Адаптивная обработка сигналов - Уидроу Б., Стирнз С.

Автор: Уидроу Б. Стирнз С.

Теги: автоматика системы автоматического управления и регулирования интеллектуальная техника технология управления оборудование систем управления техническая кибернетика кибернетика цифровая обработка сигналов алгоритмы обработка сигналов

ISBN: 5-256-00180-9

Год: 1989

Похожие

Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. В 2-х томах. Основные принципы и классические методы. Том 1.

Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях Т.2. Техника обработки сигналов. Применения новые методы

Математические основы кибернетики

Конструирование высокоскоростных цифровых устройств. Начальный курс черной магии

Текст

ADAPTIVE
SIGNAL
PROCESSING
Bernard Widrow
Stanford University
Samuel D. Stearns
Sandia National Laboratories
Prentice-Hall, Inc.
Englewood Cliffs, N.J. 07632
Б.Уидроу, С.Стирнз
Адаптивная
обработка
сигналов
Перевод с енглийского
Ю. К. Сальникова
Под редакцией
В. В. Шахгильдяна
МОСКВА
«РАДИО И СВЯЗЬ»
1989
ББК 32.817
У35
УДК 681.513.6
Редакция переводной литературы
Уидроу Б., Стирнз С.
У35 Адаптивная обработка сигналов: Пер. с англ. — М.:
Радио и связь, 1989. — 440 с.: ил.
ISBN 5-256-00180-9.
Книга известных американских авторов посвящена проблеме адаптации
систем с заданной структурой. Рассмотрены основные понятия теории адап-
тивных систем, методы их построения и алгоритмы функционирования.
Представлены различные направления адаптивной обработки, включая син-
тез адаптивных цифровых фильтров и построение адаптивных антенных
решеток. Показана возможность применения адаптивной обработки сигналов
в медицине и геофизике.
Для инженерно-технических работников, применяющих методы адап-
тивной обработки.
1402030000-126 „„ „„
у ----------------69-89
046(01)-89
ББК 32.817
Производственное издание
УИДРОУ БЕРНАРД. СТИРНЗ САМЬЮЭЛ
АДАПТИВНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
Заведующая редакцией О. В. Толкачева
Редактор Н. И. Гормакова
Художественный редактор А. С. Широков
Переплет художника Н. И. Терехова
Технический редактор Г. 3. Кузнецова
Корректор Н. Л. Жукова
ИБ № 1639
Сдано в набор 19.01.89 Подписано в печать 6.05.89
Формат 60X90716 Бумага типограф. № 1 Гарнитура литературная Печать высокая
Усл. печ. л. 27,5 Усл. кр.-отт. 27,5 Уч.-изд. л. 28.42 Тираж 10 000 экз.
Изд. № 22437 Зак. № 12 Цена 2 р. 30 к.
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва. Почтамт, а/я 693
Типография издательства «Радио и связь». 101000 Москва, ул. Кирова, д. 40
ISBN 5-256-00180-9 (рус.) © 1985 by Prentice-Hall, Inc., Englewood
Cliffs, New Jersey 07632.
ISBN 0-13-004029-0 (англ.) © Перевод па русский язык, предисловие
к русскому изданию, примечания пере-
водчика. Издательство «Радио и связь»,
1989.
4
Предисловие к русскому изданию
Последние годы характеризуются появлением ряда интересных
работ, в которых указываются пути преодоления априорной не-
определенности при решении задач приема и обработки инфор-
мации. Эффективный путь решения указанной проблемы —• ис-
пользование адаптивных систем. При этом под адаптацией пони-
мается обучение и самообучение, а также процесс оптимальной
перестройки структуры приемного устройства в соответствии с
критерием качества. Выбор критерия оптимальности, естественно,
определяется назначением системы.
Разработке оптимальных алгоритмов посвящены многочислен-
ные отечественные и зарубежные публикации. Здесь укажем на
монографии Я. 3. Цыпкина [1], Р. Л. Стратоновича [2],
В. В. Шахгильдяна и М. С. Лохвицкого [3], Аоки [4] и др. Под-
робная библиография, посвященная адаптивным алгоритмам при-
ема и обработки информации, дана в [3]. Некоторым направле-
ниям преодоления априорной неопределенности посвящена и пред-
лагаемая книга известных американских ученых Б. Уидроу и
С. Стирнза. Она написана исключительно ясно и доходчиво. В ней
дано решение широкого круга проблем, связанных с адаптацией:
описаны основные свойства адаптации, указаны функциональные
свойства и конкретные практические приложения адаптивных си-
стем в задачах управления и адаптивной обработки сигналов. В
работе, к сожалению, не нашли отражения такие направления в
решении задач приема сигналов при неполных априорных сведе-
ниях, как минимаксный подход, применение непараметрических
методов, методы теории игр и т. д.
Но, несмотря на это, книга будет полезна широкому кругу спе-
циалистов, занимающихся разработкой приемных устройств при
недостаточных априорных данных о характеристиках сигналов и
помех.
В. Шахгильдян
Список литературы к предисловию
1. Цыпкин я. 3. Основы теории обучающихся систем. — М.: Наука 1970.—
252 с.
2. Стратонович Р. Л. Принципы адаптивного приема. — М.: Сов. радио.
1973. — 144 с.
3. Шахгильдян В. В., Лохвицкий М. С. Методы адаптивного приема сиг-
налов. — М.: Связь, 1974. — 159 с.
4. Aoci М. Optimisation of sfohastic system. — New York. Acad. Press
1967. — 264 p.
5
Посвящается памяти Мозеса Уидроу,
Уильяма К.. Линвилла и Томаса Дж.
Фланагана.
Посвящается укреплению мира на зем-
ле. Мы надеемся и верим, что книга
будет использована на благо человече-
ства.
Предисловие
Эта книга — результат почти тридцатилетней исследовательской,
и преподавательской деятельности в области адаптивной обработ-
ки сигналов. Она задумана в виде основополагающей моногра-
фии по данной теме, и мы считаем, что к моменту публикации
она будет единственным источником по этому предмету или, во
всяком случае, единственным источником, который охватывает
весь широкий спектр перечисленных в ее оглавлении вопросов.
Книга написана на базе одно- и двухсеместрового курсов no-
адаптивной обработке сигналов, которые читались студентам
старших курсов в Стэнфордском университете, Университете шт.
Нью-Мексико и Национальной лаборатории фирмы Sandia. В
конце всех глав, кроме первой, имеются упражнения, составляю-
щие существенную часть курса, излагаемого в книге.
По содержанию книга разбита на четыре части. Первые три —
Общее введение, Теория адаптации для стационарных сигналов и
Адаптивные алгоритмы и структуры — по объему составляют
чуть меньше половины книги. Материал этих частей содержит ос-
новные теоретические положения и может быть включен в любой
начальный курс по адаптивной обработке сигналов. Четвертая
часть — Приложения адаптивной обработки сигналов — состоит
из шести глав, посвященных различным техническим приложени-
ям адаптивной обработки сигналов. Этот материал позволит пре-
подавателю уделить больше внимания некоторым представляю-
щим интерес специальным вопросам. В односеместровом курсе
можно использовать хотя бы первый раздел каждой главы.
Предполагается, что читатель обладает знаниями техники и
математики на уровне студента старшего курса и умеет состав-
лять программы для ЭВМ и работать с ними. Последнее необхо-
димо для выполнения многих упражнений. Важно владеть мате-
риалом по анализу линейных систем, в частности дискретных си-
стем с применением z-преобразования, а также материалом в
объеме курса математической статистики или теории вероятнос-
тей применительно к техническим задачам.
В гл. 1 первой части вводится понятие адаптации как свойст-
ва или характеристики некоторых технических систем. Глава 2
посвящена адаптивному линейному сумматору, который представ-
ляет собой простейшую наиболее широко применяемую адаптив-
ную структуру. В гл. 2 дается геометрическая интерпретация рабо-
чей функции, полезная при анализе адаптивных систем.
6
Вторая часть содержит анализ рабочей функции и ее свойств.
Этот анализ приводится в гл. 3, а в гл. 4 процесс адаптации рас-
сматривается в виде процесса поиска рабочей функции и ее ми-
нимума. Глава 5 посвящена статистическому анализу градиент-
ной оценки рабочей функции и сравнению алгоритмов поиска.
В третьей части вводится алгоритм наименьших квадратов,
рассматриваемый в гл. 6. Глава 7 содержит основные понятия об-
работки сигналов, необходимые для изложения последующего ма-
териала. Основным из них является ^-преобразование, связываю-
щее временную и частотную области. В гл. 8, завершающей тре-
тью часть, описываются отличные от алгоритма наименьших
квадратов и адаптивного линейного сумматора адаптивные алго-
ритмы и структуры, в частности адаптивная решетчатая струк-
тура, которая мало исследована и изучается наиболее интенсивно.
Наконец, четвертая часть охватывает основные области при-
ложения адаптивной обработки сигналов. После того как освоен
материал гл. 1—8, материал ч. IV можно изучать выборочно. В
гл. 9, 10 рассматриваются адаптивное моделирование и обратное
адаптивное моделирование, а также их приложения при решении
таких задач, как обеспечение связи по многолучевым каналам,
проведение геофизической разведки, разработка цифровых фильт-
ров, выравнивание характеристик телефонных каналов. Глава 11
посвящена адаптивным системам управления, а гл. 12 — вопро-
сам адаптивного подавления помех и некоторым примерам его
применения. В гл. 13, 14 описываются адаптивные решетки и уст-
ройства формирования лучей.
При написании книги авторы воспользовались критическими
замечаниями, советами и предложениями многочисленных высо-
коквалифицированных коллег. Мы весьма признательны им за
высказанные точки зрения и идеи и за их дружескую поддержку,
Которую мы постоянно ощущали во время работы над книгой.
Особую благодарность за помощь в работе мы выражаем
Р. Д. Фрейзеру, Д. Р. Моргану, Д. X. Юню, Ю. Уолшу, Р. Гучу,
Р. А. Дейвиду, Ш. К. Флетчеру, К. С. Линдквисту, Д. Париху,
Д. М. Эттер, Э. С. Эйнджелу, Л. Д. Гриффитсу, Н. Ахмеду,
Д. Р. Трейчлеру, К- Р. Джонсону мл., М. Г. Ларимору, Г. Р. Эл-
лиоту, Д. М. Маккулу, Д. М. Сайоффи и Т. Ч. Ся. Без их участия
книга не была бы опубликована в ее теперешнем виде.
Кроме того, мы благодарны всем студентам, прошедшим упо-
мянутые курсы по адаптивной обработке сигналов, которые фак-
тически редактировали и исправляли текст. Мы признательны
этим студентам за их терпение, заинтересованность и энтузиазм.
Мы также благодарны за помощь Д. Шепперд из фирмы
Sandia и М. Паркер из Стэнфордского университета, которые пре-
взошли наших студентов в терпении и настойчивости при печата-
нии и перепечатывании рукописи.
Бернард Уидроу
Самьюэл Д. Стирнз
7
Условные обозначения
а — весовой коэффициент нерекурсивной части линейного фильтра
b — весовой коэффициент рекурсивной части линейного фильтра
с — 1) выходной сигнал неизвестной системы
d 2) скорость распространения сигнала — 1) полезный отклик 2) расстояние между элементами антенны
е И) g h — основание натурального логарифма 2,71828... — непрерывная функция заключенного в скобки аргумента — выходной сигнал неизвестной системы — импульсная характеристика
i k I - — номер отсчета — 1) номер весового коэффициента 2) размер элемента антенны
n — 1) общий индекс 2) значение отсчета помехи (шума)
p r — полная мощность белого шума на входе — 1) отношение сходимости в алгоритмах градиентного поиска 2)случайное число, равномерно распределенное в интер- вале (0, 1) 3) эталонный сигнал
s — 1) сигнал фильтра с решетчатой структурой 2) входной сигнал
t — непрерывное время
и — 1) обратное z-преобразование 2) входной сигнал неизвестной системы
V — смещенное значение весового коэффициента, равное W—W *
v' — значение весового коэффициента в системе координат главных осей
w — значение весового коэффициента
X — входной сигнал
У z z~l A — выходной сигнал — переменная при z-преобразовании — обратное z-преобразование (единичная задержка) — 1) z-преобразование от а 2) коэффициент передачи по амплитуде
В — z-преобразование от Ь
8
С — 1) функция, используемая при преобразовании решет-
чатой структуры
2) амплитуда постоянного сигнала
D — искажение сигнала
£[ ] —среднее значение заключенной в скобки величины
F — передаточная функция
4 G — передаточная функция
I Н — передаточная функция
I — единичная матрица
J -1) передаточная функция
2) помеха
К — число формирующих лучи элементов
L — номер последнего весового коэффициента wL
М — 1) относительное среднее значение СКО
2) число весовых коэффициентов в схеме обратной связи
JV — 1) число отсчетов за период
2) число отсчетов сигнала ошибки при возмущении весо-
вых коэффициентов
3) число дискретных частот
N —шум градиента, V—V
N' — N в системе координат главных осей
Р — 1) относительное приращение
2) мощность сигнала
!, 3) передаточная функция неизвестной системы
' Р — вектор корреляционных функций входного и полезного
сигналов
PS — передаточная функция идеального фильтра
Q — 1) собственный вектор матрицы R
2) масштабированная оценка матрицы R
R — корреляционная матрица входного сигнала
| S — 1) матрица, используемая в алгоритме последователь-
г. ной регрессии
2) вектор сигнала в адаптивных решетках
Т —знак транспонирования вектора или матрицы
Т — 1) временной интервал между отсчетами в секундах
2) постоянная времени адаптации
, U —дополнительный вектор сигнала
i V —смещенный вектор весовых коэффициентов, равный
I W—W*
< V7 —вектор весовых коэффициентов в системе координат глав-
ных осей
W — вектор весовых коэффициентов
X —z-преобразование х
! X — вектор входного сигнала
У —z-преобразование у
—обратное z-преобразование заключенного в скобки выра-
жения
« — 1) постоянная затухания экспоненты
9
2) производная выходного сигнала 3) множитель в алгоритме последовательной регрессии и в алгоритмах решетчатых структур
Ctr CCr ₽ — г-й момент распределения es — оценка аг — 1) производная выходного сигнала 2) регулируемый коэффициент передачи
T — 1) оценка приращения
6 2) коэффициент паразитного прохождения сигнала — 1) расстройка при возмущении, вносимая в значение ве- сового коэффициента 2) приведенный весовой коэффициент фильтра с решетча- той структурой 3) задержка, вводимая при формировании лучей
e к k — сигнал ошибки — весовой коэффициент фильтра с решетчатой структурой — 1) собственное значение; собственное число 2) длина волны
H V — параметр сходимости алгоритмов градиентного поиска — 1) параметр сходимости 2) весовой коэффициент фильтра с решетчатой струк-
V2 g турой — мощность шума на входе — рабочая функция (функция среднеквадратической
i л p o2 T ошибки) • — оценка g — 3,14159265... • — отношение сигнал-щум • — дисперсия или мощность сигнала — постоянная времени сходимости значения весового коэф- фициента
<p — 1) средняя мощность случайного сигнала 2) корреляционная функция
© A 0 e Л Ф Ф — угловая частота в радианах — значение задержки — фазовый угол в радианах — угол прихода сигнала — матрица собственных чисел — спектральная плотность мощности (г-преобразование ср) — 1) входной сигнал
Q * V V 2) угол прихода сигнала — угловая частота в рад/с — знак оптимального значения (например, W*) • — вектор градиента рабочей функции — оценка у >
Часть I
ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ
Первые две главы книги посвящены трем основным вопросам:
1. Введению основного понятия «адаптации» применительно к технике и
определению места адаптивной обработки сигналов в общей задаче обработ-
ки сигналов.
2. Описанию адаптивного линейного сумматора, который является прос-
тейшим и наиболее широко применяемым адаптивным устройством обработки,
подробно рассматриваемым в гл. 6, а также в последующих главах.
3. Геометрической итерпретации процесса адаптации в целом. Можно пред-
ставить адаптацию в виде движения, как правило вниз, в (L+1)-мерном про-
странстве по /.-мерной поверхности, образуемой графиком рабочей функции
(например, изображенной на рис. 1.1), при отображении зависимости средне-
квадратической ошибки (СКО) от адаптивных параметров. Геометрическая ин-
терпретация изложена в гл. 2.
Значения весовых коэффициентов
11
Глава 1
АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
Определения и свойства
«Адаптироваться значит: 1) приводить в соответствие с требованиями или усло-
виями приспосабливать или видоизменять надлежащим образом; ... 2) приспосаб-
ливаться к различным условиям, к окружающей среде и т. д.» (Random House
Dictionary, 1971).
За последние годы в результате исследований по «адаптивным
системам» появились различные адаптивные автоматы, свойства
которых в некотором смысле напоминают определенные свойства,
живых систем и биологических адаптивных процессов. Ниже при-
водятся некоторые значения слова «адаптация», взятые из толко-
вого словаря Random House Dictionary:
1. Действие, процесс приспособления. 2. Состояние приспосаб-
ливаемого; приспособление. 3. Биологическое: а) любое изменение
в структуре или функции организма или любой из его частей в
результате естественного отбора, с помощью которого организм
становится более приспособленным для выживания и размноже-
ния в окружающей его среде; б) видоизменение формы или струк-
туры в соответствии с изменением окружающей среды. 5. Физио-
логическое. Ослабление отклика органов сенсорных рецепторов,
таких, как: зрение, осязание, температура, обоняние, слух и боль —
на изменяющиеся, постоянно воздействующие условия окружающей
среды. 6. Офтальмологическое. Регулирование зрачком количества
света, поступающего в глаз. 7. Социальное. Медленное, обычно
неосознанное изменение индивидуальной и социальной деятель-
ностей в процессе приспособления к культурной среде.
Можно заметить, что приведенные определения даны главным
образом в терминах биологической адаптации к окружающей
среде. Такие же определения в некоторой степени подходят и для
«искусственных», или созданных человеком, адаптивных систем,
которые в основном рассматриваются в этой книге.
Адаптивный автомат представляет собой систему, структура
которой изменяется или приспосабливается таким образом, что-
бы его поведение или функционирование улучшалось (в соответ-
ствии с некоторым подходящим критерием) в результате взаимо-
действия с окружающей его средой. Простым примером автомата
для автоматической адаптивной системы является автоматическая
регулировка усиления (АРУ), применяемая в радио- и телевизи-
онных приемниках. Функция этой системы — уменьшение чувстви-
тельности приемника при увеличении среднего уровня входного
сигнала. Таким образом, приемник может адаптироваться к широ-
кому диапазону уровней входных сигналов и формировать значи-
тельно более узкий диапазон уровней выходных сигналов.
Цель книги — описать некоторые основные принципы адапта-
ции; изложить методы разработки, функциональные свойства, об-
12
ласти применения адаптивных систем простейших видов и спосо-
бы их физической реализации. Рассматриваемые системы включа-
ют в себя системы, созданные прежде всего для адаптивного уп-
равления и адаптивной обработки сигналов. Как правило, такие
системы обладают некоторыми или всеми перечисленными ниже
свойствами:
1. Они могут адаптироваться (самооптимизироваться) при изме-
нении (нестационарном) условий окружающей среды и требова-
ний к системе.
2. Они могут обучаться для осуществления заданного вида филь-
трации и выполнения задачи принятия решения. Системы с таки-
ми свойствами можно автоматически синтезировать через обуче-
ние. Адаптивные системы можно в некотором смысле «запрограм-
мировать» процессом обучения.
3. Они не требуют тщательно разработанных методов синтеза,
обычно необходимых для неадаптивных систем. Наоборот, их мож-
но считать «самоорганизующимися».
4. Они могут экстраполировать модель поведения для функ-
ционирования в новых условиях после обучения на конечном и
часто небольшом числе обучающих сигналов или ситуаций.
5. Они могут в некоторой степени восстанавливаться, т. е.
адаптироваться к определяемым внутренним дефектам.
6. Их можно рассматривать как нелинейные системы с изме-
няющимися во времени параметрами.
7. Их сложнее анализировать, чем неадаптивные системы, но
они позволяют значительно увеличить область функционирования
системы, когда параметры входного сигнала не известны или из-
меняются во времени.
Области применения
Достигнутый за последнее время прогресс в разработке и
производстве микросхем привел к созданию очень компактных,
экономичных и надежных устройств обработки сигналов, конку-
рирующих с биологическими нейронными системами по размерам
и, очевидно, превосходящих биологические системы по быстродей-
ствию. В результате этого значительно расширилась область их
применения во всех видах цифровой обработки сигналов, в том
числе адаптивной обработки. В настоящее время адаптивные си-
стемы применяются в таких областях, как связь, радиолокация,
гидролокация, сейсмология, проектирование механических систем,
навигация и биомедицинская электроника.
Некоторым прикладным задачам посвящена ч. IV книги, на-
звания глав которой отражают общую картину областей примене-
ния адаптивных систем. В гл. 9 обсуждаются адаптивное модели-
рование и идентификация систем, когда адаптивная система мо-
делирует неизвестную или идентифицируемую систему, параметры
которой могут меняться во времени. При заданном входном сиг-
нале адаптивная система стремится «подстроиться» под структу-
13
ру этой идентифицируемой системы. Адаптивное моделирование
используется при проектировании и диагностике электронных и
механических систем.
Различные вопросы адаптивной компенсации, выравнивания
передаточных характеристик рассматриваются в гл. 10. Все эти
термины используются для описания процесса исключения влия-
ния некоторого устройства или среды на сигнал. Например, мо-
жет потребоваться, чтобы звуковая система реагировала с оди-
наковым коэффициентом передачи на все звуковые частоты или
чтобы было исключено влияние всего тракта передачи на импульс
радиолокатора.
Системам адаптивного управления, т. е. системам управления,
свойства которых изменяются во времени и адаптируются к окру-
жающей среде, посвящена гл. 11. Примером является система уп-
равления полетом, коэффициент передачи и время отклика кото-
рой зависят от плотности воздуха. Адаптивное подавление шума,
обсуждаемое в гл. 12, используется в таких областях, как пере-
дача речи, электрокардиография, а также при обработке сейсми-
ческих сигналов. В действительности адаптивное подавление шу-
ма может найти применение для решения широкого круга задач
выделения сигнала, поскольку зачастую свойства шума в реаль-
ных практических случаях не являются стационарными. Антен-
ным решеткам — области, в которой методы адаптивной обработ-
ки сигналов оказались особенно полезными, посвящены гл. 13, 14.
Общие свойства
Основным свойством адаптивной системы является изменяю-
щееся во времени функционирование с саморегулированием. Не-
обходимость такого функционирования очевидна из следующих
рассуждений. Если разработчик проектирует «неизменяемую» си-
стему, которую он считает оптимальной, то это означает, что раз-
работчик предвидит все возможные условия на ее входе, по мень-
шей мере в статистическом смысле, и рассчитывает, что система
будет работать при каждом из этих условий. Далее разработчик
выбирает критерий, по которому должно оцениваться функциони-
рование, например среднее число ошибок между выходным сигна-
лом реальной системы и выходным сигналом некоторой выбран-
ной модели или «идеальной» системы. Наконец, разработчик вы-
бирает систему, которая оказывается лучшей в соответствии с ус-
тановленным критерием функционирования, обычно из некоторого
априорно ограниченного класса (например, из класса линейных
систем).
Однако во многих случаях весь диапазон входных условий
может быть не известен точно даже в статистическом смысле или
условия могут время от времени изменяться. Тогда адаптивная
система, которая, используя регулярный процесс поиска, постоян-
но ищет оптимум в пределах допустимого класса возможностей,
имеет преимущества по сравнению с неизменяемой системой.
14
Адаптивные системы по
своей природе должны быть
изменяющимися во времени и
нелинейными. Их свойства за-
висят, помимо всего прочего,
от входных сигналов. Если на
вход подается сигнал Х\, то
адаптивная система настроит-
ся на него и сформирует вы-
ходной сигнал — назовем его
yi. Если на вход подается дру-
гой сигнал х2, то система наст-
роится на этот второй сигнал и
снова сформирует выходной
сигнал — назовем его у2. В об-
Рис. 1.1. Если Н — линейная система,
то выходной сигнал г/з=1/1+1/2- Если
Н — адаптивная система, то j/3 в об-
щем случае отличен от 1/1Й-1/2
щем случае структура и процессы коррекции адаптивной системы
.будут различными для двух различных входных сигналов. Если на
вход адаптивной системы подается сумма двух сигналов, то она
настраивается на этот новый входной сигнал, в общем случае не
равный сумме выходных сигналов у±-\~У2, которые соответствова-
ли бы входным сигналам х}, х2- В этом случае, как показано на
рис. 1.1, не выполняется принцип суперпозиции, имеющий место
в линейных системах. Если сигнал подается на вход адаптивной
системы для определения свойств по ее отклику, то система адап-
тируется к этому определенному входному сигналу и тем самым
изменяет собственную структуру. Таким образом, адаптивные си-
стемы по существу трудно описать в обычных представлениях.
Нельзя сказать, что адаптивные системы принадлежат к абсо-
лютно четкому подмножеству нелинейных систем. Однако прису-
щие им две особенности в общем случае отличают их от других
видов нелинейных систем. Во-первых, адаптивные системы явля-
ются регулируемыми, и процессы их регулирования зависят от
усредненных в ограниченном интервале времени характеристик
сигнала, а не от мгновенного значения сигналов или мгновенных
значений внутренних состояний системы. Во-вторых, процессы ре-
гулирования адаптивных систем целенаправленно изменяются для
того, чтобы оптимизировать заданные параметры функциониро-
вания.
Некоторые виды адаптивных систем становятся линейными си-
стемами, если их структура после адаптации остается постоян-
ной. Их можно назвать линейными адаптивными системами, опи-
сать математически и в общем случае легче разрабатывать,
чем другие виды адаптивных систем.
Адаптация с обратной связью и без обратной связи
В литературе предложено несколько способов классификации
адаптивных систем. Лучше всего ее начать с разделения на адап-
тацию без обратной связи и с обратной связью. Процесс адапта-
15
ции без обратной связи состоит из измерений характеристик
входного сигнала или окружающей среды, введения этой инфор-
мации в формулу или вычислительный алгоритм и использова-
ния результатов для регулирования адаптивной системы. При
адаптации с обратной связью, кроме того, автоматически вносят-
ся коррекции и с целью оптимизации параметров функционирова-
ния системы определяется их влияние на выходной сигнал. Этот
процесс можно назвать адаптацией с функциональной обратной
связью.
Принципы адаптации без обратной связи и с обратной связью
проиллюстрированы на рис. 1.2 и 1.3. В обоих случаях удобно
рассматривать адаптивный процесс так, как если бы его проводил
вручную оператор или «наблюдатель». На рис. 1.2,а и 1.3,а пока-
зано, как наблюдатель корректирует органы управления устройства
обработки, наблюдая за дисплеем, регистрирующим параметры
по заранее выбранному критерию функционирования. В системе
без обратной связи таким критерием являются некоторые харак-
теристики входного сигнала и, возможно, другие данные, а в си-
стеме с обратной связью — кроме того, функция, выходного сиг-
нала. Коррекция в системе на рис. 1.3 осуществляется даже в
случае, когда оператор не знает, что находится внутри устройст-
ва обработки или каковы функции органов управления. Оператор
не обрабатывает входной сигнал, он только управляет коррекци-
ями устройства обработки для того, чтобы поддерживать функци-
Устройство
Другие
данные
Рис. 1.2. Адаптация без обратной связи:
а) общее представление: б) эквивалентная схема
Входной
сигнал
б)
Рис. 1.3. Адаптация с обратной связью
16
онирование оптимизированным в соответствии с заранее выбран-
ным критерием. Таким образом, функция оператора—только на-
блюдение, а в реальных автоматических адаптивных системах
оператора заменяют вычислительные или «адаптивные» алгорит-
мы, как показано на рис. 1.2,6 и 1.3,6. «Другими данными» для
адаптивной системы на этих рисунках могут быть данные об ок-
ружающей среде или для системы с обратной связью — необходи-
мый вид выходного сигнала.
В процессе разработки адаптивного алгоритма выбор адапта-
ции без обратной связи или с обратной связью определяется мно-
гими факторами. Прежде всего учитывается вид входных сигналов
и сигналов, отражающих параметры функционирования. Кроме
того, количество вычислений и тип ЭВМ, требуемые для реали-
зации алгоритмов адаптации без обратной связи или с обратной
связью, как правило, различны. Для некоторых алгоритмов необ-
ходимо использовать универсальную цифровую ЭВМ, в то время
как реализация других алгоритмов намного экономичнее на спе-
циализированных вычислителях или других устройствах. Некото-
рые из этих структурных подходов обсуждаются в последующих
главах. Общие принципы выбора разработать трудно, но можно
выделить ряд достоинств и недостатков алгоритмов адаптации с
обратной связью, составляющих основное содержание книги.
Достоинством алгоритмов адаптации с обратной связью яв-
ляется их работоспособность во многих приложениях, где анали-
тических методов синтеза либо не существует, либо они неиз-
вестны; например, где помимо среднеквадратических критериев
используют критерии ошибки, где системы являются нелинейными
или изменяются во времени, где сигналы являются нестационар-
ными и т. д. Кроме того, адаптацию с обратной связью можно
эффективно использовать в случаях, когда физические величины
компонентов системы являются переменными или известны не-
точно. В этом случае адаптация с обратной связью обеспечит вы-
бор наилучших величин компонентов. При частичном поврежде-
нии системы механизм адаптации, постоянно следящий за функ-
ционированием, оптимизирует ее функционирование с помощью
коррекции и переоптимизации неповрежденной части. В результа-
те при использовании функциональной обратной связи зачастую
можно повысить надежность системы.
Однако процессу адаптации с обратной связью присущи и
недостатки. В некоторых случаях нет одного оптимума, и тогда
автоматическая оптимизация становится неопределенным процес-
сом. В других случаях в системе управления с обратной связью
процесс адаптации может быть неустойчивым, т. е. расходящимся,
а не сходящимся. Несмотря на это, функциональная обратная
связь представляет собой мощный, широко применяемый метод
реализации адаптации. Большая часть описываемых в книге про-
цессов адаптации является процессами с функциональной обрат-
ной связью.
17
Приложения алгоритмов адаптации с обратной связью
Рассмотрим теперь кратко некоторые приложения алгоритмов
с функциональной обратной связью, хотя это предвосхищает гла-
вы ч. IV, посвященные, начиная с гл. 9, вопросам применения.
Начнем с более конкретного представления процесса функцио-
нальной обратной связи (см. рис. 1.3,6) на рис. 1.4. Обозначим
через х входной сигнал и примем в качестве «требуемого откли-
ка» сигнал d, положим, что он представляет собой требуемый вы-
ходной сигнал адаптивной системы. В рассматриваемом случае
сигнал d является «другими данными» на рис. 1.3,6.
Сигнал ошибки е — это разность между требуемым и действи-
тельным выходными сигналами адаптивной системы. С помощью
минимизации некоторого параметра сигнала ошибки адаптивный
алгоритм позволяет изменять характеристики отклика, тем самым
замыкая петлю функциональной обратной связи.
Возможны различные структуры адаптивной системы. Они об-
суждаются далее, начиная с гл. 2. Адаптивные алгоритмы для
коррекции этих структур также рассматриваются ниже, начиная
с гл. 4. Здесь же покажем лишь в общем виде, как работает схе-
ма, приведенная на рис. 1.4, в реальных условиях.
d (требуемый
выходной сигнал)
б) г)
Рис. 1.5. Примеры применения схемы, приведенной на рис. 1.4, для предсказа-
ния (а), идентификации (моделирования) (б), выравнивания (компенсации) ха-
рактеристик (в), подавления помехи (г)
18
На рис. 1.5 дано несколько примеров применения адаптивных
систем. Отметим, что схема на рис. 1.4, иллюстрирующая основ-
ной принцип процесса адаптации с обратной связью, немного уп-
рощена и является составной частью всех схем на рис. 1.5, а спо-
соб получения требуемого сигнала d зависит от конкретной при-
кладной задачи.
Простейшей из четырех схем, по-видимому, является представ-
ленная на рис. 1.5,а схема применения адаптивной системы в ка-
честве устройства предсказания. Полезным сигналом является
входной сигнал s, поступающий после задержки в устройство
адаптивной обработки, которое должно стремиться «предсказать»
текущий входной сигнал для того, чтобы сигнал у компенсировал
сигнал d и сводил е к нулю. Схемы предсказания, используемые
в кодировании сигналов и для подавления шума, рассматривают-
ся в гл. 8, 9 и 12.
Таким же простым для понимания является представленный
на рис. 1.5,6 пример применения адаптивной системы в задаче
идентификации систем. Здесь широкополосный сигнал s служит
входным сигналом для устройства адаптивной обработки, а так-
же для неизвестной «идентифицируемой» системы (термин, заим-
ствованный из литературы по управлению). Для уменьшения е
устройство адаптивной обработки стремится воспроизвести пере-
даточную функцию идентифицируемой системы. После адаптации
идентифицируемая система является «идентифицированной» в
том смысле, что ее передаточную функцию можно задать, по су-
ществу, в виде передаточной функции устройства адаптивной об-
работки. Адаптивную идентификацию или моделирование систе-
мы можно использовать для моделирования медленноменяющей-
ся системы, в которой имеются входные и выходные сигналы, на-
пример при изучении вибраций механических систем. Кроме того,
ее можно использовать и в других случаях, рассматриваемых в
гл. 9 и 11.
Применение адаптивной системы в качестве устройства вы-
равнивания (компенсации) (см. рис. 1.5,б) рассматривается в ос-
новном в гл. 10, а его использование в управлении — в гл. 11. В
этом случае устройство адаптивной обработки стремится восста-
новить задержанный сигнал s. Считается, что сигнал преобразу-
ется в медленноменяющейся компенсируемой системе и содержит
аддитивный шум. Задержка на рис. 1.5,б предназначена для ком-
пенсации задержки сигнала при прохождении через компенсируе-
мую систему и устройство адаптивной обработки. Адаптивное вы-
равнивание можно использовать для исключения влияния преоб-
разователей, каналов связи и некоторых других систем или для
формирования характеристики, обратной характеристике некото-
рой неизвестной компенсируемой системы. Кроме того, возможно
применение таких систем при разработке цифровых фильтров, а
также в задачах адаптивного управления и т. д.
Наконец, на рис. 1.5,а показано устройство адаптивной обра-
ботки в схеме подавления помехи. Здесь сигнал s искажен адди-
19
тивным шумом п, и, кроме того, имеется искаженный, но корре-
лированный шум п'. В этом случае назначение устройства адап-
тивной обработки — сформировать выходной сигнал у, близкий к
шуму п, так, чтобы общий выходной сигнал е приближался к
сигналу s. Далее будет показано, что при определенных, весьма
распространенных условиях оптимальным является устройство
адаптивной обработки, минимизирующее среднеквадратическое
значение сигнала е. Адаптивное подавление помех рассматривает-
ся в гл. 12—14.
Пример адаптивной системы
Теперь уже ясно, что адаптивная обработка сигналов — очень
общее и фундаментальное понятие, которое подразумевает ис-
пользование самонастраивающихся устройств обработки с изменя-
ющимися во времени параметрами. Считают, что функционирова-
ние этих систем является целенаправленным, полезным, а иногда
даже «интеллектуальным» в некотором смысле. Прежде чем за-
вершить вводную главу, для более наглядной иллюстрации про-
цесса адаптации в целом и адаптации с обратной связью, в част-
ности, приведем всего один конкретный пример такой системы.
Будем использовать схему «предсказания», представленную на
рис. 1.5,а, имея в виду, что она является лишь одним частным
примером очень широкого и общего класса систем.
На рис. 1.6 схема адаптивного устройства предсказания
рис. 1.5,а воспроизведена с условными обозначениями, использу-
емыми далее по всему тексту. Символы хь, Уи, гь представляет
собой k-e элементы временных последовательностей х, у, е. Обыч-
но полагают, что временные последовательности получены в виде
отсчетов непрерывных сигналов. Например, xh = x(kT) и т. д.,
где Т — временной шаг, или интервал между отсчетами. Символ
обозначает фиксированную задержку на М временных шагов,
поэтому на рис. 1.6 выходной сигнал z~M обозначен через Хь-м.
Символ Hk представляет собой передаточную характеристику ус-
тройства адаптивной обработки — адаптивного фильтра. Подроб-
ное описание Нк приведено в последующих главах, а здесь от-
метим, что индекс k говорит о том, что передаточная характери-
стика изменяется в каждой точке отсчета.
Таким образом, на рис. 1.6 показано, что входной сигнал хк
задерживается, затем в результате фильтрации преобразуется в
сигнал t/k, выделяемый из хк для получения сигнала ошибки е/г.
Рис. 1.6. Пример адап-
тивной системы: адап-
тивное устройство пред-
сказания
20
Рис. 1.7. Сигналы адаптивного устройства предсказания, приведенного на рис.
1.6. По мере того, как система обучается для предсказания входного сигнала
х, выходной сигнал у приближается к х и сигнал ошибки е стремится к нулю
Передаточная функция Hh корректируется таким образом, чтобы
поддерживать наименьшее среднеквадратическое значение ошиб-
ки. В этом случае устройство обработки всегда использует преды-
дущие значения х для предсказания текущего значения х, в то же
время используя е для коррекции Н, и таким образом включа-
ет в себя процесс функциональной обратной связи.
На рис. 1.7 приведен пример функционирования адаптивного
устройства предсказания. Здесь, а также в последующих приме-
рах сигналы построены на основе цифровых данных соединением
точек отсчетов прямыми линиями. Входной сигнал х является ог-
раниченным по частоте случайным сигналом, в этом случае М=1.
Отметим, что с увеличением k и по мере того, как адаптивная си-
стема постепенно обучается предсказанию, yk приближается к
xh и амплитуда уменьшается. Более подробные примеры адап-
тивного предсказания приводятся в последующих главах.
Содержание последующих глав
В гл. 2—8 приведены некоторые основополагающие представ-
ления и математическое описание адаптивного процесса. Функ-
ционирование адаптивных систем можно анализировать как во
временной, так и в частотной областях; в целом частотный ана-
лиз представляется более изящным, но трудным. Поэтому в гл.
2—6 используется анализ во временной области, а анализ с по-
21
мощью различных преобразований, передаточных функций и т. д.
по возможности исключается. В гл. 2 рассматривается адаптив-
ный линейный сумматор, который является основным видом нере-
курсивного адаптивного фильтра. Затем в гл. 3—5 вводится гео-
метрическое представление поверхности, образованной графиком
рабочей функции, и обсуждаются различные методы адаптивного
поиска минимальной точки на этой поверхности.
В гл. 6 вводится хорошо известный алгоритм наименьших
квадратов, простейший, наиболее важный и широко используе-
мый для коррекции весовых коэффициентов в линейной адаптив-
ной системе. После ознакомления с гл. 2 более подготовленные
читатели или те, кого интересуют только вопросы применения ал-
горитма без изучения всей теории, могут перейти к гл. 6 и по-
следующим, опустив материал гл. 3—5.
В некоторых областях применения адаптивной обработки
сигналов, включая рекурсивные адаптивные фильтры, нельзя про-
водить анализ обычными методами без перехода в частотную об-
ласть, поэтому гл. 7 посвящена главным образом разработке ос-
нов этого метода анализа. Далее в гл. 8 вводятся другие виды
алгоритмов, также требующие анализа в частотной области. Кро-
ме того, в гл. 8 вводится понятие адаптивной решетки — структу-
ры, отличной от рассматриваемого в гл. 2 адаптивного линейного
сумматора. Наконец, гл. 9—14 посвящены некоторым важным
приложениям адаптивной обработки сигналов.
Глава 2
АДАПТИВНЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ СУММАТОР
Общее описание
Адаптивный линейный сумматор, или нерекурсивный адаптив-
ный фильтр, является фундаментальным понятием в адаптивной
обработке сигналов. В том или ином виде он присутствует в
большинстве адаптивных фильтров и систем и является единст-
венным наиболее важным элементом «обучения» систем и уст-
ройств адаптивной обработки в целом. Таким образом, главная
задача этой книги — подробное описание свойств, функциониро-
вания, способов и скорости адаптации и эффективных приложений
адаптивного линейного сумматора.
Поскольку структура адаптивного линейного сумматора явля-
ется нерекурсивной, его сравнительно легко изучать и анализиро-
вать. По существу он представляет собой нерекурсивный фильтр
с изменяющимися во времени параметрами, так что принцип его
действия очень прост, а функционирование, способы адаптации,
а также реализация в различных схемах вполне доступны для по-
нимания. Более того, известны такие приложения, в которых
функционирование адаптивного линейного сумматора является в
некотором смысле «наилучшим».
22
Рис. 2.1. Общий вид адаптивного линейного сумматора
Схема адаптивного линейного сумматора в общем виде пока-
зана на рис. 2.1. В этой схеме имеются вектор входного сигнала
с компонентами х0, хг xL, соответствующее множество регули-
руемых весовых коэффициентов к’о, устройство сумми-
рования и выходной сигнал у. Процесс регулирования или адап-
тации весовых коэффициентов называют «весовой коррекцией»,
коррекцией коэффициента передачи или процессом адаптации.
Сумматор называют линейным, поскольку для некоторого задан-
ного набора весовых коэффициентов выходной сигнал представля-
ет собой линейную комбинацию компонентов входного сигнала.
Однако в процессе коррекции весовых коэффициентов последние
также являются функциями компонентов входного сигнала и вы-
ходной сигнал уже не является линейной функцией входного. Та-
ким образом, в соответствии с общим принципом, изложенным в
гл. 1, правило функционирования адаптивного линейного сумма-
тора становится нелинейным.
Векторы входного сигнала и весовых коэффициентов
Существуют две важные физические интерпретации элемен-
тов вектора входного сигнала (см. рис. 2.1). В первой их можно
рассматривать как одновременно действующие входные сигналы
от L-J-1 различных источников. Примерами такой интерпретации
могут служить адаптивная антенна и адаптивная акустическая
система обнаружения, в которых каждый вход соединен с от-
дельным чувствительным элементом.
Кроме того, элементы х0, xL можно рассматривать как L + 1
последовательных отсчетов сигнала одного источника. Примером
такой интерпретации является устройство адаптивной обработки,
приведенное в гл. 1 на рис. 1.6.
Будем называть эти две интерпретации системой с многими
входами и системой с одним входом. Для обоих случаев принято
обозначать входные векторы по-разному, а именно:
ДЛЯ МНОГИХ ВХОДОВ Хй= [ХойХ1й ... Хгй]Т, (2.1)
для одного входа Xft== [xkXk-i ... лц.-Дт. (2.2)
23
Рис. 2.2. Схема адаптивного линейного сумматора в виде адаптивного транс-
версального фильтра с одним входом
В этих выражениях Т — знак транспортирования, поэтому в обо-
их случаях Xft — фактически вектор-столбец. Индекс k использу-
ется для обозначения времени. Таким образом, в системе с мно-
гими входами все элементы получены на k-м временном отсчете,
тогда как в системе с одним входом элементы являются последо-
вательными отсчетами, взятыми в моменты k, k—1, ..., k—L.
В системе с одним входом устройство адаптивной обработки
можно реализовать в виде адаптивного линейного сумматора с
элементами задержки (рис. 2.2). Такую структуру называют
адаптивным трансверсальным фильтром. Заметим, что весовые
коэффициенты имеют второй индекс k, который добавлен для
того, чтобы показать их зависимость от времени в явном виде.
Адаптивный трансверсальный фильтр является временной (в
противоположность пространственной) формой нерекурсивного
адаптивного фильтра и широко применяется при адаптивном мо-
делировании и адаптивной обработке сигналов. Большинство
адаптивных систем, рассматриваемых в последующих главах, ос-
нованы на использовании адаптивного трансверсального фильтра.
В некоторых системах с многими входами необходимо вводить
весовой коэффициент смещения, тогда к сумме уь прибавляется
переменное смещение. При необходимости его удобно вводить,
полагая первый входной
элемент xoh в (2.1) постоян-
ным и равным единице (или
какой-либо другой постоян-
ной величине), как показа-
но на рис. 2.3. В системах
с одним входом, как прави-
ло, не требуется вводить
весовой коэффициент сме-
щения.
Рис. 2.3. Схема адаптивного ли-
нейного сумматора с многими вхо-
дами и с весовым коэффициен-
том смещения woll
24
Используя обозначения входного сигнала (2.1) и (2.2), полу-
чаем следующие выражения для выходных сигналов в схемах на
рис. 2.2 и 2.3:
L
для одного входа ун = S WikXk-i, (2.3}
1=0
L
для многих входов /д = S WikXik. (2.4)
t=o
Если в (2.4) xoh тождественно равен единице, то, как отмече-
но выше, Wok становится весовым коэффициентом смещения.
По аналогии с (2.1) и (2.2) вектор весовых коэффициентов
Wft= [йуОййУ1й ... wLk]T. (2.5)
Тогда, используя векторные обозначения ’, можно записать (2.3)
и (2.4) одним соотношением
yft = XTftWft = WTftXft. (2.6)
Теперь можно рассмотреть принцип работы адаптивного линей-
ного сумматора и изучить влияние зависимости вектора от ин-
декса времени k.
Полезный отклик и сигнал ошибки
Адаптивный линейный сумматор можно использовать в систе-
мах как с обратной, так и без обратной связи. Как отмечалось
при рассмотрении рис. 1.2, процесс коррекции вектора весовых
коэффициентов в системе без обратной связи в явном виде не за-
висит от выходного сигнала и определяется только входным сиг-
налом и состоянием окружающей среды.
Однако в системе с обратной связью, показанной на рис. 1,3,
вектор весовых коэффициентов зависит от выходного сигнала, а
также от других данных. Вообще в адаптивном линейном сумма-
торе другими данными являются полезный отклик или обучающий
сигнал. В данной книге обсуждаются прежде всего системы с
функциональной обратной связью, поэтому необходимо четкое по-
нимание существа этих сигналов.
В процессе адаптации с функциональной обратной связью
вектор весовых коэффициентов линейного сумматора корректиру-
ется таким образом, чтобы выходной сигнал yh имел наилучшее
приближение к полезному отклику. Для этого выходной сигнал
сравнивается с полезным откликом, формируется сигнал ошибки
и затем корректируется или оптимизируется вектор весовых ко-
эффициентов, минимизирующий сигнал ошибки. В большинстве
практических случаев процесс адаптации направлен на минимиза-
1 Мы полагаем, что читатель знаком с векторным и матричным умноже-
нием, а если нет, то можно воспользоваться любой книгой по матричной ал-
гебре.
25
Рис. 2.4. Сигналы полезного отклика и ошибки в адаптивном линейном сумма-
торе с многими входами
цию среднеквадратического значения, или средней мощности сиг-
нала ошибки. Оптимизация по этому критерию как в адаптивных,
так и в неадаптивных системах давно и широко применяется и
имеет много достоинств [1,8—16].
На рис. 2.4 показан способ получения сигнала ошибки в си-
стеме с многими входами за счет введения полезного отклика.
Для формирования сигнала ошибка ед выходной сигнал уь прос-
то вычитается из полезного сигнала dh.
Источник сигнала полезного отклика dk определяется конкрет-
ным применением адаптивного сумматора. Пока будем считать,
что такой сигнал уже имеется. Более подробно вопрос его форми-
рования рассматривается в последующих главах. Однако отме-
тим, что зачастую для того, чтобы найти подходящий сигнал, тре-
буется значительная изобретательность, поскольку если бы в
действительности полезный сигнал имелся, то адаптивная система
была бы не нужна.
Рассмотрим теперь только что введенную рабочую функцию.
Рабочая функция
Из рис. 2.4 следует, что сигнал ошибки с временным индек-
сом k
&k~di> Ук> (2.7)
Подставляя (2.6) в это выражение, получаем
Rk=dh-X\^ = dk-^Xk. (2.8)
Здесь для удобства у вектора весовых коэффициентов опущен ин-
декс k, поскольку в данном случае коррекция весовых коэффици-
ентов не рассматривается. Чтобы получить мгновенное квадратич-
ное значение сигнала ошибки, возведем в квадрат выражение
(2.8):
e2/t = d2/t + WTX/tX\W-2^X\W. (2.9)
26
Положим, что Eh, dk и Xh стационарны в статистическом смысле,
и найдем математическое ожидание1 функции (2.9) по /г:
£[егь] = E\d\\ +WT£[XftXTft]W-2E[dftXTft] W. (2.10)
Отметим, что математическое ожидание суммы равно сумме мате-
матических ожиданий, но математическое ожидание произведений
равно произведению математических ожиданий только тогда,
когда случайные величины статистически независимы. В общем
случае сигналы хк и dk не являются независимыми.
Удобнее функцию СКО представить следующим образом.
Пусть R — квадратная матрица
R = Е [Xft ХЦ = Е
X0k
2
X\k
x0k x2k ... xQk xLk
xlk x2k ... xKhxLk
(2.П)
xLk Х^ XLk Xlk
о
xLkX2k ... xLk
Эта матрица называется корреляционной матрицей входного сигна-
ла. Элементы, расположенные на главной диагонали, равны сред-
неквадратическнм значениям входных компонентов, а остальные
элементы — значениям взаимокорреляционной функции входных
компонентов. Таким образом, пусть Р — вектор-столбец
P = E[dftXft] =E[dhxokdhXik... dkxLk\T. (2.12)
Этот вектор представляет собой множество значений взаимокор-
реляционной функции отсчетов полезного отклика и отсчетов
входного сигнала. Если Хд и d>, — стационарны, то все элементы, как
R, так и Р, являются постоянными статистиками второго порядка.
Отметим, что в (2.11) и (2.12) X/. представлено для системы с
многими входами, но так же легко можно было бы воспользо-
ваться представлением для системы с одним входом.
Обозначим теперь СКО в (2.10) через g и запишем ее с по-
мощью (2.11) и (2.12):
CKOa| = E[4] = EM] + WtRW-2PTtW. (2.13)
Из этого выражения видно, что если отсчеты входного сигнала и
полезного отклика — стационарные случайные величины, то СКО
точно совпадает с квадратичной функцией компонентов вектора
весовых коэффициентов W, т. е. если раскрыть (2.13), то элемен-
ты W входят в (2.12) только в первой и второй степенях.
На рис. 2.5 показан фрагмент характерной двумерной функ-
ции СКО. По вертикальной оси откладываются значения СКО, по
горизонтальным осям — значения весовых коэффициентов. Пост-
роенный таким способом график квадратичной функции ошибки
(поверхность, образованная графиком рабочей функции) являет-
ся параболоидом (или гиперпараболоидом, если число весовых
коэффициентов больше двух). Он должен быть вогнутым и на-
1 Определения таких статистических понятий, как стационарность, матема-
тическое ожидание и т. д., см. в книгах по обработке сигналов и анализу вре-
менных рядов [5, 6].
27
Рис. 2.5. Фрагмент графика двумерной
квадратичной рабочей функции. В дан-
ном примере оптимальным является
вектор W*=(0,65,—2,1), а минимальное
значение СКО равно нулю
правленным вверх; в против-
ном случае при некоторых зна-
чениях весовых коэффициен-
тов значение СКО было бы
отрицательным, что невозмож-
но для реальных физических
сигналов. При g, равной в
(2.13) константе, сечение по-
верхности имеет эллиптичес-
кую форму. Проекция «ниж-
ней» точки графика на плос-
кость векторов весовых коэф-
фициентов представляет собой
вектор оптимальных весовых
коэффициентов W* и соответ-
ствует точке минимального
значения СКО. Квадратичес-
кая функция ошибки имеет
только один глобальный опти-
мум, локальных минимумов у
такой функции не сущест-
вует.
Минимальная среднеквадратическая ошибка и градиент
Во многих полезных для практики способах адаптации поиск
вектора весовых коэффициентов, соответствующего минимуму ра-
бочей функции, осуществляется градиентными методами. Гради-
ент функции СКО, обозначаемый V (£) или просто V, можно по-
лучить дифференцированием функции (2.13), при этом вектор-
столбец
^L]T, (2.14)
д W [ dw0 dwt dwL J
V = 2RW—2P, (2.15)
R и P определяются no (2.11) и (2.12). Это выражение получено
дифференцированием функции (2.13) по каждому из компонентов
вектора весовых коэффициентов. Дифференцирование члена
WTRW можно осуществить дифференцированием произведения
(WT)(RW).
Для нахождения минимального значения СКО полагаем, что
вектор весовых коэффициентов W равен оптимальному W*, гра-
диент которого равен нулю:
V=0 = 2RW*-2P. (2.16)
Полагая, что R является неособенной матрицей, из (2.16) нахо-
дим вектор W *, иногда называемый винеровским вектором ве-
совых коэффициентов:
W* = R-ip.
(2.17)
28
Это равенство является уравнением Винера — Хопфа [8, 9, 12],
записанным в матричной форме. Подставляя теперь (2.17) в
(2.13), получаем минимальное значение СКО:
£ratn=£[dM + W*TRW*—2PTW* =
= £[d2A] + [R-'PPRR-'P—2PTR~’P. (2.18)
Упростим полученный результат, используя следующие три свой-
ства, которые полезны при рассмотрении рабочей функции СКО:
1. Для любой квадратной матрицы существует единичная мат-
рица:
АА-i = I.
2. Транспонирование произведения матриц:
[АВ]Т = ВТАТ.
3. Симметричность корреляционной матрицы входного сиг-
нала:
RT = R; [R-i]t=R-i [,сМ. (2.11)].
В соответствии с этими свойствами (2.18) принимает вид
|min = £[^t]-PTR-IP==£[^t]-PTW*. (2.19)
Теперь для того чтобы пояснить введенные понятия квадратичной
поверхности, градиента и СКО, рассмотрим пример.
Пример анализа рабочей функции
На рис. 2.6 приведен простой пример адаптивного линейного
сумматора с одним входом и двумя весовыми коэффициентами.
Входной и полезный сигналы представляют собой отсчеты сину-
соиды с частотой, равной N отсчетам за период. Для того чтобы
не все отсчеты были равны нулю, полагаем У>2. Здесь не об-
суждается способ получения этих сигналов, а рассматривается
только рабочая функция и ее свойства.
Для нахождения рабочей функции, т. е. £ в (2.13), необходи-
мо вычислить математическое ожидание произведений сигналов
в (2.11) и (2.12). Отметим, что для системы с одним входом не-
обходимо изменить индексы при х в соответствии с (2.2). Для
•1i = ,v»y+w>y--i
Рис. 2.6. Пример адаптивного линейного сумматора с двумя весовыми коэффи-
циентами
29
любого произведения синусоидальных функций математическое
ожидание произведения можно найти усреднением этого произве-
дения за один или более периодов. Таким образом,
E[xkXk-n] = —У sin-----sin—i------=0,5 cos-----, п = 0, 1; (2.20)
к N N N N
г.,, , 2 ink . 2л (fe — п) . 2л n а 1 /о о 1 \
Е [dk xk-n] = — У cos--sin------i---= — sin------« - 0, 1. (2.21)
h В N N N N > /
Отметим, что £[х2й] =£’[х2й-1], поскольку усреднение осуществля-
ется по k.
На основании этих результатов можно получить
для корреляционных матриц входного
Р (2.12) в рассматриваемом примере
двумя весовыми коэффициентами:
выражения
(2.11) и вектора
одним входом и
сигнала R
системы с
(2.22)
(2.23)
Так же, как и в (2.20) и (2.21), получаем, что E[d2k]=2. Под-
ставляя полученные результаты в (2.13), находим функцию СКО
ошибки для нашего примера:
I = Е [ d2k] + WT RW - 2РТ W =
(2.24)
График этой функции для N = 5 приведен на рис. 2.5. Отметим,
что зависимость является квадратичной по wQ и Wi и имеет
единственный глобальный минимум. Подставив (2.22) и (2.23) в
(2.15), найдем вектор градиента для любой точки ш0, оц:
(2.15), найдем вектор
30
2л
+ Wi cos —
2л 2л
w0 cos + Wt + 2 sin n
(2.25)
В этом примере винеровский вектор весовых коэффициентов мож-
но найти формально из (2.17), вычислив обратную матрицу R
или приравнивая V нулю в (2.25). Конечно, обе операции эквива-
лентны, и в обоих случаях в результате имеем
W* = [ 2 ctg — 2 cosec -^]Т. (2.26)
Напомним, что ранее принято N>2, поэтому здесь w*0 и ®*i
всегда конечны.
Наконец, подставляя (2.23) и (2.26) в (2.19), находим для
данного примера минимальное значение СКО
ginln = £M]-PTW* = 2-[0 -sin-^j
(2.27)
С первого взгляда полученный результат может показаться уди-
вительным, поскольку для любого значения N весовые коэффи-
циенты в схеме на рис. 2.6 можно скорректировать так, чтобы
свести &k к нулю. Сам по себе элемент задержки может изме-
нить Xk с синусоидальной на косинусоидальную функцию только
при #=4, т. е- только при задержке, равной четверти периода.
В этом случае из (2.26) следует, что йу*о=О и —2. Однако
в адаптивном линейном сумматоре с задержкой и двумя весовы-
ми коэффициентами всегда возможен такой сдвиг х^, при кото-
ром для любого Af>2 можно получить соответствующую коси-
нусоидальную функцию (см. упражнение 3).
Другое представление градиента
Поскольку СКО является квадратичной функцией W, дости-
гающей своего минимального значения при W=W*, можно за-
писать
g = gmin+(W-W*)TlR(W-W*). (2.28)
Покажем, что это выражение справедливо. Отметим, что в общем
случае (А—В)Т=АТ—Вт, раскроем скобки в (2.28) и найдем
g = grain + W*TRW* + WTRW—WTRW*—W*TRW. (2.29)
Каждый член в (2.29) является скалярной величиной и поэтому
равен своему транспонированному значению. Следовательно, по-
следние два члена равны друг Другу. В результате подставив
вместо £min выражение (2.19), запишем
PTW* +W*TRW* +WTRW—2WTRW*. (2.30)
31
Подставляя вместо W* выражение (2.17) и имея в виду, что
R— симметрическая матрица, получаем
g = E[d\] — PTR‘ Р + PTR-‘ RR-1 P + WT RW—2WRR! P =
= £[d2fe] + WTRW—2WTP = E[d2h] +WTRW—2PTW. (2.31)
Этот результат соответствует (2.13) и тем самым доказывает
справедливость выражения (2.28).
Квадратичную форму в (2.28) можно привести к более удоб-
ному виду, если ввести вектор отклонения весовых коэффициен-
тов
V = W—W*=[t>o Vi ... От. (2.32)
Соответственно выражение (2.28) принимает вид
g = gmin + VTRV. (2.33)
Вектор V — отклонение вектора весовых коэффициентов от ви-
неровского оптимального вектора весовых коэффициентов. Лю-
бое отклонение W от W* вызывает в соответствии с квадратич-
ной формой VTRV увеличение СКО.
Чтобы при всех возможных Vg было неотрицательным, необ-
ходимо выполнение для всех V условия VTRV^0. Если VTRV>0
для всех V¥=0, то говорят, что матрица R — положительно опреде-
ленная [7]. Если VTRV=0 для всех или некоторого конечного
множества векторов V, то говорят, что матрица R — положитель-
но полуопределенная. В практических случаях R почти всегда
является положительно определенной, но иногда может быть и
положительно полуопределенной. Условия положительной опре-
деленности и положительной полуопределенности обычно рас-
сматриваются в теории матриц.
Градиент СКО относительно V получаем дифференцированием
функции (2.33):
= ГAL 2^11 = 2RV. (2.34)
дУ L dv0 dvt - dvL J
Этот градиент такой же, как и в формуле (2.15), так как W и V от-
личаются только на константу. Таким образом,
v =2RV=2 <RW - р>- (2-35>
ОУУ О V
Выражение (2.35) будет использовано при синтезе и анализе
различных адаптивных алгоритмов.
Декорреляция сигнала ошибки и элементов входного сигнала
При W=W* имеет место полезное и важное статистическое
соотношение между сигналом ошибки и компонентами вектора
входного сигнала. В соответствии с (2.8)
8ft = 4—XTftW. (2.36)
32
Умножим на X/, обе части этого равенства. Поскольку каждый
член является скалярной величиной, его можно умножать на Хд
ii как слева, так и справа. Тогда
eftXft = <4Xft-X*XTftW. (2.37)
Далее находим математическое ожидание функции (2.37):
Е[М =Р-RW. (2.38)
Наконец, пусть W равен оптимальному значению (2.17), при этом
E[eftX,Jw=w« = P-P=0. (2.39)
Этот результат совпадает с хорошо известным результатом ви-
неровской теории фильтрации: когда импульсный отклик фильтра
оптимизирован, сигнал ошибки не коррелирован (ортогонален) с
входными сигналами, взятыми с весовыми коэффициентами.
Упражнения
1. Во многих рассуждениях этой и последующих глав используется алгеб-
ра матриц. Докажите, что для любых матриц А, В и С справедливы следую-
щие простые соотношения:
а) в общем случае АВэ^ВА;
б) А(В + С)=АВ + АС;
в) (АВ)Т = ВТАТ, (АВ) В'А1;
г) если А — симметрическая матрица, то А-1 — также симметрическая мат-
рица.
2. Начиная с равенства (2.13), приведите подробный вывод равенства
(2.15).
3. Пусть в примере адаптивного линейного сумматора, приведенном ча
рис. 2.6, У= 10. Тогда:
а) найдите оптимальный вектор весовых коэффициентов;
б) используя полученный в а) результат, запишите выражение для у к',
в) используя полученный в б) результат и xh для схемы на рис. 2.6, до-
кажите, что yk=dk.
4. Для схемы на рис. 2.6 определите весовые коэффициенты, для которых
среднеквадратическое значение ел = 2:
а) при М = 5,
б) при N= 10.
5. Для примера на рис. 2.6 при У = 8 найдите вектор градиента, ес ш
Ш| = 0, а среднеквадратическое значение еЛ равно:
а) 2;
б) 4.
Почему для второго случая градиент выше?
6. Рассмотрим приведенную ниже схему адаптивного линейного сумматора
с одним весовым коэффициентом. Предположим, что ключ S разомкнут и
Д[-г!л] = 1; =0,5; £[d2b]=4, E[dk.Xk]=—1; £[^ьхь-|] =1. Найдите вы-
ражение для функции среднеквадратической ошибки. Начертите график этой
функции.
7. Выполните упражнение 6 при условии, что ключ S замкнут.
2-12 33
8. Каково оптимальное значение и>1 для условий упражнения 6? Каково
соответствующее ему минимальное значение среднеквадратической ошибки?
9. Пусть в схеме адаптивного линейного сумматора из упражнения 6
функции хк и dk такие же, как в схеме на рис. 2.6, и М = 5. Полагая, что
ключ S разомкнут, найдите:
а) выражение для g (и начертите график этой функции);
б) оптимальное значение
в) минимальное значение £.
10. Выполните упражнение 9 при условии, что ключ S замкнут.
И. Полезно иметь некоторый навык вычисления корреляционных функций,
аналогичных выведенным равенствам (2.20) и (2.21). Рассмотрим приведенные
ниже непрерывные периодические сигналы. Предположим, что для каждого из
сигналов берутся отсчеты в моменты времени t=0, Т, ЧТ, ... таким образом,
что для первых двух сигналов имеем точно N отсчетов за период, а для третье-
го— N/2 отсчетов за период. Если отсчет попадает на точку разрыва сигнала,
ему присваивается значение сигнала правее этой точки. Найдите:
a) E[uhuh-n];
б) E[yhyh-n];
в) Е[иьх»_п];
г) E[uhyk_n]-,
д)
12. Используя пример из упражнения 11, покажите, что в общем случае
автокорреляционная функция является четной функцией сдвига п, а взаимокор-
реляционная функция не является.
34
13. Рассмотрим адаптивный линейный сумматор, схема которого приведе-
на ниже. Предположим, что требуется минимизировать £[е4л], а не £[е2*], а
также, что сигналы хок, х1к и dk являются стационарными.
Получите выражение для £[e4h]. Определите, является ли £[e4s] квадра-
тичной функцией »о н и является ли £[е4ь] унимодальной функцией w0
и а>].
Ответы к некоторым упражнениям
3. a) ®*= [2,753—3,403]т; б) (М = 2,753 sin(£л/5)—3,403 sin[(£—1)л/5].
4. a) ®20 + ®2t + 0.61 Stc’ow, + 1,902]®!—4 = 0.
б) ®20 +®2i + 1,618шоаУ1 +1,1756®!—4=0.
5. a) V=[0 1,4142]т; б) V= [2 2,8284]т, [—2 0]т.
6. = —2®i+4, w*i— 1.
7. g=®2!—2®,+7, ®*i = 0,5.
8- ®*1 = 1, Bmln=3.
13. а) £[е4л] =®40£[х40й]+®41£[+|й]—4®30£[с(ях30л]+ ... + 12w0wlE[dkX
Х-^оь+й]— 4w0E[d3kxok]—4wtE[d+xib] +£[d4s]; б) иет; в) в общем случае нет.
2*
Часть II.
ТЕОРИЯ АДАПТАЦИИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СИГНАЛОВ
Теперь читатель имеет общее представление о рабочей функции, или функции
ошибки, и о том, как эта функция отражает адаптивные параметры. При
адаптивной обработке сигналов поверхность, образованная рабочей функцией,
обладает следующим важным свойством: если сигналы являются стационарными
и имеют инвариантные в статистическом смысле свойства, то эта поверхность
фиксирована и остается неподвижной в своей системе координат. В этом слу-
чае процесс адаптации заключается в движении, начиная с некоторой началь-
ной точки, вниз по этой поверхности до окрестности точки минимума, и в удер-
жании среднеквадратического значения сигнала ошибки около этой точки.
Кроме того, если сигналы нестационарны и их статистические свойства
медленно меняются, то можно считать, что эта поверхность является «размы-
той» или изменяет свою форму или местоположение относительно системы ко-
ординат. В этом случае процесс адаптации состоит ие только в движении к
точке минимума, ио н в слежении за точкой минимума, поскольку она меняет
свое положение.
Наиболее простому для анализа случаю стационарных сигналов, когда по-
верхность, образованная графиком рабочей функции, неподвижна относительно
системы координат, посвящены гл. 3—5. В гл. 3 приводятся некоторые мате-
матические свойства рабочей функции, которые будут полезны при сравнении
в последующих главах функционирования различных адаптивных систем.
В гл. 4 излагаются два основных метода поиска рабочей функции — метод
Ньютона и метод нанскорейшего спуска — и дан их сравнительный анализ.
В гл. 5 изучается влияние на эффективность методов шума оценки градиента,
которой необходимо пользоваться в практических условиях.
Все эти главы являются теоретической основой для ч. III, в которой начи-
нается обсуждение практических адаптивных алгоритмов. Поэтому при чтении
можно опустить некоторые разделы ч. II или сразу перейти к ч. III, а затем
вернуться к ч. II.
Глава 3
СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНОЙ РАБОЧЕЙ ФУНКЦИИ
После определения рабочей функции для класса адаптивных
систем можно перейти к обсуждению алгоритмов для коррекции
весовых коэффициентов и спуска по поверхности, образованной
графиком рабочей функции, к минимальному значению средне-
квадратической ошибки. Этому посвящены следующие три главы-
Прежде всего необходимо описать некоторые важные свойства
квадратичной рабочей функции. Читатели, которых интересует
только описание алгоритмов поиска рабочей функции, могут пе-
36
рейти к гл. 6, однако для понимания существа процесса поиска
материал предшествующих глав необходим.
Свойства рабочей функции, рассматриваемые в этой главе,
определяются в свою очередь свойствами корреляционной матри-
цы входного сигнала R. В предыдущей главе показано, что если
входные сигналы адаптивного линейного сумматора являются
стационарными, то СКО можно выразить через корреляционную
матрицу входного сигнала R соотношением (2.33)
g = Uin+ (W—W*)TR(W—W*) =gmin + VTRV.
Отметим, что поскольку здесь L+1 весовых коэффициентов (ком-
понентов вектора W), матрица R имеет L+1 столбцов и Д+1
строк.
Из (2.33) следует, что рабочая функция СКО является функ-
цией R. Представляя R в нормальной форме через собственные
значения и собственные векторы, можно исследовать многие
свойства рабочей функции. Такое представление матриц можно
найти в любой книге по линейной алгебре, в частности полезной
является книга [5]. Краткий обзор основных положений такого
представления содержится в последующих двух разделах.
Нормальная форма корреляционной матрицы входного сигнала
Характеристические (собственные) значения матрицы R на-
ходятся из однородного уравнения
[R-AI]Qn = 0, (3.1)
где А,— скалярная переменная; Qn — вектор-столбец; I — единич-
ная матрица; 0 — вектор, все элементы которого равны нулю. Это
однородное увеличение имеет нетривиальное решение для % и Qn
тогда и только тогда, когда
det [R—М]=0. (3.2)
Уравнение (3.2), называемое характеристическим уравнением мат-
рицы R, является алгебраическим уравнением степени L+1 отно-
сительно переменной X. Его L + 1 решений, обозначаемых 7,0, Ал,...
, Хь, являются собственными значениями матрицы R, не все из
которых могут быть различными.
Для каждого собственного значения существует, по крайней
мере, одно векторное решение Q™ уравнения (3.1), которое опре-
деляется следующим образом:
RQ„ = X„Qn. (3.3)
Вектор Q?i является n-м собственным вектором матрицы R и свя-
зан с Хп.
Раскрывая (3.3), получаем
R [Qo Qi Qd = [Qo Qi Qd
... 0
: d :
.0
(3-4)
37
которое можно переписать в виде
RQ = QA или R— QAQ \ (3.5}
Равенство (3.5) представляет собой нормальную форму матрицы
R, где собственные значения входят только в матрицу А.
Как следует из (3.4), матрица собственных значений А является
диагональной. Все ее элементы равны нулю, за исключением эле-
ментов на главной диагонали, которые составляют множество соб-
ственных значений матрицы R. Формальная матрица Q называет-
ся матрицей собственных векторов матрицы R, поскольку ее столб-
цы являются собственными векторами матрицы R. Аналогично мат-
рице R как Л, так и Q — квадратные матрицы размера (L+1)X
X (L+1).
Собственные значения и собственные векторы корреляционной
матрицы входного сигнала
В соответствии с (2.11) R — симметрическая матрица, и R = RT.
Следовательно, собственные векторы, соответствующие различным
собственным значениям, должны быть ортогональны, т. е. QTmQn =
= 0 для любой пары векторов.1 Это легко показать. Пусть Xi и Х2—
два различных собственных значения. Тогда
RQi = XiQi (3.6)
и
RQ2 = X2Q2. (3.7)
Транспонируем (3.6) и умножим обе час.ч равенства на Q2
справа:
QtiRtQ5 = X,Q'1Q> (3.8)
Далее умножим обе части равенств;: (3.7) на QK слева:
QTiRQ2 = X2QTiCt2 !
Теперь, имея в виду, что R = RT, и сравнивая (3.8) и у .З'', полу-
чаем
XiQtiQ2 — X2QtiQ2. (3.u'>
Поскольку по предположению Xi=^X2,
Qt!Q2 = 0, (3.11)
и поэтому собственные векторы, соответствующие Х| и Х2, ортого-
нальны.
Так как R — не только симметрическая, но и действительная
матрица (все ее элементы — действительные числа), все собствен-
ные значения матрицы должны быть действительными. Это можно
показать методом от противного. Предположим, что X! — комп-
лексное собственное значение матрицы R. Характеристическое
Это равенство выполняется при т^п. — Прим, перев.
38
уравнение матрицы R (3.2) представляет собой полином перемен-
ной А степени L+1, который приравнивается нулю. Если А,—
комплексное число, то комплексно-сопряженное с ним значение
Ai также должно быть собственным, поскольку комплексные корни
такого полинома являются парой комплексно-сопряженных чисел.
Более того, если At — комплексное число, то соответствующий ему
собственный вектор Qi также должен быть комплексным, посколь-
ку R — матрица действительных_чисел, что следует из равенства
(3.6). Кроме того, связанный с Ai собственный вектор Q] должен
быть комплексно-сопряженным с вектором Qi. Поскольку Xi пред-
полагалось комплексным числом, оно не может быть равно числу,
комплексно-сопряженному с ним, т. е. At^Aj. Так как Ai и Ai не
равны, соответствующие собственные векторы должны быть орто-
гональны, т. е. QT Q = 0. Но это невозможно, так как скалярное
произведение комплексного и комплексно-сопряженного с ним век-
торов, равное сумме квадратов их компонентов, должно быть поло-
жительным числом. Следовательно, предположение, что А] явля-
ется комплексным, приводит к противоречию, и все собственные
значения корреляционной матрицы входного сигнала должны быть
действительными.
Еще один важный результат теории матриц состоит в том, что
если собственное значение Afe имеет кратность т, то существует т
соответствующих линейно независимых собственных векторов. При
необходимости их всегда можно построить так, чтобы они были
взаимно ортогональны и ортогональны всем другим собственным
векторам.
При построении формальной матрицы Q удобно нормировать
собственные векторы, чтобы они имели единичные амплитуды.
Только что показано, что собственные векторы для различных соб-
ственных значений ортогональны. Для кратных собственных значе-
ний выберем такие соответствующие собственные векторы, чтобы
все они также были ортогональны. Тогда все L+1 собственных
вектора, представляющие собой столбцы матрицы Q, являются
взаимно ортогональными и нормированными, и говорят, что мат-
рица Q — ортонормированная. С этого момента будем считать фор-
мальную матрицу Q ортонормированной. Тогда можно записать
QQT=I (3.12)
и
Q-’ = QT. (3.13)
Следовательно, обратная матрица Q1 всегда существует.
Наконец, можно показать, что собственные значения корреля-
ционной матрицы входного сигнала всегда неотрицательны. Как
-отмечалось в гл. 2 при обсуждении соотношения (2.33), матрица R
в общем случае является положительно полуопределенной и, та-
ким образом,
VTRV>0. (3.14)
39
Кроме того, подставляя (3.13) в (3.15), имеем
R = QAQ-1 = QAQT. (3.15)
Вектор V представляет собой отклонение вектора весовых коэф-
фициентов от оптимального, и его можно выбрать таким, чтобы он
был любым вектором в (3.14). Пусть вектор V равен последова-
тельно каждому из столбцов матрицы Q, т. е. равен по порядку
Qo, Qi,..., Ql. Тогда (3.14) выполняется для каждого из этих слу-
чаев, а все L + 1 случаи можно описать соотношением
QTRQ>0. (3.16)
Подставляя (3.15) вместо R в (3.16), имеем
QQAQTQ>0 (3.17)
Если теперь подставить сюда формулу (3.13), то
Л>0. (3.18)
Основными выводами данного раздела являются следующие:
1. Собственные векторы, соответствующие различным собствен-
ным значениям матрицы R, взаимно ортогональны.
2. Все собственные значения матрицы R — действительные неот-
рицательные числа.
3. Матрицу собственных векторов Q можно нормировать (при-
вести к ортонормированной) так, чтобы Q QT=1.
Пример системы с двумя весовыми коэффициентами
В общем случае для решения характеристического уравнения
(3.2) необходимо найти корни полинома степени L+1. Обычно для
решения такой задачи требуется ЭВМ, и для нахождения собст-
венных значений матриц пригодны различные известные алгорит-
мы [3, 6]. Для действительных симметрических матриц, анало-
гичных R, есть специальные алгоритмы [4].
В этом разделе анализируется случай с L+l = 2 весовыми ко-
эффициентами, когда характеристическое уравнение является квад-
ратным, и поэтому решать его легко. Рассмотрим корреляционную
матрицу входного сигнала, используемую в качестве примера в
гл. 2, и вариант, для которого N = 6 в (2.22). В этом случае
Используя (3.2), получаем для собственных значений
det [R - XI] = det Г0’5 “ Х 0,25 1 = Л2-Х+ 0,1875 = 0.
1-0,25 0,5—Z.J
Следовательно,
Х0 = 0,25; = 0,75.
(3.20).
40
Собственные значения также легко найти при использовании (3.3)
или (3.1):
ГО,25 0,251 pool q. Г‘7оо1 Г Ч].
1-0,25 0,25-1 U10J l910J L_C1J’
0,25 0,25 "1 ГQqi ] _ q. Г1 _ pal
0,25 —0,25-1 L^J ’ L?11J Lc2J’
(3.21)
(3.32)
Отметим, что поскольку, как ив (3.1), det[R—XI] =0, матрицы ко-
эффициентов в (3.21) и (3.22) являются особенными, т. е. значе-
ния коэффициентов q можно найти только в виде произвольных
констант Ci и с2. Эти константы выбираем так, чтобы матрица Q в
(3.12) и (3.13) была нормированной'.
QQT = Г СНГС1 С1] =
c2 + 4 + 4 1=1
.-4 + 4 4+4 J
Таким образом,
С1 = ±с2= 1//2
(3.23)
(3.24)
и
<зда
Зная собственные значения и собственные векторы, можно
теперь записать R в нормальной форме, т. е. в виде (3.5):
R = QAQ ‘ = QAQT.
Следовательно,
Г0.5 0,251 JT 1 11Г0.25 0 1 Г1 -11 j (
Lo,25 0,5 J 2 l-l IJ L0 0,75-111 1J '
Заметим, что все элементы матрицы А и Q имеют свойства, рас-
смотренные в предыдущем разделе. Собственные векторы орто-
гональны, т. е. их скалярное произведение равно нулю:
9оо^о1 + 9ю9п = 1 1=0. (3.27)
Оба собственных значения являются действительными неотрица-
тельными числами, a Q — ортонормированная, как и в (3.23),
матрица, и QQT=I.
Геометрическая интерпретация собственных векторов
и собственных значений
Собственные векторы и собственные значения непосредствен-
но связаны с некоторыми свойствами поверхности, образованной
графиком функции ошибки Напомним, что |, определяемая соот-
ношением (2.31), описывает гиперпараболическую поверхность в
41
(L + 2)-мерном пространстве с координатными осями, соответст-
ющими g, йУц, ш1у... , wL. Рассмотрим теперь системы только с дву-
мя весовыми коэффициентами, т. е. некоторое трехмерное про-
странство. Затем можно сделать обобщение для пространств
большей размерности или для двухмерного пространства в сис-
теме с одним весовым коэффициентом.
Для случая с двумя весовыми коэффициентами функция %,
аналогично примеру на рис. 2.5, описывает параболоид. Как по-
казано на рис. 3.1, при сечении параболоида плоскостями, парал-
лельными плоскости WqWi, образуются концентрические эллипсы,
соответствующие некоторому постоянному значению СКО. Из
(2.13) следует, что в общем виде зависимость, описывающая лю-
бую из проекций этих кривых на плоскости определяется
выражением
WTRW—2PTW =константа. (3.28)
Как показано на рис. 3.1, можно перейти от вектора W к новым
координатам — компонентам вектора V, начало которых нахо-
дится в центре концентрических эллипсов. Это начало координат
соответствует координатам точки с минимальным значением
СКО и в соответствии с (2.17)
V = W— R >P = W—W*. (3.29)
Рис. 3.1. Эллипсы на плоскости соответствующие некоторым постоянным
значениям СКО с приведенной системой координат v0 и t>i и главными осями
о'о и v\. Эти эллипсы являются контурами проекций сечеиий поверхности, изоб-
раженной на рис. 2.5.
42
Тогда (3.28) принимает вид
УгИ¥ = другая константа. (3.30)
Выражение (3.30) описывает эллипс (или в общем случае гипер-
эллипс) с центром в начале координат уощ. В этой новой систе-
ме координат существуют две (или в общем случае Л+1) пер-
пендикулярные прямые, называемые главными осями1 эллипса,
которые на рис. 3.1 обозначены v'o и с\.
Можно получить выражение для любой нормали эллипса, если
полагать, что эллипс описывается функцией F(V)=VTRV, и найти
выражение для градиента F, который является также градиен-
том g, поскольку g и F отличаются лишь константой. Градиент
у = Г — dF_ J«L.1t = 2rV- (331)
I- dv0 dV1 - dvc J
(К этому результату можно прийти, если записать VTRV в виде
двойной суммы и найти поочередно каждую производную.)
Кроме того, любой вектор, проходящий через начало коорди-
нат при V=0, должен иметь вид pV. Но через начало координат
проходит и является нормалью к кривой F(V) главная ось. Та-
ким образом,
2RV'=piV/
или
-|l]v' = 0, (3.32)
где V' представляет собой главную ось. Этот результат имеет та-
кой же вид, как соотношение (3.1), поэтому V' должен быть соб-
ственным вектором матрицы R. Итак,
собственные векторы корреляционной матрицы входного
сигнала определяют главные оси сечений поверхности, обра-
зованной графиком функции ошибки (рабочей функции).
Завершая геометрические преобразования, рассмотрим выраже-
ния для функции ошибки во всех трех системах координат. Из
(2.28), (2.23) и (3.5)
£ = gmin+ (W—W*)TR(W—W*); (3.33)
| = |min + VTRV; (3.34)
g = Uin + VT(QAQT) V =
= U+ (QTV)TA(QTV) = |mln + V/TAV'. (3.35)
Уравнения (3.33), (3.34) и (3.35) представляют собой функ-
цию, выраженную соответственно в обычной и смещенной систе-
1 Главные оси являются осями симметрии эллипса — фокальной t>'0, на ко-
торой расположены фокусы эллипса, и перпендикулярной ей осью v\ (см. рис.
3.1). — Прим, перев.
43
мах координат и в системе координат, образованной главными
осями. Снова, как и в (3.31), вычислив градиент, можно видоиз-
менить (3.35):
V = 2АVz = 2v'i ... (3.36)
В отличие от (3.31) очевидно, что если только один компонент
v'n является ненулевым, то вектор градиента лежит на этой оси.
Следовательно, V' в (3.35) представляет собой систему коорди-
нат, образованную главными осями. Следующие преобразования
соответствуют выражениям (3.34) и (3.35):
смещение: V = W—W*, (3.37)
вращение: V/ = QTV=Q~1V. (3.38)
Эти преобразования можно представить в примере на рис. 3.1.
Важна также геометрическая интерпретация собственных зна-
чений матрицы R. Как видно из (3.36), градиент g относительно
любой главной оси v'n можно записать в виде
= (3.39)
а также
Л1_^22.„; п = 0, 1, ..., L. (3.40)
Ч2
Таким образом, вторая производная функция g относительно лю-
бой главной оси равна удвоенному собственному значению, т. е.
собственные значения корреляционной матрицы R входного
сигнала соответствуют вторым производным функции ошиб-
ки g относительно главных осей.
В качестве простого примера, иллюстрирующего этот резуль-
тат, рассмотрим систему с одним весовым коэффициентом, в ко-
торой функция становится параболой. Пусть rmn— (m, п)-й эле-
мент матрицы R. Тогда из (2.33 )для этого случая
? = ?т.п + Гоо(Щ — W*)2. (3.41)
Здесь существует только одно измерение для вектора W, поэто-
му ось w, кроме того, является главной осью, а собственное зна-
чение 7,=г00. Дважды дифференцируя эту функцию по Wi, так
же, как и в (2.34), получаем
-7Т = 2гоо-2Х. (3.42)
Таким образом, для одного весового коэффициента вторая про-
изводная параболы в любой точке равна 2г00. Численный пример
для системы с двумя весовыми коэффициентами рассматривается
в следующем разделе.
44
Другой пример
Рассмотрим еще один пример системы с двумя весовыми ко-
эффициентами, аналогичный первому, но более сложный. Пусть
имеются следующие характеристики сигнала, необходимые для
определения функции ошибки:
R“C HsL £1^1-42' <3'43)
Подставляя эти соотношения в (2.13), имеем
? = 42 + К^]Г2 8]р] =
" L1 2 J 1 х'(
= 2^2 + 2г»2 + 2г»0 w1 — I4wo - - 16и>г + 42. (3.44)
Эта функция ошибки также описывает параболоид в трехмерном
пространстве с осями g, w0 и Шь Из (2.17) найдем оптимальный
вектор весовых коэффициентов W*, соответствующий минималь-
ному значению СКО gmin:
RW* = P
или
и

*
W 1
7].
8-1
Следовательно,
[да*0 да*(] = [2 3]. (3.45)
Подставляя (3.45) в (3.44), получаем gmln = 4. Если, как и рань-
ше, V=w—W*, то можно записать (3.34) в обозначениях сме-
щенной системы координат Vo и
‘ЖЬ4- (3.46)
Кривые, соответствующие некоторым постоянным значениям |,
приведены на рис. 3.2 в двух системах координат.
Аналогично соотношению (3.22) в данном примере собствен-
ные значения матрицы R находятся из уравнения
V—4А,+3 = 0,
следовательно,
Ао= 1; Xi = 3. (3.47)
Кроме того, по выражениям, аналогичным (3.21) и (3.22), из
(3.1) с точностью до произвольных констант определяются соб-
ственные векторы
г; <м8)
45
10
Рис. 3.2. Эллипсы, соответствующие по (3.4) некоторым постоянным значениям
СКО со смещенной системой координат о0. fi и главными осями t>'0 и гф.
Собственные векторы Qo и Qi имеют положительное направление по осям
о'о и u'i
Они совпадают с собственными векторами из предыдущего при-
мера, поэтому нормированная матрица собственных векторов та-
кая же, как в (3.25), т. е.
«-vW-i в- <з-эд
Наряду с главными осями на рис. 3.2 представлены эти собствен-
ные векторы. Отметим, что векторы Qo и Qb являющиеся в (3.50)
столбцами матрицы Q, представляют собой единичные векторы,
имеющие положительное направление по осям v'o и v't. Как по-
казано в упражнении 15 в конце данной главы, для адаптивного
линейного сумматора с одним входом и двумя весовыми коэффи-
циентами матрица Q всегда имеет такой вид.
Отметим, что, как видно из рис. 3.2, собственные значения ха-
рактеризуют крутизну поверхности, образованной графиком
функции ошибки, по главным осям. Например, при 2Zi = 6 и
2Хо=2 поверхность имеет большую крутизну в направлении оси
v'i, чем в направлении оси v'o-
Упражнения
1. а) Докажите, что для системы с двумя весовыми коэффициентами ра-
венство (3.30) описывает эллипс;
46
б) каков вид кривой, если имеется только один весовой коэффициент?
2) Приведите подробный вывод равенства (3.31), начиная с определения
градиента.
3) Запишите характеристическое уравнение для матрицы R в виде полино-
ма, если:
а Ь с'
b а Ь
с b а
4. Найдите собственные значения матрицы
5. Найдите собственное значение матрицы
6. Запишите характеристические уравнения матрицы R в виде полинома,
если
а b с~
Ь d е
с е f
7. Какая из четырех корреляционных матриц входного сигнала, приведен-
ных в упражнениях 3 и 6, соответствует адаптивным линейным сумматорам с
одним входом? Какая из матриц соответствует адаптивным линейным сумма-
торам с многими входами?
8. Найдите собственные значения матрицы
9. Найдите собственные значения матрицы
10. Найдите собственные значения матрицы
| 4 3 О'
R= 362
Io 2 4
И. Найдите собственные значения матрицы
R =-
'4 2 О'
2 4 3
0 3 6
2. Найдите нормированные собственные векторы:
а) в упражнении 4;
б) в упражнении 5;
з) в упражнении 8;
г) в упражнении 9;
Д) в упражнении 10;
е) в упражнении 11.
47
13. Покажите, что собственные векторы являются взаимно ортогональ-
ными:
а) в упражнении 12а;
б) в упражнении 12в;
в) в упражнении 12е.
14. Рассмотрите адаптивный линейный сумматор (рис. 2.4) с двумя весо-
выми коэффициентами (т. е. L=l). Сигналы х и d имеют следующие харак-
теристики:
£[А/<]=2, £[x2Ift]=3, £[xoftxlft] = l, E[x0hdk]=6, E[xlkdk]=4, £[d2ft]=36.
Найдите: выражение для СКО, оптимальный вектор весовых коэффициен-
тов W*, минимальное значение СКО, собственные значения и собственные век-
торы. Начертите график, аналогичный графику на рис. 3.2.
15. Покажите, что для любого адаптивного линейного сумматора с одним
входом н двумя весовыми коэффициентами собственные векторы задаются равен-
ством (3.50).
Ответы к некоторым упражнениям
1. а) Воспользуйтесь следующим утверждением: общая квадратичная фор-
ма Ax2-\-Bxy-\-Cy2-\-Dx-\-Ey-\-F = Q описывает эллипс, если В2—4ДС<;0.
3. а) 2аК+а2—Ь2=0; б) X3—ЗаХ2+(За2—2b2—с2)Х—а3+2Ь2(а—с)+ас2 = 0.
4. Ло=1; Л,=5.
5. Хо=2; Л, = 4.
6. а) X2—(а+с)Х4-ас—Ь2 = 0; б) Х3 + (a+d-]-f)X2+(b24-c2+e2—ad—af—d/)X+
+ udf -f-2bce—ae2—b2f—c2d = 0.
7. Для одного входа: 3 а), б); кроме того, 6 а), если а = с;> 6 б), если а=
=d — f, b = e. Для многих входов: 6 а), б); кроме того, соответствует 3 а), б).
8. Ло= 1,382; X, =3,618.
10. Хо = 2,1716, Х1 = 4; Х2 = 7,8284.
12. а) совпадает с равенством (3.50); б) совпадает с равенством (3.50);
в) Q0T= [0,851 —0,526]; QjT= [0,526 0,851].
Глава 4
ПОИСК РАБОЧЕЙ ФУНКЦИИ
Как было показано выше, для адаптивного линейного сумма-
тора функция СКО является квадратичной, если входные сигна-
лы и требуемый отклик стационарны в статистическом смысле.
Во многих представляющих интерес случаях параметры этой
квадратичной функции неизвестны и нет ее аналитического опи-
сания. Однако, усредняя квадрат сигнала ошибки за некоторый
период времени, можно измерить или оценить положение точек
на квадратичной поверхности. Задача состоит в том, чтобы раз-
работать аналитические методы или алгоритмы, позволяющие
осуществлять поиск параметров рабочей функции и находить оп-
тимальный вектор весовых коэффициентов только по данным из-
48
мбрения или оценки. В большинстве практических методов поиск
параметров не проводится, а оптимальное или близкое к нему
решение находится введением контрольных расстроек.
Методы поиска параметров рабочей функции
Эта глава посвящена разработке алгоритмов для двух широ-
ко известных методов поиска параметров рабочей функции: Нью-
тона и наискорейшего спуска. Для определения направления,
на котором расположен минимум функции, используются гради-
ентные оценки. Поэтому их называют методами спуска. В даль-
нейшем будет показано, что эти методы можно применять, в
частности, к квадратичной рабочей функции, а также к рабочим
функциям других видов.
Метод Ньютона является фундаментальным с точки зрения
математического описания, хотя зачастую его трудно применить
на практике. Это — метод градиентного поиска, при котором на
каждом шаге процесса поиска или на каждом цикле итерации,
определение которого будет дано ниже, изменяются все компо-
ненты вектора весовых коэффициентов. При условии, что функ-
ция является квадратичной, эти изменения всегда имеют направ-
ление на минимум рабочей функции.
Метод наискорейшего спуска прост в применении и имеет
большое значение для решения широкого круга прикладных за-
дач. Это — метод градиентного поиска, при котором также на
каждом шаге или цикле итерации изменяются все компоненты
вектора весовых коэффициентов. Однако в этом случае все изме-
нения осуществляются в направлении отрицательного градиента
рабочей функции. Таким образом, они не обязательно имеют на-
правление на минимум, поскольку, как отмечено в гл. 3 (см., на-
пример, рис. 3.1 или 3.2), отрицательный градиент направлен к
минимуму только тогда, когда его начало расположено на одной
из главных осей.
В последующих главах рассматриваются дополнительные ме-
тоды поиска параметров рабочей функции и разрабатываются ос-
нованные на них алгоритмы. Один из них представляет собой
градиентный метод поиска, в котором на каждом шаге в процес-
се поиска используется очень грубая оценка. Другой метод не ис-
пользует градиенты и находит особое применение в задачах, в
которых рабочая функция не является квадратичной (эти задачи
также будут рассмотрены). Методы называются соответственно
методом наименьших квадратов и случайного поиска.
Основные принципы методов градиентного поиска
Для введения основных понятий методов градиентного поис-
ка, в том числе понятия рекурсивного алгоритма и сходимости,
рассмотрим сначала простейший случай, когда имеется только
один весовой коэффициент. Для этого случая, имеющего ограни-
-1Э
Рис. 4.1. Иллюстрация
процесса градиентного по-
иска для рабочей функции
одной переменной
ченное практическое значение, все методы градиентного поиска
сводятся к одному.
График рабочей функции одного весового коэффициента (од-
ной переменной), которая является параболой, показан па рис.
4.1. Как и в формуле (3.41), эта функция
g = gmin + M®-^*)2. (4.1)
Отметим, что для случая одной переменной собственное значение
л равно Гоо- Первая производная
=2Х (да-да*). (4.2)
dw
Вторая производная
= 2Z (4.3)
dw*
является постоянной для всей кривой.
Задача состоит в том, чтобы найти такой весовой коэффици-
ент w*, при котором минимизируется значение СКО. Полагая ра-
бочую функцию неизвестной, начнем с произвольного значения
дао и измерим наклон кривой в этой точке. Далее выберем новое
значение wt, равное начальному значению да0, плюс приращение,
пропорциональное наклону с обратным знаком1. Затем при изме-
рении наклона кривой в точке Wi точно так же получается
еще одно новое значение w2. Этот процесс повторяется до тех
пор, пока не будет достигнуто оптимальное значение да*.
Значение, полученное измерением наклона кривой рабочей
функции в расположенных с дискретными интервалами точках
дао, Wi, да2, ... , называется градиентной оценкой. Метод проведе-
ния измерений и его точность обсуждается в гл. 5. Для задачи,
рассматриваемой в этой главе, предположим, что имеется точное
значение градиента. Отметим, что использование отрицательного
градиента необходимо для «движения вниз» по кривой.
1 Отметим, что здесь, в отличие от гл. 3, индекс используется для обозна-
чения номера итерации, а не номера весового коэффициента.
50
Простой алгоритм градиентного поиска и его решение
Повторный, или итеративный, процесс градиентного поиска,
описанный выше для случая с одним весовым коэффициентом,
алгебраически можно представить в виде
Wk+i = wh + М- (—Vh), (4.4)
где k — номер шага или итерации. Таким образом, Wk является
текущим значением, в то время как Wk+\ — новым значением. Че-
рез Vft обозначен градиент при w = wh. Параметр ц представля-
ет собой константу, от которой зависит устойчивость и скорость
сходимости; вопрос его выбора обсуждается ниже в этой главе.
Для случая с одним весовым коэффициентом из (4.2) получа-
ем
Vft = 4M =2Х(щй-щ*). (4.5)
Динамическое, или мгновенное, состояние процесса итерации от
начального значения до оптимального решения ш* можно про-
анализировать с помощью уравнения, получаемого при подста-
новке (4.5) в (4.4):
wh+i = wh— 2pX(wft—W*). (4.6)
Меняя местами члены уравнения, получаем
wfe+I=(l—2цХ) Wk + 2[ikw*. (4.7)
Это уравнение является линейным однородным разностным урав-
нением первого порядка с постоянными коэффициентами [1]. Его
можно решить методом индукции на основе нескольких первых
итераций. Относительно начального значения щ0 первые три ите-
рации уравнения (4.7) дают
Wi= (1—2р7.)аУо + 2ц7.ау*; (4.8)
w2 = (1—2цЛ) 2w0 + [ (1 —2цЛ) + 1]; (4.9)
w3 = (1—2|лХ) 3щ0 + [ (—2цХ)2 + (1—2рЛ) + 1]. (4.10)
С учетом этих результатов можно сделать обобщение для £-й
итерации:
fe-i
= (1— 2|iX)ft®o + 2|iXw*S (1—2ц?.)”; (4.11)
п=0
^ = (1 - 2pX)^0+2pX^1j4j1(1~_2^ ; (4.12)
Wk = w*+ (1—2|i7i)fe(wo—Щ*). (4.13)
Этот результат дает в явном виде значение Wk для любой точки
в процессе поиска и тем самым является «решением» алгоритма
градиентного поиска.
51
Устойчивость и скорость сходимости
Величина г=1—2цХ в (4.13) называется знаменателем гео-
метрической прогрессии, так как является отношением соседних
членов геометрической суммы в (4.11). Очевидно, для итератив-
ного процесса с одним весовым коэффициентом величина г яв-
ляется определяющей. Равенство (4.13) будет «устойчивым» тог-
да и только тогда, когда
|г| = |1—2уЛ|<1.
(4-14)
Это условие можно представить также в виде
1/Х>ц>0.
(4.15)
Если выполняется условие (4.14) или (4.15), т. е. если алгоритм
(4.13) является устойчивым, то очевидно, что он является сходя-
щимся к оптимальному решению:
lim [wh]=w*.
(4.16)
Скорость сходимости также зависит от знаменателя геометриче-
ской прогрессии.
На рис. 4.2 изображены типичные зависимости, которые имеют
место в процессе коррекции, при различных значениях знамена-
теля геометрической прогрессии г. Кривые не имеют физического
смысла и получены простым соединением ряда точек, представ-
ляющих собой дискретные значения W/{. Отметим, что если аб-
солютное значение г<1, то скорость сходимости растет с умень-
шением г, достигая своего максимума при г=0, когда оптималь-
ное решение достигается за один шаг. Кроме того, при положи-
тельных значениях г<1 нет колебаний мгновенных значений ве-
сового коэффициента, а при отрицательных — мгновенные значе-
ния весового коэффициента неоптимальны и сходятся к w* по
правилу затухающего колебания. В первом случае говорят, что
процесс является недорегулированным, во втором — с перерегу-
лированием. При г=0 процесс эквивалентен методу Ньютона
(рассматриваемому ниже) и говорят, что он является критиче-
ским. Если г^1, то в соответствии с (4.14) процесс является не-
устойчивым и расходящимся.
Рис. 4.2. Процесс коррек-
ции весовых коэффициен-
тов при различных значе-
ниях знаменателя геомет-
рической прогрессии г. При
г = 0 (метод Ньютона) w*
достигается за одну итера-
цию
52
Влияние выбора параметра ц на г и характер итеративного
процесса в системе с одним весовым коэффициентом показано в
табл. 4.1.
Таблица 4.1
Характер итеративиого процесса Параметр ц, Значение г
Устойчивый (сходящийся) Недорегулированный Критический С перерегулированием Неустойчивый (расходящийся) 0< ц< 1/Д, 0 < р. < 1 /2Х и,= 1/2А 1 /2Л < и. < 1 /А, 1/Л или и. <10 |Г| < 1 1 >г>0 г = 0 0 > г > — 1 |г| > 1
Обучающая кривая
Зависимость СКО от изменений весового коэффициента в про-
цессе коррекции можно вывести исходя из (4.1). Если допустить
по определению, что — значение СКО для фиксированного ве-
сового коэффициента Wk, то с учетом (4.1)
U^min + K(wk-W*)2. (4.17)
Подставляя в эту формулу выражение (4.13), получаем
Вл = ?т,-п + Х(®о-w*)2(l—2pX)2ft. (4.18)
Очевидно, поскольку wk стремится к ш* по закону геометриче-
ской прогрессии, СКО также стремится к по закону геомет-
рической прогрессии. Следовательно, в (4.18) знаменатель гео-
метрической прогрессии значений СКО
гско = г2=(1~2цМ2. (4.19)
Рис. 4.3. Обучающая кривая — график зависимости СКО от k
53
Поскольку этот знаменатель не может быть отрицательным, про-
грессия значений СКО никогда не будет иметь колебательного
характера. Как и в предыдущих рассуждениях, устойчивость
обеспечивается при выполнении условия (4.14).
На рис. 4.3 показано приближение СКО от начального go к
оптимальному значению £min для системы с одним весовым ко-
эффициентом. В приведенном примере гско = 0,5, что соответству-
ет г=0,707. Как и прежде, кривая не имеет физического смысла
в промежутках между целыми k. Она построена простым соеди-
нением точек, соответствующих мгновенным дискретным значе-
ниям ошибки. Кривую называют обучающей, и она показывает,
как в итеративном процессе происходит уменьшение СКО.
Градиентный поиск методом Ньютона
Выше было показано, что процесс градиентного поиска для
одной переменной является критическим при г=0, т. е. когда
г=1- 2|Д = 0, И=1/2Х. (4.20)
В этом случае процесс за один шаг сходится к квадратичным
функциям СКО и алгоритм его реализации называется методом
Ньютона, так как он связан с элементарными вычислениями при
нахождении корней полинома. Рассмотрим теперь вопрос при-
менения этого метода к функциям одного весового коэффициента
(одной переменной) и затем распространим его на рабочую функ-
цию многих переменных.
Метод Ньютона [2] является прежде всего методом нахож-
дения нулей функции, допустим функции f(w), т. е. методом ре-
шения уравнения f(w)=0. Он состоит в том, что задается на-
чальное значение Wo, а затем для вычисления следующей оцен-
ки находится первая производная f' (w0). Как показано на
рис. 4.4, wt находится как пересечение касательной в точке f(w0)
с осью w. Таким образом, из рис. 4.4
Г И) = f (w0)/(w0 -- wj
или
(4.21)
Следующую точку, w2, вычисляют, используя в качестве началь-
ной точки ж,, и т. д. В общем случае
= wh-f(wh)/f' (wh); /г = 0, 1,... (4.22)
Очевидно, сходимость метода Ньютона зависит от выбора на-
чального значения w0 и от вида функции f(w), но известно, что
для широкого класса функций он обладает быстрой сходимостью.
Равенство (4.22) называют непрерывной формой метода Нью-
тона, так как в явном виде использована непрерывная функция
f(w) и ее производная. Кроме того, существует и применяется
дискретная форма этого метода, когда необходимо вычислить
54
Рис. 4.4. Метод Ньютона
при нахождении пуля фун-
кции f(w) состоит в пере-
ходе от к и>1 по каса-
тельной к /(ш)
Полагая, что функция f(w) известна, или ее можно точно
вычислить, на основании формулы обратной разности можно оп-
ределить
Г
(W-f(^-i)
Wh —
Подставляя эту приближенную формулу в (4.22),
выражение для дискретной формы метода Ньютона:
(4-23)
получаем
(4.24)
f(Wk) (wh — юк^
fe = О, 1, ..
Отметим, что в (4.24), а также в (4.22) на каждой итерации
необходимо проверять, не обращается ли знаменатель в нуль.
Пока будем пользоваться непрерывной формой метода Ньютона.
Как и выше, поиск минимума рабочей функции методом Нью-
тона необходимо начать с уравнения вида f(w)=0. В общем слу-
чае этим уравнением, как и в (2.16), является уравнение д'=0
или V=0, так как требуется найти минимум g(w). Таким об-
разом, для рабочей функции одной переменной
= (4.25)
Поэтому, например, непрерывная форма (4.22) принимает вид
u>fe+1 = wh — Г (wk); 6 = 0, 1,... (4.26)
Отметим, что дискретная форма алгоритма в соответствии с
(4.23) теперь представляет собой аппроксимацию второй произ-
водной функции g.
Если рабочая функция является квадратичной, как это было
во всех предыдущих рассуждениях, то применение метода Нью-
тона приводит, как показано на рис. 4.2, к решению за один
шаг. Подстановка (4.2) в (4.26) при k = 0 дает
Wj = wQ — 2/. (w0 — w*)/2h = w*. (4-27)
Таким образом, метод Ньютона прост для применения в случае
одной переменной, когда рабочая функция является квадратич-
ной и определена для всех значений w.
55
Возможны два случая, когда метод Ньютона усложняется.
Во-первых, бывает необходимо вычислить V и в (4.26), когда
точно не известна функция |(ау). Вопрос оценки градиента об-
суждается в гл. 5. Во-вторых, рабочая функция может не быть
квадратичной. До сих пор рассматривался только такой адаптив-
ный линейный сумматор, для которого £ — квадратичная функ-
ция, но ниже вводятся другие адаптивные структуры, имеющие
неквадратичные рабочие функции. Пример такой системы приве-
ден на рис. 4.5, где изображен график рабочей функции для кон-
кретного рекурсивного адаптивного фильтра. Отметим, что даже
если рабочая функция является неквадратичной, то при началь-
ном весовом коэффициенте w = 0 метод Ньютона приводит почти
к оптимальной точке w* = 0,448 всего лишь после четырех итера-
ций. Однако при некоторых начальных значениях весового коэф-
фициента для данного примера метод Ньютона не приводит к
оптимуму. Дальнейшее рассмотрение этого примера проводится
в упражнениях 7—9.
Метод Ньютона для многомерного пространства
Выше показано, что если имеется один весовой коэффициент
и рабочая функция является квадратичной, то методом Ньютона
оптимальный весовой коэффициент w* находится за один шаг.
Расширим понятие метода Ньютона на случай с многими весо-
выми коэффициентами, определив его как метод, который приво-
дит к оптимальной квадратичной рабочей функции за один шаг.
Напомним, что в соответствии с (2.17) оптимальный вектор
весовых коэффициентов задается соотношением
W* = R~*P, (4.28
ции с начальным значением а> = 0
56
и вектор градиента на основании (2.13)
V = 2RW - 2Р. (4.29)
Можно умножить обе части равенства (4.29) слева на R1 и
затем на основании этих двух равенств получить
W* = W - -у R1 V • (4.30)
Запишем этот результат в виде адаптивного алгоритма1
R-1 Vfe. (4.31)
Индекс k вектора градиента означает, что градиент находится на
шаге k, когда вектор весовых коэффициентов равен W^.
Таким образом, равенство (4.31) описывает метод Ньютона
для многих переменных. Если функция ошибки является квадра-
тичной, то этот метод, так же, как и (4.30), приводит к опти-
мальному решению за один шаг. На рис. 4.6 проиллюстрирована
квадратичная функция с двумя весовыми коэффициентами. В
этом «идеальном» случае значения весовых коэффициентов пере-
ходят от любых начальных Wo=(t0oo, ®io) к оптимальным Wi;-
= (ау*о, за один шаг.
Как следует из рис. 4.6 и равенства (4.31), в методе Ньютона
шаги коррекции осуществляются не в направлении градиента.
Для этого нужно, чтобы направление изменения весовых коэффи-
циентов на рис. 4.6 было перпендикулярно каждой кривой. А это
Рис. 4.6. Иллюстрация метода
Ньютона для р,= 1 и двух ве-
совых коэффициентов. Квадра-
тичная рабочая функция такая
же, как на рис. 3.1
(4.31) можно получить, аппроксимируя g усе-
1 Помимо этого, равенство
ценным рядом Тейлора [3].
7
возможно только тогда, когда Wo соответствует точке на одной
из главных осей.
Заметим, что можно обобщить метод Ньютона, если для
(4.31) снова ввести константу ц, ранее введенную в (4.4), и оп-
ределяющую скорость сходимости. Если (4.31) представить в
виде
W/i+1 = Wh - и R-1 Vft, (4-32)
то при [л= 1/2 получаем формулу алгоритма, приводящего к оп-
тимальному решению за один шаг. Во всех других случаях мож-
но выбирать любое другое значение параметра ц в пределах об-
ласти устойчивости, как это следует из приведенного ниже соот-
ношения (4.35)
0<ц<1. (4.33)
Однако иногда желательно, чтобы система работала в режиме с
перерегулированием и имела меньший размер шага при ц<1/2.
Эти случаи рассматриваются в следующем разделе. В (4.32) па-
раметр ц является безразмерной величиной.
Для квадратичной рабочей функции можно вычислить (4.32),
подставляя в него выражение для градиента (4.29) и затем
(4.28):
Wfe+1 = (1 - 2ц) W;, + 2ц W*. (4.34)
Теперь, имея равенство вида (4.7), можно методом индукции
найти решение аналогично тому, как из (4.7) получено (4.13).
Для данного случая соответствующее решение
W, = W* + (l-2p)fe(W0-W*). (4.35)
Чтобы проверить правильность этого решения, заметим, что при
W1 = W* в результате имеем ц=1/2, что соответствует алгоритму
поиска решения за один шаг, а при выполнении условия (4.33)
WX=W*.
Градиентный поиск методом наискорейшего спуска
Второй важный метод поиска, который обсуждается в этой
главе, называют методом наискорейшего спуска, потому что здесь
в отличие от метода Ньютона на каждом шаге весовые коэффи-
циенты корректируются по направлению градиента. На рис. 4.7
приведен пример, в котором использована та же квадратичная
рабочая функция, что и на рис. 4.6. Однако в отличие от приме-
ра на рис. 4.6, где сходимость к оптимальному решению дости-
гается за один шаг, здесь используется малый шаг, чтобы пока-
зать траекторию наискорейшего спуска.
Сходимость за один шаг является достоинством при числен-
ном анализе, когда желательно уменьшить число итераций, не-
обходимых для нахождения оптимума рабочей функции. Однако
для разработчика адаптивной системы такая сходимость вообще
58
Рис. 4.7. Иллюстрация метода
наискорейшего спуска для сис-
темы с двумя весовыми коэф-
фициентами. Показана та же
квадратичная рабочая функ-
ция, что на рис. 3.1 и 4.6, но
для [1=0,3
является слишком быстрой и в действительности нежелательной.
При численном анализе можно полагать, что функция, для кото-
рой необходимо осуществить поиск оптимума, задана, а во мно-
гих практических приложениях адаптивных систем рабочая функ-
ция неизвестна и ее надо измерить и приближенно вычислить на
основе случайных входных данных. При медленной адаптации
имеет место процесс фильтрации, который снижает влияние шу-
ма, связанного с измерением градиента. Поэтому метод Ньютона
не так полезен при разработке практических алгоритмов, как
некоторые другие, из которых метод наискорейшего спуска ока-
зался наиболее широко применимым.
Из определения ясно, что метод наискорейшего спуска выра-
жается в виде следующего алгоритма, в котором параметр ц яв-
ляется константой, определяющей размер шага, с размерностью,
обратной мощности сигнала:
wfe+! = wft + p(- vft). (4.36)
Напомним ио (4.4) представляет собой одномерный вари-
ант соотношения (4.36). Для определения характера процесса,
возникающего при использовании этого алгоритма для поиска
оптимума квадратичной рабочей функции, подставим в (4.36) со-
отношение для градиента (4.29) и затем (4.28), При этом
Wft+1 = Wft - 2pRVh = Wft + 2ц R (W* - Wft). (4.37)
После преобразований
Wfe+1 = (I - 2ц R) Wft + 2ц RW*. (4.38)
Решение этого уравнения усложняется тем, что различные
компоненты вектора взаимосвязаны между собой. Матрица
R в общем случае не диагональная, а поскольку матрица W* в
(4.38) содержит член 2pR, то она также является не диагональ-
ной. Для понимания отличия этого случая от предыдущего можно
59
сравнить (4.38) с уравнением (4.34), соответствующим методу
Ньютона.
Однако решить уравнение (4.38) можно, если привести его к
системе координат, образованной главными осями. Для этого
сначала, как и в (3.37), введем смещение V=W—W*. Тогда
(4.38) принимает вид
Vft+, = (l-2pR)Vft. (4.39)
Затем, используя соотношения (3.13) и (3.38), приведем уравне-
ние к главным осям, т. е. учитывая V=QV', получаем
QV;+1 = (I-2RR)QV; (4.40)
Умножив обе части этого уравнения слева на Q1, найдем
V;+I = Q 1 (I - 2И R) QVk = (О”1 IQ - 2И Q1 RQ) =
= (1-2HA)V;. (4.41)
Теперь, как и в (3.4), матрица собственных значений Л являет-
ся диагональной, поэтому (4.41) представляет собой множество
L+1 уравнений вида (4.7). Отсюда ясно, что в системе коорди-
нат, образованной главными осями, компоненты вектора не
являются взаимосвязанными. Более того, методом индукции на-
ходим решение (4.41):
v; = (1-2иЛ)Ч; (4.42)
Из (4.42) следует, что алгоритм наискорейшего спуска является
устойчивым и сходящимся, если
lim (I - 2р Л)* = 0. (4.43)
/?->оо
Поскольку произведение двух диагональных матриц равно мат-
рице, составленной из произведений соответствующих элементов,
(4.43) можно записать в виде
-lim(l—2p.K0)fe
fe->oo
Hrn(1—2^)* =0- (4-44)
lim (1 — 2pAL)fe
/г->оо' '
Такая запись показывает, что условие сходимости выполняется,
если параметр ц выбран так, чтобы
0 < р < (4.45)
где Атах — максимальное собственное значение матрицы R. Со-
отношение (4.45) является необходимым и достаточным услови-
ем сходимости алгоритма наискорейшего спуска для квадратич-
ной рабочей функции. Если это условие выполняется, то
HmV^ = 0. (4.46>
fe->oo
60
Подставляя в (4.46) V =Q ’V=Q1(W—W*) и осуществляя
обратное преобразование к исходной системе координат, находим
limWft = W*. (4.47)
/?->ОО
Таким образом, в общем случае метод паискорейшего спуска яв-
ляется устойчивым и сходящимся тогда и только тогда, когда вы-
полняется условие (4.45).
На рис. 4.8 представлен еще один пример применения алго-
ритма наискорейшего спуска для двумерной квадратичной рабо-
чей функции. Здесь же показаны главные оси v'o и v\. В соот-
ветствии с (4.42) сходимость определяется независимо по каж-
дой главной оси. Скорость сходимости по каждой оси зависит от
соответствующего знаменателя геометрической прогрессии. Как
следует из (4.44), эти знаменатели
г0 = 1 - 2И^о-
ri=1-2^’ (4.48)
гь = 1 -2 А,-
Это означает, что по мере продвижения итеративного процесса
последовательность проекций вектора на каждую главную ось
является чисто геометрической и определяется знаменателем, ко-
торый задается соответствующим собственным значением. После-
довательность проекций вектора W& в исходной системе коорди-
нат складывается из суммы геометрических прогрессий и поэто-
му является более сложной.
Рис. 4.8. Применение алгорит-
ма наискорейшего спуска в
системе с двумя весовыми ко-
эффициентами. В соответствии
с (4.48) по осям v'o и v'i
знаменатели геометрических
прогрессий являются постоян-
ными
61
Итеративный процесс в исходной системе координат можно
описать, выразив (4.42) через вектор Wft. Умножим сначала обе
части уравнения (4.42) слева на Q:
QV; = Q(I-2^A)fev;. (4.49)
Используя подстановку V'=Q '(W—W":), получаем
- W* + Q(I-2J1A)feQ-1 (Wo-W*). (4.50)
Далее воспользуемся следующим соотношением:
(QAQ)QAQ 1 QAQ QAQ 1 = QAftQ~1, (4.51)
где А — любая матрица, для которой существуют эти произведе-
ния.1 Подставляя в (4.50) А=1—2цА и выражение (3.5), имеем
Wft.= W* + (QIQ-1 - 2p,QAQ-i)* (Wo - W*) - W* +
+ (I — 2p,R)fc (Wo — W*), (4.52)
что представляет собой решение разностного уравнения для ал-
горитма наискорейшего спуска в исходной системе координат.
В заключение отметим, что в алгоритме наискорейшего спус-
ка коррекция весовых коэффициентов всегда направлена по гра-
диенту рабочей функции. В общем виде алгоритм определяется
выражением (4.36); другой записью алгоритма, или решением
разностного уравнения, является соотношение (4.52). Как было
показано, алгоритм становится устойчивым при выполнении ус-
ловия (4.45).
Сравнение обучающих кривых
Полезно сравнить методы Ньютона и наискорейшего спуска
на основе сравнения обучающих кривых. Для вывода формул,
описывающих обе обучающие кривые, запишем выражения для
квадратичной функции СКО (2.33) или (3.34):
WmIn + VTRV. (4.53)
Подставим сюда полученное решение разностного уравнения для
метода Ньютона (4.35), преобразованное в соответствии с (3.37):
^ = ?mln + (l-WfcV?RV0. (4.54)
Это соотношение описывает простую геометрическую прогрессию,
знаменатель которой
гско = ^2 = (1-2ц)2. (4.55)
На рис. 4.9 приведена характерная обучающая кривая для
метода Ньютона, отображающая зависимость СКО от числа ите-
раций. Эта кривая—график обычной экспоненциальной функции
с единственной постоянной времени.
1 Точнее, любая матрица А, для которой существует матрица А У — Прим,
перев.
62
Рис. 4.9. Обучающая кривая для
метода Ньютона, примененного в
системе с многомерной квадра-
тичной рабочей функцией (2.24),
графики сечений которой приведе-
ны па рис. 4.6 при ц —0,3
Аналогично выводится формула обучающей кривой для мето-
да наискорейшего спуска. Для этого случая запишем выражение
рабочей функции (4.53), полученное в (3.35) в системе коорди-
нат, образованной главными осями:
B--=Bmin + V'TAV. (4.56)
При подстановке в (4.56) решения разностного уравнения (4.42)
выражение принимает вид
h = + [(i - 2 и л)* v']T л (I - 2p,A)fe v' =
= Imin + v;T [1-2 ИЛ)*]Т A (I - 2 ИА)* V'o . (4.57)
Здесь матрицы (I—2цА) и Л — диагональные, а произведение диа-
гональных матриц коммутативно. Поэтому
^и1п + У'т(1-2ИЛ)^ Av;; (4.58)
S <A(l-2A,r. (4.59)
n=0
Вывод окончательного результата (4.59) составляет задание уп-
ражнения 18.
Итак, ясно, что обучающая кривая метода наискорейшего
спуска складывается из суммы убывающих геометрических про-
грессий со знаменателями вида
('ско)п = ''2п= (1—2цХи)2. (4.60)
Обучающая кривая для метода наискорейшего спуска, при-
мененного в системе с квадратичной рабочей функцией, приведе-
на на рис. 4.10. Эта кривая является суммой экспонент, число ко-
торых равно числу весовых коэффициентов.
Сравнение рис. 4.9 и 4.10 показывает, что при одинаковых па-
раметрах ]т и при прочих равных условиях метод Ньютона обла-
дает более быстрой сходимостью, чем метод наискорейшего спуска.
В общем случае это действительно так, потому что в методе
Ньютона для нахождения прямого пути к минимуму функции
ошибки gmln используется информация, содержащаяся в элемен-
тах матрицы R. Как показано на рис. 4.7 и 4.8, обычно алгоритм
63
Рис. 4.10. Обучающая кривая для ме-
тода паискорейшего спуска, применен-
ного в системе с многомерной квадра-
тичной рабочей функцией (2.24). Гра-
фики сечений приведены па рис. 4.7 при
|х = 0,3
наискорейшего спуска реализует более длинный путь к ошибке
c.nin. В гл. 8 продолжено исследование сходимости обоих методов.
С другой точки зрения можно считать, что методы Ньютона и
наискорейшего спуска отражают процессы в системе с обратной
связью, т. е. являются примерами реализации введенной выше
функциональной обратной связи. В дальнейшем будет показано,
как можно применить функциональную обратную связь при гра-
диентном поиске минимума квадратичной рабочей функции.
Упражнения
1. Рабочая функция системы с одним весовым коэффициентом имеет пара-
метры Х = 0,1; £min = 0, w* = 2. Запишите выражение для этой рабочей функции.
2. Каковы значения весовых коэффициентов первых пяти итераций при ис-
пользовании простого алгоритма градиентного поиска, рассмотренного в начале
гл. 4, если ги = 0, а параметр сходимости р = 4? Другие данные возьмите из ус-
ловия упражнения 1.
3. Выполните упражнения 2 для р = 8.
4. При каких значениях параметра сходимости р обучающая кривая будет
соответствовать режиму с перерегулированием, если рабочая функция 5 =
= 0,4 к,24-4к’ +11.
5. Запишите выражение и начертите график для рабочей функции, задан-
ной в упражнении 4, если начальное значение весового коэффициента ^o = O,
а параметр сходимости р=1,5.
6. Выведите формулу алгоритма Ньютона в дискретной форме, аналогич-
ную (4.26), используя вместо производных разности.
7. Выведите формулу обучающей кривой для алгоритма Ньютона, приме-
ненного к рабочей функции на рис. 4.5.
8. Для примера на рис. 4.5 найдите с точностью до четвертого знака после
запятой значения весовых коэффициентов для первых семи итераций, если
а>о = О.
9. Для примера на рис. 4.5 найдите с точностью до четвертого знака пос-
ле запятой весовой коэффициент ац, если к’о=О; —0,08; —0,14; —1,2; —1,3.
Объясните полученные результаты и покажите, почему метод Ньютона может
быть не применим для неквадратичных рабочих функций.
64
10. Для рабочей функции, сечения которой изображены на рис. 3.2, запи-
шите формулу алгоритма в виде уравнения (4.31). Докажите, что для любого
начального значения весовых коэффициентов алгоритм приводит к оптимально-
му решению за один шаг.
И. Для примера на рис. 3.2 найдите векторы весовых коэффициентов пер-
вых пяти итераций при использовании модифицированного алгоритма Ньютона,
описываемого уравнением (4.32), если начальный вектор W0=(5, 2), а параметр
сходимости ц=0,1. Найдите W2o-
12. Предположим, что обратная матрица R-1 и вектор градиента V заданы
в следующем виде:
Запишите в явном виде формулу обучающей кривой для методов Ньютона и
наискорейшего спуска.
13. Предположим, что заданы следующие матрицы:
Используя уравнения (4.34) и (4.38), запишите в явном виде формулу, описы-
вающую обучающую кривую для методов Ньютона и наискорейшего спуска.
Пользуясь полученными результатами, объясните, в чем состоит смысл взаимо-
связи компонентов векторов весовых коэффициентов.
14. Для примера на рис. 3.2 найдите векторы весовых коэффициентов пер-
вых пяти итераций для алгоритма нанскорейшего спуска, если начальный век-
тор W=(5, 2), а ц = 0,1. Найдите W20.
15. Функция ошибки задана выражением (3.44). Постройте обучающую
кривую для метода Ньютона, если начальные весовые коэффициенты равны ну-
лю, а параметр р=0,05.
16. Запишите разностные уравнения, описывающие обучающие кривые для
методов Ньютона и наискорейшего спуска, в обозначениях исходной системы
координат,
17. Функция ошибки задана выражением (3.44). Постройте обучающую кри-
вую для метода наискорейшего спуска, если начальные весовые коэффициенты
равны нулю, а р=0,05.
18. Выведите из уравнения (4.58) уравнение (4.59) путем вычисления про-
изведения матрицы.
19. Обвисните, почему в (4.32) параметр р является безразмерной вели-
чиной, а в (4.36) имеет размерность, обратную мощности сигнала.
Ответы к некоторым упражнениям
1. 5 = 0,1 (да—2)2.
2. шо = О; М71 = 1,6; да2=1,92, ...; да5= 1,99936.
4. 0<р<1,25.
5. ^ = 1 + Ю(—0,2)2».
7. даЛ+|=да4—(ЗдаЛ-(-4) (6w2k+4Wk~3)/(54W2k±72wk+7).
8. дао=О; и'1 = 1,7143; а>2=1,0347, ... ; ю6 = да7 = 0,4484.
9. 0,4484; 0,4484; —1,3335; —1,1151; —1,3333.
3-12 65
11. W20= [2,0346 2.9885]т.
14. W2()= [2,0231 2,9769] г.
15. Ь =4 + 38[(0,9)2,!].
17. Ь = 4+0,5[(0.9)2,Ч-75(0,7)2'‘].
Глава 5
ОЦЕНКА ГРАДИЕНТА И ПРОЦЕСС АДАПТАЦИИ
В рассуждениях гл. 4 предполагалось, что на каждой итера-
ции вектор градиента, необходимый для процесса адаптации, был
точно измерен. Однако в большинстве практических приложений
точное измерение невозможно и необходимо делать оценку, ос-
нованную па ограниченной статистической выборке. Такая оцен-
ка «искажена» шумом и можно считать, что она равна сумме ис-
тинного градиента и аддитивного шума.
Задача настоящей главы — дать описание общего метода
оценки вектора градиента и показать, какое влияние оказывает
возникающий при такой оценке шум на процесс адаптации. Рас-
сматриваемый способ, называемый «измерением производной»,
эквивалентен измерению с линейным приращением вектора весо-
вых коэффициентов. Помимо этого, успешно применяются мето-
ды, основанные на приращении по синусоидальному закону. Они
отличаются от линейного приращения аналитически, но оказы-
вают на процесс адаптации в основном одинаковое влияние.
Кроме измерения производной, существует метод «мгновенно-
го» оценивания градиента, не зависящий от приращения вектора
весовых коэффициентов. Этот метод, рассматриваемый в гл. 6,
составляет основу алгоритма наименьших квадратов и является
не таким общим, как метод измерения производной, поскольку
требует в определенной степени знания характера рабочей функ-
ции. Для измерения производной необходимы лишь общие све-
дения о рабочей функции, поэтому этот способ излагается в пер-
вую очередь для того, чтобы дать введение в задачу оценки гра-
диента.
Оценка компонентов градиента методом измерения производной
Как показано на рис. 5.1, единственный компонент вектора
градиента можно измерить прямым способом. Параболическая
функция СКО с единственной переменной задана соотношениями
(3.41) и (4.1). В обозначениях координат v = w—w* имеем
£ = £тт + /Щ2. (5.1)
По аналогии с (4.2) и (4.3) производные этой функции
=--2Лр, =2Л. (5.2)
dv dv2
66
6
Рис. 5.1.
Измерение
водной
произ-
Напомним, что для реализации метода наискорейшего спуска
нужна только первая, а для метода Ньютона — и первая и вто-
рая производные.
Как следует из рис. 5.1, производные (5.2) находятся числен-
но на основе измерения разностей [1]. Следовательно,
~ 5 (^ + б) — g (а — 6) . 5 з
dv ~ 26 ’ V ‘ ’
~ g(v+ 6) — 25 K’) + g(e-6) .
dv2 62
Эти приближенные соотношения становятся точными, когда
параметр 6 стремится к нулю. Кроме того, они являются точными
даже при конечных значениях параметра б, если рабочая функ-
ция представляет собой квадратичную функцию переменной_ и.
Исходя из (5.1) для квадратичной рабочей функции имеем
g (у + 6) - g (о - 6) = Хфф-б)2—X (е- 6)2 =
26 26
= А („2 + §2 + 2ц 6 - W2 - б2 + 2у6) = 2 7.у = А ; (5.5)
26 dv
В(У + 6)—2g (с) + g (Г - 6) =
б2
= Ме + 6)2-2Х(а)2+Х(г-6)2 = 2 Л62 2К = zPg 5 б)
62 62 de2
Ошибки измерения
В процессе измерения градиента требуется, как это видно из
рис. 5.1, изменять весовой коэффициент. Предположим, что при
вычислении производной адаптивная система для накопления от-
3* 67
счетов сигнала ошибки и оценки на этой основе значения ^(v—6)
и %(v + 8) в течение определенного времени имеет весовой коэф-
фициент, соответствующий v—6, а затем v + 6.
Предположим также, что в каждой точке накапливаются N
отсчетов сигнала ошибки, так что для анализа в точках v—8 и
и + б отводится равное время, а для точки v времени не отводит-
ся вообще.
Ошибку измерения определим как увеличение СКО на величи-
ну у из-за неточного выбора весового коэффициента и отсутствия
измерений в точке v (см. рис. 5.1). Поэтому
?= -у- IB (п-6)+? (u + 6)]-| (о). (5.7)
Для квадратичной рабочей функции в системе с одним весовым
коэффициентом при подстановке (5.1) в (5.7) можно получить яв-
ное выражение для увеличения ошибки
У = у- [2 Bwin + Ь (V - 6)2 + X (v + 6)2] - (lraln + W) = Z62. (5.8)
Из этого результата следует, что для заданной рабочей функ-
ции оценка приращения у является константой и не зависит от
V. Кроме того, через у можно определить безразмерный параметр
Р, называемый относительным приращением
P = y/?min = X62/^min, (5.9)
который характеризует влияние оценки градиента на процесс
адаптивной коррекции. Это выражение дает значение среднею
увеличения СКО, нормированное относительно минимально воз-
можной СКО.
В методе Ньютона при измерении второй производной на ос-
новании (5.4) требуется дополнительное время в точке v для
оценки члена 2|(п). Очевидно, это приводит к уменьшению от-
носительного приращения и, следовательно, оценки приращения.
Тем не менее, поскольку для квадратичной рабочей функции
вторая производная является константой, ее измерения прово-
дятся лишь изредка, и в практических задачах ее влияние на
относительное приращение можно не учитывать.
Измерение производной и ошибка измерения в системах
с многими весовыми коэффициентами
На рис. 5.2 приведен пример измерения производной при
оценке двумерного градиента. Из (2.33) для системы с двумя
весовыми коэффициентами получаем, что квадратичная рабочая
функция
^ = U<n + vTRv = gmln + [nen1] [Гм ГЯ =
I По H1J LV1J
= Uln + r00 V2O + rn of + 2 r01 v0 (5.10)
68
Рис. 5.2. Измерение
двумерной произ-
водной
При измерении частной производной этой рабочей функции
по координате и0 аналогично (5.9) имеем следующее нормиро-
ванное значение ошибки измерения в виде относительного прира-
щения:
Po = ^oo52/^min. (5.11)
Аналогично относительное приращение при измерении частной
производной по координате V\
Pl = T'[162/§min-
(5-12)
Полагая, что для измерения каждого компонента градиента
требуется одинаковое время (т. е., как и выше, для каждого из-
мерения берется 2N отсчетов данных), получаем среднее значе-
ние относительного приращения для всего измерения:
Р= 2- (Ро + Р1) = . (5.13)
2 Smln
Определим теперь общее понятие относительно приращения для
I-+1 весовых коэффициентов как среднее значение отдельных из-
мерений компонентов градиента:
Поскольку след матрицы R равен сумме ее собственных значений,
а также сумме ее диагональных элементов, (5.14) можно записать
в виде
---- (5.15)
Ьп1п Ь+1
Более того, так как сумма собственных значений, деленная на их
69
количество, есть среднее значение собственных значений, (5.15)
можно записать как
^-62>.СР/ёт1п.
(5.16)
Это соотношение является общепринятым выражением относитель-
ного приращения для любого числа весовых коэффициентов при
измерении градиента методом, иллюстрируемым рис. 5.2.
Дисперсия оценки градиента
Градиенты, измеренные представленными на рис. 5.1 и рис. 5.2
способами, искажены шумом, так как вычисления основаны на из-
мерениях СКО § в шуме. Поэтому первым шагом определения
дисперсии оценки градиента является расчет дисперсии величины
е, где % — Е[е2&] в соответствии с (2.13). Положим, что оценка
величины которую обозначим через g, основана на TV отсче-
тах е2д.
Для ознакомления с такими фундаментальными понятиями,
как дисперсия, моменты распределения и т. п., можно воспользо-
ваться любым из элементарных источников по математической
статистике или теории вероятностей [2 —5,7]. Вывод дисперсии
и оценки градиента начнем, прежде всего, с определения несме-
щенной оценки r-го момента величины еД:
«, = 4“ s ^г- (5Д7>
N k=i
Из этого определения видно, что среднее значение величины аг
равно математическому ожиданию величины еД, т. е.
аг = £ [ar] = £[Efe], (5.18)
Для примера по (5.18) вычислим четвертый момент а4 в пред-
положении, что ед является гауссовой случайной величиной с ну-
левым средним, т. е. плотность вероятности случайной величины
е, обычно обозначаемая через р(е), представляет собой нормаль-
ный закон с нулевым средним и стандартным отклонением о. В
этом случае
at = J* Eip(e)dE— J —------ е~Е2/2°2 de = Зо1. (5.19)
Аналогично при заданной плотности р(е) можно найти любой мо-
мент распределения. Отметим, что при г=2 в общем случае
а2 = Е [е2] = I (5.20)
После определения первого момента найдем дисперсию оценки
70
момента (5.17) как математическое ожидание квадрата отклоне-
ния:
var [ar] = £[ar-ar)2J.
(5.21)
Подставляя сюда (5.17) и (5.18), имеем
var [аг] = £ [а2 + а2 - 2 аг аг] = £ [а2] - а2 =
1 N N „
= — 2 2 Е [(Ей EZ)q - а2.
N2 ft=l Z=1
(5.22)
Для упрощения выражения (5.22) нужно члены с k — l выде-
лить из всей суммы N. При k=l каждый член суммы имеет вид
£[s/t2r]. Будем считать, что величины е& и е; представляют собой
независимые отсчеты, и поэтому математическое ожидание про-
изведения равно произведению математических ожиданий. Сле-
довательно,
{ Е [sf] = a2r, k = I,
E [(Eft 8,)r] = {
J £ [eg £ [eg = a2, k=£l.
(5.23)
Подставим теперь в (5.22) соотношение (5.23) и заметим, что
сумма в (5.22) состоит из N2 слагаемых с TV членами с k = l. В ре-
зультате
9
- 1 Л о о СС2г — СС
var [ar] = [.V а2г + (№ - JV) а2] - аг = - г . (5.24)
Соответственно, поскольку а2 = £, как это следует из (5.20), дис-
персия величины g
var [|] = var [а2] = (a.j — ai)/A''. (5.25)
Значения а в (5.25), естественно, зависят от закона распре-
деления случайной величины ел, так как согласно (5.18) каждое
значение а есть среднее значение мощности сигнала ошибки eft.
Предположим, например, что ей имеет нормальное распределение
с нулевым средним и дисперсией о2е[3, 5]. Тогда в соответствии
с (5.19) четвертый момент <Х4 = Зо48, а второй а2 = о28. Поэтому
в данном случае (5.25) принимает вид
_ 2»
N N N
(5.26)
Таким образом, если имеет нормальное распределение с нуле-
вым средним, то дисперсия оценки е2й пропорциональна £2 и об-
ратно пропорциональна N.
На основании этого результата для нормального распределе-
ния случайной величины е/{ можно предположить, что в общем
случае дисперсия величины £
var [С] = К l2/N.
(5.27)
71
Можно показать, что для случайной величины ед, имеющей
нормальное распределение с нулевым средним, ^=2, а с нену-
левым 7<<2. Для негауссовского распределения К обычно также
несколько меньше 2. При негауссовском распределении случайной
величины ел с ненулевым средним К может уменьшаться или уве-
личиваться в зависимости от конкретного вида распределения.
В табл. 5.1 приведены дисперсии van[g] и области изменения па-
раметра К для нескольких различных распределений случайной
величины ей. Видно, что для всех приведенных в табл. 5.1 законов
распределения параметр К—2 или достаточно близок к этому
значению, поэтому в дальнейшем будем считать /С=2.
В качестве примера негауссовского распределения из табл. 5.1
рассмотрим равномерно распределенную случайную величину ел
Таблица 5.1
Плотность вероятности случайной величины Е^ Дисперсия оценки СКО var ff] Область значений К в (5.27)
E[e]=0 £[е]=а,
2 4-4а[/о2 g2
(1 + а| /а2)2 N
а, - а а, а, + а
7g2
5N
4g2
5W
7 4-20af/o2 g2
5(1+(фа2)2 N
4 + 20сфа2 g2
5(1+а?/а2)2 N
4<Х]/О2 £2
(1+сфа2)2 N
1,25
0<Ж I
72
с нулевым средним и стандартным отклонением о. Тогда анало-
гично выражениям (5.19) моменты распределения четных по-
рядков
°° ° 1/3 I 1 \ Чг/2
ar = J г'р (е) de = J ) de . (5.28)
- оо -а /3 ' V ' ”Г
Подставляя этот результат в (5.25), имеем
var [g] = (а4 - ai)/JV = 4 аЖ (5.29)
Поскольку в данном случае среднее значение еь=0, то £ = о2, т. е.
(5.29) совпадает с результатом, приведенным в табл. 5.1. Осталь-
ные законы распределения, представленные в табл. 5.1, рассмот-
рены в упражнениях к данной главе.
Теперь, когда получены формулы для дисперсии величины £,
можно перейти к вычислению дисперсии оценки градиента. При
этом следует иметь в виду, что метод измерения производной со-
стоит в определении разности между значениями По-прежнему
будем считать, что отсчеты сигнала ошибки (значения е&) явля-
ются независимыми. Тогда можно показать, что используемые при
измерении производной значения | также являются независимы-
ми. Пусть v, как и раньше, — некоторый компонент вектора V—
= (W—W*). Тогда по аналогии с (5.3) оценка соответствующего
компонента градиента
= 1^(Н«)-f(v-S). (5.30)
dv 2о
При упомянутом выше предположении о независимости диспер-
сия этой оценки равна сумме дисперсий обоих слагаемых в (5.30).
Кроме того, дисперсия величины с£, где с — константа, равна дис-
персии величины умноженной на с2. Поэтому подставляя (5.27)
в (5.30), при К—2, получаем
var Г—1 = —— var [g (v + б)] + var [| (у - б)] =
I- dv J 462 4oz
= ^Ftr(l' + 6}+|2(^S)]- (5’31)
Этот результат — общий для дисперсии оценки компонента гра-
диента, если отдельные измерения величины гь являются неза-
висимыми.
Если положить, что значение б в (5.31) мало, а в результате
адаптивного процесса получено решение, близкое к вектору W*,
73
то оба значения величины £ в (5.31) приближенно равны £mjn.
В этом случае (5.31) упрощается:
(5.32)
Поскольку значения Хид одинаковы для оценок всех ком-
понентов вектора градиента и сделано предположение, что от-
счеты величины eh, используемой во всех оценках, независимы,
ошибки всех оценок независимы и имеют одну и ту же диспер-
сию. В соответствии с этим ковариационная матрица вектора гра-
диента, найденного на Л-й итерации,
cov [vft] =•£ [(V/i - Vft) (Vft - V Jrl = I.
Ao2
Влияние шума на поиск оптимального вектора весовых
коэффициентов
После того, как выведены формулы дисперсии оценки гради-
ента, рассмотрим, какое влияние оказывает в процессе адаптации
шум, возникающий при оценке градиента, на вектор весовых ко-
эффициентов. Далее будет показано, что процесс адаптации, ос-
нованный на искаженных шумом оценках градиента, приводит к
возникновению шума при поиске оптимального вектора весовых
коэффициентов и к некоторым потерям. Характер такого влияния
шума изменяется в зависимости от метода адаптации. В этом раз-
деле описывается процесс возникновения шума в векторе весо-
вых коэффициентов для методов Ньютона и наискорейшего спуска
в такой мере, чтобы в последующих разделах можно было вычис-
лить среднее и относительное среднее значения СКО. Для даль-
нейшего анализа введем для &-й итерации, т. е. при W=Wk, шу-
мовой вектор оценки градиента N,. (N—вектор размерностью
Л+1, и его не следует путать со скалярной величиной N, исполь-
зованной ранее для обозначения числа наблюдений сигнала ошиб-
ки е&). Тогда оценка градиента на /г-й итерации равна истинному
градиенту при W=Wft плюс шум оценки градиента:
Vft = Vh+Nft. (5.34)
Рассмотрим влияние этой искаженной шумом оценки градиента
на вектор весовых коэффициентов сначала для метода Ньютона,
а затем для метода наискорейшего спуска.
В методе Ньютона разностное уравнение для случая без шума
определяется выражением (4.32) и имеет вид
(5.35)
При оценивании градиента и, следовательно, возникновении шума
(5.34) это выражение принимает вид
Wfe+1 = W;1-riR-‘Vft = Wh—pR-'Vft— pR^Nft. (5.36)
74
Кроме того, в соответствии с (2.32) можно переписать это выра-
жение для вектора весовых коэффициентов в обозначениях век-
тора отклонений V:
Vft+1 = Vft—nR-'Nft. (5.37)
Теперь на основании (2.35) можно подставить градиент V = 2RV
и получить разностное уравнение для V:
Vh+1 = Vft—2цУй—p.R_1Nfe = (1—2ц) Vh—иК-ЧЧ/;. (5.38)
Таким образом, получаем систему разностных уравнений, решени-
ем которой при заданном векторе шума N является вектор от-
клонений весовых коэффициентов V. Так же, как в (4.38), в этой
системе компоненты вектора взаимосвязаны, поскольку вектор N
умножается на R-1. Аналогично тому, как это сделано для (4.38),
эту систему можно преобразовать и привести к системе коорди-
нат, образованной главными осями. Для этого подставим в (5.38)
вектор V = QV' (3.38), а также матрицу R-^QA^Q-' (3.5):
QV',i+1= (1—2n)QV'ft—hQA^Q^N,,
УД+1= (!--2|l)VT--!iA-1(Q-1N/.). (5.39)
В этом выражении сомножитель в круглых скобках — вектор шу-
ма, спроецированный в систему координат главных осей. Обоз-
начив Q-1N = N', запишем
V'/i+1= (1—2ц) V'ft—цА^МД. (5.40)
Уравнение (5.40) представляет собой систему разностных урав-
нений относительно вектора V\, компоненты которого не взаимо-
связаны, поскольку матрица Л'1 является диагональной. Методом
индукции по аналогии с равенством (4.35) можно найти решение
для V'k. На основании первых трех итераций уравнения (5.40) ме-
тодом индукции можно доказать, что
V'i= (1—2ц)У/0—цА-1М'о,
V'2 = (1—2ц)2У'о— p.A-‘[ (1—2n)N'0-l-N'i],
Vz3= (1—-2ц)3У'о—[хЛ-Д (1— 2|i)2N/o-r (5.41)
+ (1— 2R)N'1 + N/2],
k-\
V'k= (1 —2n)feV'o—цЛ-1 S (1— 2(x)"N'/i_n_1.
n=0
Итак, для метода Ньютона получено решение разностного урав-
нения, аналогичное (4.35), за исключением того, что это решение
записано в системе координат главных осей и на каждом шаге
имеется вектор шума N\. В (4.35) при увеличении k до беско-
нечности приходим к оптимальному решению W = W* или N' = 0,
но из-за наличия шума в градиенте существует остаточ-
75
ная ошибка. Если в (5.41) й->оо, а параметр ц находится в пре-
делах области устойчивости от 0 до 1/2, то множитель (1—2р.)h
становится пренебрежимо малым и получаем следующее устано-
вившееся решение:
V'ft = —иЛ-1£ (1—2p)nN';(5.42)
п=0
Это решение определяет установившуюся ошибку для метода
Ньютона, выраженную через собственные значения входного сиг-
нала в виде матрицы Л-1 и шум градиента в виде последователь-
ности значений N'=Q-1N. Отметим, что Л-1 — диагональная мат-
рица с элементами 1/Ло, 1/Xi. 1/A,L.
Перейдем к анализу влияния шума градиента при использова-
нии метода наискорейшего спуска. Без учета шума этот метод
описан в гл. 4. Разностное уравнение (4.36) для этого метода име-
ет вид
Wft+1=Wft-pVft. (5.43)
Как и в предыдущих рассуждениях, подставим сюда вектор V =
= W—W* и вектор градиента с шумом V = 2RV+N:
Vh+I = Vh—ц (2RVh + Nft) = (I-2pR) Vh-pNft. (5.44)
Полученный результат аналогичен уравнению (5.38) для метода
Ньютона, и, так же, как выше, можно найти значения установив-
шейся ошибки. Для этого, подставив V = QV', сначала перейдем к
системе координат главных осей:
QV\+1= (I-2nR)QV\-nNft.
Откуда
V'ft+1= (I—2pQ-1RQ) pQ-1Nft =
= (I—2pA)V\—RN'ft. (5.45)
Вектор N^Q^N определяет вектор шума, спроецированный
в систему координат главных осей. Это выражение аналогично
(5.40) и решение его так же, как и (5.41), можно найти методом
индукции. В этом случае
fc-i
V'ft=(I—2gA)ftV'o—ц 2 (I—2pA)"N\_„_1. (5.46)
n—О
Снова полагая, что параметр ц находится в пределах области
устойчивости, определяемой неравенством (4.45), приходим к то-
му, что для больших значений k первое слагаемое в (5.46) ста-
новится пренебрежимо малым и установившееся решение
V/ft = — ц S (I—2р,А)"N's-n-i. (5.47)
п=о
Полученный результат следует сравнить с выражением (5.42) для
метода Ньютона.
76
Итак, выражения (5.42) и (5.47) показывают, что наличие шу-
ма градиента приводит к установившимся ошибкам при поиске
оптимального вектора весовых коэффициентов. Если теперь шум
градиента задан в виде ковариационной матрицы (5.33), то мо-
жно найти также ковариационную матрицу вектора весовых ко-
эффициентов. При вычислении математического ожидания по но-
меру итерации k она задается выражением
cov[V\]=£[VWT]. (5.48)
Для метода Ньютона произведение V'aV/t* можно найти из (5.39):
v’fe v'kT = (i - 2И)2 vLi v'k-i + и2 л-1 nH, (л-)т -
- ц (1 - 2ц) [v’k-, (Л-])Т + A"’ nLiV;I]. (5.49)
Здесь Л-1 — диагональная матрица, поэтому она равна своей
транспонированной матрице. Полагаем, что векторы весовых ко-
эффициентов V'k и шума N'ft являются статистически независи-
мыми и имеют нулевое среднее значение, тогда из (5.49)
cov [У*] = (1 — 2ц)2 cov [Vft] + ц2 (A-1)2 cov [Nfe] =
= covfN*]. (5.50)
4 (’ —p)
Проводя аналогичные преобразования для метода наискорейшего
спуска, из (5.45) получаем
Vfe V't = (I — 2цЛ) Vft_! (I - 2цЛ)т + ц2 NLi -
= ц [(I - 2цЛ) vLj N^i + NLi Vk-i (I - 2цА)т1 (5.51)
Отметим, что матрица 1—2цА является диагональной и мате-
матическое ожидание произведения векторов стремится к нулю.
Поэтому в данном случае вычисление математического ожидания
обеих частей равенства (5.51) приводит к выражению
cov [Vfe] = (I — 2цА)2 cov [Vfc] + ц2 cov [Nft]
= -!А(А-цА2)-1соу[^}. (5.52)
4
Таким образом, формулы (5.50) и (5.52) выражают ковариацию
вектора V\ через ковариацию вектора шума. Чтобы связать эти
результаты с предыдущими, сначала отметим, что из (5.33) и
(5.34)
cov [N^] = Е [N; N7] = Q 1 Е [Nft NI] Q =
= Q-1 E [(vb - vft) (Vfe - Vh)Tl Q =- Q1 cov [v JQ =
= _±22Lq-4Q=-^I. (5.53)
A62
Здесь скалярная величина N также обозначает число наблюдений
градиента, а вектор N — шум градиента. Из (5.50), (5.52) и (5.53)
77
находим, что ковариационная матрица cov[Vz;f] является диаго-
нальной и имеет вид
ц (Д—1)2 ?2.
для метода Ньютона cov [¥'/<] = --------—, (5.54)
L J 4Л/62(1~ и)
ц (Л — ,пЛ'2Г1 5min
для метода наискорейшего спуска cov[V//i]= ----------------------•
(5.55)
Теперь для записи этих результатов в смещенной системе коор-
динат прежде всего отметим, что из (3.38)
cov [Vft] = Е [Vft vjj = QE [V; Vi.7] Q1 = Q cov [V^J Q-1. (5.56)
Используя это соотношение, а также (5.54) и (5.55), можно по-
лучить окончательные выражения для ковариационной матрицы
cov[V], (Подробный вывод рассматривается в упражнении 18.)
Ковариационная матрица вектора весовых коэффициентов
для метода Ньютона
cov [V,J = pElin (R-!)2/4Ng2 (1 - р). (5 57)
Ковариационная матрица вектора весовых коэффициентов
для метода наискорейшего спуска
cov [V;J = p^min (R — pR2)-1/4)V62, (5.58)
где p — константа адаптивного коэффициента передачи;
^2min — минимальное значение СКО; R — корреляционная
матрица входного сигнала; N—число независимых измере- I
ний сигнала ошибки для каждого значения весовых коэффи-
циентов с приращением; д — отклонение весовых коэффпци- i
ентов, вводимое для измерения градиента. ।
Итак, основным результатом этого раздела являются соотно-
шения для ковариационных матриц векторов весовых коэффици-
ентов, которые выражены через переменные величины, опреде-
ляемые при измерении сигнала ошибки. В следующем разделе
рассматривается среднее значение СКО, выраженное в этих же
переменных.
Среднее значение СКО и постоянные времени
При отсутствии шума в адаптивном процессе методы Ньютона
и наискорейшего спуска, а также другие адаптивные методы при-
водят к установившемуся вектору весовых коэффициентов, соот-
ветствующему минимальному значению рабочей функции. В этом
случае ковариационная матрица вектора V равна нулю и, сле-
78
довательно, значение СКО равно Emin. Однако наличие шума в
адаптивном процессе приводит к тому, что установившийся век-
тор весовых коэффициентов отличается некоторым случайным об-
разом от вектора, соответствующего минимуму рабочей функции,
т. е. соответствует большему значению рабочей функции. В ре-
зультате появляется некоторое среднее значение СКО, установив-
шееся значение которой превышает Emin-
В гл. 2 показано, что для заданного вектора весовых коэффи-
циентов W СКО равна ее математическому ожиданию. Если век-
тор весовых коэффициентов не задан, то мгновенное значение СКО
Ей. на й-й итерации есть значение СКО при W = W& (см., напри-
мер, равенства (4.17), (4.54) и т. д.). Для вывода выражения для
среднего значения СКО необходимо провести дальнейшее вычис-
ление среднего значения Eft по произвольно большому числу ите-
раций. Как и в предыдущем разделе, предположим, что вектор ве-
совых коэффициентов искажен шумом и изменяется случайным
образом, и оценим, как это в целом влияет на значение Е*. Ис-
пользуя соотношение между g и V (4.53), находим
среднее значение СКО = Е [Eft — Emin! = Е [Vj RVJ, (5.59)
где усреднение осуществляется по номеру итерации k. Такое оп-
ределение справедливо только тогда, когда вектор V&, как
функция индекса k, является стационарным случайным процессом,
т. е. когда вектор шума Nh, а также вектор входного сигнала Х&
и полезный отклик dh являются стационарными случайными про-
цессами. Таким образом, данное определение справедливо только
в установившемся состоянии, т. е. после того, как переходные
процессы, связанные с адаптацией, завершены.
Физический смысл введенных определений поясняется на рис.
5.3. Случайные отклонения весового коэффициента от оптималь-
ного значения приводят к уве-
личению СКО. Среднее значе-
ние приращений, вызванных
таким увеличением, есть сред-
нее значение СКО. Отметим,
что здесь отклонение СКО не
включает рассмотренную вы-
ше ошибку измерения, которая
обусловлена специально вноси-
мыми отклонениями весового
коэффициента.
Выражение (5.59) для
среднего значения СКО ана-
логично выражению (5.48) для
ковариационной матрицы век-
тора V'h. Для получения ре-
зультата, аналогичного соот-
ношениям (5.57) и (5.58), не-
обходимо в (5.59) подставить

Рис. 5.3. Иллюстрация смысла отклоне-
ния СКО
79
выражение для вектора V/,, поэтому снова требуется провести вы-
вод отдельно для каждого из методов — Ньютона и наискорейше-
го спуска. Поскольку в предыдущих рассуждениях результаты по-
лучены для вектора V\., а не для V,(, преобразуем сначала (5.59),
подставляя VTRV = VTAV'. Тогда исходное выражение принимает
вид
среднее значение СКО= ffV^AV*]. (5.60)
Для метода Ньютона подставим в (5.60) выражение (5.42)
для вектора V'k. Для упрощения (5.60) воспользуемся знамена-
телем геометрической прогрессии г:
г=1--2р. (5.61)
Далее подстановка формулы (5.42) в (5.60) дает
среднее значение СКО =
ц2Е
S /"’NfcLi-i А-1 ДА-1 х
/1=0
оо “| оо оо
X =P2S S (5.62)
m=0 J /1=0 m=0
Ранее сделано предположение, что вектор шума N, который
складывается из независимых ошибок измерения сигнала ошибки,
принимает независимые значения при переходе от одной итера-
ции к другой. Поэтому в (5.62) все слагаемые с т^=п должны
стремиться к нулю и, следовательно,
°° -
среднее значение СКО = р2 £ r2n Е [Nfc_n_i A-1 (5.63)
п=0
Кроме того, поскольку шум градиента представляет собой стацио-
нарный случайный процесс, математическое ожидание в (5.63) вы-
числяется по всем индексам вектора N'. Таким образом,
среднее значение СКО = р2 Е [N/7 A~T N*] £ г~,г =
п=0
= S (5.65)
m=0
80
где n'mh — компонент вектора N'ft. Подставляя этот результат в
(5.64), получаем
среднее значение СКО = ———- 5 Ъп1 Е [n^k], (5.66)
1 — т т=0
Но математическое ожидание Е[п'2ть] — диагональный элемент
ковариационной матрицы вектора Nz, и в соответствии с (5.53) оно
равно ^min/A'd2. Поэтому (5.66) принимает вид
В2 • u.2 Л 1
среднее значение СКО= m‘n — S т~. (5.67)
NO- (1 — Г2) m=0
Снова полагая г=1—2ц, для метода Ньютона получаем общее
выражение
S2 L [
среднее значение СКО= ; 2 г . (5.68)
4Ао2 (1 — ц) т=0
По практическим соображениям этот результат удобно выразить
через постоянные времени адаптивного процесса. Для определения
числа постоянных времени, соответствующих заданному значению
знаменателя геометрической прогрессии г, построим на основе ге-
ометрической последовательности отсчетов экспоненциальную
огибающую, как показано на рис. 5.4. Пусть теперь эта огибаю-
щая описывается функцией е_^т, где t — время, а т — постоянная
времени. Если одна единица времени соответствует одной итера-
ции, то
ехр(-1/т) = г, (5.69)
что при разложении в ряд дает
г = ехр( — 1/т) = 1- 1/т+ 1/(2 !т2)— 1/(3! т«) + ... (5.70)
Поскольку для большинства приложений постоянная времени т
выбирается большой (не менее 10), а знаменатель г—малым (не
более 1), то имеет место следующее приближенное соотношение:
г«1 —1/т (т большая). (5.71)
Рис. 5.4. Аппроксимация гео-
метрической последовательнос-
ти значений весовых коэффи-
циентов экспоненциальной кри-
вой
Номер итерации
81
Кроме того, из соотношения r= 1—2ц для метода Ньютона
ц«1/2т, (5.72)
поэтому (5.68) принимает вид
1
среднее значение СКО= ------—------ S ;—«
4.V62 (2т —1) т=Э
р2. L j
» ---min-- у большая\ (5.73)
Для дальнейшего упрощения равенства (5.73) выразим сумму че-
рез среднее
У -1_р£+1)Ш , (5.74)
т---0К’п \ Л /ср
а также подставим выражение (5.16) для относительного при-
ращения, т. е. среднего увеличения СК.О, нормированного относи-
тельно величины gmin. С учетом этих подстановок выражение (5.73)
принимает вид
среднее значение СКО= +...1) ^'^ср (1/Z)cp . (5.75)
Аналогично найдем среднее значение СКО для метода наиско-
рейшего спуска. В этом случе вместо (5.42) подставим в (5.60)
формулу (5.47). Имея в виду, что Л — диагональная матрица,
получаем
среднее значение СКО= Е [VfeTAVft] =
= ц2 У v £ [n’Li-i А (I -2ц A)"+m . (5.76)
п=0 пг—0
Так же, как в (5.62), члены с т^=п стремятся к нулю, и снова, как
и в (5.63), полагаем, что вектор N'—стационарный случайный
процесс, поэтому (5.76) принимает вид
°° 'Т
среднее значение СКО = ц2 2 £ Л(1 —
п = 0
- 2ц Л)2" NJ = ц2 £ [N7 Л [ f (I - 2ц Ар") N*], (5.77)
\п = 0 /
где усреднение производится, как и выше, по индексу k. Теперь,
поскольку матрицы под знаком суммы являются диагональны-
ми, можно найти, что каждый элемент суммы является членом
степенного ряда. Следовательно, можно записать
У (I — 2ц А)2п= — (А —цЛ2)-1. (5.78)
п=о 4!1
(Более подробный вывод рассматривается в упражнении 20).
82
Подстановка в (5.77) формулы (5.78) и результатов, получен-
ных в упражнении 18 к гл. 2, дает
'Т 1
среднее значение СКО = у2 Е (N* Л—(Л —
4р.
- цЛ2)-1 Nd = Е [N7 (1 - чЛ) ’ Nd. (5.79)
Полученный здесь результат аналогичен соотношению (5.64), ес-
ли вместо ц2/(1—г2) подставить ц/4, а вместо Л подставить
I—цЛ. При таких же подстановках в (5.67) выражение (5.79)
принимает вид
у _____!__
среднее значение СКО = ———- , =
4 Ар- т=о 1 ~
==rtmln^cp у -----!--, (5.80)
4'VP m=0 1 — Р-Лт
где Р— как и выше, относительное приращение, возникающее при
измерении градиента и равное 627vCp/smin-
В предшествующем анализе для метода Ньютона отмечалось,
что среднее значение СКО удобно выражать через постоянную
времени, и была определена постоянная времени т, соответству-
ющая процессу сходимости вектора весовых коэффициентов к
оптимальному. Определим теперь две другие постоянные време-
ни, полезные для описания эффективности и скорости сходимо-
сти адаптивного процесса, а именно, постоянную времени обуча-
ющей кривой, которую обозначим через тско, и постоянную вре-
мени, которую за неимением более подходящего термина назовем
постоянной времени адаптации и обозначим через Тско. Как бу-
дет показано, обе эти постоянные с точностью до множителя рав-
ны постоянной времени сходимости вектора весовых коэффици-
ентов т.
Постоянная времени т связана соотношением (5.71) со зна-
менателем геометрической прогрессии весовых коэффициентов г.
С другой стороны, для знаменателя геометрической прогрессии
обучающей кривой [из (4.19)] следует, что
гско = г2. (5.81)
На основании (5.69) получаем соответствующую постоянную вре-
мени тско.’
ехр ( - 1 /тско) = ехр(- 2/т) г2 = гско.
Откуда
тск0-=т/2. (5.82)
Эту постоянную времени используют для описания времени обу-
чения адаптивных систем.
Основной единицей постоянной времени тско является число
итераций. С другой стороны, основная единица постоянной вре-
мени адаптации ТСко— отсчет данных. Поскольку для измерения
43
каждого компонента вектора градиента требуется, как показано
на рис. 5.2, 2N отсчетов, на каждой итерации нужно иметь
2(L4-1)M отсчетов. Таким образом, постоянная времени адап-
тации
ско А 2 (Л + 1) Л/тск0 = N (L + 1) т. (5.83)
При известной скорости следования отсчетов легко связать эту
постоянную времени с реальным временем.
Для метода наискорейшего спуска показано, что n-й знаме-
натель геометрической прогрессии
г„=1-2цХ„. (5.84)
На основании (5.71) можно найти соотношение между п-м зна-
менателем геометрической прогрессии и n-й постоянной времени
сходимости вектора весового коэффициента:
г„«1—1/тп (тп большая). (5.85)
Сравнивая (5.84) и (5.85), получаем
цХп«1/2тп. (5.86)
По аналогии с (5.82) определим п-к> постоянную времени обуча-
ющей кривой в виде
(тско) п = тп/2. (5.87)
Кроме того, подставляя (5.87) в (5.83), аналогично определяем
(Т’ско)п = N (L + 1) тп = 2 У (L + 1) (тско)п. (5.88)
На основании (5.88) имеем
!lZ„«JV(Z.+ l)/2(TCK0)n. (5.89)
Усредняя обе части этого равенства по п, получаем
. (5.90)
2 \ ' СКО /ср
Теперь, подставив этот результат и (5.86) в (5.80), можно найти
среднее значение СКО для метода наискорейшего спуска:
среднее значение СКО -- у
X f—1—'------------------ • (5.9!)
Иско/cpnto 1-1/(2тт)
Ранее предполагалось, что установившийся вектор весовых
коэффициентов близок к оптимальному (соответствует значению
рабочей функции, близкому к минимальному). В соответствии с
этим при малом значении ц и больших значениях тп адаптивный
процесс обладает медленной сходимостью. Следовательно, мож-
но записать
-----!---« 1 ; п = 0,1, ... , L. (5.92)
1 — 1/(2тп)
84
При этом приближении еще более упрощается выражение (5.91):
среднее значение СКО— ( у-- (5.93)
\ ско /ср
В заключение этого раздела выпишем приближенные соотно-
шения для установившегося среднего значения СКО:
среднее значение СКО (для метода Ньютона) ~
(L -|- 1) ^min ^ср ('Аср) Н~ О2 £mln /-ср (1 Аср) . (5
&NP т 8^ско
среднее значение СКО (для метода наискорейшего спуска) ~
где Z-4-1—число весовых коэффициентов; gmin — минималь-
ное значение СКО; N — число наблюдений сигнала ошибки
(2М наблюдений для каждой оценки градиента); Р — отно-
сительное приращение (нормированное приращение величи-
ны g, возникающее при оценке градиента) [см. соотношения
(5.9) — (5.16)]; т —постоянная времени процесса коррекции
весового коэффициента (см. рис. 5.4); Тско — постоянная
времени адаптации [см. соотношения (5.83) — (5.90)]; % —
собственное значение корреляционной матрицы входного
сигнала.
Относительное среднее значение СКО
Среднее значение СКО есть усредненное приращение средне-
квадратической ошибки относительно минимальной. Эти величи-
на позволяет измерить усредненную во времени разность между
действительной и оптимальной характеристиками адаптивного
процесса. Еще одной мерой такой разности, особенно полезной
при разработке адаптивных процессов, является относительное
среднее значение СКО М, которое определим как отношение
среднего значения СКО к ее минимальному значению:
д4 А (среднее значение СКО) ^5 95)
£min
Относительное среднее значение СКО представляет собой без-
размерную величину, отражающую различие между действитель-
ным и оптимальным винеровским адаптивным процессами, воз-
никающее из-за шума оценки градиента. Другими словами, это
некоторая мера адаптивных свойств системы. Отметим, что в вы-
ражение для М не входит относительное приращение Р, возника-
ющее из-за специально вносимых отклонений весовых коэффици-
ентов, а не из-за шума.
85
Для метода Ньютона из (5.94) имеем
~ (5 97)
~ 8NP т
Однако более удобным является вытекающее из (5.94) вы-
ражение
М ~ _ (5,98)
* ** rvc\
Уравнение (5.98) позволяет легко оценить характеристики адап-
тивной системы, основанной на методе Ньютона. Как видно, по
мере роста относительного приращения и постоянной времени от-
носительное среднее значение СКО уменьшается. При большем
значении Р возможно более точное измерение градиента, а при
большей Т'ско для поиска оптимального вектора весовых коэффи-
циентов можно получить усреднение по большему количеству
данных. Видно также, что относительное среднее значение СКО
растет как квадрат числа весовых коэффициентов, поэтому не-
значительное улучшение адаптивных свойств достигается при су-
щественном усложнении системы. Можно отметить, что собствен-
ные значения оказывают заметное влияние на относительное
среднее значение СКО только тогда, когда они сильно отличают-
ся друг от друга. Влияние параметров tap и 1/tap рассмотрено
ниже.
Из (5.94) следует, что для метода Ньютона среднее значение
СКО остается неизменным при одновременном увеличении вдвое
постоянной времени и уменьшении вдвое числа У. Увеличения
вдвое постоянной времени т можно достичь уменьшением в 2 ра-
за параметра ц, а число N можно уменьшить, если на одной ите-
рации брать меньше отсчетов сигнала ошибки. Ясно, что систе-
ма с малым размером шага и малым количеством данных на од-
ном шаге эквивалентна системе с большим размером шага и
большим количеством данных на одном шаге. Как следует из
(5.98), важным показателем является количество данных, кото-
рые обрабатываются за период, равный постоянной времени
адаптации.
Алгоритм, основанный на рассмотренном в этом и предшест-
вующих разделах методе Ньютона, можно сделать до некоторой
степени более эффективным, если изменить процесс измерения
градиента, показанный на рис. 5.1 и 5.2. Изменение процесса со-
стоит в том, что величина g измеряется при номинальном векто-
ре W=Wft, находится разность между этим обычным измерением
и другими измерениями величины | и одновременно изменяется
один весовой коэффициент на величину 6. Количество данных,
приходящееся на одну оценку вектора градиента, изменяется в
(Л+2)/2(А+1) « 1/2 раз. Однако провести анализ этого процес-
са сложно из-за того, что компоненты вектора шума являются
коррелированными. Но в любом случае относительное среднее
86
(5.99)
значение СКО растет как квадрат числа весовых коэффициентов.
При подстановке (5.95) в (5.96) получаем выражение для ме-
тода наискорейшего спуска:
8Р \ JСКО /ср
Это выражение эквивалентно выражению (5.98) для метода Нью-
тона, имеющему сомножитель Хср(1/Л.)ср, которого нет в (5.99).
Кроме того, в (5.98) есть сомножитель 1/Тско, а в (5.99) —сом-
ножитель (1/ТСко)Ср. В выражении для метода Ньютона имеется
только одна постоянная времени, в то время как для метода на-
искорейшего спуска в выражение входит до L+1 различных зна-
чений Тско- Следовательно, если все собственные значения мат-
рицы R равны между собой, то оба выражения будут одинако-
выми. При таком условии рабочая функция обладает круговой
симметрией, и отрицательный градиент всегда имеет направле-
ние на ее минимальное значение. В этом случае методы Ньютона
и наискорейшего спуска фактически идентичны.
Сравнение методов Ньютона и наискорейшего спуска
Для заданных значений относительного приращения и числа
весовых коэффициентов как метод Ньютона, так и метод на-
искорейшего спуска приводят к увеличению относительного сред-
него значения ошибки при росте скорости адаптации (т. е. при
уменьшении постоянной времени адаптации). Однако при одной
и той же скорости адаптации оба метода не обязательно имеют
одинаковое значение М. При разных условиях лучшим является
тот алгоритм, который обеспечивает большую скорость адапта-
ции при заданном уровне относительного среднего значения СКО
или меньшее его значение при заданной скорости адаптации.
Для сравнения обоих методов с точки зрения скорости адап-
тации и относительного среднего значения СКО необходимо сна-
чала представить (5.99) в более удобном виде. Процесс адапта-
ции методом наискорейшего спуска характеризуется многими по-
стоянными времени, и поэтому скорость адаптации определяется
самой медленной составляющей. Обозначим через (Т’ско)тах по-
стоянную времени такой составляющей. Тогда из (5.88)
(T'cKohnax = рХП11п. (5.100)
Кроме того, из соотношения (5.88) можно получить усредненное
собственное значение Zcp, выраженное через постоянные времени
адаптации:
У ... д + о(.2_____\
ср 2ц \ Тско /ср
Сравнивая этот результат с (5.100), имеем
f 1 \ _ _____/-ср__
\ T'cK'J /ср ^га1п (Т'ско)тах
(5.101)
(5.102)
87
Следовательно, выражение (5.99) для метода наискорейшего спус-
ка можно переписать в виде
М
(L I)2 Хср
8P/.min (Т'ско)тах
(5.103)
Если теперь положить, что (Тско)тах в (5.103) равно Тско в
(5.98), a L и Р одинаковы в обоих выражениях, то формулы для
методов Ньютона и наискорейшего спуска отличаются лишь тем,
что в первом случае есть сомножитель (1/Х)Ср, а во втором — сом-
ножитель l/Xmin- Таким образом, в общем случае для метода Нью-
тона относительное среднее значение СКО меньше, поскольку
1 0 /^)ср-
(5.104)
Рассмотрим следующий конкретный случай. Если собственные
значения находятся в пределах от 1 до 10, то 1/Xmin=l, а (1Д)ср=
=0,3. Поэтому относительное среднее значение СКО для метода
наискорейшего спуска примерно в 3 раза больше, чем для мето-
да Ньютона.
В некоторых случаях при большем количестве собственных
значений можно считать, что они равномерно распределены в ин-
тервале от Хпнп до Хтах. Тогда среднее значение 1/Л
(Ш)ср =
1
^max ^min
Лт1п
^•тах Лт!п
(5.105)
In (^max/^min)
Если ПОЛОЖИТЬ, ЧТО Хтах= 102.min, ТО ( 1Д) ср ~ 0,26 ( 1 /Xmin) , И,
следовательно, относительное среднее значение СКО для метода
наискорейшего спуска примерно в 4 раза больше, чем для метода
Ньютона. Аналогично этому при ^max=100Xmin это различие со-
ставляет 20 раз.
Коэффициент, характеризующий относительную точность
оценки параметра, и некоторые практические примеры
Из уравнений (5.98) и (5.99) следует, что относительное сред-
нее значение СКО обратно пропорционально относительному при-
ращению Р. Поэтому может показаться, что увеличивая его, от-
носительное среднее значение СКО можно сделать сколь угодно
малым. Ниже показано, что неограниченное увеличение относи-
тельного приращения невозможно.
По определению относительное приращение является безраз-
мерным параметром, отражающим степень влияния, которое ока-
зывает неточность измерения компонентов градиента на СКО.
Из равенства (5.16) следует, что относительное приращение пред-
ставляет собой отклонение СКО, нормированное относительно ее
минимального значения. Относительное приращение в большей
степени аналогично относительному среднему значению СКО и
фактически является его разновидностью, возникающей из-за из-
мерения градиента адаптивной системы в автономном режиме. По-
88
этому коэффициент, характеризующий точность оценки парамет-
ра, для такой системы можно определить как сумму двух отно-
сительных средних значений СКО, одно из которых возникает
из-за случайного отклонения, другое — из-за независимого неслу-
чайного отклонения установившегося вектора весовых коэффици-
ентов:
Л4сбщ = М+Р. (5.106)
Для обоих рассмотренных в этой главе методов с учетом (5.98)
и (5.99)
Л40бщ= -^-+ 'ГДср(1Д)— +Р Для метода Ньютона, (5.107)
8^'ско
Л40бщ & (^IcKojcp. +р для меТ0да (5.108)
наискорейшего спуска.
Отметим, что как (5.107), так и (5.108) дают значение Л10бД
в виде Р-фЛ/Р, где А не является функцией Р. Приравнивая ну-
лю производную такого соотношению по переменной Р, можно
найти оптимальное значение Ропт, минимизирующее Л4общ. Для
обоих случаев
РОПТ ~ А/Pоьт ж Ропт ~ ~ ^ОбЩ- (о. 109)
Таким образом, рассматриваемый коэффициент минимален, ког-
да относительное приращение примерно равно его половине.
Для демонстрации приложения этих результатов полезно при-
вести численный пример. Предположим, что в некотором конкрет-
ном случае считают допустимым относительное среднее значение
ошибки 10%. Кроме того, предположим, что адаптивная система
имеет адаптивный фильтр с десятью весовыми коэффициентами
и что все собственные значения матрицы R равны, поэтому от-
носительные средние значения ошибки для метода Ньютона и на-
искорейшего спуска также равны. Отсюда оптимальное значение
Р равно 5%, а постоянную времени адаптации находим из соот-
ношения
дд ~ (б + I)2 , р ~____(19)2____0 05 — 0 1
Мобщ--8рТ—^- + Р 8(0,05)7^ +U>U& U’L
Следовательно,
Т’ско = 5000 отсчетов. (5.110)
Если считать, что время сходимости адаптивного процесса
равно примерно 4ТСко, то переходные процессы, связанные с
адаптацией, закончатся через 20 000 отсчетов данных. Для за-
данного фильтра с десятью весовыми коэффициентами и относи-
тельным средним значением СКО 10% такое количество данных
является слишком большим. Тем не менее, для адаптивной сис-
89
темы в автономном режиме и заданного метода оценки градиента
оно приводит к наилучшим достижимым результатам.
Однако при проектировании системы с адаптивными свойст-
вами существует, по крайней мере, одна возможность улучшения
характеристик. Если позволяют условия, то можно добиться луч-
ших характеристик, благодаря измерению градиента в дополни-
тельной измерительной адаптивной системе, в которую можно
вносить относительное приращение, не оказывая влияние на ос-
новную информационную адаптивную систему. Схема, реализу-
ющая такой способ, представлена на рис. 5.5, а относительное
среднее значение СКО определяется соотношением (5.98) для
метода Ньютона и соотношением (5.99) для метода наискорейше-
го спуска. Рассмотренная выше система с десятью весовыми ко-
эффициентами при относительном среднем значении СКО, равном
10%, и относительном приращении 20% имеет постоянную вре-
мени адаптации, которую находим из соотношения
откуда
Реко = 625 отсчетов. (5.111)
В этом случае постоянная времени значительно меньше, но по-
прежнему велика.
Поскольку относительное приращение, вносимое в измери-
тельную систему, не приводит к увеличению относительного сред-
него значения СКО информационной адаптивной системы, как
это следует из рис. 5.5, то может показаться, что за счет произ-
вольного увеличения относительного приращения можно достичь
самой точной оценки градиента. Однако выбор очень большого
значения Р приводит к нарушению условий, при которых соотно-
шение (5.33) получено из (5.32). Эти условия состоят в том, что
Рис. 5.5. Схема адаптации с измерительной адаптивной системой, предназна-
ченной для уменьшения влияния относительного приращения, вносимого при
оценке градиента. Здесь процесс оценивания градиента не оказывает влияния
на выходной сигнал
90
значение Р мало, а вектор весовых коэффициентов системы после
адаптации близок к оптимальному. Следовательно, выбор боль-
шого значения Р в конечном итоге приводит к увеличению от-
носительного среднего значения СКО.
Заканчивая рассуждения, связанные с практическими прило-
жениями, можно упомянуть еще один способ повышения эффек-
тивности адаптивной системы на основе представленной на рис.
5.5 структуры. Если возможно функционирование измерительной
системы со скоростью, значительно превышающей скорость вход-
ного сигнала, то можно повторно вводить входные данные и для
одних и тех же данных осуществлять на каждой итерации изме-
рение всех компонентов вектора градиента. Хотя здесь не при-
водится анализ такой системы, можно показать, что в этом слу-
чае относительное среднее значение СКО растет пропорционально
первой, а не второй степени числа весовых коэффициентов. Еще
одним способом, эквивалентным повторному вводу данных, яв-
ляется использование множества измерительных систем, каждая
из которых предназначена для измерения одного компонента век-
тора градиента на каждой итерации.
Упражнения
1. Объясните, почему формулы (5.3) и (5.4) являются точными для квад-
ратичных рабочих функций.
2. Адаптивная система с одним весовым коэффициентом имеет рабочую
функцию
g,.= 5&’2 -20w+23.
Постройте график зависимости 5 от w 11 покажите на нем значения Jmin, к1* и
X. Покажите также ошибку измерения у, возникающую при приращении весо-
вого коэффициента w около значения ю = 2,5 с отклонением ±6 = ±1. Чему
равно значение у?
3. Возможно ли для квадратичной рабочей функции отрицательное значе-
ние ошибки измерения у? Почему? Нарисуйте график рабочей функции с отри-
цательной ошибкой измерения.
4. Каково значение относительного приращения для системы из упраж-
нения 2?
5. Предположим, что имеется линейный сумматор с одним входом, рабо-
чая функция которого
g = 2w2q-\-2w2[ -J-2k'o^'i— 14к.'о— 16к> । -f-42,
а входной сигнал x является случайным стационарным процессом. Для отсчетов
входного сигнала £[лдлд]=2 и ffXkXx-i] = 1. Чему равно Р, если отклоне-
ние весового коэффициента б?
6. Предположим, что в адаптивный линейный сумматор с одним входом
добавлен один весовой коэффициент. Как в общем случае это повлияет па Р?
7. Предположим, что ошибка е/, является случайной величиной, равномерно
распределенной в интервале от 1 до 3. Чему равен в этом случае четвертый
момент «4?
91
8. Предположим, что е* имеет нормальное распределение с такими же сред-
ним значением и дисперсией, как в упражнении 7. Найдите четвертый мо-
мент щ.
9. Ошибка имеет нормальное распределение с нулевым средним значением
и дисперсией, равной 3. Какова дисперсия оценки среднеквадратической ошиб-
ки, если эта оценка производится по десяти независимым отсчетам сигнала
ошибки?
10. Покажите, используя равенство (5.25), что для нормально распреде-
ленной ошибки 6^ с ненулевым средним значением параметр К несколько мень-
ше 2.
11. Выведите формулы и неравенства, приведенные в табл. 5.1.
12. Каковы должны быть отношения а,/о для граничных значений пара-
метра К=0 и К=2 при нормальном распределении (см. табл. 5.1)?
13. Какое отношение ajcs соответствует верхней границе параметра К для
каждого из трех (треугольного, равномерного и дискретного) распределений,
представленных в табл. 5.1?
14. Предположим, что при условиях упражнения 2 оценка градиента осу-
ществляется по пяти наблюдениям сигнала ошибки при каждом значении ве-
сового коэффициента с приращением. Какова дисперсия оценки градиента, если
ошибка es распределена по нормальному закону?
15. Положим, что при условиях упражнения 5 оценка градиента осуществ-
ляется по 50 наблюдениям сигнала ошибки при каждом значении весового ко-
эффициента с приращением. Найдите ковариационную матрицу оценки гради-
ента при нормальном распределении ошибки еА.
16. Заданы временные последовательности хк и у>,, которые равны нулю при
отрицательных значениях k и связаны соотношением
Xk = axh-l+byk.
Пользуясь методом индукции, найдите выражение для хк, не содержащее ре-
курсивного соотношения.
17. Чему равна дисперсия весового коэффициента v в смещенной системе
координат для системы, в которой используется метод Ньютона? Что изменит-
ся, если перейти к методу наискорейшего спуска?
18. На основании формул (5.54) и (5.55) проведите подробный вывод
формул (5.57) и (5.58) для ковариационных матриц вектора весовых коэффи-
циентов. При выводе воспользуйтесь равенством (3.38) и результатами упраж-
нения 1в к гл. 2.
19. Для условий упражнения 5 найдите ковариационную матрицу вектора
весовых коэффициентов cov[V], полагая, что в системе применен метод наиско-
рейшего спуска с параметром ц, равным 1/2, т. е. своему максимальному зна-
чению, соответствующему области устойчивости, и с числом наблюдений сиг-
нала ошибки W=10.
20. В равенстве (5.78) найдена сумма геометрических прогрессий диаго-
нальных матриц. В такой сумме каждый элемент матрицы можно вычислить в
виде отдельной суммы геометрической прогрессии. Используя это, докажите, что
J Dn = (I — D)-1,
п= 0
где D — диагональная матрица. При каких условиях этот ряд сходится? Спра-
92
ведливо ли это для недиагоиальной матрицы D? Если да, то при каких ус-
ловиях?
21. Для условий упражнения 5 найдите среднее значение СКО, полагая,
что параметр р. равен половине своего максимального значения, соответствую-
щего области устойчивости [см. равенства (4.33) и (4.45)], а число наблюде-
ний сигнала ошибки М=40:
а) для метода Ньютона;
б) для метода наискорейшего спуска.
При решении сравните равенства (5.68) и (5.94) и равенства (5.80) и
(5.95). Объясните различия.
22. Задана адаптивная система с одним весовым коэффициентом, для кото-
рой ц=0,01, а средний квадрат входного сигнала равен 2. Найдите постоянные
времени коррекции весового коэффициента и обучающей кривой:
а) для метода Ньютона,
б) для метода наискорейшего спуска.
23. Какова постоянная времени адаптации Тско для каждого случая при
условиях упражнения 21, если для коррекции весового коэффициента на каж-
дой итерации осуществляются все десять наблюдений сигнала ошибки?
24. Каково среднее значение СКО для каждого случая в упражнении 5,
если N—5, а относительное приращение составляет 5%?
25. На вход адаптивного линейного сумматора с двумя весовыми коэффи-
циентами поступает входной сигнал х, для которого Е[х2л]=3 и Е[хАхл-1] =
=2. На каждой итерации осуществляется все 80 наблюдений сигнала ошибки
Вл. Соответствующее приращение весовых коэффициентов приводит к тому,
что Р принимает значение 0,05, параметр р = 0,01. Найдите относительное сред-
нее значение СКО:
а) для метода Ньютона;
б) для метода наискорейшего спуска.
Ответы к некоторым упражнениям
5. Р=&/2.
7. а4 = 24,2.
8. «4=24,33.
9. var[|]=a4/5.
12. Около 7С = 0 |«i/a|->oo; около /<=2 |«|/<т|->-0.
15. cov[V] = (8/25S2) I.
Часть III
АДАПТИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ И СТРУКТУРЫ
Большинство понятий, необходимых для синтеза и анализа, имеющих практи-
ческое значение адаптивных алгоритмов, рассмотрено в ч. I и II. Эти алго-
ритмы предназначены для поиска точки минимума рабочей функции и слежения
за ней при приеме стационарных и нестационарных сигналов.
В ч. III прежде всего приводится описание метода наименьших квадратов,
который является простейшим методом коррекции весовых коэффициентов ли-
нейного адаптивного устройства обработки. Метод наименьших квадратов, ко-
торому посвящена гл. 6, широко применяется во всех видах адаптивных систем,
описанных в ч. IV. Основная цель этого материала — рассмотрение метода наи-
меньших квадратов и его применения.
Помимо метода наименьших квадратов ч. III вводятся другие виды адап-
тивных алгоритмов, которые обладают важными свойствами. Для упрощения
изучения этих алгоритмов в гл. 7 приводятся некоторые методы частотного
анализа, обычно применяемые при анализе цифровых сигналов. Это обычные
методы, и читатели, хорошо знакомые с ними, могут лишь бегло ознакомиться
с содержанием гл. 7.
Наконец, в последней части гл. 8 рассматриваются решетчатые структуры.
Эти структуры и их применение в адаптивных системах составляют большую
область техники, и поэтому в гл. 8 вводятся только основные понятия.
Глава 6
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
В гл. 4 рассмотрены два алгоритма приведения системы к ми-
нимуму рабочей функции — методы Ньютона и наискорейшего
спуска. В обоих алгоритмах необходимо на каждой итерации про-
водить оценку градиента, поэтому в гл. 5 даны общие способы
оценки градиента. Они являются общими, поскольку основаны на
вычислении разностей оцениваемых значений рабочей функции,
т. е. значений
В данной главе вводится още один алгоритм приведения сис-
темы к минимуму рабочей функции, который называется методом
наименьших квадратов. В этом алгоритме используется специ-
альная оценка градиента, которая применима к рассмотренному
в гл. 2 адаптивному линейному сумматору.1 Таким образом, с
точки зрения применения метод наименьших квадратов более ог-
раничен, чем алгоритмы, описанные в гл. 4.
Однако метод наименьших квадратов имеет важное значение,
поскольку он является простым в вычислениях и не требует про-
1 Однако метод наименьших квадратов можно распространить и па рекур-
сивные адаптивные фильтры (см. гл. 8).
94
ведения оценки градиента в измерительном канале или повтор-
ных вводов данных. Если адаптивная система представляет со-
бой адаптивный линейный сумматор и на каждой итерации из-
вестны входной вектор Х/< и требуемый отклик dh, то в общем
случае лучшим алгоритмом во многих различных приложениях
адаптивной обработки сигналов является метод наименьших ква-
дратов.
Вывод алгоритма наименьших квадратов
Напомним, что введенный в гл. 2 адаптивный линейный сум-
матор реализуется двумя основными способами в зависимости от
того, как подаются входные сигналы — параллельно (система с
многими входами) или последовательно (система с одним вхо-
дом). Эти два способа показаны на рис. 6.1. В обоих случаях вы-
ходной сигнал сумматора уь является линейной комбинацией от-
счетов входного сигнала. Аналогично соотношению (2.8) имеем
<61)
где для обеих схем на рис. 6.1 Х&— вектор отсчетов входного
сигнала.
Для получения адаптивного алгоритма .изложенными выше
способами можно было бы найти оценку градиента ошибки g=
=Е'[е2й], вычислив разности между соседними средними значе-
ниями e,2h- Вместо этого в качестве оценки возьмем само значе-
Частотные производные ошибки по весовым коэффициентам
находятся непосредственно из (6.1).
Имея такую простую оценку градиента, можно определить
адаптивный алгоритм, аналогичный формуле метода наискорей-
шего спуска. Из (4.36) имеем формулу алгоритма метода наи-
меньших квадратов [3, 4]:
Wft+i = Wft — р Vs “ 4- 2geh Хй. (6-3)
Здесь, как и ранее, параметр ц определяет скорость и устойчи-
вость процесса адаптации. Поскольку изменения весовых коэф-
фициентов на каждой итерации осуществляются по неточным
оценкам градиента, следует ожидать, что в адаптивном процессе
возникает шум, т. е. адаптация протекает не по истинной траек-
тории, соответствующей наискорейшему спуску.
95
Рис. 6.1. Общий вид адаптивного линейного сумматора (а) и трансверсальный
фильтр (б)
Из соотношения (6.3) следует, что метод наименьших квадра-
тов можно реализовать в реальных системах, не проводя опера-
ции возведения в квадрат, усреднения и вычисления производных,
и поэтому он прост и эффективен. Как отмечено выше, каждый
компонент вектора градиента находится по единственному отсче-
ту данных и без введения приращения в вектор весовых коэффи-
циентов. Если не приводится усреднение, то компоненты градиен-
та обязательно содержат большую составляющую шума, но этот
шум уменьшается самим процессом адаптации с течением време-
ни, действие которого в этом отношении эквивалентно действию
низкочастотного фильтра. Перейдем теперь к обсуждению некото-
рых свойств метода наименьших квадратов и на нескольких при-
мерах покажем способы его применения.
Сходимость вектора весовых коэффициентов
Как и для всех адаптивных алгоритмов, основной характерис-
тикой метода наименьших квадратов является сходимость векто-
ра весовых коэффициентов к оптимальному, при котором 2?[е2гг]
достигает минимума. Для анализа сходимости метода наимень-
ших квадратов прежде всего покажем, что оценка градиента (6.2)
является несмещенной, если вектор весовых коэффициентов оста-
ется постоянным. Математическое ожидание оценки (6.2) при
Wft = W
£[VJ= — 2£[eftXft] = —2£ [dft Xft — ХА Xj W] = 2 (RW — Р) = V- (6.4)
Второе равенство в (6.4) следует из (6.1) с учетом того, что ел
96
является скалярной величиной. Последнее равенство вытекает из
определений векторов Р и R, данных в гл. 2, и из соотношения
(2.15). Поскольку среднее значение оценки Vfe равно истинно-
му градиенту V, то ХД должно быть несмещенной оценкой.
Имея в виду, что оценка градиента является несмещенной,
можно, по крайней мере в некоторых случаях, привести метод на-
именьших квадратов к методу наискорейшего спуска. Для этого
на каждом шаге в соответствии с (6.2) проводится оценка гради-
ента V, но не осуществляется адаптивная перестройка весовых
коэффициентов до тех пор, пока не будет пройдено достаточно
много шагов. В этом случае можно сделать так, чтобы оценка V/,
приближалась к градиенту Vs, а соотношение (6.3) — к соотно-
шению (4.36). Поскольку вектор весовых коэффициентов изменя-
ется на каждой итерации, сходимость вектора весовых коэффици-
ентов следует рассматривать иначе.
Из (6.3) видно, что вектор Wft является функцией только пре-
дыдущих векторов входного сигнала Хь-i, Хь-2, ..., Хо. Можно по-
казать, что при выполнении этого условия для входного сигнала,
являющегося стационарным случайным процессом, математичес-
кое ожидание вектора весовых коэффициентов Z?[Wfe] при усред-
нении по большому числу итераций сходится к винеровскому оп-
тимальному вектору, задаваемому соотношением (2.17), т. е. к
вектору W* = R-IP.
Вычисляя математическое ожидание обеих частей равенства
(6.3), получаем разностное уравнение
£[Wfe+1] = E[Wft] +2цЕ[еггХД =
= Е [WJ + 2ц (Е [dh XJ - Е [Xft Xi Wft]). (6.5)
Полагая, что векторы Xft и Wfe являются независимыми, в (6.5) по
аналогии с (6.4) имеем математическое ожидание произведений.
Кроме того, подставляя (2.17) для оптимального вектора W* =
= R'P, приводим (6.5) к виду
Е [Ws+11 = Е [WJ + 2ц (Р - R Е [W J) = (I - 2ц R) Е [Wft] + 2ц RW*.
(6-6)
Но теперь это равенство соответствует математическому ожида-
нию выражения (4.38), для которого при переходе к системе ко-
ординат главных осей найдено решение (т. е. получена нерекур-
сивная формула). Для математического ожидания из (4.42)
имеем
£[V;j = (I-2pA)feV0, (6.7)
где V'' — вектор весовых коэффициентов W, приведенный к си-
стеме координат главных осей; Л — диагональная, матрица соб-
ственных значений матрицы R, a V'o— начальный вектор весо-
вых коэффициентов.
4—12 97
Таким образом, при неограниченном увеличении k математи-
ческое ожидание вектора весовых коэффициентов (6.7) стремится
к оптимальному вектору (т. е. к началу системы координат глав-
ных осей) только тогда, когда правая часть этого равенства схо-
дится к нулю. Из (4.45) следует, что такая сходимость возможна
только, если
1Мтах>Ц>0, (6.8)
где iAmax — наибольшее собственное значение, т. е. наибольший
диагональный элемент матрицы А.
Итак, неравенство (6.8) дает границы параметра ц, в которых
среднее значение вектора весовых коэффициентов сходится к
оптимальному вектору. Скорость адаптации, а также составляю-
щая шума вектора весовых коэффициентов зависит от значения
параметра ц в пределах этих границ. Кроме того, отметим, что
значение /_тах не может превышать след матрицы R, равный сум-
ме ее диагональных элементов:
Xmax^tr[A]=S (диагональные элементы А) =
= S (диагональные элементы R)=tr[R], (6.9)
Более того, из (2.11) следует, что для трансверсального адаптив-
ного фильтра trl[R] = (L + l)£[x2ft], или мощности входного сигна-
ла, умноженной на L-|-1. Поэтому среднее значение вектора весо-
вых коэффициентов сходится, если
О < Ц <---------в общем случае,
(6.10)
0<(1<--------------------------- для трансверсального фильтра.
(7+1) (мощность сигнала)
Неравенство (6.10) определяет более строгую границу пара-
метра ц, чем (6.8), но его проще использовать, так как в общем
случае легче найти элементы матрицы R и мощность сигнала, чем
собственные значения матрицы R.
Использование при выводе результатов этого раздела предпо-
ложение о некоррелированности и стационарности сигнала не яв-
ляется обязательным условием сходимости метода наименьших
квадратов и принято в этой главе для упрощения анализа. В
[2, 6] показана возможность сходимости метода наименьших
квадратов и при некоторых коррелированных и нестационарных
входных сигналах. Однако при этом намного сложнее становится
анализ сходимости алгоритма, и не существует доказательства
сходимости метода наименьших квадратов для произвольных
условий.
Пример анализа сходимости
Чтобы пояснить смысл сходимости среднего вектора весовых
коэффициентов при использовании метода наименьших квадратов
для конкретного случая, снова рассмотрим простой сумматор с
98
Рис. 6.2. Схема адаптивного
линейного сумматора, входной
сигнал которого суммируется
со случайным сигналом
Случайный
сигнал
двумя весовыми коэффициентами, приведенный в качестве приме-
ра на рис. 6.2. Для введения случайных флуктуаций в адаптив-
ный процесс изменяем входной сигнал, суммируя его, как показа-
но на рис. 6.2, со случайным сигналом. При введении случайного
сигнала необходимо видоизменить корреляционную матрицу
входного сигнала R, определяемую из (2.22). Пусть ф— средняя
мощность случайного сигнала
Ф = (6.11)
и отсчеты случайного сигнала независимы. Тогда
Е [ xl] = Е [(sin^r + Гк}2 * *] = °’5+Ф-
L \ W J \ Л / J
= 0,5cos(2n/AZ). (6.12)
Таким образом, преобразованная матрица
К = 0,5Г' + 2’’, С“(2"/ЛП (6.13)
L cos (2л;/1У) 1 4-2ф ->
Аналогичное преобразование соотношения (2.24) дает для рассма-
триваемого примера следующую рабочую функцию.
В = (0,5ф) 4- ©2) 4- wa cos (2n/N) 4- 2 04 sin (2n/N) 4- 2. (6.14)
Решив, как описано в гл. 2, уравнение RW*=P, где Р определя-
ется (по 2.23), можно найти оптимальный вектор весовых коэф-
фициентов
1 4-2<р cos(2n/W)4 101 о _gr°
cos(2n/iV) 1 4- 2<р -I ю’ *--------------sin (2л/ЛГ)
~ . I Г 2 cos (2л/М) sin (2n/<V)
0 (1 4- 2<р)2 — cos2 (2л/N)
t —2(14~ 2ф) s‘n (2л/1У)
_K'1 _ _ (1 4- 2<p)2 — cos2 (2n/N)
(6.15)
4!
99
0,0
Рис. 6.3. Проекции сечений рабочей функции и кривые изменений значений ве-
совых коэффициентов при использовании метода наименьших квадратов для
системы на рис. 6.2 с параметрами W=16, Е[г2л]=0,01
Процесс адаптации по методу наименьших квадратов поясня-
ется на рис. 6.3. где N равно 16 отсчетам за период сигнала, а
ф —0,01. Здесь приведены проекции сечений рабочей функции
(6.14), а значения оптимальных весовых коэффициентов
да*о = 3,784 и №*! =—4.178 найдены из (6.15).
Наряду с рабочей функцией g на рис. 6.3 приведены две кри-
вые, соответствующие траектории изменения весовых коэффици-
тов. Обе кривые построены для следующих характеристик:
Кривая Начальные значения весового коэффициента Значение параметра ц, Число итераций
Верхняя 0,0 0,1 250
Нижняя 4, —10 0,05 500
То, что обе кривые, аналогично тому, как показано на рис. 4.7, в
той или иной степени ортогональны кривым рабочей функции g,
отражает суть метода наискорейшего спуска.
Из рис. 6.3 видно, что из-за возникновения на каждой ите-
рации шума при оценке градиента изменения весовых коэффици-
ентов носят блуждающий характер и не всегда имеют направле-
ния истинного градиента. При большем значении параметра ц
эти изменения менее устойчивы, так как на каждой итерации вно-
сится более глубокая коррекция весовых коэффициентов. Однако
уже после половины всех итераций значение рабочей функции g
100
Рис. 6.4. Зависимость сиг-
нала ошибки от числа ите-
раций для верхней кривой
на рис. 6.3
отличается от минимального на столько же, на сколько оно отли-
чается для случая с меньшим параметром ц. Если продолжить
эти кривые на рис. 6.3, то в обоих случаях изменения весовых ко-
эффициентов будут колебаться в окрестности минимума рабочей
функции |, что, как обсуждалось выше, будет соответствовать не-
которому шумовому вектору весовых коэффициентов и относи-
тельной средней СКО.
Процесс сходимости метода наименьших квадратов можно
описать еще одним способом, если построить зависимость ошиб-
ки e,k от числа итераций. Пример такой зависимости приведен па
рис. 6.4, при этом ошибка такая же, как для верхней кривой на
рис. 6.3. Сначала зависимость ошибки носит синусоидальный ха-
рактер, но по мере того, как адаптивный фильтр обучается и по-
давляет синусоидальную составляющую, ошибка становится все
более случайной.
Отметим, наконец, что в примерах на рис. 6.3 значения пара-
метра р, (0,05 и 0,1) намного ниже верхней границы (6.10). Для
ср = 0,01 из (6.9) и (6.13) имеем след матрицы R:
tr[R] = 2(0,5 + <p)= 1,02. (6.16)
Следовательно, соотношение (6.10) дает
0,98 >ц>0. (6.17)
Применяя метод наименьших квадратов, обычно берут значе-
ния параметра ц на порядок меньше верхней границы (6.10).
Обучающая кривая
Выражение (4.59) описывает обучающую кривую, т. е. зави-
симость g от числа итераций k для метода наискорейшего спус-
ка. Эта кривая является теоретической, так как получена в пред-
101
положении, что на каждой итерации точно известен градиент,
Оказывается, что теоретическая обучающая кривая затухает в со-
ответствии с L+1 знаменателями геометрических прогрессий
вида
гп=1-2цХп; n = 0, 1, , L. (6.18)
Вследствие этого, а также в соответствии с (5.86) при экспонен-
циальном приближении ц-го элемента вектора весовых коэффи-
циентов к оптимальному значению постоянная времени
Tn^l/2p^; п = 0, 1, ..., L. (6.19)
Из (5.87) следует, что постоянная времени, соответствующая п-й
составляющей обучающей кривой, равна тп/2, т. е.
тско ~ 1/4 рЛп; п = 0, 1, ..., L. (6.20)
Кроме того, поскольку при использовании метода наименьших
квадратов каждую оценку градиента получают на основе одного
наблюдения данных, постоянная времени Тско, выраженная че-
рез число отсчетов входного сигнала, равна постоянной тско, вы-
раженной через число итераций алгоритма. Поэтому
(Т'ско)п ~ (тско)п ~1/4рЛп; « = 0, 1, ...,£. (6.21)
В некоторых приложениях метода наименьших квадратов, а
именно в тех случаях, когда для текущих значений весовых ко-
эффициентов на каждой итерации значение g2ft достаточно близ-
ко к £[e2fe], формула (6.21) является хорошим приближением
постоянной времени обучающей кривой. Однако в общем случае
для метода наименьших квадратов формула (6.21) будет неточ-
ной, так как значение g2h не является хорошим приближением
£[е2й], а процесс сходимости носит, как показано на рис. 6.3, ко-
лебательный характер. В качестве примера рассмотрим приве-
денный на рис. 6.3 случай, когда собственные значения матри-
цы R найдены из (3.2) и (6.13) для <р = 0,01 и N=16:
detr°’51“x 0,5cos (п/8)л _ 0 х 0 972 Л = 0,048. (6.22)
L0,5cos(n/8) 0,51 —
Для нижней кривой на рис. 6.3 при ц = 0,05 из (6.21) имеем
(Т'ско) 1 — 5 итераций, (6.23)
(Т'скоЪ—104 итерации. (6.24)
Для сравнения на рис. 6.5 представлена обучающая кри-
вая, построенная для рассматриваемого случая. Здесь значение
или Е [е2Д, находится усреднением по 500 отдельным обучающим
кривым. Каждому значению соответствует своя случайная после-
довательность и свое начальное значение синусоидального сигна-
ла в схеме на рис. 6.2. На рис. 6.5 в логарифмическом масштабе
приведены два участка обучающей кривой, соответствующие двум
направлениям нижней кривой на рис. 6.3 и двум постоянным вре-
мени, определенным по (6.23) и (6.24). На первом, более крутом
102
Рис. 6.5. Обучающая кривая, соответствующая нижней кривой на рис. 6.3 при
участке кривая за 13 итераций падает на одну декаду. Поскольку
декада означает умножение на 10, или на е2,3, что соответствует
также уменьшению постоянных времени в 2,3 раза, первая посто-
янная (Тско) равна примерно 13/2,3, или 6 итерациям. На вто-
ром, более пологом участке кривая характеризуется постоянной
времени (Тско) 2, которая по аналогии равна примерно 265/2,3 или
115 итерациям. В итоге имеем
Постоянная времени Теоретическое значение Эксперимен- тальное значение
5 6
^ско^2 104 115
Итак, из-за наличия шума при оценке Е[е2ь], возникновение
которого рассмотрено ранее, экспериментальная постоянная вре-
мени несколько больше теоретической. Такой результат характе-
рен для метода наименьших квадратов.
Шумовая составляющая оптимального вектора весовых
коэффициентов
В гл. 5 дисперсия оценки градиента и шумовая составляющая
вектора весовых коэффициентов найдены в предположении, что
оценка гардиента проводится по приращению значений коэффи-
циентов. Для метода наименьших квадратов оценка градиента,
103
как следует из (6.2), осуществляется без приращений значений
весовых коэффициентов, поэтому необходимо найти дисперсию
для данного случая.
Как и в (5.34), положим, что N&— вектор шума оценки гра-
диента на й-й итерации. Тогда
V = Vft + Nft. (6.25)
Если предположить, что адаптивный процесс при малом зна-
чении параметра ц приведен к устойчивому вектору весовых ко-
эффициентов, близкому к оптимальному W*, то в (6.25) стре-
мится к нулю. В соответствии с (6.2) шум градиента приблизи-
тельно равен
Nft= — 2eftXh. (6.26)
Таким образом, ковариационная матрица шума задается выраже-
нием
cov [Na] = Е [Nft Nj ] = 4£ [ 4 Xft XfeT], (6.27)
Полагая, что вектор весовых коэффициентов W/t близок к опти-
мальному W*, на основании (2.39) приходим к тому, что е2^ поч-
ти не коррелирована с вектором сигнала, поэтому (6.27) прини-
мает вид
cov [Nft] « 4Е [ ei] Е [Xft XftT] « 4£mln R. (6.28)
Чтобы воспользоваться результатами гл. 5, необходимо при-
вести (6.28) к системе координат главных осей (см. формулы
(3.38), (5.40) и т. д. для аналогичных преобразований):
cov [N^] = cov [Q-1 Nft] = Е [Q 1 Nh (Q-1 N JT] =
= Q1 E [Nft Nj ] Q = Q ' cov [Nft] Q « 4ЕШ1П A. (6.29)
Теперь с учетом выражения (5.52) для ковариационной матрицы
вектора весовых коэффициентов, записанного в системе коорди-
нат главных осей, получаем
cov [VJ1 = -у (A - jiA2) 1 cov [Nj] ж |4тнЛл - нА2) 1 А. (6.30)
В практических случаях элементы матрицы цА обычно много
меньше 1, поэтому, пренебрегая членом цА2, упрощаем выраже-
ние (6.30):
cov [vj] « ц£га1п А"1 А « ц£т1п I. (6.31)
Таким образом, переходя к исходной системе координат, получа-
ем приближенную установившуюся составляющую шума вектора
весовых коэффициентов:
cov [VJ = Q cov [vj] Q1 = pUm QIQ ' ~ BUm I- (6-32)
В [6] можно найти дальнейшее исследование ковариационной
матрицы cov[Vfe], проведенное при меньших ограничениях (для
104
нестационарных сигналов), чем при выводе формулы (6.32). В
примере на рис. 6.3 параметр р равен 0,1 и 0,05, a gmin — пример-
но 0,4. Следовательно, диагональные элементы cov [Vh] равны
0,04 и 0,02 для верхней и нижней кривых соответственно. Эти зна-
чения соответствуют среднеквадратическим отклонениям весовых
коэффициентов 0,2 и 0,14.
Относительное среднее значение СКО
Напомним, что в соответствии с (5.96) относительное среднее
значение СКО адаптивного процесса определяется отношением
среднего значения СКО к ее минимальному значению и поэтому
характеризует степень приближения хода адаптивного процесса
к винеровскому, т. е. его адаптивные свойства. Среднее значение
СКО показано на рис. 5.3, и в соответствии с (5.60)
среднее значение СКО =E[V*TAVj. (6.33)
Если вектор V/; имеет L+1 элементов, а матрица А является диа-
гональной, то (6.33) можно выразить в виде суммы:
среднее значение СКО = S Е I Vnk ]• (6.34)
п=0
Полагая, что переходный процесс, связанный с адаптацией, за-
кончен и, следовательно, квадрат ошибки близок к минимально-
му значению, можно считать, что E[v'2n/i] в (6.34) является эле-
ментом cov в (6.31). Тогда, подставляя (6.31) в (6.34), по-
лучаем приближенное равенство
L
среднее значение СКО ж p£mln Ур-п ~ M^min tr [R]. (6.35)
n=0
Отсюда можно вычислить введенное выше относительное среднее
значение ошибки
М = среднее значение СКО fr [R]
omln
Для примера, приведенного на рис. 6.3, значения параметра р
равны 0,1 и 0,05, а след матрицы R в соответствии с (6.16) равен
1,02, поэтому
.. Г 0,1 для верхней кривой;
М та 1 (о.о/)
1.0,05 для нижней кривой.
Из (6.36) видно, что М прямо пропорционально параметру р„
т. е. связано со скоростью адаптации. Для более отчетливого
представления этой взаимосвязи напомним, что постоянная вре-
мени /?-й составляющей обучающей кривой
(тско)п =1/4 рЛп- (6.38)
105
Отсюда следует, что
tr[R]-s >„=--s l/(HcKo)n = ^L(l/Wcp- (6.39)
n=0 n=0 4!1
Подставляя это выражение в (6.36), имеем
Мл;А±1(1/тсКО)ор. (6.40)
В частном случае, когда собственные значения равны между со-
бой, выражение (6.40) упрощается:
Мае (L + 1)/4тсК0. (6.41)
Экспериментальные исследования показывают, что это выра-
жение является хорошим приближением для соотношения меж-
ду относительным средним значением СКО, постоянной времени
обучающей кривой и числом весовых коэффициентов даже тогда,
когда собственные значения не равны между собой. Подобное со-
отношение полезно при разработке адаптивных систем в случаях,
когда неизвестны собственные значения.
Поскольку след матрицы R равен общей мощности входных
сигналов, просуммированных с весовыми коэффициентами, и
обычно его значение известно, для выбора значения параметра ц,
при котором М принимает требуемое значение, можно восполь-
зоваться формулой (6.36). Общее выражение для постоянной вре-
мени обучающей кривой при равных собственных значениях мож-
но получить, приравняв формулы (6.36) и (6.41):
TCKO^(Z. + l)/4ptr[R]. (6.42)
Это выражение является также хорошим приближением во мно-
гих случаях, когда собственные значения матрицы R не равны.
Поскольку переходные процессы, связанные с адаптацией, за-
канчиваются или устанавливаются за период, примерно равный
четырем постоянным времени, из (6.41) можно сделать следую-
щий вывод:
при равных собственных значениях относительное среднее
значение СКО равно числу весовых коэффициентов, делен-
ному на время установления.
Удовлетворительной работы системы во многих случаях можно
достичь с относительным среднием значением СКО, равным 10%,
при времени адаптации, равном десятикратному интервалу време-
ни задержки сигнала в адаптивном трансверсальном фильтре.
Сравнение характеристик
Ранее отмечалось, что алгоритм наименьших квадратов отли-
чается от рассмотренных в гл. 4 и 5 алгоритмов прежде всего-
способом оценки градиента V/. на каждом временном шаге. В
действительности в этом алгоритме используется дополнительная
априорная информация — что рабочая функция является квадра-
106
Параметры
Таблица 6.1
Метод наискорейшего
спуска
Метод наименьших
квадратов
Относительное среднее значение
СКО м
Относительное приращение Р
Коэффициент, характеризующий
относительную точность оценки
параметра, Л40бщ
Постоянная времени п-й состав-
ляющей:
число итераций тско
число отсчетов данных Тско
Ц (^- + ]) _
4дг §2
S2^cp/£mln
М + Р
1/4цХп
N (L -4- l)/2pAyi
и. tr R =
L4-1
(’^CKolcp
l/4uXn
1/4рХп
тичной. Алгоритм наименьших квадратов имеет преимущество
перед рассмотренными ранее алгоритмами, в которых использует-
ся разностный метод оценки градиента Vк.
Преимущества метода наименьших квадратов перед рассмот-
ренным в гл. 4 и 5 методом наискорейшего спуска хорошо видны
из сравнения приведенных в табл. 6.1 выражений для относитель-
ного среднего значения СКО и постоянной времени.
В табл. 6.1 даны полученные соотношения (5.16), (5.86) —
(5.88), (5.99), (5.106), (6.20) и (6.40). Очевидно, что в обоих
случаях относительное среднее значение СКО уменьшается при
медленной адаптации, т. е. при увеличении постоянной времени.
Однако для метода наименьших квадратов при фиксированном
Рис. 6.6. Зависимость пос-
тоянной времени адаптации
от числа весовых коэффи-
циентов для методов папс-
корейшего спуска и наи-
меньших квадратов
107
значении постоянной времени оно растет в зависимости от числа
весовых коэффициентов линейно, а не по квадратичному закону.
В этом случае, как правило, можно реализовать более быструю
адаптацию.
На рис. 6.6 показана еще одна сравнительная характеристика
обоих алгоритмов, которая представляет собой зависимость по-
стоянной времени адаптации Тско от числа весовых коэффициен-
тов. Для сравнения относительное среднее значение СКО для ме-
тода наименьших квадратов принято 10%. Для метода наискорей-
шего спуска значение коэффициента М также принято 10%, а от-
носительное приращение Р выбрано в соответствии с (5.109).
Кроме того, предполагаются равными собственные значения мат-
рицы R. Из табл. 6.1 получаем следующие выражения для кри-
вых на рис. 6.6:
для метода наискорейшего спуска Тско = = 50 (L + I)2;
(6.43)
для метода наименьших квадратов Тско = ““ = 2,5(L + 1).
Из рис. 6.6 видно, что метод наименьших квадратов обладает,
меньшим временем адаптации, особенно при большом числе весо-
вых коэффициентов.
В гл. 5 найдена постоянная времени адаптации при использо-
вании метода наискорейшего спуска в адаптивном фильтре с
десятью весовыми коэффициентами Л4общ=10% при оптимизиро-
ванном значении Р. Эта постоянная определяется соотношением
(5.110) и равна 5000 отсчетов данных. При аналогичных расчетах
для метода наименьших квадратов получаем, что постоянная вре-
мени адаптации составляет лишь 25 отсчетов данных. Это значе-
ние намного лучше получаемого при адаптации с измерительным
каналом, вводимым для исключения приращений вектора весовых
коэффициентов, когда постоянная равна 625 отсчетам данных
(5.111). Поскольку переходные процессы, связанные с адаптаци-
ей, обычно заканчиваются в течение времени, приблизительно
равного четырем постоянным, время установления составляет при-
мерно 100 периодов или итераций.
В [5] показано, что если собственные значения матрицы R
равны или почти равны между собой, то эффективность метода
наименьших квадратов достигает теоретического предела для
адаптивных алгоритмов. Однако если собственные значения не
равны между собой, то относительное среднее значение СКО оп-
ределяется самой быстрой составляющей процесса адаптации, а
время установления ограничивается самой медленной. Для обес-
печения эффективности при таких условиях разработаны алго-
ритмы, аналогичные методу наименьших квадратов, но основан-
ные на методе Ньютона, а не на методе наискорейшего спуска. В
108
них сценка градиента на каждой итерации умножается слева на
обратную матрицу R.
Wt+^W^ + pR-'Vfe (6.44)
или
+ (6.45)
Это приводил к тому, что все составляющие адаптивного процес-
са имеют в основном одинаковую постоянную времени. Основан-
ные на этом принципе алгоритмы рассмотрены в гл. 8. Потенци-
ально они эффективнее, чем метод наименьших квадратов, но их,
как правило, сложнее реализовать.
Предприняты также попытки разработать более эффективные,
чем метод наименьших квадратов, алгоритмы за счет использова-
ния переменной постоянной времени, влияющей на значения пара-
метра [г. В этих алгоритмах для достижения быстрой сходимости
сначала выбирают большее значение параметра: после установле-
ния процесса минимизации относительного среднего значения
СКО берут мыле значения параметра. Этот метод реализуется
только тогда, когда входные сигналы являются стандартными слу-
чайными процессами.
Упражнения
1. Запишите алгоритм наименьших квадратов для отдельного весового ко-
эффициента адаптивного линейного сумматора с одним входом.
2. Каковы приемлемые пределы значения параметра п для адаптивного
линейного сумматора при мощности входного сигнала, равной р?
3. Напишите выражение для рабочей функции в системе координат глав-
ных осей на рис. 6.3.
4. Объясните, почему в методе наименьших квадратов постоянные времени
Тско н тско одинаковы.
5. Какова приближенная ковариационная матрица шума градиента в при-
мере па рис. 6.3 для случая, когда закончен переходный процесс, связанный с
адаптацией?
6. Чему равны собственные значения в примере на рис. 6.3?
7. Как изменятся минимальная СКО, ее относительное среднее значение и
обучающая кривая адаптивного линейного сумматора на рис. 6.2, если к нему
добавить третий весовой коэффициент?
8. Для схемы адаптивного подавления сигнала, представленной на ри-
сунке:
109
а) запишите выражения для рабочей функции;
б) определите область значений параметра ц;
в) найдите выражение алгоритма наименьших квадратов;
г) постройте на одном графике две обучающие кривые для р = 0,05 и р =
= 0,005 и нулевых начальных условий, аналогичные кривым, приведеным на
рис. 6.5. Оцените постоянные времени для обеих кривых.
9. Для адаптивного устройства предсказания, приведенного на рисунке;
а) запишите выражение рабочей функции при заданной фхх(л) =£,[xftX
б) запишите выражение рабочей функции для случая, когда x;i = sin(fen/5);
в) запишите формулу алгоритма наименьших квадратов для случая, когда
Xk = sin(6n/5), а параметр р. равен одной пятой максимального значения, оп-
ределяемого по (6.10);
г) используя формулу алгоритма наименьших квадратов, полученную в (в) ,
найдите 20 значений ошибки от ео до Eig, положив Wq=0.
10. Для устройства предсказания из упражнения 9 сформируйте 5000 от-
счетов входного сигнала при нулевых начальных условиях по формуле
xh = 0,95(rh—0,5) 4-0,05хл-1; k = 0, 1, ..., 4999,
где Гь — k-vL помер в случайной последовательности, приведенной в приложе-
нии А. Затем:
а) на основе полученных данных найдите корреляционную матрицу вход-
ного сигнала R;
б) в соответствии с (6.21) выберите параметр р, при котором постоянная
времени усредненной обучающей кривой равна 1000 отсчетов данных;
в) постройте зависимость первых 5000 значений весовых коэффициентов wOk
и от k для метода наименьших квадратов с полученным в (б) парамет-
ром р;
г) постройте обучающую кривую, аналогичную кривой, приведенной на
рис. 6.5.
110
Глава 7
ПРИМЕНЕНИЕ /-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В АДАПТИВНОЙ
ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ
В предшествующих главах рассмотрены адаптивный линей-
ный сумматор и его свойства без применения обычного преобра-
зования, или анализа в частной области, которым пользуются для
линейных систем [1—4]. В данной главе приведен обзор некото-
рых стандартах понятий и методов цифровой обработки сигна-
лов и показано, как применять их к анализу линейных адаптив-
ных фильтров.
В частности, представлен метод ^-преобразования в анализе
цифровых систем и показано соотношение между г-преобразова-
нием и частотной характеристикой (коэффициентом передачи и
сдвигом фаз) системы. Кроме того, рассмотрены с помощью г-пре-
образования метод наименьших квадратов и рабочая функция для
этого метода. По цифровой обработке сигналов имеется много ис-
черпывающих книг [1—4, 7—9], поэтому материал излагается
кратко.
Для адаптивного линейного сумматора представления, излага-
емые в данной главе, дают лишь другой взгляд на разработку и
анализ адаптивных систем. В то же время для других видов адап-
тивных фильтров, например для рекурсивных, рассматриваемые
здесь методы преобразований являются необходимыми.
^-преобразование
Как следует из изложенного выше, при анализе таких систем
обработки сигналов, как адаптивный линейный сумматор, исполь-
зуются множества отсчетов, т. е. упорядоченные последовательно-
сти отсчетов. Они состоят из различных временных рядов, а имен-
но, входного и полезного сигналов и сигнала ошибки, а также зна-
чений весовых коэффициентов.
Для любой такой последовательности г-преобразование опре-
деляется следующим образом
[Xft] = [...%_! Х0ХхХ2Х3 ...]- последовательность данных,
°° (7.1)
X (г) = 2 xk z~k — z-преобразование.
—Оо
Здесь z представляет собой непрерывную комплексную перемен-
ную, a X(z) называют двусторонним ^-преобразованием, так как
индекс k может принимать как отрицательные, так и положитель-
ные значения. В самом деле, для получения X(z) необходимо
знать xh для всех целых значений k. Поэтому, просто полагая,
что для всех отрицательных k значения %ь = 0, получаем односто-
роннее преобразование.
111
Рис. 7.1. Отсчеты функции
Xk = &~ah и ее z-преобразо-
вание, для которого нуль
находится в точке z=0, а
полюс — в точке г=е-«
В качестве простого примера ^-преобразования рассмотрим
отсчеты [хь] экспоненциальной функции
[О, /г <0; /7
xk = { (7.2)
(е—ак, аД>0.
Тогда z-преобразование есть простая рациональная функция от
а и z, показанная на рис. 7.1. Поскольку Хй = 0 для отрицатель-
ных k, в данном случае имеем одностороннее z-преобразование.
Это преобразование имеет нуль (т. е. равно нулю) в точке z = 0 и
полюс (т. е. становится бесконечным) в точке z = e_“.
Как и для примера на рис. 7.1, бесконечную (или даже конеч-
ную) геометрическую сумму всегда можно записать в виде рацио-
нальной функции, поэтому z-преобразование позволяет простым
способом выразить многие последовательности отсчетов. Таблицы
z-преобразований можно найти в [4].
Отметим также, что в z-преобразовании содержится вся ин-
формация об исходной последовательности отсчетов. Каждый от-
счет в (7.1) связан с единичной мощностью переменной z, поэто-
му по z-преобразованию можно полностью восстановить множест-
во отсчетов. Иными словами, существует обратное z-преобразова-
ние, которое будет рассмотрено далее.
Право- и левосторонние последовательности
Последовательность отсчетов в (7.2) является правосторон-
ней, так как сигнал начинается при /г == 0 и строится вправо по
мере увеличения k. Левосторонняя последовательность строится
от k = 0 влево по мере уменьшения k, а двусторонняя последова-
тельность направлена в обе стороны от /г = 0. В соответствии с
(7.1) можно найти преобразование для всех последовательностей,
но области значений z, для которых (7.1) сходится, при этом раз-
личны. Рассмотрим следующие примеры:
112
Последовательность отсчетов
z-преобразование
xh = e~ak; fe>0,
xh = еа/г; k 0,
а> 0;
a> 0;
2 (e~az~')k = -
fc=O
0
2 (eaz~1)fe =
z
z — e~a ’
1
1 - ze~a
xk = cosafe; fe^O.
“ < ь г (z—cos a)
2 cos a kz'- =--------------.
t.=0 z2 — 2z cos a + 1
Отметим, что в первом примере сумма сходится только тогда,
когда | z| >е-“, так что слагаемые ряда убывают с ростом fe. Ана-
логично второе преобразование сходится только тогда, когда
|z| <е“, а третье преобразование1 — если |z| >1. Таким обра-
зом, для право- и левосторонних последовательностей справедли-
вы следующие правила:
Если Xk—левосторонняя последовательность, то преобразо-
вание X (z) сходится при |z|<l, а его полюсы расположе-
ны на границе или вне области |z| = l. Если — правосто-
ронняя последовательность, то преобразование X (z) сходит-
ся при | z| > 1, а его полюсы расположены на границе и тп
внутри области lz|=l.
Эти правила являются общими и не дают точной области сходи-
мости X(z) на z-плоскости2. Например, в случае xfe=e-aft при
fe^O область сходимости зависит от а, но всегда включает об-
ласть вне единичного круга, определяемую неравенством | z|> 1
Для всех последовательностей полагаем, что отсчеты [.Г/,] явля-
ются конечными и остаются ограниченными по мере увеличе-
ния |fe|.
Существуют случаи, например для рассматриваемых в этой гла-
ве корреляционных функций или некаузальных фильтров (см. гл.
10), когда желательно иметь преобразование двусторонней после-
довательности даже если область сходимости вообще не существует.
Обычно в этих случаях удобно или не суммировать двусторонние
ряды, как это сделано в (7.70), или же рассматривать отдельно
право- и левостороннюю составляющие всей последовательности
(см. гл. 10). Например, преобразование x/t = cosafe для fe<0 рав-
но взятому с обратным знаком преобразованию из предыдущего
примера3, в котором .rft = cosafe для fe^O, но обе области сходи-
мости не пересекаются. Поэтому полного двустороннего z-преоб-
разования не существует несмотря на то, что всю последователь-
ность можно в соответствии с (7.70) представить двусторонним
рядом.
1 Сумму третьего ряда можно найти, если записать cos afe= (e3all-|-e--’“',)/2,
а затем просуммировать геометрические ряды.
2 Комплексная z-плоскость содержит точки, абсциссы и ординаты которых
являются действительными и мнимыми частями z. Каждое значение z соответ-
ствует точке на z-плоскости.
3 Это преобразование можно видсоизменить, просуммировав оба ряда.
113
Передаточные функции
Понятие передаточной функции является общим для анализа
как непрерывных, так и цифровых линейных систем. Передаточ-
ная функция равна отношению преобразования выходного сигна-
ла системы к преобразованию входного. Для анализа непрерыв-
ных систем используют преобразование Лапласа, а цифровых —
z-преобразование.
Общий вид линейной цифровой системы (или алгоритма) об-
работки сигналов приведен на рис. 7.2. Сравнение этой схемы со
схемой на рис. 2.2 показывает, что если в цепи обратной связи
положить коэффициенты b равными нулю, то схема на рис. 7.2
преобразуется в адаптивный линейный сумматор с одним входом.
На рис. 7.2 весовые коэффициенты показаны без стрелок, по-
скольку в данном случае важно показать, что они имеются в схе-
ме, а не то, что их можно корректировать. 1
Таким образом, на рис. 7.2 представлен общий вид линейного
сумматора с одним входом, или цифрового фильтра. При отсутст-
вии обратной связи такой фильтр называется нерекурсивным, при
наличии обратной связи — рекурсивным. В обоих случаях выра-
жение для выходного сигнала
L L
yk= S ап Xk-n + s ьп yk_n. (7.3)
п=0 п=1
При нулевых коэффициентах b имеем выражение, аналогичное
(2.3), т. е. нерекурсивный алгоритм. Кроме того, этот фильтр яв-
Рис. 7.2. Эквивалентные схемы алгоритмов цифровой обработки сигналов
1 Когда происходит процесс адаптации весовых коэффициентов, фильтр е
изменяющимися во времени параметрами не имеет передаточной функции. Она
существует при фиксированных весовых коэффициентах.
114
ляется каузальным, так как коэффициенты ап ненулевые для всех
положительных п.
Для получения передаточной функции найдем z-преобразова-
ние выражения (7.3):
K(z) = S S anxk_nz~k + S SMfe-nZ~*. (7.4)
k=—со п=0 k=-~°° П=\
Если необходимо найти выражение для правой части в виде
2-преобразований, то нужно задать коэффициенты ап и Ьп для
всех значений п. Как предполагалось выше, для этого следует
приравнять нулю коэффициенты ап и Ьп для тех значений п, ко-
торые соответствуют позициям «вне фильтра» на рис. 7.2. Таким
образом,
[ап] = 1... 000^ ... aL000 ...],
[М = [... 000&J ... йьООО ...]. V ’
Теперь можно записать (7.4) с бесконечными пределами сум-
мирования, изменив порядок суммирования:
K(z)= 2 ап S xk~nz~k + S ьп S Ук-пг~к. (7.6)
П=—со /?= ОО П =—СО k=~ ОО
Далее, правую часть можно переписать в виде z-преобразова-
ний, просто изменяя индексы. Если положить m — k—п, то преде-
лы суммирования по-прежнему остаются бесконечными, и (7.6)
принимает вид
/со \ / 00 \/°° \ / оо \
У(г)= S S xmz-m +( S Kz-n Н 2 =
\м=—оо / \ т——со ' \п=—оо / \т~—со /
= A(z)X(z) + Y(z)B(z). (7.7)
Как отмечалось, передаточная функция равна отношению z-
преобразования выходного сигнала Y (z) к ^-преобразованию
входного сигнала X(z). Поэтому из (7.7) имеем
передаточная функция = Н (z) = Y(z)]X (г) = A (z)/(l — В (г)). (7.8)
Таким образом, для нерекурсивного алгоритма при £>(z)=0
имеем Г (2) =А (z)X(z).
Частотный отклик
Простая замена г на е^'ш, где со — нормированная частота1,
позволяет получить дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
для определяемого ниже по (7.22) импульсного отклика, т. е. по-
лучить по передаточной функции частотный отклик линейного
1 Эта частота нормирована таким образом, что и = 2л. Следует иметь в
виду, что некоторые авторы обозначают через ы ненормированную частоту, для
которой вводится временной интервал Т, как это сделано в (7.16).
115
фильтра. Чтобы показать это, разделим сначала Д(г) в (7.8) на
l-B(z):
Н (г) = 5 hn z~" = А (z)/(l - В (ф). (7.9)
п=0
Отметим, что здесь hn=£0 только для положительных п, посколь-
ку а„#=0 только для положительных п. Таким образом, любой
каузальный рекурсивный фильтр эквивалентен каузальному не-
рекурсивному фильтру бесконечной длины. Из (7.3) и (7.9)
Ук = S хк-п- (7.Ю)
п=0
Соотношение (7.10) также описывает каузальный линейный
фильтр.
Для нахождения частотного отклика фильтра, заданного в
(7.10) множеством коэффициентов [Лд], предположим, что [ац]
является множеством отсчетов синусоиды с единичной амплитудой
и некоторой заданной частотой со, и затем вычислим [f/д]. При
этом
xk^&"yk. (7.11)
Тогда в (7.10) имеем
t/ft е/“(f 2 hn e-/“"\r;!. (7.12)
0=0 \n=0 /
Поскольку для получения синусоиды ук синусоида хк умно-
жается на величину, стоящую в скобках, эта величина должна
быть частотным откликом фильтра, т. е. определять коэффициент
передачи и фазовый сдвиг на частоте to.
Но величину, стоящую в скобках, можно получить подстанов-
кой в (7.8) или (7.9) е-ю вместо z. Поэтому для любого линейно-
го фильтра типа фильтра, представленного на рис. 5.2, имеем
частотный отклик = Y (е/°’)/Х (е/“) = А (ел°)/[1 — В (е'"1)]. (7.13)
Из (7.13) видно, что частотный отклик является периодической
функцией со, поскольку e>> не изменяется при увеличении со на лю-
бую величину, кратную 2л. Более того, если вместо со подставить
2л—со, то
е/ (2Л-С0) _ е—/су (7.14)
Поскольку коэффициенты A(z) и В (z) являются действи-
тельными числами, имеем
у (е/(2л-ш)^^ (е/<2л-ь>) = у (е-пф/Х (е-/“). (7.15)
Поэтому передаточная функция К/Х определяется только для
О^соСл. Эта частотная область называется интервалом Найк-
виста, причем частота со = л называется центральной частотой, а
частота отсчетов со = 2л. При необходимости записи хк в (7.11)
116
в виде функции времени, а не в виде зависимости от номера от-
счета k полагаем
£0 = от’ = 2л/ Т, (7.16)
где Q — частота, рад/Гц; f — частота, Гц; Т — временной шаг (ин-
тервал между отсчетами), с, так что в показателе экспоненты по-
является величина i = kT. Далее, па частоте л,1Т рад/с или 1/27 Гц,
находится центральная частота, равная половине частоты отсчета.
Конкретный пример частотного отклика приведен на рис. 7.3.
Здесь передаточная функция
Н (г) = Y (z)!X (г) = 0,27 (z2 + 1)/(г2 - 1,27г Ч-0,81). (7.17)
Частотный отклик в этом случае
Н(е/Д = 0,27(е2/ю+ l)/(e2'K- 1,27 е/“ + 0,81) =
= 0,54 cos® (1,81 cos® — 1,27 - j 0,19 sin w)/[(l,81 cos w — 1,27)2 +
+ (0,19 sin w)2]. (7,18)
Амплитуда и фаза частотного отклика Н (е-'ю) называются ко-
эффициентом передачи по амплитуде и фазовым сдвигом фильтра.
Из (7.18) имеем
Н (е/“) Re + j Im;
коэффициент передачи по амплитуде = |Я (е/ш)| = [Re2 + Im2]I/2 ;
фазовый сдвиг = tg-1 (Im/Re). (7.19)
Рис. 7.3. Пример частотного отклика цифрового фильтра:
а) схема фильтра; б) частотный отклик; в) полюса и нули на z-плоскости
117
(е'“)|2 = Re2 + Im2;
(7.20)
Для данного примера на рис. 7.3 построены зависимости ко-
эффициента передачи по амплитуде и фазового сдвига. Помимо
коэффициента передачи по амплитуде применяют коэффициент
передачи по мощности, который равен квадрату коэффициента
передачи по амплитуде и иногда задается в децибелах. Таким
образом,
коэффициент передачи по мощности = \Н
фазовый сдвиг (дБ) = 10log10 |Я(е>“)|2.
На рис. 7.3 также показано влияние полюсов и нулей функции
H(z) на коэффициент передачи и фазовый сдвиг. Для получения
частотного отклика в (7.13) принято г = и поэтому при из-
менении со от 0 до центральной частоты (л) переменная z совер-
шает движение по верхней половине круга единичного радиуса
на z-плоскости. Когда со принимает такое значение, что z нахо-
дится около полюса, коэффициент передачи является большим,
как это имеет место при со=л/2 на рис. 7.3. При прохождении
z вблизи или через полюс или нуль на окружности единичного
радиуса фазовая характеристика, как показано на рис. 7.3, рез-
ке изменяется.
Импульсная характеристика и устойчивость
Предположим, что на выходе системы имеется множество от-
счетов импульсов, состоящее из одного единичного отсчета при
k=Q, т. е.
[хй] = [...00100 ...]. (7.21)
По определению (7.1) z-преобразование единичного импульса
X(z) = 1.
Поэтому, если является входным сигналом фильтра с пере-
даточной функцией Н (z), то, как следует из (7.8), и выходной
сигнал должен представлять собой последовательность, z-преоб-
разование которой равно И (г):
импульсный отклик = Z-1 [Н (z)l, (7.22)
где Z~l обозначает обратное z-преобразование.
На основании (7.22) можно утверждать, что такие нерекур-
сивные цифровые фильтры, как адаптивный линейный сумматор,
сами по себе являются устойчивыми, поскольку весовые коэффи-
циенты принимают конечные значения, импульсная характери-
стика ограничена по амплитуде и по длительности.
С другой стороны, как следует из (7.10), рекурсивные фильт-
ры обладают импульсной характеристикой бесконечной длины.
Каузальный рекурсивный фильтр является устойчивым только
тогда, когда полюсы передаточной функции находятся внутри ок-
ружности единичного радиуса, как показано на рис. 5.3. Опреде-
лить устойчивость можно следующим образом. Пусть передаточ-
118
ная функция Н (г) равна в соответствии с (7.8) отношению поли-
номов от г-1. Если представить Н(г) в виде суммы дробных функ-
ций, то Н(г) будет содержать члены вида г-п/(1—zoz-1), где го—
точка полюса. Таким образом, можно записать
Я(г) =----+ G(z), (7.23)
1 — г0 г
где G (г)—остаток Я(г); А — константа. Поскольку входной сиг-
нал начинается при & = 0, ясно, что отклик (т. е. обратное пре-
образование) должен быть правосторонней последовательностью.
Следовательно, первый член в (7.23) можно выразить в виде пра-
востороннего ряда и записать
//(г) = Д£ г^ пг к-. G(z). (7.24)
k=n
Отсюда импульсная характеристика
hk = Z~> [Н(z)J = + Z-1 [G(z)]J k^n. (7.25)
Хотя в общем случае точка полюса го является комплексным чи-
слом, очевидно, что импульсная характеристика растет ограничен-
но, пока модуль го меньше 1, т. е. пока го находится внутри ок-
ружности единичного радиуса. (Примем, по определению, что
фильтр, полюс которого находится на окружности единичного ра-
диуса, является «условно1» устойчивым.)
Подводя итоги этого раздела, запишем результаты для фильт-
ров конечной длины в виде таблицы:
Фильтр Ымпульсная характеристика Условие устойчивости
Нерекурсивный Рекурсивный Конечная (КИХ) Бесконечная (БИХ) Конечные коэффициенты Конечные коэффициенты; полюсы распо- ложены внутри круга |z| = l для кау- зального фильтра
Термин «бесконечная», как и в (7.10) или (7.25) означает беско-
нечная по протяженности, а сокращения КИХ и БИХ часто ис-
пользуют для определения этих двух классов фильтров.
Обратное z-преобразование
Из (7.24) и (7.25) следует, что обратное z-преобразованис лю-
бой рациональной функции можно найти, если разложить дробь
и преобразовать ее в геометрический ряд. Однако для анализа
систем с помощью методов наименьших квадратов требуется бо-
лее удобная форма обратного преобразования. Такая форма из-
119
вестна в области теории функций комплексной переменной и оп-
ределяется выражением
xh = — $ X (?) z*~' dz. (7.26)
2л/
Здесь принято, что замкнутый контур интегрирования представ-
ляет собой окружность с центром в начале координат z-плоско-
сти, к которому сходится X(z) в (7.1).
Справедливость равенства (7.26) легко доказать, подставив в
(7.1) прямое преобразование. Тогда
1 ОО ОО |
= f s xnzk-n~xdz = S $Xnz^-'dz. (7.27)
2л/ ' „=_«> n=-oo 2л/
Из теоремы Коши [5] получаем следующий общий результат:
~---xzmdz= 1°' (7.28)
2л/ [1, т = - 1.
В (7.27) хп — константа, поэтому ненулевым является только
один член суммы при n=k, и этот член равен хъ- Таким образом,
(7.27) переходит в тождество, что доказывает справедливость ра-
венства (7.26).
Полезно также отметить, что подстановка
z — е/и (7.29)
в (7.26) дает обратное преобразование частоты. Эта подстановка
приводит к тому, что dz заменяется на jzda, и в качестве замкну-
того контура интегрирования можно взять путь по окружности
единичного радиуса от точки z=e~in до точки (т. е. один
оборот по окружности). Следовательно, (7.26) принимает вид
xft = j X (е’:") eika> d(£>, (7.30)
а множество отсчетов представлено здесь в виде спектральной
функции Х(е-'“). По существу, это формула обратного преобразо-
вания Фурье.
Перейдем теперь к практическому вычислению интегралов ви-
да (7.26), или, что то же самое (7.30). Если X(z) —полином от г,
то в (7.26) xh является просто одним из коэффициентов полино-
ма. зависящим от индекса k. Однако если X (z) является отноше-
нием полиномов, то необходимо воспользоваться теоремой об ос-
татках [10], в которой утверждается, что
xft = ——у X (z) zk-' dz = S Res [X (z) zk~l в точке zn], (7.31)
2л/ ’ n
т. e. xft представляет собой сумму значений остатков подынтег-
ральной функции во всех полюсах, находящихся внутри контура
интегрирования. Положим, что X(z)zft~I — рациональная функ-
120
ция z, тогда каждый из этих остатков находится следующим об-
разом. Пусть гп — полюс X(z)zh~', входящий г раз. Запишем
X (z) zfe 1 = V (z)/(z - zny (7.32)
и остаток в точке zn:
Res [X (z) z'; в zn] =
df~1 V (г) I
dz''-1 У=гп ’
(7.33)
При r= 1 для простого полюса
Res [X (z) z"-1 в zn\ = V (zn). (7.34)
Таким образом, используя соотношения (7.31) — (7.34), получаем
способ вычисления обратного преобразования для рациональной
функции z. (Отметим, что в (7.31) при й=0 обычно существует
дополнительный полюс в точке z=0.)
Для иллюстрации этого способа снова рассмотрим пример,
приведенный на рис. 7.1. Здесь для хь, заданных при X(z) =
= z/(z—е“); тогда (7.31) принимает вид
xh- ~ | A (z) z^dz^
2л/ ‘
1
2л/
z-dz- = Res
(7.35)
Поскольку в данном случае имеем простой полюс, можно вос-
пользоваться выражением (7.34):
xh = V (ев) = е~ак , k > О,
(7.36)
как показано на рис. 5.1. Отметим, что область значений индекса
k, для которой существует обратное преобразование, не опреде-
ляется интегральной формулой и, следовательно, должна быть
задана.
В предыдущем примере ^^0, и последовательность яв-
ляется правосторонней. Для левосторонних последовательностей
наличие множителя z'1 в (7.26) затрудняет применение формулы
(7.33) при вычислении остатка в точке z=Q. Наиболее простым
способом вычисления в этом случае является подстановка в фор-
мулы (7.1) и (7.26) для прямого и обратного преобразований пе-
ременной u = z~'. Такая подстановка изменяет любую последова-
тельность на противоположную с точки зрения понятия право- и
левосторонней последовательностей. Например, преобразование
последовательности Х]1 = еак при /г'СО при введении переменной
и имеет вид и/(и—е~"), а обратное преобразование можно найти
из соотношений (7.35), (7.36). Другие примеры вычислений при-
ведены в упражнениях 16—18, 26, 27.
Корреляционные функции и энергетические спектры
В большинстве случаев при анализе адаптивных фильтров
предполагают, что входные сигналы обладают неизменными за
121
период анализа статистическими свойствами (даже если это не
совсем так). Поэтому целесообразно рассмотреть сигналы, кото-
рые являются либо периодическими, либо стационарными слу-
чайными последовательностями отсчетов. Свойства таких сигна-
лов можно описывать с помощью корреляционных функций, ко-
торые для адаптивного линейного сумматора с одним входом оп-
ределяются по аналогии с выражениями (2.11) и (2.12):
взаимокорреляционная функция сржУ (п) = Е [xh укц.п], (7.37)
автокорреляционная функция (n) = Е [xh xk±n], — oo <; n < oo.
(7.38)
Здесь математическое ожидание находится по k. Отметим также,
что автокорреляционная функция является частным случаем более
общей взаимокорреляционной функции при х=у в (7.38). Если
средние значения не зависят от k, то хкун+п и хн-пУь представля-
ют собой один и тот же относительный сдвиг между х и у, и
<PVx («) = £ Wk *k+n] = Е [yk_n xk] = фху (- n). (7.39)
Таким образом, автокорреляционная функция является четной
функцией, т. е.
Фхх («) = Фхх (- «)• (7.40)
Введем теперь определение* дискретного энергетического спектра
в виде ^-преобразования обеих корреляционных функций (7.37)
(7.38). Тогда
оо
взаимный энергетический спектр ФжУ (г) — 2 Фхг/ (n) z~~n’ (7.41)
п=—ОО
энергетический спектр Фхх(г) = 2 Фхл(и) z~n. (7.42)
—oo
Отметим, что Фжж(г) —здесь также лишь частный случай функ-
ции Фху(г) при у—х. Аналогично тому, как это сделано выше в
разделе, посвященном рассмотрению частотного отклика, можно
вместо z подставить eJ'ra и получить выражение для энергетичес-
кого спектра в терминах частоты:
оо
ФхУ(е,<й)= S фжУ(”)е~/пш- (7-43)
— оо
Эта запись по существу представляет собой дискретное преобра-
зование Фурье функции фЖ!/(п), задающее распределение про-
изведений отсчетов [хьУь+п] по частоте, где, как и ранее, <о = л
при половине скорости отсчета.
Важным свойством, следующим из (7.39), является свойство
симметрии энергетического спектра. При перестановке местами
122
сигналов х и у имеем соответствующую перестановку по времени
в (7.39):
оо оо
Фух (г) = 2 ФхИ - «) г-п = 2 Фху И zm = Фжу (г-1). (7.44).
п=—оо т=~ оо
Здесь подстановка z~* вместо z означает комплексное сопряже-
ние, если z находится на окружности единичного радиуса, что
всегда справедливо при рассмотрении частотной характеристики.
Рассмотрим теперь соотношение между энергетическими спек-
трами и передаточными функциями. Положим, что и [xb]
связаны некоторой линейной передаточной функцией H(z), как
показано на рис. 7.4, что, в свою очередь, эквивалентно схеме на
рис. 7.2. Здесь Н (z) задана в виде (7.10), поэтому реальный
фильтр может быть как рекурсивным, так и нерекурсивным. Под-
ставляя (7.37) и (7.10) в (7.41), получаем
Ф» (z) = 2 Е I** 1/ft+J 2 " =
П=—оо
(7.45)
Поскольку математическое ожидание любой суммы равно со-
ответствующей сумме математических ожиданий, оператор Е в
(7.45) можно внести под знаки суммирования. Кроме того, меняя
порядок суммирования, получаем
Ф.ту (?) = s ht 2 Е [xh Хк+п-г] z~n.
1—0 п——оо
(7.46)
Далее, подставляя индекс т = п—I, находим искомое соотношение
для передаточной функции
оо оо
Ф.гУ (2) ~ S S Xfi+m] 2 т ~
/=0 т=—оо
оо оо
2 ht z-‘ 2 фд.х (m) z-m = Н (z) Фхж (z). (7.47)
Z=0 tn=—ОО
Проводя аналогичные преобразования, получаем следующее соот-
ношение между передаточными функциями Ф.хх и Фуу:
Фу у (z) = 2 Фху (n) z п — 2 Е [yh Уь+п] z п =
Л=—оо П=—оо
ОО Г ОО ОО
= 2 Е 2 xh—l 2 Xft+n—т
ft —— ОО 1=0 т—0
2~П
ОО ОО ОО
= 2 /й zz 2 hm z~m S E [xh_l xk+n-m] z-<«-«+z) =
1=^0 m=0 n=^—oo
OO oo oo
= 2 htzl 2 hmzm 2 ф^(п-т + /)г-('!-"1+й) =
/=0 0 n=—oo
= H (z->) H (г) Фяя (z) = \H (z)|2 ФХУ (z).
(7-48)
123
н (z) = £ л z z 1
I = о
Рис, 7.4. Схема, эквивалентная приве-
ук денной на рис. 7.2
Отметим, что в четвертом равенстве точки отсчетов последо-
вательности сдвинуты друг относительно друга на п—т-\-1 ша-
гов, поэтому математическое ожидание их произведения равно
Фжх(«—«+/). Далее, как в (7.46) и (7.47), окончательный резуль-
тат получен после замены индекса суммирования. При выводе
последнего соотношения сделано предположение, что z находится
на окружности единичного радиуса.
Положим теперь, что [dk] — некоторая последовательность
отсчетов, представляющая собой, как и последовательности [х/;]
и [уД, связанные равенством (7.10), стационарную случайную
последовательность. Тогда по аналогии с соотношениями (7.45) —
(7.47) можно вывести формулу взаимного спектра:
оо
ф,« (г) = S Е yh+n] z-n =
П=—ОО
оо оо
= S hl S 'Од (m) z~m = H (z) фйх (z)- (7.49)
/=0 m=—co
При замене в этих выражениях d на х получаем соотношение
(7.47).
Кроме того, чтобы выразить корреляционную функцию через
энергетический спектр, воспользуемся формулой обратного преоб-
разования (7.26). Поскольку ФХ1/ в (7.41) есть по определению
преобразование от срху, то из (7.26)
Е f/fe + nl = Ф.гу (^) = TTi <ф»(г) г"~ 'dz, (7.50)
Е •Vk+n) фах ('О “ ф-. ф и?' 2л/ dz. (7.51)
В частности, при « = 0
Е у А = ч>ху (°) = 1 d? = — ф фхг/ (X) — 2л/ г 5 (7.52)
Е [х|] = <рхж (0) = 1 - . . dz — ф фхх (г) — 2л/ v z (7.53)
Последнюю величину, равную среднеквадратическому значению
Xk, называют полной (средней) мощностью последовательности
[х,;]. Отметим, что в частотном представлении (7.53) эквивалентно
выражению
Л J фхх(е/ю)^, (7.54)
2я -л
так же, как (7.26) — выражению (7.30). Таким образом, мощ-
ность £[x2fe] равна интегралу от дискретного энергетического
спектра.
124
В заключение данного подраздела выпишем следующие основ-
ные соотношения:
Если х, у и d — стационарные сигналы и У(.г)=/7 (г)Х(г),
то при z, расположенном на окружности единичного радиуса,
(z) - Н (Z) (Z), (7.55)
Фау (г) - Н (г) Фйх (г), (7.56)
Фуг, (г) == \Н « Фхд (г), (7-57)
фх!/ («) = •$> ФлД (Z) г'г“' dz' (7.58)
£ <рд.д (0) = . (7.59)
Рабочая функция
В предыдущих главах, начиная с гл. 2, характеристики адап-
тивного линейного сумматора рассматривались с помощью рабо-
чей функции g, представляющей собой зависимость СКО от не-
которых параметров. Найдем теперь выражение для рабочей
функции через передаточную функцию адаптивной системы и энер-
гетический спектр сигнала.
Предположим, что имеется адаптивный трансверсальный фильтр
с одним входом. На рис. 7.5 представлены нерекурсивная систе-
ма с одним входом (т. е. адаптивный линейный сумматор с одним
входом), ранее приведенная на рис. 2.2, а также полезный выход-
ной сигнал dk и сигнал ошибки е,<. Опустим здесь в весовых ко-
эффициентах индекс k, поскольку динамические характеристики
рассматриваться не будут.
Рабочая функция нерекурсивной системы, т. е. зависимость
СКО от весовых коэффициентов определяется формулой (2.13)
Е = Ф(М (0) + WT RW — 2 Рт W,
где
W = [оу0 ... wl]t,
-Фл-.х(°) ФххП) Фх.х (2) 4P.VX (£)
<p,;.v (1) фДЛ- (0) ФхХ 0) •• Фхх(£— 1)
R= Фд.д.(2) Фхх(1) Фдд.(0) ... Фхж(А-2)
-ФххСО Фхх^-1) Фхх(£~2) - Фхх(0)
Р=[фи.х(0) Cprfx (- 1) - Фих(-^)1Т.
(7.60)
(7.61)
(7.62)
(7.63)
Здесь вместо используемого в гл. 2 обозначения математического
ожидания Е подставлена рассматриваемая в данной главе корре-
125
Рис. 7.5. Схема адаптивного трансверсального фильтра с одним входом
ляционная функция ф. Подставив (7.61) — (7.63) в (7.60), можно
выразить рабочую функцию через корреляционные функции:
? = Фл/(0)+ 2 2 wm <рхж (Z - т) - 2 2 йугфйх(-/). (7.64)
1—0 т=0 7=0
Имея выражение для рабочей функции нерекурсивной адап-
тивной системы, перейдем теперь к более общей схеме (рис. 7.6).
Полагаем, что передаточная функция Н(z) представляет собой
функцию цифрового фильтра, приведенного на рис. 7.2. Будем
считать в данном случае, что весовые коэффициенты (коэффици-
енты а и 6 на рис. 7.2) являются перестраиваемыми, поэтому g
является функцией этих весовых коэффициентов. Если все рекур-
сивные весовые коэффициенты (коэффициенты Ь) равны нулю, то
схемы на рис. 7.5 и 7.6 эквивалентны. Подставляя в (7.64) выра-
жения (7.56), (7.57) и (7.59), имеем
1 = Е [еЦ = Е [(4 - ук)2] = (0) + (0) - 2 ф,, (0) =
= 4W (0) + $ [Фо (г) - 2 (z)] = <pdd (0) +
2л/ ‘ г
+ (г-1) фхх (г) - 2 Фах (г)] Н (z) -|- . (7.65)
Это общее выражение для рабочей функции любой адаптивной
системы с одним входом.
Можно показать, что для нерекурсивного фильтра, т. е. для
адаптивного трансверсального фильтра, выражения (7.64) и (7.65)
эквивалентны. В обозначениях рис. 7.5 имеем
Н (z) = 2 wi z~l- (7.66)
1=0
Входной
сигнал
хк
Выходной
сигнал
Полезный
отклик
dk"
Сигнал
ошибки
Рис. 7.6. Схема адаптивно-
го фильтра с одним входом
126
.Подставляя это нерекурсивное соотношение в (7.65), получаем
Е = (°) =
2.тт/ •'
S Wt zl Фхх (г) - 2 Ф(/Х(г) 2
1=0 т=0
Wm Z~m
dz
z
L L
= Tdd (0) + s 2 Wl wm
/=0 m=0
f Фхх (z) z'-^-i dz
2л/ ‘
-2 2 Wm -1, ( Ф,/л- (г) z—1 dz
m=0 L2lT' ‘
~ Tdd (0) +
L L t
+ 2 2 WtWmVxx (I —tri} — 2 2 ( — tn).
1=0 m=0 m=°
(7.67)
Для вывода последнего выражения здесь использовано соотно-
шение (7.58). Таким образом, доказано, что (7.65) эквивалент-
но (7.64) для адаптивного линейного сумматора и является об-
щим выражением для рабочей функции адаптивной системы с
одним входом.
Примеры рабочих функций
В этом подразделе рассматриваются два примера рабочей
функции на основе соотношения (7.65). В качестве первого при-
мера возьмем адаптивный трансверсальный фильтр, приведенный
на рис. 2.6. В этой системе имеется два весовых коэффициента
w0 и Wi. Входной и полезный сигналы
xh = sin — и dh-2 cos . (7.68)
Корреляционные функции, определяемые по существу выражени-
ями (2.20) и (2.21),
(ti) = 0,5 cos ~ ;
Tdx («) = sin , -oo^rt^oo; (7.69)
ФаЛ (0) = 2.
Отсюда
H (z) = Wo + w-iZ-' ;
Фхх (z) = 0,5 £ cos ;
n=>—oo
<Ddx(z)= 2 sin^2’n- (7-7°)
n=— OO
Здесь важно то, что Ф.та и Ф<;ж записаны в виде сумм, поскольку
эти суммы не являются сходящимися рядами, как это было выше
в разделе, посвященном право- и левосторонним последователь-
ностям. В общем случае, когда корреляционная функция является
127
периодической, считают, что энергетический спектр равен нулю
всюду, за исключением единственной частоты, на которой он при-
нимает бесконечное значение, и точно представляется суммой
(7.70).
Подставляя (7.70) в (7.65), имеем рабочую функцию
E = Tdd (0) + —. )'
2 л,/
(®о
+ ^1 г) 0,5 2
2л«
COS --- z~
N
dz
z"+1
sin
2nra
COS ------
A'
/ , i, dz
(ui0 + w1z-') =
2- f )Ю2 + ЦУ2 + wo Wj. (z +
2л/ '
. 2л«
sin------
A'
X z->) -2^-j =2 + 0,5 (ш- + КУ“) ++) wt cos +
, n .2л
+ 2wt sin — .
(7.71)
Таким образом, снова получена рабочая функция (2.24), которая
для N = 5 отсчетов за период приведена на рис. 2.5. Отметим, что
эта функция является квадратичной по переменным w0 и и
обладает единственным глобальным минимумом.
В качестве второго примера рассмотрим систему, приведенную
на рис. 7.7. Она принадлежит к системам идентификации или мо-
делирования, в которых входной сигнал является широкопо-
лосным (в данном случае белым шумом) и подается одновремен-
но на входы адаптивного фильтра и идентифицируемой системы.
Полезный сигнал di. является выходным сигналом идентифициру-
емой системы, поэтому, когда минимизируется Е[е2/г], адаптивный
фильтр становится наилучшеп, возможной в пределах регулируе-
мых параметров, ее моделью. Отметим, что адаптивный фильтр,
Рис. 7.7. Примеры схемы рекурсивного адаптивного фильтра
-% S
2 л п
г
2
2
-2 S
2 л j “
128
представленный на рис. 7.2, при a^l, = w0 и b\ = wi, явля-
ется рекурсивным из-за наличия коэффициента обратной связи
Wi. На основании рис. 7.7 и в соответствии с (7.8) передаточная
функция этого адаптивного фильтра
н (z\ 1 +^ог~' = г + шо
? 1 - г”1 г - wi
Входную последовательность [xftJ на рис. 7.7 назовем белым
шумом и зададим следующие ее свойства:
п = 0,
Нек.оррелированныс отсчеты <рХЛ. («) = | п о
Постоянная мощность Фхх (г) = Е [ х%].
(7.72)
(7.73)
(7.74)
Отметим, что (7.74) следует из (7.73), так как Фжж является
^-преобразованием от фхж(/г) в соответствии с (7.42). Здесь для
простоты примем, что Фжж(г) =1.
При Фхж(г) = 1 можно найти Ф</Х(г) из выражений (7.55) и
(7.44), заменив в них индексы на индексы, соответствующие
рис. 7.7:
Фйх (г) = [(1 + 0,2г-1 + г-2) ФХА. «4_2-i = 1 + 0,2z + z2. (7.75)
Более того, из (7.59), (7.57) — (7.28)
<Pdd(0) = f 11 + 0,2г-1 + z~2j А- 2,04. (7.76)
2л/ • 2
Теперь, когда найдены все выражения, необходимые для вычис-
ления рабочей функции на основании (7.65), имеем
£ = 2,04 + —— ( [_L±_E£°£ -2(1 + 0,2 z + z2) ] г-±-^ (7.77)
2л/ ‘ [ 1 — wt г J г — w± г
В этом интеграле функция имеет полюсы в точках z = 0, z=W\ и
z=l/m1. Как отмечено выше, с точки зрения устойчивости коэф-
фициент Wi должен быть меньше 1, поэтому полюс 1/wi находится
вне круга единичного радиуса. В соответствии с (7.31) интеграл
в (7.77) равен сумме остатков в точках z=w> и z=0. Из (7.32) и
(7.34) находим
£ = 2,04 +
1 + ш0
1 — w'i
2(1+ 0,2 Wi + к.'2)
И>1 + ш0
Wi
WO
Wi
= 2,04 + _l±2^±fL _ 2J1 + (W1 + 0,2) (ffl.o + t^)]. (7.78)
1 — wf
В -первом равенстве второе слагаемое есть остаток при z=wi, а
третье слагаемое w0/wi равно остатку при z=0.
Итак, выражение (7.78) описывает рабочую функцию для вто-
рого примера, которая представлена на рис. 7.8. Отметим, что в
5—12 129
Рис. 7.8. Рабочая функция системы, при-
веденной на рис. 7.7
отличие от первого примера дан-
ная функция £ является квадра-
тичной по переменной w0, но не
является ни квадратичной, ни
унимодальной по переменной ищ
Таким образом, в общем случае
процесс адаптации по w0 являет-
ся непосредственным, а по —
нет. Выбор wI за пределами об-
ласти устойчивости приводит к
тому, что £ становится бесконеч-
ной. В автоматической системе
адаптации по wt возникают две
задачи: устойчивости адаптивно-
го алгоритма и устойчивости
фильтра, подвергающегося адап-
тации.
Упражнения
1. Найдите z-преобразование каждого из следующих сигналов, полагая,
что все они начинаются при k — 0:
а) импульсная функция — х0=1, хь=0; £>0;
б) ступенчатая функция — хь = 1, А>0.
в) экспоненциальная функция — Хъ. = е~ак, й>0.
г) линейная функция — xs=a£; £>0.
д) косинусоидальная функция — Хк = А cos(Zo^); &>0.
2. Выразите ¥(г) через X(z), если г/и=хл-п, т. е. у является сдвигом х.
(Теорема сдвига.)
3. Выразите Y(z) через F(z), если yk = e~ahFh.
4. Докажите, что z-преобразование от Axk равно AX(z).
5. Докажите, что z-преобразование от Xk+l/k равно X(z) + Y(z).
6. Для представленного на рисунке адаптивного линейного сумматора с
двумя весовыми коэффициентами:
а) найдите 7f(z);
б) запишите выражение для коэффициента передачи.
130
7. Для трансверсального фильтра, приведенного па рисунке, постройте за-
висимость коэффициента передачи от частоты для ®i = 0; 1; 10.
8. Для условий упражнения 7 постройте три кривых фазового сдвига.
9. Передаточная функция рекурсивной линейной системы имеет вид
г2+ 1
^(г) = 22 —УГг+ 1 ’
а) нарисуйте схему фильтра, аналогичную схеме на рис. 7.2;
б) постройте зависимости коэффициента передачи и. сдвига фаз от час-
тоты;
в) объясните характер кривых с точки зрения нулей и полюсов переда-
точной функции.
10. Для линейного сумматора, описанного в упражнении 7, постройте за-
висимость коэффициента передачи по мощности от частоты для Ш] = 1.
11. Для условий упражнения 7 запишите выражения для импульсного
отклика.
12. Для условий упражнения 9 запишите выражение для импульсного отк-
лика. Обратите внимание на то, что полюсы передаточной функции находятся
на окружности единичного размера; следовательно, выбрав чуть больший кон-
тур интегрирования, можно воспользоваться выражением (7.26). Кроме того,
при k = 0 существует дополнительный полюс в точке z = 0.
13. Каковы области значений Wo и и’ь Для которых представленная на ри-
сунке система является устойчивой?
14. Найдите импульсный отклик системы, описанной в упражнении 13.
15. Полагая, что xft=0 для А<0, найдите обратное г-преобразование, ис-
пользуя теорему об остатках, для функций:
a) X(z)=z/(z—а)-,
б) Х(г) = ze~« sin f5/(z2—2ze-“ cos ₽+е~2“).
16. Задана левосторонняя последовательность xs = eoft; £<0, а<0. Исполь-
зуя подстановку и=г-1, найдите «-преобразование и покажите, что оно явля-
ется сходящимся при |«| <1. Затем на основе теоремы об остатках покажите,
как перейти от [xft] к Х(и).
5* 131
17. Положим, что [хл] имеет автокорреляционную функцию <рхх(п) =
= e-ai"l, определенную для всех п. Найдите энергетический спектр последо-
вательности [хй] в виде функции частоты со. При этом следует проводить от-
дельно вычисления для левой и правой составляющих <рхх.
18. Положим, что [xs] — правосторонняя последовательность, ненулевая
.только при £>0, а [f/s] — зеркальная относительно [xs] последовательность,
т. е. y-k = Xk для всех k:
а) выразите У(г) через Х(г);
; б) выразите амплитудный спектр [f/s] через амплитудный спектр [х^];
в) выразите фазовый спектр [г/л] через фазовый спектр [xs].
19. Для схемы, приведенной в упражнении 13, запишите выражения для:
а) Фц/(г) через Фхх(г);
б) ФХ1/(г) через Фхх(г);
в) Ф1/Х(г) через Фхх(г).
20. Предположим, что RANDOM (1.) — стандартная функция на языке
Фортран, которая осуществляет выбор независимых случайных чисел, равномер-
но распределенных в интервале от 0 до 1. Напишите программу на Фортране,
по которой определяются отсчеты последовательности белого шума с единич-
ной мощностью.
21. Предположим, что полезная выходная последовательность ds получена
в результате прохождения [xs] через идентифицируемую систему с передаточ-
ной функцией ДДг) и что H2(z) — передаточная функция адаптивного фильт-
ра, приведенного на рисунке. Для этой схемы выведите общее выражение ра-
бочей функции.
22. Для схемы упражнения 21 найдите выражение рабочей функции при
условии, что [xs] — единичный белый шум, 7/Дг) =z/(z—0.5) и Д2(г) =
L
= 2 wnz~n.
п—0
23. Для схемы упражнения 21 найдите выражение рабочей функции при
условии, что [xft] — единичный белый шум, ffi(z)^l—2г-1 и Дг(г) =шог/(г—
—®i).
24. Предположим, что гА — отсчет случайной переменной, равномерно рас-
пределенной в интервале от 0 до 1 (см. приложение А). Предположим, что
сформирована временная последовательность xs = n(rs—0,5), где а — констан-
та. Чему равны коэффициенты корреляции <рхх(0) и <рхх(1)?
25. Найдите <рхх(0) и <рхх(1), если xh = a(rh~0,5)+&Xs-i- Здесь rs взято
из упражнения 24, а ]Ь| < 1.
26. Используя метод «-преобразования (см. упражнение 16), найдите об-
ратное преобразование (т. е. соответствующую левостороннюю последователь-
132
ность) функции X(z)—4/(1—az-1), где а — произвольный полюс, находящийся
за пределами окружности единичного радиуса |z| = 1.
27. Используя метод «-преобразования и равенство (7.57), найдите корре-
ляционную функцию <₽!/!,(«) для представленной на рисунке схемы, полагая
при этом, что хк представляет собой белый шум с единичной мощностью.
Ответы к некоторым упражнениям
12. 6(&)+2 sin(6n/4); й>0.
16. %(«)=«/(«—е~“).
24. а2/12.
25. а2/[12(1—62)]; а26/[12(1—62)].
26. хь = 0; Xh——Аак-,
Глава 8
ДРУГИЕ АДАПТИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ И СТРУКТУРЫ
Во введении к гл. 6 отмечалось, что метод наименьших квад-
ратов, несмотря на свою простоту и эффективность, находит ог-
раниченное применение, поскольку его можно использовать в ос-
новном для нерекурсивных линейных фильтров. Кроме того, бы-
ло показано, что этот метод является одним из видов алгоритма
наискорейшего спуска, в котором спуск к точке минимума СКО
не обязательно осуществляется по самой прямой траектории.
В данной главе рассматриваются различные виды алгоритмов,
более сложных, чем метод наименьших квадратов, но обладаю-
щих явными преимуществами. Сначала вводится алгоритм после-
довательной регрессии, который является приближением метода
Ньютона. При использовании этого алгоритма поиск оптималь-
ных весовых коэффициентов обычно осуществляется по более
прямой траектории, чем в методе наискорейшего спуска.
Далее применение алгоритма наименьших квадратов распро-
страняется на рекурсивные адаптивные фильтры, т. е. адаптив-
ные фильтры, имеющие полюсы. Эти фильтры, как следует из
примера на рис. 7.8, могут иметь неквадратичную рабочую функ-
цию с локальными минимумами и областями неустойчивости, по-
этому при использовании для адаптивных рекурсивных фильтров
таких градиентных методов, как метод наименьших квадратов,
необходимо принимать специальные меры.
Помимо поиска минимума СКО по направлению градиента (в
методе наискорейшего спуска) и при прямом движении в точку
минимума (в методе Ньютона), существует возможность случай-
ного поиска. Поэтому вводится алгоритм случайного поиска, ко-
торый имеет свои преимущества в случаях, когда рабочая функ-
ция не является унимодальной, и в ряде других случаев.
133
Кроме этих алгоритмов в данной главе рассматривается ре-
шетчатая структура, представляющая собой основную альтерна-
тиву обычной структуре адаптивного линейного сумматора. Ни-
же показано, что решетчатая структура имеет определенные пре-
имущества по сравнению с обычной.
Идеальный алгоритм
Прежде чем ввести алгоритм последовательной регрессии,
представляющей собой приближение метода Ньютона, рассмот-
рим адаптивный алгоритм, который является идеальным в том
смысле, что характеристики его функционирования не достижи-
мы в практических случаях, но к их реализации можно стремить-
ся. Поэтому идеальный алгоритм является эталоном для сравне-
ния с ним других алгоритмов.
Для вывода формулы идеального алгоритма запишем задан-
ный соотношением (4.32) алгоритм Ньютона
W/s+j = Wft — ц R"1 Vs- (8.1)
Отсюда следует, что при идеальных условиях сходимость к опти-
мальному вектору весовых коэффициентов осуществляется за
один шаг, т. е. при начальном векторе Wo имеем Wi=W*. Иде-
альными являются следующие условия: 1) ц= 1/2; 2) на каждой
итерации точно известен вектор градиента V; 3) точно известна
(и не изменяется) обратная корреляционная матрица сигна-
ла R-1.
Если нарушено первое из этих условий и ц находится в ин-
тервале от 0 до 1/2, то необходимо большее число шагов, но по-
иск по-прежнему осуществляется по прямому пути к вектору W*,
как показано на рис. 8.1, который аналогичен рис. 4.6, за исклю-
чением того, что р, находится в пределах от 0,05 до 0,5, и поэто-
му для нахождения оптимального вектора требуется более одно-
го шага. (Сравните с рис. 4.9, где представлена обучающая кри-
вая.) Конкретная рабочая функция, используемая для примера
на рис. 8.1, аналогична функции на рис. 6.3 и задана соотноше-
нием (6.14) при N= 16 и ф = 0,01.
Далее, если исключить второе условие и предположить, что
вместо градиентного вектора используется его оценка V, то
Wft+1 = Wft-pR-’ Vft. (8.2)
Теперь алгоритм является идеальным только по третьему усло-
вию, т. е. остается только предположение о том, что точно изве-
стна матрица R-1. Не исключая третьего условия, можно теперь
привести (8.2) к виду, соответствующему алгоритму наименьшего
квадрата, если в качестве оценки £ взять 82й, как это сделано в
гл. 6. По аналогии с (6.2) эта оценка градиента
Vft=-28feXfi, (8.3)
134
о
Рис. 8.1. Иллюстрация метода Ньютона для двух весовых коэффициентов при
р. = 0,05. Рабочая функция задана выражением (6.14) при Л/=16 и <р=0,01.
Траектория от Wo до W* является прямой
где Хй — вектор входного сигнала на /?-й итерации. Подставляя
(8.3) и (8.2), имеем
Wft+1 = Wft + 2р R 1 8feXfe.
(8.4)
Теперь это соотношение аналогично соотношению (6.3) для мето-
да наименьших квадратов, за исключением того, что во втором
слагаемом есть сомножитель R-1. Отметим, что если R — диаго-
нальная матрица с одинаковыми собственными значениями, то
Acp'R-I = I. Таким образом, параметр ц имеет ту же, что и в гл. 6,
область значений, если Хер является масштабным множителем в
(8.4):
Wfe+I = Wfe+2pXcpR X,,
(8.5)
Этот алгоритм назовем идеальным. Отметим, что единицами из-
мерения величин Хер и 8йХй являются единицы измерения мощно-
сти, единицами измерения R-1, ц— единицы, обратные единицам
измерения мощности, a W является безразмерным, поэтому Ws+i
(8.5) также является безразмерным. Отметим также, что из-за
масштабного множителя Хср изменяется область значений пара-
метра ц, и из (6.8) и первого условия имеем теперь
условие сходимости 1 /Хшах > ц > 0, (8.6)
условие сходимости за один шаг при отсутствии шума ц= 1/2Хср-
(8.7)
Алгоритм (8.5) является идеальным, если предположить, что
точно известна матрица R-1. Выше показано, что при адаптации
135
о
'Метод наименьших
Хквадратов (6.3)*
Метод, описываемый
выражением (8.5)
Рис. 8.2. Сравнение метода наименьших квадратов и метода, описываемого вы-
ражением (8.5). Рабочая функция задана выражением (6.14) при М=16, ср =
— 0,01, [х = 0,05. Каждая траектория представлена 100 итерациями
эта матрица обычно не известна, т. е. X, как правило, нестаци-
онарный сигнал, и полагают, что R медленно меняется во време-
ни по неизвестному закону. Помимо этого, алгоритм является иде-
альным из-за того, что при отсутствии шума траектория измене-
ния весовых коэффициентов для квадратичной рабочей функции
является прямой, соединяющей точки Wo, Wi и т. д. с точкой W*,.
как показано на рис. 8.1.
В этом смысле даже в условиях шума идеальный алгоритм в
общем случае эффективнее метода наименьших квадратов, что
видно из рис. 8.2. Кривые на рис. 8.2 также построены для рабо-
чей функции (6.14) при N=16 и ф=0,01, а начальный вектор
(шоо, оую) равен (6, —9). Обратная матрица R1, по предполо-
жению известная в идеальном алгоритме, находится обращением
двумерной матрицы R:
Элементы и и г2 находятся из (6.13) при М=16 и ф = 0,01. Для
вычисления по формуле (8.5) нужно знать также значение Л,Ср-
Из (3.2)
Л.!, ^ = ^±7-2 = 0,51 ±0,4619,
Аср = г1 = 0,51.
(8-9)
Итак, на рис. 8.2 построены траектории первых 100 итераций для
алгоритмов (6.3) и (8.5). Траектория для метода наименьших
квадратов почти совпадает с траекторией для метода наискорей-
136
шего спуска и в итоге достигает оптимальной точки u>*i, в
то время как траектория для идеального алгоритма приближа-
ется к прямой и достигает оптимума уже за 100 итераций. В обо-
их случаях траектории на каждой итерации имеют шумовые сос-
тавляющие из-за шумовой составляющей в оценке градиента, но,
как видно, идеальный алгоритм более эффективен.
Свойства идеального алгоритма
Поскольку идеальный алгоритм является эталоном для сравне-
ния характеристик, представляет интерес теоретическое описание
его свойств с точки зрения сходимости среднего значения СКО.
В данном разделе рассматриваются эти свойства и проводится их
сравнение с аналогичными характеристиками метода наименьших
квадратов.
При идеальных условиях (без шума) адаптация по методу на-
именьших квадратов осуществляется в соответствии с формула-
ми для метода наискорейшего спуска, выведенными в гл. 4 и 5,
а адаптация по идеальному алгоритму—в соответствии с форму-
лами, выведенными для метода Ньютона. Имея в виду масштаб-
ный множитель Хер при ц (т. е. замену ц на Хср) в (8.5), запишем
соотношения (5.61) и (5.84) для знаменателя геометрической про-
грессии п-го весового коэффициента:
для метода Ньютона г — 1 — 2рЛср, (8.10)
для метода наискорепшего спуска rn = 1 — 2цХп, п L. (8.11)
Таким образом, эти методы эквивалентны при равных собствен-
ных значениях матрицы R. Из этих соотношений находим пос-
тоянную времени п-й составляющей обучающей кривой:
для метода Ньютона 7’ско= 1/4р,Л,ср, (8.12)
для метода наискорейшего спуска (Тско)п = 1/4р,Хп, O^n^L.
(8.13)
При различных собственных значениях обучение по методу на-
именьших квадратов осуществляется медленнее, чем по идеаль-
ному алгоритму, что соответствует примеру на рис. 8.2. Для кон-
кретного примера на рис. 8.2 при подстановке (8.9) в (8.12) и
(8.13) получаем 7сКо=10 итераций для обучающей кривой иде-
ального алгоритма и 7’сКо=100 итераций для обучающей кривой
метода наименьших квадратов.
Помимо постоянной времени обучающей кривой, позволяющей
измерять скорость сходимости алгоритма, представляет интерес
среднее значение СКО, определяющее устойчивость алгоритма в
области точки £min. В гл. 6 получено выражение для среднего зна-
чения СКО в случае метода наименьших квадратов. Выведем те-
перь аналогичное выражение для идеального алгоритма.
Для вывода формулы среднего значения СКО требуется кова-
риационная матрица вектора весовых коэффициентов У'ь в си-
стеме координат главных осей. В (5.50) найдена матрица cov[V\]
137
для метода Ньютона при использовании оценки градиента, поэто-
му для идеального алгоритма имеем тот же результат при под-
становке вместо [1 величины [Дср, как это сделано в (8.5). Следо-
вательно,
cov[v;]^^p(^~l)2 cov[N;]. (8.14)
Здесь N'k — вектор шума градиента, записанный в системе коор-
динат осей, а в (8.3) подставлена та же оценка градиента, что и
в (6.2). Отсюда формула (6.29) справедлива для идеального ал-
горитма:
cov [Nft] = 4£га1п Л. (8.15)
Подставляя (8.15) в (8.14), получаем
cov [V*] = ^cpgmln Л-1 . (8.16)
1 — рЛ-ср
Теперь по аналогии с формулой (6.34) выразим среднее значение
СКО через диагональные элементы матрицы cov[V'fe]:
среднее значение СКО= 2 Хп£,[и^]= 2 кп ^ср^mln—
п—О n=0 1 — р4-ср
_ (Т 4- 1) Ц^ср £mln (g
1 р^ср
Это соотношение можно упростить, имея в виду, что, как и в
(6.9), произведение (Л+1)АСр равно сумме диагональных эле-
ментов матрицы R (т. е. следу матрицы R) и ц при выводе
cov [N\] предполагалось меньше значения (8.7), необходимого
для сходимости за один шаг, т. е.
1/2Хср. (8.18)
Поэтому полагаем, что знаменатель в (8.17) приблизительно ра-
вен 1, тогда
среднее значение СКО~ ucmln tr [R], (8.19)
Из (6.36) и (8.19) следует, что среднее значение СКО и М оди-
наковы для идеального алгоритма и метода наименьших квадра-
тов. Для обоих алгоритмов
М = среднее значение СКО [R] (8,20)
£mln
В заключение приведем основные теоретические результаты
для идеального алгоритма и метода наименьших квадратов:
Параметр Идеальный алгоритм Метод наименьших квадратов
Максимальная постоянная времени обучающей кри- вой Тско Относительное среднее значение СКО М 1/4рАср И tr [R] 1/ 4pAmin ц tr [R]
138
Поскольку при заданном параметре р, оба алгоритма имеют
одно и то же относительное среднее значение СКО, можно видеть,
что идеальный алгоритм приводит к сходимости, более быстрой
В Xcp/Xmin раз. Таким образом, если матрица R имеет существен-
но различные собственные значения, метод наименьших квадра-
тов и другие алгоритмы наискорейшего спуска намного уступают
идеальному алгоритму. В следующем разделе рассматривается
алгоритм, характеристики которого ближе к характеристикам иде-
ального алгоритма.
Алгоритм последовательной регрессии
Сравнение идеального алгоритма (8.5) и метода наименьших
квадратов (6.3) показывает, что переход от начального вектора W
к оптимальному W* осуществляется по прямой, а не по траектории
наискорейшего спуска из-за того, что известна матрица R-1. Поэто-
му для получения алгоритма, более близкого к идеальному, сле-
дует рассмотреть возможность оценки на каждом шаге матрицы
R-1, приближаясь таким образом к идеальному алгоритму (8.5).
Именно такой подход использован в алгоритме последователь-
ной регрессии [1, 2], где вычисляется оценка матрицы R-1, что
в общем случае повышает эффективность алгоритма на каждом
шаге и тем самым приближает его к (8.5). Для вывода алгорит-
ма последовательной регрессии рассмотрим прежде всего способ
оценки матрицы R, что является более простой задачей, чем оцен-
ка матрицы R-1.
Используя обозначения формул (7.38) и (7.62), выразим эле-
менты матрицы R через корреляционную функцию входного сиг-
нала
Фхх (п) = Е xk+n\ > (8.2 1)
где п—сдвиг относительно главной диагонали. Кроме того, по
(2.11) можно записать
R = f[XftXj]. (8.22)
Последняя формула более подходит для решения указанной зада-
чи, поскольку позволяет рассматривать адаптивные системы как
с одним, так и со многими входами.
Вместо того чтобы находить математическое ожидание в
(8.22) по всем значениям индекса k, положим, что имеется толь-
ко конечное число наблюдений сигнала X, например от Хо до Х^.
Для стационарного сигнала наилучшая несмещенная оценка
матрицы R
' I I * т
^ = ГП^Хгх1. (8.23)
. z=o
Видно, что в процессе адаптации, когда сигнал X является не-
стационарным, формула (8.23) не дает хорошей оценки матрицы
139
R, так как при больших значениях индекса k эта оценка стано-
вится нечувствительной к изменениям матрицы R.
Чтобы исключить этот эффект, рассмотрим следующую функ-
цию:
Qft= S<?~zXzXj. (8.24)
1=0
Из сравнения этой функции с функцией (8.23) видно, что она от-
личается от Rft наличием весовых множителей'. Эмпирически
можно выбрать значение а таким, чтобы экспоненциальная функ-
ция уменьшалась вдвое за такое число итераций, при котором
Хг оставался стационарным, т. е.
0<а<1, (8.25)
2~1/(длина стационарного сегмента сигнала X)
Сумма всех весовых множителей по k итерациям
2 ak-i = J—“---. (8.26)
1=0 “
Поэтому взвешенная оценка матрицы R на /?-й итерации (которая
является точной, например, когда Х/г постоянен при /г^О)
S а^ХгхГ. (8.27)
1 — а 1 — !=0
Очевидно, что в предельном случае, когда сигнал Х; является
стационарным для всех наблюдений, а стремится к 1 в (8.25), а
соотношение (8.27) в пределе равно (8.23).
Имея оценку R^, перейдем к выводу алгоритма последователь-
ной регрессии. При этом для простоты опустим весовой множи-
тель и рассмотрим Qfe, а не Rfe. Из (2.16) получим сначала выра-
жение для оптимального вектора весовых коэффициентов:
RftW = Pft. (8.28)
Здесь вместо истинных значений, используемых в гл. 2, взяты fe-e
оценки. Предположим, что оценка матрицы Р получена аналогич-
но оценке матрицы R в соответствии с (8.27). Тогда по определе-
нию Р в (2.12)
(8.29)
1-^+* ,=0
Подставляя (8.27) и (8.29) в (8.28) и сокращая весовой множи-
тель, получаем
к
Q,W, Safe-'d;X;. (8.30)
1=0
1 Не следует путать введенное здесь обозначение Ch с собственными век-
торами, рассмотренными в гл. 3.
140
На основании (8.30) проведем теперь вывод алгоритма последо-
вательной регрессии, котерый аналогичен выводу в [1, 2, 32].
Будем считать, что по оценкам Rk и Pft вычислен вектор Wa+i
(а не вектор Wft). Тогда из (8.28) — (8.30)
Qft Wfe-y! = а 2 di Х( 4- dh Xft = aQft-i Wh + dh Xft —
1=0
= (Qft-XftXl)Wft + rfftXft. (8.31)
Это — другая форма записи выражения (8.30), причем в послед-
нем равенстве подставлено полученное из (8.24) соотношение
Qft = a Q*_i 4- Xft Xft . (8-32)
Далее подставим в (8.31) выражение (2.8) для полезного сигна-
ла dk-
Qh Wft+I = (Qft - Xft X? )Wft + (8h 4- Xi Wft) Xft = Qft Wfe 4- efe X*. (8.33)
Умножим теперь обе части равенства слева на Q/t
Wft+I = Wft 4-ОГ1 s?1 Xft. (8.34)
Поскольку Qft приблизительно совпадает c R1 точностью до мно-
жителя, это выражение есть другая форма идеального алгоритма
(8.5). Из (8.27)
(8.35)
1 —
При рассмотрении установившегося состояния, когда k является
достаточно большим, чтобы можно было пренебречь в (8.35) зна-
чением a/1+I, выражение (8.34) принимает вид
Wft+I = Wft + Q,;! 8ft Xft, (8.36)
1 о»
что является приближением к (8.5). Отметим, что для нестацио-
нарных сигналов Хср — переменная величина, которую можно ре-
гулировать в процессе адаптации. Кроме того, исключение мно-
жителя (1—a*+1) в последнем слагаемом выражения (8.36) эк-
вивалентно введению большого значения у. в (8.5). Если нужно
учесть начальные условия, то можно ввести весовой множитель
и привести (8.36) к виду
Wft+1 = Wft 4- QF1 8ft Xft. (8.37)
Для обеих записей алгоритма последовательной регрессии не-
обходимо иметь возможность на каждой итерации вычислять Qft.
Алгоритм вычисления можно вывести так же, как это сделано
выше, в данном случае начиная с интеративной формулы для Qft
141
(8.32). Умножая обе части (8.32) слева на Q/Г1, справа — на Q/ i,
а затем на Xft, получаем
ОГЛ = а (V + QF1 X, Х/Т (8.38)
ИЛИ
QF-li Xft = а Q71 Х,г + Q?1 Х,г Xj Q^l, X„ =
^Qr'XUa + XlQ^X,). (8.39)
Разделим теперь обе части равенства на скалярный множитель в
круглых скобках и умножим справа на XjQ^lr
УГ,Х»Х?Т<У2,._ Q-,х> хтq— ' (8.40)
a+Xj Q-lj Xk
Подставляя (8.38) в правую часть (8.40), после некоторых преоб-
разований имеем
Qr' = — Qrli -
(Q?2i xft) (Q?!. xft)T-
a 4- XTfe (ОГ2, Xft)
(8.41)
Соотношение (8.41) описывает итеративный алгоритм вычисления
Q/С1, входящего в (8.34). Отметим, что вектор
S^Q^Xft (8.42)
трижды входит в (8.41), поэтому в данном алгоритме вычисляется
первым. Кроме того, знаменатель в (8.41) является скалярной
величиной и поэтому вычисляется отдельно.
В качестве начального значения Q;,1 в (8.41) для стационар-
ного случайного процесса в [5] предложено Qo“ 1 = ?о1, где q0—
большая константа. Такой выбор начального значения подходит
и для процесса адаптации, хотя предпочтительней выбирать Qo 1
близко к истинному значению, если его можно оценить. На рис.
8.3 приведен пример сходимости Qft-1 для различных начальных
условий. В этом примере приняты следующие исходные данные:
R=[4 2|; R-' = _L[ 2 -1]; Q-1 ~ IZUL Г 2 -Ч (8.43)
1.2 4] 6|—1 2] 6 I — 1 2]
Входной сигнал Xft с корреляционной матрицей R построен на
основе результатов упражнения 25 в гл. 7. Затем из (8.8), в пред-
положении, что k в (8.35) больше, получены R’1 и Qoo1. На
рис. 8.3,а показан процесс сходимости qix при двух значениях а,
соответствующих последовательностям с длинами 10 и 100 в
(8.25), и двух начальных параметрах д0- На рис. 8.3,6 для тех
же значений а и q0 показан процесс сходимости q{2. Как видно
из графиков, при выборе q0 близким к правильному конечному
значению qu, процесс сходится быстрей для qn и несколько мед-
леннее для qi2 (вертикальная ось имеет логарифмический мас-
штаб). Как и предполагалось, при малых значениях а оценки
имеют большую шумовую составляющую, но процесс сходится
142
Рис. 8.3. Процесс сходимости элементов функции Q& <7п(/г) и g^lk] для раз-
личных значений до и а. Средние конечные значения найдены из (8.43)
быстрее. Из (8.41) следует, что если Qo-1 — симметрическая мат-
рица, то Qfe-1 — также симметрическая матрица, что имеет место
в рассматриваемом примере.
Итак, получены окончательные формулы алгоритма последо-
вательной регрессии. Аналогичным образом этот алгоритм рас-
сматривается в [1, 2, 5, 24], где, как правило, а=1. Еще один по-
добный алгоритм предложен в [4]. Основная суть рассмотренного
здесь алгоритма состоит в следующем. Выше отмечалось, что Лср
можно оценивать по фактическим данным, при этом в случае не-
стационарных сигналов может появиться необходимость в посто-
янном уточнении Аср. Отметим, что для случая, когда полностью
отсутствуют данные о статистических свойствах сигнала, значе-
ние множителя цХср всегда находится в интервале от 0 до 1. По-
этому можно выбрать некоторое гарантированное значение этого
143
множителя (например, 0,05, наиболее принятое па практике; см.
упражнение 14):
21/Длина стационарного сегмента сигнала
Qo 1 = (большая константа) X I;
Wo = начальный вектор весовых коэффициентов;
W1-Wo+2pAcpQo^1eoXo;
для k 1
S = Qr21Xft; (8Л4)
у = а т Х/ S;
Qr‘ (Q/ГЛ - —SSt');
'х \ у /
WW 1_ 2иЛср (1 (X "1" ) л — 1 у
k+i = wh + ——--------------Q eft Xh,
0 < p < 1 /Zmax, или рлср <X 1.
Чтобы подчеркнуть, что при переходе от одной итерации к
другой нет необходимости сохранять вектор S и величину у, здесь
опущен индекс. Вычисление Wft осуществляется по более точной
формуле (8.37), S — по формуле (8.42) и Q&-1 — по формуле
(8.41). Для значений а и Qo“‘, как показано на рис. 8.3, требует-
Рис. 8.4. Сравнение алгоритмов последовательной регрессии и наименьших
квадратов при ц = 0,05, а=0,93. Рабочая функция аналогична приведенной на
рис. 8.2. Каждая траектория представлена 100 итерациями. В данном примере
^шах —0,97, поэтому р. полностью удовлетворяет (8.44)
144
ся лишь грубое приближение, а лСр можно примерно приравнять
мощности входного сигнала.
На рис. 8.4 показан процесс адаптации по алгоритму последо-
вательной регрессии (8.44). Приведенный пример — тот же, что
и на рис. 8.2, поэтому оба графика можно непосредственно срав-
нивать. Значение а = 0,93 выбрано таким, чтобы оно соответство-
вало длине стационарного сегмента сигнала в первом соотноше-
нии (8.44), равной десяти отсчетам. Алгоритм последовательной
регрессии эффективней метода наименьших квадратов, и опти-
мальный вектор весовых коэффициентов достигается за число
итераций, значительно меньшее 100, поскольку, как это следует
из рис. 8.3, Qft"1 имеет достаточно хорошее приближение к R-1
после нескольких итераций. С другой стороны, траектория адап-
тации по алгоритму последовательной регрессии на рис. 8.4 не
является столь прямой, как траектория идеального алгоритма на
рис. 8.2, что связано с неточностью вычисления матрицы Q;“' в
течение первых нескольких итераций.
Адаптивные рекурсивные фильтры
В гл. 7 обсуждалась возможность использования в адаптив-
ной системе вместо адаптивного линейного сумматора рекурсив-
ного фильтра. Рекурсивный фильтр, имеющий полюсы и нули, об-
ладает такими же свойствами, как и рекурсивные фильтры, при-
меняемые в инвариантных во времени системах [6].
С другой стороны, в гл. 7 показано, что в отличие от адаптив-
ного линейного сумматора рекурсивные адаптивные фильтры име-
ют два недостатка:
1. При выходе в процессе адаптации полюсов фильтра за пре-
делы круга единичного радиуса фильтр становится неустойчивым.
2. В общем случае рабочие функции фильтров являются не-
квадратичными и могут иметь локальные минимумы.
Из-за этих серьезных недостатков рекурсивные адаптивные
фильтры находят очень ограниченное применение. Для предот-
вращения неустойчивой работы необходимо вводить какие-либо
ограничения на коэффициенты фильтра, а при рабочей функции
с многими экстремумами процесс адаптации осуществляется не-
Рис. 8.5. Схема рекурсивного адаптивного фильтра
145
правильно как методом наискорейшего спуска, так и методом
Ньютона.
Относительно второго недостатка в момент написания кни-
ги появились сообщения о том, что если рекурсивный адаптивный
фильтр имеет значительное число полюсов и нулей, то рабочая
функция является унимодальной [7]. Таким образом, локальные
минимумы можно исключить просто введением в фильтр допол-
нительных весовых коэффициентов.
Для вывода алгоритма работы рекурсивного адаптивного
фильтра включим рекурсивный фильтр, приведенный на рис. 7.2,
в стандартную адаптивную схему, как показано на рис. 8.5.
Здесь вектор X/. может быть входным сигналом системы как с
одним, так и со многими входами, a y>t — скалярная величина.
Из (7.3)
L L
S an xk-n + s ЬП Ук-п (8.45)
и=0 п~ 1
Такая запись, соответствующая системе с одним входом, взята
здесь для удобства анализа. Зададим зависящий от времени век-
тор весовых коэффициентов Wft и некоторый новый вектор сигна-
ла Uft следующим образом:
... aLkblh ... bLk]T, (8.46)
= ''xk_Lyk^i ... yk-L]. (8.47)
Из рис. 8.5 и (8.45) можно записать
8fe = dft-yft = dft-WjUft. (8.48)
Это соотношение аналогично соотношению для нерекурсивной си-
стемы [например, (2.8)], основное отличие состоит в том, что Ufe
включает в себя значения у и х.
Рассмотрим сначала алгоритм наименьших квадратов и в со-
ответствии с (6.2) запишем приближенное выражение для гради-
ента:
’ де2 г> де
\7 ь —----= 2е------
dWh dWh
= 2е Г dSk дЪк deh ~|Т —
k L daok " daLk dbih - dbLk J
_ 28ft ... ... JOL V (8Л9)
Lda0ft daLk dbik &bLk 4
Вычисление производных в (8.49) представляет особую задачу,
так как теперь yh является рекурсивной функцией. Из (8.45) най-
дем
anh Д = xk_n + 2 b, д-^ - xk_n + S а„, ft_z; (8.50)
/3=1 дап
=№-н+ SMk k-i. (8.51)
dbn Z=1 dbn l=i
146
С учетом заданных таким образом производных
= - 2eft [aoh ••• ... ₽Lft]T. (8.52)
По аналогии с формулой (6.3) запишем алгоритм наименьших
квадратов в виде
W,+1 = Wft-Mvft. (8.53)
Здесь вместо параметра р, записана следующая диагональная
матрица:
M = diag[p ... p/vr ™ vL]. (8.54)
В случае неквадратичной рабочей функции имеем некоторый па-
раметр сходимости ц для каждого а и другой множитель сходи-
мости для каждого Ь. Можно даже полагать, что эти множители
изменяются во времени. Подставляя текущие значения b в (8.50)
и (8.51), получаем следующий алгоритм наименьших квадратов
для рекурсивного адаптивного фильтра:
t/b = WftTUft,
L
anfe 1=5 xk—n + 2 ^lk an, k—l ’ 6 n Z,,
Z=l
L
Рпй = Уь—n+ 2 Pn, k—Z, 1 n
Z=1
— 2 (dft— t/й) (аой aifcPift ••• Pife] •
We+! = Wt-Mvft.
(8.55)
Начальные условия выбираются здесь так же, как выше, за
исключением того, что пока не известны значения а и р, их на-
чальные значения приравниваются нулю. Отметим, что вектор
сигнала Uft задан выражением (8.47), a but— один из весовых ко-
эффициентов обратной связи вектора W& в (8.46).
Полезно представить алгоритм (8.55) в виде блок-схемы. Ис-
пользуя введенные в гл. 7 обозначения,
Лй (z) = S alk z~k и Bh (z) = S blh z-k. (8.56)
i=o z=i
Для второго или третьего соотношения из (8.55) можно записать
передаточную функцию
Z
передаточная функция = . (8.57)
На рис. 8.6 приведен пример вычисления аПй- Полная схема
адаптивного фильтра представлена на рис. 8.7. Здесь не показа-
на схема коррекции весовых коэффициентов в соответствии с по-
147
Рис. 8.6. Схема формирования ап*
в (8.55)
следним соотношением из (8.5). Аналогичные схемы приводятся
в [8] а также в [9], где впервые предложен рекурсивный алго-
ритм по методу наименьших квадратов. Различные модификации
этого алгоритма рассмотрены в [8, 14, 15] и других работах.
В [10] представлен полный класс сверхустойчивых алгоритмов
для адаптивных рекурсивных фильтров. Простейший из этих ал-
горитмов можно описать следующим образом [10—13]. Пусть в
(8.55) аПй и приблизительно равны х^-п и уь-п соответствен-
но. Тогда при оценке Vs вместо ek = dh—yh будем использовать
сглаженное значение еь, полученное с помощью фильтрации е>,.
Последнее является основным свойством рассматриваемого клас-
са алгоритмов. В соответствии с этим
Уь = WftT Uft;
ей = ~ Ук1
N
= eft + S cn 8n-k;
n=l
Vft=-2vft[xft ... xk-Lyk-i -
Wfe+1 = Wfe-Mvft.
(8.58)
Здесь c — постоянные коэффициенты, предназначенные для полу-
чения Vk при сглаживании eh. Таким образом, простейший из это-
го класса алгоритм проще, чем (8.55). В некоторых случаях он
оказывается [25] сходящимся и находит применение для подав-
ления шума [12] ив системах предсказания [13].
Выбор сглаживающих коэффициентов [си] является пока
предметом исследования и здесь не рассматривается.
Поскольку в общем случае для БИХ-фильтров с неквадратич-
ной рабочей функцией затруднительно применять методы наимень-
ших квадратов, приходится снова рассматривать приближения к
методу Ньютона, хотя применение последнего может также ока-
заться затруднительным по той же самой причине. При замене
X на U и использовании оценки градиента в системе с бесконеч-
ной импульсной характеристикой нетрудно получить для рекур-
сивных фильтров алгоритм вида последовательной регрессии. Та-
ким образом, для нерекурсивной системы
~ ~ Wfe Xft,
V/; = — 2eft Xft,
148
для рекурсивной:
4 = — wl Uft,
Vft= — 2eh[a0(t ... a^fePift - ₽r.fe]T-
Простейший способ получить рекурсивный алгоритм последо-
вательной регрессии состоит в том, чтобы сначала заменить X на
U в (2.11) и (2.13), при этом иначе определяются матрицы R и
Р, а размерность возрастает с А-1-1 до 2Л+1.
В результате такой замены рабочая функция системы с бес-
конечной импульсной характеристикой определяется соотношени-
ем (2.13). Далее необходимо найти градиент от (2.13) и поло-
жить, что R и Р не являются функциями W. Такое предположе-
ние справедливо для адаптивных КИХ-фильтров и приводит к
(2.16). Для БИХ-фильтров в режиме адаптации это предположе-
ние несправедливо, так как R и Р включают в себя математичес-
кое ожидание произведений, зависящих от ук. Однако после окон-
чания процесса адаптации при стационарных входных сигналах
матрицы R и Р становятся постоянными даже в системе с беско-
нечной импульсной характеристикой, поэтому можно считать, что
при W = W* выполняется (2.16).
Используя определенные таким образом R и Р и полагая, что
вектор весовых коэффициентов вычисляется по (2.16) и (8.28), по-
лучаем алгоритм последовательной регрессии для системы с бес-
конечной импульсной характеристикой простой заменой в (8.36)
Xft на Uft, при этом все производные совпадают с производными
149
для системы с конечной импульсной характеристикой. Кроме того,
необходимо заменить оценку градиента (8.3), подставляемую в
(8.5) и, следовательно, в (8.37) на рекурсивную оценку градиен-
та, рассмотренную выше. В результате (8.37) принимает вид
Wft+1 = Wh -В --Xcp1(^aft+1) Qr1 vft. (8.59)
Как и при выводе рекурсивного алгоритма метода наименьших
квадратов, в (8.54) вместо ц введено М. Окончательно рекурсив-
ный алгоритм последовательной регрессии принимает вид
S = Qrl1Uft;
у = а + Ul S;
Q?' = — ( QF-ч ~ — SST\
а \ У /
L
anh = xft_n + S blh an, k-i, 0 < n < Ц
z=i
L
Pnh = Ук—п 4" S &lk Pn, k—b 1 -С: П L',
1=1
777; 2 (dh yh) [&ok ... Poft ••• Pr,fe] ,
w _____w 1 MXCp(l—a^1) n-i Д
W ft+i — W h -------j— --------V h.
(8.60)
Здесь а без индекса —константа в (8.25), а а с индексами — про-
изведение в (8.50). Для этого алгоритма можно взять те же на-
чальные условия, что и для алгоритма последовательной регрес-
сии в (8.44). Кроме того, из (8.46) и (8.47) следует, что матри-
цы S и Q-1 задаются в пространстве размерностью 2Л-(-1. Вопро-
сы сходимости и устойчивости алгоритма (8.60) надо рассматри-
вать для каждого конкретного приложения.
Рис. 8.8. Адаптивное моде-
лирование неизвестной сис-
темы
150
В качестве примера рассмотрим схему идентификации, пред-
ставленную на рис. 8.8. При начальном условии ао = Ь1 = Ь2 = 0 ре-
курсивный адаптивный фильтр осуществляет адаптацию по рабо-
чей функции до точки ао=1, &i = l> 2 и Ь2 =—0,6 и тем самым
идентифицирует неизвестную систему. При действии на входе си-
стемы белого шума ошибка В = £[е2/<] уменьшается до нуля при
точно таких же значениях трех коэффициентов.
На рис. 8.9 показаны характерные кривые для алгоритма по-
следовательной регрессии (8.60) и метода наименьших квадратов
(8.55) в системе с бесконечной импульсной характеристикой. Эти
кривые являются только примером широкого класса рассматри-
ваемых алгоритмов, однако они отражают несколько характерных
свойств этих алгоритмов.
Рис. 8.9. Процесс схо-
димости для алгоритмов
наименьших квадратов
(а, 800 итераций) и по-
следовательной регрес-
сии (б, 600 итераций).
Здесь bi = 1,2, b2=— 0,6
б)
151
Во-первых, рабочая функция находится из (7.65) (упражне-
ния 35—37 гл. 8). Аналогично примеру из гл. 7 £.= [е2^] в данном
случае является квадратичной функцией относительно ад. Следо-
вательно, на рис. 8.9 даны проекции рабочей функции на плоско-
сти bib2, при этом они построены при оптимизированном значе-
нии а0 для каждой пары (bi, b2). Однако построенные кривые от-
ражают процесс адаптации а0, а также bi и Ь2.
Во-вторых, как показано в гл. 7, для устойчивой работы адап-
тивного фильтра его полюсы должны располагаться внутри круга
единичного радиуса. Таким образом, существует область устой-
чивой работы, показанная в виде треугольника на рис. 8.9, и ко-
эффициенты b должны находиться в пределах этой области. Связь
между этой областью и кругом единичного радиуса рассматрива-
ется в упражнении 12.
Как отмечалось выше, весовые коэффициенты сначала полага-
ются равными ao = bi = b2 = O и в обоих случаях допускается, что
они достигают своих оптимальных значений. Параметр М в соот-
ветствии с (8.54)
для алгоритма последовательной регрессии М =
= diag [0,05 0,005 0,0025], (8.61)
для метода наименьших квадратов М = diag [0,5 0,1 0,05].
Для алгоритма последовательной регрессии при длине стацио-
нарного сегмента сигнала, равной 10 отсчетам, приняты началь-
ные условия </о = 1 и а = 0,93. Отметим, что для метода наимень-
ших квадратов траектория адаптации примерно совпадает с тра-
екторией для метода наискорейшего спуска, однако при неквадра-
тичной рабочей функции она носит колебательный характер около
точки §min, что является типичным для БИХ-фильтров.
Однако алгоритм последовательной регрессии не дает хороше-
го приближения к методу Ньютона, по крайней мере в начальной
стадии обучения, поскольку, как отмечалось выше, Qfe-1 является
функцией Wft, пока Wft не достигнет своего оптимума. Однако
около оптимума траектория для алгоритма последовательной ре-
грессии более сглажена, чем в методе наименьших квадратов, и
в данном примере для достижения оптимума при bi = l, 2, b2 =
= —0,6 требуется меньшее число итераций.
В примерах, аналогичных приведенному на рис. 8.9, траекто-
рия зависит от выбора М в (8.61), а также qo, а и начальных зна-
чений весовых коэффициентов. Вопросы выбора М и построения
наилучшего вида алгоритма являются предметом дальнейших ис-
следований теории адаптивных БИХ-фильтров.
Алгоритмы случайного поиска
Помимо методов Ньютона и наискорейшего спуска существует
возможность поиска минимума рабочей функции некоторым слу-
чайным способом. В данном разделе кратко рассматриваются сто-
152
хастические алгоритмы двух типов. Первый — линейный алгоритм
случайного поиска — относится к алгоритмам выбора случайно-
го направления движения в пространстве весовых коэффициентов,
второй — к алгоритмам выбора последовательности случайных то-
чек в пространстве весовых коэффициентов.
В линейном алгоритме случайного поиска в начале каждой
итерации к вектору весовых коэффициентов прибавляется неболь-
шое пробное случайное смещение U& [16]. При этом, как описа-
но в гл. 5, наблюдается соответствующее изменение характерис-
тик функционирования. Затем вносится постоянное приращение
вектора весовых коэффициентов от W& до W^+i, что алгебраичес-
ки можно записать в виде
Wft+1 = Wh + i [t (Wft) -1 (Wft + uft)] Uft. (8.62)
. a2
Полагают, что для адаптивного линейного сумматора Щ является
случайным вектором с
cov [Ufe] = о21. (8.63)
Функции g(Wft) и i(Wft+Uft) являются оценками СКО текущего и
пробного значений вектора весовых коэффициентов соответствен-
но. Как параметр сходимости ц, так и о2 представляют собой кон-
станты, от которых зависят устойчивость и скорость сходимости.
В табл. 8.1 приведены результаты анализа линейного алгорит-
ма случайного поиска применительно к адаптивному линейному
сумматору [16]. Эта таблица аналогична табл. 6.1. Как опреде-
лено в гл. 5, N — число наблюдений, используемых для оценки
ско.
Т а б л и ц а 8.1
Параметр
Линейный алгоритм
случайного поиска
Алгоритм наискорейшего
спуска
Относительное среднее зна-
чение М
Относительное приращение
Коэффициент, характеризу-
ющий относительную точ-
ность оценки параметра,
М„бщ
Постоянная времени п-й со-
ставляющей:
число итераций тско
число отсчетов данных
Тско
Н (^ + 1)
No2
?Щ1п —
О2 (L4-1) ''cp/limin
1/4р.Хп
ЛГ/2рАп
К0- + 1).
4/V 52 &mln
(ТЧ-1)2 /]\
ЯР \ ^СКО /ср
^2^ср/ьт1п
М + Р
1/4р.Хп
N (L -[- 1) / 4рАп
153
Хотя линейный алгоритм случайного поиска основан на слу-
чайном изменении вектора весовых коэффициентов, он функцио-
нирует аналогично алгоритму наискорейшего спуска [16]. При
случайном поиске весовые коэффициенты сходятся к W* по зако-
ну геометрической прогрессии с такими же постоянными времени,
как и при .наискорейшем спуске. Из табл. 8.1 видно, что для обо-
их алгоритмов параметр ц имеет в действительности одну и ту
же область устойчивости. При фиксированной скорости сходимос-
ти относительное среднее значение СКО для линейного алгорит-
ма случайного поиска вдвое больше, чем для алгоритма наиско-
рейшего спуска. Поэтому последний имеет преимущество. Одна-
ко первый алгоритм легко реализовать. Кроме того, он эффекти-
вен в качестве модели естественного отбора и при теоретических
исследованиях развития биологических систем.
С точки зрения объема входных данных линейный алгоритм
случайного поиска и алгоритм наискорейшего спуска намного ме-
нее эффективны алгоритма наименьших квадратов и при заданной
скорости сходимости имеют более высокое относительное среднее
значение СКО. Однако эти алгоритмы можно применять в случа-
ях, когда алгоритм наименьших квадратов может оказаться не-
применимым, т. е. когда нет входных сигналов или регулируемые
параметры не являются весовыми коэффициентами сигналов.
Линейный алгоритм случайного поиска состоит в том, что для
проверки на каждой итерации выбирается случайное направление.
В [17] для адаптивных систем разработан алгоритм проверки
случайных точек в пространстве рабочих параметров. Это напо-
минает процесс деления и отбора клеток.
Рассмотрим работу этого алгоритма для одного весового ко-
эффициента w. Прежде всего осуществляется выбор начального
множества Ж значений w, равномерно распределенных в задан-
ной области. Затем для каждого из этих Ж значений w находит-
ся |(ау) и строится новое большее множество №>Ж значений. В
этом новом множестве Ж первоначальных значений w располага-
ются в обратной зависимости от соответствующих значений £(ш).
Таким образом, если в первоначальном множестве содержатся
значения Wt и w2 и g (щ2) >!;(wi), то в построенном множестве
больше значений wlt чем о>2. В целом объем множества равен N,
причем некоторые значения w входят в него несколько раз.
Затем для второй выборки строится следующая последова-
тельность. Выбираются случайным образом два значения w и
производится склеивание двоичных представлений обоих значе-
ний. К первому сегменту одной двоичной последовательности при-
соединяется второй сегмент другой. Предположим, например, что
w представлено 8 битами, т. е. имеется 256 возможных значений,
и склеивание осуществляется в середине каждой последователь-
ности. Тогда
двоичное представление значения Г. а1а2а3а^аъа6а7 а8,
двоичное представление значения 2: Ьг Ь2 Ь3 Ьъ be b7 bs,
двоичное представление последовательности-. a1a2a3aibib6b7 Ьв.
154
Отметим, что если оба значения w одинаковы, то построенная
для этого случая последовательность также является представ-
лением значения w.
Для второй выборки множество увеличивается, как описано
выше, от М до Л3. По мере того, как получаемые последователь-
ности становятся близкими друг к другу, процесс в целом сходит-
ся. В[17] приведены примеры устройств с адаптивной задерж-
кой, реализующих этот алгоритм.
Решетчатые структуры
До сих пор при рассмотрении адаптивных алгоритмов приво-
дились примеры реализации адаптивных систем только в обычной
форме. Так, для нерекурсивных систем в гл. 2 описан трансвер-
сальный адаптивный фильтр, для рекурсивных систем на рис. 7.2
приведена обычная схема их реализации. В более общем случае
существуют, по меньшей мере, четыре вида реализации или струк-
тур, которые могут быть использованы для адаптивной обработки
сигналов: обычная, каскадная, параллельная, решетчатая.
Предположим, что имеется рекурсивный фильтр с одним вхо-
дом с передаточной функцией, подобной (7.8):
/у (г) = А = а1г-1 + - + г~Ь
1+В(г) ! + 2-1 + + bL z~L
Эта запись характерна для обычной структуры . Каскадную
структуру получают из обычной за счет разложения на множите-
ли Л (z) и l-t-B(z) (как правило, на множители второго поряд-
ка), а параллельную структуру — из каскадной за счет раскры-
тия дроби [20]. Последние две структуры находят широкое при-
менение в адаптивной обработке сигналов, каскадная структура
является предметом исследования в [21].
Кроме того, из (8.64) можно получить различные решетчатые
структуры, которые применяются в адаптивной обработке, в ча-
стности в системах линейного предсказания [22, 23]. Рассмотрим
сначала способы приведения (8.64) к решетчатой структуре. В
[18] разработан следующий алгоритм. Перепишем (8.64):
Н (?) = У (г)1Х (г) = Al (г)-,
, . aLo + aLi г-1-!- ... +aLL z~L
(z) = —-----------------------------Z7
bL0 + blA 2-1 + ••• + bLL 2
(8.65)
(8.66)
Здесь X и Y — преобразования входного и выходного сигналов,
индекс L — размерность фильтра, а &ьо предполагается всегда
1 В отличие от гл. 7 здесь для симметрии полагаем, что коэффициенты Ь
имеют знак.
155
равным 1. Из (8.66) построим последовательность полиномов бо-
лее низкого порядка для 1 = L, L—1, ..., 1:
z Ci (z) = z~l Bt (г-1); (8.67)
Ki—i = Ьц ; (8.68)
Вг_! (z) = В‘(г) ~ Kl~l zCll- ; (8.69)
1 — */-1
vz = аи ; (8.70)
A-i (z)=A[ (z)-vlzCt (г). (8.71)
Здесь введены ю_, и V/ для 1=1, 2, ..., L. Кроме того, по опреде-
лению, vo А Яоо- Далее эти значения коэффициентов к и v будут
использованы в качестве коэффициентов решетки. Для того что-
бы показать это, отметим, что многократной подстановкой равен-
ства (8.71) можно получить
Al (z) = Al-\ (z) + vL zCL (z) =
= Al-2 (z) + V zCl-i (z) + VL zCl (z) =
= 710 (z) + vx zCr (z) + ... + v/_ Z Cl (z). (8.72)
Но по определению 40(z) =a00=v0 и из (8.64) имеем
г Co = Bo (г-1) = Bo (z) = &00 = 1. (8.73)
Следовательно, можно переписать (8.72):
Ль(г)= S VizCi(z). (8.74)
1=0
Подставляя z-преобразование сигналов из (8.65), получаем
Y (г) = S X (z) vi г-^- . (8.75)
/=о Bi (г>
(8.76)
Это соотношение будет использовано для описания решетчатой
структуры, но сначала необходимо получить один дополнительный
результат. В [19] показано, что
Г Bi (?) 1 Г 1 Ki-i 1 Г Bi-i (z)
_Cz(z)J z~' J LCz-i (?)
Доказательство этого соотношения здесь не приводится, а лишь
иллюстрируется ниже в примере. Можно переписать (8.76) для
элемента решетки, на основе которого затем формировать решет-
чатую структуру в соответствии с (8.65). Из (8.76) имеем
Bi (z) = В^ (z) + M—i G-i (z)>
или
Bi-1 (Z) = Bt (z^-Ki-y z-1 [zCz_x (z)],
(8.77)
Ct (z) = z-1 (z) + z-1 Q-! (z),
156
Рис. 8.10. Элемент решетки с двумя устройствами умножения, соответствующий
выражениям (8.77) и (8.78)
ИЛИ
zCt = В^ (z)+z-’ [zCt^ (г)]. (8.78)
Если в качестве z-преобразования входного сигнала взять
X (z)/BL(z), то, как показано на рис. 8.10, выражения (8.77) и
(8.78) реализуют элемент решетки. Отметим, что все суммируе-
мые входные сигналы являются положительными, а направление
сигнала обозначается стрелкой.
Объединим теперь эти элементы решетки в каскадную струк-
туру, как показано в примере на рис. 8.11 для L = 3. В правой
Рис. 8.11. Пример решетки с L=3 на основе элемента с двумя устройствами,
умножения
157
части этой структуры имеются два узла, для которых I—1=0 в
схеме на рис. 8.10, т. е.
v u X (z) Вл (z) X (z) /q 'ТПХ
правый верхний сигнал^ —у- , (8.79)
о о z X (z) Сл (z) X (z) /q ол\
правый нижнии сигнал= —я Д' - = -д Д . (8.8U)
I2/ dL
Это следует из (8.73). Поскольку эти сигналы равны, оба узла
в правой части схемы на рис. 8.11 всегда соединены.
В левой части структуры имеются узлы, для которых l = L в
схеме на рис. 8.10, поэтому
X BL & V / \ (R ЙП
левый верхний сигнал = ----------- = A(z). (о.81)
BL (г)
Таким образом, найден входной сигнал структуры Xk. Из рис. 8.10
видно, что в каждом узле нижней части структуры на рис. 8.11
формируется член суммы (8.75), и, таким образом, решетчатая
структура эквивалентна обычной реализации формулы (8.64).
В [27] доказана теорема, утверждающая, что полюсы функции
(8.64) находятся внутри круга |z| = l, если |«/|<1 для всех I.
Поэтому при | к, | < 1 решетка является устойчивой.
Перед тем как привести пример, отметим, что можно получить
лестничную структуру, эквивалентную схемам на рис. 8.10, 8.11.
Для этого подставим (8.77) в (8.78):
zCl(z) = kl-lBl(z) + z-i (1-kLi) teCbi(z)]. (8.82)
Равенство (8.82) описывает элемент лестничной структуры на
рис. 8.12, который является эквивалентом элемента (8.77) на
рис. 8.10. Кроме того, существует элемент решетки с одним пере-
множителем; еге коэффициенты получены в [18].
В качестве более конкретного примера решетчатой структуры
рассмотрим решетку, полученную преобразованием фильтра вто-
рого порядка. Из (8.67) — (8.71) имеем
z С2 (z) = z—2 + bY z~1 + b2,
Ki = b2 ; (8.83)
v2 = a2, (8.84)
A (z) = aQ - a2 b2 + (ar - a2 bj z~'
и
zCt (z) = z->
«о = W + b2), (8.85)
Bo (z) = 1 ;
Vx = Oi — a2 br; (8.86)
v. - A W - a. - a, bs - . (8.87)
1 “Г
158
Рис. 8.12. Элемент лестничной структуры с тремя устройствами умножения,
эквивалентный приведенному на рис. 8.10
Отсюда легко найти коэффициенты обычной структуры, выражен-
ные через коэффициенты решетчатой структуры. Результаты при-
ведены в табл. 8.2. Отметим, что для устойчивости системы | Ь21
должен быть меньше единицы.
Таблица 8.2. Преобразования коэффициентов для L = 2
Коэффициенты решетки Коэффициенты обычной структуры
о II ° 1 , II « II о. — а I + | •° -4- “ а с- ~ 1 to to *3 £ > 1 а со to «О = У> + Т1К0 + V2Ki ai = Vi + va«\> (1 + щ) ~== ^2 bi — Ko (1 4- Kj)
Рассмотрим теперь два частных случая общей решетчатой
структуры. На рис. 8.13 приведена схема первого примера, для
которого в (8.64) полагаем
а0=1, (8.88)
а1 = а2 ~ — 0,
и тогда передаточная функция не имеет нулей и обладает толь-
ко полюсами. Подставляя (8.88) в (8.70) и (8.71), находим
vL = vL_i = ... = Vj = 0,
v0=l. (8.89)
Таким образом, схема на рис. 8.13 представляет собой вариант
схемы на рис. 8.11 с передаточной функцией без нулей. Из (8.73)
видно, что выходной сигнал в правой части схемы равен У(г) =
=X(z)/BL(z). Данная схема является лишь частным случаем об-
щей решетчатой структуры. Отметим, что система, приведенная
на рис. 8.13, устойчива тогда, когда |/Q| < 1 для всех I. Другой
159
Рис. 8.13. Вариант схемы без нулей, приведенной на рнс. 8.11, при £=3, у0=
= 1, 'Yi=Y2=Ys=0 и //(z) = 1/B3(z) в (8.65)
частный случай представляет собой систему с передаточной функ-
цией без полюсов, которую можно получить преобразованием ре-
шетки с передаточной функцией без нулей. Для этого перепишем
(8.77) и (8.78) в виде
Sz(z) = Sz_1(z) + ki_1z-> [zC^(z)], (8.90)
zCi = (z) +z-‘ [zC^ (z)]. (8.91)
Схема преобразованного элемента решетки рис. 8.10 приведе-
на на рис. 8.11, где X(z)—^-преобразование входного сигнала.
Объединяя эти элементы в решетку, имеем структуру, пример ко-
торой для L = 3 представлен на рис. 8.15. Из (8.73) имеем на
входных узлах левой части решетки X(z), а в правой верхней ча-
сти—полезный выходной сигнал, z-преобразование которого не
имеет полюсов
Y (z) = BL (г) X (z);
Hf(z)^ S btz-1-, ba=\.
1=0
(8.92)
Таким образом, на рис. 8.15 имеем решетчатую структуру транс-
версального (гл. 2) или нерекурсивного (гл. 7) фильтра с началь-
ными весовыми коэффициентами, равными 1. В нижней правой
1 Здесь для простоты вместо bL> записано bi.
Рис. 8.14. Вариант элемен-
та решетки с двумя уст-
ройствами умножения, при-
веденного на рис. 8.10
160
- Л В,
Рис. 8.15, Вариант схемы на рис. 8.13 без полюсов па основе элемента решетки
па рис. 8.14 при Д = 3, ///(г)=В3(г) и Нь (г) =г^3В3(г-1)
части на рис. 8.15 получен вторичный выходной сигнал, что соот-
ветствует передаточной функции
Hb (z) = z~~L BL(,z~1} S bL^z~i- й0=1. (8.93)
/=о
Видно, что решетка на рис. 8.15 с передаточными функциями
(8.92) и (8.93) функционирует как одношаговое устройство пред-
сказания. Рассмотрим эквивалентную схему этого устройства,
представленную на рис. 8.16. На рис. 8.16,а приведена система,
ранее показанная на рис. 1.4, причем задержка предсказания
М—1, а фильтром предсказания является адаптивный линейный
сумматор с весовыми коэффициентами [—tn]. Отметим, что по-
скольку I начинается с 1, схема на рис. 8.16,а представляет со-
бой одношаговое устройство предсказания. Как следует из прн-
Рис.
один
8.16. Предсказание на
шаг (а) и фильтрация
по одному шагу (б)
б)
6—12
161
Рис. 8.17. Адаптивная решетка предсказания на один шаг с L = 3
веденной на рис. 8.16,а второй эквивалентной схемы, передаточ-
ная функция устройства — Hf(z) (8.92), поэтому выходной -сиг-
нал £/(z) называют ошибкой предсказания. Предсказание теку-
щего отсчета х,, осуществляется по первым L предыдущим отсче-
там ОТ Хй-1 до Xk-L.
Аналогичным образом выходной сигнал схемы на рис. 8.16,6
представляет собой ошибку фильтрации. Здесь измерение отсчета
хи~! осуществляется по отсчетам от хь. до лц-ь+ь В этом случае
весовыми коэффициентами являются [—Ьд-i]. На нижнем
рис. 8.16,6 приведена эквивалентная схема, описываемая форму-
лой (8.93). На рис. 8.17 представлена полная схема для L = 3, в
которой вычисляются ошибки предсказания и ошибка измере-
ния еъь. Здесь показаны весовые коэффициенты к0, ..., kl, поэтому
устройство может быть адаптивным. Промежуточные сигналы
предсказания и измерения обозначены соответственно s[h и s'lk',
они будут использованы для анализа в -следующем разделе. Та-
ким образом, для рассматриваемой схемы
Soft = Sq^ xh,
sr+i.ft = sik \ П
si+i ,k ~ sift si,k—i ’ 0 Z A 1 ; (8.94)
eIft — SLk 1
ebft = SLk
Адаптивная решетка предсказания сигнала
На рис. 8.17 одношаговое устройство предсказания представ-
лено в виде решетчатой структуры, в которой коэффициенты [«г]
должны быть изменяющимися во времени или адаптивными. Дру-
гие решетчатые структуры, приведенные на рис. 8.11 и 8.13, так-
же могут быть (и в действительности являются) адаптивными
[26], но адаптивные решетки в основном используют для пред-
сказания сигнала, особенно при обработке речевых сигналов.
Для адаптации решетки на рис. 8.17 следует изменить все
коэффициенты к так, чтобы минимизировать СДО предсказания
162
Е[е2/]. Однако наилучшим способом [28, 29] является минимиза-
ция СКО каждой ячейки E[s2z+i] вместо коррекции каждого к,
при этом из (8.94) Е[е2у] =£[s2b]-
На рис. 8.17 и в (8.94) sih и s'/й — ошибки предсказания и из-
мерения. Для обозначения различных среднеквадратических зна-
чений этих ошибок запишем аналогично тому, как это сделано в
гл. 7, корреляционные функции
л
ф/ (л) = Е Sbk+nl’
Ф/ (п) = Е [s(ft sz,fe+„], (8.95)
д . •
<pz (n) = E [S/£
Положим теперь, что сигналы в решетке являются стационарными
Прежде всего рассмотрим функции фг(п) и ф" (п). Определяя
среднеквадратическое значение (8.94), имеем
Ф1+1 (л) = £[(% + *i s]^) (st,k+n + Kl s] ^-,)] =
= к^<р’' (n) +Ki [ф[ (1 -«) + ф[ (1 +»)] +фг (и), (8.96)
Ф;+1 (п) ~ Е [(М slk (#г sz./i+n +sz.fe4-n-i)] =
= к2фг (п)+к1 [ф[ (1 - п) +ф[ (1 +«)] +ф" (п). (8.97)
Для левой части решетки
Фо (л) = Фо (°) = Е xft+nL (8.98)
Можно показать, что при подстановке (8.98) в (8.96) и (8.97)
Ф1(л)=ф"1(п), тогда ф2(п) =ф/х2(«) и т. д„ откуда
Фг+i (л) = ф,+1 («) = (kJ + 1) ф/ («) + М [ф/ (1 - «) + ф[ (1 + «)]. (8.99)
Если к> корректируется в каждой ячейке для минимизации
ошибки предсказания E[s2z+i, ft] =ф/+1 (0), то из (8.99)
g<pi+i (Q) ^г^ф; (0) + 2Ф; (1) = 0
dKi
ИЛИ
/С* = — ф' (1)//Фг (0). (8.100)
Звездочка здесь использована для обозначения оптимального зна-
чения Ki. Для доказательства того, что к* является оптимальным в
том смысле, что достигается минимум не только cpz+i (0), но и СКО
предсказания Фь(0), необходимо, использовав рекурсивную фор-
мулу (8.76), найти для каждой ячейки оптимум Bz(z). В [30, 31]
получены алгоритмы вычисления оптимальных весовых коэффи-
циентов фильтра. Не повторяя приведенного в этих работах выво-
да, рассмотрим решетку с двумя ячейками и коэффициентами
Ко И К].
6*
163
Для этой решетки из (8.99) получаем СКО
<р2(0)-(к? + 1)ф1(0) + 2«1Ф;(1). (8.101)
Отсюда снова можно найти выражение для <pi на основе (8.99) и
<p'i исходя из общего соотношения
Ф/+1 («) = + s’J;1) (к; slth+n + sz\fe+n_1)] =
+ к] <p, (1 — и) + 2 кг Фг (п) + <pz (п + 1), (8.102)
которое, в свою очередь, следует из (8.95). В обоих случаях cpi (0)
и ф'1(1) не являются функциями от кд, поэтому в соответствии
с (8.100) можно минимизировать <р2(0) по к}. При ki = k*i =
= —<р'1 (1)/ф1 (0) имеем
[ф2 (0)]mln- +1 ) Ф1 (0) —
\ Ф?(0) )
-2^^ = Ф1 (0) — ф'/(1)/ф! (0). (8.103)
Ф1 (°)
Теперь необходимо найти значение Ко, минимизирующее (8.103).
Если находить к0 в соответствии с (8.100), то минимизируется
Ф1(0) в (8.103), и его производная по к0 должна быть равна
нулю. Таким образом, для минимизируемого по к0 [<р2(0)]min про-
изводная последнего члена в (8.103) также должна быть равна
нулю. (Поскольку максимальное значение не ограничено, решение
должно привести к минимуму.) Следовательно, из (8.102)
Э<Р| (1)
.-2/<0ф(; (0) + 2 ф0 (1) = 0 ;
k0= - Xk+,i- = _ 1112 . (8.104)
Ф>) Фо(О)
Таким образом, показано, что к*0 в (8.100) является оптималь-
ным весовым коэффициентом, минимизирующим гр2(0), а также
Ф1(0). Такой же результат можно получить, если оптимизировать
адаптивный линейный сумматор, а затем преобразовать коэффи-
циенты по табл. 8.2, как это делается в упражнениях 24—26.
Отметим, что глобальный минимум в рассмотренном примере
достигается только тогда, когда /<о и Ki принимают свои оптималь-
ные значения. Поэтому можно считать, что процесс сходимости
в адаптивной решетке проходит примерно от одной ячейки к дру-
гой, при этом осуществляется поиск К;, минимизирующего <pz+i(O),
сначала для 2=0, затем для 1=1 и т. д. В адаптивном линейном
сумматоре такого процесса сходимости не происходит.
Из (8.100) можно вывести алгоритм наименьших квадратов
адаптивной решетки для предсказания сигнала. Для этого най-
164
дем оценку градиента СКО <pz+i (0), используя, как и ранее, гра-
диент самой квадратической ошибки:
= ds‘+'.-k = 2s;+1,ft dS^-h- = 2 sl+1,h s’ (8.105)
dKi dKi OKi ‘.к i
Окончательное выражение получается дифференцированием sz+i,&
в (8.94). Далее, как и в (6.3), подставляем оценку градиента в
выражение (4.36) для алгоритма наискорейшего спуска и полу-
чаем алгоритм наименьших квадратов для решетки:
к . _ к .. д Фг+i (0) =
Ki — ки< — рг & —
= K;;i-2p; s[ , 0</^L- 1.
(8.106)
Значения сигналов вычисляются здесь в соответствии с (8.94).
Следует предположить, что не зависящий от времени параметр
ц/ различен для каждой ячейки согласно [28], где, по существу,
приводится тот же алгоритм.
Прежде чем рассматривать применение алгоритма (8.106), ос-
тановимся кратко на анализе области значений параметра щ для
каждой ячейки решетки. Полагая, что оценка градиента является
точной, подставляем производную от (8.99) в (8.106):
ft+1 = Klk - пг [2 klk <рг (0) + 2 <р; (1)]. (8.107)
Введем теперь весовой коэффициент б/, который получен преоб-
разованием коэффициента к; по аналогии с преобразованием век-
тора V в вектор W (3.29):
= (8.Ю8)
Подставляя это выражение, а также (8.100) в (8.107), имеем
= 2 цг [(би + О Фг (0) + Ф] (1)] =
= 61к-2И! Г(бг&— ~Фг (0)+<р[ (1) =
L \ фг (°) '
= 6lh [1 - 2 ip <р; (0)] = [1 - 2 Ф/ (0)р+> бго. (8.109)
Поскольку 6iu должны сходиться к нулю, можно заключить, что
необходимым условием сходимости является
0 < < 1/2 <рг (0). (8.110)
Для применяемых на практике адаптивных решеток можно
вычислить <рг (0), усреднив s2;k повеем предшествующим значениям,
и тем самым проверить выполнение условия (8.110) для цг. Как
и для адаптивного линейного сумматора, эти параметры сходи-
мости определяют как значения ошибки.
165
На рис. 8.18—8.21 показан пример функционирования устрой-
ства предсказания сигнала. Схема устройства представлена на
рис. 8.18, где, как и в предыдущих примерах, предсказываемый
сигнал является суммой синусоидального колебания и шума. Ус-
тройство осуществляет предсказание сигнала хк вперед на один
временной отсчет. Таким образом, производится выделение из хь.
синусоидального колебания и подавление непредсказуемой сос-
тавляющей белого шума rh. Полагаем, что мощность выходного
сигнала £[e2h] равна мощности шума £[r2ft].
Автокорреляционная матрица сигнала Хц, определенная ра-
нее выражениями (2.20) и (6.13),
R -
(8.111)
Ро Pi Рг
Pi Ро Pi ’
Рг Pi Ро _
р0 = 0,5 + Е [г\],
р, = 0,5 cos (2л/А),
р2 = 0,5 cos (4л/А).
Рис. 8.18. Схема устройства предсказания на один шаг, используемого в каче-
стве примера
Рис. 8.19. Проекция сечений функции и траектория сходимости весовых коэф-
фициентов по алгоритму наименьших квадратов для приведенной на рис. 8.18
адаптивной решетки предсказания при #=16, £[/+] ==0,01, Цо=О,О5, Ц1 = 0,1.
Траектория содержит 200 итераций
166
Рис. 8.20. Проекции сечений рабочей функции и траектория сходимости весовых
коэффициентов по алгоритму наименьших квадратов, аналогичные приведенным
на рис. 8.19, при замене адаптивной решетки на адаптивный трансверсальный
фильтр для ц = 0,1 и нулевых начальных значений весовых коэффициентов.
Траектория содержит 300 итераций
0,4—j—
Рис. 8.21. Обучающие кривые адаптивного трансверсального устройства пред-
сказания и адаптивной решетки. Приведенные кривые почти одинаковы
В данном примере рассмотрим решетку с двумя ячейками и весо-
выми коэффициентами Ко и Ki. Из (8.98), (8.99) и (8.102) можно
получить следующее выражение для рабочей функции:
| = <р2 (0) = (к? + 1) Ф1 (0) + 2К] ф! (1) =
= (/с? + 1) [(«о + 1) Po + 2koPt] +2К] [«о Ро + 2к0 Pi + Рг1 • (8.112)
167
Очевидно, что эта рабочая функция — квадратичная по каж-
дому весовому коэффициенту, но в отличие от адаптивного транс-
версального фильтра проекции сечений графика рабочей функ-
ции для фиксированных значений не являются эллиптическими.
На рис. 8.19 построены проекции сечений рабочей функции
(8.112) и показана характерная траектория адаптации. Отметим,
что, как обсуждалось ранее, к0 является независимым, т. е. для
любого значения Лд коэффициент к0 можно независимо характе-
ризовать для поиска его оптимального значения. Эта процедура
рассматривается ниже, при этом приняты следующие параметры:
М=16; £ [ГН = 0,01; = 0,05; = 0,1. (8.113)
Эти значения ц удовлетворяют неравенству (8.110), когда /с0<1
и Фо (0) = ро = О,51 (или <ро(0) <0,51). Так же, как и для адаптив-
ного линейного сумматора, в данном случае обычно выбирают
значение параметра р, равное 0,1 от верхней границы неравенства
(8.110). Отметим, что кривая на рис. 8.19 приблизительно сов-
падает с кривой для метода наискорейшего спуска. В соответст-
вии с (8.99), (8.100) и (8.102) оптимальные значения весовых
коэффициентов составляют:
^11= — — = —0,906, 1
Ч’о (0) Ро
(8.114)
Ко = -
*
/С1 = -
41(0) Ро —РТ 1
Кривая на рис. 8.19 достигает окрестности оптимальных значе-
ний весовых коэффициентов менее чем за 200 итераций.
Для сравнения с примером на рис. 8.19 на рис. 8.20 представ-
лен тот же адаптивный процесс, но здесь вместо адаптивной ре-
шетки применен адаптивный трансверсальный фильтр. В этом
примере проекции сечений рабочей функции эллиптические. Око-
ло точки jmtn график рабочей функции достаточно плоский, од-
HSKO ДЛЯ ДОСТИЖеНИЯ окрестности ТОЧКИ ^min при ц = 0,1 необхо-
димо около 300 итераций. Решетчатая структура для предсказа-
ния сигнала обладает тем преимуществом, что каждая ячейка
имеет свой, отличный от других, параметр сходимости, выбира-
емый из условия (8.11), и в общем случае это позволяет осуще-
ствлять процесс адаптации быстрее, чем для обычного метода на-
именьших квадратов [34]. (В примерах на рис. 8.19 и 8.20 ис-
пользована одна и та же случайная последовательность.)
На рис. 8.21 представлены обучающие кривые для обоих ви-
дов устройств предсказания. Среднеквадратическая ошибка оце-
нивается здесь усреднением каждого еЛ; по десяти ближайшим зна-
чениям. Для полученных таким образом параметров ц0, fii и р, и од-
ной и той же случайной последовательности обе обучающие кри-
вые почти одинаковы. Отметим, что установившееся значение g
примерно равно 0,05. Поскольку £[г2Д=0,01 и осуществляется
168
предсказание синусоидального колебания, §min=0,01, а относи-
тельное среднее значение СКО М в этом случае должно быть рав-
но примерно 4.
Аналогично тому, как это сделано выше для адаптивного ли-
нейного сумматора, можно вывести алгоритм последовательной
регрессии (т. е. алгоритм, приближенный к методу Ньютона) для
адаптивной решетки. Из (8.99) имеем СКО на выходе Z-ii ячейки
решетки:
<р;+1 (0) = (к2, + 1) Ф; (0) + 2Kl Ф, (1). (8.115)
Найдем производную (8.115) по К/ и назовем ее градиентом:
= фг(0)--2ФД1). (8.116)
дК[
Далее найдем решение уравнения (8.116) для Фф(1), подставим
его в (8.100):
1 Г „ „ /л\ , 1 д <p/+i (0) ]
~ к{ —-------— fe1 (о>- . (8.117)
2 ,<рг (0) dKi
В результате имеем формулу одношагового алгоритма Ньютона,
аналогичную равенству (4.30) в гл. 4, поэтому, как и в (8.1), ум-
ножим второе слагаемое на ц. Если теперь заменить в (8.105)
градиент на его оценку, то получим формулу алгоритма последо-
вательной регрессии, сравнимую с выведенной выше:
к ~к L, 1
l’h+1 lh F <pz (0) dKi
= Kik “7"sz+i.fcSM—i • (8.118)
<pz (0)
Для адаптивного линейного сумматора необходима оценка матри-
цы R, поэтому в данном алгоритме требуется оценка Ф;(0) =
= E[s2lh]. Для нестационарных условий процесса адаптации вво-
дятся, как и в (8.21), коэффициенты при отсюда оценка
Plk * Ф;й (0) = S <*к~‘ & . (8.119)
1 — а /—о
Многократно подставляя (8.119), получаем следующую рекурсив-
ную формулу:
pik = , [(1 - «) sjk + а (1 - аД (8.120)
1 — 1
При нулевых начальных условиях и выбранном в соответствии с
(8.44) а полный алгоритм последовательной регрессии для ре-
шетки
169
Начальные условия:» « 2"|/АЛИИа стационарного алмента сшнала; 0<р< 1; Pio— мощность сигнала; К!о= 0; 0 /< ц При 0^l<L pih= . ft+1 К1 a)s7fe+a(l afe)PJ>ft-i], /г > 0; 1 — a ‘ Ki,k+i = Kik—~~ si+i,kSi’ k-i’ Plh (8.121)
Как и для алгоритма наименьших квадратов (8.106), полага-
ем, что значения сигналов вычисляются в соответствии с (8.94).
В действительности, как видно из (8.106) и (8.121), для решетки
алгоритмы наименьших квадратов и последовательной регрессии,
по существу, являются одинаковыми, за исключением того, что в
(8.121) оценка <pz(0) осуществляется на каждом шаге. На рис. 8.22
показана кривая для алгоритма последовательной регрессии в
рассматриваемом примере. Отметим, что здесь кривая несколько
ближе к оптимальной, чем на рис. 8.19.
Итак, в данном подразделе рассмотрено использование адап-
тивной решетки в качестве устройства предсказания. Одним из ос-
новных ее приложений являются устройства сжатия речевого сиг-
нала, в которых осуществляется предсказание речевого сигнала
с помощью адаптивной решетки, длина которой достаточна для
формирования выходного сигнала, близкого к белому шуму [35].
Рис. 8.22. Проекции сечений рабочей функции и траектория сходимости весовых
коэффициентов по алгоритму последовательной регрессии для адаптивной ре-
шетки предсказания, приведенной на рис. 8.18, при jV=16, £[г2ь] =0,01,
= 0,02, а=0,9. Траектория содержит 200 итераций
170
Значения коэффициентов решетки записываются с относительно
низкой скоростью. Затем для восстановления речевого сигнала по
этим коэффициентам строится решетка с передаточной функцией
без нулей и изменяющейся во времени структурой (рис. 8.13),
управление которой осуществляется формируемыми для нее шу-
мовыми последовательностями. Восстановленный речевой сигнал
снимается с выхода решетки без нулей. Основное преимущество
применения здесь решетки состоит в том, что она всегда является
устойчивой, т. е. нули устройства предсказания и полюсы восста-
навливающего устройства находятся внутри круга единичного ра-
диуса при условии, что | к;| <0 для
Адаптивные фильтры ортогональных сигналов
В предыдущем подразделе рассмотрено, как можно для мини-
мизации конечной ошибки предсказания независимо корректиро-
вать весовые коэффициенты адаптивной решетки, используя в со-
ответствии с (8.106) промежуточные сигналы. Вследствие этого
свойства сигналы внутри решетки являются ортогональными. В
каждой ячейке сигнал ошибки некоррелирован с другими сигна-
лами ошибки. В данном разделе обсуждаются аналогичные адап-
тивные фильтры ортогональных сигналов.
Такие адаптивные структуры изучаются для того, чтобы сох-
ранить простоту метода наименьших квадратов и в то же время
использовать некоторые преимущества таких более сложных ал-
горитмов, как идеальный алгоритм и алгоритм последовательной
регрессии. Из всех алгоритмов метод наименьших квадратов тре-
бует меньше всего вычислений на один цикл итераций и наимень-
ший объем памяти. Более того, он легче описывается математи-
чески и является простейшим с точки зрения реализации и по-
нимания. В гл. 6 рассмотрено его использование для коррекции
весовых коэффициентов трансверсального фильтра с целью мини-
мизации СКО. Однако было показано, что в случаях, когда соб-
ственные значения существенно различаются, для других алго-
ритмов процесс адаптации часто может проходить быстрее, чем
для метода наименьших квадратов.
Для заданного уровня относительного среднего значения СКО
при большом разбросе собственных значений применение метода
Ньютона или какого-либо другого способа ортогонализации вход-
ных сигналов относительно адаптивных весовых коэффициентов
может привести к более быстрой адаптации, чем использование
одного только метода наименьших квадратов. Преимущества вве-
дения ортогонализации рассматриваются в [36].
Здесь описываются два способа ортогонализации, предназна-
ченной для обработки сигналов перед их окончательным сумми-
рованием с весовыми коэффициентами. Один из этих способов
основан на применении решетчатых фильтров, в другом ис-
пользуется дискретное преобразование Фурье (ДПФ), Другие
171
Рис. 8.23. Схема адаптивного фильтра с разложением на ортогональные сигналы
способы [37], использующие процедуру ортогонализации Грама —
Шмидта, находят применение в адаптивных антеннах.
Первый из рассматриваемых способов ортогонализации, осно-
ванный на ДПФ, предложен в [38]. Схема адаптивного фильтра
для этого способа приведена на рис. 8.23. Входной сигнал пода-
ется на элементы задержки с отводами, соединенными с вычисли-
телем ДПФ с многими входами и многими выходами, который
описан в гл. 7. При поступлении каждого нового отсчета вход-
ного сигнала данные продвигаются в линии задержки на один
шаг и осуществляется вычисление нового ДПФ. Каждый из вход-
ных сигналов ДПФ соответствует заданной полосе частот. Можно
сказать, что используемое таким образом ДПФ реализует набор
полосовых фильтров, равномерно заполняющих полосу частот от
нуля до частоты, равной половине частоты отсчета.
Выходные сигналы ДПФ па рис. 8.23 представляют собой ди-
скретные комплексные функции номера отсчета k. Они являются
слабокоррелированными, поскольку находятся в различных час-
тотных полосах. Эти сигналы не являются полностью некоррели-
рованными из-за того, что полосовые фильтры ДПФ частично пе-
рекрывают некоторые частотные составляющие сигналов [6].
В схеме на рис. 8.23 комплексные выходные сигналы вычис-
лителя ДПФ умножаются на комплексные адаптивные весовые
коэффициенты, в результате чего формируются также комплекс-
ные величины ук. Предполагается, что действительный полезный
сигнал представляет собой комплексный сигнал, мнимая часть ко-
торого равна нулю. Следовательно, вычисляемый в процессе адап-
172
тации сигнал ошибки также является комплексным. Хотя уъ —
комплексная величина, ее мнимая часть, в общем случае мала,
поскольку полезный отклик является действительной величиной.
Адаптация весовых коэффициентов осуществляется в соответст-
вии с алгоритмом наименьших квадратов в комплексной фор-
ме [39]: _
Wh+1 = Wft + 2nefeX(i.
Здесь черта над Х/г обозначает комплексно-сопряженную величи-
ну. В соответствии с этим алгоритмом вектор весовых коэффици-
ентов Wft сходится в среднем к оптимальному вектору, при кото-
ром минимизируется сумма средних квадратов действительной и
мнимой частей сигнала ошибки.
Положим, например, что входной сигнал xh на рис. 8.23 пред-
ставляет собой чистый синусоидальный сигнал, содержащий N
отсчетов за период. Тогда единственный ненулевой сигнал вычис-
лителя ДПФ является входным сигналом умножителя на коэф-
фициент Wik, представляющий собой синусоидальный сигнал с за-
данными амплитудой и фазой, изменяющейся по линейному за-
кону. Предположим далее, что полезный выходной отклик dh
является синусоидальным сигналом и имеет ту же частоту, что и
входной сигнал. Тогда для сведения сигнала ошибки е?г к нулю
необходимо, чтобы весовой коэффициент Wtk сходился к постоян-
ной комплексной величине, при которой амплитуда и фаза дей-
ствительного выходного сигнала ук равны амплитуде и фазе по-
лезного отклика dJlt а все остальные весовые коэффициенты схо-
дились к нулю.
Можно повышать эффективность процесса адаптации в схеме
на рис. 8.23, если нормировать каждый из выходных сигналов вы-
числителя ДПФ, с тем чтобы они имели равные уровни мощно-
сти. Для этого необходимо ввести коэффициенты, обратно про-
порциональные квадратному корню из среднего значения мощно-
сти соответствующего выходного сигнала вычислителя ДПФ. По-
лученный в результате этого алгоритм является очень эффектив-
ным для случая, когда собственные значения существенно отли-
чаются друг от друга.
Импульсная характеристика обычного трансверсального филь-
тра непосредственно определяется весовыми коэффициентами от-
водов. Кроме того, для схемы на рис. 8.23, осуществляющей! ор-
тогонализацию в частотной области, весовые коэффициенты не-
посредственно определяют как амплитудную, так и фазовую ча-
стотные характеристики.
В схему ортогонализации на рис. 8.23 включено устройство
предварительной обработки с заданным алгоритмом работы в ви-
де вычислителя ДПФ. На рис. 8.24 представлена * схема ортого-
нализации, в которой используется адаптивный решетчатый
фильтр. Интересно отметить, что процесс адаптации весовых ко-
эффициентов к решетки зависит только от входного сигнала и
не зависит от полезного отклика, а процесс адаптации выходных
173
Рис. 8.24. Схема адаптивного трансверсального фильтра, реализующего алго-
ритм Гриффитса, в виде решетки с разложением на ортогональные сигналы
весовых коэффициентов w определяется как входным сигналом,
так и полезным откликом. В соответствии с [23] адаптация всех
весовых коэффициентов может проводиться методом наименьших
квадратов.
При сходимости весовых коэффициентов решетки к к опти-
мальным, при которых соответствующие сигналы ошибки мини-
мизируются по среднему квадрату, выходные сигналы решетки
(или входные сигналы, умноженные на w) являются ортогональ-
ными и, следовательно, как показано выше, некоррелированными.
Адаптацию весовых коэффициентов w можно легко осущест-
вить методом наименьших квадратов, при этом выходной сигнал
системы уь является наилучшим среднеквадратическим прибли-
жением полезного отклика dh.
С теоретической точки зрения весовые коэффициенты решетки
на рис. 8.24 должны настраиваться так же, как в схеме на рис.
8.17, т. е. Ki = kzi; k2 = kz2 и т. д. Однако из-за шумовой составля-
ющей весовых коэффициентов, возникающей в процессе адапта-
ции, эта настройка будет неточной. Точную настройку можно под-
держивать, если начинать адаптивный процесс с настроенными
весовыми коэффициентами и на каждом цикле адаптации усред-
нять соответствующие поправки.
В работах [40—46] предложены другие алгоритмы адаптации
коэффициентов к и w для схемы на рис. 8.24. При использовании
статистических данных о входном сигнале эти алгоритмы так же
эффективны, как метод Ньютона. В [23] подчеркивается, что для
метода наименьших квадратов важно осуществлять нормирова-
ние мощности (или выбирать соответствующие значения р. при
адаптации коэффициентов к и w методом наименьших квадратов).
Из-за изменений весовых коэффициентов предыдущих ячеек ре-
шетки сигналы в решетчатой структуре являются нестационарны-
ми (даже если стационарны входной сигнал лд и полезный сиг-
174
нал du), поэтому оценки мощности различных входных сигналов
устройств умножения на весовой коэффициент необходимо нахо-
дить .методом скользящего окна, аналогичным методу экспонен-
циального окна в (8.121). Подобный метод экспоненциального ок-
на использован в [47].
Алгоритмы ортогонализации и их приложения являются пред-
метом исследования в настоящее время. Оказывается, что они
эффективны в случаях, когда требуется быстрая адаптация с пе-
ременными параметрами, а собственные значения входного сиг-
нала сильно различаются. Однако во многих случаях адаптивная
решетка не имеет существенных преимуществ перед трансвер-
сальным фильтром, который адаптируется по методу наименьших
квадратов, например для некоторых видов нестационарных сиг-
налов, рассматриваемых в [36].
Упражнения
1. Какая информация необходима для достижения идеальной кривой адап-
тации весовых коэффициентов, представленной на рис. 8.1? Почему такой ин-
формации нет в адаптивных фильтрах?
2. Объясните различие между кривыми адаптации весовых коэффициентов
на рис. 8.1 и 8.2.
3. Каково отношение времени адаптации идеального алгоритма к времени
адаптации метода наименьших квадратов? При каких условиях оно равно 1?
4. Выведите формулу вычисления Q/f через Qs-i для алгоритма последо-
вательной регрессии. Какова эквивалентная передаточная функция Н(г) пре-
образования XfcXT), в Ch?
Примечание. В некоторых из последующих упражнений необходимы после-
довательности [sft] и [х*], для которых k=Q, 1000. Однако для работы
на малых ЭВМ их можно укорачивать. Последовательности формируются сле-
дующим образом:
rh = У12 [RANDOM < 1.) — 0,5],
Г 2лй
Sh=sin | ’
xh= f e<40n-fe)/4 u(k — 40(1).
n=0
Последовательность [?/(] — случайный белый шум единичной мощности,
который формируется подпрограммой RANDOM версии 1 или 2 в приложении
А. Синусоидальная последовательность [s&] имеет медленно изменяющийся пе-
риод, последовательность [x*] — группа экспоненциальных импульсов, следую-
щая с интервалами в 40 отсчетов.
5. Ниже приведена схема одношагового устройства предсказания. Запиши-
те формулу алгоритма наименьших квадратов для перестройки wo и кч на каж-
дой итерации. Чему равно максимальное полезное значение параметра |Л?
175

6. По результатам упражнения 5 постройте зависимость е/г от k для Wo =
= 0 и [х = 0,02цша.к. Кроме того, постройте зависимости а'г, и а1: от k. Построй-
те также обучающую кривую, вычисляя при этом £[е2л] усреднением в2Л и 20
ближайших соседних значений.
7. На основании равенства (8.44) запишите в явном виде алгоритм после-
довательной регрессии для устройства предсказания из упражнения 5. Каково
значение |лШах в этом случае?
8. Постройте зависимость ек от k по результатам упражнения 7 при ц =
= 0.1р.тах. Помимо этого постройте зависимости w0 и от k. Постройте также
обучающую кривую по методике упражнения 6.
9. Из (8.44) получите модифицированный алгоритм, последовательной рег-
рессии для случая стационарного сигнала и а=1. Выведите равенство, соот-
ветствующее равенству (8.27). Каково поведение выведенного алгоритма при
неограниченном росте &?
10. Для системы идентификации с бесконечной импульсной характеристи-
кой (рис. 8.8) на основании равенства (8.55) запишите в явном виде выраже-
ние алгоритма наименьших квадратов.
11. Использовав [rft] в качестве входной последовательности, примените
метод наименьших квадратов для системы с бесконечной импульсной характе-
ристикой к схеме на рис. 8.8 при |.i = 0,05, V|=0,005 и v2 = 0,0025. Постройте
зависимости аок, btk, Ь2к и ед от k. Кроме того, постройте обучающую кривую,
аналогичную кривой из упражнений 6 и 8.
12. Докажите, что для достижения устойчивости адаптивного рекурсивного
фильтра второго порядка, т. е. соответствия треугольников, показанных на рис.
8.9, окружностям единичного радиуса па z-плоскости, точка (&ь 62) должна
располагаться внутри треугольников.
13. На представленной ниже схеме показан обеляющий фильтр. При началь-
ном условии Wo = O перестройте весовые коэффициенты так, чтобы адаптивный
фильтр скомпенсировал канал, за исключением задержки распространения г-5.
Запишите алгоритм наименьших квадратов для этого примера и постройте обу-
чающую кривую для |1 = 0,04jimax. Оцените остаточную ошибку £[е2л]КОн.
176
14. Выполните упражнение 13, использовав алгоритм последовательной рог-
рессли для Wo = O, « = 0,95, |iXcl> = 0,05, Qq-^IOOI. Сравните построенную обу-
чающую кривую с обучающей кривой для метода наименьших квадратов.
15. Представленная ниже схема аналогична схеме из упражнения 13, за
исключением того, что сюда включен адаптивный БИХ-фпльтр. Запишите для
этой системы алгоритм наименьших квадратов. Выберите подходящие значения
р, ту и V2 и постройте обучающую кривую. Найдите конечное среднее значение
е2л и сравните с результатами упражнения 13.
16. По данным упражнения 15 постройте зависимости коэффициентов а0(1,
bik и b2k от k.
17. Выполните упражнение 13, используя в качестве входного сигнала оп-
ределенную выше последовательность [хД Объясните различия в полученных
результатах.
18. Выполните упражнение 14, использовав в качестве входного сигнала
последовательность [xft].
19. Выполните упражнение 15, использовав в качестве входного сигнала
последовательность
20. Выполните упражнение 13, использовав линейный алгоритм случайного
поиска, при этом для получения каждой оценки § примите <V = 5 наблюдений,
а ,п — равным параметру из упражнения 13. Доведите о2 до такого значения, при
котором теоретическое относительное среднее значение СКО составит ОД^ты.
21. Постройте решетчатую структуру, эквивалентную приведенному ниже
устройству адаптивного предсказания.
22. Нарисуйте схему решетки, приведенной па рис. 8.13, используя лестнич-
ные элементы с тремя перемиожителями.
23. Постройте решетку с передаточной функцией Н(г) = (г2+2г+1)/(г2—
—г+0,89). Найдите модификацию структуры, в которой осуществляется вычис-
ление и сравнение первых пяти отсчетов импульсной характеристики.
24. Для приведенной ниже схемы устройства одношагового предыскажения
найдите оптимальные значения Ьх и Ьг, выраженные через коэффициенты корре-
ляции входного сигнала.
к
177
25. Преобразуйте схему из упражнения 24 в решетчатую структуру. Вы-
разите коэффициенты решетки через коэффициенты корреляции входного сиг-
нала, использовав при этом результаты упражнения 24.
26. Для решетки предсказания, состоящей из двух ячеек, выразите опти-
мальные весовые коэффициенты через коэффициенты корреляции входного сиг-
нала, использовав при этом равенства (8.100), (8.99) и (8.102). Сравните по-
лученный результат с результатами упражнения 25.
27. Для приведенной ниже схемы постройте зависимость еь от k при £ =
= 0, 1, ..., 500, применив в схеме алгоритм (8.121) при а=0,99, ц = 0,1 и мощ-
ности сигнала, равной мощности входного сигнала.
28. Для устройства предназначения из упражнения 27 постройте зависи-
мости ко, к{ и к2 от k при fe = 0, 1, .... 1000. Объясните ход этих зависимостей.
29. Найдите выражение для рабочей функции устройства предсказания из
предыдущего упражнения в окрестности точки £ = 500.
30. Для системы из упражнения 27 положим, что Sfc = sin(^n/10) и что в
нее включена решетка, состоящая из двух ячеек с коэффициентами kQ и А|.
Найдите выражение для рабочей функции и постройте график, аналогичный
графику на рис. 8.19.
31. Каковы оптимальные значения весовых коэффициентов для системы и»
упражнения 27?
32. Каковы оптимальные значения весовых коэффициентов в системе из
упражнения 27, если вместо последовательности [хь] использовать последова-
тельность [sh]?
33. Для приведенной ниже системы выберите подходящие начальные ус-
ловия п рассмотрите ее работу для Л = 0, 1, ..., 1000 и и, равном 0,2 макси-
мального начального значения в (8.106). Постройте обучающую кривую, при
этом находите оценку £[е2к], усредняя каждое значение e2h и десять ближай-
ших соседних значений. Оцените постоянную времени.
Восьмиэлемент-
ная решетка
34. Использовав вместо Sk последовательность хй, рассмотрите работу сис-
темы из упражнения 33 до момента, когда £[е2л] достигнет установившегося
значения. Объясните соотношение между этим значением, £[г2л] и £[х2й].
35. Пусть на рис. 8.8 Фхх(г) = 1. Чему равны q>dd(0) и Фах(г)?
36. Для системы на рис. 8.8 найдите выражение для рабочей функции
?(оо, Ь2). Вывод начните с равенства (7.65).
37. Покажите, что рабочая функция системы на рис. 8.8 имеет один гло-
бальный минимум в пределах области устойчивости плоскости (&ь Ь2).
178
Часть IV
ПРИЛОЖЕНИЯ АДАПТИВНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
Основная задача заключительной части книги — показать, как теоретические
положения, рассмотренные в предыдущих разделах, внедряются па практике в
различных областях техники. Кроме того, здесь приводятся сведения о методах
расширения спектра, обеляющих (выравнивающих) фильтрах, основах теории
управления и т. д., связанных с применением адаптивной обработки сигналов.
В заключительных шести главах книги рассматриваются следующие основ-
ные виды адаптации в различных вариантах:
1) адаптивное моделирование и его применение в различных системах
(гл. 9), в частности в адаптивных системах управления (гл. 11);
2) адаптивное обратное моделирование и адаптивное управление (гл.
Ю, И);
3) адаптивное подавление помех (гл. 12) и его применение в адаптивных
антенных решетках (гл. 13, 14);
4) адаптивное предсказание (гл. 12).
Все четыре вида адаптации представлены па рис. 1.5 в гл. 1.
Глава 9
АДАПТИВНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ
СИСТЕМ
Моделирование и идентификация систем играют важную роль
в системах управления, в связи и в обработке сигналов. Помимо
традиционного применения в технике моделирование используют
также при изучении социальных, экономических и биологических
систем. Здесь, однако, не рассматривается такая широкая область
приложения, а обсуждается возможность использования простых
адаптивных фильтров в моделировании систем и приводятся при-
меры адаптивной идентификации систем.
Общее описание
Адаптивный фильтр можно использовать для моделирования
функционирования физических динамических систем, которые мо-
жно считать неизвестными «черными ящиками», имеющими один
или более входов и выходов. На рис. 9.1 представлена схема мо-
делирования неизвестной динамической системы с одним входом
и одним выходом. На вход неизвестной системы и адаптивного
фильтра подается один и тот же сигнал. Адаптивный фильтр на-
страивается таким образом, чтобы его выходной сигнал соответ-
ствовал выходному сигналу неизвестной системы в общем случае
по критерию паилучшего среднеквадратического приближения.
179
Шум
неизвестной
Рис. 9.1. Моделирование неизвестной системы с одним входом и одним выхо-
дом без шума (а) и с шумом (б)
Близкое, или, вероятно, полное приближение возможно тогда, ко-
гда адаптивная система обладает достаточной гибкостью, т. е.
имеет достаточное число степеней свободы (перестраиваемых ве-
совых коэффициентов). После адаптации структура и значение
параметров адаптивной системы могут соответствовать или не
соответствовать структуре или параметрам неизвестной системы,
однако взаимосвязь между входным сигналом и выходным от-
кликом будет одна и та же. В этом смысле адаптивная система
становится моделью неизвестной системы. Если входной сигнал
изменяется в широком диапазоне и адаптивная система такова,
что при подходящем выборе ее перестраиваемых параметров воз-
можно такое моделирование, то процесс адаптации, минимизиру-
ющий СКО, приводит к точному моделированию ее параметров.
Во многих практических случаях неизвестная система, кото-
рую необходимо моделировать, является шумящей, т. е. обладает
внутренними источниками случайных возмущений. В таких си-
туациях, если адаптивная модель обладает достаточной гибко-
стью для моделирования динамической характеристики неизвест-
ной системы, ее выходной сигнал полностью соответствует выход-
ному сигналу неизвестной системы, за исключением шумовой со-
ставляющей щ, показанной на рис. 9.1,6 в виде аддитивного шу-
ма относительно выходного сигнала. Внутренний шум неизвестной
системы содержится в выходном сигнале и обычно представляет-
ся в виде аддитивного шума.
В общем случае этот шум некоррелирован с выходным сигна-
лом неизвестной системы. Если адаптивная модель при этом ус-
ловии представляет собой адаптивный линейный сумматор, весо-
вые коэффициенты которого перестраиваются для минимизации
СКО, то можно показать, что выбор оптимальных весовых коэф-
фициентов не зависит от шума неизвестной системы. Это не оз-
начает, что шум неизвестной системы не влияет на сходимость
адаптивного процесса, а говорит лишь о том, что шум не влияет
на среднее значение вектора весовых коэффициентов адаптивной
180
Шум неизвестной
системы
Рис. 9.2. Схема эксперимента по идентификации системы с одним входом, ре-
зультаты которого приведены на рис. 9.3
системы после завершения процесса адаптации. (Этому вопросу
посвящено упражнение 6.) Оптимальный вектор весовых коэффи-
циентов определяется при этом, главным образом, импульсной ха-
рактеристикой моделируемой неизвестной системы и, кроме то-
го, значительно зависит от статистических и спектральных свойств
входного сигнала.
На рис. 9.2 приведена схема идентификации системы с одним
входом. Здесь идентифицируемая система является системой без
полюсов, поэтому полная идентификация возможна при условии,
что L^2. Предположим, что сигнал хь и шум пк представляют
собой некоррелированные случайные последовательности отсчетов
белого шума 1 и в адаптивном трансверсальном фильтре применя-
ется метод наименьших квадратов, при этом
Б М = 1/12, £[щ/] = 1/12 или 0, ц = 0,5. (9.1)
Из (6.35) и (6.38) для этих значений можно определить сред-
нее значение СКО и постоянную времени обучающей кривой. При
отсутствии шума и при £^2
среднее значение СКО = jxgmlntr [R] = 0, (9.2)
т. е. при достаточной размерности адаптивного фильтра gmin==O,
поэтому среднее значение СКО также равно нулю. При добавле-
нии шума гр, адаптивный фильтр с L^2 по-прежнему подавляет
выходной сигнал неизвестной системы, поэтому полностью оп-
ределяется мощностью шума:
^1п=--£Й] = 1/12. (9.3)
! Последовательности формируются с помощью подпрограммы RANDOM
(приложение А). Напри.мер, на каждой итерации Хл = RANDOM(1.)—0.5, а сред-
неквадратическое значение £'[А] = 1/12.
181
Для адаптивного фильтра с L<2 gmin не равно нулю независимо
от наличия или отсутствия шума.
Для белого шума корреляционная матрица входного сигнала
является диагональной, и ее элементы равны Е[х2Д, поэтому по-
стоянная времени сходимости равна
Тско = —— =------------= 6 итераций. (9.4)
СК0 4рЛ 4 (0,5) (1/12) И
Расчеты по (9.2) — (9.4) иллюстрируются примерами на рис.
9.3, где приведены шесть экспериментальных обучающих кривых.
Каждая кривая получена усреднением 100 реализаций на ЭВМ в
соответствии со схемой на рис. 9.2.
Отметим, что для адаптивной системы только с двумя весовы-
ми коэффициентами даже при отсутствии шума Knin^O, т. е. этот
адаптивный фильтр не может полностью идентифицировать сис-
тему. Для адаптивных систем с тремя или четырьмя весовыми ко-
эффициентами наблюдается полная идентификация при отсутст-
вии шума и gmin«l/12 при наличии шума. Во всех случаях по-
стоянная времени равна примерно шести итерациям в соответст-
вии с (9.4).
Рис. 9.3. Обучающие кривые, отражающие процесс сходимости в ходе иденти-
фикации системы с одним входом по приведенной на рис. 9.2 схеме. Каждая
кривая получена усреднением 100 реализации
182
Рис. 9.4. Моделирование неизвестной системы с многими входами и выходами
Из приведенного на рис. 9.4 примера системы с двумя входа-
ми и двумя выходами можно получить способ моделирования си-
стем с многими входами и выходами. Неизвестная система на
рис. 9.4 представляет собой черный ящик с двумя входами и дву-
мя выходами. Полагаем, что его внутренняя структура неизвест-
на. Адаптивный фильтр предназначен для определения соотноше-
ний между входными и выходными сигналами неизвестной систе-
мы и, при возможности, ее структуры. Не зная структуры неиз-
вестной системы, но зная, что она является линейной и не зави-
сит от времени на периоде наблюдения, можно выбрать общую
структуру линейной адаптивной системы, как показано на рис. 9.4.
Положим, что каждый адаптивный фильтр имеет достаточное
число степеней свободы, поэтому после адаптации каждый из
фильтров настраивается на соответствующие составляющие не-
известной системы (т. е. Gji—>Нц, Gas->-^22, G12—*-Hi2,
Конечно, это происходит тогда, когда не коррелированы входные
183
сигналы Xi и хг. Кроме того, хорошее приближение достигается
при коррелированных xt и х2, когда нельзя сформировать xi в
результате фильтрации х2 и наоборот.
Рассмотрим теперь три примера применения методов адаптив-
ного моделирования для решения практических задач: в связи, в
геофизике, в разработке цифровых фильтров.
Адаптивное моделирование многолучевого канала связи
Задача, связанная с многолучевым распространением и состо-
ящая в том, что переданный сигнал поступает в приемник не-
сколькими путями, тем самым создавая помеху в виде эха, по-
ясняется рис. 9.5. Чтобы понять, как применить адаптивное мо-
делирование к задаче многолучевого канала (т. е. к идентифика-
ции импульсной характеристики на рис. 9.5), рассмотрим сначала
кратко метод широкополосной передачи двоичных сигналов по
многолучевому каналу с высоким уровнем шумов [1, 13].
В широкополосной связи каждый вид информации, будь то
нуль или единица, передается в виде последовательности закоди-
рованных символов. При этом единица может быть представлена
конкретной последовательностью, например длиной 32 бита. Тог-
да нуль представляется другой последовательностью длиной 32
опта. Приемник находит корреляционные функции последователь-
ностей и, в зависимости от максимумов этих функций, декодиру-
ет последовательности в единицы или пули. Кодовые последова-
тельности единицы и нуля являются псевдослучайными и строят-
ся таким образом, чтобы они были ортогональными и каждая
имела автокорреляционные функции с максимальным значением
Временной интервал
многолучевости
бремя
Рис. 9.5. Типичный дисперсионный канал и его импульсная характеристика
184
при нулевом запаздывании и близким к нулю в остальных случа-
ях. Такими свойствами обладают последовательности максималь-
ной длины, которые широко используются для решения задач свя-
зи [1]. Эти последовательности имеют очень широкий спектр да-
же при регулярном правиле чередования нулей и единиц (отсюда
термин «широкополосная связь»). Системы такого вида являются
очень эффективными при наличии мощной широкополосной адди-
тивной помехи.
Однако на широкополосную систему рассматриваемого ви ta
оказывает отрицательное воздействие многолучевость. В резуль-
тате многолучевого распространения, т. е. параллельного распро-
странения сигнала от передатчика к приемнику по многим лучам,
имеющим каждый свое время задержки, в точке приема после-
довательность символов искажается. В приемнике отклики от раз-
личных лучей линейно суммируются, что приводит к искажениям.
Совместное использование адаптивных и широкополосных мето-
дов позволяет разделять лучи, т. е. по существу исключить влия-
ние многолучевости.
На рис. 9.6 приведена блок-схема широкополосной системы
связи, функционирующей в простом недисперсионном канале без
многолучевости. Здесь предполагается наличие шума в канале
В соответствии с передаваемой информацией в передатчике под-
ключается псевдослучайная последовательность единицы или ну-
ля и формируется информационный сигнал. Последовательности
как единицы, так и нуля формируются одновременно, синхроип-
Приемник
Рис. 9.6. Структурная схема приемника и передатчика системы
185
знруются устройством синхронизации и повторяются в соответст-
вии с информационной последовательностью. До окончания пе-
редачи всей последовательности нуля или единицы ключ должен
находиться в одном и том же состоянии. Затем в зависимости от
следующего передаваемого бита информации ключ можно оста-
вить в прежнем состоянии или перевести в противоположное. Ин-
формационный сигнал в виде чередующихся последовательностей
единицы и нуля передается по каналу.
С учетом задержки на приемник поступает этот же сигнал,
смешанный с аддитивным шумом канала. Устройство синхрони-
зации приемника формирует временные отсчеты с точно такой же
скоростью, как и устройство синхронизации передатчика, однако
их импульсы сдвинуты по фазе друг относительно друга из-за за-
держки в канале. В приемнике вычисляются взаимокорреляци-
онные функции последовательностей нуля и единицы с принятой
зашумленной последовательностью и при правильной синхрони-
зации на выходе одного из корреляторов формируется макси-
мальное значение автокорреляционной функции. Поскольку в об-
щем случае задержка в канале неизвестна, фазу устройства син-
хронизации приемника можно постепенно изменять, добиваясь
максимального отклика на выходе коррелятора. Информационная
последовательность на выходе системы формируется в решающем
устройстве, которое периодически принимает решение, на выхо-
де какого коррелятора имеется наибольший отклик. Если наи-
больший отклик появляется на выходе коррелятора единицы, то
выходным сигналом системы является единица и т. д.
При правильной синхронизации в канале без шумов макси-
мальный отклик формируется только на выходе одного из кор-
реляторов, а выходной сигнал другого коррелятора имеет очень
низкий уровень. Однако наличие шума на выходах обоих корре-
ляторов приводит к необходимости принятия решения на основе
выбора наибольшего отклика. При разработке такой системы
обычно используют априорные сведения об отношении сигнал-шум
в канале. Чем ниже отношение сигнал-шум, тем более длинные
кодовые последовательности нуля и единицы необходимо форми-
ровать. Влияние шума канала уменьшается из-за его усреднения
при вычислении корреляционных функций.
Такая широкополосная система обладает устойчивостью по от-
ношению к шуму, преднамеренной помехе и другим видам помех.
Кроме того, эта система обеспечивает скрытность связи, так как
кодовые последовательности нуля и единицы могут быть извест-
ны только получателю информации.
Рассмотрим теперь случай, когда канал не только обладает
шумом, но и является многолучевым. Предположим, например,
что импульсная характеристика канала представляет собой за-
держанный, как показано на рис. 9.5, импульсный отклик, рас-
пределенный в конечном временном интервале. Положим, что дли-
тельность последовательности нуля или единицы сравнима с вре-
менным интервалом многолучевости. Тогда после свертки пере-
186
данного сигнала и импульсной характеристики канала в прием-
нике возникает сильная помеха в символах кодовой последова-
тельности и между ними. Это явление называют межсимвольной
интерференцией. Решить эту задачу можно методами адаптивной
фильтрации с помощью моделирования параметров многолучево-
1 о канала.
На рис. 9.7 показана схема моделирования неизвестного ка-
нала, предназначенная для получения наибольшего приближения
к его импульсной характеристике. В этом случае не передаются
нули и единицы, а вместо этого в канал циклически передается
одна известная псевдослучайная последовательность. На прием-
ной стороне осуществляется наблюдение сигнала на выходе ка-
нала. Выходной сигнал адаптивного фильтра сравнивается с сиг-
налом на выходе канала, который в данном случае является по-
лезным откликом. Адаптация фильтра производится по крите-
рию минимума, СКО, которая представляет собой разность меж-
ду сигналами на выходах канала и адаптивной модели. Цикли-
ческое повторение псевдослучайной последовательности исклю-
чает проблему синхронизации, связанную с неизвестной большой
задержкой канала. Однако для моделирования многолучевого ка-
нала адаптивным фильтром необходимо, чтобы устройства син-
хронизации передатчика и приемника работали с одной и той же
скоростью. Длительность псевдослучайной последовательности
должна быть больше временного интервала многолучевости (дли-
тельности импульсной характеристики канала за исключением
времени задержки). Постоянная времени адаптивного фильтра
должна быть, по крайней мере, не меньше временного интервала
многолучевости. Заметим, что для системы на рис. 9.7 шум кана-
ла не влияет на оптимальные весовые коэффициенты модели ка-
нала. Для определения эффективности адаптивной модели, под-
стройки устройства синхронизации приемника и т. д. в схеме на
рис. 9.7 используется коррелятор.
На рис. 9.8 приведена схема цифровой системы связи с задан-
Шу*/|
Рис. 9.7. Адаптивное моделирование многолучевего канала
187
Приемник
Рис. 9.8. Цифровая система связи с заданными неадаптивными моделями ка-
налов
ними неадаптивными моделями канала. Здесь для облегчения по-
нимания принято нереальное предположение, что в приемнике
имеется точная модель канала. Как и в системе на рис. 9.6, обе
псевдослучайные последовательности, соответствующие нулю и
единице, выбраны одинаковыми как для передатчика, так и для
приемника. В передатчике информационная последовательность
также кодируется с помощью ключа, который выбирает соответ-
ствующую кодовую последовательность. В приемнике на входы
идентичных устройств, моделирующих канал, поступают последо-
вательности нуля и единицы. В процессе приема сигналов вычис-
ляется взаимокорреляционная функция выходных сигналов, мо-
делирующих канал, и принятых сигналов. Решающее устройство
осуществляет выбор нуля или единицы по выходным сигналам
корреляторов в моменты времени, определяемые скоростью пере-
дачи информации. Оба устройства синхронизации приемника син-
хронизированы между собой, а их фазы подстраиваются так, что-
бы достигался максимум выходного отклика корреляторов.
В практических системах необходимо некоторым способом мо-
делировать канал в приемнике. Способ, представленный на рис.
9.7, является работоспособным, за исключением того, что факти-
чески невозможна передача информации, поскольку постоянно пе-
редается и повторяется только одна псевдослучайная последова-
тельность. Более исчерпывающий подход к моделированию кана-
ла в процессе передачи информации реализован в схеме на рис.
9.9. Передаваемый сигнал формируется аналогичным образом.
Формируемые в приемнике синхронизированные кодовые последо-
188
.вательности нуля и единицы суммируются и подаются на вход
.адаптивного фильтра, выходной сигнал которого сравнивается с
сигналом на выходе многолучевого канала. Адаптация фильтра
«осуществляется по критерию наилучшего среднеквадратического
приближения к сигналу на выходе канала.
Поскольку входной сигнал адаптивного фильтра состоит из
суммы обеих кодовых последовательностей, принимаемый сигнал
является коррелированным с той или другой последовательностью
в зависимости от того, что принимается в данный момент — нуль
.или единица. В схеме на рис. 9.9 адаптивный фильтр имеет тот
же оптимальный вектор весовых коэффициентов, что и в схеме
на рис. 9.7, за исключением масштабного множителя. Этот вектор
равен R ‘P (см. равенство (2.17) и т. д.). Сравнение обеих схем
показывает, что матрицы R для них одинаковы, векторы Р отли-
чаются множителем 2.
Пусть псевдослучайная последовательность в схеме на рис. 9.7
такая же, как последовательность единицы в схеме на рис. 9.9.
Эта постоянно повторяемая последовательность имеет матрицу
R. Компоненты вектора Р для системы на рис. 9.7 равны значе-
ниям взаимокорреляционной функции между повторяемой псевдо-
случайной последовательностью и сигналом на выходе многолу-
чевого канала. Для схемы на рис. 9.9, несмотря на переключение
последовательностей в передатчике, вектор Р тот же, поскольку
сигнал на выходе канала коррелирован с входным сигналом
Рис. 9.9. Адаптивное моделирование каналов одновременно с передачей инфор-
мации
189
адаптивного фильтра при передаче как последовательности еди-
ницы, так и последовательности нуля. (Напомним, что эти после-
довательности построены так, чтобы они, по существу, были не-
коррелированными.) С другой стороны, матрица R адаптивного
фильтра схемы на рис. 9.9 отличается множителем 2 от матрицы
для схемы на рис. 9.7, поскольку для схемы на рис. 9.9 матрица
R равна сумме матриц одной повторяемой последовательности
единицы и одной повторяемой последовательности нуля. (Напом-
ним, что обе последовательности сформированы так, что они
обладают одинаковыми автокорреляционными свойствами.) В
1 или О
Рис. 9.10. Адаптивная широкополосная система связи для многолучевого кана-
ла. Псевдослучайные последовательности 1 и 0 известны как на передающей,
так и на приемной сторонах, и их можно использовать в качестве шифра. Пе-
редатчик и приемник синхронизированы
190
результате этого оптимальный вектор весовых коэффициентов в
схеме на рис. 9.9 равен половине вектора в схеме на рис. 9.7.
Поскольку в схемах, аналогичных приведенной на рис. 9.8 (в
которой окончательное решение принимается решающим устрой-
ством), масштабный множитель в модели канала не играет роли,
эффективность схем па рис. 9.9 и 9.7 одинакова, но схема на рис.
9.9 позволяет фактически передавать информацию. Эту схему
адаптации в процессе передачи информации изобрел М. Дж. Болл.
Еще раз следует отметить, что шум в канале не влияет на вид
.процесса адаптации и вносит нулевую составляющую в адаптив-
ные весовые коэффициенты. Поэтому для канала с высоким уров-
нем шума процесс адаптации должен быть медленным. При этом
он эффективен, если канал является стационарным или нестаци-
онарным с медленноменяющимися параметрами. При быстром из-
менении характеристик многолучевого канала и высоком уровне
шума в канале данная схема неработоспособна. На рис. 9.10 при-
ведена система передачи информации с адаптивным моделирова-
нием канала по методу Болла. Здесь корреляторы представлены
в виде последовательно включенных перемножителей и интегра-
торов.
Поскольку импульсная характеристика адаптивного фильтра
в этой схеме строится таким образом, что его выходной сигнал
имеет наилучшее приближение к сигналу на выходе канала, под-
стройки фазы устройства синхронизации приемника не требуется,
а отклики на выходе корреляторов автоматически принимают свое
максимальное значение. Испытания системы, представленной на
рис. 9.10, в акустическом канале связи показали, что она работо-
способна в многолучевом канале с медленноменяющимися пара-
метрами при наличии шума.
Применение адаптивного моделирования в геофизических
изысканиях
Методы сейсмического отражения являются первостепенным
инструментом при разведке нефти и газа. Геологические инфор-
мации складываются на протяжении десятков миллионов лет. Они
состоят из пластов таких пород, как песок, песчаник, наносные
породы, глины, глинозем и т. п. Для образования залежей таких
углеводородов, как нефть и газ, необходимо формирование под-
ходящих полостей, которые обычно состоят из пористой горной
породы, например пласта песка, и непроницаемой горной породы,
перекрывающей и закупоривающей полость, что предотвращает
утечку углеводорода. Обычно нефть и газ легче окружающих жид-
костей, поэтому они стремятся подняться вверх. Характерными
породами, перекрывающими полость, являются глина и глинозем.
Естественные процессы образования пластов и разрывов в земле
формируют траппы, или потенциальные полости. Большая часть
траппов содержит солевые воды, а не углеводороды. Таким обра-
зом, для образования залежи нефти или газа необходимым (но,
191
к сожалению, не достаточным) условием является существование
траппа. При разведке нового района для определения траппов
или регионов, где они наверняка существуют, используют методы
сейсмического отражения. В большинстве случаев это дает на-
иболее полезную для разведки информацию.
В сейсмической разведке источник сейсмической энергии обыч-
но располагается на поверхности земли. На суше для формиро-
вания сейсмического импульса может быть взорван динамит или
использован импульсный или непрерывный источник вибраций.
В водном пространстве для образования подводных механических
импульсов, которые распространяются сквозь толщу вод на дно
моря и далее в глубь земли, применяют источник импульсного
воздействия или духовое ружье. Приближенно земля представ-
ляет собой линейную упругую среду. По мере распространения
сейсмических волн (которые подобны акустическим, за исключе-
нием того, что в земле могут распространяться как поперечные,
так и продольные волны) от одного геологического пласта к дру-
гому изменение породы часто сопровождается изменением сей-
смического сопротивления, что приводит к возникновению отра-
жений.
Обнаружение отражений позволяет обнаруживать изменения
пород и тем самым образования подземного пласта, зачастую име-
ющего протяженность по горизонтали на многие километры. Из-
меряя время задержки по направлению отражения от поверхно-
сти земли до отражающей плоскости и обратно и зная скорость
распространения, можно определить глубину залегания отража-
ющей плоскости. Если отражающая плоскость является наклон-
ной или изогнутой, а не ровной, то ее конфигурацию можно оп-
ределить, измеряя время распространения по разным направле-
ниям от различных точек на земной поверхности до отражающей
и обратно. Таким способом можно определить места залегания
пластов, потенциальных траппов и места возможного их сущест-
вования.
Для измерения времени распространения (по нескольким на-
правлениям) от поверхности земли до различных отражающих
плоскостей п обратно можно использовать методы адаптивного
моделирования. Здесь описывается метод, основанный па изобре-
тении Р. Т. Клауда (патент США № 2275735, заявка подана 23
июня 1939 г., выдан 10 марта 1942 г.), но модифицированный в
часгн методов адаптивной фильтрации.
На рис. 9.11 представлена схема измерения, основанная на
изобретении Клауда. Приемниками сигналов являются геофоны
/3 и 14, которые аналогичны низкочастотным микрофонам и ус-
танавливаются на поверхности земли. На их выходах формиру-
ются электрические сигналы, соответствующие вертикальной со-
ставляющей скорости движения поверхности земли, вызванного
сейсмическими волнами. На рис. 9.11 показаны направления рас-
пространения сигналов. Геофон 13 размещается очень близко к
сейсмическому источнику и принимает сигнал от источника по
192
Рис. 9.11. Адаптивное моделирование, проводимое для измерения импульсной
характеристики земли
прямому пути 1. Предположим, что длина этого пути настолько
мала, что временем задержки на распространение по нему можно
пренебречь. Кроме того, геофон 13 принимает сигналы, отражен-
ные от пластов 7, 8 и 9 и распространяющиеся по путям 15, 16
и 17, показанным штриховыми линиями. Будем считать, что ам-
плитуды сигналов геофона 13, принимаемых по этим путям, пре-
небрежимо малы по сравнению с амплитудами мощных сигналов
от сейсмического источника. Таким образом, выходной сигнал ге-
офона 13 синхронизирован с сейсмическим источником и соответ-
ствует вызываемому им движению поверхности земли.
Сейсмические колебания, принятые геофоном 14 по путям 2,
3, 4, представляют собой сигналы, определяющие пласты. Путь 5
является поверхностным каналом и не представляет интереса с
точки зрения геологии. Если сейсмический источник формирует
идеальный импульс, то оказывается, что электрическая импульс-
ная характеристика геофона 14 имеет вид, приведенный на рис.
9.12. Адаптивный фильтр в схеме на рис. 9.11 в результате про-
цесса адаптации должен сформировать импульсную характери-
стику, соответствующую идеальной импульсной характеристике.
Для этого необходимо, чтобы сейсмический источник излучал на
землю широкополосный сигнал, который может быть синусо-
идальным сигналом с постоянно меняющейся частотой (как пред-
ложено Клаудом) или широкополосным случайным шумом. В
этом случае после адаптации адаптивный фильтр становится гео-
7—12 193
Рис. 9.12. Сейсмическая импульсная характеристика при прохожде-
нии сигнала от источника 12 до геофона 14
логической моделью земли. Время задержек распространения по
различным путям легко найти по импульсной характеристике
адаптивного фильтра. Эти задержки имеют большое значение в
геологических исследованиях.
В изобретении Клауда не рассматривается геологическая мо-
дель земли с использованием фильтра с очень большим числом от-
водов линии задержки. Число отводов выбрано равным предпо-
лагаемому числу отдельных путей распространения от источника
колебаний до геофона 14. Расстановка отводов и выбор значений
весовых коэффициентов для них осуществляется вручную, при
этом сигнал ошибки минимизируется по осциллоскопу. Следует
отметить, что к тому времени, когда Клауд уже разрабатывал на-
страиваемый вручную адаптивный фильтр, идеи Винера по опти-
мальной фильтрации еще не были известны. Однако очевидно, что
минимизация среднеквадратической ошибки не являлась частью
идеи Клауда. Кроме того, не было известно адаптивных методов
для автоматической адаптации при большом числе весовых ко-
эффициентов. К моменту написания этой книги автоматическая
адаптация линий задержки по-прежнему является проблемой.
Трансверсальный фильтр с большим числом весовых коэффи-
циентов в процессе адаптации приходит к решению, при котором
большинство весовых коэффициентов почти равно нулю. При ма-
лом числе весовых коэффициентов их оптимальные значения —
больше, что требуется для отражения реальных свойств много-
лучевого геологического канала. Для более эффективного процес-
са моделирования используется небольшое число отводов и весо-
вых коэффициентов, как предложил Клауд. Для осуществления
моделирования с автоматическим адаптивным фильтром необхо-
дима адаптация как весовых коэффициентов, так и времени за-
держек. С одной стороны, при фиксированных задержках (неза-
висимо от их распределения) и стационарных сигналах сейсмиче-
ского источника среднеквадратическая ошибка является квадра-
тичной функцией весовых коэффициентов. С другой стороны, она
не является квадратичной функцией распределения задержек от-
водов. В настоящее время разрабатываются методы адаптации
распределений отводов [3].
194
Так или иначе метод Клауда потерялся в лабиринтах техники.
Однако изобретение методов адаптивной фильтрации и примене-
ние методов и устройств цифровой обработки сделали метод Кла-
уда гибким инструментом геологической разведки. Патент на мо-
дификацию этого метода принадлежит Б. Уидроу.
Применение адаптивного моделирования при синтезе цифровых
КИХ-фильтров
Методы адаптивного моделирования можно использовать при
синтезе цифровых фильтров. На рис. 9.13 приведена структурная
схема, иллюстрирующая основной принцип синтеза цифровых
фильтров с конечной импульсной характеристикой. В результате
процесса адаптации адаптивный фильтр имеет импульсную ха-
рактеристику, наилучшим образом удовлетворяющую заданным
требованиям. Этим требованиям отвечает некоторое эталонное
устройство, представленное в схеме в виде эталонного фильтра
Эталонный фильтр может не существовать, поскольку в общем
случае фильтр, полностью удовлетворяющий заданным требова-
ниям, может быть физически нереализуемым. В этом случае эта-
лонный фильтр является только некоторым описанием, вводимым
для приведения задачи синтеза фильтра к задаче моделирования
неизвестной системы. Далее будет показано, что для синтеза ре-
альных фильтров не обязательно, чтобы эталонный фильтр су-
ществовал физически.
Предположим, что требования к фильтру заданы в виде частот-
ной характеристики, т. е. в виде заданных значений коэффициен-
та передачи и фазы для дискретных частот fb f2, ... , /к, измерен-
ных в герцах. Вообще говоря, задается также число весовых ко-
эффициентов цифрового фильтра, что определяет размерность
адаптивного фильтра L. В процессе адаптации находятся опти-
мальные весовые коэффициенты (по критерию минимума средне-
квадратической ошибки), при которых наилучшим образом вы-
полняются заданные требования.
В схеме на рис. 9.13 адаптивный фильтр моделирует эталон-
ный фильтр, построенный исходя из заданных требований, кото-
рые в большинстве случаев нельзя выполнить полностью. Однако
Рис. 9.13. Схема адаптивного синтеза заданного фильтра с одной частотой fi
(а) и с N различными частотами (б)
7*
195
можно предположить, что эталонный фильтр, в полной мере об-
ладающий заданными амплитудой и фазовой частотными харак-
теристиками, существует.
В схеме на рис. 9.13,а на входы идеализированного и адаптив-
ного фильтров подается входной синусоидальный сигнал вида
х (t) = sin 2л j\ t. (9.5)
Здесь fi — одна из заданных требованиями частот. Полагаем, что
эталонный фильтр является линейным, и его выходной сигнал
J d (Z) = а1 sin (2л t + QJ. (9.6)
Для адаптивного фильтра этот сигнал представляет собой полез-
ный отклик. Отметим, что существование эталонного фильтра не-
обязательно. Для адаптивного процесса необходим только его вы-
ходной сигнал, который можно легко построить по заданным тре-
бованиям. Коэффициент ai и угол 91 — заданные коэффициент пе-
редачи и сдвиг фазы на частоте fi.
Для точного или, по крайней мере, приближенного выполнения
требований одновременно для многих частот входной сигнал, рав-
ный сумме синусоидальных сигналов каждой из AZ заданных ча-
стот, подается на входы как эталонного, так и адаптивного филь-
тров, как показано на рис. 9.13,6. Этот сигнал имеет вид
s
x(t) = 2 sin fi t- (9.7)
z=i
Выходной сигнал эталонного фильтра, или полезный отклик адап-
тивного фильтра,
d(0= 2 ^sin^jxfjZ-l-Q;). (9.8)
z=i
Иногда, если нельзя полностью выполнить требования для
всех частот, то задают некоторые частоты, для которых выполне-
ние требований более критично, чем для других. Это легко учесть,
если ввести входные синусоидальные сигналы с различными ам-
плитудами, при этом составляющие сигнала d(t) имеют соответ-
ствующий масштабный множитель. Чем больше амплитуда вход-
ного синусоидального сигнала, тем более критично выполнение
требований на этой частоте. При таком подходе Z-й входной си-
нусоидальный сигнал умножается на масшабный множитель Ci
и равен
clsin2Tiflt, (9.9)
где Ci — положительная константа (функция стоимости) для всех
I. Входной сигнал, равный сумме синусоидальных сигналов, имеет
вид
N
х (Z) = 2 Ci sin Znftt, (9.Ю)
z=i
196
а полезный отклик, или выходной сигнал эталонного фильтра
N
d(t) = S a/czsin(2nf//+e/).
(9.11)
Здесь снова a; и 0(— заданные требованиями амплитуда и сдвиг
фазы на частоте ft.
Адаптивный фильтр находит оптимальное решение, обеспечи-
вающее наилучшее приближение к заданным требованиям. Пред-
ставляет интерес вид этого решения, алгебраическое выражение
которого для адаптивного линейного сумматора определяется со-
отношением (2.17). В терминах корреляционных функций из (7.62)
и (7.63) имеем
Ф</х(°) '
~ Фхх(°) - Фхх(£)
w* ~ r-1 p= : ;
Фхх(^) - Фхх(°) _
(9.12)
Ф<*х (А) _
Здесь L-hl — число весовых коэффициентов адаптивного линейно-
го сумматора. Поскольку d и х известны, можно вычислить кор-
реляционные функции в (9.12). Аналогично тому, как это сдела-
но в гл. 7, определим
временной шаг между отсчетами.
Тогда из (7.38) и (9.10) имеем
Г N
q>xx (п) = Е [х (t — nT) х (t)] = Е £ Ct sin 2л ft (t-
(9.13)
N
ftT) S Sin 2л fmt .
(9.14)
Поскольку математическое ожидание произведения двух синусо-
идальных функций времени с разными частотами равно нулю, вы-
ражение (9.14) принимает вид
<рхх(п) = Е 2 c?sin2n//(^ —n7,)sin2nfJ/l.
(9.15)
Используя тригонометрическое тождество
sin 2л ft (t — nT) == sin 2л ft t cos 2л ft nT —
— cos 2 л f tt sin 2л 11 nT,
приводим выражение (9.15) к виду
’ N о
<рхзс (п) = Е S Ct sin2 2л ft t cos 2л ft nT —
(9.16)
— с| sin 2л ft t cos 2л ft t sin 2л ft nT] =
p „ 1 N i „
= £ 2 ci sin42л f11cos2л ft nT =£—Ctcos2nflnT. (9.17)
z=i J z=i 2
197
Равенство (9.17) получено исходя из того, что синусоидальная
и косинусоидальная функции некоррелированы, а средний квадрат
синусоидального сигнала равен половине квадрата его амплиту-
ды. Таким образом, из (9.17) находятся все элементы матрицы R
в (9.12). Аналогичным образом могут быть найдены элементы век-
тора взаимокорреляционпых функций Р. Из (7.37), (7.63), (9.10)
и (9.11) имеем
(-«) = £ [х (t - пТ) d (Q] =
~ N N
= Е S ci sin 2л /г (t - пТ) 2 amcmsin(2itfmt + 0m) =
J—i m=l
N
2 Щ sin (2л ft t — 2л fi nT - 0/) sin (2n ft t)
E Г у _L at c2 cos (2л ft n 7' -- 0;) j.
73 2 I
(9.18)
Подставляя (9.17) и (9.18) в (9.12). находт.1 явное выражение
для оптимального вектора весовых коэффициентов адаптивного
фильтра

~ N
2
i=\
N
2 с\ cos 2л /г Т
i=\
N
5 с| cos 2л ft Т
/=1
N
/=1
.V
5 с-, cos 2L л fjT
i=i
N N
2 с2 cos 2L л ft Т 2 е/
U=i /=1
- N
2 at с2 cos (0|)
i=i
N
5 at с2 cos (2л ft Т + 0г)
z=i
(9.19)
N
2 сц С2 COS (2L nfiT + 0;)
_Z=1
При одинаковых требованиях для различных частот, т. е. при
входных синусоидальных сигналах с одним значением амплиту-
ды, общее выражение (9.19) несколько упрощается.
Само по себе выражение (9.19) во многом не определяет про-
цесс синтеза фильтра. В некотором смысле более предпочтитель-
198
ным является использование адаптивного процесса в схеме на
рис. 9.13. Однако часто при применении в процессе синтеза ЭВМ
оптимальное решение является переменным, так как матрицу R
и вектор Р в (9.19) можно вычислить непосредственно по задан-
ным требованиям. Если весовые коэффициенты адаптивного
фильтра соответствуют оптимальному решению W*, то СКО
(9.20)
где S; — комплексная передаточная функция заданного эталонно-
го фильтра на частоте fi, т. е.
(9.21)
a H*i—комплексная передаточная функция оптимального адап-
тивного линейного сумматора с вектором весовых коэффициентов
W* на частоте ft. В гл. 7 показано, что передаточная функция ада-
птивного трансверсального фильтра
//Яг)-£<гп, (9.22)
п=0
где для получения частотной характеристики вместо z подстав-
ляется е’и=е-!ат. Нормированная угловая частота, соответству-
ющая ft,
®г = 2л ft Т, (9.23)
откуда H*i в (9.20) принимает вид
(9.24)
п=0
При выводе соотношения (9.20) использован тот факт, что сигнал
ошибки равен сумме синусоидальных сигналов, а если их часто-
ты различны, то мощность суммы равна сумме мощностей.
Введение положительных множителей с определяется методом
проб и ошибок. До сих пор не создано общего аналитического ме-
тода для их определения. При синтезе фильтра можно положить
все с равными, затем проанализировать полученную частотную
характеристику фильтра и далее увеличить значения множителей
с на тех частотах, для которых выполнение заданных требований
наиболее критично и т. д. Как показывает опыт, это не представ-
ляет трудности. Хотя желательно иметь аналитический метод оп-
ределения множителей с, метод проб и ошибок оказывается до-
статочно эффективным.
Не используя (9.19), можно проводить коррекцию адап-
тивного фильтра методом наименьших квадратов, получая
тем самым приближенные решения. Этот способ является про-
стым и заключается в формировании сумм синусоидальных сиг-
налов (9.10) и (9.11) для создания соответствующих обучающих
входных сигналов адаптивного фильтра, как показано на рис. 9.13.
199
Адаптивный метод обычно используется при необходимости син-
теза фильтра с большим числом весовых коэффициентов. Приме-
нение соотношения (9.19) требует решения большого числа сов-
местных линейных уравнений. Например, если число весовых ко-
эффициентов 256, то необходимо решить 256 линейных уравнений
с 256 неизвестными. В зависимости от типа ЭВМ для синтеза
фильтра более удобным может оказаться использование метода
наименьшего квадратов, а не аналитического подхода.
Гибкость такого подхода позволяет реализовать помимо клас-
сических низкочастотных, высокочастотных и полосовых фильт-
ров, синтез других фильтров. На рис. 9.14 приведены результаты
синтеза фильтра с 50 весовыми коэффициентами по заданной ча-
Рис. 9.14. Адаптивный синтез заданного цифрового фильтра с использованием
постоянной функции сходимости
200
стотной характеристике, построенной по 100 точкам, равномерно
распределенным по всему интервалу Найквиста от нуля до поло-
вины частоты отсчета. В результате синтеза необходимо получить
фильтр, заданная амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) ко-
торого изменяется линейно по логарифмической шкале от —50 дБ
на нулевой частоте до 0 дБ на частоте, равной четверти частоты
отсчета, и имеет постоянное значение коэффициента передач —60
дБ в остальном интервале частот. Требуемые АЧХ и фазочастот-
ная (ФЧХ) характеристики показаны на рис. 9.14 крестиками.
Здесь же приведены характеристики синтезированного фильтра.
В соответствии с требованиями ФЧХ должна быть линейна и
иметь фазовый сдвиг примерно —13л в интервале от нуля до од-
ной четвертой частоты отсчета. Отметим, что требования к АЧХ
50 весовых коэффициентов 100 заданных точек
+
ill I m 11 н 11111 И 11111_
Пт Л" И' I I И I! И 1111Г
IIfrill IIII IlfafrufrufrliHiiilluiiuiiillllillIlllUI-
Рис. 9.15. Адаптивный синтез фильтра, аналогичного приведенному на рис. 9.14,
с использованием постоянной функции стоимости
201
и ФЧХ более точно выполняются при большем значении коэффи-
циента передачи фильтра (см. упражнение 24).
Множители с, составляющие функцию стоимости, выбраны
равными между собой, как показано на рис. 9.14. Аналогичный
синтез проведен для случая, когда не все множители с равны
между собой. Результаты синтеза приведены на рис. 9.15. Частот-
ные характеристики, более близкие к заданным, получены увели-
чением множителей с на одних частотах и уменьшением на дру-
гих. Результаты синтеза выводились на дисплей при работе ЭВМ
в интерактивном режиме, что позволяло сразу видеть влияние из-
менения множителей с. Увеличение множителей с приводит к то-
му, что на соответствующих частотах требования выполняются
более точно, уменьшение этих множителей приводит к обратному
результату. Чтобы увидеть влияние этих множителей, необходимо
сравнить графики на рис. 9.14 и 9.15. В некоторых случаях для
подавления некоторого нежелательного выброса частотной харак-
теристики можно увеличить значение одного множителя с.
Во многих случаях необходимы линейная ФЧХ или ФЧХ с ну-
левым фазовым сдвигом. Линейное изменение фазы соответству-
ет некоторой задержке, а нулевая фаза'—ее отсутствию. На рис.
9.16 показаны некаузальный фильтр с нулевым фазовым сдвигом
на всех частотах (а) и каузальный фильтр (б), отличающийся от
предыдущего наличием временной задержки.
Рис. 9.16. Некаузальный фильтр с нулевой фазой (а) и каузальный фильтр с
линейно изменяющейся фазой (б)
202
Весовые коэффициенты отводов симметричны относительно
центрального весового коэффициента. Для некаузального фильт-
ра имеем
Н (г) = да0 + S wi &l. + Z~Z)> (9.25)
z=i
L
Н (е> “) = + 2 2 wi cos (О.
z=i
Поскольку передаточная функция является действительной,
фаза равна нулю. Для каузального фильтра имеет ту же переда-
точную функцию, умноженную на z~L (т. е. на e~iLb>), следова-
тельно, ФЧХ является линейной. При четном числе весовых ко-
эффициентов фильтра с линейно изменяющейся фазой можно вы-
брать равными оба центральных весовых коэффициента, а дру-
гие—симметричными относительно них.
Алгоритм адаптивного процесса, при котором сохраняется ус-
ловие симметричности, можно получить на основе модификации
метода наименьших квадратов. В соответствии со схемой на рис.
9.16,а значение центрального весового коэффициента ш0, выбира-
емое исходя из (6.3),
®о, fc+i = т х^. (9.26)
Тогда соседние весовые коэффициенты попарно принимают рав-
ные значения, а далее попарно адаптируются в соответствии с
алгоритмом
i, н-1 = wi. fe+i = Т- (^h-z + Xk—i), 1 I L. (9.27)
Видно, что данный алгоритм удовлетворяет условию симметрии,
при этом сохраняется линейность ФЧХ. Кроме того, очевидно, что
при весовых коэффициентах, сгруппированных симметричными
парами, СКО является квадратичной функцией весовых коэффици-
ентов (хотя число степеней свободы приблизительно равно поло-
вине числа весовых коэффициентов). Оценка градиента в этом
случае является несмещенной, поэтому данный алгоритм относит-
ся к алгоритмам наискорейшего спуска.
Таким образом, алгоритмы (9.26) и (9.27) всегда приводят к
линейной ФЧХ, но с другой стороны допускают широкий разброс
частотной характеристики. Рассмотрим теперь примеры их ис-
пользования.
На рис. 9.17 приведены результаты синтеза низкочастотного
фильтра с 50 весовыми коэффициентами и с линейно изменяю-
щейся фазой. Из рисунка видно, что, как и ожидалось, ФЧХ удов-
летворяет требованиям. В интервале от нулевой частоты до час-
тоты, равной четверти частоты отсчета, выполнены почти точно
требования к АЧХ. Как показано на нижнем рисунке, в интерва-
ле от четверти до половины частоты отсчета задано значение ко-
эффициента передачи —100 дБ. Это требование не выполняется,
но в пределах этого частотного интервала коэффициент передачи
203
1-]
50 весовых коэффициентов
100 заданных точек
0 ||11П IHI III НИИ I Hill И Hill IIIHIIIIII ПН IHIHIHIlim 11 III II IIIIHIIIIII111111 и I II IШ
-100--
0
—।--------------------||11|Ц||1Нтнн11н1н11|1111нн11нни|Н1111Н1
0,125 0,250 0,375 0,500
Частота (частота отсчета равна 1)
Рис. 9.17. Адаптивный синтез низкочастотного фильтра с линейно изменяющейся
фазой с использованием постоянной функции стоимости
не превышает —20 дБ, а для большого числа частот — менее —30
дБ. Этот фильтр, хотя он и не оптимален, является полезным
во многих приложениях.
При большем числе весовых коэффициентов получаются луч-
шие результаты, поскольку фильтр с 50 весовыми коэффициента-
ми может управлять значением комплексного коэффициента пере-
дачи только на 25 частотах. Кроме того, лучших результатов
можно достичь, подбирая множители с. Например, на рис. 9.18
представлен случай, в котором подбирается функция стоимости.
Здесь также полностью выполнены требования по ФЧХ. Для по-
лучения требуемой АЧХ функция стоимости уменьшена в полосе
204
50 весовых коэффициентов
100 заданных точек
-Н- | Щ111 п И И Н11НIН1111 ItH 111IHIНIIИIIIII
0 |н|...........Ilfl'llllllllll""'.........
0 4Ж1111Ж1НИII НИИ 11 Hill II11 ИН 1НЦ1НЖ
—I-----------------------------------1-------------—I
0,125 0,250 0,375 0,500
Частота (частота отсчета равна 1)
-100 +
0
Рис. 9.18. Адаптивный синтез, аналогичный приведенному па рис. 9.17, с ис-
пользованием непостоянной функции стоимости
пропускания и увеличена в полосе подавления. В результате это-
го в полосе пропускания коэффициент передачи уменьшился на
10 дБ, а в полосе подавления его значение„упало до уровня ни-
же —40 дБ, что привело к разнице значений коэффициента пере-
дачи в полосе пропускания и за ее пределами, по меньшей
мере, 30 дБ и тем самым к лучшему результату. Для подавления
значительных нежелательных выбросов за пределами полосы про-
пускания на некоторых частотах выбраны особенно большие зна-
чения функции стоимости.
205
хоз
аж woi и ион1Го ер иэи вилгп ‘g=7 ‘1ОШт1г‘0=т1 ‘I иинэнжвс!пХ s онвввяХ
нвя ‘вэхэЛОииОоф чх oih ‘нижоеоп 1ЧНЭ1ЭИЭ эжин HOHHairsBiatfadii Kir'iT' 'L
•noandx уэтмвьХдо HHawada шХннвоюон вн эинвнина aiaiBdgo июонювь
я iioandM иэтмвьЛдо adaiHBdBx s anhHirsBd эхинэвчдо •££§00‘0= [чги13г э чи
ил'ш HHireg инниэиавеэн eBd ioie вп susBgotf ‘£ aimai^BdiiX эхиниопнд §
'daixBdBX хи ашпэвчдо и 3MH<()Bdj коиВо вн г/ ю аохнэиПиффаоя хнаоээа
шээииаиаве adwiah ээа ainodiaou '£-=7 BIf’E' I эннэнжвdцX эхинвопнд 'д
•flosnd» jjaYnoiBJiXgo adaiHBd
-вх a KHhHirsBd эхинэвчдо п хвшг1до‘О = г* KL’V E винэнжвdцX эхиниопнд у
•iiiaowHVoxa aaaHodu чхвевмоп ngoiii ‘odOHhOiBiooV ‘7 иинэьвне
BBBd KirtT г/ io [чгз]7 чхэониэиаве aigodiaou и (гээиь хниивьХго винвеойии
^оф HMMBdiodnirou виаоггэЛ оюнч!гвьвн ввнэи ан) j o^инэнжвdцЛ on hhHbshit
Bad 001 Э1ишготча oioie вь-]7 -3 o^!IнэнжвduX я хэаю иона ai4dasodu '£
ё[ BunaiiMCiduX диа
-oiroX Eirtf Hoaiidx цэ'тивьХдо Hirawada ввннвоюоц BBxaahHiadoai ваояв){ ’j
iiiaoHHVoxa aaaiiodii чхвевяоп ндохь ‘oioHhoiBiaotf 'ц цинэнвнв BffBd BirtZ
q 10 и чащ шэоииаиавв ainodiaon <XBinrij‘о=т< и j=7 в ‘ian внХт oih
'HUHAawediH woHHBtf а ввлвх’оц 7S£Sl иэияосэХ иннчевнвн a HOHWBdiodiiVoii у
иинажоц-иОп a HoimaVaaiidii a nnaiaiaaiooa я вэю^иг^оф в воин эннивьХггэ avi
‘oos>?/>o ‘s‘o— ('i)woaNvy==''x
11о1гХ^оф BaiaBVBS чх oih ‘иижоиоц '6 'ifJ эввьвн
в иоimadiowaaBd вньиюввнв BHHBaodHiraVow внэхэ эжин EBHHairaBiaVadLi ‘j
винэнжейп^
905
'ьэлнхээТпЛэ эн ииПвеиЕвэй
хи аогохэи хияээьитиь’внв iBUHBHogadi эинчивипэпэ boj.oibit'be
bVjom ‘хввьХгэ хэх s нэ£Э1гон оннэдоэо Voiaw HraHHatfaaHtlij 'sod
-1Ч1гиф XHjAdV еэхниэ nintfoaodn онжои оньилоггвну -gtf 02— aair
-од эн иинэьвне янэьЛеоп gtf gg— khhhitsb’e'oh ээоеон s HhBtfadaii
вхнэиПиффеом иинэьвне олоннв'п'ве оьээкд "XhV ввмэогн внэьКг
-он EHHEHoXuodn хвоотон g 'ХНФ иониэншг и XhV HOHOOirouoMod
-нт э dxчь’иф И1чнс1(>1можэ(1 ивнс^иеэхниэ яо'п'охэИ' хихе кэинваое
-чг'оиэи э ‘6Г6 ’ЭИ(3 вн p«0HH3irsBX3'n'3dn ‘adHHHdii иэнгэь’эон g
иоевф
вэцэпкявпэиен ониэник э вёддаиф ojoiidoi>i9M<ad еэдниэ инннишв1Гу "61’6 'ЭМ

яэко! xiquHBtfee 001
аохнэипиффеох хнаозза Qg
графике постройте теоретическую и экспериментальную зависимости £'[е2ь] и
е2ь от k.
8. Выполните упражнение 7 для p, = 0,05iimax.
9. Выполните упражнение 7 для последовательности отсчетов белого шума
[пй] мощностью £[n2fc] =0,01.
10. Пусть в условиях упражнения 7 L=l. Не меняя начального условия
подпрограммы формирования случайных чисел, проведите подряд 100 реализа-
ций до ft=200 итераций и постройте экспериментальную зависимость ТДе2^] от
k. Объясните полученные среднее значение СКО и значение постоянной време-
ни обучающей кривой.
11. Пусть в упражнении 7 L=3. Не меняя начального условия подпрограм-
мы формирования случайных чисел, проведите три адаптивных процесса и по-
стройте зависимости весовых коэффициентов от k для каждого из процессов.
Сравните полученные кривые.
12. Пусть в условиях упражнения 7 синусоидальный сигнал единичной
амплитуды
Xfc = sin(2nA/15)
и £=1. Постройте экспериментальные зависимости а2ь, а также обоих весовых
коэффициентов от k и объясните полученные результаты.
14. Для условий упражнения 13 постройте теоретическую зависимость
£[85ь] от L.
15. Пусть в условиях упражнения 13 L = 8 и р.=0,2р.щах. Постройте зави-
симость e2h от k для ряда значений k, достаточного, чтобы показать процесс
сходимости.
16. Для схемы на рис. 9.4 проведите адаптивный процесс при условии
Wii(z) = 1—г-1,
Я12(г) =Д21 (z) =0,4г-1,
7/22(г)=1+0,82-!+0,8г-2.
Пусть хц и хп — последовательности отсчетов белого шума, полученные
выбором чередующихся отсчетов последовательности [х^] из упражнения 1,
т. е. х10, х20, Хи и т. д. Пусть каждая адаптивная модель имеет передаточную
функцию вида
G(z) = Wo-f-WiZ-'-t-w??-1
208
и р = 2. Проведите адаптивный процесс для ряда значений k, достаточного, что-
бы показать процесс сходимости, и для иллюстрации последнего постройте
зависимости е2п, н :’2/. от k.
17. Объясните, почему при представлении информационных символов псев-
дослучайными последовательностями используют термин «широкополосный».
18. Для приведенной ниже видоизмененной схемы рис. 9.7 адаптивного мо-
делирования многолучевого канала заданы следующие требования:
псевдослучайная последовательность: 11101000;
импульсная характеристика многолучевого канала:
Я (г) = 1—0,5г-‘+0,25г-2+0,4г-7—0,2г-8+0,12г-9;
длина адаптивного фильтра: L+l = 12 р.=0,4.
Проведите адаптивный процесс с использованием циклически повторяемой
псевдослучайной последовательности. Постройте зависимость е% от k. Построй-
те и сравните импульсные характеристики канала и адаптивного фильтра.
19. Выполните упражнение 18 для псевдослучайной последовательности
1111000011010010. Объясните все изменения, возникающие в процессе адапта-
ции в рабочих характеристиках.
20. Ниже приведена схема измерения импульсной характеристики, анало-
гичная схеме на рис. 9.11. Пусть для земли
H(z)=z-m+z-'^+z-"9,
что соответствует трем путям распространения от источника до геофона. За-
держка г- 100 предназначена для компенсации задержки распространения по
максимальному пути. Пусть Х\ состоит из периодически повторяемых прн k =
=0, 200, 400, ... сигналов с линейно меняющейся частотой
sin [20лА/ (2201—k) ].
Постройте сначала импульсную характеристику земли ук- Далее, выбрав под-
ходящее значение ц, постройте зависимость е2& от k. Обсудите вид оптималь-
ного вектора весовых коэффициентов.
209
21. В задаче синтеза фильтра с применением адаптивного моделирования
положим, что входной сигнал х,. состоит из W синусоидальных сигналов еди-
ничной амплитуды, равномерно распределенных по N частотам в интервале от
нуля до частоты, равной половине частоты отсчетов (не включая этой часто-
ты). Найдите простую формулу зависимости Xk от k.
22. Выполните упражнение 21, заменив синусоидальные сигналы на коси-
нусоидальные.
23. Предположим, что требуется синтезировать фильтр адаптивным мето-
дом (по аналогии с рис. 9.13,6) для 16 заданных частот, равномерно распреде-
ленных, как описано в упражнении 21. Эталонный фильтр имеет единичный ко-
эффициент передачи на всех частотах и приведенную ниже ФЧХ. Будем счи-
тать, что все множители с равны между собой, а адаптивный фильтр имеет 12
весовых коэффициентов. Выберите подходящее значение ц и проведите адап-
тивный процесс для метода наименьших квадратов. Затем постройте АЧХ и
ФЧХ адаптивного процесса. Найдите возможные последующие изменения с.
24. Объясните, почему для синтезируемого на рис. 9.13,6 фильтра и эта-
лонного фильтра с изменяющейся амплитудой коэффициента передачи более
точный синтез имеет место на частотах, на которых эталонный фильтр имеет
большой коэффициент передачи.
25. Цифровой сигнал Sk передается по линейному каналу, в котором вно-
сятся как искажения, так и аддитивный шум. Передаточная функция канала
Нв(г) =----------.
1—0,3г-1
Шум канала (пересчитанный к его выходу) не коррелирован с сигналом
и имеет автокорреляционную функцию
фпп(п) =а6(п).
210
На приемном конце для минимизации влияния шума канала необходимо
использовать винеровский фильтр с Н0(г) (который может быть каузальным
или некаузальным). Полезным сигналом приемника является сам сигнал s0.
Его автокорреляционная функция
<pas(n) =6(п).
Найдите выражения для На(г). Найдите H0(z) для а=0 и объясните по-
лученный результат. Для а=1 найдите //0(г) и оптимальную импульсную ха-
рактеристику Лой.
Ответы к некоторым упражнениям
2. Тско = 5 итераций.
6. Тско не влияет на характер обучающей кривой.
Глава 10
ОБРАТНОЕ АДАПТИВНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В гл. 9 в основном рассмотрены методы адаптивного модели-
рования и идентификации систем и их применение для решения
некоторых практических задач. В данной главе рассматривается
другой вид моделирования — обратное моделирование и приво-
дятся примеры, иллюстрирующие применение этого метода при
решении практических задач. Обратная модель некоторой систе-
мы с неизвестной передаточной функцией представляет собой
систему с передаточной функцией, которая в некотором смысле
является наилучшим приближением функции, обратной неизвест-
ной передаточной функции. Иногда импульсный отклик обратной
модели содержит задержку, которая специально вводится для
лучшего приближения.
Чтобы понять важность обратного моделирования, лучше все-
го показать его полезные приложения. Одним из таких приложе-
ний является обработка речевых сигналов, о которой говорилось
в гл. 8. В данной главе рассматриваются приложения к системам
связи и синтезу цифровых фильтров. Кроме того, возможно при-
менение этих методов в системах управления, в которых обрат-
ная модель неизвестной системы используется для формирования
сигналов управления этой системой. Если характеристики систе-
мы неизвестны или медленно меняются, необходимо вводить адап-
тацию. Более подробно приложения к системам управления рас-
сматриваются в гл. 11. Кроме того, в [18, 31] рассматриваются
другие приложения этих методов.
Из приложений к системам связи в данной главе обсуждаются
такие дисперсионные каналы, как телефонные и радиоканалы.
Дисперсионным является канал, в котором сигналы на различных
частотах распространяются с различными скоростями или с раз-
личными задержками. Для описания этих понятий предположим,
211
что канал имеет передаточную функцию //(со), где со — нормиро-
ванная частота. При умножении //(©) на е~^п<а в канал вводится
задержка на п временных шагов. В более общем случае при ум-
ножении //(со) на e~J'0, где 0 — функция от и, в канал вводится
групповая задержка на dQjdvt временных шагов [1]. В физическом
канале — акустическом или радиолинии — суммарная или общая
групповая задержка равна протяженности канала, деленной на
скорость распространения сигнала. Говорят, что канал является
дисперсионным, если групповая задержка представляет собой не-
постоянную функцию частоты (т. е. если d20/d®2=^O) [2].
В дисперсионном канале для его «выравнивания», т. е. для
создания частотной и фазовой характеристик в полосе передачи
сигнала, обратных характеристикам канала, и тем самым для
компенсации дисперсии, на приемном конце можно поместить
адаптивный фильтр. На вход приемника поступает сигнал, пред-
ставляющий собой свертку переданного сигнала и импульсного
отклика канала. Обеляющий фильтр на входе приемника компен-
сирует характеристику канала и восстанавливает первоначаль-
ную форму сигнала. При неизвестных или медленно меняющихся
во времени характеристиках канала снова необходимо вводить
адаптацию.
Общее описание обратного моделирования
На рис. 10.1,а показан один из способов проведения обратного
моделирования. Наблюдение неизвестной передаточной функции
неизвестной системы осуществляется по входному сигналу Sk.
Внутренний шум неизвестной системы представляется аддитив-
ным шумом П/t на ее выходе. Выходной зашумленный сигнал не-
известной системы Xk подается на вход адаптивного фильт-
ра. В результате процесса адаптации сигнал на выходе
адаптивного фильтра является наилучшим (по критерию
минимума СКО) приближением сигнала на входе неизвест-
ной системы. Как и в предыдущих рассуждениях, в об-
щем случае минимальное значение СКО зависит от числа
весовых коэффициентов, поэтому в некоторых случаях минималь-
ное значение СКО можно снизить, увеличивая число весовых ко-
эффициентов адаптивной системы.
Предположим в данном случае, что шум пи равен нулю и в
результате процесса адаптации значение ошибки ей очень мало.
Пусть также мало значение ц. для метода наименьших квадратов
(см. гл. 6); тогда процесс сходимости является медленным, и от-
носительным средним значением СКО можно пренебречь. В этом
случае импульсная характеристика адаптивного фильтра по су-
ществу не меняется во времени. Его передаточная функция об-
ратна передаточной функции неизвестной системы. Передаточная
функция последовательно включенных неизвестной системы и
адаптивного фильтра в установившемся режиме равна единице,
212
Шум
неизвестной
Шум
неизвестной
б)
Рис. 10.1. Виды адаптивного обратного моделирования: без задержки (а) и с
задержкой (б)
а импульсная характеристика — единичному импульсу без за-
держки.
Следует отметить три фактора, ограничивающие возможность
построения обратной модели с малым значением СКО.
1. Наличие шума неизвестной системы п-ь, что приводит к воз-
никновению шума на выходе адаптивного обратного фильтра.
Кроме того, шум пь влияет на импульсную характеристику адап-
тивного обратного фильтра в установившемся режиме. Эта им-
пульсная характеристика является оптимальной в смысле мини-
мума СКО при совместном решении задачи подавления шума nh
и построения обратной модели неизвестной системы. При нали-
чии шума передаточная функция адаптивного фильтра в уста-
новившемся режиме в общем случае не является обратной к пе-
редаточной функции неизвестной системы.
2. Вообще неизвестная система является каузальной, и сигнал
Sk задерживается при прохождении через физическую систему.
При таких условиях необходимо, чтобы обратный фильтр был
устройством с предсказанием, а таким устройством может при-
ближенно быть только каузальный в статистическом смысле
адаптивный фильтр. Во многих приложениях допустима обрат-
213
пая система с задержкой, которая исключает необходимость
предсказания для адаптивного фильтра. Этот случай представ-
лен! на схеме рис. 10.1,6. Включение задержки на А отсчетов по-
зволяет намного уменьшить минимальное значение СКО и при-
водит к тому, что импульсная характеристика последовательно
включенных неизвестной системы и адаптивного фильтра в уста-
новившемся режиме приближенно представляет собой импульс с
задержкой А. Кроме того, обратная модель с задержкой имеет
свои преимущества в случаях, когда передаточная функция неиз-
вестной системы имеет нули за пределами круга единичного ра-
диуса па 2-плоскости. Тогда за пределами круга единичного ра-
диуса располагаются полюса обратной передаточной функции.
Для того чтобы такая обратная система была устойчивой, необ-
ходимо чтобы импульсная характеристика была левосторонней
по оси времени (т. е. некаузальной). Однако некаузальную им-
пульсную характеристику с задержкой можно приближенно пред-
ставить сдвинутой по оси времени каузальной импульсной харак-
теристикой.
3. Адаптивный фильтр, реализованный в виде адаптивного
трансверсального фильтра, обладает конечной импульсной харак-
теристикой. В этом случае возможна только приближенная реа-
лизация импульсной характеристики оптимальной обратной мо-
дели для системы с бесконечной импульсной характеристикой.
При отсутствии шума nh обратные фильтры эффективно ре-
ализуются, если достаточно число весовых коэффициентов и
правильно выбрана задержка А. Вообще выбор задержки не яв-
ляется критичным, и если в конкретном приложении ее наличие
дает какие-либо преимущества, то можно выбирать А равной
половине времени задержки адаптивного фильтра. Кроме того,
оказывается, что при построении обратных систем по схеме рис.
10.1,6 эффективными являются намного меньшие значения задер-
жек, обеспечивающие малое значение СКО. При наличии шума
пк на выбор А оказывают некоторое влияние его свойства. Поми-
мо этого, если шум nh имеет большую амплитуду, то это приво-
дит к искажению оптимального вектора весовых коэффициентов
обратного фильтра.
Рассмотрим теперь некоторые конкретные задачи оптималь-
ного моделирования. При этом вывод оптимальных векторов ве-
совых коэффициентов осуществляется для идеального функцио-
нирования, поскольку в данном случае не учитывается относи-
тельное среднее значение СКО. Такое функционирование может
быть достигнуто при уменьшении скорости адаптации в пределе
до нуля.
Обратимся к схеме на рис. 10.1,6, для которой P(z) —пере-
даточная функция неизвестной системы, cpss(/) — автокорреляци-
онная функция входного сигнала s, Фхх(г)—энергетический
спектр (7.42), Н(z)—передаточная функция обратного фильтра
с задержкой. Предположим, что Н(z) описывает нерекурсивный
214
адаптивный фильтр с бесконечной двусторонней импульсной ха-
рактеристикой. Тогда из (7.67) рабочая функция
£ = ф<м(0) + s s Wt wm (рхх (I - т) - 2 5 Wi<Pdx(~l)- (10-0
/=*—ОО —оо — ОО
Как и ранее, оптимальный вектор весовых коэффициентов W* най-
дем, приравнивания нулю производные (10.1) по весовым коэффи-
циентам. Таким образом,
~~ =2 J Wl <р„ (А — Z) —2<pdx (~k) = 0.
Следовательно,
s w*(pxx(k-l') = (pxd(k'), - ОО <&<оо. (10.2)
1-——оо
Для вывода (10.2) из (10.1) использованы соотношения
(7.39) и (7.40). Здесь w*i снова обозначает оптимальное значе-
ние весового коэффициента.
Соотношение (10.2) можно преобразовать аналогично тому,
как из (7.3) при Ьп=0 получено (7.8). Свертка левой части (10.2)
является произведением, поэтому ^-преобразование оптимально-
го вектора весовых коэффициентов
И (г) = z-преобразование от [W*/t] = (10.3)
®хх (г)
Таким образом, z-преобразование оптимальных весовых коэф-
фициентов равно отношению взаимного энергетического спектра
сигналов х и d к энергетическому спектру входного сигнала адап-
тивной модели х.
Проанализируем теперь спектры (10.3) для схемы на рис.
10.1,6. Из (7.48) энергетический спектр входного сигнала
Ф.тх(г) = Ф83(2)|Д(2)!2 + Фпп(г). (Ю.4)
Здесь принято, что шум неизвестной системы и входной сигнал
являются независимыми. Взаимный спектр Фхй в (10.3) можно
найти следующим образом. Из (7.47) имеем
Ф</х(2) = <3(2)Фай(2), (10.5)
где G(z) —передаточная функция от d к х. Из рис. 10.1,6 видно,
что задержка не меняет мощность сигнала, поэтому
б(г) = гЛД(г) и Фм(г) = Фм(г). (10.6)
Из (7.44) следует, что ФхДг) получено из 4>dx(z) заменой z на
обратную переменную Z’1. Поэтому, подставляя (10.6) в (10.5) и
используя (7,44), имеем
Фяй (Z) - Фйх (г-1) = 2’ Л р (2~!)ф- (2). < (10.7)
Заметим, что <pss(Z) =<pss(—Z); поэтому Ф88(г) =Фм(г-1).
215
Тогда из (10.3), (10.4) и (10.7) ^-преобразование оптимально-
го вектора весовых коэффициентов
Н*(г\ =___2 А ф^г(2) р ( г~‘)_ (10 8)
Фм (г) | Р (г) |2-j-Фпп (г) U ’
Представляет интерес случай обратного моделирования систе-
мы без шума, т. е. при п-ь, равном нулю. В этом случае, поскольку
|Р(г) \2 = P(z)P(z~l), имеем
Я*(г) = 2~д/Р(г). (10.9)
Как и следовало ожидать, в соответствии с полученным резуль-
татом необходимо, чтобы оптимальная передаточная функция
была равна обратной передаточной функции последовательно
включенных неизвестной системы и задержки А. В этом случае
минимальное значение СКО равно нулю.
Из (Ю.8) следует, что при наличии шума Пк нельзя достичь
нулевой СКО и построить точную обратную систему. Пусть, на-
пример, P(z)—передаточная функция неизвестной системы. По-
ложим, что входной сигнал неизвестной системы — белый шум
единичной мощности. Как и в (7.34), имеем
Фм(г)=1. (10.10)
Тогда шум Пк в схеме на рис. 10.1.6 не является белым шумом, а
имеет спектр, определяемый передаточной функцией P(z). Это оз-
начает, что
Фпп(г) = рР(г)Р(г-’), (10.11)
где р — полная мощность белого шума на входе системы (см.
упражнение 1).
Подставляя теперь (10.10) и (10.11) в (10.8), получаем более
конкретное выражение ^-преобразования оптимальных весовых
коэффициентов:
Я* (г) =--------СА <г)---------=-----d------. (10.12)
Ф58 К) Р (г) + Фпп М/Р ( г-1) 0 + ₽)р М
Поскольку истинная обратная передаточная функция с задерж-
кой определяется выражением (10.12) при р=0, ясно, что опти-
мальные весовые коэффициенты отличаются только масштабным
множителем.
Из (7.65) можно показать, что при наличии шума и весовых
коэффициентах, задаваемых соотношением (10.12), минимальное
значение СКО не равно нулю. Для этого подставим оптимальную
передаточную функцию Я(г) в (7.65) и получим
= <Pdd (°) + ~ 2Ф“х — • <10‘13)
2л/ J z
Здесь подставлены Я* (10.12), Фйж (10.7) с заменой z на z~x и
Фхх (10.4). Используя также выражения (10.10) и (10.11), окон-
чательно получаем
?mln = P/(l + P)-
(10.14)
216
Подробный вывод соотношений (10.13) и (10.14) проводится в уп-
ражнении 4. Как следует из полученного результата, оптималь-
ная обратная модель приводит к нулевой СКО только при нуле-
вой мощности шума р.
Очевидно, если шум неизвестной системы отличается от
(10.11), то в большинстве случаев это приводит к другому виду
существенно отличающемуся от (10.12). Выбор оптималь-
ных весовых коэффициентов в значительной мере зависит от шу-
ма и во многих практических ситуациях из-за шума неизвестной
системы обратная модель с этими коэффициентами становится
неэффективной.
Из (10.9) для системы без шума видно, что H*(z) соответст-
вует нерекурсивному фильтру только тогда, когда P(z) не имеет
нулей. Если передаточная функция К (г) имеет нули, то полюсы
функции Я*(г) можно лишь приближенно представить адаптив-
ным трансверсальным фильтром конечной длины. Двусторонний
оптимальный БИХ-фильтр можно аппроксимировать каузальным
адаптивным фильтром конечной длины при правильно выбранной
задержке Д и достаточно большой его размерности L.
Некоторые теоретические примеры
Рассмотрим теперь три примера адаптивного обратного моде-
лирования, используя конкретные неизвестные системы на рис.
10.1. Главная цель этих примеров — показать некоторые из воз-
никающих задач, которые не встречались в приложениях адап-
тивного моделирования, рассмотренных в гл. 9, а именно: задачи
каузальности и определения оптимальной задержки.
Первый пример. Будем считать, что шум неизвестной сис-
темы rik равен нулю, а ее передаточная функция задана соотно-
шением
Р (г) = 0,2 - 0,5г-1 + 0,2г-2. (10.15)
Рассмотрим сначала схему на рис. 10.1,а с нулевой задержкой.
Для системы без шума идеальная обратная передаточная функ-
ция с учетом (10.15)
Н* (г) = 1/(0,2 - 0,5г-1 + 0,2г~2) =
= (20/3)/(1 - 2г-1)-(5/3) (1 -0,5г-1). (10.16)
Поскольку идеальная передаточная функция имеет полюс
внутри и полюс вне круга единичного радиуса, то для того чтобы
обратный фильтр был устойчивым, его импульсная характеристи-
ка должна быть двусторонней. Как отмечено в гл. 7 (в частности,
в упражнении 26), если дробное слагаемое имеет полюс за пре-
делами круга единичного радиуса, то ему можно поставить в со-
ответствие левостороннюю составляющую импульсной характе-
ристики, представляющую устойчивый фильтр. Аналогично это-
му слагаемое с полюсом внутри этого круга должно соответство-
вать правосторонней составляющей импульсной характеристики.
217
Следовательно, идеальная импульсная характеристика h*k, кото-
рая является обратным ^-преобразованием передаточной функции
Н~(г), представляет собой последовательность, задаваемую соот-
ношением
k<Q;
-^-(0,5/, &>0.
(10.17)
Равенство (10.17) реализуется, как отмечено выше, при беско-
нечном числе весовых коэффициентов. Приближенная реализация
(10.17) фильтром с конечной импульсной характеристикой, кото-
рый минимизирует СКО, приводит в общем случае к другому ва-
рианту равенства (10.17). На рис. 10.2 приведены некоторые ва-
рианты реализаций схемы на рис. 10.1,6 с помощью адаптивного
КИХ-фильтра, имеющего 21 весовой коэффициент, при использо-
вании метода наименьших квадратов1. Наличие задержки даст
дополнительный перестраиваемый параметр. Ее выбор в значи-
тельной мере влияет на достижимое минимальное значение СКО
и в этом смысле — на качество обратного фильтра. На рис. 10.3
приведена зависимость минимального значения СКО от задерж-
ки А. Это значение велико при нулевой задержке, уменьшается
до минимума при А=11, а затем снова возрастает по мере ее
Рис. 10.2. Импульсные
характеристики опти-
мальной в среднеквад-
ратическом смысле адап-
тивной обратной модели
для различных значений
задержки Д (первый
пример)
1 Эксперименты, результаты которых представлены на рис. 10.2—10.11,
проведены Майклом Дж. Ларимором.
218
1
Рис. 10.4. Импульсная характеристи-
ка неизвестной системы (вид .>й
пример)
Рис. 10.3. Зависимость минимального
значения СКО от задержки при L = 20.
Оптимальная задержка лежит около
значения Л-=11 (первый пример)
увеличения. Видно, что выбор точного значения задержки некри-
тичен и вполне подтверждается правило выбора А, равной поло-
вине времени задержки адаптивного фильтра.
Из рис. 10.2 следует, что оптимальная конечная импульсная
характеристика для А = 8 приближается к характеристике (10.17 ц
сдвинутой на 8 временных шагов. Поскольку использовано адек-
ватное общее число весовых коэффициентов, усечение двусторон-
ней импульсной характеристики незначительно влияет на форму
оптимальной импульсной характеристики и соответствующие
другие характеристики. Такая же форма сохраняется при изме-
нении А от 5 до 6, при этом соответствующие задержки имеет
импульсная характеристика. При А<5 усекаются фрагменты им-
пульсной характеристики и меняется форма оптимальной им-
пульсной характеристики. Существенные изменения происходят
при уменьшении А от 1 до 0, при этом резко возрастает мини-
мальное значение СКО. При больших значениях Д (более 16)
возникает усечение справа, и снова резко возрастает минималь-
ное значение СКО. Приведенные на рис. 10.2 импульсные харак-
теристики оптимальных БИХ-фильтров можно получить аналити-
чески из (10.13). Кривая на рис. 10.3 характерна для многих дру-
гих примеров.
Второй пример. На рис. 10.4 показана импульсная ха-
рактеристика неизвестной системы более сложной структуры с 41
весовым коэффициентом, которая не имеет конкретного матема-
тического описания. Аналогично первому примеру обратный
фильтр с 21 весовым коэффициентом получен с помощью адап-
тивной фильтрации методом наименьших квадратов. При этом
входным сигналом является белый шум. Результаты приведены
на рис. 10.5. Получено, что оптимальная задержка А=7. Наи-
меньшее значение gmln составляет около 1% от мощности входно-
го сигнала.
На рис. 10.6 показана импульсная характеристика последова-
тельно включенных неизвестной системы с 41 весовым коэффици-
219-
0,2—r-
0 к 10 15 20
Рис. 10.5. Импульсная характеристика оптимальной обратной модели при L=
= 20 и Д=7 (второй пример)
ентом и обратного для нее фильтра с 21 весовым коэффициентом
для Д=7. Как и следовало ожидать, отклик равен единичному
импульсу с началом в точке й=7. Однако при этом имеются не-
большие боковые выбросы.
Третий пример. Выбрана неизвестная система с 41 весо-
вым коэффициентом, импульсная характеристика которой приве-
дена на рис. 10.7. Для этой системы реализована обратная мо-
дель с 101 весовым коэффициентом, и результаты для оптимизи-
рованного значения Д = 73 представлены на рис. 10.8. На рис. 10.9
показана общая импульсная характеристика неизвестной и об-
ратной к ней системы, которая приближенно равна единичному
импульсу с началом в точке &=73 с небольшими боковыми вы-
бросами. При необходимости можно уменьшить боковые выбросы
и минимальную СКО, если увеличить число весовых коэффициен-
тов обратного фильтра.
На рис. 10.10 показаны зависимости минимального значения
СКО от задержки Д при числе весовых коэффициентов 41, 81,
Рис. 10.6. Импульсная характеристика последовательно включенных неизвестной
системы с 41 весовым коэффициентом и оптимальной обратной модели с 21
весовым коэффициентом при Д«=7 (второй пример)
220
Рис. 10.7. Импульсная
характеристика неизве-
стной системы (третий
пример)
Рис. 10.8. Импульсная
характеристика оптима-
льной обратной модели
при L=100 и Д = 73
(третий пример)
101. Для каждого случая можно найти оптимальную задержку А,
хотя следует отметить, что малые значения минимальной СКО
обеспечиваются в широком диапазоне изменения А. Часто выбор
значения А с точки зрения минимизации СКО является некри-
тичным. Во всех случаях, приведенных на рис. 10.10, при А, рав-
ной половине задержки адаптивного фильтра, результат не яв-
ляется оптимальным, но оказывается вполне удовлетворительным.
Причина этого ясна из рис. 10.1,6. Если сама неизвестная систе-
ма обладает существенной задержкой, то оптимальное значение
А превышает Л/2, но его выбор некритичен при большом L. На-
Рис. 10.9. Импульсная
характеристика последо-
вательно включенных
неизвестной системы с
41 весовым коэффициен-
том и оптимальной об-
ратной модели со 101 ве-
совым коэффициентом
при Д = 73 (третий при-
мер)
221
Рис. 10.10. Зависимости минималь- Рис. 10.11. Зависимость минималь-
ного значения СКО от задержки для кого значения СКО от размера об-
трех значений размерности адаптив- ратного фильтра при близких к оп-
ной модели (третий пример) тимальным значениях задержки
конец, для оптимальной в каждом случае А на рис. 10.11 приве-
дена зависимость, показывающая, как при увеличении числа ве-
совых коэффициентов адаптивного фильтра уменьшается значе-
ние минимальной СКО.
Методы обратного моделирования очень эффективны и име-
ют много важных приложений. Далее рассматривается их приме-
нение в системах связи и синтезе цифровых фильтров, а в гл.
11 — в системах управления.
Адаптивное выравнивание телефонных каналов
Дисперсия в телефонных каналах приводит к интерференции
между соседними отсчетами (межсимвольной интерференции) и
существенно усложняет задачу надежной передачи и приема
цифровых сигналов. Адаптивное моделирование систем связи,
рассмотренное в гл. 9, эффективно в случаях сильной многолуче-
вости и низкого отношения сигнал-шум, при этом в системе с
псевдослучайными сигналами вместо одного бита информации
передается много символов. Здесь рассматривается важная об-
ласть его применения в каналах с умеренной дисперсией и низ-
ким уровнем шума, когда не требуется кодирования псевдослу-
чайными сигналами. К этому случаю относится передача цифро-
вых данных по обычным телефонным каналам с применением
схем обратного моделирования [11 —13, 15—17, 19, 28, 29]. Вмес-
то псевдослучайной последовательности в данном случае каж-
дый бит информации передается только одним символом.
С середины 1960-х годов опубликовано много работ по адап-
тивному выравниванию в системах передачи данных по телефон-
ным каналам. В таких системах интерференция, возникающая
из-за дисперсионных свойств протяженных телефонных каналов,
приводит к необходимости ограничения скорости отсчетов до не-
больших значений относительно полосы канала. При адаптивном
выравнивании (широко распространенном в коммерческих циф-
222
ровых системах передачи информации) скорость передачи можно
существенно повысить. Как правило, шум в телефонных линиях
имеет низкий уровень, и обычно основной проблемой здесь явля-
ется межсимвольная интерференция. В идеале для полного реше-
ния этой проблемы необходимо, чтобы в приемнике было устрой-
ство выравнивания с передаточной функцией, обратной переда-
точной функции канала. На практике применение адаптивного
выравнивания позволяет, например, в 5 раз повысить скорость
передачи информации в заданном канале при той же вероятности
ошибки.
Хотя обычно используются системы с многими несущими час-
тотами, задачу адаптивного выравнивания можно рассмотреть
на примере телефонного капала с одной несущей, модулирован-
ной цифровым сигналом. На рис. 10.12,а показана частотная ха-
рактеристика идеального канала, имеющая некоторый постоян-
ный коэффициент передачи в полосе пропускания и нулевой ко-
эффициент передачи за ее пределами. Здесь /о±/срез— частоты
среза, а 2/срез—полоса пропускания канала. Фазочастотная ха-
рактеристика (на рисунке не показана) является идеальной,
т. е. линейной, поэтому капал только вносит задержку и не яв-
ляется дисперсионным. Импульсная характеристика канала, рав-
ная обратному z-преобразованию передаточной функции канала,
представляет собой функцию вида sinx/x и приведена на рис.
10.12,5 (здесь не учитывается групповая задержка канала).
Предположим, что данный канал предназначен для передачи
одного цифрового потока информации, для которого отведена
вся полоса пропускания 2/Срез.
Обычно при кодировании двоичной информации положитель-
ный импульс соответствует нулю, а отрицательный — единице. Та-
ким образом, информационный поток передается в виде последо-
вательности положительных и отрицательных импульсов. С выхода
канала, который является линейным, на вход приемника посту-
пает аналоговый сигнал, представляющий собой свертку инфор-
мационных импульсов с импульсной характеристикой канала. На
рис. 10.12,в показан характерный отклик канала на конечный от-
резок информации. На приемной стороне берутся отсчеты сигна-
ла на выходе канала и восстанавливается двоичная информация.
Предположим, что канал обладает идеальной частотной характе-
ристикой и исходная информация передается точно со скоростью
Найквиста для данного канала (т. е. со скоростью 2fcpe3 импуль-
сов в секунду). Тогда при этой скорости отсчетов принятого сиг-
нала и точном фазировании стробирующих импульсов считыва-
ния в приемнике относительно синхронизирующих импульсов пе-
редатчика с учетом задержки в канале при каждом стробирую-
щем импульсе формируется отклик, соответствующий одному ин-
формационному импульсу. Поскольку импульсная характеристи-
ка идеального канала на рис. 10.12,5 имеет нули, точно располо-
женные через интервал l/(2fcpe3), интерференция между сосед-
ними информационными импульсами не возникает. Правильный
223
Моменты
стробирования Время
г)
Рис. 10.12. Цифровая связь в идеальном канале:
а — АЧХ канала; б —импульсная характеристика после демодуляции; в — выходной сиг-
нал канала при скорости отсчета, равной 2/срез бит/с (значение отсчета в каждой момент
стробирования постоянно и не зависит от значений соседних отсчетов); г — схема обычной
системы связи
224
выбор частоты и фазы импульсов отсчета в приемнике позволяет
осуществить отсчет сигнала на выходе канала в момент пикового
значения каждого отдельного импульса вида sinx/x, в то время
как все соседние импульсы вида sinx/x проходят через нуль. Схе-
ма системы связи, основанной на этом принципе, приведена на
рис. 10.12,г.
В действительности телефонные каналы являются неидеаль-
ными. Характеристики каждого канала отличаются друг от дру-
га и при этом значительно, хотя и медленно, меняются во време-
ни. Обычно импульсная характеристика приближается к идеаль-
ной (рис. 10.12,5), но ее нули в общем случае неравномерно рас-
положены по оси времени. В соответствии с этим нельзя выбрать
частоту и фазу стробирующих импульсов так, чтобы не возника-
ла интерференция от соседних импульсов. Такой вид межсимволь-
ной интерференции приводит к образованию ошибок в системе
связи, особенно при наличии шума в канале. Поскольку даже не-
идеальная импульсная характеристика имеет, как видно из рис.
10.12,5, затухание в обе стороны, то, уменьшая скорость отсчетов
ниже скорости Найквиста, можно снизить межсимвольную интер-
ференцию за счет соответствующего разнесения импульсных от-
кликов. Такой подход был распространен до изобретения адап-
тивных устройств выравнивания канала.
При применении адаптивного выравнивания в цифровой те-
лефонной связи можно обеспечить большие скорости и надежно-
сти передачи информации. На рис. 10.13,а показана структурная
схема системы связи с выравниванием канала. В полосе пропус-
кания канала адаптивное устройство выравнивания формирует
обратную относительно канала передаточную функцию, а вне по-
лосы пропускания оно имеет малый или нулевой коэффициент пе-
редачи. Общий коэффициент передачи канала и устройства вырав-
нивания, равный! произведению их коэффициентов передачи,
практически не зависит от частоты в полосе пропускания и равен
нулю вне этой полосы. Кроме того, устройство выравнивания
должно осуществлять коррекцию фазовых искажений в канале.
Это означает, что общая ФЧХ (т. е. сумма фазочастотных харак-
теристик) должна линейно зависеть от частоты в полосе пропус-
кания от 0 до Крез. При выполнении этих требований общая им-
пульсная характеристика является функцией вида sinx/x и воз-
можно исключение межсимвольной интерференции. Поскольку
характеристики самого канала неизвестны и меняются во време-
ни, необходимо, чтобы устройство выравнивания было адаптив-
ным.
На рис. 10.13,5 представлена схема, реализующая адаптивный
процесс. В описанной выше схеме обратного моделирования ис-
пользуется адаптивный трансверсальный фильтр, работающий
по алгоритму наименьших квадратов. Поскольку полоса входного
сигнала xh ограничена полосой пропускания канала, адаптивный
линейный сумматор осуществляет выравнивание коэффициента
передачи и фазовой характеристики канала только в его полосе
8—12 225
Рис. 10.13. Система связи с адаптивным выравниванием канала (а) и
схема адаптивного устройства выравнивания с обучением по решению (б)
пропускания. Однако для адаптации необходимо наличие полез-
ного отклика dit. При известном входном сигнале канала с уче-
том его задержки можно было бы иметь d^, но, как правило, та-
кой информации нет, поскольку если известен переданный сиг-
нал, теряет смысл задача связи, хотя в некоторых системах в те-
чение определенного промежутка времени переданный сигнал
может быть известен. В таких системах передача информации пе-
риодически прерывается для того, чтобы передать известную ко-
довую последовательность и тем самым осуществить адаптацию
в режиме с прерыванием.
Р. Лаки из фирмы Bell Telephone Laboratories предложил
другой метод получения dit, при котором используется собствен-
ный выходной сигнал фильтра, что устраняет необходимость в
априорных сведениях о переданном сигнале. Этот метод получил
название «обучение с прямым решением». Он состоит в том, что
«полезный» сигнал di1^sign(yli) формируется квантованием вы-
ходного сигнала фильтра (см. рис. 10.13.6). Так как информация
является двоичной, отсчеты сигнала на выходе правильно откор-
ректированного канала в моменты стробирования принимают
значения либо +1, либо —1, если исключить шум канала. При
сравнении квантованного и неквантованного выходных сигналов
226
фильтра формируется сигнал ошибки ед. Предполагается, что
решение, принимаемое устройством квантования, является пра-
вильным и в большинстве случаев совпадает с истинным значе-
нием двоичного сигнала.
Поскольку выравненные выходные сигналы в моменты строби-
рования должны точно соответствовать отдельному импульсу ви-
да sinx/x, процесс адаптации можно осуществлять только в мо-
менты стробирования. При этом, как показано на рис. 10.13,6,
сигнал ошибки стробируется импульсами, синхронизированными
со скоростью передачи сигнала. В среднем, если квантованный
полезный отклик является правильным и соответствует истинно-
му значению, процесс адаптации идет в требуемом направлении.
Этот метод является работоспособным в канале с относительно
низким уровнем шума и незначительными искажениями АЧХ и
ФЧХ. В [17] показано, что даже если изначально неправильны-
ми являются 25% квантованных решений, то адаптивный фильтр
находит оптимальное решение.
Для весовых коэффициентов фильтра можно принять нулевые
начальные условия, за исключением центрального весового коэф-
фициента адаптивного линейного сумматора, который должен
быть равен единице. Тогда начальное значение коэффициента пе-
редачи устройства выравнивания равно единице, а его импульс-
ная характеристика в процессе адаптации изменяется так, чтобы
осуществить выравнивание канала.
На практике адаптивные устройства выравнивания телефон-
ных каналов являются цифровыми. Обычно их собственные ско-
рости отсчетов в 4—16 раз превышают скорость передачи основ-
ной информации, а фильтр имеет от 32 до 64 весовых коэффици-
ентов. Таким образом, общая память охватывает несколько цик-
лов информационного импульса вида sinx/x.
Процесс адаптивного выравнивания можно наблюдать по ос-
циллограмме, которая формируется на экране осциллографа,
синхронизированного сигналом стробирования, при подаче на его
вход принятого сигнала таким образом, что на экране периоди-
чески повторяется цикл принятого сигнала. На рис. 10.14 приве-
дены результаты, полученные до (а) и после (б) выравнивания.
В процессе выравнивания, как видно из осциллограмм на рис.
10.14,а, наблюдается сильная размытость как положительных, так
и отрицательных импульсов вида sinx/x, что указывает на их
искажения, связанные с межсимвольной интерференцией. После
выравнивания импульсы на осциллограммах рис. 10.14,6 практи-
чески совпадают, положительные импульсы тесно сгруппированы.
Значительно уменьшается межсимвольная интерференция, снижа-
ется вероятность ошибки при наличии шума в канале. Адаптив-
ный процесс приводит к тому, что в моменты стробирования все
положительные импульсы имеют амплитуду, близкую к +1, а
отрицательные — к —1. При выравнивании канала таким спосо-
бом адаптивный фильтр эффективно подавляет межсимвольную
интерференцию. При таком подходе обычно вероятность ошибки
8* му?
• 3,50
Напряжение огибающей
228
Рис. 10.14. Осциллограммы, полученные за цикл принятого сигнала до (а) и
после (б) выравнивания
в телефонном канале падает от '10 1 в канале без выравнивания
до 10-6 и ниже в канале с выравниванием.
Адаптивный синтез цифровых БИХ-фильтров
В гл. 9 рассмотрен синтез цифровых КИХ-фильтров при ис-
пользовании методов адаптивного моделирования. Здесь приво-
дится аналогичный синтез цифровых БИХ-фильтров. При этом
для синтеза нерекурсивной части фильтров используется адап-
тивное моделирование, а для синтеза рекурсивной части — обрат-
ное адаптивное моделирование.
Вид синтезируемого цифрового БИХ-фильтра приведен на
рис. 7.2. Его передаточная функция из (7.8)
/7(г) = Д(г)/[1-В(г)]. (10.18)
На рис. 10.15 показана схема, реализующая эту передаточную
функцию. Пусть фильтр имеет L нулей и М полюсов, тогда
(10.18) принимает вид
tf(z) =
ао + а1г 1 + — + ад L
— _—bMz м
(10.19)
Таким образом, фильтр имеет L + 1 весовых коэффициентов в не-
рекурсивной части и М весовых коэффициентов в схеме обратной
связи. Цель синтеза—разработка адаптивного процесса, обеспе-
чивающего такую автоматическую коррекцию весовых коэффици-
ентов, при которой передаточная функция фильтра наилучшим
образом удовлетворяет множеству заданных требований. Как и в
гл. 9, эти требования представляются в виде эталонного фильтра.
На рис. 10.16 приведена схема синтеза фильтра, аналогичная
схеме на рис. 9.13. Здесь N входных синусоидальных сигналов
соответствует N заданным частотам, а сигнал dk формируется в
соответствии с (9.8) или (9.11). Функции A(z) и B(z) БИХ-
фильтра адаптируются по эталонному фильтру.
В рассматриваемом случае рабочие функции не всегда явля-
ются унимодальными, и если нули передаточной функции 1 —
Рис. 10.15. Структур-
ная схема адаптив-
ного БИХ-фильтра
Выходной
сигнал
229
Генераторы
синусоидальных
Рис. 10.16. Простая схема синтеза адаптивного БИХ-фильтра (эта схема в об-
щем случае неработоспособна)
B(z) не остаются внутри окружности единичного радиуса, то
адаптивный фильтр может стать неустойчивым. Чтобы избежать
этого, будем рассматривать схему адаптации, которая наиболее
эффективна при решении задачи синтеза фильтра и не требует
адаптивного алгоритма с бесконечной импульсной характеристи-
кой. В такой схеме А (г) и B(z) представляются адаптивными
трансверсальными фильтрами, и процесс адаптации для них
осуществляется раздельно.
Такой подход не полностью минимизирует СКО. Схема моде-
лирования приведена на рис. 10.17 [3]. Здесь е'— сигнал ошиб-
ки, отличный от е в схеме на рис. 10.16. Однако можно показать,
что во многих случаях минимизация среднеквадратического зна-
чения е' при адаптации A(z) и B(z) приводит к таким переда-
точным функциям, при использовании которых в схеме на рис.
10.16 достигается значение ошибки, близкое к минимальному
Рис. 10.17. Синтез фильтра с бесконечной импульсной характеристикой с одно-
временным прямым и обратным моделированием
230
среднеквадратическому значению е. В соответствии с этим, если
на основе схемы рис. 10.17 найдены А (г) и B(z), то БИХ-фильтр
строится введением найденных передаточных функций в схему
на рис. 10.15.
Косвенный метод на рис. 10.17 применяется потому, что сред-
неквадратическое значение е' является квадратичной функцией
коэффициентов A(z) и B(z). В этом случае рабочая функция
унимодальна, следовательно, возможна адаптация A(z) и B(z)
по методу наименьших квадратов. Адаптивный процесс аналоги-
чен показанному на рис. 9.4, где для адаптации двух адаптивных
фильтров, выходные сигналы которых суммируются, используется
общий сигнал ошибки. Отметим, что в идеальном случае адапта-
ция B(z) приводит к тому, что 1—B(z) исключает полюсы, а
адаптация A(z) —нули эталонного фильтра. Более подробно этот
процесс адаптации описан в [32].
Интересно найти соотношение между е и е'. Обозначим пере-
даточную функцию эталонного фильтра через PS(z), а сумму
входных синусоидальных сигналов через К (г). При заданных
A(z) и В (z) z-преобразование сигнала ошибки е в схеме на
рис. 10.16
Е (z) = F (z) [PS (z) - A (z)/[ 1 - В (г)]] (10.20)
Обратимся теперь к схеме на рис. 10.17, для которой при задан-
ных A(z) и B(z) z-преобразование сигнала ошибки
Е' (г) = F (z) [PS (z) [ 1 — В (z)] - А (г)] = Е (г) [ 1 - В (z)J. (10.21)
Очевидно, что Е'(z) и B(z) отличаются множителем 1—В (г), ко-
торый изменяется в процессе адаптации B(z). Следовательно,
при минимизации среднеквадратического значения е' адаптация
A(z) и B(z) не обязательно приводит к минимизации среднеквад-
ратического значения е. Однако при адекватном числе весовых
коэффициентов в А (г) и В (г), когда возможна их адаптация,
приводящая к нулевому среднеквадратическому значению е в схе-
ме рис. 10.16, этот же процесс адаптации, очевидно, приводит к
нулевому среднеквадратическому значению е' в схеме на рис.
10.17. Следовательно, при адекватном числе степеней свободы в
A(z) и B(z) найденные при адаптации в схеме на рис. 10.17 функ-
ции A(z) и B(z) позволяют синтезировать требуемый БИХ-фильтр.
Дальнейшее увеличение числа весовых коэффициентов не ухуд-
шает характеристик, но является излишним.
Исследования этого метода синтеза приведены с помощью
ЭВМ. Хотя при синтезе с помощью фильтра с конечной импульс-
ной характеристикой можно достаточно хорошо реализовать
ФЧХ (например, точно линейную, как описывается в гл. 9), при
эквивалентных значениях задержек и числе весовых коэффициен-
тов частотная характеристика реализуется лучше при синтезе с
помощью БИХ-фильтра. Рассмотрим теперь несколько примеров
синтеза БИХ-фильтров с использованием метода наименьших
231
9 полюсоа
9 нулей
+ + + + ++ + + + + + + 4-4-Ч- + 4-4- + +++ + + +
Рис. 10.18. Синтез низкочастотного БИХ-фильтра, обладающего практически ну-
левой фазой, с использованием метода наименьших квадратов для определения
Л (г) и B(z) на рис. 10.17
квадратов. Эти примеры аналогичны приведенным в гл. 9 и име-
ют те же параметры.
На рис. 10.18 приведены результаты синтеза низкочастотного
БИХ-фильтра. Отметим, что частотные характеристики являются
равномерными в полосе пропускания и имеют значительные вы-
бросы за ее пределами. Заданное требование нулевой фазы до-
статочно хорошо выполняется на всех частотах, за исключением
области перехода от полосы пропускания к полосе подавления.
На рис. 10.19 представлены результаты другого синтеза. В этом
случае для получения более резкого среза характеристики введе-
ны различные множители стоимости. Полученный результат до-
стигнут за счет некоторой неравномерности в полосе пропуска-
232
1 -
+
9 полюсов
9 нулей
Рис. 10.19. Синтез фильтра, аналогичного приведенному на рис. 10.18, с ис-
пользованием для улучшения характеристик в полосе пропускания неравномер-
ной функции стоимости
ния. В обоих вариантах БИХ-фильтры имеют 10 весовых коэф-
фициентов в нерекурсивной части и 9 весовых коэффициентов в
схеме обратной связи, при этом устройство с А(г) является нека-
узальным. При расчетах заданы 25 равномерно отстоящих друг
от друга частот.
На рис. 10.20 приведены результаты адаптивного синтеза дру-
гого , низкочастотного БИХ-фильтра, для которого задана линей-
ная ФЧХ в обеих полосах. Здесь такое же распределение весо-
вых коэффициентов, но устройство с А (г) в этом случае являет-
ся каузальным. Как показано на рис. 10.20, при этом введены
233
9 полюсов
। 9 нулей
+ ++ + ++ + + + + ++ + + Ч-Ч-4--(--Ь + -<- + ->-
Рис. 10.20. Синтез низкочастотного БИХ-фильтра с заданной линейно изменяю-
щейся фазой
различные множители стоимости. Так же, как и в примерах на
рис. 10.18 и 10.19, графики получены расчетом на ЭВМ не только
для заданных частот, но и для большого числа промежуточных
значений. Требование линейности ФЧХ хорошо выполняется в по-
лосе пропускания, но практически не реализовано в полосе по-
давления. Видно, что вполне удовлетворительно реализована
АЧХ.
На рис. 10.21 приводится пример специального фильтра, для
которого заданы линейная ФЧХ и пилообразная в логарифмиче-
ском масштабе АЧХ. Проектирование такого фильтра затрудни-
тельно без адаптивного синтеза. Отметим, что при увеличении
числа весовых коэффициентов и задании требований к линейно-
сти ФЧХ для большого числа частот можно получить характерис-
234
20 весовых коэффициентов
25 заданных точек
9 полюсов
9 нулей
Рис. 10.21. Адаптивный синтез БИХ-фильтра с линейно изменяющейся фазой и
пилообразной (в логарифмическом масштабе) АЧХ
тики, более близкие к заданным. В настоящее время нет способа
точной оценки приближения как функции числа весовых коэффи-
циентов и числа задаваемых точек. Однако при использовании
ЭВМ этого можно достичь методом проб и ошибок. Такой итера-
тивный процесс можно реализовать на персональной ЭВМ или
на терминале ЭВМ коллективного пользования с временным раз-
делением.
Теперь необходимо рассмотреть задачу, которая часто возни-
кает при синтезе БИХ-фильтров описанными методами. Для это-
го обратимся к схеме на рис. 10.17. Трансверсальные фильтры
A(z) и B(z) легко построить с помощью процесса адаптации по
методу наименьших квадратов или другого алгоритма, исполь-
зующего среднеквадратическую оценку (например, по алгоритму
последовательной регрессии для нерекурсивных фильтров, кото-
235
рый описан в гл. 8). Задача состоит в том, что при использова-
нии в синтезируемом фильтре на рис. 10.15 обратной связи с пе-
редаточной функцией В (г) иногда оказывается, что петля обрат-
ной связи является неустойчивой. Передаточная функция синтези-
руемого фильтра имеет вид
А (z)/[l - В (г)]. (10.22)
Каузальный фильтр является устойчивым только тогда, когда все
корни 21, 22, ... ,zM полинома
l-B(z) (10.23)
находятся внутри круга единичного радиуса на 2-плоскости.
Полином (10.23) можно разложить на множители
1 - В (z) = z-м (Z - Z1) (z - ... (z - zM). (10.24>
Во всех случаях можно получить устойчивый БИХ-фильтр из не-
устойчивого, если все корни (10.24), находящиеся вне круга еди-
ничного радиуса, заменить на обратные величины. Тогда полу-
ченный устойчивый фильтр будет иметь АЧХ, идентичную харак-
теристике неустойчивого фильтра, которая, в свою очередь, ап-
проксимирует заданную. Однако ФЧХ может сильно отличаться
от первоначально заданной.
Замену корней во всех множителях (10.24), имеющих корни
вне окружности единичного радиуса, легко осуществить подста-
новкой 2-1 вместо 2. Другими словами, положим, что множитель
в (10.24) имеет вид
(z-Zp), где |2р[> 1. (10.25)
Тогда в полиноме его заменяют на множитель
(z->-Zp). (10.26)
Остальные множители, имеющие корни внутри окружности еди-
ничного радиуса, входят в (10.24) без изменений. При перемно-
жении всех сомножителей получается новая передаточная функ-
ция B(z) в (10.24), реализация которой в схеме на рис. 10.15
приводит к устойчивому БИХ-фильтру.
Замена сомножителей для обеспечения устойчивости не влияет
на АЧХ по следующей причине. Пусть zP — действительная вели-
чина. Тогда в соответствии с (7.19) один из сомножителей, входя-
щих в коэффициент передачи по амплитуде, равен \z—zp\, где
z=ejco, и очевидно, что
|z — Zp| = |z-1 — Zp|для всех z = e/“. (10.27)
Пусть теперь zp — комплексная величина. Тогда комплексно-со-
пряженная величина zp также должна быть корнем знаменателя
в передаточной функции H(z). Заменим множители (z—zp) и
(z—2р) на (2-1—2р) и (г-1—Zp). Тогда снова для общего значе-
ния z на окружности единичного радиуса
| (z - zp) (z - zp) | = | (z—1 — Zp) (z~1 — Zp) | для всех z = e> (10.28)
236
Аналогичные рассуждения справедливы для всех сомножите-
лей, заменяемых для обеспечения устойчивости. Отметим, что при
такой замене не сохраняется ФЧХ. В результате полученный
БИХ-фильтр может иметь ФЧХ, сильно отличающуюся от задан-
ной даже при очень близкой к заданной АЧХ.
Фактически представленный на рис. 10.18 БИХ-фильтр обла-
дает описанным выше видом неустойчивости. При замене полю-
сов в соответствии с (10.26) получаем устойчивый фильтр, приве-
денный на рис. 10.22, который, как и показанный на рис. 10.18,
имеет 10 весовых коэффициентов в нерекурсивной части и 9 ве-
совых коэффициентов в схеме обратной связи. Здесь АЧХ близ-
ка к заданной, а ФЧХ сильно отличается от заданной. На рис.
10.23 приведен график распределения нулей и полюсов переда-
1-
£ 9 полюсов
о 9 нулей
S
° +4-4-4-4- + + +Ч+-Ь + -Ц- + + 4-+ + 4- + ~И-+Ч-
Рис. 10.22. Синтез аналогичного показанному на рис. 10.18 БИХ-фильтра, для
достижения устойчивости которого приняты обратные значения полюсов, рас-
положенных вне области устойчивости
237
точных функций фильтров рис. 10.18 и 10.22 и показано, как осу-
ществляется замена полюсов на обратные величины в соответст-
вии с (10.26).
Для выполнения требований к АЧХ и ФЧХ с сохранением ус-
тойчивости адаптивного БИХ-фильтра существуют, по крайней
мере, два основных подхода. В общем виде рассмотрим кратко
каждый из них.
Схема, реализующая первый способ, приведена на рис. 10.24.
Здесь показан устойчивый БИХ-фильтр, синтезированный, как
описано выше, заменой полюсов на обратные. Последовательно с
этим устойчивым фильтром включается переменная задержка и
компенсатор фазы. При минимизации СКО адаптируются послед-
ние звенья, а сам фильтр остается неизменным. Компенсатор фа-
зы представляет собой фильтр с коэффициентом передачи по
амплитуде, равным единице, и переменной! фазой. Он содержит
одно или несколько последовательно включенных звеньев с пере-
даточной функцией вида
РЬ(г)=Л+Л.г '.+ * 2 .
1 -|- г -|-
(10.29)
Рис. 10.23. Расположение нулей и полюсов для фильтров на рис. 10.18 и 10.22.
Показана замена полюсов на обратные, в результате чего достигается устойчи-
вость фильтра
238
Рис. 10.24. Применение фазового компенсатора для коррекции фазовых иска-
жений, возникающих при замене полюсов
В соответствии с рис. 8.9 весовые коэффициенты и Ь2 должны
перестраиваться так, чтобы полюса функции Ph(z) оставались
внутри окружности единичного радиуса. Таким образом, резуль-
тирующий БИХ-фильтр состоит из последовательно соединен-
ных устойчивого фильтра на рис. 10.24, задержки и компенсато-
ра фазы.
Схема, реализующая второй способ, приведена на рис. 10.25.
Здесь для реализации полинома обратной связи [1—B(z)] ис-
пользуются последовательно включенные звенья второго порядка.
В соответствии с рис. 8.9 полюса полинома [1—В (г)] можно
удерживать внутри круга единичного радиуса, что также приво-
дит к устойчивости фильтра. Как и ранее, при значительной
групповой задержке эталонного фильтра может возникнуть необ-
ходимость в задержке А. Хотя процесс адаптации каскадных
структур разработан [4], метод, приведенный на рис. 10.25, в
данной книге не рассматривается.
Рис. 10.25. Синтез БИХ-
фильтра при использова-
нии звеньев с двумя по-
люсами, реализующих
передаточную функцию
1-В(г)
239
Из двух описанных способов второй считается более эффек-
тивным. Для проверки этого способа был проведен эксперимент,
результаты которого представлены на рис. 10.26 и 10.27. Описан-
ный ранее синтез только по АЧХ показан на рис. 10.26, из кото-
рого видно, что при переносе нулей функции [1—B(z)] в окруж-
ность единичного радиуса ФЧХ сильно искажается. На рис. 10.27
приведены результаты синтеза с использованием схемы рис.
10.25, в которой адаптация осуществляется по обеим характерис-
тикам. Отметим, что АЧХ на рис. 10.26, где нет адаптации по
4 полюса
4 нуля
+ 4- + 4- + + + 4- 4- + + 4-
Рис. 10.26. Пример синтеза БИХ-фильтра и треугольной АЧХ в полосе пропус-
кания. Поскольку необходимо принимать обратные значения полюсов, требо-
вания выполняются только относительно АЧХ
240
4 полюса
4 нуля
Рис. 10.27. Пример, аналогичный приведенному на рис. 10.26, но при исполь-
зовании схемы на рис. 10.25 выполнены требования как по АЧХ, так и по ФЧХ
фазе, имеет лучшее приближение к заданной. При увеличении
общего числа нулей и полюсов оба способа приводят к лучшему
результату.
Упражнения
1. Покажите, что если на входе неизвестной системы мощность белого шу-
ма равна р, то ее шум определяется равенством (10.11).
2. В приведенной ниже схеме обратного моделирования будем считать,
что для всех i=H=A отсчеты sk и sft+j независимы и <p3S(0) = 1. Кроме того, по-
ложим, что «л и Si независимы и <₽nn(0)=p. Выведите выражения для энер-
гетических спектров ®ss(z), Фхх(г), ®dd(z) и Фах(г).
241
3. Для схемы упражнения 2 из общего соотношения (10.8) найдите вы-
ражение для передаточной функции оптимальной обратной модели
4. Используя решение упражнения 3 в гл. 7 и равенство (7.65), найдите
простое выражение для минимального значения СКО в схеме упражнения 2.
5. Каковы значения минимальной СКО и оптимальных весовых коэффици-
ентов в приведенной ниже системе?
6. Для оптимальных ш0 и Wi системы из упражнения 5, используя алго-
ритмы фильтрации, покажите, что для Ей точно равна нулю.
7. Для системы из упражнения 5 проведите адаптивный процесс по методу
наименьших квадратов. Пусть ss = RANDOM(l.)—5 (в соответствии с прило-
жением А), р.=0,08 и начальные значения wo=^i = 0. Постройте зависимость
ess от k для ряда значений, достаточного, чтобы показать процесс сходимости.
8. Покажите дли приведенной ниже системы, что, используя метод наимень-
ших квадратов, можно осуществить слежение за изменяющимися во времени
параметрами неизвестной системы. Для этого постройте зависимости от k ве-
совых коэффициентов w0 и при 0<Л<1500. Примите st и ц такими же, как
в упражнении 7. В качестве начальных условий возьмите wo=O,5 и W)=—0,3.
9. Для приведенной ниже схемы обратного моделирования выразите сиг-
нал ошибки ен через входной сигнал S&.
242
10. Положим, что в системе из упражнения 9 ss — белый шум мощностью,
равной единице. Выразите рабочую функцию g = £[e2s] через адаптивные ве-
совые коэффициенты w0... wL.
11. Положим, что в системе из упражнения 9 ss — белый шум мощностью,
равной единице, и Л = Д=1. На основе решения упражнения 10 найдите анали-
тическое выражение для оптимальных значений весовых коэффициентов.
12. Пусть в системе из упражнения 9 Sk — белый шум, L=15 и Д=8.
Составьте программу сходимости к gmin для метода наименьших квадратов.
Постройте результирующую импульсную характеристику адаптивного линейно-
го сумматора. Затем постройте общую импульсную характеристику последова-
тельно соединенных неизвестной системы и этого адаптивного линейного сум-
матора.
13. Пусть в приведенной ниже схеме обратного моделирования S& — белый
шум, а Пк=0. Для метода наименьших квадратов постройте импульсные харак-
теристики оптимальной обратной модели и последовательного соединения не-
известной системы с этой моделью.
14. Для системы из упражнения 13 экспериментально найдите значение
минимальной СКО, если мощность шума <рпп (0) равна 0, составляет 0,01 и 0,1
от мощности сигнала <pss(0). При этом предполагается, что Sk и пь — два не-
зависимых белых шума.
15. Для приведенной ниже системы постройте обучающую кривую по мето-
ду наименьших квадратов, усредняя е2л по 100 реализациям адаптивного про-
цесса. При этом А = 15, sk — белый шум мощностью, равной 1, а р составля-
ет 10% общей мощности хь.
243
16. Методом наименьших квадратов проведите адаптивный процесс для схе-
мы из упражнения 15 при р=0,1 и постройте зависимость gmin от А при из-
менении А от 0 до 15. Для оценки gmin для каждого значения А вычислите
среднее по 100 значениям е2л после завершения процесса адаптации.
17. Поясните своими словами принцип действия адаптивного устройства
выравнивания на рис. 10.13,5.
18. Для схемы на рис. 10.17 получите выражение, аналогичное равенству
(7.67), и покажите, что ее рабочая функция является квадратичной.
19. В схеме на рис. 10.17 положим, что L=0 и р. = 1, т. е., что A(z) и
В (г) имеют по одному весовому коэффициенту. Найдите, при каких значениих
этих весовых коэффициентов достигается минимум СКО в схемах на рис. 10.16
и рис. 10.17. Являются ли они одинаковыми для обеих схем?
20. В соответствии с рис. 10.18, используя метод наименьших квадратов,
экспериментально проведите синтез БИХ-фильтра. Примите А=Л4=9 в (10.19)
и такое значение р, при котором адаптивный процесс сходится в пределах
нескольких тысяч итераций. Постройте зависимость е'\ от k. Постройте сгла-
женную АЧХ, аналогичную рис. 10.18.
21. Покажите, где расположены полюса передаточной функции БИХ-фильт-
ра из упражнения 20. Сравните результат с рис. 10.23. При необходимости
перенесите соответствующие полюсы в окружность единичного радиуса и най-
дите передаточную функцию нового устойчивого варианта фильтра.
22. Покажите, что коэффициент передачи компенсатора фазы из (10.29)
одинаков на всех частотах. Найдите выражения для фазы 0(<о), где <о — нор-
мированная частота [см. равенство (7.16)].
23. В соответствии с рис. 10.27 способом, реализация которого приведена
на рис. 10.25, проведите синтез БИХ-фильтра. Примите L=M=4 и, изменяя
множители стоимости, как показано на рис. 10.27, получите аналогичные ре-
зультаты.
Ответы к некоторым упражнениям
1. См. равенство (7.73), (7.74) и (7.57).
2- Фзз (?) = <S>dd (z) = 1, Фжж= (1 +p)|P(z)|2, Фйж(г)=гЛР(г).
3. Я*(г) = г-Д/[(14-р)Р(г)].
• ?тШ = Р/ 1 +Р).
L
9. eft = sft_A_ 2 и,г(4sft_г — 3sft—г—х).
1=0
244
10. £=1+25 S w^-24 S wiWi-г—8ге>д + 6te>A_x.
z=o 1=0
11. w0= —0,0561, ^ = 0,1331.
2bi (6, — 1) sin <o + (&2 — 1) sin 2<o
22. tg 0 (co) = ---------------------------------
262 + б? + 26i (62 + 1) cos ш + (6^ + l).cos 2<o
Глава 11
АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
В данной главе рассматриваются некоторые приложения опи-
санных в гл. 9 и 10 методов адаптивного моделирования к адап-
тивному управлению. Однако полностью это направление не ос-
вещается, поскольку по адаптивному управлению существует
большое число работ (например, [1]).
В теории управления неизвестная или идентифицируемая сис-
тема является физической системой, которой необходимо управ-
лять. При подаче входного сигнала управления на ее выходе
формируется отклик. Примерами управляемых систем могут быть
самолет с управляемой геометрией крыла, которая изменяется в
соответствии с входным сигналом управления, и устройство пода-
чи топлива и связанная с ним система сгорания, управляемые в
соответствии с требуемой мощностью.
Кроме того, как показано на рис. 11.1, существует управляю-
щее устройство, которое формирует входной сигнал для управляе-
мой системы. Управляющее устройство получает информацию из
внешней среды, а в случае систем управления с обратной связью
и с выхода управляемой системы. Устройство управления может
быть линейной или нелинейной системой с заданными или изме-
няющимися во времени параметрами, осуществляющей адапта-
цию при изменении параметров управляемой системы или усло-
вий окружающей среды. В данной главе рассматриваются линей-
ные адаптивные системы управления, т. е. адаптивные системы
управления, которые становятся линейными после адаптации их
внутренних адаптивных параметров.
Пример такой системы, которая является системой с обратной
связью с единичным коэффициентом передачи, показан на рис.
11.2. Из входного сигнала r(t) для формирования сигнала ошиб-
ки e(t) выделяется выходной сигнал c(t). Сигнал ошибки посту-
пает на управляющее устройство, которое непрерывно формирует
сигналы управления для управляемой системы, чтобы уменьшить
Рис. 11.1. Система
управления с обрат-
ной связью
24&
Рис. 11.2. Система
управления с еди«
яичной обратной
связью и адаптив-
ным последователь-
ным компенсатором
до нуля сигнал ошибки е(0- Цель адаптации состоит в том, что-
бы достаточно близко привести c(t) к г(/), а общую передаточ-
ную функцию сохранить такой, чтобы система была устойчивой.
Хотя идея такой системы проста, ее трудно описать с точки
зрения процесса адаптации. Устройство управления может пред-
ставлять собой трансверсальный фильтр, но для адаптации необ-
ходимо, чтобы его полезный выходной сигнал в реальном мас-
штабе времени соответствовал требуемому входному сигналу уп-
равляющей системы. Однако при неизвестной управляемой сис-
теме этот полезный сигнал трудно получить. При известной сис-
теме отпадает необходимость в компенсаторе и петле обратной
связи.
Еще один подход к адаптации приведенной на рис. 11.2 сис-
темы состоит в следующем. Предположим, что цело адаптации
состоит в минимизации в среднеквадратическом смысле сигнала
ошибки e(t). Вводя приращения в значения весовых коэффици-
ентов компенсатора, можно измерить компоненты градиента.
Среднеквадратическую ошибку можно минимизировать при ис-
пользовании такого градиентного метода, как дифференциальный
метод наискорейшего спуска, рассматриваемый в гл. 5. Сущест-
вуют две трудности, ограничивающие применение такого подхо-
да. Независимо от используемого способа введения приращений
в значения весовых коэффициентов, необходимо, чтобы переход-
ные процессы в системе могли каждый раз завершаться до изме-
рения изменений параметров компенсатора или управляемой сис-
темы. Более того, даже если предположить, что возможно успеш-
ное измерение градиента, то рабочая функция, как показано в
гл. 7, не будет унимодальной.
Неправильная настройка устройства управления может при-
вести к неустойчивости. Поэтому необходимо одновременно учи-
тывать устойчивость системы управления и устойчивость ее адап-
тивного алгоритма.
В данной главе показаны два способа адаптивного управле-
ния, устраняющие эти трудности. Первый способ основан на
адаптивном моделировании управляемой системы, описанном в
гл. 9, а второй — на обратном моделировании, описанном в гл.10.
Адаптивное управление с применением адаптивного
моделирования
Первый способ адаптивного управления, в котором использу-
- ется адаптивное моделирование, имеет следующий принцип дей-
ствия. С помощью адаптивного моделирования формируется мо-
246
дель управляемой системы, которая используется для определе-
ния ее входных сигналов, приводящих к необходимым сигналам:
на ее выходе. Затем эти входные сигналы управления подаются
на вход действительной управляемой системы, в результате чего
сигналы на ее выходе являются близкими к требуемым. Такой
вид управления в некотором смысле не имеет обратной связи, но.
в действительности петля обратной связи замыкается через адап-
тивный процесс.
Для иллюстрации этого метода рассмотрим систему регуля-
ции кровяного давления, приведенную на рис. 11.3. Ее экспери-
ментальные исследования проводились студентами Станфордоко-
го университета. Цель этих исследований — разработка системы
управления с петлей обратной связи для регуляции кровяного
давления пациента. В этом случае, как показано на рис. 11.3,
входной сигнал управляемой системы — поток лекарства, а вы-
ходной сигнал — кровяное давление. Опыты проводились с со-
баками.
Для управления кровяным давлением животному вводят силь-
но действующее лекарство арфонад. Это лекарство влияет на
естественную систему регуляции кровяного давления и приводит
к состоянию, аналогичному продолжительному состоянию шока.
При этом кровяное давление может упасть до нуля, вызвав у жи-
вотного необратимые процессы. Чтобы предотвратить это явле-
ние, медленно, в течение многих часов, для повышения кровяного
давления вводится стимулирующее мышцу лекарство норепине-
фрин; ЭВМ непрерывно фиксирует кровяное давление и регули-
рует дозу вводимого лекарства. Конечная цель этой работы —
разработка адаптивных систем управления.
На рис. 11.4 приведены характерные динамические характе-
ристики реакции среднего кровяного давления животных на изме-
нения дозы вводимого лекарства. Форма кривой зависит от раз-
меров, вида и особенно состояния животного. Животное с хоро-
Рис. 11.3. Система управления с замкнутой обратной связью для регуляции-
кровяного давления
247'
30 капель/мин
Для больного’ животного
m
s
S i 30
15 ка-
_пель/
мин
д Для SflOpOBOrO^WBOTHOrO.
---Г7~~~7 ~i-----------
0 10 20 30
Время, с
!Рис. 11.4. Характерные отклики среднего кровяного давления на скачкообраз-
ные изменения дозы вводимого стимулятора
Шим состоянием здоровья реагирует на небольшое увеличение
дозы лекарства установлением в конечном итоге первоначально-
го уровня кровяного давления. Больные животные не в состоянии
компенсировать даже умеренное увеличение дозы, и, следова-
тельно, кровяное давление возрастает известным образом и уро-
вень его остается высоким. У животных наблюдается большой
разброс характеристик реакции на стимулятор мышечной дея-
тельности. Обычно время начала реакции животного составляет
10... 20 с, а кровяное давление устанавливается в течение 50...
... 100 с.
Приведенная на рис. 11.3. система не является, как это мо-
жет показаться, обычной системой управления с обратной связью.
Динамическая характеристика реакции животного (включая за-
держку до начала реакции) часто имеет слишком большой раз-
брос, чтобы ею управлять с использованием обычной обратной
связи.
На рис. 11.5 приведена структурная схема адаптивной систе-
мы управления. Описанные ниже функции, выполняемые устрой-
ством вычисления сигнала управления и адаптивной моделью, а
также функции обработки данных, не приведенные на рис. 11.5,
но необходимые для лабораторной установки, реализованы с по-
248
Доза Кровяное
Рис. 11.5. Структурная схема адаптивной модели для системы управления, по-
казанной на рис. 11.3
мощью мини-ЭВМ. Буферное устройство, в котором запоминают-
ся и хранятся значения каждого отсчета на время интервала
между отсчетами, является частью электронной системы сопря-
жения ЭВМ и сделанного из соленоида клапана для ввода ле-
карства. Интервал между отсчетами составляет 5 с. В течение
каждого интервала адаптивная модель подстраивается, и, как
описано ниже, производится вычисление новой дозы (выражае-
мой числом капель в минуту).
Адаптивная модель на рис. 11.5 представляет собой фильтр с
конечной импульсной характеристикой, имеющей 20 весовых ко-
эффициентов (Б=19) и общей временной задержкой 95 с. Чтобы
учесть среднее кровяное давление при отсутствии лекарства, вво-
дится весовой коэффициент смещения w'o. Из рис. 11.5 следует,
что адаптивная модель является моделью, описанной в гл. 9.
Вместо заданного линейного компенсатора, значения весовых ко-
эффициентов которого не зависят от параметров входного сигна-
ла, здесь используется адаптивный процесс автоматической пе-
рестройки весовых коэффициентов, осуществляемый таким обра-
зом, чтобы для данных параметров входного сигнала эта модель
обеспечивала минимальную СКО относительно отсчетов последо-
вательно включенных буферного устройства и управляемой сис-
темы. При проведении опытов использован метод наименьших
квадратов.
Снова обратимся к рис. 11.5. При правильной работе система
приводит к тому, что кровяное давление животного изменяется в
соответствии с сигналом управления кровяным давлением г;£. На
основе этого сигнала, а также вектора весовых коэффициентов
и вектора входных сигналов X* (отражающего состояние
адаптивной модели) формируется сигнал управления хн. Рассмот-
249
рим теперь принцип действия устройства вычисления сигнала
управления.
Предположим, что в результате адаптивного процесса значе-
ние £[е2й] сведено к нулю, т. е. это устройство должно из по-
лучить такое Xk, при котором rh и у<>_ были бы равны. Тогда при
их равенстве (и при малом значении Л,) сигнал gk на выходе уп-
равляемой системы приближенно равен гь- Таким образом, в
схеме на рис. 11.5 устройство вычисления сигнала управления по
существу должно стать обратной адаптивной моделью. Поскольку
в управляемой системе имеется задержка, обратная модель дол-
жна быть предсказывающей.
Обратная модель строится следующим образом. В соответст-
вии с алгоритмом наименьших квадратов на каждой итерации пе-
рестраивается полный вектор весовых коэффициентов (w'ok, Wft).
В адаптивной модели, если считать, что Гк и уь равны, для /?-й
итерации имеем
L
yk = wok+ 2wnkXk-n. (11.1)
n=0
Следовательно, для устройства вычисления сигнала управления
1 Г , L
=----------- fk - И’ол - S Wnk Xk-n
“'oft n=l
(11-2)
Для обратной модели такого вида необходимо полагать, что хк
так возбуждает управляемую систему, что возможно адаптивное
моделирование. Если это не так, то в ее входной сигнал можно
ввести небольшой сигнал возбуждения.
Кроме того, необходимо предположить, что woh в (11.1) не
стремится к нулю, но это не гарантируется при использовании
метода наименьших квадратов. В действительности, когда управ-
ляемая система имеет задержки, такие, как время до начала ре-
акции на рис. 11.4, wa стремится к малому значению и является
зашумленным, а вычисленное по (11.2) значение хк может быть
очень большим и колебаться в широких пределах, так как при
вычислениях необходимо деление на Wq. Следовательно, в систе-
ме управления кровяным давлением, где нежелательны большие
дозы лекарства и, вообще говоря, невозможны отрицательные
дозы, адаптивная часть схемы видоизменяется с учетом задерж-
ки реакции.
Это видоизменение состоит в том, что несколько первых весо-
вых коэффициентов адаптивной модели приравнивается нулю.
Их число соответствует известному априори времени задержки
(времени до начала реакции) управляемой системы. Предполо-
жим, например, что приравнены нулю первые два весовых коэф-
фициента, wQll и Wik. Тогда текущее и предыдущее значения вход-
ного сигнала адаптивной модели хк и не влияют на ее вы-
ходкой сигнал, а значения xh-2, Д/г-з, ... , влияют.
250
Выбирая входные сигналы такими, при которых текущий вы-
ходной сигнал модели равен гк, имеем
L
yh = w'ok+ S W^Xk-n. (11.3)
n—2
На основании этого результата можно, как в (11.2), вычислить
xft_2, но фактически необходимо знать хь- Поэтому осуществим в
(11.3) сдвиг на два временных шага вперед, тогда
L
yk+2 = W'Q k2 + S Wn, k+2Xk+2-n. (1 1.4)
Л=2
Положим теперь, что весовые коэффициенты меняются медлен-
но, тогда вместо будущих можно брать текущие значения весо-
вых коэффициентов. В этом случае, снова полагая yh и гк рав-
ными, имеем
1 / L \
xk —-----\rk-j-2 — wnk— S Wnk xk+2—n I • (11-5)
w2k \ ' n=3 i
В этом соотношении необходимо знать входной сигнал управле-
ния на два временных шага вперед. Иногда известны будущие
значения этого сигнала и можно использовать (11.5). Если извест-
но только значение гк, то (11.5) можно видоизменить:
J / Г \
хк~------,rk—WQk— 2 xk+2—п I (11.6)
w2k \ n=3 /
При использовании (11.6) выходной сигнал модели соответству-
ет сигналу управления, задержанному на два временных шага.
Таким образом, эта задержка не связана с задержкой прохожде-
ния сигнала через управляемую систему.
Система на рис. 11.5 многократно применялась в эксперимен-
тах по регуляции среднего кровяного давления животных и уп-
равлению им. В этих экспериментах стандартное отклонение
из-за шума в приборах, измеряющих кровяное давление, состав-
ляло от 5 до 10 мм рт. ст. Обычно среднее кровяное давление ре-
гулируется с точностью до 2 ... 4 мм рт. ст. в установившемся со-
стоянии, а в экстремальных условиях точность может превысить
5... 10 мм рт. ст. Характерное время установления составило по-
рядка 2 мин, что несколько превышает общий временной интер-
вал, перекрываемый адаптивной моделью управляемой системы.
Для возможно более быстрого запуска системы начальные зна-
чения весовых коэффициентов в процессе моделирования обычно
выбирают на основании предыдущего опыта. Выбор этих началь-
ных значений нс является критичным.
На рис. 11.6—11.9 представлены результаты экспериментов
по управлению кровяным давлением животных. В ходе экспери-
ментов нормальной собаке был введен арфонад, после чего кро-
вяное давление поднялось, как показано на рис. 11.6.
251
Больная собака
5
5
Выходной
сигнал
модели
200г---------------
1 gQ ГЗдоровая собака
Среднее кровяное давление
С введен-
ным арфо-
Установленное
значение давления
160
140
120 -
100 ~ надом
80 -
60
40
20
__ 0
104
'ё s "i ю2
Рис. 11.6. Фактичес-
кие зависимости, по-
лученные для здоро-
вой и больной собак
при ручном и авто-
матическом управле-
нии
40
20
2
12
Ручное
управление
8 9 10
Время, мин
Автоматическое управление
о
ш
о
0
Две верхние кривые показывают соответственно действитель-
ное среднее кровяное давление и выходной сигнал модели, кото-
рые очень близки друг к другу даже в моменты таких сильных
стрессов, которые возникают после введения арфонада.
В начале эксперимента доза лекарства (нижняя зависимость
на рис. 11.6) устанавливалась вручную на уровне 10 капель/мин.
После введения арфонада эта доза доведена до 20 капель/мин.
При падении кровяного давления доза лекарства возрастает.
После этого и далее управление дозировкой лекарства было пе-
редано автоматической системе (на кривой этот момент помечен
крестиком). Уровень давления задавался с клавиатуры ЭВМ,
этот уровень помечен крестиком на верхних кривых. Далее сис-
тема управления должна была поднять кровяное давление жи-
Рис.
кие
лученные при управ-
лении кровяным дав-
лением больной со-
баки
11.7. Фактичес-
зависимости, по-
252
Рис. 11.8. Фактичес-
кие зависимости, по-
лученные при управ-
лении кровяным дав-
лением относитель-
но его установленно-
го значения
0.20
18 МИН
вотного до этого значения и поддерживать его при наличии ес-
тественных возмущений. Средняя кривая отражает ход среднего
значения СКО (по логарифмической шкале), являющейся разни-
цей между сигналами управляемой системы и адаптивной мо-
дели.
Длительность выборки, обрабатываемой адаптивной моделью,
равна 95 с. Эта модель представляет собой адаптивный транс-
версальный фильтр с 20 отводами с задержкой между ними 5 с.
После включения автоматического управления кровяное давле-
ние устанавливается примерно за 5 мин. Таким образом, это вре-
мя приблизительно в 3 раза больше длительности выборки, что
является достаточно коротким
интервалом для адаптивной сис-
темы управления.
На рис. 11.6 фактически при-
ведена часть кривой длительно-
го наблюдения в течение нес-
кольких часов, когда ЭВМ управ-
ляла кровяным давлением жи-
вотного, находящегося под раз-
личной степенью воздействия ар-
фонада. С точки зрения управле-
ния результаты оказались поло-
жительными и характерные кри-
вые приведены на рис. 11.7 и 11.8.
Записи данных на рис. 11.6—11.8,
которые несколько перекрывают-
Рис. 11.9. Импульсная характеристика
модели на рис. 11.5 в различные мо-
менты времени
8 10 12 14 16 18 20
Номер весового коэффициента
0
253
ся по времени, -представляют собой реакции на изменяющиеся
значения давления. В каждом случае давление устанавливалось
примерно за 5 мин.
На рис. 11.9 показаны значения весовых коэффициентов моде-
ли с конечной импульсной характеристикой, снятые в некоторые
моменты времени в процессе наблюдения. Значения весовых ко-
эффициентов соответствуют значениям сигнала на отводах фильт-
ра и поэтому совпадают с импульсной характеристикой. Весовой
коэффициент смещения w'o на рис. 11.5 является двадцать пер-
вым. Импульсная характеристика на верхнем графике рис. 11.9
снята перед введением арфонада; как видно, животное очень чув-
ствительно к лекарству, стимулирующему мышечную деятель-
ность. Следующий график снят после введения арфонада перед
включением автоматического управления, Форма характеристи-
ки несколько изменилась и существенно изменился уровень чувст-
вительности. С течением времени в импульсной характеристике
животного не произошло других сильных изменений, что также
рассматривается как важный результат.
Итак, описана система управления с ЭВМ в реальном вре-
мени, предназначенной для регуляции кровяного давления жи-
вотного, находящегося в состоянии продолжительного шока. Си-
стема управляет дозой вводимого лекарства стимулирующего
действия и фиксирует кровяное давление. Для формирования
требуемого входного сигнала управления значениями кровяного
давления использована адаптивная модель реакции кровяного
давления животного на лекарство. В качестве модели использо-
ван адаптивный линейный сумматор, а сигнал управления вычис-
ляется на основе импульсной характеристики модели. Этот метод
управления основан на методе адаптивного моделирования неиз-
вестной системы.
Адаптивное управление с применением адаптивного
обратного моделирования
Еще один способ решения задачи адаптивного управления ос-
нован на описанных в гл. 10 методах обратного моделирования.
Прежде всего этот способ разработан для управляемых систем,
передаточная функция которых может иметь нули в правой поло-
вине z-плоскости, или, в терминах дискретных систем, вне круга
единичного радиуса на z-плоскости1. Управление такой системой
с применением адаптивного моделирования может привести к оп-
ределенным трудностям, так как выходной сигнал устройства
вычисления сигнала управления должен иметь z-преобразование,
1 Реальные управляемые системы являются непрерывными, и их переда-
точные функции имеют полюса и нули на s-плоскости. Цифровые устройства
управления работают по отсчетам непрерывных входных и выходных сигналов
управляемой системы, поэтому «наблюдают» ее в виде дискретной системы.
Здесь все рассуждения, анализ и моделирование на ЭВМ проводятся для циф-
ровых (дискретных) систем. Более полно эти вопросы обсуждаются в [2].
254
равное по существу произведению ^-преобразования входного
сигнала управления и функции, обратной передаточной функции
управляемой системы (это следует из рис. 11.5). Если передаточ-
ная функция модели управляемой системы имеет нули вне круга
единичного радиуса, то сигнал управления х& имеет г-преобразо-
вание с полюсами вне этого круга. В этом случае сигнал управ-
ления является неустойчивым. Физически это означает, что амп-
литуда сигнала управления возрастает до тех пор, пока некото-
рая часть системы не дойдет до насыщения, которое приводит к
потере управления.
Другими словами, неизвестная управляемая система может
управляться, если входной сигнал управления подается на вход
устройства управления с передаточной функцией, приближенно
равной обратной передаточной функции неизвестной системы.
Сигнал на выходе устройства управления становится сигналом,уп-
равляющим неизвестной системой. При адаптивном обратном мо-
делировании параметры устройства управления формируются за
счет применения процесса адаптивного обратного моделирования
в управляемой системе. Если устройство управления реализовано
в виде адаптивного трансверсального фильтра, весовые коэффи-
циенты которого перестраиваются по какому-либо среднеквадра-
тическому алгоритму, например по методу наименьших квадра-
тов, то можно показать, что устройство управления является ус-
тойчивым независимо от параметров управляемой системы.
Обратную модель неизвестной управляемой системы можно
построить так, как показано на рис. 11.10. Здесь входным сигна-
лом адаптивного фильтра является выходной сигнал управляемой
системы, и адаптация фильтра осуществляется так, чтобы его вы-
ходной сигнал имел наилучшее в среднеквадратическом смысле
приближение к входному сигналу управляемой системы. Это при-
ближение достигается тогда, когда передаточная функция после-
довательно соединенных неизвестной управляемой системы и
Входной
сигнал
Рис. 11.10. Обратное модели-
рование неизвестной системы
без задержки (а) и с задерж-
кой (б)
6}
255
фильтра по существу равна единице (по крайней мере, в полосе
частот входного сигнала управляемой системы). В общем случае
при достаточной длине адаптивного трансверсального фильтра
хорошее приближение достигается даже если передаточная функ-
ция неизвестной управляемой системы имеет много полюсов и ну-
лей.
В устойчивой непрерывной управляемой системе все полюса
находятся в левой части s-плоскости. Однако некоторые из ее ну-
лей могут находиться в правой половине s-плоскости. В этом
случае все полюса ее обратной модели находятся в левой части
s-плоскости, и, следовательно, обратная модель является устой-
чивой. Но во многих случаях схема на рис. 11.10,а может быть
неустойчивой. Эту неустойчивость можно исключить, если ввести,
как показано на рис. 11.10,6, задержку обратного моделирования
2ГД. Наличие этой задержки приводит к тому, что адаптивная мо- и
дель имеет двустороннюю импульсную характеристику, которая
описана ранее в связи с рис. 10.1. Таким образом, при наличии
задержки в схеме на рис. 11.10,6 можно получить приближенные
обратные модели с задержкой для любых управляемых систем,
независимо от того, являются они минимально-фазовыми или
нет. Однако, как отмечено в гл. 10, при выборе задержки Д и
длины трансверсального фильтра для обратного моделирования
всегда полезно иметь некоторые данные о параметрах управляе-
мой системы.
На рис. 11.11 приведена система управления с применением
адаптивного обратного моделирования. Здесь адаптивная обрат-
ная модель с задержкой, представляющая собой адаптивный
трансверсальный фильтр без обратной связи, является прибли-
женной устойчивой обратной моделью управляемой системы. Та-
кой подход, в том числе введение случайного сигнала возбуждения,
аналогичен управлению с применением адаптивного моделирова-
Задержка
обратной модели
Рис. 11.11. Система управления с адаптивной обратной моделью
256
ния, описанного выше. Устройство управления в схеме на
рис. 11.11 является копией приближенной обратной модели,^ при
правильной работе системы сигнал на выходе управляемой си-
стемы изменяется в соответствии с сигналом управления, который
подается на вход устройства управления. Выходной сигнал пос-
леднего является управляющей функцией для управляемой си-
стемы. Если устройство управления является точной копией об-
ратной модели с задержкой, то сигнал на выходе управляемой
системы при отсутствии шума точно равен эталонному сигналу
управления, но с задержкой, т. е.
с(/) = г(?-Д). (11.7)
Скачок сигнала управления приводит к скачку сигнала на вы-
ходе управляемой системы с задержкой на Д секунд. Если об-
ратная модель является несовершенной, но имеет хорошее приб-
лижение, то импульсный отклик c(t) на скачок может иметь вид,
показанный на рис. 11.12. Здесь же показан идеальный отклик.
Для сравнения на рис. 11.13 приведен характерный отклик на
скачок для простой системы управления с обратной связью.
В системах управления с обратной связью, имеющих в петле
управления хотя бы один контур интегрирования, на выходе уп-
равляемой системы часто наблюдается сигнал дрейфа в виде
случайной низкочастотной составляющей, наложенной на выход-
ной сигнал и не зависящий от входного сигнала. При достаточно
заметном его проявлении можно применить метод, основанный на
обратной модели с весовым коэффициентом смещения и показан-
ный на рис. 11.14.
Предположим, что сигнал на выходе управляемой системы
имеет аддитивную составляющую дрейфа d, а адаптивная обрат-
ная модель управляемой системы имеет адаптивный весовой ко-
эффициент смещения w'o. В схеме на рис. 11.14,а й — среднее зна-
чение входного сигнала управляемой системы, с — среднее значе-
ние сигнала на ее выходе, s — среднее значение выходного сигна-
ла обратной модели. Для удобства рассмотрения управляемая
система в схеме на рис. 11.14,6 представлена в виде фильтра с
конечной дискретной импульсной характеристикой [а0, он, аг, ...
..., ам]. В соответствии с этим среднее значение сигнала на выхо-
Входной сигнал г (?)
/
I Идеальный отклик
1 с задержкой
Импульсный отклик с (?) при
I адаптивном управлении с об-
ратной моделью с задержкой
Время
Входной
сигнал г (?) Характерный импульсный
/ отклик системы управления
/ с замкнутой обратной связью
Время
Рис. 11.12. Отклики на скачок иде-
альной системы и системы управле-
ния с адаптивной обратной моделью
9—12
Рис. 11.13. Отклик на скачок обыч-
ной системы управления с замкну-
той петлей обратной связи
257
О д
Рис. 11.14. Управление средним значением выходного сигнала неизвестной сис-
темы при наличии неизвестного сигнала дрейфа:
а — процесс обратного моделирования; б — представление неизвестной системы с сигналом
дрейфа; в — адаптивная обратная модель с весовым коэффициентом смещения; г — процесс
управления
де управляемой системы
ла дрейфа и сигнала й;
можно выразить в виде функции сигна-
_ _ м
с = d+u 2 ат.
т=0
(11.8)
На рис. 11.14,в приведена схема адаптивной обратной модели в
виде фильтра с конечной импульсной характеристикой и весовым
коэффициентом смещения. Среднее значение его выходного сиг-
нала
— , — ь
8 = ш0 + с
1=0
(П-9)
Поскольку в процессе адаптации минимизируется СКО, адап-
тация весового коэффициента смещения w'o осуществляется так,
чтобы эта ошибка была несмещенной. В соответствии с
рис. 11.14,а можно заключить, что
s = u. (11.10)
Из рис. 11.14,г следует, что входной сигнал управления всей си-
258
стемы со средним значением г подается на вход копии адаптив-
ной обратной модели.
Поскольку эта копия осуществляет управление сигналом со
средним значением й, управление ею входным сигналом со сред-
ним значением г приводит к тому, что среднее значение ее выход-
ного сигнала
_ _ L
u = w0 + r Xwi- (Н.Н)
/=0
Из (11.10) и (11.11) имеем
_ _ L
s--=w'0 + r £®|. (11.12)
/=0
Сравнивая (11.9) и (11.12), получаем
с = 7. (11.13)
Этот результат означает, что независимо от сигнала дрейфа,
d среднее значение сигнала на выходе управляемой системы рав-
но среднему значению входного сигнала управления г, т. е. об-
ратная связь в процессе адаптации компенсирует сигнал дрейфа.
Поскольку анализ этой компенсации проведен для сигнала
дрейфа с нулевой частотой, остаются открытыми некоторые во-
просы. Например, как быстро может меняться сигнал дрейфа d,
не вызывая при этом смещения выходного сигнала? Как быстро
может меняться сигнал г, не вызывая значительной ошибки сиг-
нала с? Как влияют на работу системы динамические сигналы
ошибки обратного моделирования? Все эти вопросы составляют
предмет проводимых в настоящее время исследований.
Еще одним важным моментом при проведении адаптивного
обратного моделирования является использование для сглажива-
ния процесса адаптации возбуждающего сигнала. Снова обратим-
ся к рис. 11.11. Здесь случайный сигнал возбуждения введен для
поддержания процесса' адаптации, если недостаточна активность
сигнала окружающей среды. Это возбуждение полезно для про-
цесса адаптации, но приводит к возникновению шума на выходе
управляемой системы. Поэтому амплитуда возбуждающего сиг-
нала должна быть довольно малой, чтобы не вносить возмущение
в процесс управления, но достаточной для поддержания процесса
адаптации. Синтез адекватного сигнала возбуждения представля-
ет собой еще одну задачу проводимых в настоящее время иссле-
дований.
Примеры систем управления с применением адаптивного
обратного моделирования
Несколько примеров системы управления, приведенной на
рис. 11.11, промоделировано на ЭВМ. При этом управляемая си-
стема и устройство управления моделировались в виде дискретных
9* 259
Рис. 11.15. Расположение полюсов Рис. 11.16. Импульсный отклик сис-
системы 1 темы 1
Рис. 11.17. Импульсная характеристика адаптивной обратной модели с задерж-
кой для системы 1
О Д 32 64 96 128
Время
Рис. 11.18. Импульсный отклик сис-
темы управления с адаптивной об-
ратной моделью для системы 1
Рис. 11.19. Полюс и нуль неизвест-
ной системы 2, расположенные со-
ответственно в точках 0 и —1,5
260
Рис. 11.20. Импульсная характеристика адаптивной обратной модели с задерж-
кой для системы 2 при L=32 и Д = 16
систем и просматривались различные варианты расположения ну-
лей и полюсов передаточной функции управляемой системы. Ха-
рактерными являются следующие результаты. Рассмотрим снача-
ла управляемую систему с двумя полюсами и без нулей. На
рис. 11.15 показано расположение полюсов этой системы (систе-
мы 1) на z-плоскости, а на рис. 11.16 — отклик на скачок сигна-
ла. Обратная модель этой системы с двумя нулями реализована
в виде адаптивного фильтра с конечной импульсной характерис-
тикой, у которого в процессе моделирования на ЭВМ было 32
весовых коэффициента. На рис. 11.17 приведена импульсная ха-
рактеристика этого фильтра после процесса адаптации. При его
использовании в качестве устройства управления в схеме на
рис. 11.11 отклик всей системы на скачок сигнала имеет вид точ-
но такой, как показан на рис. 11.18. Отметим, что этот отклик
зависит от задержки Л.
Потенциально более сложным является управление системой
2 с полюсом в начале координат и нулем, расположенным, как по-
казано на рис. 11.19. Эта система не является минимально-фазо-
вой. В этом случае в качестве устройства управления, как и на
рис. 11.11, используется адаптивная обратная модель с задерж-
кой. На рис. 11.20 приведена ее импульсная характеристика при
Л = 32 и Л=16, а на рис. 11.21 — отклик всей системы на скачок
2
Рис. 11.21. Общий импульс- <
ный отклик системы управле-
ния с адаптивной обратной
моделью для системы 2
—L__________I__________1___________I
32 64 96 128
Время
261
сигнала. В данном случае применение задержки не вызывает
трудностей в управлении неминимально-фазовой системой и от-
клик на скачок имеет очень небольшое колебание.
Из предыдущих примеров следует, что эффективность управ-
ления зависит от того, насколько совпадают истинная обратная
модель и модель, реализуемая адаптивным фильтром. Помимо
этого, многое зависит от свойств сигнала возбуждения и числа
весовых коэффициентов Л+1 адаптивной обратной модели.
Шум управляемой системы и модифицированный алгоритм
наименьших квадратов
Рассмотрим теперь общую задачу подавления шума в системе
управления. Выше показано, что введение в адаптивную обратную
модель весового коэффициента смещения решает задачу фильтра-
ции низкочастотного дрейфа управляемой системы. Однако такой
способ трудно использовать для фильтрации шума на более вы-
соких частотах, что видно из рис. 11.22. Во многих физических
системах шум управляемой системы можно представить в виде1
аддитивного, как правило, небелого, шума на ее выходе независи-
мо от его источника внутри самой управляемой системы. Очевид-
но, что этот шум оказывает влияние на процесс обратного моде-
лирования. Для адаптивного фильтра шум является аддитивным
входным сигналом, не коррелированным с входным сигналом по-
лезного отклика для системы управления. По мере прохождения
процесса адаптации обратная модель достигает винеровского ре-
шения, которое в соответствии с (2.17) имеет вид R1 Р. Шум уп-
равляемой системы не влияет на Р, но оказывает влияние на R
и, естественно, на R-1. В результате это приводит к тому, что оп-
тимальные значения весовых коэффициентов в общем отличаются1
от значений, близких к обратной модели с задержкой. Таким об-
разом, при высоком уровне шума способ управления с применени-
ем адаптивного обратного моделирования может оказаться не-
эффективным.
Задержка обратного
модепирования
Рис. 11.22. Адаптив-
ное обратное моде-
лирование для систе-
мы с шумом
262
Рис. 11.23. Адаптивная
обратная модель, вклю-
ченная перед системой
с адаптивным шумом
В связи с этим возникла необходимость разработки нового ал-
горитма — модифицированного алгоритма наименьших квадратов,
который позволяет проводить адаптацию обратного фильтра,
включенного перед управляемой системой. При таком способе
(схема его реализации частично показана на рис. 11.23) на входе
адаптивного фильтра нет шума управляемой системы. Ясно, что
даже если шум является составляющей сигнала ошибки ед, как
это видно из рис. 11.23, он не оказывает влияния на оптимальные
значения весовых коэффициентов при условии, что можно пра-
вильно сформировать входной сигнал.
Положим, что модель имеет конечную импульсную характери-
стику, тогда среднеквадратическая ошибка ед в схеме на рис. 11.23
является квадратичной функцией весовых коэффициентов адап-
тивного фильтра. Следовательно, процесс адаптации может прохо-
дить относительно унимодальной рабочей функции. Но при ис-
пользовании алгоритма наименьших квадратов для сравнения с
сигналом на выходе модели г/д необходимо иметь соответствую-
щий полезный сигнал. Ни г/д, ни ед не являются такими сигнала-
ми, так как ед — сигнал ошибки на выходе управляемой системы,
а не адаптивного фильтра. При непосредственной адаптации об-
ратного фильтра методом наименьших квадратов по сигналу ед
адаптивный процесс почти наверняка будет неустойчивым или
приведет к неправильному решению. Чтобы в этом случае исполь-
зовать сигнал ед, необходимо коренным образом изменить адап-
тивный алгоритм и получить модифицированный алгоритм наи-
меньших квадратов.
Для этого рассмотрим структуру алгоритма наименьших квад-
ратов при его приложении к адаптации фильтра с конечной им-
пульсной характеристикой. На рис. 11.24 приведена подробная
схема его реализации. На рис. 11.24,п показаны аналогично
рис. 6.1 общая схема и сигналы адаптивного фильтра, а на
рис. 11.24,5— подробная схема реализации алгоритма наи-
меньших квадратов (6.3). Обе структурные схемы представляют
одну и ту же систему: более подробная схема необходима для по-
строения модифицированного алгоритма наименьших квадратов.
Обратимся снова к схеме на рис. 11.23. Не учитывая пока шум
управляемой системы, соединим ее с фильтром, как показано на
рис. 11.25,п. Перестройка весовых коэффициентов в такой схе-
263
Рис. 11.24. Структурная
а — общий вид, аналогичный
схема адаптивного фильтра, реализующего алгоритм5
наименьших квадратов:
рис. 6.1; б — схема фильтра, реализующего соотношение (6.3)
ме при минимизации среднеквадратической ошибки е& приводит к
правильному результату в схеме на рис. 11.23, если не учитывать
шум. Рассмотрим далее систему, приведенную на рис. 11.25,6.
Здесь адаптивный фильтр и управляемая система P(z) включены
так же, как на рис. 11.23. Если окажется, что адаптивный про-
цесс, схема которого приведена на рис. 1.25,в, приводит к тому
же множеству весовых коэффициентов, что и в схемах на
рис. 11.25, а, б, то модифицированный алгоритм наименьших ква-
дратов решает задачу адаптации в системе на рис. 11.23.
Из сравнения систем на рис. И.25,а и б ясно, что при исполь-
зовании алгоритма наименьших квадратов векторы входного сиг-
нала для обеих систем одинаковы в течение всего времени. Од-
нако сигналы ошибки е/, не обязательно одинаковы в течение:
264
в)
Рис. 11.25. Реализация
модифицированного алгоритма наименьших квадратов
всего времени. Они равны тогда, когда в течение всего времени
одинаковы векторы весовых коэффициентов адаптивных фильт-
ров, а управляемую систему и адаптивный фильтр можно поме-
нять местами.
При одинаковых входных сигналах можно получить одинако-
вые выходные сигналы, если положение обоих последовательно
включенных фильтров можно поменять при условии, что фильтры
линейны и их параметры не изменяются во времени. Однако, как
следует из рис. 11.24Д адаптивный фильтр не является линей-
ным, а его параметры меняются во времени. Кроме того, адаптив-
ный фильтр и управляемую систему можно поменять местами,
если эта система линейна и постоянные времени импульсных ха-
рактеристик как управляемой системы, так и адаптивного фильт-
ра больше суммы постоянных времени управляемой системы и
адаптивного фильтра. Таким образом, при медленном процессе
адаптации можно считать, что адаптивный фильтр является ли-
нейным и его можно заменить на P(z).
265
Положим, что управляемая система и адаптивный фильтр ком-
мутативны и начальные векторы весовых коэффициентов в систе-
мах на рис. 11.25,а, б одинаковы, тогда эти векторы будут изме-
няться по одной и той же траектории. При таком условии адап-
тивный процесс в схеме на рис. 11.25,6 соответствует решению за-
дачи адаптации в системе на рис. 11.23.
Применение в различных системах модифицированного алго-
ритма наименьших квадратов в том виде, как он определен на
рис. 11.25,6, показало, что он является сходящимся. Хотя в соот-
ветствии с приведенными доводами процесс адаптации при этом
должен быть медленным, в большинстве случаев без особых
трудностей достигается высокая скорость адаптации. В действи-
тельности оказывается, что модифицированный алгоритм функци-
онирует так же, как собственно алгоритм наименьших квадратов.
Выбор начальных условий для модифицированного алгоритма не
играет большой роли. Он является устойчивым и имеет переход-
ные процессы, аналогичные обычному алгоритму.
Для этого нового алгоритма снова необходимо рассмотреть
влияние шума управляемой системы на оптимальные значения
весовых коэффициентов. Применение модифицированного алго-
ритма в системе с шумом показано на рис. 1.25,в. Можно пока-
зать, что математическое ожидание значений адаптивных весо-
вых коэффициентов одинаково в системах на рис. 11.25,6, в. Хотя
шум управляемой системы не оказывает влияния на эту величи-
ну, он приводит к дополнительному относительному среднему зна-
чению ско.
Управление с применением адаптивного обратного
моделирования модифицированным алгоритмом наименьших
квадратов
В схемах на рис. 11.25,6,в P(z)—передаточная функция уп-
равляемой системы, и теперь необходимо рассмотреть приложе-
ние модифицированного алгоритма наименьших квадратов к фак-
тической системе управления с адаптивным обратным моделиро-
ванием. На рис. 11.26 приведена одна из возможных схем, в ко-
торой реализуется два отдельных адаптивных процесса. Один из
них предназначен для моделирования управляемой системы (на
схеме фильтр обозначен через P(z)'), другой — для обратного мо-
делирования с задержкой в соответствии с модифицированным
алгоритмом наименьших квадратов. При реализации этого алго-
ритма вместо управляемой системы с передаточной функцией
P(z) используется точная копия ее модели с передаточной функ-
цией P(z). Как показывает практика, при реализации данного ал-
горитма необходимо, чтобы P(z) была очень точной моделью,
хотя это не следует из предыдущих рассуждений, касающихся вы-
вода модифицированного алгоритма наименьших квадратов. Ока-
зывается, этот алгоритм является устойчивым, а наиболее важ-
ным свойством P(z) является то, что задержка ее реакции по
266
Задержка
Рис. 11.26. Управление с адаптивной обратной моделью, реализующей модифи-
цированный алгоритм наименьших квадратов
крайней мере не меньше задержки реакции P(z). Эта задержка
по определению равна временному интервалу между началом
входного импульса и началом отклика на выходе системы.
Для формирования сигнала управления uk в системе на
рис. 11.26 используется обратная модель с задержкой, которой,
в свою очередь, управляет входной сигнал управления Гь. Как
отмечено ранее, для поддержания процесса адаптации при недо-
статочной активности сигнала Ги. к нему можно добавить неболь-
шой сигнал возбуждения. После завершения каждого из адаптив-
ных процессов отклик системы в целом на скачок сигнала при-
ближенно равен скачку, задержанному на время А. Строго гово-
ря, оба адаптивных процесса не являются независимыми, но при
медленной адаптации протекают независимо. Точный анализ си-
стемы на рис. 11.26 является перспективным направлением.
Шум управляемой системы в схеме на рис. 11.26 вносит шу-
мовую составляющую в значения весовых коэффициентов в обоих
процессах адаптации, но не влияет на математическое ожидание
оптимальных значений. Шум управляемой системы является не-
управляемым и появляется на ее выходе так, будто эта система
полностью изолирована от остальной части системы. В некоторых
случаях для уменьшения коррелированного шума на выходах уп-
равляемых систем на их входы подается сигнал обратной связи
[1-—3, 6, 7]. Для уменьшения шума такой сигнал можно подать
на управляемую систему P(z) в схеме на рис. 11.26. При этом
управляемая система с обратной связью становится относительно
остальной части схемы некоторой «эквивалентной» системой, для
267
Задержка
Рис. 11.27. Управление с адаптивной обратной моделью, аналогичной рис.
11.26, но с включением весового коэффициента смещения для управления сиг-
налом дрейфа системы
которой обратное моделирование осуществляется так же, как и
для Р(г) на рис. 11.26.
Хотя в схеме на рис. 11.26 шум управляемой системы является
неуправляемым, ее низкочастотным дрейфом можно управлять-
введением в обратную модель адаптивного весового коэффициен-
та смещения, как показано на рис. 11.27. Здесь на устройство ум-
ножения на весовой коэффициент смещения w'o подается фикси-
рованный входной сигнал единичной амплитуды (хотя его ампли-
туда может иметь любое другое фиксированное значение). Пере-
стройка w'o проводится методом наименьших квадратов. Для обе-
спечения заранее определенной скорости сходимости для этого ве-
сового коэффициента при выборе р, необходимо учитывать значе-
ние амплитуды фиксированного входного сигнала устройства ум-
ножения и отношение средних значений выходного и входного сиг-
налов управляемой системы P(z). Если в процессе адаптации ве-
сового коэффициента смещения средняя ошибка Efek] стремится
к нулю, то среднее значение сигнала на выходе управляемой си-
стемы ЕфсД становится равным среднему значению входного сиг-
нала управления £[гл] независимо от дрейфа (упражнения
12—15).
Управление по Эталонной модели
Идея управления по эталонной модели, предложенная в 1961 г.
([1—3], может быть реализована при небольшой модификации
схемы на рис. 11.27. Эта идея оказала большое влияние на рабо-
ты по системам управления. Суть ее состоит в том, чтобы по-
строить, синтезировать или адаптировать систему, общая импуль-
268
сная характеристика которой наилучшим образом соответствует
характеристике эталонной модели или характеристике некоторой
идеальной модели. Предположим, например, что динамические ха-
рактеристики управления самолетом существенно отличаются для
скоростей до звукового барьера и сверхзвуковых. Чтобы предо-
ставить пилоту возможность адекватно управлять самолетом не-
зависимо от его скорости, вводится автопилот, который принима-
ет сигналы управления пилота и приводит в действие управляю-
щие сервомеханизмы. Реакция самолета на сигналы управления
пилота соответствует реакции некоторой эталонной модели, ко-
торая выбирается разработчиком системы так, чтобы снабдить
самолет «чувством руля», удобным для пилотов. Многие физичес-
кие системы синтезируются так, что их характеристики подобны
характеристикам моделей, и многие из этих систем являются ада-
птивными.
Реализовать описанный подход нетрудно, видоизменив схемы
на рис. 11.11 или 11.27. Для этого нужно просто заменить обрат-
ную модель с задержкой на эталонную. Тогда общая характери-
стика системы скорее будет подобна характеристике эталонной
модели, чем просто задержанному скачку. Такая модификация
схемы приведена на рис. 11.28.
В системах на рис. 11.11 и 11.27 задержка введена для обе-
спечения возможности точного обратного моделирования, соответ-
ствующего низкому уровню СКО 8а. При наличии задержки мож-
но получить хотя и задержанный, но более точный отклик. Как
отмечено выше, введение задержки необходимо в тех случаях,
когда имеется задержка реакции в управляемой системе или эта
система не является минимально-фазовой. При замене задержки
на эталонную модель в случаях, когда задержка нужна для точ-
Рис. 11.28. Управление с адаптивной обратной моделью, аналогичное рис. 11.27,
но с включением эталонной модели
269
ного обратного моделирования, как правило, ее необходимо вво-
дить и в эталонную модель. При этом нужно формировать такую
характеристику эталонной модели, которую можно реализовать
при последовательном включении управляемой системы и адап-
тивного фильтра, если весовые коэффициенты этого фильтра со-
ответствуют минимальной СКО. Схема на рис. 11.28 хорошо
функционирует тогда, когда для адаптивной системы задаются
гибкие условия. Не следует, однако, считать, что эта схема менее
инерционна или имеет более точный отклик, чем это возможно
для управляемой системы и ее адаптивного устройства управле-
ния с конечной импульсной характеристикой.
Для примера адаптивной системы управления с применением
обратного моделирования по эталонной модели рассмотрим сле-
дующую реализацию схемы на рис. 11.28:
D/. 2,4z-' (1 -0,8z—1)
управляемая система: г(г) =-----------1;
(1 + 0.6Z-1) (1 -0.7Z-1)
эталонная модель: —0,5 г-1)2; 13 весовых коэффициен-
тов в модели Р(г); 45 весовых коэффициентов в устройстве уп-
равления (Л = 44); ц = 0,0005; 20000 итераций адаптивного про-
цесса. На рис. 11.29 показан отклик на единичный скачок неском-
пенсированной управляемой модели, а на рис. 11.30 — отклик
скомпенсированной системы, наложенный на отклик эталонной
системы. Очевидно, что получено очень близкое приближение.
Рис. 11.29. Импульсный отклик не-
скомпенсировэнной системы
2,86 5,71 8,57 11,43 14,29 17,14 20,00
Индекс времени
Рис. 11.30. Импульсный отклик скомпен-
сированной системы (показан крестика-
ми) и требуемый импульсный отклик
эталонной модели. Наложение графи-
ков показывает, что процесс адаптации
протекает успешно
270
Упражнения
L
1. Дана передаточная функция H(z)= 2 wiz~‘, входной сигнал x.it и вы-
/=0
ходной сигнал ук. Выведите алгоритм обратного моделирования, т. е. выразите
входной сигнал через выходной. Сравните результат с равенством (11.2).
2. Объясните коротко различие между управлением с применением адап-
тивного моделирования и управлением с применением адаптивного обратного
моделирования, как это описано в данной главе.
3. Для заданной ниже системы — белый шум. Составьте программу ал-
горитма наименьших квадратов и, усреднив 100 обучающих кривых, покажите
сходимость адаптивной обратной модели.
4. Для системы из упражнения 3 после ее адаптации постройте отклик на
единичный скачок.
5. Используя алгоритм наименьших квадратов, постройте для приведенной
ниже системы импульсную характеристику модели после адаптации. Здесь
ик — белый шум.
6. Пусть для приведенной ниже схемы гъ. — белый шум с <т2г, a nk — бе-
лый шум с <т2п (гА и nk — независимы). Для алгоритма наименьших квадра-
тов постройте общий отклик на единичный скачок при отношениях сигнал-шум
ст2г/а2п, равных 0, 1/100, 1/10 и 1. Найдите р, дающий близкий к оптимальному
результат. Сравните и объясните ход всех четырех кривых.
271
7. Докажите, что в системе на рис. 11.23 £[е2п] является квадратичной
функцией весовых коэффициентов обратной модели при условии, что она —
фильтр с конечной импульсной характеристикой.
8. Покажите, что в приведенной на рис. 11.25,8 управляемой системе с шу-
мом оптимальный вектор весовых коэффициентов тот же, что и в случае без
шума.
9. Для получения в приведенной ниже схеме адаптивного рекурсивного
фильтра с —Bjt(z)) можно использовать модифицированный
алгоритм схемы рис. 11.25,6. Попытайтесь соотнести приведенную схему с рис.
11.25,6 и объясните, что является входным сигналом для каждого из алгорит-
мов наименьших квадратов.
Полезный
отклик d,
к
10. Для адаптивного рекурсивного фильтра из упражнения 9 запишите ал-
горитм, аналогичный равенству (8.55). При этом считайте, что Аь(г) и Bft(z)
имеют по L+1 весовых коэффициентов и параметры сходимости такие же, как
и в (8.55). Объясните все различия этих двух алгоритмов.
272
11. Предположим, что необходимо построить приведенную ниже систему,
обеспечивающую зону «молчания» в помещении с механизмами, которые яв-
ляются источником шума. Идея состоит в том, чтобы с помощью громкогово-
рителя подавить шум механизмов в зоне второго микрофона. Сравните приве-
денную схему со схемой на рис. 1.26 и покажите, что в ней используется мо-
дифицированный алгоритм наименьших квадратов. Рассмотрите некоторые из
задач, которые могут возникнуть при реализации этой схемы.
12. Найдите выражение для постоянной времени адаптации весового коэф-
фициента смещения в схеме на рис. 11.27. Пусть Ро — коэффициент передачи
управляемой системы на нулевой частоте, перестройка w'o осуществляется ме-
тодом наименьших квадратов при |л = |Ло, а сигнал дрейфа системы является
постоянным и равен d.
13. Для схемы на рис. 11.27 докажите, что при правильно выбранном ц
для весового коэффициента смещения среднее значение выходного сигнала
£[сл] равно среднему значению входного сигнала £[гЛ] независимо от сигнала
дрейфа управляемой системы.
14. Введение весового коэффициента смещения в приведенную ниже схему
приводит к такому же результату, как при обратной связи относительно вы-
ходного аир при Ро, цо и d из упражнения 12?
ик
к
273
15. Какова область значений ц, при которых процесс адаптации весового
коэффициента смещения является устойчивым, если коэффициент передачи уп-
равляемой системы на нулевой частоте равен Рд?
16. Исходя из данных системы, приведенной на рис. 11.28, проведите про-
цесс адаптации для системы на рис. 11.26. Пусть при этом сигнал возмущения
и шум управляемой системы равны нулю, rh — белый шум, Д = 22. Постройте
обучающую кривую (зависимость е2;, от k) и аналогичную обучающую кривую
фильтра P(z). Для полученных в результате адаптации весовых коэффициентов
постройте график, аналогичный рис. 11.30.
Ответы к некоторым упражнениям
12. т=1/2|ЛоРо.
14. а=—2pd/P0; р= 1/Д>—2|Л.
15. 0<g<l/2P0.
Глава 12
АДАПТИВНОЕ ПОДАВЛЕНИЕ ПОМЕХ
Обычный способ оценки сигнала, искаженного аддитивной по-
мехойсостоит в том, чтобы .пропустить смесь сигнала и помехи
через фильтр, который стремится подавить помеху, оставляя отно-
сительно неизменным сигнал. Синтез таких фильтров составляет
область оптимальной фильтрации, первые работы по которой при-
надлежат Винеру, а также Калману, Бьюси и другим авторам
[1-5].
Фильтры, используемые для решения этих задач, могут иметь
постоянные параметры или быть адаптивными. Синтез фильтров
с постоянными параметрами обязательно основан на априорных
сведениях о сигнале и помехе, а адаптивные фильтры обладают
свойством автоматически перестраивать свои параметры, и при их
синтезе почти не требуется априорных сведений о свойствах сиг-
нала и помехи.
Подавление помех является разновидностью оптимальной
фильтрации, которая имеет значительные преимущества во мно-
гих приложениях. При этом используется вспомогательный или
эталонный входной сигнал, получаемый от одного или нескольких
датчиков, располагаемых в тех точках поля помех, где сигнал
является слабым или не обнаруживается. Этот входной сигнал
помехи фильтруется и выделяется из смеси сигнала и помехи. В
результате исходная помеха подавляется или ослабляется.
На первый взгляд выделение помехи из принятого сигнала
имеет свои отрицательные стороны. При неправильной фильтра-
ции может возрасти мощность помехи на выходе системы. Одна-
ко во многих случаях при управлении фильтрацией и выделении
1 Здесь для простоты термин помеха используется для всех видов помех,
как детерминированных, так и случайных.
274
помехи с помощью соответствующего адаптивного процесса по-
давление помехи почти не приводит к искажению сигнала и росту
уровня помехи на выходе. В условиях, когда возможно примене-
ние адаптивного подавления помех, часто можно достичь такого
подавления, которого трудно или невозможно добиться прямыми
методами фильтрации.
В данной главе рассматриваются основы адаптивного подав-
ления помех, приводятся теоретические результаты, отражающие
достоинства и ограничения адаптивного подавления и некоторые
примеры его наиболее эффективного приложения. Материалы дан-
ной главы основаны на публикациях специального выпуска жур-
нала Proceedings of the IEEE «Адаптивное подавление помех. Ос-
новы и применение» (декабрь, 1975 г.).
Обзор работ по адаптивному подавлению помех
В период с 1957 по 1960 г. Хауэллз, Аппельбаум и их коллеги
из фирмы General Electric провели первые работы по адаптивно-
му подавлению помех. Ими была синтезирована и построена си-
стема подавления боковых лепестков излучения антенны, в кото-
рой использовались эталонный входной сигнал, получаемый от
вспомогательной антенны, и простой адаптивный фильтр с двумя
весовыми коэффициентами [6].
В этот период лишь немногие интересовались адаптивными си-
стемами, а разработка адаптивных фильтров с многими весовыми
коэффициентами только начиналась. В 1959 г. Уидроу и Хофф из
Стэнфордского университета разработали адаптивный алгоритм
наименьших квадратов и систему распознавания образов, которая
называлась Adaline (сокращение от «адаптивный линейный поро-
говый логический элемент») [7, 8]. Совсем недавно Розенблат
[9-И] построил в Лаборатории по аэронавтике Корнелла систе-
му Персептрон. В СССР в Московском институте автоматики и
телемеханики Айзерман и его коллеги создавали в это время ав-
томатическое устройство градиентного поиска, а в Великобрита-
нии Д. Габор и его помощники разрабатывали адаптивные
фильтры [12]. Все эти работы проводились независимо друг от
друга.
В начале и середине 60-х годов работы по адаптивным систе-
мам стали проводиться более интенсивно. Появились сотни ста-
тей по адаптации, адаптивному управлению, адаптивной фильтра-
ции и адаптивной обработке сигналов. В результате работы, ко-
торую проводил в этот период Лаки из фирмы Bell Telephone
Laboratories [13, 14], появились важные приложения адаптивной
фильтрации в коммерческой цифровой связи (см. рис. 10.13).
В 1965 г. в Стэнфордском университете была создана система
адаптивного подавления, предназначенная для подавления поме-
хи с частотой 60 Гц, возникавшей на выходе усилителя и регист-
рирующего устройства электрокардиографа. Ниже приведено опи-
сание этой системы, в которой использовался аналоговый адап-
275
тивный фильтр с двумя весовыми коэффициентами, а также полу-
ченные недавно теоретические результаты и результаты модели-
рования на ЭВМ..
С 1965 г. адаптивное подавление помех успешно применяется
при решении ряда других задач, включая другие аспекты элект-
рокардиографии, режекцию в целом периодических помех [15],
исключение эффекта эхо в телефонных каналах большой протя-
женности [16, 17]. Статья по адаптивным антеннам [18] обобща-
ет результаты, первоначально полученные Хауэллзом и Аппель-
баумом. Более подробно эта тема освещена в гл. 13.
Основы адаптивного подавления помех
Основополагающая схема подавления помех показана на
рис. 12.1. Сигнал передается по каналу на приемное устройство,
которое принимает смесь сигнала и не коррелированной с ним по-
мехи п0. Смесь сигнала и помехи $+п0 является входным сигна-
лом устройства подавления. Другое приемное устройство прини-
мает помеху ni, не коррелированную с сигналом, но некоторым
неизвестным образом коррелированную с помехой п0. В нем фор-
мируется «эталонный сигнал» для устройства подавления. В ре-
зультате фильтрации помехи п, формируется сигнал у, который
приблизительно представляет собой копию п0. Этот сигнал вычи-
тается из входного сигнала s-\-n0 для того, чтобы сформировать
выходной сигнал систем s + n0—У-
В общем случае при известных характеристиках каналов, по
которым помеха поступает на оба приемных устройства, можно
синтезировать фильтр с постоянными параметрами, преобразую-
ющий ni в у = па. Тогда выходной сигнал фильтра можно вычесть
из входного сигнала, и на выходе системы останется один сигнал.
Однако применение фильтра с постоянными параметрами не обес-
печивает гибкости, поскольку считают, что характеристики трак-
тов передачи или неизвестны, или известны только приблизитель-
1_____________________________________________________________________________________________J
Адаптивное устройство
подавления помех
Рис. 12.1. Иллюстрация процесса адаптивного подавления помех
276
но и могут изменяться. Более того, даже если фильтр с постоян-
ными параметрами обеспечивает гибкость, его параметры нужно
настраивать с точностью, которая трудно реализуется, и малей-
шая ошибка может привести к увеличению на выходе системы
мощности помехи.
В приведенной на рис. 12.1 системе эталонный сигнал обра-
батывается адаптивным фильтром, который автоматически пере-
страивает свою собственную импульсную характеристику по од-
ному из среднеквадратических алгоритмов (например, по методу
наименьших квадратов), функционирующему по сигналу ошибки,
зависящему помимо всего прочего, от выходного сигнала филь-
тра. Таким образом, при правильном алгоритме фильтр может
работать в изменяющихся условиях и перестраиваться для мини-
мизации сигнала ошибки.
В предыдущих главах показано, что выбор используемого для
процесса адаптации сигнала ошибки зависит от конкретной обла-
сти приложения. Практическое назначение систем подавления
помех — формирование выходного сигнала системы s + n0—у, ко-
торый имеет наилучшее в среднеквадратическом смысле прибли-
жение к сигналу s. Это достигается тем, что выходной сигнал си-
стемы подается на адаптивный фильтр, который перестраивается
по некоторому адаптивному алгоритму так, чтобы минимизиро-
вать общую мощность выходного сигнала системы. Другими сло-
вами, в системе с адаптивным подавлением помех сигналом ошиб-
ки адаптивного процесса является выходной сигнал системы.
Можно подумать, что для синтеза фильтра или его адаптации
с целью формирования сигнала у, компенсирующего помеху, не-
обходимы некоторые априорные сведения о сигнале s или поме-
хах п0 и пь Однако как показывают простые рассуждения, для
этого не требуется или почти не требуется априорных сведений
об этих сигналах или их статистических или детерминистических
взаимосвязях.
Пусть s, п0, п, и у — стационарные случайные процессы с ну-
левыми средними значениями, и s не коррелирован с п0 и щ, а
По и tit — коррелированы. Выходной сигнал
8 = s + n0 — у. (12.1)
Возведем обе части равенства в квадрат:
Ea = sa + (n0-y)2 + 2s(n0-p). (12.2)
Для обеих частей (12.2) найдем математическое ожидание и, по-
скольку s не коррелирован с По и у, получим
Е [г2] = Е [s2] + Е [(л0 - у)2] + 2Е [s (п0 - у)] =
= Е [sa] + Е [(п0- у)2]. (12,3).
Мощность сигнала £[s2] не изменяется при перестройке фильтра
в процессе минимизации /Де2]. В соответствии с этим минималь-
ная мощность выходного сигнала
£mto [е2] = Е [sa] + £mln [(n0 - у)2]. (12.4)
277
Если фильтр построен так, что Е[е2] минимально, то, следова-
тельно, минимально также и Е[(«о—г/)2]. В этом случае выход-
ной сигнал фильтра у является наилучшей среднеквадратической
оценкой помехи п0. Более того, при минимальном значении
Е[(п0—у)2] минимальное значение имеет также и Е[(е—s)2],
поскольку из (12.1)
(e-s) = (n0-y). (12.5)
Таким образом, перестройка или адаптация фильтра для миними-
зации общей мощности выходного сигнала равносильна тому, что
при заданных структуре адаптивного фильтра и эталонном вход-
ном сигнале выходной сигнал е изменяется так, что он является
наилучшим в среднеквадратическом смысле приближением сиг-
нала s.
В общем случае выходной сигнал s равен сумме сигнала $ и
некоторой помехи. В соответствии с (12.1) помеха на выходе рав-
на п0—у. Поскольку при минимизации Е[е2] осуществляется ми-
нимизация Е[(п0—г/)2], то минимизация общей мощности выход-
ного сигнала приводит к минимизации мощности помехи на вы-
ходе и, так как сигнал на выходе остается постоянным, к мак-
симизации выходного отношения сигнал-помеха.
Из (12.3) и (12.4) видно, что наименьшая возможная мощ-
ность выходного сигнала Emiri[E2] = E[s2]. Если это достижимо, то
Е[(п—у)2] =0. Следовательно, у = па и e = s, и минимизация мощ-
ности выходного сигнала приводит к тому, что сигнал совершен-
но не искажен помехой.
Кроме того, если эталонный сигнал совсем не коррелирован с
входным сигналом, то фильтр отключается и не увеличивает по-
меху на выходе. В этом случае выходной сигнал фильтра у не
коррелирован с входным сигналом и мощность выходного сигнала
Е [е3] = Е [(s + n0)a] + 2Е [ - у (s + n0)] + Е [у2] =
— Е [($ + n0)2] + Е [г/2]. (12.6)
Для минимизации мощности выходного сигнала необходимо, что-
бы было минимальным Е[у2], что достигается при равенстве всех
весовых коэффициентов нулю, приводящим к тому, что Е[г/2] =0.
Эти рассуждения легко распространить на случай, когда вход-
ной и эталонный сигналы содержат, помимо п0 и nt, составляю-
щие аддитивного случайного шума, не коррелированные между
собой и с s, По и щ. Кроме того, эти рассуждения справедливы
для случая, когда п0 и щ— детерминированные, а не случайные
сигналы. Отметим, что в процессе рассуждений не оговорено, что
адаптивный фильтр обязательно сходится к линейному фильтру,
т. е. не применялась описанная в гл. 2 винеровская теория филь-
трации.
278
Подавление стационарных помех
В данном разделе находятся оптимальные винеровские реше-
ния для некоторых задач подавления стационарных помех. Цель
данного изложения — показать возможность повышения отноше-
ния сигнал-помеха, а также другие преимущества методов подав-
ления помех при использовании адаптивных фильтров по срав-
нению с обычными методами фильтрации помех.
Как отмечалось раньше, при подавлении помех фильтры с по-
стоянными параметрами в большинстве случаев неприменимы,
так как в общем случае автокорреляционные и взаимокорреляци-
онная функция входного и эталонного сигналов неизвестны и час-
то являются изменяющимися во времени. Поэтому необходимо
сначала обучать адаптивные фильтры по обучающим статисти-
кам, а затем осуществлять слежение за ними, если они медленно
меняются. Однако для стационарных входных сигналов установив-
шийся режим работы медленно адаптирующихся фильтров при-
ближается к режиму работы винеровских фильтров, поэтому удоб-
ным математическим аппаратом для анализа статистических за-
дач подавления помех является винеровская теория фильтрации.
На рис. 12.2 приведена схема классического винеровского
фильтра с одним входом и одним выходом. Здесь xh — входной
сигнал, yh — выходной сигнал, a dh — полезный отклик. Будем
считать, что входной и выходной сигналы дискретны во времени,
а входной сигнал и полезный отклик — стационарны в статисти-
ческом смысле. Сигнал ошибки равен &k = dk—Ук- Фильтр являет-
ся линейным, дискретным и оптимальным в смысле минимума
СКО. Для проводимого здесь анализа будем полагать, что фильтр
имеет неограниченную длину и является адаптивным трансвер-
сальным фильтром с двусторонней импульсной характеристикой.
Рабочая функция такого фильтра является квадратичной и
из (7.67) и (10.1)
£ = <Pdd(O)+ S S WiWm<pxx(l-m)-2 J oaz(pxd(Z). (12.7).
I——oo m=—oo —co
Минимальное значение этой рабочей функции соответствует опти-
мальному вектору весовых коэффициентов W*, т. е. весовым коэф-
фициентам оптимального винеровского фильтра с передаточной
функцией W*(z). В (10.3) получено, что оптимальная передаточ-
ная функция есть отношение энергетических спектров
ТК*(г) = Фжй(г)/Фхгс(г). (12.8)
Эта формула описывает свободное некаузальное решение задачи
винеровской фильтрации. В противоположность этому реализация
Шеннона — Боуда [2] представляет собой каузальный фильтр. В
общем случае ограничение каузальным фильтром приводит к
ухудшению характеристик, а, как показано ниже, в приложениях
к адаптивному подавлению помех этого ограничения можно из-
бежать.
279"
Полезный отклик
Рис. 12.2. Однокаиальный виие-
ровский фильтр
+ ♦ Сигнал ошибки
Л:
[Входной сигнал
хк*-----------’
W* (z)
Рассмотрим теперь, как
можно использовать равен-
ство (12.8) при адаптивном
подавлении помех. На рис.
12.3 представлена несколь-
12.1. Здесь показан
и помех на входах
ук выходной сигнал ко более подробная схема
системы, показанной на рис.
один из способов получения входного сигнала
системы. Входной сигнал представляет собой
•сумму сигнала Sk и двух помех — nh и тОк, а эталонный сигнал —
сумму двух других помех и Пк, пришедший через тракт с им-
пульсной характеристикой hh и передаточной функцией H{z)\ Обе
помехи •— nk на входе системы и Пк, прошедшая через тракт с hk,
имеют общий источник и являются коррелированными между собой
и не коррелированными с сигналом Sk. Предполагается также, что
их энергетические спектры ограничены на всех частотах. Помехи
/Пой и mlk не коррелированы между собой, с Sk, nk на входе си-
стемы и Пк, прошедшей через тракт, с hk. Для дальнейшего ана-
лиза будем считать, что все тракты распространения помех экви-
валентны линейным фильтрам с постоянными параметрами.
Рис. 12.3. Одноканальное адаптивное устройство подавления помех с коррели-
рованной и некоррелированной помехами на входе устройства и на эталонном
входе
1 Для упрощения обозначений принято, что передаточная функция тракта,
по которому помеха пк поступает на вход системы, равна единице. Это не ог-
раничивает строгости анализа, так как при соответствующем выборе H{z) и
статистики помехи пк можно сделать так, чтобы любая смесь коррелированных
помех поступала на вход системы и ее эталонный вход. Хотя вследствие этого
может потребоваться, чтобы полюсы Я(а) находились внутри и вне окружности
единичного радиуса на z-плоскости, устойчивая двусторонняя импульсная ха-
рактеристика hk для реализации этого требования существует всегда.
.280
Схема подавления помех на рис. 12.3 включает в себя адап-
тивный фильтр, входной сигнал хь (эталонный сигнал устройства
подавления) которого равен сумме /Иы и tik, прошедший через
тракт с hk, а полезный отклик (входной сигнал устройства по-
давления) (1к = 5к-}-ток + пк. Сигналом ошибки ел является выход-
ной сигнал устройства подавления. Если считать, что адаптивный
процесс завершен и найдены оптимальные в смысле минимума
СКО весовые коэффициенты (оптимальное решение), то адаптив-
ный фильтр эквивалентен винеровскому фильтру (12.8). Опти-
мальное решение для устройства подавления на рис. 12.3 жела-
тельно иметь по следующей причине. Выходной сигнал — это сиг-
нал ошибки винеровского фильтра, а, как следует из (2.39), сиг-
нал ошибки 8ft не коррелирован с входным сигналом фильтра х^.
Следовательно, на входе системы полностью подавляются все со-
ставляющие помехи, коррелированные с составляющими помехи
на эталонном входе. Однако другие составляющие не подавляют-
ся и оказываются на выходе системы.
Оптимальная передаточная функция адаптивного фильтра.
IE*(z) есть винеровское решение (12.8), для которого теперь
можно получить следующее обобщение. Спектр входного сигна-
ла фильтра Фхх(з) можно выразить через спектры его двух некор-
релированных составляющих. Спектр помехи тх — Фт,т, , а спектр
помехи п, прошедшей через тракт с H(z), — ФПп(z) |Н(z) |2. От-
сюда спектр входного сигнала фильтра
Фхх (г) = Фт. т, (Z) + фпп (г) |Н (г)|а. (12.9)
Взаимный энергетический спектр входного сигнала фильтра и по-
лезного отклика зависит только от коррелированных составляю-
щих входного и эталонного сигналов и имеет вид
(12.10)
Подставляя (12.10) в (12.8), получаем винеровскую передаточ-
ную функцию
W* (z) =______Фпп Н--~---------- (12 11)
Фт>тх(г) + Фпп(г)|Я(г)12 ’ ’
Отметим, что W*(z) не зависит от спектра сигнала ®ss(z) и спек-
тра некоррелированного шума Фт,т0 (z) на входе системы.
При нулевой аддитивной помехе mi на эталонном входе име-
ем интересный частный случай, когда Фт1т1(2)=0, и оптималь-
ная передаточная функция (12.11) принимает вид
Г*(з)= 1/Я(2). (12.12)
Интуитивно ясно, что этот результат является правильным, так
как адаптивный фильтр приводит, как и при балансе мостовой
схемы, к обнулению пк на выходе устройства подавления. Некор-
релированная помеха ток не подавляется и наряду с сигналом
появляется на выходе системы.
28 Г
Функционирование устройства подавления помех с одним вхо-
дом можно рассмотреть в более общем виде с точки зрения со-
отношения двух отношений плотности мощности сигнала к плот-
ности мощности помех — на выходе системы рВых(г) и на ее вхо-
де рвх(г)1. Полагая, что спектр сигнала является неотрицатель-
ным на всех частотах, после соответствующих преобразований
имеем
Рвых (г) _ плотность мощности помехи на входе _Фпп (г) ~Ь ФШо т„ (г)
Рвх (г) плотность мощности помехи на выходе Фвых шум
(12.13)
Из рис. 12.3 следует, что энергетический спектр помехи на вы-
ходе устройства подавления равен сумме трех составляющих,
одна из которых соответствует прямому прохождению на выход,
/Пол, другая — m\k, прохождению через звено с передаточной
•функцией —lF*(z), а третья — пи, прохождению через звено с
передаточной функцией 1—H(z)W*(z). Отсюда энергетический
спектр помехи на выходе
^вых.шум (z) = Фт0 m„ (z) + Фт, m, (z) | W* (z)|2 * +
+ Фпп (z) |[1 — Я (z) W7* (z)JI’. (12.14)
Для удобства обозначим отношения спектров коррелированных и
некоррелированных помех на входе и эталонном входе соответ-
ственно через
Ф (г!
Л(г)Д—(12.15)
и
В^'фЛ)1Л>Н <1216>
В этих обозначениях передаточную функцию (12.11) можно пере-
писать в виде
Г* (г) -----?----. (12.17)
Я (г) [В(г) + 1] '
Тогда энергетический спектр помехи на выходе
Фт т (г)
Фвых.щум (2) = та (z) -J I в (г) + 112
+ °nn(z)|1---1—Г = ФпЛг)Л(2)+фпп(г) F (12.18)
I В.(г) + 1 I Й(2)-Г I л
1 Отношение плотности мощности сигнала к плотности мощности помехи
зависит от частоты. Здесь г=е’Ч2т, где Т — период отсчета, как описано в
гл. 7.
282
При этом отношение (12.13)
Рвых (г) _ ®пп (г) (г)1 ... __1 ~1~ А (г)__
Рвх (z) ®вых.щум д I ____& (г)____
А() + В(г)4-1
— _И (г) + Ч 1д (г) + Ч_ . (12.19)
А (г) 4- А (г) В (г) + В (г)
Это выражение является общим представлением идеальной ха-
рактеристики подавления помех в рассматриваемом случае. Оно
позволяет оценить ожидаемый уровень подавления помехи при
идеальной системе подавления, содержащей винеровский фильтр
с двусторонней импульсной характеристикой. В такой системе
сигнал проходит на выход неискаженным.1 В противоположность
этому классические схемы Винера, Калмана и адаптивных фильт-
ров в процессе подавления помех вносят некоторые искажения и
в сигнал.
Из (12.19) видно, что возможности подавления помех ограни-
чиваются отношениями А (г) и В (г). Если они относительно ма-
лы, то отношение рвых (z)/pBX (z) велико и относительно более эф-
фективно функционирует устройство подавления. Необходимость
иметь низкий уровень некоррелированных помех на обоих входах
становится еще более очевидной при рассмотрении следующих
конкретных случаев:
1) 2) при при малом малом А (г)
B(z) Рвых (г) , Рвх (г) Рвых (г) , Рвх (г) !1 + В(г) . В(г) ’ ,.П+Л(г). А(г) ’ (12.20) (12.21)
3) при малых A (z) и B(z)
Рвых (г) , 1 (12.22)
Рвх (г) ^А(г) + В.(г) ‘
Из этих соотношений следует, что полное подавление возмож-
но, когда A(z) и B(z) равны нулю. В этом случае на выходе си-
стемы можно полностью исключить помеху, что приводит к иде-
альному восстановлению сигнала. Однако при малых А (?) и В (г)
вступают в силу другие факторы, ограничивающие характеристики
системы. К этим факторам относятся конечная длина адаптивно-
го фильтра в реальных системах и относительное среднее значе-
ние СКО, вызванное шумом оценки градиента, возникающим в
процессе адаптации (см. гл. 5 и [19, 20]). Влияние третьего фак-
тора, связанного с попаданием на эталонный вход составляющих
сигнала, рассматривается в следующем подразделе.
1 Некоторое подавление сигнала возможно при быстром процессе адаптации
(т. е. при больших значениях параметра сходимости ц) из-за динамического
отклика вектора весовых коэффициентов, который приближается, но не равен
винеровскому решению.
283-
Влияние попадания составляющих сигнала на эталонный вход
В некоторых случаях эталонный сигнал на входе адаптивного
устройства подавления помех может содержать, помимо обычных
коррелированных и некоррелированных составляющих помех, не-
большого уровня составляющие сигнала, наличие которых, есте-
ственно, приводит к некоторому подавлению входного сигнала. В
связи с этим возникает вопрос, не является ли это подавление та-
ким, что становится бесполезным применение подавления помех.
Для ответа на этот вопрос воспользуемся, как и в предыдущем
подразделе, оптимальным винеровским решением и найдем выра-
жения отношения плотности мощности сигнала к плотности мощ-
ности помехи, искажения сигнала и спектра помехи на выходе
устройства подавления.
На рис. 12.4 показано адаптивное устройство подавления по-
мех, эталонный сигнал которого содержит составляющие сигнала,
а входной и эталонный сигналы — аддитивные коррелированные
помехи. Будем считать, что составляющие сигнала проникают на
эталонный вход по тракту с передаточной функцией /(г). Другие
обозначения — те же, что и на рис. 12.3.
Энергетические спектры входного сигнала и помехи (рис. 12.4)
соответственно 0ss(z) и ФПп(г). Отсюда спектр эталонного сиг-
нала, или спектр входного сигнала xh адаптивного фильтра,
Фхх = Фзз (2) |/(2)|2 + Фпп (2) [Я(2)|а. (12.23)
Взаимный спектр эталонного входного сигнала, или взаимный
спектр входного сигнала фильтра и полезного отклика dk,
Фха (г) = Фаз (г) J (г-1) + Фпп (г) Н (г->). (12.24)
После завершения процесса адаптации винеровская передаточная
функция адаптивного фильтра из (12.8)
пу* (7\ - Фзэ(г)/(г *) ФПп (г) ZZ ( г *) /19 ОЩ
Фзз(г) |7(г)|2+ФПп(г) |Я(г)!2 1
Рис. 12.4. Схема адаптивного устройства подавления помех с прохождением
составляющих сигнала на эталонный вход
284
Первая задача этого анализа — найти рВЫх(г) на выходе уст-
ройства подавления. Передаточная функция тракта прохождения
сигнала от входа до выхода равна 1—J (z)W* (г), а помехи —
1—H(z)W*(z). Отсюда спектр составляющей сигнала на выходе
ф«ввд(г) = Ф„(г)|1-/(г)1Г*(г)р =
— ф I 1# (г) ~ (гЯ (г) ( г *) 2 (12 2Ф
ф8з(г) |/{г)|2 + фпп(г) 1Я(г)|2 .
а составляющей помехи
фппвых(г) = Фпп(г|1-Я(г)Г*(2)|г =
— Ф [J (z) — ZZJz)] Фаа (z) / ( г') I (12 27»
фзИг) |/{2)|2 + фпп(г) |я(г)|2 | •
Таким образом, отношение плотностей мощности сигнала и поме-
хи на выходе
Рвых (^) —
®ss (г)
Фпп (г)
Фпп (Z) Н ( г-1)
Oss (г) J ( г"1)
2 Фпп(г)|Я(г)Р
Фев (г) НИР
(12.28)
Это отношение удобно выразить через аналогичное отношение
рвх(г) на эталонном входе. Спектр составляющей сигнала на этом
входе
Фззвх(г) = Ф3Лг)|/(2)|2, (12.29)
а составляющей помехи —
Фппвх (г) = Фпп (г)\Н(2)!\ (12.30)
Отсюда отношение плотностей мощности сигнала и помехи на эта-
лонном входе
Рвх(г) = ф^г)Жг)_1±. (12.31)
Фпп (г) IZ((z)|2
Следовательно, (12.28) принимает вид
Рвых (г) = 1/Рвх (г) • (12.32)
Полученный результат является точным и несколько неожи-
данным. Из него следует, что при оптимальном винеровском ре-
шении и коррелированных помехах на входе и эталонном входе
отношение плотностей мощности сигнала и помехи на выходе для
всех частот обратно аналогичному отношению на эталонном вхо-
де. Явление, описываемое соотношением (12.32), называют инвер-
сией мощностей.
Исходя из этого результата, следующая задача — найти вы-
ражение для искажения сигнала на выходе устройства подавле-
ния. Наиболее эффективным эталонным сигналом является сиг-
нал, почти полностью состоящий из помехи, коррелированной с
помехой на сигнальном входе. В общем случае при наличии в
285
нем составляющих сигнала возникают некоторые искажения сиг-
нала. Уровень этих искажений зависит от уровня сигнала, про-
шедшего через адаптивный фильтр, который можно найти следу-
ющим образом. Передаточная функция тракта прохождения через
фильтр из (12.25)
— I (т\ W* = — J (z} Ф55(г)^(г *) + Фпп (г) # ( г *) /19 O2V
J(z)U7 (г) J(z) Фв8(г)|7(г)|2 + фпп(г)|Я(г)р •
При малой |7(z)| по сравнению с | Н (z) | эту функцию можно
приближенно записать в виде
-J(z)W*(z)~ (12.34)
Таким образом, спектр составляющей сигнала, прошедший на вы-
ход устройства подавления через адаптивный фильтр, приближен-
но равен
Ф-М|Т5ГГ (12'35>
Суммирование составляющей (12.35) с составляющей сигнала на
входе (рис. 12.4) приводит к искажению сигнала. Наихудший слу-
чай возникает тогда, когда обе составляющие сигнала имеют про-
тивоположные фазы.
Пусть по определению, «искажение сигнала» 1 — безразмерная
величина, равная отношению спектра составляющей сигнала на
выходе, прошедшей через адаптивный фильтр (12.35), к спектру
составляющей сигнала на входе:
D(z) Ф^)/(г)/_Я(г)р р 3
Ф88 (г) I Н (г) I ’
Это выражение можно переписать в более удобном виде, если
учесть выражение для отношения плотностей мощности сигнала и
помехи на входе (рис. 12.4)
Рвх(г)^^- (12.37)
и выражение (12.31). В результате
°(z) ~p3T.BX(z)/pBX(z). . (12.38)
Из равенства (12.38) следует, что для винеровского оптималь-
ного решения и коррелированных помех на обоих входах при вы-
соком отношении плотностей мощности сигнала и помехи на вхо-
де и низком аналогичном отношении на эталонном входе возника-
ют небольшие искажения сигнала. Интуитивно этот вывод пред-
ставляется разумным.
1 Отметим, что определенное здесь искажение сигнала является линейным
эффектом, связанным с изменением формы сигнала при его появлении на выходе
устройства подавления. Этот вид искажений не следует путать с нелинейными
искажениями, связанными с появлением новых гармонических составляющих.
286
Последняя задача данного подраздела — найти выражение
для спектра помехи на выходе. В схеме на рис. 12.4 помеха nh
проходит на выход через звено с передаточной функцией
\ — Н (z\W* (z\ ~ 1 — Н (z\ Г Фя5 J + Фпп ( г ___________1 =
1 ti(Z)W (Z)-l H(Z)\ ф88(г) |7(г)|2 + Фпп(г) |//(г)|2 J
_ ®ss (z) J ( 2 *) [7 (z) К (z)l /19 QQ\
- ®ss (z) |/(z)|2 + Фпп (z) l#(z)l2 • U '
При малой | J (z) | no сравнению c \H(z) | выражение (12.39) при-
нимает вид
1 - H (z) W* (z) « -ф«Иг)/( z 21. (12.40)
Фпп (г) я ( г”1)
Из рис. 12.4 следует, что спектр помехи на выходе
ФвыХ.шум (г) = Фпп (г) 11 - н (г) Г* (z) I \ (12.41)
При малой | J (z) | по сравнению с \H(z) | выражение (12.41) при-
нимает вид
Фвых .шум (г) жФпп (г)
Ф88 (г) J ( г-1)
Фпп (г) Н ( г-1)
2
(12.42)
Удобнее записать это равенство через отношения (12.31) и (12.37):
Фвых.шум (z) ~ Фпп (^) I Рэт.вх (?) I I Рвх (^)I •
(12.43)
Этот результат, который на первый взгляд может показаться
странным, можно объяснить следующим образом. Во-первых,
спектр помехи на выходе пропорционален спектру помехи на вхо-
де. Во-вторых, при низком отношении плотностей мощности сиг-
нала и помехи на эталонном входе помеха на выходе имеет низ-
кий уровень, т. е. чем меньше составляющая сигнала на эталон-
ном входе, тем эффективнее подавляется помеха. В-третьих, при
низком отношении плотностей мощности сигнала и помехи на вхо-
де (полезный отклик адаптивного фильтра) более эффективно
осуществляется обучение фильтра для подавления помехи, а не
сигнала, поэтому помеха на выходе имеет низкий уровень.
Таким образом, показано, что наличие на эталонном входе не-
больших составляющих сигнала хотя и является нежелательным,
не исключает возможности эффективного применения адаптивно-
го подавления помех *. Для оценки уровня характеристик, дости-
жимого в реальных системах, рассмотрим следующий пример. На
рис. 12.5 приведена адаптивная система подавления помех с мно-
голучевым входным сигналом, которая синтезирована так, чтобы
1 Отметим, что если на эталонном входе есть составляющие сигнала и нет
коррелированных или некоррелированных составляющих помехи, то полностью
подавляется сигнал. Однако этого не происходит при правильном выборе эта-
лонного сигнала.
287
Рис. 12.5. Схема адаптивного устройства подавления помех, подключенного к
приемной решетке
осуществлялось прохождение сигнала плоской волны, принятого
по основному лучу антенной решетки, и подавление помехи в
ближнем поле или в направлении бокового лепестка диаграммы
направленности решетки. Если считать, что сигнал и помеха име-
ют одинаковые и перекрывающиеся энергетические спектры, а
спектральная плотность мощности помехи на входах отдельных
элементов решетки в 20 раз больше плотности мощности сигна-
ла, то отношение рЭт.вх на эталонном входе равно 1/20. Положим
также, что решетка имеет такой коэффициент передачи, что мощ-
ности сигнала и помехи на ее выходе равны, тогда отношение
рвх=1. После завершения процесса адаптации адаптивного филь-
тра отношение сигнал-помеха на выходе системы из (12.32)
Рвых ~ 1 /Рат.вх = 20-
Аналогично из (12.38) находим максимальное искажение сигнала
£> = Рэт.вх/Рвх = ^=5%.
Следовательно, в этом случае при адаптивном подавлении помех
отношение сигнал-помеха возрастает в 20 раз при небольшом
уровне искажения сигнала. Адаптивные антенные решетки рас-
сматриваются далее, в гл. 13, 14.
Адаптивный режекторный фильтр
В некоторых случаях входной сигнал представляет собой сум-
му составляющей сигнала и аддитивной синусоидальной помехи.
Обычно для подавления такой помехи используется режекторный
фильтр. В этом подразделе рассматривается реализация режек-
торного фильтра с помощью адаптивного устройства подавления
помех. Преимущества такого режекторного фильтра заключаются
в том, что он позволяет регулировать полосу частот, формировать
288
нули и осуществлять адаптивное слежение за точным значением
частоты и фазы помехи. Кроме того, проводится анализ адаптив-
ной режекции на одной частоте. Нетрудно показать, что эти ре-
зультаты распространяются на случай, когда на эталонном входе
имеется сигнал на многих частотах [49].
На рис. 12.6 приведена схема устройства подавления одночас-
тотной помехи с двумя адаптивными весовыми коэффициентами.
Положим, что на вход устройства может подаваться сигнал лю-
бого вида — случайный, детерминированный, периодический, им-
пульсный и т. д. — или любая комбинация этих сигналов. На эта-
лонном входе действует чистый синусоидальный сигнал
Ccos(Q0/ + (p). Отсчеты входных сигналов берутся с интервалами
Т секунд, как описано в гл. 7. Здесь Xik— отсчеты эталонного
сигнала, a х-,/.— отсчеты этого сигнала, сдвинутого по фазе.
* на 90°.
Рассматривая прохождение сигнала от входа до выхода си-
* стемы на рис. 12.6, можно найти линейную передаточную функ-
цию устройства подавления помех.1 Для этого на рис. 12.7 по-
строена подробная схема, реализующая алгоритм наименьших
квадратов. Отметим, что алгоритм вычисления текущих значений
весовых коэффициентов из (6.3) в соответствии с этой схемой име -
ет вид
. fe+i = + 2 ue7, xlk ;
®2,H-1 = W2h + 2 118й X2k.
(12.44)
Входной
Выходной
сигнал устройства
Частота отсчета равна 2тг/7’рад/с
= С sin (A-gj0 +
Рис. 12.6. Одночастотный адаптивный режекторный фильтр
' Хотя по своей сути адаптивный фильтр с двумя весовыми коэффициента-
ми на рис. 12.6 является нелинейным и его параметры изменяются во времени,
в последующем анализе показано, что при синусоидальном эталонном сигнале
передаточная функция звена прохождения сигнала от dk до es является ли-
нейной' и времяинвариантиой.
10—12 289
Рте. 12.7. Схема прохождения сигнала в одночастотном режекторном фильтре
При (£>o = 2nfoT, как и в (7.16), имеем
Xlk ~ С COS (k ®0 + ф) , I 4^)
x2fe = Csin (&со0 + ф). J
Сначала найдем импульсную характеристику звена от т. С
(сигнал ошибки 8*) до выхода фильтра в т. G при разомкнутой
петле обратной связи между точками G и В. Пусть в т. С в дис-
кретный момент времени k=m имеется импульс с амплитудой а,
т. е.
8й = а6(£ — т), (12.46)
где б (А) — единичный импульс при k = 0, аналогичный (7.26).
Тогда отклик в т. D
е = (аС cos (mcoo + <p)> k^m, (12 47)
10 , k^m,
что представляет собой входной импульс, амплитуда которого
умножена на мгновенное значение x!i( в момент k = m. Далее сиг-
нал проходит через звено от т. D до т. Е, которая является циф-
ровым интегратором с передаточной функцией 2ц/(г—1) и им-
пульсной характеристикой 2p,u(fe—1), где u(k)—единичный ска-
чок (ступенчатая функция) вида
«(£)=J°’fe<0> (12.48)
(1, £>0.
Свертка 2p,w(fe—1) и дает отклик в т. Е:
= 2|ш С cos (/псо0 + ф), (12.49)
где При умножении на х1й получаем отклик в т. F:
ylh = 2 ца С2 cos (Асоо + ф) cos (mcoo + ф), (12.50)
290
где k^m + \. Соответствующий отклик в т. J, полученный анало-
гичным образом,
У^к = 2 цаС2 sin (й®0 + ф) sin (m®0 + ф), (12.51)
где fe^m-i-1. Сравнивая (12.50) и (12.51), получаем отклик в т. G
на выходе фильтра:
yk — 2 на С2 cos [(& — tn) соо1 =
= 2 уаС2и (k - т — 1) cos [(А — tri) соо], k О tn + 1. (12.52)
Отметим, что (12.52) —функция только от k—т и поэтому явля-
ется истинной импульсной характеристикой, пропорциональной
входному импульсу.
Теперь, исходя из (12.52), можно получить линейную переда-
точную характеристику устройства подавления помех следующим
образом. При т = 0 для звена прохождения сигнала между т. С
и т. G имеем
yh =. 2 у С '2 и (k— 1) cos (Асоо) (12.53)
и его передаточная функция есть z-преобразование от (упраж-
нение 1д к гл. 7)
G (z) = 2 и С2 Г ——с- ---------11 = 2 цС2_(г cos со0 — 1) . л 2.54)
L г2 — 2 г cos ш0 + 1 ] г2 — 2 г cos соо + 1
При замкнутой петле обратной связи между т. G и т. В переда-
точная функция звена от входа в т. А до выхода в т. С устройства
подавления помех
H(z) =-------!- = ---------z2-2zcosq0+1---------- _ (12.55)
l-(-G(z) г2 — 2 (1 — ц С2) zcos соо + 1 — 2 u С2 ’
Из равенства (12.55) следует, что на частоте и0 эталонного
сигнала устройство подавления одночастотной помехи обладает
свойствами режекторного фильтра. Нули передаточной функции
расположены на z-плоскости в точках
з = е±;ш», (12.56)
т. е. точно на окружности единичного радиуса под углами ±соо
радиан. Полюса передаточной функции расположены в точках
z == (1 — ц С2) cos <й0 ± / [(1 — 2 ц С2) —
— (1 - и С2)2 cos3 <оо]1/2, (12.57)
т. е. внутри окружности единичного радиуса на расстоянии от на-
чала координат (1—2уС2)1/2, приближенно равном 1—цС2, и под
углами
± cos-’ [(1 — цС2) (1 — 2 р,С2)~1/2 cos со0]. (12.58)
При медленной адаптации (т. е. при небольших значениях цС2)
эти углы определяются множителем
1 - цС2 _ / 1 —2цС2 + р.2С* у/з =
(I —2рС2)Ч2 1-2р.С2 J
-(1 + у2С4+...)1/2= 1+ Ц2СЧ-..., (12.59)
10*
291
Рис. 12.8. Передаточная функция одно-
частотного адаптивного устройства по-
давления помех:
a — расположение полюсов и нулей; б — ам-
плитудно-частотная характеристика
который приблизительно равен 1.
Основной вывод состоит в том,
что в практических случаях
углы полюсов и нулей почти
равны.
На рис. 12.8 показано распо-
ложение полюсов, нулей и точек
половинной мощности передаточ-
ной функции. Поскольку нули
лежат на окружности единичного
радиуса, глубина режекции в
децибелах для передаточной
функции на частоте со = соо равна
бесконечности. Форма провала
АЧХ определяется расстоянием
между соответствующими нуля-
ми и полюсами, которое прибли-
зительно равно рС2. Длина дуги
окружности единичного радиуса,
заключенной между точками
половинной мощности, соответствует полосе режекции фильтра
и равна
BW = 2 р С2 рад - ц С2/лТ Гц. (12.60)
Форма АЧХ в полосе режекции обычно определяется добротнос-
тью Q, представляющей собой отношение центральной частоты к
ширине полосы режекции:
л
_ центральная частота _ со0 ,,л г;\
4 ширина полосы режекции 2рС2 ' ’ '
Таким образом, устройство подавления одночастотной помехи при
синусоидальном эталонном сигнале эквивалентно устойчивому ре-
жекторному фильтру. В общем случае глубина режекции адап-
тивного устройства выше, поскольку в результате адаптивного
процесса даже при медленном изменении частоты эталонного сиг-
нала поддерживается правильное для подавления соотноше-
ние фаз.
На рис. 12.9 приведены результаты двух экспериментов, про-
веденных для оценки характеристик функционирования адаптив-
ного режекторного фильтра. В первом случае входной сигнал
представляет собой синусоиду единичной мощности с частотой,
изменяющейся по 512 дискретным значениям. Синусоидальный
эталонный сигнал имеет частоту соо=л/2 радиан, при этом С—
= 1, у. = 0.0125. Разрешение по частоте дискретного преобразо-
292
Рис. 12.9. Результа-
ты экспериментов по
адаптивному подав-
лению одиочастот-
ной помехи:
а — на вход устройства
подается синусоидальный
сигнал с шагом через
512 дискретных частот;
б — на вход устройства
подаются отсчеты Седого
шума
7Г
Частота б)
вания Фурье в (7.43) Дш = л/512. На рис. 12.9,а показана зависи-
мость выходной мощности от частоты. При приближении частоты
входного сигнала к частоте эталонного имеет место глубокая ре-
жекция. Если со близка к соо, но не равна ей, весовые коэффици-
енты не сходятся к устойчивым значениям, а колеблются на дру-
гой частоте, и адаптивный фильтр функционирует аналогично мо-
дулятору, преобразующему эталонную частоту в частоту входно-
го сигнала. Измеренная ширина полосы режекции 0,0255 рад
близка к теоретической, равной 0,0250 рад.
Во втором эксперименте входной сигнал представляет собой
некоррелированные отсчеты белого шума единичной мощности, а
эталонный — аналогичен сигналу первого эксперимента. На рис.
12.9,6 показан средний спектр по ансамблю из 4096 энергетиче-
ских спектров выходного сигнала устройства подавления. В этом
эксперименте не получена полная режекция из-за конечного раз-
решения по частоте алгоритма спектрального анализа.
293
В этих экспериментах фильтрация синусоидального эталонно-
го сигнала на заданной частоте приводит к подавлению состав-
ляющих входного сигнала на соседних частотах. Этот результат
показывает, что при некоторых условиях частично могут подав-
ляться и искажаться составляющие входного сигнала, даже если
эталонный сигнал не коррелирован с ними. В практических слу-
чаях такое подавление возникает только в быстрых адаптивных
процессах, т. е. при больших значениях ц. При медленном адап-
тивном процессе весовые коэффициенты сходятся практически к
фиксированным значениям, и хотя происходит рассмотренное здесь
подавление сигнала, оно в общем случае является незначитель-
ным. При этом значения весовых коэффициентов приближенно
равны винеровскому решению.
За последнее время проведены другие эксперименты с эталон-
ными входными сигналами, содержащими более одной синусоиды.
При использовании адаптивных фильтров с многими весовыми
коэффициентами (обычно адаптивных трансверсальных фильтров)
достигается режекция на многих частотах. Для обеспечения не-
обходимых коэффициента передачи и фазы фильтра для каждого
синусоидального сигнала требуется два весовых коэффициента.
При наложении на эталонный входной сигнал некоррелированно-
го широкополосного шума необходимы дополнительные весовые
коэффициенты. Полный анализ задачи режекции сигналов на мно-
гих частотах содержится в [21].
Адаптивный высокочастотный фильтр
Использование в адаптивном фильтре весового коэффициента
для подавления низкочастотного дрейфа на входе системы явля-
ется частным случаем режекции сигнала на нулевой частоте. На
рис. 12.10 приведена схема только с одним весовым коэффициен-
том, так как не нужна подстройка фазы сигнала. Эталонным сиг-
налом может быть постоянный сигнал единичной амплитуды.
Передаточную функцию тракта прохождения сигнала от вхо-
да до выхода устройства подавления можно получить следующим
образом. Из рис. 12.10 видно, что yk = wh, поэтому для алгоритма
наименьших квадратов в этом случае
Уй+1 Ун + 2 = Ун + 2 И (4 ~ Ул). (12.62)
Рис. 12.10. Схема адаптивного
высокочастотного фильтра, полу-
ченного путем установления на
эталонном входе постоянного
единичного сигнала
294
Находим ^-преобразование от (12.62) и получаем для установив-
шегося режима
У (г) = 2цВ(г)_ . (12.63)
z—(1—2u) v ’
Подставим теперь в (12.63) У (г) =D (z)— Е (z) и получим
Н (г) = =--- ——----- . (12.64)
7 £>(г) г-(1 — 2р) v !
Из равенства (12.64) следует, что фильтр с весовым коэффи-
циентом смещения представляет собой высокочастотный фильтр
с нулем на окружности единичного радиуса на нулевой частоте
и полюсом на действительной оси на расстоянии 2ц влево от ну-
ля. Отметим, что это соответствует одночастотному режекторно-
му фильтру (12.55) с <ао=О и С=1. Частота, на которой мощ-
ность режектируемого сигнала уменьшается вдвое, равна со = 2ц
радиан.
В адаптивном высокочастотном фильтре исключается не толь-
ко постоянное смещение, но и медленно меняющийся дрейф во
входном сигнале. Более того, хотя это здесь и не показано, в
этом случае одновременно осуществляется подавление низкоча-
стотной случайной помехи при постоянном эталонном сигнале.
Каузальность и конечная размерность фильтра
В приведенном выше анализе не рассмотрены вопросы физи-
ческой реализуемости адаптивных фильтров. Полученные выра-
жения являются идеальными и основаны на предположении, что
адаптивный трансверсальный фильтр является некаузальным (об-
ладает двусторонней импульсной характеристикой) и имеет бес-
конечную длину. Хотя такой фильтр нельзя реализовать, можно
показать, что достигается хорошее приближение к его характе-
ристикам.
Обычно импульсные характеристики идеальных фильтров име-
ют экспоненциальное затухание. Поэтому возможна их прибли-
женная реализация фильтрами конечной длины с конечной им-
пульсной характеристикой. Чем большим числом весовых коэф-
фициентов обладает такой фильтр, тем ближе его импульсная
характеристика к импульсной характеристике идеального фильт-
ра. Однако при увеличении числа весовых коэффициентов возра-
стает сложность реализации.
Некаузальные фильтры являются физически нереализуемыми
в системах, работающих в реальном масштабе времени. Тем не
менее во многих случаях их можно приближенно реализовать в
схеме с задержкой, которая обеспечивает нужный отклик в реаль-
ном масштабе времени, но с задержкой. Подобные системы рас-
смотрены в гл. 10 и 11. На практике можно получить очень хо-
рошие характеристики даже при ограничении слева или справа
двусторонней импульсной характеристики. При включении за-
295
Рис. 12.13. Обобщенная схема адаптивного устройства подавления помех с мно-
гими эталонными входами
Другими словами, она является общим представлением адап-
тивного устройства подавления помех на рис. 12.4.
Оптимальная передаточная функция устройства подавления
многих помех представляет собой матричный эквивалент выраже-
ния (12.8) и находится следующим образом. Определим матрицу
энергетических спектров в виде
Из этего определения спектральная матрица N эталонных сиг-
налов адаптивных фильтров принимает вид
(г)] = IF (Z-1 )]т (z)] [F (г)], (12.66)
где
[F(z)] =
(z)
(z)
Fin (z)
F mn (z)
(12.67)
a Fij(z) —передаточная функция от источника i до входа J.
Аналогично этому вектор взаимных спектров в схеме на
рис. 12.13
[Ф^ (г)] = [F (г-’)Г [Ф„ (г)] [G (г)], (12.68)
где [G (г)] = [G, (г) ... GM (г)]т, (12.69)
a Gi (г) — передаточная функция от источника i ко входу.
298
Если определить
[U7*(z)] = [If; (z) ... г; (г)] (12.70)
как вектор оптимальных передаточных функций (каждая из ко-
торых соответствует составляющей оптимального вектора весовых
коэффициентов), то аналогично (12.8)
[И7* (г)] = [Фхх (г)]"1 Фы (г) = [[F (г-1)]7 х
X [Ф^(г)] [F(z)]]-> [^(г-1)]т[Ф„(г)] [(?(г)]. (12.71)
Это соотношение описывает полное множество оптимальных
векторов весовых коэффициентов W*i,... , W*x, которым соответ-
ствует минимальное значение общей рабочей функции, т. е. за-
висимости E[e2ft] от всех весовых коэффициентов. Эта рабочая
функция является квадратичной относительно всех весовых коэф-
фициентов, поскольку, как следует из рис. 12.13, ш, есть линейная
комбинация выходных сигналов адаптивных линейных суммато-
ров. Следовательно, yh и е2;> содержат только линейные и квадра-
тичные члены с весовыми коэффициентами.
Если матрица [F(z)] (12.67) является квадратной (т. е. N=
=М) и имеет обратную матрицу, то (12.71) принимает вид (уп-
ражнение 1, в гл. 2)
[lF*(z)]--[F(z)]-4G(z)l, (12.72)
что представляет собой матричный эквивалент выражения (12.12).
Обратная к [F(z)] матрица может не существовать на всех ча-
стотах.
Полученные выражения можно использовать для того, чтобы
найти в более общем виде оптимальные установившиеся решения
для задачи подавления многих помех. Ниже рассматривается
приложение этой задачи в области фетальной электрокардио-
графии.
Предыдущее обобщение завершает рассмотрение принципов
адаптивного подавления помех. В последующих подразделах опи-
саны различные практические приложения этого метода. К ним
относятся подавление нескольких видов помех в электрокардио-
графии, помех в речевых сигналах, помех в боковых лепестках
диаграммы направленности антенны, периодической или узкопо-
лосной помехи при отсутствии внешнего эталонного сигнала. Для
этих приложений приводятся экспериментальные результаты, от-
ражающие характеристики адаптивного подавления.
Подавление помехи с частотой 60 Гц в электрокардиографии
В [22] подчеркивается, что основная проблема записи электро-
кардиограммы (ЭКГ) связана с «появлением на выходе помехи
с частотой 60 Гц». В этой работе приводится анализ различных
причин возникновения такой помехи, в том числе магнитной индук-
ции, электрических токов в проводниках и в теле пациента, аппа-
299
ратурных наводок. Приводится описание ряда способов мини-
мизации этой помехи, среди них — правильное заземление и при-
менение витых пар. Другой способ уменьшения помехи с частотой
60 Гц в ЭК.Г заключается в адаптивном подавлении этой помехи,
которое можно использовать отдельно или совместно с более тра-
диционными подходами.
На рис. 12.14 приведена схема применения в электрокардио-
графии адаптивного подавления помехи. Входной сигнал посту-
пает с предварительного усилителя ЭКГ, эталонный сигнал с ча-
стотой 60 Гц — со штепсельной розетки с соответствующим ос-
лаблением. Адаптивный фильтр имеет два весовых коэффициен-
та, перестраиваемых по схеме, аналогичной схеме на рис. 12.6.
Оба взвешенных эталонных сигнала суммируются, в результате
чего формируется выходной сигнал фильтра, который вычитает-
ся из входного сигнала системы. Комбинации значений весовых
коэффициентов позволяют изменять эталонный сигнал по ампли-
туде и фазе любым необходимым для подавления образом. Для
подавления чистого синусоидального сигнала требуются оба ве-
совых коэффициента, или обе степени свободы.
На рис. 12.15 приведен характерный результат группы экспе-
риментов, проведенных в реальном масштабе времени. Отсчеты
содержат 10 бит, а скорость отсчетов составляет 1000 Гц. На этом
рисунке показаны входной сигнал — сигнал ЭКГ с сильной по-
мехой частотой 60 Гц (а), эталонный сигнал сети, снятый со штеп-
Адаптивное устройство
подавления помехи
Рис. 12.14. Подавле-
ние сетевой помехи
с частотой 60 Гц в
электрокардиографии
300
в)
Рис. 12.15. Подавление помех в электрокардиографии:
а — входной сигнал; б — сигнал на эталонном входе: в — выходной сигнал устройства по-
давления
седьмой розетки (б), выходной сигнал устройства подавления (е).
Отметим, что после завершения процесса адаптации помеха на
выходе отсутствует и ясно видны подробности ЭКГ.
Подавление помехи донорского сердца в электрокардиографии
при его трансплантации
Электрической деполяризацией желудочков сердца человека
управляет группа специальных мышечных образований, которые
называются атриовентрикулярным (АВ) узлом. Хотя этот узел
может функционировать независимо и асинхронно, обычно им уп-
равляет аналогичная группа образований — синоатриальный (СА)
узел, деполяризация которого инициирует электрический импульс,
передаваемый за счет проводимости через атриальную мышцу
сердца к АВ узлу. Синоатриальный узел связан с центральной
нервной системой, которая, управляя скоростью деполяризации,
регулирует частоту сокращения сердца [23, 24].
301
Метод трансплантации сердца, разработанный Н. Шемуэем из
Медицинского центра Станфордского университета, состоит в том,
что «новое», или донорское, сердце сшивается с частью атриума
«старого» сердца пациента [25]. По линии шва формируется ткань
шрама, которая электрически изолирует небольшой остаток ста-
рого сердца, содержащий только СА узел, от нового сердца, со-
держащего как СА, так и АВ узлы. Синоатриальный узел старо-
го сердца остается связанным с центральной нервной системой и
оно продолжает сокращаться со скоростью, управляемой цент-
ральной нервной системой. Синоатриальный узел нового сердца,
который нельзя хирургически соединить с центральной нервной
системой, генерирует спонтанные импульсы, что приводит к со-
кращению нового сердца со своей самопроизвольной скоростью.
В исследованиях по трансплантации сердца, а также в кардио-
логических исследованиях в целом желательно определять ско-
рость возбуждения старого сердца и наблюдать его электрические
Адаптивное устройство
Входной сигнал
Проводник катетера
подавления помехи
Выходной
сигнал
От датчиков на груди
Эталонный сигнал
Проводник катетера-
Рис. 12.16. Получение и обработка сигналов ЭКГ у пациента с пересаженным
сердцем
302
сигналы. Такие сигналы из-за помехи сокращения нового сердца
нельзя получить обычными средствами электрокардиографии и
легко получить при использовании адаптивного подавления этой
помехи.
На рис. 12.16 приведена схема применения адаптивного подав-
ления помехи в электрокардиографии при трансплантации серд-
ца. Эталонный сигнал подается с помощью пары обычных дат-
чиков, закрепляемых на груди пациента. Эти датчики принимают
сигнал, который поступает в основном от нового сердца, т. е. от
источника помехи. Входной сигнал снимается с катетера, который
состоит из небольшого коаксиального кабеля, введенного в об-
ласть атриума старого сердца. Конец катетера длиной в несколь-
ко миллиметров представляет собой открытую часть центральной
жилы кабеля, которая выполняет роль антенны и воспринимает
электрические сигналы сердца. При правильном его размещении
сигналы старого и нового сердец принимаются с одинаковой ин-
тенсивностью.
На рис. 12.17 показаны характерные входные сигналы и соот-
ветствующий выходной сигнал устройства подавления помехи.
Эталонный сигнал содержит мощные сигналы QPS, которые в
обычной ЭКГ указывают на возбуждение желудочков. Входной
сигнал содержит синхронные с сигналами QPS импульсы и от-
ражает процесс сокращения нового сердца, а другие видимые со-
Рис. 12.17. ЭКГ пациента с пересаженным сердцем:
а — сигнал на эталонном входе (от нового сердца); б — входной сигнал (от нового н ста-
рого сердец); в — сигнал на выходе устройства подавления (от старого сердца)
303
ставляющие возникают из-за сокращения с другой скоростью
старого сердца. При адаптивной фильтрации и вычитании из вход-
ного сигнала эталонного сигнала получаем сигнал, показанный
на рис. 12.17,в, который представляет собой сигнал старого серд-
ца с очень слабыми импульсами от нового сердца. Отметим, что
импульсы и того и другого сердца легко разделить даже если они
возникают в один и тот же момент времени. Кроме того, электри-
ческий сигнал нового сердца является установившимся и точным,
тогда как сигнал старого сердца значительно меняется от сокра-
щения к сокращению.
В данном эксперименте использован адаптивный трансверсаль-
ный фильтр с 48 весовыми коэффициентами и скоростью отсче-
тов 500 Гц.
Подавление ЭКГ матери в фетальной электрокардиографии
При приеме родов часто используют ЭКГ брюшной полости
[26—28], которые позволяют определить частоту сокращения серд-
ца плода и установить число плодов. Однако амплитуда фоново-
го шума, возникающего из-за мышечной и двигательной активно-
сти плода, часто оказывается равной и большей, чем амплитуда
сокращения сердца [29—31]. Еще более серьезную проблему
представляет сокращение материнского сердца, амплитуда кото-
рого в 2 ... 10 раз больше амплитуды сокращения сердца плода,
что является помехой при снятии ЭКГ [32].
Для того чтобы показать эффективность применения в фе-
тальной электрокардиографии адаптивного подавления помех, в
Стэнфордском университете проведено несколько экспериментов'.
Цель экспериментов — выделить наиболее точно ЭКГ плода, с тем
чтобы проводить наблюдение не только за частотой сокращения
сердца, но и за действительной формой электрического сигнала
на выходе.
Для записи сигнала сокращения материнского сердца и полу-
чения нескольких эталонных сигналов для устройства- подавле-
ния использовано четыре обычных датчика на груди пациента1 2.
Для записи смешанного сигнала сокращений сердца матери и
плода использован отдельный датчик на внешней стороне брюш-
ной полости, который формирует входной сигнал. На рис. 12.18
показаны векторы электрических полей сердца матери и плода
и карта размещения датчиков. Каждый датчик соединен с парой
1 Аналогичные попытки подавления сигнала сокращения материнского серд-
ца без применения устройства адаптивной обработки описаны в [33]. При
этом путем тщательного размещения датчиков и подстройки коэффициента уси-
ления усилителя достигнуто некоторое уменьшение помехи от сигнала мате-
ринского сердца, однако при адаптивной обработке могут быть достигнуты луч-
шие результаты.
2 Для упрощения задачи фильтрации помехи взято несколько эталонных
сигналов. Точное число эталонных сигналов, необходимых для исключения ЭКГ
матери, еще не известно и составляет предмет исследований.
ЗС4
Рис. 12.18. Подавление сигнала
а - кардиовекторы электрического
материнского сердца при электрокардиографии
плода:
поля матери и плода; б—расположение датчиков
электродов. Входные сигналы, поступающие от всех датчиков,
предварительно фильтруются, приводятся к цифровому виду и
записываются на магнитофон. Приведенное на рис. 12.19 много-
канальное адаптивное устройство подавления помехи является
частным случаем схемы на рис. 12.13. Каждый фильтр эталонного
канала имеет 32 неравномерно (по логопериодическому закону)
расставленных отводов с общей задержкой 129 мс.
На рис. 12.20 показаны характерные входные и выходной сиг-
налы устройства подавления. Предварительная фильтрация про-
водится в полосе 3 .... 35 Гц со скоростью отсчетов 256 Гц. На
От датчиков на животе
Выходной
сигнал
Рис. 12.19. Схема устройства подавления помех с многими эталонными входа-
ми, используемое в эксперименте по снятию ЭКГ плода
305
d)
6}
Составляющая ЭКГ матери
Рис. 12.20. Результаты эксперимента по снятию ЭКГ плода (ширина полосы
3... 35 Гц, частота отсчета 256 Гц):
а — сигнал на эталонном входе (от датчика на груди); б — входной сигнал (от датчика
на животе); в — выходной сигнал устройства подавления
выходе устройства осуществляется подавление доминирующих во
входном сигнале сигналов сокращения материнского сердца. (Мас-
штаб шкалы напряжений для выходного сигнала на рис. 12.20,в
примерно вдвое больше, чем для входного сигнала на рис. 12.20,6).
На рис. 12.21 приведены соответствующие результаты для пре-
дварительной фильтрации в полосе 0,3... 75 Гц со скоростью от-
счетов 512 Гц. Во входном сигнале, полученном отдатчиков брюш-
ной полости, отчетливо наблюдаются дрейф среднего значения и
помеха с частотой 60 Гц. Интенсивность помехи такова, что почти
невозможно выделить сигнал сокращения сердца плода. Входные
306
Составляющая ЭКГ плода
Рис. 12.21. Результаты эксперимента по снятию ЭКГ в широкой полосе (шири-
на полосы 0,3... 75 Гц, скорость отсчета 512 Гц):
а — сигнал на эталонном входе (от датчика на груди); б — входной сигнал (от датчика
на животе); в — выходной сигнал устройства подавления
сигналы, полученные от датчиков на груди, содержат сигнал со-
кращения сердца матери и составляющую помехи с частотой
60 Гц достаточной интенсивности для формирования эталонного
сигнала обеих этих помех. На выходе устройства подавления обе
помехи значительно ослаблены и ясно различается сигнал сокра-
щения сердца плода.
Подавление помех в речевых сигналах
Рассмотрим ситуацию, в которой пилот самолета, находящий-
ся в кабине с высоким уровнем шума двигателей, проводит се-
анс радиосвязи. Этот шум, помимо прочего, содержит мощные
периодические составляющие с широким спектром гармоник, пе-
рекрывающим тот же диапазон частот, что и речевой сигнал пи-
лота. Эти составляющие проникают в микрофон, в который гово-
307
рит пилот, и создают сильную помеху, снижающую разборчивость
радиосвязи. Обработка принятого сигнала с помощью обычного
фильтра является неэффективной, так как частота и мощность
составляющих шума зависит от оборотов двигателя, расположе-
ния головы пилота и т. д. Однако при соответствующем располо-
жении в кабине второго микрофона можно получить тот же шу-
мовой сигнал без речевого сигнала пилота. Его можноподверг-
нуть фильтрации и вычесть из передаваемого, существенно умень-
шая помехи.
Для того чтобы показать эффективность подавления помех в
речевых сигналах, проведены эксперименты, в которых в упро-
шенном виде моделируется описанная задача. Как показано на
рис. 12.22, в этих экспериментах говорящий А пользуется микро-
фоном В в комнате, где имеется сильная акустическая помеха С.
В этой же комнате в стороне от говорящего размещается второй
микрофон D. На выходах микрофонов В и D формируются вход-
ной и эталонный сигналы для устройства подавления помех Е,
выходной сигнал которого фиксирует удаленный от этой комнаты
слушающий F. Устройство подавления представляет собой адап-
тивный фильтр с 16 весовыми коэффициентами и скоростью ада-
птации около 5 кГц. На рис. 12.23 приведена характерная обуча-
ющая кривая, отражающая зависимость выходной мощности от
числа циклов адаптации. Полная адаптация осуществляется при-
мерно через 5000 циклов (итераций), что в реальном времени
составляет 1 с.
Обычно в эксперименте помеха представляет собой сигнал пи-
лообразной формы с большим числом гармонических составляю-
щих, которые из-за явления многолучевости меняются по ам-
плитуде и фазе в зависимости от точки комнаты. Периодичность
помехи позволяет пренебречь разным временем задержки, выз-
ванным различием трактов передачи к обоим приемникам. Уст-
ройство подавления уменьшает мощность помехи (которая в дру-
308
Рис. 12.23. Характерная обучающая кривая, снятая в эксперименте по подав-
лению шума в речевом сигнале
гом случае делает речь неразборчивой) на выходе на 20 ... 25 дБ,
тем самым делая помеху почти неслышной для удаленного слу-
шающего. При этом в речевой сигнал не вносится заметных ис-
кажений. Время сходимости составляет несколько секунд, а адап-
тивное устройство обработки легко перестраивается при измене-
нии положения микрофонов и частоты помехи в диапазоне от 100
до 2000 Гц.
Подавление отражений в длинных линиях
Из-за явления отражений в длинных телефонных линиях воз-
никает ослабление сигнала [16, 17]. За прошедшее десятилетие
разработанные фирмой Bell Telephone Laboratories устройства
подавления отражений значительно усовершенствованы. Тради-
ционные методы подавления отражений недостаточно эффектив-
ны при передаче телефонных сообщений между континентами по
спутниковым линиям. Поэтому ведется разработка адаптивных
устройств подавления отражений. Время задержки при передаче
радиосигнала на синхронный спутник и обратно на землю равно
примерно 250 мс, а общее время — около 0,5 с. При таких боль-
ших задержках распространения коммутация с традиционным по-
давлением отражений вносит сильные искажения. Без адаптив-
ного подавления отражений спутниковые линии лучше всего ис-
пользовать аналогично радиотелефонным каналам в полудуплек-
30»
Рис. 12.24. Четырехпроводная
абонентская телефонная систе-
ма
сном режиме, когда в один интервал времени говорит только один
абонент.
Для описания задачи подавления отражений рассмотрим крат-
ко работу телефонной сети. Чтобы сконцентрировать внимание
на прохождении сигналов, не будем рассматривать многих функ-
ций телефонной сети, таких, как, например, коммутация. На рис.
12.24 приведена простая телефонная система с двумя абонентами.
На каждом направлении имеется угольный микрофон, последо-
вательно соединенный с наушниками и батареей. Для каждого
направления используется независимая линия. Такой подход яв-
ляется очень простым, но имеет свои недостатки. Преимущество
системы, приведенной на рис. 12.25, заключается в том, что для
соединения каждого абонента с центральной станцией (где на-
ходятся батареи и осуществляется локальная коммутация) ис-
пользуется два провода. Однако в системе на рис. 12.25 возни-
кает так называемый местный эффект, при котором речевой сиг-
нал абонента проходит в его собственные наушники. Обратная
связь дает возможность говорящему регулировать уровень речи.
коммутационная станция тема
310
Цепь речевого сигнала
с преобразованием
4-проводной линии
Телефонный аппарат Центральная
коммутационная
Телефонный аппарат
станция
Рис. 12.26. Упрощенная двухпроводная абонентская телефонная система
Современный телефон несколько сложней системы на рис. 12.25,
Значительно упрощенная его схема приведена на рис. 12.26. Здесь
схема перехода от 4-проводной к 2-проводной цепи, заложенная
в основу телефона, состоит из преобразователя, который пропу-
скает постоянный ток батареи центральной станции через уголь-
ный микрофон, но не пропускает через наушники. Таким образом,
четыре провода микрофона и наушников спарены в одну двухпро-
водную линию, соединяющую абонента с центральной станцией.
Такая телефонная система является основной в настоящее время.
При передаче телефонных сообщений на большие расстояния
используют промежуточные усилители, для которых, как показа-
но на рис. 12.27, требуются раздельные цепи по обоим направле-
ниям. Важным элементом системы является дифференциальная
система, с помощью которой входной сигнал протяженной линии
подается та телефонный аппарат так, что он слышен в наушни-
ffl Ш
Центральная
коммутационная
станция
Центральная
коммутационная
станция
ffl ffl
Абонентская
линия
-11-
_ Дифференциальная
Телефонный аппарат система (преобразование
4-проводной линии
в 2-проводную)
Межстанционные линии
Промежуточные усилители
-Ф1
Дифференциальная
система (преобразование
4-проводной линии
в 2-проводную)
Абонентская
линия
_____I
Телефонный
аппарат
Рис. 12.27. Протяженная телефонная система
311
ках, в то время как с этого же телефонного аппарата снимается
сигнал микрофона, подаваемый в передающую линию.
Дифференциальная система преобразует цепи 2-проводной схе-
мы (где входной и передаваемый сигналы существуют вместе) в
4-проводную цепь, в которой входной и передаваемый сигналы
разделены. Идеальная дифференциальная система пропускает
входной сигнал на приемную пару с ослаблением на 3 дБ и сов-
сем не пропускает его на свою передающую пару. Более того, при
этом не возникает явлений отражения. На рис. 12.28 приведена
упрощенная схема протяженной линии передачи, в которой уст-
ройства переприема и линии передачи представлены в виде за-
держек.
Дифференциальные системы по многим причинам не обеспе-
чивают идеальных характеристик. Разброс характеристик прибо-
ров, длины и сопротивления линий передачи приводит к неиде-
альному разделению принимаемого и передаваемого сигналов. Та-
ким образом. некоторые составляющие принимаемого сигнала про-
никают в цепи передачи. Обычно в дифференциальной системе
эти составляющие ослабляются по амплитуде примерно на 15 дБ
относительно принимаемого сигнала. По существу, тракт прохож-
дения помех является линейным и обладает неизвестными ампли-
тудно- и фазочастотной характеристиками. Даже при уровне
этих составляющих ниже уровня принимаемого сигнала на 40дБ
для некоторых абонентов отчетливо проявляется эффект эхо.
В течение последних 50 лет на протяженных линиях связи в
США применяли устройства подавления эхо, которые успешно ре-
шали эту задачу при общей задержке в линии связи не более
100 мс. На рис. 12.29 показана схема телефонной системы., обо-
рудованной устройствами подавления эхо-сигналов. Если детек-
тор уровня сигнала обнаруживает принимаемый сигнал, реле в
устройстве подавления эхо данного абонента отключает переда-
ющую цепь. Кроме того, если еще один детектор сигнала обна-
руживает сигнал, поступающий с микрофона этого абонента, ре-
ле снова замыкается, и восстанавливается передающая цепь. Та-
ким образом, при прохождении эхо-сигнала разомкнуты только
цепи приема. При передаче сигнал, даже если речевые сигналы
поступают в оба конца линии одновременно, передающая цепь
замкнута.
Абонентская 4-проводная линия
2-проводная линия Выходной
разъем
Входной
Абонентская
2-проводная линия
Дифферен
циальная
система'
Задержка
разъем
Задержка
Дифферен
циальная
система
Входной
Выходной
разъем
разъем
Рис. 12.28. Упрощенный вариант протяженной телефонной системы
312
Реле
Реле
Рис. 12.29. Протяженная телефонная система с устройствами подавления эхо-
сигналов
При общих задержках в линиях связи, превышающих, как это
имеет место в спутниковой связи, 100 мс, в процессе переключе-
ния устройств подавления эхо-сигналов возникают обрывы рече-
вого сигнала и потери частей слов. Наличие такого эффекта при-
вело к разработке адаптивных устройств подавления эхо-сигналов
[17]. На рис. 12.30 приведена система с адаптивным подавлением
эхо. Эта система имеет простой принцип действия. На конце ли-
нии связи принимаемый сигнал подается как па дифференци-
альную систему, так и на адаптивный фильтр. Выходной сигнал
адаптивного фильтра вычитается из выходного сигнала диффе-
ренциальной системы. Разность этих сигналов, представляющая
собой сигнал ошибки для адаптивного фильтра, используется для
перестройки весовых коэффициентов. Адаптивный фильтр осу-
ществляет максимальное в среднеквадратическом смысле подав-
ление проникающих через дифференциальную систему составля-
ющих. Возможность подавления ограничена только возможно-
стью согласования фильтра с трактом прохождения паразитных
составляющих через дифференциальную систему.
Скорость и точность квантования имеют ограничения с точки
зрения стоимости реализации адаптивного фильтра, но они пре-
одолеваются по мере развития технологии. Существенные огра-
ничения накладывают относительное среднее значение СКО ада-
птивного фильтра и нелинейность тракта прохождения паразит-
Рис. 12.30. Протяженная телефонная система с адаптивным подавлением эхо-
сигналов
31.3
ных составляющих в дифференциальной системе. Например, эф-
фективное адаптивное устройство подавления эхо может иметь
частоту отсчетов 8 кГц и 128 весовых коэффициентов.
При адаптивном подавлении эхо-сигналов возникают некото-
рые проблемы, связанные с влиянием шума вектора весовых ко-
эффициентов. На рис. 12.31 приведена схема с адаптивными
фильтрами, на которой показаны необходимые сигналы. При ана-
лизе будем считать, что адаптивные фильтры имеют достаточное
число степеней свободы для согласования с передаточными функ-
циями трактов прохождения паразитных составляющих в диф-
ференциальных системах, значение ц соответствует области ус-
тойчивости адаптивных фильтров, а помехи в линиях пкАЬ и Пъвь
и сигналы микрофонов имеют нулевые средние значения. Кроме
этого, положим, что процессы адаптации обоих адаптивных филь-
тров протекают независимо. Строго говоря, это предположение
является некорректным, но экспериментальные исследования по-
казывает, что при раздельном рассмотрении адаптивных процессов
их можно проанализировать с достаточно хорошим приближени-
ем. В действительности телефонная сеть с обоими адаптивными
фильтрами представляет собой цепь с обратной связью. Входной
сигнал адаптивного фильтра на конце А частично проникает с
выхода адаптивного фильтра на конце В, и наоборот. Однако
сигналы микрофонов, помехи в линиях связи и в абонентских ли-
ниях не зависят от адаптивных процессов. Будем полагать, что
сигналы и помехи в схеме на рис. 12.31 являются независимыми
стационарными случайными процессами. Такое предположение
сделано для упрощения анализа [6, 17], эффективность которо-
го подтверждается практическими исследованиями.
При всех этих предположениях можно прийти к заключению,
что после адаптации адаптивные фильтры имеют такие векторы
Абонентский пункт-4 Канал
Абонентский пункт В
Рис. 12.31. Модель прохождения сигналов в адаптивном устройстве подавления
эхо-сигналов
314
весовых коэффициентов, при которых полностью компенсируются
передаточные функции трактов прохождения паразитных состав-
ляющих через дифференциальные системы. Однако еще один ре-
зультат процесса адаптации состоит в том, что в установившемся
режиме шумовая составляющая значений весовых коэффициен-
тов, которая по случайному закону модулирует входные сигналы
адаптивного фильтра, приводит к появлению в сигналах микро-
фона, передаваемых далее по протяженным линиям связи, допол-
нительных составляющих случайной помехи.
Для проведения анализа будем считать, что значение ц ада-
птивного фильтра на конце А очень мало, поэтому шумом векто-
ра весовых коэффициентов можно пренебречь. Тогда на конце А
адаптивный фильтр полностью подавляет паразитные составляю-
щие и не вызывает дополнительных «побочных явлений». Сигнал
со стороны А при его подаче на линию связи А—В равен сумме
сигнала микрофона shA и шума абонентской линии п11Лг. Поло-
жим, что коэффициент передачи линии связи равен единице, тогда
входной сигнал, поступающий на сторону В, равен 5^А+«кАь+
+пквт, где nkBT — шум на стороне В, возникающий в линии свя-
зи А—В.
На практике требуется, чтобы значение ц было достаточно
большим для обеспечения разумного времени сходимости адап-
тивного фильтра и возможности слежения за изменениями пара-
метров дифференциальной системы. В соответствии с этим в зна-
чениях весовых коэффициентов появляется шумовая составляю-
щая. Пусть Л4А — относительное среднее значение СКО адаптив-
ного фильтра на стороне А. Из рис. 12.31 следует, что минималь-
ное среднеквадратическое значение сигнала ошибки еЛА
Limln — Е [sld + Е [«м/J- (12.73)
Это определение вводится в предположении одновременной пе-
редачи речевого сигнала с обеих сторон, причем
Х/гЛ = Щл -)- (S/jB -(- 7Г&Вь)задер;к ^kA $kA "4” tlkAL
входной сигнал и полезный отклик адаптивного фильтра соответ-
ственно. Для среднего значения СКО имеем Л4А^Ат!п или
среднее значение СКО= МА (Е [s|A] + Е [п^дА), (12.74)
что представляет собой мощность аддитивной независимой слу-
чайной помехи, возникающей из-за шумовой составляющей в зна-
чениях весовых коэффициентов. Соответственно мощность вход-
ного шума на стороне В равна
Е [пьаА + Е [и&вт] + (Е + Е [Л^л/Д)- (12.75)
Следовательно, отношение сигнал-шум на стороне В
ОСШв ------------------, (12-76)
МА Е + (1 + МА) Е \n~kAL] + Е [п^т]
315
В представляющих интерес случаях М1 и уровень шума або-
нентской линии очень мал по сравнению с уровнем шума в про-
тяженной линии связи. Учитывая это, имеем
ОСШВ ----------.
Мд Е [sjLj + Е [nlBr]
(12.77)
При уменьшении ц и медленной адаптации можно уменьшить
Л1А. Если произведение мощности сигнала на МА пренебрежимо
мало по сравнению с мощностью шума, достигается максималь-
ное отношение сигнал-шум:
ОСШЙ - . (12.78)
Е \плкВТ\
Такое отношение сигнал-шум достигается в системе с подавлени-
ем- эхо-сигналов при односторонней передаче речевых сигналов
или в системе с адаптивным подавлением при двусторонней пе-
редаче. Из-за наличия относительного среднего значения СКО
адаптивное устройство подавления эхо-сигналов при двусторон-
ней передаче обеспечивает отношение сигнал-шум (12.77), кото-
рое можно записать в виде
ОСШД
ОСШВ -------.
1 + М,-ОСШд
max
(12.79)
Таким образом, во время двусторонней передачи для обеспечения
отношения сигнал-шум, близкого к максимальному, необходимо
поддерживать низкий уровень относительного среднего значе-
ния ско.
Подавление помех в боковых лепестках диаграммы
направленности антенны
Появление мощных мешающих сигналов в направлениях бо-
ковых лепестков диаграммы направленности (ДН) антенной ре-
шетки может создать серьезную помеху при приеме более слабых
сигналов по основному лучу. При небольшом числе пространст-
венно разнесенных источников помех простым способом решения
задачи приема сигналов может быть адаптивное подавление этих
помех.
Задача по определению достижимого снижения уровней помех
по боковому лепестку при адаптивном подавлении решалась с по-
мощью моделирования на ЭВМ. Способ аналогичен описанному
ниже в гл. 13 [6, 35]. Как показано на рис. 12.32, решетка состо-
ит из 16 равномерно расположенных по окружности ненаправ-
ленных элементов. Выходные сигналы элементов имеют соответ-
ствующие задержки и при суммировании формируют основной
луч с относительным углом 0°. При моделировании помеха с той
же полосой частот и мощностью, равной 100 единицам, подава-
316
1
16 о
о
15
О
Помеха (мощность •
равна 100 единицам)
/
/
3
О
/о °
Направление Сигнал (мощность
13 приема 5 равна 1 единице)
О •---------------ы О ------------------
12 6
О О
11 7
О О
10 8
О 9 о
О
Рис. 12.32. Схема решетки в эксперименте по адаптивному подавлению боко-
вых лепестков
лась на вход решетки под углом 58°. Решетка соединена с адап-
тивным устройством подавления помех, как показано на рис. 12.5.
Выходной сигнал диаграммообразующей схемы используется в
качестве входного сигнала устройства подавления, а выходной
сигнал отдельного элемента (4 на рис. 12.32) — в качестве эта-
лонного сигнала. Устройство подавления включает в себя адап-
тивный фильтр с 14 весовыми коэффициентами, процесс адапта-
ции проводится по алгоритму наименьших квадратов с ц = 7-10~6.
На рис. 12.33 показаны две последовательности вычисленных
ДН: первая — для одной частоты, равной 1/4 частоты отсчетов,
другая — для средней по восьми частотам в интервале от 1/8 до
3/8 частоты отсчетов. На этих диаграммах наблюдается измене-
ние основного и боковых лучей в процессе адаптации для фикси-
рованного числа итераций. Отметим, что в направлении помехи,
помеченном стрелкой, формируется нуль ДН. В начале адапта-
ции все весовые коэффициенты равны нулю.
Среднее для всех восьми частот значение отношения сигнал-
шум после адаптации равно +20 дБ, отношение сигнал-шум для
отдельного элемента решетки равно —20 дБ. В соответствии с
(12.32) этот результат подтверждает, что отношение сигнал-шум
на выходе системы обратно отношению на эталонном входе, т. е.
на элементе решетки.
Поскольку коэффициент усиления основного луча в направ-
лении сигнала (т. е. под углом 0°), изменяется, возникает неболь-
шое подавление сигнала. Эти изменения не являются неожидан-
ными, так как на адаптивный процесс не накладываются ограни-
317
Рис. 12.33. Результаты экспе-
римента по адаптивному по-
давлению боковых лепестков:
а — одна частота (равная полови-
не частоты среза); б — средняя из
восьми частот (от 0,25 до 0,75 от
частоты среза)
чения относительно диаграммы основного луча. Полученный в
[37] способ адаптации по алгоритму наименьших квадратов без
этих потерь рассмотрен в гл. 13.
Подавление периодической помехи с помощью адаптивного
устройства предсказания
В некоторых случаях широкополосный сигнал искажается пе-
риодической помехой, при этом не имеется внешнего эталонного
сигнала, не содержащего сам сигнал. В качестве примера можно
назвать воспроизведение речи или музыки при наличии шумов
магнитофонной пленки или диска, а также прием сейсмических
сигналов в шумах автомобильного двигателя для силовых уста-
новок. На первый взгляд может показаться, что для уменьшения
или исключения такого вида помех нельзя применять адаптив-
318
Периодическая помеха
периодической помехи в системе без внешнего эталон-
ного сигнала
Рис. 12.34. Подавление
. О 25 50 75 10Q
' а) Временной отсчет
4 г-
----- Выходной сигнал устройства подавления
2 — ------Широкополосной входной сигнал
—2
—4 Г_ 1 1 1 I 1 > {__J__L Г_ J _1
О 25 50 75 100
Временной отсчет
б)
Рис. 12.35. Результат эксперимента по подавлению периодической помехи:
а — входной сигнал (коррелированный гауссовский шум и синусоидальный сигнал); б — вы-
ходной сигнал (коррелированный белый шум)
319
ное подавление. Однако при получении эталонного сигнала непо-
средственно из входного через заданную задержку Д, как пока-
зано на рис. 12.34, во многих случаях можно легко подавить пе-
риодическую помеху.1 Выбранная задержка должна быть доста-
точной для того, чтобы составляющие широкополосного сигнала на
эталонном входе были не коррелированы с этим сигналом на вхо-
де. Из-за периодичности составляющие помехи остаются при этом
коррелированными.
Из рис. 12.34 следует, что система содержит адаптивное уст-
ройство предсказания. Предсказуемая составляющая входного
сигнала исключается, и на выходе системы остается непредска-
зуемая составляющая.
На рис. 12.35 приведены результаты моделирования на ЭВМ
входного (а) и выходного (б) сигналов устройства подавления.
Входной сигнал представляет собой сумму сигнала в виде небе-
лого гауссовского шума и помехи в виде синусоидального сигна-
ла. Поскольку задача решалась методом моделирования и вход-
ной широкополосный сигнал известен точно, он показан наряду
с выходным сигналом на графике, из которого видно хорошее сов-
падение этих сигналов. Это совпадение не является полным из-за
того, что фильтр имеет ограниченную длину и скорость адаптации.
Адаптивный следящий фильтр
Описанный в предыдущем подразделе эксперимент можно,
кроме того, использовать для иллюстрации еще одного важного
приложения адаптивного устройства подавления помех. Во мно-
гих случаях, когда имеется входной сигнал, состоящий из смеси
периодического и широкополосного сигналов, представляют инте-
рес периодические, а не широкополосные составляющие. Если
выходной сигнал системы на рис. 12.34 снимается с адаптивного
фильтра, то в результате имеем адаптивный следящий фильтр,
который может выделять из широкополосного шума периодиче-
ский сигнал.
На рис. 12.36 показана схема адаптивного устройства подав-
ления в качестве следящего фильтра. Выходной сигнал этой си-
стемы получен с помощью моделирования на ЭВМ для входного
сигнала из предыдущего примера (рис. 12.35,а). Действительный
входной синусоидальный сигнал и полученное в результате адап-
тации его приближение показаны на рис. 12.37. Здесь сигнал оши-
бки представляет собой случайный процесс с малой амплитудой.
На рис. 12.38 приведены импульсная характеристика и пере-
даточная функция адаптивного фильтра после сходимости. Им-
пульсная характеристика (рис. 12.38,а) близка к синусоидально-
му сигналу. При широкополосной входной составляющей опти-
1 Если задержка А больше общей задержки адаптивного фильтра, то мож-
но ввести ее в цепь входного, а не эталонного сигнала. В противном случае
фильтр будет подавлять как сигнал, так и помеху.
320
Широкополосная
помеха
Рис. 12.36. Схема адаптивного устройства подавления помех в качестве следя-
щего фильтра
мальное устройство приема является согласованным фильтром, а
его импульсная характеристика имеет синусоидальную форму.
Приведенная на рис. 12.38,6 передаточная функция равна ди-
скретному преобразованию Фурье от импульсной характеристи-
ки. На частоте помехи ее амплитуда близка к единице — значе-
нию, требуемому для полного подавления. Сдвиг фазы на этой
частоте не равен нулю, но при сложении с фазовым сдвигом, вно-
симым задержкой А, приводит к суммарному сдвигу на 360°.
Аналогичные эксперименты проведены для сумм синусоидаль-
ных сигналов и широкополосной случайной помехи. В этих экспе-
риментах адаптивный фильтр имеет резонансы на всех частотах,
на которых во входном сигнале расположены периодические спек-
тральные составляющие. Таким образом, эту систему можно ис-
пользовать в качестве автоматического устройства поиска.
Другие эксперименты показали, что адаптивный следящий
фильтр можно использовать в качестве накопителя при обнару-
11—12
321
Рис. 12.38. Эксперимен-
тальные характеристи-
ки адаптивного следя-
щего фильтра:
а — импульсная характери-
стика адаптивного фильтра
после адаптации; б — АЧХ
адаптивного фильтра после
адаптации
женин в шуме синусоидальных сигналов с очень низким уровнем.
В следующем подразделе кратко рассмотрен подход к такому
применению адаптивного устройства подавления.
Адаптивный накопитель
Классическая задача обнаружения состоит в том, чтобы най-
ти в шуме синусоидальный сигнал низкого уровня. Адаптивный
следящий фильтр, который, как показано выше, обладает свой-
ством разделять в сигнале периодические и случайные составля-
ющие (когда их уровни сравнимы), при обнаружении в шуме си-
нусоидального сигнала с очень низким уровнем может работать
как адаптивный накопитель. Это адаптивное устройство сопер-
ничает с прецизионным обнаружителем, использующим алгоритм
быстрого преобразования Фурье, и обладает возможностями,
которые могут превосходить возможности обычных анализаторов
спектра, когда неизвестный синусоидальный сигнал имеет конеч-
ную полосу частот или является модулированным по частоте.
Этот способ иллюстрируется схемой на рис. 12.39. Здесь входной
сигнал представляет собой сумму синусоидального сигнала и шу-
ма. На выходе системы формируется дискретное преобразование
322
Входной сигнал
Рис. 12.39.
адаптивного
теля
Фурье (ДПФ) от импульсной характеристики фильтра. Сигнал
обнаруживается тогда, когда спектральный пик превышает фоно-
вый шум. Модифицированный вариант этого способа предложен
в [42] и рассматривается в упражнении 17.
Отметим, что в схеме на рис. 12.39, кроме того, имеется выход-
ной сигнал фильтра у, который можно использовать непосредст-
венно или в качестве входного сигнала анализатора спектра или
устройства фазовой автоподстройки. Более того, способ, иллюст-
рируемый на рис. 12.39, можно применять при одновременном
обнаружении множества синусоидальных сигналов. Здесь эти воз-
можности не рассматриваются, а обсуждается задача обнаруже-
ния в шуме только одного синусоидального сигнала с низким
уровнем.
На рис. 12.40 показаны идеальные импульсная характеристика
и передаточная функция адаптивного накопителя при заданном
спектре входного сигнала. Будем полагать, что на входе действу-
ет белый шум с общей мощностью №, а входной сигнал имеет на
нормированной частоте со0 (7.16) мощность С2/2. Идеальная им-
пульсная характеристика, эквивалентная отклику согласованного
фильтра, представляет собой отсчеты синусоиды, имеющей часто-
ту сооОбщий сдвиг фазы отклика на частоте соо и задержки кра-
тен 360°. Если значение пика передаточной функции равно а, то
значение пика весовых коэффициентов составляет примерно
2о/(Л+1), где Л-|-1— число весовых коэффициентов.
В результате адаптивного процесса минимизируется средне-
квадратическая ошибка Е[е2/;]. В рассматриваемом случае она
является суммой трех составляющих: мощности шума на входе,
мощности шума на выходе адаптивного фильтра и мощности си-
нусоидального сигнала.
1 Это утверждение доказано аналитически для произвольного отношения
сигнал-шум на входе системы в работе J. R Zeidler and D. М. Chabries «Ап
Analysis of the LMS Adaptive Filter Used as a Spectral Line Enhancer»,
Naval Undersea Center, Tech. Note 1476, Feb. 1975.
11* 323
Рис. 12.40. Импуль-
сная характеристи-
ка (в) и передаточ-
ная функция (б)
адаптивного накопи-
теля при заданном
спектре входного
сигнала (а)
Соответственно СКО можно записать в виде
CKO = v2+v2^^- + ^-(l- а)*. (12.80)
В этом выражении v2 — мощность шума на входе, во втором сла-
гаемом v2 умножено на сумму квадратов весовых коэффициентов
фильтра, а третье слагаемое представляет собой разность мощ-
ностей входного и отфильтрованного синусоидального сигналов;
при этом полагаем, что сигналы вычитаются когерентно.
Приравнивая нулю производную выражения (12.80) по а, по-
лучаем оптимальное значение а*, при котором минимальная мощ-
ность сигнала ошибки:
С2/2 L + 1
у2 2 = ОСШ(Л+ 1)/2
С2/2 L+ 1 “ 1 + ОСШ (L + 1)/2’
г V2 2
(12.81)
При больших значениях сигнал-шум а* близко к 1, при малых —
меньше 1. Для того чтобы а* приближалось к 1 при малых отно-
шениях сигнал-шум, можно использовать большое число адаптив-
ных весовых коэффициентов, хотя из-за шума вектора весовых
коэффициентов это может привести к другим проблемам. Воз-
можность обнаружения пиков передаточной функции, возникаю-
щих из-за наличия синусоидальных сигналов, ограничена тем, что
вследствие шума вектора весовых коэффициентов образуются
324
ложные пики. Аналогичные затруднения возникают и при исполь-
зовании методов спектрального анализа, основанных на ДПФ.
Ложные спектральные пики образуются из-за флуктуаций во
входном сигнале, и их можно принять за истинные сигналы.
На рис. 12.41 для сравнения приведены некоторые экспери-
ментальные результаты моделирования на ЭВМ процесса изме-
рения спектральной плотности мощости с помощью ДПФ и с
применением адаптивного накопителя. В каждом из трех случаев
одни и те же данные анализируются методом ДПФ, а затем по-
даются на адаптивный накопитель. На рис. 12.41,а шум на входе
128 точек ДПФ
Объем ансамбля 256
Объем выборки данных 32768
фильтр с 128 весовыми
коэффициентами
Объег/ выборки данных 32768
ф 0,00___________1______|_______|_______1
,ч 5 0,000 0,125 0,250 0,375 0,500
0,000 0,125 0,250 0,375 0,500
Частота (со/2я)
Частота (со/2тг)
* 0,001----------1-------1-------1------J
5 0,000 0,125 0,250 0,375 0,500
с. Частота (со/2л)
э 1,00
*
0.75
5 ° 0,50
I!
< fe 0,25
g- 0,00
с 0,000 0,125 0,250 0,375 0,500
Частота (со/2тт)
в) Частота (со/2тт)

1,00
0,75
0,50
0,25
0,00
0,000 0,125 0,250 0,375 0,500
Частота (со/2тт)
Рис. 12.41. Классический спектральный анализ (ДПФ) — слева и адаптивное
накопление — справа:
а — одночастотный сигнал в белом шуме; б — одночастотный сигнал в смеси из белого
<50%) н окрашенного (50%) шумов; в___одночастотиый сигнал с другой частотой в смеси
белого (50%) и окрашенного (50%) шумов
325
является белым, а сигнал представляет собой синусоиду с часто-
той, равной 1/8 частоты отсчетов. Отношение сигнал-шум равно
0,01562. Дискретное преобразование Фурье получено усреднением
256 преобразований, при этом каждое из них содержит 128 точек.
Пик сигнала легко различается на фоне шума.
Сравнимые с этим результаты получаются при использовании
адаптивного накопителя со 128 весовыми коэффицентами. При
этом постоянная времени и число весовых коэффициентов выбра-
ны так, чтобы как для алгоритма ДПФ, так и для адаптивного
накопителя получалась одинаковая разрешающая способность по
частоте и использовалась одна и та же входная информация, что
позволяет провести сравнение обоих подходов. Пик сигнала в ам-
плитуде передаточной функции отчетливо выделяется на основном
фоне, расположенном чуть выше нулевого уровня. Для обоих под-
ходов возможности распознавания пика действительного сигнала
примерно одинаковы.
На рис. 12.41,6 в данных анализа присутствует окрашенный
шум (50%) и белый шум (50%). Окрашенная составляющая име-
ет 25-процентную ширину полосы и формируется при пропуска-
нии белого шума через цифровой полосовой фильтр с четырьмя
полюсами. Здесь также отношение сигнал-шум составляет 0,01562.
Как следует из рис. 12.41,6, пик сигнала различается на фоне вы-
пуклой кривой шума при анализе с помощью ДПФ и на фоне
плоской кривой помехи при использовании адаптивного накопи-
теля. Здесь имеем такое же, как в предыдущем примере, качест-
во обнаружения сигнала в шуме, но уровень шума близок к нулю
в случае адаптивного накопителя и совершенно не определен для
случая алгоритма ДПФ, когда спектр шума на входе не известен.
Аналогичным является эксперимент, результаты которого при-
ведены на рис. 12.41,в, однако частота сигнала здесь намного
ближе к спектральному пику шума. В общем случае, когда вход-
ной сигнал содержит окрашенный шум, более предпочтительным
является обнаружитель на адаптивном накопителе, поскольку в
этом случае фоновый шум близок к нулю.
При использовании ДПФ данные обрабатываются по блокам,
и отсчеты умножаются на одинаковые весовые коэффициенты, в
то время как накопитель осуществляет умножение на экспонен-
циально убывающие во времени весовые коэффициенты. В каче-
стве объема выборки для адаптивного накопителя принято число
отсчетов, обрабатываемых в течение времени, равного четырем по-
стоянным времени адаптивного процесса. В каждом случае объем
выборки составляет 32 768 отсчетов.
Анализ всех кривых, приведенных на рис. 12.41 в одном и том
же масштабе, показывает, что амплитуды составляющих сигна-
ла приблизительно одинаковы и, кроме того, аналогичны уровни
фонового шума как для алгоритма ДПФ, так и для накопителя.
В каждом случае накопитель реализуется с задержкой в 256 от-
счетов, выбранной так, чтобы составляющие окрашенного шума
были некоррелированными и подавлялись.
326
Рис. 12.42. Адаптивное подавление мощного сигнала при накоплении слабого сигнала для его обнаружения и
измерения его параметров:
а—формирование входного сигнала Л; б — адаптивный накопитель; в — нормированная спектральная плотность мощности вход-
ного сигнала Л; г — нормированная спектральная плотность мощности выходного сигнала в
327
На рис. 12.42 приведен еще один пример применения адаптив-
ного накопителя для спектрального анализа и обнаружения сла-
бого сигнала на фоне шума и мощных сигналов, когда сложение
сигнала большой амплитуды с сигналами малой амплитуды на
фоне шума затрудняет обнаружение и/или различение слабых
сигналов. На рис. 12.42,а показан состав входного сигнала А,
представляющего собой сумму белого шума и трех синусоидаль-
ных сигналов со следующими параметрами:
Входной сигнал Частота (со) Мощность
Синусоида (fi) 0,17969л 125,0
Синусоида (f2) 0,15625л 0,125
Синусоида (/з) 0,42187л 0,5
Случайный шум Белый 1,0
Отметим, что мощность первого сигнала в 100 раз больше
мощности второго, а их частоты близки. На рис. 12.42,6 показа-
на структурная схема используемой в данном эксперименте сис-
темы. Здесь А — входной сигнал, В — сигнал ошибки адаптивно-
го процесса, а С — выходной сигнал адаптивного фильтра. До-
полнительным выходным сигналом является вектор весовых коэф-
фициентов адаптивного фильтра, т. е. его импульсная характери-
стика, на основании которой можно найти передаточную функцию.
На рис. 12.42,в показан энергетический спектр (в виде ДПФ)
входного сигнала А, стрелками отмечены частоты трех сигналов.
Заметим, что второй сигнал не различается, поскольку находится
в боковой полосе первого сигнала. Даже в логарифмическом мас-
штабе амплитуда третьего сигнала меньше многих боковых сос-
тавляющих первого сигнала, а второй сигнал является необнару-
живаемым.
На рис. 12.42,а приведен спектр (в виде ДПФ) сигнала ошиб-
ки В (в схеме на рис. 12.42,6), в котором на частоте отчетливо
различается слабый сигнал. Кроме того, в этом спектре виден
слабый сигнал на частоте на фоне широкополосного шума. В
результате процесса адаптации полностью подавлен мощный пер-
вый сигнал.
Кривые на рис. 12.42,в, а нормированы относительно макси-
мальной амплитуды. Спектры выходных сигналов А и В постро-
ены по 128 точкам без усреднения по ансамблю реализаций.
В этом примере подавление мощного сигнала осуществляется
адаптивным фильтром с 64 весовыми коэффициентами в течение
примерно пяти циклов частоты fi (т. е. в течение примерно 30
периодов отсчетов). Далее находится ДПФ сигнала ошибки В
так, что выборка, используемая для его формирования, лишь не-
намного больше выборки, используемой для формирования ДПФ
входного сигнала А. В этом случае накопитель работает так, что
328
Рис. 12.43. Радиоприемник с адаптивным устройством подавления мощности
сигнала
мощный сигнал подавляет сам себя, при этом улучшаются свой-
ства алгоритма ДПФ по различению слабых сигналов, частоты
которых близки к частоте мощной помехи. Аналогичный резуль-
тат можно получить при использовании только алгоритма ДПФ,
но в этом случае нужна большая выборка. Рассмотренный в схе-
ме на рис. 12.42 принцип можно использовать также в радиопри-
емнике при приеме слабого сигнала, который в других случаях
поражается мощными сигналами на соседней частоте. Один
подход к решению этой задачи иллюстрирует схема на рис. 12.43.
Очевидно, что адаптивный накопитель можно применять в ка-
честве альтернативы к алгоритму ДПФ при обнаружении и оцен-
ке слабых сигналов на фоне шума. Кроме того, его можно ис-
пользовать в качестве следящего фильтра, который автоматиче-
ски настраивается на сигналы или отстраивается от них. При этом
реализуется методология спектрального анализа, связанная с ме-
тодом максимальной энтропии [42, 43]. По своей структуре на-
копитель полностью отличен от устройства вычисления ДПФ, и
в некоторых случаях его легче реализовать. В настоящее время
проводятся дальнейшие исследования адаптивного накопителя для
рассмотренных выше видов входных сигналов.
Заключение
Адаптивное подавление помех представляет собой способ оп-
тимальной фильтрации, который можно применять всегда, когда
имеется подходящий эталонный входной сигнал. Принципиальны-
ми достоинствами этого способа являются его адаптивность, низ-
кий уровень помех на выходе и малые вносимые искажения сиг-
нала. Адаптивность позволяет обрабатывать входные сигналы с
неизвестными свойствами и в некоторых случаях нестационарные
сигналы. Этот способ приводит к устойчивой системе, которая ав-
томатически отключается, если не достигается улучшения отноше-
329
ния сигнал-шум. В общем случае уровень помех на выходе и сте-
пень искажения сигнала ниже достигаемых в обычных схемах оп-
тимальных фильтров.
Приведенные в этой главе примеры отражают свойства мето-
дов адаптивного подавления помех уменьшать уровень аддитив-
ной периодической или стационарной случайной помехи как в пе-
риодических, так и в случайных сигналах. В каждом случае по-
давление почти не сопровождается искажениями сигнала, даже
если частоты сигналов и помех перекрываются. Приведенные при-
меры показывают, что адаптивное подавление помех находит ши-
рокое применение.
Упражнения
1. Для заданного ниже устройства подавления помех положим, что эта-
лонный сигнал получают так, как показано на схеме. Какова оптимальная
функция W*(z), если независимый шум и]к равен нулю?
2. Пусть в схеме упражнения 1л, гти, и т, — независимые случайные про-
цессы (белый шум каждый) с мощностями N, Мо и Mi соответственно. Найди-
те рациональное выражение для оптимальной передаточной функции W*(z).
3. Используя данные упражнения 2, найдите выражение для отношения
сигнал-шум на выходе, отнесенного к отношению сигнал-шум на входе.
4. Выполните упражнение 3 для случаев, когда можно пренебречь состав-
ляющей та, составляющей т\ и обеими составляющими, mrj и т,\.
5. В приведенной ниже схеме рассматривается такая же ситуация, но с
иго=иг1 = О и прохождением части сигнала на эталонный вход. Пусть пь — не-
330
зависимый белый шум с мощностью N. Выразите оптимальную функцию W* (г)
через энергетический спектр входного сигнала Ф3(а).
6. Для схем упражнения 5 выразите отношение сигнал-шум на выходе че-
рез энергетический спектр входного сигнала <Dss(z).
7. Каково искажение сигнала £>(z) в схеме упражнения 5?
8. Пусть в схеме упражнения 5 sft — синусоидальный сигнал с 16 отсче-
тами за цикл, Р=0, отношение сигнал-шум на входе равно 1. Используя адап-
тивный линейный сумматор с тремя весовыми коэффициентами и алгоритм наи-
меньших квадратов с ц=0,03, постройте экспериментальную обучающую кри-
вую, усредняя 100 реализаций. По этой кривой оцените отношение сигнал-шум
на выходе.
9. Выполните упражнение 8 для 0 = 0,1.
10. Какова эквивалентная передаточная функция приведенной ниже схемы?
11. Рассмотрим схему подавления сетевого сигнала с частотой 60 Гц (рис.
12.14). Положим, что начальные значения весовых коэффициентов Wo и wt
равны нулю и в системе начат процесс адаптации. Положим, что помеха с
частотой 60 Гц остается стационарной. Как во времени меняется ее амплитуда
от начала процесса адаптации? По возможности дайте количественный ответ.
12. Видоизмените схему на рис. 12.30 так, чтобы оба устройства подавле-
ния в системе подавления эхо-сигналов физически размещались на одном и том
же конце телефонной линии. При этом считайте, что время распространения
сигнала в одном направлении составляет 270 мс.
13. Положим, что в схеме на рис. 12.31 уровни шума и сигнала симмет-
ричны в обоих направлениях. Пусть частота отсчетов равна 8 кГц, а адаптив-
ные фильтры имеют по 128 весовых коэффициентов. Положим, что шумами
абонентских линий можно пренебречь, мощности шумов линий связи равны 1,
а мощность сигнала микрофона равна 5. Выберите значение ц так, чтобы ско-
рость сходимости адаптивного процесса была максимальной, но при этом ре-
зультирующее отношение сигнал-шум было не менее половины от максимально
возможного. Для этого значения g найдете тско. Можно считать, что все соб-
ственные значения равны.
14. Ниже приведена схема системы подавления, в которой допускается дву-
сторонняя одновременная передача сигналов по протяженной линии связи, или
коаксиальному кабелю, без модуляции несущих. Характеристическое сопротив-
ление кабеля равно Дс. Полагаем, что выходное сопротивление каждого опера-
ционного усилителя равно нулю, а входное — бесконечности. Отражения на
обоих концах передающей линии исключаются.
Объясните принцип работы адаптивного устройства подавления с одним ве-
совым коэффициентом.
Вычислите оптимальное значение весового коэффициента w для неадаптив-
ного устройства подавления. Каковы отрицательные стороны практической реа-
331
лизации неадаптивного устройства, несмотря на то, что оно реализуется проще,
чем адаптивное? (Примечание-, обычно адаптивное устройство применяют на
обоих концах кабеля.)
подавления
подавления
15. На основе системы упражнения 14 постройте систему с промежуточны-
ми усилителями, в которой допускается двусторонняя передача сигнала. Начни-
те с приведенной ниже схемы и заполните пропущенные элементы. Примените
рассмотренное в упражнении 14 адаптивное подавление.
16. Ниже приведена схема системы, применяемой для предсказания земле-
трясений. Датчик, геофон 1 (микрофон для приема шума и вибраций земли)
расположен недалеко от разрыва в Сан Андреас (Калифорния) для улавлива-
ния сигнала, состоящего из шума дробления скальных пород, который может
служить признаком надвигающегося землетрясения. Кроме того, геофон 1 улав-
ливает независимый сейсмический шум, мощный направленный шум автомо-
бильного движения проходящего рядом шоссе в г. Сан Хосе н т. д. Второй
датчик, геофон 2, расположен на прямой между геофоном 1 и г. Сан Хосе на
достаточном удалении от разрыва, так что он не улавливает шум дробления
скальных пород, но легко улавливает другие из перечисленных шумов. Вине-
ровский фильтр осуществляет подавление шумов г. Сан Хосе на выходе геофо-
на 1, не увеличивая при этом существенно сейсмического шума земли. Выход-
ные сигналы геофонов 1 и 2 содержат некоррелированные составляющие бело-
го шума с дисперсией каждой 0,25а2. По отсчетам автокорреляционная функ-
ция шума г. Сан Хосе, зарегистрированного обоими геофонами, равна а2(0,9) 1*1.
Задержка распространения шума г. Сан Хосе от геофона 2 к геофону 1 сос-
тавляет два периода отсчетов.
Постройте цифровой винеровский фильтр, минимизирующий уровень шума
на выходе. Допускается построение некаузального фильтра.
Чему равен уровень шума на выходе при отсутствии сигнала и разъединен-
ном винеровском фильтре?
332
17. Рассмотрим адаптивное устройство на рис. 12.39. Предположим, что
входной сигнал состоит из двух синусоидальных — с 16 и 17 отсчетами за
цикл — и аддитивного белого шума с отношением сигнал-шум 0,25. Для Д =
=1, 1 = 63 и [л=0,04 проведите 1000 итераций и затем постройте «мгновенный
спектр», т. е. амплитуду передаточной функции фильтра. Используйте при этом
алгоритм наименьших квадратов, а шум формируйте в соответствии с прило-
жением А.
18. Модифицированное измерение мгновенного спектра, известное под наз-
ванием «оценка максимальной энтропии спектра» [42, 43, 53—56], которое ис-
пользуется в адаптивном накопителе, описывается выражением
Мгновенный спектр =----------—,
IН (<о) |2
где /7(со) — общая передаточная функция одношагового (А=1) адаптивного
устройства предсказания в схеме на рис. 12.39 от его входа до выхода. Мно-
житель Ejmin обычно неизвестен, но эта функция часто более четко отражает
спектральную линию, чем функция в схеме на рис. 12.39. Для gmin=l выпол-
ните упражнение 17 и сравните полученные результаты.
Глава 13
ВВЕДЕНИЕ В АДАПТИВНЫЕ АНТЕННЫЕ РЕШЕТКИ
И АДАПТИВНОЕ ФОРМИРОВАНИЕ ЛУЧЕЙ
До сих пор рассматривалось использование адаптивных мето-
дов для решения задач обработки сигналов или их коррекции во
временной и частотной областях. В этих заключительных главах
развивается принцип адаптивной коррекции сигналов и в прост-
ранственной области. Для достижения пространственной избира-
тельности необходимо осуществлять прием сигналов на антенную
решетку, имеющую два или более независимых пространственно
разнесенных элементов. В зависимости от конкретного приложе-
ния элементами антенны могут быть диполи, предназначенные для
приема электромагнитных сигналов, гидрофоны, помещенные в
океане для приема акустических сигналов, сейсмометры, или гео-
333
фоны, погруженные в землю для прослушивания сейсмических сиг-
налов, или другие виды датчиков. Для приема волновых сигна-
лов существует много типов таких элементов, которые можно ус-
танавливать в пространственную решетку для обеспечения при-
ема с изменяющейся в зависимости от направления чувствитель-
ностью. Здесь основное внимание уделяется адаптивным прием-
ным решеткам. Однако интерес представляют и адаптивные пе-
редающие решетки.
Адаптивные решетки представляют собой многоканальные
адаптивные устройства обработки сигналов, рассмотренные в гл.12.
В одном практическом примере (рис. 12.19) применялась ре-
шетка датчиков на груди беременной женщины, формирующих
эталонные сигналы группы адаптивных фильтров для коррекции,
суммирования и выделения ЭКГ плода из входного сигнала, сни-
маемого с датчика на животе. В результате такого использования
адаптивной решетки подавлялась помеха в виде ЭКГ матери.
Адаптивная антенна или адаптивная система формирования
лучей состоит из множества пространственно разнесенных эле-
ментов, соединенных с одноканальным пли многоканальным адап-
тивным устройством обработки сигналов. Вполне естественно рас-
смотреть адаптивные решетки сразу для всех видов сигналов
(электромагнитных, акустических, сейсмических). Добавление
пространственного измерения в обработку сигналов открывает
новые возможности, приводящие к широкой области необычных
приложений и алгоритмов. Все их рассмотреть невозможно, по-
скольку происходит быстрое развитие технологии. Поэтому вни-
мание сконцентрировано на нескольких основных направлениях
и приводится подробная библиография по текущим работам.
Адаптивные приемные решетки можно применять для умень-
шения или исключения направленных помех с помощью адаптив-
ного подавления или адаптивного формирования нулей, что при-
водит к улучшению отношения сигнал-шум. На основе одних ви-
дов адаптивных алгоритмов адаптивные приемные решетки могут
«самонастраиваться», т. е. автоматически перестраиваться в сто-
рону сигнала при не известном заранее направлении его прихо-
да и отделять этот сигнал от направленных помех, пока направ-
ления их прихода отличны от направления прихода сигнала. Дру-
гие адаптивные алгоритмы позволяют определять направление
прихода сигнала на фоне помех. С помощью одного вида алго-
ритмов можно выделять слабые сигналы на фоне сильных, когда
они приходят под разными углами. Можно сделать так, чтобы
адаптивные приемные решетки были чувствительными к ближай-
шим сигналам и нечувствительными к дальним, и наоборот. Кро-
ме того, они могут быть чувствительными к редко передаваемым
сигналам и нечувствительными к часто передаваемым или ста-
ционарным сигналам и наоборот. Число возможностей очень ве-
лико. Рассмотрение начнем с приемных решеток, в которых мож-
но формировать нули диаграммы направленности в направлении
помех.
334
Подавление боковых лепестков
Простейшим видом адаптивной антенны является устройство
подавления боковых лепестков, впервые предложенное Хауэл-
лзом [27] в конце 1950-х годов и в дальнейшем разработанное
Хауэллзом и Аппельбаумом. На рис. 13.1 приведена схема такого
устройства, в котором используются два ненаправленных элемен-
та (с одинаковой чувствительностью во всех направлениях) —
один «входной», другой «эталонный», аналогично методам адап-
тивного подавления помех (например, рис. 12.1). Положим, что
одновременно действуют один сигнал и одна помеха. Как вход-
ной, так и эталонный направленные элементы принимают сигнал
и помеху. Поскольку эти элементы пространственно разнесены,
сигналы на их выходах не одинаковы, но представляют собой свя-
занные временные функции.
Важным является случай, когда помеха намного мощней сиг-
нала. Весовые коэффициенты адаптивного фильтра почти полно-
стью определяются помехой. После адаптации выходной сигнал
адаптивного фильтра содержит составляющую помехи, близкую
с составляющей помехи, действующей на входном ненаправленном
элементе. Следовательно, выходной сигнал системы почти не со-
держит помехи, но обязательно содержит сигнал, как описано в
гл. 12. Выходной сигнал равен разности составляющей сигнала
на входе и прошедшей через адаптивный фильтр составляющей
сигнала на эталонном входе. Поскольку без подробных априор-
ных сведений о характере и направлениях прихода помехи и сиг-
нала нельзя предсказать, какой будет передаточная функция
адаптивного фильтра после адаптации, в общем случае ожида-
емое значение выходного сигнала является неопределенным. Од-
нако при мощной помехе схема на рис. 13.1 приводит к повыше-
нию отношения сигнал-помеха на выходе.
В практическом случае сигнал каждого ненаправленного эле-
мента обычно подается на отдельное приемное устройство для
усиления, фильтрации и выделения сигнала. Сами приемные ус-
тройства и антенны вносят во входные сигналы независимые шу-
мы, которые будем называть шумами приемника. Эти шумы ока-
Рис. 13.1. Адаптив-
ное подавление бо-
ковых лепестков в
двухэлементной ре-
шетке
Помеха
Входной
ненаправленный элемент
Сигнал
335
зывают значительное влияние на работу адаптивных антенн. Что-
бы в системе на рис. 13.1 подавлялась направленная помеха, но
не подавлялся полезный сигнал, помеха должна быть мощной, а
сигнал слабым по сравнению с шумом приемника. Эти условия
часто выполняются на практике.
На рис. 13.2 приведена схема адаптивного подавления боко-
вых лепестков, в которой приемники на выходах обоих ненаправ-
ленных элементов вносят шумы. Ненаправленные элементы раз-
несены на расстояние I. При этом полагают, что принимается
единственный сигнал, поступающий под углом 0о. Составляющая
сигнала на входном ненаправленном элементе
входной сигнал = Ceos&®0, (13.1)
где С — постоянная амплитуда; k — номер отсчета; со измеряет-
ся, как и в (7.16) в радианах. Фазовые фронты, перпендикуляр-
ные направлению прихода сигнала, проходят через двухэлемент-
ную решетку так, как показано на рис. 13.2. Если с — скорость
распространения, то данный фазовый фронт приходит на эталон-
ный ненаправленный элемент раньше, чем на входной, на число
временных шагов
60 = I sin 60[сТ = 2л I sin 0О/ХО соо, (13.2)
где Т — временной шаг, с, а Ло — длина волны. Отсюда составля-
ющая сигнала на эталонном ненаправленном элементе
эталонный сигнал = Ceos[(& +60)соо]. (13.3)
При отсутствии шума приемника весовые коэффициенты адап-
тивного фильтра настраиваются так, что сигнал подавляется пол-
ностью. Однако следует показать, что при наличии этого шума и
мощном по сравнению с ним сигнале подавления сигнала не про-
исходит, а адаптивное устройство подавления боковых лепестков
Рнс. 13.2. Схема устройства подавления боковых лепестков при приеме одного
сигнала
336
функционирует удовлетворительно при слабом относительно по-
мех полезном входном сигнале.
Проведем анализ работы устройства при действии на входе
одного сигнала и наличии шума приемника. Входной и эталон-
ный сигналы определяются, соответственно, выражениями (13.1)
и (13.3). Для анализа рассмотрим схему приведенного на рис.
13.3,а узкополосного устройства подавления боковых лепестков.
Включение в тракты прохождения сигнала настроенных полосо-
вых фильтров соответствует настроенной узкополосной приемной
системе. Будем считать, что каждый из этих фильтров имеет еди-
ничный коэффициент передачи на центральной частоте полосы
пропускания приемника соо. Как и на рис. 12.6, для регулирова-
ния амплитуды и фазы сигнала на частоте соо адаптивный фильтр
должен иметь только синфазный и квадратурный весовые коэф-
фициенты.
Предположим, что шумы приемника гц и п-> в схеме на рис.
13.3,а являются независимыми, в том числе относительно состав-
ляющих сигнала, а ог2 — мощность каждого из них в полосе про-
Рис. 13.3. Схема настроенного устройства подавления боковых лепестков для
направления приема сигнала под углом 0 = 0° (а) и ее упрощенный вариант
для определения ДН устройства подавления боковых лепестков после его адап-
тации (б)
337
пускания. Тогда из (13.3) вектор автокорреляционной функции
эталонного сигнала
[фхх(«)]М(а? + С2/2)0]т. (13.4)
Отметим, что <pxx(1) =0, так как является корреляционной функ-
цией сигнала (13.3) и его квадратурной составляющей, а среднее
значение их произведения равно нулю. Аналогично этому вектор
взаимокорреляционной функции для произвольного угла прихода 0о
Р= Г (О)] = Е [С cos k С1)о С cos (k + б0) C1)O] 1 =
ITdxCUj 1.Е[Ссо5/ги0С51п(б4-б0)и0]
C2
2
cos ejg
sinfioOo
(13.5)
На основе этих выражений из (2.17) находим оптимальный век-
тор весовых коэффициентов для схемы на рис. 13.3,а:
1 = С2 Г cos б0 ш0
щ*2 _ 2а2 + С2 sinfioti)o
(13.6)
который является общим решением. Пусть для рассматриваемой
схемы 0о=О, тогда 6о = О. и оптимальный вектор весовых коэффи-
циентов
ю*1
Хг . ео=о
С2
2о2 + С2
0
(13.7)
В этом случае можно определить отношение сигнал-шум на входе
как отношение мощностей входного или эталонного сигналов к
мощности шума приемника в полосе пропускания:
ОСШД(С»/2)/о2. (13.8)
Соответственно из (13.7) получаем
• ОСШ
Wi --------- ,
1 + ОСШ
и>2 = 0. (13.9)
Этот результат аналогичен выражению (12.81).
Из (13.1) и (13.7) можно найти выражение для выходного сиг-
нала;
выходной сигнал = С cask <о0 — aai Ccoskw0 =
=--------cos ku0. (13.10)
2o2+C
Для мощного входного сигнала, т. е. при
CW»!,
(13.11)
338
выходной сигнал можно записать в виде
2о2
выходной сигнал = ------созЛ<а0. (13.12)
С
Из приведенного выше анализа видно, что при слабом, по
сравнению с шумом приемника в эталонном канале, входном сиг-
нале отношение сигнал-шум мало, значение весового коэффици-
ента и>1* почти равно нулю, выходной сигнал приближенно сов-
падает с входным, т. е. сигнал почти не подавляется. Однако при
мощном, по сравнению с шумом приемника, входном сигнале
имеем высокое отношение сигнал-шум, близкое к 1 значение ве-
сового коэффициента и небольшой уровень выходного сигнала,
примерно равный уровню входного сигнала, деленному на отно-
шение сигнал-шум. В этом случае амплитуда выходного сигнала,
как следует из (13.12), обратно пропорциональна амплитуде вход-
ного сигнала, и происходит значительное подавление сигнала.
Если угол прихода сигнала не равен нулю, то имеет место со-
отношение (13.5). Весовой коэффициент w2 не стремится к нулю,
а и>1 принимает другое значение, однако амплитуда выходного
сигнала определяется аналогично выражением (13.10).
Кроме того, представляет интерес определение чувствительно-
сти приемной системы на рис. 13.3,а для всех углов при 0о=О.
Пусть после адаптации к сигналу, приходящему под нулевым уг-
лом, весовые коэффициенты имеют значения, соответствующие
(13.9). На рис. 13.3,6 приведена упрощенная схема, удобная для
определения зависимости чувствительности от угла прихода. По-
добную зависимость для решетки после адаптации обычно назы-
вают диаграммой направленности (ДН).
Положим, что контрольный сигнал на частоте приходит под
углом 0. Пусть, как и в (13.2), & = (I sin В)/сТ, а соответствующая
составляющая контрольного сигнала на входном элементе равна
ccs k соо при С=1, тогда в соответствии с рис. 13.3,6 составля-
ющая на эталонном элементе равна
соз[(Л4-<5)<п0]; (13.13)
выходной сигнал= cos k.(a0 — cos(k + 6)<а0 =
— A cos (£coo — a),
где
A = [1 4-Щ12 — 2w' cos (6®0)]I/2
и
w\ sin (Scou)
a = tg-£-------------.
1--COS (6<B0)
Пусть по определению коэффициент передачи решетки по ампли-
туде есть отношение амплитуд выходного и входного сигналов.
339
(13.14)
(13.15)
(13.16)
Поскольку амплитуда контрольного входного сигнала cosZkoq рав-
на единице,
коэффициент передачи решетки по амплитуде —
_ амплитуда выходного сигнала д В (13 14) (13 17)
амплитуда входного сигнала ' v • /
Пусть, кроме того, по определению коэффициент передачи решетки
по мощности равен квадрату упомянутого выше коэффициента, т. е.
коэффициент передачи решетки по мощности Д
л / амплитуда выходного сигнала \ л2 , , », о , , о.
АI-------3-------------------1 = А2 = 1 + w.2 — 2w. cos (бсоо). (13.18)
\ амплитуда входного сигнала / 1
В соответствии с (7.20) значение этого коэффициента в децибелах
10 lg10 А2 = 20 log10 А. (13.19)
Пусть теперь по определению фаза выходного сигнала решет-
ки есть разность фаз выходного и входного сигналов, тогда из
(13.14) имеем
фаза выходного сигнала решетки Да в (13.16). (13.20)
Для рассмотрения (13.18) и (13.20) напомним, что да/— функ-
ция отношения сигнал-шум (13.9) и первоначальный входной сиг-
нал, относительно которого проведена адаптация решетки, пред-
ставляется выражением (13.1) и имеет направление прихода с
6 = 0. Коэффициент передачи решетки принимает минимальное
значение при 9 = 0, что равносильно пространственной режекции
в направлении прихода первоначального сигнала. Фактически
адаптивный процесс стремится к подавлению входного сигнала.
При этом чем мощнее сигнал, тем выше уровень режекции. По ме-
ре роста отношения сигнал-шум (которое больше единицы) про-
исходит быстрое увеличение уровня адаптивной режекции, и, как
это следует из (13.12), коэффициент передачи становится обрат-
но пропорциональным уровню сигнала.
На рис. 13.4 построена зависимость коэффициента передачи
решетки по мощности от угла 0 в полярных координатах, в пред-
Рис. 13.4. Диаграмма направ-
ленности (зависимость коэф-
фициента передачи по мощ-
ности в децибелах от угла 0)
двухэлементного устройства
подавления боковых лепестков
при la-JT — cn. Отношение сиг-
нал-шум на входе равно 6 дБ
для внешней кривой, 10 дБ
для средней и 100 дБ для
внутренней. Основной сигнал
приходит под углом 0=0°
340
положении, что угол прихода первоначального сигнала 0о=О.
Приведенные кривые построены в соответствии с (13.9) и (13.18)
для различных значений отношения сигнал-шум. Для этих кривых
апертура решетки /=сл77соо=Л,о/2. Отметим, что это значение I
в некотором смысле является оптимальным, так как приводит к
двум различным областям режекции и максимальному значению’
в (13.18).
Полагая 0=0, из (13.18) и (13.9) находим коэффициент пере-
дачи решетки по мощности для направления режекции:
(коэффициент передачи решетки по мощности )0=о = (1 — да*)2 =
=-----------------------------5----. (13.
(1-4-ОСШ)2
На рис. 13.5 приведена зависимость минимального коэффи-
циента передачи решетки по мощности от отношения сигнал-шум.
Фактически, как видно из рис. 13.5, адаптивное устройство подав-
ления боковых лепестков производит оценку мощности. Мощные
сигналы подавляются, в то время как слабые сигналы, приходя-
щие по другим направлениям, пропускаются по существу с еди-
ничным коэффициентом передачи. Снова отметим, что «мощный»
и «слабый» сигналы определяются относительно уровня шума
приемника. ,
Рассматриваемое устройство нормально работает тогда, когда
полезные входные сигналы являются слабыми, а помехи — мощ-
ными. Однако иногда полезный сигнал может быть достаточно
мощным по сравнению с шумом приемника и при этом подавлять-
ся. Для того чтобы предотвратить такое подавление, для увели-
чения шума приемника можно специально прибавить к сигналу
эталонного элемента независимый шум. Однако такой метод име-
ет недостаток, который заключается в том, что увеличивается шум
системы в целом и в конечном итоге увеличивается шум в вы-
ходном сигнале. Более эффективным способом адаптации для
этого случая является применение упрощенного алгоритма наи-
меньших квадратов.
Рис. 13,5. Зависимость коэф-
фициента передачи по мощ-
ности двухэлементного уст-
ройства подавления боковых
лепестков по направлению ре-
жекции от отношения сигнал-
шум на входе
311
Вывод этого алгоритма начнем с самого алгоритма наимень-
ших квадратов. Из (6.3) для данного алгоритма можно записать
Wft+1 = Wft + 2цвЛ Xft = Wft + 2цХь (4 - XT Wft) =
= (I - 2pXh XT) Wfe + 2pXft dh. (13.22)
Полагая, что Xft и W* некоррелированны, можно найти мате-
матическое ожидание от (13.22);
Е [Wft+1] = (I - 2ц R) Е [Wft] + 2цР. (13.23)
Математическое ожидание вектора весовых коэффициентов пос-
ле адаптации для ц, соответствующего области устойчивости,
limE [Wft] = W* = R-1 Р. (13.24)
fe-+oo
На рис. 13.6,а приведена схема адаптивного фильтра, работа-
ющего по алгоритму наименьших квадратов. К входному сигналу
xk прибавляется белый шум мощностью о2. Для такого случая
(13.23) принимает вид
Е [Wfe+1] = (I - 2ц (R + о21)) Е [Wh] + 2цР, (13.25)
а математическое ожидание вектора
limE [Wft] = (R + o2 !)-’• Р. (13.26)
k~>OO
Упрощенный алгоритм наименьших квадратов зададим сле-
дующим образом:
Wfe+1 = VWfe+2^feXfe, (13.27)
где параметр у — положительная константа, принимающая зна-
чения в интервале
1>у>0. (13.28)
Если ц—0 в обычном алгоритме наименьших квадратов (13.22),
то вектор весовых коэффициентов остается постоянным в течение
неограниченного времени. Однако в упрощенном алгоритме да-
же если у чуть меньше единицы, при ц=0 вектор весовых коэф-
Адаптивный фильтр,
работающий по
Адаптивный фильтр,
работающий по j
упрощенному алгоритму к
>У+1=^2^Л-
Рис. 13.6. Схемы эквивалентных адаптивных фильтров, работающих по алгорит-
му наименьших квадратов:
а — фильтр с шумом на входе; б — эквивалентный фильтр, работающий по упрощенному
алгоритму наименьших квадратов
342

фициентов постепенно, по закону геометрической прогрессии, стре-
мится к нулю. Чтобы этот алгоритм был работоспособным, он
должен находиться в процессе адаптации подобно тому, как
акуле для дыхания необходимо находиться в движении.
Влияние параметра у на оптимальное решение можно опреде-
лить следующим образом. Аналогичное (13.22) уравнение для
упрощенного алгоритма наименьших квадратов имеет вид
Wfe+1 = у Wft + 2цей Xft = у W„ + 2ц Хй (dk - Xl Wh) =
= (у I- 2уХ»Х() wfe + 2jiXftdft. (13.29)
Здесь также Xfe и W;, — некоррелированы. Математическое ожида-
ние для (13.29)
Е [Wfc+I] = (у I - 2pR) Е [WJ + 2ц Р =
= (1-2ц(К4- !^I^E[Wft] + 2.uP. (13.30)
Из сравнения (13.30) и (13.25) видно, что для упрощенного
алгоритма можно получить такое же оптимальное решение, что
и для схемы с шумом на рис. 13.6,а. Для определения влияния за-
данной мощности дополнительного шума на входе о параметр у
выбирается следующим образом:
(1 — у)/2ц = а2
или
у=1 — 2цоа. (13.31)
Из (13.26) и (13.31) для упрощенного алгоритма наименьших
квадратов находим оптимальное решение
lim£[Wfe] = fR+ ^iV Р. (13.32)
fe->oo \ 2ц )
Этот алгоритм можно использовать в устройстве подавления
боковых лепестков для установления эквивалентного уровня мо-
щности шума на входе, хотя это и приведет к увеличению шума
на выходе. Мощность входного сигнала может быть большой или
малой по сравнению с этой эквивалентной мощностью шума, и
их отношение определяется по (13.21), а уровень приема или сте-
пени подавления — по рис. 13.4 и 13.5. Эквивалентная мощность
шума на входе
о2 + о2 = о2 + (1 — у)/2ц, (13.33)
где о2г—действительная мощность шума приемника.
При выборе у в соответствии с (13.28) эквивалентная мощ-
ность является положительной. При высоком уровне шума при-
емника, приводящем к значительному смещению оптимальных
значений весовых коэффициентов, можно принять у> 1, при этом
эквивалентная мощность будет меньше о2г. Однако при у> 1 и
ц=0 адаптивный алгоритм становится неустойчивым. Процесс
343
адаптации следует по возможности сохранять устойчивым. Рас-
сматриваемый алгоритм можно применять при у>1. Если этот
алгоритм является устойчивым и используется в схеме с шумом
приемника, то математическое ожидание оптимального решения
по аналогии с (13.32)
limElW^rR+fb^ + o^jT-1 Р; (13.34)
*- \ 2ц / J
Таким образом, рассматриваемый алгоритм приводит к такому
же оптимальному вектору весовых коэффициентов, как и в слу-
чае шума на входе, но не требует добавления шума на входе, т. е.
не приводит к дополнительному шуму на выходе или в значениях
весовых коэффициентов.
На рис. 13.7 приведены некоторые ДН устройств подавления
боковых лепестков, использующих этот алгоритм. Они рассчита-
ны так же, как на рис. 13.4, за исключением того, что отношение
сигнал-шум в (13.8) в этом случае равно отношению мощности
сигнала к эквивалентной мощности шума на входе о2г+о2. Кри-
вые на рис. 13.7 построены в предположении, что мощность шума
приемника равна единице, а мощность входного сигнала — деся-
ти, т. е. отношение сигнал-шум составляет 10 дБ. Для регулиро-
вания порога приема или режекции сигнала изменяется значение
у. Полученный здесь результат соответствует почти ненаправлен-
ной ДН, что означает отсутствие режекции входного сигнала.
Рассмотрим теперь практический вариант решетки, когда сиг-
нал и помехи действуют одновременно. Положим, что имеется од-
на узкополосная помеха, не коррелированная с узкополосным сиг-
налом. Тогда можно дополнить матрицы R и векторы Р для обо-
их сигналов, которые определяются выражениями (13.4) и (13.5).
Пусть в направлении 9=0 мощность сигнала помехи а мощ-
ность более слабого полезного сигнала o2s и угол прихода 60.
Тогда в соответствии с (13.4) и (13.5) имеем
Г * “1
( о2 + о2 + о2)
о2 4- о2 cos (60 соо)
о2 sin (б0 и0)
(13.35)
^2
Рис. 13.7. Диаграммы направлен-
ности (зависимости коэффициен-
та передачи по мощности в де-
цибелах от угла 0) двухэлемент-
ного устройства подавления бо-
ковых лепестков после адапта-
ции по упрощенному алгоритму
наименьших квадратов при 1=
= Х0/2. Сигнал приходит под уг-
лом! 0 = 0°. Отношение сигнал-
шум на входе равно 10 дБ. Для
внутренней, средней и внешней
кривых значения о2/о2г составля-
'ют 0,5; 1 и 1,5
1 О
0 1
344
где 6о= (I sin Qo)/cT (13.2). Оптимальные весовые коэффициенты
о2. + о2 cos б0 со0
W, = —-------------;
+ +
w,_ ^sin60m0 (13.36)
2 а2 4- <К 4- п2
Если теперь считать, что весовые коэффициенты оптимальны и
не меняются, а входной контрольный сигнал cos ka0 с единичной
амплитудой приходит под некоторым другим углом 9, тогда ана-
логично (13.14)
выходной контрольный сигнал = cos k и0 — w* cos [(k 4- 6) соо] —
— да* sin [(/г 4- 6) со0] ~ A cos (k cd0 — а), (13.37)
где (/sin0)/cT (13.2). Таким образом, аналогично (13.18)
коэффициент передачи решетки по мощности да = 1 д. _р _
— 2 (да* cos6co0 4- w* sin6coo). (13.38)
На рис. 13.8 показана ДН для рассматриваемого случая. Здесь
помеха в 10 раз больше по мощности сигнала, приходящего под
углом 0о=ЗО°, и сказывается влияние сигнала, которое заключа-
ется в небольшом смещении обоих направлений режекции в сто-
рону направления прихода этого сигнала.
Еще один практический случай относится к действию множе-
ства помех. Для обработки нескольких одновременно действую-
щих помех нужно иметь не менее двух эталонных ненаправлен-
ных элементов. На рис. 13.9 приведена система с двумя прост-
ранственно разнесенными эталонными ненаправленными элемен-
тами. Отметим, что сигнал ошибки формируется здесь вычитани-
Рис. 13.8. Диаграмма на-
правленности для сигнала
с помехой при 1="К0Г2. При
снятом сигнале наблюдает-
ся небольшое смещение на-
правления режекции поме-
хи
345
Рис. 13.9. Устройство подавления помех с двумя эталонными ненаправленными
элементами
ем из входного сигнала обеих помех, поступающих с эталонных
каналов.
Поскольку эталонные ненаправленные элементы пространст-
венно разнесены, система на рис. 13.9 может формировать в сво-
ей ДН два раздельных направления режекции. Пусть, как и в
(13.2), 6{= (/«sin0)/с7' — задержка, вносимая в сигнал с углом
прихода 0 i-м направленным элементом решетки, где /,•— рассто-
яние между входным и эталонным элементами, а ищ и ait-2 (£=
= 1, 2)—весовые коэффициенты фильтров. Тогда (13.27) для
этого случая принимает вид
выходной сигнал = cos k и0 — te»*, cos [(£ + соо] — w*2 sin [(£ -f- coo] —
- w21 cos [(& + 62) coo] — w22 sin'[(£ + 62) и0]. (13.39)
На рис. 13.10 приведена ДН, построенная в соответствии с
(13.39), для следующих данных:
помеха 1 0 = 60°, Zl = X0/4;
помеха 2 0 = 30°, 12 — Х0/8;
ш*п = — 0,48; w*2 = — 0,87;
^1 = 1,7; ^2=1.
Из рис. 13.10 видно, что в диаграмме сформированы два раз-
личных направления режекции под углами прихода помех 30 и
60° и два симметричных направления режекции под углами 150
и 120° соответственно. Отметим также, что из-за наличия двух
помех диаграмма искажена относительно круговой сильней, чем
в предыдущих примерах.
Если рассчитывать на большее число помех, то необходимо
включить большее число эталонных элементов, по крайней мере
346
Рис. 13.10. Диаграмма на-
правленности для системы, по-
казанной на рис. 13.9 при
мощных помехах, приходящих
под углами 0 = 30° и 0 = 60°
Коэффициент
передачи
по мощности
равен 10 дБ
по одному для каждой помехи. Если число помех превышает чи-
сло эталонных элементов, то адаптивный алгоритм приводит к
минимизации выходной мощности, как, например, в схеме на
рис. 13.8. В противном случае алгоритм наименьших квадратов
легко формирует нужное число направлений режекции в ДН.
Формирование лучей по пилот-сигналу
Из предыдущего материала следует, что адаптивное устройст-
во подавления помех формирует провалы в ДН. Еще один вид
адаптивного формирователя лучей, разработанный в [1], основан
на алгоритме с пилот-сигналом. В отличие от формирователя лу-
чей Хауэллза—Аппельбаума, который сначала имеет ненаправ-
ленную диаграмму, а в результате адаптивного процесса уменьшает
чувствительность в направлении мощных сигналов (которые счи-
таются помехами), адаптивный формирователь лучей с пилот-сиг-
налом формирует луч в заданном направлении приема и исполь-
зует адаптивный процесс для поддержания этого луча при одно-
временном формировании направлений режекции для подавления
помех, приходящих не по направлению приема. Этот процесс по-
давления определяется направлением прихода и уровнем мощ-
ности помех.
В процессе адаптации системы введенный пилот-сигнал моде-
лирует принятый по направлению приема (выбранного операто-
ром) сигнал. Этот же пилот-сигнал используют в качестве по-
лезного отклика адаптивного устройства обработки, подключен-
ного к элементам антенной решетки. По пилот-сигналу осуществ-
ляется обучение адаптивного формирователя лучей так, что его
ДН имеет основной лепесток в заданном направлении приема,
а также провалы, соответствующие направлениям прихода по-
мех, отличным от направления приема. Таким образом, адап-
тация решетки проводится без формирования основного лепестка
в направлении и с шириной полосы пропускания, определяемы-
ми пилот-сигналом. В то же время в решетке режектируются не
коррелированные с пилот-сигналом помехи и шум, приходящие
по направлениям вне основного лепестка. Все эти свойства до-
347
стираются в наилучшем с точки зрения минимума СКО смысле.
Гриффитс [28] и Фрост [29] предложили алгоритмы работы
адаптивных антенн по результатам, аналогичные алгоритму с
пилот-сигналом, но более простые в практической реализации и
в некоторых случаях обладающие лучшими характеристиками.
Во многих приложениях алгоритм с пилот-сигналом заменяется
на алгоритм Гриффитса и Фроста, но для разработки других ал-
горитмов основой явился алгоритм с пилот-сигналом. В [30]
найдены частные применения этого алгоритма, а здесь рассмат-
риваются дополнительные его приложения для случаев, когда
нельзя использовать другие алгоритмы.
Многие решетки датчиков являются линейными в том смысле,
что (ненаправленные) элементы антенны размещаются вдоль од-
ной линии, или плоскими с размещением элементов в одной пло-
скости. Часто по такой схеме строятся антенные решетки. На
рис. 13.11 приведен пример обычной приемной линейной антен-
ной решетки. Антенна на рис. 13.11, а состоит из семи изотроп-
ных элементов, разнесенных друг от друга вдоль одной линии
на расстояние Хо/2, где Хо — длина волны центральной частоты
решетки <во. Принятые сигналы суммируются и образуют выход-
ной сигнал решетки. Диаграмма направленности, т. е. относи-
тельная чувствительность отклика на сигналы разных направле-
ний, построена на рис. 13.11, а для углов — л/2<0<л/2 и часто-
ты ио. Эта диаграмма является симметричной относительно на-
правлений с 0 = 0° и 0 = 90°, а основной лепесток расположен в
центре при 0=0°. Наибольший по амплитуде боковой лепесток
с 0 = 24° имеет максимальную чувствительность на 12,5 дБ ниже
максимальной чувствительности главного лепестка. Диаграмма
направленности, построенная для отличных от <во частот, имеет
другой вид.
На рис. 13.11,5 приведена схема той же решетки, однако в
этом случае перед суммированием выходной сигнал каждого эле-
мента задерживается. Результирующая ДН имеет теперь главный
лепесток в направлении под углом ф радиан, который аналогично
(13.2) имеет вид
ф = sin-^ = sin-i _£jL, (13.40)
2ndT d
где too — нормированная частота принятого сигнала; Хо— длина
волны на частоте <во; б — разность задержек выходных сигналов
соседних элементов, число отсчетов; d — расстояние между эле-
ментами антенны, м; с — скорость распространения сигнала, рав-
ная Хо<во/2л7' м/с; Т — временной шаг, с. Чувствительность мак-
симальна для угла ф, поскольку сигналы, принятые от источника
плоской волны, приходят под таким углом и вследствие задержек
(рис. 13.11,5) находятся в фазе друг с другом, что приводит к
максимальному выходному сигналу. В рассматриваемом примере
4?=Х0/2, 5= (0,8131/соо), и, следовательно, ф = зш-1 (био/л) = 15°.
Построение этих кривых рассматривается в упражнениях 13—16.
348
I
1
I
Рис. 13.11. Диаграмма направленности линейной решетки:
а — простая решетка; б — решетка с задержками
Существует много возможных схем фазированных решеток. На
рис.13.12, а показана одна такая схема, в которой каждый из вы-
ходных сигналов элементов антенны и задержанный на четверть
периода частоты и0 (т. е. на 90° или пТ/2а0) параллельно умно-
жаются на два весовых коэффициента. Выходной сигнал явля-
349
Рис. 13.12. Диаграмма направленности линейной решетки:
а—схема с равномерным взвешиванием; б — схема с взвешиванием для подавления шума
350
ется их суммой, но поскольку значения всех весовых коэффици-
ентов равны единице, ДН на частоте ио такая же по симметрии,
что и на рис. 13.11, а. Для иллюстрации на рис. 13.12, а штрихо-
вой линией показано направление прихода синусоидального сиг-
нала помехи с частотой <оо. Направление прихода этой помехи
(45°) таково, что она принимается по одному из боковых ле-
пестков ДН с чувствительностью, только на 17 дБ меньшей чув-
ствительности в направлении главного лепестка при 0 = 0°.
При других значениях весовых коэффициентов ДН на частоте
ио становится такой, какая показана на рис. 13.12, б. В этом
случае главный лепесток остается почти неизменным и таким же,
как на рис. 13.11, а и 13.12, а, в то время как боковой лепесток,
по которому приходила синусоидальная помеха в схеме на рис.
13.12, а, смещен таким образом, что в направлении помехи об-
разовался провал. При этом чувствительность в направлении по-
мехи на 77 дБ ниже чувствительности в направлении главного
лепестка, что соответствует увеличению режекции помехи на
60 дБ.
Теперь чтобы показать, что существует (и его можно вычис-
лить) множество весовых коэффициентов, при которых сигнал
поступающий по заданному направлению, принимается, а помеха,
приходящая по другим направлениям, режектируется, рассмотрим
простой пример, приведенный на рис. 13.13. Сигнал, приходящий
по заданному направлению с 0 = 0°, назовем пилот-сигналом
Pfc=Psin£coo. Пусть nk—N sin &<±>о— помеха, принимаемая решет-
кой под углом 0 = л/6 рад/с. В данном примере полагаем, что
сигнал и помеха точно имеют одну и ту же частоту и0 и на-
ходятся в фазе в точке, расположенной посередине между эле-
ментами антенной решетки. Два одинаковых ненаправленных
элемента разнесены на расстояние Хо/2. Сигналы, принимаемые
каждым элементом, разбиваются на прямую и задержанную на
л772соо с составляющие, каждая из которых умножается на пе-
ременный весовой коэффициент. Далее все четыре взвешенных
сигнала суммируются, и формируется выходной сигнал вида
Xsin(£ со04-<р).
Рис. 13.13. Схема с пилот-сигналом, приходящим под углом 0=0°, и помехой,
приходящей под углом 0 = л/6
351
При этом существует ряд решений, при которых выходной сигнал
равен ph. Однако, если считать, что решетка предназначена для
режекции помехи, то выходной сигнал решетки не должен за-
висеть от амплитуды и фазы помехи. Этому ограничению удов-
летворяет единственное множество весовых коэффициентов, ко-
торое находится следующим образом. При наличии пилот-сиг-
нала выходной сигнал решетки имеет вид
Р [(да^ + ш3) sin k(aQ + (w2 + ш4) sin (ka0 - - л/2)]. (13.4])
Этот выходной сигнал будет равен требуемому ph =Р sin kwo
(т. е. пилот-сигналу) при условии, что
wr + ws — 1; да>24-ш4 = 0. (13.42)
По отношению к точке, расположенной в середине между
элементами антенны, относительные задержки помехи на обоих
элементах составляют ± (с?/2с) sin (л/6) =±d/4c=±n7’/4(o0 с,
что соответствует сдвигам фаз ±л/4 для частоты «о- Тогда для
помехи на входе, приходящей под углом 0 = л/6, выходной сигнал
решетки имеет вид
.V [да4 sin (k со0 - - л/4) + w. sin (k coo — Зп/4)] 4-
— sin (&coo 4- л/4) 4- wi sin (k(a0 - n/4)J. (13.43)
Этот сигнал будет равен нулю при условии, что
+ да4 = 0; w2 — даГ| = 0. (13.44)
Таким образом, решая одновременно (13.42) и (13.44), можно
найти множество весовых коэффициентов, удовлетворяющее тре-
бованиям к откликам на сигнал и помеху. Это множество равно
04 = 1/2, w2=- 1/2, и>3=1/2, = — 1/2; (13.45)
При этих весовых коэффициентах решетка обладает требуемыми
свойствами, которые заключаются в том, что она принимает сиг-
нал по требуемому направлению и режектирует помеху с часто-
той сигнала и0 по другим направлениям.
Описанный выше способ вычисления весовых коэффициентов
является больше иллюстративным, чем практическим. Его мож-
но использовать только при небольшом числе источников на-
правленных помех, когда они являются монохроматическими, и
направления их прихода известны априори. На практике уст-
ройства обработки должны быть такими, чтобы не требовалось
подробной информации о числе и характере помех. Таковым яв-
ляется рассматриваемое далее адаптивное устройство, в котором
по рекурсивному правилу находятся решения ряда уравнений, в
результате чего достигается минимальная СКО между пилот-
сигналом и общим выходным сигналом решетки.
352
Пространственные схемы
Прежде чем перейти к рассмотрению способов адаптивной
фильтрации и обработки сигналов, которые можно использовать
в адаптивных решетках, необходимо рассмотреть несколько ви-
дов схем пространственных решеток. На рис. 13.14 приведена
схема адаптивной решетки для обработки узкополосных сигналов.
Здесь каждый отдельный элемент антенны соединен с умножи-
телем на переменный весовой коэффициент и с задержкой на
четверть периода, выход которой, в свою очередь, соединен с еще
одним умножителем на переменный весовой коэффициент. Как
показано на рисунке, взвешенные сигналы суммируются. Таким
образом, сигнал каждого элемента, который полагаем монохро-
матическим или узкополосным, умножается на комплексный ко-
эффициент передачи Де^. Фиксируя значения обоих весовых ко-
эффициентов, можно выбрать любые фазовые угол <р =
=—tg~‘ (a>2/a>i) и амплитуду комплексного коэффициента пере-
дачи A=Vw21jtw22 из области значений, ограниченной только
значениями этих двух весовых коэффициентов. Таким образом,
оба весовых коэффициента и задержка (на фазовый угол 90°)
полностью обеспечивают перестраиваемую линейную обработку
узкополосных сигналов, принятых каждым отдельным элементом
антенны.
Решетка на схеме рис. 13.14 реализует общий способ сложе-
ния сигналов элементов антенны в перестраиваемой линейной
структуре, когда сигналы и помехи являются узкополосными. От-
метим, что такой же общности (для узкополосных сигналов) мож-
но достичь даже в том случае, когда задержки не соответствуют
точно фазовому сдвигу п/2 на центральной частоте wo. Выбор
сдвигов фаз, близких к л/2, необходим для обеспечения малых
значений весовых коэффициентов, но принципиально не является
обязательным.
При необходимости принимать сигналы в некотором диапазо-
не частот каждую из задержек в схеме на рис. 13.14 можно за-
Рис. 13.14. Схема
адаптивной решетки
для приема узкопо-
лосных сигналов
Элемент 1
Элемент 2
Элемент К
12—12
353
Рис. 13.15. Схема адаптивной решетки для приема широкополосных сигналов
менять адаптивным трансверсальным фильтром (рис. 13.15). Та-
кая линия задержки с отводами позволяет перестраивать коэф-
фициент передачи и фазу для ряда частот в заданном диапазоне.
При очень небольшом временном шаге А эта схема приближа-
ется к идеальному фильтру, который позволяет регулировать ко-
эффициент передачи и фазу на каждой частоте в полосе про-
пускания.
Следующим шагом является разработка такого алгоритма
адаптации, который позволял бы перестраивать весовые коэф-
фициенты и добиваться требуемой пространственной и частотной
фильтрации. Этот алгоритм должен обеспечивать заданный коэф-
фициент передачи решетки в заданном направлении приема при
одновременной режекции помех.
Если принятые элементами адаптивной решетки сигналы состо-
ят из суммы составляющих сигнала и шума, то сигнал воспроиз-
водится (а шум подавляется) наилучшим в среднеквадратическом
смысле образом тогда, когда полезным откликом адаптивного уст-
ройства обработки является сам сигнал. Однако обычно при ада-
птации сигнал не известен. Если бы сигнал был известен, то не
нужны были бы приемники и приемная решетка.
В рассматриваемых здесь адаптивных антенных системах сиг-
нал полезного отклика получают искусственным введением описан-
ного выше пнлот-сигнала, который полностью известен и обычно
формируется в приемнике. Пилот-сигнал формируется таким об-
354
разом, что его спектральные и пространственные характеристики
соответствуют входному сигналу. В некоторых случаях эти харак-
теристики могут быть известны априори, но вообще они являются
оценками параметров входного сигнала.
Адаптация с пилот-сигналом приводит к тому, что решетка
формирует луч в направлении пилот-сигнала, который имеет, по
существу, плоскую спектральную характеристику и линейный фа-
зовый сдвиг в полосе пилот-сигнала. Более того, попадающие на
адаптивную решетку направленные помехи приводят к тому, что
в их полосах пропускания и их направлениях формируются прова-
лы. Эти утверждения иллюстрируются описанными ниже экспери-
ментами.
Обычно при введении пилот-сигнала использование выходного
сигнала устройства формирования лучей становится неэффектив-
ным. Для исключения этого недостатка разработаны специальные
алгоритмы адаптации. В одном из них попеременно осуществляет-
ся адаптация по пилот-сигналу для формирования основного луча,
а затем, при отключенном пилот-сигнале, по естественным вход-
ным сигналам — для подавления помех. В другом алгоритме про-
изводится адаптация по входному сигналу в течение всего време-
ни, но его реализация требует больших аппаратурных затрат.
Адаптивные алгоритмы
Схема на рис. 13.16 иллюстрирует способ получения пилот-сиг-
нала, который передается с антенны, расположенной на некотором
расстоянии от решетки, в необходимом направлении приема. На
рис. 13.17 приведена схема получения местного пилот-сигнала,
впервые предложенная Дж. Хоффом. На входные устройства об-
работки на рис. 13.17 подаются либо действительные входные сиг-
налы элементов антенны (в режиме А), либо множество задержан-
ных сигналов, полученных от генератора пилот-сигнала (в режи-
ме Р). Фильтры 61, ... , 6к (при одинаковых элементах решетки это
Рис. 13.16. Схема адаптации по внешнему пплот-сигиалу с чередованием двух
режимов: Р — при наличии пилот-сигнала; А — при отключенном пилот-спг-
нале
12:
355
Рис. 13.17. Схема адаптации по внутреннему пилот-сигналу с чередованием
двух режимов: Р — при наличии пилот-сигнала; А — при отключении пилот-
сигнала
идеальные задержки) выбраны так, что множество входных сиг-
налов идентично сигналам, которые принимались бы решеткой от
расположенного на расстоянии источника пилот-сигнала с плоской
волной в требуемом направлении приема, которое соответствует
основному лепестку ДН на приеме.
Во время адаптации в режиме Р входные сигналы адаптивно-
го устройства обработки получают из пилот-сигнала, а его полез-
ным откликом является собственно пилот-сигнал. Например, при
синусоидальном пилот-сигнале с частотой «о адаптация весовых ко-
эффициентов с целью минимизации СКО приводит к тому, что ко-
эффициент передачи антенной решетки в направлении приема
имеет заданные амплитуду и фазовый сдвиг на частоте <о0.
Во время адаптации в режиме А все сигналы, подаваемые на
адаптивное устройство обработки, принимаются элементами ан-
тенны из реального поля с шумом. В этом режиме процесс адап-
тации приводит к подавлению всех принятых сигналов, так как
полезный отклик равен нулю. Однако непрерывное функциониро-
вание в режиме А приводит к тому, что значения всех весовых ко-
эффициентов стремятся к нулю, и система отключается. Тем не
менее при частом чередовании режимов Р и А в течение адапта-
ции в каждом из них происходят лишь небольшие изменения век-
тора весовых коэффициентов, и можно приближенно поддерживать
луч с единичным коэффициентом передачи в заданном направле-
нии приема и, помимо этого, приблизительно минимизировать
мощность принимаемой помехи.
В качестве пилот-сигнала можно взять сумму нескольких сину-
соидальных сигналов с различными частотами, так что при адап-
тации в режиме Р коэффициент передачи и фаза антенны имеют
заданные для каждой из этих частот значения в направлении
356
приема. Более того, если суммируются вместе несколько пилот-
сигналов, соответствующих различным направлениям, то при ада-
птации в режиме Р можно поддерживать заданный коэффициент
передачи решетки одновременно для различных углов и частот.
Это свойство позволяет некоторым образом регулировать ширину
полосы и ширину лучей по различным направлениям приема. В
адаптивном режиме с двумя режимами приближенно осуществля-
ется минимизация среднеквадратического значения (общей мощ-
ности) всех принятых элементами антенны сигналов, не коррели-
рованных с пилот-сигналами; при этом коэффициент передачи и
фаза луча приближенно равны заданным значениям для частот и
направлений, определяемых составляющими пилот-сигнала.
При адаптации с двумя режимами формирование и поддержа-
ние луча производится в режиме Р, а подавление в среднеквадра-
тическом смысле (в соответствии с характеристиками пилот-сиг-
нала) — в режиме А. В режиме Р из-за того, что устройство обра-
ботки соединено с генератором пилот-сигнала, прием сигнала не-
возможен. Следовательно, прием осуществляется только в режи-
ме А. Этот недостаток устраняется в системе на рис. 13.18, в ко-
торой можно одновременно реализовать режимы Р и А. В этой
системе пилот-сигналы и принятые сигналы подаются на адаптив-
ное устройство обработки точно так же, как описано выше. Полез-
ным откликом этого устройства является пилот-сигнал. Второе
вспомогательное устройство обработки работает по реальному вы-
ходному сигналу решетки, но не реализует адаптивный процесс. В
Элементы решетки
Рис. 13.18. Схема
адаптации по пилот-
сигналу
357
сигналах на его входе пилот-сигнал не содержится. Вспомогатель-
ное устройство взаимодействует с адаптивным устройством обра-
ботки таким образом, что его весовые коэффициенты являются
точными копиями соответствующих весовых коэффициентов адап-
тирующейся системы, т. е. для этого устройства нет необходимости
принимать пилот-сигнал.
В приведенной на рис. 13.18 системе с одним режимом пилот-
сигнал подключен постоянно. Процесс адаптации приводит к то-
му, что адаптивное устройство обработки с минимальной СКО
воспроизводит пилот-сигнал и в то же время наилучшим в
среднеквадратическом смысле образом режектирует все принятые
элементами антенны сигналы, не коррелированные с пилот-сиг-
налом. Таким образом, в результате адаптивного процесса ДН в
полосе частот пилот-сигнала имеет нужную чувствительность в ос-
новном луче по направлению приема и провалы в направлениях
помех для их полосы частот. При этом, как правило, чем мощнее
помехи по сравнению с пилот-сигналом, тем выше уровень ре-
жекции.
Анализ приведенной на рис. 13.18 системы с одним режимом
можно провести следующим образом. Оптимальные весовые ко-
эффициенты адаптивного устройства обработки можно получить
в виде произведения К'-1?. Матрица R равна сумме матрицы по-
лученных от антенны сигналов и матрицы множества пилот-сигна-
лов, причем полагаем, что пилот-сигнал и сигналы, поступающие от
антенны, являются некоррелированными. Вектор Р определяется
только пилот-сигналом. Элементы этого вектора представляют со-
бой значения автокорреляционной функции пилот-сигнала, при
этом задержки определяются соответствующими задержками пи-
лот-сигнала. Поскольку смещение главного лепестка зависит от
выбора задержек пилот-сигнала, вектор Р непосредственно связан
с углом этого смещения.
Для определения характеристик функционирования адаптив-
ных антенных систем проведено большое число экспериментов по
моделированию на ЭВМ решеток с различной геометрической кон-
фигурацией и различных видов сигналов и помех.
Для простоты изложения приводимые в следующих подразде-
лах примеры ограничиваются плоскими решетками, составленны-
ми из идеальных изотропных (ненаправленных) элементов. В
каждом случае для адаптации используется метод наименьших
квадратов. Во всех экспериментах начальные значения весовых
коэффициентов приняты одинаковыми.
Моделирование для узкополосных сигналов
На рис. 13.19 показаны 12-элементная круговая решетка и уст-
ройство обработки сигнала, которые используются для анализа
функционирования узкополосной системы, приведенной на рис.
13.14. Здесь пилот-сигнал представляет собой синусоидальный сиг-
нал единичной амплитуды с частотой со0 и мощностью сг2р = 0,5 и
358
о
4
а)
О
3
о
2
Рис. 13.19. Схема эксперимента для двух режимов с узкополосными сигналами:
а — расположение элементов; б — обработка сигнала п-го элемента
предназначен для обучения решетки в направлении с 0 = 0°. По-
меха состоит из синусоидального мешающего сигнала (с теми же
частотой и мощностью, что п у пилот-сигнала) с направлением при-
хода 0 = 40° и малой случайной некоррелированной помехи в ви-
де белого шума с мощностью о2п = 0,1 на каждом элементе ре-
шетки. При моделировании этой системы адаптация весовых ко-
эффициентов осуществляется по алгоритму наименьших квадратов
в двух режимах.
На рис. 13.20 показана последовательность ДН, изменяющих-
ся в процессе обучения решетки. Эти диаграммы построены с по-
мощью ЭВМ и представляют собой выраженную в децибелах чув-
ствительность решетки на частоте w0 аналогично предыдущим ДН,
рассмотренным в данной главе. Каждая ДН рассчитана для мно-
жества весовых коэффициентов, получаемых на различных ста-
диях процесса адаптации. Отметим, что начальная ДН из-за сим-
метричности антенной решетки при равных начальных значениях
весовых коэффициентов, по-существу, является круговой. На ка-
ждой ДН указано число прошедших (на момент вычисления дан-
ной ДН) периодов NC частоты <о0. В этих экспериментах число
циклов адаптации равно 20NC. Отметим, что если 0)0/27"= 1 кГц,
тс NC=1 соответствует длительности 1 мс в реальном масштабе
времени, если о)0/27'= 1 МГц, то NC=1 соответствует 1 мкс, и т. д.
По приведенной на рис. 13.20 последовательности ДН можно
сделать некоторые выводы. В процессе адаптации чувствительность
решетки в направлении приема по существу остается постоянной,
а чувствительность в направлении источника синусоидальной по-
мехи очень быстро падает; по мере развития процесса адаптации
в ДН в направлении помехи формируется глубокий провал. После
завершения переходного процесса чувствительность решетки в на-
правлении помехи ниже чувствительности в заданном направле-
нии приема на 27 дБ. А.даптивный алгоритм формирует провал
при отсутствии априорных данных о частоте и о направлении при-
хода помехи.
359
Направление приема Направление прихода
NC = 100
Рис. 13.20. Изменение
ДН в процессе обуче-
ния схемы на рис. 13.19
при подавлении направ-
ленной, а также некор-
релированной помех.
NC — число периодов
частоты <Оо, а число цик-
лов адаптации равно
20 NC
NC = 300
Полная мощность помехи на выходе решетки равна сумме мощ-
ностей белого шума и направленной синусоидальной помехи. В
процессе адаптации эта мощность обычно уменьшается до неко-
торого предельного уровня.
На рис. 13.21 приведена зависимость полной мощности помехи
на выходе NC, которая представляет собой обучающую кривую
адаптивного формирователя лучей. Как видно из рисунка, при
начальных значениях весовых коэффициентов уровень мощности
составляет 0,65. После адаптации он уменьшается до 0,01. Для
рассматриваемых помех отношение сигнал-шум на выходе после
адаптации больше, чем для единичного изотропного приемного
элемента, в 60 раз.
Для решетки на рис. 13.19 и адаптивного процесса с двумя ре-
жимами проведен эксперимент, в котором адаптивная решетка
работала при наличии нескольких источников направленных по-
360
Рис. 13.21. Обучающая кривая
узкополосной системы на рис.
13.19 при поступлении помехи
только по одному направлению
Таблица 13.1
Направ- ление помехи, град Относительная частота помехи (относительно <ОП) Уровень подав- ления помехи относительно направления приема, дБ
67 1,10 —26
134 0,95 —30
191 1,00 -28
236 0,90 —30
338 1,05 —38
мех. В этом случае помеха пред-
ставляет собой сумму помех одно-
временно действующих направлен-
ных синусоидальных помех с ам-
плитудой 0,15 и мощностью 0,125
и некоррелированных составляю-
щих белого шума с мощностью 0,5
на каждом из элементов антенны. Параметры направленных помех
приведены в табл. 13.1.
На рис. 13.22 показаны процесс изменения ДН для частоты соо
от начала адаптации до конечного установившегося (оптималь-
ного) состояния, которое достигается через NC = 682 периодам ча-
стоты «о («) и обучающая кривая для этого случая (б). В табл.
Направление приема
Рис. 13.22. Изменение ДН в процес-
се обучения схемы на рис. 13.19 при
подавлении пяти направленных и
некоррелированных помех:
а ____ последовательное изменение ДН в
процессе адаптации; б — обучающая кри-
вая (общее число циклов адаптации рав-
но 20 NC)
Время, NC (периоды/’ )
361
13.1 приведены результирующие значения чувствительности ре-
шетки по пяти направлениям помех относительно чувствительно-
сти по направлению приема. Отношение сигнал-шум по сравнению
с единичным изотропным излучателем в этом случае повышается
в 15 раз. Из рис. 13.22,5 следует, что постоянная времени обуча-
ющей кривой равна примерно 70 периодам. Поскольку на один
период частоты соо приходится 20 шагов адаптации, постоянная
времени обучающей кривой тСко=1400. Установившееся состоя-
ние адаптивного процесса наступает примерно в течение 400 пе-
риодов частоты со0. При и0/2л7’=1 МГц реальное время установ-
ления равно 400 мкс. Из (6.41) можно приближенно оценить от-
носительное среднее значение СКО для этого адаптивного про-
цесса (хотя в действительности, как требуется для такого равен-
ства, собственные значения здесь не являются одинаковыми):
_ число весовых коэффициентов 24 6 - 0 43°'' (13 46)
4ТСКО 4тсКО 1400
Такое небольшое полученное значение указывает на то, что адап-
тивный процесс является очень медленным и приводит к точному
результату. Это следует также из характера приведенной на рис.
13.22,6 обучающей кривой для данного эксперимента, которая яв-
ляется сглаженной и не имеет шумовой составляющей.
Если все синусоидальные помехи имеют одну и ту же частоту,
то адаптивное устройство формирования лучей также осуществ-
ляет их подавление, но при этом в общем случае не формируются
провалы в направлении их прихода. Адаптивный формирователь
лучей принимает все эти помехи и устанавливает для них такие
амплитудно-фазовые соотношения, что при их суммировании по-
меховая составляющая на выходе приближенно равна нулю. Если
частоты различны, как это имело место в эксперименте, то адап-
тивное устройство формирования лучей для подавления синусо-
идальных помех обязательно формирует провалы.
Моделирование для широкополосных сигналов
На рис. 13.23 приведены схемы антенной решетки и устройства
обработки сигналов, которые использовались при проведении экс-
периментов для широкополосных сигналов методом моделирова-
Рис. 13.23. Схема эксперимента с широкополосными сигналами:
а — расположение элементов; б — обработка сигнала каждого элемешц
362
Рис. 13.24. Энергетические спектры широкополосных сигналов:
а — пилот-сигнал при 6 = —13°; б — помеха при 6 = 50° и 0 =—70°
ния на ЭВМ. Процесс адаптации весовых коэффициентов прово-
дится по алгоритму с одним режимом. Каждый ненаправленный
элемент 5-элементной круговой решетки соединен с адаптивным
трансверсальным фильтром с пятью весовыми коэффициентами.
Пилот-сигнал является широкополосным, а произвольно заданное
направление приема взято под углом 0 = —13°. На рис. 13.24,а
показан энергетический спектр пилот-сигнала с центральной ча-
стотой соо и шириной, приблизительно равной одной октаве. Эле-
ментарная задержка адаптивного фильтра 6 = л/2со0 времен-
ным шагам, что соответствует задержке на четверть периода ча-
стоты ио, а полная задержка фильтра составляет период этой ча-
стоты.
Смоделированная на ЭВМ помеха состоит из двух широкопо-
лосных направленных помех \ подаваемых на решетку под углом
0 = 50° и 0 =—70°. Мощность каждого источника помех равна 0,5.
Помеха с 0 = 50° имеет такой же спектр частот, как и пилот-сиг-
нал (но при меньшей мощности), а помеха с 0 = —70° имеет бо-
лее узкий спектр и немного более высокую центральную частоту.
Сигналы помех не коррелированы с пилот-сигналом. Энергетичес-
кие спектры помех приведены на рис. 13.24,6. Кроме этого, каж-
дый из сигналов элемента антенны содержит некоррелированный
белый шум с мощностью 0,0625.
Для определения влияния скорости адаптации эксперимент
проведен при двух различных значениях ц в (6.3). На рис. 13.25
1 При моделировании на ЭВМ широкополосных направленных помех сна-
чала формируется последовательность некоррелированных псевдослучайных чи-
сел (белый шум), которые подаются на соответствующий цифровой фильтр для
получения нужных спектральных свойств, а затем полученный в результате
этого коррелированный сигнал помехи подается на каждый из смоделирован-
ных элементов антенны с соответствующими задержками для моделирования
фронта распространяющегося сигнала.
363
Рис. 13.25. Обучающие кривые для экспериментов с широкополосными сигна-
лами при быстрой (М = 13%) (а) и медленной (Л4=1,3%) (б) адаптации
2,0
0 250 500 750 1000 1250
Время, NC (периоды Wo)
приведены обучающие кривые для этих значений ц. Здесь по оси
абсцисс, как и выше, отложено число периодов центральной ча-
стоты решетки со0 при скорости адаптации, равной 20 отсчетам
за период. Отметим, что кривая, соответствующая более быстрой
адаптации, имеет большую составляющую шума.
Поскольку в данном случае известны статистические свойства
пилот-сигнала и направленных помех (смоделированных на ЭВМ)
и, следовательно, известна матрица R, можно провести сравнение
измеренных и теоретических относительных средних значений СКО.
Ниже приведены результаты сравнения для обоих значений ц
(теоретические значения рассчитаны по (6.36)):
ц Измеренное значение М Теоретическое значение М
0,0025 0,00025 0,134 0,017 0,1288 0,0129
Как видно, теоретические значения достаточно хорошо совпа-
дают с измеренными.
Зная статистические характеристики сигналов, можно вычис-
лить оптимальный вектор весовых коэффициентов W* = R-IP. На
рис. 13.26,а приведена ДН антенны для этого оптимального век-
тора весовых коэффициентов, которая представляет собой зави-
симость относительной чувствительности решетки от угла прихо-
да 0 для широкополосного принимаемого сигнала, имеющего та-
кой же энергетический спектр, как и пилот-сигнал. Такая диаг-
рамма имеет мало боковых лепестков и обычно не очень глубокие
провалы. Для сравнения с оптимальной диаграммой на рис.
13.26,6 приведена ДН, полученная после адаптации в течение 625
364
Рис. 13.26. Диаграммы направленности широкополосной системы:
а — оптимальная; б — после 625 периодов частоты (Оо при ц=“0,00025
периодов частоты со0 при ц = 0,00025. Отметим, что эти диаграммы
почти не отличаются друг от друга.
Обучающие кривые на рис. 13.25 представляют собой суммы
затухающих экспонент с различными постоянными времени. Для
кривой на рис. 13.25,6 с ц=0,00025 относительное среднее значе-
ние СКО равно 1,3%, что является малой, но практически реали-
зуемой величиной. Как следует из рис. 13.25,6, при такой скорости
адаптации переходные процессы, по существу, заканчиваются при-
мерно после 50 периодов частоты соо. Например, при а0/2пТ =
= 1 МГц процесс адаптации завершается (при достаточном бы-
стродействии устройства обработки) примерно за 500 мкс, при
а)о/2л7'=1 кГц — примерно за 0,5 с. Возможен более быстрый про-
цесс адаптации, но при этом возрастает относительное среднее
значение СКО. Приведенные цифры характерны для адаптивной
антенны с 25 адаптивными весовыми коэффициентами, на входе
которой действуют широкополосные помехи. Как показано, напри-
мер, выражением (6.22), при одном и том же уровне относитель-
но среднего значения СКО время адаптации растет приблизитель-
но по линейному закону при увеличении числа весовых коэффи-
циентов.
На рис. 13.27 показано, что адаптивная антенная решетка об-
ладает свойством «настраиваться на частоту». Здесь приведены
зависимости чувствительности прошедшей адаптацию решетки
(после 1250 периодов частоты w0) от частоты в заданном направ-
лении приема (а) и в двух направлениях помех (6, в), а также
спектры пилот-сигнала и помех.
Из рис. 13.27,а следует, что в результате адаптивного процес-
са чувствительность этой простой схемы решетки близка к едини-
це в той полосе частот, где пилот-сигнал имеет конечную спект-
ральную плотность мощности. Улучшения характеристик можно
достичь увеличением числа элементов антенны или числа отводов
в каждой линии задержки, или в более простом варианте ограни-
чением полосы выходного сигнала решетки до полосы пилот-сиг-
нала. Кривые на рис. 13.27,6,8 показывают, что в пределах за-
365
Относительная частота, со/со,,
Рис. 13.27. Зависимости коэффи-
циента передачи по мощности от
частоты для широкополосной си-
стемы па рис. 13.23:
а — в направлении приема при 9^
= — 13°; б. в —в направлении иоме.чИ
при е = 50° и б = —70°
5 1/0 Г Чувствительность
о решетки при
Относительная частота.
б)
Относительная частота, co'ojq
данных полос пропускания чувствительность решетки в направле-
ниях помех уменьшается. В этом эксперименте после затухания
переходных процессов адаптации отношение сигнал-шум для ре-
шетки больше, чем для единичного изотропного элемента в 56 раз.
Упражнения
1. Для схемы па рис. 13.2 покажите аналитически, что для сигналов, при-
ходящих под углами 0 и 180°—0, реализуется один и тот же уровень подав-
ления.
2. Пусть в схеме на рис. 13.2 под углом 0о = ЗО° приходит сигнал плоской
волны с частотой 2 Гц и скоростью распространения 5000 м/с. Какова должна
быть пространственная структура решетки, чтобы сдвиг фаз между входным и
эталонными сигналами составил 10°?
3. Пусть в схеме на рис. 13.3,а сигнал плоской волны имеет частоту 3 МГц,
скорость распространения ЗХЮ8 м/с и угол прихода 0 = 20° (а не 0°, как на
366
рисунке). Каковы значения весовых коэффициентов при минимальном средне-
квадратическом выходном сигнале, если расстояние между элементами решетки
равно 20 м, а отношение сигнал-шум 6 дБ?
4. Для схемы на рис. 13.3,а с ц, равным 0,01 от мощности входного сиг-
нала, реализуйте алгоритм наименьших квадратов и постройте зависимости Шц,
и аг2л от k, показывающие процесс сходимости к оц* и w2*. В качестве шума
сформируйте белый шум в соответствии с приложением А.
5. Пусть в схеме иа рис. 13.3,6 весовой коэффициент сходится к значению
Щ।* = 0,9. Чему равен коэффициент передачи системы, если слабый сигнал имеет
угол прихода 0 = 40°, нормированную частоту 0,5 рад и длину волны 0,305 м,
а расстояние между ненаправленными элементами составляет 0,229 м?
6. Для условий упражнения 5 постройте зависимости коэффициента пере-
дачи системы по мощности в децибелах от расстояния между ненаправленны-
ми элементами I в интервале от 1 до 1,27 м.
7. Чему равен фазовый сдвиг между выходным и входным сигналами для
условий упражнения 5?
8. Чему равен минимальный коэффициент передачи двухэлементной адап-
тивной решетки по мощности в децибелах, если отношение сигнал-шум на вхо-
де составляет 8 дБ?
9. Постройте ДН двухэлементной решетки с весовыми коэффициентами
Wi —0,6 и а>2 = 0,8 при отсутствии шума приемника.
10. Пусть в адаптивной решетке, использующей упрощенный алгоритм наи-
меньших квадратов с у = 0,99, весь входной сигнал X/, неожиданно упал до
нуля. В течение скольких временных шагов значения весовых коэффициентов
изменяется на 10%?
11. Пусть адаптивный фильтр работает по упрощенному алгоритму наи-
меньших квадратов с р = 0,01/сг2х, где а2х — мощность входного сигнала. Ка-
кова эквивалентная дополнительная мощность шума, вносимого во входной
сигнал при у = 0,94?
12. Адаптивная решетка с двумя элементами, разнесенными на 0,8 длины
волны, имеет на входе мощный сигнал, приходящий под углом 0 = 0°, и еще
один сигнал, приходящий под углом 0 = 90°, с мощностью, составляющей 25%
мощности первого сигнала. Каковы оптимальные значения весовых коэффици-
ентов при отсутствии шума приемника?
13. В приведенной на рис. 13.11,а входной сигнал С cos kdoa приходит под
углом 0. Найдите выражение для выходного сигнала решетки.
14. Используя результат упражнения 13, найдите выражение для коэф-
фициента передачи решетки в децибелах как функции угла 0.
15. Выполните упражнение 13 для решетки на рис. 13.11,6.
16. Используя результат упражнения 15, найдите выражение для коэффи-
циента передачи решетки в децибелах как функции угла 0.
17. Пусть в схеме на рис. 13.12 значения весовых коэффициентов равны
к-'и, wi2, w?i, Z0?2, а ненаправленные элементы разнесены на Л0/2. Найдите
выражение для коэффициента передачи решетки в децибелах как функции уг-
ла 0.
18. Каковы значения весовых коэффициентов в схеме на рис. 13.13, если
помеха приходит под углом 0 = л/4 вместо 0 = л/6?
19. Используя материалы гл. 6, для упрощенного алгоритма наименьших
квадратов найдите:
367
а) область значений р., соответствующих устойчивому функционированию;
б) постоянную времени обучающей кривой;
в) выражение для относительного среднего значения СКО.
20. В приведенной на рис. 13.19 системе найдите выражение для выход-
ного сигнала устройства обработки.
21. Пусть решетка на рис. 13.12,6 с весовыми коэффициентами от ш01 до
we2 адаптируется по алгоритму с одним режимом и имеет на входе одновре-
менно пилот-сигнал единичной амплитуды с частотой 1,0 Гц и помеху единич-
ной амплитуды с частотой 1,1 Гц. Полагая начальные значения всех весовых
коэффициентов равными 1,0, реализуйте для этой схемы алгоритм наимень-
ших квадратов при ц = 0,01 и постройте ДН после 0, 10, 100 и 1000 периодов
пилот-сигнала. Временной шаг примите равным 7 = 0,02 с.
22. Ниже приведена схема двухэлементного адаптивного формирователя
лучей с пилот-сигналом, принимающего приходящий под углом 0 = 0° сигнал
плоской волны В sin Z?cot. Пилот-сигнал равен A sin &<г>о. Смещение луча осуще-
ствляется изменением фазового сдвига <р до направления приема 0. Пусть а0
и со, отличаются достаточно для того, чтобы сигналы были некоррелирован-
ными, но 90° соответствует фазовому сдвигу на 90° для обоих сигналов. По-
лагая, что шум при приеме отсутствует, найдите зависимость матрицы R и
вектора Р от А, В и <р. При А = В найдите оптимальный вектор весовых коэф-
фициентов для <р = 0; 22,5°; 45°; 67,5°; 90° и соответствующие каждому зна-
чению <р направления приема 0. Для <р = 45°, 60°, 90° на одном графике по-
стройте ДН. Рассмотрите разрешающую способность этого адаптивного форми-
рователя лучей в направлении приема.
368
23. Пусть в адаптивном устройстве формирования лучей упражнения 22
каждый ненаправленный элемент содержит шум приемника с единичной мощ-
ностью. Выполните упражнение 22 сначала для Д=В = 2, затем для Д = 5 и
В = 1 и, наконец, для Д = В = 5. Какой вывод можно сделать, рассматривая
связь угловой разрешающей способности с отношениями сигнал-шум для пи-
лот-сигнала и по направлению помехи?
Ответы к некоторым упражнениям
1. Замечание: см. (13.2) и (13.3).
2. /=138,9 м.
3. а»|* = 0,7266, а»*2 = 0,333.
6
13. z/fe —С 2 cos(/fWo+nnsin 0).
п=0
6
14. Коэффициент передачи = 10 login {[ S cos(nn sin 0)]2+ [ S sin(nnX
n=0 n=0
Xsin0)]2}.
6
15. ук = С 2 cos(6ci)o+nn; sin 0—0,8131n).
n=o
6
16. Коэффициент передачи — 101og|0{[ 2 cosn(nsin0 — 0,8131)]2 +
n=0
6
+ [ 2 sin л(л sin 0—0,8131)]2}.
/1—0
6
17. Коэффициент передачи = 101og10{[ 2 wnI cos(nn sin 0)-|-ti»n2 sin (nnX
n=0
в
Xsin0)]2+[ 2 wn2 cos(njt sin 0)—wnl sin(mt sin 0)]2}.
n=o
Глава 14
АНАЛИЗ АДАПТИВНЫХ УСТРОЙСТВ ФОРМИРОВАНИЯ
ЛУЧЕЙ
В гл. 13 рассмотрены основные свойства линейных решеток и
применение в них адаптивной обработки сигналов на основе ис-
пользования алгоритма наименьших квадратов. В данной главе
приводятся несколько дополнительных методов и алгоритмов ада-
птивного формирования лучей.
Однако прежде обсуждаются некоторые особенности функци-
онирования приемных решеток, соединенных с адаптивными уст-
ройствами формирования лучей. Как следует из предыдущего ма-
териала, такие системы предназначены одновременно для приема
сигналов по выбранному направлению приема и для подавления
помех по другим направлениям.
369
Функционирование приемных решеток
Широкополосная адаптивная решетка на рис. 13.15 является
основной схемой, которая рассматривается в данной главе. Сиг-
налы в этой системе могут быть как узкополосными, так и широ-
кополосными. Здесь имеется Л приемных элементов, каждый из
которых соединен с линией задержки, имеющей L отводов (адап-
тивным трансверсальным фильтром); таким образом, общее число
весовых коэффициентов системы равно KL.
Приходящий на приемную решетку сигнал состоит из суммы
полезного сигнала и шума, который включает в себя не только
шум приемника, но и все виды помех от сосредоточенных и про-
странственно распределенных источников. В идеальном случае не-
обходимо, чтобы выходной сигнал содержал полезный сигнал без
шума. На практике это достигается редко, и при создании схемы
обработки сигналов решетки нужно находить компромиссы, выби-
рая между уровнем подавления помех и степенью искажения по-
лезного сигнала. В данном подразделе рассматриваются два раз-
личных подхода. При первом выходной сигнал системы является
наплучшей среднеквадратической оценкой полезного сигнала, при
другом — суммой неискаженного полезного сигнала и помехи с
минимальной мощностью. Первый подход основан на критерии
минимума СКО, второй — на критерии максимального правдопо-
добия. Далее, в последующих подразделах, приводятся адаптив-
ные алгоритмы обработки сигналов адаптивных решеток в реаль-
ном масштабе времени в соответствии с этими двумя критериями.
Используемый здесь аналитический подход основан на работах
Л. Гриффитса [3, 4] и О. Фроста [7, 8].
Еще раз обратимся к схеме адаптивной решетки на рис. 13.15.
Возьмем некоторую точку в пространстве вблизи элементов ан-
тенны. Представим, что в этой точке размещен ненаправленный
элемент для приема смеси сигнала и шума. Пусть gu— составля-
ющая полезного сигнала на выходе ненаправленного элемента,
где k — индекс времени, как и прежде. Множество из KL весо-
вых коэффициентов (в данной главе для удобства один индекс
обозначает номер весового коэффициента, а второй, k,—индекс
времени) можно описать следующим образом:

(14.1)
- W(KL) к
Каждое из устройств умножения на весовой коэффициент, соеди-
ненное с линией задержки с отводами, принимает сумму сигнала
и шума. На входе Гго устройства умножения на весовой коэффи-
циент действует сигнал
xih = sih^-nlk. (14.2)
370
Здсь Sih — составляющая полезного сигнала, линейно связанная
с gk.. Линейные соотношения между gk и различными входными
сигналами отдельных устройств умножения на весовой коэффи-
циент возникают в результате прохождения полезного сигнала че-
рез решетку. Для i-ro устройства
= (14.3)
где Fi[-1—линейная функция. Очевидно, что для всей решетки
на сумме корреляционных матриц полезного сигнала и шума. Со-
ответственно
Rss Д Е [Sft Si], Raw £ [Nfe NJ]. (14.6)
Rxx = Rss + Ra’.v. (14.7)
Полезным откликом на выходе адаптивной решетки является сам
полезный сигнал. Взаимокорреляционная функция полезного от-
клика и вектора X
Ps = E[gM=E[ghSh\. (14.8)
Оптимальный вектор весовых коэффициентов, при котором вы-
ходной сигнал является наилучшей серднеквадратической оценкой
полезного сигнала, имеет вид
W* = R^P.s = IRs.s4-R.v.v1'4 (14.9)
Эту формулу можно приближенно реализовать, вычисляя R и R1
по реальному входному сигналу, равному сумме сигнала и шума.
При неизвестном полезном сигнале (если он известен, нет необ-
ходимости в приемнике) можно найти Р, зная автокорреляци-
онную функцию полезного сигнала и направление его прихода.
Учитывая геометрическую конфигурацию решетки, временные за-
держки, возникающие при прохождении полезного сигнала через
решетку, и временные задержки, набегающие на отводах линии
задержки, можно вычислить взаимокорреляционные функции по-
лезного сигнала gh и различных его составляющих Sik на входах
устройств умножения на весовой коэффициент. В любом случае
можно вычислить R-1 и Р и построить оптимальное в среднеквад-
ратическом смысле устройство обработки.
Для вычисления оптимальных в среднеквадратическом смысле
решений часто применяют адаптивные методы в реальном мас-
штабе времени, а не матричные способы. Одним таким методом
является рассмотренный в гл. 13 алгоритм с пилот-сигналом. Оп-
37)
ределим теперь, согласуется ли решение алгоритма с пилот-сиг-
налом с соотношением (14.9).
Анализ проведем для алгоритма с одним режимом, структур-
ная схема которого показана на рис. 13.18. Пусть ph — пилот-сиг-
нал. Будем считать, что этот сигнал подается на систему с неко-
торым перестраиваемым коэффициентом передачи 0. Тогда полез-
ный отклик для этого адаптивного процесса
4 = (14.10)
Как указано выше, входные сигналы устройств умножения на ве-
совой коэффициент включают в себя составляющие полезного сиг-
нала, помехи и в данном случае дополнительные составляющие
пилот-сигнала. Обозначим эти составляющие пилот-сигнала век-
тором pTh.
Полезный сигнал не известен, но полагаем, что наряду с гео-
метрической конфигурацией приемной антенны и ее характерис-
тиками известны его направления прихода и статистические свой-
ства. Пилот-сигнал формируется таким образом, что имеет такую
же автокорреляционную функцию, что и полезный сигнал. Будем
считать, что все составляющие на входах устройств умножения на
весовой коэффициент, полезный сигнал, помеха и пилот-сигнал
являются некоррелированными. Следовательно,
R = Rss + Raw + Р2 Rss, (14.11)
где третье слагаемое есть автокорреляционная матрица составля-
ющих пилот-сигнала на входах устройств умножения на весовой
коэффициент, или
Е [₽Th • р ТЦ = р»Е [Tft Tl] = Р2 Rss.
(14.12)
Взаимокорреляционная функция полезного отклика и входных сиг-
налов устройств умножения на весовой коэффициент та же, что
для полезного отклика и составляющих пилот-сигнала на входах
этих устройств. Соответственно
dj
Р = £
(14.13)
diXKLk _
Применение в рассматриваемом случае алгоритма наименьших
квадратов приводит к следующему оптимальному вектору весовых
коэффициентов:
W* = R-' Р - (Rss + Rw + Р2 Rss)"' Р2 =
— (Rxx + Р2 Rss)-1 Ps- (14.14^
Полученный результат не совпадает точно с (14.9). В (14.14)
имеется смещение, возникающее из-за введения пилот-сигнала.
Однако при малых значениях р можно уменьшить это смещение.
Хотя это не следует явно из (14.14), но уменьшение р приводит к
увеличению шума адаптации в значениях весовых коэффициен-
372
тов, поэтому для достижения более близкого к оптимальному ре-
шения процесс адаптации должен быть медленным.
В [3] разработан алгоритм, который не только дает сходимость
к вектору весовых коэффициентов (14.9), приводящему к наилуч-
шей в среднеквадратическом смысле оценке полезного сигнала,
но и не требует введения пилот-сигнала. Далее приводятся описа-
ние этого алгоритма и анализ его свойств.
Алгоритм Гриффитса
Алгоритм Гриффитса основан на алгоритме наименьших квад-
ратов и использует определенные априорные сведения ( когда они
имеются) для организации высокоэффективного процесса адап-
тации в реальном масштабе времени. Здесь этот алгоритм дается
в общем виде, а затем в приложении к задаче адаптивного фор-
мирования лучей.
Алгоритм наименьших квадратов можно записать следующим
образом:
Wfe+1 = Wh + 2peft X(l = W(i + 2И (4 - yh) X, =
= Wft + 2p4Xft-2pt/ftXh. (14.15)
Если теперь в (14.15) подставить среднее E[4Xh]=P вместо
его мгновенного значения, то в результате получим алгоритм
Гриффитса
WA+1 = Wft + 2pP-2pyftXft. (14.16)
Этот алгоритм можно применять тогда, когда априорно известны
взаимокорреляционные функции полезного отклика и сигналов на
входах устройств умножения на весовые коэффициенты. В таком
случае для адаптивного алгоритма, осуществляющего среднеква-
дратическую оценку в реальном масштабе времени, не нужен в
качестве входного сигнала полезный отклик dh в реальном мас-
штабе времени. Описанный процесс реализуется схемой на
рис. 14.1.
Оптимальное решение для (14.16) можно получить следующим
образом. Заменяя уь на XTftWfe, равенство (14.16) можно пе-
реписать в виде
Wfe+1 = Wh + 2рР - 2р (XT Wft) Xft =
= Wft + 2р,Р — 2pXft XJ Wft. (14.17)
Пусть векторы входного сигнала Xft, Хд-i, Xh-z, — стационар-
ные случайные некоррелированные процессы с нулевым средним;
тогда W!; и Х;, —• некоррелированны. Найдем математическое ожи-
дание для (14.17):
Е [WHi] = Е [Wft] + 2цР - 2pRE [WJ =
= [I - 2p,RJ E [WJ + 2p,P. (14.18)
373
Р = /: [J.XJ
Рис, 14.1. Схема реализации алгоритма Гриффитса. В этом алгоритме не ис-
пользуется полезный отклик
Аналогичное уравнение уже решено в гл. 4, начиная с (4.38), по-
этому
lim Е [Wft] = R-1 Р,
fe->oo
(14.19)
при условии, что, как и в (4.45),
V^max :> Н :> О-
(14.20)
Аналогично алгоритму наименьших квадратов алгоритм Гриффит-
са является несмещенным и приводит к оптимальному решению.
На рис. 14.2 приведена схема адаптивного устройства форми-
рования лучей, основанного на алгоритме Гриффитса. Для уста-
новления луча в направле-
нии приема используются
задержки Ль Аз, А3, ..., Ак.
На выходе этих задержек
полезный сигнал появ-
ляется в фазе, т. е. в не-
обходимый момент регист-
рации. Каждый из блоков
является фильтром, состоит
из линии задержки с от-
Рис. 14.2. Схема адаптивного уст-
ройства формирования лучей по
алгоритму Гриффитса. Адаптация
каждого фильтра осуществляется
в соответствии с (14.16) и со
схемой на рис. 14.1
374
водами, адаптация весовых коэффициентов которой осуществля-
ется в соответствии с (14.16). Полезным откликом является по-
лезный сигнал, а компоненты вектора Р представляют собой вза-
имокорреляционные функции составляющих полезного сигнала
на входе отдельных устройств умножения на весовой коэффици-
ент и полезного отклика, т. е. самого полезного сигнала. Следо-
вательно, компоненты вектора Р находятся по автокорреляцион-
ной функции полезного сигнала выбором задержек этой функ-
ции, соответствующих задержкам отводов линии.
Чтобы выходной сигнал решетки был наилучшей среднеквад-
ратической оценкой полезного сигнала, необходимо знать направ-
ление его прихода и его автокорреляционную функцию. Кроме
того, для правильного выбора задержек нужно знать геометри-
ческую конфигурацию решетки. По существу, такие же сведения
требуются для алгоритма с пилот-сигналом, но преимущества ал-
горитма Гриффитса состоят в том, что он приводит к несмещен-
ному решению и не требует применения ни пилот-сигнала, ни
вспомогательного устройства обработки сигнала, схема которого
показана на рис. 13.18. Однако алгоритм с пилот-сигналом нахо-
дит многие другие приложения в системах, в которых возможно
с расстояния передавать на приемную решетку реальный пилот-
сигнал. В этих случаях нет необходимости знать направление
приема и геометрическую конфигурацию решетки.
Алгоритм Фроста
Адаптивные устройства формирования лучей, использующие
как алгоритм Гриффитса, так и пилот-сигнал, накладывают неко-
торые ограничения на прием сигнала в заданном направлении.
Слабый полезный сигнал, приходящий по направлению приема,
почти не влияет на чувствительность этих устройств по отноше-
нию к нему, но при этом есть тенденция к частичной режекции
мощного сигнала, даже если он приходит точно по направлению
приема. Для преодоления этого ограничения О. Фрост в [7, 8]
предложил алгоритм, в котором по направлению приема чувстви-
тельность решетки остается фиксированной независимо от уров-
ня полезного сигнала, приходящего по этому направлению.
На рис. 14.3 приведена структурная схема адаптивного уст-
ройства формирования лучей, работающего по алгоритму Фрос-
та. Здесь снова для синхронизации составляющих полезного сиг-
нала, приходящего по направлению приема на входы линий за-
держек с отводами, используются задержки. Все линии задержки
имеют одну и ту же длину.
Положим, что полезный сигнал приходит по направлению при-
ема. Тогда можно считать, что составляющая этого сигнала на
выходе системы получена от некоторого «эквивалентного устрой-
ства обработки» (рис. 14.3), которое представляет собой линию
задержки с отводами с полезным сигналом на его входе. Выход-
ной сигнал этого устройства соответствует составляющей полезного
375
Задержки
Рис. 14.3. Схема адаптивного устройства формирования лучей по алгоритму
Фроста. Каждый весовой коэффициент эквивалентного устройства обработки
сигналов равен сумме соответствующих К весовых коэффициентов верхней
схемы: ЛЗО — линия задержки с отводами
сигнала на выходе системы, если, как показано на рис. 14.3, каж-
дое из значений весовых коэффициентов эквивалентного устрой-
ства обработки равно сумме значений соответствующих весовых
коэффициентов адаптивного устройства обработки. Чтобы понять
это более четко, можно записать прямоугольную матрицу значе-
ний весовых коэффициентов так, чтобы она совпадала с геомет-
рическим расположением устройств умножения на весовой коэф-
фициент в адаптивном устройстве обработки. Каждый весовой ко-
эффициент эквивалентного устройства обработки должен иметь
значение, равное сумме элементов соответствующего столбца
матрицы.
Параметры эквивалентного устройства обработки можно выб-
рать так, чтобы при прохождении через адаптивное устройство
формирования лучей полезный сигнал подвергался фильтрации с
заданной частотной характеристикой. Если не требуется специаль-
ная фильтрация, то все весовые коэффициенты эквивалентного
устройства обработки можно положить равными нулю, за исклю-
чением одного, имеющего единичное значение. При этом в напра-
влении приема формируется плоская частотная характеристика с
единичным коэффициентом передачи, и соответственно полезный
сигнал появляется на выходе системы без искажений (если не
считать аддитивный шум).
После того, как для заданного отклика по направлению прие-
ма выбраны и зафиксированы параметры или весовые коэффи-
циенты эквивалентного устройства обработки, можно изменять
весовые коэффициенты адаптивного устройства обработки при ог-
раничении относительно их суммы по столбцам, как показано на
376
рис. 14.3. Весовые коэффициенты адаптивного устройства могут
адаптироваться с целью минимизации мощности сигнала на вы-
ходе системы. Таким способом адаптивное устройство формиро-
вания лучей по алгоритму Фроста осуществляет фильтрацию по-
лезного сигнала, приходящего по направлению приема, в соответ-
ствии с заданной передаточной функцией (в качестве которой
можно взять просто единичный коэффициент передачи) и в то же
самое время минимизирует мощность выходного сигнала. Посколь-
ку в качестве полезного сигнала определен сигнал, приходящий
по направлению приема, а любой некогерентный сигнал, прихо-
дящий по этому направлению, становится помехой, то минимиза-
ция мощности выходного сигнала приводит к тому, что сигнал на
выходе системы является оценкой отфильтрованного полезного
сигнала с минимальным среднеквадратическим отклонением.
Если заданная передаточная функция эквивалентного устрой-
ства обработки полезного сигнала равна единице по амплитуде и
имеет линейно изменяющуюся или нулевую фазу, то составляю-
щая полезного сигнала появляется на выходе системы неискажен-
ной, но смешанной с аддитивной помехой. Следовательно, сигнал
на выходе системы является оценкой полезного сигнала с мини-
мальным среднеквадратическим отклонением. В [2, 5, 6] показа-
но, что если помехи и полезный сигнал являются гауссовскими
случайными процессами с нулевым средним значением, то такая
оценка является также наилучшей оценкой полезного сигнала по
критерию максимального правдоподобия. Поэтому иногда такое
устройство обработки называют также адаптивным устройством
максимального правдоподобия.
При отсутствии введенного выше ограничения минимизация
мощности выходного сигнала приводит к обнулению всех адаптив-
ных весовых коэффициентов и сигнала на выходе системы. Ука-
занное ограничение необходимо для поддержания работоспособ-
ности системы и носит линейный характер, так как заключается в
том, что линейные комбинации адаптивных весовых коэффициен-
тов должны быть константами.
Если помехи не коррелированы со всеми другими составляю-
щими сигнала или шума, то на выходе системы наблюдается
увеличение мощности сигнала. Минимизация этой мощности при-
водит, в свою очередь, к тому, что адаптивное устройство форми-
рования лучей формирует провалы ДН с целью режекции этих
помех.
В адаптивном устройстве формирования лучей с алгоритмом
Фроста имеется ограниченное число степеней свободы, и они рас-
пределяются некоторым оптимальным образом, так что на выхо-
де минимизируется общая мощность направленных помех, нена-
правленных шумов и шума приемника. Из-за указанных выше ог-
раничений число степеней свободы меньше общего числа адаптив-
ных весовых коэффициентов, и эта разница равна числу весовых
коэффициентов эквивалентного устройства обработки сигналов.
377
Для адаптации весовых коэффициентов используется новый
вид алгоритма наименьших квадратов, который минимизирует
среднеквадратическую ошибку при имеющихся ограничениях. По-
дробно этот алгоритм обсуждается в упражнениях 7, 8. Здесь
приводится более краткое изложение.
Пусть имеется К элементов антенны и каждый соединен с ли-
нией задержки с L отводами. Предположим, что для формирова-
ния луча по направлению приема используются задержки, как
показано на рис. 14.3, поэтому принятые составляющие полезного
сигнала синхронизированы в соответствующих точках линий за-
держки с отводами. Как описано выше, адаптивные весовые ко-
эффициенты можно расположить в виде прямоугольной матрицы

Wlk
W(L+l}k
W(2L+\)k
W2h
wLk
w2Lk
(14.21)

Кроме того, в виде соответствующей прямоугольной матрицы мож-
но записать входные сигналы устройств умножения на весовой ко-
эффициент
(14.22)
Заданные весовые коэффициенты эквивалентного устройства
обработки составляют некоторый вектор
С£[с1 с2 ... сД. (14.23)
Вводимое в схеме на рис. 14.3 ограничение можно выразить в
виде
[1 1 ... 1] Wft == С для всех k. (14.24)
Алгоритм Фроста представляет собой итеративный процесс, для
которого можно считать, что цикл адаптации состоит из двух ша-
гов. На первом шаге для уменьшения мощности выходного сиг-
нала адаптация осуществляется по алгоритму наименьших квад-
ратов, на втором — проводится коррекция каждой суммы элемен-
тов каждого столбца (14.21) так, чтобы выполнялось (14.24). Кор-
рекции равномерно распределяются по этим элементам. Ког-
да условия оказываются выполненными, текущий цикл адаптации
является завершенным, и система готова для следующего цикла.
Поскольку в этом алгоритме минимизируется мощность на вы-
ходе, сигналом «ошибки» является выходной сигнал Для пер-
378
вого шага, на котором уменьшение мощности на выходе осуществ-
ляется по алгоритму наименьших квадратов, можно записать
Wft+i/2 = -г 2[iyh Xh. (14,25)
На первом шаге возникает ошибка относительно введенных огра-
ничений, равная
С —[1 1 ... l]WA+1/2. (14.26)
На втором шаге для коррекции этой ошибки весовые коэффи-
циенты перестраиваются следующим образом. Вектор коррекции
— [С— [1 1... 1] WA+1 /2] = [61А-Н/2 е^+1/2].
Л
(14.27)
Далее, матрица коррекции
Clfe+I;2
Е/г-(-1/2 =
ebfe+l/2
е«+1/2.
(14.28)
еМ4-1 '2
На втором шаге осуществляется сложение Ей+1/2 с матрицей зна-
чений весовых коэффициентов, т. е.
Wft+1 = Wft+b2 Ч-Ё^1/2. (14.29)
По завершении второго шага (т. е. цикла адаптации) выпол-
няется условие (14.24). Алгоритм Фроста можно записать в виде
суммы (14.25) и (14.29):
W/e.ri = Wh + 2yyh Xh + Eft+1/2 , (14.30)
где Ek+i/2 находится из (14.28), (14.27) и (14.25).
Отметим, что алгоритм Фроста является гибким. Хотя он мо-
жет показаться сложным, линейные ограничения легко реализу-
ются в рекурсивных процессах оценки среднеквадратических зна-
чений. Кроме того, можно предложить алгоритмы с нелинейными
ограничениями, но для таких алгоритмов трудно проводить дока-
зательства сходимости и находить ее скорость.
Когда условия ограничения выбраны так, что решетка имеет
по направлению приема единичный коэффициент передачи и ли-
нейно изменяющуюся или нулевую фазу, выходной сигнал ре-
шетки равен сумме неискаженного полезного сигнала и аддитив-
ного шума. Выходной сигнал решетки представляет собой оценку
максимального правдоподобия полезного сигнала.
Существуют другие разновидности адаптивных устройств фор-
мирования лучей, работающих по алгоритму Фроста. В [10, 11]
приведен анализ одного из алгоритмов, который аналогичен рас-
сматриваемому в гл. 12 адаптивному устройству подавления по-
мех.
На рис. 14.4 приведена структурная схема, реализующая этот
алгоритм. Как и в предыдущей схеме, здесь для синхронизации
составляющих приходящего по направлению приема полезного
379
Рис. Г4.4. Вариант адаптивного устройства формирования лучей по алгоритму
Фроста
сигнала используются задержки. С точки зрения адаптивного по-
давления помех входной сигнал представляет собой отфильтро-
ванную реализацию суммы этих задержанных сигналов антенны.
Фильтр обладает импульсной характеристикой, соответствующей
вектору С (14.23). Если не нужна фильтрация полезного сигна-
ла, то можно считать, что коэффициент передачи фильтра на всех
частотах равен единице. В этом случае входной сигнал состоит
из суммы полезного сигнала, приходящего по направлению прие-
ма, и помехи.
Снова обратимся к рис. 14.4. Поскольку синфазные полезные
сигналы, снимаемые с отдельных ненаправленных элементов, по-
парно вычитаются, эталонные сигналы не имеют составляющих
полезного сигнала, а содержат только помеху и подаются на ряд
адаптивных фильтров (линий задержки с отводами), затем сум-
мируются, и результат вычитается из входного сигнала. В итоге
сигнал на выходе системы равен сумме полезного сигнала (или
соответствующим образом отфильтрованного полезного сигнала)
и помехи. При К элементах антенны число адаптивных фильтров
составляет К—1. Поскольку значение каждого из L весовых ко-
эффициентов каждого адаптивного фильтра не подвергается огра-
ничениям, число степеней свободы равно (Д’—1)Е, что аналогич-
но исходному устройству обработки по алгоритму Фроста с KL
весовыми коэффициентами.
В [11] показано, что система на рис. 14.4 обладает свойством
находить такое же оптимальное решение, как и исходная систе-
380
ма на рис. 14.3. Однако постоянные времени адаптации для обеих
систем могут быть неодинаковыми.
Приведенная на рис. 14.4 система является простой для пони-
мания и применения. При ее реализации можно использовать
почти любой алгоритм адаптации. На процесс адаптации не на-
кладывается никаких ограничений, однако передаточная функция
системы по направлению приема является заданной.
Рассмотренные устройства, а также приведенные в гл. 13 ус-
тройства с пилот-сигналом имеют различное математическое опи-
сание, хотя в большинстве практических случаев они обладают
аналогичными свойствами. Все устройства стремятся подавить по-
мехи и уменьшить боковые лепестки при наличии ненаправленно-
го шума. Эти устройства обычно относят к «полностью» адаптив-
ным устройствам формирования лучей в отличие от устройств по-
давления боковых лепестков, имеющих, как правило, меньшее
число весовых коэффициентов и, следовательно, меньшее число
степеней свободы.
Адаптивное устройство формирования лучей, имеющее полюса
и нули
Как показано в [12, 14], при адаптивном формировании лучей
полезно иметь адаптивную передаточную функцию, имеющую по-
люса и нули. В такой системе возможен более высокий и качест-
венный уровень подавления, чем в системе, передаточная функция
которой имеет только нули, с эквивалентным числом адаптивных
весовых коэффициентов. Там же показано, как получить квадра-
тичную рабочую функцию на основе описанного в гл. 10 (напри-
мер, рис. 10.17) подхода. Минимизация «неправильной» рабочей
функции за счет адаптации полюсов и нулей обычно приводит к
лучшим характеристикам, чем минимизация «правильной» рабо-
чей функции с адаптацией только нулей. При минимизации «пра-
вильной» рабочей функции с адаптацией как нулей, так и полю-
сов оптимизируется неквадратичная и неунимодальная рабочая
функция, и, как показано в гл. 8, при этом возникает неопреде-
ленный и неустойчивый процесс.
Основной составной частью широкополосного адаптивного уст-
ройства формирования лучей является адаптивный фильтр. Мож-
но использовать рассматриваемый в гл. 7, 8, 10 адаптивный БИХ-
фильтр, схема которого приведена еще раз на рис. 14.5. Средний
квадрат сигнала ошибки щ является квадратичной функцией ве-
совых коэффициентов прямого звена A(z) и неквадратичной фун-
кцией весовых коэффициентов звена обратной связи B(z). Чтобы
фильтр был реализуемым, как и на рис. 7.2, полагаем коэффи-
циент Ьо функции B(z) равным нулю. Передаточная функция
фильтра имеет вид
A(z)/(1-B(< (14.31)
381
Рис. 14.5. Общая схема
адаптивного фильтра с
обратной связью. Обоз-
начения аналогичны
обозначениям на рис.
7.2, 8.5 и 10.16

На рис. 14.6 показана несколько иная схема, которая реализу-
ет описанный в гл. 10 подход. Сигналы ошибки е& и е\ связаны
между собой, но характер их взаимосвязи, как показано в гл. 10
в (10.21), меняется по мере изменения в процессе адаптации фун-
кции A (z). Минимизация среднего квадрата сигнала ошибки е\
проходит не так, как минимизация среднего квадрата сигнала
ошибки eh. Исключение, однако, представляет случай, когда мож-
но найти такие A (z) и В (z), при которых сигнал ошибки е\ при-
водится к нулю. В этом случае сигнал ошибки на входе равен ну-
лю до тех пор, пока полином 1—B(z) не имеет нулей на окруж-
ности единичного радиуса на z-плоскости. Обычно уменьшение
сигнала ошибки е\ приводит к уменьшению сигнала ошибки на
выходе.
На рис. 14.71 приведена схема адаптации A(z) и B(z), про-
водимой для минимизации среднего квадрата сигнала ошибки е\.
Здесь показан практический, вариант адаптивного БИХ-фильтра.
Из представленной схемы видно, что средний квадрат сигнала
ошибки s'h есть квадратичная функция весовых коэффициентов
звеньев A (z) и В (z). Выходной сигнал снимается с фильтра, име-
ющего передаточную функцию
1/(1 -В (z)).
Параметры этого фильтра находят по
(14.32)
передаточной функции 1—
—В (z), которая, в свою
очередь, определяется в
ходе адаптивного про-
цесса.
Реализация рекурсив-
ной передаточной функ-
ции (14.32) не представ-
ляет трудности,за исклю-
чением тех случаев, когда
Рис. 14.6. Схема филыра,
описанного в гл. 10
1 Более подробная схема адаптивных фильтров и процесса адаптации при-
ведена на рис. 10.17.
382
Рис. 14.7. Практический
пример схемы адаптации с
бесконечной импульсной ха-
рактеристикой, использую-
щей фильтр на рис. 14.6
задержка
один или более ее полюсов оказываются вне окружности единично-
го радиуса. Как отмечено в гл. 10, для таких случаев существует
несколько способов реализации устойчивого варианта (14.32) в
качестве выходного фильтра. В наиболее простом способе в тракт
прохождения полезного отклика включается регулируемая задер-
жка, как это показано на рис. 14.7. Почти всегда значение задер-
жки Д можно выбрать так, чтобы 1—B(z) была минимально-
фазовой, т. е. все ее нули располагались внутри окружности еди-
ничного радиуса. При таком подходе потенциальная трудность
состоит в том, что введение большой задержки Д может привести
к большому значению минимальной СКО. Кроме того, задержи-
вается выходной сигнал yh, что в некоторых приложениях также
вызывает осложнения. Вообще для реализации наилучших ха-
рактеристик значение Д следует выбирать как можно меньшим.
Если знаменатель в (14.32) не является минимально-фазовой
функцией, то можно использовать другие способы. Как показано
в гл. 10, полином 1—B(z) можно разложить на множители и за-
тем, меняя расположение корней, находящихся вне окружности
единичного радиуса, прийти к минимально-фазовой функции 1 —
—B'(z), тем самым сохраняя амплитудный отклик, но искажая
фазовый отклик. При этом, как показано на рис. 14.8, фазовый
отклик, а также разницу между сд и е\ можно скомпенсировать
при последовательном включении с фильтром, имеющим переда-
точную функцию (14.32), адаптивного КИХ-фильтра с передаточ-
ной функцией C(z), полезный отклик которого равен первоначаль-
ному полезному отклику всего фильтра. Работоспособность тако-
го подхода показана в [14]. Однако, как отмечалось в гл. 8, для
нахождения наилучших методов решения задач, в которых знаме-
натель в (14.32) не является минималыю-фазовой функцией, и
вообще для лучшего понимания задачи адаптации передаточных
функций с полюсами и нулями необходимы дополнительные ис-
следования.
Рассмотрим теперь приложение способа адаптации с БИХ-
фильтром для схемы на рис. 14.4. На рис. 14.9 показана система
с двумя ненаправленными элементами, коэффициент передачи ко-
383
Компенсатор фазы
Рис. 14.8. Схема, аналогичная рис. 14.7, в которой вместо задержки на входе
введено устройство компенсации фазы
торой по направлению приема под нулевым, в данном случае, уг-
лом равен единице. Адаптивный фильтр стремится подавить лю-
бой входной сигнал, приходящий не по направлению приема. На
рис. 14.10 приведена та же система с адаптацией передаточной
функции с полюсами и нулями. Сравнение рис. 14.4, 14.6, 14.9 и
Рис. 14.9. Вариант двухэле-
ментного адаптивного устрой-
ства формирования лучей, при-
веденного на рис. 14.4
Обращение
передаточной функции
Рис. 14.10. Вариант двухэлементного адаптивного устройства формирования
лучей, приведенного на рис. 14.4, с полюсами и нулями
384
Рис. 14.11. Вариант двухэлементного адаптивного устройства формирования
лучей, приведенного на рис. 14.4, с полюсами и нулями и неминимально-фазо-
вым устройством компенсации
51
Рис. 14.12. Диаграмма направ-
ленности и энергетический
спектр адаптивного устройст-
ва формирования лучей по ал-
горитму Фроста с пятью весо-
выми коэффициентами для
каждого элемента решетки
13-12
385
14.10 показывает, как реализуется подход с использованием сиг-
нала ошибки e'h в данном приложении. Затем на рис. 14.11 по-
казано, как в систему в целом можно ввести способ реализации
неминимально-фазовой передаточной функции. Из сравнения рис.
14.4 и рис. 14.11 видно, как этот же подход можно применить к
решеткам с большим числом элементов.
Как показано в следующих двух примерах, адаптивное форми-
рование лучей с применением фильтра, передаточная функция ко-
торого имеет полюса и нули, является весьма эффективным. На
рис. 14.12 приведены АЧХ и ДН обычного адаптивного устрой-
ства формирования лучей по алгоритму Фроста с направлением
приема под углом 0° и одной широкополосной помехой с направ-
лением прихода под углом 225°. В этом примере условие (14.24)
состоит в том, что АЧХ в направлении сигнала должна быть
плоской, а в направлении и на частотах помехи необходимо иметь
малое значение коэффициента передачи. На рис. 14.13 приведе-
ны аналогичные кривые для адаптивного устройства формирова-
ния лучей с передаточной функцией, имеющей полюса и нули,
для тех же направления приема, широкополосной помехи и числа
весовых коэффициентов на каждый ненаправленный элемент. Хо-
Рис. 44.13. Диаграмма напра-
вленности и энергетический
спектр двухэлементного адап-
тивного устройства формиро-
вания лучей по алгоритму
Фроста. Передаточная функ-
ция устройства фильтрации
для каждого элемента решет-
ки имеет три нуля и два по-
люса (пять весовых коэффи-
циентов)
386
Рис. 14.14. Диаграм-
ма направленности и
энергетический спектр
трехэлементного ада-
птивного устройст-
ва формирования лу-
чей по алгоритму
Фроста с семью ве-
совыми коэффици-
ентами для каждого
элемента
тя число используемых весовых коэффициентов одинаково, в сис-
теме с полюсами и нулями подавление является более глубоким
и пространственно более эффективным. Для случая на рис. 14.13
знаменатель в (14.32) представляет собой минимально-фазовую
функцию, поэтому для его реализации не требуется специальных
мер. Во втором примере (рис. 14.14 и 14.15) с тремя ненаправ-
ленными элементами и L = 1 получены аналогичные результаты
для двух одновременно действующих широкополосных помех. При
заданном числе адаптивных весовых коэффициентов в системе с
полюсами и нулями формируются более глубокие провалы в на-
правлениях помех.
Замена при необходимости нулей полинома 1—В(г) на обрат-
ные значения в системе на рис. 1.4-12 или в системе на рис. 14.14
не оказывает большого влияния на процесс подавления помех,
так как формирование провалов определяется функциями А (?) и
13* 387
14.15. Диаграм-
направленности и
эгетический спектр
«элементного уст-
ства формирова-
лучей по алго-
му Фроста. Пере-
очная функция
ройства фильтра-
каждого
решетки
|меет три нуля и че-
ыре полюса (семь
есовых коэффици-
ентов)
для
B(z), а компенсация фазы с помощью введения функции С (г)
связана главным образом с фазой полезного сигнала, проходяще-
го через звено C(z) на выход системы (рис. 14.8).
Подавление и искажения сигнала
Во всех рассматриваемых до сих пор адаптивных устройствах
формирования лучей и аналогичных системах, которые здесь спе-
циально не рассматривались, но которые основаны на общих
идеях оптимизации по среднеквадратическим критериям, в резуль-
тате адаптивного процесса при одновременном действии сигналов
и помех имеет место подавление сигнала, которое усугубляется
при быстрой адаптации.
Функционирование адаптивных устройств формирования лучей
описано с помощью теории среднеквадратического оценивания.
388
Оптимальные решения достигаются при использовании работаю-
щих в реальном масштабе времени адаптивных алгоритмов толь-
ко в пределе, когда ц стремится к нулю, а постоянные времени
адаптации — к бесконечности. Однако быстрая адаптация при
относительно небольших выборках входного сигнала, при которой
находятся наилучшие решения, приводит к флуктуациям значе-
ний весовых коэффициентов и к функционированию, отличному
от винеровского. В гл. 5 шум весовых коэффициентов рассматри-
вается в виде случайного процесса. Во многих случаях такой под-
ход является простым и правильным. Однако существуют ситуа-
ции, когда шум весовых коэффициентов является более структури-
рованным и через весовые коэффициенты может оказывать более
сильное влияние на сигналы. Такие случаи имеют место в адап-
тивных устройствах формирования лучей, когда на элементах ан-
тенны действуют одновременно сигналы и помехи. В результате
этого возникает частичное подавление сигнала, так как адаптив-
ный процесс и связанные с ним флуктуации весовых коэффици-
ентов таким образом модулируют помехи, чтобы приблизить их к
полезному сигналу. В соответствии с этим механизмом быстрая
минимизация мощности на выходе приводит к частичному иска-
жению сигнала.
Далее для более подробного анализа возникновения подавле-
ния сигнала рассмотрим первый простой пример. Пусть в систе-
му на рис. 14.3 по направлению приема приходит синусоидальный
полезный сигнал. Предположим, что условие (14.24) выбрано та-
ким, что сигнал должен появляться на выходе устройства форми-
рования лучей с единичным коэффициентом передачи. Положим
теперь, что на частоте сигнала несколько в стороне от направле-
ния приема появляется мощная помеха. При отсутствии сигнала
эта помеха обычным способом режектируется адаптивным уст-
ройством. Однако при наличии сигнала минимизация общей мощ-
ности на выходе приводит к тому, что помеха принимается с нуж-
ными значениями амплитуды и фазы и подавляет синусоидальный
сигнал. Таким образом, сигнал принимается с единичным коэффи-
центом передачи, но лишь небольшая принятая часть синусои-
дальной составляющей мощности помехи полностью подавляет
составляющую сигнала и приводит к нулевому сигналу на выхо-
де системы. С учетом ограничений мощность на выходе минимизи-
руется, но в процессе адаптации происходит потеря сигнала.
Если входной сигнал в направлении приема является широко-
полосным (а не синусоидальным), а помеха — синусоидальной,
то в соответствии с адаптивным алгоритмом (за счет изменения
весовых коэффициентов) синусоидальная помеха модулируется
таким образом, что на частоте (помехи и на соседних частотах
происходит подавление некоторых составляющих сигнала. На час-
тоте помехи в спектре сигнала образуется провал. Если сигнал
помехи равен сумме синусоидальных сигналов с разными часто-
тами, распределенными в полосе пропускания, то на каждой из
частот помехи в спектре выходного сигнала имеются провалы.
14°—12 389
Такое явление вносит осложнения даже при широкополосной
связи.
Эти и аналогичные им явления подавления сигнала уже рас-
сматривались и анализировались в гл. 12 в отношении адаптив-
ных систем подавления помех, которые проще адаптивных уст-
ройств формирования лучей. Например, в простом устройстве по-
давления, показанном на рис. 12.1, входной сигнал равен сумме
полезного сигнала s и помехи п0. В практических случаях эталон-
ный сигнал получают отдельно, и он содержит в себе помеху
связанную с помехой на входе. Обычно соотношение между обеи-
ми помехами априорно неизвестно, и адаптивный фильтр выделя-
ет эталонную помеху, для того чтобы найти приближение (в смыс-
ле минимальной СКО) помехи на входе, вычитает ее из входного
сигнала и формирует на выходе полезный сигнал. Как показано
в гл. 12, в системе на рис. 12.1 адаптивный фильтр минимизи-
рует мощность на выходе, в результате чего выходной сигнал сис-
темы является наилучшей среднеквадратической оценкой полез-
ного сигнала s. Устройство подавления боковых лепестков на рис.
13.1 функционирует в основном по такому же принципу, хотя в
некотором смысле является более сложным, поскольку полезные
сигналы и помехи имеются на обоих входах, кроме того, сложной
является пространственная обработка (т. е. обработка сигналов
решетки).
Если эталонный сигнал является синусоидальным, как в схе-
ме на рис. 12.6, то тракт прохождения от входа до выхода анало-
гичен линейному режекторному фильтру с неизменяющимися во
времени параметрами, как показано на рис. 12.8, 12.9. На первый
взгляд это кажется неожиданным, так как сам по себе адаптив-
ный фильтр является существенно нелинейным, и его параметры
изменяются во времени. Анализ режекторного фильтра приведен
в гл. 12, более детальный анализ для случаев режекции как од-
ной, так и многих помех представлен в [15, 16].
Рассмотрим снова показанное на рис. 12.6 адаптивное устрой-
ство подавления помех с двумя адаптивными весовыми коэффи-
циентами. Будем считать, что входной сигнал является произ-
вольным, т. е. может быть случайным, детерминированным, перио-
дическим или импульсным, а эталонный сигнал имеет вид CcosX
Х(&ыо + ф). Отсчеты эталонного сигнала Xik берутся непосредст-
венно с временным шагом Т. После сдвига его фазы на 90° снова
берутся отсчеты xlh. Устройства, фиксирующие отсчеты, являются
синхронными и стробируются в моменты / = 0, Т, 2Т, ....
Показанная на рис. 12.6 передаточная функция устройства по-
давления помех получена на основе рис. 12.7. Тракт прохождения
сигнала от входа до выхода представляет собой режекторный
фильтр, передаточная функция которого имеет пару комплексно
сопряженных нулей, расположенных на частоте со0 точно на ок-
ружности единичного радиуса. Как следует из (12.60), ширина
режектируемой полосы частот пропорциональна ц, т. е. обратно
пропорциональна постоянной времени адаптивного процесса.
390
На рис. 12.9 были даны результаты двух экспериментов, про-
веденных для анализа функционирования режекторного фильтра
адаптивной системы. В первом эксперименте входной сигнал —
это синусоидальный сигнал единичной амплитуды с переключени-
ем частоты по 512 дискретным значениям, а эталонный сигнал —•
это синусоидальный сигнал единичной амплитуды с частотой <по =
=л/2 рад и ц = 0,0125. Спектры на рис. 12.9 вычислены с помощью
преобразования Фурье по 512 точкам, а на рис. 12.9,а приведены
значения мощности выходного сигнала на каждой частоте. По
мере того как частота входного сигнала приближается к частоте
эталонного, возникает значительное подавление сигнала. Значе-
ния весовых коэффициентов не сходятся к устойчивым, а вместо
этого колеблются с различной частотой, и адаптивный фильтр ра-
ботает как модулятор, преобразующий частоту эталонного сиг-
нала в частоту входного. Теоретическое значение полосы режек-
ции на рис. 12.9,а определяется выражением (12.60).
Во втором эксперименте на рис. 12.9 входной сигнал представ-
ляет собой некоррелированные отсчеты белого шума единичной
мощности, а эталонный сигнал и параметры эксперимента анало-
гичны первому. На рис. 12.9,6 снова отчетливо наблюдается явле-
ние подавления сигнала (здесь построен усредненный по ансамблю
из 4096 реализаций спектр выходного сигнала устройства подав-
ления помех).
Таким образом, в описанных в гл. 12 экспериментах адаптив-
ная фильтрация синусоидального эталонного сигнала на данной
частоте приводит к подавлению составляющих сигнала на сосед-
них частотах. В частности, результат на рис. 12.9,6 показывает,
что при некоторых условиях составляющие входного сигнала мо-
гут частично подавляться и искажаться, даже если они не кор-
релированы с эталонным сигналом. Такое подавление, отличное
от виперовской фильтрации, имеет значительный уровень только
при большой скорости адаптации, т. е. при больших значениях ц.
При медленной адаптации весовые коэффициенты сходятся к поч-
ти фиксированным значениям, близким к оптимальному винеровс-
кому решению, и хотя имеет место подавление сигнала, его уро-
вень обычно незначителен, так как полоса режекции очень узкая.
В любом случае независимо от значения ц можно считать, что
входной сигнал проходит на выход через режекторный фильтр.
Подавление сигнала вызвано флуктуациями вектора весовых ко-
эффициентов около винеровского решения.
Кроме того, в адаптивных устройствах формирования лучей
имеют место другие явления подавления сигнала. Пусть приведен-
ное на рис. 13.1 простое устройство подавления боковых лепест-
ков работает с сигналом, состоящим из суммы сигнала и одной
помехи. Оба элемента решетки являются ненаправленными и при-
нимают сигнал и помеху. Будем считать, что мощность помехи
намного больше мощности сигнала и адаптивный фильтр имеет
достаточное число степеней свободы для подавления помехи, но
недостаточное для подавления как помехи, так и сигнала. В этом
14°* 39А
случае, поскольку помеха намного мощней сигнала, она «захва-
тывает» степени свободы, что приводит к ее подавлению. В соот-
ветствии с винеровской теорией сигнал почти не оказывает влия-
ния на адаптивные весовые коэффициенты и наряду с небольши-
ми неподавленными составляющими помехи поступает на выход
системы.
> Приведенная на рис. 13.1 система аналогична адаптивному
устройству подавления помех, представленному на рис. 12.1, за
исключением того, что эталонный сигнал в схеме на рис. 13.1
содержит наряду с мощными помехами и сигнал. После адапта-
ции весовых коэффициентов адаптивный фильтр на рис. 13.1 про-
пускает этот сигнал и вычитает результирующий сигнал из вход-
ного, тем самым внося некоторые искажения в сигнал на выходе
системы.
Как отмечено выше, оптимальное решение достигается только
в пределе, когда скорость адаптации (т. е. параметр ц) стремится
к нулю. Динамические изменения весовых коэффициентов, при-
сущие процессу адаптации, приводят к эффектам модуляции, вы-
зывающим подавление сигнала, и далее рассматриваются имен-
но эти эффекты.
Если, как предполагалось, мощность сигнала на эталонном
входе мала по сравнению с мощностью помехи, то влиянием сиг-
нала на адаптивный фильтр можно пренебречь. Если считать, что
помеха является узкополосной или синусоидальной, то имеет мес-
то случай, аналогичный приведенному на рис. 12.6. Как указано
выше, тракт прохождения сигнала от входа до выхода эквивален-
тен режекторному фильтру. Таким образом, на выходе системы
на частоте помехи и на соседних частотах возникает подавление
как составляющих помех, так и составляющих сигнала.
Для подтверждения этого заключения проводили эксперимент
для устройства подавления боковых лепестков, реализующего ал-
горитм Хауэллза— Аппельбаума, с двумя разнесенными на X0i/4
ненаправленными элементами и адаптивным фильтром с четырьмя
весовыми коэффициентами. В качестве сигнала взят ограничен-
ный по полосе сигнал с углом прихода 0 = 90°, с частотой, равной
четверти частоты отсчета, и шириной полосы, составляющей 20%.
общей ширины полосы. В качестве помехи выбрана синусоидаль-
ная помеха с углом прихода 0 = 45°, с той же частотой и мощ-
ностью, в 100 раз большей мощности сигнала. На рис. 14.6 при-
ведены ДН и частотная характеристика антенны, из которых вид-
но, что подавление бокового лепестка происходит описанным вы-
ше образом. Из рис. 14.16,а, б следует, что в направлении помехи
на ее частоте сформирован провал уровня 40 дБ, а из рис.
14.16,в — что частотная характеристика решетки в направлении
сигнала является достаточно плоской в его полосе частот. В це-
лом кривые на рис. 14.16 показывают, что устройство подавления
боковых лепестков, реализующее алгоритм Хауэллза — Аппель-
баума, приближается к идеальному.
392
Мощность сигнала равна 1
Рис. 14.16. Характеристики устройства подавления боковых лепестков по алго-
ритму Хауэллза — Аппельбаума после адаптации:
a — ДН на частоте помехи; б, в —частотные характеристики в направлении помехи и в
направлении приема
Однако анализ спектров выходного сигнала антенны в уста-
новившемся режиме показывает другую картину. На рис. 14.17
приведены усредненные по ансамблю спектры сигнала, помехи и
выходного сигнала антенны при работе устройства с р, = 2,5-10-4.
Из рис. 14.17,в ясно видно, что здесь возникают присущие этой
простой системе эффект модуляции и искажения сигнала. В сис-
теме всегда осуществляется режекция, и режектируемую полосу
можно сузить только за счет снижения скорости адаптации.
Аналогичные эффекты подавления сигнала возникают в адап-
тивном устройстве формирования лучей, реализующем алгоритм
Фроста. Для анализа подавления сигнала в таком устройстве про-
водился другой эксперимент для четырехэлементной решетки с че-
тырьмя весовыми коэффициентами на каждый элемент. В этом
эксперименте использован тот же сигнал с углом прихода 0 = 90°,
что и в предыдущем случае. Условия ограничения состоят в том,
что в направлении приема коэффициент передачи равен едини-
це, а фаза — нулю на частотах от нулевой до равной половине
частоты отсчетов, т. е. частотная характеристика является плос-
* • 393
0,022-]
Частота (частота отсчета равна 1)
а)
Частота (частота отсчета равна 1)
6}
Рис. 14.17. Полученные в результате моделирования энергетические спектры
устройства формирования лучей по алгоритму Хауэллза—Аппельбаума:
а — входного сигнала; б — помехи; в — выходного сигнала устройства
Мощность сигнала
равна 10
г
10
б)
-40J--------,-------,-------,------,-------,
б Частота (частота отсчета равна 1)
Рис. 14.18. Характерис-
тики устройства форми-
рования лучей по алго-
ритму Фроста после
адаптации:
а —ДН на частоте помехи;
б, в — частотные характери-
стики в направлении поме-
хи и в направлении приема
394
кой на всех частотах. Помеха представляет собой синусоидальный
сигнал с частотой, равной четверти частоты отсчетов.
В этих экспериментах не учтены ненаправленный шум и шум
приемника. На рис. 14.18 приведены ДН и частотные характерис-
тики антенны в направлениях как сигнала, так и помехи. Около
частоты помехи коэффициент передачи является почти постоян-
ным в направлении приема и имеет малое значение в направле-
нии помехи; его измеренное значение на 40 дБ ниже, чем для ос-
новного луча. Как и в случае устройства подавления, реализую-
щего алгоритм Хауэллза — Аппельбаума, ДН показывает, что
адаптивное устройство формирования лучей функционирует пра-
вильно.
Однако из рис. 14.19 снова следует, что это не совсем так. На
рис. 14.19,а показан спектр сигнала с ограниченной полосой, при-
нятого адаптивным устройством формирования лучей, реализую-
щим алгоритм Фроста, на рис. 14.19,6 — спектр синусоидальной
помехи с углом прихода 0 = 45°, а на рис. 14.19,в — спектр вы-
ходного сигнала устройства, работающего при ц=10~3. На выхо-
де системы входной сигнал появляется после прохождения через
режекторный фильтр. В спектре выходного сигнала явно наблю-
дается эффект режекции, что говорит об искажении сигнала на
выходе системы. Приближенно ширина полосы режекции опреде-
ляется выражением (12.60). Для устройства с 16 весовыми ко-
эффициентами, описанного в этом эксперименте, не выполняются
Частота (частота отсчета равна 1)
K's
Рис. 14.19. Полученные в результате моделирования энергетические спектры
устройства формирования лучей по алгоритму Фроста:
а — входного сигнала; б — помехи; в — выходного сигнала устройства
395
условия, для которых получена эта формула, тем не менее она 1
дает по крайней мере приблизительное значение ширины полосы ;
режекции, применимое для большинства углов прихода помех.
Для более глубокого понимания явления подавления сигнала,
снова рассмотрим схему на рис. 14.4. Для удобства изложения
будем считать, что по условиям ограничений коэффициент пере-
дачи должен быть равным единице, а фаза — нулю на всех час-
тотах. При таких условиях полезный сигнал, приходящий по на-
правлению приема, проходит тракт от входа до выхода с единич-
ным коэффициентом передачи, аналогичный тракту прохождения
входного сигнала в схеме на рис. 12.1. Сигнал помехи, приходя-
щий по другому направлению, проходит через адаптивный фильтр,
аналогичный тракту прохождения эталонного сигнала в схеме на
рис. 12.1. Следовательно, синусоидальная помеха, приходящая не
по направлению приема, вызывает флуктуации значений весовых
коэффициентов, которые в результате приводят к режекции
при прохождении входного сигнала на выход через фильтр с фик-
сированными весовыми коэффициентами. Явления режекции в
этой системе похожи на аналогичные явления, возникающие в
приведенном на рис. 12.1 адаптивном устройстве подавления.
Сигналы, приходящие по направлению приема, не поступают на
входы адаптивного фильтра, где присутствует только помеха. Как
сигнал, так и помеха проходят через тракт входного сигнала к
подвергаются режекции на частоте помехи. При высокой скорости
0,008-1
х Частота (частота отсчета равна 1)
о а)
н
° 0,008-1
Частота (частота отсчета равна 1)
0 Частота (частота отсчета равна 1) 0,5
в)
Рис. 14.20. Спектры выходного сигнала устройства формирования лучей по ал-
горитму Фроста при входном сигнале в виде белого шума единичной мощности
и синусоидальной помехе мощностью, равной 12,5 (а), 25 (б) и 50 (в)
396
адаптации полоса режекции может быть очень широкой, при этом
возрастает риск потери сигнала в процессе подавления помехи.
Для более детального анализа проблемы подавления сигнала
рассмотрим еще один эксперимент, проведенный для адаптивного,
устройства формирования лучей по алгоритму Фроста. Здесь сно-
ва помеха представляет собой синусоидальный сигнал, а полез-
ный сигнал — белый шум с единичной мощностью. На рис. 14.20
приведены спектры выходных сигналов устройства для различных
уровней мощности помехи. Как показано на рис. 14.20,а, при са-
мом низком уровне мощности помехи полоса режекции при по-
давлении сигнала является наиболее узкой. По мере увеличения
мощности помехи при всех других неизменных параметрах ши-
рина полосы режекции возрастает и, как видно из рис. 14.20,s„
является наиболее широкой при действии самой мощной помехи.
Во всех трех случаях ширина полосы режекции примерно соответ-
ствует (12.60).
На рис. 14.21 приведены результаты другого эксперимента для’
рассматриваемого устройства. Здесь полезный сигнал является
белым шумом, а помеха — мощным шумом в ограниченной поло-
се частот. В полосе частот помехи и за ее пределами происходит
частичное подавление составляющих сигнала, что приводит к его
значительному искажению. Такая картина наблюдается только
при быстрой адаптации. В эксперименте, результаты которого при-
ведены на рис. 14.21, постоянная времени адаптивного процесса.
Частота (частота отсчета равна 1)
а)
Частота (частота отсчета ревна 1)
б)
в)
Рис. 14.21. Полученные в результате моделирования энергетические спектры
устройства формирования лучей по алгоритму Фроста при входном сигнале к
виде белого шума и помехе:
а—входного сигнала; б — помехи; в — выходного сигнала устройства
397-
приближенно равна 20 временным шагам (т. е. пяти периодам
помехи). Полоса помехи приблизительно составляет 5% от цент-
ральной частоты.
Один из способов предотвращения подавления сигнала в адап-
тивных устройствах формирования лучей состоит в том, что в
процессе адаптации полезный сигнал отключается от адаптивного
устройства обработки. В [9, 18] такой способ предложен для ал-
горитма Фроста. Еще один способ, который можно применять для
каждого из описанных выше адаптивных устройств формирования
лучей, основан на методах расширения спектра с помощью пе-
реключения рабочей частоты и описывается в следующем подраз-
деле. Здесь рассмотрим устройство [18], основанное на исполь-
зовании двух систем обработки сигналов: одной — для проведе-
ния процесса адаптации, другой — для формирования выходного
сигнала устройства. Его схема приведена на рис. 14.22.
Как показано выше, подавление сигнала возникает из-за вза-
имодействия сигнала и помехи в адаптивном устройстве формиро-
вания лучей. Поскольку суть проблемы заключается в этом взаи-
модействии, полезно рассмотреть структуры формирователей лу-
чей, в которых сигнал и помеха разделяются. Система на рис.
14.22 имеет обычную линейную решетку, подключенную к двум
устройствам формирования лучей. Верхнее устройство непосред-
ственно соединено с элементами антенны и формирует полезный
выходной сигнал решетки. Однако это устройство является вспо-
могательным, а не адаптивным. Нижнее адаптивное устройство
реализует алгоритм Фроста и соединено с элементами антенны
через вычитающие устройства, аналогичные приведенным на рис.
14.4. Адаптивное устройство формирует множество весовых коэф-
фициентов, при которых обеспечивается заданный коэффициент
передачи в направлении приема (с учетом ограничений, вводимых
алгоритмом Фроста) и минимизируется (в среднеквадратическом
смысле) уровень помехи. Эти весовые коэффициенты устанавли-
ваются для вспомогательного устройства формирования лучей, ко-
торое обеспечивает прием полезного сигнала и подавление по-
мехи.
Основу рассматриваемого подхода составляет соотношение
между сигналами помех в обоих устройствах формирования лу-
чей. На рис. 14.22,6 показана фазовая диаграмма, поясняющая
это соотношение. Для простоты будем считать, что имеется только
одна помеха. Составляющие помехи, принятые элементами антен-
ны, обозначены через множество /0, Л, /2, /з, /4. Равномерное
распределение углов получается вследствие того, что решетка яв-
ляется линейной и с равномерным пространственным разнесени-
ем ненаправленных элементов. Входные сигналы, устройства фор-
мирования лучей, реализующего алгоритм Фроста, равны Д—/0,
/2—/1, /з—/2 и /4—/з. Эти составляющие имеют одинаковые амп-
литуды и такие же разности фаз, как и принятые составляющие
помехи. Поскольку в обоих устройствах формирования лучей для
составляющих помехи относительные фазовые углы одинаковы,
398
a)
Рис. 14.22. Устройство формирования лучей без подавления сигнала:
а — структурная схема; б — фазовая диаграмма помех, поступающих на входы устройства
формирования лучей
формирование нуля ДН в направлении помехи в устройстве с ал-
горитмом Фроста приводит к формированию нуля во вспомога-
тельном устройстве. Установление одинаковых весовых коэффи-
циентов в обоих устройствах приводит к тому, что вспомогатель-
ное устройство обработки формирует основной луч в направлении
полезного сигнала и нуль в направлении помехи. Хотя рассмотрен
случай только одной помехи на одной частоте, используя прин-
399
цип суперпозиции, можно показать, что данный подход применим
для множества как узкополосных, так и широкополосных помех.
Подстройка задержек в приведенной на рис. 14.22,а структур-
ной схеме осуществляется для широкополосных процессов. Для
узкополосных процессов можно использовать фазовращатели,
включаемые на выходе каждого элемента решетки. При этом
можно применять алгоритм Фроста или любой другой адаптив-
ный алгоритм с введением ограничений. В этой системе легко ис-
пользовать, например, алгоритм с пилот-сигналом. Кроме того,
можно получить обобщения рассматриваемого устройства обра-
ботки. В [10] описан класс пространственных фильтров, которые
обладают большей гибкостью, чем приведенная на рис. 14.22,а
система.
На рис. 14.23 и 14,24 приведены некоторые эксперимен-
тальные результаты для рассмотренного устройства формирова-
ния лучей. На рис. 14.23 для сравнения показаны спектры выход-
ных сигналов для устройства с алгоритмом Фроста и для рас-
смотренной системы. В обоих случаях постоянная времени адап-
тации примерно равна 20 отсчетам, а сигнал и помеха аналогич-
ны используемым в эксперименте на рис. 14.19. Как следует из
рис. 14.23,г в устройстве с алгоритмом Фроста наблюдается более
сильное подавление сигнала, в то же время в рассмотренной сис-
0,022-1
Частота (частота отсчета равна 1)
а)
Частота (частота отсчета равна 1)
б)
Частота (частота отсчета равна 1)
Частота (частота отсчета равна 1)
—г
0,5
Рис. 14.23. Спектры для устройств формирования лучей по алгоритму Фроста
и по алгоритму на рис. 14.22:
а — входного сигнала; б—помехи; в, г — выходных сигналов устройств формирования лу-
чей на рис. 14.22 и по алгоритму Фроста
400
5,0-1
Рис. 14.24. Временные диаграммы полезного входного сигнала (а) и выходных
•сигналов устройств формирования лучей по алгоритму на рис. 14.22 (б) и по
алгоритму Фроста (в)
теме такого подавления нет (рис. 14.23,в). На рис. 14.24 показаны
временные диаграммы сигналов на выходах обоих устройств в
направлении прихода полезного сигнала. В обоих случаях началь-
ные значения весовых коэффициентов равны нулю, и в начале
кривых наблюдается переходный процесс адаптации. За предела-
ми области переходных процессов измеренное значение мощности
искаженного сигнала на выходе устройства с алгоритмом Фроста
на 6 дБ ниже мощности входного сигнала. На выходе рассматри-
ваемой системы измеренный уровень искажений на ПО дБ ниже
уровня мощности входного сигнала.
Таким образом, рассмотренное устройство позволяет значи-
тельно уменьшить искажения сигнала. Однако этот подход явля-
ется новым, и полностью не исследованы ограничения на его ха-
рактеристики. Необходимо исследовать другие методы формиро-
вания нулей ДН. Кроме того, изучаются методы уменьшения или
исключения в процессе адаптации эффектов подавления сигнала
с применением широкополосных сигналов и сигналов с перестрой-
кой рабочей частоты. Некоторые результаты исследований новых
методов обсуждаются в следующих подразделах.
401
Применение сигналов с перестройкой рабочей частоты
Один из способов уменьшения чувствительности радиоприем-
ной или радиолокационной системы к помехам состоит в приме-
нении широкополосных сигналов, которые рассмотрены в гл. 9.
Здесь нельзя полностью осветить этот вопрос. Однако ранее было
показано, что при расширяющем спектр кодировании передавае-
мых информационных сигналов их полоса значительно увеличи-
вается. Тем самым уменьшается вероятность того, что на прием-
ной стороне при декодировании переданная информация будет ис-
кажена помехой.
Поскольку адаптивное формирование лучей осуществляется
как для широкополосных, так и для узкополосных сигналов, в об-
щем случае оно совместимо с методами расширения спектра.
Адаптивное формирование лучей используется для уменьшения
влияния направленных помех. При этом, как показано выше, чем
мощнее помеха, тем выше уровень режекции. Однако па выходе
адаптивного устройства формирования лучей остаются состав-
ляющие помех, и в таких случаях надежной передачи информации
можно достичь за счет кодирования информации с расширением
спектра на передающей стороне и соответствующего декодирова-
ния сигнала на выходе адаптивного устройства.
Одним из основных способов расширения спектра является пе-
рестройка рабочей частоты. Этот способ состоит в следующем.
Для передачи каждого бита цифровой информации отводится не-
который заданный интервал времени, который назовем информа-
ционным интервалом. В пределах этого интервала на заданной
несущей частоте формируется синусоидальный сигнал, некоторая
фаза которого соответствует нулю информации, а сдвинутая на
180° — единице, что представляет собой фазовую манипуляцию.
При перестройке рабочей частоты на каждом информационном
интервале частота синусоидальной несущей изменяется по случай-
ному закону в соответствии со случайным кодом, который извес-
тен как на передающей, так н на приемной сторонах. Длительность
информационного интервала такова, что формируется много пе-
риодов несущей, причем на более высоких частотах формируется
большее число периодов.
На приемной стороне для определения фазы принятого сину-
соидального сигнала на каждом информационном интервале осу-
ществляется его корреляционная обработка. При больших дли-
тельностях информационного интервала (т. е. для низких скорос-
тей передачи двоичной информации) можно надежно определять
фазу при действии мощной помехи и таким образом восстанавли-
вать переданную двоичную информацию. Обычно сигналы имеют
несущие частоты около 1 ГГц с расширением спектра за счет пе-
рестройки частоты в пределах ±5% со скоростью от 100 до 1000
переключений в секунду.
Метод расширения спектра путем перестройки рабочей часто-
ты представляет особый интерес потому, что его использование
402
позволяет разработать адаптивные алгоритмы, существенно умень-
шающие или полностью исключающие рассмотренный выше эф-
фект подавления сигнала. В основном эти алгоритмы предназна-
чены для исключения из адаптивного процесса всех составляющих
полезного сигнала при сохранении его формы па выходе решетки.
На рис. 14.25 приведена схема адаптивного устройства с алго-
ритмом Фроста, обрабатывающего сигналы с перестройкой рабо-
чей частоты. Для системы такого вида, имеющей четырехэлемент-
ную линейную решетку, проведено моделирование на ЭВМ. Сиг-
налы антенны подаются на входы одинаковых режекторных
фильтров с плоской АЧХ и линейной ФЧХ на всех частотах, за
исключением некоторой любой заданной одной частоты режекции.
Частота режекции изменяется с помощью электронного переклю-
чения и в любой момент времени выбирается такой, чтобы она
соответствовала частоте принимаемого полезного сигнала. На
каждом информационном интервале частота полезного сигнала
изменяется в соответствии с известной случайной последователь-
ностью. В приемнике синхронизированный генератор кода частоты
воспроизводит эту последовательность и частоту сигнала и уста-
навливает частоту режекторных фильтров и местного генератора
синусоидального сигнала. Для простоты изложения в схеме на
рис. 14.25 опущены многие необходимые компоненты. Описывае-
мый способ можно применить в решетках с произвольной геомет-
рией.
частот
Рис. 14.25. Система для приема сигналов с перестройкой рабочей частоты при
наличии помехи
403
Режекторные фильтры введены для исключения из адаптивно-
го процесса составляющих сигнала. На входе устройства обра-
ботки, реализующего алгоритм Фроста, может быть только по-
меха. Его входной сигнал не содержит полезного сигнала. В адап-
тивном устройстве обработки и вспомогательном устройстве об-
работки, которое имеет ту же структуру, но само по себе не яв-
ляется адаптивным, устанавливаются одинаковые весовые коэф-
фициенты. На входы вспомогательного устройства сигналы посту-
пают непосредственно с элементов антенны и не проходят через
режекторные фильтры, поэтому на его выходе воспроизводится
любой полезный сигнал, приходящий по направлению приема.
При моделировании на ЭВМ полезный сигнал в направлении
приема в соответствии с ограничениями, введенными в алгоритм
Фроста, проходит через систему с единичным коэффициентом пе-
редачи и линейно изменяющимся фазовым сдвигом. При модели-
ровании узкополосной помехи с углом прихода 45° относительно
направления приема наблюдалось ее глубокое подавление.
В системе на рис. 14.25 с соответствующей регулировкой фазы
определяется корреляционная функция выходных сигналов вспо-
могательного устройства обработки и местного генератора сину-
соидальных сигналов. Частота синусоидального сигнала, как по-
казано на рисунке, устанавливается генератором кода частоты, а
корреляционная функция вычисляется с помощью умножителя и
интегратора на информационном интервале. В зависимости от фа-
зы принимаемого сигнала, которая, в свою очередь, зависит от
того, соответствует принимаемый сигнал нулю или единице, ин-
теграл от произведения представляет собой отрицательную или
положительную величину. В конце информационного интервала
интегратор сбрасывается на нуль и готов для интегрирования в
течение следующего информационного интервала.
На рис. 14.26 приведены результаты моделирования на ЭВМ
работы интегратора. На рис. 14.26,а показан выходной сигнал ин-
тегратора для системы с вспомогательным устройством формиро-
вания лучей, аналогичной системе на рис. 14.25. Как видно из ри-
сунка, переданная последовательность равна 0, 1, 0, 0, 1, 1, далее
информация не передавалась. В течение периодов интегрирования
корреляционные функции возрастают почти линейно, а при отсут-
ствии принимаемого полезного сигнала их значения практически
равны нулю. На рис. 14.26,6 для такого же входного сигнала с
перестройкой рабочей частоты показан выходной сигнал обычного
адаптивного устройства формирования лучей, реализующего алго-
ритм Фроста (без режекторных фильтров и вспомогательного уст-
ройства). Здесь явно наблюдается эффект подавления сигнала, а
в некоторых случаях его искажения настолько существенны, что
декодирование информации осуществляется в области порога.
Анализ рассмотренного примера приведен в [19].
Таким образом, становится очевидным, что схема на рис. 14.25
является эффективной. В результате применения режекторных
фильтров, исключающих попадание составляющих полезного сиг-
404
Рис. 14.26. Форма сигнала на выходе интегратора:
а — при адаптации с перестройкой рабочей частоты по схеме на рнс. 14.25; б — для обыч-
ного устройства формирования лучей по алгоритму Фроста
нала в адаптивное устройство обработки и их влияние на значе-
ния весовых коэффициентов, предотвращается подавление сигна-
ла. Весовые коэффициенты формируются независимо от полез-
j ного сигнала, и при их установлении во вспомогательном устрой-
“ стве на его выходе воспроизводится полезный сигнал. Аналогич-
ный подход применим ко всем видам адаптивных приемных ре-
шеток.
Устройства Формирования лучей с повышенной разрешающей
способностью
Разрешающая способность обычных неадаптивной антенны или
антенной решетки ограничивается известным критерием Релея
[13]. Приближенно ширина луча такой антенны по уровню 3 дБ
определяется формулой
ширина луча по уровню 3 дБ ~ ).ld радиан, (14.33)
где Л — длина волны, ad — ширина апертуры. Однако при прие-
ме полезного сигнала с высоким отношением сигнал-шум в адап-
тивной антенне с алгоритмом максимального правдоподобия мож-
но получить более узкий луч с адаптивно изменяемой шириной.
Основные вопросы повышения разрешающей способности рас-
смотрены в [17], где приводятся различные способы оценки по-
лезного сигнала. Один из них — метод максимума энтропии, ис-
пользуемый в адаптивном устройстве формирования лучей (реа-
лизующем алгоритмы Хауэллза — Аппельбаума) с ненаправлен-
405
ной приемной ДН. Однако в направлениях прихода сигналов фор-
мируются провалы. Поскольку эти провалы всегда более узкие,
чем лучи, можно точнее выделять направления прихода сигналов
и достигнуть в результате этого повышенной разрешающей спо-
собности. Однако в таком процессе при отсутствии сигналов на
входе в соответствующих направлениях могут возникать ложные
провалы.
Для анализа повышенной разрешающей способности снова
рассмотрим адаптивное устройство формирования лучей, реали-
зующее алгоритм максимального правдоподобия. Используем при
этом проведенный в [1] анализ применительно к показанной на
рис. 14.27 схеме. Будем считать, что приемная решетка является
линейной, а входной сигнал имеет синусоидальную форму:
s = Ccosk(£i0. (14.34)
Предположим, что шумы приемника щ, п2, ..., Пк являются белы-
ми и не коррелированы, а мощность каждого равна о2г. Для уп-
рощения расчета ширины луча задержки исключены, а сигнал
приходит по направлению с 0 = 0°. Такое направление удобно для
рассмотрения, хотя, естественно, оно может быть другим. Макси-
мальный сигнал на выходе возникает тогда, когда он приходит по
направлению приема, так как решетка имеет единичный коэффи-
циент передачи по основному лучу в этом направлении. Вследст-
Рис. 14.27. Использование адаптивного устройства формирования лучей на
рис. 14.4 для достижения повышенной разрешающей способности в узкой по-
лосе
406
вие процесса адаптивного подавления по мере смещения направ-
ления прихода сигнала относительно направления приема коэф-
фициент передачи решетки резко уменьшается, и адаптивное уст-
ройство формирования лучей стремится подавить сигнал. Этот
процесс составляет основу достижения повышенной разрешающей
способности по методу максимального правдоподобия.
Определим теперь для адаптивного устройства формирования
лучей, реализующего алгоритм максимального правдоподобия,
ширину луча на уровне 3 дБ в виде функции параметров решет-
ки и отношения сигнал-шум. Как и ранее, ДН устройства нахо-
дится при изменении направления прихода сигнала. Допустим,
что адаптивный процесс является сходящимся на каждом направ-
лении, а для получения точек ДН измеряется мощность выходного
сигнала. После адаптации оптимальный вектор весовых коэффи-
циентов представляет собой среднеквадратическое винеровское
решение:
W* = R-1 Р. (14.35)
Для получения этого решения сначала необходимо найти R и Р.
Если в системе на рис. 14.27 сигнал приходит точно по направ-
лению приема, то на входах устройств умножения на весовой ко-
эффициент нет его составляющих, а имеется только шум прием-
ника. Поэтому для получения матрицы R необходимо найти кор-
реляционные функции шумов. Сигнал на входе устройства умно-
жения на весовой коэффициент ю2 такой же, как и на входе уст-
ройства умножения на весовой коэффициент ощ но задержан на
время, соответствующее сдвигу фазы на 90° на частоте сигнала.
Таким образом, составляющие шума на входах этих устройств яв-
ляются не коррелированными на частоте сигнала. (В данных рас-
суждениях будем полагать, что мощность шума сосредоточена на
частоте сигнала.) Однако это несправедливо для входных сигна-
лов устройств умножения на весовые коэффициенты Wi и ю3. Оба
этих входных сигнала содержат шум приемника п2 (с противо-
положными знаками). Поскольку мощность каждого из шумов
ni, л2, пк равна о2г, корреляционная функция шумовых состав-
ляющих входных сигналов устройств умножения на весовые коэф-
фициенты Wj и w3 равна о2г. Так как шумы являются некоррели-
рованными, на входе каждого устройства умножения происходи"
сложение мощностей, и поэтому все диагональные элементы мат-
рицы R равны 2о2г. Исходя из этих рассуждений можно записать-
R = O2
2 0—1 0 0
0 2 0—1 0
- 1 0 2 0 -1
0—1 0 2 0
0 0—1 0 2
(14.36)
Эта матрица относится к случаю, когда сигнал приходит точно
по направлению приема. Она незначительно меняется при неболь-
ших изменениях угла прихода сигнала, так как в основном опре-
407
деляется шумом приемника. При небольших отклонениях угла
прихода сигнала от 0 = 0° составляющие сигнала на входах уст-
ройств умножения на весовые коэффициенты остаются небольши-
ми. В данных рассуждениях будем полагать, что матрица R за-
дана и определяется выражением (14.36).
Иная ситуация складывается в системе на рис. 14.27 в отно-
шении вектора Р. Как видно из рисунка, полезный отклик в рас-
сматриваемом адаптивном процессе
/it “j- п.у ~F* "I
d = s + - 1 К. (14.37)
Полезный отклик является точным, если сигнал приходит по нап-
равлению приема, поскольку в этом случае все принятые элемен-
тами решетки составляющие сигнала суммируются' в фазе. Пред-
положив, что при небольших отклонениях направления прихода
сигнала от направления приема эти составляющие сигнала почти
не изменяются, можно допустить, что (14.37) описывает полезный
отклик для всех представляющих интерес случаев, т. е. около уг-
ла 0 = 0°.
Чтобы найти вектор Р, рассмотрим сначала взаимокорреляци-
онную функцию составляющих шума на входах устройств умно-
жения на весовые коэффициенты и составляющих шума в полез-
ном отклике. Шум на входе устройства умножения на wt равен
ni—п2. Тогда взаимокорреляционпая функция
£[(,.-Яг)'“+"’+ +',Н-0- Ш-М)
Аналогично этому соответствующие взаимокорреляционные функ-
ции для остальных устройств умножения равны нулю. Следова-
тельно, составляющие шума приемника не влияют на вектор Р,
поэтому он определяется только составляющими сигнала.
Если сигнал приходит по направлению приема, то составляю-
щие сигнала на входах устройств умножения на весовые коэффи-
циенты равны нулю и, следовательно, вектор Р равен нулю. Если
сигнал приходит с небольшим отклонением от направления прие-
ма, то на входах устройств умножения на весовые коэффициенты
появляются малые составляющие сигнала, и вектор Р становится
ненулевым. Предположим, что направление прихода сигнала та-
ково, что сигнал на входе элемента 1 решетки опережает сигнал
на входе элемента 2 на ф радиан. Из рис. 14.27 следует, что при
малых значениях ф
сигнал на входе устройства умножения на W[ =
= С cos (k <в0 + ф/2) — С cos (k со0 — ф/2) =
= 2С (^sin-^ cos (&®o + 90°) = Сф cos (&со0 + 90°). (14.39)
Составляющая сигнала имеет сдвиг на 90° и поэтому не коррели-
408
рована с составляющей сигнала, содержащейся в полезном откли-
ке (14.37)
s = С cos /гсоо. (14.40)
Таким образом, все составляющие сигнала на входах всех уст-
ройств умножения с нечетными номерами не коррелированы с по-
лезным откликом. На входах устройств умножения с четными но-
мерами составляющие сигнала из-за наличия задержек на 90q
коррелированы с полезным откликом в соответствии с выражением
Е [С ф cos (k <в0 + 90° - 90°) С cos k сой] = (14.41)
Поэтому вектор
~0~
1
о
1 1
P = _LC!4 .
2 .
(14.42)
о
.1
Теперь, подставляя (14.36) и (14.42) в (14.35), можно получить
среднеквадратическое решение.
Прежде всего рассмотрим составляющую сигнала в выходном
сигнале системы е (рис. 14.27), который представляет собой раз-
ность между составляющей сигнала в полезном отклике и суммой
выходных сигналов устройств умножения на весовые коэффици-
енты. Выше показано, что составляющие сигнала на входах уст-
ройств умножения с нечетными номерами не коррелированы с по-
лезным откликом. Поэтому при наличии шума приемника каждый
из нечетных весовых коэффициентов сходится к нулю. Кроме того,
все составляющие сигнала на входах устройств умножения с чет-
ными номерами имеют равные амплитуды и одинаковые фазы с
составляющей сигнала в полезном отклике. Следовательно,
/ выходной \ _ f составляющая сигнала
\сигнал } \ в полезном отклике
сумма выходных сиг-
налов устройств умно-
жения с четными но-
мерами
= С cos k со0 — С ф (cos k <»0) (к»* + №4 + ... + =
= Ceos k ®0 [ 1 - ф (+ w4 + ... + ^Д)]. (14.43)
При ф = 0 на выходе выделяется полная мощность сигнала.
Исходя из (14.43) половинная мощность сигнала на выходе, со-
ответствующая фздБ,
1 —Фздв (^2 + w4 + - + W2K-2) = = °»707- (14.44)
15—12
409
В векторных обозначениях сумму четных весовых коэффициен-
тов можно записать в виде
К + ^ + ... +^_2) = [0 10 1...
= [0 1 0 1 ... 0 1JR-* Р = [0 1 0 1 ... 0
0 1]W* =
dr--2>
~0~
1
О
1
В [1] при подстановке (14.36) в (14.45) получено
О
(14.45)
[0 1 0 1 ... 0 1] R1
~0~
1
о
1
ЛДЛ2- 1)
12а2
(14.46)
Полный вывод этой формулы приведен в [1] и здесь не рассмат-
ривается. Из (14.44) — (14.46) находим
— Ф? Б = 0,293. (14.47)
2 'лВ 12 о2 V
В соответствии с (13.8) отношение сигнал-шум для каждого
элемента решетки
ОСИМС'2/2о2. (14.48)
Исходя из этого, (14.47) запишем в виде
Ф3дБ = V 3,52/(ОСШ)Ж2-1). (14.49)
Напомним, что фздБ является сдвигом фазы сигнала между дву-
мя соседними элементами решетки, при котором мощность сиг-
нала на выходе уменьшается на 3 дБ, а К — число элементов
антенной решетки в системе на рис. 14.27.
Для определения ширины луча устройства формирования лу-
чей максимального правдоподобия необходимо преобразовать
сдвиг фазы сигнала фзДБ в угол прихода. Для этого воспользуем-
ся схемой на рис. 13.2. Пусть I — расстояние между соседними
элементами антенны; 03дБ —угол прихода сигнала для рассмат-
риваемого случая; Л — длина волны. Тогда по аналогии с (13.2)
сдвиг фазы сигнала определяется выражением
%1Б = 2:гД51п(03дБ)р1. (14.50)
При малых углах sin 0 — 0, поэтому (14.50) принимает вид
03дБ Фздв/2л I. (14.51)
410
Из рис. 14.27 следует, что полная ширина апертуры
d = Z(K-l). (14.52)
Подставляя (14.52) в (14.51), получаем
<14'53)
Ширина луча адаптивной антенны равна 203дБ, поэтому окон-
чательно имеем
, « х * к - 1 ,,, ~
(ширина луча адаптивной антенны) ==—------—ч’здь ~
X Л'—! -1/ 3,52 ,,, '
л V (ОСШ) К (№—1) Радиан- (14.54)
Основные предположения при выводе этой формулы заключа-
ются в том, что разность фаз между соседними элементами ан-
тенны на частоте сигнала составляет небольшой угол и ширина
луча (14.54) также составляет небольшой угол.
При выводе (14.54), как и в выражении (14.36), предполага-
ется, что матрица R инвариантна относительно небольших откло-
нений угла прихода от направления приема. В [1] с учетом того,
что вторая производная от R является функцией 0, получена сле-
дующая более точная оценка ширины луча по уровню 3 дБ:
(ширина луча адаптивной антенны) ~
гё I (ОСШ) /С (№ — 1) ’ (14.55)
Полезно провести сравнение (14.55) с соответствующей фор-
мулой (14.33) для обычного неадаптивного устройства формиро-
вания лучей. Эти соотношения отличаются множителем
л 1 (ОСШ)Л(№—1) ’ (14.56)
Повышенная разрешающая способность достигается тогда, когда
этот множитель меньше единицы. В общем случае это имеет мес-
то при сделанных выше предположениях. Пусть, например, К=
= 10, а ОСШ= 1; тогда этот множитель составляет 0,204. Следова-
тельно, угловая разрешающая способность адаптивного устройст-
ва формирования лучей примерно в 5 раз выше разрешающей
способности обычного устройства формирования лучей с сумми-
рованием задержанных сигналов. При 0СШ=Ю и /(=10 разре-
шающая способность адаптивного устройства выше более чем в
15 раз, а при ОСШ = 1 и /(=20 — почти в 7 раз разрешающей
способности неадаптивного устройства. На рис. 14,28 приведены
ДН адаптивной и неадаптивной линейных решеток, состоящих из
20 элементов, разнесенных на %0/2.
На практике повышенная разрешающая способность достига-
лась в некоторых экспериментах, проведенных с помощью верто-
лета, который совершал полеты в окрестностях антенной решетки,
15* 411
Угол приема
Коэффициент
передачи
1,0
Г “ . । _ _ _ — — ]
_45° 0 +45°
Угол приема
6)
Рис. 14.28. Амплитудные отклики неадаптивной (а) и адаптивной (б) решеток
при Л=20, /=л/2 и отношении сигнал-шум, равном 1
а при этом производилась запись данных. В этих экспериментах
решетка состоит из пяти низкочастотных микрофонов, размещен-
ных на поверхности земли по кругу диаметром 30 м. Звуковые
волны вращающихся лопастей принимаются с большим отношени-
ем сигнал-шум с расстояния 5 км. Схема эксперимента приведена
на рис. 14.29.
В данном случае сравниваются обычное устройство формиро-
вания лучей и адаптивное устройство, реализующее алгоритм
Фроста, при одинаковых в обоих устройствах задержках. При
расположении вертолета в заданной точке для фиксированных
значений углов в пределах 360° измеряется мощность сигнала на
выходе. Способ сравнения иллюстрируется схемами на рис. 14.30.
Сравнение приведенных на рис. 14.31 результатов, полученных
по экспериментальным данным, показывает, что адаптивная схема
максимального правдоподобия превосходит обычное устройство
обработки. Угловая разрешающая способность при адаптивной
обработке составляет примерно ±2°, а уровень боковых лепест-
ков на 25 дБ ниже уровня основного луча. При обычной обработ-
ке уровень боковых лепестков настолько высок, что почти невоз-
412
Рис. 14.29. Пассивная приемная решетка для оценки направления прихода по-
лезного сигнала
можно определить угол прихода сигнала, а угловое разрешение в
лучшем случае равно ±20°. Этот пример ясно показывает преи-
мущества адаптивной обработки и значение повышенной разре-
шающей способности в задачах оценки направления прихода сиг-
нала.
сигнал
Установка луча в любом
направлении
Определение мощности
выходного сигнала для
каждого направления
в)
Установка луча в любом
направлении
Адаптивная минимизация
мощности выходного сигнала
для каждого направления с
учетом ограничений относительно
направления приема
Определение мощности выходного
сигнала для каждого направления-
после адаптации
б>
Рис. 14.30. Устройства формирования лучей для оценки направления прихода
полезного сигнала:
а — обычное (его разрешающая способность ограничена апертурой решетки); б — адап*
тивное (с возможностью повышения разрешающей способности)
413
Рис. 14.31. Диаграммы направленности для обычного (а) и адаптивного (б)
устройства, полученные при оценке направления прихода полезного сигнала с
вертолета
В заключение снова рассмотрим использование в данном экс-
перименте адаптивного устройства формирования лучей, реали-
зующего алгоритм Фроста. Сканирование направления приема в
пределах 360° осуществляется с помощью соответствующих задер-
жек. Для каждого выбранного направления приема чувствитель-
ность приемной решетки системы на рис. 14.27 ограничивают так,
чтобы ее коэффициент передачи был равен единице при линей-
ном сдвиге фазы. В то же время в результате процесса адаптации
минимизируется полная мощность сигнала на выходе. Полезный
сигнал, которым является любой сигнал, приходящий по направ-
лению приема, проходит через адаптивное устройство формирова-
ния лучей без искажений. Помеха, которой является любой сиг-
нал, приходящий не по направлению приема, вычитается или
подавляется наилучшим в среднеквадратическом смысле способом.
Сигнал на выходе устройства формирования лучей представляет
собой сумму полезного сигнала и шума с минимальным уровнем,
т. е. оценку максимального правдоподобия полезного сигнала.
Как следует из рис. 14.31, в данном эксперименте сигнал от
вертолета по заданному направлению принимался под углом око-
ло 137°. По мере того как направление приема адаптивного уст-
ройства медленно приближается к направлению прихода этого
сигнала, адаптивное устройство осуществляет подавление сигнала
вертолета, воспринимая его в качестве помехи. Затем при близ-
ком совпадении направлений приема и прихода сигнала устройст-
во формирования лучей воспринимает сигнал с вертолета в ка-
честве полезного и воспроизводит его на выходе. При дальней-
шем сканировании направления приема в сторону от направле-
ния прихода сигнала вертолета снова происходит его подавление.
414
В результате этого система формирует отклик небольшого уровня
на сигнал вертолета до тех пор, пока направление не будет близ-
ким к действительному направлению прихода сигнала. Данный
процесс составляет основу повышения разрешающей способности.
В других экспериментах при наличии многих сигналов адап-
тивное устройство стремится подавить все сигналы, за исключе-
нием приходящего по направлению приема. Адаптивное устройст-
во формирования лучей не только обеспечивает повышенную раз-
решающую способность, но и позволяет осуществить пространст-
венную настройку на сигнал по выбранному направлению приема
и одновременно адаптивно отстраиваться от других сигналов, по-
мех и т. д. по другим направлениям.
Упражнения
1. Для алгоритма (14.16) проведите вывод выражения (14.20) для прием-
лемой области значений параметра р,.
2. Найдите постоянную времени сходимости весовых коэффициентов для
алгоритма (14.16).
3. Найдите минимальное значение СКО для алгоритма (14.16).
4. Получите вариант алгоритма (14.16), аналогичный равенству (13.27).
Чему равен оптимальный вектор весовых коэффициентов W*? Приводит ли вве-
денный алгоритм к добавлению шума на входе аналогично тому, как это опи-
сано в гл. 13?
5. Для приведенной на рис. 13.13 решетки запишите варианты алгоритма
(14.16), при которых направление приема реализуется под углом 6 = 0°, 30°, 90°.
6. Рассмотрим адаптивное устройство формирования лучей.
415
Полезный сигнал является синусоидальным, и его мощность равна едини-
ца Широкополосная помеха ие коррелирована с полезным сигналом, и ее мощ-
ность иа выходах фильтра равна единице. Для этого устройства найдите:
а) вектор Р, необходимый для алгоритма (14.16);
б) матрицу R и оптимальный вектор весовых коэффициентов W* = R~*P
(используйте результат п. а));
в) выходной сигнал и мощность шума (используя W*). Сравните входное
и выходное отношения сигнал-шум.
7. Для приведенной на рис. 13.13 решетки запишите по аналогии с равен-
ством (14.30) алгоритм Фроста, реализующий направление приема под углом
6=0° и коэффициент передачи по этому направлению, равный единице.
8. Приведенная ниже схема принадлежит к классу систем, аналогичных
устройству, реализующему алгоритм Фроста, в которых накладываются огра-
ничения иа значения весовых коэффициентов. Адаптация этих весовых коэффи-
циентов осуществляется по модели с передаточной функцией Н(г). Для H(z)=a
= 1(1—0,3г-1) найдите алгоритм адаптации и»! и w2, минимизирующий £[е2],
при ограничительном условии wi-f-w2=l. Найдите оптимальное решение и ми-
нимальное значение СКО. Проделайте то же самое при ограничительном ус-
ловии tt/l2+w22=l. Проверьте алгоритм на сходимость. Можно ли в этом слу-
чае найти оптимальное решение аналитически?
Мощность белого
шума равна 1
9. Постройте схему адаптивного устройства формирования лучей, аналогич-
ного приведенному иа рис. 14.4, которое состоит из четырехэлементиой круго-
вой решетки и четырех линий задержки с отводами.
10. Постройте структурную схему четырехэлементного устройства формиро-
вания лучей с полюсами и нулями, аналогичного приведенному на рис. 14.11.
11. Постройте структурную схему, иллюстрирующую подход из [18], приме-
нительно к системе из упражнения 10.
12. Ширина луча иа уровне 3 дБ обычной линейной решетки, состоящей
из шести равномерно разнесенных ненаправленных элементов, равна 0, 1 при
мощности полезного сигнала, в 10 раз превышающей мощность шума приемни-
ка. Какова ширина луча этой решетки при подключении к ней адаптивного
устройства обработки максимального правдоподобия, имеющего единичный ко-
эффициент передачи по направлению приема?
♦1в
13. Предположим, что в схему на рис. 14.26 для формирования направле-
яия приема под углом 0=45° включены задержки. Получите выражение для
ширины луча на уровне 3 дБ, аналогичное равенству (14.54). В процессе вы-
вода можно вводить любые ограничения.
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ГЕНЕРАТОР СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
Здесь приводится простой алгоритм формирования псевдослучайной после-
довательности чисел, который предназначен для использования в технических
приложениях обработки сигналов. Этот алгоритм имеет следующие свойства:
1. Алгоритм реализуется на любой ЭВМ, допускающей работу со словами
длиной до 32 бит, т. е. с положительными целыми числами от 0 до 231—11.
2. Алгоритм легко запускается начиная с любой позиции последователь-
ности.
3. Отсчеты последовательности и ее сегментов достаточно большой длины
имеют приблизительно равномерное распределение в интервале от нуля до
единицы.
4. Отсчеты являются практически независимыми, а спектр последователь-
ности — равномерным.
5. Период последовательности (10е отсчетов) является достаточным для
большинства технических приложений.
Алгоритм
Данный алгоритм принадлежит множеству алгоритмов последовательностей
на основе вычисления классов вычетов. Свойства таких последовательностей
описаны в [1]. В рассматриваемом здесь частном случае целые числа форми-
руются по рекуррентной формуле
/«+1 = (Z7n+l)mod Л4, п—1, 2, .... М—1. (А.1)
Затем последовательность целых чисел нормируется для получения значений в
интервале от 0 до 1. Ниже рассматривается начальное зиачеиие 10.
Очевидно, что период последовательности (А.1) не может быть больше М.
В соответствии с [1] период равен М, в частности тогда, когда
/=4К-(-1 и М=2Ь, (А.2)
где К и L — такие целые числа, что M>J. Наибольшее значение 1п в (А.1)
равно М~ 1, поэтому для формирования по (А.1) чисел, только меньших 231,
необходимо, чтобы
/(М-1)+1<231, или (4K+231)/(4K+1)>2L. (А.З)
Таким образом, (А.З) устанавливает соотношение между J и М в (А.1).
Отметим, что при малом начальном значении /0 (А.1) начинающийся с него
сегмент является последовательностью монотонно возрастающих чисел до тех
пор, пока //«+1 не станет больше М. Например, в простейшем случае при
/ = 1 н /о=О последовательность имеет вид 0, 1, 2, М.—1. Таким образом,
последовательность становится случайной при больших значениях I.
Пусть минимальный период последовательности равен 10е, тогда L=20 и
из (А.З) наибольшее возможное значение /С=511. Отсюда для (А.1) имеем
М=220 = 1 048 576, /=4(511) -f-ll = 2045. (А.4)
Помимо этого, выберем (произвольно)
/0=12 357, (А.5)
тогда первые 70 целых чисел
417
104242 313963 325824 46432! 575166 760775 746668
209405 414218 874979 461400 893177 976150 736623
128452 540341 846813 543835 652016 632625 823918
899255 822748 603757 509114 950739 201352 723049
143046 1024943 953588 784677 343186 318027 248096
894113 793118 827815 430012 157405 1023970 800195
620216 613337 177270 758431 147492 679829 887106
95291 883536 134673 679374 1005207 439356 901965
73242 882099 341736 498505 226854 445839 528212
160261 578034 334379 133504 385921 679294 841607
Отметим, что все целые числа лежат в интервале от 0 до 1 048 576 и оказы-
вается, что эта короткая последовательность, по крайней мере, не обладает
нежелательными свойствами.
Поскольку в обычно!! программе построения случайных чисел числа фор-
мируются в интервале от 0 до 1, можно задать п-й отсчет формулой
= (7п+1)/(Л1-|^1) (А.6)
так, чтобы все случайные числа находились в этом интервале.
По соотношениям (A.l), (А.4)—(А.6) можно написать подпрограмму фор-
мирования Ц, /2, .... In- При наличии требования реализуемости этой програм-
мы мини-ЭВМ возникает проблема обеспечения автоматической инициализации.
Схема инициализации обязательно зависит от типа ЭВМ. Однако для боль-
шинства ЭВМ работоспособной является версия 1:
FUNCTION RANDOM<Х)
IF(IN1T.EQ.12357) GO TO 1
INIT=12357
I-INIT
1 1-2045*1+1
1=1-<1/1048576)»1048576
RANDOM-FLOAT < I +1 > / 1048577.О
RETURN
END
Отметим, что во время загрузки данной программы внутренняя переменная
INIT не должна равняться 12357, а в интервалах между вызовами программы
как 1N1T, так и I не должны меняться. Начальная установка 7=1NIT обеспе-
чивает, как было описано выше, начало случайной последовательности. В дан-
ном варианте алгоритма X — фиктивная переменная.
Если не нужна автоматическая инициализация или она должна быть пере-
менной, то представляет интерес версия 2:
FUNCTION RANDOM!I)
1=2045*1+1
1=1-<I/1048576)*1048576
RANDOM=FLOAT < I +1 > / 1048577.0
RETURN
END
В этой версии I изменяется только при инициализации, когда устанавливается
ее начальное значение. Например, для установки начального значения 7=12357
и формирования первых двух случайных чисел £1 и £2 можно испельзовать-
предположения
К= 12357
£11 = RANDOM (К).
£2 = RANDOM (К).
При обращении к подпрограмме RANDOM в версии 2 аргумент (£), естест-
венно, не должен меняться при ее выполнении. Преимущества второго вари-
анта по сравнению с первым состоят в том, что: 1) нет необходимости прини-
мать предположение о том, что промежуточные переменные между обращения-
ми к подпрограмме остаются неизменными; 2) инициализацию подпрограмм
можно осуществлять в основной программе произвольным числом в интервале
от 0 до 1 048 575. К недостаткам относится то, что пользователю необходимо
418
помнить о правильной инициализации I (или эквивалента / в основной програм-
ме) в интервале от 0 до 1 048 575 и о том, что между последовательными вы-
зовами подпрограмм 1 не должно меняться.
В приводимом ниже примере программы версии 2 рассчитаны первые 70
случайных чисел в соответствии с определенными выше данными. Поскольку в
данном примере начальное значение /=12357, в результате получены те же чис-
ла, что и в приведенном выше примере версии 1:
PROGRAM VERS2*INPUT,OUTPUT)
С-PRINT 70 RANDOM NUMBERS.
DIMENSION R(70)
K=12357
DO 1 J«l,70
1 R<J)«RANDOM<K)
PRINT 2,R
2 FORMAT(7F8. 6)
STOP
END
C
•FUNCTION RANDOM*I)
1=2045*1+1
1 = 1- *I/1048576)*1048576
’RANDOM=FLOAT( I + 1 ) / 1048577.0
RETURN
END
/LGO
099414 .299419 .310731 .442312 .543521 .725532 .712078
199705 .395030 .834445 .440026 .351800 .930929 .750132
122502 .515310 .807589 .518642 .621811 .603319 .758750
857597 .784634 .575788 .485529 .906695 .192025 .689554
136420 .977462 .909412 .748327 .327288 .303295 .236604
852693 .756376 .789466 .457776 .150114 .981302 • 763126
591484 .584924 .169059 .723296 .140660 .648336 .846010
090877 .842606 .128435 .647902 .953640 .419003 .860181
069850 .841235 .325905 .475414 .216346 .425186 .503743
152838 .551257 .3188^9 .127320 .368044 .647826 .802619
Отметим еще раз, что во втором варианте независимо от начального зна-
чения / период случайной последовательности равен 1 048 576.
Свойства случайной последовательности
Приведенные ниже рисунки иллюстрируют некоторые свойства случайной
последовательности. На рис. А.1 показано примерное распределение амплитуд
последовательностей длиной 10 000. Здесь построена гистограмма для каждой из
100 подпоследовательностей длиной 10 000. Каждая гистограмма содержит 10
подынтервалов в интервале от 0 до 1, и на рис. А.1 построены все 100 гисто-
грамм. По оси ординат отложены относительные значения частоты. Из рис. АЛ
видно, что значение частоты незначительно отклоняется от ОД — идеального
для 10 подынтервалов. Аналогично этому на рис. А.2 приведены гистограммы
для последовательностей длиной 512. На рис. А.З показан отрезок белого шу-
ма, построенный по первым 1000 числам в соответствии с
Х(А) = RANDOM* )—0,5. (А.7)
•Отметим, что последовательность носит случайный характер, а ее среднее зна-
чение приблизительно равно нулю.
Автокорреляционная функция первых 132 000 значений Х(Х) в (А.7) име-
ет вид
132000
Е = S X*(N), (А.8)
N=i
| 132000
R(K) = =^ 2 X(N)X(N + K), 0<К<Ю0
Е ^=l
419
Рис. А.1. Гистограммы
для 100 последователь-
ностей длиной 10000
Рис. А.2. Гистограммы
для 100 последователь-
ностей длиной 512
Номер отсчета
Рис. А.З. Первые
1000 значений, пост-
роенных по програм-
ме RANDOM ( ) —
0,5
,420
Рис. А.4. Автокорре-
ляционная функция
первых 132 000 зна-
чений, построенных по
программе RANDOM
( )—0,5
Рис. А.5. Автокорре-
ляционная
следующих
значений,
ных по
.RANDOM
функция
132 000
построен-
программе
( )—0,5
Рис. А.6. Энергетиче-
ский спектр случай-
ной последователь-
ности
421
и приведена на рис. А.4. При наличии нормирующего множителя Е R(0) = l,
а значения R(l) ... 7?(100) достаточно малы, поэтому можно сделать вывод о
том, что значения последовательности X(N) являются некоррелированными, т. е.
независимыми. На рис. А.5 построен аналогичный график для следующих
132 000 значений. Здесь также значения R(K) составляют менее 1% от R(0).
На рис. А.6 приведен энергетический спектр всей случайной последователь-
ности, который рассчитан по 513 точкам в соответствии с формулой
] 1023
2 IfftHP, m = 0, 1,..., 512. (А.9)
1024 k=0
Каждое слагаемое в (А.9) представляет собой квадрат амплитуды составляю-
щей дискретного преобразования Фурье (ДПФ). По последовательным непере-
крывающимся сегментам последовательности случайных чисел Х(0) ...
... Х( 1048575) (А.7) рассчитано 1024 ДПФ по формуле
1 023
Fk(m)= S X (1024 + n) е-/2лтп/1 024 . (А. 10)
п=о
Таким образом, на рис. А.6 приведен усредненный спектр, практически равно-
мерный на всех частотах. Кроме того, поскольку дисперсия равномерного рас-
пределения равна 1/12 от интервала распределения, теоретическое значение на
рис. А.6
£[£&(«)] = Ю24£[Х2(п)] = 1024(1/12) =85,3, (А.11)
и все спектральные составляющие близки к этой величине.
Наконец, на рис. А.7 и А.8 приведены результаты для сравнения подпрог-
рамм формирования случайных чисел RANDOM и RANF, используемых в ЭВМ
CDC-6600. Здесь случайная последовательность чисел длиной 1 044 480 разби-
та на 102 сегмента длиной 10 240 каждый. Для каждого сегмента рассчитан,
как это описано в связи с (А.9) и (А. 10), энергетический спектр, при этом для
каждой последовательности вместо 10 взято 1024 неперекрывающихся отрезка.
На рис. А.7 и А.8 построены минимальный и максимальный из всех 102 спект-
ров для подпрограмм соответственно RANDOM и RANF. Как следует из сравне-
ния, между обеими подпрограммами нет заметной разницы.
Из сказанного можно прийти к заключению, что подпрограмма RANDOM
обладает удовлетворительными свойствами для моделирования процессов об-
работки сигналов. Помимо относительно короткого (106) периода единствен-
ным известным недостатком подпрограммы RANDOM является сравнительно
большое время счета при ее реализации приведенными выше версиями на языке
Фортран. Можно считать, что это является платой за портативность. Например,
при использовании на ЭВМ CDC-6600 версии 2 подпрограммы RANDOM для
формирования 105 случайных чисел необходимо в среднем около 2,55 с в про-
400
(т)—*•
о------------/-----И-' '--------1------
200 400 600
Рис. А.7. Максималь-
ный и минимальный
из 102 энергетичес-
ких спектров после-
довательностей дли-
ной 10240
422
Рис. А.8. Энергетиче-
ские спектры, анало-
гичные рис. А.7, по-
лученные на ЭВМ
CDC-6600 при заме-
не подпрограммы
RANDOM на под-
программу RANF
400-
’ (от)
max
Fmin <т>----*
о----------1--------1--------г--------1--------1--------
О 200 400 600
200 400
т
тивоположность 0,47 с, требуемым при использовании на этой же ЭВМ имею-
щейся в библиотеке подпрограммы RANF. Безусловно, время счета можно со-
кратить, если реализовать программу в машинных кодах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К главе 2
1. В. Widrow, “Adaptive Filters,” in Aspect;, of Network and System Theory, R. E. Kalman
and N. De Claris (Eds.). New York: Holt, Rinehart and Winston, 1970, p. 563.
2. A. V. Oppenheim and R. W. Schafer, Digital Signal Proiessmg. Englewood Cliffs, N.J.:
Prentice-Hall, 1975, Chap. 8.
3. L. R. Rabiner and B. Gold, Theory and Application oj Digital Signal Processing. En-
glewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1975.
4. N. Ahmed and T. Natarajan, Discrete-Time Signals and Systems. Reston. Va.: Reston,
1983.
5. L. H. Koopmans, The Spectral Analysis of Time Series. New York: Academic Press, 1974.
6. S. D. Stearns, Digital Signal Analysis. Rochelle Park, NJ.: Hayden, 1975, Chap. 13.
7. L. G. Kelly, Handbook of Numerical Methods and Applications. Reading, Mass.;
Addison-Wesley, 1967, Sec. 7.8.
8. N. Wiener, Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series, with
Engineering Applications. New York: Wiley, 1949.
9. H. W. Bode and С. E. Shannon, “A simplified derivation of linear least squares
smoothing and prediction theory,” Proc. IRE,yo\. 38, pp. 417-425, Apr., 1950.
10. R.' E. Kalman, “On the general theory of control," in Proc. First I FAC Congress.
London: Butterworth, 1960.
11. R. E. Kalman and R. S. Bucy, “New results in linear filtering and prediction theory,”
Trans. ASME, Ser. D, J. Basic Eng., vol. 83, pp. 95-107, Dec. 1961.
12. T. Kailath, “A view of three decades of linear filtering theory,” IEEE Trans. Inf. Theory,
.vol. IT-20, pp. 145-181, Mar. 1974.
13. B. Widrow and M. E. Hoff, Jr., “Adaptive switching circuits,” IRE WESCON Coni’, ’
Rec., pt. 4, pp. 96-104, 1960.
14. J. S. Koford and G. F. Groner, “The use of an adaptive threshold element to design a
linear optimal pattern classifier,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. IT-12, pp. 42-50, Jan.
1966.
15. D. Gabor, W. P. L. Wilby, and R. Woodcock, “A universal nonlinear filter predictor and
simulator which optimizes itself by a learning process,” Proc. Inst. Electr. Eng., vol.
Т08В, July 1960.
16. R. W. Lucky, J. Saiz, and E. J. Weldon, Jr., Principles of Data Communication. New
York: McGraw-Hill, 1968.
К главе 3
1. F. R. Gantmacher, The Theory of Matrices, vol. 1. New York: Chelsea, 1960, p. 308.
2. J. N. Franklin, Matrix Theory. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1968, Sec. 4.6.
3. J. H. Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue Problem. London: Oxford University Press,
1965.
4. L. G. Kelly, Handbook of Numerical Methods and Applications. Reading, Mass.: Addison-
Wesley, 1967, Chap. 9.
5. H. Anton, Elementary Linear Algebra. New York: Wiley, 1973, Chap. 6.
424
€. D. К. Faddeev and V. N. Faddeeva, Computational Methods of Linear Algebra. San
Francisco: W H. Freeman. 1963.
К главе 4
1. В. Gold and С. M. Rader, Digital Processing of Signals. New York: McGraw-Hill, 1969,
Chap. 2.
2. G. B. Thomas, Jr., Calculus and Analytic Geometry, 4th ed. Reading, Mass.: Addison-
Wesley, 1968, Sec. 10.3.
3. D. G. Luenberger, Introduction to Linear and Nonlinear Programming. Reading, Mass.:
Addison-Wesley, 1973, Sec. 7.7.
4. P. Eykhoff, System Identification. New York: Wiley, 1974, Chap. 5.
К главе 5
1. L. G. Kelly, Handbook of Numerical Methods and Applications. Reading, Mass.: Addison-
Wesley, 1967, Chap.‘2.
2. B. W. Lindgren, Statistical Theory. New York: Macmillan, 1962, Chap. 2.
3. W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. 1. New York:
Wiley, 1957, Chap. 9.
4. В. V. Gnedenko, The Theory of Probability. New York: Chelsea, 1967, Chap. V.
5. J. V. Uspensky, Introduction to Mathematical Probability. New York: McGraw-Hill, 193,7,
Chap. 12.
6. B. Widrow and J. M. McCool, “A comparison of adaptive algorithms based on фе
methods of steepest descent and random search,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol.
AP-24, no. 5, pp. 615-637, Sept. 1976.
7. A. Papoulis, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. New York:.
McGraw-Hill, 1965.
К главе 6
1. В. Widrow and J. M. McCool, “A comparison of adaptive algorithms based on the
methods of steepest descent and random search,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol.
AP-24, no. 5, pp. 615-637, Sept. 1976.
2. B. Widrow, J. M. McCool, M. G. Larimore, and C. R. Johnson, Jr., “Stationary and
nonstationary learning characteristics of the LMS adaptive filter,” Proc. IEEE, vol. 64, no.
, 8, pp. 1151-1162, Aug^ 1976.
3. B. Widrow et al., “Adaptive noise cancelling: principles and applications,” Proc. IEEE,
vol. 63, no. 12, pp. 1692-1716, Dec. 1975.
4. B. Widrow, “Adaptive Filters,” in Aspects of Network and System Theory, R. E. Kalman
and N. De Claris {Eds ). New York: Holt, Rinehart and Winston, 1970, pp. 563-587.
5. B. Widrow and E. Walach, “On the statistical efficiency of the LMS algorithm with
nonstationary inputs,” IEEE Trans. Information Theory—Special Issue on Adaptive Filter-
ing, vol. 30, no. 2, part 1, pp. 211-221, Mar. 1984.
6. D. C. Farden, “Tracking properties of adaptive signal processing algorithms,” IEEE
Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-29, p. 439, June 1981.
425
К главе 7
1. R. W. Hamming. Digital Filters. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1977, Chapter 2.
2. A. V. Oppenheim and R. W. Schafer, Digital Signal Processing. Englewood Cliffs, N.J.:
Prentice-Hall, 1975, Chaps. 1-4.
3. L. R. Rabiner and B. Gold, Theory and Application of Digital Signal Processing. En-
glewood Cl ffs. N.J.: Prentice-Hall, 1975, Chap. 2.
4. S. D. Stearns, Digital Signal Analysis. Rocheile Park, N.J.! Hayden, 1975, Chaps. 8 and 9.
5. W. Kaplan, Advanced Calculus. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1952, Chap. 9.
6. S. Kami and W. J. Byatt, Mathematical Methods in Continuous and Discrete Systems. New
York: Holt, Rienhart and Winston, 1981, Chaps. 2 and 5.
7. N. Ahmed and T. Natarajan, Discrete-Time Signals and Systems. Reston, Va.: Reston,
1983.
8. S. A. Tretter, Introduction to Discrete-Time Signal Processing. New York: Wiley, 1976.
9. A. Peled and B. Liu, Digital Signal processing. New York: Wiley, 1976.
10. R. V. Churchill, Complex Variables and Applications. New York: McGraw-Hill, 1948,
Chap. 7.
К главе 8
1. D. Graupe, Identification of Systems. New York: Van Nostrand Reinhold, 1972, Chap. 6.
2. N. Ahmed, D. L. Soldan, D. R. Hummels, and D. D. Parikh, “Sequential regression
considerations of adaptive filtering,” Electron. Lett., p. 446, July 21, 1977.
3. D. Parikh and N. Ahmed, “A sequential regression algorithm for recursive filters,”
Electron. Lett., p. 266, Apr. 27, 1978.
4. N. Ahmed, D. R. Hummels, M. Uhl, and D. L. Soldan, “A short term sequential
regression algorithm,” IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-27, p. 453,
Oct. 1979.
5. R. С. K. Lee, Optimal Estimation, Identification, and Control. Cambridge, Mass.: MIT
Press, 1966, Sec. 4.3.1.
6. S. D. Steams, Digital Signal Analysis. Rochelle Park, N.J.: Hayden, 1975, Chaps. 7, 9 and
12.
7. S. D. Steams, “Error surfaces of recursive adaptive filters," IEEE Trans. Circuits Syst.,
vol. CAS-28, Special Issue on Adaptive Systems, June 1981.
8. T. C. Hsia, “A simplified adaptive recursive filter design,” Proc. IEEE, vol. 69, p. 1153,
Sept. 1981.
9. S. A. White, “An adaptive recursive digital filter,” Proc. 9th Asilomar Conf. Circuits Syst.
Comput., p. 21, Nov. 1975.
10. M. G. Larimore, J. R. Treichler, and C. R. Johnson, Jr., “SHARF: an algorithm for
adapting HR digital filters,” IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-28,
p. 428, Aug. 1980.
11. J. R. Treichler, M. G. Larimore, and C. R. Johnson, Jr., “Simple adaptive HR filtering,”
Proc. 1978 ICASSP, p. 118, Apr. 1978.
12. M. G. Larimore, C. R. Johnson, Jr., and J. R. Treichler, “Adaptive cancelling using
SHARF,” Proc. 21st Midwest Symp. Circuits Syst., Aug. 1978.
13. M. G. Larimore, J. R. Treichler, and C. R. Johnson, Jr., “Multipath cancellation by
adaptive recursive filtering,” Proc. 12th Asilomar Conf. Circuits Syst. Comput., Nov. 1978..
14. P. L. Feintuch, “An adaptive recursive LMS filter,” Proc. IEEE, vol. 64, p. 1622, Nov.
1976.
426
15. R. A. David and S. D. Steams, “Adaptive HR algorithms based on gradient search,”
Proc. 24th Midwest Symp. Circuits Syst., June 1981.
16. B. Widrow and J. M. McCool, “A comparison of adaptive algorithms based on the-
methods of steepest descent and random search,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol.
AP-24, p. 615, Sept. 1976.
17 . D. M. Etter and M. M. Masukawa, “A comparison of algorithms for adaptive estimation
of the time delay between sampled signals,” Proc. ICASSP-81, p. 1253, Mar. 1981.
18 .A. H. Gray, Jr., and J. D. Markel, “Digital lattice and ladder filter synthesis,” IEEE
Trans. Audio Electroacoust., vol. AU-21, p. 491, Dec. 1973.
19 .F. Itakura and S. Saito, “Digital filtering techniques for speech analysis and synthesis,”
Proc. 7th Int. Conf. Acoust., vol. 3, Paper 25C-1, p. 261, 1971.
20 . S. D. Steams, Digital Signal Analysis. Rochelle Park, N.J.: Hayden, 1975, Chap. 9.
21 .R. A. David, “HR Adaptive Algorithms Based on Gradient Search Techniques,” Stan-
ford Univ., Stanford, Calif., Aug. 1981 (Ph.D. dissertation).
22 . J. Makhoul and R. Viswanathan, “Adaptive lattice methods for linear prediction,” Proc.
• ICASSP-78, p. 83.
23. L. J. Griffiths, “An adaptive lattice structure for noise-cancelling applications,” Proc.
ICASSP-78, p. 87.
24. T. Kailath, Linear Systems. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1980.
25. C. R. Johnson, Jr., M. G. Larimore, J. R. Treichler, and B. D. O. Anderson, “SELARF
convergence properties,” IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-29, p.
659. June 1981.
26. D. Parikh, N. Ahmed, and S. D. Steams, “An adaptive algorithm for recursive filters,”
IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-28, p. 110, Feb. 1980.
27. E. I. Jury, “A note on the reciprocal zeros of a real polynomial with respect to the unit
circle,” IEEE Trans. Commun. Technol., vol. CT-11, p. 292, June 1964.
28. L. J. Griffiths, “A continuously-adaptive filter implemented as a lattice structure,” Proc.
ICASSP-77, p. 683, May 1977.
29. M. D. Srinath and M. M. Viswanathan, “Sequential algorithm for identification of
parameters of an autoregressive process,” IEEE Trans. Autom. Control, vol. AC-20, p.
542, Aug. 1975.
30. N. Levinson, “The Wiener RMS error criterion in filter design and prediction,” J. Math.
Phys., vol. 25, pp. 261-278, i946.
31. S. A. Tretter, Introduction to Discrete-Time Signal Processing. New York: Wiley, 1976,
Sec. 7.6.
32. A. P. Sage, Optimum System Design. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1968, p. 276.
33. G. C. Goodwin and R. L. Payne, Dynamic System Identification: Experiment Design and
Data Analysis. New York: Academic Press, 1977, Chap. 7.
34. R. S. Medaugh and L. J. Griffiths, “A comparison of two fast linear predictors,” Proc.
ICASSP-81, p. 293, Mar. 1981.
35. J. I. Makhoul and L. K. Cosell, “Adaptive lattice analysis of speech,” IEEE Trans.
Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-29, p. 654, June 1981.
36. B. Widrow and E. Walach, “On the statistical efficiency of the LMS algorithm with
nonstationary inputs,” IEEE Trans. Information Theory—Special Issue on Adaptive
Filtering, vol. 30, no. 2, part 1, pp. 211-221, Mar. 1984.
37.R. A. Monzingo and T. W. Miller, Introduction to Adaptive Arrays. New York: John
Wiley, 1980, Sec. 8.3.
38.S. S. Narayan and A. M. Peterson, “Frequency domain least-mean-square algorithm,”
Proc. IEEE, vol 69, no. 1, pp. 124-126, Jan. 1981.
427
39.В. Widrow, J. McCool, and M. Ball, “The complex LMS algorithm;” Proc. IEEE, voL
63, no. 4, pp. 719-720, Apr. 1975.
40 .M. Morf, A. Vieira, and D. T. Lee, “Ladder forms for identification and speech
processing,” Proc. 1977 IEEE Conf. Decision and Control, New Orleans, LA, pp.
1074-1078, Dec. 1977.
41 .M. Morf and D. T. Lee, “Recursive least-squares ladder forms for fast parameter
tracking,” Proc. 1979 IEEE Conf. Decision and Control, San Diego, CA, pp. 1362-1367,
Jan.
42 .D. T. Lee, M. Morf, and B. Friedlander, “Recursive least-squares ladder estimation
algorithms,” IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. Joint Special Issue on Adaptive
Signal Processing, vol. ASSP-29, no. 3, pp. 627-641, June 1981.
43 .B. Porat, B. Friedlander and M. Morf, “Square-root covariance ladder algorithms,” IEEE
Trans, on Acoust. Control, vol. AC-27, no. 4, pp. 813-829, Aug. 1982.
44.B. Friedlander, “Lattice filters for adaptive processing,” Proc. IEEE, vol. 70, no. 8, pp.
829-867, Aug. 1982.
45.B. Friedlander, “Lattice methods for spectral estimation,” Proc. IEEE, vol. 70, no. 9, pp.
990-1017, Sept. 1982.
46.H. Lev-Ari, T. Kailath, and J. M. Cioffi, “Least-squares adaptive lattice and transversal
filters: a unified geometric theory,” IEEE Trans. Information Theory—Special Issue on
Adaptive Filtering, vol. 30, no. 2, part 1, pp. 222-236, Mar. 1984.
47.L. J. Griffiths and R. S. Medaugh, “Convergence properties of an adaptive noise
cancelling lattice structure,” Proc. 1978 IEEE Conf. Decision and Control, San Diego,
CA, pp. 1357-1361, Jan. 1979.
К главе 9
1. S. W. Golomb (Ed ), Digital Communications with Space Applications. Englewood Cliffs,
N.J.: Prentice-Hall, 1964.
2. R. C. Dixon (Ed.), Spread-Spectrum Techniques. New York: IEEE Press, 1976.
3. D. M. Etter and S. D. Steams, “Adaptive estimation of time delays in sampled data
systems,” IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-29, pp. 582-587, June
1981.
4. B. Widrow, P. E. Titchener, and R. F. Gooch, “Adaptive design of digital filters,” Proc.
ICASSP-81, pp. 243-246.
5. D. L. Soldan, “A comparison of adaptive algorithms used for designing phase compensa-.
tion filters,” Proc. ICASSP-81, pp. 542-545.
6. IEEE Transactions on Communications, Special Issue on Spread-Spectrum Communica-
tions, pp. 745-865, Aug. 1977..
7. D. V. Sarwate and M. B. Pursley, “Crosscorrelation properties of pseudorandom and
related sequences,” Proc. IEEE, vol. 68, pp. 593-619, May 1980.
8. G. L. Turin, “Introduction to spread-spectrum antimultipath techniques and their
application to urban digital radio,” Proc. IEEE, vol. 68, pp. 328-353, Mar. 1980.
9. G. R. Cooper and R. W. Nettleton, “A spread-spectrum technique for high-capacity
.mobile communications,” IEEE Trans. Veh. Technol., pp. 264-275, 1978.
10 T Kailath (Ed.), IEEE Trans. Autom. Control, Special Issue on System Identification
and Time Series Analysis, vol. AC-19, no. 6, Dec. 1974.
11. D. Graupe, Identification of Systems, New York: Van Nostrand Reinhold, 1972.
' 12.P, Eykhoff, System Identification. New York; Wiley, 1974.
428
13. J. G. Proakis, Digital Communications. New York: McGraw-Hill, 1983, Chap. 8.
К главе 10
1. A. Papoulis, The Fourier Integral and Its Applications. New York: McGraw-Hill, 1962.
Sec. 7.5.
2. P. O. Bhatnayar, Nonlinear Waves in One-Dimensional Dispersive Systems. Oxford:
Clarendon Press, 1979,-Chap. 1.
3. B. Widrow, P. F. Titchener, and R. P. Gooch, “Adaptive Design of Digital Filters,” Proc.
ICASSP-81, pp. 243-246, Mar. 1981.
4. R. A. David, “HR adaptive algorithms based on gradient search techniques,” Stanford
Univ., Stanford, Calif., Aug. 1981, Chap. 3 (Ph D. dissertation).
5. J. Makhoul, “Linear prediction: a tutorial review,” Proc. IEEE, vol. 63, pp. 561-58G,
Apr. 1975.
6. J. Makhoul, “Spectral linear prediction: properties and applications,” I£EE Trans.
Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-23, pp. 283-296, June 1975.
7. J. D. Markel, “Formant trajectory estimation from a linear least-squares inverse filter
formulation,” Speech Communications Research Lab, Inc., Santa Barbara, Calif.,
AD734679, Oct. 1971.
8. J. D. Markel, “Digital inverse filtering—a new tool for formant trajectory estimation,”
IEEE Trans. Audio Electroacoust., vol. AU-20, pp. 129-137, June*1972.
9. B. S. Atal and S. L. Hanauer, “Speech analysis and synthesis by linear prediction of the
speech wave,” J. Acoust. Soc., vol. 50 (part 2), pp. 637-655, 1971.
10. C. Klayman et al., “Real-time implementation of a linear predictive coding system,” in
Proc. Net. Commun. Conf., Paper 29E, Nov. 1973.
11. R. W. Lucky, “Automatic equalization for digital communication,” Bell Syst. Tech. J.,
vol. 44, pp. 547-588, Apr. 1965.
12. R. W. Lucky, “Techniques for adaptive equalization of digital communication systems,”
Bell Syst. Tech. J., vol. 45, pp. 255-286, Feb. 1966.
13. A. Gersho, “Adaptive equalization of highly dispersive channels for data transmission,”
Bell Syst. Tech. J., vol. 48, pp. 55-70, Jan. 1969.
14. M. M. Sondhi, “An adaptive echo canceller,” Bell Syst. Tech. J., vol. 46, pp. 497-511,
Mar. 1967.
15. J. G. Proakis, Digital Communications. New York: McGraw-Hill, 1983.
16. R. W. Lucky, J. Saiz, and E. J. Weldon, Jr., Principles of Data Communication. New
York: McGraw-Hill, 1968.
17. J. C. Kennedy, “Equalization of digital communication channels using bootstrap mean
square error criterion,” Stanford Univ., Stanford, Calif., May 1971 (Ph.D. thesis).
18. L. J. Griffiths, F. R. Smolka, and L. D. Trembly, “Adaptive deconvolution: a new
technique for processing time-varying seismic data,” Geophysics, June 1977.
19. S. Qureshi, “Adaptive equalization,” IEEE Commun. Mag., p. 9, Mar. 1982.
20. M. M. Sohdhi and D. A. Berkley, “Silencing echoes on the telephone network,” Proc.
IEEE, vol. 68, p. 948, Aug. 1980.
21. F. K. Becker and H. R. Rudin, “Application of automatic transversal filters to. the
problem of echo suppression,” Bell Syst. Tech. J., vol. 45, pp. 1847-1850, Dec, 1966.
22. M. M. Sondhi and A. J. Presti, “A self-adaptive echo canceller,” Bell Syst. Tech» J-, vol. ’
45, pp. 1851-1854, Dec. 1966-
429»
23.М. М. Sondhi, “An adaptive echo canceller,” Bell Syst. Tech. J., vol. 46, pp. 497-511,
Mar. 1967.
24.N. Demytko and L. K. Mackechnie, “A high speed digital adaptive echo canceller,” Aust.
Telecommun. Rev., vol. 7, pp. 20-27, 1973.
25.S. J. Campanella, H. G. Suyderhoud, and M. Onufry, “Analysis of an adaptive impulse
response echo canceller,” Comsat Tech. Rev., vol. 2, no. 1, pp. 1-37, Spring 1972.
26 .D. L. Duttweiler, “A twelve-channel digital echo canceller,” IEEE Trans. Commun., vol.
COM-26, pp. 647-653, May 1978.
27 .D. L. Duttweiler and Y. S. Chen, “Performance and features of a single chip FLSI echo
canceller,” Proc. NTC 79, Washington, DC., Nov. 17-29, 1979.
28 . J. G. Proakis, “Adaptive digital filters for equalization of telephone channels,” IEEE
Trans. Audio Electroacoust., vol. AU-18, no. 2, pp. 484-497, June 1970.
29 .J. G. Proakis and J. H. Miller, “An adaptive receiver for digital signaling through
channels with intersymbol interference,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. IT-15, no. 4, pp.
484-497, July 1969.
30 .R. A. David, “A cascade structure for equation error minimization,” Proc. 16th Asilomar
Conf. Circuits, Syst., Comput., p. 182, Nov. 8, 1982.
31 .J. J. Kormylo and J. M. Mendel, “Maximum-likelihood seismic deconvolution,” IEEE
Trans. Geoscience and Remote Sensing, vol. GE-21, pp. 72-82, Jan. 1983.
32 .R. P. Gooch, “Adaptive pole-zero filtering: the equation error approach,” Standford
Univ., Stanford, Calif., June 1983, Chap. 5 (Ph.D thesis).
К главе 11
1. I. D. Landau, Control and Systems Theory, Vol. 8: Adaptive Control. New York: Marcel
Dekker, 1969.
2. G. F. Franklin and J. D. Powell, Digital Control of Dynamic Systems. Reading, Mass.:
Addison-Wesley, 1980.
3. В. C. Kuo, Automatic Control Systems. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1962.
4. E. Mishkin and L. Braun, Jr. (Eds.), Adaptive Control Systems. New York: McGraw-Hill,
1961.
5. D. Sworder, Optimal Adaptive Control Systems. New York: Academic Press, 1966.
6. В. C. Kuo, Digital Control Systems. Champaign, Ill.: SRL Publishing Co., 1977.
7. S. M. Shinners, Modern Control System Theory and Application. Reading, Mass.: Addison-
Wesley, 1973.
8. General Reference, IEEE Transactions on Automatic Control.
9. General Reference, Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control.
К главе 12
1. N. Wiener, Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series, with
Engineering Applications. New York: Wiley, 1949.
2. H. Bode and C. Shannon, “A simplified derivation of linear least squares smoothing and
prediction theory,” Proc. IRE, vol. 38, pp. 417-425, Apr. 1950.
3. R. Kalman, “On the general theory of control,” in Proc. First I FAC Congress. London:
Butterworth, 1960.
430
4. R. Kalman and R. Bucy, “New results in linear filtering and prediction theory,” Trans.
A SME, Ser. D. J. Basic Eng., vol. 83, pp. 95-107, Dec. 1961.
j. T. Kailath, “A view of three decades of linear filtering theory,’’IEEE Trans. Inf. Theory,
vol. IT-20, pp. 145-181, Mar. 1974.
6 . P. Howells, “Intermediate frequency side-lobe canceller,” U.S. Patent 3,202,990, Aug. 24,
1965.
7 . B. Widrow and M. Hoff, Jr., “Adaptive switching circuits,” IRE WESCON Сопи. Rec.,
pt. 4, pp. 96-104, 1960.
8 . J. Koford and G. Groner, “The use of an adaptive threshold element to design a linear
optimal pattern classifier,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. IT-12, pp. 42-50, Jan. 1966.
9 . F. Rosenblatt, “The Perceptron: A perceiving and recognizing automaton, Project
PARA,” Cornell Aeronaut. Lab., Rep. 85-460-1, Jan. 1957.
10 .F. Rosenblatt, Principles of Neurodynamics: Perceptrons and the Theory of Brain
Mechanisms. Washington, D,C: Spartan Books, 1961.
ll .N. Nilsson, Learning Machines. New York: McGraw-Hill, 1965.
12 .D. Gabor, W. P. L. Wilby, and R. Woodcock, “A universal nonlinear filter predictor and
simulator which optimizes itself by a learning process,” Proc. Inst. Electr. Eng., vol.
108B, July 1960.
13 .R. Lucky, “Automatic equalization for digital communication,” Bell Syst. Tech. J., vol.
44, pp. 547-588, Apr. 1965.
14 .R. Lucky, J. Saiz, and E. J. Weldon, Jr., Principles of Data Communication. New York:
McGraw-Hill, 1968.
15 .J. Kaunitz, “Adaptive filtering of broadband signals as applied to noise cancelling,”
Stanford Electronics Lab., Stanford Univ., Stanford, Calif., Rep. SU-SEL-72-038, Aug.
1972 (Ph.D. dissertation).
16 .M. Sondhi, “An adaptive echo canceller,” Bell Syst. Tech. J., vol. 46, pp. 497-511, Mar.
1967.
17 .J. Rosenberger and E. Thomas, “Performance of an adaptive echo canceller operating in
a noisy, linear, time-invariant environment,” Bell Syst. Tech. J., vol. 50, pp. 785-813,
Mar 1971.
18 .R. Riegler and R. Compton, Jr., “An adaptive array for interference rejection,” Proc.
IEEE, vol. 61, pp. 748-758, June 1973.
19.B. Widrow, P. Mantey, L. Griffiths, and B. Goode, “Adaptive antenna systems,” Proc.
IEEE, vol. 55, pp. 2143-2159, Dec. 1967.
20 . B. Widrow, “Adaptive filters,” in Aspects of Network and System Theory, R. Kalman and
N. DeClaris (Eds.). New York: Holt, Rinehart and Winston, pp. 563-587, 1971.
21 . J. Glover, “Adaptive noise cancelling of sinusoidal interferences,” Stanford Univ.,
Stanford, Calif., May 1975. (Ph.D. dissertation).
22 . J. C. Huhta and J. G. Webster, “60-Hz interference in electrocardiography,” IEEE Trans.
Biomed. Eng., vol. BME-20, pp. 91-101, Mar. 1973.
23 .W. Adams and P. Moulder, “Anatomy of heart,” in Encycl. Britannica, vol. 11, pp.
219-229, 1971.
24 ,G. von Anrep and L. Arey, “Circulation of blood,” in Encycl. Britannica, vol. 5, pp.
783-797, 1971.
25 .R. R. Lower, R. C. Stofer, and N. E. Shumway, “Homovital transplantation of the
431
heart,” J. Thoracic Cardiovasc. Surg., vol. 41, p. 196, 1961.
26 .T. Buxton, I. Hsu, and R. Barter, “Fetal electrocardiography,” JAMA, vol. 185, pp.
441-444, Aug. 10, 1963.
27 . J. Roche and E. Hon, “The fetal electrocardiogram,” Am. J. Obstet. Gynecol., vol. 92, 1
pp. 1149-1159, Aug. 15, 1965.
28 .S. Yeh, L. Betyar, and E. Hon, “Computer diagnosis of fetal heart rate patterns,” Am. J.
Obstet. Gynecol., vol. 114, pp. 890-897, Dec. 1, 1972.
29 .E. Hon and S. Lee, “Noise reduction in fetal electrocardiography,” Am. J. Obstet.
Gynecol., vol. 87, pp. 1087-1096. Dec. 15, 1963.
30 .J. Van Bemmel, “Detection of weak foetal electrocardiograms by autocorrelation and
crosscorrelation of envelopes,” IEEE Trans. Biomed. Eng., vol. ВМЁ-15, pp. 17-23, Jan.
1968.
jl.J. R. Cox, Jr., and L. N. Medgyesi-Mitschang, “An algorithmic approach to signal
estimation useful in fetal electrocardiography,” IEEE Trans. Biomed. Eng., vol. BME-16,
pp. 215-219, July 1969.
32 .J. Van Bemmel, L. Peeters, and S. Hengeveld, “Influence of the maternal ECG oh the
abdominal fetal ECG complex,” Am. J. Obstet. Gynecol., vol. 102, pp. 556-562, Oct. 15,
1968.
33 .W. Walden and S. Birnbaum, “Fetal electrocardiography with cancellation of maternal
complexes.” Am. J. Obstet. Gynecol., vol. 94, pp. 596-598, Feb. 15, 1966.
34 . J. Capon, R. J. Greenfield, and R. J. Kolker, “Multidimensional maximum likelihood
processing of a large aperture seismic array,” Proc. IEEE, vol. 55, pp. 192-211, Feb.
1967.
35 . S. P. Applebaum, “Adaptive arrays,” Special Projects Lab., Syracuse Univ. Res. Corp.,
Rep. SPL 769.
36 . L. J. Griffiths, “A simple adaptive algorithm for real-time processing in antenna arrays,”
Proc. IEEE, vol. 57, pp. 1696-1704, Oct. 1969^
37 .0. L. Frost III, “An algorithm for linearly constrained adaptive array processing,” Proc.
IEEE, vol. 60, pp. 926-935, Aug. 1972.
38 .K.‘Senne, “Adaptive linear discrete-time estimation,” Stanford Electronics Lab., Stanford
Univ., Stanford, Calif., Rep. SEL-68-090, June 1968 (Ph.D. dissertation).
39 .T. Daniell, “Adaptive estimation with mutually correlated training samples,” Stanford
Electronics Lab., Stanford Univ., Stanford, Calif., Rep. SEL-68-083, Aug. 1968 (Ph.D..
dissertation).
40 .J. K. Kim and L. D. Davisson, “Adaptive linear estimation for stationary M-dependent
processes,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. IT-21, pp. 23-31, Jan. 1975.
. 41.B. Widrow, “Adaptive filters 1: Fundamentals,” Stanford Electronics Lab., Stanford
Univ., Stanford, Calif., Rep. SU-SEL-66-126, Dec. 1966.
42 .L. J. Griffiths, “Rapid measurement of instantaneous frequency,” IEEE Trans. Acoust.
Speech Signal Process., vol. ASSP-23, pp. 209-222, Apr. 1975.
43 . J. P. Burg, “Maximum entropy spectral analysis,” presented at the 37th Annual Meeting,
Soc. Exploration Geophysicists, Oklahoma City, Okla., 1967.
44 . P. M. Woodward, Probability and Information Theory with Applications to Radar, 2nd ed.
London: Pergamon Press, 1964.
45 .M. I. Skolnik, Introduction to Radar Systems. New York: McGraw-Hill, 1962.
46 .P. Swerling, “Probability of detection for fluctuating targets,” IRE Trans. Inf. Theory,
432
vol. IT-6, pp. 269-308, Apr. 1960.
47 . J. I. Marcum, “A statistical theory of target detection by pulsed radar: Mathematical
appendix,” IRE Trans. Inf. Theory, vol. IT-6, pp. 145-267, Apr. 1960.
48 . J. R. Glover, “Adaptive noise cancelling applied to sinusoidal interferences,” IEEE
Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-25, p. 484, Dec. 1977.
49 .M. J. Shensha, “Non-Wiener solutions of the adaptive noise canceller with a noisy
reference,” IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-28, p. 468, Aug. 1980.
50 . T. R. Rosenburger and E. J. Thomas, “Performance of an adaptive echo canceller
operating in a noisy, Unear time-invariant environment,” Bell Syst. Tech. J., vol. 50, p.
785, Mar. 1971.
51 . J. R. Zeidler et al., “Adaptive enhancement of multiple sinusoids in uncorrelated noise,”
IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-26, p. 240, June 1978.
52 . D. R. Morgan, “Response of a delay-constrained adaptive linear predictor filter to a
sinusoid in white noise,” Proc. 1981 ICASSP, p. 271.
53 . J. A. Edward and M. M. Fitelson, “Notes on maximum-entropy processing,” IEEE
Trans. Inf. Theory, vol. IT-19, p. 232, Mar. 1973.
54 .R. T. Lacoss, “Data adaptive spectral analysis methods,” Geophysics, p. 661, Aug. 1971.
55 .A. Van Den Bos, “Alternative interpretation of maximum entropy spectral analysis,”
IEEE Trans. Inf. Theory, vol. IT-17, p. 493, July 1971.
56 .A. PopouUs, “Maximum entropy and spectral estimation: a review,” IEEE Trans.
Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-29, p. 1176, Dec. 1981.
57 .M. R. Sambur, “Adaptive noise cancelhng for speech signals,” IEEE Trans. Acoust.
Speech Signal Process., vol. ASSP-26, p. 419, Oct. 197.8.
К главе 13
1. В. Widrow, P. E. Mantey, L. J. Griffiths, and В. B. Goode, “Adaptive antenna systems,”
Proc. IEEE, vol. 55, p. 2143, Dec. 1967.
2. R. A. Monzingo and T. W.- Miller, Introduction to Adaptive Arrays. New York: Wiley» i
1980.
3. B. Widrow et al, “Adaptive noise cancelling: principles and applications,” Proc. IEEE,
vol. 63, p. 1692, Dec. 1975.
4. J. S. Koford and G. F. Groner, “The use of an adaptive threshold element to design a
linear optimal pattern classifier,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. IT-12, pp. 42-50, Jan.
1966.
5. K. Steinbuch and B. Widrow, “A critical comparison of two kinds of adaptive classifica-
tion networks,” IEEE Trans. Electron. Comput. (Short Notes), vol. EC-14, pp. 737-740,
Oct. 1965.
6. С. H. Mays, “The relationship of algorithms used with adjustable threshold elements to
differential equations,” IEEE Trans. Electron. Comput. (Short Notes), vol. EC-14, pp.
62-63, Feb. 1965.
7. Special Issue on Active and Adaptive Antennas, IEEE Trans. Antennas Propagat., vol.
AP-12, Mar. 1964.
8. С. V. Jakowatz, R. L. Shuey, and G. M. White, “Adaptive waveform recognition,” in
Fourth London Symp. on Information Theory. London: Butterworth, Sept. 1960, pp.
317-326.
9. L. D. Davisson, “A theory of adaptive filtering,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. IT-12, pp.
433
'97-102, Apr. 1966. ’
10. E. M. Glaser, “Signal detection by adaptive filters,” IRE Trans. Inf. Theory, vol. IT-7,
pp. 87-98, Apr. 1961.
11. F. Bryn, “Optimum signal processing of three-dimensional arrays operating on gaussian
signals and noise,” J. Acoust. Soc. Am., vol. 34. pp. 289-297, Mar. 1962.
12. H. Mermoz, “Adaptive filtering and optimal utilization of an antenna,” U.S. Navy
Bureau of Ships (translation 903 of Ph.D. thesis, Institut Polytechnique, Grenoble,
France), Oct. 4, 1965.
13. S. W. W. Shor, “Adaptive technique to discriminate against coherent noise in a narrow-
band system,” J. Acoust. Soc. Am., vol. 39, pp. 74-78, Jan. 1966.
14. F. W. Smith, “Design of quasi-optimal minimum time controllers,” IEEE Trans. Autom.
Control, vol. AC-11, pp. 71-77, Jah. 1966.
15. J. P. Burg, “Three-dimensional filtering with an array of seismometers,” Geophysics, vol.
29, pp. 693-713, Oct. 1964.
16. J. F. Claerbout, “Detection of P waves from weak sources at great distances,” Geophysics,
vol. 29, pp. 197-211, Apr. 1964.
17. H. Robbins and S. Monro, “A stochastic approximation method,” Ann. Math. Stat., vol.
22, pp. 400-407, Mar. 1951.
18. J. Kiefer and J. Wolfowitz, “Stochastic estimation of the maximum of a regression
function,” Ann. Math. Stat., vol. 23, pp. 462-466, Mar. 1952.
19. A. Dvoretzky, “On stochastic approximation,” Proc. Third Berkeley Symp. on Mathe-
matical Statistics and Probability, J. Neyman (Ed.). Berkeley, Calif.: University of
California Press, 1956, pp. 39.-55.
20.B. Widrow, “Adaptive sampled data systems,” Proc. First International Congress of the
International Federation of Automatic Control (Moscow, 1960). London: Butterworth,
1960.
21. D. Gabor, W. P. L. Wilby, and R. Woodcock, “A universal non-linear filter predictor and
simulator which optimizes itself by a learning process,” Proc. IEE (London), vol. 108 B,
July 1960.
22. R. V. Southwell, Relaxation Methods in Engineering Science. London: Oxford University
Press, 1940.
23. В. B. Goode, “Synthesis of a nonlinear Bayes detector for gaussian signal and noise fields
using Wiener filters,” IEEE Trans. Inf. Theory (Correspondence), vol. IT-13, pp. 116-118,
Jan. 1967.
24. J. Capon, R: J. Greenfield, and R. J. Kolker, “Multidimensional maximum-likelihood
processing of a large aperture seismic array,” Proc'. IEEE, vol. 55, pp. 192-211, Feb.
1967.
25. L. J. Griffiths, “A comparison of multidimensional Wiener and maximum-likelihood
filters for antenna arrays,” Proc. IEEE (Letters), vol. 55, pp. 2045-2047, Nov. 1967.
26. B. Widrow, “Bootstrap learning in threshold logic systems,” presented at the American
Automatic Control Council (Theory Committee), IFAC Meeting, London, June 1966.
27. Special Issue on Adaptive Arrays, IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. Ap-24, Sept.
1976.
28 .L. J. Griffiths, “A simple adaptive algorithm for real-time processing in antenna arrays,”
Proc. IEEE, vol. 57, pp. 1696-1704, Oct. 1969.
29 .0. L. Frost III, “An algorithm for linearly constrained adaptive array processing,” Proc.
IEEE, vol. 60, pp. 926-935, Aug. 1972.
434
30 .R. T. Compton, Jr., et al, “Adaptive arrays for communication systems: an overview of
research at the Ohio State University,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. PGAP-24,
pp. 599-607, Sept. 1976.
31 .S. P. Applebaum, “Adaptive arrays,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. PGAP-24,
pp. 585-598, Sept. 1976.
К главе 14
1. E. Walach, “On superresolution effects in maximum-likelihood adaptive antenna arrays,”
IEEE Trans. Antennas Propag., vol. AP-32s no. 3, pp. 259-263, Mar. 1984.
2. L. J. Griffiths, “A comparison of multidimensional Wiener and maximum-likelihood
filters for antenna arrays,” Proc. IEEE (Letters), vol. 55, pp. 2045-2047, Nov. 1967.
3. L. J. Griffiths, “A simple adaptive algorithm for real-time processing in antenna arrays,”
Proc. IEEE. vol. 57, pp. 1696-1704, Oct. 1969.
4. L. J. Griffiths, “Signal extraction using real-time adaptation of a linear multichannel
filter,” Stanford Univ., Stanford, Calif., Jan. 1968 (Ph.D. dissertation).
5. E. J. Kelley and M. J. Levin, “Signal parameter estimation for seismometer arrays,” MIT
Lincoln Lab., Lexington, Mass., Tech. Rep. 339, Jan. 8, 1964.
6. J. Capon, R. J. Greenfield, and R. J. Kolker, “Multidimensional maximum-likelihood
processing of a large aperture seismic array,” Proc. IEEE, vol. 55, pp. 192-211, Feb.
1967.
7. O. L. Frtfst III, “An algorithm for linearly constrained adaptive array processing,” Proc.
IEEE, vol. 60, pp. 926-935, Aug. 1972.
8. O. L. Frost III, “Adaptive least-squares optimization subject to linear equality con-
straints,” Stanford Univ., Stanford, Calif., June 1972 (Ph.D. thesis).
9. B. Widrow et al, “Signal cancellation phenomena in adaptive antennas: causes and
cures,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. AP-30, p. 469. May 1982.
10. C. W. Jim, “A comparison of two LMS constrained optimal array structures,” Proc.
IEEE, vol. 65, pp. 1730-1731, Dec. 1977.
ILL. J. Griffiths and C. W. Jim, “An alternative approach to linearly constrained adaptive
beamforming,” IEEE Trans. Antennas Propag.. vol. AP-30, pp. 27-34, Jan. 1982.
12 .R. P. Gooch, “Adaptive pole-zero array processing,” Proc. 16th Asilomar Conf. Circuits
Syst. Comput., Nov. 1982.
13 .Lord Rayleigh, “On the theory of optical images, with special reference to the micro-
scope,” Phi!. Mag., vol. 42, no. 5, p. 167, 1896.
14 .R. P. Gooch, “Adaptive pole-zero filtering: the equation error approach,” Stanford Univ.,
Stanford, Calif., June 1983 (Ph.D. thesis).
15 .J. Glover, “Adaptive noise cancelling of sinusoidal interference,” Stanford Electronics
Lab.. Stanford Univ., Stanford, Calif., Dec. 1975 (Ph.D. dissertation).
16 .J. Glover, “Adaptive noise cancelling applied to sinusoidal interferences,” IEEE Trans.
Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-25, pp. 484-491, Dec'. 1977.
'17.W. F. Gabriel, “Spectral analysis and adaptive array superresolution techniques,” Proc.
IEEE, vol. 68, June 1980.
, 18.К. M. Duvall, “Signal cancellation in' adaptive antennas: the phenomenon and a
remedy,” Stanford Univ., Stanford, Calif., Aug. 1983 (Ph.D. thesis).
19 .Y. L. Su, “Cures for signal cancellation in adaptive arrays,” Stanford Univ., Stanford,
Calif., June 1984 (Ph.D. thesis).
435
К приложению А
1. D. Е. Knuth, The Art of Computer Programming, Seminumerical Algorithms, Vol. 2.
Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1969, Sec. 3.2.
2. L. Schrage, “A More Portable Fortran Random Number Generator,” ACM Trans, on
ftfath Software, pp. 132-138, June 1979.
3. S. D. Steams, A Portable Random Number Generator for Use in Signal Processing, Sandia
National Laboratories SAND.81-1933, October 1981.
Список литературы, переведенной на русский язык
12.19, 13.1. Адаптивные антенные решетки/Уидроу, Мантей. Гриффитс, Гуд//
ТИИЭР. — 1'967. — Т. 55, № 12. — С. 78.
12.44. Вудворд Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с примене-
нием в радиолокации/Пер. с англ, под ред. Г. С. Горелика. — М.: Сов.
радио, 1958. — 128 с.
3.1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.
5.4. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1965. — 400 с.
<4.1. Голд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. — М.: Сов. радио,
1973. — 367 с.
12.36. Гриффитс. Простой адаптивный алгоритм для обработки сигналов ан-
тенных решеток с реальном времени//ТИИЭР. — 1969. — Т. 57, № 10. —
С. 6.
8.37, 13.2. Монзинго Р. А., Миллер Т. У. Адаптивные антенные решетки. Вве-
дение в теорию: Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1986. — 448 с.
2.3, 7.3. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сиг-
налов/Пер. с англ, под ред. Ю. Н. Александрова. — М.: Мир, 1978. —
848 с.
12.18. Риглер, Комптон. Адаптивная антенная решетка для подавления помех//
ТИИЭР. — 1973. — Т. 61, № 6. — С. 75.
12.10. Розенблатт Ф. Принцип нейродииамики. Персептрон и теория механиз-
мов мозга. — М.: Мир, 1965. — 480 с.
12.45. Сколник М. Введение в технику радиолокационных систем: Пер. с англ.
— М.: Мир, 1965. — 747 с.
5.3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей н ее приложення/Пер. с англ.
Ю. Б. Прохорова. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 528 с.
12.37, 13.29, 14.7. Фрост. Алгоритм линейно-ограниченной обработки сигналов
в адаптивной решетке//ТИИЭР. — 1972. — Т. 60, № 8. — С. 5.
7.1. Хемминг Р. В. Цифровые фильтры. — М.: Сов. радио, 1980. — 224 с.
Оглавление
Предисловие к русскому изданию...................................... »
Предисловие......................................................... *?
Условные обозначения ............................................. °
ЧАСТЬ I
ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. Адаптивные системы......................................12
Определения и свойства.......................................12
Области применения...........................................}3
Общие свойства................................................
Адаптация с обратной связью и без обратной связи........15
Приложения алгоритмов адаптации с обратной связью .... 18
Пример адаптивной системы....................................20
Содержание последующих глав .....................................21
Глава 2. Адаптивный линейный сумматор............................22
Общее описание...............................................22
Векторы входного сигнала и весовых коэффициентов .... 23
Полезный отклик и сигнал ошибки..............................25
Рабочая функция..............................................26
Минимальная среднеквадратическая ошибка н градиент .... 28
Пример анализа рабочей функции...............................29
Другое представление градиента...............................31
Декорреляция сигнала ошибки и элементов входного сигнала . . 32
Упражнения ... 33
Ответы к некоторым упражнениям...............................35
ЧАСТЬ II
ТЕОРИЯ АДАПТАЦИИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СИГНАЛОВ
Глава 3. Свойства квадратичной рабочей функции........................36
Нормальная форма корреляционной матрицы входного сигнала . . 37
Собственные значения и собственные векторы корреляционной матри-
цы входного сигнала ............................................. 38
Пример системы с двумя весовыми коэффициентами....................40
Геометрическая интерпретация собственных векторов и собственных
значений........................................................ 41
Другой пример....................................................45
Упражнения........................................................46
Ответы к некоторым упражнениям....................................48
Глава 4. Поиск рабочей функции........................................48
Методы поиска параметров рабочей функции..........................49
Основные принципы методов градиентного поиска ................... 49
Простой алгоритм градиентного поиска и его решение .... 51
Устойчивость и скорость сходимости................................52
Обучающая кривая..................................................53
Градиентный поиск методом Ньютона................................54
Метод Ньютона для многомерного пространства......................56
Градиентный поиск методом наискорейшего спуска...................58
Сравнение обучающих кривых........................................62
Упражнения........................................................64
Ответы к некоторым упражнениям....................................65
Глава 5. Оценка градиента и процесс адаптации.........................66
Оценка компонентов градиента методом измерения производной . 66
Ошибки измерения .................................................67
437
Измерение производной и ошибка измерения в системах с многими
весовыми коэффициентами...........................................68
Дисперсия оценки градиента.........................................70 *
Влияние шума на поиск оптимального вектора весовых коэффициентов 74
Среднее значение СКО и постоянные времени.........................78
Относительное среднее значение СКО...............................85
Сравнение методов Ньютона и нанскорейшего спуска.................87
Коэффициент, характеризующий относительную точность оценки пара-
метра, и некоторые практические примеры...........................88
Упражнения........................................................91
Ответы к некоторым упражнениям....................................93
ЧАСТЬ III
АДАПТИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ И СТРУКТУРЫ
Глава 6. Метод наименьших квадратов...............................94
Вывод алгоритма наименьших квадратов.............................95
Сходимость вектора весовых коэффициентов.........................96
Пример анализа сходимости........................................98
Обучающая кривая..............................................101
Шумовая составляющая оптимального вектора весовых коэффициентов 103
Относительное среднее значение СКО...............................105
Сравнение характеристик ........................................ 106
Упражнения.......................................................109
Глава 7. Применение z-преобразования в адаптивной обработке сигна-
лов ..............................................................111
г-преобразование ............................................... 111
Право- и левосторонние последовательности........................112
Передаточные функции.............................................114
Частотный отклик.................................................115
Импульсная характеристика и устойчивость.........................118
Обратное z-преобразование........................................119
Корреляционные функции и энергетические спектры................121
Рабочая функция..................................................125
Примеры рабочих функций ........................................ 127
Упражнения.......................................................130
Ответы к некоторым упражнениям...................................133
Глава 8. Другие адаптивные алгоритмы и структуры....................133
Идеальный алгоритм...............................................134
Свойства идеального алгоритма .................................. 137
Алгоритм последовательной регрессии ............................ 139
Адаптивные рекурсивные фильтры...................................145
Алгоритмы случайного поиска......................................152
Решетчатые структуры..............................................155 4
Адаптивная решетка предсказания сигнала ........................ 162
Адаптивные фильтры ортогональных сигналов........................171
Упражнения.......................................................175
Ч А С Т Ь IV
ПРИЛОЖЕНИЯ АДАПТИВНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
Глава 9. Адаптивное моделирование и идентификация систем . . , 179
Общее описание...................................................179
Адаптивное моделирование многолучевого канала связи . . . . 184
Применение адаптивного моделирования в геофизических изысканиях 191
Применение адаптивного моделирования при синтезе цифровых КИХ-
фнльтров.........................................................195
Упражнения..................................................... 207
438
Ответы к некоторым упражнениям..................................211
Глава 10. Обратное адаптивное моделирование.........................211
Общее описание обратного моделирования..........................212
Некоторые теоретические примеры.................................217
Адаптивное выравнивание телефонных каналов......................222
Адаптивный синтез цифровых БИХ-фильтров.........................229
Упражнения......................................................241
Ответы к некоторым упражнениям..................................244
Глава И. Адаптивные системы управления..............................245
Адаптивное управление с применением адаптивного моделирования . 246
Адаптивное управление с применением адаптивного обратного модели-
рования ........................................................254
Примеры систем управления с применением адаптивного обратного
моделирования .............................._...................259
Шум управляемой системы и модифицированный алгоритм наимень-
ших квадратов...................................................262
Управление с применением адаптивного обратного моделирования мо-
дифицированным алгоритмом наименьших квадратов..................266
Управление по эталонной модели ................................ 268
Упражнения......................................................271
Ответы к некоторым упражнениям..................................274
Глава 112. Адаптивное подавление помех..............................274
Обзор работ по адаптивному подавлению помех.....................275
Основы адаптивного подавления помех ........................... 276
Подавление стационарных помех...................................279
Влияние попадания составляющих сигнала на эталонный вход . . 284
Адаптивный режекторный фильтр...................................288
Адаптивный высокочастотный фильтр...............................294
Каузальность и конечная размерность фильтра.....................295
Подавление многих помех ........................................297
Подавление помехи с частотой 60 Гц в электрокардиографии . . 299
Подавление помехи донорского сердца в электрокардиографии при
его трансплантации..............................................301
Подавление ЭКГ матери в фетальной электрокардиографии . . . 304
Подавление помех в речевых сигналах.............................307
Подавление отражений в длинных линиях...........................309
Подавление помех в боковых лепестках диаграммы направленности
антенны ........................................................316
Подавление периодической помехи с помощью адаптивного устройст-
ва предсказания ............................................... 318
Адаптивный следящий фильтр......................................320
Адаптивный накопитель...........................................322
Заключение .....................................................329
Упражнения......................................................330
Глава 13. Введение в адаптивные антенные решетки и адаптивное фор-
мирование лучей.....................................................333
Подавление боковых лепестков....................................335
Формирование лучей по пнлот-сигналу.............................347
Пространственные схемы..........................................353
Адаптивные алгоритмы............................................355
Моделирование для узкополосных сигналов.........................358
Моделирование для широкополосных сигналов.......................362
Упражнения......................................................366
Ответы к некоторым упражнениям..................................369
439
Глава 14. Анализ адаптивных устройств формирования лучей . . . 369
Функционирование приемных решеток..........................370
Алгоритм Гриффитса.........................................373
Алгоритм Фроста............................................375
Адаптивное устройство формирования лучей, имеющее полюса и нули 381
Подавление и искажения сигнала.............................388
Применение сигналов с перестройкой рабочей частоты .... 402
Устройства формирования лучен с повышенной разрешающей способ-
ностью ......................................................405
Упражнения.................................................415
Приложение А. Генератор случайных чисел........................417
Алгоритм...................................................417
Свойства случайной последовательности......................419
Список литературы..............................................424
Список литературы, переведенной иа русский язык................436