/
Текст
Э.И.ГРИГОПЮК, В.МЛОЛКАЧЕВ
Контактные задачи
теории пластин
и оболочек
ИНВ № 33 i
.НЕ БОЛЕЕ 1И КНИГИ В \
ОДНИ РУКИ И 2Х В ДВЕ \
ВИВ JFHOTW *
КОЛОХ2А
МОСКВА*МАШИНОСТРОЕНИЕ* 1980
ББК 30.121
Г83
УДК 539.37
Григолюк Э. И., Толкачев В. М.
Г83 Контактные задачи теории пластин и оболочек. — М.:
Машиностроение, 1980.—411 с, ил.
В пер. 4 р. 70 к.
Каяга посвящена вопросам изучения реакций и напряжеиио-деформнро-
ванного состояния в пластинах и оболочках прн нх взаимодействии с жест-
жесткими телами, упругими нодкреплеииями, а также при нх взаимодействии
между собой. В ней, в частности, рассмотрены вопросы передачи усилий от
ребер жесткости к пластинам и оболочкам, цилиндрический и осесимметрич-
ный контакт пластин со штампами, определение реакций в оболочках, покоя-
покоящихся иа ложементах, реакций в пакете цилиндрических оболочек. Предложе-
Предложены способы уточнения теории применительно к контактным задачам.
Монографии предиазяачена для научных работников, занимающихся рас-
расчетом элементов конструкций.
31808-23 ББК 30.121
2380 210500000°
Л38@1)-80 - 605
© Издательство «Машиностроение», 1980 г;
ПРЕДИСЛОВИЕ
Контактные задачи теории пластин и оболочек возникают при
рассмотрении взаимодействия пластин и оболочек с жесткими и
упругими телами (штампами), ребрами жесткости, при взаимном
контакте пластин и оболочек. С позиции контактных могут рас-
рассматриваться слоистые пластины и оболочки, если вводить реак-
реакции взаимодействия между слоями и определять их из условий
стыковки слоев.
Контактные задачи теории пластин и оболочек имеют свою
специфику, отличающую их от контактных задач теории упругости.
При рассмотрении последних, как правило, трудности встречаются
на втором этапе — при выводе и решении уравнений. Что касает-
касается самой теории, которая используется при формулировке задачи,
она обычно ясна.
В контактных задачах теории пластин и оболочек уже нетриви-
нетривиальным является вопрос выбора теории, влияющей на конечный
результат. Если, например, определяется нормальная реакция меж-
между пластиной и жестким телом без острых кромок с позиции тео-
теории Кирхгофа, то в составе реакции могут появляться сосредото-
сосредоточенные силы, расположенные по границе зоны контакта. Та же за-
задача, но решаемая на основе теории, учитывающей поперечные
сдвиги и не учитывающей поперечное обжатие, не приводит к по-
появлению сосредоточенных сил на границе зоны контакта. Однако
нормальная реакция не обращается в.нуль на границе зоны кон-
контакта, а может достигать там наибольшего значения. Учет попе-
поперечного обжатия пластины позволяет получить решение, обращаю-
обращающееся в нуль на границе зоны контакта. Если область контакта
допустимо заменить линией, то теория Кирхгофа может привести
к неограниченным реакциям на концах линии.
С указанными некорректностями зачастую приходится ми-
мириться по двум основным причинам. Во-первых, всегда предпочти-
предпочтительно выбирать простейший вариант, теории, так как это позволя-
позволяет упростить решение. Во-вторых, напряженно-деформированное
состояние пластины или оболочки во многих случаях определяется
верно, несмотря на то что реакция определена и не совсем точно.
В ряде, случаев, естественно, требуется исходить из более точных
теорий.
Контактные задачи теории пластин и оболочек в последние го-
3136 ' - . 3
ды привлекают внимание многих исследователей.' В предлагае-
предлагаемой книге сделана попытка обобщить и систематизировать часть
имеющихся в литературе результатов, полученных как авторами,
так и другими исследователями.
В книге сделан акцент на анализ различных приближенных
моделей, положенных в основу.при решении задач; основное вни-
внимание уделено определению реакций взаимодействия, а не напря-
напряженно-деформированного состояния пластины или оболочки, так
как процесс определения реакций, составляющий суть контактной
задачи, является наиболее трудным.
В книге не затронут целый ряд весьма важных задач, которые
можно отнести к контактным задачам теории пластин и оболочек.
Это прежде всего осесимметричный контакт цилиндрических, сфе-
сферических и других типов оболочек вращения, задачи контакта для
колец и цилиндрических оболочек по всей их длине. Сюда же отно*
сится осесимметричный контакт круглых пластин, если его рассмат-
рассматривать с позиций уточненных теорий. Практически не освещен воп-
вопрос о расчете бболочек, подкрепленных продольными ребрами и
шпангоутами, а также двухмерными накладками. По указанным
Задачам имеется обширная литература. К каждой главе написано
введение, в котором (кратко, обсуждаются вопросы, изложенные в
славе, а также дан обзор имеющихся исследований. В обзоре к не-
некоторым главам затроиуты не только работы по задачам главы, но
и родственные. Это, в частности, относится к гл. 5 и 8*
г
Глава 1
ПЛАСТИНЫ С РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ.
ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В гл. 1 изложены приближенные способы решения так называемой задачи
включения для пластин, подкрепленных ребрами ^жесткости. Последние могут
быть нагружены на торцах продольными растягивающими или сжимающими си-
силами. Задача состоит в изучении характера распределения напряжений по дли-
длине каждого ребра, а также напряжений, которые передаются через ребра плас-
пластине. Пластина включается в совместную работу с ребрами. Отсюда идет истори-
исторически сложившееся название — «задача включения» или «проблема включения».
Проблема расчета тонкостенных конструкций типа стержней, подкреплен-
подкрепленных ребрами жесткости, является достаточно старой. Уже давно б.ыло замечено,
что для стержней гипотеза плоских сечений Бернулли илн гипотеза плоского рас-
распределения напряжений Навье не всегда справедлива. На этот факт указывал
в 1905—1906 гг. С.-П..Тимошенко [14] при исследовании устойчивости двутавро-
двутавровой балки. При действии осевых сил, приложенных к ребрам жесткости, проис-
происходит значительная деплаиация сечеинй й-е^жня в окрестности его торцев. Про-
Простейшая модель, учитывающая депланацню, по-видимому, стала широко приме-
применяться в 30-е годы в связи с бурным развитием авиации в период внедрения
жесткой обшивки крыла и фюзеляжа самолета; в этой модели принимается, что
продольные напряжения растяжения-сжатия воспринимают только ребра. Об-
Обшивка такие напряжения ие воспринимает, а работает только на сдвиг. Уравие-
- иие равновесия элемента обшивки между ребрами указывает, иа постоянство
касательных напряжений по ширине панели, что н вводится в расчет. Что каса-
' ется поперечных нормальных деформаций в обшивке, оии считаются равными
нулю. Работу обшивки иа растяжение вдоль оси ребер в рамках модели можно
учитывать, «присоединив» часть площади ее сечения к площади сечеиия прилега-
прилегающего ребра. Эти гипотезы использованы при рассмотрении задач данной главы.
С проблемой включения в известной степени связана общая проблема рас*
чета тонкостенных конструкций в условиях стесненного кручения и изгиба. Ос-
Основополагающие работы в этой области принадлежат С. П. Тимошенко [14],
В. Н. Беляеву [1, 2], В. 3. Власову [3]. Так, В. Н. Беляевым A934 г.) при реше-
решении задачи стесненного кручения балки прямоугольного сечения с жесткими про-
продольными ребрами по углам был предложен метод трех осевых сил [2]. Предпо-
Предполагалось, что в балке имеется небольшое количество поперечных дяафрагм, по
которым она разрезалась на отсеки. В пределах каждого отсека касательные нап-
напряжения предполагались постоянными. Были предложены также модификация
этого метода [6]. . - •
Проблеме включения посвящен отчет В. Дункана [23] A938 г.), в котором
обсуждается задача включения для пластийы с тремя и пятью параллельными
ребрами, а также для пластины с тремя ребрами, усиленной на торце абсолют-
абсолютно жестким поперечным элементом. Отмечается, что добавление поперечного эле-
элемента практически "не изменяет характер усилий в продольных ребрах. Плоские
панели с ребрами рассмотрены в работе П. Куна [27] A937 г.). Эти результаты
объединены в его книге [28], где, в частности, рассмотрены пластины с одним,
двумя и тремя ребрами, дан приближенный прием исследования пластин со мно-
многими ребрами, указан приближенный способ учета деформации поперечного об-
обжатия пластины.
Значительное виимаиие решению задач включения иа осиове изложенной вы-
выше модели уделено в работах Ю. Г. Одииокова. Так в 1946 г. вышла работа [В].
в которой дан анализ состояния проблемы включения; в ней отмечается, что тео-
теория тонкостенных стержней, развитая С. П. Тимошенко [14], В. 3. Власовым [3]
и А. А. Уманским [15], не позволяет достаточно аккуратно решить задачу вклю-
включения, так как в этих теориях не учитывается деформация сдвига в обшивке.
В работе [8] даиа формулировка задачи включения для тонкостенного стержня,
который может быть подкреплен продольными ребрами и иметь поперечные диаф-
диафрагмы. В качестве основных неизвестных приняты относительные продольные сме-
смещения точек сечеиия стержня в месте крепления ребер (искажения). Через ис-
искажения определяются все искомые величины — иапряженяя и деформации. Раз-
Разрешающая система уравнений для искажений является системой линейных диффе-
дифференциальных уравнений второго порядка типа
= > , aikfn + di (i = 1, 2 п), A.1)
где п — число ребер; г — продольная координата; atk = aki, dt — постоянные ко-
коэффициенты; /i — искажения. В. работе показано, что характеристическое урав-
уравнение, соответствующее уравнению A.1), имеет шестикратный нулевой корень.
Вторая часть исследования [8] посвящена решению задач частного вида для ко-
коробчатых балок прямоугольного и кругового сечения. В статье [7] тем же мето-
методом излагается расчет кручения двухлоижероиного крыла. В работе [9] выведе-
выведена разрешающаи система уравнений для расчета слабо конических тонкостенных
конструкций, т. е: таких конических конструкций, для которых можно пренебречь
квадратом угла между продольными элементами и продольной осью. Эта система
имеет переменные коэффициенты. В статье [10] разработан способ преобразова-
преобразования системы дифференциальных уравнений типа (At, ahi — aih — константы;
q>i — известная функция)
л
2 а1кхк+ъ(!УМ1 = 1, 2,..., n) A.2)
Ai 2j
к системе независимых уравнений вида
где %=%i, %i,..., х„— кории характеристического уравнения для системы A.2).
Рассмотрены случаи различных и кратных корней х. Работа [11] является разви-
развитием [8]. В ней отдельно выделяется элементарное балочное решение для тонко-
тонкостенного стержня. В работе [13] рассмотрен тонкостенный стержень типа круго-
круговой оболочки с продольными ребрами. Развитием статьи [8] с точки зрения упро-
упрощения решения в рамках тех же гипотез является и работа [12]. Упрощение дос-
достигается заменой нормальных координат системой аппроксимирующих их функ-
функций.
Из наиболее ранних следует упомянуть также исследование В.- Гуда [24]
A946 г.), в которой рассмотрена полубесконечная полоса х^О,—h^y^h,
усиленная по всей длине боковых кромок у= ±h лонжеронами, а между лон-
лонжеронами конечным числом равноотстоящих друг от друга бесконечно длинных
стрингеров. На торце полосы к лонжеронам приложены две одинаковые растяги-
растягивающие силы, которые уравновешиваются усилиями, приложенными к лонжеро-
лонжеронам и стрингерам на бесконечно удаленном конце. Решение получено для про-
произвольного числа стрингеров.
Большое число примеров определения так называемых вторичных напряже-
напряжений, вызванных стеснением при кручении, содержится в книгах А. Ф. Феофанова
A7, 18, 19]. Там же имеются примеры непосредственно поставленных и решенных
задач включения. При выводе разрешающих уравнений широко используется
энергетический метод. Аналогичные решения можно найти в книге С. Н. Кана и
Я. Г. Паиовко [4] A949 г.)., где, в частности, рассмотрены пластины с четырьмя
и шестью ребрами. Задачи включения обсуждаются также в книге Г. Хертелля
J25]. Задачи включения для Цилиндрической оболочки в рамках описанной моде-
модели решены также в работах [30, 20, 21], для плоских панелей в [28, 34].
Следует отметить, что приближенный метод расчета подкрепленных панелей,
основанный иа описанных выше допущениях, популярен среди инженеров до сего
времени в силу простоты анализа и корректности результатов. Получаемые при
этом данные правильно отражают картину напряженио-деформироваииого состо-
состояния панелей, за исключением торцевых и угловых зон панелей, в которых тре-
требуются более точные модели. Более точные решения не должны быть конкурента-
конкурентами приближенным, они могут только дополнить их.
Остановимся на кратном содержании главы.
В разд. 1.2 описаны исходные допущения модели и дана постановка задачи.
В разд. 1.3 дан вывод основных уравнений, исходя из принципа возможных пе-
перемещений Лагранжа, а также сформулированы граничные условия задачи. Ука-
Указан способ преобразования исходной системы уравнений к разрешающей системе,
•основанный на введении функций напряжений с помощью соотношения A.21).
Такой анализ несколько отличается, судя по литературе, от наиболее распрост-
распространенных подходов и, в частности, от подхода, изложенного в статье [8]. В разд.
1.4 решается задача для пластины с двумя ребрами и различными граничными
условиями. Даны численные расчеты. В разд. 1.5 содержится решение системы
разрешающих уравнений для случая, когда число ребер произвольное. Использо-
яаи известный способ решения системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений, приспособленный к специфике данной системы. В разд. 1.6 рассмотрены
частные случаи пластин с пятью и шестью ребрами. Приведены подробные чис«
леиные расчеты и дан анализ влияния параметров пластины и ребер иа характер
¦напряжений. В разд. 1.7 рассмотрена задача оптимального подкрепления пласти-
ЧЫ произвольным числом ребер переменного сечения. Закон изменения сечения
ребер по их длине определяется из условия, что напряжения в ребрах не меняют-
меняются по длине каждого ребра. В разд. 1.8 и 1.9 описан метод конечных разностей
для приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых
лроизвольно изменяется по длине. Точность метода иллюстрируется на примере.
В последнем разделе излагается способ приближенного учета поперечной сжима-
сжимаемости пластины между ребрами, который улучшает картину напряжений в ок-
окрестности угловых точек пластины.
Результаты, представленные в первой главе, могут служить полезным посо-
посохшем для специалистов, связанных с расчетами тонкостенных конструкций, а мно-
многочисленные результаты расчетов могут быть непосредственно использованы при
проектировании.
1.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ИСХОДНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ
Рассмотрим панель, представленную на рис. 1.1. Она состоит
из двух стенок или пластин, имеющих достаточно малую постоян-
постоянную толщину. Пластины соединены между собой при помощи про-
продольных ребер жесткости /, 2, 3 (или стрингеров). Мож1но рассмат-
рассматривать панель так же как одну пластину, подкрепленную тремя
ребрами.
Ниже везде предполагается, что ребра.присоединены к пласти-
пластине по всей дл'ине (они приварены либо
припаяны) и работают только на растяж-
ние или сжатие.»Пластина не прогибается и
деформируется только в своей плоскости,
сопротивляясь растяжению, сжатию и сдви-
сдвигу. Будем предполагать, что стержни и
пластин'а выполнены из упругого материала.
Рис. 1.1. Панель из двух пластин, подкрепленных
тремя ребрами. Левые концы ребер нагружены про-
продольными силами
x,u
Рис. 1.2. Схема деформации элемента пластины (« и v — перемещения точки А
пластины вдоль оси х и у соответственно)
Нагрузим ребра продольными концевыми силами, как показано
-на рис. 1.1, и будем для простоты считать, что их площадь попе-
поперечного сечения не меняется по длине. Напряжения в ребрах бу-
будут, уменьшаться по мере удаления от нагруженных концов, так
как нагрузку, кроме ребер, будет воспринимать пластина. Проис-
Происходит частичная передача усилий от ребер к пластине. Такое явле-
явление называют иногда включением стенок в работу. Задача заклю-
заключается в исследовании распределения напряжений' в пластине и
ребрах.
Рассмотрим деформацию бесконечнб малого элемента ABCD
пластины (рис. 1.2) со сторонами AD = BC=dx, AB = CD=dy,.
В общем случае после деформации он займет положение A\B\CiD\.
Перемещение точки А в направлении оси л:%(параллельной ребрам)
обозначим через и, в направлении оси у — через V- Перемещение
точки D в направлении х и у будет соответственно
ох
ох
Относительная продольная деформация элемента (удлинение
отрезка AD)
ди
гх= дхи *~и=Г- - A-3)
* dx ¦ дх
Поворот отрезка AD
dv
v+ — dx — v
дх dv
dx дх
Аналогично, относительная поперечная деформация (удлине-
(удлинение отрезка АВ) записывается в виде
в„= —. A.4)
* ду '
8 ¦ ^ '
«г,
Рис. 1.3. Положительное направление нормальных напряжений ах, оу н каса-
касательных напряжений Тх„—Ту*=г, приложенных к элементу пластины
Рис. 1.4. Деформация элемента пластины только от продольных напряжений ах
(vi — коэффициент Пуассона, характеризующий отношение деформаций 8#/8*
взятое со знаком минус)
Угол поворота отрезка АВ составляет
ди
A.5)
Полная деформация сдвига элемента ABCD (или относитель-
относительный угол перекашивания его)
_, dv . ди
дх J)y
Напряжения, действующие на грани элемента ABCD, показаны
на рис. 1.3, где ах, ау — нормальные напряжения,,'тху=кух=х— ка-
касательные напряжения.
Связь между напряжениями и деформациями установим, счи-
считая, что пластина упруга и обладает ортотропными свойствами.
Пусть Ei, Е2 — соответственно модуль упругости пластины в про-
продольном (по оси х) и поперечном (по оси у) направлениях; vi —
коэффициент Пуассона, равный взятому с обратным знаком отно-
отношению относительной поперечной деформации &у к относительной
продольной Sx при действии только напряжения ах; v2= —е*/еу —
коэффициент, Пуассона при действии только напряжения ау. Тог-
Тогда (рис. 1.4) при растяжении элемента пластины напряжениями
ах имеем
При растяжении напряжениями ау найдем
В общем случае, когда охф0, ауф0, относительные деформа-
деформации равны
Ei E2 y E2 ^i
Разрешая эти соотношения относительно напряжений ах и ау н
9
присоединяя зависимость между касательными напряжениями t и
деформациями относительного сдвига y> получим известные соот-
соотношения закона Гука
0* = —^— (гх + У2гу), еу = —Ё*_(, +^ех), х = Оу, A.6)
1 —V1V2 I —V!V2
где G — модуль упругости второго рода или модуль сдвига мате-
материала пластины.
Приближенные решения, описанные в настоящей главе, основа-
основаны на упрощенных соотношениях, полученных из соотношений
A.3) — A.6) путем введения следующих ниже гипотез.
1. Пластина не деформируется в поперечном направлении (в
направлении оси у), нормальном к оси ребер (см. рис. 1.1), иниг-
ми словами ..,
* ~ ду
Эта гипотеза дополняется предположением, что ребра не иск-
искривляются, вследствие чего имеет, место тождество v=Q.
2. Деформация сдвига пластины у не меняется по шииряе на
участке между двумя соседними ребрами и зависит только от про-
продольной координаты х, т. е. y=yM
3. Продольная жесткость пластины равна нулю:
4. Ребра присоединены к пластине по своим центральным ли-
линиям.
На основе гипотез 1 и 2 соотношение A.5) будет иметь вид
откуда следует линейный закон изменения продольных перемеще-
перемещений по ширине пластины между соседними ребрами.
Из гипотезы 1 "вытекает также, что коэффициент Пуассона
vi = —sy/sx = Q и правая часть второй формулы A.6) обратится в
нуль. Тогда получим, что поперечное нормальное напряжение рав-
равно нулю оу=0, вследствие чего нарушится условие равновесия
пластины. По этой причине гипотеза 1 часто отождествляется с
гипотезой предположением о бесконечном значении модуля упруго-
упругости Е2 (Е2=оо), и в этом случае напряжение ау становится во вто-
второй формуле A.6) неопределенным. В случае надобности с*у мо-
может быть найдено из уравнения равновесия пластины.
Из гипотезы 3 следует тождество ох=0.
Характер перемещений в сечении панели х=х0, соответствую-
соответствующий введенным гипотезам, показан на рис. 1.5, где ии ы2 — соот-
соответственно продольные перемещения первого и второго ребра; у —
деформация сдвига.
Достаточно строго обосновать введенные гипотезы и описать
область и# применимости можно только на основе более точных
решений, построению которых посвящены следующие главы. Поэто-
10
Ul-Щ
иг-и,
Рис. 1.5. Деформация "сдвига V сечеиия х=ха пане-
панели с ребрами / и 2 и ее связь с продольными сме-
смещениями «1 и и2 ребер. Размеры сечеиия ребер не
учитываются
му пока ограничимся общими замечаниями.
Для напряжений в пластине расчет на осно-
основе введенных гипбтез дает лишь грубое при-
приближение, особенно в зоне приложения сил.
С другой стороны, характер распределения
нормальных напряжений в ребрах будет найден с приемлемой для
практики точностью. Подходящие результаты можно получить и
для касательных напряжений в зоне пластины, прилегающей к. реб-
ребрам, за исключением угловых точек. Результаты расчета будут тем
точнее, чем чаще расположены ребра и чем выше их жесткость по
отношению к жесткости пластины.
1.3. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Используем введенные в разд. 1.2 гипотезы для вывода основ-
основных соотношений, необходимых для исследования напряжений и
перемещений в подкрепленной пластине, показанной на рис. 1.6.
Пластина имеет п участков и я+ 1 ребро. Участок пластины с
номером / расположен между /-м и (/+1)-м ребром. Обозначим че-
через bj и hj соответственно ширину и толщину /-го'участка пласти-
пластины;, через Ejt Fj — соответственно модуль упругости и площадь
поперечного сечения/-го ребра; через G,- — модуль сдвига /-го
участка пластины. Будем, если специально не оговорено, считать
что Ej и Fj—переменные по длине ребра величины; bj, hj, Gj—пос-
Gj—постоянные. К левым концам ребер приложены произвольные про-
У
Рпи
;.
Phi
PJ
Рг
Pi
пн
п -^
1
;¦'¦
j ¦**
2- чГ
1
1
|
У
Рп
Рг
Pi
n+f
д..
П-1
2
1
I
т Г'
** 'ml
. • n'
" Рп
р\
р! х
Рис. 1.6. Панель, подкрепленная и+1 ребром. Левые торцы ребер нагружены
продольными силами, правый торец панели защемлен
Рис. 1.7. Панель, пбдкреплениая и+1 ребром. Левые и правые торцы ребер иаг-
тружены продольными силами
II
дольные силы Pi, P2» —
..., Рп+и Правый торец па-
панели на рис. 1.6 показан
защемленным. На рис. 1.7
показана аналогичная па-
панель, у которой правые
торцы ребер нагружены
силами. Формулировку
граничных условий зада-
задачи для этих случаев да-
дадим ниже вариационным
путем.
Усилия, действующие в
отсеке /-го участка, рас-
расположенном между сече-
сечениям х и x+dx, показаны
на рис. 1.8, где Nj— про-
продольные усилия в /-м- реб-
ребре (положительные, если
ребро растянуто), S] — погонные касательные усилия в пластине.
Пусть щ (х), щ+\ (х) — продольные перемещения поперечных се-
сечений /-го и /+ 1-го ребра с координатой х, равные (в силу жестко-
жесткого присоединения ребер) перемещениям прилегающих к ребрам
кромок пластины.
Согласно первой и второй гипотезам разд. 1.2 деформация сдви-
сдвига \j /-го участка пластины не меняется по ширине участка и име-
имеет вид
Рис. 1.8. Схема усилий, приложенных к
. ;-му участку панели и прилегающих к нему
ребер
Рис. 1.9. Деформация сдвига /-го участка
панели yj и ее связь с продольными пере-
• мещениями прилегающих ребер Uj,
Интегрируя эту формулу по ширине /-го участка пластины, по-
получим
""-, ч '' A.7)
где bj — ширина /-го участка пластины. Геометрическая иллюстра-
иллюстрация этой формулы дана на рис.Л.9.
Соотношения закона Гука с учетом формулы A.7) будут иметь
вид ¦ ,
1-Uj) (/=1,2,..., л),.
A.8
dx
A.9)
где Ej = duj/dx — продольная деформация /-го ребра.
Для получения уравнений равновесия и услрвий на концах ре-
ребер используем принцип возможных перемещений Лагранжа, сог-
согласно которому сумма работ всех внешних и внутренних сил пане-
12
ли иа возможных перемещениях в положении равновесия равна
нулю. Работа внутренних сил равна (—6U), где 6U — вариация
потенциальной энергии панели. Работу внешних сил обозначим че-
через ЬА. Согласно принципу возможных перемещений
ЪЦ=Ш-ЪА=О. A. 10)
Вычислим бЛ и б?Л Для панели, показанной иа рис. 1.6.
п+1
где dUj(O) —вариации перемещений левых коицов ребер, положи-
положительное направление которых совпадает с направлением оси х.
Работа внутренних сил состоит только из работы усилий Sj И'
N]. Действительно, нормальные поперечные напряжения в пласти-
пластине работы не производят, так как панель в силу первой гипотезы
разд. 1.2 не деформируется в поперечном направлении. Работа'
нормальных продольных напряжений ах в пластине также равна
нулю, так как а*=0 согласно третьей гипотезе разд. 1.2. Значит*
~У)+\ п+1
f ^
-i У)
где 6yj — вариация деформации сдвига A.7); бе, — вариация проч
дольной деформации ;>го ребра.
Цопвречиая сила в пластине Sj и угол сдвига yj b силу формул
A.7) и A.8) не зависят от у, поэтому
У)
Далее
ii i
f
x=0 0
Подставим теперь вычисленные значения интегралов в форму-
формулу для 6U, потом значения 6U и 6А в уравнение A.10). Объеди-
Объединяя в полученном уравнении члены при бы,, найдем . ,
I п+1
R + l
^o. (l.ii)
13
где Nj(O) и Nj(l) — продольные усилия /-го ребра соответственно
на левом (*=0) и правом (х=1) конце, и}@), щ{1) —соответст-
—соответственно продольные перемещения левого и правого концов /-го реб-
ребра. В подынтегральной сумме A.11) S0 = 0 и 5n+i = 0, так как ну-
нулевого и л+1-го участков пластины нет (см. рис. 1.6).
Так как вариации Ьщ в подынтегральном выражении A.11)
произвольные, то получим
-S,_I = 0 (у=2, 3,...,л), A.12)
Рассмотрим внеинтегральные слагаемые в уравнении A.11). На
левом торце панели к ребрам приложены силы Pj (см. рис? 1.6),
поэтому вариации 6ы3-@) произвольны. Значит необходимо, чтобы
Pj-Nj@)~0' (у = 1, ¦2,...",л + 1). A.13)
На правом торце панели, показанной на рис. 1.6, продольные
перемещения ребер
М0 = 0 (у = 1, 2,...,я+1). A.14)
Значит 6«j(/)=0 и вариационное уравнение A.11) выполня-
выполняется. Вместо условий на конце х=1 A.14) можно задать более об-
общие, а именно:
•М/) = Д, (У=1,.2,...,я + 1), A.15)
где Aj — заданные продольные перемещения правых концов ребер.
При этом опять имеем 8щA)=0 и вариационное уравнение A.11)
будет выполнено. Для панели, показанной на рис. 1.7, концевые ус-
условия на правом торце аналогичны концевым условиям A.13)
P'j-Nj(l)=0 (y = l, 2,...,л+1), A.16)
где Р/ — внешние продольные силы, приложенные к правым тор-
торцам ребер.
Таким образом, получены уравнения равновесия ребер A.12),
естественные концевые условия A.13) для левого торца панели и
одна из групп концевых условий A.14), A.15) или A.16) для пра-
правого. Граничные условия на торцах для участков пластины не вы-
выполняются. Например, Sj#O на левом торце пластины, что явля-
является следствием принятых гипотез.
Уравнения равновесия A.12) содержат 2я+1 неизвестное, чис-
число же уравнений равно и+1. Недостающие уравнения получим,
исключив продольные перемещения ребер щ из формул A.8) с по-
помощью A.9). Для этого нужно продифференцировать по х форму-
формулы A.8) и подставить duffclx из формул A.9). В итоге получим
и
Система соотношений A.17) представляет собой условия не-
неразрывности деформаций подкрепленной- панели, так как устанав-
устанавливает связь между продольными усилиями Nj в ребрах и каса»
тельными усилиями S} в элементах пластины из условия, что про*
дольные перемещения ребер и прилегающих к ним кромок пласти-
пластины одинаковы. (Из этого условия выведено соотношение 1.8).
Система уравнений равновесия A.12), соотношений A.17) и
граничных условий достаточна для определения напряжений и пе-
перемещений панели.
' Число полученных концевых условий равно 2(л+1), однако для
определения напряжений достаточно выполнить 2п+1 условие.
Докажем это, например, для случая, когда заданы концевые усло-
условия A.13) и A.16). Допустим, что нам удалось найти решение
системы уравнений (Г. 12), A.17) для продольных усилий ivj, N2, ...
...,Wn в ребрах, удовлетворяющее 2л условиям на концах A.13) и
A.16). Нужно найти продольное усилие Л/n+i в ребре, удовлетво-
удовлетворяющее последним двум концевым условиям A.13) и A-16) (при
/1)
/)
Складывая вое уравнения равновесия A.12),^придем к уравне*
нию
п+1
.7=1
его решение имеет вид
л
где с — произвольная постоянная, Nj(x) при /= 1, 2,..., п — извест-
известные функции (по условию).
¦ Полагая в формуле A.18) *=0 и учитывая, что Wj@)=Pj для
/=1, 2, ...,п, получим
Чтобы выполнить концевое условие
Nn+l@) = Pn+
нужно положить постоянную с равной
п+1
2
J-1
Подставляя это значение постоянной в формулу A.18), запише^
искомое продольное усилие Nn+i (x) в ребре в виде
)). A.19)
15
- Вычисленное таким путем усилие автоматически удовлетворя-
удовлетворяет последнему нерассмотренному концевому условию (условию
fl.16) при /=л+1). Действительно, вследствие выполнения урав-
уравнения равновесия внешних сил (см. рис. 1.7)
' * п+1 - п + 1
формулу -A-19) можно переписать в виде
./-1
Полагая здесь х=1 и учитывая, что по условию Pj'=Nj(l) для
/=il, 2,.... л, имеем
что н требовалось доказать.
Докажем • теперь, что 2л+Г концевых условий-достаточно для
определения продольных усилий Nj (/ = 1, 2,..., и+1) в ребрах и в
случае, если на правом торце-заданы продольные перемещения
1A.15) [при Aj = O получим условия A.14)]. Полагая в формулах
|A,8) х=1 и лодставляя вместо щ{1) соответствующее значение на
конце х—1 A.15), получим значение для Sj при *=/
Устремляя теперь в уравнениях A.12) х к I и подставляя
Sj(l) =Sj*, установим концевое условие для продольных сил Nj
в ребрах при * = /, эквивалентное концевым условиям A.15)
=5*_i — S*(j=l, 2, 3,..., п.),
dx
= S*n при х=1. A.20)
Пусть, как и выше, определены усилия Nu N2,... Nn, удовлет-
удовлетворяющие первым п условиям A.13) и первым п условиям A.20).
Если в качестве Nn+i взять решение A.19), то будет удовлетворе-
удовлетворено последнее концевое условие A.13) для любого Рп+ь Последнее
концевое условие A.20) удовлетворяется при этом автоматически.
Действительно, дифференцируя формулу A.19), имеем
dx ^U dx
I'1
Полагая х=1 и используя первые п условий на концах A.20)
(которые должны быть выполнены), найдем
dNn+11 _ / <
dx \x-l
Это соответствует последнему концевому условию A.20).
16
Из сказанного следует, что, во-первых, общий порядок системы
уравнений A.12), A.17) должен быть равен 2и+1, т. е. числу кон-
концевых условий для усилий. Во-вторых, если определены усилия
Ni, N2,.... Л^п, удовлетворяющие концевым условиям, то продоль-
продольное усилие Nn+i в ребре вычисляется по формуле A.19). При этом
все концевые условия будут выполнены.'
При фактическом решении системы уравнений A.12), (Г. 17) ее
следует упростить одним из следующих ниже способов.
1. Исключить усилия Sh продифференцировав систему A.12) и
подставив dSj/dx из соотношений A.17).
2. Когда жесткость ребер не меняется по длине, то удобно так-
также исключить продольное усилие Nj, продифференцировав соотно-
соотношение A.17) и подставив dNj/dx из уравнений A.12). При этом
получим систему для усилий Sj.
3. Выразить, усилия N, и Sj через функции напряжения Ф;- так,
чтобы системе уравнений равновесия A.12) удовлетворить при лю-
любых Фу. Подставляя после этого усилия Nj и Sj в условия совмест-
ности деформаций A.17), получим систему уравнений для опреде-
ления функций Ф^. Остановимся на этом способе подробнее.
ЙФ/
Положим 5/ = —- (/ = 1. 2,...,д), A.21)
где Фj — произвольные функции напряжений.
Подставляя касательные усилия Sj из формул A.21) в уравне-
уравнения равновесия A.12), общее решение последних относительно
продольных усилий Nj получим в виде
A.22)
где Nj° — произвольные постоянные.
Итак, решение системы A.12) представлено в виде суммы двух
решений:
1. Решения, выраженного через функции напряжений ф3- фор-
формулами A.21) и A.22) (при Nj°==0).
2. Решения Nj=Nj°, Sj=O.
Каждое из этих решений в отдельности в силу линейности сис-
системы уравнений A.12), A.17) должно удовлетворять условиям
совместности деформаций A.17). Подставляя первое решение в
соотношения A.17), придем к системе уравнений для определения
функций Ф,-
E2F2 *
) с-*
GnhA I Ф„ ^»-i —Ф»
{
bn { En+1Fn+1 EnFn
- I КИКПИОТРЯА w I
Подставляя решение ЛГ,=ЛГ,°, Sj=O в соотношения A.17), най-
найдем .
0^:2 "'• . (L24>
Так как N)°= const, то система уравнений A.24) может быть раз-
разрешена относительно Np только в случае, если
= const.
Ограничимся случаем, когда жесткость ребер не меняется по
длине (EjFj--= const). В этом случае решение системы A.24) име-
имеет вид
№j=zEjFj (у=1, 2,...,л+1), A.25)
где е — произвольная постоянная.
Решение A.25) дает усилия в ребрах при растяжении панели
как стержня, при этом г является продольной деформацией па-
панели.
Сформулируем концевые условия для функций.напряжений <Dj.
Проанализируем сначала статические условия A.13) для левого
конца панели. Чтобы найти концевые условия для Ф3, нужно под-
подставить продольные усилия Nj из формул A.22), записанных с уче-
учетом A.25) в условия A.13). После этого из первого полученного
соотношения найти Фь из второго — Фг и так далее, включая п1.
"В результате будем иметь
) i '
Ф^^Е^-^Р, ПРИ *=0,-У=1, 2,...,п. A.26)
s-l s=l
Допустим, что в процессе решения задачи эти концевые условия
выполнены. Последнее концевое условие A.13), которое будет
иметь вид
Л,+1 = Фл + е?л+1^„+1 при Х=0,
выполнено при этом, вообще говоря, не будет, так как функции
Фп при *=0 определены вполне. Чтобы удовлетворить этому соот-
соотношению, нужно подставить Фп из A.26) и найти постоянную в, ко-
которая будет равна
5=1 i=l
Статическим концевым условиям A.16) на правом торце пане-
панели соответствуют условия для Ф,-, полученные из A.26) и A.27),
заменой Ps на Р/ (см. рис. 1.6). Постоянная е при этом не изме-
изменится, так как в силу равновесия панели в целом
я+1 п+1
Если на правом конце ребер продольные перемещения равны
нулю, то согласно сказанному выше (формулы A.20) при /=0),
должно быть при х=1
^-=0(у = 1, 2,..., я
Подставляя сюда Nj из A.22), найдем
-^- = 0 при х=1 (у = 1, 2,...,я). A.28),
Ах
Если функции напряжений ф., определены, то усилия Nj вычис-
вычисляются по формулам A.22), которые с учетом формул A.25) бу-
будут иметь вид
+ е^ (у=2, 3,...,я), A.29)
где постоянная е определена формулой A.27).
Касательные усилия Sj определяются по формулам A.21). Про-
Продольные перемещения ребер Uj можно найти, интегрируя формулы
A.9), либо из формул A.8). В первом случае продольные переме-
перемещения в ребрах равны
[ A.30)
Бели продольные перемещения правых концов ребер Uj(l) неиз-
неизвестны, то удобнее пользоваться формулами A.8), которые опре-
определяют продольные перемещения с точностью до перемещения пат
нели как жесткого целого. Действительно, из формул A.8) найдем
^i-^-(j = l, 2,..-.,я + 1). A.31)
5=1
Осталось не определено смещение первого ребра. Для его нахож-
нахождения следует воспользоваться формулой A.30). При этом щA)
можно взять равным нулю, так как это в данном случае продоль-
продольное перемещение панели как твердого тела.
1.4. ПЛАСТИНА, ПОДКРЕПЛЕННАЯ ДВУМЯ РЕБРАМИ
ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
Исследуем характер распределения нормальных усилий в реб-
ребрах и касательных усилий в пластине на примере подкрепленной
панели, показанной на рис. 1.10, используя соотношения предыду-
предыдущего раздела, полученные на основе гипотез раздела 1.2.
19
Рис. 1.10. Панель, подкрепленная двумя ребрами постоянного сечения, защем-
защемленная на правом торце (Fi и F2 — площади сечения ребер)
Рис. 1.11. Положительное направление усилий, приложенных к участку панели й
ребрами (Nt, N2 — растягивающие усилия в ребрах, S4 — поперечная сила)
Рис. 1.12. Схема деформации поперечного сечеиия панели, 7-деформация сдви-.
га пластины («i н и2 -^ продольные смещенн-я ребер):
1, 2—ребра
Пластина имеет всего один участок (я=1) и уравнения равно-
равновесия ребер A.12) будут
dN\ 1 г» p. dN2 en' /1 оо\
|-O|=U, —^ — Oj = U, (I. Oil)
dx dx ¦' ¦
где Wb W2, S\ — соответственно продольные усилия в первом и вто-
втором ребре и касательное усилие в пластине. Положительное нап-
направление этих усилий показано на рис. 1.11.
Усилия N\, N2, S] связаны с продольными перемещениями щ,
щ ребер 1 н 2 (см. рис. 1.10) формулами A.12) и A.13), которые
запишем в виде
dx
dx
A.33)
где G, h, Ъ — соответственно модуль сдвига, толщина и ширина
пластины; Ej, Fj — модуль упругости и площадь поперечного сече-
сечения /-го ребра (/=1, 2). Продольные перемещения ребер «i, u2 по-
показаны на рис. 1.12.
Условие неразрывности деформаций пластины и ребер A.17)
будет •
dSj _ Oh / N2 Wi \ A.34)
dx b \E2F2 E\F\)
Оно получается путем исключения продольных перемещений ребер
«1 и щ из первой и второй формул A.33).
Условия на концах A.13) и A.14) таковы (см. рис. 1.10)
jy. — р ftjп—0 при х=== 0
#! — и2=0 при х=1.
. Условия при *=/, если их выразить в продольных усилиях Nt
п N2, будут иметь вид A.20) или в рассматриваемом случае
dNx __ dN2 _ ^
,dx dx
20
Как было сказано в разд. 1.3, условия A.36) получим, если под-
подставить Si из формулы A.33) в уравнения A.32), затем вместо «i
и «2 ввести их концевые значения (нули) и перейти в уравнениях
A.32) к пределу х = 1.
Системы уравнений A.32) — A-.36) достаточно для решения за-
задачи.
Исключим из первого уравнения A.32) усилие Si'с помощью
соотношения A.34) (первый способ решения, описанный в разд.
1.3). В результате получим
E2F2 ExF
В качестве второго уравнения можно взять второе уравнение
A.32), исключив из него Si с помощью соотношения A.34). Одна-
Однако удобнее исключить из уравнения A.37) продольное усилие с по-
помощью формулы
N2=Pl-N1, ' A.38)
которая представляет собой частный случай-выражения A.19) для
рассматриваемо.й панели (см. рис. 1.10)," отсеченного плоскостью,
параллельной оси у.
Исключая W2 с помощью формулы A.38), вместо A.37) полу-
получим дифференциальное уравнение относительно продольного уси-
усилия в первом ребре
где
Решение неоднородного дифференциального уравнения второ-
второго порядка A.39) равно сумме частного решения неоднородного1
уравнения и общего решения однородного. Оно имеет вид
x,' A.41)
где Pii^i — частное решение неоднородного уравнения; с\, с2 — про-
произвольные постоянные общего решения однородного уравнения,
определяемые из концевых условий A.Э5) и .A.36) для N\. Удов-
Удовлетворив этим условиям, найдем постоянные интегриррвания
с1 = Я1A_^1), с,—— ЛО—
Подставляя значения с\, сг в (;1.41), получим выражение для
продольного усилия в первом ребре
^] (L43)
Продольное усилие М2 во втором ребре найдем из соотношения
A.38),. заменив N\ с помошью формулы A.43), тогда
21
„.44,
Здесь ^W^F,- С-45»
Продольные усилия N2 во втором ребре, вычисленные по фор-
формуле A.44), удовлетворяют концевым условиям A.35) и A.36),
так как выражение A.38), из которого получена зависимость
A.44), гарантирует выполнение указанных условий. Это объясня-
объясняется тем, что формула A.19) (частным случаем которой является
формула {1.38)) найдена с учетом концевых условий для продоль-
продольного усилия Nn+\.
Касательные усилия Si определим, подставив продольное уси-
усилие N\ из формулы A.43) в первое уравнение A.32). В результате
имеем
/'^K A.46)
chll
где „_,„_, / — V^FilEfy
3=U2==l/J
Продольные перемещения поперечных сечений ребер найдем,
подставляя продольные усилия Л^ и N2 из A.43) и A.44) в форму-
формулы A.33) и интегрируя последние с учетом условий на концах
(«i = «2 = 0 ПрИ Х—1)
1
\\ х I
\ - I
EXFX+E2F2\_ - I ЕХР{И chll
>] A.47)
I W chX;
Множители, стоящие перед квадратными скобками в форму-
формулах A.47), представляют собой перемещение левого торца пане-
панели, деформирующейся как стержень, что имеет место, когда модуль
сдвига G=oo.
Если панель бесконечно длинная (/=оо), то полученные фор-
формулы упрощаются и искомые усилия имеют вид
¦ЛГ2==Л*,A-е-^), A.48)
Продольные перемещения при этом, как видно из A.47), обра-
обращаются в бесконечность.
Из выражений A.43), A.44) и A.46) для панели конечной дли-
длины, а также из представлений A.48) для бесконечно длинной па-
панели следует, что степень неравномерности распределения усилий
по длине панели определяется параметром А,, рассчитанным по
формуле A.40). Чем больше этот параме.тр, тем быстрее убывают
продольные усилия Л^ в первом ребре и касательные усилия S\ и
22
V
-v
^-
3
/ 2
-J.
-—^Ч
- .
',
у
12
0,6
Ряс. 1.13. Изменение продольных усилий ЛГ, в первом ребре по его длине при
разных параметрах XI:
/-длина панели; kj=E}F
), /-1, 2
Рис. 1.14. Изменение продольных усилий ЛГ2 во втором ребре (рис. 1.10) по его
длине прн разных параметрах XI
тем быстрее возрастает продольное усилие N2 во втором ребре. Па-
Параметр Я можно"назвать поэтому показателем изменяемости нап-
напряженного состояния. Из формулы A.40) следует, что Я возраста-
возрастает с увеличением жесткости пластины на сдвиг и уменьшается с
увеличением жесткости ребер. Полученные формулы показывают
также, что по мере удаления от торца лг=О (см. рис. 1.10) проис-
происходит выравнивание продольных перемещений в ребрах. Если мо-
модули упругости ребер одинаковы, то происходит также выравни-
выравнивание напряжений. Если модули разные, то напряжения в ребрах
по мере увеличения координаты х стремятся к своим предельным
значениям, не равным между собой. Выравнивание напряжений и-
перемещений происходит тем быстрее, чем больше параметр Я.
Изменение усилий #! я N2 по длине ребер, вычисленное соглас-
согласно зависимостям A.43) и A.44), показано на рис. 1.13 и 1.14 для.
панели с одинаковыми ребрами (^1==^2=1/2); см. формулы A.42)
и A.45). Допустим, что графики на рис. 1.13 построены для пане-
панелей, имеющих одну' и ту же длину, но разные показатели изменя-
изменяемости X. В этом случае видно, что увеличение параметра X способ-
способствует более резкому убыванию продольных усилий N\ в первом-
ребре по длине.' Можно считать также, что графики на рис. 1.13
построены для панелей, имеющих разную длину и одинаковый по-
показатель изменяемости Я. Такая интерпретация позволяет сделать
вывод, что начиная с Я/^2 характер изменения усилий по длине
панели практически не зависит от ее длины. Оказа»ное об убыва-
убывании продольного усилия Ni в первом ребре относится к возраста-
возрастанию продольного усилия N2 во втором ребре (см. рис. 1.14). На
рис. 1.15 показано отношение усилий N2 к Nb Видно, что по мере
удаления от торца х=0 это отношение увеличивается — происхо-
происходит выравнивание усилий. На рис. 1.16 показано изменение каса-
. ' . '23
од
0,6
1
1
г
/
Х1=1
..—
О*
0,6
V
\
xi'i
S. 2
3
r——
! <
/2
* Ал
Ал
Рнс. 1.15. Изменение отношения продольных усилий Ni/Ni по длине панели (па-
(параметры h, k2, X, I см. на рис. 1.13)
Рис. 1.16. Измеиеиие удельных касательных усилий Si в панели по ее длине в
зависимости от параметров XI (параметры X, I, ku h см. иа рис. 1.13, й3=лй2)
и2/и(О)
1,6
V
Ц6
0.Ц
щ
К
-V2
0,8
0,6
Ofi
0,2
¦ Л
N \
X
N
\
к
? !
i
К
\
12
Рис. 1.17. Измеиеиие продольных перемещений первого ребра щ (рис. 1.10) по
«го длине, отнесенных к перемещению левого торца панели ы@)=—Pil/(EiFi+
•+E2F2) при ее растяжении как стержня (параметры Я*, I, k\, k2 см. иа ряс. 1.13)
Рис. 1.18. Измеиеиие продольных перемещений второго ребра и2 по его длине
48
Ю,6
42
2
г~—¦
—1
-
Рис. 1.19. Характер изменении по'Длине пане-
панели (см. рис. 1.10) отношении смещений ul/u1
в первом и втором ребре
/ г з
Хх
24
тельных усилий Si в пластине по длине панели, посчитанное сог-
согласно выражению A.46). На рис. 1.17 и 1.18 дано отношение про-
продольных перемещений в ребрах 1 и 2 (см. рис. 1.10, 1.12) к про-
продольному перемещению «@) левого торца панели, если бы она де-
деформировалась как стержень (при G=oo). Продольные переме-
перемещения ребер в общем случае посчитаны по формулам A.47), а
Для сравнения на рис. 1.17 и 1.18 пунктиром показаны продоль-
продольные перемещения ребер, характеризующие абсолютно жесткую на
сдвиг панель (.G = oo). В этом случае
«1 __ «2 _| Х_
«@) «@) I
Если считать, что сплошные линии на рис. 1.17 и 1.18 даны для
панелей, у которых %==!, а /=1, 2, 3, 5, то пунктирные соответст-
соответствуют панелям той же длины при Я=оо. На рис. 1.19 представлено
отношение продольного перемещения поперечных сечений второго
ребра к продольным перемещениям первого.
Теперь рассмотрим панель, представленную на рис. 1.10, но при
иных условиях на концах, интересных с практической точки зрения.
Пусть, например, N\=P\ при *=0, Л^1 = Р1/ при х=1.
Концевые условия для второго ребра возьмем в виде
Ni=0 при д:=0, ;V2=P2 при х=1.
Из уравнения равновесия панели в целом найдем
Так как пластина согласно принятым в ра'зд. 1.2 гипотезам не
воспринимает продольных нормальных напряжений, то вообще
говоря, рассматриваемая панель не уравновешена по моментам.
Поэтому будем считать ее половиной панели с тремя ребрами,'
среднее ребро которой состоит из двух ребер 2 (см. рис. 1.10), спа-
спаянных между собой по всей длине.
Подчиняя полученное выше решение A.41) записанным выше
концевым условиям для продольного усилия Wi в первом ребре,
найдем ' ' "
_•• _P;-Pi(fti
sh X/
после чего решение A.44) будет иметь вид
Продольное усилие N2 во втором ребре найдем из уравнения
равновесия части панели, расположенной слева от сечения ее плос-
плоскостью Jt=const:
25
Касательные усилия Sj в пластине определяются из любого
уравнения равновесия A.32).
Представляет интерес изучить частный случай формулы A.49),
когда на правом торце рассматриваемой панели продольная де-
деформация обеих ребер одинакова. Тогда,
Р'2 Р\ Pi-P[
B1F1
откуда следует, что
Я' Г) и п' D h
г I — *l^li * 2 — * 1^2
я в формуле A.49) пропадает последний член. Решение для этого
случая и двух других, рассматриваемых совершенно аналогично,
представлено в табл. 1.1. Коэффициенты k\, ki, ks, X, фигурирую-
фигурирующие в формулах таблицы, вычисляются по формулам A.42), A.40),
A.45) и A.46), где / — длина панели.
1.5. МЕТОД РАСЧЕТА ПЛАСТИН С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ
РЕБЕР ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Примеры пластин, подкрепленных произвольным количеством
ребер, показаны на рис. 1.6 и 1.7. Левые концы ребер нагружены
заданными продольными силами Р\, Р%—,Рп+\, правые — либо
нагружены заданными продольными силами Р\, Р^\ ..., Р'п+\ (см.
рис. 1.7), либо защемлены (см."рис. 1.6). В реальной конструкции
встречаются и иные условия на концах ребер. Например, могут
быть заданы продольные перемещения, усилия на одной части кон-
концов и продольные перемещения на другой. Здесь мы рассмотрим
решение в случае концевых условий одного типа на каждом тор-
торце подкрепленной панели. Для определенности будем считать, что
на всех левых концах ребер заданы силы, на всех правых либо си-
силы, либо продольные перемещения.
Исходная система уравнений, необходимых для определения
продольных усилий и перемещений в ребрах и касательного уси-
усилия в пластине, дана в разд. 1.3, где содержится ее подробный, вы-
вывод. В частности показано, что продольные усилия в ребрах и про-
продольные перемещения в них могут быть выражены через функции
напряжений Фь Ф2,..., Фп, получаемых путем решений системы п
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений A.23).
Принципиальных трудностей в решении системы A.23) нет. Одна-
Однако в общем случае, когда жесткость всех ребер разная и участки
пластины между ребрами различны, решение оказывается все же
громоздким.
Ниже рассмотрим случай, когда все участки пластины одина-
одинаковы и, следовательно,
-р.=—- (k=l, 2,...,н), (I. 50)
Ьк Ь
26
Таблица 1.1
Формулы для продольных усилий /V, и JVjB ребрах 1 и 2, а также для удельных касательных усилий 5) в. пластине,
соответствующие трем вариантам нагружения концов ребер (k>, kt, k3, X — параметры A.42), A.45), A.46), A.40))
Tf
fi
Усилия
в ребрах
[_Й2_ sh X (I — x) "I
+ ki sh X/ J
sh 1
sh X (Z —
shXZ
sh
x/ J
sh X (f — x)
shX/
P1A1 Г-
sh X (I — x)
sh X/
Щ. "sh \x 1
ftt ah X/ J
sh X (f — x)
shX/
Усилие
в плас-
пластине
shX/
ch Хдт + -^ ch X (/ — дг)
^2
shX/
shX/
все внутренние ребра панели одинаковы и поэтому
EbF^EF при k=2, 3,...,я. A.51)
Жесткость EiFi первого ребра и жесткость ?n+ufn+i (я+1)-го
ребра произвольная. Введем обозначения
f En+\Fn + l /1 cm
fa+1 в? ' (ll52)
и напомним, что EjFj — соответственно модуль упругости и пло-
площадь поперечного сечения /-го ребра; G, h, Ъ—соответственно мо-
модуль сдвига материала пластины, толщина и ширина участка плас-
пластины между ребрами.
Ниже опишем общий метод определения продольных усилий
и продольных перемещений в ребрах, когда соблюдаются предпо-
предположения A.50)—A:53). В последующих двух-разделах будут изу-
изучены частные случаи. •
Систему исходных уравнений возьмем в форме A.23), которая
при выполиении предположений A.50) — A.53) примет вид
A.54)
Статические условия на левых концах ребер, соответствующие
заданным силам (см. рис. 1.6, 1.7), для функций Ф;- указаны выра-
выражением" A.26)
^^1 (у = 1,2,...,«), A.55)
я+1
я+1
где
Статические коицевые условия на правых концах ребер также
будут иметь вид A.55), если заменить Pt на Р/ (см. рис. 1.7).
В силу предположений A.50) — A.52) получим
} ¦ -
я+1
28
Следовательно, статические условия A.55) на левых концах
ребер можно переписать следующим образом .
' ' п+1
=0С/=1, 2,..:,л). A.56)
Статические условия на правых концах ребер будут 4
п + 1
2
Vp ПРИ ^=/(>=1« 2
1=1
A.57)
Условия защемления правого торца панели (см. рис. 1.6) запи-
запишем в форме A.28)
-=0 при x=t(J=l, 2,..., п). A.58)
dx
Если заданы отличные от нуля продольные перемещения пра-
правых концов ребер, то согласно разд. 1.3 концевые условия при
х—1 будут
где Aj — продольное перемещение правого конца /-го ребра.
Системы дифференциальных^ уравнений A.54), а также конце-
концевых условий A.56) и A.57), A.58) или A.59) достаточно для отыс-
отыскания функций Ф]. Если функции (Dj найдены, то продольные уси-
усилия Nj в ребрах могут быть найдены по формулам A.29), которые
с учетом предположений A.50) — A.53) можно записать в виде
п+1
fl+n-\+fn+l
п+1
+П— 1 + /п+1
п+1
=2, 3,...,я), A.60)
Если в формулах A.60) положить функции Ф^=0 при /=
= 1, 2,..., п, то получим продольные усилия Nu Nit..., Wn, при кото-
которых напряжения во всех ребрах будут одинаковыми.
29
Касательные усилия Sj в /-м участке панели, расположенном
между/-м и (/+1)-м ребром (см. рис. 1.6), вычисляются по фор-
формулам A,21)
Продольное перемещение щ произвольного поперечного сечения
/-го ребра находится согласно A.30) или A.31). В частности, если
на правых концах ребер заданы продольные перемещения, то бу-
будем использовать выражения A.30)
i
jil) U = U 2,...,»), A-61)
где Uj(l) — продольное перемещение правого конца /-го ребра.
Если на правых концах ребер заданы статические условия
A.57), то продольное перемещение и, удобно вычислять через ка*
сательные усилия Sj в пластинах по формулам A.31)
A.62)
= Ul + -^ZiSi О' = Ь 2,-..,«),
где «1 — продольное перемещение поперечного сечения первого
ребра, которое определяется по формуле A.61) (при /=1) с точ-
точностью до перемещения щ (I) всей панели как твердого тела.
Переходим к нахождению функций напряжений Ф^ из системы
A.54). •
Решение системы дифференциальных уравнений A.54) берем в
виде
Фк=АкеХл (k=l, 2. ...,л), A.63)
где Ah и Я — постоянные числа, подлежащие определению.
Если подставить функции Ф& согласно представлениям A.63) в
систему дифференциальных уравнений A.54), то придем к следую-
следующей системе разностных уравнений для вычисления коэффициентов
Ak и К
-^Ак-Ак+1=Ь (k=2, 3,...,я-1), A.64)
Решение этой системы алгебраических уравнений ищем в виде
Ak=cr" {k=\, 2,..., п). A.65)
Здесь с — произвольная постоянная; число г выберем так, чтобы
удовлетворить всем внутренним., уравнениям системы A.64) (при
30
k=2, 3,..., n—1). Вводя Ah из A.65) во внутренние уравнения сис-
системы A.64), получим для г квадратное алгебраическое уравнение
=0, ' A.66)
где" 2* = 2—^. A.67)
Корни уравнения A.66) будут
. . A-68)
Дальнейший ход решения формально будет различным в зави-
зависимости от того, будет ли Н<1 или И>1. В первом случае кор-
корни гь г2 будут комплексными, во втором —действительными. Мы
рассмотрим случай комплексных корней и сделаем замену пере-
переменной
zf=cos2e. A.69)
Как будет показано ниже, замена A.69) может быть сделана
только в случае, если /i>l/2, /эт-н1>1/2, где /i и /n+i относительная
жесткость первого и (л+1)-го ребра (см. формулы A.52)). Имен-
Именно такой случай и имеет место в большинстве практических за-
задач — жесткость крайних ребер обычно больше жесткости внут-
внутренних.
Подставляя выражение для t из A.69) в формулы A.68), по-
получим
Г1=е2'8, г2=е~т.
Так как каждый из этих корней удовлетворяет уравнению A.66),
то и для Ак по формуле A.65) найдем два решения, суммируя ко-
которые, придем к общему решению для Ак в виде
при этом с\ и с2'—произвольные комплексные постоянные. Отде-
Отделяя в них действительную часть от мнимой, предыдущую формулу
для Ак перепишем в виде "
ylft = c1sin2?6-fc2cos2?6, A-70)
где с\ и с2 — произвольные постоянные.
Число Э пока не определено. Чтобы его найти, нужно рассмот-
рассмотреть оставшиеся первое и последнее уравнения системы A.64), ко-
которые после подстановки Ak из A.70) будут иметь вид
-cos49]=0,
l
/п+l f*2
x\(l-\ —)сов2яв-сов'Bя-2)в]=0.
L\' fn+i v*l Л J
31
Если ввести обозначения
¦о=1 L,ai=l— * .A.71)
/1 /п+1
выразить №/\i2 через t по формуле A.67) и / — согласно выраже-
выражению A.69), то предыдущую систему алгебраических уравнений для
вычисления с\ и сг можно записать в виде
— Ciasin 26+c2(l — acos26)=0,
c1[-sinB/t+2)e —ajsin2/te] + c2[cosB/t+2N—' A.72)
Чтобы эта система имела решение, определитель ее должен
быть равен нулю. Вычислив определитель и приравняв его нулю,
получим характеристическое уравнение для определения собствен-
собственных чисел 9 •
asin2/t6 — sinB/t + 2)e + ai[sin2/te — asinB«—2N]=O. A.73)
Левая часть уравнения A.73) является' периодической функ-
функцией с периодом я, поэтому достаточно рассмотреть корни, нахо-
находящиеся в интервале О^Э^я. Далее, если Э — корень уравнения
A.73), то 01=я—в также будет корнем. Значит, интервал, в кото-
котором следует искать корни, сужается еще в два раза и будет равен
0^в^я/2. Заметим также,, что корни из интервала я/2<в<я; не
дадут новых решений и их можно не учитывать, что будет показа-
показано несколько дальше. Для удовлетворения же концевым условиям
задачи необходимо найти те пределы изменения, коэффициентов
/i и /п+ь при которых уравнение A.73) имеет ровно п корней на
интервале 0<9<;я/2. Если число корней меньше п, то мы не смо-
сможем удовлетворить всем концевым условиям.
Найдем условия, при которых уравнение A-73) имеет л корней.
Разделив уравнение A.73) на sin 9 cos 9 sin 2«9, после простых
преобразований с учетом формул A.71) приведем его к виду
A — 2/,)A — 2/i+i) tg В — ctg B=2 (/i+Z.+i — l)-ctg 2яв. A.74)
- Уравнение A.74) на интервале 0<6<я/2 будет иметь п кор-
.ней, если
Это иллюстрируется, когда «=2 иа рис. 1.20, где кривая А яв-
является графиком функции, стоящей в левой части уравнения A.74),
кривые В — график функции, стоящей в правой части уравнения '
A.74). Абсциссы точек пересечения кривых А и В на рис. 1.20 яв-
являются корнями уравнения A.74). Решая налисанные выше нера-
неравенства, получим диапазон изменения f и /n+ь в котором рассмат-
рассматриваемый метод приведет к правильному решению. Имеем
/ ^
Корни уравнения A.74) для любых значений коэффициентов
жесткости крайних ребер /i и /п+ь удовлетворяющих последним
32
Рис. 1.20. Корни уравнении A.74) 6i и В2 при
и=2 (А—левая часть уравнения A.74), В —
правая)
неравенствам, легко могут быть най-
найдены либо графически, либо с помо-
помощью вычислительной машины. По- °
этому будем считать их известными.
Коэффициенты с\ и с2 в выраже-
выражении A.70) для каждого корня 6Д- (/=
= 1, 2,..., п) уравнения A.74) можно
найти из любого уравнения системы
A.72).
Например, второе уравнение дает
C2J
cos Bn + 2) В/ — ai cos 2nB/ sin Bл + 2) В;- — щ sin 2л6/
— произвольная постоянная. Таким образом
с,7- — — Cj [cos Bn -f 2) Ъ]—ах сое 2я6у],
(/=1, 2,..
где
Подставляя найденные коэффициенты ci=Cij, C2=C2j в форму-
формулы A.70), получим для каждого 6,-
А=Аы=с}ак1, A.75)
где akJ= sin2{п-\-1 — к)в} — a, sin2(« — k)B} (k, j=\, 2,...,n)
A.76)
Остается определить коэффициент X в формуле A.63). Для это-
этого по формуле A.69) найдем, t—tj, подставляя туда вместо 6 кор-
корни В,- уравнения A.74), затем по формуле A.67) вычислим два зна-
значения параметра К: %=%, и Я= —Xj, при этом
Х,=2ц8те,. A.77)
Внося теперь в формулы A.63) Ak=Ak} из A.75), а также Л =з
=^j и 7,= —X,-, найдем два решения для функции Фн при каждом
в;
Каждое из этих решений может быть взято со своей произволь-
произвольной постоянной, поэтому общее решение для каждого 6=6j будет
иметь вид
Общее решение для функции
шений фу
получится суммированием ре-
V). A.78)
3136
КОЯОХЗА
HE БОЛЕЕ Ш КНИГИ В !
одчиригиигхвдвЕ 1
33
Число постоянных в формуле A.78) соответствует числу конце-
концевых условий. Существенными корнями будут при этом только кор-
корни из отрезка 0<в<я/2. Действительно, если Q, — корень из ин-
интервала @, я/2), то, как уже упоминалось выше, 6/ = я—9j будет
также корнем уравнения A.74). Если подставить корни 9j и 8/ в
формулы A.76) и A.77), то получим одинаковые значения коэффи-
коэффициентов akj и Xj, а следовательно, и одинаковые решения A.78).
Такая же ситуация имеет место и с корнями из любого отрезка ее
я&/2<9<; (&+1)я/2 при любом целом &>0.
В некоторых случаях вид функций Ф&, определенных формула-
формулами A.78), удобно изменить. Рассмотрим три случая:
1. На обоих концах подкрепленной панели заданы продольные
усилия.
Функции <Dft примем в виде
2Ч^^г^=1'2 п)-(L79)
2. На левых концах ребер (при л:=0) заданы продольные уси-
усилия, а на правых (при х=1) — продольные перемещения. Вместо
формул A.78) выберем следующее выражение:
){к^2 "'• с-80»
3. В случае бесконечно длинной панели в представлениях
A.78) следует положить Сц=0, так как функции Фк ограничены
при л:-»-оо. В результате имеем
v (" z <1=ц)- A< 81)
Произвольные постоянные сц, С2) в формулах A.79)—A.81)
найдем из условий на концах. Подставляя значения функций Фп
при *=0 из A.79), A.80) или A.81) в статические коицевые ус-
условия A.56) на левых концах ребер, получим следующую систему
из п линейных алгебраических уравнений для определения коэф-
коэффициентов Cij (/=1, 2,..., п)
(*=1, 2,...,»). A.82)
Здесь известные числа Ф3° определены формулами A.56); а^ —
коэффициенты A.76).
В случае 1, подставляя ФА при х=1 из формул A.79) в стати-
статические условия A.57), получим систему для вычисления сц
(k=l> 2 л>- П-83)
Выше числа Фа1 определены формулами A.57).
34
В случае 2 условия на правых концах ребер имеют вид A.59).
Внося туда d®kldx из формул A.80), имеем следующую систему
алгебраических уравнений:
я
*^ = (^"/ (*=1. 2,...,*), A-84)
где правые части определены формулами A.59).
В случае 3 бесконечно длинной пластины на бесконечно уда-
удаленном конце функции Ф& обращаются в нуль. При этом по фор-
формулам A.60) вычислим усилия, пропорциональные жесткости ре-
ребер. Значит, деформации во всех ребрах будут одинаковыми и вся
панель будет деформироваться как стержень.
Системы A.82), A.83) и A-84) отличаются только правыми
частями, которые следует считать произвольными. Вследствие это-
этого достаточно решить систему линейных алгебраических уравнений
вида
=** (*=L 2 "¦)¦ С1-85)
Здесь bk — произвольные числа.
Для решения системы A.85) умножим обе части на uks (к =
= 1,2,..., л), просуммируем обе части по k от 1 до п и переставим
порядок суммирования в левой части. В результате будем иметь
j?QjsCj=2bkaks E=1, 2,..., я), A.86)
j =1 *=1
Л
где Q]s=^aksakJ (у, 5=1,2,..., я), A.87)
*-i
а коэффициенты a,hS, a^ определены формулами A.76).
Можно показать, что коэффициенты atj ортогональны, иными
словами
0 при
Для этого укажем два способа. 1. Подставить значения коэф-
коэффициентов akj, aks из формул A.76) под знак суммы A.87), про-
просуммировать ее и путем преобразований полученной суммы с уче-
учетом характеристического уравнения A.73) нлн A.74) доказать ор-
ортогональность. Второй способ доказательства дан в конце раздела;.
С учетом формул A.88) по формулам A.86) непосредственно
находим коэффициенты Cj
п
35
.' Решение системы A.82) получим по формуле A.89), вводя в
нее cs=c2s, ?ь=Фь°; решение системы A.83) — принимая cs=cls,
Ьи=Фк1; системы A.84) — полагая cs=cis, bh={dQ>kldxI.
Коэффициенты Qss, определяемые формулами A.87), можно
записать в явном виде, вычислив в общем виде сумму в правой
части. Не останавливаясь на процессе суммирования, запишем
окончательный результат
e5] + — A—а?)A-сов4л9,). A.90)
В заключение укажем порядок расчета по формулам этого раз-
раздела.
1. Задаются параметры панели и определяются коэффициенты
h, fn+u H>> a, ai согласно формулам A.52), A.53), A.71).
2. Вычисляются корни характеристического уравнения A.74)
бь Э2 Э„ из интервала 0<6<я/2.
3. Находятся концевые значения функций <Dj по выражениям
A.56), A.57) в случае статических концевых условий и значение
производных (d<?>j/dxI no формулам A.59), если заданы продоль-
даые перемещения иа правых концах ребер. По формулам A.89) и
A.90) устанавливаются коэффициенты Си, Сг3.
4. По формулам A.79), A.80) или A.81) находятся функ-
;ции Фк.
5. Продольные усилия в ребрах находятся по формуле A.60),
касательные усилия Sj на участках пластин между }-м и (/+1)-м
.ребром (/=1, 2,...,«) —по формулам A.85). Продольные переме-
перемещения ребер вычисляются из выражений A.61) или A.62).
2. Доказательство ортогональности A.88). Рассмотрим вновь систему уравне-
уравнений A.64). Обозначим для краткости
A)
и перепишем ее в виде
Л*+,=.B+хМ» —i4*_i, F = 2, 3,..., п-1), B)
i, C)
Эта система имеет нетривиальное решение только в случае, если параметр
%=Х) (/=1. 2,..., я), где %i — собственные числа, которые я&ляются действи-
действительными и простыми нулями характеристического полинома, являющегося опре-
определителем системы B), C), D). Искомые неизвестные Ах (&=1, 2,..., я) будут
зависеть от каждого собственного числа Xj и называются собственными функци-
функциями. Обозначим собственную функцию Аь, соответствующую собственному чис-
числу %} через Aki.
Докажем, что собственные функции ортогональны в том смысле, что
=0 при
E)
2
k-i
С этой целью запишем сначала уравнения B) для собственных чисел х< и
%} при 1Ф\
Ац+ui = B + Х<) Aki — Аь-и,
Л+i,; = B + ху) Аы — А*-и}-
Умножим первое равенство на Akj, второе на Л»< и вычтем нз первого вто-
второе. Получим
At+uAkj — Аь+\,]Аы = (Xi — Xj) A/tiAkj + А^Аь-и — Ак}Ак-и-
Это равенство в силу уравнений B) справедливо при k=2, 3 я—1, по-
поэтому обе части его можно просуммировать от &=2 до я—1, что даст
П-1
(X! — Xj) 2 AbiA*j = AniAn-i,j — АП)Ап-и — A2iAXj + A2jAu,
k-2
Подобным образом из уравнений C) и D) найдем
A21A1J — A2jAu = (х/ — X/) AXiAXj,
An-uAnj — An-x,jAni = (Xi — X/) AniAn}.
Сложив эти два равенства с предыдущим, получим условие ортогоиальио-
стн E). Теперь только нужно учесть, что коэффициенты Аи для каждого собст-
собственного значения в), а значит, н %j согласно A.77) и A) определены формула-
формулами A.75). Подставляя нх в равенство E), получим условие ортогональности
A.88).
1.6. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РАВНОВЕСИЯ ПЛАСТИНЫ
С НЕСКОЛЬКИМИ РЕБРАМИ
В нредыдущем разделе описан метод расчета пластины, под-
подкрепленной произвольным числом ребер постоянного поперечного
сечения при произвольных условиях на концах ребер. Теперь рас-
рассмотрим некоторые частные случаи.
На рис. 1.21 показана пластина, подкрепленная пятью ребрами.
Левые концы внутренних ребер не загружены, правые загружены
силами так, что деформации во всех ребрах одинаковы. Наружные
ребра одинаковы, внутренние также одинаковы. Продольное уси-
усилие No приложено к правому концу каждого внутреннего ребра,
продольное усилие, приложенное к правому концу каждого наруж-
наружного ребра, равно fiNo, где /i — коэффициент жесткости наружного
ребра, определенный формулой A.52) и равный
Рис. 1.21. Пластина, подкрепленная пятью реб-
ребрами. Правые торцы ребер загружены про-
продольными силами так, что деформации на всех
правых .торцах ребер одинаковы (fi=EiFiIEF;
Ей Ft — модуль упругости и площадь сечеиия
каждого наружного ребра, Е, F— каждого
внутреннего)
p,
pf
1
3
2
1
I
J.'b
No
No
No
Mo
Ei, F\ —соответственно модуль упругости и площадь поперечного
сечения каждого наружного ребра; Е, F — аналогичные величины
для внутренних ребер. Продольные усилия Р\, приложенные к ле-
левым концам наружных ребер, определяются из условия равнове-
равновесия всей пластины. Они равны (см. рис. 1.21)
Аналогичная пластина, но с четным числом ребер, представле-
представлена на рис. 1.22.
Схемы пластин на рис. 1.21 и 1.22 могут быть в первом прибли-
приближении использованы при расчете панелей с вырезами. Пример та-
такой панели дан на рис. 1.23, где продольные кромки выреза под-
подкреплены достаточно жесткими ребрами, между которыми имеет-
имеется набор ребер меньшей жесткости.
В силу симметрии достаточно рассмотреть любую половину
панелей. При этом в выражениях предыдущего раздела число я
будет равно 2. Коэффициент /п+ь определенный формулой A.52),
для панели, изображенной на рис. 1.21, будет равен 0,5, так как в
симметричной половине площадь сечения третьего ребра равна по-
половине площади сечения второго. Для панели с четным количест-
количеством ребер /n+i = l.
Случаи, представленные на рис. 1.21 и 1.22, естественно обобща-
обобщаются на произвольное число ребер. Поэтому ниже дадим формулы
для расчета панелей типа, показанных на рис. 1.21 и 1.22, но для
произвольного нечетного числа ребер 2п+1 и четного 2п+2.
Так как усилия на левых концах ребер /Э2=?'з= ••• =^'n+i=0,
а из условия равновесия панели продольное усилие-в первом ребре
то статические условия A.56) на левых концах ребер будут иметь
вид
я-/)(У=1> 2,..., я).
A.92)
Pi
Pi
«
I
1
2
3
I J
2
1
,-
—"-л
h''o
Nn
No
No
},N,
Рис. 1.22, Пластина с шестью ребрами (fi=EiFJEF; Pi=^o(fi+2), iV0 —за-
—заданная сила)
Рис. 1.23. Панель с ребрами, имеющая прямоугольный вырез
Так как далее, на правых
концах ребер заданы усилия
p.
то статические условия A.57)
на правых концах ребер будут
Ф$=:0 (/=1, 2,..., я). A.93)
Рис. 1.24. Панель с нечетным числом
ребер, защемленная на правом торце
Рис. 1.25. Панель с четным числом
ребер, защемленная на правом торце
Другим частным случаем является случай панелей симметрич-
симметричного строения типа, описанных выше, но защемленных на правом
торце. Такие панели с пятью и шестью ребрами изображены на
рис. 1.24 и 1.25. Внешние усилия на левых концах наружных ребер
здесь можно задать произвольно. Формально силы Р\ определяют-
определяются формулой A.91), где No— произвольный параметр нагружения.
При этом, как и выше, NJ\ будет продольным усилием в наруж-
наружных ребрах при деформации панели как стержня, No, /n+iM) —
аналогичные усилия во внутренних ребрах панели. С продольными
усилиями N4\, No, fn+iNo удобно сравнивать фактические усилия
в ребрах, чтобы получить решение, наглядно показывающее откло-
отклонение решения от полученного по формулам сопротивления мате-
материалов (стержневая модель). Очевидно, по мере удаления от лево-
левого торца панелей будет происходить выравнивание напряжений
в соответствии с принципом Сен-Венана. Напряжения в ребрах
все более и более будут приближаться к напряжениям, имеющим
место при растяжении панели как стержня.
Условия на левых концах ребер для защемленных панелей, по-
показанных на рис. 1.24 и 1.25, по-прежиему будут иметь вид A.92).
На правых защемленных концах ребер концевые условия опреде-
определяются формулами A.59) и станут в рассматриваемом случае од-
однородными
Ш=о (у=1'2 п)- A-94)
Система A.83) в силу A.93) и система A.84) в соответствии с
A.94) для обоих этих случаев имеют тривиальное решение
Сц=0 G=1, 2,..., я).
Значит, формулы A.79) —A.81) для функций ф* можно запи-
записать в виде
Sh X; (/ — X)
shljl
A.95)
39
ch Ijl
^1, 2 я), A.97)
где А,, — коэффициенты, определяемые по A.77), ау— согласно
A.76).
Выражения A.95) должны быть использованы для панелей с
заданными силами на правых концах ребер (см. рис. 1.21 и 1.22),
формулы A.96) —для защемленных на правом торце панелей (см.
рис. 1.24 и 1.25). Зависимости A.97) справедливы для бесконечно
длинных панелей и получаются из выражений A.95) и A.96) пре-
предельным переходом при 1-*-оо.
Коэффициенты c-ii в соотношениях A.95) — A.97) определяются
по формулам A.89), если вместо Ьк подставить Ф&° из A.92):
где Qjj — коэффициенты A.90), аи) — коэффициенты A.76).
Сумма A.97) легко сворачивается, если в правую часть соот-
соотношения A.97) ввести коэффициенты а^- из формул A.76) и вос-
воспользоваться тождествами
л
„, sin {п + 1) х sin nx
sin
sin x
=i
4 sin2x 2 sin x
В результате получим
Nn ( 1 Г sin 2и8/
c2]= - ^LL (/ , + n- 1) sin 2яв«Н
и cosBn— 1N
Выражения A.60) для усилий в ребрах также будут иметь бо-
более простой вид, если подставить туда Р\ из формулы A.91) и
РР/>0
1 98)
40
Продольные перемещения ребер, защемленных на правых кон-
концах, найдем по формулам A.61), полагая «,•(/) =0,
i
Uj=--l—\Njdx (y = l, 2,...,я + 1). A.99)
X
Продольные перемещения ребер, на правых концах которых за-
заданы усилия (см. рис. 1.21 и 1.22), найдем по формулам A.62), при
этом щ определим согласно выражению A.99) при /=1.
Введем обозначения
M^AN0, N°n+i = fn+iN0, №j=N0(j=2, 3,...,я) A.100)
Как отмечалось выше, продольные усилия Nj° (/=1, 2,..., п)
возникают в ребрах панели при ее растяжении как стержня и с
ними удобно сравнивать действительные усилия в ребрах. Поэто-
Поэтому в численных примерах введем безразмерный параметр
В общем случае, когда модуль упругости наружных ребер от-
отличается от модуля внутренних ребер, параметр а, характеризует
отношение фактической деформации 8.7- в ребре к деформации г па-
панели при ее растяжении как стержня. Например,
_ Nt
1 N° /tN0
Если модули упругости всех ребер одинаковы, то отношение
деформаций совпадет с отношением напряжений.
Аналогичным путем введем безразмерный параметр Щ для про-
продольных перемещений ребер
«/=-^G=1, 2,...,я + 1), A.102)
где ы° — перемещение левого торца панели при её растяжении
как стержня.
Очевидно и°—1г=1 —- .
EF
Тогда для защемленной панели из выраження A.99) получим
A.103)
Приведем некоторые результаты расчета.
На рис. 1.26 показан характер изменения параметра A.101)
напряжений в ребрах защемленной панели (см. рис. 1.24) по длине
в зависимости от параметра ц/, где ц — коэффициент A.53).
41
Рис. 1.26. Безразмерные усилия в ребрах за-
защемленной на правом торце панели, имеющей
2л+1 = 5 ребер
Продольные усилия N} определя-
определялись по формулам A.98), Nf — по
A.100), функции Флв A.98)—сог-
A.98)—согласно A.96) и A.97). Параметр fi =
= EnF1/EF взят равным 1, fn+\ =
= En+iFn+l/EF принят равным 0,5,
п = 2. Кривые с номерами /=1, 2, 3 по-
построены [соответственно для первого
(наружного), второго и третьего (цент-
(центрального) ребра (см. рис. 1.24).
Кривые, оканчивающиеся при \ix=
= 1, соответствуют панели с парамет-
параметром ц/=1, итак далее. Огибающие
серии кривых nl — k (k=l, 2, 3) соот-
соответствуют бесконечно длинной панели
(ц/=оо). Из графика видно, что ха-
характер изменения напряжений существенно зависит от параметра
ц, определенного формулой A.53). Если считать, что длина панели
/ для всех кривых одинакова, а меняется только ц, то можно сде-
сделать вывод, что с ростом ц продольные нормальные напряжения
уменьшаются быстрее. Наоборот, если ц не меняется, а изменяется
длина панели, то видно, что начиная с ц/=4 панель при расчете
практически можно считать бесконечно длинной. Если соединить
концы кривых ц/=0, 1, 2, 3 плавной кривой, то можно установить
области изменения напряжений в каждом сечении панели в зави-
зависимости от ее длины. Такие области показаны на рис. 1.27, где
пунктирные линии проведены через концы кривых ц./=1, 2, 3 (см.
рис. 1.26), сплошные — кривые из рис. 1.26, соответствующие ц/=
= оо. Проведя на графиках-рис. 1.27 вертикальную прямую цх=
= цхо, можно получить диапазон изменения продольных нормаль-
нормальных напряжений в сечении панели цх0 при изменении параметра
\il от \x.Xq до бесконечности. Например, в сечении цхо= 1 эти напря-
напряжения в крайнем ребре могут меняться от 1,42 до 1,78.
Если на графиках рис. 1.27 параметр цх на оси абсцисс перепи-
переписать на \й, то пунктирные кривые дадут продольные нормальные
напряжения на защемленных концах ребер и, таким образом, по
ним можно судить о степени выравнивания напряжений в ребрах
панели. Из графиков видно, что для панели с параметром ц/>4
напряжения на правом торце практически одинаковы и равны нап-
напряжениям, которые будут при растяжении панели как стержня.
Такую панель при расчете можно считать бесконечно длинной и
для функций Ф,, использовать выражения A.97) вместо A.96).
Для защемленной панелн с пятью ребрами (см. рис. 1.24), у ко-
которой наружные ребра более жесткие (/i=3), характер изменения
напряжений в ребрах более плавный и показан на рис. 1.28 сплош-
42
Рис. 1.27. Области изменения безразмерных
усилий в ребрах при изменении длины паиели
ными линиями. На рис. 1.29 представ-
представлен характер изменения продольных
нормальных напряжений в панели с
пятью ребрами (см. рис. 1.21). Графи-
Графики, оканчивающиеся при цх= 1,2,3, со-
соответствуют панелям, у которых соот-
соответственно ц/=1, 2, 3, /=1, 2, 3 — но-
номера ребер. Для сравнения показаны
кривые, соответствующие бесконечно
длинной панели. Продольные нормаль-
нормальные напряжения вычислялись по фор-
формулам A.101), A.100), A.98), A.95).
Характер распределения этих напря-
напряжений аналогичен характеру измене-
изменения напряжений в защемленной пане-
панели. Разница только в том, что с умень-
уменьшением параметра ц/ кривые убывают быстрее, стремясь к едини-
единице при ц*=ц/.
Касательные усилия S3 в участках пластины, представленной
на рис. 1.21, приведены на графиках рис. 1.30. Формулы для каса-
касательных усилий имеют вид
SI V^ MchXj(l — x)
Sj=~2ja^il Jit (/=1.2,..,*) A.104)
и получаются после введения Ф3- из Nj'nJ
A.95) в выражения
' dx
" 1,6
1,2
П—Г-^^^— 0,8
0,4
\
Г
—
r
fr3> n=2
JUl>4
1
/IX
V
V
V
/
ih
r
V
/7=2
=====
О 1 9 3 JUX
Рис. 1.28. Безразмерные усилия в ребрах защемленных панелей с пятью (fn+i=
= 1/2, сплошные линии) и шестью (fn+l=l, пунктир) ребрами (см. рис. 1.24 и
1.25)
Рис. 1.29. Напряжения в ребрах паиели, показанной на рис. 1.21
43
Sjl/N0
\
$1~1> fn+1
n=Z
f
1
~ 2
3 jul
Рис. 1.30. Изменение касательных усилий по
длине участков пластины, показанной на рис.
1.21 (О—|А/=6, X—ц/=4, А—ц/=2)
Кривые }= I соответствуют каса-
касательным усилиям первого участка пла-
пластины, расположенного между первым
и вторым ребрами, кривые j=2— ка-
касательным усилиям для участка меж-
между вторым и третьим ребрами. Тре-
Треугольником помечены графики для па-
панели с параметром ц/ = 2, крестиком —
для ц/ = 4, кружочком — для ц/ = 6.
Продольные нормальные напряже-
напряжения в ребрах панелей с шестью реб-
ребрами несущественно отличаются от
соответствующих! .напряжений в пане-
панелях с пятью ребрами. Для защемлен-
защемленной панели (см. рис. 1.25) эти напря-
напряжения показаны на рис. 1.28 пункти-
пунктиром.
Как уже отмечалось, продольные нормальные напряжения в
ребрах в панели с пятью ребрами практически выравниваются при
цх=4. С увеличением числа ребер, а, следовательно (при том же
параметре ц, определенной формулой A.53)), с увеличением шири-
ширины панели процесс выравнивания продольных нормальных напря-
напряжений в ребрах замедляется. Увеличивается и темп убывания нап-
1
5 jul
Рис. 1.31. Распределение усилий N, по длине ребер (fi = fn+i = l, и=6, ц/=6.
Сплошные кривые — для панели, у которой правые концы ребер нагружены си-
силами, пунктир — для защемленной панели
Рис. 1.32. Напряжения на защемленных концах ребер (сплошные кривые соот-
соответствуют fi = l, пунктирные — м = 3)
44
No
2b
20
16
12
8
4
\
4
Г
¦—~3
-в
1
0 1 2 3 + 5 JdK
1
5 /IX
Рис. 1.33. Изменение касательных усилий по длине участков пластины при оди» !
наковых деформациях на правых концах ребер
Рис. 1.34. Продольные перемещения ребер защемленной на правом торце панели
ряжений в наружных ребрах, а соответствующие напряжения во,
внутренних ребрах могут превышать единицу, т. е. среднее значе-
значение напряжений, возникающих при растяжении подкрепленной,
пластины как стержня. Сказанное подтверждает расчет пластины'
с 14-ю ребрами, результаты которого даны на рис. 1.31. Сплошные'
линии соответствуют панели типа приведенной на рис. 1.22, пунк-
пунктирные—защемленной на правом торце панели типа изображен-,
ной на рис. 1.25. Из графиков видно, что для панели, у которой па-
параметр ц/=6, напряжения на правых защемленных концах ребер
еще существенно неодинаковы. Интересно в связи с этим просле-'"
дить, как меняются продольные нормальные напряжения на пра-
правых защемленных концах ребер в зависимости от параметра ц/,
т. е. от длины панели / при ц = const или от параметра ц A.53) у
панелей одинаковой длины. Такое изменение иллюстрирует рис.
1.32 для защемленной паяели с тринадцатью ребрами типа пока-
показанной на рис. 1.24. Сплошные кривые соответствуют случаю /i="l,
т. е. пластине, у которой все ребра имеют одинаковую жесткость.
Пунктирные линии соответствуют пластине, у которой /^ = 3, т. е.
когда наружные ребра имеют жесткость в три раза большую, чем
внутренние. Стрелки на кривых и цифры над ними указывают зна-
значение величин при ц/=0.
Рис. 1.33 иллюстрирует изменение касательных напряжений по
длине участков пластины, имеющей 13 одинаковых ребер, нагру-
нагруженных на правых концах одинаковыми продольными напряжени-
напряжениями, т. е. пластины типа изображенной на рис. 1.21. Касательные
усилия определялись по формулам A.104). Номера, которыми по-
помечены кривые, соответствуют номеру участка пластины. Нэпом-
45.
ним, что j-м участок (/=1, 2,;.... п) расположен между /-м и
(/+1)-м ребром. Цифра 32,6 характеризует значение величины
Stl/No при цх=0.
На рис. 1.34 представлено изменение продольных перемещений
в ребрах защемленной панели, имеющей 13 ребер, т. е. панели типа
изображенной на рис. 1.24. Продольные перемещения отнесены к
продольному перемещению левого торца панели, деформирующей-
деформирующейся как стержень, изменение продольных перемещений по длине
панели—стержня для сравнения показано пунктиром. Вычисления
были выполнены по формулам A.103), в которые вносились зна-
значения продольных усилий в ребрах Nj по выражениям A.98), а
Фк — согласно A.96).
_ 1.7. ОПТИМАЛЬНОЕ ПОДКРЕПЛЕНИЕ ПЛАСТИНЫ
Для более рационального использования материала ребер, под-
подкрепляющих пластину, поперечное сечение последних целесообраз-
целесообразно делать переменным по длине. Можно подобрать такой закон
изменения площади поперечного сечения ребер по длине, чтобы
напряжения в каждом поперечном сечении были постоянны. Рас-
Рассмотрим наиболее простой случай, когда все без исключения ребра
имеют постоянные по длине напряжения и, следовательно, перемен-
переменную площадь поперечного сечения.
С этой целью вновь обратимся к панели, показанной на рис. 1.6
(см. также рис. 1.7), и будем считать, что площадь поперечного
сечения Fj каждого ;'-го ребра переменна по длине, а напряжения
*j=N;/Fj (У=1, 2.....Я+1) A.105)
являются заданными постоянными величинами.
Уравнения равновесия ребер полученч в п. 1.3 и имеют вид
A.12)
-Sj-^0 G = 2,3,..., п).
Здесь N] — продольное усилие в /-м ребре; S3- — касательное уси-
усилие на /-м участке пластины (см. рис. 1.8).
Усилия Nj и Sj связаны с продольными перемещениями ребер
и.} законом Гука A.8) и A.9), из которого путем исключения пере-
перемещений щ устанавливаются условия совместности деформаций
A.17)
где Gj, hj, bj — соответственно модуль сдвига, толщина и ширина
;-го участка пластины, ограниченного /-м и (/+1)-м ребром (см.
рис. 1.6).
46
Условия на левых концах ребер имеют вид A.13)
Pj-Nj@)=0 (У=1, 2 я + 1), A.
на правых концах (при х=1) статические условия аналогичны
p'j-Nj(t)=O (/ = 1, 2,..., я). A. 109)
В случае защемленной на правом торце панели (см. рис. 1.7)
концевые условия при х=1 таковы
ttj{t)=O (У=1, 2,..., я+1). A.110)
Вместо условий A.110), как было доказано в разд. 1.3, можно
брать следующие:
dNj/dx=0 при х=1 {}= 1, 2,..., я+ 1). A. 111)
Условия совместности деформаций A.107) в силу соглашения
A.105) будут ел едующим и:
dSj
*/
Отсюда 5^=аул:+Су, A-П2)
причем с, — известные коэффициенты; с, — произвольные посто-
постоянные.
Подставляя функции S3- из формул A.112) в уравнения равно-
равновесия A.106) и интегрируя последние, найдем
^ (/=1, 2,...,«+1), A. 113)
где a-i=
Произвольные постоянные с3- и dj в решении A.113) найдем из
условий иа концах A.108) — A.110). Внося, например, решение
A.113) в концевые условия A.108) и A.109), получим
. р' р
{)\'dP
после чего решение A.113) для искомых площадей сечений F) а
силу формулы
Nj=Ffj A.114)
можно записать в виде
A.115)
Выражение для площади поперечного сечения A.115) соответ-
соответствует панели, у которой на обоих концах ребер заданы силы (см.
47
рис. 1.6). Точно также, подставляя усилия Nj из формул A.113) в
концевые условия A.108) и A.111), найдем
Тогда для защемленной с правой стороны панели (см. рис. 1.7)
площадь поперечного сечения /-го ребра равна
Из формул A.115) и A.116) следует, что для панели, у кото-
которой на обоих концах ребер заданы силы, площадь поперечного се-
сечения каждого ребра определяется тремя параметрами: продоль-
продольными напряжениями в ребрах а, и продольными усилиями Pj и
Р{¦ Выбор параметров Pj и Р/ равносилен выбору площадей по-
леречных сечений левых и правых концов ребер, которые равны
)^ ( +
Причем из 2я-Ь 2 параметров этих уравнений произвольно можно
задать 2я+1, так как из условия равновесия внешних с'ил следу-
следует равенство
п+\ л+1
Для защемленной с правой стороны панели (см. рис. 1.7) произ-
произвольно можно выбрать параметры о,- и Pj. Вместо сил Pj можно
задать площади сечения левых концов ребер Ff.
Площади поперечных сечений ребер, вычисленные по формулам
A.115) и A.116), всегда должны быть положительными величина-
величинами. Если при некотором значении координаты х отрезка [0, I\ Fj
станет отрицательным, то это будет означать, что при выбранных
параметрах задача не имеет решения и ребро равного сопротивле-
сопротивления изготовить нельзя. Для защемленной с правой стороны пане-
панели, у которой площадь сечения ребер вычисляется по формулам
A.116), условие существования положительного решения F]>0
будет выполнено, если
)> ()
Выше мы рассмотрели случай, когда все ребра, подкрепляющие
пластину, имеют переменное поперечное сечение. Разберем вариант,
когда площадь поперечного сечения несущих ребер переменна по
длине, а остальные — постоянны. К несущим ребрам можно, нап-
например, отнести наиболее жесткие наружные ребра в пластине, вос-
воспринимающие внешние силы. Подбор закона изменения площади
поперечного сечения несущих ребер из условия постоянства про-
-дольных нормальных напряжений в них в рассматриваемом случае
сводится к решению системы линейных дифференциальных урав-
8
нений второго порядка с постоянными коэффициентами. Структура
уравнений аналогична рассмотренной в разд. 1.5. Для иллюстрации
остановимся на случае пластины с двумя ребрами, показанной на
рис. 1.10. Будем считать, что площадь поперечного сечения второ-
второго ребра /72 = const, а площадь поперечного сечения первого ребра
Fx переменна и должна быть найдена из условия, что продольные
нормальные напряжения а\ в первом ребре постоянны вдоль оси
ребра. Правые концы ребер зешемлены, левый конец первого реб-
ребра нагружен продольной силой Р\, второго — свободен.
Уравнения равновесия ребер A.106) в данном случае будут
A)
1=0. A.118)
dx dx
Условия A.107) переходят в одно
dS\ G\h\ I N2
dx Ьг \ E2F2
По условию задачи
—-=31=const. A. 120)
Дифференцируя первое уравнение A.18) по х и вводя в него
dSJdx из формулы A.119), а также
JV2 = P1 — N1,
с учетом A.120) имеем
где F1 — искомая площадь поперечного сечения первого ребра;
F2 — постоянная площадь поперечного сечения второго ребра;
Fi° — заданная площадь поперечного сечения первого ребра на
конце х=0,
?P ?* A.122)
Решение уравнения A.121) возьмем в виде
Fl=F°l-F2^--\-clsh\lx-\-c2ch\lx. A.123)
Здесь .С\ и съ — произвольные постоянные, определяемые из конце-
концевых условий Ni = Pi при л: = 0, «i = 0 при х = 1\ их — продольное пе-
перемещение первого ребра. Если учесть, что условие «i = 0 можно
заменить уравнением dNil"dx=0 (см. разд. 1.3), а также учесть
формулу A.120) и первую формулу A.122), то концевые условия
можно записать в форме
Fl==F°i при ^ = 0,^=0 при х=1.
dx
49
Внося в эти концевые условия функцию Fl из формулы A.123),
получим
F Е2 shXi/ _F Е2_
Решение A.123) теперь окончательно можно записать следую-
следующим образом:
FX=F\-F2 -gl[l-chy/-^l. A.124)
Е l chlj J
Из выражения A.124) следует, что Fx — монотонно убывающая
функция, которая может стать отрицательной на некотором участ-
участке ребра х>х0. Такой участок не существует, если
1—\. A.125)
Неравенство A.125) аналогично неравенству A.117), установ-
установленному при рассмотрении пластины, у которой все ребра равно-
напряженные. Оно является неизбежным следствием возможности
изготовления ребра равного сопротивления или условием сущест-
существования физически реального решения уравнения A.121). Увели-
Увеличивая площадь концевого поперечного сечения Fx°, конечно, всегда
можно добиться, чтобы условие A.125) выполнялось.
Найдем касательные усилия в защемленной панели и сравним
их с усилиями в такой же панели, но имеющей постоянную пло-
площадь сечения ребер. Пусть Sa — касательные усилия в пластине,
подкрепленной ребром / переменного поперечного сечения (см.
рис. 1.10); SF — усилия в пластине с ребрами постоянной площади
поперечного сечения. Из первого уравнения A.118) с учетом фор-
формул A.120) и A.124) имеем
shXi(f-x) n
A
где Fi° — площадь поперечного корневого сечения ребра
Касательные усилия SF получены в ,разд. 1.4 и имеют вид
Sp = Pi — . 0-127)
E\Fi I / E2Fi ch X/
V R,F,
Здесь Х=
EtFi
Если предположить, что площадь F^0 равна площади F\ ребра
постоянного поперечного сечения, то, сравнивая A.126) и A.127),
получим
-Г- = Л/1 +
E2F2
shXi(/— х)
shX(/ — x)
A. 128)
Так как X>Xi, то правая часть выражения A.128) всегда боль-
больше единицы.
Таким образом, улучшение эффективности первого ребра за
счет уменьшения его площади поперечного сечения при aI = const,
ведет к увеличению касательных усилий в пластине. В предельном
случае бесконечно длинной пластины из выражения A.128) в кор-
корневом сечении при х=0 найдем
-^-=1/ 1 +
В качестве численного примера рассмотрим случай панели с
двумя ребрами, показанный на рис. 1.10 и рассмотренный выше.
Будем считать, что площадь Ft° концевого поперечного сечения
ребра / равна площади F2 ребра 2. Модули упругости материала
пластины и ребер примем одинаковыми. Кроме этого, будем счи-
считать, что площадь поперечного сечения пластины равна удвоенной
1,65 Щ 3,5
0,8
46
0.2 -
\
\
\
1.
—-
2
4». /
1 -_
—i
o,z
0,6 аз
0,2 0,k 0,6 0,8
Рис. 1.35. Изменение площади сечения первого ребра Fi по его длине при усло-
условии, что напряжения в нем не меняются по длине. Площадь сечения второго
ребра Fi постоянная
Рис. 1.36. Изменение касательных усилий 5а в панели, имеющей одно ребро рав-
равного сопротивления, а второе — с постоянной площадью сечения (пунктиром по-
показаны результаты для такой же панели с ребрами постоянного сечения, причем
площади второго ребра blhi = 2F2. При этих условиях параметр
A.122) будет Х1=1/61 У\ +v. Коэффициент Пуассона v возьмем
равным 0,3. Формула A.124) для площади первого ребра будет
]/ch
Характер изменения относительной площади FilF\° по длине
ребра для трех параметров//bi = l, 2, 4 показан на рис. 1.35. На
рис. 1.36 сплошными линиями изображен характер изменения ка-
касательных усилий A.126) в той же самой панели. Пунктиром для
сравнения дано изменение параметра SFl/Pi касательных усилий
A.127) в той же панели для случая, когда ребра 1 я 2 (см. рис.
1.10) имеют постоянное поперечное сечение. Цифры над стрелка-
стрелками указывают значение ординат на торце х=0. Из рис. 1.36 сле-
следует, что касательные усилия в панели при наличии ребра перемен-
переменного сечения выше, чем в случае обоих ребер постоянного попереч-
поперечного сечения.
1.8. ПАНЕЛЬ С ДВУМЯ РЕБРАМИ, ПОПЕРЕЧНОЕ
СЕЧЕНИЕ КОТОРЫХ ПРОИЗВОЛЬНО
ИЗМЕНЯЕТСЯ ПО ДЛИНЕ
Для расчета панелей с ребрами произвольного переменного
поперечного сечения могут быть применены приближенные мето-
методы, разработанные для решения линейных дифференциальных
уравнений с переменными коэффициентами. Ниже изложен один
из способов расчета панели с двумя ребрами, поперечное сечение
которых плавно изменяется по длине [28].
Рассмотрим панель длиной /, показанную на рис. 1.37. Будем
предполагать, что площади поперечного сечения ребер Fi и F2 из-
изменяются по длине произвольно, но плавно.
Делим панель на ряд участков, выбирая их таким образом, что-
чтобы величины Z7! и F2 можно было считать почти постоянными на
каждом участке. Для практических целей в пределах одного участ-
участка для этих величин допустима разница в 1,5 раза. Участки и попе-
поперечные сечения между ними нумеруются так, как показано на рис.
1.37. Следует отметить, что участки могут иметь различную длину
и необязательно должны быть малыми. Длину г'-го участка будем
обозначать через /,-.
Продольные силы в ребрах для каждого сечения панели пред-
представим в виде двух составляющих. Первая состоит из двух про-
продольных усилий Ni° и N2°, определяемых по формулам сопротив-
сопротивления материалов
№ Pk N Pk
где
52
Вторая образуется из пары самоуравновешенных сил PXt (рис.
1.38), где Р — внешняя продольная сила, приложенная к первому
ребру; Х{ — параметр, подлежащий определению.
Суммарные продольные усилия в ребрах будут
Значения дополнительных сил РХг определяются из условия не-
неразрывности деформаций сдвига в прилегающих сечениях соседних
участков панели. При этом предполагается, что величины E\Fi и
E2F2 постоянны на каждом участке, например равны значениям
этих величин в середине участка. Такое предположение оправдано
тем, что выражения для деформации участка получаются интегри-
интегрированием, результаты которого не меняются при замене перемен-
переменных величин некоторыми средними. Положительное направление
деформаций сдвига показано пунктирными линиями на рис. 1.38.
Обозначим через щ численное значение деформации сдвига на
одном из концов г'-го участка, вызванное парой единичных сил
РХ=\, действующих на этом же конце участка, а через ifo дефор-
деформацию конца /-го участка от пары единичных сил, приложенных на
другом конце участка. Тогда деформация сдвига участка /+1 в се-
сечении i будет равна
Деформация сдвига сечения i участка / будет равна
Вследствие неразрывности деформаций полученные выражения
равны, что приводит к системе уравнений для определения неиз-
неизвестных Хг
Ф/А'/_1-(чI + ф1+1)А'| + «/+1А',-+1=0(/=1, 2,...,я-1). A.130)
Выражения для деформаций q>, и ifo (г=0, 1,...,«) от единич-
единичных сил получим, применяя формулу для усилий сдвига в панелях
конечной длины, нагруженных парой сил, которая дана в послед-
последнем столбце табл. 1.1. В частности, полагая в указанной формуле
Рис. 1.37. Схема панели с ребрами переменного сечения, разделенной иа л участ-
участков для численного расчета
Рис. 1.38 Пары усилий в ребрах 1-го и j+1-го участка панели, изображенной на
рис. 1.37
Pi=l, x=0, l=li и деля затем правую часть на Gh (G и h — соот-
соответственно модуль сдвнга и толщина пластины), получим
Gh <
где % — параметр, определенный формулой A.40),
В формуле A.131) следует брать некоторое осредненное значе-
значение параметра Я из участка /.
Аналогично, полагая в выражении для касательных усилий
S P\ = \, x=h, l = U, найдем
" Gh sh X/(-
Система уравнений A.130) состоит из п—1 уравнений и содер-
содержит я+1 неизвестное. Для получения недостающих двух уравне-
уравнений необходимо привлечь условия на концах. На левом торце па-
панели, представленной на рис. 1.37, концевые условия имеют вид
Подставляя сюда Ni или N2 из A.129), получим (при i=0)
X 1 ъ ъ И 1Я91
Условия на правом конце защемленной панели, как показано в
разд. 1.3 (см. также разд. 1.4), имеют вид
dx dx
Из этих условий достаточно удовлетворить одному, второе
удовлетворится автоматически, так как Nl+N2=P.
Дифференцируя первую формулу A.129), получим
——(--^-±-=0 прн х=1.
dx dx r
И V 1
Полагая приближенно яг—(Хп — Хп_Х
dx lnK
условие на правом конце запишем в виде
где вместо производной справа берется среднее значение произ-
производной из последнего /г-го участка.
Если панель достаточно длинная, то правый торец будет дефор-
деформироваться как стержень и тогда вместо условия A.133) возьмем
Хп=0. A.134)
54
Матрица системы A.130) является ленточной, и поэтому систе-
система решается просто. Действительно, каждое уравнение A.130)
можно рассматривать как рекуррентное соотношение для опреде-
определения последующего значения X через два предыдущих. Так как
значение Хо определено и вычисляется по формуле A.132), то для
возможности рекуррентного процесса необходимо еще найти Х\.
Для нахождения Л] поступим следующим образом. Запишем соот-
соотношения A.130) в виде
*i*j-i (/=1. 2,...,я-1), A. 135)
где ф|=«'+«мч ,¦,=*
При/=и— 1 формула A.135) примет вид
Найдем сначала Х\ для защемленной справа панели. Подстав-
Подставляя значение Хп в концевое условие A.133), имеем
Исключим теперь из этого соотношения Х„_ц, внося его значе-
значение по формуле A.135). В левой части полученного уравнения бу-
будут теперь фигурировать Хп-2 и Хп-3. Из полученного соотношения
теперь исключим Хп-2 опять с помощью формулы A.135), затем
Хп-3 и так далее вплоть до Х2. В результате найдем
v1X1~^0X0=-ln^-. A.136)
dx
Здесь коэффициенты vi и цо вычисляются по рекуррентным фор-
формулам
V/=V|+1ii-|i/, \>4-i=-vi+l$l A.137)
начиная с i~n—2 до /= 1, причем
Зная коэффициенты vi и jxo, по формуле A.136) найдем Хи под-
подставив X0=k2, согласно формуле A.132) имеем
Значение коэффициента k2 берется при х=0, значение dkjdx —
при х=1.
Все последующие значения искомых величин, а именно Х2, Х3,...
¦ ;Хп, определяются по формулам A.135), после чего искомые уси-
усилия вычисляются по формулам A.129).
55
0,8
0,6
0,2
I Точно
(формулаA.Ш))
Приближенно
0,2
0,6 0,8 х/1
Рис. 1.39. Распределение продольных усилий
Ni по длине ребра переменного сечения для
случая панелн, изображенной на рисунке 1.37
(площадь ^2 = const, напряжения ai==const;
сплошная линия — точное решение A.138),
пунктирная — приближенное решение по изло-
изложенной методике)
Совершенно аналогично можно оп-
определить значение Хи когда условие
на правом конце пластины имеет вид
A.134). В этом случае вместо форму-
формулы A.136) будем иметь
где vii и jllo определяются по тем же рекуррентным соотношениям
A.137), начиная с i=n~2. Разница только в том, что
Описанный способ решения является некоторой разновидностью
метода конечных разностей, если последний применить непосред-
непосредственно к исходному дифференциальному уравнению задачи, нап-
например, к уравнению A.39).
В качестве примера по изложенной методике была рассчитана
панель, показанная на рис. 1.37, при следующих значениях исход-
исходных параметров: /г=0,05 см, F2=l см2, 6 = 5 см, / = 30 см, ?,i = ?2 =
=Е, v=0,3, G/E= 1/2 A+v) =0,385.
Площадь поперечного сечения F2 принята постоянной, площадь
поперечного сечения Л переменна и выбрана так, что продольные
нормальные напряжения первого ребра не менялись по длине. Эта
задача решена точно в разд. 1.7, где для продольных усилий полу-
получено выражение
chM
('-fl
ch
причем
Gh
bE2F2 '
F} — заданное поперечное сечение первого ребра в точке приложе-
приложения сосредоточенной силы Р. При расчете было принято /г]°= 1 см2.
Панель разбивалась на пять равных участков. Результаты рас-
расчета представлены на рис. 1.39. Сплошная линия соответствует точ-
точному значению продольного усилия Nu посчитанному по формуле
A.138), пунктирная — приближенному, полученному по изложен-
изложенной выше методике.
56
1.9. СПОСОБ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА ПАНЕЛИ
С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ РЕБЕР
ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Рассмотрим в качестве примера панель, схема которой изобра-
изображена на рис. 1.7, в предположении, что жесткость на растяжение-
сжатие EjFj каждого /-го ребра изменяется по длине панели про-
произвольным образом. Как отмечалось в разд. 1.3, расчет такой пане-
панели сводится к решению системы линейных дифференциальных
уравнений с переменными коэффициентами. Точно решить такую
систему в общем виде нельзя. Поэтому ниже дадим численный
метод решения, основанный на замене системы дифференциальных
уравнений системой уравнений в конечных разностях. Решение
этой последней системы можно без труда получить, ориентируясь
на численный расчет с использованием вычислительной машины.
Основная функция машины заключается при этом в перемножении
известных матриц, что можшо сделать с помошью стандартной про-
программы.
Основные обозначения и исходные уравнения возьмем из
разд. 1.3.
Если исключить из уравнений, равновесия ребер A.12) каса-
касательные усилия S} с помощью соотношений неразрывности A-17),
то систему исходных дифференциальных уравнений для продоль-
продольных усилий Nj в ребрах можно записать в виде
._l_ ^-i"i / N2 Ni
bi \ E2F2
I
dx2 + bj \Ej+1Fj+1 EjFj) *;
T-~- =0 (У = 2,3,...,
Ej-iFj-i)
i Onhn/ Nn+l Nn \Q
bn \En+lEn+l EnFn)
Напомним, что в этих уравнениях Gh hi} 6,- — соответственно мо-
модуль сдвига, толщина и ширина /-го участка панели, расположен-
го между /-м и (/+1)-м ребром. Эти величины считаются постоян-
постоянными; Ej, Fj — соответственно модуль упругости и площадь попе-
поперечного сечения /-го ребра, которые будем считать произвольными
функциями координаты х.
Концевые условия для усилий Nj имеют вид A.13) и A.16).
Для удобства выделим отдельно элементарное решение, кото-
которое согласно формулам A.25) и A.27) имеет вид
Н-2-^ (I- 140)
57
где Р — суммарная продольная нагрузка на торцах,
я+1 л+1
Считая, что элементарное решение A.140) выделено, под про-
продольными усилиями Nj в системе A.139) будем понимать дополни-
дополнительные продольные усилия, сумма которых является самоуравно-
самоуравновешенной в каждом поперечном сечении панели.
В качестве примера рассмотрим случай, когда силы Р/, Р2', ...
..., Pn+i на правом торце панели (см. рис. 1.7) соответствуют
усилиям, полученным из элементарного решения A.140). Иными
словами, P/=Nj°. Тогда концевые условия для дополнительных
продольных усилий Nj будут иметь вид
) О(у=1, 2,..., я+1). A.141)
Как было показано в разд. 1.3, система уравнений равновесия
A.12), а следовательно, и система A.139), является линейно зави-
зависимой. Если, например, определить продольные усилия Ni, N2,...
..., Nn из первых п уравнений равновесия A.12), то продольное
усилие Nn+i будет линейно выражаться через п остальных про-
продольных усилий по формуле
вытекающей из формулы A.19) (заметим, что в формуле A.19)
Nj — полные усилия).
В силу сказанного, последнее уравнение из системы A.139)
можно отбросить и определить Nn+i согласно выражению A.142).
Подставляя Nn+i из A.142) в предпоследнее уравнение системы
A.139), приведем ее (без последнего уравнения) к виду
G=1, 2,..., я-1), A.143)
лг,=о.
2
QLjj= 1 (y=l, -i,..., n).
bjEjFj bjEjFj
В формулах A.144) слагаемые, содержащие индекс ноль, сле-
следует отбросить, т. е. принять
0=0, au =
58
Коэффициенты A.144) являются известными функциями коорди-
координаты X.
Систему A.143) запншем в матричном виде
A. 145)
где X — вектор, А — матрица, I — единичная л-мерная матрица
Х=
N,
— «И. О12. 0» >
°21. — «22. °23
О» °32» — аЗЗ. °34'
О,.--, О, ая,„_1, — а„я, ая„, а„,
О, О,..., О
0, О,..., О
1, 1.....1
а»,»+1> *—
1, О,...,О
О, 1, О,...,О
О, О, 1, О,..., О
О, О,..., 1
Согласно граничным условиям A.141) вектор X нужно подчинить
коицевым условиям
Здесь
х @)=/\ Л" (Z)=o.
р
A. 146)
P2-Nl
Разобьем длину панели lmm+1 равных частей. Длина каж-
каждого отрезка в будет
8=-
т +1
Производную в каждой /-Й точке с координатой Xj=/fi
заменим по формуле
HL)±. ,-г И
где Л" i —значение функции X в точке x = \j——18, X i —
>-? V 2 J i+?
значение функции X в точке х = П-\--—)Ь. Вторая производная
б
будет равна
\dx2j] 82 \[dx)j+l. [dx)j-L
при этом Xj — значение функции X в точке Xj.
Подставляя отсюда вторую производную в каждой внутренней
точке /= 1, 2,..., т в уравнение A.145), получим следующую систе-
систему конечно-разностных матричных уравнений
-L(Xj+1-2Xj+Xj_l)+A(xj)Xj=0U=h 2,...,я»),
где A (xj) — матрица А в точке Xj. Эту систему удобно переписать
в виде
Xj+1=B(Xj)Xj~IXj^ (y=l, 2,..,,»). A.147)
Здесь B(*j) — матрица
Едичиная матрица в левой части уравнения A.147) опущена.
В правой части она оставлена, чтобы коэффициенты при неизвест-
неизвестных имели идентичную матричную структуру.
Систему A.147) можно рассматривать как рекуррентную фор-
формулу для нахождения последующего значения искомого вектора X
через два предыдущих. Процесс начинается с индекса /=1. При
этом Хо считается известным согласно концевым условиям A.146)
Хо=Р.
Значит, чтобы рекуррентный процесс был возможен, нужно найти
еще Xi. Для определения Хц поступим следующим образом. Запи-
Запишем уравнение A.147) для точки j = m. Так как еогласно концево-
концевому условию A.146)
то" получим 0=В(л:т)Лгт-1Агт_1. A.148)
Исключим отсюда Хт, выразив Хт через Хтг.1 и Хт_2 с помощью
формулы A.147). В результате получим соотношение, связываю-
связывающее X-m-i и Хт~2. Из этого соотношения, в свою очередь, исклю-
60
чим Xm-i, выразив его через Хт_2 и Хт_3 с помощью "формулы
A.147). Продолжая процесс, в конце получим соотношение между
Xi и ДО) вида
ViA"!-ft, vo = O, A.149)
где vi и цо — коэффициенты, определяемые по рекуррентным фор-
формулам. Чтобы найти эти формулы, допустим, что нам известно со-
соотношение типа A.149), связывающее Х]+х и Xj
Подставляя сюда Xj+\ из A.147), имеем
Переписав это соотношение в виде A.149), получим искомые ре-
рекуррентные формулы
(
[iy_i = v;-+, (j = m— 1, m — 2,..., 1).
Процесс вычисления коэффициентов vj и цо, входящих в выра-
выражение A.149), начинается по рекуррентным формулам A.150) с
/=/л—1. При этом согласно соотношению A.148)
vm = B(xm), !*„_, = L A. 151)
Зная коэффициенты vj и цо, из уравнения A.149) выразим Х\
через Хо
Теперь задачу можно считать решенной, так как Хъ, Хъ, Хт пос-
последовательно вычисляются по рекуррентной формуле A.147).
Описанный метод решения системы A.147) называется методом
матричной прогонки. Процесс определения искомых векторов Х}
сводится к вычислению коэффициентов vi и цо по рекуррентным
формулам A.150), A.151) и вычислению Х} по рекуррентным фор-
формулам A.147). В том и другом случае вычисление сводится к пе-
перемножению матриц, что осуществляется на машине по стандарт-
стандартным программам.
1.10. ПРИБЛИЖЕННЫЙ УЧЕТ ПОПЕРЕЧНОЙ
СЖИМАЕМОСТИ ПАНЕЛИ
Предыдущие расчеты строились на предположении, что панель
не деформируется в поперечном направлении, а касательные нап-
напряжения в пластине не меняются по ширине. Эти допущения, ес-
естественно, вносят известные погрешности. Наиболее существенную
погрешность содержит предположение о постоянстве касательных
напряжений, так как вблизи свободной кромки пластины оказыва-
оказываются нарушенными граничные условия. В действительности каса-
касательные напряжения должны быть равны нулю, а согласно расче-
расчетам они имеют максимальное значение. Чтобы устранить это про-
61
Рнс. 140. Панель, подкрепленная двумя боковыми ребрами
и торцевым ребром
тиворечие, ниже приводим приближенный спо-
способ расчета, учитывающий поперечную деформа-
деформацию панели [28].
Рассмотрим симметричную панель с тремя
ребрами, половина которой показана на рис. 1.40.
Ось симметрии проходит по второму ребру. Предположим, что па-
нелы имеет набор! ,попер;вчных ребер 1жесткасти, , расположенных
достаточно часто, так что их можно «размазать» и ввести приве-
приведенную толщину пластины h\. Свободный торец панели также име-
имеет поперечное ребро жесткости, которое «размазыватьэ ие будем.
Обозначим через Fq и Ео соответственно площадь поперечного се-
сечения и модуль упругости торцевого ребра жесткости.
Касательные усилия в пластине представим в виде двух состав-
составляющих
S=SX + S2, A. 152)
где Si ¦— касательные усилия, вызванные продольным перемеще-
перемещением ребер; 52 — касательные усилия, обусловленные поперечной
деформацией панели. В*предыдущих расчетах учитывалось только
усилие Sb причем
Si = -^r(ea-«i), A-153)
о
где G, h, Ь — соответственно модуль сдвига, толщина и ширина
пластины; их и ы2 — продольные перемещения первого и второго
ребра.
Формула A.153) есть следствие допущения о постоянстве де-
деформации сдвига (а. следовательно, и касательных усилий) по ши-
ширине пластины.
Дифференцируя формулу A.153) по х, выражая затем про-
продольные деформации ребер dujdx и du2fdx через продольные уси-
усилия в ребрах Nx, N2 и исключая, наконец, Nu N2 с помощью урав-
уравнений равновесия ребер
??=0, A. 154)
dx dx
получим ^?l = X25, A. 155)
d& v
где
b \ EXFX ^ E2F2
Найдем теперь касательное усилие 52. С этой целью запишем
условие равновесия элемента, пластины в поперечном направлении
(вдоль оси у). Имеем
ду ~ йх дх
где Gy — нормальные напряжения в пластине в направлении у. Бу-
Будем считать справедливой гипотезу постоянства деформаций сдви-
сдвига по ширине пластины. Тогда интегрирование полученного урав-
уравнения по у дает выражение
Для определения произвольной функции с(х) используем сде-
сделанное выше предположение о том, что рассматриваемая панель
является симметричной половиной панели с тремя ребрами. Кро-
Кроме того, считаем, что продольные ребра не воспринимают изгиб-
ных напряжений. Отсюда следует, что ау = 0 при у=0, а значит, и
с(х)=0 и
ду hi dx
где Е — модуль упругости приведенной пластины толщиной hi при
растяжении ее в поперечном направлении.
Интегрируя последнее равенство A.156) с учетом условия v=0
при у=Ь, получим
Ь di
dx
отсюда
n. dv Ghb2 I t/2W2S
=Gh— = [1—^-l .
dx 2Ehi \ b2)dx2
Суммарное касательное усилие S по условию, а составляющая
Si в силу формулы A.155), должны быть постоянными по ширине
панели. Значит, и S2=S—Si также должно быть постоянным. По-
Поэтому в качестве S2 возьмем среднее арифметическое значение по-
полученного выше переменного усилия S2.
Gh№
Дифференцируя эту формулу и складывая с A.155), с учетом
A.152) придем к следующему уравнению для определения каса-
касательных усилий S:
dxi dx2 ' v ;
где
3?A,
Если пластина абсолютно жесткая в поперечном направлении
(?=оо), то А,1=0 и уравнение A.157) будет эквивалентно A.39).
Уравнение A.39) совпадет с A.157) после дифференцирования и
замены dN,ifdx= —S.
63
Ограничимся для простоты случаем бесконечно длинной пане-
панели. Тогда решение уравнения A.157) запишем в виде
'x, A.158)
где С\, С2 — произвольные постоянные, которые найдем ниже; г\ и
/"г — корни характеристического уравнения, определяемые по фор-
формуле
A-159)
Подставляя 5 из формулы A.158) в уравнение A.154), найдем
ЛЛ = -^е-''*-т-^-е-'«*+Я—^— . A.160)
/-1 / Efo + E2F2
Последнее слагаемое в выражении A.160) соответствует уси-
усилию в первом ребре, когда панель деформируется как стержень.
Постоянные С] и с2 найдем из концевых условий. Первое усло-
условие будет
Nu = P,N2 = 0 при х=0. A.161)
В качестве второго условия возьмем условие равенства относи-
относительных удлинений торцевого элемента жесткости и прилегающей
к нему пластины. Относительное удлинение торцевого элемента
найдем по формуле
? = а° = Sy
Относительное удлинение ву пластины определено формулой
A.156)
1 dS
у Ehx dx
Сравнивая эти деформации, имеем
JO В U
Х = 0.
dx E0Fo-
Подставляя Nt из A.160) в условие A.161) и 5 из A.158) в
последнее уравнение, найдем
_ Pk2rxr2 (jx
С\ — —:
где 1*
Если торцевой элемент жесткости отсутствует, то /7о=О, зна-
значит, ц=оо, си= — с2 и по формуле A.158) получим. S = 0 при х=0,
т. е. на торце панели напряжения сдвига будут равны нулю.
Эффект поперечной деформации сказывается только у свобод-
свободного торца пластины, где касательные усилия S, посчитанные с
64
учетом поперечной деформации, сильно отличаются от касатель-
касательных усилий S, найденных для абсолютно жесткой в поперечном; .
направлении панели.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Беляев В. Н.- Испытание и расчет крыльев с различной облицовкой". —
Техника воздушного флота, 1935, № 5, с. 43—56, № 10, с. 1—11, № 12Г
с. 10—18.
2. Беляев В. Н. Расчет свободнонесущего крыла. — Труды ЦАГИ № 165Г
ОНТИ, 1934, с. 7—72.
3. Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни. М., Госстройиздат, 1940*.
276 с.
4. Каи С. Н., Паиовко Я. Г. Элементы строительной механики тонкостен-
тонкостенных конструкций. М., Оборонгиз, 1949. 127 с.
5. Качанов Ю. П. Напряженное состояние плоской переборки, подкреплен-
подкрепленной боковой стойкой. — Судостроение и морские сооружения. Республ. меж^
ведомст. науч.-технич. сб., 1965, вып. 1, с. 3—12. . .
., 6. Киселев В. Ф. Элементарная теория кручения коробчатой балки. — Тех-
Техника воздушного флота, 1938, № 3, с. 42—64.
7. Одинокое Ю. Г., Кучинский А. Ф. Стесненное кручение двухлонжеронио-
го крыла. — Труды Казанского авиационного института, 1946, № 17, с. 37—441
8. Одииоков Ю. Г. Расчет тонкостенных конструкций типа крыла, фюзеля-
фюзеляжа и оперения самолетов. — Труды Казанского авиационного института, 1946,.
№ 18, с. 39—106.
9. Одинокое Ю. Г. Напряжения и деформации в тонкостенных конструк-
конструкциях переменного сечения. — Труды Казанского авиационного института, 1948,..
№ 20, с. 3—15.
10. Одинокое Ю. Г. К вопросу интегрирования систем обыкновенных лиией-(
ных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами. — Труды Ка-'
занского авиационного института, 1949, № 23, с. 18—30.
11. Одиноков Ю. Г. К расчету тонкостенных балок. — Труды Казанского
авиационного института, 1951, № 25, с' 153—170.
12. Одииоков Ю. Г., Юрьев В. К. Приближенное решение уравнений короб-
коробления тонкостенных конструкций. — Труды Казанского авиационного институ-
института, 1958, № 33—34, с. 99—137.
13. Одииоков Ю. Г. Расчет однородной цилиндрической тонкостенной кон-
конструкции кругового сечеиия. — Труды Казанского авиационного института, 1958*.
№ 33, с. 55—59.
14. Тимошенко С. П. Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой*
балки под влиянием сил, действующих в плоскости ее наибольшей жесткости.—
Изв. С.-Петербургского политехнического института, 1905, т. 4, вып. 3—4, § 1—
10, 151—219, (см. С. П. Тимошенко. Устойчивость стержней, пластин и оболо-
оболочек. М., Наука, 1971. 807 с).
15. Умаиский А. А. Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций. At.
Обороигиз, 1939. 112 с.
16. Умаиский А. А. О нормальных напряжениях при кручении крыла само-
самолета. — ТВФ, 1940, № 12, с. 48—65.
17. Феофанов А; Ф. Расчеты тонкостенных конструкций. М., Обороигиз».
1953. 224 с.
18. Феофанов А. Ф. Строительная механика тонкостенных конструкций. М.,
Оборонгиз, 1958. 330 с.
19. Феофанов А. Ф. Строительная механика авиационных конструкций. М.,
Машиностроение, 1964. 284 с.
20. Шатаев В. Г. Приближенный расчет цилиндрических тонкостенных ба-
балок с некоторыми продольными ребрами переменного сечения. — Труды Казан-
Казанского авиапиониого-института, 1966, вып. 91, с. 45—56.
21. Шатаев В. Г. Приближенный расчет цилиндрических тонкостенных ба-
балок в области приложения значительных осевых сосредоточенных сил.. -— Труды;
Казанского авиационного института, 1966, вып. 91, с. 57—62.
3 3136 65
22. Accardo Alberto Francesco. Indagine teoricosperimentale sulla diffusione
delle tensioni nei gusci e nei pannelli caricafi assialmente. — Acrotecn. Missili e
•spaz., 1974, N 3, p. 157—168.
23. Duncan W. T. Diffusion of load in certain sheet—stringer combination.
London, H. M. State off. 1938. — Aeronautical research Committee. Reports and
Memoraunda, N 1825, p. 1—15.
24. Goody W. T. Stress diffusion problems. — Aircraft Engineering, 1946, 18,
N 213, p. 385—389.
25. Hertel H. Leichbau. Bauelemente. Bemessungen und Konstruktion von
Elugzeigen und anderen Leichbauwerken. Springer—Verlag, Berlin, Gottingen
Heidelberg 1960. — Перевод на русский язык: Хертель Г. Тонкостенные конст-
конструкции. М., Машиностроение, 1961, с. 104—155.
26. Hainann J. Energie de diformation et «Shear Lag». — Metaux en feuilles»,
1968, N 22, p. 29—35.
27. Kuhn P. Stressanalysis of beams with shear deformation of the flanges.
Washington, 1937. — National Advisory Commottee for Aeronauties, Report N 608,
p. 1—19.
28. Kuhn P. Stresses in aircraft and shell structures. B. S. (Ae. E.) Me
Graw—Hill Book Company, inc. New York, Toronto, London, 1956. Перевод на
русский язык: Куй П. Расчет на прочность оболочек в самолетостроении. М.,
Обороигиз, 1961, с. 104—155.
29. Malcolm David J., Redwood Richard G. Shear lag in stiffened box gir-
girders. —.I. Structur. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., 1970, 96, N 7, p. 1403—1419.
30. Mansfield E. On axial lood diffusion into a thin—walled reinforced cylind-
lical shell. —Aeronautical research council. С P. 1963, N 644.
31. Mansfield E. Load transfer via a wrinkled membrane. — Proc. Roy. Sop.
London, 1970, A316, N 1525, p. 269—289.
32. Mansour A. Effective flange breadth of stiffened plates under axial tensile
load or Uniform bending moment. — J. Ship. Res., 1970, 14, N 1, p. 8—14.
• 33. Michael D. The structural action of multistringer shear panels. — Internati-
International Journal Mechanical Science, 1965, 7, N 8, p. 577—587.
34. Sandro Dei Poli. Le strutture conelementi sottill soggette a caiichi concen-
irati. — Construsione metallico, 1963, 15, N 5, p. 229—249.
Гл ав а 2
ПЕРЕДАЧА УСИЛИЙ ОТ РЕБЕР ЖЕСТКОСТИ
К ОБШИВКЕ С НЕДЕФОРМИРУЕМЫМ
КОНТУРОМ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
2.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В дайной главе рассмотрена по существу та же задача, что и в гл. 1. Это
задача включения, состоящая в исследовании взаимодействия между ребрами и
пластинами без учета изгиба пластин. Но здесь принята более точная модель,
согласно которой учитываются продольные (параллельные оси ребер) напряже-
напряжения в пластине. Вследствие этого касательные напряжения по ширине пластины
между соседними ребрами уже не будут постоянными. На характер и% распреде-
распределения не накладывается никаких ограничений. Считается, однако, что попереч-
поперечные деформации пластины, нормальные к оси ребер, отсутствуют. Это ограниче-
ограничение и делает модель приближенной, а результаты отличающимися от полученных
из уравнений плоской задачи теории упругости. Упрощая решение задачи (поря-
(порядок разрешающего уравнения пластины понижается с четвертого до второго), эта
модель -все же позволяет более аккуратно по сравнению с решениями гл. i оп-
определить. закон распределения напряжений в пластине, особенно в окрестности:
угловых Точек. В самой близкой окрестности угловых точек и эта модель не да-
дает правильных результатов — касательные напряжения получаются завышенны-
завышенными из-за неучета поперечного обжатия пластины. Эта модель используется как
для плоских, так и для цилиндрических панелей. ""' *
Гипотеза С. П. Тимошенко о недеформируемости контура поперечного сече-
сечения тонкостенного стержня, следствием которой является гипотеза отсутствия!
поперечных деформаций, как известно, положена в основу теории тоикостенньйс
стержней. Основополагающие результаты здесь принадлежат С. П. Тимошенко*
[10] A905 г.). Наибольший вклад в завершение этой теории внес В. 3. Власов*
[4]. Проблеме стесненного кручения м изгиба тонкостенных стержней примет^'
тельио к крылу и фюзеляжу самолета посвящены работы Эбиера [14], В. Н. Бе-i
ляева [2], [3], Г. С. Елеиевского [6], Г. С. Еленевского и В. М. Даревского [7jr
А. А. Уманского [12, 13]. На-учет деплаиации поперечного сечения тонкостенного
стержня при потере устойчивости указал еще С. П. Тимошенко [10] в 1905 г:
Обстоятельный анализ этих »• других раииих работ, а также изложение проблем
расчета тонкостенных конструкций в целом содержатся в работе Ю. Г. Одино'-
кова [8]. В ией, в частности, указывается на принципиальный недостаток гипотезы
отсутствия деформаций сдвига обшивки, который может привести к существен-
существенным "погрешностям в целом ряде задач, к числу которых относятся и задачи
включения.
В практике инженерных расчетов гипотеза об отсутствии поперечных дефор-
деформаций панели без ограничений на деформации сдвига начала применяться в пя-
пятидесятых годах. Значительное число решений получено В. Гудом [15] (выпуски
208, 210, 212) в 1946 г., который изучал полубесконечные полосы с ребрами ли-
продольных кромках. Ребра нагружены продольными силами, направленными ли-
либо в одну, либо в разные стороны (пара сил). В Гуд [15] (выпуск № 211) рас-
рассмотрел полубесконечную цилиндрическую оболочку с недеформируемым конту-
контуром, подкрепленную по всей длине продольными ребрами. Коицевые продольные
силы, приложенные к ребрам, эквивалентны паре сил. Распределение продоль-
продольных усилий по длине ребер приведено в разд. 5 для сравнения с более аккурат-
аккуратным решением, полученным иа основе теории тонких оболочек. В цитированных
статьях В. Гуда широко используется аппарат интегралов Фурье. Полубесконеч-
Полубесконечная пластина (полуплоскость) с полубескоиечным стрингером, расположенным
3* . 67
нормально к кромке пластины (границе полуплоскости), рассмотрена Е. Манс-
Мансфилдом [20] A953 г.); стрингер нагружен на конце продольной силой, а кромка
пластины может быть подкреплена по всей длине элементам жесткости, рабо-
работающим иа сдвиг, либо иа изгиб. В первом случае решение для касательного
-усилия, передающегося от стрингера к пластине, получено в явном виде, во вто-
втором — в виде определенного интеграла от известного выражения. Рассмотрен
случай, когда стрингер отсутствует, а элемент жесткости на кромке пластины
•нагружен силой, нормальной к кромке. И. Джуэль [18] ставит и решает задачу,
связанную с проблемой расчета механизма катапультирования, рассматривая по-
полубесконечную пластину, имеющую ребро (стрингер) бесконечной длины, при-
присоединенное в направлении, перпендикулярном к кромке пластины. Ребро наг-
нагружено иа некотором участке длины постоянной продольной касательной нагруз-
нагрузкой. Решение задачи разыскивается в виде интеграла Фурье с неизвестной плот-
плотностью. Это решение автоматически удовлетворяет уравнению равновесия. Плот-
Плотность находится из условия сопряжения пластины и ребра. Такой способ позво-
позволил получить в замкнутом виде решение для касательных усилий, передающих-
передающихся от ребра пластине. Задачам включения в обсуждаемой постановке посвяще-
яа также статья Ю. Н. Раскина [9]. В книге Г. Хертеля [17] даны готовые реше-
решения для пластцн конечных размеров и • полубесконечных полос с двумя поясами
на продольных кромках, нагруженными продольными силами. Рассмотрены слу-
случаи, когда пояса имеют постоянную площадь, поперечного сечения или перемен-
переменную площадь, выбранную из условия, чтобы нагружения в поясах не менялись
но их длине. Приведены графики для коэффициента использования ширины Х.=
=6m/6=amATmax, где Ьт, Ь, ат, Стазе—соответственно приведенная ширина,
ширина, среднее нормальное продольное напряжение и максимальное продольное
напряжение пластины. Решения построены при условиях, когда продольная жест-
жесткость пластины либо равномерно распределена по ширине пластины, лябо частич-
частично или полиостью сконцентрирована в продольных подкрепляющих элементах.
Показано, как коэффициент концентрации продольной жесткости влияет иа вели-
величину коэффициента X.
Следует напомнить, что модель тонкостенного стержня возникла из физиче-
физических предпосылок, так как реальные стержни, как правило, усилены достаточно
жесткими в своей плоскости шпангоутами.
Остановимся кратко на содержании главы. В разд. 2.2 на основе принципа
виртуальных перемещений Лаграижа выведены основные соотношения подкреп-
подкрепленной ребрами криволинейной панели. В разд. 22.3 выделено элементарное реше-
решение сопротивления материалов.- Преобразование исходных уравнений для плос-
плоской панели к системе разрешающих уравнений содержится в разд. 2.4. Далее в
разд. 2.5 изучено напряженно-деформированное состояние симметрично подкреп-
подкрепленной панели. Рассмотрена панель как конечной, так и бесконечной длины.
Решение представлено в виде быстросходящихся рядов, даны результаты чис-
численных расчетов и программы расчета. В разд. 2.6 изучается эффект подкрепле-
подкрепления панели иа торце дополнительным ребром, работающим только иа изгиб.
В разд. 2.7, как и в разд. 2.5, рассмотрена симметрично подкрепленная панель,
но при кососимметричиом загружен™ ребер парой сил. Решение отличается от
полученного в разд. 2.5, так как требуется учитывать изгиб панели в ее плоско-
плоскости. Решение доведено до числа. В разд. 2.8 рассмотрены панели с двумя
ребрами разной жесткости для случая, когда поперечное перемещение панелн
равно нулю или отлично от нуля. В разд. 2.9 на примере бесконечной пластины с
полубесконечным ребром дается оценка погрешности решения путем введения
гипотезы отсутствия поперечной деформации пластины. Эта оценка выполнена ,
яутем сравнения решения иа основе упомянутой гипотезы с точным решением,
полученным иа основе уравнений плоской теории упругости. Результаты этого
раздела опубликованы Э. И. Грнголкжом и В. М. Толкачевым [5]. В этой рабо-
работе даиа также общая постановка задач включения иа основе гипотезы отсутст-
отсутствия поперечной деформации, рассмотрены задачи для пластины и ребра конечных
размеров, для полубесконечной пластины с полубескоиечным ребром, а также
задача для защемленной по боковым сторонам полубесконечной полосы, нагру-
нагруженной иа торце постоянной распределенной нормальной нагрузкой.
Отметим, что в математическом плане задачи данной главы сводятся к ре»
шеиию уравнения Лапласа со смешанными граничными условиями. При решении
68
большей части задач использован способ представления решений в виде тригоно-
тригонометрических рядов по поперечной координате, нормальной к оси ребер, который
сводит задачу к отысканию корней трансцендентных уравнений, получаемых из
условий стыковки ребер пластины. При таком способе решения условия стыков-
стыковки выполняются точно для каждого члена ряда, а условиям на торцах пластины
удовлетворяет только весь ряд. Решение получается достаточно хорошим (ряды
быстро сходятся), особенно для удлиненных в продольном направлении пластин.
Для относительно коротких пластин более предпочтительным является решение
в тригонометрических рядах по продольной координате.
2.2. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПАНЕЛЬ С ПРОДОЛЬНЫМИ
РЕБРАМИ. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим цилиндрическую панель, изображенную на рис. 2.1.
Панель подкреплена продольными ребрами. Участки обшивки меж-
между ребрами будем считать анизотропными. Анизотропия является
следствием «размазывания» поперечных элементов жесткости
(шпангоутов) и продольных (стрингеров). Эти элементы жесткости
не показаны на рис. 2.1. Изображенные на рис. 2.1 продольные
ребра будем считать расположенными дискретно. Шпангоуты бу-
будем считать абсолютно жесткими в плоскости поперечного сечения
панели, поэтому приведенный модуль упругости в поперечном нап-
направлении Es равен оо. Следствием этого допущения и является не-
недеформируемость контура поперечного сечения панели. Будем так-
также предполагать, что шпангоуты не препятствуют перемещению
точек панели в осевом направлении. Полагаем, что стрингеры вос-
воспринимают только осевые усилия и не препятствуют деформации
сдвига в поверхности панели. Найдем приведенную толщину пане-
панели hx и приведенный модуль упругости Ех, соответствующие рас-
растяжению-сжатию в осевом направлении.
Пусть Fx* — площадь поперечного сечения стрингера; ts — рас-
расстояние между осями соседних стрингеров (рис. 2.2). Дополни-
Дополнительная приведенная толщина обшивки за счет стрингеров будет
t>x=Fx*fts. Суммарная приведенная толщина
где h — толщина обшивки без ребер.
Если растянуть элемент панели, показанный на рис. 2.2, в осе-
осевом направлении (вдоль оси х) и приравнять деформацию действи-
действительной панели к деформации приведенной,
то найдем приведенный модуль упругости
где Е—модуль упругости обшивки без
стрингеров; Ех* — модуль упругости мате-
материала стрингера.
Рис. 2.1. Тонкостенная панель, подкрепленная про-
продольными ребрами. Показано положительное нап-
направление отсчета координат, нормальных усилий
Т и касательных S
69
V*
X
1
•
1
t
Рис. 2.2. Элемент панели, подкрепленный стринге-
стрингерами вдоль ос» х и шпангоутами вдоль конту-
контура s
В предположении, что панель не де-
деформируется в направлении контура по-
поперечного сечения, соотношения закона
Гука можно записать в виде
T=EJlhxex,S=Ghy, B.1)
где гх — деформация панели в осевом направлении, у — угол сдви-
сдвига панели в её поверхности; G — модуль сдвига обшивки; Т —
удельные продольные нормальные усилия; S — удельные усилия
сдвига в обшивке.
Если и — продольное перемещение произвольной точки обшив-
обшивки, то относительная деформация обшивки в продольном направ-
направлении
.,=?-• р. ч
Для нахождения угла сдвига 7 рассмотрим поперечное сечение
панели, показанное на рис. 2.3.
Положение точки М на контуре определяется, с одной стороны,
прямоугольными координатами х, у, z, с другой — продольной ко-
координатой х и дугой s. Положительное направление дуги ? пока-
показано на рис. 2.1 и 2.3, положительное направление.х — на рис. 2.1.
Перемещение точки О начала координат yz, жестко связанных с
контуром в направлении осей у и z, обозначим через v и w, пере-
перемещение точки М в направлении дуги s обозначим через us. Угол
поворота поперечного сечения обозначим через р. Так как контур
не деформируется в своей плоскости, то v, w, p одинаковы для всех
точек контура и зависят только от координаты х.
Имеем us = vsixia-\-wcosa-\-r$ B.3)
где г — расстояние от точки О (или от оси х) до касательной к
контуру в точке М; а — угол между нормалью к контуру в точке М
и осью у (см. рис. 2.3).
Угол сдвига v найдем по формуле
|L + ^L = ^.+|Lsino + ^coeo + ri?.. B.4)
ds дх cs дх дх дх
Вносим B.2) в первую формулу B.1), а B.4) —во вторую.
Полу,™ Г=ЕЖ?, *=<»(? + ? sin „+?
)
B-5)
Теперь можно перейти к вариационной формулировке уравне-
уравнений равновесия и граничных условий. Введение гипотезы недефор-
мируемоСти контура поперечного сечения в направлении контура
70
Рис. /2.3. Коитур речения : цод-
чрепленной продольными ребрами
(жирные точки) панели (оси г и
у жестко скреплены с сечением па-
иели; w и v — смещения контура,
Р — угол поворота контура)
Рнс. 2.4. Положительное направление усилий, приложенных к ;-му участку об-
обшивки и прилегающим ребрам
(es = 0), естественно, накладывает отпечаток на исходные соотно-
соотношения, в частности, на уравнения равновесия и граничные условия.
Некоторые из уравнений и граничных условий придется отбросить
или заменить упрощенными. Для того чтобы не ошибиться в выбо-
выборе нужных уравнений и особенно граничных условий, удобно ис-
использовать вариационный принцип Лагранжа, из которого необ-
необходимые соотношения вытекают естественным путем.
Согласно принципу Лагранжа в положении равновесия вариа-
вариация потенциала системы 6П, равная потенциальной энергии 6U и
взятой со знаком минус работе внешних сил ЬА, на возможных пе-
перемещениях равна нулю
Рассмотрим цилиндрическую панель, изображенную на рис.2.3.
В общем случае будем предполагать, что число продольных ребер
произвольно и равно п+l. Поперечное сечение панели показано на
рис. 2.3; там же дана нумерация ребер и участков обшивки между
ребрами; /-й участок обшивки с прилегающими ребрами изобра-
изображен на рис. 2.4, где показано также положительное направление
внешних сил Pj и Р/, приложенных к левому (при х=0) и право-
правому (при x=i) концам ребер; внешних нормальных усилий Т и Т1,
приложенных к левому и правому торцам панели; удельных про-
продольных нормальных Т и удельных касательных усилий S. Здесь
же указано направление граничных значений Sj и Sj — удель-
удельных касательных усилий S иа линии соединения обшивки с ребра-
ребрами /4-1 и /.
Учитывая, что контур поперечного сечения является жестким,
можно написать
/ л+1 /
B.7)
/-16
71
где интеграл по s берется по всему контуру, Nj — продольное уси-
усилие в /-м ребре; гх и у — относительная продольная деформация и
угол сдвига в обшивке; е3- — относительная продольная деформа-
деформация элемента /-го ребра; zj=dUjldx, ы3-—продольное перемеще-
перемещение элемента /-го ребра.
Выражая 'В B.7) деформации через перемещения с учетом фор-
мул B.2), B.4) и формулы щ=йщйх и избавляясь от вариации
производных интегрированием по частям соответствующих выра-
выражений, получим вариацию потенциальной энергии
i
ШдТ , dS \ s H dS . .
0 i
xdxds + j[nu+S(sin
0
ft
о J
\ [f-i-57~ —-) bujdx+Nfiu,\ , B. 8)
o , J
причем 5^+i = 5o'=0.
Вариация работы внешних сил
ЬА= j [Ььи (I) - Пи @)] ds + 2 [Pfa, (/) - PjbUj @)]. B.9)
s /-1
Обозначим через Qv, Qz, Ms — соответственно проекцию главно-
главного вектора усилий 5 на оси у, z и момент касательных усилий 5
относительно оси х.
Qy=tS sin ads, Q2 = [S cos ads, Ms=\Srds. B. 10)
^ ^ ^
Подставляя выражения B.8), B.9) в вариационное уравнение
B.6) и учитывая обозначения B.10), приведем его к виду
W ' ds J
дх дх * дх
-l-0 s
Я + 1
^O. B. 11)
72
Рис. 2.5. Положительное направление усилий, при-
приложенных к /-му ребру /у.
Приравнивая нулю множители при про-
й
sJ-i
извольных вариациях перемещений и, v, w
и угла поворота р, получим следующие ис-
исходные соотношения задачи.
1. Уравнение равновесия элемента обшивки
— + —=0. B. 12)
дх ¦ ds
2. Уравнение равновесия элемента ребра (рис. 2.5)
¦ о+ г\ с+ о— С\ ( i 12 ti -I— 1 ^ B 1 Я^
dx
3. Статические граничные условия обшивки и ребра
при х = 0, B. 14)
при х = 1, . B. 15)
Qy=Qz=Ms = Q. ¦ B. 16)
Последние условия для Qy, Qz, Ms должны выполняться при лю-
любом значении х. Действительно, подынтегральное выражение вто-
второго интеграла в B.11) показывает, что эти величины не должны
меняться вдоль оси х. С другой стороны, они должны равняться ну-
нулю на торцах панели согласно выражению в последней квадратной
скобке B.11). ' '
Уравнения B.12) и первые условия B.14), B.15) имеют место в
каждом отсеке обшивки между ребрами. Уравнения равновесия рё-
рёбер можно также рассматривать как граничные условия на про-
продольных кромках обшивки в месте контакта с ребрами.
Полученные условия B.14) — B.16) делятся на две группы.
К первой относятся условия B.14) и B.15) для продольных усилий
и они должны выполняться в каждой точке сечения. Ко второй
группе относятся интегральные условия B.16) для касательных
усилий S. Они показывают, что нельзя найти решение задачи, ко-
которое дает касательные усилия S, равные нулю в каждой точке
торцевых сечений. Это обстоятельство не умаляет практической
ценности получаемых решений, так как реальные панели обычно
имеют жесткую отбортовку, которая сохраняет контур поперечно-
поперечного сечения, не деформируется в поперечном направлении и воспри-
воспринимает касательные усилия со стороны обшивки, которые в этом
случае не обязательно равны нулю.
Если на торцах панели, кроме продольных усилий, приложены
поперечные, то условия B.16) изменяются: проекции Qy, Qz и мо-
момент Ms усилий S должны быть постоянными и равными соответ-
соответствующим заданным проекциям и моменту внешних усилий. Пос-
¦ледние могут быть приложены как к обшивке, так и к концам ре-
ребер, что не влияет на решение.
73
В качестве геометрических условий на каком-либо торце пане-
ли могут быть заданы перемещения и, v, w и угол поворота р. При-
Причем перемещение и задается в каждой точке сечения. Вариацион-
Вариационный принцип каждой статической величине ставит в соответствие
геометрическую: __
Если к системе полученных соотношений B.12) — B.16) доба-
добавить соотношения закона Гука B.5) и условия равенства продоль-
продольных перемещений ребер и прилегающих участков обшивки, то по-
получится полная" система уравнений, необходимых для решения за-
задачи.
2.3. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Согласно принципу Сен-Венана напряженное состояние в упру-
упругом теле наиболее существенно зависит от характера внешних си-
силовых факторов, приложенных к границе тела только в некоторой
окрестности границы. Вдали от места приложения внешних сил
напряженное состояние определяется только суммарным вектором
и моментом внешних сил и практически не зависит от характера
приложенных к телу усилий. Следовательно, напряженное состоя-
состояние в цилиндрической панели,"изображенной на рис. 2.3, по мере
удаления от торцевых сечений, нагруженных внешними продольны-
продольными усилиями, будет выравниваться и, если панель достаточно длин-
длинная, постепенно перестанет меняться в продольном направлении.
Такое напряженное состояние целесообразно выделить отдельно.
Назовем его элементарным напряженным состоянием.
Удельные продольные нормальные усилия Т и удельные каса-
касательные усилия S в обшивке выражаются через перемещения по
формулам
f \? y B. 17)
с получаемым из формул B.5). Точками обозначены производные
по х, штрихами — по s.
Найдем решение, при котором усилия Т и S не меняются по
Длине панели вдоль координаты х
T = T(s), S=S(s).
Для того чтобы такое решение удовлетворяло уравнению равно-
равновесия B.12)
дх~ ds
нужно положить S=const. Тогда из первой формулы B.17) следу-
следует, что
74
где cp(s) и q>i(s) —некоторые пока произвольные функции, кото-
которые найдем, подставляя значение и в выражение B.17) для S=
= const. При этом найдем
*?' (S) + ?! (S) + V (х) у' (S) + W_{x) г'{$) + Р" (*) Г («) = С-
Здесь с — постоянная.
Так как функции y'{s), z'(s), r(s) являются известными и, эо-
обще говоря, произвольными, то полученное равенство возможно,
если положить
w (х) = — с2х, р' (х) = —
причем d, Сг, й — некоторые постоянные. При этом
' (S) + СКГ (S),
откуда ч
¦So
Постоянная с характеризует постоянное по сечению касатель-
касательное усилие, которое должно быть равно нулю, так как панель не
закручивается внешними усилиями. При этом будут выполнены ус-
условия A.16) Qy=Qz=Ms = 0.
Значит, продольное перемещение
/ *
ч=х [cly-src2z-tc3-\-c4 j rds
Согласно формулам B.18), произвольная постоянная d харак-
характеризует закручивание цилиндрической панели или поворот сече-
сечений вокруг продольной оси х. Закручивание вызывает депланацию
сдвига. Если контур поперечного сечения замкнут, то постоянную
с4 следует положить равной нулю, для того чтобы продольные пе-
перемещения и были непрерывными функциями при обходе контура
поперечного сечения. Если контур незамкнутый, то, вообще говоря,
с4=?0. В этом случае может возникнуть сколь угодно большая деп-
ланация. Мы будем предполагать, что депланация ограничивается
(стесняется) извне, например ограничивается продольное переме-
перемещение торцевого контура поперечного сечения. Поэтому возьмем
с4=0. Элементарное решение для перемещений и при этом будет
иметь вид
u=x(cxy-\-c2z-\-c3), ' B.19)
а усилия в обшивке
T=Ejix{ciy + CiZ+.c3). - , B.20)
Продольные усилия в /-м стержне равны
Nj^EjFjidyj + CtZj + Ca}, B.21)
где Ej, Fj — соответственно модуль упругости и площадь попереч-
поперечного сечения /-го ребра.
75
Постоянные с\, сц и с% имеют простой физический смысл: С\ и Сг
являются кривизнами оси панели после ее искривления соответст-
соответственно в плоскости ху и xz. Это следует из формул B.18). Постоян-
Постоянная с3 представляет собой продольную деформацию оси панели.
Для определения с\, сг, с3 нужна использовать три интегральных
граничных условия, приравнивая сумму внутренних усилий в про-
произвольным поперечном сечении панели сумме усилий, заданных на
торце, а также сумму моментов внутренних усилий относительно
поперечных осей у и z — аналогичной сумме моментов внешних
¦ усилий. Такие условия являются естественными и получаются из
вариационного уравнения B.11) после подстановки туда значения
и из формулы B.19) и приравнивания нулю множителей при про-
произвольных вариациях постоянных с\, сг, с3. Упомянутые условия
имеют вид
я+1 л+1 __
f Tyds ~j- V NjUi = Mz; f Tzds -f- V NjZj=Mu\
s >-» . • i-i B.22)
n+l
где Мг, My, T — суммы моментов и сумма внешних сил, заданных
на торце х = 0. Условия B.22) после подстановки туда усилий Т и
Nj из формул B.20) и B.21) можно записать в виде
с,5г + c2Sy + c3F = f; cxfyz + cjy + c3Sy = My; '
M
Здесь F=ExldF^EjFJ; 3, = EX$yd
j. B.24)
Выберем новую систему координат y\Z\ так, чтобы
5yi = 5,i = /y,,, = 0, B.25)
и примем ее за координатную систему рассматриваемой панели.
Уравнения B.23) при этом упростятся и мы найдем
'21
76
Формулы для перемещений и, v, w и усилий Т, Nj при этом
окончательно можно записать в виде
и=х[-1^-у^—==-z + -=-l; f=—=-^-х2; да= _-=-•_ **¦
\ lz\ Iy\ г I 'zl 'yl
Полученное решение является решением теории сопротивления
материалов для неоднородной балки, состоящей из обшивки и про*
дольных ребер. Система координат у&\ является главной и выра-
выражается через координаты у, z по формулам
Ух = (У - ус) cosb-(z- zc)smb\ B.26)
Z\ ~ {У — Ус) sin б + (z — zc) cos 6.
Значение ус, zc и 0, характеризующие начйло отсчета и угол пово-
поворота новой системы координат y\Z\ относительно старой у, z, най-
найдем, подставляя у и z из B.26) в соотношения -B.24) и решая по-
полученные уравнения относительно ус, zc и Э с учетом равенств
B.25). В итоге имеем
Полученное элементарное решение в некоторых случаях удоб-
удобно выделить из общего. Например, при рассмотрении бесконечно
длинных панелей после такого выделения можно разыскать напря-
напряженное состояние, исчезающее на бесконечности, в виде функций
типа <p(s)e~u.
2.4, ПЛОСКАЯ ПАНЕЛЬ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ИСХОДНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для удобства дальнейших расчетов запишем исходные уравне-
уравнения разд. 2.2 применительно к плоской панели, показанной на рис,
2.6. Пусть ширина панели будет 2Ь; длина — /; площади сечения,
ребер 1, 2 соответственно — F{ и F2, модули упругости ребер — Еи
Е2; толщина и (модуль упругости пластины между ребрами—\,
Ех; модуль сдвига — G; толщина пластины без учета «размазан-
«размазанных» ребер — h. Правый торец панели защемлен, левый свободен.
Левые концы ребер нагружены продольными силами Pi и Рг. На-
Начало отсчета координаты s совпадаете серединой панели, начало
отсчета х совпадает с левым торцем.
П
s.
0
Pi
X
F2
'¦ I
2
1
Рис. 2.6. Плоская панель, подкрепленная двумя
ребрами
Продольные растягивающие усилия
в пластине 7*, усилия в ребрах Nu N2,
касательное усилие 5 в пластине выра-
выражается по формулам
дх
ди
дх
ди
дх
B. 27)
s-ь
где и — продольное перемещение панели; v — поперечное. Переме-
Перемещение v является функцией только продольной координаты х. По-
Положительное направление усилий .показано на рис. 2.7.
Уравнение равновесия B.12) элемента пластины после подста-
подстановки туда усилий Т и 5 из B.27) запишем в перемещениях
а2 =0, B. 28)
где
Gh
B.29)
Дифференциальное уравнение B.28) должно удовлетворять на
левом торце статическому условию 7 = 0, на правом — условию за-
защемления ы=0.
Уравнения равновесия B.13) ребер будут
S(x, *)=*0. B.30)
+ l, ), (, )
Концевые условия для усилий Л^, N2 имеют вид
ЛГ1 = Я1, 7V2=P2 при л:=0. B.31)
Уравнения B.30) можно проинтегрировать и с учетом концевых
условий B.31) записать в форме
-b)dx, 7V2=
о
Ar, b)dx. B.32)
Эти уравнения можно использовать как формулы для опреде-
определения усилий Mi и N2 в ребрах, если известны уделыные касатель-
касательные усилия 5 в пластине.
Кроме написанных соотношений должно Рг р~
быть выполнено условие "*"
ь
—b
Рис. 2.7. Положительное направление усилий в сечении
панели
m X
78
которое служит для определения поперечных перемещений V. Под-
Подставляя сюда S из формулы B.27), найдем
—— = * (и2 — иЛ, B. ЗЗТ
где Mi, Ы2 — продольные перемещения первого и второго ребер.
Введем безразмерные координаты Z,, т) и безразмерную длину
панели к:
С=—, Ч= —. Л=— • B.34)
Соотношения закона Гука B.27) будут при этом иметь вид
~ Exhx ди с Gh I ди , 1
aft Л; ' 'ft
iV 1 —— ¦¦ ' ———^— jVо ———¦^—^ ——— ф \"» ОС/J
aft rfC ab dt, • -
Везде «иже перемещения Mi и ы2 будем отождествлять с пере-
перемещениями кромок пластины т)= —1 и т)= +1, т. е. полагать
Mi = u(?, —1), и2=и(^, 1). Такое отождествление есть следствие ус-
условия совместности деформаций ребер и прилегающих к ним кро-
кромок пластины.
Уравнение равновесия пластины B.28) в координатах B.34)
имеет вид уравнения Лапласа
^L + i?!L=O. B.36)
Уравнения равновесия ребер B.30) после подстановки усилий
Л^ь N2 и S из формул B.35) будут иметь вид
d2u\ , ди 1 dv n л
Pi -А, + —О ПРИ "П= —1>
rf?2 от) а д?
d^uo ди 1 dv л 1 ' /
[*2; —^» при i|—i
rf?2 drj а (ЗС
причем |хг = г ' (/=1,2); B.38)
определяется по формуле B.33).
Соотношения B.32) в координатах ?, ц имеют вид
f( ) B.39)
6
Граничные условия на поперечных кромках будут Т—0 при
0 0? /
Решение системы приведенных выше уравнений рассмотрим ни-
ниже на конкретных примерах.
76
2.5. РАСТЯЖЕНИЕ СИММЕТРИЧНО
ПОДКРЕПЛЕННОЙ ПАНЕЛИ
Исследуем напряженное состояние симметрично подкрепленной
панели, изображенной на рис. 2.8, используя дифференциальное
уравнение в частных производных B.36).
Частное решение дифференциального уравнения равновесия
B.36), следуя методу Фурье, возьмем в виде произведения двух
„функций
Тогда для искомых функций ф и ij? получим из уравнения B.36)
два обыкновенных дифференциальных уравнения
^ *L 0, B.41)
тде 8 — пока произвольное постоянное число.
В силу симметрии продольные перемещения и должны быть
четной функцией координаты y\=s/b, поэтому примем
Здесь С\ и С2 — произвольные постоянные.
Подставляя ф и \|з в формулу B.40) и выполняя условие за-
защемления правого торца панели и — О при ? = /i, получим с2 =
= —См cth Ы\. Значит,
Ti, B.42)
при этом с — новая произвольная постоянная, 1\ — безразмерная
длина панели, определяемая формулой B.34).
Подберем теперь число 6 так, чтобы удовлетворить дифферен-
дифференциальным уравнениям равновесия ребер B.37). Так как в рассмат-
рассматриваемом случае перемещения ребер щ и и2 одинаковы, параметры
jii, Ц2 одинаковы, то вместо двух дифференциальных уравнений
({2.37) будем иметь одно:
t ^ + l. B-43)
где р = Р1 = ^ = -^-, B.44)
Exhxb
Е, F — соответственно модуль упругости и площадь поперечного
сечения каждого ребра.
Подставляя перемещение и из формулы B.42) в уравнение
B.43), получим уравнение
p9=O.' B.45)
•Характеристическое уравнение B.45) имеет нулевой . корень
6 = 0 и бесконечно много ненулевых корней 9=0,- (/=1, 2,...). Кор-
Корни 6j, показанные на рис. 2.9, лежат на пересечении кривых tg 0 и
80
pf
p
f
0
s
X
I
-a
\
Рис. 2.8. Симметрично подкрепленная и нагруженная панель
Рис. 2.9. Графическая иллюстрация корней в,- характеристического уравнения
. Введем обозначение
~2~
B.46)
Подставляя отсюда 8,- в уравнение B.45), получим следующее
уравнение для нахождения $f.
' ТГ ' B- 47)
откуда следует, что при больших индексах /
а 1
B.48)
Уравнение B.47) удобнее в практических расчетах, чем B.45),
так как 0<^<я/2. . '
Решение, соответствующее нулевому корню, в силу B.41) и
B.40) представляет собой линейную функцию по координатам ? и
г), которую возьмем в виде (со — произвольная постоянная)
«о=со(С — Л).
для того чтобы удовлетворить уравнению B.43) и условию защем-
защемления правого торца. Полученное решение является элементарным
решением сопротивления материалов.
Складывая решение «о и решения B.42) для всех корней 8,-
0'=1, 2,...), общее решение для и представим следующим образом:
B.49)
Согласно сказанному в разд. 2.3, для определения постоянной
нужно использовать последнее условие B.22), т. е. условие ра-
81
венсгва нулю суммы всех внешних и внутренних усилий в любом
сечении ?. Это условие имеет вид
j
где Т(?, т)), Ni(t,) и N2(?) —соответствующие усилия при 1=0.
Подставляя перемещение и из выражения B.49) в B.35) и за-
затем усилия в условие (* ), найдем
^. B.50)
Постоянные Cj в формуле B.49) определяются из условия
Т@, х\) = 0, которое также можно записать в виде
-|г=0 при С=0.
После подстановки сюда и из B.49) будем иметь
Ti = c0. B.51)
Путем непосредственного вычисления можно убедиться, что функ-
функции cos в/п не ортогональны на отрезке [0, 1], однако ортогональны
функции sin GjT). Свойство ортогональности используем для вычис^
ления коэффициентов Cj из B.51). С этой целью разложим функ-
функцию т\ в ряд
cos в/ sin flit]
1 '\=-2A+ц)
B. 52)
При этом последнее выражение получено из предыдущего с помо-
помощью уравнения B.45).
Дифференцируя ряд B.52) и подставляя в правую часть B.51)
вместо множителя единицы, получим, сравнивая коэффициенты
слева и справа.
B.53)
в/ A + (х + fi28j) cos 8/ ch djli
Продольные перемещения и согласно B.49) окончательно мож-
можно записать в виде
г l 2A I a) V »"Ву^-С)собВя| ,
B.54)
82
Удельные нормальные усилия Т и удельные касательные усилия S
в пластине найдем по формулам B.35), подставляя туда значение
и из выражения B.54),
ch 9y (/L —
с —
=1 ' B-55)
2P %"^ sh Qj (h — C) sin Qjtj
^ ( +|а + fj.2 q2) cos
Внутренние усилия в ребрах вычислим по любой из формул
B.32), подставив туда 5 из B.55),
*"*-""'(''-« I B.56)
4 ^
Полученное решение имеет следующие особенности. В явном ви-
виде выделено элементарное решение теории сопротивления матери-
материалов. Каждый член полученных рядов точно удовлетворяет усло-
условию защемления правого торца панели, условию совместности де-
деформаций ребра и прилегающей кромки пластины, а также уравне-
уравнению равновесия каждого ребра. Условие отсутствия нормальных
усилий на свободном левом торце панели удовлетворяется не каж-
каждым членом ряда, а всем рядом в целом. Такое удовлетворение
некоторому условию можно назвать приближенным, так как при
замене ряда конечной суммой, что, естественно, придется делать в
практических расчетах, это условие будет выполнено прибли-
приближенно.
Описанный способ решения является удобным по двум причи-
причинам. Во-первых, возможен непосредственный"предельный переход
к панели бесконечной длины. Во-вторых, каждый член полученных
рядов носит экспоненциальный характер изменения по длине па-
панели, что соответствует характеру искомых решений. Однако опи-
описанный метод решения имеет недостатки. Обсуждаемое решение
неудобно использовать для панелей, у которых не равны нулю попе-
поперечные перемещения. Как будет показано ниже, в этом случае соб-
собственные функции оказываются не ортогональными, поэтому нель-
нельзя найти коэффициенты рядов в явном виде. Кроме этого, решение
малоудовлетворительно в случае достаточно коротких, но широких
пластин. В этом случае более выгодно строить разложение иско-
искомых функций в тригонометрические ряды по поперечной коорди-
координате.
Рассмотрим частные случаи.
1. Панель бесконечной длины. В этом случае в формулах B.55)
и B.56) достаточно сделать замену
83
-eh 6^! ~~е ':
p
Рис. 2.10. Неподкрепленная пластина, нагружен-
нагруженная силами Р в угловых точках
2. Неподкрепленная пластина, нагру-
нагруженная силами в угловых точках (рис.
/ 2.10). Здесь коэффициент ц, определяе-
определяемый формулой B.44), равен нулю. Кор-
Корни уравнения B.45) Qj = nj, поэтому формулы B.54) и B.55) будут
иметь вид
2Р 'ЧГ! ( — \)i sh я] {h — i
пЬ ^^1
1=7
sin
ch
B.57)
¦ (— 1V sh
— t) cos njt\
nj ch
В заключение исследуем сходимость полученных рядов B.54) —
B.56). Для этого используем формулу B.46) для 0,- и приближен-
приближенную формулу B.48), справедливую при j>n, где
2я-1>
B.58)
Написанное неравенство является условием замены в уравне-
уравнении B.47) величины tg Pj величиной самого угла р,.
Когда п соответствует условию B.58), формулы B.54) — B.56)
можно записать в виде
«=««-
2Ра
е-"/ (cos а^т]
(X*
(—
/-П+1
а
2P
j-n+\
sin
Л -i '— ^-я/ sin а7л -\ ,
B. 59)
где величины ы„, Г„, 5„, iVu вычисляются по формулам B.54) —
B.56) при удержании п членов ряда, а коэффициенты а, определе-
определены представлениями B.46).
84
Ряды, стоящие в правой части формул B.59), сходятся, очевид-
очевидно, во всех внутренних точках пластины ?=^0, ч\Ф ±1. В угловой
точке ?=0, ц = 1 при больших/ коэффициенты рядов B.59) для иу
Т, S имеют вид
и - , Т ! , S - B.60)
B^ — 1K B; —1J 2/ —1
Отсюда следует, что функции и и Т ограничены в угловой точке, а
касательное усилие 5 неограниченно возрастает.
Найдем асимптотическое представление для вычисления удель-
удельных касательных усилий S в окрестности угловой точки ? = 0, »i = L
Если принять too внимание, что неограниченно возрастающая
часть решения не зависит от добавления или вычитания произволь-
произвольной ограниченной функции, то асимптотическую формулу для
удельных касательных усилий 5 можно найти, просуммировав
ряд
? У iziLe-/ sin а,т| B. 61)
в окрестности угловой точки т| = 1, ? = 0. Формула B.61) вытекает
из B.59).
Введем координаты
rT B.62)
.при этом q —- это расстояние от угловой точки до рассматриваемой
точки ?, тц.
Формула B.61) с учетом B.62) будет иметь вид
B.63)
j^l af
Учитывая выражение B.46) для а,, зависимости B.62) для z к
используя представления для суммы убывающей геометрической
прогрессии, получим для окрестности угловой точки.
оо
L е~я/ cos I™ " —
Интегрируя это выражение по ? и отбрасывая постоянное сла-
слагаемое, не влияющее на неограниченную часть интеграла, с уче-
учетом B.63) найдем
^ . B.64)
Формула B.64) справедлива при ц=^=0. Если же fj, = O, т. е. па-
панель не подкреплена ребрами (рис. 2.10), то характер особенно-
особенностей решения будет иной. Рассмотрим этот случай отдельно, исхо-
исходя из формул B.57).
S5
Выберем число п так, чтобы при j^n в формулах B.57) гипер-
гиперболические функции можно было заменить экспонентами и пере-
лишем эти формулы в виде
2Ра VI е"™-"
>
sin
B
где Тп> Sn, un — величины Т, S, и, вычисленные - по формулам
B.57) при удержании п членов в каждом ряду, r>i = 1—1\.
Точно так же, как была получена асимптотическая формула
B.64), найдем асимптотические представления для Т, S и и, ис-
исходя из B.65). Для окрестности точки ? = t]i = 0 лелко получить сле-
следующие асимптотические оценки
г*к cos яут)! ;=s ——, \д е-*^ sin я/
С учетом этих зависимостей и формул B.65) после отбрасыва-
отбрасывания ограниченных функций получим следующие асимптотические
формулы для рассматриваемого случая
^ B.66)
nb Q21 nab q2 . nExh
xhx
¦ Вырежем в окрестности угла пластины элемент, как, напри-
например, показано пунктиром на рис. 2.10. Если вычислить горизон-
горизонтальную составляющую главного вектора усилий Т и S, действую-
действующих на помеченные пунктиром грани, то увидим, что эта. составля-
составляющая в точности равна приложенной силе Р. Указанное обстоя-
обстоятельство свидетельствует о том, что характер особенностей B.66)
есть следствие условия равновесия элемента пластины, прилегаю-
прилегающего к нагруженному силой углу. Этот характер не может изме-
измениться, если расчет вести согласно точным уравнениям плоской
теории упругости.
Отметим, что решение задачи при иных граничных условиях
на правом торце строится точно так же. Поэтому ниже мы ограни-
ограничимся рассмотрением защемленных справа панелей, тем более, что
в зоне концентрации напряжений граничные условия не оказыва-
оказывают практического влияния на величину напряжений. В случае же
достаточно длинных панелей влияние граничных условий на пра-
правом торце несущественно во всей области, за исключением окрест-
окрестности самого правого торца.
По формулам B.55), B.56) был выполнен расчет. Иллюстрация
сходимости рядов B.55) дана на рис. 2.11 и 2.12. На рис. 2.11 по оси
86
Т/т1
\
/1=1
.——
— ¦¦
0,05
0,1
1,6
¦IS
0,8
а
A
//
V
/
у
--—
—
.«——¦
4-0,1
s x
—-
^-
B
?*»*
eh
Рис. 2.11. Иллюстрация сходимости ряда B.55) для нормальных усилий Т в па-
иели, отнесенных с усилиям при простом растяжении 7'а^Я/A + цN (и — число-
удерживаемых слагаемых в ряду B.55))
Рис. 2.12. Иллюстрация сходимрсти ряда B.55) для касательных усилий S (п —
число удерживаемых слагаемых ряда)
ординат отложено'отношение удельных шродольных усилий в пла-
пластине Т к удельным продольным усилиям
7-0=—^— . B.67)
в пластине, если бы она в'месте с ребрами растягивалась как стер-
стержень без депланации поперечного сечения. По оси ординат отложе-
отложено число удерживаемых слагаемых в рядах B.55). Расчет был вы-
выполнен при v\=s]b = 1 (см. рис. 2.8), т. е. на линии контакта пласти-
пластины с ребром, где сходимость рядов наихудшая. Была взята плас-
пластина с параметрами li—lfab=\ и ц=\ и 5, которые определены
формулами B.44) и B.34). Из рис. 2.11 видно, что достаточно точ-
точный результат можно получить, если удержать в первом ряду
B.55) 8—10 слагаемых. Сходимость ряда для касательных усилий
5 хуже. Это показано выше аналитическим путем и подтвержда-
подтверждается кривыми на рис. 2.12, где даны результаты сходимости ряда
B.55) для усилий 5 в панели с параметрами /i = l, (i=l на линии
контакта пластины и ребра tj=1. В угловой точке ?=0 ряд расхо-
расходится, а для получения достоверных результатов в зоне ?^0,05
достаточно Двадцати слагаемых. Это число и было выбрано в рас-
расчете для всех трех рядов B.55) и B.56).
На рис. 2.13 показан характер изменения отношения продоль-
продольных усилий в пластине Т/Т° по длине пластины. Т° — решение
B.67)/полученное по формуле сопромата при растяжении панели
как стержня. Во всех сечениях т\<.1 усилия Т обращаются в нуль
на торце панели ? = 0. При ц=1 на линии соединения пластины и
87
1,6
.,,
V H
0,4
Решение
0,8у
>
<;
сопромата
>
——
>м
———
7=0
т/л
1,6
1,2
0,8
\
1Решение
сопромата
/Ai-o
X1
/t=i
2
Z_
2
:
0,2 Q,it 0,6 0,8
0,4- 0,8 1,2 1,6
Рис. ^.13. Изменение продольных усилий Т по длине панели (Т° — усилия B.67)
при простом растяжении паиели)
Рис. 2.14. Характер выравнивания продольных усилий Т по длине панели (Т° —
усилия B.67), координаты ?, т) и параметры \i, It, а обозначены иа рис. 2.12)
ребра ТфО в точке ?=0. Это особая точка, в которой нарушается
граничное условие 7=0. Из рис. 2.13 видно, что в пластине с пара-
параметрами 1\ = 1, |х=1 нормальные усилия Т существенно меняются
по ширине панели даже на защемленном торце ?=?i = l. Выравни-
Выравнивание усилий Т происходит у более длинных панелей, что иллюст-
иллюстрирует рис. 2.14. При ц=1 усилия на торце выравниваются у па-
панели с параметром длины li = l/'ab = 2. Параметр \[i=EF[E^hxb ха-
характеризует отношение жесткостей ребер и пластины на растяже-
растяжение. Он существенно влияет на отношение удельных продольных
усилий Г/Т0. Это иллюстрирует рис. 2.15. Если- жесткость ребра
уменьшается (уменьшается ц), усилия Т ,в пластине вблизи торца
?=0 существенно возрастают на линии
соединения пластины и ребра при T)=il.
Наоборот, если жесткость ребер велика
по сравнению с жесткостью пластины
(например, ц=10) усилия Т на линии
соединения пластины и ребра при т)=1
будут практически такими же, как и
при растяжении пластины как стержня.
Это, однако, не означает, что пластина
растягивается как стержень и усилия
Т не будут меняться по ширине пласти-
пластины. Изменение их по ширине пластины
вблизи торца будет по-прежнему зна-
значительным. Просто в указанном случае
большую часть внешней нагрузки вос-
0,2 Q* 0.6 0,8
Рис. 2.15. Влияние параметра \i=EF/Exhxb на
величину отношения продольных усилий Т в
пластине к усилиям Т° в той же пластине при
простом растяжении
88
принимают ребра, а пластина практически не работает. Таким обра-
образом, параметр относительной жесткости ц. существенно влияет на пе-
перераспределение работы, которую выполняют ребра и пластина.
С другой стороны, изменение ц. не влияет существенно на величину
зоны по длине пластины, в которой происходит выравнивание уси-
усилий по ширине пластины. На рис. 2.16 показан характер измене-
изменения касательных усилий 5 по длине пластины. На линии соедине-
соединения ребра и пластины r\ = \ S-+oa при ?->0. Поэтому результаты,
приведенные на рис. 2.16 для т] = 1, как отмечалось выше, можно-
считать достоверными при ?>0,05. При т)<1 и ? = 0 в реальной
пластине .касательные усилия отсутствуют, но на рис. 2.16 они от-
отличны от нуля. Это является следствием принятой в данной главе
гипотезы об отсутствии в пластине поперечных деформаций. В дан-
данном случае выполняется лишь интегральное условие — интеграл от
касательных усилий, взятый по ширине панели, будет равен нулю.
Изменение нормальных усилий в ребре по его длине показано на
рис. 2.17 для четырех значений параметра относительной жестко-
жесткости ребра v^EFIEJiJ), равных 0,1, 0,5, 1 и 5. Сплошные линии,
доведенные до координаты ?= 1 и ? = 2 соответствуют пластинам с
параметрами длины ?i=l и /i = 2. Пунктирные прямые для 'каждо-
'каждого ц. дают значение
No (t . •
относительного усилия в ребре, которое будет, если пластина вме-
вместе с ребрами растягивается как стержень без депланации сечения
пластины. Это решение сопромата. Как и следовало ожидать, уси-
усилия в ребрах существенно зависят от параметра жесткости ц и ма-
мало изменяются при фиксированной координате ? от параметра дли-
длины пластины 1\.
0,8
Ц6
0,2
О 0,Ь 0,8 1,2 1,6 ?
Рис. 2.16. Характер изменения касательных усилий по длине пластины
Рис. 2.17. Изменение нормальных усилий N в ребре по его длине (параметр ц и
координата ? обозначены на рис. 2.12)
89
|\ \
—. 1
— —
U=5
1
0,5.
~-" i и.
JU=O,1
ч
. В конце этого раздела дана программа расчета усилий по фор-
формулам B.55) и B.56) на языке АЛГОЛ-60. Вводятся отдельными
перфокартами сначала величина параметра (л, ('2.44), затем 1\ —
параметр B.34), затем е — точность, с которой требуется вычисле-
вычисление корней уравнения B.47) и, наконец, п — число удерживаемых
слагаемых в фядах B.55) )л B.56). Печатаются qнaчaлa введен-
введенные параметры (в порядке следования) ц, 1\, е, п. Затем Печатают-
Печатаются корни характеристического уравнения B.47). Следующая пе-
печать выдает один за другим три массива. Первый массив Т/Т°, где
7° — усилие B.67), второй выдает Sl/Р—касательные усилия, тре-
третий выдает N'/P — усилия в ребрах. Массивы для Т/Т° и SI/P печа-
печатаются в следующем порядке. Сначала для ?=0 и "п = 0; 0,2; 0,4;
0,6; 0,8; 1, затем для ? = /i/10 и тех же т\, затем для ?=2//10 и т. д.
до ? = /.1. Массив N/P — одномерный для 11 точек ?ft = fc/i/10 {k =
= 0, 1,..., 10).
Программа расчета усилий 7 и 5 в пластине и усилий N в ребрах
по формулам B.55) и B.56)
BEGIN INTEGER J, К, S, M; REAL С, Cl, Bl, Al, A2, A3;
REAL MU, L, ETA, ZETA, THETA, SIGMA, SIGMA1, ALPHA,
A, BETA1, BETA2, EPS, CH, ПИ;
P0042 (MU, L, EPS, M);
P1041 (MU, L, EPS, M);
ПИ: =3.1415926;
BEGIN ARRAY BETA [1 : M], N @ : 10], T, Q [0 : 10, 0 : 5];
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL M DO
BEGIN BETA1 : =0; ALPHA: =ПИх (J—1/2); BETA2: =1;
BEGIN BETA2: =BETA1; A: =1/(MUX (ALPHA + BETA1));
B:
BETA1 : =ARCTG (A);
END;
IF ABS (BETA 1—BETA2)<EPS THEN GO TO Ml ELSE
GO TO B;
Ml: . -
BETA[J]:=BETA1;
END;
P1041 (BETA);
FOR К : =0 STEP 1 UNTIL 10 DO
BEGIN ZETA : =K/10;
FOR S : =0 STEP 1 UNTIL 5 DO
BEGIN ETA: =S/5; SIGMA: =SIGMA1 : =0;
FOR J := 1 STEP 1 UNTIL M DO
BEGIN THETA : =ПИХ (J—1/2) + BETA [J];
IF THETAxLxZETA>40 THEN Bl : =0 ELSE
Bl : =EXP (—THETAXLXZETA);
IF 2XTHETAXLXA—ZETA) >40 THEN Al : =A3 : =1
ELSE
BEGIN Al : =1 + EXP (—2XTHETAXLX A—ZETA));
90
A3: =1—EXP (—2XTHETAxLX(l—ZETA));
END;
IF 2XTHETAXL>4O THEN A2 : = 1 ELSE
A2: =1+EXP (—2 X THETA XL);
C: =B1XA1/A2; Cl : =B1XA3/A2;
SIGMA: = SIGMA + CXOOS (THETAXETA)/A+MU+
MUf2xTHETAf2)/COS (THETA);
SIGMAl : =SIGMA1+C1XSIN (THETAXETA)/A+MU +
MUf2XTHETAf2)/COS (THETA);
END;
T(K, S]: =1+2XA+MU) X SIGMA;
Q[K, S]: =2XLXSIGMA1;
END;
END;
FOR К : =0 STEP 1 UNTIL 10 DO
BEGIN ZETA: =K/10; SIGMA: =0;
FOR J := 1 STEP 1 UNTIL M DO
BEGIN THETA : =ПИХ (J—1/2) +BETA (J];
IF THETAXLXZETA>40 IHEN Bl : =0 ELSE
Bl : =EXP (—THETAXLXZETA);
IF 2XTHETAXLX A—ZETA) >40 THEN Al : =1 ELSE
Al : =1 + EXP (—2XTHETAXLXA—ZETA));
IF 2XTHETAXL>4O THEN A2 : = 1 ELSE
A2: =1 + EXP (—2XTHETAXL);
C: =B1XA1/A2;
SIGMA:=SIGMA+A—C)/(l+MU+MUf2xTHETAf2);
END;
N [K]: = 1—2XMUXSIGMA;
END;
P1041 (T, Q, N);
END;
END
2.6. ПАНЕЛЬ, ПОДКРЕПЛЕННАЯ НА ТОРЦЕ
Как было показано в предыдущем разделе, удельные касатель-
касательные усилия 5 неограниченно возрастают в окрестности углов плас-
пластины, примыкающих к нагруженным силами концам ребер.
Решение, ограниченное в углах, можно получить, если учесть
работу торцевого ребра жесткости (рис. 2.18), которое, как прави-
правило, в реальных панелях имеется. Будем считать, что торцевое ребро
воспринимает только изгибные напряжения. Соединение его с кон-
концами продольных ребер для простоты считаем шарнирным.
Решение сформулированной задачи с
несущественными добавлениями можно
получить, используя результаты предыду- _?L
щего раздела. f
Рис. 2.18. Панель, подкрепленная продольными
ребрами и торцевым ребром с площадью попереч- Р
ного сечения Fo ""*"
91
p
m
0
P
Г
s
N(O)
^ *>u
—\ N(O)
Л
1
s
/?
м
Рис. 2.19. Схема усилий, приложенных к торцевому ребру. ЛГ(О)—нормальные
усилия, действующие со стороны продольных ребер, Т(О, г))—удельные нор-
нормальные усилия, действующие со стороны торца пластины, Р — внешние силы
Рис. 2.20. Положительное направление усилий, действующих на бесконечно ма-
малый элемент торцевого ребра
Рис. 2.21. Схема усилий, действующих на часть торцевого ребра, расположенную
между началом координат и координатой т| (М и R — изгибающий момент и по-
поперечная сила в сечений ребра, Т@, г\) —усилия со стороны пластины)
Исходим из решения B.49) для продольного перемещения про-
произвольной точки панели. Коэффициент с0 по-прежнему определя-
определяется по формуле B.50), 63- — корни уравнения B.45). Для вычисле-
вычисления коэффициентов с, используем уравнения равновесия торцевого
ребра, а также условие совместности деформаций упомянутого реб-
ребра и прилегающего к нему торца пластины.
Выделенное отдельно торцевое ребро и действующие на него
усилия показаны на рис. 2.1.9. Здесь N@) —нормальные усилия,
действующие со стороны продольных ребер, Т@, ц) —со стороны
торца пластины.
Проектируя усилия, действующие на выделенный элемент, на
горизонтальную ось х (см. рис. 2.19), найдем
B.68)
Равенство нулю моментов, действующих на бесконечно малый
элемент ребра (рис. 2.20), дает второе уравнение
_1 АИ _ р
Ъ d-n '
B.69У
где М и R — соответственно изгибающий момент и поперечная си-
сила, действующая на элемент ребра.
Предполагая, что ребро изгибается, ка« балка, после исключе-
исключения момента уравнение B.69) запишем в виде
Е0Г0
1 D
B. 70)
где и — прогиб центральной оси балки, ранный продольному пере-
перемещению торца панели в силу совместности деформаций; Ео и /с —
92
соответственно модуль упругости и момент инерции сечения торце-
торцевого ребра в плоскости панели.
Поперечная сила R определяется по формуле (рис. 2.21)
Я=-ь{т@, r\)di\.
5
В силу B.49)
оо
Exhx ди
Т@, л)=-
аЪ
с=о ab
j
J = 1
с0 - \\ cfij ch 9^! cos
где li = l
Подставляя отсюда 7"@, т)) в выражения для поперечной силы
R, а затем R и перемещение и согласно B.49) в дифференциальное
уравнение B.70), приведем последнее к виду
2 i)sin8^ = coTl, B.71)
, Enlnd
где й = ———.
Exhxb*
Если использовать разложение B.52) для функции ц, то
из уравнения B.71) получим следующее выражение для коэффи-
коэффициентов Cf.
Cj = з ••
Q) A -f- |х cos^ Oy)(^9.- sh 9y?j -f- ch 9y /j)
Сравнивая это выражение с B.53), видим, что оно отличается
только слагаемым в знаменателе, имеющим множитель k. Поэтому
вместо формул B.54) и B.56) будем иметь
«=77-^1^-2A+^
-Q cos
^
;=1
Нормальные усилия N,\ и N2 в продольных ребрах найдем по
формуле
с
которая получается из условия равновесия части ребра, располо-
расположенной в промежутке между началом координат и координатой ?.
93
С учетом формулу B.68) и B.72) отсюда имеем
V
Этой формуле можно придать вид, аналогичный B.56), если учесть
равенство
%Г! cos2 8-
B.74)
-(— (-*¦ cos2 бу
]=i ¦
которое следует из B.52), если положить л=1 и sin9j= —n0jcj
в силу характеристического уравнения B.45). Действительно, за-
заменяя величину />/A.+ ц) рядом с помощью BJ4), вместо B.73)
получим
L Jd A + p cos* 9j){k93jsh 9jli+cb 9jli) JV '
Ряды, стоящие в правых частях выражений B.72), B.73) и
B.75) сходятся во всех точках пластины, включая угловые. В угло-
угловых точках ?=0, т] = ±1 коэффициенты рядов для искомых функ-
функций и, Т, S, N^ N2 'при больших индексах ; имеют вид
и~ 1- , Т 1- , 5 1- , B.76)
B;-1N B/-1M B;- 1L
коэффициенты ряда B.73)
,?,=^2 — ! . B.77)
B; —1M V Г
Ряд B.75) сходится несколько медленнее
"" <278>
Сравнивая коэффициенты B.76) и B.60), можно сделать вы-
вывод о том, что учет торцевого ребра существенно улучшает сходи-
сходимость полученных решений. Удельные касательные усилия стано-
становятся при этом ограниченными везде, включая угловые точки.
Сравнение коэффициентов B.77) и B.78) показывает, что для
практического расчета нормальных усилий в продольных ребрах
следует отдать предпочтение выражению B.73).
Полученное решение, как и решение предыдущего пункта, го-
годится для пластины бесконечной длины, если сделать предельный
переход 1Х—м».
Полагая в формулах B.72) пара-
параметр ц равным нулю, получим решение
для панели без продольных ребер,
Рис. 2.22. Пластина, подкрепленная ребром на
торце
94
p
Fa
~-
S
0
X
L
-Cr
/
/
/
изображенной на рис. 2.22. При этом 8^=я/ в силу характеристиче-
характеристического уравнения B.45), поэтому выражения B.72) преобразуются
к следующему виду:
Ра
т=
00
2
5 =
2Р_
ab
) sh
ch
_ 1)/ ch By (/! — С) cos By i)
^. sh
ch
C) sin
При &=0 отсюда получим формулы B.57).
2.7. ИЗГИБ СИММЕТРИЧНО ПОДКРЕПЛЕННОЙ ПАНЕЛИ
Представляют интерес случаи нагружения панелей, изображен-
изображенные на рис. 2.23 и 2.24. В первом панель имеет возможность изги-
изгибаться под действием пары сил Р (см. рис. 2.23), так что попереч-
поперечные перемещения v точек панели не равны нулю. Во втором (см.
рис. 2.24) —в силу симметрии задача для панели с тремя ребрами
приводится к предыдущей. Отличие в том, что поперечные переме-
перемещения v будут равны нулю.
Указанные варианты расчета целесообразно рассмотреть от-
отдельно, так как шособы решения их будут отличаться.
1. Поперечные перемещения v равны нулю. Задачу решаем
методом, рассмотренным в разд. 2.5. Частное решение уравнения
равновесия B.36) возьмем в виде у
/, —C)sinet), B.79)
где с — производная постоянная; 8 — пока произвольный пара-
параметр; ? и "п — координаты B.34); /,i — безразмерная длина панели
B.34).
Решение B.79) удовлетворяет условию защемления правого
торца панели и условию нечетности по координате rj.
Собственные числа 8 най-
найдем, подчиняй решение
B.79) уравнению равнове-
равновесия второго ребра, которое
будет иметь вид B.43) с па-
параметром [I, соответствую-
соответствующим B.44). Уравнение рав-
новесия первого ребра удо- —¦"*
влетворяется автоматически Рис 223. подкрепленная двумя ребрами
В силу нечетности решения. панель, нагруженная парой сил
Подстановка перемещения и Рис 224. симметричная и симметрично наг-
ИЗ выражения B.79) В урав- ружейная панель с тремя ребрами
95
Рнс. 2.25. Распределение корней
характеристического уравне-
уравнения B.80)
нение B.43) приводит к
следующему характери-
характеристическому уравнению
для определения соб-
собственных чисел в:
ctg 6-^6=0. B.80)
Уравнение B.80) имеет бесконечное множество ненулевых кор-
корней h==Bj (/=1, '2,...), характер распределения которых показан
на рис. 2.25.
Вводя, как и в разд. 2.5 обозначения
' C»\. X] в2 \ Щ В; \
\\ \\ \
вместо уравнения B.80) получим уравнение для определения угла
@&/2)
которое по виду совпадает с B.47).
При больших числах / и
¦ Суммируя решения B.79), соответствующие всем корням
уравнения B.80), получим общее решение для перемещения и
и =
sh
— С) sin бут].
Постоян'ные с} найдем из условия'
b fT(e,i\)di\+N(*)^P=0, е-»0,
B.81)
B.82)
где Ы(г) =Л^2(е) =—-Wi(e); ^i и Ns — нормальные усилия в пер-
первом и втором ребрах.
Выражение B.82) есть условие равновесия бесконечно узкой
полоски панели, прилегающей к свободному торцу ?=0. Так как
нижний предел в интеграле выражения B.82) произвольный из от-
отрезка [—1,1], то ^соотношение B.82) , .эквивалентно условию
Г@, т|) =0, т. е. требованию отсутствия продольных нормальных
усилий. Условие Т@, т|) = 0 непосредственно использовать неудоб-
неудобно, так как система для коэффициентов' с, получится однородная,
и последние будут найдены с точностью до произвольного множи-
множителя. Для определения множителя дополнительно придется привле-
привлекать соотношение типа B.82).
96
Выразив усилия Т(г, г\), Л'(е) через перемещения B.81), при
8=0 равенство B.82) с учетом характеристического уравнения
B.80) запишем в виде
V 'с, ch б/ cos 9ji\ = —p~-, B. 83)
^il Exhx
где а — параметр B.29); Ех, hx — соответственно приведенный мо-
модуль упругости и приведенная толщина пластины, определенные
формулами разд. 2.2.
С учетом уравнения B.80) можно доказать ортогональность
функций cos В/п на отрезке (О, 1]. Используя это свойство, найдем
1=2 VI
2U
cos 6/i) n -^y cos 8/q
bj) sin bj
Подставляя.это выражение в правую часть равенства B.83) и
приравнивая члены ряда слева и справа, имеем
Exhx 6у A + (ж + (ж26у) sin 6y ch bjl\
Зная коэффициенты Cj,, перемещения и определим по формуле
B.81), удельные нормальные продольные усилия Т и удельные ка-
касательные усилия 5 — по формулам B.27), усилия в ребрах — по»
формулам B.32), полагая Рщ=—Р\ = Р.
Имеем к=-
^А ву A +|* + |л2ву) sin bj ch
T=—
¦ 2
, _ , ,. I — ch8< (l\ — С)
A +(ж + (ж26,) ch в,/:
— = if J
Из формул B.84) легко получить решение для бесконечно длин-
длинной панели и для панели без ребер. В первом случае следует по-.
ложить
ch bjl\ ch bjl\
Во втором — нужно принять ц,=0. Корни уравнения B.80) при
ц, = 0 будут иметь вид 8j=—B/—1), а последняя формула B.84)
теряет смысл.
4 3136 • 97
2. Поперечные перемещения v не равны нулю. Рассмотренный
выше способ решения в данном случае нерационален, так как сис-
система получаемых при этом собственных функций и их производных
не ортогональна. Действительно, зададим перемещение и в виде
<2.40), гдеф(?) и "ф(тО — решения уравнений B.41).
Граничные условия для функций "ф будут иметь вид
у(Ф1-Ф-1)-¦; = <), B.85)
где (it, A2 — параметры B.38); ^-i, ty-i> 'Фь "ф/ — соответственно
значение функции "ф и ее производной при т) = —1 и т| = 1.
Условия B.85) получаются после подстановки перемещения из
формулы B.40) в уравнения равновесия ребер B.37).
Легко проверить, что любые две функции г|>1 и г|>2, удовлетво-
удовлетворяющие уравнению B.41) при 8=01 ив='0г и граничным условиям
B.85), не ортогональны. Не ортогональны и производные. Произ-
Производные станут ортогональными, если в B.85) выбросить слагаемые
в скобках, что равносильно отсутствию поперечных перемещений v.
В юилу сказанного систему .собственных функций выберем,
удовлетворяя с помощью каждой собственной функции условиям
на торцах пластины
Т = 0 при С=0, и=0 при С=А- • B.86)
Условию равновесия ребер и условию совместности деформа-
деформаций ребер и пластины подчиним общее решение. Каждая из соб-
собственных функций этим условиям удовлетворять не будет. Общее
решение задачи 'будет выражено в,рядах [по продольной |Коорди-'
нате ?. .
Частное решение уравнения равновесия пластины B.36), нечет-
нечетное по координате т], возьмем в виде
и=sh Xr\ (Ci cos XC + с2 sin XC),
где fli, с% Я — произвольные постоянные.
Граничные условия B.86) с учетом первой формулы B.35) дают
са=0, Х=Х,=~-B/-1). B.87)
..Суммируя частные решения для всех собственных чисел %j, най-
найдем общее решение
B.88)
Здесь С] — произвольные постоянные, которые найдем из условия
равновесия ребер и условия совместности деформаций ребер с пла-
пластиной. В силу нечетности перемещения B.88) достаточно выпол-
98
нить упомянутые условия для одного из ребер, например второго
(см. рис. 2.23).
Продольное усилие во втором ребре N2, удовлетворяющее усло-
условию равновесия, имеет вид B.39) или в рассматриваемом случае
с
С(у--я)</С прит| = 1. B.89)
о
Усилие N2, удовлетворяющее условию 'совместности деформаций,
имеет вид B.35)
Приравняв правые части этих выражений, с учетом B.88) получим
00
_ j— i)shKj-\-ijChkj\ sin^= —
ч
Так как функции sinhfe ортогональны на интервале @, /;!), то
можно найти
sin Х/С
Подставляя этот ряд вместо единицы в правую часть предыду-
предыдущего выражения и сравнивая коэффициенты рядов, имеем
1, . B,91)
; Ghl (|лА.?— 1) sh X7- + Xych
причем / — длина панели.
С учетом этого выражения окончательное выражение для пере-
перемещения и запишем согласно B.88) в виде
tt= 2Pb \^ shX/gcosXyc' B 92У
Ghl jZj ((xX?_l)shX7+XychXy '
Удельные усилияТ и S найдем по формулам B.36)
т__2Ра XI li sh ХЯ sin
2Р хч (^-сЬХя —chX>i)cosX/: B.93)
9»
Г ?i
Нормальные усилия Л^2=—Ni в ребрах найдем по формуле
B.89)
7ГГ\- B-94)
¦ Если проследить за выкладками при вычислении коэффициен-
коэффициентов B.91), то увидим, что влияние поперечного перемещения пане-
панели учитывается слагаемым (—1) в выражении цА/—1. Отбросив
единичку, получим решение без учета поперечного перемещения v,
рассмотренное выше другим способом. Таким образом, влияние по-
поперечного перемещения на.величину коэффициентов Cj, а следова-
следовательно, иа усилия и перемещения, будет значительным при малых
числах kj, а они будут малы при рассмотрении длинных панелей,
что следует из формул B.87).
Ряды в формулах B.92)—B.94) хорошо сходятся для панелей
шалой длины, так как числа kj, определенные формулами B.87),
будут быстро возрастать с ростом индекса /, а коэффициенты
{2.91) будут быстро убывать. В случае длинных панелей ряды
{2.92) — B.94) сходятся медленно, поэтому целесообразно исполь-
использовать решение для бесконечно длинной панели, которое получим
ниже из решения B.92)—.B.94) предельным переходом при A-voo.
В рассматриваемом случае этот переход не так прост, к"ак в разд.
2.5 и первом пункте настоящего раздела. Ряды заменяются интег-
интегралами Фурье, которые нужно вычислить с помощью теории выче-
вычетов. Рассмотрим подробно ход решения для удельных нормальных
продольных усилий Т в пластине.
' При /:i->-oo дискретный спектр- распределения собственных чи-
чисел к} согласно формуле B.87) станет непрерывным. Поэтому вве-
введем переменную "к)—к. Из B.87) найдем dk=ttifk. Ряд B.93) для
усилий Т заменится интегралом Фурье
2Р
о
~ nb 3(аХ2—l)shX + XchX' *¦ " '
Для удобства вычисления интеграла формулу B.95) целесооб-
целесообразно записать в виде
B.96)
где /М= ^-^ • B.97)
J у ' (^Х2—l)sh X+XchX • V ;
Для вычисления интеграла B.96) в плоскости комплексного пе-
переменного 2=A,+t8 (рис. 2.28) построим замкнутый'контур L, сос-
состоящий из отрезков действительной оси АВ и CD и двух полуок-
100
Рис. 2.26. Коитур в плоскости комплексного
переменного г=л+/9, служащий для вычисле-
вычисления интеграла Фурье B.96)
ружностей радиуса г и R. Рассмотрим
интеграл по замкнутому контуру L:
где f(z) — аналитическая функция, получаемая из B.97) заменой
X на г. Функция f(z) имеет простые полюсы только на мнимой оси
'в, которые определяются из решения характеристического уравне-
уравнения
; B-98)
Это уравнение можно получить, если приравнять нулю знаменатель
в формуле B.97) и заменить А, на /8. Согласно теореме о вычетах
значение интеграла / равно сумме вычетов подынтегральной функ-
функции внутри контура L, умноженной на 2 ni
С другой стороны (см. рис. 2.26)
в
При R-*~oo и г-*-0 сумма интегралов по отрезкам АВ и CD рав-
равна искомому интегралу B.96), а интеграл по дуге R будет стре-
стремиться к нулю согласно лемме Жордана. Сравнивая при R-*-oo,
/-*-С правые части предыдущих выражений для /, получим
f /(Х)е'хс<Л=2ш 2 res/(z) e'*c—11m J / (г) tl*dz. B. 99)
где сумма вычетов берется по всем полюсам z—iQj, являющимися
корнями уравнения B.98) в области 8>0.
Найдем вычеты в точках z=iQj 0 = 1, 2,...). С учетом формулы
B.97) имеем
res/(z)e"c=lim
/ J- [(^2— I) sh г + г ch г]
dz
sin 0/це
1
sin
e >
A + 2(x) sin 8y + (x8; cos bj (l +3|x +1*292) sin 9j '
где последнее выражений лолучено из предыдущего с учетом ха-
характеристического уравнения B.98).
101
Вычислим теперь интеграл, по дуге малого радиуса г (см. рис.
2.26), стоящий в правой части выражения B.99). При малых г,
согласно B.97), имеем
-i)
Подставляя полученные выше выражения в правую часть фор-
формулы B.99), удельные продольные нормальные усилия Т в плас-
пластине, согласно формуле B.96), представим в виде
B. 100)
Путем аналогичных вычислений из B.93) можно найти выраже-
выражение для удельных касательных усилий 5 в бесконечно длинной
пластине
^ \ '
2jk
sin8;-
Нормальные усилия в ребрах можно получить аналогично из
формулы B.94), но проще их найти по B.32), подставляя туда S
из B! 101) и полагая P2 = —Pi = P (см. рис. 2.23). Имеем
B. 102)
Перемещения в бесконечно длинной ланели обращаются в бес-
бесконечность, если их определить, исходя из формулы B.92). Для
того чтобы все-таки найти характер распределения перемещений по
сечению и длине панели, ограничим их величину на торце ?=0, за-
задав «2=«i —0 при ?=0, где иъ и2 — перемещения ребер.
Перемещение, удовлетворяющее этому условию, найдем из фор-
формулы B.35) для удельного нормального усилия Т.
После простых вычислений будем иметь
и—-
Ра
— 2
sin
~ sin
.-'/
МП
B. 103)
Решение B.100) —B.103) в несколько другой форме записи со-
содержится в работе [5], где рассмотрен класс задач для панелей
бесконечной длины непосредственно с помощью аппарата интегра-
интеграла Фурье.
На рис. 2.27—2.31 приведены некоторые результаты расчета
усилий в ребрах и пластине, выполненные по формулам B.93) и
B.94). В частности, на рис. 2.27 показан характер изменения про-
102
Рис. 2.27. Характер изменения продольных уси-
усилий N2 в ребре 2 (см. рис. 2.23) (ц=
=EF/Exhxb — отношение жесткости ребра к
жесткости пластины, %=xjab, a — параметр
B.29); пунктиром показано балочное решение)
Пг/Р
0,6
0,4
0,2
дольных усилий N2 в ребре 2 (см. рис.
2.23), отнесенных к приложенной силе
Р. Кривые построены при различных
значениях параметра \i = EFIExhxb,
определенного формулой B.44) и ха-
характеризующего отношение жесткости
ребра к жесткости пластины. Графики,
оканчивающиеся при ?=1, подсчитаны
для панели, относительная длина кото-
которой l\ = Uab = \, где b — полуширина панели, a=^ExhxpGh—пара-
a=^ExhxpGh—параметр B.29); кривые, продолженные до ?=2 на рис. 2.27, соответ-
соответствует относительной длине l\ = 2; t,=x/ab — координата B.34).
Пунктиром для соответствующих значений параметра ц показаны
результаты для панели, если бы она рассчитывалась как составная
балка, изгибаемая парой сил на торце. Это решение по теории со-
сопротивления материалов, которое определяется формулой
\
\
\
I
rl~
\
0,4 0,8 1,2 1,6 %
B. 104)
Из анализа рис. 2.27 можно установить, что характер изменения
усилий практически не зависит от относительной длины панели 1и
если она не меньше единицы, а существенно зависит от параметра
относительной жесткости ребер щ. Кроме этого видно, что вырав-
выравнивание усилий происходит на участке длиной ?=1, примыкающем
к нагруженному силами торцу панели. При ?> 1 усилия фактиче-
фактически совпадаюгс посчитанными по формуле BЛ04). Следует отме-
отметить, что так же мало изменяются при изменении длины / и уси-
усилия Т и S в пластине. По этой причине на рис. 2.28—2.31 приведе-
приведены результаты для панелей с параметром 1\= 1.
На рис. 2.28 и 2.29 показан характер изменения продольных
растягивающих усилий Т в верхней половине панели. В нижней по-
половине панели усилия будут такие же по величине, но сжимающие.
Усилия Т посчитаны по формуле B.93) и отнесены к усилиям Т°,
посчитанным по формуле сопротивления материалов для кромки
пластины, примыкающей к ребру, т. е. при ti = 1. Эта формула име-
имеет вид
Т°=-
¦hi)
B. 105)
103
т/т"
2,0
1,6
0,8
о о,г о,ц о,б о,8
'Решение сопромата
Т/Т°
%6
1,2
0,8
1,=
м -
„
..
-——
!
аЬ
EF
_л>
L (-—
0,6 0,8
^«
2,4
1,2
0,8
0,4-
р
0
р
G,5
—
0,2
(
^^
i?2 Й,* 5,ff 5,3
2
1,6
1,2
Ofi
0,4
_ l, = 1 , /i=O
f
Exhxb
1 ~±- „ EF
M=O,1
7
7
О 0,2 0,4- 0,6
Рис. 2.28. Изменение продольным растягивающих усилий Г в верхней половине
панели, изображенной на рис. 2.3$. Г° = Р/6(|х+1/3) — решение сопромата для
кромки пластины, прчщдающей к ребру (при т] = 1)
Рис. 2.29. Изменение усилий Г/Г° в верхней половине паиели, изображенной на
рис. 2.23, при различных значениях координаты t) = s/6
Рис. 2.30. Изменение касательных усилий по длине паиели
Рис. 2.31. Изменение касательных усилий на торце панели ?=0 по ее ширине
104
Для произвольной координаты т) решение по теории сопротив-
сопротивления материалов записывается в виде
Это решение, отнесенное к B.105) показано на рис. 2.28 и 2.29
пунктиром. На рис. 2.28 показано изменение Т/Т° при вариации па-
параметра ц в двух сечениях пластины — при tj = 1 и 0,8. Видно, что
независимо от |j, выравнивание усилий происходит при ?=1. На
рис. 2.29 показан характер изменения при разных . координатах
7\=s/b (см. рис. 2.23). Следует подчеркнуть, что в данной панели,
да и во всех подобных панелях имеется одна особая точка — это
угловая'точка панели ? = 0, т) = 1, примыкающая к ребру. В этой
точке нарушается условие совместности деформаций ребра и плас-
пластины. Действительно, при решении задачи на всей кромке ?=0 бы-
было поставлено граничное условие B.86), согласно которому про-
продольные усилия Т=0. Но согласно закону Гука ('2.27) Г =
= Exhxdu/dx. Значит, должна быть равна нулю продольная дефор-
деформация ди/дх. С другой стороны, продольные усилия в ребре N2 на
конце ребра равны приложенной силе Р. Значит, согласно закону
Гука B.27) N2 = E2F2du/dx\s=b для усилия N2 продольная де-
деформация ребра при ? = 0 будет du/dx=P/E2F2^0. Таким образом,
продольные деформации ребра и пластины в угловой точке не рав-
равны. По указанной причине кривые для Т/Т° на рисунках 2.28 и 2.29
при т] = 1 не обращаются в нуль при ? = 0, хотя по формуле B.93)
они должны быть нулевыми. Мы аппроксимировали их при ? = 0 и
т) = 1 по формуле
_1_
Т ^ 3
которая получится, если деформацию
ди _ Р
~fa ~~ EF '
полученную из закона Гука B.27) для ребра, подставить в форму-
мулу B.27)
T — F h —
для продольных усилий. Этим самым мы допустили, что граничное
условие Г=0 в указанной точке не выполняется.
На рис. 2.30 показан характер изменения касательных усилий
по длине панели, а на рис. 2.31 — по ширине. В точке ? = 0 г\ = 1,
как отмечалось выше, касательные усилия обращаются в бесконеч-
бесконечность, имея там особенность типа логарифма. Это было выяснено
в разд. 2.5. В окрестности указанной точки касательные усилия
можно вычислить по асимптотической формуле B.64).
105
2.8. ПАНЕЛИ С РЕБРАМИ РАЗНОЙ ЖЕСТКОСТИ
И ПРОИЗВОЛЬНЫМИ СИЛАМИ НА КОНЦАХ РЕБЕР
Рассмотрим панели с ребрамц разной жесткости, представлен-
представленные на рис. 2.32 и 2.33.
Панель, изображенная на рис. 2.33, имеет симметричную струк-
структуру. Ее расчет сводится, как в предыдущем разделе, к расчету па-
панели с двумя ребрами, показанной на рис. 2.32, если предположить,
что поперечные перемещения v равны нулю. Поэтому ниже дан
расчет панели с двумя ребрами при v = 0 и при и^О. Необходимые
для расчета уравнения и основные обозначения даны в разд. 2.4.
1. Поперечные перемещения панели v равны нулю. Частное ре-
решение уравнения равновесия пластины B.36), соединяющей ребра,
берем в виде
«=<]>(*,) Sh0(/,-
B. 106)
где 9 — произвольный параметр, а функция ty(r\) является решени-
решением обыкновенного дифференциального уравн'ения
=0. B. 107)
Решение B.106) удовлетворяет условию защемления правого
торца панели.
Граничные условия для функции ty получим, внося решение
B.106) в уравнения равновесия ребер B.37) и отбрасывая там сла-
слагаемые, содержащие перемещение v. Имеем
— = 0 при Т1 = —
Т)=1.
B. 108)
Параметры щ, рц определены формулами B.38).
Решение уравнения B.107) имеет вид
<)>=Ci cos бт) -\-с2 sin 0т).
B. 109)
Pi
щ
р,
г
fk К
2F2 *
F., 12 ¦?
/
iXWWX
Рис. 2.32. Панель, подкрепленная двумя ребрами разной жесткости
Рис. 2.33. Симметричная панель, подкрепленная тремя ребрами. Жесткость сред-
среднего ребра отличается от жесткости крайних
106
Рис. 2.34. Распределение нену-
ненулевых корней, характеристиче-
характеристического уравнения B.111)
Внося это решение в
граничные условия
B.108), получим систему
двух линейных алгебраи-
алгебраических уравнений для оп-
деления коэффициентов
A^9 cos 9 + sin Q)c1-\-(cos6 — \).1Q sin 9)c2 = 0,
(!x28-cos 9 + sin 9) cx — (cos 8 — jx29 sin 9) c2=0.
Приравнивая нулю определитель системы B.110), запишем сле-
следующее характеристическое уравнение для определения собствен-
B.110)
ных чисел
A*1
B.111)
Трансцендентное уравнение B.111) имеет нулевой корень 9 = 0
и бесконечное число ненулевых корней 9=03-, характер распределе-
распределения которых показан на рис. 2.34. Решение, соответствующее нену-
ненулевому корню 9 = 9; (/==1, 2,...), найдем по формуле B.109), опре-
определяя постоянные с\ и с2 из любого уравнения B.110) с точностью
до постоянной. Например, первое уравнение дает
. fy = a,-cos0^T] — Pysin9;-Tj, B.112)
где O/=cos8;— prfj sin 9;-, ^ = sin 8; + !X!8yCos9;-.
В частном случае, когда ребра одинаковы \x,i = \ц = ц,"и уравне-
уравнение B.111) распадается на два независимых
a=cos8 — !x0sinO=O, p=sin 0 + |i8cos0=O, B:113)
эти уравнения со&падают с уравнениями B.45) и B.80), получен-
полученными при рассмотрении растяжения и изгиба панели.
Решение для перемещения и, соответствующее нулевому корню
уравнения B.111), является элементарным решением сопротивле-
сопротивления материалов и имеет вид
где
0°
(Pi+P2)a
+ t*2)
B.114)
Это решение получается так же, как в разд. 2.5. Складывая ре-
решение «о с решениями B.106) для каждого 9=93-, общее решение
для перемещения и найдем в виде
где Cj — произвольные постоянные; i|jj(ti) —функции B.112).
107
Решение B.115) удовлетворяет условию защемления правого
торца панели, условиям равновесия ребер и условиям сопряжения
ребер с пластиной. Остается удовлетворить условию
ТЯ!± -ifL = o при С=0.
Т
ab ¦ ц
Если подставить сюда функцию и из формулы B.115), то при-
придем к соотношению
При Pi= —Р& согласно B.114), со = О и записанное условие.стано-
условие.становится однородным. Значит, для вполне однозначного определения
Cj нужно привлекать дополнительное соотношение. Поэтому посту-
поступим как в разд. 2.7, и вместо требования Г=0 при ? = 0 выполним
эквивалентное ему, но всегда неоднородное условие равновесия
прилегающей к торцу (?=0) полоски панели. В рассматриваемом
случае оно имеет вид
1
Ь §T(s,v\)dr\-lrN2(e)-P2 = 0, e — 0.
Подставляя сюда
ab
_
2
da (C.l)
ab
после несложных выкладок с учетом решения B.115) и уравнений
B.107), B.108) -
B.116)
где со — параметр B.114), a do имеет вид
d =a["(
0
Покажем, что производные ip/ от функций -фд в левой части ра-
равенства B.116) ортогональны на -отрезке [—1,1].
Пусть 0* и Qj — два собственных числа системы B.107), B.108),
t|>» и iipj —соответствующие им собственные функции. С учетом
уравнения B.107) и граничных условий B.108) имеем
-1
—1
-1 -1
i
й2
—1
Отсюда A y
\ ь}
108
1 = 0 при
Последнее равенство получено после подстановки -ф/ и t|>/ из
B.108).
Разлагая правую часть уравнения B.116) в ряд по ортогональ-
ортогональным функциям ^/(л) и приравнивая коэффициенты рядов слева и
справа, найдем •
а (Рг + P2)aj cosdj+(Рг-Р2)^ sin bj
C . \?" 11']
Таким образом, задача решена.
Когда ребра одинаковы (pn = ii2 = v), как было отмечено выше,
корни уравнения' B.111) распадаются на две группы, соответствую-
соответствующие уравнениям B.113) а=0 и 0 = 0. Пусть у панели с одинаковы-
одинаковыми ребрами Pi = P2 = P. Согласно B.117) коэффициенты Cj, соответ-
соответствующие корням уравнения а=.О, будут равны нулю, так как при
этом а;=0. Коэффициенты, соответствующие корням уравнения
Р = 0 будут отличны от нуля и имеют вид
.. 2Ра cos 6,-
sin 29/
а / | и
\ 29/
2Ра 1
a.jExhx By (I + jj. + (j.262) cos %j ch 6/i '
где последнее равенство получено с учетом характеристического
уравнения р = 0. При этом легко убедиться, что решение B.115)
совпадете B.54).
Если Р2= —Р\ = Р, то будут равны нулю коэффициенты B.117),
соответствующие корням уравнения {$ = 0 и отличны от нуля—со-
нуля—соответствующие корням уравнения а —0. Функции ^согласно
B.112) будут иметь вид .
а отличные от нуля коэффициенты B.117)
2Ра sin 6;-
Ci=-
?xhx i sin
2Pa
Exhx$j By A + |i + |д»5) sin By ch 6/,
Решение B.115) при этом совпадет с B.84).
В общем случае решение для перемещений и определяется по
формуле B.115) с коэффициентами B.117) и B.114).
109
Удельные нормальные продольные усилия Т и удельные каса-
касательные усилия 5 в пластине найдем по формулам B.35), подстав-
подставляя туда перемещение и из формулы B.115) и v = Q
ab
L-
5=-^- »|8ЬОУ(Л-С)^(т|), B. 118)
где i|j/(ti) — производные от функций ijr,-, определенных выраже-
выражениями B.112),
Ф} СП) = -9/ (а/ sin
Нормальные усилия N\ и N$ в ребрах определяются согласно
?2.39) после подстановки удельного усилия 5 из формулы B.118)
со
Ni=Рг -Qha 2 -j- [ch 9/, -ch 9j (I, -0] $ (-1),
N2=P2+Qha Vii[ch6/,-che;(/i —
Переход к бесконечно длинной панели осуществляется с помо-
щью следующей замены:
-c) sh»/(/1-c)_ _e/
v ch bjli ch bj
2. Поперечные перемещения панели v не равны нулю. Схема па-
панели изображена на рис. 2.32. Метод расчета, обсужденный только
что в предыдущем пункте, неудобен, так как система собственных
•функций и их производных будет леортогональной. Поэтому реше-
решение будем искать в виде ряда по системе собственных функций,
¦каждая из которых будет удовлетворять однородным граничным
условиям на торцах пластины
Г=0 при ? = 0, м = 0 при ? = /ь
Такое решение имеет вид
оо
и.=2 (с) sh Хя+dj ch X/n) cos \f,, B.119)
где Cj, dj — произвольные постоянные, kj — собственные числа,
X,=-iB/-l) '(/=1.2,...).. B-120)
Постоянные с, и d) найдем, подставляя перемещение и из фор-
формулы B.119), а также нормальные усилия iVb Л^» определяемые по
по
формулам B.35), в уравнения равновесия! ребер, "записанные в
форме B.39). Уравнения B.39) при этом преобразуются к виду
(f\Cj — g\dj) sin Xf.=—— >
B.121)
где /»=~ [М- 1) shXj-IjchX,],
gk = sh Xj + ^ ch X, (Л = 1,2). B.122>
Здесь коэффициенты jxi, Ц2 определены формулами B.38).
Учитывая ортогональность функций sin^ на интервале @, /ij,
из уравнений B.121) получим систему двух алгебраических урав-
уравнений для определения коэффициентов с, и dj при .каждом /=1, 2,....
' Qhal{k)
Решение этой системы имеет вид
2
с,=-
d=
3
Ghal{kj
2 Р1/2+Р2/1
fxg2
Подставляя (Приведенные s ,выш,е коэффициенты в формулу
B.119), запишем окончательно продольное перемещение и панели
в виде
2 у1 (p2gi - Pig2) sh ХЯ + (P2/t + pt/2) Ch ХЯ
COSAjL, (
где gi, g2, fa, h — коэффициенты, вычисляемые согласно B.122).
Поперечное перемещение панели v определяется по формуле
B.33), полученной из условия равенства нулю суммарной попереч-
поперечной силы в любом поперечном «сечении панели. Подставляя туда
«2 = и(?, 1), «!=«(?, —1), с учетом формулы B.123) имеем
. B.124)
Произвольная постоянная при интегрировании равенства B.33) вы-
выбрана так, что у = 0 при Z = l\.
lit
Удельные усилия Т и 5 в пластине найдем по формулам B.35),
продольные усилия 1V| и IV2 в ребрах — по формулам B.39). Тогда
+ (P2/, + Pj/o) ch Хя .
: sm
T 2<
2 yi (P2gi—Pig2) Q-j ch Хя—sh X/ij)+(P2/i+Pi/2) X; sh
cos
B.125)
. 2 VI (P2g\-Plg2)C4chXJ-shXj)-<.P2fl + Plf2)bjSh\j .
,;-chX;-— shX;-)+(P2/i+Pi/2H;ShX;- . л
r— sin A/,-
В частном случае, когда ребра одинаковы ((ц = ц2 = ц) и Рг=
= —P\ = Pi решен-ие B.Г23), B,;125) совпадает с результатами
Х2.92), B.93), B.94).
Исследуем сходимость полученных рядов B.123) — B.125). Рас-
Рассмотрим сначала, как ведут себя члены рядов для "пластин ограни-
ограниченной длины при больших индексах /, т. е. при больших коэффи-
коэффициентах'^-,, определенных формулами B.120). Порядок роста ве-
величин Д и gh согласно формулам B.122) следующий:
Значит, порядок каждого члена рядов B.123) — B.125) будет
к L e-V'-'^coety:, ^~4- [(-1)'+si
Т L e-V'-'^sinX/:, 5 Le-^-W.
*¦;
-j sin
В угловой точке ^ = 0, tj = 1
г) -у
B. 126)
Отсюда следует, что все ряды сходятся за исключением ряда
для удельных касательных усилий 5 в угловой точке, где имеется
логарифмическая особенность. , Асимптотическая формула для
удельного касательного усилия 5, справедливая для окрестности
112
угловой точки, имеет вид B.64), где вместо Р и ц следует брать
Р\, jlij для окрестности точки ? = 0, ц= —1 и^Рг, цг для ? = 0, т)=1.
Сравним оценки B.126) с оценками B.60), которые установле-
установлены при рассмотрении растяжения симметричной панели и соответ-
соответствуют членам тригонометрических рядов B.59) по поперечной ко-
координате т). В B.126) оценка Г~0 является следствием выполне-
выполнения условия Г=0 с помощью каждого члена ряда. В B.59) это
условие выполняется не каждым членом ряда, а всем рядом. Схо-
Сходимость рядов для удельных касательных усилий 5 одинаковая,
ряды для продольных перемещений ив разд. 2.5 сходятся быстрее.
Рассмотрим теперь вопрос, как ведут себя члены рядов при ис-
использовании'решений B.123) — B.126) для весьма длинных плас-
пластин. Характер сходимости рядов, естественно, будет иметь вид
B.126), так,как он_не зависит от длины. Однако этот характер нач-
начнет проявлять себя при очень больших индексах /, а первые члены
рядов,, число которых может быть весьма большим, могут вообще
не убывать. Поэтому рассмотрим члены рядов, у которых Ay-Cl,
что согласно B.120) соответствует условию яB/—1)<C2/j.
При малых kj, согласно формулам B.122), имеем оценки
2 '
Поэтому оценки членов рядов B.123) — B.125) будут
*? ,-w 1 N '—- ЛА '—- 1г
Отсюда следует, что коэффициенты рядов для усилий Т, S, Nt,
N2 вообще не убывают для начальных членов ряда при условии
яB/—l)>C/i. Возникает необходимость преобразовать ряды с це-
целью улучшить их сходимость. Это можно сделать путем предель-
предельного перехода от рядов к интегралам Фурье при /г-»-оо и вычисле-
вычисления интегралов. Иными словами, нужно получить решение для па-
панели бесконечной длины. Указанное преобразование делается точ-
точно так же, как в разд. 2.7, поэтому запишем лишь окончательный
результат
—Т2+ з/|+
- (P2gl- Plg°2) sin 6,1,],
B. 127)
113
где
/j>=cos0,- i^t- sin 0;-, gl=sm
9
(?=1,2; y = 1,2...); B.128)
0j — корни характеристического уравнения
которое с учетам B.128) можно записать в виде
sin20=-i
Нормальные усилия Л^ и Nz в ребрах определяются по формулам
B.39) подстановкой 5 из'формулы B.127)
sin еу] A -ее/),
^ ^ [BglPig§ (Bj cos 9У- sin Qj) +
+Л/2) 9y sin Ц A -e-V).
Характер распределения перемещений найдем, интегрируя вы-
выражение
-р= Exhx ди
аЪ дЦ
с учетом B.127), и ограничивая величину перемещений на торце
? = 0. Точнее говоря, будем выполнять условия
«i=«2 = 0 при'? = 0, где «!=«(?, —1), и2 = и(?, 1). Продольные
перемещения в результате могут быть представлены в виде
— /*i (иа^) )
\ 3 / V 3 / г 1
1 \ / 1 \
Y)(|Л2 +1} + v*2+Т/
S ^ К^+^/5) (cos б,- cos
- (P2g1- Pigl) Ы sin 9; - sin 9УТ1 е~в>С) .
114
. 2.9. ОЦЕНКА ВВЕДЕННОЙ ГИПОТЕЗЫ
Предшествующие обсуждения настоящей главы основаны на ги-
гипотезе с несжимаемости материала пластины в поперечном нап-
направлении. Погрешность в решении, связанная с этой гипотезой, не
может быть'исследована в общем виде. В каждой конкретной зада-
задаче она будет разной. Оценим погрешность на примере бесконечной
пластины, к .которой .приварен по /всей длине полубесконечный
стрингер, нагруженный на конце продольной силой Р (рис. 2.35).
Эта задача в точной постановке на основе уравнений плоской тео-
теории упругости решена В. Т. Койтером [19]. Выпишем из разд. 2.2
основные уравнения:
'Соотношения закона Гука
ах
as
уравнение равновесия пластины-B.12)
дх + ds ~~ '
уравнение равновесия элемента ребра
—
dx
условия на концах рёбра
соотношения закона Гука для ребра
dx
B. 129)
B.130)
B. 131)
B. 132)
B. 133)
При записи этого соотношения учтено, что продольная дефор-
деформация пластины на линии присоединения ребра du/dx\s=0 равна
деформации ребра.
Напомним, что в приведенных соотношениях Е, G — соответст-
соответственно модуль упругости и модуль сдвига пластины; h — толщина
пластины; Ес, Fc — соответственно модуль упругости и площадь по-
поперечного сечения ребра; Т, S — удельное нормальное продольное
6)
Рис. 2.35. Бесконечная ^пластина с приваренным по всей длине полубесконечным
ребром, нагруженным на торце продольной силой Р (а) и положительное направ-
направление касательных усилий q, приложенных к пластине со стороны ребра (б)
115
и удельное касательное усилие в пластине; N — продольное уси-
усилие в ребре; S+ и S~ — удельные касательные усилия на верхнем
нижнем берегу пластины, примыкающем к ребру.
Разрежем пластину по линии присоединения ребра, а нагрузку
q, которая передается от ребра к пластине, разделим на две одина-
одинаковые части, одну из которых приложим к верхнему .( + ) берегу
разреза, а другую — к нижнему (—).
За положительное направление нагрузки q, приложенной к пла-
пластине, примем направление, противоположное оси х (см. рис.
2.35, б), следовательно, к ребру она приложена в направлении
оси х.
Будем иметь
С+ Ч о— Я со 1ол\
Л+=—, 6 = — —. {2. Id4)
. При этом уравнение B.131) после интегрирования дает про-
продольное нормальное усилие в ребре
оо
B. 135)
Второе условие на конце B.132) выполняется автоматически, а
первое приведет к условию
В силу симметрии задачи
7;+ = 7v- = 7'(,_o. B.136)
Если подставить усилия B.129) в уравнение B.130), получим
дифференциальное уравнение равновесия относительно продольно-
продольного перемещения и
которое в безразмерных координатах
г= х - «=—
A]/2(l+v)' A
будет i^. + ^L=0. B.137)
сХ2 дтJ
Таким образом, продольное перемещение и есть гармоническая
функция координат ?, г\. Если обозначить через v сопряженную с и
гармоническую функцию, то функция
<p(z)=u+iv, г = Ъ + щ
будет аналитической.
Обозначим Г,=—, 5,^=^-. ' B.138)
П6
Тогда соотношения B.129) будут иметь вид
у С Д о
lJ ~2(l + v) 1-
Функция комплексного переменного
«l>(z) = r1-iS1 B.139)
будет голоморфной. Действительно, в силу условий Коши—Римана
ди __ dv ди dv
, . . си . ди ди . . dv i / \
а производная <p'(z) от аналитической функции есть .функция ана-
аналитическая. В силу ограниченности усилий в пластине можно счи-
считать, что функция г|) (z) будет голоморфной.
Однако сопряженная функция г|з(г) =Ti + iSl уже не будет голо-
голоморфной, так как согласно условиям Коши—Римана должно быть
или с учетом B.138)
что противоречит уравнению равновесия B.137).
Функция t|? должна удовлетворять двум условиям, вытекающим
из B.134) и B.136),
Si —Si =—, Tl =Tl ::=Г1/1, = 0,
G
где ^i — пока неизвестная функция координаты ?. Эти условия с
учетом B.139) можно записать в виде
G
Функцию ty(z) будем искать в виде интеграла типа Коши с не-
неизвестной на действительной оси плотностью со(?)
2я/ J t+-z
о
По формулам Сохоцкого граничные значения интеграла типа
Коши должны удовлетворять равенствам
117
Сравнивая эти выражения с условиями B.140), найдем
-(О 1-5-. T-.h—^-j^f-. "p. 141)
о
Соотношение B.133) запишем в виде
*/2(l + v) "ч
Подставляя сюда Г] \^о из B.141) и N из уравнения B.135),
получим интегральное уравнение для определения реакции q /за-
/записано в размерных координатах)
p + h\qm0, B.142)
О х
4?А 2
где / X, = -.
ECFC /2A+ v)
Уравнение В. Т. Койтера [19] имеет тот же вид, только вместо
параметра Ai у него параметр
AEh 2
ECFC C-v)(
При изменении коэффициента Пуассона v от нуля до 0,5 отно-
отношение Ai/fa изменяется в пределах l,06^Xi/l2^1,08.
Введя ловую переменную ?i=A,i#i в уравнение B.142) и E=A*jr
в уравнение В. Т. Койтера, приведем их к одинаковому виду. Оба
решения будут совпадать в точках ? = ?ь Таким образом, если из-
известно решение В. Т. Койтера в точке t, то такое же решение урав-
уравнение B.142) будет иметь в точке
Хг_Ъ х_ 2/2 х
Иными словами, решение В. Т. Койтера нужно растянуть вдоль
оси х в масштабе taAi.
_ Сравнение результатов лри v = 0,3 для! безразмерного усилия
N=N(x)/N@) в стрингере приведено на рис. 2.36, где по оси абс-
абсцисс отложена безразмерная координата ?=А|2Х, введенная
В. Т. Койтером. Результаты сравнения показывают, что на актив-
активном участке ладения усилия в ребре погрешность решения весьма
мала.
Выполненные расчеты в предыдущих разделах этой главы по-
показывают, что не так обстоит дело, .когда рассматриваются плас-
пластины конечных размеров-с ребрами, достигающими торцев пласти-
пластины. В этом случае касательные усилия взаимодействия, вычислен-
вычисленные по изложенной приближенной теории, не учитывающей эффект
поперечного обжатия, будут бесконечно большими на конце плас-
118
Рис. 2.36. Изменение продольных усилий
N в полубесконечном ребре, присоеди-
присоединенном к бесконечной пластине:
Кривая /—решение В. Койтера [19]. кри-
кривая 2 — решение данного раздела (ЛГ=
=Nlx)IN@), JV(O)-P — усилие на торце ребра
(*0)
N
DJS
0,6
0,2
- ¦
4
L
Л< C
2
-
E
2 4
h
*—
a
-iHH-i) ECFC
г=:=!=гг
тины и ребра. Если же их опреде-
определять на основе точных уравнений
теории упругости, они должны об-
обратиться в нуль. Этого требует
граничное Условие отсутствия ка-
касательных напряжений на свобод-
свободном торце пластины. Отмеченное
обстоятельство, однако, не умаля- о 1 2 з 4 Л2х
ет достоинство изложенной тео-
теории, так как уже на небольшом расстоянии от торца решения по
приближенной и точной теориям будут близки. Приближенную
теорию вполне допустимо использовать в тех случаях, когда крае-
краевые эффекты вблизи торца пластины в зоне присоединения ребра
не. являются .решающими. Если ребро не достигает края пластины,
то изложенные выше результаты позволяют сделать заключение
о высокой точности приближенной теории.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Батовкин В. И. К расчету усилий взаимодействия между переборкой и
боковой стойкой. — Труды Николаевского кораблестроительного института,
1975, вып. 98, с. 126—131.
2. Беляев В. Н. Испытание и расчет крыльев с различной обшнвкои. —
Техника воздушного флота, 1935, № 5, С. 43—56, № 10, с. 1—11, № 12,
3. Беляев В. Н. Расчет свободнонесущего крыла. — Труды ЦАГИ, М.,
ОНТИ, 1934, № 165, с. 7—72. .
4. Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни. М., Госстроииздат, 1940,—
276 с.
5. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Приближенное исследование передачи
нагрузки от упругого стрингера к тонкой упругой пластине. — Изв. АН СССР.
Механика, 1965, № 3, с. 119—123.
6. Елеиецкий Г. С. Работа трапецеидального крыла на кручение. — Труды
ЦАГИ, 1935, № 208, с. 1—130.
7 Еленецкий Г. С, Даревский В. М. Кручение двухлонжеронного пирами-
пирамидального крыла. — Труды ЦАГИ, 1937, № 292, с. 3—43.
8. Одиноков Ю. Г. Расчет тонкостенных конструкций типа крыла, фюзеляжа
и оперения самолетов. — Сборник научных трудов Казанского авиац. институ-
института им. П. И. Баранова, 1946, № 8, с. 39—106.
9. Раскин Ю. Н. Решение плоской задачи теории упругости для случая пе-'
редачи продольного усилия через ребро на пластину. — Труды Ленинградского
кораблестронт. института, 1962, вып. 35, с. 39—50.
10. Тимошенко С. П. Об устойчивости плоской .формы изгиба двутавровой
балкн под влиянием сил, действующих в плоскости ее наибольшей жесткости.—
Изв. С.-Петербургского политехнического института, 1905, т. 4, вып. 3—4,
' § 1—10, с. 151—219 (см. С. П. Тимошенко. Устойчивость стержней, пластин и
оболочек. М., Наука, 1971).
11. Тюряхин А. С. О расчете тонкостенных металлических стержней прч
119
воздействии местных продольных нагрузок. — Ученые записки Мордовского
университета, 1968, № 65, с. 6—49.
12. Уманский А. А. Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкцнй. М.—Л.,
Оборонгиз, 1939. 112 с.
13. Уманский А. А. О нормальных напряжениях прн кручении крыла само-
самолета. — Техника воздушного флота, 1940, № 12, с. 48—65.
14. Ebner H. Die Beanspruchung diinnwendiger Kastentrager aur Drillung bei
behinderten Querschnittswolbung. — Zeitshrift fur Flugtechnik und Motorluftfahrt,
1933, N 23, S. 645—655.
15. Goody W. T. Stress diffusion problems.—Aircraft Engineering, 1946, r8,
N 208, p. 195—198, N 210, p. 271—276; N 212, p. 343—346; N 211, p. 313—316.
¦ 16. Hayashi Takaya. A phenomenon of Load—diffusion in a stiffened plate.
«Shearlead» — Няхон коку утю гаккайси, Journal of the Japan Society for Aero-
Aeronautical und Space Sciences, 1974, 22, N 243, p. 194—199.
¦ 17. Hertel H. Leichtbau. Bauelemente, Bemessungen und Konstrution von
Flugzeigen und anderen Leichbauwerken. Springer-Verlag, Berlin, Gottingen, Hei-
Heidelberg, 1960, S. 526. Перевод на русский язык: Хертель Г. Тонкостенные коиег-
рукции. М., Машиностроение, 1965, 527 с.
18. Juille I. M. Diffusion of load from a bar into plate-simple solution applied
to catapult retardation structures in aircraft carriers.— Quarterly Transactions of
the Royal Institution of Naval Architects, 1961, 103, N 4, p. 479—490.
19. Koiter W. T. On the diffusion of load from a stiffener into a sheet.—The
Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 1955, 8, N 2, p. 164—178.
20. Manfield E. H, The diffusion of load into a semi-infinite shett. P. 1 and
2. — Aeronautical Research. Council Reports and Memoranda, 1953, N 2670,
p. 1—61.
120
Глава 3
РЕШЕНИЯ ДЛЯ ПЛАСТИН С РЕБРАМИ
НА ОСНОВЕ ТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
3.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В третьей главе содержится решение некоторых плоских контактных задач
взаимодействия ребер с пластинами. В отличие от первых двух глав решение
строится на основе уравнений теории плоского обобщенного напряженного сос-
состояния пластины без введения упрощающих гипотез. Ребра считаются присое-
присоединенными к пластинам по линии, ширина участка контакта не учитывается.
В связи с математическими трудностями, возникающими при построении функ-
функций Грина для пластин конечных размеров (в случае плоской задачи) в литера-
литературе, за небольшим исключением, рассмотрены плоскость, полуплоскость и поло-
полоса с ребрами конечной и бесконечной длины. В силу высокой концентрации нап-
напряжений вблизи концов ребер такие решения приближенно могут описывать
напряженное состояние и характер реакций взаимодействия в окрестности кон-
концов ребер и для пластин конечных размеров, если, разумеется, ребро не доходит
до границы пластины. В данной главе делается акцепт на решение контактной
задачи, состоящей в определении касательных реакций взаимодействия между
пластинами и ребрами. Напряжения в пластинах не исследуются, но необходимые
для этого формулы естественно получаются при формулировке задачи.
Из-за ограниченного объема книги в главу не включен целый ряд задач, ко-
которые соответствуют или близки разбиваемой теме. Так, не рассмотрены динами-
динамические контактные задачи, контактные задачи взаимодействия с ребрами пластин,
ослабленных трещинами и вырезами, ие приведены решения для анизотропных
пластин, клиновидных пластин и т. д. Часть таких работ мы не сочли целесооб-
целесообразным включать и в список литературы к главе (пластины с трещинами и вы-
вырезами, динамические задачи).
В разд. 3.3 даны основные уравнения плоской теории упругости и некоторые
решения, используемые при формулировке задач включения. В разд. 3.4, 3.5 и
3.6 соответственно изложено содержание результатов В. Будянского и Т. By {56],
В. Койтера [62] и Е. Мелаиа [66]. В разд. 3.7 дается решение задачи включения
для ребра конечной длины, присоединенного к бесконечной пластине и границе
полубесконечиой пластины. Это более детальное изложение статьи [43]. В разд.
3.8 кратко изложен способ решения основного сингулярного интегрального урав-
уравнения для задач включения с помощью разложения решения в ряд по полино-
полиномам Чебышева. Этот способ широко используется в литературе при решении за-
задач включения и берет свое начало в рассматриваемых задачах, насколько нам
известно, с работы С. Бенскотера [52]. В разд. 3.9 изложено содержание работы
[13], посвящеииой решению задачи для бесконечной и полубесконечиой пластины
с ребром конечной длины и переменной по длине площади поперечного сечеиия.
Содержание этих и других работ по задачам включения обсуждается ниже в
разд. 3.2.
3.2. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ
По задачам включения, рассматриваемым е позиций уравнений
плоской теории упругости без упрощающих предположений, име-
имеется обширная литература.
121
Первая работа, в которой рассмотрена бесконечная пластина с
присоединенным по всей длине бесконечно длинным ребром, наг-
нагруженным (В начале .координат продольной силой, принадлежит
Е. Мелану F6] и относится к 1932 г. Решение для касательных уси-
усилий q в" пластине на линии присоединения ребра, а также для нор-
нормальных усилий N в ребре получено в замкнутой форме
q=—^- (ci.*! cos.*! — sixx sin xt),
л
n
N== — (ciJCi sin ATj —siA
cos t , i sin t
dt sijc \
r cos t , i sin t ,,
где z\xl= — \ —— dt, sijc1 = \ dt,
AEh
(l+v)C-v)?<7v
x — продольная координата; Е, h — соответственно модуль упруго-
упругости' и толщина ;пластины; Ес, Fc — соответственно модуль упруго-
упругости и площадь сечения ребра; Р — продольная сила, приложенная
к ребру. Из приведенного решения следует, что касательные уси-
усилия неограииченно возрастают при приближении к точке прило-
приложения силы, как In х. Эта задача, получившая в литературе назва-
название задачи Мелана, в случае, когда ребро приклепано к пластине
в дискретных точках с постоянным шагом, рассмотрена в работе
Б. Будянского и Т. ВУ [56] A961 г.). Заклепки рассматривались
как бесконечно жесткие шайбы. Выражения для усилий в заклеп-
заклепках получены в явном виде, но при этом требуется вычислить
сложный интеграл, содержащий бесконечный ряд в знаменателе.
Однако для усилий fn в заклепках с большим номером п (считая
от точки приложения сосредоточенной силы) дана асимптотиче-
асимптотическая формула fn^An~2, где А —параметр жесткости ребра. Если
параметр А 1мал„ то предлагаются приближенные формулы
/о«1 - W, f^A(B - 1п2), /„ж - A In A —-
\ п2
здесь В — известный коэффициент.
Е. Билл [57] A948 г.) рассмотрел полубесконечную пластину
Aт2>0, z = x+iy), к участку границы которой х>0 по всей длине
присоединено полубесконечное ребро, нагруженное на конце х=0
силой Р вдоль оси х. Решение бигармонического уравнения для
функции Эри берется в форме Ф=г/<р, где <р — гармоническая функ-
функция. Затем совершается конформное отображение полуплоскости
на внутренность единичного круга |?| ^1. Решение для гармониче-
гармонической функции ф1 (?) =фB) берется в виде ряда
«Pi=— 4- > . bnon sin лф, C=Q е'"ф,
122
где h — толщина пластины; bn — искомые коэффициенты. Подста-
Подстановка этого выражения в граничное условие при q=1 приводит к
функциональному соотношению, которое выполняется применением
метода Бубнова. Таким образом, для коэффициентов получается
бесконечная система алгебраических уравнений. При практическом
решении в системе оставлялось до шести коэффициентов, общий
анализ ее не дается. Приведены графики и формулы для нормаль-
нормальных и касательных усилий на границе пластины. Отмечается, что
касательные усилия неограниченно возрастают на конце стрингера,
имея особенность типа 1/Уе-
Решение этой же задачи и идентичной задачи для бесконечной
пластины получено В. Койтером [62] A955 г.). Используя в качест-
качестве функции Грина решение От сосредоточенной силы, автор полу-
получил сингулярное интегральное уравнение
w *(x)rfx-i=o, C.1)
Я ,1 X — Хп
о о
где ~3=&\Х; q* = Pq,/1\;: q—'Касательное усилие взаимодействия
между ребром и пластиной. В случае бесконечной я полубесконеч-
полубесконечной пластины соответственно
_ C - у) A+у) ?«/=•«¦ . ВеРе
Интегральное уравнение C.1) с помощью преобразования Мел-
сведено В. Т. Койтером к разностному уравнению с перемен-
переменными коэффициентами. Взяв логарифмическую производную от
обеих частей этого уравнения, автор пришел к разностному^ урав-
уравнению с постоянными коэффициентами,^ .которое решено с помо-
помощью преобразования Лапласа. Решение для продольных усилий N
в ребре, отнесенных к приложенной силе, получено в виде ряда
"" C.2)
где of) — логарифмическая производная от гамма-функции Эйлера.
Ряд C.2) хорошо сходится при х<2. Для больших х получена
асимптотическая формула
?Li*L=_L - ^4=5- (In 2 - 0,577-2157 - In x) +...
Р ПХ 1&Х2
Содержание упомянутых результатов Б. Будянского и Т. By
{56], В. Койтера [62], а также Е. Мелана [66] изложено в разд. 3.3,
3.6 и 3.5 настоящей главы.
123
Бесконечная пластина с полубесконечным ребром рассмотрена
также в работе Е. Брауна [55] A957 г.), где использованы комп-
комплексные представления Г. В. Колосова для напряжений. Плоскость
«разр'езается» по линии присоединения ребра, ц отображается на
единичный крут. Искомые аналитические функции в круге пред-
представлены рядами Тейлора, для коэффициентов которых так же, как.
и в работе Е. Билла [57], получена бесконечная система алгебраи-
алгебраических уравнений. Эта же задача решена А. И. Каландия [18], ко-
который для решения исходного сингулярного интегродифференци-
ального уравнения применил метод Винера—Хопфа и получил ре-
решение в квадратурах. Содержание этой работы А. И. Каландия
изложено в его книге [19]. Л. С. Рыбаков и Г. П. Черепанов [35]
изучили дискретный вариант задачи Е. Билла [57], когда полубес-
полубесконечное ребро присоединено к бесконечной пластине с помощью
бесконечного числа заклепок. Задача приводится к бесконечной
системе алгебраических уравнений с коэффициентами, зависящи-
зависящими от разности индексов. Точное решение системы получено путем
сведения ее к задаче Римана;—Гильберта.
Задача включения для ребра конечной длины, присоединен--
ного к бесконечной пластине, впервые рещена С. Бенскотером
152].A949 г.). Интегродифференциальное уравнение
(з.з)
—I
решалось путем разложения нормальных усилий N(x) в ребре в
ряд по полиномам Чебышева второго рода Un-\(x) =sinn6/sin0
(в = arccos x/l) с весовой функцией fl — (д://J.. После-подстановки
ряда в уравнение C.3) получалось функциональное уравнение, ко-
которое удовлетворялось в четырех точках 0=я/8, я/4, 3nf8, я/2 и,
таким образом, получилось четыре уравнения для определения че-
четырех [первых коэффициентов разложения) Остальные принима-
принимались равными нулю. Дан численный расчет двух случаев, когда
силы Р на концах ребра направлены в одну сторону и в противо-
противоположные стороны. Следует отметить, что уравнение C.3) имеет
тот же вид, что и уравнение Прандтля для распределения аэроди-
аэродинамических сил крыла самолета. Эта аналогия отмечена Е. Рейс-
снером [72] A94.0 г.). Приближенные способы решения уравнения
C.3), описанные В. В. Голубевым [11] в 1.931 г., также основаны на
разложении искомой функции в ряд и последующем решении функ-
функционального уравнения. Точное решение уравнения Прандтля для
крыла эллиптической формы в плане получено И. Н. Векуа [9].
В статье Е. Рейсснера [72] рассмотрено взаимодействие ребра
конечной длины и полубесконечной пластины, прикрепленной пер-
перпендикулярно к границе. Записано сингулярное интегродифферен-
интегродифференциальное уравнение для ребра переменной жесткости, решение ко-
которого, однако, не получено. Развитие указанной работы Е. Рейс-
Рейсснера дано И. Гудиером и Ц. Су [61] в предположении, что контакт
124 '
осуществляется по контуру соединения-пластины и ребра конечной
ширины. Эта же задача решалась Р. Муки и Е. Стернбергом [69]
на основе двух гипотез: при контакте по линии, совпадающей с
осью ребра, и при контакте по всей ширине ребра в предположе-
предположении, что касательная реакция не изменяется по ширине ребра.
В этой работе дан анализ особенностей решения для случая, когда
ребро достигает границы пластин. Обсуждаемой задаче посвящена
также публикация Е. Февра, Д. Мудже и И. Дикки [63].
Решению задачи включения для полубесконечной и бесконеч-
бесконечной пластины с ребром конечной длины посвящены также работы
В. М. Александрова и М. Д. Солодовника [4], Н. X. Арутюняна [в],
X. Буфлера [58], Э. И. Григолюка и В. М. Толкачева [13],
Ю. И. Ларькина [24], [25], {26], Г. А. Мораря [29], Г. А. Мораря и
Г.' Я. Попова [30], В. М. Толкачева [43], X. Фана и Р. Муки [60].
В статье D3] ребро конечной длины и 'постоянного сечения при-
прикреплено по всей длине к бесконечной пластине или к границе по-
полубесконечной пластины. В отличие от работы E2] решение интег-
родифференциального уравнения получено путем обращения сингу-
сингулярного интеграла и после некоторых преобразований с использо-
использованием тригонометрических рядов сведено к регулярной бесконеч-
бесконечной системе алгебраических уравнений. .Ряды быстро сходятся.
Решение работы [43] изложено в разд. 3.7. Эта же задача рас-
рассмотрена в статье [6]. Так же, как и в статье [43], сначала делается
обращение сингулярного интеграла я исходном уравнении, что поз-
позволяет выявить особенности реакции в явном виде. После этого (в
отличие от работы [43])' усилия в ребре представляются в виде.сте-
виде.степенного ряда, коэффициенты которого определяются из регулярной
бесконечной системы алгебраических уравнений.
При рассмотрении задачи включения для бесконечной и полу-
полубесконечной пластины с ребром конечной длины эффективным яв-
является способ представления решения в виде рядов по полиномам
Чебышева. Видимо, первой здесь является работа С. Бенскотера
[52]. Позднее для данного класса-задач аппарат полиномов Чебы-
Чебышева непользован в работах [26, 25, 24, 29, 30]. В статье [30] пред-
предполагается, что ребро прикреплено к границе полуплоскости и заг-
загружено произвольной продольной нагрузкой. В книге [31] ребро
считается прикрепленным параллельно границе полуплоскости на
некотором расстоянии от нее, в работах [24, 25, 26] рассмотрен
случай, когда ребро расположено перпендикулярно границе полу-
полуплоскости, причем в статье [26] предполагается, чтю: граница под-
подкреплена бесконечно длинным поясом-балкой, через которую ребро
нагружается сосредоточенной силой. В статьях [29] и [30] допуска-
допускается, что ребро может иметь переменное поперечное сечение.
В статье [4] при рассмотрении полуплоскости с ребром конечной
длины также используется метод решения основного интегродиф-
ференциального уравнения с помощью ортогональных многочленов.
Однако это не чебышевские многочлены, а специальные многочле-
ны^ (ортогональные до; отношению к интегродифференциальному
.оператору. Случай, когда ребро имеет переменное сечение и при--
125
креплено к бесконечной пластине либо ж границе полуплоскости
наряду со статьёй [30] рассмотрен и в статье [13]. Решение строится
путем обращения сингулярного интеграла в исходном уравнении,
которое преобразует его к уравнению Фредгольма второго рода.
Рассмотрена прямая и обратная задача. Прямая состоит в опреде-
определении напряжений в ребре заданного сечения, обратная — в опре-
определении закона изменения площади сечения ребра с заданным за-
, коном распределения напряжений в нем. Прямая задача решается
численно методом коллокаций, обратная решена точно. Содержа-
Содержание статьи [13] изложено в разд. 3.8. Случай, когда ребро конечной
длины присоединено к бесконечной пластине с помощью заклепок,
рассмотрен в работе [58]. Когда все заклепки одинаковые и распо-
расположены с постоянным шагом, получено точное решение систем#ы
разностных алгебраических уравнений для усилий в ребре меж'ду
заклепками. Это решение выражено через полиномы Чебышева
второго рода. Исследован также случай, когда ребро прикреплено
по всей длине.
В. М. Александров и А. С. Соловьев [3] задачу включения для
бесконечной полосы решают применительно к проблеме тензомет-
рирова1шя. Между поверхностью полосы и накладки (тензодатчи-
ка) имеется упругий слой клея малой толщины. Предварительно с
позиции плоской теории упругости рассматривается вспомогатель-
вспомогательная задача о растяжении двухслойной пластины (тензодатчик и
клеевая прослойка) произвольной самоуравновешенной касатель-
касательной нагрузкой, приложенной к одной из ее граней. Затем из усло-
условий полного сцепления клея с полосой строится сингулярное ин-
интегральное уравнение для определения касательных усилий взаи-
взаимодействия на границе полоса—клей. Это уравнение регуляризует-
ся и решается методом последовательных приближений.
Н. X. Арутюнян и С. М. Мхитарян [51] с использованием разло-
разложения по полиномам Чебышева и последующим применением мето-
метода Бубнова решили задачу включения для полуплоскости, к грани-
границе которой присоединено одно и два ребра. В случае двух ребер
разобран отдельно случай симметричного и антисимметричного
нагружения ребер. Периодическая контактная задача для полупло-
полуплоскости с ребрами на границе сформулирована в работе [7]. Исход-
Исходное интегральное уравнение регулярнзовано, и затем решение
представлено в виде ряда Фурье. В итоге задача сведена к регу-
регулярной бесконечной системе алгебраических уравнений. В работе
[8] рассмотрена задача о контакте двух полуплоскостей, соединен-
соединенных полубесконечным ребром. Задача решена с учетом реакций
нормального взаимодействия между ребром и пластинами и в ито-
итоге сводится к. системе двух сингулярных интегральных уравнений,
которые решаются с помощью преобразования Меллина. Учет нор-
нормальных усилий взаимодействия приводит к таким же особеннос-
особенностям осциллящионного характера для реакций как и при вдавлива-
вдавливании штампа с трением.
К. Л. Агаян [1] разобрал бесконечную пластину с произвольным
чиолом одинаковых накладок, расположенных параллельно меж-
126
ду собой в виде лестницы в один или два ряда, а в статье [2] изу-
изучил периодическую задачу для пластины с ребрами в виде лестни-
лестницы с бесконечным числом ступеней.
Задачами включения занимался также К. Г. Гулян. {14, 15, 16],
который изучал поведение ребер, присоединенных к граням клино-
клиновидных пластин. При рассмотрении задач для пластин с ребрами
¦конечной длины решение исходного уравнения строится с использо-
использованием разложения по полиномам Чебышева, если ребра бесконеч-
бесконечной длины, то (применяется аппарат преобразования Меллина.
Обобщение задачи Е. Мелана [67] на случай, когда бесконечный
стрингер находится между двумя полосами, защемленными по сто-
сторонам, не связанными со стрингером, дано В. С. Саркисяном и
Р. Г. Аванесяном [38]. Решение построено в замкнутом виде с уче-
учетом нормальных усилий взаимодействия между стрингером и поло-
полосами. Использовано преобразование Фурье. Эта же задача при тех
же допущениях, но в случае одной полосы рассмотрена теми же
авторами в работе [37]. Отучай, когда ребро подчиняется степен-
степенному закону зависимости между деформацией и напряжением, рас-
рассмотрен В. С. Саркисяном, В. Г. Мхитаряном и Л. О. Овсепяном
[39, 40]. Некоторые задачи* включения для анизотропных пластин с
ребрами исследованы В. С. Саркисяном и Л. О. Овсепяном [41],
[42]. Все эти результаты изложены в книге ¦ В. С. Саркисяна [36].
В частности, в ней рассмотрена анизотропная полуплоскость с уп-
упругой накладкой на границе (без учета нормальных усилий взаи-
взаимодействия). Решение строится с использованием разложений по
полиномам Якоби. Решается аналогичная задача для случая двух
накладок на границе и периодическая задача. Проанализирован
случай двух анизотропных полуплоскостей, соединенных по грани-
границе через упругую накладку конечной длины (с учетом касатель-
касательных и нормальных контактных напряжений).
Выше ;были обсуждены исследования-, относящиеся к задачам
включения для плоскости, полуплоскости, полосы и клина, т. е. для
областей бесконечной протяженности: Что касается результатов,
посвященных задачам включения для пластин конечных размеров,
то аналитических решений здесь немного. Это объясняется трудно-
трудностями математического характера. Численные же решения, полу-
полученные методами конечных разностей и конечного элемента, пос-
посвящены анализу напряженно-деформированного; состояния. Они,
как правило, не ставятся как задачи включения и здесь обсуждать-
обсуждаться не будут. . '
Из наиболее ранних работ- по задачам включения для пластин
конечных размеров можно назвать работы А. А. Уманского и
Б. С. Бляхера [45] A937 г.), а также И. И. Мееровича [28] A940 г.)-
В первой рассмотрена пластина, подкрепленная ребрами на про-
продольных кромках, во второй — изгиб кессона. Для решения исполь-
использованы разложения в тригонометрические ряды по координате, сов-
совпадающей с осью ребер.
Пластины конечных размеров с ребрами рассмотрены и в [21,
34].
127
Ю. П. Кочанов [21] проанализировал задачу для пластины с
двумя продольными ребрами, расположенными на некотором рас-
расстоянии от кромок и нагруженными на участке длины равномерно
распределенными касательными усилиями в случае подкрепленных
поперечных кромок. Решение ищется в виде суммы двух тригоно-
тригонометрических рядов, одного по продольной и второго по поперечной
координате. В итоге получается .бесконечная система уравнений
для коэффициентов рядов, которая решается методом последова-
последовательных приближений. Несколько упрощенный подход к решению
аналогичной задачи дан Ю. Н. Раскиным [34]. На первом этапе ре-
решения подкрепления на кромках считаются абсолютно жесткими.
Разыскиваются напряжения в ребрах. Затем накладывается добав-
добавка напряжения в силу конечной жесткости ребер при условии, что
эта добавка не меняет характер распределения напряжений в реб-
ребре. Такой подход позволил обойти бесконечную систему, заменив ее
системами конечного числа алгебраических уравнений. Как видно
из приведенного выше обзора, задачам включения для пластин
поовящено большое число публикаций. В данной главе из-за огра-
ограниченности объема обсуждены только основные задачи и способы
решения. Специалисты/ более глубоко заинтересованные данной
проблемой, могут воспользоваться перечнем литературы, приведен-
приведенным в конце главы.
3.3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Рассмотрим плоское напряженное состояние пластины, располо-
расположенной в плоскости х, у. Уравнения равновесия элемента средин-
срединной плоскости пластины имеют вид
^+^=0,^+^=0, C.4)
дх ' ду ду^дх к '
где ах, ov, хХу — нормальные и касательные напряжения (рис. 3.1).
Запишем соотношения между деформациями растяжения г
гу и деформацией сдвига \, с одной стороны, и перемещениями и
v вдоль осей х, у, с другой,
ди dv ди , dv
х,
Исключив отсюда перемещения, получим условие совместности
деформаций Сен-Венана
ffisx . &zxy & у ^
ду* ' дх* дх*у ~ '¦'
которое можно записать в виде
V2Cx + »y) = 0f C.5)
128
Рис. 3.1. Положительное направление напря-
напряжений в плоскости пластины
если выразить деформации через на»
пряжения из соотношений закона Гука
=-^(°»-veJr). Y=— C.6)
и воспользоваться уравнениями равновесия C.4).
¦ В уравнениях C.6) д> — коэффициент Пуассона; G — модуль'
сдвига; Е — модуль Юнга. ;
2A
Полагая
ми
—,
ти
—
мы удовлетворим уравнениям равновесия C.4), а из условия сов-
совместности деформаций C.5) получим бигармоническое уравнение
для определения функции напряжений U
дх2 ' ду2
Общее решение этого уравнения представляется через две про-
произвольные аналитические функции <р(г) и %(z) комплексного пере-*
менного z~x+iy
Это представление Гурса [17]. :
Представление для перемещений и усилий, называемое пред-!
ставлением Колосова, имеет вид [23]
Е , .
J + v Щ '
13 х
3 v —,—
1+V
_j_ j ^^2 fcp' iz\ ф' {z)\
[ 2/т ^^^2 \zrfr (z\ ~\~Ф' f^
-«1»(-г), C.7)
C.8)
)]. C.9)
где -ф(г) =х'(г), а чертой сверху обозначены комплесно сопряжен-
сопряженные функции.
Приведенные соотношения используем для формулировки за-
задач.
Рассмотрим :бесконеч,ную пластину, занимающую всю плос-i
кость ху. Пусть в произвольной точке Хо действительной оси к пла-
пластине приложена сосредоточенная сила Рх=\ в нанравлении оси X.
5 3136 129
В этом случае функции ц>(г) и -ф(г), фигурирующие в формулах
[{3.7)-C.9), будут [31]
8яЛ
1 +v /3 — v ,_,_ „ ч , lx0
8лЛ
\n(Z — X0)-i —¦ .
Если на некотором отрезке [а, Ь] действительной оси х действу-
действуют погонные касательные усилия qr направленные в сторону отри-
отрицательной оси х, то в этом случае .предыдущие формулы можно ис-
использовать как функции Грина и получить
ь
<Р (*)=~~ J q {х^ In (z - х0) dx0,
а
(¦ W[l
в
' Подставляя функции C.10) в формулы C.7) —C.9), найдем
C.11)
Деформация еж в точке z=x действительной оси согласно C.11)
будет
_C-v)(i+v) СМ*)** 3 13)
а
Если единичная сосредоточенная сила Рх=\ приложена к гра-
границе нижней долуплоскости Imz<0 в точке Хо, то функции ф(г) и
tf(z) имеют вид [3.1, с. 356].
¦¦¦'¦*;
v
130
Когда вдоль границы нижней полуплоскости приложены каса-
касательные усилия q в направлении отрицательной оси х, то аналоги*-»
но предыдущему найдем
(¦*<>)[¦
3 —v
1 +v
— xQ)-\-
*•()>
яЛ
z ~~~.
s,,-—с
Деформация еж на линии действия усилий 7 будет
«*(¦*)= -
C. 14)
Формулы C.13) и C.14) будут использованы ниже при опреде*
лении реакции взаимодействия между ребром и пластиной.
i
3.4. ПЛАСТИНА С РЕБРОМ БЕСКОНЕЧНОЙ I
ДЛИНЫ. РЕШЕНИЕ МЕЛАНА
Ниже приведено решение, данное Е. Меланом [66] для случая,
когда бесконечно длинное ребро присоединено к границе полубес-
полубесконечной пластины и к бесконечной пластине.
1. Полубесконечная пластина. Рассмотрим полубесконечную
пластину, занимающую верхнюю Полуплоскость у>0 (рис. 3.2)'.
Вдоль границы у=0 к пластине по всей длине прикреплено беско-
бесконечно длинное ребро, имеющее площадь поперечного сечения Fe и
модуль упругости Ес. В начале координат к ребру приложена, про-
продольная сила Р. Считается, что ребро воспринимает только усилия
растяжения — сжатия, поэтому между ребром и пластиной возни-
возникают лишь касательные напряжения т.
Рнс. 3.2. Полубесконечная пластина у>
>0 с бесконечно длинным ребром, при-
присоединенным к границе у = 0 (Fc— пло-
площадь сечения ребра; h — толщина плас-
пластины; сила Р приложена к ребру)
5*
с Имея в виду, что продольная относительная деформация е реб-
ребра и пластины на линии Соединения одинакова, функцию напряже-
напряжений U Е. Мелан разыскивает в виде интеграла Фурье
C.15)
где д(а) —произвольная функция, которая будет определена из
условия, что деформация ребра и пластины в месте соединения
одинакова.
Так как напряжения в пластине ах, <ву, txy определяются через^
функцию напряжений U по формулам
o. = -
¦ ' ¦ * дх2 ' •*» дхду ч '
то видно, что решение C.15) удовлетворяет условию
av=0 при у=0.
Кроме того, решение C.15) дает нулевые напряжения при у=*
= +оо. Наконец, решение C.15) удовлетворяет условию симмет-
симметрии касательных напряжений TXy(x)=txy(—х), что согласуется с
условиями задачи. Действительно, если ребро нагружено продоль-
продольной силой в точке л:=0, то касательные напряжения взаимодейст-
взаимодействия будут четной функцией.
Обозначим через Nc растягивающее усилие в ребре. Деформа-
Деформация растяжения вс в ребре
*e==~
Деформация ex в пластине на ее границе-#=0 будет
так как на границе ov=0.
Сравнивая деформации, получим условие стыковки ребра и пла-
пластины
^. C.17)
Отметим, что Е. Мелан строит сначала решение для общего слу-
случая, когда к ребру приложена произвольно распределенная про-
продольная нагрузка р(х), удовлетворяющая лишь условию четности
р(х) —р(—х). Только в конце он переходит к сосредоточенной силе
Р, так как иначе не удается получить решение в явном виде. Сле-
Следуя Е. Мелану, будем" считать, что к ребру приложена указанная
нагрузка р(х).
132
Уравнение равновесия элемента ребра будет
которое с учетом C.17) можно переписать в виде
BCFC
-I-At+ /7=0. C.18)
E дх
Из решения C.15) и формул (З.Ш) следует, что при у=0
оо оо
t= — fQ(a)cos axda, <**-= _-*?.= —2 \ Q(a) ax
J дх ду J
X сое
после чего уравнение C.18) преобразуется в интегральное уравне-
яие для функции q(o)
^ C.19)
C.20)
E
Будем предполагать, что модуль упругости и площадь попереч-
поперечного сечения ребра постоянные, так что величины C.20) являются
также постоянными. . .
Умножим обе части уравнения C.19) на cos Kx и проинтегриру-
проинтегрируем по х от нуля до бесконечности. Используя при этом формулу
двойного косинус-преобразования Фурье
оо оо
2 г (
<р(Х) = —\coskxdxY<f(a)cosaxda
о о
я вновь обозначив % через а, получим ^:: ~7^~\
о
Если функция р(х) является постоянной и отлична от нуля
только на участке а>ж> —а, то
в(а)=
nF(a+q) a
В пределе, когда a-й), а р-*-оо, так что 2ар=Р, приходим к у
чаю, когда к ребру приложена сосредоточенная сила (см. рис. 3.2J.
В этом случае • J
133
а функция напряжений C.1) будет
U=-^\e"Vsiaaxda, V
2nF J a (a + q)
о
а для напряжений согласно C.16) получим формулы
D с*
о
00
_-„ « Sin 1
a + q
0
_ Р
О
На границе г/ = 0
СО . 00
Р С sin ад: , Я Г cosaxda
0^.= \ da, Т= \
nF Jo+e 2я/? J a + q
nF Ja+q
о о
Эти-формулы можно переписать в виде
чх=— [si (qx) cos (qx) — ci (qx) sin (qx)],
nF
P
x= [ci (qx) cos (^JC)-j-si (qx) sin (qx)], C.21)
nf
где si, ci — интегральные синус и косинус
C. 22)
Формулы C.21) позволяют вычислить напряжения на кромке
# = 0 пластины, воспользовавшись таблицами функций si, ci.
Так как si(x) при х = 0 принимает значение (—я/2) или (я/2),
когда х-*-0 со стороны x<0 или х>0 соответственно, а
lim ci(qx) sin (qx) =0 при х-Я), то
о,= — при х=4-0, ах=——при х=— О,
х 2 р Y I х 2 ^ v
как и должно быть. Что касается напряжений хХу, то из-за слага-
слагаемого si (qx) cos (qx) они бесконечно возрастают при х=0. В не-
подкрепленной пластине, к границе которой приложена сосредото-
. ченная сила Р вдоль оси х, касательные напряжения неограничен-
неограниченно возрастают как l/х. В подкрепленной пластине напряжения т
хотя и возрастают, но как In x, так как логарифмическую особен-
134
Рис. 3.3. Бесконечная пластина с бесконеч-
бесконечно длинным ребром, присоединенным по
оси х (сила Р приложена к ребру)
ность в точке х — 0 имеет ci(x). Зна-
Значения величин OxF/P и rF/P, подсчи-
подсчитанные по формулам C.21), приве-
приведены в табл. 3.1, взятой из статьи
Е. Мелана [66].
2. Бесконечная пластина. Рас-
Рассмотрим ту же задачу, но когда ребро прикреплено к бесконечной
пластине вдоль оси х (рис. 3.3).
Таблица 3.1
Касательные напряжении т и нормальные напряжения ах в полубескоиечной
пластине на линии соединения с ребром </=0 (см. рис. 3.1) (q и F — параметры
C.20), g=Eh/2EcFe, F=ECFJE)
Ях
0
0,2
0,5
1,0
1,5
F
+оо
0,2061
0,1070
0,0547
0,0338
0,5000
0,3617
0,2740
0,1981
0,1550
Ях
2,0
2,5
3,0
6,0
12,0
F_
0,0230
0,0167
0,0111
. 0,0039
0,0008
F
0,1270
0,1074
0,0929
0,0507
0,0269
Чтобы решить задачу, пластина по оси х разрезается на две
одинаковые половины, каждая из которых подкреплена половиной
ребра, т. е. ребром с площадью FJ2, и такое ребро нагружается
силой Р/2. Теперь задача может быть решена так же, как и преды-
предыдущая, однако прежнее условие ау=0 при # = 0 должно быть заме-
заменена условием о =0 при # = 0, где о — перемещение пластины
вдоль оси у. Имея в виду рассмотрение верхней полуплоскости
У>0, вместо ядра интеграла C.15), являющегося решением бигар-
монического уравнения, будем искать ядро в виде
+ $=%-"» sin ax. C.23)
Первое слагаемое соответствует C.15), а функция щ(х, у) явля-
является гармонической.
Функция t|) является гармонической, поэтому определим ее как
мнимую часть аналитической функции f=®(x, у) +ty(x, у). При
этом перемещение любой точки пластины в иаправлении у можно
представить в виде
20 V * дх ' /я + Г ду
где G — модуль сдвига; /»=l/v — число Пуассона — величина, об-
обратная коэффициенту Пуассона (величину т оставляем, чтобы сох-
135
ранить обозначения Е. Мелана). Формула для v получена интег-*
рированием закона Гука
dv \
с учетом представления C.23). Подставляя в формулу для о
-^5. = *t = _ а ?-*у sin ax,
дх ду
получим v=(ayesmax^esmax
1 2G V- т+1 ¦ ду
Из условия v=0 при у—0 найдем
dtii т— 1 . г.
—- = sin ад; при у=0.
ду т +1 у
Гармоническая функция, удовлетворяющая этому условию и обра-
обращающаяся в нуль при г/=оо, будет иметь вид
m + 1 a
после чего бигармоническую функцию %, определенную формулой
C.23), можно представить в виде
— ^-^ )e~IJ' sin ax.
т + 1 a /
Теперь общее решение задачи, как и в первом случае, можно
искать в виде
ц= Г-?!21 (у - -LT—1) е-м sin cu;rfa. C.24)
J о V а я» + l/ ¦
Приравнивая при г/=0 дефррмацию пластины
1 / ау\
Е \ т]
и деформацию ребра ec=NJEcFc, получим условие стыковки
Уравнение равновесия ребра будет
136
Из решения C.24) при у = 0 найдем
%= — \ g (a) cos axda,
/га + 1 i
О
дх
= ^t— [ ад (а) cos axda, —-
,=о /га +1 ) v дх
о
оо
=^i! ^ ад (а) cos axda,
/га + 1 J
у=о
после чего из уравнения C.26) получим интегральное уравнение
для функции д(а)
Р /3/га — 1 . 2А 2/га \ , ч
J У, /я ^ F т + 1Г
cos axda =
rReF=EcFJE — параметр C.20).
Как и в п. 1, найдем для случая сосредоточенной силы Р
3/га — 1 v 4/ra2
+
C/га—1) (от+ 1)
Полагая для краткости
t
C/га— 1)(/га + 1) F '
функцию напряжений Эри C.24) представим в виде
U=JL \
3/га —1 J <z(<z+O\ а /га + 1
о
откуда найдем формулы для напряжений в пластине
. _.. 1 \ sin axda
х nF 3/га — 1
[е-ч(ау-3т + l)sin axdc
J \ m—\ I a + t
о
Ге-ч (-ay+^zl) *R^E2l, {3. 27)
J V am+l) a+t v y
-1 J V m + 1 / a
3/га-
"о
a+t
cos axda
137
Полагая в этих формулах #=0 и используя представление
C.22) для интегрального синуса и косинуса, получим окончатель-
окончательные формулы для напряжений
<зх=
x=
wCw+ 1}— (si tx cos tx -ci tx sin tx),
(ci tx cos **+si tx sin *x).
C/ra — !)("* ~
Эти выражения отличаются от C.21) по существу только мас-
масштабом.
Для напряжений ау при #=0 имеем
а„=-— я(я-1) (sitxcostx-citxsintx). C.29)
* nF C/га— 1)Aя + 1) v v
Формулу для усилий в ребре . найдем, подставляя ах и ау из
C.28) и C.29) в условие стыковки C.25) .
Р '
¦Nc— — (si tx cos tx — ci tx sin ?*).
я
Эта формула с заменой t на q сохраняет силу и для полубесконеч-
полубесконечной пластины.
3.5. ПЛАСТИНА С РЕБРОМ ПОЛУБЕСКОНЕЧЯОЙ ДЛИНЫ
Рассмотрим бесконечную и полубесконечную пластину с ребром
жесткости полубесконечной длины. Ребро к бесконечной пластине
присоединено вдоль оси х на полубесконечном участке О^х^оо
(рис. 3.4). В случае полубесконечной пластины ребро присоединено
к участку границы (рис. 3.5).
К концу ребра приложена продольная сила Р, касательные уси-
усилия взаимодействия обозначим через q (см. рис. 3.4, 3.5).
Рис. 3.4. Бесконечная пластина, подкрепленная вдоль оси х полубесконечныи
ребром. (Сила Р приложена if концу ребра, q — касательные усилия взаимодей-
взаимодействия между ребром и пластиной)
Рис. 3.5. Полубесконечная пластина, подкрепленная на границе (/=0 полубеско-
иечиым ребром. (Сила Р приложена в конце ребра, q—-касательные усилия вза-
взаимодействия между ребром и пластиной)
138
Продольная деформация 8Ж на оси х бесконечной и полубеско-
полубесконечной пластины определены в разд. 3.3 формулами C.13) и C.14).
В нашем случае
'4я?А
для бесконечной пластины и
C —v)(l+v)t ч\ь)ич C 30)
для полубесконечной пластины.
Продольная деформация ребра
х
P-\qd\\. C.32)
о
Исходное иитегральное уравнение получим, приравнивая де-
деформации C.30) и C.32), C.31) и C.32). Введем безразмерные
величины х\, %\, <7i для случая бесконечной пластины
^b; C.33)
ECFC
и для случая полубесконечной пластины
В безразмерных величинах C.33) и C.34) исходное уравнение в
случае полубесконечной и бесконечной пластины будет одним и
тем же
_ 1_ Г 11ЩЬ + ? fc)rfgi _ ! =0- C.35)
я. J Si — jci j
о о
Уравнение равновесия всего ребра будет
l- C.36)
Ниже приводим решение уравнения C.35), данное В. Койтером
[62]. Большую часть промежуточных выкладок и доказательств
опустим, так как они достаточно сложны в математическом отно-
отношении. С ними можно познакомиться в цитированной работе
В. Т. Койтера.
139
Уравнение C.35) преобразуется с помощью преобразования
Меллина. Умножая его на х\~х и интегрируя от Х\=^Ъ до Xi=oo,
затем меняя порядок интегрирования в первом интеграле, а второй
вычисляя по частям, получим
—
^^- —y\xiql(xl)dx1=O. C.37)
о о о
Здесь введена новая переменная tj =Xi/ii, а также использовано ус-
условие .
'?1(9<«- Л-о и *f J
при Xi-voo и 6<5<1, Ь>0
С помощью преобразования Меллина
C.38)
о
уравнение C.37) можно записать в виде
77$+1)=—-sH(s)T(s). C.39)
л
Интеграл H(s) можно вычислить. С этой целью нредставим его
в виде
1 ч |
о1 о . 1+Е ;
Второй интеграл преобразуется с помощью замены переменной
Ь1/
V -'
.-^o| J 1 —т J I — fci j .
i-ч J i-ei[ J l — i
I—•
Используя формулу Лежавдра [12], найдем
о
где T(s) — гамма-функция Эйлера, у — константа Эйлера — Ма-
шерони
Y=0,5772157. „
140
С помощью C.40) найдем
()
ds ds
после чего уравнение C.39) приводится к виду
T{s+\)=-2sctgnsT(s). C.41)
Далее В. Т. Койтер вводит новую функцию y(s) с помощью со-
соотношения
Т E)=2*Г (s) Hs) C.42)
sin ns/2
и преобразует уравнение C.41) к виду
Это уравнение однородное, оно-должно удовлетворять граничному
условию
которое вытекает из условия C.36) и формул C.38) и C.42).
Уравнение C.43) является уравнением в конечных разностях
с переменным коэффициентом. Оно преобразуется к уравнению с
постоянным коэффициентом, если в качестве искомой функции
ввести логарифмическую производную
/ \ ' **У \^) /О А А \
' 7is) ds ¦ .
Это уравнение будет иметь вид
Jc(s-j- lj — jc(s)= -. = f(s). (о. 45)
Уравнение. C.45) решается с помощью преобразования Лапласа ;
_X(w)= f x{s)lswds,
С— <<»
F(w)= J f{s)l™ds. C.46)
Применяя к обеим частям C.45) преобразование Лапласа, по-
получим
C.47)
Интеграл C.46) от правой части уравнения C.45) "вычисляется
3,1
(е2 "+ 0(е- + 1)
C.48)
141
после чего X(w) определяется по формуле C.47). Зная X(w), мож-
можно вычислить x(s), применяя обратное преобразование
о
"После вычисления интеграла с учетом C.47) и C.48) получается
2 sin its sin 2ns
а решение уравнения C.41), удовлетворяющее условию 7A) =
' (см. C.36) и C.38)), с учетом C.44) и C.42), будет
ns I J I 2 sin я* sin 2я*
sin у L
¦)"*]¦
Зная 7(s), безразмерные касательные усилия q\ можно, соглас-
согласно C.38), 'получить с помощью обратного преобразования Мел-
лина
' 2п/ I y
Опуская выкладки, связанные с вычислением интегралов и со-
содержащиеся в работе В. Т. Койтера [62], запишем окончательное
решение для усилий в ребре Л^с
... = 1 - Y^t ^1 ~Xl (°'25425-°.1061 ln*l) +
jc1J] + ...}) C.49)
где г|5 (г) —логарифмическая производная от гамма-функции Эйле-
Эйлера. Напомним, что в формуле C.49) координата хх безразмерная,
определенная формулами C.33) и C.34). Усилия Nc и q связаны
формулой
Ne=P-
' с
Формула C.49) дает достаточно точное решение. при неболь-
небольших значениях 2
142
Рис. 3.6. Распределение нормальных усилий
Nc в полубесконечиом ребре, прикрепленном к
бесконечной пластине или к границе полубес-
полубесконечной пластины, (xt — безразмерная коор-
координата C.33) илн C.34); кривые а, о, с пост-
построены по формуле C.49) при удержании раз-
разного числа слагаемых; пунктирные линии е и
d построены по асимптотической формуле
C.50); кривая f дает истинное решение)
Если удержать в C.49) только сла-
слагаемое
1-
0,6
0,2
I
\
d
4
X?
то получим кривую а на рис. 3.6. Если о 1 2 з хг
добавить круглую скобку с множите- . ;
лем хи получим кривую Ь, если учесть
всю фигурную скобку, то получим кри-
кривую с. При Xi>2, как. видно, кривые расходятся. Для больших х%
в работе В. Т. Койтера [62] получена асимптотическая формула
**Л*1) ^_2 * (In 2-0,5772157-In*,). C.50)
Р ЛХ\ ПЩ
На рис. 3.6 показаны кривые due, соответствующие одному и
двум слагаемым в формуле C.50). Путем разумного соединения
решения C.49) для *i<2 и решения C.50) для больших Х\ в ра-
работе В. Т. Койтера [62] получена кривая /, которую можно считать
' истинным решением.
В заключение в работе В. Г. Койтера [62] дается оценка числен»
ного решения, полученного в работе Е. Билла [57], где задача све-
сведена к решению бесконечной системы алгебраических уравнений, а
численное решение получено путем урезания системы до шести
уравнений с шестью неизвестными. Это решение практически сов-
совпадает с изображенной на рис. 3.6 кривой f. Дано сравнение пер-
первых двух слагаемых
1-
в формуле C.49) с соответствующими слагаемыми в решении
Е. Билла [57], которые имеют вид
Это сравнение показывает, что должно быть
= У -—1=0,253314.
Р У 2
143
В работе Е. Билла {57] при удержании шести коэффициентов
рп получено
б
Х\ -^-=0,247108,
л = 1
.Что дает погрешность порядка 2,5%.
Таким образом, приведенное аналитическое решение В. Т. Кой-
frepa может служить критерием точности численного решения
Е. Билла. В то же время результат Е. Билла получается с помо-
помощью более лростых математических выкладок.
,ьт 3.6. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С РЕБРОМ,
_' "_' ПРИСОЕДИНЕННЫМ С ПОМОЩЬЮ ЗАКЛЕПОК
В предыдущих разделах ребро было приварено к пластине по
всей длине. В работе Б. Будяяского и By [56] решена задача
включения для бесконечной пластины с ребром бесконечной дли-
' ,ны, приклепанным к пластине в дискретных точках с постоянным
шагом Гпо всей длине (рис. 3.7). Приведем решение [56].
При решении задачи вводятся следующие предположения.
1. Трение между ребром и пластиной в промежутках между
заклепками не учитывается.
2. Пренебрегается ослаблением поперечного сечения ребра
-вследствие заклепочных отверстий.
3. Заклепки считаются абсолютно жесткими круговыми включе-
включениями, идеально сцепленными с пластиной.
4. Напряженно-деформированное состояние в пластине от силы,
дриложенной к одному жесткому включению, строится так, как
будто других включений и отверстий от-заклепок в пластине нет.
Таким образом, возмущение напряженного состояния из-за других
включений не учитывается. Напряженно-деформированное состоя-
состояние от всех включений получается суммированием решений от'от-
дельных включений.
Обозначим через d диаметр включения (заклепки), через I —
расстояние между центрами соседних заклепок (см. рис. 3.7). Бу-
Будем считать, что ребро нагружено продольной силой Р = \, эта сила
п :му .т
-3 -2 -1
I П-2 I /7-7 I /7 I /?+. I /7+2 j /7+Jl
"-2 Л-/ /7 П+1 П+2 П+3 ГН-4-
Рис. 3.7. Бесконечная пластина с бесконечным ребром, приклепанным к пластине
в дискретных точках (центральная заклепка нагружена продольной силой Р=1)
Рис. 3.8. Нумерация заклепок и интервалов между ними
_44 • ' - ¦
приложена к заклепке с нулевым номером н направлена в отрица-
отрицательную сторону оси х. Нумерация заклепок показана на рис. 3.7.
Интервалы между заклепками нумеруем, как показано на рис. 3.8.
Начало координат системы х, у совместим с центром нулевой зак-
кепки (см. рис. 3.7).
Теперь рассмотрим бесконечную пластину, имеющую только од-
одно Жесткое включение диаметром d. Центр включения совпадает с
началом координат и нагружен силой Р\ = \, направленной в сто-
сторону отрицательной оси х. Найдем перемещение и(х) в направле-
направлении оси х какой-либо точки на этой оси. Задача имеет следующее
решение [31, с. 318]
,(x)==C-v)(l+v)[lnj?.+ 1 + v (J*--l)]. C.51)
V '. 4nEh { d ' 2C —v) \ 4x2 )\ v '
Формула C.51) применима при x^d/2, т. е. вне включения. Пере-
Перемещение самого включения принято равным нулю. Поэтому будем
считать что и и@) =0. Если сила приложена к я-й заклепке, то ее
перемещение также будем принимать равным нулю.
Обозначим через «mn увеличение длины т-то интервала оси х
пластины от единичной силы, приложенной к я-й заклепке в нап-
направлении отрицательной оси х. Это удлинение будет определяться
разностью перемещений пластины в месте (|/п+'1)-й и tn-ft зак-
заклепки •:,. ^ ;
umn=u[(m-n-\-l)l]-u[(m-n)l],
где / — «расстояние между центрами соседних заклепок.
Для соседних с заклепкой п участков п и п—1 имеем (см.
рис. 3.8)
С учетом C.51) имеем
„ „ C У)A +У) г» ,О Сп\
AnEh
C.53)
AnEh
d 2C—v) V 412
т. — л + 1
/и—1
3 — v l(m— n+ 1J
х^}тфп, Л-1
Второе слагаемое в этой формуле без ущерба для точности
можно отбросить, так как при Ijd не менее 3 погрешность не пре-
превысит одного процента.
Итак, возьмем
C-vHl+v)
т —п+ 1
т — л
C.54)
145
Обозначим через fn действительную сдвигающую силу взаимо-
взаимодействия между пластиной и ребром через n-ю заклепку. За поло-
положительное направление силы fn, приложенной к пластине, будем
считать противоположное оси х. Таким образом, силу /„, прило-
приложенную к я-й заклепке ребра, будем считать направленной вдоль
оси х. Щ
Приравнивая удлинение m-го участка оси х пластины и ребра,
получим
оо /Я
2 ^ S /я при ж<0>' (а 55)
^j /я при т>0'
« — ов /
где Ес, Fc — соответственно модуль упругости и площадь попереч-
поперечного сечения ребра.
Вычитая из уравнения C.55), записанного для m-го участка,
уравнение (т—1)-го участка и учитывая, что из уравнения равно-
равновесия всего ребра найдем
п=— °°
перепишем уравнения C.55) в виде
(«*я-«*-.«)/я
' It
Л= —оо
/0= 1 --~"- 2 («О» - «-!-) /я
Л = —оо
или с учетом C.52), C.54) имеем
2 P«./.=»o»(»=-«>.-. -1. 0. l....ioo), C.56)
где
(да — n)z
4я
бот — символ Кронеккера, бот = О при тф=0, бОо= 1.
Теперь рассмотрим решение бесконечной системы уравнений
C.56). Так как ядра рти уравнений C.56) являются функцией от
146'
разностного аргумента (т—п), для решения можно использовать
производящую функцию
^(в)= 2 /те-9. C.58)
т =—о©
Умножая обе части каждого m-го уравнения C.56) на е"™6 и
суммируя уравнения с учетом C-.58), получим
F{b) = A J е"»« 2 &»«/» = *• C-59)
га= — ее п=—«>
где pmn = p(m—и).
Полагая m = n + k, найдем
2 е'-9 2 p(m-«)/«= 2 /« 2 e'm9P(m-«)=
/Я«— оо /1= — оо
= 2 Ае'«» 2
где 0F)= 2 P(*)e'*e. -C-6°)
k
в — оо /Я» — оо
2
k — — 0
при А=0,
В при |Л| = 1, C.61)
Теперь из уравнения C.59) найдем
^F)= . C.62)
w 1 + AG (в) v ;
С учетом C.61) функцию C.60) запишем в виде
G(e)=25+2(ln2-5)cos6-f2tf F),. C.63)
где
—Мсоэлб. C.64)
Зная функцию F(Q) C.62), искомые усилия fm согласно C.58)
определим как коэффициенты Фурье. Имея в виду, что согласно
C.63) F(Q)=F(—в), получим
«
/ =/_я= -L С у? (б) cos пЫЬ. C.65)
я J
о
Этот интеграл берется численно. Задачу можно считать решенной.
147
Н(в)
0,2
О
-0,2
-0,6
/
/
/
/
1\
Я/2
ч в
Рис 3.9. Характер изменения функция
Н(9)
Для упрощения вычислений
ряд C.64) можно просуммиро-
просуммировать. С этой целью рассмотрим
функцию переменной |-
Очевидно
6, 1)=Я (9), QF, 0)=0.
Имеем
2_52
Этот ряд может быть просуммирован
dQ 1 2gcosO . я: cos g (я—6)
d%~~ T 1 ?2 ~T
% 1 — ?2
Интегрируя это выражение с учетом условий Q(9, 1)=Я(9),
Q(9, 0)=0, получим
)=-1п—совв-ln —+ (n-
я 2
Эта формула удобнее ряда C.64) из-за простотц вычисления,
так как при любом 9 функция Я (9) может быть найдена числеи-
иым интегрированием с пом.ошью конечного числа операций. Из-
Изменение функции Я (9) показано на рис. 3.9.
При определеиии сил /„ по формуле C.65) интеграл целесооб-
целесообразно разбить на два
Я J 1
о
тогда
148
C. 66)
Интеграл Jn выражается через интегральные синус и косинус
1
COS
пА
sin
+¦
пА
• cos
Интеграл Rn находится с помощью, какой-либо квадратурное
формулы численно. Эта процедура целесообразна ввиду того, что
функция F(Q) C.62) может быть весьма круто изменяющейся в ок-
окрестности точки 9=0.
Остановимся на численных результатах'.
Сначала отметим, что параметр В, определяемый формулой
C.53) и входящий в формулу C.63), а следовательно, в C.62) и
C.65), слабо меняется с изменением коэффициента Пуассона v и
зависит практически только от отношения l/d. Из графика на prfc.
3.10 видно, что с изменением l/d от трех до тридцати параметр В
изменяется от 1 до 4.
Численные значения усилий /„, действующих на заклепки, по-
показаны в табл. 3.2. Они получены путем вычисления интеграла
C.65) по формуле Симпсона с разбиением интервала 0, я на 12
участков, причем использована формула C.66). Расчеты выполне-
выполнены для четырех значений пара-
параметра В C.53), равных 1, 2, 3,
4,и для нескольких значений
параметра А C.57) в пределах
0,2—4. В табл. 3.2 даны зна-
значения первых. пяти значений
усилий /„. Для определения по-
последующих значений может
быть использовано асимптоти-
асимптотическое представление
Рис. 3.10. Изменение параметра В
C.53) в зависимости от отношения
расстояния между заклепками / к нх
диаметру d при трех значениях ко-
эффициента Пуассона v
f
f
г
Г 1 |
10
20
l/d
149»
Таблица 3.2
Усилия в заклепках fn-104, вычисленные для четырех значений параметра В =
= 1, 2, 3, 4, определенного формулой C.53) и для разных значений параметра А
C.57)
А
0,2
0,4
1
1,5
2,0
2,5
3
3,5
4,0
В
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1 .
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
0
7223
5876
5095
4568
5179
3861
3243
2862
3597
2580
2153
1898
2791
1983
1658
1465
2296
1629
1366
1211
1958
1392
1171
1041
1713
1220
' 1030
918
1525
1090
922,7
824,2
1377
987,3
837,8
749,9
1
376,0
964,2
1220
1349
526,4
1046
1183
1225
562,0
927,1
987,7
990,0
537,7
811,4
843,7
. 835,7
504,0
721,2
740,2
728,9
471,3
650,6
662,5
650,1
441,6
591,1
601,7
589,2
415,4
547,8
552,7
540,6
392,1
509,0
512,1
500,5
/
2
348,9
387,6
466,4
537,7
485,5
528,2
598,3
647,6
519,3
547,5
590,5
614,7
498,5
516,6
544,8
558,0
468,7
480,9
500,7
508,3
439,1
447,9
462,6
467,1
412,9
418,9
430,2
432,9
389,1
393,4
402,4
403,9
368,0
371,1
378,5
379,2
г
3
178,9
203,8
233,1
264,9
277,0
316,3
353,5
386,2
331,6
367,2
395,8
417,1
345,8
375,0
395,7
410,0
330,7
354,5
370,3
, 380,4
318,6
338,5
351,0
358,5
305,6
322,5
322,7
338,5
292,8
307,4
315,9
320,5
280,6
293,5
300,7
304,5
4
116,9
126,7
139,1
153,7
191,2
209,6
230,0
250,0
246,1
265,1
283,5
299,4
261,2
277,5
292,2
304,1
264,9
278,7
290,6"
299,8
257,2
268,9
278,8
286,1
250,1
260,3
268,6
274,6
242,3
251,2
258,4
263,5'
234,3
242,3
248,5
252,9
5
83,26
88,09
94,05
101,1
139,4
149,3 )
160,5
172,2
189,3
201,0
212,8
223,8
213,5
224,4
234,6
243,7
212,8
222,5
231,3
238,8
212,3
220,9
228,5
234,8
209,0
216,7
223,3
228,8
204,5
211,4
217,3
222,0
199,4
205,6
210,9
215,1
150
\,
3
0=4
0,2 0,4- 0,6 0,8 1
А
~ .
\
А=-
-10 12,
3-i)A+i» EcFe
tV Ehl
^4
0,8 0,6 Ofi 0,2 0
1/А
V
0,2
0
Рис. 3.11. Изменение усилий f0 в нулевой заклепке (см. рис 3.7) в зависимости
от параметра А C.57) и В C.53)
Для очень малых коэффициентов А C.57) справедливы асимп-
тотические формулы
jo^z I ZA.D,
J n~
--^-)(л=2, 3,...).
к рабо-
Вывод этих формул не приводим и отсылаем читателя
те [56].
На рис. 3.11 показан характер изменения усилий /о в нулевой
заклепке, к которой приложена единичная сосредоточенная сила, в
зависимости от параметра А, определенного формулой C.57). Та
же зависимость для усилий /t в первой заклепке показана на рис.
3.12. Как видим, усилия исчезают, если площадь сечения ребра
уменьшается до нуля. Вся нагрузка воспринимается нулевой зак-
заклепкой. Интересно отметить, что для есех практических значений
параметров В макси-
максимальное значение уси-
усилия /i в первой заклеп-
заклепке не превышает 14%
от величины приложен-
приложенной силы.
Случай разорванно-
разорванного ребра. Полученное
выше решение может
быть использовано для
Рис. 3.12. Изменение усилий
/i в первой заклепке в зави-
зависимости от параметров А и
В, определенных формула-
формулами C.57) и C.53)
151
Рис. 3.13. Пластина с разорванными между соседними заклепками ребром (одна
половина ребра нагружена продольной единичной силой)
-Рис. 3.44. Пластина с ребром (удалена часть ребра вместе с заклепкой. Одна по-
половина ребра нагружена единичной продольной силой)
рассмотрения случая, когда часть ребра выброшена. Это, например,
случай, показанный на рис. 3.13, где выброшена часть ребра между
соседними заклепками, или случай, изображенный на рис. 3.14,
где выброшена часть ребра вместе с заклепкой.
Если бесконечное ребро нагружено единичной сосредоточенной
силой, как показано на рис. 3.7, то для нормальных усилий Nm на
т^и интервале справедливы условия симметрии Nm= —N-m-i, a
для усилий в заклепках условия fm^f-m- Используя эти условия и
условие равновесия ребра
нормальные усилия Nm можно записать в виде
для/и>0,
C-67)
Для решения поставленной задачи поступим следующим обра-
образом. Нагрузим бесконечное ребро внешними единичными силами
Кт=\, как показано на рис. 3.15. Помещая начало отсчета в цент-
центре /n-й, а затем (/и + 1)-й заклепки, по формулам C.67) можем
Am
• • •—
m
А/л
—• •
m+1
• '•
n
\
n+1 j
Рис. 3.15. Схема нагружеиия ребра через заклепки единичными силами
152
найти нормальное усилие Lnm на я-м интервале ребра от усилий
Кт=\, показанных на рис. 3.15. Будем иметь
Если силы Кт произвольны по величине и равны между собой,
то результирующее нормальное усилие от них на m-м участке бу-
будет
а суммарное усилие от единичной силы, приложенной к нулевой
заклепке (см. рис. 3.7), и от сил Кт будет
Nm+KmLmm< - * C.69)
Теперь мысленно отсоединим -ребро от пластины и рассмотрим
его равновесие под действием реакций в заклепках от сил Р*=1,
Кт и самих сил. Уберем силы Кт, так как в реальном ребре их нет.
От .этого изменится только нормальное усилие в ребре на m-м уча-
участке на величину Кт, напряжения на остальных участках ребра не
изменятся и, следовательно, не изменится расстояние между зак-
заклепками (кроме m-го участка). Следовательно, не изменится ус-
условие совместности деформаций между ребром и пластиной. Пот-
Потребуем, чтобы суммарные нормальные усилия на m-м участке бы-
были равны нулю
«=О. C.70)
Тогда ребро на m-м участке можно разрезать, при этом ни равно-
равновесие отрезанных частей ребра, ни напряженно-деформированное
состояние конструкции ребро — пластина не изменятся, и мы по-
получим случай, изображенный на рис. 3.16, когда ребро разорвано
на m-м участке.
В более общем случае, когда ребро разорвано на участках р, д,
г,..., мы должны ввести на этих участках нагрузки КР, Кч, Кг,... и
выполнить условия, аналогичные C.70),
или с учетом C.68)
Ns+ 2 Ktf*-t=° (s=p, g, r,...) C.71)
t<=p,q,r
эти уравнения служат для определения сил Kt. Если они опреде-
определены, то усилия в заклепках fn можно получить путем суперпози-
Р=1 I /77
Рис. 3.16. Случай, когда ребро \ -/ О 1 2 т тН '
разорвано между /n-й и (/п+1)-й
заклепкой
153
ции решений для бесконечного ребра от внешних нагрузок, вклю-
включая и усилия Kt
Л = /л +,_2 п #, (/„_,_, - /„_,). C. 72)
Для случая, изображенного на рис. 3.13, где удален участок с
номером минус единица, по формуле C.70) при т= —1 с учетом
C.67) и C.68) найдем
/я = /я + 9 ° (fn — fn-l)-
Для случая, изображенного на рис. 3.14, где удален участок
т= —1 и т= —2, согласно C.71) при s= —1, s= —2 получим
f -2 /l=0,
и формула C.72) дает
/л = /я + ^-1 (/л — /n+l) +^-2 (/я+1 — /я+а)-
К=8,Ы /
йййй
0,099
и И И Я
JM-
¦В И и ,
Рис. 3.17. Усилия в нулевой заклепке для случаев, изображенных на рнс 3.7
(верхние рисунки), 3.13 (средние рисунки), 3.14 (нижние рисунки) (*840
для левого столбца рисунков, А=67,2 —для правого)
154
Численные результаты для усилий в нулевой заклепке в рас-
рассмотренных двух примерах показаны на рис. 3.17; принято, что
lld=4,7b и рассмотрено два значения параметра жесткости
равных 8,4 и 6,72.
Изображенные на рис. 3.13 и 3.14 случаи можно в какой-то
мере считать аналогом решения задачи для полубесконечного
ребра, присоединенного к оболочке. Этот аналог будет тем ближе,
чем большее число интервалов будет выброшено. Что касается
исходной задачи для бесконечного ребра, то это — полный аналог
задачи Малана, рассмотренной в разд. 3.3.
3.7. ПЕРЕДАЧА УСИЛИИ ОТ РЕБРА КОНЕЧНОЙ
ДЛИНЫ К БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ
И ГРАНИЦЕ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ
1. Постановка задачи. Вывод исходного уравнения. Рассмот-
Рассмотрим равновесие упругого ребра конечной длины /, прикрепленно-
прикрепленного по всей своей длине к бесконечной пластине (рис. 3.18) или к
границе полубесконечной пластины (рис. 3.19). На конце ребро
нагружено продольной сосредоточенной силой Р. Необходимо най-
найти характер распределения реакции взаимодействия q между реб-
ребром и пластиной. Предполагается, что ребро присоединено по ли-
линии.
Условие равновесия части ребра,1 заключенной между коорди-
координатами х и / оси х, имеет вид
где Ос — продольное нормальное напряжение в ребре; Fc — пло-
площадь поперечного сечения ребра.
//////////Л
Рис. 3.18. Бесконечная пластина, подкрепленная ребром конечной длины, q — ка-
касательные усилия взаимодействия» между ребром и пластиной. (ас — напряжения
в ребре, Fc — площадь сечения ребра. Р — сила, приложенная к торцу ребра)
Рис. 3.19. Полубесконечная пластина, подкрепленная на границе ребром конечной
длины
155
Напряжение <гс выразим через деформацию ребра ес с помощью
соотношения закона Гука, а последнюю приравняем деформации
ех пластины в каждой внутренней точке 0<х<с1 линии соединения.
Используя для деформации пластины формулы C.13) и C.14), по-
получим исходное сингулярное интегральное уравнение задачи
„<1). C.73)
(
J v — т0 4
О , т0
Решение уравнения. C.73) должно быть подчинено условию рав-
равновесия усилий, приложенных к ребру,
1
rft=-f. " C.74)
о
В уравнении C.73) введены обозначения: к — параметр жестко-
жесткости ребра, который в случае бесконечной пластины имеет вид
C.75)
rtC-v)(l+v) ECFC
а в случае полубесконечной пластины
Х=|-|^, C.76)
?с — модуль упругости ребра; т — безразмерная координата
т=х/1.
Отметим, что уравнение C.73) формально совпадает с уравне-
уравнением Прандтля для1 тонкого крыла конечного размера. Это совпа-
совпадение было отмечено С. Бенскотером [52].
2. Регуляризация уравнения C.73). Регуляризацию уравнения
C.73) целесообразно сделать по двум причинам. Во-первых, в яв-
явном виде будет получен характер решения на концах зоны контак-
контакта и автоматически будет доказана единственность такого решения.
Во-вторых, полученное регулярно© решение будет являться урав-
уравнением Фредгольма второго рода, которое хорошо изучено с точ-
точки зрения численной реализации.
Регуляризация уравнения C.73) производится обращением син-
сингулярного интеграла в левой части. При этом правая часть уравне-
уравнения считается условно известной. Этот метод регуляризации пред-
предложен Т. Карлеманом [59] и носит его имя. Известно, что он явля-
является методом равносильной регуляризации [10] в том смысле, что в
процессе его проведения не исчезают решения и не появляются но-
новые.
Известно [10], что уравнение типа C.73) с известной правой
частью имеет четыре класса решений: решение, обращающееся в
нуль на обоих концах отрезка интегрирования, оно существует не
всегда, а только при определенном ограничении, накладываемом
156
на правую часть; два решения, ограниченных на одном из концов
отрезка интегрирования и определяемых вполне; наконец, сущест-
существует неограниченное решение на обоих концах, которое имеет один
произвол. Из всех четырех решений только последнее позволяет
выполнить условие C.73) благодаря имеющемуся произволу, по-
поэтому является единственно возможным.
В результате применения такого решения к уравнению C.73)
приведем его к виду
{3:77)
О т
"где Л" —каноническая функция, X(х)=Ух(\—х);
с — произвольная постоянная.
. Если проинтегрировать обе части уравнения C.77) от нуля до
единицы и учесть, что
{ - =0,
о о •«,,
то из условия C.74) найдем
с=Р/л1. C.78)
Из уравнения C.77) видно, что реакция ребра q неограничен-
неограниченно возрастает вблизи концов, имея особенность вида 1/йГ(т). Если
ребро абсолютно жесткое, то согласно C.75) н C.76) параметр
Х=0 и-решение получается в явном виде
а продольные усилия в ребре, определяемые по формуле
будут иметь вид
3. Решение уравнения C.77).
Изменив порядок интегрирования в повторном интеграле, по-
получим интегральное уравнение [43] .
k f <3-79>
где ^(
157
которое после замены переменной
t=sirr
и вычисления интеграла запишем в виде
C. 80)
ln
sin
g —gp
sin
Подставляя это ядро в .интегральное уравнение C.79), приведем
его к виду
4 , C.81)
4
Sin a0
где оператор D имеет вид
I = Q (on) — — \ sin о In
sin
g —gp
sin
g+ gp
а А и В — постоянные,
A = —
8
X
[ q (a)a sin
8 J
C. 82)
Постоянную с, хотя она и определена формулой C.78), будем счи-
считать пока произвольной, а условие C.74) не выполненным.
Постоянная А C.82) поэтому может также считаться произ-
произвольной. Для ее определения будем использовать условие C.74).
Вторым условием для определения постоянных А и В буцет второе
условие C.82).
Введем новую неизвестную функцию q\ соотношением
C. 83)
Подставляя отсюда q в уравнение C.81) и учитывая, что
cos о In -— rfo = 2 sin o0lntg-^-,
i COS 2a In
b
sin
sin ¦
a — o0
sin •
158
придем к уравнению
где
C.84)
Г-ЬЛ3.85)
Рассмотрим функцию
sin ¦
g —°0
2
sin
+ gQ
C.86)
Очевидно, что эта функция исчезает на концах интервала
. Производная от нее имеет вид
sin2 aqi (a) da
О -f- <Jn О <
о sin —-— sin —-
Отсюда видно, что производная является непрерывной и огра-
ограниченной иа концах отрезка @, я) функцией. Функция C.86) явля-
является нечетной по <го. Из всего сказанного следует, что коэффициен-
коэффициенты разложения
C.87)
удовлетворяют неравенствам
(*=1. 2,...),
C.88)
где М — некоторая константа.
Если подставить функцию <7i(/?) из формулы C.87) в уравнение
C.84), умножить его на sin ko0 и проинтегрировать, получим две
независимых бесконечных системы линейных алгебраических урав-
уравнений для коэффициентов сп
ск-\^акпсп=1/к (я, *=1, 3, 5,...), (я, *=2, 4, 6,...), . C.89)
я
через которые коэффициенты разложения A3.874) выражаются по
формулам
dt= ck при k=\, 3, 5,...,
4
=2, 4, 6,....
*' C.90)
159
В системах C.89)
, ^8+Х 1_ , ^ 8+Х 13
1 'ЗХ 12 ' 3 45Х 540 '
C.91)
C. 92)
8+Х
12
— l)(k +2)
(k=4, 8,...).
При получении системы C.89) был вычислен ряд интегралов
\ sin kaQ In
sin
sin
gp
2
flfo0= sin ki,
k
\ sin о sin ka sin n<3d<3—
о
Ik= \ sin о sin 2asin folntg—rfo=-
о
12&2 (fe + i) — 8(fe—:
при к-f-n нечетном
при k-\-n четном
2 104
Л = - —, Л= ——-
о 1ои
; = \ sin2 a sin Ао In tg — rfo=
. J ^2
при ^=5, 7,...,
rft—0 при k четном,
+4
при k=\, 6,...,
Л — , J% — 0 при k нечетном.
3
160
Учитывая представление C.87), формулы C.85), C.83) и C.90),
решение задачи можно записать в виде
. Г cos 2<* . 8 -f- X . , X . о , . а Х2
Л-1,3,...
oo
-|— ^- ^ Cnsin«aJ. -C.93)
24
я-2,
Внося полученное решение в условие C.74), найдем постоян-
постоянную А
X2C
я/5
Если ввести решение jC.93) во второе условие C.82), найдем
В=АВи
*г = -? Ь— C. 94)
_Х__^22__ХЗ_
4 32 8 jfrL (л2_1J
1С oo
и 2=Л asin2olntg — da=—¦ V-— — ^0,6035993." C.95)
J • 6 2 4 .^J из 2 ^ '
0 л=1 •
Теперь окончательно решение можно записать в виде
C.96)
Если подставить полученное решение в формулу
н вычислить интегралы, получим следующее выражение для про-
продольного усилия Ne в ребре ^j
-f —fsina Lsin3o-JS,sin2o)lntg— +B1kQ1(o)-
8 \ 3 /2
oo
— 2X2 V -^«_ (Cos 0 sin na — n Sin a COS /W)l. C.97)
л»2
С 3136 161
Здесь" 21(з)=\ lntg — da=— Г Ж1
2 V
л=ТЛ...
2 ^J п2
о
fij для « четных,
1 для « нечетных.
Полученные решения C.96) и C.97) содержат главную замкну-
замкнутую часть и слагаемые в виде ряда. Согласно оценке C.88) и фор-
формулам C.90) коэффициенты ряда в формуле C.96) убывают при
больших п быстрее, чем 1/п2, а в формуле C.97) быстрее, чем 1/п3.
Из формулы C.96) видно, что реакция q (а) имеет на концах ин-
интервала О^а^я особенность типа котангенса или в старой пере-
менной т C.80) на концах т = 0 и т=1 особенность типа \lV~x и
1/1/1—с.
Вблизи концов интервала решение будет иметь достаточную
точность, если в формулах C.96) и C.97) отбросить весь ряд.
4. Анализ бесконечной системы уравнений C.89). Покажем,
что системы уравнений C.89) являются вполне регулярными прд
любых конечных значениях параметра X C.75), C.76) и, следова-
следовательно, имеют единственное решение, которое; например, может
быть получено методом последовательных приближений. При этом
можно отправляться от любых начальных значений Ch—Ck0 [20].
Выделяя k-н член ряда в системах C.89), приведем их к нор-
нормальному виду
ею
** = Р*2' а*«с« + а* (А, л = 1, 3,...), (А, л =2, 4,...), C.98)
ч
Л.Ь2 1 АЛЛ . 1
где рк==\-^1 L_; ak = ^~——Ьк\ C.99)
2' сумма без fe-ro слагаемого.
Согласно формуле C.91) все коэффициенты akn положительны
При кфп, a aftft<0.
Для установления регулярности системы. C.98) найдем суммы
'[" —
L (и —k — 1) (л —
-] . C.100)
(n+k — 1)(л+*+]
Пусть k=l, 3, 5,..., тогда суммирование в C.100) будет по не-
нечетным п. Полагая п=2щ—1, найдем [12]
'•кп==—ттг" (А=1, 3, 5,...),
а*»=-1^-Т--Щ- (*=1. 3, 5,...)
4*2— 1 4*2
162
Если п=2, 4, 6 то суммирование в C.100) будет по четным
п. Полагая п=2пи найдем
п=2,4,...
С учетом полученных сумм имеем
со оо
я = 1,3,... п-=2,4,...
(?=1,3,...), (?=2,4,...),
где • оу =
.-4)
При любом фиксированном Л всегда dQ{^/dX<.0, dffi/д%<.0. Ины-
Иными словами, функции QJ^ и qj^ монотонно убывают с ростом Я.
В пределе Я=оо
* ^^- (*=2,4,б....).
Отсюда видно, что 1 > QJ^ln > в > 0, 1 > е<^1п > s > 0 для любых
конечных к. При * — оо ej&In — 0, ^щ —°-
Из полученных оценок следует, что при любых конечных номе-
номерах системы C.98) будут вполне регулярными и имеют единствен-
единственное решение B0]. Найдем оценки для искомых неизвестных Съ сис-
систем C..98). Для этой цели подберем такие числа М1) и М2), не за-
зависящие от k, чтобы удовлетворить неравенствам [20].
' К|<ЛЮЧ^ (?=1,3,5,...), K|<M<2>qW (?=2,4,6,...).
Здесь ак, QJ,1', tB) определены выше формулами C.99) и C.101).
С учетом этих формул предыдущие неравенства перепишем в виде
(^=1,3,5,...),
C. 102)
<ЖB) ^Ё
при этом коэффициенты Ьк определены формулами C.92). Из по-
полученных неравенств следует, что в качестве чисел ММ и М& мож-
можлученных неравенств следует
но взять
(? = 2,4,6,...).
в* 163
Подставляя сюда bh из формул C.92), получим
х > 52 д
ХC6+Х)
Первая из этих формул получится, если в первой формуле C.102)
положить k= 1, вторая — если ? = 3.
—— . C.104)
12+ I
В силу регулярности решение систем C.98) ограничено по мо-
модулю числами MW и М<2) C.103) и C.104) [20]
при *= 1,3, 5,...,
и о л а C- 105>
при ?=2, 4, 6,—
При больших К
\ск\ ¦< 1,756 X при k— 1, 3, 5,...,
|cft|< 1Д при )к=2, 4,6,....
Из этих оценок следует, что в пределе при Я = оо системы C.98)
имеют тривиальное решение.
При практическом решении задачи бесконечные системы будут
заменяться конечными. Пусть щ и п2 — количество уравнений, ко-
которое мы оставляем в нечетной и четной системах C.98). Эти сис-
системы заменяются следующими
rt=H 2 aki?*n + a-k {k=l,3,5,...,nl),
а=1'3'- C. 106)
2 (*=2,4 ,
п-2,4,..
Пусть для краткости
?=1,3,...,/»!
= 2, 4,...,
Если в первой системе C.106) вместо правых частей ah взять
правые части
164
то мы получим решение нечетной бесконечной системы C.98) с не-
недостатком, которое обозначим Си [20]. Решение с избытком полу-
получим, если вместо а*, взять
Аналогичные результаты получим для второй (четной) системы
C.98), если вместо MWRt возьмем М2>/?2- Решение систем уравне-
уравнений C.106) при этом будет удовлетворять неравенствам
Cf, ^ Ck -^ Ck .
5. Численный расчет. При расчете каждая из бесконечных сис-
систем C.89) обрывалась на 10-и уравнениях и, таким образом, опре-
определялись 20 первых коэффициентов с&. Результаты решения сис-
систем даны в табл. 3.3 для различных параметров X. Видно, что все .
' Таблица 8.8
Значения коэффициентов сА103 системы C.89), полученных при удержании
10-и нечетных и 10-и четных коэффициентов
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,1
26,0370
—82,2100
1715,6
—5,37
—148,48
—1,300
-35,13
-0,4725
—12,37
—0,2182
-.5,43
—0,1108
-2,75
—0,0635
—1,54
—0,0392
—0,9300
—0,0255
—0,5900
—0,0174
1
2179,3
—73,39
—162,08
—3,933
—11,99
—1,178
-2,638
—0,4447
—0,8837
—0,2019
—0,3733
—0,1057-
—0,1830
—0,0608
—0,0996
—0,0376
—0,0585
—0,0245
—0,0364
—0,0167
5
—289,35
—49,91
-34,94
—0,6700
—1,586
—0,7153
—0,1012
-0,3326
—0,0215
—0,1641
—0,0276
—0,0889
—0,0210
—0,0523.
—0,0149
—0,0327
-^0,0107
—0,0215
—0,0076
—0,0146
X
10
—116,01
—35,819
—20,759
—0,7241
-0,9911
-0,3549
—0,0179
—0,2343
—0,0738
—0,1302
—0,0536
—0,0746
—0,0351
-0,0451
—0,0232
—0,0287
—0,0157
—0,0190
—0,0107
—0,0128
40
—90,761
—13,499
—7,516
—1,3832
—0,8457
—0,2099
—0,1357
—0,0041
—0,0034
—0,0298
—0,0199
—0,0286
—0,00199
—0,0221
—0,0158
—0,0161
—0,0117
—0,0115
—0,0080
-0,0078
60.
—12,970
—9,5714
--5,4018
—1,1848
—0,7366
—0,2543
—0,1623
—0,0481
—0,0304
—0,0261
-0,0032
—0,0135
—0,0105
—0,0136
—0,0104
-0,0112
—0,0085
—0,0086
—0,0060
—0,0059
100
—7,3652
—6,0615
—3,4789
—0,8859
-0,5689
—0,2426
—0,1622
—0,0746
—0,0503
—0,0206
—0,0133
—0,0023
—0,0007
-0,0036
—0,0033
—0,0049
—0,0040
-0.0046
-0,0033
—0,0035
165
Таблица 3.4
Распределение продольных усилий в стрингере NcfP, рассчитанных по формуле
C.97) при удержании 20-и коэффициентов ск
в/тс
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,95
\
1
0,9654
0,9310
0,8971
0,8638
0,8311
0,6799
0,5516
.0,4447
0,3553
0,2784
0,2086
0,1411
0,0722
0,0365
5
0,9297
0,8615
0,7962
0,7344
0,6766
0,4467
0,3006
0,2103
0,1536
0,1159
0,0879
0,0626
0,0349
0,0181
10
0,9013
0,8078
0,7208
0,6415
0,5701
0,3185
0,1888
0.12J9
0,0853
0,0637
0,0491
0,0367
0,0217
0,0116
40
0,8049 *
0,6398
0,5045
0,3975
0,3144
0,1128
0,0536
0,0316
0,0215
0,0162
0,0129
0,0105
0,0071
0,0036
60
, 0,7623
0,5733
0,4281
0,3209
0,2427
0,0766
0,0355
0,0209
0,0143
0,0075
0,0858
0,0692
0,0452
0,0148
100
0,6952
0,4789
0,3296
0,2306
0,1642
0,0458
0,0209
0,0126
0,0087
0,0066
0,0051
0,0037
0,0014
-0,0021
Таблица 3.5
Погрешность 104ДМс= -jj- (Nois—NC7I04 в вычислении продольных
усилий C.97) при удержании в ряду 19-и и 7-и коэффициентов с„
«/я
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
ДЛ"е-10< при следующих значениях X
1
-0,6
—
0,5
2,1
20
—
-10,6
1.5
0.7
5
9
—6,6
-0.7
-126
3
—11,8
-10,0
—
7
10
—1,8
—24,5
57,9
40,3
5,2
—41
—13,0
33,0
12
20
17
—153,4
37,2
207,9
-9.1
-197.6
-33,6
126,2
49,2
40
—300,5
-695,3
392,6
-382,4
—205,5
-860
-53,0
-357
-56,5
60
—872
—1840
1134
2391
-850
—2126
—44,6
1310
442
100
—2899
—5029
3613
6287
-2113
—с670
83
3523
11142
166
0,6 Ofi6/Tf
Рис. 3.20. Распределение продольных усилий в ребре Ne по его длине при раз-
разных значениях параметра X
Рис. 3.21. Распределение продольных усилий в ребре Ne по его длине для раз-
разных значений параметра X (кривая к — результат В. Койтера [62] для полубеско-
полубесконечного ребра)
коэффициенты удовлетворяют неравенствам C.1105). По формуле
C.97) посчитаны также нормальные усилия в ребре, отнесенные к
приложенной силе Р. Результаты представлены в табл. 3.4 н на
рис. 3.20 и 3.21.
Кривая k на рис. 3.21 показывает распределение продольных
усилий в полубесконечном ребре (стрингере), приваренном к бес-
бесконечной пластине. Это распределение получено В. Койтером [62].
Из рис. 3.21 видно, что при Я>3 стрингер практически работает
как полубесконечный. Для 3<Ж100 кривые не нанесены, они*
расположены между кривыми Я=3 и 100.
В табл. 3.5 дано сравнение решений при удержании в формуле
C.97) семи и девятнадцати членов ряда, причем коэффициенты ck
в обоих случаях брались из табл. 3.3. При Я<100 результаты от-
отличаются мало. При Я=100 расхождение существенное, если срав-
сравнивать результаты на всей длине стрингера. Следует, однако, учи-
учитывать, что при Л=100 даже координате а=0,1я соответствует ко-
координата *
На практике наиболее интересна зона *i<3 (см. рис. 3.21), где
имеет место значительное затухание продольных усилий в ребре.
* Эта координата отложена иа рис. 3.21
167
3.8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ C.73)
С ПОМОЩЬЮ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА
Если ввести замену переменной
¦
то уравнение C.73) и условие C.74) можно записать в виде
1 1
—1 . <0
= —. C.108)
Приближенное решение уравнения C.107) можно искать в ви-
виде разложения по полиномам Чебышева первого рода Ts(t)
Ъх-™ - C109)
Напомним, что полиномом Чебышева первого рода от перемен-
переменной
jf=cos<p C.110)
является функция
Ts(t) = cossf, C.111)
а полиномом Чебышева второго рода от той же переменной t=
= cos ф будет функция
/)==8ШE + 1)У- C И2)
i
)
sin <f
Имеют место условия ортогональности [12]
(О при т 1
[ Tm(t)Ts(t)dt
j >Л — #
—i
i
um(t)us(t)Vi
-i
(m,
а также соотношения
)Vi—t*(t-t0)
л
2
Jt
s=0, 1,.
1 о
U
прн
при
г
If
..)
/л
T »
при т ф s
- при m=s,
при m=0
при тфО,
C.
C.
C.
113)
114)
168
Подставим сначала разложение C.109) в условие C.108) и вос-
воспользуемся свойством ортогональности C.113). Найдем коэффи-
коэффициент X*
пользуе
циент Хо
Теперь подставим разложение C.109) в уравнение C.107). Интег-
Интегралы слева вычислим с помощью формул C.115), а при вычисле-
вычислении интегралов справа воспользуемся заменой C.110) и формула-
формулами C.111) и C.112). В результате уравнение C.107) преобразуется
к виду
Это функциональное уравнение либо можно выполнить в точ-
точках (метод каллокации), либо применить метод Бубнова. Выберем
последний. Для этого умножим обе части уравнения на
Uj-i (t0) У l — tl (/=1, 2 п) и проинтегрируем, воспользовав-
воспользовавшись условиями ортогональности C.114). В итоге получим систему
алгебраических уравнений для коэффициентов Xj
JsXs=-l-bj (/ = 1,2,..., п). C.116)
1
где а,,= J- \ LO-i(t) ?/,_, (t)(I -fi)dt,
-l
i
Ь} = j ?/,_i (t) V1 - fi arccos tdt.
—i
Эти. интегралы легко вычисляются с помощью замены перемен-
переменной C.110) и представления C.112) .
ctjs=^O при J — s нечетном;
*i=T' Ь'=—^Ь^ при 7=2,4,6,...,
fty=0 при/=3, 5, 7
Свойства этих коэффициентов показывают, что система C.116J
распадается на две независимых — одну для четных индексов ко-
коэффициентов Xj, вторую — для нечетных.
169
3.9. ПЛАСТИНА С РЕБРОМ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ.
ОПТИМАЛЬНОЕ ПОДКРЕПЛЕНИЕ
¦ Рассмотрим, следуя работе [13], две задачи: прямую и обрат-
обратную. Прямая задача состоит в исследовании характера распреде-
распределения продольных нормальных напряжений по длине ребра задан-
заданного переменного поперечного сечения, обратная — в определении
закона изменения поперечного сечения ребра по его длине при за-
заданном законе изменения напряжений в нем.
Решение обратной задачи необходимо для подбора оптимальной
формы элемента жесткости. В частности, может быть найдена фор-
форма поперечного сечения ребра равного сопротивления, имеющего
постоянное продольное нормальное напряжение в любом сечении.
Задачу о распределении продольных усилий по длине ребра
(стрингера) переменного сечения, присоединенного к пластине, по-
видимому, впервые в точной постановке рассмотрел Э. Рейсснер
[72] на примере полубесконечной пластины, к которой нормально к
границе присоединен стрингер, .нагруженный на ,конце оилиэй'.
В этой работе было получено разрешающее сингулярное интегро-1
дифференциальное уравнение для продольных усилий в стрингере.
Отмечена аналогия этого уравнения с уравнением Прандтля, полу-
получаемым при рассмотрении обтекания тонкого крыла потоком возду-
воздуха. Эта же аналогия отмечалась позднее С. Бенскоттером [52], ко-
который, как уже отмечалось, рассмотрел ребро конечной длины.
Уравнение; полученное Э. Рейсснером, оказалось достаточно слож-
сложным и в работе не решено.
Ниже рассмотрен случай более простой — бесконечная пласти-
пластина с ребром конечной длины. Этот случай для ребра постоянного
сечения разобран в предыдущем разделе.
Основные соотношения. Уравнение равновесия ребра имеет
вид
*?-+д(х)=0, C.117)
где, как и ранее, через q{x) обозначено касательное усилие взаи-
взаимодействия между ребром и пластиной; Nc = ocFc— продольные
растягивающие усилия в ребре; ас — продольные нормальные нап-
напряжения в ребре; Fc = Fc(x)—переменная площадь поперечного
сечения.
Положительное направление усилий q показано на рис. 3.18.
Будем считать, что пластина может быть нагрета до постоян-
постоянной температуры Т. Тогда продольная деформация на оси х плас-
пластины будет (формула C.13)).
„ / „ \ «т1 ( v)(l"t-v) г q (х) их ,п * . п\
С (Х0} — (М \ , (О. 1 1о)
4яЯА ; х — х0
о
а дефррмация ребра
*е=,-^- + оЛ. (З.П9)
170
где Тс — температура ребра, которую будем считать переменной
по длине ребра; а, Ос— соответственно коэффициенты линейного
температурного расширения пластины и ребра. .
Приравнивая деформации C.118) и C.119) с учетом C.117) .по-
.получим следующее разрешающее уравнение задачи
Здесь К=РС(П r^f; X=^-
16
вы
C. 120)
C. 121)
Fc{t) —площадь поперечного сечения ребра; t* — некоторая про-
произвольно фиксированная координата; Nc'=dNcfdt.
Параметр Fc*, имеющий размерность площади, введен для
нормировки коэффициента X.
Будем предполагать, что на концах ребра приложены силы Pi
и Рг, как показано на рис. 3.22, поэтому продольные усилия.долж-
усилия.должны удовлетворять условиям на концах >.
NC(O)=P» NeW=P» C-122)
Определение площади сечения ребра по заданному закону
изменения напряжений в нём. Если закон изменения напряжений
oc = NcfFc в ребре задан, то правая часть уравнения C.120) стано-
становится известной функцией и для получения решения достаточно об-
обратить интеграл в левой части.
В результате получим
где X(x)=Vx(l-x)
и Л* — произвольная постоянная;
C. 124)
C. 125)
На функцию Q(t) накладывается единственное ограничение —
она должна удовлетворять условию Гельдера \Q(t)—?2(t)|^
<Л(t|e, a>0, поэтому стрингеры, напряжения и температура
Рис. 3.22. Бесконечная пластина,
подкрепленная ребром переменно-
переменного сечения (продольные снлы Pi н
Рг приложены к концам ребра)
171
в которых изменяются скачкообразно, исключаются из обсужде-
обсуждения. Практически достаточно рассмотреть случай, когда функция
Q(t) задана полиномом. Представим функции ac(i) и<р(*) в виде
= Р 2сА Т@ = />г2 V. C- 126).
где Р и Рт — некоторые параметры, имеющие размерность силы;
Ск и сц, — некоторые заданные безразмерные коэффициенты. В рас-
рассматриваемом случае сингулярный ннтеграл в правой части форму-
формулы C.123) вычисляется в явном виде. Способ его вычисления при-
приведен в конце настоящего раздела. В результате с учетом формул
C.125) и C.126) выраженне C.123) можем записать в виде
(
-т-р 2 •»'••+"'S—'j+w-(ЗЛ2Г)
где arO=-(V
*«*= сь-х - (V*+*i<V-i + • • • + Ьп-ксп) при 0<*<л +1; C. 128)
Коэффициенты a«* во второй сумме C.127) вычисляются так-
также по формулам C.128), если п заменить на т, а Ck из первого
разложения C.126) заменить на ан, фигурирующие во втором раз-
разложении C.126).
Для того чтобы найти усилие Nc в ребре, достаточно проинтег-
проинтегрировать формулу C.127). Получим
я+1
N,(x)=-~ Р > лсьЛ(т)-|—-\ aa/tJk{xL-A1J(i(t)^'B. C.129)
4 . Н * & .
Здесь Аъ В — произвольные постоянные, причем А\ получена из
А* путем добавления нулевых членов разложения C.127) /ь(т) —
неопределенные интегралы вида,
Вычислим эти интегралы. С этой целью введем новую переменную
с помощью формулы
172
В результате получим [12]
Jk(a)=[ sin2* — do = 2 { sin2*xdx =
a
cos •— г *~i
Tsin»-ii+y
B*-1I1 ,. , „
ГI _tt_ I / \Г / \ i \ \ I Art ~— Jy**O • T/_./L. 1O r \
I Ij^ftOu П&ЪЯ V I 111 \ ~— ^— X 111 \ lt\ (^1 . , ^ * V Я 1*i^Cl П I/ T I ?* ' — \ / I
11срсИД^М К ./ ь IT J — —Л IT ) "Jfc iT ) ]^ лЬ л аПЫП у ь I Л/— 1 i^i • • • ;»
C. 130)
C. 131)
co,(t) = l; Х(т) —функция C.124).
Подставим полученное значение интеграла Jh в формулу
C.129) я приведем ее к виду .
1
^V «««»(t) +
т+1 . -•
V a.»«.»(t)
C.132)
Здесь А — новая произвольная постоянная, полученная путем объ-
объединения постоянной Ах в C.129) и всех множителей при
,/0(t)=2arcsin>/t,
входящих в формулы C.130). Постоянные А и В в формуле
C.132) определяются из граничных условий C.122) на концах реб-
ребра. Ввиду того, что функции о)й(т), определяемые формулами
C.131), ограничены, то по формуле C.132) найдем
Ne@) = B, Nc(l) =
поэтому концевые условия C.122) дают
после чего формулу C.132) для продольных усилий в ребре окон-
окончательно запишем в виде
Nc{%) = Pl [ 1 - —
[я+1 т + 1 -.
^Р ^ авЛ«>-+-7Г ? «-ilt) j ¦ C. 133)
[я+1
173
Зная усилия в ребре и напряжения, задаваемые с помощью
первого разложения C.126), можно найти площадь иоперечного се-
сечения ребра
Отметим, что когда ребро не нагружено на концах силами
(Pi = P2 = 0), то оно будет иметь скругленные концы, если продоль-
продольные нормальные напряжения в нем не обращаются в нуль на кон-
концах. Это следует из формул C.133) и C.134).
Рассмотрим частные случаи.
1) продольные нормальные напряжения и температура не ме-
меняются пр длине ребра. Этот случай будет иметь место, если в раз-
разложениях C.126) положим и=?/п = 0. Тогда ocFc*=Pco, <p=Pr<xo.
По формулам C.128) найдем aci = c0, o«i =ao. Из формул C.133)
и C.134)
FЛх) = -?- A - — arcsln Ух) + -?*- — arcsin ft -
<sc \ Я ] яс Я
C.135)
Пусть, например, пластина и ребро не нагреты (ф=0) и Рг=0.
Учитывая, что Pi/<Tc=^c@) и полагая ^е*==^е@), выражение для
площади поперечного сечения ребра равного сопротивления запи-
запишем в виде 4,
Fc(x)=Fc@)(\ —-arcsln |/т- —1'тA-*)У C. 136)
V л 4 ;
В этой формуле площадь поперечного сечения ребра на конце т=0,
нагруженном силой Р\, определяется вполне самой силой Pi и за-
задаваемым напряжением ас; Fc@)=PJac. Формула C.136) показы-
показывает, что поставленная задача не всегда имеет решение, поскольку
в некоторой области отрезка 0^т^1 площадь Fc(x) может стать
отрицательной, если параметр Я превысит некоторое значение АЛ
Аналогичная картина наблюдается и в общем случае. С физиче-
физической точки зрения это означает, что при Х>%* заданный закон из-
изменения напряжений по длине ребра не может быть реализован,
как бы мы не подбирали закон изменения площади поперечного се-
сечения ребра. Условие .Fc(т) >0, есть физическое условие разреши-
разрешимости задачи. В рассматриваемом случае C.136) ребра равного
сопротивления условие Fc(x)>Q дает Я*=8/я2, или с учетом фор-
формулы C.121) задача разрешима при условии
2яEhl < j
ECFC(O) ^
, В общем случае параметр X* зависит (от характера распреде-
распределения напряжений и температуры по длине ребра.
Предположим теперь, что ребро только нагрето, но не нагруже-
нагружено (Pi=P2=0).
174
Из формулы C.135) находим
Как видим, ребро должно иметь эллиптическое сечение. Если под-
подставить значение X и ср из формул C.121), то предыдущую форму-
формулу для площади поперечного сечения ребра можно переписать в
виде
4ЕА/ Г« , Ес (асТс — аТ)
Fc = — ух 1 — т 1 +
C-v)(l+v)?c L
J
Задача имеет решение, если квадратная скобка отрицательна. Это
будет иметь место, если
—- -^ а/ —ас1с при :
—— ¦< acTc — аТ при ае < 0;
С
2) параметр X, определенный формулой C.121), равен нулю
(бесконечно жесткое ребро). При отсутствии нагрева в этом слу-
случае будем иметь жесткое защемление пластины по отрезку @,1).
Решение для продольных усилий в ребре дается первыми двумя
слагаемыми формулы C.133). Оно не зависит от задаваемого ха-
характера напряжений. В случае нагретого ребра к указанному ре-
решению добавится последняя сумма в C.133), и это будет озна-
означать, что пластина имеет заданную деформацию отрезка @, 1)
действительной оси, равную асТс.
Касательные усилия взаимодействия между ребром и пласти-
пластиной
/ dx
во всех случаях определяются по выражению C.127). Зная каса-
касательные усилия, можно определить напряжения, в пластине по фор-
формулам C.12), которые в данном случае можно записать в виде
г — х0
.1±2-\д{Хо)\±1*1- + 3-V j z__
Приближенное определение напряжений в ребре переменного
сечения. Полученные выше результаты позволяют приближенно
решать и прямую задачу — нахождение напряжений в ребре за-
заданного поперечного сечения. Для этого достаточно коэффициенты
175
ck полинома C.126), аппроксимирующего напряжения в ребре,
принять в качестве искомых, а площадь сечения ребра Fc(x) —за-
—заданной функцией. Тогда формулу; C.133)/ можно рассматривать
как функциональное уравнение для определения неизвестных ко-
коэффициентов ск- Подставим в левую часть этого уравнения Nc(x) =
= Gc(x)'Fc(x), выразим ас(х) полиномом C.126) и перегруппируем
слагаемые с учетом формул C.128) для коэффициентов с,*. В ре-
результате уравнение C.133) можно записать в более удобном для
расчета виде
т+1
Vа*ок(т)+ЛA --^arcsin
+^-arcsin]/r, C.137)
л
X* (*) = 6ft-l«>l (») + **-2«>2 (*) + ..-+ V* (t) - %+i(X).
Яешив! 'приближенно уравнение- C.137) относительно коэффи-
коэффициентов Ck, напряжения в ребре определим по формуле C.126).
Такое решение проще всего получить, выполняя уравнение C.137)
в отдельных точках. Если рассматривается ребро, у которого на
конце т=0, площадь поперечного сечения Fc@) не равна нулю, то
коэффициент Со определяется из уравнения C.137) отдельно. Дей-
Действительно, полагая в C.137) тг=О, найдем
В этом случае уравнение C.137) нужно выполнить в л точках
tj#O. В противном случае уравнение C.137) нужно выполнить в
(л+1)-й точке. При Р,=Р2=0, Fe(x)=FlVx(l~x) и т-0 (рав-
(равномерно нагретое ребро эллиптического сечения) находим точное
решение уравнения C.137):
При этом для продольных усилий в ребре Nc(x) получим формулу
В заключение приведем некоторые результаты численных рас-
расчетов. В этих расчетах напряжения аппроксимировались полино-
полиномом десятой степени (п=10). Уравнение C.137) удовлетворялось
176
в точках, полученных делением отрезка
равномерной разбивкой по координате
o=2arcsin>/T.
1 на десять частей с
C.138)
Во-первых, было рассмотрено ребро постоянного поперечного
сечения, нагруженное только на левом конце (Р^=0).
Результаты совпали с полученными ранее в разд. 3.7 другим
способом. Эти результаты для усилия в ребре показаны на рис.
3.20, где о — координата C.138), Я, — параметр C.121). В табл. 3.6
приведены усилия NJP\ (Pi=0) в ребре конусообразного сечения,
площадь поперечного сечения которого задавалась при т>0,03
формулой
р У*A-«)
е 007+33
и Fe= 1 при
Таблица 3.6
Продольные усилия Nc-l03/Pt (Р2=0, см. рис. 3.22) в конусообразном ребре с
поперечным сечением Fc = Vv(l—ii)/@,07+3,33t) + 0,01 при т>0,03 и Fc = l
X
1
2
3
5
10
20
40
100
при т<0,03 (X —
¦параметры C.121), x^=x/l=sin'— )
9/К
0.1
805
753
714
655
557
441
319
177
0.2
619
529
468
384
268
166
91.4
37.6
0.3
452
346
282
205.
119
61,3
29,3
9,9
0.4
316
216
163
107
55,2
27,1
13,4
6,00
0.5
213
132
93,2
57,1
27,5
12,8
5,71
1,48
0,6
140
79,8
54,2
32,1
15,4
7,53-
3,95
2,03
0.7
89,2
47,9
31,7
18,3
8,54
3,91
1,67
0,21
0,8
52,4
27,1
17,7
хО.З
4,91
2,46
1,36
0,79
0,9
24,3
12,3
8,00
4,57
2,12
0,962
0,41
-0,016
В табл. 3.7 приведены аналогичные результаты для коническо-
конического ребра
. /%=1-т,
а в табл. 3.8 — для ступенчатого ребра Fc=\ при (Хо/л<0,4,
•Fc=0,5 при 0,5^ог^1. Переход от сечеиия Fc=0,5 к единице осу-
осуществлялся плавным образом. Все эти результаты относятся к не-
иагретому ребру. Характер изменения продольных усилий по дли-
длине ребра иосит плавный характер и аналогичен показанному иа
рис. 3.20для ребра постоянного поперечного сечения. Максималь-
Максимальная разница Д#тах между продольным усилием Nc в ребре посто-
177
Таблица 3.7
Продольные усилия Nc-\03/Pi (Р2 = 0, см. рис. 3.22) в коническом ребре с попе-
я
речным сечением Fc = 1 —г- (А — параметр C.121), r=x/7=s^n2—)
X
1
2
3
5
10
20
40
100
о/я
...
0,1
818
766
726
664
561
440'
314
172
0,2
651
566 ¦
504
419
297
186
104
43,6
0,3
505
405
340
257
158
85,с
42,2
14,8
0,4
379
281»
223
156 .
85,9
43,8
22,0
9,94
0,5
274
187
141
91,7
46,7
22,3
10,0
2,72
0,6
186
117
83,8
51,8
25,4
12,4
6,37
3,33
0,7
116
67,1
45,7
26,8
12,4
5,64
2,35
0,43
0,8
60,3
31,7
20,5
11,5
5,28
2,54
1,31
0,75
0,9
21,0
9,56
5,77
3,02
1,28
0,55
0,19
0,036
янного сечения и переменного при том же значении параметра Я
для единичной силы на левом конце ребра показана на рис. 3.23.
Кривая / соответствует конусообразному ребру (см. табл. 3.6),
кривая 2 — для конического ребра (см. табл. 3.7), кривая 3, для
ступенчатого ребра (см. табл. 3.8). Максимальные отклонения име-
имеют место в средней зоне ребра.
Таблица 3.8
Продольные усилия Nc,-WlP, (Р2=0, см. рис. 3.22) в ребре со ступенчатым
поперечным сечением вида Fc=l при 0г?0/лг?О,4 и fc = 0,5 при 0,5 ^ а/я 1
а
X
1
2'
3
5
10
20
40
100
0,1
822
771
732
671
568
447
320
175
a-
0,2
662
579
520
435
314
200
113
47,9
— параметр C.121), x=x/l=sin2
0,3
518
421
357
276
176
99,2
cO,7
18,2
¦ 0,4
379
275
214
146
77,2
37,6
18,1
7,83
iff/Я
0,5
287
195
146
93,9
47,2
22,3
10,1
2,73
0,6
220
146
108
68,9
35,1
17,5
9,15
4,65
T>
0,7
164
109
80,5
51,9
26,6
12,9
5,73
1,10
0,8
112 '¦
76,7
58,0
38,8
21,4
11,5
6,46
3,61
0,9
58,4
41,3
32,2
22,6
13,4
7,48
3,69
0,58
178
0,1
г
1
V
•\
4
—¦ -Щ
12 16
20
40 60
80
Рис. 3.23. Максимальная разница Д#Шах между продольным усилием в ребрах
постоянного н переменного сечеиия при том же значении параметра % C.121)
для единичной силы Pi=l на левом конце ребра:
f—конусообразное ребро (табл. 3.6). 2—коническое ребро (табл. 3.7), S—ступенчатое ребро
(табл 3.8)
Вычисление интеграла C.123). Вычислим интеграл
для случая, когда функция <р@ — полином,
C. 139)
C.140).
ft=0
с заданными постоянными коэффициентами ск-
Для этой цели применим формулу G.105). Граничное значение
канонической функции
X{z)=Vz{z-a) '
в данном случае будет
Это следует из формулы G.101). Поэтому формулу G.105) приме-
применительно к интегралу C.139) можно записать в виде
t
Г
J
о
где Gk(z), G«,B) —главные части разложения функции X(z)y(z)
в окрестности полюсов z=Zh и полюса в бесконечно далекой точке,
• • • "|
(z—zk)
л—\
о» («)=
C.142)
179
Если функция (f>(t) —полином C.140), то функция Х(г)<р(г)
будет голоморфной на всей плоскости \с вырезанным отрезком
[0, 1]) за исключением точки z=oo, поэтому в формуле C.141)
Gk=0. При z^-*-oo
X(z) = Vz(z-\)=z-bo-h~- ....
1 . _ Bm-1I!
°~ 2 ' т~ 2т+1(т+\)\ Г
Значит, главная часть разложения функции <p(z)X(z) при 2-»-оо
согласно формуле C.142) будет
1 л+1
G» (z)= J ackz",
ncn\
по формуле C.141) получим
Эта формула применялась для вычисления интеграла C.123) от
функции C.125) с учетом C.126).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Агаян К. Л. Некоторые контактные задачи для бесконечной пластины,
усиленной упругими накладками. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела,
1972, № 5, с. 34—45.
2. Агаян К. Л. Периодическая контактная задача для бесконечной пласти-
пластины с упругими накладками. — Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1975, т. 28, № 3,
с. 3—12. « . .
3. Александров В. М., Соловьев А. С. Некоторые смешанные плоские за-
задачи теории упругости и их приложение к расчету погрешностей тензонзмере-
ний. — Механика твердого тела, 1970, № 1, с. 122—129.
4. Александров В. М., Солодовник М. Д. Эффективный метод решения за-
задачи о взаимодействии накладки (стрингера) с упругой полуплоскостью и не-
некоторые новые качественные результаты. — В кн.: Труды X Всесоюзной кон-
конференции по теории оболочек и пластин, т. I, Мецниереба, Тбилиси, 1975,
с 10—17.
5. Андрианов И. В., Маневич Л. И. Передача усилий через упругий эле-
элемент на подкрепленную стрнигерамн ортотропную полосу. — Труды IX Всесо-
Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, 1973, Л., Судостроение,
1975, с. 244—247.
6. Арутюнян Н. X. Контактная задача для полуплоскости с упругим креп-
креплением. — Прикладная математика и механика,- 1968, т. 32, Л° 4, с. 632—646.
7. Арутюиян Н. X., Мхитарян С. М. Периодическая контактная задача для
полуплоскости с упругими накладками. — Прикладная математика и механика,
1969, Т., 33, № 5, с. 813—843.
8. Арутюнян Н. X., Мхитарян С. AL К контактной задаче о двух полубес-
конечиых пластинах, соединенных полубескоиечиой упругой накладкой. — В кн.:
180 s
Механика деформируемых тел и конструкций, посвященном 60-летию академика
Ю. Н. Работиова. М., Машиностроение, 1975, с. 44—51.
9. Векуа И. Н. О ннтегро-дифференциальиом уравнении Прандтля. — При-
Прикладная математика и механика, 1945, т. 9, с. 143—150.
10. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. Изд. 2-е, перераб. и дополн. М., Фнзмат-
гиз, 1963. 639 с.
11. Голубев В. В. Теория крыла аэроплана конечного размаха. — Труды
ЦАГИ, 1931, № 108, с. 1—350.
12. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и про-
произведений. Изд. 4-е, М., Фнзматгиз, 1962. 1100 с.
13. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Передача усилий от стрингера перемен-
переменного сечения к пластине. — Проблемы прочности, 1971, № 9, с. 71—74.
14. Гуляй К- Г. О двух плоских контактных задачах для клина с наклад-
накладками. — Изв. АН СССР. Механика твердого Тела, 1972, № 5, с. 46—56.
15. Гулян К- Г. Передача нагрузки от стрингера конечной длины к двум
клиновидным упругим пластинам. — Доклады АН Арм. ССР, 1974, т. 59, № 4,
с. 226—233.
16. Гулян К. Г. К решению двух контактных задач о передаче нагрузки от
полубесконечиого стрингера двум клиновидным упругим пластинам. — Изб. АН
Арм. ССР. Механика, 1976, т. 29, № 6, с. 3—18.
17. Гурса Э. Курс математического анализа. М.—Л., ОНТИ, 1936, т. 2,
563 с.
18. Каландия А. И. О напряженном состоянии в пластинах, усиленных реб-
ребрами жееткости. — Прикладная математика и механика, 1969, т. 33, № 3,
с. 538—543.
19. Калаидия А. И. Математические методы двухмерной упругости. М., На-
Наука, 1973. 303 с.
20. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего ана-
анализа. Изд. 5-Е, М.—Л., Физматгиз, 1962. 708 с.
21. Кочанов Ю. П. Напряженное состояние плоской переборки, подкреплен-
подкрепленной двумя, стойками. — Изв. вузов. М., Машиностроение, 1963, № 8, с. 70—84.
22. Ковнеристов Г. Б. Короткая балка на границе упругой полуплоскости.—
Сопротивление материалов и теория сооружений. Респ. межвед. иаучно-техиич.
сб., 1976, Л» 28, с. 42—51.
23. Колоссе Г. В. Об одном приложении теории функций комплексного пере-
переменного к плоской задаче математической теории упругости. Юрьев, тип.
К- Маттнсеиа, 1909. 187 с.
24. Ларькии Ю. И. О передаче нагрузки от ребра конечной длины упругой
пластине. — Строительная механика и расчет, сооружений, 1968, № 5, с. 18—21.
25. Ларькни Ю. И. К определению контактных усилий взаимодействия меж-
между продольно нагруженным стержнем (ребром) и упругой пластиной. — Ученые
записки Мордовского университета, 19691, вып. 73, ч. 2, Саранск, с. 6—26.
26. Ларькин Ю. И. О взаимодействии между коротким ребром и стеикой
металлической балки при действии сосредоточенной силы на пояс. — В кн.:
Строительные конструкции и строительная механика, ч. I. Саранск, 1977,
с. 3—31.
27. Мартынович Т. Л., Юрииец В. Е. Упругая изотропная полубесконечная
пластина с несимметрично подкрепленным краем. — Изв. АН СССР. Мех. твер-
твердого тела, 1976, № 3, с. 91—96.
28. Меерович И. И. Напряжения в тонкостенных конструкциях вблизи креп-
креплений. — Труды ЦАГИ, 1940, № 476, с. 1—32.
29. Морарь Г. А. Контакт стрингера конечной длины с упругой пластиной.—
В кн.: Прочность, деформатнвиость и устойчивость строительных конструкций.
Кишинев, Штиинца, 1977, с. 29—35.
30. Морарь Г. А., Попов Г. Я. К контактной задаче для полуплоскости с
упругим конечным креплением. — Прикладная математик* и механика, 1970,
т. 34, №3, с. 412—421.
31. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической
теории упругости. Изд. 5-е, исправленное и дополненное. М., Наука, 1966, 707 с.
181
32. Мхнтаряи С. М., Гуляй К. Г. К решению двух контактных задач для
клина с упругими креплениями. — Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1978, т. 31,
№ А, с. 3—20.
33. Овсепяи Л. О. Периодическая контактная задача для анизотропной
полуплоскости с двумя упругими накладками. — Ученые записки Ереванского
государственного университета. Естественные науки, 1972, № 3, с. 15—24.
34. Раскии Ю. Н. Метод расчета судовых перекрытий на нагрузки, дейст-
действующие в их плоскости и передаваемые на обшивку через стойку переменной
жесткости. — Труды Ленинградского кораблестроительного института. 1962,
вып. 40, с. 71—81.
35. Рыбаков Л. С, Черепанов Г. П. Дискретное взаимодействие пластины
с полубесконечиым стрингером. — Прикладная математика и механика, 1977,
т. 41, № 2, с. 322—328.
36. Свркисяи В. С. Некоторые задачи математической теории упругости
анизотропного тела. Изд-во Ереванского государственного университета, Ереван,
1976. 534 с.
37. Саркисян В. С, Авансяи Р. Г. Об одной контактной задаче для упру-
упругой полосы усиленной бесконечным стрингером. — Доклады АН Арм. ССР,
1977, т. 64, № 1, с. 23—29.
38. Свркисяи В. С, Аваиесяи Р. Г. О передаче нагрузки от бесконечного
стрингера к двум защемленным упругим полосам. — Доклады АН Арм. ССР,
1977, т. 64, № 36, с. 188—Г92.
39. Саркисян В. С, Мхитарян В. Г., Овсепяи Л. О. Передача нагрузки от
степенно упрочняющейся иакладки к деформируемому основанию. — Изв. АН
Арм. ССР. Механика, 1975, 28, № 5, с. 14—30.
40. Саркисян В. С, Мхитарян В. Г., Овсепяи Л. О. Периодическая задача
для полуплоскости со степенно упрочняющимися накладками. — Ученые запис-
записки Ереванского государственного университета, 1975, № 2, с. 32—41.
41. Саркисян В. С., Овсепяи Л. О. Контактная задача для анизотропной
полуплоскости с упругими креплениями. — Доклады АН Арм. ССР, 1971, т. 52,
№ 5, с. 73—280.
42. Саркисян В. С, Овсепян Л. О. О двух контактных задачах для анизо-
анизотропной полуплоскости с упругими накладками. — Изв. АН Арм. ССР. Механи-
Механика, 1973, т. 26, № 1, с. 3—14.
43. Толкачев В. М. Передача нагрузки от стрингера конечной длины к бес-
бесконечной и полубесконечной пластине. — Доклады АН СССР, 1964, т. 154, № 4.
с. 806—808.
44. Тюряхии А. С. О расчете тонкостенных металлических стержней при
воздействии местных продольных нагрузок. — Ученые записки Мордовского
университета, 1968, вып. 65, с. 6—49.
45^ Умаиский А. А., Бляхер Б. С. О совместной работе стрингеров и об-
обшивки. — Технические заметки ЦАГИ, 1937, № 125, с. 1—22. ** •
46. Флейшман Н. П. Некоторые обобщенные задачи для пластин н тонких
плит. — В кн.: Концентрация напряжений. Киев, Наукова думка, 1968, вып. 2,
с. 209—217.
47. Achenbach J. D. Longitudinal force an embedded filament. — Appl. Scient.
Res., 1Й58, 19, N 6, p. 412—425.
48. Acic Merko. Utiaj oslonackin pojacanja na stanje napona u zidnim nosa-
cima. — Izgradnja, 1976, 30, N 7, p. 51—58.
49. Alblas J. В., Kuypers W. J. J. On the diffusion of load from a stiffener into
an infinite wedgeshaped plate.—Applied scientific Research, 1965—1966, A 15, N 6,
p. 429—439.
50. Argon A. S. Stresses in and around slender elastic rods and plate lets of
different moduls in an infinite elastic medium under uniform strain at infinity. —
Fibre Sci. and Technol., 1976, 9, N 4, p. 265-275.
51. Arutunyan N. K., Mkhitaryan S. M. Some contact problems for a semi-pla-
semi-plane with elastic stiffeners.— Trends in elasticity and thermoelasticity. Witold No-
wacki Anniversary Volume. Groningen, Wolters—Noordhoff publishing, 1971,
p. 3—20.
182
52. Benscoter S. U. Analysis of a single stiffener on an infinite sheet.—Jour-
sheet.—Journal of Applied Mechanics, 1949, vol. 16, N 3, p. 242—246.
53. Benthem J. P. On the diffusion of a load from a semi-infinite stringer bon-
bonded to a sheet. — Contrib. Theory Aircraft Struct. Delft, 1972, p. 117—134.
54. Bloom J. M. The effect of a riveted stringer on the stress in a sheet with a
circular cutout. — Transactions ASME, 1966, E33, N 1, p. 198—199.
55. Brown E. H. The diffusion of load from a stiffener into an infinite elastic
sheet. — Proceedings of the Royal Society. Series A, 1957, vol.239, N 1218,
p. 296—310.
56. Budiansky В., Wu Tai Те. Transfer of load to a sheet from a rivetattached
stiffener. — Journal of Mathematics and Physics, 1961, vol. 40, N 2, p. 142—162.
57. Buell E. L. On the distribution of plane stress in a semi-infinite plate with
partially stiffened edge. — Journal of Mathematics and Physics, 1948, vol. 26, N 4.
y. 223—233.
58. Bufler H. Zur Theorie diskontinuierlicher und kontinuierlichter Verbindun-
gen. — Ingenieur—Archiv, 1968, 37, N 3, S. 176—188.
59. Garleman T. Sur la resolution de certaines equations integrates. — Aktiv
for .mathematik, astronomi och fysik, 1922, 16, N 26, p. 1 — 19.
60. Fan H. J., Muki R. Load transfer from a web to two parallel sheets. —
Appl. Sci. Res., 1971, 25, N 1—2, p. 1—25.
61. Goodier J. H., Hsu С S. Transmission of tension from a bar to a plate.—
Journal of Applied Mechanics, 1954, vol. 21, N 2, p. 147—150.
62. Koiter W. T. On the diffusion of load from a stiffener into a sheet. — The
Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 1955, vol. 8, part 2,
p. 164-178.
63. Le Fevre E. I., Mudge D. R. I., Dickie I. E. An analysis of the distribution
of tension in a bor attached to a plate. — Journal of Atrain Analysis, 1966, vol. 1,
N 5, p. 389—393.
64. Lubkin J. L., Lewin L. С Adhesive shear flow for an axially—loaded, fini-
finite stringer bonded to an infinite sheet. — Quarterly J. Mech. and Appl. Math., 1970,
23, N 4, p. 521—533.
65. Lukasiewicz S., Borajkiewlcz W. Optimum desing of a bar transmitting a
load into a sheet. — Archiwum budowy maszun., 1971, N 18, N 1, p. 21—31.
66. Melan ET Ein Beitrag zur Theorie geschweisster Verbindungen. — Ingenie-
ur—Arciiiv, 1932, Bel. 3, Heft 2, S. 123—129.
67. Muki R., Sternberg E. Transfer of load from an edge stiffener to a sheet a
reconsideration of Melan's problem.—Journal Applied Mechanics, 1967, 34,
p. 679—686. (Русский перевод: Прикладная механика. — Труды Американского
общества инженеров—механиков, Серия Е, 1968, 35. № 4. с. 124—135k
68. Muki R., Strenberg E. On the diffusion of load from a transverse tension
bar into a semi-infinite elastic sheet. — Transactions of the ASME,1968, E35, N 4,
p. 737-746.
69. Multhopp H. Die Berechnung der Auftriebsverteilung von Tragflugeln. —
Luftfahrtfdrschung, 1938., Bd. 15, N 4, S. 153—169.
70. Pfau P. Kraftiibertragung zurischen zwei Scheibem von jeweils konstanter
Dicke, die durch punktgormige Haftstellen verbinden sind (Kraftiibertragung zwi-
schen zwei punktgeschweissten Blechen.) — Wissenschaft Zeischrift Technology
Hochschule Karl-Marx-Stadt, 1965, 7, N 2, S. 1—15.
71. Pfan P. Kraftiibertragung zwischen zwei punktgeschweissten Blechen
(Zahlenbeispiele). — Wissenschuft Zeischrift Technology Hochschule Karl-Marx-
Stadt, 1966, 8, N 3, S. 161—164.
72. Reissner E. Note on the problem of the distribution of stress in a thin
stiffened elastic sheet. — Proceeding of the National Academie of Sciences, 1940,
vol. 26, N 4, p. 300—305.
73. William W. L., Chu and Conway H. D. Bond stresses in compositeswith
overlapping fibers.— Int. J. Mech. Sci., 1970, 12, p. 761—774.
Гл ав а 4
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗГИБА УПРУГИХ
ПЛАСТИН
4.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В гл. 4 выводятся основные уравнения теории изгиба пластин. Это классиче-
классические уравнения теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа, теории, учитывающей
деформации поперечного сдвига и обжатия. С целью использования теории плас-
пластин в контактных задачах уравнения выведены для случая, когда к поверхности
пластин приложены ие только нормальные поверхностные усилия, но и касатель-
касательные. Обсуждаются способы учета эффекта поперечного обжатия с целью пост-
построения корректных решений контактных задач.
В разд. 4.2 записаны основные уравнения теории упругости — уравнения
равновесия, соотношения Коши и Гука.
В разд. 4.3 дай вариант классических уравнений теории Кирхгофа.
В разд. 4.4 в рамках теории Кирхгофа применительно к напряжениям выво-
выводится закон из-менеиня смещений по толщине пластины путем интегрирования
соотношений закона Гука. Таким путем может быть учтен эффект поперечного
сдвига и обжатия, который весьма важен прн решении контактных задач. Подоб-
Подобный способ учета поперечного обжатия известен в литературе. Он использован
B. М. Блохом и С. Я. Цукровым [10], Э. И. Григолюком и В. М. Толкачевым [15],
C. Н. Карасевым и Ю. П. Артюхиным [16]. В ряде публикаций эффект попереч-
поперечного обжатия интерпретируется как смннание некоторого поверхностного слоя
(пусть даже фиктивного). Это смииаиие может быть следствием шероховатости
поверхности, реального обжатия материала пластины под штампбм, если пласти-
пластину рассматривать с позиции теории упругости.и т. д. Введение упругого слоя при
рассмотрении контактных задач теории упругости предложено еще И. Я. Штаер-
маном [20]. Такая модель обсуждалась И. А. Биргером при рассмотрении контак-
контакта стержней [6], пластин н оболочек [7], М. В. Блохом [8, 9, 10, 11] — для пластин
и при осесимметрнчиом контакте оболочек, Г. Я- Поповым [18] — при анализе
интегральных уравнений контактных задач для тонкостенных тел.
В разд. 4.5 даиа модификация уточненной теории типа С. П. Тимошенко—
Е. Рейссиера с целью приспособления ее для корректной постановки н решения
контактных задач. Смысл модификации состоит в учете (в рамках этой теории)
эффекта поперечного обжатия и более аккуратного учета эффекта поперечного
сдвига, иа который накладывает отпечаток поперечное обжатие. Это делается ин-
интегрированием соотношений закона Гука по толщине пластины, в результате че-
чего находится закон изменения смещений по толщине пластины. Установлены
также естественные граничные условия для контактных напряжений на границе
зоны контакта. Полученные уравнения могут быть использованы и при расчете
слоистых пластин с учетом эффекта сдвига и поперечного обжатия материала
слоев. Следует отметить, что основные (интегральные по толщине) уравнения
теории ие зависят от того, учитывается или ие учитывается эффект поперечного
обжатия. Поэтому соотношения обобщенного закона Гука, приведенные в разд.
4.5, в точности совпадут с приведенными в монографии С. П. Тимошенко [30],
если считать, что к пластине приложены только нормальные поверхностные уси-
усилия. Что касается обобщенных уравнений равновесия, то они, как известно, во-
вообще ие зависят от каких-либо гипотез, теории пластин. Результаты четвертого
раздела взяты из статьи Э. И. Григолюка и В. М. Толкачева [14], этапы разви-
развития теории типа С. П. Тимошенко обсуждены в начале разд. 4.5.
В разд. 4.6 дай вывод разрешающих уравнений теории типа С. П. Тимошен-
Тимошенко для случая, когда к поверхности пластины приложены ие только нормальнее,
но и касательные усилия. Этот вывод заимствован из книги С. П. Тимошенко [30].
184
В разд. 4.7" дай типовой пример решения контактной задачи в трехслойной
пластине для определения касательиых усилий взаимодействия между слоями.
З&дача является характерной. Если ее решить в рамках теории С. Жермен—
Лагранжа—Кирхгофа, то касательные -усилия взаимодействия между слоями во
всей области контакта будут равны нулю за исключением концов зоны контакта,
где появляются касательные сосредоточенные силы. Эта же картина будет иметь
место, если вместо теории С. Жермен—Лаграижа—Кирхгофа использовать теорию,
учитывающую эффект поперечного сдвига, без учета эффекта поперечного обжа-
обжатия, так как в данной задаче усредненный по толщине сдвиг равен нулю. Если
взять модифицироваииую теорию изгиба пластии, даииую П. Нагди [24], в которой
учитывается поперечный сдвиг и обжатие, то получается такое же некорректное ре-
решение, как н по теории С. Жермеи—Лагранжа—Кирхгофа. Этот, казалось бы,
парадокс можно объяснить тем, что в варианте теории П. Нагди [24] вводится
априори закон изменения перемещений по толщине пластины, что ие позволяет
повысить порядок разрешающих уравнений для контактных усилий. Более гибкой
для данной контактной задачи оказывается теория С. А. Амбарцумяиа [4]. По
этой теории для касательных контактных напряжений получается дифференци-
дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого дает закон распределения
касательных напряжений по длине зоны контакта. Однако теория С. А. Амбарцу-
Амбарцумяиа ие позволяет уловить эффект спада касательиых иапряжений в непосредст-
непосредственной близости от концов зоны контакта. Вариант модифицированной теории,
изложенный в разд. 4.5, позволяет получить корректное решение данной задачи.
Разрешающее диффереициальное уравнение для касательиых напряжений в зоне
контакта имеет четвертый порядок и позволяет найти закон распределения иап-
иапряжений в зоне контакта, причем на конце зоны контакта касательные напряже-
напряжения обращаются в нуль. Следует отметить, что если в рамках варианта, изложен-
изложенного в разд. 4.5, ие учитывать изменение прогиба по толщине пластины нри вы-
выводе закона изменения тангенциальных смещений по толщине, то решение зада-
задачи разд. 4.7 все же можно получить. Получится вполне определенный закон изг
менеиня контактных касательных напряжений по длине зоны контакта. Однако
порядок дифференциального- уравнения для контактных напряжений будет вто-
второй и напряжение ие будет обращаться в нуль на концах зоны контакта, а бу-
будут иметь там максимальное значение. Таким образом, неучет поперечного обжа-
тня приведет к эффекту, получаемому согласно теории С. А. Амбарцумяна [4].
В заключение отметим, что результаты разд. 4.7 сравнивались с аналогичны-
аналогичными результатами, полученными прн решении подобной задачи А. Мирко [21] ме-
методом сеток иа основе уравнений плоской теории упругости. Совпадение весьма
хорошее. Содержание разд. 4.7 опубликовано в работе Э. И. Грнголюка и
В. М. Толкачева [14].
4.2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
Исходные уравнения запишем, имея в виду использование их
при выводе уравнений прикладных теорий пластины. Оси ху рас-
расположим в срединной плоскости пластины, ось г направим по нор-
нормали, как показано на рис. 4.1.
Выпишем уравнения равновесия произвольного малого эле-
элемента
дх Г ду ^ дг
да2шГ dtxz . дЧуц
—-ч——-4 =0.
дг дх ду
185
A
x,u,
Рис. 4.1. Элемент пластины с положительным направлением осей координат
Рис. 4.2. Положительное направление напряжений и перемещений бесконечно ма-
малого элемента тела
Положительное направление нормальных ах, ау, az, касательных
хХу, txz, tyz напряжений и ориентация осей координат показана на
рис. 4.2.
Кинематические соотношения Коши между ртносительными де-
деформациями вх, Еу, вг, уХу, Ухг, Ууг и перемещениями произвольной
точки пластины и0) v0, w0 имеют вид
дх '
4
ду ^ дх
дг '
дг ' дх
D.2)
У"г~ дг ~Т~ ду *
Положительное направление перемещений «0, v0, w0 дано на
рис. 4.2.
Соотношения закона Гука будут
¦D.3)
где E, v — соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона;
G — модуль сдвига, равный '
О=-
2A
186
Рис. 4.3. Положительное направле-
направление приведенных усилий н момен-
моментов в пластине
Удельные нормальные Тх,
Ту, сдвигающие Тху = Тух, по-
поперечные Qx, Qy усилия и
удельные изгибающие Мх,
Му и крутящие МХу=Мух
моменты имеют вид (п — толщина пластины)
А/2 А/2
А/2
-Л/2
Л/
-А/2
-А/2
-ft/2
A/2
Л/2 .
Qy=i xyzdz,
X.ft/2
Л/2
, My=\ <3yzdz,
-A/2 ' -A/2 . -A/2
Положительное направление усилий и моментов показано на
рис. 4.3.
Л/2
A/
xxyzdz.
4.3. ТЕОРИЯ КИРХГОФА
В рамках теории Кирхгофа вводятся гипотезы
ег = 0, ул_о, Ууг=0. D. 4)
Математически это означает, что к системе уравнений теории
упругости добавляется три новых уравнения D.4). Система стано-
становится переопределенной, и поэтому нужно отбросить также три
уравнения. Отбрасываются соотношения закона Гука для деформа-
деформаций D.4). Кроме этого, в теории Кирхгофа считается, что соотно-
соотношения закона Гука D.3) для е* и еу не содержат слагаемого \аг.
Это допущение нельзя считать принципиальным, так как оно не
вносит новых уравнений в исходную систему теории упругости.
Итак,
* 1 - v2 \дх ^ ду У у 1 - V2 \ду ~ дх I V '
Интегрируя соотношения Коши D.2) с учетом гипотез D.4), по-
получим
^ D.6)
wo=w{x,y), uo=u-z ~, vo^=v-z^-
дх ду
Таким образом, прогибы не меняются по толщине пластины и
равны прогибам срединной плоскости. Во втором и третьем соот-
соотношении D.6) и, v — перемещения срединной плоскости пластины.
Из этих соотношений видно, что точки, лежащие на нормали к не-
деформированной поверхности, остаются на нормали к деформиро-
деформированной (гипотеза прямой нормали).
187
F*hc. 4.4. Положительное направление иор-
мальиых q* н касательных q%, qf усилий,
приложенных к поверхностям пластины z=
= ±А/2
Проинтегрируем соотношения D.5)
и соотношение
ду
дх
по толщине пластины с учетом D.6). Получим соотношения обоб-
обобщенного закона Гука
дх ду J . \ ду
т _ ДA —у) / ди
дх
/ да , dv \
V ду дх)
d2w \-
D.8)
D.9)
' дхду 1—v2 12A — v2)
Формулы D.5) и D.7) теперь можно записать в виде
А
Ш
6А1»
* X I "'"X ^_ I » ±
t "Г to *' 1/ .- I ,„ *>
6М,
¦^,
где
A
D. 10)
D.11)
Будем считать, что tfa поверхностях пластины z= ±Ji/2 при-
приложены касательные и нормальные поверхностные усилия с,5, qf ,
q?. Граничные условия для напряжений на этих поверхностях бу-
будут
"г^Я?, 1Хг=Ях, tyz=qy при z=±k/2. D.12)
Знак плюс относится к поверхности z= +Л/2, минус — к z= —А/2.
Положительное направление усилий показано на рис. 4.4.
В дальнейшем будем пользоваться обозначениями
J=x,y,z
D.13)
и безразмерной координатой D.11).
Если проинтегрировать уравнения равновесия D.1) по всей
толщине пластины с учетом D.12), а затем умножить первые два
188
уравнения на г и также проинтегрировать по всей толщине, полу-
получим обобщенные уравнения равновесия в усилиях и моментах
дТ ^ S*_* D.14)
дх ' ду ' " ду ' дх
дМх , ЛИ™ л ,
DЛ5)
Вид этих уравнений, очевидно, не зависит от каких-либо гипотез.
Те же уравнения равновесия D.1) с учетом D,14) и D.15) да-
дадут закон изменения напряжений ххг, хуг и аг по толщине пластины
*«=?* — +—(-1 + &2)+^ (I-*2),
*г ™ 2 ' 2А v ' ; ' 2А
Дифференцируя первое уравнение D.15) по х, второе по у и
складывая, с учетом третьего уравнения и соотношений D.9), по-
получим разрешающее уравнение для прогиба
4.4. УЧЕТ СДВИГА И ОБЖАТИЯ
Пренебрежение в рамказд теории Кирхгофа деформациями до--
перечного обжатия и сдвига, т. е. введение гипотез D.4), наложи-
наложило отпечаток на вид обобщенных соотношений закона Гука D.8),
D.9), привело & линейному закону распределения напряжений
D.10). Распределение касательных напряжений txz, xyz и нормаль-
нормальных поперечных напряжений аг при этом получило вид D.16).
Можно вообще не вводить каких бы то ни было исходных кинема-
кинематических гипотез, а задать априори линейный закон D.10) измене-
изменения напряжений ах, ау, хху по толщине пластины, как это делается
в теории Э. Рейсснера. Тогда нарушатся соотношения обобщенного
закона Гука D.8), D.9). Они будут иметь другой вид. Что касается
-189
закона изменения напряжений %хи хуг и аг, то он по-прежнему будет
иметь вид D.16). В этом случае мы бы имели право ввести напря-
напряжения D.10), D.16) в соотношения закона Гука для этих напряже-
напряжений и проинтегрировать их. Тем самым можно получить закон из-
изменения перемещений по толщине пластины и, значит, учесть попе-
поперечное обжатие и сдвиг. В рамках теории Кирхгофа такая опера-
операция, вообще говоря, является незаконной, так как получится несо-
несоответствие с соотношениями обобщенного закона Гука D.8), D.9).
Однако иногда можно пойти на такое несоответствие и выполнить
указанную операцию, считая ее как бы следующим приближением.
Это иногда целесообразно делать при решении контактных задач,
так как можно устранить некоторые формальные противоречия.
Итак, проинтегрируем по толщине пластины соотношения закона
Гука .
2- = —(о, — vor —vo.,), ——-I °- = _?2.
dz ? V х у' dz dx Q
= -^- . D. 17)
Из первого соотношения найдем Доо, затем из второго и третьего
«о, Wo:
D. 18)
A dw , i
uo=u-T _/ +
~ 2A \ S }\ 4E[dx 2h * 8 dx \ 10/T
~ 16 dx \ dx ' dy j\ 6 /J
D(](?
8 dx \ dx dy l\ 3 5 / 16 dx \ dx ' dy j\ 6
+
+ (Afx+AfJ^1 . D.19)
Wo получается из D.19) заменой ы на v и индексов л; на у.
В формулах D.18), D.19) ы, ш, v — перемещения срединной
плоскости пластины, t = 2z/h. Первая квадратная скобка в D.18)
характеризует вклад в прогиб напряжений аг, вторая — вклад от
Ох + Оу. Вклад от ох+'оу обычно бывает мал в сравнении с вкладом
от аг. В D.19) первая квадратная скобка характеризует вклад в
перемещение щ касательных усилий хХг, остальные слагаемые — от
перемещения w0.
Рассмотрим в качестве примера случай, когда пластина
изгибается только под действием нормальных усилий либо
qt, либо ql (см. рис. 4.4). Полагая в формуле D.18) qx—qv=
190
=mx=my=Tx = Ty = O и выразив моменты Мх и Му через прогиб
из соотношений D.9), получим для перемещений поверхностей пла-
пластины t= ±1 представление
-32 Е Н Л 8(l-v) V ;
Знаки плюс и минус относятся соответственно к верхней и нижней
поверхности пластины. Второе слагаемое в правой части форму-
формулы D.20) при рассмотрении контактных задач обычно можно не
учитывать, так как оно мало. Нагрузки qf и qj при рассмотрении
контактных задач выполняют роль нормальных реакций взаимодей-
взаимодействия.
4.5. МОДИФИКАЦИЯ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ
ДЛЯ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ
Необходимость учета деформаций поперечного сдв-ига при изги-
изгибе балок была указана С. П. Тимошенко во второй части его «Кур-
«Курса теории упругости», изданного в 1916 г. [19]. Им была^ введена
поправка к кривизне оси стержня, обусловленная перерезывающей
силой. Аналогичное уточнение предлагалось и в теории пластин
[30]. Эту тебрию в настоящее время принято называть теорией ти-
типа Тимошенко.
В 1944 г. вариант теории пластин, в которой учитываются попе-
поперечные сдвиги, был предложен Э. Рейсснером [25]. Задав линейный
закон изменения напряжений ах, оу, хху по толщине пластины, по-
получив затем из уравнений равновесия квадратичный закон измене-
изменения напряжений хХг и хуг и кубический закон для напряжений аг,
он выводит соотношения обобщенного закона Гука из вариацион-
вариационного принципа Кастилиано. В 1945 г. Э. Рейсснер [26]'получил раз-
разрешающие уравнения: уравнение для прогиба и для функции ty, ко-
которая входит в формулы для перерезывающих сил. Через год
Э. Рейсснер [27] дает несколько иной вывод уравнений, вводя углы
поворота, а также дает, способ, преобразования системы уравнений.
В 1949 г. А. Грин [23] вывел уравнения Рейсснера энергетическим
путем без применения теоремы Кастилиано. Прием А. Грина об-
обсуждает также С. П. Тимошенко [30]. Обобщение варианта Э. Рейс-
Рейсснера на произвольный закон изменения изгибных напряжений по
толщине пластины, но одинаковый для всех трех компонентов, да-
дано А. Л. Гольденвейзером [13] A958 г.). Л. Я. Айнола [1] A962 г.)
показал, что функция распределения напряжений по толщине пла-
пластины, введенная А. Л. Гольденвейзером, может быть определена
из вариационного принципа Кастилиано.
Перечисленные работы характерны тем, что рассматривается
случай, когда пластина нагружена только нормальными усилиями,
прогиб считается постоянным по толщине, закон изменения тан-
тангенциальных перемещений по толщине из теории не следует.
Модификация варианта теории Э. Рейсснера [25] для случая
произвольных нагрузок, учитывающая поперечное обжатие, разви-
191
та П. Нагди [24], который постулирует линейный закон изменения
перемещений и, о и напряжений ах, оу, хху по толщине пластины, а
прогиб же задает квадратной параболой. Уравнения получены для
оболочек с помощью вариационного соотношения Э.Рейсснера [28]
и для случая пластины по существу совпали с рейсснеровскими.
Поперечное обжатие учитывается отдельной формулой. В 1975 г.
Э. Рейсснер [29] дает модификацию теории. Задав на первом этапе
"линейный закон изменения напряжений ах, оу, хху по толщине пла-
пластины и получив из уравнений равновесия квадратичный закон
для поперечных касательных напряжений, он интегрирует соот-
соотношения закона Гука для поперечных касательных напряжений
при условии, что прогиб w не меняется по толщине пластины. При
этом получается кубический закон изменения перемещений и, о по
толщине .пластины. Подставляя эти перемещения в соотношения за-
закона Гука для напряжений ах, оу, хху, он получает следующее при-
приближение для этих напряжений: квадратичный закон изменения по
толщине. При этом соотношения обобщенного закона Гука для мо-
моментов, полученные.интегрированием закона Гука для напряжений,
имеют такой же вид, как и в работе [25].
Известно, что теория типа С. П. Тимошенко, как и теория Кирх-
Кирхгофа в контактных задачах приводит к формальным противоречи-
противоречиям при определении реакций, хотя в ряде случаев и верно отража-
отражает напряженное состояние [15]. Эти противоречия связаны с иска-
искажением действительного характера изменения, реакций вблизи кра-
краевых участков зон контакта. То же относится и к варианту П. Наг-
Нагди [24]. Для устранения указанных противоречий желательна моди-
модификация теории. Применительно к расчету клеевых соединений
такая модификация дана Ю. П. Артюхиным [5] в 1975 г. в пред-
предположении, что клеевой слой не сопротивляется изгибу и рас-
растяжению.
Ниже дан вариант теории, не приводящий к противоречиям при
решении контактных задач.
Как и в разд. 4.3, рассмотрим общий случай, когда на поверхно-
поверхностях пластины приложены поверхностные усилия q}, qf, q^ (см.
рис. 4.4). Граничные условия на.этих поверхностях будут иметь
вид D.12). Будем точно выполнять уравнения равновесия трехмер;
ного тела D.1), а закон распределения перемещений по толщине
пластины определим путем интегрирования соотношений закона
Гука D.17). В теории Э. Рейсснера эти соотношения выполняются
в интегральном по толщине пластины смысле. Как и в теории
Э. Рейсснера, будем исходить из линейного закона изменения нап-
напряжений D.10). Закон изменения напряжений xxz, xyz, az получен-
полученный интегрированием уравнений равновесия D.1), с учетом D.10)
будет иметь вид D.16). Закон изменения перемещений по толщине
пластины, полученный интегрированием соотношений D.17), будет
иметь вид D.18), D.19), где н, о, w — перемещения срединной
плоскости. В рамках данного раздела и в дальнейшем при исполь-
использовании уточненной теории через и, v, w будем обозначать обоб-
обобщенные перемещения, смысл которых будет ясен ниже.
192
Перемещения же срединной плоскости будем обозначать через
и, v, w. i
Соотношения обобщенного закона Гука и граничные условия
получим из вариационного уравнения Кастилиано. Если считать
выполненными соотношения закона Гука D.17), вариационное
уравнение Кастилиано для пластины как трехмерного тела будет
иметь вид
J [(uo-
¦f (да„ - w!) *^] dQ=0, D. 21):
где т — объем; Q — поверхность пластины; ы0*, v0*, w0* — задан-
заданные на поверхности перемещения; X Y, Z — компоненты поверх-
поверхностных усилий,
X=aJ+xxym + xxzn,
гп, D-. 22)
I, m, n — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности
с осями х, у, г.
Отметим, что из'вариационного принципа Кастилиано не выте-
вытекает закон Гука D.17), если задан какой-то определенный закон
изменения напряжений по толщине.. Для этого нужно дать полный
произвол.в изменении напряжений, чего нет в рассматриваемой
теории. Однако с другой стороны, выполнение уравнений D.17) не
противоречит уравнению Кастилиано. Оно лишь будет иметь упро-
упрощенный вид D.21). ' > . .
Из D,21), согласно формулам D.10), приравнивая нулю мно1-
жители при произвольных вариадиях усилий.и моментов, получим!,
следующие интегральные по толщине пластины соотношения зако^,
на Гука:
\Eh (да , dv\, v Г " , А2 (dqa ,^Я
т(?+?)] - <*
3136
Здесь введены обозначения
1 1
uodt, v=—( vodi, D.25)
—i —i
i i
D.26)
где и и v — средние по толщине пластины перемещения; «р* и уу —
средние по толщине пластины углы поворота сечения.
Подставляя перемещения «о из формулы D.19) в D.25), полу-
получим связь между средними по толщине перемещениями и и пере-
перемещениями срединной плоскости пластины
12В Чх 32Е [.ЗА дх ^ 20 дх [дх ^ д.у
Аналогичное соотношение для v получится заменой п на v и х
на у. Подставим теперь «о непосредственно из закона Гука D.17) в
первую формулу D.26). Будем иметь
дх
—l
где w=— \ wQ(\— t2)dt D.28)
—i
-— средний по толщине прогиб.
Если подставить в предыдущую формулу для фж и аналогич-
аналогичную формулу для фу напряжения тж2 и %yz из формул D.16), полу-
получим
— д™ i 6 I
дх 5ОА \
6
По формуле D.28) с учетом D.18) определим связь между сред-
средним по толщине прогибом w и прогибом срединной плоскости w
— , ЗА Гю i 11 Iдтх , дту \Л 3v ,.,
1 16-70? L 3 \ дх ' dy /J 10?А v
D.30)
Чтобы получить связь между перемещениями и0, о0, sy0 произ-
произвольной точки по толщине пластины со средними перемещениями
и, v, w, нужно исключить п, w из соотношений D.19) и D.18) с по-
194
мощью формул D.27) и D.30).Выпишем формулы для перемеще-
перемещений поверхностей пластины. Они используются для условий стыков-
стыковки п-ри решении контактных задач
(+i)u+ + + \+ +
У~ J ' 2G \ 6 - Л / 2 дх АЕ L~3A дх ~
70 дх "" 105 дх \ дх ' ду ) 30 дх'\дх (?WJ
¦+—Г— i-rr +ТЛ + — -?-{Мх + Ми)\, D.31)
Г4? L 3 дх К х ' у 5А йл: V ' Г у'1 V 7
0\- J . - 2? ' 140? ' 140? [ дх
А2 /^.г , ^ \ v Г т ,тл, 12
верхний знак относится к поверхности пластины t= +1, нижний—•
к поверхности /= —1. Слагаемые с одним знаком характеризуют
симметричную часть перемещений, слагаемые с двойным знаком —-
кососимметричную. v*
Остановимся на естественных граничных условиях, которые вы-
вытекают из условия равенства нулю поверхностного интеграла в ва-
вариационном уравнении D.21).
Разбив поверхностный интеграл на интеграл по поверхностям
пластины t— ±1 и интеграл по боковой (контурной) поверхностиs,
убеждаемся, что на поверхностях пластины t= ±1 могут быть за-
заданы либо напряжения az, т«, туг, либо перемещения «о, ?>о. ^о»
Рассмотрим боковую поверхность, где направляющие косинусы бу-
будут (а — угол между нормалью к контурной поверхности и осью х)
/ = cosa, /re=sina, я—0.
Имеем согласно D.22)
Xu0JrYv0=X («„Ocosa — us0 sin a)-\-V (un0 sin a-\-us0cosa) —
-'Ao+^Ao, ¦ D.32)
где an, f.m, Xm — нормальные и касательные напряжения на поверх-
поверхности; и„о, mso — перемещения вдоль нормали и в направлении ка-
касательной к контуру. Контурный интеграл D.21) будет иметь вид
ds f [(ило — ««о) 8з„ + («io — и*о) 8tsn + (да0 — ^о) 8тлгЛ=О, D. 33)
где Стп, т5П, т2П — напряжения на контуре.
7* 195
Имеем
°а А~ ' А2~ ' sn~~h ' А2 ' К • )
где Гя=Гхcos2a-\-Ty sin2а + Тху sin 2а,
Аналогично выражаются моменты Мп и Msn. Согласно форму-
формулам D.32) и D.16)
^ ^.(l-n D.35)
где qn, tnn, Qn определяются по формулам
qn=qxcosa-\-qysma, mn=mxcosa-\-mysina,
Qn=Qx cos a+Qj, sin a.
x
Из равенства D.33.), формул D.34) и D.35) следует, что на кон-
контуре пластины можно задать произвольно усилия и моменты
Тп, Tsn, Qn, Мя, Msn, ' D. 36)
а также поверхностные нагрузки
Я* тп D.37)
или их комбинации.
Кинематические граничные условия, соответствующие произ-
произвольным вариациям усилий и моментов D.36), будут
ял=Ил, u<=iis, «>=«;*, <ря=<Ря, <ps=<Ps, D.38)
где ип, us, w — средние по толщине перемещения в смыеле D.25) и
D.28); ф„, <ps — углы-поворота, определяемые по формулам
— yx sin a,
un=ucosa.J\rv sin a, #s=z>cosa — и sin a.
При решении контактных задач поверхностные нагрузки D.13)
подлежат определению и могут произвольно варьироваться даже
на контуре, если они там неизвестны. Кинематические граничные
условия, соответствующие произвольным вариациям нагрузок qn
и т„, входящим в формулу D.35) для т„г, согласно последнему
слагаемому в равенстве D.33) будут
s=s*, v=Y*> D-39)
1 1
=—\ Wffdt, y=[ wo(-l+3t2)dt, D.40)
' А 1 Л
где
а ?* и у* — соответствующие величины от заданного на границе
перемещения w0*.
196
Если подставить в выражения D.40) значение прогиба из фор-
формулы D.18), то получим
А ддх , дЯу \ v
)
Eh ^10? \дх^ ду ) Eh У
V 35? Т105? \ Л* ду } 5?А V
Итак, кинематические граничные условия при разыскании кон-
контактных усилий сводятся к тому, что правые части выражений
D.41) на контуре должны быть равны интегралам D.40) от.задан-
ного на контуре прогиба. Если, например, пластина защемлена по
всей толщине, то е=0, у = 0. в имеет смысл величины поперечного
обжатия. Каждое из условий D.36), D.37) может быть заменено
соответствующим условием D.38), D.39). Например, условие для
qn можно заменить условием для е, однако условие для qn нельзя
заменить на условие для у. Таким образом, можно ставить сме-
смешанные граничные условия..
Отметим,'что условия D.39) можно задавать независимо, если
неизвестны на контуре нагрузки на обеих поверхностях пластины,
а значит и их комбинации D.37). Кинематические граничные усло-
условия, соответствующие каждой из неизвестных нагрузок Цп и qn
на контурных линиях поверхностей t= ± 1, будут
! e.__lJ?.f . D.42)
2 А ' > 1
2 А
где е и V — выражения D.41); верхний знак относится к поверх-
поверхности t= + 1, нижний — к t= —1.
Условия D.42) получатся, если в формуле D.35) заменить пгп
и qn согласно формулам
и. приравнять затем нулю множители при произвольных вариациях
Щ~х и 8^ в последнем слагаемом равенства D.33).
Приведем сравнение изложенного варианта уточненной теории
с вариантом Э. Рейсснера и вариантом П. Нагди [24], где также
учитывается деформация поперечного обжатия.
Соотношения обобщенного закона Гука D.23), D.24) и D.29)
будут те же, что и в варианте Э. Рейсснера, если учесть поверхно- ¦
стные усилия q* и q% и, следовательно, мембранные усилия Тх,
Ту, Тху. Обычно приводятся уравнения варианта теории Э. Рейссне-
Рейсснера, в которых не учитываются мембранные усилия-(см., например,
СП. Тимошенко [30]), и, следовательно, отсутствуют соотношения
D.23), а. в соотношениях типа D.24) и D.29) отсутствуют слагае-
слагаемые с пгх и пгу. Смысл усредненных перемещений w и углов пово-
поворота фж, ф„ остается тем же.
197
В варианте теории П. Нагди [24} учитываются поверхностные
усилия q* и qp. Соотношения закона Гука D.23), D.24) и D.29)
формально совпадают с соотношениями работы [24]. Однако в ра-
работе [24] эти соотношения содержат перемещения срединной плоско-
плоскости. Кроме этого, соотношения D.29) получаются в работе [24] пу-
путем отбрасывания эффекта поперечного обжатия при их выводе.
В настоящем разделе никаких упрощений .не делалось. Закон из-
изменения перемещений по толщине пластины в работе [24] постули-
постулируется (линейный для щ и v0 и квадратичный для w0). Он сущест-
существенно отличается от закона D.18) и D.19). Аналога граничных ус-
условий типа D.37) и D.42) для поверхностных усилий в работе [24]
нет.
По существу предложенный выше вариант и нужен для того,
чтобы можно было выполнить эти важные условия при решении
контактных задач. Как легко можно убедиться, при формулировке
даже простейших контактных задач ни классическая теория
Э. Рейсснера, ни вариант П. Нагди не позволяют этого сделать.
При решении же обычных задач для тонких пластин с заданными
поверхностными усилиями все модификации теории пластин в
большинстве случаев приводят к близким результатам, включая и
теорию Кирхгофа. Иными словами, тот или иной вариант теории
желательно выбирать в зависимости от класса рассматриваемых
задач.
В заключение оценим, какой эффект поперечного обжатия дает
изложенный вариант теории в том же примере, который был рас-
рассмотрен в конце разд. 4.4, когда к пластине приложены только по-
поверхностные усилия it или qj. Есди под обжатием понимать
, разницу между прогибом поверхности пластины и срединной пло-
плоскости, то формально получим то же самое, так как формула D.18)
для обеих теорий одна и та же. Но при решении задач по теории
настоящего раздела придется иметь дело с осредненным прогибом
D.28), поэтому нужно знать разницу между прогибом поверхности
пластины и осредненным прогибом. Она определяется по формуле
D.31):
Как видим, первое слагаемое в правой части почти не отличается
от соответствующего слагаемого в формуле D.20).
4.6. РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ УТОЧНЕННОЙ
ТЕОРИИ
Уравнения предыдущего раздела разделяются на две независи-
мые группы, если считать'внешние нагрузки заданными. Это урав-
уравнения изгиба и плоское напряженное состояние.. Дадим вывод раз-
разрешающих уравнений изгиба, следуя С. П. Тимошенко Г301.
198
Исключим из уравнений D.24) для моментрв углы поворота
<р* и cfy с помощью соотношений D.29). С учетом последнего урав-
уравнения D.15) получим
5 дх
/ 2 —у дтх , у dmy\
v)\ 9z~t~ 6 dx ' 6 ду /'
10A — v)
f?5L^U^^ D.43)
+vU
ду2 дх2) 5 ду
I 2~v dWy I v dmA
6 ду 6 dx J'
10A —v)\ 6 ду
ду * дх 6 V
+f +
10 L ду * дх 6 V ду * дх
Подстановка этих выражений в уравнения равновесия D.15)
приводит к двум уравнениям
10 ^ йд: 10A—v)
да I 1 а / а«х ¦ ^
60[l-v дх\дх^ ду
q J*
VQ D
10 V Wy ду 10A —v) ду
l D.44)
f
60[l-v d
Эти уравнения вместе с последним уравнением D.15) составля-
составляют систему трех уравнений для определения прогиба w и попереч-
поперечных сил Qx, Qy. Зная эти величины, можно найти изгибающие мо-
моменты по формулам D.43).
Дифференцируя первое уравнение D.44) по х, второе по у и
складывая, с учетом уравнения D.15) получим разрешающее урав-
уравнение для прогиба
^ ^ j D.45)
где >n = dJr+^-
дх ду
Остановимся на порядке решения системы D.44), D.45). Пусть
w', Qx, Qy — частное решение неоднородных уравнений. Причем
Qx' и Qy' определяются как частное решение уравнений D.44), в
правую часть которых следует вместо w подставить найденное из
199
уравнения D.45) частное решение w'. Обозначим далее через w",
Qx", Qy" решение однородной системы
о;_ — v2<&=—d-
V%"=:0.
Найдя w" из последнего уравнения и подставив в два первых,
мы тем самым получим уже неоднородные уравнения для Qx" и
Qv". Частное решение этих уравнений можно взять в виде
QxD^vW, QuD
дх ду
Остается найти решение однородных уравнений
q:—~
При этом следует позаботиться, чтобы- было выполнено однород-
однородное уравнение равновесия
дх ' ду
которое будет тождественно удовлетворено, если положить
г," — W Г)" — д^ (А Д7\
где Мр — произвольная функция.
Подставив Qx" и Qy.' из D.47) в уравнения D.46), получим
ду [' 10 V дх V 10 v
Отсюда следует, что выражение в скобках является констан-
константой, которую можно взять равной нулю, так как частное решение
для if, соответствующее этой константе, также будет константой,
которая, согласно D.47), не повлияет на величину поперечных сил.
Таким образом, функция г|? должна быть определена из урав-
уравнения
У^-~Г-=0- D.48)
Общий вид решения для перерезывающих сил теперь можно за-
записать в виде
+
дх ду
JL.
дх
200
Наличие уравнений D.45) и D.48) позволяет удовлетворить
трем граничным условиям, вид которых описан в предыдущем раз-
разделе.,
4.7. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ УТОЧНЕННОЙ
ТЕОРИИ
В качестве примера применения изложенного в разд. 4.5 вари-
варианта теории рассмотрим простейшую задачу (рис. 4.5) определе-
определения реакций взаимодействия в- трехслойной полосе толщиной
h + 2hi и шириной L. Среднюю пластину будем рассчитывать, ис-
используя изложенный вариант теории и вариант П. Нагди [24]. На-
Наружные пластины считаем мембранами^ не сопротивляющимися
изгибу, и, таким образом не будем учитывать нормальные реакции
взаимодействия <]?—ЯТ = ®- Касательные реакции взаимодейст-
взаимодействия обозначим через q. В силу симметрии задачи q+=—qy qj=q
(рис. 4.6 и 4.4).
Рассмотрим сначала напряженно-деформированное состояние
средней- пластины,. Имеем
поэтому уравнения равновесия D.14), D.15) будут
dx
Интегрируя их с учетом граничных условий
Г*=0 при *=0, ТХ=Р при x=L, Mx=Qx=0 при *=0, L, получим
При'этом должно* быть выполнено условие
* D.49)
D.50)
Р/7
Р/2
г
X
i
-с
L
—*-
*-?-¦
Р/2
Р/2-
Рис. 4.5. Трехслойная полоса, нагруженная на кромках
Рис. 4.6. Положительное направление касательных усилий взанмодействия между
слоями
201
Соотношения закона Гуна D.23), D.24) и D.29) применитель-
применительно к рассматриваемой задаче будут
^ Eh du vft2 dq_
x~~ l — \t dx 6A —v) dx '
M —D^- ф — 6 0
dx ZGh
Остальные не понадобятся. Отсюда с учетом D.49) найдем
du 2A — v^
dx Eh .)" ' 6? dx
о
D.5„
Эти же соотношения будут иметь место и при использовании
варианта П. Нагди [24]. Согласно варианту П. Нагди перемещения
на поверхностях пластины z=i±ft/2 определяются по формуле
—<?х. .
Так как в рассматриваемом случае угол поворота сечения ц>х = 0,
то деформация duo/dx на поверхностях пластины будет иметь вид
D.51). Согласно же варианту предыдущего раздела она определя-
определяется по формуле D.31), которая с учетом D.49) дает
h ^+_i!_ ^ t D.52)
dx 60? йдгЗ v r
(+ h +
dx \- 2 / dx 6E dx 60?
где du/dx имеет вид D.51).
Деформация верхней и нижней пластины
x
du\ 1 — v2 IP i , i . ,_QV
^7=^rlT-i^!' D-53)
4 0
где ?i, fti — соответственно модуль упругости .и толщина наруж-
наружных пластин.
Сравнивая деформации D.51) и D.53), получим уравнение для
реакции д, соответствующее варианту теории П. Нагди:
X
[ gdx-\ — dJL = p D. 54)
У 12A — v) A +Х) dx ¦ у '
о
где 1==^Г> р1 = 1—гт- ^4>55^
, 2tihi I +X 2
Если же приравнять деформации D.52) и D.53), то придем к
уравнению, соответствующему варианту теории разд. 4.5;
X
\ qdx -^--1 —=Р<, D. 56)
J 12A — v2)(l +X) dx ' 120A — v2)(l -гХ) йГдгЗ
о
где X и Л — параметры D.55).
202
Решение уравнений D.54) и D.56) нужно подчинить условию
D.50). Кроме этого, на концах х=0, L желательно выполнить ес-
естественное условие q=Q, которое находится в соответствии с ес-
естественными граничными условиями D.37).
Уравнение D.54)' при условии D.50) имеет лишь решение ти-
типа дельта-функций на концах x=Q, L. Действительно, уравнение
D.54), как и D.56), справедливо только для внутренних точек зо-
зоны контакта 0<Cx<lL, так как на концах условие равенства де-
деформаций теряет смысл. Поэтому, если допустить существование
решения типа
то постоянная ci непосредственно определяется из уравнения
D.54); С\ = Р\ и его можно считать выполненным для всех внут-
внутренних точек. Вторая постоянная определится и^ условия D.50).
Таким образом,
-х). • D.57)
Это элементарное решение, в котором пластины растягиваются как
стержни, усилия в них пропорциональны жесткостям:
*Т* Ж К f Ж
х~~ 1+1 ' х1~2A+Х) '
Первая из1 этих формул получена путем .подстановки решения
D.57) в формулу D.49), вторая — из аналогичной формулы для
крайних пластин
Легко видеть» что решение D.57) уравнения. D.54); является
физически единственно возможным. Есть еще быстро осциллирую-
осциллирующее решение, которое не имеет физического смысла и вызвано осо-
особенностями тео'рии.
Таким образом, вариант теории Э. Рейсснера, в том числе и ва-
вариант П. Нагди, учитывающий поперечное обжатие, не позволяет
найти характер распределения касательных напряжений.
Уравнение D.56) имеет/ более высокий порядок по сравнению
с уравнением D.54). Наличие третьего слагаемого в левой части
позволяет удовлетворить условию равенства нулю реакции q при
х=0, /..Это слагаемое, согласно D.52) и формулы D.19), связано
с учетом изменения прогиба по толщине пластины, т. е. с учетом
поперечного обжатия. Второе слагаемое в левой части уравнения
D.56) (если отвлечься от влияния коэффициента Пуассона v) ха-
характеризует вклад в перемещение «о от касательных напряжений
т.-с2, но учтенный аккуратно, согласно формуле D.19), а не в обоб-
обобщенном смысле от перерезывающей силы Qx. Если даже отбросить
третье слагаемое в D.56) и оставить только второе, то получим
203
вполне определенное решение без сосредоточенных сил. Оно толь-
только будет возрастать на концах зоны контакта и условие q = 0 при
х=0, L выполнено не будет.
Уравнение D.56) имеет следующее решение, удовлетворяющее
условию D.50) и условиям q = 0 при х = 0, L:
-S) sin
где
,_/»/;
sha/ +Xa sin
2A
D — ¦
Xf3 sh a/ +a sin
6 =
—
A
2A A+X)(p2sh2a/ —
Eh
= — X.=
A '
= 120A-v2)(l+A),
sin
y=arctg ^ MTa ; a = 5B —v2).
Результаты численного расчета безразмерной реакции
приведены на рис. 4.7, где для каждой кривой /—5 приведены па-
параметры / и Я. Видно, что максимум реакции смещается влево с
увеличением относительной жесткости % средней пластины.
Данная задача решена по существу в работе [21], но для дву-
двутавровой балки, которую также можно изобразить рисунком 4.5,
если считать, что h — это высота стенки, а Л] — толщина полки. -
Нагрузки в работе [21] такие же, как на р'ис. 4.5. В математиче-
математическом плане это задачи идентичные, но в работе [21] стенка рассмат-
рассматривается с позиций плоской теории упругости, а полки, как и в на-
. шем случае, являются стержнями. Би-
_„ гармоническое уравнение решается ме-
методом сеток. Имеется график распреде-
распределения касательных усилий между пол-
полкой и стенкой для параметров, близ-
близких к параметрам для кривой 4 на
рис. 4.7 (В пересчете на наши пара-
параметры в работе [21] А,= 1/8, /=15/8).
Можно отметить весьма близкое сов-
совпадение сравниваемых кривых, что
свидетельствует о хорошей точности
изложенной выше модификации тео-
теории.
Л
кривой.
1
Я
/ Ik'
т
Г
2
W
2 .
1
10 0,
3
'КГ у
Г 4
t~0fl
S
S
0,1
5-J/
4^
1
О 0,2 0,4 Ц6 0,8
204
Рис. 4.7. Распределение касательных усилий
взаимодействия между слоями по ширине по-
полосы {q* = 2qLIP, l=Ljh, Д.=?Л/2?,Л,)
Остановимся кратко на использовании теории пластин и оболо""
чек, предложенной С. А. Амбарцумяном [2, 3, 4], в контактных за-
задачах. В варианте теории [2, 3] не учитывается эффект поперечно-
поперечного обжатия. При определении нормальных реакций, например, при:
цилиндрическом изгибе пластины штампом без острых углов она
не приводит к появлению сосредоточенных сил, однако на грани<
це зоны контакта реакция в нуль не обращается. Иными Словами,,
эта теория в данном случае имеет те же преимущества и недостат-
недостатки, что и теория Е. Рейсснера.
При рассмотрении задачи, изображенной на рис. 4.5, теория:
С. А.'Амбарцумяна приводит к уравнению второго порядка для ка-
касательной реакции. Это позволяет получить вполне определенное1
решение для касательной реакции q. Иными словами, теория
С. А. Амбарцумяна оказывается в данном типе задач более гибкой*
по сравнению с теорией Кирхгофа или Рейсснера. Однако обратить»
в нуль касательные реакции на границе *=0 и x=L она не позво-
позволяет. Чтобы это сделать, нужно иметь не второй, а четвертый по-
порядок уравнения. В более поздней работе С. А. Амбарцумяна [4J
учитывается эффект поперечного обжатия, однако она также при-
приводит к уравнению второго порядка для реакции q в задаче рис,
4.5. Действительно, первая формула D.18) [4, с. 886] для тангенци-
тангенциальных перемещений ш содержит в правой части касательные уси-
усилия на поверхности пластины X* и X' (но не содержит производ-
производных" от этих усилий). Это и приводит к уравнению второго порядка
для реакции. (Уравнение D.56) содержит четвертый порядок, так
как в формулу D.52) для деформации кроме первой входит еще
третья производная от реакции q).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Айиола Л. Я, Об уточненных теориях пластинок типа Рейссиера. — В ки.:
Труды IV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Ереван, 1962.
Ереван, Изд-во АН Арм. ССР, 1964, с. 171—177.
2. Амбарцумяи С. А. Теория анизотропных оболочек. М., Фнзматгиз, 1961.
384 с.
3. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. М., Наука, 1967. 266 с.
4. Амбарцумян С. А. Еще одна уточненная теория анизотропных оболочек. —
Механика полимеров, 1970, № 5, с. 884—896.
5. Артюхин Ю. П. Модифицированная теория Голанда — Рейсснера- склеен-
склеенных пластин. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 11.
Казань, Изд-во Казанского университета, 1975, с. 136—148.
6. Бнргер И. А. Упругий контакт стержней. — В кн.: Расчеты иа прочность.'
М., Машиностроение, 1969, № 4, с. 127—136.
7. Бнргер И. А. Контактные задачи теории стержней, пластинок и оболочек.,
Теория оболочек и пластин. — Труды IX Всесоюзной конференции по теории
оболочек и пластин, 1973, Л., Судостроение, 1975, с. 23—25.
8. Блох М.- В. К выбору модели в задачах о контакте тонкостенных тел. —
Прикладная механика, 1977, т. 13, № 5, с. 34—42.
9. Блох М. В. Одномерный односторонний контакт стержней, пластин н обо-
оболочек. Теория оболочек и пластин. — Труды IX Всесоюзной конференции по тео-
теории оболочек и пластин, 1973. Л., Судостроение, 1975, с. 25—28.
10. Блох М. В., Цукров С. Я. Об осеснмметричном контакте тонких цилинд-
цилиндрических оболочек. — Прикладная механика, 1973, т. 9, вып. 11, с. 23—28.
'¦' ¦ 205
11. Блох М. В., Цукаров С. Я. О влиянии изменения толщины стенки на
осесимметричиый контакт тонких цилиндрических оболочек. — Прикладная ме-
механика, 1974, т. 10, вып. 4, с. 31—37. '•
12. Власов Б. Ф. Об уравнениях изгиба пластинок. — Изв. АН СССР. От-
Отделение технических иаук, 1957, № 12, с. 57—60.
13. Гольденвейзер А. Л. О теории изгиба пластинок Рейсснера. — Изв. АН
СССР, Отделение технических иаук, 1958, № 4, с. 102—109.
14. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Модификация уточненной теории плас-
пластин для контактных задач. — Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1977, т. 30, № 3,
?. 33—45.
15. Грнголюк Э. И., Толкачев В. М. Цилиндрический изгиб пластины жест-
жесткими штампами. — Прикладная математика и механика. 1975, т. 39, вып. 5,
с. 876—883.
16. Карасев С. Н., Артюхин Ю. П. Влияние поперечного сдвига и обжатия
на распределение контактных напряжений. — В ки.: Исследования по теорий
пластин и оболочек. Вып. XII, Изд-во Казанского университета, 1976, с. 68—76.
17. Пелех Б. Л. Некоторые особенности постановки и решения контактных
задач о взаимодействии упругих цилиндрических оболочек с твердыми жесткими
телами. — В кн.: Избранные проблемы прикладной мехаинкн. М., Наука, 1974,
с. 559—566.
18. Попов Г. Я. О контактных задачах для оболочек и пластин. — Труды
X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Кутаиси, 1975, т. 1.
Тбилиси, Мецииереба, 1975, с. 244—250.
19. Тимошенко С. П. Курс теории упругости, ч. II. Стержни и пластинки.
Петроград, Изд-во Института инженеров путей сообщения, 1916. Изд. 2-е, Киев,
Наукова думка, 1972. 507 с.
20. Штаерман И. Я. Контактные задачи теории упругости. М.—Л., Гостех-
издат, 1949. 270 с.
2}. Acic Mirko. Uticaj oslonackin pojacanja na stanje napona u zidnim nosa-
cima. — Izgradnja, 1976, 30, N 7, 51—58.
22. Goland M., Reissner E. The stresses in cemented joints. — Journal of Appli-
Applied Mechanics, 1944, 11, N 1, p. 1—27.
23. Green A. E. On Reissner theory of bending of elastic plates. — Quarterly
of Applied Mathematics, 1949, 7, N 2, p. 223—228.
24. Naghdi P. M. On the theory of thin elastic shells. — Quarterly of Applied .
Mathematics, 1957, 14, N 4, p. 369—380.
25. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates. — Journal of Mathe-
Mathematics and Physics,1944, 23, N 4, p. 184—191,
26. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of
elastic plates. — Journal of Applied Mechanics, 1945, 12, .N 2, p. 69—77.
27. Reissner E. On bending of elastic plates. — Quarterly of Applied Mathema-
Mathematics, 1947, 5, N 1, p. 55—68.
28. Reissner E. On the variational theorem in Elasticity. — Journal of Mathe-
Mathematics and Physics, 1950, 29, N 2, p. 90—95.
29. Reissner E. On transverse bending of plates, including the effect of trans-
transverse shear deformation. — The International Journal of Solids and Structures,
1975, 11. N 5/ p. 569—573.
30. Timoshenko S., Woinowsky—Krieger S. Theory of plates and shells. 2-nd
ed. New York, McGraw-Hill, 1959. (Перевод иа русский язык: Тимошенко С. П.,
Войновсхий-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., Физматпиз, 1963, 635 с.)
Глава 5
ПРОСТЕЙШИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
ПРИ ИЗГИБЕ ПЛАСТИН
5,1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В гл. 5 рассмотрены наиболее простые контактные задачи теории изгиба
пластин, на примере которых обсуждаются особенности постановки задач и ха-
характера решения при использовании той или иной прикладной теории. •
Первые четыре раздела посвящены решению задачи цилиндрического изгиба
пластин жесткими штампами. На этой модельной задаче подробно анализируется
зависимость решения от выбора теории изгиба пластины.
В разд. 5.2 решение строится на основе классической теории пластин С. Жер-
Жермен—Лагранжа—Кирхгофа. Выясняется вопрос об условии существования без?
отрывного контакта, определяются сосредоточенные силы на концах зоны кон-
контакта, дается зависимость величины зоны контакта от силы, прижимающей
штамп. Во втором разделе решение задачи строится на основе теории пластин
типа С. П. Тимошенко, учитывающей деформации поперечного сдвига без учета
поперечного обжатия. В этом решении устраняется скачок в перерезывающей
силе иа границе зоны контакта под штампом с гладким основанием. Теория, од-
однако, не позволяет обратить в нуль нормальную реакцию на границе зоны кон-
контакта, как это должно быть по теории Герца. Интересным здесь является при-
приведенное сравнение изгибных напряжений в пластине с напряжениями, полученг
ными по теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа. Заметное отличие наблюда-
наблюдается лишь в достаточно толстых пластинах и при больших зонах контакта.
В разд. 5.4 решение задачи получено иа основе теории С. Жермен—Лагранжа—
Кирхгофа, ио с учетом эффекта поперечного обжатия материала пластины, что
позволяет устранить все формальные противоречия в решении задачи и полу-
получить результаты, весьма близкие к тем, которые даег точное решение задачи в
рамках теории упругости. Такое решение содержится в работе [24], содержание
которой воспроизведено в разд. 5.5. Эта же задача на основе уравнений теории
упругости решена в статье [81]. На этих результатах более подробно остаиовимт
ся ниже при обзоре исследований, а сейчас только укажем, что приведенное в
разд. 5.5 сравнение изгибных напряжений в пластине с напряжениями, получен-
полученными иа основе теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа, показывает их весь-
весьма малое отличие. Это может служить оправданием для использования теории
С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа в контактных задачах несмотря на формаль-
формальные противоречия. В разд. 5.6 рассмотрена осесимметричная контактная задача
изгиба круговой пластины штампом с различной формой основания (сферической,
параболической, произвольной). Решение построено на основе теории С. Жер-
Жермен—Лаграижа—Кирхгофа. В разд. 5.7 дан расчет жесткостной характеристики
пакета сферических пружин. В разд. 5.8 рассмотрена задача изгиба трехслойной
пластины при упругом опирании слоев. Наружные пластины являются пластина-
пластинами С. Жермеи—Лагранжа—Кирхгофа, средний слой моделируется вииклеровским
основанием. На примере этой задачи показано, что способ крепления кромок
пластин существенно влияет иа перераспределение.напряжений в них. Эта зада-
задача имеет практическое значение для стеклянных триплексов.
Следует отметить, что в гл. 5 включена лишь малая часть контактных задач
для пластни. Совсем не изучены контактные задачи для оболочек. В связи с тем,
что по данному классу задач имеется обширная литература и они представляют
научный и практический интерес, мы считаем целесообразным дать обзор основ-
основных исследований.
207
1. Цилиндрический изгиб пластин и стержней. Впервые задача о стесненном
изгибе тонкого первоначально прямого стержня вокруг круговой опоры или о
распрямлении изогнутого стержня иа плоской плите приложенными к концам
стержня силами рассмотрена С. П. Тимошенко [86]. Решение построено иа основе
классической теории изгиба балок -Бериулли—Эйлера. Полученная зависимость
между приложеииой силой н углом обхвата стержнем круговой опоры показыва-
показывает, что для прижатия стержня к опоре вплоть до того места, где приложена си-
лга, требуется увеличить эту силу до бесконечности. Это же наблюдается н при
,-прижатии изогнутого стержня к плоской плите концевыми силами. Был также
.обнаружен скачок в поперечной силе иа конце зоны контакта или сосредоточен-
сосредоточенная сила в составе реакции. Впервые после С. П. Тимошенко задачу стесненного
ЕИзгиба стержня вокруг круговой опоры рассмотрел М. М. Филонеико-Бородич
\170] A949 г.) иа основе теории изгиба балок, учитывающей деформации попе-
поперечного сдвига без учета поперечного обжатия. В решении был устранен скачок
в поперечной силе и, стало быть, исчезла сосредоточенная сила в реакции. Для
прижатия стержни к опоре вплоть до точки приложения силы потребовалась
уже конечиаи величина этой силы. Осталось, однако, формальное противоречие —
нормальная реакция на конце зоны контакта не обращалась в нуль,, а достигала
там наибольшего значения. Задача цилиндрического изгиба пластин и изгиба ба-
.лок жесткими штампами в постановке М. М. Филоиеико-Бородича позднее рас-
рассматривалась в работах [7, 46, 58, 64]. Изгиб пластин иа упругом основании с по-
помощью штампов изучен В. М. Александровым [1], Б. Л. Пелехом н Р. Д. Сыса-
жом [51]. Эффект поперечного обжатия в рамках прикладных теорнй пластин прн-
«ят во внимание в работах Ю. П. Артюхина и С. Н. Карасева [35], М. В. Блоха
f 12]. М. В. Блоха, Н. Г. Ващенко, А. А. Гинца [J3], Э. И. Григолюка и В. М. Тол-
Толкачева [24]. Поперечное обжатие в указанных работах учитывалось, путем интег-
интегрирования по толщине пластины соотношения закона Гука дли поперечной де-
деформации. С. О. Саркнсии [64] решал контактную задачу о цилиндрическом из-
изгибе пластины с использованием теории С. А. Амбарцумяиа [3] и теории П. Нагди
184], в которых учитывается как поперечный сдвиг, так и обжатие.
Задача цилиндрического изгиба пластин штампами иа основе уравнений пло-
плоской теории упругости изучалась Э. И. Григолюком и В. М. Толкачевым [24],
С. Н. Карасевым и Ю. Н. Артюхиным [34], С. О. Саркисяном [64], Киром и Силь-
Сильвой [81]. В работе [81] рассмотрена задача цилиндрического изгиба бесконечной
пластины периодической системой жестких штампов с круговой формой основа-
основания. Решение строится в тригонометрических ридах и сведено к парным уравне-
уравнениям, которые решаются численно. Определена нормальная реакция взаимодейст-
взаимодействия между штампом и пластиной (трение в Зоне контакта не учитывается). Пока-
Показано, что по мере уменьшения параметра dfl (d — толщина пластины; / — рассто-
расстояние между соседними штампами) и увеличения а/1 Bа— длина зоны контакта)
реакция все больше концентрируется у границ зоны контакта. Численные резуль-
результаты получены для параметров d/1^20. Эта же задача описана в статье [24] и
воспроизведена в разд. 4.4 данной, главы. Решение строилось с помощью функ-
функции Грина и сведено к интегральному уравнению с периодическим логарифмиче-
логарифмическим ядром. Последнее путем обращения интеграла с логарифмическим ядром
сведено к уравнению Фредгольма второго рода, которое решалось численно. В от-
отличие от работы [81] в статье [24] посчитаны изгибиые напряжения в пластине
яод штампом и показано, что они очень мало отличаются от напряжений, вычис-
вычисленных прн решении задачи иа основе теории пластин С. Жермеи—Лаграижа—
Кирхгофа как без учета, так и с учетом поперечного обжатии. С этой точки зре-
_яия использование теории пластин С. Жермеи—Лаграижа—Кирхгофа и теории
типа С. П. Тимошенко в контактных задачах вполне допустимо. К такому же вы-
выводу пришли и авторы работы [34], которые рассмотрели ту же задачу. В этой
работе исходное интегральное уравнение решалось непосредственно численным
способом. В отлнчне от работ [81] и [24] в статье [34] рассмотрен также штамп с
плоским основанием, имеющим угловые точки.
2. Осесимметричный контакт пластин. Первая работа, в которой рассмотрена
осесиммеТричиая коитактиаи задача для круговой пластины, принадлежит, по-ви-
по-видимому, К. Гнркмаиу [78] A931 г.). В ней с позиции теории пластин С. Жермеи—
Лагранжа—Кирхгофа предполагалось, что первоначально неизогнутая пластина
покоится на абсолютно жестком плоском основании и прижимается к основанию
208
равномерно распределенной нагрузкой (вес пластины, либо давление). Под дей-
действием прикладываемых к наружному контуру пластины равномерно распреде-
распределенных по окружности изгибающих моментов некоторая кольцевая зона пластины,
примыкающая к контуру, может оторваться от основания. В работе найдена за-
зависимость между величиной зоны отрыва и моментом, а также напряжения в
пластине. В этой же работе обсуждается аналогичная задача для балки, а также
для круглой пластины, покоящейся первоначально на податливом основании
Вниклера. Задача Гиркмана в 1938 г. рассматривалась Р. Хофманом [79] также
на основе теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа. Кроме этого, в статье [79]
рассмотрена пластина, которая первоначально опирается иа круговую. жесткую
стенку достаточно мелкой цилиндрической полости с плоским дном. Под действи-
действием давления или собственного веса пластина прогибается и некоторой централь-
центральной зоной может войтн в контакт с дном полости. Здесь в отличие от задачи
Гнркмана ча контуре пластииы действуют только поперечные силы и отсутствует
изгибающий момент.
Контактная задача изгиба круговой пластины жестким штампом с параболи-
параболическим основанием на основе теории, пластин с учетом поперечного сдвига без
учета поперечного обжатия исследована Л. А. Розенбергрм [63] A955 г.).
Ряд исследований по контактным задачам для. круглых пластин выполнен
Ф. Эссенбургом [75, 76, 77] на основе теории пластин, учитывающей деформации
поперечного сдвига без поперечного обжатия. В статье [76] рассмотрена жестко
защемленная по контуру пластина, изгибаемая жестким штампом с параболиче-
параболической формой основания. Приведены графики изменения величины зоны контакта
в зависимости от нагрузки на штамп, от величины смещения штампа, графики
распределеиия напряжений. Графики распределения контактного давления ие при-
приведены. Все это сравнивается с результатами, вытекающими нз теории С. Жер-
Жермен—Лагранжа—Кирхгофа. В статье [75] рассмотрена упомянутая задача Р. Хоф-
мана [79] (опираиие на днище полости). Решение строится по теории типа
С. П. Тимошенко с небольшим видоизменением — учитываются нормальные попе-
поперечные напряжения при записи соотношений обобщенного закона Гука для' изги-
изгибающих моментов. Прогиб не изменяется по толщине пластины и, таким образом,
¦обжатием пренебрегается. Показано, что учет поперечного сдвига приводит к
значительному изменению нормальных изгибных и касательных напряжений в
пластине по" сравнению с полученными по теории С. Жермен—Лагранжа—Кирх-
Жермен—Лагранжа—Кирхгофа. Что касается учета нормальных напряжений в формулах для моментов, то
этот учет практически не изменяет нн картииу распределения напряжений, ни ха-
характер реакции. В работе [77] исследован контакт двух пластин, которые до де-
деформации могут либо прилегать одна к другой, либо находиться на некотором
расстоянии. Рассмотрено три случая: 1) обе первоначально прилегающие плас-
пластины шарннрно оперты и нагружены краевыми изгибающими моментами; 2) од-
одна первоначально прилегающая пластина защемлена, вторая оперта н нагружена
краевыми моментами; 3) одна из первоначально разъединенных пластин защемле-
защемлена, вторая шарннрно оперта н загружена концевыми моментами. Обсуждается не-
некорректность задачи в рамках теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа. Ука-
Указывается, в частности, что теория С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа не позволя-
позволяет получить решение для первоначально разъединенных пластин в общем виде.
Для этого, например (прн шарнирном опирании обоих пластин), нужно специ-
специально подбирать краевые моменты. Совместный изгиб двух пластин с позиций
теории С. П. Тимошенко проанализирован также Ю. П. Артюхиным и С. Н. Ка-
Карасевым [8]. В отличие о'т работы [77] верхняя пластина нагружена либо равно-
равномерным давлением, либо сосредоточенной силой. Расчеты показали, что контакт-
контактное давление может резко возрастать вблизи границы зоны контакта и меняет
там знак, создавая эффект пары сил. Этот интересный эффект можно объяснить,
решая задачу на основе теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа. В этом случае,
вообще говоря, нельзя удовлетворить граничным условиям по моментам — они
будут иметь скачок на границе зоны контакта. Для его устранения и шла выше
речь о подборе краевых моментов в работе [77], что равносильно введению в сос-
состав нормальной реакции между пластинами радиального погонного изгибающего,
момента, распределенного по границе зоны контакта. Этот момент поможет
<скленть» пластины и аналогичен реактивному моменту в шарнирах подвески две-
дверей и т. д.
209
Пластины на упругом основании, сжимаемые штампами, рассмотрены в рабо-
работах В. М. Александрова [1], Б. Лаинга [83], Б. Л. Пелеха и Р. Д. Сысака [50],
И. Снеддона и др. [85].
3. Осесимметричиый контакт цилиндрических оболочек. Сюда относятся зада-
задачи взаимодействия оболочек с жесткими и упругими бандажами при соединении
оболочек внахлестку. Эти задачи имеют практическое значение и являются прос-
простой моделью при обсуждении схем постановки контактных задач. Наиболее ран-
ранними работами, в которых рассмотрена посадка жесткой втулки на цилиндриче-
цилиндрическую оболочку Кирхгофа, являются результаты В. М. Александрова [1] A965 г.),
а также Ф. М. Детинко и В. М. Фастовского [26] A967 г.). В работе [27] дается
обобщение на случай посадки с натягом двух оболочек Кирхгофа—Лява разной
длины. Анализируются случаи, когда контакт осуществляется только по кромкам
короткой оболочки, когда может появиться еще линия контакта в средней части,
когда появляется площадка контакта, по концам которой действуют погонные
нормальные усилия. Аналогичная задача ранее рассмотрена В. М. Блохом и
С. Я. Цукровым [14, 15]. В статье [15] отмечается, что учет изменения толщины
стенок оболочки (эффект поперечного .обжатия) может способствовать лучшей
приспособляемости оболочек друг к другу. В работе [72] также использована тео»
рия оболочек Кирхгофа—Лява при рассмотрении контакта тонкой оболочки бес-
бесконечной длины, посаженной на сплошной жесткий цилиндр, который может быть
либо в виде пробки конечной длины, либо в виде двух длинных пробок, между
которыми имеется торцевой зазор. В. М. Александров и Л. С. Шацких [2] проана-
проанализировали взаимодействие упругого сплошного бесконечно длинного цилиндра с
надетой на него с натягом и без трения оболочкой Кирхгофа—Лява конечной
длины. Решается совместная система двух уравнений — уравнения равновесия
оболочки и интегрального уравнения для реакции.
Реакция представлена интерполяционным полиномом Лагранжа по чебышев-
ским узлам. . ч
Как и в случае пластин, контактным задачам теории оболочек Кирхгофа—
Лява присущи те же формальные противоречия. Если оболочка контактирует с
жестким бандажем с гладким основанием (без углов), то на концах зоны кон-
контакта нужно вводить сосредоточенные погонные нормальные усилия. При нали-
наличии бандажа с угловыми кромками кроме сосредоточенных сил для безотрывного
контакта нужно вводить погонные сосредоточенные моменты. Сосредоточенные
усилия будут иметь место и при контакте двух оболочек. Теория типа С. П. Ти-
. мошенко устраняет часть противоречий (исчезают сосредоточенные силы). Эта
теория используется Б. Л. Пелехом и Р. Д. Сысаком [52] в задаче о горячей по-
посадке бандажа на оболочку. Аналогичная задача разобрана также Ф. М. Детин-
Детинко, В. М. Фастовским [28], Б. Л. Пелехом, И. Л. Мамчурой [49]. В частности, в
статье [28] обсуждается работа [49]. Взаимодействие системы жестких бандажей
с .гладким скругленным основанием и цилиндрической оболочкой рассмотрено
Б. Л. Пелехом, М. А. Сухорольским [58], М. А. Сухорольским и Д: Д. Матиеши-
ным [68]. Вопросы построения функций влияния для подобных задач рассмотре-
рассмотрены Б. Л. Пелехом и М. А: Сухорольским [57]. Для работ названных авторов ха-
характерно использование уравнений типа Вольтерра, которые решаются с помо-
помощью преобразования Лапласа.
С. Кулькарни и Д. Фредерик [82] исследовали взаимный контакт двух оболо-
оболочек, вставленных одна в другую с зазором. Внутренняя оболочка нагружена дав-
давлением изнутри, вследствие чего входит в контакт с наружной. На торцах обо-
оболочки либо защемлены, либо свободно оперты. Решение строится с учетом де-
деформаций поперечного сдвига. Определяется контактное давление, область кон-
контакта и напряжения в оболочках. М. В. Блох и С. Я. Цукров [16] при рассмот-
рассмотрении соосного контакта оболочек предложили учитывать поперечное обжатие
путем интегрирования соотношения закона _Гука для поперечной деформации.
Это обжатие интерпретируется как податливость некоего фиктивного слоя на по-
поверхности оболочки.
В работах Т. Н. Карпенко [36, 37] взаимодействие тонкой оболочки и жест-
жесткого бандажа изучается на основе теории оболочек, построенной путем разложе-
разложения решения в степенные ряды по нормальной к поверхности оболочки координа-
координате. Учитывается трение в зоне контакта. В работе Л. Хилла и др. [80] эта задача
решена с помощью уравнений теории упругости также с учетом трения в зоне
210
контакта. Взаимодействие оболочки и баидажа применительно к работе буровых
установок изучалось В. Л. Войцсм и др. [21].
4. Осесимметричиыи коитакт сферических оболочек. Контакт оболочки с жест-
жестким шаром, радиус которого немного отличается от радиуса оболочки, рассмот-
рассмотрен в работе П. А. Лукаша, Н. М. Леонтьева [45] A959) на основе теории Кирх-
Кирхгофа—Лява. Эта же задача решена В. А. Бондаренко [17], В. М. Толкачевым
169] опять-таки с помощью теории Кирхгофа—Лява. В статье [17] использован
метод расчленения оболочки по границе зоны контакта с последующей стыков-
стыковкой решений. В работе [69] задача сведена к решению интегрального уравнения
для нормальной реакции. В этой же статье рассмотрен еще контакт двух оболо-
оболочек. Контактная реакция в этом случае представляет собой погонные усилия,
приложенные по кругу, внутри которого оболочки не касаются друг друга. Эта
задача изучалась также в статье Ц. Десильва и П. Тзая [74]. Авторы строят ре-
решение для нормальной реакции^ которое априори обращается в нуль на граиице
зоны контакта. Физически это разумно, но математически некорректно [69], так
как в рамках теории Кирхгофа—Лява не удается получить решение для нор-
нормальной реакции, обращающееся в нуль иа граиице зоны контакта.
Контакт оболочки и жесткой плиты иа основе нелинейной теории оболочек
типа Тимошенко, учитывающей деформации поперечного сдвига, рассмотрен в ра-
работе Д. Упдике, А. Калиинса [89]. Результаты сравниваются с решением по ли-
линейной и нелинейной теории, но без учета сдвига. Коитакт оболочки и сфериче-
сферического штампа с позиции теории типа Тимошенко рассмотрен также Ю. П. Артю-
Артюхиным и С. Н. Карасевым [7, 9]. Причем в работе [9] штамп в виде жесткой нак-
накладки приварен к оболочке и нагружен силой и моментом. В. М. Григоровичем
{25] решалась задача кручения сферической оболочки двумя жесткими штампами,
расположенными у противоположных полюсов. Показано, что касательные реак-
реактивные усилия в зоне контакта возрастают от центра к периферии и в предель-
предельном случае, когда относительная толщина оболочки равна нулю, целиком сосре-
сосредоточены на границе зоны контакта. Решение получено на основе уравнений ие-
классической теории оболочек, полученных автором методом разложения искомых
функций по степеням нормальной к поверхности координаты. В. В. Питько [60]
исследовал взаимное сжатие двух оболочек, оболочки и сферической луики, обо-
оболочки и плиты. Несмотря иа то, что используется теория оболочек с учетом по-
поперечного сдвига, но без обжатия, автор, как и в работе [74], получает нормаль-
нормальную реакцию, обращающуюся в нуль на граиице зоны контакта. Л. Г. Ильина
130] получила приближенное решение задачи для оболочки, заполненной жидко-
жидкостью и покоящейся в сферическом жестком углублении, радиус которого немного
больше наружного радиуса оболочки. Решение построено на основе технической
теории оболочек В. 3. Власова. В работах Ю. В. Соболева и Е. И. Красновского
[66, G7] также изучен коитакт оболочки и жесткого штампа на основе теории по-
пологих оболочек. В. Н. Гнатыкив и Б. Л. Пелех [23] аналогичную задачу решали
на основе теории, учитывающей деформации поперечного сдвига. Взаимодействие
жесткой накладки круговой и прямоугольной формы со сферической оболочкой
рассмотрено В. А. Антуфьевым и Ф. Н. Шклярчуком [4]. Реакция накладки, ап-
аппроксимируется поверхностной нагрузкой в виде конечного разложения по неко-
некоторым координатным функциям. Коэффициенты разложения определяются по ме-
методу Бубнова из условий сопряжения.
В. А. Бабешко и В. Е. Векслер [11], Ж- Дасгупта и И. Келли [73] обсужда-
обсуждали динамическую контактную задачу.
5. Цилиндрический изгиб оболочек. При цилиндрическом изгибе напряжения
я смещения ие меняются по длине оролочки, и оиа работает как кольцо.
Г. К. Клейн [39] исследовал напряжения в трубах, уложенных в груит, счи-
считая трубу абсолютно жесткой, а грунт — вииклеровым основанием. Автор нашел
закон распределения контактного давления в виде косинуса. Случай, когда ци-
цилиндрическое основание абсолютно жесткое, рассмотрен в работах Л. В. Божко-
вой [18], Л. В. Божковой и В. Я. Рябова [20], Р. Вииета и Р. Даре [90], С. Н. Ка-
расева [32], С. Н. Карасева и Ю. П. Артюхина [35], Т. И. Карпенко [38], Б. Л. Пе-
леха и М. А. Сухорольского [55]. В работе [18] учтено поперечное обжатие мате-
материала оболочки использованием формул, описывающих деформацию полупрост-
полупространства. В работах [32, 35] также учтен эффект поперечного обжатия, ио интег-
интегрированием соотношения закона Гука для поперечной деформации по толщине
211
оболочки. В статье [20] задача решается с позиций теории Кирхгофа—Лява. От-
Отмечается наличие сосредоточенных сил в составе нормальной реакции. В работе
[55] используется теория, учитывающая эффект поперечного сдвига без обжатия,
а в статье — [38] неклассическая теория, уравнения которой получены в статье
C6]. В статье [38] построены графики распределения нормального давления при
отсутствии сил тангенциального сцепления, а также для нормальной и касатель-
касательной составляющей реакции при наличии сил сцепления. В работе [90] оболочка
Кирхгофа—Лява контактирует с цилиндрической полостью равного с оболочкой
¦радиуса либо по граничным кромкам полости, либо по граничным кромкам и
центральной части. В работе [88] содержится дискуссия по работе [90].
Случай, когда оболочка Кирхгофа—Лява контактирует без трения с упругой
цилиндрической полостью (отверстие в упругом пространстве), обсуждался
Л. В. Божковой и Т. П. Паненковой [19]. Эта же задача для толстой трубы на
основе уравнений плоской теории упругости рассмотрена в книге В. В. Панасюка
и М. И. Теплого [47]. В статье [56] рассмотрен контакт двух оболочек-разного
диаметра, вставленных одна в другую, на основе теории, учитывающей попереч-
поперечный сдвнг.
В работах А. А. Кращука [42, 43], а также" Р. М. Зарипова и В. А. Иванова
[29] рассмотрена оболочка на упругом основании Винклера. В статье [42] опреде-
определены прогибы, а в статье [43] указаны значения коэффициента постели, при кото-
которых может произойти отрыв оболочки от основания и, таким образом, требуется
учет односторонних связей.
В заключение коротко остановимся иа математической стороне теории кон-
. тактных задач. Все конкретные рассмотренные задачи относятся к классу одно-
одномерных. Их можно свести либо к решению . обыкновенных дифференциальных
уравнений (кроме случая упругого иевйнклеровского основания), либо к интег-
интегральным уравнениям. Если в основу полагается теория Кирхгофа—Лява и обо-
- лочка (или пластина) контактирует, с жестким телом, то получается интегральное
уравнение первого рода, решение которого будет некорректным. Учет эффекта
поперечного обжатия приводит к интегральному уравнению второго рода, и зада-
задача становится корректной. Учет поперечного сдвига также может привести к ин-
интегральному уравнению второго рода. Так как одну и ту же задачу можно сфор-
цулировать в виде дифференциальных и интегральных уравнений, естественно
ожидать наличия связи между этими уравнениями. Выяснению этой связи, в ча-
частности, посвящены работы Ю. П. Артюхина [6] и Г. Я. Попова [61]. В статье
[61] дано решение интегральных уравнений для контактных задач.
5.2. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ИЗГИБ ШТАМПАМИ
ПЛАСТИНЫ,КИРХГОФА
Рассмотрим цилиндрический изгиб'/шщстин'ы жестким штам-
штампом, радиус основания которого равен R (рис. 5.1). Будем решать
задачу на основе уравнений теории пластин, построенной на гипо-
гипотезах Кирхгофа. Если допустить, что существует зона плотного
прилегания (—b,b) пластины и штампа, то в этой зоне изгибаю-
изгибающий момент пластины равен
¦ М = ± при \х\<Ь, E.1)
где D — цилиндрическая жесткость пластины.
Нормальная реакция q (поперечное давление) в зоне контакта
определится из уравнения равновесия и с учетом E.1) будет
- E.2)
где х = \fR — кривизна основания штампа.
212
P/2
\PI2
z,w
z,w
Рис. 5.1. Цилиндрический изгиб пластины жестким штампом (Л — радиус осно-
основания штампа, Ь — полудлииа зоны контакта)
Рис. 5.2. Схема приложения сосредоточенных погоиных усилий — реакций PJ2 на
концах зоны контакта
Пусть x=f const. Тогда q = 0 и мы приходим к заключению, что-
со стороны штампа на пластину могут передаваться только сосре-
сосредоточенные погонные усилия, приложенные на концах зоны кон-
контакта х= ±Ь, как показано на рис. 5.2. Величина этих сил Pi =
= Р/2 находится из условия равновесия штампа. Наличие в соста-
составе реакции сосредоточенных сил приводит к скачку в поперечной
силе при переходе точек х= ±Ь пластины. Рассмотрим второй ин-
интересный случай, когда кривизна основания штампа задана выра-
выражением х=с\х\, где с — постоянная. В этом случае по формуле
E.2) находим
q=-2Dcl{x),
где б(х) —дельта-функция.
В составе реакций при х=0 появляется отрицательная сосредо-
сосредоточенная сила. На концах зоны контакта х= ±Ь будут приложены
положительные сосредоточенные силы, направленные к пластине
сверху вниз. В противном случае не удастся выполнить "условие
равновесия штампа. Рассматриваемый случай может быть реали-
реализован лишь при наличии двухсторонних связей. Если связь односто-
односторонняя, должны выполняться условия
д>0,
E.3)
Здесь Р\ — сосредоточенные силы на концах зоны контакта (для
простоты рассматриваем симметричный по х штамп). Кроме усло-
условий E.3), должно выполняться условие равновесия штампа ¦
E.4)
где Р — внешняя сила, приложенная к-штампу.
Условий E.2), E.3) и E.4) достаточно для существования реше-
решения. Так, при
х=const, q=0, Я,
213
и условия E.3), E.4) выполняются. В этом случае изгибающий
момент в зоне контакта можно записать в виде
где / — полудлина пластины.
Условие E.1) при этом устанавливает связь между безразмер-
безразмерным усилием Р*, приложенным к штампу, и безразмерной вели-
величиной зоны контакта 0:
Я*==тг?' E)
причем /»=-g?, p=J-. E.6)
Рассмотрим теперь случай, когда к=а—с\х\, где а и с — положи-
положительные постоянные. По формуле E.2)
q=2Dcb(x),
что говорит о наличии сосредоточенной силы в центре зоны кон-
контакта. Но в отличие от уже рассмотренного случая эта сила будет
положительной. В остальной зоне контакта реакция равна нулю и
первое условие E.3) будет выполнено. Приложив на концах зоны
контакта сосредоточенные силы Ри из условия E.4) -найдем
P1 = JL-Dc. E.7)
Изгибающий момент в зоне контакта определим из условий ста-
статики
Подставляя это выражение и выражение \jR—v.~a—c\x\ для
кривизны в E.1), получим связь между силой Р и величиной зоны
контакта b
— (l — b)=D{a — cb).
Внося отсюда значение Р в формулу E.7), получим
р _ D(a-el)
Pl~ 1-Ь '
отсюда следует, что второе условие E.3) будет выполнено лишь в
случае, когда а—с/^0. В частном случае, когда а—с/ = 0, силы на
концах зоны контакта исчезают.
Рассмотрим условия разрешимости задачи в общем случае, ког-
когда кривизна основания штампа и=и(*) — произвольная, но четная
функция. В силу E.2) первое условие разрешимости E.3) будет
х"(х)<0. ¦ E.8)
214
Отсюда в силу четности кривизны
x'(ft)=-x'( —ft)<0,
а из условия E.4)
Л = у + Дк'(*)- E-9)
Вычисляя изгибающий момент в произвольной точке х зоны
контакта с учетом E.2) и E.9) и подставив его в уравнение E.1),..
найдем соотношение между усилием Р и величиной зоны контакта
Р _РК(Ь)
¦ 2 ~1 — Ь '
Подставляя отсюда силу Р в соотношение E.9), имеем
Второе условие E.4) будет при этом выполнено, если
х (ft)+ x'(ft)(/-ft) >-0.
Так как и'F)^0, то отсюда, в частности, следует, что кривиз-
кривизна основания штампа должна быть положительной в точке Ъ. При
этом легко видеть, что кривизна должна быть положительной в
каждой точке зоны контакта. Это следует из условия E.8) и чет-
четности функции к(х).
Основной особенностью полученного выше решения задачи яв-
является концентрация реакции на концах зоны контакта, где, вооб-
вообще говоря, в составе реакции появляются сосредоточенные силы, а
распределенная реакция, определяемая в общем случае соотноше-
соотношением E.2), не обязательно обращается в нуль на концах зоны кон-
контакта. Все это является следствием использования теории пластин,
построенной на гипотезах Кирхгофа, и иногда трактуется как серь-
серьезный «порок» теории в данном классе задач. С другой стороны,
теория Кирхгофа является простейшей и ее применение весьма за-
заманчиво.- Достоинство и недостатки этой теории могут быть оцене- •
ны лишь в сравнении с уточненными теориями или с решениями
идентичных контактных задач на основе уравнений теории упруго-
упругости. Это будет сделано в следующих разделах на примере рассмот-
рассмотренной выше простейшей задачи. Сейчас же только отметим, что
считать «пороком» теории Кирхгофа тот лишь факт, что она при-
приводит к «странным» поведениям в реакциях, еще недостаточно.
Действительно, в ряде случа'ев реакцию следует рассматривать
как промежуточный математический объект, используемый при оп-
определении напряжений и перемещений.
В качестве примера' построим зависимость между смещением
штампа и силой Р для случая штампа с постоянным радиусом ос-
основания. Эту зависимость можно назвать жесткостной характери-
характеристикой пластинчатой пружины (рис. 5.3), на которую давит жест-
215
Рис. 5.3. Деформация предварительно изогну-
изогнутой пластины жестким штампом
Рис. 5.4. Жесткостная Характеристика пластин-
пластинчатой пружины (рис. 5,3) (P* — PIR/2D — па-
параметр нагрузки E.6), w* = w/H=2RwJP —
безразмерный прогиб центра пружины —сме-
—смещение штампа)
¦
1
1
_1
В\
1
/
0 о,г о,ь цв o,s w*
кое тело с плоским основанием.-Эта задача идентична задаче для
плоской пластины, сжимаемой штампом радиуса R (рис 5 П если
радиус достаточно большой. ''
Определив прогиб в пластине, изображенной на рис 52 с уче-
учетом соотношения E.5), получим искомую зависимость
1
ЗР*
где Р* - параметр нагрузки E.6), a w* ~ лрогиб, отнесенный к
высоте пружины Я (см. рис. 5.3), „
Эта зависимость показана на рис. 5.4. Линейный участок ОА
соответствует случаю Р*<1, когда контакт пластины и штампа
осуществляется в точке. Участок АВ существенно нелинейный за
счет расширения площадки контакта.
5.3. УЧЕТ ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА
Рассмотрим задачу предыдущего раздела, исходя из уточненной
теории пластин на основе уравнений разд. 4.5, но без учета попе-
поперечного обжатия. Иными словами будем предполагать, что прогиб
не меняется по толщине пластины. .
^ Уравнение цилиндрического изгиба пластины согласно D.45)
W=qW-^z-JL.f(x), - EЛ0)
где штрих означает дифференцирование по продольной координа-
координате х, q{x) — нормальная реакция штампа, изображенного на рис.
216
5.1. Для штампа постоянной кривизны прогиб в зоне контакта ра-
равен
где lJR=x — кривизна основания штампа; Д — смещение штампа*
которое пока можно считать произвольным. • . •
Условие E.11) является для несжимаемой в поперечном направ-
направлении пластины условием плотного прилегания штампа в зоне кон-
контакта. Если прогиб из соотношения E.11) подставить в левую
часть уравнения E.10), то получим дифференциальное уравнение
для определения реакции q:
4 А2 2-v Ч
Четное по координате х решение этого уравнения, удовлетворя-
удовлетворяющее условию равновесия штампа
и
имеет вид.
* . "¦ <5Л2>
где Р — усилие, приложенное к штампу извне (см. рис. 5.1); / —
полуширина полосы;
2-v
Так как в рассматриваемом случае решение не меняется по ко-
с-рдинате у, то из разд. 4.5 найдем
т.—?+
Шх _п dQ
На границе зоны контакта |=р должны быть выполнены усло-
условия стыковки:
а на краю пластины |= 1 условия
w=Mx-Mxu-0. '
217
Из последнего уравнения E.13) с учетом {5.12) находим попе-
поперечную силу в зоне контакта ?=^Р:
Вне зоны контакта поперечная сила постоянна и равна Qx= —Р1%
поэтому условие стыковки по поперечной силе выполняется.
Из третьего соотношения E.13) найдем угол поворота сечения в
зоне контакта, подставляя прогиб из формулы E.11) и поперечную
силу из E.14),
__ /g 6P 1 +у. shog
R 5 с Eh sh шр
Первая формула E.13) дает выражение для момента в зоне
контакта
MX=?—?L-^. E.15)
R 2<* sh»p v ' '
При этом уравнение равновесия E.13)чдля момента будет вы-
выполнено.
Вне зоны контакта реакция ^=0, поэтому решение уравнения
E.10) можно (при |^р) взять в форме
Здесь со, d, с2, сз — постоянные.
Из формулы E.13) находим
а из условий стыковки имеем постоянные интегрирования
/2 , PIZ pi3
c2= cth иф, c3= .
2 R ' 2to?) ^' 3 2D
Условие Мж = 0 при |=1 дает соотношение между величиной зо-
зоны контакта р и усилием Р, приложенным к штампу:
Р*=
где Р* — безразмерный параметр нагрузки, введенный в предыду-
предыдущем разделе (формула {5.6)).
218
Из условия w=0 при 1=1 определим последнюю постоянную
А — перемещение штампа:
"Т
При выводе этого равенства использовалось соотношение E.16).
Если пластина весьма тонкая-, так что параметр со->оо, то соот-
соотношение E.16) переходит в соответствующее соотношение E.5),.
полученное на основе теории Кирхгофа, а соответствующее переме-
перемещение штампа будет равно
Найденное решение в отличие от. решения, полученного по тео-
теории Кирхгофа, не имеет в составе реакции сосредоточенных сил
из-за отсутствия скачка в поперечной силе на концах зоны кон-
контакта.
На рис. 5.5 приведен характер изменения безразмерной реак-
реакции
по ширине зоны контакта. Из этого рисунка следует, что реакция
монотонно возрастает от центр.а зоны контакта к краю и все боль-
больше концентрируется вблизи края по мере увеличения зоны. Данное
решение, хотя и устраняет сосредоточенные силы в реакции, одна-
однако не позволяет получить нулевое значение реакции на концах зо-
зоны контакта. Наоборот, реакция на конце зоны получается макси-
максимальной, Это противоречие устраняется, если учесть поперечное
обжатие пластины в зоне контакта, что будет сделано в следующем
разделе.
На рис. 5.6 показано изменение параметра внешней нагрузки
P*=PIR/2D в зависимости от величины зоны контакта р. Пункти-
Пунктиром представлено решение, основанное на теории Кирхгофа. Отли-
Отличие в решениях наблюдается лишь в области малых и достаточно
больших зон контакта. В теории, учитывающей деформации попе-
поперечного сдвига, отличная от нуля зона контакта появляется сразу,
в то время как при использовании классической теории пластины
отличная от нуля зона контакта появляется лишь тогда, тогда па-
параметр нагрузки Я*>1. Если Р*^1, то контакт осуществляется в
точке. Если пластина достаточно тонкая, например l/h>\0, то со-
соответствующие решения для Р* будут расположены между сплош-
сплошной и пунктирной кривой на рис. 5.6, т. е. будут ближе к классиче-
классическому решению.
Рассмотрим изгибные напряжения ах в зоне контакта и сравним
их с напряжениями ах°, полученными по теории Кирхгофа при той
же самой «агрузке, приложенной к штампу. Именно сравнение
продольных нормальных напряжений позволит ответить на вопрос
219
ч
12
10
&
е
4
' P
l/h=-10, V=0,3
A*
\
-II ¦¦ —
°<
fi=0,7.
0,5
о,ъ
\
1
Р'
6
5
!¦
'з
2
* ' 0,2 Ofi 0,В 0,% \/fi
р
А
2D
В
)
1
if
//_
'с
11
1
1
0,2 0,4 0,6 0,8 Ji
Рис. 5.5. Изменение безразмерной реакции q* = 2ql$/P по ширине зоны контакта
(|=*//, 0 = 6// (см. рис. Ы))
Рис. 5.6. Зависимость между величиной зоны контакта Р=6// и безразмерной
силой P* = PIRI2D, приложенной к штампу (сплошной линией представлено ре-
решение с учетом поперечного сдвига, штриховой — по теории Кирхгофа)
о целесообразности использования уточненной теории, так как
именно продольные нормальные напряжения в большинстве случа-
случаев определяют работоспособность конструкции.
Так как продольные нормальные напряжения вычисляются по
формулам
\2Мхг ,
12 Мх
то
A3
-!*^Лг1 {
A3
E. 18)
При вычислении изгибающего момента Мх°, соответствующего ре-
решению по теории Кирхгофа, нужно отдельно рассмотреть случай"
Р*^1, когда контакт пластины и штампа реализуется в точке, и
случай Р*>1, когда величина зоны контакта отлична от нуля.
В первом случае
поэтому согласно формулам E.15), E.18) и E*.16) при Р*^1
<$<?. E.19)
0* = -
1-5
sh
220
Из этой формулы следует, что в центре зоны контакта (при
1=0)
Таким образом, на конце зоны контакта ?=(} продольные нап-
напряжения в точности совпадают с соответствующими напряжения-
напряжениями, подсчитанными по теории Кирхгофа, а в центре зоны контакта
при |=0 справедлива оценка
Так как величина зоны контакта р при Я*^1 мала, то и отли-
отличие в относительных продольных напряжениях <тж получается весь-
весьма малым.
Бели Я*>1, то
M°x = -j, если 0.<Е<1—i;,
=?рA-а если p>E>l
Так как по теории Кирхгофа Я*=1/A—$) (см. формулу E.5)),
то первый из рассмотренных случаев соответствует области АВ на
рис. 5.5, в которой контакт имеет место как в решении по теории
Кирхгофа, так и по теории, учитывающей сдвиг. Второй случай
записан для области ВС на рис. 5.6, в которой по теории Кирхгофа
контакта не будет, а по теории, учитывающей поперечный сдвиг, —
будет.
В случае, когда р^|3> —1/Я*, остается справедливым соотно-
соотношение E.19). Если0<|<1— 1/Я*, то
Если Р*=1, то при | = 0 формулы E.19) и E.20) дают один и
тот же результат. .Это'сразу станет видно, если их преобразовать с
помощью соотношения E.16).
На рис. 5.7 показано изменение параметра продольных напря-
напряжений а* по ширине зоны контакта для разных величин зоны кон-
контакта. Расчет проводился следующим образом. Для'каждого за-
заданного значения величины зоны контакта р определялся параметр
нагрузки Я* по формуле E.16). Если Я*г^1, то параметр напря-
напряжений а* рассчитывался по формуле E.19). На рис. 5.7 это случай
для {$=0,01. Если Р*>\, то в зоне 0^|^1—1/Я* параметр а*
рассчитывался по формуле E.20), при р^|^1—1/Я*— по форму-
формуле E.19). Переходу из одной области к другой соответствует из-
излом кривых на рис. 5.7, это точка $ = 1 — 1/Я*=р— — cthwp,
О)
в которой параметр а* имеет наименьшее значение.
221
0,2 4* 0,6 0,8
б'
0,98
0,94
0,9
V
в
/
А,
Bi
>-—с
/
у*
l/h=W
— —
\
s,\
-
\
\
1,9
0,8
0,6
0,2
0,2 0,4 0,6 0,8 Ji
Рис. 5.7. Изменение параметра напряжений a* = axfcix0 E.18) по ширине зоны
контакта (ах° ¦— решение разд. 5.2 по теории Кирхгофа, а* — решение разд. 5.3)
Рис 5.8. Изменение параметра напряжений ст* = ov/a*0 в центре зоны контакта
(ветвь ВС), минимального значения amIn в зоне контакта (ветвь АВ при Р*<1,
ветвь ВО при Р*>\), значения ?'Р. при котором о*=<тт1п (ветвь AiBt при
Р*<1, ветвь BiDi при Р*>1) (Р* — параметр нагрузки E.6))
На рис. 5.8 показано* как изменяется минимальное значение
параметра о^1п в зависимости от величины зоны контакта. Это
ветвь ABD; участок А В соответствует случаю Р*<1, когда в ре-
решении, построенном по теории Кирхгофа, контакт пластины и
штампа осуществляется в точке. Это минимальное значение будет
иметь место в центре зоны контакта с,=0. На том же рис. 5.8 по-
показана кривая для значения координаты |/р, в которой имеет мес-
место соответствующее минимальное значение о^,п. Для участка АВ
соответствующий участок кривой |/р совпадает с участком А^ВХ оси
абсцисс. Участку BD кривой o^tn для случая Р*> 1 соответствует
участок B\D{ на кривой |/р. На рис. 5.8 дано также значение пара-
.метра а* в центре зоны контакта для зон контакта, в которых
Р*>\. Это участок ВС. Из рис. 5.8 видно, что даже для достаточно-
толстой пластины (///i=10) расхождение в продольных напряже-
напряжениях, найденных по теории Кирхгофа и теории, учитывающей де-
деформации поперечного сдвига, незначительное. Оно возрастает с
увеличением зоны контакта.
В заключение отметим, что рассмотренная задача на основе
ггеории, учитывающей поперечные сдвиги, впервые была решена
М. М. Филоненко-Бороднчем в 1949 г. {70], поставившим цель опре-
определить величину сил, которые нужно приложить к концам стерж-
стержня, чтобы изогнуть его около жесткой цилиндрической поверхно^
222
сти постоянного радиуса. Эти силы равны половине силы Р, прило-
приложенной к .штампу, и могут быть вычислены по формулам E.16) и
E.6), если положить величину зоны контакта {$-=1.
5.4. УЧЕТ ПОПЕРЕЧНОГО ОБЖАТИЯ
Учет поперечного обжатия в задаче, поставленной в разд. 5.2,
можно сделать как в рамках уточненной теории разд. 4.5, так и в
рамках теории Кирхгофа, как это указано в разд. 4.4. Ввиду того,
что задача носит иллюстративный характер, рассмотрим второй
путь. Иными словами, учтем только поперечное обжатие и не бу-
будем учитывать поперечный сдвиг.
Прогиб поверхности пластины под штампом согласно формуле
D.20) можно записать в виде
32 E ' '8A — v) dx*
Последнее слагаемое правой части можно отбросить, так как оно
не нарушает качественной картины решения и, как показали рас-
расчеты с учетом этого слагаемого, практически не изменяет решение
количественно.
Если, как и выше, кривизна основания штампа равна х=
= l/tf = const, то условие плотного прилегания штампа и пластины
в зоне контакта будет
,J3__A_ • L_*_ m E.21)
~ 32 Е Н 2R У '
Условие E.21) можно рассматривать как формулу для опреде-
определения прогиба w, если известна реакция. Уравнение же для реак-
реакции получим, если прогиб из E.21) подставим в уравнение равно-
равновесия пластины в зоне контакта
q
dx*.~~ D
В результате получим уравнение
В отличие от решения для реакции q, полученного при учете
только поперечного сдвига и определяемого из уравнения второго
порядка, решение последнего уравнения можно подчинить не толь-
только уоловиям равновесия штампа, но и условию обращения! реак-
реакции в нуль на концах зоны контакта. В рассматриваемом случае
223
симметричного штампа это решение имеет вид ($==Ь/1 — безраз-
безразмерная величина зоны контакта)
. up лг> ^ E22)
I sh ь>р — sin »p
причем /E)=shu>(p+?)sinu>(p —5)H-sha>(?-6)sin»(PH-O.
Из формулы E.22) следует, что вид решения не зависит от ус-
условий закрепления пластины, эти условия будут влиять лишь на
зависимость между силой Р и величиной зоны контакта р.
Отметим, что в выражении для прогиба в зоне контакта, кото-
который определяется через реакцию E.22) из соотношения E.21),
имеется два произвола: перемещение штампа Д и величина зоны
контакта р. Общее решение для прогиба вне зоны контакта будет
содержать четыре произвола. Эти шесть произволов позволяют
удовлетворить четырем условиям стыковки (для прогиба, угла по-
поворота, момента и поперечной силы) и двум граничным условиям
на краю пластины лг=/. При этом получим соотношение между си-
силой Р, прижимающей штамп, и величиной зоны контакта р, а так-
также между перемещением Д и ,р. Опуская выкладки, аналогичные
проделанным в предыдущем разделе, для свободно опертой плас-
пластины получим
/=, а=\(lP).,
A-Р)Ф . 3 V> ф '
g _ 2АЯ . , , 1 ch2(op +cos2a>p
~ 2 ' У~~' ~
12 ' У 1ШA _р) sh2w{i—sin2a>p
, « . 3 сЬ2шр+cds2h>p , 3 sh2h>3 + sin 2ыр
<йA—p) sh 2шр — sin 2<лр «>2(i— pJ sh2uip—sin2u>p '
где P* — параметр нагрузки E.6). Изменение этого параметра в
зависимости от величины зоны контакта р показано в табл. 5.1 в
графах 0. Для сравнения там же приведено решение по теории
Кирхгофа без учета обжатия (графа k) и решение на основе урав-
уравнений плоской теории упругости (графы у), которое дано в следу-
следующем разделе. Эти результаты можно также сравнить с показан-
ньши на рис. 5.5 для случая, когда не учитывается обжатие и учи-
учитывается поперечный -сдвиг.. (Видно, что расхождение между тео-
теорией Кирхгофа и теорией упругости имеет место лишь для .очень
малых и больших зон контакта. Учет поперечного обжатия или по-
поперечного сдвига улучшает результат особенно в указанных зо-
зонах. В диапазоне средних зон контакта решение по всем теориям
достаточно близкое.
На рис. 5.9 пунктирными линиями показано изменение безраз-
безразмерного параметра реакции E.17) по длине зоны контакта. Сплош-
Сплошными линиями представлено изменение того же параметра, вычис-
224
""¦*
и.
, З'1
Щ
/с!
О S=r: =**=* fzr*
в 0,2 - 0,4 0,6 0,8 ?/Д
Рис. 5.9. Изменение безразмерного па-
параметра реакции q* = 2qlfi/P E.17) по
ширине зоны .контакта [пунктир — реше-
решение разд. 5.4, сплошные линии — реше-
решение разд. 5.5 (кривые 1—4); кривая 5 —
решение разд. 5.3 с учетом поперечного
сдвига, но без учета обжатия; кривым
/—5 соответствуют следующие значения
параметров 2//Л и 0: /—2//Л= 20 и 0—
= 0,1; 2—20 и 0,3; 5—100 и 0,1;' 4—100
и 0,3; 5—20 и 0,3]
ленного на основе уравнений
плоской -задачи теории упругости
в следующем разделе Цифрами
1—4 помечены кривые, соответ-
соответствующие следующим значениям параметров 2l/h и р: /—2l/h=2Q,
Р=0,1; 2 — 2//й = 20, р = 0,3; 3-^-2//Л =100, р = 0,1; 4 — 2//Л=100,
Из рис. 5.9 видно, что с уменьшением относительной толщины
пластины имеет место концентрация реакции у конца зоны контак-
контакта. Приближенное решение с учетом поперечного обжатия доста-
достаточно хорошо совпадает с полученным по теории упругости. На
рис. 5.9 для сравнения дано также решение по теории пластин,,
учитывающей поперечный сдвиг и не учитывающей поперечное об-
обжатие. Это решение E.12) —сплошная, монотонно возрастающая
кривая, она соответствует параметрам 2//Л = 20, р=0,3.
. Таблица 5J
Изменение параметра нагрузки P*=PIR;2D, прижимающей штамп (рис. 5.1), в
зависимости от величины зоны контакта fi=bjl и от отношения 21/к (столбец
«г/»--решение разд. 5.5 на основе уравнений теории упругости, столбец «0» —
решение разд. '5.4 с учетом поперечного обжатия, столбец «#» — решение разд.
5.2 по теории Кирхгофа без учета поперечного обжатия)
2l/h ¦
Р
0,03
0,06
0,1
0,3
0,6
0,8
20
V
0,819
0,970
1,032
1,303
2,140
3,740
*
0
0,720-
0,981
1,045
1,313
2,166
3,821
100
1,017
1,049
1,095
1,402
2,417
4,701
0
1,018
1,050
1,096
1,404
2,425
4,709
.к
1,031
1,06-1
1,111
1.4291
2,50»
5,000
5.5. РЕШЕНИЕ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИИ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
Задачу изгиба штампами свободно опертой упругой пластины
(рис. 5Л) можно отождествить с периодической задачей изгиба
пластины, изображенной на рис. 5.Ю..
3136
225
PI
I
I.
Zb
21 r
t
0 ^ . X
7.W
P
Рис. 5.10. Изгнб пластины перио- ¦
дической системой штампов
Для оценки погрешности
решений, полученных в разд.;
5.2— 5.4, расмотрим эту за-
задачу, исходя из уравнений
плоской задачи теории упру-
упругости [24].
Сначала запишем реше-
решение для самоуравновешен-
самоуравновешенной системы нормальных со-;
средоточенных сил Pi, приложенных в точках х=0, ±21, ±41,...
Используя общее решение G1] и граничные условия для напряже-
напряжений • .
щ при z —
S
xxz=0 при z=0, h; <?=ях/21,
получим
COS
E. 23)
Здесь
тпг
¦21 '
dt»
=0, с =¦
dm\' dlm= -sh2ya,nl, d3m =
21
Перемещение w поверхности 2=0 пластины в направлении оси
г найдем путем, интегрирования соотношения закона Гука для
.плоской деформации
дп> 1 , .. _ ч с В v *.
'226
С учетом E.23) после выделения расходящейся части ряда по-
получим (ai — произвольная постоянная интегрирования) >
«Л
E.24)
Выражение E.24) используется в качестве функции Грина для
перемещения зоны контакта пластины от реакции. С другой сторо-
стороны, если кривизна основания штампа K==l/./? = const, то перемеще-
перемещение зоны контакта пластины в случае плотного прилегания будет
(А — неизвестное перемещение штампа)
Приравнивание названных перемещений приводит к интеграль-
интегральному уравнению для определения нормальной реакции q штампа:
E.25)'
. Здесь" 26 — величина зоны контакта; б—произвольная посто-
постоянная, характеризующая перемещение штампа. .
Уравнение E.25) преобразуем к уравнению Фредгольма вто-
второго рода путем обращения интеграла в левой части [24] (см. так-
также гл. 7).
Обозначая для краткости правую часть уравнения E.25) через
), получим ¦ '
„ U )- ' f X{i)f'(i)di , A cos 1/2 ft,
?lW °~'v'?o)J
sin 1/2 (<р — у0) я
E.26)
р — cos 6).
Здесь А — постоянная, определяемая из условия
Так как функция /(ф) ззвисит от произвольной постоянной й,
то постоянную А согласно E.27) можно считать произвольной, а
само условие E.27) не учитывать, так как при любом А оно вы-
выполняется подбором б. -
8* . 221
Постоянную А подберем так, чтобы реакция q,i была ограни-
ограниченной на концах зоны контакта. Для этогонайдем условие обра-
обращения в нуль при ф= ±6 правой части уравнения E.26). Исполь-
Используя тождества
=- Х2 (?о> \ 2 (cos Уо ~ cos
cos % — cos <р=2 sin ^^ sin
уравнение E.26) перепишем в виде
VUTo; 2я2 J ^(?)sin
е
A' cos 1/2у0
1 Г 4si
2n2^(?0)J
Сумма двух шоследних слагаемых обратится в нуль, если вы-
выполнить следующие два условия:
л . i. г /' (ep)]sin 1/2 eprfep
Х(Ч)
. Второе условие можно считать выполненным — это формула
для определения А, первое выполняется автоматически в' силу
четности функции/(ф). Четность следует из элементарного аналиг
за уравнения E.25).
Итак, ^l(Tb)=OPo)f ОуМ . E.28)
41 КГ0) 2я2 J Z(?)sinl/2(?<p) V ^
Из уравнения E.25) можно установить, что функция qx четная,
поэтому в дальнейшем вместо ядра А"(<р—<pi) можно взять его чет-
четную часть К(ц>, <pi). Внося после этого в уравнение E.28) функ-
функцию /(<р) [напомним, что /(ф) —правая часть уравнения E.25)],
вычисляя соответствующие интегралы и вводя новую неизвестную
функцию у(ц>) соотношением
q^ (<p) —X (<p) cos -1-
228
получим следующее интегральное уравнение Фредгольма второго
рода для у (у):
9
у (%) cos -f—i; J R (<h, «„) * (9i) cos Ц-у (91) rf?, = -i- 6 (?0), E. 29)
9
—9
где
где
E.30)
<p)sm 1/2 (<p — <p0)
^-A+^Tb (A=l, 2,...),
n=0
() —полиномы Лежандра; bh — коэффициенты,, опре-
определяемые в E.24). . - . '
Численное решение уравнения E/29) дано ниже. Зная его,
можно определить нормальные напряжения ах в пластине, которые
представляют наибольший интерес при оценке погрешностей, вно-
вносимых в решение задачи гипотезами Кирхгофа. Используя реше-
решение E.23)- для напряжений ах от сосредоточенных сил, напряжен
ния от редкции ц с учетом второй формулы E.25) получим в виде
E.32)
Условие равновесия штампа дает уравнение, связывающее ве-
величину зоны контакта 0 и силу Р, приложенную к штампу:
Я=-^-Uafcp. ' E.33)
я/? J '
—е
Если для рассмотренной выше пластины (см. рис. 5.10), нагру-
нагруженной системой штампов, считать справедливыми' гипотезы
Кирхгофа, то ее можно отождествить с пластиной, занимающей
область —/^л:^/ и свободно опертой по кромкам х— ±1. При
действии на нее цилиндрического штампа с кривизной основания
x=l/J? = const изгибные напряжения на поверхности пластины, на-
229
ходящейся в контакте со штампом, т. е. напряжения в зоне кон-
контакта, будут постоянными и равными
] Зависимость между величиной зоны контакта $ = b/l (см. рис.
5.10) и безразмерным параметром-нагрузки Р* (формула 5.6) да-,
на пунктирной криврй на рис. 5.6, которая построена по формуле
E.5). Таким образом, формула E.34) справедлива для участка АВ
на рис. 5.6. Если допустить, что сплошная кривая на рис. 5.6 пост-
построена по результатам данного раздела на основе уравнений теории
упругости, то участок ВС в этом решении также принадлежит'зо-
принадлежит'зоне контакта. В решении же по теории Кирхгофа этот участок на-
находится вне зоны контакта и напряжения на поверхности пласти-
пластины, соседней с зоной контакта, будут уже определяться по форму-
формуле (рис. 5.2):
ai(l|), 6.
1 к2 кг у ' . I
Если ввести сюда параметр нагрузки Р*, определенный форму-
формулой E.G), то получим
В рамках данного раздела величину зоны контакта в решении
по теории Кирхгофа будем обозначать через рь а по теории упру-
упругости через р. Таким образом, формула E.34) справедлива для
координат |^Рь формула же E.35) при ?>Рь При |f=Pi обе фор-
формулы совпадают, так как в рамках теории Кирхгофа на основании
E.5) P*(l—pi)=L
Для малых зон контакта, когда Р*<1 (см. рис. 5.6) в реше-
решении по теории Кирхгофа контакт происходит в точке, тогда выра-
выражение E.35) следует использовать для всех'точек пластины.
Для того чтобы оценить точность решения задачи в рамках
теории Кирхгофа, будем в зоне контакта |^Р сравнивать продоль-
продольные нормальные напряжения ах, найденные из уравнений теории
¦упругости по формуле E.32),, с напряжениями. о{ E.34) при ?<
<Pi и E.35) при ?>Рь Иными словами, вычислим пара-метр
«•==—.- E.36)
отклонение которого от единицы и будет характеризовать, погреш-
погрешность теории Кирхгофа. Значение Р! вычисляем из E.5) для каждо-
каждого Р*, полученного при заданном § по теории упругости.
Остановимся кратко на алгоритме чнсленлого решения.
230
Уравнение E.29) решалось сведением его к системе алгебраиче-
алгебраических уравнений.с помощью квадратурной- формулы
1 , /(a) da I \S /(а*)
я J X(a) n jU an
—е ft=i cos~^~
aft= — 2 arcsm sin — cos л ].
* . - \ 2 2n I
Эта формула получена из квадратурной формулы Мелера [44]
-1 *-1
путем замены переменной
. а / . 8
:= — sm — / sin —
2 / 2
Формула E.38) является формулой повышенной точности —
?она точна для полинома степени 2л—1 включихельно. Формула
E.37) исрользована также для вычисления интегралов E.32),
E.33) и E.31). Последний интеграл предварительно регуляризу-
ется с помощью тождества
в
\
E.39)
которое мы здесь примем без доказательства. Оно будет обсужде-
обсуждено в гл.-8. С помощью -тождества E.39) интеграл E.31) можно за-
менять регулярным
Точность решения задачи зависит от удерживаемого числа чле-
членов ряда E.30), определяющего ядро уравнения E.29), и от числа
п в .квадратурной сумме типа F.37). Вариацией этих величин ус-
установлено, что погрешность в реакции не превысит двух процен-
процентов, если число членов ряда E;30) взять равным-величине пара-
параметра 2//А. Погрешность в напряжениях при этом будет еще мень-
меньше. Что касается числа п в сумме E.37), достаточно взять я = 20.
При п=20 и 40 результаты совпадают даже в случае тонкой ллас-
тины B//Л=1О0). При 2//&< 100 реакция будет более плавной
функцией* точность возрастает.
231
Остановимся да результат'ах числеииого расчета.
Изменение безразмерной реакции E.17) по длине зоны контак-
контакта показано иа рис. 5.9 сплошными линиями.
Таблица 5.2
Значение относительных продольных нормальных напряжений а* при 2//Л = 2О
0
0
0
0
0,
р
,03
,06
2
6
8
0
0
1
2
3,
Р*
,8195
9701
1531
1399
7409
S/P
а*
«/?
°* ,
е/р
а*
J/P
а*
е/р
а*
1
0
0
0
0
0
,015
Q
,9895
0
,9991
0
,9995
0
9996
2//Л=20
0,476
1,0214
0,476
1,0041
0,474
0,9924
0,462
0,9999
0,451
0,9998
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0,
,736
,0187
,736
,0031
734
,9946
723
9995
711
9985
0,916
.1,0177
0,916
1,0009
0,915
1,0038
0,91
—
0,905
0,9590
1
0
• 1
1
1,
1
,0129
1
,9997
1
0012
1
0030
1
0034'
Измеиеиие безразмериого параметра внешней нагрузки Р*, оп-
определенного формулой E.6), в зависимости от величины зоны кон-
контакта $ = b/l даны в табл. 5.1. Эти результаты уже обсуждались в
конце разд. 5.4 настоящей главы. Результаты- расчета безразмер-
безразмерного параметра напряжений E.36) даиы в табл. 5.2, 5.3, 5.4. Там
же дано значение параметра Р* (формула 5.6). Мы умышленно
приводим подробные таблицы, так как эти результаты считаем
принципиальными. Как видно, для всех диапазонов зон контакта,
даже для сравнительно толстой пластины 2l/h = 20, параметр про-
продольных нормальных напряжений практически совпадает с едини-
единицей. Это говорит о высокой точности, которая получается при вы-
вычислении этих напряжений по теории Кирхгофа. Однако эта тео-
232
/ Таблица 5.3
Значения относительных продольных нормальных напряжений а* при 2//Л=40
p
0,03
0,06
0,1
0,2
0,3
0,6
я*
0,9848
1,0272
1,0711
1,1995
1,363
2,306
е/Р
°*
е/Р
¦••
е/р
«.
е/Р
°*
е/Р
е/Р
•
0
0,9939
0
0,9694
0
1,0006
0
0,9996
0
1,0003
0
0,9999
21//
0,476
1,0021
0,476
0,9941
- 0,476
0,9971
0,474
1,0005
0,473
1,0002
0,462
0,9999
0,736
1,0022
0,736
,0006
0,735
0,9895
0,734
0,9968
. 0,733
0,9990
0,723
1,0000
0,916
1,0014'
0,916
1,0012
0,-916
1,0012
0,915
¦ 1,0008
0,914
1,0009
0,91
0,9949
1
1,0007.
. 1
1,0008
: 1
1,0008
1
1,001
1
1,0013
1
.1,0024
рия совершенно искажает характер изменения реакции в зоне кон-
контакта — появляются сосредоточенные силы. Она дает погрешность
и в соотношении между величиной зоны контакта и« внешней наг-
нагрузкой (ом', табл. 5.1), особенно при очень малых зонах контакта
и, наоборот, при больших. Однако эти отклонения нельзя считать
недостатками теории, так как и характер реакции, и величина зоны
контакта — это промежуточные звенья, необходимые для опреде-
определения продольных нормальных напряжений в пластине. В тех же
задачах, когда исследование реакции1 является основной задачей,
конечно, теорию Кирхгофа использовать нельзя.
233
Таблица 5.4
0,03
0,06.
0,1
0,2
0,3
0,6
0,8
Р*
1,0169
1,0488
1,0947
1,2293
1,4016
2,4173
4,7013
W
щ
°* ¦.
6/р
а*
6/Р
я*
.т
J*
W
6
0,9997
0
1,0004
0
1,0002
0
0,9999
0
1,0001
0
0,9999
0
1,0001
2 Ц h
0,476
0,9977
0,476
0,9998
0.-476
1,0001
0,474
1,0001
0,473
0,9999
0,462
0,9999
0,451
1,0001
= 100
0,736 .
-0,9993
0,736
0,9979
0,735
0,9998
0,734 _
1,0001
0,733
0,9998
0,723
0,9999
0,711
0,9999
0,916
1,0006
0,916
0,9999
0,916
0,9991
0,915
0,9980
0,914
0,9997
0,91
0^9996
- 0,905
0,9998
1
1,0007
1
J.0004
1
1,0006]
1
1,0007
1
1,0007
1
1,0001
1
0,9995.
5.6. ОСЕСИММЕТРИЧЛЫЙ КОНТАКТ КРУГЛОЙ .1
ПЛАСТИНЫ И ЖЕСТКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Рассмотрим задачу о вдавливании силой Р абсолютно жестко- "
го тела вращения в упругую тонкую круговую защемленную плас-
пластину (рис. 5.14). Задачу будем решать на основе теории пластин
Кирхгофа. Как было показано в предыдущем разделе, такое реше-
234 . L
Рис. 5.11. Вдавливание жесткого тела вра-
вращения в защемленную круглую пластину
ние будет близким к истине с точки,
зрения изгибных напряжений. Так
как напряжения определяются через
изгибающие моменты, то в конечном
счете" необходимо найти эти мо-
моменты.
Если предположить, что радиус
основания штампа весьма большой, то допустимо решать задачу в
рамках линейной теории пластин. Вели далее предположить, что в
некоторой области г^г0 имеется зона плотного прилегания пласти-
пластины к основанию штампа, та удельные изгибающие^моменты в этой
зоне будут •
М =_р (<&w , v dw
dr
где Мт, Mt —соответственно радиальный н окружной изгибающие
моменты; D = Eh3/l2(l—v2) — цилиндрическая жесткость.
В зоне контакта по условию
Значит,
поэтому
dw
dr
~ ) R '
(
r 3 R
о '
E. 40)
E.41)
Еслн радиус основания штампа R постоянный (сфернческое ос-
основание), то v '
При выводе этих формул было сделано допущение, что в зоне
контакта раднус основания штампа равен радиусу срединной пло-
плоскости пластины. В точной постановке вместо R нужно было бы
взять R—А/2 (А — толщина пластины). Такое уточнение делать не
будем.
Для использования формул E.41) нужно знать область нх при-
применения, т. е. величину зоны контакта г0 (см. рнс. 5.11), а для оп-
235
1r
Рис. 5.12. Схема иагружеиия пластины коль-
кольцевыми усилиими
ределения удельных изгибающих
моментов вне зоны контакта нужно
знать характер нормальной реакции
между основанием штампа и пла-
пластины. Кроме этого, необходимо
знать условия, при которых зона контакта существует. Для выяс-
выяснения всех этих обстоятельств требуется решать контактную за-
задачу.
Решение можно строить двумя способами.
Первый способ состоит в том, чтобы рассмотреть уравнение
изгиба пластины сначала в зоне контакта, затем вне ее и состыко-
состыковать полученные решения. Этот путь удобен для определения ре-
реакции. Действительно, обозначим через q нормальную реакцию,
действующую на пластину сверху вниз, положительный прогиб w
также будем отсчитывать вниз (рис. 5.12).
Дифференциальное уравнение осесимметричного изгиба плас-
пластины имеет вид [86]
г dr \ dr i г dr \ dr /J/ D
подставив сюда dw/dr из E.40), найдем реакцию.
Рассмотрим, например, случай, когда кривизна основания штам-
штампа задана рядом
я=1
где и0 и dn — постоянные.
Получим выражение для поперечной поверхностной нагрузки
оо
Я-2
q=l
Если бы кривизна основания штампа была постоянной х=х°,
то реакция была бы равна нулю. Единственный способ для уравно-
уравновешивания штампа в этом случае — это приложить кольцевые по-
погонные усилия по границе зоны контакта г~г0. Действительно, на
этой линии мы не можем требовать выполнения условия по кривиз-
кривизнам пластины и штампа
rfr2 ~~ R
и, следовательно, выполнения уравнения- E.42) с учетом E.40).
Второй способ состоит в использовании функцни влияния. Про-
Проведем решение задачи этим способом
236 *
db
Рис. 5ЛЗ. Схема, поясняющая способ постро-
построения решения E.45)
Запишем решение для прогиба в за-
защемленной пластине на расстоянии г
от центра при действии погонной на-
нагрузки Р12яЬ (см. рис. 5.12), действую-
действующей по кольцу радиуса Ъ. Суммарный вектор этой нагрузки paeerf
Р. Это решение возьмем в готовом виде из работы [86§
а — радиус пластины.
Кривизна х= —cPwfdr2 будет
8nD
г*
r<b.
Для произвольной осесимметричной поверхностной нагрузку
йй
р
q, действующей по площадке радиуса го,
'Jo
X B In— -\-\—?L\qbdb.
E.45)
Формула E.45) получается просто. В E.44) заменяем нагрузку
Р через 2nbqdb (рис. 5.13) и суммируем решения в точке г от та-
таких нагрузок, действующих на участке ft О, используя первую
формулу E.44), и на участке b>r — вторую. После этого интеграл
от г по го дополняем на участке @, г). '
Формула E.45) годится для вычисления кривизны в любой точ-
точке пластины как при г<.г0, так и при г>г0. При г>/о верхний пре-
предел первого интеграла будет также г0. При г<г0, предполагая, что
пластина плотно прилегает к штампу, можно считать x=lfR из-
известной величиной равной кривизне основания штампа. В этом
случае соотношение E.45) будет интегральным уравнением для
определения реакции q. Это уравнение принадлежит^ классу урав-
уравнений Вольтерра первого рода. Оно справедливо только в облаг
сти гОо, так как при г=г0 уже нельзя требовать равенства криг
визны основания штампа и срединной плоскости пластины.
237
Для полного решения задачи-к уравнению E.45) нужно доба-
добавить условие равновесия штампа
-?-. E.46)
условие служит уравнением связи между силой Р и величиной
.-зоны контакта г0.
Если уравнение E.45) решено, то его же можно использовать
.для определения кривизны x=lfJR в пластине вне зоны контакта
,г>го, после чего моменты в пластине можно найти по формулам
^5.41)., взяв при вычислении интеграла от й = 0 до г0.заданную кри-
кривизну, а от Го до г вычисленную из соотношения E.45).
Рассмотрим частные случаи. •
а) штамп со сферическим основанием х=х° = const.
Уравнение (?45) будет
г
B1п— +1 ---Aqbdb^-A- 4Dx° (О<г<Го), E.47)
о
Го
— + 1-—\qbdb. ' E.48)
а а2)
г
Покажем, что уравнение E.47) в классе обычных интегриру-
интегрируемых функций имеет только нулевое решение <7^0-
Продифференцируем уравнение E.47) один раз. Будем иметь
о
Повторное дифференцирование дает (при г>0)
о
Обозначив bsq=ty и дифференцируя последнее уравнение, полу-
получим
таким образом, dty/dr = 0, \|) = c=consl> q=cjrs, но это при
неинтегрируемое решение, в то время как оно должно быть интег-
интегрируемое в смысле E.46). Значит, с=0 и <7=0.
Если же подставить тривиальное решение q = 0 в уравнение
{5.47) (не дифференцируя его), то оно выполнено не будет — пра-
правая часть отлична от нуля, а левая равна нулю. Отсюда следует,
что для.выполнения уравнения E.47) необходимо расширить класс
искомых функций. Так как, согласно доказанному, #s=0 при r<Zr0
238 ' .
и, очевидно, qzssO при r>r0, можно только ввести погонные усилия
на границе зоны контакта, г=г0, т. е. положить
q=qob(b-ro), E.49)
где б — дельта-функция; q0 — неизвестная пока поперечная поверх-
поверхностная нагрузка. •
Из условия E.46) найдем q0*:
Теперь потребуем, чтобы правая часть уравнения E.47) равня-
равнялась нулю (решение типа дельтанфункции не повлияет иа левую
часть, так как г<г0). С учетом E.49) н E.50) получим уравнение
связи между силой Р, действующей на штамп, и величиной зоны
контакта г0:
Р
Покажем, что правая часть при любом х°>0 н го>О положи-
положительная и, таким образом, уравнение E.51) разрешимо относи--
тельно го-
Так как го<а, то 0<е=1—го2/а2<1, отсюда
Г
-^- + 1 —=1пA —в) + в =
а а2
б) штамп с параболическим основанием. В этом случае
где х° и d —заданные постоянные*
Уравнение E.45) будет
—, E.52)
\ О r2 J д2
О
где А — постоянная E.48).
* При вычислении интеграла E.46) использована формула
/¦о
\
о
так как физически ясно, что вся нагрузка должна входить под знак интеграла.
Иными словами, фактически вычислиется интеграл
о
23»
Решение уравнения E:52) будет состоять из друх слагаемых.
.Первое слагаемое — решение вида E.49), соответствующее первым
двум слагаемым правой части. Оно имеет место, если выполняет-
выполняется условие
A-\-4Dx°=0. E.53)
Второе слагаемое запишем а форме q=4Ddq2,
где q2 — константа, которая определяется из уравнения E.52), q2—
- Окончательное решение будет иметь вид
4- E.54)
Интересно отметить, что если взять c?<0, т, е. считать, что кри-
кривизна основания штампа увеличивается от центра к периферии, то
второе слагаемое в формуле E.54) будет отрицательным и мы по-
подучим обратную реакцию, которая физически возможна при нали-
дии двухсторонних связей (пластина должна быть приклеена к
штампу). При односторонней связи задача в этом случае не будет
иметь решения в данной! постановке. Нужно будет допустить не
зону контакта, а только кольцевую линию..
Для определения зоны контакта г0 и кольцевой нагрузки <7о
имеется уравнение E.46) и условие E.53). Йервое из них согласно
E.54) дает
1 / р 8Ddrl \
kiY ;<5-65>
Из условия E.53) с учетом E.54) и E.55) найдем связь меж-
между силой Р и величиной зоны контакта г0:
<5'56)
При любом заданном р< 1 по формуле E.56) можно найти наг-
нагрузку Р. При этом интересно, что можно так подобрать параметр
кривизны d, чтобы сосредоточенная кольцевая реакция обраща-
обращалась в нуль. Это следует из формулы E.55);
в) штамп с произвольным законом изменения кривизны осно-
основания. Зададим форму основания штампа в виде
« Аг- E- 58)
1ST а
240
Уравнение (§.45) будет
. О" п=1
Решение имеет вид
¦ п=1 , .
Как видим,, решение, соответствующее первому "члену ряда,
имеет в центре особенность типа 1/г, решение, соответствующее
второму члену ряда — постоянное.
"Из условия E.46) найдем q0
dnn(n+2) 4
Соотношение между силой Р и радиусом зоны контакта г0 най-
найдем из условия E.53)
^4o
2 In Р + 1 — рг
Естественно, что коэффициенты dn и те0 в E.58) могут-быть за-
заданы только такими, чтобы было Р*>0, <7о>0, иначе задача при
односторонних связях в данной постановке не будет иметь реше-
решения.
5.Г. РАСЧЕТ ПАКЕТА СФЕРИЧЕСКИХ ПРУЖИН
Результаты предыдущего раздела можно использовать для рас-
расчета пружины, показанной на рис. 5.14. Пружина представляет со-
собой выгнутые предварительно по сферической поверхности ради-
радиуса R и затем сваренные по контуру пластины. В центральной час-
части каждая пара таких пластин соприкасается по некоторой пло-
площадке радиус^ го, зависящего от величины приложенной силы Р.
Если считать, что первоначальный радиус изгиба пластин R велик,
то для их расчета можно применить линейную теорию пластин.
Каждая из пластин, если они все одинаковы, находится в условиях
жесткого защемления, и для ее расчета можно использовать ре-
результаты предыдущего раздела. Действительно, задача изгиба пло-
плоской пластины штампом, изображенная на рис. 5.11, аналогична
задаче изгиба предварительно искривленной пластины штампом
(рис. 5.15), если прогибы последней отсчитывать от первоначаль-
первоначальной искривленной поверхности, показанной сплошной линией.
241.
В деформированном состоянии радиус срединной поверхности
каждой пластины будет равен нулю в зоне контакта, следователь-
следовательно изгибная деформация будет х°= 1//?. Иными словами, мы име-
имеем случай а) предыдущего раздела — случай штампа со сФ
ским основанием. Реакция будет определяться по формулам
E.50)
а связь между силой Р и величиной зоны контакта г0 — по форму-
формуле E.51)
' Р_= *DIR ' E.59)
2[ln — + 1 — —°-
а а2
Задав величину зоны контакта /0, по формуле E.59) можно
рассчитать силу Р. После этого прогиб пластины в зоне контакта
определится по второй формуле E.43), в которой вместо Ь нужно
подставить заданную величину'зоны контакта г0. Напомним, что
'этот прогиб отсчитывается от первоначальной изогнутой поверхно-
поверхности Если его отсчитывать от плоской поверхности штампа, перво-
первоначально касающегося пластины, то он в зоне контакта будет пос-
постоянным. Поэтому в формуле (-5.43) достаточно положить г=0 и
мы получим
¦w — Гп1п—-— [а—Щ • l°- w)
8я/)[ а 2 J
Если пружина состоит из п пластин, то суммарный прогиб пру-
пружины будет «до.
Формулы E.59) и E.60) позволяют
рассчитать жесткостную характеристику
пружины — зависимость продольной си-
силы пакета Р от его прогиба до:
P=P(w).
*—>_^
C\\\NN\\\NW4\\4
р
\\^s\N\\4NK\N
- , л' Л
Рис. 5.14. Пакет сферических пружин A, 2,..., п—номера пружин)
Рис. 5.15. Деформация предварительно искривленной круглой пластииы с помо-
щыо жесткого штампа
242
Рис. 5.16. Зависимость между безразмерным проги- Р*
бом w*=Rwja2. центра предварительно изогнутой
пластины (рис. 5.15) ,и безразмерной' силой Р*= /
= PRJ8nD, действующей на штамп
Эта зависимость, очевидно, будет нелиней-
нелинейной. Расчет следовало бы вести так. Задать
силу Р и из уравнения E.59) .найти г<>, за-
затем по формуле E.60) посчитать, прогиб и
умножить на число пластин п. Но в этом *
случае придется решать трансцендентное
уравнение E.59). Можно его не решать, a, t
задав го, найти Р и затем прогиб w в цент- '
ре пластины. Затем построить зависимость
P=P(w). ¦
На рис. 5.16 изображена зависимость между безразмерным про-
прогибом одной пластины
-..* • vR
11^"
в
1
/
1
/
0,1 «2 0,3 Wm
и безразмерной силой E.57)
PR
8itD
Эти величины согласно формулам E.59) и E.60) можно запи-
записать в виде
а
Очевидно, ад*-»-0, Р*-»~0 при {$-»-0. Жесткость пружины из п
пластин будет в п раз меньше изображенной на рис. 5.16. Отметим,
что зависимость P* = P*.(w*) на рис. 5.16 нелинейная с самого на-
начала в отличие от цилиндрического изгиба пластин (см. рис. 5.4),
где имеется линейный участок. Это ;вызвано тем, что в круглой
пластине зона контакта -появляется сразу, а не только при Р*>1.
5.8. ОБ ИЗГИБЕ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ
V
Рассмотрим цилиндрический изгиб упругой тонкой трехслойной
пластины, изображенной на рис. 5.17. Будем для простоты считать,
что слои 1 и 2, называемые несущими или внешними, одинаковы,
имеют толщину h и цилиндрическую жесткость D. Слои связаны с
опорной поверхностью упругими пружинами» жесткость которых
k\ и &2> пластина нагружена равномерным -поперечным давлени-
давлением р.
Этот пример характерен*гем, что показывает, насколько суще-
существенно влияет на напряжения в слоях способ крепления пластин
и жесткостные характеристики среднего слоя, если учесть попереч-
поперечное обжатие в слое, который для выяснения сути будем считать
винклеровским основанием. Внешние слои будем считать пласти-
пластинами Кирхгофа.
243
1 0 I U I. U U I
Рнс. 5.17. Трехслойная полоса на упру»;
гам контуре в условиях цилиндрическое
го изгиба давлением р (kit ?2 — коэффи-;.
цненты жесткости контура)
Условие совместности дефор-
деформаций пакета будет
Е ''
где q — поверхностные усилия взаимного «поперечного обжатия
пластин 1 и 2 (реакция); wr и до2 — соответственно прогибы слоев .
/ и 2; Ес, hc — модуль упругости и толщина среднего слоя.
Вычитая одно из другого дифференциальные уравнения равно-
равновесия слоев
Dw\v=p — q, Dm
получим уравнение для реакции
Dhs iv I о —
Ес
Четное решение этого уравнения имеет
D
2
Я V hc
>V=q,
P.
вид
-v2)Sf
Е
E.
- E-
E.
E.
62)
63)
64)
65)
и | ==*//; Си С2 — произвольные постоянные.
Подставим q из уравнения E.63) в уравнения E.62) и перепи-
перепишем их в виде
, 2 ' 2ЕС ? ' ~ — 2
Отсюда четное решение для прогиба будет
—_?_ xi I Dhc
~ 2 41-rt" 2?f
2 4! 2ЕС
2?с
E. 66)
где .dj и 5,1 — произвольные постоянные, которые должны быть
одни и те же в обоих, решениях, иначе нарушится условие E.61).
Постоянные с\, съ А\ и В\ определим из граничных условий
при л^=/, E.67)
М], Qj — удельные изгибающие моменты и удельные поперечные
силы
j =—Dw}, Qj = —
E, 68)
244
Условия Mi—Mz — O согласно E.66) дают
отсюда 9»(^)=-jL=0, B\=--^-.
ах* 4
Условие q"=0 согласно E.64) дает
c2=Ci th о) tgu>.
.. Формулу E.64) теперь можно записать в виде
% E.69>
где с — постоянная интегрирования,
-5). E.70>
Оставшиеся постоянные Ai и с определим из второй пары гра-
граничных условий E.67)
с=-—-А.
Dhc
J1 hc
А= ^ *2 EJ , E.71)
где /'"A) —прЪизводная по | от функции E.70) при %=\. Значе-
Значение постоянной Аг не выписываем, так как нас будут интересовать
только удельные изгибающие моменты, определяющие нормальные
напряжения в пластинах.
Удельные моменты получим по формулам E.68), E.66) и E.69)
*? e2l))- E-72>
Из формул E.72) следует, что разница в напряжениях слоев
зависит от параметра А. Если Л = 0, то обеспечивается условие ра-
равенства напряжений в обеих пластинах. Этот оптимальный вари-
вариант согласно E.71) имеет место при условии
. J 1 _ hc
Второй наиболее часто встречающийся на практике вариант
(свободное опирание) соответствует случаю fei=0, когда нет пер-
первой пружины. В.этом случае А= —\Ц" (\).
Для этого случая сравним напряжения в центре каждой, плас-
пластины с напряжениями в одной пластине толщиной h от той же
нагрузки, когда момент в центре равен М=р12[2,
245
0,8
0.6
OA
\
¦'
г
1
в)
Рис. 5.18. Изменение, напряжений ot и а2 в центре первой, и второй пластины в
зависимости от параметра w E.65) для случая ?, = 0
Рнс. 5.19. Возможные варианты заделки контура трехслойной пластины
Изменение этих безразмерных напряжений в зависимости от
параметра со E.65) показано на рис. 5.18. Из рисунка видно, что
условия оптимального нагружения, когда Оу = 02=0,5, обеспечива-
обеспечиваются, если со^З, т. е. для достаточно жесткого склеивающего
слоя. ;
Отметим, что рассмотренная" задача практически интересна при
выборе способа заделки слоистых изделий из стекла, которые, как
правило, имеют мягкий склеивающий слой и опираются на упру-
упругий контур из резинолодобных материалов. Возможные варианты
такой заделки показаны на рис. 5.19. Случай а и б в постановке
данного раздела идентичны: в первом из них k2~0, во втором —
"Ai = O. Случай в соответствует схеме рис. 5.17.
Пусть 6j, bjt Ej (j—T, 2) —толщина.ширнна и модуль упруго-
упругости обрамляющих стекло материалов, зачерненных на рис. 5.19.
Тогда
У = 1, 2).
и согласно определению E.67)
ЕЛ,
Введем относительную жесткость обрамления
246
относительную жесткость первого обрамления в сравнении со-
склеивающим слоем
Е,1ЪХ '
э также относительную жесткость первого обрамления по сравне-*
тда с жесткостью стекла
V D
Тогда параметр E.71) можно записать в виде.
: - А=- 1х>
Оптимальный вариант будет при Л+ц,= 1. /
Наиболее распространенный вариант, изображенный на рис.
5.19, б, будет при Я=ц=7 = 0(^1 = 0).
В заключение отметим, что учет деформаций поперечного сдви-
сдвига среднего слоя может изменить-картину напряжений, изображен-
изображенных на рис. 5.18, количественно. Качественный же результат оста-
останется "прежним. Он подчеркивает значение условий закрепления
конструкций данного типа и указывает на важность учета поперечу
ного обжатия в задачах этого рода. Теория, не учитывающая попе-
поперечное обжатие, не чувствительна к способу заделки отдельных
слоев. Как видно из рис. 5.18, она может давать хорошие резуль- "
таты лишь при <о>3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров- В. М. Некоторые контактные' задачи для балок, пластин w
оболочек. — Инженерный журнал, 1965, т. 5, № 4, с. 782—785.
2. Александров В. М., Шацких Л. С. Новый метод расчета изгиба цилинд-
цилиндрической оболочки на упругом цилиндре. — Изв. АН СССР. Механика твердого
тела, 1974, № 5, с. 163—166.
3. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., Наука,.
1974.—446 с.
4. Антуфьев Б. А., Шклярчук Ф. Н. К контактной 'задаче для сферической
абблочки с жестким _ включением произвольной формы. — Труды Московского
авиационного института, 1976, № 362, с. 59—62.
5. Артюхин Ю. П. Напряжения в клеевых соединениях — В кн.: Исследо-
Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 10. Изд-во Казанского университета
1973, с. 3—27.
6. Артюхии Ю. П. О решении одномерных и Ъсеснмметричных контактных
задач теории тр'ансверсальио изотропных пластин н оболочек. — Тезисы докладов
Всесоюзной научной конференции. Смешанные задачи механики деформируемого
тела, Ростов-на-Дону, 1977, ч. 2, с. 63—64.
7. Артюхии Ю. П., Карасев С. Н. Действие жесткого штампа на пологую
сферическую оболочку и пластинку. — В кн.: Исследования по .теории пластин
и оболочек. Вып. 9. Изд-во Казанского университета, 1972, с. 211—219.
8. Артюхин Ю. П., Карасев С. Н. Некоторые контактные задачи ¦ теории
тонких пластин. — В'кн.: Исследования по теории пластин н оболочек. Вып. 10..
Изд-во Казанского университета, 1973, с. 159—166.
9. Артюхин Ю. П., Карасев С. Н. Определение напряжений в пологой сфе-
рическбй оболочке при действии жесткого тела. — В кн.: Исследования по тео-
247
рии пластин н оболочек. Вып. 11. Изд-во Казанского университета, 1975, с. 159—
166. ' ' ' :¦; ." :¦":
10. Артюхии Ю. П., Карасев С. Н. Применение уточненной теории оболочек
при решении контактных задач. — В ки.: Теории оболочек с учетом попереч-
поперечного сдвига. Изд-во Казанского университета, 1977, с. 132—153.
11. Бабешко В. А., Векслер В. Е. Смешаннаи стационарная задача о мери-
диальиой аксиальио-симмётричной деформации замкнутой сферической оболоч-
оболочки. — В кн.: Расчет оболочек и пластин. Ростов-на-Доиу, .1975, с. 180—г201.
12. Блох М. В. К выбору модели в задачах о контакте тонкостенных тел.—
Прикладнаи механика, 1977, 13, № 5, с. 34^-42.
13. Блох М. В., Ващенко Н. Г., Гинц А. А. О вдавливании штампа в пря-
прямоугольную пластинку. — Прикладная механика, 1978, т. 14, № 7, с. 70—75.
14. Блох М. В., Цукров С. Я. Осесимметричный контакт тонких цилиндри-
цилиндрических оболочек, -т- В кн.: Расчет пространственных систем в строительной ме-
механике. Саратов, Саратовский университет, 1972, с. 79—82.
15. Блох М. В., Цукров С. Я- Об осесимметричном контакте тонких цилинд-
цилиндрических оболочек. — Прикладиаи механика, 1973, т. 9, № 11, с. 23—28.
16. Блох М. В., Цукров С. Я. О влиянии изменения толщины стенки иа
осесимметричный "контакт тонких цилиндрических оболочек. — Прикладная ме-
механика, 1974, т. 10, № 4, с. 31—37.
17. Бондаренко В. А. Контакт тонкостенной сферической оболочки с жест-
жестким шаром. —¦ Прикладнаи механика, 1971, т. 7, № 12, с. 51—57.
\8. Божкова Л. В. Распределение давлений в области контакта цилиндри-
цилиндрической трубы с жестким цилиндрическим основанием. — Сборник трудов МИСИ.
М., 1969, № 63, с. 90—95. .
19. Божкова Л. В., Паиеикова Т. П. О контактном взаимодействии цилинд-
цилиндрической оболочки и упругого основания. — Труды VII Всесоюзной конферен-
конференции по теории оболочек и пластинок, 1969. М., Наука, 1970, с. 88—92.
20. Божкова Л. В., Рябов В. Г. О контактном взаимодействии цилиндричес-
цилиндрического резервуара с жестким основанием. —• Сборник трудов МИСИ. М., 1974,
№118, с. 69—73.
21. Вейц В. Л., Равич-Щербо Р. Ю., Шраго Л. Г. Давление на поверхности
цилиндрической оболочки-, нагруженной рсесимметричио через жесткие элемен-
элементы. — В кн.: Вопросы механики деформируемых сред. Иркутск, .1973, с.4—15.
22. Галии Л. А. О давлении твердого тела на пластинку. — Прикладиаи
математика и механика, 1948, т. 12, № 3, с. 345—348.
23. Гнатыкив В. Н., Пелех Б. Л. О постановке и решениих контактной за-
задачи дли траисверсальио-нзотропиой пологой сферической оболочки. — В сб.:
Композиционные материалы и новые конструкции. Киев, Наукова думка, 1977,
с. 96—100.
. 24. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Цилиндрический изгиб пластины жест-
жесткими штампами. — Прикладнаи математика и механика, 1975,ч т. 39, № 5.
с. 876—883.
25. Григорович В. М. Контакт сферической оболочки с жестким штампом
при наличии сцеплении. — Прикладиаи механика, 1973, т. 9, М> 5, с. 24—30.
26. Детинко Ф. М., Фастовский В. М. Посадка короткой втулки на цилинд-
цилиндрическую оболочку. ¦—" Вестиик машиностроении, 1967, № 7, с. 42—45.
27. Детинко Ф. М., Фастовский В. М. Контактиаи задача' о посадке двух
цилиндрических оболочек различной длины. — Изв. АН СССР. Механика твер-
твердого тела, 1974, № 3, с. 118—121.
28. Детиико Ф. М., Фастовский В. М. О посадке бандажа на цилиндричес-
цилиндрическую оболочку. — Прикладная механика, 1975, т. 11, № 2, с. 124—126.
29. Зарипов Р. М., Иванов В. А. Контактные усилии между цилиндрической
оболочкой с заполнителем и упругим основанием. — Труды семинара по теории
оболочек. Казанский физико-технический институт АН СССР, 1975, № 6, с. 306—
313.
30. Ильина Л. Г. Расчет сферической оболочки, лежащей на жестком осно-
основании. — Сборник трудов МИСИ. М., 1974, № 118, с. 73—79.
31. Иосилевич Г. Б. Упругий контакт пластин. — Труды Уфимского авиа-
авиационного-института, 1971, № 31, с. 84—88. ' .
248
32. Карасев С. В. Цилиндрическая оболочка, лежащая на жестком ложег
менте. Сборник аспирантских работ Казанского университета. Точные науки. Ма-
Математика. Механика. Казань, 1976, с. 119—124.
33. Карасев С. Н. Контактная задача для тонкого кольца. Сборник аспи-
аспирантских работ Казанского университета. Точные науки. Математика, Механика.
Казань, 1976, с. 91—97.
34. Карасев С. Н., Артюхин Ю. П. Контактное взаимодействие пластин с
жесткими телами. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 11.
Изд-во Казанского университета, 1975, с. 148—159.
35. Карасев С. Н., Артюхин Ю. П. Влияние поперечного сдвига и обжатия
па распределение контактных напряжений. — В кн.: Исследования по теории
пластин и оболочек. Вып. 12. Изд-во Казанского университета, 1976, с. 68^—76.
36. Карпенко Т. Н. Задача о контактном взаимодействии цилиндрической
оболочки с жестким штампом. — . Химическое машиностроение. Республикан-
Республиканский межведомственный научно-технический сборник, 1975, № 22, с. 6—14.
37. Карпенко Т. Н. Контактная задача для цилиндрической оболочки ко-
конечной длины. — Прикладная механика, 1976, т. 12, № 6, с. 70—75.
38. Карпенко Т. Н. Контактное взаимодействие цилиндрической о'белочки с
абсолютно жестким ложементом. — Химическое машиностроение. Республикан-
Республиканский межведомственный научно-технический сборник, 1977, № 25, с. 9—12.
39. Клейн Г. К. Расчет труб, уложенных в земле. М., Госстройиздат, 1957,
195 с. . ' - .
40. Ковнеристов, Г. Б. Взаимодействие штампа и балочной плиты. —¦ Респуб-
Республиканский межведомственный научно-технический сборник «Сопротивление ма-
материалов и теория сооружеиий>, 1975, вып. 25, с. 165—171.
41. Ковнеристов Г. Б. Осесимметрнчная контактная задача для цилиндричес-
цилиндрической оболочки. — Республиканский межведомственный научно-технический сбор-
сборник «Сопротивление материалов и теория сооружений», 1975, вып. 27, с. 119—
124. ¦ .
42. Кращук А. А. К расчету пологой цилиндрической оболочки, лежащей на
упругом основании. — Труды Сиб. НИИ метрологии^ 1971, № 13, с. 36—44.
43. Кращук А. А. Зависимость между жесткостями системы «оболочка —
упругое основа'ние». — Труды Сиб. НИИ метрологии, 1971, № 13, с. 53—57.
44. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. Изд. 2, М., Наука,
1967. 500 с.
45. Лукаш П. А., Леонтьев Н.. М. Расчет сферической оболочки, опираю-
опирающейся на жесткое основание. — Инженерный сборник, 1959, т. 25, с. 154—163.
46. Мухадзе М. Г. Об одном решении задачи изгиба тонкого стержня по
лекалу. — Сообщение АН Груз. ССР, 1977, т. 85, № 3, с. 645—648.
47. Панасюк В. В., Теплий М. И. Деям контактщ задач1 теорн пружност!.
Ки1в, Наукова Думка, 1975. 195 с.
48. Пелех Б. Л. Некоторые особенности постановки и решения контактах
задач о взаимодействии упругих цилиндрических оболочек с твердыми жест-
жесткими телами. — В кн.: Избранные проблемы прикладной |6еханики. М., 1974,
с. 559—5В6.
49. Пелех Б. Л., Мамчур И. Л. Об одной контактной задаче для трансвер-
сально изотропной цилиндрической оболочки конечной длины. — Прикладная
механика, 1973, т. 9, № 6, с. 41—46.
50. Пелех Б. Л., Сысак Р. Д. О давлении твердого тела на трансверсально
изотропную пластинку, связанную с упругим основанием. — Изв. АН Арм. ССР.
Механяка, 1970, т. 23, № 3, с. 36—42.
51. Пелех Б. Л., Сысак Р. Д. О контактных задачах для балок и пласти-
пластинок с низкой сдвиговой жесткостью. — Механика полимеров, 1970, № 4, с 715—
720.
52. Пелех Б. Л;, Сысак Р. Д. К .вопросу о горячей посадке бандажа на ци-
цилиндрическую оболочку. — ФХММ, 1971, № 4, с. 94—96.
53. Пелех Б. Л., Сысак Р. Д. Про одну контактную задачу пружно! плас-
пластинки. — ДоповШ АН УРСР, 1972, А. №3, с. 253—257.
54. Пелех Б. Л., Сысак Р. Д. Об одном классе контактных задач для тон-
тонких анизотропных пластинок из армированных пластиков. — Механика поли-
полимеров, 1972, № 2, с. 346—350.
249
55. Пелех Б. Л., Сухорольский М. А. Взаимодействие системы жестких глад-
гладких штампов с упругими цилиндрическими оболочками из армированных плас-
пластиков. — Прикладная механика, 1974, т. 10, № 4, с. 26—30.
56. Пелех Б. Л., Сухорольский М. А. К решению задач об упругом кон-
контакте цилиндрических оболочек. — Прикладная механика, 1974, т. 10, № 8,
2630
57. Пелех Б. Л., Сухорольский М. А. Некоторые осеснмметричиые контакт-
контактные задачи дли упругих ортотропных цилиндрических оболочек из армирован-
армированных пластиков. — Механика полимеров, 1976, № 4, с. 667—670.
58. Пелех Б. Л., Сухорольский М. А. Некоторые осесиммстричные контакт-
контактные задачи для упругих ортотропных цилиндрических оболочек из армирован-
армированных пластиков. — Механика полимеров, 1976, № 5, с. 860—863.
¦ 59. Пельц С. -П. Одна задача об изгибе пластин.—'Изв. Северо-Кавказского
центра высшей школы. Сер. естественных-иаук, 1975, № 4, с. 12—15.
60. Питько В. .Р. Решение некоторых задач для сферической оболочки. — В
кн.: Строительная механика и расчет сооружений, 1973, № 6, с. 21—26.
61. Попов Г. Я. Об интегральных уравнениях контактных задач для топко-
стенных элементов. — Прикладная математика и механика, 1976, 40, № 4, с. 662—
673.
62. О методе ортогональных многочленов в контактных задачах теории уп-
ругостн. — Прикладная математика и механика, 1969, т. 33, №3, с. 518—531.
63. Рбзенберг Л. А. О давлении твердого тела на пластинку, — Инженерный
'сборник, 1955, 21, с. 151—155.
64. Саркисян С. О. О цилиндрическом изгибе пластинки жесткими штампа-
штампами. — Доклады АН Арм. ССР, 1977, вып. LXIV, № 4, с. 216—223.
65. Смирнов Е. А, Контактная задача для кольца, лежащего в .жесткой
обойме. — Труды МВТУ им. Н. Э. Баумана, 1977, 241, с. 81—88.
66.. Соболев Ю. В., -Красиовский Е. И. Локальное иагружеиие металличес-
металлической сферической оболочки жестким штампом. Изв. вузов. Строительство н ар-
архитектура. 1976, № 2, с. 46—52.
67. Соболев Ю. В., Красновский Е. И. Местное нагружение сферической обо-
оболочки радиальным Сдавливанием -жесткого штампа. — Строительная механика
и расчет сооружений, 1976, № 5, с. 11—14.
68. Сухорольский М. А., Матиешин Д. Д. Эффективные решения одного
класса контактных задач для анизотропных цилиндрических оболочек. — В кн.;
Композиционные материалы н новые конструкции. Киев, Наукова Думка, 1977,
с. 115—П9.
69. Толкачев В. М. Контактиаи задача для сферической оболочки. — В ки.:
Теория пластян и оболочек. М., Наука, 1971, с. 271—277.
70. Филоненко-Бородич М. М. Изгиб тонкого стержня по заданной кривой.—
Труды Московского электромеханического института, инженеров железнодорож-
железнодорожного транспорта. М., Трансжелдориздат, 1949, вып. 58, с. 3—10.
71. Фнлоненко^Бороднч М. М. Теория упругости. Изд. 4-е. М., Физматгиз,
1959. 364 с.
72. Bogy D. В. The shrink-fit of a cylindrical shell into a discontinuous rigid
mangrel. — Transactions ASME, 1974, E4l, N 4, p. 959—962.
73. Dasgupta 0., Kelly J. M. Analysis of localized dinamic Contact on structures
using matched asymptotic expansions.'—Journal Structures Mechanics, 1978", 6A).
p. 29—44.
74. DeSilva С N., Tsai P. J. On the contact problem of thin elastic shells.—
Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1969, 49, N 5, S. 267—273.
75. Essenburg F. On a class of nonlinear axisymmetric plate problems. Tran-
Transactions of the ASME. Series E. — Journal of Applied Mechanics, I960, 27, N 4,
p. 677—680. t ¦ ¦
76. 'Essenburg F. On surface constraints in plate problems. Transactions of the
ASME, Series E. — Journal of Applied Mechanics, 1962, 29, N 2, p. 340—344.
(Русский перевод: Эосеибург Ф. О принудительно изогнутых пластинах. — Прик-
Прикладная межаника. Серия Е, 1962, 29, № 2, ИЛ, с. 136—140).
77. Essenburg F., Gulati S. t. On the contact of two axisymmetric plates. —
Paper of ASME, 1965, N APMW-26. (Русский перевод: Эссенбург Ф., Гула-
250 ¦ ¦ . .
та С. Т. О контакте двух осесиммерричных пластинок. — Прикладная мехаиика.
Серия Е, 1966, № 2, ИЛ, с. 91—97). .
78. Girkmann К. Formanderung eines kfeisformigen, auf ebener Unterlage aiif-
ruhenden Behalterbodens durch Flussigkeitsdruck. — Der Stahlbau, 1931, 4,
S. 205—209. ¦
79. Hofmann R. Ober ein nichtlineares Problem der Plattenstatik. — Zeitschrift
fur ange*randte Mathematik und Mechanik, 1938, 18, S. 226—232.
80. Hill L. R., Cakmak A. S.,,Mark R. Shrink fit of a thick-walled cylinder
with contact shear. — Transactions of the ASME, Series E, Journal of Applied
Mechanics, 1968, 35.N4, p. 729—736. (Русский перевод: Хилл Л. Р., Кэкмак А. С.*_
Марк Р. Горячая посадка иа толстостенный цилиндр при наличии контактных
усилий.сдвига. Прикладная механика, 1968, 35, № 4,' ИЛ, с. 117—124).
81. Кеег L. M,. Silva M. А. О. Bending of a cantilever braught gradually into-
contact with a cylindrical supporting surface. — International Journal Mechanical.
Sciences. Pergamon Press, 1970, 12, p. 751—760.
82. Kulkarni S. V., Frederick D. The contact problem of two coaxial cylindrical
shells. — International Journal Mechanical Sciences, 1973, 15, N 5, p. 367—379.
83. Laing Barden. Contact pressures binder circular slabs. — Structures Engi-
Engineering, 1965, 43, N 5, p. 153—154.
84. Naghdi P. M. On the theory of thin elastic shells. — Quarterly of Applied
Mathematic, 1957; 14, N 4, p. 369—380.
85. Sneddon 1. N., Gladwell O. M. L., Coen S. Bonded contact of an infinite
plate and an elastic foundation. —' Letters in applied and engineering sciences,
1975,3, p. 1—13. ' ¦ .
86. Timoshenko S. -P., Lessels J.'M. Applied elasticity.' Westighouse. techni-
technical nigth school press. East Pittsburgh,' Pa., 1925. 544 p. (Перевод на русский
язык: С. П. Тимошенко и Дэк. Лессельс. Прикладная теория упругости. Посо-
Пособия для ВТУзов и специалистов. Л., Тостехиздат, 1930. 392 с; М.—Л., Гос-
техиздат, 1931. 392 с). . ' " ¦
87. Timoshenko S. P., Woinowsky-Kriger S. Theory of plates and shells. 2
edition. New-York — Toronto — London, McGraw-Hill book Co., Inc., 1959. (Пе-
(Перевод на русский язык: Пластинки и оболочки. М., Физматгиз, 196$, 635 с.).
88. Tooth A. S., Duthie С. Discussion on the paper «Stresses and deformati-
deformations in a cylindrical shell lying an a continuous rigid support» by R. Vinet and
R. Dore. Alftor's reply. — Transactions of the ASME, Series E. Journal of Appli-
Applied Mechanics, 1975, 42, N 4, p. 908. ;
89. Updike D. P., Kalnins A. Contact pressure between an elastic spherical
sheels and a rigid plate. — Transactions of the ASME, Series E. Journal of
Applied Mechanics, 1972, 39, N4, p. 1110—1114. _ "
90. Vinet R., Dore R. Stresses and deformations in a cylindrical shell lying
on a continuous rigid Support. — Transactions of the ASME. Series E Journal
of Applied Mechanics, 1974, 41, N 4, p. 969—973.
Глава 6
МАТРИЦА ГРИНА ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ОБОЛОЧКИ
6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В шестой главе дается решение уравнений равновесия цилиндрической обо-
оболочки в перемещениях при воздействии сосредоточенных сил. Эти решения ис-
используются как функции Грина при рассмотрении произвольных внешних нагру-
нагрузок. Они будут ядрами интегральных уравнений при формулировке контактных
задач в гл. 8 н 9. Материал главы размещен следующим образом. В разд. 6.2
приведены основные соотношения теории тонких цилиндрических оболочек: урав-
уравнения равновесия, соотношения между обобщенными усилиими и моментами с
одной стороны и деформациями срединной поверхности — с другой, соотношения
между деформациями и смещениями, записана система уравнений равновесии в
перемещениях, которая является разрешающей системой. В том же разделе дано
общее интегральное представление решения уравнений равновесия с помощью
матрицы Грина. Матрица Грина, в свою очередь, определяется .с помощью раз-
разрешающей (скалярной) функции Грияа, через которую в конечном счете выра-
выражаются деформации, смещения, удельные усилия и моменты в срединной поверх-
поверхности оболочки. Во втором разделе дано фундаментальное решение основного
разрешающего уравнения для функции Грина. Это решение представлено в виде
тригонометрического ряда по окружной координате," коэффициенты ряда записа-
записаны в удобном для расчета тригонометрическом виде (исключена неудобная в вы-
вычислительном отношении процедура деления больших чисел). Подобное решение
получается путем использования интеграла Фурье для решения обыкновенных
дифференциальных уравнений по продольной координате, получающихся после
разделения переменных. Это решение впервые получено С. Юанем (87] A946 г.)
для теории пологих оболочек и В. М. Даревским [21] A950 г.) для непологих.
Компоненты матрицы Грина для мембранных усилий и изгибающих моментов в
оболочке могут неограниченно возрастать в окрестности точки приложения сосре-
сосредоточенного фактора. Возникает потребность выделения таких неограниченных ре-
решений, которые в контактных задачах определяют структуру интегральных урав-
уравнений. Неограниченная часть решения, названная главным значением, впервые
для цилиндрической оболочки получена в работе В. М. Даревского [21]-A950 г.).
В этой статье показано, что главное значеаие получается, если в разрешающем
уравнении для функции Грина оставить только старшие производные. Выделению
главного значения для компонентов матрицы Грина посвящен разд. 6.4. В разд.
6.5 дается исследование сходимости рядов, полученных после выделения главной,
расходящейся части. Этот вопрос исследован нами путем сведения задачи к ана-
анализу некоторого интегрального уравнения. Оказалось, что при использовании
теории пологих оболочек после выделения главного значения ряды начинают схо-
сходиться как 1//г*+4, если до выделения они сходились как 1//г* (п — номер члена
ряда). В разд. 6.6 дано построение функции Грина для свободно опертой на
торце полубесконечной оболочки и для свободно опертой оболочки конечной
длины. Для построения эффективно используется метод отображения, с помо-
помощью которого, например, функция Грина для полубесконечной оболочки полу-
получается путем суммирования или вычитания двух функций Грина для бесконеч-
бесконечной оболочки. Для оболочки конечной длины берется суперпозиция бесконечного
числа фундаментальных решений, каждое из которых, в свою очередь, выража-
выражается тригонометрическим рядом. Получается двойной ряд. Однако в отличне от
252
обычного двойного тригонометрического ряда получаемый ряд очень быстро схо-
сходится (ряд по экспонентам). Описанный прием использован С. Юанем [87].
В отечественной и зарубежной литературе вопросу расчета оболочек при ло-
локальных (действующих по малым площадкам, отрезкам линий) и сосредоточен-
сосредоточенных нагрузках посвящено значительное число исследований. Обзор исследований
дан в статьях В. М. Даревского [25], Ю. П. Жигалко [26], а работы казанских
ученых отдельно освещены в обзоре К- 3. Галимойа и Р. Г. Суркииа [11J Поэто-
Поэтому остановимся лишь иа основных этапах исследований в этой области.
По-видимому, первая работа^ в которой была рассмотрена цилиндрическая
оболочка с локальной нагрузкой, относится к 1933 г. и принадлежит Гансу Рейс-
снеру [83]. Решение строилось для свободно опертой оболочки в двойных триго-
тригонометрических рядах. В 1946 г. появилась известная работа С. Юаня [87], в ко-
которой иа основе уравнений теории пологих оболочек были получены прогнбы бес-
бесконечной длинной круговой цилиндрической оболочки, загруженной самруравио-
вешеииой системой двух радиальных сосредоточенных сил и сосредоточенных мо-
моментов. Здесь же были найдены прогибы оболочки конечной длниы путем прило-
приложения к бесконечной длинной оболочке периодической системы самоуравиовешеи-
иых радиальных сил с шагом, равным длине оболочки, и суммированием решений
от указанных сил. В указанной работе С. Юань применил разложение решения в
ряд Фурье по окружной н интеграл Фурье по продольной координате, в резуль-
результате чего впервые получил решение в одинарных рядах. К упомянутой задаче
Юань возвращался в совместных с Л. Тиагом статьях [88, 86], в первой из них
были использованы уравнения В. Флюгге и было показано, что прогибы, найден-
найденные из теории пологих оболочек и уравнений В. Флюгге, хорошо согласуются для
ие слишком длинных оболочек (ifRt^W). Для бесконечно длинных оболочек
расхождение'до 25%. Во второй работе [86] рассмотрена свободно опертаял за-
защемленная оболочка, исходя из уточненного варианта уравнений пологих оболо-
оболочек [68]. Показано, что решение для прогиба не слишком длинных оболочек су-
существенно зависит от граничных условий. Разобранную С. Юанем задачу решал
также Л. Морлей [81] исходя из им же полученного.уравнения.
Важные исследования цилиндрических оболочек с локальными и сосредото-
сосредоточенными нагрузками выполнены в работах В. М. Даревского [21, 23, 24, 25] с по-
помощью упомянутого метода, использованного впервые С. Юанем [87]. Им изучено
воздействие на оболочку произвольно направленных внешних усилий и моментов,
равномерно распределенных по малым прямоугольным площадкам, малым от-
отрезкам образующих и дуг окружности, а также сосредоточенных сил и момен-
моментов. Исходя из уравнений в форме А. Лява [74] автор получил общие соотноше-
соотношения, необходимые для вычислений перемещений, усилий и моментов в оболочке. •
В. М. Даревским выделена главная, неограниченно возрастающая в окрестности
точек нагружеиия часть решения, которая выражается) конечной комбинацией
элементарных функций. Такое выделение-позволяет существенно улучшить.схо-
улучшить.сходимость рядов и получить асимптотические формулы для усилий и моментов в
окрестности точек приложения сосредоточенных сил. Интегрированием асимпто-
асимптотических формул можно получить соответствующие выражения при локальном
нагружении и выявить особенности решения у концов линий иагружеиия или в
угловых точках площадок нагружеиня. Такие исследования выполнены в работе
Э. И. Григолюка и В. М. Толкачева [13], где получены асимптотические формулы
для мембранных усилий в оболочке, загруженной по" отрезку образующей произ-
произвольными продольными и окружными тангенциальными погонными усилиями.
Асимптотические формулы получены для случая ограниченных иа концах отрез-
отрезка нагрузок и неограниченно возрастающих, имея корневую особенность. Такимл
неограниченными усилиями являются реакции в контактных задачах. Асимптоти-
Асимптотические формулы для усилий и моментов при загружении оболочки по прямо-
прямоугольным площадкам получены В. М. Даревским [24]. В исследовании В. М. Да-
Даревского [25] даны рекомендации по выбору величины 'накладок иагруженяя.
. Наиболее полные численные результаты по напряжениям и перемещениям в
свободно опертой круговой цилиндрической оболочке были найдены в 1954—
1955 гг. П. Бижляром [64, 65, 66] с использованием -двойных тригонометрических
рядов, в которых удерживалось большое число членов. Им проанализировано
влияние различных видов нагрузок, приложенных по прямоугольным площадкам
и отрезкам линий к круговой цилиндрической оболочке.
253
Большие численные расчеты для изотропной цилиндрической оболочки при
различных сосредоточенных нагрузках, главным образом, с помощью двойных ря-
рядов выполнены в последнее время в работах японских ученых К. Мндзогути,
X. Сиота, К. Сиракава [79].
Оригинальный подход к расчету свободно опертых'круговых цилиндрических
оболочек при сосредоточенных нагрузках, приложенных по отрезкам образую-.
щих, предложен в работе Н. Хоффа, У. Кемпн'ера, Ф. Пола [71] A954 г.). Обо-
Оболочка интерпретируется как бесконечнолистьая поверхность (рулон), которая
после разворачивания превращается в бесконечную полосу, загруженную с ша-
шагом 2я по окружной координате. Решение ищется в тригонометрических рядах
по продольной координате (ширине полосы), а по окружной берется суперпози-
суперпозиция непериодических решений от каждой нагрузки. Каждое такое решение стро-
строится методом разрезания полосы по ширине в месте нагружения. Таким образом,
можно получить периодическое решение.
Двойное преобразование Фурье для построения локальных иепернодических-
решений при рассмотрении как цилиндрических, так и сферических оболочек эф-
эффективно использовано В. П. Шевченко [60, 61], Шевляковым Ю. А. и Ю. П. Шев-
Шевченко [56, 57, 58, 59]. Решение удается получить в ряде случаев в явном виде с
помощью модифицированных функций Бесселя и функций Кельвина.
Среди работ, посвященных расчету изотропных сферических оболочек при
сосредоточенных нагрузках, следует упомянуть работы В. Койтера [72] A963 г.),
С. Лукашевича [75] A967 г.), Ю, А. Шевлякова и В. П. Шевченко [56, 57J.
В. Койтер [72] получил решение задачи о равновесии оболочки, нагруженной в
диаметрально противоположных полюсах радиальными силами, с пойощью функ-
функций Лежандра в явном виде, исходя из уравнений непологих оболочек. В зоне
полюсов получены чрезвычайчо простые асимптотические формулы С. Лукаше-
Лукашевич [75] дал решение для пологой сферической оболочки при действии нормаль-
нормальной сосредоточенной силы и нормального еосреточенного момента также в замк-
замкнутом виде. Решение найдено с использованием двойного преобразования
Фурье в полярных координатах и выражено через функции Томпсона. Аналогич-
Аналогичный прием использовали Ю. А. Шевляков и В. П. Шевченко [57, 56]. В первой
работе ими решена та же задача, что и в цитированной статье С. Лукашевича,
однако решение получено на три года раньше, во второй статье ими рассмотрена
ие только нормальная, но и тангенциальные сосредоточенные силы.
B. В. Новожилов и К. Ф. Черных [37], Г. Н. Чернышев [48] A963 г.) выде-
выделили характер особенностей решения при действии сосредоточенных нагрузок на
произвольную изотропную тонкую оболочку и получили асимптотические форму-
формулы для 'неограниченно возрастающих в окрестности точек нагруження величин.
Таким образом, были обобщены результаты В. М. Даревского на произвольную1
оболочку. В' последующих работах Г. Н. Чернышева [49, 50, 51, 52, 53, 54] разви-
развивается асимптотический метод построения решений для пологих оболочек произ-
произвольного очертания. При этом существенно используется метод плоских волн, поз-
позволяющий двухмерную задачу свести к одномерной и последующему выполне-
выполнению квадратур. Решение получается в виде рядов по полиномам от полярного ра-
радиуса. Появляющиеся в решении особенности, не соответствующие физической
сущности решения, устраняются при сложении безмоментного решения и быстро'
меняющегося моментиого.
В работе К- Форсберга и В.- Флюгге [70] A966 г.) дано решение для оболоч- '
ки типа эллиптического параболоида при нормальной сосредоточенной силе. Син-
Сингулярное решение строится в виде ряда по "косинусам полярного угла. Решения
для каждого коэффициента ряда разложено тю сте'пеням параметра, характери-
характеризующего форму параболоида. Коэффициенты степенного ряда определены через
модифицированные функции Бесселя из рекуррентных, дифференциальных урав-
уравнений. .
C. Лукашевич [76] получи^ решение для пологой оболочки положительной
кривизны при иагружении радиальной и тангенциальной сосредоточенной силой и
сосредоточенным моментом. Задача исследуется с помощью интегралов Фурье в
полярных координатах. Решение дано в рядах, члены которых представлены ин-
интегралами от выражений, содержащих, функции Томпсона. Для оболочек, близ-
близких по форме к сферическим, даны приближенные замкнутые формулы, из кото-
которых в пределе получаются точные для сферы.
254 .
Отметим еще интересную статью И. Сандерса [85] A970 г.), которая посвя-
посвящена построению фундаментального решения уравнений нологой оболочки, по-
поверхность которой описывается квадратичной функцией. Рассмотрены случаи
нормальных и тангенциальных сосредоточенных сил и .моментов, а также случаи,
когда вместо сосредоточенных сил имеются дислокации. Это, вероятно, первая-
работа, в которой решение при наличии сосредоточенных сил и дислокаций рас-
рассматривается с единых позиций. Непологая изотропная оболочка, нагруженная
радиальной сосредоточенной силой, разобрана Н. Г. Гурьяновым [19].
Из исследо-ваний, посвященных краевым сосредоточенным нагрузкам, отме-
отметим результаты И. Л Шарииова |55] A955 г.), С. Лукашевича [77] A969 г.),
Д. Эльмса [69] A969 г.). В работе [77] путем разложения решения в интеграл
Фурье по координате, совпадающей с краем, рассмотрены пологие оболочки при'
тангенциальных (нормальных к краю) и радиальных сосредоточенных силах, а
также изгибающих сосредоточенных моментах. Подробно рассмотрен случай
радиальной нагрузки. Показано, что прогиб под силой на краю, йдпример для
полубесконечной цилиндрической оболочки, относится к прогибу бесконечной
длинной оболочки как 5,03 : 0,709. Изгибающий момент, нормальный к краю,
имеет особенность типа 1/г, а изгибающий момент, направленный вдоль края,—
особенность типа In г (г — расстояние до точки иагружения). В работе Д. Эльм-
Эльмса даны многочисленные графики для напряжений и смещений в оболочках
вращении, нагруженных на торце осевыми сосредоточенными силами. Вопросу по-
лучеиня асимптотических формул для цилиндрической оболочки, нагруженной на
части торца осевыми и окружными силами, посвящена работа И. Л. Шарииова
15,51. Найдены также асимптотические формулы нри (сосредоточенных воздейст-
воздействиях. Показано, что характер особенности решения ие меняется по сравнению со
случаем,, когда подобные силы приложены вдали от края. Лишь касательное *
усилие при осевой силе и продольное усилие при действии окружной снлы стано-
становятся ограниченными. Следует отметить, что масштаб особенностей при дейст-
действии краевых нагрузок возрастает. • •
Вопросу расчета ортотропных оболочек при локальных нагруках посвящены'
работы Ю. П. Артюхина, Ю. П. Жигалко, А. С. Христенко. В частности, в работе
А. С. Христенко [44] обобщены результаты В. М. Даревского на ортотропную ци- •
линдрическую'оболочку, получены асимптотические формулы. Аналогичные вц-
ражения установлены Ю. П. Артюхиным. В работе А. С. Христенко [45] даиы
. асимптотические формулы при действии иа ортотропную оболочку равномерной
нагрузки по дуге окружности или отрезку образующей, в работе [46] — при дей-
действии нормальной сосредоточенной силы и момента на краю цилиндрической обо-
оболочки. Этот же вопрос обсуждался • А. С. Христенко л Т. А. Юрченко [47].
Ю. П. Артюхин- [2] в комплексном виде нашел уравнения для многослойной ор-
тотропной оболочки. Для пологих оболочек систэд^ сведена к одному уравнению.
Здесь же. изучена сферическая многослойная оболочка под действием радиаль-
радиальной сосредоточенной силы, однослойная ортотропиая цилиндрическая оболочка
под действием радиальной сосредоточенной силы. Решение для цилиндрической
оболочки получено в тригонометрических рядах по окружной координате, для
сферической — в вцде ряда по полярному углу. В явном-виде с помощью функ-
функций Хаикеля для сферической ортотропной оболочки осесимметричное решение
получено Ю. П. Артюхиным [4, 6], причем в статье F] рассмотрена также кони-
коническая оболочка, нагруженная в полюсе. В статьих Ю. П. Артюхина, Ю. П. Жи-
Жигалко и Г. М. Сальникова [8], а также В. В. Васильева [9] круговая цилиндриче-
цилиндрическая оболочка из ортотропиого стеклопластика при действии радиальной сосре-
сосредоточенной силы рассчитывается с учетом поперечного сдвига. В первой из них
оболочка многослойная, во второй однослойная. Ю. П. Артюхии и А. В. Саченков
[7] установили аналогию, согласно которой решение некоторых задач для орто-
тропиых пластин и оболочек может быть получено из соответствующих решений
для изотропных. •> , - • .
В заключение укажем иа исследования экспериментального характера. Это
работы Н. Г. Гурьянова и Ю. Г. Коноплева [20], Ю. Г. Коиоплева [32], К). Г. Ко-
ноплева и А. В. Сачеикова [31], М. В. Никулина [35], Г. Демира и Д. Дркжера
[67], М.,Беиисека [63], К. Маигельсдорфа [78], А. Морриса [82].
255
6.2. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
При решении сформулированных ниже контактных задач будем
пользоваться вариантом технической /теории оболочек, а также
теорией пологих оболочек [36]. Выпишем здесь без вывода основ-
основные соотношения теории.
1. Уравнения равновесия
F.1)
<Щ21
дМ2
—
Здесь Ти Т2, Тц, Tn^Qu Q2 — удельные усилия, отнесенные к
линиям кривизн в срединной поверхности оболочки; М\, Мц, М^,
Щ\—удельные моменты; <7i*,, «72*, <7з*—распределенные поверх-
поверхностные усилия; /?—^радиус срединной ^поверхности; ?, ф — про-
продольная и окружная координаты, отнесенные к радиусу R. Поло-
Положительное направление введенных величин и нормали п показано
на рис. 6.1 и 6.2.
Вместо удельных касательных усилий Tl2, T2i и удельных кру-
крутящих моментов вводятся их комбинации, обеспечивающие выпол-
выполнение шестого уравнения равновесия малого элемента оболочки:
=¦'21» п= . F.2)
o Jn21» п
Соотношения обобщенного закона Гука принимаем в виде
fis=^B<», tf = (l-v)Dr. F-3)
2
Рис. 6.1. Положительное направление усилий, действующих на элемент средин-
срединной поверхности цилиндрической оболочки радиуса R (% и ф — соответственно
продольная и окружная координаты, отнесенные к радиусу R; п — нормаль к
срединной поверхности)
Рис. 6.2. Положительное направле»ие моментов и перемещений элемента средин-
срединной поверхности оболочки
256 , -
Здесь B=Eh/(l—v2); Z)=?7i3/12(l—v2); E, v, h — соответственно
модуль упругости, коэффициент Пуассона и толщина оболочки; &i,
?2, ю — относительные деформации срединной поверхности оболоч-
оболочки; ки «2, *—параметры изменения кривизны н кручения средин-
срединной поверхности оболочки.
Соотношения между деформациями и перемещениями средин-
срединной поверхности (геометрические соотношения) берем в форме
I ди 1 / dv I \ 1 / dv , ди \
е1= , ?2= — J \-w), ю=—I 1——),
1 d^w 1 д ( dw \ №*)
R2 д& R2 ду \ df )
#2 д
Положительное-направление перемещений показано на рис. 6.2.
При использовании теории пологих оболочек в выражениях для
«г и т отбрасывается слагаемое с окружным перемещением сре-
срединной поверхности v.
Если исключить из первых трех уравнений равновесия F.1) по-
поперечные силы Qi и Q2, определив их из двух последних ypaBHeHnif,
и воспользоваться соотношениями F.2), то систему уравнений рав-
равновесия можно записать следующим образом:
dS . дТ2,2 дНш , 1 дМ2
В дальнейшем везде будем исходить из системы уравнений рав-
равновесия в перемещениях, которая получится из предыдущей, если
удельные усилия и удельные моменты выразить через . перемеще-
перемещения, согласно F.3) и F.4). Эта система может быть записана в
матричной форме
i/y+.fV=o, b=J^-2. F.*)
Здесь U=(u, v, ад)— вектор перемещений; 9*=(<7i*> <7г*»
—^з*) — вектор заданных поверхностных усилий; L — матрица
дифференциальных операторов L={Lij} с компонентами
3136 2S7
F.6)
Эта матрица симметричная. Матрица для теории пологих обо-
ободочек получится, если отбросить подчеркнутые слагаемые. При
этом, как отмечалось выше, в соотношениях F.4) для хг и т сле-
следует отбросить слагаемое с v.
Частное решение уравнения F.5) может быть записано в виде
ii>vi)dMVb F-7)
где матрица G есть частное решение уравнения
LG (?,?) = 18F)8D»); F.8)
•L — матрица F.6); I — единичная диагональная матрица; б(|),
й(ф) —дельта-функции. Интеграл берется по всей поверхности обо-
ободочки.
В справедливости представления F.7) можно убедиться, подей-
подействовав на его обе части оператором L.
Обозначим через U матрицу алгебраических дополнений для
матрицы L. В силу симметрии "матрицы L матрица ^ также будет
симметричной и, таким образом, будет совпадать с транспониро-
транспонированной к ней матрицей. Обозначим еще через D\ определитель
матрицы L и будем искать решение уравнения F.8) в виде
0=1!®!, . F.9)
где <ui — некоторая неизвестная скалярная функция.
Теперь в силу известного из теории матриц равенства Ll=lDi
решение матричного уравнения F.8) сведется к решению скаляр-
скалярного уравнения
Для удобства нормировки вместо этого уравнения будем ре-
решать уравнение
О*Ф (?, <р) = 8 (?) 8 (<р). F.10)
Здесь ¦ /)*=: -—, ф = ф,—i
«2A—V) ' 2
С учетом этих обозначений и формулы F.9) решение F.7) мо-
можем окончательно записать в виде
„_ 2A-.
при этом матрица 1 получается делением U на a2=h2/l2R2.
Итак, частное решение уравнения F.5) при произвольных внеш-
внешних нагрузках сводится к определению фундаментальной скаляр-
скалярной функции Ф из уравнения F.10).
Для получения общего решения уравнения F.5) к F.11) нужно,,
естественно, присоединить решение однородного уравнения L?/=0,
При однородных граничных условиях в виде F.11) можно записать
в принципе и решение граничной задачи, найдя решение уравне-
уравнения F.11) при соответствующих граничных условиях. Однако здесь,
этого делать не будем, так как большей частью будут решаться
задачи для бесконечно длинной оболочки. При необходимости на
этом вопросе мы остановимся в соответствующем месте. Если гра-
граничные условия неоднородные, то решение граничной задачи в ви-
виде F.11) записать нельзя — появятся внеинтегральные слагаемые.
Оператор D* в уравнении F.10;), соответствующий матрице
F.6), имеет вид
«2 d? ^щ ??
^^^ F.12)
Для теории пологих оболочек он примет вид
Компоненты матрицы 1, входящей в представление F.11),-име-
F.11),-имеют вид
!— V4 + vB — v) \-v ,
й?а92 V d?3 J
1 _ v
4 —3v+ y2
~2a2~ lU — lff
При использовании теории пологих оболочек подчеркнутые в
F.14) слагаемые отбрасываются. Это закономерно для напряжен^
9* 259
но-деформированного состояния с большим порядком изменяемо-
изменяемости, когда основной вклад вносят операторы наивысшего порядка.
Согласно F.14) к ним добавляются только операторы более низ-
низкого порядка, но зато с большим множителем 1/а2.
Чтобы записать представление типа F.11) для деформаций,
нужно к решению F.11.) применить операторы F.4), а для удель-
удельных усилий и удельных моментов—формулы F.3). Соответствую-
Соответствующие представления компактно можно записать в матричной форме
2A
Eh
Eh
2A
F. 15)
Здесь-введены векторы деформаций, усилий и моментов
. T=(TU T2, S), М = {Мй М2, Н),
F.16)
4*= (<7ь <7г, —<7з) — вектор заданных поверхностных усилий.
Дифференциальные операторы — матрицы, е, х, Т, М, воздейст-
воздействующие под интегралами F.15) на основную разрешающую функ-
функцию Ф=Ф(?—gi, ф—нрц), имеют вид
sll> S12> S13
е21> е22> е23
(О,, (О2, (О3
' 11» ' 12, ' 13
7^21, 72, 73.
с с с
*12»
*22>
*13
F- 17)
М==
М22,
н2,
Поясним физический смысл компонентов матрицы 1Ф F.14),
входящей в представление F.11), и компонентов матриц еф и т. д.
в представлении F.15). Компонента 1ц, воздействующая на функ-
функцию Ф, — это с точностью до множителя, стоящего перед интегра-
интегралом F.11), перемещение точки (g, <p) поверхности оболочки в
направлении г'-й координаты от единичной сосредоточенной силы,
приложенной в точке (?ь фи) в направлении /-й координаты. Нап-
Направления i, /=1, 2, 3 соответствуют координатам g, ф и нормали п
соответственно. Симметричность матрицы 1 соответствует согла-
согласию с принципом взаимности перемещений. Аналогичный физиче-
физический смысл имеют матрицы деформаций, удельных "усилий и удель-
удельных моментов F.17). Первый индекс обозначает наименование де-
260
формации или удельных усилий, второй — направление действия
силы. Индекс у со, т, S, Н обозначает направление действия силы.
Компоненты матриц A6.17) вычисляются по следующим выра-
выражениям, вытекающим из соотношений F.4) и F.3):
н **__<?»., F.18)
^2/=4} + v*i/ (y = 1,2, 3)
Выпишем некоторые частные случаи представлений F.15), ко-
которые понадобятся в дальнейшем при решении контактных задач.
1. По отрезку дуги окружности поперечного круга" ?=?о на уча-
участке —б^ф^б приложены нормальные погонные усилия q, нап-
направленные к оси оболочки.
Р(аспределенная нормальная нагрузка , ,<7з*, соответствующая
усилиям q, будет
?(p)8($y (e<?<6), ! F.19)
н.
где б(|)—дельта-функция.
• Изменение параметра кривизны в окружном направлении;;
«2 ft, ?) = -2{l?DV) [ *2зФ ft * So." ? - «Pi) Я (Ti) rffi- F. 20)
-в
Дифференциальный оператор хгз вычисляется по формуле F.18)
Подставляя сюда операторы /23 и /зз, из соотношений F.14) по-
получим
^2 П d^J d?2T
+1^^]^, F.22)
Если воспользоваться выражением F.21) и при подстановке ту-
туда операторов 4з и Ы из F.14) отбросить в них подчеркнутые сла-
слагаемые, т. е. взять операторы /Зз и hz согласно теории пологих обо-
оболочек, то придем к соотношению F.22) без подчеркнутых слага-
слагаемых. Это соотношение, однако, не будет соотношением теории по-
пологих оболочек, так как учитывается второе слагаемое в формуле
261
F.21), которое в теории пологих оболочек отбрасывается. Подчерк-
Подчеркнутые слагаемые в F.22) содержат, как и первое слагаемое, шес-
шестые производные, однако первое слагаемое имеет большой множи-
множитель 1/а2. Таким образом, независимо от характера изменяемости
функций, отбрасывание подчернутых слагаемых приведет к пог-
погрешности порядка а2 по сравнению с единицей, что не превышает
погрешность при получении исходных соотношений теории оболо-
оболочек.
В. силу изложенного формулу F.22) при практических расче-
расчетах будем брать в упрощенном виде
Это соотношение пригодно для теории непологих оболочек. При
использовании теории пологих оболочек в формуле F.23) нужно
отбросить подчеркнутые слагаемые.
2. Погонные нормальные усилия q приложены на отрезке
(—в^|^в) образующей ф=фо и направлены в сторону внутрен-
внутренней нормали к поверхности оболочки.
Изменение параметра кривизны в продольном направлении
равно
2JiL\ d. F.24)
—9 J
Оператор xi3 согласно F.18) и F.14) будет
2а2 dp
Этот оператор имеет один и тот же вид F.25) как в теории поло-
пологих, так и в теории непологих оболочек.
3. Погонные касательные усилия q приложены по отрезку
(^i^Ii^^) образующей ф=фо и направлены противоположно нап-
направлению координаты ?. В этом случае поверхностная нагрузка
<7i* представляется в виде.
* 1
q{(?, <р)— ^ (?)&(?— То)- ' F.26)
Относительная продольная деформация срединной поверхности
равна
с(;т;,_2A+у)'гс ф^ d% g27
Оператор 6ц согласно F.18) и F.14) будет
1 — v д$ •! /1 —¦ V (?2 . d2 \ Йп4 .
©11 = ——— (-1 ( 1 г
+ f l+2B-v)-^+2-^]-^-. ' F.28)
262
При использовании теории пологих оболочек подчеркнутые сла-
слагаемые отбрасываются. В противоположность сказанному об опе-
операторе F.22) в F.28) подчеркнутые слагаемые, вообще говоря, мо-
могут играть определенную роль.
6.3. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ
Будем искать периодическое по окружной координате фундамен-
фундаментальное решение уравнения F.10), которое можно назвать разре-
разрешающей функцией Грина для бесконечно-длинной цилиндрической
оболочки.
Разлагая дельта-функцию в~тригонометрический ряд, в виде ря-
ряда запишем и решение уравнения F.10)
1. F.29)
Подставляя это решение в уравнение F.10) и разделяя пере-
переменные, получим обыкновенные дифференциальные уравнения для
функций Фп(Е). Вид левой части таких уравнений будет зависеть от
оператора D*. Для непологих оболочек он определен формулой
F.12), для пологих— F.13).
Полученные уравнения решим с помощью преобразования Фу-
Фурье. Не останавливаясь на промежуточных выкладках, связанных
с вычислением интегралов Фурье с помощью теории вычетов, а так-
также с алгебраическими преобразованиями, запишем окончательный
результат
(«=2,3,...)
Здесь введены следующие обозначения:
^V2), ' F.31)
Pi и Я] — соответственно действительная и мнимая часть' сущест-
существенно .различных корней .характеристического уравнения. Будем
выбирать Pj>0, qj>0. Если использовать теорию непологих оболо-
оболочек с оператором F.12), то характеристическое уравнение будет
иметь вид
F. 32)
263
Для оператора F.13) теории пологих оболочек уравнение будет
(^2+i)H^r^=o. ' (б.зз)
Его решение имеет вид
n_' F.34)
- Корни алгебраического уравнения F.32) могут быть найдены
только численно.
Коэффициенты г, и yj в F.30) — это модуль и аргумент комп-
комплексного числа
Иными словами,
rj=Pfil
, ai , f 0 при &»>0 .. __.
Y/=arctg-—И v '^ 6.35)
bj { Л При fy<0
а значение arctg берется в правой половине круга от —я/2 до я/2.
Коэффициенты Oj и bj имеют вид
bj^qj [Л2 + 4 (^ - phi) ± 4Ap2j\, F. 36)
А=р\ — р\ — q\-\-q\.
Верхний знак в формулах F.34) и F:36) будем брать при /=1,'
нижний — при /=2.
Как известно, теория пологих оболочек не содержит балочного
решения в первом (я=1) члене разложения в ряд Фурье. Поэтому,
строго говоря, при использовании теории пологих оболочек слага-
слагаемое <Di (|) первого- члена ряда F.29) следует вычислять по второй
формуле F.30). Если используется теория непологих оболочек, то
d>i следует вычислять по первой формуле F.30), которая является
точной для Фо, а для Фь хотя и приближенная, но вполне пригод-
пригодная для практических целей. Ее приближенность связана с отбра-
отбрасыванием величин порядка h/R по сравнению с единицей. Она вве-
введена В. М. Даревским [22]. Эту формулу можно использовать и для
теории пологих оболочек, если существует необходимость учиты-
учитывать балочное решение.
Функции Фп(?) являются фундаментальными решениями обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений, поэтому являются непре-
непрерывными при 1=0 вместе со своими производными до 6-го поряд-
264
ка включительно. Седьмая производная в точке 1=0 терпит ска-
скачок, равный единице.
Производные от функций Фп имеют вид
F. 37)
Причем, нечетные производные содержат еще множитель
sign | в правой части.
В формуле F.37)
F. 38)
Аналогичное выражение имеет место для первой формулы
F.30)
d% = 1 (_2_ rf*|?|3 _
-(-1)* (^2)*+V-3e-*Ki sin Гх|6|-(-1 +*) -5-11. F. 39)
Формулы F.38) и F.39) следует использовать при записи ком-
компонентов матриц Грина F.18) для деформаций, удельных усилий и
удельных моментов, а также для перемещений F.14), которые пос-
после воздействия на функцию Ф в силу разложения F.29) дадут три-
тригонометрические ряды. Так, компоненты с четными по ф производ-
производными будут представлены рядами вида
•). F.40)
Для компонентов с нечетными производными будут иметь место
ряды вида
со
2Ф=-1- V
1
e22nsin«cp. F.41)
В заключение отметим, что фундаментальное решение для уп-
упругой тонкой круговой цилиндрической оболочки, полученное с по-
помощью ряда Фурье по окружной координате и использования ин-
интеграла Фурье, впервые получено С. Юанем [87] в 1946 г. при дей-
действии радиальной сосредоточенной силы и использовании теории
пологих оболочек. Это решение обобщено В. М. Даревским [22] на
случай нагрузок общего вида, равномерно распределенных по ма-
малым прямоугольным площадкам. Причем В. М. Даревский исполь-
использовал теорию непологих оболочек в варианте А. Лява [74]. Фор-
Формальное отличие приведенного здесь решения от указанных и, в
частности, от данного в работе Э. И. Григолюка, В. М. Толкачева
[14] состоит в использовании тригонометрической формы записи
265
комплексных коэффициентов, получающихся в процессе вычисле-
вычисления интегралов Фурье. В результате устраняется процедура деле-
деления больших чисел, неудобная в вычислительном отношении, а
формулы F.30) и последующие получаются простыми.
6.4. ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ МАТРИЦЫ ГРИНА
Под главным значением матрицы Грина понимается матрица,
содержащая в себе особенности построенного в разд. 6.3 решения,
т. е. решения, неограниченно возрастающего в окрестности точки
приложения сосредоточенной силы. Такая матрица впервые полу-
получена В. М. Даревским [21] в 1950 г. Она определяется по. форму-
формулам разд. 2 из Главного значения разрешающей функции Грина,
которую обозначим через Ф°. Последняя определяется решением
уравнения
V8*0 F,<Р) = 8 @49). . F.42)
Уравнение F.42) получается из уравнения F.10), если в опера-
операторе D* оставить только старшие производные. Решение уравнения
F.42) называется пластинчатым, так как содержит те же особен-
особенности, что и решение в пластине, нагруженной сосредоточенными
силами как в ее плоскости, так и в нормальном к плоскости плас-
пластины направлении.
Периодическое по окружной координате <р решение уравнения
F.42) строится точно так же, как и решение уравнения F.10), и
имеет вид
F-44)
Выражение F.44) с точностью до множителя совпадает с пери-
периодическим решением для прогиба пластины от сосредоточенной
силы.
Главное значение перемещений, деформаций, удельных усилий
и удельных моментов получается, если на функцию F.43) подейст-
. вовать операторами F.14) и F.18), причём в последних нужно
оставить только старшие — шестые п седьмые производные, так
как только эти производные дают неограниченные суммы рядов в
точке |—0, ф = 0.
266
Выпишем некоторые необходимые в дальнейшем компоненты
матрицы Грина для деформаций
( +4л |$|)cos га?]sign 1>
я=1
sin яг,
F.45)
I cos mp
Ряды F.45) могут быть просуммированы с помощью следующих
формул:
_L + у е-„ш cos «cp=-L. shlsl ($| > О,
2 ' ^ 2 ch? — cosy ll
^ 2 (ch? — cos 9J
n=l
sin «т^
^J 2 chj —cosy
n=l
n \\\ e-Чй sin яср = J1L sh ISI ^n у ' F-
^J ' ' 2 (chj — cos9J v
я=1
^ «.—"Ul l
я=1
Эти суммы находятся просто с помощью формулы для суммы
бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Так, напри-
например, сумма первого и третьего рядов вычисляется отделением дей-
действительной и мнимой части от суммы ряда
2
267
Вторая и четвертая суммы получаются из предыдущей формулы
дифференцированием и умножением на |||, последняя — интегри-
интегрированием.
На образующей ф = 0 формулы F.46) будут
л=1
F.47)
л=1
На дуге окружности ? = 0
F.48)
я=1
Формулы F.47) и (б!48) показывают, что с рядами .подобного
рода следует обращаться весьма осторожно. Так, хотя любой ко-
конечный отрезок второй суммы F.47) равен нулю при ?=0, вся сум-
сумма обращается в бесконечность. То же самое относится к первому
ряду F.48) при ф = 0. Такого рода ряды нельзя обрывать при ре-
решении задач, иначе можно получить качественно неверный резуль-
результат. Именно этот факт заставляет выделять особенности решения
путем суммирования расхвдяшихся рядов и, таким образом, улуч-
улучшать сходимость оставшихся частей рядов.
Используя формулы F.47) и F.48), выражения F.45). можно
представить в виде:
на образующей ф=0
4 ch?
—1 /
F.49)
13
^Г J
8лй2
J_.cth -L
2 2
на дуге окружности |=0
2 sin f
-*Ч . F-50)
F.51)
F. 52)
268
Мы не будем выписывать остальные неограниченные компонент
ты матриц Грина, отметим лишь следующий известный факт. При
использовании теории непологих оболочек все без исключения де-
формации, удельные усилия и удельные моменты в срединной по-
верхности оболочки являются неограниченными в точке приложе-
ния сосредоточенной силы (см. работу В, М. Даревского [21]). Од-
нако, как отмечено в другой работе В. М. Даревского [24], удель-
удельные усилия и удельные моменты в окрестности точек нагружения
делятся на главные, играющие основную роль в бдлансе напряже-
напряжений, и второстепенные, вызывающие напряжения примерно в R/H
раз меньше по сравнению с напряжениями от главных факторов.
При использовании теории пологих оболочек становятся ограни-
ченными в окрестности точек нагружения именно второстепенные
удельные усилия и удельные моменты (см. статью [15]), главные'
же остаются в неизменном виде. К второстепенным факторам от-
относятся: 1) тангенциальные удельные усилия и удельный крутя-4
щий момент при действии радиальной сосредоточенной силы;;
2) удельный изгибающий и удельный крутящий моменты при дей-
действии касательной к поверхности оболочки сосредоточенной силы;
3) тангенциальные усилия при действии изгибающего сосредото-
сосредоточенного момента. Главными факторами являются: 1) удельные из-
изгибающие моменты при действии радиальной силы, которые будут
иметь логарифмическую особенность; 2) тангенциальные удельные
усилия при действии касательной к поверхности оболочки сосредо-
сосредоточенной силы, удельные изгибающие и удельный крутяший мо-
момент при действии изгибающего сосредоточенного -момента. Все
эти факторы имеют особенность типа 1/г, где г — расстояние от
рассматриваемой точки до точки приложения сосредоточенного
фактора.
6.5. ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ
Ряды типа F.40) и F.41) для компонентов матрицы Грина мо-
могут расходиться в точке ?=0, <p = 0 приложения . сосредоточенной
силы. Эти ряды в окрестности указанной точки ведут себя так же,
как'ряды главного значения матрицы Грина, рассмотренные в разд.
6.4 и просуммированные. Интересно исследовать сходимость рядов,
которые получатся после выделения главной части решения. С этой
целью основную разрешающую функцию Грина ф, являющуюся
решением уравнения F.10), представим в виде
ФF. <P)=*0U. <Р) + Фхв <р). . F-53)
где Ф° — главное значение, имеющее вид F.43); Ф1 — оставшаяся
после выделения Ф° функция, которая может быть представлена в
виде •
269
Подставляя сюда функцию Ф из формулы F.29) и Ф° из F.43),
получим
~~ F.54)
-где *i(O=*«U)-*2F). F.55)
"Коэффициенты ФоЧ!) и ФпЧ?) определяются, таким образом,
'путем простого вычитания коэффициентов ряда F.43) из коэффи-
коэффициентов ряда F.29). В форме, аналогичной F.54), могут быть запи-
записаны все компоненты матрицы Грина для перемещений, относи-
'.тельных деформаций, изменений кривизн, удельных усилий и удель-
удельных моментов путем вычитания компонентов главного значения из
компонентов полной матрицы.
Указанный способ построения компонентов оставшейся части
матрицы Грина удобен при практических численных расчетах, од-
однако он не позволяет увидеть характер сходимости рядов. Поэто-
Поэтому при исследовании сходимости будем считать функции ФпЧ?) в
разложении F.54) неизвестными.
Подставим функцию Ф из выражения F.53) в уравнение F.10)
я примем во внимание, что функция Ф° является решением уравне-
уравнения F.42). Тогда для определения функции Ф1 получим уравнение
?*Ф1 (I <р) = (_D* + у8) Ф° (I <Р), F. 56)
где правая часть считается известной функцией, так как функция
Ф° построена в разд. 6.4 и имеет вид F.43). Оператор D*—V8 в
общем случае теории непологих оболочек будет иметь 6-й порядок,
для теории пологих оболочек — четвертый. Проведем все рассуж-
рассуждения для теории пологих оболочек. В этом случае оператор D*
имеет вид F.13)
4<L=^
Подставляя функцию Ф1 из формулы F.54) и Ф° из F.43) в
уравнение F156), после разделения переменных получим следую-
следующие дифференциальные уравнения для функций ФпЧЕ) («>0):
F.57)
где х=т Х=^= НО-*)*» F<58)
а через L обозначим дифференциальный оператор
F.59)
\djfl
270
Через Фп*(х) и Фп°(*) вновь обозначены функции Фп1,{
F.
Введем обозначения
у = п7Фа(х), у1 = п7Ф1„(х),
Функция у, построенная в разд. 6.3, определяется формулой
F.30) без множителя 1/л7 и является решением уравнения
Ly=b(x), F.61J
где б(х) — дельта-функция; L — оператор F.59).
Уравнение F.61) сразу получается из F.10) после подстановки
F.29) и разделения переменных с учетом обозначений F.58),
F.59), F.60).
Функция у0 получена в разд. 6.4 и согласно формуле F.43) мо-
может быть записана в виде
У° W=i e~W (W3+6 И2+15 М +15). F. 62)
Функция К(х) F.60) согласно выражению F.62) будет
^ F.63)
Теперь уравнение F.57) можно записать в виде
Lyl{x)=-\K{x).
Частное решение этого уравнения представим в виде
или, заменив переменную интегрирования хц на х—Х\ и вновь обоз-
обозначив ее через хъ .
уЦх)=-\ j K(x-x1)y(x1)dxl, F.64)
где у — решение уравнения F.61).
Согласно определению F.55) и обозначениям F.60)
поэтому уравнение F.64) является интегральным уравнением
Фредгольма второго рода для функции у1:
оо
у1[х)=-\$ K(x-xl)y1(x1)dxl~Xf(x), F.65)
00
где -^W=J K(x-x1)y°(x1)dxl. F.65)
271
, Уравнение F.65) позволяет установить верхнюю оценку для
модуля функции yi(x) в зависимости от параметра Я,, которая,
согласно определению F.58) для Я,, и дает характер убывания чле-
членов ряда F.54) с ростом индекса п.
Из уравнения F.65) найдем
)|1. F.67)"
Из формулы F.66) с учетом F.62) и F.63) заключаем, что
функцияf(x) ограничена.
Пусть
max |/ (jc)| ¦< А при — оо<;е<оо. F.68)
Обозначим далее через У максимальное значение функции
\yl(x) | на интервале ее изменения (—oo<z.x<.<x>):
F.69)
Тогда неравенство F.67) можно усилить и записать
\уЦх)\ <Х IV J Iff^-jcOldJc'+ill . F. 70)
Из формулы F.63) вытекает следующая оценка
с помощью которой найдем
и леравенство F.70) перепишем в виде
Так как этр неравенство справедливо для всех х, то согласно
F.69) найдем следующую оценку для У:
пРи4<1, Y>
— 1 ——
2 ¦ 1 2
4>1- F-71)
Первое из этих неравенств, очевидно, справедливо и для функ-
функции \yl(x) \. Поэтому искомая оценка может быть записана в виде
'-т
(в- 7Ч
272
Второе неравенство F.71) не представляет практического инте-
интереса, так как не дает верхней оценки для модуля функции yl(x)-
Но оно и не нужно, так как нас интересует сходимость рядов при
больших л, которым соответствуют малые К.
Неравенство-А,/2<1 с учетом определения F.58) для Я, будет
иметь вид
n>y -f
Постоянную А в неравенстве F.7,2), определяемую неравенст-
неравенством F.68), легко найти из формулы F.66) с учетом F.62) и F.63):
Л=- 15
192
Это значение постоянной А, формула F.58) для Я,, формулы
F.60) позволяют записать следующую оценку для членов ряда
F.54) при индексах л, удовлетворяющих неравенству F.73):
¦ " |<^|(jc)<Ji_L_i*_. F.74)
1 п ' 192 nil ъа_ ¦ у '
п*
Эта оценка вытекает из неравенства F.72),
Таким образом, при индексах п, удовлетворяющих условию
F.73), члены ряда F.54) убывают не медленнее, чем 1/л11, в то вре-
время как члены ряда для функции Грина ф без выделения главного
значения убывают как 1/я7. Соответственно улучшается сходимость
рядов для усилий, моментов, деформаций и перемещений в средин-
срединной поверхности оболочки. Если до выделения главного значения
какой-либо ряд сходился как l/nh, то после выделения главного
значения он станет сходиться не медленнее, чем \fnh+i. Например,
при действии радиальной сосредоточенной силы ряд для прогиба
будет сходиться как 1/л7, для изгибающих моментов — как 1/л5.
При действии касательной сосредоточенной силы ряд для прогиба
будет сходиться, как 1/л8, для удельных тангенциальных усилий —
как 1/л4, для тангенциальных перемещений — как 1/л5, для удель-
удельных изгибающих моментов — как 1/л4.
Если использовать теорию непологих оболочек, то порядок опе-
оператора D*—V8 в уравнении F.56) будет не на четыре, а только на
два ниже, чем порядок оператора D*. Поэтому сходимость рядов
после выделения главного значения будет слабее. Если сходимость
до выделения главного значения была 1/л\ то после выделения,
начиная с некоторого л, видимо, будет l/nk+2. Однако нами этот
вопрос специально не рассматривался.
Отметим; что в принципе можно стремиться улучшить и сходи-
сходимость рядов, полученных уже после выделения главного значения.
273
Этот процесс усиления обсуждался в работе В. Г. Немиров а [34].
Он основан на предположении, что известны суммы рядов типа
Однако получить такие суммы в замкнутом виде при я>1 доста-
достаточно сложно.
6.6. ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ СВОБОДНО ОПЕРТОЙ
ПОЛУБЕСКОНЕЧНОИ ОБОЛОЧКИ И ОБОЛОЧКИ
КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
В разд. 6.3 построена разрешающая функция Грина для беско-
бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки, с помощью ко-
которой по формулам F.15) можно построить частное решение при
произвольных поверхностных нагрузках. Добавляя решение одно-
однородных уравнений,, можно .получить решени0 гр/аничной задачи.
С практической точки зрения, однако, желательно построить функ-
функцию Грина так, чтобы решение, записанное в виде F.15), удовлет'-
воряло граничным условиям при произвольной внешней нагрузке
автоматически. В общем случае при произвольных граничных ус-
условиях такую функцию построить не проще, чем решить гранич-
граничную задачу обычным путем. Однако для наиболее распространен-
распространенного в практике случая свободного опирания торцев оболочки та-
такую функцию легко построить. Обычно ее строят в двойных триго-
тригонометрических рядах. Однако такие ряды сходятся достаточно мед-
'ленно, и в практических расчетах приходится удерживать боль-
большое число слагаемых.
В настоящем разделе методом отражения такая функция бу-
будет сконструирована в одинарных тригонометрических рядах.
Суть метода отражения описывается ниже.
Предположим, что свободно опертая круговая цилиндрическая
оболочка является замкнутой и.занимает область @, /) в направ-
направлении продольной координаты %. Пусть далее ФE—go) —функция
Грина для бесконечно длинной цилиндрической оболочки. Точка
|о— это точка приложения сосредоточенного фактора, | — точка,
где ищется решение. Функция Ф зависит также и от аргумента
Ф—<ро, однако дл,я простоты мы его пока записывать не будем.
Обозначим через a|)(|, go) основную разрешающую функцию Грина
для свободно опертой оболочки, через которую по формулам F.15)
можно получить решение граничной задачи.
Граничные условия для свободно опертой цилиндрической обо-
'лочки имеют вид (см. рис. 6.1 и 6.2)
v=w = T1 = M1=0 при 1 = 0,1. F.75)
Согласно формулам F.11), F.14), F.15). F.16), F.17) и
F.18) условия F.75) будут выполнены, если будут выполнены сле-
следующие условия для компонентов матрицы Грина:
^=^=Т^=М^=О при 5=0,/ (/=1,2,3). F.76)
Условия F.76) при у = 1, 2, 3 эквивалентны условиям F.75) при
действии нагрузок <7i*, <7г*, Яг* соответственно.
Из формул F.14) и F.18) видно, что операторы, входящие в
условия F.76) при /= 1, имеют нечетные по координате | производ-
производные, а при /=2, 3 — четные. Отсюда следует вывод: если постро-
построить функцию Грина i|5=i|3;i так, чтобы она удовлетворяла уравне-
уравнению F.10) и была в то же время четной по g, то будут выполнены
автоматически граничные условия F.75) при g=0 для нагрузок
qi*, действующих в направлении продольной оси оболочки. Если
же функция i|>i(g, go) будет нечетной по координате g, то автомати-
автоматически выполняются граничные условия F.75) для нагрузок <7г*.
<7з*.
Четная функция i])i по координате g может быть взята в виде
(для нагрузок q\*)
нечетная — в виде (для нагрузок <7г*> Яз*)
F.78)
Здесь Ф(%) — построенная в разд. 6.3 функция Грина для беско-
бесконечно длинной оболочки.
Докажем справедливость представлений F.77) и F.78).
Функция Ф(|—g0) согласно определению удовлетворяет уравне-
уравнению F.10). Что касается функции <D(g+go), которая определяется
по тем же формулам, что Ф(|—go), если аргумент g—go заменить
на g + go, то она будет удовлетворять однородному уравнению
/)*Ф=0,
соответствующему уравнению F.10) для области изменения аргу-
аргументов 0<Cgo</, 0^|^/. Действительно, согласно уравнению
F.10) й*ФA—|0)=0 1везде, «роме точки g—'go = 0. Так как функ-
функция Ф(| + |о) —это та же самая функция, но при другом аргумен-
аргументе, то ?*ФE + |о)=0 везде, кроме точки g+go = 0. Но так как
|о>О, а g^sO/то g+?o=^O. Из формул F.29), F.30) и F.37) видно,
что функция Ф(х){х=%—|о или х=\ + \о) является четной по х
вместе со своими четными производными. Отсюда следует, что
функция F.77) — четная по g, а F.78) — нечетная по g, и обе эти
функции удовлетворяют уравнению F.10). Нечетные производные
от функции F.77) будут функциями нечетными, а поэтому будут
равны нулю при g=0. To же можно сказать о четных производных
функции F.78) — они будут нечетными функциями по g и поэтому
будут равны нулю при g=0.
Функции F.77) и F.78) в силу изложенного будут основными
разрешающими функциями Грина для свободно опертой на торце
g=0 полубесконечной оболочки.
275
Имея функцию i]?i F.77) и F.78), можно построить функцию
Грина ip(g, go) Для свободно опертой оболочки конечной длины /.
Такая функция дается формулой
F-79)
где функция i)ji берется в виде E.3) для нагрузок q\* и в виде
F.78) для нагрузок <72*> Яъ*-
Формула F.79) получена путем добавления к функции -фж (|, go)
бесконечного числа частных решений однородного уравнения
D*^i(%, |о+2Л:/)=О. То, что функция г|л(?. Ео+2?/) Для кфО есть
решение однородного уравнения, очевидно, так как при любом зна-
значении go из области О<?о</ и при O^g^/ имеет место неравен-,
ство g±Fo±2*0=^=0. Значит, Я*ф(?+&>±2М)«0, ?>*ф(|—go=F
=F2fe/)=0 и согласно формулам F.77) и F.78) ?>*<tp(g. lo±2kl)=O.
Ограничение О<?о</ означает, что точка ?о находится строго
внутри области, занятой оболочкой. Иными словами, внешняя по-
поверхностная нагрузка не приложена к граничным контурам обо-
оболочки.
Так как функция г|зц (g, go) удовлетворяет условиям свободного
опирания на торце g=0 для любого go^O, то и функция г|з, опреде-
определенная формулой F.79), будет удовлетворять условиям свободно-
свободного опирания при g=0. Функция F.79) удовлетворяет также гранич-
граничным условиям на торце g=/. Действительно, положим |=/. Тогда
Полагая в первом ряду 2k—1=2/л+1 и обозначив вновь т че-
через k, получим
* = —о
Если взять знак (—), то функция т|; будет равна нулю. Это же
будет со всеми четными производными. Если взять ( + ), то все
нечетные производные будут равны нулю.
Отметим, что функция F.79) является периодической по коор-
координатам | и go с периодом 21.
Физически метод отражения, с помощью которого построена
функция Грина F.79), объясняется следующим образом. Влияние
(волна) ФE—?о), пришедшее в точку g=0 от источника, сосредо-
сосредоточенного в точке go, гасится волной, пришедшей от симметрично-
симметричного источника, приложенного в точке (—?о), т. е. «отраженной» вол-
волной Ф(| + |о)- Затем влияние, пришедшее в точку \=1 уже от двух
вышеназванных источников, гасится «отраженной» волной от вновь
приложенных источников в точках Ш—&> и 2/+?о и так далее. Нап-
Направление источников либо совпадает, когда функция три имеет вид
F.77), либо чередуется, когда 1|з,1 имеет вид F.78).
276
На первый взгляд построенное решение F.79) не отличается ог
решения в двойных тригонометрических рядах, так как функция
Ф дается в виде ряда и еще берется ряд F.79) по таким функциям.
Но это не так. Ряд F.79) —это экспоненциальный ряд, так как
функция Ф представлена рядом F.29), члены которого в направле-
направлении \ изменяются по экспоненциальному закону F.30). Отсюда вы-
вытекает, что в ряду F.79) достаточно ограничиться двумя-тремя"
слагаемыми в силу быстрого убывания функции ipi с ростом
|Б—go+2W| или |E + go + 2*/|.
Ряд F.79) может быть также просуммирован по k. Если под-
подставить функции Ф(?—?о) и Ф(?+'?о) из формулы F.29) в F.77) и
F.78), выражение F.79) можем записать в виде, аналогичном.
F.29):
Г
=^- у % & Ео) + У\ Ф». (Ь W cos щ, F. 80)
у % & Ео) + У\ Ф». (Ь W cos щ,
причем Ф„ — функции F.30). Знак ( + ) в F.81) берется для наг-
нагрузки ^i*, а (—) для q2*, <7з*-
Отметим, что при суммировании ряда F.79) для я=0 и п=\
•балочное решение в формуле F.30) следует отбросить. Физиче-
Физически это означает, что усилия <7i*, приложенные к оболочке, должны
быть самоуравновешенными, т. е. давать равный нулю главный
вектор и главный момент. При действии же усилий <?з* балочное
решение не входит в состав перемещений и деформаций. При дей-
действии усилий <7г* балочное решение приводит к-постоянным по дли-
длине оболочки перемещениям при 1>1о, что не соответствует физи-
физическому смыслу.
Введем обозначение
?,). -' F.82)
Тогда согласно формуле F.30) можем написать
где Im означает мнимую часть.
Чтобы найти суммы F.81), нужно сначала просуммировать ря-
ряды типа
2
Тогда 1»„ % У=-^- У1 ^: Im [enJ (Q± 2,)].
Для области 0<;К;/, 0<go<J имеем
ы-J-2 ch (
суммируя последний ряд как геометрическую прогрессию, после
элементарных преобразований имеем
2
shfx/
Совершенно аналогично найдем
chii[f-(e+e0)]
J, =
Значит,
F. 83)
Аналогичное выражение будут иметь функции тро и ipj:
В заключение отметим, что описанный метод отражения изло-
изложен С. Юанем [87] в 1946 г. для частного случая, когда круговая
цилиндрическая оболочка нагружена радиальной сосредоточенной
силой. Суммирование рядов в цитированной работе не проводи-
проводилось.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Агафонов А. В. Действие внезапно приложенной сосредоточенной силы на
цилиндрическую оболочку. — Изв. АН СССР. Механика, 1965, № 1, с. 148—150.
2. Артюхин Ю. П. Расчет однослойных и многослойных ортотропных оболо-
оболочек на локальные нагрузки. — В кн.: Исследования по теории пластин и обо-
оболочек, вып. 4. Казань, нзд-во Казанского университета, 1966, с. 91—110.
3. Артюхин Ю. П. Действие локальной нагрузки на ортотропную пластин-
пластинку. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 4. Казань, нзд-
во Казанского университета, 1966, с. 110—114.
4. Артюхин Ю. П. Расчет ортотропных оболочек вращения на локальные на-
нагрузки. — В кн.: Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек н пла-
пластинок, Баку, 1966. М., Наука, 1966, с. 83—88.
5. Артюхин Ю. П. Определение напряжений в ортотропной цилиндрической
оболочке при действии сосредоточенной силы. — В кн.: Исследования по теории
пластин и оболочек, вып. 5. Казань, изд-во Казанского университета, 1967,
с. 148—152.
6. Артюхин Ю. П. Изгиб ортотропных оболочек вращения силой, приложен-
приложенной в полюсе. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 5. Ка-
Казань, нзд-во Казанского университета, 1967, с. 152—160.
7. Артюхин Ю. П., Саченков А. В. К расчету ортотропных пластин и обо-
оболочек. — В кн.: Исследования по теории пластин н оболочек, вып. 5. Казань,
изд-во Казанского университета, 1967, с. 300—310.
8. Артюхин Ю. П., Жигалко Ю. П., Сальников Г. М. Действие локальной
нагрузки на слоистую ортотропную цилиндрическую оболочку из стеклопласги-
278
ка. — В кн.: Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластн-
нок, Днепропетровск, 1969. М., Наука, 1970, с. 69—73.
9. Васильев В. В. О воздействии локальной нагрузки на цилиндрическую обо-
оболочку из ортотропного стеклопластика. — Механика полимеров, 1970, № 1Г
с. 95—101.
10. Величко П. М., Шевляков JO. А., Шевченко В. П. Напряженно-деформи-
Напряженно-деформированное состояние пластин н оболочек при сосредоточенных нагрузках. — В кн.:
Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, Днепро-
Днепропетровск, 1969. М., Наука, 1970, с. 442—145.
11. Галимов К. 3., Суркин Р. Г. О работах казанских ученых по теории пла-
пластин и оболочек. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып.-5.
Казань, изд-во Казанского университета," 1967, с. 3—55.
12. Гольденвейзер А. Л. К вопросу о расчете оболочек на сосредоточенные-
силы. — Прикладная математика и механика, 1954, т. 18, вып. 2, с. 181—186.
13. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. К расчёту цилиндрических оболочек
загруженных по линиям. — Доклады АН СССР, 1965, т. 163, № 1, с. 43—45.
14. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. О расчете цилиндрических "оболочек, за-
загруженных по линиям. — Прикладная математика и механика, 1967, т. 31,
вып. 6, с. 1141—1146.
15. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Равновесие цилиндрических оболочек,,
нагруженных по линиям. — В кн.: Исследования по теории пластин н оболочек,,
вып. 6—7. Казань, изд-во Казанского университета, 1970, с. 304—312.
16. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. К построению матрицы Грина для обо-
оболочки вращения. — Прикладная' механика. Отделение математики, механики и
кибернетики АН УССР, 1971, т. 7, № 7, с. 3—9.
17. Гурьянов Н. Г. Цилиндрическая оболочка, нагруженная по площадке,,
ограниченной линиями кривизны. — В кн.: Исследования по теории пластин и
оболочек, вып. 5. Казань, изд-во Казанского университета, 1967, с: 127—136.
18. Гурьянов Н. Т. Сферическая оболочка, находящаяся под действием на-
нагрузки, равномерно распределенной по площадке. — В кн.: Исследования по тео-
теории пластин н оболочек, вып. 5. Казань, нзд-во Казанского университета, 1967,.
с. 136—147.
19. Гурьянов Н. Г. Коническая оболочка под действием сосредоточенной
силы. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 6—7. Казань,,
изд-во Казанского университета, 1970, с. 321—334.
20. Гурьянов Н. Г., Коноплев Ю. Г. Экспериментальное исследование проч-
прочности цилиндрических оболочек при локальных силовых воздействиях. — В кн.:
Труды VI Всесоюзн. конференц. по теории оболочек и пластинок, Баку, 1966.
М., Наука, 1966, с. 327—332.
21. Даревский В. М. К вопросу о действии на цилиндрическую оболочку
сосредоточенной нагрузки. — Доклады АН СССР, 1950, т. 75, № 1, с. 7—10.
22. Даревский В. М. К теории цилиндрических оболочек. — Прикладная ма-
математика и механика, 1951, т. 15, вып. 5, с. 531—562.
23. Даревский В. М. Решение некоторых вопросов теории цилиндрической"
оболочки. — Прикладная математика и механика, 1952, т. 16, вып. 2, с. 159—
194.
24. Даревский В. М. Определение перемещений и напряжений в цилиндричес-
цилиндрической оболочке при локальных нагрузках. — В кн.: Прочность н динамика авиа-
авиационных двигателей, вып. 1. М., Машиностроение, 1964, с. 23—83.
25. Даревский В. М. Контактные задачи теории оболочек (действие локаль-
локальных нагрузок на оболочки). — В кн.: Труды VI Всесоюзной конференции по
теории оболочек и пластинок, Баку, 1966. М., Наука, 1966, с. 927—934.
26. Жлгалко Ю. П. Расчет тонких упругих цилиндрических оболочек на ло-
локальные нагрузки (обзор литературы, метод и результаты). — В кн.: Исследова-
Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 4. Казань, изд-во Казанского универ-
университета, 1966, с. 3—41.
27. Жигалко Ю. П. Действие сосредоточенных сил на ортотропные и би-
биметаллические цилиндрические оболочки. — В кн.: Труды VI Всесоюзной кон-
конференции по теории оболочек и пластинок, Баку, 1966. М, Наука, 1966, с. 386—
392.
' 279
28. Жигалко Ю. П., Саитбекова Л. А. Применение ЭЦВМ к исследованию
напряженно-деформированного состояния упругих цилиндрических оболочек, под-
подверженных действию сосредотйченных нагрузок. — В кн.: Исследования по тео-
теории пластин и оболочек, вып. 5. Казань, нзд-во Казанского университета, 1967,
с. 93—112.
29. Киль Н. А. О расчете оболочек на сосредоточенные BO3AeftcfBHfl. — Стро-
Строительная механика и расчет сооружении, '1963, № 4, с. 6—8.
30. Киль Н. А. О действии местных нагрузок на тонкостенную оболочку. —
Известия вузов. Строительство и архитектура, 1968, № 9, с. 12—18.
31. Коноплев Ю. Г., Саченков А. В. Исследование напряженного состояния
круговой цилиндрической оболочки с жесткой площадкой загруження. — В кн.:
Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 4. Казань, нзд-во Казанского
университета, 1966, с. 65—83.
32. Коноплев Ю. Г. Экспериментальное исследование задачи о действии сос-
сосредоточенной силы на цилиндрическую оболочку. — В кн.: Исследования по
теории пластин н оболочек, вып. 4. Казань, нзд-во Казанского университета,
1966, с. 83—90.
33. Коиоплев Ю. Г., Сачеиков А. В. Исследование прочности н устойчивости
пологих сферических оболочек под действием локальных нагрузок. — В кн.:
Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 5. Казань, нзд-во Казанскою
университета, 1967, с. 161—188.
34. Немиров В. Г. О фундаментальных решениях в теорнн круговой цилинд-
цилиндрической оболочки. — Прикладная математика и механика, 1969, т. 33, вып. 6,
с. 1105—1111.
35. Никулин М. В. Экспериментальное исследование прочности цилиндриче-
цилиндрических оболочек при действии локальных нагрузок. — В кн.: Прочность н дина-
динамика авиационных двигателей, вып. 3, М., Машиностроение, 1966, с. 3—32.
36. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л., Судпромгнз, 1951. 344 с.
37. Новожилов В". В., Черных К. Ф. К расчету оболочек на сосредоточенные
воздействия. — В кн.: Исследования по теории упругости и пластичности, № 2.
Л., нзд-во Ленинградского университета, 1963, с. 48—58.
38. Радионова В. А. Расчет цилиндрической оболочки, защемленной по тор-
торцам, на сосредоточенные' радиальные нагрузки. — Вестннк Ленинградского уни-
университета, 1968, № 13, с. 121—125.
39. Радионова В. А. Влияние условий закрепления торцов на напряженное
состояние круговой цилиндрической оболочки при действии радиальных сосредо-
сосредоточенных сил. — Вестник Ленинградского университета, 1969, № 1, с. 119—124.
40. Сухинин С. Н. Действие локальных нагрузок на ортотропную цилиндри-
цилиндрическую оболочку. — В кн.: Расчет пространственных конструкций, вып. 12. М.,
изд-во Литературы по строительству, 1969, с. 8.0—95.
41. Терегулов И. Г., Могнлевкин Л. И. К вопросу исследования напряжен-
но-деформнрованного состояния ортотропной цилиндрической оболочки под дей-
действием локальных нагрузок. — В кн.: Исследование по теорнн пластин и обо-
оболочек, вып. 6—7. Казань, нзд-во Казанского университета, 1970, с. 775—784.
42. Толкачев В. М. Некоторые контактные задачи теорнн оболочек. Диссер-
Диссертация на соискание ученой степени д-ра физ.-мат. наук. М., МГУ, 1973. 402 с.
43. Христенко А. С. О действии сосредоточенных нагрузок на ортотропную
цилиндрическую оболочку. -V Изв. АН СССР, отделение технических наук. Меха-
Механика н машиностроение, 1962, № 3, с. 128—133.
44. Христенко А. С. Напряженное состояние ортотропной цилиндрической
оболочки вблизи точки нриложения сосредоточенной нагрузки. — Труды Уни-
Университета дружбы народов нм. Патрнса Лумумбы, 1965, вып. 10, с. 11—22.
45. Христенко А. С. Действие на оболочку нагрузки, распределенной вдоль
отрезка линии кривизны. — Строительная механика и расчет сооружений, 1966,
№ 6, с. 9—13.
46. Христенко А. С. О действии на ортотропную круговую цилиндрическую
оболочку сосредоточенных снл, и моментов, приложенных к свободному краю. —
Инженерный журнал. Механика твердого тела, 1968, № 4, с. 198—201.
47. Христенко Аг С, Юрченко Т. А. Некоторые задачи о действии сосредо-
сосредоточенных нагрузок на ортотропные оболочки. — В кн.: Труды VII Всесоюзной
280 - . ¦ '
конференции по теории оболочек и пластинок, Днепропетровск, 1969. М., Наука,
1970, с. 687—690.
48. Чернышев Г. Н. О действии сосредоточенных сил и моментов иа упру-
упругую тонкую оболочку произвольного очертания.— Прикладная математика и ме-
механика, 1963, т. 27, вып. 1, с. 126—134.
49. Чернышев Г. Н. Расчет сферических оболочек иа действие сосредоточен-
сосредоточенных сил. — Изв. АН СССР. Механика, 1965, № 1, с. 99—108.
50. Чернышев Г. И. Асимптотические методы в теории оболочек (сосредо-
(сосредоточенные нагрузки). —7 В кн.: Труды VI Всесоюзной конференции по теории
оболочек и пластинок, Баку, 1966. М., Наука, 1966, с. 799—810.
51. Чернышев Г. Н. Прогиб под сосредоточенной силой в оболочках поло-
положительной кривизны. — Прикладная математика и механика, 1967, т. 31, вып. 5,
с. 883—886.
52. Чернышев Г. Н. Представление решений типа Грина уравнений оболо-
оболочек методом малого параметра. — Прикладная математика и механика, 1968,
т. 32, вып. 6, с. 1083—1089.
53. Чернышев Г. Н. Характер решений уравнений оболочек нулевой кривиз-
кривизны при сосредоточенных воздействиях. — В кн.: Труды VII Всесоюзной конфе-
конференции по теорнн оболочек и пластин, Днепропетровск, 1969. М., Наука, 1970,
с. 597—600.
54. Чернышев Г. Н. О контактных задачах в теории оболочек. — В кн.:
Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, Днепро-
Днепропетровск, 1969. М., Наука, 1970, с. 898—903.
55. Шаринов И. Л. К вопросу о расчете замкнутой цилиндрической кон-
консольной оболочки иа краевые сосредоточенные нагрузки. — Инженерный жур-
журнал, 1965, т. 5, вып. 6, с. 1074—1080.
56. Шевляков Ю. А., Шевченко В. II. Розв'язок задач згину пологих сфе-
сферичных оболонок. — Прикладиа механжа, 1964; т. 10, вып. 4, с. 382—391.
57. Шевляков Ю. А., Шевченко В. П. Пологая сферическая оболочка под
действием сосредоточенных сил и моментов. — Прикладная механика, 1965,
т. 1, вып. 2, с. 74—77.
58. Шевляков Ю. А., Шевченко В. П. К вопросу о действии сосредоточен-
сосредоточенных воздействий на пологие оболочки. — В кн.: Концентрация напряжений,
вып. 1. Киев, Наукова думка, 1965, с. 326—337.
59. Шевляков Ю. А., Шевченко В. П. Местные напряжения в цилиндрической
оболочке в окрестности сосредоточенных воздействий. —¦ В кн.: Гидроаэромеха-
Гидроаэромеханика и теория упругости, вып. 6. Харьков, нзд-во Харьковского университета,
1967, с. 91—99.
60. Шевченко В. Ш Про д1ю зосереджениих дотичних зусиль на пологу ци-
лшдричну оболоику. — Доповщи АН УРСР, 1965, № 7, с. 864—867.
61. Шевченко В. П. К температурной задаче пологих оболочек. — В кн.:
Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, Днепро-
Днепропетровск, 1969. М., Наука, 1970, с. 610—613. .
62. Шестопал А. Ф. Равновесие замкнутых цилиндрических оболочек под
действием сосредоточенных сил. — Украинский математический журнал, 1963,
т. 15, № 1, с. 106—114.
63. Benicek M. Experimental study of thin cylindrical shells under local axial
loadings. — Experimental mechanics, 1967, vol. 7, N 12, p. 506—512.
64. Bijlaard P. P. Stresses from radial loads in cylindrical pressure vessels —
The Welding Journal, 1954, vol. 33, N 12, p. 615—623.
65. Bijlaard P. P. Stresses from local loadings in cylindrical pressure vessels.—
Transactions of the ASME, 1955, vol. 77, N 6, p. 805—816. Перевод на русский
язык: П. П. Бейлард. Напряжения от локальных нагрузок в цилиндрических
сосудах давления. — В сб.: Вопросы прочности цилиндрических оболочек. М.,
Оборонгнз, 1960, с. 43—65.
66. Bijlaard P. P. Stresses from radial loads and external moments in cylind-
cylindrical pressure vessels. —-The Welding Journal, 1955, vol. 34, N 12, p. 608—617.
Перевод на русский язык: П. П. -Бейлард. Напряжения от радиальных нагру-
нагрузок и внешних моментов в цилиндрических сосудах давления. — В сб.: Вопро-
Вопросы прочности цилиндрических оболочек.
281
67. Demir H. H., Drucker D. С. An experimental study of cylindrical shells
under ring loading. — Progress in Applied Mechanics. The Prager anniversary
volume. New York, The Macmillan Company, London, Collier-Macmillan Limited,
1963, p. 205—220.
68. Donnel L. H. A discussion of thin shell theory. — Proceedings of the
Fifth International Congress for Applied Mechanics. Cambridge, Massachusetts,
September 12—16, 1938. John Wiley and Sons, inc., New York, London: Chapman
and Hall, Ltd. 1939, p. 66—70.
69. Elms D. G. Shells of revolution with concentrated edge forces. — Journal
of the Engineering Mechanics Division, 1969, vol. 95, N EM3, p. 711—730.
70. Forsberg K., Flfigge W. Point load on a shallow elliptie paraboloid. —
Journal of Applied Mechanics, 1966, vol. E33, N 3, p. 575—585.
71. Hoff N.J., Kempner J., Pohle F. V. Line load applied along generators of
thin-walled circular cylindrical shells of finite length. — Quarterly of Applied
Mathematics, 1954, vol. 11, N 4, p. 411—452. (Перевод на русский язык: Н. Хофф,
Ж. Кемпнер, Ф. Пол. Линейная нагрузка,-приложенная вдоль образующих тон-
тонкостенных круговых цилиндрических оболочек конечной длины. — В кн.: Во-
Вопросы прочности цилиндрических оболочек. М., Оборонгиз, 'I960, с. 11—28).
72. Koiter W. Т. A spherical shell under poijit loads at its poles. Progress
in Applied Mechanics. — The Prager anniversary volume. New-York, The Mac-
millan Company, London,- Collier-Macmillan Limited, 1963, p. 155—169.
73. Kozarow M. The effect of concentrated loads on orthotropic cylindrical
shells. — Theory of plates .and shells. Vydavatelstvo Slovenskej akademie vied
Bratislava, 1966, p. 345—363.
74. Love A. E. H. A treatise on the mathematical theory of elasticity. 4-th
edition. Cambridge, University Press, 1927.
75. Lukasiewicz S. Concentrated loads on shallow spherical shells. — The
Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 1967, vol. 20, N 3,
p. 293—305.
76. Lukasiewicz S. The solution for concentrated loads on shells by means of
Thompson functions. — Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik,
1968, Bd. 48, H. 4, S. 247—254.
77. Lukasiewicz S. On shell loaded on its free edge. — Archiwum budowy
maszn, 1969, T. 16, Z. 3, S. 315—331.
78. Mangelsdorf С The applicability of the Donnell equations to the stress
analysis of the Yankee drier shells. — Tappi, 1966, vol. 49, N 3, p. 111—114.
79. Mizoguchi K., Shiota H., Shirakawa K. Deformation and stress in a cylind-
cylindrical shell under concentrated loading. 1-st report. Radial Loading. — Transactions
of the JSME, 1967, vol. 33, N 254, p. 1558—1568. 2-nd report. Circumferential
loading. — Transactions of the JSME, 1971, vol. 37, N 293, p. 9—16. 3-rd report.
Axial loading. — Transactions of the JSME, 1971, vol. 37, N 293, p. 17—26. —
Bulletin of the JSME, 1968, vol. 11, N 45, p. 393—403; 1971, vol. 14, N 75,
p. 909—917, p. 918—928.
80. Mizoguchi K., Shirakawa K- Deformation and strength of a cylindrical
shell subjected to a concentrated twisting couple. — Transactions of the JSME,
1971, vol. 37, "N 300, p. 1467—1474 (discussion — p 1474). (Перевод на англий-
английский язык:— Bulletin of the JSME, 1972, vol. 15, N 82, p. 424—432).
81. Morley L. S. D. The thin-walled circular cylinder subjected to concentra-
concentrated radial loads. — The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathema-
Mathematics, 1960, vol. 13, N 1, p. 24—37.
82. Morris A. Y. Experimental investigations into the effects of indenting a
cylindrical shell by a load applied through a rigid boss. — The Journal of Me-
Mechanical Engineering Science, 1971, vol. 13, N 1, p. 36—46.
83. Reissner H. Formanderungencund Spannungen einer diinnwandigen .an den
randern frei aufliegenden, beliebig belasteten Zylinderschalle. — Zeitschrift fur
angewandte Mathematik und Mechanik, 1933, Bd. 13, H. 2, S. 133-138.
282
84. Sanders T. L. An improved first-approximation theory for thin shells.
Washington, NACA, 1959, Technical Report 24.
85. Sanders T. L. Singular solutions to the shallow shell equations. — Jour-
Journal of Applied Mechanics, 1970, vol. E37, N 2, p. 361—366.
86. Ting L., Yuan S. W. On radial deflection of a cylinder of finite lenth with
various end condition. — Journal of the Aeronautical Sciences, 1958, vol. 25, N '4,
p. 230—234,
87. Yuan S. W. Thin cylindrical shells subjected to concentrated loads. —
Quarterly of Applied Mathematics, 1946, vol. 4, N 1, p. 13—26.
88. Yuan S. W., Ting L. On radial deflection of a cylinder subjected to equal
and opposite concentrated radial loads. — Journal of Applied Mechanics, 1957,
vol. 24, N 2, p. 278—282.
Гл ава 7
РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИИ
7.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В этой главе рассмотрены интегральные уравнения, используемые в восьмой
и девятой главах при решении контактных задач. Здесь не ставилась цель широ-
широкого обсуждения теории таких интегральных уравнений. Теория известна и по-
помещена в главу как аппарат для решения контактных задач. Однако мы сочли
целесообразным изложить ее не просто как справочный материал, а с выводом
решений интегральных уравнений. Это сделано, с одной стороны, чтобы ввести в
курс дела читателя-механика, незнакомого ранее с решением подобных уравне-
уравнений, хотя бы с одним способом решения таких уравнений. " С другой стороны,
некоторые решения, приведенные в главе, просто трудно найтн в литературе в
готовом виде, хотя их и можно получить на основе общих известных методов.
<? U \ JC . j
Сюда относятся, например," уравнения с ядрами cth—-—, In 2 sh——;
Z | 2
В главе дан способ решения, основанный на использовании готового решения
уравнения с ядром Коши, который, иа наш взгляд, является весьма простым.
Краткое содержание первых пяти разделов главы опубликовано в работе
Э. И. Григолюка, В. М. Толкачева [14].
В разд. 7.2 описаны виды интегральных уравнений и типы механических кон-
контактных задач, из которых они получаются.
В разд. 7.3 приведены без вывода известные решения сингулярного интег-
интегрального уравнения первого рода с ядром Коши G.7) (формулы обращения син-
сингулярного интеграла с ядром Коши). Это ограниченное и неограниченное на кон-
концах отрезка интегрирования решение. Данное уравнение играет основную роль,
так как из его решения путем несложных операций можно получить решения ос-
остальных уравнений. Это уравнение играет одну из основных ролей и в общей
теории сингулярных интегральных уравнений. Разввтию теории сингулярных ин-
интегральных уравнений посвящена работа Торстена Карлемана [43] A922).
В ией, в частности, решено уравнение G.7). Развитый в работе [43] способ реше-
решения состоит во введении вспомогательной аналитической функции комплексного
переменного в виде интеграла типа Коши, плотностью которого является иско-
искомая из интегрального уравнения функция. Это позволило свести задачу к кра-
краевой задаче Римана, из решения которой вытекает решение исходного интеграль-
интегрального уравнения. Далее в разд. 7.3 выводится формула G.13) дифференцирования
сингулярных интегралов специального вида. С помощью этой формулы легко по-
получается решение уравнения G.17) с разностным логарифмическим ядром. Отме-
Отметим,-что решение интегрального уравнения
1
о.
получено Т. Карлеманом [45] A922 г.). Уравнение G.1) лишь пределами интег-
интегрирования отличается от уравнения G.17), что абсолютно не влияет на способ
решения и его вид, поэтому по виду решение Т. Карлемана совпадает с G.23).
Метод решения, данный Т. Карлеманом, тот же, что и в работе [43]. В качестве
284
вспомогательной аналитической функции выбирается функция комплексного пе-
переменного вида
где ф (у)—искомая функция уравнения G.1). Используя предельные значения
функции F{z) на берегах разреза отрезка 0<х<1 действительной оси, Т. Кар-
леман сводит искомую задачу к краевой задаче Римана, которая весьма просто
решается в замкнутом виде. Таким же способом в названной работе [45] реша-
решается уравнение типа уравнения Абеля
G.2)
с постоянными границами интегрирования. Уравнение типа G.2), но с граница-
границами интегрирования и функциями <р(</), f(x), зависящими от времени как от па-
параметра, получается при изучении контактных задач в условиях ползучести [5, 7].
Н. X. Арутюняи [5] решает упомянутое уравнение, используя метод М. Г. Крей-
на [18]. Аппарат, который применен в названных работах Т. Карлемана, является
одним из основных в теории сингулярных интегральных уравнений [9, 30, 31].
В разд. 7.4 дано решение сингулярных интегральных уравнений с ядрами
а — an а — а0
типа ctg —-— и cth —-—.
Путем замены переменных уравнения сводятся к
уравнению с ядром Каши, записывается решение последнего и делается переход
к старым переменным. Решение названных уравнений можно получить с помо-
помощью теории сингулярных интегральных уравнений с автоморфными ядрами [9].
Решение уравнения G.40) с ядром типа ctg приведено Л. И. Чнбриковой [42],
оно получено методом сведения исходнрй задачи к краевой задаче Римана, ре-
решение которой строится в классе автоморфных функций. Методами теории потен-
потенциала решение уравнения G.40) найдено И. Я. Штаерманом [41]. Что касается
решения G.34) уравнения G.26) с ядром типа cth, то это решение в литературе
нам не встречалось.
В разд. 7.5 дано решение уравнений G.47) и G.48) с логарифмическими яд-
ядрами вида
In
2 sin
а— а0
In
2sh
а —а0
Примененный здесь способ решения названных уравнений тот же, который
использован при решении уравнения G.17) с разностным логарифмическим яд-
ядром вида In \х—у]. Способ состоит в том, что путем интегрирования по частям
интеграла с искомой функцией исходные уравнения приводятся к сингулярным
интегральным уравнениям с ядрами типа ctg и cth. Затем из разд. 7.4 берется
готовое решение последних, ограниченное на концах. Решение исходных уравне-
уравнений получается диффереицированием полученных решеиий, при этом используют-
используются формулы дифференцирования сингулярных интегралов, выведенные в разд. 7.4.
Данный способ решения описан в работах [13, 40]. Уравнение G.47) с ядром
In
2 sin
— а0
методом теории потенциала решено И. Я. Штаерманом [41]. Это, по-видимому,
ineppoe решение. Решение уравнений G.47) н G.48) содержиЛя в статьях
М. Г. Крейна [18, 19]. Уравнение вида G.48) рассмотрено также В. М. Александ-
Александровым и Е. В. Коваленко [1], а уравнение вида G.47) в работе [2]. Путем замены
переменных уравнения сведены к уравнению с разностным логарифмическим яд-
ядром. Это удается сделать, если правая часть уравнения является либо нечетной
функцией [1, 2], либо четной [2]. Ограниченное на концах решение уравнения
<7.47) содержится в работе [15].
285
•В разд. 7.6 рассмотрены полные интегральные уравнения первого рода, ядра
которых кроме характеристической части содержат регулярную часть. Такие
уравнения, вообще говоря, не поддаются решению в явном виде (за малыми
частными ислючениямн). В разд. 7.6 дано преобразование таких уравнений к
уравнениям Фредгольма второго рода или регуляризация. Метод регуляризации
предложен Т. Карлеманом [43] и носит его ими. Суть метода состоит в решении
характеристического уравнения, прн этом слагаемое с регулярным ядром перено-
переносится в правую часть н рассматривается как условно известная функция. Метод
Т. Карлемана является методом равносильной регуляризации [9] в том смысле,
что регулярнзованное уравнение имеет те же решения, что исходное. Не исчеза-
исчезают решения исходного уравнения и не появляются новые. В этом преимущество
метода Т. Карлемана перед другими. Регуляризованные уравнения предлагает-
предлагается решать чнслеино, путем сведения их к коиечной системе алгебраических урав-
уравнений. Такой прием использован в работе Э. И. Грнголюка н В. М. Толкачева
[11]. Для вычисления интегралов эффективно может быть использована квадра-
квадратурная формула Мелера [20]; являющаяся квадратурной формулой наивысшей
точности. Эта формула удобна прн-решении задач рассматриваемого класса, так
как служит для вычисления внтегрялов с весовой функцией 1/)^1—-*2
либо У1 — х%, которая характеризует особенность контактных реакций.
В разд. 7.6 приведен несколько измененный внд формулы Мелера, показано
также, как ее можно использовать для сингулярных интегралов. Естественно, что
использование квадратурных формул, с помощью которых интегральное уравне-
уравнение сводится к системе конечного числа алгебраических ура(внений, не всегда
наиболее рационально. Иногда выгодно получать решение естественным путем в
рядах (как предельный случай решения уравнения с вырожденным ядром). Этот
путь принят в работе [40]. Метод Карлемаиа использован также в работах [6, 8,
12, 39]. После регуляризации сингулярного уравнения решение регулярного ин-
интегрального уравнения строится либо, с помощью степенных разложений [6, 12],
либо тригонометрических [8, 39]. Метод М. Г. Крейна [18, 19] использовал
С. М. Мхнтарян [32, 33] прн решении интегральных уравнений с ядрами, содер-
содержащими слагаемые вида
1п
2 sin
t— х
In
sh-
t — V
и дополнительные слагаемые вида sign (t—т).
. В. М. Александров н В. А. Кучеров [3] нсследовалн интегральное уравнение
с ядром, содержащим слагаемое
In
5 —
н вырожденную часть ядра в виде двух слагаемых. Такое уравнение решается
точно.
В разд. 7.7 дано описание способа решения полных интегральных уравнений
с помощью полиномов Чебышева. Этот способ может быть применен непосред-
непосредственно к решению исходных интегральных уравнений, что обычно и предпочи-
предпочитают делать. В виде полиномов Чебышева можно искать, решения уже регуляри-
зованных уравненнй.-Оба пути приводят к идентичным результатам. В разд. 7.7
описан прямой способ решения без предварительной регуляризации. Сначала в
разделе дано определение полиномов Чебышева первого н второго рода, затем
записаны условия ортогональности и известные спектральные соотношения. За-
Затем с помощью аппарата полиномов Чебышева и метода Бубнова записана про
цедура сведения полных интегральных уравнений с характеристическими ядрами
вида
а— а0 а — а0
ctg-^—, cth—^—°,1
к системе алгебраических уравнений.
286
2 sin
«—«о
, ln|2sh
i
«— <*о
Полиномы Чебышева являются естественным аппаратом для решения интег-
интегральных уравнений контактных задач, так как вес l/jA — х2 и У^ — -*2> с ко-
которым полиномы Чебышева ортогональны на отрезке (—1,1), характеризует осо-
особенность решения для контактных реакций. Спектральные соотношения для ин-
интегральных операторов с ядрами вида 1/(х—у), In \х—у\ имеют весьма простой
н красивый вид. *
Спектральное соотношение
1
для полинома Чебышева первого рода 7"о(.х) = 1 было выведено еще в работе
Т. Карлемана [45] при решении уравнения G.1). Развитию аппарата ортогональ-
ортогональных многочленов для решения интегральных уравнений большое внимание уде-
уделено в работах Г. Я. Попова {35, 36, 37]. Так, в работе [36] показано, что если
линейный интегральный оператор 1 переводит функцию xmQ(x) в функцию вида
Q(x)Pm(x), где Рт(х) —полином степени т от х, то можно построить полином
qm{x) такой, что оператор L будет переводить его с весом q(x) в самого себя.
Указан внд оператора L для многочленов Якоби и, как частный, случай, для мно-
многочленов Лежандра и Чебышева. В частности, получены известные спектральные
соотношения
1 1п27\,B)(т = 0^
I Tm{y)dy ' 0К п
Мы
л J
-¦ ¦ - к—Тт(х)(тф0)
Эти спектральные соотношения содержатся- в работе П. И. Клубина [17], в ста-
статье Г. Я. Попова [351. В исследовании [37] показывается, что применение орто-
ортогональных многочленов для решения интегральных уравнений контактных задач
тесно связано с наличием специального класса так называемых полиноминаль-
полиноминальных ядер (к которым должны относиться ядра интегральных уравнений). Автор
дает способ построения таких яд'зр, на основе которого получаются как извест-
известные ранее, так и более общие ядра. В качестве примера приведено спектральное
соотношение для логарифмического ядра
' Т2п+1 (У) , х + У .. л
о
и билинейное разложение
iS2
я=0
Тп(х) —многочлены Чебышева).
Многочлены Чебышева применялись для решения интегральных уравнений
контактных задач в целом ряде работ. Первая известная иам работа, в которой
уравнение решалось с помощью полиномов Чебышева, — это работа С. Бенскоте-
ра [44] A949 г.), которая более подробно обсуждалась в начале гл. 3. Позднее
для аналогичной задачи этот аппарат применялся в публикациях Ю. И. Ларькина
[21], [22], В. М. Александрова и В. А. Кучерова [4], В. Н. Максименко и
Л. А. Фильштинского [25, 26], Г. А. Мораря и Г. Я. Попова [27, 28]. В частности,
з работе [27] получено соотношение
Um(x)
7.я
2 f\ -a ?
х (г)) cos — cos — cos2—
287
а в статье [28] — соотношение
ctg
6-4
cos
Um (y)di\ = 4я sin ~^Тт+1 (x)+ c%>.
a
~2
a
T
tg
— / tg-|-, # = tgy-
— cos a).
Эти соотношения обобщают аналогичные еоотношення G.75) (A0], с. 847) для
ядра Коши. Аппарат полиномов Чебышева используется и в книгах В. В. Паиа-
сюка и М. И. Теплога [34], В. М. Сеймова [38].
Несколько отличным от метода полиномов Чебышева, но все же близким к
нему, является метод X. Мультоппа [46], применяемый для решения сингулярных
интегральных уравнений рассматриваемого вида. Этот метод достаточно подробно
изложен и обоснован в книге А. И. Каландия-{16], а при решении контактной за-
задачи теории оболочек использован в работах В. Н. Максименко и Л. А. Фалыи-
тииского [23, 24, 25]. Суть метода в том, что искомое решение уравнений с ядром
Коши ищется в виде ф(*) = ?o(-*)/Kl — -*2i а регулярная функцвя фо(х)
. представляется в виде интерполяционного многочлена1 Лаграижа по чебышев-
ским узлам с неизвестными узловыми значениями функции фо(х»), для. которых
методом коллокаций либо другим методом может быть получена алгебраическая
система. В конце гл. 7 дано приложение, в котором выводятся граничные значе-
значения канонических функций и формулы для вычисления интегралов, содержащи-
содержащиеся в монографии Н. И. Мусхелишвилн [29].
7.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ
При рассмотрении многих контактных задач теории тонких обо-
оболочек зону контакта допустимо считать отрезком линии. Это име-
имеет место в оболочках с тонкими ребрами, при рассмотрении цилин-
цилиндрических оболочек, покоящихся на ложементах, в цилиндриче-
цилиндрических оболочках, сваренных по отрезкам образующих.
При некоторых, оговоренных ниже условиях, определение реак-
реакций взаимодействия в подобных конструкциях можно свести к ре-
решению интегральных уравнений вида
cth
q (a) da =
P
-(»
=^ К(ao-
, G.3)
G.4)
In
2sh
a—
(a0), G.5)
In
2 sin
, G.6)
288
которые справедливы на открытом интервале (—р<ао<;р) дейст-
действительной оси ао. Здесь под знаком левых и правых интегралов
q(a) —искомая реакция; /((ао—ai) —регулярные известные ядра;
/.1 (ао) — известные функции.
Эти уравнения получены в следующей главе при рассмотрении
контактных задач. Здесь мы лишь кратко укажем, какие задачи
приводятся к решению выписанных уравнений, а затем остано-
остановимся на способе преобразования и решения этих уравнений.
Уравнения типа G.3) — G.6) получаются, если решение для пе-
перемещений и деформаций оболочки от неизвестных реакций на ли-
линиях контакта оболочки записать с помощью функций Грина; вы-
выделив предварительно особые, обращающиеся в бесконечность при
a=ao части функций Грина, как это сделано в разд. 7.4 предыду-
предыдущей главы. К уравнению типа G.3), например, приводится задача
определения касательной реакции в цилиндрической оболочке,
подкрепленной вдоль отрезка образующей абсолютно жестким на
растяжение и абсолютно податливым на изгиб ребром или систе-
системой таких ребер, расположенных с постоянным шагом по окружно-
окружности и одинаковых между собой. Уравнение типа G.4) определяет
окружные касательные реакции в описанных выше ребрах, но при-
присоединенных по отрезкам окружности поперечного сечения оболоч-
оболочки (если не учитывать нормальные реакции). Уравнение типа
G.5) служит для определения нормальных реакций в цилиндриче-
цилиндрической оболочке, сдавливаемой вдоль отрезков образующих одина-
одинаковыми] жесткими штампами,, ,контактируемая кромка, которых!
искривлена, не имеет острых углов, не приварена к оболочке и тре-
трение в зоне контакта отсутствует. Все штампы нагружены одинако-
одинаковыми силами и расположены с постоянным шагом в окружном нап-
направлении. В этом случае искомой является не только реакция q
штампа, но и величина зоны контакта р. Уравнение G.6) будет
иметь место, если определяется нормальная реакция жестких
штампов, таких же, как при рассмотрении уравнения G.5), но при-
присоединенных по отрезкам дуги окружности поперечного сечения с
постоянным шагом.
Во всех описанных выше случаях при рассмотрении контактных
задач способом преобразования исходных уравнений будет являть-
являться способ приведения их к уравнениям Фредгольма второго рода
путем обращения интегралов в левой части уравнений G.3) — G.6).
Это метод Т. Карлемана [43]. В* результате указанного преобразо-
преобразования, во-первых, в явном виде выделяются особенности в решении,
во-вторых, получаются уравнения Фредгольма второго рода, мето-
методы решения которых разработаны весьма подробно.
7.3. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
С ЯДРОМ КОШИ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЯДРОМ
При рассмотрении интегральных уравнений G.3)—G.6) зво-
дится замена переменной, которая сводит их к уравнениям с ядром
10 3136 289
Коши, поэтому здесь мы приведем некоторые, в основном извест-
известные, результаты для уравнения с ядром Коши
I-
qdt _
t-t0
/(to)-- ¦ G-7)
Здесь q — искомая функция, / — заданная функция; (а, Ь) — неко-
некоторая гладкая дуга комплексной плоскости z=x+iy. Функции q и
f предполагаются либо ограниченными, либо имеющими интегри-
интегрируемые особенности на концах отрезка (а, Ь). Уравнение G.7) име-
имеет следующие решения [9].
1. Решение, ограниченное' на концах а, Ъ отрезка интегрирова-
интегрирования,
?ft>{ /О* , G.8)
где X(t) = X+(t) = V(t-a)(t-b) . G.9)
есть граничное значение канонической функции
X (г) = У(г-а)(г-Ь) ' G.10)
при приближении к точке t отрезка (а, Ь) слева, если двигаться от
а к Ь. Под X(t) понимается вполне определенная ветвь этой функ-
функции, имеющая в окрестности бесконечно далекой точки комплекс-
комплексной плоскости z=x+iy разложение (свойства функции G.10) рас-
рассмотрены в приложении 7.1)
Решение G.8) существует, если правая часть f(t) уравнения
G.7) удовлетворяет условию
\MU*L=o. G.11)
а
2. Решение, неограниченное на концах,
-t0
G.12)
Здесь с — произвольная постоянная; X(t) — каноническая функция
G.9). .
Кроме решений G.8) и G.12) уравнение G.7) имеет еще два:
решение, ограниченное на конце а и неограниченное на конце Ь и,
наоборот, — ограниченное на Ь и неограниченное на а. Однако эти
решения использованы не будут, поэтому здесь не приводятся.
290
Докажем следующую формулу дифференцирования сингуляр-
сингулярных интегралов:
ГШ\ ^—' (
которая справедлива для произвольной гладкой функции f(t),
удовлетворяющей условию
lim / (/) X (t)=0 при t-+a или Л—?. G.14)
Кроме этого, производная f(t) такова, что интеграл в правой час-
части G.13) должен существовать в смысле главного значения по Ко-
ши. Под X(t) в формуле G.13) понимается каноническая функ-
функция G.9).
Найдем сначала производную от функции
~GЛ5)
где X(z) — функция G.10); z — точка комплексной плоскости, раз-
разрезанной по отрезку (а, Ь) и не лежащая на берегах разреза.
Дифференцируя формулу G.15), получим
\\2хаь+
dz 2*Bг)Д ^ t-z \X(t){t-z)
а
Легко проверить тождество
с учетом которого
4ФBг)^ 1 I (a+b-2t)/(t) ¦ 1 ?X(t)f(t)dt
dz 2A'(z)J X(t)(t — z) ^X^z)) (t — z)i
a a
Последний интеграл берем один раз по частям. В силу условия
G.14) вненнтегральный член исчезает. Тогда имеем
X(t)f(t)dte f'(t)X(t)dt , 1 f
t—z ' 2 J {t —
a ' ' a a
Подставляя это выражение в предыдущую формулу, получим
ь
"'Л1"А-(Н. G.16)
dz X(z) J t — z
a
10* ' 291
Выпишем предельное значение функции Ф(г) и ее производной
dQ>(z)/dz, определяемых формулами G.15) и G.16). Формулы Со-
хоцкого дают
f(t)dt
а
Но известно [9], что предельное значение производной интегра-
интеграла типа Коши равно производной от предельного значения. Поэто-
Поэтому, дифференцируя первую полученную выше формулу и-сравнивая
со второй, получим формулу G.13).
Используя формулу G.13), можно решить, например, уравне-
уравнение
1
G.17)
Поступим следующим образом. Введем новую функцию Q урав-
уравнением
^-=q G.18)
dt K
и выполним интегрирование по частям в левой части уравнения
G.17)
1 1
[
J > t —10
Положим
-1 G.19)
l).
Очевидно, что В — произвольная постоянная интегрирования
уравнения G.18); А имеет смысл G.19). Имеем
,Q(l).
Теперь предыдущий интеграл можно записать так:
292
и уравнвение G.17) будет иметь вид
I
Qdt _ л 1„т/ 1 & i oi« i/ * — го ^// \ G.20)
. * — *о
Если искать интегрируемое решение уравнения G.17), то сог-
согласно определению G.18) функция Q должна быть ограниченной.
Ограниченное решение уравнения G.7) имеет вид G.8), что при-
применительно к уравнению G.20) дает
—Э i А ЫУТ=& + В In У-тхТ- / W ¦
LJl С f l + * dt. G.21)
Условие существования решения G.11) в данном случае будет
=0 + В In V~~ - f @
—I
Если учесть, что 1п"КA — Ю/0+0 —нечетная функция, то интег-
интеграл от второго слагаемого будет равен нулю. Кроме этого, полагая
/=sin<p, найдем [10]
1 «/2
-1 -«/2
Поэтому предыдущее условие вполне определит постоянную А в
виде ~ '
' ЦE^ G.22)
Ц
Я1п2
—I
Чтобы получить решение уравнения G.17), нужно продифферен-
продифференцировать решение G.21) с помощью формулы G.13). Окончатель-
Окончательно получим - . ;,v
При получении этой формулы были использованы следующие
значения интегралов:
J
i i
dt q i: tdt
^(t-
Эти интегралы вычисляются по формуле G.105). Второй может
быть также вычислен непосредственно, если учесть значение пер-
первого.
Проделанные выкладки показывают, что уравнение G.17) име-
имеет единственное, неограниченное на концах решение, определяемое
вполне по формулам G.23) и G.22).
В качестве примера найдем решение уравнения
f In\t-to\qdt=InY\-tl G.24)
ii
По формуле G.22) находим Л = 1,
i i
г yl — &f (t)dt i- tdt
У t — t0 ~ ) у I — & (t — to)~~
—l —1
и формула G.23) дает <7=0. Если же теперь <7=0, подставить в
левую часть исходного уравнения, придем к противоречию, так как
\ау 1 — to не равен тождественно нулю.
В действительности, никакого противоречия нет. Дело в том, что
формула G.23) определяет решение уравнения G.17) в классе
обычных интегрируемых функций. Уравнение же G.24) не имеет
решения в классе таких функций. Оно имеет решение
q(t)=b(t—l)+i(t+\)% G.25)
где б — дельта-функция.
В справедливости этого можно убедиться, подставив решение
G.25) в левую часть уравнения G.24) и вычислив интегралы по
формуле
J
Если подобрать правую часть f{to) уравнения G.17) специаль-
специальным образом, можно получить и ограниченное решение уравнения
G.17). Это очевидно, так как интеграл в левой части уравнения
G.17) существует для ограниченных функций q.
7.4. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
С ЯДРОМ ТИПА cth и ctg
Рассмотрим аналог уравнения G.3), если правую часть считать
известной и обозначить через /(ао).
f с*Ь ^-°?(а)</а=/(а0) (-KvCP)- G.26)
294
Его решение можно получить следующим образом. Добавляя к
обеим частям уравнения константу
±<f = ±-\qda\ G.27)
-f»
и делая замену переменной
*=е«, /0=еа-, *=1/а=е?, . G.28)
приведем его к виду
где через q(t) и f(t) вновь обозначены функции q(\nt) и /(In/)'.
1. Решение, неограниченное на концах отрезка [—р, В] опреде-
определяется формулой G.12), если функцию f(t) заменить f(t)+g*f2,
Г rX(t)[f(t) + q*j2\ [e
где с — произвольная постоянная, а ^@ —каноническая функ-
функция G.9).
Вычислив с помощью формулы G.105)
и учитывая, что с — произвольная постоянная, предыдущую фор-
формулу запишем в виде
Найдем постоянную q*, определенную формулой .G.27). Для
этого проинтегрируем обе части выражения G.30) по ао, учтем,
что dao=dt0/to и вычислим с помощью формул G.105), G.106)
встречающиеся интегралы:
ь
t
Ь Ъ
\ =—яг, \
=—яг, \
~я/.
а
В результате имеем
295
Полагая теперь произвольную постоянную равной
где Со — новая произвольная постоянная, получим
С учетом этой и предыдущей формул решение G.30) предста-
представим в виде
ь
(±1)C{l + t) G.31)
a
tj ^ X{t0)
Остается перейти к переменной а по формулам G.28).
Введем каноническую функцию
X (а) = 2 j/ sh Ь^-sh LhfL. . G. 32)
Так каклод^(^) в формуле G.31) понимается функция G.9),
являющаяся предельным значением ^+@ функции G.10), то легко
установить, что
«_
X{t)=it2 X{a) G.33)
(см. приложение 7.1).
С учетом этой формулы и обозначений G.28) выражение G.31)
окончательно можно записать в виде
( ]
". sha~ao я
v 2
где с — произвольная постоянная.
2. Займемся построением решения уравнения G.26), ограничен-
ограниченного на концах.
Ограниченное решение уравнения G.29) имеет внд G.8)
^ .J_Z<^L_. G.35)
a
Постоянная q* не вошла, так как
ь
\ t dtt_ =0, G.36)
а
что можно установить по формуле G.105)
296
Условие разрешимости G.11) будет
S* G-з7)
Найдем постоянную q*, определенную формулой G.27). Интег-
Интегрируя G.35) по сю (dao = dto[to) после перехода к старой перемен-
переменной а, получим
f
4 я J А-(а)
-Р
Подставляя это значение в G.37), условие разрешимости пред-
представим в виде
da=Q. G.38)
Само же решение G.35) в старых переменных будет
Более* удобной будет, однако, следующая запись решения:
Решение уравнения
• -
ctg±=^Lq(a)da = f(a0), G.40)
-Р
являющегося аналогом уравнения G.4) с известной правой частью,
строится совершенно аналогично. Для этого нужно лишь добавить
к обеим частям постоянную
и перейти к переменным
*=efa, to=eia°, a=e-'P, *=e^,
после чего уравнение приобретает вид G.29). Окончательно реше-
решение можно записать, если в выражениях G.32), G.33), G.34),
G.38), G.39) заменить а на ta. Приведем окончательный резуль-
результат.
297
1. Решение, неограниченное на концах отрезка (—Р,
i:iis
X (а) / (а) da
cos-
- "'_р sin
где ^(а) — каноническая функция
Х(а)=
4-с —
а —а0 X (его)
G.41)
^-sini±^-
= У2 (cos а-cos p), G.42)
с — произвольная постоянная.
Связь между предельным значением X(t)=X+(t) канонической
функции G.9) и функции G.42) имеет вид (см. формулу G.104))
X(t)=-t'*-X(a).
2. Ограниченное иа концах решение
а— а0
G.43)
G.44)
Это решение существует при условии
f /(a)cos-f-
G.45)
Отметим, что приведенные решения можно получить с помо-
помощью теории сингулярных интегральных уравнений с автоморфны-
ми ядрами [9].
Методами теории потенциала решение уравнения G.40) полу-
получено И. Я. Штаерманом [41].
В заключение приведем формулы дифференцирования сингуляр-
сингулярных интегралов G.39) и G.44), которые получатся из формулы
G.13), если сделать замену переменной /f=ea или t=ela:
da0
rfa0
A" I
f («) da
—p X (a) sin
a —a0
= 1 f f {a)X(a)da
X (a0) J . . a — a0
G.46)
f («) da
_р X (a) sh
a —с
В первой из этих формул фигурирует каноническая функция
G.42), во второй— G.32), /'(а) — производная по а. Эти формулы
из литературы нам неизвестны.
7.5. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМИ
ЯДРАМИ
Используя результаты предыдущего раздела, легко найти ре-
решение уравнений
ln
2sin
G.47)
G.48)
Сначала запишем окончательный результат соответственно для
уравнений G.47) и G.48):
Р
2ifiX(ao) ) ua-a0
-p sh —
G.50)
В формуле G.49) -?(!a)—каноническая функция G.42), в
G.50) —G.32). Постоянная А в формулах G.49) и G.50) соответ-
соответственно определяется из выражений
я J X (а)
-Р
Решения G.49) и G.50) являются единственными.
Остановимся на решении уравнения G.47).
Введем новую неизвестную функцию Q уравнением
Ida
G.51)
G.52)
G.53)
и произведя после этого в левой части уравнения G.47) интегри-
интегрирование по частям, преобразуем его к виду
Р
\ Y^B^rLQda
299
гдеХ(аL—функция G.42); В — произвольная постоянная интег-
интегрирования уравнения G.53);
G.55)
Согласно G.53) необходимо найти ограниченное решение урав-
уравнения G.54), так как по физическим соображениям функция q
должна быть интегрируемой.
Уравнение G.54) лишь правой частью отличается от уравнения
Х7.40), ограниченное решение которого дается формулой G.44).
Подставляя туда вместо /(а) правую часть уравнения G.54) и вы-
выполняя дифференцирование обеих частей полученного выражения
с учетом первой формулы G.46), найдем
яЫ=^г-\ ^t/'M-^'fM-ab'*.<«>]* , G.56)
Условие разрешимости G.45) при $том будет
cos iLrfa=0. G. 57)
2 v '
cos
X(a) 2
-?
Для вычисления интегралов в выражении G.56) можно вос-
воспользоваться формулой G.105) после замены переменной по фор-
формулам
и учесть, что ^
2 11
Таким способом имеем
a — a0
после чего решение G.56) окончательно получим в виде G.49).
Если вместо функции q под знак интеграла G.55) подставить
пра_вую часть формулы G.49) и выполнить интегрирование, то при-
придем к тождеству А=А. Иными словами, формула G.55), опреде-
300
ляющая постоянную А, выполняется при любом А в правой части
выражения G.49). Это вытекает из равенства
G.58)
-p X (a) sin - ^^
Н
которое получается как следствие равенства G.36)'после замены
переменной. Фактически постоянная А должна быть определена из
условия разрешимости G.57). Это условие после вычисления ин-
интеграла
Y
\
Х(а)
G.59)
запишем окончательно в виде G.51).
Решение G.49) уравнения G.47) является единственным в клас-
классе интегрируемых функций q. Действительно, оно получено из" ог-
ограниченного на обеих концах отрезка (—р, р) решения уравнения
G.54), которое является единственным.
Итак, уравнение G.47) имеет в классе интегрируемых функ-
функций единственное, неограниченное на концах решение, определя-
определяемое формулами G.49) и G.51). Это же относится к решению
G.50) и G.52) уравнения G.48). Оно решается аналогично с помо-
помощью замены переменной ^ = ехр а.
Уравнение G.47) методами теории потенциала решено
И. Я. Штаерманом [4J]. Это решение совпадает с G.49).
7.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИСХОДНЫХ УРАВНЕНИЙ :
К УРАВНЕНИЯМ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА
Интегральные уравнения G.3)—G.6) можно преобразовать к
уравнениям Фредгольма второго рода, используя результаты ра'зд.
4 и 5.
Рассмотрим сначала уравнение G.3). '
В контактных задачах решение уравнения G.3) должно содер-
содержать произвол, необходимый для удовлетворения дополнительно-
дополнительного условия равновесия реакции q. Поэтому при преобразовании
уравнения G.3) нужно использовать неограниченное на концах
а= ±р решение G.34) уравнения G.26), в которое вместо /(а)
нужно подставить правую часть уравнения G.3). После этого урав-
уравнение G.3) преобразуется к виду
где с — произвольная постоянная.
301
Можно показать, что в повторном интеграле справедлива за-
замена порядка интегрирования. Нужно лишь, чтобы ядро К(а—oil)
было непрерывным по а и кусочно-непрерывным по аь
Производя в выражении G.60) замену порядка интегрирования
и полагая
¦получим следующие уравнения для новых неизвестных функций
Их «да
/?(аь ao)ch-^-.
-9
ch— при у = 1
¦ 2 к G.62)
/7(а0) при у=^2.
Ядро R(au'a0) и функция F(ao) имеют вид
a. — <Xq
sh r—
G.63)
а-а0
—
Функция Х(а), определяемая по формуле G.32), обращается в
нуль на концах отрезка а= ±р. Ядро Я(сц, ао) будет ограничен-
ограниченным, поэтому ядро уравнений G.62») имеет на концах а= ±р осо-
особенность типа корня. Его, однако, можно сделать ограниченным
путем замены переменной а на y по формуле
Y=2 arcsin (sh — / sh -i-). G.64)
V 2 / 2 /
Поэтому уравнения G.62) можно считать уравнениями Фред-
гольма с ограниченным ядром.
Как отмечалось в разд. 7.2, указанный метод преобразования
уравнений называется методом Карлемана [43].
Точно также преобразуется и уравнение G.4). Нужно лишь в
.выражениях G.61), G.62) и G.63) гиперболические функции за-
заменить соответствующими тригонометрическими.
Рассмотрим теперь уравнение G.5). Оно преобразуется с помо-
помощью решения G.50) уравнения G.48), куда вместо /(а) следует
подставить правую часть уравнения G.5). После ¦ этого в повтор-
302
ном интеграле нужно заменить порядок интегрирования и искать
решение уравнения в виде, аналогичном G.61):
G-65)
где новые функции у\ и уг определяются из уравнений, аналогич-
аналогичных G.62):
/?(оь ao)ch-^-
-9
' G.66,
при /=2.
Ядро R и функция F имеют вид ;
ai) X(a)da
j g-g0 '
-p sh —
, G-67)
k o; 2n J L a — a0
-p sh—y^ ¦
Уравнения G.66) отличаются по виду от уравнения G.62) толь-
только знаком перед интегралом.
Постоянная А в решении G.65) не является произвольной, а
определяется из условия G.52), в котором нужно заменить /(а)
на правую часть уравнения G.5):
. G.68)
Уравнение G.6) преобразуется так же, нужно лишь в выраже-
выражениях G.65) —G.68) гиперболические функции заменить соответст-
соответствующими тригонометрическими.
Наиболее рациональным методом решения уравнений G.62)'
и G.66) является численный метод, основанный на использовании
квадратурной формулы Мелера [20]:
где точки хь — это корни полинома Чебышева первого рода Тп(х).
303
Формула G.69) является точной для полинома степени 2п—1
включительно, т. е. является формулой повышенной точности. Для
встречающихся выше интегралов она может быть преобразована
к виду
p
da = —V/(«*). G-7C»
где точки a* определяются по формуле
G.71)
ЗА — точки G.69)..
Формула G.69) переходит в G.70), если сделать замену пере-
меннои х=— sh-
Формула G.70) может быть непосредственно применена для ин-
интегралов в левой части уравнений G.62) и G.66); что касается ин-
интегралов G.63) и G.67), то, если не удается вычислить их точно,
можно использовать формулу G.70) после предварительной их ре-
регуляризации. Например,! второй интеграл G.63). после регуляри-
регуляризации будет
J { Х2 (> * ^ х 2 () / () да. G.72)
Это вытекает из тождества типа G.58). ' Считая, что функция
A'2(ct)/i(<z) в окрестности точки сю может быть разложена в ряд
Тейлора, найдем, что при а = а0 подынтегральная функция в G.72)
будет иметь значение
При решении преобразованных уравнений_ G.4) и G.6) квадра-
квадратурная формула G.70) и формула G.71) остаются в силе, если ги-
гиперболические функции заменить тригонометрическими.
7.7. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА
Уравнения G.3) — G.6) можно решать и прямыми методами, не
прибегая к их регуляризации. Одним из них является метод Муль-
топпа [46], в котором решение представляется в виде многочлена
Лагранжа, а базовыми точками, в которых разыскивается решение,
являются чебышевские узлы. Для построения системы алгебраиче-
алгебраических уравнений применяется метод коллокаций. Вторым эффектив-
эффективным способом решения является способ, при котором искомые
функции представляются в виде разложений по полиномам Чебы-
304
шева. Коэффициенты разложений определяются из системы алге-
алгебраических уравнений, получаемой либо методом Бубнова, либо
методом коллокацнй.
Мы изложим здесь второй способ. Предварительно напомним
основные свойства полиномов Чебышева.
По определению полиномом Чебышева первого рода Тп(х) от
переменной jc = cos 6 является функция Тп(х) =cos яб.
Многочлены Тп(х) ортогональны на отрезке действительной
оси (—1, +1) с весом
1
О при пгфп
Тп{х)тт(х) Ну=
— при т = пфО, G.73)
я при т=п=О
Многочленом Чебышева второго рода от переменной x=cos8
является функция
п ,, sin (я+ 1)8
u*[x}— sine
Многочлены Un(x) ортогональны с весом р=У\ — х2
О при тфп
\Un{x)Um{x)V\-x4x = ,
я
— npjf m =
(т, л=0, 1...) G.74)
Многочлен Un(x) имеет при (—1<х<1) п корней xft =
Х-=2-(А=1, 2,..., п).
л + 1
Многочлен Тп (х) также имеет п корней
xft = cos—* '—[k=\, 2,..., я).
Кроме соотношений ортогональности имеют место следующие
важные соотношения [10]:
г Tm (x) dx __ @ при /га=0
\ /1-хЧх-у) ~[яит^{у) при тфО,
\
G.75)
При т=0 справедливость этого равенства очевидна, так как
функция 1/J/1 — х2 является решением однородного сингуляр-
сингулярного уравнения (см. разд. 7.2). При тФО интегралы G.75) пред-
представлены в математических справочниках.
305
Ниже также понадобятся следующие представления:
1
=—jTa{y){s=l, 2,...), G.76)
\^^ G.77)
—1
Спектральные представления G.76) содержатся в работе
П. И. Клубина [17], соотношение G.77) получено Т. Карлеманом
[45].
Докажем соотношения G.76), G.77). Полагая в левой части
G.76) je='cos<p, Ta(x) =coss<p, получим
-1
*
\^MU^dx=— [ln\x-y\d(sins<?)=
1/1 — X* S J
0
s J х — у
; Внеинтегральное слагаемое равно нулю, а для полиномов Че-
бышева второго рода
sin 9
поэтому согласно G.75)
s j x — y s J х — у
-1 -1
Чтобы найти интеграл G.77), обратимся к решению G.23),
G.22) уравнения G.17). Сравнивая левую часть этого уравнения
с интегралом G.77), видим, что
Сравнивая это же выражение с правой частью решения G.23), ви-
видим, что оно может быть справедливым, если положить f{t)—c=
= const, А=я. Подставляя теперь А=я и f=c в G.22), найдем
с= —я In 2.
Этим доказана формула G.77).
Решение уравнений G.3), G.4). Сначала эти уравнения нужно
преобразовать к сингулярным уравнениям с ядром Крши
306
*?_=C K*(Xt xo)qdx + Mxo), G.78)
— Xq J
X — Xq
где К* — регулярное ядро, вид которого зависит от способа преоб-
преобразования уравнений G.3) и G.4) к G.78). Используются два та-
таких способа. Первый состоит в следующем. Для уравнения G.3)
вводится замена переменной
*=th-^, a=thf-L, x=-t-, G.79)
после чего получим
_Lcth
2
t-t0
cth </a
2 2
Ядро К* для уравнения G.3) при этом будет иметь вид
^xJ-ax], G.80)
;где К(х, х0) —ядро исходного уравнения G.3), в котором пере-
переменные а, ао нужно выразить через х, х0 по формулам G.79).
Чтобы преобразовать уравнение G.4) к уравнению G.78), дела-
делается замена переменной, аналогичная G.79)
ttg,atg,x
и используется соотношение
2 5 2 \t-t0
тогда ядро К* в G.78) для уравнения G.4) будет иметь вид
^ xi G.82)
где К— ядро исходного уравнения G.4).
Второй способ преобразования уравнений G.3) и G.4) к G.78)
состоит в том, что ядра типа cth и ctg в левой части заменяются
ядрами Коши и затем заменой переменной
а = р* G.83)
отрезок (—Р^а^р) переводится в отрезок (—l^x^l). В итоге
получается уравнение
1 1
v±L_=p v /<-* ^_ Xq) qdx+fi (x0). G.84)
307
Здесь, в отличие от уравнения G.78), ядро К* разностное в си-
силу линейной замены переменной G.83). Применительно к уравне-
уравнениям G.3) и G.4) оно соответственно будет (я=ао—а) -*
G.85)
К(х) —ядра уравнений G.3) и G.4).
Приближенное решение уравнения G.84) или G.78) будем ис-
кать в виде конечного разложения по полиномам Чебышева пер-
первого рода
1Ь'т'М- G'86)
чим
Подставляя это в G^84) и учитывая соотношения G.75), полу-
полуХарактерным в этом уравнении является то, что коэффициент
со не содержится в левой части, поэтому остальные коэффициенты
cs (s=l, 2,...) будут линейно зависеть от с0. Для определения с<>
нужно привлечь физическое условие равновесия реакции, которое,
например, применительно к уравнению G.3) будет
Р
Jj G.88)
• Если подставить сюда реакцию q из формулы G.86), учесть за-
замену G.83), то .согласно G.73) найдем
после чего уравнение G.87) можно рассматривать как функцио-
функциональное уравнение для определения коэффициентов С\, с% ..., сп. Ес-
Если бы мы получили функциональное уравнение типа G.87) для
уравнения G.78), то условие G.88) нужно было бы переписать с
учетом замены переменной G.79) в виде
Р
) \-a2x22aR
и подстановка сюда разложений G.86) не позволило бы опреде-
определить в явном виде постоянную с0. В этом смысле замена перемен-
переменной G.83) является более предпочтительной. С точки же зрения
принципиальной ничего не меняется. Просто в этом случае полу-
получается дополнительное уравнение, которое нужно присоединить к
G.87) и рассматривать полученные уравнения как полную систему
для определения коэффициентов cs (s=0, I п). Ниже будем
считать Со известным, определенным формулой G.89).
Уравнение G.87) можно решать методом коллокаций, удовлет-
удовлетворив ему в л точках, в качестве которых удобно выбирать корни
полинома Чебышева Тп(х).
Мы применим метод Бубнова. Для этого умножим обе части
уравнения на Uk(x^V \ — xl (k=0, 2,..., л—1) и проинтегрируем,
воспользовавшись свойством ортогональности (J7.74). В итоге-по.л
лучим следующую систему алгебраических уравнений для коэффи-
коэффициентов Ch.
п
ск—Р 2 akscs== &k4"Рсо^й (^:=:1> 2,...,л), G.90)
.5=1
где afe=± J Ц„{х0)/ffc0 ( «*(*-1^> dx,
-i -1
1
**=«». b*=^ \ U*-i (x)VT^^2fi(x)dx G. 91)
-1
{k—\, 2,...,л; s=0, l,...,ffl).
Интегралы G.91) можно вычислять по квадратурной формуле
Мелера ([20] с. 132)
-1
которая является точной для полинома степени 2щ—1 включи-
включительно.
В результате получим
«1 «1.
У1 У!
п
xt) G.93)
=l, 2,...,n), (e=0, 1,...,я).
309
Решение уравнений G.5) и G.6). Эти уравнения запишем в
виде
1 1
G.94)
V ln/л: — xo\qdx=\ K*{x — xo)qdx-\-
i i
где х — переменная G.83); К* — регулярное ядро, которое для
уравнений G.5) и G.6) соответственно будет [х=ао—а=р(*о—х)]
2sh—
K*(x-xo)=K{x)-ln
К*(х-хо)=К(х)-\п
2sinT
-tap,
-In p.
G.95)
Решение уравнения G.94)- разыскиваем в виде разложения
G.86), после чего уравнение G.94) преобразуется к виду
Г V4 с 1 \h г '
— тг I /* Iti 9 —t— ^^ у1 ( y \ I —— ^^ /* V А'^ ^ ** — ** ^ v
L sil J s=0 —l
х
1 —
dx-\-
При получении этого уравнения использованы соотношения
G.76) и G.77). Умножим обе его части на Tj(xQ)/ifl—x02 (/=
=0, 1,..., п) и проинтегрируем с учетом свойств ортогональности
G.73). В итоге получим систему алгебраических уравнений для ко-
коэффициентов с» (s=0, 1,..., л):
= 0, !,...,«), G.96)
причем
ao=ln2, aj=~{j=l, 2,...,n),
), (у, s=0, 1 п),
G. 97)
Здесь при вычислении интегралов использована формула G.92).
Отметим, что система G.96) в отличие от G.90) позволяет оп-
определить все коэффициенты разложения G.86), включая и со, по-
поэтому не требуется привлекать дополнительных соотношений типа
310
G.88) для этой цели. Однако соотношению типа G.88) удовлетво-
удовлетворять придется, но в рассматриваемом случае оно будет являться
условием, из KOToporoi определится связь между силой Р и вели-
величиной зоны контакта р.
Приложение 7.1
ГРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КАНОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Канонической называется функция комплексного переменного
z=x+ly:
\ = V{z-a){z-b),- G.98)
где a, b — концевые точки некоторого отрезка [а, Ь] комплексной
плоскости (рис. 7.1); функция X(z) —двухзначная. Одна ее ветвь
определится, если положим (рис. 7.1)
z — a=
Тогда
G.99)
^ понимается в арифметическом смысле (берется со зна-
знаком ( + )). Углы <р! и <рг будем всегда отсчитывать, как показано на
рис. 7.1, от положительного направления оси х против часовой
стрелки.
Вторая ветвь Xt(z) получится, если положить
z — a=Q1e'tt>i+2't>, z — b—
или
Очевидно,
= е/л Xt (z) = - Xftz).
Каждая ветвь функции X (z) является голоморфной (аналитиче-
(аналитической и однозначной) на конечной части плоскости с выброшенным
отрезком (а, Ь).
При 2->-оо функция X1(z) имеет разложение
а Х2(г) = — г— ....
Действительно, пусть при z—>¦
-»-оо argz-нр, т.е. г=ее'ч>. Тогда
при достаточно большом q
Рис. 7.1. Комплексная плоскость z=x+iy с
разрезом по линии ab
Следуя Н. И. Мусхелишвили [29], будем иметь дело с ветвью
Обозначим через X+(t) и X~(t) соответственно значения Хл(г)
при z-И (t — точка отрезка (а, Ь)) слева или справа, если смот-
смотреть, двигаясь от а к Ь. При движении-точки г к t nepeceKatb отре-
отрезок (а, Ь) нельзя, так как он не принадлежит области аналитично-
аналитичности X(z).
Согласно формуле G.99)
*+(*)=е 2
'V\t-a\\t-b\. G.100)
Чтобы найти X~(t) нужно, чтобы точка z-*-t; двигаясь либо вок-
вокруг точки а, либо вокруг точки Ь. При движении вокруг а угол q>i
(см. рис! 7.1) будет увеличиваться и при z=t станет равным 2 +
i, угол q>2 станет равным i|J. Поэтому
2k+»i+»»
=e 2
Тот же результат получится, если двигаться вокруг точки Ь.
Итак, функция X(z) при переходе с одного берега разреза на
другой меняет знак.
Найдем предельные значения X+(t) (для ветви Xi(z)) в неко-
некоторых частных случаях.
1) (а, Ь) есть отрезок действительной оси (рис. 7-2).
При Z-*-t+, 0
2) Положим в формуле G.101)
G.101)
G. 102)
Замена /наа переводит отрезок (а, Ь) в отрезок действительной
оси (-—р, р). Формула G.101) перейдет в следующую:
)=ie X{a), Х{а) =
г-/
Рис. 7.2. Комплексная плоскость с разрезом ab вдоль действительной оси
Рис. 7.3. Комплексная плоскость, разрезанная по дуге едннячной окружности ab
312
3) Отрезок (а, Ь) является отрезком дуги единичной окружно-
окружности (рис. 7.3).
В этом случае
-\ 2
и из формулы G.100) следует
'*" А" (а) А (а) = 2 l/sinb^ sin ?±2
Х+ (*)= -е'*" А" (а)„ А (а) = 2 l/sinb^- sin ?±2- . G. 104)
Приложение 7.2
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Выведем две важные формулы интегрирования, которые пона-
понадобятся при решении задач. Это формулы вида ([29] с. 400)
"G.I05)
(г). 17.106)
Здесь введены следующие обозначения: (а, Ь) — некоторый от-
отрезок комплексной плоскост«-2 = х + /г/; /(г) —кусочно-голоморф-
ная функция на плоскости, разрезанной по отрезку (а, Ь), имею-
имеющая полюсы в точках'-z=-Zft конечной части плоскости и полюс в
точке 2 = оо; f+(t) — предельное значение функции f(z) при при-
приближении к отрезку (а, Ь) слева, если смотреть в направлении дви-
движения от точки с-к точке Ь. Формулы G.105) и G.106) справедли-
справедливы в случае, когда f{z) меняет знак при переходе с левого берега
разреза (а, Ь) на правый и наоборот. Это будет иметь место, так
как в качестве /(г) будут фигурировать функции вида
f(z)=*X(z)9(z), f(z) = f(z)/X(z), G.107)
где . X{z)=V(z-a){z~b), G.108)
a q>(z) — кусочно-голоморфная функция на всей плоскости и, сле-
следовательно, имеющая одно и то же значение <р(/) в каждой точке
t на обоих берегах разреза. Изменение знака -f(z) происходит
вследствие того, что меняет знак функция X(z), G*(*o) и G«,(/o) —
это главные значения разложения функции f(z) в окрестности по-
полюса zft и z=oo соответственно, в котором z заменено t0:
G.109)
313
Рис. 7.4. Плоскость, разделенная контуром
(S+— конечная область; S~— бесконечная)
п и т-— порядок полюсов; Aj —
константы; точка U принадлежит
отрезку (а, Ь). Сумма вычетов в
правой части формулы G.106) берет-
берется по всем полюсам функции f{z),
причем вычет в бесконечности равен коэффициенту при (—1/z) в
разложении f(z) в окрестности точки z=oo.
Воспроизведем кратко доказательство формул G.105) и G.106),
следуя монографии Н. И. Мусхелишвили [29]. Сначала приведем не-
некоторые формулы для интегралов типа Коши.
Пусть L обозначает простой замкнутый гладкий контур. Обоз-
Обозначим через 5+ конечную часть плоскости, ограниченную L, а через
S- — бесконечную часхь плоскости, состоящую из точек, располо-
расположенных вне L (рис. 7.4). Область, состоящую из 5+ и из точек ли-
линии L, обозначим через S++<L, а область, состоящую из S- и то-
точек линии L, — через S~+L. В качестве положительного направле-
направления на L выберем то, которое оставляет область S+ слева.
1. Пусть f(z) — функция, голоморфная (аналитическая, одно-
однозначная и не имеющая полюсов) в 5+ и непрерывная в S++L.
Тогда
Л г f{t)dt if [г) при г в 5+_ G п0)
- 2я/1 *~г I 0 при z в S-
Первая из этих формул — это формула Коши, вторая вытекает
из теоремы Коши, так как функция f(t)f(t—z), рассматриваемая
как функция от /, голоморфна в S+ и непрерывна в S++L, если г
принадлежит S~.
2. Пусть /(z) — функция, голоморфная в S~, включая бесконеч-
бесконечно удаленную точку, и непрерывная в S-+L. Пусть еще f(oo)=0,
т. е. в окрестности точки z = oo имеет место разложение
J\z)—— ~г-^"т-"
Т0Гда ±\MUlL=\-f(z)_ при zsS-m GЛ11)
2Ш J t-z | Q при z в s+
Первая из этих формул называется формулой Коши для бес-
бесконечной области. Она совпадает с первой формулой G.110), если
поменять направление обхода контура L, чтобы область S~ (а не
S+) осталась слева. Доказательство формул G.111) элементарное.
Нужно нарисовать круг с центром в начале координат достаточно
большого радиуса R и применить формулы G.110) для области,
заключенной между L и R. Затем устремить радиус R к бесконеч-
бесконечности и учесть, что интеграл по кругу R будет стремиться к нулю.
Формулы G.110) и G.111) можно обобщить.
314
Рис. 7.5. Пояснение к вычислению интегра-
интегралов G.105) и G.106)
Пусть, например, функция f(z)
голоморфна в 5~ и непрерывна в
S~+L, за исключением, быть может,
конечных точек zu z%,..., zn этой об-
области, а также точки 2=оо, где она
может иметь полюсы с главными
частями Gi(z),..., Gn(z), 60,B), ко-
которые определены формулами
G.109). Тогда
±i[^j-=-f(z)+O1(z)+...+Qn(z)+Q»(z) при г в
(z) при z в S+.
G.
G.
112)
113)
Эти формулы доказываются путем применения формул G.111)
к функции
которая будет голоморфной в S~ и обращающейся в нуль при
г = оо. Докажем, например, формулу G.113). По второй формуле
G.111)
0==J_r /о (О dt _ 1 г / @ dt i_p
2ai) t — z 2л1 ) t — z 2л1 )
I
t — z
ILL
_ If Gn(t)dt 1 fQ,(Q<tf
2ni) t — z 2ai) t—z
I L
Но функции Gh(z) и GooB) no условию голоморфны в S+ (это глав-
главные части в S~), поэтому к соответствующим интегралам примени-
применима формула Коши G.110), и мы придем к G.113).
Вернемся к интегралу G.105). Рассмотрим отрезок (а, Ь) (рис.
7.5) и контур L, окружающий (а, Ь). Функция f(z), граничное зна-
значение которой стоит под интегралами G.105) и G.106), имеет по-
полюсы только в S~. Этого всегда можно добиться, расположив кон-
контур L на рис. 7.5 достаточно близко к отрезку (а, Ь). Полагая z=t0,
т. е. поместив z в S+, можем применить формулу G.113). Стяги-
Стягивая затем контур L к отрезку (а, Ь) и учитывая, что интегралы по
малым окружностям равны нулю, получим
Г г f-(t)dt , 1 г f+{t)dt
2яП t-t0 2nl) t-t0
а а
Но по условию /~@= — /¦*¦(*)> и мы получаем формулу G.105).
315
Аналогично для контура L (рис. 7.5) получим
Ь а Ь
'*=(" f-{t)dt-\-[ f+(t)dt= — 2 f/+
*
С другой стороны, согласно теореме о вычетах
откуда и вытекает формула G.106). __
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров В. М., Коваленко Е. В. О двух эффективных методах ре-
решения линейных смешанных задач механики сплошных сред. — Прикладная ма-
математика и механика 1977, т. 41, № 4, с. 688—698.
2. Александров В. М., Коваленко Е. В. Периодические контактные задачи
для упругой полосы. — Изв. АН Армянской ССР. Механика, 1977, т. 30, № 4,
с. 18—33.
3. Александров В. М., Кучеров В. А. Некоторые задачи о действии двух
штампов на упругую полосу. — Механика твердого тела, 1968, № 4, с. 110—
122.
4. Александров В. М., Кучеров В. А. О методе ортогональных полиномов в
плоских смешанных задачах теории упругости. — Прикладная математика и ме-
механика, 1970, т. 34, № 4, с. 643—652.
5. Арутюнян Н. X. Плоская контактная задача теории ползучести. — При-
Прикладная математика и механика, 1959, т. 23, № 5, с. 901—924.
6. Арутюнян Н. X. Контактная задача для полуплоскости с упругим креп-
креплением. — Прикладная математика и механика, 1968, т. 32, № 4, с. 632—646.
7. Арутюнян Н. X., Манукян М. М. Контактная задача теории ползучести
с учетом сил трения. — Прикладная математика и механика, 1963, т. 27, № 5,
с. 813—820.
8. Арутюнян Н. X., Мхитарян С. М. Периодическая контактная задача для
полуплоскости с упругими накладками. — Прикладная математика и механика
1969, т. 33, № 5, с. 813—843.
9. Тахов Ф. Д. Краевые задачи. Изд. 2-е. М., Физматгиз, 1963. 639 с.
10. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и про-
произведений. Изд. 4-е М., Физматгиз, 1962. 1094 с.
11. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. О передаче усилий от ребер жесткости
к цилиндрической оболочке. — В кн.: Проблемы гидродинамики и механики
сплошной среды. М., Наука, 1969, с. 177—181.
12. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Передача усилий от стрингера перемен-
переменного сечения к пластине. — Проблемы прочности, 1971, № 9, с. 71—74.
13. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Контактная задача для полубесконеч-
полубесконечной цилиндрической оболочки. — Прикладная математика и механика, 1971,
т. 35, № 5, с. 831—839.
14. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. О решении интегральных уравнений для
контактных задач. — В ки.: Избранные проблемы прикладной механики. М.,
1974, ВИНИТИ, 271—281.
15. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Цилиндрический изгиб пластины жест-
жесткими штампами. — Прикладная математика и механика, 1975, т. 39, № 5,
с. 876—883.
16. Каландия А. И. Математические методы двумерной упругости. М., На-
Наука, 1973, 303 с.
17. Клубин. П. И. Расчет балочных и круговых плнт на упругом основа-
основании.—Инженерный сборник, 1952, т. 12, с. 95—135.
18. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой
задачи. — Доклады АН СССР, 1954, т. 94, № 6, с. 987—990.
¦
316
19. Крейн М. Г. Об одном новом методе решения линейных интегральных
уравнений первого н второго рода. — Доклады АН СССР, 1955, т. 100, № 3V
с. 413—416.
20. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. Изд. 2-е. М., Нау-
Наука, 1967. 500 с.
21. Ларькии Ю. И. О передаче нагрузки от ребра конечной длины упругой
пластине. — Строительная механика н расчет сооружений, 1968, № 5, с. 8—21.
22. Ларькнн Ю. И. К определению контактных усилий взаимодействия меж-
между продольно нагруженными стержнем (ребром) и упругой пластиной. — Уче-
Ученые записки Мордовского университета, вып. 73, ч. 2. Саранск, 1969, с. 6—26.
23. Максименко В. Н., Фильштинский Л. А. О контактных задачах в теории
анизотропных оболочек. — В кн.: Труды X Всесоюзной' конференции по теории
оболочек и пластин. Кутаиси, 1975, т. 1Г Тбилиси, Мецннсреба, 1975, с. 186—195.
24. Макснмеико В. Н., Филъштинскнй Л. А. Упругое равновесие анизотроп-
анизотропных оболочек, подкрепленных ребрами жесткости. — Прикладная математика и
механика, 1975, т. 39, № 5, с. 900—908.
25. Максименко В. Н., Фильштинский Л. А. О передаче усилий от стрин-
стрингера переменной жесткости к армированной оболочке. — Прикладная механика,
1976, т. 12, № 7, с. 3—10.
26. Макснменко В. Н., Фильштинский Л. А. Контакт анизотропной -оболоч-
-оболочки вращения с жесткими линейными штампами. — Механика твердого тела,
1977, № 2, с. 89—94.
27. Мораль Г. А., Попов Г. Я. К периодической контактной задаче для по-
луплоскос'тн с упругими накладками. — Прикладная математика и механика,
1971, т. 35, № 1, с. 172—178.
28. Мораль Г. А., Попов Г. Я. К теории контактных задач для цилиндри-
цилиндрических тел с учетом сил трения. —Изв. АН СССР. Механика твердого тела,
1976, № 2, с. 87—96.
29. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории
упругости. Изд. 5-е. М., Наука, 1966. 707 с.
30. Мусхелншвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения, граничные
задачи теории функций и некоторые нх приложения к математической физике.
М.—Л., Гостехнздат, 1946. 448 с.
31. Мусхелншвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Изд. 2-е. М.,
Фнзматгнз, 1962, 599 с. •
32. Мхитарян С. М. О некоторых плоских контактных задачах теорнн упру-
упругости с учетом снл сцепления несвязанных с ними интегральных и дефферен-
цнальных уравнениях. — Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1968, 21, № 5—6,
с. 3—20.
33. Мхитарян С. М. Об эффективном решении некоторых классов линейных
интегральных уравнений первого рода н связанных "с ними дифференциальных
уравнениях. — Доклады АН Арм. ССР. Прикладная математика, 1969, т. 48,
№ 2 с. 71—78.
34. Панасюк В. В., Теплий М. И. Деяк! контактн! задач! теори пружность
Кн1в, Наукова думка, 1975. 195 с.
35. Попов Г. Я. Об одном приближенном способе решения некоторых плос-~
ких контактных задач теорий упругости. — Изв. АН Арм. ССР. Серия фнз.-мат.
наук, 1961, т. 14, № 3, с. 81—96.
36. Попов Г. Я. Некоторые свойства классических многочленов н нх при-
применение к контактным задачам. — Прикладная математика н механика, 1963,
т 27, № 5, с. 821—832.
37. Попов Г. Я. О методе ортогональных многочленов в контактных задачах
теории упругости. — Прикладная математика и механика, 1969,' т. 33, № 3,
с. 518-531.
38. Сеймов В. М. Динамические контактные задачи. Киев, Наукова думка,
1976. 283 с.
39. Толкачев В. М. Передача нагрузки от стрингера конечной длины к бес-
бесконечной и полубесконечной пластине. — Доклады АН СССР, 1964, т. 154, №4,
с. 806—808.
317
40. Толкачев В. М. Действие острых штампов на бесконечную длинную ци-
цилиндрическую оболочку. — Прикладная математика н механика; 1971, т. 35,
№ 4, с. 734—739.
41. Штаерман И. Я. Контактные задачи теории упругости. М.—Л., Гостех-
издат, 1949. 270 с.
42. Чнбрикова Л. И. О решении некоторых полных сингулярных интеграль-
интегральных уравнений. Краевые задачи теории аналитических функций. — Ученые за-
записки Казанского университета, 1962, т. 122, № 3, с. 95—124.
43. Carleman Т. Sur la resolution de certaines equations integrates. — Aktiv
/or Mathematik, Astronomik und Fysik, 1922, 16, N 26, S. 1—19.
44. Benscoter S. U. Analisis of a single steffener on an infinite sheet. —
Journal of Applied Mechanics, 1949, 16, N 3, p. 242—246.
45. Karleman T. Ober die Abelsche Integralgleichung mit konstanten Integra-
tionsgrenzen. — Mathematische Zeitschrift, 1922, Bd. 15, S. 111—120.
46. Multhopp H. Die Berechnung der Auftriebsverteilung von Trangflugeln. —>
Luftfahrforschung, 1938, 15, N 4, S. 153—169.
Гл ав а 8
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ОБОЛОЧКИ
8.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В этой главе рассмотрены некоторые контактные задачи взаимодействии ци-
цилиндрической оболочки с жесткими штампами и упругими ребрами (стрингерами).
Характерным в постановке задач является неучет ширины площадок контакта»
контакт оболочки и штампов осуществляется по отрезку линии — образующей ила
дуги окружности. Введение этой гипотезы существенно упрощает задачу, делая
ее одномерной.
В разд. 8.2 рассмотрено взаимодействие жестких штампов с тонкой круговой
цилиндрической оболочкой по дугам окружности поперечного сечения. Дается
подробное решение названной задачи от вывода исходного интегрального урав-
уравнения до численного расчета. Так как путь решения данной задачи является ха-
характерным для всех других контактных задач, следует на ием остановиться. На
основе результатов гл. 6 записывается изгнбная поперечная деформация средии-
иой поверхности оболочки в некоторой точке дуги окружности поперечного се-
сечения от единичной сосредоточенной силы, приложенной в некоторой другой точ-
точке той же окружности. Иными словами, строится функция влияния, которая вы-
выполняет роль функции Грина при записи интегрального представления для из-
гибиой деформации от произвольной нормальной погонной нагрузки, приложен-
приложенной по дуге окружности поперечного сечення. П-ри записи такого представления
существенную роль играет то, что главнаи часть функции Грина (логарифмиче-
(логарифмическое ядро) записывается в явном замкнутом виде, остальная регулярная часть
(регулярное ядро) записана в виде тригонометрического ряда. Сходимость тако-
такого ряда весьма хорошая (как 1/я4 при больших п), она исследована в гл. 6. Най-
Найденная изгибная деформация оболочки приравнивается разинце между исходной
кривизной оболочки на линии контакта и кривизной основания штампа> которая
предполагается несколько меньшей, чем кривизна оболочки. Так получается ис-
исходное интегральное уравнение с логарифмическим разностным ядром вида
а — а0
In 2 sin —-— и регулярной частью ядра. Оно преобразуется в интегральное
уравнение Фредгольма второго рода для некоторой регулярной функции у (а) ме-
методом гл. 7. Искомая реакция q прн этом представляется в виде
А со&т
л Т^Гу ()> х (а)" ^2 (cos а ~"cos
где А — постоянная, Х(а) — каноническая функция, характеризующая осо-
особенность реакции, 20 — длина зоны контакта. Таким образом, особенность реше-
решения получена в явном виде. Интегральное уравнение для функции у (а) решается
в тригонометрических рядах, что для данной задачи является естественным. Это
видно из анализа самого решения. Содержание разд. 8.2 заимствовано из работы
В. М. Толкачева [65], которая, возможно, является первой публикацией, где рас-
рассматриваемая задача решена с выделением особенностей решения в явном виде.
Та же, что в разд. 8.2 задача, но для полубескоиечной тонкой круговой ци-
цилиндрической оболочки, свободно-опертой на торце, рассмотрена в разд. 8.3, со-
содержание которого взято из работы Э. И. Григолюка и В. М. Толкачева [19].
319
Целью решения задачи было изучение влияния близости торца оболочки иа xa-j
рактер распределения нормальной реакции.
Близкой к задаче разд. 8.3 по постановке и методу решения является зада-.-.
ча о выходе круговой цилиндрической оболочки конечной длины из шахты (см.
рис. 8.12). Эта задача, которая уже является «исто практической, рассмотре-
рассмотрена в разд. 8.4. Оболочка выходит из цилиндрической шахты и вышедшая часть
подвергается боковому гидродинамическому напору. В результате перекоса обо-
оболочки происходит контакт ее поверхности с угловой кромкой шахты, вследствие
чего вблизи зоны контакта могут возникать значительные напряжения в оболдч-
ке. При решении данной задачи используются результаты разд. 8.3 для полубес-
полубесконечной цилиндрической оболочки. В отличие от разд. 8.2 в разд. 8.3 и 8.4 ре-
решение строится в виде разложения по полиномам Чебышева. По всем трем опи-
описанным выше задачам получены обширные численные результаты.
В разд. 8.5 рассмотрено взаимодействие бесконечно длинной тонкой круго-
круговой цилиндрической оболочки с системой острых жестких штампов, но приложен-
приложенных по отрезкам образующих. Все штампы считаются одинаковыми, одинаково
нагруженными и находящимися один от другого на одинаковом расстоянии вдоль
окружной координаты. Метод решения тот же, что и в разд. 8.3 — исходное ин-
интегральное уравнение с логарифмическим ядром вида In
2sh
И — <Хр
решается с
помощью полиномов Чебышева. Этот метод описан в гл. 7.
В следующем разд. 8.6 описана задача включения для бесконечно длинной
цилиндрической оболочки с продольными ребрами (стрингерами), нагруженными
на концах сосредоточенными силами. Результаты разд. 8.6 опубликованы в рабо-
работе Э. И. Грнголюка и В. М. Толкачева [20], более подробный вывод уравнений
задачи и больший объем'численных результатов содержится в статье [21]. Задача
включения приводится к сингулярному интегральному уравнению с ядром типа
а — а0
cth—-— н регулярной добавкой. Это уравнение после регуляризации или непо-
непосредственно можно было решать с помощью полиномов Чебышева. Однако при-
приведенное в работах [20] и [21] решение было получено путем выделения сингуляр-
сингулярной части ядра в виде ядра Кош»; последующей регуляризации н численного ре-
решения с помощью квадратурной формулы трапеций. Этот путь решения и вос-
воспроизведен в разд. 8.6.
В разд. 8.7 рассматривается не оболочка, а пластинка, защемленная по от-
отрезку прямой. По существу обсуждается вопрос о существовании решения зада-_
чи н физической интерпретации решения. Вводятся трн составляющие реакции:
распределенные по линии контакта погонные нормальные усилия, нормальные к
поверхности пластины сосредоточенные нормальные силы на концах линии кон-
контакта и погонные моменты, распределенные по линии контакта. Изложение но-
снт дискуссионный характер, так как подход является новым.
В разд. 8.8 рассмотрена модельная задача, аналогичная задаче разд. 8.2. От-
лнчне состоит в том, что радиус основания жесткого штампа равен наружному
радиусу оболочки, а связь — двухсторонняя. При рассмотрении задачи исполь-
использованы идеи предыдущего раздела. Показано, что реакция основания штампов
состоит из сосредоточенных снл на концах зоны контакта и распределенных мо-
моментов, а нормальные погонные усилия отсутствуют.
В конце гл. 8 приводятся два приложения. Первое содержит программу на
языке АЛГОЛ-60 для численного решения задачи о выходе оболочки из шахты,
во втором приложении вычисляется один сингулярный интеграл из разд. 8.2.
Остановимся на состоянии обсуждаемой н главе и близкой к ней проблеме.
Задача о взаимодействии тонких оболочек с острыми штампами и ложемен-
ложементами встречаются при изучении работы железнодорожных цистерн, покоящихся
иа ложементах, при хранении резервуаров н т. д. Если реакция взаимодействия
оболочки и ложемента известна, то напряженно-деформированное состояние обо-
оболочки найти уже нетрудно. Поэтому основная трудность состоит в решении кон-
контактной задачи — определении реакций. Оболочки могут контактировать с ложе-
ложементами либо непосредственно (неподкреплеииые оболочки), либо через шпанго-
шпангоуты (подкрепленные оболочки). Остановимся сначала иа иеподкрепленных рбо-
320
лочках. В этих задачах, как правило, не учитывается ширина зоны контакта, что
и будем иметь в виду, если противное ие оговорено. Л. С. Гильма.ном [14] к
В. Ф. Евтихиным [23] рассмотрены трубопроводы иа стальных опорах.
В. Крупка [79—81] изучил контактные задачи для круговой цилиндрической
оболочки с жесткими и упругими ложементами, радиус основания которых ра-
равен наружному радиусу оболочки. Решение численное. Связь между оболочкой к
ложементом представлялась рядом точечных опор. Реакции в точках опоры оп-
определялись из условия равенства смещений точек ложемента и оболочки. Чис-
Численные результаты обнаружили существенную концентрацию реакции на концах
зоны контакта. Изгнб свободно опертой по торцам оболочки жестким штампом,
радиус основания которого равен наружному радиусу оболочки, рассмотрен
также Ю. В. Соболевым и Н. П. Алешиным [61]. Численное решение, как и в ци-
цитированных работах В. Крупки, получено путем замены основания штампа ря-
рядом точечных опор. Т. С. Акульшина и др. [1] разобрали случай, когда между
жесткими ложементами и оболочкой имеются прокладки, деформирующиеся как
винклеровское основание. Решение задачи получено в тригонометрических рядах,
коэффициенты которых определяют/с я иэ бесконечной сиетемы алгебраически»
уравнений. Численные расчеты показали, что реакция мало меняется в зоне кон-
контакта, лишь вблизи концов ложемента имеется резкий всплеск. Случай ложемен-
ложемента и оболочки одинакового радиуса изучался теоретически и экспериментально и
в диссертации Р. Цвизеля [83]. Использован метод разложения решения в триго-
тригонометрические ряды по окружной координате. Для определения каждого члена
ряда как функции продольной координаты применяется редукциоииый метод, так
как переменные ие разделяются. Выполненные исследования показывают, что>
имеет место резкая концентрация реакции у концов ложемента.
Контактная задача для бесконечно длинной тонкой круговой цилиндрической
оболочки и жесткого ложемента с радиусом основания, немного большим наруж-
наружного радиуса оболочки, рассмотрен К- Брандесом [74]. Решение строится иа осно-
основе классической теории оболочек с использованием рядов Фурье по окружной
координате и интеграла Фурье — по продольной. Искомая нормальная реакция
аппроксимируется полиномом плюс сосредоточенные силы на концах зоны кон-
контакта. Эта реакция затем разлагается в ряд Фурье. Коэффициенты полинома и
сосредоточенные силы находятся методом коллокаций нз условия равенства сме-
смещений ложемента и оболочки. Введенные автором сосредоточенные силы в дейст-
действительности в решение ие входят. Их можно считать лишь приближением. Реше-
Решение для нормальной реакции на основе классической теории имеет корневую осо-
особенность иа концах зоны контакта [19, 63]. Если, однако, иметь в виду, что в рам-
рамках численного метода работы [74] нельзя выявить точный характер реакции",
сосредоточенные силы К. Брандеса следует считать приближеиием весьма разум-
разумным.
Из рассмотренных выше исследований только статья К. Брандеса [74] наи-
наиболее близка к содержанию разд. 7.2, 7.3 и 7.4 данной главы (радиус ложемен-
ложемента отличен от радиуса оболочки). К более поздним работам,-близким по содер1-
жанию к работам [19, 63], относятся работы В. Н. Максименко и Л. А. Фильш-
тинского [45, 48]. В их публикациях контактная задача для оболочки с жестким»
штампами обобщена иа случай анизотропных оболочек. Цитированными выше
статьями фактически и исчерпываются выполненные исследования по взаимодей-
взаимодействию штампов (ложементов) с неподкрепленными оболочками. Несколько в сто-
стороне от обсуждаемой проблемы стоит работа Г. А. Мовсияна [51], где разобран
случай круговой_цилиндрической оболочки, сжимаемой одинаковыми иьампа-
ми в продольном направлении по торцам. Решение задачи строится в рядах по
окружной координате и сведено к бесконечной системе алгебраических уравие^
ний.
Решению контактных задач для подкрепленных оболочек, опирающихся на
ложементы через шпангоуты, пбсвящены, главным образом, работы украинских
ученых. Обзор исследований по таким задачам содержится в статье В. И. Мос-
саковского и В. С. Гудрамовича [53], ряд решений приводится в книге [52]. По-
Поэтому мы остановимся лишь на отдельных работах. В. И. Моссаковский и дрг.
[54] рассмотрели случай, когда ложемент- является винклеровским основанием1.
Задача решается с использованием тригонометрических рядов для искомой реак-
реакции, усилий и смещений' в оболочке н шпангоуте. Для определения коэффицигн°-
11 3136 321
тов рядов привлекаются условия контакта оболочки и шпангоута, шпангоута и
'ложемента. В итоге с помощью процедуры интегрирования функционального с
уравнения с весовыми тригонометрическими функциями (процедура метода Буб-.-
нова) задача сводятся к решению бесконечной системы алгебраических уравне- "
ннй. В частном случае, когда внешняя нагрузка на шпангоут является первой '..
гармоникой, решение получено в замкнутом виде. Случай разиомодульных иа
растяжение и сжатие прокладок, позволяющий исследовать также односторонний 'f
контакт между шпангоутом и прокладками, обсужден Е. В. Ивченко и Е. М. Ма- Ч
Асеевым [37]. Разиомодульиоста прокладок делает задачу нелинейной, так как J
нелинейным получается уравнение равновесия шпангоута, записанное через про- Г
гнбы. Решение строится методом последовательных приближений — нелинейный Ь
множитель перед производной от прогиба заменяется известным, выраженным
через прогиб предыдущего приближения. Эта же задача, но для нелинейного '
материала прокладок между шпангоутом и кольцевой опорой описана в работе *
136]. Нелинейность выражена ломаной линией зависимости мея^ду нормальной $
реакцией и прогибом, что позволяет после разбиения зоны контакта на участки .»
записать линейную зависимость в пределах каждого участка. Если участки раз- г
биения зоны, контакта считать заданными, то задача становится линейной и сво- :
дится сначала тс интегральному уравнению для нормальной реакции, а затем к *
системе алгебраических уравнений. Фактические участки разбиения определяются
методом последовательных приближений. Эта же задача анализируется в работе
129]. Прокладки типа винклеровского основания между шпангоутом и ложемен-
ложементом рассмотрены еще в работе [44]. В. С. Гудрамовнч [22] исследовал случай
круговой цилиндрической оболочки со сферическими днищами," опертой иа упру-
упругие ложементы. Характерным для перечисленных работ, в которых рассмотрены
оболочки со шпангоутами, является использование полубезмоментиой теории. Это
можно считать оправданным, так как шпангоут существенно сглаживает концент-
концентрацию нагрузок, передающихся на оболочку от ложемента.
Остановимся кратко на задачах включения для цилиндрической оболочки.
Для пластин эти задачи детально обсуждены в первых трех главах книги. Что \
касается круговых цилиндрических оболочек, то работ в этой области немного. ,_
Можно сослаться на статью Ф. Фишера [75], в которой исследован случай бес- -
конечно длинной круговой цилиндрической оболочки с бесконечно длинным реб- :
ром, нагруженным в начале координат продольной сосредоточенной силой (аиа- s
лог задачи Е. Мелаиа для пластины). Решение задачи строитси путем разреза- „
ния оболочки по линии присоединения ребра. Получается незамкнутая панель, .,
к уравнениям которой сначала применяется преобразование Фурье по продоль- -
ной координате. После этого интегрируются обыкновенные дифференциальные *
¦уравнения. Константы определяются в явном виде из условий стыковки с реб- >.
ром для изображения. Трудность, как обычно, состоит в вычислении интегралов
.обратного преобразования. Это делается комбинированием квадратурных формул
.и асимптотических разложений. Показано, что решеняе по теории пологих обо-
оболочек и теории И. Снмоидса [82] практически совпадает. Эта задача с учетом
изгиба ребер в цитированной статье Ф. Фишера решена впервые. Характер осо-
особенностей решения в окрестности приложенной силы, однако, в работе ие выве-
выведен. Но можно отметить, что как и в задаче Мелана, касательные усилия взаи-
взаимодействия между ребром и оболочкой будут иметь логарифмическую особен-
¦ность в точке приложения силы. К задаче включения можно приписать и задачу
о температурных напряжениях в подкрепленной продольными ребрами оболочке
•конечной длины, свободно опертой по торцам. Эта задача рассмотрена Л. И. Ба-
лабухом и Л. А. Шаповаловым [3]. Ребра доходят до торцев оболочки и могут
быть произвольно нагреты по длине. Решение задачи строилось методом разре-
разрезания в тригонометрических рядах по продольной координате. Путем анализа
рядов показано, что касательные усилия взаимодействия между ребрами и обо-
оболочкой неограниченно возрастают в окрестности торцев оболочки, имея там осо- \
бениость типа логарифма. Этот результат получен, исходя из теории пологих обо- '
йрчек для случая пострянно нагретых по длине ребер. Он, естественно, будет
справедлив и при неравномерном нагреве ребер. Исследован также варяант ре-
решения на основе уравнений полубезмоментиой теории. Сравнение решений пока-
Зырает, что концентрация касательных усилий в окрестности торца в случае по-
лубезмоментной теории выражена более резко. Совпадение по напряжениям в
322
ребрах лучше. Задача включения для бесконечно длинной оболочки с ребрами
конечной длины впервые решена в работах [20, 21]. Эта же задача для случая
ортотропной оболочки решена В. Н. Максимеико и Л. А. Фильштииским [46],
случай ребер переменного поперечного сечения разработан в работе [47]. На ос-
основе уравнений безмоментной теории круговая цилиндрическая оболочка с про-
продольными ребрами рассматривалась Л. В. Вергейчик и Е. В. Биикевичем [8]. Чис-
Численные расчеты для усилий в ребрах постоянного и линейно изменяющегося се-
сечения сравнивались с экспериментами. Эта же задача формулируется в рабо-
работе t9]' '
В заключение кратко остановимся на вопросе расчета ребристых оболочек
вообще (а не только на задачах включения), хотя эта проблема и выпала из
рассмотрения в рамках настоящей книги. Более подробно эти вопросы обсужде-
обсуждены, например, в книге [2].
В зависимости от назначения конструкций все задачи грубо можно разде-
разделить на два класса.
1. Задачи для конструктивно ортотропных оболочек.
2. Задачи для оболочек с дискретно расположенными ребрами.
Первый класс обсуждать не будем, а из задач второго класса оставим в сто-
стороне задачи устойчивости, колебаний, предельного равновесия. Сделаем акцепт
на задачах статики для оболочек с меридиональными ребрами.
Уравнения моментной теории цилиндрических оболочек с продольными реб-
ребрами получены В. 3. Власовым [10], который при выводе уравнений поступал
примерно так:, записал уравнения гладкой оболочки, нагруженной внешними
усилиями и реакциями ребер. Затем исключил реакции с помощью уравнений1
равновесия ребер. Позднее близкий к этому способ использовался в работах
А. Г. Назарова [56], Д. В. Вайнберга и И. 3. Ройтфарба [5], В. А. Заруцкого [30],
Л. А. Ильина [38]. Принцип возможных перемещений использован в работах
Е. С. Гребия [16, 17], В. А. Заруцкого [31, 32]. Представление о ребристой обо-
оболочке, как оболочке ступенчатой толщины, при выводе уравнений использовал
П. А. Жилин [25, 26].
Один из основных подходов к расчету оболочки состоит в разрезании ее на
отдельные панели и ребра. При этом решается граничная задача для каждой па^-
нели, после чего производится склейка решений с учетом дифференциальных
уравнений для ребер. Получаются связанные между собой системы обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений. Число систем равно числу ребер N, порядок
каждой системы для классической теории оболочек восьмой. Так как связанность
осуществляется через правые части уравнений равновесия ребра, являющиеся, во-
вообще говоря, реакциями со стороны панелей, то уравнения всегда могут быть
проинтегрированы для каждого ребра самостоятельно. В этом случае задача сво=-
дится к решению 8N функциональных уравнений или алгебраических уравнений;
если, например, решение удается разложить в направлении ребра по системе ор-
ортогональных функций. Для замкнутой оболочки с меридиональными ребрами
система распадается на независимые системы по 8 уравнений при наличии усло>
вий периодичности по каждому ребру, а при наличии периодичности по отдель*-
ным группам из п ребер (Njn — целое) на независимые группы по п связанных
систем. Метод разрезания использован, например, Л. И. Балабухом и Л. А. Ша-
Шаповаловым [3], а также Ф. Фишером [75].
После расчленения оболочки на панели трудность состоит в интегрировании
уравнений панели" в направлении меридиана, после чего получается система обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений по окружной координате. Для этого при
свободном опираиии торцев оболочки используется разделение переменных пу-
путем разложения решения в тригонометрические ряды Фурье по продольной коор-
координате. Кроме упомянутой работы [3], такой прием использован в работе
А. А. Кулагина [43] при анализе прямоугольной в плане сферической оболочки с
одним ребром, в статье П. Л. Жилина и Г. А. Кизимы [28] при рассмотрении сфе-
сферического пояса с меридиональными ребрами. Если не проходят ряды или интег-
интеграл Фурье, прибегают к численному или асимптотическому методу. Последний
использован, например, в работе П. А. Жилина [26] и Г. А. Кизимы [411.
Основы асимптотического метода в теории оболочек были заложены
О. Блюмеиталем [72] A912 г.), [73] A914 г.), С. П. Тимошенко [62] A913 г.)',
И. Я. Штаерманом [68, 69] A924 г.), [70, 71] A932—1933 г.), И. В. Гекклером
И* 323
[76] A926 г.) и получили дальнейшее развитие в трудах В. В. Новожилова [58],
А. Л. Гольденвейзера [15], К. Ф. Черных [66], Е. И. Михайловского [49], Е. И. Ми- -
хайловского и К. Ф. Черных [50]. Последние две работы посвящены расчленению
граничных условий на подкрепленном краю оболочки.
Как известно, асимптотический метод в теории ребристых оболочек эффек-
эффективен, если показатель изменяемости напряженного состояния вдоль ребра мень-
меньше показателя изменяемости в поперечном направлении. Это свойство, позволя-
позволяющее перейти к обыкновенным дифференциальным уравнениям типа краевого эф-
эффекта, обычно нарушается в окрестности концов ребер и в местах локального
нагружения. Поэтому метод может дать правильные результаты, например при
расчете оболочек вращения со шпангоутами, и существенную погрешность у
концов продольных ребер, подкрепляющих оболочку. В последнем случае затруд-
затруднено также выполнение граничных условий 'иа торцах оболочки.
В теории ребристых оболочек широко применяется также метод непосредст-
непосредственного интегрирования уравнений ребристой оболочки обычно с помощью двой-
двойных и одинарных тригонометрических рядов. Так как коэффициенты уравнений
в местах присоединения ребер терпят разрыв, переменные не разделяются. Ис-
Использование двойных рядов приводит к бесконечной снстеме алгебраических урав-
уравнений,' а одинарных в направлении, нормальном к осям ребер, к бесконечной
системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При использовании разло-
разложения в окружном направлении для оболочек со шпангоутами или в продольном
направлении для оболочек со стрингерами переменные разделяются, поэтому
здесь дело обстоит проще. Получается система обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений восьмого порядка со слагаемыми в виде дельта-функций. Перено-
Перенося эти слагаемые в правую часть, можно представить частное решение с помо-
помощью формулы Кошн в виде интегралов с переменным верхним пределом. Про-
Процесс дальнейшего решения становится рекуррентным и сводится к последова-
последовательному решению систем восьми алгебраических уравнений. Число таких реше-
решений равно числу ребер плюс одно решение. Указанный метод использовал
Н. И. Карпов [40] при расчете круговой цилиндрической оболочки с продольны-
продольными ребрами, а также П. А. Жилии [24] при анализе осеснмметричной задачи для
круговой цилиндрической оболочки со шпангоутами. При использовании формулы^
Коши необходимо знать систему нормальных фундаментальных функций (ядро
Коши). Метод определения ядра Коши для линейных дифференциальных урав-
уравнений е переменными коэффициентами развит в книге И. А. Биргера [4]. Он осно-:
ван на решении так называемых нормальных интегральных уравнений (аналоги
уравнений Вольтерра). В указанной книге дан также ряд приложений теория
нормальных интегральных уравнений.
Если система ребер регулярная (например, одинаковые и расположенные с
постоянным шагом продольные ребра в замкнутой цилиндрической оболочке), то
бесконечная система линейных алгебраических уравнений преобразуется к ко-
конечной системе из восьми уравнений (Н. И. Карпов [39], В. А. Заруцкий [34]).
При групповой периодичности система приводится к системе 8я уравнений, где
я — число ребер в группе. Это осуществляется с помощью теоремы о свертке,
являющейся аналогом теоремы для преобразования Фурье. Рассматриваемый ме-
метод применялся в работах В. 3. Власова [11], Ю. А. Шиманского [67], Д. В. Вайн-
берга, В. А. Заруцкого и Б. 3. Итенберга [6], В. А. Заруцкого [31, 32, 33, 34, 35],
Е. С. Гребня [16, 18], СИ. Волка [12], Н. А. Назарова [57], А. П. Варвака [7] и
других авторов.
Контактные задачи для оболочек с ребрами могут эффективно решаться ме-
методом интегральных уравнений, принятым в данной главе, о чем уже сказано
выше. Мы не останавливаемся здесь на численных методах, которые в настоя-
настоящее время получили чрезвычайно мощнное развитие.
8.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОСТРЫХ ШТАМПОВ И БЕСКОНЕЧНО
длинной круговой оболочки по дугам окружности
1. Постановка задачи, исходные уравнения. Рассмотрим беско-
бесконечно длинную круговую цилиндрическую оболочку, которая в не-
некоторой плоскости поперечного сечения сжимается т одинаковыми
324. .
P/2
\P/2
рис. 8.1. Оболочка, сжимаемая двумя Р/2 \Р/2
острыми штампами по дугам окружно-
окружности (#i — радиус кромки штампов, /?0 —
наружный радиус оболочки, 20 — вели-
величина зоны контакта)
штампами с острой и абсолютно
жесткой кромкой радиуса Ri
(рис. 8.1, где т=2). Радиус Ru
вообще говоря, можно считать
переменным, но не сильно отлича-
отличающимся от наружного радиуса
оболочки. Это допущение нужно для того, чтобы иметь малые де-
деформации оболочки в зоне контакта и, таким образом, можно
использовать линейную теорию оболочек.
Задача будет состоять в определении реакции со стороны штам-
штампа на оболочку и величины зоны контакта, измеряемой централь-
центральным углом G. Реакцию будем считать действующей нормально к
поверхности оболочки, трением в зоне контакта будем пренебре-
пренебрегать. Будем также полагать, что каждый штамп прижимается к
оболочке силой Р/т. Частный случай поставленной задачи, когда
имеется один штамп (т=1), является идеализированным вариан-
вариантом практически важной задачи о расчете резервуара, покоящегося
на жестком ложементе. Идеализация будет состоять в неучете гра-
граничных условий на торце резервуара, неучете ширины ложемента и
его упругих свойств. На примере, этой задачи будет описан метод
решения и выявлены особенности, присущие контактным задачам
данного класса.
Исходное уравнение задачи получим из условия плотного при-
прилегания оболочки к штампу в зоне контакта, которое отождествим
с условием, чтобы изменение кривизны срединной поверхности обо-
оболочки в окружном направлении хг в зоне контакта было равно
где Ri — радиус кромки штампа; Ro — радиус наружной поверхно-
поверхности оболочки (см. рис. 8.1).
Изменение кривизны х2 считается положительным, если радиус
оболочки Ro в процессе деформации уменьшается. Нормальную ре-
реакцию, действующую со стороны штампа на оболочку, обозначим
через q и будем считать'положительной, если она направлена к оси
оболочки.
Отметим, что вместо) деформационного условия (8.1) можно
было бы потребовать, чтобы были равны перемещения оболочки и
штампа на линии Контакта. В этом случае, естественно, получилось
бы иное уравнение для определения реакции q. Однако решение
этого уравнения для реакции q должно дать тот же результат, что
и решение уравнения, полученного из условия (8.1). Действитель-
Действительно, если известна величина хг в зоне контакта, равная правой час-
325
ти равенства (8.1), то перемещения линии контакта оболочки оп- .
ределятся с точностью до перемещения этой линии как жесткого :
тела. Этот произвол будет'определен при решении задачи. В самом
деле, предположим, что реакция q и величина зоны контакта 8 из i
уравнения (8.1) определятся вполне однозначно. Тогда соотношё- •;
ния, полученные в гл. 6, позволят вполне однозначно определить и.:
перемещения в каждой точке оболочки и, стало быть, в зоне кон- -;
такта. Если же допустить, что из условия по перемещениям в зоне *
контакта будет найден иной вид реакции q, то не будет выполнено t;
уравнение (8.1), так как по предположению оно имеет единствен- 3
ное решение. С другой стороны, онодолжно быть выполнено, так 1
как получается из уравнения по перемещениям простым дифферен- \
цированием. ' \
Эквивалентность деформационных граничных условий условиям \
для перемещений известна (ом. монографию В. В. Новожилова \
[58]). Контактное же условие (8.1) можно отождествить с гранич- |
ным, если разрезать оболочку по линии контакта. |
Деформационные условия типа (8.1) в контактных задачах тео- |
рии оболочек предпочтительнее условий по перемещениям, так как 1
приводят к уравнениям более легким с точки зрения их анализа и
решения.
Это уравнения, рассмотренные в гл. 7..
Для получения исходного интегрального уравнения нужно вы-
выразить величину Иг линии контакта оболочки через реакцию q и
подставить в левую часть условия (8.1). С этой целью предполо-
предположим, что на участке —Э^<р^Э дуги окружности на оболочку дей-
действуют произвольные погонные усилия q, направленные внутрь обо-
оболочки. Отсчет продольной координаты >? будем вести от линии наг-
ружения (см. рис. 8.1).
Изменение кривизны хг срединной поверхности оболочки в ок-
окружном направлении на линии ?=0 от нагрузки q определяется по .
формуле F.20) . : ;
Подействуем этим оператором на основную разрешающую функ-
функцию Грина F.29), положим ?=0, а вместо <р напишем ф—<pi. При
326
2 (i -f- vi i ~
-——¦—— \ Х23Ф (O| ?—?i)^fif?i« (8-2)
Дифференциальный оператор игз, входящий под знак интеграла, 1
возьмем в виде F.23) для непологой оболочки ' 1
1
f^ + *4B+v)? + q) (8.3) !
дифференцировании по | воспользуемся формулами F.37). В ито-
итоге получим
, «Р—Р,)=-±=y V ^- cos /г (?-?1), (8. 4)
где *B 2^[55(^)
7 = 1 .~~~~~
(L)/| (8.5)
Tj и Yj — параметры, определяемые формулами F.35); qj и <о,—
параметры, находящиеся по выражениям F.38); a2=h2/l2R2.
,При использовании теории пологих, оболочек в классическом1
смысле (не учитывать второе слагаемое в формуле F.4) для изме-
изменения кривизны хг), подчеркнутые слагаемые в формуле (8.5), со-
соответствующие подчеркнутым слагаемым в формуле (8.3), нужно
опустить. О том, как влияют эти слагаемые на характер и величи-
величину реакции, а также на зависимость между величиной зоны кон-
контакта и силой, приложенной к штампам, будет сказано в разд. 8.3
на примере полубесконечной оболочки. В настоящем разделе эти
слагаемые будут учитываться. Формула (8.4) после подстановки в
(8.2) дает изгибную деформацию только от реакции q, действую-
действующей на отрезке (—8 , 6). Так как в рассматриваемом случае одина-
одинаковая реакция действует на от одинаковых и равноотстоящих один
от другого участках,, то нужно просуммировать эти воздействия.
При этом формула (8.2) сохранит свой вид, если вместо выраже-
выражения (8.4) взять
00
*23Ф@, «p-«Pl)=^I^ V -5s. cos л (?-?,)• (8-6)
0Яд2 П
Действительно, так как реакция на каждом участке одинакова,
то при суммировании деформаций (8.2) в точке ф от реакций каж-
каждого участка будут суммироваться ядра. А так как участки контак-
контакта одинаковы и расположены с шагом 2л/т, то в силу (8.4) при-
придется вычислять сумму
m-l
cosnU — ъ — —^Л.
Эта сумма равна т cos /i(<p—фО" при п=т, 2т,... и равна нулю
для остальных индексов п.
В разд. 6.4 (было 'показано, что функция *2зФ(,1, 'ф) имеет осо-
особенность типа логарифма в точке ф=0, |=0, поэтому хотя бы для
улучшения сходимости ряда (8.6) из него целесообразно выделить
главную, расходящуюся часть в замкнутом виде. Для ряда (8.4)
она определяется из последней формулы F.45) при | = 0 и F.48).
,327
Для выражения (8.6) главное значение получится, если во второг
сумме F.48) оставить слагаемые для /г=/л, 2т,... и умножить вс*
на т. Таким образом, главное значение будет
23 8яа2 ^^
COS П (<р — <pi)
1 —V
8яд2
1п
п—т,2т...
2 sin
(8.7
Вычитая из ряда (8.6) ряд (8.7) и компенсируя это добавление»!1
замкнутого выражения (8.7), получим '._
-In
2 sin
/и (у—
Согласно исследованиям разд. 6.5 ряд в правой части выра,же-|
ния (8.8) 'будет сходящимся, рричем коэффициенты Ьп—1 будут?
убывать' при больших п не хуже, чем 1/л4. :
Отметим, что кроме улучшения сходимости ряда выделение?
главного значения функции Грина для,изменения кривизны щ поз-
позволит выявить структуру полученного ниже интегрального уравне-
уравнения, выделить в явном виде характер особенностей в реакции q н
преобразовать уравнение к удобному для численного решения ви-
виду. Поэтому вопрос выделения главного значения мы считаем^
принципиальным.
Если подставить функцию Грина (8.8i) в выражение (8.2) и
приравнять его лравой части условия контакта (8.1), то получим
исходное интегральное уравнение задачи.
In
2 sin
а— а0
, (8. 9).
где /С (а — ct^Y1^—- cos k (а — а^ {п = Щ, (8.10)
шо=-
-"^-- (8-п>
Кроме уравнения (8.4)) должно быть выполнено условие равно--
весия усилий, приложенных к каждому штампу, — условие равен-
328
ства главного вектора реакции q и внешней силы Р/т (см. рис.
8.1) .. . ,
\ ? COS ?</? = ——
-6
или в переменной а (8.11)
cos—da=-?-. (8.12)
т R
-Р
2. Преобразование уравнения (8.9) к уравнению Фредгольма
второго рода. Это преобразование описано в разд. 7.6 и дается вы-
выражениями G.65) — Gд68), в которых гиперболические функции
нужно заменить соответствующими тригонометрическими, а во вто-
вторую формулу G.67) и G.68) вместо функции /i(a) нужно подста-
подставить правую часть уравнения (8.9) <—функцию (—тщ). Мы рас-
рассмотрим ниже случай, когда радиус основания штампа /?i постоян-
постоянный. В этом случае величина та>0 будет постоянной, и поэтому
функция F(ao) G.67) будет равна нулю. При этом второе уравне-
уравнение G.66), соответствующее функции >F(ao), станет однородным и
дает тривиальное решение #2=0. Значит, решение G.65) примени-
применительно к уравнению (8.9) можно взять в виде
A cos —
q(a)— —У (a), (8.13)
гдеХ(а) — функция G.42)
X (а)=2 iAin t=JL sin ^y~= V2 (cos a- cos p), (8. 14)
а функция у (а) определяется из уравнения Фредгольма второго
рода типа G.66)
В Я (a,, a0)cos ^~
^y(a0)—L \ — 2- y(ai)dai = cos ^ , (8. 15)
где /?(ai, ао) — ядро типа G.67)
R(«i> ao)_— ^ —— . (8. l6)
-P sin—g
Постоянная А в формуле (8.13) определяется из уравнения ти-
типа G.68)
f
в 1 с
Alnsin_2-=—- J
P
cos
—P
ai) —ядро уравнения (8.9), определяемое формулой (8.10).
329
Учитывая, что mcoo — постоянная величина, а искомая функция
q выражается формулой (в. 13), последнее выражение можно пере-
переписать в виде
, (8.17)
В— In sin —
в=*1~Лг1—лйН-""""* (8Л8)
При получении формулы (8.17) использовано также значение
интеграла
Этот интеграл вычисляется с помощью замены переменной a
на у по формуле
р . у . a
sin—..sin— = sin— .
2 2 2
3. Решение уравнения (8.15). Уравнение (8.15) можно решать
непосредственно численным способом, указанным в разд. 7.6. Од-
Однако в рассматриваемом случае из-за простоты ядра (8.10) такое
'решение можно построить в виде ряда, коэффициенты которого
будут определяться из решения бесконечной системы алгебраиче-
алгебраических уравнений. Рассмотрим этот способ решения, хотя формально
он и сложнее, так как требует вычисления ряда интегралов.
Покажем, что решение исходного уравнения (8.9) с постоянной
правой частью является четной функцией. Для этого представим
решение q в виде суммы четной части q,\ и нечетной q2 и учтем, что
ядро К(х) согласно (8.10) —четная функция относительно х. По-
Покажем, что функция
/(«)=\ K(a-al)q2(al)da1
будет нечетной/(—a)=—/(a). Имеем
J
-9
1
Мы здесь ввели переменную у= —ац. То же можно сказать от-
относительно первого интеграла в левой части уравнения (8.9). Те-
Теперь, приравняв четную и нечетную часть слева и справа в уравне-
330
нии (8.9) и учтя, что muH=const есть четная функция, получим для
q2 однородное уравнение, которое будет иметь только нулевое ре-
решение. Этим доказано утверждение.
Поскольку же решение q является четной функцией, можно уп-
упростить ядро К (а—«i), оставив только его четную часть
со
К (a, ai)="V hjk—- cos ka cos k, (8. 19)
Действительно, например
f cos (a — a,) qda{ = i (cos a cos a, -f- sin a sin a,) qdax =
U -p
p
= f cos a cos arftf a,.
^P
Подставляя ядро (8.19) вместо К (a—сы) в формулу (8.16), яд-
ядро /?(ai, ao) запишем в виде
со
#(olf a0)=-2(*n-l)cos)fea1yft(a0), (8.20)
, , . 1 f X (a) sin ka ,
где ^("o)^ — \ —^ da =
2re } . a — a0
(* = 1, 2,,.;J, (8.21)
ao=l, a^-cosp, а„=РГ2~Р" (л=2, З,...). (8.22)
В формулах (8.22) Pn=Pn(cos |J) —полиномы Лежандра. Спо-
Способ вычисления интегралов (8.21) приводится в приложении 8.2 к
данной главе.
Поменяем порядок интегрирования в повторном интеграле
(8.18) и подставим туда.ядро (8.19) вместо К(а—си). Получим
Формула (8.23) получеяа после вычисления ¦соответствующих
интегралов о использованием .следующего представления полино-
полиномов Лежандра [64]
( cos(* + l/2)arfa = _я
J /2 (cos a - cos p) . 2 kV r> . '
о
и с учетом формулы (8.14) для функции X(а).
331
Если подставить ядро (8.19) в уравнение (8.15), то решение по-
получим в виде,
C\ п Si V~ Я ~ / ~ К~ R \ "V/* \ ^*-*/
а
¦.-¦И
у (а) cos ka cos —
2
где ck=— ) —-¦—-da F = 1,2,...). (8.26)
* я _р Х(а)
Для фактического определения коэффициентов сь. необходимо
подставить решение (8.25) в формулы (8.26). В итоге, используя,
для вычисления интегралов представление (8.24), получим для с&
бесконечную систему линейных алгебраических уравнений
00
= dk F = 1,2,..:), (8.27)
где rfft=-L(/>ft + ^-i)> a»»=-f (*»-!) V а, (/>„_,
2 2 ' -ЯР (8.28)
, Pk~Pk_u для bn n = km; '
ui — коэффициенты (8.22).
При фактическом решении система (8.'27) заменяется.усечен-
заменяется.усеченной. Это эквивалентно замене ядра уравнения (8.15) на вырожден-
вырожденное.
Формулу (8.23) с учетом (8.26) запишем в виде
8-29)
Итак, решив систему (8.27) для какого-то фиксированного зна-
значения величины зоны контакта C, по формуле (8.25) найдем функ-
функцию у и по формуле (8.13) реакцию штампа q. Постоянная А в
формуле (8.13) определяется по формуле (8.17), константа В — по
формуле (8.29). Таким образом, если задана величина зоны кон-
контакта, решение задачи вполне однозначно. Связь между величиной
зоны контакта р и силой, приложенной к штампам, будет получе-
получена, если подставить реакцию q в формулу (8.12). При этом интег-
интеграл можно вычислить по квадратурной формуле типа G.70).
ч 4. Анализ результатов расчета. Задача решалась в следующей
последовательности. Задавался параметр Rlh, число штампов т и
параметр 1—Ro/Ri, характеризующий кривизну основания штампа.
По формуле (8.5) при n=km вычислялись коэффициенты Ьп. За-
Затем задавался параметр р = т0, характеризующий величину зоны
контакта, и решалась система алгебраических уравнений, получен-
полученная урезанием системы (8.27). После этого вычислялась постоян-.
ная В по формуле. (8.29), постоянная А по формуле. (8.17), функ-
332
ции у и q согласно выражениям (8.25) и (8.13), P/JR по формуле
(8.12). Расчет повторялся для других значений параметра р.
Численные расчеты выполнены на машине БЭСМ-4 для оболочек
с параметрами /?/Л=50, 100, 200, 500 (R — радиус срединной по-
поверхности оболочки; h — толщина). Число штампов т выбиралось
равным 1, 2, 3, 4.
Погрешность решения в зависимости от числа удерживаемых в
ряду (8.25) слагаемых характеризует табл. 8.1, где дай модуль-
разности решения для функции у в центре зоны контакта при удер-
удержании 20 и 40 слагаемых. Это сравнение выполнено для оболочки с
параметром Rfh= 100 при т = 2 и разных величинах зоны контакта.
Таблица 8.1
р
Д«/
0,1
0,0005
0,5
0,0008
1
0,0039
2
0,0038
Так как функция у по величине близка к единице (см. следую-
следующие таблицы), то согласно результатам табл. 8.1 можно сделать
вывод о нецелесообразности удержания более 20 слагаемых в ряду
(8.25).
Результаты вычисления функции у (8.25), безразмерной внеш-
внешней силы
P* = P/EhR, (8.30)
приложенной к штампам, и безразмерной реакции
q*=qR$lP (8.31)
приведены в табл. 8.2, где у— координата, определяемая равенст-
равенством
а . ¦ а .у
sin —= sin — sin —
¦2 2 2
(8. 32)
Результаты получены при удержании 20 членов ряда (8.25) и
20 уравнений в системе (8.27). Параметр l—Ru/Ri был выбран пос-
постоянным и равным 0,01, так как реакция q* и функция у от него
не зависят, а параметр нагрузки Р* зависит линейно.
Из табл. 8.2 следует, что функция у является монотонно убы-
убывающей от центра зоны контакта к концам. Так как р=/л6г
где в —полудлина зоны контакта (см. рис. 8.1), то максимально
возможное значение р = л. Из таблиц видно, что при ^=3, 1, т. е.
при значении, близком к максимальному, функция у практически
постоянная и близка к единице.
Таблица 8.2
Значения функцни у (8.25) и безразмерной реакции q* = qR$[P. (8.31) при раз-
зоиах контакта р=тв и точках у (8.32) на линии контакта, а также значе-
безразмернон силы P* = PjEhR (8.30), прижимающей штампы, при разных р
«ых
«ия
Р* -106
П,34
10,2
46
ИЗО
5650
Р
0,1
0,5
1
2
2,5
Y
Я
У
q*
У
q*
У
q*
?•
!•
0
1,123
0,388
1,560
0,525
1,678
0,654
1,887
1,173
1,956
1,545
1/3
1,059
0,390
1,284
0,495
1,372
0,599
1,449
0,943
1,480
1,187
2/3
0,939
0,599
0,709
0,467
0,654
0,464
0,563
0,480
0,525
0,472
5/6
0,899
1,106
0,516
0,652
0,368
0,491
0,216
0,303
0,169
0,206
1
0,88-'
OO
0,451
oo
0,271
oo
0,092
OO
0,038-
СУ
0
0
1
2
2
3
,1
.5
,5
,1
0
0
1
2
2
3
,1
.5
,5
,1
/?/ft=100, m=4
V
V
у
q*
У
q*
У
q*
У
q*
V
У
q*
У
q*
У
q*
У
q*
1,038
0,331
1,366
0,445
1,500
0,521
1,393
0,624
1,255
0,688
1,004
0,776
0,998
0,375
1,174
0,438
1,272
0,495
1,28
0,601
1,199
. 0,668
1,003
0,775
0,98
0,625
0,815
0,519
0,741
0,468
0,838
0,515
0,957
0,598
1,002
0,774
0,969
1,19ft
0,698
0,853
0,543
0,646
0,517
0,552
0,647
9,546
0,994
0,771
/?/ft=100, m=
1,017
0,324
1,235
0,400
1,407
0,477
1,332
0,545
1,201
0,570
1,002
0,597
1,009
0,371
1,112
0.4J2
1,206
0,459
1,237
0,530
1,166
0,561
1,002
0,597
0,990
0,631
0,881
0,557
0,793
0,489
0,850
0,477
0,948
0.512
1
0,597
0,986
1,211
0,804
0,976
0,646
0,750
0,603
0,555
0,714
0,523
1
0,596
2,22 0,1
Д/Л=100, m=4
1,01
0,322
1,006
0,369
0
0
,995
.633
0
1
,992
,218
0,96;
ос
0,65'
(X
0,47-
OO
0,37;
oo
0.42Г
0,981
Or
0,981
OO
0,77-
oo
0,59;
oo
0,49-
ОС
0,57
ОС
0,96
. °°
0,99(.
334
Продолжение
/?*.Ю6
6,8
15,7
566
130
19 600
Р
0,5
1
2
2,5
3,1
_L
я
У
q*
У
q*
У
q*
У
q*
У
q*
0
1,158
0,374
1,321
0,444
1,300
0,515
1,173
0,528
1,001
0,549
1/3
1,077
0,398
1,160
0,437
1,198
0,497
1,132
0,518
1,001
0,549
2/3
0,921
0,581
0,838
0,513
0,858
0,466
0,937
0,481
1
0,548
5/6
0,867
1,05
0,725
0,833
0,666
0,594
0,777
0,530
0,998
0,549
1
0,846
oo
0,684
OCX
0,585:
oo
0,686
oo
0,961
oo
5,3
19,7
48,8
163
* 314
28 000
0
0
1
2
2
3
,1
,5
,5
,1
0,479
2,34
5,97
20,2
38,5
1800
0,
0,
1
2
2,
3,
1
5
5
1
0,106
0,583
0,1
0,5
q*
У
q*
У
q*
У
q*
У
q*
У
q*
У
q*
У
q*
У
9*
У
q*
У
q*
У
q*
У
q*
=50, /n=2
1,021
0,325
1,262
0,411
1,444
0,503
1,384
0,623
1,247
0,688
1,003
0,775
1,011
0,372
1,125
0,420
1,226
0,478
1,262
0,595
1.Г90
0,667
1,002
0,775
0,990
0,630
0,868
0,553
0,774
0,490
0,825
0,509
0,928
0,584
1
0,774
0,981
1,208
0,783
0,957
0,614
0,732
0,558
0,565
0,672
0,571
1
0,773
Rfh=200
1,068
0,340
1,46
0,475
1,522
0,528
1,399
0,625
1,259
0,689
1,006
0,776
, m=2
1,033
0,380
1,223
0,456
1,311
0,510
1,287
0,602
1,202
0,668
1,005
0,775
0,966
0,615
0,765
0,487
0,726'
0,459 '
0,861
0,527
0,977
0,610
1,002
0,774
0,942
1,159
0,615
0,751
0,485
0,577
0,491
0,495
0,642
0,542
0,992
0,770
R/h=500, m=2
1,141
0,364
Л.530
0,498
1,067
0,392
1,286
0,479
0,930
0,592
0,722
0,458
0,883
1,086
0,521
0,636
0,979-
OO
0,752
OO
0,557
OO
0,444
oo
0,514
oo.
0,99
oa
0,934
OO
0,563
OO
0,402
oo
0,317
OO
0,359
OO
0,966
0,867
oo
0,454
335
Продолжение
P*.-№6
,07
*9,64
Р
1
2
2,5
_L
я
?•
V
q*
0
1,533
0,531
1,404
0,627
1,263
0,689
1/3
1,339
0,520
1,291
0,603
1,206
•О,<569
2/3
0,735-
0,463
0,888
0,542
0,989
0,615
5/6
0,429
. 0,509
0,479
0,481
0,659
0,554
1
0,321
oo
0,251
oo
0,28;
or
Характер изменения безразмерной реакции q* в зависимости
ют центрального угла ф (см. рис. 8.1) показан на рис. 8.2 (a=mq,
jp=/n0) для оболочки с параметром /?/Л=100, сжимаемой двум?
штампами, при различных величинах зоны контакта 0.
Аналогичный вид будут иметь зависимости при других пара
метрах т и R/h.
Изменение параметра реакции q* в центре зоны контакта (прг
«=0) в зависимости от величины зоны 0 при разном числе штаь.
лов т показано на рис. 8.3, а при разных относительных толщи-
толщинах — на рис. 8.4. Рис. 8.5 иллюстрирует характер изменения внеш
ней силы Р (параметра (8.30)), приложенной к штампам извне, ?
зависимости от р.
Изложенное решение опубликовано в работе [63].
8.3. КОНТАКТ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОИ ОБОЛОЧКИ
И ШТАМПОВ
Рассмотрим ту же, что и в разд. 8.2, задачу, но для свободнс
опертой на торце | = 0 полубесконечной круговой цилиндрическо*
оболочки. Схема задачи для случая двух штампов изображена hl
рис. 8.6, поперечное сечение оболочки под штампами показано hl
рис, 18.1, положительным направлением реакции, действующей a
стороны штампов на оболочку, считается направление к оси обе-
лочки.
В процессе решения будет выявлено влияние торца оболочкг
на характер реакции и величину зоны контакта.
В отличие от разд. 8.2, где задача сведена к решению бесконеч-
бесконечной системы алгебраических уравнений, здесь будет решаться чис-
численно непосредственно исходное интегральное уравнение. В осталь-
остальном ход решения задачи несущественно отличается от описанной
в разд. 8.2.
Исходным условием для получения разрешающего уравнени*
потпрежнему считаем условие (8.1).
336
W
'¦' 0,75
0.5
; 0,25
-
R/h-100 m'2
/3-J.7
; 25
Jtr-
—-—
I
J
a//3
0.5
Рис. 8.2. Изменение безразмерной реакции q* = qR$lP (8.31) в зоне контакта
при различных величинах зон контакта 0
Рис. 8.3. Изменение безразмерной реакции q* — qR^IP в центре зоны контакта
а=0 в зависимости от величины зоны р при различном числе штампов т
Р-ГО*
Ш
/?/Л=500
•^100
-R/h=50
-
1.0
ф
1.5
2.0
1.5
1.0
«5
У
Ш'2
/
i
R/h-SOJ
/
100
200
-
I
J
/
^500
Рис. 8.4. Измеиение безразмерной реакции q*=qR$[P в центре зоны контакта
<х=0 в зависимости от величины зоны 0 в случае двух штампов (/я=2) для
оболочек с различными параметрами R/h
Рис. 8.5. Изменение безразмерных сил P*=P/EhR (8.30), сдавливающих штам-
штампы, в зависимости от величины зоны контакта 0 и параметра _R/h (R — радиус,
h — толщина оболочки)
337
IP/2
Ко
Рис. 8.6. Схема нагруження полубесконечной цилиндриче-
цилиндрической оболочки двумя штампами по дугам окружности по-
поперечного сечения (см. рис. 8.1)
Функция Грина для свободно опертой на тор-
торце | = 0 полубесконечной оболочки построена в
разд. 6.6 и имеет для случая радиальной нагрузки
вид F.78)
Т. ?о) = ф15 —Ь>. <Р-?о)-
\р/2
где ф — функция Грина для бесконечно длинной
цилиндрической оболочки.
Изменение кривизны оболочки в окружном направлении под
штампом определится по формуле, аналогичной формуле (8.2)
е
\[*23Ф@. ?-?i)-
(8-33)
Функция з<2зФ@, <р—<pi) с выделенной в явном виде главной ча-
частью находится по формуле (8.8). Функция К2зФB|о, <р—q>i) вычис-
вычисляется совершенно аналогично. Для этого нужно применить опера-
оператор (8.3) к функции Грина F.29), F.30) и затем положить ?•=
= 2?о- В результате с учетом формул F.37) после суммирования
таких функций для случая т штампов получим
«и* B*,. ?-Ъ) = -
п—т,2т,...
- e~"Jnl
^ sin
сое я (*-*), (8.34)
— 4<оу) —
- i) sin
(я = 2, З,...),
(8.35)
Если не учитывать в формуле F.4) для изменения кривизны
1 д (dw \
R2 d<f \ -6<f )
второе слагаемое от перемещения v, то подчеркнутые слагаемые в
выражении (8.35) для й„(|) и в формуле для bi(l) следует опус-
338
тить. Ниже путем численного расчета будет оценен вклад этих сла-
слагаемых в решение для реакции штампа и зависимости между си-
силой, приложенной к штампам, и величиной зоны контакта.
Формула для *i(|) получена в соответствии с выражением
F.30) для функции Ф1(?), учитывающей балочное решение. Пара-
Параметр
*=,/ JW3(l-v»)
обычно большой, поэтому второе и третье слагаемое в квадратных
скобках формулы для ?>i(|) мало по сравнению с первым и эти сла-
слагаемые можно отбросить без ущерба для точности, взяв &i(i) в
виде ,
+4* уй e-*lU sin (* |5|+ -J)]. (8. 36)
Координата |о характеризует расстояние от торца оболочки до
штампов (см. рис. 8.6).
Если ?а-*-0 и <р-нрь ряд (8.34) будет расходящимся и его сумма
будет иметь особенность типа логарифма. Это доказано в разд. 6.4.
Поэтому, как и у функции ХгзФ@, <р—фг), здесь целесообразно вы-
выделить расходящуюся часть в замкнутом виде. Она определится
последней формулой F.45) и формулами F.46), если в них оста-
оставить только слагаемые п=т, 2т,... и все умножить на т
8яа2
1-v КЛа-щ). (8.37)
Просуммировав ряд (8.37), получим
cos(a-a1))] +
(8.38)
K1{a-al)=—;*-ln[2(ch2x-cos(a-a1))] +
Здесь введены следующие обозначения
jc=m|(,, a=/n«p, a1=m«Pi, р=я»в, n=km.
Вычтем из ряда (8.34) ряд (8.37) и компенсируем это замкну-
замкнуты*! ядром (8.38) согласно правой части (8.37). Полученную таким
путем функцию х2зФBео,ф—<pi) вычтем из функции хгзФ@, ф—<pi),
определенной формулой (8.8). При этом ряды объединим в один.
339
В результате из условия (8.1) с учетом (8.33) получим следующее
интегральное уравнение:
2 sin
а — ар
^ \ [К{п — а,) — Кх (а — а,)] qdai —
(8.39)
где ©о — параметр (8.11); К\ — ядро (8.38); К—ядро типа (8.10),
-cti); (8.40)
2«(._1; (8.41)
y
Ьп@) и ?>пB?о) —коэффициенты (8.35) и (8.36) при n=krri.
Уравнение (8.39) будем решать численным методом, описанным
в конце разд. 7.7 применительно к уравнениям G.5) и G.6). Снача-
Сначала путем замены переменной а на t,
a=flf, (8.42)
уравнение (8.39) сведем к виду G.94), решение которого представ-
представляется в виде конечной суммы G.86) по полиномам Чебышева пер-
первого рода Ts(t),
В итоге, применяя метод Бубнова, придем к системе алгебраиче-
алгебраических уравнений G.96), которая в нашем случае будет иметь вид
N
ajscs=\
при У=0
(у=0, 1 JV). (8.44)
О при jфО
Коэффициенты ajs, cij определяются по формулам G.97)
ао=\п2, аг=± (у = 1,2,..., л),
(8.45)
(у, s=o, i,...,
Ядро /С* определяется по второй формуле G.95), которая в на-
нашем случае будет иметь вид (х=щ—aft)
К*(х)=К(х)-К1(х)+Ы
2 sin -j-
— In?,
гцеК(х), Ki(x) —ядра (8.40) и (8.38) при x =
340
В силу линейной зависимости системы (8.44) от правой части
формулу (8.43) целесообразно переписать в виде
s-0
где коэффициенты Xs будут решением системы
После решения системы (8.47) реакцию можно найти по форму-
формуле (8.46), а связь между величиной зоны контакта р и силой /\
приложенной к штампам, найдем из условия (8.12), которое с уче-
учетом (8.46) и (8.42) запишем в виде
Когда величина зоны контакта мала и^можно принять cos $t/m =
= 1, формула (8.48) упрощается
В общем случае интегралы (8.48) можно вычислять по формуле
Мелера G.92).
Выпишем формулы для безразмерной силы Р* (8.30) и реакции
q* (8.31). Если учесть, что параметр w0 определяется формулой
(8.11), из (8.46) и (8.48) найдем
Х*'™' , (8>49>
5=0
]y^, (8.50>
m
(8.51)
5=0 *=1
12RRO
Так как-Р* и q* линейно зависят от со*, в расчетах будем при-
принимать 1—/?o//?i = O,Ol, а в формуле (8.51) для ао2 возьмем Ro=R-
Анализ результатов расчета. С целью получения достаточной
для практики точности было оценено влияние на точность реше-
решения количества членов ряда М в разложении ядра (8.40), числа
N+A слагаемых в разложении (8.43) и числа Л^ членов при ис-
использовании формулы Мелера для коэффициентов (8.45) системы
(8.47) и для параметра нагрузки Р* (8.50). Проверка была сдела-
сделана на примере оболочки с параметром R/h—100 при числе штампов;
ш = 2н при расстоянии |0 от торца оболочки до штампов, равном
341
. Распределение реакции
Таблица 8.3
= qR$/P по длине зоны контакта согласно теории
непологих оболочек
1о = О,О5, т = 2, Я/А=100
р
0,1
0,5
1,0
2,0
2,5
3,1
0,039
0,394
0,584
0,691
0,827
0,983
0,898
0,195
0,395
0,573
0,669
0,792
0,916
0,872
0,398
0,548
0,621
0,718
0,781
0,814
0,488
0,407
0,512
0,553
0,615
0,615
0,736
0,619
0,424
0,469
0,475
0,497
0,452
0,649
а/Р
0,734
0,457
0,426
0,395
0,379
0,312
0,566
0,832
0,520
0,388
0,322
0,275
0,203
0,500
0,908
0,648
0,371
0,265
0,194
0,128
0,455
0,963
0,951
0,419
0,241
0,140
0,081
0,441
0,993
2,134
0,779
0,361
0,152
0,074
0,551
0,999
6,348
2,222
0,972
0,366
0,166
1,275
0,353
0,558
0,682
0,821
0,890
0,898
0,357
0,547
0,660
0,788
0,852
0,872
0,367
0,524
0,613
0,716
0,770
0,814
1о=0
0,385
0,493
0,546
0,615
0,655
0,736
1, т—
0,415
0,457
0,470
0,498
0,522
0,649
2, /?/Л= 100
0,464
0,424
0,393
0,381
0,390
0,566
.0,550
0,405
0,326
0,278
0,274
0,500
0,709
0,419
0,280
0,199
0,185
0,455
1,070
0,520
0,283
0,155
0,131
0,441
2,439
1,043
0,478
0,197
0,147
0,551
0
0
0
0
0
0
,333
,478
,623
,807
,904
,846
0
0
0
0
0
0
,338
,473
,606
,775
,861
,827
0,351
0,465
0,571
0,703
0,769
0,794
|о=0,5,
0,373
0,454
0,523
0,606
0,644
0,750
0
0
0
0
0
0
т=2,Я/Л=100
,409
,446
,469
,496
,507
,704
0,467
0,446
0,417
0,390
0,377
0,664
0,564
0,468
0,379
0,301
0,268
0,636
0,740
0,537
0,369
0,238
0,190
0,621
1,131
0,735
0,430
0,217
0,150
0,630
2
1
0
0
0
0
,598
,576
,823
,332
,196
,802
0,332
0,458
0,577
0,778
0,889
0,805
0,337
0,455
0,567
0,749
0,849
0,798
0,350
0,450
0,544
0,687
0,761
0,783
§0=1,
0,373
0,444
0,512
0,603
0,643
0,763
0, т'=
0,409
0,443
0,475
0,509
0,514
0,743
2, Л/А =100
0,468
0,452
0,439
0,417
0,393
0,727
0,564
0,483
0,416
0,337
0,292
0,715
0,741
0,566
0,424
0,280
0,220
0,709
1,134
0,789
0,518
0,269
0,190
0,724
2,606
1,712
1,023
0,431
0,275
0,923
0,331
0,452
0,337
0,450
0,350
0,445
|о=1,5, т=2,Л/Л=100
0,4681 0,565
0,3721 0,409
0,442 0,442
0,453 0,487
0,742
0,574
1,135
0,805
2,6081 7,801
1.754 5,188
342
p
1,0
2,0
2,5
3,1
0,039
0,555
0,759
0,869
0,791
0,195
0,548
0,733
0,831
0,787
0,
0,
0,
0,
0,
346
531
678
750
779
0,488
0,506
0,603
0,642
0,768
0,619
0,477
0,518
0,525
,0,758
• a/p
0,734
0,450
0,433
0,417
0,749
0,832
0,435
0,359
0,326
0,742
0,908
0,452
0,306
0,262
0,739
0,963
0,563
0,302
0,242
0,756
Продолжение
0,993
1,128
0,498
0,379
0,964
0,999-
3,277
1,379>
1,035-
2,239-
0,1
0,5
1,0
2,0
2,5
3,1
0,1
0,5
1,0
2,0
2,5
3,1
0,331
0,450
0,544
0,742
0,845
0,785
0,331
0,447
0,528
0,655
0,722
0,777
0,337
0,448
0,538
0,719
0,810
0,783
0,336
0,445
0,523
0,645
0,710.
0,776
0,350
0,443
0,524
0,669
0,737
0,777
0,349
0,442
0,513
0,625
0,687
0,775
lo=2, m=2, R/h= 100
0,372 0,409 0,468 0,565
0,440 0,441 0,453 0,489
0,503 0,478 0,455 0,444
0,602 0,525 0,447 0,377
0,641 0,540 0,445 0,364
0,771 0,764 0,759 0,754
0=5, m=2, R]h=
0,372
0,439
0,498
0,596
0,655
0,774
0,409
0,441
0,479
0,559
0,61$
0,773
0,468
0,454
0,461
0,518
0,576
0,771!
100
0,565
O,49"l
0,457
0,476
0,530
0,770
0,742
0,578
0,466
0,329
0,307
0,752
0,742
0,581
0,489
0,451
0,495
0,769
1,135
0,812
0,586
0,334
0,299
0,770
1,135
0,820
0,625
0,497
0,526
0,788
2,609
1,772
1,183
0,564
0,487
0,982
2,610
1,793
1,277
0,900
0,918
1,005
7,803-
5,244
3,440
1,570-
1,347
2,280
7,80$
5,307
3,72$
2,552
2,577
2,зза
5. Оказалось, что увеличение числа М с 20 до 40 при равных 'N и
Nx изменяет результат для Р* и q* только в четвертой значащей
цифре. Поэтому в расчетах было выбрано М = 20. При М = 20 варь-
варьировалось число N в (8.49) и (8.50). В силу симметрии задачи бра-
брались только четные полиномы Чебышева, которые являются четны-
четными функциями координаты t. Изменение числа N с 5 до 10 для всех
значений параметра р до величины р = 2,5 приводит к изменению
Р* и q* только в пятой значащей цифре, при р = 3,1 —в третьей
значащей цифре. Поэтому числа Лг= 10 вполне достаточно, и оно
было принято в расчете. Оценка влияния числа N,\ в формуле Ме-
лера производилась по параметру нагрузки Р* (8.50). Изменение
Л/\ с 10 до 20 приводит к изменению Р* для р = 0,1 и 0,5 в шестой
значащей цифре, для р=1 —в пятой, для р=2 — в третьей, для
р = 2,5 — во второй, для Э = 3,1 меняется даже порядок. Поэтому
для больших р числа Лг1 = 20 недостаточно. Сравнение чисел N^ =
= 20 и 40 показало, что при 0<р<2 различие для Р* обнаружива-
обнаруживается лишь в четвертой значащей цифре, при р = 2,5 — в третьей, при
Р = 3,1 — во второй. В.расчете было взято число 7Vi = 40.
Величины безразмерной реакции q* (8.49) в зоне контакта при
даны в табл. 8.3 Эти расчеты выполнены для оболочки с па-
343
OA 0,6 0.8 a/p
0.8 a/p
Рис. 8.7. Изменение безразмерной реакции q*=qRfi/P по длине зоны контакта
при 0 = 0,1
Рис. 8.8. Изменение безразмерной реакции q* = qR$/P по длине зоны контакта
при'0 = 0,5
*\
0.5
0,1
A?
!
¦^ч
——<L
,'0.05
—
f
„те./
Jp/2
й/н-юд
m-~2
V
1
4
•
0 0,2 «« 0,6 0,8 а/р
0,2 0A
0,8 alp
Рис. 8.9. Изменение безразмерной реакции q* = qR$/P по длине зоны контакта
при Р=1
Рис. 8.10. Изменение реакции q*=qR$[P по длине зоны контакта при р = 2
раметром /?/Л = 100 при действии двух штампов (т = 2). Расстоя-
Расстояние go от торца оболочки до штампа, отнесенное к радиусу оболоч-
оболочки (см. рис. 8.6), выбиралось равным 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1; 2; 5. Ха-
Характер изменения реакции q* по ширине зоны контакта иллюстри-
иллюстрируют также графики на рис. 8.7—8.10. Кривые соответствуют раз-
разным значениям относительного расстояния go от штампа до торца
оболочки. Для того чтобы не затемнять рисунки, графики нанесены
не для всех go. Из рис. 8.7 видно, что для малых зон контакта бли-
близость торца, начиная с go = 0,1 практически не влияет на характер
распределения реакции. С увеличеиием зоны контакта влияние тор-
344
ца распространяется все дальше вглубь оболочки. Кроме этого, из
рисунков видно, что, когда величина зоны контакта очень мала
(например, ?о=О,1 на рис. 8.7), реакция монотонно возрастает от
центра зоны контакта к концу. Для больших зон контакта реак-
реакция сначала уменьшается при движении от центра зоны контакта к
краю и затем возрастает до бесконечности. Скорость убывания ре-
реакции тем больше, чем ближе торец оболочки. Это видно из рисун-
рисунков 8.8—8.10.
Таблица 8.4
Значение параметра нагрузки Я*-10в = Я.10в/?А/?, посчитанного по теории поло-
пологих оболочек (т.—2, R/h=\0O)
р
0,1
0,5
1
2
2,5
3,1
So
0,05
4,4
74,5
451,9
3479
0,1
2,8-
39,5
244,5
1756
3253
11791
0,5
,1,8-
14,3
76,9
640
1190
8178
1
1,7
10,2
44
306
500
7352
2
1,6
8
27,2
130
208
7020
5
1,5
6,4
15,9
53,6
103
6902
Погреш-
Погрешность, %
4
11,5
22
31
36
13
Изменение безразмерного параметра нагрузки />* = P-106/?fti?
для разных значений ?о И Р показано в табл. 8.4 и 8.5. Результаты,
приведенные в табл. 8.5, соответствуют случаю непологой оболоч-
оболочки, когда в коэффициентах (8.35) и (8.36) удерживаются подчерк-
подчеркнутые слагаемые. В табл. 8.4 даны результаты, вычисленные по
теории пологих оболочек, когда подчеркнутые слагаемые отбрасы-
Таблица 8.5
Значения параметра нагрузки Я*-106=^=Я-106/?А/?, посчитанного по jeopnn иепо-
логих оболочек (т=2, /?/А=10О)
р
0,1
0,5
1,0
2,0
2,5
3,1
0,(
4
77
496
35
,43
26
9
4574
0,1
2,849
41,01
268,78
2218
4279
13345
0,5
1,860
14,93
84,37
814,5
1618
8693
1,0
1,717
10,75
48,94
396,6
668,9
7549
5
1,5
1,663
9,338
37,05
243,4
385,8
7224
2
1
8
31
170
268
,0
,634
,640
,28
.5
,7
7092
5
1
7
19
68
124
,0
,566
,140
,41
,53
,1
6931
оо
1
6
16
56
108
,540
,668
,84
,75
,4
6914
оо
Разд.
8.2
1,57
6,75
17
57,4
110
7060
345
Рис. 8.11. Изменение параметра
нагрузки P-WjEhR$, приложен-
приложенной к штампам, в зависимости от
расстояния |о до торца оболочки
и величины зоны контакта 0. "Точ-
"Точки справа соответствуют бесконеч-
бесконечно длинной оболочке (теория не-
непологих оболочек)
ваются. В. последнем столб-
столбце табл. 8.5 даны результа-
результаты, полученные в разд. 8.2
для бесконечно длинной обо-
оболочки. По результатам табл.
8.5 построены также графи-
графики на рис. 8.11, где вместо
Р * приведена величина
Р */р. Это сделано для
уменьшения разрыва между
величинами Р* для разных
р. Из табл. 8.5 и рис. 8.11
видно, что при малых зонах
контакта р значение Р*
практически не зависит от |0
за исключением случая
очень малых |0, когда штам-
штампы находятся в непосредственной близости от торца оболочки.
С увеличением зоны контакта влияние торца все дальше распрост-
распространяется вглубь оболочки.
Решение для бесконечно длинной оболочки можно также полу-
получить, используя метод и соотношения данного раздела. Нужно
лишь в исходном уравнении (8.39) положить', равным «улю ядрф
К\{а—«а), а при вычислении ядра К по формуле (8.40) коэффици-
коэффициенты Cft вычислять по формуле (8.41), оставив там только первое
и последнее слагаемое Ch = bn@) — 1.
Результаты такого решения для безразмерной силы Р* приве-
приведены в предпоследнем столбце табл. 8.5. Сравнивая эти результа-
результаты с результатами последнего столбца той же таблицы, полученны-
полученными в разд. 8.2 другим методом, видим, что отличие не превышает
2%. Это говорит о высокой точности обоих методов.
Сравнение результатов табл. 8.4, посчитанных по классической
теории пологих оболочек, согласно которой изменение кривизны
срединной поверхности оболочки в окружном направлении v.% вы-
вычисляется по формуле
1
с результатами табл. 8.5, которые получены с использованием вы-
выражения
1 1(Що dv\
346
показывает некоторое расхождение. Неучет второго слагаемого
в этой формуле приводит к погрешности в безразмерной силе Р*
при одной и той-же зоне контакта до 36%. Максимальная погреш-
погрешность для каждого р показана в последнем столбце табл. 8.4, она
возрастает с увеличением величины зоны контакта р.
Аналогичное сравнение безразмерной реакции q* показывает
лучшее совпадение. Так, для всех ?о и E^1 отличие обнаруживает-
обнаруживается только в третьей значащей цифре. С увеличением р расхождение
увеличивается, но не столь значительно, как у Р*.
Отметим, что в конце следующего пункта приведена программа
расчета на языке АЛГОЛ-60, по которой можно посчитать рассмот-
рассмотренную выше задачу как частный случай задачи разд. 8.4.
Решение рассмотренной выше задачи было опубликовано в ста-
статье Э. И. Григолюка, В. М. Толкачева [19].
8.4. ЗАДАЧА О ВЫХОДЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ОБОЛОЧКИ ИЗ ШАХТЫ
Результаты предыдущего раздела с некоторыми дополнениями
можно использовать при решении следующей встречающейся на
практике задачи (рис. 8.12). Круговая цилиндрическая оболочка
конечной длины с жесткими днищами выходит из цилиндрической
шахты радиуса R\. Вышедшая часть оболочки подвергается дейст-
действию гидродинамического напора. При наличии зазора между обо-
оболочкой и шахтой возникает перекос оболочки и контакт с острой
кромкой шахты.
При заданном постоянном напоре жидкости будем исследовать
характер реакции1 со стороны шахты на оболочку, величину зоны
контакта и напряженное состояние в оболочке в зависимости от ве-
величины вышедшей из шахты части оболочки. Интересно также ус-
установить влияние характера гидродинамического напора на харак-
характер и величину реакции.
Задачу будем решать при следующих допущениях.
а) кромка шахты абсолютно жесткая и имеет постоянный ра-
радиус R\. Контакт кромки с оболочкой происходит без трения;
Рис. 8.12. Схема нагружения цилиндрической оболочки с наружным радиусом
Ro при выходе из цилиндрической шахты радиуса Rt (q — нормальная реакция
со стороны кромки щахты, 8 — угол, характеризующий величину зоны контакта):
1—оболочка; г—шахта; 3—жесткое днище; 4—кромка
347Г
б) поскольку в данной задаче интересно исследовать главным
образом завершающий, наиболее напряженный участок выхода,
влияние правого торца оболочки на характер реакции и напряже-
напряжений в оболочке учитываться не будет. Оболочка при этом заменя-
заменяется полубесконечной, но напор жидкости по-прежнему будет дей-
действовать на участке, равном R(l—go) (см. рис. 8.12);
в) считаем, что усилия, действующие со стороны жидкости на
оболочку, являются постоянными по длине оболочки, направлены
по нормали к поверхности и в окружном направлении изменяются
по закону косинуса
q*=q0 cos а, . (8.52)
где <7о — постоянная амплитуда (положительное направление сов-
совпадает с направлением внешней нормали).
Реальный закон гидродинамического напора может отличаться
от заданного. Однако, как показано ниже, влияние на характер ре-
реакции, величину зоны контакта и напряжения вблизи зоны контак-
контакта оказывает главным образом не распределение напора, а его сум--
марная величина;
г) считаем, что оболочка свободно оперта на днище.
Как и выше, нормальную реакцию шахты на оболочку обозна-
обозначим через q, а за положительное направление примем направление
внутрь оболочки. Равнодействующая реакция определяется по фор-
формуле (8.12) при/га=1 (а=гщ)
{ qcos ada
С другой стороны, равнодействующая Р реакции q полностью
определяется гидродинамическим напором, геометрическими пара-
параметрами оболочки и длиной вышедшей из шахты части. С учетом
(8.52) имеем
Здесь I, go, H — отнесенные к радиусу срединной поверхности обо-
оболочки соответственно длина оболочки, расстояние от торца оболоч-
оболочки до кромки шахты, толщина днищ (см. рис. 8.12).
Исходное интегральное уравнение для реакции имеет вид
«¦—«о „л„ \ гл'^ — г. i_ иг (а — а.
V In 2 sin ^ qda0 = V [К (a — сц) —
—соо—сох cos a. (8. 54)
Выражение (8.54) представляет собой по существу уравнение
(8.39), записанное для частного случая, когда число штампов т =
= 1. Отличается оно от уравнения (8.39) последним слагаемым
—<оц cos a. Это слагаемое появилось при добавлении к изменению
кривизны срединной поверхности оболочки в окружном направле-
348
нии Х2 на линии контакта, составляющей от внешней нагрузки
(8.52). Чтобы это. слагаемое получить, поступим следующим обра-
образом. Согласно второй формуле F.15), формулам F.16), F.17) из-
изменение кривизны Х2 оболочки на линии контакта go от нагрузки
q* запишем в виде (нужно подставить q* вместо qz)
2
. • (8.55)
Мы воспользовались здесь функцией Грина для свободно опер-
опертой полубесконечной оболочки в виде F.78).
Для вычисления ядра хгз [..'.] в (8.55) можно воспользоваться
формулой (8.34)
8rte2
n
(8<56)
Если подставить теперь q* из формулы (8.52) в формулу (8.55)
и выполнить интегрирование по q>i (напомним, что у нас а=<р, так
как а = тщ ни = 1) с учетом (8.56), то найдем
с
(lV (8-57)
Если проследить за выводом уравнения (8.39) из условия кон-
контакта (8.1), но с учетом слагаемого (8.57), то увидим, что для вы-
вычисления слагаемого ©icos а в правой части уравнения (8.54),
нужно Хг(|о, «) умножить на 4nEha2R/(l—v2). Это"тот же множи-
множитель, который нужен для определения (—со0) из правой части урав-
уравнения (8.1). Итак,
i
( [
г.
После подстановки Ьх (|) из формулы (8.36) и вычисления ин-
интегралов найдем
^ (8.58)
где /(д4&(/У + ^и2/(/2Ч)Ж(Ж)
- С (* - 5о) - С B?о), С (У) = е~х" sin xt/.
•Решение уравнения (8.54) берем в виде (8.46). Безразмерная
сила Р* (8.30) и реакция q* (8.31) будут по-прежнему вычислять-
вычисляться по формулам (8.49), (8.50), (8.51) при т = 1. Коэффициенты
349
Xs будут решением системы (8.47) с правой частью, учитывающей
слагаемое ©i cos а в уравнении (8.54)
^1^14^ (8-59)
*U { dj при j ф 0.
Здесь uj, cijs — коэффициенты (8.45); dj— добавки за счет
©I cos a
л »1 1 Г1
dj=— — у совей
(8. 60)
2Nl
Tj(t) — полиномы Чебышева 1-го рода.
Согласно (8.58) и (8.11)
(8.61)
При численном расчете параметр X будем задавать так, чтобы
не связать себя с вычислением нагрузки qo, которая в каждом кон-
конкретном случае может быть определена либо путем гидродинами-
гидродинамического расчета, либо экспериментально. Силу Р, являющуюся
равнодействующей реакции со стороны шахты и определяемую по
формуле (8.53), можно связать с параметром Я (8.61), исключив qo-
В итоге для параметра нагрузки P* = P/EhR получим формулу
ръ^яи^ (/ — So) (/ +Sq +2//) g
#о So+Я '
Порядок расчета рассматриваемой задачи следующий. Задав
параметр Я, по формуле (8.61) для каждого §о найдем с^Доо и по
формуле (8.60) коэффициенты dj. Затем решим систему (8.59) и
по формулам (8.49) и (8.50) для каждого заданного значения ве-
величины зоны контакта р определим реакцию д* и силу Р*. Сравнив
полученное значение Р* с посчитанным по формуле (8.62), найдем
величину зоны контакта р. В отличие от задачи разд. 8.3, где реше-
решение зависело от параметра 1—Ro/Ri, как от множителя, здесь от
этого параметра зависит ам/шо и> следовательно, решение системы
(8:60). Поэтому усилия q* и Р* (8.49), (8.50), хотя и будут линей-
линейно зависеть от параметра 1^-RofRi, но эта линейная зависимость
будет разная для разных значений so и параметра X. В силу изло-
изложенного параметр 1—Ro/Ri нужно вводить в расчет и менять его.
Описание программы расчета. Для численного решения рас-
рассмотренной задачи была составлена программа на языке АЛГОЛ-
60. Приводим краткое описание программы.
В качестве исходных данных в порядке следования вводятся
следующие параметры E-я перфокарта); т — число штампов (в
350
данной задаче задается т=\)\ Rl—R/h— параметр толщины обо-
оболочки — отношение радиуса срединной поверхности оболочки к
толщине; М — число удерживаемых членов ряда при записи ядра
К (а—cti) интегрального уравнения (8.54), которое совпадает с яд-
ядром К(а—aiLинтегрального уравнения (8.39) и вычисляется по
формуле (8.40); 'N — верхний знак суммы (8.46) в разложении ре-
реакции q по полиномам Чебышева или суммы (8.49) для q* и сум-
суммы в формуле (8.50).
В данной программе в силу того, что реакция q является четной
функцией окружной координаты а, берутся только четные полино-
полиномы Чебышева.
Nl=Nt — половина числа слагаемых, в формуле Мелера. По
этой формуле вычисляются коэффициенты dj правых частей урав-
уравнений (8.59) (формула (8.60)), коэффициенты a3s системы (8.59),
совпадающие с коэффициентами (8.45) системы (8.47). Эта же
формула используется для вычисления интегралов (8.48), что реа-
реализовано в выражении (8.50). Nt задается числом четным.
R2=*\—RofRi— параметр отклонения радиуса штампов (или
шахты в задаче данного раздела) от наружного радт/са оболочки.
Этот параметр входит в первую формулу (8.51) для со* (во второй
формуле (8.51) радиус Ro брался равным R) и в первую формулу
(8.61). В формуле (8.62) также полагалось Ro = R.
Л = Х — параметр (8.61).
Н — толщина днища в оболочке, отнесенная к радиусу, кото-'
рая фигурирует в формуле (8.62), 11 — 1 — отношение длины L к
радиусу (L — длина нагруженной усилиями q0 части оболочки)
(см. рис. 8.12).
На печать выводятся следующие величины:
Первая печать (в порядке следования) >т, Rl, M, N, N1, R2, Л,
Н,/1 F-я перфокарта).
Вторая печать Xs — решение системы алгебраических уравне-
уравнений (8.59) для коэффициентов разложения по полиномам Чебыше-
Чебышева (формула (8.49) A04-я перфокарта). __
Третья печать. Сначала печатается go — расстояние от торца
оболочки до штампа (в программе параметр дзета), затем р— ве-
величина зоны контакта (P = ffi9, где т — число штампов, 6 — факти-
фактический угол полузоны контакта), параметр нагрузки Р* (8.30) (в
программе идентификатор Р), затем значение безразмерной реак-
реакции q* в точках tk (8.60) от k = 2, 4, 6 до N\ (для симметричной по-
половины зоны контакта в силу чего ./VI задается четным). Для q*
используется идентификатор Q1. Вывод на печать осуществляется
116-й перфокартой.
Четвертая печать. В конце цикла по go (дзета в программе) пе-
печатается значение параметра реакции шахты Р.*, вычисляемой по
формуле (8.62). Для этого Р* используется идентификатор Р1, пе-
печать задана перфокартой 118.
Комментарий к программе. 1. Перебор значений зоны контакта
Р и расстояний от торца ^осуществляется циклами. Начало цикла
по р в перфокарте 56, конец — в 117. Начало цикла по |0 (по дзе-
351
та) в перфокарте 12, конец — в 119. Если задачу нужно считать
для других В и §о, нужно перфокарты 56 и 12 заменить, так как там
указаны конкретные числа.
2. По данной программе можно рассчитать задачу разд. 8.3 для
полубесконечной оболочки. Для этого достаточно положить пара-
параметр Л, (8;61) равным нулю. Этому параметру соответствует идеи-
тификатор Л, который вводится извне седьмым по счету. Числен-
ные результаты разд. 8.3 получены таким способом.
3. Приведенную программу можно применить и для расчета
бесконечно длинной оболочки (задача/решенная в разд. 8.2 мето-
методом регуляризации). Это интересно для сравнения численных ре-
зультатов, полученных в разд. 8.2 методом регуляризации и полу-
полученных с помощью данной программы прямым методом разложе-
разложения по полиномам Чебышева. Для расчета бесконечно длинной обо-
оболочки нужно изменить две перфокарты: перфокарту 44 нужно за-'.*
менить следующей с(к]: =Ь2—Г; перфокарту 63 нужно убрать и '
вместо нее написать К1 : =0, кроме этого, нужно ввести Л = 0.
Этим мы убираем ядро /Ci в уравнении (8.39), а при вычислении
ядра К по формуле (8.40) коэффициенты Ch вычисляем как для бес
конечной оболочки, оставляя в формуле (8.41) первое и последнее
слагаемое.
4. Программа сделана для варианта теории непологих оболочек 1
с учетом подчеркнутых слагаемых в коэффициентах (8.35) и (8.36). ]
Некоторые результаты расчета. Расчет был выполнен с теми же-;
числами М, N, Nu что и в разд. 8.3 (см. анализ численных резуль- ;.
татов разд. 8.3) и параметрами #/Уг=100; /=L/7? = 5; 1—RQfRi.= .
= 0,01; Я=0 (см: рис. 8.12). Распределение безразмерного пара- ;
метра реакции шахты q*=q*R$fP (8.31) в зоне контакта приведено,1
в та,бл. 8.6. Значение параметра нагрузки (8.30) P* = P/EhR дано в
табл. 8.7. Этот параметр рассчитывался по формуле (8.50). В ниж- ,
ней строке табл. 8.7 дан тот же параметр Р*, но посчитанный по
формуле (8.62). Все результаты, приведенные в табл. 8.6 и 8.7, вы-,-
числены для параметра Л=10~5. Этот параметр определен форму- \
лой (8.61). Следует отметить, что изменение параметра Я от 10~3 ]
до нуля практически не влияет на характер изменения и величину *
параметра реакции q* в зоне контакта, а также на характер изме-
изменения параметра нагрузки Р* в зависимости от величины зоны кон-
контакта В. Отличие наблюдается лишь в третьей значащей цифре
для указанных величин. С другой стороны, параметр X входит ли-
линейным множителем в формулу (8.62). Это позволяет произвольно
менять параметр X в формуле (8.62) и, таким образом, менять пос-
последнюю-строку табл. 8.7, не меняя при этом остальных результатов
той же таблицы. По результатам табл. 8.7 построены графики на
рис. $. 13 — зависимость между параметром Р* и величиной зоны
контакта В для разных значений расстояния от торца оболочки до
кромки шахты |0 (см. рис. 8.12). Для удобства нанесен логарифм
параметра Р*. Там же для каждого ?о нанесены точки с парамет-
параметром lg P*, посчитанным по формуле (8.62) для двух значений па-
параметра X, равных 10~8 и Ю~7. Эти резульФаты получены делением
352
Распределение реакций q* = qRP/P в зоне контакта
Таблица 8.6
0,039
0,195
0,346
0,488
0,619
0,734
0,832
0,908
0,963
0,993
0,999
0,1
0,5
1.0
0,1
0,5
1.0
0
0
0
466
,691
,831
0,463
0,669
0,796
0
0
0
,457
,621
,720
0
0
0
,449
,553
,614
0
0
0
,443
,475
,494
0,445
0,395
0,376
0
0
0
,467
,322
,271
0
0
0
,537
,264
,190
0
0
0
,735
,240
,137
1
0
0
,578
,360
,148
0,416
0,682
1,288
0
0
1
,415
,660
,179
0
0
0
,416
,612
,962
0
0
0
,419
,546
,702
0
0
0
,429
,470
,458
0
0
0
,454
,393
,267
0
0
0
,505
,325
,140
0
0
0
,617
,280
,066
0
0
0
,890
,282
,030
1
0
0
,977
,478
,018
4,651
0,971
0,355
5,870
1,333
0,033
5о=О,5
0,1 0,365 0,368 0,376 0,392 0,418 0,463 0,542 0,693 1,038 2,356 7,029
0,5
1,0
ОД •
0,5
1.0
1.5
0,1
0,5
1,0
1.5
0,623
0,808
0,606
0,775
0,571
0,704
0,523
0,605
0,469
0,496
0,417
0,389
0,378
0,300
0,368
0,237
0,430
0,216
0,823
0,330
0,361
0,577
0,775
1,208
0,364
0,567
0,746
1,141
0,373
0,544
0,685
0,999
0,389
0,512
0,602
0,813
0,417
0,476
0,509
0,616
0,464
0,439
6,419
0,437
0,545
0,416
0,342
0,296
0,699
0,424
0,287
0,197
1,050
0,517
0,279
0,141
2,387
1,024
0,455
0,163
= 1,5
0,360
0,556
0,748
1,201
0
0
0
1
,363
,548
,724
,138
0,372
0,531
0,672
1,005
0,389
0,506
0,600
0,828
0
0
0
0
.417
,478
,521
,639
0
0
0
0
,463
,450
,441
,468
0,546
0,434
0,372
0,330
0
0
0
0
,700
,451
,322
,231
1,053
0,562
0,325
0,174
2,395
1,129
0,546
0,212
о
0
1
1
.5
.0
.5
0,359
0,544
0,727
1,195
0
0
0
1
,363
,538
,706
,136
0,372
0,523
0,662
1,009
0
0
0
0
,389
,503
,601
,839
0
0
0
0
,417
,478
,530
,658
=2
0,464
0,455
0,459
0",493
0,456
0,443
0,395
0,358
0,701
0,466
0,349
0,259
1,054
0,587
0,360
0,202
2
1
0
0
,398
,188
,616
,254
0,1
0,5
1.0
1,5
2,0
0,359
0,527
0,668
0,885
1,179
0,363
0,523
0,658
0,858
1,128
0,372
0,512
0,634
0,800
1,019
0,388
0,497
0,599
0,721
0,875
0,417
0,479
0,557
0,632
0,718
= 5
0,464
0,462
0,507
0,542
0,570
0,546
0,458
0,459
0,457
0,441
0,702
0,489
0,427
0,387
0,337
1,055
0,626
0,460
0,363
0,276
2,401
1,282
0,819
0,560
0,363
2,364
0,897
7,124
2,963
1,259
0,406
7,147
3,279
1,520
0,537
7,156
3,457
.1.721
0,648
7,165
3,741
2,312
1,522
0,938
12 3136
353
Таблица 8.7
Изменение безразмерного параметра нагрузки Р**Ч>*=Р-\О*/ЕкЯ в зависимости
6т величины зоны контакта (J и расстояния от терца оболочки &> (см. рис 8.12)
i
0,05
0.1
0.2
0,5
1.0
1,5
Параметр
(8.62)
0,05
.0,221
0,588
2,29
26,8
692
— -
" 1571
0,1
0,142
0,337
1.22
14,0
171
—
785
k
0,5
0.092
0.175
0,479
4,22 .
45,2
363
155
1.0
10,084
0,150
0,362
2,40
21,1
123
75,4
1,5
0,079
0,139
0,319
1.78
13,6
70,4
47,6
2,0
0,077
0,133
0,294
1,47
10,2
49,3
33,0
результатов последней строки табл. 8.7н« 103 и 102. Эти точки сое-
соединены пунктирными кривыми. Перпендикуляр* опущенный из
каждой точки на ось абсцисс р, дает для соответствующего ?о и А,
значение величины зоны контакта р. Таким путем устанавливает-
устанавливается, как меняется величина зонытсонтакта р в зависимости от рас-,
стояния между кромкой шахты й торцем оболочки ?о. Эта.зависи-
Эта.зависимость для двух указанных значений Я приведена на рис. 8.14.
0,4
0,3
0,2
1,8
о
354
R/h'WO
L/R-5
I
I
I/
t
A
К
л
//
/,
У
\^
А У
о,
/ \
//
{/
x-n1
f
<^
0.-1
A -to''
А-да
—¦—
L/R'i
7-ft,/fi
Н-в
1 —.
h.
40
t,-0,01
¦
0.2
0,4
цг
Рис. 8.14. Изменение величины зоны контак-
контакта $=Q в зависимости от расстояния /?|о
от торца оболочки до кромки шахты
Рис. 8.13. Изменение параметра суммарной
реакции кромки шахты P*=*PfEnR в зави-
зависимости от величины зоны контакта 0=0
В заключение отметим, что характер гидродинамического напо-
напора практически не сказывается на величине и характере распреде-
распределения реакции д* в зоне контакта, а также на зависимости между
параметром Р* и величиной зоны контакта. Действительно харак-
характер распределения гидродинамического напора может повлиять
только на множитель при функции /(|о) в формуле (8.58), т. е. на
функцию coi(go). В систему же уравнений (8.59), решение которой
согласно формулам (8.49) и (8.50) -определяет Р* и q*, входит от-
отношение coi/од) через коэффициенты (8.60). Но coi/coo согласно (8.61)
зависит от А,. А этот параметр, как было отмечено выше, практиче-
практически не влияет на q* и Р*.
Отметим еще, что табл. 8.6 и 8.7 составлены для р^1. При
больших.зонах контакта программа может выдавать отрицатель-
отрицательные значения параметра Р* особенно при малых go- Эти результа-
результаты не соответствуют физическому смыслу задачи, поэтому не при-
приведены. Социальный анализ причины указанного явления не про-
проводился. Возможно Могут появляться зоны отрыва оболочки от
кромки шахты и, значит, постановка задачи требует уточнения.
8.5. КОНТАКТ ОБОЛОЧКИ «"ШТАМПОВ
ПО ОТРЕЗКАМ ОБРАЗУЮЩИХ
Этот случай показан на рис. 8.15. Все штампы считаются абсо-
абсолютно жесткими, одинаковыми и расположенными с угловым ша-
шагом 2я/т, где т — число штампов. Радиус кромок штампов может
быть переменным, трение между штампами и оболочкой не учиты-
вается.( За положительное направление реакций ^.действующих
со стороны на тонкую круговую цилиндрическую оболочку, прини-
принимается направление по нормали внутрь оболочки. Каждый штамп
нагружен нормальной силой Pfm и изгибающим моментом М/т.
Сила прикладывается в начале координат |=0. При таком нагру-
жении каждый штамп будет вдавливаться в оболочку и поворачи-
поворачиваться. Суммарная длина зоны контакта, отнесенная к радиусу сре-
срединной поверхности оболочки, будет h+'h (см. рис. 8.15). Отрез-
Отрезки U и h подлежат определению из'условии равноШесия штампов
-U
М
\ ^\=-J1L- . (8.63)
Рнс. 8.16. Контакт .оболочки н
штампов по отрезкам образующих
для случай четырех штампов
(т=4)^ (Р/4 н М/4 сила и мо-
момент, приложенные к штампу,
R(h+h) —длина зоны контакта)
12*
355
Цилиндрическую оболочку считаем бесконечно длинной.
В дальнейшем удобно перенести начало отсчета продольной ко-
координаты в середину отрезка /i+'/г, поэтому введем координату
(8.64)
где 6 — полудлина зоны контакта.
Исходное интегральное уравнение для реакции штампов q полу-
получится из условия плотного прилегания оболочки и штампов в зонах
контакта. Это условие запишем, приравняв ¦ изменение кривизны
срединной поверхности оболочки в продольном направлении xi
кривизне кромки штампов *:
*i+-J- = 0. (8.65)
Кривизна и,1 в некоторой произвольной точке 1 на линии кон-
контакта q> = 0 (см. рис. 8.15) определится путем суммирования дефор-
деформаций от каждой реакции по формулам F.24) и F.25). Так как
все реакции одинаковы и расположены с постоянным шагом 2я//га,
то будем иметь
о
; (8.66)
где
Подставим в это выражение функцию Грина Ф из формулы F.29).
Просуммировав косинусы, получим
Теперь выполним дифференцирование, используя формулы F.37),
F.39) для функций ФпA) F.30). В результате при <р = 0 получим
где »0(S--JT-e-»'.sta(«|E|+i)
(8.68)
¦ Более точно в условии (8.65) следовало брать Ri+h/2 вместо Ri, где А —
толщина оболочки, однако можно пользоваться (8.65), так как R^h/2
356
*„($)=
+ Vj
sin
- 6шу) - 26) sin
sin
Ряд (8.67) имеет логарифмическую особенность в точке 1=0.
Это показано в разд. 6.4. Главное значение функции Х1з°Ф° опреде-
определено третьей формулой F*45). Суммируя такие функции для т
точек щ—%ьк}т (k = 0f I,.,. т—1), как это сделано выше для
функции Ф, при q>=0 найдем
Введем теперь новую переменную аир
а=п*, р=тв, (8.69)
тогда, суммируя предыдущий ряд по формулам F.47), получим
Для того чтобы ряд (8.67) стал равномерно сходящимся, нуж-
нужно вычесть из него почленно ряд (8.70) и прибавить замкнутое вы-
выражение (8.70). В результате имеем
Здесь
(8.71)
Здесь bo(a), bn(a) —коэффициенты (8.68) при n=km, g = a/m.
Если подставить выражение (8.71) в (8.66), то условие (8.65)
приведет к интегральному уравнению
в f> .
dal + -fK(a — *t)qdal=—ma-?- (8.72)
J Ri
где
1 —
(8.73)
Уравнение (8.72) имеет единственное неограниченное на концах
а= ±р решение, которое при каждом заданном значении 0 опре-
определяется вполне.
357
Для нахождения положения и длины зоны контакта, характери-
характеризуемых параметрами /t и h (см. рис. 8.15), служат условия стати-
статики (8.63), которые с учетом замены переменной (8.64) и (8.69) бу-
.дут иметь вид
-р
-р
Найдя для каждого В реакцию q из решения уравнения (8.72),
из первого усилия (8.74) можно получить зависимость Р±=Р($),
которая при заданной силе Р позволит найти В. Зная В, из второго
условия (8.74) можно в явном виде найти величину а= (fe—/0/2,
равную расстоянию от центра зоны контакта до точки приложения
силы Р. Эта величина вместе со второй формулой (8.64) дозволит
найти h и h-
О о
/х=——а, /2=——\-а,-
т т
Уравнение (8.72). решается численно с помощью полиномов Че-
бышева методом, указанным в конце разд. 7.7.
Реакция q аппроксимируется полиномами Чебышева первого
Г@
>=т-
(8-75)
Коэффициенты разложения Xs определяются из системы урав-
уравнений
2
г11
(У, s=0, I,..., N),
(8.76)
o-i и Oj, — коэффициенты G.97) или (8.45) с ядром К* вида G.95),
записанным применительно к уравнению G.5). В уравнении (8.72)
знак перед ядром К отличается от G.5), поэтому
*•(<*)=-* (a)-In
-In p. .
Точки а* и th в (8.45) и (8.76) определяются по формулам G.83),
G.92)
358
Уравнения (8.74) с учетом представления F.75) н свойства ор-
ортогональности полиномов Чебышева G.73) можно записать в виде
(8.77)
Безразмерная сила P* = PjEhR н безразмерная реакция q* =
= qR$/P в соответствии с формулами (8.75), (8.77) и (8.73) будут
г.* л v л 4ла2 А2
P*=rm*X0, +=—j, «2 = W
Известно, что полиномы Чебышева Ts(t) с четными индексами
s являются четными по t, с нечетными индексами — нечетными.
Поэтому, если априори известно, что реакция q — четная, то в.
представлении (8.75) нужно оставить только четные слагаемые и
наоборот — нечетные, если q — нечетная функция.
Если раднус R\ основания штампов постоянный, то согласно
(8.76)
У УУУ=0
Действительно, в этом случае формула (8.76) есть формула Ме-
лера для интеграла
' Tj(t)dt 11 при /=0
• при
_/?!_ =J_ ,' Tj(t)dt (I
R Уз~ я ) VT^W ~ [0
Так как формула Мелера точна для полиномов степени 2N,i—1
включительно, то формула (8.76) в этом случае дает точный ре-
результат для у0, ул,..., если 2Ni—i~
8.6. ПЕРЕДАЧА ПРОДОЛЬНЫХ УСИЛИЯ
ОТ СТРИНГЕРОВ К ОБОЛОЧКЕ
Выше были рассмотрены задачи, s которых нужно было искать
нормальные реакции взаимодействия в зоне контакта. В данном
параграфе .искомыми будут касательные усилия взаимодействия
между ребрами и оболочкой. Схема рассматриваемой здесь конст-
конструкции изображена на рнс. 8.16. К бесконечно длинной тонкой уп-
упругой круговой цилиндрической оболочке вдоль отрезков образую-
образующих приварены одинаковые ребра, нагруженные на концах про-
продольными силами Р, которые уравновешиваются равномерными
растягивающими усилиями на правом бесконечно удаленном кон-
конце оболочки и такими же по величине сжимающими на левом. За-
Задача будет решаться при следующих допущениях.
1. Считаем, что контакт между ребрами и оболочкой осуществ-
осуществляется ло линиям. Ширина площадок контакта не учитывается.
2. Ребра работают только на растяженне-сжатие н не восприни-
воспринимают нзгнбные напряжения. Это допущение позволяет не учиты-
Рис. 8.16. Бесконечно длнииая
оболочка, подкрепленная продоль-
продольными ребрами (стрингерами), иаг-
ружеииыми иа концах продольны-
продольными силами Р (q — касательные ре-
реакции взаимодействия между реб-
ребром и оболочкой, OcFc=N —уси-
•лие в ребре, ос — напряжения,
Fc — площадь сечения)
вать нормальные реакции взаимодействия между ребрами и обо-
оболочкой и ограничиться только касательными усилиями взаимодей-
взаимодействия q. Положительное направление реакций q показано на рис.
8.16.
1. Вывод исходного уравнения. Исходное уравнение задачи для
реакций q будет получено из условия контакта — равенства про-
продольных деформаций оси стержня ес и продольных деформаций
оболочки на линии контакта ei.
Число ребер будем обозначать через т. и считать произвольным,
все ребра одинаковые и расположены с постоянным шагом по ок-
окружности. Эта задача была рассмотрена в статье Э. И. Григолюка,
В. М. Толкачева [20]. Здесь с небольшими изменениями использу-
используется тот же метод, что и в данной работе. •
Запишем условие равновесия части ребра, расположенной
между координатами | и / (см. рис. 8.16)
(8. 78)
Здесь / — длина ребра, отнесенная к радиусу оболочки R; Ес,
Fc — соответственно модуль упругости и площадь поперечного сече-
сечения рёбра.
Теперь найдем продольную деформацию оболочки на линии кон-
контакта от реакций q. Она определяется путем суммирования де-
деформаций F.27) на линии <р = 0 (см. рис. 8.16) от реакций q, при-
приложенных на линиях <fo=2nkfm (k = 0, I,..., m—1) в направлении,
противоположном направлению координаты |
т-1
(8-79)
Остается подействовать оператором F.28) на основную разре-
разрешающую функцию Грина Ф(!„<р), определенную формулами
F.29), F.30), F.31), положить затем <p=<pic = — 2nkfm (k = 0, 1,...
..., m—1) и просуммировать такие воздействия.
360
При вычислении производных по ? можно пользоваться форму-
формулами F.37) и (8.39). Будем иметь
!!J5!L} <8-80)
Здесь aoCD^-j-^-Cl-^e-^lcosxIsDsign?, (8.81)
2
X sin {p}n |g| + Yy - 5«>y)-f^ X
Коэффициенты ao и an получены для теории непологих оболочек с
учетом подчеркнутых слагаемых в операторе F.28).
Здесь введены обычные обозначения из гл. 6: х — параметр, оп-
определяемый согласно F.31); Xj — pj+iqj — корни уравнения F.32);
rj, yj — параметры, вычисляемые согласно выражениям F.35); pj
и coj — параметры, определяемые по F.38).
Обозначим сумму, стоящую под знаком интеграла (8.79) для
краткости через К* (?—?i), . , ' ¦
ш-1
Тогда после суммирования выражений (8.80) с учетом извест-
известной формулы
т—\ .
VI 2nftn [т при п=т, 2т,...
у COS l==i
*J т @ при пфт, 2т,...
получим /C*(?)=-^-|J-a0E)+ ^ «„(?)]. (8.82)
п—т,2т,.
Функции Грина (8.80) при кФО представляются равномерно
сходящимися рядами. Это показано в разд. 6.4 путем исследования
главного значения функций Грина. Там же показано, что при fc=0
(т. е. при ф=0) и |-*0 деформация вп неограниченно возрастает
как \Ц. Главное значение деформации (8.80) при й=0 можно вы-
361
разить в виде ряда по первой формуле F.45), положив там <p = 0, a
сумма этого ряда дается формулой F.49). Таким образом,
е—у (883)
4л Л 2 2 4 ch?-
Точно такую же особенность будет иметь и ядро (8.82), так как
добавление к ряду (8.80) при k = 0 регулярных рядов при 1гФ0 не
изменит ее характер. »
Для удобства вместо ряда (8.83) целесообразно брать ряд для
п = т, 2т,..., умноженный на т (ряд вида (8.82)). Такая модифи-
модификация, очевидно,"не изменит характер особенности. Действительно,
возьмем
23'
2
23
л=-/п,2/п,...
2L fi
4п , о ¦cth-=?- + -4^ -.Г .)• (8-84)
Выражение для суммы ряда (8.84) следует непосредственно из
формулы (8.83). Действительно, положим в ряду (8.84) n<=km,
li = '"i- Тогда ряд (8.84) совпадает с рядом (8.83), а его сумма сов-
совпадет с «уммой (8.84). В окрестности точки |=0 суммы (8?84) н
(8.83) ведут себя одинаково. Их неограниченная часть просто сов-
совпадает и имеет вид
&°иФв&, 0)-> — Jbz±-L. (8.85)
11 v An 2 s K '
В силу изложенного преобразуем ядро (8.82), выделив из него
.расходящую часть (8.85). Для этого вычтем из ряда (8.82) ряд
(8.84) и компенсируем это добавлением замкнутой правой части
(8.84), а к последней прибавим и вычтем правую часть выражения
(8.85). В итоге ядро К* запишем в виде
(8. 86)
Здесь введена замена переменной
а=п%. . . (8.87) ]
Ядро К (а) будет иметь вид ".. ;
X A - v-f l±l k |a| jl J sign a, («. 88)
,.. 2 , 1 — v ,, a | 1 + v a \'l
f (a)=—^- cth -^+—¦ : 1^—.
J y ' 3 —vl 2 2 ~ 4 cha—1/ a
362
Функции ао(а) н ап{а) —это коэффициенты (8.81), в которых
нужно положить согласно (8.87) | = а/т и, кроме этого, п=М.т.
В теории пологих оболочек ряд в (8.88) будет сходиться как
1/&4, если число h=km будет удовлетворять неравенству F.73).
Функция /(а) является регулярной н при а=0 f @) =0.
Подставим ядро (8.86) вместо суммы под знак интеграла (8.79)
н заменим переменную интегрирования gi через си по формуле
(8.87) Г Деформацию ei при этом запишем в виде
22Й^
где h = ml.
Для того чтобы получить исходное интегральное уравнение за-
задачи, нужно приравнять эту деформацию оболочки и деформацию
стержня ес, определенную нз условия (.8.78). В результате уравне-
уравнение будет иметь вид .
i =Q. (8.89)
0 т 0
Здесь введена нов аи переменная
li. ml I '
Параметр А, удобно расчленить на произведение трех парамет-
параметров и записать в виде
>16Д^. (8.90)
Решение уравнения (8.89) должно быть подчинено условию рав-
равновесия ребра в целом
^^ (8.91)
где Р — сила, приложенная к ребру (см. рнс. 8.16).
Из уравнения (8.89) можно получить два частных случая. При
/i = 0 получается уравнение для пластины с ребром. Этот случай
рассмотрен в разд. 3.6. При Л=0 получаем оболочку, жестко за-
защемленную по отрезкам образующих.
2. Преобразование основного уравнения. Уравнение (8.89) мож-
можно решать прямым методом, изложенным в разд. 7.7, с помощью
разложения искомой функции в виде ряда по полиномам Чебышева
первого рода. Здесь, однако, будет изложен способ решения мето-
методом регуляризации уравнения, как это сделано в pa6oTeB0J.
363
Перенося второе и третье слагаемое уравнения (8.89) в правую
часть и обращая сингулярный интеграл с помощью формулы G.12)
обращения интеграла G.7), приведем уравнение (8.89) к виду
О
X(x)dx , с
+
где с — произвольная постоянная, а ^(т)—каноническая функ-
функция
Ум1ножим обе части уравнения (8.92) «a IR/P и проинтегрируем
по го от го до 1. При этом используем замену переменной
T = sin2 —, T0^sin2^-
и граничные условия # @) = 1, N(\) =0. В результате получим урав-
уравнение - '
Вместо реакции q в качестве искомой введем функцию N{%) —
усилие в ребре, отнесенное к приложенной силе Р,
l? (8.93)
Учитывая условие равновесия (8.91), получим следующие гра- ;
ничные условия для функции N(x):
(8.94) \
i «
о
Ядро К (a, ci) вычисляется по формуле (8.88), в которой следует
положить
Уравнение (8.94) является интегро-дифференциальным уравне- ]
нием с ядром, имеющим логарифмическую особенность. Интегриро- ]
ванием по частям внутреннего интеграла можно_получить интег- ';
ральное уравнение Фредгольма второго рода, однако это делать не
будем. Переход к новой переменной а позволяет вместо неограни- ]
ченно возрастающей в окрестности концов ребра производной -|
N'(xi) иметь дело с ограниченной производной N'(oi) в уравнении 1
364
О 6, б2
Рис. 8.17. Схема к формуле численного интегрирования разрывной функции
(8.96)
Рис. 8.18. Схема, поясняющая аппроксимацию производных (8.97)
(8.94). Это обстоятельство является важным при численном реше-
решении уравнения (8.94), выполненном в следующем пункте. #
3. Численное решение. Разобъем интеграл @, я) в уравнении
(8.94) на п равных частей и применим для вычисления интегралов
квадратурную формулу трапеций
к . л
/.=/@/), (8.95)
о,=-^-, Д,=ЛЛ=—, А}=1 при /=1, 2,..., я—1.
я .2
Формулу (8.95) можно записать и для разрывной в некоторой
внутренней точке a = as функции (рис. 8.17)
(8. 96)
где -/+ и /——соответственно предельные значения функции
/(<т) при приближении к точке разрыва справа и слева. 2' — ин-
индекс суммы, у которой отсутствует s-й член. Формула (8.96) полу-
получена применением квадратурной формулы (8,95) отдельно для ле-
левой и правой непрерывных ветвей функции /, поэтому является
столь же точной, сколь точна формула (8.95), примененная для
непрерывной функции. В рассматриваемом уравнении (8.94) раз-
разрывным является ядро К(а, сп) при <r=<xi.
Производные N'(a) будем приближенно аппроксимировать ра-
равенствами (рис. 8.18)
я
при j=\, 2,..., я—1,
(8.97)
Применяя формулу (8.96) к вычислению внутреннего интеграла
в уравнении (8.94) и учитывая, что ядро К(а) (8.88) является косо-
симметричным (/С(а) = —-К(—а)), а значит
365
получим с учетом (8.97) для всякой точки aj—n'jfn(}=0, 1 п),
О'
я-1
Аналогично вычисляется внешний интеграл в уравнении (8.94),
и оно принимает вид
л-1
я-1
Это уравнение будем выполнять в точках ао=:<?<№ = <ть—я/2/t (см.
рис. 8.18). В итоге получим систему п—1 алгебраических уравне-
уравнений •
я-1
где
ЛЛ
—
=1, 2 и-
+ — (Л ^
(8.98)
8ц = t, 8u=0 при
bkt=O при i ф/г,1 ф k—\.
sin ¦
я
SU1
2
• . . .. _.7-o •. ¦ ' " . ¦
4. Анализ результатов расчета. Интегро-диффереициальное
уравнение (8.94) решалось методом, описанным в предыдущем
пункте. В качестве параметров выбраны: параметр у (8.90), харак-
характеризующий жесткость ребра; относительная толщина оболочки
h/R; относительная длина ребра" l=LfR.
Интервал ^0, я) при численном интегрировании разбивался на
10 частей (л= 10). Количество ребер т было принято равным^.
Для .оценки точности метода был просчитан частный случай для
пластины (/i=0 в уравнении. (8.94)) и решение сравнивалось с по-
полученным в разд. 3.6. Разница для усилия N не превосходит 0,022
для параметра 20
Збб
Рис. 8.t9. Распределение продольных
усилий в ребре по его длине (при Р=1,
см. рис. 8.16)
Кривые распределения усилий
в ребре (8.93) приведены на рис.
8.19—8.25. Серия кривых на каж-
каждом рисунке соответствует разным
длинам ребра. Относительная
длина /определяется точкой пере-
пересечения соответствующей кривой
с осью \. Случай у=0 соответ-
соответствует оболочке, защемленной в
продольном направлении по от-
отрезкам O^g^r/'.
Из приведенных графиков видно, что характер убывания усилий
N, резкий в начале и конце ребра, существенно зависит от'пара-
от'параметров h/R и у- С увеличением жесткости ребра Ify темп убывания
функции N замедляется, с увеличением Л/!/? —• увеличивается. Ха-
Характер изменения N при постоянной относительной жесткости реб-
ребра Yi— Rfyh слабо зависит от толщины оболочки h/R. Изменение
усилий N в зависимости от относительной длины ребра l=L/R нез-
незначительное в окрестности нагруженного конца ребра для длин
/>2. Так, при / = 5 и 7=10 кривые просто совпадают (см. рис. 8.19,
8.20, 8.21). На рис. 8.24 для сравнения приведены графики распре-
распределения* усилий в полубесквнечных ребрах, присоединенных.к по-
лубескоиечной цилиндрической оболочке и нагруженных на концах
продольными силами, эквивалентными изгибающему моменту. Эти
графики получены В. Гудом, исходя из теории тонкостенных стерж-
стержней (G7] № 211).
Распределение касательных усилий д, передающихся от ребер к
оболочке, показано на рис. 8.26—8.33. Из этих графиков можно сде-
сделать вывод, что ребра с длиной />2 фактически не загружены в
средней части.
Все приведенные результаты получены при удержании в ряду
(8.88) для ядра К четырех слагаемых, что соответствует удержа-
удержанию 18 членов в ряду (8.80) для деформации ец. Увеличение коли-
количества членов ряда нецелесообразно, так как результаты с тремя и
четырьмя членами практически совпали.
Некоторые случаи защемленной оболочки были также просчита-
просчитаны по теории пологих цилиндрических оболочек; Погрешность в ре-
решении для усилий N в ребрах по сравнению с решением по теории
непологих оболочек не превышает 0,0016. Сравнение проводилось
для оболочек с параметрами R/h — 500 при / = 0,5rt; 2; 5; 10; Rjh =
= 100 при /=0,5; 1; 2 и Я/Л=50 при / = 0,5 и 5. Такое ,. совпадение,
по-видимому, объясняете^ сравнительно большим числом ребер,
равным 6. •
В заключение отметим, что полученные результаты можно hcj
пользовать для случая, когда ребра нагружены продольными сила-
367
N
0,8
0,6
0,1
V
\
4
; V
J WE/l2 i L
R/h=>500, m-S
J~50
2
?
— —
.t-n
\
o.s
0,2
1
(V
Li
\v
\
1
0,5
\
.. ШЯ2 . L
' nC-i
Rlh=5
^.
)A+t)?cFc ' " /f
6
- f 'WO
——_
•'—_
s\
\\
Рис. 8.20. Распределение продольных усилий в ребре (при Р=1, см. рис. 8.16)
Рис. 8.21. Распределение продольных усилий в ребре (при Р=1, см. рис. 8.16)
по его длине
f
N
0,8
0,6
Oft
0.2
1
1
¦—--.
Ч-
V\Sv
Л1 ^
7SER2 , L
Г ЯC-ММ)ЕС
R/h-100, m-6
2 .
^—«..^
Fc" Я
1
0
1,-10
Ч
1
Г )CC-i)(M)EcFc
Rlh-59, m-S
Г-0
¦ Г
Рис. 8.22. Распределение продольных усилий в ребре по его длине (пои Р=1,
см. рис. 8.16)
Рис. 8.23. Распределение продольных усилий в ребре по его длине (при Р=1,
см. рис. 8.16)
ми не только на левом конце, но н на правом. Пусть, например,
каждое ребро нагружено на левом конце силой Р, а на правом —
силой kP. Коэффициент к может принимать любое значение. Сум-
Суммарное усилие в ребре, отнесенное к силе Р, показано на рис. 8.34
кривой 3. Она получена путем суммирования эпюры / для усилий
N от силы Р на левом конце с эпюрой 2, полученной умножением
ординат эпюры /на k и разворотом. Параметр k может быть и от-
отрицательным (сжимающая сила на правом конце). В этом случае
эпюры вычитаются. Совершенно аналогично можно построить сум-
суммарные эпюры распределения касательных реакций. Там только
при k>0 эпюры нужно вычитать, а при ?<0 складывать.
368
N
О/
Ofi
op.
1 V
\\
Задача вту/la УП.НЯ! 16ЕЯ2>
2
>S
f
i
N
0,8\
0,6
i
к
T WER*
1 XC-})U4)EcFt
R/h-ПО, m=S
—^—-
¦ .
, L
,L R
r-o
fit
r-iot
Рис. 8.24. Распределение продольных усилий в ребре по его длине (при Р=1,
см. рве. 8.16) [кружками и треугольниками обозвачено решение В. Гуда [77] по
теории тонкостенных стержней для полубесконечной оболочки с полубескоиеч-
иыми ребрами, нагруженными как показано на рисунке (задала В. Гуда)]
Рис. 8.25. Распределение "продольных усилий в ребре по его длине (для Р=1,
см. рис. 8.16)
Рис. 8.26. Распределение касательных усилий q по длине зоны контакта ребра и
оболочки
Рис. 8.27.. Распределение касательных усилий q по длине зоны контакта ребра и
оболочки
?
V
X
4
r
Rlh-IOL
1, iri'S
J'B
J~1OO
j
2/t
0,8
Рис. 8.28. Распределение касательных усилий q по длине зоны контакта ребра и
оболочки
Рис 8.29. Распределете касательных усилий q в зоне контакта ребра и оболочки
369
.IS.
¦ p
IB
ф~50
m=B
r-o
x-wo
""I
0,8 t —
Рис. 8.30. Распределение касательных,усилий q в зоне контакта ребра и обо-
оболочки '
Рис. 8.31. Распределение касательных усилий q no длине зоны контакта ребра и
оболочки
2/1
ш
V |
С'0,5
1
j
}
R/h =20, т-6
-^—1-0
fWO
1
п
/
0,8
Рис. 8.32. Распределение касательных усилий q в зоне контакта ребра и оболочки
Рис. 8.33. Распределение касательных усилий q по длине зоны контакта ребра и
оболочки
Р,'КР
05
0
M —
Рис. 8.34. Распределение продольных усилии в
ребре, приваренном к оболочке (рис. 8.16):
/—случай нагружения на левом конце силой Я—I
(А:=0); 2—случай нагруження на правом конце силой к;
3—случай нагружения на обоих концах (при Р—\
и любом *<1)
370
8.7. О ХАРАКТЕРЕ РЕАКЦИИ В ЗАЩЕМЛЕННОЙ
ПО ЛИНИИ ПЛАСТИНЕ КИРХГОФА
Как.уже отмечалось в гл. 5, при изгибе пластин и оболочек
Кирхгофа жесткими штампами-на границе зоны контакта могут
появляться сосредоточенные силы и моменты. Вопрос о типе реак-
реакции и структуре интегральных уравнений может'оказаться нетриви-
нетривиальным и в том случае, когда контакт со штампом осуществляется
не по площадке, а по линии. Этот вопрос рассмотрим здесь в дис-
дискуссионном плане на примере бесконечной пластины Кирхгофа, изо-
изображенной на рис. 8.35. На отрезке —Л^лс^Гк пластине приваре-
приварена абсолютно жесткая в своей плоскости днафрагма-штамп, нагру-
нагруженная силой 2Р. Ширину площадки контакта учитывать не бу-
будем — контакт будет осуществляться по отрезку [—1,1] оси х. Для
равновесия,пластины приложим силы Р на оси у. -
Предположим," что реакция между пластиной и штампом пред-
представляет собой нормальные к плоскости пластины погонные усилия
q. Интегральное уравнение для реакции q по'лучим из условия, что
изгибная деформация пластины х= —d2w/dx2'ua отрезке контакта
(—Кх<.1) -равна нулю. Функцию влияния G, характеризующую
прогиб в точке х, у от единичной нормальной сосредоточенной си-
силы, приложенной в точке хи у\, можно рассматривать, как частное
решение уравнения
y2y2Q = Ь[х — Xi)b(y — yi),
D
где . D— цилиндрическая жесткость пластины; й(лс—Xi) и
Ь(у—yi)— деталь-функции Дирака. Это решение возьмем в виде
1 -Q2lnQ, H^YW
Вычислив нзгибную деформацию х= —tPwfdx2 на отрезке кон-
контакта от нормальной реакции q и сил Р с помощью функции влия-
влияния G, получим следующее уравнение для определения реакции:
(8.99)
Li
Реакция q должна быть
подчинена условию равнове-
равновесия штампа
\qdx~2P. (8.100)
Рис. 8.35. Бесконечная пластина,
защемленная на отрезке
371
-Решение уравнения (8.99) вполне определено и является един-
единственным. Оно может быть записано в явном виде. Для этого вто-
второе слагаемое в левой части можно перенести в правую и восполь-
воспользоваться решением G.22), G.23) для уравнения G.17). В резуль-
результате получим
(8.101)
(8. 102)
—i - —i
Путем 'Непосредственного интегрирования обеи1< частей решения
(8.101) можно убедиться, что постоянная А удовлетворяет условию
1
' А= \qdx, 1
—1 ¦
с учетом которого соотношение (8.102) даст
А = —~- \ '/*"".. (8.103)
¦ яC — 2 In2) J /1 — ^2 v ;
—1
Если в этом равенстве заменить А через 2Р согласно (8.100) и
функцию f(x) ее значением (8.99), то убедимся, что в 'общем слу-
случае равенство (8.103) выполнить невозможно. Действительно, если
зафиксировать силу Р и менять расстояние b до точки приложения
силы Р, то будет меняться функция }(х), а левая часть равенства
(8.103) будет оставаться постоянной. Таким образом, решение
(8.101), (8.103), вообще говоря, не удовлетворяет условию равно-
равновесия штампа (8.100). Чтобы удовлетворить условию (8.100), ре-
решение должно содержать произвол. Произвол можно получить, вве-
введя в состав реакции сосредоточенные силы Pi на концах х'= ± 1
зоны контакта. Тогда реакция будет
qz=qo\ ¦* i [оv*— */т"\X~\~ ijj? (o. iu4^
где ^o — гладкая часть реакции; б — дельта-функцин Дирака. Вме-
Вместо уравнения (8.99) будем иметь
' Ы = / (х) - 3/>, - 2Я, In У Т=^, (8. 105)
где l[q0] —: оператор (8.99).
Решение уравнения (8.105) в силу линейности можно искать в виде
где q\ и qz суть решения уравнений,
IШ = /(х), I [q2] = -3/>!-2Pi In y\—jfl.
372 *
Рис. 8.36. Схема приложения к пластине по-
гоииых реактивных моментов М и погои-
ных крутящих моментов Я
Решение <7i получено выше и имеет
вид (8.101), (8.103). Что касается
решения второго уравнения для ^2.
то в классе гладких функций оно
тождественно равно нулю. В этом
легко убедиться, подставив в правую часть формул (8.101) и (8.103)
Тривиальное решение д^^О является естественным, так как два
последних слагаемых в правой части уравнения (8.105) получены
при подстановке в уравнение (8.99) вместо q дельта-функций
(8.104). Этот пример разобран также в разд. 7.3.
Подставляя решение <7o = <7i+'<72=<7i+O в левую часть уравнения
(8.105), увидим, что оно выполняться не будет. Вместо него будет
выполняться уравнение l[qo] = f(x).
Итак, решение уравнения (8.105) в классе гладких интегриру-
интегрируемых функций не существует. Физически этот факт объясним — нз-
гибная деформация в зоне контакта, возникшая от сосредоточен-
сосредоточенных сил, не может быть компенсирована погонными нормальными
нагрузками.
Теперь уместно поставить вопрос, какой вид имеет реакция в
действительности, если смотреть на задачу, естественно» с позиций
теории Кирхгофа. На наш взгляд, не будет противоречия, если в
состав реакции кроме погонных усилий q ввести погонные моменты
М, непрерывно распределенные по отрезку |дс|^1. Наличие мо-
моментов будет свидетельствовать о том, что на берегах разрезанной
по линии |*| г^1 пластины будут действовать крутящие моменты
Я, как показано на рис. 8.36. Они будут уравновешиваться погон-
ными'моментами M = UH. На моменты М\ как'впрочем и на реак-
реакцию q, следует смотреть как на математические объекты, позволя-
позволяющие решить задачу в рамках принятых допущений.
Функция Грина для сосредоточенного момента получается диф-
дифференцированием функции Грина для сосредоточенной силы. По-
Поэтому с учетом моментов вместо интегрального уравнения (8.99)
получим
В связи с вводом моментов М к уравнению (8.106) кроме условия
(8.;10O): нужно добавить уравнение равновесия штампа по момен-
моментам. В данном случае
1
(8. 107)
373
Уравнение (8.106) является, вообще говоря, противоречивым,
так как содержит две неизвестные функции д и М. Попробуем все-
таки найти подход к его решению. Для этого усложним задачу, по-
показанную на рис. 8.35. Будем считать, что в пластину вдавливается
жесткий штамп, имеющий отличную от нуля кривизну основания и
острые углы, как изображено пунктиром на рис. 8.35. Если сила Р,
сдавливающая лытамп, мала, то зона контакта будет а<1. Исход-
Исходным уравнением в этом случае будет уравнение (8.99), в котором
пределы интегрирования нужно изменить на (±а), а в правую
часть ввести кривизну основания штампа. Это уравнение при вся-
всяком наперед заданном с.<1 имеет вполне определенное решение.
Сила Р для каждого а<1 определится из условия (8.100), где пре-
пределы интегрирования нужно заменить на (±а). Задача имеет ре-
решение. При а=1 тоже найдется такая сила Р=Р*, при которой"сос-
редоточеиные силы в реакции не появятся. Она определяется из •
(8.100) после решения уравнения (8.99). Если Р>Р*, в состав ре-
реакции нужно ввести сосредоточенные силы, чтобы выполнить усло-
условие (8.100). Нужно ввести и погонные моменты, чтобы выполнить,
условие контакта. При этом уравнение (8.106) преобразуется к
виду
\J^=2 (8.108)
где q0 — гладкая часть реакции; Pi —сосредоточенная сила.
Для решения уравнения (8.108) рассуждаем следующим обра-
образом. Когда зона контакта а<1, не нужно вводить силы Pi и мо-
моменты М, т. е. в (8.108) следует положить Pi=0, Af=O. Когда зона
контакта а станет равной 1, задача станет линейной, так как пре-
пределы интегрирования в (8.108) не будут меняться. Но существует
решение, для которого и в этом случае не нужно вводить сосредо-
сосредоточенные силы и моменты (при Р = Р*), т. е„ Pi=0, М=0. Поэтому
в силу линейности можно "допустить линейную зависимость между
моментом и сцлой -
В этом случае уравнение (8.108) уместно разделить на два
^). (8.109)
Х\ — X
Первое уравнение (8.109) определяет нормальную реакцию. Она
определяется только величиной зоны контакта и не зависит от того,
имеет штаМп острые углы или их нет. Второе уравнение (8.109) оп-
определяет погонные моменты, которые, и только они, компенсируют
деформацию пластины, создаваемую на линии контакта сосредото-
сосредоточенными силами. Если эту физическую предпосылку взять за осно-
основу, то введенное выше для наглядности рассуждений допущение о
неравной кривизне основания штампа можно отбросить.
374 •
Приведенные рассуждения позволяют наметить следующий по-
порядок решения контактной задачи: а) записывается реальное усло-
условие контакта в предположении, что в составе реакции нет момен-
моментов и сосредоточенных сил и составляется интегральное уравнение
типа (8.Ф9) нли первое уравнение (8.109) для реакции q0- Решает-
Решается; б)^ к этой, реакции добавляются нормальные сосредоточенные
силы Pi на концах зоны контакта, которые определяются из усло-
условия равновесия типа (8.100); в) составляется уравнение для равной
нулю изгибнои деформации в зоне контакта от погонных моментов
М и сосредоточенных снл Рь Это второе уравнение (8.109), из ре-
решения которого вместе с условием (8.107) определяются погонные
моменты. Напряженно-деформированное состояние рассчитывается
по известным нагрузкам q0, Pu M. .
Решение первого уравнения (8.109) дается формулами (8.L01)
и (8.108). Решение второго уравнения (8.109*), удовлетворяющее
условию (8.107), имеет внд -
— xilnVx — дг? dxA
) (8Л10>
' l
- 2\{
Это выражение записано согласно формуле G.12), определяю-
определяющей'решение уравнения G.7). Полученная формула для М(х) со-
содержит сингулярный интеграл от 1п К 1 — х\. Значение этого
интеграла является ограниченной функцией на концах х — ±1, по-
поэтому функция М(х) имеет корневую особенность. Вычислить дан-
данный интеграл трудно, поэтому мы приведем здесь еще численное
решение уравнения (8.109), положив для.простоты Pi = 1/2.
Используем разложение искомой функции в ряд по полиномам
Чебышева первого рода Тп(х)
n-0
Используя соотношения G.75), уравнение (8.109) приведем к
виду -
я V XnUn.x (ж)=1п \ГпГ&+± , (8. 112)
где Un^i(x) — полиномы Чебышева второго рода.
Уравнение (8.112) является функциональным уравнением для
определения неизвестных коэффициентов разложения Х„. Харак-
Характерно то, 4fo его правая часть является неограниченной при
х= ±1. Это затрудняет использование метода коллокаций для его
решения. Малейшая ошибка в выборе точек разбиения интервала в
окрестности концов х= ±1 может существенно изменить резуль-.
375
тат. Будем искать решение методом Бубнова, тогда неограничен-
неограниченность 1п]/1—дг2 не будет играть роли, она ^сгладится» при ин-
интегрировании.
Умножая (8.112) на ?/,_х У1 — *2 и интегрируя с учетом орто-
ортогональности G.74), получим
» 1
Х,^~—I \ In У 1 — х^у 1— x2dx,
• 2я я» J
(8.113)
Коэффициент XQ определится подстановкой (8.111) в условие
(8.107). Хо=0. КрОме Хо все четные коэффициенты Xs будут равны
нулю. Это видно из формул (8.113), так как полиномы us(y) не-
нечетных индексов являются функциями нечетными.
Численный расчет был выполнен для уравнения (8.110) без 3/2
в правой части. Чтобы получить решение с учетом 3/2, нужно к пос-
посчитанному ф(дс) добавить Здс/2я. Коэффициенты (8.113) вычисля-
вычислялись по формуле Мелера [42 с. 132]
а формула (8.111) для ф(дс) была записана в виде
2ЛГ.+!
?(дг)=2 ХпТа{х), ' (8.114)
я-1,3,5,...
так как четные Хп = 0.
Результаты расчета <р(х) приведены на рис. 8.37. Решение при
#! = 5 и 20 в формуле (8.114) практически совпадает.
p
20
w
2Н
о /V
х iV
0.2
.1
i
/
/
р/г
Р/2
Рис. 8.37. Изыеиеиие функции (8.114) по длине линии защемлеиия
Рис. 8.38. Схема защемления и вагружения оболочки
376
8.8. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА, ЗАЩЕМЛЕННАЯ
ПО ДУГАМ ОКРУЖНОСТИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
В качестве приложения теории, изложенной в дредыдущем раз-
разделе, рассмотрим модельную задачу, близкую к рассмотренной в
разд. 8.2. Будем считать как и в разд. 8.2, что бесконечно длинная
круговая цилиндрическая оболочка сжимается по дугам окружно-
окружности поперечного! аечения произвольным числом пг жестких штам-
штампов. Отличие от случая, разобранного в разд. 8.2, будет лишь в том,
что радиус основания штампов будем считать равным наружному
радиусу оболочки, связь штампов с оболочкой будем считать двух-
двухсторонней, и штампы будут иметь острые углы. Случай двух штам-
штампов изображен на рис. 8.38. Эта схема эквивалентна Схеме жестко-
жесткого защемления оболочки по, отрезкам дуги окружности поперечно-
поперечного сечения.
В данной задаче в отличие от задачи разд. 8.2 величина зоны
контакта заранее задана, поэтому уже не может выбираться из ус-
условия равновесия штампа.
При решении задачи сначала предположим, что, как и в задаче
разд. 8.2, реакция основания штампов представляет собой нормаль-
нормальные погонные усилия q. (Касательные усилия взаимодействия учи-
учитывать не будем). В этом случае исходное уравнение задачи будет
совпадать с уравнением (8.9). Нужно, однако, положить @0=0, так
как наружный радиус оболочки &о равен радиусу основания штам-
штампов R\. Итак, исходное уравнение задачи будет иметь вид
=\ In
2 sin
— ар
(8.115)
где /С(а—ai) —ядро (8.10), а=тф, Р = т6. Левая часть уравнения '
(8.115) с точность^) до множителя представляет собой изгибную
деформацию оболочки на линиях контакта, поэтому мы обозначим
ее условно через х.
Как было показано в разд. 8.7, уравнение типа (8.115) не имеет
отличных от нуля решений. Поэтому мы
приходим к весьма интересному выводу о
том, что в составе реакции штампов совер-
совершенно отсутствуют нормальные погонные
усилия.
Поступая как и в разд. 8.2, вводим в со-
состав реакции нормальные сосредоточенные
силы Рц/2т на концах зон контакта. Эти
силы для случая двух штампов (т—2) по-
Рис. 8.39. Схема действия реактивных сосредоточен-
сосредоточенных сил и погонных моментов
377
казаны на рис. 8.39. Распределенную погонную нагруаку q, соответ-
соответствующую этим силам, можно записать с помощью дельта-функций
Дирака в виде
или после перехода к переменной а
^ (8.П6)
Реакцию (8.116) следует подставить в условие равновесия
штампа (8.12)
\qzos— da=?-, (8.117)
.1 да R
где Р — суммарная внешняя, сила, приложенная к штампам извне
(см. рис. 8.38).
Из условия (8.117) найдем, таким образом, величину сосредо-
сосредоточенных сил Pi
v
cos—
да
Следуя далее идее предыдущего раздела, введем в состав реак-
реакции распределенные погонные моменты ЛГ, положительное направ-
направление которых показано на рис. 8.39. После этого нужно опреде-
определить изгнбную деформацию оболочки на линиях контакта от сосре-
сосредоточенных сил Pi н моментов М и приравнять её нулю. Таким об-
образом, получится уравнение для определения моментов М. Изгиб-
ная деформация хР от сил Pi получится, если подставить в выраже-
выражение (8.15) значение <7 нз (8.116)
Р^-К{а,Щ, (8.118)
где Х(ц) — каноническая функция (8.14)
X (а)=2 Л /sin ^-
а К (о, р) — симметричная функция
о»
К (а, р) = V **nl cos ka cos Щ,
& k
получаемая из ядра (8.10).
378
Изгибнал деформация от моментов М определится из (8.115) пу-
путем дифференцирования ядер .
Здесь принято во внимание положительное направление для мо-
моментов из рис. 8.39 и положительное направление реакции q в
(8.115) снаружи к центру оболочки.
При выводе формулы (8.119) учтено следующее известное по-
положение. Если какая-либо физическая величина в оболочке, напри-
мер прогиб W, от нагрузки q записан в виде
то прогиб от пого'нных моментов ЛГ будет
-В
Складывая деформации (8.119) и (8.118) и приравнивая сумму
нулю, получим следующее уравнение для определения моментов М:
j z z j во т '
-Р -Р
' • " . (8. 120)
Сюда нужно добавить условие равновесия штампов по моментам
Р
~~ С .Ша=0. • (8.121)
. -Р .
Уравнение (8.120) может быть регуляризовано способом, изло-
изложенным в разд. 7.6. С этой целью перенесем второе слагаемое в
правую часть и воспользуемся формулой обращения G.41) для ин-
интеграла G.40). Получим
cos —
где с — произвольная постоянная.
379
Интегрируя обе части уравнения (8.122) по ао, найдем
3 cosf
da0,
X (oo)
—t» ' —в
так как [см. формулу G.58)]
dap
-р X (а0) sin 2
-=0.
Из условия равновесия (8.121) при этом находим с=0. Решение
уравнения (8.122) будем искать в виде
Af(a)=-?-
да
a
cos —
где у(а) —новая неизвестная функция", для которой из (8,122) по-
получим уравнение
Р ;?(aba0)cos-^
UQ / \ А I л / \rff1 "fid \ (R 19Ч\"
-р , ¦ 1
где R(ai, ao) — ядро (8.16)
• —Р
Уравнение (8.123) только правой частью отличается от решен-
решенного в разд. 8.2 уравнения (8.15). Ядро R{a, ао) вычислено в разд.
8.2 и имеет вид (8.20), (8.21).
Уравнение (8.123) можно решить численно с помощью квадра-
квадратурной формулы Мелера. Этот способ описан в разд. 7.6.
Рассмотренная выше с позиции теории Кирхгофа модельная за-
задача весьма интересна. В этой задаче нормальная реакция взаимо-
взаимодействия в зоне контакта казалось бы должна быть основной, но в
решении с позиций теории Кирхгофа она равна нулю. Реакция сос-
состоит лишь из сосредоточенных сил на концах зоны контакта и по-
погонных моментов. Это, однако, не мешает вполне однозначно опре-
определить напряженно-деформированное состояние в оболочке.
Приложение 8.1
ПРОГРАММА ЗАДАЧИ О ВЫХОДЕ ОБОЛОЧКИ ИЗ ШАХТЫ
1 'BEGIN' 'INTEGER' 'M, 'N, M, N, 'I, 'J, 'К, 'L, S, N1;
•2 'REAL' Ri, КАППА, 'X, ДЗЕТА, АЛБФА2, АЛБФА1, БЕТА, SH, СН, А, В,
3 'С, ПИ, К1. СУМ, СУМ4, Р. 'В 2, 'В 1, R2, Л, Н.
380 .
4 'L 1, PI, 0МЕГА1,'F;
5 P0042 ('M, Rl, M, N, N1, R2, Л, Н, 'L 1);
6 P1041 ('M, Rl, M, N, N1.R2, Л, Н,'L 1);
7 'BEGIN' 'ARRAY' 'P, 'Q, 'A, 'B, 'R, ГАММА, РО, ОМЕГАГ
8 1 :2], C[l: M], У, X{0 : N], 'T, Q[l : N1], АЛЬФА [О : N,
9 0:N], R{l:Ni, i : N11,
10 Ql [1 :Nl/2];
11 'ARRAY' БЕТА1 [1 -: N+1, 1 : N+2];
12 'FOR' ДЗЕТА : =0.05, 0.1, 0.5, 1, 1.5 'DO' 'BEGIN'
13 ПИ : 3.1415926; КАППА : = SQRT (Rl) X 1.285; 'X : ='Mx ДЗЕТА;
14 CH:=l/2x(EXPBx'X) + EXP(—2x'X)); SH : =1/2X (EXPBX'X)—
15 EXP(—2x'X)); 'FOR' 'K : =1 'STEP' 1 'UNTIL' M 'DO'
16 'BEGIN' 'N : ='KX'M; В ; =SQRT D+(КАППА/'N) |4);
17 "C : =SQRT (B-2); 'P [1]: = (КАПЦА/'Ы+'С)/2;
18 'P f2]: = (КАППА/'N—'C)/2;
19 'C : =SQRT (B + 2); 'Q [1]: = ('С+КАППА/'Ж/2;
20 'Q [2]: = ('С—КАППА/'Ы)/2;
21 A : ='P [I]f2—"P [2]f2—'Q [I]f2+'Q [2]f2;
22 B:=4x('Pll]t2X'QIUt2-'P[21t2x'Q[2]t2);
23 'A[l]='Pfl]X(At2-B-4xAX'Qll]t2);
24 'A 12]: ='P [2JX (Af2+B + 4xAx'Q [2J|2);
25 'Bti]:='Q[l!X(At2—B+4xAx'P{l]t2); 'B [2]: =.
26 'QB]X(At2+B-4xAx'P[2]t2);
27 'B 1 :='B 2:=0; ' :
28 'FOR' 'J : = i, 2 DO' BEGIN'
29 'R {'J]: ='P ['J]x'Q ['J]XSQRT ('A['J]f2+'B [\J]t2);
30 ГАММА {'J]: =ARCTG('A {'J]/'B ['J]); 'IF' 'B ['J]<0
31 'THEN' ГАММА ['J]: = ГАММА ['Jj+ПИ 'ELSE'
32 ГАММА ['J] := ГАММА ['J];
33 PO ['J]:=SQRT ('Q ['J]f2+'P {'J]f2); ОМЕГА ['J]: =ARCTG ¦ ':
35 A:=2x'Pt'J]X'Nxfl3ETA; B: =2x'Q ['J]X'NXДЗЕТА;
36 'В 2: ='B 2+1/R ('J]X(PO['J]t4xShV(ГАММА ['J]—4X
37 ОМЕГА ['J])-PO['J]f2X B-2.3/'Nf2)
38 xSIN (ГАММАСЛ—2xOMErA['J])+SIN (ГАММА[М]))ХA—l/'Nf2);
39 'B 1 : ='B 1+EXP(—B)/'R ['JlX (PO['JJt4xSIN(A+
40 ГАММА [\J]-4xOMErA['J]) )-PO [J']f2x
41 SIN(A+TAMMA ['J]—2ХОМЕГА ['JJ)XB—2.3/'Nf2)+SIN(A+
42 ГАММА ['J]))X(i—l/'Nf2);
43 'END' ЦИКЛА ПО 'J;
44 С ['K]:='B 2-'B I+(i+2x'Nxfl3ETA)xEXP(—2x'NXfl3ETA)—1;
45 'END' ЦИКЛА ПО 'К;
46 'IF' 'M=l 'THEN'
47 С [1]: =1/(8хКАППА|4)х (-4ХКАППА+8ХДЗЕТАХ B-2.3)-2/ЗХBХ
48 ДЗЕТА)+ЗХA—1) —
49 4ХКАППАХ1.4142ХЕХР(—КАППАХ2ХДЗЕТА)Х5ШBХКАППАХДЗЕТА-
50 ПИ/4))+ A + 2X ДЗЕТА) ХЕХР(—2Х ДЗЕТА)—I;
51 TOR' S : =0 STEP' I UNTIL? N DO'
52 'FOR' IK: =1 'STEP' 1 'UNTIL' N1 'DO'
53 T[S, 'K]: =COS(nHxSxBx'K—1)/1/N1);
54 'FOR' К : =1 STEP' 1 UNTIL' N1 DO'
55 'T ('К]: =-COS(nHxBX'K—l)/2/Nl);
56 'FOR' БЕТА : =0.1, 0.5, I, 1.5 "DO'
57 'BEGIN'
58 'FOR' 'L : =1 'STEP' 1 UNTIL' N1 'DO' 'BEGIN' АЛБФА2 : =БЕТАх
59 T [*L]; 'FQR' 'K : =1 'STEP' 1 'UNTIL' Ni 'DO'
60 'BEGIN' СУМ: =0; АЛБФА1; : =БЕТАх'Т ['К]; •
61 'FQR' I: =1 STEP' 1.'UNTIL' M 'DO'
62 СУМ: =СУМ+С ['I]/'IxCOS ('1Х(АЛЬФА2—АЛЬФА!)); ..
381
63 А : =CH-COS (АЛЬФА2—АЛЬФА1); Kl : ='XxSH/A-l/2XLNBxA);
64 В:=2х5Ш((АЛЬФА2—АЛЬФА1)/2), •
65 'IF 'L='K 'THEN' A : =1 'ELSE' A: =АВ5(АЛЬФА2—АЛЬФА1)/В);
66 R ['L, 'K]: ==LN(A) + CyM— Kl— LN(BETA);
67 'END' ПО 'К;
68 'END' ПО *L;
69 'FOR' \J: =0 'STEP' 1 'UNTIL' N 'DO'
70 'FOR' S : =0 'STEP' 1 'UNTIL* N 'DO'
71 'BEGIN'СУМ: =0; -С*-*.
72 'FOR' 'К: =1 STEP' 1 'UNTIL4 N1 'DO' 'BEGIN' СУМ1 : =0;
73 'FOR' 'L: =1 'STEP' 1 'UNTIL' N1 *DO'
74 СУМ1 :=CyMl + R['L,'KlXit'J.'L];
75 СУМ: =СУМ+СУМ1 XT[S, 'К];
76 'END' ПО 'К;
77 АЛЬФА ('J, S]: = СУМ/М|2; 'END' ПО S;
78 АЛЬФА [0, 0] := LNB)+АЛЬФА [0, 0]; У[0}:=1;
79 FOR' J : = 1 STEP' 1 UNTIL' N 'DO4 BEGIN'
80 АЛЬФА {'J, 'J]: = АЛЬФА ['J, 'J]+ 1/DX'J); У{М]: =0;
81 'END' ПО 'J;
82 PI : = ПИхЛХ('1Л—ДЗЕТА)Х(Ъ1+ДЗЕТА+2ХН)/(ДЗЕТА+Н);
83 IF Л = 0 THEN' F : =0 'ELSE'
84 'F : =4XДЗЕТАХ ('L 1—ДЗЕТА)+ДЗЕТА/ЗХBХДЗЕТАТ3—Т IX
85 (ЪЛ2+ДЗЕТА|2)) +
86 EXP (—КАППАХ ('L 1+ ДЗЕТА) )X SIN (КАППА X('L 1+ДЗЕТА))—
87 EXP (—КАППАх(Х 1—ДЗЕТА) )x SIN (КАППАХ ('L 1—ДЗЕТА))
88 EXP (—КАППАХ2ХДЗЕТА)Х5Ш(КАППАХ2ХДЗЕТА);
89 ОМЕГА1 : =^X'F/R2; .
90 'FQR"J: =0'STEP' 1 'UNTIL'N'DO1 BEGIN'
91 СУМ:=0;
92 'FOR' 'K : =1 'STEP' 1 'UNTIL' N1 'DO' .
93 СУМ :=СУМ+COS (БЕТА X'T{'K])XT['J,'K];
94 У ['J]: =У [М]+СУМхОМЕГА1/М;
95 'END' ПО 'J;
96 FQR4 'J: =1 'STEP' 1 'UNTIL' N+l 'DO1
97 'FOR' S : =1 'STEP' 1 'UNTIL' N+l DO1
98 БЕТА1 fJ, S]: =АЛЬФА ['J—lr S—1];
99 FOR' J: =1 'STEP' 1 'UNTIL' N+l 'DO*
100 БЕТА1 {'J, N+2]: =У ['J—1]; ' "
101 P1052 (N+2, N+l БЕТА1);
102 'FOR* 'J: =1 'STEP' 1 'UNTIL' N+l 'DO4
104 PW41 (X');
105 A:=1/(H
103 X [\J —1]: =БЕТА1 ['J, N+2];
« (X);
= !/A2xRlf2); A: =0.138xA; P: =0;
106 'FOR' 'K: =1 'STEP' 1 'UNTIL* N1 'DO'
107 'BEGIN'СУМ: =0;
108 'FOR' S : =0 'STEP' 1 'UNTIL' N 'DO'
109 CyM:=CyM+X[S]XT[S,'Kl;
110 Q ['Kl: Sl/SQRTA-T {'КИ2)ХСУМ:
111 P: =Р+СУМхСО5(БЕТАх'Т ['KJIV'M);
112 'END' ПО 'К; •
113 P:=PX'MxA/Nl;
114 FOR' 'K: —1 'STEP' 1 'UNTIL' N1/2 'DO'
115 Ql CK]: ='MXA/(nHxP)XQ['KJ;
116 P1041 (ДЗЕТА, БЕТА, P, Ql);
117 'END'ЦИКЛА ПО БЕТА;
118 P1041 (PI); •
119 'END'ЦИКЛА ПО ДЗЕТА;
J20 'END';
121 'END'
382
Приложение BJ2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА (8.21)
—р sin
Перейдем к переменной t=exp(la), переводящий отрезок дейст-
действительной оси [—Э, р] в отрезок единичной- окружности с углом
Bр)-(рис. 8.40).
Если учесть формулу G.43) для канонической функции Х(о)
то интеграл (8.21) можно записать в виде
,2 Ь
*(Q (<*-<-»)
(8.124)
причем интегрирование ведется по дуг.е единичной окружности (см.
рис. 8,40), а
есть предельное значение канонической функции G.10)
при приближении точки z=x+iy к точке / дуги единичной окруж-
иостя слева, если двигаться от точки а к точке Ь (см. рис. 8.40).
Для вычисления интеграла (8.124) служит формула G.105).
где Gk — главные части подынтегральной функции
f(z) в соответствующих полюсах. Подынтегральная
функция f(z), соответствующая интегралу (8.124)
(8.126)
Ряс S.40. Схема, поясняющая способ вычисления интеграла
(8.21)
383
может иметь полюсы только в точке г=0и г=оо. При z-*O можно
написать
Имеет место разложение ([64] с. 109)
L Ёр*" <8-127>
л=0
где />B = />n(cos р) — полиномы Лежандра.
Аналогично при z-»-oo
Л» = г V1 - 2 cos pz-i + г-2,
Функцию (8.126) запишем в виде
В окрестности точки 2г = 0 имеем, согласно (8.127), разложение
Первое слагаемое в круглых скобках не входит в отрицатель-
отрицательные степени разложения, поэтому главное» значение функции f(z) в
окрестности нуля будет
ft-2 ft-l
В ft
+2]
^^2
л=-0 л=»0 л=0
Полагая в первой из этих сумм п — П\— 1, в третьей «=«1 + 1 и
вновь обозначая п\ через и, предыдущее выражение запишем в
виде
О0(г) = 2 (Я.-1-2cosРЯ,+./».+,)«-* +/'о(аг*-1-«-»). (8. 128)
Путем совершенно аналогичных рассуждений главное значение
функции f(z) в окрестности точки г = оо получим в виде
л0
(8. 129)
384
Подставляя в выражения (8.128) и (8.129) *о=ехр(«ю) вместо
г и применяя для интеграла (8.124) формулу (8.125), после эле-
элементарных преобразований придем к выражению
*
.л-1
+cos (k -\ j a0—cos (k j a0
или формулу (8.21) с коэффициентами
.2 (л=2,3,...). (8.130)
Формула (8.130) дляа„ при п=2,3, ... приводится к виду (8.22),
если использовать следующее рекуррентное соотношение для по-/
линомов Лежандра [64]:
Полагая здесь п+'1 = т и вновь заменяя т на п, найдем
1 {Х) i^l *
Если подставить отсюда Рп-\ при ;c=cos|} в формулу (8.130),
то придем к формуле (8.22). Этим доказана справедливость ра-
равенства (8.21).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акульшина Т. С, Тищенко В. Н., Шевченко В. П., Шевляков Ю. А. Кон-
Контактная задача для круговой цилиндрической оболочки. — Прикладная механи-
механика, 1973, т. 9, № 5, с. 16—23.
2. Амиро И. Я., Заруцкий В. А., Поляков Л. С. Ребристые цилиндрические
оболочки. Киев, Наукова думка, 1973. 248 с.
3. Балабух Л. И., Шаповалов Л. А. Исследование температурных напря-
напряжений в цилиндрической оболочке, подкрепленной продольными ребрами. — В
кн.: Расчеты на прочность, № 12. М., Машиностроение, 1966, с. 32—62.
4. Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных за-
задач. М., Оборонгнз, 1956. 151с.
5. Вайнберг Д. В., Ройтбарф И. 3. Расчет пластин и оболочек с разрыв-
разрывными параметрами. — В кн.: Расчет пространственных конструкций, № 10. М.,
Стройиздат, 1965, с. 39—80.
6. Вайнберг. Д. В., Заруцкий В. А., Итенберг Б. 3. Напруженнй стан ци-
цилиндрических. оболочек, шдсиленных ребрами. — Прикладна мехашка, 1960, 4,
№ 4, с. 375—384.
7. Варвак А. П. К расчету пологих ребристых оболочек в двойных тригоно-
тригонометрических рядах. — Прикладная механика. 1971, т. 7, № 1, с. 38—42.
8. Вергейчнк Л. В., Биикевич Е. В. О распределении напряжений цилинд-
цилиндрических оболочек со стрингерами, воспринимающими сосредоточенные силы. —
Гидромеханика и теория упругости. Республиканский межведомственный научно-
технический сборник, 1969, № 40, с. 81—84.
9. Вергейчик Л. В., Бинкевич Е. В.. Мильцын А. М. К расчету подкреплен-
подкрепленных цилиндрических оболочек на действие осевых сосредоточенных сил. — Изв,
вузов. Авиационная техника, 1970, № 3, с. 140—142.
10. Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.,
Гостехтеориздат, 1949. 784 с.
13 3136 385
11. Власов В. 3. Тонкостенные пространственные системы. М., Госстройиздат,
1958. 502 с.
12. Волк С. И. Уточнение конструктивно ортотропной расчетной схемы обо-
оболочки вращения с меридиональными ребрами. — Прикладная механика, 19G8,
т. 4, № 4, с. 128—131.
13. Галимов К. 3., Суркин Р. Г. О работах казанских ученых по теории пла-
пластинок и оболочек. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, № 5.
Казань, Казанский университет, 1967, с. 3—55.
14. Гильмаи Л. С. Расчет тонкостенных трубопроводов, лежащих на отдель-
отдельных опорах при частичном заполнении. — В кн.: Расчет пространственных кон-
конструкции, № 1. М., Машстройиздат, 1951, с. 277—284.
15. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих, тонких оболочек. М., Гостехиздат.
1953. 544 с.
16. Гребень Е. С. Основные соотношения технической теории ребристых обо-
оболочек. — Изв. АН СССР, Механика, 1965, № 3, с. 124—130.
17. Гребень Е. С. Вопросы общей теории ребристых оболочек и перекрест-
перекрестных стержневых систем. — Труды Ленинградского института инженеров желез-
железнодорожного транспорта, 1966, № 249, с. 211—223.
18. Гребень Е. С. Метод расчета прямоугольных в плане пологих оболО'
чек, подкрепленных в двух направлениях. — В кн.: Расчет пространственных
конструкций. 1969; № 12, с. 132—140.
19. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Контактная задача для полубесконечной
¦цилиндрической оболочки. — Прикладная математика и механика, 1971, т., 35,
№ 5, с. 831—839.
20. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. О передаче усилий от ребер жесткости
к цилиндрической оболочке. — В кн.: Проблемы гидродинамики и механики'
сплошной среды (к шестидесятилетию академика Л. И. Седова). М., Науке,
1969, с. 177—181.
21. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Равновесие цилиндрических оболочек,
нагруженных по лниням. .— В кн.: Исследование по теории пластин и оболочек,
вып. 6—7. Изд-во Казанского у-та, Казань, 1970, с. 304-—312.
22. Гудрамович В. С. К расчету цилиндрических оболочек при гидростати-
гидростатическом давлении. — В кн.: Строительная механика н расчет сооружений. 1971,
Л» 4, с. 32—35.
23. Евтихин В. Ф. К вопросу о расчете стальных трубопроводов, лежащих
на отдельных опорах. — В кн.: Строительная механика и расчет сооружений.
1963, № 1, с. 23—29.
24. Жилин П. А. Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки,
подкрепленной шпангоутами. —: Механика твердого тела, 1966, № 5, с. 139—142.
25. Жилии П. А. Общая теория ребристых оболочек. — В кн.: Прочность
гидротурбин. Центральный научно-исследовательский проектно-конструкторский
котлотурбинный институт. Труды, вып. 88, с. 46—70.
26. Жилии П. А. Линейная теория ребристых оболочек. — Изв. АН СССР.
Механика твердого тела, 1970, № 4, с. 150—162.
27. Жилии П. А., Кизима Г. А. Оболочки нулевой гауссовой кривизны с ме-
меридиональными ребрами. — Инженерный журнал. Механика твердого тела, 1967,
№ 3, с. 102—105.
28. Жилии П. А., Кизима Г. А. Сферический пояс с меридиональными реб-
ребрами. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1969, № 5, с. 97—105.
29. Зайдеиберг А. И., Ивченко Е. В., Макеев Е. М. Контактная задача для
круговой цилиндрической оболочки и незамкнутого кругового стержня. — Проб-
Проблемы прочности, 1977, № 4, с. 58—62.
30. Заруцкий В. А. Р1вняня piBHoeara ребристых цилшдричных оболонок та
ix наближене розв"язання. — Прикладна мехашика, 1961, 7, №5, с. 503—511.
31. Заруцкий В. А. До разруханку цилшдричных оболоиок, тдсиюних стрин-
стрингерами. — Прикладна мехашка, 1962, т. 8, № 3, с. 271—281.
.32. Заруцкий В. А. К расчету цилиндрических оболочек, усиленных стрин-
стрингерами и шпангоутами. — Прикладная механика, 1965, 1, № 5, с. 127—128.
33. Заруцкий В. А. К расчету подкрепленных оболочек. — Инженерный жур-
журнал, 1965, 5, № 5, с. 895—906.
34. Заруцкий В. А. К расчету ребристых цилиндрических оболочек, подвер-
жениых действию произвольных нагрузок. — Прикладная механика, 1966, 2,
№ 4, с. 17—25.
35. Заруцкий В. А. О применении двойных тригонометрических рядов для
расчета ребристых цилиндрических оболочек. — Прикладная механика, 1965,
2, № 6, с. 55—62.
36. Ивченко Е. В., Мвкеев Е. М. Исследование прочности цилиндрической
оболочки при локальном взаимодействии с нелинейным круговым основанием. —
Проблемы прочности, 1976, № 10, с. 26—31.
37. Ивченко Е. В., Макеев Е. Л1. Контактное взаимодействие цилиндрической
оболочки с кольцевой опорой. — Космические исследования на Украине. Рее*
публиканский межведомственный сборник, 1976, № 9, с. 85—91.
38. Ильин Л. А. Днференщальщ р!вняния пружной р!вновами оболоноя
обержания з мерндюнальнымн ребрами при слових температурных навантажен-
нях. — Прикладна мехашка, 1964, 10, № 4, с. 254—262.
39. Карпов Н. И. Об одной задаче прочности оболочки, подкрепленной реб«
рами жесткости. — Прикладна механша, 1962, т. 8, № 6, с. 619—626.
40. Карпов Н. И. Об одном способу определения напряженно-деформирован-
напряженно-деформированного состояния оболочки, подкрепленной равноудаленными ребрами жесткости.—
Прнкладна мехашка, 1963, т. 9, № 3, с. 270—274.
41. Кизима Г. А. Исследование напряженного состояния ребристых оболочеш
нулевой гауссовой кривизны. — В 'кн.: Теория пластин и оболочек. Труды IV
Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек, Ереван, 1962. Изд. АН
Арм. ССР, 1964, с. 507—514.
42. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. Изд. 2-е. М., Нау«
ка, 1967. 500 с.
43. Кулагин А. А. Расчет пологой ребристой сферической оболочки на сое-.
редоточенные силы. — Труды Центрального Научно-исследовательского проект-
но-экспериментального института промышленных зданий и сооружений, 1967,
№ 9, с. 154—168.
44. Макеев Е. М., Федий С. П. Напряженно-деформированное состояние ци-
цилиндрической оболочки, опертой на круговые упругие опоры, при действии попе-
поперечных нагрузок. — В кн.: Контактная прочность пространственных конструкций.
Киев, Наукова Думка, 1976, с. 81—97.
45. Максименко В. Н., Фильштинский Л. А. О контактных задачах в теории
анизотропных оболочек. — В кн.: Труды X Всесоюзной конференции по теории
оболочек и пластин, Кутаиси, 1975.. I, Тбилиси, Мецниереба, 1975, с. 186—195.
46. Максименко В. Н., Фильштинский Л. А. Упругое равновесие анизотроп-
анизотропных оболочек, подкрепленных ребрами жесткости. — Прикладная математика и
механика, 1975, т. 39, № 5, с. 900—908.
47. Максименко В. Н., Фильштинский Л. А. О передаче усилий от стрии»
гера переменной жесткости к армированной оболочке. — Прикладная механи-
механика, 1976, т. 12, № 7, с. 3—10.
48. Максименко В. Н., Фильштииский Л. А. Контакт анизотропной оболочки
вращения с жесткими линейными штампами. — Известия АН СССР. Механика
твердого тела, 1977, № 2, с. 89—94.
49. Михайловский Е. И. Расчленение граничных условий на подкрепленном
краю оболочки. — В кн.: Исследования по упругости и пластичности, № '7. Л,
Ленинградский ун-т, 1968, с. 13—27.
50. Михайловский Е. И., Черных К. Ф. Расчленение граничных условий в
линейной теории оболочек (случай подкрепленного неаснмптотического края).—
В кн.: Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды. М., Наука, 1969,
с. 321—326.
51. Мовсисян Г. А. Об одной контактной задаче для цилиндрической обо»
лочки. — Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1968, т. 21, № 2, с. 53—58.
52. Моссаковский В. И., Гудрамович В. С, Макеев Е. М. Контактные за-
задачи теории оболочек и стержней. М., Машиностроение, 1978. 248 с.
53. Моссаковский В. И., Гудрамович В. С. Контактные -задачи теории обо-
оболочек. — В кн.: Контактная прочность пространственных конструкций. Киев,
Наукова Думка, 1976, с. 3—40.
54. Моссаковский В. И., Гудрамович В. С, Цурель А. А. и др. Контактная
задача для подкрепленной цилиндрической оболочки, лежащей на круговом ос-
13* 387
новании (ложементе). — В кн.:- Расчет пространственных конструкций. М.,
Стройнздат, 1967, № 11, с. 53—72.
55. Моссаковский В. И., Гудрамович В. С, Пурель А. А. н др. Контактная
задача для подкрепленной цилиндрической оболочки, лежащей на круговом ос-
основании. — В кн.: Расчет пространственных конструкций № 11. М., Стройиздат,
1969, с. 52—77.
56. Назаров А. Г. Импульсные функции в приложении к задачам строитель-
строительной механики. — В ки.: Исследования по теории сооружений. М., Стройиздат,
1949, № 4, с. 216—227.
. 57. Назаров Н. А. К расчету пологих оболочек, подкрепленных ребрами.—
Сборник трудов Ленинградского инженерно строительного института, 1963, №42,
с. 51—66. »
• 58. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л., Судпромгиз, 1951, 344 с.
59. Попов Г. Я. Об интегральных уравнениях контактных задач для тонко-
тонкостенных элементов. — Прикладная математика и механика, 1976, 40, № 4,
с. 662—673.
60. Савин Г. Н., Флейшмаи Н. П. Пластинки "оболочки с ребрами жесткос-
жесткости. Киев, Наукова Думка, 1964. 384 с.
61. Соболев Ю. В., Алешин Н. П. Решение задачи контактного нагруження
цилиндрической оболочки жестким штампом. — Сборник Трудов Московского
ниженерно-строительиого института, 1975, № 119, с. 100—110.
62. Тимошенко С. П. К нопросу о расчете сферических оболочек. — Вестиик
общества технологов, 1913, т. 20, № 17, с. 549—557. Перепечатка: С. П. Тимо-
Тимошенко. Прочность и колебания элементов конструкций. М., Физматгиз, 1975,
с, 292—309.
63. Толкачев В. М. Действие острых штампов на бесконечно длинную ци-
цилиндрическую оболочку. — Прикладная математика и механика, 1971, 35, № 4,
с. 734—739.
64. Уиттекер Э. Т., Ватсон Д. Н. Курс современного анализа. Часть II, М.,
Физматгиз, 1963. 515 с. ¦ . ¦
65. Хитров В. Н. Определение деформаций, и усилий в оболочке, подкреп-
подкрепленной ребрами в двух направлениях. — Прикладная механика, 1971, 7, № 1,
с. 49—54.
66. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек, ч. 2. Изд. Ленинградского ун-
унта, 1964. 395 с.
67. Шимаиский Ю. А. Строительная механика подводных лодок. Л., Суд-
Судпромгиз, 1948. 230 с.
' 68. Штаерман И. Я. К теории симметричной деформации анизотропных упру-
упругих оболочек. — Изв. Киевского политехнического н сельскохозяйственного ин-
институтов, 1924, т. 19, кн. 1, вып. I, с. 54—72.
69. Штаерман И. Я. О применении метода асимптотического интегрирования
к расчету упругих оболочек. — Изв. Киевского политехнического и сельскохо-
сельскохозяйственного ннститутон, 1924, т. 19, кн. I, вып. 2, с. 75—99.
70. Штаермаи И. Я. Основные, идеи современной теории куполов и сводов.—
Труды Всесоюзной конференции по бетону и железобетону. Оболочки и стерж-
стержневые железобетонные конструкции. ГНТИ, М.— Л., 1932, с. 3—16.
71. Штаерман И. Я. Расчет купола напаркн на упругом основании. Проект
и стандарт, 1933, № 9, с. 21—25.'
72. Blumental О. Ober asymptotische Integration linear Differentialgleichugen
mit Anwendung auf eine asymptotische Teorie der Kugelschalen. — Arhiv die
Mathematik und Phisik, 1912, 19, N 3, S. 136—174.
73. Blumental O. Ober asymptotische Integration von Differentialgleichugen
mith Anwendung auf die Berechnung von Spanmingen in Kugelschalen. — Zeit-
schrift fur Mathematik und Phisik; 1914, 62, S. 343—358.
74. Brandes K. Die Lagerung des Krelszulinderrohres auf einem starren Lini-
enlager. — Beitrag zur practischen Berechnung der Kontaktkrafte. Stahlbau, 1971,
N 10, S. 298—311.
75. Fischer F. Y. Stress diffusion from axially loaded atifthers into cilindrical
shells. — International Journal Solids Structures, 1968, 4, p. 1181—1201. Pergamon
Press. Printed in Great Britain.
76. Geckeler I. W. Ober die Festigkeit acsencymmetriseher Schalen, insbeson-
dere von Dampfkesselen. — Zeitschrift des Vereines dentseher Ingeieure, 1926,
Bd. 70, N 5, S. 163—168.
77. Goody W. T. Stress diffusion problems. — Aircraft Engineering, 1946,
18, N 208, p. 195—198; N 210, p. 271—276;' N 212, p.343—346; N 211, p. 313—316.
78. Kitching R., Hughes J. F. Stresses near local affachement on cylindrical
shell reinforced byvwelded on pad. —Archiwum budawy maszum, 1977, 24, N 2,
p. 165—175.
79. Krupka V. Statical analisis of Cylindrical thinwalied metal wessels an
tubes. SNTL, Praha, 1967 (in czch).
80. Krupka V. Problem kontaktni najatostivalcowe skorepiny uzavreneho
kruhovehoj)rurezu. Strojirenstvi, 1968, 18, N 5, 323—327.
81. Krupka V. Theory of Thin Shells. — IUTAM Symposium Copengagen,
1967, Edited by F. I.. Niordson, Berlin. Springen — Verlag, 1969. Discussion,
S. 170—175.
82. Slmmonds Y. G. A set of simple, accurate equation for cylindrical elastic
shells. — International Journal Solids Structures, 1966, 2, p. 525—541.
83. Zwiesele R. Spannungsuntersuchungen an kreiszylindrischen Behaltern auf
Sattellagern. Dissertation, Doktor — Ingenieur, Technische Hochschule, Stuttgart,
1'967, 141 S. _ '
Глава 9
РАВНОВЕСИЕ ПАКЕТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК, СОЕДИНЕННЫХ
ПО ОТРЕЗКАМ ОБРАЗУЮЩИХ
9.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В данной главе рассмотрен пакет длинных тонких круговых цилиндрических
оболочек, сваренных между собой по отрезкам образующих и нагруженных в осе-
осевом направлении. Вид такой конструкции в плане изображен на рис. 9.1 и 9.2.
В первом случае оболочки одинакового диаметра, во втором — разного. В целом
пакет представляет собой достаточно легкую и жесткую в осевом направлении
конструкцию типа реактора. В поперечном направлении ее жесткость может быть
незначительной.
Задача состоит в исследовании характера касательных усилий между обо-
оболочками, действующих по линиям их сварки (через жирные точки на рис. 9.1 и
9.2). Число оболочек считается бесконечным, задача рассматривается как двояко-
периодическая — все оболочки 1 находятся в одинаковых условиях, оболочки
2 — тоже. Эта задача идеализированная. Она решена в статье Э. И. Григолюка
и В. М. Толкачева [1], содержание которой и воспроизводится в главе.
Контактная задача для реального пакета из конечного числа трубок чрезвы-
чрезвычайно сложна. Необходимо знать характер изменения реакций как по длине каж-
каждой линии контакта, так и при переходе от одной линии к другой, от одной обо-
оболочки к другой. Возможный путь решения этой проблемы может быть таким. На
первом этапе можно ввести допущение, что реакции не изменяются по длине ли-
линий контакта, и приближенными методами вычислить величину реакции на каж-
каждой линии контакта. Таким путем, можно получить представление о распределе-
распределении суммарных реакций между оболочками и отдельными линиями контакта в
каждой оболочке. На этом этапе задачу можно также решать, заменив пакет
траисверсально изотропным сплошным телом, как это сделано X. Порицким и
Дж. Хорви [3\, На втором этапе можно рассмотреть условие контакта на каж-
каждой линии соединения двух соседних оболочек отдельно, приложив по остальным
линиям контакта найденные на первом этапе реакции. Так как характер измене-
изменения последних неизвестен, его можно как-то задать или считать постоянным.
Указанный путь решения может дать правильные результаты лишь при условии,
что характер изменения рассматриваемой реакции слабо зависит от характера из-
изменения реакций иа соседних линиях той же оболочки. В противном случае мож-
можно получить недостоверные результаты.
В главе решается задача, близкая к задаче второго этапа, при этом показа-
показано (разд. 9.4), что действительно характер изменения реакций на соседних ли-
линиях контакта в оболочке мало влияет на характер изменения данной реакции.
Решение строится точно так же, как и в случае оболочки с продольными ребра-
ребрами (разд. 8.6).
Из литературы нам известно всего две работы, в которых рассматривается
пакет из большого числа трубок. Это работа [3] и работа Л. Баринки [2]. В ра-
работе [3], как уже упоминалось, трубчатая система заменяется трансверсальио
изотропным сплошным телом, которое может быть рассчитано методами теории
упругости. Показано, как найти упругие приведенные характеристики тела и как
по напряжениям в сплошном теле определить реальные напряжения в трубках.
Интересно отметить, что расчетный приведенный коэффициент Пуассона в плос-
плоскости изотропии, нормальной к Осям трубок, получился равным 0,806. Аналогич-
Аналогичный пакет рассмотрен и в работе [2], однако метод расчета дискретный. Каждая
труба считается как классическая балка. На нее действуют внешние нагрузки и
390
Рис. 9.1. Схема соединения пакета оболочек одинакового диаметра (жирные
точки—линии сварки)
Рис. 9.2. Схема соединения оболочек разного диаметра (жирные точки — линии
сварки)
три типа реакций связи: касательные усилия, нормальные усилия и изгибающие
моменты. Эти реакции пропорциональны соответствующим (вводимым в виде
пружин) жесткостям. Линейная зависимость для касательных усилий справедли-
справедлива до момента проскальзывания трубок, затем усилия ие меняются. Зависимость
для моментов дается ломаной линией с двумя линейными участками. После оп-
определения смещений и угла поворота каждой трубки от неизвестных реакций па-
пакет «разрезается» нормальными к осям трубок плоскостями на слои. Для слоев
записываются условия совместности деформаций по каждой трубке. Получается
«нстема алгебраических уравнений, решаемая итерационным методом.
9.2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАКЕТА
ОБОЛОЧЕК
Пакет тонких упругих круговых бесконечно длинных цилиндри-
цилиндрических оболочек показан в плане на рис. 9.2. Число оболочек неог-
раничено. Оболочки 1 и 2, являющиеся типовыми элементами кон-
конструкции, образуют двоякопериодическую систему, соединены
между собой по линиям контакта на участке длиной L, нагруже-
нагружены осевыми усилиями в окрестности бесконечно удаленных кон-
концов. Эти осевые усилия равномерно распределены по окружности
поперечного сечения. Векторы усилий и некоторые схемы их при-
приложения показаны на рис. 9.3 а, б, в, где в середине изображена
оболочка /, а по бокам — оболочка 2 (см. рис. 9.2). Жирными ли-
линиями отмечены участки соединения оболочек, начало и направле-
направление отсчета продольной координаты х показано на среднем рисун-
рисунке. Участки соединения являются линиями, ширина площадок кон-
контакта не учитывается.
Отношение радиусов срединной поверхности, первой и второй
оболочек может меняться от 1 (см. рис. 9.1) до УЗ/B—УЗ), когда
оболочки 1 соприкасаются между собой.
Предполагается, что оболочки касаются по линиям на их сре-
срединной поверхности.
Прл реализации указанных схем нагружения на отрезках
L соединения оболочек возникают сдвигающие усилия q\,
характер распределения которых и исследуется.ниже.
391
a)
Рис. 9.3. Схема нагруження оболочек на торцах
Рис. 9.4. Схема приложения реакций q% и заданных погонных усилий Цг
Трение между'оболочками вне линий контакта не учитывается.
Пренебрегают также нормальными усилиями взаимодействия меж-
между оболочками.
В частном случае, когда оболочки / и 2 одинаковые (см. рис.
9.1), оболочки 2 контактируют между собой. Однако в силу сим-
симметрии нагружения усилия сдвига между ними будут отсутствовать,
даже если бы было учтено трение. Участки образующих, по кото-
которым оболочки 1 и 2 приварены, показаны на рис. 9.1 и 9.2 жирными
точками.
Если бы оболочки 2 на рис. 9.1 были соединены между собой и
симметрия в нагружении отсутствовала, то между ними также воз-
возникли бы сдвигающие усилия — реакции, характер распределения
которых может влиять на характер распределения реакций <7i меж-
между оболочками 1 и 2. Да и сами реакции <7i при отсутствии симмет-
симметрии нагружения были бы разными и могли влиять друг на друга в
каждом случае по-разному.
Чтобы выяснить, как влияет характер усилий, приложенных на
соседних линиях, на характер реакций <7ь нагрузим оболочки 2 по
отрезкам O^x^L линий их возможного контакта между собой из-
известными касательными погонными усилиями #2, характер которых
будет меняться в процессе численного решения.
Расположение и положительное направление реакций qt и за-
заданных усилий <72 показано на рис. 9.4, где слева показана оболоч-
оболочка 1, справа — оболочка 2.
Усилия <7i и <72 должны удовлетворять условиям равновесия обо-
оболочек в целом
qxdx- J д*1х=-?-
(9.1)
Отметим, что для удовлетворения первого условия (9.1) реакция
ft должна быть определена с некоторым произволом. Из второго
условия реакция q\ может быть исключена с помощью первого.
Тогда станет ясно, что оно является условием равновесия пакета
оболочек в целом и может быть удовлетворено только соответству-
соответствующим подбором усилий Pu Pi, Цг.
392
9.3. ВЫВОД И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИСХОДНОГО
УРАВНЕНИЯ
1. Вывод уравнения. Исходное уравнение для определения реак-
реакций взаимодействия между оболочками /и5 (см. рис. 9.4) выво-
выводится из условия контакта оболочек на линиях соединения — ра-
равенства продольных деформаций оболочек 1 и 2
ei=e?. (9.2)
Продольные деформации ei1 и ei2 оболочек / и 2 на линиях кон-
контакта от реакции взаимодействия Ц\ можно определить согласно
выражению (8.88а), подробный вывод которого дан в разд. 8.6. Эта
формула получена для случая, когда на одинаковых отрезках обра?""
зующих приложены погонные касательные усилия q, направленные
в сторону, противоположную направлению продольной координаты
? (см. рис. 8.16). Кроме этого, все усилия одинаковые, отрезки обра-
образующих расположены с постоянным шагом, число т отрезков мо-
может быть произвольным. Формула (8.88а) соответствует случаю,
когда на правом бесконечно удаленном торце оболочки, изображен-
изображенной на рис. 8.16, действуют равномерно распределенные по окруж-
окружности растягивающие напряжения, а на левом такие же сжимаю-
сжимающие. Поэтому при рассмотрении реальиых схем нагружеиия паке-,
та (ом. рис. 9.3) к деформациям, определенным по формуле
(8.88а), должны быть добавлены деформации растяжения-сжатия
оболочки как стержня, чтобы получить соответствие схемам нагру-
жения (ом. рис. 9.3 и 9.4). Эти добавки мы учтем дальше, а сейчас
выпишем выражения для деформаций оболочек, пользуясь форму-
формулой (8.88а) и перейдя в ней от координаты <х=/п? к координате \.
Первая оболочка нагружена шестью усилиями ft направленными
в сторону, противоположную направлению оси Jt=|i?i (см. рис.
9.4). Поэтому формула (8.88а) будет иметь вид
Везде ниже индексами 1 и 2 будем помечать величины, относя-
относящиеся к первой и второй оболочкам соответственно. Координату \
будем брать одну и ту же как для первой, так и для второй обо-
оболочки _^4i' *•$<
t=*x/Rlt l=L/Ru (9.4)
где /?i — радиус срединной поверхности первой "оболочки.
Ядро К\ в формуле (9.3) вычисляется по формуле (8.88), в ко-
которой нужно положить а=т%, т=6:
393
[«( ^^ (9.5)
n = ktn, /га = 6,
Параметр m в обозначениях Л"(/п, g), /(m, g) введен для удобства,
В (9.3) m = 6.
Коэффициенты ОоA) и а«(?) определены формулами (8.81).
При записи деформации для второй оболочки следует иметь в
виду, что мы по-прежнему пользуемся безразмерной координатой
(9.4), отнесенной к радиусу первой оболочки. В то же время пред-
представление (8.81а) для деформации, ядро (9.5), коэффициенты
flo(?), fln(l) (8.81) и все остальные соотношения записаны для
«своей» безразмерной координаты |, отнесенной к радиусу «своей»
оболочки. Если обозначить
?=*//&, . (9.6)
то связь с координатой | (9.4) будет
1=11 Х=/?,//?2, (9.7)
поэтому применительно к оболочке 2 фигурирующую в формулах
разд. 8.6 координату ? нужно умножить на Ri/Rt-
Так как к оболочке 2 приложены усилия <7i по трем образующим
и направлены в положительную сторону оси х, то формулу (8.81а)
для деформаций 8i2 от усилий <7i следует записать в виде
= C
f
о
1 Ч-Ег Ъ Х
где К\ ядро, которое вычисляется по формуле (9.5), если положить
там m = 3,.n = km и везде к координате | приписать множитель
K = R\/R2. Этот же множитель следует приписать и в формулах
(8.81) для коэффициентов ао(|) и ап(|).
Теперь запишем деформацию ei2 оболочки 2 на линии контакта
оболочек / и 2 от усилий qa (см. рис. 9.4), приложенных извне на
линиях возможного контакта оболочек 2 между собой. Так как в
данном случае линии контакта не совпадают с линиями приложе-
приложения усилия <7г, то в формуле для деформации Ъ\2 нет надобности
выделять главное-значение.
Эта деформация получится суммированием деформаций, соотт
ветствующих формуле F.27), на линии контакта ф = 0 от нагрузок
<7г, приложенных по линиям <р = я/3, я, 5я/3 (см. рис. 9.1). Учиты-
394
вая, что нагрузка q% направлена в сторону, противоположную нап-
направлению оси х (см. рис. 9.4), получим
! 1 (9.9)'
1
где %{Ъ,—?i), л/3- (\+2k) — аргументы, которыми нужно заменить
? и <р в основной разрешающей функции Ф(?, ф), определенной
формулой F.29).
Выражение (9.9) идентично выражению (8.79). Поэтому, повто-
повторяя рассуждения, проделанные в разд. 8.6 вплоть до получения
формул (8.81), формулу (9.9) можем переписать-в виде
(9. Ю)
[2
L . л=3,6,... J
где ао(Д), an(h?) — коэффициенты, определяемые формулами
(8.81) от аргумента А?.
Формула (9.11) является аналогом формулы (8.82).
Полная деформация оболочки / определяется формулой (9.3),
полная деформация оболочки 2 будет равна сумме деформаций
(9.8) и (9.10).
Если считать, что усилия <7i и <72 удовлетворяют уравнениям
равновесия (9.1), то полученные полные деформации соответствуют
нагружению бесконечно удаленных торцев оболочки / силами
Р\/2, как показано на рис. 9.3, в, и оболочки 2 силами /У2 в про-
противоположном направлении. Чтобы получить схемы нагрузок рис.
9,3, нужно добавить либо чистое растяжение, либо сжатие, а имен-
именно: чтобы получить схему нагрузок на рис. 9.3, а и 9.3, б к дефор-
деформации (9.3) оболочки 1 нужно добавить деформацию растяжения
оболочки силами PJ2, т. е.
(9. 12)
Для схемы рис. 9.3, в к деформации оболочки / ничего добав-
добавлять не нужно. Для схемы рис. 9.3, а к суммарной деформации
оболочки 2 нужно добавить деформацию сжатия силами Рг/2
(9.13)
для схемы рис. 9.3, б и 9.3, в —деформацию (9.13), но растягива-
растягивающую. _
395
Подставляя полученные деформации с учетом добавок (9.12) и
(9.13) в условие контакта (9.2), получим следующее исходное ин-
интегральное уравнение задачи
о
Здесь К F) = 6/d F, \)+3(*ATi C, Ч\ (9.15)
/№)= ~ (-^{^(s^)^-30^27^). (9.16)
У W Cv)A4(t/X) Л J «m«-^ ?1 4(l+v) l ;
* о .'
^ (g 17)
/CiF, |), /<"iC, XI) —ядра (9.5), $i — ядро (9.11), верхний знак в
выражении l + ^P^Pi формулы (9.16) соответствует нагружению
оболочек 2 в окрестности )точки 1= +'оо (см., рис., 9.3, а), ниж-
нижний — при 1= —с» (см. рис. 9.3, б и 9.3, в). Оболочки 1 предпола-
предполагаются нагруженными в окрестности -|= +оо (см. рис. 9.3, а и
9.3, б). Если оболочку / нагрузить, как показано на рис. 9.3, в, то
первое слагаемое (единицу) в упомянутом выражении следует от-
отбросить.
2. Преобразование уравнения (9.14). Уравнение (9.14) путем ре-
регуляризации сводится к интегральному уравнению Фредгольма вто-
второго рода. Регуляризация производится путем перенесения второ-
второго слагаемого в правую часть и обращения сингулярного интеграла
с. помощью формулы G.12). В результате получится уравнение
Ч ]
и —
(9
Через К(х}, /(т) вновь обозначены функции (9.15) и (9.16).
Прежде чем решать уравнение (9.18), введем новую координату а
и безразмерные функции <р(а) и Ф*(а) при помощи соотношений
6л. sin 5
При этом из условий (9.1) следует
6Z. sins '
fcL . (9.19)
(9.20)
а уравнение (9.18) преобразуется к виду
О О
(9.21)
Здесь M[q>] — оператор Фредгольма вида
О
V
(9.22)
яC —v)(l+v)B+|VX) Л2C —
Функции /С(<х, 0о) и Pi@, ao), входящие в выражения (9.21) и
(9.22), вычисляются по формулам (9.15) и (9.11) при аргументе
I—?о=— f(cos 0a— cos а). В повторных интегралах (9.21) и (9.22)
можно изменить порядок интегрирования, полученные ядра будут
иметь логарифмическую особенность.
Отметим, что если оболочки 2 достаточно толстые, то более ло-
логично их считать стержнями. В этом случае вместо уравнения
(9.14), например в случае нагружения, показанном на рис. 9.3, в,
будем иметь уравнение ¦ - ..
1 1 1
\ ^-+1 \ 1> (*<>)*> <т~т»)dx^7nrrk—г \
JU— Но J A+V)C — V) J
0 0
которое в точности совпадет с уравнением (8.89), если предполо-
предположить, что площадь поперечного сечения оболочки 2 в 3 раза боль-
больше площади ребра, присоединенного к оболочке. Уравнение (9.23)
рассмотрено в разд. 8.6.
9.4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ,';
И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Чтобы отдельно исследовать, как влияет на характер распреде-
распределения усилий <7i способ приложения сил Pi, Pi (ом. рис. 9.3) и ха-
характер усилий q2 (см. рис. 9.4), разберем отдельно два случая:
1) 92 = 0, Ргф0, Р2ф0; 2) q2?=0, Р,=й0, Р2 = 0.
Для этого функцию ф*(а), определяющую согласно (9.19) уси-
усилия Цъ, зададим в виде
Здесь фг*—четная, ф3*—нечетная составляющая функция ф* (а).
Функции ф2* и <рз* согласно второму условию (9.20) нормируем
следующим образом:
«/2 */2
397
Численный расчет проведем для трех вариантов фг* и ф3*, за-
заданных в табл. 9.1.
U Таблица 9.1
Вариант
Варианты
I
1/я
1/2 cos о
ФУНКЦИЙ ф2* И
II
1/2 sin
1/2 sin 2
фз*
я
а
III
2/я sin2 я
3/2 sin2 а cos а
Согласно первой и последней формулам (9.19) эти варианты со-
соответствуют следующим вариантам функции:
sin а
/=2,3...
Таблица 9.2
Варианты функций д2* и <73*i соответствующие q>2* и фз* в табл. 9.1.
Вариант
Я*2
Я*ъ
I
1 2и
2утA-т)
1
яутA-<)
II
2A 2 т)
1
III
A-2т)/тA-т)
8 Г /, ,
— /иA — т)
Функции <7г* и 9з* удовлетворяют условию
V2
[qjdx=l (у-2,3).
В варианте I усилия <7г(т) имеют на концах отрезка @,1) осо-
особенность типа корня, в варианте II — ограничены, в варианте III —
обращаются в нуль. Решение запишем в виде
для первого случая
ср (а) = я-1?0 (а) - Ь A + (л/2) ?, (а), (9. 24)"
для второго случая
-*п («)+<[%(«)+%(«)].
(9. 25)
398
Причем функции <р;а) G = 0, 1, 2, 3) — решения уравнений
(9.26)
sin2 ada
cos ai — cos a
Здесь A%]— оператор (9.22), верхний знак перед ц/2 в форму-
формуле (9.24) соответствует нагружению, показанному на рис. 9.3, а,
нижний — на рис. 9.3, б.
Если в формуле (9.24) (первый случай) вместо множителя
1 ± |i/2 взять (—ц/2), то получим решение, показанное на рис.
9.3, в. Другие возможные способы нагружения для случая 1 можно
получить, комбинируя варианты, показанные на рис. 9.5, где стрел-
стрелки, приложенные к оболочке 1 (средней), обозначают силы l/2Pi,
к оболочкам 2 (крайним) —силы \/2Р2=1/4Р1 (см. формулы (9.1)
при <72 = О (случай 1)). В вариантах А, Б и В функция <р (9.24) со-
соответственно будет:
Складывая варианты А, Б и В, получим решение для нагруаки,
показанной на рис. 9.3, б. Во втором рассмотренном выше случае
(<72=?О, Р{ф0, Рг = О) первые два слагаемых в формуле (9.25) со-
соответствуют нагружению, полученному суммированием вариантов
А и В. Такое нагружение получится, если суммарный вектор уси-
усилий Q2 заменить приложенными к оболочке 2 силами l/4Pi, как по-
показано для варианта А, и уравновесить их усилиями Р\, приложен-
приложенными к<оболочке 1 сверху. Если усилия прикладывать к оболочке /
иным способом, то второе слагаемое в формуле (9.25) следует ви-
видоизменить в соответствии с рис. 9.5.
Таким образом, слагаемые, содержащие самоуравновешенную
функцию фь корректируют решение <р в зависимости от способа
приложения внешних усилий Pi и Рг- Самоуравновешенные слагае-
слагаемые с<р2 и сц>з в формуле (9.25) корректируют решение ф(о) соот-
соответственно в зависимости от характера четной ф2* и нечетной ф3*
составляющей функции ф*, определяющей усилия q%. Эти слагае-
слагаемые, как показывают приведенные ниже расчеты, малы по сравне-
сравнению с фо/я и Ьщ и их можно не учитывать в практических расчетах.
Основное слагаемое фо/л пол-
полностью уравновешивает внеш-
внешние усилия в оболочках / и 2
(удовлетворяет первому усло-
условию (9.20),. эквивалентному
первому условию (9.1)). Исхо-
Рис. 9.5. Варианты нагружения
цев оболочек
тор- п
399
дя из уравнений (9.26), легко показать, что функции фо и <р2 —
четные, ф! и ф8 — нечетные относительно середины отрезка @, я).
Метод численного решения уравнений (9.26) базируется на ис-
использовании формул численного интегрирования. В частности, для
сингулярных интегралов (9.22) и (9.27) использована формула
лг п
W * sin2<j; I ,
- V А, '+
« г
С sin2aib(a)dtf , , , I
\ . !±J =ф(ву)
J cos о» — cos о '
о L
. _ Ccfs 94 — COS О/
о L 7-0
N
*(">sln'«' t (9.28)
cos <sj — cos <jj
где Aj — коэффициенты какой-либо квадратурной формулы, в ка-
качестве которых были взяты коэффициенты формулы Симпсрна,
2' — знак суммы, у которой отсутствует слагаемое i—j.
Для вывода формулы (9.28) сингулярный интеграл представим
в виде
1 1
1 / -• /1 — \ _/-•
+\
Т— V] ' J % — %]
dx.
Первый интеграл справа равен
J D —T; 2 ^
о ' •
Он вычисляется по формуле G.105).
Второй интеграл регулярный и может быть вычислен по квадра-
квадратурной формуле. Под знаком суммы квадратурной формулы следу-
следует выделить слагаемое при т=т;-. Это нужно для раскрытия неоп-
неопределенности подынтегрального выражения, для чего используется
численный аналог правила Лопиталя. После выделения указанного
слагаемого и перехода к переменной а (9.19) получится формула
(9.28), которая дает такую же точность, как и формулы численного
интегрирования обычных интегралов. При 03 = О, л слагаемое перед-
второй суммой в формуле (9.28) обращается в нуль. Поэтому неиз-
неизвестные значения i|)(a;_i) при /=0 и i|)(ay+i) при j=N (N — количе-
ствоучастков разбиения интервала) можно задавать произвольно.
Применяя формулу (9.28) к вычислению интегралов, уравнения
(9.26) сведем к решению следующих систем линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений: •
N
*(">*=**(°А "J^-JT (*=0.1,2,3; /=0,l,...,W), (9.29)
400
где bk^3j) функции (9.?6), ; (9.27); <$ь(to,) —.значение искомых
функций; JV— количество интервалов разбиения, отрезка [0, я];
<&}» — коэффициенты, определяемые по формуле,
smaj+ Л Ai
2До j^ cos oy—cose/
8 _| 1 при j=s
\ 0 при / ^-s.
Коэффициенты (9.27) также вычислялись по формуле (9,28).
При численном решении уравнений (9.26) интервал интегриро-
интегрирования разбивался на десять равных частей (Aq=w/10) и, таким об-
образом, решалась система (9.29) из 11 уравнений (N=10) с четырь-
четырьмя правыми частями. При вычислении ядра (9.15) в ряду (9.5) для
функции К\F, 1) бралось пять слагаемых, а для функции
AiC, Я|) —десять (в обоих случаях максимальное число п=кт
в (9.5) было равно 30).
Величины слагаемых в формуле (9.25), полученные в результа-
результате решения систем (9.29) для параметров jx=l, K=l; / = 0,5; 1; 2,
определенных формулами (9.17), (9.7), приведены в табл. 9.3, 9.4 и
9.5. Это случай, когда оболочки одинаковые. Римскими цифрами I,
II, III помечены случаи, представленные в табл. 9.1 и 9.2. Расчеты
даны для значений о/я от нуля до 0,5, так как функции фо и фг чет-
четные/а фи фз — нечетные "относительно середины отрезка О^о^я.
Из таблиц 9.3—9.5 видно, что слагаемые сц>2 и сфз, характеризу-
характеризующие самоуравновешенную часть реакций, зависящую от вида
внешних усилий q2t малы по сравнению со слагаемыми <рц/я и
бфь характеризующими неуравновешенную и самоуравновешенную
части реакций от суммарных внешних усилий. Аналогичные ре-
результаты для случая разных оболочек даны в табл. 9.6 и 9.7.
Характер изменения функций фО/я и frpi по длине одинаковых
оболочек показан на рис. 9.6 и 9.7. Кривые /, 2, 3 построены по ре-
результатам табл. 9.4 соответственно для Ri/hi=R<ifh2 = 50, 100, 500.
Прямая линия фо=1 на рис. 9.6 соответствует решению для жестко
защемленной на отрезке бесконечной пластины. Она взята из ре-
результатов разд. 3.6. Анализируя приведенные в табл. 9.3—9.5 ре-
результаты, можно заключить, что характер распределения функций
<р0 и ф[ по длине линий сварки достаточно хорошо описывают
функции вида
Фо («)=1 + [?о @) - 1 ] cos 2в, >, (о)=?! @) cos о.
401
4ь
8
Величины слагаемых в формуле (9.25) при [1=1, /=1/2, Я=1
Таблица 9.3
/?i/Ai=
= Л2/Л2=50
*
/?i/Aj=
/\ 1 / ft 1-^
~Я2/А2=500
a
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
31-, 16
32,02
33,05
32,13
30,78
30,55
32,43
33,11
33,55
31,95
29,86
29,56
37,16
37,07
35,09
31,19
26,32
26,73
6,991
6,836
6,198
4,541
2,388
0
6,671
6,558
?,817
4,282
2,224
0
5,838
5,646
4,826
3,365
1,625
0
ctp2.100
I
0,080
0,021
—0,038
—0,007
0,016
0,016
0,041
—0,013
—0,054
—0,002
0,045
0,048
0,037
—0,016
—0,057
—0,002
0,050
0,052
II
0,138
4 0,098
0,006
—0,032
—0,050
. -0,047
0,099
0,065
' —0,010
С ,026
0,020
-0,017
0,097
0,063
-0,013
—0,027
—0,017
—0,013
III
0,144
0,122
0,042
—0,031
—0,086
—0,093
0,106
0,887
0,026
—0,024
—0,058
—0,062
0,103
0,087
0,023
-0,025
—0,056
' —0,059
c<p3-100
I
—0,125
—0,203
0,237
—0,122
0,022
0
—0,061
—0,139
-0,181
—0,080
—0,001
0
—0,034
—0,115
—0,164
—0,067
—0,010
0
II
—0,016
—0,082
—0,200
—0,172
-0,084
0
0,038
—0,028
—0,153
—0,138
-0,068
0
0,058
—0,109
-0,142
—0,132
—0,062
0
III
0,015
-0,028
—0,153
—0,191
—0,131
0
0,063
0,019
—0,112
-0,162"
—0,117
0
0,079
0,033
0,104
0,159
0,116
0
00 (N 00 S N н ОЗ
Cn О) S CO u*S (O "^
(N i—• О О i-н 1-н Д<
О <?> (N СО Ю ^ s 2
feg о1 § 8 S о 8
TIT
о о о о о о о о о
тт °°ттт
СО Ю t"~ Оэ О 00 -«f О СО О CN О
s со S га о t^(M == ¦
о о
тттт
_. _ j о о оо ю g
. о q & о-; s с о а 8 8,
о"о*оо"о"о~ оооооо
fe§|§§§ S§
Ot CO ^-н—'C^l^-iO
feo SSSSSS
о о о о о р оооооо
1 1 ill
оо
оо
II
OJ 1О >—< —' СО
ООООСМЮО) N a N M W
CN Э CN CO CO 050010--I CO-. -
„ _ C4i ^- s о — —'00 00000
О О
ттт
о оооооо оооооо
т
я
а.
а
I
—I СО О 1С <М
—i <M (М —• О
о" о" о" q" о" о
ооооо ооо
Mil III
000 00
|
I
-е-
I
5
S
«г
I
ю 00 со to 00 о
N ч 00 CO S <М
(N СО О1 —' О О1
о" о* о" о о"
тт
со
- . , О 00 •* ?$ gj
о о о" о о" о" о" о" о* о
—I 1О О
оо со <м
ТТТ
т
О1 Ю OS
S Ю »
Г
-н * Ю со
—• ¦* <м со
¦* (м со о
COO --i>-iO)COCOO ОТО)
О) 00 СО 1О Ю
ю с? ю * oi
со^-^^оо-^га оз ю n оз О) со
t^ о> со о ю >—< оз оо га ^ о оо
¦*|Ю'*1--'^^ со ^ ю —' со со п и Ч а га in
сосососО(М(М сососососмо) ^ ^ « см о) tN
»—' о» га -^t" ю ^(xra^fio ^ 01 со ^ ю
о о о" о о о" о о* о* о о" о" о о" о" о о* о"
о
о
"V
403
Таблица 9.5
/?l/ftl=
=#2/ft2=50
#l/ftl=
=^2/A2=100
=#2/Л2=500
7C
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Величины слагаемых в формуле (9.25) при
-S2-. 00
ТС
41,31
41,'34
36,20
29,90
23,96
23,68
43,39
42,80
35,96
29,27 .
23,48
23,43
52,77
49,16
35,28
27,23
20,96
21,21
Ь cpi-lOO
Т 1
21,07
20,62
16,72
11,13
5,162
0
20,09
19,33'
14,81
9,445
4,063
0
16,66
15,11
9,646
5,682
2,180
0
ц=1, 1=2
с ч>2-100
I
—0,0890
—0,777
—0,188
0,202
0,513
0,498
0,166
0,147
0,222
0,0571
—0,257
—0,339
0,112
0,033
—0,002
—0,017
—0,014
0
II
—0,496
—0,398
—0,020
0,152
0,195
0,142
0,362
0,320
0,211
OjOll
—0,328
—0,384
0,085
0,035 ¦
—0,021
-0,015
-0,001
0,005
III
-гО,312
—0,216
0,076
0,13.9
0,032
0,034
0,433
0,386
0,207
—0,046
-0,352
-0,390
0,043
0,018
—0,017
-0,009
0,005
0,008
>
с^з-ЮО
I
1,251
0,949
0,217
—0,258
—0,700
0
-0,121
—0,285
-0,435
-0,452
—0,373
0
—0,131
—0,155
0,051
0,080
0,051
0
II
1,053
0,777
0,032
—0,420
—0,651
0
—0,168
—0,296
—0,435
—0,365
—0,209
0
—0,035
—0,059
0,151
0,141
0,021
0
III
0,871
0,634
—0,052
—0,434
—0,594
0
—0,242
—0,326
—0,427
—0,297
—0,0106
0
—0,030
—0,032
0,018
0,028
0,008
0
8
I
10
<N
O5
I
a.
о
5
2
I
5
B9
8
oooo'i^ «e «n"o
00 CO CO I4* *¦*
CN—>»(N-^
ООИЮПО
(Nt~l«.CNt
lOCOOOtOl
(N(NOt~COO
00ЮЯ01П
CO CN IN
ю со to ^ сл to
^f Ю ^ t t
CO CO CO CO (N (N
00 to tO TO 00 ^
ro<N(N
§OJ-^CN(N
" -* о
«ого-'too
COOOlN^
to ю 00 ю *"^
0000 «О ^ (NO
Ф—1SS00
ЮГОГОЮЮ
OO00 (NO
«^ COTOIN (N
to -*00
CO
(Si
00 00 t-Г-* (NO
OtO^tO
О 00 Ю О) О)
о'асоюмо
(NO) СП ТОЮ—i
IOQ * r t
C0COCOCO(N(N
OO ^
roeororo(N
to
(N
SroScltNOU
Ю(ОЮ-<^ to
COCOTOTOINC4
00 00 to •* •-• о
OONIOlNO
1ft CO O> tO (N
*«OOMN
5 5" S3 <M (N <N
Ь N
OOOOOO
о oo 00 o
oooooo
oooooo
(N
8
1—<
•5*
0?
405
00 C
C^J ОЭ t^« t^«
1Г5 . ^i (
COCCON C00
9-
CO 00
O) ¦*'*COCO
¦* —<CO(Mi?5
8
St5O(D(D
CO CO CO CO <M (M
<N —'b-
«O^IOCNO
О) CO
ЮО Q COO
•*coo«3coo
O) ¦* 00 ¦* Ю IO
00 CO ¦* CO (O 00
ОЛЮ00!М
¦* ^ CO (M (M
Q CO 00^ <M
COOO^OOO)
(MCO <M—100
itNtO
со(NO (OCMO
<?> ¦& <7t <7t О)
О) Ю^^ ¦*
00 CO ^Г ОЭ О
-iOOl
coo to
CO COCO «<N<N
¦^«0H ^
Nrasf
О) (
oo oo 45 о 1
COCO COCO <
ь е
s
406
0.1
0.05
t
1 -^
2'
1 (
4
\
\
.1 0.2
\
л
\
\
аз
Oh в/к
0.3 OA ei~
Рис. 9.6. Изменение составляющей фо/я в формулах (9.24) и (9.25) для функции
Ф по длине линий соединения одинаковых оболочек (функция ф определена
формулой (9.19)):
1—^,^=^2=50; 2—#,/fti=#2/ft2-100; 3—#i/ft,-#2/ft2--500
Рис. 9.7. Изменение составляющей 6ф4 в формулах (9.24) и (9.25) для функции-
Ф по длине линий соединения одинаковых оболочек (функция ф определена фор-
формулой (9.19)):
Л2/Л2—50; 3—Л,/й,-
В заключение сравним полученные здесь результаты расчета со-
случаем, когда оболочки 2 рассматриваются как стержни. В этом
рлучае исходное уравнение (9.14) преобразуется к .уравнению
(9.23), совпадающему с уравнением (8.89) для оболочки с ребра-
ребрами, если параметр ц. (9.17) и параметр у (8.90) связать соотноше-
соотношением
Я2A+У)C-У) h
24 R
или при v = 0,3 \х =
Численные результаты решения уравнения (9.23) возьмем гото-
готовыми из разд. 8.6 и сравним их для того же значения параметра ц,
с решением уравнения (9.14). Результаты сравнения для функции
ф(а) (9.19) даны на рис.9.8—9.10.При
этом сравнивался случай, показанный
на рис. 9.3, в. Именно этот случай для
оболочки с ребрами рассматривался в
разд. 8.6. Функция <р(ст) в этом случае
для пакета оболочек определяется по
формуле
¦-^-9,@). (9.30)
JC
Рис. 9.8. Изменение функции ф по длине ли-
линии соединения оболочек:
/—оболочка со стрингером: 2—пакет оболочек
—3; 3—пакет оболочек Я,/Я2=1
0,6
0,5
0,3
0,2
П1
1
\
Y
1-0,5
\
ч
/
1 «2 ОА 0,6 «8 6/п
407
Некоторые результаты! расчета составляющих функции (9.30),
включая и представленные на рис. 9.8, 9.9 и 9.10, даны в табл. 9.6
и 9.7.
Из графиков видно, что в случае пакета оболочек касательные
усилия на линии соединения меняются более плавно, чем в* случае
оболочки с ребрами. Особенно резкое отличие наблюдается в нача-
начале линии соединения. Здесь касательные напряжения в пакете обо-
оболочек существенно ниже напряжений в оболочке с ребрами. Это
снижение тем сильнее, чем меньше
R\i/R2- Физически указанный факт
очевиден, так как при контакте обо-
оболочек касательные усилия в начале
линии воспринимаются не всем сече-
сечением оболочки 2, а его прилегающей
к линии контакта зоной.
0,8
0,7
0.5
0Л
0,3
0,2
0
\
Я-1М; y'R/h'WO
1-1
0,2 0,4 0,6 0,д 6/п
0,6
0,5
0,3
0,2
0,1
\
\
V
\
\
M-W;t'Mh=W0
1-2
\
V"—
Ч.
0,2- 0Л 0.6 0.8Q/X
Рис. 9.9. Изменение функции ф по длине линии соединения оболочек:
/—оболочка со стрингером; 2—пакет оболочек RilRi—З; Я—пакет оболочек RilRi
Рис. 9.10. Изменение функции ф по длине линии соединения оболочек:
/—оболочка со стрингером; 2—пакет оболочек
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Григолюк' Э. И., Толкачев В. М. Равновесие цилиндрических оболочек,
соединенных по образующим. — Инженерный журнал. Механика твердого тела,
1968, № 5, с. 166—174.
2. Barinka L. L. Nonlinear deflection analisis for coupled tubular structu-
structures. — Transactions ASME, 1971, B93, N 4, p. 1255—1260.
3. Poritsky. H., Horvey G. Stresses in pipe bundles. — Journal Applied me-
mechanics, 1951, 18, N 3, p. 241—250,
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ..-..< 3
Глава 1. Пластины с ребрами жесткости. Приближенные методы расчета 5
1.1. Общие сведения 5
1.2. Постановка задачи. Исходные допущении 7
1.3. Основные соотношения 11
1.4. Пластина, подкрепленная двумя ребрами постоянного сечения . 19
1.5* Метод расчета пластин с произвольным числом ребер постоянного
поперечного сечения 26
1.6. Частные случаи равновесия пластины с несколькими ребрами . 37
1.7. Оптимальное подкрепление пластины 46
1.8. Панель с двумя ребрами, поперечное сечение которых произвольно "<*•
изменяется по длине 52
1.9. Способ численного расчета панели с произвольным числом ребер
переменного поперечного сечения 57
1.10. Приближенный учет поперечной сжимаемости панели .... 61
Списои литературы 65
Глава 2. Передача усилий от ребер жесткости к обшивке с иедеформн-
руемым контуром поперечного сечения ...... 67
2.1. Общие сведения • . 67
2.2. Цилиндрическая панель с продольными ребрами. Исходные урав-
уравнения х. .... 69
2.3. Элементарное напряженное состояние 74
2.4. Плоская панель. Преобразование исходных уравнений ... 77
2.5. Растяжение симметрично подкрепленной панели 80
2.6. Панель, подкрепленная иа торце 91
2.7. Изгиб симметрично подкрепленной панели 95
2.8. Панели с ребрами разной жесткости и произвольными силами на
концах ребер 106
2.9. Оценка введенной гипотезы 115
Списоклитературы . . . 119
Глава 3. Решения для пластин с ребрами иа основе точных уравнений
-¦ < . плоской теории упругости 121
.3.1. Общие сведения , 121
3.2 Обзор результатов 121
3.3. Основные уравнения плоской теории упругости ..... 128
3.4. Пластина с ребром бесконечной длины. Решение Мелана ... 131
ЗА Пластина с ребром полубесконечной длины .
3.6. Бесконечная пластина с ребром, присоединенным с помощью зак- 138
лепок s s 144
3.7. Передача усилий от ребра конечной длины к бесконечной пластине
и границе полубесконечной пластины 155
: 3.8. Приближенное решение уравнении C.73) с помощью полиномов
Чебышева 168
409
Стр.
3.9. Пластина с ребром переменного сечення. Оптимальное подкреп-
подкрепление 170
Список литературы 180
Глава 4. Общая теория изгиба упругих пластин 184
4.1. Общие сведения 184
4.2. Основные уравнения теорнн упругости изотропного тела . . . 185
4.3. Теория Кирхгофа 187
4.4. Учет сдвига и обжатня 189
4.5. Модификация уточненной теории для контактных задач ... 191
4.6. Разрешающие уравнения уточненной теории 198
4.7. Пример использования уточненной теории 201
Список литературы 205
Глава 5. Простейшие контактные задачи при изгибе пластин . . . 207
5.1. Общие сведения 207
5.2. Цилиндрический изгиб штампами пластины Кирхгофа . . . . 212
5.3. Учет деформации, поперечного сдвига 216
• 5.4. Учет поперечного обжатня 223
5.5. Решение на основе уравнений теории упругости 225
5.6. Осесимметричный контакт круглой пластины и жесткого тела вра-
вращения 234
5.7 Расчет пакета сферических пружин 241
5.8. Об изгибе трехслойной пластины 243
Список литературы 247
Глава 6. Матрица Грина для цилиндрической оболочки 252
6.1. Общие сведения 252
6.2. Исходные уравнения "теории цилиндрических оболочек . . . 256
6.3. Фундаментальное решение 263
6.4. Главное значение матрицы Грина 266
6.5. Исследование сходимости рядов 269
6.6. Функция Грина для свободно опертой полубесконечной оболочки
и оболочки конечной длины . 274
Сп исоклитературы . . . . . . . . . . 278
Глава 7. Решение некоторых интегральных уравнений 284
7.1. Общие сведения •. ' 284
, 7.2. Интегральные уравнения контактных задач ...... 288
7.3. Решение интегрального уравнения с ядром Коши и логарифмиче-
логарифмическим ядром 289
7.4. Решение интегрального уравнения с ядром типа cht и ctg . . 294
7.5. Решение уравнений с логарифмическими ядрами 299
7.6. Преобразование исходных уравнений к уравнениям Фредгольма
второго рода 301
7.7 Решение интегральных уравнений с помощью полиномов Чебышева 304
Приложение 7.1. Граничные значения канонической функции . . 311
Приложение 7.2. Вычисление некоторых интегралов . . . . 313
Список литературы 316
Глава 8. Контактные задачи для цилиндрической оболочки . . . 319
8.1. Общие сведения 319
8.2. Взаимодействие острых штампов и бесконечно длинной круговой
оболочки по дугам окружности 324
8.3. Контакт полубесконечиой оболочки и штампов 336
8.4. Задача о выходе цилиндрической оболочки из шахты . ? . . 347
8:5. Контакт оболочки н штампов по отрезкам образующих . . . 355
8.6. Передача продольных усилий от стрингеров к оболочке . . . 359
8.7. О характере реакции в защемленной по линнн пластине Кирхгофа 371
410
Стр.
8.8. Цилиндрическая оболочка, защемленная по дугам окружности по-
поперечного сечения 377
Приложение 8.1. Программа задачи о выходе оболочки из шахты 380
Приложение 8.2. Вычисление интеграла (8.21) . .... 383
Список литературы 385
Глава 9. Равновесие пакета цилиндрических оболочек, соединенных по
отрезкам образующих 390
9.1. Обшие сведения 390
9.2. Формулировка задачи для пакета оболочек 391
9.3. Вывод и преобразование исходного уравнения ...... 393
9.4. Численное решение задачи н анализ результатов . . . . . 397
Список литературы ' 408
ИБ № 3053
Эдуард Иванович Григолюк, Виктор Михайлович Толкачев
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Редактор И. В. Коржвневская
Технический редактор В. И. Орешкина Корректор Л. Е. Хохлова
Художественные редактор Я. К, Капралова Переплет художника В. Д. Козлова
Сдано в набор 24.12.79. Подписано в печать 11.03.80. Т-00877
Формат 60х90'/и Бумага типографская № 3
Гарнитура литературная Печать высокая Уса. веч. л. 28,0
Уч.-нзд. л. 28,7 Тираж 3400 экз. Заказ 3136 Цена 4 р. 70 к.
Издательство «Машиностроение», 107885, Москва, ГСП-6, 1-й Басманный иер.. 8.
Москбвская типография № 8 Союаполнграфпрома
ири Государственном Комитете СССР по делам издательств,
полнграфнн и книжной торговли