Руководство к решению задач прикладной теории упругости - Рекач В.Г.

Автор: Рекач В.Г.
Теги: механика деформируемых тел упругость деформация cтроительная механика графический и аналитический методы статики для исследования и расчета строительных конструкций механика теоретические основы строительства физика задачи по физике теория упругости
Год: 1984
Похожие
Руководство к проведению занятий по специальному курсу строительной механики
Аналитические поверхности: материалы по геометрии 500 поверхностей и информация к расчету на прочность тонких оболочек
Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики. Динамика и устойчивость
Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики
Текст
                    В. Г. РЕКАЧ
РУКОВОДСТВО
Е РЕШЕНИЮ
ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ
ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования
СССР в качестве учебного пособия для
студентов строительных специальностей
вузов
МОСКВА
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
1984

ББК 22.21:38.112
Р36
УДК 539.3:624.04
Рецензенты:
кафедра теории упругости Горьковского государственного университета;
д-р техн. наук, проф. В. П. Малков
Рекач В. Г.
Р36 Руководство к решению задач прикладной теории
упругости: Учеб. пособие для студентов строительных
специальностей вузов. —2-е изд., испр. и доп.—М.: Высш. шк., 1984. —
287 с, ил.
95 к.
В пособии наряду со сводкой основных уравнений и формул, выведенных из общк>
уравнений теории упругости с применением различных упрощающих рабочих гипотез
приведены задачи прикладного характера, посвященные статическому и динамическом)
расчетам гибких нитей, плоского и пространственного сплошного стержня, тонких i
толстых плит и оболочек, призматических и пространственных рам, массивных и непре
рывных сред. Многие задачи доведены до числовых результатов.
1703040000-010 ББК 22.21:38.112
001 (01)-84 ° С° 531:6С1
© Издательство «"Высшая школа», 1973
© Издательство «Высшая школа», 1984, с изменениям^

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие посвящено решению задач прикладной теории
упругости. Поглавно материал расположен в порядке возрастающей
сложности —от методов расчета плоской гибкой нити до расчета
пространственных систем: внутри глав изложение дано от общего
к частному.
В каждой главе приведены принятые рабочие гипотезы,
упрощающие расчетные уравнения для рассматриваемого геометрического
тела, после чего приводятся преимущественно точные методы общего
и частного решения этих уравнений. Для получения общего
решения широко используются специальные функции. Частный интеграл
системы неоднородных дифференциальных уравнений находится
методом вариации произвольных постоянных (из общего решения
системы однородных уравнений) или его интерпретации, методом
начальных условий. При решении задачи методами комплексной
переменной частный интеграл находится из уравнений более низкого
порядка [см. уравнение (6.80)]. Расчетные системы уравнений
приведены для правой системы координат.
В пособии помещены задачи прикладного характера, имеющие
применение в инженерной практике, многие из них доведены до
числовых результатов. Помещены в основном решенные задачи, а для
самостоятельного решения указаны различные их варианты ДО),
отличающиеся нагрузкой или краевыми условиями, для которых
даны ответы, ссылки на источники или указания к решению.
Решения даны как с упругими постоянными, £, v, так и с X, fx = G
(см. условные обозначения).
При изложении каждого вопроса даются ссылки на
ограниченное число источников, где, по мнению автора, рассматриваемый
вопрос изложен наиболее просто, поэтому приводимый перечень
литературы не претендует на полноту.
В работе использованы также личные исследования автора:
уравнения (2.14), (2.3)-(2.38), (2.41) —(2.43), (2.53), (2.54), (3.86),
(3.101), (3.148), (3.170)-(3.186), (6.50), (6.128), (6.170); уравнения
задач-(2.5), (2.10), (3.6), (3.10), уравнения (ж) задачи 6.6.
В первой главе излагаются методы решения задач
прикладной теории упругости, при этом основное внимание уделяется
вариационным и прямым методам.
Вторая глава посвящена расчету плоской и пространственной
(задача 2.10) гибкой нити с учетом и без учета удлинения оси.
Большое внимание уделяется расчету гибкой растяжимой нити по
3

деформированному состоянию. Рассмотрены колебания гибкой нитц
в линейной и нелинейной постановках задачи.
Расчет сплошного пространственного и плоского стержней рас>
сматривается в третьей главе. Приведены геометрически^
уравнения пространственной и плоской кривых и алгоритмы расчета
стержней на прочность, жесткость и устойчивость при статической
и динамической нагрузках.
Расчет тонких пластинок на прочность, устойчивость и колеба*
ния рассмотрен в четвертой главе.
Технические теории расчета толстых плит и их применение к ин.
женерным задачам излагаются в пятой главе. В главе рассмоъ
рены как силовые, так и температурные воздействия на толстые плиты,
Шестая глава посвящена расчету тонких оболочек на основе
гипотез Кирхгофа —Лява. В ней рассмотрены моментная, полумо-
ментная, и безмоментная теории расчета на прочность, устойчивость
и колебания. Приведены расчеты пологих оболочек на действие
нагрузки и температуры. Особое внимание уделено цилиндрические
оболочкам и оболочкам вращения.
В седьмой главе рассмотрены технические теории расчета
на прочность толстых оболочек.
Расчету призматических пространственных рам по методу В. 3.
Власова посвящена восьмая глава.
В девятой главе приводятся приближенные методы расчета
массивных тел. Большое внимание уделяется дискретному метод}
Л. П. Винокурова, удобному для решения многих инженерных задач
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов строи'
тельных специальностей вузов, но может быть также полезно пр*
прохождении университетского курса теории упругости. Кроме того
практическая направленность приведенных задач делает эту работ]
полезной для аспирантов, преподавателей и работников проектны.1
организаций строительной промышленности.
Автор глубоко признателен д-ру техн. наук, проф. В. П. Мал
кову и коллективу кафедры теории упругости и пластичности ме
ханико-математического факультета Горьковского государственной
университета им. Н. И. Лобачевского за ценные замечания, сделан
ные при подготовке к изданию настоящего учебного пособия.
Авто]

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Э = Т—П — полная потенциальная энергия
системы;
П — потенциальная энергия деформации
системы;
Т — работа внешних сил, U — работа
внутренних сил (£/ = — Я);
К—кинетическая энергия системы;
TliKi—соответствующая энергия, отнесенная
к единице объема;
/, m, п — косинусы углов внешней нормали
к поверхности тела с осями х, у, г\
а*, а2, а3 — ортогональные криволинейные
координаты;
x(l), y(r\), z(Q — прямоугольные координаты;
г, р, z—цилиндрические координаты;
г, Р, а — сферические координаты;
со = со(л:, у) — секториальная координата;
их(и)у uy(v)> uz(w) \ проекции полного смещения точки— и
иг> ил> иг \ — на координатные оси (х> у, z; г, Р,г;
иГУ uRy и ! r> Р> °0> составляющие вектора пере-
р' а / мещения;
Хх(°х)> Yx(^yx)yZx{xZx)\
Ху (1ху)> У у (ву), Zy {^zy) |—составляющие тензора напряжений
xz (txz) Yz (tyz), Zz (oz) ) в прямоугольных координатах;
Rr(or), Вг(трг), Zr(xzr) Л
P (Trp)' ^э (ap)» ^P (T2p) } —то же, в цилиндрических координатах;
Кж&гж), MTPz)> Zm(°m))
*'<°'>'MV)'MT«r) )
Rp (тгр), Вр (Ор), Лр (тар) J-— то же, в сферических координатах;
*«(Tr«).S«(VM«(*a)J
ех> еу> ez> e*y> exz> eyz\
ery efi, ez> er$> erz> e$z l—относительные деформации, состав-
er> ept ea, erp, era, e~ J ляющие тензора деформаций;
|i = Y/g—плотность материала (масса единицы
объема);
у — объемный вес (Н/м3);
g (м/с2) — ускорение свободного падения;
я, ЗА, +2ц „ /Г| ч
t=\x-r——i модуль продольной упругости (Па);
v = V[2 (X+jli)] — коэффициент Пуассона;
5l^£v7[(1+v)(1— 2v)]}""K03**HUIieHTbI Ламе (Па);
s(ds)—длина линии (м);

A (dA) — площадь сечения (м2);
V(dV) — объем (м3);
JXt у — осевые моменты инерции площади
сечения (м4);
JK — то же, момент инерции кручения (м4);
т — время (с); / — температура (град);
а — коэффициент линейного расширения;
р = уА — вес единицы длины стержня (Н/м);
m — \iH = yA/g—масса единицы длины стержня (кг/м);
q — интенсивность распределенной на-
грузки (Н/м, Н/м2);
Р—сосредоточенная сила (Н);
Xv> Kv, Zv —проекции внешних сил, приложенных
на поверхности с нормалью v на оси
х, у, г (Па);
р — радиус кривизны до деформации;
Pi—-радиус кривизны в деформированном
состоянии; __
т—радиус кручения; г, R —
радиус-вектор;
2 д2,., . д2... . д2... оператор Лапласа в прямоугольных
^ ' дх*~ ' "cfy2 ' "dz2 координатах;
Q*> У у» ^/*> ^х» ^у» Мг — внутренние силы в сечении стержня;
а* — критическое напряжение;
[а]—допускаемое напряжение;
У*, Р* — критические нагрузки;
/—частота колебаний (1/с);
Т= 1// — период колебаний (с);
со—круговая частота колебаний (рад/с);
е—фаза колебаний;
Ri,2 — главные радиусы кривизны оболочки;
Л, B,F — коэффициенты 1-й квадратичной
формы поверхности;
L, М, /V —коэффициенты 2-й квадратичной
формы поверхности;
m = \ih — масса единицы площади оболочки или
пластинки (кг/м2).
В тексте принято сокращение УДН — Университет дружбы народов.

Глава 1
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
I. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Общие решения основных уравнений теории упругости — Галер-
кина, Папковича, Нейбера и др. (см. [77, гл. 4]), в которые входят
произвольные гармонические, бигармонические и тригармонические
функции, трудно использовать при решении конкретных задач, так
как не найдено общего метода определения указанных функций из
рассмотрения граничных условий.
При строгой постановке задач теории упругости встречаются
значительные математические трудности и решение может быть
доведено до расчетных формул, пригодных для технических
приложений, в ограниченном числе случаев. Поэтому широкое применение
находят различные приближенные методы решения
краевой задачи прикладной (технической) теории упругости, которым и
посвящается настоящая глава.
Эти приближенные методы решения можно разбить на
следующие группы.
Первая группа методов характеризуется тем, что точные
дифференциальные уравнения рассматриваемой задачи путем
введения рабочих гипотез, основанных на физических соображениях и
результатах эксперимента, заменяют приближенными. Одновременно
упрощают и краевые условия, которые ставят в интегральной форме
для определенных участков контура (например, вместо напряжений
принимают усилия) или в локальной форме для отдельных линий
сечения контура (например, в методе начальных функций, см. гл. 7).
При указанной постановке задач, как правило, не удовлетворяются
уравнения неразрывности деформаций. Задачи, решенные этими
методами, приведены в первых восьми главах настоящей книги.
Ко второй группе приближенных методов относятся методы,
связанные с вариационными принципами. Их называют
вариационными методами. Эги методы дают возможность получать систему
расчетных уравнений рассматриваемой задачи, а также
приближенное решение дифференциальных уравнений, не имеющих точного
решения.
Последний вопрос связан с выбором аппроксимирующих функций,
удовлетворяющих краевым условиям задачи, что в известной мере
является произвольным и влияет на получение окончательного ре-
7

зультата. Не все вариационные методы допускают контроль
характера (приближение сверху или снизу) и степени приближения к
действительному решению.
К третьей группе приближенных методов относятся прямые
методы, основанные на дифференциальных уравнениях теории
упругости в частных производных, пользуясь которыми приводят
краевую задачу к системе обыкновенных дифференциальных или
алгебраических уравнений.
Исходные уравнения задачи и граничные условия, в том числе
и неоднородные, удовлетворяются в отдельных точках или по
отдельным линиям.
Методы решения двух последних групп являются приближенными
лишь условно, так как с их помощью можно достигнуть любой
точности результатов, если решение допускает уточнение в виде
учета последующих членов разложения какой-либо величины или
построено в форме последовательных приближений, или связано
с малым интервалом при определении значения исследуемой функции.
Вариационные методы могут оказаться и точными, если уравнения
Эйлера —Лагранжа при исследовании экстремума функционала
(например, Э) допускают точное решение или задача имеет конечное
число степеней свободы (см. задачу 1.5).
При решении задач прикладной теории упругости может быть
удобно совместное использование приближенных методов всех трех
групп, что приводит к большому разнообразию приемов решения
технических задач.
В настоящей главе излагаются лишь основные методы второй
и третьей групп.
Установленная здесь классификация не является общепринятой.
Одни авторы считают прямыми те методы, которые приводят
краевую задачу теории упругости к алгебраическим уравнениям, относя
к этим методам и соответствующие вариационные методы (Ритца-^
Тимошенко, Бубнова —Галеркина и др.); другие считают прямыми
все приближенные методы и т. д.
II. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
1. Вариационные принципы механики
Приводим основные вариационные принципы механики упругой
тела в декартовой системе координат [50]. Вариационное уравнени1
Лагранжа, основанное на принципе возможных перемещений (удовле!
воряются уравнения статики), имеет вид
&Э(и„ иу, u2) = 0*f (1.1
* Действия с вариациями в статических задачах подобны действиям с ди<]
ференциалами, например:
6X1/2 = ХХЬХХ, Ь(ХХ, Yy) = YvbXx + XxbYv и т. д.
8

Э'ГпШ 3=тах 8=comt
623>0 №<0 дг3'0
где полная потенциальная энергия системы*
3=lvni(ux, иу, u2)dV—\s(Xvux + Yvuy+Zvuz)ds —
— \vli(Xux + Yuy + Zuz)dV = 0.
Из вариационного уравнения Лагранжа (1.1) следует, что
3 = 3ЭКСТР. (1.2)
При составлении уравнений равновесия часто используют
свойство полной потенциальной энергии системы Э принимать в
состоянии равновесия
экстремальное значение (1.2),
при этом согласно
принципу Лежена Дирихле [49] «
устойчивому состоянию от- *
вечает min потенциальной
энергии, неустойчивому— р .
max, безразличному —
постоянное или нулевое ее значение (рис. 1).
Вариационное уравнение Кастильяно, связанное с
действительным напряженным состоянием (удовлетворяются уравнения
неразрывности деформаций), имеет вид
6Л(ХХ1 Yyf ...) = \s(ujX + uybYv + uz8Zv)ds, (1.3)
6/7=^6/7^, Yy, ...)dV=lv(ex8Xx+...+ey28Y2)dV;
где Xv, yv, Zv —новая система внешних поверхностных сил при
6Xv = l8Xx + m6Xy + n8Xz и т. д.
Если внешние поверхностные силы не меняются при варьировании
напряженного состояния, т. е. 8XV = SFV = 6ZV = 0, то из формулы
(1.3) получим начало наименьшей работы деформации
(начало Кастильяно)
6Л = 0, (1.4)
справедливое только при действии закона Гука.
Если полная потенциальная энергия системы выражается через
геометрические параметры ah число которых равно степени свободы
этой системы, т. е.
Э = Э(а1У а2, ..., ап)у (1.5)
то согласно уравнению (1.2) параметры а{ можно определить из
условий:
дЭ/да^-0, дЭ/да2 = 0, ..., дЭ/дап = 0, (1.6)
определяющих экстремальное значение функции Э от п переменных.
* Энергетический функционал системы.

Уравнения (1.6), если их умножить соответственно на^ 6а,- Ф О,
обращаются в уравнения принципа возможных перемещений:
f-4 = 0, |_ба2==о £ба„=0. (1.7)
Если полная потенциальная энергия системы задана в интегральной
форме
то при определении экстремального значения Э можно
воспользоваться прямой задачей вариационного исчисления. Для получения
экстремального значения интеграла (1.8) функция F должна
удовлетворять уравнению Эйлера — Лагранжа:
ду дх ду' "^ d*2 ду" ' ' ' ^ 6хп дуп ' v * '
которое и будет являться основным разрешающим уравнением
задачи (см. задачу 1.1).
Для решения динамических задач применяют вариационный
принцип Гамильтона [127]:
или
в5'.(3-/0<1т = 0, (1.10)
где кинетическая энергия
«-ШШЧ^№)*к <■■»>
Из уравнения (1.10) следует принцип Гамильтона:
jTo (К — Э) &г = стационарному значению. (112)
Сущность вариационных методов приближенного решения
дифференциальных уравнений заключается в том, что задается решение в виде
приближенного аналитического выражения, аппроксимирующего
искомую функцию в форме последовательности функций:
w &wt
п = 2 ть (1.13)
где а{ — искомые постоянные параметры; ср,.— заданные функции.
* Формула написана для одномерной задачи.
** Для двухмерной задачи уравнение Эйлера—Лагранжа имеет вид
<* ±(JHL\-JL( dF \jlJL. (JL\-Ld2 ( dF \ °2 ( dF \
dw dx V dwxJ ду \ "S^J ~r dx* V dwxx) +~dj? \ dwUu) +дхду[ dwxJ
g_f dF \
10

Методы Рэлея (1877), см. уравнения (4.57)—(4.61), Ритца (1908) —
Тимошенко (1910), Бубнова (1913) — Галеркина (1915) и Треффца
(1933) предлагают различные способы приближения wn к
действительному значению на основе приведенных выше вариационных
принципов. По методу В. 3. Власова (1946) —Л. В. Канторовича
(1942) решение задается в форме ряда
w*wn = it Xt{x)Yt(y): (1.14)
где Xt (х) — заданные функции от аргумента х, удовлетворяющие
краевым условиям; Y,. (у) — искомые функции или наоборот.
Перечень первых работ авторов, годы издания которых указаны
в скобках, приведен в книге [78, гл. XVI].
В 1964 г. Б. Ф. Власовым было предложено обобщение
(двойная аппроксимация) вариационного метода Власова —Канторовича,
при котором решение задается в форме
п
w « wn = 2 [ф,. (у) V, (х) + ф, (х) Ф, (у)],
1=1
где ур( (х) — заданные функции от аргумента х\ %(у) — то же, от
аргумента у\ ^/(я) и Ф< {у) — искомые функции или наоборот, см. [21].
2. Метод Ритца — Тимошенко
Приближенное решение дифференциального уравнения
L(x, уу wy wxy wyy wxxy ...)=0 (1.15)
задается в форме ряда
п
w&wn=% а&({х9 у), (1.13')
i = i
где а( — искомые постоянные параметры; ср,- — заданные функции,
удовлетворяющие геометрическим краевым условиям.
По формуле (1.1) записывают полную потенциальную энергию
системы, после чего параметры а, определяют из системы
алгебраических уравнений (1.6). Этот метод дает приближение к
действительному значению величины w сверху.
3. Метод Бубнова — Галеркииа
Приближенное решение дифференциального уравнения
М*. у, у\ у", ...) = о** (1.16)
задается в форме ряда
п
{/-</„= 2 я.фДх), (1.13")
* Формула написана для двухмерной задачи теории упругости
** Уравнение написано для одномерной задачи.

где L — дифференциальный оператор; а, —искомые постоянные
параметры; ф,- (*) — линейно независимые функции аргумента х,
удовлетворяющие статическим и кинематическим краевым условиям. Система
Ф^л:) принадлежит некоторой полной в замкнутой области
определения оператора (1.16) системе функций (т. е. вплоть до границы).
Записывают условия относительного экстремума некоторого
функционала*, который принимает полное экстремальное значение при
удовлетворении заданного дифференциального уравнения (1.16),
имеющие вид
1*Цх,уа,у'я,!Г„, ...)<p,(x)d*-0 (1,17)
при f = 1, 2, ..., га.
В раскрытом виде эти условия дадут га алгебраических уравнений:
ai \ZL foi) ф1 dJC + fli S*!L (*•) Vi d* + •■• +an S *xlL (Фп) <Pid* = °.
«i S*!L (<Pi) <P« d* + a2 $^Ь(ф8) фа dx+ ... +an J*'L (ф„) ф2 d* = 0,
• (118)
(* X С Xe f* Хл
ai \x\L (CPl) Ф» d* +a2 J* L (Ф«) Ф* dx+ ' ' ' + an )Xi L (Ф«) Фя d* =0>
где
1(Ф,)=*Ц*, Ф„ ф1 ...)• (1.19)
Для любого уравнения равновесия (1.16) указанным функционалом
является выражение полной потенциальной энергии системы Э,
а условиями относительного ее экстремума — условия равновесия,
записанные в виде равенства нулю работы всех сил** на заданных
перемещениях ф;(х), приводящие к уравнениям (1.18).
В рассмотренном методе на систему накладывают некоторые связи,
разрешающие системе деформироваться лишь по формам фД*), что
равносильно приведению ее к системе с п степенями свободы.
4. Метод Власова — Канторовича
Приближенное решение дифференциального уравнения
L(x9 у, w, w'X9 wfyy wX9 wyt wxy9 ...)^0*** (1.20)
задается в форме ряда
w*Mn=IiXi(x)Yi(y)i (1.14')
i = 1
* Там, где он есть.
** При подстановке в уравнение (1.16) вместо точного решения у
приближенного уп в правой части появится некоторая неуравновешенная нагрузка
qH = L(x, уп, у'п, у"п% ...).
*** Уравнение написано для двумерной задачи теории упругости.
12

где Xf(x) — заданные, линейно независимые функции,
принадлежащие полной системе переменной х, удовлетворяюшие кинематическим
краевым условиям при x = xt и лг = л;2 и называемые функциями по-
перечного распределения величины w\ Y( (у) — искомые коэффициенты
разложения (1.14'), называемые продольными обобщенными
значениями величины w.
Для определения искомых коэффициентов Yt(y) записывают
условия относительного экстремума некоторого функционала, который
принимает полное экстремальное значение при удовлетворении
заданного дифференциального уравнения (1.20), имеющие вид
[Xx\L{x, у, wny wnyy ...)Xt(x)dx = 0 при *-;1, 2, 3, ..., л. (1.21)
В раскрытом виде эти условия дадут п линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Из этих уравнений
определяют величины Yt(y).
Таким образом, двухмерная задача теории упругости приводится
к одномерной.
Физическая трактовка этого метода такая же, как метода
Бубнова— Галеркина, только в данном случае упругая система
приводится к системе с конечным (п) числом степеней свободы в
поперечном направлении и бесконечным—в продольном.
б. Метод Треффца
Приближенное решение дифференциального уравнения
L(x, г/, w, wx, wy, wxx> wyy, wxy, ...)-;0 (1.22)
в области D при граничных условиях
V{w) = <f (1.23)
на границе Г задается в форме ряда
п
w&wn= 2 <w(*. у), О-24)
i = 1
где а{—искомые параметры; wt(x9 у) — заданные
линейно-независимые функции, принадлежащие полной системе, точно
удовлетворяющие заданному уравнению и приближенно-граничным условиям (1.23).
Подставляя wn в уравнения (1.23), получим приближенное
обращение в тождественный нуль выражения
W 2 <*№]—Ф-
Используя свойство тождественного нуля—быть ортогональным любой
из функций, в том числе и функциям wh получим
$г[чД^ш7 (pj^ds = 0 при '=1* 2> •'•» п' (L
25)
13

Уравнение (1.25) дает систему алгебраических уравнений
относительно коэффициентов а{ линейную, если оператор У— линейный.
При использовании вариационных методов большое значение имеет
оценка полученных результатов по отношению к действительным
значениям. Известно, что метод Ритца — Тимошенко дает
приближение к действительному значению сверху, а метод Треффца—снизу;
относительно других вариационных методов этот вопрос остается
открытым. В 1970 г. Б. Ф. Власовым [21] предложен метод
двусторонних оценок по энергии, между которыми должны лежать
действительные значения искомой функции.
III. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ
1. Метод конечных разностей
При методе конечных разностей [78, гл. XXVIII], [8] заданную
систему с помощью сеток разделяют на отдельные элементы,
составляют конечно-разностные уравнения и определяют значение искомой
функции (перемещения, функции напряжений и т. д.) в узлах сетки.
Рассматриваемый метод широко распространен при решении
краевых задач теории упругости, однако при всей своей универсальности
имеет некоторые недостатки:
а) с изменением формы тела необходимо менять характер сетки;
б) метод конечных разностей не применим для разыскания
функций, зависящих от неограниченной переменной, например, в задачах
динамики при неограниченно меняющейся во времени нагрузке и т. д.
2. Дискретный метод
В дискретном методе (гл. 9), предложенном Л. П. Винокуровым,
искомые функции (перемещения, напряжения) представляют в
дискретной конечно-разностой форме для всех переменных, кроме одной,
в отношении которой функции определяют в аналитической форме
из системы дифференциальных уравнений. Рассматриваемый метод
дает возможность дифференциальные уравнения в частных
производных заменить системой обыкновенных дифференциальных уравнений,
имеющей форму общего решения, при которой можно удовлетворить
различным краевым условиям.
Дискретный метод имеет ряд достоинств, из которых укажем на
следующие:
дифференциальные уравнения для пространственной задачи
содержат только производные четного порядка;
граничные условия для точек на поверхности учитываются при
составлении дифференциальных уравнений, поэтому отпадает
необходимость, как в методе конечных разностей, в составлении для этих
точек дополнительных уравнений;
краевые условия выполняются непрерывно вдоль определенных
линий поверхности, на ребрах —в отдельных точках;
14

результаты получаются в аналитической форме, что облегчает
их анализ и обобщение на родственные случаи;
возможность решения пространственных задач для сочлененных
массивов путем разделения их на отдельные сплошные массивы и
соблюдения условий их сочленения и т. д.
При решении двухмерных задач в прямоугольных координатах
из дискретного метода как частный случай вытекает метод прямых.
3. Метод начальных функций
Общий метод приведения трехмерной (двухмерной *) задачи
теории упругости к двухмерной (к одномерной) — метод начальных
функций (гл. 5 и 7) был одновременно предложен В. 3. Власовым и
А. И. Лурье.
В рассматриваемом методе общие уравнения теории упругости
решают смешанным методом, т. е. за основные искомые функции
принимают перемещения иХУ и„, иг(иХУ и.) и напряжения Хж, Y„
Z,(XV. Y„).
Искомые функции при фиксированном значении координаты г
зависят только от двух (одной) переменных х, у(х)> определяющих
положение точки на плоскости (линии) г = const (у = const). Их
раскладывают в ряды Маклорена по переменной г (у) и выражают через
начальные функции:
Ze = ZS(I/0 = Ga;f K„ = G< X0 = X°, Y0~Yl)
n
z»
— значения искомых функций при г = 0(#=;0).
Решение общих уравнений, выраженное через начальные
функции, получается в форме:
^==^W/.> + ^£/v'l/o+ • • • +LUVY0 + LUXX^
V = LKL, + LVVV0+ ... -\-Li/yY0 + LVXX0,
Y = LYUU0 + LYVVif + . . . + LYYY 0 + ^YXXoy
X ^ LxuUu + LXyV0 -f ... + LXYY0 + LxxX0f
(1.26)
где буквой L обозначены линейные дифференциальные операторы,
которые в трансцендентной форхме операционного метода приведены
в табл. 5.1.
Начальные функции определяют из граничных условий на
плоскостях (линиях) г = 0(у = 0) и ? = ft(// = /i) из системы трех (двух)
линейных дифференциальных уравнений по переменным х, у(х).
Порядок этих уравнений зависит от числа членов разложения по
степеням г (у), удерживаемых для дифференциальных операторов L общего
линейного преобразования (1.26).
* В э'юм параграфе в скобках помещены понятия и величины, относящиеся
к двухмерной задаче.
15

Метод начальных функций можно с успехом применить для
расчета толстых плит и оболочек.
Наиболее полно метод начальных функций в декартовых
координатах изложен в работе В. 3. Власова [12].
ЗАДАЧИ
1.1. Вывести уравнение устойчивости прямого бруса из
рассмотрения экстремального значения полной потенциальной энергии.
Полная потенциальная энергия прямого бруса
^ 2 Jo EJ +2 ^r»a> ^*а'
(а)
где
А = ^о(с15-с1г)= Jjl-cost/Ods^
Рис. 2
— перемещение конца стержня
вследствие изгиба (рис. 2); М =:—EJy"—
изгибающий момент; гп=
1/8и—жесткость i-й пружины; а{ — укорочение
(удлинение) пружины.
Преобразовав выражение (а),
получим формулу (1.8): у
k
Э= 1 Jo {EJy"2-P*y'2) dz +1 £ rtfll =
= ^l0[EJy"2-P,y'2 + f(z)]dz.
Составив уравнение Эйлера—Лагранжа (1.9), получим разрешающее
уравнение задачи:
EJlw + P,y" = 0, см. формулу (3.147).
Щ Вывести уравнение изгиба прямого бруса с жесткостью EJ (z)
на упругом винклеровском основании с коэффициентом
податливости k(z).
Указание. При выводе использовать формулу энергетического
функционала изгиба бруса на упругом основании
1.2. Вывести уравнение изгиба прямоугольной пластинки (axb),
нагруженной поперечной распределенной нагрузкой q(x, у), из
рассмотрения экстремального значения полной потенциальной энергии.
16

Согласно формуле Кирхгофа полная потенциальная энергия изгиба
прямоугольной пластинки (axb)
—<7(*. y)Uz\dxdy — (fq{s)uzds—§m(s)^&s. (1.27)
Последние два криволинейных интеграла учитывают работу
распределенной q(s) и моментной m(s) нагрузок, приложенных по линии
контура пластинки.
Надо найти экстремальное значение интеграла
5= So Го7" (*' #> Ш> W**> W*y> WiJ dxdy> И
где
w = u2, wxx*=d2w/dx2, wxy = d2w/dxdy, wyy = d2w/dy2.
Интеграл (а) примет экстремальное значение, когда функция w (л:, у)
будет удовлетворять уравнению Эйлера—Лагранжа в форме
_^L_l— ( dF ) _i.il (—) -I — (—^ =0 (б)
dw """ д*2 Vdo^y ' д#2 \dwyy) * дх ду \dwxy) ' ^ '
После проведенного комплекса дифференцирования и преобразований
над подынтегральной функцией (1.27) уравнение (б) примет вид
rrw = q(xfy)/D, где V2...=^ + ^,
т. е. превращается в известное уравнение изгиба пластинки, см.
формулу (4.12).
Щ Вывести уравнение изгиба круглой пластинки в полярных
координатах радиусом г = а из рассмотрения экстремального значения
полной потенциальной энергии. Пластинка нагружена поперечной
распределенной нагрузкой q = q(ry Р).
Указание. При выводе использовать формулу полной
потенциальной энергии пластинки в полярных координатах:
Са г2я11D U д*и* I 1 ди* I 1 д2и*У
Jo Jo | 2 \ V дг2 + г дг "*" г2 д$2 J
-? (г, P)a-|rdr^-^9(s)^ds-/m(s)-^-ds. (1.28)
Ответ выражается формулой (4.14).
1.3. Квадратная пластинка (аха), жестко заделанная по контуру,
загружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q.
Пользуясь методом Власова—Канторовича, найти уравнение
изогнутой поверхности пластинки.
17

Направим ось Ох по оси симметрии пластинки и параллельно оси
вырежем элементарную полоску шириной dy (рис. 3).
Упругая линия w (х, у) аппроксимируется одной функцией
поперечного распределения Х(х), удовлетворяющей граничным условиям
при х = 0 и х = а (1.14'), и искомой
функцией Y (у):
Ъ сч|
Ъ eg
i
/л п
% ч
+
I
т
а, = Х(х)К(у) = ^=^К(^).
X
> ж//жтттш
I U / ti
Рис. 3
(а)
За функции поперечного
распределения X; (#) при « > 1 можно
принимать фундаментальные функции
поперечных колебаний балки,
которые являются линейно
независимыми.
Вариационное уравнение
равновесия согласно формуле (1.21)
получится из соотношения
M£+2*fc+£-*)*wd*-°-
(б)
Подставив в уравнение (б) значения w и X (х) из формулы (а) и
проведя необходимые вычисления, получим дифференциальное уравнение
четвертого порядка с постоянными коэффициентами относительно
функции Y (у):
AYIV + 2BY" + CY — 0 = 0, (в)
где А = Г Кг dx = ± f ° х' (а—хУ dx = а/630,
В = С" Х"Х их = ^8 С" 2 (а*—6ах + 6л:2) л;8 (а—*)2 d*=—2/(1 Оба),
C = ^X'vXd* = gjV(a-*-)'d*=4/(5a»),
G = ± £ дХ dx = -fa £ ж* (а - xf dx - <?a/(30D).
Вводим безразмерную координату ri=t//a; в этом случае уравнение (в)
примет вид
Ylv + 2riY" + stY=^-G>
где г2 = еаа/Л= —12, ь' = Са*1А =504.
Общий интеграл уравнения (г)
К = С,Ф, + Cfi>i + СаФ, + С4Ф4 + Y,
(г)
(Д)
где Ф,-—частные интегралы однородного уравнения, зависящие от
вида корней характеристического уравнения /г4 + 2raA2 -f- s4 = 0; Q —
18

произвольные постоянные; У—любой частный интеграл
неоднородного уравнения (г).
При s>r все четыре значения k являются комплексными:
*=±a±Pi\ (е)
где a = l/V-r*)/2, Р = K(s2 + /-2)/2.
Решение уравнения (д) можно записать в виде
У = Сх ch arj cos ($т| + С2 sh ai] sin Pi] +
+ C3 ch ar] sin рт] + C4 sh ar] cos Pri + qaV(24D). (ж)
Ввиду симметрии прогиба относительно оси Ох С3 = С4 = 0 и
решение (ж) примет вид
У = Сг ch ar] cos рл + С2 sh ач\ sin prj + qaA/(2W).
Согласно формулам (е) a = 4,150, р = 2,286.
Произвольные постоянные Сд и С2 находят из условий: при т] =
= ±V2 У = У' = 0, откуда
d = —0,02093 qa4/D, С, = — 0,001834 qa*/D9
и поверхность прогиба
w (а:, у) = — qx% {а~х)2 (0,02093 ch ат| cos pr| +
+ 0,001834 shar] sin pri—0,0416).
1.4. Прямоугольная пластинка (axb), шарнирно опертая по
контуру, находится под действием сосредоточенной силы Д
приложенной в центре пластинки. Пользуясь методом Рэлея или Ритца —
Тимошенко, найти прогиб под силой.
Расположив начало координат в вершине прямоугольника, можно
задать уравнение упругой поверхности в виде тригонометрического
полинома (1.13'):
п
wn = 2 atsm (inx/a) sin (iny/b), (a)
каждый член которого удовлетворяет краевым условиям:
при х = 0, а ш = 0, Мх = — D(d2w/dx2 + vd2w/dy2) = 0,
ПРИ 0 = 0, Ь oi = 0, Му=* — D(d2w/dy2 + vd2w/dx2) = 0,
(б)
или, принимая во внимание, что если по краю х = const (у = const),
Функция ш = 0, а следовательно, и все ее производные по другому
аргументу -у (х) будут равны нулю, условия (б) можно записать
в оолее простой форме:
при х = 0, a w = 0, d2w/dx2 = 0,
при у = 0,6 w = 0, d2w/dg2 = 0.
19

Зададим уравнение упругой поверхности в виде одного члена
ряда (а) (метод Рэлея):
w&wt*= а1 sin (пх/а) sin (ny/b). (в)
Вычислим полную потенциальную энергию пластинки; для этого
выражение (в) подставим в формулу (1.27):
Э = ^аЬ(^ + -^уа\-Ра^
Взяв производную из этого выражения по параметру at и
приравняв ее нулю (1.6), получим алгебраическое уравнение для
определения ах\
дЭ пЮ
откуда
^ = ^&(^ + ^)\-/>=о,
max w = a1=^ 4a?b*P/[n*D (а2 + b2)2].
Точность решения можно повысить, если принять уравнение
поверхности, зависящей от нескольких параметров выражения (а), т. е.
применить метод Ритца —Тимошенко.
Щ Решить подобную задачу для защемленной по контуру пластинки.
Указание. Задать уравнение изогнутой поверхности из членов
вида косинусов-биномов:
W
= fl0(l-COS^)(l-COS^),
или с учетом также второго члена:
аг [cos (пх/а) — cos (Зпх/а)] [cos (ny/b) — cos (Злу/b)].
1.5*. Используя метод Бубнова —Галеркина, получить уравнения
метода перемещений для системы, состоящей из прямых стержней.
Уравнение равновесия прямого бруса имеет вид
(EJ.y")" = q.
Согласно уравнению (1.13") представим кривую прогибов в виде
конечного разложения
п
У~Уп=% в/Ф*(*). (а)
1=1
Для определения искомых функций <р,- (х) запишем вариационное
уравнение (1.17) в форме
^(EJyT^dx-^q^dx. (б)
* Задачи 1.5 и 1.6 составлены по материалам доклада В. 3. Власова на
кафедре строительном механики МИСИ от 21/ХП 1956 г. на тему:
«Вариационные методы в строительной механике».
20

Применяя к левой части уравнения (б) дважды интегрирование по
частям, можно его представить в виде
(EJy")' Ф* \2~ EJy\'m \ХХ[ + $ * EJy"y'm dx^ll] qym dx.
Согласно известным формулам
EJy* = -M% (W)' = -Q.
а поэтому неинтегральные члены представляют собой работу краевых
поперечных сил и моментов, приложенных в сечениях х = х1 их = х2,
которую причислим к суммарной работе внешней нагрузки. В
последнем случае уравнение (б) примет вид
ll[EJyVmux + Tmq = Q, m=l,2, ...,/г, (в)
где Tmq = Му'т \хх[ - Qcpm \хх\ - \хх\ qym Ах
-г- работа внешних сил.
Подставляя значение (а) в уравнение (в) и принимая во внимание
соотношения
q>; = — MJ(EJ) при a„=l и q>f = — MJ(EJ) при a,= l,
можно вариационное уравнение (в) представить в окончательном
виде
п
£a.p^d* + 7^0, m=l,2, ...,п. (г)
Трактуя параметры а{ как сосредоточенные деформаций (углы
поворота узлов и их линейные смещения), а Af, и Мт как эпюры
моментов в статически неопределимой основной системе, состоящей
из прямых стержней с п введенными связями (подвижные заделки
и стерженьки) от единичных перемещений этих связей, получаем п
уравнений метода перемещений (г).
Й Используя метод Бубнова —Галеркина, получить уравнения
устойчивости стержневой системы в форме метода перемещений.
Указание. При выводе использовать уравнение устойчивости
прямого бруса в форме (3.147):
(EJy")" + P.y" = 0.
Ответ. Уравнения устойчивости имеют вид:
(ra - P*sn) ai + (rii - p«sia) fli + • • • + ('in - Р*Чп) an = 0.
(''ni-/>.snl)ai + (/-„l-/J«sn2)a2+ ... +(r„n-P,snn)ar = 0,
где
n.=Zt)Xl~ET- • '•""&.)*> EJ
21

1.6. Применяя принцип Кастильяно, получить уравнения метода
сил для системы, состоящей из прямых стержней.
Уравнение полной потенциальной энергии изгиба для прямого
бруса, нагруженного распределенной нагрузкой q и сосредоточенными
силами Рь имеет вид (1.3):
9=§qydx—j§M*dx/(EJ),
где
M = Mq + MlPi + M2P2+...+MnPnJ (а)
откуда при неизменной нагрузке q получим
'МдМ:
аз = 6Л = -$"^(!* = 0, /=1,2,
., п.
Принимая во внимание соотношение (а) и учитывая, что 6M( = Mt9
получим
Принимая силы Pk = Xk и считая ХА неизвестными реакциями
разрезанных связей, получаем уравнения метода сил:
б1]Х1 + б12Х2+...+Д1, = 0,
SnlX, + 8n2X2+...+Anq = 0t
где _
1.7. На основании принципа Гамильтона вывести уравнение
поперечных колебаний (без учета растяжения оси) тонкого кругового
(р = а) однородного упругого стержня постоянного поперечного
сечения (3.154).
Приняв во внимание условие нерастяжимости оси стержня (3.149)
иг = ^р- или их = ^р- (рис. 4) и учтя лишь энергию изгиба,
получим:
*-тГЛ(3?)'+(&)>*■
где
22
т=УА>М^{^ + ^-) [см. (3.152)].

При наличии внешних сил
в общем выражении для Э
должна быть учтена их работа
На основании принципа
Гамильтона (1.10):
m / д2цф \ 2 £/ / азаф
"t" 2 ^дфдт/ 2а4 V дф3 +
+£)'] «•»}*-<>.
откуда соответствующее уравнение Эйлера —Лагранжа (1.9),
ченное Ламбом (1888), будет иметь вид
a% 9 а4цФ а2аф , та4 а2 /а2«Ф \ .
аФ6 "^ аФ4 "^ аФ2 "^ТГa^V"^ иф^=и. (а)
Решение уравнения (а) приведено в гл. 3, задача 3.5.
1.8. Приближенно проинтегрировать уравнения пологой
прямоугольной в плане (axb) оболочки двойной кривизны (klt &2),
нагруженной нормальной нагрузкой Z и имеющей по краям х = 0, а и
у = 0, b произвольные закрепления.
Согласно уравнениям (6.94), (6.102), (6.103) и (6.104) полная
система двух совместных дифференциальных уравнений относительно
основных искомых функций ф = ф(лг, у) и w = w(x,y) для данной
задачи имеет вид:
полу-
DW- + *. £ + *.$.
где
Z,
v2..
(а)
а2..
а*2 г а#2 *
На основании общего принципа возможной работы будем искать
решение этих уравнений в таком виде:
<p(x,y) = AU (х) V(y)9 w (х, у) = ВХ (х) Y (у). (б)
Здесь Л и В —постоянные коэффициенты, подлежащие определению;
U (*)♦ V (У) — функции, зависящие каждая только от одного
переменного, указанного в скобках, и выбираемые заранее так, чтобы
удовлетворялись заданные относительно функции напряжений ф
граничные условия с учетом того, что
Nx = d\/dy\ Ny = d\/dx\ S = — d*q>/dxdy\
Х(х), Y (у) — функции, зависящие также только от одного
переменного и выбираемого заранее так, чтобы удовлетворялись граничные
23

условия, заданные на краях прямоугольного контура относительно
функции перемещений w.
За функции 0(х)у Х(х) могут быть приняты балочные фунда-
соответствующие основному тону колебаний
и удовлетворяющие дифференциальным урав-
ментальные функции,
однопролетной балки
нениям
а* а*
(В)
Постоянные интегрирования и параметр Xt первого уравнения
находят из краевых условий, заданных относительно функции
напряжений ф на краях # = 0, а. Постоянные интегрирования и
параметр Х2 второго уравнения (в) находят из краевых условий,
заданных на краях х = 0, а относительно другой искомой функции w.
Аналогично для функций V (у)> Y (у) могут быть выбраны балочные
фундаментальные функции, удовлетворяющие дифференциальным
уравнениям
Kiv_ai/ = o, Y™-^Y = 0.
ь*
(г)
Постоянные интегрирования и параметр ^ первого уравнения
определяют, как и в теории поперечных колебаний балки, из
краевых условий, заданных
относительно функции напряжений ф на
краях у = 0, Ь. Постоянные
интегрирования и параметр \х2 другого
уравнения (г) находят из краевых
условий на краях у = 0, b относительно
функции w.
Подставив значения (б) в
уравнения (а), помножив в соответствии
с физическим смыслом этих
уравнений и принципом возможной работы
первое уравнение (а) на X (х)
Y(y)dxdy, а второе —на V(х)
V(y)dxdy и взяв определенные
двухкратные интегралы по всей
области прямоугольного плана axb, получим систему двух
алгебраических линейных уравнений относительно величин А и В.
За функции Х(х), Y (у), U(x)yV(y) также могут быть приняты
функции для прогибов однопролетных балок, имеющих длины а и Ъ.
Приведенное решение с успехом использовалось В. 3. Власовым.
1.9*. Симметричная трапециевидная пластинка, жестко
заделанная по непараллельным краям, нагружена равномерно
распределенной нагрузкой интенсивностью q, параллельные края имеют произ-
Рис. б
* Задача взята из статьи Н. К. Дьяченко-Двина «Поперечный изгиб трапе*
циевидной пластинки, у которой две стороны жестко закреплены». — Тр./УДН*
л. IX, вып. 2, 1965.
24

вольное закрепление (рис. 5). Пользуясь методом Власова —
Канторовича, найти уравнение изогнутой поверхности пластинки.
Дифференциальное уравнение изгиба пластинки имеет вид
V2V2H*> У) = Ч(х, y)/D.
Решение поставленной задачи ищем в форме ряда,
аппроксимирующего поверхность прогибов:
w{x,y)= 2 Хя(х,у)Уя{у), (а)
т=0
где Хт (х, у) — система функций-поперечного распределения
(аппроксимирующих функций), удовлетворяющая граничным условиям на
продольных краях,
x=±±-(b + ky), fe = 2tgp,
где Ъ — длина короткого основания;
r = b + ky.
X (х и) = 0 дХт (*' ц) = дХт (*' ^ дх 1 дХт (*' ^ ду = О'
т\ ^ У) » $п дх дп* ду дп *
Ym (у) — искомые функции одного переменного.
За функции поперечного распределения примем функции в виде
косинусов-биномов:
Хт (х, у) = cos *2«_ cos ЩПла. (б)
Вариационные уравнения равновесия согласно формуле (1.21)
имеют вид
г
Г Т fd*w , 0 d*w , d*w q \ v / ч л г\ , \
\ ^Ы+2ш?+^~^)Хт{х'у)йх==0' (в)
2
т=;0, 1,2, ..., п.
Подставив в уравнения (а) значения w и Хт (х, у) из формул (а)
и (б) и проведя необходимые вычисления, получим систему п
дифференциальных уравнений четвертого порядка эйлеровского типа с п
неизвестными функциями Ym(y). Ограничившись одним членом
разложения (а) при /п=^0, т. е. полагая Х0(х, у) = Х(ху у) =
=5 1 —cos (2ял:/г), Y0 (y) = Y (у), и произведя необходимые вычисления,
получим уравнение типа уравнения Эйлера:
ar'Y^ (y)+cr'Yf^ (y) + dr'Y"(y) + erYf (y)+fY (у) =^г\ (г)
где
а = 3/2, с = ЗА, d = — 4я2 + 7§ *2 — 73 я2£2, е = 4я2& + я2£3 — 3/2k3,
, / =; — 2л2£2- Vfl"2A4 + 3/4£4 + 8я4 + */,я4Ая + л4&7Ю.
25

Полагая в уравнении (г) угловой коэффициент k/2 = tgP = 0,0408,
т. е. к = 0,0816, получаем а =1,5, с = 0,245, d = — 39,357, е = 3,229,
/ = 779,735, и уравнение (г) с помощью подстановки r = ef (t = \nr)
приводится к виду
0,666- 104KIV (0-0,2662- 10-П"" (0-262- 10-*Y" (/) +
+ 5263,671 • 10"4Г (0 + 779,73477 (*) = qe^/D. (д)
Корни характеристического уравнения
ni% 2 = ~ 50>95 ± 26>75'*> >Ч < = 52,93 ± 26,75/,
откуда общее решение уравнения (д) имеет вид
Y (0 = *г 5°>9*' (Q cos 26,75/ + С2 sin 26,75/) + еЬ2>ш (С, cos 26,75/ +
+ С4 sin 26,75/) + ?e4'/777,66D,
где С/—действительные произвольные постоянные, которые
определяют из краевых условий по сторонам у = 0, /.
Возвращаясь к старым
переменным, можно написать
окончательное выражение прогиба:
w(xy у) =
= (l—COS-^p^-') L-50,95 In (& + /<;/> х
x (Cx cos ф + Ca sin ф) +
_f_e52,93 In (b+ку) (Q СОЭф +
где ф = 26,75 In (6+ &*/).
1.10*. Применяя метод Бубнова — Галеркина, найти первую и
вторую частоты продольных колебаний консольного бруса, площадь
поперечного сечения А (г) и масса на единицу длины т (г) которого
изменяются по линейному закону:
A(z) = A0(\+z/l)y m(z) = m0(l+z//),
где Л 0 и т0 — площадь сечения и масса на единицу длины при z = 0.
Ширина консоли равна 1 м (рис. 6).
0
а
Z
I- t
I
1Zl"
р
V/,
Рис. 6
Согласно уравнению (3.159) для бруса переменного сечения
продольные колебания определяются уравнением
{EAw')'+nw*w=*0, (а)
где дифференцирование ведется по координате г; m = yA/g\ со—
частота продольных колебаний.
Приближенное решение уравнения (а) задаем в форме
w2 = а, (1 - г2//2) +а2 (1 -г3//3). (б)
W '.
* Бабаков И. М. Теории колебаний. М., Наука, 1968, с. 317.
26

= 0.
(в)
Легко видеть, что форма (б) удовлетворяет всем краевым условиям
задачи, так как ш(/) = 0, w'(0) = N ф)/(ЕА) = 0.
Уравнение частот по методу Бубнова—Галеркина (1.17) имеет
вид
l0[(EAwn)'+moiiwn]wi(z)dz = 0, i=\, 2.
Полагая 7\, = $ 0 mwkw^z, Wkl = $[ (EAw'k)' wfiz, получаем
уравнение частот для продольных колебаний стержня:
IT^ + W^ Tti^ + W2i
Для нашего случая:
7\i = /"o К 0 +z/0 (\-гЧ1*)Чг = 7т0//10,
'--«.Г.[('+т)('-!!)Т('-?)^—^
Тп = /"о S'o 0 + */0 0 -г2//2) (1 -z*Jl>) dz = 163 mJ/210,
**-"•£ [О+т) ('-?)']' 0-5) <*~^.
7й = «. J', О + г/0 (1 —г3//3)2 d2 = 243 mo//280,
r«-£<[(l + *)(l-$)']'(.-;)d,_-4»A.
Уравнение частот (в) будет иметь вид
0,7|-2,3 ^£-2,7
163. 9? 243. о «
2Т0^ ' 9япь — <э,<э
210'
243,
280*
= 0,
(г)
где | = со3т0/2/(£Л0). Корни уравнения (г) равны ^ = 3,2185
£2 = 25,334 и, следовательно, ' '
% = (1,794//)/£Л^, (о,= (^)1/£Л^.
Подставив значения lt и £§ в одно из уравнений:
(гоg—3")а' + (йб ^—та)а-=°>
/1631 27\ , /243. 33\ п
(ш^-то) ai+ v,2SoE—та;а2==0'
найдем приближенное выражение для форм колебаний. Так для
первой формы при |j = 3,2185 из уравнения (б) получим
Щ = ах (0,6—г2//2 + 0,4г3//3).
27

Глава 2
РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ ГИБКОЙ НИТИ
I. ПРИНЯТЫЕ РАБОЧИЕ ГИПОТЕЗЫ
Предполагается, что в поперечном сечении нити возникают лишь
нормальные напряжения, равномерно распределенные по площади
сечения, и, таким образом, из внутренних сил остается лишь
нормальная сила N. Поперечное сечение мало и при деформации не
меняется, отсюда следует, что для любой точки сечения упругой нити
радиус-вектор г является постоянным и все производные по г равны
нулю, а следовательно, и ог = Еег = Е -£ = 0, т. е. отсутствует
давление продольных волокон друг на друга. Особенностью расчета
гибкой нити является то, что ее начальная форма зависит от
характера нагрузки и первоначальной длины, поэтому, приняв начальное
состояние как для нерастяжимой ниш, далее можно вести расчет
по деформированному состоянию для упругой нити. Так, при
расчете на собственный вес начальное состояние можно определить по
заданной длине и малой доле собственного веса, а потом рассчитать
нить как упругую на оставшуюся большую часть собственного веса.
П. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИ СТАТИЧЕСКОМ
ДЕЙСТВИИ НАГРУЗКИ
1. Естественные координаты
Наиболее простые уравнения получаются в системе естественных
координат, при которых
р = р(ф), s=*$*pdq>, (2.1)
где р—радиус кривизны; s—длина нити; ф—угол отсчета.
Как видно будет из дальнейшего, применение естественных
координат приводит к хорошим результатам в исследовании кривых
стержней и оболочек.
Согласно рис. 7 уравнения равновесия элемента гибкой
нерастяжимой нити для состояния равновесия (уравнения Кирхгофа) имеют
вид:
2> = 0, ЛМф — Rds = 0,
2^ = 0, dN—Bds = 0
или с учетом уравнения (2.1)
N — Rp = 0, dN/dy—Bp = Q. (2.2)
Из уравнений (2.2) получим
W-«p.p-.ep[_£!(«_e)i,]. ,2.3)
где а—произвольная постоянная.
28

При расчете на произвольную нагрузку (/?, В) за начальное
положение следует принять провисание нити от собственного веса р = уА
(или части его, см. п. Г). В этом случае (см. рис. 7 и 8)
R = pcos(p, B = psmy (2.4)
и согласно уравнениям (2.3)
Np = pa/cos ф, (2.5)
р = a/cos2 ф. (2.6)
Рис. 7 Рис. 8
где Яр—горизонтальная составляющая натяжения Np или
натяжение в низшей точке — распор.
Если к начальному состоянию ab гибкой нерастяжимой нити (2.6)
приложить произвольную нагрузку R = R(y) и В = В(ц) и считать
нить упругой, то согласно рис. 8 уравнения равновесия для
деформированного состояния а1Ь1 будут иметь вид [79]:
Nd^ — Rds^O, dN — Bds^Q*, (2.8)
где длина дуги после деформации a1bi равна
ds1 = р^ф! = pxd (ф + Дф) = рх (с!ф — с1егф),
или
ds1 = ds + Ads = (l +^)ds= р(1 + еф^ф.
* В величины R и В включается также нагрузка начального состояния.
29

Приведенные выражения тождественно равны.
Согласно рис. 8^/0^= ^ock или 180 — с1(ф + Лф) — (егф + с1еЛФ) =*
= 180—dcp—егФ, откуда с1Лф = — der4>.
Деформации егф и еф • определяем по формулам теории упругости
для полярных координат, см. [77, с. 106, формулы (6.2)]. Согласно
этим формулам
dur с 1 ( dur \
*-Н"г+т?)- (2-9)
(1Аф = —derq) = —d f-J- (^— иф)] ,
, (}Цф
<ь, p(l+«.) . <"t"'+M
Уравнения (2.8) можно представить в следующем виде:
где
d/V =d^ dtp = dN 1
с!ф! "~ dy dф1 ~~ d9 1 , dA9 * (^-1 ^)
Согласно закону Гука
N
откуда
Л'-Л',+ Т("' + Т?)- <213>
Подставив (2.10), (2.12) и (2.13) в уравнения (2.11), получим
окончательные расчетные уравнения относительно неизвестных
деформаций еф и егф:
л/ 4-£Ле р Р(*+*ф) 0
1 — dercp/d(p
_ /Л/ _l_ F4* ^_
lL(Np + EAeJ-Bp(l + ev) = 0. (2.14)
Определив из уравнений (2.14) деформации, находят из
уравнений (2.9) перемещения и по уравнению (2.13) — внутренние усилия
N. Четыре произвольные постоянные, полученные интегрированием
уравнений (2.14) и (2.9), определяют из условий закрепления нити.
Особенность уравнений (2.14) состоит в том, что второе
уравнение является линейным: благодаря соотношениям (2.10) и (2.12) сок-
* Как уже указывалось выше, er = dur/dr = 0.
30

ращается член 1 + с1АФ/с1ф = 1 — с1егф/с!ф. Последнее обстоятельство
дает возможность проинтегрировать их последовательно, начиная
со второго уравнения (2.14), см. задачу 2.5.
2. Прямоугольные координаты
Согласно рис. 9 уравнения равновесия элемента ab = ds гибкой
нерастяжимой нити для состояния равновесия от действия
собственного веса р имеют вид:
2* = 0: Np cos а— (Np + dNp) cos (а + da) = 0;
2^ = 0: (Np + dNp)sm(a + ua) — Npsma-pds = 0.
Из первого уравнения
-d (Np cos a) = _d (tf, J) = -AH = 0,
Az(ovb2)
Kt=(x+d<x
Рис. 9
Рис. 10
т. е. горизонтальная проекция Н натяжения нити есть величина
постоянная. Первое уравнение удовлетворяется тождественно, а второе
принимает вид
H(y' + dy')-Hy'-pds = Q,
или
tidy' = pds = p Vl + (y')2dx. (2.15)
Уравнение (2.15) интегрируется в замкнутом виде. Представим его
в виде
(2.7)
(2.16)
dy7Kl + (0')" = £, где а = Н/р, см.
Последнее уравнение имеет интеграл
eb+V^y' + yi + iy')*,
где Сх — произвольная постоянная.
31

Из уравнения (2.16) получаем
х+сг j
Вычитая последнее выражение из уравнения (2.16)
/ х + Сх х+СЛ
y' = Y[e « -е~ а )
и интегрируя, находим
( X+Ci *+сЛ
У + С% = ±\е а -е а ),
(2.17)
X
а
а
соэ2ф '
(2.18)
(2.19)
т. е. уравнение цепной линии.
Приняв оси координат параллельно предыдущим с началом в
точке (—ci% —£2), получим С1 = С2 = 0, и уравнение кривой примет
вид (рис. 10):
у = ± (ех/а + е-х/а) ^adi-j.
Согласно рис. 10
[l + (dy/dx)*]*P^ [l+sh(*/fl)]3/«
dx2 а а
СМ. (2.6).
Согласно формуле (2.1)
ф
s= j pdcp^a tg(p=*ash — . (2.20)
о
Исключив из уравнений (2.19) и (2.20) гиперболические функции,
найдем
p = (s* + a2)/a. (2.21)
Из уравнений (2.18) и (2.20) следует, что
y2 = s2 + a2.
Если принять начало координат «0» в низшей точке нити, то
согласно уравнению (2.17) Ct = 0, С2 = а и вместо уравнения (2.18)
получим
y = a[ch(x/a)—l]. (2.22)
При вертикальной нагрузке q, равномерно распределенной по
горизонтальной проекции нити, вместо уравнения (2.15) получим
Н&у' = —qdx, что после интегрирования приводит к уравнению
параболы с вертикальной осью:
у = -[д/(2Н)]^ + Сгх + Сй.
32

Расположив оси, как показано
на рис. 11, получим Ct = qll2H,
С2 = О и окончательно с учетом ус- # А
ловия равновесия всей нити:
4/
8/ '
(2.23)
Рис. 11
при а: = 0 и л:= /.
Длина дуги параболы от вершины О до точек А(
где /г = ///.
При произвольной нагрузке qx = qx(s) и qy = qy(s) удобно
пользоваться уравнениями равновесия элемента a& = ds гибкой
нерастяжимой нити в форме (см. рис. 9)
(2.24)
еЮ+о.-о. £(*£)-«.-<>■
при условии
(2.25)
(2.26)
(2.27)
(dx/ds)a + (d#/ds)2=l.
Проинтегрируем уравнения (2.25)
где С£ — произвольные постоянные;
4>i (s) = —Ss0 ?*ds> *« (s) = $1, ^ds'
Возведя уравнения (2.27) в квадрат, сложив их и приняв во
внимание соотношение (2.26), получим
^ = \bh (s) + CJ2 + [ф, (s) + С,]2}1/2• (2.28)
Координаты кривой провисания нити определяют, интегрируя
уравнения (2.27):
№i(s)+Ci1ds
So {[% (*) + Cl]2 + № (s)+C2]2}l/2 + C,
[\|72(s) + C2]ds , r
(2.29)
Произвольные постоянные находят из условий закрепления нити
в точках AL и Лд (см. рис. 11). Так, например, если принять на-
*Нетрудно заметить, что уравнения (2.25) аналогичны уравнениям (2.15) при
qx = 0, т. е. постоянном Н\ d{Hy') —qyds = Q.
2 jyfr 1G51 33

чало координат в точке А1У то эти условия будут иметь вид:
где L — заданная длина нити [71].
Для пологих нитей, т. е. нитей, у которых отношение /:/^ If
(рис. 11), вводят ряд допущений:
cosa^l, sin а « а ^ tg а = dy/dx,
и, как следствие, jVmax ■« Н [43].
В последнем случае уравнения (2.25) принимают вид:
d#
dx
-».i(*,i)-p-«-
(2.251
При расчете гибкой растяжимой (упругой) нити на произволь
ную нагрузку qx = qx(s) и qy = qy(s) по деформированному состоя
N+dN
9
«/*
Ux+dUtb,
\ш
dx+dUx
dx ), dSrds+Ads
Рис. 12
нию вместо уравнений (2.25) и (2.26) надо составить
уравнения равновесия элемента alb1 = ds в деформированном состоянии
Э (рис. 12, а).
Согласно рис. 12, б
й(х+их) . й(у+иу)
C0ST)=-T^-> sinr! = —ST"•
По известным формулам тригонометрии
cos (г| + с1т|) = cos г] — sin г] drj, sin (rj + drj) = sin r\ + cos r\ dx\.
Составив уравнения равновесия элемента axblt получим:
2X = 0: —Л/cos n + (Л/ + dN) (cosт| — sinr\dv\) + qxds = 0,
или — A/sinr]dii + dA/cosri + ^ds = 0,
34

откуда gj['v ds, J
VV=0: — Л^ sin T] + (iV + d^) (sinri +costi dri) — (p + ^)ds = 0,
^ (2.31)
JV cos r\dr) + dN sin t] — (p + qy) ds = 0,
при условии
р_щ]Чрмр,]' = 1. (2.32)
Интегрируя уравнения (2.31), получаем:
где
^i(^)=i|)i(s)+C]i ^1^=гМ5)+с,( (2.33)
*i(s) = -S^*ds« ^(s) = S!> + ^ds- (2-34)
Возведя уравнения (2.33) в квадрат, сложив их и приняв во
внимание соотношение (2.32), получим
^ = {[l'i(s)+Ctp + [1J)2(s) + Csp}1/2. (2.35)
Перемещения определяют из уравнений
где
*i (s) = № (s) + CJ//V; Y2 (s) = (^ (s) + Q/ЛЛ
Из условий упругости
Д ds = <?, ds = [(N - NP)/{EF)] ds. (2.37)
Интегрируя уравнения (2.36), получаем:
ux = -x + lssV,(s).(\+e8)ds + C9,
wy = — f/+ Slo ^2 (5) (1 +0 ds + C4. (2.38)
При выводе уравнений пологой гибкой нити можно считать
ачальное положение элемента аЪ горизонтальным, т. е. а = 0
^см- Рис. 12). В этом случае
ds = dx, ds, = V( 1 + dujdx)2 + (ди^/дх)2 dx\
x ' dsi V(\+duJdx)* + (duy/dx)*'
du.. dun/dx
sini1 = HZ-
2, dSl У(1+дих{д~х)"- + [диуГдх)*
35

и уравнения (2.31) принимают вид:
dx
^d (* + "*).
ds1
d_
dx
K-]-«.-°
+ <7* = o,
(2-3 h
при условии
№]'+[£]■-'• 0.8*,
и интегрируются, как показано выше, см. уравнения (2.33) — (2.38)5
III. КОЛЕБАНИЯ ГИБКИХ НИТЕЙ
Ниже рассматриваются только свободные колебания с учетом
растяжимости нити. За равновесное состояние нити принимают ее
положение от действия собственного веса, как гибкой нерастя*
жимой нити [уравнения (2.5) и (2.6)].
1. Естественные координаты
Для случая колебаний уравнения Кирхгофа (2.11) примут вид:
±av+/ р£Ч\ (2-39)
где N — натяжение нити при колебаниях R = pcosq>, В = —ps'my.
Выразим деформации по формулам (2.9):
откуда
N-Np = EAe, = *£(u,+%s),
N = Np + EAe, = Np + ^(ur+d!£), (2.40)
где [см. (2.5) и (2.6)] Nр = pa/cos ср, р = a/cos2 ср.
Приняв во внимание формулы (2.10) и (2.40), приведем
уравнения (2.39) к системе двух нелинейных уравнений вида:
(tf,+ £^)(l_^)_p(*_|^) (1+^-0,
^(Np + EAe9) + P(B-j%*)(l+e,) = 0
[ср. с уравнениями (2.14)].
* При начальном горизонтальном положении элемента аЬ (см. рис. 12)
надо принять р = 0, чтобы удовлетворить условиям равновесия в начальном
положении.
36

Из полученных уравнений вычтем уравнения равновесного
состояния (2.2):
(2.41)
np-*p = v> -щг+вр = ъ
и пренебрежем малыми величинами егф и б?ф по сравнению с
единицей для начальных данных р, В, R\ тогда
Полученная система может быть представлена в форме:
-^-^^(1+^ = 0, (2.42)
где
u ~~gEA> *'ф~ as р ' ^~7~h"5T'
Системы (2.41) и (2.42) нелинейные.
Пренебрегая величиной деформаций и их производными по
сравнению с единицей, что равносильно условиям равенства рг«р
и 1 — дегф/дф =^ 1, систему уравнений (2.41) приводим к линейной
системе вида:
^ + |Р^-0; EA^-j^-0, (2.43)
где ЕАе<р—-дополнительное натяжение при колебаниях.
Полагая иг(ф, т) = иг (ф) cos сот и иф(ф, т) = иф(ф)созсот, где
со —частота свободных колебаний, рад/с, приводим систему (2.43)
к виду:
(EA-frfl+EA^-O, ЕА^ + ЕА^ + ^й^О,
или
(l_dV)«,+^-0; # + # + d%-0' (2-44)
где
йг = й>, p = p(s) = (s2 + a2)/a [см. (2.21)]; ds = pd<p
d" = A (2-45)
Из первого уравнения (2.44)
/1 J о _ 9Л — 1 .
ds
S, —<i-d«prli^- (246>
37

Подставляя значение иг во второе уравнение (2.44), получим
(2.47)
^ + fi(s)^+fAs)u, = 0,
(2.48)
Функции fi (s) и /2 (s) являются аналитическими и для
решения уравнения (2.47) можно применить метод степенных рядов,
полагая
о©
w<p(s)= ^An(s — с)п, или решение задачи 2.10.
я = 0
2. Прямоугольные координаты
Заменив в уравнениях (2.31) дополнительные нагрузки qx и qy
инерционными силами, получим:
д_
ds
д_
ds
N
N
д(х+их)
ds±
ds!
Р д2их
g дх
= 0,
^т-о-
(2.49)
Из соотношения (ds + Д ds)2 — (ds)2 = (dx + dux)2 + (dy + duy)2 —
(dx)2 — (dy)2, найдем
4*«(S&+3&)-",s
тогда третье уравнение (2.37) примет вид
N — Np dxdux AydUy
EA
ds ds ~ ds ds '
Из уравнения (2.51)
*-*,+«(*£,+S&)-
(2.50)
(2.51)
(2.52)
Подставив значение (2.52) в уравнения (2.49), получим систему
двух нелинейных уравнений:
±1\м , рЛ(Ахди* , *Удиу\]д(х+их)\ Н\_п
ds \\ "p^^^^ds ds "rds ds )\ dsx ) g дт2 '
ds | L p \ ds ds ' ds ds J J dst J g di2 ^
* Точным выражением A ds является

Вычитая из полученных уравнений уравнения начального
состояния (2.25) A^#^fU=() и ±(^Np^}=p и полагая для
величин начального состояния dx/ds1« dx/ds и dy/dst « d*//ds, получаем
ds
д_
ds
ds ds
P dst
NPdSl +hA\-ds-dJ + dS-dr)
y\d(x+ux)
ds ds J dsi
d(y+uv)
dst
P d2ux _ ft
g ax2 "^u»
g dx2 '
= 0.
(2.53)
От системы (2.53) можно перейти к линейной системе, если принять
dsj^ds и оставить только линейные члены:
L\м ^L4-FAfdx^-MdyduAdx] Рд2и*-п
ds\_iyP ds ^^^{ds ds ^ds ds Jds\~7!t^-U'
dsl^P ds 'rJZ/±\6s ds "*" ds ds /dsJ 7 dx2 -~u#
Полагая __
w*(s» т) = Mjp (s) cos ют и wy(s, т) = ау (s)coscdt, (2.55)
приводим- систему (2.54) к виду:
i{K+^(S)']#l+f"-+T,[(^5fl)^]-».
I[(^!!)тН +i{K+"(1)]%-\+рт".-°- <2-56>
При исследовании колебаний пологих нитей можно использовать
уравнения (2.31'), заменив нагрузки qx и qy силами инерции:
d_
dx
d_
dx
\jj d(x-\-ux)~\ p d2ux = q
dsj J g ax2
(2.57)
.!!£*-ы,+вл{/(х + %)-+$1)ш-1).
где ЛГ = ЛГЯ + £Л.
решение уравнений можно получить, раскладывая величины,
связанные с подкоренными выражениями, в ряды:
dsi — ds dux
ds
d*
+
2 V^'/ & \ ^ / 2 dx \ dx J
COST] ■
d(x+ux)
ds,
= (i + %)d-e,+ei+...);
(2.58)
0 этом случае уравнения (2.57) принимают вид:
dx
§-х[(Мр+ЕАг/^{1^ + г1+...)]-тд~^0, (2.59)
гДе m = p/g.
39

Полагая далее, что величина их(х, т) на порядок выше малой
величины uv (х, т), можно представить их разложениями через малый
параметр е (например, 1:1);
их (х, т) = е*и? (х, т) + е* uf (х, %)+...=* U? (х, т) + Uf (х, т) + ...,
и (Х, т) = euf (*, т) + e*uf (х, т) + ... = £/£> (х, т) + Uf (*, т) + ...
(2.60)
и, ограничиваясь величинами определенного порядка малости (2-го,
3-го и т. д.), получить последовательность рекуррентных
дифференциальных уравнений в частных производных *.
Можно воспользоваться также уравнениями (2.53), положив в них
ds = dx, d*/ds=l, dy/ds = 0, Ads = Adx = -^ dx,
dsj = dx + A dx = (1 + dujdx) dx.
В последнем случае уравнения (2.53) примут вид:
дх L р (1+дих/дх)дх ' d# J дхл *
д [\[ диУ 1 FA dUx dUy 1 т °2Uy -О Г26П
gj [1У/Р (\+dux/dx)dx ~^ПП дх (l+dux/dx)dxj т д%* ~~и' ^'Vl)
Применив разложение
1 1 дих . (диху (диху
1 + дих/дх дх ^У дх J \ дх ) "*" ' ' *'
представим уравнения (2.61) в виде:
<9 дм
дл: дл;
К['-т+(т)'----]+£Л}-'"&-0-
й{*['-^+(1г)*—•] (",+*<*&)}-<-&-<>■ (2-62)
Ng Для уравнений (2.62)
• можно применить указанный
выше метод решения.
Особенно простой
вид-система (2.54) принимает для
рис. 13 предварительно напряженной
прямолинейной гибкой нити-
струны (рис. 13). В этом случае Np = N0y. ds = dx, d*/ds=l,
dt//ds = 0, EA^>N0y и система (2.54) разбивается на два
уравнения—продольных (их) и поперечных (иу) колебаний:
д2и* Р д*их _ п д*иу Р_^У__с, /9Мч
дх* g(EA + N0) дт2 ~~w' дх2 gN0 дх2 ~^и' lz'M>
хорошо известных волновых уравнений колебаний струны [99].
* Ивович В. А. Вопросы динамики упругих систем с нелинейными
характеристиками.—Докт. дисс. ЦНИИСК, 1969.
40

Уравнения (2.63) имеют вид
а2д2и/дх2 = д2и/дх2,
где для случая продольных колебаний (их)
для случая поперечных колебаний (иу)
а = VWTp = VgNj(yA) - VNju
v
Ж
(2.64)
(2.65)
(2.66)
(здесь а имеет единицу —см/с).
Точные методы интегрирования уравнения (2.64) хорошо
разработаны в классических трудах Д'Аламбера, Бернулли, Эйлера и Лаг-
ранжа.
3. Приближенные методы исследования колебаний
Рэлей [99] рассматривал струну как систему с конечным числом
степеней свободы. Для этого струну разделяют на п частей, массы
которых располагают в
центре каждой части (рис.
14). Найдя аналитическое
решение для любого
числа делений, можно
предельным переходом (п —►
оо) получить результат,
соответствующий
непрерывной струне. Для
исследования системы с п массами удобно использовать уравнения Ла-
гранжа второго рода, которые имеют вид
дК , дП
Рис. 14
d / дК \
dA dqt )
dqi ^ dqt
-О,
(2.67)
где qi — обобщенная координата системы, 'q'i=*dq(/dx. Для системы,
представленной на рис. 14:
К =
м
(-£•)'+(■£)'+-+W+(i№ <268>
Nn
/7 = -SL[("2-"i)2 + (^-«2)2+... +(un+2-un+lYl (2.69)
где ut = ql — поперечные отклонения масс; М=* у
-массы
средних точек струны; Ь = —j-y — расстояние между массами.
Описанный метод может быть с успехом применен и к
исследованию колебаний гибких провисающих нитей (см. работы [129] и [80]).
В ряде случаев при исследовании вертикальных колебаний иу
полагают их=.0. При этом можно пользоваться уравнениями:
ч 41

для провисающих нитей
где
для струн
(2.70)
d2un
dx2
где № = p<>>V(gN0)\
для вертикально подвешенной нити
-?Л^ = 0, см. (2.64) и (2.66),
дх
(»£
Р® ~ л
-—«„ = 0,
(2.71)
(2.72)
где Nx = px измеряется в ньютонах (Н).
Решение уравнения (2.72) получается в бесселевых функциях [48].
ЗАДАЧИ
2.1. К струне пролетом 2/, имеющей начальное натяжение N0
и закрепленной в двух точках, приложена посредине сила Р.
Определить стрелу провеса струны / и окончательное
натяжение Nf (рис. 15).
Согласно рис. 15 sin ос = //|/"/2 + /а. Вырезав нижний узел и
составив сумму проекций сил на ось у, получим
P-2NfflVf*Tt* = Q. (а)
Удлинение каждой ветви струны
М=УЩТ2-1 = {М^Ы0)Ц{ЕА).
Работа внешних сил T = Pfy работа
\ внутренних сил
U = -2[NJU+±(Nf-N0)M] =
— (N, + N0)M.
Составив уравнение работ, получим второе уравнение для
определения Nf и /:
Pf - (Nf + N0) (Nf - N0) l/EA = 0. (6)
Решив совместно уравнение (а) и (б), найдем
f = (N}-Nl)l/(EAP),
a Nf определится из кубического уравнения
4Х3 - (8NI- Р*) X* + 2N20 (2NI + />2) X - Р2 (Щ + Р2£2Л2) = 0,
где X = Щ.
42

2.2. Определить натяжение каната длиной L=100m, который
должен перекрыть пролет / = 50 м. Вес единицы длины каната
/? = 200Н/м, разность точек подвеса Л = 20м (см. рис. 9).
Согласно рис. 9
\ a a J 2а
Sh
<*% + Ч
2а '
1 = а2 — а1У
L = jyi+(^2d^a(sh^-sh^) = 2ash^
ch
Q2+gj
2а ■
L2 —/i2 = 4a2sh2//(2a), так как ch2(p-sh2cp=l.
shl(2a) VL2—h2
//(2a)
Полагая
Из полученных соотношений следует, что
/ V~L2 h2
— = | и 1—j = с, получим (sh £)/£ = с.
Для данной задачи
^ = 1/бо1/Г1002-202= 1,96.
По таблицам гиперболических функций при (shg)/£=l,96 находим
6 =//(2а) = 2,15, откуда а = //(2-2,15) = 50/4,30= 11,62 м.
Согласно формуле (2.7) Я = а/?= 11,62-200 = 2320 Н.
2.3. Определить наибольший пролет для висячего металлического
моста (у85 кПа, [а] = 6-10* кПа).
Согласно рис. 16 и формул (2.23) y = 4fx2/l2y
N = qx\fl+[x/(2y)]\ ^max = (^//2)j/l+[//(4/)]2
при х = //2 и */ = /.
Наибольшая длина пролета
определится из соотношения
[а] А = iVmax- у А С/2) К1+л2/16,
(а)
где п = ///; Л —площадь
поперечного сечения кабеля.
Подставляем в соотношение
(а) цифровые данные и решаем
его относительно /: Рис 16
/ = 8Н/(7КТбТ^),
откуда при различных значениях п получим:
/г.., 6 8 10 12
/„
(м)
7800 6300 5200 4500
При учете веса проезжей части и полезной нагрузки вес кабеля
можно принять равным 1/3 значения означенных нагрузок (по при-
43

меру расчета висячего моста через Гудзон пролетом /=Ш67м,
/ = 99м, который рассчитывался при [а] = 57 700 = 577 МПа, весе
проезжей части 580 кН/м и диаметре кабеля й = 910мм и состоял
из 61 пряди по 434 проволоки 0 5 мм. Мост сооружался в период
1927—1932 гг.), в этом случае
указанные в таблице пролеты
надо умножить на 0,25.
2.4. Определить натяжения на
участках Am(Na) и Btn(Nb)
гибкой нерастяжимой и невесомой
нити длиной 2/ от сосредоточенного
груза Ру приложенного в точке т
(рис. 17).
Рис. 17
Согласно рис. 17
AB = 2d, АтВ = 21.
(а)
Применив к параллелограмму сил Р, Na и Nb теорему синусов
и учитывая соотношения (а), получим:
N*=w d~ir Vylt+{d+ХтГ+2Ут {d+Хт) cos 0:
Nb = ^d-^Vyl + (d-xar + 2ym(d-xm)cosQ.
Точка т при перемещении груза описывает эллипс (Ат + тВ—21),
заданный уравнением
(х + у cos О)2//2 + у2 sin2 9/(/2 — d2) = 1. (б)
При 9 = 90°
N.
2d ут
Vy2m + (d + xJ*;
и уравнение (б) принимает вид
x2/l2 + y2/{l2-d2) = \.
Длина нити
W-2d(l.+ 4£),
где / — стрела провеса нити в ненагруженном состоянии. В практике
для нити (кабеля) принимают n = 2d// = 20 — 30. В этом случае при
приложении груза в точке # = 0:
Wma* = 4,357P при n = 20; Wmax = 5,430/> при м = 25;
Wmax = 6,493P при л = 30.
2.5. Канат заданной длины L с жесткостью на растяжение ЕА
и весом р подвешен в точках А и В и перекрывает пролет / < L.
44

Определить наибольшее
натяжение каната от увеличения
собственного веса до q вследствие
обледенения (рис. 18).
cos2(p
d(p =
(а)
Согласно формуле (2.1)
= 2atg(pd.
Известно [5], что (D=l/2aL =
=a2 sh (//2a), откуда
a2 sh (//2a) = a2 tg ф&
и
tg<Pft = sh(//2a). (б)
Подставив выражение (б) в
формулу (а), получим
L = 2a sh (//2а) или (sh g)/g = /fe,
Рис. 18
где
Ъ = 1/2а, k = L/L
(в)
(г)
Из уравнения (в) определяют а, все геометрические величины и Np
в начальном состоянии:
/ = a[ch (//2a) — 1], р = a/cos2<р, tgyb = sh (//2a), Np = pa/cosy.
При возрастании нагрузки от p до ? согласно формулам (2.4)
R = q cosy, B = q sinq>.
Уравнения равновесия в деформированном состоянии (2.8)
запишем в виде:
N — qpi cos фд = 0, dN/d(p1 — qpt sin q>x =» 0. (д)
Интегрируя уравнения (д), получим:
рх = (151/с1ф1 = b/cos2 фх, N = Np + ЕАву = ?&/cos ф,-,
(е)
где ft —произвольная постоянная, связанная с натяжением; при cpt =0
N = qb.
На основании формул (2.10) и (2.12)
= p(l+g<p) _dN__dN_ 1_
1 — derq>/d(p ' с!ф! с!ф
1-
лф
(ж)
dip
Уравнения (2.14) принимают вид:
(Np + EAe^) (1 - der(p/dcp) - </p (1 + ev) cos ф1 = 0,
^ (JV, + EAev) - <?р (1 + ev) sin Фх = 0.
(з)
45

<L(-jL-)*2i 2|_SinVt = 0 или
pi \ cos фх J d(p cos2 ф Y1
Легко проверить, что если в уравнения (з) подставить значени^
pj и iV из формул (е), то они удовлетворяются тождественно. |
Принимая во внимание, что еф<^1, представим уравнения (з)
в более простой форме:
(Np + ЕАву) (1 — der(p/dcp) — qp cos q>t = О,
-^ (Np + EAe^) - qp sin cp, = 0. (и)
Представим второе уравнение (и) в форме:
d(p!
To^l1-^-)-^"^0' 0ТКУДа
d (ф—erq>) ^Ф_ = о
cos2((p — еГф) 6cos29
Интегрируя последнее уравнение, получим
е =arctg 0-д/Ц^Ф+с«
При ф = 0 £гф = 0, откуда С2 = 0 и, следовательно,
елр-arctg ctgy+7aa/6)tg9 • W
Подставляя значение (к) в первое уравнение (и), получим
1— а/Ь
е = *_
45 £Л cos2 ф
<7 совф — arctg
ctgy—(a/b) tgф
. , (1 — ajb) [(a/b) sec2 ф—csec2 ф]
+ lctg<p+(a/b)tgy)*-(\-a/b)*
(Л)
При ф = 0 p1 = by p = a (известная величина),
Приращение кривизны х=1/р1—1/р, откуда
Pi«p(l—хр). (м)
С другой стороны,
*—HtSH-*)' (и)
откуда Pl=p(l+^L + e^. (о)
Из формулы (о) при ф = 0 получим
Ь = а[1+(\- a/b) + (а/ЕА) {qb/a - р)], откуД*
ь=ш^)\-2ЕА-а(1^АЕАа^-р)+агр\- (п)
Эта формула является пределом выражения (л) при ф—► 0.
46

Таким образом, напряженное состояние полностью выявлено.
Для определения перемещений надо использовать уравнения (2.9),
на основании которых
иф = dur/dy — рег(р, иг = Ся cos ф + С4 sin ср + ип
где частное решение
Uf = )! [Р*ф +Ж (Р*^] sin(<P-") dw-
(Р)
(с)
<dy
^в
1 ТТЛ t^/nT
и
«*
%ГЙГ ?'
**<fX
Рис. 19
Интегралы формулы (с) в
замкнутом виде не берутся и
их надо получать численным
методом.
2.6. Канат заданной
длины L с жесткостью на
растяжение ЕА и весом р
подвешен в точках А и В на
одном уровне и перекрывает
пролет / < L. Рассчитать
канат на равномерно
распределенную по длине каната
горизонтальную ветровую
нагрузку qx и дополнительную вертикальную нагрузку qy (рис. 19).
При выбранном начале координат согласно уравнению (2.18)
начальное положение каната определяется формулой y = achx/a,
где а = Н/р определяют по формулам (в) и (г) задачи 2.5.
Стрела провеса / = a(ch//2а—1), начальное натяжение
Np = -^— = paVl + tg2(p = paVl +sh2x/a = pa ch x/a.
Для расчета применяем уравнения (2.31). Согласно формулам (2.34)
ЧЧ (5) = — S qx ds = — qxsy г|)2 (s) = $(/? + qv) ds = (p + qy) s,
натяжение в канате согласно формуле (2.35) равно
М = {(С±-qxsY + [С, + (р+ qv) s]2-}1/2 •
По формулам (2.36) определяют функции:
ш /s\ С1—Ях* —
lW {[(p+?x)2+^]s2 + 2[C2(p+?y)-C1?x]S+(C? + Cl)}1/a '
2 (' ~ ШР+ЯХ)>+Я1] *2 + 2 [С, (р + ?в)-С1?я] з + И+С2.)}1'4
(а)
Перемещения определяют по формулам (2.38) с учетом формулы
(2.37).Учитывая, что относительное удлинение es мало по сравнению
с единицей, определяем перемещения по приближенным формулам:
ux=,-x+ysW1(s)ds + C^ Uy^-y+^,(s)ds + C,. (б)
47

Подставляя в формулы (б) значения функций ^(s) из формул Ы
получаем:
-*+fs ci-«*s ds+c8,
J so VAs* + Bs+C ^ 8'
u„
.„+fs C2 + (p+qy)s ^
где
(в)
Л = (P + <7 J2 + Ql B = 2 [C2 (p + qy) - Crf J, С = С? + CI (г)
Значения интегралов формул (в) имеются в таблицах; их берут
в замкнутом виде [5].
Определив произвольные постоянные С( из краевых условий;
при х =±//2, y = a + f их = иу=*0, надо исследовать выражение
А = 4АС — В2 и убедиться в правильности взятия интегралов фор-
мул (в). При определении произвольных постоянных С( после взятия
интегралов следует s заменить на х по формуле (2.20).
2.7. Определить две низшие частоты собственных колебаний
закрепленной по концам струны длиной / с натяжением Af0,
постоянной площади А и объемным весом у.
Для расчета разобьем струну на три части с двумя (п) массами
(М) в пролете (рис. 20). В этом случае M = yAl/3gy b = l/3.
Для системы, представленной
на рис. 20, согласно формулам
(2.68) и (2.69):
К = (ЛГ/2) [(ди2/дт)2 + (ди3/дтУ1
П = [М,/(2Ь)][и1 + (и3-и2)^\-
+ul] = (Njb) (и\ - и2и3 + и\) ■
Уравнения движения (2.67) в
общем случае примут вид трех-
ь о ь о у о
I 1 1 Г
Рис. 20
членных уравнений:
М
d2U; , N
^(^-«и-и^-О.
(а)
dx2 "^ Ь
Предполагая, что рассматриваемые колебания нормального типа,
получим
и{ =Гщ cos (сот + е), d^/dx2 = — up2 cos (сот + е), (б)
где и( — коэффициент пропорциональности.
Подставив выражения (б) в уравнения (а) и сократив на cos (0т -!- е),
получим
Л/. — /ОЛЛ \ - а/ _
= 0.
^/7
2Л'о м 2\ - #о"
Для рассматриваемой системы с двумя массами уравнения (в)
принимают вид:
(Н^-л^-^-о, -£
и9
^_Мсо=}«8 = 0
48

(2-^^)»а-"з=о, -^(a-^s.-o.
(г)
Чтобы однородная система (г) допускала решения, отличные от
нуля, необходимо, чтобы детерминант этой системы (D) равнялся
нулю, что приводит к определяющему уравнению для квадрата
круговой частоты со2: v
D =
(Mb
ш2 —2
откуда
или
(£■>-»)
M2b2
4Mb
о^_ ш. + 3 = 0| (д)
tfj
*>i = [6/(2/)]Клут, со2 = [ 10,38/(2/)]^^,
(е)
(ж)
где m = yA/g.
Частоты колебаний
сох 0,956
f _ ш* _
2/
i/Oi f
со2
(3)
_ 1,653-./^о
2я 2/ г m *
Точные значения частот, полученные из решения волнового
уравнения (2.64) методом
тригонометрических рядов, имеют значе- х
ние
fi = [i/(2l)]VNj^y
1= 1, 2, 3 и т. д.
Характер колебаний при
различных частотах показан
штриховой линией на рис. 20.
2.8. См. [129] и [80].
Провести динамический расчет
каната, один конец которого за- Рис. 21
креплен, а другой натянут
противовесом через блок от мгновенной разгрузки бадьи в
середине пролета (рис. 21). Данные для расчета взяты из примера
статического расчета, помещенного в книге [39].
Данные для расчета:
Пролет крана / = 400м
Разность уровней подвеса Л 20 м
Собственный вес тележки <?0 = 10 кН
Вес тележки с грузом Q, = 40kH
Площадь сечения каната А= 13,75см2
Модуль упругости материала £ = 210ГПа
Коэффициент сечения 6 = 0,75
49

Вес противовеса Р0 = 400 кН
Собственный вес каната р=142Н/м
Прогиб при порожней тележке /0 = 8,24 м
Прогиб при нагруженной тележке ft= 16,80м
Рассмотрим задачу колебаний приведенной массы М = P/g,
подвешенной на невесомой нити, и массы M0 = P0/g, которая создает
натяжение нити. Для решения задачи удобно воспользоваться
дифференциальным уравнением движения материальной точки в
направлении оси у (уравнением Лагранжа первого рода) в форме
Му" = Жь (а)
где 7W — масса точки; z/" = d2r//dx2 — ускорение точки в направлении
оси у; YI — проекции сил, приложенных в точке, на ось у.
Приведение всей массы каната к середине (точка С) делаем
по методу Рэлея, пoлaгaяv что скорости движения точек каната
при колебаниях пропорциональны ординатам статической кривой
провеса каната от собственного веса р. Для упрощения расчета
статическую кривую провеса каната — цепную линию заменяем
квадратной параболой.
Обозначив через и перемещение точки С при колебаниях,
получим перемещение каната на расстоянии л: от опоры В ux = u4x(l — x)/l2.
Кинетическая энергия каната при ds « dx определяется выражением
is оГ//2 Р Г /4*(' — x)V л 8 / iu')2 i*\
и, следовательно, приведенный к середине вес каната Рпр = 8/15 /?/.
Точное значение потенциальной энергии получаем, рассматривая
колебания элемента pds, т. е. заменяя в формуле (б) dx на ds и
принимая
ds =
Ч-1Г
1/2 А
dx :
'+т(8)Т*.
где y = 4f0x(l — x)/l2 + xtga.
В последнем случае приведенный к середине вес каната
определится формулой
Лп> = [8/15 + V15 tg2 а + 2/3 (/0//) tg а + 1,405 (f 0//)2] pi.
Таким образом, к середине невесомого каната будет приложен груз
P=Qo + 8/isPl.
Для масс М и М0 (рис. 22) уравнения (а) примут вид:
Mf" = P-2Nsmyy M0i)" = N — P0, (в)
* Последнее разложение возможно при малых значениях dy/dx по
сравнению с единицей.
50

где N —натяжение каната
при колебаниях; /=/0 +
+w —стрела провеса ка- х
ната при колебаниях; и —
перемещение массы М при
колебаниях от положения
равновесия; г] —то же,
массы М0.
Положение равновесия
показано на рис. 22
штриховой линией.
Ввиду малости угла ф
полагаем sincp^ tg ф = 2///
и тогда уравнения (в)
примут вид:
I
2 . 2
\ H(p~Mf")
ZfilOQSf
Рис. 22
(P-MH-jf^N, Р0+М0ч" = Ы.
(г)
Связь между переменными г\ и f получим на основании рис. 22,
полагая, что / и /0 малы по сравнению с /; в этом случае
N — Л) 2 ,г2 г-2\ 2
—с—7V ~ы—v»
где Z = N — Р0 — переменное натяжение каната при колебаниях;
Z/c — упругая деформация каната; с = \ЕАЦ — сила, при которой
растяжение каната равно единице.
Внося в первое уравнение (г) новые переменные Z и и и
пренебрегая произведением uZy получаем
^-MLu'-PJ.-Pji-fJ.
Из состояния равновесия (рис. 22, разрез /—/) следует, чтоЯ//4=/уо,
тогда
(д)
4/о /о
Перемещение г] принимает вид
,_f-(2,0„ + U>>-!-*%»-f-W"-+(T+£)«- (е)
Подставив формулы (д) и (е) во второе уравнение (г), получим
ц1У + а1и* + а1и = 0, (ж)
где а^^ЛН—Г~/Ж+м0' а* MM0f
Общее решение дифференциального уравнения (ж) имеет вид
u — At cos с^т + 5i sin е^т + A2 cos co2x + B, sin со2т,
61

где
«>! = j/4/2 =F KflJ/4-a,. (з)
2
Произвольные постоянные определяют из начальных условий при
т = 0:
1) м = /1_/0 = ^(/=/1 = /0 + *, Z = P0); 2) «' = 0;
3) /'' = «"=-^,. см. формулу (д); 4) «'" = 0,
откуда
^-адш) ( Л.-А-А, *,-*, = <>, (и)
С02—С0]
а общее решение уравнения (ж) примет вид
и= At cos cOjT + А2 cos со2т.
Из уравнения (е) получим
где
^MlWff) и h2 = 4f0/l + P0/(f0c),
или в развернутом виде
г]" = со* Лх (/ijco* — h2) cos согт + а>2 Л {h^l — h2) cos со2т.
Исходя из формул (з) и (и) нетрудно доказать, что
(о]Аг (/ijco? —/i2) = — со;Л2 (/гхсо| — /i2),
и тогда
г]" = ш* Л х (/^oyj — /l2) (cos Ol^T —- cos со2т).
Ускорение противовеса r\" достигает абсолютно наибольшего или
наименьшего значения, когда о^т и со2т выражены числами,
кратными я, т. е.
со1т = п1я(п1 = 0, 1, 2, ...), со2т = п2я(/г2 = 0, 1, 2, ...),
в этом случае cos^k — cos п2п = ± 2 или 0. Таким образом,
rw = ± 2(014 (Лха>? — А8).
Расчетное дополнительное натяжение для каната получИхМ в форме
2шах = Л11Лтах = 2coMi^i (h&l-hj.
Для приведенных числовых данных:
^ = Qo + 8/15 р/ = 10 + 8/15 • 0,142 • 400 = 40,2 кН,
m = 7 = S = 4'1kH,c2/m'
k = f1-f0'= 16,80-8,24 = 8,56 м,
52

4-400-540 10я- I
2 MMal~ 4,1-41-400 — 1Z'60T
G>? =
15,07
j/i^Zl_12,85=0,91^, «, = 0,9651,
co| = ^L7+/-^-12,85 = 14,
Периоды колебаний:
0,955
15 -^Г, «2
:3,76-
т _2я _ 2.3,14 fi,7o, гр 2к 2-3,14 , ^,
yi ——=-7Го^г = 6,57с; Г2 = —= -^-i^ = 1,674с;
COl
Лх = £.
С02-
"ж/
ft1=
0)2— 0)J
= 8,56-
14,15-
co2
4-400
'4,1-400
3,76
4,1-400
4/0c 4-8,24.540
14,15 — 0,9
= 0,092 с2,
= 8,52 м,
Л,-
Лтах
4/о
4-8,24
400
г = 0,172,
/ ' f0c 400 ' 8,24-540 "
= ± 2©Mi (Mi-Ла) = ±2-0,91-8,52 (0,0920,91 -
—0,172) = ±1,36 м/с2,
2тах = ^^ = 41-1,36 = 56 кН.
Натяжение Р0 увеличилось на
■ 100^56-100
, 400
= 14%.
Аналогичный пример расчета ддя
каната с качающейся башней см.
в [129] и [80].
2.9. См. [129] и [80]. Несущий
канат с закрепленными концами
при разгрузке бадьи в середине
пролета получает вертикальные
колебания. Наибольшая
амплитуда отклонения из равновесного
положения вниз & = 0,2м (рис. Рис. 23
23).
Определить добавочное натяжение Zmax и период колебаний
7" = 2я/со каната.
Данные для расчета:
Пролет каната / = 243,5 м
Стрела провеса /0 = 17,4 м
53

Вес тележки Q0 = 276kH
Вес каната /?/ = 45кН
Площадь сечения каната F = 0,0021м!
Коэффициент сечения 1 = 0,763
Модуль упругости Е = 210 ГПа
Приведенный вес в точке С
Р = Q0 + (8/15)р/ = 276 + ("/„) 45 = 300,4 кН (см. задачу 2.8).
Приведенная масса в точке С
M=^- = S = 31 ^ = 31 кг.
g 9,81 м
Натяжение в состоянии равновесия
^=^=etw-5=1062kH (см- задачУ 2*8)' (а)
Полная потенциальная энергия
n = N0As + c-^-Pu,
tEA
где с = —. сила, вызывающая единичное удлинение каната;
As « -у и — удлинение каната в предположении, что
1х — /2 и их — /5 • I0'
С учетом формул (а) и (б) окончательное значение потенциальной
энергии будет:
/7-f!-c«\
где
r—8f°tPA — Q 17,42-0,763-210.10е-0,0021 ^ п
Кинетическая энергия
Уравнение Лагранжа второго рода (2.67) примет вид
±(дК\ дП__
ИЛИ
2С
Общее решение уравнения (в) имеет вид
w = C1costOT + C2sino)T,
54
(в)

где частота колебаний
- /¥-/
Период колебаний
16/:
lEAg l/2-56=1
, 8 Л- У "зГ '
(О
2-3,14
90-
1,90
= 3,31 с.
Произвольные постоянные общего решения Q и С2 определяют
из начальных условий: F
при т = 0 и = атах = £, и' = 0;
откуда Сх = А = 0,2 м, С2 -0 и
a = £coscox, и'== —foosincoT, w" = — /гсо2 cos сот.
Наибольшая динамическая сила
Рдин = М^ах-Л4^о2 = 31.0,2.1,902 = 22,4 кН.
Натяжение вследствие появления добавочной динамической силы
(300 + 22,4)243,5
4(17,4 + 0,2)
= 1120 кН.
N (^ + ^дин) I
4(Л> + *)
Добавочное
динамическое натяжение Z =
= ЛГ — Л^0 = 58 кН, что
составляет
^100 = 5,46%.
2.10. См. [81]. Не- Л
растяжимая гибкая нить it
длиной L перекрывает
пролет I < L. После
того как под действием
собственного веса р нить
приняла равновесное
начальное положение
(2.22), к ней была
приложена распределенная
нагрузка
интенсивностью / с
составляющими fx* fy и fz- Определить усилия в нити N2 и ее отклоненное
состояние (рис. 24).
Рис. 24
В начальном состоянии компоненты кривизны и кручение нити
(3.53) будут равны:
1 __cos2cp _п
р ~~ а > го-и.
;°> Чо
55

Поступая, как в задаче 2.5 [уравнения (а) —(г)], определяем вели,
чину а и все необходимые величины начального состояния:
s = a sh£/a; £ = ach (£/a) = /a2 + s2; £ = aarcsh (s/a);
cos ф « a/V"aF+^2\ sir^ = s/Ka2 + s2; 1§ф = 5/а;
p = g»/a*ea/cos2 ф- (a2 + s2) /a; 9o = 1/p = a/ (a2 + s2),
f-a[ch{L)-1] • ^S = ^/cos9 = pK5rT?. (a)
Приращение компонент кривизны и кручения определяем по
формулам (3.60):
bp = da/ds + ay/ {a2 + s2)y ^
8q = dp/ds, бг = dy/ds—aa/ (а2 + s2), VUj
где а, р, у—проекции вектора поворота Ь подвижного
трехгранника на оси iQt /0, k0.
Главные компоненты кривизны и кручения пространственной
кривой для отклоненной нити (3.58) принимают вид:
р = р0 + 8р = da/ds + ay/ (а2 + s2),
q = q0 + 8q = a/ (а2 + s2) + dp/ds, (в)
г = r0 + Sr = dy/ds—aa/ (a2 + s2).
Уравнения равновесия для отклоненного состояния нити (3.65):
[a/(a* + s*) + d$/ds]N,+~fx = 09
-[da/ds + ay/ (а2 + s2)] N2 + fy = 0, м
ds ' ^ — u»
где Fx = f0x+fx = fx—pzosq) = fx—palVa2 + s2,
fz = fz + fl~fz—psinq)^fz—ps/}/'tfr+lZ.
Значения углов a, p, у определяются из уравнений (3.57):
$ = dux/ds + auz/(a2 + s2), a = — duy/ds, y = duz/ds —aux/(a2 + s2) = 0.
(Д)
К уравнениям (г), (д), содержащим семь неизвестных величин
а, Р. У> их< иу< "г. Л/'г. добавляется седьмое уравнение,
определяющее кривизну нити в отклоненном состоянии:
й2=[(1+"Лсо5ф+"г5тф)"]3+(ы;)2+[(?+ЫгСОзф_Ыл81Пф)'']2=/;2+г?з) (е)
где штрихами обозначены производные по s.
Последовательно интегрируя уравнения (г), (д) и (е), получим:
^s = Cl-lflds; (ж)
р = С2-(7 /* I а Ndr (з)
66

a2+s2/ fv 6?uy\
аг-\- s2 d«^ .
ds '
(И)
00
и =C6 + Ces +
?2
f(s)-ct-tf ^,,+ " W
+ ffl/ / ^f^ 4«-[g + «ЖС08ф + И,81Пф)7-
— [(£ + «гС03ф — MxSh^)"]2dsds, (Л)
а перемещение иг определяется из первого уравнения (д):
где /, (s) = (а? + s2) /а, /х (s) = 2s/a, /0 (s) = а/ (а2 + s2),
Полагая согласно [41]
^(s) = ^exp4J^||-ds = ^exp4ln(a2 + s2), (н)
получим приведенную или нормальную форму однородного
уравнения (м):
d2£//ds2 + /(s)£/ = 0, (о)
где I(s)-= у~4"( f )?—Tds" (/) —инваРиант Уравнения (м).
В нашем случае /(s) = 0, и уравнение (о) принимает вид-^- = 0,
откуда U = C3 + CtS, и согласно уравнению (н)
иж=*(Ся +C4s) е™1п (а2+$2) + ^, (п)
где гГг —частное-решение, которое легко находится методом
варьирования произвольных постоянных С3 и С4 общего решения.
После вычисления uz по формуле (к) определяется их% а по
формуле (л) и ; далее по формулам (и), (д), (з) и (ж) соответственно
у, а, р, N2 = р У а2 + s2 + 8Л/^ и по формулам (в) —главные
компоненты кривизны и кручение нити в отклоненном состоянии.
Произвольные постоянные Сл определяются из краевых
условий—при s= ±L/2
их = иу = иг = 0. (р)
Приведенный алгоритм расчета на произвольную
пространственную нагрузку справедлив для гибких нерастяжимых нитей любой
57

начальной кривизны. Подобный алгоритм расчета может быть по.
строен для пологих нерастяжимых нитей при условии установления
критерия пологости на основании приведенного точного решения.
Графическое решение поставленной задачи на сосредоточенные
силы с использованием «пространственной пирамиды» приводится
М. Леви [136].
Аналитические решения, связанные с частными вопросами опре-
деления усилий и перемещений в пространственных нитях, приве*
дены в работах [47] и [36].
Глава 3
РАСЧЕТ СПЛОШНОГО СТЕРЖНЯ
I. ПРИНЯТЫЕ РАБОЧИЕ ГИПОТЕЗЫ
Предполагают, что поперечные нормальные сечения стержня,
плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации
(гипотеза Бернулли). Таким образом, сдвиги не учитываются и
поперечные силы определяются из условий равновесия, а уравнения
деформаций составляются лишь для нормальной силы*, изгибающих
и крутящих моментов. Поперечное сечение принимается малым в
сравнении с общими размерами стержня и при деформации не
меняется, отсюда получается, что для любой точки сечения стержня
радиус-вектор г является постоянным и все производные по г
равны нулю, а следовательно, и
ог = Еег = Е du/dr = О,
т. е. отсутствует давление продольных волокон друг на друга.
Взаимные перемещения частей тонкого длинного стержня,
вообще говоря, могут быть не малы, но деформации настолько малы,
что применение математической теории упругости возможно.
Последнее обстоятельство приводит к специальному кинематическому
исследованию (см. П. 2, ж, з настоящей главы).
И. ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ И ПЛОСКОЙ КРИВЫХ
1. Плоская кривая [27]
а. Определение плоской кривой:
в прямоугольных координатах
{/ = /(*), F(xy t/) = 0, * = ф(/), у = г[з(0, (3.1)
где х% у — координаты точки М кривой; £ — параметр,
tga = ch//dx, cosa=dx/ds, sma = dy/ds (рис. 25);
в полярных координатах
r = r(q)t (3.2)
При учете удлинения оси стержня.
58

где г —радиус-вектор; ф —полярный угол (рис. 26); в естественных
координатах k = 1/р = / ^ — натуральное уравнение,
р = р(<р), в = ^рс1ф, (3.3)
где р —радиус кривизны; s —длина дуги; ф —угол (рис. 27).
Рис. 25
б. Дифференциал дуги:
в прямоугольных координатах
ds = |/"l+(dr//djc)2dx, ds = V(dx/dty+ (dy/dt)*dt\
в полярных координатах
ds = [fr* + (dr/dq>)% с!ф; (3.5)
в естественных координатах jy
ds = pdф. (3.6)
в. Уравнение касательной Т (X, Y):
в прямоугольных координатах
(Y — y) = (X — x)dyfdx,
(X - х) з/7/а^=(У - у) <э/7д#, (3.7)
<У-у)х*=(Х-х)у*
(штрихом показано дифференцирование по параметру t)\
в полярных координатах
Т = ЛТ? = r/cos\х = г [Л + tg^n = л|/"l + r(d9/dr)?
(см. рис. 26).
Положительное направление касательной соответствует
положительному направлению на кривой.
г. Уравнение нормали N (X, Y):
в прямоугольных координатах
(X-x) + (Y-y)dy/dx = 09
(X - х) dFjdy = (У - у) dF/dx, (3.9)
{Х-х)х' + <у-у)у'=0\
59
Эбольвента
Рис. 27
(3-8)

в полярных координатах
Л^ = МЛ7 = r/sin |ы = г}/" 1 + tg2 pi/ tg М- = К(с1г/с1ф)2+г2 (3.10)
(см. рис. 26).
д. Кривизна плоской кривой k = da/ds= 1/р: (3.11)
в прямоугольных координатах (см. рис. 25):
d2yldx2 и х'у"—х"у' ^ 12ч
k =
[\ + {dy/dx)2\
3/2
k =
[(*')2+(</')213/2 '
где штрихами показано дифференцирование по параметру t в поляр,
ных координатах (см. рис. 26),
, _ г2+ 2 (dr/d(p)2—rd2r/d(p2 .
*^~ [r2 + (dr/dy)2]V2
(3.13)
в естественных координатах
k=zf(s) (натуральное уравнение).
2. Пространственная кривая [27], [75]
а. Определение пространственной кривой:
в прямоугольных координатах
F{x, у, г) = 0, Ф(х, у, г)=0; у==М*), * = /.(*)•_ 3 Н)
*=*(0, */=</(0, г=2(0; г(0 = х(0^ + У(0/"+г(0*,
где х, у у г —координаты точки М кривой; г —радиус-вектор
точки М кривой; £ —параметр;
в естественных координатах l/p = /i(s), 1/т =/2 (s) — натуральные
уравнения,
F(l/p, 1/т) = 0, (3.15)
где 1/р —кривизна; 1/т —кручение; р —радиус кривизны; т —радиус
кручения; s —длина дуги.
б. Дифференциал дуги:
ds=\fdx2+dy2+dz2y ds^Vix'y+ly'y+izydt, ds=pdcp. (3.16)
в. Уравнение касательной Т:
Х-х _ У-у z-z
д (F, Ф) /д (у, г) д (F, Ф) /д (2, х) - WTWJWTy)'
(Х-х) /х' = (Y-y) ly' = (Z~z) /г', (3.17)
где для сокращения написано
d{F, Ф)/д{у, г) =
и аналогично для двух других знаменателей.
60
dF dF
ду dz
дФ дФ
ду dz
dF дФ
~~ ду dz
дРдФ
dz dy

Косинусы углов, образуемых касательной с осями координат
ху у, г, соответственно равны:
а =
VV)2+G/T + (z')
55. Р =
У
\Г(хг+(ут+(2')2у у== VWfWWWT2'
(3.18)
г. Уравнение бинормали В и главной нормали W.
Из уравнений (3.17) непосредственно получается уравнение
нормальной плоскости
Х-х Y — y Z-z
dF_ d_F_ dF
дх ду dz
д_Ф_ дФ_ дФ_
дх ду дг
■о,
или
(3.19)
х-
х"
= 0,
(Х-х) х' + (Y - у) у' + (Z - z) г' = 0.
Уравнение соприкасающейся плоскости
Х-х Y — y Z-z\
У'
У" г"
или при разложении детерминанта по элементам 1-й строки получим:
{у'г'-г'у*) (Х-х) + (г'хГ-х'г*) (Y-y) + {х'у" - у'х") (Z - г) = 0.
(3.20)
Прямая, перпендикулярная касательной, которая лежит в
соприкасающейся плоскости, называется бинормалью и
определяется уравнением
Х—х __ Y—у _ Z—z
у'г"—г'у" z'x"—x'z" х'у"—у'х"
(3.21)
Косинусы углов, образуемых бинормалью с осями координат ху
у, 2, соответственно равны:
yr—z'y'
7^5' V>
z'x"—x'z"
yS {y'z"-z'yry ' r /5 (y'z"-z'yy '
x'y"—y'x"
YS (y'z" — z'y")2 '
(3.22)
где
S(y'z''-z'yy==(y'z"-z'yy + (z'x"-x'z'y + (x'y"--y'x'y.
Прямая, которая лежит в соприкасающейся плоскости и
перпендикулярна касательной и бинормали, называется главной
нормалью и определяется уравнением
Х—х Y—y z—z
т
(3.23)
61

где
/ =
m = -
s'y"—y's"
VStff-z'yy' '" V S (у'г"- г'уУ
s'z"—гУ
П~ YS(y'r-z'y")'~
(3.24)
косинусы углов, образуемых главной нормалью соответственно
с осями х, уу г.
Если параметр t = s, то s'=l, s" = 0, и формулы (3.24)
принимают вид:
d2x/ds2 d2y/ds
1 =
т = -
VS (d2x/ds)2 ' '" VS (d2*/ds2)2
d2z/ds2
(3.25)
где
VS (d2*/ds2)2'
S (d2A:/ds2)2 = (d2*/ds2)2 + (d2z//ds2)2 + (d2z/ds2)2.
Плоскость, проходящая через касательную и бинормаль и
перпендикулярная главной нормали, называется спрямляющей
плоскостью, ее уравнение имеет вид
l(X—x) + m(Y-y) + n(Z—z) = 0. (3.26)
Косинусы девяти углов, образуемых осями £, г), £ (оси
сопровождающегося трехгранника, рис. 28) и х, у> г, сведены в табл. 3.1.
О
8%\ Спрямляющая
'ч ^у плоскость
'IНормальная
плоскость
Оси
1
11
С
X
а
1
1
Таблица 3.1
У
Р
т
Р
г
У
п
V
Рис. 28
Так как обе системы координат прямоугольные, то между
девятью косинусами существуют известные соотношения:
а1 + Р2 + т2=1, a» + /« + A*=l,
l2 + m2 + n2 = 1,
0t2 + H2 + v2=l,
a/-f (Зт-{-7/г = О,
оЛ + |3|и4-уу = 0,
M, + mfi + /iv = 0,
(32 + m2_)_ILl2=1)
Y2 + n2 + v2= 1,
ap + /m + fyi = 0,
ay + In+ Xv = 0,
(3.27)
62

откуда
/ =
Р У
= М7—VP, m =
v к
\У «
= va—ку, п =
а р
= ЛР-|ха (3.28)
и аналогичные им.
д. Кривизна пространственной кривой. Если принять
уравнение кривой в форме: x = x(t)y y = y(t), z = z(t)t то
/е= l/p = da/ds, (3.29)
где а есть дуга индикатрисы касательных, определяемая уравнениями
а = ф1(0, Р = Ы0, Y = Xi(0 (3.30)
[см. формулы (3.18)]
ММ,=А$
Ь+ЛЬ
Рис. 29
Рис. 30
Представим формулу (3.29) в раскрытом виде
l/p = K(aT+(P')2 + (y')2/s',
а учтя формулы (3.16) и (3.18), получим
^■,-+r+«v-)-d<=^(|)4(g)-+(g)- (3.31)
В частности, при t = s, s'=l получим
1/р = K(d2*/ds2)2 + (d2*//ds2)2 + (d2e/ds2)2.
(3.32)
Кривизна может быть выражена также через вектор кривизны V
или угол смежности касательных в точках М и М1 —Дф (рис. 29):
As->0 *"
ds
1/р= lim Acp/As = d(p/ds.
As-*0
(3.33)
(3.34)
Вектор кривизны V совпадает с направлением нормали (п—орт
главной нормали N, t—орт касательной Г). Положительным
считают направление нормали в сторону вогнутости кривой.
е. Кручение (вторая кривизна) пространственной
кривой — формулы Серрг — Френе (Serret — Frenet).
63

Если принять уравнение кривой в форме * — *(/), y = y{t), z^
^*z(t), то кручение
7=l/T = da1/ds, (3.35)
где аг есть дуга сферической индикатрисы бинормалей, определяемая
уравнениями:
А, = Фа(0, И = Ф.(0, v = xi(0 (3.36)
[см. формулы (3.22)].
Представим формулу (3.35) в раскрытом виде:
1/т=» ± К(Я')" +00* +(*')"/*'.
а учтя формулы (3.16) и (3.22), получим
±-± М+Г'+"г *- * /(!)'+ (£)'+ (£)'■ (3-37)
Кривизна кручения может быть выражена также через вектор
кручения ft' или угол смежности бинормалей в точках М и Мг — Аф
(рис. 30):
1/т= lim АЬ/As = f dfc/ds | = 6', (3.38)
As->0
1/т= lim A\p/As= d\p/ds, (3.39)
As->0
где ft'— вектор кручения, совпадающий с направлением главной
нормали п.
Кручение 1/т считается положительным, если направления ft' и /г
противоположны.
Связь между производными девяти косинусов касательной,
бинормали и нормали по дуге s в функции этих же косинусов,
радиусов кривизны р и кручения т выражается формулами Серре — Френе:
da/ds = //p, dp/ds = m/p, dy/ds = n/p,
dX/ds = //т, dfi/ds = /л/т, dv/ds = я/т,
или тремя векторными соотношениями:
dT l - db l - dn 1 r 1 r /0 ,n
-7— = —/г, -j- = ai, -n- = f ft. (3.41)
as p ' ds т ' dt p т v '
Пользуясь формулами Серре — Френе, можно получить для
кручения следующую формулу:
1 _ р*
т [(*')я+(у')а+(*')я]8
х у Z
х у" z"
х!" у'" zu'
(3.42)
которая определяет кручение с учетом знака.
64

ж. Движение сопровождающего трехгранника
при перемещении точки М. Три вектора tt /г, b вместе с
соединяющими их плоскостями образуют сопровождающий трехгранник
пространственной кривой, образующей правую тройку (см. рис. 28).
Начало прямоугольных координат (£, т), £) движется вдоль оси стержня
с угловой скоростью
со = со47 + щп + со3&, (3.43)
где coi, со5, со3 — проекции вектора со на оси Tt N и В.
Умножим левую и правую части выражения (3.43)
последовательно на t и Ь:
[со7] = со1 [ft] + со2 [tit] + со3 [Ы] = —со26 + со3/г;
[cob] = со, [tb] + со2 [nb] + cog \ЬЬ] = — о,п + со27.
Заменяя дифференцирование по времени дифференцированием по
дуге s при прохождении по дуге и учитывая формулы (3.41), получаем:
d7/ds = (1/р) п = — со2Ь + tOg/г,
db/ds = — (1/т) п s= —сохп + со27,
откуда
cof= 1/т, со2 = 0, со3==1/р. (3.44)
Таким образом, полный вектор кривизны пространственной кривой
ш-(1/т)7+ (1/р) Ъ (3.45)
и складывается из вращения относительно касательной и вращения
относительно бинормали.
з. Движение главного трехгранника—главные оси
инерции сечения (орты £, /) и ось стержня (орт k). Начало
прямоугольных координат х, у, z движется вдоль оси стержня с угловой
скоростью Q. Если главная ось инерции сечения совпадает с п или
образует с ней постоянный угол \|), то
Q = co. (3.46)
При переменном \|) = \f(s) dtp/ds характеризует скорость поворота
главного трехгранника по отношению к сопровождающему. Вектор
этой скорости направлен по касательной к оси стержня и тогда
полный вектор кривизны пространственного стержня
или согласно уравнению (3.45)
Q = (l/T + dT|yds)7+(l/p)b. (3.47)
Обозначим компоненты угловой скорости в направлении
подвижных осей Г, /, k через р> q и г соответственно. В этом случае со-
3 № 1651 65

гласно рис. 31:
/? = sin\|Vp, <7 = cos\|Vp, r=l/x + ch|Vds, (3.48)
и уравнение (3.47) примет вид
где р = sin \|Vp—кривизна проекции дуги us на плоскость yz\ q^
= cos гр/р—кривизна проекции дуги ds на плоскость xz\ г=1/т +
+ cU|yds—кручение стержня.
Рис. 31 Рис. 32
Необходимость введения угла г|) была впервые замечена Сен-Ве-
наном [58, с. 400].
III. ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Пространственный стержень
а. Дифференциальные уравнения упругой линии.
Приняв ось стержня при деформации нерастяжимой (А0М0),
рассмотрим недеформированное (AM) и деформированное (AM) его
состояния (рис. 32).
Трехгранник А(М0), перемещаясь на
^ = tijo + uJQ + uzk0, (3.50)
где их, иуу и2—проекции вектора смещения и на оси f0, J0, &0,
совмещается с трехгранником Д(Л1), повертываясь на величину
Ъ = Ы0 + $]0 + ук0, (3.51)
Где а, |3, у —проекции вектора поворота Ъ на оси Г0, J0, k0.
Для осей i, /, к, учтя (3.52), можно написать три соотношения'
2=/о + [*/о] = /о + а*о—Т*о, (3.52)
Л = *о + № = *о — а/о + Р/о-
66

Умножая скалярно обе части равенств (3.52) поочередно на орты
трехгранника A(Af0), находим косинусы углов, образованных этими
ортами с векторами i, /, k, значения которых представлены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Орты
i
7
1
io
1
—Y
Р
/о
У
1
—а
k0
-Р
а
1
cos (ii0) = 1, cos (if0) = у, cos (ik0) = — (3 и т. д.
Трехгранник А (М0) движется по недеформированной оси со
скоростью, равной единице (ds0 = d/), в направлении орта k0 и
вращается вокруг мгновенной оси с угловой скоростью
А) = pJo = QoJo + r0k0, (3.53)
где p0i qQ, r0—главные компоненты кривизны и кручения недефор-
мированного стержня.
Трехгранник Д (М) движется по деформированной оси тоже со
скоростью, равной единице (ds = ds0 = d^), в направлении орта k и
вращается вокруг мгновенной оси с угловой скоростью
Q=pl+qJ+rk, (3.54)
где р, <7> г—главные компоненты кривизны и кручения
деформированного стержня.
Линейное движение трехгранника А (М) можно представить в форме
R = R0 + uy (3.55)
где R и R0—радиусы-векторы точек М и М0, соответственно
отсчитываемые от неподвижной точки (см. рис. 32).
Продифференцируем выражение (3.55) по времени и учтем, что
dt = ds, тогда
dR/ds = dR0/ds + du/ds,
или учтя, что k и k0 — скорости точек М и М0 (при единичной
скорости движения), получим
dult
k = k +
— , da
~dT
■k0 +
ds
ds ~1~Uy ds ~rUz~dT
Производные от ортов i0i /0, k0 по времени (t — s) есть линейные
скорости концов векторов, обусловленные вращением подвижной
67

системы:
df0/ds = [£Vo], <T/o/ds = [Q0/J. d&0/ds = [Q0/j0]
и, следовательно,
u*it+u» "f~+w^=PoM + [So" Jo] + [Йо^Л] = [Qo«.]-
Учтя (3.50) и (3.53), окончательно получим
А = (dux/ds+q0uz—r0uy) Т0 + (duy/ds + r^ux—p0uz) J0 +
+ (l + d^/ds + AA,— 9"*)*o- (3-56)
Спроектируем обе части вектора (3.56)_ на оси трехгранника
Д(Л10), т. е. умножим скалярно на орты /0, /0, к0У и, учтя табл. 3.2,
получим:
Pdux .
= -57+9о"г—г0иу,
duy
—a==-dT + roux—PoUz, (3.57)
r\ dtlz ,
Приращение главных компонентов кривизны и кручения
обозначим &р, Sq, б/*; тогда согласно уравнениям (3.53) и (3.54):
Р = Ро + 8Р. ? = <?о + &7, г = г0 + бг. (3.58)
Угловую скорость Q вращения трехгранника Д (М) можно
представить в форме:
где Q'— угловая скорость вращения трехгранника А(М) по
отношению к трехграннику Д(М0)> считаемому неподвижным; она равна
относительной, или локальной, производной вектора поворота Ъ по
времени t = s:
q, d'fl da т dp-r дут /Q rQ,
Спроектируем обе части вектора (3.59) на оси трехгранника Д (М),
т. е. умножим скалярно на орты i9 /, k и учтем табл. 3.2, тогда:
*.-*+«(.-0<.+$)-i+(«.+3)r-(r.+3D&
,-,.+«,- _(„. + £),+ (,. + *)., + (,.+£)«,
,_,.+fc_(ft+*)p_(,. + J).+ (,.+|L).i.
68

Пренебрегая малыми величинами, окончательно получим:
8p = da/ds + q0y—/-Д
6<7 = dP/ds + r0a-/?oY, (3.60)
6r = dy/ds + /70(3—q0a.
Уравнения (3.57) и (3.60) являются геометрическими
соотношениями общей теории упругой линии пространственного стержня. Для
прямолинейного стержня без
начального закручивания (частный
случай) pQ = q0 = г0 = 0 и согласно
уравнениям (3.57)
Р = dw^/ds, а = — duy/dsf
F+d?
Рис. 33
duz/ds = 0,
а согласно уравнениям (3.60)
бр = р = da/ds = — d2uy/ds2,
8q = q = dp/ds = d2ux/ds2,
br = r = dy/ds.
б. Дифференциальные
уравнения равновесия.
Выделим из_деформированного стержня элемент ds(MAfJ (рис. 33).
Обозначим: М(МХУ Му, М2)—_главный момент усилий F(QX, Qyy Nz) —
главный вектор усилий, т(тх, туу тг) — главный момент внешней
нагрузки на единицу длины, f(fx, fy, /,)—-главный вектор внешней
распределенной нагрузки на единицу длины.
Векторное условие равновесия сил, приложенных к элементу ds,
имеет вид
(F + dF)—F + /ds = 0
или
dF/ds + f = 0.
(3.61)
Для удобного проектирования векторного равенства (3.61) на оси
главного трехгранника Д (7И), представляющего собой подвижную
систему осей, проведем преобразование производной dF/ds. Главный
вектор усилий
F=QJ+QJ + N2k.
(3.62)
Производная от F по s в предположении, что трехгранник Д(М)
неподвижен, будет равна относительной производной вектора F:
d'F dQxT , dQ„7i м,ь
ds
ds
ds
и, следовательно, искомая производная
iF d'F
ds
ds
^4+Qj + ^#=^+№
ds
(3.63)
69

где векторное произведение [QF] означает вращение трехгранника
Л (М) относительно мгновенной оси с угловой скоростью Q.
Уравнение (3.61) примет вид
d'F/ds + [QF]+f = 0. (3.64)
Используя разложение векторов Q и F [см. уравнения (3.54) ц
(3.62)] по осям трехгранника А(М) и проектируя обе части равен-
ства (3.64) на оси этого трехгранника, т. е. умножая скалярно на
орты Т, fy k, получим три скалярных уравнения:
dQjds + qN,-rQy + fx = 0,
dQy/ds + rQx-PN2 + fy = 0, (3.65)
dN2/ds + pQy-qQx + f2 = 0,
где р, q, г —главные компоненты кривизны и кручение стержня
после деформации.
При рассмотрении векторного условия равновесия моментов,
приложенных к элементу ds, примем за центр моментов точку М± (см.
рис. 33).
Вектор МХМ = — dR = — feds —радиус-вектор точки М
относительно точки приведения Mt.
Момент силы —F, приложенной к точке М относительно точки Ми
равен
[(—kds)(— F)]=[kF]ds.
Векторное условие равновесия запишется в форме
М + dM — М + [kF] ds + m ds = О,
или
dM/ds + [kF] + m = 0, (3.66)
где
M = MJ + Mj + M,k. (3.67)
Момент распределенных сил / является величиной высшего
порядка малости.
Преобразуем уравнение (3.66) аналогично уравнению (3.61):
d'M/ds + [Ш] + [W] + m = О, (3.68)
где
ds ds ' + ds ' + ds *' W-by;
Используя разложение векторов Qy M и F [см. уравнения (3.54),
(3.67) и (3.62)] по осям трехгранника А (Л!), проектируя обе части
равенства (3.68) на оси трехгранника, т. е. умножая скалярно и*
орты i, /, k и замечая, что
[kF] = Qxl~Q/t (3.70)
70

получаем три скалярных уравнения:
dMjds + qMz - rMy -Qy + mx = О,
dMy/ds + rMx-PMz + Qx + my=>0, (3.71)
dM/ds + рМу — qMx + tnz = 0.
Уравнения (3.65) и (3.71) являются известными уравнениями
Кирхгофа —Клебша, см. [132] и [118]. Вывод их в скалярной форме
приведен в монографии [58, гл. XVIII], векторная форма вывода
заимствована из работы [63].
Двенадцать уравнений (3.57), (3.60) и (3.65), (3.71) связывают
пятнадцать величин—функций от s: компоненты вектора F—Qxi Qy, Nz
и главного момента M—Mxi М , М2У компоненты вектора смещения
и — иХУ иу, и2 и поворота -& —а, р, у, главные компоненты кривизны
и кручение —р, q, г стержня в деформированном состоянии.
Недостающие три уравнения были предложены Клебшем и
основаны на пропорциональности главных компонентов кривизны и
кручения при деформации стержня компонентам главного момента
внутренних усилий:
Мх = -Вх8р = -Вх(р-р0)у
My = -By8q = -By(q-q0), ' (3.72)
Мг = -С6г = -С(г-г0)9*
где BX = EJX и By = EJy — главные жесткости поперечного сечения
при изгибе; C = GJK — жесткость при кручении.
Для круглого сечения
C = GJp = Gnr*/2,
для прямоугольного сечения
C = Gahb*
и т. д.
2. Плоский стержень
а. Расчетные уравнения для случая
нерастяжимой оси. Дифференциальные уравнения упругой линии плоского
кривого стержня можно получить из общих уравнений (3.48), (3.57)
и (3.60), положив
\р=,г0 = г = р0 = р = а = у = 0, q0=l/p. (3.73)
В этом случае
fi = dux/ds—q,uZi duz/ds + q0ux = 0, (3?.
б^ = dp/ds, 6p = 6r = 0, q = q0 + 8q. К ' }
Согласно рис. 34, а их направлено по нормали, и2—по касательной.
* За положительные приняты моменты, вызывающие уменьшение начальных
кривизн.
71

Дифференциальные уравнения равновесия ^плоского кривого
стержня можно получить из общих уравнений (3.65) и (3.71 )>
положив
Qv*=Mx = M, = fv = mx = mz = 0. (3.75j
Тогда
dQjds + qNg + fx = 0, dNz/ds-qQx + fz = 0,
-dMy/ds + Qx + my = 0. (3.76)
Направление усилий показано ни рис. 34, б. В этом случае из
уравнений (3.72) остается лишь одно
Mv = -Bv6q = -Bv(q-q0). (3.77)
Таким образом, семь уравнений (3.74), (3.76) и (3.77) связывают
семь величин: Qx, Nz, Му, их, и2, р и q = q9 + 6q. Принимая во
внимание, что ds = pdq> и ?0=1/р, получаем расчетные „„
в форме нечетные уравнения
<LQ/d<p + (]+pbq)Nt + pfx**ot
dNjd<f—(l —Р bq) Qx+pf, = О,
dMy/d<? + pQx + Pm»^, ,. _
ви dp \Э-<°)

Полученная система является нелинейной, и обычно при расчете ее
линеаризуют, полагая
l+p8q& 1 (3.79)
или принимая в первых двух уравнениях (3.76) q ж q0.
В обоих случаях система приводится к дифференциальному
уравнению с переменными коэффициентами 6-го порядка относительно
перемещений их или и2. В частном случае круговой оси бруса (р —а)
уравнение будет содержать постоянные коэффициенты. Для прямого
стержня (<7о = 0, р = оо d<p = 0, ds = pdeplete) получим:
$=*dujdz, иж=*0*, 8q = d$/dz,
dQx/dz + 8qNz + fx = 0,
dNz/dz-8qQx + f, = 0, (3.80)
,0,
или линеаризованную систему:
p = dwx/da, uz~Q, б^ = dp/dz,
dQjdz + fx = 0, dNz/dz + fz = 0, -dMy/dz + Qx + my = 0, (3.81)
My = -By8q.
Из последней системы при /2 = my = 0
получаются общеизвестные уравнения:
d*uJdz* = — My/By9 Qx = dMy/dz,
fx = -dQx/dz, Nz = 09 (3.82)
где By=*EJy—величины, широко
применяемые в сопротивлении материалов.
Уравнения (3.82) приводятся к одному
дифференциальному уравнению изгиба
прямого бруса:
—dMy/dz + Qx + my-
d*uJdz* = fJBv
(3.83)
б. Расчетные уравнения
для случая растяжимой оси ^
[82]. Рассмотрим условия равновесия элемента аЬ плоского
кривого стержня в недеформированном состоянии (рис. 35) в
естественных координатах:
2МК = 0 dM/dcp—Qp = 0,
2/ = 0 d#/d(p—Q = —pflp, (3.84)
2n = 0 dQ/dq> + N = pqr
На основании рис. 35 и 8 и формул гл. 11:
длина дуги после деформации
dst = ds + Д ds = (1 + еф) ds;
* Так как ось нерастяжима.
73

приращение угла смежности (dcp)
Ad9 = -^-d(p;
кривизна после деформации
q =, 1/Pi = (dcp + Д dcp)/(ds + Д ds);
приращение кривизны
8q = q — q0=l/pl—\/pt
где
иг—перемещение по внешней нормали; иф—перемещение по
касательной.
Полагая
еф = #/(£Л) или «r + dVd<P=*Np/(£71), (3.85)
получим первое уравнение упругости.
Второе уравнение упругости согласно второму соотношению
(3.72) имеет вид:
6^=1/Pi_ 1/р = — M/(EJ) или
^Ш-»«)1 + ('-ж)(«^)-¥. <ЗД
или с учетом (3.85)
ЫН%-*)]-&(1+&}-£- ^
При р = а = const из уравнения (3.86) получим
d2tfrAV + иг = [MaV(EJ)] [1 +N/(EA)]. (3.86")
Для большинства практических случаев величиной Mp/(EJ) по
сравнению с единицей можно пренебречь, и уравнение (3.86)
становится линейным
или с учетом (3.85)
(1Ф [_р Vdcp ^JJ~ £У — ЕА ' (3-87^
При р = а уравнение (3.87) принимает вид уравнения Я. Бусси-
неска [116]:
d2ur/dy* + ur = Ma2/(EJ) (3.88)
[сравни с уравнением (3.86")].
При условии нерастяжимости оси бруса еф = 0 или
«' —"^ (3.89)
74

уравнения (3.86) или (3.87) примут вид
Ш-£+"0]—#• <390>
При р = а из уравнения (3.90) получим M = — (EJ/a2)x
Х((13^ф/с1ф3 + с1^ф/(1ф), и согласно первому и третьему уравнениям
Q = — (EJ/a*) (d%/dq>* + d^/dcp2),
N = (EJ/a*) (dbUy/dq>* + d*u9/d<p*) +aqr. (3.91)
Подставив формулы (3.91) во второе уравнение (3.84), получим
известное уравнение Ламба [58, § 292]:
(EJ/a*) (d6*Vd<P6 + 2dX/d<P4 + d2Vd(P2) + dqr/dq> + ?ф = 0. (3.92)
Таким образом, три уравнения статики (3.84) и два уравнения
упругости (3.85) и (3.86) или (3.87) содержат пять неизвестных:
М, Q, N, иг и мф. Общий порядок уравнений равен шести,
следовательно, при решении статически неопределимой задачи появится
шесть произвольных постоянных.
При решении статически определимой задачи, когда известны
внутренние усилия М> Q и N, тождественно удовлетворяющие
уравнениям равновесия (3.84), надо использовать уравнения (3.85) или
(3.89) и (3.86), или (3.87), которые имеют третий порядок и
интегрирование которых даст три произвольные постоянные.
Решение статически определимой задачи. Из уравнения (3.85)
ur = Np/(EA)—du(p/dy. (3.93)
Определив -р, "х-( —"Т1) и подставив эти выражения в уравнение
(3.87), получим
£[i(4M]-'«- <3-94>
где
'ю-#+£+£[**(#)]• <395>
Общий интеграл уравнения (3.94)
w<p = CiCOS(p + C2sincp + Cg у0 psin(cp—u)du +
+ S о [р S оF (") du] sin (Ф-и) du- (3%)
Перемещение иг определяют по формуле (3.93). Произвольные
постоянные С,- находят из рассмотрения краевых условий задачи.
Решение статически неопределимой задачи. Из второго
уравнения (3.84)
Q = dJV/dq> + ?,pp. (3.97)
75

Подставив полученное значение в первое и третье уравнения (3.84),
получим
dM/dcp—р dW/dcp = р 2^Ф, (3.98)
d2N/dy2 + N=;P(<p), (3.99)
где
pto) = —^(р?ф) + р?г. (З.ЮО)
Выразив из уравнения (3.94) с учетом формулы (3.95) момент М
и подставив его в (3.98), получим
d J ( N , d Г1 d [N(>\~\\ . diV , _ ,„ lnix
=-d^7{T+^-[7#(^rjJKpw+p^- (ЗЛ01)
Таким образом, задача сведена к двум разрешающим уравнениям
(3.99) и (3.101), общий порядок которых равен шести.
Общий интеграл уравнения (3.99):
N = C1cosy + C2smy+^0P(u)sm(q) — u)du. (3.102)
Подставив выражение (3.102) в уравнение (3.101) и полагая для
упрощения формул площадь сечения бруса постоянной *, получим
МН[Н&+*)]}-'*>- <з-103>
где
^>=^iM"+£[iiH}HH^+f) • <зл04>
a N определяется формулой (3.102).
Общий интеграл уравнения (3.103) имеет вид:
^ = Cecos9 + C6sin9 + So[C4p + C3pSoPd"]sin((P~'w)da+^'
(3.105)
где
u^^\l{9^0[p^f(u)du]du}sm^-u)du. (3.106)
Перемещение иг определяют по формуле (3.93). Произвольные
постоянные Ct решений (3.102) и (3.105) находят из рассмотрения
краевых условий задачи. Для случая нерастяжимости оси стержня
при определении иг и М надо принять N = 0.
Для прямого стержня принято ось х направлять горизонтально,
а ось у—вертикально, поэтому, заменяя х на у, р на а, получим:
ur = uyy Uq = uz> ds = pdcp = d2, Ро=Оу P=«>, dcp=;0 и уравнения (3.84)
примут вид:
dM/dz—Q = 0,
dN/dz = -qzy dQ/dz = qyJ (3.107)
где ось z совпадает с осью бруса.
* Вводимое ограничение не является обязательным.
76 у

Из уравнения (3.86) получим уравнение упругой линии:
<Ри„
м
dz2
EJ
(3.108)
из уравнения (3.92)—второе соотношение упругости:
duz/dz = N/(EA). (3.109)
Уравнения (3.108) и (3.109) с учетом уравнений (3.107) приводятся
к уравнениям изгиба и продольного удлинения прямого бруса:
d'ujdz* = qy/(EJ), d*u2/dz* = - qz!{EA). (3.110)
IV. РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ НА СТАТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ
1. Пространственный стержень
При расчете на устойчивость могут быть использованы
уравнения, составленные для деформированного состояния бруса—(3.65),
(3.71) и (3.72) с учетом уравнений (3.57) и (3.60). Эти же уравнения
могут быть использованы при исследовании пространственной
устойчивости плоского бруса (см. задачу 3.5).
2. Плоский стержень
При расчете на устойчивость можно воспользоваться уравнениями
(3.78), где принято условие ds1 = ds = pdcp, или уравнениями,
учитывающими также изменение угла смежности при деформации, где
принято условие pj d(pi = pd(p[83], см.
дальнейший вывод.
Для определения нагрузки, вызывающей
в кривом стержне лишь нормальную силу,
служат уравнения равновесия, составленные
для начального состояния (рис. 36):
Zt:
откуда
:0 т^-р?ф=
:0; 2п = 0 N + pqr = 0,
1 d / ч
(3.111)
Рис. 36
см. уравнения (2.2).
Обычно при составлении уравнений равновесия исходят из
начального состояния (см. рис. 35), учитывая влияние деформаций
лишь на грузовые члены [53], т. е. вместо множителей р при
действии нагрузки будут множители рг В этом случае полная система
расчетных уравнений устойчивости получается линейной и состоит
из уравнений (3.84), (3.85) и (3.87).
Из соотношения 6^=1^—1/р получим
Р1 = 77ет=ТЖдар(1-рб'?) = р[1+Л1р/(^)]' (ЗЛ,2)
77

Подставляя значение (3.112) в указанные расчетные
и рассматривая случай нерастяжимости оси стержня
Ads = ds1—ds = (wr + du<p/d(p) dcp = 0,
приводим их к виду:
dM/dcp-Qp = 0, ^-Q = p[l+Mp/(EJy)]q^
dQ/d<p + N = — p[l+Mp/(EJy)]qr,
1 P dcp [p
dcp2 ^ ф
M
EJ„
Из третьего уравнения (3.114) следует
N = - dQ/dcp-p [1 + Mp/(EJy)] qn
из первого
Q =
1 №
P dq>
уравнения
(3.113)
(3.114)
(3.115)
(3.116)
Подставив (3.115) и (3.116) во второе уравнение (3.114) и учтя
соотношение (3.111), получим
dcp2 Ыф/^V
dM
£^L^jM = 0. (3.117)
£7^ у р dcp ' dcp \ £«^ ,
Это известное уравнение устойчивости плоского кривого стержня [53].
После решения
уравнения (3.117) перемещение ыф
определяют прямым
интегрированием последнего
уравнения (3.114). Для кругового
стержня (р = а) постоянного
сечения при qr = q = const
уравнение (3.114) переходит
в известное уравнение Лам-
ба [134]:
N+<W^
d6u<r
d4% . d2Uq>
dcp6
qcv
dcp4 '
з / d4W<p
dф2
EJ
У
dcp4
d2*/(p \ __
d<P2 J~~
0.
Рис. 37
(3.118)
Применение уравнения
(3.118) к отдельным задачам
см. [94] и [37].
Рассматривая деформи-
кри-
надо
рованное состояние
вого бруса (рис 37)
уравнения представить в следующем виде:
dM-Qds^O, dN-Qdy^qvds^.dQ + Ndy^-qrfcv <ЗЛ19)
См. также рис. 8.
78

dst = Pi dq^ = pi (dq> + A dq>) = pt (1 + A dcp/Acp) d<p,
дИ ds1 = ds + Ads=(p + wr + d^/d9)d9. (3.120)
Гогласно уравнениям (3.114) и условию нерастяжимости (3.113)
£-»•«-$—*[7ф + *)]-* <3-,2,)
Систему (3.119) можно представить в следующей форме:
dM/dsl—Q = 0, dQ/dq>i + tf=: —р^,,
•a£-«—>£<w.>. (ЗЛ22)
или, учтя (3.112) и условие нерастяжимости Pxdcp^pdcp, привести
к двум уравнениям:
&м . л; Л , Мр\
sr3^ + iv=-p(i+Tfj^
dN dM d , ч /0 100ч
Ж~т^Г—W^- (3123)
Из первого уравнения
Подставив (3.124) во второе уравнение системы (3.123), получим
уравнение устойчивости:
(Мф1 dsx dф1 V £/ У
Приняв в уравнении (3.125) рг = р[ 1 -\-Mp/(EJ)]&pt получим
упрощенное уравнение устойчивости
сходное с уравнением (3.117).
Если в правых частях уравнений статики (3.122) положить рг « р,
То получим
п dM \ dM АТ d2M /Q .OV4
и Уравнение устойчивости примет вид
В общем случае уравнение (3.121) имеет вид dp/dc(; = -r— ~~~(7И~~"ф ' '
79
ИЛИ

при Pi = p лишь во втором уравнении статики (3.122) для Q и N
получим формулы (3.127), а уравнение устойчивости примет вид
™+™_в0 (312
dcpl dsx dsi
откуда М (фх) = Ct + С-2 sin Ф1 + С3 cos ф^. (3.130)
Полученное значение М = М (фх) подставляют в уравнение упруго-
сти (3.114):
где
M(^)^-EJ8g^-f^t (3.131)
р = _±Л^ + „Л -малая величина. (3.132)
Чтобы проинтегрировать уравнение (3.131), надо найти
зависимость между аргументами ф и фх. В случае нерастяжимости оси
Vpi — 1/Р = dyjds — ckp/ds = — M/(EJ),
откуда
dp = dq>i — ёф = — Mds/(EJ) = — Mpd<p/(EJ),
или с учетом (3.131): с!ф1 — ckp = dp, и после интегрирования
Фх = Ф + р. (3.133)
Таким образом, уравнение (3.131) примет вид
При интегрировании уравнения (3.134) может быть использовано
условие малости величины Р по сравнению с ф. После определения
величины Р = Р(ф) перемещение щ находят прямым интегрированием
уравнения (3.132):
d*Uvldq>% + иф « — рр (ф), (3.135)
на основании чего
«ф = СБ sin ф + Ce cos ф— J о р (и) р (и) sin (ф — и) du, (3.136)
а на основании зависимости (3.113)
иг = —(1иф/(1ф. (3.137)
Исследование устойчивости пологого стержня (при ds я^ dx)
рассмотрено в работе [33].
Для прямого стержня (р = оо) уравнения (3.122) примут вид:
dM/ds-Q = 0t dQAfcp + tf = 0,
с!Л//с1ф— Q=0; (3.138)
80

уравнение упругости
1/р = dcp/ds = — M*f(EJ). (3.139)
Из первого уравнения (3.138) с учетом уравнения (3.139)
п__ M_dM
у ~ EJ ёф '
Из второго уравнения (3.138)
cUp \EJ dq> У
последнее уравнение (3.138) примет вид
с!ф2 \EJ dtp) + £7 с!ф ~"U»
откуда
-Q = ^d^Qcoscp + CaSincp,
и при £7 = const
М =, ]/"2£7 (Q sin ф—С2 cos ф + С8),
где С(—произвольные постоянные.
Согласно выражениям (3.141) и (3.142)
N = — d Q/dcp = — Cj sin ф + Сй cos ф.
Уравнение упругости (3.139) после интегрирования примет вид
(3.140)
(3.141)
(3.142)
(3.143)
(3.144)
СФ EJ л , п , fEJ РФ
с!ф
I^Ci sin ф + С2 cos ф + Са
+ С4, (3.145)
т. е. приводится к известному интегралу
точного уравнения устойчивости Эйлера (рис. 38):
EJ/p + P*uy = 0. (3.146)
В технических расчетах вместо уравнения
(3.146) обычно применяют приближенное
уравнение
EJ dX/dz4 + Р* d2ujdz2 = 0,
(3.147)
которое получается из точного, если принять
значение кривизны
6/7 == р = 1/р
• d\/dz\
Рис. 38
Исследование влияния продольной
деформации оси прямого стержня на его устойчивость,
проведенное автором [84], показало, что продольную деформацию
для шарнирно опертого стержня надо учитывать в том случае, ко-
* В уравнениях (3.138) и (3.139) опущены: индекс единицы у s, ф и р и
распределенная нагрузка qrt так как для прямого стержня начальное сжатие
(растяжение) вызывается только внешней осевой силой.
81

гда
(£/сгпц)< 16,5. (3.148)
При указанном неравенстве подынтегральное выражение формулы
(3.145) расходится с подынтегральным выражением формулы,
учитывающей продольную деформацию оси стержня, менее чем на 5%,
т. е. практически совпадает.
V. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ
1. Пространственный стержень
Уравнения колебаний пространственного стержня получают из
уравнений (3.65), (3.71) и (3.72) с учетом уравнений (3.57) и (3.60)
заменой составляющих главного вектора внешней нагрузки fXJ fy и
fz силами инерции —\лА (д2их/дт2, д2иу/д%2у д2и2/дт2) и составляющих
главного момента внешней нагрузки пгХУ m и mz моментами
инерции вращения — ii(Jхд2а/д%2, Jyd2$ld%2, Jzd2y/d%2).
Мичеллом и Лявом, см J [58, с. 471], рассмотрены колебания
стержня, начальная форма которого является винтовой линией.
2. Плоский стержень
Уравнения колебаний плоского стержня получают из уравнений
(3.78) (для случая нерастяжимой оси) или уравнений (3.84), (3.86),
(3.92) (для случая растяжимой оси и с учетом изменения угла
смежности) путем замены составляющих главного вектора внешней
нагрузки fx и fz (qr и <7Ф) силами инерции
_уА(дЧу dh^ dhir дЬщ\
g \д^у дт2 Ш 6Ч2 ' дт2 )
и главного момента внешней распределенной нагрузки моментом
инерции вращения —li±^,
g от2
В линеаризованном виде указанные уравнения имеют вид:
для случая нерастяжимости оси
„ 1 (диУ \ диг , п
о gV di[- l
82
(3.149)

для случая растяжимости оси и учета изменения угла смежности
dN__0==yA д*и^ Г (см- уравнения (2.
39)
дМ/ду-
0JL\±.(dJh_
^ф L р v ^ф Uq>
+ »г
Qp = o*,
. dw
ф Л*р« Л ЛГ \
<шф yvp
(3.150)
ЕЛ
Полагая усилия и перемещения в форме
Л(Ф, т) = Л(ф)соз(о)т + 8), (3.151)
cJorlT^f^of своб°даых колебаний; е-фаза колебаний, приведем
систему (о. 14У) к виду:
dQ/dy + N = -
bpuyt dN/dy—Q =
EJ d
'ь?и» ^ + Qp=°>
где
P ^ф p
1 fduy \ duz ,
(3.152)
b = yAa>2/g = m(x>2.
Систему (3.152) можно привести к одному разрешающему
уравнению 6-го порядка относительно тангенциального перемещения uz:
+
EJ
d<p2 I р d(P L Р ^ф р V <1ф2 + Uz) J / +
d Г 1 d 1 fd2uz , \1 , Г d / йиЛ I
(3.153)
Полученное уравнение практически можно использовать для
случая p = a = const, когда оно превращается в известное уравнение
Л амба [134]:
d«uz
d*uz , d2uz
ba*(d2uz
'EJ \dy*'
И, =0.
(3.154)
(3.155)
dф6 "T" " dф4 ^ dф2
Общий интеграл уравнения (3.154) имеет вид
з
Ы*= 2 (ЛЛС08ЛЛф + 5Л8ШПЛф),
где azx, /г2, я3— корни уравнения п2(п2—l)2 = (n2+l)baA/EJ.
Для полного кольца число п должно быть целым, большим
единицы. При неполном кольце уравнение частот получают из
однородных краевых условий.
Пренебрегаем силой инерции, соответствующей повороту сечения
[^4ffi-««)]-
83

Из-за трудностей интегрирования уравнения (3.153) приходится
прибегать к различным приближенным методам определения частот
колебаний, к которым относятся: замена кривого стержня (арки)
системой с конечным числом степеней свободы, введение конечного
числа точечных масс [144]; замена арки многоугольной рамой [98],
замена арки упруго связанными между собой абсолютно жесткими
звеньями [72], применение метода Рэлея—Ритца для интегрирования
уравнения колебаний [122] метода Галеркина [69] и т. д.
Для пологих арок во втором уравнении системы (3.152) можно
пренебречь влиянием касательных сил инерции. В этом случае
уравнение (3.153) примет вид
dq>2\P d(p|_P ckp р U<Pai""vJ/+ п .-
+ р dq> L Р d(p р U<P2 V J dcp ^P с!ф J '
Для прямого стержня (р = оо, с!ф = 0, рс!ф = dz) постоянного сечения
уравнения (3.152) примут вид:
dQ/dz = — buy, M = — EJd2uy/dz\
dN/dz = — bu2t duz/dz = N/(EA)*y^—Q = 0. (3.157)
Система (3.157) распадается на две группы, характеризующие
соответственно поперечные и продольные колебания стержня, которые
приводятся к уравнениям:
■^-"•".-oi-^+wr-^-V" , <зл58>
$F + /*.-0(5f_£Jgf-0). (3.159)
где
- 4 уАы2 moo2 t 2 уы2 mco2
к ~~"р7~"~£7; Р ~~"~W~~TA*
Интеграл уравнения (3.158)
иу = d sin kz + Са cos kz + C3 sh kz + C4 ch kz, (3.160)
где
k=Yr№*l(EJ) или a> = k2VEJ/m.
Таким образом, общее решение для случая поперечных
колебаний имеет вид
«„ = (*• *)= ]£ (Ansinknz + Bncosknz +
+ Сп sh knz + Dn ch knz) cos (cd„t + ej,
где
kn=t/m(o2n/(EJ). (3.161)
* уравнения написаны для случая растяжимости оси стержня без учета
силы инерции поворота сечения на угол <x=duy/dz.
84

Если брус шарнирно оперт, то при г = 0 и z = l
и^Ои M=* — EJd\/dz2 = 0.
В этом случае, учитывая (3.161), получим sin&„/ = 0 и,
следовательно, knl = jt, 2я, Зя, ... На закрепленном конце иу = 0 и duy/dz = О,
на свободном конце M = — EJd2uy/dz2 и Q = — EJ d3uy/dz3 = 0.
Не рассматривая всех случаев, приводим табл. 3.3 корней для
определения частот.
Таблица 3.3
Расчетная
схема
^
У///Ш/,, j ^
Ш%
~Т п
Уравнение
для определения кп1
\sinknl = 0
\
Значения первых корней
knl
я,* 2я, Зя, ..., ля
cos£n/ = 0
я Зя 5я
~2* Ту ТР
2л+1
tg *„/ = «!*„/
3,927; 7,069; 10,210;
13,532; 16,493;
при п > 5 £„/ « у(4я+1)я
cos knl ch /?n/ = 1
0; 4,730; 7,853; 10,996;
14,137; 17,235;
при n > 5 knl « -к- (2л+ 1) я
cos *„/ ch V = - 1 I 1,875; 4,694; 7,855;
1 10,996;
при n > 5 knl « j (2д— 1) я
Чем больше частота колебаний со„, тем меньше их амплитуда.
Интеграл уравнения (3.159) будет равен
иж = Ct sin pz + С2 cos рг, (3-162)
где
р=©Кт/(^) = ©К|*/^-
Таким образом, общее решение для случая продольных
колебаний имеет вид
М*. т)= 2 ИпЗт/?Лг + 5ясоз/7яг)соз(соЛт + ея), (3.163)

где
Pn = toyy/(gE) = <*fyW£-
На свободном конце N = EAduz/dz = 0, на закрепленном uz = 0.
Полное уравнение продольных колебаний -^—-^ • -^ = 0 [см.
уравнение (2.58)], где l/a2 = \i/Ey было решено Д'Аламбером в форме
"г = /i (ат—г) + ^2 И + z), (3.164)
которая применяется для исследования волновых процессов при
ударе.
При исследовании крутильных колебаний прямого стержня надо
воспользоваться третьими уравнениями (3.71), (3.72) и (3.60):
дМ2/дг + т2 = 0, М2 = Сдг, 8r = dy/dz, и учесть, что
тг= — ^ж-д*у/дт*. (3.165)
Таким образом, уравнение крутильных колебаний принимает вид
Cd2y/dz2—\iJz д2у/дх2 = 0. (3.166)
На свободном конце Mz=^Cdy/dz = 0, на закрепленном у = 0.
VI. РАСЧЕТ ПЛОСКОГО СТЕРЖНЯ ПО ДЕФОРМИРОВАННОМУ
СОСТОЯНИЮ [85]
Система расчетных уравнений для деформированного состояния
плоского кривого стержня (см. рис. 37) имеет вид:
^-<2 = 0> "a^ + tf + frPi-O, dN/d^-Q-q^-O,
(3.167)
см. уравнения (3.119);
'""Pi P~ pdq>LpU<P ФЛ P2 Иг+"Зф"У"^~~B'
Ads^dSl-dS=(ar + ^)d9 = ^ (3.168)
см. уравнения (3.86) и (3.92), где B = EJy.
Из первого и второго уравнений системы (3.167) с учетом
формулы (3.112) получим:
Q = d5T = ^d^^ = -^^-^p(1+^)- (3.169)
Третье уравнение системы (3.167) с учетом формул (3.169)
принимает вид
d3M , dM
dsi dtp2 dsx ёф!
86
«с+зю
■Wl'l+тР)- (3.170)

В общем случае это дифференциальное уравнение третьего порядка
с переменными коэффициентами.
Для стержня кругового очертания р = а при qr = q = const и
^ = 0 уравнение (3.170) обращается в уравнение с постоянными
коэффициентами вида
d3M/d(p3 + С dM/d^ + SDMdM/dcp^ 0, (3.171)
где
С=1+2<7Я3/В, 3D = qa*/B\
Проинтегрировав уравнение (3.171), получим
^ + CM + 3DM2/2 + C1/2 = 0, (3.172)
где С1—-произвольная постоянная.
Умножая уравнение (3.172) на 2dM/dyi и интегрируя, получим [41]
{^-У + DM* + CM* + CiM + C2 = 0, откуда
± [М Ш _ ,=Ф1 + Сз> (3.173)
Jm0J/—/Ш3 —СМ2 —СхМ —С2
Переходя к безразмерным величинам, полагаем
Al = m/D = -(y+-y)/Df (3.174)
и умножая подынтегральное выражение на 4, получим
Г 1/-.3 ^ Д=РФ> (ЗЛ75)
где г|) = (ф1 + С3)/2, ^2 = 4/3 (С2-ЗСХ),
ft = 727^C3 + 27C2-9CQ,
С1 = ед C2 = C2D.
Интеграл уравнения (3.175) имеет вид [1]:
0 = p(±W = p№) = p[(q>i + Q/2, £2, ft], (3.176)
00
где 9(^)=(jl±£^y2 +^ а^Ф1±£зу^2_функция Вейерштрасса;
§2» ёг—ее инварианты; С3 —произвольная постоянная; afe =
/г-2
^(Т3з)(2^ + 1)Х| aiak-n — коэффициенты ряда a2 = g2/2Q, as^=gs/2S.
87

Таким образом, ограничиваясь в первом приближении тремя
членами функции Вейерштрасса*, получим по формуле (3.174) значение
момента и по формулам (3.169) значения Q и N:
лл т 1 { . С \ 1ГС. 4 i
М = 7Г — -о{У+Т) = —оЬ+Ж+с^ +
+ jfc (ф1 + с,)» + g^_ (ф1 + С,)* + ... ],
1 Л Ma\dM_ 1_(1_Ш\
Ч~м\1 В)Ащ~ aD\l В )Х
х[-Ш^+™{ъ+Сз) + Ш^+с^+---]> <3-177)
Для кругового стержня система (3.168) принимает вид:
^ + «г = ^М(ф1), иг + ^ = £МЫ, (3.178)
а при условии нерастяжимости оси стержня
U^+u*)=-^M^> "-—£• <зл79>
Первое уравнение системы (3.178) является уравнением типа
Я. Буссинеска [116], значения М (фх) и N(cpi) определяют по
формулам (3.177).
Так как угол ф^ отличается от угла ф на угол поворота
касательной при деформации (3.121) Р = — (^—«ф] =£r<p, значение
которого мало по сравнению с этими углами, то усилия в уравнениях
(3.177)— (3.179) можно определять в предположении ф^ф.
В последнем случае для прочностного расчета статически
определимого стержня будет достаточно уравнений (3.177).
Расчет плоского кругового стержня по деформированному
состоянию на систему сосредоточенных сил и моментов с использованием
однородных уравнений (3.167) рассмотрен в работе [38].
При расчете статически неопределимого стержня помимо
уравнений (3.177) надо использовать уравнения (3.178) или (3.179) и
предположение, что ф1 ^ ф.
Для случая нерастяжимости оси бруса можно использовать
уравнение (3.134) с последующим определением перемещений по
формулам (3.136) и (3.137).
Для прямого стержня (р = оо, скр = 0, ds = р с!ф = с1г, dsx =* рх с1фх)
уравнения (3.167) и (3.168) принимают вид:
dM/ds — Q = 0, dQ/dsi + K1N = — qyt dN/ds1-K1Q = q2; (3.180)
щ = — d\/dz2 = — M/B, ds1—dz = Ndz/(EA) (или = 0), (3.181)
где хх = 1/р1 = б^ — кривизна при деформации.
* Вопрос о достаточном количестве членов функции р (г|э) требует уточнения.
88

0з третьего уравнения (3.180) с учетом первого
Ki^idN-qzdsJdM); (3.182)
подставляя это выражение во второе уравнение (3.180), получим
Ас. \ Ac. * 1У AM
или при q2 = 0
dsx \ds1 J
dM
'Чу
d_ fdM\ . NdN
dsx Vd«i J dM
-<7*=o.
(3.183)
Умножая уравнение (3.183) на 2dM и полагая qy — const, получим
Интегрируя последнее уравнение, получим
(dM/ds^ + N^ + 2qyM = Ci или Q* + N* + 2qyM = Cv (3.184)
Из уравнения (3.182) при qz = 0 получим dN/dM^ — M/B, откуда
Ы = — МУ(2В) + С^.
Если принять во внимание,
что Q = хх dM/dcpj — — (Ml В) х
X <1Л1/с1ф1, то уравнение (3.184)
примет вид
(-1а)-[с.-«-Ч«+
(3.185)
ш\\\\\\\п\\\\
в d<piy/
5
-giJ^O. (3.186)
Уравнение (3.186)
интегрируется с учетом особенностей
данной конкретной задачи (см.
задачу 3.10).
Принятый метод
интегрирования уравнений (3.180) и
(3.181) аналогичен методу,
примененному в цитированной
работе [38].
ЗАДАЧИ
3.1. Найти уравнение упру-
г°и линии и построить эпюры
пРогибов иу углов поворота
^^dUy/dz изгибающих
моментов Мх и поперечных сил Qy
^Рямолинейной балки постоян-
ого сечения, приведенной на
Рис. 39.
do
/X
1*0
т
33,
103пГЛх\ 17Пп7.Ч- /I4*
&
'•P*£pi
*о?<*
Рис. 39
89

Для построения упругой линии и определения усилий
используем уравнение (3.83):
^ = (l/EJx)p(z), (а)
которое надо проинтегрировать при следующих краевых условиях:
г = 0 uy = duy/dz = 0; z = l uy = d2uy/dz2 = 0. (б)
Для интегрирования уравнения (а) применим метод начальных
параметров, согласно которому для прямых брусьев постоянного
сечения решение уравнения (а) приводит к следующим четырем
зависимостям для прогиба (иу)у угла поворота (a = duyldz),
изгибающего момента (Mx = EJx-d2uy/dz2) и поперечной силы (Qy = EJxx
Xd»uy,dz3):
— _i_ т M0z2 i QqZ3 i
uy-u0 + a0z +21Щ + зШ^~*'
1 ГуМ^г-г,)2 i уМ*-*/)3 | у/>/(*-*/)* | 1.
a=ao+^+s^+S7;[EA«/(^-^)+ -
M^M0+Qo^ + I]^ + S^(^-^)+P/('272f')2+»..; (в)
Qy = Q0 +2^ + 2^(2-2,)+... ,
где w0, a0, Л40, Q0 —начальные параметры —прогиб, угол поворота,
момент и поперечная сила при 2 = 0, положительное направление
которых показано на рис. 39; zi — расстояние от начала координат
до точек приложения сосредоточенных сил, моментов и начала
распределенной нагрузки.
Чтобы воспользоваться соотношениями (в), надо найти все
начальные параметры. Из четырех параметров два всегда бывают известны;
так, в рассматриваемой задаче известно, что w0 = a0 = 0, а два
других М0 и Q0 надо определить из граничных условий (б) на правом
конце бруса, т. е. при z = l. Граничные условия с учетом
соотношений (в) примут вид:
M^M. + qj+^pi-L-f + ^Р (1)2 = о,
откуда
^o = 2V256p/2, Qo = -27/266p/. (Г)
90

Уравнения (в) с учетом значений (г) принимают вид:
27/7Р
256-2
27рР
256 Z
х 256pi
EJ „а =
' 256-6^ 24^24^ 2 ) + 4 \Z 4 'J '
256-2 6 T6
-4У+т/>*(*-
27/?/
pz
256
- + -£-
2^2
"2
/\2 3 ,/ 3 ,
A /X2
4 '
27
Зависимости (д) написаны для последнего участка f--l — l\ для
второго участка надо отбросить
последний член, для первого— fx(ur,u*)
два последних.
Первое уравнение (д)
является уравнением упругой линии.
Эпюры прогибов, углов
поворота, изгибающих моментов и
поперечных сил, ординаты
которых подсчитаны по
уравнениям (д), приведены на рис. 39.
3.2. См. [82]. Найти
уравнение упругой линии круговой
бесшарнирной арки постоянного
сечения (Л, У), нагруженной
постоянной гидростатической нагрузкой q (рис.. 40).
В данном случае qr = — qy q^ = 0, р = ос. Согласно (3.102) и (3.100)
__ N = Сг cos ф + С2 sin ф + qciy
где С1 = С1—qa\ в дальнейшем вместо Сг будем писать Q.
Согласно (3.104)
где A=2/(EAa)—a/(EJ).
Определив по формуле (3.106) //ф и подставив в формулу (3.105),
получим
иф = Аа2Сг [ф—sin ф—0,5 sin3 ф + 0,5 cos ф (ф—0,5 sin 2ф)] +
+ Аа2С2 (0,5фэтф + 1—созф)—С3а2(ф—5Шф) —
—С^а2 (1 —cos ф) + Сь sin ф + Сб cos ф.
Согласно уравнению (3.93)
Ur==C1<-^jcos ф—Аа2 [1 —0,5 cos ф (1 —cos 2<р) —
-0,5эшф (ф + sin 2ф)]I + С2 <-£д sinф—Аа2[0,5cosф (ф—sin 2<р) +
+ 0,5 sin ф (3—cos 2ф) + 0,5 sin3 ф]| + С3а2 (1 —cos ф) + С4а sin ф —
—Сб cos Ф + Сб sin y + qa2/(EA).
91

Произвольные постоянные Ct определяют из краевых условий:
приф = ±ф0 иг = «ф =» dwr/d9 = 0. (а)
Раскрывая условия (а), получаем шесть уравнений, из которых
находим:
С*2 = С4 = Св = 0, Ci =
qa*
С t
ЕЛ Bi+B2/q>0+B3 (ctg фо~ 1/Фо) '
Я2ф0
где
5i = ^cos90—Аа2[\ — 0,5созф0(1— соэ2ф0) —
—0,5sin90(90 + sin2qy0)]f
В2 = Аа2 [ф0—sin ф0—0,5 sin3 ф0 + 0,5 cos ф0 (ф0—0,5 sin 2ф0)],
В3 = — ^ sin ф0—Аа2 [0,5 sin ф0 (cos 2ф0 — 2 cos ф0) —
—0,5cosq>0(q>0—sin2q>0)].
гг2и'(0)
<7~
Vilp Уг'г'САи'у(°)
Л * ufrl4i° fit®
Ч %^Л н«
с/Аы/щю
Окончательные выражения
перемещений:
иф = СхАа2 [ф—sin ф—0,5 sin3 ф +
+0,5 cos ф (ф—0,5 sin 2ф)] —
—С3а2 (ф—sin ф) + С5 sin ф,
—Аа2 [1 —0,5 cos ф (1 —cos 2ф) —
— 0,5 sin ф (ф + sin 2ф)] i +
+Csa2 (1 —cos ф) —Сб cos ф + qa2/(EA).
Значения усилий определяют по
формулам:
N = Ct cos ф + qa, Q = Ci sin ф,
EJ ( <Рыф , dt/ф \ , J ( AT d2N '
М-
WyW
EJ ( d3% , dr/ф \ , J / ,,
dtp2
Характер упругой линии показан на
рис. 40 штриховой линией. Расчет
статически определимой трехшарнирной
арки см. в работе [82].
3.3. Исследовать устойчивость
прямого стержня постоянного сечения,
упруго закрепленного по концам и нагруженного продольной силой
(рис. 41).
X
Рис. 41
92

Согласно рис. 41
г (г' С \ rs Г^°2 ~ ( ~> С \ Л Г44С2
моменты, вызывающие единичный угол поворота (9=1), Н-м; г
^22, ''зз» г'и—жесткости пружин, т. е. силы, вызывающие единичную
деформацию пружин, rn=l/8ih Н/м.
Для исследования устойчивости применим уравнение (3.147):
d\/dz* + n2d\/dz2 = Qt (а)
где
n* = PJ(EJ). (б)
Общий интеграл уравнения (а) имеет вид
иу =; С± cos nz + С2 sin nz + C3z + C4.
Для определения произвольных постоянных С,- служат четыре
однородных краевых условия:
EJ—^ = rssuy(l), -£У-^-=а44-^_.
В раскрытом виде уравнения (в) примут вид:
Гц (Ct + С4) = EJп*С2, г22 (пС2 + С3) = EJп2Сь
r33 (Ci cos nl + С2 sin nl + С J + C4) = EJn3 (Ct sin nl + G2 cos nl),
r44 (nC2 cos nl—nC± sin лг/ + C3) = £7/г2 (Q cos nl + C2 sin nl). (r)
При Q = 0 система (r) удовлетворяется. Следовательно,
прямолинейная форма является одной из возможных форм равновесия.
Ненулевые значения С{ получаются только при таких значениях пу
которые обращают определитель системы (г) в нуль.
Разобранная задача охватывает большое число случаев.
Например, если нижний конец закреплен шарнирно неподвижно (г44 = 0,
г33 = оо), а верхний шарнирно подвижно (г22==0, гп = оо), то
определитель системы (г) примет вид sin п/ = 0, откуда п/ = £л, и
согласно соотношению (б)
P* = k2R2EJ/l\ a min Л, = л2£7//2; (д)
если нижний конец закреплен шарнирно неподвижно, а верхний
защемлен (/*22 = /"ii = °°)> то определитель системы (г) принимает вид
sin я/= п/cos л/,
откуда min (nl) = 4,4934, и согласно соотношению (б)
min Рт = 4,49342£У//2 = 20,19£7//2 = 2n2EJ/l2 (е)
и т. д.
93

Формулы (д) и (е) дают известный результат и вытекают из фор,
мулы Эйлера
min Р. = n2EJ/(\xl)2,
где [х—коэффициент закрепления; для формулы (д) он равен еди~
нице, для формулы (е) ^2/2» 0,707.
3.4. См. [144]. Найти критическую вертикальную равномерно
распределенную нагрузку qm для двухшарнирной и трехшарнирной
Рис. 42
параболических арок (р = a/cos3 ср, см. [82]) постоянного сечения
(А =325 см2, J & 170 000 см4, £ = 200 ГПа), пролетом / = 50 м со
стрелой подъема / = 5м (рис. 42).
Для параболической арки, несущей вертикальную равномерно
распределенную нагрузку, вызывающую в начальном состоянии лишь
нормальные силы (параметрическая нагрузка), потеря устойчивости
характеризуется появлением изгиба. Поэтому можно воспользоваться
уравнением (3.117), заменив в нем радиальную нагрузку
вертикальной нагрузкой q.
Направив ось отсчета углов <р вертикально в середине пролета,
получим согласно рис. 42
qr = q cos* <р. (а)
Подставляя значение (а) в уравнение (3.117), приведем его к виду
(|+1)(cos'4,f)+'J¥(sec4(piM)=0' 1б)
где
n = qa3/(EJ),
а — радиус кривизны параболы в вершине (<р = 0).
Уравнение (б) интегрировалось Динником численным методом
для различных отношений f/l (величины а) с одновременным
удовлетворением граничных условий, соответствующих данному типу арки
и опасной форме потери устойчивости — обратносимметричной для
двухшарнирной и бесшарнирной арки, симметричной и
обратносимметричной в зависимости от отношения /// для трехшарнирной арки-
Окончательное решение для критической интенсивности нагрузки
94

было приведено к форме
qx = kEJ/l3,
(в)
где k—коэффициент устойчивости, значения которого приведены
в табл. 3.4.
Таблица 3.4
W
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,8
1,0
Бесшарнирная
арка
60,7
101,0
115,0
111,0
97,4
83,8
59,1
43,7
Двухшарнирная
арка
28,5
45,4
46,5
43,9
38,4
30,5
20,0
14,1
Трехшарнирная арка
симметричная форма
22,5
39,6
47,3
49,2
—
38,0
28,8
22,1
обратносимметричная
форма
28,5
45,4
46,5
43,9
38,4
30,5
20,0
14,1
По табл. 3.4 находим: для двухшарнирной арки £ = 28,5, для
трехшарнирной £ = 22,5. Критическая интенсивность нагрузки по
формуле (в):
для двухшарнирной арки
28,5-210.10е • 0,0017 Q1 0 TJ/
Я*=— 50^ = 81,2кН/м;
для трехшарнирной арки
22,5.210.106.0,0017
50*
= 64,2 кН/м.
Критическое значение распора и, следовательно, критическая
сжимающая сила в замке и соответствующие
критические.напряжения равны:
для двухшарнирной арки
Л^ = Я, = ^2 = ^!^ = 5075кН,
N* 5075 ira лЛГТ
а*=-£=ода=156МПа;
для трехшарнирной арки
64,2-502
N*=H*:
8-5
= 4010 кН, а* =
4010
0,0325
123,5 МПа.
В обоих случаях а* < ат, т. е. потеря устойчивости происходит в
пределах упругости, и проведенные вычисления законны.
95

3.5. См. [63]. Исследовать
устойчивость круглого кольца (р = а) постоянного
сечения под действием равномерно рас-
пределенной нагрузки fx = qr (Рис- Щ-
Рис. 43
Для круглого бруса радиальная
нагрузка вызывает в начальном состоянии
лишь нормальные силы и потеря
устойчивости характеризуется появлением изгиба,
поэтому пользуемся уравнениями (3.65),
(3.71) и (3.72).
Кривизны проекций дуги на плоскости
yz, хги кручение стержня в начальном
положении (3.48) таковы:
/?о = 0, <7о=1/Р=1/я, г0 = 0 (Ф = 0).
(а)
В начальном состоянии в кольце возникают лишь нормальные силы
N2o== — aqr. Подставляя выражения (а) в уравнения (3.57) и (3.60),
получаем:
(б)
(в)
Главные компоненты кривизны и кручение кольца после потери
устойчивости определяются формулами:
р = бр, <7 = 1+6<7, г = бл
(г)
Подставляя значения (г) в уравнения (3.65) и (3.71) и полагая
тх = ту = тг = 0, находим:
где
dQr/dq> + (1 + abq) Nv - abzQy+aqr = 0,
dQy/dy + abrQ, — abpN^ +aqy = 0,
dNjdy + abpQy - (1 + abq) Qr + aq^ = 0,
tf,~Nt, + N; = -aqr + NZ,
dM,/dq> + (l +a6q)Mv—a6rMv-aQy = 0,
dMy/d(f>-f-abrMr—a8pMv + aQr = 0,
<Wv/d<f>+abpMy - (1 + abq) Mr = 0 * *.
* В настоящем случав принято: ux = ur, uz = uv; uT направлено к центру
крив** в'уравнениях (3.65) и (3.71) Qx, Nz, Мх, Мг, fx, fy и /г заменены
соответственно на Qr, Nq,, Mr, Mv, qr, qy и <?<p.
96

Выражая величины б/?, 6q и бг в выражениях (в) через
перемещения по формулам (б) и подставляя в уравнения (3.72), получаем:
тг- а \у а d(p2y.
и последнее уравнение (б)
с1аф/с1ф = иг (е)
Для решения задачи ввиду малости компонентов кривизны и
кручения рассматриваем линейные уравнения равновесия:
dQr/dq> + #ф + aqr = О, dAlr/d<p + Щ—aQy = О,
dQjdy + aqy = 0, dMy/dq> + aQr = 0, (ж)
с1Л^ф/с!ф — Qr + а^ф = 0, сШф/с!ф--Мг = 0.
Решая совместно уравнения (д), (е), (ж), получаем два
дифференциальных уравнения 6-го порядка относительно осевого
перемещения и<р и угла поворота трехгранника относительно касательной
к оси кольца (оси ф) у:
d9G "^ - dq4 "*" drp2 "*~ Sy V d<p4 ■+" d^^2 / """^dtp V <ty Vq7 ' W
5-L9^I .d_l^ . ^!№ d!v\ _^1Л , М^У. (И)
бф^^ф4"^*"^ 5r ^p4_t^V "" Br\ ~*~ С ) dф3•
[см. уравнение (3.118)].
Уравнение (з) характеризует плоскую (изгибную), а уравнение
(и) —пространственную (изгибно-крутильную) кривую потери
устойчивости.
В рассматриваемом случае при ^у = ^ф = 0, qr = const уравнения
(з) и (и) принимают одинаковый вид:
с16Ф/с!ф6 + (2 + п) с!4Ф/с1ф4 + (1 + п) с12Ф/с1ф2 = 0, (к)
гДе для плоской формы потери устойчивости
Ф = иф, n = qra*/By,
Для пространственной
Ф = 7. n = qra*/Br.
Общий интеграл уравнения (к)
Ф = Ct + С2ф + Ся sin ф + С4 cos ф + С6 sin йф + Cfl cos fep, (л)
где k = VT+n.
Для определения произвольных постоянных надо поставить уело-
вия периодичности (замкнутости):
Ф (2я) = Ф (0), Ф' (2л) = Ф' (0), Ф" (2л) = Ф" (0), (м)
4 *> 1651 97

что следует из соотношений:
аф (2я) - иф (0), иг (2я) - иг (0) и р (2я) = р (0).
Члены решения (л) с постоянными Cit С3 и С4 соответствуют
перемещению кольца как жесткого целого, и их можно отбросить.
Подставив условия (м) в оставшуюся часть решения (л), получим
уравнения:
С22я + С5 sin 2kn + Ce (cos 2kn — 1) = 0,
С6 (cos 2kn — 1) — C6 sin 2&я = 0,
C5 sin 2kn + C« (cos 2fcrt — 1) = 0.
Приравняв детерминант этих уравнений нулю, получим условие
критического состояния
(cos 26я — I)2 + sin2 2kn = 0,
или cos 2kn = 1, откуда 2kn = 2тп и & = га, где m — целое число
волн.
Согласно принятым
сокращениям для плоской
формы потери
устойчивости
_^-У д*гаУВу~т2-1 и q*r =
Ось оточета углод
1А (9а+Щ)
= (т2—1)Д^/а3*.
Наименьшая критическая
нагрузка будет при га =
= 2: ' qt = 3By/a*. Этот
результат был получен в
1884 г. Леви [137];
характер выпучивания кольца
показан на рис. 43.
3.6. См. [83]. Определить критическую радиальную нагрузку
(qr = q*) для двухшарнирной круговой (р = а) арки с центральным
углом 2ф0 при £7у = const, 9Ф = 0, qr = q* и обратносимметричной
формой потери устойчивости (рис. 44).
Рис. 44
Приняв за ось отсчета углов фх и <р ось, где р=;0 (3.133), и
обозначив на рис. 44 кривую при обратносимметричной форме потери
устойчивости пунктиром, воспользуемся для расчета уравнением (3.126)
при qr и р, имеющими постоянное значение.
Нелинейное уравнение устойчивости (3.126) примет вид
d2 fdM\l ^adAf
dsx
d(p2 I He. ) T^ Ac, *~^»
dsi
где
n*=*\+q,ay(EJy).
•Яг =
(m2-l)B,
ka
m
2,—формула Николаи.
98

Согласно этому уравнению момент в деформированном состоянии
М (фх) = Сг + С2 sin mp1 + Cs cos mpf. (a)
Момент должен удовлетворять краевым условиям:
при Ф? = ±|(фо + 2р0) и Ф111=4(3Фо-2ро)М(ф1) = 0,
откуда следует, что С2 = 0 и
1 cos-J(cPo+2p0) I
D4 Л и-2^ппФозт|(ф0-2р0)з=0. (б)
|1 соз|(3Фо-2р0)| 2
Наименьшее значение q* получится из условия sinmp0 = 0,
пц)0 = тп и при т=1:
наим. ^_^__lj,
(в)
т. е. известное выражение [53].
Исследуем деформированное состояние. Из формулы (б) следует,
что
C1-Ccos-J(Vo + 2p0) и С3 = -С, (г)
где С —неизвестная произвольная постоянная, тогда формулу (а)
можно записать так:
М (фх) - С [cos -j (ф0 + 2р0) - cos А1ф2 J
Уравнение (3.134) принимает вид
4а^ — С[с08-|(ф0 + 2Ро)-С08Лф1],
(Д)
или
откуда
4 ^(ф ~~ ф1)~ С [cos Т (фо + 2^о) ~~ cosn(Pi] = °.
dqpi
:(1ф,
Лх + Л2 COS Лф1
где Л1=1—§-Ссоз-|(ф0 + 2р0), Ла = ^С.
Общий интеграл уравнения (е) при At > Aj
2 , (Лх—/ytgn<»x/2 .
п\Га\-а\ s КлРл!
Из уравнения (ж) следует, что
Ф1 = т" arcts ir=iTtg—5 *•
откуда Р-Ф-Ф, = Ф—„-агс^-л^лГ{2 §
(е)
Ф-
» Произвольная постоянная равна нулю, так как при фХ = 0 ф=0.
4*
(Ж)
(3)
(и)
99

Фо , 2 п_,Уа\-А\ ^пУ А\-Л\
По формуле (и)
Согласно формулам (3.136) и (3.137)
и<р = С5 sincp + Cecos<p — a ^*$(u)sin(q> — u)duf
«r = -^ = -C6cos9 + CesinV + a^^p(a)sin(9-M)dtt. (л)
Дальнейшее исследование сопряжено со значительными
трудностями, так как интегралы формул (л) в замкнутом виде не берутся.
3.7. См. [144, с. 315]. Исследовать свободные поперечные
колебания стержня с постоянной площадью сечения Л, длиной /, шар*
нирно закрепленного по концам (см. табл. 3.3.— первый случай).
При рассмотрении частных случаев колебаний стержней удобно
представить общее решение (3.160) в виде
Z = uy (z) = Сг (cos kz + ch kz) + C2 (cos kz — ch kz) + C3 (sin kz + sh kz) -f
+ C4 (sin kz — sh kz). (a)
При шарнирном опирании краевые условия следующие:
1) (Z)2=0 = 0, 2) (d2Z/dz2)2=0=0,
3) (Z)2=/ = 0, 4) (d2Z/dz2)2=/ = 0. (0)
Из первых двух краевых условий (б) следует, что Ci = C2=^0.
Из условий 3 и 4 получим С3 = С4 и
sin&/ = 0, (в)
что является частотным уравнением (см. табл. 3.3).
Корни уравнения (в) — kl = n, 2я, Зя, ..., шх.
Круговые частоты последовательных форм колебаний получают
из уравнения (3.160):
я2 -. /£? 4п2 -, /"£7 п2я2 -, /"£7
частоты fn любой формы колебаний —из выражения
г _ ®п _ я/г2 ■i/'EJ
'"~2я"~2/2 Г "т '
где
периоды колебаний
Г„=1//^[2/2/(я/г2)](/т/(£7).
згиба для различных форл
нкцией (а) при ^ = ^ = 1
Z„ = D„sinA„2 = D„sin^
Форма кривой изгиба для различных форм колебаний
определяется нормальной функцией (а) при ^ = ^ = 0 и С3 = С^:
100

Таким образом, кривая изгиба при колебаниях складывается из
синусоид с различным числом полуволн, и общее решение (3.161)
имеет вид
00
«v (z, т) = X sin ^Т (С'cos <D'T + D{ Sin (0'^'
(г)
Постоянные С; и £>, определяют из начальных условий. Например,
если при т = 0 («y)t=o = /i(z) и (диу/дх)х=0=[2(г), то, подставив т = 0
в выражение (г) и его производную по времени т, получим:
fi (г) = 2 С, sin inz/l, f2 (z) = S ©,-D, sin mz/f.
(Д)
i=i
t'=i
1Л2
Умножая обе части равенств (д) па sin^dz и интегрируя от г = 0
до г = /, находим
c,. = |fo/l(*)sin^dz, d, = ££/.<*) sin £d*. &
Положим, что в начальный момент т = 0 ось стержня
прямолинейна, а вследствие удара задана начальная скорость v короткому
участку б стержня, расположенному на расстоянии с от левой опоры.
В этом случае f1(z) = 0J a f2(z) рав- ^
на нулю всюду, кроме точки z = c, а) \Рsin в и
в которой f2(z) = v. Подставив эти ?
значения в равенства (д) и
применив формулы (е), получим:
Cf = 0, D; = ^i;6sinwu7/,
и формула (г) примет вид
Uy (2, Т) =
2у6\^ 1
i=i
Подобным образом могут быть
исследованы остальные случаи,
приведенные в табл. 3.3, см. [100].
3 8 См Г31 Построить эпюры динамических прогибов и
моментов для консольной балки, на конце которой действует гармони^
чески изменяющаяся сила с амплитудой Р=1000Н и частотой
/-1200 кол/мин. Пролет балки / = 2,72 м, вес ^«ИР==263 "^
сечение балки-двутавр № 20 (У = 2140см\ £ = 215 ГПа,рис. 45,а,
б, в).
Применим для решения метод начальных мРа^Р™ " д"^?
сооружений [4], согласно которому для брусьев постоянного сечения,
101
М Vising sin О* sin со,т.
Рис. 45

подверженных действию вынужденных гармонических колебаний,
решение уравнения вынужденных колебаний
dz* ^gEJ дт2 EjV^^>
[см. уравнение (3.158)] приводят к следующим четырем
зависимостям для амплитуд прогиба (иу = и), угла поворота (а), изгибающего
момента (Мх) и поперечной силы (Qy):
Мх = ArM0 + ^Q0 + CzEJk*u0 + DzEJka0 + 2Mr M, +1 ZBsPh
Qy = 4Qo + BZEJ k*u0 + CzEJk*a0 + D2kM0 + kZDriMt + 2ASP{9 (a) *
где u0t a0, M01 Q0 — динамические начальные параметры — амплитуды
прогиба, угла поворота, момента и поперечной силы при г = 0;
Az= l/2(ch/?z + cos£z),
Bz=l/2(shkz + sinkz),
С2= l/2(ch£z —cos^z), ( функция влияния;
D2= l/2(shkz — s'mkz),
k= у -^j — частотный коэффициент, м"1,8—-круговая частота
внешних пульсирующих нагрузок [0==2я//6Окол/(2яс)]; Mt и Р( —
амплитуды пульсирующих моментов и сил; rt и s, —расстояния
отсечения до пульсирующих моментов и сил.
Граничные условия на правом конце (г = /) согласно (а) примут
вид:
«/ = Atu0 + Bpjk- DtP/iEJk*) = О,
*i = APo + Diku0 — -gfeP*=0,
откуда
_±
, Р В fit-А& Р Dj-A fit .
Амплитуды прогибов, углов поворота, изгибающего момента и
поперечной силы определятся теперь по формулам (а).
В рассматриваемом случае:
е = л//30 = 3,14.1200/30= 125,6с"1,
А= l/p№/(gEJ) = 0у55\м~\ « = 0,551-2,72=1,5.
* Формулы могут быть использованы и для определения собственных
частот, если вместо G поставить со и приравнять нулю Р/ и М/.
102

Из таблиц (см. [3]) Лг= 1,21157, В, = 1,56338, С, = 1,14083, Dt =*
= 0,56589. Согласно формулам (б) и (а)
w0 = 0,00244 м, Л^-С,*я£Уи0 + О,£Уа0-В,Р/Л=«4850 Нм.
При статическом действии силы Р получаем
u?=Pl*/(3EJ) = 0y 00146 м, АГр = 2720 Нм.
Следовательно, динамические коэффициенты на левом конце для
прогиба и на правом конце для
момента соответственно а' r #
|гх = 0,00244/0,00146 = 1,67,
|ля = 4850/2720 =1,78.
На рис. 45 построены эпюры
для амплитудных значений иу и
Мх% штриховой линией показаны
эпюры при статическом действии
силы Р. т\
3.9. См. [3]. Найти две низ- ^i
ших частоты симметричных
колебаний трехшарнирной
параболической арки постоянного сечения *
при/:/ = 0,5, применив
приближенный метод И. М. Рабиновича
(рис. 46,а).
Заменим арку рамой,
состоящей из шести стержней,
сосредоточив массы стержней в узлах рамы
(рис. 46,6). Такая система имеет четыре степени свободы.
Пользуясь уравнением оси арки у = ^-х(1—х), вычислим
необходимые характеристики рамы; результаты сведены в табл. 3.5.
Таблица 3.5
Рис. 46
у в
i
0,2778
Ус
1
0,4444
tg<Pi
1,667
tg(Pt
1
*g<Pa
0,333
Si
/
0,324
I
0,236
S3
0,176
mB
lin
0,280
mc
Itn
0,206
mD
Im
0,088

Примечание
т-масса
1 м рамы
При симметричных колебаниях арки средний шарнир D
перемещается по оси симметрии, поэтому можно рассматривать колебания
половины арки при условии, что в узле D поставлен горизонталь-
* О колебаниях кругового стержня с использованием уравнений (3.154)-
(3.155) см. работу [35].
103

ный опорный стержень (рис. 47, а). Такая система имеет две сте-
пени свободы. Ее перемещения можно рассматривать как сумму
перемещений, происходящих в системах, представленных на рис.
47, бив.
Приняв за независимые смещения wB и ^ — вертикальные
составляющие перемещений узлов В и С и составив полярные планы
Рис. 47
перемещений для схем бив (рис. 47), получим значения суммарных
вертикальных w' и горизонтальных и' перемещений для схемы а
(рис. 47). Результаты представлены в табл. 3.6.
Таблица З.б
Узлы
В
с
D
Суммарное вертикальное перемещение w'
WB
—wb-\-wc
—2wc
Суммарное горизонтальное перемещение и'
—wBtg(pl+wc tg ф2
0
Силы инерции (рис. 47, а) равны:
Pt = a2mBwB = 0,280ы2тШв,
5
Р2 = (j>2mBwR tgq^ = 0,280 -j wB(o2ml = 0,467co2mtoff,
Ря = co2mc (— wB + wc) = 0,206co2m/ (wc — wB)y
Pi = ^2rnc (— wB tg ф3 + wc tg ф2) = 0,206co2m/ (wc - wR/3),
Pb = co2mD (—2wc) = —0,176u>2mlwc.
Для определения суммарных вертикальных перемещений в
точках В и С от сил инерции Pt надо построить эпюру моментов от
них и проинтегрировать ее с эпюрами от единичных сил,
приложенных последовательно в узлах В и С. Опуская промежуточные вы-
* Знак «минус» объясняется тем, что горизонтальная и вертикальная
проекции вектора ОС (рис. 47, б) противоположны по направлению проекциям
вектора ОВ.
104

= 0,
числения, приведем окончательные результаты:
w'B = (0№36wB + 010l90\7wc)[<o*ml*X2/(EJ)l А,= /:6.
Подставив из табл. 3.6 w'B = wB и введя обозначение 9 = £7/(w2m№),
получим окончательно
(0,0436-0) м;в + 0,019017а;с = 0. (а)
Аналогично для точки С получаем
(9 - 0,00442) wB + (0,00429 - 6) wc = 0. (б)
Чтобы система двух однородных уравнений (а) и (б) имела
решения, отличные от нуля, необходимо, чтобы ее детерминант был
равен нулю:
D 10,0436-9 0,019017
— | в —0,00442 0,00429-91
или в раскрытом виде
92 - 0,06690679 + 0,00027108 = 0,
откуда
9Х = 0,06257, 92 = 0,004333
и первые две частоты колебаний равны:
©! = (23,98//2) VEJ/m , со2 = (91,14//2) VEJJm .
Для определения первой формы колебаний найдем из уравнения
(а) или (б) соотношение
wc/Wb = — (0,0436 -0,0625 7)/0,019017 = 0,997.
Отношения суммарных вертикальных перемещений точек В, С и D,
характеризующие первую форму, таковы:
Wclw's = (wc — wB)/wB = — 0,003, w'D/wB = —2wc/wB == —1,994.
Многоугольники перемещений узлов показаны на рис. 48.
ЗЛО. См. [85]. Рассчитать по деформированному состоянию
круговой (р = а) консольный стержень постоянного круглого сечения d,
1 '--J-nL
0\ Ось отсчета <р и ff
Рис. 49
к которому приложена гидростатическая нагрузка qr = q (рис. 49),
при следующих данных:
фо= 103°= 1,801 рад; £ = 2000 ГПа, [а] =160 МПА, а/d* 100.
105

Подсчитаем коэффициенты расчетных уравнений:
B = EJ = №qa*\ С= 1 + 2qa*/B = 1,20;
3D = qa*/В2 = 0 y0l/(qa2),
см. (3.171).
Принимая одинаковую ось отсчета для ф и q>lf запишем
приближенные статические краевые условия:
при cpj & ф = ф0 М = Q = N — 0. (а)
Согласно формулам (3.177) краевые условия (а) принимают вид:
С/3 + 4/£а + g2k*/80 + gsk*/№ = 0;
; -8/k* + g2k/40 + g3k*/ll2 = 0;
24/k* + g2/4Q + 3gsk*/n2-qa*D = 0, ;(б)
где й = ф0 + С,8=: 1,801 +С3; ^ — определяется по формулам (3.175).
После необходимых преобразований и подстановки числовых
значений уравнения (б) примут вид:
93&7448 + gJp/80 + 0,3676* = —4;
ft*VH2 + fir1*V40 = 8; (в)
225/28gsk* + (7,5g2 - 1) k* = —7200.
Решая уравнения (в), получим:
fe = — 30,199, С3 = — 32, g2 = — 0,065512,
g8 = 0,2023- Ю-3.
Изгибающий момент для деформированного состояния определяется
по формуле (при допущении, что ф^« ф)
Мдеф = — 300qa* [0,367 + 4/(q> — 32)» — (0,065512/80) (ф - 32)а +
+ (0,2023/448000) (Ф-32)4+ .. .], (г)
для начального
^нач = - (qa*/2) {[sin Фо/2 + sin (Фо/2 - Ф)]а +
+ [cos (Фо/2 - Ф) - cos ф0/2]*}. (д)
Сравнение моментов по деформированному и начальному
состояниям для различных сечений стержня приведено в табл. 3.7.
Таблица 3.7
М /ga2
33° = 0,58 рад
5 1,5° = 0,9 рад
86°= 1,5 рад
103°=1,8 раД
деф
-1,3604
-1,2289
—0,7184
—0,6590
—0,4377
—0,3767
-0,1727
-0,1720
106

Наибольшее превышение момента, подсчитанного по
деформированному состоянию, над моментом, подсчитанным по начальному
состоянию, будет в заделке и равно «11,5%.
При значении ф0= 120° = 2,09 рад момент, подсчитанный по
деформированному состоянию, уменьшается по сравнению с моментом,
подсчитанным по начальному состоянию, примерно на 21 %.
По-видимому, окончательный результат в большой степени зависит от
гибкости рассматриваемого стержня.
При расчете прямого заделанного стержня длиной / на
гидростатическую нагрузку qr = q надо использовать уравнение (3.186).
При ф1==фн> т. е. на свободном конце, Ml = Qt = Nl = 0 и,
следовательно, согласно уравнениям (3.184) и (3.185) Сх = С2 = 0.
Уравнение (3.186) примет вид
/ М (Ш\2 м4 Л
Полагая М = Вт/1 приведем уравнение (е) к виду
\т (dm/dcp^2 = —8ос —т3, (ж)
где a = qlz/B.
Выражая далее т через новую функцию i|) по формуле /тг = ф2/3,
dm = 2/3\|)-1/3Chj)) получим
(«•£)'—*•-*■. <•>
откуда [41]
^ = _8а51п[0,75(С3 + ф1)], (и)
М = —2а-2/3 sin2/3 [0,75 (С, H-cpJ] ql\ (к)
где произвольная постоянная С3 = — ф^, и надо рассмотреть условия
деформирования — уравнения (3.181) или приближенно положить
Значения N п Q* согласно уравнениям (3.185) и (3.184)
определяют по формулам:
N = — aM*j{ql% Q = [— а2М4/(?/3)2 - 2qM]^K (л)
Глава 4
РАСЧЕТ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК
I. ПРИНЯТЫЕ РАБОЧИЕ ГИПОТЕЗЫ
При расчете тонких пластинок принимают следующие гипотезы [44].
1. Нормальный к средней плоскости прямолинейный элемент
пластинки тп после деформации остается прямолинейным, нормаль-
* Данные взяты из диссертации У. М. Аббасова «Расчет упругих плоских,
тонких стержней по деформированному состоянию». (М., УДН, 1981).
107

иоад
ным к деформированной по.
верхности и сохраняет свою
__ длину (гипотеза прямых нор.
х(их) малей) (рис. 50), т. е.
exz = e2y = ez = 0. (4.1)
2. Нормальные напряже-
ния, параллельные оси Ог,
малы по сравнению с дру.
гими, и ими можно
пренебречь; таким образом, Zz =
-0, a ZX = XZ и Zy = Yz
определяют из условий равновесия (4.10).
3. Средняя плоскость пластинки г = 0 считается нерастяжимой.
II. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. В прямоугольных координатах
На основании первой гипотезы Ихмеем соотношения:
ехг = dujdz + dujdx = 0, dujdz = — duzjdx\
eyz = duy/dz + duz/dy=^Ot duy/dz = — duz/dy; (4.2)
ez=^duz/dz=^0t uz = uz(xy y). (4.3)
Интегрируя соотношения (4.2) с учетом третьей гипотезы,
получаем
ux = — zduz/dx9 uy = — zduz/dy. (4.4)
Деформации в плоскостях, параллельных плоскости хОу:
ех = dujdx = — z d*uz/dx\ еу =* диу/ду = — z d*ug/dy*9 (4.5)
еху = диу/д* + dujdy =; — 2z д2иг/дх ду.
Уравнения закона Тука для плоского напряженного состояния
согласно второй гипотезе имеют вид:
ex = ±(Xx-vYy), ev = ±(Yv-vXx), exy = ^pLXy,
(4.6)
откуда можно определить напряжения:
Е ,. . , Ег / д2«г
У
1-
v2 \ дх* ^ ду* ) '
-*—(е +ve )- Ег (d*u* I у^М
__£
У 1
»" 2(l+v) **v
е„. = -
Ег дгиг
1+v дхду
(4.7)
Равнодействующие напряжений на единицу длины площадки
пластинки с положительной внешней нормалью (рис, 51) будут
108

равны:
M=[h/2 Xxzdz=--
x J-A/2 x
^A/2
My = \ . Y„z dz =
D(^+«
-hi 2
D
а2«г
<^2
а2«г
cty2
д2Мг
5л:2
(4.8)
H
.-".-»-Г.
h'2 v ■
л „г аг
-D(l-v)
a2^
где о = Eh*/[ 12(1 —v2)] — цилиндрическая жесткость пластинки на
изгиб.
Рис. 51
Уравнения равновесия бесконечно малого элемента пластинки
(рис. 52) имеют вид:
2Му = 0 dMx/dx + dHy/dy-Qx = Ot
%МХ = 0 dMy/dy + dHx/dx-Qv = 09 (4.9)
2Z = 0 dQx/dx + dQy/dy + q = 0.
Из первых двух уравнений (4.9):
х* J -А/2 * дх { ду дх \
-А/2 * 5л;
•л/2 ал!„
Z„dz = -^-
А/2 » ду
дН
Подставив выражения (4.10) в
третье уравнение (4.9), получим
д*Мх д*Н д2М
'~~дх*~ + г
■<{
дх2
ду
д2и2
i2 J >
(4.10)
ал;2 ~ di/a
Равнение (4.12) является
Известным уравнением С. Жер-
Рис. 52
109

мен — Лагранжа [125], в балках ему соответствует уравнение
(3.110).
Если пласгинка ортотропная, т. е. имеет по двум взаимно пер.
пендикулярным направлениям х, у различные упругие свойства Еи
vx; Е21 va, причем Exv2 = E2vb то уравнение (4.12) принимает вид
".-&-+*>. ,й&г+1>.ф-,. с-12'»
где.
^ = £^/[12 (1 - v2v2)], D2 = E2hV[l2 (1 - Vlv2)],
D, = D,v2 + 2DKp - D2vx + 2£>Kp, DKp = G/*3/12.
Если толщина пластинки h = h(x, у), то уравнение (4.12)
принимает вид
Пп1 . о Г 3D д „2 . 3D а _. 1 .
^ ах2 V дх* ^V <fy2 у Г <fy2 V <ty ^ дх2 J ^
, а /л \ d2D d2uz ,. 10„.
+ 2^-^Ж^-дх^^д' (4Л2)
См. [101, с. 200].
Полученная из уравнения (4.12) функция uz=*uz(x, у) должна
удовлетворять краевым условиям, которые формулируются
следующим образом:
1) для заделанного края при х=*х0
Hj — 0, duz/dx = Q\
2) для шарнирного края при х=*х0
1ди*\^— п.
дх2
uz =~ 0, Мх - - D (д*иг1дх* + vd*u,/dtf) - - D ££§- = 0;
3) для свободного края при х = х0
где Qx —распределенные по краям приведенные поперечные силы,
которые приводят в углах к сосредоточенным силам:
v ' дхду \y=yQ
(где х0 и у0 — координаты угловой точки).
2. В полярных координатах
Выражая прямоугольные координаты через полярные по
формулам:
x^rcosp, y-srsinp, xa + */2 = r2, p = arctg*//*
no

(рис. 53) и подставляя их п5^
в уравнение изгиба пластин- ^^^
ки (4.12), получаем '
Внутренние усилия
определяются по формулам:
г» ар2
.vi\
•2 ^ft2 Т v ^2 i »
где V2... =
а2..,
1 а...
дг2
г аг
1 д2...
г2 ар2
(4.15)
(4.16)
Решение уравнения (4.14) можно принять в форме, данной Клеб-
шем [118]:
00 00
"г=#„ + 2 #mcosmp+ 2 ^«sinmP + «,(7), (4.17)
т—\ т = 1
гДе /?£ —функции только г; w2 (9) —частное решение.
Подставив общее решение (4.17) в однородное уравнение (4 14)
п°лучим: '
Я0 = Л() + В(/2 + С01пг + О0г21пг,
/J^^r + S^ + C^ + D^lnr, (4.18)
аналогичные выражения получаются для Rm.
Для полярно-симметричных задач решение не зависит от угла |3
принимает вид
^=/?0 = Л0 + В0/-2 + С01пг + О0/-21пг + ^^). (4.19)
Усилие определяют по формулам:
" dr ^V "*' u dr \ dra ^ r dr J "~ dr i+v ' l4^U'
111

Из уравнения (4.14) имеем:
откуда частное решение
Например, при q(r) = const uz(q) = qrV(6W):
Напряжения определяют по формулам:
Ег ( d2uz v duz\
1_V2 { dr* h r dr J >
Er ( 1 duz , d2^ \
(4.23)
III. РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК НА УПРУГОМ ВИНКЛЕРОВСКОМ ОСНОВАНИИ
При винклеровском основании отпор упругого основания (в
частности, грунта) пропорционален прогибу пластинки в
рассматриваемой точке:
p = — kuzy (4.24)
гдеk— характеристика основания —«коэффициентподатливости
упругого основания», Н/м.
1. Решение в прямоугольных координатах
Дифференциальное уравнение изгиба пластинки на упругом
основании согласно уравнению (4.12) имеет вид
ал:4 г а*2 а*/2 ^ а^
ИЛИ
{v + ^-Y^ + i^-W (4-25)
Если два противоположных края пластинки (у = 0 и # = Ь) (см.
рис. 50) шарнирно оперты, то общее решение уравнения (4.25)
можно взять в форме
00
и,в 2 ",„(*) sin/i^, (4.26)
л=0
где а?х = пя/&.
Подставив выражение (4.26) в однородное уравнение (4,25),
получим
fd2... 2 \2 ь .
(т? nJ-.-J «ж»+-5-^ = 0,
112

(4.29)
или в развернутом виде
*£*-2П«&.+ (* + $)и.п-0. (4.27)
Полагая
uzn = Ce™ (4.28)
и подставляя в уравнение (4.27), получаем:
где
№ = klD\ 2pj = V0i} + ^ + /iJ;
Общее решение (4.28) уравнения (4.27) примет вид
и,» (*) = Ля ch Р** cos Vn* + Вп sh finx cos у„л: +
+ Cnchp„A:sinY„A: + ^«shp„xsinv„x, [ ' '
где Ля, Вп, Сп и Dn определяют из условий по краям пластинки
(х = 0 и х = а).
2. Решение в полярных координатах.
Дифференциальное уравнение изгиба пластинки на упругом
основании согласно уравнению (4.14) имеет вид
Полагая
г = г0а, (4.32)
где r0 == \/D/kf
приводим уравнение (4.31) к виду
\ да2 ^ а да ^ a2 ap2 J и* ^ и* D к '
Раскладывая неизвестное и нагрузку в ряды:
иг (а> Р) = 21 wz* И cos "Р>
л = 0
(4.33)
9 (а, р) = 2 <?„(<*) cos пр
(где ^п(а)=— Г" ? (а, Р) cos/гр dp—известные коэффициенты), по-
лучаем для uzn простые дифференциальные уравнения
'Ё!^ + ±Ё1^_5!шУи + и =««(55). (4 34)
da2 +a da a2 J "*« + "*» k ^'°V
113

Для получения общего решения полагаем qn = 0, в этом случае
уравнения (4.34) распадаются на два уравнения:
^ + ^±(*Sb»-°. (4.35)
которые интегрируются в функциях Бесселя /г-го порядка первого
— Jn( ) и второго Nn( ) родов:
"гп И = AinJn (КГа) + A2nN(VTa) + A3nJn (^=7а) +
+ AtnNn(V-i*)- (4-36)
В случае полярно-симметричной задачи уравнение (4.34)
примет вид
При <7(а) = 0, проведя преобразования, аналогичные уже
рассмотренным, получим
и2(<*) = ЛЛ (КГа) +Л2Л/0(КГа) + /(3У0 (К^а) + 44Л^(|/"=7а) .
(4.38)
Частное решение надо найти из уравнения (4.37).
Усилия определить по формулам (4.20) с учетом (4.32):
D fd2uz , v d/
Mf "" ,? V da2 "^ a da
^ _ D d fd2u2 1 <taA
^ rJ da V da2 ~r a da ) '
IV. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК
При расчете на устойчивость кроме поперечных нагрузок
имеются и силы, действующие в средней плоскости пластинки. Эти
силы могут оказать значительное влияние на изгиб, и их надо
учесть при выводе дифференциального уравнения. От действия
продольных сил помимо моментов и поперечных сил (см. рис. 52)
в средней плоскости пластинки возникнут тангенциальные силы,
показанные на рис. 54. Эти силы на единицу длины обозначим:
Сумма проекции этих сил на оси х и г/ даст два независимых
уравнения:
ZY.0 S + ^-О. (4'40>
дх ' ду
114

С учетом деформированного состояния проекция нормальных сил
fjx на ось г
dNx
dx
дх ' \"Л ' дх "~J V дх ^ дх2
дих , д2и2
dx) dy =
проекция нормальных сил Ny на ось г
м д*и* л л ■ dNV ди*
NvWdxdy + ~WW
проекция сдвигающих сил S на ось z
dx dy\
2Sd*Uz dxdu 1 (dSdUz \dSdu*
^дхТуйхау+\дх ду ^ду дх
dxdy.
(4.41)
(4.42)
(4.43)
Складывая полученные проекции (4.41) — (4.43) с проекцией от
нагрузки qdxdy и поперечными силами (4.10), а также учитывая
уравнения (4.10), получаем
*«,.,, J^ , 0±u^^^+Nx^ + Nv^ + 2S^ry (444)
дх* ~г "дх*ду*~Г ду* ~ ТУ V7 ' "* дх* ' "v ду2 ' "" дхду
По уравнению (4.44) можно изучать устойчивость 2-го рода
S
\ {дх+д^йх
**!&*
Рис. 54
Если пластинка бесконечно тонкая (D—>0) и растягивается
в двух направлениях одинаковым натяжением N0f т. е. является
Мембраной, уравнение (4.44) принимает вид
(d2uz , d2uz
No
\ дх* ^ ду'
О —
(4.45)
115

При q = 0 из уравнения (4.44) получим уравнение для изучения
устойчивости 1-го рода:
&Uz , о d*uz д*и2_ 1 (м д2и2 д*иг 9„д*иг\ м 4fi.
Поведение пластинок после потери устойчивости при прогибах
uz> сравнимых с толщиной пластинки /i, можно исследовать с
помощью двух нелинейных уравнений Кармана [131]:
D_ Гд*иг ^ д*и2 ^и2Л а2фд2и2 , д2уд2и2 9 д2ц> dhiz
h [дх* ~т~ дх2ду2 ду* J ду2 дх2 ~*~ дх2 ду2 дхдудхду '
^4Ф , о д4Ф , д*<р=р Г/а2^\2 д2и2д2и2Л * ,Д47.
дх^ dxdif^dx* 1\дхду) дх2 ду2 J ' ^ ^1)
где ф—функция напряжений.
Напряжения в пластинке определяют по формулам:
а =^!Ф Ег (д2и2 д2и2\
х ду2 \ — v2\dx2~Tdy2)'
а =д^ eL.(^ + v*!U\ (4 48)
а2ф Ег д2иг
ХУ дх ду 1 -\-v дх ду '
При г = 0 получаются напряжения в средней плоскости
пластинки.
С помощью уравнений (4.47) можно исследовать и большие
прогибы пластинки при поперечной нагрузке q, для этого в правую
часть первого уравнения надо добавить член q/h, см. уравнение
(4.44).
V. КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК
Рассмотрим лишь поперечные колебания пластинок в рамках
теории Кирхгофа, представляющие наибольший практический
интерес.
Если учесть вертикальные силы инерции, то уравнение
движения пластинки примет вид (4.12):
Прогиб и2 должен удовлетворять граничным условиям (4.13) и
начальным условиям:
при т = 0 и2 = и0(х, у), -£z = v0(xy у), (4.50)
где и0—заданный начальный прогиб в точке (#, у)\ v0—заданная
начальная скорость в той же точке.
При исследовании свободных поперечных колебаний пластинки
решение задается в виде произведения
и2 = (А cos сот + В sin от) U (х, у)у (4.51)
где со = 2п/Т — частота собственных колебаний.
* Второе уравнение (4.47) является уравнением неразрывности деформаций.
116

Внося решение (4.51) в уравнение (4.49), получаем для V
уравнение
у4(У-^со2£/ = 0. (4.52)
Решение уравнения (4.52) принимают в виде двойного ряда Фурье,
зависящего от двух параметров /пи п (т=1, 2, 3..., п=1, 2,
3. . .):
U=. 2 Ъ.Атпитп.
т=\ п=1
Краевые условия (4.13), которым должно удовлетворять
решение уравнения (4.52), дают систему однородных уравнений
относительно неизвестных произвольных постоянных Атп\ определитель ее
должен быть равен нулю. Этот определитель представляет собой
уравнение частот
Д(ю) = 0. (4.53)
Корни уравнения (4.53) составляют спектр частот рассматриваемой
пластинки. Наименьшая частота называется частотой основного
тона, остальные—частотами высших порядков (обертонов). Каждой
частоте ытп соответствует функция Umn(x, у)—собственная
функция, определяющая одну из составных форм изогнутой поверхности
(гармонику тп).
Заданные начальный прогиб и0 и начальную скорость
раскладывают в ряды по собственным функциям Umn(xy у)\
00 ОО 00 00
"о=2 2 *mnUmn< «0=2 2p\»„^«m, (4.54)
m=lя=1 m=ln=l
определяют коэффициенты <хтп и $пп по формулам!
«я» = ■& J" j0 u*Umn (х, У) dx dy,
Р- "S^L Jo Jo V*Umn {X< У) ^^
(4.54')
и принимают общее решение уравнения (4.49) как сумму решений
(4.51):
О» ОО
и, (х, у, т) = 2 S («.»cosffl„BT+ ря„ sina„BT)l/,..„(*, у). (4.55)
(См. [66]).
Таким образом, полный прогиб получается в результате
наложения бесконечного числа гармоник, меняющихся с течением времени
по закону простых гармонических колебаний с частотами (отп.
Для мембраны (4.45) уравнение движения имеет вид
V«.-^^-0. (4.56)
117

Полученное уравнение также можно проинтегрировать методом
Фурье (см. [99], гл. IX).
Получение решения уравнения (4.49) в форме (4.55) сопряжено
с большими затруднениями, и полностью задача решена только для
прямоугольной шарнирно опертой по двум противоположным краям
с произвольными закреплениями по двум другим краям (см.
задачу 4.10) и круговой заделанной пластинки (см. [48], т. I, гл. V).
Так как для прикладных задач главный интерес представляют
частоты основных тонов, то для их определения можно
пользоваться приближенным методом, например методом Рэлея.
В последнем случае можно предположить, что пластинка
свободно колеблется с частотой основного тона со как система с одной
степенью свободы и ее состояние определяется одной обобщенной
координатой <7(т), а прогиб определяют уравнением
u2 = q(T)U(x, у), (4.57)
где U (х, у)—функция, приближенно представляющая форму
изогнутой поверхности и удовлетворяющая граничным условиям.
Для пластинки
(4.58)
Уравнение Лагранжа 2-го рода (2.67) после внесения в него
значений (4.58) примет вид
d2q/di2 + a>2q = 0f (4.59)
где частота свободных колебаний
шГ 2Dg\\n^U)dxdy
а прогиб
и2 = (A cos сот + В sin сот) U (х, у).
Точность определения частот зависит от выбора выражения U.
Часто для функции U выбирают выражение, пропорциональное
статическому прогибу рассматриваемой пластинки под действием
равномерно распределенной нормальной нагрузки q. Выбор
«определенного прогиба» U увеличивает жесткость пластинки, так как связан
с наложением на нее дополнительных связей, и это приводит к
завышенному значению частот.
ЗАДАЧИ
4.1. См. [101]. Определить прогибы шарнирно опертой
прямоугольной пластинки (axb)y вызванные распределенной нагрузкой
? = <7(*. У)-
118
(4.60)
(4.61)

Представим прогиб иг в виде двойного тригонометрического ряда
(Навье, 1820):
оо со
"ж(х, У)= 2j 2iamusm—-sm—z-, а
ш=1п=\ а °
удовлетворяющего краевым условиям:
при ^-0 и х = а «, = 0, Mx = -d(^ + v^)=0,
при 0-0 и у = & и, = 0, iMy = -D(^+v^)=0;
но поскольку по краям х = const или # = const wz = 0, а
следовательно, и все производные по другому аргументу (у или х) равны
нулю, краевые условия можно представить в более простом виде:
при х = 0их = а и* = 0, д2и2/дх2 = 0у
при у = 0 и y = b uz = 0, д2и2/ду2 = 0.
Дифференцируя выражение (а) и подставляя в уравнение (4.12),
получим
±2Cmnsm^s\nn-f = q(x,y), (б)
m*l rc=I " °
где Стп = D*t* (т2/яа + п2/Ь2)2атп.
Умножая обе части уравнения (б) на sin-^dr/, интегрируя от О
до Ь и учитывая, что
josin^sin^.ch/=:0 при пфк
= ft/2 при n = k,
получаем
00
т= 1
Умножая обе части уравнения (г) на sin — djc и интегрируя от О
до а, с учетом формулы (в) имеем
TT^^JoJo9^» y)sm-^sm — dxdy. (д)
Из формулы (д), заменяя индексы i и /г на т и я, определяем
коэффициенты разложения (а):
Д«|.д" ,/m» , п»\» ?(*, r/)sin —sin-^dxd</. (е)
■(S+S)-J.i
При ? = const
а = ^ т=1,3, 5...,
^«-(S+S)" «=1,3,5...
119

и прогиб пластинки
_ 16? у
. тя* . ля#
sin——sin -г—
а _0
U71 m = 1.3... /1=1,3 ...
При х = а/2 и # = Ь/2 получим
т + п
max и - =
2 Б
(-1)
16<7
О^Г ^j Х- тп(тг/а2+«2/*2)2'
т=1, 3 ... л=1, 3 ...
(Ж)
Полагая &:а = |л, можно формулу (ж) записать в виде
max г/3 = aqa^/iEJi*),
где
— i
^1 — JZ~^2 » а =
12-16
X
(-1)
т6 т fl n-i^t тл(т*+«*/Ц2Г
m= 1, 3 ... n= 1, 3 ...
Зная прогиб, по формулам (4.8) можно подсчитать моменты и
составить расчетные таблицы.
4.2. Определить прогибы шарнирно опертой прямоугольной
пластинки (axb), вызванные сосредоточенной силой Я, приложенной
в ^чке х = с, y = d.
Полагаем P = qdxdy, откуда распределенная нагрузка
q = P/dxdy. (а)
В формуле (е) задачи (4.1) q=^0 лишь для точки х~с и y = d,
где она равна значению (а), поэтому коэффициенты
4Р
Ял4
и прогиб
V а2 + б2
. тяс . nnd
Sin Sin—г—
ab
и,=
4Р
Dn4ab
т=1, 3... я=1, 3
, тле , nnd
Sin Sln—г-
а Ъ . тпх . пя#
•Sin Sin—-r-
(HIL4- — Y
" \а2 + b*J
4.3. См. [101]. Определить
прогибы прямоугольной пластинки (axb),
х у которой края у = 0 и у = Ь
шарнирно оперты, а два других имеют
произвольные закрепления; пластинка
нагружена произвольной распределенной
нагрузкой q(x, у) (рис. 55).
При любом фиксированном
значении координаты х функцию прогиба
120

uz(x> У) в интервале 0<*/<6 можно представить рядом (М.
Леей, 1899)
00
"ж (*. У) = 2 ** (*) sin яш//Ь, (а)
о= 1
где Хп(х) — функция только координаты х.
В свою очередь нагрузка q (х, у) может быть представлена рядом
»
Я (х, У)=Ъ Яп (*) sin mx*//b, (б)
п= 1
где ?„ (*) = \l\q (х, у) sin^dy.
Подставляя значения (а) и (б) в уравнение (4.12) и сокращая на
s'mnny/b, получаем для каждого члена разложения
дифференциальное уравнение четвертого порядка:
6х* b2 dx2 "*" б4 л»~~ D * W
Полагая Х„ = ХЛ + Х„, где Х„-—общее решение, а Х«—частное
решение уравнения (в); определим Хп по обычным правилам, задав
его в форме: Хп = Спех*. В этом случае получим для определения X
характеристическое уравнение
откуда Xit2 = nn/b и A,3i4=;—/гя/b. Общее решение в показательных
функциях примет вид
_ гт пп
Хп = (Ст + Сп2х)еЬ х + (СпЯ + Сп,х)е'ь \
где произвольные постоянные Cni определяют из граничных условий
на краях пластинки, параллельных оси у.
Окончательно получим выражение для прогиба
и Ах, У) = Ц [(Сп1 + Сп,х)е^х + (СпЯ + Смх)е~'> X + X^sin^y.
П=1
При q(x, y) = q = const
qn(x) = 4q/(nn) и X' = Wq/(n*n*D),
где п= 1, 3, 5...
Если пластинка не имеет двух противоположных шарнирно опертых
краев, то прогиб не может быть представлен рядом (а) и точное
решение сильно осложняется. В последнем случае часто применяют
приближенные методы—вариационные методы Ритца —Тимошенко,
Бубнова —Галеркина, Треффца, Власова —Канторовича, метод
конечных разностей и г. д.
121

н t f ) п
*Сэ|СчГ
Z
>рж^
4.4. См. [101]. Определить Пр0
гиб пластинки, когда края ее j^
= 0 и х = а шарнирно оперты,^
два других у=±Ь/2 поддер^
ваются упругими балками с жест!
костью на изгиб в вертикальной
плоскости EJ. Пластинка нагру.
жена равномерно распределенной
нагрузкой интенсивностью q (рИс
56).
NfJ
Рис. 56
условия только для края у = Ь/2:
Предполагая, что балки не со*
противляются кручению, и
учитывая симметрию относительно оси
х, можно написать два краевых
д2иг
°[
дЧ2
ду*
ду2 '
-(2-v)
д2и2
дх2
д*и2
дх2ду
= 0;
(а)
Положим, что полный, прогиб слагается из двух частей uz=w1+w2i
где w1—прогиб равномерно нагруженной шарнирно опертой полоски
длиной а, выражаемый рядом
w,
т=\, 3.
a w2 может быть определен рядом
4^а4 V^ 1 . тлх
^г/5" 2-1 "^5sin~T~"'
W*
2rf YmSM—T>
m=l,3,.
Произвольные постоянные Ат и Вт определяют из краевых
условий (а), которые при обозначениях am = mnb/(2a)y X=EJ/(aD) имеют
вид:
^«(l-v)chaa + 5e[2chaw + (l-v)aes'haj = ^f
-Am[(l-v)sham + mnXcham] + Bm[(\+v)sham-
—(1 — v) a, ch am — mnXam sh am] = 4V(w4n4).
Решая эти уравнения, находим:
4 v (l+v) ch ат—у (1 —у) ат ch ат—тп'к (2 ch ат + ат ch ат)
Аг
(3+у) (1 —у) ch ат ch ат — (\ —у) 2ат + 2тпК ch2 ат
В„
у (1 —у) sh ат-\-тпХ ch ап
тьпь (3+v) (1—у) sh OLin sh <хт — (1 —у)2 ат -J-2/няА, ch2 ад
122

Выражение для изогнутой поверхности пластинки находят
подстановкой этих постоянных в выражение
u, = Wl + wt = *4 I! (^ + AmCh^ + Bm^sh^)sm^.
z x 2 D *-* \ пъть ' m a ' m a a a
m=l, 3... ч '
4.5. Рассчитать круглую пластинку радиусом а, жестко
закрепленную по краям и нагруженную равномерно распределенной
нагрузкой интенсивностью q.
Ввиду полярной симметрии задачи решение уравнения (4.14)
берем в форме (4.19):
uz = A0 + B0r* + qr4(6W),
бесконечную часть решения при г = 0 отбрасываем.
Для пластинок с отверстиями посредине следует брать полное
выражение (4.19). Для определения произвольных постоянных имеем
граничные условия: при г = а
или в раскрытом виде:
А0 + В0а* + <?aV(64D) = 0, 2В0а + да'/(Ш) = О,
откуда Л0 = <7а4/(64£>), В0 = —^o2/(32D). Окончательно выражение
для прогиба имеет вид
иг = <7(а2-/-г)2/(64£>).
М,
Согласно формулам (4.20) моменты равны:
& Т 1
i !
1 -О
к—V
Рис. 57
4.6. Рассчитать пластинку в форме части
кругового пояса с центральным углом 2ро
(рис. 57): по прямым сторонам пластинка
шарнирно оперта, по криволинейным имеет
произвольные закрепления и загружена произвольной нагрузкой
Я (г, ф).
При шарнирном опирании радиальных краев можно
использовать решение М. Леви [задача 4.3, уравнение (а)]:
Mr.P)«£«.<r)sta25^,
где Rm (г) — функция г.
т»1
2Ро
(а)
123

Принятое решение (а) удовлетворяет краевым условиям по
радиальным краям: при Р=±Р0 и2 = М& = 0 или (см. задачу 41)
uz = d2ujdfi* = 0. Нагрузку раскладываем в ряд
7(г,Р)-Е^(г)8щ25^Ш,
(б)
Подставляя разложения (а) и (б) в уравнение (4.14) и сокращая
на общий множитель, получаем для каждого члена разложения
уравнение
г* dr* гз dr\' dr J^r dr\r dr [TTr[ r~dr)\(- ~D~' (B)
где ^от = тя/(2р0).
Положив r = e'(f = lnr), приведем уравнение (в) к уравнению
с постоянными коэффициентами, решим его обычной подстановкой
Эйлера Rm (t) = Cmekt и с помощью обратного перехода получим
_Rrn(r) = Aym + Bmr-bm + Cym+* + Dmr^m+* + Rm(r)y (г)
где Rm(r) — частное решение от нагрузки qm(r)-
Произвольные постоянные, входящие в решение (г), определяют
из граничных условий по криволинейным сторонам при г = а и r = b
(рис. 57).
Так, если по криволинейным сторонам будет заделка, то
uz = 0, диг/дг = 0\
при шарнирном опирании
„ = 0,M, = -4^ + v(±^-#...)]
«г=о,
или соответственно
Я« = 0,^а = 0
d*
dr2 ^
Рис. 58
4.7. См. [101]. Исследовать
устойчивость пластинки, у которой
две противоположные стороны
шарнирно оперты, одна заделана и
одна свободна, а сжимающая нагрузка Nx приложена к шарнирно
опертым сторонам (рис. 58).
Уравнение устойчивости 1-го рода (4.46) примет вид
N*
D дх2
V2V2 __/V &UZ
(а)
124

Задаем решение уравнения (а) в форме
ug = Y sin тпх/а, (б)
где У = Y (у) — функция от у—число полуволн в направлении оси х.
Принятое решение (а) удовлетворяет краевым условиям: при
*==0 и х=а uz = d2u2/dx2 = 0, см. задачу 4.1.
Подставляя решение (б) в уравнение (а), получаем
дифференциальное уравнение относительно функции Y:
2/л2л2 л/„ т2я2 [ Nx т2я
yiv "а Jl у"
а*
Пгт ^*^ mV
при -р > —_ и полагая
D а2 У Г ~и*
К = Се**, (в)
из характеристического уравнения находим:
Тогда решение (в) принимает вид
Y = Qe-^ + С^у + С3 cos р# + С4 sin р>. (г)
Полученное решение (г) должно удовлетворять краевым
условиям: при у —О uz = 0, dujdy = Q или соответственно
У = 0, д¥/ду = 0; (д)
^ + (2-^)5^ = 0
или соответственно
^_v^y-0 ^7 (2-у)т2л2 dY fi ,,
d*/2 a2 ' <ty» a2 d*/ w
Из условий (д) следует, что
Сх = - (aC8-РС4)/(2а), С8 = - (аС3 + |ЗС4)/(2а),
и решение (г) принимает вид
Y = А (cosfiy—chay) + B (sinfiy—-^ shar/j, (ж)
где А и В выражены через С3 и С4.
Подставив решение (ж) в соотношения (е) при у = Ь, получим
два однородных линейных уравнения относительно постоянных А
и В. Детерминант этих уравнений, приравненный нулю,
представляет собой уравнение для определения минимальной критической
125

силы—min Nх:
2ts + (s2 +t2) cos (3ft ch aft = 4j- (a2/2—p2s2) sin pft sh aft,
где
t^p + vmW/a2, s^a2—vm2n2/a2.
Подсчеты показали, что при небольшой длине а пластинка
выпучивается по одной полуволне и в расчете надо брать т = 1.
4.8. См. [101]. Исследовать устойчивость прямоугольной
пластинки (axft), шарнирно опертой по краям и сжатой нагрузкой NXi
приложенной к сторонам # = 0 и х = а.
Уравнение устойчивости 1-го рода (4.46) имеет вид
^,2 «2, Nx d*UZ / v
V»V4*—^-ftjr. (а)
Задаем решение уравнения (а) в форме
и2 = ^mrt sin (тлх/а) sin (nny/b), (б)
где m—число полуволн в направлении оси г, п—то же, в
направлении оси у\ Атп—амплитудное значение прогиба.
Подставляя решение (б) в уравнение (а), получаем
д, _ л2Р(т2/а2+п2/Ь2)
(г)
Минимальное значение Nx будет при п=*19 в этом случае
Л/ =3^(^+1)а
где
б = m*/\i*=* m2ft2/a2.
Минимальное значение выражения (г) получится из условия
М* я2Р2(б+1)б--(б+1)2_п
dd ^ b2 б2 ~~u'
откуда 6 = 1 и, следовательно, |л = т. Таким образом,
. А7 n2D(l + l)2 4n2D
Значение jji = a/ft, при котором искривленная форма равновесия
пластинки может иметь т и т+\ полуволн, определяется точкой
пересечения кривых т и т+1; его находят из уравнения
(mV+1)2^ [(m+l)>M-l]2
m2/fi2 (m+l)2/fx2 ' w
Согласно уравнению (д) получим (я = Кта + /^-
Таким образом, переход от одной полуволны к двум будет при
Ц=К2, от двух к трем при n = j/"6 и т.д. Результаты подсчетов
представлены на рис. 59.
126

N*
1 \ * £'
\ > V
1 X. ^/l^4^
1 1
1 '
| j
Л
У
1 1
1 I
1
I 1
£>/ n=f
Г"~ Ьг
i V2 2 Vs
3
Рис. 59
и
4.9. См. [46] и [66].
Определить критическую
нагрузку и найти зависимость
после потери устойчивости
между силами и прогибами
для прямоугольной
пластинки (ахЬ), шарнирно-подвиж-
но закрепленной по краям
До потери устойчивости
вдоль краев пластинки
действуют равномерно
распределенные напряжения р0х и р0и
(рис. 60).
Полагаем, что
распределение напряжений вдоль
краев после выпучивания
пластинки, как ячейки
перекрытия, будет определяться
законом:
при х = 0 рх =
= —Kcos2ny/b—p0xy
при у = 0 ру =
= —Я2 cos 2пх/а—р0у,
гд$ Х(—коэффициенты,
зависящие от прогиба
пластинки.
Полагая, что форма поверхности выпученной пластинки при
дальнейшем ее изгибе сохраняется, задаем ее в форме двойного
тригонометрического ряда
(а)
Рис. 60
00 СО
"z = Е Z fmn Sin (^р) Sin №f\,
(<5)
удовлетворяющего условиям шарнирно-подвижного закрепления.
"Определяя производные функции uz и внося их в правую часть
второго уравнения (4.47), получим линейное уравнение относительно
функции ф:
у*ф=я£Ё/*
тп 2а2Ь2
4 / 2тпх
COS
-COS
2/2 ку \
интеграл которого с точностью до линейных слагаемых определяется
формулой
. 2тлх , т462
COS
2ппу\
Ь )
и2 х2
—рох-9:—Ро„-2- (в)
127

Напряжения в средней плоскости согласно формулам (4.48) при
удержании только первого слагаемого в ряду (в) будут:
д2Ф £я2/2 2я(/
а = — = — спъ—-—п
* ду2 8а2 Ь ™*"
__ а2ф __ £я2/2 2пх __ д\ _п
ai/~~d*2~~ 8b2 cos а *V Т^~" а*Эу — и'
Напряжения на краях пластинки:
, £я2/2 2я#
<?* |х= 0,a = px = — -g-5- C0S "J Ро*>
. £я2/2 2jw
^|^о.б = ру = 8^C0S"^ Р*у>
откуда, сравнивая с формулой (а), получим
^-£я2/2/(8а2), Я2 = £я2/2/(862).
Следовательно, нагрузка, соответствующая прогибу /:
£я2/2 2ли
при * = 0, а рх = ^reos-f-—p0xt
А и Ел2/2 2пх
при у = 0, Ь ^ = — -gjf cos — р0у.
По мере выпучивания пластинки напряжения на краях
увеличиваются в областях, близких к углам пластинки, и уменьшаются
в областях, близких к серединам краев. При большом прогибе
напряжения в середине краев сделаются равными нулю; это произойдет
на краях * = 0, а при / = (2а/п) \/^2р0х/Е (у = Ь/2),
на краях у = 0, b при / = (26/я) V2p0y/E (х = а/2). (г)
При дальнейшем увеличении прогиба напряжения рх и р вблизи
середины сторон станут растягивающими и сжимающую нагрузку
будут воспринимать угловые части пластинки.
Представим первое уравнение (4.47) в виде
ду2 дх2 ^ дх2 ду2 дхду дхду h v "* —и- W
Внеся в уравнение (д) значения функций ср и иг из формул (в) и (б),
получим
^ Г£я4/3 / 1 2я(/ . 1 2iw\ ,
+л2Ч^+^У—jrU + ^)Js,n—sin-r=°- <е>
Для определения критической нагрузки по методу Бубнова —
Галеркина умножим функцию Ф на вариацию прогиба и2 и
проинтегрируем полученное выражение по всей площади пластинки, т. е.
подсчитаем интеграл
где 6uz =5 6/ sin (пх/а) sin (ny/b).
128

Так как вариации 6f = 0, то, следовательно,
H>siniFsin-fd*d^0. (*)
где Ф определяется формулой (е).
Раскрыв выражение (ж), получим
откуда
l>-+i*.-s?&+i)'<*+%{±+jr)r: (з)
нагр1°3ЛкаГаЯ СТрелу пР°гиба / Равной нулю, получаем критическую
ь n _l_ а „ DjxV * . 1 V и
^Pox+jPoy = — (^ + ^г) Об-
Введя значения (г) в уравнение (з), определим предельную нагрузку
прогибы, при которых применимы полученные зависимости:
/пред = 4 (а2 + b*)VD/[Eh(a* + b%
( Ь п _ь а n \ _2Dn* ( а , ft \2
Если пластинка выпучивается в направлении оси х по т
полуволнам и в направлении оси у по п полуволнам, то в ряду (б) надо
Удержать член п;
uz = fmn sin (тпх/а) sin (плу/b).
Зависимость между нагрузкой и прогибом имеет вид
Р тЧ л. п пЧ Djt2 fm2 J-n2\„h . Е^тп ( тЧ п*а \
^°* ~ +Р°У ~ - "ЯГ ^ +^2-J ОТ +—[g— ^""Г +-^3-J >
и критическая нагрузка определится формулой
что совпадает с результатом, полученным С. П. Тимошенко [101]
(см. задачу 4.8, формулу (в), где Nx = poxh).
о4,10. См. [66]. Исследовать собственные колебания
прямоугольной (axb) шарнирно опертой пластинки.
Решение уравнения (4.52), удовлетворяющее условиям шарнир-
н°го опирания, имеет вид
Uтп = sin (тлх/а) sin (nny/b)t (а)
г^е т и п—целые числа.
S ^ 1651 129

Внеся выражение (а) в уравнение (4.52) и сократив его на общий
множитель, получим
/тя\4 . п/т/гя2\2 , /яя\4 yh « Л
Отсюда частоты
Частота основного тона при т = п=^\
Форму колебаний, соответствующую данным частотам, определяют
собственные функции выражения (а).
Рис. 61
На рис. 61 показана пластинка, совершающая колебания с
частотами о)п и (o2i. Полный прогиб пластинки равен сумме
бесконечного ряда прогибов (гармоник) и имеет вид (4.55):
иж = 2' S (a-»cos©e„T + PMsIn(oMT)sin^sln^ , (б)
ш=1л=1 а о
где согласно формулам (4.54) коэффициенты ряда (б) равные
4 fa (*& . mar* . ляи , ,
а"п = Гь)о]ои<>5т—5тьахс1У'
а 4 Г^ г»ь . тпх . пли , ,
Выражение собственной функции Vт для прямоугольной
пластинки, у которой две противоположные стороны х^а и х**®
шарнирно оперты, а другие произвольно закреплены, имеет виД
Ua=[Ciasm^y + Ctncos—^y + C9ash^y +
где
* - \/r±7Jh^ JT а _ 4/ 1 fv^4o>2TTT
*1_ V D \n*gm DJ ' *2~~ У D \n*gm* ^~D) •
130

Функция Uт удовлетворяет условиям на шарнирно опертых
краях; с учетом условий на двух других сторонах получается
система четырех однородных уравнений с четырьмя неизвестными Ckm.
Частоту колебаний определяют путем приравнивания нулю
определителя этой однородной системы [см. (4.53)]. Каждому значению
т=1, 2, 3 ... соответствует бесконечный ряд частот cown, так как
уравнение (4.53) является трансцендентным.
Для прямоугольной пластинки (axb), заделанной с четырех
сторон (и при других сложных закреплениях), точного решения
задачи нет. Приближенное решение можно получить вариационным
методом [см., например, (4.57)—(4.61)], задаваясь одним из
выражений:
УЙП= (х2—я2/4)2 (у2—ЬЧ4)*хтуп,
Umn*= [1 (— \)т cos 2тлх/а][1 —(— 1)" cos 2ппу/Ь],
Umn = cos2 (тпх/а) cos2 (nny/b),
удовлетворяющих граничным условиям:
при х=*±а/2 итп = д11щп/дх = 0,
при у=±Ъ12 Umn = dUmJdy = 0 (см. [66, с. 352]).
Для упруго заделанных прямоугольных пластинок можно
воспользоваться решениями П. Ф. Папковича [68].
Исследованию устойчивости сжатых пластинок при вынужденных
колебаниях посвящена работа [86].
Глава 5
РАСЧЕТ ТОЛСТЫХ ПЛИТ
Теория толстых плит, основанная на уравнениях равновесия и
неразрывности упругого изотропного тела, на которое действуют
только поверхностные силы, была построена Мичеллом [143] и
подробно рассмотрена Лявом [58, § 299]. С помощью ее были решены
только некоторые частные задачи, а поэтому встала необходимость
создания технических теорий расчета. Большинство этих теорий
связано с учетом касательных напряжений У'z и Хг и
использованием трех граничных условий Пуассона для каждого края. Укажем
некоторые из этих теорий.
I. ТЕОРИЯ РАЙССНЕРА-БОЛЛЕ
При расчете приняты следующие гипотезы [146, 115]:
1. Нормальный к средней плоскости прямолинейный элемент
пластинки после деформации остается прямолинейным и сохраняет
свою длину
еж=*0. (5.1)
5*
131

2. Пластинка находится в состоянии обобщенного плоского
напряженного состояния, при котором
Zz = 0, ХжфО, Y2^0. (5.2)
3. Размеры средней плоскости пластинки не меняются.
Согласно принятым гипотезам
М*. У> *) = — ztx(x> У), иу(х, У, z) = — zty(xy у),
иг(х, у, z) = uz(x, у), (5.3)
где tx и / —углы поворота поперечного прямолинейного элемента
относительно осей х и у соответственно.
Согласно формулам Коши:
ex = dux/dx = — zdtx/dxy ey = duy/dy= — zdty/dy, £г = 0,
ехУ = дих/ду + диу/дх = — z (dtjdy + dty/dx)t
е = ди Jdz + dujdy = — t+ dujdy, ezx = dujdx + dujdz —
= -tx + duJdx. (5.4)
Закон Гука для напряжений с учетом первой гипотезы примет
вид:
ХХ = J—* ^Х + **„)• Уу = ТТГ^2 («у + VO. (б'5)
У - Е г
У 2(l+v) *»'
При определении касательных напряжений Х^ и Yz принимается
параболический закон их распределения:
*, = «G(l—£)*„, r, = aG(l~^)V, (б.б)
где коэффициент а = ?/4 (см. [146]).
Окончательно получим для напряжений выражения:
у e W^L . v^ X - ^—№4-^
'у 1—v2 V ty "^ д* /' у 2(l+v) \ ду f дх J 9
X - 5£ Л 42«\/а^ , \
»Чгта('-£) (£-'.)• (">
Приведя систему напряжений (5.7), действующую по боковым
граням элементарного параллелепипеда, к статически эквивалентной
системе изгибающих моментов Мх, Му1 крутящих моментов Их =*
=*HV = H и поперечных сил Qx и Qy (см. рис. 52), определяемых
132

формулами:
• ft/2 Л
О =С h/27d = 5£А (диг
4у J-л/2 »' 12 (1+v) \ а^ Гг/
(5.8)
и, составив уравнения равновесия 2Z = 0, 2Mjy = 0, 2УИХ==0,
получим расчетную систему уравнений относительно искомых функций
иу> *х* *у:
дх
01Х . ^У Т72/7 _12(1+У)/г/
"¥
5£А
(*> у)»
где V2
Т72/ 1 1+Уд ^у ^Л_5(1-У)Л _^
v^"r 2 ar/V^ ду)~~ h2 \х дх
Т72/ | l+vd (dtx ^\_5(l-v;
v ^i/"1" 2 дДду ^ У'
=а2.../ал;2+а2.../а(/а.
/i2
у а*/
(5.9)
Ф
««
J}
1М„
Рис. 62
Граничные условия Пуассона для произвольного криволинейного
контура имеют вид:
Мх cos2a + Му sin2 а + 2tf sin a cos a + Mn = О,
Я (sin2 a—cos2 a) + (Mx—Af ^) sin a cos a + Hn = 0,
Q^cosa— Qysina— Qn=^0 (рис. 62).
Если контур шарнирно-подвижный, то вдоль него
(5.10)
-мп=нп = о-
Ш

для шарнирно-неподвижного контура
для свободно защемленного контура
ug = tn = Hn = 0\
для жестко защемленного контура
для свободного от напряжений контура
УИ„ = Я„=0п = 0. (5.11)
Для случая движения пластинки в правые части уравнений
системы (5.9) следует соответственно добавить члены:
yft3 дЧ2 у(1—у)2 дЧх у(1—v2) dHv
5gD (1 —v) ' дт2 ' gE ' дт2 ' gE # дх2 *
представляющие собой силы инерции.
Для случая упругого основания с коэффициентом податливости
k = k(xy у) в правую часть первого уравнения (5.9) добавляют член
5GhU* SEh U*'
II. ТЕОРИЯ Б. Ф. ВЛАСОВА
При расчете приняты следующие гипотезы [22]:
1) нормальный к средней плоскости прямолинейный элемент
пластинки в процессе деформации не удлиняется и искривляется
так, что сдвиги по толщине пластинки изменяются по
параболическому закону:
** = 0; (5. Г)
2) напряженное состояние пластинки является обобщенным
плоским напряженным состоянием, при котором
Zz = 0, Х, = гхф0, Y2 = Zy=>0> (5.2')
3) размеры средней плоскости пластинки не меняются.
Первая гипотеза устраняет противоречие Г теории о
прямолинейности нормального элемента и параболическом распределении
по толщине пластинки касательных напряжений, что вытекает из
предположения об обобщенном плоском напряженном состояний
пластинки.
Расчетная система уравнений относительно искомых функций
uz> *х> ty имеет вид:
Ж + ^-^^Щ^*' У)'
vH +V+y*(dJv dtA | 1 d „. _.5(1-у)Л ЗиЛ
V'*^ 2 ду\дх ду /^ 4 дх^ uz)- h2 [1х — ~дх~)>
134

V4 +l±?±(d±-dJjL)+±l<v*u)^4L=v)(f диЛ
(5.9')
где v» ...-*L^ + !1^
Уравнения (5.9') отличаются от уравнений (5.9) подчеркнутыми
членами, которые являются следствием 1-й гипотезы.
Перемещения пластинки определяются формулами:
их(х, у, г) = — ztx — -Ц^тт,
4z3 К0
М*. ^ *) = М*» */), (5.3')
где XJ==XZ(*, у, 0) и Y°z = Y2(x, уу 0)—касательные напряжения
у средней плоскости; деформации согласно формулам Коши:
р ra_*^*_i£l^ » -J*» ^ дуг
*х z дх 3G/i2 дх ' *у~~ Z ду ~Ш? ~ду *
* =-7(д^л-д1А_^(дА.л.д¥*А
**v ' \ ду Ч" дх J 3G/t2 V ду ~^~дх~) '
. =_/ 4-^—^-Х° р - — t 4-ди* 42' Уо
** **Ч-дл: Gh2 z' vz~~ у^ dy~~GhF *'
е
**~~ дх G > 1у ди G ' <0#*'
напряжения, определяемые законом Гука, имеют вид:
Y Ег (dt* ' ^_Jf- Я /dXg ]vdY°z\
лх— \—v*\dx~]rVdy) 3G/t2 Т=^у дх "Г ду/'
у EL-№+№)-!*-.-*-.. №+v^
ry— 1—v2 \&/ ^"^ d*/ 3G/i2 1 — v2 V ду ^ дх /'
Ez (Mx dty\ 423 E (dXl dY°2\
Лу** 2(l+v)\dy ~т~ дх ) 3G/i2 *2(l+v)\ ду ^ дх J '
X2 »(1 -4z2//i2) X°, У, - (1 -4z2//i2) /J; (5.7')
моментные внутренние усилия вычисляют по формулам (4.8) с
учетом (5.7'):
mx=*—d (dtjdx+v dtvidy)—(Р/50) (ах^/а^+vays/эу),
му =—d (зуа^+v а; У/а*)—(D/sg) (ау;/ау+v дхудх),
// »« рг—
Kt+^)-wKi±fi- (58»
135

Поперечные силы находят не из уравнений равновесия, ка*
в теории тонких пластинок, а по формулам:
Qx - J . ^ Zx dz = 2/3 hZx - 2/3/iXJ,
Qy - J _ % Zy dz - 2/3 Л25 = 2/ЗЛУJ, (5.8")
где XI и F° определяют формулами (5.4').
Искомые функции уравнений (5.9') должны удовлетворять крае-
вым условиям (5.11).
При исчезающе малых касательных напряжениях Х°г —*0 и
Y°2—+0 система уравнений (5.9') переходит в уравнение С. Жермен-,
Лагранжа (4.12). Для решения уравнений (5.9') могут быть
использованы метод Фурье и вариационные методы.
III. ТЕОРИЯ В. 3. ВЛАСОВА
Приближенная теория расчета толстых плит переменной толщины
h = h(x, у) построена В. 3. Власовым на основе метода начальных
функций в задачах теории упругости с введением следующих
упрощающих гипотез для основных неизвестных смешанного метода [12]:
1) перемещение uz — W не зависит от координаты z и остается
постоянным по толшине плиты;
2) перемещения ux = U у uy = V изменяются по толщине по
линейному закону;
3) касательные напряжения Х2=*Х и YZ~Y изменяются по
толщине по закону квадратной параболы;
4) нормальные напряжения ZZ = Z изменяются по толщине по
закону кубической параболы.
В соответствии с этими гипотезами из общих формул
перемещений и напряжений метода начальных функций [12] получают
следующие приближенные формулы:
U = U0-zdW0/dx + zXQt V = V0-zdW0/dy0 + zY0y W = W0. (5.12)
У-У ~( 2 д2Цо \д2[7Л 1+У~д2уо g—v ~*д*Х0
л-л0 z^__v дх2 f ду2 J i-v'dxdy 2(l-v)Z дх2
г2 д*Х0 Г 2а% J_z2v2dW_o vdZg
2 ду2 2(l—v)dxdy~r\—vy дх \—v'dx'
V-V 1+v.cWo J 2 dWp dW0\ 2-v „2d*Y0 z*d*Y0 ^
r~r° \—vzdxdy '{l—vdyt't'dx*) 2(1— v) * ду* 2dx*
■Z2Va
2(1—v) дхду ' 1— v v dy 1—v dy *
^-А,+Т^г V [дх + ду ) 3(l-v)3 V V ^° 2 ^_ + _j +
■ 2—v axfl v ак0 v 7
"+"1—v d* "^l-v2 <fy "^l—v ••
136

1 — v\ dx ^v dy J \—vz\ dy* "1"V"a^-J"h
. v JX0 , 2—v dYa , v „
1—v d* ' 1—v dy
*.-5?+*-*^
dy
dx
дхду
где X0, У01 Z
+'!$+%). (4»
o, r0» ^o—заданные начальные статические функции от х,
у на плоскости 2 = 0 (составляющие нагрузки); £/0, 1/0,
^—искомые начальные геометрические функции от х на плоскости 2 = 0
(составляющие смещения), см. рис. 63, где показано положительное
направление статических и геометрических величин для начальной
плоскости 2 = 0 и произвольной z = const.
Напряжения, определяемые формулами (5.13), удовлетворяют
общим дифференциальным уравнениям задачи:
дХх/дх + дХу/ду + дХ,/дг = 0, (хуг)\
^x = r^[(l-v)|f + v(^ + |/)], (хуг, ихиуиг)\
Х„
(5.14)
»у-*Ух=*£(дих/ду + диуГдх), (хуг, ихи^и2).
Здесь символы (xyz), (хуг, uxuyuz) показывают, что другие две
формулы получаются циклической заменой их. Напряжения X,
У, Z на нижней
поверхности плиты 2 = h (х, у) *(их)
совпадают с заданной
нагрузкой Xv, yv, Zv,
напряжения XXi Y' Xy
находят из условии
равновесия бесконечного малого
элемента плиты (рис. 63).
Обозначая
составляющие нагрузки через Xv,
Уу, Zv, можно условия
равновесия элементарного
тетраэдра с косой
площадкой, принадлежащей
заданной граничной
поверхности h^h(x, у),
записать в общепринятом
виде [77], уравнения (1.2):
Xv - Хх cos (v, х) + Ху cos (v, у) + Х cos (v, z)y (хуг). (5.15)
' Косинусы углов, входящих в уравнения (5.15), определяются
формулами:
=os(v.*)-g[(S)"+(!)'+']"T.
(v- У)=Гу[
cos
-*"£)■+(£)•+'] "•
137

•»<•■•>—[(!)*+(1)'+'Г- (м,
Уравнения (5.15) принимают теперь такой вид:
м(1)*+(*),+1Г№*.*-4
M(S)'+(5)'+'n№r.SM-
Подставив в уравнения (5.17) напряжения из формул (5.13)
получим систему трех дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами для определения искомых функций U0(x, y)t V0(x, у)}
™ о \Х* У) •
Уравнениями (5.13) и (5.17) описывается общая моментная
теория равновесия плит переменной толщины h = h(x, у).
При решении конкретных задач к уравнениям (5.17) следует
присоединить граничные условия, заданные для искомых функций
I/0, V0 и W0 на краях, ограничивающих плиту, и на плоскости г = 0
в соответствии с принятой расчетной моделью.
Для приближенного интегрирования системы (5.14) наиболее
удобным является вариационный метод Бубнова — Галеркина.
При расчете плит на действие температуры основная система
(5.14) имеет вид:
дХх/дх + дХу/ду + дХж/дг~0, (хуг)\
(хуг, ихиуиг);
Xy = Yx=G(dux/dy + duy/dx), (хуг, uxuyuz). (5.18)
q(x,y) Для решения этой системы лучше
ГТТТ^ТТТТтТ! всего обратиться к методу началь-
>А *—w ных Функций [12].
*ь|см
•Cljcs»
*шш
X
Рис. 64
ЗАДАЧИ
5.1. См. [23]. Исследовать изгиб
толстой прямоугольной плиты со
сторонами а и Ьу шарнирно закреплен'
ной по двум противоположным сто;
ронам х = 0 и х = а, нагруженное
произвольной поперечной нагрузкой
13S

Я(х, у). Граничные условия на двух других сторонах «/ = + 6/2
произвольные (рис. 64).
Для расчета используем уравнения (5.9).
На шарнирно закрепленных краях * = 0, а должны быть выполнены
условия: uz = 0, * =0, ^ = 0, которые в силу первого
соотношения (5.8) примут вид:
иж=*0, ty = 0, dtx/dx = 0.
Полагая, что функция q(xt у) удовлетворяет условиям Дирихле,
представим ее в виде ряда
Q{*> У)** 2 Ят (У) sin (тпх/а). (а)
m=l, 3, ...
Выберем функции uzt tx> ty в виде рядов
оо
uz (*» У)= 2 uZm (У)sin (mnx/a)y
m=l, 3, ...
оо
tx (x, У)= 2 Tm (y) cos {mux/a),
m=l,3
oo
ty (*, У)=* 2 *m (У)sin (mnxla), (6)
m=l, 3f ...
где m—нечетное целое число.
Подставив выражения (а) и (б) в уравнения (5.9), получим для
определения функций uzm(y)y Tm(y) и rm(y) систему обыкновенных
Дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
_[(-у+Ы£а] Тш+!~г.+!¥ (=) <.+
5(1-у)//пя\ 0
l+vfmn\T. l-vf/mnN» , 101 , _. , 5(l-v)„, _n
где штрихами показано дифференцирование по у.
Общее решение системы (в) имеет вид:
«,Л,) = ^{[лги-^^Л4л,]сЬ^+^^сЬ? +
+ Aim^sh^ + Abmch^+A>msh6-^+fa(y),
(в)
139

Tm(y) = (A2m + AiJsh^ + (Alm + Asm)chr^ +
где 6^=1 + 10а2/(/л2я2/12); а,я(у), Тт(у), %т (у)—частное решение
системы (в); ЛЛ|Я—шесть произвольных постоянных, которые надо
определить из граничных условий на сторонах у = ±Ь/2.
Удовлетворение граничных условий на сторонах у=±Ь/2 при.
водит для каждого значения т к нахождению постоянных А1тУ ...t
Авт из системы шести линейных алгебраических уравнений. Если
стороны пластицки у = ±:Ь/2 шарнирно закреплены, а нагрузка
q (Ху y) = q0 = const, то произвольные постоянные А1т = Азт = АЪт = 0.
Определяя остальные Л2я, Л4/п, Лб/Я из граничных условий на сто-
ронах у = ±Ь/2, получаем для искомых функции uz, tx и ty еле-
дующие формулы:
+ ^(^_2«. + a.*)-6-^S2B.(n«).ch^sln^-
10(1—v)D^ "*'•
tx <*. У) = *£ Б [С. М ch ^ + Ва(тп) Ш. sh ^] cos 22* +
+ 2^(4х8-6а^ + а3), (г)
*,<*, W-^2 [(nm)(C. + ejsh22« + i[<IOT)fiei»a? ch^] sin^ ,
где
В - 2 С — 2(a/*tha/n+2) rt
Для изгибающих, крутящих моментов и перерезывающих сил по
формулам (5.8) и (г) получаем:
^ = ^(l-v)aWSm2[Cwch ^ + Вп (25? sb^^j^ ch;^)] X
xsin
я
тл-t 9o*(a—*)
M„ = — <?o(l— v)aan2S/n2
С.сЬ5ЙЧ- -
sin — 4-Mi±z£l
„ ~r 2 '
я=<—9o(l—v)aW2m2f(Crt + Sjsh^^ + B(B^/- ch^l cos—,
■' Q, = -2<7„я!'а2т»Вя, ch ^ cos2** + ?o(e-2x)
a ■ a ~ 2 '
<2, = -2q^*a2m>Bm sh ^ sin 22i. (Д)
a a
140

1 A^L.
X *Г/Т 4>
v^
tz*
Сравнивая формулы (г) и (д) с аналогичными для свободно
опертой прямоугольной пластинки, нагруженной равномерно
распределенной нагрузкой, рассчитанной по теории Кирхгофа (см. [101] и
задачу 4.1), можно установить,
что различие состоит лишь в
значении прогибов и опорных
реакций. Поправка для прогибов
пропорциональна h2/a2 и весьма мала
для тонких пластинок. Поправка
на опорные реакции составляет
для квадратной пластинки (а/Ь= .
= 1) 23%. '
Б.2. См. [51]. Рассмотреть тер-^
моупругое равновесие толстой пли- *
ты, верхняя горизонтальная пло- Рис.. 65
скость которой (z = h) свободна
от закреплений и нагрузки, а нижняя (г = 0) имеет защемление,
препятствующее горизонтальным и вертикальным перемещениям. На
контуре плиты имеются абсолютно жесткие в своей плоскости и
гибкие из плоскости диафрагмы (рис. 65). Закон изменения температуры
по толщине плиты задан в виде полинома второй степени, причем
известны значения функции Г = а i__2 t и ее двух первых
частных производных по г на плоскости г = 0 (известны величины Т0,
То и Го).
Для начальных функций, как и в работе [12], введем новые
обозначения:
(а)
(б)
C/ = G«, V=Gv, W = Gw, Z = ZZ, X = XZ, Y = YZ.
Для температурной функции примем обозначение
^gOG(l+v) ^
1 — 2v
Краевые условия задачи имеют вид:
при г = 0 [/ = У=Г = 0, при z = h X = 7 = Z = 0; (в)
при лг = 0, a XX = W = V = 0\ при у = 0, Ь Yy = W = U = 0. (г)
Разложив искомые функции (а) и температурную функцию (б)
в ряды Маклорена по переменной 2, получим общее решение
пространственной температурной задачи:
U = LmjUq + LUVV0 + ... + LUXX0 ■+• TUy
X = LxuU0 + LxvV0+...+LxxX0 + Tx
(Д)
Через LUUy LUVy .. ., Lxx обозначим линейные
дифференциальные операторы, зависящие or переменной z и содержащие частные
141

Я
N
&Г
^г
^
•ч*
<n
—
N
?-
5
CO
8
?-
^
1
^
+
P-
B
CO •—•
CN со
l о
1 о
-ч «4
^ ?-
8
1
i
^+
1
^
eg
j
1
CO.
8
^^
4
>•
0
p.
1
CM
*4
?-
5
Ci
M
8
„
0
1
1
CM
co
С
<v
^
N
?-
5
CO
N
CO.
?-
^
1
,^«'
Tf
,
+
N
C
CO «—1
CM CO
1 о
-* £*
zz ?-
CD.
1
r+
1
ICN
?-
CO.
<
0
2
CN
4
со
О
о
i!
*>
;
\
1
N
CO.
8
4
>>
0
^
CN
^
1
<*"
с ■—«
CO £>-
Ж о
7 2
i Г
J^
^
+ ^
s 8
CO CJ
g. -?
,л 1
J> -H
1 «
CN
1 „
S .s
О CO
CO.
!
T?
CN
i
i
в
CO i—i
<? CO
1 о
8
2 ^
£ 1
?>
1
>—'
ICN
b
•
^
?-
a
CO
1
CO
°
CJ
s
Hi
«4
CO.
1
1
?>
J^
NJ
•
•
X
CO.
J
1 £
i. +
a *" 1
x
1
^-■ч
N
*"
CO
8
+
3
С
CO.
8
X
0
1
1
•
•
•
X ^
8
'>" CO
1 о
°
+
S £
(A (Sj
coJ^X
|
*
142

Продолжение табл. 5.1
и
V
W
Z
У
X
1 Уо | *о
1
—l—{sinyz-yzcQsyz)
1 1 р2
— sin yz — —: г—.X
у 4 (1 —v) 7
X (sin yz — yz cos 72)
О
e
9
9
6*
1 . <*2
Y"nY* 4(1_v)Y3><
X (sin yz — yz cos yz)
О
О
О
©
•
7 (7, V X
7
а Г sin 72—72^,
_^[(c..„_i)7-.+aiE=i'rt-
sin 72 ^ cos 72—1 r> 5^172 — 72,7,-
~~y ° ^ У° ^з r°
2 J (cos 72- 1) T0 +1 (sin 72-72) Г1-
-1 (со, ,_,+&>;]
oftfsinYzT cosyz— 1-' sin yz — yz „-"1
2P 1 —T yi T° ^ roJ
2« rgjnjz T cosyz-1 n_sln yz- yz .1
L Y Y2 7* J

производные по переменным х(д.../дх = а), у(д.../ду = $) начальной
плоскости z = 0.
В табл. 5.1 приведена развернутая форма дифференциальных
уравнений (д).
В соответствии с символическим методом [2] в табл. 5.1 через
аир обозначены соответственно частные производные по х и у
через у2 = д2.../дх2 + д2.../ду2 = а2 + $2—оператор Лапласа.
Для получения операторов LUUy ..., Lxx в форме бесконечных
рядов надо разложить тригонометрические функции в ряды по
степеням y.z = (a2-|-P2)1/2z и выполнить операции дифференцирования
над начальными функциями согласно формулам (д).
Для вычисления напряжений Xxi Yy и Yx = Xy надо
воспользоваться формулами:
Хх = Аиио + АуУ0+...+АхХ0 + ТХХ1
Yy = BuU0 + BvV0+...+BxX0 + TYYt I
Ху = Сци0 + CVV0 +...+ СХХ0 + TXYt (е)
где коэффициенты перед начальными функциями £/0, V0, ..., Х0
являются дифференциальными операторами, функции ТХХу TYY, ТХУ
зависят от температуры (см. [51]). Три из шести начальных
функций будут всегда известны из краевых условий при г = 0. В нашем
случае согласно первым трем уравнениям (в)
U0 = ^0 = ^0 = 0.
Остальные три начальные функции определяют из краевых условий,
заданных на плоскости z = h.
В нашем случае согласно последним трем уравнениям (в);
Lzz(*)Z0 + LZY(ft) Y0 + Lzx(ft) X0=-Tz(ft),
LYZ (ft) Z0 + Lyy (ft) Y0 + LYX (ft) X0 =*= - TY (ft),
LXz (h) Z0 + LXy (h) Y0 + Lxx (ft) X0 = - Tx (ft), (ж)
где дифференциальные операторы и температурные функции
определяют по формулам табл. 5.1 при z = ft.
Учитывая краевые условия (г), задаем искомые функции Z0,
У0, Х0 в виде разложений:
Ze=2 2 ^„„sina^sinp^,
nslm=1
со oo
^o= 2 2 Bamsmanxcosf>my,
n—1m=1
00 00
*o= 2 2 C„Mcosa„xsinpm«/, (3)
/i=l m=l
где an = nn!a, fim = mn/b — подлежащие определению коэффициенты.
В соответствии с разложениями (а) и формулами (ж) функции
температуры следует также представить в виде двойных тригоно-
144

еТрических рядов:
^о (х, у) = 2 2 Тпт sin сспх sin р„у,
л = 1 m=l
00 00
^Л*. J)=2I2 r;msina„A;sinpm(/,
GO 09
^'o(*, y)=S2 ^«msina„xsin$my, (и)
n=1m=l
где Т™ = 7Гь^ЬоТ°(х> f/)sinan^sinpmi/dxdt/,
Г™ = Ш, Jo ГоГ"(** У) Sin a"* SinPot У UX dy'
T"nm = ^ Д* 71; (*, y) sin a„ х sin pOTy dx dy.
Внося разложения (а) и (и) в уравнения (ж) и произведя
необходимые дифференциальные операции над функциями (з) и (и),
получим систему алгебраических уравнений для определения
коэффициентов А„т, Впт, С
п
Jnm*
аптАпт + $mbnmBnm + апЬптСпт = Ти
VmCnm™nm\&nmttnm\\nm^nm~* 2>
апСпт^пт ~Ь I птУпт + еттРпт = * 3- (К)
Коэффициенты и температурные члены этих уравнений
определяют по формулам:
а-пт = 2 (1 —v) ch ynmh—ynmhsh ynmhy
bnm = 7- [(1 — 2v) sh YiJ* + Y„> ch ynmhl
Xnm
cnm = ~ [0 — 2v) sh УПЯ,Л—v„m/i ch упя,Н
dnm = 2(l-v)chTnmft + ^-sh?nA
ГПВ»
**. = 2 (1 —v) ch ynmh + £- sh v„ra/t,
- ri = -4(l-v)[(chTnfflft-l)rnra+(^^-/l)r;m +
+ i(chv^-l-^)^m],
r4 = _4(l_v)P
+ T5- (sh ynmh—ynmh) T"nm\,
145
nm
ф- sh Y»»* • Tnm + -i- (ch YlJi-1) T'nm +
Xnm Ynm

Г, = -4 (1 _ v) ап Г JL sh ynmhTnm + > (Ch ynmh-1) Г;т +
+ 4-(shY^-Vnmft)r;ml(
mm J
где v«m = a2n + Pam.
После вычисления постоянных Л Я г «-. ,„,o„..„,. ч , [
начальные функции Z0, Y„ Х0 определяют*по"^рмуГмТз) П?
TZI ЗНЗЧеНИЯ начальных ФУнкиий в общие зависимости д)' и Vet
получим расчетные выражения для перемещений и напряжеЙ
плиты, когда температура в направлении осиг меняется попало?
\Z„ тичному закону, а в направлении осей
[1 у *н" ^задана как произвольная фуНк.
О я т I
'^7УГ Я
ция, которая может быть разложена
в тригонометрический ряд.
Система уравнений (ж) в общем слу-
чае будет бесконечно высокого поряд-
, „л ка> Однако при приближенном решении
w . Zh задачи порядок уравнений зависит от
г" числа членов, удерживаемых в разло-
Рис. 66 жениях для операторов, приведенных в
и табл. 5.1.
^Tc^rfsTf™расчетов т<мстых """" м те"™р^ру "р-
Г0 = Сш0 и касательные ^р1ж1н1Гх™Т™Г* пеРемеи*ения
Искомьши функциями являются два тангенциальных перемещения
Формуле (дГза^ачи" бТпрТмТвТ "^"^ ** <«■!*£<*>■
vU-7LuuUl\Luv\+r Luf\Z =>"°+L"+L**«
LwuUo + LwvV0 + LwzZ0, X^LxjU^ + LxyVb + LxzZ,. (a)
Для определения искомых функций UJx и) V (у „\ 7 iv и)
имеем систему тоех пигМ^г^;,,^ и»Лх> У), v0(x, у), Z0(x, у)
чаются из Мнений ^ФеРенциальнь1х уравнений, которые полу;
nm?Jh Й™?^ Утем "Р"Раз"ивания напряжений Z, Y, X
ве'тственно Д ННЫМ ФУНКЦИЯМ Z"(x' *>• ^ = ^ У). Ъ(х, у) соог
Lzu (Л) I/. + Lz„ (Л) V0 + Lzz {h) Z0 = Zh,
LYU (h) U0 + LYV (h) V0 + Lyz (A) Z0 = К.
Lxu (A) </. + Ljf, (A) F0 + L« (h) Z0 = Xft', (6)

где Lzu (/i), Lzv (h), ..., Lxz (h) —дифференциальные операторы,
определяемые по формулам табл. 5.1 при г = Л с учетом разложения
тригонометрических функций по степеням их аргумента!
ф3 . ф5 1 ф2 . ф4
sinq> = (p—gy+ijy— .... cos<p = .l— fy + ^|— ... (в)
при ф = уг.
Уравнения (б) при заданных функциях Xhi Yht Zh образуют
систему совместных линейных дифференциальных уравнений в частных
производных по двум независимым переменным х> у средней плоскости.
При сжатии упругого слоя Xh = Yh = 0 и два последних
уравнения системы (б) будут однородными. Эти уравнения
удовлетворяются, если ввести в рассмотрение новую функцию F = F(x, у) по
формулам:
^о = (LxvLyz — LYVLxz)h F,
^ о = — (LxijLyz—LYULxz)h F%
Zo= (LxuLyy—LYULxv)h F, (r)
где указанные в скобках дифференциальные операторы составляют
по правилам символического дифференцирования (см. табл. 5.1) на
плоскости г = Л. Подставив значения (г) в первое уравнение (б),
получим для основной искомой функции F (ху у) одно разрешающее
уравнение
[Lzu (LXVLYZ—LYVLXZ)—Lzv (LXULXZ—LYULXZ) +
+ LZz (LxljLyv—LYULxv)\h F = Zh. (д)
Порядок основного разрешающего уравнения зависит от числа
членов разложения (в) и устанавливается в зависимости от толщины
плиты и желаемой точности решения задачи.
Ограничившись для плиты средней толщины первыми членами
разложений, получим приближенную общую техническую теорию
расчета симметрично нагруженной плиты. Основное уравнение (д) в
этом случае принимает вид
где V2. • • «=<За. • ./дх2 + д2.. ./ду\
Искомые функции (/<,, V0t Z0 определяют по формулам:
и° 1 — vdx' к°~~ l—vdy> ^""l-vK'
Зная начальные функции £/0, VQ, Z0, по формулам (а) находят
все перемещения U, V, W и напряжения Z, Y, X для
произвольной точки плиты. Напряжения Хх, Yy и Xy = Yx следует
определять по формулам (е) задачи 5.2. В общем случае уравнение (д)
принимает вид
^ sin yz [sin yz cos уг + yz]h F + Zh = Q, (e)
147

а искомые функции U0, V0, Z0 определяют по формулам:
^о = 2 (1!_v) [О —2v) sin» уг—zy sin v? cos yz]ft F,
^o = 271?^) [(! — 2v)sin* Tz—гу sin yz cos vz]ft F,
Z0 = ^ [sin2 yz—гу sin yz cos уг]Л Z7-
Разрешающую функцию F определяют из уравнения (е); она
должна удовлетворять краевым условиям, задаваемым в точках
боковой поверхности.
В Рассчитать толстую плиту, которая находится под действием
нагрузки, расположенной кососимметрично относительно ее средней
плоскости. См. работу [12].
5.4. См. [13, гл. XI и XII]. Применяя общий вариационный
метод В. 3. Власова (изложение метода см. в гл. 8), исследовать
Рис. 67
работу толстой прямоугольной плиты (axbxh) (на однослойном
упругом основании толщиной Н) (рис. 67, а).
Представим искомые перемещения плиты и основания в виде
следующих конечных разложений:
т
их (х, у, г) = 2 V, (х, у) ф,- (г),
Ы 1
е
"„(*> У, 2)= 2 V (ху y)lg(z),
п
и2(х, у, г)= 2 ИМ*. У)%(г), (а)
где Uh Vg, Wk — искомые функции координат *, у\ q?., \ \J:^—
функции координаты z, задаваемые в соответствии с
кинематическими условиями задачи.
Обобщенные условия равновесия элементарного столбика
(рис. 67, б) можно представить в форме (т + е + п) уравнений воз-
148

можных перемещений:
^^fbdz~^^'i^+^^dz + ^pbdz^O (/=1,2,3,.,
]4rKf^-]Yzl'fdz + ^Kfdz + ^gXfdz = 0 (/=1, 2,3, .
CdZ,
,m)\
, e);
(6)
)-e?Vbdz-§Z,%dz+§d-^%dz + §q%dz = 0
(fc=l, 2, 3, .... n).
Нормальные и касательные напряжения, входящие в
подынтегральные выражения уравнений (б), определяют по формулам теории
упругости для случая пространственной задачи:
?% I v (duz | дих
ду ~r V дг ~*~ дх
Zz-
Е
I —v2
Е
1 —v2
fdu
Z =xY
duz , /
1F + 4
20+vj Us-+ &;•
+^V,
(в)
7 v д
^* —Л* 2(1+V)
*у = Ух
2(1 +
V ал: ^ az у'
/d% . dux\
v)\dx ~*~ ду )'
Выражая напряжения через функции формул (а) и внося
полученные значения напряжений в уравнения (б), получают
окончательно расчетные уравнения. Не останавливаясь на общем виде
уравнений, приведем их для рассматриваемой задачи.
На основании формул (а) примем для рассматриваемой задачи
перемещения:
М*. У» *)=*U{x, </)<Pi(z).
uv(x* У* 2) = V(x, 0)<Pi(z)*.
Щ(ху у, z)^Wl(xt y)^(z) + W,(x, у)Ы*)>
функции координаты z в соответствии с условиями задачи имеют
вид (рис. 67, в):
при z <h
<Pi(z) = (fc —2z)/2, ^{z) = {h-z)lh, q2(*)=U
при z > h
<Pi(z) = 0, яЫ*) = 0, гМг) = (Я + /1-г)/#.
Интегралы, входящие в выражения (б), следует вычислять по
всей высоте элементарного столбика в пределах от 0 до (Л + Я).
При определении напряжений по формулам (в) необходимо учесть,
* Xi по характеру принята аналогичной ф^.
149

что упругие постоянные среды по высоте столбика (рис. 67, б) имеют
разное значение: на участке 0 < г < h—£, v, G, на участке
h<z<H + h—Eot v0f G0.
Дифференциальные уравнения возможных перемещений (б) после
необходимых преобразований принимают вид:
а2... , l-vd2... h l—v \/7,Л i+v ^
i_vWi_ u-v^ l —;v2
—CliT" fa Cl2 2 a* ~~ E ръ
i+v w , / 1^а2..,,л a2... - i-v \v_
ail"y"§^+Vaii"T*""fa2""+"aii'lp °ii-2"-- 'J v
\—vdWi_ l—vdW2__ 1 —v2
—Cii 2 dy Cl2 2 ^ "" £ Si*
/l_v , \ at; /1—v , \ dV ,
n — v 4a2.., , l—v a2... ITP7 .
+ ["T"^ + /*12)"a?"+"T-ril"a?—Sii---Jtt7ii +
/i_v a2... \ n? __ * —va„
*r I ~2~ ri2 "5p si2 • • • J w г — £— </i>
1—Vo
где
^■L-sg,^, = _(?, + #),
аи = ^Ф?(12 = Л3/12, d11 = JT14>1d2 = 0, ru« J^dz = ft/3,
Ьц = J (<P0* <**-*. dia = jcp1^dz = 0, г1а = £гМ>2с12 = /1/2,
си = £<рМ>Иг=- — A/2, s11 = j(t1')8d2=l//i, rM = jQ^dz = /i,
c18=f<pi\|;,dz = —Л, sia = j4M^dz = 0, ^2 = ^й"* ^ldz = #/2,
s„ = $№)*dz=l/tf.
Грузовые члены выражают работу заданной нагрузки на
соответствующих единичных перемещениях; их определяют по формулам:
pl = IoWldz; &eJ0S4>idr. <71 = j^^1dz;
<?2 = Jh0<7^dz; $ = ^+%T|)8dz.
При рассмотрении динамической задачи надо еще учесть
инерционные силы, возникающие вследствие упругих колебаний системы:
~тд*их/д%*, —тд*иу/дх2, —тд2иг/дт;*, где т—масса единицы
площади плиты.
150

работа инерционных сил на возможных единичных перемещениях
пределится в форме:
— т~^\ itfdz—/n-^r J W2 d2,
(Д)
m
d2Wx
^^2dz-
-m-
d2W2
\$dz.
С учетом формул (д) в левых частях уравнений (г) соответственно
l_va (ЯК х-тГГП
дт2
появятся члены:
1—v2 d2U 1—v2 д2У
— tfti —?г— m -3^5-, — atl —f— /я
1 —v2 d2U?i
-^-/n^2—r
11 £
1—v2
•m
дт2 '
E "" дт2
d2W2
— riim-fa? ^22 + ^0^22)^2-,
где т0 = (л0Я—масса единицы площади
упругого основания.
5.5.* Построить общее решение для
толстой плиты а = Ь = Зк, v = 0,3,
шарнирно закрепленной по сторонам х = 0 и
х' = а и нагруженной произвольной
поперечной нагрузкой q (л:, у) (рис. 68).
Стороны у = 0 и # = Ь закреплены произвольно. Для случая шарнирно
закрепленных сторон # = 0, Ь и нагрузки ^ = q0 sin (я*/а) sin (яу/Ь)
сравнить решение с решением Рейсснера—Болле.
х
Рис. 68
Если вместо tx и ^(5,4') ввести новые неизвестные kx и ky по
формулам
tx = 1/4 (5kx—dug/dx), ty = 1/4 (Ыгу—диж/ду),
то уравнения (5.9') примут вид:
д** *« I2(l + v)
■а7+ф~у2^= ЪЕк Я(*>У)>
V2k l+va/^. ЭДЛ_ 6(i-v) (к _диЛ
V2k 1+vj/M, dky\_ 5(1-у)Л _^\
см- уравнения (5.9).
Согласно формулам (5.3') тангенциальные перемещения равны:
"*~* 4 V 3ft2J Л*"Т" 4 V 3/г2У d* '
5 / 4г3 \ 1 / 5z2 \ д«г
S- — t\z— з/FJ ^ 4"VZ— ш) дУ •
* Задача предоставлена Б. Ф. Власовым.
151
(а)

Напряжения (5.7') подсчитывают по формулам:
Yv - — Т^Т [\z h* ) \ ду +V дх ) + W \ ду* ^ дх*
\( 4z>\(dtx dty\ 8гз дЧ i
х.=
»- 2(1 +
х.»
* 2(1 +
ч('-£) №-«.)■•
'•-ч2О+^(1-^)(^_/0' (б)
Для изгибающих, крутящих моментов и поперечных сил (5.8') имеем:
я- '-
и=*\ду^ дх)
2
Краевые условия на сторонах х=«0, а выразим через
разрешающие функции:
«, = 0, ^=-0, Mx=* — D(dkx/dx + vdky/dy)~0. (в)
На сторонах у = 0, Ь могут быть заданы любые из пяти
возможных граничных условий (5.11) с заменой п на yt t, х9 tu kx и tn на ky.
Предположим, что поперечная нагрузка q (х, у) может быть
представлена в виде ряда
АО
Я{х*У)= S ?«(i/)sin^- (г)
m = l, 2, ...
Представим функции игУ kx, ky в форме следующих рядов:
«,===£ Гт (</) sin ^,
*,-£ Г. Or) cos
a
тлдс
*»-Sr.af)sin-2Si, m- 1,2,3,... (Д)
m
Задание искомых функций в форме рядов (д) обеспечивает
выполнение граничных условий (в) и оставляет достаточный произвол
для удовлетворения уравнений (а) и граничных условий на сторонах
// = 0, Ь.
Подставляя формулы (г) и (д) в уравнения (а) и разделяя
переменные, получаем для определения функций Wm(y), Tm(y), Tm(y)
систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными
152

коэффициентами:
-(^)^+rm+(^)VM-r;-ii^(7m,
4(™У+^] ^+^m+I±^) rm+
-5(1^(^)^=о,
A2
l+vfmn\ l-v[/mn\« 10|r , r. , 5(l-v)tI7, л ..
Общее решение этой системы имеет вид:
sh
тпу
Tm(y) = fm(y) + A2mchTf. + Alm^ch^ + Aimsh^ +
+ Aim^sb^ + Abmch^ + Aemsh^y,
Г» (У) = r„ (</) + (Aim + Atm) sh Ш. + (Aim + A3m) ch Ш- +
1 lOT a a 4m a a '
+ _L ^5msh^« + ^flmch^«,
где 6^= 1 + 10а2/(т2я2/12), Wm, Tm% Гт—частные решения системы (е);
Aim—произвольные постоянные, подлежащие определению из
граничных условий на сторонах у = 0, Ь.
Удовлетворение граничных условий на сторонах у = 0, b
приводит для каждого т к системе шести линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестных величин Aim, А2т,...уАш.
На этом построение общего решения задачи можно считать
законченным.
Переходим к количественной оценке решения на примере
шарнирного закрепления по сторонам у=^0, fe.
Пусть q (х, у) = qQ sm (ях/a) sin (ny/b)\ тогда все шесть
произвольных постоянных Ап~0у а для разрешающих функций имеем:
9оД4 Г, . n¥(l+aWl0• пх . лу
L 5(1—v) a2 J а
\Dn4(l+a2/^2)2 L 5(1—v) a2 J a b
i g0fl3 nx . ny_
^""Dn3(l+flW2C°STSin b » '
*У~ Dri*(l+a*/b*)*Sm a C0S b * [Ж}
153

Выражения для изгибающих, крутящих моментов и поперечных
сил принимают вид:
т* я2(1+Д2/&2)2 a SlU b '
__д0Ь*(\+уаЧЬ*) ш щ
mv~' ji2(1+«2/^2)2 а 6 '
гг 1 -у д0 (а4+&4) Q ^ щ
П~ 2 я2д6 (а2 + 62)2 а C0S Т"'
* = /i I з/ьсч COS Sin -тг f
* я(1+а2/62) а 6 '
Формулы (ж) и (з) совпадают с теми, которые получаются по
теории Райсснера— Болле (задача 5.1), однако для наибольших
сжимающих напряжений в волокнах г = — А/2 согласно формулам (б)
при a = b = 3h и v = 0,3 получим [23]
Хх (х, у, — Л/2) = — 1,96<7о sin (пх/а) sin (ny/b) (и)
вместо
хх (*> У, —Л/2) = —1,78<70 sin (я*/а) sin (ny/b) (к)
по теории Райсснера—Болле. Точное решение приводится Б. Ф.
Власовым (см. Вестник МГУ, серия математики и механики, 1957, № 2)
и имеет вид
хх (х> У> — А/2) = —2,12<7о sin (пх/а) sin (ny/b). (л)
Сравнивая значения (и), (к) с (л), видим, что искривление
поперечного элемента снижает погрешность в определении величины
Хх(х> У>-Ь/2) с 16 до 7,5°/0.
О расчете толстых плит методами пространственной задачи
теории упругости см. работы [28] и [56].
Глава 6
РАСЧЕТ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
I. ПРИНЯТЫЕ РАБОЧИЕ ГИПОТЕЗЫ
При расчете тонких оболочек принимают следующие гипотезы
Кирхгофа—Лява [44], [58]:
1) нормальный к средней поверхности прямолинейный элемент
оболочки после деформации остается прямолинейным, нормальным
к деформированной поверхности и сохраняет свою длину (гипотеза
прямых нормалей), т. е.
«« = ^ = «1 = 0; (6.1)
2) нормальные напряжения, параллельные оси z (см. рис. 50),
малы по сравнению с другими, и ими можно пренебречь. На
основании этой гипотезы
сгж = 0, (6.2)
154

а касательные напряжения т2С6=*та2 и т2р = тр2 рассматривают как
чисто статические факторы (не учитывается их связь с
деформациями) и определяют из условий равновесия.
II. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ
1. Определение поверхности
Поверхность есть геометрическое место точек, радиус-вектор
которых г, направленный из фиксированного центра О, является
функцией двух независимых
параметров аир (рис. 69).
а. Векторные формы
уравнения
поверхности:
7=7(сс,р), (6.3)
или
г = х(а, Р)7+#(а1Р)7 +
+*(а,р)й. (6.4)
б. Скалярные формы /£
уравнения
поверхности:
Подерхность
р=const
Рис. 69
х = х(а9 Р), у = у(а, Р), 2 = z(a, Р),
F(x,y,z) = 0,
* = f{x*y),
(6.5)
(6.6)
(6.7)
где х, у, г—прямоугольные координаты точки поверхности С; а, р —
независимые параметры—криволинейные ортогональные координаты
поверхности, отсчитываемые вдоль линий кривизны поверхности —
Р = const и a = const (рис. 69).
2. Линейный элемент поверхности
Линейный элемент поверхности CD определяется выражением
(CD)2 = (CCt)2 + (CD,)2 = ds\ + dsl
или
| dr |2 = ds2 = A2 da2 + B2 ф2 (6.8)
— первая квадратичная форма поверхности; ее коэффициенты
Л2 = (дх/да)2 + (ду/да)2 + (dz/da)2,
В2 = (дх/ф)2 + (ду/д$)2 + (dz/dp)2. (6,9)
Первая квадратичная форма поверхности (6.8) характеризует
внутреннюю геометрию поверхности—длины линий и углы между
ними на поверхности.
155

it
'z(r)
№
<</
3fe
* ~
'* /
Согласно рис. 70
d*a = (^dpda); В ф ~^-J£ da,
d^ = (||dadp); Л da «-^ dp,
CQ = ds1 = 4da, CDX - dsa = В dp,
CD = ds. (6.10)
*5d
<P
3. Кривизна линий на поверхности
/у
Кривизна любого нормального
сечения CD (сечение плоскостью,
содержащей нормаль к поверхности Cz)
определяется формулой
k^\/R = drdn\/dr\2 = (Lda* +
+ Wdp2)/^2da2 + 52dp2), (6.11)
где |dr-d^| = Lda2 + ^dP2 (6.12)
— вторая квадратичная форума
поверхности, характеризует внешнюю
геометрию последней—радиусы кривизны, углы между ними и
нормалью к поверхности (рис. 70), координаты точек поверхности;
Рис. 70
L =
АВ
%а<х J/aa ^aa
%а Уа 2(х
Н Ур Н
\
. n-je
*ppf/ppzpp
Х<хУа,2(х
х$Уьгъ
(6.13)
— коэффициенты второй квадратичной формы поверхности*.
Кривизны и главные радиусы кривизны выражаются через
коэффициенты квадратичных форм поверхности по формулам:
kx = l/Rt = UA\ k2 - l/R2 - N/B* (6.14)
[см. формулу (6.11)]. Одна из кривизн имеет максимальное,
другая—минимальное значения.
Гауссовой кривизной поверхности называется произведение
кривизн
k=kxk2\ (6.15)
средней кривизной поверхности называется средняя арифметическая
кривизн
Согласно рис. 70
vcp
' V, & + *«)•
d<pa = A da/Rit dq>e = Bdp/#j.
(6.16)
(6.17)
* Нижние индексы означают дифференцирование по соответствующему
аргументу.
156

Для нахождения линий кривизны используют два соотношения:
(6.18)
„_ дх дх ду ду . дг dz fi
да ар ~+~ да д$ "^ да dp и'
м
1
ля
*аР Уа& гаР
■^а f/а ^а
ч Ун 2р
= 0;
(6.19)
первое из них является условием ортогональности координатных
линий поверхности аир, второе—условием экстремальности
радиусов кривизны в точке С.
При совпадении координатных линий а и р с линиями кривизн
поверхности все элементы поверхности (ds, ki9 k2 и т. д.) и
расчетные уравнения теории оболочек принимают наиболее простой вид.
Поэтому в дальнейшем, если нет специальных оговорок, линии
а и р считаем линиями кривизны заданной поверхности, которую
рассматриваем как среднюю поверхность оболочки.
Коэффициенты А и В первой квадратичной формы (6.8) связаны
с кривизнами поверхности^ и k2 уравнениями Кодацци—Петерсона
и Гаусса
д^Г №*&) -*i^» ар (^И) — ^2 эд
да
д / \ дБ \
да \ А да )
+
д_ (±дА\___
д$[вд$)-
kfaAB.
(6.20)
(6.21)
III. МОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК
1. Общие положения
При расчете оболочек по моментной теории полагают, что
нормальные и касательные напряжения неодинаковы по толщине
оболочки /г, а поэтому в ее сечениях возникают тангенциальные силы
^a> Np> Sa = Sp = S, поперечные силы Qa и Qp, изгибающие мо-
v%*
-Л
'd**
■St..
v^t tv^P
d%
#p
^— up ^p
1*iKABd<xdPi 2=QpABdKdp
Рис. 71
Менты 7Wa и Мр и крутящие моменты Ма(3 = Мра = Я [(рис. 71);
Все усилия отнесены к единице длины нормального сечения].
157

Внутренние усилия в нормальных сечениях оболочки а = const
и р = const находят суммированием касательных т и нормальных а
напряжений по толщине h оболочки.
Так, по стороне (3 = const элемента оболочки (рис. 72)
^"j^^O+^i)^, M^^o^l+z/RJzdz,
(6.22)
Поперечная сила
но, как уже было сказано, ее определяют из условий равновесия.
Судя по приведенным выражениям (6.22), величины Sa и Sp, Л4ра и
Л1 аР не равны между собой, хотя та(3 =
=Тра, так как в общем случае (кроме
сферической оболочки) Riz9LR^. Однако
для тонких оболочек членами zlRt и z/R2
по сравнению с единицей (6.22) можно
пренебречь и в дальнейшем полагать
Sa = Sp = S и Map = Mpa = #. (6.23)
2. Дифференциальные уравнения
равновесия
TfizJ^Gmi)
(X(p=C0f7St)
Рис. 72
При составлении уравнений
равновесия полагают углы d\|?a, d%, dcpa и dq>
малыми, а следовательно, их синусы
равными углам, а косинусы единице.
Уравнения проекций сил на оси Сх, Су, Cz и
моментов сил относительно осей Сх и Су или проекций векторов
моментов на оси Сх и Су (см. рис. 71) после необходимых
преобразований, исключения величин высших порядков малости и
сокращения на dad(3 принимают вид:
^(AN,)-¥Na + ±JL(B>S)-£2 Qz + ABY = 0,
^Ма+^Мь + ±№а) + -щ№*)-АВг = 0,
-w(AM»)+^M«--ki(B2H)+ABQ***°> <6-24)
Согласно шестому уравнению равновесия ^Mz = 0
Sa-Sz + M^IRX - MtJR, --= 0.
158

Это уравнение в теории оболочек принято полагать
удовлетворяющимся тождественно, так как, подставив в него точные значения
усилий по формулам (6.22), получим тождество.
Таким образом, при расчете оболочки по моментной теории
будет восемь неизвестных Na, Af3, S, Мау Мр, Я, Qa и Qp и пять
уравнений статики (6.24).
Задача расчета оболочки статически неопределима в бесконечно
малом, -и необходимо рассмотрение деформаций оболочки для
составления дополнительных уравнений неразрывности деформаций или
решения этой задачи в перемещениях.
3. Уравнения деформаций и физические соотношения
Для получения общих выражений составляющих деформаций
в ортогональных криволинейных координатах а1} а2 и а3 рассмотрим
две точки упругого тела:
C(alf a2, a8) и Ei^ + da, a2 + da2, a3 + da8),
находящиеся на расстоянии ds друг от друга (рис. 73). Пусть Сх,
Су и Cz будут касательными к координатным линиям аь а2 и а3.
Квадрат элемента СЕ
ds2= 2 gldal-gldal + gldal + gldal
/i=i
(6.25)
где
gl = (dx/dahy + {dyldahy + (dz/dah)>
(6.26)
— коэффициенты первой квадратичной формы координатных
поверхностей—множители, которые преобразуют криволинейные
координаты в линейные отрезки; х, у, г —
прямоугольные координаты точки тела С (рис. 73,
оси Сху Суу Cz являются осями подвижного
трехгранника).
Длина элемента линии координатной
поверхности
dsh = ghdah.
(6.27)
Как известно [77], [14], относительные
линейные деформации в направлении
ортогональных криволинейных координат alt a2,
a8 равны:
^ ^ %,
*/(*;
Рис. 73
е - * дин ■ у» * '
* Sh dah ~ Zu ghgv dav '
v=2
(6.28)
относительные угловые деформации в соответствующих плоскостях
Кн. д
gv dav \gh
+
h \8v) '
(6.29)
159

где uh, uv — составляющие вектора перемещении в направлении коол
динатных линий Л и v. **4
Если принять
ai = a, аа = р, сс3 = у, & = 4lf g2 = Bti £8 = 1\, (6.30)
получим:
]_ди^, l_^di . 1 dAj
e*~ А1 да+А1В1 ар "Р+ЛхГ! ду Uv>
__ 1 ди$> 1 дВг , 1 дВ±
e*~ Bi ар +5^ а7 и"*+в1А11а~и*>
_ 1 а^у , 1 агх . 1 агх
ev~ Т± ду-^Т^! да "а + ГА ар иЪ>
_лг а /ца\ Бх а /цР\
^ ~ BJ ар V Л/ ■*" Аг да \Bj »
вх а Л*э\ , 14 а /ttv\
_ гх а / wv \ ах а / «a \
е^~ ах toUJ+T7^UJ'
(6.31)
(6.32)
Для оболочки координатная линия у совпадает с внешней
нормалью Cz (см. рис. 73), а поэтому заменив у на г, получим:
Л1 = Л(1+-^), В1 = В(1+^),Г1=1, (6.33)
где А и В —коэффициенты первой квадратичной формы средней
поверхности оболочки (6.8).
Согласно условию (6.1) e2 = duz/dz = 0 и, следовательно,
и, = М«,Р). (6.34)
Из двух других соотношений (6.1) при 2 = 0 получим:
где с индексом «0» показаны величины, относящиеся к средней
поверхности.
Приняв во внимание, что dAjdz~AlRb dB±jdz = BlR2, из
предыдущих соотношений найдем:
1 V дг Л=о /?! Л да > (6 35)
1/ ^^££^Л — ffL L^ff£
к&""\,агЛ=о""^2 ^ ар »
где У1э 2—углы поворота касательных (и нормалей) к координатным
линиям аир при деформации.
160

где
Согласно формулам (6.35) получим*:
u-tf + J'l 1 *£\ (6'36)
Подставив выражения (6.36) в соотношения (6.31) и (6.32):
*<* = £ + *<, e^el + гкЪ, еар = 4|з + 2гх0а(3, (6.37)
о = I ди°а дА и^ и\
*<* Л да "Т" ap АВ^ Rt '
^ в ар ~*~да лв "*" r2 »
0 __8_ а /Vp\ л a /ii\
e«v- a MF/ + "5"0PVX/'
,о=1^К LdA\ м ±.(A LdA\dA
a A da\Ri A[daJ~r AB\R2 В ap / ap"»
Л|3 в apv^2 в d^J^AB\R1 аЖ/Ш*
2h* =JLJL(»L \-дА\л-А.±(А- ±.ди°А
^°я а да \br2 в* ap J "т" в ар V л/?!— л2 а^Г/»
где х^, хр и x'ip—изменение кривизн изгиба и кривизны кручения
координатных линий средней поверхности.
Согласно условию (6.2) имеет место плоское напряженное
состояние, и напряжения можно определить по формулам:
°<х = j=& (** + veb) = r=V2 К + Н + z (кЪ + vxg)],
F Р
<*з = 1—:з («р + v«a) = 1—-2 [el + vea + 2 (х°р + vx^],
_ £ ~ £ , (6.39)
Ta|3 — T0a — 2(l_[_v) e^ ~~ 2(l+v) ^^'3 "^ ^гХ<*з)'
Интегрируя выражения напряжений по толщине оболочки [см.
формулы (6.22)] и пренебрегая величинами zjRt по сравнению с
единицей **, получаем усилия, отнесенные к единице длины координатной
линии:
Na = C(el + vel)y Ma = -D« + vxg),
tf3 = C(*S + 0, M3 = -D(4 + vx£)f (6.40)
S = -£(l-vKP, # = -D(l-v)<p,
(6.38)
* Для получения уточненных теорий, пригодных для расчета оболочек
средней толщины ht надо отбросить первые два условия (6.1) и вместо формул (6.36)
взять для перемещений разложение в ряд Тейлора по координате г.
** Не пренебрегая означенным отношением, можно получить более точные
формулы для определения усилий, см., например, [14].
6 № 1651 ***

где С«=£А/(1— v2), Z)-£AV[12(1—v2)]—цилиндрические жесткости
оболочки на растяжение и изгиб (£> = Л2С/12).
Уравнения (6.40) являются физическими соотношениями,
связывающими усилия с деформациями.
В дальнейшем значок «нуль» у деформаций (6.38) будем опускать,
так как рассматриваются только величины, отнесенные к средней
поверхности оболочки (z = 0).
4. Уравнения неразрывности деформаций
Уравнения неразрывности деформаций можно рассматривать как
условия интегрируемости системы дифференциальных уравнений при
разыскивании перемещенийпо заданным деформациям — системы (6.38).
Идея использования в теории оболочек уравнений неразрывности
деформаций впервые была выдвинута Е. Майснером [142] при расчете
оболочек вращения на осесимметричную нагрузку. В этом случае
получаются два уравнения неразрывности деформаций —еа, ер, ха и
Х|з (неизвестных перемещений два иа и uz):
(еа^-ер/?,)с1да-^ = ^,э,
**»-i(c&*0-
В. 3. Власов [15] применил уравнения неразрывности
деформаций при расчете цилиндрической оболочки. Эти уравнения при
/?х =» оо и /?я = # (s) имеют вид:
d2Ks qd*Kxs д2кх п
дх2 дхдз "Г ds2 в '
д2кх d*Ks д 1 ГдгХ5 деЛ п
~W дх* ^ ds R \ дх ds у '
^+*(&-ЙК+т&,)-<>- <в«>
Впоследствии А. Л. Гольденвейзером [29] путем вариации
уравнений Кодаци — Петерсона — Гаусса (6.20) —(6.21) были получены
три уравнения неразрывности деформаций в ортогональных
координатах для оболочек любого очертания.
Уравнения неразрывности в линиях кривизн приведены также
В. 3. Власовым [14], с. 288.
5. Краевые условия
Полученная система 17 расчетных уравнений (6.24), (6.38) и (6.40)
содержит 17 неизвестных (8 —внутренних усилий, 3 —составляющих
полного перемещения, 6 —составляющих деформации) и определяет
напряженное состояние с точностью до произвольных функций
переменных аир.
Произвольные функции общего решения определяют из
статических, кинематических или смешанных краевых условий задачи. Для
162

замкнутой оболочки краевые
условия по соответствующей
переменной а или р заменяют условиями
периодичности.
При рассмотрении краевых
условий ограничимся случаем, когда
края оболочки совпадают с
линиями кривизн средней поверхности.
Пусть линия р = const
определяет край оболочки, вдоль которого
действуют усилия ЛГР, S, АГЭ, Н и Q3. Рассмотрим два бесконечно
малых смежных отрезка линии края ab = bc = dsi (рис. 74).
Заменив крутящие моменты парами сил и спроектировав силы,
приложенные в точке 6, на направление нормали и касательной*
получим: '
-Qэds1-(я + afds1)+Я и Sdst-fa + VLdst)^,
где d9a = ds1/JRi, dsi = Ada [см. (6.17)].
Таким образом, значения приведенных поперечных и сдвигающих
сил при р = const:
статические краевые условия на свободном краю оболочки 0= const
примут вид:
=0f s—£=о, qp+4-^=o, м3=о,
Ri
А да
т. е. число краевых условий равно четырем.
Кинематические краевые условия для жесткого закрепления:
и =0 ия = 0 и = 0 l/«=f^ — J£ L*!*- L^'^n
иа и, ар —и, w^_и, к3— ^ az ;2=0— /?2— в ар ——в^Ж
(см. второе соотношение (6.35), где Fp является углом поворота края
оболочки (3 = const).
Смешанные краевые условия для шарнирно-неподвижного
закрепления края оболочки р = const: Afp = 0f иа = 0, щ = 0, и2 = 0 и т. д.
6. Интегрирование расчетных уравнений
Интегрирование расчетных уравнений моментной теории
оболочек (6.24), (6.38), (6.40) представляет собой сложную математическую
задачу, связанную с решением системы дифференциальных уравнений
в частных производных с переменными коэффициентами*.
Решая задачу в перемещениях иау иэ, uz, выражают из последних
Двух уравнений (6.24) поперечные силы Qa и Qp, подставляют их
* Лишь расчет круговой цилиндрической оболочки приводит к системе
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
6»
163

в первые три уравнения и заменяют усилия и моменты Na, N$% S,
Ма> Мр, Н их выражениями через деформации и перемещения по
уравнениям (6.40) и (6.38). Полученная таким образом система трех
дифференциальных уравнений в частных производных относительно
неизвестных иау щ, uz имеет восьмой порядок.
При решении задачи в усилиях Nay Afp, S, Ма, Мр, Н исключают
из уравнений равновесия (6.24) поперечные силы, приводят их к трем
уравнениям. К полученным уравнениям прибавляют три уравнения
неразрывности деформаций [29], выраженные через усилия.
Полученная таким образом система из шести дифференциальных
уравнений в частных производных имеет также восьмой порядок.
При смешанном методе решения задачи за неизвестные
принимают частично усилия и частично перемещения (см. расчет пологих
оболочек и симметричных оболочек вращения).
Трудности решения уравнений моментной теории оболочек
привели к построению упрощенных теорий расчета, основанных на ряде
допущений, обоснованных математическим анализом и тщательно
проведенными экспериментами.
К числу таких теорий относятся: теория краевого эффекта, полу-
моментная теория цилиндрических оболочек, безмоментная теория,
теория пологих оболочек, техническая теория и др.
Тем же можно объяснить и тот факт, что из бесконечного
разнообразия конструктивных форм оболочек методы расчета разработаны
лишь для немногих поверхностей: нулевой кривизны, вращения,
переноса, второго порядка и некоторых других.
Начиная с 1958 г. появился ряд работ, расширяющий применение
различных типов поверхностей: [45], [76], [87], [104] и др.
IV. РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
1. Общие уравнения цилиндрических оболочек
Приняв для цилиндрических оболочек, что координата а = х
меняется вдоль образующей цилиндра, a (3 = s — вдоль дуги
поперечного сечения, получим (рис. 75):
Л = 5=1, da = d*, d|3 = ds, /?i = oof /?, = /? (s). (б-44)
dcpx = 0, Rjdy^dx, dys = ds/Ry d\|jJC = d\|5J = 0.
Уравнения равновесия (6.24) примут вид:
dMs . dH n n dH dMx n _n
Из последних двух уравнений (6.45)
Qx = dMx/dx + dH/ds, Qs = dMs/ds + dH/dx. (6-4W
164

авИв значения (6.46)
f1 первые три уравнения
%А6), получим:
0jdx + dS/ds + X = O,
dNs ,<Ц 1 дМа
" "i" дх R ds
ds
1 My
"R дх^1
N.. PMX 2д*Н
О,
а2#
# ' dx2 ~ d^^s
(6.47)
Рис. 75
Согласно уравнениям (6.38) деформации равны
ди*
дия
** дх ' s~~ ds ^
— £
/?' xs
dus.dux
' дх "Г ло
"х дх* > *s~ ds{ R ds J '
a2a,
**$ '
2/? d* ^ ds ал: V 2/?
из уравнения (6.40) получаем формулы для определения усилий
(6.48)
*.-с(%+*+'т?)-
s =
Л!, = —D
1—V
2
С(£? +
ах
М = — D
а
ds
R
ds
duz
ds
d2u2
dx2
[~_d_ f Us_ диЛ d2uz
[ ds [ R ds J V dx2
Я —(l-v)D|(&-
~ds~
(6.49)
Подставляя формулы (6.49) в уравнения (6.47) и пренебрегая
едичиной h2/(12R2) по сравнению с единицей, получаем расчетные
Уравнения в перемещениях:
1 —v а2 ... \ ,1 -{-v d2us v duz X
' d2
\ dx2 "г
1+v д2их
2 dxds
а..
ds2
U*
V as2
^ 2
-v a2
.. . h2 _
a*2
12Я2
+
l d#
я V as
~di
v_dux
R ^"T"
i a,
ds
12 as *
a„ = —
С '
Y_
С '
h2 a
я as
12 as
[^(v2...+v9)]}t/,+
(6.50)
165

1 Г 2 fdRy
где 1* •••=-$■ [TVar)
д2 д2 v и- . и- ...
V* * " = ~&?~+ ""&?-' V4 • . . = -gpr + 2 ^2д$2 + -^г- • (6.51)
Решение уравнений (6.50) проводилось при некоторых
допущениях теории пологих оболочек (раздел VII, § 1) и полумоментной
теории цилиндрических оболочек (см. § 2) рядом авторов: [1281
[149], [126], [6].
Для круговых цилиндрических оболочек /?=a=const, Va .. .=0,
и система уравнений (6.50) превращается в симметричную систему
с постоянными коэффициентами.
2. Уравнения полумоментной теории
В оболочках средней длины (/: Ь = 2 -г- 8) открытого профиля
изгибные напряжения играют роль распределителя нагрузок в каждом
поперечном сечении, в то время как передача нагрузок в
направлении оси х на опоры-диафрагмы происходит почти исключительно
за счет Л^ и S. Изгибающие моменты Мх, крутящие Н и
поперечные силы Qx играют малую роль в передаче нагрузки на диафрагмы,
что подтверждается опытными данными, и эгими усилиями можно
пренебречь.
При построении полумоментной теории цилиндрических оболочек
открытого профиля В. 3. Власов [16] помимо пренебрежения
указанными усилиями, ввел еще геометрические гипотезы:
е, = 0 и exs = 0. (6.52)
При принятых статических и геометрических гипотезах
расчетные уравнения (6.45) и (6.48) принимают вид:
£ + ^-Z = 0, Q.-^-'«0, (6.53)
* дх ' s~~ ds "*" R
Исключая из уравнений (6.53) усилия S, Ns и Q, а из
уравнений (6.54) перемещения их, us и и„ полагая v = 0 (ex = Nx/(Eh),
ks = — MslD)y можно получить систему из двух разрешающих
уравнений:
^х—^--^ = 0, (6-55)
* Ввиду различных свойств в направлении х (ех ^ 0) и 5(^ = 0) такие
оболочки называют ортотропными.
166

г№
°--£(*V)+i(±4r)- <656>
Однородные уравнения (6.55) при постоянной толщине h могут
ть приведены к одному уравнению путем выражения усилий через
^уНКЦию напряжений F по формулам:
NX = QF, Ns~Rd*F/dx*ds\ S^ — QidF/dx,
Ms = —d*F/dx\ Q.^ — d^/dx^ds,
(6.67)
где
Q
В этом случае функция напряжений F (х> s) определится из
уравнения
За частные решения можно принять соответствующие решения
безмоментной теории (при Ms = Qs = 0).
У. Финстенвальдером [123] была построена полумоментная теория
круговых цилиндрических оболочек с принятием лишь статических
гипотез (Mx = Qx = H = 0).
V. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
1. Общие положения
При расчете оболочек по безмоментной теориии полагают, что
нормальные и касательные напряжения постоянны по толщине
оболочки. В этом случае внутренние силы в оболочке сводятся к
нормальным IVa, iVp и сдвигающим S силам, которые лежат в
касательной (тангенциальной) плоскости к средней поверхности оболочки.
Применять безмоментную теорию можно лишь в случаях, когда
кРутящие и изгибающие моменты и сопутствующие им поперечные
силы либо равны нулю, либо напряжения от них настолько малы,
Что ими можно пренебречь.
Для того чтобы существовало безмоментное напряженное состоя-
Ние, необходимо соблюдение следующих условий:
1) оболочка должна иметь плавно изменяющуюся непрерывную
п°верхность с постоянной или плавно меняющейся толщиной. Резкое
вменение указанных величин (Rh h) создает разницу в
деформациях и вызывает изгиб;
Р 2) нагрузка на оболочку должна быть плавной и непрерывной.
°средоточенная нагрузка вызывает изгиб в области точки ее при-
^ ^ения, а потому безмоментное состояние может возникать только
°бластях, удаленных от этой точки;
. *) закрепление краев оболочки должно быть таким, чтобы край
свободно перемещаться по нормали;
167

4) силы, приложенные к краю оболочки, должны лежать в
касательных плоскостях.
Подробное исследование условий безмоментного состояния
приводится А. Л. Гольденвейзером [30].
2. Расчетные уравнения безмоментной теории
Общие уравнения равновесия (6.24) для безмоментной теории
примут вид:
w(AN*)-wN«+^^(B2S)+ABY=0>
NJRi + N^IR2—Z = 0. (6.60)
Определение внутренних усилий по безмоментной теории является
статически определимой задачей — искомые усилия Na, А/р и S
можно найти, не пользуясь первыми тремя геометрическими (6.38)
и физическими (6.40) уравнениями. Последние уравнения будут
нужны для определения деформаций и перемещений или для расчета
внешне статически неопределимых оболочек.
Порядок полного решения безмоментной задачи следующий:
1) из уравнений (6.60) определяют внутренние усилия Na, N$} S\
2) согласно уравнениям (6.40) находят деформации:
ea = -^{Na-vN&), e^±-(N&-vNa), ea^^^S; (6.61)
3) для определения перемещений используют первые три
уравнения (6.38):
1 ди„ г) л Ua и 1
В__д_
Л да
(ufi\ . Л д (иа \ _2(l+v)c
V в у-1" в ар V л )— Eh °*
Для проверки применимости безмоментной теории надо по
уравнениям (6.38) определить ха, хр, ха(3, по уравнениям (6.40)—Ма,
Мр и Я, найти напряжения от моментов и сравнить их с
напряжениями от тангенциальных сил Na, N^ и S.
3. Интегрирование расчетных уравнений
Для оболочек нулевой гауссовой кривизны (Rt=cx>y Л=1)
уравнения (6.60) принимают вид:
ir+^i(B2S)+fiy==0' ' (6-63)
168

их интегрируют в замкнутом виде:
s-Mm-i.Z.e[^+er]^
+^:.Мм:в[^+в¥П<"- <*•*>
где R = R2(P)\ /г(Р) —произвольные
функции общего решения
однородной системы (6.63); ai —
произвольно выбранное постоянное число.
Для осесимметричной задачи
(У = 0) оболочек вращения [А =
= Л (a) = Rlt B = B(a) = r = R2 sin а
(рис. 76)] уравнения (6.60)
принимают вид:
■gjj- (R2 sin aNa) — Rt cos aW р +
+R1R2cosaX = 0, (6.65)
R2Na+R1N^-R1R2Z = 0
и интегрируются в форме:
+ I RXR2 sin a (Z cos a—Xsina) da ,
Nz --= R2Z— RiS\n2a [Лг + J" RXR2 sin a (Z cos a—X sin a) da] , (6.66)
где A±—произвольная постоянная.
Из работ, посвященных оболочке, заданной уравнением z = f(x, у)
ее средней поверхности, являются работы А. Пухера [145] и П. Чонки
[119], где задача решается с помощью введения функции
напряжений, работы В. 3. Власова [17], автора [88] и др.
VI. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ НА ОСЕСИММЕТРИЧНУЮ НАГРУЗКУ
1. Общие уравнения оболочек вращения
При осесимметричной нагрузке оболочек вращения усилия,
деформации и перемещения не зависят от угла долготы р (рис. 76)
и, кроме того,
S = Qp = # = 0, ыэ=:еар = хар=0. (6.67)
V
Рис. 76
169

Уравнения равновесия (6.24) принимают вид:
-i- (Rt sin aNa) — Ri cos аЩ— Rt sin aQa + RtR2 sin aX = 0,
Rt sin aNa + Ri sin aNe + -^ (Я2 sin aQa) — RtR^ sin aZ = 0,
-j-(RtsmaMa) — RicosaMl—R1RtsinaQa = 0. (6-68)
da
Уравнения деформации (6.38):
е* = Ж[\-Ж~ + и*)> a *i da /?ДИ« daj /?x da
1 , .4 ctga /
da
ctga.
(6.69)
tf*+<fo
Рис. 77
Введем неизвестные Майсснера [142]:
У.-У-£(,ь_£)н </-**..
(6.70)
где V — угол поворота касательной
к меридиану при деформации (рис
77).
Старые неизвестные уравнении
(6,68) выразим через новые
неизвестные (6.70) посредством
соотношений:
Na = -C-^U + Na0,
М
п / 1 <W . ctg a , Л
М
- n(ctga у л. v dV\
(6.71)
где Na() и Np0—значения нормальных сил от нагрузки по безмо-
ментной теории (6.66).
Если подставить значения (6.71) в уравнения (6.68), то первые
два удовлетворяются тождественно, а третье и составленное на
основании первого уравнения (6.41) уравнения неразрывности дефор-
* "doT="da~ = 'dr=*ldacosa, = 7?lCOSa'
170

маций принимают вид:
*i da» "•" L da \, Л J + Rt С1* a ~^ "d¥J "da"~
-[|ict^a-v—lctga^-](/ = £i?1/ty + 0(a)1* (6.72)
где
При постоянной толщине /i уравнения (6.72) можно записать так:
L(V)-(v/R1)V = -(l/D)U,
L (U) + (v/RJ U = EhV + (l/Rj)Ф (a), (6.73)
где
Л/ v*. d»(...) If d /fl2N fl2 1 d(...) ctg'a
^•••' Л; da* +/?! Lda UiJ + tfi g J da ^Г1'")'
(6.74)
Полагая в уравнениях (6.73)
t/ = L(<p)—vq>//?it V=-q>/D, (6.75)
где ф = ф(а)—функция усилий и перемещений, тождественно
удовлетворим первому уравнению (6.73); второе уравнение примет вид
LL(4>)-vL(^)+^.L(9) + (§—^-)Ф = -^Ф(а). (6.76)
Если радиус кривизны Rt = const (сфера, конус, тор), то вместо
уравнения (6.76) получаем
LL (Ф)+нАр = (ТО Ф (а), (6.77)
где
2 Eh v2 _ 1 12(1 -У2)/?? Ъ* . /ft 7Й,
б2 =12(1—v2) R\/h2—основная характеристика оболочки.
Уравнение (6.77) может быть предоставлено в виде
(I + щ) (L — i\i) Ф = Ф (a)//?lf (6.79)
и -его общее решение получено в функциях комплексного
переменного. Чтобы найти частное решение ф, надо решить уравнение
L(9) + f|i^=(*/fc)0(a), (6.80)
* При принятых неизвестных (6.70) второе уравнение (6.41) удовлетворяется
тождественно.
171

которое получается, если задать частное решение ср в комплексной
форме
Ф = г + ik,
где г и k—действительные функции от ос, и подставить его в
уравнение (6.79).
Система (6.73) использовалась рядом авторов: для сферических
оболочек—Н. Э. Экстремом [112], для конических — Ф. Дюбуа [121]
для тороидальных — Г. Вислером [151] и многими другими.
Перемещения определяют из первых двух уравнений (6.69) (см.,
например, [89]).
2. Уравнение краевого эффекта
Явление краевого эффекта заключается в том, что
сосредоточенные силовые факторы, приложенные к границам оболочки, вызывают
усилия изгиба лишь в области, непосредственно примыкающей к
границе.
Существование краевого эффекта в симметрично загруженных
оболочках вращения позволяет заменить точные уравнения (6.73)
приближенными уравнениями Геккелера [124]. Полагая, что с
увеличением расстояния от края оболочки (а = ах или а = а2, рис. 76)
V и U быстро затухают, и принимая da2 ^> d'a ^("О» г^е
точками обозначена одна из величин V или U> получаем вместо
однородных уравнений (6.73) следующую упрощенную систему уравнений:
ч2
d2V Rl Т1 6W EhR
Для сферической оболочки (Ri = R2=a) уравнения (6.81) имеют вид
d2V a2 п d2Qa
da2
^Qa*^ = EhV. (6.82)
Исключив из этих уравнений К, получим
или, так как
приходим к уравнению краевого эффекта Геккелера:
da
d4% + 4^Qa = 0, (6.83)
где
Я* = Ьа/4 = 3(1 —V2) a2//i2. (6.84)
172

Общим решением уравнения (6.83) будет
Qa = еы (С, cos Ы + С2 sin ко) + е~ы (С3 cos Ха + С4 sin Ла), (6.85)
или
Qa = С^а sin (Ы + 8г) + С2б-^а sin (Ха + б2), (6.86)
1*де СЛ и бЛ — произвольные постоянные, определяемые из краевых
условий.
Далее из второго уравнения (6.81) определяют V и по
формулам (6.71) — внутренние усилия или по формулам (6.71) —
изгибающие моменты, а нормальные силы берут приближенно согласно без-
моментной теории.
VII. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ
1. Определение и основные допущения
Оболочка считается пологой и тонкой, если соблюдаются
следующие условия:
/min:/>5 и /?min:/i>20, (6.87)
где 'min—наименьший размер оболочки в плане; /—стрела подъема
оболочки; Rmin—наименьший радиус кривизны.
Ввиду малого возвышения поверхности оболочки над плоскостью
ее проекции принимают следующие допущения:
1) на средней поверхности пологой оболочки вследствие малой
гауссовой кривизны (k = kxk2) геометрию поверхности заменяют
евклидовой геометрией на плоскости ее проекции, а уравнение Гаусса
(6.21)—приближенным уравнением
д ( 1 дВ \ . д ( 1 дА \ л /с ооч
Ж (Т¥) +-3JT (ТГЖ) *°- (6,88)
Таким образом, если задача рассматривается в прямоугольных
координатах, то
ds2 = djt2 + ck/2, т. е. Л = Я=1;
если в полярных координатах, то
ds2 = dr2 + r2d|32, т. е. А (г) = [1 +(dr/dz)a]T/2 « 1.
Аналогично ведут подсчет Л и В и для других систем координат
йа плоскости;
2) изменение кривизн изгиба ха и к;] и кручения ха(3 средней
поверхности пологой оболочки не зависит от тангенциальных
перемещений иа и щ [П4]«
3) в уравнениях равновесия пренебрегают членами моментного
состояния М и Q, умноженными на выражения кривизн и их
производных.
•173

2. Расчетные уравнения смешанного метода
На основании принятых допущений уравнения деформаций (6.38)
примут вид:
1 диа , 1 дЛ ь
__ 1 д"з I J дВ , у
А
1 ЗиЛ 1 ал ац^
_ J? a/^Л , j1J_ (
е** ~~ А да \ В J + В ар V
_ J д f 1 ЗиЛ 1 ал oiiy
Ха ~~ — А ~да \Т На) ~ АВ* ар д$
хр ~ ~~ в ар V £ д$)
А2В да да '
1 / д2иг 1 дВ_диг Lid.^£^ /0 89)
к«р "" ля ^ аоар в да ар а ар аа у • ^
Уравнения равновесия (6.24) предсгавим в форме:
-w<BN^-^^+-rr^A2S) + ABX=0'
^(ANe)-MNa+_l__d_iB2s)+ABY=0>
Зависимость между внутренними силами и деформациями
выражается шестью формулами (6.40). Статические уравнения (6.90)
вместе с физическими (6.40) образуют полную систему девяти
уравнений с девятью неизвестными функциями: Na, S, Л/^, Ма, Я, Мр,
иа, иэ и иг.
Тангенциальные усилия выражаются через скалярную функцию
напряжений ф(а, Р):
"а~~ в ар v в ар у + л2я аа аа »
/VP ~~ А да [ А да ) + ЛВ2 ар ар '
g_ 1 ( а2ф 1__^в_аф_ 1_^4_^ф_\ Q9.
°~^ АВ\дад$ В аа ар Л ар аа ) ' {о.у*;
вследствие чего два первых однородных (X = Y = 0) уравнения (6.90)
с учетом уравнения (6.88) удовлетворяются тождественно.
174

Уравнения неразрывности деформаций для пологих оболочек
(уравнения Кодацци — Гаусса для деформированного состояния), где
отброшены члены с множителями kit kt и k [29], имеют вид:
+ж4-[ж(Леа)-1^-ж(5,^)-ж^]},=0*- <6-93>
Первые два уравнения (6.93) согласно формулам (6.89) и (6.88)
удовлетворяются тождественно и, таким образом, последние
уравнения (6.90) и (6.93) после необходимых преобразований принимают вид:
V2V2<P =F Ehyluz=*0 **, (6.94)
где
r,t _ l Г a M а--Л_1. a M а--Л1
— эллиптический оператор Лапласа,
^■■-^(4^)+£(4*ж)] <6-95>
— оператор смешанного типа.
Уравнения (6.94) выведены в 1938 г. К. Марквером [140], общая
теория пологих оболочек разработана В. 3. Власовым в 1944 г. [18].
Согласно уравнениям (6.91)
Для получения тангенциальных усилий служат формулы (6.92),
для остальных усилий — формулы (6.40) и (6.89); тангенциальные
перемещения определяют через их и <р из первых трех уравнений
(6.89) (см. задачу 6.6).
Система (6.94) может быть представлена в комплексном виде [64]:
_ vjy +1 h V2V2 v = z (6 97)
2 i^3(l-v2) v '
£/j2
Приняв Чг = ф+/ — -. t/z и отделив в последнем уравнении
вещественные и мнимые части, получим систему (6.94).
* Первые два уравнения справедливы только для пологих, а третье для
любых оболочек.
** Нижние знаки соответствуют положительному направлению uz и Z по
внутренней нормали к поверхности оболочки.
175

При расчете на температуру расчетные уравнения имеют вид [ 191.
Dv*v*u,— v|(p = 0,
^V^ + VlUz + rtrt' + fa+kd^^O, (6.98)
где t = t1 —t2—температура от неравномерного нагрева оболочки по
толщине; V = (tt +t2)/2—средняя температура нагрева; tx = tt (а, |5) -_
температура на внешней поверхности оболочки; t2=^t2(a, Р)—тоже,
на внутренней.
Уравнения (6.98) применялись в работе [90].
В случае декартовых координат, употребляемых при расчете
оболочек с прямоугольным планом,
а = х, Р = #, А = В=\\ (6.99)
ех = dujdx + kjxz, еу = dujdy + k2ugf
еху = диу/дх + дих*/ду,
кхг=-д*и2/дх\ ку = — д*иж/ду*9 кху = -д2иг/дхду. (6.100)
Уравнения (6.90) примут вид:
6S
х = о, ^-+™*+у=,о,
дх ~ ду ~ ' дх ~ ду
№ + M^ + -^-2|£ + ^«Z« (6.101)
причем кривизны изгиба линий поверхности z = г (ху у) могут быть
выражены приближенными формулами:
k± & d2z/dx\ k2 « d2z/dy2. (6.102)
При X = Y = 0 усилия можно определить по формулам:
Nx = д2фу\ Ny = д2фх\ S = — д\1дх ду,
M."D {&+*%?■)• О,—D55T'"«- (6Л03)
Дифференциальные операторы уравнений (6.94) равны:
V...-^ + %r.Vi...«ft,^r+*i^:*" (6.104)
При учете нагрузок X и Y следует в первых двух формулах
(6.103) положить (см.: Мишонов М. К теории пологих оболочек.—
* Если оси х и у не совпадают с проекциями линий кривизны на плоскость ху,
то в этом соотношении надо добавить член -\-2k12uZl где k12 « д2г/дх
ду—кривизна кручения линий поверхности z = z(x, у).
** Для случая учета кривизны кручения в левую часть этого уравнения
добавляют член -\-2k12S.
*** Ввиду пологости оболочки при подсчете Vfc(-f) по формуле (6.95)
кривизны ki и k2 принимают постоянными.
176

rjM^> 1958, т' ххп> вьш- 5)
В этом случае уравнения (6.94) принимают вид:
DWu,—V|<P = Z—/г, J Xd*—ft, J Kdy,
Вместо системы (6.94') можно применить дифференциальное урав-
нение в комплексном виде, положив ¥ = иг + i [2 j/"3 (1—va)/(£7i2)](p,
тогда имеем
При известных усилиях (6.103') и (6.103) перемещения в оболочке
определяются системой первых трех уравнений (6.100):
-i%-=-mr(Ny—vNx)+k2uz, (6.Ю0')
d"y , dttx_2(l+v) у 0. #„,
В случае полярных координат a = r, Р—полярный угол,
Л=1, В = г. (6.105)
Деформации и усилия определяют по формулам:
ди. , , 1 ^"s . и. . ,
е* _ r a/- V~/ + /• ар »
а2ыг 1 /1 a2«z . duz\ /с 1лсч
1 / а2«г |_а«г
Хгв ~ /• \ дг ар /• ар
1 /ар ia2q>\ «г _^!ф_ с_ АР*р\
мг = Т\д7 + Т~Щ)' 0_ ^2 ' *■ \r "а?/'
^'/■-^ [Э/.2-г-г ^г ар2 + ал ;J • v' "ar v "*•
Mp=Db(T^+17j + v-^i- <Зр = - — ар?2"-
tf = D(l-v)±|(^-"f). (6.107)
* Положительные направления иг и Z приняты по внутренней нормали.
Нп ** Знак перед иг изменен, так как положительное иг принято по внутренней
°Рмали.
177

Дифференциальные операторы уравнений (6.94) равны:
1 га / э...у . 1 дг...1
\дг\г-ЭГ) + г dp J'
\l(rk d—) + *-(*Ld~)] (6Л°8)
Как указал В. 3. Власов [14, с. 315], безмоментная теория
пологих оболочек описывается первым уравнением (6.94), если в нем
отбросить первый член, учитывающий влияние моментов:
1
± АВ
[£(-§-**)+*(■£-**)]-*■ <6109>
Практический интерес последнее уравнение представляет для
оболочек положительной гауссовой кривизны k=*kjz2>0, когда
изгибающие моменты меньше, чем в случае k^O.
Безмоментная теория пологих оболочек рассматривалась за
рубежом в работах А. Пухера [145], П. Чонки [95], В. Флюге [108] и
в СССР в работах А. Р. Ржаницына [95], В.М. Никиреева [62].
3. Расчетные уравнения метода перемещений
Если в уравнения (6.90) подставить значения усилий,
выраженные через деформации согласно уравнениям (6.40), и далее выразить
деформации через перемещения по формулам (6.89), то получим систему
трех дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях, которая
в случае осесимметричнои задачи приводится к двум уравнениям
(и/з = 0).
Не приводя общего вида системы расчетных уравнений в
перемещениях, дадим ее для частного случая пологой оболочки двойной
кривизны с прямоугольным планом [19], [2], [61]:
\дх*^ 2 ду* )Ux^ 2 dxdy^{Rl^VR*> дх — 1Г'
i-v д*их /а2... , i_va2...\ . tu . u.duz v /п 11АЧ
-T-5^+^ + -T--^^ + ^ + v*i)^3--^' (6Л1°)
где
v ' ' ' дх* ^ L дх* ду* ^ ду* '
Тангенциальные усилия определяют по формулам:
Nx = С (ех + vey) = С [dujdx + v диу/ду + (kt + vk2) и J,
Ny = C (ey + vO = С [диу/ду + v dujdx + (k2 + vkj и J,
s = (C/2) (1 - v) exy = (C/2) (1 - v) (dujdx + dujdy),
где
^78
C = £/i/(l-v2). (6.Ц1)

Усилия моментного состояния определяют по пяти последним
формулам (6.103). т к
Уравнения (6.110) носят весьма общий характер: они справедливы
для пологих оболочек двойной кривизны, когда kt и k2 являются
функциями х, уу и могут быть определены по приближенным
формулам (6.102).
Особенно простой вид уравнения (6.110) имеют для пологих
цилиндрических оболочек [&i = 0, k2=l/R2i R2 = R2(y)] и оболочек
переноса, поверхность которых определяется уравнением z = F1(x) +
+F2 (у) и получается параллельным перемещением образующей
кривой Fx (х) по направляющей F2 (у) или наоборот. В оболочках
переноса проекция линий кривизн на плоскость ху не совпадает с
декартовыми координатами х и у, но так как в любой точке поверхности
кривизна кручения
k12ttd*z/dxdy = 0, (6.112)
то расчетные уравнения совпадают с уравнениями (6.110).
В. 3. Власовым была предложена техническая теория расчета
оболочек [14], при которой остается в силе лишь второе допущение
теории пологих оболочек — изменение кривизн изгиба (иа и хр) и
кручения (хар) средней поверхности оболочки не зависит от
тангенциальных перемещений «а и щ.
Расчетные уравнения метода перемещений для пологих оболочек
переменной толщины h = h(x,y) приводятся в работе [60].
VIII. УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
1. Методы решения задачи упругой устойчивости
Задачи упругой устойчивости решают следующими методами [111]:
1. Статический метод, который определяет собственные
значения Pmj т. е. те значения нагрузки, для которых система
дифференциальных уравнений имеет нетривиальное решение и для которых
идеальное тонкостенное тело принимает нетривиальные равновесные
конфигурации с неопределенными амплитудами.
Совокупность собственных значений дает полный спектр
критических нагрузок, из которого для целей практики наиболее важно
наименьшее.
2. Метод несовершенства определяет нагрузку Р, при которой
прогибы неидеального тела (несовершенство формы, эксцентричность
нагрузки) неограниченно увеличиваются —эта нагрузка совпадает с
собственными значениями Р*.
3. Энергетический метод определяет нагрузку, для которой
полная потенциальная энергия (сумма энергии упругой деформации и
потенциальной энергии внешних сил) идеального тела перестает быть
существенно положительной определенной функцией для всех малых
статически допустимых вариаций. Это происходит, когда нагрузка Р
приближается к собственному значению Р*. Энергетический метод
является мощным практическим средством приближенного вычисления
179

критической нагрузки, получившим большое развитие в работах
С.П.Тимошенко [102].
4. Кинематический метод определяет нагрузку, для которой при
малых возмущениях, вызвавших колебания идеального тела,
амплитуда некоторого вынужденного колебания неограниченно
увеличивается со временем по экспоненциальному (оо eat) закону. Движение
перестает быть ограниченным, когда параметр нагрузки Р равен
собственному значению Р* или превышает его.
Если при исследовании прямого стержня (задача Эйлера) все
перечисленные методы приводят к одинаковому результату, то для
более сложных систем и задач этого сказать нельзя [Ш].
2. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек
При исследовании устойчивости круговых цилиндрических
оболочек наиболее широко используют уравнения Доннела [120]:
*Л7 uz~t а2 dxi -V ["х дх2 +^дШ + Л/^-^)у
xi4j - V d4z 1 l d*U*
v u* a dx* "f" а дх~№ »
_ 2+v d*uz \&Ug .n
где NХУ S, Ns—мембранные силы, возникающие при потере
устойчивости от нагрузки Z; а—радиус оболочки.
Составляющие деформации определяют по упрощенным формулам
(6.89) теории пологих оболочек:
ех = дих/дх, es = -^ + ^, exs = dus/dx + dux/ds9
Kx = — d2uz/dx\ yis = — d2uz/ds\ Kxs = — d2uz/dxds. (6.114)
В 1934 г. Доннел учел нелинейные члены в уравнениях (6.114),
зависящие от конечных деформаций и начальных несовершенств
оболочки—и\, приняв мембранные деформации в форме:
_dux k /du2y dus uz k fduzy fi n5)
*xs ~" dx "^ ds ^ dx ds »
где ft =51 + 2uz/uz = 1 + const, и получил нелинейные уравнения ус*
тойчивости.
При исследовании линейных задач устойчивости пологих
круговых цилиндрических оболочек можно использовать линейные
уравнения В. 3. Власова [14, с. 460]:
уУф-^^-о, (6.П6)
л з <эа... , а2... х а s
глеуа...=-§5г+^Г, a--, р«-.
180

где
В уравнениях (6.116) составляющие деформаций определяются
соотношениями:
1 диа 1 (дщь . \
«.-■?($+&)■ <6||7>
\_&Щ ___L^£ — [_d^h_
*а~" а2 да2 ' ХР— а2 д$* 'ХаР~ а2 дадр '
[см. формулы (6.89)].
Мембранные силы, обозначенные верхним индексом «нуль»,
являются силами в основном безмоментном состоянии равновесия,
возникшим до критического состояния. Эти силы определяют из
безмоментного состояния с точностью до одного
параметра—интенсивности внешней нагрузки.
Для решения нелинейных задач могут быть использованы
геометрически нелинейные уравнения В. 3. Власова [14]:
о о г-1 d2uz Eh г . х
V2V2(P— aEh-dv? = — -jUfi(u2, uz)y (6.118)
/ / \- 2 \д2иг&иг 1ЬЧг у]
bap (Мг, WZJ - а4 |^ да2 д?)2 \дад$) J •
Уравнения (6.118) выведены в предположении, что оболочка до
потери устойчивости получает малые перемещения, поэтому для
основного состояния принимают линейную теорию пологих оболочек,
а в критическом состоянии прогибы становятся большими,
сравнимыми с толщиной оболочки, и используют нелинейную моментную
теорию.
При исследовании нелинейных задач устойчивости можно
применить уравнения Цзянь Вей-цзана [117], которые являются одним
из типов уравнений пологих цилиндрических оболочек:
1*-.-*+ЭЭг-*ЙЙ+3(&Ч). <м»>
гДе мембранные усилия определяют по формулам:
Nx = d*y/ds*, Ns=*d2y/dx\ S = — d\/dxds\ (6.121)
составляющие деформаций — по формулам (6.115) при Л=1.
Два уравнения (6.120) приводятся к одному
п 8 . Eh&ux A7JL^uzd^ gd'u, а»д> d*uzd\\
^wz+^-^==V [ "a** ds* dxdsdxds &2 ^4
ы£_ г / ап^у _*«, a^i
181

Полученное уравнение (6.122) только последним членом правой части
отличается от первого уравнения Доннела (6.113), если в нем
мембранные силы принять известными.
3. Устойчивость сферических оболочек
Для исследования осесимметричных форм потери устойчивости
могут быть использованы уравнения Майсснера (6.73), которые при
Rt = R2 = a примут вид:
L±(l/)-vV = -4Qa, Ii(Qa) + vQa-£AK + lo(a)f (6.123)
где для сферы
L^..O-^(..0-^ + ctga^i-ctg»a(...),
O(a)^a^JNl-vN0a) + a(l+v)ctga(Nl-NQa)y
Ni>=ЛМ = ^J— \аi+ptZcosa-XsinaW,
a г sin a asin2a [ x Ja0 /J
™=F-iW = -l i—^+r^Zcosa-Xsin^dal*,
iVP a a sin a a sin2 a [ l Ja0 /J
X = a2sinaX, Z = a2sinaZ. (6.124)
При наличии равномерного внешнего давления Z = — р, Х=-0,
Z = _ pa2 sin a, X = 0, tf£ = #&=» — ?. ф(а) = °. и Уравнения (6.123)
можно записать в виде:
L1(V0-vV = -^Qa, MQa) + vQa=*£W. (6.125)
Для исследования устойчивости в первохМ уравнении (6.123),
выражающем сумму моментов сил, приложенных к бесконечно
малому элементу оболочки относительно оси г/, надо учесть момент
от нормальных сил в деформированном состоянии и сил начального
основного безмоментного состояния—№^. Полагаем, что в
критическом состоянии нормальные силы
Na = N°a + Na, (6.126)
где Na—приращение нормальных сил при изгибе.
Согласно рис. 78, приняв V & V и cos V « 1, без учета изменения
величин А и В при деформации получим момент силы (Na + dNa)
относительно оси у (перпендикулярной к плоскости чертежа):
~(^a + ^da)(5+Sda)dP^da^-^a^5dadp. (6.127)
Введем выражение (6.127) в третье уравнение (6.68):
— ^ (sin aMa) + cos aM3 - NarV + rQa = О
* Для замкнутой в полюсе (а = 0) оболочки Л1==0.
182

или соответственно в первое
уравнение (6.125). Отбросив
нелинейный член—NarV и
(%*+11Я«)у
проведя необходимые преоб- *0N*<*1&Yi \
разования, приведем систему
(6.125) к виду:
l<i<y)-W = *{Niy-Qa),
LAQa) + vQa = EhV,
(6.128)
где
№а = -ра/2.
Рис. 78
При исследовании симметричной устойчивости пологих или
локальной устойчивости подъемистых сферических оболочек можно
использовать линейные уравнения В. 3. Власова [14, с. 465]:
£>V2v4=b4v29 = ^d^ + ^l^, (6.129)
V • • • dr* ^ r dr r dr \r dr )'
где
d*ux
dr*
1 duz ~
— TIT' ^ = 0-
(6.130)
Для исследования симметричных нелинейных задач устойчивости
пологих или локальной устойчивости подъемистых сферических
оболочек могут быть использованы геометрически нелинейные
уравнения В. 3. Власова [14]:
£>VV«, ± 7Г^ " N°« lfc+NlT4F + Lr (".. Ф). (6.131)
VV9=F^v4 = -
£Л
L, («„ иг),
где
/ (и w)-1 /^*Ф , <*"*^Ф\_ 1 4 (йигйу\
ьг\и„ ф;_ л ^dr,.dr -Т--375757- 737 V"37 d7;>
Часто при решении задач устойчивости, используя уравнения
(6.129) и (6.131), заменяют проекции нормальных сил №а и Щ
значением нормального давления Z, т. е. полагают
Л/о Sf£J.A7ii£ff£ —7
(6.132)
183

Для интегрирования системы геометрически нелинейных
дифференциальных уравнений устойчивости используют метод
возмущений [130], метод разложения в степенные ряды [148] и [105],
метод Бубнова — Галеркина и энергетические методы.
IX. КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧЕК
1. Общие положения
При выводе уравнений колебаний оболочек полагают, что
состояние напряжения внутри оболочки во время колебания имеет
характер, определяемый уравнениями равновесия, и средняя поверхность
оболочки во время колебаний деформируется по тому же закону,
что и в состоянии равновесия *. На основании изложенного,
уравнения колебаний оболочек можно получить, согласно принципу
Д'Аламбера, заменяя внешние силы X, У, Z, которые входят в
уравнения равновесия, соответственно выражениями сил инерции:
—md2ujd%2y —тд2и^/дт2у —md2uz/dx2. (6.133)
Полные уравнения колебаний имеют вид [см. уравнения (6.24)]:
где поперечные силы определяют по формулам:
Ъ = -Ш [щ(Ш*)-ММ« + ¥Та(В*НА- (6-135)
Выражая усилия через деформации по формулам (6.40) и далее
через перемещения, согласно соотношениям (6.38) приводят задачу
о колебаниях оболочки к трем дифференциальным уравнениям в
частных производных относительно перемещений иау и$ и uz [139].
При исследовании изгибающих колебаний без растяжения
средней поверхности и при отсутствии сдвигов в ней (еа = e{i = ea$^0)
уравнения (6.134) принимают вид:
ABRi
dx2
ABR2
1
АВ
[|w-f^+^(M)]=m^
+
ар
А
_1_ ( дЛМу
В \ д$
дВМ0
да
дА
£*.•
1 за*н
ар
Мп
дВ*Н'
В да
ар
)]}-
)]
•ш-
+
д*иж
ата
(6.136)
* При больших частотах уравнения классической теории оболочек надо
заменить уравнениями, учитывающими деформации сдвига и инерцию вращения.
184

Уравнения (6.136) в окончательном виде содержат толщину h
во второй степени, и частота колебаний зависит от толщины. Однако
колебания не могут совершенно не сопровождаться деформациями
растяжения и нужны поправки, чтобы удовлетворить условиям на
краях и уравнениям движения [67, с. 75, 81].
При исследовании только растягивающих колебаний без изгиба
можно воспользоваться уравнениями равновесия безмоментной теории
(6.60). В последнем случае при >са = Х|з = кар = 0 уравнения (6.134)
принимают вид [139] и [135]:
Уравнения (6.137) в окончательном виде не содержат толщину h
и частота колебаний не зависит от толщины. Спектр частот состоит
из двух бесконечных спектров — нижнего со" и верхнего cog, при этом
нижний спектр расположен на конечном отрезке и
<о!>ю?(1\ *=1, 2, 3, ...).
Из последних исследований по безмоментным колебаниям следует
указать на работы О. В. Лужина [54], Росса младшего [97],
Хуана [ПО].
По безмоментной теории (6.137) и чисто моментной (6.136) можно
определить лишь часть спектра частот, при этом некоторые из частот
оказываются ошибочными (в частности, на интервале сгущения) и
Должны быть отброшены.
2. Колебания круговых цилиндрических оболочек
Для цилиндрических оболочек Ri = ooy /?«> = #, А = В = 1, da = ck,
dp = ds, уравнения (6. 134) принимают вид:
dNJdx + dS/ds = тд2их/дх\
dNJds + dS/дх - Qs/a = т d2us/dx2t
dQjdx + dQjds + Nja = — m д2и2/дт\ (6.138)
где
Qx = dMjdx + дН/ds, Qs =* dM s/ds + дН/дх. (6.139)
185
= m
= m
d2Ug
дт2
д2щ
д%2
(6.137)

Приняв во внимание уравнения (6.48) и (6.49), получим
уравнения (6.138) в форме [см. уравнения (6.50)].
[ д*... , 1—v а2... \ 1+у dzus v ди2 _ тд*и±
\~^ + ~~T~''~dsT~) и*+ 2 ajcas^a ал: ~ с ат2 '
i+v a2*, /av^ , iz^j^_\
2 йс&'м as2 "^ 2 a*2 y"*^
m a2w5
ТЛЯ*"
где
, l /а... л2 а „a \
a dx + fll ds 12 as V ' " ' J Us ^
+ (-L+*Ln* U=-—^ (6.140)
V2 = ^ + ^ r = ^ + 2^ + ^. (6.141>
V ' ' a*2 ^ as2 » V ' ' * dx* ^ WcJs* ^ ds* K
Система (6.140) решалась для различных случаев [99].
1. Случай симметричных колебаний — перемещения иХУ us> uz не
зависят от переменной s.
Перемещения берут в форме:
их = U (х) cos сот, w5 = K(a;)coscot, uz*= W (х) cos сот, (6.142)
где U (#), V(x), W (х)—функции координаты г, со—круговая частота
колебаний.
Уравнения (6.140) принимают вид:
dW . v dW т 2ТТ 1—v dW m 2Т/
Из второго уравнения (6.143)
V = A cos kx + B sin **, (6.144)
где k2= (l_y)C Q>2» и система приводится к двум уравнениям вида-'
d2... , m о А г; , v dW
(О2
d*2 ' С
v_dU , Г/i2 d4... , / 1
a d*
••>+т£-°.
■+[-&т^+(^-г4-]»"=°- <6145)
Выразив неизвестные по формулам
* Аналогичные результаты получим, задав перемещения в форме:
186

(где Ф — неизвестная функция перемещений), тождественно
удовлетворим первому уравнению (6.145). Второе уравнение принимает вид
de(D , т о d40> , 12 /1—v2 т Л d2(D
-со2
12 /1— у2 m Л d2fl>
d*e ^ С d*4 ^ Л2
+ SLco2("i"?C02)CD==0 (6Л47)
и решается путем задания функции перемещений в форме
ф = Стетх. (6.148)
Особенно просто решается система (6.143), если положить v = 0.
В этом случае первые два уравнения принимают вид d2y/dx2 +
+ k2y = 0y где y=U или V, а третье представляет собой уравнение
поперечных колебаний стержня
d4W7dx4 — k*W = 0, (6.149)
где£4 = ^(^ш*-^) [см. 3.158].
2. Случай колебаний, не зависимых от х, перемещения аХ1 us1
uz являются функциями координаты s и времени т:
ux=U (s) cos сот, us = V (s) cos сот, uz = W (s) cos cox, (6.150)
где U (s), V (s), W (s)—функции координаты s.
Уравнения (6.140) принимают вид:
1 — v d2U т „,.
-Г"Ег = —с*"'
dW , 1 /dtt7 Л2 d3№\ _ m
ds2
1 /d^ ft» d*W\ m у
a V ds 12 ds» J ~ С w K *
1 /dV Л2 d3V\ ft2 d*W 1 „_ m 2™ /R1K1v
Систему (6.151) решают аналогично системе (6.143).
3. Общий случай колебаний — перемещения их, us, и2 являются
функциями координат х, s и времени т:
ux = U(x, s) cos сот, us = V (х, s) cos сот, uz = W {x, s) cos сот. (6.152)
Уравнения (6.140) принимают вид:
/а2... , l-vffl... , m „2 \ ,, , l+v д*У , var п
^^ а^ as + V д$ + 2 а*2 + с ю • • • ^ -т-
+ а V ds 12 as V • • • J w U'
a dx + а V 3s 12 ds v " У ^
187

При опирании оболочки на диафрагмы абсолютно жесткие в своей
плоскости и гибкие из плоскости — шарнирно-подвижное опирание
при х = 0 и х=1у краевые условия имеют вид:
V = W = Mx = Nx = 0,
и задачу интегрирования уравнений (6.153) можно решать
разложением перемещений в ряды:
00
Ufa S)= Ц ^m(s)COS^p,
ra=0
00
V (х, s) = £ Ут (s) sin 2j£ ,
00
W(x, s)=^Wm(s)sin^, (6.154)
m=l
где m—целые положительные числа; /—длина оболочки вдоль
образующей.
Подставив ряды (6.154) в уравнения (6.153), приведем задачу
к решению системы трех простых дифференциальных уравнений для
каждого члена ряда относительно неизвестных Uт, V„п Wm —
функций только координаты s. Далее можно задать функции
перемещений в форме
Ця (s) = Атпе«*у Vm (s) = Втпе«*у Wm (s) - Стпе"у (6.155)
где Атю ВтпУ ^„-постоянные.
Подставив значение (6.155) в систему простых однородных диф-
ф?ренциальных уравнений и приравняв нулю детерминант этой
системы, найдем определяющее уравнение для /г, выраженное через
частоту колебаний со2, и, приняв во внимание краевые условия,
определим частоту со.
Если оболочка имеет шарнирно-подвижное опирание по всем
четырем сторонам: при s = 0 и s = s0 U = W = MS = Ns = 0 при x = 0
и x=l V = W = Mx = Nx = 0, то задача решается разложением
перемещений в двойные тригонометрические ряды по формулам:
00 00
V{x, s)=Z* Zd^cos-T-sin—,
m=On=0 S°
00 00
хт t \ V1 V1 r» • tnnx tins
V(Xy S)= 2u Z+BmnSW-j-COS—,
m = \ n= 0 °
W(x, s)= £ £ Cmnsin^sin^i, (6.156)
ii * ag
//1=1 M = 1
где n—целые положительные числа; s0—длина дуги оболочки.
188

Подставив ряды (6.156) в уравнения (6.153) и сократив
тригонометрические функции, приведем задачу к трем однородным
алгебраическим уравнениям с тремя неизвестными Атп, Втп1 Стп для каждого
члена разложения. Приравняв нулю детерминант этой системы,
найдем определяющее уравнение для частоты собственных колебаний а>тп.
Для более сложных случаев краевых условий возможны решения
путем разложения в ряды по степеням малого параметра [74] и
разложения по фундаментальным балочным функциям с применением
вариационных методов [14].
3. Колебания сферических оболочек
Для сферических оболочек (R1 = R2 = a, А = ау B = as'may а —
угол широты, р — угол долготы) уравнения (6.134) и (6.135) без
введения сил энерции удобно представить в следующем виде [65]:
^+2tfctga + ^^ = aQp. (6.157)
Согласно уравнениям (6.38):
1 fdua , \
Ka~ a2 { da2
da
1 / 1 d2u2 , . duz 1 дщ , \
_ 1 / 2 d2uz 2 cos a duz du$ , 1 диа \
K«t 2a2 VshTa5aT5p— sin2 a ~5p da~ + ^ g a~~sln a d$ )
(6.158)
1S9

Подставляя значения деформаций в уравнения (6.40), получим
значение усилий:
».-ц
ди
1
да +^ + v (^Sina dp
■«aCtga + и,)] ,
л«=^[^^+"»с,««+"'+Ч*+"-)]'
(1 —v) С ( 1 диа ди$
2а
sin a dp ' da
a а2 [ da2 ' z ' V sin2 a
d2«*
dp2
*.-£[■
d2W,
d«
sin2 a ар2
ctga-^r + "* + v
A d#*
■Ctea^f
Up ctg a) ,
H-.
(1—v)D f 1
da
d2u
cos a d«
D a;
sin a da ^P sin2 a dp
)-£*
(6.159)
где D/(aC) = /iV( 12a).
Подставив значения (6.159) в уравнения (6.157), получим:
С Гд2иа , . диа / 1 о , \ , 1—v 1 дгиа i
7М+С^¥-№'а + У)^ 2 sin2«^F +
i 1+v • д2"Р 3—v cos а дщ , /t , >Л диг~\_п nY
, 1+v 1 д2ца , 3 —v cos а диа , 1+v _д%Д _ л ау
2 sin ада dp ~ 2 sin2 a dp
da
sin a dp
1 dwp
sin a dp
•2a, i =aZ,
1 d3%
J-[S- + ctgaS + ^-ctg2a)S^sin2a dadp2
dzuz , cos a d2uz 1 d3wz
2 cos a d2w.
sin3 a dp2
]-
a3 \sin a
+
За2 ар ^ sin2 a 5a 30
sin3 a dp3
/i2
2 d^\
sin a dp у
12a
7.
(6.160)
Введя вспомогательные функции—обобщенные перемещения
диа , _х„ _. . 1 d//p
^ = ^ + «actga + ^^ + (l+v)Uz,
т/ dws . . 1 dwa
da ' p & sin a dp
и операцию Лапласа
(6.161)
?2---=^+ctea^:
i
d2...
sin2 a dp2
190

представим систему (6.160) в форме:
С гаи 1-у 1 dV . .. , I _
С fl-v dV . I dU . п . 1 .
■^ + Q.ctga+^.^ + |.[(l+v)t/ + (l-v-)«J-eZ,
^^^^+2^==(1-w)Q« + £^. (6-162)
Путем ряда преобразований, которые видны из формул (6.164),
Получим:
rU + 2U = -(\-v*)[F1(a, Р)+^2(«, Р)],
W + 2V = F,(a, р),
ViVtu2 + 2ruz + b*uz = T^U + b*F1(a,$) + 2(l-v*yF3(a,$), (6.163)
где
Л(«. »--£z, М«. P)-S-(f-+dS«^+TiLf )■
,.,.. B__Jfl£L£(£+d,e.y. ■ «•
1__^ -.. ч — sin а ар У '
12а*
,2 12(1—v2)a2 Л Л* \* 12(1—v2)a2
Ь = ft2 I1"'T2FJ * г л« - <6'164)
Для получения уравнений собственных колебаний заменяем X,
У, Z силами инерции по формулам (6.133). Разложив колебания
по главным формам cosco„x и в тригонометрический ряд вдоль
параллели, приведем систему (6.163) к виду [55]:
Ч%Уая + (2 + A») Unm + (2 + v) %wam - 0,
V2mV>nm + 2V>„« + Ь* (1 - S^r) wnm - [-f^r + 2#] i/„m = 0,
(6.165)
* Некоторая разница в коэффициентах по сравнению с результатами В. В.
Новожилова объясняется тем, что он принимал для М& и М& вырпжепип,
отличные от формул (6.40).
191

где
I /dr. d(...) 1 m2 . ,\
+ (l+v)a>nm,
K»« =ж^(ж (°*- sin a> + muA •
«z = 2 »ПЯ C0S ю»т C0S mP> "a = 2 "n« COS CO„T COS /П0,
n, m n, m
4= 2 tucosoytsinmp,
*'V-v2)*2™ 2 (6Л66)
^"" Eh ny
юп —частота собственных колебаний.
В случае симметричных колебаний (т = 0) система (6.165)
принимает вид
Гип + (2 + AJ) £/и + (2 + v) klwn = О,
VV^ + 2vX+b2(l-^)^-(-^+2^)t/„ = 0; (6.167)
где
^'••=T + ctgaT' ^ = -^- + ^ctga + (l+v)^,
"« = 2 ®п c°s со„т, wa = 2 «„ cos С0„Т. (6.168)
n n
Система (6.165) состоит из двух уравнений, в которые входят
смещения по нормали wnm и Unm, и уравнения, описывающего
процесс колебаний без нормальных смещений Vnm.
Обе системы (6.165) и (6.167) приводят к уравнению шестого
порядка относительно нормального перемещения и решают в
функциях Лежандра первого (Р™) и второго (Q™) родов:
и>пт = 2 [AiPn. (cos a) + ВЩ (cosa)],
71 (6.169)
®п = 2 [Л,РЛу (cos a) + Bfini (cos a)]t
где Лг и Bj- —постоянные интегрирования; /л — степень функций
Лежандра, равная числу узловых точек, соответствующему главной
форме вдоль параллели; я,- —порядки функций Лежандра,
определяемые из решения соответствующего кубического
характеристического уравнения.
ЗАДАЧИ
6.1. См. [88]. Определить внутренние усилия по безмоментной
теории в сферической оболочке постоянной толщины от
произвольной нагрузки с составляющими Xt Y и Z и рассмотреть случаи
192

'\
'>-
\
^ ,
2
[111!
L/^ffl
Г
a
5
,?
-нш
У v
^m
Рис. 79
внешнего радиального давления—-/? собственного веса g = yh
снеговой нагрузки 9, отнесенной к единице площади горизонтальной
проекции для оболочки, опертой на вертикальные стерженьки по
параллельному кругу а = л/2 (рис. 79).
Как показано в работе [88], расчет оболочек вращения по без-
моментной теории сводится к решению следующего уравнения:
д2ср , Rj д2у
да2
e/*<a' Р) + RX**^Z**sinamf*(a> P)da' (6Л70)
где
/,(a, (3) = R,Rl (Z cos a- X sin a),
Ф = Ф(а, P)-—функция напряжений, которую используют для
определения усилий по формулам:
N* = -2
дф
Я* sin а да '
^3 = ^(z-^ryVct) = /?2Z-^r
1
дф
S = -
/tfsin5
R2 sin a da *
^[w-Z,RiS'mah(a^)da] • (6Л71)
Для сферической оболочки /?1==/?2==a, и уравнение (6.170)
примет вид
<?a2 r^tga аа "Г slnaa ара —
= а3 jZcosa —Xsina + -^g- f" sina Г-^- + У sina^ dal . (а)
Решение уравнения (а) ищем в форме разложения функции ф
и нагрузки в ряды Фурье:
00 оо
Ф3»5 2 9„(a)cosmp, Х= 2 Xm(a)cosmp,
msso
т=0
У = 2 Ут (a) sin т[\ Z= % Zm (a) cos пф.
/n=l
m«0
*• 1661
193

где фт (а) —неизвестные коэффициенты разложения;
Хя(")> Ym(«)> ZrnW-^l_l(X, Y> 2)(cosmp, sinmp,cosmp)dp^
известные коэффициенты разложения; т — любое положительное
целое число.
При принятой форме решения для каждого члена разложения
получим обыкновенное дифференциальное уравнение вида
da2 ' Б da sin2 а ^т
sin2 а
= а3{
Z„cosa-Xmsina- -г-^-Х (б)
X
\ sin a [mYm sin а — m2Zm] da >
При m = 0 —оеесимметричная задача, уравнение (б) примет вид
$Фо =-S-+ ctg а ^ = a3 (Z cos a - X sin а)
и его решением будет
<P.«Celntgf. + Dd + fl.£[^£i!^Z-Xsin-«) dajda, (в)
где С0 и D0 — произвольные постоянные.
При т = 1 — обратносимметричная задача, уравнение (б) примет
вид
=i(^r+^ctga)-^3[ZlCOSa-"
- Xi sin a - -^^ J%in a (Y1 sin a - Zx) da]
и его решением будет
Ф — С, ctg a + ——-—f- —^— \a sin a \ Z, cos a —
Tl * & ' sin a ' sin a Ja, J a, L
— Xx sin a -~2— \ sin a (У1 sin a — Zx) da da da.
В общем случае при m^2 общее решение уравнения (б) имеет вид
Ф« = Ст tg- a/2 + D„ ctg- a/2 + фя,
где СЛ и Dm — произвольные постоянные;
*«==2йг[*8,*у j^m(a)sinactg-|da-
~ctgOTTll/-(a)sinats,nyda]
— частное решение уравнения (б), полученное методом вариации
произвольных постоянных Ст и Dm\ fm (а) — правая часть
уравнения (б).
194

Случай внешнего радиального давления— р: X =•
у = 6, Z = — р. Согласно формуле (в)
Ф, = С0 In tg а/2 + D0 + (ра3/2) (соза- 1).
По формулам (6.171)
Для замкнутой оболочки при a = 0 усилия должны быть
конечными, а следовательно, С0 = 0, и окончательно получим
Na = Nz = -pa/2.
Перемещения определяем по формулам (6.62):
(1— v)a« Л
Случай собственного веса g: X = gsina, У = 0, Z =
= —gcosa (см. рис. 79).
Согласно формуле (в) при С0 = 0
Фo = 00-^^[^^(i^cosa + sin3a)da]da=,
= A> + 2ga3lncos-|-.
По формулам (6.171)
Nt
a sin a V S 2 J
£a
1-j-cosa >
.r , «u *—cos a — cos2 a
ivв = — ga cos a + -r-r^ = т-. ga.
p б ' l+cosa 1+cosa &
Случай снеговой нагрузки q: X = (q/2) sin 2a, 7 = 0,
Z-=~q cos2 a.
Рассматривая равновесие верхней заштрихованной части оболочки
(см. рис. 79), находим
Na = — qnr2/(2nr sin a) = — qa/2,
и no формуле (6.171)
Nfr = aZ — Na = — {qa/2) cos 2a.
Эпюры усилий для всех трех случаев приведены на рис. 79.
6.2. См. [45]. Определить усилия по безмоментной теории
в псевдосферической оболочке постоянной толщины, опертой по
Параллельному кругу, от действия продольных сил Ра = — pcosji,
пРиложенных к верхнему краю оболочки (рис. 80).
195

Nz'cosp Nfltcosfi Sislnp
.JJJlL
Рис. 80
Геометрия псевдосферической оболочки определяется следующими
соотношениями:
дифференцирование по z дает:
r' = d/7dz = -r(a2-r2)-1/2, r'' = -^ = aV(a'-rr2,
ki-
1
- = — -(a2-/-2)"1/2,
tfi~~ [1+(0213/2 e
1 ! — _L/7r2_-r2U/2
Л7- Г[1+(г')2]1/2 - ra l« > '
* __ 1 f __._L_//72__r2\l/2
**-~r;- r[i+(r')2]i/2 - ra t" > »
(а)
то
Если уравнение меридиана оболочки задано в форме r = /-(z), ти
уравнения (6.60) после подстановки в них величин (а) и замены a
на z примут вид:
-ТГ+^^+Тп+Ь^^-^0- (6Л72)
Для случая однородной задачи (X = Y = Z = 0) усилия могут
быть выражены через одну функцию напряжений по формулам [147]:
л/ А дф дг __l_i5L е-А^^Л /6 173)
196

В этом случае первое и третье уравнения (6.172) удовлетворяются
тождественно, а второе принимает вид
Уравнение (6.174) для псевдосферической оболочки будет
$_(,(4._„-.(,+.$)_о.
00
Принимая решение в форме ф(г, Р)= 2 <P„i(z)sinmp, получим для
Ш=1 COS
каждого члена разложения обыкновенное дифференциальное
уравнение
d2yjdz2 + a2(a2 — r2)~2(m2 — l)<pm = 0.
В данном случае обратносимметричной задачи т = 1 и
разрешающее уравнение для фх (z) будет d2(pjdz2 = 0, откуда ^(Z) = Сх = С2г
и ф(г, Р) = (Cj + C2z) sin р. Согласно формулам (6.173):
м _ fl(C!+C22) ft д. _ a(Ct+C2z) fi
™* —>2(fl2_r2)l/2 COSP, /Vp — (a2_^3/2 COSP,
Произвольные постоянные Ct определяют из краевых условий: при
z = z2 N2 = — pcosp, 5 = 0.
Приняв размеры по рис. 80, получим z2= 1,11a, r2 = 0,25a, и
краевые условия примут вид:
Сг + 1,11аС2 = — 0,0625а2 (1 - 0f0625)1/2Pf
С1 + [1,11а + а(1 -0,062s)1/2] С2 = 0,
или
d + 1,11аС2 = —0,0606/?а2, С, + 2,0825дС2 = 0,
откуда
Ct = — 0,1305/?a2, C2 = 0,0625pa.
Окончательно усилия имеют значения:
А, 0,06252 — 0,1305a „ Q
Nz= r2(fl2_r2)i/2 /?a2cosp,
А7 0,0б25г — 0,1305a 9 Q
^Р = (а2_Г2)32 Р& cos р,
S=» — r(fl2-!,2)1/2 [U + ^q2-^2 )0,0625-0,1305a]pasinр.
Эпюры усилий приведены на рис. 80.
6.3. Рассчитать по моментной теории круговой цилиндрический
резервуар постоянной толщины /г, заделанный в основании и
наполненный жидкостью с объемным весом у (рис. 81), см. [101].
197

Рис. 81
Давление на стенки резервуара Z = v(/ —х), Х = У = 0.
Уравнения (6.50) принимают вид:
d*ux v duz __п v dux ( 1 Л» d4..,\ Z ,fi .
Интегрирование первого уравнения дает
dux/dx + (v/a)uz = CQ (а)
или согласно первой формуле (6.49)
Nx/C = Ce.
При x=l, Nx = 0, а следовательно, и Св = 0, откуда dujdx =»
= — (v/a)ug.
Второе уравнение (6.175) примет вид
d^/d*4 + №uz = y(l- x)/D, Я4 = 3/( 1 - v2)/(a2/i2). (6)
Решая уравнение (б), получим
tt, = e-^(C1costa + C5sinAjc)+^*^
Проинтегрируем уравнение (а) при Св = 0:
их = СЪ-^ J* a, dx = Съ + 2^- e-^ [Q (cos Ju- sin U) +
+ C2 (cos X* + sin Xx)] — -2^— eKx [C9 (cos Хл: + sin tat) +
+ C4 (sin tar— cos tac)] + VyQ2Eh •
Оставшиеся краевые условия: при л; = 0 их = uz = du2/dx = 0\ пр*1
x=l Mx = Dd2u2/dx2 = 0, Qx = Dd*uz/dx = 0. Из этих пяти краевЫ*
условий определяют все оставшиеся произвольные постоянные Сг
Если длина резервуара I велика по сравнению с а и А, то ^'
линдр можно рассматривать как бесконечно длинный. В последи^
случае С3 = С4 = 0, и краевые условия примут вид: при х = 0 их=^ и^
198

vyal
:duz/dx = °> откуда
С, + уаЧ/(Щ = О, у (С^—С,) —ya2/(Eh) = О.
+с5 = о,
решая последние уравнения, получим:
С1~ "ИГ' Сг~ £Л \Т~1) '
^б оТТ; (^1 + ^ г)
2£/i
Перемещения и усилия равны
uz = -^ </—л;-—£~u /cos Я* + (/—— j sin fan \ ,
.-с(?+^)-с(5-?«.)-£^«я
V Л_х* / J — — J cos^x— sintac ,
N.
*.-»*
2 ]/"3(l-v2)
Л15 = vD d2uz/dx2y QX = D d»ujdx\
Наибольший изгибающий момент будет при # = 0:
х-° ° V M/2j/3(l — v2)
Характер эпюр Мх и Л?, приведен на рис. 81.
6.4. Рассчитать оболочку в
форме 'шарового сегмента,
нагруженную по шарнирно
закрепленному краю 0^ = 80°
равномерно распределенным
моментом М при отношении a\h= 100
|! v = 0,25 (рис. 82). Для
расчета использовать уравнение
краевого эффекта (6.83).
Рис. 82
Решение уравнения (6.83) берем в форме (6.85)
Qa = ека (Сг cos la—C2 sin fax).
*еДя вместо а угол у = аг—а, без изменения обозначений произ-
льных постоянных, получим
где
: e~w (Сх cos Ц) + С2 sin Ц),
А* = 3(1 — v2)a2//ia.
199

Усилия и перемещения согласно формулам (6.71), (6.81), (6.б9\
примут вид: '
Ма = — ctg aQa = — ctg (аг—\р) (Ct cos Ц + С2 sin А,ф) е~ Хф,
\) cos Ц — (С2 + Сх) sin Хг|)] е
(С2 cos Ц—С\ sin Яяр) е- М>,
Л^й = — ^ = ^ = Я [(С,—Сх) cos Ц — (С, + СХ) sin Xifl rH,
da
d\|5
К = -
"£Л da2 """£Л dx|)2 £Л
иа = A j sin а + -£^ а<3а = Л, sin (а, —\|з) +
+ ^^ (С, cos ХЧ> + С2 sin И) е- **,
■ Л1cos а + Ж ^Г = — Л1cos (ai—*> +
%а
+ Ж"[(С.—CJcosH—fC. + C.) singer »*.
Краевые условия задачи: при i|) = 0 ыа = ыг = 0, Ма = М, или в
развернутом виде:
^1sincx1 + ii-±^C1 = 0, -^cosa^^C-Q^O,
Решив эту систему, найдем:
Af
EhA sin о&!
i:
2Х2М
г _ 2Х(А — 1)М
аА ' а аД
где А = 2Х—(l + v)ctgar
Дальнейшие расчеты сведены в табл. 6.1.
Таблица 6.1
\
12,95
А.»
167,71
Я,*
28125
Л
25,67
Ах
1668 М/Еа
с,
— 13,07 М/а
С,
-12,83 М/а
Изгибающий момент
Ма = Л1 (cos 12,95Чч—0,00927 sin 12,95^) е-».96*.
Сравнение результатов приближенного решения g точным, полУ
ченным в работе [91], приведено в табл. 6.2.
200

Таблица 6.2
a:h=lOQ
а
0
20
40
60
80
Приближенное решение
a, [ы2=а,Л4/(£а)]
— 1658
— 1558
-1268
— 1192
0
аг(Ма = а2М)
0,0000
0,0000
0,0001
0,0021
1,0000
Точное
<*1
— 1632
— 1533
—1251
— 932
0
эешение
аг
0,0000
0,0000
0,0001
0,0089
1,0000
6.5. Рассчитать по моментной теории коническую оболочку, шар-
нирно опертую по краю s = l и нагруженную собственным весом g
(рис. 83, а) см. [101] и [121].
Рис. 83
Так как угол а, входящий в уравнения (6.72), в конической
оболочке постоянен, то вводится новая переменная s — расстояние
от вершины конуса вдоль его образующей. Приняв в уравнениях
(6.72) сначала Rt = const, получим
d... г, d... d2... 92d2^.
Rt da = ds, R2 = s ctg a,
da
^.
da2
Устремив Rt к бесконечности, приведем систему (6.72) к виду
где
,d»(...),d(...) (...)
М-..) = *:
ds2
1 ds
Fit)
SCOS2I
F (s) = AX+ \$So R2 sin a (Zcos a—X sin a) ds. (6.177)
Для оболочек постоянной толщины уравнения (6.176) имеют вид:
tga
МЮ—тг*/. Lx(U) = Ehtga.V + <l>(s)9
(6.178)
201

где
0(S) = ctga[-7^+vtga.SX + ^(s^)]. (6.179)
Усилия и деформации определяют по формулам:
(6.180)
jy,—ii + ЛГ,, —Л + /W- ,
* s s0 s s sin a cos a '
^ = ~S +^Po = -f+ ctga-sZ,
e ' [" '<s> U yfcctsaZ dU)]
s Eh \_ s sin a cos a s \ & ds J J'
p £/i \ & ds i v sin a cos a s JJ '
dK ctg a T/ I/
(6.181)
"ds' **>-"«
2 «
(6.182)
Перемещения определяют из уравнений (6.69):
dus/ds = es, u2 = /?2^—ctg a • w „
откуда
a, = ctga(se3 — Л,— So^ds).
Для рассматриваемой задачи X = gsina, Z = — gcosa. Согласно
формулам (6.177):
F(s) = i41— ^sogctgasina.sds = i41—^~^s2,
®(s) = ctga(-s-^+^ + vtga.sina.grS-2gcosa.s)==
= ctga[-s^+^(^ + vtgasina-2cosa)4
Система уравнений (6.178) примет вид:
Из первого уравнения
Ъ(У) = -^и, Lt(U) = EhtgaV + <I>(s). (а)
" = -1^МЮ. (б)
Подставим значение (б) во второе уравнение (а):
L1L1(V) + *V--%50(s)i (в)
202

гДб k2 = Eh tg2a/D = 12 (1 —v2) tg2 а/Л2.
Обш^е решение однородного уравнения (в) ищем в форме:
MV) = W, (г)
где Я—некоторая пока неизвестная постоянная величина.
Подставив значение (г) в однородное уравнение (в), получим
n* + k2)V = 0, откуда (так как УфО) имеем для X
характеристическое уравнение Х2 + &2 = 0 с корнями:
Хг = ik = t tg a V~Eh/D, %2 = — ik = — i tg a VEhlD. (д)
В соответствии с формулами (д) получаем два дифференциальных
уравнения вида
sd2V7ds2 + dV/ds — (l/s =F *62)V == 0, (е)
где _
л2 и * ч/^Л 21/"3(1— v)2
Полагая, что
Ki —<Pi + l'<pa И Уя = ф8+1ф4 (ж)
есть два линейно независимых решения первого уравнения (е),
заметим, что
^8-=Ф1 — *ф2 и К4 = ф3 — ир4 (з)
будут решениями второго уравнения (е).
Сумма решений (ж) и (з) даст полную систему независимых
решений однородного уравнения (в). Пользуясь суммами и разностями
решений (ж) и (з), можно представить общее решение в форме
v=£>!+с2ф2+с3фз+с4ф4,
где С£-—действительные произвольные постоянные.
Таким образом, надо определить четыре функции ф, полного
решения одного из уравнений (е). Взяв первое из этих уравнений,
преобразуем его введением вместо s новой переменной
ц = 26 VTs
в известное уравнение Бесселя
1ак как р равно целому числу, то решение надо взять в виде
v^ZMy-cj^ + c.NM), (и)
,^е^2(л)—функция Бесселя первого рода,"второго порядка; N2 (г))—
Функция Бесселя второго рода, второго порядка или функция Ней-
ана второго порядка; С, — произвольные комплексные постоянные.
203

Известно, что
Z0 (л) = CJ о (r\) + C2NQ (г]) = Ct [ifc (Б) + ^ (£)] +
+ Сй[яМ6) + *М6)]*. (KJ
где g = 26 J/s.
Используя известные формулы [113]
7 ——7 7'
^л + 1 — g Л rt'
при п = 1 получаем
+|z1 = -z0+{(-z;) = -z0-}z;l (л)
где штрихами показано дифференцирование по аргументу £.
Комбинируя формулы (к) и (л), получим общее решение (и)
в форме
V = Ct [^(1) +}*i (Б)] +С2 [*,(6)-}*1(6)] +
Частное решение системы (6.178) ищем в виде
V = as, U = bs,
при ®(s) = £(^ + vsina-2|^) s = As, (н)
для замкнутой оболочки произвольная постоянная Л± = 0.
Подставив формулы (н) в систему (6.178) и приравняв
коэффициенты при одинаковых степенях s, найдем
a = — A/(Ehtg-a), 6 = 0.
Таким образом, для получения полного решения в формуле (м)
надо добавить частное решение:
т7__ £_
Ehig
( 1 , 2cos2a\
- ^r— h v sin a s.
a \2sin a sin a /
Функции %, if>2 и их производные no g—t|?i, г|?2 имеют
колебательный характер и быстро затухают при уменьшении расстояния s\
они характеризуют краевой эффект от сил и моментов, равномерно
распределенных по краю s = Z. Функции \|)3, г|э4 и их производные
* Вместо функций гр/ можно пользоваться функциями Кельвина, учитывая
о
соотношения между ними; tpx (jc)~ber дс, г|?2(*)= —bei*, я|?3(*) = neijt, г|>4 (х)^
2
= пет*.
я
204

i|4, tyl имеют тоже колебательный характер, но их колебания
возрастают с уменьшением расстояния s.
Для данной задачи, при исследовании замкнутого конуса,
решения, связанные с этими функциями, надо отбросить и произвольные
постоянные Ла, Ct и С2 определить из граничных условий при s = l:
Ms = us = uz = 0.
Таблица функций у${ и их первых производных \|\- для
приведена в книге [10], с. 543.
При значениях £ > 6 можно пользоваться асимптотическими
выражениями ф,:
*«>«=>=/5«"*2:(тЬ-7)ч
Производные функции ypl по аргументу g могут быть определены
по формулам:
Эпюры W„ NfiH Ms при g = 2,40 кПа, 0 = 60°, / = 6,92 ми ft «0,08 м
приведены на рис. 83, б, см. [108].
Рис. 84
6.6. Определить напряженное состояние пологой сферической
оболочки /?1 = /?2 = я, заделанной по опорному краю r = b и
нагруженной распределенной нагрузкой Z = — p(rf>) (рис. 84).
205

При значении А1 = Л2 = А=1/а соотношения (6.106) примут вид;
9ur i и 1 ^НЭ i "г i и
д ( "в \ , 1 диг
д*иг
дг*
к» г\Гдр + дг)' Пг* т[дгд$ Тару-
Согласно уравнениям (6.108) при &3 = &2 = \/а
v •••вть?ч,'тг\)+7-аИ'
(а)
и разрешающие уравнения (6.94) примут вид:
±v2<p + #V2V4
Из второго уравнения (б)
1 Fh
±r<P + D4*ruz = -p(r, Р), V2V29-^V4 = 0- (б)
V4 = ^V2VY (в)
Разложим функции иг и ф в тригонометрические ряды по
переменной р
06 со
«,•=2 "*OTe)cos/np\ <р= 2 «P-Wcos/np. (г)
mt=0 m=0
Подставив формулы (г) в уравнение (в), получим для каждого
члена разложения уравнение
Vm^ = ^VmVm9„, (Д)
™*(...»%i+J-%i-^(...).
Общий интеграл уравнения (д) для m ^ 1 имеет вид
ижт = Аьг» + Алг-т + 2%у2т<рЯ9 (е)
л/ш m = 0 (симметричная задача)
Заменив в первых трех уравнениях (а) тангенциальные
деформации ег, ер, ег$ усилиями Nn N^y S согласно формулам (6.40), а
последние и нормальное перемещение и2—по формулам (6.107) и (е),
получим для каждого члена разложения при т^ 1 три, а при т = 0
два уравнения относительно тангенциальных перемещений, значения
которых найдем, решив уравнения:
206

при m = 0
и,«=-— -V-
1+У^Фо
Y0 // п.
Eh
при т=\ (обратносимметричная задача)
при т^2
Чт-—- ~^ZV"^НТ+ ЯЛг Ф«» (ж)
СМ. [92].
Подставив значение игт в первое уравнение (б), получим для
каждого члена разложения
УщУтУтФ^ + ^У^ = -ас*р« (Г), (3)
где с_ i/^- - l/12(1~v2)
Приняв в уравнении (з)
^ФЛ = Ф«, (и).
получим для функции Фот = Фет(г) уравнение
VS,^0« + cHD«—ос*р«(г). (к)
Введем безразмерную переменную а, связанную с г зависимостью
а = сг\ в этом случае уравнение (к) примет вид
где
Vmal- --) da2 ^ а [ da a ve#e'J
Однородное уравнение (л) можно представить в форме
и искать решение двух уравнений второго порядка:
или
^^«Ь^гр^ф.-О, (м)
da2 ' a da
см. [14, с. 435].
* Нагрузка уравнения (б) раскладывается в ряд
00
р с. Р) = 2 />* wcos *#•
т= о
207

Решением уравнений (м) является сумма цилиндрических
функций [113] _
Om = Z(aVi) + Zm(aV-i),
или
(н)
где J т(...)—функция Бесселя первого рода, порядка т\ Nm (...) -•
функция Бесселя второго рода (функция Неймана), порядка т\ А(—~
произвольные постоянные.
Для определения функций Бесселя и Неймана порядка т > 1
можно пользоваться рекуррентными формулами для цилиндрических
функций
Zm+l(z) = (2m/z)Zm(z)-Zm,1(z)1
где Zp(z) — цилиндрическая функция порядка р\ z—комплексный
аргумент, равный в рассматриваемом случае
Так как т—целое положительное число, то можно
воспользоваться готовыми формулами или формулами, связанными с
асимптотическими разложениями [ИЗ].
Функцию фст определяют из уравнения (и), которое в этом
случае имеет вид
+ А^т(хУ-1) + А4Мт(хУ-1). (о)
Общий интеграл уравнения (о)
Ф* = ^ [АЛ* (*) + A,Ftm (х) + AaFam (х) +
+ A4Fim{x)] + A,xm + ABx-m, (п)
где согласно методу вариации произвольных постоянных
Fк w=ш \хт J*x~m+1 J* <*У±ъ dx~х~т £хт+ч- <*^±о Н •
Е\Ъ(х) =к\хт Z x~m+1 N» (х ^±0 йх-х~т Z xm+1Nm (*К±0 d*] •
Формулы (р) можно упростить, если учесть интегральные формулы
[113]:
\xr**4a(x)te=*-x-«+4n_t(x)t {xn^Zn(x)dx = x'^Zn+1(x).
После определения ут по формулам (е) и (ж) вычисляют
перемещения и по формулам (6.107) —усилия. Произвольные постоянные
определяют из краевых условий, поставленных для каждого члена
208

разложения:
при г = Ь (а = cb) uzm = игя « и^ = dw,m/dr = О,
ограниченности перемещений и угла поворота в полюсе (г = 0).
В формулах (н) и (п) должно быть учтено частное решение от
правой части уравнения (л).
6.7. Определить напряженное состояние пологой круговой
цилиндрической оболочки R2 = at которая имеет по всем краям шар-
"1"*)
Рис. 85
нирно-подвижное закрепление и нагружена радиальной нагрузкой
интенсивностью Z = — р (рис. 85), см. [14].
Обозначив х = аа—расстояние по образующей, y&s =
a$—расстояние по дуге круга, где р—центральный угол, s—длина дуги
получим '
Л=5 = а, ft1==Ot £2=l/a = const.
Соотношения (6.89) примут вид:
1 диа 1 /диа \ ! /диа duR\
а ~~ а2 "5а2" ' ХР:
Согласно уравнениям (6.95)
1 д*и*
Hft.R =
"а2 ар2 » аР
1 д2и.
а2 ааар'
' " а2 V аа2 ^ ар2 ; » v* "Нз" "а^2" •
Разрешающие уравнения (6.94) примут вид:
3Десь и далее в задаче, не меняя обозначений, считаем
v аа2 ^ ар2 *
Выразив «,иф через разрешающую функцию Ф (а, р) по формулам
^ = V2V20, <p = aEhd*Q>/d*\ .(в)
209

тождественно удовлетворим второму уравнению (б), а первое
уравнение примет вид:
V2 у2 v2V2® + Ь2д*Ф/да* = —a*p/D, (г)
где fc2=12(l — v*)a*/h\
Уравнение (г) является основным разрешающим уравнением
пологой круговой цилиндрической оболочки. Оно должно быть
проинтегрировано при краевых условиях:
при а = 0 и а = а2 и$ = uz = Na = Ma = 0\
при р = 0 и P = pt ua = ug = Nfi = Mfi = 0.
Усилия через основную функцию Ф(а, Р) выражают по
формулам (6.103):
д, а2ф __Eh д4Ф д, _ 1 д\_Екд*Ф
"/а~-аЩ2~~ а даЩ*> ^Р"" а2 да2~~ а да* '
о_ 1 а2Ф _ Eh д*Ф z>(i—у) a2 4т
° ~~ я2 дадр ~~ а даЩ ' ~~ а2 дадр V '
м. = -
d /а2... а2..,
&х2 + v ар2
)*«Ф, ^=4(^ + v^)v*0. (Д)
Решив первые три уравнения (а) с учетом уравнений (в) и
первых трех соотношений (д), получим:
азФ азФ па дзФ /0 , N азФ , „ , ч
^ = a^-v^3--CP' ^ = -apr-(2 + v)g^p + Ca. (е)
Из первого соотношения (в) и формул (е) видно, что при
решении задачи методом перемещений разрешающим уравнением будет
также уравнение (г), а функция Ф(а, Р) является функцией
перемещений и усилий.
Учитывая, что если функция Ф(а, р) на каком-либо краю
(a =const) равна нулю, то и все частные производные вдоль этого
края по другому аргументу Р также будут равны нулю, представшм
граничные условия в следующем виде:
при а = 0 и a = af Ф = д2Ф/да* = д*Ф1да* = д«Ф/да« = 0*,
при р=о и р=р1 Ф=а2Ф/ар2=(54Ф/ар4=^абФ/арв=о.
Этим условиям удовлетворяет функция Ф(а, Р), взятая в виде
двойного тригонометрического ряда
00 00
Ф/ о\ V1 V1 л • ппа . тяб
(«. ® = 2*2* &тп sm — sin -gf- . (ж)
* Если Ф = 0, то все производные по Р равны нулю, и надо составить
условия только для производных по а, которые в выражениях щ, Na, иг и Ма будут
четными для шестого порядка включительно.
210

йнеся выражение (ж) в уравнение (г), получим
00 со
2- 2- Д.» sin — sin -р^ = - -jjp, (3)
л = 1 m=i
*--^{[(f),+(f)T+" (?)'}•
разложив правую часть уравнения (з) в двойные
тригонометрические ряды типа (ж), найдем
5т;2= 5-\ \ TrPsin — sin-^aaap = ~—•
тп «iPi J о J о D н ах рх ' лЮтп
Окончательно искомая функция Ф(а, (3) будет иметь вид
ппа тяВ
j fi 4 » «о sin sin -n—
Ф(а, P) = — -tfETZd Z-i 117 лл;\2 , fmnyy . * /яяЛМ '
-■iBM[fe)+W]+bw)r
Далее по формулам (в) и (e) определяют перемещения при С = 0, а
по формулам (д) — усилия.
Подробное исследование пологих цилиндрических оболочек дано
в работе [109].
6.8. Определить критическое давление /?„ для замкнутой
круговой цилиндрической оболочки радиусом а и длиной /, шарнирно-
подвижно опертой на торцах и подвергающейся сжатию вдоль
образующей усилиями, равномерно распределенными вдоль краевых дуг,
см. [138] и [103].
Решая задачу в линейной постановке, используем первое
уравнение (6.113), которое в данном случае примет вид (Nx = —ph,
ич+З^+рм-ф)-,. о
Граничные условия для иг формулируются следующим образом:
при х = 0, / иг = 0, д2иг/дх2 = 0. (б)
Рассмотрим как первый вариант осесимметричную задачу, когда
поперечные сечения остаются круговыми и, следовательно,
и, = иж{х).
Расчетное уравнение (а) в рассматриваемом случае переходит в обык-
н°венное дифференциальное уравнение
h dx* ~^Р dxQ "^a2 dx* ~U* W
°гласно граничным условиям (б) полагаем
ug = f sin тпх/1, (г)
211

где т — число полуволн изогнутой поверхности вдоль образующей
(оси х).
Подставив значение (г) в уравнение (в), найдем
p^{D/h)(X2/a2) + E/X\ (д)
где к = тпа/1 = па/1ХУ 1х^1/т—длина полуволны.
Для определения минимального значения р приравняем нулю
производную dp/dA,, считая т^> 1:
Подставив значение X в формулу (д), получим при v = 0,3
р.=* г Е =.- ^0,605 — . (е)
н* |/^з (1 —v2) а <> '
Если изогнутая поверхность не осесимметрична, то надо, исходя из
уравнения (а), задать нормальное перемещение в форме
uz = / sin (mnx/l) sin ns/a, (ж)
где m—число полуволн вдоль образующей (lx = l/m); п—число волн
вдоль окружности (ls = na/n).
Подставив выражение (ж) в уравнение (а), получим
D /т2п2 . я2\4 , Е т4п* /т2п2 , п2\2т2я2 п , ,
Т(—+ *0 +^~* PV^+^J ~ = °- (з)
Вводя безразмерные параметры P^gfiP, ^ = Г=="nГ, <П==="аГ== ~~^"»
шла n2h л2 ah
и
из уравнения (з) найдем
p = p/[12(l_v*)]+l/p,
где
Считая числа тип достаточно большими, находим минимум р из
условия dp/dp = 0. Получим
p = 2j/*3(l — v2) и рф=1/^3(1—v»)« 0,605,
что совпадает с формулой (е).
Приведенное решение не устанавливает однозначно форму
волнообразования оболочки. Величины 0 и ц должны лишь удовлетворять
условию
p = (l/fl_u)*ri = 2K3(l-v2).
По решению получаются квадратные ($=1) или прямоугольные
(й=тМ) вмятины, а в действительности в процессе хлопка
образуются ромбовидные вмятины, и для получения правильной картины
явления надо применить нелинейную теорию, см. [26, § 127].
212

Рис. 86
6.9. Определить критическое давление /?, для пологого
сферического (R = a) сегмента, защемленного по контуру (г = с) и
нагруженного равномерно распределенным давлением р (рис. 86), см. [105].
Геометрические величины, приведенные на рис. 86, связаны
соотношениями:
г«г2/(2а), с2 «2а/, ах^с/а, aa[/h^2f/h.
Рассмотрим осесимметричную форму потери устойчивости в
нелинейной постановке. Для расчета используем уравнения (6.131) с
учетом соотношения (6.132):
D4*u2-(\/a)^ = Lr(ug, Ф)+Т>,
Гер + (Eh/a) V4 = -(Eh/2) Lr (игУ иг) *, (а)
где
^г («,. иж)— r dr2 dr . V •"— r dr\r dr J*
Краевые условия задачи имеют вид:
при r = c uz = duz/dr=^ur = 0. (б)
В полюсе при г —*0 радиальные напряжения оГ должны быть
ограничены, откуда согласно первому уравнению (6.107) при г = 0
dcp/dr = 0.
Умножим уравнения (а) на г:
* Уравнения составлены для положительных и2 и Z, направленных по
внутренней нормали.
213

Проинтегрировав эти уравнения и разделив на г, получим:
или в развернутом виде
п d 1 d dug (±^i±\*V\PL-u£i
Ud? r dr dr ""Vr dr"t"a;dr~t"2'rr'
J__d_ 1 _l.d9 __/!_, ±^М d^ C^ ,
Ehdrr r dr dr~" \ a ^~ 2r dr J dr ^ r ' K '
Для осесимметричной задачи напряжения в средней поверхности
равны (6.107):
1 dip 1 d2cp 1 d . ч Л
Деформация удлинения в кольцевом направлении
*-i<*.-"U-£(3-f£).
с другой стороны, е$ = иг/г — uja (6.106), откуда
_ r_ /d^p v dqA . г
"*" ЁЛ V375" л dry+Tr
Огретая задачу методом Ритца [141], надо задать выражение для
прогиба uz, удовлетворяющее краевым условиям (б), например, в форме
положив ^ = ^ = 0. Имея значение прогиба, надо подсчитать
полную энергию, состоящую из потенциальной энергии деформации
растяжения и изгиба средней поверхности и работы внешних сил,
и взять частные производные полной энергии по варьируемым
параметрам (а/). Из полученных таким образом уравнений Ритца можно
определить низшее критическое значение давления [26, § 155].
Если решать уравнения (а) в рядах [105], то удобно ввести
безразмерные параметры:
Р ^т * ' 2E}fm \h) >
где т=1/[12(1— v2)].
В этом случае уравнения (в), если положить С1 = С2 = 0, перейдут
в следующие:
L(V) = p(VO + PB*), L((P)^i-p(0*-V2), (г)
214

яе линейный дифференциальный оператор
М-">-е-^г£е<...).
краевые условия принимают вид:
ПРИ
6 = 0 У = 0, Ф = 0;
прИ 6=1 V-l, dO/d0-v0 = O.
Задав величины V и Ф в виде рядов по степеням 9:
(Л)
(е)
удовлетворим первым двум краевым условиям (д), а вторые
примут вид:
2^-1=0, 2[2«-(l+v)O„] = 0. (ж)
п п
Подставив значения (е) в уравнения (г), получим:
для д = 2 Уа = р/[8(К1Ф1 + а)], Ф2 = р/[8 (1 —К?)];
для п > 2
V = -£■ У 1/.Ф Ф= ^ V vv г
я 4я(л—1) ^ ' я"1' я 4л fn — \\ £и v iv п-1
4/2 (/г—1) ^
i = l
Последние формулы позволяют выразить все коэффициенты рядов
(е) Vn и Ф„ через Vi и Фг Уравнения (ж) принимают вид;
F(^fOl) = 0f 0^,0^ = 0, (а)
где F и G—нелинейные функции Vt и Фг
Корни уравнений (з) определяют на электронных
вычислительных машинах и путем построения графиков нагрузка — прогиб
находят верхние и нижние значения критической нагрузки для
различных отношений f:ht см.
оболочек вращения см.
26, § 161]. О несимметричном выпучиваний
34].
б) л(к)
300'
Z00
Рис. 87
6.10. Определить низшую частоту симметричных свободных
к°лебаний сферического купола R = a при a:h = 20, v = 0,25 и
Четком защемлении по краю ах = 60о (рис. 87, а), см. [55].
Для решения задачи используем уравнения (6.167):
V2Un + (2 + k%)Un + (2 + v)k^w^09
VV^ + 2v2^ + 62(l-^)^-(T^ + 2ft;i)^ = a (а)
215

Частота свободных колебаний со„ согласно формуле (6.166)
связана с частотным коэффициентом kn соотношением
о>„ = {Kla) |/£A/[(l-v*)m]. (б)
Полученную систему двух уравнений (а) можно привести к одному
разрешающему уравнению
vVv4 + (4 + «)vlv4+»l(i-j3i;)v4 +
+ *1(2+Т^«-Г^;)^-0. (в)
Для купола без отверстия решение уравнения (в) можно
представить в форме (6.169):
мп=% А<Рп. (cosa), 0)
i = \ l
где порядки функций ni определяют из решения кубического
характеристического уравнения:
p^(4 + ^)^ + (l-7j^)^-[2 + (1+flfrfe"]b8 = 0 (Д)
и р,- = п,-(п,.+ 1). (е)
Корни кубического уравнения (д) через частотный коэффициент
kn определяются следующими формулами:
pt = 2 K=£/V3 cos ф/3 + (4 + K)IZ,
Pi = 2 V—pli cos (ф/3 + 12я/3) + (4 + Л»)/3,
ра = 2 К- р/3 cos (ф/3 + 4я/3) + (4 + ОЗ). (ж)
где
Ф = агссоэ (—-|Л , г = К—Р8/27,
*—^+('-t^)".
2(4 + ^)' , 4 + ^Л *J \,2 [0 , (l+3v)^-^
27 г 3 V Х ГГГ^у^ [ZH П3^2
(3)
Случай нулевых (рг = 0). и кратных (/>i = p2) корней подробно
рассмотрен в статье [52]. В частности, для кратных корней авторы
указанной статьи получили значение перемещений и2 и иа и
частотное уравнение для сплошной жестко-защемленной по краю a = at
сферической оболочки в форме
С [Рм (Р) Р'п1 ф)-Р'п5 ф) Рп1 (р)] />;, (р) sin ах + (п, -г,,) /3/>„9 (Р)=0,
216

где
/а = V ai [Pni (cos a)]2 sin a da, P == cos alf
2(1—px)
C = (4i—YiVPi. % = -VP/» Ti = 2^+^/(1 -v)
A
1+V/
л..=
p/(/7/—2)(l-v) + ^(2—r^j + 2^(l-v2)
2^(l_v)+62
Там же приведен числовой пример с указанием числа узловых
параллелей формы колебаний.
При заданных граничных условиях нас будут интересовать лишь
те значения частотного коэффициента кю при которых
удовлетворяются поставленные условия. Для формулирования граничных
условий надо определить перемещения и усилия в зависимости от
решения (г).
Из второго уравнения системы (а) с учетом формулы (г)
з
tf» = S МЛ, (cos a),
где %i = {l_v)P^Pi+b*b-^-v>)]t
1 V b*+2(\-v)k2n
Из второго соотношения (6.168) получаем
з
ип = — 2 t\iAiP'nt (cos a), (и)
в котором
_ {\-V*)(p.-2)Pi+b>[2(\+v)-ti]
(\+v)[b* + 2(\-v*)k2n]Pi
Символом P'n. (cosa) обозначена первая производная функции
Р,н (cos a) по координате a.
При получении формулы (и) и последующих формул учтены
свойства функций Лежандра, выраженные соотношениями:
V^^cosa) = -pnP^cosa)==d-!%^ + ^g^,
откуда
dj^osa). = _ dP^cp). dg ^^ (cos a)>
где
р„ = л(л+1).
Угол поворота касательной к меридиану при деформации Vп и
усилия Nany Nfitu Мап и Qan согласно формулам (6.70) (6.69) и
217

(6.40) определяются выражениями:
з
У«=-^А1(\+щ1)Р' (cosa),
t=l
3
Nan = —£ X Аi К1 + v+PMi) pnt (cos a) + (1 + v) r\t ctg a P'n. (cos a)],
t=l
3
Ntn = - £ £ A i [(j + v + Wl.) ^», (cos a) + (1 + v) n, ctg a P;. (cos a)],
i= 1
3
^ = |E{^{[l+v + (l + ri/)/>/]f,(cosct) +
<=1
+ bit + 0 — v +ii;,+ 2v%) ctg «] P'nt (cos a)},
3
Qa/. =-5-2 Л/ {[(1 + v + v/?,— 2vp,.Ti,.) ctg a—/?,] P„. (cos a) +
1=1
+ [l+v + p|.(l+4/)-(l-v + ilI- + 2v4/)5S^] ^(cosa)}, (к)
где C = Ehl(\— v2), D = £7i3/[12(1—v2)].
При определении значений функций Лежандра можно
пользоваться их разложением в бесконечные ряды [55], методика
табулирования этих функций при комплексном значении п дана в
работе [91].
При жестком защемлении краевые условия задачи имеют вид:
при a = (Xj wn = un = Vn = 0 или согласно уравнениям (г), (и) и (к)
имеем:
АгРПх (cosa) + A2Pn2(cosa) + A3Pni(cosa) = 0y (л)
— А^Р'п, (cosа)—А2У)2Р'П2 (cos а)—A8r\sP'nt (cosa) = 0,
— А, (1 +%) К{ (cosa) — А2(\ +г]2) /^(cosa) —
-Л3(1+т]з)Я;я(со5а)-0.
Система (л) имеет ненулевое решение при равенстве нулю
определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных;
раскрывая полученный определитель, получают частотное уравнение
д (*») = (Л2—Лз) РПх (cosa) рп2 (cosa) Р'п% (cosa) +
+ (Лз — Л1) ^ (cos «) рпа (cos a) Р'п% (cosa) +
+ Oli —Л2) P'nt (cos a) P'n2 (cos a) Р„з (cos a) =» 0. (м)
Из уравнения (м) коэффициент частот &„ определяют путем
подбора. Задавшись некоторым значением knl по формулам (ж)
находят значения р{ и далее по формуле (м)—значение функции
Д(6„). Подобную процедуру продолжают до тех пор, пока не
находят такое значение kny при котором детерминант (м) обращается
в нуль. Построив график детерминанта (м), можно установить весь
спектр собственных частот.
218

В рассматриваемом случае задаемся &* = 1,5. Далее по
формуле (6.64) находим Ьъ:
Ь2= 12 (1 —0,25а) 20а = 4500;
по формулам (3) определяем р и q:
Р =
_ (4+1,5)2 , /. 1,5
(1 — 1 _Уг5») 4500 = —2710,0833,
а_ 2(4+1,5)» , 4+1,5/. 1,5 \ -
q~ 27 "^ 3~ I,1— 1—0,25'J 450° —
_ [2 + (i+3-o,a5)^-i,yj 4500 = _15762)2зз8
и по формулам (ж) последовательно вычисляем:
Г= |/_ (-27Ш.0833)' =27136<9674>
Ф-агссоз^-16^^)-1,2761,
pi = 2 ^.z^eosi^ + l±^ = 56,5602,
,2 = 2 |/Z3|MCoS (i^ + ^)+4+^ = -47,0027,
рз = 2 ^_=271М833СОз (b|6l+^L)+l±^ = _4(0575.
Правильность полученных корней можно проверить по теореме
Виети, см. уравнение (д):
/W3 = [2+(1+f2$~*"]' Л + Р. + Л = 4 + А«.
Далее, решая уравнение (д), определяют порядки функций Лежандра
„, = -0,5 + 1/0,25 + ^,
откуда
п. = 7,04, п2 = —0,5 + 6,84/, /i8 = —0,5+1,95/,
и вычисляют значения функций Рп. (cos а) и их первых
производных P;?.(cosot).
По формуле (и) определяют коэффициенты y\t:
^ = 2,3234- Ю-2, л2 = 2,5180.10-2, т),= 19,8178-10~2.
По формуле (м) находят Д(&„):
Д (*„) = [(—2,5180 + 19,8178)0,2096-1393,7577.3,9093 +
+ (—19,8178—2,3234) (—1,8442) 214,21533,9093 +
+ (2,3234—2,5180) (—1,8442) 1393,7577-2,5387] 10~2 = 283,5861.
Для определения частоты колебаний подобные вычисления надо
проделать большее количество раз, например для /£=1,3; 1,7; 1,9
и т. д. Наименьшее значение /#, соответствующее случаю кратных
219

корней (k\ и Щ и равное 1,14, не принимают во внимание, так как
при этом значении не удовлетворяются краевые условия,-
Для определения коэффициентов частот строят кривую изме-
нения A(&J, пересечение этой кривой с осью k% (рис. 87, б) опре-
деляет значение квадрата частоты колебаний. Согласно графику
низшая частота колебаний соответствует &J=.1,342= 1,802 и
определяется по формуле (б):
It34 r/ Eh _ 1,39 Л/"Ш
0)1 а V (1—0,252)т ~" а V т *
Приведенный алгоритм легко программируется для выполнения
на ЭВМ.
Исследованию осесимметричных колебаний сферических куполов
без учета растяжения средней поверхности и при v = 0 посвящена
работа [96].
Глава 7
РАСЧЕТ ТОЛСТЫХ ОБОЛОЧЕК
I. РЕШЕНИЯ, ПОСТРОЕННЫЕ НА УРАВНЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Классические уравнения теории тонких оболочек, основанные
на гипотезах Кирхгофа—Лява (гл. 6), становятся неприемлемыми
с увеличением толщины оболочки, а поэтому расчеты толстых
оболочек (#:ft^6)* опираются ужена исходные уравнения теории
упругости.
Впервые точный расчет замкнутой сферической оболочки под
действием внешнего р0 и внутреннего р{ равномерно распределенных
радиальных давлений был разработан Ламе в 1852 г., который
применил для решения задачи выведенные им уравнения, см.
[77, уравнения (3.3а7)]. Им же был рассмотрен расчет замкнутого
кругового толстостенного цилиндра на указанную нагрузку для
двух простейших условий на концах цилиндра: цилиндр помещен
между двумя неподвижными (иг = 0) абсолютно жесткими и
гладкими стенками (R2 = 0)f края цилиндра свободно перемещаются
(Z, = 0, ижф0).
Вопросами расчета толстостенных цилиндрических и
сферических оболочек занимались Б. Г. Галеркин (1934, 1942), А. И. Лурье
(1943, 1953), В. К. Прокопов (1949, 1950). М. W. Barton (1941) и
ряд других авторов. Подробный анализ этих работ приведен в книге
А. И. Лурье [57, гл. VI и VII].
Полученные точные решения для сферической оболочки
являются весьма сложными, особенно в части удовлетворения краевых
* Оболочками средней толщины называют оболочки при отношении
R:h=r-6 -f- 20. Однако приводимые отношения для толстых и средних оболочек
являются в известной степени условными.
220

условий на конических срезах, и к решению конкретных задач не
применялись.
Краевые задачи, возникающие при расчете толстостенного
цилиндра, также весьма сложны, и если отбросить некоторые
простейшие случаи, то неизвестно ни одного решения, которое полностью
и строго удовлетворяло бы всем краевым условиям на боковой
поверхности и на торцах цилиндра [57].
При указанном положении большое значение для решения
прикладных задач приобретают технические теории расчета толстых
оболочек.
II. ТЕХНИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ РАСЧЕТА ТОЛСТЫХ ОБОЛОЧЕК
В 1929 г. Краус [133] сделал попытку дать более строгую
теорию оболочек, свободную от допущений Кирхгофа—Лява, но
эта попытка не получила дальнейшего развития.
Такая же попытка была предпринята Треффцем в 1935 г. [150],
который исследовал влияние напряжений о21 приняв их
изменяющимися по закону прямой (oz = a-\-bz).
Теория расчета толстых оболочек была разработана В. 3.
Власовым в 1944 г. [18]. При построении теории толстых оболочек
В. 3. Власов исходил из гипотезы более общей, чем гипотеза
неизменяемости нормального элемента оболочки (6.1); он ввел
в рассмотрение относительное удлинение этого элемента (u*z = ez)y
которое принял постоянным по толщине оболочки, т. е.
независимым от координаты z. Одновременно им введена обобщенная
статическая величина, соответствующая удлинению нормального
элемента:
ЛВ [J -ft/2/li/l2 ' | /ll/l8 | -ft/2 J ' V '
где z — расстояние по нормали z(r) от точки средней поверхности до
рассматриваемой точки оболочки; рг—объемная сила, направленная
вдоль оси z(r)\ /ix= I/[А (1 +^2)], h2=\/[B(l +k2z)]\ ^ —
напряжения на поверхностях z = ±^/2; Л, В — коэффициенты первой
квадратичной формы поверхности; kv k2 — главные кривизны оболочки.
Полученные В. 3. Власовым четыре расчетных уравнения
относительно неизвестных со,, 9, uz и и21 где сог—нормальное вращение
и 8 — объемное расширение, имеют десятый порядок. Практическое
приложение уравнений В. 3. Власова к расчету толстых
сферических оболочек дано в работе автора [93].
В последнее время появились расчеты толстых оболочек,
построенные на использовании метода начальных функций [11], [32], [24]
с применением усеченных рядов разложений и локальным
удовлетворением краевых условий по отдельным линиям сечения контура.
В дальнейшем изложении метода начальных функций
применительно к расчету толстых круговых цилиндрических оболочек мы
будем следовать работе [24], рассматривая осесимметричную задачу.
221

Уравнения равновесия [77, (1.16)] и соотношения упругости
[77, (3.26)] в цилиндрических координатах имеют вид:
<rt-ap + (l + £)-af+ (l+C)-g^ + (l+Oa^=.0f
(1+0-
да п
7« = К'
да
диг
дй
1 ..- , а"<Л , 2(i &*,
(7.2)
ас м + С
«с-
da /"
да
стР
-К-
-4(
г
1
ас м+С
диа\
1 " + -^V
С+ da J
-(ЗЯ+2ц)а0/,
2ц «с
а 1+С
и?
2(1
ди*
ди„
да*
).
<?£
где а = */я,
(рис. 88).
as ^ да
1 = (г—а)/а, Ра и Pi—составляющие массовых
(7-3)
сил
Рис. 88
В шесть уравнений (7.2) и (7.3) входят шесть неизвестных иа,
«с» aa, ap, ac и Tac = Tca- Исключив с помощью первых двух
уравнений (7.3) неизвестные aa и о^, придем к системе из четырех
уравнений с четырьмя неизвестными:
Fi = »Z> F2
^3 = Tas и F4 = a:.
(7.4)
На начальной поверхности £ = 0 неизвестные (7.4) называют
начальными функциями:
Fi(a, 0) = ul f8(a, 0) = а°а, Fg(a, 0) =
'ТЬг. FJ(a, 0) = aj
(7.5)
В зависимости от физической задачи две из начальных функций
будут всегда известны, а остальные две определяются из условий
на границах тела (ft = pa, где р = (Ь— а)/а — относительная толщина
цилиндра).
222

Раскладывая неизвестные функции (7.4) и температурную
функцию t = t(ay £) (7.3) в ряды Маклорена по переменной £, члены
которых содержат в качестве коэффициентов начальные функции
и их производные до порядка N, где N—номер члена разложения,
и определяя неизвестные функции из четырех уравнений, получаем
+X.V. щШ^Л+хщ »]"^5+f.(«. о. Р.б)
*=1, 2, 3, 4,
* = 2, 1, 4, 3,
п =
0, 2, 4, ... (2ЛГ + 2),
1, 3, 5, ... (2Л+1),
где FJJ(a, J)—свободный член, зависящий от температуры t и
массовых сил Ра, /V, jV—номер члена ряда в разложении функций
М«, С).
Коэффициенты операторов матрицы (7.6) (см. табл. 5.1)
представляют собой некоторые функции переменной £.
, Для определения двух неизвестных начальных функций надо
решить систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений,
которые могут быть сведены к одному разрешающему посредством
введения функции перемещений—х(0)(°0- На боковых поверхностях
могут быть заданы статические условия—функции напряжений, или
условия в перемещениях.
В первом случае это разрешающее уравнение имеет вид:
S '[/J](P)XV)(«) = /|JS}. (7-7)
/=0, 2,4 (2N + 2) \Т (a)J
или
/=1, 3,5 (2W+1)
где х(у) (а) разрешающая функция перемещений (при / = 0) и ее
производные (при />0); /[/з]—постоянные коэффициенты,
вычисленные при £ = р.
В работе [24] составлены таблицы для р = 0,1; 0,2; 0,43; 0,75;
0,90 при v = 0,17 и 0,25 и для £ = 0; 0,25р; 0,50р; 0,75р; р; р(а),
т(а)—заданные на поверхности цилиндра нормальные и
касательные нагрузки.
Искомые функции Fk (£=1, 2, 3, 4) определяют с учетом
функции перемещений по формулам:
^*(«. 0= 2 /[/, Ж0х<"<«). (7-8)
/=0, 2, 4, .... (2N + 2)
или
/=1, 3, 5 (2N + 1)
где k= 1, 2, 3, 4, /[/, £] (£)— коэффициенты, зависящие от /, k и £;
/ = 0, 2, 4,..., (2М + 2)— при загружении поверхности нормальным
Давлением /?(а); /= 1, 3, 5, . . ., (2/V + 1)—при загружении
поверхности касательными силами т(а).
222

Порядок разрешающего уравнения (7.7) зависит от числа членов
ряда N. Количество членов ряда зависит от толщины оболочки ра
и условий на поверхности. В работе [24] даны формулы для оценки
остаточных членов ряда. При интегрировании уравнения (7.7)
появляются (2iV-j-2) произвольных постоянных, определяемых из
условий на торцах цилиндра (при ос = 0 и a = ak = l/a)y которые по
толщине оболочки ставят дискретно. Например, -для осесимметрич-
ного цилиндра при М = 9 на обоих торцах по пяти концентрическим
окружностям надо поставить двадцать условий, по два условия на
каждой окружности, при этом условия могут быть как статические
[<*а = а(£)> теа = т(£)]> так и кинематические [иа = и(£), ий = и(Щ.
Интегрирование основного уравнения (7.7) с учетом различных
условий на торцах и боковых поверхностях цилиндра, а также
вычисление искомых функций Fk (7.8) было проведено на ЭВМ
«Минск-22» шаговым методом с последующей ортогонализацией по
методу С. К. Годунова [24].
При расчете оболочек средней толщины к уравнениям теории
упругости можно применить аппарат асимптотического
интегрирования. В этом случае развивается и обобщается известная идея
малого параметра в теории оболочек и связанная с ним
приближенная теория разложения напряженного состояния оболочки на
простейшие состояния, как это излагается в работе [31]. Последний
метод является естественным продолжением приемов, применяемых
в классической теории тонких оболочек, однако применение его
существенно ограничено малым параметром и не может быть
распространено на толстые оболочки.
Общая теория толстых оболочек изложена в работе [25].
ЗАДАЧИ
7.1. См. [93]. Рассчитать толстую оболочку в форме шарового
сегмента, жестко закрепленную по краю а = 0^ = 80° и нагруженную
постоянным внутренним давлением Z = p при R:h=lO и v = 0,25
(см. рис. 87, а).
Полная система дифференциальных уравнений для толстой
сферической оболочки в форме, предложенной В. 3. Власовым, имеет
вид [18]:
^ + 2К=^^[|(ЛЛ)-^(ЯУ)],
(X + 2(х) у*ё + 2(хё+ 2 (X + ц) kV*w—(X + 2ц) ££ у«ш +
+ 4 (X + ц) kw-(ЗХ + 2ц) *|i* v*w* + 2Xw* = ^ 2>
Ав—(ЗА, + 2ц) ££ Vaw + 2Xkw — $|£ну*"'* + <X + 2H) w* = -L Z*
(7.9)
224

де е = -jg\ -fa (#") +^-(^) —объемное расширение при
тангенциальной деформации: u = unv = u{i—тангенциальные перемещения;
^sss \/R— кривизна оболочки; А = /?, В= Rs'ma, — коэффициенты
первой квадратичной формы; (0г==2Л5| Ж (Bv)~Ж ^"М — Н0Рмаль-
н0е вращение.
Из первого уравнения (7.9) независимо от других неизвестных
определяют нормальное вращение со^(а, (3)—см. формулу (7.20).
Последние три уравнения (7.9) образуют совместную систему
для определения функций 0, w и w*. Введя в уравнения (7.9)
полное объемное расширение
0 = Q + 2kw + w* (7.10)
и значение коэффициентов Ламе А- и [г (см. условные обозначения),
получим:
(1-v) (v2 + VEt) в~(1 ~v) (t?V? + T^) (Va + 2)^-(l -2v)x
х№.+ ,)*__й±ЗДрН^[£(ад_£МП];
•'-i(t»'-k)«+?('-i(v+S)w+»-
,е_(1+^.„_^(^._,)ш._<1±2^.г..
(7.11)
Из последнего уравнения системы (7.11)
Q 1+v/i2Aj2. (1—2v)//i2^ « ,\ * , (l+v)(l—2v) «-,
(7.11')
Сложив первое и второе уравнения системы (7.11), вычтя из
первого уравнения второе и подставив значение 0, получим:
г4е б = (1 + V)/(£/i/22), с2= 12/(/№»).
*а U51 225

В случае однородной задачи X = F = Z = Z*=0, выразив вели,
чины to и ш* через функцию перемещений Ф = Ф(сс, Р) по формула^
Ь=(1?у2-1)(^!-2)Ф'
Г 1-v* 1 <713)
^ = -U-TT=^v2-i](v2 + 2)o,
можно тождественно удовлетворить второму уравнению однородной
системы (7.12) и получить первое уравнение в форме
(У2 + М(У2 + ^)(у2 + ^з)(У2 + 2)Ф = 0, (7.14)
2с2 24 R2
где |ii,,-a±W; ц8 = — г=^ = — Т=^W
а_1+^
ь-^Щ^'-^гУ- ^
2v
Приняв в уравнении (7.14)
Ф = Ф0 + Ф1 + Ф2 + Ф3, (7.16)
можно подставить это уравнение в виде четырех уравнений,
определяющих независимо друг от друга функции Ф,-—
(у2 + 2)Ф0 = 0, (уЧ-^Ф^О, (у2 + ^)Ф2 = 0, (уа + ^з)Ф3=0,
(7.17)
где параметры \i{ определяют по формулам (7.15).
Применив тригонометрические ряды, представим общие интегралы
уравнений (7.17) в следующем виде:
* cos
Ф,(а, р)= 2 Ф/я(а)8,п/ир, (7.18)
т = о
1
где f = 0, 1, 2, 3.
Подставив значения (7.18) в уравнения (7.17), получим для
коэффициентов рядов (7.18) обыкновенные дифференциальные
уравнения присоединенных функций Лежандра:
d2P,
+ с1В«^+(и!-3?5)^-0. (7.19)
da2
где функция Рт=^Рт(^) представляет любую из четырех функций
Ф,л(а) при t = 0, 1, 2, 3 и т = 0, 1, 2,..., оо.
Для рассматриваемой симметричной задачи т = 0, Х = У=»0,
Z = p, Z*= — ph/2i см. формулу (7.1).
Случай \л = 2 характеризует безмоментное состояние, и решение
уравнения (7.19) имеет вид
Ф00 = Л0соза + В0 (l+cosalntg-jV. (7.20)
* Для оболочки, замкнутой в полюсе ос=0, второй член решения отпадает (BQ—0)
226

При комплексных параметрах
Hi. 2 =а + Ы = vx, а (v1§ а + 1), (7.21)
где vi, 2—комплексная степень; алгоритм подсчета присоединенных
функций Лежандра приведен в работе [91].
При действительном параметре
h--TZ^F-v.(v, + l), (7.22)
где v8 =—2* ^ К Т~^~ ^3 — комплексная степень; алгоритм подсчета
присоединенных функций Лежандра приведен в работе [93].
Произвольные постоянные в количестве четырех (со2 = 0)
определяют из граничных условий:
при а = а1 = 80°,
и = w = dw/da = ш* = 0, (7.23)
где согласно [18]
I—V п & fa h о \ . <^&У . п dw* 1+V v /*? ол\
Общий интеграл уравнения (7.14) с учетом замкнутости оболочки
в полюсе имеет вид
Ф(а) = А0соза + А1Ф10(а) + А2Ф20(^) + А3Ф,0(а)1 (7.25)
где Ф1о (а)— присоединенные функции Лежандра первого рода
комплексной степени v1? v2 и v3 и порядка т = 0; Л<— произвольные
постоянные общего решения.
Для получения частного решения используют неоднородные
уравнения (7.12). Полагаем
W У V ' (7.26)
or =
.7(Г=Й|?^-1](УЧ-2)Ф+Ф..
где ф£. — частные значения функций, удовлетворяющие
неоднородным уравнениям (7.12).
Подставив в уравнения (7.12) X = Y = Of Z = p и Z*=/?A/2 и
приняв ф£. постоянными, получим:
ф.-й=(¥т+т)!-.ф.=»*=-(4+1)1-
(7.27)
Значения (7.27) надо прибавить к правым частям формул (7.13).
Далее по формулам (7.13) и (7.11') определяют величины kw,w*
и Q, по формуле (7.24) —тангенциальное перемещение и и из усло-
Вий (7.23) — произвольные постоянные общего решения, см. [93].
Результаты подсчета сведены в табл. 7.1.
8*
227

Таблица 7.1
О
20
40
60
80
'.(.-.£
3,7895
3,9170
4,0514
1,7329
0,0000
d.(w = da±)
—3,0101
—3,0364
—3,0531
—2,5232
0,0000
Из табл. 7.1 следует, что с изменением угла а относительное
удлинение до* изменяется мало.
7.2. См. [24]. Определить
напряженное состояние полого цилиндра с
отношением толщины стенки к
внутреннему радиусу р = (Ь—а)/а = 0,75
(рис. 89) и относительной длиной аЛ=
= 1/а = 4. Торцы цилиндра заделаны и
к его внешней поверхности приложено
равномерно распределенное по длине
нормальное единичное давление ot =
В соответствии с условиями на
боковых поверхностях цилиндра имеем:
при £ = 0 Fg(a, 0) = т£а = 0,
F4(a, 0) = а£ = 0;
при £ = р F3(a, р) = 0, f4(a, р) = —1.
Две неизвестные начальные
функции f?(a, 0) и Fl(a, 0)
определяют из системы двух дифференциальных уравнений, которые
сводятся к одному разрешающему уравнению (7.7) посредством
введения функции перемещений х(0)(а):
Рис. 89
2 41, 4](р)х^(а)—1-
/«0, 2. 4, ..., (2N + 2)
(а)
При заданном нагр ужении и закреплении торцов цилиндра —задача
четная относительно середины длины, поэтому / имеет четные
значения и при интегрировании уравнения (а) представляется
возможным в середине поставить условия симметрии, т. е. положить
равными нулю нечетные функции F2 и F3.
Принимаем N = 9; в этом случае разрешающее уравнение (а)
будет 20-го порядка, и для определения 20 произвольных
постоянных надо поставить 20 условий на торцах цилиндра (аЛ = 0 и аЛ = 4)
или воспользоваться условиями симметрии. Таким образом, в
поперечном сечении цилиндра можно точно удовлетворить по два
условия на каждой из пяти концентрических окружностей, включая
внешнюю и внутреннюю (£,- при 1=1, 2, 3, 4, 5). Краевые условия:
228

/
I
I
I
I
[0. 4]
2, 4;
= 0,0000,
= 3,1595-10-1,
;4, 4] = —4,5378-10-»,
[6, 4] = 6,6569 К)"3,
'8, 4]
= 1,2604-10-»,
ь'Р?лаГч° "еРеме1Дения равны нулю и, следовательно, FJ0 м = 0
при а = 0,5аЛ по условиям симметрии
F2(0,5a„ 0 = 0, F3(0,5a„ у = 0,
где /=1, 2, 3, 4, 5 —номера концентрических окружностей.
Коэффициенты /[/, 4] (р) подсчитывались по рекуррентным
формулам согласно программе, составленной на языке АЛГОЛ на
электронной вычислительной машине «Эллиот-503». Эти значения при
v = 0,17 и р = 0,75 следующие:
/[10, 4] = —1,6674-10"*,
/[12, 4] = 9,3369-Ю-6,
/[14, 4] = -3,3838-10~7,
/[16, 4J-8,2156-10-°,
/[18, 4]-—1,1787-Ю-10,
/[20, 4] = 9,0798-10"18.
Интегрирование разрешающего уравнения (а) проводилось шаговым
способом на машине «Минск-22».
После определения функции %(0) (°0 и ее производных х(/) (ее)
искомые функции Fk(a, £) находят по
формуле (7.8). Для рассматриваемой
задачи это сделано для пяти точек
л о толщине цилиндра в 13 сечениях
по длине.
На рис. 89 показано
распределение нормальных напряжений по
толщине заделки.
Из сравнения графиков,
построенных для разных сечений
цилиндра, видна резкая концентрация
нормальных напряжений aa у
заделки и неравномерность их распределения вдали от заделки.
7.3. См. [24]. Определить напряженное состояние пологого
цилиндра с отношением толщины стенки к внутреннему радиусу
p = (b_a)/a = 0,75, v = 0,17 и aft=l/a = 2 (рис. 90). Торцы
цилиндра заделаны (иа = и1 = 0) и к внешней поверхности г = &(£="р)
приложена равномерно распределенная касательная нагрузка т = — 1.
Рис. 90
В соответствии с условиями на боковых поверхностях цилиндра
имеем:
при £ = 0 Fl(a9 0) = T°Sa = 0, P4(a, 0) = о£ = 0;
при £ = Р F8(a, р) = — 1, /и (а, р)*=0.
Разрешающее уравнение (7.7) для рассматриваемой задачи
имеет вид
2. Ш, 3](р)х(" (a) = -l. (а)
/=1, 3, 5 (2N+1)
229

Рис. 91
При интегрировании уравнения (а) можно в середине (а = 0,5о^ = 1)
положить равными нулю четные функции Ft = uz и t\ = o^
При решении было принято N = 9. Краевые условия имели вид:
при а = 0 Fx(0, С) = 0, Fa(0, Ы = 0\
при а = 0,5а, ^(0,5^, £/) = (), F4(0f5a*, £,) = (),
где i=l, 2, 3, 4, 5 —номера концентрических окружностей, пе
останавливаясь на ходе решения задачи (см. задачу 7.2), приводи*1
окончательные результаты на графиках (рис. 91).
7.4. См. [70]. Рассмотреть равновесие толстостенного цилиндр3
с внутренним радиусом а и внешним ft, снабженного двумя неде-
формируемыми днищами, жестко скрепленными с ним при г=±^
под действием нормального равномерно распределенного внутреН'
него давления р (рис. 92).
Введем безразмерные координаты
р = г/# и a = z/R, гяе R=\/2(a + b)\
тогда интервалы изменения р и а будут:
1— Жр=1+Х£< \+К —аЛ^а<аЛ
230

при К=ф—a)/(a + b) — половине относительной толщины стенки
цилиндра:
—1<£<1; ak = c/R.
В случае осесимметричной деформации цилиндра напряжения и
перемещения можно выразить через одну бигармоническую
функцию напряжений г|? [58], с. 288, по формулам: \г<*)
_ д
(»-v)V4-S].
(1
(l+v)fl д2г|;
где
а2...
Е дрда '
2(1—v)V\|?a-
а2г|з"|
да2]'
1 а..
а2...
Рис. 92
v • • * ~~ ар2 ^ р ар ^ аа2 »
и выбрать функцию г|э в форме
ф = [А /0 (Тр) + fip/1 (YP)-C/C0 (YP)-
— £>р/Сх (vp)J sin yoc,
где /0, /t — функции Бесселя мнимого аргумента; 7(0,
/Сх—функции Макдональда; у—произвольный параметр.
Напряженное состояние, определяемое функцией \J? симметрично
относительно координаты а, и в случае однородных решений должно
удовлетворять краевым условиям на боковых поверхностях:
ар=1+л = 0, ap=i_?, = 0, та, р=1+л = 0, та,р=1-л=0. (в)
Подставляя значения (а) и (б) в уравнения (в) и приравнивая нулю
детерминант из козффициентов при неизвестных А, В, С, D,
получаем трансцендентное уравнение для определения параметра у.
К полученным решениям надо добавить решение задачи Ламе
[77] (задача 4.1), которое в принятых обозначениях задается
формулами:
o_(l+v)(l-r-)2flp , Го .о_с,Са
4Х
1 —^~ J/>> аЗ--4Г^[1+ р2 J^
«°« = (l+v)(f-2v)/? [2vC1 + (l-v)C2], xi, = 0;
откуда следует удовлетворение краевых условий:
. = — Ру Та,р=1+Л = 0, Та,р=1-Я = 0.
7Р=1+*
= 0, ар=1.
(г)
231

Постоянные С£ и Cs связаны соотношением
Ct + vC2 = 4Ж • ^
Суммарная продольная сила, действующая на край цилиндру
N=2nR^\+\°aPd9. (е)
Эта сила вызвана давлением на днища цилиндра, и поэтому
М = п(\ — Я)аЯ2р- (ж)
Из соотношений (г), (е), (ж) получаем
«1+(,_^c._fl±lJ!=gJI=»Me. (3)
Решая совместно уравнения (д) и (з), находим
(1 —2v) (1— X)2Rp
Lx •— G2 —-
4£k
Для простоты считаем цилиндр длинным, т. е. удовлетворяющим
условию
2а, > i |а (со= £/3/4(1 -v»)) ,
при котором можно отдельно учитывать краевой эффект от заделки
каждого края [70].
С помощью суммы решений (г) и однородных решений (в) можно
удовлетворить условиям на торцах цилиндра:
("pk=o=0, (uj с=о =0, (дир/да)Св0 = 0, (дир/да)^0 = 0. (и)
а = 0 а= 2afe а=0 a = 2aft
Приближенные значения для перемещений и напряжений при
однородных решениях имеют вид [70]:
D
и0 = -g- [(Л w, — Ви2) cos </a ch/a + (But + Au2) sin ^a sh fa +
+ (C«x + Du2) sin ga ch /a + (Da, —C«2) cos qa sh /a];
i/*Td
iia = —*-g— [(Лау, + £ш2) sin #a ch /a + (Aw2—Bwt) cos ^ash /a +
+ (Dw2—Cw1) cos (/a ch /a + (Dayf + Cw2) sin ^a sh /a];
aP = (Ar1 — Br2) cos qa ch f a + (Brt + Ar2) sin qa sh fa + (Crt + Dr2) X
X sin qa ch /a + (Drl—Cr-2) cos ^a sh fa;
^^(A^ — B^^cosqachfa + iBW + A^smqashfa + (Cpf + D(32) X
X sin <?a ch /a + (Dpt—CP2) cos qa sh /a;
°a= (Лг — Bz2) cos qachfa+(Bzt + Az2) sin qash fa + {Czi + Dz2)X
X sin qa ch fa + (D2f—Ce2) cos ^a sh /a;
*p*=Vrik[(At, + Bt2)s\nqachfa + (At2—Bt1)cosqashfa +
+ a + (Dt2—Ctl)cosqachfa + (Dti + Ct2)slnqashfal (к)
232

где
«1 = 2 + X[2(l-v)-2vC]; u,-3W=v)№-5v)-3v?]i
pi = 2 + a,[2(l+v)—(2 + 5v)£ + v£»J; P2 = 2<o^ ;
г1 = — 2A£ (!+£*); г2 = 2ш2г2*;
^=2^(1-T^)^; '* =2^0+1 ^ *>'
tt£ = 2v + *[2v(l — v) + (l+v)(2—5v)g + (l+vK*J;
о»,* = - 2C + Я [^p-2 (1 -v) g + v£»J ;
ft=т=т« e+з (i - v») f<8 ~7v) о + v)+6v (i _ v) g+3v (i+v) yj;
;* = {3+x[3(i-v)-(i + vK]}(i-£2);
— коэффициенты комплексных корней
ys=*±q±if (s-lf 2, 3, 4)
биквадратного уравнения
V4 + 4 (1 —v2) у2+ 3(1 — v2)A2 = 0, (л)
полученного из трансцендентного уравнения для определения
параметра у путем разложения функций Бесселя (/„, 1г) и функций
Макдональда (К0, Кг), см. формулу (б), в усеченный ряд Тейлора
по степеням А, с использованием соотношения
/.(Y)*i(r) + /,(Y>*.(r>=l/V-
Уравнения краевых условий (и) с учетом первой формулы (к)
и решение (г) примут форму:
Аиг (0)—Bu2 (0) = — /С, Си, (0)—Du2 (0) = — Л\
Аи2 (0) + Виг (0) = L Д-, С«2 (0) + £>«, (0) = L К, (м)
где
Hl<0) = 2[l+Ml-v)]; ^(0)^.(8-52^'+V>A,-
2со2
_ (1-Я)» j(l -f-y) (1 + *,)» +(1 —2v)J г_
233
* 4Я

Решение системы (м), если пренебречь величинами порядка ^
по сравнению с единицей, как это делалось при получении урав-
нения (л), имеет вид:
Постоянная С0 в уравнении (г) определится из условия
(tta)a = afc = 0:
С0 = (1 - 2v) (1 - v)8 Rpak/(4EX).
Введем переменную л^соа/КХ. Ввиду малости К имеем
qa = x—Ax, fa = x + Ax(Ax = 2/3<u2Xx).
Очевидно, что
е- *« cos qa = Ь (х) Ь (Ах) + г] (х) к] (Ах),
е-fa sin qa = ц (х) ft (Ах) — & (х) у\ (Ах),
где й (х) = бГ* cos х, v\(x) = e-xs'mx.
Ввиду малости Ал: имеем:
е-fa cos qa = Ь (х) — 2/3o)2Ajc\|) (а:),
е~fa sin </a = т] (л;) — 2/Зсо2Ахф (х),
где
*(*) = *(*) — т|(*), ф (*) = *(*) +л (*)•
Для данного цилиндра вдали от краев напряжения не меняются;
их определяют по формулам (г). На краю (например, при <х = 0)
к ним прибавляют еще напряжения:
ар = Лгх — Вг2У oa = Az1 — Bz21
Максимальными в рассматриваемом примере являются
растягивающие напряжения оа на внутренних волокнах цилиндра в
заделанном сечении. Значения этих напряжений, отнесенных к
внутреннему давлению ру приводятся в табл. 7.2.
Таблица 7.2
к = (Ь-а)/(а+Ь)
Оа/Р
°*а/Р
0,01
103,3
102,5
0,77
0,05
21,84
20,50
6,14
0,10
11,66
10,25
12,10
0,15
8,27
6,83
17,40
0,20
6,57
5,12
22,10
0,25
5,56
4,10
26,30
В табл. 7.2 приняты следующие обозначения: aa — напряжения,
подсчитанные по формулам настоящей задачи; о*а — напряжения в
ваделанной цилиндрической оболочке по теории Кирхгофа—Лява.
234

Очевидно, что при X < 0,05
теория тонких оболочек дает
достаточно точные результаты.
7.5. См. [57]. Исследовать
равновесие толстой сферы с
внутренним радиусом а и внешним Ьу
заделанной по коническим срезам
при а = а0 под действием
собственного веса у (рис. 93).
При осесимметричной нагрузке
сферической оболочки с помощью рис 93
общих уравнений теории
упругости решение можно представить,
пользуясь одной бигармонической функцией <р в форме [58]:
^^(w2-g)F + 2(l-v)^(cosaV»,
_ д I 1 dF\ . ( l д . д \
1 _i л, Г 1 Л/7
^а = к
«„ = •
1+v
1 dF . п j 1 v .
af
-^7 —2(1—v)cosaV2
где
!Фj > % = 0,
V2V2cp = 0, F = Cosa#-^*2.
or г aa
a2.
2 =q1_ 2 a.. ctg a a... 1a2...
ar'2 "• r dr "■" r2 aa "t" л2 aa2
— оператор Лапласа на сфере.
В теории тонких оболочек г = const == с и V2... =— (^г-^ +
d \ а
+ ctga-^-J [см. первое уравнение (6.168)].
При действии объемных сил у частное решение уравнений Ламе
[77] находится из уравнений:
(X + 2G)rsinag + 2G^|l |^g—^ (гиа)] sinaj +/- sin а/? = о,
(а + 2G) sin а -г \-r sin аЛ = 0,
где е = ^|:(/'Х)+7^^^-("a si па)— объемное расширение; R ^
= —у cos a, A =ysin а — проекции объемных сил на оси л и ^
(рис. 93).
23$

Согласно приведенным уравнениям частное решение для напрЯч
жений имеет вид:
°? = уг [7б cos а + 2/бЯ3 (cos а)], а£ = о} = О,
т?а = —V [VeSina—ViegjP.fcosa^ ; (а)
aje0^r.(cos«a + 1^)sinaf
и? = (~Ц^Хг* ^cos"a—-j^) cosa, (б)
где Р3 (cos a) = V2 (5 cos3 a—3 cos a) — полином Лежандра третьего
порядка.
К полученным решениям (а) надо прибавить однородные реше-
ния (решения 1-го рода), оставляющие поверхности сфер г = а ц
r = b свободными от напряжений [57]:
аг = -(^-)"5/2Ке{(а1 + ^ст6)сЬКт1п^+(ог2 + ^ав)х
1'V 1 — ' V Г / 2 \ _- / 2 \
XshVyto-^l j5x2— [(a3+^CT'Jch^lnT+(a4+7?-a«JX
xsh К у In-£]}/>„ (а),
где X = b:a; (в)
<т, = —ог,= 1/е—V3e + (73Ae-4v2)e3,
ff2 = -7a + 6/4e2-('3/32-2v2)e*,
a3 = -o7 = -l+(3/2-v)e2 + (27/1e + 1/4v-2v2)e\
<^4 = — (V,—2v) 8—(»/4 + V.v—4v«) e»—(M/M—»/«v) e5,
<*« = •/,-("/«—2v) e»-(»?/„ + V,v-2v«) e\
°. = — (*/• + 2v) e—(V4_V.v—4v2) e3—(»/„ + »/4v) e5,
e=l/KV, (r)
Y = (n + V2)2—комплексный корень уравнения
/^-X-^V_.. Y,-VtT+7'/u-4v« ,.
V Ь-X-i / T y2+7 [4 (1 —v2)_5/2]+Vie ' (M
полученного приравниванием нулю детерминанта из коэффициентов
при неизвестных в однородных уравнениях:
аг = 0 и тга = 0 при г = а и г = Ь,
где напряжения определялись по формулам, приведенным
Б. Г. Галеркиным (см. ПММ, 1942, № 6);
п—комплексное число, входящее в уравнение Лежандра:
Рп(а)—его решение для симметричной задачи.
236

В той же форме (в) представляют выражение хга, но с заменой
Р,Ла) соответственно на APjda, а коэффициентов ст, на
коэффициенты т,-, определяемые по формулам:
*, = т, = (!, т2 = -1+5/2е2—(73/1в—4v2)e4,
х3 = - х, = (1 — 2v) e2 + (3/4 + 7/2v —4v2) е*.
т4 = -т8 = е-е3 —(21/le —3/2v)e%
Те = 1 + (Vi—4v) е2 + (49/10—7v + 4v2) е4. (е)
Перемещение определяют по формуле
". —«Ф(т)'3,,^{(^+Й^)сЫ^1п^ +
+ (rs + ^r6)shl/vln^+^il";,/V[(/-3+gr7)chKYln^ +
+ ('4 + £ '.) sh ^V lny] } Р» W> (ж>
/ (е) r1 = e—V2e3 + r/,e—4v2) e5,
/ (e) r2 = (1 -*/4e2) [ 1 —»/,e» + (78/ie-4v2) e«],
/(e)r3 = -82 + e4 + (2l/le —3/2v)8e—(1—3/482)X
x[(l —2v) e2 + (3/4 + 7/2v —4v2) 8*],
/ (8) r4 = - (1 -2v) [e3 +.(»/4 + Viv—4v«) e»] —
_(1 -»/4e*)[e-8»-(»/le-V,v) e'], (3)
r5 = (3—4v) e—(18/4 — 13v + 8v2) e3,
/-„ = _ l+e2_(35/ie_6v + 4v2)84)
r,= -2(1—v)e»—(»/i—u/,v + 4v«)8\
r, = e—(72-6v + 8v2)e° —(»/le—V,v)e»,
f(e) = [l —9/4e2).
Выражение для на будет в том же виде (ж), что иг, но с
заменой Рп соответственно на dPJda, а коэффициентов rt на
коэффициенты а,, определяемые по формулам:
f (е) а, = 8—5/2б3 + (78/1в — 4v2) е5,
f (8) а2 =»/, [е2—6/2 е1 + (73/1в-4v2) 8«],
f (8) ая = - е«—(»/,—3v) е' + (»/и —"/4v + 6v«) е\
f (е) а4 = - (*/,—2v) е3 + (3/4 - '/,v + 4v2) v- + (e3/S2—»/4v) 87, (и)
a5 = -e + (2V4-6v)e3,
a, = — (7/2 — 4v) 82 + ^3/8— 16v —8v2) e4,
a, = e2 + (»/« -9v + 8v2) e4, a8 = (9/2—6v) 8s + (27/e—3v) e*.
Легко проверить подстановкой в формулы (в) с учетом формул
(е) и (г), что тГ(, при г = а и r — b, а также о, при т — Ъ обра-
237

щаются в нуль тождественно, ог при г = а обращаются в нуль
в силу уравнения (д).
Выражения оа — ар и оа + о$ представляют также в форме (в).
В первом случае функцию Рп.(а) заменяют на (74—1/г2)Рп-~~~
—2-pCtga, а функции alf a2, ..., a8—соответственно на аь
а2, ..., а8 согласно формулам (и); во втором случае при том же
множителе Рп, что в формуле (в), коэффициенты о1У а2, ..., а8
заменяют коэффициентами а1У а2, ..., а8, определяемыми по формулам:
*i = 2r2 + (V4 — 1/е2) аь а2 = 2r2 + (V4 — 1/е2) а2,
«з = 2г. + (74 - 1/е2) ая, а4 = 2rA + (V4 — 1/е2) а4,
(l-2v)a5 = (2 + v)r5 + 2vre/e + (V4-l/e2)a5,
(l-2v)ae = (2 + v)r6 + 2v/-5/8 + (V4-l/e2)a6,
(l-2v)a7 = (2 + v)r7 + 2vr8/e + (V4-l/e2)a7,
(l-2v)a8 = (2 + v)r8 + 2vr7/8 + (V4-l/82)a8.
К решениям первого класса можно отнести тривиальное
решение:
ur = Acosa1 иа=— Л sin а, аг = тт = аэ==аа =?=(),
соответствующее перемещению сферы без деформации как твердого
тела в направлении оси г.
Краевые условия в случае заделки имеют вид
при a = a0 ur = ua = 0 (к)
и удовлетворяются при конечном числе концентрических
окружностей а = а0 с учетом окружностей при г = а и r = b. На рис. 93
показано пять таких окружностей, проходящих через точки 7, 2,
3, 4 и 5 и, таким образом, будем иметь десять граничных условий
(к) для значений a = a0 — r1 = a, r2 = a + (b—a)/4, r3 = a + (b—а)/2,
r4 = a + 3/4(b — а), /"б^Ь с десятью неизвестными А19 ..., Л5,
filt ..., 55.
Решение задается в виде суммы решения (б) и пяти однородных
решений (ж) с учетом (з) и (и) в форме
* = 5 5
ul + 2 Л,-ыг =0, (ul)r=r + £ 5, (иа)гвг =0 (л)
при f=l, 2, 3, 4, 5.
Для составления условий (л) надо найти пять комплексных
значений корней уравнения (д) в форме yk = фк + i8k)2, при которой
л* = Рл — V2 + *<V
Ц Исследовать равновесие рассмотренной толстой сферы под
действием внешнего радиального давления /?0=—р (рис. 93).
Указание. За решение (а) принять известное решение задачи
Ламе для сферы.
238

Глава 8
РАСЧЕТ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМ
(МЕТОД В. 3. ВЛАСОВА)
I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ПРИНЯТЫЕ РАБОЧИЕ ГИПОТЕЗЫ
В настоящей главе рассматриваются пространственные
тонкостенные конструкции, имеющие в поперечном сечении
произвольный профиль, состоящий из одного или нескольких замкнутых
контуров (рис. 94, а, б).
Ъ ш%.
Рис. 94
Расчет таких систем был разработан в 1949 г. В. 3. Власовым
[13, гл. III и IV].
Призматическая рама рассматривается как совокупность
бесконечного множества узких полосок, имеющих вид плоских рам,
соединенных между собой абсолютно жесткими стержнями,
передающими от одной рамы к другой нормальные N х и сдвигающие 5
силы. Это означает, что в поперечном сечении х = const нормальные
напряжения о и касательные т распределены по толщине рамы б
равномерно.
На площадках продольного сечения s = const возникают
нормальные Nsy сдвигающие S и поперечные Qs силы, а также изгибающие
моменты Ms (рис. 95).
Таким образом, в отношении внутренних сил принимают
гипотезу цилиндрических оболочек средней длины (Мх= Qx = H = 0).
Из геометрических гипотез полумоментной теории
цилиндрических оболочек е, = 0 и esx = 0 используют при расчете лишь первую
е*~~ ds ~TR
-= ^ =r О
ds
239

и вводят гипотезу плоских сечений для каждой пластинки
призматической рамы, т. е. предполагается, что сечение пластинки,
перпендикулярное оси х, для каждой пластинки остается плоским при
деформации.
В поперечном сечении призматической рамы рассматривают
плоскую стержневую систему с конечным числом степеней свободы,
в продольном направлении заданная система имеет бесконечное
число степеней свободы. Такие системы называют
дискретно-континуальными.
II. НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ РАМЫ-ПОЛОСКИ
В плоскости поперечного сечения х = const степень свободы
рамы W равна степени свободы ее шарнирной схемы (е, = 0) и число
независимых смещений ее узлов
n=W = 2Y —С—С0, (8.1)
где У — число узлов (включая опорные); С—число стержней рамы;
С0—число опорных стержней, лежащих в плоскости рамы. Число
независимых смещений из плоскости рамы
m = Y—С0\ (8.2)
где Со — число опорных стержней в направлении оси х.
Для поперечной рамы, представленной на рис. 94, а,
7 = 5, С = 4, С0 = 4, С£ = 2,
откуда п = 25—4—4 = 2; т = 5 —2 = 3.
Положение точки С на средней поверхности призматической
рамы определяется координатами х и s.
Учитывая плоское напряженное состояние пластинок, можно
полностью описать их деформированное состояние, если известны
их = их(х} s) — перемещение точки С в направлении оси х и
us = us(x, s) — перемещение в направлении касательной к контуру
поперечного сечения под действием нагрузок р(х, s) и q(x> s),
приложенных в плоскости пластинки и отнесенных к единице площади.
Эти перемещения можно представить в виде рядов
т
^Ах, s)= 2*М*)Ф,(«), (8-3)
(=1
где и{(х) и Vk(x) — неизвестные функции, выражающие закон
изменения перемещений по длине пространственной рамы; ср,- (s) и
tyk(s) — элементарные перемещения соответственно из плоскости т
240

и в плоскости п перемещений
рамы-полоски, выбираемые из числа
возможных перемещений и называемые
обобщенными координатами деформации
рамы-полоски.
Примеры выбора этих функций даны i
на рис. 96.
III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
РАВНОВЕСИЯ РАМЫ-ПОЛОСКИ
На раму-полоску действуют
нормальные и касательные напряжения,
постоянные по толщине стенки,
которые определяют по формулам теории
упругости:
m
Рис. 96
а(*, *) = № = ££ ^.(*)ф,.(5),
*=i
I т п.
U=i
Л=1
(8.5)
(8.6)
На элементарную площадку dA ■= 6ds рамы-полоски при х = const
действуют силы adA и xdA, при xt = x-\-dx—соответственно силы
(o + d£dx)dA и (t-4»cL4;
к элементу рамы-полоски приложены касательные нагрузки pdxds
и qdxds (рис. 97, а).
Рис. 97
Для нахождения (ш + п) искомых функций Ut(x) и Vk(x)
составляют (гп + п) уравнений для рамы-полоски, для чего ей
сообщают (пг-\'П) независимых возможных перемещений, и сумму работ
241

внешних и внутренних сил на этих перемещениях приравнивают
нулю.
Каждое возможное перемещение можно рассматривать как
результат бесконечно малого изменения (вариации) одной из
обобщенных координат деформации, определяющих положение узлов и
стержней рамы. Такое применение принципа возможных
перемещений называется вариационным методом.
Уравнения возможных перемещений рамы-полоски после
сокращения на dx имеют вид:
§ATxbdA-§AW'idA+§sPbds~° (8-7)
при /= 1, 2, . .., т,
1л Р^н <1А -S Vk I Ml ds +1 q% ds „ о (8.8)
при h= 1, 2, . . ., tt,
где Mk — эпюра моментов от \рЛ = 1; Mh — эпюра моментов от грЛ == 1.
Каждое из уравнений (8.7) выражает равенство нулю суммы
работ всех сил рамы-полоски шириной dx = 1 при перемещении из
ее плоскости. За возможное перемещение в уравнении / этой
группы принято продольное единичное перемещение <p;(s) (рис. 97, а).
Средним членом выражена работа сдвигающих сил тб dx (рис. 97, б).
Каждое из уравнений (8.8) выражает равенство нулю суммы
работ всех сил рамы-полоски шириной dx= 1 при перемещении в
ее плоскости. За возможное перемещение в уравнении h этой группы
принято поперечное контурное единичное перемещение tyh (s)
(рис. 97, в). Средним членом выражена работа изгибающих моментов
( 2 VkMk ) на угловых деформациях при изгибе полоски
f (1аЛ = — = njS) у соответствующих указанному ft-му состоянию
(рис. 97, в).
Момент инерции J = J(s) подсчитывают как для обычной
плоской рамы шириной dx=\ (при отсутствии поперечных связей рам
У = б3/12).
Подставив в уравнения (8.7) и (8.8) вместо о и т их значения
по формулам (8.5) и (8.6), получим систему (т + п) линейных
дифференциальных уравнений:
т т п
vlLajiu"i—И bnvi—lL c/kVk+i-P/^v,
i=l i=l Af=l
т п п
ИchlU\ + X rhhVl-?1^ + ^» = 0 (8.9)
1 = 1 /г=1 /<=1
при /=1, 2, ..., m, /i=l, 2, ..., п,
24,2

где
V =f- = 2(l+v), a,7 = a,7 = ^cp/p,cL4,
(8.10)
«л* = sft/t = ё £ "Т71"ds' PJ = f, W/ ds' I" = Js ^" ds-
Если отказаться от гипотезы нерастяжимости контура
поперечного сечения (es = 0), то
*.-*(№*+№*)•
В этом случае надо учесть изменение числа степеней свободы п
рамы-полоски в плоскости. Если в уравнениях (8.9) все коэффициенты
shk (Л, &=1, 2, ..., п) равны нулю, то система (8.9) будет
относиться к призматической системе, пластинки которой соединены
между собой на линиях контакта цилиндрическими шарнирами
(безмоментная призматическая система).
Теория расчета плоских рамных систем представляет частный
случай теории расчета призматических пространственных рам, а
канонические уравнения метода перемещений являются частным
случаем дифференциальных уравнений (8.9) [см. подчеркнутые члены
второго уравнения (8.9)].
Система дифференциальных уравнений (8.9) приводится к одному
уравнению порядка 2(т-\-п). Интеграл этого дифференциального
уравнения содержит 2(т + п) произвольных постоянных, которые
определяют из кинематических, статических или смешанных
условий на концевых сечениях х = 0 и х=1.
При изложении настоящей главы мы следовали работам [13]
и [73].
ЗАДАЧИ
8.1. Определить напряженное состояние пространственной рамы>
которая имеет цилиндрические опорные шарниры, создающие
полную линейную неподвижность опорных точек, и опирается торцами
На диафрагмы, жесткие в своей плоскости и гибкие из нее.
В плоскости верхней грани на раму действует горизонтальная
Нагрузка, равномерно распределенная по пролету / интенсивностью
Я (рис. 98) [13].
24а

ft=ft/A
^1%Щ.
di-dz
-*■+
x
6
Рис. 98
Разложим неизвестные функции £/,•(*), ^(а:) и нагрузку q = q(x)
в тригонометрические ряды на интервале (0, /):
гс=1
00
т/ / \ Y1 т/ • (2/г — 1) яле
*w-?S
я = 1
00
4(7 V 1
А2= 1
2/2—1
sin
(2/г— 1) яд:
/ #
(а)
(б)
Выражения (а) удовлетворяют краевым условиям при х = 0 и х = 1
£/., = 0, V
Sk'
= 0.
Продольные перемещения ux(xt s) в сечении х = const для двух
точек, симметричных относительно плоскости хг, равны по
значению и противоположны по знаку. Степень свободы шарнирной
схемы рамы из плоскости согласно (8.2) т = 4— 2 = 2, но,
принимая во внимание обратносимметричную нагрузку, получаем один
параметр U1(x)9 за который принимаем продольное групповое пере-
ф
Ш
Рис. 99
мещение верхних узлов. Эпюра перемещений, представленная при
(У1 = 1 функцией фх(5), показана на рис. 99, а\ на рис. 99, б
приведена эпюра <pi(s). Степень свободы шарнирной схемы рамы'в
плоскости согласно (8.1) п = 24 —3 — 4=1, т. е. определяется тоже
одним параметром Vj(x), за который принимаем перемещение гори-
244

зонтальнои пластинки в ее плоскости. Эпюра контурных
перемещений, представленная при Vt=l функцией ^(s), показана на
рис. 99, в.
Для подсчета коэффициентов shk(sn) надо построить эпюру
изгибающих моментов ~М/г (MJ от_ перемещения % и эпюру от
Vr1=l—Mk, которая совпадает с Mh.
На^ рис. 100, а представлена эпюра изгибающих моментов
поперечной рамы от единичного горизонтального смещения ригеля с
неизвестным моментом Mh= .
== A1L, на рис. 100, б —эпюра _у
изгибающих моментов в ста-
Рис. 100
тически определимой
системе—трехшарнирной раме от
единичной горизонтальной
силы, приложенной в
правом углу. Проинтегрировав
выражения эпюр и
приравняв результат единице (\|)j = 1), получим значение неизвестного
момента М{.
М 6£ _ 2EJ ,
Ml ~~2d\/J1+d1d2/J2 d* ' W
Уравнения (8.9) примут вид:
7^11^1—^11^1 + ^ = °»
CnUl + r^-ySnVt + q/G^O.
(г)
Подставив значения (а) и их производные и значение (б) в
уравнения (г), сократив последние на тригонометрические функции,
получим систему алгебраических уравнений:
П2(2п—1)2 я(2я-1)17 _п
п(2я-1)// , п*(2п-\)*у у 4? 0 ()
Сц-^-j uin + rii /2 V in-r Vsnvm Gjx (2/г — 1) w
Коэффициенты уравнений согласно (8.10)
а11=^Ф?с1Л=|(2б1^1 + б^2) = бй = 0,Ы2,
си = ^ г|>Ж di4 = 2б2 = 26 = 0,2d,
^ = ^1^ = 5^ = 6^0,1^,
sii ^ Я" Js ~£Г "" £ V 3 х EJ± ^ EJ2 3 Шл 2 У " 3d3 " 3 1U "
Подставив эти коэффициенты в уравнения (д), приняв Е=*
= 2 1 -10^ МПа, y = 2 и ограничившись первым членом разложения
246

в выражениях (а) и (б), получим
[1,974 (у)Ч0,б] £/„ + 0,6284^11 = 0,
0,628 4 Uu +
0,987 (у)2 + | 10-»] Vir-1,213-10-»^. (е)
Решив уравнения (е) при любом принятом отношении d:l,
найдем величины Uu и Vllf после чего при п = 1 перемещения примут
вид
^(jc, s) = (/1191(s)cos(^/0, us(x, s) = Vuy1(s)sm(nx/l). (ж)
Согласно формуле (8.5) продольное нормальное напряжение
а(х, s)=— 6,597- lO^cp^s) sin ™.
Наибольшие моменты возникнут в узлах рамы (рис. 100, а).
Согласно формуле (в) с учетом формулы (ж) при ^ (s) = 1
М1 = ^2" Уп Sin — = 6^2- ^П S1T1 "Г = 3MV S1T1 —
Исследования показывают, что при увеличении отношения l:d
оба перемещения (ж) сначала возрастают—жесткость
пространственной рамы уменьшается и деформации растут. При отношении
l/d = 20-^-25 продольное перемещение Un достигает наибольшего
значения, а затем убывает, стремясь в пределе к нулю, что
соответствует вырождению пространственной конструкции в плоскую.
Рост перемещения Vu постепенно уменьшается, и кривая Vn — l/d
как бы стремится к максимуму.
8.2. Определить напряженное состояние в безмоментной
пространственной раме, которая получается при введении
цилиндрических шарниров во всех узлах системы задачи 8.1 (см. рис. 98).
Для безмоментной пространственной рамы в уравнениях (д)
задачи 8.1 надо положить su = 0, в этом случае уравнения (е)
примут вид:
[1,974 (d/01 + 0,6]t/11 + 0,628 (d//)J/n = 0,
0,628 (d/l)Uu + 0,987 (d/l)*Vn= 1,213- 10-fy. (a)
Если уравнения (а) представить в форме
AUn + BVu = 09 BUu + CVn=Q}
то неизвестные определяются по формулам:
Uu = —BQ/(AC—Я2), Vu = A Q/(AC—B*).
Уравнения (е) задачи 8.1 и (а) различаются только
коэффициентом С, который для моментной теории больше. Таким образом,
перемещения и напряжения безмоментной системы будут в k раз
больше, чем моментной, где
k = (ACMOM-B*)/(AC6t3M-B*) > 1.
246

Исследования показывают [13], что
k увеличивается при возрастании
отношения lid. При //d = 2-f-5 ktt\.
8.3. Определить напряженное
состояние пространственной рамы,
водослива плотины облегченной конструкции.
Пролет рамы / = 20 м, что
соответствует расстоянию между поперечными
диафрагмами, располагающимися в
местах температурных швов водослива
около быков. Расчетными нагрузками
являются горизонтальное давление во- [_
ды и собственный вес водослива,
приведенные к узлам расчетного контура
его поперечного сечения (рис. 101) [20].
Рис. 101
Взяв краевые условия при *=*0, /, как в задаче (8.1), примем
для неизвестных и нагрузки те же ряды:
со
т/ / ч V* т/ • (2я— 1) лх
*<*>Ч?Е
я *— 2я--1
п- 1
sin
(2л — 1) кх
(а)
За неизвестные функции принимают продольные обобщенные
перемещения узлов /, 2, 3 и 4 — Ut(x), U2(x), U3(x), У4 (^) -
— (m = 6— 2 = 4) элементарной рамы-полоски водослива шириной dx
и поперечные смещения—Vхх и У2(#) —(л = 2-6— 6 — 4 = 2).
Обобщенные координаты из плоскости поперечного сечения q)/(s)
и в плоскости поперечного сечения ypk(s) представлены на рис. 102.
Система шести дифференциальных уравнений (8.9) относительно
шести неизвестных функций Ut и Vt представлена в виде табл. 8.1,
где D—дифференциальный оператор, равный ■— от соответствующей
функции, стоящей в верхней строке таблицы.
Коэффициенты таблицы ai/$ bi/y cJk, chh rhk, shk и свободные
члены qh вычисляют по формулам (8.10). В расчете ограничиваемся
одним членом разложения (п=1) в каждом из рядов (а) вследствие
их быстрой сходимости.
Таким образом, формулы (а) принимают вид:
4?с
Ui(x) = Uicos — t Vk(x) = VksinT, ?(*) = -£sinт
(б)
где *=1, 2, 3, 4; Л=1, 2.
После подстановки выражений (б) и их производных в
дифференциальную матрицу (табл. 8.1), получим для определения значе-
247

ний параметров V{ и Vk систему шести алгебраических уравнений
Некоторые результаты расчета при 6=3 м приведены на
рис. 103, а—эпюра поперечных изгибающих моментов в плоской
раме; б—эпюра поперечных изгибающих моментов для среднего
поперечного сечения пространственной рамы при х= 10 м; Ь—эпюра
продольных нормальных напряжений для среднего поперечного
сечения пространственной рамы. Штриховой линией на рис. 103, а и б
показаны кривые эпюры от местной нагрузки.
Из рассмотрения эпюр следует, что значения поперечных
моментов в плоской раме (рис. 103, а) значительно превышают значения
их в пространственной раме (рис. 103, б). Значения поперечных
Рис. 103
248

1 ф
^
■^
a
гГ
^
cT
*
о
1
1
-«Г
1
(M
со
1
«
р~
ео
-О
1
Q
о
1
~
о
1
•-*
«у
1
91
-О
1
Q
9J
со
9J
1
9J
а
9»
-О
1 1
ео
Q
СО
91
•
(N
О
©о
со
<•>
1
Q
со
«о
1
3
-о
1
ео
со
■О
1
(Я
Q
и
•
•
СО
1
о
91
1
1
■о"
i
Q
г*
•
•
•
rf
Ч§
См
со
1
?>-
1
ео
Q
«у
Q
тЧ
СО
Со
с?
С?
iO
Ц§
94
i
с»
•
9)
3
ео 1
с?
5
CD

моментов с уменьшениме
толщины стенки б уменьшаются,
значения же продольных
нормальных напряжений оХУ
наоборот, возрастают.
8.4. См. [13]. Рассчитать
на прочность прямолинейную
призматическую оболочку с
замкнутым прямоугольным
контуром. Оболочка
нагружена равномерно
распределенной поперечной обратно-
симметричной нагрузкой <7 =
=const, действующей в
плоскостях вертикальных
пластинок, и на неподвижных
концах z = 0 и z = l имеет шарнирные закрепления (рис. 104).
Краевые условия задачи:
при z = 0, I сг = 0, Л!=0, 0 = 0. (а)
Рассматривая заданную систему как дискретно-континуальную,
можно перемещения какой-либо точки любой из четырех пластинок
представить в форме (8.3) и (8.4):
u(z,s)= 2^.(2)9/(5), *(z,s)= ZVk(z)ypk(s)-
Функции 9/(s) выберем в виде:
<Pi=l, 4>t = x(s), <p3 = y(s)9 q>* = x(s)y(s). (6)
Здесь x(s), y(s) — координаты любой точки прямоугольного контура
относительно осей симметрии Ох и Оу. Эпюры функций срх. (s) и их
производных q>'i(s) даны на рис. 105, а и б.
Функции $k(s) определяют следующим образом:
i\ = h(s), $t = x'(s), y9 = y'(s)9 У>4 = х' (s)y(s) + x(s)y'(s). (в)
Здесь h(s)—длина перпендикуляоа, опущенного из центра О на
соответствующую пластинку; х'(s), //($)— произзодные по s от
прямоугольных координат. Эпюры функций tyk(s) приведены на рис. 105, в.
Искомые обобщенные продольные перемещения U{{z) при
заданных функциях (p,-(s), определяемых формулами (б), представляют
собой: Ul(z) — поступательное перемещение сечения z = const в
продольном направлении; £/2(z), U3(z) — углы поворота сечения z = const
относительно осей соответственно Оу, Ох\ U^(z) — обобщенную деп-
ланацию сечения г —const.
Искомые обобщенные поперечные перемещения Vk(z) при
заданных ^ функциях \pk(s)y определяемых формулами (в), представляют
собой: V1(z) — угол поворота сечения г--= const как жесткого целого
относительно оси стержня Oz\ V2(z), Ка (г) — поступательные перё-
250

а)
1
г
©
ъ
©
©
А
РР1
ш
©
J
т
d,
©
1
Ф
2
ж
|d|fj{
N
г
£♦
1 @
л
Ь)
±1
1
&~
0
%\
h.
"ST
ft
©
щь\
©
»р
2
Л
%\
©'
Ф
"Г
Рис. 105
мещения сечения 2 = const (прогибы) по направлению осей
соответственно Ox, Оу; V4(z)—обобщенную контурную деформацию
прямоугольного профиля стержня. Этой обобщенной деформации для
оболочки, пластинки которой на ребрах жестко соединены между
собой, соответствуют поперечные изгибающие моменты, эпюры
которых для поперечной полоски оболочки единичной ширины показаны
на рис. 106. Момент в узле прямоугольной рамы определяют по
формуле
М,- 12Мг)
d1/(EJl) + d2/(EJ2) '
где J, = 6j/12, У2 = 61/12 — погонные моменты инерции рамы.
Раскрывая для данной оболочки общие уравнения (8.9) и
вычисляя коэффициенты этих уравнений по формулам (8.10) с помощью
\
\
n^-J\
21
m.
V!
К®!
M^^
м-2-о. *iri/-fH*si(-fr+T*)
Рис. 106
251

эпюр, приведенных на рис. 105, получаем следующие уравнения:
EAU: + Pl = G,
EJyU;-2GA2(U* + V't) + p2 = 0, \
2GA2(U2 + Vl) + q2 = 0, J
EJxU;-2GA1(Us + V2) + ps = 09 \
2GA1(U'3 + V'3) + q3 = 01 l
aUl-b1U4-b2V;-b1V^ + p, = 0y \
ь%и:+ь№+ь2у;+Ч1=о, (?)
где A=2Ai + 2A2-\-AA— площадь всего поперечного сечения; Аг =
=6^—площадь сечения вертикальной пластинки; A2 = 82d2—
площадь сечения горизонтальной пластинки; АЛ—площадь сечения
стрингера;
Jx = d\{Ajb + A2l2 + AA)y Jy = <%(Ajb + Aj2 + bA)
— моменты инерции сечения относительно осей Ох и Оу\
а = 1/24^42(Л1 + Л2 + 6АЛ),
Ьх = V8G(dZAi+.fiAJ, Ь2 = V2G(сЦА, + d?xA2), (д)
с = а 1 \\\ различные обобщенные жесткости; р, = \ /хр,- ds,
a\l2 -J- a2J i J J s J
qh = \q^h ds — свободные члены уравнений (8.10).
Первым уравнением (г) определяются продольные деформации
оболочки при осевом растяжении (сжатии). Второе и третье
уравнения характеризуют деформированное состояние оболочки при
изгибе ее как тонкостенной балки (с сохранением формы профиля)
в горизонтальной плоскости. При действии на оболочку только
поперечных нагрузок q2(z, s) они приводятся к одному
дифференциальному уравнению
EJyVF-qi+^ql**0, (е)
где V2(z) — прогиб в горизонтальной плоскости; q2=1Q2(z) —
погонная поперечная горизонтальная нагрузка. Четвертое и пятое
уравнения определяют деформированное состояние оболочки при изгибе
ее в вертикальной плоскости. При действии на оболочку только
поперечной нагрузки (при р3 = 0) они также приводятся к одному
дифференциальному уравнению:
EJxVF-qa + §feql = 0, (ж)
где V3 = Vs(z) — вертикальный прогиб; q3 = q3(z)—погонная
поперечная вертикальная нагрузка.
Если в уравнениях (е) и (ж) отбросить последние члены,
учитывающие влияние деформаций сдвига, то эти уравнения совпадут
с уравнениями элементарной теории изгиба сплошного бруса (3.83).
252

Для нагрузки, рассматриваемой в задаче, все /?у = 0 и, кроме того,
<72==?з==0» а поэтому остаются только три последних уравнения (г).
Эти уравнения независимо от остальных уравнений (г) образуют
систему трех совместных дифференциальных уравнений,
определяющих такое деформированное состояние, которое для продольных
перемещений характеризуется депланацией сечения [/4 (z), а для
поперечных перемещений—углом кручения V1(z) и деформацией
контура У4 (г).
Введем новые обозначения, полагая
lMz) = e(2), U<(z) = U(z) и У4(г) = к(г);
в этом случае три последних уравнения (г) примут вид:
aU,, — b1U—btQ, — b1W = Ot
biU'-bfi' + bji' + qi^O* b1U' + b2Q" + q1K"-cK + q = 0. (з)
Если известны функции U (г), 8(2), x(z), то нормальные и
касательные напряжения оболочки в любой ее точке определяют по
формулам (8.5) и (8.6):
cr(z, s) = ££/'(z)(p4(s),
т (z, s) = G [f/ (2) Ф; (s) + 0' (г) % (s) + к (г) ф4 (s)]. (и)
Система дифференциальных уравнений (з) на основании соотношений
может быть приведена к эквивалентной ей системе:
Если в уравнениях (к) жесткости сдвига Gd\A%^ Gd\A1 = <х>, что
соответствует гипотезе об отсутствии деформаций сдвига, то 0 = 0
и остается два первых уравнения относительно о и М. Уравнения (к)
при q = const можно проинтегрировать с помощью геометрических
рядов, положив согласно краевым условиям (а)
со
V* • (2п— 1) яг
о= 2* onsmy ^—,
л=1, 2
М- £ M„sin(^^£, 0= £ в.з1пЙ^^Н, (л)
л=1, 2, ... л=1, 2
где а„, М„, 0„—искомые коэффициенты разложений (л).
253

Внеся разложения (л) в уравнения (к), получим для каждого
члена разложения:
8 Г1 /dx , tft\(2B-l)»n» , 8£/ 1 1 \1М _
<*А °" [ 6 U wj <2 + G (^ d^2 + ^ )\ т"
1^2 О
Grfjj^iJi (2/х — 1) '
*2 Л V^Ma 4Л J 1 A1d2n(2n—l)
откуда и находят коэффициенты разложения.
Этими уравнениями и рядами (л) с любой наперед заданной
степенью точности определяются искомые функции а (г), M(z)y 0 (г).
Ряды (л) обладают весьма хорошей сходимостью, и для целей
практики можно ограничиться 2—3 первыми членами разложений.
Точный метод интегрирования уравнений (з) при произвольных
граничных условиях приведен в работе [13, с. 210].
|У Рассчитать призматическую оболочку, заделанную при z = 0
(f/=0=x=0), и свободную при z = l (B = —aU' = 0, Н = b2U + bfi' +
+ b2x' = 0, Q = blU +620' + fe1x' = 0), на нагрузку, рассмотренную
в задаче (8.4): В — продольная сила, Н и Q — поперечные
обобщенные силы.
8.5. См. [13]. Рассчитать на прочность прямолинейную
призматическую оболочку с замкнутым неизменяемым прямоугольным
контуром—замкнутый тонкостенный стержень (см. рис. 104). На обоих
концах г = 0и2=/ стержень шарнирно закреплен и в точке z = c
нагружен внешним сосредоточенным крутящим моментом Hc = qd^
Краевые условия задачи:
при г = 0, / 0,„ = А0, = 0, (а)
где В = \А ом dA= — Efi" (z) Усо.
Краевые условия для продольных напряжений в отличие от
задачи (8.4) поставлены в интегральной форме через бимомент (В).
Расчет стержня с неизменяемым контуром на стесненное кручение
(с учетом продольных нормальных напряжений о — о^) представляет
собой частный случай более общего метода, приведенного в
задаче (8.4).
Считая контур оболочки-стержня недеформируемым, нужно,
очевидно, принять J1 = J-2 = oo.
В соответствии с этим величина с [задача 8.4, формулы (д)]
будет равна бесконечности. Из шести обобщенных искомых величин
(трех геометрических—£/, 6, х и трех статических—5, Я, Q) в
данной задаче отличными от нуля будут только четыре величины —
и, е, в, н.
Уравнения (з) задачи (8.4) принимают вид:
aV' — bJJ— b2Q'=Q, btU,—blQ" + ql^Q. (б)
254

Выразив неизвестные через функцию / — /(г) по формулам
</-/'. в ±(bJ-aT), (в)
тождественно удовлетворим первому уравнению (б), а второе
примет вид
flV-£f+&-««0, (г)
где k2 = х^ 2 /2—безразмерная упругая характеристика; m =»
= —9i—внешний погонный крутящий момент.
Внутренние обобщенные силы, бимомент и крутящий момент
выражают через функцию f по формулам:
B = -aU' = — af\
Н = ЬМ + bfi' = - (1/Ь2) [(bl-Ы) Г -abj'"]. (Д)
Общий интеграл однородного уравнения (г) при т = 0 (в случае,
когда внешний крутящий момент как сплошная нагрузка на
рассматриваемом участке длины стержня равен нулю) имеет вид
f = Ct + C2z + С3 sh (kz/l) + C4 ch (кг/1), (e)
где Сi — произвольные постоянные.
Внеся значение (е) в формулы (в) и (д), получим:
U = С2 + С8 (kit) ch (kz/l) + С4 sh (fo/Z),
6 = - (bjb%) (Сг + C2z)- (6 А) [С, sh (fe/Z) + C4 ch (fe/Z)],
# = /Г^С2, B== —^(C.shT + C4chTJ. (ж)
Строя решение в форме начальных параметров, считаем, что
в сечении г = 0 величины U, 0, Я, В принимают значения £/0, Э0,
Я0, В0, тогда согласно формулам (ж) при г = 0 получим:
_^.Г—^С-Э —^-r-R (а)
7Г и! 6 1 4_ °* /2 4_ °' * '
Решая уравнения (з) относительно произвольных постоянных С, и
подставляя их значения в уравнения (ж), получаем:
а т т ba I a kz , п , и Р [ kz Ьч , кг
Q = -U<>T1TshT + ^ + Ho^{T—b[shJ
_В п^-£(l-chfa
ak , kz ,, b« 1 ■ *г , о , *г
Я-Я0( 5 = -(/0^shf-//0glsh^ + Bochf (и)
205

Приведенное решение (и) позволяет произвести расчет замкнутого
стержня при действии на него сосредоточенных основных
кинематических t/, 0 и статических Я, В величин, приложенных в каком-
либо заданном по длине сечения z = с.
Пусть 9Г> Uc, Вс, Нс—заданные сосредоточенные факторы,
приложенные в сечении z = с.
Используя формулы (и) как функции влияния, найдем:
e-e.-".gsh£-s.$(i-chS) +
_Я l =hfe('~c) H biP \l chfe('~c)1
B = — UoTsh- + B0chT— Hol-kshT— UcTsh \( > +
H = H0 + HC. (к)
Для сечений, расположенных при z^c, надо пользоваться
формулами (к), для сечений при г < с—формулами (и).
Согласно граничным условиям (а), заданным в опорном сечении
2 = 0 0О = О, В„ = 0. Граничные условия на другом конце при г = 1
будут е,=о, 5, = 0.
Приняв в формулах (к) при г = 1 0О = ВО = О, 8С = Vс — Вс = 0,
а Не заданным, получим:
_<7*sh*-tf.*ehft-//.*ah*i!j=3. (л)
Отсюда искомые величины U0 и //0 выражают в функции от
абсциссы с, определяющей точку приложения внешнего сосредоточенного
крутящего момента Нс.
Определив из уравнений (л) UQ и //0, внесем эти величины
в формулы (и) и (к), в результате чего получим для всех искомых
основных величин 0, U, В, Н определенные значения,
удовлетворяющие всем поставленным условиям. Зная основные величины, по
формулам (и) задачи 8.4 определяют нормальные и касательные
напряжения в любой точке—средней поверхности стержня.
256

Глава 9
РАСЧЕТ МАССИВНЫХ ТЕЛ И НЕПРЕРЫВНЫХ СРЕД
I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
К массивным телам относятся плотины, подпорные стенки,
фундаменты, а также некоторые элементы строительных и
машиностроительных конструкций, т. е, тела, которые находятся в
пространственно-напряженном состоянии.
Расчет массивных тел методами математической теории упругости
связан со значительными математическими трудностями ввиду
разнообразия форм, краевых условий и условий нагружения. Поэтому
для решения пространственных задач применяют прямые и
вариационные методы прикладной теории упругости.
На первом месте по строгости решения следует поставить метод
начальных функций [12].
Для решения прикладных задач большое значение имеет
дискретный метод [10]. Для плоских задач из дискретного метода при
применении прямоугольных координат вытекает как частный случай
метод прямых, предложенный Л. В. Канторовичем [42] и развитый
в работах М. Г. Слободянского, В. Н. Фадеевой и др.
Важным прикладным методом решения пространственных задач
теории упругости является метод, предложенный М. М. Филоненко-
Бородичем [106], позволяющий с помощью теоремы Кастильяно
и функций в виде косинусов-биномов
P2OT = cos^_CoS(2m+2)^>
p2m+i = Cos (2т+1)я*-соз (2т+3)я* (9.1)
при m = 0, 1, 2, ... и P(0) = P(/) = P'(0) = P'(/)=;0 получить
напряженное состояние для правильных прямоугольных
параллелепипедов и цилиндров при граничных условиях, заданных в
напряжениях.
Метод конечных разностей ]8] применительно к массивам обычно
сочетают с другими методами.
В ряде пространственных задач можно применить метод
однородных краевых решений [57], [70].
При опирании массивного тела на упругое основание можно
сочетать дискретный метод с методом опирания тела на упругое
основание в отдельных точках [40] или воспользоваться
интегральным методом Л. П. Винокурова [10].
II. МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотренный в работе [12] и в гл. 5 и 7 метод начальных
функций удобен для расчета массивов призматической и
цилиндрической форм. Достоинство этого метода состоит также в том, что
9 № 1G51
257

с его помощью можно рассмотреть расчет толстых многослойных
массивов, каждый слой которых имеет свои упругие характеристики.
При применении метода начальных функций возникают трудности
в удовлетворении сложных граничных условий на поверхностях,
где ось 2 не является нормалью.
III. ДИСКРЕТНЫЙ МЕТОД
При решении пространственной задачи в прямоугольных коор-
динатах исследуемое тело призматической формы (рис. 107)
разделяют системой взаимно перпендикулярных плоскостей, параллельных
координатным плоскостям хОг и yOzy на параллелепипеды размером
axbxh [10].
В пределах каждой группы из четырех отдельно взятых смежных
параллелепипедов с центральным ребром т составляющие переме-
|2№) .
Рис. 107
щений и, v и w—(F) точек этих параллелепипедов выражают
степенными функциями от х, у, коэффициенты которых А( являются
некоторыми непрерывными функциями от z, т.е. А^А^г):
F{xy у, z) = A0 + A1x + A2y + A3xy + A^ + Aby2 +
+ Авх*у* + А1ху* + Авх2у. (9.2)
Полином (9.2) составлен для трехмерной задачи. Для двухмерной
задачи в нем следует сохранить только коэффициенты А0У At и Л4,
т. е. представить его в форме
F(xyy) = A0 + A1x + A,x\ (9.3)
где А{ = А((у).
Выражения для конечно-разностных производных [77]
уравнения (5.37) для последнего случая остаются только по переменной х.
Для двухмерной задачи дискретный метод по своей сущности
совпадает с методом прямых [42].
258

В случае одномерной задачи дискретный метод совпадает с
методом конечных разностей и решение задачи сводится к
алгебраическим уравнениям.
Коэффициенты А{ определяют из условий совпадения значений F,
независимо от значений z, в девяти точках (х, у) рассматриваемого
центрального ребра, проходящего через точку ту со значениями
интерполируемых функций, т. е. в точках m, т1у т2У ..., т9
(рис. 107). При переходе от точки т к другой точке начало
координат переносят в это точку (например, т±). Таким образом,
осуществляется «скольжение» полинома (9.2) по всему участку, для
которого заданы дискретные значения интерполируемой функции.
Рассмотрим на любом уровне z план четырех смежных
параллелепипедов (рис. 107). Введем обозначения составляющих перемещений
точек вертикальных ребер параллелепипедов: для ребра т итУ vmy wm\
для ребра тп иШп, vmny wmn, где п— 1, 2, ..., 8.
Согласно уравнениям (9.2) примем для составляющих полного
перемещения иу v и w следующие выражения:
и = с0 + сгх + с2у + с3ху + сАх2 + съу2 + с6х2у2 + с7ху2 + с8х2уу
v = d0 + dtx + d2y + d3xy + d,x2 + dby2 + d,x2y2 + d7xy2 + d8x2yy (9.4)
w = e0 + exx + e2y + esxy + eAx2 + еъу2 + евх2у2 + e,xy2 + e8x2y.
Для определения значений коэффициентов ci первого
разложения (9.4):
1) при х = 0у у = 0 и = итУ откуда с0 = итУ
2) при х = — ау у = 0 и = итх или umi = um—сга-\-с^а2\
3) при х = ау у==0 и = итг или итг = ит + с1а + с^а2\
4) при х = 0, у = — Ь и = итз или umi = um — c2b + cbb2\
5) при л: = 0, y = b u=^Um4 или ит4 = ит + с2Ь + сьЬ*\
6) при х = — ау у = — Ь и^=ить или ить = ит—сга—c2b + c3ab+
+ с4а2 + сьЬ2 + с6а2Ь2—с,аЬ2—с8а2Ь\
7) при х = ау у = — Ь и = и,Пв или um<i = um + c1a—c2b—c3ab +
+ с,а2 + съЬ2 + сва2Ь2 + c.ab2—^2^
8) при х=^—ау у = Ь и = ит7 или um7 = um—c1a + c2b—czab +
+ c,a2 + cbb2 + cea2b2—c,ab2 + csa2b'y
9) при х = ау y = b u = UmA или ит% = um + c1a + c2b+csab+c^a2+
+ съЬ2 + cQa2b2 + c,ab2 + cQa2b.
9* 259

Решая полученные уравнения, находят ct\
С\ = («т.—мОТ1)/(2а), сА = (ит1 + ит,)/(2а),
с2 = ("m4-"m,)/(2b), с5 (ат, + ит,—2иJ/(2b2),
c8 = (l/4ab)(wme—wme—ttWe),
ce = x^2 (2am—2umi — 2ums — 2umi — 2um4 + ит% + итл + um, + "mj.
4a2b2
C7 =X£T (_2"«« + 2um2 + Umb — Um9 + Um, — UmJ9
4a2b
(—2ums + Um, + Umb — Um, — UmJ
Аналогично определяют коэффициенты dt и et.
Имея выражения коэффициентов ch dh eh легко с помощью
полиномов (9.4) найти конечно-разностные производные по
переменным ху у для ребра /я, где * = 0, у = 0 [77], уравнения (5.37),
и в аналитической форме по переменной г, функциями которой
являются перемещения
Uaf Umi, ..., «mRl Vm, Vmi, . .., Vm%\ Wm, Wmt9 ..., Wm,.
Заменив ut vy w в соотношениях упругости [см. 77,
уравнения (3.2 а)] полиномами (9.4) и подставив вместо коэффициентов
ch dh et найденные для них значения, получим для ребра т
следующие уравнения:
T*y —2(l+v)\ 26 + 2a /'
** 2(1-
E
T„* =
*/* 2(l+v)
-v)\ de ""*" 2a /'
V dz "*" 26 /»
(9.5)
где ocv = 1 + pv, pv = v/( 1 — 2v).
260

Подставив полиномы (9.2) вместо и, v и w в уравнения Ламе
[77], уравнения (3.3, а') при замене коэффициентов ct, d( и et их
значениями при х = у = 0, после необходимых преобразований
получим:
где
T'dz2"^ v а2 ^ 262
I ft т» тв т7Т т„ . ^v Q , ч __ q.
+ Pv 4ab -Г 2а dz ^т« Wmi) ~~ '
1 №т , „ Рт.-^т + У , %-2^ + %8 ,
Yli2"^0^ 5* h 2а2 ~*~
+ ^ 455 + -2b^2^m-wms) = 0-
^"d?""1" 2а2 "*" 262 +
Pv=l/2 + Pv=l/[2(l-2v)].
Уравнения (9.6) составляют для всех узловых точек. Число
уравнений соответствует числу независимых искомых перемещений
и, v и w ребер /п, т1У т2 и т. д. Достаточная точность решения
этих уравнений даже при редком расположении ребер объясняется
следующим:
а) в дискретном методе используются производные в конечных
разностях только второго порядка, которые вычисляются более
точно, чем производные более высокого порядка;
б) число точек, требуемых для определения коэффициентов
в интерполирующих полиномах (9.4), достаточно большое, чем
достигается хорошее их приближение к интерполируемым функциям
на участке вблизи ребра га.
Полученные общие дифференциальные уравнения метода
перемещений в дискретной форме Л. П. Винокуров [10] назвал
дискретными дифференциальными уравнениями метода перемещений.
При косоугольной системе координат для вывода расчетных
уравнений в дискретной форме используют общие уравнения теории
упругости с частными производными в косоугольных координатах.
Произвольные постоянные интегрирования уравнений (9.6)
определяют из условий для перемещений итпУ vmn и wmn в концевых
точках ребер параллелепипедов z = ±h/2 (см. рис. 107). Если условия
261

в точках z=±h/2 заданы в напряжениях, то эти напряжения надо
выразить через перемещения по формулам (9.5).
При удовлетворении краевых условий на гранях х=±1х/2 и
y=zkly/2 могут быть два случая:
1) заданы перемещения.
Так как в систему уравнений (9.6) входят значения перемещений
на ребрах наружных граней, то условия на этих гранях учитывают
уже при составлении этих уравнений;
2) заданы напряжения.
Так как на наружных гранях перемещения неизвестны, то для
ребер наружных граней *=±/*/2, у=^±1у/2 надо составлять
дифференциальные уравнения, подобно тому как их составляют для
ребер внутри тела. В эти уравнения должны входить перемещения
ребер фиктивных элементарных параллелепипедов вне заданного
тела, показанных в плане на рис. 108 штриховой линией.
Перемещения фиктивных ребер входят в дифференциальные уравнения не
под знаком производных и поэтому легко определяются из условий
для напряжений на гранях x=±lj2y у=±1у/2.
Рис. 108
Для углового ребра необходимо дважды составлять
дифференциальные уравнения: один раз, полагая, что угловое ребро
принадлежит одной грани, второй—другой грани, приравнивая левые
части этих уравнений. Чтобы в уравнения не вовлекались
перемещения углового фиктивного ребра, следует при вычислении
производных в конечных разностях пользоваться формулами: для точек
на данной грани
f'n = ifn+i-fn-dl№* /n = (^+i-2/„ + L_1)/d2; (9.7)
для точек фиктивных граней (рис. 109)
F _ 4/п — З/я-1— fn + i fп _ fn + i — 2fn+fn-i /о q\
In— 2d » In 52 • (y°)
Формулы (9.8) получены с учетом того, что начало координат
перенесено из точки п в угловое ребро (п—1), причем точки п
и /i+l находятся по одну сторону от точки п—1 внутри тела.
В работе [10] приведены приближенные методы решения
уравнений (9.6). Цилиндрическое тело делят на ряд элементарных призм
продольными сечениями, проходящими через ось z и составляющими
«£
1/7-2
1 d
т——7
^
n-f
1 )
d
-♦■
«■5
и
d
r<Li
Csj
rn-1
d
« H
f(*,y)
n+2
х,У
Рис. 109
262

между собой углы Р£-, и концентрическими цилиндрическими
поверхностями с радиусами гп > ... > л, > г2 > /*! (рис. ПО) так,
чтобы г,-—ri_i = b.
Используя полиномы (9.2) с заменой в них переменных х, у
на г, р, определяют коэффициенты ci9 dt и et аналогично случаю
прямоугольных координат. Далее, используя уравнения равновесия
Рис. 110
в перемещениях, уравнения упругости в цилиндрических
координатах [77, уравнения (3.3 б') и (3.2 6)], можно написать
дифференциальные уравнения дискретного метода и уравнения напряжений
для ребра т в конечно-разностной форме по переменным г и р
и в аналитической по переменной z. Эти уравнения приводим для
осесимметричной задачи (полные уравнения даны в работе [10]).
Уравнения равновесия:
+ roaPvgj(a>m4—шт,) = 0,
Уравнения упругости:
Е
(9.9)
0r^""2(l+v)
Orr-2(l+v)
T/,*~"2(l +
v)\,2 r0 "I" de /»
(9.10)
где
a = r0/ft, Pv=;v/(1— 2v), Pv=^l/2 + pv, av=l+pv
263

В уравнениях (9.9) и (9.10) по условиям осевой симметрии
содержатся перемещения на вертикальных линиях, расположенных
только в одной диаметральной плоскости (wmi = wmi*=wm и т.д.)
При удовлетворении условий на контуре нужно
руководствоваться теми соображениями, которые были изложены при
рассмотрении задачи в прямоугольных координатах. При этом
предполагаются известными условиями на центральном продольном ребре О.
В сплошных телах для ребра О надо составлять специальные
уравнения, см. [10, с. 46].
ЗАДАЧИ
9.1. См. [10]. Определить перемещения и напряжения в
прямоугольной призме, вертикальные грани которой абсолютно защемлены.
На верхней грани z = h приложена равномерно распределенная
нагрузка о2 = — q (рис. 111).
Коэффициент Пуассона v = 0,25.
Согласно формулам (9.5) и (9.6)
Pv = 0,25/(1— 0,5) = 0,5;
av=l+pv= 1,5; 3v = 0,5 + pv= 1.
При разбивке на параллелепипеды,
показанной на рис. 111,
ai=:bl = h/2.
Из условий симметрии вытекает,
что перемещения ut ребер У, 2 и 3
равны нулю; перемещения wt = w3,
vt = — v3. На вертикальных гранях
призмы перемещения равны нулю.
Учитывая все сказанное, составляем уравнения (9.6) для
перемещений v и w ребер / и 2, после несложных преобразований полу-
Рис ill
чаем:
16
•v.-
1 dwo
1 d2vt
h2 "^ h dz
d2Wi Q w±
2 dz2
= 0,
1.6
dz2 h2 ^ h2 ""u'
-8-
h dz "i"1'° dz2
h2 ^* h2 u'
(a)
Решение уравнений достигается с помощью подстановки Эйлера:
■ Aes
Wi
Bes
w^
■■ Cesz.
^ Ввиду того что характеристическое уравнение для s имеет только
действительные корни, которые находят по методу Н. И.
Лобачевского, интегралы уравнений (а) будут выражены через
гиперболические функции с шестью постоянными интегрирования.
264

Для определения произвольных постоянных надо составить
шесть краевых условий в концевых точках ребер 1, и 2:
Ребро /{ z = _h <) = 0> ^в0.
"**•'{,—» of- = 0. <6)
Составив выражения для напряжений по формулам (9.5) и решив
уравнения (б), определим произвольные постоянные.
\z(w)
7TI *
V
Ы'1-
Г 2
\«у
1/
/
/
/
Л / 3 4
■А* /
пг
1.1
1
Р
z .
ис. 112
I 4
■2А
3Л
ft
3
0
fttf
3
2,,
-у'
тт
I—4-
I*
ч
*'• 5'
7'
</(v;
s—T
2|ДН
E^I^
Г 1ч-
Рис. ИЗ
Окончательные результаты решения представлены в виде эпюр
напряжений на рис. 112, построенных по численным значениям
напряжений, приведенных в табл. 9.1.
Таблица 9.1
Точки
h
2/1/3
/г/3
0
—/г/3
—2/1/3
—/г
Напряжения
о?
—9
—0,577?
—0,273?
—0,140?
—0,068?
—0,029?
0
x(i)
0
—0,058?
—0,068?
—0,040?
—0,021?
—0,013?
0-
tf
—0,425?
—0,154?
—0,071?
—0,035?
—0,016?
—0,033?
—0,018?
о(2)
—0,273?
—0,180?
—0,096?
—0,050?
—0,025?
—0,008?
—0,008?
of
—Я
—0,382?
—0,313?
—0,165?
—0,081?
-0,031?
0
Наибольшее значение имеют напряжения о2.
Решение этой задачи вариационным методом встретило бы
значительные затруднения в связи с необходимостью наперед устано-
265

вить функцию, отвечающую условиям задачи. Дискретный метод
не связан с этими затруднениями.
9.2. См. [10]. Определить перемещения и напряжения в
прямоугольной призме, две вертикальные грани которой абсолютно
защемлены, а остальные свободны. На верхней грани z = h приложена
равномерно распределенная нагрузка ог = — q (рис. 113).
Коэффициент Пуассона v = 0,25.
Разбивка заданной призмы на элементарные параллелепипеды
показана на плане рис. ИЗ, где также штриховой линией показаны
грани фиктивных элементарных параллелепипедов.
Учитывая условия симметрии в отсутствие перемещений граней
3—6 и 5—8, получаем с помощью уравнений (9.6) следующие
дифференциальные уравнения для перемещений wu о>4 = до7 и и4с = и1\
ребро / _T^+1,5-^5—p-+ 4-iF— = 0,
ребро 4
f6-_13£ + 0,5^+|^K-^)==0,
(a)
1 du^ , , r d2w* r Wa , 2 . \ n w
h dz r ' dz2 h2 ^ h*
Перемещения u^ (ulf) и до4, (w7,) точек фиктивного ребра 4' (7')
определяют из условий для напряжений &£' и т^ на ребре 4(7):
1) а£4) = 0 или согласно первой формуле (9.5)
1,5 . А г- da>4 а Л dw4 /гГЧ
£-^ + 0,5-^ = 0, 0ТКУДаи*' = у "df; (б)
2) т$£ = 0 или согласно предпоследней формуле (9.5)
dW4 , Шх 0/4' л * d«4 . /v
17 + 7Г /Г = 0> откУда »4- = Л 1Г + ^- <в)
После подстановки значений (б) и (в) в уравнения (а) и исключения
из уравнений перемещения до4 система расчетных уравнений
примет вид:
1 d2«4 3 , d3Wj . 5 dwj \3_ __п
2 dz2 4 П dz3 "•" 2/i dz № U*~~~U'
0,5836^-0,4376^^ + 3,3338-^-^^,-1^ =0, (r)
Общие интегралы уравнений (г), полученные с помощью
подстановок tii = Aesz, w1=^Besz и решения характеристического уравнения
для s, имеют вид:
и, = — 0,125С± sh 2,07z—0,125С2 ch 2,07г—0,00011С3 sh 1,826F—
—0,00011C4chl,826i+5,787C5sin5,l7+5,787C6cos5,li";
wx = C1 ch 2,07~~z + C2 sh 2,07z + C3 ch 1,826z + C4 sh 1,826z +
+ C6 cos 5, \z + Ce sin 5,1 г, (д)
где z=z/h.
266

Для определения шести постоянных интегрирования имеются
условия для концевых точек ребер 1 и 4 при учете того, что они
расположены в плоскости симметрии 4—1—7:
\ z = h о«> = —в
ребР° 'Ь —fcoj»-0;
Из этих шести условий два xjg = 0 на ребре 4 при z = ±h были
уже выполнены при составлении уравнения (в) и, таким образом,
остаются неудовлетворенными только четыре условия.
Подобное несоответствие между числом произвольных
постоянных (6) и числом краевых условий (4) появляется при условии,
когда ребра параллелепипедов расположены на свободных гранях
тела. Число условий можно увеличить за счет уравнений
равновесия внешних и внутренних сил одной из отсеченных частей тела
или отбросить лишние решения.
Принимая последний путь, полагаем С5 = Св = 0;'в этом случае
уравнения (д) принимают вид:
и4 =; _ 0,125Ci sh 2,077—0,125С2 ch 2,077—0,00011С. sh 1,8267—
—0,00011 C4ch 1,8262,
Wl = d ch 2,077+ C2 sh 2,077 + C3 ch 1,8267+ C4 sh 1,8267.
Из условий для краевых точек ребер 1 и 4 получаем следующие
уравнения для определения постоянных интегрирования:
12,595С1 + 13С2 + 8,276С3 + 8,717С4 = — l,2Sqh/E9
—^бЭбС^+ГЗС,—8,276С8 + 8,717С4 = 0,
3,920С< + 4,0467С2 + 0,00205С8 + 0,00216С4 = 0,938?Л/£,
—3,920СХ + 4,0467С2—0,00205С8 + 0,00216С4 = 0.
Решая эти уравнения, находим:
C^OtlWqh/E, d = 0,mqh/E, Ct = -09258qh/E, C4 = -0,245?/i/£.
Применяя формулы (9.5) к ребрам 1 и 4, получаем следующие
уравнения для нормальных напряжений:
ребро 1
о£> = 0,8^7 (0,167 sh 2,077 + 0,164 ch 2,077—
—0,236 sh 1,8267—0,234 ch 1,82б7),
of « 0,4^7 (0,276 sh 2,077+0,269 ch 2,077—
—0,472 sh 1,8267—0448 ch 1,8267),
о™ = 0,8? (0,384 sh 2,077+0,375 ch 2,077—
—0,707 sh 1,8267—0,671 ch 1,8267);
2S7

ребро 4 _
о? = 0, а<« = 0,267(7 (0,120 sh 2,07z—0,116 ch 2,07z +
+ 0,00084 sh 1,8267+0,000246ch l,826z), a<*>= 4a<f>.
Таблица 9.2
Точки
h
2ft/3
h/3
0
—h/3
—2/1/3
—Л
Напряжение
a(l) .
—0,119(7
—0,117(7
—0,0816(7
—0,0566(7
—0,396^7
—0,0273?
—0,008?
Ф
—0,276?
—0,151(7
—0,116(7
—0,0714(7
—0,040?
—0,0172?
—0,0069(7
o?>
— Я
—0,696?
—0,398(7
—0,237(7
—0,132(7
—0,0364(7
0
a(4)
—0,248(7
—0,123(7
—0,0625(7
—0,0308(7
—0,0148(7
—0,0063(7
0
of
—я .
—0,492(7
—0,249(7
—0,123?
—0,0594(7
—0,025(7
0
по числовым значениям
Окончательные результаты решения представлены в виде эпюр
напряжений на рис. 114, построенных
напряжений, приведенных в табл. 9.2.
Сравнивая заделанную призму с
обычной заделанной балкой, надо
отметить следующие особенности
напряженного состояния призмы:
1) превалирующее значение
напряжений о2 и (тх, которыми в обычной балке
пренебрегают;
иг
иг
4
1
2,
1* '
§6»/\
1 / 4?н
!г \
ч- 1
' * Y
1 у
ik/
г
\
р
I
( 7
[ h/z 1 h/z i
Г
Г
Г
X
ГУ
*':
Рис. 114
Рис. 115
2) однозначность в поперечном сечении 4—7 напряжений, что
указывает на наличие в этом сечении кроме изгибающего момента
еще и осевой силы сжатия, проявление которой объясняется
характером пространственной работы и наличием заделок.
268

9.3. См. [59, с. 65]. Применив общий вариационный метод
В. 3. Власова (см. гл. 8), рассчитать фундамент в форме усеченной
пирамиды (рис. 115). По верхнему сечению фундамента приложена
равномерно распределенная нагрузка интенсивностью р0. Реакция
основания по подошве фундамента распределяется как под жестким
штампом по закону:
р(уу z) = p1 + p2 = pl+~p2y2z\
При расчете фундамента примем гипотезу о неизменяемости
поперечного сечения:
*у = еж = еуя = 0. (9.11)
На основании этой гипотезы коэффициент Пуассона v и постоянная
Ламе ^ = (1 . V)/i_2v) обращаются в нуль, a E = 2G.
При наличии осевой симметрии имеются лишь продольные
перемещения их(х, уу z), которые можно описать с точностью до двух
обобщенных функций Ux(x) и U2(x) и представить формулой
2
приведя трехмерную задачу к одномерной. Функции распределения
Ф; (у, г) в соответствии с кинематическими условиями задачи можно
принять в следующем виде: ф,=
= 1, cp2 = r/2z2 (рис. 115).
Обобщенные условия
равновесия элементарной полоски
толщиной dx можно представить в
форме двух уравнений возможных
перемещений. Для составления
этих уравнений при рассмотрении
тела переменного сечения надо
исходить из дифференциального
уравнения равновесия
элементарного параллелепипеда dxdydz (рис. 116).
(xx + ^dx)dydz-Xxdydz+(xu+^Ldy)dxdz-
дХ
Yx+^-dx
Zx+g£«fc
**g*n
Рис. 116
-X„dxdz + [X
+(;
dz
dz
J dxdy—X2dxdy + pxdxdydz = 0,
(a)
где px—массовая сила.
Умножив уравнение (а) почленно на функцию <р({у, z), разделив
на dxdydz, проинтегрировав по всей площади поперечного сечения
и отбросив члены высшего порядка малости, получим:
Гах+6ах Гах + 6ах Г Хх .
J-ax-dax J-ax-dax I dx
X4>i(y, z)dydz + ^aJ
dX
dx
e* dXy
ax
dy Vi(y9 z)dydz + ^aJ
ax X^
ax dx
*x dX2
■ax
dz
X
-X
ХФ/(у, z)dydz+^a*ax§a*axPx<Vi(y> z)dydz = 0.
(6)
269

Проинтегрируем по частям третий член уравнения (б) по
переменной уу а четвертый — по переменной г\
Члены в прямых скобках, входящие под знак одинарных
интегралов, представляют собой работу усилий на боковой поверхности
тела и могут быть отнесены к свободным членам уравнения. В
рассматриваемом случае при отсутствии поверхностей нагрузки они
равны нулю.
В дальнейшем выражения двойных интегралов заменяют
выражениями одинарных интегралов по формуле
ГЛЛХф(^ У* г)йудг^1АФ(х9 у, z)dAf
где dA = dydz, а Ф(х> уу г)—произвольная функция.
Окончательно система уравнений, выражающих условия
равновесия элементарной пластики переменного сечения, имеет вид
С **.Ф|<М+Г 4£.ф,сМ_е Xy^dA-
-^X^dA+^p^dA^O при /=1,2. (в)
Согласно закону Гука напряжения выражают формулами:
2
Z»-X,-02l/lw5?. (г)
Подставив выражения (г) в уравнения (в), получим после
преобразований окончательную систему обыкновенных дифференциальных
уравнений равновесия с переменными коэффициентами относительно
искомых функций Ut(x):
Е 2[/yt(x)£/;(*)]f-G 2 Ь^илх)^* (д)
t = 1 i = 1
где
'/i = j>/&. *>*&. *)dA, bjt-$j2.%dA+$A%%dA. (e)
Развернем уравнения (д):
(AUV + (JitU& = 0, (JbUiy + (JuUy—^.buUt^O, (ж)
* Объемные силы рх приняты равными нулю.
270

где коэффициенты уравнений в соответствии с формулами (е) и с
выбранным началом координат (см. рис. 115) равны:
А=S л d а=$°_;;;ад ^ $а_^ ^=4 <а+м2,
= -g-(a+A:x)e,
■^ii = $Л <Й dЛ = ^ ^z* (1Л = 1 (а + kxY\
Подставив выражения (з) в уравнения (ж), проведя
дифференцирование и необходимые сокращения, получим:
(a + kxyUl + 2(a + kx)kUl+±(a + kxyU;+^(a + kx)*kUt = 0,
■L(a + kx)*Ul+l-(a + kx)kU'1+±(a + kxY Ul +
+ ^(а + кх)>Шг—±(a + kx)'Ut=*0. (и)
Решение уравнений (и) берем в форме:
U,~Ai(a + kx)n-m, (к)
где т—показатель степени у коэффициентов при искомой функции
(/,.(0,4).
На основании формулы (к) имеем:
Ui = A1(a + kx)n, Ul^Aiiikia + kx)"-*,
Ul = Аг (п — 1) nk2 (а + kx)n'\
U2 = A2(a + kx)n'\ U2 = A2(n—4)k(a + kx)n-*,
UZ = A2(n—5)(n—4)k*(a + kx)n-*. (л)
Подставив значения (л) в уравнения (и) и сократив все члены на
k2(a + kx)n, получим однородную систему двух алгебраических
уравнений:
Л1А1(п+1) + Л^(п-4)(п+1) = 0,
^|(я + б) + Лй1[(/1-4)(п + Б)-§]=0. (м)
Раскрыв определитель и решив его, найдем при &=;a//to = 0,25
значения четырех корней:
nf»0f ns = —1, /i, = 12,711, м4 = —13,711.
Обозначив коэффициенты At к А2 для каждого из значений
корней /iy(/=l, 2, 3, 4) через Л1у и А2/ при Л1у, равных единице,
и решив либо первое, либо второе уравнение (м) после подстановки
271

в них значений п,, получим значения для Л8/:
Ац = 0, Л55 = -0,0877, Л23 = —13,133, Л54 = —6,967.
Общее решение в соответствии с формулами (л) примет вид:
Ui = Ci + C2(a + kx)-1 + C3(a + kx)li-™ + Ci(a + kx)-13--'11,
f/2=—0,0877Cs(a+b)-5—ШЛЗЗСзСа+Ь)8''11—6,967С4(а+М"17'711.
Произвольные постоянные С,- определяют из граничных условий
(см. рис. 115):
а) при * = 0
JА (0) Ххъ dЛ = Е [U[ (0) Л(0) + £/; (0) 7iS (0)] = Sл (0) р0 dЛ = 4р0а\
^ (0) Ххф2 dA = E[U[ (0) JI5 (0) + U, (0) /и (0)] = \А (0) а,*/2*2 d Л =
б) при x = h
Е [U[ (ft) A (ft) + V, (ft) Jй (ft)] = Jл (ft) (Pi + Pl) dЛ = 4р,Ь* + A p8&»,
£ [U[ (ft) Уй (ft) + Щ (ft) У 55 (ft)] = §Am (Pi + pa) y*z* d A =
■ Рассчитать аналогичный фундамент с прямоугольным сечением:
при * = 0 2atx2a и при x = h 2btx2b.
% Ь h
-4
Л
f
£
О
-о
о
о
о
г
.5
о|3
ор
о|<
о 1 <
о 1
а
И
вг«
гг"
) о
> 1 о
•
щ
о
о
о
М(
к
«о
*/i
г
J.»
/,z;
Pff ^ Pj
Рис. 117
272

Указание: При вычислении
коэффициентов уравнений путем
[соответствующего интегрирования
единичных эпюр ф| и фу ?пределы
интегрирования по одному из
направлений принимают от — at (а +
+ kx) до + at (а + kx), где аг =
= aja.
9.4. См. [40, с. 138]. Найти
распределение реакций упругого
полупространства под бутовым
фундаментом — абсолютно
жестким штампом с размером
основания 2,5x2,5 м, нагруженным
силой 8Q (рис. 117). Модуль
деформации упругого
полупространства £0 = 10 000 кПа,
коэффициент Пуассона v0 = 0,35.
Рис. 118
В условиях пространственной
задачи осадки упругого полупространства определяют по формуле
Буссинеска [77, гл. IX]:
^ = ^(l-v20)/(n£0r), (9.12)
где uz—абсолютное значение осадки в точки М на расстоянии г
от точки приложения силы Р на плоскости z = 0;
r = tyrx2 + y* + z2 (рис. 117).
При расчете разбиваем основание фундамента на 25 квадратов
со сторонами с = 0,5 м, в центре каждого квадрата помещаем
абсолютно жесткий опорный стержень с шарнирами по краям,
соединяющий фундамент с полупространством, и по площади
прямоугольника схс принимаем нагрузку равномерно распределенной:
где Х(—усилие в i-ы стержне.
Осадка в точке k от загрузки элементарной площадки йи dv
нагрузкой qt (рис. 118) равна:
, Х( du dv 1—^vp
йиг— 3 леоР '
(а)
где p = yu2 + v2.
Чтобы найти осадку от нагрузки всего квадрата схс, надо
дважды проинтегрировать выражение (а):
Х + С/2 С/2
<«.>.,= ! J^**-
с2лЕ0
Х-С/2 -С/2
X/(l-v')
пЕ0с
"Лт).
Х+С/2 С/2
Х-С/2 -С/2
du dv
273

где Fki(x/c) — сложная функция, которая зависит от отношения х/с
(табл. 9.3).
Таблица 9.3
Единичные осадки F^. для упругого полупространства
X
с
0,0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
Fki
3,545
2,682
1,984
1,589
1,348
1,176
1,045
0,942
X
с
1,2
1,3
м
1,5
1,6
1,7
1,8
1.9
Fki
0,859
0,789
0,730
0,679
0,635
0,597
0,563
0,532
1
X
с
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
Fki
0,505
0,481
0,458
0,438
0,420
0,403
0,387
0,372
1
X
с
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
Fki
0,359
0,346
0,335
0,324
0,314
0,304
0,295
0,287
X
с
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
1
Fki
0,279
0,271
0,264
0,257
0,251
0,244
0,239
0,233
1
X
с
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
Fki
0,228
0,223
0,218
0,213
0,209
0,204
0,200
Далее
J F--
= с/х
При составлении табл. 9.3 нагрузка принята равной единице.
Истинное значение осадки при Х{ = 1
("■z)ki-bki—^:Fki [-)
(б)
Используя осевую симметрию, проводим расчет для 1/8 части
плиты, заштрихованной на рис. 117. Для определения шести
неизвестных усилий Х{ в стержнях и равномерного перемещения штампа
z0 надо составить шесть канонических уравнений смешанного метода
и одно статическое уравнение 2^ = 0. При окончательном подсчете
надо учесть, что к квадрату 1 приложено восемь равных сил Xt
(так как этот квадрат входит во все восемь частей основания),
к квадрату 5—одна сила Хъ и к остальным квадратам—по две
равные силы.
Система уравнений будет иметь вид, представленный в табл. 9.4.
Таблица 9.4
№
уравнения
1
2
3
4
5
6
7
*i
$и
1,000
х2
$12
622
•
ф
•
•
1,000
*э
6i»
$23
63З
•
•
•
1,000
*4
$14
624
634
644
•
•
1,000
*8
6l5
625
$35
$45
$55
•
1,000
*6
$16
$26
$36
$46
$56
$66
1,000
*0
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1 0
Свободны е
члены
0
0
0
0
0
о
j -1,000
274

Значения коэффициентов 8ki подсчитывают согласно табл. 9.3:
6U = 8-3,545 = 28,360,
8И = 4-1,045-2 = 8,360,
6,3 = 4-0,505-2 = 4,040,
б14 = 4-0,730-2 = 5,840,
8i5 = 4-0,458- 2 = 3,664,
б16 = 4-0,359-2 = 2,872,
822=(3,545+20,730+0,505)2=
= 11,020,
823=(1,045+2-0,458+0,335)2=
= 4,592,
634 = (2-0,730+ 20,324) 2 =
= 4,216,
б35 = ( 1,045+0,244+ 0,279 +
+ 0,458)2=4,052,
6зв = (2-0,223+ 2-0,505)2=
= 2,912,
б44 = (3,545+2-0,505+0,359)2
=9,828,
б45 = (1,045+ 0,458+ 0,335 +
+ 0,279)2 = 4,234,
б24=(2-1,045+2-0,458)2=6,012,
825 = 2(0,505 + 0,324 + 0,359 +
+ 0,730) = 3,836,
62в=(2-0,458+2-0,279)2=2,948,
б38 = (3,545+2 0,359+0,251)2=
= 9,028,
б4в = (0,730+2 0,324+0,239) 2=
= 3,234,
б55 = 3,545+ 0,730+ 2 0,324 +
+ 0,505 + 0,239 + 0,251 +
+ 0,223 = 6,141,
fi6e = (1,045 + 0,335 + 0,244 +
+ 0,200)2 = 3,648,
бвв = (3,545+2 0,251+0,178)2=
= 8,450.
Решив уравнения, получим:
Xf^-0,0181, Х8 = 0,1692, Х5 = 0Л3496,
Х2 = 0,1080, Х4 = 0,0850, Х, = 0,2712, г0 = — 4,660.
Проверка равновесия:
2Z = 0,0181+0,1080 + 0,1692 + 0,0850 + 0,3496 + 0,2712 =
= 1,011«1,000.
При расчете за единицу была принята нагрузка, приходящаяся
на 1/8 часть основания. При среднем давлении q на эту часть
основания приходится
п 5с-5с 25с2
8
Для получения истинных реакций в каждом квадрате необходимо
найденные Х{ умножить на Q. Интенсивности давления в каждом
квадрате равны:
Pl = 85^i|^ = 8-0,0181-25/8<7 = 0,452<7,
р2 = 2-0,1080-25/8<7 = 0,675(7,
р3 = 20,1692- 25/8? = 1,057?,
/>4 = 2-0,0850-25/8? = 0,531?,
Рь = 0,3496 -25/89=1,092?,
/?„ = 2-0,2712-25/8? =1,695?.
На рис. 117 приведены эпюры реакций.
275

Истинное значение осадки
\-vln- l-vg25c2
пЕ0с 8
г« = ЧЁ^г*
я?**
1—0,352 25-0,5
3,14-1000
4,660? = — 0,00203(7.
Приведенный метод стержней применим также к расчету плит
на упругом полупространстве и балок на упругой полуплоскости
d (см. [40]). В указанных случаях
jc помимо перемещений
полупространства (полуплоскости) должна
быть учтена упругая деформация
плит (балок).
9.5. См. [107]. Определить
напряженное состояние
прямоугольного параллелепипеда с
ребрами d, ky h (рис. 119), внутри
которого задано распределение
температуры по закону
, , . лх . пи . пг
t^t^m-j-sm-fsm-^ , (а)
дающему в центре maxt = t1 и на
поверхности t = 0. Материал —
сталь, для которой £ = 2105МПа, а°= 125-10"7 (£а° = 2,5).
Рис. 119
Обозначим отношение ребер параллелепипеда через k = h/k и
6 = ft/d. Тензор напряжений построим с помощью функций
напряжений Максвелла %t (см. [77], задача 1.6), которые представим в
форме рядов:
Хг = ЩтАтпрРт(х)Рп(У)Рр(г),
т п р
Ъ = 2 S 2 ВтпрРт (х) Рп (у) Рр (г),
т п р
Ъ = S 2 2 СтпрРт (х) Рп (у) Р. (г)
(б)
где косинус-биномы Р„(х), Рп(у), Pp{z) выражают по формулам:
P„W = cos^-cos№^, т, п, р-0,.1, 2, ....
/».(j,)»cos5f-cosfiS±^a,
Pp(2) = Cos^-cos^±2)iH;
тпр
тпр
тпр
276
—постоянные коэффициенты.
(в)

Выразим компоненты тензора напряжений согласно формулам
Максвелла:
Хх = д*%3/ду* + д*ъ/дг\ Хв = - д*ъ/дх ду,
Yv = d*Xl/dz* + д*1а1дх\ Yz = - д*%1/ду дг,
1г = д*у>2/дх* + д*%1/ду\ Zx = - д*%г/дг дх,
или, приняв во внимание выражения (б), получим:
х,=2 2 2 (сапрР'тРР+втпрртрпр'п),
т п р
Yу = 2j 2j 2j {АтПрРтРпРр + СтпрРтРпРр),
т п р
zz=2 2 2 (вппрР"трпрр+Атпррар"прр),
т п р
Ху^ — 2j 2j 2j СтпрР'тР'пРру
т п р
Yz = 2j2j ZjAmnpPtpPnPp*
т п р
гх=-ЪЪЪвтпрртрпр'п. (г)
т п р
В формулах (г) для краткости исключены аргументы ху у, z в
обозначениях функций Р.
При принятых функциях (б) с учетом формул (в) вся поверхность
параллелепипеда свободна от нагрузок благодаря граничным
свойствам косинус-биномов
[Рт (0) = Рт (d) = Рт (0) = Р'п (d) = 0 и т. д.
Решим задачу в первом приближении, для чего функция
напряжений X/ возьмем при т = п = р = 0:
%1 = АР0 (х) Р0 (у) Р0 (г), х. = ВР0 (х) Р0 (у) Р0 (г),
Хз = СР0(х)Р0(у)Р0(2).
Для решения применим метод Кастильяно. Учитывая, что
объемные (X, Y, Z) и поверхносгные Xv, Kv, Zv силы равны нулю, будем
исходить из равенства (1.4):
8П = б5 (Ххех + Yye'y + Z2e'2 + Хуе'ху + Yге'У2 + Zxe'zx)dv = 0, (д)
V
где 6ХХ, ..., 6ZX—возможные вариации компонентов искомого
тензора напряжений, удовлетворяющие уравнениям равновесия; е'х, ...,
277

e'zx—компоненты тензора деформаций, вызванные произвольно
заданными перемещениями и!, v', w' точек тела.
В качестве произвольных перемещений и', v\ w' возьмем
действительные перемещения точек тела и, v, w. Выразим деформации
через напряжения:
ex = ex = ±[Xx-v(Yy + Z2)] + a°t, е'ху = еху = Щ^ Ху; ®
деформации е'уу e'zy е'уг и ёгк получаются круговой перестановкой
букв ху у, г.
Подставив значения (е) в уравнение (д), получим:
m = 8±§[Xl + Yl + Zl-2v(XxYy + YyZ, + Z2Xx) +
V
+ 2(l+v)(Xl + Yl + Zl) + 2Ea»t(Xx + Y„ + Zz)]dV = 0.
Внеся сюда значение / из соотношения (а) и выражения
компонентов тензора напряжения (г) и выполнив интегрирование, получим
Я как квадратичную функцию от коэффициентов Атпр9 Втпру Стпр.
Условия экстремума функции П можно представить в виде (1.6):
дП/дАяпр = 09 дП/дВтпр = 0, дЛ/дСтпр = 0. (ж)
Эти условия дадут систему линейных уравнений для определения
коэффициентов Атпру Втпр и
Уравнения (ж) для нашего случая получаются в виде:
(3 + ЗА* + 2к2) А+(Я262—3v—v82—vk2)S+(fi2—v^2 —v^262—3vX4)C =
(№—3v—v62—vP)4+(3 + 384+262)B+(X2—v82—3v84—V^262)C =
-25Sd2d-62)62,
2-3¥
(82_v^2—vA,262—3vX*)A + (№—v62—3v64—vX262)B+
+ (ЗЯ4 + 364 + 2^262) С = g^ (d2 + №) X262.
Для случая d = k и, следовательно, при 6 = А, получим:
л z> 25.8^2 3+4A2+4vA2+v
2-34n5 ' 16А4—16A4v2-{-8A,2—8vA,2—10v—v2+ll '
с==25-88^ 16A4+16A4v+12vA2--8A2v2+4A2—8v+8
2-34jx5 #4A2(16A4—16A4v2+8A2 —8vA2—lOv—v2+ll)*
278

Напряжения подсчитывают по формулам (г). Например,
~ 4д2 - Г 2л* Л 2шЛ Л _2jiz\ .
+ (l-cos-j. cos -f (1-cos— jj.
На рис. 119 показана поверхность распределения этих
напряжений по среднему сечению z = h/2 в случае куба (Л, = б = 1) при
(=20°, v=l/3. Максимальное сжимающее напряжение в центре
куба (x/d = y/k = z/h= 1/2)
^=10^95.2016+16/4+l|^+;f_1/9+11[(-l)-2,2 + 2(-l).2J =
= 489,3 кГ/см2 = 48,93 МПа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ахизер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. М., 1970.
2. Бартенев В. С. Расчет пологих оболочек двоякой кривизны с
прямоугольным планом для произвольной нагрузки.— Научн. докл. высшей школы. Сер.
строительство, 1959, № 2.
3. Безухое Н. И., Лужин О. В. Устойчивость и динамика сооружений в
примерах и задачах. М., 1963.
4. Безухое Н. И. Некоторые обобщения методов строительной механики в
динамике сооружений.— В сб.: Исследования по теории сооружений, 1939, № 3.
5. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М., 1955.
6. Бхаттачария П. К. Расчет пологой циклоидальной цилиндрической
оболочки.— Тр./УДН, 1968, т. XXX, вып. 4.
7. Вайнберг Д. В., Вайнберг Е. Д. Расчет пластин. Киев, 1970.
8. Варвак П. М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок.
Киев, 1949, ч. I; 1954, ч. II.
9. Варвак П. М., Рябов А. Ф. Справочник по теории упругости (для
инженеров-строителей). Киев, 1971.
10. Винокуров Л. П. Прямые методы решения пространственных и
контактных задач для массивов и фундаментов. Харьков, 1956.
11. Власов В. В. Метод начальных функций в осесимметричной задаче
теории упругости.—Изв. АН СССР. Сер. механика и машиностроение, 1960, № 5
12. Власов В. 3. Метод начальных функций в задачах теории упругости.—
Изв. АН СССР, ОТН, 1955, № 7.
13. Власов В. 3. Строительная механика тонкостенных пространственных
систем. М., 1958.
14. Власов В. 3. Общая теория оболочек. М., 1949.
15. Власов В. 3. Строительная механика оболочек. М., 1935.
16. Власов В. 3. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и
оболочек.— Строительная промышленность, 1932, № 11, 12.
17. Власов В. 3. К теории безмоментных оболочек вращения.— Изв. АН СССР,
1955, Ко 5.
18. Власов В. 3. Основные дифференциальные уравнения общей теории
упругих оболочек.— Прикладная математика и механика, 1944, т. VIII, № 2.
19. Власов В. 3. Некоторые задачи сопротивления материалов, строительной
механики и теории упругости.— Изв. АН СССР, 1950, № 9.
20. Власов В. 3. Пространственные облегченные конструктивные формы
гидротехнических сооружений и методы их расчета.— Изв. АН СССР, 1951, № 10.
21. Власов Б. Ф. Двусторонние оценки по энергии и задачах теории изгиба
тонких упругих плит.—Тр./УДН, 1970, т. XLVII1, вып. 6.
280

22. Власов Б. Ф. Об уравнениях теории изгиба пластинок.— Изв. АН СССР
1957, № 12.
23. Власов Б. Ф. Две задачи о равновесии плит.— Тр./УДН, 1967, т. XXVIII,
вып. 3.
24. Волков А. Н. Расчет толстостенных полых цилиндров. М., 1972.
25. Волков А. Н. Статика толстых оболочек. М., 1974.
26. Воль мир А. С. Устойчивость упругих систем. М., 1963.
27. Выгодский М. Я. Дифференциальная геометрия. Л., 1949.
28. Галеркин Б. Г. Упругие прямоугольные и треугольные свободно опертые
толстые плиты, подверженные изгибу.— Докл. АН СССР, сер. А, 1931.
29. Гольденвейзер А. Л. Дополнения и поправки к теории тонких
оболочек.— В. сб.: Пластинки и оболочки, М., 1939.
30. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М., 1953.
31. Гольденвейзер А. Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки
методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости.—
Прикладная математика и механика, 1962, т. XXVI, вып. 4.
32. Гохбаум Ф. А. Применение метода начальных функций к расчету
толстостенных и сплошных цилиндров.— В сб.: Применение железобетона в
машиностроении. М., 1964.
33. Григолюк Э. И. К расчету устойчивости пологих арок.— Инж. сб.
АН СССР, 1951, т. IX.
34. Григолюк Э. И. О несимметричном выпучивании оболочек вращения.—
Изв. АН СССР. Сер. механика и машиностроение, 1960, № 6.
35. Демидович Б. П. Колгбания стержня, изогнутого по дуге круга.— Инж.
сб. АН СССР, 1949, т. V. вып. 1.
36. Деревинский И. Д. Расчет пространственных гибких нитей на
давление ветра. Канд. дисс. М., 1962.
37. Динник А. Н. Устойчивость арок. М., 1946.
38. Дривинг А. Я. К нелинейной теории упругих стержней.— Строительная
механика и расчет сооружений, 1973, № 1.
39. Дукельский А. И. Расчет канатов и мощности лебедки кабельных кранов.
М., 1932.
40. Жемочкин Б. Н., Синицын А. П. Практические методы расчета
фундаментных балок и плит на упругом основании. М., 1962.
41. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
М., 1965.
42. Канторович Л. В. Об одном методе приближенного решения
дифференциальных уравнений в частных производных.— Докл. АН СССР, 1934, т. 2,
вып. 9.
43. Качурин В. К. Гибкие нити с малыми стрелками. М., 1959.
44. Кирхгоф Г. Механика.—Лекции по математической физике. М., 1962.
45. Клейн Г. К., Рекач В. Г., Розенблат Г. И. Руководство к практическим
занятиям по курсу строительной механики. М., 1972.
46. Колтунов М. А. Учет конечных перемещений в задаче об изгибе и
устойчивости пластинок и пологих оболочек.— Вестник МГУ, 1952, № 5.
47. Кочин Н. Е. Об изгибе троса змейкового аэростата под действием
ветра.—ПММ, 1946, т. X, вып. 1.
48. Курант Р. и Гильберт Д. Методы математической физики. М.-— Л., 1951,
т. I и II.
281

49. Лежен-Дирихле П. Г. Об устойчивости равновесия; см. Ж. Лагран>к
Аналитическая механика, т. I, приложение. М., 1950.
50. Лейбензон Л. С. Вариационные методы решения задач теории упруг0,
сти.—Сб. трудов АН СССР, М., 1951, т. 1.
51. Леонтьев Н. Н. Применение метода начальных функций к определению
температурных напряжений в толстых плитах.—Тр./МИСИ, 1963, вып. 34.
52. Лизарев А. Д., Ростанина Н. Б. Некоторые обратные задачи теории ко.
лебаний сферических оболочек.— Прикладная механика, Киев, 1976, т. XII, №5.
53. Локшин А. Ш. Устойчивость стержня с криволинейной осью.— Приклад,
ная математика и механика, 1934, т. II, вып. 1.
54. Лужин О. В. К определению частот колебаний безмоментного сферичес*
кого купола.— В сб.: Исследования по теории сооружений, 1961, вып. 10.
55. Лужин О. В. К вопросу о свободных колебаниях тонкой сферической
оболочки.— В сб.: Исследования по теории сооружений, 1962, вып. 11.
56. Лурье А. И. К теории толстых плит.—ПММ, 1942, т. VI, вып. 2—3.
57. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М., 1952.
58. Ляв А. Математическая теория упругости. М.— Л., 1935.
59. Милейковский И. Е. Расчет массивных конструкций методами
строительной механики пространственных систем. М., 1958.
60. Мишонов М. К дифференциальным уравнениям пологих оболочек.—Докл.
АН БНР, Comptes rendus de l'Academie Bulgare des Sciences, т. 14, № 7, 1961.
61. Назаров А. А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. М.,
1966.
62. Никиреев В. М. Расчет безмоментной пологой оболочки на постоянную
вертикальную нагрузку.— Строительная механика и расчет сооружений. 1959, № 6.
63. Николаи Е. Л. Труды по механике. М., 1935.
64. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. М., 1962.
65. Новожилов В. В. Расчет напряжений в тонкой сферической оболочке при
произвольной нагрузке.— Докл. АН СССР, 1940, т. XXVII, № 6.
66. Огибалов П. М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок М., 1958.
67. Огибалов П. М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек М., 1963.
68. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля, М., 1941, ч. III.
69. Пратусевич Я. А. О колебаниях упругих арок.— Тр./МИИТа, М., 1952,
вып. 76.
70. Прокопов В. К. Равновесие упругого осесимметрично нагруженного
толстостенного цилиндра.— ПММ, 1949, т. XIII, вып. 2.
71. Рабинович Я. С. О статическом расчете гибкой нити при больших
провисаниях.— Строительная механика и расчет сооружений, 1963, № 5.
72. Рабинович И. М., Синицын А. П., Лужин О. В. Теренин В. М. Расчет
сооружений на импульсные воздействия. М., 1970, гл. 7.
73. Рабинович И. М. Основы строительной механики стержневых систем.
М., 1956.
74. Райснер Э. Некоторые проблемы теории оболочек. Упругие оболочки.
М., 1962.
75. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М.. 1950.
76. Редди Г. К. Безмоментная теория расчета оболочек в форме цикл ид
Дюпена.— В сб.: Исследования по теории сооружений. 1967, вып. XV.
77. Рекач В. Г. Руководство к решению задач по теории упругости. М., 1977.
282

78. Рекач В. Г. Основная библиография по строительной механике. М„ 1968.
79. Рекач В. Г. Расчет гибкой растяжимой нити по деформированному
состоянию.— В сб.: Исследования по теории сооружений, М., 1970, вып. XVIII.
80. Рекач В. Г. Приложение теории колебаний гибких нитей к расчету
подвесных канатных дорог.— Тр./МИСИ, 1939, № 2.
81. Рекач В. Г. Расчет гибкой нерастяжимой нити на пространственную
нагрузку.— Строительная механика и расчет сооружений, 1973, № 5.
82. Рекач В. Г. Интегрирование дифференциальных уравнений изгиба
плоского кривого бруса.— Строительная механика и расчет сооружений. 1961, № 6.
83. Рекач В. Г. Интегрирование нелинейных уравнений устойчивости плоских
тонких стержней.—В сб.: Строительная механика. М., 1966.
84. Рекач В. Г. К вопросу устойчивости прямого стержня с учетом
продольной деформации оси.— Докл. VIII научно-технической конференции инж.
факультета УДН. М., 1972.
85. Рекач В. Г., Аббасов У. М. Исследование и расчет машин и сооружений.
Расчет плоского кривого стержня по деформированному состоянию М., 1975.
86. Рекач В. Г. Устойчивость сжатых стержней и пластинок при
вынужденных колебаниях.—Тр./УДН, 1968, т. XXX. вып. 4.
87. Рекач В. Г., Рыжов Н. Н. Некоторые возможности расширения круга
задач по конструированию и расчету оболочек.—Тр./УДН, 1970, т. XLVIII,
вып. 6.
88. Рекач В. Г. К вопросу об интегрировании уравнений безмоментной
теории оболочек.—Тр./УДН, 1970, т. XLVIII, вып. 6.
89. Рекач В. Г. Основы расчета тонкостенных пространственных систем.
М., 1963.
90. Рекач В. Г. Симметричный нагрев пологих сферических оболочек.—
Тр./МИСИ, 1954, № 8.
91. Рекач В. Г. Расчет тонких сферических оболочек.—Тр./МИСИ, 1963, №34.
92. Рекач В. Г. Статический расчет тонкостенных пространственных
конструкций. М., 1975, пример IV, 4.
93. Рекач В. Г. К технической теории расчета толстых сферических
оболочек.— Тр./УДН, 1965, т. IX, вып. 2.
94. Ржаницын/А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М., 1955.
95. Ржаницын А. Р. Безмоментная теория пологих оболочек. Расчет
пространственных конструкций. М., 1955, вып. 3.
96. Розенблат Г. И. Применение метода асимптотического интегрирования
к задаче о колебаниях сферической оболочки.— В сб.: Исследования по теории
сооружений, 1951, вып. 5.
97. Росс мл. Собственные частоты безмоментного сферического сегмента.—
Прикладная механика. М., 1965, № 2.
98. Снитко Н. К. Определение частот собственных колебаний рамных систем
и арок методом моментов. В сб.: Исследования по теории сооружений. 1951,
вып. V.
99. Стретт Дж. В. (лорд Рэлей). Теория звука. М., 1955, т. I.
100. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М., 1959.
101. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки М., 1963.
102. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М., 1955.
103. Тимошенко С. П. 1. Изв. Электротехнического института, вып. П, 1914;
2. Устойчивость стержней, пластин оболочек. М., 1971.
283

104. Фарес М. Ж. Расчет безмоментных оболочек в виде резных поверхностей
Монжа.— Строительная механика и расчет сооружений, 1974, № 3.
105. Феодосьев В. И. Об устойчивости сферической оболочки, находящейся
под действием внешнего равномерно распределенного давления.— ПММ, 1954,
т. XVIII, вып. 1.
106. Филоненко-Бородич М. М. Об одной системе функций и ее приложениях
в теории упругости.— ПММ, 1946, т. X, вып. 1.
107. Филоненко-Бородич М. М. Задача о равновесии упругого
параллелепипеда при заданных нагрузках на его гранях.— ПММ, 1951, т. XV, вып. 2, 5.
108. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. М., 1961.
109. Хачатурян Т. Т. Пологие цилиндрические оболочки.— Сообщения
Института математики и механики АН Арм ССР, 1949, вып. 4.
110. Хуан Ке Чжи. Колебания растяжения осесимметричных оболочек.—
Ракетная техника и космонавтика, 1965, № 1.
111. Циглер Г. Об устойчивости упругих систем.— В сб.: Проблемы механики,
1959, вып. 2.
112. Экстрем И. Э. Тонкостенные симметричные купола. Харьков —Киев, 1936.
ИЗ. Янке Е и Энде Ф. Таблицы функций. М., 1959.
114. Aron Н. Das Gleichgewicht u die Bewegung einer unendlich dunnen beliebig
gekrummten elastischen Schale. J. f. reine u angew Math., B. 78 s. 196, 1874.
115. Bolle L. Contribution on probleme lineaire deflexion d'une plaque elastique.
Paris 1, 2 Bulletin Teehninque de la Snusse Romande, 1947.
116. Boussinesq I. V. Comptes rendus, Paris, t. 97, s. 843, 1883.
117. Chien W. Z. The intrinsic theory of thin shells and plates. Quart. Appl.
Math., s. 297—327, 1943; s. 120—135, 1944.
118. Clebsch A. Theorie der Elasticity t fester Кбгрег. Leipzig, 1862.
119. Csonka P. Uber doppelt gekrummte Schalen. Acta, techn. Acad, scient.
Hung., 26, N 1-2, 1959.
120. Donnel L. H. Stability of thin-walled tubes under torsion. Nat. Adv.
Comm. Aeron., Rep. 479. 1933; См.: Trans. Amer. Soc. Mech. Engrs., 56, s. 795. 1934.
121. Dubois F. Uber die Festigkeit der Kegelschale. Dokt. Diss., Zurich, 1917.
122. Federhofer K. Berechnung der niedrigsten Eigen schwingungszahl des radiel
belasteten Kreisbogens. Ingenieur—Archiw. B. IV, Iuni, 1933.
123. Finsterwalder U. Die Theorie der zylindrischen Schalengewolbe Sistem —
Zeiss—Dywidag u ihre Anwendung auf die Grossmarkthalle Budapest, Int. Vereinig
Brucken—u. Hochball, Abh. 1, 1932; Ing. Arch., Bd. 4, s. 43, 1933.
124. Geckeler I. W. Forschungsarbeiten, N 276, Berlin, 1926.
125. Germain S. Recherches sur la theorie des surfaces elastigues, Paris»
1821.
126. Griming G. Praktische Berechnung von Zylinderschalen mit beliebig steig
veranderlicher Krummung der Querschnittskurve, Bauplan —Bautechn., 16, N 17, 1962.
127. Hamilton W. On a General Method in Dinamics, Phil. Trans. Roy. Soc,
London, 1835; Сб. «Вариационные принципы механики», М., 1959.
128. lakobsen A. Zylinderschalen mit veranderlichen Krummungshalbmesser,
Bauingenieur, 18, 1937.
129. Kab L. Angenaherte Bestimmung der Massenkrafte infolge der vertikalen
Schwingung einer an einem gespannten Seil hangenden Last. Der Bauingenieur, H.
33/34. 1933.
284

130. Kaplan A., Fung Y. C. A nonlinear theory of bending and buckling of
thin elastic shallow shells. NACA, TN 3212, 1954.
131. Karman Th. Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften. t. IV.
s. 349, 1910.
132. Kirchhoff G. R. Ober das Gleichgewicht u. die Bewegung einer elastischen
Scheibe. I. fur Math,. B. 40, 1850, B. 56, 1859.
133. Kpauss F. Uber die Grundgleichungen der Elastizitatstheorie schwach defor-
mirter Schalen. Math. Annalen. Bd. 101, H. 1, 1929.
134. Lamb H. Pros. Math. Soc, v. XIX, s. 365, London, 1888.
135. Lamb H. On the vibration of a spherical shell. Proc. of the London. Math.
Soc. v. XIV, pp. 50—51. 1882.
136. Levy M. La statigue graphigue et ses applicati-ons aux constructions.
Paris, 1874, 1907.
137. Levy M. Memoire sur une Nouveau cas integrable du probleme de l'abastigue
et Tune deses applications. I. math, pures et appl., ser. 3, 10, 5, 1884.
138. Lorens R. Zeitschr. d. Ver. deutsche Ing., 52, s. 1706, 1908; Physik.
Zeitsehr., 12, s. 241, 1911.
139. Love A. The smoll free vibrations and deformation of a thin elastic shell.
Phil, trans, of the Rayal Society of London, ser A, v. 179, pp. 491—546, [1888].
140. Marguere K. Zur Theorie der gekriimmten Platte grosser Formanderung.
Proc. of the 5-th Int. Congr. for Appl. Mech., p. 93—101, 1838.
141. Masuja U., Yoshimura Y. The buckling of sperical shells by external pressur.
Proc. 2-nd Japan. Nat. Congress Appl. Mech, s. 145—148, 1953.
142. Meissner E. Das Elastizitatsproblem fur dunne Schalen von Ringflachen,
Kugel —Oder Kegelform Physik Zeitschr., B. XIV. N 8, s. 343—349, 1913.
143. Michell I. H. Proc. Math. Soc, v. 31, s. 100. London 1900.
144. Pistolkors E. Das Schwingungsproblem des Stabbogens. Stahlbau, H. 10,
s. 76—78, 1952.
145. Pucher A. Uber die Spannungsfunktion beliebig gekrummter diinner Schalen.
Proc 5-th Intern. Congr. Appl. Mech., Cambridge, p. 134, 1938.
146. Reissner E. On the Theory of Bending of Elastic Plates. I. of Math. a.
Phys., v. 23, 1944.
147. Reissner E. Note on the membrane theory of shells of revolution. I. Math.
Phys., 26, 1947.
148. Simons R. M. A power series solution of the nonlinear eguations for
axisymmetrical bending of shallow spherical shells. I. Math. a. Phys. 35, N 2,
s. 164, 1956.
149. Srinivasan S. R. Beitrag zur Berechnung von Zylinderschalen mit veran-
derlicher Krummung, Wissenschaften z. techn. Hochschule, Dresden, 10, N2, 1960.
150. Trefftz E. Ableitung der Schalenbiegungsgleichunden mit dem Castiglani-
schen Prinzip. Zeitsehr. fur angewandte Math, und Mech., Bd. 15, H. 2., 1935.
151. Wissler H. Festigkeitsberechnung von. Ringflechen Schalen. Doct. Diss.
Zurich, 1916.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . , 3
Условные обозначения 5
Глава 1. Методы решения задач прикладной теории упругости 7
I. Общие соображения 7
II. Вариационные методы 8
III. Прямые методы 14
Задачи 16
Глава 2. Расчет плоской гибкой нити 28
I. Принятые рабочие гипотезы 28
II. Основные расчетные уравнения при статическом действии нагрузки 28
III. Колебания гибких нитей 36
Задачи 42
Глава 3. Расчет сплошного стержня 58
I. Принятые рабочие гипотезы 58
II. Геометрия пространственной и плоской кривых 58
III. Основные дифференциальные уравнения 66
IV. Расчет стержня на статическую устойчивость 77
V. Колебания стержня 82
VI. Расчет плоского стержня по деформированному состоянию .... 86
Задачи 89
Глава 4. Расчет тонких пластинок 107
I. Принятые рабочие гипотезы 107
II. Основные расчетные уравнения 108
III. Расчет пластинок на упругом винклеровском основании 112
IV. Устойчивость пластинок 114
V. Колебания пластинок 116
Задачи 118
Глава 5. Расчет толстых плит 131
I. Теория Райсснера — Болле 131
II. Теория Б. Ф. Власова 134
III. Теория В. 3. Власова 136
Задачи 138
Глава 6. Расчет тонких оболочек 154
I. Принятые рабочие гипотезы 154
II. Элементы дифференциальной геометрии поверхности 155
III. Моментная теория расчета оболочек 157
IV. Расчет цилиндрических оболочек 164
V. Безмоментная теория 167
VI. Расчет оболочек вращения на осесимметричную нагрузку ... 169
VII. Пологие оболочки 173
VIII. Устойчивость оболочек 179
IX. Колебания оболочек 184
Задачи 192
286

Глава 7. Расчет толстых оболочек 220
I. Решения, построенные на уравнениях пространственной задачи
теории упругости 220
II. Технические теории расчета толстых оболочек 221
Задачи 224
Глава 8. Расчет призматических пространственных рам (метод В. 3. Власова)
I. Общие положения и принятые рабочие гипотезы 239
II. Напряженное и деформированное состояния рамы-полоски .... 240
III. Дифференциальные уравнения равновесия рамы-полоски 241
Задачи 243
Глава 9. Расчет массивных тел и непрерывных сред 257
I. Общие положения 257
П.- Метод начальных функций 257
III. Дискретный метод 258
Задачи 264
Список литературы 280

Владимир Германович Рекач
РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Зав. редакцией К. И. Аношина
Редактор М. Т. Самсонова
Младший редактор Н. М. Иванова
Художественный редактор Т. А. Дурасова
Технический редактор Т. А. Новикова
Корректор Р. К. Косинова
ИБ № 3973
Изд№ ОТ-363. Сдано в набор 14.04.83. Подп. в печать 13.09.83.
Формат 60х901/1в. Бум. тип. № 2. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Объем 18 усл. печ. л. 18 усл. кр.-отт. 15,96
уч. изд. л. Тираж 10 000 экз. Зак. № 1651. Цена 95 коп.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва* ГСП-4,
Неглинная ул., д. 29/14
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного
Знамени Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по
делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва,
М-54, Валовая, 28.