали внутри единичной окружности
имеют вид

И(0)|<1,

F(-l)>0

(6 2-566)

(6 2—5бв)

Условие 1 является необходимым, но недостаточным Пред
положим, что характеристическое уравнение

имеет корни z, и z,. которые являются комплексными или дей-
ствительными

Если эти два корня лежат внутри единичной окружности, то
|21| <1,	|г2|< 1	(6 2-59)

и уравнение (6 2—56) удовлетворяется Однако, если система
имеет два действительных корня, это условие не является доста
точным Величины zr и z2 могут быть такими, что ] ZiZ2| меньше 1,
хотя z, или z, лежит вне единичного круга Следовательно для
того чтобы сделать критерий достаточным, необходимо учитывать
условия 2 и 3

Условие 2 делает невозможным наличие положительного дей
ствительного корня, большего 1 Если | F (0) | < 1 то по край-
ней мере, один корень лежит внутри единичного круга напри

видно, что z2 лежит вне единичного круга,
находится на единичной окружности, если

если F(l)

F (1) = 0, и z2 лежит внутри единичного круга если F (1) > О

Условие 3 исключает возможность наличия отрицательного
действительного корня вне единичного круга Так как | F (0) | < 1,
то можно предположить, что один корень, например z1( лежит
внутри единичной окружности На фиг 6 2—9 z2 лежит вне
269
Импульсная передаточная функция разомкнутой системы оп
ределяется с помощью z преобразования уравнения (6 2—61)
Согласно таблице в параграфе 5 2 z преобразование, соответ
ствующее A (s) равно
F (z) = z2 + [K (1 — e T/Tm') — (1 + e 7'/7'm)] z +

+ e~T/Tm = 0	(6 2 -63)

F(-l)= [l-K(l-e~r/r-) +

+ (1 +e-r/rm)+e-r/rm]>0

(6 2—66)

ния равен постоянной времени двигателя, то максимальное зна
в) Анализ устойчивости с помощью билинейного преобразова
ния Основной причиной не дозволяющей применять известный
критерий Рауса для анализа импульсных САР, является то, что
в плоскости s характеристическое уравнение

(6 2-69)

в импульсных системах не является полиномом по s. а представ
ляет собой трансцендентную функцию от s Как указывалось

циничный круг плоскости г, отображенный в левую по
овину плоскости w посредством билинейного преобра

—^Основная ' полоса^^

в предыдущих главах, плоскость s можно рассматривать как
состоящую из бесконечного числа горизонтальных полос шириной
<os где — угловая частота прерывания (фиг 6 2—12) Полоса,
содержащая начало координат плоскости s, называется основной
полосой Вследствие периодических свойств преобразование со
звездочкой [например GH* (s]\ имеет одинаковые значения
в точках различных полос плоскости s, совпадающих друг с дру
гом при их наложении Если любая полоса может быть отобра-
жена на всю плоскость, например плоскость w, то отображаю-
272
щая функция будет преобразовывать многозначную трансцен-
дентную функцию от з уравнения (6 2—69) в однозначный поли
ном от w Такое преобразование позволяет использовать критерий
Рауса и упрощает применение широко используемого метода ло
гарифмических частотных характеристик к импульсным системам

Как уже указано выше, z преобразование превращает транс
цендентную функцию от з {например, 1 + GH* (з){ в полином
от z {например, 1 + GH(z)]

Однако при этом основная и дополнительные полосы, распо-
ложенные слева от мнимой оси плоскости з, преобразуются в еди
ничный круг плоскости z, что не согласуется с требованиями кри
териев Рауса и Найквиста Из теории функций комплексного пере
менного известно, что билинейное преобразование

Gи =	+ тВтв-~0.3 (6 2~73)

15 Юлиус Т Ту

г3 — 1,03г2 — 1,32г + 0,0044 -= 0

(6 2-75)
273
Билинейное преобразование уравнения (6 2—75) приводит
к уравнению

0,706+ + 5,36+ + 3,28^ + 0,714 = 0	(6 2—76)

Для того чтобы система третьего порядка была устойчивой,
согласно критерию Рауса должны выполняться следующие уело

1) все коэффициенты уравнения (6 2—76) должны быть от
личными от нуля и положительными,

Таким образом, в соответствии с критерием Рауса система
устойчива что согласуется с выводом, полученным с помощью
амплитудно фазовой характеристики (фиг 6 2—7, б)

Сравнение метода билинейного преобразования с методом,
основанным на применении критерия Найквиста, подтверждает,
как это наглядно показано в примере 6 2—3 удобство и про-
стоту первого метода анализа устойчивости Действительно, би-
линейное преобразование обеспечивает очень удобные средства
анализа устойчивости импульсных систем при условии что вы
ражение для импульсной передаточной функции системы в разом-
кнутом состоянии известно С помощью билинейного преобразо-
вания импульсная z передаточная функция разомкнутой системы
преобразуется в рациональный полином от w В плоскости w
устойчивость системы можно также анализировать с помощью
метода логарифмических частотных характеристик которые ши
роко применяются при анализе непрерывных САР При этом
такие понятия, как запас устойчивости по амплитуде и по фазе,
могут использоваться для определения относительной устойчи
вости импульсных систем

В качестве иллюстрации рассмотрим ту же импульсную си
стему о которой шла речь в приведенном выше примере Импульс
ная передаточная функция этой системы в разомкнутом состоя
нии, определяемая выражением (6 2—73), может быть представ-
лена в виде

G =	0 152 (г + 0,05) (г + 1,065)

+ (z-1) (г-0 135) (г-0 0185)

Применяя билинейное преобразование, получим

г _ 0 188 0 - + (1 + +1,Ю5) (1 - +31 8)
(w) w (1 + w/0,764) (1 + w/0 965)
			
			
		2	
			
			
систем Необходимость вычислений определителей высокого по-
рядка ограничивает область применения этого критерия простыми
системами

Критерий Найквиста лежит в основе графического метода ана
лиза устойчивости импульсных и цифровых САР Для примене
ния этого метода необходимо построить годограф z преобразова
ния импульсной передаточной функции системы в разомкнутом
состоянии Каждый раз, когда изменяется какой-либо параметр
или постоянная времени необходимо строить новый годограф
Если импульсная передаточная функция имеет простую форму,
то годограф z преобразования может быть построен непосред
ственно по ее виду Если импульсная передаточная функция яв
ляется сложной, то построение годографа ее z преобразования
является нелегкой задачей.

Критерий Найквиста обладает тем преимуществом, что экспе
риментально снятые частотные характеристики разомкнутой си
стемы могут использоваться для построения годографа z преоб
разования или амплитудно фазовой характеристики без состав
ления дифференциальных уравнений Кроме того, годограф z
преобразования может быть использован для определения не
только абсолютной, но и относительной устойчивости системы
Когда импульсные и цифровые САР анализируются с помощью
метода z преобразования, то обычно применяется именно Крите
рии Найквиста, несмотря на трудность построения годографов
z преобразования сложных импульсных передаточных функций

Метод билинейного преобразования дает простейший способ
анализа устойчивости импульсных и цифровых САР Этот метод
позволяет использовать критерий Рауса и Гурвица и облегчает
применение логарифмических амплитудно фазовых характеристик
для импульсных систем Следовательно, билинейное преобразо
вание позволяет воспользоваться при анализе и синтезе импульс
ных и цифровых САР как простотой критериев Рауса и Гурвица,
так и большим удобством метода логарифмических частотных ха
рактеристик

6 3 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ДИСКРЕТНЫЕ
МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ
Для замкнутой импульсной системы, показанной на
фиг 6 1—5 преобразование выхода системы, полученное из
структурной схемы, равно

G^=~-+GH^	(6 3~3)
Для единичной ступенча
той функции

г (t) = и (/), R (г) =

f)

Разлагая выражение (6 3—7) на простые дроби, получим

с<г>=ФтДт?+4 Дт-4 г._ДД+1] <6 3-

Функция С (z) может быть также записана в виде

<^) = тДж+4 Дт~4(44Д4Д)~

- 4 Д5Д 4 лгХ+.)	<6 3-9>

=	---Lcos 20/ — -L l.+ cos_2°r sin 20/	(6 3_10)
Подставляя в уравнение соответствующее значение Т
= 0,1 сек получаем переходную функцию

cf (t) = 10/ + 0,5 — 0,5 cos 20/ — 0,321 sin 20/	(6 3—11)

Следует отметить что (/) определяемое уравнением (6 3—
10), не является единственной переходной функцией, соответствую

щей преобразованию выхода С (?)
Из уравнения (6 3—7) с помощью
обратного z преобразования можно
найти несколько переходных функ
ций. Однако все они будут давать
точные значения выхода только
в дискретные моменты времени
Полный переходный процесс мож
но определить с помощью метода
модифицированного z-преобразо

60

20-

~О~2 Ofi Об 08 сек
время

C(z) = 1,415г-1 + 3,07^ 2 + 3 12г~3 т 4 25? Я

+ 6,13z 5 + 631z-6 + 72k 7 J-	(6 3—12)
в дискретные моменты Следовательно, реакция системы для ди-
скретных моментов может быть записана в виде

с* (0 = 1,4156 (I — Т) + 3 076 (t — 2Т) + 3,126 (t — 37) +

+ 4 256 (/ — 47) + 6,136 (/ — 57) +
+ 6,316(/ — 67) + 7,216(/ — 77) + •

(6. 3—13)

Период прерывания равен 0,1 сек, а передаточная функция ре-
гулируемой системы

(6 3-14)

Импульсная передаточная функция разомкнутой системы
равна

Л (z) - G (г) - г2 _ ХвТ-ь о з68
Система устойчива, если условия (6 2—56) выполняются При-
менение этих условий к уравнению (6 3—16) дает

1)	I/7 (0) | = 0,368 < 1,	(6	3—17а)

2)	F (1) = 0 632К> 0,	(6	3—176)

3)	F (— 1) =- 2,736 — О 632К >0	(6	3—17в)

Для определения обратного z преобразования второй и тре
тий члены правой части уравнения (6 3—21) необходимо преоб-
разовать к табличной форме

е_(х+///)Т

е~Тх cos (Ту) = 0,052, е~Тх sin (Ту) = 0,605

(6 3-23)

Решая уравнение относительно Тх и Ту, получаем

Тх = 0,5, Ту = 1,487	(6 3—24)

281
Следовательно,

z — (0,052- /0,605):
Анало! ично

(6 3-25)

(6 3—26)

Подстановка этих двух выражений в уравнение
дает следующее z преобразование выхода

С (Z\ = г — (°'5 + А265) г _ (0 5 - /0,265) г

06 I

02-1

Cf{t)- 1 — (0,5 ф-
+ /0,265) е- * — (05 —
-/0,265) е~(5+/14 87)/ (6 3 -28а)

Это уравнение можно упро
стать следующим образом

(/) = 1 — (cos 14,87/—
— 0 53 sin 14,87/)	(6 3—286)

С (г) = 1,264г-1 + 1,396г'2 + 0 945г'3 + 0,85k'4 +
+ 1,008г 6 + 1,05г 6	1,00г 7 0,976г'8 J- (6. 3—29)

Коэффициенты этого ряда представляют собой значения вы
хода системы в дискретные моменты времени Например, при
t = 0 выход равен 0, а при t = Т выход равен 1,264 Обратное
z преобразование уравнения (6 3—29) дает

с*(/) = 2 2646U — Г) + 1 3966(/ — 27) + О 9456(/ — 37) +

+ 0 8516(/ — 47) + 1 0086(7 — 57) Ч 1 056(/ — 67) +

4- 1,00б(/ — 77) + 0,9765(/ — 87)	(6 3—30)

В данном параграфе вычисление выходной последовательности
импульсной системы в случае подачи на вход типового воздей
ствия было рассмотрено и проиллюстрировано на двух числовых
примерах для разомкнутой и для замкнутой импульсных систем
Необходимо отметить, что простейшим методом вычисления не
скольких первых значений выходной последовательности является
метод разложения в степенной ряд с помощью последовательного
деления Этот метод обычно используется на практике Однако
в некоторых случаях, таких как пример 6 3—2, приближенная
реакция импульсной системы может быть определена с помощью
обратного преобразования посредством таблицы z преобразования
Этот вопрос подробнее рассматривается в следующем параграфе

6 4 РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ В ТЕЧЕНИЕ ПЕРИОДОВ
ПРЕРЫВАНИЯ

мацию переходного процесса если он имеет нормальную форму

Переходный процесс для всех моментов времени можно полу
чить, если воспользоваться методом модифицированного z преоб
разования, изложенным в параграфе 5 7 Для определения пере
ходного процесса с помощью этого метода прежде всего необхо
димо найти модифицированное z преобразование выхода системы
Для разомкнутой импульсной системы (фиг 6 4—1) модифи-

цированное z преобразование имеет вид

С(2, m) = G(z, m) 7?(z)

(6 4-1)

C(z, m)=-3m{c(/)} = з{с* (/, m)}

(6 4 — 2)
ные функции звена запаздывания и опережения Поведение
преобразованной и первоначальной системы будет одним и тем
же, если не считать того, что импульсный выход c*D[(k + 1) Т]
системы на фиг 6 4—2, б, в любой момент t = (k + 1) Т будет
соответствовать значению выхода с (f) в момент t = kT + пгТ
Другими словами, для вычисления выходной функции с (/) из
структурной схемы на фиг. 6. 4—2, б время отсчета должно быть
сдвинуто

На основании структурной схемы на фиг 6 4—2, б

e~OsC (s) = e~DsG (s) Е* (s')	(6 4-5)

CD (s') = GD(s)E* (s)

(6 4-6)

Для уравнения (6 4—6) z преобразование равно
cd (z) gd 0 Е (г)

сать в виде

Так как согласно фиг 6 4—2, б

Е (s') = R (s) - С (s) - R (s) - G (s) E* (s), (6 4-9)

то соответствующее z преобразование имее^ вид

E (г) - R (z) - C (z) = R (z) - G (z) E (z)

(6 4—IC
£<2) = TT6WR(z)

(6 4-13)

(6 4-14)

где m — параметр, изменяющийся от 0 до 1 Следовательно,
при изменении т от 0 до 1 с(пТ, т) определяет потный переход
ный процесс импульсной САР, которая находится под воздей
ствием некоторого входного сигнала г(/) Кривая переходного
процесса между моментами 0 и Т определяется функцией с (Г, т),
и, вообще, реакция системы в течение k го периода прерывания
определяется функцией c(kT, т),

Ниже приводится несколько иллюстрирующих примеров

Пример 6.4—1. Определить переходный процесс разомк
нутой импульсной системы (фиг 6 4—4), если на входе действует
единичная ступенчатая функция

Импульсная передаточная функция замкнутой системы
(фиг 6 4—4) равна
й соответствующая модифицированная импульсная передаточная
функция имеет вид

где Т — период прерывания системы. Для единичной ступенча
той функции на входе z преобразование выхода равно

С (z) = G (z) R (г) =	,./ 	’	(6 4~18)

а модифицированное z преобразование

Для определения реакции системы необходимо
обратное преобразование, соответствующее уравнению

Применяя теорему вычетов Коши, получим



Упрощая получим

При изменении т от 0 до 1 уравнение (6 4—22) будет пред
ставлять собой требуемую реакцию системы В установившемся
состоянии выход системы равен

что определяет пульсации на выходе системы

Разлагая правую часть уравнения (б 4—18) на простые дроби,
получим

С(г)-?

(6 4-24)
О 01
Передаточная функция системы Имеет вид

_	400	__ J______L (	1	_Д_ —_

w ~ s*(s2 + 400) s 2 \ S + /20 -г s -

Модифицированное z преобразование, соответствующее этому
уравнению, равно

При единичной ступенчатой функции на входе для преобразо-
вания выхода получим

(6 4—296)

Обратное преобразование уравнения (6 4—29а)
: (пТ, tri) =- С (z, т) zn~‘ dz = 2 Res С (z, ту-1

имеет вид
(6 4—30)

Вычет С (z, rti) zn~l в z = 1, равный

можно преобразовать к виду



Вычет С (z, т)

е^20Т, равный

можно переписать в виде

4 [cos 20 (m - п) 7 - 111П4°2бг sin 20 <т

Следовательно обратное преобразование определяется урав
нением

и — 4 fcos 20mT — cos 20 И Ь «) Л

[sin 20 тТ — sin 20 (m + n)T]
Это уравнение описывает реакцию системы на единичную сту
пенчатую функцию Для периода прерывания Т = 0 1 сек

с(пТ, т) — п

 ~ [cos 2т — cos 2 (/72 + п)] +

+ 0,321 [sin 2т — sin 2 (m + n)]

(6 4—36)

Тпреобразования	Коэффициент при г 1 разложения

С (г, т) в степенной ряд по z"1
определяет значение реакции системы в момент t = тТ, и,
вообще, коэффициент при z~(k+1) является значением реакции
при t = (k + m) Т Следовательно, при изменении значения па-
раметра m от 0 до 1 коэффициенты степенного ряда полнортью
определяют реакцию системы.

Поясним определение реакции системы с помощью этого ме-
тода, выполнив следующие вычисления

Для m = 1 стейенной ряд С (z, m) имеет вид

С (г, 1) = 1,415г"1 3,07г"2 4-3,12г"3 +

+ 4,25г"4 + 6 13г"5 +	(6 4—38)

и соответствующая функция времени

с* (t, 1) == 1,4156 (t — Т) + 3,076 (t — 2Т) + 3,126 (t — ЗТ) +

+ 4,256 (/ —4Г) + 6,136 (г1 — 57)	•	(6 4-39)
Уравнение (6 4—39) аналогично уравнению (6. 3—13), кото
рое определяет реакцию системы в дискретные моменты времени
Точно так же при т = 0 75- 0 50 и 0 25

с*(/ 0,75) = 0,93д(/ — Г) + 2,876(/ — 2Т)	3,16д(/ — ЗТ) +

- 3,816(/ — 4Т) -г 5 81 б(/ — 5 Г) +	, (6 4—40)

c*(t, 0,50) = 0 46д(/ — Т) + 2,45д(/ — 2Т) +

+ 3,17д(/ — ЗТ) + 3,426(/ — 4Т) + 5,32д(/ — 5Т) +

(6 4-41)

с*(/ 0,25) = 0,1236(2' — Т) + 1,926(/ — 2Т) + 3,13д(/ — ЗТ) +
+ 3,166(/ — 4Т) + 4,765(/ — 5Т) +	(6 4—42)

(6 4-43)

Соответствующее модифицированное z преобразование

(6 4—44)

(6 4—45)

(2—1) (г2-0 104г + 0 368)

(6 4-46)
Реакция системы определяется обратным преобразованием
правой части уравнения (6 4—47)

с* (2, т) = (2 — 2е~т) 6(t — T)+(\ ,472 —

- 0,208с-'”) 6 (t — 2Т) + (0,683 + 0,712с-т) 6 (2 — ЗТ) +
+ (0,792 + 0,15е-'”) 6 (2 — 4Т) + (1,1 — 0 248с-'”) 6 (t — 5Т) +

+ (1,07- 0,062с'+ 6 (г - 6Т) +	(6 4-48)

Для т = 1

с*(/, 1) = с*(/) = 1,2646(/ - Т) + 1,3966(/ - 2Т) +

+ 0,9456(2“ — ЗТ) + 0,8516(2 — 4Т) + 1,0086(2 — 5Т) +

+ 1,056(2 - 6Т) +	,(6 4-49)

что согласуется с уравнением
(6 3-30)

Для т = 0,75

с*(2, 0,75) = 1,0566(2 — Т) +

+ 1,3726(2 - 2Т) + 1,019д(/ —-

— ЗТ) + 0,8676(2 — 4Т) +

+ 0,9836(2 - 5Т) 1,046(2 -

— 6Т) +	(6 4—50)

Для т = 0,50

с*(2, 0,50) = 0,7866(2 — Т) +

+ 1,3466(2 —2Т) + 1,11д(/ —

- ЗТ) + 0,8876(2“ - 4Т) +

+ 0,9456(2 — 5Т) -г 1,0346(2 —

- 6Т) +	(6 4-51)

Для т = 0,25

с“(2, 0,25) = 0,4426(2 — Т) + 1,3106(2“ — 2Т) +

+ 1,2386(2“ - ЗТ) + 0,9136(t - 4Т) + 0,9076(Z - 5Т) +

+ 1,0226(2“ — 6Т) +	(6 4—52)

Ofi 0,8 t сен

мощью модифицированного
образования
ванного z преобразования В тех случаях, когда с помощью
г-преобразования невозможно получить требуемых сведений,
методы модифицированного z преобразования могут дать хоро-
шие результаты Однако в некоторых случаях приближенное
выражение для реакции системы может быть получено и с по
мощью z преобразования Степень приближения метода z преоб
разования зависит от частоты прерывания, сглаживающего дей-
ствия G(s) и величин мнимых частей комплексных полюсов G(s).

В первом примере из за того, что система G(s) не является
достаточно эффективным низкочастотным фильтром, результаты
вычисления реакции системы на основании z преобразования
ее выхода являются неудовлетворительными Однако если между
прерывателем и системой G(s) включен запоминающий элемент
нулевого порядка, то реакция такой системы, определенная с по
мощью z преобразования, будет представлять собой действитель
ный выход импульсной САР при воздействии единичной ступен
чатой функции При наличии запоминающего элемента нулевого
порядка преобразование Лапласа выхода системы имеет вид

C(S) = 1^

соответствующее

(6 4-54)

(6. 4-55)

Данное выражение определяет действительную реакцию им-
пульсной системы на ступенчатую функцию, если система имеет
запоминающий элемент нулевого порядка Это объясняется тем,
что запоминающий элемент нулевого порядка преобразует им-
пульсную ступенчатую функцию в непрерывную ступенчатую
функцию и поэтому уравнение (6 4—55) определяет реакцию
системы G(s) = l/(s + а)

Из второго примера видно, что метод z преобразования может
применяться для приближенного вычисления переходного про
цесса в тех случаях, когда система G(s) является хорошим низко
частотным фильтром, а мнимые части полюсов G(s) значительно
меньше, чем частота прерывания. Третий пример показывает
что переходный процесс, полученный с помощью г преобразования
6 5 УСТАНОВИВШАЯСЯ ОШИБКА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ
МОМЕНТОВ ВРЕМЕНИ

Выше были рассмотрены методы анализа устойчивости и
вычисления переходного процесса импульсных систем Импульс
ные и цифровые САР должны не только удовлетворять требова
нию устойчивости, но и эффективно обрабатывать информацию
и подавлять внешние возмущения Точность САР определяется
ее способностью поддерживать ошибку волизи ее минимального
значения Точность является одним из основных свойств, харак
теризующих САР Чем выше точность системы, тем меньше сиг-
нал ошибки, необходимый для получения требуемого выходного
сигнала

При анализе непрерывных
систем автоматического регу
лирования их поведение при
определенном входном воз
действии часто характери
зуется параметрами, назы
ваемыми коэффициентами

ошибки Для приближенного получения требуемых переход
ных характеристик САР при их проектировании необходимо,
чтобы система имела быстрый переходный процесс и подходящие
коэффициенты ошибок Наиболее часто применяются коэффи
циенты ошибок по положенйю, скорости и ускорению, которые
определяют установившиеся ошибки системы, когда на ее входе
действуют соответственно единичная ступенчатая функция, еди-
ничная скорость и единичное ускорение Понятие коэффициентов
ошибок можно распространить на импульсные и цифровые САР
В данном параграфе рассматривается определение основных
коэффициентов ошибок импульсных САР

Установившаяся ошибка импульсной САР, на вход которой
подается сигнал г(/), может быть вычислена с помощью теоремы
о конечном значении, доказанной в параграфе 5 3 Для системы
с единичной обратной связью структурная схема которой изоб
ражена на фиг 6 5—1, ошибка системы и вход связаны уравне-


ном значении, можно наити установившуюся ошибку в виде

(6 5-2)
2 (г-И)’

(6 5—8)

И установившаяся ошибка определяется уравнением

е“ Й	= ТГт{(г-1)2С(Ж (6 5~9)
Ошибка по скорости = со,
Ошибка по ускорению -= со

(6 5—12)

(6 5-13)

Ошибка

по ускорению

(6 5 -17)

= hm Gx (z) = hm {(z — 1) G (z)}

(6 5-18)
П°РХКтеИмы ™П		Ошибка по скорости	ОШИбКаииюУСК0Ре
0  2  3	0  0  0	8 ф о о	8 8

6 6 КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБКИ
этого способа состоит в ограниченном количестве информации,
получаемой при определении лишь одного коэффициента ошибки
(по положению, по скорости или по ускорению) Однако понятие
коэффициентов ошибки можно обобщить Такое обобщение обес-
печивает простой метод рассмотрения свойств реакции САР на
почти любое входное воздействие В этом параграфе дается опре
деление коэффициентов ошибки импульсных и цифровых САР

Коэффициенты ошибки имеют такой же смысл для импульсных
и цифровых САР, как и для непрерывных САР В непрерывных
системах обобщенные коэффициенты ошибки зависят от поведения
передаточной функции We (s) = Е (s)/R (s) при низких частотах
Аналогично для импульсных систем
коэффициенты ошибки могут вычи
сняться по импульсной передаточной
функции We (г) = Е (z)/R (г) Для
облегчения понимания смысла коэф
фициентов ошибки для импульсных
систем ниже кпатко излагается спо
соб анализа непрерывных систем
с помощью коэффициентов ошибки

На фиг. 6 6—1 показана структурная схема САР с единич
ной обратной связью Здесь G(s) — передаточная функция ре
гулируемой системы, a /?(s), E(s) и C(s) — преобразования Лап
ласа соответственно входа, действующего сигнала и выхода си
стемы Преобразование Лапласа ошибки системы

и преобразование Лапласа входа

R(s) связаны соотношением

W = T+W = W‘(6 6“2>

где

е (/) = j we (т) г (t — x)dx,

(6 6-4)


Система находится в покое Если Для всех значении т сущеСТ
вуют п производных г(/), то функцию r(t — т) можно разложить
в ряд Тейлора по т

г (t - т) - г (/) - тг'(t) + - J г (/) - -£ г ' (0 +

+ ••+(-1)л-^г(л)(^ VRm,

(6 6-5)

Сп — (1 —)" Гт"ше (т) dx,

откуда следует, что

Со = ЬМт)с!т,

Сг = — J т we (т) dx,

(6 6-9)

(6 6-10)

(6 6-11)
Установившаяся ошибка системы может быть выражена в виде

ряда

«и(0“=Сог (O + C1r'(O + -fF-r"(O +

+ -+>r(n)(0+	(6 6-13)
Из уравнения (6 6—18) следует, что предел

когда s стремится к 0, равен

(— i)nJrnwe(x)dx,

(6 6—15)

(6 6-16)

(6 6—17)

(6 6—18)

(6 6-19)

(6 6-20)



(6 6—23)
Тогда из уравнения (6 6—2) следует, что передаточная функ-
ция ошибки системы равна

ГДз) = +Х	(6 6-24)

Используя уравнение (6 6—21), определим коэффициенты

ошибки

Со ~	(0) = О,

С^ДО)^,

С2 = \17е(0).

12Т

<о И1 + (со/10)8

500

(6 6-25)

(6 6—29)
рывной САР При анали е импх чьсных САР может быть полу
чей ряд ошибки, подобный ряду (6. 6—13) Коэффициенты ошибки
можно вычислить по импульсной передаточной функции ошибки
системы Ниже излагается способ вычисления коэффициентов
ошибки импульсных и цифровых САР

На фиг 6 6—2 изображена структурная схема импульсной
САР с прерыванием сигнала ошибки, где G(s) — передаточная
функция элементов прямой цепи, а Я(з) — передаточная функ
ция элементов обратной свя-
зи Обозначим z преобразо
вания ошибки системы и
входа соответственно £(z) и
R(z), а их отношение запи
шем в виде

Фиг 6 6—2. Структурная схема имп\
ной САР основного типа

(6 6-30)

8 (ПТ) = 2 we (kT) г [(п — k) л, (6 6-32)

+ (_1Г(^рг(-)(пГ)+	(6 6__33)

Следовательно, уравнение (6 6—32) можно переписать в виде

е(»Т)

io (kT) г (пТ) - kTwe (kT) г' (пТ) +
+ ^Lr&e(kT)r"(nT)+ .+

+ (-	№ +	}	(6 6-34)
Если коэффициент при т й производной этого ряда обозначить

Д(-!)т (kT)m wt (kT) — Ст

(6 6-35)

то ряд можно записать в виде

8 (пТ) = Сог (пТ) + CJ (пТ) -Ф г” (пТ) +

+	+-%Г	("Г) +

(6 6-36)

Из этого выражения видно, что установившаяся ошибка си-
стемы в любой дискретный момент пТ состоит из членов, пропор
циональных входному сигналу, его скорости, ускорению и по
следующим производным входного сигнала в дискретный момент
времени пТ Уравнение (6 6—36) определяет ряд ошибки им

пульсной САР, а постоянные Сп, Сь С2,

называются

коэффициентами установившейся ошибки Эти коэффициенты
могут использоваться для вычисления установившейся ошибки
системы в дискретные моменты. Ряд ошибки, определяемый урав

), достаточно точно определяет ошибку системы

только через значительный промежуток времени после начала
переходного процесса, необходимый для затухания переходных
составляющих, соответствующих полюсам We (г) Применимость
уравнения (6. 6—36) зависит от скорости сходимости ряда По-
кажем, что коэффициенты ошибки могут вычисляться по формуле

, (6 6-37)

Определяя обратное преобразование уравнения (6 6—38),
получаем

w'e (0 = соб (0 + aj (t - Т) +	(t-2T) +

+ a36(t-3T) + • +ak&(t-kT)+	(6 6-39)

?0 Юлиуе T Ту	305
Подставляя z = eTs, преобразуем уравнение (6 6—38) к виду
W* (s) = We (ers) = а0 + aie~Ts + a3e~2Ts +

+ а3е~3 т s J- + ake~k Ts +	(6 6—41)

Последовательное дифференцирование дает

_ Т (aie-T- + 2а,е-гт- +	+	+

+ kake~kTs +	)	(6 6—42)

= Т2 - 22а,е-"' 32а,е~зт‘ +	+

+ k2ake~kTs+ )	(6 6—43)

)“?" (О1С-г- 4 2^-”‘+

+ 3ma3e~3Ts+ ^kmake~kTs	+)	(6 6-44)

При s == О

W: (0) = а0 + Й1 + а, + а3 + -р ak +	(6 6-45)

Используя уравнение (6 6—40), можно уравнение (6 6—45)
переписать в виде

Ге*(0) - 2^(^Т)	(6 6-46)

гично получаются следующие уравнения

L= ~(Гй1 н (274+374 + +

+ kTak+ )-= ~l.kTwe(kT), (6 6—47)

;%^L=’’s°i+(27’)!“,+(32')!°s+ +

= 2(^)4 (^)

(6 6—48)
па± 4- (2Т)% + (37)% +

-4 (kT)mak + ] = 2о(~ 1Г (kT)mwe (kT) (6 6-49)

Из определения коэффициентов ошибки (6 6—35) видно, что
правая часть уравнения (6 6—49) равна коэффициенту ошибки Ст.
Таким образом, коэффициенты ошибки можно вычислить по им
пульсной передаточной функции ошибки №*(s) с помощью после
довательного дифференцирования и нахождения значений произ
водных при s — 0 Приравнивая левые части выражений (6 6—49)
и (6 6—35), получим формулу (6. 6—37), которая определяет
коэффициенты ошибки Сравнение выражений (6 6—21) и (6. 6—37)
указывает на аналогию выражений коэффициентов ошибки для
импульсных и непрерывных систем

Ряд ошибки, подобный выражению (6 6—36), можно получить
для ошибки системы в моменты прерывания, вызванной любым
возмущением, приложенным к импульсной САР Если возмущение,
действующее на систему, есть n(t), то ошибка системы, вызванная
этим возмущением, равна

8 (kT) = Соп (kT) + Cm (kT) + -~-n (kT) +

(kT) +

(6 6—50)

Однако коэффициенты ошибки уравнения (6 6—50), вообще
говоря, отличаются от коэффициентов уравнения (6 6—36)
Коэффициенты уравнения (6 6—50) выводятся по импульсной
передаточной функции ошибки, связывающей выход системы
с возмущением Например, для возмущения п (t) коэффициенты
ошибки должны определяться по Wm(z) = C(z)/N(z), где С (г)
и N(z) соответственно z преобразования c(t) и n(t), и c(t) яв
ляется выходом системы, обусловленным данным возмущением

Импульсная передаточная функция системы We(z) дает пол
ное представление о динамических свойствах системы Полюсы
импульсной передаточной функции We(z) являются также полю-
сами передаточной функции замкнутой системы и поэтому опреде
ляют вид и постоянные времени переходного процесса Если
импульсная передаточная функция We(z) имеет k нулей в точке
z = 1 плоскости z, то первые k коэффициентов ошибки импульс
ной САР равны нулю, а первый отличный от нуля коэффициент
ошибки будет Ck Это легко показать Действительно, так как
Интересно отметить, что первый ненулевой коэффициент
ошибки импульсной САР можно значительно уменьшить, если
приблизить нули We(z) к точке (1,0) плоскости z, а полюсы We(z)
удалить от этой точки

Коэффициенты ошибки можно также определить, разложив
We(z) в степенной ряд по (1 — z"1) Ряд ошибки (6 6—36) можно
записать в виде

в* (0 = Сог* (0 + С1Г*' (0 +	г*’ (0 + г*’ (0 +	+

(6 6-56)

Преобразуя по z обе части уравнения (6 6—56), получим



+ -Л'(-!-ТД2)”+ p<2>	(6 0—57)

На основании уравнения (6 6—30)

V. (z) = Со +	(1 - z"1) + гЖ (1 - z"1)2 + з^з (1 - Г1)3 +
Если разложение lFe(z) в степенной ряд по (1 — г *) предста
вить в виде

<l) + Mi

+ &т(1-г-Г+	(6 6-59)

то коэффициенты ошибки Ст связаны с коэффициентами ряда Ьт
следующим образом

Связь между обобщенными коэффициентами ошибки и доброт
костями по положению, скорости и ускорению, рассмотренными
в параграфе 6 5, устанавливается следующим образом Рассмотрим
импульсную САР с единичной обратной связью, структурная
схема которой изображена на фиг 6 5—1 Импульсная переда-
точная функция ошибки определяется уравнением

(6 6-61)

Подставляя уравнение (6 6—61) в уравнение (6 6—58),
получим



Из уравнения (6 6—62) следует, что

(6 6-63)

С помощью формулы (6 5—5), получим

Для системы с астатизмом первого порядка Со = 0 и уравне
ние (6 6—62) приобретает вид •

(6 6—65)

Следовательно,

Тт-{(г-1) С(Д} ’ (6 6~66)
Используя уравнение (6 5—18), получим

Для системы с астатизмом второго порядка Со и равны нулю
и уравнение (6 6—62) принимает вид

(6 6-68)

Из уравнения (6 6—68) легко видеть, что

(6 6—69)

Используя уравнение (6 6—23), получим

(6 6—70)

Следовательно, ряд ошибки для импульсной САР с единичной
обратной связью определяется выражением

Пример 6 6—2. Определим коэффициенты ошибки и ряд
ошибки, вызываемой входным сигналом г(0 для импульсной САР

Фиг

Данная система является импульсной с единичной обратной
связью и прерыванием сигнала ошибки Передаточная функция
элементов в прямой цепи равна

(6 6-72)

Соответствующая импульсная передаточная функция равна



0,632г

1 368г + 0 368

ЗЮ
С помощью z преобразований систему можно представить
структурной схемой, изображенной на фиг 6 6—4 Для системы
с единичной обратной связью действующий сигнал ошибки равен
сигналу ошибки Таким образом,

1Г/ /,ч_ E(z) _	1	_ (z - 1) (г - 0368)

We &	7? (г) “ 1 + G (г) “ z2 - 0,736г + 0 368

(6 6—74)

Р*(0) —1, 7* (0)^-0,4187,

7* (0)- - 1,972	(6 6-80)

Подстановка этих величин в формулы (6 6—77) — (6 6—79)
гт коэффициенты ошибки

С1 = 7 = 0,1,	(6 6-81)

С2 = 0,58272 = 0,00582	(6 6—82)

С3 = — 1,73673 =—0,001736	(6 6-83)

Следовательно, ряд ошибки равен

&(пТ) = 0,1г (п7) + - °g8— г"(л7) -

_2^Zir(nT)+	(6 6-84)
6 7 ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ЧАСТОТАМИ
ПРЕРЫВАНИЯ

На фиг 6 7—4 В результате анализ системы можно производить
с помощью метода z-преобразования
прерывания Т/п, последнее обозначается далее через опера
тор Зп- Полагая zn = z1/n, уравнение (6 7—2) можно записать
в виде

Ьп {с (0! = С (г„) - J с z-k	(6 7-3)
a z преобразование выхода равно

C(z)„»C0(z) + 2 5^(01>

(б 7—5)
Из эквивалентной структурной схемы на фиг 6 7—4, а можно
найти z преобразование выхода основного импульсного элемента

C0(z) = G(z)/?(z)	(6 7-12)

Подставляя уравнения (6 7—11) и (6 7—12) в (6 7—8) и укро-
щая, получим преобразование выхода системы

С (z)n = [g (г) + 5 [ersp/nG (s)} ] R (г) (6 7-13)

Используя уравнение (6 7—9), преобразование C(z)rt можно
записать в виде

C(z)„= [g(z) +	-£)]ад (6 7—14а)

с (0 =	(тТ) g(t- тТ},	(6 7-15)

а в дискретные моменты t — kT/n

4'те(^—т)	(6 7-16)

Подставляя выражение (6 7—16) в (6 7—2), получим г пре-
образование выхода

C(z)„ = 2 ^r(niT)g(^-mT)(z-k'n)	(6 7-17)

k—0 m—0
Полагая k/п = т + vn, выражение (6 7—17) можно привести
к виду

^r(tnT)z "

Используя определение z преобразования и модифицирован
ного z преобразования, C(z)n можно записать в виде

С (zn) = G (zn) R &),	(6 7-20)

где G(zn) = G(z)n — z преобразование g(t) Последнее может
быть получено из таблицы z преобразований, если рассматри
вать как комплексную переменную, а период прерывания при
нять равным Т/п

Уравнение (6 7—19) можно вывести из эквивалентной струк
турной схемы, показанной на фиг 6 7—4, б Между низкочастот-
ным импульсным элементом So и системой G(s) введен фиктивный
высокочастотный импульсный элемент sf, который не влияет на
характеристику системы, так как вход'С(в) остается неизменным

Из эквивалентной структурной схемы следует, что zn преоб
разование функции c(t) определяется уравнением

или

C (z)n —G (z)n R (z),

(6 7-22)

что совпадает с уравнением (6 7—19)

С помощью подстановки z = уравнение (6 7—22) можно
выразить в функции от zn

С (zn) = G (zn) R (z1^)	(6 7-23)

Из уравнения (6 7—23) с помощью обратного преобразования
можно определить выход системы c*(f)n в моменты t = kT/n,
если на входе действует сигнал r(t) Если п = 1, т е оба импульс
ных элемента работают с одним периодом прерывания Т, уравне
ния (6 7—14) и (6 7—20) приводятся к виду

C (z) = G (z) R (z),

(6 7-24)
или

Формула (6 7—25) устанавливает интересную связь между
z преобразованием G(z) и г„-преобразованием G(z„) Для иллю
странии рассмотрим следующий пример Пусть

(6 7-29)

где Т — период прерывания, то правая часть выражения (6 7—26)
принимает вид

G (z) + z2/’G (z, V3) + z’/3G (г, 2/3) =



на основании которого можно получить реакцию системы на
с(0 = М0+2/р(0	(6.7—33)

равно

С (г) = Со (z) + 'gCp (г)	(6 7—34)
Так как



C0(z) = G(z)/?(z)
z преобразование c(t) имеет вид

(6 7-36)

(6 7-37)

быть вычислены из модифицированных z преобразовании R (z tri)
и G (z, т) соответственно

Из уравнения (6 7—9) следует что если R(s) и G(s) рацио
нальные функции от s то

(6 7-38)

и z преобразование e~TsP/nG(
ставив (1 — plri) вместо т

3 {e-7’sP nG(s)j — G (z m)|„

Следовательно, преобразование выхода системы

можно привести к виду (6 7—24) если принять п = 1

Таким образом воспользовавшись выражением (6 7—37),
можно наити общее решение, которое обычно используется дтя
импульсных систем со многими частотами прерывания и обратной
связью Однако анализ разомкнутой импульсной системы с двумя
частотами прерывания на фиг 6 7—5, а можно упростить, если
подойти к ее анализу с другой точки зрения. Низкочастотный
импульсный элемент системы можно представить в виде синхрон
ных высокочастотного и низкочастотного импульсных элементов,
соединенных последовательно (на фиг. 6 7—5, в) Введение фик
тивного высокочастотного импульсного элемента^ между систе
мой G(s) и низкочастотным импульсным элементом So никоим
образом не влияет на характеристику системы Низкочастотный
импульсный элемент даст ноль на выходе в тех случаях, когда
высокочастотный импульсный элемент замкнут информация пере
дается только тогда, когда низкочастотный и высокочастотный
C (z„) - G. (zn) G2 (z„) R (znn)	(6 7-44)

Так как r(t) = u(t) и R(z) = z/(z — 1), то подстановка z2
есто z дает

R (4) = Try	<6 7~45)

Соответствующие 2n преобразования для G^s) и G2(s) равны

G1^ ~ г„-е-5Г/я

(6 7-46)

(6 7-47)
Подставляя уравнения (6 7—45) —(6 7—47) в (6 7—44), по-





При п = 1 данная система становится импульсной системой
с одной частотой прерывания, преобразование выхода которой
определяется

сМ°(г_,)(г+'Г)(г^-Г)

При Т = 0,4 сек выражение (6 7—49) принимает вид

С & =	1 805г2	0 0905	(6 7~50>

Последовательное деление даст

Таким образом, выходная посдедовательность равна

с* (0 - 6 (0	1,816 (t - Т) + 2,366 (t - 2Т) +

4 2,746 (t — ЗТ) + 2 996 (t — 4Т) +	(6 7—52)

Уравнение (6 7—52) дает значения выхода системы лишь
в дискретные моменты времени В течение периодов прерывания
выход системы уменьшается экспоненциально с постоянной вре-
мени 1 сек

Для п — 2 2-преобразование выхода системы равно



4 - 1 187zg — 0 7zg + 1 187г2 - 0 301

С помощью последовательного деления уравнение (6 7—53)
можно представить в виде степенного ряда

С (z8) = 1 + 1,1872Г1 + 2,1кГ24-2,142Г3 + 2,91гГ4 +

+ 2,81z?5 + 3,462?® + •	(6 7-54)

Таким образом, выходная последовательность равна

+ 2,146	+ 2,916 (/ -2Л +

(6 7—55)
что дает значения выхода системы в моменты замыкания высоко
частотного импульсного элемента Реакция системы в течение
периода прерывания представляет собой экспоненциальную кри
вую с постоянной времени 1 сек

Для п = 3 zn преобразование выхода системы равно

с<2>) -<•-”)

-	--------------- (6 7—56)

г|— 1 З94г3 + 0 452г| — Zg + 1 З94г3 — 0452 v

Его можно разложить в степей

ной ряд

С (г3) - 1 + 1,39а 1 + 1,49гГ2 -4-
+ 2 46а 3 + 2,75а 4 + 2,73а 5 +
+ 3,56а6 + 3,74а7 + 3,61а8 +

4- 4,34а 9 -г 4,42а '° -	(6 7-57)

+ 1 496	+2 466(^ — 7) +

+ 2,756^ -+2’73б0~+

+ 3,566 [t - 2Т) + 3,746 (г -	+

+	,	(6 7—58)
элемент S аналогично можно представить с помощью п 2 эквивалент-
ных импульсных элементов (фиг 6 7—8) Если импульсные
элементы So и S заменены их эквивалентными импульсными эле
ментами, работающими с той же частотой прерывания, то система
с несколькими частотами прерывания приводится к эквивалентной
импульсной системе с одной частотой прерывания Для анализа
этой системы можно использовать методы рассмотренные в пре
дыдущих параграфах

Замкнутые системы На фиг 6 7—9 изображена структурная
схема импульсной САР с обратной связью и двумя импульсными
элементами Передаточные функции элементов в прямой и,обрат-к
ной цепях соответственно обозначены G(s) и Н (s) Импульсные
	C(s) = G(s)£*(s),	(6 7-60)
	C(z) =« G(z)E(z),	(6 7—61)
	B0(z) = tf(z)C(z)	(6 7-62)
		
	&(0 = M) +Smo	(6 7—63)
Я26		
Для сигнала обратной связи b(t) можно Получить г преобра
зование из выражения (6 7—63)

где Вр (z) — z-преобразование сигнала обратной связи bp(t)
от р го запаздывающего импульсного элемента которое опреде
ляется формулой

ъ\ет^С

(6 7-65)

Используя выражение (6 7—60), Вр(г) можно записать как
Вр (z) - Е (z) 5 \e^G (s)} 5 {е- rsP/nH (s)}	(6 7-66)

Подставляя уравнения (6 7—66) (6 7—62) и (6 7—61) в фор
мулу (6 7—64), получим

- X 3K^P«G(s)h{e Wn//(S)}j Е (z)	(6 7-67)

Тогда z преобразование действующего сигнала ошибки, кото
рый получается при исключении B(z) из уравнений (6 7—59)
и (6 7—67), равно

С (Z) =	..—----------------------------------- , (О /—Об)

1+С(г)Я(г)+ 2 i{eTsP/nG(s)} i{e-Ts^nH(,s)}

где /?(z) — 2 преобразование входа r(t)

Характеристическое уравнение этой системы можно получить,
приравнивая нулю знаменатель выражения (6 7—68) Таким
образом,

Для устойчивости необходимо, чтобы все корни уравне
ния (6 7—69) лежали внутри единичной окружности плоско
сти г Для того чтобы проверить, все ли корни лежат внутри еди
ничной окружности, можно применить порядок действий изло
женный в параграфе 6 2 Если импульсный элемент S работает
с периодом прерывания Т (п = 1), то сумма в левой части ^рав
нения (6 7—69) становится равной нулю и характеристическое
уравнение принимает вид

1 + G(z)tf(z) = 0,	(6 7—70)
которое является характеристическим уравнением соответствую
щей импульсной системы с одной частотой прерывания, получен
ным в параграфе 6 1

Из выражений (6 7—61) и (6 7—68) можно получить z пре
образование выхода системы

С (г) =--------------------------------------- (6 7-71)

с помощью которой можно легко вычислить реакцию системы на
любой входной сигнал r(t)

Как указывалось выше, z преобразования соответствующие
eTsp/n q и g-Tsp/n, можно найти с помощью надлежащей под
становки из модифицированных z преобразований, соответствую-
щих G(s) и Z/(s) Если G(s) и 77(s) являются рациональными
функциями от s, то из выражения (6 7—9) и определения модифи-
цированного z преобразования следует, что

Если существует чистое запаздывание в прямой цепи или
применяется запоминающий элемент передаточная функция пря
мой цепи будет содержать множитель e~aTs и поэтому может быть
записана в виде G(s) = е aTsGx(s) В этом случае z преобразова
ние, соответствующее eTip/nG(s), определяется формулой

где G^z, т) — модифицированное z преобразование, соответ
ствующее G1(s) Аналогичным образом когда Л(з) имеет вид

H(s) = e-^H^s)

где 771(z, tri) — модифицированное z преобразование, соответ
ствующее H^s)
(6.7-79)

Исследуем устойчивость системы и определим реакцию системы
на единичную ступенчатую функцию для К = 0,5.

Так как п = 3, z преобразование выхода системы равно

(6 7-82)

(6 7-83)

Полагая 7/^s) = 1/s2 и используя выражение (6 7—75),

получим



277'3

(6 7-84)
=	(6 7-85)

H & = -3(^ЛГ =-3(7-i) ’	(6 7~86)

z преобразование, соответствующее eTs 3 *G(s), равно

5 {e^G (s)} - 5 yfnr) <6 7~87)
Полагая, что

С‘<5>-?(ГТ)-

из формул (6. 7—74) и (6 7—75) следует, что

5 \e^G (s)} = zG, (z т) |m=1/3- Gx (z, tn) |m„i_2/3 =

(z-l)e~r/3 1	0 286Кг + 0.348Л

\ , 7-r— =—г-озб8—



(6 7-88)

Аналогично можно найти

3 \e^G (s)} = (z - 1) Gx (г, т) \т^з =

О 48бКг + 0,146/С
г-0 368	’

(6 7-89)

8 |e-rv3/7 (s)| - j — -Ц^-} =

= Нг (z, tn) |m=2/3 — Hr (z, т) |m==i/3 —	, (6 7—90)

5{е-2п/зЯ(5)|

Я-

- Н, (z, rn)m==1/3 - z-^H, (г)	(6 7-91)

Подстановка z преобразований, полученных выше, в фор
мулу (6 7—80) дает z преобразование выхода системы

С = г2 + (0 2587< - 1,368) г ф-ф(,3^ + 0 368)	7~92)
с _	O.632K(Z — 1) (г)

ь г2 - 1 368г + (О 632К + О 368)

(6 7-98)

(6 7-99)

и максимально допустимое значение передаточного коэффициента
равно (из условий устойчивости)

(6 7-100)


(6 7—101)

Разлагая правую часть уравнения (6 7—101) в степенной ряд
по z \ получим

С (г) = 0,316z 1 + 0,392z 2 + 0 31 lz 3 - 0 168z 4	0 0348z 5

c(t)

— 0 0503г e —0 0817г-7—

— 0 0736г 8 — 0 0458г 9 -

(6 7—102)

С(2,т)^»5<—;Т,-+О;^-О388)г (S7-1®)

Для т = 0,5 выражение (6 7—103) приводится к виду

С (г 0,5)

0,197г2 + 0 119г
г2 —1,24г + 0,556

(6 7-104)
системой с одной частотой прерывания (фиг 6	7—14) Из экви
валентной структурной схемы следует	
E(z) = /?(z) - C(z)	(6 7-106)
Лф) = D(s)E*(s),	(6 7—107)
M(z) = D(z)E(z),	(6 7—108)
C0(z) = G(z)M(z),	(6 7-109)
C(z) = C0(z)+SCp(z)	(6 7—110)
Подставляя уравнение (6 7—107) в (6 7—111) и упрощая
получим

Cp(z) = E(z)5{e^D(S)}3{e-^G(S)}	(6 7-112)

C(z) [d(z)G(z)4 28{e^MD(s)} х

--------.--------- J^z>------------------- (6 7-114)

1 + D (г) G (z) +	3 VTsp/nD («)} i I®' Tsp/nG (®)}

C (z, m)n - G (z, m)„ M (z)n = D (z)n G (z, m)„ E (z), (6 7—116)
то, подставляя формулу (6 7—114) в (6 7—115) и (6 7—116),
получим z преобразование и модифицированное z преобразование
выхода импульсной системы с несколькими частотами прерывания
Приравнивая знаменатель формулы (6 7—114) нулю, получим
характеристическое уравнение системы

l+D(z)G(z)+ Ss{^p/"D(s)}s{^-^/«G(s)} = 0 (6 7-117)
Ga (s) = K/s и Dc (s) = l/(s + 1) Исследуем устойчивость системы
и определим ее реакцию на единичную ступенчатую функцию
для К = 0,5

Из структурной схемы на фиг 6 7—15 видно, что передаточ-
ные функции £>(s) и G(s) равны

Д-р	(6 7-119)

q (S) =	(6 7—120)

Так как п == 2, то z преобразование действующего сигнала
ошибки имеет вид

(6 7—121)

Для £>(s), G(s), eTsf2, D(s) и e~rs/2G(s)
г-преобразования имеют вид

0,632

соответствующие

(6 7-122)

(6 7-123)

5{e^2D(s)(

(6 7-124)

b\e-T^G{s)} = ^

(6 7-125)
z2 - (1 368 - 0 196/0? + (0,368 + 0,436/0 = 0	(6 7-127)

£3- 1,3682*+ 0,368г

(Z> z3 - 2 27z2 + 1 856z - 0 586

- 1 r0 902z 1 I- 0,560z 24 0,183z <!-0,095z 4-0,22&~5-

— 0,235z~e — 0 166z 7 — 0 075z-8 — 0,001z » +

+ 0,042z10 J-	(6 7—129)

C(z) = 7?(z) - E(z)

(6 7-130)
6 8 ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕСИНХРОННЫМИ
ИМПУЛЬСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
деления модифицированного г преобразования следует, что

3 \е^ G± (s)} = zG1 (z, m) |т=д = zGx (z, A),	(6 8-3)

3	(s)} = G2 (z m) |т=1_д = G, (z, 1 - A) (6 8-4)
Для вычисления реакции системы на произвольный входной
сигнал r(t) обычно необходимо выполнить обратное преобразовав
ние выражения (6 8—2), для чего следует предварительно найти
модифицированные z преобразования, соответствующие e~STsG2 (s)
Однако вычисление реакции системы можно упростить, если
структурную схему на фиг 6 8—2, а преобразовать к виду на
фиг 6 8—2, б, в которой переставлены местами звено G2(s)
и звено запаздывания Из фиг 6 8—2, б видно, что

Обратное преобразование выражения (6 8—5) дает функцию
времени, которая связана с выходом системы с*(/, т) уравнением

Фиг

структурная схема этой системы (б)

На фиг. 6 8—3, а показана структурная схема несинхронной
импульсной системы с обратной связью С помощью эквивалентной
структурной схемы, изображенной на фиг 6 8—3, б, можно
легко вывести z преобразование и модифицированное z преобра
зование выхода системы Они равны

C(z)

i + 3k+AZsGi (s)hk~ArsG2 (s)}'

(6 8-8)

C (z, m) -=

(6 8-9)

1 + 3 \ehTsG1 (s)}S \e~hTsG2(s)\ = 0

(6 8-10)

339
Характеристическое
уравнение этой системы
имеет вид

Jho определяет устои

метры ее переходного про
цесса Преобразование вы
хода более сложных несин
хронных импульсных си
стем можно получить с по
мощью тех же методов
что и для обычных им
пульсных систем заменяя
несинхронные системы

1 G(z)H(z) = О,

(6 8—14)
чивается, а затем после достижения максимального значения
уменьшается (фиг 6 8—5) Таким образом существует оптималь
ное значение Д, при котором имеет Л
место максимальное значение допу
стимого передаточного коэффициента
Это обстоятельство представляет
особый интерес и может быть исполь
зовано для обеспечения устойчивости
импульсных систем Таким образом,
имеются большие возможности для

с большим числом несинхронных импульсных элементов необ
ходимые вычисления для определения оптимальных значений
коэффициентов отставания становятся слишком громоздкими
Целесообразно эти вычисления для получения точного решения
за короткое время производить с помощью цифровой вычисли
тельной машины

в 9 ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМ
ИЗМЕНЕНИЕМ ЧАСТОТЫ ПРЕРЫВАНИЯ
няется в соответствии с определенным периодическим модули
рующим сигналом В этом параграфе дается анализ импульсных
САР с циклическим изменением частоты прерывания

На фиг 6 9—1 изображены периодический модулирующий
сигнал с периодом Т и модулированная последовательность
импульсов (импульсная функция). Частота прерывания пропор
циональна наклону модулирующего сигнала m(t) Между момен
тами времени 0 и /3 частота прерывания равна \/Та в течение
интервала времени от t3 до tr> частота прерывания равна УТв,

в течение интервала от С
до Т частота прерывания
равна \/Тс Импульсная
функция повторяется в те
чение следующих периодов
модулирующего сигнала
Анализ вида импульсной
функции показывает, что
расстояние между соответ
ствующими импульсами
для двух последователь
ных периодов импульсной
функции постоянно и рав

4нАНП1 I I I

Фиг 6.9-1 Форма периодического модули	Тяк™ пбпячпм прпи

рующего сигнала и циклически изменяю	1	иираоим, ксрп

щаяся функция прерывания	Одически модулируемая

импульсная функция мо
жет быть представлена в виде суммы многих простых импульс
ных функций с постоянным периодом прерывания Т Им
пульсныи элемент, работающий с циклически изменяемой ча
стотой прерывания, можно представить в виде нескольких импульс
ных элементов, работающих с постоянной частотой прерывания
причем каждый из них должен запаздывать по отношению к дру
тому на интервал времени, равный расстоянию между двумя
соседними импульсами (фиг 6 9—2). Другими словами, импульс
ный элемент с частотой прерывания циклически изменяемой
с периодом Т, эквивалентен группе, состоящей из п несинхронных
импульсных элементов с постоянным периодом прерывания Т
Коэффициент отставания k го импульсного элемента равен tk!T
Основываясь на соображениях, изложенных в предыдущем пара
графе, каждый запаздывающий импульсный элемент может быть
сЬиг 6 9—3 а Эту систему можно привести к эквивалентной
системе с постоянной частотой прерывания, если импульсный
элемент с циклически изменяемой частотой прерывания Sv заменить
эквивалентной схемой, показанной на фиг 6 9—2, в Предполо-
жим, что в течение периода от 0 до Т сек импульсный элемент
с переменной частотой прерывания замыкается в моменты вре-
мени t = О, Н, /9,	, tn J Тогда эту систему с циклически изме

няемой частотой прерывания можно^преобразовать к системе

циклически
частотой прерывания (tzj
Из структурной схемы на фиг 6 9—3 видно, что

С (s) = Go (s) ED*0 (s) + G, (s) ED* (s) +	+ Gk (s) ED*k (s) + • • •

(6 9-3)

}44
Таким образом легко показать, что функция EDk (2) и RDk (г)
связаны с одним матричным уравнением

[GO] {ED} = {RD},	(6 9-7)

где {ED} и {RD} — колонки матриц, элементы
функциями EDk(z) и RDk(z), т е

которых являются

\ED\ =

EDk

RD0(z)
RD. (z)

{RD} =

RDk(z)

RDn

и [GD] — квадратная матрица порядка п
[GD] =

G0Dnl(z) GXO„ ! (z)

Решение уравнения (6 9-

-7) имеет вид

{ED} = [GDp1 {RD}	(6 9-11)

Функции EDk(z) получаются после выполнения необходимых
матричных операций Аналогично решение уравнения (6 9—7)

может быть легко получено с применением
Определитель системы имеет вид

правила Крамера

G0D. (2)

GA-! (z)
й уравнение (6 9 — 7) имеет единственное решение определяемое
выражением

EDk(z) = ^-,	(6 9-13)

где Qk (2) — определитель, образуемый заменой элементов k й
колонки определителя системы соответственно через
Т?П0(2), RD^Z), , RDk(z), , RDn^z)

Следовательно, подставляя уравнение (6 9—13) в уравне-
ние (6 9—5), получим г преобразование выхода системы

(г) = k-=° в-{г}--- (6 9-14)

Аналогично модифицированное 2 преобразование выхода си
стемы равно

Например, для системы с двумя параллельными ветвями
(п = 2) 2 преобразование и модифицированное г преобразование
определяются выражениями

т>(г) + ^
+ [ОД (г) 

При подстановке уравнений (6 9—1) и (6 9—2) в (6 9—4)
или (6 9—15) устойчивость импульсной системы с циклически
изменяющейся частотой прерывания можно исследовать обычным
образом, а реакцию системы на произвольный входной сигнал r(t)
можно найти, определив обратное преобразование правой части
уравнения (6 9—15) Следовательно, введение импульсного эле
мента с циклически изменяющейся частотой прерывания в импульс
ную систему не представляет какой либо сложной проблемы
С помощью эквивалентных импульсных элементов анализ импульс
ных САР с циклически изменяющейся частотой прерывания и дру
гие задачи можно решить с помощью широко используемых мето
дов 2 преобразования и модифицированного 2 преобразования
Ниже приведено несколько числовых примеров для иллюстрации
анализа импульсных САР с циклически изменяющимися частотами
346
прерывания при помощи методов, изложенных в предыдущих
параграфах

Пример 6.9—1 Проанализируем импульсную САР с преры-
ванием сигната ошибки и с циклически изменяющейся частотой
прерывания, структурная схема которой изображена на

фиг 6 9—4 Импульсный элемент замыкается в моменты вре
мени t = О, 774, Т, 5774,	, kT, (k + 1/4>7\ Предполагается,

что Т = 1 сек Для сглаживания применено запоминающее звено
нулевого порядка Передаточная функция регулируемой системы

Исследуем устойчивость системы и определим ее реакцию на
единичную ступенчатую функцию для К =

Данная импульсная система с циклически изменяющейся
частотой прерывания эквивалентна импульсной системе с постоян-
ной частотой прерывания (фиг 6 9—5), в которой вместо импульс-
ного элемента с циклически изменяющейся частотой прерыва
ния SD включены эквивалентные импульсные элементы с постоян-
ной частотой прерывания Так как период прерывания Sa пере-
менен, то передаточная функция запоминающего элемента нулевого
порядка Gft(s) отличается от обычной передаточной функции,
выведенной в параграфе 4 6 Форма сигнала с выхода запоминаю
щего элемента нулевого порядка GA(s) показана на фиг. 6 9—6, а
При преобразовании структурной схемы на фиг 6 9—4 к виду
на фиг 6 9—5 запоминающий элемент разделяется на две части,
по одной для каждой ветви Запоминающий элемент нулевого
347
Выражение (6	9—16) можно использовать для определения
реакции системы	на единичную ступенчатую функцию Для
применения выражения (6. 9—16) необходимо найти вначале	
2 преобразование,	соответствующее следующим передаточным
функциям	G0D0 (s) = —7(Г+-~1Г’	(6	9“24)  GA (s) =	(6	9-25)  G»Di (s) =	’	(6 9-26)  GA (s) =	(6	9_27)  ДО0 (5) — _1_,	(6	9—28)  RD^s)^—,	(6	9—29)
- n , ч ( к 1 I „ 1 ( К )	о 528 Д

= H7(7+1)-JL-=a ~2 3 b^nn = -^0368-’

(6 9—31)

<vwL.,

(6 9—32)

° A w = i {qhr) - ’»{тДлт} _,,,. = S <6 9-33>
7?D0(2) = a{v) = 7^T’	(6 9- 34)

07?! (z) = z5m {4-} |m_^ = y^y (6 9 -35)

Необходимо также отметить, что

Go (z) — G0D0 (2),
G1 (2) - G& (2)

(6 9—36)

(6 9—37)

Подставляя формулы (6 9—30)—(6 9—33) в знаменатель урав-
нения (6 9—16а) и приравнивая нулю, получим характеристиче
ское уравнение импульсной системы с циклически изменяющейся
частотой прерывания в виде

F (г) = г2 - (0,117№ - 0,515/С + 0,736) z +

+ (0,0428№ - 0 1895К	0 1355) = 0	(6 9-38)

|Л(0)[<1, F(l)>0, F(—1)>0

(6 9—39)
349
Применение этих условий к уравнению (6 9—38) дает следую
щие неравенства

К2 —4,42/( -20,15 < 0,	(6 9-40)

Неравенство (6 9—42) удовлетворяется для действительных
значений К Из неравенств (6 9—40) и (6 9—41) получаем

/(<7 21, /(<5,39	(6 9-43)

Следовательно, максимально допустимое значение коэффи-
циента равно

Далее, когда передаточный коэффициент К — 4, то при соот-
ветствующей подстановке уравнение (6 9—16а) принимает вид

С ( \ -	0,662г2 - 0,245г	_

= 0,662г-1 -г 0,777г 2 + 0,798г"3 +1,169г’4 +	(6 9—45)

Коэффицианты ряда (6 9—45) представляют собой значения
реакции системы в дискретные моменты времени t = 0, Т, 2Т,
ЗТ, Реакцию системы внутри периодов прерывания можно
определить по уравнению (6 9—166) обычным методом. Напри-
мер, для вычисления реакции в моменты t = kT + 774 необхо-
димо наити модифицированные г преобразования G0(z, m) и
СДг, т) для m = V4 Таким образом,

Из уравнения (6 9—166) после соответствующей подстановки
и упрощения следует

г (у 1/ч_ 0,884 г3 — 0,549г2 + 0,079г	_

’	г3 - 1 545г2 + 0 607г-0 0613

0,812г-1 + 0,794г-2 -ь 0,794г-3 + .. (6 9-48)
Аналогичным образом можно найти

„ ,	.	0,692г

0 884г + 0,952
г-0368

Go (г, 3/4) =

Gi(z, 3/4)==

0,536г

1 575г+ 0,416
г - 0 368

(6 9-49)

(6 9—50)

(6 9-51)

(6 9-52)

Модифицированное г преобразо-

вание выхода для т
имеет вид

С (г, */2) =
0,795г3-0,426г2 + 0 046г
г3 — 1 545г2 + 0607г—^0”бб 13

= 0,794 + 0,802г-1 4 0,800г 2 4-
+ 0,803г-’+	(6 9—53)

С (г, 3/4)-
0,719г3 — 0,395г2 + 0 02г
г3 — 1 545г2 + 0 607г — 0 0613 “

c(t}

= 0,719 4- 0,786г-1 + 0,799г'2 + 0,801г-3 т- (6 9—54)
С другой стороны, чистое запаздывание в непрерывных системах
всегда затрудняет их стабилизацию Чистое запаздывание в пря
мой цепи увеличивает фазовый сдвиг в системе и, следовательно
уменьшает запас устойчивости

На фиг 6 10—1 изображена структурная схема импульсной
САР с чистым запаздыванием Как указывалось в параграфе 2 1,
передаточная функция элемента чистого запаздывания равна
e~rds, где Td — время задержки, вводимое этим элементом
Из фиг 6 10—1 видно, что передаточная функция от s системы
в разомкнутом состоянии равна

а импульсная передаточная функция разомкнутой системы нахо
дится как z преобразование, соответствующее уравнению (6 10—1)
Если используются запоминающие элементы нулевого порядка
то z преобразование равно

Это выражение можно записать в виде

G(z) = (1 — z ’) G0(z,	т

= (l-z1)G0(z 1-Td/T)
г + (z — 1) Go (z, l-Td/T) = O

(6 10—5)

Устойчивость, как обычно, определяется расположением кор
ней характеристического уравнения Если уравнение (6 10—5)

Г	GG) DM (г-1)С0(г l-7rf/7-)^(z)	,R1n ..

G W = T—G7Z) R (г) = ~z~-j-(г — 1) GB (г 1-Td/T)	(6 lo~6>

Ниже дается числовой пример для анализа импульсных САР
с чистым запаздыванием и рассматривается влияние запаздывания
на устойчивость

Пример 6.10-1. Структурная схема рассматриваемой си
стемы приведена на фиг 6 10—2. Предположим, что чистое
запаздывание Td меньше, чем период прерывания Т, и пер*едаточ-
ная функция непрерывной части системы равна

Исследуем влияние чистого запаздывания на устойчивость
системы

23 Юлиус Т Ту	353
Импульсная передаточная функция разомкнутой системы равна

?{s(l+Tms) е	3m{S(i+Tms)

(6 10-8)

Характеристическое уравнение

1 + G (z) - 0

(6 10-9)

Подставляя уравнение (6 10—8) в (6 10—9) и упрощая,
лучим

F (z) = z2 — [ 1 +	+ Ке~ (т-тчУтт ~к]г +

+ (1 — К)е“г/^+ Ke~(T~TdVTm = Q (6 10—10)

Применяя упрощенный критерии устойчивости
получаем неравенство

Ке~ (r-ra/Tm) _ Ke^TITm + e~T/Tm < 0,
K-Ke-T,T^>Q,

2 (1 -Le-r/r«)-K(l	+2Ke~(T-TMTm>Q

(6 2-56),

(6 10-11)
(6 10-12)
(6 10-13)

Так как К T и Tm всегда положительны, то неравенство
(6 10—12) удовлетворяется Упрощая неравенство (6 10—11),
приводим его к виду

Аналогично неравенство (6 10—13) можно преобразовать
к виду
6 11 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой главе сделана попытка изложить анализ цифровых
и импульсных САР с помощью метода г преобразования Для
обеспечения устойчивости импульсной САР необходимо, чтобы
все полюсы передаточной функции замкнутой системы лежали
внутри единичной окружности плоскости г. за исключением воз
можного полюса в точке г = 1 Рассмотрены три метода анализа
устойчивости цифровых и импульсных САР Критерий Шур —
Кона дает аналитический метод анализа устойчивости систем
Критепии Найквиста лежит в основе графического способа ана
лиза устойчивости Метод билинейного преобразования позволяет
использовать критерий Рауса и Гурвица и упрощает применение
метода логарифмических частотных характеристик для анализа
зования выхода системы

ного входного сигнала характеризуется параметрами, обычно
называемыми коэффициентами ошибки Коэффициенты ошибки
для импульсной системы имеют тот же смысл, что и для непрерыв
ной системы. В непрерывных системах коэффициенты ошибки
используются для вычисления установившейся ошибки системы,
ГЛАВА 7

АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
И ОШИБОК ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

7 1 ВЛИЯНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ
В ПЛОСКОСТИ Z НА ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ В ПЕРЕХОДНОМ
ПРОЦЕССЕ

В предыдущей главе рассмотрен анализ импульсных и цифро
вых САР с помощью методов г преобразования и модифицирован
ного z преобразования Устойчивость и качество системы можно
определить из годографа z-преобразования импульсной переда
точной функции разомкнутой системы или с помощью изучения
корней характеристического уравнения по г Как указывалось
в параграфе 6 2, для устойчивости системы необходимо, чтобы
все корни характеристического уравнения импульсной САР рас
полагались внутри единичной окружности плоскости z Относи
тельная устойчивость и поведение в переходном процессе импульс-
ных САР тесно связаны с расположением корней характеристи
ческого уравнения внутри единичной окружности Следовательно,
знание взаимозависимости между расположением полюсов и нулей
передаточной функции от г и переходным процессом системы по
зволяет получать требуемый переходный процесс, что облегчает
синтез импульсных САР в соответствии с требованиями во времен-
ной области Ниже рассматривается влияние распределения нулей
и полюсов импульсной САР на переходный процесс системы.

В параграфе 6 1 показано, что преобразования входа и вы

импульсных САР (фиг 6 1—5 —

хода основных

фиг 6 1—8) связаны одним из уравнений
1 + G(z)tf(z) = O
Предполагая, что передаточная функция системы G0(s) со
держит (М + 1) нулей и (W + 1) полюсов, можно написать

P(z) = (z —z0)(z —zxf (z — zk) (z — zm) = П (z — zk)

(7 1-6)

Q (z) = (z — p0) (z — pj (z — pk) (z — pn) = £Jo(z — Pn),

Если на вход системы приложена единичная ступенчатая
функция, то преобразование выхода равно

C(z)



(7 1-11)
где Q (pt) — производная Q(z') no z, вычисленная в точке z ~ рр,:.
— фазовый угол комплексного полюса pt — at + jрг;

Ф£ — фазовый угол Р (pt) / [(pz — 1) Q (pz) ]

(7 1 — 14)

9, =- arctg(P,/a,),	(7 1 — 15)

®i = \p (P.) -1A~ 1 - | Q (p>)	(7 1-16)

возможных вида переходного процесса, зависящих от расположе

внутри единичной окружности плоскости z, отрицательная дей
ствительная ось и средние линии дополнительных полос отобрав
жаются в отрезок положительной действительной оси плоскости х
внутри единичной окружности, а границы основной и дополни
тельных полос отображаются в отрицательную действительнук
ось лежащую внутри единичной окружности Следовательно
действительный полюс, находящийся в левой половине плоскости s,
соответствует действительному полюсу, находящемуся на положи
тельной действительной оси внутри единичной окружности пло-
скости z Пара сопряженных комплексных полюсов, лежащих
в левой половине плоскости s, соответствует паре комплексных
сопряженных полюсов внутри единичного круга или двум действи
тельным полюсам на отрицательной действительной оси внутри
единичного круга Например, полюс s = 0 плоскости s отобра-
жается в плоскости z в полюс

Полюс s = —а отображается в плоскости z в полюс

и пара полюсов s = —dj ± /о) ± отображается в плоскости z в еле
дующую пару полюсов

которые являются комплексными сопряженными полюсами, лежа
щими внутри единичной окружности Необходимо отметить, что

и эти два комплексных сопряженных полюса уравнения (7 1 — 19)
вырождаются в два равных отрицательных действительных по-
люса Таким образом, положительный действительный полюс, ле
жащий внутри единичного круга плоскости z, приводит к выход-
ной последовательности, которая затухает экспоненциально, в то
время как два отрицательных действительных полюса и пара ком
плексных сопряженных полюсов, лежащих внутри единичной
окружности, соответствуют выходной последовательности, кото
рая имеет вид затухающих колебаний (фиг 7 1 — 1)

7 2 МАКСИМАЛЬНОЕ ПЕРЕРЕГУЛИРОВАНИЕ И ВРЕМЯ НАСТУПЛЕНИЯ
ПЕРВОГО МАКСИМУМА ВЫХОДНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Максимальные и минимальные значения непрерывной функ-
ции определяются по первой производной этой функции По анало-
гии максимальные и минимальные значения функции в виде после-
362
довательности импульсов можно определить по первой произвол
ной импульсной функции

Пусть

с(0), с(Т), с(2Т),	, с(пТ),

представляют собой последовательность значений импульсной
функции. Тогда последовательность первых разностей принимает
вид

Дс (Т) — с (2Т) — с (Т),
Дс (2Т) == с (ЗТ) — с (2Т),

Дс(пТ) = с[(п+1)Т]-с(пТ)

(7 2-2)

Д2с (пТ) = Ас [(п + 1) Т] — Дс (пТ) (7 2—3)

ходный процесс системы является незначительным На основании
этих свойств можно пренебречь всеми составляющими переход
ного процесса, определяемого формулой (7. 1 — 12), за исключе-
нием установившейся составляющей и переходной составляющей,
обусловленной парой доминирующих полюсов р0 и Pi Следует
указать, что согласно этому предположению мы не пренебрегаем
какими либо полюсами Мы пренебрегаем только той частью
общего переходного процесса, которая обусловлена всеми дру
гимн, менее важными полюсами

При этом предположении формула (7 1—12) приближенно
может быть представлена в виде

КР(р0)

| |р0 |ncos(n0o + Фо),

с [(« + 1)7]^

+ 21	||Р.^^[(п + 1)ео + Фо1
можно вычислить, приравнивая нулю выражение (7 2—12) и раз
решая его относительно п, т е

Легко показать, что

Время наступления первого максимума и его величина опре-
деляются уравнениями

2	2	= LQ' (А,).

|1 —	— расстояние от точки (1, 0) плоскости z до полюса pk,

11 — zk I — расстояние от точки (1, 0) плоскости г до нуля zk

Если первый максимум выходной последовательности (7 2—6)
имеет место в момент времени (п 4- 1)Т, то первая разность урав-
нения (7 2—12) в этом случае не равна нулю и величина п, полу
ченная в результате решения уравнения (7 2—13), не будет целым
числом В этом случае момент времени, соответствующий первому
максимуму выходной последовательности, определяется округле
нием до ближайшего большего целого числа значения п, получен
кого из уравнения (7 2—13) Итак, имеем

пр = п k q = А (а 2 02fe + 2 j + Я’ (7 2-19)
где «/ — положительное число, меньшее 1, при котором сумма
(п + </) является целым числом Тогда первый максимум и время
его наступления определяются уравнениями

k “ i (тг ~ 2 к. + 2 к») + «Т (7 2—20)

"” = 4\П2(и^)!]0(тАц)1л1г'/к (7 2—21)
366
где kc — коэффициент поправки, определяемый уравнением
kc = cos q 90 + sin qQ0	(7 2—



(7 2-23)

или



(7 2—25)

где 90 — фазовый угол полюса p0 = a„ -f- /0„ системы второго
порядка (фиг. 7. 2—3) Из фигуры видно, что время первого макси-
мума уменьшается с увеличением 0() Таким образом, пара ком-
плексных сопряженных полюсов, расположенных вблизи положи
тельной действительной оси, приводит к увеличению времени
наступления первого максимума Тр
С помощью уравнений (7 2—16) и (7 2—21) первый максимум
можно приближенно определить, используя Тр и нули и полюсы
замкнутой импульсной САР Аппроксимация является достаточно
хорошей при условии, что доминирующие сопряженные комплекс-
ные полюсы находятся далеко от начала координат плоскости г,
а все другие полюсы и нули находятся в окрестности начала
координат Для увеличения точности определения первого макси
мума можно вычислить величину некоторых составляющих, обу-
Действительный полюс (или комплексный полюс, располо-
женный вблизи действительной оси) в правой половине единичного
круга плоскости z будет давать отношение 11 — pk\ lak меньшее,
чем полюс в левой половине единичного круга, а действительный
ноль (или комплексный ноль, расположенный вблизи действи-
тельной оси) в левой половине единичного круга будет давать
отношение bk! 11 — zk | меньшее, чем нуль в правой половине
единичного круга Следовательно, для того чтобы спроектировать
импульсную САР с умеренным перерегулированием в переходном
процессе, необходимо стремиться к расположению полюсов в пра-
вой половине, а нулей в левой половине единичного круга Кроме
того, из фиг 7 2—4 также видно, что фазовый угол Qpk увели-
чивается, если полюс pk смещается в правую половину единичного
круга, и фазовый угол Qzk уменьшается, если нуль гг смещается
в левую половину единичного круга Это указывает на то, что рас-
положение полюсов и нулей, соответствующее малому перерегу-
лированию, будет вызывать слишком большое время наступления
первого максимума Тр Следовательно, необходим компромисс
при выборе Тр и перерегулирования

В качестве иллюстрации применения изложенного метода для
определения Тр и перерегулирования выходной последователь
ности импульсной САР рассмотрим простой числовой пример

Пример 7.2—1 Проанализируем импульсную САР на



Период прерывания равен 0,1 сек, а передаточная

функция регулируемой системы имеет вид

Определим время первого максимума Тр и перерегулирова-
ния Мт выходной последовательности системы при единичном
ступенчатом воздействии на входе

В параграфе 6 3 найдено, что импульсная передаточная функ-
ция замкнутой системы имеет вид

0,104z+ 0 368

Разлагая знаменатель на множители, получим

G° = [г - (0 0о2 + /0 605)] [г - (0 0а2 - /0 605)]	(7 2~

Система имеет пару комплексных сопряженных полюсов
р0 = 0,052 /0,605, Р1=- 0,052-/0,605	(7.2-
1 - 0,052

sin (0,885x85,1 °) =1,774

(7 2-38)

Так как имеется лишь один нуль при

I Ро I = 0,606

(7 2-39)

Поскольку система имеет лишь два комплексных
ных полюса в замкнутом состоянии р0 и plt то

сопряжен
отношение

П (|1 — pk\ /ak) |, входящее в формулу (7 2—21), равно единице

После подстановки этих значений в уравнение (7 2—21) находим
первый максимум (перерегулирование)

Л1т -	| Ро |3 = 1,774 х(0,606)3 = 0,396	(7 2—40)
Для полюсов и нулей, лежащих в окрестности начала коорди
нат плоскости г,

Д - (М -г 1) 0О, 2

(7 2-43)

Подставляя эти значения в формулу (7 2—20), получим при
ближенное выражение для Тр

Выражение для первого максимума можно упростить до

Mm^kc\p0\^+^	(7 2-
7 3 АНАЛИЗ ОШИБКИ СИСТЕМЫ И ПУЛЬСАЦИЙ
МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ЗАМЫКАНИЯ
нала ошибки, действующий сигнал на выходе импульсного эле

G(s)

В большинстве импульсных САР дополнительные составляю-
щие сигнала, появляющиеся в результате прерывания, должны
быть усгранены прежде, чем сигнал достигнет выхода. Хотя зна
чительная часть высокочастотных составляющих сигнала подав
ляется элементами системы, находящимися между импульсным
элементом и выходом, более эффективное сглаживание пульсаций
часто осуществляется с помощью введения в систему запоминаю
щего звена Однако запоминающее или сглаживающее устройство
вводит запаздывание, которое ухудшает устойчивость системы
Таким образом, выбор запоминающего или сглаживающего устрой
ства является компромиссом между величиной допустимых пуль
саций и требуемой устойчивостью системы и ее динамическими
характеристиками При проектировании импульсной САР всегда
необходимо согласовывать степень сглаживания пульсаций и вво
димое при этом запаздывание Ниже рассмотрен анализ пульса
ций в промежутках между моментами замыкания и ошибки си

На фиг 7 3—1 изображена структурная схема импульсной САР
основного типа, в которой прерывается действующий сигнал
ошибки Такого типа САР часто называется системой с прерыва
нием сигнала ошибки Входом системы является г(/), выхо
дом с(/) На фиг 7 3—1 Gs(s) — передаточная функция регули
руемой системы, Gh (s) — передаточная функция запоминающего
или сглаживающего устройства, Н (s) — передаточная функция
элементов обратной связи- 3 — импульсный элемент, период пре
рывания которого равен Т сек Передаточная функция прямой
цепи G(s) определяется выражением

Наиболее часто используемым сглаживающим устройством
является низкочастотный фильтр или стандартный запоминающий
элемент нулевого порядка Как и в не
прерывных САР, ошибка системы при
отработке некоторого сигнала является
важным параметром проектирования
импульсных САР Ошиока системы
определяется как разность между тре
буемым выходом cd(t) и действитель
ным выходом системы с(^), т е

В непрерывных системах ошибка
вызывается элементами, накапливаю
щими энергию В импульсных системах ошибка вызывается не
только элементами, накапливающими энергию, но также про
цессом прерывания В результате процесса прерывания в им
пульсных системах появляются пульсации между моментами замы
кания В переходном режиме эти пульсации несущественны,
однако в установившемся состоянии они могут быть основной
составляющей ошибки импульсной САР Установившаяся ошибка
импульсной САР в моменты замыкания появляется как вследствие
конечного значения передаточного коэффициента в прямой цепи,
так и вследствие наличия элементов, накапливающих энергию
Кроме того, в течение периодов прерывания на установившуюся
ошибку накладываются пульсации (фиг 7 3—2).

Анализ пульсаций в течение периодов прерывания можно про
изводить различными методами, два из которых описаны ниже
Метод реакции на последовательность импульсов В соответ
ствии с фиг 7 3—1 преобразование Лапласа выхода системы
определяется выражением

c(s) = T+w^r^*(s)-	(7 3~3)

где — преобразование Лапласа импульсного входа г*(/)
GH*(s) — преобразование со звездочкой, соответствующее

G(s)tf(s)
/?*(s) = -^- 2 £(s + /n<Ds)

Gtf*(s) = 4- 2 GHis + jn^),

(7 3-5)

Из фиг 7 3—1 видно, что z преобразования действующего
сигнала ошибки e(t) и сигнала обратной связи b{t) связаны урав

Исключение B(z) из уравнений (7 3—7)
z преобразование действующего сигнала

и (7 3—8) дает

 GH (г)

(7 3-9)

(7 3-11)
рассматривать как реакцию G(s) на входной сигнал в виде п им
пульсов с различными амплитудами, которые сдвинуты друг отно
сительно друга на период прерывания Т (фиг 7 3—3) Таким
образом, если импульсная переходная функция, соответствующая
G (s),равна g(t), то выход системы определяется

С (0 = So g[t-(n-k)T]e [(п - k) T]

Такая идея является очень простой, однако для ее реализации
необходимо вычислять сумму реакций G(s) на импульсные воз-
действия Это можно преодолеть, если разложить функцию G(s)
на простые дроби Предположим, что G(s) разлагается на простые
дроби вида

, <Zv(s)

и что

являются соответствующими реакциями в течение периодов пре-
рывания, вызванными последовательностью импульсов на входе
376
В этом случае передаточную функцию прямой цепи можно запи
сать в виде

• +Gw(s)= (7 3—15a)

2Gt(s).

а реакция импульсной системы в течение периодов прерывания
на входное воздействие r(f) определяется выражением

с(0»М0 + М) + " 4-СН0+	+^(0= (7 3—16а)

= jU(O	(7 3-166)

полюсы являются простыми, хотя иногда возможны и полюсы
с кратностью 2 Таким образом, все члены Gk(s) являются про
стыми дробями вида

здесь а и b могут быть действительными, мнимыми или комплекс-
ными Пользуясь формулой (7. 3—15), структурную схему на
фиг 7 3—1, б можно представить в виде структурной схемы
на фиг 7 3—4 Прямая цепь представлена в виде N параллель-
ных каналов, соответствующих каждому из членов уравнения
(7 3—15а)

реакция на последовательность импульсов e*(t} легко опреде
ляется с помощью уравнения (7 3—20) с использованием прин
ципа суперпозиции Каждый импульс e*(t) дает на выходе реак
цию, пропорциональную gk (f) В течение интервала

реакция на выходе Gk(s) является суммой (п + 1) отдельных

Ке[п — 2)	+ Ае(Т)е~

+ Ке (0) e~at = Ke~a { е (пТ) +

+ е [(п - 1) Т] + е [(и - 2) Т] +

+ е(Г)е_а(„_1)Г +е(0)е-апт| _

Так как значение ck(t) при t = пТ равно

то выражение (7 3—22) можно переписать в виде

в котором значения ck(nT) могут быть найдены с помощью обрат
ного z-преобразования

здесь Gk(z) является z преобразованием, соответствующим Gk(s)
a E(z) определяется уравнением (7 3—9)

Аналогично можно определить реакции на последователь
ность импульсов других параллельных каналов схемы на
фиг 7 3—4, передаточные функции которых будут иметь иную
форму, чем функция (7 3—19) В табл 7 3—1 приведены реакции
на последовательность импульсов нескольких основных видов

Для комплексных сопряженных полюсов анализ становится
не таким простым Реакция на последовательность импульсов
линейной цепи, имеющей пару комплексных сопряженных полю
сов вычисляется следующим образом

Предположим, что передаточная функция этого канала равна
Таблица 7 3—1

Gk (s)	Ck(t) ДЛЯ пТ < t < (n+ 1) 7
4	cft (nT) u (t — nT)  ck (nT) + (t - nT) lck (nT) + e (nT)]
7+T	ck (пТ)е~а^-п^  Ck (nT) eanT sin bt — ck (0) sin b(t — nl) g^at
(s + a)* + 6*	sin bnT

Основываясь на сделанном выше предположении, реакция
в течение интервала пТ < t < (п. + 1) Т для G,(s) будет равна
сумме п + 1 импульсных переходных функций, т е

ct (0 = е (пТ) gl (t - пТ) + е [(п - 1) Т] gt [f - (п - 1) Т] +

+	+e[n-A)T]g([Z-(n-A)T] + ^e(T)gtx

X(t — T) т e(O)gl(t) = ^tel(n-k)Tlx

X е_а т] sin b R _ (п _ А) Т] (7 3—28)

Тригонометрические преобразования приводят выражение
(7 3—28) к виду

ct (о=4 е~а (/-пП sin b « ~ пГ> Д е[^п “ fe) х

X e~akT cos kT + А е-а cos bit — пТ) х

X 2 е [(n — k) Т] e~akT sin kT	(7 3-29)

*=о

Если t = пТ, уравнение (7 3—29) дает значение выхода
в этот момент времени

сг (пТ) = 4 2 Н(п - А) Л sin kT (7 3-30)

Период прерывания равен 0,5 сек В качестве сглаживающего
устройства применен запоминающий элемент нулевого порядка
Передаточная функция регулируемой системы равна

Определим ошибку системы, на входе которой действует еди
ничная ступенчатая функция

Передаточная функция прямой цепи определяется уравнением

a z преобразование, соответствующее G(s), равно

(1-г’1) (0,106г+ 0,091) г

G & = -----(г - 1)2 (2 -0,606)- •=

0 106г+ 0 091	Q

"= (г~— 1)(г- 0 606)	<7 3~39)

Тогда z преобразование ошибки системы определяется урав
нением

(г 1) (г -0,606)



Коэффициенты этого ряда описывают последовательность
ошибки системы

Данную систему можно представить эквивалентной структур
ной схемой (фиг 7 3—7, а), на которой

(7 3—41)

Из этой фигуры видно, что г преобразование входа

= 1 —0,106г1 —0,25k"2 —0,301г3—

— 0,277z~4— •	(7 3-426)

Таким образом, сигнал на входе Ga(s) определяется выраже

е* (Z) = 6 (Z) — 0,1066 (t - Г) — 0,2516 (t — 2Т) —
— 0,301 б (Z-3T) — 0,2776 (Z — 4Т) —	(
Простые дроби Ga(s) имеют вид

G3(s) = 74t (7 3-44)

и соответствующие z преобразования равны

Из фиг 7 3—7, б следует, что





C3(z)

Т^+^у G3(z)R(z)

Соответствующая подстановка дает

0,5г2 - 0,303г

гз _ 2 5г2 + 2197г-О 697 =

= 0,5z-1 + 0,947z~2 + 1,27г-3 + 1,44Г4 ф 1,47z~5 +

<7 3-45>

(7 3—46)

(7 3—47)

(7 3-48)

(7 3—49а)

(7 3—496)

383
г4 - 0,606г

г2 _ 1 5г + о 697 ~

(7 3—50а)

[1 + 0.894Z'1 + 0,643г-2 + 0,342г3 + 0,065г~4— •], (7 3—505)

1 5г + 0,697

(7 3—51а)

= 1+0,5г-х +0,053г'2 —0,27г-8 —0,424г-4—	(7 3—^516)

Таким образом, выходные последовательности равны

сх (/) = 0,56 (/ - Т) + 0,9476 (/ - 27) + 1,276 (t -
— 37) 4- 1,446 (/ — 47) +	-,	(7 3—52)

с2’ (^) = _ [6 (/) + 0,8946 (/ - 7) 4. 0,6436 (t - 27) +

+ 0,3426(^ — 37)+ 0,0656 (/ — 47)—	],	(7 3—53)

- 0,276 (/ - 37) - 0,4246 (t - 47) -	(7 3-54)

Так как реакция системы определяется уравнением

с(0 = сД/) + с2(0 + с3(0,	(7 3-55)

то, используя табл 7 3—1, находим, что в интервале пТ < t <

с (и7) + (t - пТ) [q (иТ) + е. (пТ)]} - с2 (пТ) х

здесь е^пТ), с^пТ), с2(пТ) и са(пТ) определяются соответственно

довательно, для интервала 0 < t < Т выходная реакция равна

и ошибка системы

Для интервала Т < t < IT

(7 3—58)

Для интервала 27 <t < 37

с(0 = [0,947 Н- (/— 1) (0,947 — 0,251)] — 0,643 +

-0,053г-('-» = 0,313 + 0,696(/-1) + 0,053г-('->>, (7 3-61)
е (0 = 0,687 — 0,696 (/ — 1) — 0,053г- (*-1)	(7 3—62)
с& т>--Л+ШгR	(7 3~63)

с <-пТ’ т>= is? $ т+(?оЛ) R (г) zn~'dz' (7 3~64)
При изменении параметра т от 0 до 1 это уравнение описывает
ошибку системы между любыми двумя последовательными мо
менгами замыкания (п — 1) Т < t < пТ Предел при п, стре
мящемся к бесконечности, определяет установившееся значение
пульсаций на выходе системы. Установившиеся пульсации можно
также легко определить с помощью модифицированного z преобра
зования выхода системы, применяя теорему о конечном значении
рассмотренную в параграфе 5 7

В данном параграфе излагаются два аналитических метода
определения пульсаций импульсных и цифровых САР Первый
метод требует разложения на простые дроби передаточной функ
ции G(s) и вычисления реакций на последовательность импульсов
Если все полюсы передаточной функции прямой цепи G(s) яв
ляются простыми то вычисление пульсаций является легкой за
дачей, так как реакции на последовательность импульсов для
основных видов простых дробей G(s) представлены в табл 7 3—1
Однако наличие кратных полюсов в передаточной функции G(s)
значительно усложняет вычисление пульсаций с помощью этого
метода Второй метод достаточно прост С помощью полной таб
лицы z преобразований и модифицированных z преобразований
можно значительно облегчить вычислительные работы Этот метод
особенно полезен для определения установившихся пульсации на
выходе системы Для сложных систем оба рассмотренных метода
требуют значительной вычислительной работы Поэтому в данном
случае аналоговое моделирование является наиболее удобным
способом получения быстрого решения

7 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ ПРЕРЫВАНИЯ,
КОЭФФИЦИЕНТ ПУЛЬСАЦИЙ

В предыдущем параграфе рассматривались методы вычисле
ния ошибки и пульсаций импульсных и цифровых САР и было
выведено уравнение, позволяющее определить ошибку и пульса
ции системы как функции времени t и периода прерывания Т
Для определенного значения периода прерывания Т уравне
ния (7 3—18) и (7 3—66) позволяют определить, находятся ли
ошибка и пульсации в допустимых пределах Как уже указыва
лось, ошибка системы вследствие пульсации зависит от частоты
прерывания системы. Чем выше частота прерывания, тем меньше
пульсации на выходе системы Следовательно, имеется минималь
ная частота прерывания, при которой пульсации еще не превы
шают заданного уровня Так как уравнения ошибки импульсной
или цифровой САР, (7 3—18) или (7 3—66), дают для любого
момента времени связь между ошибкой и периодом прерывания,
то требуемую частоту прерывания, при которой ошибка не превы
шает заданного значения, можно определить любым из этих урав
нений Однако часто при проектировании САР задается не макси
мальное, а среднеквадратическое значение ошибки, особенно, когда
входной сигнал представляет собой непрерывную функцию, кото-
рая может быть разложена в ряд Фурье или описана спектральной
плотностью В этом случае частоту прерывания необходимо выби-
рать так. чтобы получить заданную величину среднеквадрати-
ческого значения ошибки Ниже рассматривается метод анализа
среднеквадратической ошибки системы, а также метод определе
ния частоты прерывания по заданной среднеквадратической
ошибке

На фиг 7 4—1 приведена структурная схема импульсной
САР основного типа, преобразование которой определяется выра-
жением

Преобразование со звездочкой, соответствующее 7?(s), равно

/?*(*) = 4 1 R (s + W = 4 2 X

(7 4-4)

Подставляя уравнение (7 4—4) в (7 4—1), получим преобра
зование выхода системы



(7 4 -5)

Обратное преобразование выражения (7 4—5) дает реакцию
c(t) системы на вход Ae‘at Эта реакция содержит переходную
составляющую ct(t) и установившуюся составляющую cs (/)
Так как при анализе среднеквадратической ошибки, вызванной
пульсациями на выходе, имеет значение только установившийся
режим, то при получении выражения для среднеквадратической
ошибки необходимо рассматривать только установившуюся состав-
ляющую выхода с(/) Легко показать, что установившаяся состав-
ляющая определяется как сумма вычетов функции C(s)ets, вы
численных в полюсах преобразования входа R* (s) Так как по
люсы преобразования входа равны

(7 4-7)

V 'V G [j (® — nws)]

(7 4—9)
Ошибка системы или пульсации определяются как разность
между установившимся выходом cs(0 и желаемым выходом

(7 4-12)

[8 (0]8=[с,(01а-[^(0]а

(7 4-16)

(7 4-17)



(7 4-19)
Л 2 G [/ (со — n«s)] е ^nt0?

7 [1 + Gfl* О®)]

и абсолютное значение выходной функции равно

(7 4-21)

Квадрат установившегося выходного сигнала равен

Л*| 2 G[/(®-n®s)]e /П“«Н

Г.(<)1*=	-----L- с 4-22)

0 |J ~ "“Л! I’

Таким образом, среднеквадратическое значение функции <?.(/)
имеет вид

Д« 2 |G[/(<o-nWs)]|s

{С‘=	7» 11 + GH* (;<о) р

(7.4-23)
Выражения (7 4—23) и (7 4—24) можно упростить Пусть

Y(s) = G(s) G(—s)	(7 4-25)

Тогда преобразование со звездочкой уравнения (7 4—25)
примет вид

2 G (s — jnaJ G (—s + /ncos) (7 4—26)

/со уравнение (7 4—26) становится

и приводится к виду

JSJG [/ (со —псо5)] |2=ТУ*(/со)

(7 4-28)

Подставляя уравнение (7 4—28) в (7. 4—24), получим формулу
для относительной среднеквадратической ошибки

(7 4—29)

Итак, коэффициент пульсаций определяется формулой

(7 4-30)*

Y* (/со) = Y (г) |г=же/ <0 т	.

(7 4-31)
Фиг 7 4—2 Структурная схема системы

и |6'(/со)|2 Без

(7 4—33)

У (s)= G(s)G(—s) = -j—j,

z преобразование, соответствующее У(з), равно



(7 4-35)

Таким образом,

У* (/со) У (г) \2==ete)T = 2 (ch Г — cos wT)

(7 4-36)

Из уравнения (7 4—33) следует, что

1с«1“=тту

(7 4-37)

получим

Т(1 + со») sh Г
2 (ch Т — cos соТ)

(7 4-38)

Для заданной величины Т данное уравнение устанавливает
связь между коэффициентом пульсаций kr и частотой входного
сигнала со На фиг 7 4—3 изображена кривая, показывающая

зависимость kr от co/cos для
392

сек Аналогичные кривые
коэффициента пульсаций (kr в зависимости от со/а) можно по-
строить для различных значений Т по уравнению (7 4—38)
Если коэффициент пульсаций задан, то с помощью этих кривых
можно определить требуемую частоту прерывания

Запоминающий элемент нулевого порядка позволяет значи-
тельно уменьшить пульсации, как это показано ниже Переда-
точная функция прямой цепи с запоминающим элементом нуле-

Y(z) =

Следовательно,

Из уравнения (7 4—40)

Решая совместно уравнения (7 4—43), (7 4—44) и (7 4—30),
получим

Для различных значений периода прерывания Т кривые коэф
фициента пульсаций можно построить с помощью этого уравне-
ния На фиг 7 4—3 показана кривая коэффициента пульсаций
для Т = 0,693 сек Эти кривые коэффициента пульсаций показы-
вают влияние запоминающего элемента на пульсации на выходе
системы. Из фиг 7 4—3 видно, что для получения коэффициента
пульсаций менее 15% необходимо выбрать частоту прерывания
в 4 раза больше максимальной частоты входного сигнала для дан-
ной системы с запоминающим элементом нулевого порядка С дру-
гой стороны, для той же системы без запоминающего элемента
и с той же частотой прерывания коэффициент пульсаций состав
ляет около 55%

В этом параграфе изложен метод определения коэффициента
пульсаций и частоты прерывания для получения допустимой
среднеквадратической ошибки Так как при вычислении коэффи
циентов пульсаций необходимо учитывать относительно малые
разности больших чисел, то очень желательно применение арифмо
метров В данном параграфе было показано, что коэффициент
пульсаций зависит от частоты прерывания и элементов G(s)
в прямой цепи между импульсным элементом и выходом и не зави
сит от других элементов системы Таким образом, при определении
частоты прерывания импульсных и цифровых САР, удовлетворяю
щей требованиям заданной среднеквадратической ошибки, необ
ходимо рассматривать только передаточную функцию G(s) Метод
анализа, рассмотренный в данном параграфе, можно распростра
нить на более сложные системы

7 5 ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ
ЗАМЫКАНИЯ

Для любой САР желательно, чтобы регулируемые переменные
или выход системы были связаны со входом определенным и извест
ным соотношением Для этой цели систему необходимо спроекти
ровать так, чтобы переходные процессы, вызываемые возмуще
ниями, затухали достаточно быстро Система, обладающая спо
собностью демпфировать свой собственный переходный про
цесс, вызванный изменением состояния или возмущением, назы
вается устойчивой Система, на выходе которой возможны неза
тухающие колебания, называется неустойчивой Известно, что
колебания на выходе САР не только нежелательны, но и опасны,
так как они вызывают износ элементов системы и делают ее не
управляемой Следовательно, устойчивость системы является
непременным требованием, вне зависимости от остальных требо
ваний,'предъявляемых к характеристикам системы.

Устойчивость импульсных и цифровых САР рассматривалась
в гл 6 Импульсная САР устойчива, если все корни характери
стического уравнения по z лежат внутри единичной окружности
в плоскости z Критерии устойчивости, приведенные в пара
графе 6 2, являются фактически методами определения наличия
любых корней характеристического уравнения вне или на единич
ной окружности Необходимо отметить, что эти критерии сфор
мулированы на основе теории z преобразования, которая не
дает точной информации о поведении системы внутри периодов
§94
прерывания Проверка устойчивости системы, оснбванная на Мето-
дах, изложенных в параграфе 6 2, показывает, как быстро зату-
хает выходная последовательность системы, а не вся выходная
реакция

Существуют импульсные САР, в которых, несмотря на то,
что временно приложенное возмущение вызывает хорошо задемп-
фированную выходную последовательность в моменты замыкания,
полная функция времени на выходе системы может быть колеба-
тельной вследствие колебаний между моментами замыканий.
Очевидно, для таких систем условия устойчивости, определяемые
с помощью метода z преобразования, могут быть недостаточными,
так как они не учитывают возможности колебаний между момен-
тами замыкания Эти высокочас-
тотные колебания иногда назы
вают скрытыми колебаниями, не-
устойчивость системы вследствие
колебаний между моментами за-
мыкания иногда называют скры-
той неустойчивостью Высокоча-
стотные колеоания между мо-
ментами замыкания называются
скрытыми пульсациями, так как

они скрыты в выходной последовательности, и метод
образования не может их обнаружить Не подлежит сомнению,
что скрытые пульсации ухудшают качество импульсных САР
Таким образом, при анализе импульсных САР необходимо учи-
тывать возможность появления высокочастотных пульсаций между
моментами прерывания

Как видно из фиг 7 5—1, основными причинами появления
высокочастотных пульсаций между моментами замыкания яв-
ляются колебательный характер импульсной переходной функ
ции элементов, включенных между импульсным элементом и вы
ходом системы G(s), и большая величина периода прерывания
системы В большинстве импульсных САР импульсная переходная
функция, соответствующая передаточной функции G(s) системы,
принимает одну из нескольких основных форм. Эти формы яв
ляются либо колебательными, либо монотонными (фиг. 7 5—2)
Импульсная переходная функция затухает монотонно, если
в передаточной функции G(s) число полюсов превышает число
нулей на один или более, а все полюсы действительные и отри
цательные. Если импульсная переходная функция, соответствую
щая передаточной функции G(s), относится к одному из указанных
видов, то никаких высокочастотных пульсаций между моментами
замыкания не может быть

Если же передаточная функция G(s) содержит комплексные
сопряженные полюсы, то импульсная переходная функция будет
В параграфах 6 3 и 6 4 указывалось, что если реакция им
пульснои САР имеет хороший вид (не имеет пульсации между
моментами замыкания), то с помощью метода z-преобразования
можно получить приближенные значения реакции системы между
моментами замыкания Однако если реакция системы имеет коле-
бательный характер с частотой колебаний, превышающей частоту
прерывания, то информация о выходе системы в промежутках
между моментами замыкания, полученная с помощью z-преобразо-
вания, будет целиком неверной В этом случае необходимо приме-
нить другой метод анализа Одним из наиболее общепринятых
и мощных методов вычисления реакции системы в течение перио-
дов прерывания является метод модифицированного z-преобра-
зования Как показано в предыдущих главах, анализ с помощьк
модифицированного z преобразования является прямым обобще
нием основного метода z преобразования. Метод модифицирован
396
ного 2-преобразования так Же, как метод 2-преобразования, позво
ляет анализировать импульсные системы вполне ясно и после-
довательно После того как наличие скрытых пульсаций импульс-
ной САР определено из импульсной переходной функции, соот
ветствующей передаточной функции прямой цепи системы, метод
модифицированного z преобразования становится наиболее удоб-
ным для определения величины этих высокочастотных пульсаций
Метод модифицированного 2 преобразования позволяет обнару
жить скрытые пульсации и скрытую неустойчивость импульс
ной САР Рассмотрим разомкнутую импульсную систему, изобра-
женную на фиг 7. 5—3 Передаточная функция системы G(s)
Пусть 2-преобразование и модифицированное 2 преобразование,
соответствующее G(s), выражены двумя полиномами по г:



Pi (г, tn)

где Pj (г, т) — полином по z с параметром т, изменяющимся
от 0 до 1 Система устойчива, если все полюсы G(s) лежат в левой
половине плоскости s (за исключением возможного полюса в на-
чале координат). Иными словами, для устойчивости полюсы G(z)
и <3(г, т) должны лежать внутри единичного круга плоскости 2
Расположение этих полюсов внутри единичного круга определяет
различный характер поведения в переходном режиме в дискретные
моменты времени (см параграф 7 1) Полюсы G(z) обычно совпа
дают с полюсами G(z, tri), но модифицированное 2 преобразова-
ние <3(2, tri) может иметь больше полюсов, чем соответствующее
2 преобразование G(z) в зависимости от импульсной переходной
функции, соответствующей передаточной функции G(s), и от ча
стоты прерывания системы. Для иллюстрации предположим, что
передаточная функция G(s) на фиг 7 5—3 имеет вид

G(.s) =

и ей соответствует колебательная импульсная переходная функ-
ция с частотой колебаний ®0 После разложения на простые
дроби выражение (7 5—3) записывается в виде
С помощью таблицы z преобразований (см приложение 1)
находим

G(z) =

Аналогично можно получить модифицированное z преобразо
вание, соответствующее G (s)

(7.5-6)

Из выражений (7 5—5) и (7 5—6) видно, что G(z) и G(z, m)
имеют одинаковые полюсы Однако если частота прерывания
системы равна частоте прерывания импульсной переходной функ
ции, т е ojs = со0, что соответствует со0Т = 2л, то выражение
(7 5—5) упрощается и принимает вид

0(2) = -^	(7.5-7)

Это выражение имеет единственный полюс z — 1, соответ
ствующий полюсу 5 = 0 функции G(s) в плоскости s Очевидно,
два других полюса G(z), соответствующие полюсам s == —а ±
± /соо функции G(s) исчезли и, следовательно, являются скры
тыми Подстановка 2л вместо а>0Т преобразует уравнение (7 5—6)
к виду

и может быть записано в виде

Из сказанного ясно, что при таких условиях G(z, т) будет
иметь на один полюс больше, чем G(z), т е полюс z будет ра
вен е~аТ, который отсутствовал в передаточной функции G(z)
В результате анализ, основанный на методе z преобразования,
не может дать правильной картины переходного процесса из-за
неучета этого полюса Метод модифицированного z преобразова-
ния позволяет найти не только все возможные составляющие
переходного процесса в дискретные моменты времени, но и все
высокочастотные колебания между ними

Исследуем возможность наличия скрытой неустойчивости
импульсных САР Из структурной схемы импульсной САР основ
ного типа, изображенной на фиг 7 5—1, видно, что вход и выход
ее связаны соотношением

C(s)

Ранее было показано, что z преобразование и модифицирован
ное z преобразование, соответствующие C(s) из формулы (7. 5—10),
имеет вид

с (г, /n)--i+wr

(7 5—12)

Пусть преобразования GH(z) G(z) и G(z, т) выражены в виде
отношений полиномов по z

GH(z)~

(7 5-15)

(7 5—16)

D(z) = Q(z)/Qa(z)

(7 5-17)

Pb(z m) Q(z)
P(z) + Q(z) Qb(z)’

(7 5-18)

Gt (s) =	(7 5—20)

Легко показать, что передаточная функция прямой цепи си

стемы определяется

G(s) = v

s [(S 4- а)й + ш']

(7 5-21)

(7.5-22)

а г преобразование, соответствующее G(s), имеет вид

Так как

а0Т = 2<лТ = 4л, аТ = 2,

(7 5-23)

(7 5-24)

(7. 5-25)
Как известно, г преобразования выхода и входа системы
связанц уравнением

С (г) =	R (г),	(7 5-26)

здесь G(z) определяется выражением (7 5—25) а

К & -

(7 5-27)

____________0 865г2_____________

(г — 1)(г2 — 0 270г + 0 135)

(7 5-28)

+ 0,841г 5 + 0,798г-6 4

(7 5—29)

е-атт, (7 5_31)
подставляя в выражение (7

5—31) известные величины

(7 5-32)

С(г’ т^тЙ|С(г)
т	с(тТ)	в %
0,2375 0,4875 0,7375 0,9875	1 614 0,629 1,226 0 863	61 4 —37,1  22 6 —13 7

(7 5-39)

4зт ып 4тл + 2cos 4тл = 0 (7 5—40)

или

tg4m= —	(7 5—41)

т = 0,2375, 0,4875, 0,7375, 0,9875	(7 5—42)



минимумам функции с(тТ),

( 0,4875
~ 1 0,9875

(7 5-44)
мощью обратного преобразования от С(г, т) Используя формулу
обратного преобразования (5 7—65), получим реакцию системы

(г-0 135)-

2л/

zndz (7 5—45)

Этот интеграл легко вычислить с помощью теоремы вычетов

На фиг 7 5—5 изображены выходная последовательность
и выходная функция времени системы, на вход которой подана
единичная ступенчатая функция Из б
предыдущего анализа видно, что нали-
чие скрытых колебаний между момен-
тами замыкания невозможно обнару- 1,0
жить с помощью z-преобразования, в то
время как применение модифицирован-
ного z преобразования, которое яв-
ляется дальнейшим развитием z пре-
образования, позволяет получить всю
необходимую информацию

На основании приведенного анализа можно заключить, что
скрытые колебания будут отсутствовать, если комплексные по
люсы регулируемой системы лежат внутри основной полосы
плоскости s Если же комплексные полюсы регулируемой системы
лежат вне основной полосы плоскости s, то в системе будут скры
тые колебания Для систем управления самолетами и снарядами
необходимо тщательно проверять возможность появления скрытых
колебаний, так как высокочастотные резонансные пики, соответ
ствующие механическим или другим колебаниям конструкций
самолетов и снарядов, могут иметь место на частотах значительно
превышающих частоту среза системы управления

7	6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Поведение цифровых и импульсных систем автоматического
управления можно определить по расположению полюсов и нулей
импульсной передаточной функции замкнутой системы в плоско-
сти z Если полюсы передаточной функции системы в замкнутом
состоянии лежат вне единичной окружности, то такая система
неустойчива Положительному действительному полюсу, распо
ложенному внутри единичного круга плоскости z, соответствует
экспоненциально затухающая выходная последовательность,
а двум отрицательным действительным полюсам и паре комплекс-
ных сопряженных полюсов, расположенных внутри единичного
Круга, соответствует выходная последовательность в виде зату
хающих колебаний. В данной главе изложены два аналитических
метода определения пульсаций системы между моментами замыка
ния и ее ошибки

Первый метод состоит в разложении передаточной функции
прямой цепи на простые дроби и вычислении реакции на после
довательность импульсов Второй метод основан на применении
модифицированных z преобразований Было рассмотрено вычисле
ние коэффициента пульсаций и среднего значения квадрата
ошибки Если задано допустимое среднее значение квадрата
ошибки, то требуемая частота прерывания импульсной системы
автоматического регулирования может быть найдена с помощью
формулы дчя коэффициента пульсаций В последней части главы
рассмотрены скрытые колебания и скрытая неустойчивость им
пульсных систем Возможность появления скрытых колебаний
на выходе импульсной системы зависит, прежде всего, от вида
импульсных переходных функций прямой цепи системы и периода
прерывания Скрытые колебания могут возникнуть в случае
когда комплексные полюсы передаточной функции регулируемой
системы лежат вне основной полосы левой полуплоскости s
ГЛАВА 8

ПРИНЦИПЫ АНАЛОГО-ЦИФРОВОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

использовании цифровых вычислительных машин и цифровых
методов в системах автоматического управления Это — проблема
аналого-цифрового преобразования

Цифровые системы являются системами автоматического
управления, в которых для обработки информации применяется
цифровое оборудование Такие системы можно подразделить
на две основные категории цифровые разомкнутые системы и
цифровые системы с обратной связью На фиг 8 1—1 изображена
упрощенная структурная схема цифровой разомкнутой системы,
в которой устройства для обработки цифровой информации служат
для управления обычной непрерывной САР Входная информация
для такой цифровой системы записывается на перфолентах,
перфокартах и т д в форме цифровой программы. Программи
руемая информация вначале поступает на цифровую мдщину для
407
обработки, а затем — на непрерывную САР Так как сигналы
в форме числовых кодов не могут непосредственно подаваться
на вход непрерывной САР, то цифровая машина не может управ-
лять непрерывной САР, если цифровая информация не будет
преобразована в сигналы аналоговой формы Таким образом,
в цифровых разомкнутых САР необходимо устройство для пре
образования цифровых величин в аналоговые

Цифровые системы с обратной связью, как указывалось в гл 1,
содержат цифровую вычислительную машину в контуре управле-
ния, которая служит для выполнения необходимых вычислений,
коррекции системы, а также определения ошибки Так как цифро-
вая машина и непрерывная САР используют информацию в раз-
личных формах, их невозможно непосредственно связать друг
с другом Для соединения цифровой машины и непрерывной САР
требуется некоторое преобразующее устройство, которое служит
для перевода аналоговой информации в цифровую и наоборот.
Устройство, которое преобразует сигнал из аналоговой формы
в цифровую, называется аналого-цифровым преобразователем
или кодирующим устройством, а устройство, выполняющее обрат-
ную операцию, называется устройством для преобразования
цифровых величин в аналоговые или декодирующим устройством
В этой главе рассматриваются принципы преобразования ана
логовых величин в цифровые и цифровых в аналоговые

8	2 СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ЦИФРОВОГО УПРАВЛЕНИЯ

Числа являются символами, которые характеризуют некото
рые количества и служат основным средством для выполнения
вычислений Обычно применяются следующие системы счисле
ния- десятичная, восьмеричная, двоичная, двоично-кодирован
ная десятичная система и циклическая двоичная система Первые
три системы счисления часто называют обычными, а другие две
можно назвать модифицированными системами счисления. Деся
тичная система получила наибольшее распространение, очевидно,
потому, что первым средством для обучения человека этой системе
служили его десять пальцев Хотя десятичная система очень
удобна для человека, она совершенно не подходит для быстро
действующих цифровых машин, служащих для обработки инфор-
мации

Основная формула для обычной системы счисления или цифро-
вого кода имеет вид

В выражении (8 2—1) А — целое число, представленное
в цифровом коде, г — основание системы счисления, а коэффи-
циент ak — цифровой символ Наименьший цифровой символ
408
и число записывается в виде

Например, число 100 представляется в виде
100 = 1 X 102 + 0 X 101 + 0 X 10°

В двоичной системе

Таким образом,

Например, десятичное число 100 представляется

в виде

X 21 + 0 X 2»	(8 2—8)

Следовательно, в двоичной системе счисления это число запи-
шется как 1100100 и

десятичное 100 = двоичному 1100100	(8 2—9)
системе Например, неправильная дробь 85/8 или 10,625 в деся-
тичной системе представляется в виде

10,625 = 1 X 101 + 0 х 10» + 6 X ю-1 + 2 х ю-2 + 5 X

X 10-3	(8 2—12)

В двоичной системе это число представляется в виде

Следовательно,

десятичное число 10,625 = двоичному числу 1010,101 (8 2—14)

Арифметические правила в двоичной системе счисления чрез-
вычайно просты и могут быть сведены в три простые таблицы

1 Таблица двоичного сложения
106

В качестве иллюстрации рассмотрим число
В соответствии с изложенным получаем

Преобразование двоичного числа к десятичному эквиваленту
очень просто и выполняется с помощью последовательного ело
жения Например, рассмотрим двоичное число NB= 1101010
Десятичный эквивалент непосредственно определяется по формуле

Несмотря на то, что десятичная система является наиболее
распространенной при обычных вычислениях, она не подходит
для использования в быстродействующих вычислительных ма-
шинах Использование двоичной системы в цифровых устрой
ствах для обработки информации имеет большие преимущества
по сравнению с десятичной системой Арифметические операции
в двоичной системе очень просты. Для представления числа
с помощью двоичного кода требуется меньше оборудования, чем
при десятичном коде, и в этом случае можно использовать наиболее
надежные электронные устройства с двумя устойчивыми состоя-
ниями, соответствующими цифрам 0 и 1 Следовательно, с инже
нерной точки зрения в цифровых устройствах для обработки
информации наиболее целесообразно использовать двоичную си
стему счисления Однако десятичная система может быть исполь
зована, если каждая десятичная цифра представлена группой
из четырех двоичных цифр Такая система счисления называется
двоично кодированной десятичной системой. Четыре двоичные
цифры могут образовывать 16 различных комбинаций, но из них
только 10 приписываются 10 различным десятичным цифрам
Эта система счисления обладает некоторыми свойствами двоичных
и десятичных систем, тем не менее она неэкономична и малоэф
фективна

Двоично кодированная десятичная система образуется с по
мощью десяти двоичных представлений чисел от 0 до 9 Например,
десятичное число 106 будет в двоично кодированной десятичной
системе 0001 0000 ОНО Соответствующее представление этого
числа в двоичной системе имеет вид 1101010 Следовательно, для
представления числа между 000 и 999 требуется 10 разрядов для
двоичной системы и 12 разрядов для двоично-кодированной
десятичной системы Любой десятичный код обычно менее эффек-
тивен, чем двоичный код Десятичные коды используются в цифро-
вых машинах только для связи между оператором и машиной.

В табл 8 2—1 приведены первые 16 десятичных чисел (от О
до 15) и их эквивалентные представления в двоичной, двоично
кодированной десятичной и циклической двоичной системе
Из второй колонки таблицы видно, что в обычной двоичной системе
при переходе от одного числа к другому в любом направлении

возможны изменения от состояния

и наоборот одновременно в нескольких элементах кода В резуль-
тате небольшая позиционная ошибка или несогласование считы-

Таблица 8 2—1

Деся-	Дн°аяЧ	ично кодиро-		Деся-	Цвоич	SES'-	Цикличе
00  01  02 03 04  05 06 07	0000 0001 0010 ООН 0100  0101 оно 0111	000000 000001 000010 000011  000100 000101 оооно 000111	0000 0001 ООН 0010 оно  0111 0101 0100	08 09  10  12  13  15	1000  1001  1010  1011  1100  1101  1110	001000 001001 010000 010001 010010  010011 010100 010101	1100  1101  1111  1110  1010  1011  1001  1000

вающего устройства может вызвать большую числовую ошибку
Это представляет основную проблему в аналого дискретных пре
образователях для считывающих устройств Числовая ошибка
считывающего устройства аналого-дискретного преобразователя
может легко быть найдена, если обратиться к фиг 8 2—1, на
которой изображен рисунок кода преобразователя

Предположим, что считывающее устройство расположено над
рисунком, соответствующим 0100 Если линия считывания дви-
жется в направлении уменьшения чисел, то следующим числом,
которое должно быть считано, является ООП, что соответствует 3
в десятичной системе Однако вследствие незначительного рассо-
гласования линии считывания, как показано на фиг 8 2—1,
после числа 0100 будет снято число 0111, что соответствует 7
в десятичной системе, а затем последует число ООП Очевидно,
промежуточное считывание является неверным и может привести
к серьезным числовым ошибкам на выходе преобразователя

Легко видеть, что эти ошибки появляются вследствие самой
природы обычной двоичной системы счисления, в которой при
переходе от одного числа к другому могут изменяться сразу
несколько цифр Для того чтобы исключить эту ошибку, необ-
ходимо выбрать такую систему счисления для аналого цифрового
преобразователя, в которой при переходе от одного последова
тельного числа к другому в любом направлении подвергается
изменению лишь один элемент кода. Такая система счисления
412
называется системой или кодом с единичным расстоянием и яв-
ляется наиболее распространенной в аналого цифровом преобра-
зователе

На практике широко применяется двоичный код с единич
ным расстоянием, называемый циклическим двоичным кодом
или кодом Грея Циклические двоичные коды для первых 16 деся
тичных чисел приведены в последней колонке табл 8 2—1
Из нее видно, что между двумя последовательными числами
происходит изменение лишь одного элемента кода от 0 к 1 или
наоборот Так как здесь изменяется лишь один элемент кода при
переходе, то небольшая позиционная ошибка может изменить
результат лишь на одну цифру по сравнению с правильным зна
чением, в то время как в обычной двоичной системе незначитель-
ная позиционная ошибка приводит к большой разнице между
истинным и снимаемым значениями Если преобразователь по-
строен по принципу циклического двоичного кода, то как пре-
дыдущее, так и последующее числа считываются правильно,
несмотря на некоторое рассогласование линии считывания
(фиг 8 2—1)

Пусть обычное двоичное представление десятичного числа N
NB^anan-ian-2	ak	“А,	(8 2—16)

а в циклическом двоичном коде число N записывается в виде

^-=Ь„Ьп-А-8 bk ЬгЬ0,	(8 2—17)

здесь значения ak и bk — либо 1, либо О

Представление числа в циклическом двоичном коде имеет
следующие свойства

1	Основная формула циклической двоичной системы имеет

Рид	п

(8 2-18)
В формуле (8 2—18) знак плюс берется для наибольшей зна
чащей цифры, знак минус для следующей за ней справа и т д
Каждое последующее значение ak, не равное 0, отличается по
знаку от предыдущего Для пояснения применения формулы
(8 2—18) рассмотрим табл 8 2—1 Число 9 в циклическом двоич
ном коде запишется как 1101 Применяя формулу (8 2—18),
находим, что

2	Соответствие Nc является четным или нечетным в зависимо
сти от того, каково значение

Соответствие Nc определяется как сумма цифр bk цикличе
ского двоичного представления Nc до модуля, т е соответствие

3	Цифры NB и Nc связаны следующими соотношениями

без переноса,

где

(8 2-24)

если ak + bk

Например, обычное двоичное и циклическое двоичное представ
ления числа 9 NB = 01001 и Nc = 01101 Для этого случая

4	Циклические двоичные представления любых двух после
довательных чисел N и N + 1 отличаются только в одной колонке
Это является важным свойством, которое делает циклическую
двоичную систему очень удобной в аналого цифровых преобра-
зующих устройствах Далее рассматривается метод преобразова-
ния двоичного циклического кода в обычный двоичный код и
наоборот

Используя эти свойства, циклический двоичный код можно
получить из обычной двоичной записи с помощью сдвига одной
колонки с последующим логическим сложением (т е сложением
без переноса)
Символ © означает сложение без переноса В качестве при-
мера рассмотрим десятичное число 106, двоичное представление
которого 1101010 Имеем

0 I (0)

что является циклическим двоичным представлением данного числа

Аналогично, переход от циклического двоичного кода к обыч
ному двоичному можно осуществить следующим образом

Для иллюстрации этого правила рассмотрим десятичное число

106 с циклическим двоичным представлением 1011111 Имеем

что является обычной двоичной записью данного числа
функцией количества разрядов двоичного кода, используемого
в преобразующем устройстве Например, для обеспечения разре
шающей способности х/1Ооо требуется 10 разрядов двоичного кода

Как показано в параграфе 3 6, квантование вносит искажение
в измеряемую величину Это искажение называется ошибкой
квантования При числовом анализе ошибка квантования экви
валентна ошибке округления, которая появляется вследствие
ограниченной числовой емкости цифровой части преобразующего
устройства, так как любое изменение входного сигнала в пределах
одного шага квантования не изменяет выходного сигнала Для
увеличения точности и разрешающей способности преобразую
щего устройства необходимо иметь достаточно малый шаг кван
тования

Время преобразования Временем преобразования называется
интервал времени между моментом, в который преобразуемый
входной сигнал подается на преобразующее устройство, и мо
ментом, в который выходной сигнал устанавливается с заданной
точностью Иными словами, это — время, необходимое для вы
полнения кодирования или декодирования Время преобразо
вания связано с частотой прерывания и должно быть значи
тельно меньше периода прерывания Частота преобразования,
являющаяся величиной, обратной времени преобразования, по
добна полосе пропускания непрерывной системы С увеличением
частоты входного сигнала, подаваемого на преобразующее устрой
ство, точность выхода уменьшается, если частота преобразования
остается постоянной Частота преобразования процессов кодиро
вания и декодирования связана с постоянными времени преобра
зующего устройства, так же как полоса пропускания непрерывной
системы связана с различными постоянными времени системы

Если точность выходного сигнала преобразующего устройства
поддерживается в любой момент времени в пределах одного
шага квантования, то новое значение выходного сигнала необ
ходимо устанавливать каждый раз, когда входной сигнал изме
няется от одного к другому уровню квантования Частота изме
нений уровней входного сигнала зависит от наклона кривой
входного сигнала и величины шагов квантования преобразующего
устройства При малых шагах квантования время, необходимое
для того, чтобы входной сигнал изменился от одного к другому
уровню квантования, приблизительно равно отношению величин
шагов квантования к наклону кривой входного сигнала Это
соотношение можно использовать для оценки верхнего предела
времени преобразования

Время преобразования является одной из составных частей
общего запаздывания разомкнутого контура цифровой САР Так
как слишком большое запаздывание нежелательно, то время
преобразования должно быть небольшим Значение времени
416
преобразования зависит от типа преобразующего устройства и
обычно находится в пределах от нескольких микросекунд до
десятков миллисекунд В случае, когда преобразующее устройство
обслуживает несколько каналов, разделенных по времени, осо
бенно желательны небольшие значения времени преобразования

Однозначность Как указывалось выше, в аналого-цифровом
преобразователе, использующем обычную двоичную систему,
существует проблема неоднозначности при переходе к соседнему
числу Числовая ошибка обычно появляется, когда значение
сигнала находится между двумя возможными положениями 0 и 1
Для решения проблемы неоднозначности применяются двоичные
коды с единичным расстоянием, в частности циклический двоич
ный код Кроме того, для устранения ошибок вследствие неодно
значности при переходе применяются метод двойного съема
метод V развертки и однозначные цепи

Требования к временной памяти При преобразовании непре
рывных величин в цифров} ю форму необходимо, чтобы непрерыв
ная входная величина, которая измеряется (или прерывается),
оставалась постоянной в течение периода преобразования Для
этого требуется временная память или удерживающее устройство,
которое сохраняет значение входного сигнала до тех пор, пока
не закончится процесс преобразования Устройство временной
памяти находит также и другие применения в цифровых САР
Например, в системах управления дискретные данные, которые
появляются в произвольные моменты времени на входе некото
рого устройства (вычислительной машины), необходимо запомнить
до тех пор, пока они не будут использованы. Временная память
также необходима, когда выход вычислительной машины системы
управления должен оставаться постоянным между двумя последо
вательными решениями

8 4 МЕТОДЫ КОДИРОВАНИЯ

Процесс преобразования непрерывных величин в цифровую
форму часто называется процессом кодирования Для преобра
зования непрерывных (аналоговых) величин в цифровую форму
необходимо выполнить три основные операции

1)	разбить ось времени на некоторое число равных интерва
лов, что фактически является процессом прерывания,

2)	измерить амплитуду кривой входного сигнала в каждом
интервале (процесс считывания);

3)	выразить измеренную амплитуду в форме числового кода,
например двоичного Эта операция включает процесс кванто
вания

На фиг. 8 4—1 проиллюстрированы эти три шага Сигнал
в непрерывной форме e(t) необходимо преобразовать к цифро
вому виду Вначале сигнал прерывается в моменты О, Т, 2Т,
Каждое дискретное значение сигнала затем измеряется, кван
туется и представляется в виде двоичного кода Например, дискрет
ное значение при t = 0 представляется как 010 дискретное зна
чение при t = Т — как 100, дискретное значение при t = 2Т —
как 101 и т д

Хотя процесс преобразования информации из непрерывной
в цифровую форму может выполняться с помощью нескольких
различных схем, обычно все кодирующие устройства работают
на базе одного из четырех фундаментальных принципов вре
менного кодирования, пространственного кодирования, коди
рования с помощью сравнения или взвешивания и кодирования
с обратной связью. Временное кодирование включает промежу
точное преобразование в интервалы времени Аналого-цифровые
преобразователи, основанные на
принципе временного кодирова
ния часто называются кодирую
щими устройствами типа счетчи
ков, так как они выполняют one
рацию счета При пространствен
ном кодировании используется

цифрового преобразования.

010 100 101 101

Кодированный выхоо

пространственная геометрия для
непосредственного считывания в
форме кода Поэтому аналого ци
фровые преобразователи харак

теризующиеся пространственным кодированием обычно назы
вают кодирующими устройствами считывающего типа

При кодировании с помощью сравнения или взвешивания опор
ные напряжения каждое из которых соответствует некоторой
степени 2, последовательно сравниваются с входным аналоговым
напряжением Аналого-цифровые преобразователи, работающие
по этому принципу, часто называются кодирующими устройствами
взвешивающего типа Кодирование с обратной связью основано
на сравнении дискретного входного напряжения с напряжением
обратной связи, которое изменяется управляющей цепью до тех
пор, пока эти два напряжения не становятся равными Аналого
цифровые преобразователи, основанные на этом принципе коди
рования иногда называются кодирующими устройствами с обрат
ной связью Ниже рассматриваются эти четыре метода кодиро

Временное кодирование и кодирующее устройство типа счет
чика. Кодирующие устройства типа счетчиков являются наиболее
разработанными аналого цифровыми преобразователями, которые
используют последовательность дискретных меток или импульсов
выражающих величину непрерывного входа в унитарном коде
В этом кодирующем устройстве электронный ключ находится
в проводящем состоянии в течение измеряемого .интервала вре
мени, позволяя генератору посылать последовательность импуль
сов, которая, в свою очередь, подается на двоичный или десятич
ныи счетчик для преобразования непрерывной величины в двоич
ный или десятичный код Примерами кодирующих устройств
такого типа являются временные кодирующие устройства по на
пряжению или по углу, представляющие собой электромеханиче
ские преобразователи Ниже рассматриваются в качестве примера
кодирующие устройства, использующие временной принцип
электронное временное кодирующее устройство и электромеха
ническое угловое кодирующее устройство

Устройство кодирования по времени Кодирующее устрой
ство данного типа имеет четыре основные цепи линейную, пере
ключающую цепь счета цепь сравнения и цепь управления,
которые работают одновременно обеспечивая аналого-цифровое
преобразование На фиг 8 4—2 изображена структурная схема
типичного устройства кодирования по времени

Это устройство называется кодирующим по времени так как
амплитуда непрерывного входного напряжения преобразуется
во временной сигнал который пропорционален значению непре
рывного напряжения Из фиг 8 4—3 видно, что для преобразо
вания сигнала напряжения во временной сигнал используется
линейное включающее напряжение, которое нарастает в каждом
интервале преобразования до значения, превышающего ампли
туду непрерывного входного напряжения Время, необходимое
для изменения линейного включающего напряжения от опорного
Таким образом счетчик начинает подсчет в момент времени,
соответствующий точке Д1; и останавливается в момент времени,
соответствующий точке Вг в которой включающее напряжение
равно непрерывному кодируемому напряжению Затем коли
вале обратно пропорционально величине шагов квантования
дискретных значений сигнала Если частота импульсного гене-
ратора выбрана так, что генерируются 128 импульсов в течение
интервала измерения (полного интервала включения), то разре
шающая спосооность составит 1/128. Так как максимальное коли
чество импульсов за полный интервал измерения постоянно, то
количество импульсов, проходящих через ключ, дает не только
значение амплитуды непрерывного кодируемого напряжения,
но и точное время его измерения Так как непрерывный сигнал
может измениться в течение интервала измерения, то обычно
используется временное запоминающее или удерживающее
устройство для того, чтобы запоминать дискретные значения
непрерывного сигнала, взятые через равные интервалы, и удер
живать напряжение постоянным во время периода измерения
Таким образом, можно получить считывание с постоянными интер-
валами Точность устройства кодирования по времени опреде-
ляется линейностью включающего сигнала и точностью цепи
сравнения Время преобразования таких кодирующих устройств
зависит от скорости счета vc счетчика и максимального значения
числа N, которое должно быть закодировано Если время, необ
ходимое для считывания и сброса счетчика, составляет t2, то
время преобразования tc определяется уравнением

Наивысшая рабочая частота реального счетчика равна около
5 Мгц-, а обычно требуется минимум 1 мксек для считывания
и сброса счетчика Таким образом, наименьшее время преобра-
зования, которое можно получить в таком устройстве кодиро-
вания по времени, равно

Например, если максимальное число, которое должно быть
закодировано, состоит из двух десятичных цифр, то требуется
7 разрядов двоичного кода и наименьшее время преобразования
составляет 26,6 мксек, если максимальное кодируемое число содер-
жит 3 десятичные цифры, то требуется 10 двоичных разрядов
и время преобразования составляет не менее 205,8 мксек

Предположим, что для типичного кодирующего устройства,
изображенного на фиг 8 4—2, импульсный генератор генери-
рует 210 или 1024 импульсов в течение интервала измерения
В этом случае можно получить разрешающую способность, рав-
ную 1/1024. Для того чтобы подсчитать 210 импульсов, необходим
управляющий блок с 10 триггерами Если включающая цепь

Устройство, кодирующее угловое перемещение На фиг 8 4—8
показано упрощенное схематическое изображение углового коди
рующего устройства, в котором используется один из простей
ших методов преобразования углового перемещения в цифровой
вид Преобразующее устройство состоит из двух основных частей
барабана и цепи счета Ба
рабан выполнен из магнит
ного материала на кото
ром нанесены квантующие
метки, равномерно рас
пределенные вокруг бара
бана Когда барабан не
прерывно вращается эти

квантующие метки дают регулярные импульсы в считывающей
головке. А Для указания начального и конечного положений
на барабан нанесены опорные метки Одна из этих меток дает
стартовый импульс в неподвижной считывающей головке В
за каждый оборот барабана Другая опорная метка дает стопо
выи импульс в подвижной считывающей головке С

Ключ открывается стартовым импульсом и закрывается сто
повым импульсом Количество регулярных импульсов прошедших
с момента открывания ключа до его закрывания будет пропор
ционально угловому смещению, которое равно углу между непо
движной и подвижной считывающими головками Квантующие
423
средственного считывания в кодовой форме В кодирующем
устройстве этого типа аналоговый сигнал сравнивается с про
странственным рисунком кода Для иллюстрации принципов
пространственного кодирования ниже рассматривается несколько
кодирующих устройств считывающего типа

Двоичное кодирующее устройство считывающего типа На
фиг 8 4—9, а дано схематическое изображение упрощенного
двоичного кодирующего устройства считывающего типа, которое
состоит из диодной матрицы, соединенной с сегментами (пласти
нами) коммутатора Это кодирующее устройство преобразует
линейное или угловое перемещение в двоичный код Входом
данного кодирующего устройства является положение щетки
Цифровой выход снимается с зажимов А, В и С Если на зажиме
отрицательное напряжение, то это соответствует 1, если же на
зажиме нулевое напряжение, то это соответствует О В диодной
матрице записана таблица двоичных чисел Например, если щетки
касаются сегмента 5. то на зажимах А и С появляется отрица-
тельное напряжение, а на зажиме В нет напряжения В этом слу-
чае считанное значение выхода будет 101, т е позиция 5 закоди
рована в двоичную запись 101 Если щетка перемещается от одного
сегмента коммутатора к другому, то на выходных зажимах обра-
зуются различные двоичные комбинации Число различных
424
ними сегментами, то два соседних сегмента могут быть закоро-
чены, что приведет к неправильному кодированию Например,
если сегменты 3 и 4 закорочены щеткой, то на выходе будет
число 111, что соответствует числу 7 в десятичной системе Таким
образом появляется большая ошибка Эта проблема неодно-
значности, которая имеет место во всех кодирующих устройствах
считывающего типа, часто решается с помощью перехода к коду
с единичным расстоянием, описанному в параграфе 8 2 На
фиг 8 4—9, б схематически изображено кодирующее устройство
считывающего тина с циклическим двоичным кодом Диодная
матрица преобразована так, что положение сегментов представ-
ляется циклическим двоичным кодом Если сегменты 3 и 4 зако-
рочены щеткой, то на выходе будет снято число ПО, что соответ-
ствует 4 в десятичной системе

Цифровой преобразователь углового перемещения. Это пре-
образующее устройство преобразует положение вала в цифровой
код с помощью механически вращающегося вала и кодирующего
диска, Кодирующий диск тщательно центрирован на валу, угло-
425
го диска, потенциальная воз
Другим видом цифрового преобразователя углового положе
ния является преобразователь со стеклянным диском, на котором
нанесен специальный кодовый рисунск в виде прозрачных и непро
зрачных секторов, образующих концентрические кодовые дорожки,
соответствующие разрядам 2° 21 22	, 2п Сбоку от кодирую

щего диска располагается экран с радиальной щелью, вдоль кото
рой помещаются фотоэлементы, которые и считывают угловое
положение в цифровом коде Это
устройство может иметь очень
высокую точность

Кодирующее устройство по
напряжению с двоичной маской
Это преобразующее устройство
использует двоичную маску для
непосредственного считывания
в кодовом виде. Типичным коди
рующим устройством данного ви
да является кодирующее устрой
ство на электронно лучевой труб
ке Двоичная маска распола
гается внутри электронно-луче
вой трубки между электронной
NB =* anar_1

ak afy,

(8 4 -4)
где цифры ak и bk — 0 или 1 В параграфе 8 2 (свойство 2) ука
зано, что

aQ^bQ + b1 + bi+ +bn	(8 4—5)


8 5 БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩЕЕ КОДИРУЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО
НА ОПЕРАЦИОННЫХ УСИЛИТЕЛЯХ
Смитом, собрано на операционных усилителях Это устройство,
относящееся к кодирующим устройствам взвешивающего типа,
широко применяется в цифровых САУ и при моделировании
Ниже рассматриваются основные принципы^ проектирования и
рабочие характеристики такого кодирующего устройства

Это аналоге цифровое преобразующее устройство состоит из

рая может быть либо 1, либо 0, Vn — напряжение на выходе деко->
дирующего устройства, Vn_t — напряжение ошибки с выхода
вычитающего устройства, равное Vn—Vn Если непрерывное
напряжение Vn превышает опорное напряжение ап — 1 и

видеть, что если напряжение ошибки Vn_], послать в другую
кодирующую ячейку, то можно получить вторую двоичную цифру
Далее, если напряжение ошибки V„_2 второй кодирующей ячейки
подать на следующую кодирующую ячейку, то можно определить
третью двоичную цифру

Следовательно, если последовательно соединить п кодирующих
ячеек, то можно получить n-разрядное двоичное представление
входного напряжения Vn (фиг 8 5—2) Первая кодирующая
ячейка этого аналого цифрового преобразующего устройства, на
которую поступает входное напряжение, определяет наиболь-
шую значащую двоичную цифру ап, дает первую аппроксимацию
(при двух уровнях) входного сигнала и подает напряжение,
равное разности между входным напряжением Vn и первой ап-
проксимацией Vn, на вторую кодирующую ячейку Этот процесс
28_ Юлиус т Ту	433
повторяется для всех кодирующих устройств Каждая ячейка
генерирует двоичную цифру и дает сигнал напряжения для еле
дующей кодирующей ячейки В принципе кодирующее устрой
ство на п двоичных чисел можно собрать соединив последова
тельно п простейших кодирующих цепей Цепь кодирования —
декодирования объемом в 1 бит можно осуществить с помощью
амплитудной цепи сравнения, например цепи Шмитта, описан
ной в параграфе 8 ’4 или операционного усилителя с большим
усилением, выход которого ограничен двумя фиксированными
уровнями
входное напряжение в параллель
ный цифровой сигнал В качестве

НИЯ одноразрядной кодирующей ячейки равно около 1 мксек.
Следовательно, в среднем можно достигнуть величины времени
преобразования в несколько микросекунд Кроме того, это двоич-
ное кодирующее устройство преобразует любое входное напряже-
ние в параллельный цифровой выходной сигнал, причем не тре-
буются такие операции, как привязка ко времени подсчитывание,
синхронизация и т д , которые обычно присущи электронным
437
аналого цифровым преобразующим устройствам Точность прё
образования определяется шагами квантования и числом коди
рующих ячеек использующихся в кодирующем устройстве

Если необходим последовательный цифровой выходной сиг
нал, то кодирующая цепь может быть существенно упрощена
В этом случае требуется только одна одноразрядная кодирующая
ячейка и линия задержки, которые соединяются в замкнутый кон
тур (фиг. 8 5—7) Одноразрядная кодирующая ячейка исполь
зуется многократно для последовательного получения всех цифр
На фиг 8 5—7 Vk — напряжение (дискретное значение), которое
необходимо закодировать Выходное напряжение Vk г в данный
момент времени становится входом кодирующей-ячейки в следую
щий момент времени Таким образом, входное напряжение ко
дируется в виде цифр образующих регулярную последователь
ность с наибольшей значащей цифрой вначале

8	6 МЕТОДЫ ДЕКОДИРОВАНИЯ

Преобразование из цифровой в аналоговую форму обычно со
стоит из двух основных операций 1) преобразование цифровой
информации, выраженной в позиционной записи в импульсную
информацию; другими словами, преобразование сигнала с им
пульсно кодовой модуляцией в импульсный сигнал с амплитудной
модуляцией; 2) преобразование импульсной информации в непре

Импульсная._____________

информация- Запоминающий я
элемент

Аналоговый
выход

Преобразователь цифровой величины
в аналоговую

Фиг 8 6—1. Структурная схема иллюстрирующая процесс пре-
образования цифровых величин в непрерывные

рывную Первая операция часто называется декодированием, авто
рая — запоминанием Процесс преобразования цифровых вели
чин в непрерывные поясняется структурной схемой нафиг. 8 6—1
Декодирующее устройство преобразует сигналы, представленные
в виде цифровых кодов, в импульсные сигналы Запоминающее
устройство преобразует импульсные сигналы в непрерывную или
аналоговую форму Устройство которое выполняет операции де
кодирования и запоминания, называется преобразователем цифро
вых величин в аналоговые Свойства запоминающих устройств
рассматривались в параграфе 4 6 Настоящий параграф посвя-
щен рассмотрению методов декодирования и характеристик деко
дирующих устройств
438
В двоичной записи число N представляется в виде

±ап_2 ak afy,	(8 6—1)

где Nв — позиционная запись а цифры ak — 0 или 1

Если цифра 1 представляется положительным импульсом
а цифра 0 нулевым импульсом (отсутствие импульса) то в этом
случае двоичное число представляется последовательностью по
ложительных и нулевых импульсов кода образующих сигнал
с импульсно кодовой модуляцией Например двоичное число
1100100 можно представить последовательностью из двух поло-

жительных импульсов за
которыми идут два нуле
вых импульса один поло
жительный импульс а за
тем два нулевых импульса
(фиг 8 6—2) Таким обра
зом, процесс декодирова
ния является процессом
преобразования импульсов
кода двоичного числа
в один импульс, амплитуда
которого представляет со
бой значение этого числа

Действительное значе
ние представленное дво
ичной записью (8 6—1)

Двоичное число

1 10 010 0

Сигнал с импульсно
кодовой модуляцией

Расположение в
двоичном коде

Позиционное
значение

Значение импульса

Фиг. 8 6—2 Двоичное число и его предста
вление в виде сигнала с импульсно-кодовои
модуляцией

определяется уравнением

N - аг х 2п + X 2«-1
f	fv J»

ak\2k

4-^x2 +о0х2°	(8 6—2)

Из этого уравнения видно, что каждому положению в двоич
ной записи соответствует позиционное значение При переходе
справа налево позиционные значения последовательно возрастают
в 2 раза. Первое значение справа (наименьшее значащее положе
ние) имеет позиционное значение 1, второму положению справа
соответствует позиционное значение 2 и (Н 1)-му положению
справа соответствует позиционное значение 2/? Кривая распреде
ления позиционных значений имеет экспоненциальную форму
При представлении двоичного числа в виде сигнала с импульсно
кодовой модуляцией импульс кода в каждом положении соответст
вует значению которое можно назвать импульсным значением
Оно равно произведению позиционного значения и соответствующей
цифры. Например импульсное значение, представленное первым
импульсом справа, aQ х 2° Оно равно нулю когда а0 ~ 0, и еди-
нице, когда а0 = 1 Импульсное значение (k -1- 1) го импульса
равно ak x2k В качестве примера на фиг 8 6—2 приведены по-
зиционные и импульсные значения двоичного числа 1100100
Следовательно, из уравнения (8 6—2) получаем величину,
представленную группой двоично кодированных импульсов,
равную сумме импульсных значений в каждой позиции Так как
декодирование является процессом нахождения значения, пред-
ставленного группой двоично-кодированных импульсов, то деко-
дирующее устройство выполняет арифметические операции, пред-
ставленные уравнением (8 6—2) Так как кривая распределения
позиционных значений имеет экспоненциальную форму, то про
цесс декодироввния можно выполнять используя известное свой-
ство конденсатора, разряд которого через сопротивление также
происходит по экспоненциальной кривой

К)

о....I

Сопряжение деко [
даруемого сигна- ’ а
ла с импульсно- ~г
кодовой модуляцией I

Реле

> переключения

Декодированные
“° выход

Декодирующий

т

Фиг 8 6—3 Простейшая декодирующая цепь

Последовательно декодирующие цепи На фиг 8 6—3 изобра
жена простая RC цепь с переключающим реле, которое может
использоваться для выполнения операции последовательного де
кодирования, если выбрано соответствующее значение постоянной
времени разряда Если импульс кода поступает на обмотку реле,
последнее замыкает верхний контакт и конденсатор мгновенно
заряжается до напряжения VQb Если импульс кода исчезает,
реле замыкает нижний контакт и конденсатор разряжается через
сопротивление Напряжение на конденсаторе, вызванное подачей
импульса кода на обмотку реле, достигнет величины, определяе
мой уравнением

Vk -	(8. 6—3)

за время прохождения k импульсов кода, тек моменту t = kp,
где р — интервал времени между двумя соседними импульсами
кода В этот момент заряд конденсатора будет равен

Ok = Qoe-^RC,

(8. 6—4)

здесь Qo = CV0 Подставляя в уравнение (8 6—4) 2Г вместо в,
получим

440

Qk Q^-	\

(8 6—5)
Далее, еслй значения емкости и сопротивления цепи вы
браны так, что

RC = гр = -fa,	(8 6-6)

уравнение (8 6—5) приводится к виду

Q* = Q02-* = -§-	(8 6-7)

Подставляя Qo ~ 2Л, уравнение (8 6—7) приводим к виду
$* = 2"“*,	(8 6-8)

откуда получаем

Qi 2""1, (?2 - 2Л“2,	, Qn_, - 2 , Qn = 2°, (8 6-9)

т е значения заряда конденсатора в моменты t ~ 0, р, 2р,
Зр, , пр можно выразить как степени 2 Это наводит на мысль,
что данная простая RC цепь может быть использована для декоди
рования

Если на катушку реле последовательно подаются п ненулевых
импульсов кода, то конденсатор С будет заряжаться в моменты
/ = 0, р, 2р Зр, , (п — 1) р и разряжаться через сопротивле-
ние R в течение периодов между импульсами В этом случае в мо-
мент времени t = пр первый импульс кода вызовет накопление
заряда в 2° кулонов на конденсаторе, второй кодовый импульс
вызовет заряд конденсатора в 21 кулонов, третий импульс кода
вызове заряд в 22 кулонов на конденсаторе, и п й кодовый
импульс вызовет заряд в 2Л-1 кулонов Следовательно, значения
зарядов накопленные на конденсаторе к моменту времени t = пр,
в результате последовательного приложения ненулевых импуль
сов кода представляют позиционные значения п разрядной двоич
ной записи Импульсное значение равно позиционному значению,
когда соответствующий импульс кода положителен, импульсное
значение равно нулю, когда соответствующий кодовый импульс
равен нулю

Таким образом, значения зарядов, накопленных конденсатором,
к моменту времени t — пр после последовательного приложения
п кодовых импульсов двоичного числа с наименьшим значащим^
кодовым импульсом в начале кода представляет собой импульсные
значения в каждом положении Если на обмотку реле RC цепи
подается последовательно п импульсов кода двоичного числа, на-
чиная с наименьшего значащего числа импульса кода, то обший
заряд, накопленный на конденсаторе С к моменту времени
t — пр, равен значению, соответствующему данному двоичному
числу Таким образом, RC цепь, изображенная на фиг 8 3—3,
выполняет операцию декодирования
В качестве иллюстрации рассмотрим декодирование двоичного
числа 1100100 с помощью 7?С цепи В этом случае п = 7 Им
пульсы кода двоичного числа последовательно поступают на об
мотку реле, начиная с наименьшего значащего кодового импульса
который для данного числа равен нулю Последовательность
импульсов кода изображена на фиг 8 6—4, откуда видно что
в течение интервала времени 0 < t < 2р на обмотку реле не
поступает напряжение и конденсатор не заряжается. В момент
t = 2р когда на обмотку реле поступает положительный кодовый

Кодовые
импульсы
Цифровое
значение

Позиционное
значение I 1

Фиг. 8 6—4 Иллюстрация декодирования дво
ичного числа 11001000 с помощью цепи изо
Сраженной на фиг 8. 6—3

импульс, реле замыкает верхний контакт и конденсатор мгновенно
заряжается до напряжения 27/С (или 128/С) в В этот момент кон
денсатор имеет заряд 128 колонов В течение интервала времени
2р < t < Ьр на обмотку не поступает напряжение и конденсатор
разряжается через сопротивление 7? в соответствии с уравнением
(8 6—4) до величины 128/8 или 16 кулонов ('фиг 8 6—4)

В момент времени t = 5р другой положительный импульс кода
поступает на обмотку реле, и конденсатор снова мгновенно за
ряжается дополнительно на 128 кулонов Общий заряд накоплен
ный конденсатором к этому моменту, равен 16 + 128 = 144 ку
лона, где 16 кулонов представляют собой остаточный заряд кон
денсатора к моменту второго заряда В течение интервала вре
мени 5р < t < 6р конденсатор разряжается до величины 72 ку
лона В момент времени t = 6р другой положительный кодовый
импульс поступает на обмотку реле и конденсатор снова заря
жается дополнительно на 128 кулонов Общий заряд накопленный
конденсатором к этому моменту времени равен 72 + 128 = 200 ку
лонов В течение интервала времени 6р < t < 7р конденсатор
442
разряжается через сопротивление R, и к моменту времени t =. 1р
____„	„„	200/ — 1ПП -------

заряд, накопленный на конденсаторе, равен

100 кулонов

Следовательно, 100 — величина представленная двоичной за
писью 1100100 Таким образом, RС цепь полностью выполняет
операцию декодирования Необходимо указать что если RC цепь,
изображенная на фиг 8 6—3, используется для декодирования

цифровой информации в двоичном коде

то конденсатор С должен

полностью разряжаться после каждой операции декодирования
(преобразование группы кодированных импульсов к эквивалент-
ному импульсу).

Реальная декодирующая цепь для последовательного двоич

ного кода изображенная на фиг 8 6—5 называется

декодирую

щим устройством Шеннона —Рэка В этом декодирующем устрой
стве применены две последовательно соединенные цепи с разряд
ными конденсаторами В верхней цепи конденсатор С, шунтиро
ванный сопротивлением R разряжается экспонециально В ниж
ней цепи конденсатор Съ который шунтирован индуктивностью Lr
и сопротивлением 7?ь разряжается по экспоненциально за
ТУхающей синусоиде Последовательное подсоединение цепи RLC
с малым затуханием к декодирующей 7?С-цепи обеспечивает ли
нейную форму напряжения на декодирующих конденсаторах при
t = пр, исключая необходимость очень точного хронирования
цепи по отношению к импульсному элементу

Выше был описан метод декодирования двоичных чисел с по
мощью декодирующей RC цепи Этот метод применим только для
щимися сопротивлениями1, которая может выполнять операцию
параллельного декодирования, если значение любого из парал
лельных сопротивлений равно

(8 6—10)

т е параллельные сопротивления двоично взвешены Переклю-
чения этой декодирующей цепи представляют собой двоичные
цифры ak в каждом положении двоичного числа Считая слева,
первый ключ представляет наибольшую значащую цифру ап,
а последний ключ — наименьшую значащую цифру а0

Если ключ открыт, то цифра, которую он представляет, равна
нулю, если же ключ замкнут, то цифра, которую он представляет,
равна единице Эти ключи нормально разомкнуты и управляются
кодовыми импульсами двоичного числа, которое необходимо де
кодировать Положительный импульс кода (цифра 1) замкнет
ключ и подсоединит соответствующее сопротивление к цепи Ну-
левой импульс кода (цифра 0) оставляет ключ открытым, и сопро-
тивление не подсоединяется Если величины параллельных со-
противлений удовлетворяют уравнению (8 6—10), то величины

logy 1953


(8 6-11)

здесь ak есть 0 или 1. в зависимости от того, имеется этот разряд
в числе NB или нет' Так как величина, выраженная двоичным
числом, имеет вид

(8 6-12)

то уравнение (8 6—11) дает

^=4

(8 6—13)

(8 6-14)

(8 6—15)

(8 6-16)

445
Это уравнение можно разложить следующим образом



Это уравнение означает что если а значительно больше N вы
ходное напряжение Va пропорционально величине представлен
ной двоичным числом и следовательно операция декодирования
осуществляется полностью

Из сказанного легко видеть, что точность преобразования этого
декодирующего устройства определяется отношением N'a Для
более высокой точности преобразования требуется, чтобы N было
намного меньше а Когда значение N возрастает линейная за
висимость между Va и N больше не выдерживается и точность пре
образования становится низкой Разрешающая способность дан
ного декодирующего устройства зависит от количества разрядов,
используемых для представления числа Так как параллельные
сопротивления двоично взвешены то значения сопротивления
используемого в декодирующем устройстве данного типа, должны
иметь очень широкий диапазон

Необходимость применения больших номиналов сопротивлений
вызывает существенные затруднения в том случае когда требуется
малая величина времени нарастания выходного сигнала Кроме
того так как величина а должна быть очень большой а сопротивле
ние Rs малым по сравнению с другими сопротивлениями цепи то
полная величина выходного напряжения будет меньше 1 в

Это декодирующее устройство можно улучшить если до
биться того что знаменатель уравнения (8 6—16) станет постоян
ным, в результате чего будет получена линейная декодирующая
цепь Уравнение (8 6—16) можно записать в виде

a/R ’

(8 6—19)
FT FJH

(8 6—20)

Ro Ri Re

(8 6—22)

Подставляя уравнения (8 6—14) и (8 6—20) в (8 6—22),
получим
Это уравнение можно записать в виде

(8 6-24)

^r-v +

(8 6-25)



(8 6—26)

Следовательно, выходное напряжение Va определяется выра-
жением

(8 6—27)
Необходимо декодировать Если к я цифра двоичною чиию
ak = 0 то контакт k го реле будет замкнутым и k е сопротивление
закороченным Если k я цифра ak = 1, то реле срабатывает, раз-
рывая контакт и подключая k е сопротивление в цепь обратной
связи Следовательно, если на данную декодирующую цепь по-

(8 6-28)

(8 6-29)

является величиной, представленной двоичным числом Nt
В данной главе кратко рассмотрены системы счисления, при-
меняемые в цифровом управлении, а также несколько основных
методов кодирования и декодирования и способы их реализации
Основным и наиболее разработанным аналого-цифровым преобра
зователем является кодирующее устройство типа счетчика Цифро-
вой преобразователь преобразует положение вала в цифровой код
Кодирующее устройство на электронно-лучевой трубке имеет наи-
высшую скорость преобразования На практике большинство из
декодирующих цепей для двоичных чисел, заданных в параллель-
ной форме, построено на переключающихся двоично взвешенных
сопротивлениях Кодирующие и декодирующие устройства на
операционных усилителях особенно полезны при моделировании
цифровых систем автоматического управления на аналоговой вы
числительной машине
ГЛАВА 9

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

9	1 ВВЕДЕНИЕ

Предыдущие главы были посвящены изложению основной тео-
рии и принципов анализа импульсных и цифровых систем автома
тического управления Теперь естественно применить эти прин
ципы для проектирования импульсных систем В гл. 4 был рас
смотрен метод анализа импульсных систем основанный на обоб-
щении обычного частотного метода, применяемого для анализа
непрерывных систем Вопросы устойчивости и других динамиче
ских свойств импульсных систем рассматривались с помощью
построения час готных характеристик систем в разомкнутом состоя
нии почти так же. как и при анализе непрерывных систем По-
видимому, обычный частотный метод можно применить также и
для проектирования импульсных систем исходя из определенных
требований к их динамике

В гл 6 и 7 рассмотрены методы анализа с помощью г-преобра-
зования и модифицированного z преобразования Качество импуль-
сной системы автоматического регулирования определяется по-
люсами и нулями передаточной функции в плоскости z Поведение
системы можно также исследовать с помощью годографа z преобра
зования импульсной передаточной функции разомкнутой системы
с помощью корневого годографа в плоскости z или преобразова-
ния выходного сигнала В связи с этим следует указать, что ме
тод z преобразования является мощным средством не только ана-
лиза но и синтеза импульсных систем

Благодаря простоте и легкости перестроения логарифмических
амплитудно фазовых характеристик систем автоматического регу-
лирования в соответствии с предъявляемыми к ним требованиями
этот метод приобрел исключительно большую популярность как
средство анализа и синтеза непрерывных САР Поэтому вполне
естественно попытаться обобщить метод логарифмических ампли-
тудно фазовых характеристик для синтеза импульсных систем
автоматического регулирования. Как указывалось в параграфеб 2,
451
у
обозначают передаточную функцию импульсной системы в разомк-
нутом состоянии Первое выражение является функцией от з (или
более точно от eTs) и иногда называется передаточной функцией
со звездочкой Второе выражение представляет собой функцию
от г и обычно называется импульсной передаточной функцией
С помощью подстановки

А*(з), являющаяся функцией от eTs, легко преобразуется к A0(z)
Передаточная функция Ао(«) представляет собой периодическую
функцию от s с периодом ] a»s, где a»s — частота прерывания
в рад!сек Порядок знаменателя передаточной функции йо(з) по
e~Ts [или импульсной передаточной функции A0(z) по г"1] равен
порядку соответствующей передаточной функции системы в разом-
кнутом состоянии A0(s) без импульсного элемента Если соот
ветствующая передаточная функция А0(з) не содержит полюсов
в начале координат плоскости s, то частотная характеристика
разомкнутой системы Ао(/со) всегда действительна при и = О
и и = na»s/2, где п — целое число Форма годографа г преоб
разования от Ао (г) (полярный график A0(z) при z, движущемся
по единичной окружности против часовой стрелки) обычно зави-
сит от числа полюсов А0(г) при z = 1 (фиг 9 1—2)

На фиг 9 1—2, а изображен полярный график A0(z) при от
сутствии полюсов на единичной окружности (в системе нет интег
рирующего звена) В этом случае импульсная передаточная функ
ция конечна для всех значений z и действительна при г = 1 и
z — —1 Если A0(z) не содержит полюсов на единичной окруж-
ности, за исключением одного полюса при z = 1, полярный гра-
фик стремится к бесконечности при г = 1 и замыкается в беско-
нечности бесконечной полуокружностью в правой половине пло-
скости Ао (фиг 9 1—2, б) Необходимо отметить что годограф
z преобразования A0(z) с одним полюсом при z = — 1 может
пересекать действительную ось плоскости A0(z) более чем в одной
точке (кроме точки, соответствующей z = — 1) Если A0(z) не
содержит полюсов на единичной окружности за исключением двой-
ного полюса при z = 1, полярный график замыкается в бесконеч-
ности двумя полуокружностями бесконечного радиуса в верхней
и нижней половинах плоскости Ао (фиг 9 1—2, в) Полюс при
z — 1 плоскости z отображается в бесконечно удаленную точку
плоскости Ао Если же A0(z) не содержит полюсов на единичной
окружности, за исключением тройного полюса при z = 1, поляр-
ный график замыкается в бесконечности с помощью двух 3/4
окружностей (фиг 9 1—2, г). Из этих почярных графиков видно,
что коррекцию САР с высоким порядком астатизма очень трудно
рсуществить с помощью линейных цепей
Фиг 9 1—2 Различные формы годографов г преобразова
ния Л0(г) а — Л0(г) не имеет полюса при г — 1, б — Л0(г)
Имеет единственный полюс при z = 1, в—Л0(г) имеет двойной
полюс при z~- 1 г—Ло(г) имеет тройной полюс при г — 1
Если из предварительного анализа импульсной САР в его
простейшем виде следует что общая характеристика не удовлетво-
ряет требованиям, то необходимо применить тот или иной метод
коррекции для улучшения свойств системы Коррекция означает
улучшение свойств системы с помощью деформации годографа
ее импульсной передаточной функции в разомкнутом состоянии
Изменение передаточного коэффициента системы является наи-
более простым способом изменения ее свойств. Однако для боль-
шинства импульсных систем технические требования нельзя вы

Корректирующие Регулируемая
цепи	система

Элементы оорстнои с$ял1

Элементы обратной саязи
‘6)

Фиг 9 1—3 Два метода последовательной коррекции
а — коррекция с помощь непрерывных цепей, б — кор
рекция с помощью импульсных цепей

полнить при изменении только передаточного коэффициента Не
обходимо часто вводить в контур управления корректирующие
или компенсирующие устройства Так же как и при проектирова
нии непрерывных систем автоматического регулирования, коррек
цию импульсных САР можно выполнить либо вводя корректирую-
щий элемент последовательно с другими элементами системы, либо
подключая его параллельно одному или нескольким элементам
и образуя таким образом местный контур обратной связи Первый
метод называется методом последовательной коррекции, второй
обычно называют методом параллельной коррекции или коррек
цией с помощью обратной связи Однако наличие прерывания
в импульсной САР затрудняет применение параллельной коррек
ции

В отличие от непрерывных систем последовательную коррек-
цию импульсных САР можно выполнить с помощью двух основных
методов (фиг 9 1—3) Первая схема представляет собой иллюст
рацию первого метода последовательной коррекции последователь
ной коррекции с помощью непрерывных устройств или схем, на
второй схеме поясняется второй метод последовательной коррек-
ции основанный на применении импульсных устройств или им-
гульсных цепей В первой схеме непрерывная корректирующая
цепь соединена последовательно с другими элементами так же,
как при последовательной коррекции непрерывных САР Во вто-
рой схеме непрерывное корректирующее устройство заменено им-
пульсным Импульсная корректирующая цепь — это цепь, вы
ход которой прерывается синхронно со входом с постоянной
частотой Наиболее часто для коррекции импульсных САР исполь-
зуются устройства, служащие для обработки импульсной инфор-
мации В цифровых системах автоматического управления экви-
валентом такого импульсного блока является корректирующая
программа цифровой вычислительной машины Устройство обра-
ботки импульсной информации и эквивалентная цифровая про-
грамма выполняют одинаковые функции

Методы расчета импульсных САР в принципе не сложнее не-
прерывных САР Целью коррекции является обеспечение удо-
влетворительных характеристик реакции системы нечувствитель-
ности выхода к возмущениям и изменениям передаточного коэф-
фициента, а также уменьшение выходных пульсаций. Способ
вычисления составляющих пульсаций на выходе системы изложен
в гл 7 Чувствительность системы к изменению передаточного ко-
эффициента определяется изменением ее характеристик, вызван-
ным непостоянством этого параметра. Обычно можно обеспечить
определенную нечувствительность выхода к возмущениям в уста-
новившемся состоянии с помощью высокого передаточного коэф-
фициента контура или низких коэффициентов ошибок Методы
анализа, рассмотренные в предыдущих главах, позволяют легко
судить о динамических свойствах системы

9 2 СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

В течение многих лет при проектировании непрерывных систем
автоматического регулирования широко применяется метод ча-
стотных характеристик При использовании этого метода иссле-
дуется выход системы, на вход которой подаются синусоидальные
сигналы Вследствие большой эффективности метода частотных
характеристик для проектирования непрерывных САР желательно
применить его для проектирования импульсных и цифровых си-
стем Между частотными методами анализа и синтеза непрерывных
и импульсных систем имеется аналогия На фиг 9 2—1, а изобра-
жена простая импульсная система, на вход которой подается сину-
соидальный сигнал Прерывание синусоидальной функции дает
синусоидальную последовательность (фиг 9 2—1, б) Если сину
социальный входной сигнал системы определяется как

г (/) = a sin (со/ 4- 0),	(9 2—1)

456
то соответствующая синусоидальная последовательность записы-
вается в виде

г (пТ) = a sin (соиТ + 6),

(9 2—2)

где а и 0 — соответственно амплитуда и фаза входного сигнала,
со — его частота в рад/сек\

Т — период прерывания в сек

В отличие от непрерывной функции последовательность (9 2—2)
является периодической лишь в том случае, если отношение ча-
стоты сигнала со к частоте прерывания cos — 2п/Т представляет
собой целое число

r(t)

r*(t)

r*(t) ------

- w/y

Фиг. 9. 2—1 Простая импульсная система, на вход которой
подается синусоидальный сигнал (а); синусоидальная
последовательность (б)

G)

Если весовая последовательность системы w(s) на фиг 9 2—1
равна wn1 то выходная последовательность определяется выра-
жением

с (пТ) = woa sin (conT + $) ~r sin [со (и — 1) Т -г 9] - -

+ w9a sin [со (и — 2) Т + 9] + • + wka sin [со (и — k) Т 9] +

Так как

ОО

... -f_ = а 2 wk sm Iе0 (и — k) Т + 9]
/г=хО

sin [и (п — k) Т + 6] = Im [е' [“ {n~k} г+0]'

выражение (9 2—3) можно записать в виде

!оо

a J wke‘ [“ {n~k} r+S]

= Imlael{anT+i} S

I	k=o	J

где знак Im — мнимая часть Согласно определению,
в параграфе 5 1,

F(s)= J wke~kTs,

(9 2-3)

(9 2—4)

(9 2—5)

изложенному

(9 2—6)
что является преобразованием со звездочкой импульсной пере-
ходной функции системы w (t) ити преобразованием Лапласа
для импульсной функции w*(f) Подставляя / со вместо s в фор-
мулу (9 2—6), получим

ОО

W* (/со) - 2 Vм®
/г—О

(9 2—7)

Используя это соотношение, преобразуем уравнение (9 2—5)
к виду

с (пТ) - Im {ае} ^nT+^W* (/со)}	(9 2—8)

Далее выражение (9 2—8) можно записать в виде

с (пТ) Im{a\ IF* (/со) | е

/ (опТ4-94-а)

где | IF*(/со)
угол IF* (/со)

и а — соответственно амплитуда и фазовый
Следовательно, выходная последовательность си-

стемы определяется уравнением

с (пТ) = | IF* (/со) a sin (соиГ + 6 - а)

(9 2—10)

Это выражение означает что при подаче на вход импульсной
системы (фиг 9, 2—1, а) синусоидального сигнала с частотой со
на выходе получается последовательность импульсов, огибающая
которых также является синусоидой той же частоты, но с ампли
тудой, уменьшенной в | IF*(/co)| раз, и фазовым углом, увеличен
ным на а

Таким образом легко видеть, что в системе с прерыванием
сигнала ошибки (фиг 9 2—2) выходная последовательность при
подаче на вход синусоидального сигнала (9 2—1) определяется

уравнением

с (пТ) ~

I С* (/®) |

a sin (соиГ -г 0 + а),

(9 2—11)

где а — фазовый угол импульсной передаточной функции замкну-
той системы

О* (]ю)

(9 2—12)

Иными словами, а — угол между векторами G*(/co) и
1 4- G*(;со) в плоскости G*(/co) как показано на фиг 9 2—3.
Таким образом в импульсных САР данного типа огибающая вы-
ходной последовательности, имеющей место при синусоидальном
сигнале на входе является также синусоидой частота которой
равна частоте входного сигнала Из фиг 9 2—2 видно, что им
пульсная передаточная функция замкнутой системы равна

41 -	“ ТТ7П7) <9 2'13>

458
Импульсную передаточную функцию можно записать и 6 виде

с* (s) Ст* (с\— С*

7?*(s)	0 W 1+G*(s)

(9 2—14)

Подставляя /и = s, получим

Go (/и) =

1 4" G* (/(0)

(9 2—15)

При изменении г вдоль единичной окружности плоскости г
(т е при изменении частоты от 0 до cos рад/сек) годограф г пре
образования импульсной передаточной функции замкнутой си
стемы G0(z) определяет соотноше
ние между огибающими входной
и выходной синусоидальной после
довательности Годограф z преоб
разования G0(z) часто называется

in

/1

Фиг 9 2—3. Амплитудно-фа
зовая характеристика б*(/со)

Фиг 9 2—2 Импульсная САР основ
ного типа, на вход которой подается
синусоидальный сигнал

частотной характеристикой замкнутой импульсной системы, а вы
ражение (9 2—15) —частотной функцией замкнутой системы
Фиг 9 2—3 и уравнение (9 2—15) показывают что частотную
характеристику замкнутой системы легко получить с помощью
амплитудно фазовой характеристики G*(/co) которая обычно
строится для анализа устойчивости Однако с помощью вводимых
ниже вспомогательных кривых определение частотной характе
ристики замкнутой системы можно упростить

Как показано во многих книгах по линейной теории следящих
систем, отношение амплитуд выхода ко входу в непрерывных САР
характеризует реакцию этой системы Максимальное отношение
амплитуд часто используется как один из параметров, зада
ваемых при проектировании При этом обычно используются
вспомогательные кривые, представляющие собой геометрическое
место точек постоянного отношения амплитуд в плоскости G(/cd)
С помощью кривых постоянного отношения амплитуд легко опре
делить необходимую деформацию амплитудно-фазовой характери
стики для обеспечения требуемых динамических свойств Этот
метод можно применить для импульсных САР используя для них
амплитудно фазовые характеристики Рассмотрим вновь систем},
459
Изображенную на фиг 9 2—2, на вход которой подается сину
соидальный сигнал Пусть амплитуда и фазовый угол отношения
выход — вход соответственно равны 7W и а Тогда

С* (/со) G* (/со)
Я* (/со) ” 1 +0* (/со)

- Ме1а,

(9 2—16)

где М и а — функции частоты синусоидального входа

Следует указать, что в отличие от непрерывных систем при
вычислении отношения амплитуд для импульсных систем необ-
ходимо учитывать только огибающую синусоидальной выходной
последовательности Модсно легко получить уравнения, описываю-
щие линии постоянных значений М и а Годографы постоянного
значения М в комплексной плоскости образуют семейство окруж

ностей с радиусами

М

м2~ 1

(9 2—17)

°	с*

и с центрами, расположенными на действительной оси в точках

(9 2—18)

Годографы постоянных значений а в комплексной плоскости
образуют семейство	окружностей с радиусами

-*-[1-Hctga)2f/2	(9	2-19)

и с центрами расположенными в точках

(-V2, V2ctga)	(9	2-20)

Фактически	эти	окружности точно такие же, как и	линии

постоянных М и а для непрерывных систем Следовательно, кри
терий максимального отношения амплитуд, а также соответствую-
щие правила проектирования для непрерывных систем можно
с успехом применять и для проектирования импульсных САР

9 3 ИЗМЕНЕНИЕ ФОРМЫ ГОДОГРАФА ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

При проектировании систем с помощью частотного метода
коррекция производится так, чтобы изменить соответствующим
образом форму годографа частотной характеристики разомкнутой
системы. В параграфе 6 1 указано, что для импульсной САР с пре
рыванием сигнала ошибки существует импульсная передаточная
функция замкнутой системы, независящая от входного сигнала
Например, импульсная передаточная функция системы, изобра-
женной на фиг 9 1—1, а, имеет вид

460

Go (г)
гДе GP(z) — z преобразование соответствующее передаточной
функции разомкнутой системы G(s)#(s) Выражение (9 3—1)
можно также записать в эквивалентном виде

GS (s) -

С* {$)

(s)

6* (s)

1 -Ь 6/7*7$)

(9 3—2)

Из фиг 9 1—1 б видно что передаточная функция, соответ
ствующая непрерывной САР в замкнутом состоянии равна

Вследствие аналогии выражений (9 3—2) и (9 3—3) больший
ство методов изменения формы частотных характеристик для
коррекции непрерывных САР можно применять и при проекти
ровании импульсных САР по крайней мере, если иметь в виду
поведение системы в дискретные моменты времени

В параграфе 4 1 показано что преобразование Лапласа не
которой функции и ее преобразование со звездочкой связаны
уравнением

ОО

= ф S GH (s +	$ 3~4j

-‘ОО

где Т — период прерывания a cos — частота прерывания

Таким образом амплитудно фазовую характеристику импульс
ной системы можно получить непосредственно из амплитудно-фа
зовой характеристики соответствующей непрерывной системы
Построение было описано в параграфе 4 4 Полярный график
GH*(/cd) отличается от графика GH(j($) прежде всего тем, что
первый является периодическим с периодом cos, а второй непе
риодическим Амплитудно-фазовая характеристика GH*(j со) по
лучается при изменении частоты со в диапазоне от нуля до cos,
в то время как для построения GH(](d) необходимо изменять ча
стоту со от —оо до +со Вследствие периодичности GH*(/co)
можно построить бесконечное число одинаковых амплитудно
фазовых характеристик GH*(/co) в частотном диапазоне
О < со С со Кроме того, амплитудно фазовая характеристика,
соответствующая диапазону частот cos/2 < со <б cos является зер
кальным отображением амплитудно фазовой характеристики
G77*(/cd) для диапазона частот 0<(о<у Следовательно,
только часть амплитудно фазовой характеристики, соответствую
щая частотам от 0 до cos/2, представляет интерес

Выбор передаточного коэффициента При проектировании САР
параметры объекта регулирования являются фиксированными
и в большинстве случаев их нельзя изменять с целью получения
соответствующей характеристики Проблема проектирования САР
461
обычно состоит в выборе необходимого передаточного коэффи-
циента системы и введении соответствующих корректирующих
устройств для удовлетворения всех технических требований
Вообще изменение передаточного коэффициента разомкнутого
контура системы влияет практически на все динамические свой-
ства системы, представляющие интерес при ее проектировании
Увеличение передаточного коэффициента приводит к следующим
последствиям

1)	уменьшению ошибки и запаса устойчивости,

2)	увеличению модуля комплексных полюсов импульсной пере-
даточной функции замкнутой системы; это уменьшает коэффициент
затухания и делает систему более колебательной,

Фиг 9 3—1 Импульсная САР с единичной обратной связью
и прерыванием сигнала ошибки

3)	увеличению аргумента комплексных полюсов импульсной
передаточной функции замкнутой системы; это вызывает повы
шение быстродействия САР,

4)	уменьшению модуля действительных полюсов импульсной
передаточной функции замкнутой системы Это также приводит
к повышению быстродействия В справедливости высказанных
утверждений легко убедиться, построив корневой годограф им
пульсной САР Применение метода корневых годографов для
синтеза импульсных САР рассматривается в параграфе 9 8

Требуемый передаточный коэффициент разомкнутой импульс
ной САР легко определить из амплитудно фазовой характеристики
системы с помощью амплитудной круговой диаграммы, состоящей
из окружностей постоянных /И, так же как и для непрерывных САР
Метод определения передаточного коэффициента непрерывной САР,
удовлетворяющего требуемому значению А4р, может быть при
менен и для импульсных САР Рассмотрим импульсную САР
с единичной обратной связью, изображенную на фиг. 9 3—1
Передаточная функция регулируемой системы равна G(s), а коэф
фициент усиления усилителя равен К Импульсная передаточная
функция разомкнутой системы определяется уравнением

A (z) - KG (z),	(9 3—5)

где G(z) — z преобразование, соответствующее G(s)

В виде преобразования со звездочкой это уравнение прини
мает вид

A* (s) - /(G* (s)	(9 3—6)

462
OD = OP cos Ф = ОС cos2 Ф	(9 3—8)

Так как

5шФ = 11-	(9 3-9)

со5ф=(1--ку/‘,	(9 3-10)
уравнение (9 3—8) преобразуется к виду

или

1 =	- 9

0D	ОС

(9 3 11)

(9 3—12)

что равно передаточному коэффициенту К

Проектирование последовательных корректирующих устройств
рассматривается в следующих параграфах

9 4 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ КОРРЕКЦИЯ С ПОМОЩЬЮ
НЕПРЕРЫВНЫХ ЦЕПЕЙ

Одним из стандартных методов коррекции непрерывных САР
является введение корректирующей цепи последовательно с эле
ментами регулируемой системы Очевидно что данный метод
коррекции можно применить и для импульсных САР. В непре
рывной САР с единичной обратной связью, изображенной на

Фиг. 9 4—1 Последовательная коррекция непре
рывной САР (а); последовательная коррекция
импульсной САР (б).

фиг. 9 4—1 а, введение корректирующей цепи Gc(s) последо-
вательно с другими элементами системы G^s) вызывает изменение
передаточной функции разомкнутого контура Если до введения
корректирующей цепи передаточная функция имела вид

Ad (s) - G, (s),	(9 4-1)

то после ее введения, она принимает вид

Л(з) -G^GJs)	(9 4—2)

Годограф передаточной функции скорректированной системы
в разомкнутом состоянии легко получить из годографа переда-
точной функции нескорректированной системы и годографа пере
даточной функции корректирующей цепи при помощи простого
464
перемножения векторов G3(/cd) и Gc(/co) Влияние корректи-
рующей цепи на форму годографа передаточной функции разомк-
нутой системы при изменении параметров или постоянных вре
мени этой цепи легко проследить и проконтролировать Таким об-
разом определение требуемой корректирующей цепи не представ-
ляет затруднений. Если Gj (s) представлено в виде произведения
простых сомножителей (двухчленов и трехчленов) то метод ло-
гарифмических амплитудно фазовых характеристик еще более
упрощает проектирование корректирующих цепей В случае по-
следовательной коррекции импульсных САР (фиг 9 4—1, б)
в противоположность непрерывным системам годограф импульс-
ной передаточной функции разомкнутой скорректированной си-
стемы нельзя найти непосредственно по годографам импульсной
передаточной функции нескорректированной разомкнутой системы
и импульсной передаточной функции корректирующей "цепи
Действительно, пусть импульсная передаточная функция нескор-
ректированной системы равна

При введении последовательного корректирующего устройства
Gc(s) импульсная передаточная функция разомкнутой системы
принимает вид



но

Поэтому импульсная передаточная функция скорректирован-
ной разомкнутой системы не связана с импульсными передаточ-
ными функциями нескорректированной системы и корректирующей
цепи таким простым соотношением, как для непрерывных систем
Влияние корректирующей цепи Gf(s) на форму годографа им-
пульсной передаточной функции разомкнутой импульсной системы
зависит от параметров регулируемой системы вследствие чего
трудно установить связь между изменением параметров корректи-
рующей цепи и частотным годографом скорректированной системы.
Вследствие наличия процесса прерывания имеет место взаимо-
связь между регулируемой системой и корректирующей цепью,

30 Юлиус Т Ту	465
влияющая на изменение формы годографа импульсной переда
точной функции разомкнутой системы что затрудняет применение
обычного метода к анализу годографов импульсных передаточных
функций разомкнутых систем Тем не менее эту трудность можно
преодолеть, если использовать некоторые приближенные соот
ношения

а) Аппроксимация конечной суммой Используя результаты
параграфа 4 1 можно написать

со

* 1

GcGi(s) = -y- GcGi(s + ]n®s) =*	(9 4—9)

[GCGX (s) + GlG1 (s —	+ GcG1 (s ф jcos) +

+ GcG1 (s — /2(os) 4~

(9 4—10)

Так как в большинстве САР регулируемая система является
низкочастотным фильтром и функция (/ю) затухает быстро
на высоких частотах то члены соответствующие высшим часто
там, имеют второстепенное значение Кроме того запоминающее
звено, часто используемое в системе в качестве сглаживающего
устройства также является низкочастотным фильтром с поло
сой пропускания равной частоте прерывания, как указывалось
в параграфе 4 6 Спедовательно в качестве первого приближе
ния в правой части уравнения (9 4—10) можно ограничиться
двумя первыми членами

*	1

G'G^s)^— [Gc(s)G1(s) +Gf(s-/(0s)G1(s-/(0s)]	(9 4-11)

Эта аппроксимация справедлива, если s = у со и частота ю
находится в пределах 0 < (о < cos/2 модель передаточной функ
ции G^Cj^со) быстро убывает на частотах, больших половины
частоты прерывания Все остальные члены выражения Gc(s)G7(s)
зависят от частот больших, чем частота прерывания, и поэтому
ими можно пренебречь Дополнительные члены необходимо вво
дить в рассмотрение только в тех случаях, когда частота среза
превышает частоту прерывания

На основании аппроксимации уравнения (9 4—11) можно
применить обычный метод коррекции формы годографа для опре
деления Gc (s) требуемой корректирующей цепи Однако наличие
второго члена в правой части урив-нения (9 4—11) слегка услож
няет анализ влияния коррекции, так как требуется определить
сумму произведений передаточных функций а не просто произ
ведение передаточных функций Первый член является домини
рующим и определяет основную область, в которой может распо-
лагаться годограф передаточной функции скорректированной
466
системы. Второй член можно рассматривать как поправочный,
дающий после векторного сложения с годографом

($)(?!($),	(9 4-12)

приближенный вид годографа GcG*(s)

Следовательно коррекция формы годографа Gi (/со) сводится
к коррекции формы годографа Т 1G1 (/ы) с учетом некоторого
коэффициента запаса компенсирующего влияние поправочного
члена в уравнении (9.4—11). Эта поправка обычно стремится
сдвинуть годограф скорректированной системы влево как указы
валссь в параграфе 4 4 Таким образом для определения требуе
мой передаточной функции GJs) из полярного графика (/ю)
необходимо задаваться величиной отношения амплитуд вход-
выход Мру меньшей чем требуемая величина Мр для того чтобы
годограф GcGi(/co) скорректированной системы удовлетворял
требуемой величине МГ) Выбор Мр делается на основе оценки
геометрической связи между годографами Т 1GcC1{j ю) и
GcGi(/(o) Эта оценка может быть произведена на основании
рассмотрения геометрической связи между полярными графи
ками Т	и Gi(/со) причем последние можно получить из

z преобразования Gx(z) при однократндм изменении z вдоль еди
ничной окружности Таким образом, проектирование последо
вательного корректирующего устройства является процессом по
следовательных проб и зависит от опытности проектировщика
Графическое определение частотного годографа требуемого кор
ректирующего устройства показано на фиг 9 4—2

Таким образом, для получения передаточной функции Gc(s)
корректирующей цепи в соответствии с требуемым значением Л1
необходимо выполнить следующие операции

1 Построить амплитудно фазовые характеристики Т 1С1(/(о)
и Gj(/co) для нескорректированной системы исходя из переда
точных функций или из экспериментальных данных

2 Построить А4 окружности для А4 = Мр и А4 = Л4Р соответ
ственно, где Л4Р меньше, чем требуемое значение А4р, и может
быть определено из графиков Т 1G1(ja)) и Gi(/co)

3	Применяя обычный порядок действий проектирований кор
ректирующих цепей для непрерывных систем, определить пере
даточную функцию требуемого непрерывного корректирующего
устройства Gc(s) так, чтобы годограф T^1GcG1(j(о) касался окруж
ности Мр при требуемой частоте. Это можно сделать непосред
ственно с помощью амплитудно-фазовых характеристик как по
казано на фиг 9 4—2, или с помощью метода логарифмически
амплитудно фазовых характеристик, как кратко показано в гл 2

30*	467
4	Используя метод рассмотренный в параграфе 4 4 построить
по Годографу Т 1GcG1(jhy) приближенный годограф GcG\(j^

5	Если приближенный годограф близок к окружности Мр
то полученная при этом передаточная функция Gf(s) будет*удов
летворять поставленным условиям Чтобы убедиться в этом,
производится окончательная проверка этой аппроксимации с по
мощью построения точной амплитудно фазовой частотной харак
теристики разомкнутой корректируемой системы Так как пере

Im	Ап

Фиг 9. 4—2 Соотношение между годографом
и годографом Cq(/ю) (а)} графическое
определение коррекции (6)

даточная функпия Gc(s) известна, то z-преобразование GfGx(z),
соответствующее Gc(s)G1(s), можно легко получить с помощью
методов, рассмотренных в параграфе 5 2 Затем следует построить
годограф z преобразования GcGx(z), дающий точную амплитудно
фазовую частотную характеристику скорректированной разомкну
той системы

6	Если годограф z преобразования G^G^z) касается (или
достаточно близок) к требуемой окружности при необходи
мой частоте то передаточная функция Gf(s), определенная в
в пункте 3, считается удовлетворительной. Затем для вычисления
временных характеристик системы применяется z преобразова
ние GfGi(z) Если же годограф z преобразования GcGi(z), по
лученный выше, недостаточно близок к требуемому и временная
характеристика неудовлетворительна, необходимо повторить про
ектирование корректирующей цепи Обычно несколько проб
приводят к удовлетворительному результату Отметим, что
468
p-критерий является приемлемым критерием проектирований
только при отсутствии скрытых пульсаций на выходе системы

Пример 9 4—1 Рассмотрим систему с единичной обратной
связью и прерыванием сигнала ошибки (фиг 9 4—3), в которой

Фиг 9 4—3 Структурная схема системы для примера 9 4—1

используется запоминающее звено нулевого порядка в качестве
сглаживающего устройства Регулируемая системы (или объект)

имеет передаточную функцию

Gs (s)	5(1 +0 5s)

Период прерывания равен 1 сек
Спроектируем непрерывное кор-
ректирующее устройство так,
чтобы резонансный пик системы
был равен 1,35 на частоте при
мерно 2,5 рад/сек

В соответствии с фиг 9 4—3
передаточная функция элементов
прямой цепи нескорректированной
системы имеет вид

(S) = Gh (s) Gs (s) =

1 2(1 — e~rs)
s2 (1 +0 5s)

(9 4—14)

На фиг 9 4—4 построены
амплитудно фазовая характерис
тика 71"1G1 (/со) (кривая а) и при
ближенная характеристика Gi(j со)
(кривая б) в соответствии с поряд
ком действий, изложенным в па

W0 250° 260° 270*

120° 110° 100* 90*

Фиг. 9 4—4. Амплитудно-фазовая
характеристика для примера 9. 4—1

раграфе 4 4 Как видно из этих кривых, нескорректированная
система имеет большой резонансный пик Вид кривой 71-1G1(/co)

затем изменяется с помощью последовательного корректирующего
устройства, передаточная функция которого равна

(9 4—15)

Gc (s) -

с v 7	1 + s/15
Характеристика T“1G1(/co) сдвигается так, что она (кривая в)
почти касается окружности Мр =1,1 В соответствии с обычным
порядком проектирования корректирующих цепей непрерывных
САР определяются параметры корректирующего устройства
Gc(s) Исходя из вида кривых 71"1G1Gc(/co) строится приближен
ная амплитудно фазовая характеристика GjG^/co) (кривая г)
Из фиг 9 4—4 видно, что приближенная амплитудно фазовая
характеристика скорректированной системы не пересекает тре-
буемую окружность Л4, но близка к ней Таким образом, переда-
точная функция Gc определяемая уравнением (9 4—15), может
считаться удовлетворительной Это подтверждается тем, что годо
граф z-преобразования G1Gc(z) касается окружности Мр == 1,35
при требуемой частоте (кривая д)

б) Аппроксимация с двумя частотами прерывания Из преды
дущего видно, что проектирование непрерывной корректирую
щей цепи для импульсной САР сильно упрощается, если переда
точная функция со звездочкой заменяется соответствующим при-
ближенным выражением В предыдущих параграфах приближен
ное выражение для GcGj(s) было получено из выражения (9. 4—9)
в виде суммы нескольких членов Эта аппроксимация не вызывает
возражения при условии, если функция G^G^s) быстро зату
хает на частотах, больших половины частоты прерывания Другое
удобное выражение для передаточной функции со звездочкой,
позволяющее упростить проектирование корректирующих цепей
импульсных САР, может быть получено на основании фундамен
тальной теоремы прерывания, данной в параграфе 3 5 Точность
аппроксимации рассматривается в следующих параграфах

В параграфе 3 5 было показано, что сигнал /(/) с полосой
частот соо = 2nfQ рад/сек можно воспроизвести по его импульс
ным значениям, если частота их следования равна удвоенному
значению наивысшей частоты fQ Сигнал Д/) и его дискретные
значения f(kTn) связаны уравнением (3 5—15), которое при
ведено ниже

со

но - 2 f т
k=z — оо

sin ю0 (t — kTn)

o0(Z — kFn) ’

(9 4—16)

здесь Tn = л/соо —
Полагая

период прерывания

«МО

Sin

(9 4—17)

уравнение (9 4

16) можно записать в виде

со

И0 = 2 ws(t-kTn)f(kTn)
k tcs----- QO

(9 4—18)

470
Выражение (9 4—18) устанавливает взаимосвязь между не-
прерывным выходом и импульсным входом цепи, причем импульс
ная переходная функция или весовая функция cos(Z) определяется
уравнением (9 4—17) Так как импульсный вход f(kTn) совпа
дает с дискретными значениями непрерывного выхода /(/), то из

Фиг 9 4—5 Импульсное представление непрерывной функции

выражения (9 4—18) следует, что сигнал f (/) можно воспроиз-
вести, если он прерывается с постоянной частотой

Л-=2/о = -^	(9 4-19)

и затем подается на вход цепи с импульсной переходной функцией
cos(Z) Этот процесс показан на фиг 9 4—5, где период прерыва

1

А

6)

Фиг 9 4—6 Функция (sin (оо/)/(оо/ и ее преобразование
Фурье.

ния импульсного элемента равен причем Д/) является как
входом, так и выходом системы Можно показать, что преобразо-
вание Фурье от cos(/) имеет вид

IFS (/со)

/со0 для — соо < со < соо

О для со — соо со > соо

(9 4—20)

На фиг 9 4—6 изображены функции cos(Z) и cos(/co)

Данная цепь имеет постоянное усиление для частот, меньших
<оо, и не пропускает частоты, превышающие соо

Из сказанного можно сделать вывод что цепь, изображенную
на фиг 9 4—5, можно включать в САР, не вызывая искажений,
если частота прерывания вспомогательного импульсного элемента
Sa равна удвоенной наивысшей частоте сигнала в точке включе
ния цепи Таким образом, импульсная система, изображенная
на фиг 9 4—7, может быть представлена в виде структурной
схемы на фиг 9 4—8, где элементы с передаточными функциями
Gc(s) и G&(s) переставлены местами и между ними введен эле-
мент, изображенный на фиг 9 4—5

Другими словами, импульсная САР с одной частотой преры-
вания преобразуется в эквивалентную импульсную систему
с двумя частотами прерывания На фиг 9 4—7 через G^s),
Gc(s) и Gs(s) обозначены передаточные функции запоминающего

Фиг 9 4—7 Импульсная САР с последовательной коррек-
цией

звена корректирующей цепи, которую необходимо спроектировать,
и регулируемой системы. Для простоты предположим, что Тп
и период прерывания Т основного импульсного элемента s системы
связаны уравнением

где п — положительное целое число Если наивысшая частота
сигнала в точке включения вспомогательного импульсного эле-
мента равна

coo = -4-ncos,	(9 4—22)

то допустимое максимальное значение периода прерывания этого
импульсного элемента определяется уравнением (9 4—21)

Из характеристики запоминающего элемента, изображенной
на фиг 4 6—6, видно, что составляющие действующего сигнала
с частотами, большими частоты прерывания cos, сильно ослаб-
ляются, вследствие чего ими, не вводя сколько нибудь значитель-
ной погрешности, можно пренебречь Поэтому полоса частот
сигнала в точке включения импульсной цепи с большей частотой
прерывания может ^приближенно считаться равной частоте пре
472
рывания cos При этом предположении частота соо, Входящая в вы
ражение (9 4—17), определяется соотношением

ffio = cos=^.	(9 4—23

Подставляя выражение (9 4—23) в (9 4—19), получим период
прерывания вспомогательного импульсного элемента

Таким образом, вспомогательный импульсный элемент Sa
должен работать с частотой, превышающей, по крайней мере,

Фиг 9 4—9 Аппроксимация системы на фиг 9 4—7 с помощью
введения двойного прерывания

в 2 раза частоту основного импульсного элемента s импульсной
САР Следовательно, импульсную САР, изображенную на
фиг 9 4—7, можно представить в виде импульсной системы
с двумя частотами прерывания (фиг 9 4—9) Частота прерывания
вспомогательного импульсного элемента Sa равна удвоенной ча-
стоте основного импульсного элемента S Справедливость этой
аппроксимации зависит от характеристики G1(/co) низкочастот
ной части системы Эта аппроксимация остается справедливой
даже при отсутствии запоминающего элемента, когда регулируе
мая система Gs(/co) не пропускает частоты, лежащие выше ча
стоты прерывания основного импульсного элемента

Ниже показано, что, используя данную аппроксимацию
с двумя частотами прерывания, можно получить выражение

GrG* (s)

г (s - Ж) (?; (е'/2	)

(9 4—25а)

или эквивалентное выражение

GiGc (?)

Gc(s — Ias)G1(—z2), (9 4—256)

здесь г| — z и G*(e1/2rs) и G^z^) относятся к периоду прерывания
Т/2 В результате данной аппроксимации функция Gc(s) стано-
вится независимой от GjG*(s) и влияние последовательного кор-
ректирующего устройства Gc(s) на форму годографа импульсной
473
передаточной функций разомкнутой системы почти не зависит
от параметров регулируемой системы Это облегчает осуществле-
ние требуемой настройки параметров корректирующего устрой-
ства

Из структурной схемы эквивалентной импульсной системы
с двумя частотами прерывания (фиг 9 4—9) видно, что действую-
щий сигнал ошибки определяется выражением

E(S) = £(s) — C(s)	(9 4—26)

При переходе к z преобразованиям уравнение (9 4—26) при-
нимает вид

Е (г) - R (?) — С (?)	(9 4-27)

Из фиг 9 4—9 можно также найти

Ег (s) — £* (s) Gr (s)	(9 4—28)

Если обозначить z2 преобразования, соответствующие E^fs)
и GJs) соответственно через Ei(z2) и G^z?), то

Е1(г2)-Е( )б1(г2),	(9 4-29)

где по определению
z = eTs	(9 4—30)

и
z2~ers/2t	(9 4—31)

здесь z преобразование функции соответствует периоду преры-
вания Т сек, z2 преобразование является z преобразованием,
соответствующим периоду прерывания 772 сек, z и z2 связаны
уравнением

z = z2,	(9 4—32)

a z2 преобразование выхода системы можно записать в виде

С (?2) — Еу (?2) WSGC (z2)

(9 4-33)

Исключая Ех(?2) и Е(?2) из уравнений (9 4—27), (9 4—29)
и (9 4—33), получим

С (?2) == [7? (?) - С (г)] G, (?2) IFSGC (г2)	(9 4-34)

Преобразуя уравнение (9 4—34), найдем

С (г2) + G1 (z2) WSGC (z2) C (z) = G1 (z2) Ws Gc (?2) R (z) (9 4—35)

Таким образом, z2 преобразование С(?2) определяется выра
жением

474
которое можно разложить в ряд

С(г2) = с(0)+С(4-)2Г’+с(Г)



+ с (2Т)	?2~k +	(9 4-37)

Подставляя —z2 вместо z2, уравнение (9 4—37) можно при-
вести к виду

С (- z2) = с (0) - с (4) -г с (Т)	-

-с(^)^+с(2Т)^+ . +(-1)^(^)^+... (9 4-38)
Из уравнений (9 4—32) и (9 4—39) получаем

С (z2) + С (-z2) = 2 [с (0) + с (Т)	+

+ c(2T)z2-4+ - + c(kT)42k+ ]	(9 4-39)

Подстановка выражения (9 4—32) в (9 4—39) дает

С (z2) + С (—г2) = 2 [с (0) + с (Т) г'1 + с (2Т) z 2 +

+	+ с (kT) z-* +	1 = 2 Дс (kT) г-*	(9 4-40)

Таким образом, из уравнения (9 4—40) и определения
z-преобразования следует

С (z2) + С (- г2) = 2С (z)	(9 4-41)

С (~г2) + Gx (—z2) WSG„ (~z2) C (z) =

= Gx (- z2) WSGC (- z2) R (z)	(9 4-42)

Следует отметить, что так как z = z2, то функции C(z) и
R(z) остаются после этой подстановки без изменения Легко ви-
деть, что C(z2) и С(—г2) можно исключить из уравнений (9 4—
35) и (9 4—42). если их cvmmv заменить с помощью выражения
(9 4—41) В результате получим

[2 + Gx (z2) WSGC (z2) + G± (- z2) x WSGC (- z2)] C (z) =

- IGX (z^ x Gc (z?) + G* (-%) WsGe (- z^] R (z) (9 4-43)

475
Таким образом, z-преобразования выхода и входа первона-
чальной системы, представленной в виде системы с двумя часто-
тами прерывания, связаны выражением

С(г) =

Но z-преобразования входа и выхода первоначальной системы
с последовательным корректирующим устройством Gc(s)
(фиг 9 4—7) связаны друг с другом соотношением

где GiG/z) — z-преобразование, соответствующее G1(s)Gc(s),
и Gj(s) == Ga(s)Gs(s). Выражение (9 4—44) дает приближенное
z-преобразование выхода, в то время как выражение (9 4—45)
является точным.

Сравнивая выражение (9 4—44) с (9 4—45), получим

+ G± (- z2) WSGC (-z2)]	(9 4-46)

Выражение (9 4—46) дает приемлемую аппроксимацию
z-преобразования, соответствующего G1(s)Gc(s) системы на
фиг 9 4—7 При вычислении z преобразований эта аппрокси-
мация нарушает простую связь между передаточной функцией
корректирующего устройства Gc, которую необходимо определить,
и известной передаточной функцией G± регулируемой системы
и запоминающего звена Это усложняет проектирование непре-
рывных корректирующих цепей для импульсных систем Однако
полученная приближенная формула позволяет получить годо-
граф z преобразования импульсной передаточной функции скор-
ректированной системы непосредственно из годографов z преоб-
разования импульсной передаточной функции нескорректирован-
ной системы и корректирующего устройства Очевидно эта при-
ближенная формула упрощает проектирование требуемого кор-
ректирующего устройства Формула (9 4—46) может быть при-
ведена к еще более простому виду

Используя определение z-преобразования и правило суммиро-
вания Пуассона, получим равенство

^sGc(z2) |z

У Ws (s 4- j2£cos) x

X Gf (s + /2fews)
или в развернутой форме

4-[^s(s) Gc(s) -r^s (s-

- j2cos) Gc (s - j2cos) + Ws (s + y2cos) Gc (s +

Wfic (- 2г) \z,=eTsl2 =	2 (S - j“s +

+ /2ftcos) Ge (s — jcos — y2£cos)
или в развернутой форме

X (s — jcos) + №s (s -4- JCOS) Gc (s + jcos) +

+ UZS (S - ;3cos) Gc (s - j3cos) 4- Ws (s +

+ /3cos) Gc (s 4- j3cos) +	+ 1FS (s + J^cos) x

X G( (s + ]k<s>s) + • ]	(9 4—56)

47?
Учитывая выражение (9 4—49), находим, что в диапазоне
частот 0 < со < cos/2

1-Х- для k = — 1

(9 4-57)

О для k + — 1

X Gc(s -J<os)

(9 4-59)

В результате данной аппроксимации мы получаем связь между
выражением GjG (?) [или GjG^s)] и функцией Gc(s) в явной
форме, в результате чего проектирование требуемого последо
вательного корректирующего устройства упрощается Первый
член правой части уравнения (9 4—59) является преобладающим
членом который определяет приблизительную форму годографа
z преобразования G1Gc(z), второй член обеспечивает необходи
мую поправку

Особый случай Если частота прерывания со, более чем
в 2 раза превышает ширину полосы для GjQ'co) в точке включения
вспомогательной цепи как показано на фиг 9 4—8, то состав
ляющие сигнала, частоты которых превышают половину частоты
прерывания являются несущественными Можно предположить,
что наивысшая частота соо составляющих сигнала которую еще
нужно учитывать, равна половине частоты прерывания, т е

(9 4-61)
Сравнийая уравнения (9 4—62) и (9 4—45), находим что если
уравнение (9 4—60) справедливо, то можно получить приближен-
ное выражение

Далее по определению

Учитывая, что

(9 4-64)

(9 4-65)

Ws (s + jk^) \s=ie> = 0

Следовательно, в пределах диапазона частот

выражение (9 4—64) принимает вид

(9 4—68)

и уравнение (9 4—63) упрощается

Таким образом если пользоваться приближенным уравнением
(9 4—69) то функция Gc (s) выделяется из выражения GjG^z)
в явной форме в результате чего проектирование требуемой кор-
ректирующей цепи сильно упрощается

В итоге приведенные выше рассуждения приводят к следую-
щим заключениям

1	Если наивысшая частота составляющих выходного сигнала
G^s), существенно отличающихся от нуля, равна (или меньше)
половине частоты прерывания основного импульсного элемента,
то частота прерывания вспомогательного импульсного элемента
равна частоте прерывания основного и для диапазона частот
0 <	< cos/2 функция G1G,(z) аппроксимируется следующим

образом

2	Если наивысшая частота составляющих выходного сигнала
Gx (s) существенно отличающихся от нуля равна (или несколько
меньше) частоте прерывания основного импульсного элемента,
то частота прерывания вспомогательного импульсного элемента
должна быть, по крайней мере, вдвое больше основной частоты
прерывания и для диапазона частот 0 < со < cos/2 функция
GiG^z) может быть приближенно представлена в виде

3	Если наивысшая частота составляющих выходного сигнала
Gi(s) которые еще нужно учитывать равна ncos/2 то частота
прерывания вспомогательного импульсного элемента должна быть
по крайней мере, в п раз больше частоты прерывания основного
импульсного элемента, как это показано на фиг 9 4—8

9 5 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ КОРРЕКЦИЯ
С ПОМОЩЬЮ ИМПУЛЬСНЫХ ЦЕПЕЙ

В предыдущем параграфе рассматривалась коррекция импульс
ных САР с помощью непрерывных цепей Несмотря на то, что та-
кая коррекция является удобным и экономичным способом улуч-
шения характеристик импульсных САР, непосредственное опреде
ление передаточной функции требуемого корректирующего
устройства довольно сложно Для упрощения проектирования
вводятся приближенные методы, позволяющие применять обыч-
ные способы изменения формы годографов и таким образом упро-
щающие проектирование систем Но, как отмечалось в параграфе
9 1, коррекция импульсных САР может также осуществляться
с помощью импульсных цепей Если для коррекции системы ис-
пользуются импульсные цепи или устройства, то для определения
импульсной передаточной функции корректирующего устройства
по известному годографу z преобразования разомкнутой нескор-
ректированной системы можно применять обычный метод измене
ния формы годографа так же как и для непрерывных систем

Из структурной схемы импульсной САР, изображенной на
фиг 9 5—1, видно, что при включении импульсной корректирующей

последовательно с другими элементами

цепи Z)(z)

Gi(s) системы первоначальная импульсная передаточная функ-
ция разомкнутой системы

изменяется и принимает вид

где через A0(z) и Ac(z) обозначены импульсные передаточные
функции нескорректированной и скорректированной систем
в разомкнутом состоянии, a G,(z) является z преобразованием,
соответствующим G^s)
цесс последовательных проб Проблемы коррекции импульсных
и непрерывных САР совершенно аналогичны При проектировании
импульсной САР методом изменения формы годографа с помощью
импульсной корректирующей цепи проектировщик" имеет почти
такую же свободу выбора реализуемой импульсной передаточной
функции требуемого корректирующего устройства £)(?), как и
при проектировании непрерывной САР с помощью того же ме-
тода

Простота и легкость определения необходимой импульсной
корректирующей цепи в некоторых случаях заставляет предпо
честь данный метод коррекции методу коррекции с помощью не-
прерывных цепей Определение передаточной функции импульс-
ной корректирующей цепи можно осуществлять с помощью ампли-
тудно-фазовых характеристик или синтеза посредством анализа
распределения нулей и полюсов Однако метод логарифмических
амплитудно фазовых характеристик нуждается в некоторых из-
менениях Прежде чем перейти к определению импульсных кор-
ректирующих цепей, желательно кратко остановиться на условиях
реализуемости и устойчивости импульсных цепей Для того

31 Юлиус Т Ту	481
чтобы правильно спроектировать импульсную корректирующую
цепь, необходимо иметь, по крайней мере, поверхностное знаком-
ство с некоторыми основными характеристиками передаточных
функций наиболее часто встречающихся импульсных цепей

Импульсной цепью или устройством называется система, вы-
ход которой прерывается синхронно со входом с постоянной
частотой. Вход и выход линейной импульсной цепи в дискретные
моменты связаны передаточной функцией от e~Ts или от z-1, кото-
рая часто называется импульсной передаточной функцией На

фиг 9 5—2 изображена структурная схема импульсной цепи,
передаточная функция которой определяется выражением

D* = £111121 = £11 /о 5_з\



Имея в виду что z преобразования £((z) и £0(z) являются
рациональными функциями от z, D(z) можно представить в виде

отношения двух полиномов от z 1 Таким образом,
содержит равное количество нулей и полюсов, то

если D(z)

а если D(z) содержит m нулей и n полюсов, то

где т + г = п

Уравнение (9 о—5а) приводится к (9 5—56),
для О < k < г

когда ak О

Импульсная цепь считается физически реализуемой, если вы
ходной сигнал цепи не завист от будущей информации обходном
получим

(&о +	(9 5-6)

Определяя обратное z-преобразование для уравнения (9 5—6)
получим разностное уравнение

boe*o (t) + S И - kT)

^ake* (t-kT)

(9 5-7)

Следовательно выходной сигнал импульсной цепи определяется

выражением

(9 5-8)

Уравнение (9 5—8) означает, что если

(9 5-9)

(t — Т) +Дм; V —kT) =	~ kT>>’ (9 5"'10)

откуда

аое* (0 + S ake* (/ - kT) -
Уравнение (9 5—11) означает, что выходной сигнал е*(/ — Т)
зависит не только от настоящей информации о входном сигнале
и прошлой информации о входном и выходном сигналах, но также
и от будущей информации о входном сигнале аое* (/), которая к мо-
менту вычисления выходного сигнала, к сожалению, неизвестна
Поэтому функция е*(/—Т) в выражении (9 5—11) может быть
определена и, следовательно, соответствующая импульсная цепь
нереализуема

Необходимым и достаточным условием физической реализуе-
мости импульсной передаточной функции (9. 5—5) является не-
равенство нулю коэффициента Ьа Импульсная передаточная
функция £>(?) может быть представлена как отношение двух
полиномов от г В этом случае условие реализуемости состоит
в следующем Импульсная передаточная функция £>(?) физиче-
ски реализуема, если D(z) содержит нулей не больше, чем полю
сов В общем же случае, т е при любом виде D(z), условие физи
ческой реализуемости импульсной передаточной функции можно
сформулировать следующим образом разложение в ряд Лорана
функции D(z) относительно начала координат не должно содер-
жать положите гьных степеней z

Устойчивость импульсной цепи можно исследовать в области
s или z При исследовании в области s об устойчивости системы
судят по отсутствию полюсов D*(s) в правой половине плоскости
s и на мнимой оси, за исключением одного полюса в начале коор
динат, как было указано в параграфе 6 2. Графически это можно
установить по полярному графику £>*(/&)) [или по годографу
z-преобразования £>(?)]. Условие устойчивости требует, чтобы
амплитудно-фазовая характеристика £)*(/<») не охватывала на-
чала координат Кроме того, расстояние амплитудно-фазовой
характеристики от начала координат является мерой запаса устой-
чивости В плоскости z для устойчивости системы требуется чтобы
полюсы D(z) не находились на единичной окружности или вне
ее Расположение этих полюсов можно определить с помощью
критерия Шур Кона, изложенного в параграфе 6 2 Импульсная
система устойчива, если полюсы 7?(z) лежат внутри единичной
окружности, за исключением одного полюса при z = 1 Радиаль
ные расстояния от полюсов до единичной окружности определяют
запас устойчивости Нули D(z) могут располагаться вне единич-
ного круга, но это обычно приводит к нежелательным результа-

Устойчивость импульсной цепи можно также исследовать в об-
ласти времени В качестве примера рассмотрим импульсную цепь
с передаточной функцией
которая имеет полюс в &j/&0 В результате перемножения и обрат
ного преобразования получим

(9 5-13)

Находим почленно обратное преобразование

(9 5-14)
уравнения
(9. 5—20) или (9 5—21) удовлетворяется, импульсная цепь счи-
тается устойчивой

Основной вопрос проектирования импульсной САР заклю
чается в выборе надлежащей импульсной корректирующей цепи
jD(z), обеспечивающей удовлетворительные характеристики си
стемы На фиг 9 15—3 изображен годограф z-преобразования
Gi(z) импульсной САР с единичной обратной связью и прерыва
нием сигнала ошибки (фиг 9 5—1, а) Предположим, что все
полюсы G,(z) лежат внутри единичной окружности плоскости z,

Из

за исключением одного простого полюса при

фиг 9 5—-3 видно, что система неустойчива, так как амплитудно
фазовая характеристика охватывает критическую точку (—14/0)
Для обеспечения устойчивости необходимо годограф z преобразо
вания деформировать так, чтобы он не охватывал критическую
точку Для обеспечения этого необходимо применить цепь, даю
щую опережение по фазе Измененный годограф показан на

фиг 9
486

Кривая а относится к нескорректированной си
D{z) =

(9 5-22)

где T — период прерывания системы

Следует указать, что удобно в качестве параметра при пострре
нии годографа z преобразования рассматривать не частоту со,
а угол 0, нанося его различные значения на график Из
фиг 9 5—4 видно, что если при частоте соа или угле 0а = соаТ
импульсная цепь Z)(z) имеет фазовый сдвиг Фа, больший, чем
угол ф вектора Оа, и усиление^ меньше 1, то годограф z преоб
разования скорректированной системы не будет охватывать кри
тическую точку и система будет устойчивой Запас устойчивости
можно увеличить с увеличением фазового угла Фа при задан
ном угле положения 0а Величина Фа непосредственно связана
с расположениями нуля и полюса р! и увеличивается с увели
чением расстояния между ними Таким образом, если найти из
годографа г-преобразования нескорректированной системы ф, о)а и
требуемый угол Фа, то величины и р! можно легко определить

Процесс деформации годографа в импульсных САР не более
сложен, чем в непрерывных В обоих случаях имеет место выбор
необходимого корректирующего устройства с помощью процесса
проб Коррекцию импульсных САР можно еще более упростить,
если использовать тесную связь между усилением и фазой
импульсной цепи и расположением ее нулей и полюсов Переда
точная функция корректирующей импульсной цепи обычно имеет
несколько нулей и полюсов внутри единичной окружности пло
скости Z Наличие комплексных полюсов в импульсной цепи
является импульсной передаточной функцией элементарной им-
пульсной цепи Расположение нулей и полюсов выражения

Р Единичная Элементарная импульсная цепь
^<^мружность с нулем в левой и полюсом в пра
вон половине единичного круга
обеспечивает опережение по фазе
в частотном диапазоне 0 < со <
< cos/2 С другой стороны, эле
ментарная цепь с нулем в левой
и полюсом в правой половине еди
ничного круга дает отставание по
фазе в диапазоне частот 0 < со <
< со,/2. Вообще, элементарная им-
пульсная цепь, имеющая нуль и
полюс, дает опережение по фазе,
если полюс лежит слева от нуля,

D (z) = D, (z) D2 (z),	(9 5-26)

D1 (2) =	= 1 — ctiZ-1	(9 5-27)
Из фиг 9 5—7 видно, что отношения амплитуд (или усиле
ние Z?i(z) и D2(z), соответствующие этой частоте, равны

Раг
РО

(9 5-30)
Итак, усиление £>(z) на этой частоте определяется формулой

Следовательно, после того как определены усиление и фа-

можно легко вычислить усиление
и фазовый угол D(z) Вследствие

граммы соотношений между
и их нулями и полюсами

между усилением и фазой Z)j(z)
и нулем сц можно установить гео
метрически. Таким же образом
можно найти соотношение между
усилением и (Ьазой Z>2(z) и полю
сом Pi Определение требуемой
импульсной корректирующей це
пи Z)(z) упрощается при исполь
зовании уравнений (9 5—29) и
(9. 5—32), если имеются номо
фазой и усилением D^z) и Z)9(z)

Эти номограммы изображены на

фиг 9 5—8 и 9 5—9 Фазовая номограмма показывает зависи
I

S
число пробных вычислений при проектировании корректирующих
цепей можно свести до минимума

Из фиг 9

видно, что нули в правой половине единич

ной окружности приводят к опережению по фазе, а нули в левой
половине приводят к отставанию по фазе Полюсы дают обратный

результат Кроме того, в диапазоне частот О

ws/4 поло

жительные нули могут дать большое опережение по фазе, а отри
цательные полюсы — небольшое опережение по фазе В диапазоне
частот w/4 < со < ws/2 положительные нули могут дать лишь
небольшое опережение по фазе, а отрицательные полюсы — боль
шое опережение по фазе Из характеристик усиления, изображен
ных на фиг 9 5—9, видно, что для положительных нулей и
отрицательных полюсов усиление меньше единицы в диапазоне
частот 0 < со < cos/4 и больше единицы в диапазоне частот
со/4 < со < со/2 Для отрицательных нулей и положительных
полюсов усиление превышает единицу в диапазоне частот 0 <
< со < g)s/4 и меньше единицы, когда cos/4 < со < cos/2 Таким
образом, выбор нулей и полюсов требуемой импульсной цепи за
висит от диапазона частот, внутри которого необходимо дефор
мировать годограф нескорректированной системы Применение
этих номограмм очень просто Например, для данного угла поло
жения 0а (или частоты соа = 0аТ) значения нуля и полюса про
стой импульсной цепи, обеспечивающей дополнительное опере
жение по фазе Фа, можно найти по номограммам фазы и усиле
ния В процессе определения и pj необходимо обращать особое
внимание на диапазон частот, при котором годограф нескорректи
рованной системы находится вблизи критической точки (—1 ф /0),
например диапазон частот от аь до соа на фиг 9 5—4

Определенная таким образом элементарная импульсная цепь
будет сдвигать годограф в необходимое положение Однако если
с помощью введения простой импульсной цепи невозможно обес
печить выполнение таких требований, как величину запаса
устойчивости, резонансную частоту и т д , то необходимо исполь
зовать более сложные корректирующие цепи Передаточную
функцию сложной корректирующей цепи, которая может вклю
чать несколько простых пар полюсов и нулей, можно определить
с помощью изложенного порядка действий последовательно для
каждой пары полюс — нуль Каждая пара полюс — нуль должна
улучшать форму годографа Совместное влияние этих пар приве-
дет систему в соответствие с требуемыми характеристиками
Для иллюстрации процесса проектирования последовательного
корректирующего устройства с помощью изложенного порядка
действий рассмотрим пример

Пример 9.3—1 На фиг 9 5—10 изображена структурная
схема импульсной САР с прерыванием сигнала ошибки Период
прерывания равен 0,1 сек В качестве сглаживаю его стройства
применяется запоминающее звено нулевого порядка Передаточная
функция регулируемой системы имеет вид

Требуется исследовать устойчивость системы и выбрать им
пульсную корректирующую цепь, обеспечивающую выполнение
требования Мр = 1,35

Из фиг 9 5—10 видно,
что передаточная функция
прямой цепи нескорректиро
ванной системы равна

_30(1-е	(9 5_34)

п -4.0 1,1 ’ V	'

теристики нескорректированной и скорре

z преобразование, соответ-
ствующее G(s), имеет вид

1104 (г+ 0 718)

~ (г-1) (г-0 368)

(9 5—35)

Так как данная система
имеет единичную обратную
связь, то выражение (9 5—35)
представляет собой импульс
ную передаточную функцию
разомкнутой системы Для

исследования устойчивости системы на фиг 9 5—11 построен
годограф z преобразования G(z) (кривая /) Из этого графика
видно, что годограф пересекает единичную окружность при частоте
15 рад/сек, причем запас по фазе отрицателен и равен —7,5° Си
стема неустойчива

Для выполнения поставленных требований необходимо изме
нить форму годографа с помощью корректирующего устройства
Из годографа z преобразования видно, что для обеспечения задан-
ного М„ необходим фазовый сдвиг Ф около 50° При помощи
может сдвинуть кривую II в необходимое положение, если оно
будет включено последовательно с корректирующим устройством
D^z) При выборе требуемой передаточной функции с помощью
номограмм амплитуда — фаза существенное значение имеет опыт
работы с ними Амплитуду и фазу D2(z) для различных значений
угла положения можно легко определить с помощью номограмм
Складывая фазы D2(z) и G(z)Z)1(z) (кривая II) и перемножая
усиления D2(z) и G(z)Z)1(z) для соответствующих точек, полу
чаем годограф z преобразования G(z)Z)1(z)Z)2(2'), который изо
бражен в виде кривой III на фиг 9 5—11. Отсюда видно, что но
вый годограф соответствует требованию Мр = 1,35 Следова
тельно, импульсная передаточная функция требуемого корректи
рующего устройства равна

D (г) = D, (г) D, (г) =	(9 5-38)

В следующем параграфе рассмотрены вопросы реализации
импульсных передаточных функций.
9 6 РЕАЛИЗАЦИЯ ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ
ФУНКЦИЙ

Реализация импульсной передаточной функции состоит в опре-
делении импульсной цепи или устройства, выход и вход которого
связаны требуемой импульсной передаточной функцией Сущест
вуют три основных метода синтеза импульсных передаточных
функций

1	Цифровое программирование Импульсную передаточную
функцию можно реализовать с помощью цифрового программиро-
вания, если система управления содержит цифровую вычисли-
тельную машину (ЦВМ) Эта машина может играть роль устрой
ства с требуемой импульсной передаточной функцией, если ей за
дать соответствующую программу

2	Цепи на линиях задержки Импульсную передаточную
функцию можно реализовать с помощью цепей на линиях задержки
(которые иногда называются схемами обработки импульсной
информации), использующих элементы задержки, потенциометры
и суммирующие усилители, если применение ЦВМ невозможно
или неэкономично

3	Импульсные RC цепи Импульсную передаточную функцию
можно также реализовать с помощью импульсной цепи, состоя
щей из сопротивлений и конденсаторов Применение индуктив
ностей нецелесообразно, так как для обычного частотного диапа
зона цифровых и импульсных САР размеры и вес требуемых
индуктивностей очень велики Импульсные RC цепи имеют
преимущества в простоте и экономичности реализации

Первый метол применяется, когла система автоматического
управления имеет в своем составе ЦВМ Реализация цифровой
программы довольно проста Второй метод является более гибким
при регулировке параметров и используется, когда коэффициенты
импульсной передаточной функции требуют независимой на
стройки Третий метод наиболее прост и экономичен, хотя и наи
менее гибок В этом параграфе рассмотрены указанные методы
синтеза импульсных передаточных функции

Цифровое программирование Цифровое программирование со
стоит в подготовке задачи для ЦВМ в приемлемой для нее форме
и введении составленной программы в блок памяти Задача, ре
шаемая ЦВМ, должна быть выражена в соответствующих терми
нах так, чтобы ЦВМ могла их обрабатывать В системах автома
тического управления, использующих ЦВМ, метод реализации
импульсной передаточной функции с помощью цифровой про
граммы обладает простотой, удобством и гибкостью Реализацию
программы можно выполнять тремя различными методами пря
мым программированием, итеративным или последовательным
программированием и параллельным программированием
Физически реализуемая импульсная передаточная функция
Z)(z), имеющая т нулей и п полюсов, в общем виде может быть
записана в виде





где т + 2 = п
водится к виду

и т = п, уравнение (9

6—la) при-

W)=|^ =

(9 6-26)

Сигнал e*(f) =	\Е0 (z)\ должен быть вычислен ЦВМ

е* (0 = 2 ake*t (t — kT)—^ bke*0 (t — kT) (9 6-2a)

Применяя аналогичную операцию к уравнению (9 6—16),

получаем

в'°(/) = Л	~ kT) ~~ £	У-кГ) <9 6“2б)

Эти два разностных уравнения, представляющие обработан
ный выходной сигнал, называются функциями программирования
Уравнение (9 6—2) по существу является формулой, которая
часто используется в численном" анализе Вычисления, необхо
димые для решения уравнений (9 6—2а) и (9 6—26), могут быть
л егко выполнены обычной ЦВМ В программу вычисления выраже
ния (9 6—2а) входят арифметические операции сложения, вы
читания, умножения и передачи накопленной информации Так
как правая часть уравнения (9 6—2а) состоит из (m + п + 1)
членов, то необходимо выполнить (т + ri) сложении и вычитаний
и (т + п + 1) умножений Операции сложения, вычитания
и умножения повторяются в каждый период прерывания, но над
различными данными Операции передачи накопленной информа
ции служат для ее обработки

Дискретное значение е*(/), вычисляемое в настоящий момент,
становится е*(/ — Т) при следующем вычислении Таким образом,
текущее дискретное значение е*(/) должно быть подано в ячейку
496
памяти, соответствующую e\(t — Т) Аналогичные действия учи

тывают наличие другой входной и выходной информации и выпол-
няются с помощью операций передачи накопленной информации
Рассмотрение уравнения (9 6—2а) также указывает на то, что

°Й = ТЖ =



г + Рп
	

получаем соответствующее разностное уравнение или программи
рующую функцию

Ниже даны п программирующих функций для п импульсных
передаточных функций-

С (0 = С-1 (0 +	(* - т) - PmC V - Т),

С+1	Р^т+1 ~ Т)

е^)-Ке;_^-Т)-рпе^-Т)
точной функции основан на разложении D (z) на простые дроби

Пусть простые дроби импульсной передаточной функции D(z)
имеют вид

Тогда

Каждую импульсную передаточную функцию, определяемую
уравнением (9 6—12), можно реализовать с помощью простой
цифровой программы Из уравнения (9. 6—13) видно, что импульс
ную передаточную функцию D(z) можно реализовать с помощью п
простых цифровых программ, действующих параллельно
(фиг 9 6—2) Это называется параллельным программированием
Перекрестное умножение и обратное преобразование уравнения
(9. 6—12) дает соответствующую систему программирующих функ
При этом выходной сигнал определяется уравнением

(t-T)

(9 6-15)

Из уравнения (9 6—15) видно, что для решения данных урав
нений необходимо выполнить (2п — 1) сложении и вычитаний,
2п перемножений и (п 4- 1) передач

С точки зрения эффективности вычислений последовательное
программирование кажется наиболее удобным Поэтому этот
метод часто используется при численном анализе На выбор метода
программирования влияет не только время вычисления и коли
чество регистров памяти, необходимых для данной программы,
но и тип ЦВМ, а также код команд Например, введение в код
ЦВМ команды типа Вирлвинд, которая изменяет объемы арифме
тических блоков и избирательного регистра памяти, делает метод
прямого программирования более эффективным, чем итератив
ныи метод

Метод прямого программирования вносит наименьшее запаз
дывание при вычислении, так как все члены уравнения (9 6—26),
за исключением а^У), можно вычислить до подачи входного
сигнала <?,(/) Запаздывание при вычислении является резуль
татом наличия чистого запаздывания в ЦВМ, которое обычно
ухудшает характеристики системы Следовательно, необходимо
уменьшать время на вычисление Если нескодько членов £>(z)
уравнения (9 6—16) равны нулю (или полюсов больше, чем нулей),
то метод прямого программирования может стать более удобным,
чем итеративный, так как при прямом программировании время
вычисления сокращается благодаря пропущенным членами Z)(z)
Однако итеративное программирование обеспечивает промежу
точные результаты, которые иногда весьма необходимы Метод
итеративного программирования является также более гибким,
когда импульсная передаточная функция и соответствующая
цифровая программа создаются экспериментальным путем Кроме
того, если проектирование основывается на распределении нулей
и полюсов, то удобно применить именно метод итеративного
программирования, так как полюсы и нули импульсной переда-
точной функции Z)(z) образуют коэффициенты программирующих
функций уравнения (9 6—11) Влияние изменения полюсов и
нулей импульсной передаточной функции легко исследовать с по
мощью соответствующих коэффициентов уравнения (9 6—11)
Хотя метод параллельного программирования имеет свои прей
мущества, он обычно не используется, так как при этом затруд
няется проектирование ЦВМ
Цепи на линиях задержки и блоки обработки импульсной инфор
мации Импульсную передаточную функцию можно реализовать
при помощи устройства, состоящего из одного или более элемен
тов задержки, сумматора, а также потенциометров и усилителен
Такое устройство иногда называется цепью на линиях задержки
или блоком обработки импульсной информации В сущности
импульсная передаточная функция синтезируется посредством
комбинирования соответствующим образом взвешенных данных,
получаемых с элементов задержки, как это показано ниже Прежде

(9 6-17)

Уравнение (9 6—17) означает, что выход импульсной цепи
равен сумме входного сигнала и задержанного входного сигнала,
которые надлежащим образом взвешены с коэффициентами а„
и аг Цепь на линиях задержки, реализующая уравнение (9 6—16),
должна состоять из элемента, имеющего задержку, равную пе
риоду прерывания Т, из суммирующего усилителя и двух потен
циометров Эта цепь на линиях задержки показана на фиг 9 6—3
Суммирующий усилитель обеспечивает необходимое усиление,
если весовые коэффициенты больше 1

Рассмотрим импульсную передаточную функцию вида


E^z^a.E^z^-b^E^z}

(9 6-19)

ветственно с весовыми коэффициентами а0 и Ьг Таким образом,
для реализации дайной импульсной передаточной функции тре
буются элемент задержки на время Т, суммирующий усилитель
и два потенциометра Структурная схема этой цепи на линиях
задержки изображена на фиг 9 6—4

Рассмотрим теперь импульсную передаточную функцию, имею
щую нуль при z = — a-Ja0 и полюс при z = — br

(9 6—20)

Уравнение (9 6—20) можно записать в виде

где

(9 6-21)
Так как выражение для импульсной передаточной функции
(9 6—22) такое же, как и (9 6—18), то цепь на линии задержки,
реализующая (9 6—22), идентична цепи, изображенной на
фиг 9 6—4 Из уравнений (9 6—22) и (9 6—23) видно, что

ЕМ

(9 6-25)
п соответствии с указанным методом легко наити цепь на линиях
задержки для реализации импульсной передаточной функции

D & = йтй =--------?-------	(9 6~26)

1 + 2 bkz~k

Перекрестное умножение и перестановка дает

Ео (2) = а0Е1 (г) - Ео (2)	(9 6-27)

Учитывая аналогию между уравнениями (9 6—27) и (9 6—19),
следует ожидать, что релейная схема, реализующая импульсную
передаточную функцию (9 6—26), будет похожа на цепь, пока
занную на фиг 9 6—4, б Эта цепь состоит из п элементов с за
паздыванием на Т сек каждый, (n + 1) потенциометров и сум
мирующего усилителя с (n + 1) входами Структурная схема
этой цепи изображена на фиг 9 6—6 Элементы задержки, сое
диненные последовательно, образуют п отдельных линий задержки
с общим запаздыванием (пТ) сек Сигналы обратной связи после
довательно снимаются с каждого элемента задержки и соответ
ствующим образом взвешиваются перед подачей на суммирующий
усилитель Выход цепи на линиях задержки снимается с выход
ных контактов вычитающего устройства, которое можно рассмат
ривать как часть суммирующего усилителя со многими входами

Далее, используя схемы и методы, рассмотренные выше, легко
выполнить синтез импульсной передаточной функции общего вида

Ж

D(z) =--------Е»----+------2Д-----+ .. +

1 + 2	1 + 2 b*z~k

----Др	 + . +	-= (9 6-29)
1 + 2 bkz~k------------------------1 + 2 6*г~*

= Dr (2) + £>2 (2) + •	4-D/(z)+	•+D„(Z), (9 6-30)

£,(*) =--------Efi-----	(9 6-31)

i + 2 b*z~k
Из всего сказанного можно сделать следующее заключение
Для реализации импульсной передаточной функции с п полю
сами при помощи цепи на линиях задержки обычно требуется п
элементов задержки, каждый из которых вносит запаздывание на
период прерывания Количество требуемых потенциометров опре
деляется количеством коэффициентов заданной импульсной пе
редаточной функции Столько же должно быть входов у суммирую
щего усилителя Для реализации импульсной передаточной
функции, имеющей один или более нулей, которые не расположены
в начале координат плоскости z. требуются два суммирующих
усилителя в цепи линии задержки

Импульсные RC цепи Импульсную передаточную функцию
можно реализовать с помощью импульсной RC цепи Основными
структурными схемами импульсных цепей являются последова
тельная схема и схема с обратной связью Каждая из этих им
пульсных RC цепей состоит из одной обычной пассивной RC
цепи и запоминающего элемента нулевого порядка, которые
соединяются последовательно либо в прямой цепи (фиг 9 6—8),
либо в обратной связи (фиг 8 6—9) Импульсная передаточная
функция основной последовательной цепи имеет вид

Ds& = ^=GhGc(z),

(9 6—32)
Фиг 9 6—7 Импульсная система (а) линия задержки для этой системы (б)

506
Импульсная передаточная функция цепи с обратной связью,
как видно из структурной схемы на фиг 9 6—9, а, определяется
уравнением

Df ®	= ИМИ ’	(9 6~33)
связью можно подсоединить непосредственно к регулируемой
системе Иными словами, один и тот же запоминающий элемент
используется как для импульсной цепи, так и для регулируемой
системы При этом следует отметить, что схема с обратной связью
содержит на один запоминающий элемент меньше за счет блока
вычитания

С помощью комбинации этих двух основных схем можно
получить много других цепей Среди них наиболее широко исполь-
зуются каскадная последовательно обратная и параллельная
последовательно-обратная структура, а также более общая
структура с обратной связью Как будет показано далее, после
довательная схема и схема с обратной связью имеют ограничен
ное применение Однако, комбинируя эти две схемы, можно син
тезировать любую рациональную физически реализуемую импульс
ную передаточную функцию в виде импульсной 7?С-цепи

Основная последовательная структурная схема. Реализация
импульсной передаточной функции с помощью основной после
довательной структурной схемы состоит в определении передагоч
ной функции Gc(s) и соответствующей RC цепи таким образом,
чтобы z преобразование, соответствующее Gft(s) Gc(s) (или
Gc(s), если не используется запоминающий элемент), было
равно требуемой импульсной передаточной функции Ds(z)

Допустим, что заданная импульсная передаточная функция
Ds(z), имеющая т нулей и п полюсов, равна

^Г.

(1-P„2

(9 6-34)
Bi р я e ie (9 6—38) означает, что Gc(s)/s — преобразование
Лапласа, соответствующее импульсной передаточной функции
Ds(z)7(l — z-1) Следовательно, передаточную функцию Gc (s)
можно определить, если найти преобразование Лапласа для
функции, z-преобразование которой равно Ds(z)/(1 — z-1). Пре
образование Лапласа удобно находить с помощью разложения на
простые дроби z преобразования Преобразования Лапласа, соот
ветствующие простым дробям, затем определяются с помощью
таблицы z преобразований Если импульсная передаточная функ
ция Ds(z) не содержит кратных полюсов, то Ds(z)/(1 — z-1)
можно представить в виде

при условии, что Ds(z) не имеет полюса при z = 1

Если Ds(z) имеет простой почюс при z = 1, то .
можно записать в виде



где Т — период прерывания

Преобразование Лапласа, соответствующее каждому члену
правой части уравнения (9 6—39) и уравнения (9 6—40), можно
найти по таблице z-преобразований. Из краткой таблицы z-npe-
образований, приведенной в параграфе 5 2, видно, что преобра-
зования Лапласа, соответствующие первому и второму членам
уравнения (9 6—40), равны 7<0(s) и K.qIs2, а преобразование Лап-
ласа, соответствующее — Рг?"1), равно

(9 6—41а)

здесь рг и аг связаны уравнением



(9 6—416)
Так как данная передаточная функция соответствует устой
чивой системе и, кроме того, предполагается, что она имеет
только действительные и простые полюсы, то полюсы £>s(z)
должны лежать в интервале между 0 и 1 Из уравнения (9 4—416)
видно, что при этих условиях коэффициенты аг являются дей-
ствительными, простыми, конечными и положительными Это
означает, что полюсы Gc(s) являются действительными, про
стыми, конечными и отрицательными [возможен также полюс
при s = 0, соответствующий полюсу при z = 1 функции Ds(z) ]
Такие ограничения необходимы для реализуемости обычных пе
редаточных функций с помощью RC цепей Следовательно, для
того чтобы реализовать импульсную передаточную функцию с по-
мощью основной последовательной импульсной RC цепи необ
ходимо, чтобы полюсы данной импульсной передаточной функции
были действительными, простыми, положительными и лежали
внутри единичной окружности В добавление к общим условиям
реализуемости, данным в параграфе 9 5, эти условия являются
необходимыми ограничениями для основной последовательной
структурной схемы

В качестве иллюстрации рассмотрен простой пример

Пример 9 6—1 Дана импульсная передаточная функция



(9 6-45)
Очевидно, Gc (s) можно легко синтезировать с помощью про
стой RC цепи, если а < 1 Если же а превышает единицу то
(9 6-51)

го z преобразование, соответствующее G/l(s)Hc(s),
уравнением



определяется

(9 6-52)





(9 6—53)

откуда получаем

(9 6- 54)


(9 6—56)

(9 6—57)

+	+	(9 6—60)



здесь Ьг связано с zr уравнением

In zr,

(9 6—61)

(9 6—62)

где Т — период прерывания
(9 6—64)
здесь а определяется уравнением

(9 6-68)

Уравнение (9 6—67) преобразуется к виду



(9 6-69)

ные и простые нули внутри единичного круга Эти полюсы будем
называть реализуемыми полюсами Однако на нули не наклады-
вается никаких ограничений, если не считать того что число
нулей не должно превышать числа полюсов С помощью основ-
ной структурной схемы с обратной связью можно реализовать
лишь те импульсные передаточные функции, которые имеют
положительные, действительные и простые нули внутри единич-
ного круга Эти нули назовем реализуемыми нулями На полюсы
никаких органичений не накладывается, если не считать того,
что количество полюсов должно быть равно количеству нулей
С помощью структурной схемы с обратной связью можно реали-
зовать даже импульсные передаточные функции, полюсы которых
D(z) = Ds(z)Df(2),

(9 6-70)

(9 6-71)

(9 6-72)

D(z) = Da(z)Dft(z)

(9 6-73)
Эта импульсная передаточная функция рациональна по г
и физически реализуема, хотя она соответствует неустойчивой
системе Тем не менее, Z)(z) нельзя реализовать ни с помощью
основной последовательной структурной схемы, так как два
полюса Z)(z) находятся вне единичной окружности, ни посредством
структурной схемы с обратной связью вследствие наличия ком
плексных нулей и одного нуля в бесконечности Однако функ-
цию D(z) из уравнения (9 6—74) можно реализовать с помощью
каскадной последовательно-обратной структурной схемы, и урав-
нение (9 6—74) можно записать в виде

(1 -О.бг-ЧО -0,8г Т

Обозначим первую дробь через Da(z), а вторую через Щг)
Таким образом, функция Da(z) содержит реализуемые полюсы,
a D6(z) имеющая равное число нулей и полюсов, содержит реа
лизуемые нули Импульсную передаточную функцию Da(z)
можно реализовать с помощью основной последовательной струк
турной схемы, a D6(z) — посредством основной структурной
схемы с обратной связью Таким образом, заданная импульсная
передаточная функция может быть реализована при помощи
каскадного соединения этих двух основных структурных схем

Изложенный метод основан на представлении функции D(z)
в виде двух функций, каждая из которых удовлетворяет условиям
реализуемости Однако функция D(z) не всегда такова, что
Da(z) и Z)6(z) можно реализовать с помощью последовательной
структурной схемы или схемы с обратной связью Например
импульсную передаточную функцию

D (г) - 1 — 2г-1	(9 6—76)

нельзя представить в виде произведения двух функций, что
требуется для реализации с помощью каскадной последовательно-
обратной структурной схемы В этом случае в D(z) необходимо
ввести дополнительные нули и полюсы так, чтобы функцию £>(z)
можно было представить в виде произведения двух функций
Уравнение (9 6—76) можно записать в виде
-13 Параллельная последовательно-обратная структурная схема
D(z) = GhGc(z) + 1/[1 + GhHc(z)\
(фиг 9 6—14) Реализацию импульсной передаточной функций
легко выполнить с помощью этих структурных схем, следуя рас-
смотренному методу

9 7 СИНТЕЗ В ПЛОСКОСТИ w С ПОМОЩЬЮ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Выше дано обобщение обычного метода амплитудно фазовых
характеристик для проектирования импульсных и цифровых
САР. Для коррекции импульсных систем можно использовать как
непрерывные, так и импульсные цепи, причем проектирование
импульсных корректирующих цепей проще непрерывных Если
импульсная передаточная функция требуемой корректирующей
цепи определена, то можно применить методы реализации импульс
ной передаточной функции с помощью цифровой программы,
блока обработки импульсной информации или импульсной RC
цепи, рассмотренные в параграфе 9 6

Так как метод логарифмических амплитудно фазовых харак
теристик наиболее широко используется при проектировании
непрерывных САР, целесообразно обобщить его для синтеза
импульсных и цифровых САР. При проектировании непрерывных
САР метод амплитудно фазовых частотных характеристик приме
няется в основном для систем, которые имеют достаточно сложные
передаточные функции или когда исходные данные можно полу
чить только экспериментально Если же передаточные функции
заданы в виде произведения элементарных сомножителей, то
обычно используются логарифмические амплитудно-фазовые харак-
теристики вследствие простоты легкости их изменения и построе-
ния Можно ожидать, что использование этого метода облегчит
проектирование импульсных САР. В этом параграфе метод лога
рифмических амплитудно фазовых характеристик используется
для проектирования импульсных и цифровых САР

Значение метода логарифмических амплитудно фазовых харак
теристик как средства проектирования непрерывных систем
автоматического регулирования велико Однако метод становится
неудобным, если передаточные функции системы регулирования
не являются рациональными функциями от s и не могут быть выра-
жены в виде линейных и квадратичных множителей В гл 4 и 6
показано, что характеристическое уравнение от s импульсной САР
является трансцендентным уравнением, а передаточная функция
разомкнутой системы — трансцендентной функцией от s Труд-
ности построения логарифмических характеристик для транс-
цендентной функции препятствуют применению этого метода при
проектировании импульсных САР Как указано в гл 5, г-преоб-
разование превращает трансцендентную функцию от s [например,
GH*(s)] в рациональную функцию от г, однако это преобразование
что, как и следовало
Из уравнения (9 7—4)
ляется уравнением

(9 7-5)
Это уравнение дает связь между фиктивной частотой v и дей
ствитсльнои частотой со Из уравнения (9 7—5) видно, что фик
тивная частота v является периодической функцией от со с перио-
дом равным <os т е частоте прерывания системы Если деистви
тельная частота со увеличивается от 0 до cos/2 то фиктивная
частота v изменяется от нуля до бесконечности Если со увеличи-
вается от cos/2 до <os v возрастает от —со до 0 Этот процесс повто-
ряется при со, большем <os Соотношение между фиктивной часто-
той v и действительной частотой со для диапазона частот от О

до <os/2 показано на фиг 9 7—1

Следовательно, с помощью указан-
ного процесса двойного отображения
(г преобразование и билинейное преоб-
разование) любая из полос в левой поло-
вине плоскости s вначале отображается
в область внутри единичной окружно-
сти плоскости г, а затем преобразуется
во всю левую половину плоскости w,
как показано на фиг 6 2—12. Часть
положительной действительной оси,
расположенная внутри единичного кру-
га плоскости г отображается в часть

20

отрицательной действительной оси плос-

кости w от 0 до —1 Отрицательная действительная ось плоскости г,
расположенная внутри единичного круга, преобразуется в часть
отрицательной действительной оси плоскости w от — 1 до со

Начало координат плоскости г отображается в точку w = — 1
плоскости w Если s изменяется от 0 до /cos/2 вдоль мнимой оси, г
изменяется от 1 до —1 вдоль единичной окружности и w изменяется
от 0 до со вдоль мнимой оси В плоскости w можно с успехом приме-
нить метод логарифмических амплитудно-фазовых характеристик

С помощью г преобразования передаточная функция со звез-
дочкой G*(s) импульсной системы преобразуется в G(z), затем
с помощью подстановки выражения (9 7—2) можно выполнить
w преобразование импульсной передаточной функции G (г) и полу-
чить функцию G (ау), которую можно рассматривать как обычную
передаточную функцию от w Когда s увеличивается от 0 до jcos/2
вдоль мнимой оси, передаточным функциям G*(s), G(z) и G(w)
будут соответствовать три годографа, имеющих один и тот же вид
Другими словами, частотная характеристика G(/v) для диапазона
фиктивной частоты от 0 до оо совпадает с годографом z преобра
зования G(z) который', в свою очередь, совпадает с частотной
характеристикой G*(/co) для диапазона частот от 0 до <os/2 Дей-
ствительная частота со и фиктивная частота v связаны уравнением
С(г)- 1+gJ(Z) Я(г)’

(9 7-7)



(9 7-8)
С другой стороны а преобразование выхода нескорректиро-
ванном системы можно получить из уравнения (9 7—7), под
ставляя

Тогда

cW= i+Co(X) w (S7~10>
эгарифмичес:

1^-преобраз

s = /cos/2 в плоскости s, при которой G*(s) действительна и ко
нечна, то величина

G(^|_/oo=G*(s)|s=/^	(9 7-12)

что если в импульсной системе с единичной обратной связью
используется импульсная корректирующая цепь £>(z), то преоб
разование выхода системы имеет вид

C(z) =

Если для коррекции используется непрерывная цепь Gc(s),

как показано на

5, в, то преобразование выхода равно



где GcGhGs (z) — z преобразование соответствующее Gc(s)Gft(s)G5(s)
Чтобы импульсная цепь D(z) и непрерывная цепь Gc(s) оказывали
одинаковое влияние на характеристику системы в моменты замы
каний, правые части уравнений (9 7—16) и (9 7—15) должны
быть также одинаковыми

т е z преобразование, соответствующее G,,(s)GA(s)Gs(s), должно
быть равно D(z)GhGs(z) В символической записи

Ъ iMs) Gh{s) Gs (s)\ = D(z)GGs (z)

(9 7-18)

Так как GhGs(z) является z преобразованием соответствующим
известному выражению Gh(s}G^, а функция £>(?) легко опре
деляется с помощью методов изложенных в предыдущем пара
графе (или с помощью метода, данного в параграф' 9 5), то тре
буемую передаточную функцию Gc(s) можно получить из уравне
ния (9 7—18) Следовательно Gc(s) можно найти, разделив
преобразование Лапласа, соответствующее правой части уравне

(9 7—18), на Gft(s)Gs(s) Если выражение

содержит кратных полюсов, его можно разложить на сумму про
стых дробей стандартного вида Kz(z — а) откуда можно получить
основное преобразование Лапласа с помощью таблицы z преоб
разовании

Если используется запоминающий элемент нулевого порядка,
то выражение (9 7—18) следует записать в виде

}{С,фС,М}-В(г)ф^-}	(9 7-19)

Правую часть выражения (9 7—19) можно представить в виде
равенства (9 7—20) при условии, что оно не содержит кратных
полюсов и Gs (s) не имеет полюса при s = 0


Выражение (9 7—20) получается разложением

Аналогично легко показать, что если Gs (s) не имеет полюса

Тогда для рг действительного, положительного и меньшего
единицы

(9 7-26)

Из этих рассуждений следует метод получения передаточных
функций непрерывных корректирующих устройств Так как Gs(s)
всегда имеет больше полюсов чем нулей, то передаточные функции,
определяемые уравнениями (9 7—23) и (9 7—26) нельзя физиче-
ски реализовать с помощью RC цепей Однако реализация воз-
можна ес I Gc(s) аппроксимировать функцией Gc(s), имеющей
равное количество полюсов и нулей Эту аппроксимацию можно
выполнить введением отрицательных действительных полюсов,
удаленных от начала координат плоскости s Требуемую непре
рывную корректирующую цепь затем можно синтезировать с доста-
точной точностью по приближенной передаточной функции G'c(s)

Добротность системы по скорости. В области w добротность
по скорости Kv разомкнутой импульсной САР (фиг 9 7—5, а)
равна удвоенному значению передаточного коэффициента w пре-
образования передаточной функции разомкнутой системы




G (г) = GnGs(z)

(9 7-28)

Если пользоваться w преобразованием, то

формулой

Kv определится

Kv = limJ

(9 7-31)
Уравнение (9 7—31) получается из уравнения (9 7—30)
подстановкой

Z =	(9 7-32)

с97"33)

=	+ +	С9 7-35)

+ k0 + члены с w в качестве множителя^ , (9 7—36)

то можно записать следующим образом

+ члены с щ2 в качестве множителя

Передаточный коэффициент w преобразования передаточной
функции разомкнутой системы G(w) равен КТ/2 Подставляя
уравнение (9 7—37) в (9.7—31) и переходя к пределу, получим

Kv - КТ,	(9 7-38)

что вдвое превышает передаточный коэффициент G(w)

Для иллюстрации изложенного метода рассмотрим пример
^L

K(l—a>)[1 +(ш/0 607)1
20к> [1 -L (к>/0 462)]
Передаточный коэффициент Ло(®) равен К/20 Так как Доб-
ротность по скорости вдвое превышает этот передаточный коэф-
фициент. получаем

(9 7-45)

(9 7-53)

G(s)


В этом случае уравнения амплитуд и фазовых углов принимают
вид

fu

(9 8—12)

2^-2^ =180° ±«360°

(9 8-13)

Проектирование с помощью корневых годографов в плоскости г

В качестве иллюстрации рассмотрим основную импульсную
САР, изображенную на фиг 9 8—1, с передаточными функциями,
определяемыми выражениями

7/(s) = 1,

(9 8-18)

(9 8—19)

(9 8—20)

(9 8-21)
(9 8-23)

В точке разветвления В характеристические корни равны
(1 + pi — Ка1)/2, где Koi — нижнее значение Ко> определяемое
уравнением

Затем при увеличении Ко

одна ветвь корневого годографа

точная функция разомкнутой системы имегет два полюса и один
нуль, то корневой годограф ее состоит из двух ветвей, одна из
которых конечна

4асть корневого годографа в виде окружности можно аналити
чески определить из уравнения фазовых углов Из уравне
ния (9 8—23) следует, что



x + iy,



(9 8—27)

С помощью уравнения фазовых углов находим
аГС tg - arc tg	Г =

Решая это уравнение, получим

Производя перекрестное перемножение, приводим
К виду

уравнение

Уравнение (9 8—31) можно записать в виде

что является уравнением окружности с центром в точке 0)

Таким образом часть

и радиусом равным [(z,—pj) (г.

корневого годографа является окружность о с центром в нуле
разомкнутой системы z = zx и радиусом, равным l(zx — рх) X
X (zx — 1)ГА Точки пересечения окружности с действительной
осью определяются уравнениями

(9 8—33)

Так как z-преобразование отображает левую половину плоско
сти s в область расположенную внутри единичной окружности
плоскости z то для абсолютной устойчивости необходимо чтобы
все полюсы импульсной передаточной функции замкнутой системы
(или в более общем случае все полюсы z преобразования выхода)
лежали внутри единичной окружности Другими словами для
устойчивости необходимо чтобы корневой годограф импульсной
системы ограничивался единичной окружностью Передаточный
коэффициент, при котором система становится неустойчивой,
соответствует точке пересечения корневого годографа с единичной
окружностью и называется максимально допустимым передаточ-
ным коэффициентом

Точку пересечения можно определить из уравнения (9 8—32)
и уравнения единичной окружности

Вычитая уравнение (9 8—35) из уравнения (9 8—32), полу
чаем абсциссу точки пересечения

(9 8-36)

Ординаты точек пересечения определяются
ния (9 8—35) в виде

уравне

Передаточный коэффициент, при котором в системе появляются
незатухающие колебания, можно получить из уравнения

При подстановке выражения (9 8—27) уравнение амплитуд
принимает вид

Учитывая выражение (9 8—35), получаем

(9 8-40)

Подставляя выражение (9 8—36) в (9 8—40)
получаем максимально допустимое значение Ко

и упрощая,

Так как Ко = аТК, то максимально допустимый передаточный
коэффициент

(9 8—42)

Как видно из выражения (9 8—36), данное выражение справед
либо при

Из второго соотношения находим что система неустойчива при
значениях Ко, определяемых уравнением

- (2 + Р1 - Ко) = Рг~ Vr	(9 8-49)

Таким образом, максимальная величина Ко, обеспечивающая
устойчивость, равна

ного коэффициента становится несправедливым и вместо него

другой стороны, если
тот уравнению (9 8—51а) или
) для максимального передаточ

стемы Влияние сдвига
нуля или полюса разомк-
нутой системы можно ис-
следовать с помощью вы-
ражении для максималь
но допустимого переда
точного коэффициента в
зависимости от нулей и по
люсов Рассмотрим приве-
денную выше систему
Влияние сдвига нуля zx и
полюса Pi легко показать
с помощью выражений для
максимально допустимого
передаточного коэффици-
ента (9 8—41) и (9. 8—50)
Уравнение (9 8—50) пока-
зывает. что устойчивость
системы можно увеличить,
сдвигая полюс р] от начала
координат и нуль zx по
направлению к точке —1
Однако величины pj и г,
должны ;	------ -

уравнению



например, когда pt
величины pi и Zi не
(9 8—516), то уравнение
необходимо использовать уравнение (9 8—41) Из этого уравне

Фиг

и величины pi и zr должны удовлетворять соотношению

(9 8-52)

(9 8-54)
V4 некоторые значения р± и соответствующие максимально

можно осуществить с помощью введения нуля для сокращения
нежелаемого полюса и нового полюса в требуемой точке

35 Юлиус Т Ту

545
линией  импулг ществл некото]  и отри окружь	а скорректированный корневой годограф — жирной ли На фиг 9 8—7, а нуль г, лежит вне единичного круга эррекции с помощью сокращения требуется неустойчивое >сное корректирующее устройство Если сокращение осу- нется неточно как это показано на фиг 9 8—7, а, то для эых требуемых значений передаточного коэффициента тре 1рактеристический корень являющийся действительным цательным, может лежать слишком близко к единичной 1ОСТИ и даже выходить за ее пределы, что конечно, неже  6/7OCWC/77b  -—(~T*z, УЧ/ Re  Im	a)	Im  jLP/юскость	^Плоскость  — (4, |	Re  6)	в)  Фцг 9. 8—8. Влияние неточного сокращения полюса а —точное сокращение; б и в — неточное сокращение
лателы полюса ной сис 7, в и Видно,  корень неустог  тить, н На полюса НИЯМИ 546	ю Однако, если нуль zx лежит внутри единичного круга, трудность не возникает при введении корректирующего рс справа от нуля zx (фиг 9 8—7, б)  им образом, желательно, чтобы нули разомкнутой импульс- темы лежали внутри единичной окружности Нафиг 9 8— г показаны другие последствия неточного сокращения что когда корректирующий полюс рс лежит слева от L, даже при среднем значении передаточного коэффициента действительный и отрицательный характеристический будет располагаться вне единичной окружности, вызывая 1чивость системы, в то время как без коррекции система быть устойчивой при этом уровне передаточного коэффи Следовательно если неточного сокращения нельзя избе орректйрующии полюс, который требуется частично сокра- еобходимо располагать справа от нуля.  фиг 9 8—8 показано влияние неточного сокращения Скорректированные годографы показаны жирными ли  Отсюда видно, что неточное сокращение не имеет серьезного

Как показано на фит' 9 8—9 а, годограф постоянного коэффи
циента затухания а0 в плоскости s представляет собой прямую
линию, параллельную мнимой оси Уравнение, соответствующее
этому годографу, имеет вид

s = — а0	(9 8—58)

Фиг 9 8—9. Годограф коэффициента затуха
ния в плоскости s (а); годограф коэффициента
затухания в плоскости z (б)

Для того чтобы получить соответствующее значение коэффи
циента затухания а0 (или времени переходного процесса 7\),
пара доминирующих комплексных сопряженных полюсов должна
лежать слева от линии коэффициента затухания

Понятия коэффициента
затухания и времени пе
реходного процесса можно
применить к анализу отно
сительной устойчивости
импульсных САР Как из
вестно, z преобразование
отображает линию коэф
фициента затухания s =
= —а0 в окружность с цен
тром в начале координат
и радиусом, равным е”ао7,
(фиг 9 8—9, б) Следова
тельно при проектирова
нии импульсной системы

по заданному коэффициенту затухания или времени переходного
процесса для выходной последовательности необходимо чтобы все
полюсы импульсной передаточной функции замкнутой системы
(или полюсы z-преобразования выхода) лежали внутри окружно
сти, соответствующей заданному коэффициенту затухания Наи
больший передаточный коэффициент, обеспечивающий заданное
время переходного процесса при ступенчатом воздействии, соот
ветствует усилению в точке пересечения корневого годографа
импульсной САР с окружностью постоянного коэффициента
затухания

В качестве иллюстрации исследуем систему второго порядка,
рассмотренную выше Уравнение, соответствующее круговой
части корневого годографа, имеет вид

(х — zr)2 + Z/2 = (Zr — Pi) (z, — 1)

(9 8—59)

Уравнение окружности, соответствующей заданному коэф
фициенту затухания имеет вид

х у /q,	(9 3—50)

где

К ЛО
Точки пересечения корневого годографа и окружности требуе
мого коэффициента затухания определяются в результате совмест-
ного решения уравнений (9 8—59) и (9 8—60):

(9 8—62)

Соответствующий передаточный коэффициент, полученный с по-
мощью уравнения (9 8—38), равен



(9 8—64)

Уравнение (9 8—64) справедливо лишь тогда, когда р± и
удовлетворяют уравнению

(9 8—65)

Если данное соотношение не удовлетворяется (т е когда зна
чения р± и z± таковы, что круговая часть корневого годографа не
пересекает окружность коэффициента затухания), то наибольшее
значение передаточного коэффициента, обеспечивающее заданное
время переходного процесса

1 + +

Ко-

(9 8—66)

Выражение (9 8—66) можно получить так же, как и (9 8—50)
Из выражения (9 8—64) видно, что Ко увеличивается, когда
полюс рг и нуль zx сдвигаются к началу координат Кроме того,
выражение (9 8—66) показывает, что Ко увеличивается, когда
полюс р± движется по направлению к точке +1, а нуль к точке
—1 Следовательно, для данного значения рг между 0 и 1 оптималь
ное расположение нуля определяется уравнением

е 2<Хо7, —

2е“~2а»г	।

(9 8—67)

Годограф постоянного коэффициента затухания в плоскости z
Во временной области относительная устойчивость непрерывной
системы часто определяется коэффициентом демпфирования, соот
ретствующим паре демпфирующие комплексных сопряженных
полюсов Квадратичный трехчлен, соответствующий этим полю
сам, имеет вид

______1________

^ + 2^nS +®а ~

________________________1________________________________

[s + (g - у К1 - £2) ®„] [S + (S +/	И„] ’

(9.8—68)

где Z — коэффициент демпфирования, а <о„ — недемпфированная
собственная частота переходных колебаний, соответствующих
доминирующей паре полюсов

а)

Фиг 9 8—10 Линия постоянного демпфирования в плоско
сти s(a); спираль постоянного демпфирования в плоскости г (б)

В плоскости s годограф постоянного значения £ представляет
собой полубесконечную прямую линию, выходящую из начала
координат под углом ф к отрицательной действительной оси
Его уравнение имеет вид

ф = arc cos £

(9 8—69)

Чем меньше угол ф, тем больше коэффициент демпфирования
Линии постоянных значений коэффициента демпфирования можно
использовать и при изучении импульсных САР В импульсных
системах понятие демпфирования относится к выходным последо-
вательностям

Линия постоянного демпфирования в плоскости s отображается
^-преобразованием в логарифмическую спираль в плоскости z
(фиг 9 8—10) Пусть s — а + /ш, тогда линию постоянного демп-
фирования в плоскости s можно выразить уравнением

о ~ —а12ф~

(9 8—70)


ИЛИ

Так как

(9 8—71)

(9 8—72)

тсС годограф постоянного демпфирования в плоскости z опреде
ляется уравнением



(9 8-73)

Фиг. 9. 8—11 Основная полоса плоскости s
(а); основной годограф постоянного демпфи
рования в плоскости z (б)

Для заданных значений СиТ уравнение (9. 8—73) дает логариф
мическую спираль когда ш возрастает Из этого уравнения видно
что если ш = 0, то z — 1
Спираль берет начало в
точке (1,0) При увеличе
нии ы величина z вуравне
нии (9 8—73) уменьшается
по логарифмическом} за
кону, а фазовый угол ли
нейно увеличивается. Спи
раль пересекает действи
тельную ось при частотах
to = ncos/2, где п — целое
число На фиг 9 8—10 б
спираль, соответствующая
отрицательным частотам,

изображена пунктирной линией. Можно считать, что линия по-
стоянного демпфирования в плоскости s состоит из бесконечного
числа отрезков В соответствии с фиг 9 8—10 отрезок линии
постоянного демпфирования оа, лежащий внутри основной полосы,
отображается в часть спирали от о до а в плоскости z Отрезки
линии от а до & и от & до с соответствуют частям спирали от а до &
и от & до с Для отрицательных частот отрезки линии оа , а b ,
b с',	отображаются в соответствующие части спирали

(фиг 9 8—Ю,б) Часть основной полосы, лежащая слева от линии
демпфирования, отображается во внутреннюю часть круга в плос
кости z, охваченную кривой постоянного значения £ оаа о
(фиг 9 8—11) Полубесконечные линии (границы между основ
ной и дополнительными полосами) от а и а до бесконечности
отображаются в отрезок отрицательной действительной оси плос-
кости z от а (и а') до начала координат

Для обеспечения заданного коэффициента демпфирования
необходимо, чтобы все характеристические корни (или полюсы
передаточной функции замкнутой системы) в плоскости s лежали
слева от линии, соответствующей заданному демпфированию
Таким образом, характеристические корни в плоскости z
должны лежать внутри области, ограниченной спиралью демпфи
рования для положительных и отрицательных частот Имея в виду
тот факт, что внутренняя ооласть стремится к нулю как к пре
делу, видим, что нельзя получить требуемое значение коэффициента
демпфирования для импульсных систем Однако на практике
некоторые элементы прямой цепи САР по своей природе являются
низкочастотными и вносят затухание на высоких частотах, что
уменьшает роль высокочастотных полюсов В результате внутрен
няя область, ограниченная спиралями, никогда не будет равна нулю

Если часто ая хара р с 1 элементов прямой цепи быстро
затухает на частотах, превышающих 3®/2, то имеют значение лишь
полюсы в основной и двух смежных дополнительных полосах
плоскости s, а полюсами остальных дополнительных полос можно
пренебречь. В этом случае для получения требуемого коэффициента
демпфирования необходимо, чтобы характеристические корни
лежали внутри области, ограниченной кривой постоянного зна
чения ^Ьсс'Ь', соответствующей отрезку линии демпфирования
от Ь до с и от Ъ' до с' (фиг 9 8—10). Если частотная характери
стика элементов прямой цепи импульсной системы быстро затухает
на частотах, превышающих частоту прерывания ®s, то внутренней
областью будет область, ограниченная кривой постоянного зна-
чения Labb'a', соответствующая отрезкам линии демпфирования
от а до b и от а до b Кроме того, если частотная характеристика
системы быстро затухает на частотах, превышающих частоту ®/2,
то для получения требуемого значения коэффициента демпфиро
вания импульсной системы необходимо, чтобы характеристические
корни лежали внутри кривой постоянного значения toaa’o, соот-
ветствующей отрезкам линии демпфирования оа и оа внутри
основной полосы (фиг. 9 8—11)

Эту кривую постоянного значения £ можно назвать основным
годографом постоянного значения коэффициента демпфирования
При заданном коэффициенте демпфирования допустимый переда-
точный коэффициент импульсной системы затем можно определить
по точке пересечения корневого годографа системы в плоскости z
и годографом постоянного значения коэффицие! а це р рова я

В качестве иллюстрации применения метода корневых годо
графов для синтеза импульсных и цифровых систем ниже рас
смотрено несколько примеров

Пример 9. 8—1. На фиг 9 8—12 изображена структурная
схема системы с прерыванием сигнала ошибки, в 'которой для
сглаживания применяется запоминающий элемент нулевого по
рядка Период прерывания равен 0,1 сек Передаточная фуцкция
регулируемой системы имеет вид
а ее г преобразование
А 0.016^ (г2 4-2,05 г

0,0164Л(г+0,12) (z+1,92)

= (z— l)<z-0,368)(z-0 135)

С помощью обычных методов строится график корневого
годографа нескорректированной системы (фиг 9 8—13). по кото-
рому находим максимально допустимый передаточный коэффи-
циент, равный примерно 13 2

Для того чтобы определить требуемый передаточный коэф-
фициент при заданном значении демпфирования, на фиг 9 8—13
также изображен годограф коэффициента демпфирования для $ =
= 07 При коэффициенте демпфирования 0 7 допустимый переда-
точный коэффициент равен примерно 2,6 При данном значении
усиления нескорректированной системы

что значительно меньше требуемого значения Если же увеличить
передаточный коэффициент, чтобы получить требуемое значе
ние Л^, невозможно удовлетворить условие по коэффициенту
демпфирования Отсюда видно, что недостаточно изменять только
передаточный коэффициент, необходимо применить также коррек
тирующее устройство

Исследование корневого годографа нескорректированной си
стемы показывает что для получения требуемых значений коэф
фициента демпфирования и добротности по скорости Kv корневой
годограф должен располагаться слева так. чтобы он пересекал
годограф заданного демпфирования при усилении, большем 15
(9 8—78)
при котором демпфирование равно 0,7, возрастает до 17,1 Если
выбрать передаточный коэффициент равным данной величине,
то скоростная постоянная скорректированной системы будет
равна 1,71, что удовлетворяет заданным требованиям Следова-
тельно, корректирующее устройство с импульсной передаточной
функцией Gc(z), определяемой уравнением (9 8—78), считается
приемлемым

(9 8—80)

(9 8-81)

йулЬсных САР Так как числитель Импульсной передаточной функ
ции разомкнутой системы по z не всегда может быть представлен
в виде произведения элементарных сомножителей, то соответ-
ствующее w преобразование также не будет произведением эле-
ментарных сомножителей. При построении асимптотических лога-
рифмических амплитудно-фазовых характеристик числитель им
пульсной передаточной функции разомкнутой системы необходимо
разложить на элементарные сомножители Несмотря на то, что

разложение полинома можно выполнять различными методами,
например с помощью метода Ольденбургера и Лина, для систем
высокого порядка это является трудоемкой задачей Для уменьше
ГЛАВА 10

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

С ПОМОЩЬЮ ЦИФРОВЫХ МЕТОДОВ КОРРЕКЦИИ

10 1 ВВЕДЕНИЕ

спроектировать систему автоматического управления, имеющую
оптимальные характеристики Термин оптимальное управление
означает такую настройку параметров контура управления или
коррекцию системы которые обеспечивают наилучшее возможное
управление при наличии возмущений

Проектирование оптимальной системы основывается на кри-
терии оптимальности, выбор которого обычно зависит от специ
фических требований и особенностей применения системы Напри
мер, систему автоматического управления можно спроектировать
на основании требований к переходному процессу на ступенчатое
воздействие или требования минимума среднеквадратической
ошибки Следовательно никакой способ оптимального управления
не может быть универсальным Система автоматического управле
559
где We(z) — импульсная передаточная функция ошибки Импульс
ная передаточная функция системы в замкнутом состоянии имеет
вид

W) =	2~2)

ПЧегр

В параграфе 6 6 показано, чт® дискретные значения ошибки
системы е{пТ) можно представить в виде ряда

е(»П = ^-й(»Т) + ^г (пТ) + ^г (пТ) +

где Т — период прерывания, а г(пТ) — импульсный

вход,

Кр, Kv, Кч Кр обозначают соответственно добротность по
положению, скорости, ускорению и т д

Для уравнения (10 2—3) г преобразование имеет вид

разложение в ряд для We(z) в виде

Из уравнения (1Q. 2—3) следует, что условиями нулевой
установившейся ошибки в дискретные моменты времени являются

1	Кр = со для ступенчатой входной функции

2	Кр = Kv = оо для линейно нарастающей входной функции
3 Кр = Kv = Ка = оо для параболической входной функции

Как видно из уравнения (10. 2—7), для того чтобы реакция
системы на ступенчатую, линейно нарастающую или параболиче
скую функцию заканчивалась в конечное время, необходимо,
чтобы импульсная передаточная функция ошибки системы We(z)
представляла собой конечный полином от г-1 Например, если
входом является ступенчатая функция, то г-преобразование
ошибки определяется уравнением

We(z)

(10 2-10)

(10 2—11)

(10 2-12)

(10 2—13)

В этих уравнениях F(z) — рациональный полином по г-1,
который необходимо выбрать

Время переходного процесса зависит от порядка IEe(z) Ясно,
что П/е(г) будет иметь минимальный порядок, если F(z) равно
единице или постоянной величине Таким образом, при этих
условиях реакция .системы на ступенчатую, линейно нарастающую
и параболическую входную функции заканчивается соответственно
за один, два и три периода прерывания Действительно, эти
величины представляют минимальные значения времени переход
ного процесса, которые можно получить в импульсной системе
с единичной обратной связью и прерыванием сигнала ошибки
Рациональный полином F(z) нельзя выбирать произвольно
Его следует выбирать так, чтобы импульсную передаточную функ
цию Z)(z) можно было физически реализовать Из уравне
ний (10 2—1) и (10 2—2) следует, что импульсная передаточная
функция D(z) требуемого корректирующего устройства опре
деляется уравнением

(io 2—14)
Так как за некоторыми исключениями G(z) обычно содержит
в качестве сомножителя z \ то для того, чтобы Z)(z) можно было
реализовать, импульсная передаточная функция замкнутой си-

должна содержать г"1 в качестве^ сомножителя Следовал

(10 2-15)



F(z) необходимо выбрать так, чтобы функция We(z) представляла
собой полином от г-1, содержащий постоянный член 1

В табл 10 2—1 приведены выражения We(z) для импульсной
САР, переходный процесс которой при типовом входном воздей-
ствии заканчивается за минимальное время Однако, как будет
показано ниже, эти выражения применимы только в том случае,
если G(z) является импульсной передаточной функцией устойчи-
вой системы без чистого запаздывания и не содержит нулей на
единичной окружности или вне ее

Типовой вход		ФУ“К^е (°г“ИбКИ	ходногоПпро-
Г (Z)	|	R (г)			
	гА-г	1—z 1	т
t		(1-г 1)2	2Т
~2~	2(1-г-1)3	(1-z I)’	ЗГ
563
для параболической входной функции

г 1 (1 + г 1) (2г-1 - г *) _
2(1—г-1)8

-=z 2 + 3,5z-3 + 7z 4+ H,5z-5 +

(10 2—26)
специально спроектирована Приведенный пример показывает
что управление, которое является оптимальным с точки зрения
некоторого критерия (или критериев), может быть неоптимальным
(или даже неприемлемым) с точки зрения других критериев

Весь переходный процесс скорректированной системы легко
вычислить с помощью модифицированного z преобразования,
как показано в параграфе 6 4В соответствии со структурной
схемой системы (фиг 10 2—1) модифицированное z преобразова-
ние выхода системы определяется выражением

C(z,m)=	(Ю 2-27)
Из уравнения (10. 2—14) следует, что импульсная переда*

точная функция замкнутой системы имеет вид

G0(z) -D(z)G(z)We(z)

(10 2-29)
(10 2—30)

Для функции G(s), определяемой уравнением (6 2—78), z-пре-
образование равно

(10 2-32)

Приравнивая коэффициенты при соответствующих

членах, най-
(10 2—36)

Oj— 1,065&!	(10 2—37)
Решение этих двух уравнений дает

ах = 0 516,	^ = 0,484	(10 2—38)

Следовательно, требуемая передаточная функция We(z) равна

IFe(z) = (l-z-1) (1+0,5162-!)	(10 2-39)
10 2-

возмущенне

считаться оптимальной только в том случае, если пульсации на
выходе не превышают допустимого предела Проектирование им
пульсных САР, не имеющих пульсации, рассматривается ниже

Переходный процесс скорректированной системы, вызванный
ступенчатой входной функцией, может считаться оптимальным
в таких случаях когда пульсации на выходе являются несущест
венными Однако система не будет вести себя удовлетворительно
когда на входе регулируемой системы Gs(s) будет действовать
внешнее возмущение Структурная схема данной системы, под
вергнутой действию внешнего возмущения U(s) изображена на
фиг 10 2—4 Для выхода системы C„(s), вызванного возмуще-
нием U(s), z-преобразование легко найти из структурной схемы

с - и	- UGs(-z}

J +D(Z) GsGh(z) ~ 1+О(г)0(г)

(10 2—43)

u = W+oisHi’+oW

(10 2—44)

и соответствующее z преобразование

j j / \	0 76z 1 (1 -p 0 05г x)(1 + 1 065г x) /то л

UG* - (1 _ г i)2 (1 _ 0 135z-~) (1 -00185^ <10 2^45)
Знаменатель уравнения (10 2—43) равен

(1-, .)(1‘+0 516, .) <Ю 2—46)
C(z,m) = E1(z)G(z m)^Ge(z)G(z,m)R(z), (10 3—1)

GJz) = ^§> =

(10 3 2)

видно, что для системы свободной от пульсаций необходимо,
чтобы импульсная передаточная функция замкнутой системы
G0(z) = 1 — We(z) являлась полиномом от z 1 и включала в ка
честве нулей все нули G(z). Дополнительными ограничениями,
налагаемыми на We(z) являются следующие We(z) должна быть
полиномом от z 1 должна содержать в качестве своих нулей все
полюсы G(z, m), которые лежат на единичной окружности пло-
скости z или вне ее, We(z) должна удовлетворять условиям нуле-
вой установившейся ошибки полученным в параграфе 10 2 Если
We(z) определена, то импульсная передаточная функция D (z)
искомого цифрового корректирующего устройства получается не-
посредственно из уравнения (10 2—14).

Из изложенного следует что импульсная система, спроектиро-
ванная на основе критерия отсутствия пульсаций, обычно имеет
меньшее быстродействие, чем система спроектированная на основе
минимума времени переходного процесса Таким образом, систему
свободную от пульсаций, можно получить за счет увеличения вре
мени переходного процесса Числовые примеры данные ниже,
поясняют проектирование импульсных САР, свободных от пуль
Пример 10.3—1 Вернемся к импульсной системе, рассмот
ренной в примере 10 2—1 Требования к системе: 1) система не
должна иметь пульсаций и ошибок в установившемся состоянии
при ступенчатом входном воздействии, 2) переходный процесс
должен заканчиваться за минимально возможное время. Требуется
спроектировать корректирующее устройство, удовлетворяющее
этим требованиям

Передаточная функция прямой цепи нескорректированной си-
стемы в области s имеет вид

Для функции G(s) z преобразование и модифицированное
z преобразование имеют вид

О (г, т) = ЮГ- [+)т +	+ (»-!)] (10 3-6)

Для определения требуемых передаточных функций We(z) и
D(z) предположим, чго

1— We (z) — bgZ'1 (1 +0,7182-!),	(10 3—7)

Из уравнений (10 3—7) и (10 3—8) получим соотношение
b^z-1	0,718z~2) = (1 — О1) г’1 +	(10 3—9)

Приравнивая коэффициенты при соответствующих членах обеих
частей уравнения получим

at = 0,718^

что дает решения

+ = 0,418,

: 0,582

Следовательно,

Из уравнения (10 2—14) с помощью соответствующей подста-
новки получаем импульсную передаточную функцию D(z) тре-
буемого цифрового корректирующего устройства Таким образом

С»’-15’
+ (2,164 - 0,582 т - 1,582 е^) г’2 +

(10 3—18)

с(Т, т) = l,582(m — 1 +е~т)	(10 3—19)
У [т^т- (‘1-оХ"	<“-')]	(ЮЗ-21)
С изложенными принципами проектирования предположим,

We(z) = (1 — z х)а(1 - GjZ-1),	(10 3—23)

(1 -0 368г 1 -Ч"* —!)]

(10 3-30)

С (z, т) = 3,83 (m - 1 + <?-"*) Га + (3,65 + 0,175m - 2 24^) г’Ч
+ (m+3)z~4 +(m +4)z-5 +	+ (m -J- k — 1) z~k +	(10 3—31)

575
Коэффициенты данного степенного ряда определяют реакцию
на линейно-нарастающую функцию Переходный процесс закан
чивается за три периода прерывания без пульсаций На
фиг. 10 3—3 изображен график этого
переходного процесса Предъявляе
мые к системе требования удовле
творяются при использовании цифро
вого корректирующего устройства
имеющего передаточную функцию
(10 3—28) Однако изложенный метод
проектирования не является совершен
ным Недостаток оптимального проекти
рования, основанного на критерии от
сутствия пульсаций, вскрывается при
исследовании поведения оптимизиро-
ванной системы на вход которой подана
ступенчатая функция Модифицирован
ное z-преобразование выходного сигнала
системы, появляющегося при подаче на

вход единичной ступенчатой функции, получается из уравнения
(10 3—1) с помощью надлежащей подстановки Таким образом

Несмотря на то, что переходный
процесс системы при ступенчатом воз-
действии заканчивается в течение
трех периодов прерывания без пуль
саций в установившемся состоянии,
система является неудовлетворитель
ной Действительно, скорректирован
ная таким образом система имеет пере-
регулирование в 100% при ступенча

c(t)

Фиг. 10. 3—4 Реакция скоррек



том воздействии



чатое входное воздействие для

неприемлемо в большинстве случаев	примера 10. 3—2

Очевидно, очень большое перерегули-

рование является серьезным недостатком системы хотя она и
свободна от пульсаций. Следовательно, если большое перерегули
рование является недопустимым, то импульсная САР должна быть
спроектирована на основе компромисса между требованиями
к величине пульсаций, времени переходного процесса и перере
гулированием для получения наилучших характеристик

10 4 МИНИМИЗАЦИЯ ОШИБКИ СИСТЕМЫ

Импульсные системы автоматического регулирования, рассмот
ренные в предыдущих параграфах, имели серьезные недостатки
Если система спроектирована исходя из оптимальной реакции на
линейно-нарастающую функцию, то при ступенчатом воздействии
имело место слишком большое перерегулирование, вследствие чего
система оказалась непригодной. Наличие чрезмерного перерегули
рования ограничивает область применения систем, оптимальных
только с точки зрения времени переходного процесса и имеющих
нулевую установившуюся ошибку Для обеспечения компромисса
между временем переходного процесса,’' пульсациями и перере
гулированием применяется метод проектирования основанный
на минимизации суммы квадратов дискретных значении ошибки,
вызванной типовым воздействием

В большинстве случаев качество импульсной САР считается
удовлетворительным, если ошибка не превышает некоторого
уровня, и неудовлетворительным, если этот уровень превышается
В этом случае подходящим критерием качества может быть отно
сительное время в течение которого ошибка превышает допусти
мый уровень Малая величина этого относительного времени ука-
зывает на хорошее качество САР Этот критерий кажется совер-
шенно простым и понятным К сожалению, решить математически
проблему минимизации ошибки системы на основе этого критерия
невозможно При других условиях оптимальное качество дости-
гается при минимизации максимальной ошибки импульсной САР,
на вход которой подано типовое воздействие Однако проблема
минимизации максимальной ошибки также не решается авали
тически Но проблема минимизации суммы квадратов ошибки
может быть решена аналитически для довольно широкого класса
сигналов Кроме того, при минимизации суммы квадратов дискрет-
ных значении ошибки имеется тенденция к ограничению макси
мальной ошибки импульсной САР, если эту ошибку можно контро
лировать

Прежде чем применить критерий минимума суммы квадратов
дискретных значений ошибки к проектированию импульсных САР,
выведем важное соотношение, связывающее сумму квадратов им-
пульсной последовательности с ее г-преобразованием Предполо-
жим, что импульсная последовательность сигнала е(/) предста-
вляет собой e(kT), а его z-преобразование E(z) Тогда

2L^E(z)E(z-i)z-4z

(10 4-1)
Это уравнение можно получить следующим образом

Применяя обратное г преобразование (5 6—4) получим выра-
жение

здесь контур Г является единичной окружностью в плоскости г,
которая охватывает все особенности подынтегрального выражения

Из уравнения (10 4—2) следует, что сумма квадратов после-
довательности импульсов определяется уравнением

J [e(W

(10 4—3)

Изменяя последовательность интегрирования и суммирования
получаем

e(kT)zk

По определению z преобразования

%e(kT)z~k

Подставляя z 1 вместо z получим

E(? x) = %e(kT).

что представляет собой сумму входящую в уравнение (10. 4—4)
Используя уравнение (10 4—4) и (10 4—6), получим соотноше

Вернемся теперь к проблеме проектирования Оптимальное
проектирование можно выполнить с помощью введения специаль-
ного весового коэффициента в знаменатель импульсной переда-
точной функции ошибки We(z) Нежелаемое перерегулирование
уменьшается за счет увеличения времени переходного процесса
Если входным сигналом является линейно нарастающая функ
ция, то импульсная передаточная функция ошибки скорректиро-
ванной системы будет иметь следующий основной вид

11> Ы _	=	+-.*-) ,10 4_7)

здесь а часто называется весовым коэффициентом, который может
принимать значения от —1 до 4-1 Этот весовой коэффициент
непосредственно влияет на перерегулирование выходной после-
578
(10 4—8)

а соответствующее z преобразование равно

0 76г	+0 05z’) (1-J- 1,065г 1)

° & ~ (1 - г-1) (1 - 0 135г-1) (1 - 0 0185г-1)

(10 4-9)

рованными выше, предположим, что

^(г) = -(1....... г((1-У0-+)а1г.1).,	(10 4-10)

(10 4-11)
&0==2 —Й! —a,	(10 4—12)

br Ь 1,065&0 = 2й1-1	(10 4-13)

1,0656!= -a,	(10 4—14)

= (10 4~17)

V1	l+S^a-fa?

2j [е (^)l2 =-----------

(10 4—18)

Исключая «! из уравнений (10 4—15) и (10 4—18), получаем
равна 1,611, если а = 0 и достигает наименьшего значения 1,035

При воздействии на вход единичной ступенчатой функции
2 преобразование ошибки системы равно

£<г>~	г1-«г-°,г 1	(10 4-20)

Используя уравнение (10 4—1), получаем сумму квадратов
дискретных значений ошибки в виде



(10 4-21)

Подставляя уравнение (10 4—15) в (10 4—21), получаем еле
дующее выражение

2[e(W =

(10 4—22)

график которого изображен на фиг 10 4—1 Сумма квадратов
дискретных значений ошибки уменьшается с увеличением а от
—1 она равна 1,659 при а = 0 и достигает наименьшего значе
ния 1,266 при а — 1

В данном примере нельзя найти минимум, одновременно обес-
печивающий оптимум как для ступенчатой, так и для линейно-
нарастающей входных функций Из фиг 10 4—1 видно, что зна-
чения суммы квадратов дискретных значений ошибки для этих
двух типовых входов равны, если весовой коэффициент равен
0,02, что соответствует точке пересечения двух кривых Однако
при этом значении весового коэффициента реакция на ступенча
тое воздействие имеет большое перерегулирование, которое обычно
неприемлемо Если а = 0 (что соответствует случаю отсутствия
весового коэффициента), то выходные последовательности на сту
пенчатое и линейно-нарастающее входные воздействия затухают
в течение трех периодов прерывания при нулевой установившейся
ошибке Однако реакция на ступенчатое воздействие имеет пере
регулирование 95%, как показано на фиг 10 4—2, а Если весо
вой коэффициент принимает отрицательные значения, система
становится колебательной Отрицательному весовому коэффици
енту соответствует отрицательный действительный характеристи
ческий корень (полюс* замкнутой системы) Как показано в пара
графах 7 1 и 7 2, отрицательный действительный характеристи
ческий корень дает колебательную составляющую переходного
процесса

&о= 1,218-

— 0 734а, (10 4—23)
bx - — 0,735 +

-t-0,25а	(10 4—24)

согласно уравнениям
(10 4-15), (10 4—23) и
(10 4—24) равны

ах = 0,622	1

в0 - 778	(10 4-25)

б1= —0 585 J

Для выходной реакпип системы на единичную ступенчатую
функцию z преобразование равно

г. , г Д1 + 1 065г ’) (0,778 - 0 585г 3)

G (г) — 	~~	(1 —0 6г-1) “	’

0 778г 1 + 0,247г-2 — 0,625г 3

—	1 _ 1 6г’1 + 0 6г-2
Разлагая данное выражение в ряд по степеням z 1
последовательного деления, получаем

С (г) = 0,778г-1 + 1,493г-2 + 1,299г 3 + 1,18О.“4

+ 1,115г~5 + 1,067г в +

помощью

(10 4-28)

Аналогично находим, что z преобразование реакции системы
на линейно-нарастающую входную функцию равно

Т (0 778г-2 + 0,247г-3 - 0,625г «)

"(10 4—29)
10 5 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ВХОДАМИ

может выполняться на основе критериев качества рассмотрен
ных в предыдущих параграфах Если на систему действует только
возмущение, то выход должен быть равен нулю, так как любой
выходной сигнал, появляющийся вследствие возмущения, дает
ошибку системы В этом случае можно выбрать критерий качества
основываясь на значении выхода системы (или ошибки). При опти-
мальной характеристике выход системы, вызванный внешним воз
мущением должен быть минимизирован. Следовательно, при
проектировании корректирующего устройства необходимо обра-
щать особое внимание на вредное влияние внешних возмущений
Цифровое корректирующее устройство D1(z) необходимо спроекти-
ровать так, чтобы выходная реакция на возмущение затухала за
минимально возможное время и не давала ошибки в установившемся
состоянии Если внешнее возмущение является определенной

Для того чтобы импульсная САР имела нулевую установив
шуюся ошибку в дискретные моменты времени, когла на ее вход
действует сигнал, преобразование которого Д (s) = l/s\ импульс
ная передаточная функция ошибки системы We (z) = 1 —Go (z)
должна в качестве сомножителя включать (1 — "Как пока
зано в параграфе 10 2, выходная последовательность системы
будет иметь конечное время затухания, если импульсная переда
точная функция замкнутой системы является полиномом от
Z'1 Следующим ограничением, налагаемым на (j0(z), является то,
что G0(z) должна включать в качестве своих нулей все нули О(г),
лежащие вне единичной окружности плоскости z Это ограничение
следует из уравнения (10 5—5) Если нули G(z) лежащие вне
единичной окружности, не сокращаются с нулями G0(z), то им
пульсная передаточная функция D3(z) будет соответствовать не
устойчивой цепи Если эти условия выполняются, то требуемую
импульсную передаточную функцию замкнутой системы G0(z)
можно определить с помощью метода, изложенного в пара

графе 10 2 Посредством надлежащей подстановки импульсную
передаточную функцию £>3(z) затем получаем из выражения

Проектирование требуемого корректирующего устройства
можно выполнить другим способом Импульсную передаточную
Функцию замкнутой системы G0(z) удается сделать независящей
от DJz), если в систему включить дополнительное корректирую
щее устройство D2(z) (фиг 10. 5—3) Легко показать, что при
отсутствии внешнего возмущения выход системы связан со входом
выражением

C(z) =

7? (г)

и импульсная передаточная функция замкнутой системы имеет вид

1 +G(z)P1(z)

(10

Однако если выбрать O2(z) так, что

D2(z)=D3(z)G(z),	(10 5

то уравнение (10 5—7) принимает следующий простой вид

G0(z) = D2(z) = D3(z)G(z)	(10 £

Выше везде предполагалось, что система устойчива и G(z) не
имеет нулей на единичной окружности плоскости z или вне ее

Часто в САР задержка выхода по отношению ко входу является
нежелательной. В этом случае система должна быть спроектиро
вана так, чтобы задержки во времени не было Это можно выпол
нить, выбрав другую импульсную передаточную функцию замк
нутой системы, отличающуюся от функции (10 5—13). Обычно
система проектируется таким образом, чтобы она имела наиболее
короткое время переходного процесса и нулевую ошибку в дискрет
ные моменты времени в установившемся состоянии, когда на ее
вход подаются типовые воздействия При проектировании системы
на основании этих критериев должны выполняться ограничения
на G0(z), установленные выше. Кроме того, регулируемая система
(или объект) должна быть устойчивой Если требуемая импульсная
передаточная функция G0(z) выбрана, то из уравнения (10 5—9)
легко получить импульсные передаточные функции H2(z) и Z)3(z)
цифровых корректирующих устройств Несмотря на то, что при
веденные соображения касались только импульсных САР основ
ного типа с одним входным сигналом и одним внешним возмуще
нием, их легко обобщить также для систем с несколькими вхо
дами, если эти входы можно рассматривать отдельно и принцип
суперпозиции применим

10 6 ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
С НЕСКОЛЬКИМИ ЧАСТОТАМИ ПРЕРЫВАНИЯ
превышающей частоту прерывания сигнала на его входе В па
раграфе 6 7 показано, что z-преобразования ошибки системы

Решая совместно уравнения (10 6—3) и (10 6—4), получим

G0{z)n = D(z)nG(z)nWe(z)

Go (z„) = £> (z„) G (z„)	(^),

(10 6—6а)
(10 6—66)

где функция We(znn) получается из выражения We(z) с помощью
подстановки z =

Интересно отметить, что когда п — 1, уравнение (10 6—6)
превращается в уравнение (10 2—29), которое соответствует
системе с одной частотой прерывания. Вследствие сходства урав
нений (10 6—6) и (10 6—29) методы оптимального проектиро-
вания, применяемые для систем с одной частотой прерывания и
изложенные в предыдущих параграфах, можно использовать для
проектирования корректирующих устройств с несколькими ча
стотами прерывания Для синтеза систем с несколькими частотами
прерывания также могут применяться критерии качества, зада
ваемые в виде времени переходного процесса, перерегулирования,
установившейся ошибки и величины пульсаций Если в качестве
основного уравнения проектирования используется уравнение
(10 6—6), то синтез корректирующего устройства с несколькими
частотами прерывания £)(г„) по существу сводится к определению
We(z) или G0(zn), обеспечивающих оптимальную характеристику
системы Если функция G0(zrt) определена, то из уравнения
(10 6—6) непосредственно получается импульсная передаточная
функция корректирующего устройства с несколькими частотами
прерывания
(10 6—13)



(10 6—17)

должно быть рациональным полиномом по г„' Уравнение (10 6—
17) получается из (10 6—16)

Из уравнений (10. 6—8) и (10 6—13) следует, что гп-преобра
зование ошибки системы имеет вид

(10 6-18)

Следовательно,- для того чтобы система имела нулевую уста
новившуюся ошибку в дискретные моменты времени при отработке
входного сигнала, определяемого уравнением (10 6—13), им
пульсная передаточная функция ошибки We(zn) должна содер-
жать в качестве сомножителя (1 — г^1)* Очевидно, что при этом
функция We(zn) и (k — 1) ее первых производных при zn ~ 1
равны нулю Используя это свойство, получаем k уравнений,
из которых определяем коэффициенты полинома P(zn) После
определения P(z„) импульсную передаточную функцию замкну-
той системы G0(zn) получаем из уравнения (10 6—15) С помощью
подстановки найденных функции в уравнение (10 6—7) опреде-
ляем импульсную передаточную функцию D(zn) Следует отме
тить, что приведенный порядок действий при проектировании
справедлив, если импульсная передаточная функция разомкну
той нескорректированной системы G(z„) не имеет нулей и полю
сов на единичной окружности в плоскости z или вне ее

Если G(zn) содержит нули и полюсы на единичной окружно
сти или вне ее то при определении G0(zrt) и We(zn) вводятся
дополнительные ограничения Как указывалось в параграфе
10 2 с помощью цифрового корректирующего устройства нельзя
сократить нули и полюсы импульсной передаточной функции не
скорректированной системы, лежащие на единичной окружности
или вне ее Согласно уравнению (10 6—6) по этой же причине
нули и полюсы G(zn), лежащие на единичной окружности или
вне ее нельзя сократить с помощью D(zrt). Следовательно, такие
нули функции G(z„) должны быть оставлены в качестве нулей
импульсной передаточной функции замкнутой системы G0(zrt),
а такие полюсы G(z„) должны быть сокращены за счет We(znn)
Это приводит к следующим ограничениям 1) G0(z„) должна содер
жать в качестве своих нулей все нули G(zn), которые лежат на
единичной окружности или вне ее. 2) U/..(z„) должна включать
в качестве своих нулей все полюсы G(zn), которые лежат на еди
ничной окружности или вне ее

Первое ограничение не требует пояснений, а второе требует
дальнейшего рассмотрения, так как G(zn) является zn преобра
зоваиием и — z-преобразованием, в котором г заменено
z^. Для сокращения полюса G(zn) требуется нуль, равный этому
нежелаемому полюсу плюс (п — 1) дополнительных нулей
в IFc(zn) так как IFe(z„) является функцией от z^n Если функ
ция We (z„) должна содержать в качестве сомножителя (гл — а)
то она должна иметь нуль при г = znn = ап Нуль (или полюс)
вида zn = а не появляется один в We(znn}, а всегда сопровождается
дополнительными нулями (или полюсами) Следовательно, для
сокращения полюса G (zn) при zn = а необходимо, чтобы импульс
ная передаточная функция ошибки W„(z) имела нуль при z =



(10 6—19)
Нули полинома в скобках являются дополнительными нулями
для нуля zn = а

Однако, как видно из уравнения (10 6—7), все дополнитель
ные нули We(z'n) будут образовывать полюсы D(zn), усложняя
реализацию цифровой программы для корректирующего устрой
ства, что нежелательно Эту проблему можно решить с помощью
введения в G0(zn) сомножите !Я (1 — Л-") так, чтобы дополни
тельные нули We(z^ не появлялись в £>(?„) в качестве полю
сов вследствие сокращения В этом случае цифровая программа
будет упрощена за счет времени переходного процесса

10 7 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Методы проектирования, изложенные в предыдущих парагра
фах и в гл 9, основаны на предположении, что требования к си
стеме задаются исходя из ее реакции на ступенчатую, линейно
нарастающую и синусоидальную функции САР проектируется
так, чтобы обеспечивалась удовлетворительная реакция на типо
вые входные сигналы, которые выбираются на основании некото
рых знаний о входном сигнале В качестве типовых сигналов наи
более часто используются синусоидальные и простые аперио
дические сигналы, например ступенчатая и линейно-нарастающая
функции Применение данных методов проектирования во многих
случаях приводит к удовлетворительному решению Однако дей
ствительный входной сигнал импульсной или цифровой САР,
возмущение нагрузки, наложенный шум и действительный выход
ной сигнал системы обычно имеют случайный характер и поэтому
могут быть описаны лишь статистически Любая общая характе
ристика сигналов, воздействующих на систему, должна быть ста
гиетическои Характеристики слмчаиных сигналов определяются
на основании осреднения по времени Ниже рассматриваются
статистические принципы проектирования импульсных и цифро
вых систем автоматического управления

Так как импульсная САР во многом напоминает непрерыв
ную систему автоматического регулирования, то статистические
принципы проектирования непрерывных систем можно приме
нять для расчета импульсных и цифровых САР Вначале кратко
остановимся на основных аспектах статистического проектиро
вания непрерывных систем Далее рассмотрим лишь стационар
ные случайные процессы Стационарный случайный процесс ха
рактеризуется функциями распределения вероятности, которые
не зависят от начала отсчета времени Иными словами, случай
ный процесс не изменяется во времени Для стационарных
случайных процессов важно сделать предположение среднее
по времени равно среднему по совокупности Это — так назы
ваемая эргодическая гипотеза, которая означает, что большое
наблюдении, сделанных

использовании этой теории качество системы автоматического

регулирования оценивается на основе критерия среднеквадрати
а взаимно-корреляционная функция сигналов y(t) и x(t) — урав
нением

Ф,Дт) = 11ГП 2^ f y(t)x(t + x)dt (10 7-66)

Спектральная плотность сигнала является преобразованием
Фурье автокорреляционной функции этого сигнала, а взаимная

597
Ф^м= J (р^(г)е /6jXdr

(10 7—7)

Фхх(т)=2К f фхх(®)в/Х<й£1й)

(10 7-8)

а взаимная спектральная плотность и взаимная корреляционная
функция связаны уравнениями

(10 7—10)

Из уравнения (10 7—5) видно, что если т = 0. то автокорре
ляционная функция имеет вид

(10 7-11)

что равно среднеквадратичсскому значению сигнала x)t) Ана
логично, если т = 0, уравнение (10 7—6) дает

Ф^(0)=г11т f л (/)*/(/) ^==*(01/(0, (Ю7-12)

что равно среднему значению произведения функций x(t) и
y(f) Кроме того, из уравнений (10 7—8) и (10 7—10) следует,
что если т = 0, то

Ф«(0) 

2^- J Ф„(ю)(/ю

(10 7-13)
=	f(Ю7-16)

(10 7-17)

w i f (“) + ф<™ (“) 1 ф^ (“)J
Используя свойства 3 и 4 и уравнения (10 7—22) и (10 7—23)
получаем уравнение (10 7—21)
f ftWft^-b)^

= J g. (X) dl x lim gjr f x2 (0 X1 [t + (r - X)] dt =

=rlimM f ft (0 dt f W ft X W + т) - X] dX =

=^hni— ]x2(t)yix(t + r)dt

(10 7-24)

,(r) = f gx (X) ФхаХ1 (r - X) dX (10 7-25)
При подаче на вход системы <32(s) сигнала фУ1Л:г(т) выход
равен

f	= ] g2(k)dkx

х I im f yr (0 x2 [/ + (т — X)] dt -

-ДиД- f У1 dt f gs (X)x2[(/ + r) - X] d\ ~

= ДГП-Д f yi(t)y2(t + r)dt (10 7-26)
овательно,

^Лт)=	(10 7-27)

Аналогично получаем соотношения

Фх>г/2(т)= J g2(X)T^(T-%)dX	(10 7-28)

Фг/гУ1(т)= [ £1 Фл*1 (т ~	(10 7—29)
е2^ = ЪГ f {Go(/«)-G.(/®)][Go(-/®)-G,(-/o))] X

с0(/®)с0(-/®)фГлГл(®)}й®,

(10 7—36)

что является выражением среднеквадратической ошибки в частот
ной области Как указывалось выше, проектирование оптималь
ной системы состоит в определении физически реализуемой пере
даточной функции Go(/®), обеспечивающей минимум средне
квадратической ошибки при заданных функциях Grf(/®),
ФГЛ(и), Ф^Гп((о) и ФГЛ(<в) Процесс минимизации можно ocv
ществить применяя вариационное исчисление к интегралу
(10 7—36) Это является основой теории Винера — Колмогорова,
предназначенной для оптимального проектирования фильтров и
систем Известно, что решение данной задачи имеет вид

F (/«) F (-/®) = Ф,л (®) + ®v„ (®) +

+ ФГЛ (®) — Ф,^ (со)	(10 7—38)

и символ { }+ обозначает операцию выбора части функции от
s с полюсами, расположенными в левой половине плоскости s
Уравнение (10 7—37) полностью определяет характеристики
оптимальной системы, так как в правой части этого уравнения
находятся только заданные функции

Выше были кратко рассмотрены основные принципы статис
тичсского проектирования непрерывных систем автоматического
регулирования Теперь необходимо распространить эти прин
ципы на цифровые и импульсные САР В качестве основного кри
терия проектирования цифровых и импульсных систем автомати-
ческого регулирования также принимается критерий минимума
среднеквадратической ошибки Теория оптимальной фильтрации
и предсказания Винера—Колмогорова применяются в данном
случае следующим образом Понятия корреляционной функции
и спектральной плотности также вводятся при проектировании
цифровых и импульсных САР Для того чтобы сделать анализ
и синтез более легкими и понятными, задача статистического про
ектирования импульсных САР будет рассматриваться в тесной
связи с задачей статистического проектирования непрерывных
систем Как будет показано ниже, большое число уравнений,
описывающих статистические свойства непрерывных сигналов,



r(nT) = rs(nT) + rn(nT),

(10 7—39)

и последовательность импульсной ошибки системы имеет вид

е (пТ) = с(/гТ) — cd (пТ) = с6 (пТ) Д cra(nT) —cd(nT), (10 7-40)
Подставляя уравнение (10 7—40) в (10 7—41) и упрощая,
получим

(nT)==lim^J— 2 [с2(иГ)+с2(иТ)+с2(/гГ)
+ cs (пТ) сп (пТ) + сп (пТ) cs (пТ) - сп (пТ) cd (пТ) -
- c^nT) сп (nT) — cs (nT)cd (пТ) - cd (пТ) cs (nT)] =
= ^Т) + <(^)+^Т) +

-r Cs (пТ) cn (пТ) + cn (nT) cs (nT) —

— cn (nT) cd (nT) — cd (nT) cn (nJ) —

— cs(nT)cd(nT) — cd(nT)cs(nT)

(10 7—42)

Целью проектирования является определение импульсной
передаточной функции замкнутой системы G0(z), обеспечивающей
минимум импульсной среднеквадратической ошибки При син
тезе первый шаг состоит в определении характеристик входных
сигналов Для того чтобы применить теорию Винера — Колмого-
рова для статистического проектирования импульсных САР, не
обходимо ввести понятия корреляционной последовательности
и импульсной спектральной плоскости

Корреляционная последовательность и импульсная спектр аль
ная пютность Понятие корреляционной последовательности
вводится по аналогии с понятием корреляционной функции,
устанавливаемым уравнениями (10 7—5) и (10 7—6) Автокор
реляционная последовательность импульсного сигнала x*(t) или
х(пТ) определяется уравнением

Ф^П = Ьт-2-/+1 £ x(nT)x(nT + kT) (10 7-43)

2 у (пТ) х (пТ-у-kT) (10 4-446)
Преобразование Фурье от автокорреляционной функции не
прерывного сигнала является спектральной плотностью этого
сигнала, а преобразование Фурье взаимно корреляционной функ
ции двух непрерывных сигналов — взаимной спектральной плот
ностью этих двух сигналов По аналогии двустороннее z преобра
зование автокорреляционной последовательности импульсного сиг
нала является импульсной спектральной плотностью импульсного
сигнала а двустороннее z преобразование взаимно корреляцией
ной последовательности двух импульсных сигналов — импульс-
ной взаимной спектральной плотностью этих двух сигналов
Таким образом импульсная спектральная плотность и автокор
реляционная последовательность связаны уравнениями

Фк(?) = 2 <pxx(kT)z~k

(10 7-45)

(10 7—46)

фхДг)- 2 ЧхуЦгТ)? к

(10 7-47)



(10 7—48)

здесь z = е1аТ и контур интегрирования Г являются единичной
окружностью в плоскости z Уравнения (10 7—45) — (10 7—48) —
аналогами уравнений (10. 7—7) —(10 7—10), которые характе
ризуют непрерывные сигналы В зависимости от частоты импульс
чтобы представлять последовательности как при положительном
так и при отрицательном времени используется двустороннее
z преооразование Так как k может принимать положительные
и отрицательные целые значения, то контур интегрирования
уравнения (10 7—46) определяется следующим образом. Для
положительных значений k интеграл равен сумме вычетов
Ф*/?)?*-1 для полюсов, лежащих внутри единичною круга пло
скости z, для отрицательных значения k интеграл равен сумме
вычетов ФАА(г)г*“1 для полюсов, лежащих вне единичного круга
Таким образом,

фАА (kT) = 2 Res Ф« (z) z*-1 для £>0 (10 7—51а)

все полюсы внутри единичного круга

<рлл(^Т)=- 2 Res (г) z*’1 Для k < 0 (10 7—516)
все полюсы вне единичного круга

Из уравнения (10 7—43) видно, что при k = 0 автокорреляцией
ная последовательность определяется уравнением

2^ х\пТ) = х^(пТ) (10 7-52)

что равно среднеквадратическому значению импульсного сигната
или х*(/). При k = 0 уравнение (10 7—44а) принимает вид

£ х(пТ)у(пТ) = х(пТ)у(пТ), (10 7-53)

что представляет собой среднее значение произведения двух по
следовательностей х(пТ) и у(пТ) Кроме того, из уравнений
(10 7—46) и (10 7—48) получим следующие выражения

(10 7—55)

Решая совместно уравнения (10 7—52) и (10 7—54) получим

xz(nT) - <рхх (0) = A- (f) Фхх (z) a’1 dz (10 7-56)

Из уравнений (10 7—53) и (10 7—55) выводится соотношение
Уравнения (10 7—56) и (10 7—57) можно также выразить
в зависимости от частоты

х2{пТ) = <рхх(0) = j Фхх (j®) da (10 7—58)
~“s/2

____________ “s/2

х(пТ)у(nT) = фХ4(0) =-2— [ ф^(/и)б(®, (10 7—59)
спектральной плотности

1 Автокорреляционная последовательности является четной
функцией и, таким образом,

<Pxx(kT) =

(10 7—62)

2 g(nT)<pxx(kT-nT) =

=- j? g(nT)hm 2^1-т % x(lT)x£T + (kT~nT)]==

= lim 2 * m S S m X [(IT + kT) ~ nT] =
Л'->”	n~-«.

2 x(lT)y(lT-kT) (10 7-66)

39 Юлиус T Ту	609
Следовательно, согласно определению взаимной корреляцией
ной последовательности получим

2 g(nT)^x(kT-nT)^^(kT) (10 7-67)
2 g2m^x,(kT-nT)^

=	S У^х.ЦТ + ^Т-пТ)] ~

-Jim 2^ 2 y^T) 2 g.mxAdT + kT)-nT]^

-lim^^r S My^TikT) (10 7-74)

Д'-»®	1 s_^v

39*

6П
Следовательно,

Аналогично можно вывести соотношения

ФЗД2 (kT) = 2 81 ^Х'Хг (kT ~

Фы> (^Л = 2 81 (1гТ ~ пТ">

(10 7-75)

(10 7-76)

(10 7-77)

Ф^3 (z)= С2(г)ФЛХ2 (z)
Фх,Уа(2)= G2(Z)(DX1X2 (z),
Фу^ (Z)- С1(2)Фг/гХ1 (Z)

(10 7-79)

(10 7-80)

(10, 7—81)

Фу>уг (z) = С2(г)Фзд (г'1)

(10 7-82)

Используя свойство 4, уравнение (10 7—83) можно преобра
зовать к виду

Фу>уг (.z) = G1(z-1) G2 (z) Ф^х, (z)	(10 7—84)
где

(пТ) = -2^^Ф^(2)2’1сг2-

(10 7-86)

(10 7—87)

В этом уравнении все функции от z являются известными,
за исключением импульсной передаточной функции G0(z) замкну
той системы.. Проблему минимизации можно решить, применяя
вариационное исчисление к интегралу (10 7—86)

Для определения условий минимума импульсной среднеквад
ратической ошибки предположим что G0(z) в уравнении (10 7—
86) получает малую вариацию ц (г) Тогда вариация первого по-
рядка импульсной среднеквадратической ошибки бе2 (пТ) полу
чается из уравнения (10 7—86) с помощью подстановки G0(z) +

разом

== Л (2) <Go (Г1) Ф (2)"	(2-1) & +

(DVn (г)]} z-'dz -г j П (г'1) {Go (г) Ф (г) - Gd (z) [OVs (г) +

{-OVs(z)]}z-Mz,

(10 7-88)

где

Ф (г) = Or/s (z) +	(г) + ФГ/я (г) + Ф^^ (z) (10 7—89)

Ф (z) = Ф (z“l)

(10 7—90)

613
Следовательно Ф(г) можно записать как
O(z)=7’(z)7’(z-1),

(10 7—91)

где F(z) — функция от z, полюсы и нули которой лежат внутри
единичной окружности плоскости z, а /?(г~1) — функция от z,
полюсы и нули которой лежат вне единичной окружности

Подставляя уравнение (10 7—91) в (10 7—88), получим

(г’1) F (z) F(z l) - Gd (z *) [Or/s (z) +

 OVs (z)]} z~xdz = 2^- (j) n (z) F (z) x

т 2л/

---VsL!L\z-ld (10 7_92)

Если GQ(z) действительно является импульсной передаточной
функцией замкнутой оптимальной системы, которая миними-
зирует импульсную среднеквадратическую ошибку, то вариация
бе2 (пТ) должна стремиться к нулю для произвольного r|(z)
Следовательно, величины в скобках уравнения (10 7—92) должны
быть равны нулю Это является условием оптимальной импульс-
ной передаточной функции системы. Однако следует предвари-
тельно упростить правую часть уравнения (10 7—92) Так как
второй член в скобках уравнения (10 7—92) содержит полюсы
как внутри единичной окружности, так и вне ее, его можно за-
писать в виде



(10 7-93)

здесь символ { }+ обозначает операцию выбора части функции
от zc полюсами внутри единичной окружности плоскости z, а сим
вол ( }_ — операцию выбора части функции от z с полюсами
вне единичной окружности плоскости z Легко показать, что кон
турный интеграл стремится к нулю, если все полюсы подыцтег-

6J4
раЛьного выражения расположены либо внутри единичной окруж
ности, либо вне ее Таким образом,

_L	[фvsR = n nn7_Q41

r^( )J-j 2-Чг = 0 (10 7-95)

Используя это свойство, уравнение (10 7—92) можно преоб
разевать к виду

(»Т) - 2^7 f ч И f (г)[ о, (г-1) Г (Г1) -

С0(г)Л(г) = {	(10 7-97)

Необходимо отметить, что при отсутствии шума получаем

OVn(2)-OVn(2) = 0 и F (2) F (г’1)OVs (г),

т е О0(г)-ОДг)

рассматриваемой системой Данная система автоматического ре-
гулирования будет плохо работать при значительных изменениях
структуры стали

Для решения указанных проблем необходимо ввести новое
понятие для проектирования систем автоматического управле-
ния — самонастройку Концепция самонастройки или самопри
способления сложных систем появилась в результате изучения по-
ведения живых организмов, так как характеристики их поведе
ния являются наиболее общими Самоприспособление означает
способность к самоизменению или саморегулированию в соответ
ствии с изменяющимися условиями окружающей обстановки
Это является основным свойством живых организмов Конечно
желательно придать эти свойства системам автоматического управ
ления Необходимо спроектировать систему автоматического уп
равления, способную обучаться необходимому поведению и об
ладаюшую свойствами, сильно напоминающими гемеостатическое
поведение живых организмов, которое позволяет им существовать
при любых изменениях окружающей обстановки или структуры

Самонастройка означает способность системы автоматического
управления изменять свои собственные параметры при изменении
рабочих условий Отличительной чертой самонастраивающихся
систем автоматического управления является способность авто
матически компенсировать любые изменения входа системы
например соотношения сигнал — шум, или компенсировать изме-
нения параметров системы, вызываемые изменениями окружающей
обстановки По способам самонастройки самонастраивающиеся
системы можно отнести к одному из следующих типов: самона
стройка ко входу, самонастройка к изменению объ°кта регулиро
вания и самонастройка по критерию качества Можно провести
также следующую классификацию пассивную самонастройку
самонастройку параметров системы и самонастройку характе
ристик системы Системы с пассивной самонастройкой осуществ
ляют приспособление не за счет изменений параметров, а за счет
надлежащего проектирования, учитывающего большие изменения
окружающих условий. Примерами таких систем являются обыч
ные системы автоматического регулирования с обратной связью
и системы с условной обратной связью Системы с параметриче
ской самонастройкой настраивают свои параметры в соответствии
с характеристиками входных сигналов или измеренными перемен
ными системы Экстремальная система и гомеостат1 проекта
руются на основе самонастройки параметров системы Системы
с самонастройкой характеристик приспосабливаются с помощью
измерения передаточных характеристик
может облегчить реализацию самонастраивающихся систем, ос
нованных на указанных выше принципах Ниже рассматривается
несколько самонастраивающихся систем.

Для измерения динамической характеристики системы автома
тического регулирования на нее необходимо подать некоторый
сигнал В качестве этого сигнала можно использовать специаль
ный пробный сигнал (пробное возмущение) или нормальный вход
ной сигнал Так как обычно динамические свойства системы опре
деляются ее импульсной переходной функцией, то целесообразно
применять в качестве пробного сигнала последовательность им
пульсов Структурная схема такой самонастраивающейся системы
изображена на фиг 10 8—1. На вход системы, кроме управляю
щего сигнала, подается пробный сигнал в виде последовательности
единичных импульсов, частота чередования которых в 5—10 раз
меньше собственной частоты системы Для вычисления критерия
качества на основании импульсной переходной функции исполь
зуется ЦВМ Критерием качества является относительная устой
чивость системы В ЦВМ измеряется отклонение качества системы
от оптимального вследствие изменений ее параметров и форми
руется сигнал самонастройки, обеспечивающий настройку переда
точного коэффициента системы и параметров корректирующего
устройства так, чтобы импульсная переходная функция системы
была по возможности ближе к оптимальней
Критерий качества, характеризующий относительную устои
чивость системы, легко вычислить по ее импульсной переходной
функции Рассмотрение нескольких типичных импульсных пере
ходных функций показало, что отношение их положительных
и отрицательных площадей является мерой демпфирования системы
и ее устойчивости Для недемпфированных систем отношение этих
площадей равно единице, для задемпфированных — превышает
единицу, для передемпфированных — равно бесконечности. Таким
образом, критерий качества можно записать следующим образом

(йМО + Уо* U)]dt

(t) dt

(10

здесь выражение

W (/) — ю+ (t) t- (t)

(10 8-2)

(10 8—3)

а требуемое отношение площадей равно у0

Из уравнения (10 8—1) видно, что критерий качества равен
нулю, если действительное отношение площадей равно требуе
мому Критерий качества является положительной величиной
если действительное отношение площадей превышает желаемое,
т е когда система становится более медлительной Коитерий ка
чества становится отрицательным, если действительное отношение
тощ теи меньше желаемого, т е когда система становится менее
устойчивой Следовательно, величина критерия качества равна
нулю, если система настроена «оптимально», и становится положи
тельной или отрицательной величиной в зависимости от направле-
ния отклонения от оптимальных условий

Для системы второго порядка с передаточной функцией

z_x	Z1O о лх
легко показать, что отношение площадей импульсной переходной
функции равно

:	1-J»

(10 8—5)

где ьо — желаемый

коэффициент

цпсс соответствуют желаемому
коэффициенту демпфирования

самонастраивающейся системы, в которой пробным сигналом
является белый шум Структурная схема такой системы изобра
жена на фиг 10 8—3 Если на вход системы подается белый шум,
ной самонастраивающейся системе уровень пробного шума необ
ходимо поддерживать достаточно низким, чтобы не вызвать неже
лаемых искажений

Самонастраивающиеся системы могут быть реализованы и без
введения пробных сигналов Калманом была предложена система,
в которой для вычисления импульсной переходной функции регу-
лируемой системы или какого либо процесса используется цифро
вая вычислительная машина Упрощенная структурная схема
такой системы изображена на фиг 10 8—4 Сигнал с выхода ЦВМ,
определяющей импульсную переходную функцию, подается на
вычислительное устройство, которое вычисляет желаемые пара
метры цифрового регулятора Проектирование оптимального ре
гулятора определяется двумя соображениями 1) природой вход
ного и пробного сигналов системы и 2) принятым критерием ка-
чества Например, иногда настройка регулятора осуществляется
10	9 МОДЕЛИРОВАНИЕ

До сих пор рассматривались аналитические методы анализа
и синтеза цифровых и импульсных систем автоматического управ
ления Наиболее мощный аналитический метод является одним
из трех способов проектирования систем Двумя другими способами
считаются моделирование и экспериментальные испытания Моде
лированием называется имитация поведения действительной си
стемы с помощью другого устройства, которое проще по конструк
ции и легче в изготовлении Аналитический метод и метод, исполь
зующий моделирование, являются более дешевыми, а экспери
ментальные испытания требуют, как правило, больших затрат
Математический анализ является наиболее мощным в том случае
когда линеаризация системы возможна С увеличением сложности
САР, а также при наличии человека в контуре управления такой
анализ невозможен

В таких случаях на помощь математическому анализу прихо
дит моделирование. Хотя в принципе возможно исследовать изго
товленную систему при действительных условиях, даже для
622
систем средней сложности стоимость их изготовления и необхо-
димое ддя этого время часто ограничивают возможность таких
испытании Действительно, из экономических сообпажении со-
вершенно немыслимо изготовить сложную систему, испытать ее
и отбросить за ненадобностью. Моделирование позволяет быстро
и с малыми затратами исследовать характеристики системы
В инженерной практике, особенно при изучении сложных систем,
как правило, необходимо исследовать динамику всей системы с по
мощью моделирования, которое позволяет легко определить влия
ние изменении параметров системы на ее характеристики Доста
точно сложную систему автоматического управления, например
систему управления снарядом, нельзя спроектировать без приме
нения моделирования С увеличением сложности системы модели
рование играет все большую роль при проектировании, в то время
как математический анализ используется только в начальной ста
дии проектирования и на последнем этапе

Для выполнения моделирования обычно используются анало
говые и цифровые вычислительные машины. В соответствии с ти
пом применяемого вычислительного устройства моделирование
можно разделить на три вида: аналоговое моделирование, цифровое
моделирование и комбинированное аналого-цифровое моделирование
Цифровые и импульсные системы автоматического управления
состоят как из непрерывных, так и из дискретных элементов,
вследствие этого их иногда моделируют с помощью аналоговых
и цифровых вычислительных машин, причем на аналоговых вы
числительных машинах моделируются непрерывные элементы,
а на цифровых машинах — дискретные элементы. Поименяемые
для моделирования вычислительные машины часто называются
моделирующими установками В соответствии со способом исполь
зования моделирующей установки существуют два типа модели
рования физическое моделирование и математическое моделиро
вание. При физическом моделировании только часть системы авто-
матического управления представляется в математической форме
и набирается на моделирующей установке, а другая часть пред-
ставляет собой элементы реальной системы. При математическом
моделировании вся система описывается математическими уравне-
ниями, которые затем набираются на моделирующей установке
и решаются

При физическом моделировании обычно пытаются воспроиз
вести в лабораторных условиях реальную обстановку, в которой
работают элементы системы. При использовании в моделировании
элементов реальной системы определяются характеристики, ко
торые невозможно получить или которые не учитываются при ма
тематическом моделировании Однако при использовании реаль
ных элементов моделирование необходимо осуществлять в реаль
ром времени Это ограничивает возможности моделирования
Моделирование в реальном времени требует применения быстродей
ствующих вычислительных устройств для того, чтобы исследовать
характеристики системы автоматического регулирования при нор
мальном темпе работы С другой стороны, математическое модели
рование обладает тем преимуществом, что позволяет выбирать
любой масштаб времени Таким образом, в этом случае нет необ
ходимости производить моделирование в реальном времени
Недостатком данного типа моделирования является необходимость
описания всей системы математическими уравнениями Так как
на практике математическое описание элементов цифровых и
импульсных систем автоматического управления является слишком
сложной задачей, некоторые из них приходится описывать прибли
женно, в результате чего можно упустить некоторые свойства
характеристик действительных элементов системы, что приведет
к неточности моделирования. В этом отношении физическое моде
лирование имеет преимущество перед математическим

Цифровые и импульсные САР можно моделировать на серий
ных электронных аналоговых моделирующих установках Моде
лирование непрерывных элементов САР с использованием опера
ционных усилителей и сервоумножителей было детально рас
смотрено в книгах по аналоговым вычислительным машинам 1 и
не является предметом дальнейшего рассмотрения Здесь рас
смотрены вопросы моделирования импульсных и цифровых эле
ментов САР с помощью аналоговых средств Как указывалось
в параграфе 4 6, операции прерывания и запоминания могут мо
делироваться с помощью простой запоминающей цепи Переклю
чающая цепь, которая состоит из реле или коммутирующего
устройства, работает совместно с операционным усилителем
аналогового вычислительного устройства На фиг 4 6—3 была
показана структурная схема для моделирования импульсного эле
мента и запоминающего элемента Постоянные времени переклю
чения выбраны так, что возможна непрерывная работа вычисли
тельной машины в реальном времени Моделирование кодирующих
и декодирующих устройств цифровых САР с помощью операцион
ных усилителей было рассмотрено в параграфах 8 5 и 8 6 На
фиг 8 5—7 изображена упрощенная схема цепи для моделирова
ния кодирующего устройства Для моделирования используются
два операционных усилителя и линия задержки На фиг. 8 6—8
изображена схема моделирования декодирующего устройства, в ко-
торой используются один операционный усилитель и переклю
чающая цепь Принципы проектирования и работы этих двух мо
делирующих устройств были детально рассмотрены в парагра-
фах 8 5 и 8 6 и здесь не будут повторяться

and KornLM Electronic Analog Computers
В гл 3 и 8 указывалось, что одним из наиболее важных про-
цессов в цифровых системах является квантование Для исследо
вания цифровых САР на аналоговой вычислительной машине необ-
ходимо моделировать квантователь На фиг 10 9—1 изображена
упрощенная схема моделирования квантователя В модель кванто-
вателя входит позиционная следящая система и секционный точный
потенциометр Позиционная следящая система поворачивает вы
ходной вал на угол, пропорциональный величине входного сигнала
В потенциометре имеется п отпаек, каждая из которых представ
импульсных систем автоматического регулирования

10 10 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
налы можно рассматривать изолированно, так как применим
принцип суперпозиции Хорошо спроектированная САР значи-
тельно уменьшает вредные влияния внешних возмущений на вы
ходной сигнал

В данной главе были также рассмотрены вопросы коррекции
с несколькими частотами прерывания и принципы статистичес-
кого проектирования Проектирование корректирующих устройств
с несколькими частотами прерывания, обеспечивающих опре
деленный критерий качества, не является более сложной задачей,
чем проектирование корректирующих устройств с одной частотой
прерывания. Методы оптимального проектирования импульсных
систем с одной частотой прерывания можно применять для проек
тирования корректирующих устройств с несколькими частотами
прерывания Основой статистического проектирования систем
автоматического регулирования является теория Винера —Колмо
горова При использовании этой теории качество систем автомати
ческого управления оценивается на основе критерия средне-
квадратической ошибки Данный критерий не всегда является
лучшим, однако он обладает преимуществом простоты при анализе
систем. Проблема статистического проектирования цифровых и
импульсных систем может рассматриваться в тесной связи с меточ
дами статистического проектирования непрерывных систем

В этой главе кратко рассматривались вопросы самонастройки
и методов моделирования При проектировании систем автомати
ческого управления используются три метода: аналитический рас-
чет, моделирование и экспериментальные испытания С возраста-
нием сложности систем автоматического регулирования математи
ческий анализ часто требуется сопровождать моделированием
Физическое моделирование позволяет сопрягать элементы реаль
ной системы с элементами моделирующего устройства, а при ма
тематическом моделировании требуется полное описание системы
автоматического управления с помощью математических уравне
ний При моделировании цифровых и импульсных систем автома
тического регулирования средней сложности наиболее предпочти-
тельным является аналого-цифровой метод Цифровое управле
ние облегчает реализацию самонастраивающихся систем По-види
мому, наиболее важным и перспективным применением концепции
цифровых систем автоматического управления является построе
ние на их основе самонастраивающихся систем
ГЛАВА И

АНАЛИЗ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
С КОНЕЧНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ ЗАМЫКАНИЯ

11 1 ВВЕДЕНИЕ

ваться как последовательность идеальных или эквивалентных
11 2 ИМПУЛЬСНЫЙ ЭЛЕМЕНТ И ЗАДЕРЖАННОЕ
Z ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

О элем! моду тии ного	сновным элементом импульсной САР является импульсный ант, который преобразует непрепывныи сигнал в импульсно лированный. В гл 4 и 5 показано, что, основываясь на поня импульсной модуляции, выходное преобразование идеаль импульсного элемента можно представить в виде  X*(s)= 2 x(nT)e-nrs	(Н2—1)  X (z) - 2 х (пТ) z~\	(112-2)

4(0 = f>x(nT){u(t-nT) = u[t-(nT+ h)]\ (И 2-4)

629

Подставляя выражение (11 2—3) в (11 2—9), получим

X* (s, Д) = h 2 х(пТ + Д)е-(^+д)\	(11 2—11)

(11 2—12)

Преобразуя выражение (11 2—12), получим

X (г, Д) =- hz~^T 2 х (пТ Д);

(11 2—13)

и соответствующее преобразование со звездочкой рйвно

(11 2-23)

Так как функция времени, соответствующая X(s) = l/(s + а),
есть x(t) = e~ai, то х (пТ + Д) = е~а<пГ+л) Из уравнения
(11 2—11) следует, что

X* (s k) = h	=

= ^-д (s+a) 2 е~ <s+a> т,	(11 2—24)

поэтому

X* (S, Д) =	= е-*X*h (s) (11 2-25)

X {2, Д) -	_ e-^z-^x^z) (П 2-26)

11	3 ИМПУЛЬСНЫЙ ЭЛЕМЕНТ С КОНЕЧНОЙ
ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ ЗАМЫКАНИЯ И т-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

x(t)

^*(t)
т состоит из N элемен-

Можно считать, что импульс шириной

импульсный элемент 32д — в моменты 2Д, 2Д + Т, 2Д + 27,
2Д + 37,	, а й-й импульсный

- « {Z — [п7 + (/г + 1) Д]})

(11 3-1)

Пусть х*(/), х*д (0, являются соответственно выхо
дами импульсных элементов S 0, Зд, $2Д Тогда выход импульс-
ного элемента с длительностью замыкания т определяется выра
жением

< (0 = У

где



(11 3-2)

(11 3-3)
Подставляя выражение (11 3—1) в (11 3—3) и преобразуя
по Лапласу, получим

где Д — ширина импульса, которая очень мала

Учитывая выражение (11

можно представить преобра

зование выхода импульсного элемента S в виде

здесь X*(s, АД) получается из уравнения (11 3—4) Для выхода
х*(0 импульсного элемента z преобразование можно получить
из уравнения (11 3—5) с помощью подстановки z = eTs Так
как Хт(з, т) и соответствующее z преобразование являются
функциями длительности замыкания т, то для удобства их назы
вают т-преобразованием xx(t) Таким образом, выход идеального

импульсного элемента характеризуется

а выход реального

импульсного элемента характеризуется Xx(s, т) Определение
т преобразований иллюстрируется несколькими примерами

Пример 11. 3—1. Сигнал на входе импульсного элемента
с длительностью замыкания т определяется выражением х(/) =
— e~at Найдем т преобразование выходного сигнала xx(t}

Задержанное преобразование х*(/) равно

Выражение (11 3—6) можно получить из табл
Из уравнения (11 3—5) находим т преобразование

При АД = 0, стремящемся к нулю, получаем

Таким образом, импульсная система вырождается в непрерыв
ную систему, когда длительность замыкания равна периоду преры
вания Если т = Т, уравнение (11 3—8) приводится к виду
что, как видно из уравнения (11 2—23), является преобразова
нием со звездочкой от х(/) = e~at, следовательно, преобразова
ние со звездочкой или z преобразование тесно связано с соот
ветствующим т-преобразованием, которое сводится к преобразова-
нию со звездочкой когда ширина импульса очень мала

Пример 11.3—2. Сигнал на входе x(t) импульсного эле
мента с длительностью замыкания т представляет собой единичную
ступенчатую функцию Определим т преобразование сигнала на
выходе импульсного элемента

Из выражения (11 2—20) определяем задержанное преобра
зование

тогда т преобразование х*(/) равно



(11 3-13)

Если Д стремится к нулю, получаем

Предполагается, что в уравнении (11 3—15) X(s) содержит
+ 1) простых полюсов Используя выражения (11 3—8) и
1 3—14), можно найти т преобразование для х*(0 в виде
Выражение (11 3—16) показывает, что коэффициенты при
Kos и Km!(s + ат) являются функциями длительности замыка
ния т и комплексной переменной s Полагая

(11 3-17)

(11 3-18)

т преобразование от %*(/) можно записать в виде



(11 3—19)

Коэффициенты у„(т. s) и ym(r, s) называются коэффициентами
т преобразования Для функции получается т преобразование,
если коэффициенты т преобразования умножить на соответствую
щие члены преобразования Лапласа этой функции Таким образом,
коэффициенты т-преобразования можно считать преобразующими
множителями Следует отметить, что

limXt (s, т) -= X (s)

(11 3-22)

11 4 АНАЛИЗ СИСТЕМ
преобразование выхода импульсного элемента определяется вы

ражен ием

ti(s,	М)

(11 4-1)

Из фиг 11 4—1, б видно, что преобразование Лапласа выхода
системы определяется выражением

X*(s, Д) = /г5 х(пТ + Д) е-(^+д8)

(11 4-3)

X* (s, Д) = he~&s (пТ) е~ nTs = he~ X’(s)



Аналогично легко показать, что

X* (s, kX) = he~ k&s X* (s)

Таким образом, т преобразование Х*(/) равно

(11 4-6)

(11 4—7)
где Л = h Преобразуя и упрощая уравнение (И 4—7), получим

X’t(s, т) = -(1^-12А- ** ОО

(11 4-8)

Если Д стремится к нулю, то 1 — e~As стремится к Дз Следо
вательно,

(11 4-9)

Уравнение (И 4—9) представляет собой приближенное вира
жение т преобразования при выполнении условий уравнения

При таких условиях т преобразование выхода импульсного
элемента импульсной системы, изображенной на фиг 11 4—1,
определяется уравнением

(И 4-10)

Полагая, что

C(s) = ^-(l-e-«)7?*(s)



(II 4—12)

Для выхода системы z преобразование определяется выраже-



где

C^WG^-Gjz, 1-т)]7?(г),

Gx(z, 1 — т) = Gj (г, т)/т_!_х

(11 4-15)
сы можно аппроксимировать фИг. И. 4—3 Типичная замкнутая им
эквивалентными прямоуголь- пульсная САР с конечной длительно
ными импульсами Если это ' стыо замыкания
предположение справедливо, то

замкнутые импульсные САР с конечной длительностью замыка-
ния можно анализировать довольно просто.

Согласно уравнению (11 4—9) т-преобразование импульсной
ошибки е*(0 определяется уравнением

E*(s, t) = 1-4-^E*(S)	(114-17)

Из фиг 11
имеет вид

4—3 видно, что преобразование выхода системы

C(S) = G(s)E;(s, т)

(11 4-18)

C(.)=[G1(z)-G1(2, 1-т)]Е(г),
Исключая £(г) из уравнений (11 4—21) и (11 4—22) и упро
1Я, получим

С & - l +	1 4~23)

l + G^z)- GJz, 1 — т) = О

(11 4-26)
ным импульсным элементом, перед которым включен элемент
опережения eTS/2 , а после него запоминающий элемент нулевого
порядка, который запоминает на период т сек Выход этого запоми-
нающего на долю периода элемента нулевого порядка представ-
ляет собой последовательность прямоугольных импульсов, кото-
рая является аппроксимацией действительной последовательности
импульсов, если их ширина т мала В соответствии с этим импульс-
ную систему на фиг. 11 4—3 можно представить с помощью струк
турной схемы, изображенной на фиг И 4—5 Физически это
означает, что действующий сигнал ошибки e(t) сдвигается вперед

на половину длительности замыкания перед подачей на идеальный
импульсный элемент S, а импульсный действующий сигнал
ошибки е*(0 затем задерживается на интервал в т сек для того,
чтобы образовать последовательность эквивалентных прямоуголь
ных импульсов Передаточная функция частично запоминающего
элемента нулевого порядка имеет вид

C/J(s) = -L4---	(114-27)

Как видно, анализ эквивалентной системы изображенной
на фиг 11 4—5, очень прост

Следуя порядку действий, изложенному в параграфе 6 1,
легко показать, что z преобразование выхода системы определяется
выражением

С(*) =

(11 4-28)

здесь GJs) = G(s)/s согласно уравнению (11 4—12) Учитывая
соотношения, данные в параграфе 6 7

g <е TS G (s)| = zG (z, m) |m=T = zG
уравнение (11 4—28) можно записать в виде
1+^(2,	(114-32)



z (1 _ z - vr ) G] (г> m) R (z t/2)
1 +zGj(z r/2) -G,(z 1 - t/2)

(11 4-33)

c (nT, tri) —

z”-1 dz

(11 4-34)

Обратные преобразования, определяемые уравнениями
(11 4—26) и (11 4—34), легко вычислить, применяя методы,
данные в гл 5
пецеидальным импульсом На фиг 11 4—6 изображены последо-
вательность действительных импульсов шириной т и соответствую
щие трапецеидальные импульсы. Если форма импульса изме
няется медленно, то представление действительных импульсов
в виде трапецеидальных является хорошей аппроксимацией
Ниже рассматривается анализ им-
пульсных САР с конечной длитель-
ностью замыкания на основании тра-
пецеидальной аппроксимации

Если действительные импульсы
аппроксимируются эквивалентными
трапецеидальными импульсами, то
действительный импульсный элемент
системы можно заменить фиктивным
импульсным элементом, который пре-
образует непрерывный сигнал в по

следовательность трапецеидальных импульсов. Импульсный эле
мент такого типа можно назвать трапецеидальным импульсным
элементом Прежде чем анализировать САР, в состав которой
входят трапецеидальные импульсные элементы, вначале необхо
димо установить связь между входом и выходом этих элементов

6)
идальных импульсов можно рассматривать как комбинацию двух
последовательностей треугольных импульсов с одинаковыми осно
ваниями (фиг. 11 4—8) Пиковое значение exa{t) соответствует
величинам входного сигнала e(t) в начале процесса замыкания
(т е в моменты t -= О, Т, 2Т ), а пиковые значения треуголь
ных импульсов exb(f) соответствуют значениям e(f) в конце каж
дого периода замыкания (т е в моменты t = т т ф- Т т + 2Т,	)

На основании этого идеальный импульсный элемент и трапепе
идальный запоминающий элемент можно представить дв’мч

£М0=(1-------- и (t-т)]	(114-35)

Shb (0 = -|-1“(С —	— т)]

(11 4-36)
Ghb(s) =

(11 4-38)


эквивалентен идеальному импульсному элементу, после которого
включен элемент с передаточной функцией (1 — e~sV'l)/s
(фиг 11 5—4) Преобразование выхода k го импульсного элемента
нафиг 11 5—3 определяется выражением



^(s) = e~skx/n (1 - е -

(11 5-5)
таким же образом найти по уравнению (6 9—15) Согласно изло
женному анализ и синтез импульсных САР с конечной длитель
ностью замыкания можно выполнить с помощью методов z-преоб
разования, которые рассмотрены в предыдущих главах Ниже
для иллюстрации дан численный пример

Пример 11 5—1 Пусть передаточная функция G(s) системы,
изображенной на фиг 11 4—3, имеет вид
Преобразование Лапласа входной функции равно

Из этих уравнений находим следующие z преобразования

D0G0(z)- G0(z)-T^jjl

(11 5—12)

ад(2)=Т^Т)>	(115-13)

DoGJz^GJz)^ 01^-i°°13->	О1	5~14)

D1G1 (г) = ~~01г2 + °г’!!11г)~012--;	(11	5-15)

(11	5-16)
Для анализа устойчивости и качества этой системы можно
применить рассмотренный выше метод

Фиг. 11. £—6. Система с импульсным элементом
расположенным между корректирующей цепью
и регулируемой системой

Некоторое улучшение точности можно получить, если ампли
туды прямоугольных импульсов принять равными значениям

I— ------- ------- , -------------------------------

Фиг. 11 5—7 Эквивалентная структурная схема системы, изобра

*жеиной на фиг 11.4—3 при значительной длительности замыкания

импульсного сигнала посредине импульсов В этом случае уравне
ния (11 5—4) и (11 5—5) принимают вид

Dk (s) = es {k +1/9) xln	(11 5-22)

и

GA(s) = e~s(A + 1/2)T/rt(l—e~ST/n)^	(11 5—23)

Метод, изложенный в данном параграфе можно применить для
определения качества системы. Дальнейшее улучшение точности
можно получить, аппроксимировав элементарные импульсы тра-
пециями, а не прямоугольниками В этом случае структурная
653
654

11 6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЗАДАЧИ

Глава 4 1 Определить преобразование со звездочкой, соот-
ветствующее

а)	X (s) — (s + (s +	,

2 Определить преобразование со звездочкой для
a) x(t) = t cos (оо£,

б)	%(/) = (sin со0^)2

3	Дана передаточная функция

G (s) Н (s) =	* Т" •

4 7 х } s (1 + G Is) (1 + 0 05s)

Построить приближенную амплитудно фазовую характер и
стику	Предполагается, что период прерывания равен

4	На фиг 1 изображена структурная схема системы автома-
тического регулирования с прерыванием сигната ошибки Пере-

даточная функция регулируемой си
стемы имеет вид

Фиг 2

Gs(s)

10e~r<fs

s(l + 0,Is) (1 +0 05s) ’

а период прерывания равен 0 2 сек. В качестве сглаживающего
устройства использован запоминающий элемент нулевого порядка
Построить амплитудно фазовую характеристику данной системы
при Td= 1 5 сек и Td^= 0 сек Проанализировать влияние чистого
запаздывания Т^на устойчивость системы

5	Используя понятие весовой последовательности, опреде-
лить значение выхода разомкнутой импульсной системы, изобра
женной на фиг 2 в п и момент замыкания, если на вход подается
экспоненциальная функция г(/) = e~ai. Здесь а постоянная
величина, период прерывания равен Т сек
6	На вход разомкнутой импульсной системы, изображенной
на фиг 3, подается экспоненциальная функция г(/) = e*~at, где
а — постоянная величина. Импульсные элементы работают син-
хронно с периодом прерывания Т сек С помощью весовой после
довательности вычислить значение выходного сигнала данной
системы в п й момент замыкания

7	а) Составить схему цепи выполняющей функции запоми-
нающего элемента первого порядка

Фиг 3

б	) Составить структурную схему запоминающего элемента
первого порядка для моделирования на аналоговой вычислитель
ной машине

8	Как указывалось в параграфе 4 6, частотная характери

стика запоминающего элемента нулевого порядка имеет на низ
ких частотах отрицательный наклон, а частотная характеристика

запоминающего элемента первого порядка имеет пик на этих

y(t)

же частотах Вероятно, наилуч
шую частотную характеристику

, Дробный
запоминающий
элемент

у(У

Фиг 4

можно получить с помощью запоминающего элемента «дробного^
порядка Выходная кривая запоминающего элемента нулевого
порядка имеет нулевой наклон между двумя последующими мо
ментами замыкания; выходная кривая запоминающего элемента
первого порядка имеет постоянный наклон между двумя после-
дующими моментами замыкания, который определяется на осно
вании двух предыдущих дискретных значений. Выходная кривая
запоминающего элемента «дробного» порядка имеет постоянный
наклон м°жду последующими моментами замыкания, который
является промежуточным между двумя рассмотренными накло-
нами (фиг 4)

а)	Показать, что передаточная функция запоминающего эле-
мента дробного порядка равна

Gha (s) = (1 - ае-т°) Gl0 (s) + ^[Gh0 (s)p,

bg6
где а — отношение наклона выходной кривой запоминающего
элемента «дробного» порядка к наклону выходной кривой запо-
минающего элемента первого порядка Для запоминающего эле-
мента первого порядка а = 1, для запоминающего элемента ну-
левого порядка а = 0 и т д , a GM(s) — передаточная функция

запоминающего элемента нулевого порядка

б)	Построить частотные характеристики для а ~ V3, V3, V4 и

проанализировать.

в)	Спроектировать цепь, выпол-
няющую функции запоминающего
элемента дробного порядка

**(t)

Полигональный"
запоминающий
элемент



Фиг 5

9 Доказать, что передаточная функция полигонального или
трапецеидального запоминающего элемента, изображенного на
фиг 5, равна

[<7Л0 (s)]3,

где Т — период прерывания, a Gh^s) — передаточная функция
запоминающего элемента нулевого порядка

10 С помощью правила
сумму бесконечного ряда

суммирования Пуассона вычислить

ОО

/1=0*0

ab

(л2 + а2) (и2 + 62)

Глава 5 11 Найти z преобразования, соответствующие сле-
дующим передаточным функциям

а)

s ($ 4- а)2 ’

(а _ 1>)3 4- cog

(s + &)[(« + а)2 4~ <0q

а

(s + а)

12 На фиг 6 изображена структурная схема простой импульс-
ной САР Период прерывания 0,1 сек Постоянная времени равна

49

657

а

s3 (s + а)
0,05 сек, а передаточный коэффициент равен 15 Устойчива ли
данная система? Чему равен запас по фазе в данной системе?
Построить годограф z преобразования импульсной передаточной
функции данной системы в разомкнутом состоянии

13 Вычислить обратное z-образование для

Q м__________гЧг2 + г+1)

U () ~~ (г2 - 0 8г + 1) (г2 4- г + 0 8)

а) с помощью формулы обратного преобразования б) с по
мощью метода разложения на простые дроби и в) с помощью ме
тода разложения в степенной ряд

14 Определить модифицированное z преобразование, соот
ветствующее следующим передаточным функциям

_____s_____	д3

($ -|_ а)3 +	) s2 (s т а)2 ’

2

0

аЬ

2] ’
0

s2 (s + a) (s b)

15 Вычислить обратные модифицированные z преобразова-
ния для

[ z sin mcopT 4- аТ sm (1 — m) o)0T ]	атТ

z* — 2ze~aT cos ш0Т + е~т »

а) и (г, т) =

G (z, tii) ™

amT

16 С помощью метода z-преобразования решить разностное

уравнение

— IOi/zh-i + 169yn =

17 С помощью метода z преобразования решить разностное
уравнение

У п +2 — Зуп^ — 10уп = е3п

18 Используя метод z преобразования, найти реакцию на
ступенчатую функцию непрерывной системы, имеющей передаточ-
ную функцию

G(s)— i + o,is т о 02s2 *

(Примечание Аппроксимировать данную систему им-
пульсной моделью),

658
Сравнить полученный результат с действительной реакцией
системы, вычисленной с помощью метода обратного преобразова
ния Лапласа Проанализировать влияние периода прерывания
фиктивного импульсного элемента на точность вычислений

19	Обратное модифицированное z-преобразование G(z, rri)
записывается в виде g(n7\ rri) Показать, что

dg(nT т) __ — 1 рб(г т)]
dm $	1 от ]

20	G(z, rri) есть модифицированное z преобразование, соот-
ветствующее G(s) Показать, что z преобразование, соответст-
вующее G(s) G(—s), равно

TIG& rn)P,

где z и Т — период прерывания,

21	. G(z rri)— модифицированное z преобразование, соответ-
ствующее G(s) Показать что,

{G (s +	аТ G(zeaT, m)t

%m\G(s — а)} = аТ G(ze~aT, m)

m

22	Показать, что f g (nT, m) dm равен обратному г преобра-
о

m

зованию от f G(z, rri)dm, rj\e d(nT, rri) — обратное преобра
о

зование G(z, rri)

23	С помощью метода z форм решить следующее простое диф
ференциальное уравнение с переменными коэффициентами

24	Применяя метод z форм, найти реакцию на ступенчатую
функцию непрерывной САР с единичной обратной связью и пере-
даточной функцией в разомкнутом состоянии

4

G s(f + 01У+0 01s2)

Ггава 6 25 Найти z преобразование и модифицированное
z преобразование выхода импульсной САР, изображенной на
фиг. 7 Все импульсные элементы работают синхронно с периодом
прерывания Т

26	Определить z преобразование и модифицированное z пре-
образование выхода цифровой САР, показанной на фиг 8

27	Вывести упрощенный критерий Шур-Кона для импульсных
САР третьего порядка

49*


28	Период прерывания импульсной САР, показанной на фиг 9,
равен 1 сек Определить выходную последовательность и полную
реакцию системы на единичную ступенчатую функцию

29	С помощью метода z преобразования определить реакцию
на ступенчатую функцию непрерывной САР с единичной обрат
ной связью, имеющей передаточную функцию

5 (1 + о к + 0 01s2)

Это легко сделать, если в обратную связь включить фиктив-
ный импульсный элемент, после которого установить трапецеи
дальный запоминающий элемент Проанализировать влияние
частоты прерывания фиктивного импульсного элемента на точ
ность результата

30	Найти коэффициенты ошибок и ряд ошибки импульсной
САР, изображенной на фиг 10, которая имеет место при входном
воздействии г(/)

31	На фиг И изображена структурная схема импульсной
САР, период прерывания которой равен 0,2 сек Предполагается,
«fin
661
в) Заменить второй импульсный элемент S2 импульсным эле
ментом, работающим синхронно с импульсным элементом S, и
с одинаковой частотой прерывания Выполнить пункты «а» и «б»
для этого случая Сравнить результаты.

33 На фиг 13 изображена структурная схема импульсной
САР с несколькими частотами прерывания Периоды прерывания
импульсных элементов соответственно равны V2 и 73 сек, как по
казано на схеме Предполагается, что начало процесса прерыва
ния совпадает с моментом подачи входного сигнала и что импульс
ные элементы работают синхронно Как в прямой, так и в обрат
ной цепи включены запоминающие элементы нулевого порядка

а)	Найти максимально допустимый передаточный коэффициент
при котором система еще устойчива

б)	Вычислить реакцию системы на входную единичную ст
пенчатую функцию при К — 1
34 На фиг 14 изображена структурная схема импульсной
САР с несинхронными импульсными элементами Импульсные
элементы и S2 работают с одинаковыми периодами прерывания,
равными 0,5 сек, и несинхронны. В данной системе в качестве
сглаживающего устройства применяется запоминающий элемент
нулевого порядка

Запоминающий

дого порядка

Запоминающий

8ого порядка

Фиг 14

а)	Определить максимально допустимый передаточный коэф
фициент, при котором система остается устойчивой, если коэф
фициент отставания импульсного элемента S2 равен 0,25, 0,5,
0,75

б)	Какой коэффициент отставания обеспечивает наилучшую
устойчивость системы

35	Импульсная САР имеет структурную схему, показанную
на фиг 15 Импульсный элемент S работает с циклически изме

няющейся частотой прерывания Замыкания происходят в моменты
времени t - 0 Т/3 Т, 4773; kT, (k + V3) Г Период
цикла равен 1,2 сек В качестве запоминающего элемента исполь-
зуется элемент нулевого порядка

а)	Исследовать устойчивость этой системы

б)	При К = 1 определить переходный процесс системы для
единичной ступенчатой и линейно нарастающей входных функций

в)	Заменить импульсный элемент Sv с циклически изменяю-
щейся частотой прерывания на импульсный элемент с постоянной
частотой прерывания, период которого равен половине периода
импульсного элемента Sv Повторить для этих условий пункты «а»
и «б» и сравнить результаты

36	В системе, изображенной на фиг 15, использовать запоми-
нающий элемент первого порядка Повторить для этих условий
пункты «а», «б» и «в» из задачи 35

37	На фиг 16 изображена структурная схема импульсной
системы с двумя различными частотами прерывания Импульсный
элемент S работает с постоянной частотой, его период прерыва
ния равен 1 сек Импульсный элемент Sv работает с циклически
изменяющейся частотой прерывания, причем замыкания проис
ходят при / = О Т/1 Т 5774	, kT, (k + V4)T Период

цикла импульсного элемента Т = 1 сек В качестве сглаживающего
устройства применяются запоминающие элементы нулевого по
рядка

а)	Исследовать устойчивость этой системы

б)	Вычислить реакцию системы на единичную ступенчатую
входную функцию при К — 1.

Глава 7 38 Получить выражения для времени наступления
максимума и для перерегулирования, определяемые уравнениями
(7 2—15) и (7 2—16)

39 Общая импульсная передаточная функция системы с еди
ничной обратной связью и прерыванием сигнала ошибки равна

с (г)

Ж?)

m

К п (г - zk)
/г—О

п

п (г-рк)

й=0

а)	Показать, что передаточный коэффициент разомкнутой си
стемы по положению Кр связан с полюсами и нулями передаточной
функции замкнутой системы выражением

л

П (1 — р/г)
	 -	. ___ ...,
Р п_____________________________m

п (1 — pk) — К П (1 — г#)

/г «О

б)	Показать, что если система имеет нулевую ошибку по поло
жению, то передаточный коэффициент разомкнутой системы по
скорости определяется уравнением

1
к»

—|— (и — /72 )

40 На фиг 7 3—6 показана структурная схема импульсной
САР основного типа с прерыванием сигнала ошибки Период
664
Прерывания 0,2 сек Передаточная функция регулируемой системы

равна

G$ 00 -

1
s(s+T)

В качестве сглаживающего устройства используется запоми
нающий элемент первого порядка Определить ошибку системы
при подаче на ее вход единичной ступенчатой функции

41 Для импульсной САР, изображенной на фиг 7 4—2, в ко-
торой запоминающий элемент нулевого порядка заменен устрой-
ством первого порядка, определить коэффициент пульсаций kr

Фиг 17

как функцию периода прерывания Т и входной частоты со По
строить кривую коэффициента пульсаций (kr в зависимости от
(o/cos для Т — 0,693 сек)

Глава 8 42 Спроектировать аналого цифровой преобразова
тель на транзисторах, работающих на принципе временного ко
Дирования Диапазон входного преобразуемого напряжения изме
няется от 0 до 100 в, полная шкала цифрового выхода равна 210
Частота прерывания равна 20 гц Время преобразования должно
быть минимальным

43 На фиг 17 показано устройство преобразования цифровых
величин в непрерывные, в котором используются взвешивающие
сопротивления Величины сопротивлений Rn пропорциональны
двоичным числам 2 (10) Ключи управляются с помощью реле,
представляющих цифры двоичного числа Ключ замкнут, если
соответствующее репе представляет нуль, и разомкнут, если реле
представляет единицу

а)	Показать, что Va — напряжение, пропорциональное вход
ному двоичному числу

б)	Что представляет собой Va^
45 На фиг. 19 показана реальная схема декодирующего уст
ройства, причем Rk = 100 000 ом и R = 7500 ом Найти коэф-
фициент преобразования этого декодирующего устройства

подключается к 30 усилителям постоянного тока с помощью ком-
мутатора в цепи измерения ошибки напряжения. Медленно изме-
няющееся напряжение каждого отдельного усилителя подается на
стабилизирующий усилитель в виде последовательности импуль-
сов с частотой постарения, равной частоте коммутатора Эти
импульсы усиливаются и подаются на стабилизирующий усили
тором реакция системы на единичную функцию не имела переход-
ной части
48 В импульсной САР, изображенной на фиг 22, применяется
коррекция с помощью обратной связи Передаточная функция
регулируемой системы равна
в)	Вычислить реакцию скорректированной системы на входную
ступенчатую функцию

г)	Чему равны запас по амплитуде и полоса пропускания скор-
ректированной системы

50 Импульсная САР с прерыванием сигнала ошибки и единич
ной обратной связью имеет передаточную функцию прямой цепи
G(s) = Gh(s) Gs(s), где

K(s + 3)

s (s’ + 2s + 2) (s + 6) ’

период прерывания равен 0,5 сек,

а)	Построить корневые годографы в плоскости z в зависимости

б)	Выбрать передаточный коэффициент К, обеспечивающий от-
носительный коэффициент демпфирования основных полюсов, рав-
ный 0 5

в)	Вычислить реакцию системы на входную единичную сту-
пенчатую функцию

г)	Для К — ЮО спроектировать цифровое корректирующее
устройство, обеспечивающее указанное выше требование, и вычис
лить реакцию на единичную ступенчатую функцию
6) D(z)

в)

52 Двигатель с нагрузкой, максимальная скорость которой
составляет 5,08 см.1сек, а максимальное ускорение 12,7 сж/сг№,
имеет передаточную функцию

 (0 04s)
ством сравнения напряжения, пропорционального току отклоняю
щей катушки, и опорного напряжения Сигнал полученной ошибки
прерывается перед разверткой или в течение развертки луча,
и ошибка корректируется перед началом следующей развертки,
Так как видимый ход луча не должен искажаться, необходимо
задерживать корректирование ошибки до наступления времени
обратного хода луча Требуется обеспечить точность отклонения
(положения луча) в V1000 диаметра экрана трубки Для данной
схемы эта величина принята за единицу ошибки Сигнал обратной
связи снимается с каждой отклоняющей катушки в виде напря-
жения на последовательно включенном сопротивлении 10 ом.
Единице ошибки соответствует 10 мв Максимальная амплитуда
ступенчатой функции на входе системы составляет 100 мв Период
прерывания этой системы равен 600 мксек Параметры цепи дан-
ной системы даны ниже

Выходным импедансом усилителя мощности можно пренебречь.-
Спроектировать систему так, чтобы переходный процесс при вход-
ной ступенчатой функции не выходил за пределы 10%-ной трубки
за два периода прерывания, а реакция на ступенчатое возмущение
на нагрузке затухала до 10% за два периода прерывания

54 Импульсная САР, изображенная на фиг 10 2 1, имеет
период прерывания 0,2 сек, запоминающий элемент нулевого по
рядка Передаточная функция регулируемой системы равна

Gs ~ s(l + 0 015) (1 + 0 05s) •

Необходимо спроектировать цифровое корректирующее уст-
ройство, обеспечивающее следующие требования 1) реакция
системы на ступенчатую входную функцию не должна иметь пуль-
саций и ошибки в установившемся состоянии, 2) переходный
процесс должен заканчиваться за минимальное время

55 Система, изображенная на фиг 25, имеет запоминающий
элемент нулевого порядка и период прерывания 1 сек Передаточ-
ная функция регулируемой системы равна

G =

Требуется спроектировать цифровое корректирующее устрой-
ство так чтобы реакция системы на входную ступенчатую функ-
цию заканчивалась за минимальное время и установившаяся
ошибка в моменты замыканий была равна нулю
объекта

0(9	ю

T(9 = i + 25s+105^’

щего устройства должен прерываться с частотой 1 гц, а его выход
с частотой 2 гц

б)	Вычислить и построить график реакции на линейно нара-
стающую функцию

в)	Спроектировать цифровое корректирующее устройство с од-
ной частотой прерывания, удовлетворяющее указанным требова-



ниям 1) с периодом прерывания 1 сек, 2) с периодом прерывания
0,5 сек Вычислить реакции на линейно нарастающую функцию
и сравнить с результатами пункта «б»

59 Для системы, изображенной на фиг 29, входной сигнал
s(f) имеет спектральную плотность, определяемую выражением

Предполагается, что шум на входе отсутствует Период преры
вания равен 0,2 сек\ используется запоминающий элемент нулевого
порядка

а)	Выбрать передаточный коэффициент К так, чтобы средне-
квадратическое значение импульсной ошибки было минимальным

б)	Вычислить минимальную среднеквадратическую импульс-
ную ошибку

60	На вход системы, рассматриваемой в задаче 59, воздей
ствует шум, спектральная плотность которого

Требуется спроектировать цифровое корректирующее устрой
ство £>(г), которое обеспечивает минимум среднеквадратической
импульсной ошибки при наличии шума на входе.
Gs(s)

Спектральные плотности входных сигналов имеют вид

ФгЛ (S) =	’

<WS) = V’ (IWS) -0

6 34 кг жидкости С Напряжение в 1 в на входе регулирующего
органа приводит к такому перемещению клапана, в результате
которого расход пара возрастает на 0,075 кг!сек. Предполагается,
что расход пара изменяется линейно в зависимости от перемещения
вентиля Можно пренебречь запаздыванием в регулирующем
органе Период прерывания этой цифровой САР равен 15 сек
Требуется выбрать передаточный коэффициент и спроектировать
цифровой регулятор для данной системы регулирования темпера-
туры. Реакция системы вызванная возмущением нагрузки, должна
быстро затухать

64 Показать, что если спектральная плотность входного сиг
нала х(0 системы G(s) есть Ф2<(г), а модифицированное
z преобразование, соответствующее G(s), есть G(z, rri) то «моди
фицированная» импульсная спектральная плотность выходного
сигнала системы y(t) равна

Фуу (z, tri) = G (z, m) G (z~\ tn) Фхх (z)

«о	(g — b)2 + cog

B s(«2+«o) ’ Г (s+6)[(s + a)2 + <]



6) (s+«)2 + <^

68 В импульсной системе, изображенной на фиг 33г передаточ
ная функция регулируемой системы равна
69 Для системы, рассмотренной в задаче 68, период прерыва
ния равен 1 сек, передаточная функция регулируемой системы
имеет вид

Gs(s) =

Фиг 34





685

Продолжение табл

	G(s)	g(0	G(z)	G(z m)
7 04	(g - &)г  (s + b) (s +a)“	e bt—e at  4- (a— b} ter~at	z — e bT  	-—r 4- z-e~aT  (a — b) Te~aTz  +	(z_e-g7)2	й—ЬтТ 	L  z-e-ЬТ '  fmT (a — b) — \  + [ z _ e— a T +  (д-Ь)Те-°^ ] amT +	(z-e-aT)* J
7 05	(a - 6)2 (s 4-c) (s + b) (s + g)2	(c — b) e bt 4- (b — c) e — (a — b) (c — a) te	<c — b)z  —bT z — e Ul  . (b — c)z z — e~a?  (a — b) (c— a) Te z  (г_е-аТ)2	(c — b) e bmT z-e-bT  Г mT (a — b) (c— a) — (b — ff) .  L	z - e~“T	+  ,	(а—Ь)(с — а)Ге—аТ 1 amT  +	(z ~ e-^)2	J
7 06			a2b	  s (s + b) (s + g)2	1		 e-bt +  (a—b)2  ab^b(a-b)	t  (g—6)2  +	te~at  a — b	z	a2z	  z *	(a — b)2 (z — e  . [ab + b (a — b)] z  (a — b)2(z — e~-a?)  abTe-~aTz (a-b)(z~e~aT^	1	  z 1	— bp (z —  4- Г (Q	U +  L (a — b)2(z—e~aT)  ।	abTe—aT	1 t-amT  (a — b) — e~a?)2 J

•4
688

Продолжение табл

	G(s)	g(0	G(z)	G(z m)
7 07	a2b (s 4~ с) s (s + b) (S + а) =	_аЧ^)_ bt '	(a-b)2	+  ab (c—a)+bc (a—b)	at  (а - &)2	+  _abJc-aL t_a а — b	cz	a2 (b ~ c) z  z 1	(a— b)2 (z — e~b^}  lab (c—a)+ be (a — b)] z (a —b)2 (z e~a^)  ab(c—a) Te~~a?z  + (a_b)(z_e-a7-)2	c	a2 (b — e)e~^T  2 ~ 1	(a—b)2(z — e~^^)  . (ab (c — a)[l 4~ (a — b)]4~ be (a — b)  I	(a — b)2 (z — e~aT)  ab (c-a) Te~aT | ,-amT  (a — b) (z— e~aT)2 '
7 08	(а!Ь)2  s2 (S + Ь) (S + а)г	azbt — [ab Ь а (а 4- Ь) Ц-  4 		е-Ы  4 (а—Ь)2  ab2 (За — 2Ь)  (а-b)2 Х  X e-at	te-at  a — b	a2bTz	[ab Ц- а (а 4~ b)] z  (z — I)2	z — 1	+  (a — b)2 (z —  ab2 (3a — 2b) z  (a — b)2 (z — e~aT)  a2b2Te a? z  (a — b) (z — e~a^)2	a2bT . ab (amT — 2) — as .  (z — I)2 1	z — 1	+  q	bai T  (a — b)2 (z — e~a^)  _ Гab2 (a — (amT + 2> + q8&* <  [	(a — b)2 (z — e~aT)  • 	I	T  (a-b^z-e-aT)* J
8 01		м.  (s + а У + <0д	е~~а* sin соо/	ze~u>- sin a>0T z2 — 2ze~aT cos <ооТ +	[z s n m(d0T +  4- e~~a^ sin (1 — m) (i)QT] e am^ z2—2ze aT cos a>0T 4- e
689

Продолжение табл

	G(s)	g(0	G(z)	G(z m)
8 02		s д	 (s + aj2+ <Og	e—a^cos to»/	z2 — 2ё~аТ cos <ооТ z2—2ze“a^ cos сооТ -f- e-2'7?'	[z LOS fna)0T —  e	cos (1 — m) <йвТ] e am^  z2 — 2ze~~a^ cos to0T 4-
8 03	(a - 6)' + cog	e	Ы—e	sec 9 X  X cos (toof — 0)  где b — a  6 = arc tg	  G)o	z — e~~b ?  z2 — ze~a^sec 0 cos (ШоГ — 9)	e—bmT z — e b T  sec 8 {z cos (ma)0T + 0) —  — e~a^ cos [(1 — m) (D0T — 0]} e~am^ z2 — 2ze~a^ cos &jeT 4- e
	(s + b) [(s+a)4-«o]			
			z2—2ze~aT cos WoT -f- e~2a^	
8 04	[(a — b)2+<Og] (s+a)	(a — b) е~Ы—  — (a — b) e~at X X sec 6 cos (o>at 4- 6) где  6 = arc tg  (a — a) (b — a)+ <Og (a — b) <»0	(a — b) z z-e-bT  (a—b) [z2—ze~aTsec 0 x  	X cos (cooT -j- 8)]	 z2—2ze a^cos tt)07'~H?	(a — b) z-e-bT  — (a — b) sec 6 {z cos (m<aaT + 0) —  e~~aT cos [(1 — m) cooT 4-0]! e~~am^
	(s+b) [(s+a)'+<Og]			
				z2 — 2ze~aT cos <о,Г 4- e~207
Продолжение табл

TV	G(s)	g(O	G(z)	G(z m)
.8 05	[(О_&)«+Ш2] (s« + + “s + Р)  (s+Ь) [(s+aj'+o)*]	(d2 — ba +P) e~bt +  4- k2e sec 0 cos (to0/-H> где  k2 = a2 4- 0)q — 2ad-4-da— P  ak2— (сг2_Ь<йд)	— b) 4-  ft or.	4-P-(2a4-b)  9 = arc tg	——	  <00R2	(62 — Z>q + P) z , г-е-ЬТ +  д fe2 [z2—ze~~a^sec fl cos (й)0Т4~6)] z2—2ze~a^ cos coo T-j-e	(b'-6a+P)z	.  z-z-bT	*  k2 sec 0 {z cos (m&)eT 4" ®) —  4. e~~aT CQS П 1 — ffl) <ваТ 4- fl]} e~~дтГ z2 ~ 2ze~a^cos швГ 4й e
9 01	а2 + Шо  s[(s J-a)' + a>|]	l—e sec 0 cos (coe/ 4- 9) где  a	x	a  0 = arc tg	  £0e	z _  z — 1  z2 — ze a? sec 6 cos (oeT 4~ 0/  z2 — 2ze a? cos a0T 4- g“	1 z — 1  sec 0 {z cos (mtoaT 4" 6)  — e a Tcos [(1 — /?;) ю67' -|-C]> g amT z2 — 2ze~~a cos (&tT 4- e
9 02	(я8 + (s + s £(s 4- a)2 --h tOgJ	b — be~~a^sec 0 cos (mot + 9) где  a2 + g>q — a b  0“arctg	6a>.	bz  z — 1  b [z2 — ze~ sec 8 cos ((йрТ+с)] z2 — 2ze	cos (л0Т 4- e	b z — 1  b sec 0 {z cos (moer 4-6) —  —e Q^cos f(1 — tn) (£teT 4- fl]} e amT z2 — 2ze a? cos (&9T 4- g
44*	RQ1

Продолжение табл

	G(s)	g(t)	G(z)	( (z m)
9 03	s« [(s + a)’+o>2]	(a3 + <Oq) t — 2a +  4- 2ae a^sec 9 cos (со0£ + 9) где  4-a‘  0~arCtg 2аИо	[(a2 + o)q) T + 2a] z — 2az2 (z-l)2	+  I 2a[z2 — ze~aT sec 8 cos (to 07~4-9)] z2 — 2ze — aT cos а„Т + e ~ 2a^	[m7 ^a2 -j- C0q) — 2a Jz 4-  4- (a2 4- *>o) (1 - T 4- 2a (z-l)2	+  2a sec 0 {z cos (/ntooT 4- 0) —  4- — e	cos ~~~	вП e—amT  z2 — 2ze.— cos cooT 4-
9 04	(а2 + ио)2 (s+4 s’ [( 8 + <*) + Wo]	b (а’ + шц) t+k*- — k2e aTsec 0 cos (a)01 4- 0), где  =	й)2_ 2ab  0 = arc tg  aft2 + b ( a2 + И2)  <ooft2	[ftr (a2 + <Oq) — ft2] z + ft2z2	\bmT (a2 + <i>q) + ft2] z + + (a2 + M2) (1 — m) ЬТ-ft2
			(2 - I)2  	Л2 [zs~ze aT sec 0 cos (<o>7'4~0)] z2—2ze —aT cos <j)e7’4-e — %aT	(z-l)2  ft2 sec 0 {z cos (ma>0T + 0) —  	— e Ы cos [(1 — m) <oaT + 9 ]}c ат?  z2 — 2ze~a^ cos to0T 4-

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

м

695
Йетод модифицированного г преобра зования, 285  Метод прерывания с переменной часто  Метод сдвоенных щеток, 429  Метод частотных характеристик 25 128-138  Метод V-развертки, 421  Метод г-преобразования 168	272  519-535  — модифицированное 285  Моделирование 141 434 449 621— 624  — в реальном времени, 622  — декодирующих устройств 449 450  — квантователя 623  — кодирующих устройств 434—438  — операции запоминания 141—142  — физическое 622—624  — цифровое, 622—624  Модифицированная импульсная пере даточная функция 214 284  Модифицированное г-преобразование 210—224, 284, 285, 315 316  — вычисление, 217—221  — для определения поведения системы между моментами замыкания и скрытых генераций 284—296, 392—  - таблица, 680-691  —, определение, основанное на вы числении вычетов, 215—217  	основанное на последовательном суммировании, 212—215  — систем с задержкой и опережением 316, 321, 338  — теорема о конечном значении 222  — теорема о начальном значении 221, 223  Модуляция амплитудная 16  — взаимная 166  — импульсная 112  — импульсно-кодовая 16	Нулевая установившаяся ошибка 559-592  — ^проектирование 559—570 592—  — условия в моменты замыкания 560-595  — г„-преобразование, 317  Нули разомкнутой системы 60 543  — неточное сокращение 545 546  - сдвиг 60-63, 543 544  О  Область г 186 187  — г-форма для интегрирования 234—  — применение 236—239  Обратное модифицированное г преоб разование, 219—221  Одноразрядная кодирующая ячейка  Одноразрядная кодирующе декоди рующая цепь, 435  Операционные усилители, 434 448  — для декодирования, 448, 449  — для кодирования, 434—438  Определение частотной характеристики замкнутой системы по частотной характеристике разомкнутой си стемы 143—146  Оптимальная импульсная передаточ ная функция, 614  Оптимальное управление 558, 559  Оптимизация, 558  — вариационное исчисление 612  — самооптимизация 558  Основание, 405, 406  Основная теорема прерывания 96—98  Основное преобразование по Лапласу 202, 510, 527  (	туд, 461, 462, 466  Отношение площадей импульсной пере ходной функции, 618 619  Ошибка квантования 17, 99—101  —, распределение вероятности 105—
Н	— среднеквадратическое значение 99-101, 108
Нелинейности в импульсных системах 165, 166, 356  Нелинейные системы автоматического регулирования, 12  — методы анализа 13  Неоднозначность, 420  Номограммы для проектирования им пульсных систем, 486—490  Номограммы максимально допустимого передаточного коэффициента 542  696	—, статистический анализ, 104—106  Ошибка системы, 296, 374, 577  — вычисление 373—388  — минимизация 577—585  П  Параллельно декодирующая	цепь  Первичная составляющая (см Первич ный сигнал)

Разрешающая способность 306

361

Реакция системы приближенное время
281—284

— в моменты замыкании 279—285

—, вычисление, 276—296

Ряд Лорана, 234

Ряд Тейлора 300-302
Статистический эквивалентный им пульсный элемент, НО  Статистическое проектирование цифро вых систем автоматического управ ления, 595-614  Стационарный случайный процесс, 596  Структурные схемы импульсных си стем, 241—257  Сумма последовательности квадрати ческой ошибки минимизация, 577— 585  Сумма свертки 124	Ф  Фантастрон 423  Физическое моделирование 622—625  Фиктивная частота, 519  Фильтр для подавления пульсаций  Формулы квадратур 202  Функция единичных импульсов, 86—89  Функция распределения вероятности,  Функция частотной характеристики разомкнутой системы 135—142
Т  Таблицы задержанных z преобразова ний, 632  — модифицированных г преобразова ний, 680-691  — преобразований выходов импульс ных систем основных типов 251  — импульсных передаточных функ ций ошибки системы, обеспечиваю щих минимальное время переход ного процесса, 563  — коэффициентов т преобразований  — z-форм, 236  — z-преобразований 183, 680—691 Теорема о конечном значении, 186—187 Теорема о начальном значении, 187—  188  Теория Винера—Колмогорова 597—  Трапецеидальный запоминающий эле мент, 644  Трапецеидальный импульс. 644  Трапецеидальный импульсный эле мент, 644, 645  Требования во временной области, 51, 358 365  Треугольный запоминающий элемент 645, 646  Триггер Шмитта 425	X  Характеристическая функция 100 101  Характеристические корни, 60 533  Характеристическое уравнение си стемы автоматического регулирова ния 35 60  ц  Цепи на линиях задержки 494 499— 505  Цепь с переключающимися сопротив лениями, 445 447, 449  Циклический двоичный код. 414—416  —, преобразование в обычный двоич иый код, 416, 430  —, свойства 416, 417  Цифровая коррекция, 494—559  Цифровое моделирование, 623 625  Цифровое программирование 494  — итеративное, 497, 498  — параллельное 498—499  — прямое, 496—497  Цифровое управление металлообраба тывающим станком 20  Цифровой код, ПО  Цифровой преобразователь углового перемещения, 427 430  Цифровые системы автомати юского управления, самолетные 15  —, импульсный эквивалент, 130—132  —, статистическое	проектирование  595-615
Управляющая ЦВМ 17 18  Усилители (см Операционные усили  Условия физической реализуемости им пульсных 7?С-цепей, 483 510  Установившаяся ошибка в моменты замыкания, условия равенства нулю, 561—595	Ч  Частота прерывания 82, 387  —, определение по заданной средне квадратической ошибке 351—359  Частота сопрягающая, 42  Частотная характеристика замкнутой системы, связь с частотными харак теристиками разомкнутой системы 142—145
Частотная характеристика разомкну
той системы, 137—140

Частотно-модулированная функция

Частотный спектр 88—92 130 131

— амплитудный, 90—92

— линейный, 90—92

— фазовый, 90

Чистое запаздывание 352

—, влияние, 356

Ширина импульса 627

Эквивалентный импульсный элемент

313, 338, 346, 649

Экстраполяция 148

Экстремальная система 617

Эргодическая гипотеза, 597
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Глава 1 Введение

1	.1 Типы систем автоматического регулирования с обратной связью

1	.2 Определение импульсных и цифровых систем . .

13

управления

1	4 Методы анализа и синтеза импульсных и цифровых систем
автоматического управления

1	5 Примеры цифровых и импульсных систем автоматического
управления

Глава 2 Непрерывные системы автоматического регулирования

2	1 Введение

2	. 2 Преобразование структурных схем

2	. 3 Критерии устойчивости

2	4 Асимптотические логарифмические частотные характеристики

2	. 5 Коррекция систем автоматического регулирования

2.	6 Метод корневого годографа .

2 7 Системы автоматического регулирования на переменном токе

Глава 3 Основы теории прерывания и квантования

3.	1 Процесс прерывания

3.	2 Анализ последовательности единичных импульсов

3 3 Частотные спектры импульсных сигналов

32

75

3 5 Теоремы прерывания

3 6 Квантование по амплитуде

Глава 4 Частотный анализ

4 1 Свойства импульсного элемента

4. 2 Сравнение непрерывных и импульсных систем

4 3 Частотные характеристики и передаточные функции импуль
сных и цифровых САР

4 4 Построение амплитудно фазовой частотной характеристики

4 5 Анализ устойчивости . .

4 6 Свойства запоминающих элементов . .

4 7 Влияние внешних возмущений и нелинейностей

4 8 Заключение

Глава 5 Теория г-преобразования

5 1 Определение г-преобразования и импульсной передаточной
функции . .

5 2 Вычисление г преобразовании и импульсных передаточных
функции

112

122

129

138

148

161

166

167

167

171

7П1
S8S8 аё ? Sag SssS S s § § S HUH s s