Текст
r. С. ПИСЛРЕН1\О,
А. п. Я1\ОВJIЕН,
В. В. МАТВЕЕВ
СПР АВОЧНIIН
ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ
МА ТЕРI1А ПОВ
II3ДЛ ТЕ.1ЬСТВО
«НЛУ!\ОВА ДУМКА»
КИЕВ И75
6(ЩОRЗ)
l\:11
у ) H ');jf) 3/1 I '11'1 I ! ()2() 17«()31)
л Сl/рпl\ОЧlllf!<е 11111111(',\('111,1 CfJe;tCllllfl по ОСIIОПIlЫ 1 попрuса\1 нурсз
COII\,'1f111l11'1II111 чаrеРllа:нщ _\ 111 nЫСIШIX ТСХllllчеСЮIХ учеИIIJJ'I{ эаnсде
1111" .\ TIlIOJ(\ па III11.IC по рС'зу :II,T:J.Ta \1 расчеТ:1 n:остаточно Illирокоrо
щ!уrа II.III/J(), (СС Т(1ПII'II1ЫХ ) IC"CIITOn НОlIструкциIl.
Ilpr;OI:l IHa'lC1I Н:!fI IlIIiI<CIICpO. раз '1I1ЧIIIJХ спсцпа:IJ,Jюстей. стал
I<IШ:110ЩИХСII \1 праI<ТlIчсскоit Hef1TeJlbHOCTII с расчеТа\IИ на проч
"осп,. If CTYiiCIITOn ВЫСПШХ ТС'СlшчеСЮI'I{ УЧСJIIЫХ Rаведсний, может
0,.1 rl, п') IC1CII rаюt\С преПО,\аВ3ТС:IН\! 11 аспирантам
Ре ц С П:3 С 11 Т !Т()НТ()Р теХII ПЗУН П М в АРП А к
Р .r,аКIЩR спрапочнщ(о:з
00001 . 75
П i\1221(U ) 75 1!)o 7'
@ Издательство «Наукова думка), fQ75 r.
113ДН1lllil .,'I(I]'(} 1f('IJIIIII,a СТУН('IIНШIl МIIOПIХ llЫСШllХ учеб
IIЫл :1a1l(.:t('llllii lIalllcii СТjI<lIlЫ.
11t'1)('J\ ('II\НIIIО'lIlЫ1\l матсрпаJIОМ в ШIДG OI,опчательпых
форму:], Tafi:J IIIL 1I l'рафlllЮВ в I{ЮНДОЙ l'лавР l{paТI\O lIала
I'ClЮТ('Н O('IIOBIIIol(' Тl'uреТI/ЧССJ\lIе прРдпосы.лш. При ;)Т()l\I
ФОРМУЛIl руютсн IICXOAllwe I'ипотезы, соuтпеТСТllУЮЩIIС
IIjHllIIIJla, тРорРмы 11 даются важнеl1UlllС :iаЮIЮЧСlIШI
11 }lр],О!\\('\lН<ЩIIII, Для оБЛСI'ЧСIIIlЯ ПОJ]Ь30В<ШI\Я СIlравоч
IlЫМIl Н<IНIJЫ:\III па С, ()98 ПРIIВС.цсш пеР('ЧС>JJI, таfiJlIЩ,
содеРil\аЩI/ХСН в юшrс.
!\lы Ili:щеСl\IСП, что наСТОЯЩIIЙ спраПОЧllIl1\ будст IIOJle
,Н'Н 1\(' ТО.'IЫ,О IIIIжеllераl\1 I\ОIIСТРУI\тораl\1 11 IlРОIl31ЮДСТВ('П
НIII{и!\1 ВСРХ Сl!С>НllаJJЫlOстеii, встре'lаЮЩIlМСН в IIРШ,Тllче
cl\oii де ЯТ()J( ЫIOСТIl (' рас чстаМIl на п РОЧIlОСТЬ, 110 будет
с успехом I/('ПОЛЬ:Юllан таЮI,е CTYACHTal\lll, аСllпраllтаМl1,
ПрРlIодаllаТСJ1Яl\Ш II наУЧНЫМlI раБОТlIllкаМll.
Fла8а 1
ВВЕДЕНИЕ
1. Наука о сопротивлении материалов.
Изучаемые оБЪeI\ТЫ
Сопротивление .материалов наука об инженерных методах
расчста на прочпость, жесткость n устоЙчивость элементов сооружений
lJ машин.
П рочностъ способность конструкции, ее частей и деталей Bыдep
живать определенную llarpY3Ky, ве разрушаясь.
JПесm1iосmь способность КОНСТРУIЩIJll и ее элементов ПРОТlIВО
стоять внсшним наrру::шаы в ОПIOШРШШ дrформащlИ (изменеIJlIЯ формы
11 размеров). При задюшых наrру;шах деформации не ДОJJil\НЫ превы
шать определенных веЛИЧllII, УСТLшаllЛlJваемых в соответствии с требо
ваНIIЯМИ к КОlIСТРУНЦlIll.
У стОЙЧИ80ст 1. способность I\ОНСТРУКЦИИ и ее элемситов coxpa
ШIТЬ опрсд('леlШУЮ вача."'Н,НУЮ форму УЛРУI'оrо раШlOвеСIIЯ.
ДЛН TOI'O чтобы lЮIIСТРУКЦIIП в ЦСJIOМ отвечали требованиям проч
1l0СТИ, ;I,ССТКОСТИ и устоЙчивости, llеоБХОДIll\lО придать их элементам
шшболее рациональную форму и опредешlТЬ соотвстствующие раз
мсры.
Сопротивление материалов решает уназаппые задачи, основы ваясь
I\aI{ на теоретичсских, так 11 на опытных данных, IIмеющих в этой
науке ОДИНaIЮВО важное начспие.
n ТСОРСТИЧССl,ОЙ части сопротивление матерпа.ТfОll базируется
па теОРСТIIчесноii меХaIШI\С II матемаТlше, а в ;ШСШ:РlIмента.'IЫIOЙ
на фиаике н матврнаЛОllедешIП.
СОПРОТИDJIсние маТl'rшш!Ов являетсн наиболее общей наукой
о проч ности машпп JI соо рУiI\СIlIIЙ. D ез фу IIдаМСlIтал LHoro знаНll я
СОНРОТlШЛСlIlIЯ l\IuтrРШЦОII l!e:\II,JC:IIlMO С03ДШl!IС раЗJШЧНОI'О рода Ma
I1IIШ и мсхаШI3l\lOВ, rРЮlц,\!JСJШХ 11 II}Ю:\Iыш.1СНПЫХ сооружений, мостов.
."'1III1IIЙ ;).1еНТРОIIСРСJ(ач н антенн, апrщ он, l\ораб.'Iеii, саllЮЛСТОВ 11 BepTO
JJeTOB, турбомаШIIП и ЭJlеКТ!Нlчеснпх l\1ШПJllI, ю'реrатоп атомноЙ ()Hepre
ТШ,П, pal<cTHolI и реЮ{ТIlВНОlI теХШIlШ и др.
Сопротивлсние матерпалов НС исчерпывает llcex вопросов механи: Ю1
дсформированноrо тела. ЭТIIl\Ш вопроса Ш анимаlOТСЯ такие смсжн ые
ДIIСЦIfПЛИПЫ. RaK строительная мехашша стержневых спстем, теория
упруrости и теория пластичности. ОДНaIЮ основная роль при решении
за;(ач па прочность принадлсжит сопрuтивлению материалов.
Прп всем разнообразии видов IЮНСТРУНТИВНЫХ элементов, BCTpe
чатощихся в сооружениях и машинах, их можно свссти К сравнитсльно
пс60ЛЬШОМУ числу основных форм. Тела, имеющие ти основные формы,
и являются объектами расчета на IIрОЧПОСТЬ, жестность и устойчивость.
Это стеРJlСНИ, пластин и и 060.10Ч1hU, .t.tаcrИ8ные тела.
Стержне.t.t, или брусом, II.ыывается тело, у HOTOPOI'O ОДIiН размер
(ДJlина) :шаt1итслыlO преllЫlпnет два друrих (попсрсчпых) размсра
рис. 1). В инженерном де.Т]е встречаются стеРЖПIl с пrНМОЛIlНСЙПОЙ
(рllС. 1, а) и криволинеЙноЙ (рлс. 1, 6) UСНМИ. 1\ ю< прнмые, тю< II RрИ
вые стержни MorYT быть ПОСТОЯlIноrо (рис. 1, а) или nepel\1eHHOrO сечепИЯ
(рис. 1, в). ПрlIl\lсrЩl\Ш прямых стержней явлтотся бални, ()си. валы.
Примrраl\ll1 кривых стсржней MorYT СJfУЖIIТЬ rрузоподъемпые КрЮНИ,
(JIН НЫ! ЦСIJРЙ 11 Т. 11. Стержни со сложным профилем поперечноrо сече
IIIIН, у которых rОЛЩlIна стен он значительно меньше rабаритных paa
меров СР'Н'1II1Н, па.!ьшаются TOHI,OCTrHHWMII (рис. 1, 2).
О()о.70ЧНfl 11 ррдстав:! я т собоЙ TOJI о. оrраllИЧf'П нос двумя НрИDО
ЛИIJ('IIIIЫ 1I1 IЮВСрХIJOСТНl\fИ, раСПОJlоженными на БЛI1ЗКОI\1 расстоянии
друr от HPyra, т. 1:'. 1'0.:10. один раЗl\Н'р Kl)1'OpOrO (ТОJlIцина)' .шачителыlO
меньше ДllУХ ДРУJ'ИХ. rсомстричеснuс МССТО точек. равноудаленных от
а
о
fj
с
Рис. 1
ооо
а
fj
Рис. 2
е
iJ
обеих поверхностей оБОJIОЧЮI, называстся срединной поnсрхпостью.
ПО форме срединной повсрхности ра.Мllчают оболочки Цllшшдричесние
(рис. 2. а), конические (рис. 2, 6), сферичссние (рис. 2, а) и др. И обо
лочкам ОТIIОСЯТСЯ тошюстенныс резервуары, котлы, нупола зданий,
обшивни фюзеляжей, нрыльев и ДРУПIХ частеЙ летатсльных аппара
тов, lюрпуса судов 11 Т. п.
Если сродинная повсрхность оБОЛОЧЮI l1рр;\ставпнет собоЙ плос
кость, то такая ui3UJlОЧЮ1 на ывается пластиной (рис. 2, 2). Пластины
MorYT быТ[ l{руrJ1Ы Ш, ПРН\IOУl'ОJIЬНЫl\Ш и Иl\lРТ!, друrис очсртания.
ТОЛЩI!lIa П.1астин, l\aE{ и оБОJIU'ЮI{, может быТl. постuянной IIЛИ псре
менпоЙ. ПлаСТIIПЮШ ЯВ:IНЮТСН нлоские днища и I\рЫШКlI резервуаров
(рис. 2, д), пср(трытия инженсрных сооружсниЙ, ДИСIШ турбомашин
11 т. п.
JIr/ ассиОНЫ.1-t называется тело, у HOToporo llCP три раамера Be
личины ОДIIоrо порядка. Это фундаменты сооружений, подпорные
стенни 11 Т. 11.
В сопротивлеllllll l\IаТС'рП<lЛОВ, как правило, . апачи решаются про
стыми матсмаТНЧСС,ЮIl\Ш мстодами с привлсчеllllСМ рнда упрощающих
rипотсз и использошшнсм данных :-шсперимt'lIта; решеНIIЯ при .,том
доводятся до расчеТElЫХ формул, приrодных Д.1Я ИСПОJIь:ювания в ин
женерной прантинс. OCIIUllHbl:\1 объентом, рассматривасмым в сопротив
лении материалов, является прямой стержень.
i 2. Виды деф()рмациil. ПОRRТИR о дефОр'\fироваIlfIО"
состоянии материала
PeaJIbJlble тела MorYT деформироваться, т. е. изменять свои форму;
И размеры. Деформации тел происходят ВСЛfДСТВИС наrружения их
внешними силами или изменения температуры. При Д('формаЩIII тела
('то ТОЧЮt, а таюне мысленно проведснные ЛИНИИ ИЛИ Ссчения персме
щаlOТСЯ в плосности или В пространстве ОТНОСIl'fелыю своето исходноrо
ПОJlOжепи я.
При наrружении твердоrо тела в нем во:ншкают внутренние силы
взаимодействия между частицами, ока;JЫВaIОЩllС противодействие внеIIl
пим силам и стрсмящиеся вернуть частицы тсла в поЛожение, КОТОрОЕ
они занимали до деформации.
Разлпчают упруси(' дефор,мации, IIсч('заЮЩlIе после прекращеНlIЯ
деЙСТВlIН вызнаВПlllХ их СИJl, 11 пЛ(1стU 1 {('('h'Il(', IIЛИ остатО'ЧlIые, D((jop
мации, не lIсч('зающие послс СНЯТИЯ наI'рУЗОН. В БОЛI,ШIНIСТВС СJlучаев
ДЛЯ величин деформаций ::JлеМСIIТОВ I\ОПСТРУКЦllЙ устанаВЛllвают опре
деленные orpa JIII '1('1111 Я.
В СОПРОТ\lвлеШIll материалов и;: учаются сл('дующие основныс виды
дефОР laциii растяжснис 11 сжатие, сдОllс (Шll1 СР('В) , "РУt{п/и(', uзси6.
Рассматриваются также БОJI('е СJIО;Jшые ДС'фОрI\IЮЦIИ, получающиеся
в ре УЛhтатс сочетаIJIIН IIС'('КОЛЫ{IIХ ОСJlОJIlIЫХ видов дсформаЦllЙ.
Ра('тЯЖ('lIU(' IIЛИ сжатш' 1l0ЗlllJI\ает, HalJplll\l('p. в случае, 1\отда
к CTCpil\JI1O HДo.тJ 1, ero ОСII ПРИЛОiJ\С'IIЫ ПрОП!ВОПОЛОiIШО направленные
силы (рис. Э). При ЭТОМ ПрОИСХОДJ1Т поступаТСJJЫЮС перСМ(ЩС'Нllе
сечениЙ вдоль оси стержня, ноторыЙ
при растяжении удлиняется, а при
сшаТlIИ унорачивается. IIзмеlН'IIllС пер-
воllачалыIйй длины стержня l, обозна-
чаемое tll, наЗЫIЗается аБСОЛlОтны.л1 уд-
Ilинеllием (при растлжеНИJl) или a6co
тот 11 ым YJ<o рочением (при сжатии).
Отношение абсолютноrо удлинС'ния р
(унорочепил) Дl R первоначальной дли- Рис. 3
H 1 Н8зываС'тся средним от1l0ситель-
НЫ.Н удлинением (УКОрОЧСНIIОМ) на ДЛJlне l или средней линейной
относuтелыюй дсrjjор.лИlfией учаСТl\а 11 обозначается обычно Сер:
Al
Еср == 7.
и стинное линейное относительное удлинение, или относительнал
линейная деформация в точне, определяется l\аК относительная дефор-
мация участка при 1 О
I:::z:
1 . Al
1т l '
' O
На растяжение или сжатие работают Мl!ОПН? элементы конструк-
ций: стсржни фсрм, RОЛОШIЫ, ШТОЮI поршнсвых машин, стяжные
болты и др.
Сдоив, или срсз, В03НИRает. ноrда внешние силы смещают два
параллельных ПЛОСНIIХ сечения стержня одно отпосительно друrоrо
при неизменном расстоянии между ними (рис. 4). Величина смещения
/!.S называется а6солютньщ cDeuco. t. Отношенпе абсолютноrо (' двиrа
J( расстоянию между смещаlOЩIIМИСЛ ПЛОСНОСТЛМII (тантенс уrла )')
lIа3ЫRается относuтельны. сдви?ом. Вследствие малости уrла "( мОЖНО
ПРИIlRТЬ
Д.
tg "( 1 == а .
Относитсльный сдвиr является уrловой деформацией, характеризующей
переl(ОС элсмента.
На СДОllr, или срез, работают, например, заклешш и болты, снреп
ЛЯIOIЦIIС элементы, которыс внешнис силы стремятся сдвинуть друr
отIIосlIтелыIo друrа.
К РУ'lеnие nозпинает при действии на стержень внешних сил, обра
ЗУЮЩIIХ момент относительно ero оси (рис. !)). Деформация кручения
",, p
L1S L1s
р ......
/ /11 1:
р
Рис. 4:.
сопровождается поворотом поперечных сечений стержня друr отпосп
тельно друrа BOKpyr ero оси. Уrол поворота одноrо сечснин стержня
относительно друrоrо, находящеrося па расстоянии l, называетсн
уело м аапручuванu.ч па длине l. Отношснис yrJIa занручивания <р к дли.
не l называется относительным УсЛО.A,t ааh'ручuеани.'!
6 == .
l
На нруч('ние работают палы, ШПППДNШ тонарпых и сnерлильпых
стапнов и друrие детали.
И зсuб (рис. 6) заЮlIочастся в ИСНрIlВ:!( НIIII оси прямоrо стержня или
в изменении кривизны нрпвоru стеРЖIIН. Происхuднщсе при изrибе
пере:-'н щенис каКОЙ ЛIlбо ТОЧЮ1 оси СТСР;'IШЯ пыражаетсн вектором,
начало HOToporo совмещсно с Пt'рвоначаЛЫIЫМ IIO.'IUiНCВlICM ТОЧЮl,
а нонец с положением тоЙ же ТОЧЮI в деформиропанном стержне.
р
9'
:.t '>--..,1
J / .
.................::.1 :1 ----
J I
Рис. 5
РИС. ()
13 пряиых стераШfIХ пеРС Н'Щ('НIIЯ точен, папраВ.!I('lIl1ыr перпещщну.
J[fIPHO н нача.lhНО IУ ПОЛОЖСIIlIЮ оси, lIазываютсн про;щиа.ни. Обозна.
чим проrибы буююii ш, а наllБО.1ЫШIЙ проrиб GуюlOЙ j. При изrибе
также происходит поворот сечениЙ стержня BOHrYI' occii, ЛС'жащиХ
в плоскостях сеЧСНl1ii. Уrлы попорота сечениЙ относительно своих
начальных ПОЛОiКеШIII обозначим бунвоЙ ер.
На изrиб работают ба.'IНИ междуэтажпых перекрытиЙ, мостов,
оси железнодорожных В<1ТОНОВ, ЛПСТО13ые рессоры, палы, зубья шесте
реп, спицы колес, РЫЧЮ'If и l\1ноrие друrис деrаJIИ.
Описапные выше простейшие деформации стrржня дают пред-
ставление об измснении ero формы 11 размеров в целом, но ничеrо
не rоворят о степени и характере деформироват-tО20 состОЯllUJt матери-
ала. Исследования IIоназывают, что деформированное состояние тела,
вообще rоворя, ЯD.'Iяется неравномеРНЫ:\l 11 и.шеняется от точки Н ТОЧRС.
При ЭТОМ деформированное сuстояние в точке тела по.':шостью опре
дсляется шестью номлонетnа. tи деформации: тр\:мя ОТIiоситеJIЫlЫМИ
линейными деформациями 8х, 8у, fz и тремн ОТIIосm'СЛЫIЫ?lШ уrловыми
дсформациями Iху, IXZ' IYZ'
3. Основные rипотезы
Для построения теории СОПРОТlшлеппя материалов прпнимают
ряд rипотез о структуре и свойствах материалов, а также о характере
еформаций.
1. Тиnотеаа о сnлошности .иатериа.да. Прсдполаrается, что MaTe
риал полностью заполняет аНllмаемый IlМ объем. Атомистическая тео-
рия диснретноrо строения вещества во внимание не ПРИНlIмается.
2. Funomeaa 06 йднородности и иаотРОll1l0сти. ПреДIIОЛ, аrается
что свойства матсрпаJ!а одпнаI\ОВЫ IЮ всех точках и в КЮI\ДОЙ точке
во всех напраВJ1( НИНХ. n веI\ОТОРЫХ СЛУЧаЯХ предположсние об 1130.
тропии пепрпеМJIСl\IO. Таи, анизотропными ЯI3ЛНlOтсн древесина, свой
ства HOTOpoii ВДОJlI, и попереи IЮJlOl\Оll существеНIIО различны, а Т3Юf\е
армированныс материалы.
3. Fuпomei:Ja о малости деформаций (rипотеза ОТНОСIIТСJIЬНОЙ )lЮСТ
иости материала). Предполаrается, что деформации малы по сравнеНlIЮ
с ра мерами цеформпруеl\lоrо тела. На этом основании пренебреrают
IIзменениями в расположешш внешних сил ОТIIосительно отдсльных
частей тела при деформации и ураввrпия стаПШll составляют ДJIЯ
нсдеформиропанноrо те.'1а. В некоторых случаях от этоrо принципа
приходится отступать, что оrоваривается особо.
4. Fипотеаа о совершенноЙ упрусости .материала. Все тела пр('д
полаrаются абсолютно упруrими. В ДОЙСТВl1тельности рсаЛhlIЫС тела
МОШНО счптать упруl'llМИ тольно до опредсленных ВС.'IИЧИII lIаrрузон,
и это необходимо учитывать, при меняя формулы сопротивления MaTe
риалов.
5. FипотеЗll о IlUJleiтoii 8ависимости .мсжду деформаЦUJlМU и 1la
epya1l.a.MU. ПреДlIOJli:lrаетсн, что ДЛЯ болыпинства материалов справед
лив заНОН rуиа, устанавливающий прямо пропорционаJIЬНУЮ зависи
МОСТЬ мелсду деформациями и наrрузками.
Как следств\н:' rипотез о малuсти деформаций и о .тшнейнuй зависи
мости мелсду деформациями и УСllЛИЯМИ, при решеlIПИ большинства
задач сопротивления материалов ПРJJменим nриJtцип суnерпоаUlful-t
(принцип не аllIIСllМUСТИ действия и С.'10жения сил). Например, усилия
в любом элемснте IЮНСТРУНЩШ, llы;шанные раЗЛИЧНЫМlI факторами
(неСIЮJIЬЮIМl1 силами, темпераТУРНЫl\1t1 воздеЙствиями), равны сумме
усилий, вызванпых каждым из атих фUJ\ТОрОВ, и не заппсят от ПОрЯДlса
их прпложеНlIН. Это же справедливо IJ в ОТНОШСШIII Дt'формаций.
6. ruпoтeaa плоских сечений. ПрrДlJолаrается, что мысленно про
веДСlIпые ПJIOСюtе сечения, перIIсндинулярные и оси стержня, в lIрО
Цессе ero деформирования остаются ПJIOСИИJ\1И и перпеПДlШУЛНрПЫl\Ш
R оси.
Эти, а также некоторые друrие }'ипотезы позволяют решать широ
кий Kpyr 8адач по расчету на ЩЮЧIIOС1Ъ, лсестиость и устойчивость.
Результаты ТaIСИХ расчетов оБЫЧllО хорошо COl'JlaCYlUTCH с данными
эиспсримента.
u
r.лава 2
rЕОl\1ЕТРИЧЕСКИЕ ХАР АRТЕРИСТИКИ
ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
Сопротивление стержня различным видам дсформаций часто за-
висит пе только от cro материала и размсров, но таюне от очертаний
оси, формы поперечных сечений и их распuложсния относительно
направления действующих наrрузок. Рассмотрим основные reoMeT
ричесние харантеРl1СТИlШ поперечных сечений стсржня, отвленаясь'
от физичесних свойств изучаемurо объскта. Этими харантсристинами
ЯRЛЯЮТСЯ: площади поперечных сечений, статичссние моменты, моменты
инерции, моменты сопротивления, радиусы инерции.
4. СтатичеCIшii J\lOмеит площади.
Центр тяжести площади
Рассматривая произвольную Фиrуру (попrрсчное сечение стержня),
связанную с системой координат :Oy (рис. 7), но аН<lлоrlllJ с выраж
ни ем для мо юнта СllЛЫ ОТllUСllТС.1ЫЮ l,ш,uii. Лl\бо оси можно составить
. выраЖСIIIЮ для l\Юl\Hmта ШlощаД I,' I\оторое
у па:!ыпастся статu'Чt:СНU.м ,iНO.«eтno.l>t. 1 31'. произ-
всдение элсмента площади dP на расстояние у
от оси Ох
dS x === ydF
называстСя С'l'атичеСIШМ MOl\I('HTUl\1 элемента
О х площади относиТельно оси Ох. Лналоrично
Рис. 7 dS y == xdF статичесний момснт элсмента пло
щади относительно оси ау. ПРОСУММlJровав эти
произведепил по всей площади, ПОЛУЧИМ cтrllnU'U:C:Hue Mo. tClt1nbl пло
щади соответствснно относительно оссЙ х и у:
8х === ydF; Ву == .\ xd[t'. (2.1)
F F
Размерность стаТИЧССI,оrо l\1O ICHTa еДlIIlица Д.!!IIIIЫ в нубе (напри-
мер, СоМ 3 ).
Пусть хс И УС координаты центра ТЮКССТl1 фШ'УРЫ. Продолжая
аналоrию с момснтаЮI сил, на оСновании тео ррмы () момснте равнодей.
ствующей можно наПllсать СЛС;J;УЮЩПС выраЖСНlIН:
Sx:::::: FY6 S!/ === FxC'
rде F площадь Фиrуры.
Координаты цснтра тяжести раппы
(2.2)
Х Sy.
c 1f'
ВХ
УС == F .
(2.3)
10
Для вычисления етатичеСRИХ моментов сложной фиrуры ее разои.
вают на простые части (рис. 8), для Rаждой иа IШТОРЫХ известна пло-
щадь (1'i) и положение цснтра тяжести (Xi, Yi)' СтаТlIчеСl\ие момен-
ты всей фиrуры относитольно осей ОХ и Оу соответственно будут
равны
Sx == Р 1 Уl + Р 2 У2 +. .. + РпУп == 'i FiYi. 1
i==l
J
(2.4)
i==rt
Sy :.:. Р 1 Х l + Р 2 Х 2 + . . . + РпХп == FiXi.
i:: 1
ИЗ ФОРМУЛ (2.3) и (2.4) опреДNlяем
Rоординаты иентра тяжести СЛОЖIlОЙ фи-
rypbl
i==rl
FiXi
Sy i - 1
Xc p i n
F i
i...t
i==rt
fi'iYi
Sx i j
; УС =-= ifr == t==n
Pi
i==1
(2.5)
5. Момен'lЫ инерции плоских фиrур
J(
()
Рис. 8
о с е в ы оМ, u л u э п в а т о р и а л Ь н ы .м, .м о .м е 1-l т о .w
и 1-1, е р Ц и и площади фиеуры нааывается Ullтеерал проиаврдСllий
8ле.ментарных площадо на Baдpaты их расстОЯllий от расс.матри.
у у
dF
1C\j ::..,
о х
JC\j
Ь
Рис. 9 Рис. 10
у
х
о
Рис. 11
вае.мой оси. Так, моменты инеРЦIIИ l1рUИ.!вuлыюй фиrу Vbl (Р.I1С. 9)
относитеЛЬRО осей Х и У соотвеТСТDешIU равны
J x == 5 y 2 dF:
F
J y == 5 x 2 dF.
F
(2.6)
Пользуясь этими ФОРМУJlами, ВЫЧllСЛИМ моменты инерции для
простейши.х фиrур.
11
п р н м о у r о л ь п и к (рис. 10). Учитывал, что элемептарная
площаДI\а dF == ьау, 1I:111ДCM
J x == \' y 2 dF ==
F
h
""2
\ bh 3
J y 2 bdy ос=: 12'
It
2
hb 3
J y == 12'
ОЧ<'ПИДIIО,
ь
Т Р е у r о л ь JI И Н (рис. 11). Учитывая, что Ь (у) == h (h у),
ь
dP == h (h у) dy, момент инерции относительно оси х выраЗIШ как
h
J x == y2dP == у2 (h y) dy == 3 .
F О
у
у
.! х
х
D
Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14
к ру l' О В О ii с с 1\ Т О Р (рис. 12). Учитывав, что dF':-=: pdydp
и у == р sin ер, опредl':IИМ 1\1 01\1<'11 Т IIНСРЦИИ ОТllоrIlН'.'IЫIО ОО! х:
r S r {. r 4 [ siq 2;3 sin 2а ]
J x == J y 2 dF == J р2 sш 2 r.pрdr.pdр == 8 ( а) 2 .
F а О .
П о .1, пр н ы .\t .Н О .\t е J-t т О.М u Н с р l U lt 1I.11J1I!(lcJ/L фu,оуры
Oт1l0cuтe.tbJlO данпой ,поч;;u (по.иоса О) /tadbteacltU.:.'t U/lfJ/('.'рал lI/юu.зое 4
дении але.нетпаР'1ЫХ п.70U{aaOJ> па квадраты их раСС1l/1).'11Iий р от по.
.'1Joca (рис. 9):
J == i p 2 dF.
Р F
Если через полюс провсдсна CIICl'Nla взаИМIIО IIl'рПСIl;ЩJ\УЛЯрНЫХ
осей Х, у, то р 2 == х 2 + у2. llJ (2.6) и (2.7) буде!\! 1IJ\1(''lЬ
J p == J x + J y ' (2.8)
К ру r (рис. 13). Учитывая, что dF == 2-ттр ар, IIО.1ЯРНЫЙ момент
инерции будет:
( .7)
т
J p == i p 2 dF == 21t 5 p 3 dp ::.::: п;4 .
F (}
12
илп
1td 4
J r> == 32 '
Из (2.8) очеви;l,IIО что для крута
J r ,-d 4
J x =-:: J y == Т == (j4 .
Отмстим, что веJIIIЧШIЫ осевых и по;rIЯРНЫХ юмеlIТОП инерции всрrда
ПОJIожитеЛI,I1Ы.
Ц е и т р о б е ж н ы .М .м о .М е 11 т о .м и fl е Р '? и и Haaы
eaemC.'t шtте(!ра. проиаведеllий ;Jле.иеllтарных площадОJ> на их расстол
нил от 1'ioopaUHamHblX осей х, у:
J xy == xydF. (2.9)
F
В заВlIСIlМОСТИ от положении осей центробежныЙ момент инеРЦIIИ
может быть положительным или отрицаТС.1ЫIЫМ, а также равным
нущо. Оси, относите,'1ЫIO которых нснтробеil\НЫЙ момент инерции равен
ну,шо, называются елааНЫ.ии осЯ.ми инерции. Две взаимно псрпеIlДИRУ
лярные оси, из ноторых ХОТЯ бы одна ЯЛ.'IЯСТСЯ осью симметрии фпrуры,
будут се rлавны ш uсямн. Это следует из Toro, что в этом случае каж
доЙ ПОЛOJIШТСЛЫlоii ве.1IIЧIlне xydP соответствует такая же отрицатель
ная веЛIlЧllна по друrуlO сторону оси симметрии (рис. '14) и их сумма
по всей площади фиrуры равна нушо. rлавные оси, ПрОХОДНIЦIIе через
центр тяжести сечения, называются елааНЫ.ии центральным и ОСЯ.ии.
РаЗ IСрllОСТЬ моментов иuерции единица ДJШНЫ в четвертой степени
(например, с.м 4 ).
6. Моменты инерции сложных сечений
При вычислении моментов инерции сложных сечений последние
обычно разбивают па отдельные простые части, моменты инерции IШТО-
рых известны. Из осноrшоrо своЙства интеrрала суммы следует, что
момент ПШ: рЦIlИ СJlOiююii фИl'УРЫ равен сумме моментов инерции ее
составных 'шстей. ОПР('; (>.'llШ !\[()l\ICIlT ннсршш СJIOЖIЮЙ фиrуры (рис. 15)
ОТIlOситеJlЫIO ОСН х, рu;зБПll се на простые части 1, 11,- !II, ИМСIOщие
соответствешlO площади F l' F п , F п1 :
J x == y 2 dF y 2 dF + y 2 dF,
F I Р п F 1п
у у У/
;(
:>., 1!J
ь
О )f
., х,
Рис. 15 Рис. 16 Puc. 17
13
или
J == JI ' JII + JIII
х х' х х'
(2.10)
3U!\I("III t, ЧТО В случае, I\ОI'да в сечснии имсется отверстие, последнее
УДО()J\() (''IIITUТl, частью фlll'УРЫ с отрlIцате.'lЫIОll ПJIощадью. Так, MO
М('IIТ lllI lЩIШ 01 IIOCIJTC.lLoIIO оси Х сечеВШI, ПUI\азаНIlОI'О на рис. 16, будет
1 II bh 3 и 4
J x == Jx J x == 12 Т'
7. Моменты инерции относительно lIараллелыIхx осей
Пусть нзвеСТllЫ моменты инерции фиrуры отнuсительно централь-
ных осей х, у
J x == y 2 dF; J y == . x 2 dF; J xy == . xydF. (2.11)
F 1<' F
Требуется определить моменты инерции относительно осей X 1 , Yl'
пара:Iлелыlхx центральным (рис. 17):
J X1 == vidF; J y1 ==.\ xidF; J X11J1 == .\ X 1 y 1 dF. (2.12)
F F F
l\оордипаты JIIобой ТОЧI\И в новоЙ системе ХI0IУl можно выразить
через координаты в Пр Жllей СlIстем хОу Tal\:
Xl =:: Х + Ь; УI =-= У +- а.
(2.13)
Тю{ нан статические MO lell1'Ы JIJlOщаДI1 ОТllОСИТС.ТII,llО центральных
осей равны нулю, формулы (2.12) с уч тuм (2.13) 01\UllчатеJIЫЮ l\10rYT
быть предстаВJlены в виде:
J X1 == J x +- а 2 р; )
(2.14)
J Y1 == J y + Ь 2 р;
J;Л'lVl == J:лу + аЬР.
(2.15)
Следовательно: 1) .мО.испт ШtерЦU1L UIiUt()сшnf.Н,1l0 любой оси равен
.мо.менту инерции относительно цеюnраЛЫlUil оси, параллслыlOЙ дaH
пой, плюс произведение площади фисуры на "вадрат расстОJlни.ч .между
ося.ми; 2) центробежltЫЙ .мо.мент инерции Оfn1IOСШfll'лl,НО любоЙ систе.«Ы
nРЯМОусОЛЬНЫХ осей равен центробежному .НО.метну U/ICPlfUll oтHocи
тельно систе.мы центральных осей, пара.llЛСЛЫIЫХ да/ты.н, плюс пpoиa
ведение площади Фисуры на J>oopaUHambl ее цстпрп f/I.'l.ж ести в /IOBblX
осях. Необходимо отметить, что координаты а, Ь, UХОДНЩIIС в фuрмулу
(2.15), следует подставдять с учетом их знака. '
8. 3ависи IOСТЬ между момента:ни ИlIерl ИИ
при lIовороте I\оординатных осей
Пусть известны моменты инерции ПрОИ3UUЛЫЮЙ фиrуры относи.
тельно координатных осей Х, у (рис. 18):
J x == y 2 dFj J y == 5 x 2 dF; J xy == j xydF. (2.16)
F '" F
14
Требуется определить моменты инеРЩВf относите.Т[ыlO осей хl' Уl' повер-
нутых относитеJIЬНО осеЙ х и у на уrол а против часuвоЙ стрелки, счи-
тан последний положительным:
J Хl == y dF;
F
J иl == S x dF;
F
J x 1 } == S XtYtdF
1. I
Р
(2.17 )
Координаты произвольноЙ элементарноЙ площаДRИ в ноной сис
теме (X 1 0Yt) l\IOrYT быть представлены через координаты прежней
систс lЫ (хОу) следующим образом:
J X1 == J x cos 2 а + J y sin 2 а J xy sin 2а; )
J 1I1 == J y cos 2 a+J x siп 2 а + J xy sill 2а,
х
Хl == ОС == ОЕ + AD == х cos а + у sin а; }
Уl == Ее == BD ЕА == у cos а Х sill а.
(2.18)
Окончательно находим:
Рис. 18
J XI1J1 == J xy cos 211 + () у J x ) sin 2а. (2.20)
Отметим, что ФОРМУ,1Ы (2.19) и (2.20), получснные при повороте
любой системы нрныоуrОJl ьных осеЙ, естественно, спраВС'ДJIИВЫ для
центральных осей. СК.1адыnая почленно (2.19), находим
J X1 + J Y1 == J x + J y == J p '
(2.19)
Следоватсльно, при повороте пр.<t.моусолыlхx осей сум.ча осевых tо.иеli
тов инерции не иа.иеняется и равна полярно. tУ моменту инерции от-
носительно начала #';оординат.
При повороте системы осей на yro.т:r а == 900 1Iмеем:
Jxl==J y ; Jyl==J x ; JXI?Jt== Jxy.
9. Определение направления r.'1aBHbIX осей инерции.
rлаВilые мо!!енты IliЮрЦИИ
НаибольшиЙ праlпичеСRИll интсрес прРдстапляют I'ШlВные Цсн-
тра.1ьные оси, ОТIIUСИТСЛ,IIU ноторых центробежный момсат инсрции ра.
вен НУJIЮ. Об0311аЧIIМ rJаnпые ЦСllтра.'lьные оси буквами и, и. Оч видно,
J uv == О.
ДЛЯ опродсления положения rлапных цен-
тральных uсеЙ НРОИЗВОЛЬНUЙ lIеспммеТрПЧIIОЙ
фиrуры необходимо ЦСIlтра:Iьпые осп Х, у по
вернуть на Ta oЙ YI'OJl ай (рис. 19), при нотором
х цС'нтробеЖПЫl, момент инерции относптельно
aOBoro ПОJIUJl,СIIllЯ осеЙ станст равным нулlO
J XtYI == J 1lV =::. О.
Из форм лы (2.20) получим
Рис. 19
15
Jv Jx . 2
J Xl?J1 =: J:>,.''.1 COS 2а о 2 sш ай == О.
ОТНУДI1
()' 2 21 ху
t b а о J J '
!/ х
(2.21)
ПОЛУЧUf>МЫС из (2.21) два анаЧСНIIЯ Yl'JIa а() от.тшчаютсн ДРуr ОТ
ДРУI'U IIC\ Щ)'" 11 UПрf',ЦРляют пuло;ш'пие r.тIапных осеi1.Еш\ .тIепю llIlДСТI,.
l\1СIII,шиii IIЗ аТIIХ yrJIOll IЮ абсолютной ВСДllЧlше пс преllышает .
Обычно ПО.1Ь3УЮТСЯ МСНЬШИМ уrлом. IIроведснпуlO под этим УПlOМ
(ПОЛUЖИ1СJlЫIЫМ пли отрицательным) r.1авпую ось обычнu обозначают
БУJШОЙ и. Напuмним, что отрllцаТeJIЫIЫi.i Уl'ОЛ ай ОТI\.1адыпаю1' от UCl1 Х
ПО x дy часовоii СТрСJJlШ. ,,'
Y V V Yu
<::<0 I I х х d. o
х /1 d. Х
U о
и
д' ()
а
J x > J y
'- j<О
с<о>О
.7, > J y
.h./>O
do<O
.7, <: J y
J xy < О
0<0 < О
Рпс. 20
Е
<Jy
.7х у >О
O<{J>D
Па рис. 20 привсдrllЫ пс){оторыс lIрЮlCрЫ оБО:JпаЧСIlИЯ rлавных
осей n СООТВСТСТIJI1И с У"<l.заIlНЫМ ПРЮШJlОМ. llача IЫIЫС ОСIl uб0311UЧСНЫ
буквами х и у. 3uаЧРНШI rлавных l\ll>!lI( IITOB нuеРЦllИ l\ющнu llОJIУ'lИТЬ
И3 общих ФОР IУЛ (2.1U), llрИШШ а == ай:
J u == J x СОБ 2 а о + J y sin 2 ай J xy si1l2a o ; }
J v == J у cos 2 а о + J x SiIl а() + J xy SiIl 2а о .
СЛОIIШl\! И вы:чте:\l последние пыраЖСIIIIН., С УЧUТО:\l (2.21) будем IIl\ЮТЬ:
(2.22)
J u + J v == J х + 1 у;
Ju Jv== (Jx Jy) cosLao 2Jxysin2a()== (lx Jy)
со::; 2:z() .
Рсшuя СUШl( СТIЮ UOCJICДOllllC уравнения ОТUUС1ПС:IЫIO J u 11 J v , IЮ.ilУЧИМ
J u == {[(Jx + J y ) + (J x J y )
lv== {[(Jx + lу) (Jx Jy)
Очевидно. при J x > J lI , J u > J l)<
16
СОБ 1 '2а(l ]; I
cus 1 2a o ] .
(2.23 )
Учитывая, в соответствии с (2.21), что
1 V V lJX'lJ
2 :;:= i: 1 + tg 2 2:zo == .:f:: 1 + () !. 2) )2
COS а о Х у
выражения (2.23) ДJJЯ rлавных 1\1O.\ICIJTOn MOI'YT быть заrшсапы в видс
J и == [(J x + J y ) i: J/- (J., .т у )2 t 1J y l; }
Jv [(Jx+J y ) +'V(J.\: Jy)2+1J y].
(2.24 )
Прl1чем веРХПllе 3Шl.1Ш следует брать при J Х > J у II UШЮШС при
J x < J y .
Таким образом, фОрМУЛЫ (2.21), (2.23) и (2.24) П03БОJIЯЮТ ОП}Jеде-
ЛlIТЬ ПUЛОЖСllие rлаllНЫХ осей 11 ВСJlI1ЧIШУ rлаllНЫХ центральных MO
ментов инерЦIШ.
Ес:ш теперь Шlесто произвольной llачuлыlйй систсмы центральных
осей хОу ПРИlIНТЬ систему r.тIaBlIblX осей, то ФОРМУЛЫ перехода 1\ повер
вутым ося:'.! (2.19) 11 (2.20) упрос1'НТСН:
J X1 == J и cos 2 а + Jvsin2 а; }
J Y1 == J v cos 2 (J. + J и SiIl 2 а,
(2.25 )
J X1Y1 == (J и J v ) siп 2а
(2.26)
Отметим, что rлавные моменты инерции обладают СВОЙСТllОI\1
экстремалыIOСТИ. В этом ЛCI'ко убеДИ1 ься, продиффереНЦИРОllав Bыpa
жешlН (2.19) по перемеllНОЙ а.
Плuскости, провсденны(' через ось стержня 11 rлавныс оси инерции
ero ПОIIеречноrо сечепнн. называются елавНbl.ми плоск,остJl.МU.
10. rрафИ'lССRОС I1редстаплснпР ШНIСНТОВ Иllерции.
ПОIIНТИС о радиусс 11 ()Л.1ШJСС инерции
Вычисление МОlШ'НТОВ инерции по (2.23) (2.26) МОilШО заменить
их rрС\фичеСКИI\1 опредежтием. При этом НРИIН.то различать две задачи:
прямую и обратную.
При решении ПрЯ!l10Й зндаЧII онреДl'JIШОТСН МО:\lellТЫ ИlJСJЩIllI OTHO
сительио ПРОIIЗIЮЛЫIOii цеJJТIl(lJlыюii СI1И('l\IЫ осей х, у ПО извсстным
rлавпьш l\1О l('пта:\f ИllСрЦIlИ J u 11 J t;. Обратная задача состоит поты-
снаНIlИ rлапuых 1\lO\ICIITOll 11l!l'IЩ1\11 110 Il:ЗВl)СТIIЫ 1 l\lO\IClITa:\l 11lll'}JЦ1ll1
J x , J y II J xy ОТПОСIПl'JIЫЮ НРОIl;ШО:IЫlOii ЦСllтра.тIЫlоii систсмы осей
х, у.
П r Я 1\1 а я 3 а Д а ч 11. OllJ1t:: C:IIlТl, ыо:\!(тты IlllСРЦПИ J x , J 11 , J xy
OTHoCIIТe:fЬYlo осей х и у (РВС. 21, а) по J и и J v ОТllОСlIте.'IЬИО rлаll-
ных оссЙ, ШШР:'ШЛСIIНО ноторых 'И;JВССТIIО. Д.тIЯ ОПрСДt'JJСНllОСТИ поло-
il\Шl J и >J v '
I3ыБСрС l ПРЮlOуrО.1Ы:lУЮ СlIстему коор.rЩШl1 il lIеlШТОрОЙ [еоыет-
ричеСIЮЙ ШJOСI,ОСТII (рис. 21, б). ПО ОСП абеднсс БУД.;:\l ОТКJlаДЫllать
осевые М0:\ЮllТЫ инерции J ou (J и , J v . J x . J y 11 Т. д.). а по ОСИ ОРДIl-
uат цеJlтробеllШЫС Jцб(J и U т. ll.).
-17
в СООТВОТl,Тнующем масштабе отклаДываС\1 в; оль осп абсцисс
отрезки ОА 11 ОН, равные rлавным момснтам инерции. Отрезок АВ
1
делим пополам, таи что ВС == АС ==: 2" (J u J v ), Из тОчКи С описы-
ваем радиусом С А окружность, называемую ,.руео.м ине рции. Тоrда
для опрсделения момента инерции относительно оси х, провсдепной
под уrлом а К rлавной оси и, ИЗ центра Kpyra ПрОВОДИ1\1 под Уl'ЛОМ
2а луч спх. Положительныо уrлы откладываем против часовой
стрелки. При этом оказывается, что ордината точки Dx равна центро-
:lцo
о
J v
J y
J x
J и
а о
РИс. 21
бежному моменту инерции J ху. а абсцисса оссвому МО\1СIIТУ инер-
ции J x относительно оси х. Чтобы получить ашtЧСIIИО :\lo'ICHTa инер-
ции J 11 относительно оси у, перпеНДИl УЛЯРIlОЙ 1\ ОСII Х И, слеДова-
'it
rеЛЬНО, проведенпой под положительным уrлои ::::<: а. + 2 к rлапноп
оси и, проводим иа центра Kpyra луч сп у под уrлом 213 == 2 (11 +
+ ). Леrко видеть, что он является ПРО;J.о,'rжсю!Сч луча CDx.
Абсцисса ТОЧIШ пу равпа моменту инерЦIlИ J у, ()P'lIIl!H Н! К IJDIJ
центробежному моменту инерции с обраТНЫ\1 :JНШ,О\I ( J x / j ), 'ПО
соответствует цент обежному моменту инерЦIlИ 01110CIIТl',:lI,11I) осей,
повернутых на 90. Отметим, что ДВУ:\1 В,:lШВIНО lIl'l'lIt'll:tlII\YjjHpllhI J
осям соответствуют две точки Kpyra (Dx и Dy), лса"IЩJlС на 0;:1;110:\1
диаметре.
Проведсм из точки Dx ось х, параШIСJlhllУIO соо 1 J1CTCTB ющеii
оси на рис. 21. а. Точка М ее пересечения с Kp TOM lIа.ЩВ,I('Т('Н 1/0-
ItЮСОМ "руеа ин,ерции (rлавная точка или фUI Ус' "Ру 1',1 II!I('РЩIII).
Леrко показать, что линия, сосдинлющан полюс с ЛIOI)()11 rO'{/\i)ii Kpyra.
дает ({аправление оси, предстаВЛСlIlIUЙ на диаrраМ lе ; (IIIII()li ТОIJКОй.
В частности, линия М А дает направление r lаlНЮЙ UCIl и. Jlшшя
МВ параллельна rлавной оси и.
О б р а т н а я з а Д а ч а. Известны момеllТЫ инерlЩИ J х. J у, J ху
площади сечения бруса относительно системы ЦСl1тра:Il>lIЫХ ОСl'Й х у
(рис, 22, а).' Определить положение rлавных осей инеРЦIlИ и веЛllЧИП)
18
rлавuых МОМСНТОВ инерции. пля определенности построении примем
J х > J у и J ху > О.
в rсомеТрИ'lеской плоскости (рис. 22, 6) СТрОИ:'.1 точки Dx и D'II'
соответствующие МЩlента:\1 инерции относительно осей х и у. Абсциссы
этих точеR ЯВ:lНютсн осевыми момснтю!И инерции: ОК х == J x ; ОКу ==
== J y ; ордиuаты цсuтроБСЖllые MO lCHTЫ инерции JXIJ' причем
у
(]
о в
I J I J" '
v ' I
j:=5; 'i. ,А
I
J и
а
J q 5
о
А
Q
х
J и
О
Рис. 22
J qo
о В
I
6
J q 5
JoC' О А
J"
Jx
J
Jv
е
Рис. 23
кхпх:=: J XY ; KyDy == J xy . Тан кш, обо точки принадлежат ОДНОМУ.
диаметру, то соединив их, ПОЛУЧЮI центр Kpyra инерции С, иа ROTO-
poro ОПllсываем окружность радиуса
сп х == сп у == V ( Jx Jy )2+ J: yl
пересекающую OCl> абсцисс в ТОЧI{ах А и В. Очевидпо, что абсциссы этих
точеR (ОА и ОВ) являются ИСКОМЫМИ rлавными t40мев'rами инерции
J u и J V.
19
Д.1Л ()прс: с:теIlИЯ наирав.'IСIШЯ r.тIавпых осей построим фокуо
I,pyrn IIII('PI(lIII. С ToH целью 113 точск Dx 11 Dy пропсдем JIlIШIИ, COOT
вете rBCIIII() lIара:l.'IелыН) УI\а.заНllЫИ ОСНМ, дО пересе'fСШIН с KpyroM
в TO'lI\(' М. Ст';(1I1111 в .:aTC 1 фокус с rо'ша:\lII А и В Kpyra, ПО:I УЧIlМ
lIalIpallJl('lIIlc 1':IUIllIblX uceii и н v (I?Itc. 22, б). rрафll'lеСI\Ое рсшсние
обра rlloii :lи; а'l" соответствснно д.1Я четырех случаев, IIзобраЩСIIIIЫХ
па РIlС. 2(), НОI\U:I<ШО па pllC. 23, а, 6, в, 8.
!\1tЩ('IIТ ШIСрlЩИ фllrуры ОТПОСПТС.'IЫЮ IШI,оii JIIIбо ОСИ мuжпо
rIrp:(CTUВlIТI> в ВlЦC прои:шсдешш Площа 1I фllrуры на l\Вuдрат IНшото..
poii веЛИЧIШЫ, нuзьшаемоii радиуса.и инерции:
J х == y 2 dF == Fi ,
F
(2.27)
rдс ix ра;щус IIперции ОТПОСIlтельuо оси Х.
ИЗ (2.27) C.тIeДy'eT, что
ix
V J;
Т'
(2.28)
Апалоrиqно раднус I1перЦIlII OTHOCIlTC.lbIIO осп У
. V Jy
ly== Т'
(2.29)
rпаВНЫ:\l ЦСlIтра.1ЫIЫМ оеН1\1 ШICрЦIIII соответствуют rлашrые
радиусы I1пеРЦIII1
. V J: V J;
lu== т; lv,,== .
(2.30)
ПОСТрОЮl на rJIaBHblX цептра:lЫIЫХ ОСЯХ инсрции ПJIOскоii фнrуры
эллипс с пuлуося ш, равпы.\ш rлаUНЫl\1 радиусам ИНСРЦИIl, ОТlшады-
ван при ОТО.\1 ВДUЛЬ ОСП и отре:.ШП,
раВllые i 1" а IЦU.'II, ОСВ V отрезки,
РсШIIЫ(' {н (р1lС. 2:\). T:"l\oii ;):I:lIIIIC, lJаЗlI-
Bal',\\hIii ;):1:IlII1СОМ IIIlеРЩIII, о().I<.цuет ТСМ
;заl\l("Iaтс.lьны:\f CIIUiIC'1 B() I, '/То рПДllу С
IIlЮрЦIIИ ОТНUСIIте:IЫIO :Iюuоii цrllтрuаь-
ноЙ ОСll Х опрrде:IН(>Н' н I":Ш, IН.'jШСIlДИ-
(' 1\ Y.TIНР ОА, ОНУЩl'IIШJJ\ II.! ц<!нтра
\ э:r:шпса О па l\dСUП'.J I.II 'Ю 1\ НСМУ,
\ параЛ.1С:IbUУЮ OCJJ J', Jl:IH llо:rУЧСIIIIЯ
ТUЧIШ касашlН N)CTH'J 0'1110 lIjJOВРСТИ
lIapaJIJJeJIbHO ДШIllоii OCII ,/' :Jюf)уlO хорду.
ТОЧI\а lIереССЧСllllН .l:l:JIIIICa l' JIIIIlIIСЙ,
соеДIШЯlOщей центр () 11 С('IН'ЮIlIУ хор-
ды, являетсн ТОЧl\Оii ЮIСШIШI. ll;Н\Н РllВ
РИС. 24 отрезок ОА =-= i x , ШtХОДШl Ы0;\1еит llиер
ции по формуле
J х р l .
'J.O
11. Моменты сопротивления
о с е в ы л л о м е н т о м с а про т и в .а е 1l И.<t называется
,отношение .момента инерции относите.аьно данной оси 1> расстоJtНИЮ
до наибо.аее уда.аенной тОЧ1>и nоперечноео сеченил:
J x
Wx== .
у шах'
(2.31 )
Размерность моментов СОПРОТИDлепия едипица длины в нубе (.1ЕМ 3 ,
см 3 ИЛИ м 3 ).
Практическое значение пмеют MO leHTbl СОПРUТllDленпя ОТIIОСИ
тельно rлавных центральных осеЙ. которые обычно называются просто
моментами сопротuв.аенuл..
1. Для прямоуrольшша (рис. 10):
J x bh 2
W х == ' /2 == ;
(2.32)
J у hb 2
W y == ьп ==6.
2. Для крууа (рис. 13):
J х 7tr 3 7td 3
Wx TVy W T 32'
3. Д.ТIЯ трубчатоrо сечения с внутренним диаметром d и llаруж
н ым D:
( 2.33)
(2.34)
J x 7t (D4 d 4 ) 7tD3 4
W X == W y == W== D/2 == 32D == 32 (1 C( ),
(2.35 )
rде
d
а.==п'
(2.36)
п о .а л р н Ы.« .И о .« е н т о м с о про т u в .а е н и я н а зы
еаетсл отношение по.а.ЧРН020 момента инерции ,. расстаю/ию от по.
люса до наиболее удаленной тОЧf<И се'lеnи.'l:
J p
W ==
р Ртах
(2.37 )
в качестве полюса принимается цонтр тяжести попереЧlIоrо сече-
пия стеРЖllЯ.
1. Для Kpyra (рис. 13) ""
J 3 d3
fV ==.......Е.. == ::!.... == . ( 2 .38)
р r 2 16
2. Для ТРу'бчатоrо сечения
J р 7tD3
W Р == D/2 == 16 (1 сх 4 ).
(2.39)
21
I 12. ПОРIlД()J\ pac'IcT8
При анализе rеометричеСI\ИХ харантеристик ПЛОСЮIХ фиrур любой
сложности важнейшеЙ Jадачей НВJJяrтся ОПР<'ДС.тIение ПОJIOЖСНИЯ rлвв
ных oceil и величин rлавпых моментов инерции. Можно pel\OMCllДOB1:IТЬ
следующий порядок определения положения rлаВI1ЫХ осей и вrЛИЧJ1ll
rJlаllllЫХ центральных моментов инерции СЛОЖНОI'О ПрОфПЛfl, COCTOH
щеrо из простых частей, характеристики которых лсrио определить.
1. Проводим произволыlюю ПРЯl\lоуrОJIЬНУЮ систему осей. Разбl1
васм фиrуру на простые части и определярм по (2.5) ПОJlOжеlше ее цеп-
тра тяжести.
2. ПрОDОДИМ начальную сист('му центральных осей х, у таиим
образом, чтобы наиболее просто можно было вычислить моменты
инерции Ч1\стей фиrуры относительно этих осей. Для этоrо определяем
моменты инерции частей фиrуры относительно своих центральных
осей, проведенных параJlлельно осям Х, у, используя при (lTOM фОрМУJIЫ
перехода и параллельным осям (2.14) и (2.15). Таким обраном, полу
чаем зпачеllИЯ J x , J y и J xy .
3. Опррделяем по (2.21) уrол наЮ1Она rлавных центральных осей,
причем ось, проведенную под меньшим уrлом (положительным или
отрицательным), обозначаем БУIШОЙ и, а перпеllДИИУЛЯрНУЮ и ней
буивой и.
4. ПО формулам (2.24) определяем значения rлавных центральных
моментов инерции J u и J V'
При м е р. Опрrдслить положение rлавных центральных осей
и DЫЧИСЛИТЬ rлавные моменты инерции для поперечноrо сеченпя
(рис. 25, а), иоторое состоит из неравнобоиоrо уrолиа .м 14/9 (fOCT
8510 57) II швеллера Х9 24 (fOCT 82,Ю 56).
).,у
X 1
X r
о
рис. 25
Реш е н и е. Через центры ТНЖССПl С 1 И С 2 yroJlKa и швеллера
про водим центральные оси Хl' Уl И Х2' У2' параллею,ные их сторонам.
Поскольку Х2 ось симметрии швеллера, она и ось У2 являются ero
rлавными центральными осями. rлавная'центральная ось уrолиа
обраJует с ero центральной осью Хl уrол а..
Для уrОЩ\а F t ::; 22,2 с.лL 2 ; J хl == 146 C t4; J UI == 444 см 4 ; J у. ==
22
== J mln == 85,5 с.ц4; tg а == 0,409; а == 220 15'; координаты центра тяже.
сти ХС == 4,58 см, УС == 2,12 см. .i
Для швеллера F 2 == 30,6 см 2 ; J xs == 2900 см 4 ; J y . == 208 см 4 ;
J х,у, == о; координаты центра тяжести ХС == 2,42 см; ус =::: 12 см.
Найдем rлавный момент инерции J хо и центробежный момент
инерции J х.lI, уrолка:
J хо == J тах == 444 + 146 85,S =::: 504.5 CM4
J J J J
J == хо уо sin 2 ( 900 а ) == хо уо sin 2<% ==
Х1У' 2 2
== 504,5 85,5 0,701 == 146,7 см.,
Расстояния междУ. центральными осями уrолка и швеллера равны:
между осями Xl И Х2
12,00 + 2,12 == 14,12 см;
между осями Yl и У2
14,00,..а. 2,42 .... 4,58 == 7,00 см.
ОпредеJIИМ координаты цеllтра тяжести С всей фиrуры в системе
()сей Х2, У),:
22,2 7,00 294 22,2 14,12 594
ХС :::в:: 22,2 + 30,6 == , см; ус == 22,2 + 30,6 :;с, см.
Центр тяжести С должен лежать на прямой С}С'}., что необходимо
проверить вц рисупке. Через цснтр тяжести С проводим центральные
оси ХС и ус' параллельные проведенным ранее центральным осям
уrолка и швсллера. В системе цснтральных осей ХС' ус координаты
центров тяжести уrолка и швеллера равняются:
Х с . :2ZII 7,00 2,94 .. 4,06 см; 1Iс." 14'12..... 5,94:8С: 8,18 CJlJj
Хс. == 2,94 см; Ус, == ...... 5,94 см.
Вычислим OCCDble и центробежный моменты инерции Bcero сечении
n систсме ПРОИ;НЮJlЫIЫХ центральных осей Хс, Ус:
.тхс:ВО: 146,0 + 22,2 8,182 + 2900 + 30,6 . 5,942 == 5607,6 см 4 ;
J УС == 444,0 + 22,2 . 4,062 + 208,0 + 30,6 . 2,942 == 1282,4 (м 4 ;
J xc УС == 146,7 + 22,2 4,06 8,18 + 30,6 . (.....2'94) . ( 5,94) ==
== 1417,3 см 4 .
ПО формуле (2.21) находим уrол СХ О наклона rлавных центральных
осей Х и у относительно произвольпых центральных осей ХС и ус:
2J xcYc :2 1417,Я
tg 2а о =::: J J =::: 1282 4 56U7 6 == 0,66;
Уа хс ' ,
2«0 D: 338 20'; а о =-= ..... 160 40'.
ПОСIШЛЬКУ уrол а() отрицатеJIЫIЫЙ, rлавная центральная ось и откла
дывается относительно произвольной центральной оси ХС по часовой
стрелке, а поскольку J Ха> Jyc' то ось и является осью, относительно
RОТОРОЙ момент инерции будет МaI{симаJIЬНЫМ.
23
fтшпыс момснты ИНСРЦllИ опр еделим по фОрМУЛf' (2.24):
..:...= [)(Ю7,t) + 128 /I + V( 5607.6 1282.4 ) 2 141 7 32 ==
J и. v 2 +,
== 3445,0 i: 2585,u C. t4;
J и == J шах == 6030,6 C.lt 4 == 6030,6 10 3 t4;
J v == J rnin == 859,4 C t4 == 859,4 10 3 .н 4 .
II Р о D С 11 1\ а. ДОШIШЫ удовлетворяться условия
J xc + J yc == J и + J v II J иv == О.
в даIIIlО!l1 случао имоем
J Хс + J ус == 5607,6 + 1282,4 == 6890,0 == J и + J v == 6030,6 +
+ 859,4 == 6890.0 см 4 ;
fCOM стри qеCIше харaI терИСТИI\И IIЛОСIШХ сечсниЙ
ФОр l3.
сечснин
Площадь
сечения F
Rоорщш3.ты
крайних ТОЧСн Сечения
Квадрат
F == h 2
h
Хl == Уl == :;[
.к...
Любuл цептралы1яя
ось rJJаВIJая
Н:оадрат полый
Jt' :=: li.!. ' 2
1J
Хl :::::= Уl == Т
х
Jlюбая цеп rраJ1ыlяя
ось rлавшlН
24
J хс J ус .
J иv ==: 2 sш 2а о + J xcyc COS 2110 ==
== 5607,6 -;: 1282,4 . ( 0,55) + 1117,3 . 0,836 ==
== ......1189'4 + 1184,9 == 4,5 см,4.
45
Относительная оmиБRа составляет 1184,9 100 == 0,4%, что допу-
стимо.
На рис. 25, б показано построение I\pyra инерции для rрафическоrо
решения этой же задачи.
rеометрические хараRтеристики различных плоских сечений
а также сечений прокатных профилей приведены Б таБJI. 1 8.
MO IeHTbl инерции:
осевые J х. J у; цснтро
бежный J xy : ПОЛПРIIЫЙ
п при своБОДIIО 1
НРУЧСНИII J 1\
h 4 h 2 F
J x == J y == 12 == 12'
h 4 h 2 F
J Х2 == """;)" == '""""9 '
.) t.)
J K == O,140()h 4
Н4 /14
J X == J Y ==
1
Н2 + ' 2
== 12 F
MO feHTJ,! СОПРОТИВ:JеПИfI:
осевые W х' нт ч ; по.;тРIIЫЙ
./р V[J п при своБОД}IO 1 нру-
ЧСIlИII W н; ': HacaTe:IbIlOe
напряжение
h 3
W x ==W Y ==6'
rv н == 0,208h 3
'ё тах поссредине
сторон, в уrлах 'i: == О
Н4 /L 4
J,y х == W у == 6Il
Таблица 1
Радиусы IIнерцпи
i == V J;.
х ,
F
. V --Т;;
ty F
. . h
lx == y === ==
V12
== 0,289h
Эллипс инерции
Kpyr
IX =:::: Iy ==
== V H2 + h 2 ==
12
== 0,289 V 112 + h 2
Эллипс инерции
Kpyr
25
Форма Площадь Rоордпнаты
ссчспип сечения F крайних точРк сеченип
То I1КОСТСIIIIЫЙ F == 4Н'О Н
квадра т полый Хl == Уl == Т
II
у '0<15
о
х Х
:,;:;
;- х, х,
iH
У
JIюбая центральная
ось I'лавпая
Квадрат полый F == h 2 а 2 h
Хl :&::: Уl =- 2"
х
h
У
Любая центральная
ось rлавная
Квадрат постанлсн
на ребро
F == а 2
h
Х 1 == Уl == 2"
х
Vl
== а == О 71 а
l '
Любая цснтраЛЫ:lВЯ
ось r л.аввая
26
М0менты инерции:
осевые J Х' J у; цeHTpo
бен<ный J ху; ПОЛflРНЫЙ J 1
If при свободно" нруче
НИИ .J к
MO'\leBTbI СОIIРОТИU,'lенил:
осевые W х. V у; ПОJIfIрНЫЙ
\V r и щ:ш свободном нруче-
нии W н; 't насательное
напрЯII,ение
Продолжеuuе табл. 1
Ради усы инерция
V J;
X == ;
F
y =- v J у
F
L
J x == J y == :{ 1f3'Q ==
F/J 2
==
w х == W у == } Н2о
h-l а 4
Jx==Jy=== ==
lt 2 + аl.
== 12 F
а 4
J x === J y == 12 ==
a 2 F h 4
=== 12 == 48
. н
lx == ly == УЕ
О,408Н
Эллипс инерции
кру!'
h 4 а 4
Vx==Wy==
У2
V == W == а 3 ::::
х у '12
h 3
== 24 == О,118а 3 ==
== 0,042h 3
При срезке верхпсrо
и lIIIжнеrо уrлов на
1
Ь == 18 h W х достиrает
маl<симума W х ср ==
== 0,124а 3 == 0,04 h3
lX == iy ==
V h2 + а 2
12
== 0,289 У It 2 + а 2
Эллипс ИllОРЦИИ
кру!'
lX == iy == О,289а
Эллипс инерции
«ру!'
27
Ф()рчз
ССЧСIJIIЛ
)\ll(щрат НОЛЫ ii по-
стаuлсн lla рсбро
у
Любая цснтральная
ОСЬ 1'.ТIallНая
11 РШlОуrольпин
d У
'У2
Х..
Оси х х n у у
rлавные цеl1траль-
ные
28
Площадь
ссчсния Р
F == а 2 Ь'.!.
F == bJl
l\оординаты
крайних точек сечения
н
Хl == У! == 2 ==
V
== а == О , 71а
2
ь
Хl == 2
h
Уl : T
проао.лжеlluе табл. ]
MO leIlTIoI инерции:
осевые J Х' J у; центро
II жныii J :Л'1/; ПО:ШРНЫlI J l'
и при СlJоБОД11O:l1 I\руче'
нии JI\
"-10 ЮIIТЫ СОПРОТIIВ:JСIШЯ:
Оссвые y х' ,V 1 /;
ПО:JПрllыi1 '" '(J 11 ври' спобо;т.
110:11 КРУЧСШIII ,V}\; 1: I\з'Сз"
тельнос напртненис
1>,1,\11 усы 11IICIJЦIlII
. V J x '
t x === p ;
i == y
у F
а 4 Ь 4
J x == J y ==
1/4 'L 4
.'iR
02 + b
== p
12
b/z'J i,'h 2
J x === Т:Т -O 17
Ilb: J РЬ'!
J У === -Т -O Ti
lJlL 3 ]1'h?
J '2 : ; == ;
Ы):I РЬ'!.
.1 и2 =--...::: =-.:' . I
b !I'2
I" Y2'- Т
.I'\', ::""0 .1 \'4 :"'
Ь 3 h З b 3 h 3
=-= (j (Ь 2 + 112)
d 4 si1l 3 з- Pd'.! sin 2 (1.
48 24
J p === (Ь 2 + lL 2 )
h
b == n > 1
J == т:Ь 4
Н j
TV х == V у ===
V"2 а 4 Ь 4
12 а
а 4 Ь 4
==O,118 ==
Н4 h 4
24Н
== О О /, 2 П4 h 4
, 1 II
ix iy ==
l( 2 -+ Ь 2 :--о:
'1 :!
== О,28!:! V а 2 -+ Ь 2
ЭЛЛИllС ИПСРЦl1Н
Hpyr
М2 PII
JV x ==!\ == 6'
1 '1'1 == 'Lb 2 Fb
, у 6 ()
Н'н ==- ';Ь З
11 оссrсJJ,lШ(' r\ЛШIIJЫХ
CTUrOJI 'С тах == /I1 1i /Т'V}\;
1I0с<:рсщше 1\0рОТIШХ
l't === '!:тax; в УI'ШlХ 't == 01
(, == O,289h
iy == О,289Ь
29
Форма
ее'lеНИR
Площадь
сечения F
n 1 1,5 2 J 4
е 0,208 0,346 (),4B; () , 80 1 1,150
'1j 0,1404 0,2936 0,1572 0,7899 1, 12:
t 1,0 0,8588 0,7952 0,7533 0,7417
Прямоуrольник
ПОЛЫЙ
F == вн bh
у
)(
х
Оси х х и у у
rлавпые центральные
Тонкостенный прямо-
уrольник полый
F === 2f1 (8 + Н)
н
<15
:,;;;
х
х, х,
9
у
Оси х х и у у
rлаDные центральные
во
Ноординаты
f\райних точек сечения
6
8
10
1,78!) 2,45() : , 123
1,78\1 2,4;:,() 3,123
O,74 b O,7-'I1;) 0,7425
JJ
Х, =о: т
II
Yl == 2""
п
Х 1 == Т
II
У! ;: 2"""
MO leHTbl инерции:
осевые J х' J у; uептро
Осжпый J ху; ПОJIRрlIЫЙ J р
11 при своб();щом круче-
Ш1И .1,(
Моменты сопротивлениl'I:
осевые W (' W 11;
ПО.1RРНЫЙ \rV р и при сво-
бодном кручении V}(:
.. кэсэте:Iьн()е напряжение
== п >4
Ь
J м == (п O,(j: ) Ь 4 И' М == (п 0.6 ) Ь 3 :=::
J M
n точках j\ЛИННЫХ сто-
рон, :-!а ИСЮllOЧРШIРМ
концов, 'tша:о..; посерс-
ДИ lе КОрОТIШХ сторон
": ().7425с тах ; в уrлах
1: . -:. ()
п родолжепuе табл. 1
Радиусы инерции
V
!х ... F :
V J;;
!у ... F
ВJJЗ bh'J
J x == 1
И ВЗ /zb'J
J 1I == 12
ВИ 3 М 3
W х == 6Н
НВ3 Izb 3
W У == ---------вв
'OH'J ( В )
J Х=="""6 ; н + 1
'О В3 ( Н )
J lI ==T 3 в +1
'ОН 2 ( . В )
WX==T 'з н +1
оВ2 ( . Il )
W lI ==3 ' B + 1
ix ==
V ВВ3 bh 3
12(лн мi
V ВВ3 hb3
12 (ВН bh)
iy ==
lX == 0,'2.89Н Х
V 3B + H
Х В+Н
i 1l == 0.2898 Х
V 3H+B
Х Н+В
31
Фор";)
ССЧt'JlШl
()сп х х и у у
l'лаnпые центральные
П.;тощаДI,
с(,чеIJIIFl F
F==b(Il h)
НООрДПН:lТ!.1
пра I1HlIX точСн ССЧСIJJlfI
ь
Х(===2
Il
У1 === 2
п рЛl\юуrольник с
I.;руrлыrvl отверстием
у
х
Осп х х и у у
rлавныо цептральные
п рлмоуrольпи f\
с двумя отверСТПШlIl
32
d2
J? === bh -----'
4
( d2 )
=== bh 1 0,785 о Ы!
х
'itd 2
F = bh 2 :-==
bh ( ! 1 57 d 2 )
\ ' bh
ь
Х1:::::: i
l!
и! --о 2
ь
:Сl:":":: 2"
h
!/1 _C: 2
l\IO leHTbl инерции:
()\.:Свые .т х' J у; ЦСl1ТРО'
UСiННЫЙ J xy ; по.;1Rрныit J p
11 при свобо;:щом 1<руче-
lJIШ J 1<
MO ICHTf,1 С()ПРОТИВ:IСНIIЯ:
осевые \У х' \У у;
ПО,ТIярный W р и пр!! СВО-
БО;:ЩОI\l кручении Н',,;
1: касательное напряжснис
Продолжение табл. 1
Радиусы инерции
. V T
, х
1х == F i
. V -Т;
11 / ==
. F
ь
J х :-::= 1'2 (НЗ l З)
ь а
J ( Н . l )
jJ 12
ь
lV (11 3 - Il3 )
Х . 6Н
Ь 2
lV jJ ==' 6' (Н h)
ix =z:
1/' H2+11h+h2 ==
r 12
0,2R9 V H2+H'1+'l
iy О,:289Ь
. J ( bh 3 7:d-l )
J х IJ. \ J 16
lilt 1 ( d \ )
о. 17 1 0,:19 bh:
1. ( 7:d l )
J и .. '" 3 16
IllJ'\ ( dl )
:-:-::; 1i 1 0,59 Ilb: 1
J . 0":= bh 3 [ 1
.Х 12
d 4 (
1,18bfiТ 1+
+ н; : )]
J у == hlb \ (1 1,18 l ь4з)
2 ь 1/1-:
П ' 0"":: J. ( ЫL 3 7:d-l ) =:.
Х :2h 3 16
C '(I 0.59 b d ;, ) ( · bh"
TV, !. ( hlJ1 7t d4 ) со Х J 11 0: ::
и 2Ь 3 н; i у =.. .. О,28!1Ь Х
hlJ 2 ( 1 (\ '-() ) I d 4
t) ,OJ. hb'l / I 0,59 W
Х 1;1 d 2
r 1 o,785M
I
I
Н' x ::C b [1
d l (
1,18 liIl,l 1 +
+ 1G ) J
r 'llJ 2 (
Пу=:::: 1
118 )
, hи'
{х 7::с O,28Gh Х
''1:' . = О,28Ш, /
(
J/
d 4
1 1 , 18 ;- h Х
lJ
(1+10J:)
1 "r d
'",/ "(;h
i 1) ..' О. <2 А ' l)
I
/ 1 1 1", d4 .
/ ';{ li ';
>:
v
..
1 . 1,;)1 {;h
33
ФОр ln
сечешlЯ
п рямоуrо.1lЬППК
с полукруr.1ЫМИ
Dыр('за ш
у
Осп Х - Х II У У ......
r.ТIaППЫО цен тральныс
п рП\10уrолышн
повернутый
х
Узкая ПрЮЮУl'ОЛЬ-
пая волоса
-l /'
J \-- l '
>:'::i / ,
i./ / -<:::)1
.ь /' r
XJ . l2'
:34
Площадь
сечения F
F == bll..... 2tr 2
F == bh
х
F==lt
Rоординаты
l\райних точек сечения
ь
Xf == 2
h
Уl == 2
у 1 == (lL COS а + Ь i па)
Хl == (Ь cos а lz ::>ill а)
а + l)
УО ==
IL
Yl 2
МОllfСНТЫ инерции:
осевые J Х' J yi цептро'
бешвый J xll t DО.;rярвый J р
и при свободном круче-
нии J K
Продолжение табл. 1
I Ращl'!СЫ инерции
Моменты сопротивления: J
осевые W X ' Wyi . V Jx
полярпый W р 11 при свобод- x == F :
ВО:'I кручении \V к; I V J
t Кilсательное напряжение i::.
?I 1."
blL: J 7':r 1
Jx==
. .12 4
J == I1 Ь J :2 [ О 11 r: +
и 12 '
+ тcr ( ! r ) 2 ]
2 2 ;;..
bh L тcr 4
Vx== T '2.h
hb 2
ТУ 11 == Т
i [о, 11r 4 +
+ п; ( } :: ) 2]
- 1 / Jx
'х == J F
. V Jy
ly == F
J blL h " "
х == 12 ( с os а +
+ Ь 2 sin 2 а)
J bh (h 2 . 2
11 == 12 SIll а +
+ Ь 2 cos 2 а)
J xy == (Ь 2 h 2 ) sin 2а.
bh
И 7 Х ==6 Х
h 2 cos 2 а + Ь 2 sin 2 а
Х h cos а + ь sin а
bh
ТУ 11 == 6 х
h 2 sin 2 а + Ь 2 cos 2 а
Х Ь cos а h sin а
ix ==
{ h 2 COS 2 а +
+ 2 sin 2 а
12 ==
V h 2 COS2 а +
== 0,289 + Ь 2 sin 2 а
iy ==
V h 2 sin 2 а +
== 0,289 + Ь 2 соз 2 а
lth 2 Ph 2
Jx== ==
. 12 12
lt '
J Х! == "3 (а 2 + аЬ + Ь 2 )
2*
W ltlL
X 6
lt
W == (а 2 + аЬ + Ь 2 )
Х2 ЗЬ
ix == O,289h
35
<j>IJr ч ,
( l '1(;1111 I
П:юша;J,Ь
ССЧСШ!f1 F
НопrЩllllа:rы
у.раЙllИ '\ точен CC'Ii:IIIJ'l
(lI\"I('ТРП'III(,IJ[ ;Щ\-
1(11\1) 11, JIl)a'IO 10:JI,.
ЦIIt,() j
Осн х х П Ц у
r,;]апные Ц('lIтпа :]ЫIЫС
1/ a/L +- ь (11 ll)
ь
Х 1 == 2
н
Уl == T
ДПJ r,.шр
J1 {.)L T
K' " :;.4- "
, f! ' t
, }, '
,\ . t ::2- ; I
"- I , )/ / "::::t:. '-.
, .-А''"> ,i , t !
L.....L.. t.:...+ I
I ' 01-. ''-.>
r 7 I t..i
Ц
СИ:\I:'\Н ТрI1ЧIJое ссче-
UIIC 113 ПРШlОУlо:rь-
ШШОll
I b j J!1*
t ' !:Ш: пр т
>\:/ffi ! X
Ось х Х r :ншпая
Це 11 1 раJlЬШ1Л
:ш
F == аН +-
! 2Ь (с +- С])
1
b (B a)
2.
р =.:---= В11 М,
в
Хl == :2
11
Уl == 2
Уl
Il
2
J\lO\ICll rы 11IlсrЩIIII
осеВЫе J Х' J /1' центра
С5ежный J ХУ' .полярный J р
и при СRоБО1НQМ нруче
нии J 1<
l\10\ICI!TIJ СОЩЮТI1ВlеНII'1
оссвые W,л., Н' /1' НО IfIР
ный W р и при своБО.1НОМ
I<руЧСНlI1! П! К
l<aCaTc:lbHOC !Н1П!JlliI eIIllC
Птю r!О/ЖfЮlf та,)1
l' t II!УСЫ IIIIС'!1Ш!l1
t x == / J " :
'у 1
7;
l'
J =-- ah 3 + - ( IIJ h 3 )
х 12 12
а 1/ b'
J у --:= 12 + tТ (Н /l)
ah>
JV.\. =-=-- ы] +
+ ....! (П'! /Z'I)
Ы1
IX ==
- ,r(!L\ i 1)(I{J l ,I)
J 12 [(/ fl 1--- Ь (]{ -h) J
а /l
1V У - I il I
, u
+ (11 //)
'->
(l 11 () i (П h)
12 [(;/, I 7J \ fl h) 1
J X - 1 [811.! 1Vx [BJJ3 'х ._ 1( J x
ЫI 1/
14] 1 4 ] r
(hl hl) I h h 1 ) 1 у ---= }/
4): 4а \ . F
J - .!. [ 83 (Н h) + ТУ [B3 (Н 1l)..1.
у 12 у 6Н I
-+ h1а З + (8-1 a )] + h1a J + .f (B a 1 )]
(% -----= 11 h,
2Ь
Д.1Я стандартных ,'Щ)-
тавроп
1
сх :::::::"6
ВI/1 bIl:J lV x 1JJ1 bll 1 1/ 1з1]з blt J
J x - 12 ЫI lx == 12 (lЗll b!l
17
Ф()Р;lЩ П:lОщадь l\ООрДИRаты
сечеНИR сечения F f(райRих точек сечеНИR
Симметричное сече. Ь' == вп + bh н
Yi == "'2
вис из пря юуrоль.
ников
'f
х ! I ':' i ф '..:! х
..8..... д ..о.а_....
ff д
." 2
Ось Х Х r.1аввая
центральная
Крестовпна J? == 11 Ь + (8 Ь) IL В
Хl == 2"""
11
у Yt==T
. , :>:; 1х
:::Х::!
<;; ,
I\реСТОDiШ8 TO][f\()-
Т('НШJЯ
Р =:: Ы') + (Ь о) о
ь
Х 1 == "2"
h
Уl == 2
rfБ - Т1
! I
!. .t
I I
, ",Jf
1
, Ь:
"'у
38
Моменты инерции: Моменты СОПРОТПD.1енин: l'З)l.llУСIJ инерции
осевые J х, J у; центро. осевые W х' \V у;' . VJ x
бежный J ху; по;-mрный J р ПОЛRРНЫЙ \V р II при СВQt!од- x :ос: F i
11 при свободном Rpy'lC- н 0:\1 I<РУ'lении W 1<1 111 == / '
НИII J 1< 't каса тельное HanpRjl(CHlIe
J x == BHJ + bll- 3 TV х == BIP + bh 3 ёх == V /JH"J + bll-:!
12 (jlI 12 (В11 + bh)
J x == bJI;+(B b)h; IV x ....с: ыI! J +- и] Ь) 11-'; , V J x
'12 (iH lx == F
J у == /ш.! + (Н lt) Ь ! Vy 11/] I + (11 /1-) Ь ') i 'Jf J у
12 оп y , F
.I х ;;";': 1\2 [ll-:Io+o.r(b o)] fV х === 11-:10 + 03 ( Ь о) ёх V J x
6h F
J у 11'2, t b,Jo + 03 (h о)] Ь:1о +03 (h o) . V J II
W У == 6Ь ly ==- F
п родолжеlluе табл. 1
39
ФОр\1n
I'сче1111 fI
J I('!'Н\Н/('ТI)J[ЧIlыii
нпутнвр 11 j IlрП\!О-
I'U:JЫШ!,ОВ
I),...... L ь,
]3 f,,;, .1 12 m '
/ " =- I_ I
...:: I
Х, ::t:;, Х
--, ::jT
, , ': 8,:1
'""1a
P:7:
'8 :
y;
ОСII x x 11 Y Y
!'.'Та\1I1Ы(' ТtРIlтра.ттытыс
СП:\I:\IСТрИЧIТЫЙ ТJlЗр
! прямоуrолыlковD
YIl
х х, xL:1 x 1
Т / . 33:х
40
П'-lОща;:{ь
сс 'lеШ!f1 F
F -=: ЬС1 +-
+- а (ll -+ h 1 ) -+ Ес
}1' (В Ь) c : bh
Rоординаты
крайних точен сечеНиft
Ь 1 == ь а
B1--=B a
В
Х1 == 2
1
УI == 2 Х
,/ aH2+-В\сЧ--Ь\с, (2H -cl)
/'.. аН +- В\с +- b1C1
У; == Jl Yl
/L --== V 1 С
h 1 У; С1
в
-- 2
1
у l' -- i ><
" (П Ь) с'2 +- bh 2
/, (Н Ь) с+- bh
!/I == /l 11;
l\f()ЧСIIТЫ ИIlсrЩIIИ:
ОССВые J ОХ, J у; ЦСlIТРО
бежный J ху; ПОЛRРНЫЙ J р
11 при своб()ДНО\1 «р)'че-
нии J«
l\IO leHTLI еОПРОТJШ:IСIll1l1:
осевые \V Х' \У 11;
Полярный \У р JI при ево-
БО;J.НО 1 «ручеШIII W н;
-: «aea'fe."IbHOe наПрНiНСIIlIС
J x (Ву: В 1 h З + JV х в J (для верхних
Y 1 ВОJЮI\ОН)
+ by blll )
J } [ В1с L Ь' 3 с .L
У 12 [ I I
+ аЗ (h + }ll)J
'2
J.'C .::= J x % Y 1 F
1
J;\: == :3 [(B Ь) е З +Ьh 3 ]
J у ==== 112 [В 3 е+ Ь3 (h e)]
Bh 3
I\poMC TOl'O, JX== 12 '
[д(> наХОДIlТСЯ из
I'Р[\фШШ
J3
0,6
())
0,2
J
\Т' \ Н :: 3 (i(ЛЯ ШI,I;Шlл
Yl BO.1.UI\OIl)
1
lV V :::с:.: БВ [ВЗ с + Ь З е 1 +
+ аЗ (l + }tl)]
IV ::::: J Х ::::: J X2 У' р
),:в У; У; 1
(для ворхних волонон)
vV == J x ==
х Н Уl }! V
(,l,:1Я lIШIШlIХ Bo."'IOI\OU)
рт [В :' с ! _
t У иН
+ Ь:! (h c)]
0/]
Лроr1().1Жf'llUf' тar;, ..
l'сЦII 'СI,I 1111('[1111111
V J-;
i x "" 7
i V !L
y F
V J
lх ::..= lf
. ,,( J y
lи F
ix - .::
1( J
, fi'
; ' J / {,ч. -
'У -, ft'
1
2 <
V (/].3 ьа ) С .1. U.IJl
, / I
" 3 [(8 bj--ёТЬJ J
41
Форча
се1JеШiЯ
НеСIIЫМСТРПЧНОС се-
чсние llЗ пря.\10уrоль-
ШШОD
а а
а о 7Ь2
'Il ;- ' : .. :+:
x ' b.. ! х
' -"/" . Zt
в I : ' В i В I f
..-. t ..,
Ось Х Х ЦСНТ-
ральная
Норытпое сечеПllС
х, х,
8
У
Устой с обратнымп
стеIIка ш
х, у X
..с:::
r-1 х
=k
, !
J
I Х;
I Ь"
rч ...;
)"
42
Площадь
сечеНl1R F
F == аЛ + Ьс
F == Bh +
+ 2Ь (ll h)
а+Ь
р;=. Вп......, lt
:Координаты
нраt\пих точен сечения
аIl2 + Ьс 2
Уl
2 (аН + Ьс)
у 1 ' == Il Yl ==
аlР + Ьс (2П ......, с)
2 (аП + Ьс)
в
Хl == 2
Bh 2 + 2Ь (Н'2 ......, h 2 )
у, =-= 21LJh + 2Ь (II /t)]
У: === 1I ....... у!
п
Хl=-=Т
Уl ==
3BlJl......,/t 2 (Ь + 2а)
tJLJJl :-3h (а + Ь)
У; =--- II ....... Yl
Моменты инерции:
осевые J х, J уl
центробежный J ху; ПОJIЯр-
ный J 11 И при своБОДН() I
;;ру чеПlIII .1 ({
1 ч
J x == 3 (ВУ1 bt. +
+ а у J)
J x ==
Rh:i + 2Ь (II ..... h)3
12
+BII(VI y +
( H h
+ 2Ь (11 /1) -------т +
+ 1I У 1) l
JJ/ -=-==
Л3fl (П h) (B 2b)
1L
Моменты сопротивления:
осевые "1 х, W",
ПОJJRрныi\ W тi и при сво-
бодном вручении W 1<;
't касате:п,ное напряжение
r V == .:!.:...
ха УI
(ДЛЯ IIIIЖШIХ ВОЛОКОН)
J x J x
W XlI == == н Yl
(ДЛЯ веРХНllХ IJОЛО.ков)
t Jl .\ [1 > J V х 11
ТУ х ==
+ У1
(ДЛЯ нижних ВОЛОНОН)
Wx==
у;
(ДЛЯ верхних ВОЛОНОН)
fV у ==
и:!}I (H h) (B 2b)';
()В
Продолжение табл. 1
Раднусы инерции
. V -Т;.
t x -= F '
. V J;
t 1/ == F
V h
!..ас== F
. V 7;
lx== F
1 V Jy
y F
J х J . li'i fV х == [х :::.:;; V J x
оХ, ] У1 [t'
lJН3 (ДЛЯ nШl\НПХ ВОЛ ОНО")
J X2 == з--- J x lv:c= V J y
y х == Ь'
h у'
(Ь + За) 1
12 (ДЛЯ верхuих ВО:IO.кон)
J//J j 1I ПВ2
J /J :::' lТ fЗ х П' у ':,:, b
Ь 4 а 4 11 [)4 04
I )< b a 24и b a
43
Форr>J8
СС'!(!I! IIЯ
РаВl/оGОЮlll TO.'lOI\
у
Р,ншоБОНllii ТОЛОl\
у
НераВlIоБОI\IIЙ yro.
JI0i\
44
Площадь
С ЧСНИЯ F
[,' t (21L t)
х
[,' t ('.!.Il ()
F t(b+1Ll) "':
t (1L + b 1 )
Ноордnнаты
J-\райних точен сеЧСlJИR
Хl .,..-- l1t "---::
lt 2 + t (h t)
== . ('2h t)
х 1 ' 111' 0.=
h .сl =-= h 111
!/l
11": l ( '
V:2
/l L : 11 f t
!I I '. .
" \:211 f) V2"
, V2
с 0::'0 Уl 2
l) : Il,l
ХI " (b+hJ)
J 1 (/ )'1
;, +111(2b t)
.2( b+h 1 )
/t 2 + b1t
111 -=..о 2 (h + b 1 )
У; == h Уl ==
h 2 + Ь 1 (2h...... t)
2 (h + Ь 1 )
Моменты инерции:
осевые J х' J у; центро-
бежный J;ry; ПОЛRpны!I J p
и при свободном 1\руче-
нии J}{
Jx==J y ==
1
== "3 [t (h и1)3 +
+ hy (h е) (У1 t)3]
J =-= t (2h 3t) (h 2 + ( 2 )
Х2 6
7h 4 5 (h t)-t
J У2 ::о... 12
2h 2 Y1 и + У1) +
+ 2 (h t) (h
Yt) (у, + t)
;.т/У1 (/t t)2
J х == ; [204
2(C t)4+
+ t (h 2с + + )3]
' " (h t) I
J1/ == 12
.1 х = , [t (lt У1)3 +
.)
+ by Ь 1 (У1 [)3]
1
!!} 3, [t (Ь XJ)3 +
-1 h:r h J (х] t)3]
bb,/lh t
J,xи ----=- 4 (Ь +1iJ :::'=:
bb,hh1t
4 ( п + Ь 1 )
Mo !eHTЫ СОПРОТIIВ:iешш:
осевые W х, \V y ;
полярный \У р 11 при сво-
БОДНО1\! иручеШ!ll W к;
-;: . насате:тьное напряженис
J x
Wx==Wy==
и1
(для левых If J1ШЮlПХ
ВОЛОl\ОIl)
J x
W x == W y ==...........,
У 1
(ДЛЯ Ilравых и верХllИХ
ВОЛОКОН)
J x
y в ==
"" Уl
(для верхних ВО:IОl:0И)
И1 == ь--
хн и1
(;J.ЛЯ IIИlЮШХ ВОЛаНОВ)
J x
fV х в ==--
!/l
(ДJШ ВСРХI1НХ 1 1 0.1Оl\ОП)
fV x 11
f
Jx
УI
(ДЛЯ I1ШЮШХ ПОJiOl\ОП)
W J!J
у п х;
(щ1Я правых ВОЛОI\О!1 \
W==.:!.J!....
уд Х1
(ДЛЯ левых ВОЛОI{ОП)
п родолже/-luе табло 1
Радпусы IJ!I РЦИИ
. V J;
1х -----р;
о V J7:
11/ ="
l min === 1112 ==
1/ J. 1 / 2
r lt'
ix == v -;
iv== / y
"11
{х =--=
V Jx
. C: О 29h
F '
i и
1 ;! !.!... = О 32Ь
[t' ,
45
ФОР fа
ссчеНIIR
Z-образное сечение
h Yi
х
уl
ТреуrОЛЬБИН
'16
Площадt,
сечения F
F == ht 1 +
+ 2t (Ь t 1)
[ 1' == 1 bh
2
Ноординаты
НраЙНIIХ точек сечения
Xi == ь S!!!!O .ь....
2
h
Уl == 2"
1
Уl == 3" h
2
Y/==a'l
d =--- (х 1 ' Хl)
Моменты IJнерции:
осевые J х, J yi центро-
(;еil\НЫЙ J ху; полярный J р
и при свободном 1<руче-
нии J 1<
J bh 3 (Ь t 1 )(h 2t)3
х 12
ht + Gtb 2 (Ь ...... ( 1 ) +
J + 2t (Ь ( 1 )3
у 12
J ==Jxcos2a Jysin2a
Х2 cos 2(1
J y cos 2 а Jx sin 2 а
J
Ve COS 2(1
bt (Ь ( 1 ) (Т ()
tg 2а == J J
.1 1I
Ы З Z!'/t 2
J х == 36 == 18
bh.3 Fh 2
J X2 == 12 == 6
bh 3 FI 2
J == . ==
ХЗ 4 '2
bh (b Х; xl)
J у == 36 ==
F(b2 X;Xl)
18
h (х;з + x )
J Y2 == 12
bh 2 '2 I 2
J p == 36 (h + Хl + ХI Х l + Х 1 )
h , 3 З )
J pA == 12 (3bh 2 + Х 1 + Хl
п родолжепuе таб.l. 1
Моменты сопротивления.
осевые W х' W у:
полярный W р и при СВО-
БОДНО:'.1 1<ручении V 1<:
1: l<aCaTe, lbHoC напряжение
V х ==
bh 3 (Ь ..... ( 1 ) (h 2t)3
6h
П' у ==
ht + 6tb2 (Ь...... t 1 ) +
+ 2t (Ь ...... (l)3
6 (2Ь ..... (l)
bh 2
rV XH == 12
(ДЛЯ НИЖПIIХ волоков)
РаДИУС!,1 инерции
. V J;"
t -== I
. V 7;'
lJt =: -т
. V J;
x == F
. 1 ( 7;;
ty ==, F
h
lX == ==
зV2"
== 0,2357h
bh? . 1
ТУ х в == 24 Су == 3 V 2 х
(ДЛЯ верхних ВОЛОКОВ)
';( V Ь 2 х; хl ==
bh (Ь 2 ..... X 1 ' Хl)
TV у n == 3ux 1
(ДЛЯ правых волокон)
bh (Ь 2 ...... х{ X 1 )
W y л == 36х{
(для левых волокон)
Для равносторонпеrо треуrольпика СО сто-
ропой Ь и высотой h
hb1 Fb?
J /J == J У2 == 48'" == 24 ;
h 4 h 4
J
к 15 Vз 25,981
3 Ь 4 b
== 8тi VЗ- == 4(),1Х8
hb 2
TV у п == tV у л == 12 '
Т-У 1< == 0,05Ь 3 ==
h: J h '1 2} к
7,5 V3 12,99 h
Посерединс сторон
"ша\.; В rлах 't == U
== 0,2357 Х
)< fb2...... х{ Xl
. Ь V З-
CY== 6 2::
== О,204Ь
47
ФOlI\lа
СI'Ч(:I1 ИI1
Л.'Iоща ь
ССЧСНШI F
llРЯ.\lО.\'!'О:1l>11ыii трс-
yru:\ (,J 111 (
.!J. /1 ft3 \ .Х)
/ f ..
, с-: 1 t. // . . х
:.:, ;
'<.' , ,1,' / .Х;
A-ILhХ' '
;: A.
у'?1 LY
,
. 1
F i bh
НООРДIIнаты
крайних точек ссчсния
X 1 ':...c 1. Ь
')
..J
2
Хl с:с 3 ь
.. }. Il
Yl 3
, 2 I
Yl == 3 l
I lЧ() IЕ'II'1 Ы IIII JJ1tllll:
ОССl:lые J х' J у; цен') P()
(jеiIЩЫЙ J ху; ПО:lЛрныit .J l'
1 11 прп сво60:ЩО 1 l\РУЧС
Шlll J у.
I Для paBIIOU(': pCIIIIOI u трсуrо.'lЫIИI{а с. ОСJIОПП
ШIС.\! Ь, высотоii Fl II yr.10:l1 Врl1 UСРШIIIlС а < 130
J" - C 11'}. Itb:! J 1(1;"jb l
J x
Ыl'\ 11Ft?
:-)()
bh: Fh 2
C'': 12 ,...::от
Ьh З Pll2
J
Х2
J.\.з '. т OC
[)'JIL Fb'!.
J и : 3(; =-0 18
b:{h Fb'!.
J У2 'С 12'" ()
ЬЦt
JXIJ "':: п
ЬЧL 2
J .:...::
х 2 и2 21
b 2 h?'
J'\'SY2 === 8
bh bhc 2
J p === 313 (h 2 +b 2 ):::. 36
с 2 == h 2 + Ь 2
J р А ,'C' (h : о ) ==
bhc 2
' 12
bh
J p в -= 12 (3h 2 + Ь 2 )
l\lO ICJlTI.! СОЩJ' 'TIIB'-!( III11!:
осевые Н' Х' l У!/;
па:IЯРНЫЙ \V р 11 Прll сва-
60;(!IO I круЧеНП1l Н',,;
: 1,::lсзтr:IЫlOе li3П[J!1)I\еш:с
Нl , ..!. Ы/ n l()rjb:!
1\ 12 .'
J K
в ТОЧJ,ПХ J IIIJIIIblX
сторон В():Ш;III OLIIOBa
IIIIH ':)llaX;
В )т:тх -;: =- ' о
bll' l
Н/ х Н с- 12
(Д.1Iя lШ;'ЮШХ r.O:JOI\O/l)
Ы 2
Н' х в -, 21
(: .'lя всрхннх ВО:IOКОII)
b2fL
JV у п - 12
(;ЦШ лсвых llO:IOI\OIl)
b 2 h
JV у n 0:-': 24
(ДJl я правых вопо.кон)
Проr)о.1.жеlluе таб.1.
J',ЦJlУСЫ IIIIСJЧЩIJ
. 1/ J x ,
t x Р'
I Т'
. I / !J
1!J==JI F
ix .::..... V 'L :.= O)2357h
; 2
ь
i .. '
!J V
0:= О,2337Ь
49
ФОРl\Iа
сечеНИR
Трапеция
Х1
х
&.
Ось х х цент-
ральная
5С
П:IOщадь
сечеНИR F
1
F == '2 (Ь 1 + Ь) h
l\оординаты
!\ра йних точек сеченпя
Уl == ь + 2Ь 1 h
3 (Ь + b 1 )
у; 2Ь + Ь 1 h
:-3(b+b 1 )
Для равнобедренной
НИМ.... Ь 1 + Ь о ::::: Ь
, 3Ь 1 + 2Ь о
Уl ==:-3 (2Ь 1 + Ь о ) h
Ь
Zl == 2
Для трапеЦИll в виде
сотой h > 4Ь
MOMeJ{Tbl инерции:
осевые J Х' J у; центро-
бежныiJ J хуl полярный J р
и при своБОДНО f круче-
нии J к
J x ==
h Э (Ь 2 + 4ЬЬ 1 + b )
3o(b+b 1 )
Fh 2 (Ь 2 + 4ЬЬ 1 + b )
18 (Ь + Ь 1 )2
J == h 3 (Ь + 3b t ) ==
Х2 12
Fh 2 (Ь + 3b t )
() (Ь + b t )
J == /13 (зь + b 1 ) ==
Х З 1 :l
== Fh 2 (ЗЬ + b I )
()(Ь+Ь 1 )
MO:\IeHTbl сопротивления:
осевые W х. W у)
полярный W р и при СВО-
БОДНО:l! кручении W к;
t [,асате.'1ъпое напряжение
W XR ==
h 2 (Ь 2 + 4ЬЬ ) + b )
12(b+2b t )
(ДЛЯ нижних волоков)
W x в ==
/12 (Ь 2 + 4ЬЬ 1 + ь )
12 (2Ь + Ь 1 )
(д я верхних волокон)
трапеции с верХНIIМ основанисм Ь 1 и пиж-
J х == ТУ Х в ==
h 3 (6b + ы1оo + b ) h 2 (f}b + 6b t b() + Ь )
36 (2Ь 1 + 60) == 12 (3Ь 1 + 2Ь о )
h Ь I ..... ь: /t Ь 4 Ь
J у == 48 Ь=--ь--;-- TV /J == 24 Ь 2 ЬЬ 1
ЮlIша с большим ОСНОRапие l Ь, мсньшим Ь 1 , вы-
h (b ...... Ь 1)
J н == 12 (ь b 1 ) .......
..... 0,105 (Ь 4 + b )
J K
TV == ==
н Ь
h (Ь 4 ...... bt)
12Ь (ь ...... Ь 1 ) ......
Ь 4 + ь:
......0,105
ь
В точках длинных
сторон ближе к широ.
1\ОМу' ос нованию
М К
't max == W
IC
п родОJtженuе табл. 1
Радиусы Пlерции
V Y;"
ix .. li'" ;
V J;
i 1J ... F'"'"
h
1 Х == О (Ь + b t ) Х
Х V 2 (Ь 2 + 4ЬЬ 1 + Ь )
. ,
t x == () (2Ь. + ь о ) Х
х V 2 (пЬ: + 6blbo+b
V Ь2 + ь 2
. 1
l/J == 21
&1
Форча
ССЧСIllШ
1\ pyr
JIюоС\ л цс нтра.1I)нал
ось rпапная
] tO.1hJIO
Любая нентра.JЫI,t:1
ось r.'Iавпая
S2
П.l0Щa;J,Ь
сечения F
Ноординаты
крайних ТОчеl{ сечения
1
F = - i (аЬ a1b 1 )
2
r:.d 2 2
F ------r -- т;'
,:::; О,78за 2
то (D2 а 2 )
F =--.---=-- ==
4
т;п2 (1 :z2) ;:::;
!j
l),78'jD2 (1 :xZ)
d
а.=="])
а
Х!
ь
у 1 i
Хl O- Уl ==
d
2 - : r
D
Х 1 = Уl :.:: т
:Моменты инерции:
осевые J Х' J у; центро-
бежный J Хи; ПОJIЯРНЫЙ J р
и при свободном i,р}'че.
нии J "
аы alb
J Х == 48
аЗЬ a bl
J y ==
48
1':d 4 Тor 4
J Х == J у === 61 .: Т ===
Pd'2 li'r'l "-'
.Т6 .4"-'
O,03d ' 0,78[jr\
J р :..: J н . 2.1 х .= 2) IJ =.
т;(1 ! :....... ':" "-' о 1 d 4 ....-
32 :2""'" ,....,
1,5ir l
n: (DI d-l)
J Х == J у =:--: IИ
"DI
:О.. (1 (ll) .-::
р (О2 + d 2 )
16
FD2
.=- (1 +(12)
;::::; O,05D4 (1 (14)
Jр==J и ==
7t (D4 d 4 )
32
7tD1.
== 32 (1 (4)
O,1W (1 ..... (14)
l\10меп ты сопротивлеп IJЯ:
осевые W х' \у у;
по;шрный \V р 11 при сво-
бодном КРУЧЗНlIll И'l\'
1\aCaTeJlbHOC напvтhеннс
аЬЗ a1b
y х == 2 / 1Ь
аЗЬ a ыl
f;V у == 24а
1':d 3 7tr 1
J V х l/V У == :32 -- Т
;::::; 0,1 d: 1 O,785r'\
7.d З 7.r'J
V р : -O tv К..: 16 == --т ;::::;
;::::; O,2d! 1,37r'J
Во всех ТОЧI,ах lICrll-
ыотра "шах
TV х =-:: П' 1/ ..."
1': (D d-l)
3'2Л
7.1)'1
:...... (1 :;(1)
И
;::;: (\ 11) J (1 '1 1 )
ВТ Р JI' I\ ....=
7t (DJ а4)
16п
7tD3
:......: 16.(1 (14)
О, 2п1 (1 а 4 )
Во всех точках наруж-
ной ОНРУЖН()СТII "'фах
ПродDлжеllllе табл, 1
Радиусы инерции
, V J;"
t х '=' "'"F ;
, V .J
Ту
V 3
" аЬ' 0-1 U 1
1 Х .:.= 24 (а U а J Ь 1 )
/ 3 Ь :! Ь
. а a 1 1
l У == , 1.
2'1 (аЬ a1b 1 )
[х .:=: iy == { :-:.:: f
Эллипс lIнерЦИl1
ИРУl'
ix == iy =-=
:..=. .1.. V D'l + d2 :::.
'"
Dl/
... 1 + (12
4
Эл:шпс IIНСj1ЦIШ
Hpyr
53
Форма
сечения
l\ ру!' С векопцентрп-
ческим отверСТПСl\I
1\ рур с I\pyroBblM
выреЗ0М
.
Jt%2
у[
ТОlll<ос.тспное I<ОПЬЦО
0< O,1d
Любая цептрапьпая
ось...... rлавпая
54
Площадь
сечеНIIЯ F
D "
1t
F == (1...... (12)
4
d
а==n
F == 1tod
Координаты
крайних точен сечеВИR
D
.1"1 == Т
а 2
Уо == D 1 ...... (1:l
D 1...... а 2 (1 ...... 2 )
иl == Т 1 ...... (12
D 1 а 2 (1 + 2 )
Y 1 ' 2'"" 1 ....... а 2
==
D
d
х 1 == У 1 == 2 == r
п родолжеlluе табл. J
Моменты инерции: Моменты сопротивлеНИЯI РаДIlУСЫ инерцпи
осевые J х' J у! центро- осевые W х, \У у; V
6ежный J ху; по:трный J}J полярный W р 11 прп СВО- {х == "li' :
и при свободном круче- БОДНО;\1 Iфучеrшп V и: V
нии J и 't иасате:IЬ пое вапряженпе i?/ ... Т
nD ( 1tD3 D
J x == 1....... (14 И'х === ;< 'х == 4 х
(1 (12) (t (14) t6(1 2 2 { :6 ( : . )'
16 ) х 1 (12 (1 + 2 ) х
t (12 (для верХПllХ волоков)
nD nD:\
J l1 == ---Б4 (1 ...... (Х4) TV х == 32 Х DV
(1 (12) (1 cx4) 1b(12 2 i /J == Т 1 + (12
Х 1 (12 (1 2р)
(ДJLЛ ПШIШИХ ВОЛОI-.оп)
1tDЗ
TV y == '"32(1.......(14)
J и == k 1 R4
r
R
1°
10,0051 0,1
, 1,56 11,56
11,22 11,22
k, 11,57
k, I 0,64
, 1tod 3
Jx==Jy==S==
Fd 2
== п8r З ===
8
().393Qd3
Jр==J и ==
r:ad 3
== -----т ::.: 2п8. 3 ::::::
::::: v,785od 3
R3
W ==
К k 2
На две выреза 'С та 'с
0,2
0,4
1,46
1,22
1,23
1,31
1t8d 2
fV x == W y == 4==
== 1tor 2 0.78Ыd 2
n8d 2
V р == fV и ""'"""'2"" ==
== 21tar 2 ::::: 1,57ad 2
Во всех точках пери-
метра 't шах
0,6
0,8
1
1,5
0,92
0,63
0,38
0,07
1,52
1,91
2,63
7,14
" d
lx == ly == ==
2V2
r
== V O,353d
2
Эллипс инерции.....
Kpyr
55
Ф()Р lа
сечеНПfI
li.pyroBoc IIсза:шшу.
1'оо тою':остеНliОС
1';0,)1 ьцо
x
'6 d
ПО:I круr ,
1
&>
Ч('тв('рть I\jJ)TU
i-
1I.lOща;J.Ь
с.ечения F
т.d 2 т.r'!.
[11 == Т =
;:::; О,ЗН3d!.
I
-I r2
1" - .
4 "
O,785r'!.
Ноординаты
lфайпих точен сечения
d+o
Хl иl .::=
d
Х 1 ;[ ==
YL --
:2 d
J ii
r_ () ')1'11
J ,..... , l
V l' О ,:?8Р d
Х! -= У!
4r
'" о /, ' ')/' Jf
J-: r--. ,
х'
1
У; (),:.i7Gr
I l\fO!\leIITbl lIuерщш:
осевые J х. .1 ч; ЦeHTpo
1 6С)-JШЫЙ J ху: ПОЛRрНЫЙ J p
и ори своБО;:ЩОll1 "руче
нии Jl{
..d'&З
J l{ == ----З------
Моменты СОПРОТНlI:IСIlИН:
оссвые V х' V у;
по;шрный 'И, р и при
свободном l{ручепии '\'н:
I\;)caTe.:IbHOe паПрlПl<еНllе
( ..do ) 2
WI\ == 3;:d + 1 ,80
..do 2
в точках BHYTpenHrro
11 паруi-l\ноrо I\OIlТУРОВ
ССЧСIШЛ
m:lX
3itd + 1. н
(;:dO)2 . 1-(
I
J x :; ( 9 ) JV x O,0324d 3 O,259r'3
(для ПИiRНПХ BO:IOKOH)
0,00686d 1 0,11r 1
nd 1 7tr 1
J y == J xz == 128 =="'8 ==
Fd 2 Fr 2
==1l==T
0,0246d-l O,393r 1
J \ 0,0714r 1
тах
J II 0,0384r 1
шш
J).2 J IJ! 0,0549r 1
т.:r 4
J x , == J y , == 16
0,196r 4
J X Z Y2 == 0,0165r 1
,"
J :Л'зУ, == 8"""
1V x 0,0239d 3 O,HI1r 3
(для верхuих волокон)
d3 --:-r'3
V lJ == ' 4 == 'F
:::::; O.n5d 3 O,3;)3r 1
П 1 Х ! 0== П'Уz
..2r! !1r. 2 (И
= 48 31t It
0,923r:1
(для верхних п правых
ВОЛОRОII)
fV == И'
х ! У!
1': 2 r 3
== 192 (9п 2 64)
1,245r 3
(для нижних 11 .чевых
волокон)
п родолжепие таил 1
Радиусы инерции
V
t Х == -----р ;
. 1 1 JII
t y F
ix 0,132d
. li
ly == '4
I "'шах О,30.'2,
i ушiп О,221,
57
Форма
сечения
l\руrовой сектор
х
Х 1
Ос.и Х Х и у У.......
l"лаВllые центральные
l-\ру'rовоi-i c('rMeHT
ь
У /'
58
Площадь
сечеНIIЯ F
F !!... == ar 2
2
s == 2r(1
7t(10
а=::18()'О
х
r 2
F == ( 2(1
2
sin 2а)
т.а О
(1 ==: 180()
:Координаты
нрайних точен сечения
ь .
Х! == "2 == r SЩ iX
2 rb
Уl == ""3 s =::
2r sin (1
==
==382
, (10
, (1 2 sin а )
у ==r
1 За
ь == 2, sш а
ь
Хl == 2"
Ь::О= 2r sin cl
r sill'] 'у
Уо::::: ; ( a SШ a)
( -1 siп: 1 cl
!J 1 == r ' ] ' ) "'1
tJ a SШ .:;.(1
COS а)
4
3
У; == r (1
slп З а )
2(1 sin 2а
i !\10 \leH1'hI 11 НСРПlIII'
осевые J х, J 11;
центробежный J ХУ:
полярный J р и ори свобол-
HO I I(ручении J н
J х == (2а + sш 'la
2 "iJl t а ) ==
На
F,'.!. (
== s; .2а + siIl 2а
...... ;-{2 S '[\? а )
На
,4
J == (2а + ьiп 2а)
Х2 8
r 4
J у == 1\ (2а ...... siп 2а) ==-
р 2
== (2а.....- SIП 2а)
8а
,4
Jx== (2a......sin2a+
8
+ 4 cos а sin:1 а) ==
== Р;2 ( 1 +
4 cos а sin'l а)
+ 2а sill 211 I
, ( , ')
J!J == 8 2а -;111 до
!. . , )
3 cos а sш:J а ==
l'r'l ( 4
==т 1 ::i х
cosaSill1a )
Х 2а siп :2а
,1
J == (:!а
Х ! 8
...... sш 2а cos 2а)
I\Io IeHTbl СОПР()ТlIвлеI1ИЛ.
осевые W Х' W у;
полярный w р и ори
свободном I(ручении W I()
t касате,'1ЬНое напряжение
,'d
JV x == 8 х
,) ,'') 2sill2a
a + 1П a ...... 9а
1 ...... L sin
За
(: JIЯ верхних НОДОКОИ)
"
,'.
, я,:l а (
Н .х == 1 /:' 2а +
u SIll а
. :1:2 in2 а )
+ 9 Ш 2а ...... 9а
(д.тIЯ llИlУ\ПИХ ВОЛОКОН)
JV ==,3 2а sin 2а
Ij sщ а
J x
ТУ х ==
Yl
Прооолжепuе табл. 1
fJаДIl 'СЫ 1111 ер н 111 1
V 2x
ix ... 17" ;
V J;
i 11 .. 'l7"
, ,
[х == 2"' х
"у! +
sin 2а
......
16 sin 2 а
\)а 2
, r v l...... sin 2а
, 11 == Т 2а
,
'х == '2 х
(для нюю:их ВОЛОRОВ) V 1 4 cos а sш'j а
'< + 2а...... sir. 2а
TV х == .:!3,
У 1
(для всрхпих полокоп)
r.J (
TV == 2а......
у 8 SIП а
..... S in 2а ......
4 . з )
...... 3 cos а slП а
, r
lу == '2 х
V 1 cos а Sill'l а
Х 3 2а...... sin 2а
59
Форма
сеЧСIIИR
, 1 U.1УIЮЛЬЦО
у
х
Хl
Сентор НОЛ LЩI
60
Площадь
Сечения F
НООР:1l1наты
нраНних точен сечеНИR
7t (п2 d 2 )
F
8
т;п2 ,
: (1 (lZ) ;::;
S
;::;:; О,39зп2 (1 12)
d
a .:-
- 1)
D
Хl ::= 2
2 п2 + Dd + d 2
!/I -- ;)- D + d ==
_2_ D 1 + а + а 2 ,...,
--:1"7: 1+а"'"
() ') l ') D 1 + а + 22
, 1 + а
Уl' ::::::; D (0,288
а 2 )
O.212 1+а
р -- '( (R2 ,2)
C -jR2 (1 '12)
I _ 7! '( ..
I - 1 Но
r
CJ. -== ]{
Х I R siп r
2 RЗ ,1
Уl --:-:.- ;J Н"" ' х
х sin "
-(
') н sill r 1 аЗ
:) -( 1 a""
, Л (1 2 siп "(
!/l== 31X
л ::)
,,_ '2Н ::,ill 1 ,/
!ll-- Л
..1-'
"1 a:.l: )
>: \ 1 CJ.'.! -;i а'( ctg '(
;\Iочснты I1неrщш:
осевые J х, J у;
центробежный J ху;
ПО:1Ярныil J,} 11 щш свобод
IIO I I\Р 'ЧСШIII J"
I
J х O,OOG8(j (D d 1 )
О,О!7, D 2 d 2 (D d)
D+d
0,00G8GD (1 '14
1 a )
2,54:12
1 + а
7t (D4 d J )
J y == ==
121:i
т:.Dl
==: 128 (1 ( 4 )
0,0246D4 (1 ( 4 )
l\IO:llel!Tbl СОПРОТll В:IСН\IН;
осевые vV Х' И! у;
полярпыii W р и при CBO
60ДНОУ! нручеНIII1 И",,;
: Еаса те:lыюе lIапrНil,СIШС
TV х 0,ООб86D-3 Х
(1 а'l) (1 + а)
'/ 2,54:12 (1 а)
/., O,28S (1 + а)
0,212'12
(;(.:тя В('РХIJIIХ BO.'IOI\OII)
TV х ::::: 0,0324D3 ;
(1 ( 4 ) (1 + а)
2 54а 2 ( 1 а )
х '
1 + а +- а 2
(цля llИlfШIlХ ВОЛОНОН)
ПТ -== тr..D3 ( 1 ( 4 )
У U4
О,О5DЗ (1 (].4)
Про80лжепllе табл. ]
l'a;.(lI) CIJ Ш!еjJЦIIII
i == V Jx ,
х Р ,
1,f
i!/
. I / ' T;
Ix == F
. 1 VJ ') ') 1 2
! I J ==---- L (
'<'1 I
D V 1 .)
+ (].
t}
. R
I Х =-С 2 х
Л 1 r 1 (
Jx 2'(+
. 32 s i n '( )
+sш2'; ==
9'(
R4 (
=- I:i (1 :14) \2'( +
:12 o,ill 2 ' ( )
+ SiIl 2'(
:"( I
FR2 (
s:r (1 - , ':12) 2, +
32,Sin 3 , )
+ sin 2'(
,Jj
R4 r'
J X1 == (2! +
+ SiIl 2'() =------= ,
R4
'8 (1 :14) (2, + sin 2'О
R4 r 1
J y =C (2,
siп 2,) ==-:
п4
I = - (1 ( 4 ) (2'(
. I:i
I FR2
I I Sill2,) == 81 (1+а 2 )х
х (21 SiIl 21)
V J;x
x==
Уl
(;J..тIя верхних волокон)
y
х и;'
(;(ля ШШШIIХ волокон)
R3
И Т U == '8 (1 ( 4 ) Х
2'( SiIl 2'(
sin '(
{ (1 + ( 2 ) Х
, X ( 1+ Si 2'(
2'(
16 f2 '( )
, R
IU == Т х
( )
/, (H a2)( 1 Si f1
61
Форма
сечения
Сектор товкостев-
поrо кольца
о .( 2,.
J\PYI' С лышюй
.!
/ /,
, J
d=2R '
.... F ......j
у,
h
tt = d >0,5
I{ pyr со срезанными
сеrмсвтами сверху
11 (IШ3У
Х, у х,
62
Площадь
сечеШIR F
F == 2iXro
па О
IX == 18О О
а) b dcosa
h ==-- d SiH а
d 2
F==T(2a+sin2a)
J) Ь == ; h == O,866d
F == O,74d 2
d
в) Ь == 3'; h == O,943d
F == 0,773d 2
Ноордина ты
нрайних точен сечениЯ
Х! == r sin iX
sin а
Yl == r
I (1 SIIl а )
1/1 == r
" ( S IЛ а )
У 1 == r ...... lOS а
d
Х1"':= 2"
d .
У1 == "2 Slll iX
d
Х1 == 2"
и1 == O,433d
d
Х1 == 2"
Yl == 0,471d
Продолжение табл. 1
Моменты инерции: Мо:\юнты сопротивлевил: Радиусы инерции
осевые J х, J у; осевые W х' W уl VJ;"
центро()ежный J хуl полярный \V р и при {х == "[т" I
полярный J т> и при свобод свободном иручении W и i VJ;
нОм иручении J f( 't касательное напряжеппе i y "" F'
or{ ( or 2 r
JX==T 2a+5in2a Wx::::::TX ix == "2 х
. 4 sin 2 а
...... 4 5i: 2 а ) == 2а + sш 2а ..... х{ 2 + sin 2а .......
х 1 ....... 5in а
а.
а q sin 2 а.
Fr 2 ( (для верхних волокон)
== 2а + 5in 2а or 2
IV х :::::: ""2 х r V 51П 2а.
..... 4 5i: 2 а ) . 4 sш 2 а ly == i 2 --т
2(1 + 5Ш 2а ...... "'""'"""7
х sin а
or 3 C05a
J у == "2 (2сх sin 2а) == ct
(для нижних волокон)
Fr 2 or 2 2а .sin 2а.
== 4а (2а ....... sin 2а) f.Y Y ::::::"2 . SiD а
d 4 ( h ) J,V == .!-3 (2,()а. 1)
J1\ == W 2,6 d ...... 1 == к 8 (О,3а + О,7)
dJ. В середине плоскоrо
== 16 (2,6(1 ..... 1) срсза 'С шах ; в уrлах......
.==0
( 5in4Gt ) d 3 ( sin 4а.) V f 7;
J х 32 а 4 W x == 16 sina а {х == F
d 4 ( sil) 2а d 3 ( sin 2а
J y ==32 a+ + ""У у == 16 а + 2""""" + . V7;
+ 5Ш 2а 052 а ) 51 n 2а cos 2 а ) {у == F
+ 3
J х == O,0395dJ. W x == O,0912d 3 ix == (),231d
J у == о ,0485d 4 W У == O,097d 3 iy == O,256d
J x == O,0461d 4 W х == O,0978d 3 ix == O,244d
J у == O,049d 4 W У == O,098d 3 iy == O,252d
63
Форча
Сt;чеIIIIR
П:ЮЩ:J.ДЬ
сечеJIIШ Р
II раПП:II,lIыii шести-
уrОJIЫflШ
ПраПП.'ТЫIЫЙ посыш-
уrолынш
х
у
F == тr.d 2 ( 1 +
12
, .'3 V З ) о 691. 12
-т- . , l(
р.::= O,8fif-'d 2 ...=
== 2,5а8П 2
F ::..-:- O,82Rd
::--.: -1,828с 2
НООрДllIIВТIJ
крайних ТОЧСI( ('('ч('It\щ
:("1 == У1 ==- 0,433d
d
У1 == "2
ci
Xl::" Yl==2
I1раВИЛIJIJыii l\ШОI ()-
уrОЛЫIПJ\ с 11 стщю-
Ha:\1 и
Х;
\
i
Х 2
64
, 1 2
r "4 па ctg cl ::-:--
== пr 2 tg а. =-=
I/or
П==
si Il а
'==
а
2 tg::z
МОЖ'IIТЫ II!IСРЦIlIl:
осеl3l,Ю J х' J!I;
цсптро6Сil\IIыii J ху;
по<'шрпыfi J р 11 прп сп!'
60ДПО:\/ нруЧСПIl!1 -' н
:\ТО_"СII rы СОП[ЮТIIII:IСIII!fI
OCCllI.lC' Н/ х , \\11/;
ПО:lЯрllJ.!ii \\'))' II IIР!! св').
(j()Дf'()\! l,rУЧ 1!III1 \\'н:
: I,nCaTC:lbIj()C II:IП;ОП:J;t'!1!:"
J х -==- J у :::= (),03S(i I
ТУ,\, =::: ТТ' 'J О,О?, (j:J
[) V;-{
J x -==- J!/ :-- Л 1
-==- (),5.11:ЗП' - = O,()(j(!'
'2
Jj\ -----= O,533F (
J х -==- J у -==-
1 ! 2 V ;;
J. ' /,1
У2 t; L
-==- O,(j:3SR' =. (),():;",/(ZI
J J ] ' clЗ
H .--\\"):" / т
fi' '2 2
J X ==J X2 =:--=-----;-j/ (tJll a )
.::--1
== пar (;п2 а 2 )
4
F ( 12 ') "
J ==J -=--- - . /' +a ) --=--=
х Х2 K
== пar ( 121" I , а 2 )
!Hi
5.1180
\" . .) п '\ =-= N , (j2Ы:::.
. \ '8
= O,12d:1
If',} -,-:: О,:Jl1:т з .-- (),()(jd';
ВТ ==: () 1t3()F !!..-
1\ ' 2
IIоссрс,'11ШС сторон
'(l1а\:; 1) ,\Т,1ПХ -:: ::О
I П'.\ =-.---:-: TV 1/ ::::- (),(jfЮGЛ J --:::
-=- O,10U5'[-1
ОТI!РСl1ТСЛЫI0 ДП<1fОIl<lJlП
I! ')}z -------= О,()38НI . -- O;J012(f:!
Т ТТ =--::: О 117 . 11'
r 1: . 2
Поссрс;щпс сторон
"тах; В уrлах '"с -- -- о
п {JОUО.lжепl1е тa6.t. 1
l'а:щуrl.1 "Н(,РЦIIII
r
j 1 x.
',. i;; ,
i == 1 / r .:...1/_____
1/ j"
lх __::: iy ::= (),2З d
I
ix === i у ----=- 0,436R ==--
::= О,2(;:Ы
ix == iy =---= i Y2 ==
== O,257d
; х ==--
1/ (jR
L,)
i X2
V 12r :! +- (;2
1t8
ОЕ
ФОр:lIa
сечения
RpyroBoe СОЧt>ШIC
с ОДНОЙ ШПОПО'lJlоi:i
канавной
.....,
х х
(j
у
Rpyronoo сечоние
с двумя lllIIОНОЧIIЫ:\lII
({а (IaBJ\a f \1
fl J'Jb. .....
х х
j/
у
.мостовой бы н
с З8круrЛСlIШlJ\Ш
у
L
Оси х х 11 {/ у
rлаnпые цептраЛЫJЫС
66
П.'IOЩЩ(l,
ССЧСIII!П Р
d'l.
Р ' иl
4
d2
F 2lil
4
F == Ы! + т..r? ==
== bh ( 1 + сх)
h
r== "2
I
ct == b
f\onp;J,1! паты
нрайних ТОЧСН ССЧСll1IfJ
d
Хl ..:= 1/1 == i
d
ХI == 2:
('
!/I :!
{I !----- 11 {I
ХI = :; 2 = i (1 + а)
h
1/1 == 2
п ро80ЛЖefrUд таб.1. 1
f"ЦIIУС(>! Щlе (.JЦIII 1
i. x ""'" V J; ;
Y -Т;
!и ::: F
\
I
l\IO ICllТJ,1 , tJСI.Щill!
оеевыС J х' JI/:
цептробеж I!},] Й .т ху;
ПО.iJRРllыi1 J l' 11 при
сноtJОДНО\l н"учеJJl1Jl J H
ll) \1СIIТЫ спПР()ТIIl:ЛСШlН
осевые \У,\' W),:
ПО';JЛРIlLII, \V 1" 11 llРIl
СDо(jОДНО 1 l;ручеШJl1 и/к;
1: K<lC<lTe:I: ное Н:tЩНI)],еIJllе
'itd 4 bt (а t) Т f.' , 'itd /J{ (It t)'l ix == V :.
J х (;4 ..... q 32 -:Z
'itd l bl ((' () 'l 'itd;' bl ( d t) 'l
J K 32 4 IV/, 16 2d
!
7td l Ь! ((1 п.! \1' \ 7td; bt(d l)2 1 == V J x
J х::::: 64 ::::: 32 {J Х F
7td 4 bt (Ii t) IV ,..., 1';,1j'J t:!.Jd t)
J к ::::::; 32 к "'" 1fi d
I
iJh:; ( О1:) r v \ == 11:; 2 (1 + 37t ) . Vh
J х == 12 1 + il; а l-Ij сх lл,== F
J y == ;j [1 + O,1(i5a' + hb 2 /" . V7;
fV y == 6(1 +а) 11+ lу == F
+ 31ta (0,5 + О,212а)2] + O,1(-i5a. j +
+ 31ta (0,5 + О,212сх)2]
3*
67
.. " I
I
I
I
I
I
I 1" = ..a
I
<Т>I )0)\1;)
с: 'ICll1lJ1
')ЛЛШIL
5'\
[) . i" (
'.j : х
/ T I. ,
\ ; '; / ; y -'.
I Х Х,
t"' """
I /Ь'
1......
YI
ОСИ х Х If V у
I'ЛD.Вllые Щ:НТjJD..'IЫIЫ Р
IIOJ1 J i)ЛЛIШС
/. - .. ,
(//),.,.... ::.:;
Х > /J; /. , -
Е /"1"" :,.J
, , ,
;""'""f""'" ) f
X'...._./f
I .
IL/J I
.
jJ
б8
1 r ЮЩ.1;О,
СlJ'IСШIН р
C: > 1
Ь
lf' == па Ь
L
{\oop;lllll<lII,1
1,I,ai'lIll:o. 10ЧС!, С()'lСIIШl
Х 1 == I1
УI ::.::... а
х 1 == 1)
4
Уl == :k а
'/ == ( 1 ,/ ) (/
, ; . ,.
МО:\ICI1ТЫ I1I1СРЦl1ll
осевые J Х' J 11;
центробеШlJЫЙ J хц'
полярный J r 11 при
СRо(iОДНО\l нручеШIII J н
т:.и!Ь I,'a'l
JA==- ==4:::;
:::; 1), 785a,Ib
J т:.аЬ! РЬ'2.
!I q
:::; O.785 a :Jb
т:.а Ь
J(J == Т (а 2 + Ь 2 ) ==
F
== (а 2 + Ь 2 )
4
nаЗЬ'i
J == ==
к а2 + Ь2
FЗ FJ
==
,,2 (а 2 + Ь 2 ) 4т;2} l'
J х == Ьа 3 ( ] 9 ) ==
2 ( 1 )
== 2Fa -8- g1t2
т:.аЬ! Fb 2
JY==T==T
l\1o leHTbl СОПР()ТIl Во lеНIlН
осевые W Х' И 1 1j ;
ПОJJllРНЫ(' \V [, 11 Прll
своБОДНО 1 нру"ешш Н' И,
t касатеш.\I()е папртКСIIIIС
r.a 2 b 2
IV х == :::; \),785а Ь
IТ 1 1tal}2 '" ') 78 :- Ь 2
у 4 '" \. ,)а
TV == nЬ 2 а
1\ 2
[1 () '\OHцa 1 l\Iалой OCII
11! 1\ 2М 1\
.,. -
'r\l[l" TVK 1tb 2 a
п u концам большоЙ оси
b't max
't==
а
3 ( 2 8 )
1 V х == 7. Ьа 2 ...: u
(ДJIЛ ШliIШIIХ nO:IOI\OIJ)
Ьа 2 ( )
TV == 8!)т;
Х 4
1
31t
(для верхпих волокон)
1tab 2
V у == В----- :::;
::::: О,392а Ь 2
п РОUfJлжеНllе табл
l-';ЩIIУСЫ IIВt>РЦlIll
ix == V X ;
. V J;;
111
а
1 Х === "2
. Ь
ly== "2
lх == i V 1 ( ) L
3т:
Ь
IY==2
69
Ф\IРI:а
сечеlIllR
Четверть ЭЛ,'} 1] пса
к
Полый Э:lJlll пе
t : :-T
/, J i'
, ,I Х
Х , r + \
: I l 1 1
; _; J_t
2bl'
I-«,
Х I Х,
2Ь
У
Оси х Х и у у
rлаllНЫС цеп fралыluu
70
I
II,ющаДI
сочешlЛ F
F ===
4
F == 7. (аЬ all)))
Н:оординаты
!-фа; "ИХ ТОЧск сечсшlЯ
!.
XI == &t 1)
4
иl == 3л: а
Xi === Ь
иl === а
а а\ == Ь Ь) == о
а а)
b == ==п>1
lJ 1
аl ы
а == т== а<1
Моменты пнерЦlШ:
осевые J х, J у;
цснтробежный J ху;
полярныЙ J р I! при
"'во60ДIIО\! КРУЧСНИИ J Н
МОМСНТЫ сопротив;;теIllШ:
оссвыс Н'" Х, И/у;
ПОjlRрНЫЙ \\7 Р 11 при
своБОДIlО 1 J\рУЧСIIIIII W H ;
1: насаТС:IЫIOС l1:lпртнснис
J x == ba;j С п 6 9 ) ==
== 4Fa 2 ( )
16 )п 2
J y == ab3 ( ! )
16 9п
== 4Fb 2 ( ! )
1() ;;:2
fV ==
xml n
== t Ьа 2 (; )
(Д:IЯ IШЖIШХ ВОЛОl\ОН)
W ==
Jlшlл
a (j;; )
и ЛН нраllЫХ ПОЛОJ-ЮII)
J 7t ( ::! Ь 3
. Х == 4 а а 1 Ql)
1 а:l (а + 3 ь)
J 1t ( Ь 3 3
У == 4" а а 1 Ь 1 )
1t
1; Ь 2 (Ь + 3а) о
1t а 3 Ь a ы1
Ч7х===
4 а
1t ( 9 Ь
4 а а + сl ) б
1t ab3 alb
IУ у === 71 ь
1t
;::;; 71 ь (Ь + 3а) о
11 риБЛИЖСIlПЫС 3Ш1Ч('1'1IП J 11 ТУ прш одны,
I'C.ll1 опrОПlСIШЯ о: а ] 11 : Ь ; J\lалы
1tb l /l' пЬ 1"
J H '--. п 2 + 1 (1 a ) r,v K ==- (1 (4)
U КОIЩ(' Шl:lОll ПО.1УОСИ
M<f{
'ётах ::0-= TV ;
н
В Nоuце БО:lьшоii полу-
'ё mНХ
О СИ 't ===
п
При Ml1.10ii ТОJIIцине
можrю при пять раnпо-
J\fсрrюс распрсделснис
напряженпЙ по сечению
Ми
't == 2//0
л ро()олженuе тa6.t. 1
Радиусы IIНСРЦJШ
V ' --т;
ix == ---т ;
. . V J;
t y ==
iy ==
V 1 ( . ) 2
3,.
JI 1 ( )2
. а
lx == 2'
ix === V
V J F y
iy ==
71
ФОр:lIа
сеЧСНlIR
П 11 раБОЛIIЧССЮIЙ
Ccrl\leUT
X:r у
)(,
ПараболичеСIшjj
полуссrмснт
у
I\:РУI'ОВОЙ TpeyrOJIb-
шш
У31х У х'
у2 ...j f ,
XJt" I ;. !_
х:3, '
,1\-)
:;":;1
t
J
"'='"
......
'v.
-]
Полос сеченис
в видо чечевицы
72
Площадь
ссчения F
2
F == 3 bh
XJ
Xz
F bh
3
F == 0,215r 2
X
F==a(l+
+ (tg 2 ) hO
ао
== h (h 2 + Ь 2 ) == 4aro
а
Ь h ctg
2
r == (1 + с tg 2 )
Координаты
нрайпих точен ссчеНПR
ь
Хl == "2
2
Уl == [; h
, 3 h
!/1 5'
3
Хl == 16 Ь
, 5 Ь
Хl == 16
У == h
1 5
, 3 h
1/
I ;)
Хl == У[ == О,223,
Х; ==У; :=;:0,777r
Х 1 ===
:o-=V(o+h) (r+ O 4 h)
o+h
Уl ==
Моменты ПНСРЦIlИ:
ОСеНыС J Х' J у;
центробсжный J ху;
полярпый J р 11 при
свободном I\руЧСlIИИ J 1\
MO:l1CHTbl СОПРОТlIвлеНlIJl
оссвые W Х' W у;
полярный W р п прп
свободном I\РУЧСНИИ W 1\;
t I\асательное напрпжснис
J == bh 3 == 12Fh 2
Х 175 175
J == bh 3 == 8Fh 2
Х2 105 35
J == bh 3 == 3Fh 2
Ха 7 7
hb 3 Fb 2
J У == 30 == 20
J == 4 bh'4==
х 175 175
J x == J y == O,00755r 4
J X2 == O,003r4
J Ха == J Уа == O,0181r 4
J tIl == O,0121r4
J x == r 3 0 [2а (2 +
+ cos 2а) ...... 3 sin 2а] ==
Fr 2
== 4а [2а (2 + cos 2а)
...... 3 sin 2а]
J у == r 3 0 (2а ...... sin 2а) ==
Fr 2 .
== 4а (2а SlD 2а)
ТУ х == bh 2
(ДЛЯ НИЖПИХ ВОЛОКОН)
ТУ х == 1 5 bh 2
(ДЛЯ ВОРХНИХ ВОЛОКОН)
hb 2
ТУ У == 15
w == bh 2
х ш I n 35
(для нижних волонов)
ТУ Х == O,0097r 3
zmln
ТУ Х == == 2J x
Уl о + h
J y
fV у ==
Хl
п родолже1luе табл. 1
Радиусы lIнерции
ix == V X
V -Т;;
iy ==
ix == h V
. ь
(у ==
2У5
2 V 3
(х == 5" h '1
t == O,187r
x 2m ln
(х == r Х
{ 2+cos 2а
Х 2
3 Slll 2а
......4
. V 1 sin2a
( у ==,. '2...... ==
== ; -v 2. ....... SlП а 2а
73
Ф()J1 l:\
сеЧС1!1I1i
II;ЮIЩ1,1Ь
('l'ЧС'I1IIf1 F
НООРДИJlаты
кра1iПllХ точен сеЧСНII"
Пол нистое II{C JIC;3U F 12 r:' Ь Ь
(волны о()рп;юпаны .:..:= ,иО h Х Хl === 2"
па рабо.'1lIЧСС 1\ II ми f4h (4h)2 h+o
дуrа\ш) '< l b 1 + ь + у 1 == """"'""2
у
X1 ) :::;.( h 3
C , [М! y'=::;
-<:: b) 1 2
I x Х, + Iн b + ь + 2,{)0
7 :! ' ы I ==
)1 + 1 + ( :) 2 j} 4
Ь 2 == Ь 2,60
4
1
з0 (2Ь + 5,2h)
СтандарТ1fыii про- УI === %
RатныЙ швеллер на
реб ро
e
Формулы Прll;i.:1I1iI\f'Н-
ные, h, СМ
Волнистое желсзо (пь h) Ь
(ВОJIПЫ образованы F == 20 Т +- 1 ХI =="2
дуrамИ I\pyra)
Ь h+o
у h 1 === h 2: Уl ==
74
Момснты ИНСРЩIII
оссвыс J х, J у;
цснтробсжны! J X'lI'
ПОJIЯРНЫ!. J Т) 11 пр!!
CHOt'i()ДlIOI\1 КРУЧСНИI1 J Н
Момснты СОПРОТI1Н:IСIll1Я:
()ССDI.IC W Х' \-\Ту;
по:тРI1 J,Jll \V r 11 при
СНОООДНО\1 fФУЧСlIШ1 \-\1 к;
"' K;lC;JTC:Ji.fIOe Н:JЩН1iНСIJИС
п рООО/lженuе табл. 1
Ра,1ИУСЫ I1НСРЩIII
r
ix 1/ x :
1 1 1/ J 1I
.1 V F
12 " 1 '! I ;;::: V ; j.x
J х == """'2'1 ь' (bIY Х fl+O I t == fJ (2b+5,2h)
bl!! 3) === 1,:15 х
(i1 ;; ,;.;
== 1()5 (hlJ/I b Yl ) === I 3 '3
, ()I1JI Ь 2 !11
1(; <1 '3 л 6 (2Ь + 5,2h)
== 1(5 11) (УI Yl ) +
+ 2,03 (у: + y a)]
(, ( ...Ь" fr2h JV 1../) I I V J x
J х == 4 , 1(; + 1 + X h+ о X F
2
тr.b!1 I 2 3)
+ + ::\" /11
J.>. h (h + 5)3 JV х (h + ;.)..! t x == V
1(52 """""Н1
I
75
ФОР lа
ССЧСllИЯ
Стандартный про-
1\3 ТJ. ый двутавр на
ребро
i& y, "'1
х х
::,:;;,
уl
Формулы приближеJI
вые. h, см
Сечсние железпо.
дорожноrо рельса
(ФОРМУJfbl Прllблп-
mCIIIIblC)
:В У
х х
::,:;;
IY
Сеченис тобоЙ
формы {28]
ФОРМУ.11Ы lI10rYT быть
lI(,ПОЛ r>зовапы талыш
ДJШ ориептировочrюй
оценки величины МО-
.мепта инерции и мо-
мента СОПРОТlIllлеIШЯ
ОТUОСИ1( JlbllO цеllТ-
раJIЬUОИ О( и
76
Площадь
сечсния F
Rоординаты
крайних точен се СШIfI
h
"'"'"' Уl == 2"
F O,238h 2 Уl O,5h
]1 площадь БII J три h и Ь высота и ширипа
наРУЖНОI'О контура сечеПИlI
ссчения
S II t пориыеrр и тол-
щина (для полоrо сече-
ния)
МО;\ЮI1ТЫ пнерщш
оссвыс J х' J и
ЦСRТРООсж нr 1 11 J Х1/
ПОЛЛРIIЫЙ J p П ПРIl
сnободно ! нруЧСIIПI! J Н
J '" h (h + 2)J
t ,...., tи2
J x :::::: O,032h l
IO ICRThl СОllр'lТlIЛ:1ешlП
осевыс \у, \V,/,
ПО 'rлр IIЫ J \ у' ТJ 11 пр I!
('11000;1:110\\ кр чrlIlIIl И'н
!,аС:lТС'ПIIОС II1ПрRiНСI1l!С
п рпдо жепuе табл ]
r '1;(11 YCI,] IIIIСrJЦШI
", . v X
I :=' V Jy
!/ F
П! ).
(h + 2) I
51
I
., I
IV х :::::: O,OG4h:\
_ L
Для СШЮIПlюrо сече.
IШЛ
pЦ
J::::::J7b
J . я (II.10ПIIIОI'0 СШI-
\IСТIШЧilоrо С/:,Ч('ПIlfI
. 112
Н :::::: t;b
0111 ибна ,...., 15(\)
ДЛЯ ПОЛОIО сечсния
J:::::: : [s +
+ F (Ь h) ]
bll t
ДЛН полоrо CI'I\II\ICT
pll'lHOrO сеЧСIlПН
р [
ВТ ;J,ll S +
+ [t'(b h) ]
blL l
Оши\3I-'а '" 25 'o
t). 1/ ;
tx :::::: U,J7h
71
N
CIS
r:f
=
\с
CIS
E-t
........
Lr:>
J
о;>
g
00
s
о
ф
=
Q
\.О
Q
=
=
CIS
g. с:
m
.Q
С
f.o
78
е::
E-t
с:)
QJ
*
с:
E-t
ct:
Р.
E-t
::r:
ii
E-t
p.l:fo
фр.
=ФФ
I:: t::i
:;е;
с.:> =E-t О
::;t::(8
g
f I I
. ;;;
ь:
1:>1
1%'
ф
1:; .
:=
i»:;e;
t::
о t:r::
:=
..-
!2;
p.>,
t:::OE-tр.
о С:: »:;е;
r::: :::: ct:
ct: М
ct::I:
1II1s:C,)c:)
[S" :;:>
:S:; ;:;-
E 5.
I I I I
.Q"1;:! ...
I
I
!I
.W,;) ,IX r
':S;
ф
Q
О
о:
t:;
:а
::
ё:
;:;
ф
:.1
Ф
::а
с:;
;r
о
а-
б
W::1 '°f!l
ЩШ
s
Q
.W;) '°ft r
UIUJ
w;> ,Ох!
жuш
I
о
k
\1\":I .ОХ r
xuw
1\":1 ,Х 1
I
.W:I 'Xr
:;
...;
O
,.о .
tI::
06<'>
r';p,.
t::'t:::
:i
о-
0:1
'"
(:l;
.о
,О:
,О О t:;
@';
W' I
@ ie . g;
00 00 о СС с..:
...... о';> 1"--.,..... О :.о =т: .
00. Q. ...... с'\) с'\) C'I'j с N
--:: .. c'i' N cv5 ,.; ::5
о';> 00 о';> 00 tr:I C'I'j С'\) ..... о
dd d d2
1"-- С'\) -.;tt -.::f4 00 -.;tt -.:::< :.0:.0
6 d d S,
tr:I C'I'j 'r:I C'I'j r-- C'I'j.... о';> 00
1"-- 1'- 0';>. 0:>. О. "L C"J" C'I'j. C'I'j.
0000............... ...........
.C'I'j 00 о:> С'\) -<r d 00 :.о......
:.о r-- С'\).. :.о. ;;.q 00 tr:I О N
00 ..... N L'j'"
:;:;;, 00 tr:I '"'... 1t:J
d d .
l ..!:. 'O:>
=:.q
-::::-с
OO- M :.::> t--Ф :.00';>
\J'";I ос с.- ....... [.... "1 \J'";I с'\)
с о о ....... ...: c:-i c-i cfi
с":> \J'";I
00.. ......
о.,.....
N J:: [....
........ C"
'.i-:'
....... .,...
L'j :.о
ф. ..
..... С'\)
C<:J <:.с м ф С'\) ф м о tr:I
...... -.::t'. """:.:JO. С. 00 ..... 1"--
...........-4 ....... "':C'i C'i
с"1..
.,...
с"1..
....... .....
....
l1j
l1j l1j
1:'1'5
u?
-::r C"'::, C'I'j -.;tt
о
С'\)
ос С'\)
N 1;'1 М
с'\)
tr:I 00 С'\)
C' c'i м
Ф
M ...... :::> 'XJ С'1 ;::; С'1 1:' С':-.;<оо ООО ФС'.1 C'.1 C OO 1:' М 1:'
O """.. "t м.. :'J "..... L L':).. ::.о" L 1:'.. ОО,,::;:'..Ф,, О OO ..C'I,,
............ .,.....,... ..,... .... ...... ...... ...... "] С\1" С\1" С'.1" "j ::" l' '='1C"JC'lC\1
11':) М CO :::;I:'-';<..,...=:> <:.О.. .. " с" :::"
M о... '" М.. --t' 0':> М C"J ...-:.. .O" O"O..q
ф C:>C\1 ';'-J" "o C C;; CY'j "'I("'OOj с .; :.о" 00 6...; ФМООc<:J1:' :'JC'.10':>1:'
...... ............С"] C"JC'.1C"J M-.:t' ООФ <:.ОООФ N ФО М
..,... ....
ФОО ФФОО с:>'XJ с'.1 ...... О l1':)-.:t' С:> с:>оо 1:'1:' ФООООI:'Ф Ф 00 00 1:'
1:' 1:' 000000 -::.. .. .. ........... ...... q C<:J. М. C<:J.. c<:J" М" -.:t',,-.:t',, . .. .. I.!':)I.!':)
00 000 ......00 ........,... .... ........,.. ...... ...-I .... '" ...; .",.:
1:'0 C"J-.:t'c<:J L':) ::: м с Ф ...... <='1
.Ф.. .....1:'. М.. cr:.'::/)-=- ос L':) 'XJ.I.!':). ОС'.1I.!':)'::/)С М 00 L'j 00" . О. М.
C"J C"J М C"i'm-.:i -.i' ф r-. о:> ..,... С'.1" е>';" r-: о фС{C'i r-: ...... м [-.0
..,... ...... ..,... ..,... ...... с\1 ......NC"JC"J C"JC"JC"JM
lf':) l.':) -.:t' C'I -.:t' с\1 '::/)00:.0 L":)-.:t' C'I с'.1 о:> 00 O [-.<:.O .... O:>OO
I.!':).Lq [........ r--... t"-.. Ф. Ф.. .. ............ ...... ';. "3". '"'.. [-. [-. [-. <:.о <:.о Ф о:> 00 00 00 OO
.... ..,... ............ ....... ,,] ='J" "; NNC\1 c'i C-J' С\1" C'I" c'i С\1" c'i N N M" M
М <:.о "'";)0 ::=:>
<:.о C'I .. ..t"-;. М. :.о. 00. OO"""1' ,. ..O. С. t-: <:.О. C'I" "..... <:.ОФСО':>С <:.О" -.;< О. О" \С I
L':). 00 О C'I :;! CfJ С:> <:.о с\1 <:.OOcr:.OO<:.O c'i ,..; . MO <:.O
..... ...... C'IC'I C"J '"' '"' <:.о [-. <:.0[-,000':>0 '::/) о:> О......
.... .
М C"J О:>'::/)I:' l1':) M C<:J М С'! .C'I'.) <:.O<:.O M ......00':>'::/)1' I:'I'I.!':),",
с\1 с\1 М.. М. М. L':). . .. [ . ..I:'. Ф Ф О':> .... MMC"JC\1C\1 . -.;<" -.;<" .
. .. C'I" C'I" c'i С'.1" N NNC"J"NN
............ ...... ............. ...... ............. ...... ...... ...... C"J с'.1 C"J с\1
OO м 1:"";) М ............0
L'j .. Ф.. q . C'J. C'J.. Ф.. ..О. ........... о О':> <:.о С C"J <:.OMOO...... [-'CM
м.;:/ <:.OOO [-. Ф...... ......Мф ro м r:..: I Ф" ........ r-: 1:"";)" ro ф ф Nr-:u:)
.......... ...... .... с\1 с\1 C'lI:"";)M М Ф I.!':)<:'o1'-
C"J 00 М 1'- C"J [-. C<:J -.:t' L'j 0 C\1 I'-ООФФI:' О 0':><:.0 C"J О ОО<:'о.....1.!':)
00.. -.::1'. С.[-...М.. М.. 0..1:'. 0.-.:t'.C"J.. 00 1'- ООММММ 0000 Ф О"" [-.M <:.O
..... C"J С\1С\1М C'lI:"";)M MI:"";)-.::I' .. ":.o" r-: 00 u5 ф 1:''' 0':>" о- <:.О" r-: 00"
OO ООФ <:.:)ФО <:.:) 00...... ФМОО О <:.О C"J 0\ 00 О О О 1:"";)0000
,,'";). О. <:.О. . C"J,. Ф.ОО.. 00. OOM ф. "'I("'OIj.. C'J.. с\1 00 -.::1' 1'- М [-. u') 00 <:.ОМООМ
С'.1М C'l1:"";) с\1 М ...."1' М. -.:i I.!':)" <:.OI'- <:.О" :.о" 00" Ф. о 00 о ...; r:-i оофоC'i
, ...... ....
[-.. [--О. 00. М.. [-.
C"J C"J c'i' М
с;
,1':) 11": u-: ..!; ...... 00 .::;;, с.
L':) I.!':) J
-.::r -.:t'L':) --:r lIJ . Lr; ,C ' lп r-- :J:) :.о[-,ООФ Ifi:.ol:'oo
о L'j (
L':) li'5 I С,
.....,.. -.::r 1:', 00 .
I
Iq Ф I L
-;]' u') Ifi ф r-- ['4' 00
I
79
:-1
t::
t.::
<;:;
с-5 ,
с ё3
R. с)
t:::: с
:::
r:
с)
:;:
р-
е
u
80
j
;.-
I
I
.1\") -'1'
"
"";! '"/l!
UfllJ
I
1'f;) ,uli f
lJ!Ш
./
",=
1....;.1 . ".\. !
лt:ш
",'"
.11";) . ох f"
лtiш
W:) 'Х 1
н
I
н
.11'";) .Х f
о .
65
:S:"
9'65
, , а.
t:::t:;
:": ) "r:. "1::""""1 ) -:-:
L') н-: t--- t..... 00 :;;о О
c'i С' i G'i (',j c'i' C' . (' 6
1') ==> =:> ,.... L":' <:'1 <:'1 C'
, .:..:.:; о: cv: ф .:-:; С l'- .....;"1
N (;';J(;';JN:--: -.::r'tr;)
=:> ос, t-.. t-.. с: 00 00 L'j -.::r' --:!'
t-... t'"' t-.. Ф. ==>. С:. Ф. ::1'-;. :- Ф.
...... ..,......,.....,...............,..........
::м -.::r'
t-.. N =:> ...... =:> :>:
c o d"ci='1
L'j tr;) ::.о t-.. 00 с: .....
......
?
::'Oc M.....OO OCNO
С'''; "" li.> t-.. 00 Ф
C' М "': ::" 6' 6
С ОСФ oooot-.. ..,..:x::
tr;) -.::r' -.::r' 00. OC :::,. .
:,-5" ':!. М ..::Y:i::Y:i <:r.; . . . . . .
О О 00 Ф с.: t-.. 'i' ..... 11')
::y:i L":' Ф 00 Ф о с.: ОеН',,; t-.. .....
..,.......... . (;';J(;';JN&;;
ь:; J;
C" :'') L L L" Ф 00 ф
ф ос =:> XJ 1.... ,!";) 00 ф
..... .....::- [ r--. r---
c'i' "i N N ::-.i c-.l N" c'i N c'\i
t-.. 00
N"': С'! 1'":: :;: ''::'' С "<:' N...... 00
L.... 00 N С'': -:;' t-.. С N ""
.......................='I,'.J ..,....(;';JN
:::о 00 "'" ос 1') Ф '::'':
N N OO:J..; 00 Х 1...... t-.. --:!' -.::r' -;r
,.: '.J'; U-;
:=J t'":) f'- С G :- о':>
t-........ (;';J t..... ф l1j <:r.; li.>
N;'\:; li.> CQ :.;; t-.. 00 t-.. 00 Ф
00 [..... ф li.> Ф 00 t-.. L':) М С 00 С::;) t-.. Ф L':) С 00 ::Y:i.....
t-.. [..... t-- О О О О С С с: ..:;, 00 00 ос 00 00 t-.. М М М
N С'З.. N ... . CfJ" M::'\I'" ... C<J" :},:"' ,,"': : .. .;-...;
......:":)00
",= oo'" '=' =::=-;; ,,
1:10 Ф О...... N::Y:i "" t-..,C с"') ::u
..... ..,.....,......,........ NC\J
<:;)
с.....
......
,.... r-..... (;';J :-'1 Ф Ф <:'1 N
с: '" ::"1 ОО'::"";) Ф С
NMM"", li.> -.::r'1.':)::.o
.3:J .".. х) C\J ..... :;: M ::;-; 1.I",> "-'::...... t-.. C\J -.:r I.!':) li.>
00 Ф о ci <:5 о c'i' L-i t-..- Q м ......... Lri [": :.-;, c'i' :0 с;; о? Lri
..,... ..,.....,.... ..,.....,...C'.j(;';J ..,... """ """N(;';J(;';J ..,....<:'1C\J
о
о';>
о
о
ф ::y:i О:> Ф -00 ос ::"] ос t-.. <:'1 ::"] t-.. С ::y:i с': -.::!' 00 t-.. М l1j
c5c-.i'м..r.J N::Y:iI "lФФ L':);': Ф"l оо r-: ,'; c-.i'
.-4 :;':; ;: C'J N:'-JN '": C'JC'\J
""
""
-<i
ф
-<i
I
1:
I I '
I fi I
I I
" I' '"
, I
; -а
;:;
<:'1
':'J
-.::'1
..,....
""
'\j
I ' :ю .= = c..... '= N Ф
.......... ..... ....... ..,....
о;, с '"
..... ..,...
.Q
Q
r
н')
N
о
-.::t4
.....
, .
('.J
-;:J<
с I.r,) С",) r-- '.!'Н'': ::: )"': r-- -:::> r-.. (''': C\I lf:IC'f':' C\
С''': С''': Lf:) ( 00 :л С'':,. "::r: u-::. [-: OO С. O t'-;.oq, q...-;.C'!q
,, -.::i -<:;< -.::i -ci ...,; ...;...,; t::> \,':1 I.r,) L':) I.r,) L':) Ф .пф ф ф '-=' [...' r-- r-- r--
-=> ..........C\I OC C\I C\I I.r,) O ...... ..... фC\l...... С"':)
L':) Ф ..... С",) r-- I.r,) C\I C"J 00 '.':) <:"1 Ф I.r,) С'-:I ::'':) ф :.;
м Фф..... r-- ..... ...... -.;:< r-- С",:] "'" r-- ..... ф '-='
.....................C\IC\IC\I C\IC\I "'" "'" -<:;< I.r,) :.о 00 I.ij ООф t;3
Фооr-- ::У:C\I фif.) =::С()t--Ф Ф if.) Ф ООф ",".....фф
............................... ..... L':I L':) O':) .. Ф 0':>.. ::J 0':>.. СУ: "'" q O':) 0";. 0':).. р;. сх:. сх:.
M -:r: M C'1: :v:,C'1:cY:IcY: ...,;...,; '''' fI'
0':)00 .....1.ijr--=:> 00 C':1.ij......0='10000 С",) C\lОО-::;'Ф ОФ
..... r--:Y:)00 00 O о r-- 00 с': 00 L':)O '::' L':I [..... [.... 0':>00 "..
CY:I CY:I I.ij L':) \ Jj I.ij r--ООООС",)..... Ф ..... C ..... :у:) I.ij ..... c'!j
........... ...... ........... .....='1='1C\1 F "'"cY:I
1.ij-<:;<C"':'0r-- ,0 Ф .....ооC\l 1.ij 000 00 I.ij C\I 0':) 1 "", ф ф
NC\lC\lN................ 00 OOooOOr--r--:.о1.ij Ф I.ij r-- r-- r--' Ф I.ij I.ij
ф :.o :.o ф :.:5 :.::i r-: r..: r:..: r:..: r-- r-: 0000 ФФФО':)ФФm
ф......СC\lФ.....ОО С' -:: c'!j :.о '-=' \,':1 О ,,.. ...... 0\':1 C\I r-- О \ 1':) "'" I.ij
C\I '<1< \ 1':) '-=' -=> Ф ::"';:0':) ф.....С'1:l.ijфС",)1.ij r-- -<:;< ФcY:IФ' C\I -=>
C\lсУ:"1'ФООСC\l С",) О, 00 ...... С': r-- I.ij "1' :"':) ::::: ......0':>.....C\l0':>
............................C\IC\I ..... C\I C\lcY:IС"':' ""'I.ijФ I.ij r-- 00 о':) о':) \...... C\I C\I
!........... ......
ф I.r,) C\I r-- \1':) СО':) C\I.....or--C\IФО C' Ф .....С':I.ij......ф
000':)0':)0':)000000 '-='.. I.ij. С'! c'i. c'i. ....... ........ О.. о.. 0000 r--r--r--ФФ 1.ij
-.::i -.::i ...; "'" ...,; ...,; I.ij I.ij' ФФФ:.оФФ Ф" r-- r-:
I
\
С'1:Ф\.!";IО':)ф Ф r-- ......r--cY:I.....ФО \I':) r-- r-- \1':) О r-- r--
[-..o"1'...... [-..00':)..... ...... ..... ..... r-- ..... "1' Ф L'-" ...... r--
r--OOC",)O......C\I N:":I 00 ..... r-- <:"1 [..... C\I [.... .....
............... ..... .......... ..........C\lC\lC\I:v:: C\I CY:I I.ij \.!";I :о r-- 00
r--.. O ,, С.. I.ij О.. ,, \.!";I...... О..ф.. t--;. С .. "1'00 1.ij0':)..... I.ij
"",[-..оО':) оо r-- 0:--5 h 8;;! 1'': ".;- oo:.5M .: -:i ..;
C\lC\lC\I "'" "'" "'" \.!";I :.o:.or--oo О.....
..... .....
"'" :''':) ..... 00 00 C\I .. 0';1.,. q C. .. .. . Ф r--О"""Ь""'О
" m, o OON r--о C\lФ"",...... 000 ОО[-..о ф :-cv5N
cY:I cY:I "",\.!";I,-=, l.ijl.ijфr--О':)..... ФФ r--OOO':)C F "'"
.....
CY:I ..... ............
.п .п Ф 00
:.о Ф 00
..... ...... ..... C'I C\I
0.....='1'<1<:.0000 .....C\I C\lcY:I :.oO\.!";lO "" :.о ФОООC\l О
...... ..... ..... ..... ..... ...... C\I ...... ..... ......................C\lC\I ..... ..... ...........C\IC\IC\I
О О О О
Ф 00 I.ij
..... ..... C\I C\I
Ф 00 C\I \.!";I
..... ..... N N
81
c:j
с..
.
. :::;:;::
;:fg
t:[........O
с..[о:::
8 О
===-:::::
Е-< U &: :::::
t:r:I;>.o
;: :::::
::s с.. с.. Е-<
I ( I
....
C>
ii
:::::
t:r:I
Q)
.
;>.:::::
Ho..
= :::::
;.::;.:: ct1 О
CQ :::
8
,:::::'
slEe
1='..c:Ic..»
..c:I::!....c..
, 3 'Ф .....;.::
\Q ::;; ;
i:Q CQ
: U U
..........;>.>.
а.2..5==
.... ::::: .
882.[
I I I I
..o '"
"
"<
»
N :"1 '.::1' t!",) .....
х; ЯI 11":)0 х) r 00 J:)
C'Ij 1
11II0':'1\)1I , О.lл О ОС
11'";) .п 1 C'Ij м "'"
С''' '.::1' t!",) t!",)
;:! щш о 06 00
I
;j .11'":> .r!r C'Ij 00 ' :о.....
..... I:'J C'Ij t!",) t--
ЩUI О 00 oot
11'" J ох
II.L::J3Н<Н.L N ф C'Ij
иd.L1I3h "'" '.::1' L':) t!",):o
':::: . .LO анн с5 00 60
ф I -НО.L::J::J1'Id
<:.)
о
а: . C'Ij NN 00t!",)
1=; . Jfl r 00 ..... L':) .....
1::( 11'":> О o N
;:а
:s
II'"J 'оп.
f:'i 1IJ.;)3ЖНJ. ООС'} N t--
с) 1'IdJ.ua I 00 о.....
н .10 ЮIН О ...........
ф
:а I I:IoJ.;)aed
:I:
1:1' Н Ф OO t--M
С lr,) !;\IC'Ij C'Ij t!",)
.WJ .Jx r ......' ФОО
а
.п 1 t!",)'.::1' Оф
WJ -.:;< t!",) L':) t--ф
::::- О 00 o
I
;::., !;\I t-- C'Ij 00
.WJ .п f N t!",) ф.....
о со с"":'
00 .....0 t--ф
WJ 'Х 1 r-- o q N !;\I
Н О ..... ......
I
11 О !;\I C'Ij ф C'Ij
t!",)ф оф
.W:> ,Xr О ....:.....:.
....
J 'w "Вои J ..... t-- !;\I 00 '.::1'
Ф ..c:.
ааа о "
..... ..... ..... .....
701V'J . I:IIшФоdп с=: ф'.::1' ф r--
..... '.::1' ф 00'.::1'
ql:1'IПЮI:ll ..... ..... ..... "":'c-i
"- С''',
..... ..... .....
е::: lr,) t!",) q,
:;:: '.::1'
о.
с) C'Ij C'Ij "'"
-< C'Ij
ro
t!",)
.о ..... c'\i N
t!",) ='1.
N '"''"'
НIшфоdll \I' Iq IN "'11
N ...... -.:;lr,)
N
00 r--
M
0-=5
"'0
ф.ф
ос
ф
r-.O
O
oo
фф
00
соо
N Ф
C'fC'f
M
СО
00
r--Ф
000
осо
rd .
0,:5
0';)0000
OCN
......1..Lj
....:
II..Lj':;:ф
;5
\
r-:Ф I oo l
oo..oq.
000
Ф
N
CrS
MI..Lj......
NO,;)
1.6
t35
1
1 :-:: N N
C'iф ccv5
..... ..... N N N
r-- .....
1..Lj
.,.;
N
с.....
c)C'f
......
r-.СОМФ
0';)0';)0':00
м C'l?M М
0060
r-.ФФI..Lj
:х.: 00 00 'XJ
6606
r-.МФJQ
cr-.C'I?I..Lj
MM 1.ci
...1J",)0';)r-.
0';)0';)0';)0
000";
.....000
I..LjOO"'O';)
OOOmr-:.
... ..... .....
MooNO
OO......N
C'fC'fC'fC'i
с-.::!'О';)О';)
м"':с)ф
М Ф
r-- ф
@
66
066
r--<:o
00 00
c'f: C'I?
со
C'I? C'I? C'I?
660
7.00
C..q
..... .....
N N .....
NNN
...7
00 00
0';)0';)
ос
g: )
......... ......
00 00
1..Lj00
oO
oor-.M
"':C'f
............
.;x)
00 C'I?
trS
:('
-:".I ::P
r:-:оОО
.....
C'I? 1:'
............
..:
СО 00 <:о
N N C'I?
...:..;
C'I?
00
..:.;
r--..... о';)
..... N N
...:...:....:
OON
01/5
N N
NNoo
C'f1/5r--:'
C'I? C'I?
Ф N
M
..... ......
ooNN
O
N N C'I?
01..Lj
СОФ
C'f
N u?
0';)0';)0
l..Lj 00
NN
O';) N
C'I? l..Lj
C'f C'i
Ф
N
000
......
NIJ",)
C'I? о';)
..... ..... ....
:::r-.
"";ф
l..Lj >..!,)
r-. ф
ciM
ФОО.....
.....
OO
r-. r-.
со
....с
..... ......
0000<:0
IJ",) l..Lj IJ",)
.,....0
о';) с;,
СО
N N .....
QC.q
.......... ......
C'I? 1:'1 ..... о';)
................0
.,;....:
00 r-.
"'!С'!
.... .....
N
.
.......... .....
N о';)
м <:о
...;
r-. N .....
ci r-:
.....NN
о';)ф
с;, l..Lj
C'i
с с 00' \
. t-:
м :у: -&
ф'.Ооо.1";)
....N ......
tri:cr--:
1f';J l..Lj
N.::>
:;Q
I..LjФIf';J
N ........; 00
.,......... .....
r-. 00
.... .....
м N
3
00 00 IJ",)
000000
N
ОФ
ФI..Lj
с:> 00 r-.
t-:t-:t--;
..... .... .....
....оф':.!:-
с 00:>;:;:'
N";
C'I? М
N
"j
ФOQ
C'I? ,",,, ,'.
C'iC'iN
ФI<":)
l..Lj u?
C'iC'f
..... 00
<:o
f' 00
:..
ci
"': .......... ' \
с......М
... ..... .....
:V:
C)M
...... .... .:'-] ':'1
':' /)
C\I N
C()
ОN
)J")
ФО
";ф
-.::!' -..::!'
C'I? <:о о';)
0c5
Фf'О';)
ФN
фО';)
";11'5
r-.Cf'
..... f' f'
:'оФХ;
000
<:о N
сО';)
OJ
C'i
00.....:.0
oo
C'iNM
r-. ..... м C'I?
......О';)фс
М М ........; Ф
00 о:
..;
::Y'::
r-.ф-.::!'
-.:i..6r--:'
ф-.::!'оо
00 L":) ....
r--:'oo"':
.....
O
..... 00
C'iC'f
N
......
1:'1cv5
со со.....)
\
-.::!'оо::<:;е
С':))фф
..; ..; tr5'
r-... t
OI..Lj
,nи-5 .
.....1..Ljf'
.....N
r-:ci
:.o1..Lj
1..Lj
:.or-:
м
r-.
..;
00
..,.;
о
N
С"":
,,5
Ir.
N
r-.
::"1
r-.
N
C'I?
00
N
l..Lj
i
IJ",)
1<":)
'
M......
м 11':1
N
с"';,
i?5
IC".:J
'M
I
I..Lj:.ооо
:.01
м
<:О {
L'J '
I
с
ф
l..Lj
r.:
l..Lj
,1";)
.r., .D 00
1<":)
]
' I J
1:.
i?5
l..Lj
!'-о
II!
х
о';)
,"":)<:О
l..Lj
I/5Фоо
со
IJ",)
О
о';)
о
I 'J
об
ocj>..!,)
V:I
83
rJ .8'} и::ю ::<:IC\I t-- C\lC\I=> t--ф О
ффС:ОО 000 @
UIIОШI1Ш rrOJf\ cYC c-q '<:I''<:I'
0000 06-:; 0000
W:I 'n 1 x>t---= М C\II Ф C\I
M::<:i::<:iM L'1 t-- t-- t-- t--
.:! щш .:.; ..... ..:
I
;:! .w:> 'n r C\lOO M O';)OO '<:1' 00 М L'J
6 oo ФОО N MOOcr)'m
UIШ C\lC\IC\I C\lC\IM '<:I''<:I' Ф
1-1":> . О.\"
1I.1.:>анш.1. C\lфООО X>O-.::r< C\I
еd.1.НЭП ""':.. '<:I' Lf! 00000';)
;:5; .1.0 ;)1111 ..,..,..,.., ..,.., C'J
>:;; I -ы 0.1.:>:> \J (1
Q,)
u
О O';) t-: Ф. oq. ::<:iMM mt--MO
о';) 00 t-- 11':) "';CN """Mt--
.1-\<":> ! 1/1. f '<:I' ФОО t--oo ..,.., ..,.., C\I
'Ofi
s: w:>
:s: 1I.1.:>ЭШН.L MOOC\lO t--...... "",, C\I
1:; udJ.IIЭП C\lC\I::<:i-.::l' ф qq..-;.e'1
Q,) MMM M M '<:1''<:1''<:1''<:1'
Н .1.0 ЭНН
Q,) r -llO.1.:>:>1'Id
;s
s: н ООC\lФ::<:i Фс) c'f:: с':> 00 о';) ..,..,
о О';)МФ::<:l OOO L'":) -.::1' 00
.W::> .IX f ..,.., C\I C\I М C\lMM Фt--
о:
о-
t=
U
с':> 00 t-- O CO mооф'<:l'
, /l1 t-:t-:t-:t-:. 00:0';) C\I "'!. "'! "'!.
W:> N"";""; C\I N C\I N
;:,:
I ФОC\l Ф t-- Ф------" t-:. O С. С.
;:,: ott5ci L--5 00 ........; MMOt--
.W:> .fl r MMM -.::r< t--OOO.....
..,..,..,..,
OO';)OO Мё1.... ..,.., О 00 L'J
'Х 1 C\I ..,.., ..,.., ..... L'J ССО';)С':>
w::> M MMM ".; '<:I' cv5 М
н
r M O qq
н OOMt---.::I' C\I :"-1 :"-1 t-- Ф C\I
.1\,0:> ,X r O';)..,..,N '<:1' L'J [' C\I ..,..,Ф
..,..,..,.., ..... ..,.., ..... C\lNMM
MOt--О 00-.::1'0
J. l 'w 'aov J L'J t-: oq. ..,..,. С:Ф<"'":I o C'-':)
:><>[} t-- 00 m C\I OOC: ....; С'I LQ 00
.....
(j) '=' о о MO';)
z1V;;J 'НIшфоdU L'J Ф с t'-- ,
j "";C'iM -::i ф ci
ч'[{еmОIПl ..,.., ........,.., :"-1
М
1-- cv5 et5
о
Q:: о =:
..,.., ..,..,
:i OO
о-
::..> Фt--ОО:::> r-:оО t-- х> с- :""]
'" .....
:Q
<:а М О О
:l. ..о Ф t-- 00
о с IIJ
N
.,...
Iшифоdu t\i. м ;;jt--. tf:)
ф NX>
\с
Е:
q;
о
о
t:<.
t::::
tl4
..,..,1
.... ф cr;8 lJ'j C'JC'Jooo 000 1J'j
o r-- О:=:>ФОО @
M M c'f: М MMC'I?M
00 ооос5 66 0000 :5соо
00 <:.о 00:00<:.0 C'JO lJ'j --:::< м C'J ОФОО
фф C'J ...... ...... ...... "'" r-- r-- r-- r-- LJjLJj
c'i :-.i ""'. N NN N :--J. c'.f c'.f :r5 ro
м LJj
c5u-5 C C"\1C'\1 LJj--:::< LJjr--r-- <:.ОФ
oo ...... C'J --:::< <:.о <:.оф <:.o'f:C'J<:.o 000<:.0",",
...... ..,... C'\I C'J М C'I? <:.о ооФ
С"'": C'\I C'l?ООФМ C'J фC'l?...... :-'": Ф r-- LJj
О...... C'\I C'\I М "'"' LJj r--DOО:Ф LJj <:.о r-- 00
NN C'iNNN C'iC'.f NNN м:-5 м ro
L-:::<LJj CLJjLJjr-- --:::< r-- ф С Ф
ф",", OMO "'"' C'I? MCOOr--
...... :"J I C'l?M"'"'--:::< LJj r-- фо <:.о C'\I r--
( ...... ...... C'\I C'\I C'\I
ФОО ФC'I?C'\IО 00 r-- C C'\I r-- "'"' М......
",",11':) ......A M . ооф L':) LJj <:.о r-- C:> """A:-' М А
...,; LJj LJj LJj LJj If"5'If"5' :.:s::;) ф r--ООооОО
r-- ф о М--:::< СФ<:.о--:::< 1:'1 00 00 О
N..,... C'J U") :r: ...... :":)C'J C'\I 00 1:'1 <:.о ..,.....CU")......
r-- Ф C'JМ<:.оФ с: :r:> Ф......r--N C'J:r:>C'f:
....... .,... C'J C'\I М :r: ,,. ФООФО
......
00 <:.о LJj",",C'\IO C'JO 00r-- C'J :-.1 00 <:.о C'I?
LJj U") OO oq, oq, oq, ...... U") U") U") U") Ф '-q LJj '-q
C'\IAN C'J C'\I N C'J c-r5 roM:r5:r5 ..q< """,",
ОФ <:.о""ФC'J <:.о",", Ф C'J ...... r-- N U") С<"
N OOCmr-- r-- C'J OOLJj C'I? c'f: r-- ......
..,... ...... ......C'JNN C'J C'I? '<::' "' L':) Ф CM..q<<:.o
cr:, r-- L':)M ..,...00 Cr-- LJj:r:......oo r--N r--
"" ..................0 OO cY:) q,О ФАФА
.,; L-51f"5' L-51f"5' If"5'If"5' фф:::):D 0000r--r--
ф r-- r-- C'\I :":) с:оо......<:.о r-- ..,..... LJj r--
<:.о "" 0:';:)00:;:' Lt:: ':'] ""ф С '='1 c:>..q<00
M Ф :.;:) 1"" :)() 0:::: "" ю 00 о ::) L Ф
C'! М"""'"''''"'
...... L':) coo<:.o C'J"" r-- ''':' ...... СР.. :;:, oq,
r:...: oocp:r5r:...: NФ r-:ф--.:;ф- r--ФLJj"",
...... ..,..... ......NN C'J ::"J C'JNMM М LJjф
C::"J Ф :'':) С r-- м r-- :;:':;:'0:>00 C'I? :.о. '-q
00 I:'J C'JAtti 6,':' oo ....;r:...: cr5' oocv::.....oo
...... :-'1 C'J ::"J C'I? М C'J ::<':1 C'l?M "'"' ..q< Ф r--
м r-- r--
--:::< ...; ...; "'.:. <:.о
С"':) "" 00
..,... ......
ОО;?; Ф :;! CC'J ..... N "<!<:.о N<:.oooO
...... .................."'1
С О ;?; L':) С
Ф С <:'1 <:.о
...... ..... ...... .....
о ,:) с о с
"'"' 00 о LJj
..... ...... "'1 C'\I
IФ I;; 00 ,...... C!LJj I
.....1..... Nj
85
-.::!'
Ф
=r
==
\о
еб
Е-с
ф
;i'c.
; g
cr:
o t1:
1:::
..: %S g
g- t::::
:2
!-<
C O?>
S 1::: е,- t::
c: t:: r.
c:;:::-:::t:: u u
6. =- R , .
u ф t::
е8S- S
1 1 1 I 1 1
.s::..o "";:C:: 1..
ф
""
Q
U
.....
ti о
t::
r:.o t;
со;
= :.=::;,
a ;
,..., с. t:f
с) :::::
; e
... C.J
t;u;;
ф с,) ::
:::::....
O
.?'"-u
t 1 I 1
..,
ф
L(J
С
C'J
ос
Е--
С
:а
s
86
::Q
.q . rJ.; 00 О.
Э 't'" """ ......;! .......;. ).(J
( Lt:I ;?s -:r
, ....."1' ).(J
"
../ Lt:I Х С I О
,л о C-J
..-4 1 .....
ь = I-I'j
.в '" ф 'f:;
о
=1
;:,.,
I 1:::
:;!:
:::
t::: Q
t
i=
Е-' t:t:
O
Q
t::.....
с
:t:
с :Е
.' [; ;>,
tl:U
a.
<::
J,. C':!I!:I
o:o. 5 ,(') . ос с:7)
g- . .
O....a>:t:'" ... .... .... .:.
::: tr. "
f-o
00
}; Ct:!
..; .....
00 ...
).(J ).(J rf- \ с
,::;: v "": u-) а:
;::-
C.J I \
О ......
::- J 00 ф' -.::!'
-х5 ..... .
.... (J ......
:= -.::J
-r;, )(). Lt:I
- I О
H I .с ::: ..,... \
1) \ .,...
g \
з:: \ ('00 ('00 00
" Li':) .... .t--:.
... ... "i ...."!"
1
;; -- \ ' r- '"'
:3 I !< u5 t:;'
...... :'.\ Lt:I
.-
..... Lt:I I
\ ......; ('00 \ f'17;
!. . r: ::.. сп .....
\
r
\.;'" =" 00
шg lrJ r-: С'1 00
Ф ('00 cr) с
...... :i ....
i 00 .....
,=", N с: r-:. r--
............ G.J (. 00 d ...... <:у5
',.o..ooI:::i ,",)::t .....
Lt:I Lt:I \!" О
, ='i с'5 .='J
-:: ).(J Q ).(J
I r..: r..:
'""" r-..
r..:
""
r..:
r..:
).(J
r..:
,'" ::;, if.) ' ct:) r-- r-.. C\I r-- .... C\I cr.> 00 Lr,)
..:J r-: Cj. .... N -;\J '<:1' <:< Lr,) ф r--
.... C'i С'! С') .:-J N :-1 С') ; ,....f ....r
...............-
с4 t.... ./:., -<' . ::> 00 "у') '<:1' r-- с
[-:: J ..... N -'о .() Ф r-- \ :X) с;;, C\I
.,... .,.; :-J :-J N N N N :;-'-1 N N N п
:::;-- O ::1 ::> 3 r-- Lr,) . -<:< =:. N Ф 0':). r-.. '<:1'
:5 ci' -:s '-...) r..: ('r"J" ......
7J ..... I u;
.... ..,.., ..... -;\J I -1 ) п -;:1" ф r--
.... ,., ф c-t:: ..о 3\ С'о} !
lf5 ф N r..: ..-5 ;:;:; !у) -<' r-- о C\I
u:> ф с.... :х) с с "'":! с.о! ..,.., ..,.., "::t'
..,.., ..... .,.., N N N -.::i" u:> Ф
I
r--
" 1 ос; C\I
q \() , :
00 ,=р r..: ,r) .,... C::I r 9 .,.., :х) 00 о '<:1'
l;5 L'":i Ф [.... 'lJ 7:> .... Lr'"J N '1":1 '<:1'
..... ...../ ...... ..,.., <:'J N "::t'
::;, L'":i С'} 00 с.о '::? I -::; ..... ё1
,.... "" "'" N =:. r-- О. ..... N r--
.r;) ф :5 r..: c 06; :<J yj ..:;), :;-) с:. ""'1 u-5'
I ..,.., ..,.., .... ..,..,
CtJ 00 : i \
с) ф ..... C'I ::;: С'1 ..о ..... С'1 \() r-- @t ..,..,
ф r-- 1'":1 е;, ..... ...... с.о 00 ф
..... ..... .,.... <:'J N N '"<:1 r--
I
cr.> if' ...... -::> !I . Q .) О О О О
oo , ..... if.) 'iJ С':]/ N N <:) 00 ..Е ..... 00 N N
u:> r-- jJ <.:- :: .') ф ...-L.. С'':) D ..,.., ..... 00 cr.> ос; N
...... .....' ..,.., N N N М Lr'"J r-.. --::> 1?
..... ..,..,
м N ..... "'": '='!. .....-;, 1 -=. 6 L'":i q 00 r--; if.). ,() со.. м
N ..-) :! \-5 N": .... L-5 ..... -:5 ct5
..,.., "'t"""I "'t"""I <:'1 C\lj с' J N М
J
r-- cr.> :';) Lr,) ,..i'> , <:) r-- ф cr.> N "'" tq
lr-=- ф ..r5 ::5 ...... п l ..--:) 6 ct5 ,I';) ..,..,
..... ..... ..... ..... N ='" N , N N N СУ';) "'J ('\'j , Lr,) ф
<:) u:> "'":! u:> I ......, О О О L'J
,,-5 ....; ..,; ..,; ".:; ..,; L'J Lr,) Ф ::о
о о u:> u:> q .1";) L'J З} u:> u:> о
ct5 ct5 00 cr.> ::;; ::;; ::5 ..... N м
..... ..,.., .,.., ..,.., .,.., ..... ""'"
о \1';) ('\'j 00 r-- C\I о ф ф d ;:) r-.. u:> r-: ф Lr,)
ct5 ct5 00 ct5 ct5 ci ci о о о ..... ..... - N
..,.., ..,.., ..,.., ..,.., , ..,.., .,..,
о q, о о о о C\I М Ф Ф о Lr,) q Lr,) о
lf5 \!':I lf5 1.t-5 u-5' lf5' н-5 trS u-5' ф ф r-.. t..:' 00
00 C\I -.:!' со О -.:!' t о C\I \ <:) Lr,) Lr,) о L'":i О Lr,)
Lr,) ф :о ф r-.. r-- 00 00 ::J:> cr.> ::J:> О О ..... ..,..,
..,.., ..,.., ..,.., .....
о о <:) о О О , о о о о о t.::. о о о о
:о 00 00 о <:'1 N -.:j< -.:j< О М Ф О
..... ..,.., ..... ..,.., ..... ..... C\I N C\I С'} N N М М М '<:1'
c':s r:t:1 r:t:1 01 c':s I r:t:1
-.:j< -.:j< с.о r:D 00 00 О С'1 '<:1' '<:1' r-- О СУ';) Ф о
""'" ""'" ..... ..... ..... ..... C\I C\I N C\I N N C\I ,,:> М (;1';) '<:1'
8'1
lt:I
са
::f
:::;
\о
со
E-i
ф
tr
CJ
<:.)
;;...
<:)
=
о
1::{
r ...
a
<:,)
IS; Е-<
<:.) <:.)
о
ii
=
= Е-<
Q) l:rI
.
IS;:::":-""
1S; .....o
t:fO;
р.. о... с..':::I
8 8':::;
IS;<:.)
ь ;;,
фф....:::I
I;i
G
.1 [ [ I
....,
....
""'
C
f;..,
....
!:Ij'o
t!:: S
t5б:
:::1 со со
1:1 о... 1:1
-3
=-
' o...
a ;3
I:;CQ =
<:)
1::8 5
CIS . CI:S с) S
:
ffiS'
3 E-< E-< о...
O<:.)o>' ;.::
61:1 E-<1:rI CIS
co ,;Q CQ
= ,
0o..S' :::i' ::>:
= ф
S s&
r I I r I
..Q "' а..
'*
с.о
t
о
C"I
00
E-i
U
О
з
С.
r-:
.
c.i
.....
....
'1
88
.
C':Sco=E:::.;
ciE-< <J
g ::::;: .;
::t:; H
:!!
... u
':::
с!)
'-'
<:>
I
;:,-.
::
":i;
"':1 ()
:s:
::r
;:;;
C:J
р::
C:J
;
<:>
t:3
U
н"
tI4 5
н
... u
I
н
н..
5
}.: ":i;
..., u
, , ....
о c:.> ..
a 8a5
:i
Q.
с!)
:Е
ro
8:
"1:!
ос
..:::
Q"';
.
.....:!i
tx:
8.
1::-6
.....
.....
C\I
L!?
O"J
О
00
q
....
L,?
t-o
N
00
.
м
.....
1.--;
t-o
-:f5
ф
L'?
L
с
О.
с";)
C\I
0":>.
.....
'<:1'
L!?
c'i
'-../
.....
ф
о
Lr5
....
00 '<:1'
N 00 m
C\I 00
..... 00
.... L!? с";)
d 00
I.J";) I.J";) I.J";)
c'i N C'J
I.J";)
:.о ф
q C\I '<:1'
t-o
I.J";)
...;
C\I о
с>? СУ:' '<:1'
.....
.....
.....
'q
с";)
.....
.....
м
u1
.....
I.J";)
t-o
ф
ф
C\I
I.J";)
еЮ
00
C'J
.....
"'!
м
О
C\I
м
м
.....
"'"
ф
C\I
ф
.....
м
Q
с";)
м
00
[.....
-d
N
N
00
м
с5
I.J";)
t-o О
.... М
с";) м
О'М
..... .....
м м
It:)
с.:
ф 00
с.:
It:) 00
...;
C\I
If;)
2 8
....
"" о If;) С";)
:х) Ф о If;)
I.!'S" 00 о
....
I.J";)
I.J";) ф 00 о с\1
.... ....
1"- 1"- О О М 1"- 00 N 1"- 1"- N Ф 00 tf')
oq, oq, о q о N "" "" "" l..iJ l..iJ 1"-
.... .... N N N N N N N c'i c'-i N
:::> "" 1"- ..,.., со е 1.'".:1 r-- l..iJ е 00 м r-- о м
t--;. CO о о ...... C\I М М l..iJ Ф 1"- r-- 00 о';) ..,.., C\I
..... ..,.., .... N N 1:'1 N N c--.i C\I" с'5 C-J N c'i N м
м OO с с 1.'".:1 C\I .... С Ф C\I М Ф oq, t-: -..;:<
м м ф о о "" . о ....;- r...: r...: м ..,.., ..,.., -;
...... ..,.., .... ..,.., C\I C\I C\I C\I ro С"-:: м ") "" l..iJ Ф r--
1.'".:1 М 00. е
16 00 ф l..iJ М Ф ..,.., r-- -.:t' C\I 1"- О М C\I
l..iJ Ф 1"- 00 ..... м 1.'j 00 l..iJ с.о C\I ..,.., ..,..,
..... ..... ..,.., ..,.., C\I C\I C\I М 1.'j с.о
00 ..,.., ..,.., "" ос; .... 00 ф
с5 o.:i ф ф r..: е о':> 00 -.:t' ..,.., -.:t'
-.:t' -.::t' l..iJ l..iJ Ф 1"- 00 Ф ..... м 1"- ;'01 00
..... ..,.., ..,.., ..... C\I C\I М -.::t'
::::> 'tE C\I с) C\I 1"- l..iJ со Ф м
::,;) ф "" "'!' <:'-1 ') О ..... 00 о';) 1"- 00 о ..,.., C\I r--
1.'j- Ф r..: 00 00 00 r:6 c'i м
:;::; ..... ..... ..... .....
C\I 00 ""
о м C\I C\I 1"- -:'1 С'1 С'1 1.'j 1"- С ..,..,
1"- r-- С'I М l..iJ Ф :р ..,.., ф 00 со ф
..... ..... ..... ..... ..... ..... C\I C\I C\I CYS м -.::t' Ф r--
..... l..iJ I"- М, ::::> с е с о е е 00 о е о о о
о';) -.::t' -.::t' C\I, cr;, с) С'1 1"- ...... М О Ф ..... 00 C\I C\I
l..iJ r-- 00 --:> ..... l..iJ Ф м о';) ..... ..... со о';) ос) C\I
..... ..... ..... .... C\I C\I C\I М l..iJ r-- О l..iJ
...... .....
ф О. ..... l..iJ 1"- C\I C\I r-- 00 с.о о';) C\I l..iJ l..iJ tq
I 00 ci с5 I:'i м ф 00 с; с'5 lf5 о ф м .....
..... ...... ..... ..... C\I C\I C\I C\I C\I C\I М ':) С'':) -.::t' l..iJ Ф
l..iJ l..iJ 1.'j l..iJ q
М М М м :.-5 -.:t' -.::t' l..iJ l..iJ Ф Ф
l..iJ 1.'j l..iJ l..iJ 11':) 1.'j
со 00 00 r/S .:J) (,.) ::::> е 6 о ..... C\I ,/ё -.:t' н':>
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....'
..... r-- -.:t' О 1"- C' С r-- l..iJ C\I О 1"- 1.'j Q t-: ф l..iJ
00 00 00 0';)" 00 ф ci' ci о о о о ..... ..,.., N п
..... ..,.., ..,.., ..,.., ..,.., .....
с':> о';) О О ..... C\I C\I -.:t' -.:t' Ф Ф е l..iJ о 11";) О
lf5 lf5 \1:1 1. lf5 1. ,6 1.-5' ф ф 00
00 C\I -.::t' 00 О Ф е C\I 1"- е 1.'j 1.'j О l..iJ О l..iJ
l..iJ Ф Ф Ф r-- r-- r-- 00 00 00 о';) о';) о';) о о ...... .....
..,.., .....
е о о о е о о о о о о с о б .0 о о
-.::t' Ф с.о 00 00 с- о C\I C\I -.:t' I"- М с.о о
...... ...... ..... ..... ..,.., C\I C\I C\I C\I C\I C\I C\I М М М ""
М М "'! <:f': М 00 q, с.о е 00 r-- oq, l..iJ о:. М.
N м ф r...: сх) ф ...... N r...: ...... ф ...... 00
.... ...... ..... ...... ...... ..... ..... .... C\I C\I C\I N C\I М М -.:t' --:r
CtS CtS CtS CtS C;:I CtS
"'" "'" с.о с.с со е о C\I C\I "'" 1"- О М с.о О,
.... .... ..... ..... ..... ..... <:'J <:'J C\I C\I C\I C\I C\I М М М -.::t'
89
со
CIj
t:f
::::
r-:
CIj
Е-<
ф
l..iJ
м
I:'J
00
E--t
U
О
Q.)
==
=
Q.
=
CIj
i-
>.
=
9О
.
Q.)
I:!'
с>
t.ig
S
@
c.;..:a
;:=O
::rO::::
е- g- S-'=
; g 8
1-< с,)
е:
f::
t
ii
1:':
О
t:
u ,...
..:::
t:"f
c:s О
I I I I
"'''-'') ''.)
u
;>,
1:::: ::::
....'1
со::
:::i со
ф
1::;:
>,
ь.:е-
с;
о
t:8
Ь:
:.;:.::::::::!:I
ii ::!:Ig8..
х 1:': ::; Е-<
I=;:ouo>.
CtS Е-<:::
\С CtS
[ > . .
U::::I=;:Qti.
e e-2a
I I I I I
"\j""1:C:
::..,
....
:::
с..
Q.>
r:;::
t::
::..,
;:;;
.
U
о
S
I
;:,
;
g
Q)
'"
::r
о
;Q
g.
G
.-;
I
"
() "
с...",'"'"'"
g e;
==@8р:(.
.."
Z.
CI:
с..
I
8.
- 1::>&
::: '->
. ..
'-J
J;"::
(""'.;...
d
к:'
.... <.
"
I
I
I
...;,....
H
.:с
XJ
L'1
.....
')
4
с>
-х5
""'1
lJ";)
,.;
00 I:'J
c6-r...:
..о
-:j1
::'J
.....
"'"
.....
С''1
.....;.
.....
м
с
r...:
"1
r-:
l..iJ
""
r::.
2
..,..
м
'-:::.
t-:
......
00
м
l..iJ
со
п
..
,-:,
:'1':1
С
-.::1'
Q
п
......
l..iJ
Ф
......
;;
l..iJ
r...:
м
r...:
с
11"5
1
r--
N
."...
If:) О
t-: с:.
..... ......
<:'.1 C'\I,
"..:; r--
...... ......
с'! w
00 r...:
L'J r--
1..iJ.
......
L'J
со
r--
11"5
п
6
с,
I:'J
М
со
:Y .
...
.....
м
с
еР
''":>
r...:
lt5
I:'J
":f:
.....
с>
r...:
со
м
ф
ф
00
......
......
l..iJ
-.::1'
ф
....
LI:
;:;
l..iJ
<!':)
et5
r--
r...:
,.....,
L--5
ф
."...
ф
с:.
......
ф
ф
......
ф
"1 ....
i
r-- ....4
......
r;.
r-: r...:
l
.....\....
.,
......
t-:
if
.....
:о
п
I:'J
Ц
'"\
"'" ?
С' I:'J N
06 00 00
с>
u5
l..iJ
C
,......
06
......
c'i
со
с
(;';
c'i
N
r--
N
06
..
00
......
о
......
r--
с
N
-:j1
u5
I:'J
""
ф
I:'J
l..iJ
М
с
""
l..iJ
ci
о
L-:)
N
Lt5
N
:::::>
.....
б
....
"'"
о
о
N
CtS
I:'J -::1' ..D 00 о
."... ...... ...... ..... "'" I:'J
r:-j :-! .N
"i
00
c'f
I
f UJ Ф с) UJ C'I 00 Ф C'I Ф Ф .... с.:
I ф r-- 00 О ...... C'J -<:t1 ф ' о:> с
......J "j (" ro м м
k_ '-'. ф
C'J 00 UJ ;,о
UJ
:::>
t': сх5 м ::;; ....;- , l7S 'о .,..; .r5 C'J :::> 00 t о ::r:
C'.. , ,1i -.:t' 1; 1'" 1:'- r-- о C'J UJ Ф t"-
.,-4 ...... ...... ...... C'J СУ5 :v:
1
00 UJ :у:) 00 ф '::J r-- r-- ф ф ф :.Q r-- О О 0\0 о о
-<:t1 UJ О о:> ф ro ("fj ("fj .... ..,.... :о о -.;j< UJ r-- ro .....
.... ..... C'I ..... C'.I "1 ro -.;j< -.;j< tn Х О r-- .,-4 r-- N cr:
.,-4 ..... .,-4 C'I c-r;
i
СУ':! xi :"1 \\ ,....
;:: о ::; y 3i ф C",. С.' Cl. О ""i
ro ф r-- ф ф C'I Ф Ф UJ
..... ..... ..... .,-4 ..... C'I C'J C'.I C'J <у" -.;j< tn Ф 00 ...... :;:: r-- iN l!J -о-.
.,-4 .,... ! С'! C'I C'I
.,.., -.;j< :,'';) 1:'- ;
.... о:> ..... "'! ro UJ UJ r-- с':) C'J ..... О о:> 00 r-- ...'" ,.,.
0-5 ф ф ф о ..... .N c'f со 00 о N м tr5' r..: 1"': r-:
.... .... ..... .... ...... ..... C'I C'.I C'J N C'I C'I I
..
r-- °i о:> ( r-- ::"\1 } r-- r-- 0\0 О С О О С
о:> ro UJ 00 ..... r-- О r-- ф -.;j< 'С'! Q J.> О O .-= .,...
..... C'I N '" CQ с':) -.;j< '<:" UJ r-- ::н C'I UJ ::н U1I ..... :v':
.... ..... .,-4 ro C'I:) ,.,.
Q О О Х{О с 05 .::r1 00 о с о 0/0
r-- ro 'ф ф '--' .... о 00 'у"' LtS C'I ..... ..... ) r::-; f:
ф UJ r-- -.;j< 00 о UJ о r-- 00 с':) с5 ...... 00 .:::> 00 00
C'I C'I с':) с':) UJ l!J r-- 1:'- с) с':) 00 I -.;j< uj O :'!
\ ..... ..... N UJ 1:'- О ro lf"; f'-
..... ...... .,.. .....
q )q
C'I r-- ro u1 o:>luJ C\J C'I ...... ::"\1 -.!:J q С
I:'i tr5' r-: ф ..... м ф с) "j 00 ф tr5' ф 00 С''';) Ф ! сх5
N C\J C'I C'I C'I ("fj ("fj ("fj CQ -.::!' -.::!' UJ Ф r-- 00 О l!J 'х:;
......
CQ C'I -.::!' Ч 11:) ::"\1 C'I. L'" :;, 'х:; .:" ' О с) ;:: 1
I
00 О '='1. -.::!' r-: с5 ,., ф м ...; .,-4 ф :"";) ...... .,...\ -.::!'.С'! -.:t
:'-.1 CQ ("fj -:r;; CQ "" -.::!' ':::" "'1' UJ Ф r-- 00 С) .,-4 ro L t-- О С":
.,-4 .... .,... \ I .,-4 C'I C'J
::';) О О О О 11:) UJ О О q, О О О q), О. q,
-ci . ",," ,.; lr5 и-5 trS ф ф. r-- r-: r-: 00 :;, о о о
.,-4 .,-4 .....
UJ О О 11:) UJ О. 1,.... о. о с С. о Q О С
'а --;:
:;) d с5 о о .,-4 CQ ....;. tr5' ф r..: 00 о N ....;. ....;.
.... ..... .... ...... ..... ..... ..... ...... .,-4 ..... ..... ..... C'I C'I C\J C'I C'.I
С''';! '-О. 00 uj 00 00. C'I C'J f'o C'J "";1 О C'I UJ 00 ::"\1 !oq, ::::> C'J
х5 00 00 ф ф С" с5 с5 :5 c'i м i u5 ф r..: о -ci сх5
..... ..... ..... .,-4 .,-4 ..... ..... ..... ..... ('J C'I C'J
C'I C'I:) ro ф ф q, ---' UJ UJ О 11:) ---' .;:) ;'''' :::> J) r-- ' о 11:)
lr5 tr5' 'ld' ф ф ф r..: r-: 00 00 ci -:5 :5 ' UJ" r..:
..,.... .... ....
о о о IJj UJ UJ L'" ,.", 11:) L'J --. :::> о о о о
.,-4 ..... C'I .... C'I C'I -.::!' l 'j .3 I ..-1 .... .....
..... ..... ..... ..... :,.::. ..... ..... ...... ...... ..... C'I C\J C\J
I
:::> о о о о с с ф Q '...- :::> о с о о 8
о C'I C'I -.::!' r-- ...,.." о L'" :::> 11:) о о о
C\J C\J C'I C'I C\J C'J C'I ("fj -.::!' "" 1.Jj 11:) Ф r-- r-- r--
'1
(
ro C'J c<s \о
О C'I C\J -.;j< -<:t1 r-- r-- О О ro ф с UJ о L'" О UJ О О ':)-
с-..& iN\C'I N N C\J CQ CQ CQ М "" "" UJ UJ Ф Ф t-- t-- 1"-
(\:1
::f
:S:I
\0
E--i
Q
ф
t:: u
:,;;
3
g '"
а:: c>
i= c>
:i::::...,
1=;:=.1;:: 3
[ :
g;i 8'а
:=.1\..J
of-<
, ;:==
o
a.
I I I I
r... CIJ
а
о-
ф
t::
:::::
u
;:...,
. :::::
:::;0..
*'
ф
L'":!
ф
>,
b"'
:,;;
00
00
t::
с>
. ..... .. =-
:,;;....::1
=;::::;g-
З 3
t:: f-<
(\:1 :::; 1:1:
S ::::: u
8 e H
::=З8м
::::.....f-<uО"::::
I I I I I
ф
"-1
00
u
о
'--'"
"'::: 060".}:'::
:>.,
ф
::а
=:1
о
С.
=:1
(\:1
Е-о
=:1
==
:.::
>.:
92
::.."
,
ф
ф
о
t:::
ro'
1:1
ф
ф
:3
:r:
р-
е
Е:
с..;
""
I
C
r;::
r=S
:i
:l..
",1:..,
со;'::
.
.....
,О::
о О r:::
L; ::
с-а.
:,::;;
;
H
CJ:J t
н
<.J
н'"
,
!J
н о:;;
"") !J
::':'1
5
.о
..:::
"-1 00
"! м
с':>
ф
ф
r..:
.....
::::>
"-1
ф
о
-.;
1:'-
00
с':>
о
"-1
l
N
"-1
r-.
ф
r-:
"-1
сп
00
-:i
..;:r
ct5
о
м
r-.
....; r-:
.,....
,Jj ,....,
'5
00
00.
.....
с--' r...
...., О
С'; c'f
ф :.о
00 :-J
IJj r
C'J
r-.
ф
s
:t
C"j
r-.
00
L'":! "-" 00 .....
-:i r:/5 о' i
...... "-1 C'J
j
I
С' О
-:i
.....
....) ....
ct5
L'":!
с':>
....;
i2
о
:;:!:
....
-:::<
.....
uj
ct5
00
r..:
С
о
:.о
.....
:.о
.....
j о
Ф -:i
00 о
1
1
..,...
00
C'J
о 0,0
ф м.....""
\
C'J ",,1 00
о
....;
,
1:'-
м
r--=
00
-:i
ф
c\i
L1
.,....
C'J
.,....
.....
-.;:r<
00
ф
,,,,
м
r-.
u'5
.....
00
C'J
r-.
LJj
05
05
LJj
05
с:
C'J
r-:
Lr;
....;
t:";i
L,"
8
.....
ф
ci
о
.....
-,tS
м
00
..;:r
rt5
....
L-:)
....
C'J
v5
о
ф
о
а
о
.....
о о
о
о
C'J
ф
v5
....
..;:r d о
00 ф ..,;
..... .....,С'.]
00 00
..... .....
C'I {.... D М ..;:r с::: со: с? (3. N Ф "-" о ..;:r о с)
м N \1",) М Ф 1.'";1 сх) Ф сх) ..... N -<::" ф о
C-J N ='1 c'i N N N c'i N .:-J с'\! .) м м с-: м с'5 ...; --i<
N ::..? М \1",) q L С Ф. ..... Ф. Ф ::::> о о q ::;, о о с
00 00 ,.; ..... ..... с5 ф с5 ф ... .,.; N 6 ..... r..: 6 ф
N N М М "" LJ "" Ф \1",) сх) о N \1",) ...... ф о
..-1 ..... ..... N N М
О О С О С С ::;, С О О О О О О О С О О О О
1ri r..: ф. 00. cs о' ["': r..: ф ф- ф ф r..: с о с5 6 с. 6 6
\1",) \1",) с с':> ф Ф м м ..... ...... ф о LJj N М .....
..... ..... N ..... N N М "" "" \1",) ф 00 о м ..... N Ф
..... ..... ..... N N М М
О q О О О О О О О С С С С О С О О
..... М. ос) с ф. 00 N ф м о ф- g с5 с5 6 с5 6
м ,1' Ф 1'-- ..... l Ф Ф м N Ф О \1",) О М \1",)
..... ..... ""'" ..... N N N N М \1",) ф ф ..... "" 00 N \1",) Ф
..... ..... ..... N N N
1'-- с\':! N С с:; о о о о <::> о <::> с о о о о о
м ..... N Ф ..... "! C'I:I L'j \1",) м N О О Ф 00 \1",) ""
00 ф ф ф g ..... ..... c'i N. ...; ф 00 о. c'i и-;) r..: r..: r..:
..... ..... ..... ..... ..... ..-1 ..... ..... N N N N N N N
О О О О С О С gJ О С О О О О О
N ...; ф. r...: ...... r..: c'i r..: r..: с5 -=5 cs с5 с5 о. с5
о м L':I 00 ..... :; о 1'-- с':> "" о ..... N "" Ф .....
N N N N ,!';> "" "" \1",) =:> ) L':I О \1",) ..... сх) м О
..... N N М , "" \1",)
о <::> о <::> <::> с :5 о о ::> О :;) О О и'5 )?5 <::> <::> о о
м \1",) ф ф '=' ..... сх) 00 "" 00 ') \1",) с':> <::> о о
о \1",) [.... "" :у.) о I!') О 00 ё-':! Ф "" N u:; "" ф м
N N N М М \1",) 1.'";1 [.... Ф м 00 \1",) ..... "" N \1",)
..... ..... N \1",) <::> м \1",)
..... ..... ..... .......
ф ф сх) 00 \1",) N, N . L':I с':> 00 ф. о 00 <::> о о о о о
00 о N ...; r..: о ф ф м ..... ..... м r..: ...; c'i ф N
N М М М М "" "" \1",) ф 00 ф ..... м u';) о м
....... ..... ..... ...... N N
О <::> q о <::> LL1\ II? r- <::> с <::> о о <::> о о <::> <::> о с
...; -:5 -.;:r< ,..; ...; I\ ...; 1f5 ::5 ф r..: r..: r..: 00 ф с с' с
..... ..... .....
J
\1",) о о u';) L':I 0)0 О О О О О С О О О О С
ci' с5 g о. ...... ""'" c'i C-J оr5 ::5 00 с5 N ...; ...; ...;
..... ...... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... N N N N N
Ф с':> L':I сх) 00 <:"1 N N М N N 1':1 00 N 00 О N
00 00 х5 с.,о) ф. с) с с с5 .,.; c'i ...; ф r..: ф- о" -.5 ;/
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... N N N
N ..;:r Ф Ф <::> <::> I/? \1",) О \1",) О ф \1",) м ..... О С. о Lf";:
\1",). 1.r5 lI"5 -6 <:6 ф r..: r..: 00 00 :;; ::5 с'\! м lI"5 [...:
..... ..... ..... ..... ..... .....
о ;z о lt? L':I u';) m '11':1 \1",) О .1':1 \1",) О О О О О О С
..... N ..... N N (yj М "" ..;:r lt? Ф 00 с:, о ..... ;j
..... ..... ..... ...... ..-1 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....... ..... N N N
О <::> о о о о <::> о о <::> (") 8 о , о о 8 о
о N 1'-- О <::> C'I:) ф о L':I н"':! О lt? О О
N N N N N N N М М М М ..;:r L':I lt:> Ф Ф 1'--
.
1:'- О сх) С'-:: Lt?. ф' lt? N N ф ..... N 00 00 О О О О О
c'i ...; 11'5 r..: ф ..... М. ::5 gj N 00 ф. 1f5 ф ф ...; с5 00 00 --i<
N N N N I М М "I:t' "" 11';) Ф сх) s С'1 М \1",)
...... ..... .....
с;1 'w r::: с;1
о N N '" ,1'-- О М Ф О L':I <::> \1",) о lt? О О О
N '" N N N (.'1 IN C'I:) C'I:) м \1",) lt? Ф ::.о
93
00
t::f
:S:J
:=:
\С:
N
l.t"j
m
f ':IJ
:::., >< :..,
I.f
м
00
....
1:0
Е-4
о
О
Q.)
:а
се
CI'
Q
I!!:
Q
С
Q
&.
t=
а
::а
=
с
с..
са
C':I
Е-
са
C':I
94 "
,., "
." ""'"
I :s
""
,=
cl)
<:.)
с
S
::з
s: ооН '5
:11
iI: ..J
а-
о
'"
;:2. I
:=
u н
Н"
5
K
'"':1 u
<=
..<:i .
'1:
'" :S:N
z5
r=:
1::10
:; 1::'
:;
CQ
O:J .:
о..
:
t:ClI :S:
;';;;-8<
8-
t::
О..... C" С t-o- :"-: с': lJ":i :'1....
000':1 ......""...... :-': . IJ":iI:OI:O
N "i ,, :- MM
;).
gg
:"J ,!";) ......
,..; ф
-о')..;:!'
:::>с,...... OOM
:6 --i"'; со L6 r-:
t.":!:.o lJ":i Ф
::JC 1J":i....."" CIJ":i,-'":i 1J":i1:O......
.....N ...... CDOI1':) CDNN
:"1 N "':- с "" "" "" lJ":i Ф
:.о ......
::
...... ""...... с ф t-o- :.о 00 lJ":i
'"VJ lJ":i t-o-::o -::;, .... м t-o-
...... ......... ..........:"1 С"] N ::,)
....."" lJ":i
""...... 0':>.............. :- I "" lJ":i "":.о t-o-
сОф ФОО .,..i.,..j.,..j C'i'C'i'C'i
......... ............-1 ............
0':1 CD ,,"::О о':> N N.... "" uj ....
00 ф L :.o о м t-o- 00 N о':>
.......... NNN ММ М M ""
СО СС;::) 000 000
о':> Ф о':> N CD t-o-.... t-o- Uj...... 00
00..... ..... oUjO """"
..... N ::'! М "" "" uj uj CD t-o-
о "" ...... :'С ф lJ":i N "" N
"';0 L6 r-:o ф ф
NN N"" N:-vJ NM:-r;
00 о N "" N 1:0 С uj uj "" .....
фф oO'oC"-j C"-r oo r..:СФ
NN NM:-vJ MM:-vJ ""
м о о 00 о "" N.... 00 t-o- С
r..: ф ф ф r-: ф r..: rXS ф r-: ф
00 COIJ":i ""I.tj UjIJ":iO
trS 1f5 ..Q'lf5uj ф
IS:I
i=;i
:= 00
-&
с
с..
t::
;:З::
...........
м lJ":i
осо 000
lJ":i L<"':i IJj :.0:.0:.0
'" 00 ""
o.,..i o.,..i--i
t-o- t-o- ::> О О
N::"JN MM
Q) с с
}
::а
III
::r
с
: :J:j C!J r..5' :Б' CQ
,
.:::; С')
""",,"'
I"'JNN
0:>0:> ooaN ФОО ООМи':> ..-1000:> ФМN N"'OO N...oo фr--..... o:> a
ф r-- 00 о о о N О C' N N С'":) r-- 00 00 О.... N u':> 00 О N N r--
6 ..::;..; ..;..,;..; ..;..,;..; ..;..,;...; ";..r;) ..r;) ..r;)..r;) L-$' ..r;) ф ф ф ф
... М С\";
cr;'m ..;r-:m NOOr-- ;:':)00:> С'":)ООО:> ФМ O:>OH 00000 C'] ..... OO
фr-- 000:>0:> О.....С'! ..... ФОО oo..... Nф..... O:> ..... or-- """ос
"""......... ..,.,..... ............... .....NC"J C'Jc;\I:;Yj NC'":)o,;tt '::t' Фr--
ф
8 fб БS @@ g@ g
1'0000 О:>.......С'! .....M o,;ttr--ф ОС"')ф ф.....ф r--M..... I.!JI.!JФ фс:.=>
........... ..-1"""..... ......... NNN NMC':I M IJ':)ф r--o:>a
.....
Na o,;ttMO:> o,;tto,;tt..... ::"':MN 1'0:>r-- ооса aa 000 000 асс
r-- О o,;tt 00 00 ф N ос; L о:> o,;tt N 00..... N l' М o,;tt ф N 0:>..... 00 L С
C"JM МММ o,;tt'::t' l.!J ф r--OOO:> O:>.....N N ФООО ..-IM1' 0oC"Jr--
......... ............. ........ N N N '='" N М с,')
IJ':)OO 1'СО С":'ФОО ..-Il..r,)ф o oo ОI..r,)ОО O:> O ....r--N '::t'....1..r,) NOC:=
CrSC\ I.f) ф ф 000000 6 00 C'i C'i ..r;) ффr-: ооcr;'ф С"5'мм
......... ............. .............. ............... NC"JN NNN NNN NC'JN NNN С'":)МС\";
boo b6
-.::!'Lf:) ффф r--CQO:> о.....'='"
.......... .....
000
N.::;::-.::!'
С"': ф
..........
NLr5115
r-- cr: .....
.......... '='"
оса 000 ос О осс
.....oN r--1..r,)0 C'IMN C''';)"-,,r--
C'.I Lf:) 00 00 С' I r-- r-- N 00 О r-- I.!J
NN'='" C'JC'":):;Yj М-.::!'-.::!' Lf:)1..r,)C:=
r-- 0 g 8ff5 @ @@ R 8 8
'-'- о:> С'': I..r,) Ф С:= r-- ф..... r-- о:> I..r,) м о о:> ..-1 Lf:) о:> N N..,.., N N I..r,) С'":) М cr:
О N C'.I L r-- 00 N Ф r-- '='" r--..-I r-- o,;tt о:> ф Lf:) Lf:) М Ф N О о:> """ ..-1..-1
................. ............ NC"JC"J MMo,;tt 1..r,)1I':I фr--оо O:> :;:::
....00 фсф M-.::!' oor--o ООФI.!J фl..r,) 0:>0
",;ф ф фоС"5' "';O:> M ";011'5' ф О ОфОО r--r--o:> r--0:>1J':) Nr--ф
ММ cr;,'::t'-.::!' -.::!'I.!JI.!J I..r,)I.!JФ фr--r-- r--ooo:> 0:>0:>0 O....N NMIJ':) IJ':)фОС;
.... ......-1..... ......... ..........
"-"00 1..r,)001.!J ......,..,r-- O:>.......N фо..... ф
;i g g g g g igg
..... .....
:.D Ф r-- r-- cr: Lf:) ..... r-- r-- с": r--
..-1 C'.I М М Ф Ф r-- о:> 0:>..... с'С
..-1 ..-1..... ..........-1 ..-1........ ..... C'J N
N N 00 С N I..r,) 00 L
r-:oo r-: m 00 ci о
.....
"-" с r-- С"I О Lf:) o,;tt ;:.;; ф О с\') r-- ф О 00 00 c..-l I.!J
.,.;-.,..;- о с"5' c'f'5 .,.;- CrS ' c'i ..; r-: ..:; ф ф ф 00"';- r-: о с-5
"""..-1 .............. ................ .............. ......-1.... ........ '.] ..-1 N C;\I
о О L L Lf:) О О О r-- r-- О I..r,) I..r,) I..r,) О О М О О О Lf:) I..r,) r-- О О О О I.!J
фф ффф r-:r-:r-: r-:r-:00 000000 ффф 000 000 ...;...;.,.;- C'\!"iC'\i
.... ..-1..... ......-1.... ..-1......... ................
М C'J I..r,)
о с о о о о О о I..r,) L L L Lf:) С О С Lf:) I..r,) Lf:) о о о L I..r,) I.f) о о :::5
r-- r-- 00 00 00 Q о:> о:> о:> о:> ф о о о N C"J "1 M:-t:: М IJ':) I..r,) L r-. r-- r-- О О со
..... """ ............. .............. .............. N N:='\1 C"J '='" N N N N N C'.I C"J C"J N N M:-t:: С''';
"-"00 ф NФ ф<:о C'J N фф фф N
fd 8 ;3 5Sgi 88g ff5 I 8 g ig 8g 8g
С''';)М MM:-t:: '::t'o,;tto,;tt -.::!''::t''::t' Lf:)1.!J I..r,)I.!JI.!J ффф ффф r-. 000000
..5\ '" ... '"'cO' co c..5':. '" 1 r:.o
М М Ф Ф Ф о о о ' I.!J '!";) О О О ' I..r,) ' О О О L IJ':) I..r,) о о о о о о
М М С'') М '::t' '::t' L!;: 1 '" I..r,) '!";) L -:=:.:;:с :С:'=>Ф r-- r-- r-- 00 00 00
U5
Q() r:r:",",",, ф :-: С') ('- '= ""r-.N С L 00 00r-. ф
..? фф .....Lr.i:::f:)фО .....С'1 '3'Lr.iLr.i М "" Lr.i М "" "" о С'1 М ""
ффr:: r::r-:оооофффс) ффф r-:r-:r-: 000000 ф
\о
t;;j
Е
\u . 00 00 L":I ООСОООООО OO ('\") фL1jО )1:) Lr.i Ф Ф ..... I.!j
;::: I 5 С') "" Ф .....ОМ NМr-. r-.Ф м r-...... r-. 00 L Lr.i М Ф
:х:: $ ф r-. 00 OOCML1jr-.С':> "" .......... ..... C'JC"IM М "" L Ф r-. 00
\u ..... ...............NN
iii
"'i: '::::: ООС 00000000 000 000
с Q.) оос 000 о
с\:) Q О L!j :.D N С'с Ф :.D ::::: r-. м 00 мОО('\") ..... 00 "" M Cr-.C'J С'I
о О ;:,,:, N Lп L :.D Ф Ф ::::: ф <:.000..... ..... L1j О фL С"' Lr.i О L1j 00
о... t!: ..... CN"" ,,-",r-.:.D С ,,-",ф-.::t<Ф N М<:'>-;; L1j <:.о r-. Ф I r-.
i:::: ..... ..... :='\1 :у:: :>:' ':>': "" .....
s СОС 00000000 ФNr-. r-. r-. ..... 0000 000
:::: О
k:' ..... r-. СФLr.iФФммN .....ФО МООО OO О.......... L1j
'J:l ОО ф ООФ-.::t< ""Ф М М -.::t< Lr.i :.D Ф 00 С..... Lr.i r-. ф ""
i; м "" '<:1' Lr.i Lr.i :.D r-. 00 0- о ..... ..... ..... .......... N
I Q.) .....
:D
Q.)
:s 00 r-. L1j 00 с с.о ..... м с.о 00 о ON<:',') <:.OC'JO r-.C.....OON O
;: .., Lt5 ф r-: ci' ..,.; ..,.; c'i c\i c\i c\i N N .п r-: а5 00 ....: ; N ф
о C"":M -.::t< -.:j< ..... ..... .......... .:"\I:='\IN N
'" н
о-
с:: I
u k ОСа 00000000 '" "1 N 000 ССС, O""' о
k ;. NФr-. ффОсС":'.......... ООФ oo I L ф С'I 00 ,'"
(.с Lr.i (.... 00 ,,';) 00 ,': х ,!";) ......"'" L": t--- ф..... "1 ФООС t'--.........-I,..... ,-:,
:.Dr-.::.o ООС "'"ФООО ..... ...........:"\1 I -: :':
..... ..... N
ОСа с::-::сосссо CC 000 ----, сес о
cr-. cr: I { 'х) :.D Lr.i C'J r-. ::"J :v: OC 00 ::..... ...... r-. L <:'>":1
k 00 """' fd3 -:::::'1 ' 00 :v: с..... r-. ........ (...... =:>
r-. I ...... ':A: -::::: ФОО :: ,: 1 C'J C'J
ф-.;:r<:::: I """"I t-- ..... ........j ':'1 :-":) :.D ( :t::;
С'! :v: ....::t' I ['- 'х' О
.....
g '-..c -:'I ......"'" OC-:::' cr: r-. : :о
r:X:I ;': OOCN , [..... ::: :' 1"':1 М 00 ,..; ........; ::- r :' i ::'1 , r-... :=- ф
.....NN N :"\1 N М ::': :'С "" '<:1',-;< '. :.=>ф[.... x;=:. I'-foI .":1
....... ...... ....,.j ......
..::i .
!:!:
ttS= ф ""N""'CJ:>NОО ф..... ::".1 С'1 Lr.i .....
S '" N"":.D Lt5 N- r:: 'n I -5
o 5 ML1jOO r-. ..... "" 00 С'I Ф N r-. :.D y l =:-; С)
NNN N С'<: м м "" "" Lr.i Lr.i Lr.iфф r-. 00 ф c :,-:: Фr-. С':>
!::Q.) ........... .......... .......
C:: Q
:;;
:а
о-
Q.)
::.
""
р.,
се
1=:
8-
t:I
6
00 N М О I.!j С Ir,) 00 Lr.i I.!j 00
r-: ..,.; t..-j' 6"'; Lt5 00 ..,.; Lt5 05' п
.....NN NNC'-I"IC"::MM""
с) 6 r i }
0IIt"""I ..-t .......-4
::::
Lr.i Lr.i О Lr.i Lr.i О О uj С О О
-5,:,-5""; ' L Q
...... ..... ...................... <:'0\ :\1
о о \ О О Lr.i О ':/J :]
ф ,," r-:r-: rYJ 00 rL . .... :;::
Lr.i uj
Lr.i L .п о о о..... C\i-..:t< Ф 00
NNC"llпUjooooao
c"i') ::")::") м ,':: "" "" "" ""
1:::
q ' ro Ф
.... оос 000 o ССО о
>&NC"lC"l g .
о C'-I е"} C'-I . .'J . J
о..
:.D "" 00 c"l с.о Ф
\600..... ФО c"i') 00 N oocv5 00
ф r-.r-.OO cY::"" O co..... О
::iI N N N cY:::V:: "" "" l<"':! Lr.i Lr.i Ф
!:1
1=:
о
1=:
О
ц::
I
-'=
00 Ф Ф
со Ф L'j О Ф О r-. ф r-:
00"'" C'O .....N::") ""
С':>=:>С':> 00000000
.........................................
'""" Сl :"".: 1с се
.... "':д .cH:O :!: t:.O t:.O
t:C cooooooc
ООС аоосссос
C"') """ ""'''''''",""..-1''''
'
r-.r-.r-. ::") ооа 000 о
<N N N :V;)::-:"'; ..;;< "" "" Lr.i Lr.i Lr.i :.р
ООФ
<:о r-. О 1:'1'\1
ф'ф с5с5с5
...... .......
00 000
<:о 00 о:> <:о
0.,-1 N -..:1' <:о
...., "'t""'I
00000
0:><:0 O
I1:IN O:>NO
О <:0.,-4 11:1
С'1С'] N C'')
00 000
r-.o:> 00.......-..:1'
r-.O ОО Ф
N ...:::<""
uj 00 "" о:> О
фф c5c5
NN C":I
t:I'": 00 N Ф uj Ф м .........;< <:о uj
OO.......O.,-l.,-4N<:Оф<:оr-.r-. М М""l1:Iф<:оr-. -..:I'I1:I<:оr-.
фффф с5с5с56666с5с5dоос560
... ч:""'I ....-I
r-. -..:1' ::"J N.......,-4C'J 000 r-....... <:о r-.OOOOOOOOO 88@
.......MUj О м <:о о:> О:> ОСUj.,-4 О N М Ir';i r-. о м r-. C'\J -:::."
.,-4....... ....... N::".IC'JN м """"11:1<:0 о:> О ...... C'\J <:о 00 о м <:о OOC'J:DOI1:l
.,-4.,-4.,-4........,-I......C'\JNC'\J C'\JM:Y:""""
000 0000 8@i<?1S 00000
r-. M NOOUjN O<:or-.Mr-.
....... м I.!J "" r-. ..... I.!J OOUjMMM ......""r-.N о:> ""М I.!JOO ос; <:о "" ....... r--
............ ....... NNMM uj <:о r-. 00 ф OOONI1:Ir-.Nr-.C'Jr-."" Ф :":-..:I'I.!J
.......N::"IN':'1М ""-..:I'Uj UjФr-.ооо:>
r-.-..:I' NNN<:OO:>MMOCOOOOOOOOOOOCOO
O:>C'\JI1:I-:::."Ф""Ф<:О""C":I I1:I C":I"":D МUjООI.!J"" r-.оо""
....... N N М:":: "" "" <:о r-. 00 о:> О Lr';i r-. С':> .,-1 М r-. ..... н') Ф I.!J .,-1 00 I.J':' ""
.,-1 .................... ':'1 N N :'': М с!"; "" 11';) Ir';i <:о r-. 00
<:о I.!J
00 о: о ф...... C'J М r-. 00 С':> СО..... -::tt L'":) <:о <:о r-. О :D 00 ....... "" r-. О м
ОООО О МММ ОООО ООООФФФФ ОО
.............,-I.................................,-4.............. ............................................C'\JN':'1C'JN
00 000 С':> r-. 0011';):"::...... оссос ооосо':)оооо 88
""С'] м .,-4 C'\J uj О L""J ';'I -::::Ф C'\Jr-........00 1:'- ....... 00 L'":) С 00 00 ф N
0<:0 ООФ c-.-: ......,.. фr-.ос:оо ::"1 м Ir';i r-. С':> 00 ...... .,:: ос; с' 1 С':> I.!J 1:'1 о:> о:> ООС':>о Ф
I.!J uj r-. 00 00 ., 1:'1 :-:- м м -::!' "" 'r';i <:о ф r-. 00 С':> ...... 1:') С'')
j
00 000 000 0000 с ':)00::::: сасааасооо 00000
L""J <:о cc'Joo 00 r-. .....:j"I <:о "" r-- I.!J с'с N<:or-.C'\JОО r-.............11:I О МI.!Jr-.
UjO:> C'\J <:о ф <:о ....... r-. О 11') О "" Ф ....... r-. '<":1 , С С':> ....... I.!J <:о с ф...... r--M о
M Or-.N м "" -..:1' o:>.......-::ttr-.o о:> ф -.;:r< :-': , ] r-. 'r';i :--с ::"J 00 UjOOMOO:D
I.!J r-. UjOON .,-1 ...... .......NNN,,': I.!J <:о t-.. 00 о:> о C'\J "" <:о 00 ......""0OC'\Jr--
..... ....... C'\J G'1 М ........ C'\J N :"\1 "':: М
r:v;....... C'\J <:о м
r-.o:> .......Мф
.............. С'I C'\J C'\J
о м 0.,-4 11:1
C'\J -..:1' r-. о м
C'\J C'\J ::"1 М М
...... C'\J C'\J C'\J C'\J
O ое"СОО
:,i -:M""";
....,.j
ф ,,"00
со OC
о о 1:'1 С') N
-.::< ""-..:I'-::tt
""фс-: NOCI.!JN Nooc-1j
фею r--: ...... ФОООО ОN r-- :":: ф ос r-. L'":) I.!J 00 ....... 11:1 r-.Ф ФC'\J
М"""Т L""J L'j Ф r-. r-.ООФ.,-4C'J МI.!JФос;сМФо:> r-. ..... ф ::") 00 I.!J
....... ...... .........................NC'\JC'\JNMM -::tt I.!J uj <:о
МС\1"" N r-. C'\J r-.
cDNOO ю =t5' I:'i с5 ....... I.!J ....... <:о ""Ujl.!Jo:>-..:I' ФОООC'J 00 ....... Мф.....
""1.!J11:I <:о r-. 00 о:> о ....... C'\J '-'1' L""J r-. ф ....... C":I <:о С':> м 00 ::".1 r-. С'-:I о:> <:о "" м
""I!:""""""t""""I ....... ....... ::"1 ::".) C'\J С'I М М "" -..:1' 1.!J1.!J<:or-.оо
ф 00 00 "-:1 uj I.!J uj
:21 OOc5 CNMI1:I M <:OOOO r-- о:> ....... м 11:1 Ф " r-. ...... <:о МО:>I1:IC'JФ
....... ....... ...... .,-4....................::".) ....... ....... N С') C'\J C'\J М М "" "" uj 11:1 :.о r-. r-.
ф
'-q 11:1 11:1
11:1
Е-< :.о <:о r-. ф ['00 00 OOO:>O.......C'J ::! 00.......11:1011:1
.............. ....... C'\JMM-..:I'''''
ts:i
'-q
::: 00.......
>&000
с C'\J C'\J C'\J
о-
L'":) 11:1 L'":)
g 80 8 80 б8g 8
C'\JC'\JC'\JNMMMM:":: """"-..:I'-..:I''''' ''''-..:I'''''''''''''''''-..:I'
5 OO O:>NI1:IOO -..:I' -..:I'''':::<
...... ............. C'\J Ф О О О "" 11:1 uj uj C'\J Lt5 00 c'i ф r-. ' С':> ..... ф r-- uj 11:1 0:>....... м r-- .,-4
<:о r-. r-. r-. :21 C'\J C'\J C'\J ::"1 C'\J C'\J C'\J ;:;;:; :;: :g ю
III
i:!
с
r: :::;: с
i:б
;, 118С
с '""" t.:'\I М
E--i E--<....E--i<'> t- b' O E--i 'b E--i E--'""' ' "' t--<'""'
000 """"-..:1'''':::< 00000 ОООСОООООО 00000
::".) 1:'1 C'\J '" C'\J '" '" м м C":I <;"': С"-:I "" "'" "" -..:1' ...:::< "" -..:1' ""...:::< -..:1' "" "" ""
rлава 9
ВНЕШНИЕ 11 ВНУТРЕННИЕ силы.
МЕТОД СЕЧ EIIJllI.
:JIlIOPЬY 1l1l;\"ТРl':lIIIПХ сил
* 13. I\лассифшшция внешних сил
ВIIСlllllи.ми силами, или llа?РУ8ками, называются СJlЛЫ В3aIII\IOДОЙ
СТВПЛ МСiIЩУ paCCMaTpJ' BaCl\IblM элеl\fСПТОМ нонструкции и связанными
с ПШ\1 телаШI. Если ВНОШIШС силы являются результатом lIеносред
стnенпоrо, J\ОlIт,штпоrо взаимодействия данноrо тела с друrими телами,
то они ПРИ.l0жены тольно к точкам поверхности TeJ13 R мосте KOH
танта п называются lloeepXI/OCmllbIMU силами. ПовеРХНОСТlIые сиды
lOrYT быть непрсрывно распределены по всеЙ попеРХПОСТII те:ш пли
се частп. П('лпчина наrру:ши, прихоДнщаяся на единицу lIлощади, IIaЗLl
пается UllУfl,Р//СuВ1Iостыо l/а?РУ8n:и, обозначается обычно бунвоii р и III\J('(:T
Р,I,ЗI\IСРПU('ТЬ 1tF/с.и 2 , KF/,u 2 Ш1И Т/м 2 . По rOCTy 9867 61 в l\lе щу
liарuдноii ('ИСТОI\IC ОДИШЩ ФпзичеСIШХ ВСЛИЧИlI (СИ) СДИIIJщеЙ CJJ.lJbl
HB,lHeTCH ньюrон (11). Это сила, которая сообщает покоящемуся тслу
l\IUССОЙ В 1 К8 YCI opCIIIIe, рапное 1 .м/се,.'!.. Размсрность ньютона
'.( .ле! се,.2.
1 1'I,Т == 9,81 1l; 1 1l =-== 0,102 ."Т.
Е/\ППIlца дпплсппя пьют оп па JшпдраТJlыii l\IeTp (11/.112). n ПШ1\е.
Kf 1l n
перuых расчетах l\IОII;ПО ПРIIIIЯТ[, 1 ------т- ::::: 10 3 == 10 .
C.1I JI/ С .1/
Наrрузка, распреде.1енная по поверхности (рис. 26, а), прпвrдеlI
ная н r.паВIIОЙ плоскости (рис. 26, 6), т. е. наrрузка, раСllрСДС.'1СIIпая
по лишш, называстся пМОIlНОй llO?PY81l0zl, обозначается оuычно БУI\
вой q и lшеет ра:шсрность 't<F/CM, "Т/м пли Т/м. Хараитrр и тСII('I1I1Я q
по длине оБЫЧIIО пока:ЗЫВRIOТ в виде эпюры (rрафlIка) q.
В С:Jучас раВНОl\lСрНО распреде.1СIIПОЙ наrРУЗI\И (рис. 26, а) эпюра
q НрЛl\10уrОJJЫJан (РИС. 26, 6). При деiiствии пщростаТIIчсскоrо даВ:JС
ния .;JПIора q треуrОJlьпая (рис. 26, в).
а
I
L
о /
tJ
Рис. 26
РПfil{о()r/!nnIJ?II'1l1r,' '1 РП('l1ределеюlOU 1lа(!руа"и I{/{СЛ('l/1/0 рав1lа п.п.о
1IIоди ее Э1/lПрЫ II пР;{,10Ж('}/П в ее lfellJnpe т,'lже('тll. f"сли HarpY;\Ka
1"tСПрf',l,с,'Н.'J/Н lIа 1l0U'),TII>IIIOii части повеРХН()СТII тс.тJа, 10 ее ncrrll.a за
меняют раUlluдсiiстпующей, называемоii сосредотО'ЧСl/1IOЙ силой р
(,.1' шш Т).
98
Встрсчаются паrРУЗIШ, которые l\IOI'YT БЫТL пре;:I,СТ(lП.т!еПIJ D IШД()
сосредоточеНIIоrо МОМСIIта (пары). MOMOUТЫ 111 (h"r СМ или Т . .м)
обозначают обычно одним иа двух способов (рис. 27, а, 6) IIJIИ В DИД('
выпора, псрпеН;J,lшулнрнurо I{ ПЛОСКОС'П1 деЙСТDИЯ Ш1рЫ. В ОТЛIIЧНС
от BCI;Topa силы BCl\lOp l\lОМСlпа изображают в BlIД деух (,ТРС:iOн: ПЛJ
волнистой JIшшеii (рис. 27, 6, е). BeI{TOp момента прш!нто С'1I.1ать
нраВОDИНТОНЫl\l.
Си.'Ibl, НС НnЛЯЮЩI1ССЯ результатом контакта двух тсл, а ПРШIO-
жеlШЫС I{ ЮШЦОЙ ТОЧI{е объсма, занятоrо тслом (собственныii всс,
силы IIНСРЦI1II), 1I<13ЫIНIЮТСЯ 06oeMllbI.\fU или .маССО6Ы.ми СIlJН\l\Ш.
1'
а
о
/{
О
.
е
р не. 27
в ;31lВI1СИМ()СТI1 ОТ характера прилошенин СIШ во ПрСl\1С'НИ рu;ши
чают наrРУЗIШ статические и дllllа.Atичеснuе. НаrРУЗRа считается cтa
тuчес},ой, ССЛИ она сравнитсльно мсдленно и п.тIаВIJO (хотя бы в течение
нССIШЛЬЮIХ ССI{УНД) возрастает ОТ нуля до CR()('ro I ОIlсчпоrо знаЧСllИЯ,
а аатем остастсн НСИЗМСПНUЙ. При <>том МUЖНО flрРllсбрf>ЧЬ УСIшреВИt--
Я:\IИ деформирусмых масс, а слсдователыlO, 11 СШIШ\Ш инерции.
Д ина.мичес}'Щ(' наrРУЗRИ СОПРОВОЩД<lЮТСН 311<lЧИТСЛhlIЫМИ YCKOPC
IlИНМИ как деформируемоrо трла, так и взаИМО,LIсiiствуlOЩИХ с пим тел.
Возникающими при ЭТОМ СИ':Iами инерции прснсБРСЧI) пеJlыт. ДIIIII:I
Мllческие наrрузки дслятся на м[>новеll1l0 пРllЛОJ1СI'Jl1IЬ 1 Р. У[)f/рllые l!
п oвJпO pllO п е ре.исн ныс,
JI.fc1l0CCll1l0 при.'С()JlсеННП!1 на?руина возрастает от пулп до маRСИ
мумз n тсчсшIC Ao.1('fi сеI УНДЫ. Тание наrру;нН1 возшшают прп Dоспла-
IeнеНИlI rОРlOчей смсси в ЦПЛИllдре ДПllrаТс.1Н ВНУТрСIIПСl'О сrораllJlЯ,
пр" троrпшш с мсста жrлr:ШОДОРOJЮlOl'О состава.
YiJaplla.<l 1/([i'pIJ11;r/ ХПрfштrрllJ 1'('\1, '11'0 U !\1Ol\lСIП СС ПРIl:IOJНСIIИН
Н'JlО, ВЫ1ыuаЮЩl:С 11 JrpY..lI'\Y , об:J<ЦiН' r ОIllJl'Д('ЛСIIIIОЙ IШlIСТlIЧССl:0I1
,HICPI'IICii. 'l'шШн lIaI'рУ;Щ[\ UO;llIIll\aOT, лаllрТI:\IСр, прп заUl1ВI\С свай
r, по roщью копра, в ;тсмснтах НуаНСЧIlurо ЫО:lOта.
П оптОРНО 1'/ерР.!tP1ln(]Л 1I<н'ру;ша характсрна своей непрерывноЙ
lI!'рIlОДПЧIIОСТЫО. Такие наrру;зки IlСПЫТЫНЮОТ при работс ШТОЮI, rШ,'IЫ,
оси lI\еJJеЗНОДОрОilШЫХ BaroHoB, l\олсБЛЮЩllССЯ ;'.'IС':\!СПТЫ I\OIlCTPYI\.-
ЦИЙ 11 др.
14. Внутренние силы. Метод сечений.
Эпюры вну треllНИХ сил
МСЖДУ соседними частицами любоrо тела (нристаллаМII, МОЛСI\У
ЛНl\IIl, аТ01\lами) всеrда имеются опрсделенныс СIIЛЫ взаимодеЙСТDИЯ,
или 'l/Iцтреllние силы, которые стремятся сохранить тело как единое
Цс.lОС, противодействун вссму, что можст IIзмеШIТЬ взаимное pactIoJJO-
ЖСIШС частиц, т. е. дсформировать тело.
Внешнис СIШЫ, наоборот, BcerAa стремятс}! вызвать деформацию
тсла.
Величина внутрешшх сил, действующих между двумя наюши-
либо частицами, в IIаrруженном и ненаrружсшlOМ TeJle будет различнuй.
4'"
v9
в СОПРОТIIВ.1С'ПJlJl l\lrlТС!Шrl:roв Ile ПрПJl1!l\IIНОТСЛ во DШIl\Н1ППС BIJYT
ренпие силы, дсiiСТНУЮЩIIС 11 IJ('Шll PYil\C'lIIlUM телс, а раССl\lаТрПllаются
толы\О то ДОllО,:ТШIН'.'ll>Jlые DIIYTl'('lIl;!I(' CIl:lbl, НОТОр:ЫС 1I0jlШJЛlOТСЛ
IIРIl Ш\l'РУiI\Р/11I11 Н'.'),\. )'Ш ;\O)IO:JlllIH'.'IJ,IILIe ВП ''I'l'СlJII1I() СIШLI }J;НШl\lО-
дrikТlIIIН, НО,JI/!IJ,tII0ЩIIl! н jJ(:'\J :11,1 (\'1 е lJШ'РУ:"[:CIIl!Н, ча то нн:зьшtlЮТ
!JCU /Ul.'/,Шl.
Д:ш ВЫJJlJ,'I(:ItIIН ВlI) 1 i'('JIIII!X C): J, 1;ОJJIJII,aJОЩI1Х в тслс под IIШ'руз
ной, JJ СОЩЮТII B It'1I11l1 l\laH'pIlO,l]OB ПО.'II):1УЮТСН .MUпODfJ.M сечеllий.
С JЫСJl Horu 1\I(,ТО,1,О СОСТОIIТ U TO I, ЧТО lIаIРУЖ('IIIIОС тело (рпс. 28, о)
1IIЬ!С.'lСIIIIО рнсссюнот JI{'T\OTOpoii пJIОСI\ОСТЫО на ДВР части А II В. ДЛЯ
Toro чтобы !\(1iт.;дан JIЗ <ЭТl!Х частеЙ
наХСЦllлась в раВНОnССIIН ПОД дeH
СТIшем lIРIl:IОiШ'JIlIЫХ н всЙ ВНСIIl-
IШХ lIаrрузон, нсоuходимо деiiсТIШС
отсечснноЙ части замеШIТЬ HeI\OTO
рой CIICTClIlOii внутрснних СIIЛ в се-
чешш. ЭТII СШIЫ 11 явится СПJlаМII
ВЗёН!l\IодейСТllllЯ !\1СЩДУ частями ТС"lа
А и В. I3ВУТРСIlIIl1С СllЛЫ, деЙству-
ЮЩIlе в сечешш со стороны части
А, в СООТDСТСТDIШ С третьим аа1\О-
нам Ньютона равпы по ПСJJIJЧlше
1I ПРОТПВОПUЛОШlIЫ по паUIНШJН.'IШlO
ВlIутреllШIll1 силам, деПСТВУЮЩИlll
в СС'IСШI (J СО стороны части В
(рI1С. 28, 6).
l\ю< llСННУЮ СПСТР1\lУ сил, 13вут-
реllllllО ClI:ILI, P11CIlP('l CJICllllbIC 110
('С'Н'ШIIO, l\IOII\JIO Н pJIВPCТJI I\ Щ I10Н
T01JI\O (11 аlljНI!\Н'Р, 1\ J ellTpy ТЯ/l,('СТJI
сеЧОII(JН), l! рсаУJl1,татс ЧlТО 1111 ш\щ-
дой СТОРОПС сечсшш......нОЛУЧIIl\1 r.'lаВJ/ыii JjPI<TOP 11 I'J/11IШЫЙ l\lOlIICHT
DНУТРСПlIIJХ си. ! В ССЧСШIИ (jшс. 2 , о). lJРII1I1СlIlIТС:] [.110 1\ стержню
ПОСЛСДIllIЙ обычно раСССI\ЮОТ ШIОСIШСТЫU, lJСРЩ'ВДIlI\УJI}:lРllоii 1\ оси
(p"Jc. 29, а). ЕСЛ/l rJlaBllblii ВС1\ТОр и rJltlВIIЫЙ lIIОМСНТ СIl}ЮРI\Пlроват[)
па ось стсржня z п У'данные цснтральныо оси ссчеП/lЯ у н х, то на
1\аждоii стороне сечеш/Н ПОЛУЧI1М шесть {J/(уmрсю-тх силовых фаН/поров
(рис. 2!1, 6): три СШIJ,J (N, Q?J' Qx) и три 1II0MeHTa (М Х , Му, м х )' ЭТИ
ПСЛII'IlIIIЫ наЗЫВtJЮТСН ус// '/Ш/.\tll II .ItО.ItСllmалtU в ССЧСIШП стсржня.
bi
W O
м м \ /
А . 7;.. ) В
R
{j
Рнс. 28
а
о
Рис. 29
Нан ВJJ)l,ПО /13 рIlСУВ1\а, N выаываст ПРОДОJIЬНУЮ деформацию стсрщ-
нл (раСТЯi1{СНllе или сжатис); Qy 11 Qx сдвиr сторон ССЧСНИН COOT
ветствеllПО в l1апраВ.'(СIlIШ ОССП у и х; М х вызываст I\fJУЧСllие СТСРЖIlН;
М у и М х I/;JПlб стержня в I'.'laBIILlX ПJ1ОС1\ОСТЯХ xz н p. Поэтому
ДЛЛ УСИJШll и l\lOlIIСIПОВ в сечеllllИ приннты слсдующие пазвашIЯ:
100
N nроfJoлыl.<t,, И.1И осевал (направлснная вдоль ОСИ),
сила;
Qy п Qx nопереЧllые (рсшс nС{lсре.1ываюU{uе) силы;
Лl z == AII,p liрутлщиЙ .)lo.1tenт;
l у п М х иаcuбающие .'tO.l1eHтbl.
Можно дать С I(';:J:ующпе ОIlре; rJIения пrреЧIlС.r!rППЫl\1 l\Оl\шоН('нтам
ВПУТРСШIПх усилпЙ: про д (J л 1, Н а л с и л а N прсдставл.qет собои
CYJttMY nроекции всех внутрснних сил, дfйству1ОЩUХ в сечении, на HOp
.маль к <:ечсnиlО (или на ось стсржн.ч); поп е р е ч 1t Ы е с и л ы Qy
и Qx это Cy.'t.Atbl npoeliЦий всех внутрснних сил в сечении на 2лав-
ные центральные оси сечсни.Ч У и х соответственно; 1 р У т л и! и и
Jtt о Jtt е 1t т' M z (или М"р) :.Jmo су.м.на MO.HClllnOB всех внутренних
сил в ссчении относительно оси С!1lfрЖllJl; U fJ е и б а 10 Щ и е м o
Jtt е н ты МХ Ц М у это CYJtfJttbl мо.чентов всех внутретlИХ сил
в сечении относителыLO 2лавных центра.l/!,1/ЫХ оссй инерции сечения
х u У coomBcmrmae1lHO.
ДЛН праl\тичеСl\оrо вычисления усилий f1 момептоn в Сf>чении сле
дует иметь ввиду, что: N ЧIIСЛС'IIНО равна алп'браичеСI\ОЙ сумме п:ро
екциЙ всех ВIIСIIШНХ сил, i'l,ейстпующн х па одну 113 частей (лrвуlO или
правую) раСССЧСIIllOrо стершня, на ОС), СТ<'рiЮJН (на 1!0pMaJIb 1\ сечс
пию); Qy ТО же IН\ ось у, Qx то жr на ОС), х'; М"р ЧИСJJешJO равен
а IrебрапчеСJ\ОЙ cY Il\tC МОМРIIТОП ::зсех ВIIСIIIПlfХ СII.l, действующих
на одну И:J часТс>!i (:Il'BYlO Hтl правую) расссчеIIIюru стержня, относи
телыlO осп стертllЯ; М у то же относительно оси у; Мх то же OT
llосительно осп х.
ТаЮIМ образом, метод сечений IIозволяет найти все усилия и MO
мснты В .ТIlOБОl\I сечепии стррашя при деiicТDlIП любой НaJ'РУЗIШ.
ДЛЯ ЭТОI'О необходшю С;1слать слс>дующее:
1. Наiiти rлаВIlые Щ'НТIН\JIЫIые оси I10переЧIlоru ('счrllJlЯ стержня.
2. Провести MblCJle)IIIO 1I01Iеречное сеченис стержня в том r.юсте, rAe
нужно наЙти уСИJШЯ 11 момrнты.
3. Вычислить' усилия N, Qy, Qx и МОl\f('IlТЫ 'М кр ' М у , МХ нак
алrебраичссюн суммы ПрОСl\ЦИllИ моментов ВIIРПIIIIIХ СllЛ, действую
ЩIlХ па ОДНУ из частrЙ (.1с>вую IIJIlI правую НО OTIIOПIC>IJlJlO l\ сечению)
рассечеВIIOI'О стеР,IШН, обычно на ту, rAe НРО('НIll1ll 11 моменты nы
ЧИС:IШОТСЯ прощс.
Усилия 11 моменты в разных ССЧСПlIЯХ одпоrо и Toro же стержня
в общсм случае различны. FрафШtll (дllа?ра.м.мы), nО1Оа8ыва1С'щие,
кан иа.41еНЛlOтся усилил и мо.метпы при переходс от сечеНlIЯ ,. сецптю,
называются эnюра.ми усилий и момснтов.
При построевип эпюр реl\омендуется пользоваться следующими
правилами:
1. Ось (базу), на l\ОТОрОЙ строится эпюра, всеrда выбирают так,
чтобы она была параллельна оси стержня (или совпадала с неЙ).
2. Ордипаты эпюр, выражающие в выбранном масштабе значение
УСП:IИя илп момента, ОТl\ладывают от оси иllЮрЫ по перпеНДИl\УЛЯРУ.
. 3. Эпюры принято штриховать .
линиями, перlIСНДIШулярными l\ u ба . . M/(P>
Положительные значения усилпи ИlIИ .
моментов ОТЮIадывают вверх от ба1Ы.
отрицательные вниз. . , .
4. На эпюрах проставляют числа, '-
ПОl\азывающие величины Xapal\TepH':>I
ординат, а в поле эпюр.ы в l\РУЖОЧК8
ставят 3Hal\ усилия. Рис. 30
ПрlI 1f()('11!lJ('111111 Hill'!' lIIJ(); (),;II.IIJ.Jл ('11,11 1I l\р ПilЦIJХ :\/O:\Il'IITOH
РСКОМСIЦУРТСН I1():ll,, ()IIUTJ,{;H СЛ('; УЮII ШJ11 праШlJIal\Ш в опюшеШIИ
ИХ аШ..l.I.ов.
J. 11 jJOi)o.liJIlaJl СИ./!1 N считаете.'/ 1l0.lOJJСUlпе. иноil, еС.7И они BblJlk
6ает pael/l.'IJJCeJI/U', u Оll1рU I {llтеЛЫlОЙ, если вЫ8ывает CJJcamue.
. HpyтJl1llUll .I/O.I/CJ/Jп М щ ) счuтаетс.'! I/оложuтслины.м, если np/l
llа U ЛЮUСJ/uи с торча вдvл/ оси pacc.llampuaae.MOU flacmu ОН дeЙcт _y_eт
1/0 'IGСО60й cтpe.1liC (рис. 30).
l __H
Р,-21IO. _ 1p,'5!!l' Л 1 е'зом
....r- . B ,- w .....
Ii jl 17 С z
I- , _,_ _ - I
I
I@xr
'1 I i 300
Рис. ;)1
400
J'IJt:. ;{L
IIjJIIl\ЮрЫ ПОСТрUСIIИЯ ;)шор I1РОДОШ,I1ЫХ СИJJ llUIHtJd.Jlbl на pIIC. 31,
32, ;33 (al == ш'сtg IFl; а 2 === [11'( tg IF2; -( оuъсмныЙ вес). Эпюра иру-
ТНЩ1IХ МОМСНТОВ ДJlЯ TpallCMllCCIIUHlIoro вал а, схема I\OTOpUro щтвс-
дсни 1111 рIlС. 34, а, показана HU рl!С. 34, 6. }] а рвс. ;Ч, в I10I.U 1ЮIU на.
правлсние максима.'lыll'оo l/оJIoi!штслы)rоo :\1Ol\!('IПCl в С<'Ч('lIШJ рас-
сматривасмоrо вала.
IIреждс чем ПСр<'ЙТИ 1\ IIOCTJ)()('. У
11 11 Ю иllIОр поперечных сил и 1/ 31'11.
бающих моментов при lI;JПluе ба.
JlOl. l\ разде.'lУ СОПрОТIIВЛСIIlШ Ma
TrpHaпOH, I1l\JС'IOЩ<'МУ lЮСЫlа cyIЦ<'.
. р 0.
r::;A: ,F,n !: : d.
I I 1 '
"'! ' , t:J, I =-----
i ' I I
I В 1"1 _
: -=:-- ci 2
I
L -
P+j'F,a+ l!; ({ a)
Рис. 33
М К1 = 1600 К! СМ /.1'з "3000 KrCM
\ \ M = 800 r:l1' /v ()ООIffcН
1 " ' '------
' ..............IV
j //Ш 'l.:L
i: ' \
a_ 'y ....: о .... _ ,
J_ а
f)O,
16JП ' I! :' : ' (,1, : /1.,'1) u'э I</СМ
, щ , l.. hшr:rIr)IшшD БQО
б
:,v
(j
1) 1)( .; '1
CTBPHIIO<, ; IIаЧ('IIJIС ДЛЛ ПОIIIlмаllIlЯ IIОВСДСШIН .):Il' J('HI ()В I'ОIlСТРУI.ций
ПОП llaI'рУ,шой, IlаПОЮПIl\l HCI\OTopble llСХОДllЫС OCIlOBIlЫ понятия,
свнзаПIlЫС с балками.
15. БаЛIШ и их опоры
палка.ии на;JьшаlOТ IJРНl\IОЛlшейпые стеРiЮIII, работающие па 113
['110. II .!lоски.м и8аи60.lt БU;ШII называстся TaI<oii 113Пlб ба:шп, при I\oTO.
IЮ I все Rаданпые силы .'l('iHaT 13 одноЙ (силовоЙ) П.1UСI\ОСТlI (рис. 35, а),
102
причем ;ITa ПЛОСRОСТЪ совпадает с одной из r:Iавпых ПЛОСRОСТЕ>Й баЛRИ.
при расчете баЛRУ принято зам{'нять С'е осью (рис. 3.5. 6), псе
наrруЗRlI должны быть ПРllвеДСIJЫ R этой оси, а силовая П.I0СRОСТЬ
будет совпадать с IJлосI\остыо ЧС'рТСiI\а.
Все мноrообраЗllе сущеСТВУЮЩJlХ ОJlО}1I1ЫХ YCTpпiicTB ба.l0l\ cxe
маТIIЗПРУСТСЯ в BIlAe С.iIС'ДУЮЩIIХ трех ()СlIOВIIЫХ ТlIIIOB опор.
М,
A RA q
l t f z
pz
J
а
1:' IlС. 33
At: r
а
f!.4 А MA
ШlU ' \ Шlll trr
"- hA
о {j
PltC. 36
ПI apl! llрllO подвиЖJlа.я опора (рис. 36, о), в 1\0ТОРОЙ мошет ВОЗIlJl
l-\аТI> то.ттьно одна состаВЛЯIOщая реЮЩIlИ Л А' направленная вдоль
olloplloro стержня.
ШарnиРJ{о 1-tеподвUЖllая опара (рис. 36, 6), в ноторой !\10rYT В031Ш
кать две составляющие веРТИI\альная реaIЩИЯ R А И rорIlзоIIталыlяя
реакцпя Н А'
3аll{('.\tЛСlluе (иначо жсспНiое аащеJtJlСlluе илп аоf)елка), rAe Mory'
быть три состаВ.lЯЮЩllе всртикальная (ПА) и I'ОрПЗ0нта:Iьная (Н А)
рсакЦlШ п опорныЙ момент М А (рис. 3п, в).
Осе реaIН ПИ и J\IOl\fE>HTbl считаются прилошснпыJ\Il в точне А
цеllтре тяжеСТlI ОIIОрПОI'О сечсния.
у
z
iпт
а
о
Рис. 37
IJ
БаЛI\а, ПОRазаНlIая на рис. 37, п, называстся простоЙ ШIII OaflO-
пролет1l0/1, П.IИ двухопорной, а расстояние l YeiНДY опорами про..
"сто.\!.
КО1/со.1ЫО называется баЛRа, защс r,lсппая О;J:ПП1\r l\()нтщ r Il 1!8
ШfCющан ДРУПIХ опор (рис. :15, 6),11:1\1 часть ба:ШIJ, ст'lIllшаЮЩ<lЯСН
103
эа опоры (часть 8е па рис. 37, 6 и части А е и BD па рис. 37, в). БаЛRИ,
имеЮЩl10 свсrппваЮЩIН'СН 'IaСТИ, наJЫВЮОТСЯ КОllсольuыми.
БаЛI\Н lIаJываотся статичесr.и определимой, если число пеизвест
пых опuрных реакций пе превышает трех; в противном случае балка
статически h-еопРfдfЛи.на. L; алки, изображенные на рис. 35 и 37,
статически опреДОЛIlМЫ, а балка, изображенная на рис. 38, а, назы
вается llеразреfJНОЙ и нвляетсн статичесни неопределимой, поскольку
имеет пнть неизпостных опорных рсакций: три в опоре А и по oд
A
в
J.,.
а
с
;h
A
JJ
Е
:
8
J.,
о
с
Jп
Рис. 38
ной в опорах В и е. Поставив, например, в любых двух сечениях
nepBoro пролета nа;llШ шарниры (ТОЧIШ: D п Е на рве. 3 , б), получим
статпчески определимую шарнирную баЛI\У. и(ю каждыil тапОЙ про
мсжуточный шарнир к тррм основным ураВlIеНIIНМ СП\ТlШП прибапляет
ОДНО дополнитсльное уравнение, поскольку сумма момонтов ОТПОСИ
тельно центра шарнира от всех сил, раСПОJIOщепных по одну сторопу
от Hl)l'O, равпа пулю.
16. Вычисление реакциЙ
Для Toro чтобы можно было пристуПIIТЬ К построению ::IПIОр,
необходпмо знать все внешнис паrРУЗIШ, включая реаIЩИИ, которые
продварительно должны быть определены.
При определении рсющий рОJ\омсндуется придерiI\J1В3ТЬСЯ слсдую-
щей последовательности, I\ОТОРУЮ мы проил.1ЮСТРllруе!\l па примере
простой баJШИ (рпс. 37, а):
1. Обозначив опоры буквами А и В, три псIlзвсстIlыe реакции
R А' R B и Н А определим из следующих уравнсний равновесия:
. сумма проекций всех сил на ось балки равна нулю
Z == О,
откуда нахоДИМ Н А;
сумма моментов всех сил относительно опорпоrо шарнира А
равна нулю
м л == О,
откуда находим R B ;
cY!\IMa моментов всех СШI ОТНОСИ1ельпо опорноrо шарнира В
равна нулю
"
м в == О,
откуда находим R л .
2. Для коптроля можно использовать условие равенства нулю
суммы проекций па всртикаль
y==o
пли УСJIОВПС равепства ну.n:ю суммы момептов ОТIIОСПТf'lЛЬНО каной-
лпбо точки е, ОТ:IIIЧIlоlr от А II В, т. е.
М с == О.
104
O О>О Сжата 301.0
З' J
, - .
- I I
. ,
, , , ";,J ССIПН"if7J"Я зона
z
у
z
Р@
@
Рис. 40
@
z
Рис. 39
(JIIC. 41
z
43
3. ЕСЛIl В peJY:IL.ldTC I1ЫЧИС.IСl\l1Н I\Пl\аН .1lI(j() реакция окашется
ОТРl1цате.;IЫIОЙ, то на PlICYIII\C неоБХОДllМО изменить ее направление
на обраТllое пu с р<ШllС'IШЮ с шшр, аВ:Il'ШНШ ПрllIШТЫ 1 D l!{lча:IС рас-
Ч Iа.
4. LСJШ наrРУ;ШIl, ДСllСТВУЮЩl1е на балку, пеРllСllдш,У.1ЯРllЫ
к оси ба:lКИ, то Н А == О и у равнением Z == о не пользуются.
э 17. . сплин u МО:\lСIlТЫ В сечеllИllХ баЛI\И
П рl1 ШЮСI{ОМ изrllбе вся паrрузка располошена в rлаВl!оii плос
ности стержня Z1f (рис. 35, а), 11 ПОЭТО:\IУ она не дает проеНЦllЙ на ось х
11 моментов ОТНОСIIТС.1ЫIO осей z 11 у. Следовательно, в шоБО:\1 сечении
балки
Qx == 111 z == А/ ир == М у == О,
11 ОТ.'IИЧПЫl\fИ ОТ пуля будут ТрИ величины N.
рыс принято обозначать N, Q и М.
М!
Рис. 44
Qy и Мх, кото-
@
Эти уси:шя де ствуют в сече-
НI1Ях рам 11 нрпвых стержней. В бал-
ках же при Ilаrрузие, перпеНД11КУ-
лярпой к оси, раВllОЙ нулlO будет
продольная сила N == О. Поэтому
в балках ПРИХОДИТСЯ иметь де:lO
с поперечной силой Q и ИЗfибающим
моментом М.
При построении ;)ПIор попереч-
ных сил Q и изrпбаЮЩIlХ моментов
М llРИШIМCllОТ следующие правила
знаков:
Q в сечении положительна, если ее
части, рассеченной балки по часовой
Поперечпая сила
вепторы стре.нятся вращать
стрелУ<е (рис. 39, а).
И 3 с и б а ю Щ и й .м о .Н е п т А/ в сечении пОЛОJlCиmе. еll, если
ОН вызывает сжатие в верхних воло/та]; бални (рис. 39, а).
Оче:ВII llO, попеР'}Чllые СII.1Ы II l\fO IeIlTbl, показаНllые на рис. 39, 6.
IIмеют отрпцатеш,lIые зиаlНI. Эпюры поперечных СIIЛ 11 IlзrибаЮШlfХ
МО ICЦТОВ Д.1}! l3алон, наrружепных по различпым типичным схе.:\1аМ,
НРllведены на рис. 40 44.
18. Дифференциальные заВИСD:\ЮСТИ при иаrибе балок.
Некоторыс особенности эпюр Q и м
РаСС ЮТрlI:-'I балну с ПрОИ:ЗВОJlы!Оii ваrРУ;ШOJI (рис. 43, а). Между
IштенсивноСТЫО q распрсделешlOЙ ИЮ'РУJIШ, llОIlСРСЧIIОЙ силой Q
и Иo.il'llбающим МОМСНТОМ 111, действующими IЗ HCI\OTO fНШ сечении, суще-
ствуют (' lСДУIOщие диффсрсuцпальныс зюшсимости, которые леrко
а
106
6"
8
Рис. 45
МОТУТ быть выведены из условий раIJПОllССИЯ ЭЛСЩ'I!1 а, вьщелепноrо
на ба.I1\11 (рис. 45, 6):
dQ
=-= (7;
uz
dM Q'
dz ,
d 2 Л1
JZ2 ...=: q
(3.1 )
(3.2)
(:1.3)
n ТСХ случаях, l(оrда па pnCC\l(1I!HIBilP\lO\l ) частт,с :Н'Й твует
к l' С.!е
равномсрно раСIIрС,J,СJIСllDЫЙ IO\IC!lT IIIIТ( IIСIШllОСТЫО rn
(рис. 45, в), фор.\IУ.'Iа (3.2) ПрПlIll\lаст ПII;(
dM I
(f;==QTm
C.\L
( .4)
С()О1lIошения (3.1) (3.1) пааЫН<1l0ТСН iJurf'(fi(' PI'/{/( илл и//Ы.ии аа(lll
си It(){'т<1.IЩ, 17 рll lla 116('. ОНII !lО3IЮ.1 нют уста 110 lН1 ТI, 11 ('Н()Т0рJ.J(' осuБСlI
"() T" шюр ПОIlf>РСЧIIЫХ CII:I 11 П:JПIUНIOЩIIХ lOl\I('''T()B.
J. На ТРХ учаСТЮ1Х, I',(С IICf paCJlpc:lC:IC'I11I0Jl IIш'ру.IIШ, эшuра Q
01'рШll\чена ПрНl\IЫШI, rmpa.'l.TIf'Jlh"bl 11I баае, 1.1 ,НllOра М, в общсм C:IY
'Jac, lIа1\:IО!JIIЫ\f1l IJрНШ.iIМl1 (Р\1С It(j).
7fRA p8 I
р" с ,'J(j
PJlC 47
2. 11 а тех УЧс.1СТI,,}Х, [дf> К ба.1J-\(' IlPIl'(()iJ,l'IIa [J<:lВIIOMCpHO распреде
.'lf>IIIJaH lIarpy.JI,a, .-НIюра Q оrраlШ'lСllа 1I,\!,:1011JIbIMlI IIIНШЫ:\III, а эпюра
М шзадра'ТlIЧНЫ Ш нараболами (рвс. 17) Ilpll !lОСТрОСНИИ эпюры М
Hd CiKarbIX IJO:IOKllax ВЫПУJШОСТ,Ь нараболы 06ращеllа IJ СТОРОНУ, про
ТlIRОПОЛОЖПУЮ направ.lеШllO ДСllСТIJIIН наrру::31Ш fJ (рис. 48, Il, б).
Э. В ТСХ сечеllПНХ, [де Q == О, нас1:!телыlнH к эпюре М паралдеJ1ьна
ОСII ;)ПIUРЫ (рис. 47, 48).
1. II а участнах, [ДР Q > О, М
BOi'\paCTaeT, т. с. слева шшраво
положительные ординаты эпюры
М УВС.'1IIЧIIВаЮ1СН, uтрицаН':Il,
lIые У\I('III.llIа/От я (учаСТI\II А С
1/ lJ 1 ' 1;(\ (JI!С. 10 I1 47) 1\,\ н'\
Y'I!ICI'!\(J,\, \';1[' Q<(!, Аl ()I,llШ(>1
(\"la('ll\ll сп \] ОП па рис. I,() 11
4'7).
5. Е J (,\. ('РЧl'I!IIЛХ, I',l 1\
ua';ll,c lI()!IjlUJЫ' НЫ сос редuточl'Н-
ные С1I;1Ы:
J
, ",.......... I I .
""'-kt,JХ (М) I i I I
к:у/с.. - l .:. '\../ " ! , " f.U\
t/ \':!.J
а 6
р lIС. 48
107
а) па эпюре Q бу,1,УТ скачки па величину и в папраВJlешПl прило-
жеНIIЫХ СЮI (на рис. 46 и 47 эти Сl{ачни uтмечены жирными ЛИПИЯЬfИ
со стреЛl{ами);
б) на эпюре М будут переломы (рис. 49), при чем острие IIсреломз
напраВJIено JJРОТИВ дсi[ствпн силы,
6. I3 тех ссч(>ниях, r дс J{ баЛI\е НрШIOжены сuсредоточенные моменты,
на эпюре М бу/\ут СIШЧIШ на величину этих I\IOM(>HT08, па эпюре Q
никаких иэмепепий пе будет.
р НС. 49
h
I M2
Ц @
Рис. 50
7. Если на копце I\ОНСОЛИ или В концевой опоре приложсп cocpe
доточенный момент, то в ЭТОl\f сечении изrибаЮЩИll момент равен Вllеш
нему моменту (сечения С И В на рис. 50).
8. Эпюра Q представляет собоЙ диаrраМl\fУ ПрОИЗВОДIlОЙ от
эпюры М. Значит, ординаты Q пропорционаЛЫIЫ тапrепсу уrла Ha
М
lшопа насательпоii I{ ;)пюре М (на рис. 43 а == == arctg 7)'
Эпюры попсречных сил п пзrнбаЮЩlJ}\ моментов д:ш ба.'10К с раз
личным заRреп.,1СПИ(>М нопцов привr;(СIIЫ в Ta6:J. В.
19. Построение эпюр длл стаТllчеСI,И uпреД<'ЛИ:\IЫХ рам
Pa.lta.HU llаЗЫl1аюmсн систс.НЫ, (осто.'lщuе И[/ стержнсЙ, COeaUllell-
н.ых жесmJ.и.НU !,ала.НU. вертика.:тыlеe стераши раыы прнннтu наЗЫllать
стоuл"а.ltu, rОр1l30IIтаЛЬ1lЫС РU?еЛЯ.НIl. iHcCTKOCTb узлов устраняет
В03МОЖIIОС'1Ъ IЗ, аПМllоrо попорота скрепленных в у;ше стержней, т. е.
в узловоii T()'I1il' T:II,] МСilЦУ НА осями при дrформашш остаются не-
И {!\1СНИЫМlI.
(:i P
2Р
а
о
Р!
"2
jPL
'
р
PI.
2'
е
tJ
Рпс. 51
Ось ра ш прсдставлюп собой ло шпуIO .'111111110, о;(ню\о Rаждыii
участок Cl' I\lOilШО рассматрпвать каи 6a.тrI\Y. П UЭТО IУ lIостроешIC
эпюры ДШl IНШЫ cnO,J,!IТCH 1\ построснию эпюр Д.1Н 1\ UfIЩUI'() ВХОДящсrо
в нее стержня как Д.'Ш uа,llШ. Однако II ОТJШЧIIС ОТ оБЫЮЮВСllНЫХ
баЛОR II сеЧСШIЯХ стеРЩllей pa IЫ, кроме изrl1баlOЩIIХ моментов М и по
108
псрсчных сил Q, обычно действуют еще и продольпые си.тIЫ N. По
этому для рам I1собходшю СТРОIlТЬ ;шюры ]1.1, Q п N.
Длн N И Q сохраняются ранес приннтыс нраВ!fла HaKOB: N >:0,
если продольная сила вызывает рUСТНf!\С'ШIС; Q > О, ссли вС'ктор СlIЛЫ
вращаст части рассеЧСШlOii ра;\1Ы по часовuй стрелке.
Для и: rибающпх момснтов СI!С'!ЩU:lhНЫХ праllllЛ зпаI\ОП не yCTa
навшшают, а при сuсrаВЛСПIIlI llJ,IРЮI\РIшii ДЛЯ JИ ПРIlIIlшаlOТ П\J соб
ствеIШОМУ усмотрению какоii Jшбо l\1O:\1f'HT JIОЛОШJIтельным.
При IlОСТрОСНИИ ЭIIЮр ПОЛОiЮ!ТС>JIЫlЫе ордпнаты N 11 Q ОТl\Лады
ваюr с внсшнсй стороны, а ОТРlIцатслыlЫС в'нутрь НОlIтура рамы.
Эпюры 111 для pa ! УСЛОlllI1\fСЯ строить на статых IЮJlОЮlах. Построс--
пию эпюр должнu прс>дшествовать uпреде.1СШIL' пеll.JВС'СТНЫХ реа!{ЦПЙ.
ПРП!IIСР ПОСТРОСНIIIЯ шор N, Q II 111 ДJIН р:ИIЫ I\UIlСОШI, паrружен'
поЙ по схеме. ПРl1ВСДС'}ШОU: па рис. 51, а, покuаан на рис. 51, б, в, е.
20. Пос'rросиие эпюр Д:IЛ ),рпвых стержнсй
В поперечных ссчснiшх II.'IOCKOrO нрпвоrо БРУСа Moryt дсiiствовать,
кан Il в рамах, три СII:ЮВЫХ Фю{тора: N, Q 1I М. В случас, I\оrда ось
l{ ри Buro стержня очср 'I('Ha ПО дуrс OI{ рушпостн, ПО.'lОЛЮIlПС ЛIобоrо
сеЧСНШI удобно ОПрСД('v1ЛТЬ ПРII НО IOЩII ПU:IЯРПОй системы ноордипат,
и ТОI'да ПРОДUJlьная 11 ПUIlсреЧiI ан с IIЛЫ II IППlбаlOщнii момснт будут
ФУШЩllНМIJ yr.'Ia ер N«p), Q(4J), М«р).
O,SP
N ' @
р 0,5Р
IJ
р
'I'"
а
д-
с
Рпс. 52
Для N 11 Q остаются p.tllCC II[JI!Ш1ТЫС' прапшта 3IlСАНОВ; эпюры М,
как н в С:lучае рЮI, СТрОIШ со стороны С'iIШТlIХ ПО:l0НОН.
Пршир построеппп эпюр N(ЧJ), Q(<p) н М(<р) д:ш нрпвоrо (.pyca
rюпсо:ш, наrРУЩОll1юrо по схсме, прпвсдешюii па рис. 52, а, !\оrда
N (9) == (cos:r + 0,5 ::,ln:r) Р;
Q (<f) =с: (Slll:r 0,5 cos 9) Р;
111 (:r) ::.::.: (1 lOS '1 (),;) sill:;) j'H
lIOI a]all на рJlС. 52, б, в, 2.
Ec.'I1f J!U ЩJlшоii стортСIlЬ деiiствуст раШIG\IСрlIО раепродеJНшпал
П,!,rру'н{а, прн ВЫЧIIСЛС'ШШ N, Q II .11 IfO,'fC'.!lIO II\ICTI, n ппду слсДующую
TeopC;\IY: РilU,1l0деiiствУ1Оща,'/, раСНО,lI I Р!'(I рас 1I!-" ис. 7('l/ltO 1/ 1,(/;; рузни, J/ pи
.10JJCe1l1l0ii 1. ду;:е /11060;:0 очерта1tll.'/, PI/CJU{ npoU'l(IerJClll/lf) ШlllитСиС1l0стu
насРУ31Щ на д.'ЩIlУ хорды, СlпJl;:UGштце{{ J/пy ду;;у, пеРllСllаU1.УЛ.'lРllа
(пnой хорде u проходит через ее crррдllllУ.
. ;)шоры N((p); Q(<p) II М((р) ДШI щшвоrо с;тершня, паrРУЖСНlIоrо
по CXe:\Ie, ПрIIВс; еIIноii на pIIL;. 33, а, llOl{U !аны IШ рпс. ;:;3, 6, с, е.
1 )J
На участне 0-< <р <; а N(<p) , Q(<p) и М(<р) опреДСЛЯ.1ИСЬ COOTBeT
ствепно по формулам:
"У (:r) 1\ sill} ....... 2qRsin 2 == qR (1 os r);
Q (cr) == Рl COS == 2qR sin СОБ == qR sin 9;
м (cr) == Рl A t =:.: 2qR2 sin 2 == qR2 (1 cos ер),
rдс рUПНОДСЙСТВУIOЩз'Я распреде:з:енпой наrрузки q па дуrе, COOTBeT
ствующсii yrJlY ер, Р 1 == 2qR sin .
,..
{j
Рис. 53
д-
8
На учаСТI,С а. 11 -<
.N (r) == р 2 sin (ер ) == . 2qR sin sin (ер ) ;
Q (<() :=: р 2 cos ( « ) == zq R sin cos ( r - ) ;
.1 ' , )
.'j. си; ( : . . ..a' ) = 'l.qП 2 si/l а ilJ (. _. )
- " I '!. ; '. ' \' '
rДС rПВIIодсiicТil IOЩuЛ РD.ШРС: С.1Сlшоil lIurp ,\1,11 '1 11,\ :( Te, СОИ ПlCт.
ствующсЙ yrJI.Y а, Р2 2qR :sin .
2
110
21. Дифференциальные зависимости при 1131'ибе
ПЛОСIШХ I\I>ИВЫХ стержнеii
Д[l рфеРСНЦl1аJIЫlые СОО'fIlОlliеllШJ [С,Щ.I,У q, Q, iV' 11 М, 1'-'}I'UfJЬЮ
lIH'yT \)ЫТЬ выведены из условии раlllюпесня эпемеllта, вы;..,СJIеШlOfО
11:1 llрОllоВОЛЫro паrружепноrо I\ршюrо СТСрЖПН (рис. 54 II 5;:;), Ш1СЮТ
шц
dN
Q'
d y ,
dQ == N + qr;
dCf
dM
== Qr,
d
о
Рис. 51
(3.5)
(3.0 )
(3.7)
[11\('. r,;)
Полаrая rd<f:::::; ds, эти уравuешlЯ \f()ilШО ;:t:Щltсuп, 1: l!lЦИ
dN !} '
ds r'
(3.8)
dQ N
{JS == (] + r ;
dM == Q.
ds
(3, )
(3.10)
При выводе указанных зависимостей было предположено, Ч10 иаrи
бающий момснт ('читается по.10жителыlм,' если 01:1 вызывает Cl;иатие
внутренних волоКон стержня (ВОJIОИОН, расположенных на воrнутой
стороне), а распределенная паrрузиа положительна, если она llапраl!
Jlепа I\ центру иривизны стержня. Зависимости (3.;'») (3.10) позво
ЛЯIOт ПрОllерить правилыIOСТЬ составления выражениЙ ДJJН N«(p),
Q(<p) 11 М(<р). Выражения для внутренних УСIlЛIJ:Й в ЩН1DО:\l СТСР/У\НО
Д,'IЯ раЭ.1ИЧНЫХ случаев еl'О llaI'рун,еIlJlЯ ПрПЕС'депы в табл. 11) 11 1 J.
1 J 1
22. ПостроеIlие эпюр Dнутренних ('ИЛ
ДШI простраПСТПСIIНЫХ СТСРiI\псii
в ,';,,\lilh::-' LJJCIL:li<tX, lJCII соетr.n:I:IЮЩllХ стержнсЙ IШТОРЫХ не
ЛР,l\iН f O)(I;(li: lI;Il;(I\\;Clll, а al\:l;l' lJ IlJIUСJШХ СI1СН.:мах, ваходнщихся
ПОД llU:I;(pi'Cl iJi!l'.\J 1,! ;Щ"; рl.lJlСПIСlaIоii паrРУ31Ш, MurYT действовать
D ee'lCIНlHX CH'j'",!fl'lJ ПСС Н;ССJЪ ннутреШillХ СllJЮllЫХ фантuров: N"
Qy, (Jx, Лf z , ЛJ 1/' 111 х pIIC. 2!), б). В 9ТОМ случае ;)IIIОРЫ изшбаЮЩllХ
моментов IIO lIpCiI\JII'l\JY c'J ронт на сжатых BOJI0HIlaX, lIрl1ЧСМ ориетпuро-
(ють их слсf.)уст IJИJi. чтО'JЬ! плоскость эпюры совпаf.)ПЛ(l С /l//ОСh'оuпью
q
А
а
Рис. 56
' A
)) z
у
х
z
действия пары то<:о И8<:uбающе;;о ,мо,;\и:1I1па, для, ноторосо она построена.
3нак изrllбающrrо момента ШJOДНТСН НРОlliЗnОЛЫIO lJ притом ТОЛЬКО
В случае llеоБХОДЮJOСТII ааШI(',ПЬ СООТlJетстлующес ураllllСlIl1е.
.,.,--" L'I
<'> .,. ,1,.1
OJ'
I! НС. 57
/'
ДЛН llРUДОЛLlШХ СИЛ И I\р 7ТЯЩИХ момептов сохраlIЮОТСЯ прежние
ТlраВl1ла 3I11ШОП. ;JlIIopbl N И МИР МОl'УТ быть 01ШС1lТIlрованы как
уrодно, но llХ ор/Щllаты всстда откладываются 110 нормали к ОСИ
стержня.
ПuП()реЧl1ые C1IJII,] в сс'lЕ'ШШ считаются ПО.'1UiШIТCJIЫIЫl\Ш, если
НХ напраВЛСIJие (lJUШIД<1.СТ С IlОЛОiI\ите.'lЫIЫJ\J 1JнпраU.1СШIСМ у Il х.
; i2
в качестве и.'IЛIOстрации ПРИВЕ>дем для ломаноrо стержня
(рис. 56, а, б) ре;Jультаты построения ЭIIЮр ВllУТР IIlШХ силовых фан-
торов (pllC. 57).
В
о
8
8000
B 8
8000
(ij) K 1 M
Рис. 58
Рис. 59.
Эпюры внутренних сил для прострапственно наrруж€'нноrо криво-
JIииеiiноrо стержня (рис. 58), построенные па оснози.нии заВИСШlОстей
М пз (r.p) === Му (9) === (PR + М л ) SiIl ер;
Мир (9) == M z (9) == (PR + м А) cos ер PR,
при Р == 200 "r; м А === 2000 "р . CJlt;.R == 30 СМ приведепы на рис. 59.
23. Напрщкения в се(Iении
13 сечениях паrруженпоrо стержня возникают непрерывно распре.
деленные внутренние усилия (рис. 60, а), равнодействующими КОТО.
рых являются елаGНЫU веу;тор R и ;>лавныu .мо.мент М, приложеНlIые
в центре тяжести сечения. ПроеIЩИИ R и NI на rлавные центральные
оси х, у и ось стержня z дают величины компонентов Dllутрепних уси
ДllЙ N, Qy. Qx, Му, Мх и M z .
Рассмотрим беСl\Онечно малый ЭJI(шепт площади dF (рис. 60, 6)
с прои.IволыIмии КООрД!Ш!lТНМII Х, у. В силу малости ЭЛf'мспта можно
R
......x{f.,..r--T F
$СЬЭ-l1JJ
z М...................... ....J..!J-1
:......-. .............. .......у "i'>
"...... I..r-
"........... ..........." ",,/ I
........................\. --:;J
а . .......J.......
Рис. 60
о
dOY dQ
Ре. dQx
9 х
а
О
считать, что внутренние усилия распределены на нем равиомерно,
-+
а равнодействующая их dЛ при.тlошена в центре сто тяжести. Следо
вателыlO, при приведении этих усилий К центру тяжести элемента ан
будет НВJIЯТЬСЯ rлаВllЫМ вснтором СИJIЫ, а rлаDПЫЙ момент, очевидно,
будет равен нулю.
t1::J
ПроеКЦШШII ан на осн z, У, х будут ддеыrнтарпыс силы dN, dQy,
dQx. Разделив ;ни 13е.1ИЧИIlЫ на П.'IOща::J,Ь dF, получим выраЖСl1l1Я для
I.НIY rpCllllllX УСlJ:Ш U, IIPll \ lЦ" ЩII \С Н 111:\ С;J.Нlшцу UД\JЩ I; II, IIQ,3111H\i' J ЫХ
1t<1llp"JICi.:Jtlt 1 Н" U IO'H": (у 1) IJtJlIl'[J(]'!HI)I") ('("ILIIlHI С н 'ржнн:
(!'.У J.Qu. dQ....:
J:::"=({j;t; ' и --о. ap ' -,x=-=-dj7' (3.11)
rде о 110 р.малъное llапРJtжепuе I "Су, "Сх касательные напрлжепUJt.
Размерность наПРШКСIlИЙ сила, деленная на квадрат длины
(,.r1" ,H!., {I,'r/c",.A-t 1 11 Т. д.).
1 <lIШ 1 оораЗ()\l, llаllр.'lJfсt>/lUе.лt навываетсл вllутреЮIЮl сила, от1lе-
сеЮlа.'l ,. едuнице пдvщадu в данной точке paCC.A-tатриеаf:.1tосО сеЦf:НИ.'l,.
П ол/(ое напрлжение в ТОЧl{е может быть выражсно Чf'рез llормаль
ное 11 Iшсательные напряжения:
dR V
р == == 02 + ..2 + ..2
аР ух'
(3.12)
Учитывая (3.11), lIСТРУДНО устаПОВI1ТЬ общие заВI!СЮIOСТИ l\IСЩДУ.
шшряжеШlЛl\1I1 о JI ":, С о,l,UОЙ стороны, Il КО:lШоllсuт.Шll DlJYTpeHHJ!X
y'Cll.'lllU ........ С дрУ.rои:
N == 5 odFj
F
Qy == . "CиdJ?;
fi
Q", == S "CxdFj
F
М у --=: .,' :rcrdF;
F
(3.13)
(3.14)
(3.15 )
(3.16)
м х =- . y dF:
F
(3.17)
M:l==MI<p- (1J-:х:+х':'!J)dF,.---:: ;J"CdP.
Р F
(3.18)
rде
: == v ( ) 2 + ( )' .. / ТТ ;
р ......... раССТОЯНIIС 01' центра ТЯЖССТII сечения ' O ЛllIIIШ J:СllСТВПЯ dQ
(рис. 60, в).
3аВIIСlIМОСТI1 (3.13) (3.18) называются стu.т ичесни"ии ypaвн.e
нил"ии. В общем случае расчета, коrда заI\ОП раСПрС'ДС.'lСIIИЯ папряже
НИЙ по СС'IСНШО не известен, ИХ примеl1ЯТЬ IIСЛI,:Ш. П аПРllмер, зная
величину l1эrнбаlOщсrо момснта Му в ссчеПllИ, IН'Ш,3Н найти lIормаль
вые Н3НрШНСIlПН. IJОЛh3УЯСЬ формулоЙ (3.16). ОД1НIl\О ССJlИ, пользуясь
теми или IfllЫllШ соображсниями, удастся устаНОDIПЪ, нак распреде-
ЛЯlOтся по сечснию а или Т, то тоrда по фОрМУJJам (3.13) (3.18)
МОЖНО Н8iiти И сами ВСJШЧИНЫ напряжений.
llЫБОДЫ формул ДJIR ОНРСДf>ЛСШIЯ напршксний llе Jесообра:!liO про-
ВUДИТЬ по слсдующсй cxel\ e;
"С==
114
1. РаСС Iaтрпвается статическая сторона задачи записываlOТС}i
те из ураВПСlIиii (3.13) (3.18), которыс необходимы для вывода.
2. Рассматривается аео.метрическая сторона задачи на OCHOBa
ШШ опытных дапных заПllсыnаютсн l'еОМОТрИЧССЮI( ураВl1СНИЯ, YCTa
IlаВ.lиваIOЩIJ( .зависимость перомещенпй точ('н стершня от их поло
жешlН в сеЧ('II!Ш,
3. Рассматривается фиаичес1tая сторона задачи на основании
ОПЫТНЫХ данных записываются уравнения, llыражаЮЩllе :-зависимость
между наПРНЖСНИЯМll и деформациями (плп персмещенпями).
4. ПРОИ3110ДIlТСЯ СИНТсз, т. е. совместно рсшаются уравнения,
полученныс в п. J 3, и путем ИСНЛlOчения деформаций (или переме,
щеIlиii) получаются ФОРМУЛЫ, выражающи() напряжения через усилив
или момепты в Сечепии.
* 24. Условия прочности И жесткости
Основной задачеЙ сопротивления Iaтсриалов является опредеJJР
пllс надежных размеРОБ поперечноrо сечснпя дста;ш, подверженной
тому или ИНОМУ СIlЛОВОМУ, тсмпературному или ДРУl'ОМУ воадеЙствшо.
Танпе pa: MCpы Юl'УТ быть опредслсны 113 расчrта на прочпость, жест-
кость или устойчивость. Основным НВ.'lястсн расчет на прочность.
Фн:шчеснн О'lСВlIДIIО, что матерпал не в состоншш выдсрживать
СIЮ.'lh уruдно GОJlыние lIанрлженил. По:этuму веЛИЧIШЫ наибольших
Н<1ПРЛЖСIIIJlJ пз услошlН lIа,J.СЖНОСТП работы детали ДОШt\lIЫ быть
оrранпчеllЫ неl оторы.I\Ш ДОПУСТИl\lЫМII 3ШI'lеIJIlНI\III. Эти :значсния на-
зываютсн дОI1УСJiде.лtы.ни l/(l//ря.ЖС1lия..ми 11 оБОЗН<1чаются [а] или [1].
Если П;1вестны ДОНУСпасмые наlIрНШ НIIR lt l1l\lеютсн ФОРМУJIЫ,
вырашающие паПРНЖСl111Н чере8 УСllЛllН и момснты n Сf>Чf'ШIП, ТО llpllll
ципиально МОЖНО рассчитать на ПРОЧllОСТЬ (подобрав нсобходимы!'
размеры, при которых напряжение пе будст прспышать допускаемые)
любую деталь.
На пр актине встрочаютсн три случая расчета па ПРОЧlIОСТЬ:
1. По известным паrРУЗl\ам требуетел дли выбраllIlоrо l\1aTepl1aJIa
найти нсобходимые размсры попоречноrо сечеlIIIЛ ДСПI.JШ, оf.сспеЧlIваIO
щие ес падежную работу (lIрОСJПllроnочныii расчет).
2. I1звеСТlIЫ 111<11'('1)11[\,:1 Н ра;!мсры дста:ш. Требуется выяснить,
lI10жет ли :эта дстао'll) выдержать заданную наrрузку (провеРОЧIIЫЙ
расчет) .
3. Известны ма1'српал, размеры детаоТIП и схема ее ваrружевия;
требу<,тся наЙти допусТIШУЮ веДИЧllllУ паrРУЗI\И.
В оспове всех этих расчетов л('жит условие п рО'ЧJlосmи
а тах < [а] llЛИ "тах -< ['t],
выраFJ ающее тот фaI Т, что наибольшие напряжения НОрl\JUJlЫ!ОИ
насатеЛbIlOе ИJIIl эюшвалептное (Сll1. rл. VI), действующие в опас-
ноп 1'0'11,('. НС Д0,11i-1ШЫ ПРСНЫlШ1Т1, дпПУСI;,lе:\Jоrо напрюш:ппя.
АlIа 1 )Пl'I!l() П[)ОIЮ;J.)i--:'СН Н РIН'ЧРf 11,1 il,('[ТI::}СП., TO.TlbI\O IЗмсст()
уСJIOШIН lJРLJ'ШОСТJI JJСНО:IЬ'1jСТСИ ,II I '/(Jf,,/I' .)/('1(//1,,')1 'пи, ())'раIШЧIIН:1.lOЩСI'
пе:ШЧИIlУ ;lр(lюрмшщir (I1.111 Jlорr]\[I'Щ<'lIl1ii), O;('Jal,,) ДЮ1\С D 1'0111 С:IУ'ШL',
ноrда НЫПО:l ilCH расчет па шесТJ,()(' 1'\" l'Ct'l'да I\('ОUХОДПI\IO П}ювоцИ1 1,
нроверОЧНЫli р чет па II}ЮЧНОСТh Il, U'JШ ан ;J.Щ'Т UТРllцаП'JJЫIЫli
результат, следует ПРИIlНТЬ PU;1l1I< ры, IIO ]учеlшые из расчета Ila
IlрОЧНОСТЬ.
115
ф
t::r
1::
1'::
\о
C':I
::;
1'::
CCI
М
:а
::s
==
1'::
Q,)
Q,)
C:I.
=
ci
11в
f-<
8
о ::01
о
C:.J ::;
Q
r::N
0t!:::S
!: 13
А Q
О ::::
;2
=:
Q,)
с"
==
Еоо
CCI
Еоо
=
:а
==
Q,)
::s
ci
Q,)
==
ш
CCI
\о
==
==
1:1
:а
J!!:
==
Q,)
:а
=
с"
Q,)
C:I.
Q,)
=
ci
=
=-
1:1
=-
::;
CCI
Q,)
t:1..
Q,)
::5
;:
C:I.
С
=
С
0:>1
9f-<
ос:>
::;:::01
O
:;O
t!:
o:s
O'
g
1=:
t1<1:f
А::::
oo:s
8
t::
::;:
=:д
c:.Jo.,
:Е9
Б:
...::::
=:;:0'
",r-:
,2
><
u
v/
v/
о
с:>
.....
I
11
v/
о
11
с);
v/
о
о
11
'CI
Q:j
i
11
'CI
,:>'"
1
1Vшt
с:::!
v/
с
11
"'1
v/
с
r
v/
i
+
i
""
v/
..с:>
+
и
S
..;:
+
с:::!
v/
I
11
+
v/
+
i
I
11
.,...
"'1
"'1
\1
..с:>
v/
с:::!
v/
с
11
с);
('1
v/
о
о
11
Q:;
;i'
+
i
11
i:::I
.....
i :i i ;s:
..(:) i v/ I I I
"" I со i 11
v/ 11
с:> 11 !\ v/ Q
!\ 11 с:> и "" o:s
'"" v/ ' ..(:) o:s 6
o:s + и 6 .."..
S o:s ....
6
.."..
......
......
""
..(:) "- t.:I t.:I
+ VJ I Е: v/ I
"" N v/ I
I/f о i N
11 \Р t.:I 11
t.:I v/ 11 v/
VJ I1 ..(:) v/
t.:I ..".. О
v/ + о
о
v/
t.:I
v/
О
о
11
с);
"J
......
..:;
о
11
t:X:i
I
i
11
t:X:i
......
...-:;
""
VJ
t.:I
VJ
о
11
с);
о
о
11
Е:
11
t:X:i
v/
t.:I
VJ
О
I
11
с);
11
;s:
11
t:X:i
':;l:
Jт
117
!::
е т z
\с с ;; 1 1
:С
I::j
Е (';) " ]
'
(';) 55 Е I
" 11 . с>
<::> о- C:.J o:s а
о :t: s::
<::> о o:s ...
Q.. ::G ;;::
t::: =
,-....
...
'"" + I
==..... I
S" ....
i2 v/ ..... v/
O:S
Э1 .
" 1 v/
v/
O
:;;:::?J О
;; I ......
11
CI: + ....
с':1 !--1
O' . ... , I \:)-
8- v/ v/ I
I
\У 11
t:: v/ 11 с::;,..
с
;; О
= ci; ci; ;; ё; I
:3= V\tI ::V\tll I
:Ct:f /1
О-:х; ..... 11
O 11 11
88- 11
.it
=
:=
:с:а
o.
a
.=.....,.....
:; .:S:
::: O'
;;
с,)с
:.<
U
118
Ш
с;)- ......
I',j
""
q;
::'
i I
.....:::.,.. ..
I
11
Q I Q И Q
t"I И
11 8 (';)
8
и
8
"'t"Il:::"
) "'I="
I v/ '" ' 1
v/ v/ t"I v/
I t"I 1 Nt"Il
t"I t"I v/
v/ 11 v/ 11 v; I
I о
о
о 11 1
11
.,...\:'\1
I [
"'1 ('1 .......
v/ v/ v/ :'\I v/
I 1 1......
t"I t"I 1 t'l ...............
v/ 11 v/ 11 v/ 11 v;
о с)1 с::;,.. о с)1 о I
11
с)1
1:'\1
tN I ё;.!С'1 I ="
1:)-
11 11 11 11 11
11
'fl: ... ...
irf ШР
I I
.....
N
'"
119
с:.
Е
; .:; С\1)м !M
О .= I I
::Q '"
NQ:g S .....
5 ...... .I :'\1 ..... :C\1
r-. 11 11
I I I
с> с>
t'I
; 11 11
8' =-
s s
M 11s ..........--...
С\1/С":: ....1:Y:i Ij )м
: I I I I
" Ij .......
v/ v/ t'I v/ ""t'I l""lj v/ t'I
r-. I .................
COJ:Q t'I t'I 1C\1 g.j С\1 t'I g.;C\1
\С)а,)
:S: v/ 11 VI , v/ v/
O 1 I
о о I
11 11 11
""t'lIIN
CI: I
со "" /Ij ,,> g.1:'\1 Ij t'ljlj ..... g.1C\1
O' v/ "'I v/ v/ v/
ФСО I C'J I
I=': t'I I t'I t'I t'I
IS: v/ v/ 11 v/ g.)C\1 v/ 11
oQ 11
о Ij с- о I с-
с-
11
с-
Ij Ij 1м
C\11:Y:i
CD=- g.1C\1 I g.JC\1 r
::а=-
J:Q .....
11 ............... 11
Осо g.!C\1 g jC\1
a,)
O 11 11
ё:;-..
I ......1"':)
"::l: I I
i!
..,., иr т
Е'1iБ
со :s: N
r:c Q> " <>- ",N
co
co
фlO
1>1
U
-q;
с,
;:::\
::t
с;,
1::::
120
+
I IФ
I ...... I
.... 11 '""'
11 11 ""
с> 11
с> 1>'1 +
s
s
+
",............ ,..............
..-41:-:- I м I ..
I ",............
... ...../C'\I
,"",,/C'\I м 1'""" '""" ",............ '""" "" \ 11
:Y:i VJ 1"" ..-41С'\1 I v; C'.)
v; I ............... I I"'" I
v; L.............. v;
v; 11 I I"" ............... 11 I
'"""IC'\I ............... ;M О
О I N
I
11 +
+ I .., I
"" ""
'"""
....;C'\I "' IC'\I '""" ..-41 ..-4/C'\I !I
v/ v; ...../:;".1 I v;
I I I
v; "'11"" v;
v/ 11 I I"" 11 I
....IC'\I ............... о I
о c)i 11 ............... I c)i
c)i +
IФ
"" '""'
""
!I
IN "" I +
....
11
11 11
1I
I:Q
......I !
.. ::.:r
<$ '"
1m 1ill1
CQ
"
N
'"
121
8 1 1 !
':- о '=
t:: .....
r:::. tJ I
t::
o <Ii::S \1
!;; с с М
e: t-:I 1>( t-:I
8
Q а
с')
о :::;
о
о ::G
t:::
I
I
'::>1 .... ....
v; v; -i l
2Е-о I t-:I I
t':iJ: v/ (;.. :>":>
S v/ 11
...«- I
9 -=-
:::;:«- 11
о: " le"I I
'" "'1 .... v/ 1'11
;0- v;
I "'1 ...... ..... ! :
Ф", t-:I <::J-
o. v; I
Ф " v; 11
:::: I
0<:.) а- с 11
с:: с
а-
I 1C'\1
Ф:S: .....
::а::::
::с = 11 11
0.:.::
@ 13:! 13:!
00.
а::
:s;
tI:;:a
&0.
a
0.<:')
'"
t:: 0'
С'>!!:;
,,
<:.)
u
...
: 1Ш ' @ I
. ....
" N
'"
122
I
C'\11
11 11
13:! 13:!
.,....
'"
1 r : {Ш ' @ '-'t
.....
11
"-1
-q:
!C' i -.:
""':
...; 11 ""
'
с 11
11 «:1
1\ s V c':i
N .... Е
c':i i i
s s
.....
(:5
11
с с
t-:I ...... ""
......
"'""I-z... с,
,
.....
l"l
v; "'t.. 1:2. I ....
N v/ .......
N .... v/
v/ I "" il....
v/ ""
::) I v/ l'
о 11
о i
11 .....
11
\ ..::
v/ il....
I v/ I .....
"" Ni 1 v/
v/ :'1 t-:I i
I v/ 11 ""
о v/
" о c)i 1
о
v 11
c)i
I-.-. I-"
N!:V:> <::::т- .. 11 I1 <'J
.".
" "';:)
11 Q:: I
CI:I сх:: ....
CI:I
сх:: "
-.;
Q::
..,I"'....,: '"
......... @> i I/Y)
{Ш
11
$ '"
...
123
"" 1'"""
с:> """.... ...... с
..,.,
""";
,::; " 1>( I
с:: ll 11
Е: со E ....;' ,. ......'" s .......rN
с:: i>', .....1:'1 1><
Е c:s
':;:I:::O:e:- 1\ V s V с 1\ s
C,)3;:: .-i i ..,.,
S8 .. """;
(:5 11
": g. :E
о О :::: 11 ..... '" о:::
о с :::: .....
о.. "1
t::: .r t-i'
.1
'
-;-
+..... t-1
::= 1....
g VJ i VJ VJ
2Е-о t-1 t-1 I t-1 :il
",= I
\о..., VJ VJ 11 \;/
:::
1'-00 ;i 11
:S1:E О О
11
""
...,
а: C!.....
c:s +....
O' VJ ...; \f I
<l.1c:s t-1 t-1
r:: о<::;
t:I:= VJ I VJ 11
0<:.)'
i:: О о с-
11
а-
11 i 1 """'
<l.11S1 \1
::а:= +
==-
:X; 11
О",
t:I<l.1 11
O
а:
:=
:з
.,.
O
a
CТ)
1'-0
'" -
=::0
=
:Е ,
3
u
124
<:) Q)
.....
:5 I"'"
1:'; с'
О о...
\о :II q
i:: е<: 11
<:) м 1::1 11
::: с.... <:>
I t;..)
"'1 S
:::1
Q)
SC:S
u с
t
"'1 +
З ..с::. "'1 I
+ :i v/ .......... !j t.....
!j +..... i v/ .....
VJ "'1 v/
t-:I i v/ +..... VJ +..., t Q.. ц !j 1.....
VJ i'I ..с::. v/ 11 v/
о I v/ + о 11
11 !j !j 11
""'"
..:::;
!j 1.....
+..., !j ..c::.1....
VJ v/ v/
t-:I "'1 t I
VJ I v/ 11 v/ 11
о 11 о c)i !j о
с).1
11 i ..c::.1"" !j 1.....
CQ +..., Q..
I1 i 11 11
--: CQ
--:
..Q
c::s
ес:, ,
1:
125
" "' I ""'J
"1J
"1
:5 ' V' Q... =<.. \1
f--t ::.:
; :I: 11 \1 \ ---.,
4=- Q...
=...-:. \1 <, \1
<-.0 ....... ....... <::! I
2 \{'
:: ::-
......
/.............. ...
1, .....
c<s \1
\!J ,
/ .=::, '1
"' I '1 11 ''; 11 \} I
'"" '
<:>:.:
C:: \1 ().. J IJ
:3'-' \
\// ,-...,
"-.'
':' 11
с>
............ -
; 1
с;
a
Со:':; -,
.:)CI:
::<;1 с':.
::>
"' "
......
;:Q
с;,""
:::0
""E::
;;....:...
=5:0-
!"";
:::;
СЗ\С
1<
U
126
Q:,
о
?
<::J :..' r'
; I f
фt3
it; ;:: Е :G
Q 2
..,
8 ::::
\
с
\::
с
Q..
::-:
"
, I
.-<
,i а
v/ ......
<::!
iC"1
!-N
с..
"1
>'
Е
+
.....
+.... +I
'-' I ..с
:"1 .J
'-' I
.;::, "'1 <..., "'"
I ..с :'-1
т <::)-
.;::,
+
о:
Е
t'I .....
... ;.;::,
N I
V + I + I I ..c ":':; 1
t'I \/ 1 v/ -t
\; -g. t'I t-:I ';::'С')
\; 1 "'1 I + -g.
..... C:J <::j
"
.;::, I ___
+ + + I ,\7
\ // '-' .;::, I '" 1:'1
V/C'):'-J <..., 1 " -------
t-:I......... V/C') V/..::::,
\f t-:I '-:;/ '
" v/ <::)- I -+ I
СУ 11 :::' 11
СУ Q,.
..с
-+ +
'-' ;::J <::j ;:j
='1 <:')
..с ..с
о::;-
11
'<::: CJ:1
c:t::
t.,) I @
oC:Il::r- .....
..
- ,,1: '-
I , 4
j .. - J-+ i _ _
Q;." -«::--:К <:::>:.'<.
...
1......
I
<::j 1-... .;::,
-+ С')
:"1 ;С'1 . Ioo
iC' ,.... 11
11 11 м
.:; ......S
..-:;
-
r
+ I /""
'N
! , '"'1 I
\1/ \7
<"1 "': t-:I "' I
\1/ .......... \7 g. :"1
-с. j
+
I
' -
+ --- g.I
I t-1 i I::s
\1 i \1
N ..............--- N I
t::: \{/
\1 ..::::,1..... Н
I
(:' +
СУ
v
+
<::j 1....
С') с::; :"J
g.i"'"' I!
11
-<
..с
127
0)1
8
@
J',!I s
t::
E-o E-o
[5
8
g :s:
::с:
'С
'1.>
::s
:t
11!
<::)
q;:,
<::)
Q.,
1::::
'5
g
!2Е-о
«:1:1:
...,
IX:
«:1
O'
<l.1«:1
2'@
15(,)
1::::
<l.11::
:s:
o.t::i
о:.::
t:I
O
tt;:a
ClJo.
;e2
.(;)
.
It:эо
;:;
\3
с)
128
о
А
cc:)
I
11
...
I
I
о
V
IC'\I сс:
11
1><
s
:::
I
+
1.)
11
...
I
+
<:>
t
<:>
t'1
1.)
!C'J
11
s
..,..
х
cc:1
I I + I
I v"' '
V/... t'l 1 t-:I
х v/ 11
v/
t-:I
v/
о
I
11
11 11
сс:
сс:
I
t-:I
I
+
v/
t'I
v/
I
11
c)i
х T I '
V/ -;;- ....
N I I
V/ Q:: I ,
1.) '"
f
..,.. "
..,..
х
V/
t'I
V/
+
I
t-:I
I
+
11
c)i
+
..
1.)
1....
.
<::::J-
11
о
l.r.I
6
"
1 \ :VJ
--..
11
11
I
<::::т-
ф
11
1><
S 11
i::i
'"'
""
<::::J-
с:>
t'I
\
\1
I
t'I J....
J
11
t-:I
V/
о
,
INt'll
CY:J
V/
t'I
v/
О
.....
--.............
I:D
11
(у
IФ
11
I
11
. .,. ,.
х +
...... I + , -.
!11 .... :ii' +
" ..:с I I
I " '"
" '"' Е::
а 11
t-1 ..... N
, /
/', Ф
ri
:...
+
,. I ""
..... "2..C'J '"
<:::- "1
v; I r
'" '"
v;
о е:: +
I1
:::;
+ ...
..... '" '"
!I
\7 I
1"1
\У -<т:
;с;
::> 11 +
с);
...... -
!I I
:'1
+
.! <:::-
11 11
""'
...... c:t::
r lli
t.;. : ' .
..... .,
i
.........I \
[ ..!! " ,
. ,. I " I
-<r:" _fн
- "'--. 'G.. С:::.'
5 :j 11%
I +
I"I
Iз
+ 11 ...,
I
11 а +
r-?
..
I
1"11.....
1"1 7}
v; ,. [--- \1
Ф <. I
1"1 1"1 :.0
v/ \1
:::; I
.....
.,
,..... \1 [ fl
\1 'D
,
t-1 \1 "I '"
\1 <:::-
с> ' .
о
:;,
- -- .
. 1...... .....
,) ....... " 1.....
<:::-
"
1\ .
" I
:з:: ......
,
C\ l' @ <;5-1<:0
{ TJ iН .if
t t т o.
: j . '!co
L. ',t "
. r ,<. "<t:"1' с, j .....
...... c:,'
1:29
I
.., ':: N
'о '" с;,
f: g.1 <::$1....
<u ::: ::.......
:::: С:>::-:: 11 С'] I =--')
::: g ; ,......
'
"': е (...
<::> о'
о ';
<::> :J::
I::L
"""
.....
''1 <::1
1.....
с <::$ i-... I
g <::1 "] \7
Of- v/ !
".,. gl
, , v/
v; I
C
::: '" , 11
g.i:>':
;:-:
ё:;."
;E
r;:
,...
с::
tt:;::;Q
<l.1C':>
I.C
с)
!
1:-l(j
а::
«:1
O
8.
Ф
с:: ,
0<:.)
t:::
I
J
<::1 c'.j
\У I
I ""
'" <::$
"" 1......
..... j
I
v; JJ
а..
v/
g.::o
11
().
,
;.....
:'01
'" , .....
g.:Y:)
0.-:.:;
."....
:::5
c.
со::
t:: ::.>
o
:.;)
":)--,
11
с;:;
.,..
с:.:
-;'
I i
11 -: Ii
" ;;
1', E
::: I о::: +:7.
1/ :.
c::r
1'"':
ti
c::r-
со
.,.
I
) I
,
I
I
. I
ll \! .......... ''1
v/ 't
t-:I '" I
v; . \1
<-'1 .::::.. I
::: I t.>
c::r-
11
"'"
о::;:,
I
I I
, 'N
<::> ...... т t::;'
j: ".,1"" :; . . j-"
\ /1 <::1 :о \1 I
/ c::r- J I 1 " .
::: 11 I
о 11
а..
I
+
::::..
11
-1:: со
с;: с:::
I I + I I I ! \ I I I Ij .с.
'----- *.".::"! С I ..". I о:: С:::
V I +
11 о:: 11 '" I ;. I
I :::C; I V ,:o
t;:j а ::"I j:'::::::- s 1:1:;
+ 11 C'J 1:--: 11 11
;f с> I *
t'I
<::! ""
v/
"" 1:1:;
v/ 11
о
...............
t'\j<::!
I
1\="
";;- 1
..... I
v/
t'\ ......... ""
v/ I:I:; -;;
<::! !I
;.
"" \
Ф
""I<::!
I
<::!
'1 I:"I
v/ I
о
11
а-
I
C'J
..... +
v/ 1:I:;rr:.
t'I I
11
о
1F
I
+
о::
I
I :;\I
t:::
1:1:;
+
..
...с::.
]
IC'J ""
<::!
r:;
\\
1:1:;
11
о::
1\
"'"'
.....
5*
ф
с
11
...
""
ф
м
q
о
11
с>
t'I
CtJ
t:1
I '"
""
v/
t'\
v/
О
I
t'\ ,....
I
11
v/
t'\
v/
О
...............
"'i<I 1:2..
""
I
\ C'J
11
о
..... \ С'.]
с:з-......
11
1""
11
1:1:;
t;.1
t31
с'
\ .
Е:
;:;
8
,,:::
t:: tJ ,.,
;
t
!t
с .
1
"-'
<..
1>i
с:
а
с:...
::::
;::
;:0<-
С-:::"""
tЁ:
10.0
а;::
;::.:)
(.)'"
g-
t::::;
.. ::..
. ;::
€::::
"'"" ::::-...>
;
(.)';:'
v'
U
132
g.
t:C":
o::s.
..... : 1
""
'У)
I I'
'1
("'
е
......
+
; \::.
С']
\11
.'11.....
'1
, :.....
+
\/.
}
11
......
+
:'( I
'-='
\7
11::'"
\;/
,
I
+
I!
(у
.....\..,,,,
t.::J--1 .
11
\ :
11
r:::::.
....
r:::::."
\.....
.....1"'1
I
:::I
<11 "
...., I C'
с>
t'I
'
\У
t''!l
eJ I
='1
+
IY)
11
.....
.....
"";
+:'1
'1
v/
о
/,Т
::'1
v;
'1
\f
о.
.....
'"
r.
.....
о:::;
"'
">
..... .....
...-:
='1
\.....
+
""--' I....J
tJ-i
.....
+
i
I
'1).....
.....
<1
I
......
""-':
-ё; \ 1
11
су
!.....
I
.....,
J
«7
11
с.::
--1
с::! с::!
+ I I
...... ....,
v; 11 1/ 1/
со с М
t'I ""
v/ Е EI
.....
...., ..::;
\ I
0-11""" с::! с::! с::!
....... + ..... ...... с;, 1...... +
..::; +
v; ...... I v; с.. ...... ......
I v; , I v; ........
v; 1/ v;
11 t'I 11
v; <:> v; I
.....
"'": "
с::! tj ! с::!
v; ;.... + с v; +
I .....
0'1 \У 11 t'I I v; 11
v; 11 t'I а. v; 11 <
СУ v; о СУ v/
/
I""'" С::! i......
11 <::з:I +
C::J .....
11 ..........
11 11
t:J:;
'1:i
с:: t:J:;
с::
1 3
""
..: 2 I;} IN' ""
'" I t;:! g.1
\с "" 1""
tf S t;:!':.... '
Е: + I + со
O "" I
cu .....
tI:;;;:;f-o 11 с:,- 11
;u fo<ф= с с
t'I .....1"'1 11 t'I
::;:C) "" v 1\
1:1: ::<: Е3
00: 11 s
(:) о.
ct::> о =: S
о с
(:) ..... .."
.....
t::::
I ""
""
1..... I t'I
............... 1...... I
ot= "" \""
s ..... + + ""g.\"'1 + t;:!
v; v;
fo< I 1 1"" ..... '-' ..... +
= t'I ...... v; t'I I v; :::..
\;:) ф
=::<: v; 1"'1 v; 11 с:,-
O
;;;:; v; о v; I
IN I 11
11 11
';? t
а:: t'l1...... I;J t;:! I
+ +
O' v/ N t;:! \1 t;:!
<:) I ...... + +
0.1=; t'I c;.IN VI I \1
g v; "" 1"" t'I :::. v; N
...... с:,. 11
t:: о 11 v; :) v; с::-.
а- I I! а- ...... 11
а- а-
I + +
I g.1 ...... ...............
ФIS: ...............
::a1S: "" \...... ......;
tc=
0.:.:; I! (:! "1 1:'1
82 .
+
00. с:,.
Q:; '. 11 о:;
'CI
а:: @ (
::;: I j}
tI:
<:)0.
""( ! =
е 5
ci= -....,'
: O' !
;:!:
ф\о
И "" I
u
134
+
I
11
t"I и
v/ s
v/ I
t"I
\У 11
о
v/ I
V 11
о СУ
11
с::;
11
с::;
-;:;-
C'\J
+ +
I v; +
11 t"I :::
v/
v; I
+ 11
..,..
C'\J
+ :t
v 11
t"I \::у V/ \::у
V/ ....
+
I ""
.....
' '"'"' IC'\J
C'\J +
Л 11
I
..../""
.... I
C'\J
<:
t"I
1'"'"'
V I t +
''1 I v/ .....
\У 11 t"I:::::::::;
С v/ jN
I
,.....
t"I + с'1
v/ <:з- +
t"I I V/ .....
v; 11 t"I
О \::у V/ 1C'1
/1
СУ
/1
::Q
:::::
,,
.....
+
...../C'\J
с;:!-
""
а
I t ъ.1
1\ I
V ;; 11
и
""
S
....
<::>
t"I
х
""
'" 1 ....
t"I .....
I :t
+
v/ :::.
I t"I
I V/
t"Il...... .....
+
х
.....
c:r-
.....I
I
/1
-;:;-
+1
......
1\11...... V/ C'\J
C'\J t"I +
V/:::.
.... c:r-
+/1
о
135
с">
:; 3 >'
J'З 2
о :r --:; ,..."
s8
;;:
о :::
Е:
о,;
t:::
':;:
Ш
12<-
:D
OV
'-<О
а:
o
:т
v,""
с."';
Q)
t::
oc.J
с::
1\
C.J
<::>
N
v;
'"
v;
о
t'I
I
/1
(
/1
и
8
::s
.....
....
v;
t"I
v/
С
I
11
v;
'"
v;
\1
t"I
\1
1F
I
Q..
I
11
.".,
..::;
I::t;
11
СУ
r I
:;: + I
..c
с:::::: .....
C
Q 11 11
t::'""
O Q:)
':i:. OQ (,;,!
S @
5::;: <Q
;:;,.
Q....
;:..;
'-<
'" .
t:: a-
( HC
1>4 ct
U
136
v
C.J
/1
I
11
1>4
'"
S
J'
I
"":::>
t'I
<:;:)-I
I
1/
J
..
I
.....
I
"":::!
"1::$
.о I I
А 11
1/
N
А
.о
8 ::
<::
t'I
..о I
п
><
'"
s
*tf
--
се
8
*
!I
v/
I\j
v/
о
...
t'I
...../C'J
I
11
v/
t'I
v/
..
I\j
<:;:)-
.....IC'J
I
11
1F
I:S
v;
t'I
v/
<:;-
11 11 '
....::.CI:; I
..
.....
........
t'I
t'I
<:;:)-
I
11
с>
I
!I
<:;:)-
"'t
v;
t'I
V/
<:;:)-
1/
с>
+
" I
""
:::r-;C'J
11
CQ
...
:о
+
...
-- @)
'...:, '-' С, ! I
I
С;)- I ..JL
<:! С;)-
'"!
' i5-
"1::$
I
v/ ] I ....
"'1 v/
v
"1::$ \
V;.o
t'I с...
v/ 11
о а-
----.
...с ;
'=1 I
.о
о...
11
.......
"1::$ j
11
,,!?
......
<'
с::::
+
..о "I;j I
+
I
\1 11
с>
t'I
VI
+
..о
v; ....
t'I ........
v/
-ro I
I 11
"""
ro=";
+
"":::! I
о..,
11
v/
t'I
v/ 11
"":::! <:)1
I
"":::! I
+
11
CJ
с:::;
'"'(
137
Таблица 10
JiI.,rпбающиi.i МОI\НШТ 111, пормаЛI.ная N и поперечная Q силы
.. ,(ОНСОЛЬНОI\l l\pYI"OBOM стержне при наl"руженип в el'o ПЛОСIЮСТП
';' .r
с х е I а
N
Q
м
.:...'
1,.
р sin +
+ т соэ
р cos cf
т sin
м о + Р R sin ер
......TR{1......cosep)
р cos (а Р sin (а
...... )+ ep)
+Т sin (а т COi' (а
Cf) r)
111 о + Р R [cos (а ......
'f) cos а J ......
TR[sin:z ......
sin (а ер)]
qR (1 cos 9) qП siп 9 qR2 (1 cos )
q qR siп ер qR (1 ...... qR2 (Cf sin ер)
I d соэ 9)
li
) -р 9. О О тR
d
З8
Таблица 11
Изrибающий М IIЗ И крутящиu М HP моменты в консольном
J\pyruBoM стержне при наrружеНIIII, перllеНДИI\}ЛНрНО!\I
ero ПЛОСI\ОСТИ
с х с I а
[I.J 113
(1IСРПС/l,(IIНУ JIHpllU
Н fJJIOС/ЮСПI I/Z)
М кр
у
,Р z
Р R sin ер
Р R (1 сов ер)
у
М Н sin 9
Мо cosr.r
м u cos
м о sin
у
z
qR' (1 СОБ 9)
qR 2 ( sin )
rлаtlа 4
МЕХАНИЧl<.:Сl\ПЕ ХЛРАl\ТЕРИСТIП\И МАТЕРИАЛА
иРII р ЛСТНЖl<.:1111l1 И еЖА ТИН
25. НапршкеllИЯ и деформации при расrлжеllИИ и СiJ\аТIlИ
[['ШРЮШ'lIНОС СОСТОЯНllе uceBuru ра Т:lженин или ежаrl1Н Хi:lрЮ\
repHU [ем, чrо 11;; ШРСТII IШМIIОllеllТОll внутренних усилиЙ ТUJIЫЩ llрО
дuл .н({н си![:.) N не равна нулю. Рассмuтрим СlерiШ'lIЬ, ПaI'РУil\СШIЫЙ
ОСf>ВЫМI1 СИ:Ii-t:\ш (рис. С 1). Для uрон;;волыюrо сечеНШI п п стаrиче
Сl\ан CTOpUlld ;цаЧIl вwражаеrсн УРi..Шllеllllем
N == .\ aci/? (4.1)
р
rеомеТРllческая сторона iН\;.J,а'ш определяется дипотеаой плоскuх
ср' ени й (?U!lОlnf'ЗUЙ В epl!y.l.llt), ОСНОnННJlОЙ на ДЕншых эксuери-
Ml'IHa' uонереЧllые Сl'ЧСIIIIН СТСРiЮIН, IIJIUские до дсформации, оста.
юrся П.10СIШl\lll после деф,)рмаЩНJ, нерСl\lсщансь uоступаТСЛI->НО IIДОДЬ
оси сrержня. Нз этurо С:Jсдуеl, 'НО вс,е ВОJlOlша aJICMeHTa ДJШНОЙ l уд-
J1ИIIНЮТСН [Ш O,..l,HY И ту же ВСJШЧИНУ l И их отн\)сительные Уi..l.ЛИНСНIlЯ
1:. одинаковы:
ы
.. == l:::t::: COBst. (4.2)
Физи ческая сторона рассмаТРIlВНРМОЙ i'lадачи ()[) P('}IE'J) нРтСя a(a.и
НО.Ц, rУliД, I3I.Iра;l\alОЩJШ линсйную ааlНlСИМОСТЬ :..tСФОР\I;Щllii О] Iia
прнжеШIИ
а
== Е ' ИЛН а == Е€., (4.:1)
rце Е 1\О:)ффИЦИСНТ IIРU110рJЩUIIUЛЫJOсrи, I1а;lывае;\I1,[() MOdtI.If'M
Ijпруеости nри растJiженuu U.Щ, .HOJ1.j.IP.11 IO,l;>a. ь; 1\\1(-"1 рН.IМСрIIlН;! i
р /r""" 2:7/. П I р
T . t 1- .
L./"" I /'
'1 II 'I I
lr ' IТmJ
LiJ.i ! i:; ;clj !.l: шJ @
irr
Ш О }
tp
/ ///'
""'f" ..:
I
I б:;
I
"
р
Pllt', fil
1'111. fj
наПрНЖСIll1Н (п , Tlc.lt l ..r/M.1t 2 11 Т. ;с) 11 НIIШlеl'СН О;\1I011 113 фll;-Ш'l t:h:П
IЮIIСТi:ШТ MaTep1lU:La (С;\I. табл. 12): 'ЧlIтыван, что Е :::::;: cUrl t, а COfJ!aCIIU
(4.2), (4.: ) 11 а == Et- == С1>пst, Н::\ ( .I) IIНХl!ДЮI
N
а == F . (4/1)
140
II ри раСТШI';СНlIl1 <J IЮЛ()fIШТСЛЬПО, при сжатпи ОТРlщате.'lЫIO. Фор
му:ш (/1.<'1) сщншС'длива ДМI сечении, ДОСЛllОЧНО уда;lСIllIЫХ ОТ lCCT
НрIIJl()jI\еНИН соtРЕ'ДUТО'JеШllalХ наrРУ;ЮI:. Вб.1ИЗИ ПРl1JIuжешш Harpy
ЗUК Юfееr MCCfO бо.'IlЧ: С.JlU;КIIЫЙ ;-НШОII распреде.пепин ш.шрЮI\ениЙ.
Llpf1 опрр;tе,jJСШIИ lIаIIрЮЮ: lшii при растншешlИ t1 сжатии, как
и ЩШ ;tpyrl1x [нщах t(,ф()рШЩl1ii, lIеuБХОДlJ:\1O ПОJlьэunаrься вытеЮIЮ
Щll}l \ ;H\f. IICpl1.\IellT(j IIU:ЮiНеНIIС\l, IIOС}JJЦlШ 1Н1J13аШ16 пр li It lf u. п а
С е It fj е Il а н а: если тело IЩС!Jужаt:тсл статиЧflсни "'КfIU6аЛf:ШnIl0Й
(;иСПU'.ItОй си.,{, т. е. тaKu.HU сила.МIi, у l;отОf-JЫХ ела61lЫй во;тор и елав
ный JIIО.lIеJlln одинаковы, и при all10. e область пр"цожсниJt 'Ш?f-Jуаоп
не6елUlЩ по сравнению с раа,;\Iера,лtи тела, то в сеЧf1Щ.чх, дuстатО'ЧI-tО
удаленны.с от .мест приЛОJlсен иЯ сил, на п p.'IJlCell ил .АЩ :/0 и!16 UСЮn от
способа /tfl?ружеflия.
Этот ПРI1НЦUП lОжно IIрОИJIJlJuстрироnать 1JpIlMelJU. I прн:южения
-НШlJвалеlIТIIЫХ наrру.-юк, ПРIIВ(';tеНIIЫМ на рис. 62. ();Щll 11 тот же
стерiКUШ-" ааl\рСШlенный перхш1М I\ОНЦШI, uаrрушастС'н 11<1 еU(jБОДIIОМ
Конце ста ш чеСIШ :-ШВllпа.1еНТНЫl\1И наrРУ;Ша Ш, ра13I1UДGЙt:ТН:' ЮЩllе
ЮJТорых uыражаютсн nС,j1ИЧIШОЙ вектора Р. (1сс.:JСДОВШIllН lЮl,U.!ЫlН1ЮТ,
чтu lIаIlрнжеНIIЯ в сечении, достаточнu удаленном от MVC'I ,) ЩJlJ.l()j!;СIl11Н
наrРУ31Ш, l/ранти'lССКН окаJываютсл ВО всех трех сл)'чанх lЩIIllШ,U'
UblMII.
ОТlll)СlпеЛЫlан ДСфUjшащlН uпределнеrсн 'Н.'рС3 ПРОЦUJJЫlуlO СНJlУ
I1а UCHOBUllll и (4. s) и (4.1) следующеЙ ФU1-ШУJlоir:
N
€==
EF
(4.5)
а ПО.1нал деформация стерi1\IIЛ длиной l длн Оi__I.Нородноrо штерl1ала
(Е == CUHst) при одинаковой по ltлипе С!lле N фО{\.\lулоii:
Nl
!J.l == с.l == Е//
(4.u)
Фор,\lула (4.6) выражает аапОIl l'у/.а дл.Ч, a6co.lIuтllblX удЛll1--leflUЙ.
ПрОП:1ведеlше ЕР 13 :!lIамеllате.lе фор.\IУ.11Ы Ha:H:'IIID.CIC}j }f(f'Сfпl.остью
nО!lсреЧIlО<'О сечеНU.'1 CIiU'pJIUt.'l npl/ Рllст.'и!(Р/,lIl, (C,I/(lJ}l/f/ll) 11 l1 юет
ПР
pUJM8!тO('TI- l:I1:1bl, ;t неЛII'lIша С;::::: {""""
IIU,\ЫIшсТt'1I д t'U:U; ,U/lI,I(J CI/l/ /1)11 IЩ I/pll р(/("
IrI,'l)/({llllll (CJiCillllllll), се РU;Ш('РНОСТI>
сила, Дl'.-Н\I\!I(1Н на Д,jllШУ.
В ТО\I СЛУ'iае. Iшrда щюдо.1h!lан Cll.la
11 ПОIlере'шое сеЧЕ)l!lIе стrржнн по ДЛИНЕ'
не ПUСТОННIIЫ (рис. 63), IЮJlIIое удлинеНlIе
стержня ОIIРЕ)деJIяетсн по фUр IУJIе
1
5 N (z)
Ы -== ЕР (z) c[z.
о
[>аСТНII';('II!Ю 11 CiI\aTIIE' СОПрОВОiТ\i ЮОТСН rаЮI-;е 11 H_'HC'Il1IeJ\1 lJ(JIIC-
PC'llIIJX ра.щеРОIJ стсржня (pIlC. (Ч, а, 6). А 6солютные 1l0uереЧ}lыr:
дефор.наl{/Щ СТСрiIШН uпр{'; елнютсн формулаШI
Да =:0 (11 - - а;
@
.J
( .7)
J 'нс. 6:1
дЬ == b 1 Ь.
tH
отпосuтслыtеe поперечные дефор.мации (при растяжении отрпца
re.1buwe, а ври сшаТIIII пшIошителыlе)) определнютсн формулой
, Да дЬ
Е ==а' ==Ь'
Между относительной попоречной и ОТНОСIIТОЛhНОU продольной
дефОР lаЦllНШI IIрИ простом растяшении и сжатии в врrдслах I1pIIMeHII
1Ости 3,ШОII<.I ('уна СУЩРСТl ует пuстоншlOС UТllОlllСJIIЮ, аБСOJJlOПJIJИ
всличина HOTuporo назьшастся
1iоэrfiфUl(uеllто.\t JJ z,.aCCOJla 11
об03I1ачаетсн БУI\lЮЙ I.L
i= + .
17I.
(4.8)
а о hu:)ффвциеIIТ lIУ<.Iссоиа
Рнс. 64 бсзраЗJ\1срнан ВО.ll1чипа 11 для
верх И,ЮТРОПIlЫХ матерпалов
(СМ. таi)л. 1 ) ЛРЖIIТ U предl'.JC.lХ u (),5 (для прuБЮI БШl3КU I\ нулю;
ЦЛЯ каучука БJ1II3КО к 0,5. ДМI CTaJIII t 0,3).
Учитывая, что 8 и 8' BCCl'Aa имеют НРUПIВОПОJIU,ШIЫ(. dIlaJШ, по
лучим
, (j
Е == E == Е .
(4.9)
При расчете стержнеЙ, рабuтающих на растяжение ИЮf сжатие,
условие ПрОЧНОСТII CJH'AyeT аШШСЫВа1I) для ОIlПСIIО;>(1 сеЧ('НIlЯ, Iюторое
харюперизуf'ТСЯ MahellMaJlbJIbl 1 значенисм NШ:l Х lIa .lIlюре оСевых СШJ
N
,c'1 1
аmах F L (j >
( 4.10)
rде [crj допускаемое напряженно на растяжение 10+ I (прн расчеl е
на раСТИЖРНIIО) ШlИ ДОПУСКdомuе напряжение на статиl' 1 O I (при pac
чете на сжатие).
По формуле (4.10) MoryT быть решоны аадаrш ТрРХ ТlIIЮН' Ilо,'l,бор
ра:З lеров попереЧIlоrо Сt!чеllИЯ стержни; ПfJовеРI\а IJpO'III0CТl1; онредо-
леuие допускаемuй наrрузки.
В некоторых случанх стержни раССЧlIтыоаЮJ Ilехu;щ 113 .'IСJIО6U.ч
.нсест1исти
r N (z)
!1l == J Е// (z) dz <: l.1l].
(4.11 )
l'де t1l И:JмеНСIllIе размеров дотапи; [L\ll ДОПУС1\flf'мая величи-
на измеНОНl1Я разМОрОВ.
Расчет И:J УС;ЮВlШ жесткости всеrда ДОЛЖСI\ бы ri> ЦОllOJIIIен расче-
том на ПРОЧIIОСТI,. Ес.'Ш ОI{атется, что УСЛОВIIС ЩЮЧllurТII не удовлет-
воряетен, то paJMOpw стержня ДОШ-КНЫ быть взнты ВСХО;.!.Н И условия
ПРОЧIIОСТИ.
142
26. Испытаппс матерпалов на раСl щнснпе D сжатие
ИСIIЫТ<:lIше Ш\ раСТНШСflие. ОСНОВНЫМ IIIЩОМ исслсдованпя Mcxa
RИЧСGЮIХ C'.BuikTH материалов нвляетсн испытание на раСТЮI,РШJе. Оно
прпl3u:tI1Т('Н 1/<.1 спеЦIIПЛhНЫХ IIспытаТСЛhНЫХ l\!1ШlИlIaХ, со:щаlOЩИХ по
СТРПl I1I1() BO:lprjC 1'<.IЮЩУIO наrру.Шу на испыl ы ваемып обра:н>ц 11 (}сущр
CTB'II!IOIJtIIX В IIPOltPCCi' JJ<.Irруж('нии ррrистрацшо величины Дf"ЙСТJ3УЮ
Щf'ii IНI \,БРi:I:{ец СIIЛЫ И pro JIf>IIюрмнUlШ.
IJdЩt' Bcpru IIрl1мС'нают Цl1JI11Jщр"чеСЮJС обра:нJ.Ы (рис. 05, 61),
а при испыrаНIIИ JIИСТUl:!оrо M<.IH_'[HlaJl<.l ПЛUСf\i1С uбрэ:щы (p 1C. 65, 6).
ДШI [t1I.'1I1 ,цр IРIРСН:И Х обра цов выдержи-
вают 011 Р('ДСJIСlIIюе соотношение l\Н'ЖДУ
р асч('ТlJO 11 дли ноЙ o paaиa [о и дп al\lf'TpO]\1
оfi(JПЗЩl d(). Обычно [и == 10 а о (ДJlllllIlыli
обра.!(>Jt). реже lo 5а о (НОрОТlшil обранеu).
"!l1ТЫfННI, что диаметр а о сннаан
с ПJ]() Щ1:IД I 10 ССЧСIlIIЯ образца Fo форму.
лоii
в качестве основных обра3ЦОR при IIСПЫТНIIПII па распт,р(JИ
ПРllыен11 IOт цилиндрические 06раацы с jlIIUMl'TpOM а о == 10 Jlt.M, pllC
четной 1.JIIIIJUii l() == 100 .М.И I1 'о == 5/) "Н.Н. ДОНУС-Нllетсн IIplt:\Jl'B НIH'
и ДРуrllХ ПРОIЮРНИ()Н3JIЫIЫХ
оuрuзцов, В \,ОТОРЫХ вы-
держаны СООТНОШСIШЯ pa;JMC-
pUI:! в соответствии с фор-
МУЛОЙ (-1.12).
Д иа?ра.МJна растяжения.
При испытанпи l\1юериала на
растяжение современные Ma
шины позволяют автоматиче-
ски получить заПJIсанный в
определенном масштабе rрафии
:зависимuсти дсформации об-
L1l разца от наrрУ3I\И, или тан
lIаRываемую DurJ['paJHMY растя-
жения. Типичный впд диаr-
раммы растяженин в I\ООРДП-
натах р /).[ ДМI малоуrле.
родистой стаЛJil ПРИВf'ден на
рис. 66.
Па диаrрамме имеется ряд харaIперllЫХ участиuв и точсн, соот-
ветствующих различным стадиям деформирования образца.
V 4 Ji'0 V .
d o == == 1,13 Fo.
СВЯЗЬ м('ж!у расчетной ДЛИНОЙ [о и Шl0-
щадыо lI()пrречноrо ссчrНШI обра:lItа {1'о
МОiЮIО ВJ,Jrа:шть для ДЛIшноrо обра;ща
зависи I 0("'1'1.10
[о == 11,3 V F;,.
ДЛЯ короп\оrо
[о == 5,65 VF .
р
[
о
tJ!;
L1L'
tJ!!l n
Рис. 66
L
а
б ' :
Рис. 05
(4.12)
143
Точна А хараЮС'РII,JУ('l наибольшую (предсльную) паrрузку Р t
.. пц
до кото рuи соо:нодастс 11 :111 НС l'r нан ааВИСllМОСТЬ между паrрузноii И
УДЛ([lIСIllf(' 1 оGра.ща; Т()Ч(,(l /1 СUОТJI(пствует наllбольшей llаrj)УЗI\е Р ,
.. ,. уп
Прl1 I\O'I'OPU 11 uopaJCI СОХР'-III11РТ j'I1j>j'rlle СВОilства, т. е. npll разrруан:е
еще Ш' 11 аl)Лl()j аl'ТСН осте, 1'()ЧIIaН ДСфОРl\НЩШI точна С COOlllCTClllYC'l
lIаrру:ше 1\" IIJIII I\010poij uбрааен ДС'фОрl\lпруется без LЮ'Jрастаl!lfЯ
lIаrРУ31Ш, И:II1. 1\С:Ш rOllopHT, материал начинает «Т('Чь», оGразуя lIа
днаrраl\ll\Iе тю, lIазывпемуlO площадJ;У тn;у'Ч('сти сп.
I [осле стаi(fIИ текучести материал снова прпобре-
тает способность унеJJИчиuать сопротивление даю)-
Jl( iiIIIеЙ деформации. Точна Е соотпеТСl вуе1 Мal,-
С!lыа.1Ыlоi[ (предельной) HarpY3I{e Р тах' llOсле ЕО-
тороЙ начинается местное сужение обра:-ща в виде
JЛеЙIШ (рис. 67), в результате чrrо происходит па-
депие lIаrрузки. Точка F CO'<JTBeTCTByeT uаrРУ3ШJ Р к' при кото-
рой образец разрушается.
JIользуясь УI{азаНIlЫМII харalперПblМИ lIаrРУЗI{аМIf, В3НТЫJ\1И ИЗ
ДlIaI'IНIl\1ИЫ раСТШI{С'IШЯ, и зная площаДl, ССЧСIШЯ IIcnblTyeMoro образца
Р(), онредеJlЯЮТ ОСllОlшые харюпеРIlСТIIIШ ПРОЧНОСТII матерпа.lа:
[ J '
..... ............
Рис. 67
р Пi\
Она ==--= т 17реде,'!, пpппoplfиOl/a.lbHocтU;
о
l' 'П
Оуп == ""F; fI рсIJе.1 уп рУ80спш;
Р т
от == 1 :1 реде.'!, 1llе1'iучест и;
( ()
РШ<I\
ОВ == 1 ! I/pcJe.'t ПроЧ1tостu, или вре.НС/llте ('OпpJт:l6.1e1tUe;
i()
Р н
АН =-= 1 ' lIап ряжение G . tO.Me1tт роарыва.
( о
. Поскольку при расттн:ешJИ сечеlJlЮ ОUрii;.ща непрерывно мсняетсп,
особенно в период наrРУiНепин, харЮ{ТСрl1ауемыЙ У'JaСПЮ:\f диаrраммы
DEF, знаЧСНI1Я оп 11 ок Ш\IеlO'f доетаl0ЧВО УСЛОIЗНЬ!lJ XapaI,TCp. Oco
бенно УСЛОПllЫ:'l НП.lнется напряжение Ок' '1'Ю\: нан ПН'llllНШ с IIнrРУЗRИ
Ртах происходит образование щей,,'u и в l\ЮМ('IJТ рR рЫПr) CC'IClllIe обра:1-
ца в шсiiI\е F ш ОIшзывастся существеНIlО ыеlIЫllС паЧ:J:fЫlOii ПZ10щаЮ J
сечения обра:ща Р п .
ДЛЯ l\Iатсриалов, диаrрамма растяшеН!lН l\OTUpblX не J1 IeeT ре:то
выраженноil ШIQщадки текучестн. прсдел теНУ'I?СПI ус лuвно опреде
лиют I,al{ напряженне, при нотором остатuчная Щ'фОРl\1lЩIJЯ COCTaB
ляет вел li ЧIШУ, устаНОlЗлеНIlУlO rОСТЩI ПЛIl ТРХ 111] '1('('I\IJ МI1 УСJJОIJI!НМП.
по rOCTy llt!17 () 1 эта величина оrтаТОЧl/ОI1 дефОРМUltllи состаUJlяет
0,2% и:,\lСРС/llJOЙ длпны образца а условный преuел те':у'Чести ОТ
обозначастся 00 2.
УЧlJтывая, TO практпчески трудно устапоппТl, начало отклонения
от aKo"a ПрОПОрl IJO"а,'JhПОСТИ и начало ПОЯВЛСIШН первых остаточных
деформаЦlIll, пводнт Тal\;IЮ попнтиЕ' УСЛОВIlоrо прсдела ПРОПОРЦllональ-
ПОСТ11 II YC.1JOBHUrO llредела )'пруrости.
144
Под условuым предело.н пропОРЦUОllалыюстu понимают паимеlJЬ-
шее напряжение, при I\ОТОРО.м ОП{ЛОIН?l1ие от линсЙноЙ зависимости
МСiНДУ напряженIН'М 11 ДРфОРМClциrii ДОСТJ1l'Ш.'Т НОI\ОТОрОЙ зндаllIlOi,
величины (порядна 0,002%).
ПЩ УСЛ(J811Ы,М пределом упру?осп и ПОIшмают IIШiмеНLШОI:; напри
жешн.', при «оторам остаточная Дf:'ФОРМUЦIIН JlOCTIIraeT заданноЙ 13(\пи-
чины (обычно 0,001 % O,()5 o). ТСJIовныii прrдеJf упруruсти отме-
чаетсн ИПДf'I{СОМ, соответствующим RадаlJНОЙ ВСJШЧlше ОСТНТОЧIlоii
дефОРЫНЦIШ, НRЩJI1МРР 00,001 11 00,05'
При испытании u6ра:щuв па раС1шшчше определяют т анше харак-
теристш и плаСТIIЧIЮСТ11 1 н которым ОТНОС1l1СН отltосите.'lЫtое уд.лu-
не1/ие
0== Ы() 100, %
'о
11 отllисшпельное суж:е//uе р
.1, == ДF о 100 01
'f 11" , 10,
О
";;:J
rде
ДF о == Fo Fт!n.
1\роме УI\азаШIЫХ выте
хар,штеРIJСТlШ мехаШIчеСЮIХ
свойств материа:lа (ПРОЧIIОСТИ 1I
плаСТIIчнuети), данные о J,ОТОрых
для раJJllIЧJlЫХ IIlатсриалов при-'
ведены в 1I рп.'J ошеШ1Jl 1, опре-
Деляютсн еще ()нерrеТllчесюю ха.
раl\терИСТllIOI ма1српаJlа. ОI';RЗЫ-
вастся, что Дllаrр[шм растя
;невин дает информаЦ\JЮ 11 об :>ТJlХ ('}'О CIJOiic'l вах. Тон, ('е площ а l1. h
хаР[НПСРllауrт работу, ЗRтраЧРIIIIУЮ Ila раСТНЖСIIIIС обра;ща. Ра-
бота. ; атраЧСlluан на раСТЯШС'НIIС обраdца до Д('ФОl'ыаЦIllI 1..1 (puc. 68),
равна
N
О А d,1 ,
.. J 4L .
р НС. (j8
Л I 1'1
АI == (Р + dP) dl, .\ Рdл,
о о
что соответствует площади OABCD М N Дllаrрамцы, а работа, затра
чеlIпая па разрыв обра:ща, определяется площадыо всей диаrраммы
ОА IJCDEFG.
R пределах упруrОСТII работа дефор.«ацuu выражается площадью
заштрпхованноrо треуrольшша (рис. 69, а) 11 при удлинении образца
I1l и Соответствующей ему силе Р равпа
РЫ
А уп == Т,
а уделыlяя работа дефор. lацuu равиа
Ауп Р!Н O'
а уп :::: v""'"'" == 2F 1 == ""2
{) о
14::>
и выражается Площадью ::!аШТрlIховаппоrо треуrОJ!ЬНlша диаrраМl\fЫ
в I{оордипатах O B (рис. (N, 6).
ДUllzра.lt,IЩ IIGlIрJ/жениii. ПОСIЮ.'1hНу диаrраМl\rа раСТНЖСВIIЯ xa
РЮПСIНI,JУ( Т 110 ТОJIЫЮ СВUЙСТВа l\fС'таШlа, IO и pa.JMt'pr.l oGpHrlI3, то ее
прнннто lюреСТрlШШ1ТЬ n ОТlIOСИТf>ЛhНЫХ Ю-ЮрДИllзтах a B. Та"ая
диаrрн.М\f,t, IIостроеllнан IРl ОСllоваlШИ ДИёll раl\ШЫ paCTHi-RРIШЯ (pJlc. f)6)
И на;jЫВс1е шн диа?ра,lt.ной напряжений. IIрf>дстаВ:IРпа на рпс. 70.
На ::ноЙ ДllаrраммЕ' ТUЧIШ О, а, Ь, с, d, е f соответстнуют точнам О, А,
Н, С, D, Е, Р перПU'tllПU дllа,'ра.lt.иы Pf]('IlI"J/,'H/J>/ (jJИС. 66).
f
е ,.,./ I
___ I
j' I
r: !!//- f
11
II
1 I
I I
k g
б Е:
б
о
а о
Рис. 69 РПС. 70
Из диаrраммы напряжсний (рис. 70) ПlIДflО, QTO
а
tg а. == == Н.
€
Т. е. lIIОDУЛЬ YТlpyrocrIl при раСТЯII\С'Нlllf ЧllеJIРIII!О равС'н ТllнrС'псу yrJJ3
нанлопа ПрЯМОЛIIllсiiноrо участиа ДИD.rраш,1Ы IIШ! pтf\('JllIii к оси
абсцисс. J3 этuм rеометрпчеСЮlll смысл !\ЮДУJJ fI Yl/p TOCTlI при
растшнепии.
Заметим, что нисхоЛ,нrЦИЙ учаСТОI{ е! ДIlаl'рамиы напрнжеНIIЙ
(рис. 70) носи r условный характер из за знаЧlIте.'} 1>1101'0 ра.1JfИЧИЯ
между сечением IIIrirЮI и первоuачалыюй площалы() ССЧС'f\Иfl обрааца
б,
Х/7См
8000
б,
х /lc11
с(
о 0,002 F:
PIIL. 7l.
6000
2000
о
G
Рис.
РО, на которую делят соответствующие усилия, В;Н1Тые И. диаrрю.IМЫ
растяшснпЙ ДJlН получения ордипат Дllаrраl\lI\1Ы напряжений на
участие ef.
Прпмерный ВIIД диаrраМ IЫ папряженпй Л,JIЯ различных материа-
лов ПРШЗСДСll на рис. 71. I-\рпвые 1, 2,3,4 соответt:l'вепно характери-
146
ауlOТ мехапичеСlше cBoi'1cTBa БРОIl' Ы (ав == 2470 кF/с.лt 2 ; О == 36% )'.
уr.'lерОДl1стоii ста:ш (тл == 3i:>80 III'1с.и 2 . о == ав%); шшеJlе130U стали
(ав == 7150 Kr/r:. t2, О ,,= 51 o); марrаПЦUllИСТОЙ CTaJJI1 (он == 9160 h.r/C.At 2 ;
0==30%).
Дию'раl\1ма lIапрнжеllllЯ для чу! уна, }Jl!JJН1Uщаяся ТИШI'ШОЙ для
хруПI оru материала, ЩНlIН:'дена 113 рис. 72.
ЕСЛll UТIluсиrь Y('lIJlIIH, дсi:iеТВУЮЩI1(' lIа образец в f\аждыii момент
врсмени наrрУШt'IIl!Н, f\ Ilcrllllllo Iy ;:;нач('пиlO ПОIlсреЧНОI'О сечеIlНН
н сооrвеТСТВУЮЩlli1 l\1U:\It!IП ЩН'l\1t!ШI, [о МЫ IlUЛУЧИl\l ()НIL, {т.н.ну истин
Itых ltaltpJtJ/cel/LlU (рвс. 7(), I1УIШТl1Рllан JIlIllИЯ).
p
ф
Рис 73
РIll i.J
Испытание lIa Cif\arllc. l1СIIытаНIIе i\Ja1( pI1U.'1UB на С hUПlе П!JOI1.
водится на СIНЩIlН.1 f.IIЫХ lIpeccax I1J1I1 Уllипсрса:Jj,JJЫХ испытательных
маllншах. ДЛИ НСПЫТННIIН l1аrОТОВJШЮТСН оGра.iЦЫ в II1ЩР IIИЛIIIЩРОВ
неБОЛЬШОll высоты (uбычно высота СОСТ3В.1нет от ОДНOl'О Дl) трол диа
мРтров) ШlИ l убllf\ОВ. llpIl нсны'! аШIII ua сжатие треНIIС. ВО311111';D.ющее
между С ЮI:.\lаIOЩIl:\11I lIJIIIПШJl IIспытаТСЛЫlоii l\lalllllIlbI 11 10рна?1lI об
р<ыца, 01\a3blHi:lCT су ществеНllое ван ЯlllIе JI а pcsy :II,'J аты IIСlJытания
и характер раJрушеllllН lIСПЫТУ('l\Iоrо обра.ща.
При cmaflfll ЦlIJIIIIЩРlIчсскоrо uбра.Щi:l IJ, l\li:lJIlJуrJIР!ЮЩ1СТUЙ стаЛll
послrДНlJii IIр!IIIIIМПf>Т БОЧl\ооБра:шуlO Ф()РМУ (рис. 7Э). Jl.llaI'paMM<1 СШа
1ИН, l.lLJ.ly'It!III1.lJj . JH .IТO'O l\1")1('pI13J!a, IJf)JIBC'J.eHi:I Ila рнс. 74.
Рис. 71j
е
а
р I ....
,/
!
PIIC. 73
На рис. 7fJ, а IIон:аНlll хараКТ('р ра.!РУШСIIIIН 11(JII СI!,JТШI оБРl1:щи
ИiJ камня аРIl наJШЧИИ сил трешlН между 1I:lllТаШJ l\IШlll!llЫ 11 тирнаМI1
оБР( Аца. При УМРllьшеШ1I1 сил трения путем lIaHccellllH на торны CJIOJ!
парафина хараlпер разрушuния TOl'U п c ибра,ща l\ЮlI\ет быть ПРОll.'1.1Ю
стрирован рпс. 75, 6.
I'иt.:, 7
б,кrjсм?
3000
../"
о
o.2 Ц:'4 Ц 72
Рн..:, 77
147
ВIЦ pa.!pYI!ICIIHOI'O Прll Сil,l1ТIШ 'IyrYlIllOrO обра.ща шнiазап па
рllС. 7(1, U С()()!'I!I'I'\'I'ВУЮЩШI Дl1аrрюr l(j С,Ю:IТllН 11<1 pIIC. 77.
ДlIаl'ра 1.\I[J: (',I{1\I'IlН IIplI ИСIIЫf,Шl1l1 I\YUZIl\i1 ,Щ)(]llеСI1!lbI пока;lаllЫ
11,\ рllС. 7 (l\fНIВ;Ш 1 Врl1 с,шнш! LЦUJIL ВОJlОют, l';рШНШ :! вр!\
еЖ<llllll llOll(;(J('1\ IЮJ!Оl';ОIl).
27. I\.()I1Ц ЩТР:ЩИН IНlIlРШI'; Рlшii
[(OltlfU,т/)([I/U" иапР"t.!/СI!/щJi Ш'СТIIUС lIOВЫIllСШlе напряшеНl1ii
I! ).Il',\ll'HTi1X ЮJ!н'трУIЩI1Й, uБУС.1UП:IСНIIОС- рС,НШl\11I ПСРСХl1J аl\1И в ПОllС
rС\lШЫХ СUЧСlllIНХ СПНШIIllЫ:\Ш С наJШ'II1(),\10ТI3СРСТIJЙ, ОLlКРУШCli, I\aHa
Id
N
N
а
р НС. 7!)
._ /:' "'::.,1 v'V ."t::I
;;"I C ., "'.
5E! ; ;"J ';'
j Jl !!! .
I
I
0,2
I
[;8
f/d
o,'f
[\5'
РИС. 80
ПИК, падре,юн lУ Т. П., назыпаемых KO/II/f/I1Uj}(UпOpa,lfll. На рис. 7rJ 1IUI..a
з,\.111>1 l'рi:\фШШ распределеllllН наЩНl,I\(!lшli n СС'I('IIIШ рас fнrllваеr.Юll
пuлuсы, oc:[aO,TICIllIOM KpyrJIbl.\l urnCpCIlJ(\M (РИС. 7а. а) н IЮЛУI\рУI'ЛЫМИ
ВЫ!';РУiLШU;\Ш (РIlС. 7!}, 6).
Степснь I,UllцснтраЦIlIl паПРЮ1\Сllllli харакrСРIIЭУСТСН Та!, 1Iс.\ !bIUaC
\I!.I.\l / o.7:fijJulfиelllпo.lt lю/щетпР(lIfuи
атЬ х
\J. =-=- (4.13)
а[(
I';\е cr шах l\НШСII Ii1,j[Ыlое ШШрНfН: llJlО U '1l\ Te 1,011цrIIl Р,ЩIlIl, а 1l
IJO llШаЛЫlOО шшрл.l\Сllllе, 0!Iреде.1JЯС.\100 110 фОfШУ.1С
N
а :::::;: (4.1,1)
н [1'111 i n
<',. O N 1I0pMa II,JlaH сила в ОСJIаБЛСНIlОМ сеЧСНИII, P rnfn IJ:LUщаДh
)( "I:tf).lCIl!IOI'U ('.Р'It!ШIН, на:!ываС 1С\Il площаDыо /IC/п1t1J,.
Irllor; a Iro\lllll<1 IbI[QC !Ii:\lIрн,кеllИС OHpU;I,PJlНIOT ТЮ фОр\lУ.[(
N
ан == !?бр ,
1';1,0 Р(ор 1I.10ЩсЦf, СШIO'пшоrо сечеJlИН (без учста осааблсшш се l1аЛll
Чllем концеНТратора), 1I.'IIl плоu!пдь брутто.
При КUlIЦUlIrрurорuх, :JШШ;Ш,lЮЩIIХ llС3IJUЧIIтеJIЫIУЮ часrь сечеНllЯ
1lt8
(<'1.15)
(ШШрll:\1ер, Врll Ы:[ЫX отверстиях), 1I0:\ШПllЛЫlые 11 ап рЮIН.' 11 11 я , ()пр
ilСJlНР:\lШ:' 11() формулам (/..1 '1) 11 (4.15), IJраl\:Тll']('С1\l1 будут ОДIIIJLII,('ВЫШ1
11Рl1 UЩJt!ДСJJСIIIШ Ма!,СII1\lа:lЫIЫХ наIlрНЖР-
111111 Jj зоне конщ'втратоvа раСЧРТIIЫМ IIYTf>I\1
I{LJ.I{)(Iшциеllf 1{\JIЩСIIТ[JсЩИИ, выtIl1СШ IIНЫЙ IЮ
(/1.1 З), нааыlННПСН тРUI){:тUЧ/СJ,U. t J,o.нj4iulfU-
еюпо...." "O/llft'тпpalfиu, llаПР\IЛIСР, I:I случас 1\13-
лоrо круrлоrо UТfЗРI)('ТIIН (pIIC. 7!), а) а == ;1, ;1
u СЛ)l\ас rюлуч'уr:lhJХ BЫ:P(-' 'Hт (plle. 7!J. 6) а
;:::: 2, 13 цvЙСТШIТ :t!.l1 )CТlI ко;)фqШЩJ('IJТ KOJlI(t'l\'
траЦIlИ реаJIыIхx cJJll'MCHTOn КUНСТРУ',IЩЙ, ad) /'/I.
т'lfJНЫЙ "оэффuцutшn J;OHIf/'llтpal{UU k, ОПР('iН -
JIНI'МЫЙ КСllеРИМ('lIлtJIыlU, ОIl:ааывается l\H'l\h
ше rИОР lИческurо (,../ > k). Обычно расчеты lIа
ЩЮЧlюr-Тh е УЧРТЩI Н:ОllцеIlТfJ<.IЦI1И напряжеl\иi\
прCJВ():J,НТ на UСIIОШШIIИ 311аНИИ веJIИЧИН теоре1 и.
Ч( CI\IIX Ю)JФФIlЦItСНТUВ КUIJЦрнтрации, ::Нlаченин
К()IUРЫХ Д:IЯ случал раСНliнения круrлJ,lХ
стеРtl';IШЙ с рн..ШllЧНОЙ формuЙ концеllтраторuи
IlfJIiIЩ,:.l.еНhJ II, рис. 80 11 ниже.
ВlIД /ЮI!I(СIIТР3 юр" 113ПРН;J\СНllii
IIO.1IYKpyrJlHH ПЫТU'lIШ при uruошешш ее ра;щусз
1> ДИ(lЧСТ;JУ стерifШН
rнлтеJlh при ОТlIт;1( 1lI1l1 ра:\нуса rаДТОJIИ к ДI1U JСТРJ
LТеl.ЩIiЯ
[(срехо,1 по:], прящ,ш уrЛО l
Остра}! \'-о(,ра.IIIНЛ UЫТОЧI';Э
1/,) r<',I/,<I ,lюij f(lnUH
llаРИ:JI\<l Il' I рll'lРСЮlJl
()1B r;('rIlC, нри 0'll01L\('1I1111 HI1<l:\lcTpa ОТВРРСТIIЛ
'{ ДИ1ШU I'р,у СТl'рif.;нн ОТ (1,1 1\0 (),з;з
РIIСК!! ОТ I'С:ЩН lIа 1l0liepXlIoCTII изделия
"IIС.81
0,1
0,5
1 ,()
2.0
о,( 1(-)25
0,1:25
() ')
, J
0,5
/1
N
а
2,0
1,6
1,2
1, I
1,75
1,5:)
1,20
1, I ()
2,0
;щ
2,0
2,5
2,11
1,2 1,4
GuJНЧ> ПUJ1Шdt' ДUННЫО О КО ффllциеllтах IЮНЦt'нтраЦIIИ ПРIIВf'Дl'НЫ
н IIРI1J1ИЖСIIIIИ 2.
ВЫСОI{i1Я КОlll{('!lТрация напряжений особенно Оllасна H;IH Э.lIСМ('II-
т'т КОНСТРУIЩllii. 113I':JТUB:leflllbIX иа хрупких материалов, та!{ юн<
ЩНl ilОСТЮКСIIIШ В :юне кuнцентрации напрпжсниЙ, paBl\hIX ПРt'Д{-';IУ
ЩЮ'lIIOСТII шнеVIН1,1i:l, IJUСЛСДШ1 й Ш:lЧНСТ раsрушатьсн. 13 случне влас-
'[11'11101'0 laT(,pl1<.1J1a I\OНl!PllfpHll!1H IШllртШ'ШIЙ менее ОШIСIIН, пuс-
1.;,IJJhI\,V при ДОСI'II,I,I'!fIIII В 'юне l\опцеlПfJатuра папрнжеппн, раlНЮ1'0
\!!H'; e"\y TP!\V'ICCТl1 ОТ' ПРОН;ЮII;.I.СТ \Iррера('нредеJlение Нill1РНЖ IIII(1
110 CXC:\le, IIOЮ1.lшrllоii IIУI\I{rIljJIIЫШl JШIl1IНI\Ш на рве. 81.
28. Доп Сlше:\1ЫС f1апрншt'ПlIН
Опредl':ШВ MCXa!!11 'Н'СЮIC своЙства м:перl1а,1а путем ПРОRr)(('IJ:IН
,'ООТВР\'СТВУlOщнх IlСII(,JТ:Шllfl образцов, 1I1ОiIШО наЙТlI, I\Нlше llаllРПJl,С
llИЯ fШЛЯЮТСЯ безопа('!lЫ Ш Д:IН работы КОНСТРУКЦИll, Т. е. у еТЮiOВI11"
J /\J
допуспае.мые напrтженuл. О'lеВИДIIO, допускаемое па"рнжrllие должно
быть I\1Сllыне l..>ПаСJJоrо Д:IН ДdНIЮI'О матрриала наllрнжеВIIН, состаВJJНЯ
ш:кuтuруlU ero часть. IIРlIмем
la]
п
(4.1о)
rJte I а I НОН) СIННШОtJ нан РJlЖСllие; а о OIl:lCf' 08 lтIf ряжеНlIС; п
1i.()J prj)ULfuellт аапаса nрочпОС!IlU
Д ЛJL дl'щалеil, U8(!птutJлеНltы,l; иа плаuпUЧJlbl.J: .ioщтеРl1алоti, опаСllbl.л.
IЩllр.<tжеIlUf'.,t следует с'Чшпатt, nре(Jел текучести aIJ == ат, ИЗ хрушшх
вре.иеНllое сопрuтU6ленuе а(\ == а в'
13ыбо р I{U;-fФФII цисвта запаса НРО'lВОСТl1 п, 1l0К33ЫlJающеrо во
СIШЛЬКО pad ДOllyCKae IOC напряжение мсньше uпаснurо, зависит от
СОСТОНВШI Мi:lтrриа.'lа (хрушюе, пластичное), характера приложения
!IrlrРУdlШ (стаПI'lрская, динамическая, llОВТОРllO перемеIII1ая), а также
01 таних оБЩI1Х фактороI3, нак нсоднородность материала, неточность
в аадаllllll I3НСIllIlIIХ llаrрузUl{. llриб.аишешюсть расчетных схем и фор
мул и т. п.
I3С.'ШЧllllа .Ialluca НрОЧllUСТИ :заВИСI1Т танще от Toro, какое папртке-
Iше ЫЫ СЧJJтасм uпа<'/lЫl\J (а т lI.'JIl ан),
Для шrаСТllЧI1ЫХ I\1U1сриалов при статической паl'РУ:3КС, НОl'да
а о :::::: а т ; п:::::: П т '
а т
[а]==п'
т
запас прочпости ПрППИмают равны:\!
П т == 1,1 +- 1,6.
Прll статических наrрузках в случае ХРУШ\IIХ материалов,
коrда со==а в ; n==п ll ,
а н
[а] === .
I/ B
запас llРОЧНОСТU ПрlllIимают равным
п в === 2,5 +- 3,0.
Иноrда и ДЛЯ П.l<1СТИ'IIIЫХ маТСРllалов ДUIIУСI{аrмые напряжения опре
Дt)JIНIOI' 110 ВР(,,\Н II1IOИУ еОПРUТIIU;l(.!IJIIIO, ве:III'Н!I'У IЮТОIЮI'О практи
'lССЮI ОЩЮ,J,СJlIIТЬ Щ)UЩI . Tur;J.il
Св
[;J]=== .
" в
УЧIlТЫВClН, что а т === (0,5 -+- 0,7) ан; I/н:о.= 2,4 + 2Д
н 11 О r:щ дОП '.Cl\l.Il'\1 Ы С 1111 11 РЯi-l';СIШ Я на раСТНiI';СIJ lIе обозначаются
[с+I, а lIа ('il\аllю lа 1 Хрушшt' шпсри[t..'lhI сощютиuляются сжа-
ПIЮ :J,\"IШl', '1l'\1 раСТН/i\СIJIfЮ, 11 ;щи "JlХ lа+1 < Ic ].
п Рll CT<l rll 'l(:('I\I1X Ilш'руаках в СJIУЧdС O,J.llupOДllblX хрупких MaTe
риалов C:H ДY('T Y'lJIll.IBarb !';ОIЩСIП РUЦI1Ю lIаllрЯЖVIlНll 11 расчет вести
пu шшБИ..'fI>ШIIМ мрстным наIIРНiЮ)НlIНМ
а пшх === ас н < [а].
Ориентировочнын ЭIlа'ЮlIИН допускаемых папряжеППll при статических
паrрузках для раз.'IИЧilЫХ матсриалов привсдены в табл. 13.
150
Модули упру.'ости i1 RОЭффИI{IНШl'Ы Пуассона
НЗlIмеН()ВnIlПС \lзтериа.J;\
Чуrун серый белый
Ковкий QyrYIl
УrлеРО,1ИСТ ы-: стали
Леrированныr стали
Медь прокатаппая
Медь холодпотянутая
М{'дь, литы'
Фосфористая бропаа lia-
ТDНПЯ
Латупь х ОJIОJl,ПОТЛEIУТПЯ
Норабст.llclН латунь ката
ннл
Марrапrtопистая БРОШJI1
катаЮIЯ
АЛЮ\1I111"i1 натапый
Алюш, 11 11 1'1111 Я прополока
тя 11 \ ПIJJ
Алю н"iIН)JI(НJ бропаа, ЛII-
ТЫ'
Дюрал Ю\! Jllt 11 ii катаный
Ц IJlIJ\ "а т ,111 J.I ii
Свинсц
JlCA
СТСI{ЛО
fрапи т
И.шrСТlIШ\
Mpa\IOp
ПеСЧ[IIШН
]\Л3ДI{Н
113 rрrНТПТI1
IIЗ И,Ш(!СТIJЛI\fl
IB !\прпича
CeTOII Прll пределе проч-
н ос ТII
100 кТ /cM'l
150 r.T/c",t 2
200 KI' / С ,t 2
Дерево вдоль полокоп
Дерево поперен ПОЛОI{ОIJ
Каучун
т еНСТОJIИ1
fетинакс
J)акеЛIIТ
ВIfСХО IЛИТ (11М -44)
ЦеЛЛУЛОJIД
1()дy '11
У LI!' У rocTY-
li . 10 6.
",,1°/' м 2
1,15 Ц)\J
1,55
2,o 2, 1
2, 1 2,2
1,1
1,:i
0,84
1,13
0,91 O,!) I
1,0
1,1
0,69
0,7
1,05
0,71
0,84
0,17
0,1
0,56
0,4 )
(\,42
() ,;)о
0,18
0,09 O,1
006
().О27:......0.0яl)
().14 в (), 1 f)()
п, H)4 (),214
(),182 (),L:)2
0,1 (),12
('.O()5 ( ',()1
О,()()\ )(\8
(),()6 (i,1
O,1 (),1'
0,02 o,():{
0,o4() O,()4 :2
0,014 0,028
!V{O;IY 11.
Yl1pYI'OC'TIJ
G . 1() 6.
;., I'j( .\12
4,5
8,O 8,l
8,O 8.1
4,0
4,9
4,2
: ,5 ; , 7
4,0
2,o 2,7
4.2
2,7
.:,2
0,70
I \.28 U.:)
2 ')
,
0,055
т а б л и ц а 12
r\ОЗФФИIlиеJIТ
lIуассонз
f1.
(),2;i 0.27
(), 4 (),28
(),25 О,:Ю
О,:Н О,Зq
O,32 0,35
0,32 0,42
0,36
0,35
0,32 0,36
0,27
0,42
0,25
0,16 0, 18
0,47
0,36
0,37
0'33......0.38
151
т 8 () JJ И Н 11 13
()риеIlТИР()R()IШЫС величины ОСIЮПНЫХ Н()ПУСК8f"\IЫХ ШШРНЖСllиii
lIа ра('I ;liI,('JlИС I! с:тl ПJ('
lJаИЧl'В()ВJII!1t" Ja rеРИЗ:l(l
'() 1\:1\ 'l'HII"\( l1lL'"
.IОПУСhас\,ыr НЗllрmНf'Нrtfl. Kl'/ M2
f\;J СН\3Т\1е
ч Y Y!l серыЙ 11 OT.JIllВlНlX
CTacll) ОС [] Ст. 2
t Ta.11, (>1. З
С Tt\JlI) Ст. 3 (в МОСТflХ)
(;13:11) .\'I'JIсро;шстая J\опстру[<ципн
нан (в Шl\Т1J1I10СТIJ()('IIII1I)
('1\1.11, ЛСПlронапнан I\ОНСТРУ1\ЦIIUП-
пзя (в l\ШШllllостроеUIlИ)
:(':tb
Jlат\'пь
l; ро'" <3
Л.'НОМТ1IШЙ
АЛЮ:\!НIlИРПIlЛ бrОIIза
ДюраjlЮ\IИlIИЙ
т Ы"СТО:! 11 т
J"'P т 11 fl 3 I\С
J.>r\I\С.1I1:шров<шная фансrа
Сос НiI IЩОJН) I'ОЛОКОН
СОСII.! lЮIlРРРI\ ВОЛ()КОU
Л 'б B: ( JIb ПОЛОJ<ОJl
Дуб lIоп реI\ IЮЛОI\ОII
I\Н.\:еl!1i<tЯ [{лаJ.J\Н
1\ 11 рп 11 чная IшаДIШ
lj (' I'U il
8lJ 8UU
1100
10:Ю
14!Ю
бi)() 25(Ю
1 О(Ю 4(\()О
11 выше
:)()'\) 12()О
7\ ю 14lJO
(:j()() 12ПО
: юо 800
8(JO 1200
8(Ю 15 )()
:н ю 400
50:) 7nO
4(Ю 500
70 100
Ю 1.)О
iЮ ::3
до 2
1 7
12QJ 1500
! qi)()
1ШО
1400
COO 2500
,()(Ю 40ОО
н выше
3l)() 1200
7(Ю 1400
(:j()() 1200
:;oo 800
8()Q t2oo
8()() 1500
,ЮО 4!Ю
50() 7lЮ
4(Ю 500
1 (l() t20
15 20
1 :ю t50
20 :15
4 4()
6 25
1O 90
fлава 5
I1АIIРЯЖЕIlПОЕ 11 ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
29. Напрлжения в ТОЧRе.
fлаВllые площадки и rлавные lIаllрлжеНИJl
Напряжении являются реаулыатом Dзапмодействия частиц тР,лн,
ПОf1вляющсrося при Ilаrрушешш ero ВПСШШШll силами. Д Йс.1 ВИЮ
НIН llIIIИХ СИЛ, стррмнщихся изменить раСПО.'lОЖСllие частиц TeJI а ИШI
вы,тать их смещение, ПРСIIНТСТВУЮТ возюшаЮЩl1е при а[О!\l В 10т
lIаllрНЖt:IIИИ. ОIlИ оrраlШЧllвают ЭТО смещение НСК()ТОРUЙ малой ВСШI'
'liIIIOЙ. В 0,1НОЙ И Toii же ТОЧI\е напрнжеrшн в ра,тых lIапраВ.'lРШIЯJ(
1\:11\ прютло, будут ра, .;IИЧIIЫШ1 I! то.пыи в о rДСJIf>llblX СJJучанх Harp '
il,\'НШi ОНIl l\lOrYT быть ОДI1IНlI\(JDЫМII.
PaCC Ia rрllоая II11!lрНЖСIllI в ТО'II\О А наrрУШСIIIlОI'О ТР.'1а, (JTIJl'CCII
Il,>ii li ма:IЫИ шюща)J,l\IiМ (рис. 82)) ПрИlIадлеаН1ЩIШ ;\BYl\1 pa:НlЫM СТО-
P\)fIUM СО'lСIIИН 1 1, IIРОВi'N'l1Iюrо чt}рСз аТУ ТUЧКУ, ЛСI'I\О уБС; IIТ!,(' 11,
'11'0 села lIO ' Дf'Itс.ТfНlс:.1 BIIC'I!IIII1X lIаrРУЗОI< плuщаДIШ стремитсн UТОЙНI
O; lla ОТ Щ>УI'uii 11,'111 СU:Ш;Н1I'\,СИ, 1'0 МС'il\ДУ rlll 1И IЮ,llllIl\ают eOOTI3P1'-
CTBCIlIIO РеН: I н rи ваlOЩИВ I1:Ш CiI\l1 маЮIЩJC ItОр.АUlЛЫlые Itаn рл )/{,PlI uЯ (J
ССЛII IIJющ,ЦI\1I СТрС':ШIТСН СДВИНУТЬСЯ одна UТII()('IIТf'J1L1Ю Щ»'I'Оll, '1'1,
В IIIIХ НО,\lII1!:ают ,./1сателыtеe наПр.'lжеllUЯ "t'; СС.ll1 ;:';0 ОДIICl ПJlощадна
СI'Р"\1I!ТСН OToiiTiI ОТ ;{РУI'ОЙ, остапансь СЙ параЛ.ill'.'IhlJOli в IНШ()!\I
11116y,1,I, ПРОII'НЮ:II>[)()М 11 аЩНlIm еllll и , ТО в Т1:.tIШИ lI.lощаДI';С O:' II0BI'C-
\1('11110 ВО:JI!I!I\'lЮТ 11 ш)рма.'1ыlеe (J и l{ас.аН!Jlhllые 't lIаllрНiI\С'ШIЯ, а IIX
P' У;IhТI1РУIОlщ,ii явлН( rен пО.l1lп(' lIаПр.'iЖI'IIIJе р, всктир l';OTopOr()
(',)Вl!ё1Д,Н,''!' с Эl'llМ flliпраП:IСНIIСМ. ПеРСМСЩ III](' II:IОЩRД()К н ЭТU:\1 l'JIУЧЫ'
\1" нет быть r ()l\1еТРllчеСIШ рClЗ'10Н\СIIО на Д13а I(РРf'мещеIШН. В:-\3111\111'1О
\' , а:rеIIПР и С:\ IН1 r.
В оБЩС\1 С.'1У'lар, выдеЛII:\t n OI';PC'CTIIO('TII
11 ,1I'руЖ'J 11110 '.1 TC:le TI)'II\II '-):Н М('llТарlli,lil 06(,('1\1
(j,'( I\ОIIС'ЧI!О H3.:lOro lIара.l:lс.'н rIlIIlРда (jJIIC. 83). lla
уцu.,IОШЮЙ 'ЩСТll rc.'13 LJ.о:тшо быть замсненu
раСtмнтрпваl'моii ,
l\I,\TPplla.1il в ВИН
C'I'O rpallHX ВЛIIНIlIII
СООТВСТСl ВУЮЩIII\III
--......
/
\
Рис 82
РИС. Ю
lIапрЯiНОIIIIНiШ) 11.I!J их состаВЛfIЮЩIIМII (НОРl\1аШ,НЫ:\I11 и RасатеЛЬНЫI\IИ
llаIlРЮШ_'НlI, Ю1И) КЮ{ llОl\а.1апо па РИСУIll\Е .
При изменепии ориентации rраней DЫДСJlеШJOl'О элсыевтарпоrr>
1:.)3
параллелсrшпсда наПрНJI\Е>IIИЯ па ero rрапнх таl\же будут И::lмrняться.
13С8еда МОIlШО HHii 1'11 Таl\УЮ аJJИСllТаlЩЮ a H MeHTa, при КОТОрОЙ в ero
rрtШНХ каса rел ыl ые СОСПШ:I н IOЩИ е 11 ан ряжений будут отс У l'C1 вовать.
Т(' П.:тоща;J,I\И, 110 KOropы не дейс.rnуют кас.атЕ'ЛЬНЫР напряжения,
IlаЗЫВ<lIOТс.и .:fUlIiНЫ.Иl1 пЛ()/Iff}ОJ,ll.ии, !:I нuрмал ы!ы' напрнжЕ'НИЯ на нтих
ПJ\ОЩCl.ДI{dХ JщвНЫ,\tIJ fщпР.' JИ-'('НII-'I.мп, l\loa\llu ДОl\нааТh, ЧТ() n I{а;и
J,оЙ 10'll\e JlюfihlМ обра.-юм lIаl'РУ IШllllOrо rE>JI:I IIСРI'да IIМf'етси но крайней
мере три rлштые B:-iаIlМIIlI IJерllРIIДИl\улнрные IJJJOщаДЮl, т, е. rшо
щадки, в (юторых OTCYTC'I ВУЮl kaeaTCJII--,llblе напрнжения. llапраl3ле
иия, иараллельнwр rлuвным наприжеНI1НМ, наdываются елавны.ми
н.аправленuямu Itll!lpJ JI(PHH()?O состояния в данной ТОЧRе. rлаВlIые
напряжении IIринято обо.шачнть 01' 02, o. , при 9ТОМ полаrаН)1, что
МРЩ.1У ука:заШIЫМИ lIанрнжеНИИМI1 сущеС1вует следующее СОО1110шеllие
(ПОНlIмая ero в аJlI'ебраl1ЧРСI{ОМ СМbJt'ле).
а J :>- С1 2 :>- аз,
Ilапрюнснное состояние, в НОТОрОМ талыш одно И3 rлавпых напрл
шений (любое И3 трех) НС равно нулю а два ДРУПIХ равны НУ:НО, HaJbl
наетсн OaH{)Of'/lblM или линейны."., (рис. 8, . а). ЕС.JШ дна I"Л<.lUIIЫХ напри-
ЖСIШЯ ОfJШЧНЫ ОТ нули, а ОДIIО равно нулю, то такор lIаllрШНСНlIое
СОСТОПIlIIС на:шuuотся двухосным или п.'lOCKUM (рис. 84.6). СлучнЙ Ha
пряжснноrо СОСтоянии, при НОТОрОМ псе три rлавпыЕ' напрнжения OT
ЛИЧIIЫ от НУJlЯ, пазываr'(ти трехосны.м 11.'111 06-ъемным (рис. 84, в).
б,
I
61
а
'
62 I 6;
I
61
б
Рис. 4
Кроме Toro, различают однороаное наПРНЖСШlOе состонние тела,
при котором в l{аждой точке накоrо либо СЕ'ЧЕ'III1Н и всех uараЛJJЕ'ЛI,НЫХ
ему сечений lIапршнепин одип1:tl\ОВЫ. И неОДНОрОДIЮР наНРЯ;l\РllllOе
сос.тояние, при 1\0ТОрОМ в разных rочках JlIuБОI'О сечеНIIН раССМа1 ри-
BaeMoro тела или друrих параJJлеШ.>IIЫХ сму СечеНII й 1I allpHil\( 1111 л
раЗJlIIЧНЫ.
30. Линейное напряженное СОСТОЛIIИ
с JlИНСПНЫМ папряженным СОСТОННIlем МЫ nстрсчаРJ\iСЯ, rлавным
образом, в стержнях, испытывающих раСТШЮ:lIие или сжатие, хотя
неноторые ЭJlементы испытывают линейнuе напрнжеllИР и в стержнях.
подвсрrающихсн изrибу или СJIОЖНОМУ наI'ррl\f>НИЮ.
При раСТНЖСНIIИ стержня (рис. 85, а) !Ю1!lrНlJll>liОt: ll tШ l'НЖСIIие
в площаДI\С F определяется формулой
154
N Р
а==Т==7 8
I\acaTC.1ЫlЫe U311РЯЖСIIИЯ n ;этоЙ площадке рпппы пулю. Б любоЙ
ПЛОЩадке Fa (рис. 85, б), внешнля IIОРЩ1ЛЬ J( I\ОТОРОЙ па обрааует
с IlапраВЛОПIl0:\1 а Уl'ОЛ а, полноо пзнрлщеllпе Р а равно
Л' N
Р а == т == F ('08 а === а ('08 а.
а.
аа === Ра COS а == а cos 2 а; (5.1)
Пормальпые п касательпыс uаПРЯi-Кf'НIlЯ !3 lIлоща:ще Fa будут
. а. 2
't a == Ра 81[] а == :т SIll а,
НормаЛЫlые напряжения аа поло-
аштельны, если они растнrиваЮIll,lIе;
касатсльныс паПрЯiI\енин 't a ПО.'10Ж\f-
тельпы, если 01111 стромятся поверll ть
раСС:\Iатриваемую часть ЭЛNIОПТ11 ОТ/Н)-
сите.IJыIo JlюбоЙ точки, 113ЯТОIl BII три
00, по часовоЙ (TpC;IKe (аа 1] ":(1 1111
рис. 85, 6 полоаШТСJJЬПЫ).
Соrласпо фор.\lулам (5.1) 1]
(5.2)
J
а
{'
р 11 . .<!
рис. 85, а) 't a == о; аа == а, а при
(5.2) "ри а == О (площаДJ\а 1 lIа
1t
а == 2 (п.;тоща:ща J 1) 't(1 == аа == О.
f 1 ЯDпяlOТСЯ rлаI3НЫМП; r:IaDUbJr
Следовательно, площадки
напряжения будут
1
и
а)==а; а 2 ==а з ==0.
При ('Ж11ТИИ а) == а2 == о; аз == а.
!\асаТО.1ы]ые напряжеuия соrласно (5.2) достпrают cBooii наи-
большей величины при а == .::t 45° 11 равны
а
't a тах == 2'
На ОСПОПaIШll (5.1) и (5.2) J10r1\0 БС:ЩТhСЯ, что пормальные
и касательные паПРЯfl\СIШЯ n I1:roща:ще F , ПСРПСНДIшулярноii
R площадке Р(1' т. С. В площаДJ{О, внсшняя НОР:lf(ШЬ R I\ОТОрОЙ опра-
зует уrол === а + 90° с напраВJJСНИО:l1 lIапрлжеНIIЯ а, будут
ар == а cos 2 == а cos 2 (а + 900) === а sin 2 а;
(5.3)
't p == ; sin 2р == sin 2 (а + 90°) == ; sin 2а.
31. Плоское напряжеНllое состояние
(5.4)
При ПЛОС](ОМ lIаIIрНiI\еПlIО l состояНlШ, ноrда на элсмент по ero
двум ВЗllШ\1II0 IIсрuеlJДИКУЛЯРНЬШ l'раШIМ деЙствуют напряжсния
a 1 и а 2 (рис. 86), нормальные и KacaTe:JhHble напряжения, доЙствуlO
щие на площа.1Ке (а), внешняя порма.1Ь к НОТОрОЙ па образует с Ha
155
!Iр:ш.lеНllе!ll паПРЯiI;С!1ПЯ а} уrол а, UIIrrдс.'IНЮТСН СUUТilеТС1Dенпо по
,Iю рму лам
Оа <;j ('О )З -+ а 2 s;п'! а;
(5.5)
== а] а l siIl :а.
"=1) L
(5.6)
На 8111 Х ФО!Щ :I IOI'YT был> IIО,:'УЧl'l1r.\ пыраil\еl1ИЯ для опредслс-
IIIIЯ 1I0\НlНЛЫШХ 11 I\нсаТ,\:II,НЫХ ШШРЯiКClШЙ в llлощаДl\е ( ), перпеп
Дlll\УJIярноii }\ площадке (а), Т. е. n ШIО-
щад}\(', ВIIеПlIl яя нормаль к котороЙ обра
нует yroJI == (900 а) с направлением
а 1:
ш
А
])
61
Р1IС. ы.i
a == а 1 Sil)2 а + а 2 1'052 а;
(5.7)
а] a)
't == sin 2а.
(5.8)
СКЛRДЫВПЯ лепые и прапые части
ураВН('ПIII1 (5}-j) 11 (5.7), нахолш:
а.{ + a -=== а l + а 2 (5.9)
т. С. cy. ,.II() /-lор./ttа.л.ЫIЫ,[ IlПпр.'IJ/(('lIllЙ,
деЙствующих по дву.м B8allMllO I/С/ilU'I1()liltУЛЯРflЫ.н lI.л.ощаdl.а.м, инна-
РUПl1тllа 1/0 отliО lllеllllЮ 11 1I0/,'ЛОIl1/ 9/1111.1: п.л.о//{а rJOh 4 u равна cy.M.Ate
елавliЫХ наПрЯJ1сеI/ИЙ.
1I. (.5.6) 11 (5.8) следует, что 1\31\ 11 при одноосном напрнжеНПОI\1
СОСТОИIllIII, l.ас(unеЛЫtыС lIапря)/(rflUЛ дuстll?ают Illluf)ОJ/Иluей (j(,Лll'ЧU1-lЫ
при а == 1:4.1)°, т. е. по П.l0щаДЮ1:\1, IНШЛОНС'llIIЫ;\1 пuд yrJIOl\l 45" 1\ r.'lan-
ным ПЛОЩiЦI\(I. I, И равны
а 1 Gz
't Ш ;1Х ==
(5.10)
СРПllНIIIЩR (5.6) I! (5.8), IIПХо..I,ШI, что
't,i == 't a .
(5 11)
Jro paucllcrnu lЗыраiI;ПСТ [т/.он nарности };([(;ителыtы:r (l([i/jJ.'IJ/rf'HUll,
I\OTopbIii !\It)шет БЫТh СфОр IУJIllроваll так. если по fiакоЙ .л.uбо lUlощад"е
1l.Heeтr..'l /lР/'О/nОРОI: Iщсате.л.ыlOР. I/апрджсltие, пш по ПfрпеllдиНУ,1.чРIlОй
/. Ilей I/ЛО//{fJ.О!l:е l-lепр р .1tеll1tО будет дейстlJоват , fiасатеЛ/;I/ОС 1Iаl/р.'lэ/а
ItllJ , раl1llOе 1/0 ве.ЩЧllllе u обрат//ое по 8Hah'Y.
ЭI,стрr;:\Ы:IЫIЫI\Ш 311 а чс IIIШ:\I и для нормальных напряжсниЙ нвлfl-
ЮТСfl ВС:IИ'1l1I1Ы rJlаВIIЫХ lIаПРЮНРШIЙ.
На всех IНIICIOllIIbIX ПJlOщаДI\ах нормальпыс напряжения IIМСЮТ
ПрОМ( lI\уrОЧIIЫС МСIIЦУ 0'1 И 0'2 значения.
O; HO 11 то же напрнжеНIIО(' состошше элемснта может быть пред-
СТ<1F!.1еI10 rШllllIЫl\IИ напряжеНlIЯМИ аl и а 2 (ЭЛРМСIIТ А lJCD, рис. 86
и 87, а) I1JIII шшрп;кеllI1ЯМИ в ПЮ\JIОННЫХ площаДJ\ах аа.' 't(X' а,з, 't
(алrМЕ:'lIТЫ abrd lIа р\1С. 86 И 87, 6).
в Teupllll Н<lIIРЯ;l\енноrо сосrОШJllН (JааЛllчают дпе основные за-
дачи.
П р н м а я 3 а Д а ч а. По известным в ТОЧI,С rnaBlIblM lJJlOll.l.ilAEaM
и деЙСТl:IУЮЩl1М в ННХ rлаВIIЫМ lIаПрШl\СНШJМ трсБУС1СН Оl1редешlТЬ
156
нор:о.lа.1Ыlые и 1\асатеЛЫlые паПРЛiI,('НIIЯ ПО п.l0IЦЙДНШ'I, Па!,л()пС'нпым
ПU,l за аНIILJМ уrлом 1\ rЛ,ШIIЫl\J П.l0Щ;Щl\а:\I. т. Р. НО ПClпртl,СШIЯМ.
ДРllСТВУlOЩ!Ш на l'рапях ЭJI('мснта А ПСD (рис. 8R), ОПj)(')\СЛПп, напрн'
i:,( l!lIЯ в rранях 3JJ(':\ICIlTa abcd.
О б р а т н а я :з а Д а ч а. По пат'С'l НЫМ НОРJ\l3Л1,НЫ 1 11 I,аеатеш,
пым напрнжеНl1ЯМ, дрiiСТПУЮIЦИl\l n двух ваUШJIlО псрпеНДl1НУЛНРНЫХ
DJIОЩЯДI\ах, ПрUХОДЯЩI1Х ч<,рез данную Т()чну, требуотсн наЙти l'JlaJ3
вые шшраВЛСШIН JI r.1UI3l!bJC IlаПjНIII\(\IJIJ н. I1 !!ачс fОIiОрЛ, дан ЭJIСМСl11
пa
6,
В С
о
rlle. к7
А
olJrd (рис. 8 ) с J\СIi<'ТПУЮЩI1:\1IJ llО cro 1 раВН!\1 1I0рыи.'lhIlЫ1\1 IJ насатсль
пым наПрНiI\СIШШ1ll; требуется онредслпть ПОJIOIl\ Шlе D.1РМЕ'lпа Авсп,
т. е. уrол (Х(Н и наЙтн ПlаВlIЫО папрюпеПI1Н.
Обо задаЧll l\10ryr реШ3Тl)ел lШН апаЛIIПРIССIШ, ТЮ{ II rрафичеСI\l1,
32. Прямая задача ври ПЛОСIЮl\l паПРЯil\СШЮl\l СОСТОЯНИИ.
J\P T Jl3ПРНЖСНlIii
Л паЛIlТlJчсскuе реШОIlIlе прнмоiI задачи дается формулами (5.5)
(5.8).
l'рпфПЧССI\II а а , '((1; a , 'ё, l\IOiIШО опреде.l11ТЬ ПО и;шеСТIIЫМ 1'.'ШВ-
б,
d
r
61
а О
а
Рис. 89
пым напряжеНlIЯМ C;J n С;2 (рис. 8g, а) с ПО 10ЩI.ю тат, паЗЫПаС fЫО
1.руеа наnряжеllий (круеа Мора), nOCTpOCIIlIoro в координатах а. 't
157
на отрезне АВ 1,;11\ IНt ,:l11;1:\lcTpr, р<lППОЧ раЗНОСТII rланных Пlшрн.
жепиiI С11 С 2 (рис. R!J, б). l(pifcTBlIТCJI[,fIO, JIрОI3С;:Щ от ЦС'lIтрп "pyra
паПРЮНРНllii (TO'IJ\II С) .'Ту '1 сп ИО't уr,тн)\1 2а ПО IlСрССС'lРIШЛ
С о!(!'уiЕIIо("Jыо' '-1Ы ПО'!У'II1\1 то'шу D(J,' I\()орДlIнаты I\ОТОlюij будут
хараКт()рИ'Н>В<1ТIJ соотпстстврпно тН1rJН,I\r[шя G(J, и 't(J,:
с1 I L а а а
OK N 0== ОС J...- , СП cos:':a =--= + cos 2а ==
(1 1,
-== а 1 COS 2 (1. + C1 Z sin z а == С1 а ;
К D сп " 2 С11 а 2 . 2
а а (1sln (1. sln а "С а .
Леrко ПОf\а:зать, '!то точка J),з характсризует НllПРШI\СНПЯ
О?, "C в п.ттощаДI(е (;3), JI()rтС1ЦIII\УЛПРllоii к П.iIощ,цке а,
- С1 } L С1., С11 С1..,
ОКо с;::; ОС СJ(" == .............!. cos 2(1. ===
) l'
=== Cil sin 2 (1. + а 2 cos 2 (1. === Ci ;
п;;K == T(J,== "C .
Точки D (J, и D , харМПРрН:lУIОЩИС паПРНiI\еrшл на двух Rзаимпо
перпеН;.I.ИI\УЛЛРIIЫХ П.'iOIПа;J;Ках (а) 11 (3), nc('r,1a лежат на Jюнцах од-
Horo диаметра.
ПОСТРОРilllыii "pyr Мора П()Лllоrтыо О;lIIсывает напряжснное со-
стояние ; .ll' II'III'a, I1,loGpafI\OlIlIoru lIа РIlС. ), а. ЕСЛll MPIIHTh уrол а
ilJ предслах от !1()'-' ;1:0 +!Ю', то IILl!CIOll1lbJ(' ШlOщаДl\ll (а) И ( ) заЙмут
\[ыследователыlO все во Iиожные ПО:((),Ю'IfIIН, а ТОЧJ\l1 D(J, П D;1 ОIIИШУТ
lfIолны:ii J\pyr. [3 частности, при а. == (), Kur; a rршш ,,/ и ет станут
('лавнымп ПJlощаЦКаМII и 110 ШIМ будут дсйствопаТh те же паПрШI\СШIЯ,
что и в l'рапнх элсмснта abcd, ТUЧI\а f) (J, совпадст с точкой А, а точка
D с точкой В.
ДЛЯ uпрrДс,r1()ШIfI ПОЛОIНСнпя ПО:lюса на Щ)УI'е Ilапряжепи{r, как
t! в случае I\pyra IшеРЦПII, провеДС I па ТОЧКI! D а. .1I11ШIO, пн.рал:Iелыllo
0'« (в пашом пршreре rОрПЗОlIта.тrь, Рl!е. 8:1, б), по lН'рrССЧ('IIПЯ с оируж
([Остью. ИСI\омыii полюс ТОl:ша А/. По.;rюс А! I()ЖIJ() 6ЫJIO бы наiIти,
ПрОПСДfl IIЗ ТОЧl\П D лшшю, параЛ.;]СЛЫlУIO наПрНil\РJIIIIO а[3, т. е.
провРдя ПСрТIfI\аль. l\IОШIIО доказать, что i1ll1l11Я, соеr11т"llOщаq полюс М
с любоЙ то'Ч/1,ОЙ '.руса, параЛЛРJ/Ыla llаправЛ{'f1l11П /lпp.lfa:lI.l/o?O 1tапРЯJ1{е
ftjJЛ па п.lОЩflдl.е, l.отороЙ эта тоЧlЩ соотдетствУf'lп. ТaJ\, например,
ЛИIIИЯ А1 А параЛ.iIе:rьна rлаПllОl\1У напряжеНlIЮ (J l' а JlШШЯ М В парал-
лсльна rлаВlIОМУ наПрНШСIlIlIO а2'
33. Обратная ;1ада'lа при плосrюя I1ЗПрШI\СНlЮ\l состоянии
Прп llраJпичсеlШХ расчетах часто ПРIIХОJ.IIТСН решать обратную
задачу опрсдслнть C11 II а 2 пu ИЗllестным cr(J,' ":С(' cri1' 't (рис. 90, а).
.пусть с1 (J, > ар. 't(J, > о. Очевидно, Kpyr ШШрНЖСШIЙ в координатах
( , 't' (рис. йо, б) мы леrFО построим, зная положсние двух диамстрально
11'58
ПРОТПВОПОЛОiIШЫХ точен' Kpyra D а и D , коордпнаТ3l\IИ ноторых ЯВЛfl
IOтсн соответственно аа.' 'Са И a , "C . ПрlJ этом аБСЦllССЫ точек пересе
ЧСIIШI Kpyra с ОСЫО а ОА и 08 дадут соотвеТС'fВУЮЩIlе величины
r.'1аШIЫХ IНШрНЖРl1II 11 а 1 11 ау.
Д:JН Ollpp:!(\JJeIlIlH II!lложеl!I1Я rJlанных площадок наЙдсм полюс
и BOCHo.'1 ,aY(, l('H ('ro с BoileTBOl\1. С ;ноН цеJIЬЮ из ТОЧКИ Da. IIроведем
JIIJПИЮ. П<tраЛЖ',:lhIIУIO ЛИНИ!! JJ.f>ЙСI BIIH cr'J., т. е. rO}JllaoIlTaJlb. Точка М
пересеЧСПIlН <JТОЙ JlI1lIИII (' ()l-\lJуаШОСТLЮ и будет IIОЛIOСОМ. Соединив
бd.
а
о
р llС. 90
точну М С ТОЧJ\ами А иВ, получим папраВЛСIIlIЯ rлавных напряже-
ниЙ cr I И а2' ПОJlOжеIше rJlaOHblX ПJlOщад(ж, uчевидно, будет перпен-
ДlIку.1НрПU к направленинм rJlаШIЫХ п аПРШНeIllIй. На рИС. 90, а ВНУ-
TPII IIсходноrо i)лсмента выделон iJЛ('1\IСlJТ, оrраllllченныЙ rлаНllЫМИ
П.'lOщадк aJШI, Н а rpa 11 их которых покаааны I'Л а 13IIые пап ряжения а 1
11 cr J . На раеемотреНI1Н I\pyra напряжений МUiЮJU UОJIУЧl1ТI) анаЛIlтиче--
СННС llЫРЮШ'ШНI [даllНЫХ напряжений а I 11 a z черса аа.' "Са.' (][3' "c :
01 +[O"+O;+ V (o" oY+/'' ;]; I
(5.12)
a q == [ а + а, V ( '1 cr ) 2 --r 4'1: 2 ]
L. а ,1 а I а'
И;J рl!С. 90, б сле:!уст T:1!\il\f', что
V К, 1'.1 К 3
tga. == ' ==
AK ОА ИК
't'l
(5.13 )
crl cr
:JTa формула и ощ)('дрлне1 е,ЦIIIIСТВСJlпое нпач('пие )'rла (10' па
HOTOplUii IIYil\11O повернуть 110рr.lаль f/a. чтобы получить нанраВЛСllllе
алr('БРШl'1t'Сl\11 66лыпеrо rлаВllоrо 1l3НрНiI\ения. '1аметим, что отри-
ЦUТС:IЫIO IУ ;шач(>нию а. COOTB(JTCTByтT YI'JlbI, ОТJlOженпые по часовоii
стрсЛI\С, 11 что ес:lИ одно И3 rлаuвых lIапрнженнй, вычислеuное по
фОрl\IУJlа 1 (5.12), онажется отрицательным, ТО напрнжепия слсдует
оБО3Ш1Ча'1'L не (;1 и а2' а а 1 И а 3; еСЛIl ше оба rлавные напряжснии
пl\ажутсн отрllцатеJIЫIЫМl1, .то они должны быть обозначсны а2 и а з ,
15Э
9 34. ОБЪС:\lпое напряженнос состояние
ОБЪ МIIОС, или треХОСllое, напряженное состояние в СОПРОТl1вле
нии MUTCpllil.'lOB риСОШТРl1ваотся реДIЮ. По:пому МЫ здесь унашрм
ЛИШЬ на нскоторые UCIlUlНIble МОМОНТЫ теории объеМIlоrо напряжен-
Boro СОСТОНllИН.
Рас('\ю rplI 1 случаЙ оБЪ")lНоrо lН\прнжеIlНО['О состошшя (РИС. 91),
:,Ol',,\:-t IIО l'[J,шни выбраllll\Jru куБИНа деiiствуют все трп rлаDllЫХ Ha
IIрпа,СНШI
о" 1 > С!.! > С! а =1= п.
б,
[])
6;
t(f
б, б
Рис. )'
PI1C. 92
О'ЮВIIДIlО, В П.:IощаДl\f:' 1. нараллr.lh\!оii C!I' 1I0pMa;lbl\bl(> 1\ касаТС.i1ЫIЫС
па11рНЖС1II1Н IIе будут :щвrIСUТЬ от 0'1' а ,олыю от IlаПрНiНeJтii C!z IJ О'з
11 но UССХ ПОДО{)IIЫХ (]:lOlfl,(l; нах будут ХЩНШ rери:ювать('н Kp:vrO\t fla
прнжениil L I с : ltil:\!('TPOM C!2 a.! (рис. П:2). L3 П.10щаДf\С /1, пар,\:[.
лелыюй а 2 , IIOР:\li1'II,IIЫ(, 11 !,асаТСJlЫIЫО II,lIlрЮI\С'!ШН будут хараКТС'рl!-
<:Iuваrь(:я НРУ['О)1 1I<lllртШ'llllii L II с ДII1В1 rрО!\l al (j:j (1, нзконеп, 13
ШlOщадНе 111, паРU.1IЩ'ЛЫlOЙ II,ШРШ1,СlIllIO С!з, IIор!\\п.:Iыllсc 11 KaC3H':lb-
IIbJ(' IН.II!рЯlI\!'IШН бу;.(ут хаР,Ш':l'РIlЗОВЮЬСН 1\pyr01\1 Шll1рНil\Сllиii I'lII с
ДII<JметрО!\1 а 1 a2'
BtJ всех ун.азаНl!ЫХ П:lоща; I\ах метод определениа a(l' ".:(l 11 a , '
ПО будет ОТШlчатьсн ОТ раССМ1пренноrо выше метода реШС'lIl1Я Ilpfl !oii
задаqн ДJIН H:IOCl\OrO flаПрНШСllllOrо соеТОНIIIIЯ.
Мuжно AOK<I; a'rb, 41'0 еСJIИ провести площадку, не парал.10:IыIIo
ни ОДIIОМУ II:11'JI3ВНЫХ lIаllрЯ;I{('ПИЙ, то нормальное C!(l и касаrслЬ!IOО '1:(.(
l!аПрШКСIlИН в :ПОЙ ПJlOlI.I"Щl\е 'MorYT f'iыть, определсны по формулам
аа:::=; 0"1 COS 2 а 1 + 0"2 COS 2 а 2 + аз COS 2 аз; }
(5.1 q )
V 2 2 2 2
't(l ::::= C!l COS 2 аl + а 2 COs 2 а 2 + аз cos 2 аз a(l .
rде 0(1. а 2 , a: уrлы, "от()рые образует lЮрМllЛЬ 1\ рассматриваемой
uлощаДI С с П<lнrНlLШОIШНМИ С!1, a t , С!з'
,ДОI\азываотсн также, ЧТО 1'0'ша D(l(arJ.' 't(l)' хараI\теризующая
паПРНЖСНIIОС COCIOHНJIC 8 ПРОИЗDОЛЫlO lIаКJIOllеllllOЙ ПJIощад е. будет
Dсеrда лсжаrь 11 заштриховаипоii: области (рис. 92) ПЛИ на rраllице ее.
если Ilлощ,цка нараЛJICльuа одному из rлаПllЫХ Jlапршкеuий.
Из раС('.\llнрешIЯ l,pyroD напряжений (рис. 92) ВИДПО, ЧТО 'ё тах '
хараКТОР1I3УIJиuе тu'шоii D па ОНРУЖIIОСТII L п 11 действующее в ПJlО
щадке, параЛJIелыюu rлаВllО:НУ папрящению а2' lIаклонеНliОЙ к напри-
160
шспиям а 1 И аз ПОД уrлом а == 450, равно радиусу больmоrо I\pyra.
С.1Jедов тельпо, при объемном паПрШI\СПНОМ состоянии
аl аз
't max =::
(5.15)
в случае площадки, ВIIСШ 1111 Н 110 pl\f ал ь 1\ !юторой образует с па.
правленинми al' а 2 и аз ОДIlllаI\uтJС' ТЛЫ а 1 а'} == а:, == а, назы
ваомой оптаэдрu'ЧеСJi,оil площuдfiоil (ПUСIЮJILl\У Оllа llараЛJншьпа rраllИ
октаэдра, который мощет быrь обра:зоваll 113 l,уба), I\оrда
cos 2 аl + cos 2 а 2 + cos 2 аз ==:. 1;
1
cos 2 а
3
ФОРМУ лы (5.14) п рпмут вид
а аl+а2+аз .
ОнТ ;) а ср ,
(5.16)
V2 V 2 2 I 2
't OHT ==- 3 01 + 02 т аз а 1 а2 а 2 а з a al ==
== V (al ( 2 )2 + (G z с з )2 + (аа ( 1 )2.
( 5.17)
Rасательное папрнжrппе, определенное по фОРl\1у.lе (5.17), назы-
ваотсн Оlстll.?дри,'Ч(ски.lt. Окта:ЦРllЧССI,ое 1I0pMa 1 ы\Ое НННрНЖСllпе пред-
стаВ.lнет соБОlI как бы срел.нес напряженне для данноrо трехоспоrо
lIаl1ряженноrо сосrоЯlШЛ.
При оценке прочности материала в УСЛОВИЯХ слоашоrо напряжеII
поrо состонния часто IIСПОЛЬdУСТСЯ нсноторан ФIlктивная всличина
шшряа;оппя ai, Па; ывuс:-'шя uнтепсивностью ндпрп,жепun 11 связанная
е 1: 0нт заDIIСИМОСТЬЮ
3
a' 1:
t V2 ОИТ
35. }l;сформации при объемном напряженном состоянии.
ОбобщеНllыii 3а1ЮIJ rYI\3
lJазпрунсь па rнпотсзс о том, что матеРllа:l еледуст аанону rYl\a,
а деформацип ма.1Ы, МОЖНО ПОJIУЧПТlэ ааВlIСIШОСТII между напряжсни-
ЮIII 11 цефориаЦIIЮIИ в uGщ('!\[ случае ОUЪСl\IIIОfU lIаl![JЮI\СIlllоru состоя
IIIIH. При ЭТО 1 будем HCXOJ,llТh 113 ааВIIСШ\lОСТ('Н (1.:1) II (4.9), IlолучеIl
/ШХ рансе для ШIlЮЙllOl'О наПрНЖI'J11101'О СОСТОНll1lН.
})uсе:\ытрll f дефUР lаЩI!О ПРНЧОУI'о,;н,!lОI'U Ilара:IJJСJIеШJПсда раз
щ'ра\ш аХ Ь', с (рпс. 93, а) по:t ЦСliСТllll(' 1 f.'JallHWX нанряженпй а 1 ,
a , а:) (lIOJIaraCM, что все OHlI lIOJIOII,IIТl'.'II,IlLl) по ТР('М cro rраllЯМ,
Ilаrа:lлеJlыlхx СООТllстеТВС1ll1O р{'бра 1 п, Ь, с.
У;..r;ШIIlеllllЛ рсбnр СiЮТПСТСТllСlllIО бу; ут t:J.a, L1b, L1c, а ОТlIОСИТСЛЬ
,""(' ДСф{)р IаЦIIlJ в rлаlJJlЫХ llаправ.тiОlllfНХ
!1а
101 === a
!J.b
Е 2 -== 'Ъ' ;
!J.c
Ез == с'
(5.18)
() ;) 11 -'6
161
I\,\;f\ (ос lI.j iJТlIX ОТНОСllтс'.;тЫIЫХ Д.:1IIНСlIlIii ССТЬ результат ДОЙ.
eTBlIH ъсех трех паПРЮ-КСШIЙ С11, С 2 11 <1 з . IIри ЭТО:\I, l.IalIpllMep,
Еl == E + + E' ,
l'де СОl'лаСIIО (1.3) II (1.9)
u 1 .
[1::=0 Е '
" с1 2
Е 1 == 1J. E :
Рис. и;
(5.19)
", а з
[1 == 1J. Е .
(5.20)
,.-
. 1;
,..
о
УЧ'lrJ,шая (5.2П), ЫОilШО :111l11спп (;-),1:1) n впде:
(5.21)
Сl а, а.! 1
<1 Е " (!. Ё (! E ' . 7Т [';1 . р. (02 +- aJ].
АllаЛОПIЧНО MOl'YT быть записаны 11 ПЫРШКСIIlШ ДJIН Е2 П Е з как
f ( С1 1. G;!. аз). IЗ ро.{ультато 0606щеllllЫЙ ааноп l'Yl\a ДШI llзотропноrо
маТО!'llала выразится слсд УЮЩИМI1 СООТIIОШСIIШIМИ:
'. O [а 1 l' ( а 2 + а,) J; 1
I
J
1
E2== E [U2 (J.(Gl+С1з)];
(5.22)
1
[3::':"= Е [аз '1J. (аl + ( 2 )J.
Зюtol'ЮI, ЧТО СiюшаЮЩ\lС l!аПрНiI\ОIlIlП С,lСДУСТ в форыулы (5.22)
IJОl1.ставдпть со З11Ю{ОМ « I\IJlУС)). Оч('впдпо, 13 С IУЧ(Н) IIJIUCI\Oro папря
iJ;CJIIIUl'O состоЯIШЯ, в частности при 0'2 == О, о(iUUЩОllllЫЙ занон rYKa
(5.2:2) будет иметь ВИД
1
F 1 == Е ( С1 1 [ИЗ);
!t
[2 =-= E (а] + G. 1 );
1
1''3 ::---...= E (а::; 1J.(11)'
.J) 2
Закон rY1\3 справедлшз не 'IO:lLJ{() ДЮi r',l(J!lНЫХ дrфОI"\! ЩljJi,
Н() }\ Д.1Л ВЫЧI\С.'1{'IIIIЯ OTt[()CIITC:IbIILIX ДСф()р Iац!!ii пu ШООЫl\I Tp(, .! ]; >a
}!\ШО перlIСIЩiшу.1НрНtJ\1 lIаПРJП:Н-'Ш!:Il\l, IIОСШНЬJ\У ври l\lз:rы-\ д('1iOр
мациях В:IlIЯШlеl\l ДIЗJlrа на JlilIюiiuую Д фОРl\1ацпю lIL1 3..1 cro Ы{Ц() 1I1
Ы:ОЖlIО пренсбреЧI>. lIuлuму OTIIOCIITC.i1bТlble УДЛIШСIlИЯ в напраll.1СlШil
действия наПрНЖt:lIшi аа' ар (РИС. g; , 6) равны:
1
lO а Е (а а l1.а);
1
€ : j (a (Ии)'
06"Ье.'Iща.'i иефОр<1/аЦUJ/ O:v, прсдстаIJлшощан соБUll ОТIIОСIПС JЫIOD
l! :\iСfIСНИС объс.\!а ио == аЬс, НОСЛО lIРШIOЖСШIН !{ He:\lY uаПРЯ/КI!Шl1f
(;1' 1]2' а з ОНРРД('JIЯртея с ТОЧllОСТLЮ ВС':ШЧI1U DToporo ПОРЯ,J,IШ .'\;,\:10-
(;] 11 фор.МУJlОЙ
и VI)
"v :: =-= С 1 + 102 + <:3
о
ШП1 qrрез uаIIрmЮ:lII!Н с ЧСТО 1 (5.22) формулой
1 ')u.
EV =----- (аl + а2 + u3)'
(5.23)
(5.24)
D чаСТlIОС'l'И, НрlI раЫIOмерIlОl\1 DСССТОрОIlПСl\I Сj-J\апш, KOr;J,a "1 ==
;::: а == аз == р,
р
Ev::'" н '
(3.2;-) )
Е
('дс: К:=: : (1 211.) .
ВР,lичпна [( называется .модуле.\! об'Ъе.\t1l0Й иe!pop,\1.a lll1t. I1з (3.2;')
t!iЦПО, что при ДСфОр IaЦИII те.lа, маТСрllа.1 IШТОрor'о Иl\Iсет I\оэффrЩlJент
lIyaccofE\ ,. == 0,5 (наПРIШ('Р, рс;нша), оБЪР\l TC,'la НС l\Iсннет я.
36. Пот('пцпа.lьнап :ш('рrпл ДСфОРШЩIIП
IIОТСIIIщалыюЙ ЭIIРрrllеii дсфuрмаЩIll пп,зыпаетсл Зllсрrия, I\O'fU
!1[\Я ПaI,<l.плпвастся n тсле пр!! ero УПРУl'ОЙ ДСф()Р\!11ЦIIII. I\OI': a ПОД
1 ('!irl'Вllеы ВIIсшнеii стаТIIЧСС,('Jii l1Ю'РУ;>IШ тело ДСФОРМlIРУ,'1СН, ТОЧJ\И
IIРII:IОЖРШIЯ внешних спл IIСрС lрщnютен 11 ПОТСIIЦ!IaJlЫJ<.lН ЭLН рl'ПН
II,Н'РУ3ЮI убывает на пе.'1JIЧШIУ, I\UТОрUЛ ЧIIС,lr'ННО равна р:лGоте, COBep
!1kiшоii ВlIешшвш СI1ЛЮНI. Jперrпн, потерЛНllан IJIН'lПIШМII СII:IЮ,Ш,
11(' псчезает, а превращается, в ОСНОВllО:\I, В //ОlnСIllJuа.'IЫIУIO Лlер.:иro
(),',/;пр нации тела (незначитеJIыllll частыо :)нС'рпш, раСССlIuаеиоЙ
в нроцессо дефОРl\Iащш, rлаПIlЫ:\l 06pa;IO I, IJ IJIIде тепла, ЩШ ;)ТОМ пре
11 ('() I)('r а ют).
I1рпращение потенциаЛЫIоii ;)'JepI ШI U дсФормирусмоrо тел..!
paIJIIO ущтыliппюю потенциальноЙ ЭllСрП1И JIarpY31{U U n П численно
р,шно работе Ар, соверШСIIНОll UIlеШШIШl СПJIа:.\1И, т. С.
u == Ар.
(5.26)
1 ш:шм образом, потенциальпая энерrпя деформацпи ЧllслешJO рална
.)tlБG'fО виеШ!IИХ СIlЛ, затраченноЙ ЩJlI YHpyroii деформации TeJla.
1,,*
163
в случае npoCToro рас'! ШI\СllШJ (рпс. 94)
и == РЫ
I
удельная ПОТf>пцпальпая ЭI!срrпя
и P l ае
и == v == '2J?l "O- "2'
(5.27)
а
Учнтывая, что е === Е I получим
rп,C v o()ъe 1 тсла; F площ[\дь поперечпоrо сечс-
ШIЛ,
а 2
u == ё-Е .
(5.28)
в случае объrмпоrо папряш('ппоrо состояния,
l\оrда П()Т('IIШН1Л "'I:HI Nнерrин д(,формаЦIJИ опреде
лиетсн суммарной работоЙ rлаВIIЫХ lIаПРНЖ('ШIЙ а 1,
<12. а:з на соотПf lСТВУЮЩIlХ пеРРМ('ЩСIШНХ е}. 102' е з
(рис. 95). на ОСlIuваШIII (5.28) удельная потенциаль-
ная энерrнл выражается формулоЙ
Рис. 91
и a]el L a2102 + a:)lO'j
2 '2 т
Воспользовавшись обобщснным ааlШllOМ l'ука. !\1OiI\rl\l IIСIШЮЧИТh
деформации. IIолучим
и== 2 ' !а;+а;+а; 2!l-(<1lа2+а2а,!+аJаJ)]' (5.29)
При дсформации упруrоrо тела (pllr. 95)
измснлетсн. вообще rоворп. не толыш ero объем,
110 и форма (например, I\убик превращаС'тся
в параллелепипrд). Поэтому полную удельную
потенцпальную энерrlIIО дсформации и 1\1ОiIШО
представить в ВIIД8 двух слаrар!\IЫХ:
и == U V + иф,
rде llv уделыlяя nоmетщuаЛЬтtая Bтte реия ua.l/e.
1i е пия об 'Ъе .\/ а;
UФ уделыlяя nоmетщuа.1ыlяя вне реuя ua.lce.
llенuя форJ./Ы.
Можно 1l0I{азать, что
Рис. 95
1 2!l-
U v == (а l + а 2 С )2;
1+1.1. 2 2 2
и ф == ;.J,H [а] + а2 + аз (а 1 0'2 + а 2 а з + cr;,al)] ==
== 1 fj ' 1.1. [(а 1 0'2)2 + (<12 0'3)2 + (аз аl)2].
(5.30)
(5.31 )
rлава 6
I\РIIТЕРllП lIРОЧlIОСТII
37. ОСllОRПЬЮ теuрии прrlЧJIOСТП
ВаШllсiiптсii ,\а;\:lч('Ji lIIliI\PIIC'IHIUI'O рас.Н....а ЛВ.lнстен ULtf'I'I,U JJрОЧ
ности дсталп ПО lIaBCCTlIO IY НaIIРШ!\СllllU:\lУ (V(.:]UНIIIIЮ, т. С. llU IJ31Н}CT
ным r.'IaBIIbliII паIJРfli!;СНlIЛl\I в тuчI\t1Х '!е:ш. Нанuuлсе вросто эта аа,J,ача
рС!l1аетсл при ПрОСfЫХ видах дефИРl\l:.ЩIlIl, в чаСТНОСТlI прн ОДНООСНОМ
lIаНРЯШСllllOМ СОС'ТОНIi1IIJ, тш{ I{aI{ В ::пом е.'lучас значения предельных
(онасных) папртНСНIIlI лсrко устаllОВl11Ъ ЭJ;СIlСРш\IСIIталыJU. IIаПО I
IllШ, что опасным папрнжеПllем ДДН ll:iUСТНЧlIЫХ ШТСрllаЛОil Яll,'lнется
IlpC';.I;e!I ТШ{У'JeСТI!, а дли хрушшх ВР(';\IQШlOС СОllРОТlШ.1СIIlIС.
Такпм обрааО:\I, УС:lOillШ ПIЮ'IllUСТlI ЩНI одноосном llапрлшешlOМ
СОСТОШIIIИ (рис. 96, а) пршш:маст IШД
0'1 <:[(Ч]; О'з<[cr ],
(6.1 )
r;J;o [ +] п [:; ] ,ЮlIУСI{аС lЫе ШШРЛШ('lIПП соотвстr,тпешlO прп
рас ПJЖl'JllllI 11 C'iI,a т 1111. ,
в случае CJJOm!lvIO llапрюнеПIlОI'О СОСТОЯIl1IЛ. Iюrда два IIJШ ВСС
трп I'лавных наПрНШСlIl1Н 0'1' 0'2' аз нс раппы HY:110 (РИС. Н6, б), пре
дсльное (опасное) состuяние для oOДlloro и Toro шо матсрпаJlа :МUШСТ
иметь :мссто при раз.тшчных предсльных знаЧОlIIIЯХ rлаВIlLiХ наПрНil\С
пнЙ в заВllСlll\10ети от СООТlIошенин I\1сащу III1l\Ш. ПОЭТОМУ ЭI\сперlll\1Сll
та:Iьная проверка опасноrо состояш1Н llз за БССЧIIСJ1СШIOI'О l\ШUi!,ОСТШ1
В().ШОЖНЫХ СООТНОШСIJIIЙ ме;,т{ду 0'1' <У2, аз II ТРУДНОСТИ ОСУIЦРСТll.'IСШIН
:щснериментов ПрЮ{ТlIЧССIШ нснлючастсн.
Друrоii НУ11> }Jt)III('ШIЯ lIOСТD.В:IСlшоii аД<)tШ З:J.I\ЛlOчастсл n выборе
щ)/unr рин !/ fJU'l/l')(;тu (1\ pllTC рин П редс.1 J.1юrо пап РШI'СII!IO ДСф() Р:ШI
[НJвашrorо состuшшн). ,Цля этоrо ШЮ; l!ТСН l'I1ПОТСdа О нренмущест13СН'.
'
'
I I
I I
J.;U; o:r
а
б f
-о.--
о
а
РIIС. ао
Рвс. 97
J1{) I ПЛIlНIIIIТI на НрОЧlIОСТЬ материала Toro IIJШ IIНОТО фаl\'fира. При
:H() l ПРС':.I:уС IaтриваеIСН DО;Н,ЮЖНОСТЬ проnерЮl выбранпоrо l\рl1ТСрПИ
ПрО'l!IОСfll COJJOCTall:H'[]Jlr'l\l данноrо СЛOJЫlOrо наПрЯЖСШlOrо СОСТОНШIЯ
с lIpOCTbl l, напримср с ОДНООСНЫМ раСТНiI,СIШСIII (рис. 97, а, б), II YCTa
1l0вления TaKoro эюшвалеПТllOrо llаПрНШСlIllЯ, которое II оБОllХ слу
165
чаях дпет О;:J;инаковый коэффициент запаса ПРОЧIlОСТII. Под ПО.
с.lfЩНП 1 II общсм случае Н,ШрЯЖСIlНОl'О СОСТОЯНИЯ IfllНИ IaJ()Т ЧШ';10 11,
поКазыnаroщсе, ВО С1\О:lЫ{О раз нужно одповромонно увеШIЧИТЬ всс
компоненты напряжеНllОI'О состояния (01' 02' 0з), чтобы оно CTaJlO пре-
дельным:
О О О
о' 1 .=... т:! 1 ; о' 2 7 n (j 2 ; а 3 n:] 3'
Выбранные таким образом rипотсзы называют .механ,и'ЧесJ.>u.м,и
теориями nрО'Ч1tости. Нише рассмотрспы осповные I{ритерии (теории
прочностп).
Нритерий наибольших 1I0р taлыlхx напряженпii (первал теОРIlН
про<шости). Предполаrаетсн, что uнаспое СОСТОЯIllIС П'.'IU, lIaХОДЯЩl'
rOCH в УСЛОВl1НХ С:fOiЮfOl'О llаПрШliеIШОI'О состояния, Оl1р('ДЕ'ляетrl!
уровнем нанБОJlьшеrо 1I0рмJ.лыfl'оo пзпрншенпя
или
О )
а1 == а+
I а з l == a .
(6.2)
Условие проqпости с коэффициентом запаса п имеет вид
., < IчJ )
или (6.3)
I аз I <: [a ],
тде
аО
[О']==n'
Эта теuрия подтверждается на ПРЮПllке только для весьма хруп
ЮIХ И достаточно ОДIIОрОДПЫХ материалов (стекло. rипс, lIСIюторые
ВИДЫ нерамПIШ).
Нрптериii наибольшп'{ относительных линеiiных дефОрl'tIaцпii
(вторая тео ия ПрО'-lIlОСТИ). За критерий предельноrо состояния ПрII
ни мают наибольшую по аБСОJlIОТПОЙ величине линейную деформацию,
т. е. УСJIовие разрушения:
I €тax I === 80.
У'слопие ПрОЧllОСТIl имеет вид:
(6:4)
€O
€тax =::: €1 <: [8] =::: .
п
(6.5)
[а]
Учитывая, что [Е] == Е' а также, что
1
€i == Е [а1 [J. (а2 + аз)1.
условие прочпости (6.5) МОЖНО предстаВlIТr.. в ви;.I.С':
а1 [J. (а2 + аз) [а1.
(6.6)
Как ВИДllО из (6.6), с допускаемым напряжением нужно сравнивать
166
не то или иное r.1IaBHoe напряжение, а пх I\омбипацпю. ЭI{ВIlвалентвое
напряжение в этом случае будет равно
<I экв II == аl !.I. (а 2 + аз). (6.7)
Эта теория имела довольно ШИрОI\ое распространение, по опытное
подтверждение получила то.лы,о для ВРСЫIa ХРУПRИХ материалов.
I\ритерий наибольших I\асателыlхx напряжений (третья теория
прочности). Предполаrается, что опасное состояние наrРУЖСШlOrо
тела определяется уровнем маRСШ\1альноrо Rасательноrо напряжения.
Условия разрушения и прочпости соответственно имеют вид:
"С mах == "СО; (6.8)
"СО
"С тах ["С] == п .
(6.9)
Тан l\aK
0'1 0'3
"С mах == '
а О rO'l
'Со =--= :2 ' а ['t] ::= '
условие прочности (6.а) Д.'Iя rлавпых наПрЯil\Сlшii ЗНlшшетсн тан:
аl Сз<[G],
(6.10)
а эквива,тrентное напряжснне по Tpcпrii теОРIlИ ПРОЧНUСТll опреде
лится фОРМУ,ТIOii
а ЭНВ III == G 1 (j 3'
(6.11 )
Эта теория дает хорошие результаты Д.:JЯ :материа.тюв, ОДlIНЮ{ОВО
сопротив:шющихся растяжению н сжатию. Нl'I UстаТI-\Ul\I третьеЙ TCO
рии является то, что она не УЧIlТЫllUСТ CP('n'lI(']'O по ВС'.'lI1ч]!Не 1'.Т[авпоrо
напряжения 0'2, которое оказывает Оl1рСДСJIСlIllОС, хотя в БОJJЫШlIIстпе
с.лучаев II неЗllачнтеЛЫlOе, ВЛIlЯШIO на IIРОЧIIОСТЬ :материала. Считая
щюде:lЫIЫМ СОСТОЯШIСМ дЛЯ Пластичных l\IaTCpIIa:lUB ПрС;J.l'л теI\уче
СП1, YCJIODlle (6.8) :можно представить в виде
а 1 аз == а т .
(6.12) ,
JTO УС,10в\!е УДОП,lrТIIоритеЛЫIО ОПIIСЫ13аст начало П:IаСТllческоЙ
n;ефОРJ\11ЩНII рааУПрUЧIlЯЮЩIlХСЯ lШlтерllа:IОll, ют 1\ОТОрЫХ хар,штсрна
(' ЛОJ{ilJIII.lilIlШI.
Нрит('риii удслыюii IЮТ('IЩIШЛЫlOii ;:шерrШI фОр)IOJl3:\ICIICНИЛ (чет-
пертан теорин ПрОЧIIОСТИ). IIреДlIолаrаетсн, что опасное (предельное)
еuстояпие IIaI'ружеIll10rо To,rra онредеJlЯется предельноЙ IЮЛIIЧI1llOЙ
lIuноплешlOЙ уделыюи энерl'lШ фОРМОIlаменения. ПОС:If'ДШUIO можпо
определить при простом растяжении в l\IO:\leHT нача.rrа 'fе:кучеСТI1
о
U Ф шах == И Ф =-::: llф. Т'
Условие прочности будет
UФ шпх <: r u ф 1.
(6.13)
(6.14)
Полаrал, что материал следует з,lI\ОIlУ fуиа вплоть до наступле-
пия прс елыlrоo состояния, на осповаШIlI (5.31) при простом растя-
il\PIIIIIJ n момент начала текучеСТJI (а 1 == а т ; а2 == аз == О) имеем;
J + IJ. 2
;ш "'Т'
II Ф . Т
167
Условие (6.13) после подстапошш (5.31) п зпачеппя Uф. т из
цоследвеrо равснства примет вид
или
V 2 2 2
0'1 + а2 + аз (а1 а 2 + а2 а з + аЗО'l) == а т .
I (6.15)
v [(0'1 0'2)2 + (0'2 а з )2 + (аз ( 1 )2] == а т .
Условие прочпости (6.14) будет имсть ВИД
v [(0'1 0'2)2 + ( cr 2 0'3)2 + (аз aj)2] а п Т == [а]. (6.16)
Эквивалентное (расчетное) папряшrПllС по четвертоЙ теории
прочпости определится формулой
а ЭRВ IV == V + [(а1 (2)2 -+ (a а.{)2 + (аз ( 1 )2]. (6.17)
Расчетное уравнение чотвертой TeOpllJl IIрОЧIIОСТII можно полу
ЧIlТЬ исходя из критерия постоянства ОIПUJДIJllчеСШIХ l{асателыlхx
папряжений
Тю{ая трактоВ!{а освоБОЖДdРТ pacc:\I:Hpl! IН1С':\IУЮ теорию нрочности
от оrрапиченпii:, связанных с О():ldСТЫО Il[Н, \1<'1111 "ОС 111 :131,011:1 I'УIШ,
И дает возможность устаllОnИТЬ Ш' тол ы,() llJ 1[,1. (() 11.'1 ,1C1'11 'll'Cl\oii дефор
маЦIlИ, но 11 начаJIO раЗРУШСIIIIН.
Четвертая теорпя проtfn:ОСТII ПрПl\lСIIIJl\I:1 ,'I,JIH П.'U\СТlIЧПЫХ ыатеРIlа
лов, ОДИRЮЮВО СОПрОТlfВЛЯIOЩПХСН раСТЯiНРIlIl10 II Ci[\3TI'lO.
I-\ритериii I-\улона Мора. Этот ЩН!Тf>рШI ОСНОIНШ lIа llрсдположе.
НПIJ, ЧТО ПРОЧIIОСТЬ материала в общем слу'ше lI:1ПРШl,СШJOI'О состоя
НШI заВIIСIlТ, r.1I<lВНЫМ uбраJОl\l, от веди.
ЧIШЫ и знака напБОJIЫllrrо 0'1 11 папмспь-
mero О'з rлавных IiаПрШI\ОНlIЙ (поrрсш-
ность, СDязаllllUН с TC:\I, что по учитывается
0'2' обычно но I1peBJiIIIlUrT J2 15%). I1сходя
из этоrо II РСДIIО,'IU,I,(' "НН, .тI1обос шш рнжен-
ное СОСТОНIШС l\Ю,IШО щ)('; сташIТЬ О;.I.IШМ
Kp 'ТOM :Мора, построr/lIIЫI\I на rJIaBHblX
напряжениях 0'1 11 а,.
Ес,;ш при Дd/lIlЫХ 0'1 11 0'1 Н[lрушастсн
прОЧIlОСТ]> l\Iат('!) 11 [1 '1(\, 1() I.;pyr, ностроен-
пый 113 этпх наПРЯЖСllПЯХ, нu::>ывастся пPI,i){ '/1IЫ \r. Л}('няя соотно-
шепие МОЖ,1У 0'1 11 аз, ПО"'1УЧIВI Д,'1я AaHHoro :\131 C'pll а 1<.1. CC:\leIICTBo пре-
дельных окружностсii (рис. 08). ОrпбающуlO А IJCDE сеl\lейства
предедьных l{pyroB мощно с достаточной СТС'IJ{'III,Ю 'Точности Щll\lСНIIТЬ
прямьвш, КасаТС.1ЫIЫl\Ш к :круrЮI Мора, IlпСТрlН'!lllЫЧ для растю:ке-
ПИЯ, с Дllаl\lОТрОМ, равным вреl\lСПНОМу СОЩН>ТIlII '11"111110 при растя-
::кеНИIl О'в, 11 для ешатпя с диамеТрU:'.I, }НШlll.I:\1 времС'нному СОПРОТIIВ-
лепию маТОрИ[l'1а uри сжатии О'в сж (РИС. оа).
О чевидно рис, 99 может быть переСТРОСJl в масштабе допуснае-
r
f.
Рис. 98
168
't OHT та" ['tOi\T 1.
мых папряшений (рие. 100). Диаш'тр Kpyra ДЛЯ растяжения равен
ал "в СiI\
[а+] == , а для Сll\атия [a } == .
п п
ПЗ раСС:\lОтреIlИН ПOJ оБIlЯ треуrQ.тIыlIоDD 0102а и 010зЬ Ш1ХОДИМ
с.тIОJНlе npOQIlOCTlJ
r "+ I
al tcr J а э [a+J.
(6.18)
?:
6
Рпс. 99
[б.}
Рие. 100
ЭНВПDaлснтпое напряшеНllе по рассмотреПllОЙ теории Мора
[а+ 1
аЭI\В. М == а1 аз. (6.19)
Теория прочпости I\улопа Мора позволяет установить сопротив-
лсние разрушению материалов, обладающих разным сопротивлением
раСТНЖОIIИЮ и ежаТl110 (ХРУШШХ материалов). Она имеет сущест-
веНIIое преИ lущеетво перед первоЙ и второЙ теориями. которые на
прюпике еще I1ноrда примеllЯЮТСЯ.
Следует подчерJШуть, что хрупкое или пластичное состояние MaTe
риа.1а определяетея не толы{о ero своЙетвами. по и видом напряжен-
lIoro состояния, 1'омпературой и еlюроетыо ваrРУЖОllИЯ. На к показы
вают опыты, пластичные l\Iатrриалы Прll определенных УСЛОllИЯХ
Ilаrружсшш и те lПературе ведут еебн ка!{ хрушше, а хрупкпе матери
a.'IbI, ври онреДС:lOlIlIЫХ напряшенных соrТОЯIIИЯХ, MorYT вести себя
l\aI{ Пластичные.
38. ПОП1Jтие о НeIЮТОрЫХ новых теОрИ1JХ IIРОЧIIОСТИ
Условие перохода материала в предольное состояние МОJ!\ПО выра..
зпть в виде IlOKO'fOpOro уравнения
F (аl' а 2 , аз) == О, (6.20)
l,oTopoe может быть преДС1авлепо прсделыюЙ поверхностью в трех...
ыерllО!\1 проетранстве, rдо по ОСЯМ декартовой системы коордипат от""
1,:I..lДываются rтшные напряженин.
Так, предельная поверхность, соответствующая условию пояВJI
l/lIЯ масеовых ПJIаСТlIчесюlX деформациЙ, пu тоории удельной ПОТен
ЦlIалыlOЙ энерrии формоизменения (6.'15) имсет вид
2
(аl (2)2 + (а 2 а з )2 + (аз crl)2 2а т == О. (6.21)
П редслытая поперхпость (6.21) представляет собой круrовой ЦИЛИDДР
(' осью раппопаRловеПlIОЙ I{ I\ООрДl1lIатпым ОСШJ (рис. 101, а), n ра-
ДII :СОМ r == V а т .
169
Для П.1:0сноrо напрлrненноrо состояния. ноrда одно из rлавпых
паПРЯЖl'lIl1ii p;tBHO ну.1Ю, уСЛОВНО (6.2 J) дает ;)л:тпптичеСI,УIO ПР(','l:L'.Т[Ь
UУЮ1;РllВУЮ (pllc.101, 6).
Нрптерпю паиБОJlЬШНХ l\acaтCJlbHblX напрнжений сооrnетстпует
предельная поверхность в ВlIде правильной шестиrранной lIрИ3МЫ,
вписаПНОll в цилиндр. Критерию наибольших нормальных напряжеНПll
соответствует нуб с рf'браl\lll, равными
a U . Заметим, что все т()чю!, распо-
JlOiRСШlые ВНУТрll области, оrрапи-
ЧСШIOЙ предсJlыliii поверхностью,
соответствуют JlallpHiКellllblllf состоя-
III!НМ с I,О;JФrfНЩИClПЩI :заllаса
ПрUЧНОСТII '! >1, а Jli.ШРЯЖl'lшые
4:0СТОНIIIlЯ, llре;(стаВ:Н.'lIные ТОЧl,Ш\IИ,
ш'жаЩl1l\1l1 вне областп, оrраНI1чен-
Jloii предельнuй ПОНРрХIlОСТЫО. 111\1('-
ют !{о::>ФФпщн\нт запаса l1рОЧllОСТlI
п < 1.
НовеЙШlIС теории 11 основывают-
ся на выборе paJ:IIPlIIblX вариантов
формы предельной поверхпости, при нотороЙ мошно нuнБU:Iес полно
учссть особенности СОПРОТlIвления даПllоrо И:lасса материалов в
условиях сложноrо напряжеПlIОl'О сос.ТОЯШIЯ.
I\ритерий ПРОЧIIОСТИ Яrна БУЖИlIскоrо. Предельш:ш поверх-
1l0СТЬ (6.20) принимастся в виде ПОЛИIlО:\1а второй с.тепеlllI. СИl\Iмет-
ричноrо но всем трсм rлавпым наПРЯil\СПlIЯМ,
«(Ч 0'2)2 + (0'2 а з )2 + (0'1 0'3)2 + а (а 1 + 2 + (jз)2 +
+ ь (о' 1 + а 2 + cr 3) == С,
/
а
о
Рис. 101
rДО
(6.22)
а== 6['tJ2 2[a+l[a J Ь== 6['t]2([a 1 [Q+l) c=-=6[ ]t.
[а+] [a ] [а+! [a ]
При этом [0'+], [a ], ['t] определяются из опыта ЩIЯ даппоrо мате-
риала при испыrаНIШ соответственно па одпоосное растяжение,
сжатие 11 чистый СДDпr.
Очевидно, теория ПРОЧНОСТИ Яrна Бужинсноrо позволяет учесть
не только раЗJшчие в сопротивлении матерпала растяжешпо 11 сжатию.
но таиже и сопротивление сдвиrу.
Критерий ПРО'lНОС rи Писаренно Лебедепа. [{ числу повых теорий
c.'[I';(YCT отнести тоорию, предложенную r. l:. Пнсарен!\о 11 Л. А. 3Iебе
дспым [14], I\()торал оспопана на ПрОЦПОJIОiНСIIlШ U ТОМ. что наступлеНI1е
lIреде.1ЫlOrо СОСТОЛlшя обусловлено способностью материала оказы-
BaTh сопротивлсние нак насатеЛЬНЫ.\1, таи 1I 1l0р.\Ш:IЫIЫ.\I Нi.lПРНiI{еlШЯМ.
рптер:li.i ПРtJ'ШОСТII преД.1Iаrаеrсл: ИСIШТЬ в ШlдО IIlIварпаlIТПЫХ I{ Ha
прюнеННО.\IУ состолпию ФУНЮЩЙ l{асательпых 11апрл:шеПIIii, щшрнмер
о!{таэдричсс.ЮIХ касательных папрнжсппii, Il маl\СlIмалы!Оrо 1l0p.\IaJIb
I!l)ro напрншенпя.
При ЭТО\! I{рИТСрПЙ прочпости может быть записан в Биде
't OHT + т1a 1 т2' (6.23)
Выражая нонстанты т 1 И т2 через предельные напряжения при
одноосном растяжснии а о + И сжатии a (н частности, через QB
II а в . еж)' ус;rlOвпе (6.23) ПрИВОДЮI н виду
3
'1..1' + (1 ..,. '1..) а1 -< а О
V2 01(1 +'
170
ШПРIIСlшпосrп IJаПрПil ениi1,
"I.'Ч i (1 '1.) :!1' G ,
u
G+
"1. ;;o '
Длп lатеrиа.;Iа. палОДпщсrоr,н в J\ШlCТИЧНЫI СОСТОПНIIJI, ноrда
:; == :: ; "/. =-----= 1, ВЫрC:lааШllС (6.24) преобразустсн в нрптериii проч-
ности, соответствующий теории фОРМОIJзменения; д:1Я хрупних
:\IaTeplIaJIOB, Коrда Х == О, выраженис (б.24) прсобразустсп в первую
теорию НРОЧlJОСТIf. При 0< х 1, что соответствует большинству
рсальных КОНСТРУI{ЦИОIШЫХ материа:IОВ, lIIЮДNIЫIaН поверхность по
уравнению (6.24) будет прсдставлпть собоЙ раВПОlIC:lклонеНIIУЮ к l'дав-
НI>Ш OCH 1 фllrуру, в нотuрую вписarш шестпrранная ПI1ра!\lида, соот-
ветствующая теории КУЛOJIa Мора, и выражаемая формулоЙ (6.19).
Теория, прсдставленнал I{ритернем (u.21), хорошо соr.1асуется
с даНllЫ!'.1И эксперимента для ШИрOl\Оrо Ю!C:lССC:l достаточно однородных
I,ОНСТРУКЦIIOПНЫХ :материалов.
ДЛН матС'рпа:IOВ, обладаЮЩIIХ существснноЙ СТРУI\ТУРНОЙ HeOДHO
JЮДIlОСТ ЬТО (отдельные ВIIДЫ мстаЛ,10l,РРЮIII h 11, l'рафl1ТЫ, пенопласты.
I,амеШIOе JIIlТbe и т. п.), ПI)(') JIOiI{СJlО УСЛОВJ!С
"I.::i +- (1 :1.) crlAl J --со с;О, (6.25)
+
пли, переходя 1,
1\ В иду
(6.24)
rде
G 1 + ::2 + "з
1 : e J ;::= параметр IНшряжеНIIОI'О состояния, А параметр
Gi
(' ('JlУКТУРЫ !'.Iатериа.:'la, среднестатистичеСl\ое значенис HOToporo ДJIН
1\<\:тHHoro класса материалов СОСТC:lВJIЯСТ O,7 O,8.
rТО'IJН'Шlое ;шачсшн.) lIара lCтра А lОiIШО ОПРСДСJШТL, IIСПОJlЬЗУЯ
;I,.IIШЫС I1снытаНIIй IШ Hp '1('1IIIС:
9 V 7.
А 1 '
a
1,(0 9 =:::: Т н ПР(';{СJJЫlOе lIапрнтС>ШJr НрlI 1\I';) чrn I! 11.
т н
I\рИ1'f'рнii прочности ФРПД'laна. :JTOT ЩЧПС}Jпii базпрустr,л на pac
('\lОТI)( ШIIf Дllш'раi\1М Мf'хаНJlческоrо СОСТОЯПlIН, },ОТОРЫС етроят lIСХОДЯ
I j ,1 TUI'I), что, В заВIlСlIl\IОСТIl от типа напряжеНIIоrо сuстояпин, l\J атерпал ы
"orут разрушC:lТЬСЯ от рас.тяrпваЮЩIIХ наПРШJ{('Нllll (ПУП':'.I отрыва)
I1 ОТ касательных папршкеппй (путем среза). Сt'ОТВСТСТВСIШО :JТOыy
,',IJ.ШЧ<\ЮТ две хар1:tктерllСТШШ пrОЧIIОL:ТI1 СОllрот.иВJ!(\I1ие отрыву
,\'''r' НрСДСТ<ШJшющее собоir ВС.!II!'ШIlУ 1I0p:\la.'jj,JJblX lI<llIРШ!\('Jшii на
IIОШ'рХНОСТН разрушенил в н('рвом С.1учае, 11 СОПрОТIШ.тIеПl1е '.' j>C;JY 'n'
IIреДставляющее собоЙ всличину касательных наПРШ}iСШIН ВО втором
случае. Обе характеристики ПрОЧНОСТl1 SOT 11 '1\ не завпС}IТ ОТ тина
l!C:lнряжеННОI'U состояния. :Кривые дсфор:.НЩИll таl\ЖС не заВlIСЯТ от
наl1рлженпоrо состояния.
Нарушение прочпости путем отрывн описываетсл второй теорией
нрочности
a 3 i\B II == crl f.I. (cr z + crз) =::: SOT' (6.26)
а нар :шение прочности BTOpOI'O вида третьей теорией пр ОЧlIОСТИ
'"шах ==
а1 а:]
2 :..:;.; t K .
(6.27)
1i1
ДИaI'раl\ша меХ:1ПIРJ('СIюrо состолния СОСТОIIТ ПЗ двух дшнраl\Jl\1
(рIIС. 102) lщаrРnШIЫ n ноор;щпатах 't max ' а эюз II == SOT П
ДIlаrрЮНII.J 'tmaJC' "(шах' 1I11 ДП:Н' pa\BIY напоснт нреД('ЛЬJlые ЛШJIIИ,
СООТВl'ТСТВУIOЩl1e Прl'д(\лу теI\учести при СДВllrе 'С т , СОПРОТIШЛРШIIO
срезу t}{ 11 СОПРОТИПЛl'ШIЮ отрыву 501" Отт,лоштпе ЛIJIIШl совратив-
Л('ПIlЛ OTP:,JBY внраво выше предсла текучести соответствует Iюзрас-
тuшrIO сuнротrШ:Н:ШilЛ отрыву с ПОЛВЛ2IШС 1 остаточных дсфорыnциЙ.
ДЛЯ х<\раl\терIIСТШШ тппа НltНРЯif\СIшоrо состолшш IШОДПТСЛ
коаффuцuеlltn .Шlекости
РllС. 102
(%==
't max
а ЭЮЗ Il
(6.28)
РаЗЛIIЧJlЫ(' ННПРНШl'III1ЫС состоя-
ПЩI изоБРЮl\аютсл на Дllаrрамме
ЛУЧi1l\IIl, таНl'еllСЫ jT.1JOB lIaI{лопа
которых равны С1..
Прп всссторошrем раСТНfI\СПlIll
(аl == а 2 == аз)
'tтax: == о; с1. == О
II луч совпаДаст с осью аБСЦIlСС. При просто:\! растлшсшш (аl == а;
а2 == аз == О) lшеем
а
't max == "2; а эшз II == а; с1. == 0,5.
При ПРОСТОМ сжатии (а 1 == а 2 == о; аз == а)
а
'Стах: == "2 ;
1
а:: нш II == р-::; с1. == L).L ·
Прпппмая f.L == 0,25, паХОДЮI с1. == 2.
Рассматриuал .'IУЧIl, отвечаЮЩllС ра:j,'IIJЧIlЫ:\1 ТIIШ1:\I lIаПРЮI,еlшоrо
состонпия матсриала, l\IOII\CM ПрIlG:ШЖСIlIIO установить ВИД разруше-
НlIЯ п выбрать, СЛСДОвuтелыIO, 1IU: ХUДНЩУIO теорию ПРОЧlIОСТИ. .
Иа раССМОТрСIШЛ на ДlfаrраМl\lС луча 1 ВIIДШ\I, что он раньше ncero
пересекает лшшю СОПРОТlIвлешfН OTPblWY. СJIсдоватслыIO, материал
разрушится путем отрыва бса пре; шеСТ13ующсii пластическоii дефор
маЦllИ. JIуч 2 пересеJШСТ спа'Щ:lа :ШIlПIO ТСI{УЧССТII, а заТР!\f JIППШО
СОПРОТИВ,1ешIН отрыву. С1С; U13ате.1Ыro, нрн даllllU:\1 наПрЮI\СНIlОМ
СОСТОНlIIШ рааРУIlIСНШО ПУТС:\I О1 рыва ПI)(\; llIсеТJlУ('Т П:IaСТllчеСI ая
дефориаrщн. ) ЛН llаПрШI\СllllOrо СОСТОНШIН, ХЩНlI\ТС[Jн.lуе:-'lOI'О JJУЧОМ 3,
раЗРУШС\llIС npo:IcXO;\IIТ после П.1аСТllчес! ()ii Дl фОJШ(ЩIIII путсм срсза.
В С.1учае, I,оrда .1lУЧ сначала IICpCC('I,aт' :[11111110 СОllj)(JТI!IШСНIIЯ
отрыв?, С:IСДУСТ lIО. ' II>30IЩТЬСН Т('ОРllrЙ It):[()IIH .\Jopa, IIrpBoii IIЛll
BTOpoii ТlЧ)РJlсiJ: нрочпостн. ЕСДlI Il\С СННЧа,'!u 11l:pr'cl'!":;Jl'TCH :IIfIIIIЛ аре-
N-,ла ТСI\УЧССТlI, то расчст ПРl)ТIПUСТИ ДО:liI\('!I I1РО.l:\вО;1I1Т!,СН ПО третьей
ll:Ш чствсртоii тсорин ПРОЧIIОСТI1.
ТaIШl\I обра:ю:..r, днаrрЮI:\IЫ l\IсхаШIЧССI\ОI'U СОСТОНIIШI, с IIзвестным
прuб:ШrнrШI('М, отраfI\ают ТlIП разрушсшIЛ в :lUВlIСIШ()СТlI от вида Ha
ПрЯil\СН ПОI'() состоя IНIЛ.
3аМСТШI, что луЧII, пзображаЮЩlIе папрml\(\llIlUС сuстоннпе, ш.J:Iл
!Отел пряыьпш ШlIllЬ до ДостишеШIЯ Пр('; С:lа тс}\учсстн.
В заключсппе настоящсЙ r.'IaBbl привеДСl\I в ВIIДе таблицы СВОДI,у
рассмотренных и друrпх теорпй ПрОЧIIОСТИ, встрсчаlOЩИХСЯ в сопро
тивлеюtи матерш\.1JОВ (см. табл. 14).
172
.....
со:;
1::
1";
\='
Е--
-;-
t:>:
C::I
;::
Q..
C::I
:'Е
о
:J::
Q
с>
1::
....
с'::
....
Q
1::
с..
t::
=
с
r-:
=
Q.
l1i
f-o
:з
..,
..::
S
о
с.
....
о
=
е:
f2
ё
f-o
Q
О
Q
О
C:.J
с)
с.
=
=
==
с.
с)
f-o
с:
С.
'';
==
t:I
!:1
ЕЗ
S.
о
>&
Q)
t::I:
<:)
:::J
1:::1
ф
Е-<
t::
Q
О
t::
h
О
О
:::J
::r:
р::
J::::
.r- .....:
..
""
IU
w
;:;
с..
C::I
со
C::I
с,)
tI:.
с..
t::
со
::ч
с,)
;::;
J::::
....
'»
\>
'"
о
....
о
с::
:Е
(;::
о...
1:::1
CJ
C::I
с,)
о
t;t:
Е-<
:::;
с,)
J::::
со
t::
;t::
(1)
\
'"
:.::
с')
о
eis
::r:
..о
....
Q
О
1:1:
р::
1::
Q
C::I
Q
....
::::
::1
I
.....
о
.....-------...
о
+
""
о
+
...
о
:;.)
с,)
C::I
1:1:
cli
о..
t.)
о
;.--,
(5
::t:
ф
CQ
"'"
з
'-'
s-
\='
О
\::>
О
О
C::I
Q)
::а
с>
J::::
Q)
t::I:
с>
о...
t::
О
cts
1:::1
со
J::::
со
:::+ I Ic>
о... о о
с,)
Е-<
со
о
....
о
tI1
C::I
c'j
q
о::
J::::
t::!
<:.:>
::Е
t::
..::
t::!
со)
о...
C::I
I
,::,
ь
+
ь
,
;;---
o
о
+
""
<"
\>
<:о,
Ь
+
--;;
о
о
::ч
::t:
с,)
f-o
Q
....
Q)
i:!1
Е-<
О
............... 8
....
.....iC\l
=а
Q)
;.::
@
о...
!:1
11
с,)
=
i:Q
t:(
Q
:;
О
....
Q
:::
.:::
:!
Е=:
со
u
::;
О
::::1
:.)
О
О
::1
'1:
О
:::
:::::
t:j
с,)
;е
tt:
Е-<
о..
о
:tI
Q
О
О
C::I
:ct
О
::::
с..
t:;
I с> I <::"
Ь
11
J-.
tI:.
t:>:
+g I c>
tI:.
Q..
t::
о:
:s:
С:::
о:
\:r
Q,)
о-
1:::
s
5",
C':i:!i
Е-<!-<
С:::'"
E-'a
....r-
=QtI:
...0<:.)
>=-
t::C:::
g-
tr
ф......
\:r.......
...Ро
....Q,)
>=-Е-<
.... .
Э:?о.
8:'::
':':!:
es
ё5
:.::
':')"
. tI:
О:Ро
r:; &:: Z:
со) == ьст)
:::::0
;::1:.0
Q,)O
;;::r;
"f-o
C'::r;
8'<:.)
.с.:с;
ь i:Q
c..;t; о о...
1:::1t::@
"":'0
.... Q.. с.. ;:с;
X S
ф'"
:а ;З :Е
Q ""
= i5
t:: со)
о i:Q
6
х!:1
:а ::1
1:::1
t:(
o 8.g
:Z::ч О ;.::
3 ::01
Е-< .... О :.);.::
:::: Q t:::
;::"'°0:J::
Qi=: 2.
Е-< t::" со)
;:C;
::1
gJ::::Q:J::t:(
>- g
;2 ь
g;
с=о....
'-' О со
g;,:;[;
8.
Qcot:(
::1
':co
с tI1
0..0""1:1::
8 ::::
g-
'-' .... ;е
!:: u Q
QQ O
....8
'E-< :.;::
O:::c:,)
;'
11
с')
о
g
о...ф
о...
tQ Р::
Ф
::::0
....ef
<;,)
00
::ч ....
с..<;,)
с> со
J:!:I
о <;,)
t)
о
q:O!:1
:J:: с,)
t:I
'
C::I
"",c::IQ)
,::1 1:::1
Rg
t:I....tr
,-,c>
t::"!:1
S;:
J:::: ..:::;.)
о Q t:j tI:.
OOt.)
0(,);;0
g ;
;: s 5 ::о
.....:::1 tI1
::<
,:::;: ф 1:::1
""'t:I
... Q) q:
o d'g.
с.. ф .... о
о 0..::: ;:с;
tф
о i:: Cjj...
tI1.....
"fЗ '8
::l, ::I: !:1
<'>
о
+
""
ь
""
:L
I
е
о)
о
...
ь
'"
;!;
'"
\>
:s:
ро
Q,)
f-o
:s:
о-
j.1:;
',.,:::i S I . ::::,...-----
:= . u
<;"r:!: . ... g@
;C :;
t:::g[1 ::; g-I
::::;: 1:::1 ::;::;;::: .;:.: >& со .....
t:: со tI:. о::;: со) ф
6;:: ;:l.;;t::io U
::;; t:: ФI:::: 1SI.
....R J:::: :E:: ::::;g
c..o::a t:I@G.) o..o::O o@
;;::: \о ...,.::tI 1:-< \о !I:...,. Е-<
173
""
"-<
""
\0
t::
::::
'L
<L
ct:>
а
Q.
::::::
а.
t::
а
"'
1'-<&::1
I'-<
>::.
t:::I:
p.C';:S,
с,) P..- .
....1'-<::::
х<:.>;::
:::: 8.
::G ""
S
== Q=
s:::.1'-<
I'-<
6'
O
<:J
I
C';:Stt:
t:::::
"'
:G
С):Е
t:::
r; t:: i:!i
C';:! ::::
?i
:::"
ЕЕ
E:
'iS:
р,.
<:.)
1'-<
:;:
Р.
::t.
. -, ' . s1
r;:; '
;,
t х :::! 9,
з;:С ::"
=:.:: с
F-< ..... F-< U
s.
о со) ....
5
t!:: a
с; Q :-J
F-< Х е
С С F-< S
Q :2 Q ё3::::!
C)aC) a-
с р" ::Q ""'
OS
g z=-g.
;....,Ef >&
t!:: t!::
::rJ
ф с:,)
'-"-
:
Е-< . t!::
a9
F-<
:о r-f
g.
""" о
2,.:'::;"::
!:::
<':
Ь
....
ь
'з
;:;
ь
. -;-
lS:i :..
;.:;
:::::1 .....
[ x-----
S ::a :=
E-<..CI 1:1:1 lS:i
lS:i =
*
: а
'-' ..... ..... Q
S со)
, ф
'-'
:'1. Q
[5
с:.::> со.> """'1
..... .... tI!
i':;..... С
Е-<;':; @6
c o.
::; X
:з ;.с: '-' ...
..... о ;
е------ ::а
°s t
t:-: ::::
gg t:('"'
9e:: g,
.... с,; с:,) .
o' Е-<
>< Q ..., ;';",:::1
6..
@с.,фtI!
!:;
g =:::: ::s
..;;3..=
cl.
t""'[
.... ..... z.:-J
5 = 8
.,.ooj "...........
..... '-'
;::-'5 х
......
ё 3 t:
,,
E;::
=s--5
ь
;:::;
ь
&; 'о I
;.:; 0 @ С =
o.i':;::';:=:;t:
а.> \.Q ...
,,," . C.
'= ::: lS:i ';' I
o,Q)';:: ::::i=<:;:!
p"s ffi
4si S. :;:: g. tI1 9
S;
c:oo
g.;::u(,)
.
:;: 03:=
;:; tI1 ::: С
с) ;" r-: ::=
i':; С ф .....
з о.
t;
t;g.....s
;.., t!:: i:1 8..
:::: С
t!::
1=ic:::
t!:: t; а; lS:i
8
g::c 6:
? ::; х а
::::: :s
:!::= S2
з 8.::::
!=:q:o.:::E-<
С:З
5
ё:; tI1
:::1
P::::-i
o.
с,;:.>
С
;.:;
ф
g
a;t: ;;:J
:-J 2-
E't!::S
Е-- :З
а
sg:g
""
l,
....
l,
;::;
l'
С
r-:
;...,
::::1 ф
[S-
с:;
I
Ш
5. :::.;
с;'..... t: :
.... с ф
:t:
tx:: . :;
ФФ О..
g-
=
:.... . I
- :з а
:>< о u ..о
,
Е
ф
t!::':=1 :t:
t!::
<:J U t::
I
с:,) о.. lJ :;
:з:t: 11
ё.. +C
t::::::= lJ (';)
;:! :::.1
:з S
t:;
..... Q
<:J с:,) f-<
o..
t!:: ф :::
со:: ..о cli
t;
ё:; g
g '
g
0 8.
t:: :::1
g;:!
a
о.. 00 ::::
+
р.
lJ
;-...:
,.')
11
:G
lJCQ
, /
/'.
...............
<:r;
:
lJ
"" ....
lJ
lltf
+
I
")--
C'1:C"f:I
с!:!
=
t:t:Q
""
::s!
:SI Q
0..1:1
=-*
0..:>'
Ц:I
t!::
с,)
t:
:I
Q О
:; 3
::2!:;е:
Q
CC:
I 6-
tr:
""
t:t:
с!:!п:
с..о..
о
O
:.::
g:t:
0..':::
се З
t:: с:,) Q
о::::с
о
O :;
\O :Д
t;5
C1:S0 Ф
t:::t::t=
+
р.
l)
+
х
I
"" .... 1 ' Q
lJ lJ
'"
lJ""
lJ
+
+
.....
I:'J
11
""
lJ
.....
lJ
i:!i
:t:
lJCQ
х
CIj
с!:!
U:I
':::
:SI
с..
cli
Е-<С!:!
=- =
c..t::
;C;
о t:: CJ
6= '
О
t!:: .
ф ф
Р'о..
.O
Q
'
.....
с:;
:; t!::
8
;::.... (':J
о t::
t:
z.
:t: :З
:;
1=:
с:,)
f-,
с'::;
(.;
с':)
:.t:
(':J
t::I
1>< о
t:: .
'--
с
l'
Q
f-,
cli
S
t!::.....
u i::.:
g. 8 ;.<
@ I Q U
ф"", lJ С,)
:? 11 е:
t:: + lJC 2
6 ?
t:: с':!
с':! ::>:
o..
с..
о
о
c$
:;e:
;!:
'::01
:д
:::: S
OQt!::
се =: U
000
....
+
р.
lJ
х
+
::-
:
+
е
lJOi
?
6
;;:
о
r.
':::! ;;Е
I
f-, CIj
::: i:tI
с..::::о
:.::: \.=>
:::I::::g.
b
ct
r tx::
;:::>:
Е:
о .
c..
Q О
Q,
с,)
....
""-
5
f:; 3
f-,
c... u
СО
(:1:: u
....
о
>-
с:,) >:
о ':
C
!\
(.)X
r:::=:=
о:;::
3
\01:1
C1:S0
t!::
t"j g
=:
gs
' a
:= с.. ф
t; s
o=:;t3:
3:::1с..
8- о
g;>
t::::[ :t:
....
lJ
.... .J
l' I
-'""" Р.
\Х lJ
I I '
..... х +
11 .....
е I
ii
p-,C1:S
""
(':J
..... о.,
. :: t:::
g.,
... (':J
:::10..
с..С,)
.., I I
l) lJ
""
,:--: \х
1+
.....
+
175
....
'о
1i:
;::!
::е
с
с
Q..
1:::::
cr::
:s:
а:
р<
<:.J
S.
t::
13-С)
;<S
""'1'-<
<:.J(.)
Р..;с
g )=
I'-<:S:
::"(.):I:
:= &
o::t::!):
C'::Ji::-
o:
cr:>:tr
P.
....С)
>:"1'-<
I'-<
z.
;j:G
!]:
"'.....
;S;"
р:1:::1
:.:;с.>
';1' :t:
cr:tJ:'
S
-- cr
Cl)::t '...
o
g
"'::...
р.::
JЗ
со
:s:
:::;:
Q)"
1'-<
i::
р.
;;с;
176
";
::: о ::r r--
g- t--
c
g со-
<:)
u . ' ... '? ......
о Q S
c.
2
c:o o . '
u.....
'6= iЗ
O
о..с::
З
a:8
:;=
c;j
I:!:i
..Q
...
u
О
I:!:i
><
о..
<:)
i:1
О
t:::
C::!
C':J
:g i:1
g
c
с
c.. Q
c:::
t
1 +
<N
\.)
>.
с,,)
L......J
NI "
11
'"
:с
с"
(
C::I
О
:t:
:::;: 3
C:Q
с .
I::{
0...
C,)
:з'6
lO':f '.- Q
i
Q o
с...
..... =0><
. ;:"":I;:"'"
.. ..... ..... C::I
c..::6 O
t; c..
J :
:t: :G;:..:;
i:::I:':::5
o:ai:1 uE::
; [o
$f ; Q :; t; :;;
.... 06=
Ь! t:::Q с..
Ф ",, :: . g
0:S:C,):;::t't::: О
,.. t-- I:!:i
:: ,...[ oiЁ@
:: GP-
:t:a:Lri:::;t:::2:::;
g 2.><Q.g
01=: ; ::аФQ
;::;:: ot::: oo
0<:) ф С::
u
, :S
"'" rf.)
О... C::I
t::< Q >< с...
o::a\O
o e g
::t ..... с...
8.
t::: g I
Е-< оС
<:) t; 11
i:1 t:::+ c
::а О О о
Q:t: :t:
=:;0
с... ><
Оа::а
t:::
о с r(
a8.
о..С:: О
О o,t:::
><t;
.ь ..;
Qc...:tI
0c::l<:);'::
ca:t:I:: O><
g.E=:
:.::: <:) Е-< :.:: С!:! :а
i1 Е-< 1=:
><;"" t:::
IS: u Q.
U '::= 8. О
с IS: =
t::::s:I
с... Е: ><
. o..U::!1S:
cr; '=:1 >< ::: 1:1:1 S
<:'j :S: t:r :::1 ..Q
::= С!:! ::а <:'j
'-' :;а i:1 О
Z. О * е,;)\О
с::: ..... ii:S :3 Е-< ,:::;:
O..g,.....- S?=c::
;:::::lc:C
O:s: о caS?:.::
v ' s.
s.. +g8.8
i 6=Ь
Q:::;:;::.....c...
g::g:.:::.::
>< C::S Ф '::1
g. u :::..Q
I:I 3
З О
.....» с...»
0... О <:)
:t: С: ,;::: Е-< р.,
oc:...Ce,;)E-<
O:;C;O
@ '
::t: @ I :r c::s
:::: c::s Е.. c..'=:I
g l
1:!:i S?C:
g '15 g
+
t>
ь
+
+
--:::: (.)
i fl
, tl'" "+
+...............
t <n.
+
:i.
N
""О'"'
+
G'.I
+
ь
;:;
I
......
....,
+
....
\:)
11
с')
о
с';)
. i:1
C::Sc
e,;)
с: ф
t:::
'::=
I
со
Е-<;.::
[;::
8.
. · ... ф .., 100
a:J:::t:::::a::a=ro .
О>..t:::t:I Е-- О I
E-<с...t:I' ОQ;;"
gК=I:S:Iс... ':I::r--
Q......2 g ci
O) t:lro QI=iE-<
g
o[ ro
о) о..ф:S о c...ro
I=iфl:S:lg.....u Е--<
8. Е-<ф ::;:8
t:I;;; ---:- C,)
E-t><=О)t:rJ:::ro
Ф ::а ::;: I:S:I:::: . i=:
;g= s ...фro
::аl=iф C'j::::::!1:I
Q8.:.:: o.: ffi
о ::а:::рrЕ-<
O= QE-< :тj
l=iro Q c;;
og ><
@t:1 =Е-<J::: g
с... >&Qo....
3 5. Z @
""'= ....J:lJ:lt:rM
t:::и= фuE-tс...Ф
с...ос-: .:91;. c...ro5 =
t!:::s"" t:lS=::at:lt:l
i. :
Е--<е:; .t:1 E-t E-t,Q"Cf.lC'jI><t)
E::-:::OM . oo .......o
t:= I3"I:I::Ii)Q,) .оС,)
::::: C: := ::aro a: о)
... QE-troQ=__::::IE-tо
QOQ:S .::a=::::Ic...E--<:::::":::::
1::{ =t:l::c...Q.,I:ZI =roa:::!'
ф :::::1 = О c'j t:r !:Q Q ::::1
;1:I::=Qt) ro :sgg&. b
1:I::;;:t:fg: c...::;:o Mi:01l:1:: ro
o =tI::=::a o e S
::::a.E-<E-< or-. "-io:s'-'"
o;o :S:SQa:IC.."",r':)
Q 2.: c... 1::: ()
Q 1::( t:I '::::1 t:I с... Q О
О :s ::: ::: о :::: .---..
= О 1:1:: Q ::r :S: Q ,.Q :
S g-g. 8g
:сg::;;g.6' E-t g
c... roo>&OI::(5. ::!' (,.)с,)
(,.)!:Q g::688
? I ,=
:g i:i
..C\lSO :::I
E-<a.=b
80::::
t:1 0 ::::Q.....
><:::::000.-
g. S
Q .....:::::1 I:S:I
о =: t:I
':::
roQ oc...""
:::: 1:I:: 0g;
5ggbo.-
""..... t:r О E-t
::;: = t:I'::>I
c...o::a ::a
==roc...t:1
::::::::::I ::::1 ф а:
QO==....Q
0 S' ё3
8 :s>.
;-
85 Е-< 1:::
с> I :::::I с... с...
1:1 c:;
I.J? ", 'ф
оъ а:1::(
11 О Q Ш с...
(,.)1::(0)1::(
а: (;)- ;;"::::::Q
ro о) I:S:I
5J ,::t;
1::(0..=1:1"
ФI::: I:S:Iс...1:S:I
5'
I I I +
w
е! ... ;- "'
t> t> :"jl """' "" w +
:'? ;; I -: о C'I"" +
+ 1 ......... + \;) е-1
... + I I C'I w
.... о +"1...... + w
о ......1 tj ...... ......... "" +
х .... ,........+'"'" ..........+ о C'l0'8 +
о I::t-....................",........ о"" О
11 " i ....
I ,,"",C'I + + w
C'I ,.,j
'1:1 N w
:t: I :t: .....:".] I / 1 + C'lC'I,.,j
о) 00) о о +
о ;;::;-/ ....
='J о
+ ......
о) " 11 11
1::(
.... tj <:.)
CtI ro О
;:е:
Q Ф
I:S:II::( о)
O) ::s
\о ..С\
'::: о) :I:S:I
=: 5.
I о)
E-t 0 <
=
с...= 0...
rлава 7
РАСТЯЖЕНИЕ П СЖАТИЕ
39. Расчет стержней на растяжение (сжатие)
с учетом собственноrо веса
IIапряженпе в любом сечении стержпя ПОСТОЯ1шоrо сечения ПОД
дсйствием внешпей растяrllвающей силы (рис. 103, а) с учетом соб
CTBeHHoro веса может быть определено па основе rипотезы ШIОСКИХ
сечений пu формуле
N(z)
a
F '
(7.1)
:щесь
N (z) ::r: Р + ,Fz,
l'де F площадь сечения; ,........ уделыIйй вес.
Очевидно,
I N (z) I шах == Р + ,l?l;
I N (z) !шах р + I Fl 1
а шах == J? F F +,.
Условие прочности будет
р
а шах == F + ,1 [а]
или
р
B
(a] ,l
(7.2)
...
а
о
Pl + lJ:.z
fF 2
с
Рис.
При Р == о
С1 шах == ,1,
а условие прочности принимает вид
11 [a].
'178
Отсюда предельная Длина, при которой стержень не должен разру.
шаться от действия собственноrо веса,
1 ,==Ш
пр "
а 1iритUllеС1'i,ая длина, при которой стеРтень будет разрушаться от
собствеНllоrо веса,
а в
lир== l'
ПеремещеНIIС любоrо сечения, находящеrося па расстоянии z от
сnоБОДНОl'О конца стержня, к которому приложена внешняя сила Р
(рис. 103, а), определяется по формуле
l l
Л ( ) r N (Е) dE -== r (Р + ,FE) d; == Р (l z ) + ...l.. ( l2 2 )
Z J EF J EF Е[1' 2Е z .
z z
(7.3)
Перемещение нюкпсrо конца стержня, очевидно, будет равно
по:lНОМУ удлинеНIlЮ стержня и опрсде.1ИТСЯ формулой
Pl 112
Л (z)z==o == 6.1 == EF + '2Е .
Учитывая, что вес стержня Q == ,1F, получим
Pl Ql
6.l == EF + 2EF .
(7.4)
::Эпюры осевых сил, напряжений и перемсщепиЙ показаны на
рис. 103, б, в, е.
40. Стержень paBHol'O сопротивления растяжению (сжатию).
Ступенчатыii стержень
Сте рЖl1е.ll равпоао сопротuвлеJlUЯ раСТЯЖОПIlЮ (СiI\аТIIЮ) назы
вастся тапой стержепь, в I{ЮКДОМ поперечном сечении KOToporo
напряжсния ОДИНaI\ОВЫ и равны допускае.мО fУ.
I1:IOщадь поперечноrо сечения TaKoro стержня
(рис. 104) изменяется по закону'
1 Х
F (z) Foe [а) , (7.5)
Р
rде Fo == минимальное сечение стержня
в месте приложения наrрузки; 1 удельный
вес; z текущая координата; е основаНИf}
натуральных лоrарифмов.
Наибольшая площадь сечения
11 11
F W Р W
F щц ое == -тат е ·
Рис. 104
(7.6)
179
Вес стержпя Q определяется пз услов ия Р т Q == [cr] F шах' от-
,1
куда Q == [а] F тах Р, или с учеТО l (7.6) Q == Р (е[аТ 1).
Относительное УКОРОЧСlI1I8 СТСрllШЯ paBlloro СОПРОТI1влеUIlЯ
сжатию Е == [ 1 ,
(] аGСОЛЮТllое У"ОРОЧСII 110
r а 1
А! == Е l == "'"'""Е l .
(7.7)
Рис. 105
Стержень равпоrо СОПрОТII R.'1СIIП Я деiiствшu
осевых СI1Л является ОПТlIма.'1ЫIЫМ с ТОЧIШ арепия
рационаЛhllOfО использования материала, что суще.
СТВСIIIIO в случае большой ДJIIШЫ стсржнн.
Ступенчатый стержень состоит из отдельных
учасТI{ОВ (стуненей) с постоянной площадью попе.
реЧllоrо сечения в II редслах Каждоrо участка. Он
аапиыаст промеЖУТОЧIluе положение .между стерж.
нем ПОСТОЯНllоrо попереЧНОI'О сечения и стержнем
равпоrо сопротивления
Сечепие любоrо п-ro участка при ДЛIIlIах уча-
стков 11, 12' 13. ..., 1n, ..., 1т 11 сечениях соотп€>т-
ствснно Рl' Р 2 . Р3' ..., рn, ..., Р т (рис. 1(5) мо-
жет быть опредслено по фОР lуле
praJn 1
Р п == ([о] Il1) ([а] 112)' аа] 1 1 n) ' (7.8)
Если Длины всех учаСТI\ОВ одинаковы:
1
[1 == [2 == 13 == ... == ln == " . === 1т == т '
то
Р п ==
р [о ]n l
([a] 1*)n
Р
( 1 1 ) n '
[о) 1
[а] т
(7.9)
rде т число ступенек в стержне; 1 ДШlIIа стср;юlЯ.
41. Статически неопредеЛЮlые БUНСТРУI\ЦПИ
Статll'Ческu неопределu.Нbl.ItU пааываютсл 1tOllClnpY1il(1IU, в эле
.ltеюпах которых УСUЛU!/' nе .ltорут быть OпpCaf'f{('llbl иа уравнений
cmamuJ<u. Кроме уравнсний статики lIРИ реШСJllШ стаТllчеСЮI неопре
де.1ИМЫХ зат ач нсобходимu lIСПОJIЬЗОПUТЬ такжс ураНIlСШIЛ, УЧlIтываlO
ЩИ е деформации Э.1СМСllТОВ КОНСТРУIщнif.
. Все статичеСЮ'1 lIеопреде.'lИl\1ые I\UIlCTPYKЦIIII ИIIН'IOТ так lIазывае
мые лишние связи в виде аакреп.1еШfй s стср/юн'й I1ЛИ l1.руrпх ЭJIсмеПТОll.
Лишними ТaJше СПЯЗII наЗЫllаются пuтому, что UШI не Яll.1НШТСЯ IIеоб
ХОДI1МЫМИ для обеспечсния раВlIовесия 1\ОНСТРУКЦItII и ('е '-еометричс-
ской неизменяемости, а обус.'10DЛlШaJО1'СЯ трсБОlJашIЛМИ к ПРОЧIlОСТИ
и жесткости конструкции. Число лишних НСIIЗВССТНЫХ, или СТСПСН),
статичеСl\ОЙ неопределпмости системы, устанавливается раапостью
]RO
МСЖДУ чнслои пеизвестпых, поДлежащпх определению, и числом
ураlЗlIенпЙ СТn'ТlIIШ.
При одноЙ лишнеii lIеизвеСТlIuii система называется один раз или
однажды стаТПЧССЮI НСОПрСДСJIIlмоii, при ДВУХ дважды статически
неОПРС,J.с.111моii и т. д. 1-\0НСТРУКЦII1l, lJОI{азаIlпые на рис. 106, а, 6,
2, д, е, нвляются однажды стаТlIЧОСI\1I псопредеЛIll\lЫМИ, а конструкция,
приведепная на рпс. 106, в, два,нды стаТПЧОСIШ неопредеЩIман.
/
р
а
-
t
pdIp
о
f}
Рис. 106
/
р
,
Решоние статичеСIШ lIеопределпмых задач ПРОВОДнт в четыре
этапа.
1. С т а т II ч е с к а н с т о р о Il а з а Д а ч и. Составляют ypaB
НСII!IЛ равновесия ОТССЧ('lIIIЫХ элементов IШНСТРУКЦИИ, содержащие
неизвССтные УСШIJIЯ.
2. е е о 1\1 С Т Р 11 Ч е с к а л с т о р о паз а Д а ч и. Устанавли
вают свнзь МС,IЦУ ДСфОрЧ<1ЦШШП ОТ;З;С.1JЫIЫХ элеыснтов конструкции,
Il ХОДЯ IIЗ УСЛОВllii СОIШССТIIUСТI1 деформациЙ. ПОJIУЧСIIllые уравнения
ннзываlOТСН ypaeHeIlU< .1tи совместности иефор.ttацuй.
3. ф и з и ч е с к а я с т О р О Н а з а Д а ч и. В уравнениях
СОlшеСТIlUСТИ выраа\аIOТ ДОфUР:\Iации uле:\lентов RОНСТРУНЦИЙ на OCHOBa
IIШI заКона rуиа чсрез деllСТllУlOщие в них неизвестные усилия.
4. С II Il Т е з. Решают совмсстно полученные уравнения ОТllОСИ
ТСJIЫIO ПСI\ОМЫХ I1CII3BCCTIIbIX УСШlIIЙ.
Пиже ПрIlRе: СII npIll\Iep расчrта О;ЩП раз стаТIIчеСI\Il пеопрсде.:!И-
1\ЮЙ трсхстеРЖIIСПОЙ систе11Ы ПUJ1ПССI\I1 (рвс. 107, а).
1. СтаТlIЧССЮ!Я СТОрО 11 а за;щчи (рпс. 107, 6)
Х:=---О: N з sin а АТ 2 sir. а =-= о;
(7.10)
у .=:: N 1 + ЛТ'2 ('05 u. + N 3 ('08 а Р == О.
Иа (7.10) нахоДИМ:
N з == N 2 ;
(7.11)
(7.12)
НН
113 (7.11) находим:
N 1 + 2N 2 COS (t == Р.
2. fеомстричеСI\ая сторона задачи (рис. 107, 8)
М: З М'2 .. t1l 1 СО5 а..
З. Фиэичсская СТОlЮШl :lа,'ЦIЧИ
(7.13)
(7.14)
м === N 1 l 1 . N')2
1 EF 1 ' J.lz ЕР2 .
(7.15)
lJ
с
JJ
у
р
р
а
а
Рис. 1()7
-1. Синтез. ПrдстаВЛЛR (7.15) в (7.11), ПОJIУЧИМ
N-zl-z. N 1 1 1
ЕЕ'2 ::'0. EF 1 С05 а.
Решая совместно (7.16) II (7.13), паХО,'l;Юl
(7.16)
Nl Р )
1 + 2 с 082 а. I
С 1
Р С08 а. > ( 7 .1 7)
I
N 2 === С)
1 ..L 2 С05 2 а.
I С 1 J
rДе
.
EF 1 . E/<'z
С 1 , С '}. :=:; .
'СlJ.1ИЛ N 1 1I Л' '2. ОНU;lа:ШСI, 3<'Шl1СНЩIШIJ от сuотн()шешlЛ iНссткостей
стержней. П03ТО)lУ при ПрОСI\ТИрОВОЧНОl\l расчете ВЫЧПС.тшть их можно,
задавшись HeKOTopbl 1 ОТНОШСlIпем жеСТI\остей стержней. В этом одна
нз особенностсй расчета СТЮ'lIТIССКИ неопрсделимых стсржневых систем.
18
* 42. Расчет rибких нитей
rибт-;ой нитью lla8ыlаетсяя стерженъ, способныЙ сопротU8лятьс.ч
только растяжению. Из шести компонентов внутренних СИЛ дЛЯ rиб
кой нити только осевая СИЛа не равна нулю.
l\ rибким ШIТЯМ относят про вода элеI\трических и телеrрафных
сетей, цепи висячих мостов, тросы канатных ДОрОl' и т. п. Точки под
веса rибких питей MorYT находиться нан па одном, так и на разпых
уровнях (рис. 108, а, б).
Основной наrрузкой rибной
пита из материала с удельным
веСО:\1 "( и с площадыо поперсч-
Horo ссчсния F является собст-
венныii вес провода с I1нтенсивпо-
стыо qп == 1 Р ' Однано ПaI'РУЗI<а
в rпбкой НИТII может создаватьсн
не только собственным весом
провода, но также некоторыми
ДРУI'I!МН фактора:\ш, папрпмср А
Д<.lВJIСШIСМ ветра, весом JIЬДа при
ОU';IСДСIlСlПIИ ПРОВQДОВ. :JПI lIа-
I'РУ3ЮI таюне преДПОJlаrаютсн p<lB
lIомерно распрсделенными по
ДЛине llИТИ. Интенсивности (Этих
наl'рУЗОК об0311аЧIIl\I соответствен'
но Ч В 11 q.fJ.'
Толщипа l\ОрЮI льда в зави-
СlIМОСТИ от :климатичесноrо райо-
на принимается равной O,5
2,5 см.
Давление ветра n rОРИЗ0нтальной Плоскости будет
а
Рис. 108
qB == pd
или
qB == kaqCK d ,
(7.18)
[';(с р давление; d диаметр провода с учетом ero увеличения
,\3 счет обледенения; k == 1,2 аэродинамический коэффициент;
'х == 0,85 коэффициент llеравномерности ветра; QCK скорость llа
нора. Выражая последнюю через скорость ветра в метрах в секунду,
а d в метрах, найдем интенсивность ветровой наrрузки:
qB == 636 . 10 4v2d [Kr/ tJ.
(7.19)
Суммарная интенсивпость наrрузни на rибкую вить может быть
определена по формуле
q== v (qп+ q л)2+ q :.
(7.20)
Плоскость действия суммарной наrрузки, совпадающая с плос-
костью провисания нити, не будет вертикальной.
rибкая нить относится к :классу однажды статически неопредели-
\lЫХ систем,
183
Прпвсдсм основные формулы, ПРl1менл:емыс при расчетс rllБRОЙ
нити в общем случае, RОI'да ТUЧКlI ПUДВеса IJll1 и находятсн на разных
уровнях (рис. 1 О!), (1).
Обы'IUО р!lеI1р('Д(, lСIJIlУIU паrру;шу q, дсiiствующую на пропод,
за ЮlIЯЮТ сТаТlIЧССIШ зю.нШ<J.JJСШ lЮЙ lШl'РУ31шii IJ, раСI1 редеJIСlllIоii
вдоль продста ДJШllUll [:
11 q
q == q 1 == cos р .
н
т;,( z )
у
о'
РIIС 109
Полаrал нить I1деадыl) rиБI\оii, можно СЧIlтать растяrивающие
усилии в любом сечении пити IШС,НСЛLIfЫl\Ш f{ кривuй провисания НИТИ.
В точнах закрспления А и В УСН.1ИЛ, дсiicТВУlOЩIlf:' D нити, равны реан-
Циям опор Т А И ТВ' Представ'тнlН реаКЩIll ОI10р II виде rори301Iталыlхx
(Н) и веРТИI\альных (R) составляющих, иа раССl\10ТрI)IIlIЯ статиЧеСI\ОЙ
стороны зада чи найдем'
2J z == н А + н в == о;
2J у === R A В Н + ql == о;
ql2
.11 в == 11 A 'l + R A . l """"2 == о.
откуда
ПА == Н В ==- П;
qt h
ВА==т+Нт'
qt h
в в == T ll Т'
(7.21)
(7.22)
(7.23)
184
Из раСС IOтреппя равновесия части ппп! (рпс. 109, б) паХОДИ 1
z === П + Т z (z) === о;
у =---' R л + q:; + Ту (z) === о,
от .куда
Tz(z) === П;
Т у (z) === П + q ( + z) ,
(7.24)
(7.25)
п rОРИ:10птальпая спстав.:rяroщая усJl.1ШЛ, о;щ IНшопая во ВССХ сече-
ШIЛХ, называется llаmJlжеllllе.1t нити.
Сумиарное раСТЯt'Iшающее СIIЛIfС n любо\! сечении IIИТИ
Т (z) === V т: (z) + T (z) V 1I 2 + [ н + q ( f z) т (7.26)
и маRСИ IaЛЬНО прп z == О, т. е.
11 ( ql h ) 2
Т тах =--= II2 + + Il l
(7.27)
Для полоrпх нитеii (;РIIпа J\OTOpblX по нрпвой ПРОВIIсаппя мало,
не бош'о чем па 10%, ОТ.;шчаотся ОТ ДЛШIЫ пролета) разппцз между
Т шах п Il пеВОЛlШа. ПО:JТо rу с достаТОЧIlОЙ Д';IЯ праRТПRII точностью
r)(lC'II T ШПП на прочпость B(>: YT по веЛIlчппе патяженпя П.
У"раВIЮlше I{ривuii ЩЮВI!С<llШЯ Ш1Тll Haii:;\CM, прпраВШID па ОСПО-
вашш совершснной rиБI{ОСТII IIIIТП плнБЮОЩlIii МО.\lепт нушо:
qz2
111 (z) == RAz Пу === О,
отнуда С УЧСТО.\1 (7.22) ПОЛУЧЮl
( ql h ) qz2
У == '211 + 1 z 2II '
(7.28)
т. е. кривая провисашfН ШlТlI пмеет аналитичесное выражение
параболы.
3а:-'ICТ11'У, что еСJШ задачу решать точно, СЧТIтая паrРУЗI{У распре
дс.:rсппоii раВIIО;\ЮрНО по Д1IIIJС ШПII, а 110 по пролету , то I\рпвая про
впсзшlН бу; ст цсп1l0ii .flIuUlcii. Прапан ЧUСТl, уравнония (7.28) пвляеrся
перВЫ.'.1 Ч:IСПОl\I РU:.I,;IOiЩ'ПШI ураВНС'IШН 1 ('ПIIоii JIlIШIИ в рнд l\1анлорепа
по стспеШIМ Z. !IСIlоль;юваНIIС ПРllu.llIiI\(-'ШlOlI формулы (7.28) па прак
Тlше даот вполне удовлетворпте.1J.11ЫС PC;jy.'Il>TaTbl.
ПОЛОЖСlIие Ш!ilШОЙ точки ПUДfJРIIlС'шюi! ШIТl1, кuординаты которой
обозпачены z == п. у === l' (рис. J JO, п), опредеЛl1М, прираВIIЯВ нулю
ПРОIl3ВО:ЩУlO прапоii чаСТII ураВIIl'1II1Я (7 . 8):
dll ql h qz
dz 21I + 1 н == о,
185
откуда
1 lIh
z =-=- а === + . (7.29)
:2 ql
ПодстаВIIВ (7.29) в (7.28), найдем наибольшее провисавие вити
1 f ' I Hh 2 + h { 7 30
У ll1 :1 '( 8Н т '2.ql2 "2 . . )
A 'A A
y J [: I; J Z
а ti y "
Рис. 110
РаЗ,ТIIIчают три харантсрных с;rучая расположения низшей точки
I\РШ30И ПрОВlIсаllllЯ 11l1Tll.
1. НlIзшая ТОЧJШ KpllBOii l1рОlllIсания находится в пределах про-
. 1("'Ta, т. с. а < 1 (рllС. 110, а). СоrлаСlJО (7.29) ::ITO будет иметь место,
l,оrда
q[2
1I < 2h .
(7.31)
2. Низшая точка кривой провисапин нахоДИТСЯ вне пролета,
т. е. а > 1 (рис. 110, 6). Это будет при УСЛОВIIИ
ql2
1I > '2h . (7.32)
3. Низшая точка KPUBOii ПРОВlIсания совпадает С нижней ТОЧКОЙ
подвеса, т. е. а == 1 (рис. '110, q). ДЛН эrОl'О С Jучая необходимо, чтобы
qZ2
1I = '!.h .
Во всех трех случаях IИОрДIlНС\ТЫ а и f' ПП3JIН\Й ТОЧКИ определя-
ются по формулам (7.2!J) 11 (7.30).
УстаНОВIIИ эаВJlСЮIОСТЬ l\feiKlY П::ПЛf{,еНИ('\l Il п стрелой nрови-
.L.... . .
(7.33)
/
z
Рис. 111
1 h
caH'u.fl 1. Подставляя в (7.28) z =="2 и у == "2 + f (РИС. 111), найдем
ql2
t .
8Н
(7.34)
186
или
q[2
Н===8Т'
(7.35)
Натяженис нити, выраженное чере:1 наIIболыпее провисание f', най-
дем llЗ решения квадратноrо уравнеllПЯ (7.3n) ОТIIОСИТС.'IЬНО Н:
1I== 22 [/' :f:V f'(f' h) ].
Если низшая Точна :кривой ПРО1шсаJlПЯ находится в прrделах ПрО.lета,
ТО перед IИрНСМ берстся знак «МIШУС», ССJШ вне про.;тста :llIан
« плюс).
Рассматривая rеометричсскую сторону задачи, устаНОВIIМ спн:зь
между длиной подвешенной НlIТи S, проле10М 1 и величиной провпса
ния f. ДJIИНУ элемента нити, УЧIlтыпан Ma,'lOe ЩЮВИСiiние, можно Bыpa
зить следующей зависюIOСТЫО;
1
dS === V dz 2 + dy2 == [1 + ( ; )2] 2 dz [1 + ( )2] dz. (7.36)
Подставляя ПрОIIЗВОДНую от выражения (7.28) в (7.:36) и ШIТС-
rрир} я по всей ДЛИllО, пайдем
q2[З h 2
S === 1 + '24Н2 + 21
(7.37)
или, учитывая (7.33),
8 12 lL 2
s-== l+зт + 'П.
(7.38)\
'Удлинение подвеrnеППОll ШIТИ от растяжешIЯ равпо
q2[3 h'!.
!::.S== S L == 1 +- '2.11/2 + L,
(7.39)
rде L длин а IIсподвошеПIIОЙ ПИТИ.
ИЗ рассмuтренпя физической сторопы задачи устанавливают заВII
симости изменения длины нити от растяrпвающеrо )'СlI.lIШ II ОТ II;)M('
нения температуры.
ПРИIlЮ'ШЯ для llОЛОl'ИХ нитей за расчетное раСТЯfпваlOщее УСJI.IШС
наТЯШСШIе Н и заменяя длину ЛИПI расстоянисм Н'\ЖI1;У ТОЧI,ами ][од-
веса [1, найдем удлинение нити по формуле
Hl 1 Hl
!::.SH == EF == Е// С08 .
(7.40)
Температурное удлинение нити определяется формулой
al
tJ.S t ==.. al1 (t t o ) == (t t o ),
(: 08 t'
(7.40а)
187
rде (t КОЭффПЦIIСIIТ Лlшсiiноrо расширсния материала ПIIТИ; е()
ТС1\1пература в 1\101\1<'111' по; всшивашlН ПIIТlI; t теШlсратура, для
"оторой ПрОВОДllТСЛ расчст ШJТII.
СуммарIIОС И3Ш'1l(>Шl\' lIСХОДIЮЙ: ДЛIIlIЫ Iштп
lJ l al
6.S == 6.S 11 + 6.S[ == EF COS Р + ws ;j (! (о),
ItрпраВШlDая правыс части (7.39) 11 (7.41), выражающис одпу
и ту жс ВСЛllЧIШУ УДЛIlПСll1IЯ подвсшсппоii IШТlI, IIайДСМ:
(7А.1)
q2[3 h 2 Hl al
L .:: l + '2.4112 + 2l Elt' cos <.:US (! (о).
(7А2)
СОВ:\Jсстпое рnссмотрепие уравпеIIиi1 (7.:"\5) и (7.42) позволяет
опредслить наТЯШСllие нити Н 11 стрелу се ПрОВIlсаIIПЯ f. Опредс-
лив Il, по формуле (7.27) МОЖIIО паЙТII Т шах ' а ;шая послеДlIес,
ПрОВСрllТЬ ПРОЧlIОСТЬ по формуле
т тах II
а == :::::: "'""""V'" <: [а],
F L'
I
(7.43)
или с учетом (7.35)
ql2
cr 81 F [а].
Введя попятио удельпоii паrРУ;ШlJ
(7.41)
q
"( == р'
получим условие ПрОЧIlОСТП (7.4< ) П шщс
1 l '1
а [а].
(7 А5)
3Юlетим:, что при расчете элеКТРПЧССЮIХ проводов ССЧСIIIIе пропода F
опре;:J;е."IНСТСЯ из алеКТРПЧССЮIХ соотношеппii, а затем ВЫПОЛНЯОТСЯ
проперочный расчот по Фоr:l1У:lе (7.45).
БольшоЙ ПрЮ{ТlIЧССЮlii шпсрсс пре;:J;СТ<ШЛНСТ частный случаЙ
расчста НllТlI, коrда ТОЧIШ подвеса находятся на U;ЩU.\1 ypUllHe, т. е,
при
R == R == ql
А в т.
I-\ак и в общсм случае, останутся в силе формулы (7.:31) п (7.35), а урав-
нение совместuости цеформаций (7.42) прпмет ВIЦ
cos == cos О == 1;
h == о;
q2['J Hl
L == l + '24Н2 EF al (е ( о )'
(7.46)
На пра"тИI{С часто приходится учитывать D.'ШЛIliIС па напряжение
и стрелу провисапин IIИТИ измеuеllИЙ температуры и наrрузки. Пусть
188
требуется определить измеllСШЮ папрлшенпя п (',1fН.\ЛЫ проппсанпя
в СОСТОНШIИ п, харантеризуеМОl\l параметраМII [n' qn. (п, П п ==
q [2
== 8tn . по сраnпепию с псрвонаЧаЛЬНЫi\l СОСТОНПИС!\I т В момент
f 1 qm[2
по;шеса ШIТll, хараl\тсризуемом параметрю.ш Е т , Qm, т. 1т == 8/ т '
Решение постаВ.'IСIlНОЙ задачи l\lошет быть ПОЛУЧСlIО, ССЛIl nыpa
8ИТЬ Д.1JИlIУ L питп для состояний rn 1I п D соотвеТСТВIIи с (7.46):
q-:пzз II т [
L == [ + 2 EF ':J.l (tт ( о );
24JJ т
L==l+
q l3
24П
Ппl
EF (1.[ (tn t o ).
ПрираВIIЯП праnые части этпх уравпепий и ВВеДЯ замспу,
qm .
=="(т,
qn .
"/l- == "(п,
Н т
aт== ;
Il п
ап == ,
окончательпо получим
"( [2E "( l2E
aп === aт +aE(tт tn).
21а п 24а т
(7.47)
Зависимость (7.47) ипоrда пазьшают уравнением состоянu.ч пити.
Опа мощст быть предстаnлспа в виде
[ 2 [ 2 Е ] 2 l 2 E
1т 2 "(N
а п а т 21a (1. ип t m ) а п 24 == о.
(7.48)
или, учи тывал, что
lт l2 .
а т В/т '
"(п[2
а п == 8/п ·
в ВИДе
р. [ 1 2 З [2 ( ) 3 "( т[4 ] 3 "(п[4
'п m + 8" (1. t n t m 64 Е/;;: / n 64 Е == о.
(7.49)
При раЗЛllЧНЫХ уровнях точек ПОДвеса уравпеЛIIе СО ТОЯНIIЯ
lIИТИ соотnетственпо примет ВИД
3 [ 2 3 2. ип t m ) :3 Im l4 ]
111. 1т + 8" (1.[ cos :i 64 Е/т cos fn
o
64 Е cos .
(7.50)
189
J)убпчесное траJjн('нпе (7..19) П:Ш (7.50) относительно ln удобно
решать rрафllЧССIШ. Таи, 3ШIIIС3В Сl'О В виде f а/ п ь == О или
3
/11- == а!n + ь, rде а и Ь известные числа, строят rрафики
у f и у atn + ь.
Абсцисса ТОЧIШ пересечепил получаемой при этом кубической
параболы с прямой линией п дает значсние искомоrо провисавил /n
(рис. 112).
II рп p<lC чете нити
у
на прочность нсобходимо учитывать случаи
lIаиБОJIее Нf'блаrоприятных сочетании вртра
II обледенения, ВЫ3ЫD3Iuщих маю':пмаЛLl1ЫС
напряжсния в пей.
Из уравнения состояния (7 А 7) CJlel1.yeT,
что в случае малых ПрОJlетов при 1 О
О'п == О"т + аЕ (tm ( n ),
о
.fn
т. е. изменепие напряжений зависит rлаВПЫ l
f образом от изменений температуры.
В случае больших пролетов при 1 ..... 00
получим
р llС. 112
1п
о"n == О"т,
1т
т. е. напряжение в основном зависит от наrрузки.
I\рlIтическоii длиной нити lKP называется такая длина, при КОТО.
роЙ напряжение в нити одинакова в обоих опасных СОСТОЯНИЯХ (каl\
при напбольшей иаrрузке СОСТО[Iние п, так и при наИНИdшru ТСМ-
пературе состояние т), т. е. коrда
а n == От == [0"].
(7.51)
110лаrая, что [n соответствует температуре обледепеппя (обычно
t об == 50 С), при 1\ОТОрОЙ lп == Iшах' а [m соотвеТСТВУС1' паИПIlзшеii
Te\JIlCpaType t тin , при которой на нить действует толы\О собствен-
ншi вес "(, т. е. lт == "(1. найдем крптпчеСI\УЮ ДJIIШУ ШIТlf [ир из
(7.1i8) с учетом (7.51):
У 24а (tоб lmin)
l"l> == [о] 2 2
'шах 11
Сопоставляя расчетный пролет 1 с критиqеСIШМ lI<P' можно убе
ДIIТЬСЯ, чrо при 1 < llф наибольшие напряжения будут при наиболср
JlII3I\ОЙ температуре, а в случае 1 > lKP наибольшие напряжения F
нити будут при наиоо.'IЬШИХ uurрузках.
rJtaea 8
сдвиr
43. Сдвиr. Расчет на срез
Деформация сдвиrа харантерпа тем, что из шести составляющих
rлавпоrо вектора силы R 11 rлавпоrо момента М отлична от пуля
только одна поперечная сила Qy (или Qx)' а все остальные равны
нулю.
Примером сдвиrа или среза может служить дсформация полосы
при резке ее ножницами (рис. 113, а, б). Практически деформацию
сдвиrа в чистом виде получить трудно, так как она обычно сопровож-
дастся друrИI\IИ деформациями, и чаще Bcero деформацисй изrиба.
При наrрузке по схеме, показаиной па рисунке, на участке Ьс,
очевидно, поперечная сила
Q:::::P,
(8.1 )
а связь между наеателъными напряжения 1И 't и поперечной силой
будет
I 'CdF == Q.
F
Принимая касательные напряжения 't по площади поперечноrо
сrчения F распределенными равномерно (рис. 114), на основании
(8.2) найдем
(8.2)
Q
't==F'
И.1И, учитывая (8.1),
р
't===F'
(8.3)
Ф : Ьо'
.
а d а d'
Ра о
Рис. 113
/:
1.
Рис. 114
Допущение о равномерности распределения касательных наIIVЯ
жений по сечснию является весьма YC.'IOBHblM, поскольку В силу зa
кона парности касательные напряжения у верхней и нижнсй rранРй
19t
равны нулю. Однако принятое допущение широко псподьзуется на
праКТI1ке при расчете болтов, заклепочных и сварных соединений,
шпонок и т. п.
44. Чистый сдвиr
С.'lучаli плоскоrо напряжеНIIоrо состояния, коrда по четырем
rраням выделеllноrо элемента действуют только касательные напря-
жеIlИЯ (рис. 115), называется 'Чuстl,l \t сдви?о.м. Найдем величину rлав
"
П р
-r. с'
!J ....-
rб; б; /С /
r.j/ м/!с.
,6; Yd'
I (J .....
й'.......---
fjJ
а
d
6
б3 м Dc:t
б
Рис. 115
ных папряжений примевителыю к схеме наrружения, привещенной
па рис. 115, а. Для Э1'оrо, имея в ШЩУ, что в данном С:lучае аа. ==
== a == о; Са == ";; C == 1:, стропы I,pyr напряжениЙ (рис. 115, б),
из KOToporo следует, что
аl == аз == '1:.
(8.4)
Средние папрюкения в r:lавных площадках, совпадающих с фасад
пой rраныо, а2 == О. rлавпые площаДIOI наклонены к rраuям элемента
под уrлом 450. Под действием касательных паПРШНОlIИll элемонт
abcd, имевший форму квадрата со стороной а, превратится в ромб
А ])
Рис. 116
т
f
Рис. 117
а' Ь' с' d'. Деформация чистоrо СДвиrа ЗaIшючаетсн n IlЮIснеюш пря-
мых уrлов. Представляя д.:IЯ наrJIЯДНОСТlI .mCMrlIT, находящпЙся
в условиях чпстоrо сдвпrа, закрепленным по ОДlIоii нз l'рЮlеЙ (рис. 116),
() айдеМ
192
/!.S
tg 1 == а .
Учитывал малость уrла, МОЖС\1 ПРШIНТЬ tg"(::::: '(, тоrда оrпоеи.
тельиый СДвиr
Дs
'( == .
а
(8.5)
3ависпмость между наrрузкоЙ и дrформнцпеЙ при СДлпrр шщпа
из диаrраммы СДБиrа (рис. '/17), l\Оторая I\IOШОТ быть получена по-
добно дпаrра\lме напряжений при I1спытаШIfIХ на растящеюю.
Очевидно, в пределах JIlIнrЙl10Й заВПСШ.ЮСТl1 между "( и 't спраБед
ЛИБО соотпошение
't
'( == G или 't =- Gj,
(8.6)
rдс G коэффипиент пропорцпопальности, KOTOpblii пазт,п-ается
.модулем Ij/l py;,()crпи при сдви2е или .нодулеJ.t уп Рllроспщ вrпop020 рода
и имеет rаа'1ерпость r.rlC.lot 2 (или wr/.4tJ.t 2 ). ФОРМУЛЫ (8.6) выражают
заноп [уна IIРИ сдвиrе, заПI1санный в относительных координатах,
Из рис. 116 IШДПО, что удлинение Ы дпаrонали А С == l == aV2 равно:
Дl == СС 1 cos ( ) :::::: СС 1 cos 450 == 2 '
а ОТIIОСIJтеЛLНОС' липеiiuое удлппеиие диаrопали (в направлении 0'1)
ы Дs "(
€ == 7 == 2а :::::: "2
пли, учитывая (8.6).
"с
е:::::: 2е .
(8.7)
ПрШfСUЯЯ обобщеппый ЗLШОIl rYKa н чпстомУ, СДвиr (рлс. 116).
пахоДlШ
1+fJ-
€ == 1:1 == '".
(8.8)
Из сопоставлеппя прапых частеЙ равенств (8.7) :и (8.8) по,тrучаем
Е
е ==:; 2 (1 + !).) .
(8.9)
1 1
При fJ- :З -7- 7; G ==- (0,375 -7- 0,4) Е.
Испольауя (8.5), вырази'\1 абсолютныЙ CABlIr LlS черсз Q == F't:
't Qa
Дs == "(а == G а == еР I
Т. с.
Па
Дs == Gb' ·
(8.1 О)
7 5 1186
I 103
Формуля (8.10) пыраi-l\:1С'Т <1й1tr11l fY1m при сдвиее в абсолютных еди-
ницах.
Поmетщиа.lыtaJI эnерсll.'l dcr}OfJ.HaIfUU при сдвисс 01lреДСJlяется
формулой
!HQ Q 2 a
и === т == '2СР '
Удельная nотетщиа.lытл f}lIе[JсЩl ue(.!iop.1talfLlU при сдвиее
и
И=
V
Q 2 a
::С/?аР
'2С
(8.Н)
rде V объс \! :).'!С1\lСJlта.
rлаВllЫС ШШ]ШII ('IШЛ при ЧПСТ;J:\I С,1ВИI"С (рвс. 115, а) равны:
O'I -C; a!.::,, O; C:!== '1:.
у словил n РОЧ1l0ст,1 при ЧIlСПlО.и ('(}()'1 ,'С ; :нш lПУТСЯ;
по первоЙ Т('О1'lIlI ЩЮЧIlОСТII
GI-=- -C<[cr];
по второЙ теОрИII П]ЮЧIIОСТII
(8.12)
G J [J.O':J<;;[cr].
ПО;l,ставляя значсния r.1аП1lЫХ П:lПРЯ/I\('Шlii, ШIХО,l,lI:\f
r :J ]
-C< := [:].
1 т i l ,
(8.13)
ДЛЯ fсталлов [.!. == 0,25 n,.'f2, ПОЭТО\IУ [-:] == (0,7 + n.8) [0'].
По третьей тсории ПVОЧIJОСТIJ
0'1 аз [0'],
Отсюда
r О' I
'"с ["']
(8.14)
[1 ДОII снаС' IOС пап (111;1;('11 НО
[-с] =,. 0,5 [0'].
По четвертой теории пrОЧПi1СТИ
V 2 2
а1 + Gз 0'10'з -< (0'];
[0']
't V .
3
Следова те;:JЬПО,
[-:] .
10']
;;::,()fi J la j
VJ ' L .
194
Отмстим, что при расчетах доталоi'I пз пластичных матеРllало}\
(GOJIТbl, :-Н.tЮIСШШ, II1lЮШШ И Т. п.) Н<llIuолС'е lIодходящеЙ нвляетсн
lJl)СJI ДННН фОР IУJI3.
45. Псш)Торые примеры РЗС'Iста на СрС:1
PaC'ICT болтовых 11 :1ЗIШСПО'IfIЫХ СОСДIIПСllllii. При раС Т 1Сте болтов
па срез (рис. '118, а) услuвно I!IJlIIlЮIaЮТ р3СНрtЩCJ1СНlIе внешних сил,
( 'с
PJ, -:: --:S -<:)1
'( f:..._ __ _ _ _ _ _ ,
I \ . I
I f
О
Рпс. 118
пi.... .....
r
Q P
{j
дсйствующих на болт, 11 насателыJЫХ lIаПРЯiШ_ lIlIil в сечении среза
соотнетствующнм схеме, IНJlшсденпоii на рllС. 118, 6.
УСJlовие ЩJO'ШUСТll бu:'IТ3 на среа :\Ю;I\СТ быть записано в виде
Q
't ша х с::.::: F -< ['!: j
nd 2
ИЛИ, учитывая, что Q == Р (рис. 118, 8), а F ==- Т'
4Р
't max == nd 2 ['t].
Отсюда опреде.'IИ.\1 диа.\10Тр болта
d == V тt4[ ] . (8.15)
Прп р(\('чете бо.1ТОПЫХ или 3а!{ЛС1ЮЧнЫХ СОС'ДИПСIШЙ следует учи-
тывать, '!то llilrpy;mC\, IIplIJIOJНellll3H I{ ;JЛс.\н'птнм соеДИlIСНИЯ, помимо
сроза В\,J.IЫJЦt'" 1',lt,'//n'f(' I,UllТа!\ТПРУlOЩllХ ПОI3t'рхностсii. Под смятием
1I01lIIM<l1O r 1I.lilCfll'IeC}{YlO дсФорыо.ЦlIЮ, ВО3I1l1I,а!ОЩУЮ на поверхности
I';ОIJТа!ПН.
I )<lt.: ЧСТ на (,)IНТI! (' проводнт П Р!lU.1ШI,('1I11U. ПОС};ОJIЬКУ закоп paCIIpe
Дl':IСIlШI ДUВ:Il'IIIIЯ 110 lIUI3CPXHOCTll },ОII 1'<11\T<1 В ТОЧНОСТII не известен.
ОБЫЧIIО ПрIlIllIМ<.\Юl' liС.1IШОЙIIЫЙ ЗU1{UН раСl1р<:деJlеlIИЯ даВ.'1Р!llНl
7.
t93
РаССМОТрИ 1 занл('почное соединение, заклrl!I\II K()TOpOrO испыты-
ваюr ABoil110U cIJCJ (рис. 1LO).
По.т.аrая, что растяrива.ющая СШlа N pC:BIIO:\lepHlI раСllрСДl'Jl(:'на
мешду ЗaIiлеПl\амн, найде}1, задапшис!, AII3.MCTp\l:\l ааН';ICПОI{ d и ТО.'Iщи-
НОЙ .'Iиста б. ЧllСЛО aal\JJenOl< t из условнн прочности на СрС6
N
't == d 2 -< ['t];
2i T
. 2N
( . тcd 2 r't]
A A
t
или из условия прочности па
смятие
N
О'СМ == iXd [О'СМ];
РИС. 120
........ N
l -?' 'Od [О' I CM .
Рас(шт сварных соединений. На срез приппто (таюне условно)
рассчитывать II неноторые Cllu.pllble соеДИIlСНИЯ. Наиболее распростра
нены соединения в стыи и соеДIШСШIЯ с IIО:\lOЩblО уrловых или вu.ЛIIКО-
"./Ш ""} "''''',,:''< '<>I
а о 8
Рис. 121
ВЫХ ШВОВ. Соединения в стык ПрИМСННlOтся, кurда соеДlIняемые лйсты
находнтся в одной llЛОСI\ОСТП. При толщине листов б 8 .М.ч кромки
.1JИСТОВ 1Iе обрабатываются (рис. 121, а); при б == 8+20.мм кромки
JШСТОН скашиваются и CBUpl\u. ПрОIlЗВОДllТСЯ С одной стороны. П Рll этом
ПО.ilучается V-образныЙ шов (рис. 121, 6), при 'о >- 20 .нм НРОШ-Ш ска-
ШIlваюrся с двух сторон. Получаотсн Х. uGра.шыii шов (рIlС. 121, в).
Расчет таких швов ЩЮВОДIl1СН на рu.;зрыв. Расчотную толщину шва
ПрИНl1!\ШЮТ равной ТОЛЩШlt' листа 'о (наплавы не УЧl\тываютсн).
СоеДIlненин с по.l\lUЩЫО yl'JIOBblX швов Прl1МСННlOТ В СJIучаях,
lхоrда соодиняемые листы параллольны IPrtl перПОIlДШхуЛЯрНЫ. Н IШМ
/ aW
J !! 1]
Рис. 122
Рис. 123
относятся СUОДИlЮШIН внахлестку, с ll:.lIшаДl\а.l\111 и тавровые. Если
lIаправ.10ШIO нша перпеНДIIКУЛЯРНО к действующему усилию, то шов
называетсн лобопым. Швы, нараЛ.'1еЛЫlые Уl:ИЛlllO, на;зывu.ются флаu-
I'ОПЫl\Ш ШIl1 БUI\ОВЫl\1I1. ПрПl\1\!lIНlOТСJI таl'lI,С косыс швы (рвс. 122),
нu.праВJl( нные ПОД некоторым уrлом к деЙСl'вующей СIJле. На рис. 123
197
ПUf<<!:{ано С.НЩII/Н'lIне .1lICTиB В!lаХ:IС'СП\У .тJоБОВЫ !II шва ш, Н:.I рис. J21
СU ,ЦIШl'1I11е е Il:lJ,:I,IJ.l,a:-'li1, lljJHuapOlIJiIJJ'.1II ф.JШll'UUЫ:-'Ш IIlВil:lll1, на
рШ,:. 1 ) '! <illjJU!3(Ю Сt)l';LIШ<'ШIС.
OGw'JlIU IIpll рdСЧС'1dХ сварных IIIIЮВ Н:.IН;ll.JПЫ не У'Il!ТЫIsают,
а СЧIIП1 HYI, 'п,) Н P;\.\P(': (' yr:IUBoii шов lШОСТ ФОРМУ ПРЯ'ЮУI'О IЫIOrо
раВIIUО(';Ц)('IIIIOI'О ТР('УIU'II.lllll,Э (рllС. 12Н, о, fJ).
РаЗРУШ('!lI]( шва UY;\l'T ПрUIIСХО;ЩТЬ но cro
l\ШШlма:1 ыюму сечснию, BLlCUTil HOTuporo
rп f:j СО;' '1;)0 (),70.
A A
А I о ,
rБ Ч li
i -> u ,
А I
Рис. 124
Рис. 125
Расчетная IIлощаДl, ееЧСIIlШ шва : .'!lIпuii l составит
F == ml =- О,7Ы.
<?
H /
а
C
«:) Б У'
А ff:
5
Рис. 126
Расчет ШВОВ, Kal" 11 3aJCICI!OI" YC:IOB:I'j lIe;J.crcH в преДI10ЛОЖСШШ paB
JlOMcpllOro раСl1рС;J.С:Н)1II1Л II'ШJНlil\('lIIlii но CC'ICIIlIIO шва. l1сноторыс
311ачеlllIЯ : ОIlУСl\аС:-'IЫХ IIUНРЮl\('IIII [; BPIl растН'тс сварllЫХ СОС,lIIIIСllиii
KUHCTPYI\IJ.lIii, II;и'ОТUН,'IСШIЫХ в:! (:'1'. ; , ПРlIве;\l'lIf,1 11 таuл. J[).
Расчет лоuовосо шва. У'IILТЫВ,Ш, '(ТО СОIljЮТIIВ.:I('IIII(' С1'[1.111 срезу
IIIIЖС, ЧСМ СОlljЮТllu.1СIIIIС paCTHII\('IIIIIO, с()стаВ:UllOщС'ii IIОРМ(!ЛЫIЫХ
lIаIIрлжеШlii в :lоБОВU:\l шuс IIp( I[('iip('I'UIOT 1/ ptlCIj(''j' I1IIH)B IIj.ЮII:!В(),J,ЛТ
уеЛОВIIО на ср(ч, Щ)('r lII).'Iаrан, ЧТ() I\асаТС:II,IIШ' lIаНрНЖСlil1Н paBIlO
МСрНО paClIpe; C;[CI!Ы по 1I.1uщаДII ССЧРIliIЯ А н С/) (РРС. 12Н). При pac
чете добовых шuов соеЛ:И!Н'J[ПН IЗII<lХ:lесТI,У учитывают оба шва HOpX
ний И IIЮЮШIl. Их общuл Н:IOЩU: I, .
F == 2ml == 2 ' 0,70/ о:-=: 1,401.
УСJJОВПС ПрО'!IIОСТIJ :ЩПШIIСТСЛ В DIЩС
р р
't =-'-- F == -Т-4Ы ['tэl.
,
1 ==
р
Расчетпая длипа торцсвоrо ШIЗа lp опреДСJIlIТСН ФОР [У.'IОЙ
р
1,40 ['tэJ .
Расчетпан длина шва lр В СВЯ:Jll С пепроваРО f в пачале II n НОIIце шва
обычно ПрIIШВIaСТСЯ па 10 .H.ilt l\Iспыпе деI1ствнте:ILIIOЙ l:
lp == 1 10 .'/Jt.
Расчет ф:ип.>овых щвO(J. Ф:lапrОВЫl) швы 1/UПUU:/СС распространены
lIа праКТI1КО. Ои11 менсе rнССТIШ, чсм :lOбовые, l1;;н!а большсЙ ПрОТЯ
198
iНСII!ЮСТИ металла в паправ.''f(\ПIШ действпл силы. Фданrовые швы
Br r:l,a ставятся нарами. Они работают на сре;> в биссеl{ТОРIlЫХ сечениях
(рис. 127). Площадь среза двух швов
Условио ПРОЧВОСТIr па срез:
F:::::: 2 . 0,78 (l 10 JI M) == 1,40 (l 10 мм).
})асчет пруБОI\. h ЧllС:IУ соеди I1СIШЙ, прочпость ROTOpblX опр('д
ляетсн n UCHOllIIO:\! II:З услоннн среза, ОТlIОСНТСЯ ,пруGIШ, lIСIЮJIЪ2усмые
д;IЯ СОl'ДШIС!ШЯ ;.J.Сt>СШШНЫХ a:IC'MCHTOB конструющii (рие. 128). ДpeBe
сина ЛRлнетсл ШШ;ЗUТРUlIIlЫl\l матсриалом, cro мех Юl ItЧСОIПl е свuйства
заВIIСЯТ ОТ наПР<lНЖ'НШI С1I.IОНЫХ ВОЗ,J;еЙствиЙ ОТIlUСИlе.'ILНО ориеllта
ЦШ! ВОЛОl{ОIl.
Таl\, ;l,:!П СО('IIЫ 111)(';((\1 I!j)()ЧIIО('ТI1 lЦОШ, B() IOI,OIl равен "'()() h"r/C.H 2 .
ПОПСР('I{ НО::О!,ОIl ;-)O НТ/С.Н:!; ДМI пуба CO()TBi.'TCTHPIIIIO 500 Kr/C,H 2
11 1;-)() I;/'/".и!. Псле:LСТВ!Н' pa:!:!!I'IIi\Jii С()ПРОТI1Н:IНР:\lОСТlI древrСИIlЫ
ВДо.1Ь и IЮТ(('l)('(\ BO,iUI,OIl I1IНlХl>;lIlП'}j rrpllllll:\IUTb раЛIi>lС' ;(опускаеl\lые
наПРЛШСIIИП :(.'1П рНЗJlИЧllЫХ ННl1раll:IРlшii j(СЙСТШIЯ СИ:1.
llсюJТОРЫС данные о ДОIIУСI\ас-
l\IЫХ паllрЯЖСШIЛХ ДЛЯ СОСПЫ 11 дуба
IIрllвсдсны в таБJI. 16.
В начсстпс примера рассмотрим
расчст СОС'ДJlпенил строrШJll)IIОЙ lIоrи
со еТр()ПI1ЛЫIOЙ ааТЯiнкоif (рис. 128).
Yro:l !\1('I/',lY ОСНl\Ш стропильной
IIО1'И 11 :!ПТ}Ji!ШII uGU:JнаЧlll\I а, а СlIЛу,
дсjjСТВУЮIJJ,уЮ ВДОJJЬ СТРОШIJlЬНОЙ
1101'11, N. СrЧСНIIС (, rропплыIOЙ
HOflI р. . Ilb. I-\ОJlr!t ;затююш испы-
тывает С!;[t:IЫПШJllе вдоль IЮ.;JОI;ОIl нод Дl'iiСТlIие,\! l"ори:30Ilта.'lыlйй
ПрОС'НЦIIIl СШIЬ\ N
р р
't === F == 1/1 (L l() .1t.lt) ['tэl.
т
р j р
. -
I , '
{ 1
Рпс. 127
Длипа шва опре;(сляется ФОР IУЛОЙ
р
1 == 1 /,' t J + 10 мм.
,10 -':Э
Ar: ' J.
-:$ с<
Ak.
A A
Ь
.ц:..h
t
I'ис. 128
N l' N cus 7..
199
ДЛИПУ части 3а1НfЮШ х, выступающеЙ за врубну, опре;J.СЛИ\I из
УСДОВI1Я
N I N 1
'!: ша х ...=: 7.f'"""""" === ---ьх (,::],
ек
откуда
N 1
F CH == bx W'
а
N 1 N cos (Х
х:> --ьт;r == .
Необходимая Шluща;{ь С\I тил врубки
N 1
FCl\I C Ьу:> I ] .
L "'см
rJIуБИllа Bp UIШ
N I
у">
Ь 1 а ем 1
N cos а
btO'CI\I] .
т а б Л II Ц а 15
ДОПУСl\а(''f[.]С IШilрЯШf\ШIН дшl сварных ('()Сдит'll11ii, ur/(""l
ОСо,таЧСllllе
ЛИ;!,
ДСФОР\IaIЩII
Ру'!"а!! (u IрН'l
(ЭjIСJ-аро IJ,] с ["IH,Oll
()(jЧJ'!I\ОJ1)
А 13'10 1I,II'!"\I'Cl<al1
и 1\ У I fl l' I (' на !Нa
(J 1 '; J'(I() lЫ
(' 1 О С I (1 (.(iча 'JlЮЙ)
Р<.1СТЯiНеuпе
ежа тпе
Срез
. + 1
a9
[ a ]
[ '!:э]
tOO()
1100
800
ДОП ('i.а(Чlые на нртl,('IIШI Д.ЛН ДрСПf>СПНЫ
Вид дс fЮ[i\lаЦИII
060311,1-
qснис
р аСТЯ;lхеп ие
[а + ]
[O' ]
Сжатио вдо.'lЬ полоноu 11 сиятие торца
Сl\ШТI,е во LlР Иl\ах BJ.O.1L> ВОЛОНОВ
СJ\lНТП е перп ОП;lIШ !.'IЯ рпо К ВОЛОIша!\1
(на ;1. л ИIj{' GU:ICO 10 C.lt)
1 аС\! 1
['С I]Т:
2
200
1,ЮО
1450
1100
т а f> .ТI П Ц а 16
; O[] YCJ<:1e\lOC
IJClЩ 1>1 ЖСIIНС.
,..Т'/, \12 J,'JR
CUCllll Д yiJa
tuo 130
120 150
80 110
2-'1 18
II родо.lжеlluе табл 16
J ОПУС!,:lе\{ос
Обозна- наЩJНщенис,
ВИ;J. деформации чение 'i'.r / C., 2, Д IJ(
сосны дуба
Скалываппе во uруБI\ах вдоль волокон ['t ] 5 10 8 14
Сl\алываппе во врубках поперек ВО-
ЛОJ\ОН [ ] -;t 6 8
2
Изrиб [crllJ 120 150
Сlшлыnаии е прп llЗfпбе ['"С II ] 20 28
При 1\1 е ч а н II С. При С'.IfIТИIf (Н:Ш СI\З'IываIIIПI) ПО1 yrJI01\I ';t 1\ ШШР:Ш:IС-
вшо БО:lOКОII ДОПУСI<3С'Ю8 lIаПРЮНСllие IIJ\!cer ПРО'lс,!,У'I'ОЧJJОС 3I1a'leHIIe IСНЩУ
(oC:'>IJ 11 [ C\lJ '" Н'Ш С,] 11 r,J т; и мотст uып, опrе,\С.fСIЮ 110 )"С;ЮlilIOIi Ф()Р IУ,lе
2- т
r ОС\11
[oJ a i [ОСМ! ) .
1 + 1 "ln 3 "
(oc:\lJ;t
2
r.ttaea 9
I\Р}'ЧI::IШЕ
46. IIапряжении и дсформац и при I\РУ'lении
Напряжснное СОСТОЛllllе кручсшlЯ харю\теРllаустся наличием
в стержне единствеННОl'О внутрепнсrо СШIовоrо ф<.Н\тора I,;рутнщеrо
момента M z == Мир (рис. 129), т. е. момснта, деiiС'IВУЮЩl'l'U в НЛОС
il -
-i
JIШ!IJШШШ]Jl@
РИС. 12\/
РIIС. 1ЗО
кости попе рС'IIЮl'О ССЧСIlШ-l CТl' pil-\lI Н (UCT<1:II, 11 (,[(' I>o:\IJIOJJCJJ I'J,( внутрснних
сил pallIIbl нулю):
Qx=-=Qу==N==О; М х =-=Л1 у '----,О.
СТОРШСIlI>, рабuтаЮЩlll1 Шl I\РУЧСF'!IIС, Jlа; Lшастся ва,10.Ч. Экспери
мснталыIo ус rаIЮВЛСIIU, ЧТU Прll I\f)УЧСШIIl 13a:la ;J.ЛllНОЙ 1 Д13умл l\pYTH
щимп I\IOl\ICнта:\ш М н ' НРПЛОШСНIIIJl:\IIJ ПО I\ОIЩЮl uaJla, ПUС;ТСДНllЙ
будст заl\РУ'IIlВ<l1'ЬСН, т. е. UДНИ ССЧСЮIН Ba:la буцут lluвораЧИ13аться
отпuситеЛI>\I,) друrих, 13 то 13рс:нн ю.ш Д,ЛIIID. 13a:Ja остат'тен поизмснной.
РаСС I<lТрJJuал I\РУЧСIlIIС Ba:IU, HD.I'PYil\l'IIIIUT'U но сх(')!(" ПIНlВl'НОННОЙ
на РИС. 13'), ЛСl'КО ,I,I.\Н т[IТЬ, что Уl'О:I llOUl)pUTa ЧJ :IIU()OI'O ссчония,
Н<J.ходпщсrося па раССТОНШllI z !от H:CTa ::задеJl-
М К IШ llала, будет Te l ()ОЛЬJIН', Чl' I 1>0;11,111(, z и кру-
ТЯЩlIll 1\10:\I011T 11-1\\. CJlII З,ШРУ'Ш13ать lla.'I
l3lI:IOTb до el'O р<1 ;РУШ('ШIН 11 нредстаНIIТЬ
ааВIIСIПIOСТЬ ер /(ЛI к ) 1'l'афI1'Н ('j\ll, то ПО,lУ-
'шм aиa.;pa.ltl1.,I/ f.PI/'(f'/II1.'I, BII; IШТОрОЙ для
f[,IаСТИЧIЮI'О !\lатерlI;ЦC:.l Щ)lll!l'; Рllllа рис.1; I.
!1а этоЙ Дllаrра:\ВIС, 1';<11\ 11 11<1 ;(llш'ра:\li\Iе paCTH
rp il\еНlIН, МОЖНО :1<1\1('1'11'1'1, pH, харш\Тррных учас-
TI\013 II ТUЧОI\ (1, , ; З): М пц 13с,тшчнна КРУТН-
Рис. 131 щсru l\IО:\lОllта, .'\0 I\UTUpuii сохраняется линеЙ.
нан зависи:\юсть ЫСiIЦУ <р If Лf,,: А! т мо-
\1 IП, соurВСТСТВУIOЩIlЙ нuчалу тскучести; .Н в В(;:Ш'IlШU l\рутящсrо
.\IOMeHTa, ВЫ3ЫВaIОЩСl'0 разрушение. Обычно I1l1ТСРССУЮТСЯ значенинми
202
М()МСНТОН П дсформаЩТПl\fП, со()тнетстнуIOЩИМИ линеi! Н()МУ учасТJ У
Дllаrрзммы НРУЧСI\IIН, ДJIН J\UTOpOI'O СПР,ШСiJ::lIII3 :13J\OIl rYJ-\а.
I РУТНЩIljj l\IOl\fCIlT В I\('I OTOP0!\I сечеНlI1I взла, ЯВЛЯЮЩlli:iся paBHO
/I:еii:СТВУIOЩIlМ l\I(J!\fCHTO 1 1\(1 С 31'(','1 J,НЫХ ШШРНЖСНIIЙ Lp' деЙствующих
n элсмснтарных площадНП х d Р, распо.тrожеllНЫХ па раССТОЯНИIl р ОТ
центра сечсния, МОЖНО выра;I/IТ!, ypaBIH'III1C!\l
Хар3lПСр рUСII()('i( JIСШШ ЮlсаТС.1ЪНЫХ наПРЮI\('ш\ii т по Ссчснию
.. ,.r р
YCTUllaB:IIIBaeTcH II;! rСUМ('ТРJ;'IССI JИ наРТIIJlЫ Д(\lЮРМClНIJII вала при
I,РУЧСIlIIН, IIРС,'{стаl3.'lешн)ii /1<1 рис. 132. Опыт Jl(ща:1ЫВ3СТ, что рас'
('ТОНI!ШI ;\1l'il,;l'Y ('(''1('1111111\111 еl,РУЧlIвuе;\lОru nClЛU
1\(' l\!еШIIOТСН, <1 прО;{U':IЫIЫС JIИJrlШ IIрСДllари
TC,TII.I\() нанесснноН С('ТlШ Прl1l1J1мают l3ПIIТОНОЙ
JWoaрш\т('р. Врll ;ПОl\l ПРН!\IЫС уr:IЫ сеТII:1I ПСЮ1
;ЮllОТСН, Еан 11 В СЛУ'lill' ЧlIстurU (';lRlIl'a. ПU-
C'IC;J,l1ce OUCTOHT(':II,CTBO ЛВ:IНРТС'Н CВl1:{('T(' I»-
СТIIОМ Toro, что ВЫi)(':Н'/lIII.lii ;),;Н'l\Н'lпаРl\ыii
объеч :IЮUРП, С:IOН .\la1'('I)1\<1.-Ja Иа.'l'П наХО;(IIТСН
в YC:IOBIIHX ';IICTOI'() (',1,131\1'<1. I3СЛР;\СТВПС НЧ"О,
что раДIIУСЫ, IJр\)Вf'ДСIШЬте l3 TOpr(c Ce'IC)IIIH,
остаются lIрЛ:\J[,]l\rl1. /IIIiI,СЛСil\aJJ{I](' С.'10И ПО
мере прнб:IШI,еllllН ' цснтру испытывают МРПk
тую дефОРМ3ЦIIЮ СДВlIl'<1. СОf,Jl<1СП() ;J1,СIIСри
Щ'НТ<1:II,НhВI ;{аlfllЫJ\l с()чеIllIН, JI:IOСЮIС до дc
фОРl\laJ(lIН 1:U,1<1, остаюп'н Ш10СЮ:МI1 li IIОСЛt:
у'q)()Р IUlЩJI, повораЧI1I3i.tНСI, ОДНО UTlIUCI1'I'('.Tlk
1\0 ,:lpyrO]'o lIа НСl\отuрыii YI'O:\ ( . в аТОМ
01ЫC I ПIIIОТС,ЗЫ П:IOСl\I1Х ссчений, lIа ОС];оШI.-
111111 ],()'] ороН стрuится ;).'!Сl\!СlIтuрнап н'орин
\'РУ'Н'IIIIН стРршнсii.
Д:I п IIClРУШlIоrо С:IОЯ
l\IСНТ<1рпurо учас'ша вала
соотношения, полученныс
т. С.
м ир' ) p'tpdF.
F
р IIС, 1;-j:!.
(9.1)
v <'_'9
I rdF
i
Рис. 133
ВЫДС IСllllOru ;):IC-
длиной dz (ри(',. 13;)) будут справедливы
ранее НРJlЫСПllТ('ЛЬНО !{ чистому сдвиrу,
tg'( ;:::: -,
Ь'Ь
ar7'
rd9
dz .
203
d9
ВеЛИЧИПi1 az отllосите.1Ъ7lhlll !/?ОЛ l1а""ру'Чuванuя, имеет Рf');1мер.
пость C.,t l 11 ()UО:Ш,I'IUСТСЛ обычно О.
СШ13ь \Il ;I,; Y (НI!ОСIПОЛL,ПЫМ сдвиrО:\1 и относительным уrлом
з.ШРУЧlIваНIIЛ Щ>П:\IСТ вид
"(:::::: Or.
(9.2)
Ныражан Сi ПIll j 13 наружных 130:IOKllax вала черсз яапряжения,
в СООТLЮТt:ТНlfI1 с 3,ШUIННf rYKa при сдвиrе найдсм связь мсжду Kaca
теЛЫ[Ы:\I1l ШIlIрЯiI\СНllПШI в краЙних ВОJIOЮI3Х Lr И относительным
уrлом :заКРУЧlIваНIfЯ О
'с т == GOr.
(9.3)
У'I1Iтывая, что ра;щус.ы ссчсний остаютсн ПРЯl\lЫl\1И. l\lOiЮro по aHa.тIO
rин с (!J.: ) yCTaHOВllТh <'внаь мсжду насаТСJIЬНЫМИ напряжениями
н ССЧСНИИ стержни иа раССТUНIIIШ р от цснтра сечсния и uтносительным
yr лом заl, РУЧilВа 11 и н
"ё р == СО р.
Подставлня (9,4) в (9.1), наЙдсм
(9.tJ)
м кр ==: СО p 2 dF == СО] р'
F
Отсюда ПО:lУЧИИ формулу ДJIН опрсдслсния относителыlrоo yrJJa за
кручивания ва.1а
d9 М кр
О .
dz GJ р ·
(9.5)
rде С) р жест остl, поперrчпо<:с сечеnия стержnя при r.ру'Чеnии,
имсст размерность ,.Fс.и 2 .
Полный уrол ЗaI{ручивания вала длиной 1 равен
I
(; == S МИР dz == Ol =--== MKpl
I С] С] '
о r р
(9.6)
rДе С] p/l жесТI{ОСТ[, ва:ш при I\РУЧСНШI, имеет раЗl\lСрНОСТЬ rCJt
(раЗl\1СрПОСТЬ МО:\lепта).
ПодстаВIIВ значение О из (9.5) n (9.4), опрсдслим касат{'лъное
напряжение \, в любоЙ ТОЧI{е сечеНIIЛ стерашя
М I\PP
't ==
Р J p
(9.7)
МаКСlшальное касательное НаПрЯihеЮlе, очевидно, будет
J f I;pr
'шах 'r J ,
р
204
или
М нр
't mnx :::::: ' v
(9.8)
J
rдс TV p == 7 полярпr.тii ;щщепт сопrотпвлепия (см. (2.38».
Для СПЛОШIlоrо l pyrJIoro вала /(iiш.1СТрОl\1 d полярныЙ МОМСП1
сопротивления определяется фОрМУJlОЙ (:2.38) 11
1Ыf щ )
't
шах тcd,j .
(9.9)
Для трубчатоrо нруrЛl)rо вала TV {. определястся по (2.39) n
-С шах ==:'
1 (jJ1'iP
..п,! (1 (1.4) ,
(О.10)
d
rдс ct == D отпопrrппr впутрсппсrо ДПЮ!СТр;1 вnла R парyiRПО:\IУ
Условис прочпости при I РУЧС[1IIИ валз :записывается u вид(!
l1f н [)
't шах == W ['tl.
р
(9.11 )
Отсюда момснт сопротнвлеппя Веша арп кручеПIlII ДОЛiI\СП быт(-,
М КР
Vp> '
На ОСllопаюш (9.9) дпа:\lетр круrлоrо сплоmпоrо вала определим
нз УСЛОВIIЯ
(9.12)
/1 (jЛ1 нр
d>V ..t't] ,
(9.13)
а па осповаппи (9.10) паРУiiШЫЙ ДИа:\lетр трубчатоrо вала при
ЗПДаНПО:\1 (1. и:з 'словпя
' У 1(''\.1
. ), HP
D'.;;? те (1 (1.4) l-cj ' (9.14)
Если крутящий l\1O:\ICIIT выразить через :\lOщпость N, л. с.
п чпсло оборотов в l\1ИПУТУ п, ТО получ П:\r
N
М ир === 71620 п' i'irC.lt, (9.15)
п формула (9.13) примст вид
d'.;;? 71,4 V 11. ] '
(9.16)
203
V N
D):,71,4 пl'tj(1 a;4) '
Если мощпоеТI, К ап;Ц1JШ н Iшлопаттах (1 л. с. == 0,736 квт).
ЩIIЙ I\IO:\JeI1T 1\1011,('1' f)ыТ1> выраil,СIl форму.'Iоii
а формула (9.11) запишется так:
(9.17)
крутя-
71(j' (' К К
Л1 К 1 ) :=: == 97360 KrC, !.
I \),7JI, п 11
(9.18)
ПО:\IIJ:\10 расчста на ПРОЧllОСТЬ, валы раССЧlIТЫI3D.ЮТ таI\ЖС 11 па Sf\eCT-
I OCTЬ, о\'раШIЧИJНIЛ ОТIIОСI1ТСЛЬНЫС уrJJЫ занручпвашIЛ IlC \OTOpoii
ДОПУСI аСl\Iоii ВСЮРIllIIоt! l О]:
М КР
Отах GJ [О],
7'
(9,19)
oТI yдa ПО"lЛРllыii !\1O:\ICHT нuеРЦIIП, оБССПСЧl!13ЫОЩllii J1.0пуекаемую
жсстностъ, опрсде:lllТСЯ фОРl\lу."10Й
М"п
Jp):,CТUТ'
(9.20)
Отсюда диаметр СШIОШllоrо Hpyr.'IOI'O ва:ш ; ОЛiI,СП быть
4 / '1') 11
1 .J l HP
d):, т;(; I ,) j ,
(9.21)
а паружпый диамстр D трубча1'оrо Ba:la 11 pJl :за,\аШIU:\1 а;
4 I "') 11
D::;::: 11 .) 1 HP
,:? J" т; (1 а;4) G lUj
а
(9.22)
Jj
с5
fJlIC. 1;;4
ПОСRО:IЫ У В ПОlIСрОЧНЫХ ССЧОШIЯХ вала дсiiствуIOТ RaCaTe:IbIIblC
напряжения, pacnp(',1;CJlellHhlC соrласно (9.7) по .1ИIlСЙНОМУ закону
(рис. 13 , а), то, в СlIЛУ з,шона парНОСТII I\аса1'СЛЫIЫХ папряжений,
11 в диамстра.::IЫIЫХ ССЧСШIЯХ вала ДО.::IiIШЫ llО3I11ШUТЬ касатеJlJ,пые
IНшрнщонин, равныо НО ВС:ШЧlJпе, но обратные 11О шану (рис. 134, 6).
206,
По П:lоща;J;I{Юl, раСII0.10ШСIШЫ\1 по: yr.10:\1 :)(, '{ СС'ЮIIIIЛ l, n KOTO
рых деЙствуют Ма!,СЮIU:II,IIЫС Ю1СUТС.'lЬJJЫС IiДlIРЮШ'IШН, дсiiСТВУЮl
1':ШilI1WС /I()[J:\Ii1,'II,IlIolC 11<1'1[JНil\L'IIIIП, риВlIЫС ПО RC.'IlI'IIШС I,acaTCJIbI[bIM
lIаПрНIl\СШlНl\I в AUlIlIOjj 1'0(1)(0 СС'ICIШН, КШ, IIUШ13UII0 па рис. 1J!).
П СВЯЗИ С ЭТIlМ харЮ\1'Ср РU:SРУШt'ШIН (C: BJJr lI.аlI отрын) вада при Hpy
'IСIIИИ будст :заВIIССТЬ от СПОСОUI1UСТIJ MaTe[J[Ja.:1;1 СUЩЮТПП.1нться дсй
ствию JHJCUTC:rblIblX Imп HUPl\1U:II,HblX H;1l1pH;t\CHlJii. Тю{, ПрJl }{ручспии
дерСllННllЫХ Ba:IUB С продольным
раСI10.'!UJ[{СШJе:\1 1l0ЛОНОН IIОСЛ('Д
11110 будут ра !рушатьсн от каса-
)"(':II,IIЫХ на" рНi!\С/lПЙ, деЙствую-
ЩIIХ [3,(0:11, BO:IOI\OH (трсщины
ПРОДU:IЫIЫ<') (рнс. J: 6). При нру-
ЧСIШИ Ч) 1' 1111ЫХ валов разруше-
ШlC настушlТ lIОД дсЙствием нор-
l\lа.'lыlхx раСТЯl'lшаЮЩIIХ напря-
Рис. 135 ЖСlшii, ШН,t'JJJ\lUJJ ьное значешн'
HoTopьix П IССТ ICCTO В ССЧСIШЯХ.
ИДУЩIlХ но В1штuпоii :111/11111 11 lJСрСССliаЮЩ[IХ uбразующис ПОД уrлом
450, нан ПОI\аэаl/U I/а рllС. 137.
=
'rJ( .
Рнс. 136
Рис. 137
47. l\р)'чеIlИС стераШСll IIСI\р)тлоrо сечения
При НРУЧСШIJl СТСрЖIlРii llCI\pYl':Ioro ССЧСIШЛ (lIрнl\10JтолыIх,, тре--
уrольных. ЭШШIlТIIЧРСIШХ II др.) I'I1IЮТС:lа ШI0СIШХ СОЧСШIЙ lIсприме--
I1lШU. ТОЧНЫС' расчсты 113. НРУЧРШIС Т,ШJlХ CTCpfI\IIcii мотут быть полу
ЧСНЫ IСТОДЮШ Тt'UPllII YlIpyrucTII. ОI\(J/IЧ<lТСJJЫIЫС фО[)l\IУЛЫ длл опрс-
Д ЛСlIIlЛ МШ,СII:-'Ш:ll,Ш>lХ I,;.lсаТСJIЫIЫХ lШlIIНШ\ОJшii Т шах ' отпоситсльноrо
уrла заНРУЧlшаш1Я О 11 ПU.1ноrо yrJ1a
заКРУЧlIвашш q:; стсржня ДЛИНОЙ 1
имеют вид:
'ё тах М Щ \ ; (9.23)
JlI HP ос) А
О . (9.24)
GJ l{ ,
9== Мирl (9.25)
с:т::-
в ;этих фОр:\IУ:lах Ji{ 1I W K lIО1\О-
торые rеО IСЧШЧССЮН' ларaI\ТСрll
СТШШ, ноторыс УСЛОВНО назыпают l\1O:\IC'JlTOM
нротштСfIIIЯ нрп I\РУ'IСlIJШ 11 paJ:\lJIНlOCTb
см 4 II с.фt 3 (C 'I. табл, 1).
Рис. 'lJ8
шrcрrЩII и l\10MeIlTO 1 co
которых соотвстстш:шю
207
РаспредслеНl1е насаТСJlЫIЫХ ШШрНJJ\СНI1Й по llРЛ tOу?о.rtЫIO.ну сече.
1tUЮ с.Н рЖIIН ПрllDСДСIlО на рис. lЭ . наlIБодыlоo наПрЮl\СIIIlН В03Шl
1\<1101' Н наружных ('!JOПХ lIОСрСДllllО ДЛIIШlOl1 сторопы сuчсшlН (точ.lill С
11 п). OIl()(', ("JНlI)j('H ОШl uo фUрМУJlе (O.2 ), !'Де
Т'Ун == a.f b2 (9.26)
(h ДЛllIшая сторона; Ь КОРОТI{ая сторона прлмоуrольноrо се-
чеНI1Н).
НаllрШНОlllIЯ посрсдине короткой стороны (в точках А и В) MorYT
быть выражсны чорез 't шах :
*
't == 1"шах' (9.27)
ОтноситеЛЬНЫll Yl'O:1 занручивания определится по Фuрмуло (9.24),
l'AC 13llрЮf\еlIIIC ДJШ 1\10 ICllTa 11I1СРЩlll при l{РУЧОll1Ш J H будет
Jl{ ..::::: hb:i.
( 9.28 )
* h
НОЭффИЦl1енты а.. II 1. заВllСНЩ110 от ОТlIошеIJIlЯ Ь' привсдепы
ппже
' 1 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0
Ь
а 0,208 0,2:31 O,23 ) 0,246 0,256 0,267
0,141 0,1 O(j 0,214 О,22!) O,24 ) 0,263
* 1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 О,753
1
h 4,0 6,0 8,0 10
Ь 00
а 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333
0,281 0,29Н 0,; 07 O, 13 0,333
* 0,745 0,743 0,742 0,742 0,743
1
Условия прочности И ЖОСТl{ости при расчете па I{ручеl1ие стерЖIlЯ
прямоуrольноrо сечения соответственно имсют вид:
Ml{p
"lШ1:, == a.hb2 [,,];
,(9.29)
Ml\p
Вшах == / b'JG -< [О].
(9.30)
При l{РУЧСШШ стержней, ce 1 leHU.<l I\UTOpblX представляют собой
равllобедреНIlУIO трапеl{ИЮ. приближенные .3Il<1'!('IШН Тшах и е l\Ioryr
быт!> 1l0ЛУЧСllЫ IIУП'М ОПР:';J.СЛОl1И1J УНi:lJaJШWЛ uе:ШЧIlII для стеРЖIIfJ
208
(j сеЧ I1IIе1l1 ЭНВИШIЛСIlТIJОУ'О прямоуrО:'1ьшша, I,OTOPblii строится по
схеме, приведеllllOU па рвс. 13П.
Ври I,РУЧС1ШII t'н'рашл C.?OJ/CIlOf:O JJ.штутО?IJ се'ЧеllUЛ, состолщеео
UJ прх.1tоуеО.И:JJ/Ы.r Э.I '.JtСJiтU(J (рш.:. 1 O), момент IIПСрЦllll равсн
Jj\ J1'1 + JJ\2 + J нз + . . . ;.:о.: J Hn ,
(9.31)
Q
jЦ
Рис. 1З'}
Рис. 1-11)
rде n 1, 2, 3. . . . 1I0ш;ра cocraBllblx простых чаСI сЙ рассматрп
BaeMoro сечения.
Так нак yro.тJ ::JаКРУЧl1ваllllН ДШI BCCl'O ССЧСШIЯ 11 ДШI ЮliIЩОЙ eI'o
части ОДИIl и ТОТ же
Лl!\р Л1 нр! Л Н!12
U .. GJ H2 ===
Лl к l'n
:c: .
Н п
ТО крутящие l\1О.\lепты, БОСПрПШВlае.\lЫе кашдоii частью сечения,
буд):т llрОПОрЦI10нальпы их rI"есту{остп:
J!{ G J к
М КР1 == МIФ J ! С ' == .iH K1J ;
н J K
J H J K
М НР2 == М КР J 2 ; Лf кр ::::: 1I'! ) n
н n Щ) I(
Соответственно ЩlllUО.'lЬШСU каС lТельное llаПряжснuе в каШДО:\1 П-М
элемепте сечеUllЯ бу:н::т
1: == 1Il"р n == ЛI нr ( JHn ) == JI H f'I ( J К п )
Ни TV 1 . Н'к J« J" TV K .
'п п "n
Очевидно,
.м нр ( JHn )
1: шах == -----r
к I\п шах
МI\Р
ТV и '
(9.32 )
rде
J
TV == н
к ( JI'n )
ТУ К п шах
ДJIЯ стерлшя а.l.lttп:пuчеС1iО(!о сечеiLUlt (рис. 141)
тtb 2 h
TV к == W '
. (9.33)
(9.34)
20;;
[де Ь и h соотпетствепно ра:З.\Iеры fа.'IOЙ: и большой осеЙ эллипса.
I [аI1GU:Il.>ШI\I l,urатс:Iыlоo llаНРЮI,СlllIЛ Ттах 130ЗШIКЮОТ 11 lIаrуж
ных тuчках сечения, JlсжащиХ на малых 1l0.'IУОСЯХ, 11 опреД('.ТlНlОТСН
по формуле
М кр 16Мкр
't max ==. тr.b 2 h
l{
(9.35)
НаПРЯlкепия в наружных точках, лежащих па больших полуосях,
равны
, 'ё тах
't =..;
т
h
rде т == b
Условный MO leHT инерции эллипса при кручrшш
J тthb h 2 Ь 2
к в4 ( + ).
(9.ЗG)
Рис. 141
PIIC. 11
При кручснии аа.м11-нутых тОН11-0стенных проtjщ.1cil (рис. 11/2),
в КОТОрЫХ стенка настолько тонка, что I,асательные lIанрюкеlllIЯ по се
толщи не можно считать ОДlшаl\ОllЫI\Ш, раВПЫl\Ш папрнжеНIIНМ 1I0СрС
цнне ТUJ1ЩШIЫ стенки 11 направлеННЫМlI по касательноЙ 1, СрСДllIШUЙ
JIИШШ стсшш, I\асателыIеe напряжсния можно опрсдсдять по фор
.муле Вредта:
М кр
't :=: (9.37)
rдс (i) Площадь, охватывасмая срсдней ЛIIlIИОЙ ТОШ,ОСТСIIIlоrо сече.
ния; О толщина СТСПЮ4.
. ЕСЛII толщина стешш ПРОфИ.'Iя ПU контуру будст Ilсодпн"ю\ова,
то МЮ\СIIмальное касательное нанряжеllllС в ТUIШОСТСIIllU:\I замкнутом
стержнс ОIIредс.'IIIТСЯ формулой
М КР
't тax == 2 1>
wU min
ОТНОСIIтеЛЫIЫЙ уrол.. заI{ручипаНIfЯ ТОlшостсппоrо
С пеОДIIПD.НОВОЙ ТО.1ЩИНОИ c-теНКII 01IреДС.1ИТСН фОlшулоii
М кр d.<;
6 == 4С{I)'!. ''У Т '
rде s ДЛIIна ЗDl\Iкпутоrо контура.
(9.38)
сте рfIШЯ
(9.39)
210
Полный уrол :lаRРУЧПВП ППП СТСРiНПЯ д.:шпсji 1 будe'f
л! Kpl J)
4Сш 2 ':r О .
Формула (9,39) MOiI,CT быТ/> а:ШlIсапа n n TДO
М щ )
б :
(JJI( ,
(9.40)
rде
J H == Ф 4{J)2 .
ds
Т
толщипс стеш-ш по контуру фОР fула (9.39)
При ПОСТОЯI1НОЙ
П рИl\IСТ вид
M"ps
О 4Сш 2 0 .
13 частности, для КРУI'лоii ТОfШОСТ(lIlПоii
трубы с paДIIYCO l еР(lЩШIlОЙ ЛШIlШ R npll
о == const
(9.41 )
w === 1t R 2 ; ..!!!.... 2 т. R
'f о о
COrJIaCHO (9.37) JI (9.41)
iv!" р
"t -== '2тсЛ 2 0
J f ир
О = '2тr;R:J o G
y ,
. !
I
i I
; I
I1
, \
i I
F"'"':" """"'j
Рис. 11;\
При кручении InOlll.ocmellllblX стержнеЙ оппрытО20 flpOrpU,1:1
(швеШIl'р, двутавр, yro:IOH) (рис. 1 3) можно DUCllO,'/ I,;юватьсн тсори('й
раС<ICта на I{РУЧСIIИС CTrpiRIl('({ lIрпмuуrо:\ыюrо сеЧСIIИн.. П ::ЭТОМ слу
'!аС профнль разбивают н:! ПРНМОУТU,ll>lIЫС :).ll' tCHTJJ, ТОJlЩlIна h KOTO
рых ЗШIЧllте,'1ЫЮ Мl)/IЫfI() I/Х :l!IlI]ц Ь. СurлаСIlО ДШ\lIЫl\l, Прllв деlIlIЫl\l
па стр. 208, > 10, а == р == + .
Torдa ДJIЯ COCTaBHoro профиля на основании (9.31)
J к == "fj ; b hn, (9.42)
I'J C t] IlСНОТОРЫй поправочныii I\ОЭффlllщент, учитывающиЙ схсматн-
;ЩЦИЮ, связанную С ЗI1.МС>lIоii реаЛЫЮI'О IIрОфllJlЯ ПрНl\IОУl'ОЛЪПИ1\ами.
I rИЖе ПрПllед( "ы :шаЧРIIIIН !,о:нIнIНJЦпеIlТОВ 11 Д.'l}! типичных профи:/сii:
для уrОЛНUВОI'О ССЧСНIIН 'Il = 1,00;
ДJIЯ двутнвровOJ'О сс>чеШIН 'Il =:::: 1,20;
для 'IaBpOBOI'O сечония 'Il == 1,1,t;;
для швсл:юр lIoro сечеНIIЯ 'Il == 1,12.
В ТОIIностенных открытых профилях длину контура принято
обозначать через s, а ТО,ТIЩИНУ через О. При этом формула (9.42)
примет вид
J l{ "fj o sn.
n
(9.4::1, )
211
МаRсимальпыr касательные ШШРЛiI\I:'НПЯ r. пеза:\ПШУТО:\1 про-
филе определлютсн по формул('
t P
/ J кр' Ошах
'"тах == J '
к
rде
( JI{ )
Отах == vV n .
Н п )'lax
tp
48. Расчет винтовых "ружии
(9.44)
I ШПIIIДрИ'lеСJше ВIIПТОЛЫf> IIРУ;ЮfПЫ. ПрпБЛИiI\Сfl-
IlbIU ФОР;\1у.'НJ ДJIЯ определеПllН наПрПЖСНllii, возпш,аю-
ЩIIХ в винтuвой НРУiИIIне с малым шаrОl\1 пр" ('е раСТПiJ\е-
шш ипп СiRатпп (рис. 144), MorYT быть ПОЛУЧСIIЫ 113 рас-
Рис. 144 смотрения ппутреНIIИХ УСIJЛИЙ, действующих в ССЧ('ШIII
BIlTJ\a (рис. 1-1;)), замепяIOЩИХ В.ilIНIпие l\fЫСЛ('НIЮ отбр()о
шснной ПlIiIШОlI части РnСТf1ПJваемоЙ ПРУiНины. Под
.(СЙСТВJ1СМ lJопсрсчноii СИЛЫ Q == Р и крутпщеrо
МО.\Iсита, раВПОI'О прОlIзведепию растнrивающеrо
усилил на СрСДlIllЙ радиус Л пруi-ЮПIЫ М НР Р П,
н сеqешш IНПI а IЮ1пикают две rруппы касаТСЛЫIЫХ
папршкений: наllрлжения от cpeQa, ноторые условн()
ПрП:\IСМ распреДС.тIеJШЫ:\IИ равномерно и рiШJlЫМII
, Q 4Р
'" == F == rcd 2 '
и пап рлже пия от ". ру 1 lения, маRси!\шлыIсc :ша 'I('ШI ('
f\ОТОрЫХ
Мир 16PR
'"шах == --== .d 3 ' Рис. 145
р -
rл.е d л.па\1СТр поперсчпоrо сечения ПрОВОЛОRИ прУШIfIlЫ.
XapaIHCp раСПР('J(елсшlЛ напряжений t' и 't", деiiСТВУЮЩI1Х n CC
'ЮIIIШ ВПТ/iа, ПОЮl;Ннr соответствrшlO на pll . 146, (l IJ 1-'.Н, 6. Нз иар
типы раСПрС,' С:Ier{J[Н rUШРНЖt'I/ИЙ слп;J:УСТ, '!то в lIаружных ВОJlOlшах
IШТliа, paClio.10If\OIlIlJ.IX со стороны 0('.11 пру.l\!tIIЫ (To'IEa А), Il(\ПрНil\(:J
IIИЯ 't" И т зх COIНla; :lIOT по паrrраП.'[СIIIIIО. П();>Т()М ' м[шсималыlеe
Iшпрл;не[!IIН в пrУiЮfll8 будут
, 4Р IGPR
1: тах с:-= '"' + 1: тпх :---:= т;d' + . r:ri:! '
'"тах == 1::, (1 + ).
При pac'H Tc пруашп бо:rыпоrо срС,1пеl'О ра.lИ,\'С3 П 11.; ТОНJ,оЙ про-
d
ПОЛОI\И, I\Orila I. R -< 1, \lаRси tа.льное папрл:r,('нпе с достаточпоЙ
-]
степенью ТОЧНОСТИ J()iRRO
пли
опреТl,елить пп фор.чу",е
lGPR
'"тах == .
212
(9.45)
(9..1G)
На практике при расчете пружин в формулу (9.46) ВВОДЯТ пoпpa
вочный r.оэффuцuент k, учитывающпй HaR влияние перер('аЫВ<lющей
силы. так и ПСl\оторые друrие ф;шторы (пзrпб стержня пруЖИlIЫ, про
дольные дефОР lации 11 т. п.). В атом случае формула (9.46) примет вид
Mf\p !fэРН
'!:т:н k . .- k " .cd;j . (9.46а)
l'
т:/:'ох
Т%'ох
t Q-=P
а
!';;a
о
Рис. 14()
3начеппе поправочпоrо RОЭффИЦllепта k зависит от ОТПОШСШIН радиуса
пружпны R к радиусу вптка r и определяется по формуле
k == 4т 1 + 0,615 (9.47)
4т 4 т'
R
rде т=== .
r R
3начения ко:}ффп цисвта k для различных соотпоrnснпй
r
приведепы Нllже:
R 3 4 5 6 7 8 9 10
r
k 1,58 1,40 1,31 1,25 1,21 1,18 1,16 1,14
у длuнспuе (или ()сад,.а при сжатии) пРУЖ711tы определяется по формуле
64Р R3 n
Л == cr . (9.48)
rде п число ВИТl\ОВ пруif\I1ПЫ.
При расчпте пруЖ:IН 113 нрочпость В случ,ю статпчrСI\ОЙ' паrрузки
допуснаемыв llаПрЯЖС\II1Н на срез следует выuпр<пь в зависимости от
дпаметра НРОВОЛОЮI, П3 нотороЙ изrотов.ттспа ПРУЖllпа. ДЛН закален
пой пружинпоЙ стали при диаметре ПРОВОJlОНI1 (1 == 6 М.Н [1"] ==
== 50 r.r/"u.M 2 ; при d == 10 ,,\1.11, [1"] == 40 1ir/.AMt 2 ; прп d == '12 М,.1/ [1"] ==
== 35 r.F/J.tM 2 ; для хро:\юнинеJIево(.i СТН.'lи при d == 12 16 .НА! [1"1
== 70 r.r/M.}t 2 , ДЛЯ фосфористой бронзы с (; == 4.4 НУ> 1IF/cM 2 при
d == 16 .м.и [tJ == '13 hFI.н"и 2 .
В случае изменяющихся HarpY30I\ указанные значения [1"] ДОЛЖНЫ
быть уменьшены П(JIIl\fерно па 30%, а при непрерывноЙ работе пру
жины Н УСЛОВИЯХ переменпых паrрузон на 60%.
Часто прп рпсчстс D.:\fортпнаЦИОIlНЫХ ПРУЖIJlJ (пружин д.'Тя смнrче
ния резких ТО:IЧНОВ) за основу берут ЮlJlеТlIЧССI\УЮ ::НlС'рrшо Т. ROTO
рую должна IIоrлощать ПРУЖlIllа (рессора) при аНСП;lуатаLlНИ.
21З
При тю\о?>у (эпС'рrСТIIЧССIШМ) IlО;1,ХОДС абы)?>! пrУ,ЮJIIЫ при задап
IIO?>f 1l.0пуснае:lЮl\1 Ш:ШрНЖСIlIIII I1:J ОПjН';{l'сIЯСТСЯ по Форму.llС
т,О CC 4СТ
r '1: J2 '
У\ОНСТРУIlРУН ПРУiI IJI!У по lIaii,l,CIlI!OMY объС'му, сл('дуст пыбrать
сс раамсры 11, d 11 1/ С Т<ШIJМ расчеТО:'.I, чтобы ЩJl( IlpOllCpliC осадIO! пру-
,ЮIIIЫ Л IIР бы,flO ;li1l'РЫТIJН ;!<1;ЮРОВ l\fС',l\ЛУ ВIIП;ЮШ.
!\ОНИ'lсrIШС IНIIIТОВЫС "р 'ашны. lIа праI\ТJlIН' ПрИХОДIIТс.н встр(>'
Ч<lТl>СН G I>ОIl/1ЧССI\l1М/1 вруаШllаМII (в OIl,1,C УССЧ('НIIОI'О I\онуса). Еслп
Н 1 11 H соотвстетврнно МПIIlIl\Iа.lI>IIыii 11 1\I8.I\Clll\Ia:I1,lIbIii радиусы
концсвых BIITI\OI! ПРУЖIIIIЫ, то rаIiСlIl\lаJIЫIОС ЮlсаТС:IЫIОt' 1I<llIрншеНIIС
1\1O,I,CT быть опр(':{е:IСIIО по Формулс ( .1;) ИJIИ ( .t'l6) IIUСЛО замС'ны
раДIlуса R llСJlIlЧIllIOЙ БОJlЫllсrо pa;{II 'C'a R 2:
16Р П
Ста х .' т.lf3
Осадка коппчеСIшif ПРУЖJlIIЫ ОНРС;IС.'IЯСТСЯ но фОр:lrУ IС
. 1(; Р /i } ,2 I 2 \ ..J
f\ d 4 G ( 11 Т П 21 (Н 1 I Л ).
49. НОIIЦС'Jlтрацил папршксниii IlрИ IiРУ'ICНПЛ
МансималыlOС напряжсннс II :юнс НОlll1,сптрат()ров (па,7J.ре301l,
выточен, отверстий, рс; "бы 11 Т. В.) прп IiРУЧСIШII 1\1011\110 Н<lйТII ПО фор
MY;IC
'L Ш ;1Х .. (Х ":П'
rдс ":н НОЧlIпа.:1ЫIOС ПППРЮI';('I!IН" ВIolЧПС.1ЯСЧОС :\1 С TO:J: 3 !\I!I COHJ10
ТIШ.1СIШЯ матерш1ЛО13, n Ч,lСТlIОСТlI, ; ,'!H НРУI'.'IUП) вала ра:ЩУС<l r Но
фОРМУJlС
МИР
"=11 == r;
р
а, RОЭффИЦПСНТ, ПОRП:}ЫВGЮIЦIfI'I, ВО СНО';lЪНО рз:з в месте I;Оlщрптра-
тора возрастст JlО:\ШНПЛЬН()(! lIапряrн:снпс. 1\0;) IнIJlЩПСUТ (1.: ОПрс,'J,с-
.ттнстся ."РТО,1,ШШ теории УПр'уI'ОСТП
11.:111 ;)TiCJI('PII\1C'IITa:JIJIIO на 'nrYrIIX
\IО;Н:ЛЯХ 1\ о(jЫЧIIО !I<1;!Ыll<l('ТСЯ тсп-
рСТllЧССЮ\.\1 1\(;JФФI1IЩС'ПТОl\f 1\011-
Щ lIтраЦJlII.
11а рlIС. 1'17 IIрllf\(); ('НЫ l'рафllКИ
/ 'l. ') )
:т i1 нс 111\1 ос Т JI '1 =--= f ((1' ;(.1 н р а:!.1 11 ч-
ных СООТIIОШf>НJlii Jt (рllС. 148).
ДЛЯ С'.lУЧШI J\py 'J('HIJ}! трубчатых
ТОШ,ОСТСIIIlЫХ H<1:I()I! с l\I<1:IЫ:\1i1 поне-
реЧНЫМlI ОТЩ)!)('Тll )11\111 (pIH . 1 "В. о)
I,О;)ффПI\!J(-'I1Т I\ОIlI t-'IIТрUllllll ОIЮЛО
ОТВСРСТllН раl>('1I 'н.:тырсы.
ДсiiСТlНlТ(':ll.II(), выде.1I1Н BOHpyr
Q04 0,08 ОД 0,16',0,20 }д ОТОСрСТШI I :1 а ВII!.I!\Ш П:IОЩ<\j\l\а1\Ш,
d по rраню\ ],()т()рых БУДУ1 действо-
iJaTL 1101ша.J 1>11[,1(: lliliipHf-\;('III1П cr == 't
cl r
3,2
2,8
2,4
1,2
0.8
О
Рис. 117
2Н
(по площадкам аЬ п са pae-тяrиваlOщпе, (1 по площадкам ad I't
Ьс сжимающие), lICI,OTOPblii :),1 С:\1С IlТ «("Н!с. 1 И, 6) 11 нрС'дставив
},арпшу наПрЯii\Сlшii у ОТВСРСТllН от рUСТЯI'11 ваlОЩIIХ lIаЩJI!J-кениU
... т I ф,-
1т W
\0 d
а б
PIIC, 1<'18
PIIC. 149
',,-, 6 6
36 1 36
т 1.'7
36 П 35
б б
(j
U Q 3ri 1/ 36 6
т т
Ь П б
36 35
б
т
б-
а
о
РИС. 13и
(РIlС. 150, а) Il от СilШ.\1НЮЩПХ наПрЯЖСНИЙ (рис. 150, 6), раЗ CJIИlO
IlUХОДlIМ II ТОЧI\ах. т (C.\l. '27)
а вы \: ,.-= 3 .+ а -=.: 4а;
в точках п
amin::"' а 3а:::.: 4a.
ПОСRОЛЬI,У
МИР
а н == а '1:==
Р
то
Лf кр
а . 4а 4
шах н '"1V'
р
ТаКЮI обра;30 I, в рl1ССl\IатриваС,\10:\l СJIУЧUС t\оэффицшшт KOHЦCRTpa
ЦlIlI а t =;; 4.
215
rлава 10
[JJl'HG
,)0. Нормальные напряжения при ПЛUСI,(Щ изruбе
Расчетные формулы для определения нормальных напряжений
при l1Зfl1бе обычно llЫllОДЯТ И3 раССМОТРСlII1Н плоскоrо ЧI1СТОI'О иа
1'1lба (рис. 151, а).
м у
т >
ll7
.@
а б
Рис. 151
Чистый IIЗfиб характереп H'l\l, что 113 111f'CTH }{(1I\IПUIIf'liТОll ВНУТ-
ренних усилии ТОЛЫЮ М х не paUl'1I lIу.тIЮ, а
N == Qx == Qy == о;
.М у =::: М Z == о.
lJiiimтU
а ()
.)1' СЛ()(JU(: равltО{iеСll,Ч, СВЯЗЫ-
вающес паПРШI,СШ1Н и внутренние
У<:IJЛl1Н II lЮIlСfЮЧllOМ ссчеНllИ
6а.11\11 (рж. 151, 6) (OllYCI\3f'M
!Ш,'l,С'I\С х У 1\101\1('[11 и), бу;I,СТ ИМРТЬ
вид
i ::;ydJ1' -=-= М.
F
О Fео.lU'тРUЧРСJ;ая. сторона З<I-
дачи вытеlшет 113 рассмотрения
Рис. 152 1\арТНIIЫ дефОРi\НЩШI той же
6ашш (pIlC. 'l5 ).
Набшодая за ДеформациеЙ сетни, предварllП'JlhllO наllССQННОЙ на
6аЛI\У (рпс. 152, а), JIСП\О 3aJ\I('ТИТЬ (pI C. 152.6), что нродо'лыlеe ЛИllИИ
сетки при чистом IIЛIIСО ИСI\РШШНЮ'I('Я по д.уrе OI,PPJ\1l0CTl1, коптуры
поперечных сечrНl1l1 остаются ШIOСЮШlJ li:РШШl\Ш, llсрессная IlрОДОЛЬ
ные линии под ПрЯl\JЬ!l\IiI уитами. Это СВllдетеЛl,стпует о 'Том, '110 прп
ЧИСТОМ И31'llбе ПОIJ('j)(."llIые сечсния остаIOТСН ПЛОСIiI1l\Ш 11, lIODО{JLi'ШВ.ШСЬ.
стаllОllЯТСН НUРl\1<1.тILlIЫ:\Ш к И301'НУТUЙ осы башш.
( 10.1 )
21G
В сжатой области (сверху) DОЛОRпа УНОР,)ТlIшатОТСfJ, а n зоне J1ac
ТfJжения удлиняются. ::10на раСТШJ\епия If зона СIlШТПЯ в сечении бпЛI\И
ра;щеляются нейтральны.и слоем С радиусом RРИВП3ПЫ р. J(липа ней
тральпоrо слоя при изrибе остается неизмепной.
Относительное удлиненпе пеJ\отороrо BO.'IORlIa, паходящсrося па
расстоянии у от нейтра.лыюrо слоя (рис. 153, а), при чпстом Jl3Пlбо
найдем из рассмотрения деформации
участка баДRИ ДЛИНОЙ dz (рис. 153, б):
(р + у) dO рdб
рdб
у
== р.
(10.:')
(р + у) dO dz
s
dz
т п
.!о ЬО f/Л
:>.,
а Ь
7f1 dz п
а i5
Рис. 15:3
11 одставив (10.2) в фU8u'Ческое у равпепuе (3IШОН r) I\a)
а
S==Е'
( 1 0.3)
1
выраЗШJ ПОР lальпое напряженис cr через Rривизпу
р
Е
а == ру.
Далее подставив (10.4) в (10.1), получим
1 М
р== EJ x '
а подставпв (tn.3) в (10.4), найдем формулу Д.1Я определсния нормаль
Horo паПрШRСШIЯ в любо.и слоо сечения балки на расстоянии у от
оси х:
(10.4)
( 10.5)
Му
a
J x .
( 10.6)
Пз анализа фОр IУ,'JЫ (10.6), назьшас:ноЙ qiормулоit Навье, следует,
что П3 lеIIСIlие наПРЯЖСIIШI по высоте ссчепин подчиняется ЛПНСЙIIО IУ
заюНIУ; напрюнсшIЯ маКСIПIШ1ЫIЫ в слоях с I\оордппатоii Утах' а III
НIпrа.1ЬНЫ (Р<ШIlЫ НУ.1Ю) прп У == О, т. С. JJ пейтраш,НОl\l CJIOC.
217
ПОДСТl1.в.ттяп cr пз (10.6) в условне N == .\ crdF =-= О, паiiдсы, что
F
\ ydF Sx == О. Отсro;щ С.'Iсл;ует, ЧТО ПСЙТрсШЫIi1П липпя сеч('ния
F
(OCh х) ПРОХО;ЩТ через цснтр тяжести сечения.
II C.'lY'I3.e ПРЯl\10уrольноrо сечения башш с высотой h
М!!..
Afy max 2 М
а тах == :::: == И 1 '
х х :х:
(10.7),
J x
rде w x ==
Ушах
.J x
=="'lt
2
11).
lIазывается . lо,щ:пто,и сопротuв.1енuя сечения
при иаеи6е (см.
\: .н л t
5 так +y
РI!(" 1:J}
ОчеВlI,1;IIО, для любоrо ССЧf']JIIЯ, I1 I('f()щс>r() r()рll;I()llта rЫIУIO ОСЬ
СlIМ ЮТрИИ (РI1С. 13'.), ВО3!\IOIl\СН С;J:инr:ТВl'lIl1l>lii :>!O:\H'IIT СUIlРUТlll3:IСШIН
при 1I31'ибс D ШIОСJ\ОСТU 1/:', ОНРС,1Р:I }!С'Щ.lii 11,) фо РЫУJlС
fV ох J'(
Ушах
\ @
'\
б.woo.r у б;"Q}( У
Рис. 153
Если сечсппе не юн:ет rОРИ;ННIТD.:II,ноii OCII С'l!:\I:\IL'ТрПИ (рис. 155),
следует Р<13ЛlРН1ТЬ два :\{омспта COHpOTI!B.'ICIIIIH
J x ./Х
и fV
утn'\
IJI х
у r;liJ.. '{
218
9пlOрП JI,?р !n,lЫIЫХ lIilllrНi!,ОШlll а n последнем случае не будет
СП,\I.\НПРИ'lIIIJll, 1,<11\ ;, :IH С<':'ll'IIIIЙ С ropll;;OI!Ta.iILIIOii (1('1,10 сllМы('rрlfl1,
а оу,'"(СТ 11:\1("11, НIЦ. 1!()1\;j il/IIII,I if 1It! pIIC. f ;');) 11 15{i.
Фоr [У,:Il,1 Д:IН 01lP,'; C;I(,, IIIJH /iорма:IЫIЫХ напртЫ'/llIll. ПО.'1учРнпые
II рi:tСС!IIОТрt'ШIН IШ('ТiJI'О II,JI'llпа. ОЮl:1ынаются с дuстаточной степенью
ТU'lJюеТIl IIpl!I'Oltllbl 1Ii Д,1}] CJlII'C';l(':I('JIIJH
норl\lалыlхx lIШlрт}\Сllllii 11 о(jщ('.\!
случuс IIзrlluа, 1\01',],a () не paBIfO II)",:НО.
51. I\acaTc.'1bJlbIt шшрлженuн
пр" И31'lIбе
в оuщс.\[ С:IУЧiН' 1I01l('J)(''1IIOI'U 11:!!'II(jU
(pl;C. 157, (1), I,()r; i\ Н ('С''1('IШНХ СТРj>il,ШI,
l\pO.\[(\ Н;Н'lf(jюощt'I'U l\IШ[('llта .М, :lcii.
CTUY('T т Ul\il';t' IЮIlРIН'ЧIIШI Сl1ЛU (J,
В ('("IClllIll UU;II;1I IЮ31I1JЮllOТ не ТОJ1Ы\()
lIорма:Iыlсc П, но и I\UСUТС,'1Ы:Ы(, НUНРЯ-
}l,('IIIIH Т, раВlIодеiiствующан !,010рых
раllll а Q.
ВЫВОД, фОрМ,V.rJЫ :ЦН ОIlР(','l,('Л('lllIJI
юн аТ('Jl\,fJЫХ lIiШРН;I\C'lIlJii в СС'ЮIllIII о('новаlf 11:1 [C'Toдe СС'Н,'lшii, диф-
фl'рРIIIЩ а:1 1.110 ii c\в i!( И Ш)СТIl !\lPiH;lY 1\1 ,) !l'III'ЩI 11 llOll pC'Illoii Сll:IUЙ
11 ;НШUНС lIUJ)JlUCTlI !,uсuн.'.'IЫIЫХ Н<.\!ljJШI\Сll!lii.
z #(1& :;!:J'dM х
А, dz А 2
О
1
.+, х \
п, . т'a'
С 1 А!
Dt
с::-
Рис. 157
у
е
611
а
Рассматривая УС.10ВПН равновесия :)';Irыrпта А lт l 111 2 A 2 (рис. 157, а,
б, в, д), BLI:l(':H'IJIIOrO сrЧL'ш:тШf AIB1' А 2 П 2 11 1111, т 2 И;I башш, lIarpy-
женноii СОС pC; OTO ILCшюii СП:IO ii Р (рпс. J.'J7, а), найдем:
N 1 + т =---= N 2'
( 10.8)
219
rДе
т =--= '{;' bdz;
(10.9)
'" l' .11 (, 1 111
N ---=- а dLI....:....: \ dj. == S (у)'
1. J J.\ J x Х '
F F
( 10.10)
N 2 == r a"dF == (' (М +JdM) 1) dF == М j dJl Sx (у).
J J х ,
[,' р
(10.11)
ПодстаВ<1ЛЯ (10.9) (10.11) в (10.8) и учитывая 3aIЮИ парllОСТИ
RасателыiЫХ uаПРНЖОНlIЙ, получи:\! фор.чулу ;НураIJСКОёО для ()преде-
JIОНIIЯ lшсателыlхx uаПРЯЖСllиii Прll попереЧllОМ llзrиб баJIl\И про-
И3ВОЛЫlоrо ссчеuия
, QSx (у)
't == 't == b(y)J х '
(10.12)
rде Sx(y) статический момент отиосите.1ЪПО neйтральпой липии
той части площади F(y) I ноторая раСПОJIОЖСШI. ниже или выше pac
смаТрIlвае Юl'О СЛUЯ маториала на раССТОННlIl1 у от нейтраJJьноrо СJIОЯ
ба.'lRИ; Ь(у) ширпна Сt;чешш в рассматриваемом слое материала.
Харю\Тор lI3МОНСШ1Н насателыIхx lIЮIрЮШ\lшi:i по L!blCOTe баЛRИ в об-
щем случае заВIIСl1Т от формы СОЧСJIlIЯ башш.
Поснольку в рассматриваемом сеЧСIIИИ Q и J х постотlllЫ (а в слу
чае прлмоуrОJlhllОI'О сеЧl'JIl1Я и UШрllllа Ь постоянна). то, как видно из
:формулы (10.12), ванов И3МСlIСНlIН l\acaTO.'l\,III.JX IIL1ЩJШШ'lшii в сечснии
будет опредслятьс.н заl UllОМ И3МСНСНIIН cTaTll'ICCl\oro MU:'tH'IlTU 8х(у).
В частности, рассматрипая стаТllЧССlшii момснт п.l0ЩtЩI! C1пlтlAl
(рис. 157, е), паХОДIIМ
bh 2 ( 4у2 )
S (у) == F 0;) Ун. т == Н 1 flt,
(10.13)
r. е. стаТИ'lеСlшii МаМОНТ ПО высоте сеЧС'IllIЯ 11С!l\ЮШIС1'СН 110 парабuли
ЧССКUНУ ;заl{ОНУ. Очевидно, НО TaJ ()l\IY же заИUIIУ 110 Вl>н:оте б<l.rJ.КИ
И3l\ICШIЮТСН и K<lCUTe:IbHbIO паllрНiliОillIН, ДUСТlIfШJ MillH;Jll\lY lи при
у :;= о:
bh 2
QSmax Q т 3 Q
't max == == W == 2"" F' '
х Ь
. 12
(10.14)
rдо F == bh площадь СОЧОШIЛ балки.
В ПUl1БОJlСС удаленных от нейтральноЙ .1IIIIlIli ТОЧI{ах в парущ-
h
пых В 'lUlшах у == :!: "2 II 't == О.
Эпюра KacaTeJIbIiblX наПрНШОНИll д.1JН UрНl\10Уl'ОЛЫlOl'0 сечения
220
ба:'ШIl, построснная па оснопзш/П формулы (10.12) с учстом (10.13),
щншеДСllа ua рве. '158. При (jTOM
)(J ( 4у'" )
-'t:::o '!..ы 1 1i2 .
Q
@
1 1
х f тax
.с::
j
.,. Q
;p Ё
Рис. 158
(10.15)
(9
l '
х . r.....
.J
чр=1
Рис. 159
ИЗ ФОРМУЛЫ (10.15) ВПДI10, что ы:н{сииа.пыIWС касательные
папряжеlIИЯ в стершнс пря юуrО';lъuоrо сечения, дсiiствующие
L! нейтраЛЬНО,\1 слое, отличаются от сре;ЩIIХ наl1рЯflШIlиii, которые
l\IОfЛll быть 1l0Л.УЧl!ПЫ по формуле 't cp == ' u полтора pa:Ja, 1'. е
'С тах == 1,5't cp '
(10.16)
ДЛЯ КРУl'ЛОfО сечеН]!J-i (РИ1'. 159) формула ШураВ('КОI'U для BepTIl
ка.1LНОЙ состаВJlНIOщеii ПОJIноrо l;acaTe:lbIlOro нанрнж(>шlЯ может быть
записана u виде
4Q ( '}. )
't == 3 Л 2 1
7t Л2 .
(10.17)
Закон 1I.3Ш НОIllШ 1" пu высоте и о данном сдучае оказывается пара-
болическшI. В нпиБОJIсе у;(а.'1еIШЫХ о,.. нейтральной ЛIIШШ ТОЧI{ах
А (Прl1!1 =---= I Н) т == О. Нd!lбольшее IшсаТСJIЫIUе наПРЮШ_'пие будет
в точках HciiTp::tJILlIUii ЛШ1l1И (при У == О):
't max -== 7th2 ::= 1,33 .
Эпюра т ДJIЯ круrЛОl'О ПОlIерсчноrо сеч( ннн, построепная па оспо
ваНll1l Ф:JР IУШ,I (10.17), IIривсдеllа на рис. 151).
ФОР IУЛУ дЛЯ UЫРU;}\'_:JI{IIЯ мпксимаJlЫIЫХ I\асатеЛLНЫХ Ilапрнже
ШIii ПРИl\1СIIИТСЛЬН() 1\ lIоперсчному СGЧСШIЮ любой формы по аналоrии
с (10.14) МОШНО в общем видс представить так:
Q
't max == k F '
(10.18)
rде k коэффшщепт, заОIlСЛlЦПЙ от фориы сечения. Так, например,
для ПрШIОУl'U:1ышка k := 1,5, длн КРУl'а k == 1,33.
221
Эпюры IIlJр I11:IЫILlХ и I,ШС()ТС.1ЫIЫХ Jl(ШРn;l\('1II1 I, ностроснные
со()тнртtТu('ш!О 1111 OClIOBC1.lIIl11 ф,)Р IУ:1 11 all Ы! 11 'H,ypaJlC1\()J'I) ; :IН ДlJУ
l'i1врониii 6<1.1/\11 ,\ 12 (Jx == q();) с,м); sшпх== 38,5 СА!:.!) Щ>II М;;:С
::= 200 х/'м И Q == I т, UpIlUE>:J,eHbl на рис. НJO. lIаGШUl аемыс па ЭlJIоре 1:
перенщl,Ы оБЪНСIIЮОТСН реJКЮ1
l1змеНСIlI/е 1 ширины балки при
персходе от полки }, стенке.
52. Расчет на ПРОЧIIОСТЬ
при I1зrибе
Прн иаrибе ба:шп в общем
случае, НОЩ11 М =i= о 11 Q =1= о
(РIlС. lGl, а), И;J Jа нсрашю-
мерности распрс,1,елеНIIН нор-
маЛЫIЫХ 11 KacaTC.1bllblX на-
l1рНil\сниii отдеЛЫlые :элементы
материала находнтсн в YCJIO
виях различноrо llанряженноrо состояния (рис. 161, 6). При этом
ТО.'1ько haPYi-Iшые волокна (элементы 1, 2, 12, 1Э, 14) находнтся в усло
R A :::Цт
4т
D
2м
- - -
РИС. 161
R 8 =J,7r
f,8r
1J
fM
1,8r,:;-..,
T
@тм
виях лппеЙIIОI'О lI11прюкеШЮfО состояшш (раСТЛiI\СНlIЯ ИЛИ сжатия),
все оста.!! Ыlые выдсдеНllые по высоте б11Ш\/! ;,:it'MCIITbl (3 11) H11XO
днтся D условиях lЫОСI\UI'О наllряжеlllIOl'() состuшшн, причсм Э;Iементы
222
(6, 7, 8) неЙтралыюrо слоя находятся Б условиях чистоrо сдвпrа.
Харю тсрно, что при дсформации изrиба максима.JIьные значения иор
мальных и касательных напряжений ОRазьшаlOТСЯ в ра:шых ТОЧRах
сечсния. В точках, rпе а маl\симально (наружные ВОJIОlша баЛRИ),
1: == О, и, наоборот, таи, rJtr -: маНСIlмально (нейтральный слоii), а == о.
Тюшм образом, JIоrично рассматривать два условия ПрОЧIIОСТИ,
ОТllосящиеся н: различным то'шам баЛRИ:
а) по IIОр НШЬНЫМ напряжсниям
М тах
й тах о [а],
(10.19)
6) по касательным напряжениям
Qm:J.x S тах
'"тах == bJ [1:].
(i"O.2()
Обычно ИЗ УСЛОВIIЯ прочности по нормальным напряжснпнм
(10.19) определяют ра;'lМеры баЛRII ПрИIIЯТОЙ формы ноперечпоrо
сечения
м
'И'Т тах
ta] ,
(10.21 )
а потом провершот, удовлетворяет ли выбранпое сечение баЛRИ ус:ю-
нию прочпости но касательным напряжсшlЯМ (10.20).
Однако такоЙ ПОДХО:J, I{ расчету балок. особеНIIО балок с ОПТII
l\1альноii формоЙ сечеНIIЯ, обеспечивающей МIIнимальныЙ все и пеобхо
;щмую нрочнuсть (двутавровыС', тавровые, швеллсрные и друrие про-
фили), еще не rараl1тирует прочность башш. Во MHor.x случаях в се
'lCниях балок 1Il\1СIOТСЯ ТОЧIШ, В которых одноврсмснно действуют
большие норМUJIьные наПРНЖСНIIЯ (мало отличаЮЩII('('Я от максималь-
ных) II БОЛЬПIIIС KacalC:IbIlble нанряа.;еIlПН.
В чаСТПОСТII, такое СО'IРТШIПС а и 1: имсст мссто при изrибе двутавро.
воЙ ба.пш в аОll(' Пf'рсхuда ПОЛЮI в СТСIШУ (рис. НЮ). В таких сл).'чаях
НОЗНИК(1rт I1соб.\о:щ JO('Т1, IIрОВСрЮI баЛIШ на прочнuсrь по rJraBHbIl\I
11 аПРШI\СНII ЮI.
В оБЩС:lI случас lIЛОСНОI'О наПРЯЖСИllоrо состояния, испытывае-
l\юrо элементом I\l<lТf'рпала баЛRII (наПРllМСР, :.шсмрнт ;) па рис. J61, 6),
lIа ноторыЙ 11сiiствуют аа == а, ОПр<:>Дf'ЛЛСl\IОС по формуле IJ ЗВ1,С, "а ==
=== " == '", опредслясмое по формуле JJ\ypaBcRoro, 11 при C' == о, rлав
пые напряжения наХО,1ЯТ по формулам (см. 33):
аl == } [а + Va 2 + 1-:21;
а 2 =- о;
1 V
a3==2[a <;2+1-:2].
I
( 10.22)
Зная r:lапные I1апрю"еНIIЯ, можно ПО ра;ШI\ЧНЫМ тrОрПЯl\1 проч
RОСТИ ныра:щп, :JJ,fНlua<"ICIIТIIble llаНрНШl'lJIlН, l\lЧ(jрЫ НС ДОJljt\lIЫ прс
8ышать допускаС,\Iые.
223
Тюшм образом, УСЛОRПЯ прочности ПО различным теориям MorYT
быть прсдстаВЛСIIЫ в виде (см. 37)
1 ' V
а зIш I=="2[cr+ cr 2 +4t 2 ]<[cr];
(10.23)
a H{в II == О,35а + 0,65 V а 2 + 4t 2 r а] (при fJ. ==: 0,3); (10.24)
cr э1ш IП == V а"о! + !j't:.l [а];
(10.25)
crЗl\В IV ==: Vcr 2 + 3t 2 [а];
(10.26)
1 т + 1+т V 2 1.2 []
о' 3 юз М --------т cr --------т cr + ! t а,
При провеРI,е прочпости балок по rлавпым напрнжспиям часто
возникает веобхо;щ:.\юсть анать не толы{о пелпчипы rлаllПЫХ наlIрЯ
жеllИЙ в тпЙ или пво!, ТО'l1\О, но И их направления.
В часпIOСТП, (-IТО нсобходПllЮ при 1\0IlСТРУИРОВUШIII шелеаuбетоп-
IlЫХ балон. в I\ОТОРЫХ арматуру следует paC110JIaraTIэ таЮJI\1 обра:юм,
чтобы она сопротив,ттялась дс!irТIIIfЮ растнrиваЮIЦIfХ l!iJ.l1рнженнй.
В любоii балке можно I10СТрОНТЬ лп-
Ii I! 10, нас аТС,1] I>IIaH I{ НОТО роЙ В I\аЖ-
)(Oli ТОЧНО будет хаРaJаеРП:ЗОВ<1Т1,
lIilПР:Ш.1СНllе r:laBIlЬYX наIIРП;',Рllllii.
Т,II\<НI IiрllППН 1I<13I,IB;H'TCj{ трп('тnо
/;/11'/1 ,'/(П(J/(I/r /{f}IIf','I.IIC('/I')/i. TpaCI\TO
Рl1 JJ r:1 aflll ых Н ан [HI'Н;'(, 11 11 ii i3аПIIС пт от
тIДa IIa['РУ.ШIJ [1 УС,ТIОВlIЛ заl\реп
JI еllП л башш.
Очсвпп:по, ЧРРС;l I\,\II,;lYIO ТОЧНУ
ба.шш IIpOXOI H l' Д[!(' траrИТОрПll
r:т авных lJапrЛil,t. 1I11 ii. ('оотпстстпршю
\;1 11 (J:J, IН'Р('('(\l\tlroЩIН'/'Н Ш'if..;tу
обоЙ ПО;!, прщш \1 -;',I]() I. Н Н\(....l(\;ю
')еТОПIIЫХ ба,:II,<1Х UОЫ'III() стр(' нп('н
paCllO.1JaI'aTI) "р:\::нуру в р:,нраВ,:IСП\JИ
траектории f','ItШIII,I': раС1 НПJ ПШОfЦНХ
напряжспнii' <Ime. Ilii').
rде
q
l: + , i +j t , t t , t t t + t t t t *
" :J:,;
, f //..
""
/ I
Рпс. 162
(10.27)
т==
[cr J .
53. НОIII СIlТрЗl ИЯ напрлшсниii пр" п;.н'нб
При изrибе, нан и в случае раСТЛШt:'ПИЯ I! ll! кручеппп. в местах
реЗRоrо ИЗl\Iенснпн размеров или формы попсрсчпоп) сечсния возни-
каст I\ОIIЦСПТРiЩИЯ наПРШI{епип. При стаТИЧf'СI\I1Х наrрузнах 1\01щеll
трацил папрн;кеппii в дста,'iRХ, паrотовченпых 11; п 'lастпчпых материа.
лов. нс НВ,lлется опасноЙ блаrо;{аря перрраrпре/(С:I('IШЮ напряжений
в :юне l'iОНlЮfпрап([п , a C'ICT Т('''У'юстн матерпала. В случае хрушшх
MaTCplJa:JoJ), 1\0rJ1U НС ПРIIХОДИТСЯ раССТТI1ТЫВ:1ТЬ "iI псрер[!.rПРС'JlС,1f'11llС'
224
liапрлжепий и оrраничение маRсимальных напряжений проделом теиу
ЧС'СТИ, концентрацию напрпжсний следует учитывать и при статиче-
CI\IIX наrрузках. Допускаемые мансимальные напряжения Jj <юне нон-
ItСlIтратора не должны достиrать пременноrо сопротивления материала,
НВ.'IН1Ощеrося в данном случае предельным.
В::rияние нонцентрации , возшшающсп в .месте реЮ'Ю80 Ur?4te71eHU Я
диаметра вала (рис. 163, а), мо-
iI,eT быть учтеlIО введением П('КО- р
TOpOl'O Iшэффициента RОIIЦСПl'ра-
Цl1ll а:
Pl v
rде ан == JV ' паидеНJIое для вала
с диаметром, равным меНЫllему
диаметру рассматриваемоrо вала
(рис. 163. 6) при отс)'тствии
концептратора.
3вачешш НОЭффИЦllента нон-
цснтраЦllll а ДJШ различных со-
D
ОТIIошеllИЙ диамеТРОIl d и pa
диусов аанруrлсниЙ n l'аJIтrЛIl r,
найденные мстодами ТСОIНШ упру-
D D
rости для d == 3 и d == 1,5,
Прl1педены в виде rрафИl\а а == f( ) (рис. Ш4).
Максимальные папряжения в зоне oицe1lтpaтopa в 71лпстu1lt
С двусторонней выточr.ой еuперболuчесr.ой Фор.мы пrи ЧJ1('Т()1\1 паrJlбе
<J шах == ас и,
..1
а
р
;t
о
1--' (((;, 1 ОЗ
fМ\
ДJМ
4 d
J КруеllGЯ 8Сllfпе,1Ь
М
= D,1d 3 6 d'бн
2
z
О) 42 0,3 Ц4. r \.g/
(J
Рис. 164 Рис. 165
в II.lОСI{ОСТИ пластины (рис. 165) MorYT быть ОПРСДСJlены по следующей
формуле, полученной методами теорни упруrости:
cr == <J
т x u
4: ;. y
э [V : + (.i 1) nrct, 'v t.]
8 5.1186
225
rде
3М .
ан == (о толщина ШIС1СТfШЫ).
a u
На рlIС. 166 приведев rрафНl\ зависимости аШ!lХ 01' ОТJIUIIН'IIlIЯ
.!!:... На рис. 167 даны заВIlСИМОСТII теореТПЧССl\оrо RОЭфф!JЦнепн
р
Lt
1,25
O 1,1
О 2 44- 0/3 Р
п
Рпс. 167
о(
бr" ."
2бfl
10 20 .50 40 jf
Рис. 166
lЮllцентрации а для ра3ЛИЧllЫХ отношсниЙ пrпрIIПЫ плаСТJlllЫ 11
о
к ее шпрпuе h в месте ВЫТОЧIШ радиуса р ОТ ОТПОШOIШЯ i '
. - ,
(6,) =o
(6)z=O
6;пох
у
"-v
.. .....
Рис. 168
Па рис. Н>8 цаны rрафюш распреДСJlеШIН 1I11!1IJНil\eIН:Й В OIH:!
АОltцеllтратора 6 еиде э.!иuтпU'tеСl.0i'О отв"риltIlЧ. (, UlUPOhOli пЛ.lсmuне
t .
при чистом l1эrнбе в ее ПЛОСКОСТИ дЛЯ СJlучан, l(О]'ЩI =:; 25. 110 [\I(.'ре
р
226
УiJ,D..'J('ПlJН пт Ю-Н1 ВLIТОЧI\И, n Tar,iHe D направлении п,],оJ1ь оси !/ напря
Ж:'IfIIЯ (,ые;rр() убыuD.roт. Ш'IIJlfХОIЮЙ JlИllиеfl понаяано распределение
IIClНрЯJ.,РI!J1Й, ВЫЧП<'Jн.iiш,:х П() элемснтарной т('орип изrипа ПУН: М
УЧС>J а "еJlн(il1i?!JИН СРЧРШIН 01 Р('РС1IJРМ.
IIапбольш(!с (JflЩНlil\еш!с, Dозшшающее у Дна ОЫТОЧIШ, МОЖНО
ОПРОДОJIIJТЬ пu фОРМУJJе
I'Дl'
а тах ==crIl(t+ V ),
?'Л! t
ан = L(j [;J ((j ТОЛЩПII<1 ПЛf1.СТlIНЫ).
ВОн
t 45"
3i1.ВПСIJ:\I()СТЬ а тпх !)т отпошеют р rрафпчс
С1Ш прсдстаПЛСПI1 пn рис. 169. 2бн
Для r:pyr.тy,:)fo отверстия а тах == 2а. ПРI'
р --+ 00 а шах --+ а.
В С.Jlучае 'Jl:lБОI.0Й I.РУРО60й 6ытО'ЧIi:U на
теле српu!пlU.'l (pIC. 170) папбольшее папрн
шснпо IIr!! нзr:\ое п():нншает у дна JЗыточ
IШ, r: E' "laТСрПG:/ наХ )ДIIТСН в условинх объеМ110rо напрнжешюrо
соетонНlШ. На рас. 170 показапо распределенис всех трех rлавных
п:шрнжеШIЙ (а l , а,! и a ). а на рис. 171 дано распределение напряжений
а I И а 2 У дна выТОЧIШ в заВИСИМОСТII от
отпошения!: при различных коэффи-
р
цпентах Пуассона.
В случае .меЛ7rих вытО'ЧeI. на петаЛJlХ
вращения. воличин;} I{оэффициепта KOHцeBT
рацпи 8аВIIСj,1Т, rшшпыМ обрааuм, от отно,
шепия радиуса за«РУ1'JJСШIЯ r « диаj\1('ТРУ
ilЫТОЧIШ. Н а рис. 172 прш.юдеп rрафпк за-
I1ПСIl1\!ОСТП ('J. == f ( ) Д:IЯ этоrо случая,
Весы;а распростраШ:ННЫl\IП IЮШleНТ-
ратора:\ш в работающих на I1зrиб деТЗ 0
,ПНХ М2.шип ЯJШЯIOтся раЗЛlIчноrо рода
пoп!]pe lН.ыe отверстия. Концентрация
13 СНОМ случае зависит от отношенпя
диаметра поперечноrо ипсрстия d 1: диа-
метру детаJШ D, в H.oTopOII это отверстие
сдеJlапо. 3аВIIСПl\IОСТЬ I о ;фq'ИЦIIеllта КОН-
d
центраЦIIИ а 01' D щншедеlJа Б ШIДС
rrафИI{а на рис. 113.
В заI\лючсппе заметим, что при изrибе
возможна пе толы{О концснтрация нор-
мальных напряжений, но и I'юнцептраЦI!Я
IНl.сате.:тьных напряженпЙ в местах резких переходов, в частности
в сечешш 1 1 ДБутавровой балки (рис. 174, а, б). Однано
вследствие ззкруrШ'lIпii n местах перехода стенки Б полку концовт-
Сечение х=о
Рис. 170
8*
t%na"
о
10 20 30 401.
fJ
Рис. 169
227
рация н::шрлжений снижается и ВМССТО эпюры, ПОI\:азаППОll па
рис. 174. 6. имеет место эпюра, ПОl\а::!8IJная на pli'c. 174. в.
в ишн:снерпоЙ ПРёштпке при-
ходится ПрОllодr1ТЬ расчет палок
при изrибе не толы\О па проч-
ность, НО И на ЖССТlЮСТЬ, или др.
формаТИНlIоетr,.
Дефор.мати.8ностh балки в даппом сечении характеризуется про-
rибом ш и уrлом ПОБорота е. Инфuрмацию о w и О },.-Ш фушщиях КООр-
динате:8Й оси, соипадающей с осью балки, МОЖIIО получп'I'Ь. зная
уравнение изоrнутоп оси балки (упруrой липии).
Упрувой линией называется плоская Н:РlIIIая. форму которой ПРИ-
нимает ось балки при ПЛОСI\ОМ изrибе. На рис. 175 и 176 упруrие
линии изображены тонкими ЛИllИЯМИ.
б
/,.()fI
(7Ч=
2и н
о
10
0,1
0,2
{J,J
Рис. 172
t '. . ' :lE = r i= ",
, 1 ===== =П....:
о о
а
Рис. 174
228
20
fl.
Р
30
I:'ис. 171
r
d
d
2,4
0.2
0,4
Рис. 173
511. ДиффсренциаЛJ)ное
уравнение изоrнутоli осп
балки (упр тоii ШШИJI)
Уравнение упруrой линии леrко ПОЛУЧИТh, fшая выражение 1Iри-
ви8НЫ через изrибающий момент M(z) в данном сечении и изrибную
жесткость EJ поперечноrо сечЕ'НИЯ баЛЮJ (см. 50)
м (z)
р Е)
8>0
z
I T "
I_<;
Рис. 17.'1
Рис. 176
(10.28)
.
I
j
z}
w М М }'4>О l
М М r>
J>o P<o
}1: rJ};:
м м р w
Z
Рис. 177
и выражение кривизны через коордипаты 'fоч:ки в данном сечении
w и z, известное из курса высшей математики:
d 2 w
1 di2
р :!: [1 + ( ;; ' ) Т'
( 10.29)
1
Имея в виду знаки для М и в зависимости от действия моментов
, р
и расположения коордиватных осей (рис. 177), можно прлравнять
правые части выражений (10.28) и (10.29), припяв в обоих СЛУЧ<lЯХ
229
знак «плюс». Тоrда тuчное ураПНСlIне ll:зоrпутоii оси ОUJ1IШ ПОЛУЧllМ
В' виде
d 2 w
dz 2
' :2
- Е)
( 10.30)
[1 + ( I )2]3/2
в связи
с малостью ДСфО}ЩaIЩlI балки (w шах == (0,01 0,001) 1 п
( dш ) 2
препебречь ЧЛСПО:\1 dz :::::: 02.
(10.30) l\IОIl-\ПО перСПIlС<lТЬ
Отах -< 1 О) в ФОРl\1У.1Jе (10.30) I\ЮiIШО
Тоrда диффереНЦllальпое уравненис
13 впде
d 2 w .М (z)
dz 2 Е) .
(10.31 )
Это JI есть то исходпое (приБЛIIженпое) 8иrfirfie реll/{i,аЛЬ1l0е ypaellellue
и80енутой оси бал1tll, решая которое I\lOilШО ПОЛУЧI1Т[) ураппснпо
dш
ynpyroii: лишш W == 1 (z) и уравпеuие уrла поворота о:::::: dz == 11 (z).
Проинтеrрировав уравпенuе (10.31) первый раз, пайдем
о ( z ) == dш == S JI! (z) dz + С .
dz Е) l'
(10.32)
Пропптеrрироnав второЙ раз. ПОЛУЧIШ
\ \ м (z)
W (z) == J dz J Е) dz + C 1 z + C z ,
( 10.33)
rде Ci И С 2 постоянные иптеrрпропаппл, I{оторые ДОШЮIЫ быть
найдены из rранпчных условпii (условиu па нопцах башш).
ЕСЛII балка имеет на Конце заделку (рис. '178), То проrпб
п 7rол поворота в ней раnны пулю:
Ш в == о; ОВ == о.
Д.1JЯ баЛIШ на двух IПарНIIрlIЫХ опорах (рис. 176) раппы пулю
проrибы Iia этих опорах:
WA == о; wB === О.
Учптывая Дllфференциальпую заВПСJl:\roсть Mej[Cl;\, пзrпбающиы
:\Iомептом М (z) и распреД()лепноЙ паrРУЗI{оii (C:\f, -is)
d 2 M (z) ( )
q",
выражение упруrоЙ ЛIШIIИ (10.31) можпо заппсать в виде:
d 2 [ d2w (z) ]
dz 2 EJ (z) dТ .:::= q (z).
(10.34)
230
В этой форме дифферепциальпое уравнение ПРI1МСПЯЮТ обычно nplI
расчете балок на ynpyroM ОСlIовашш, а также при рассмотрении коле
баний балок.
Для иллюстраЦIIИ наХОiI\дешlН уравнений упруrой линии W ==
== f(z) и УI'ла 1l0ворота е == I(Z). а таюне определения максимальных
проrибов W тaX 11 yrJlOll ()тах (предсташIНlOЩИХ наибольший практиче
СЮIЙ ИIIтерсс) путем ИlIтсrрирова-
пия диффсрerЩИClJIЫIOJ'О УРI;I.ВIIСШ1Я
(10.31) раССМОТРIIМ IIССI\ОЛЬКО при-
меров.
Для r.онсоли nостоянноео nопе-
рецноео сечения при действии сосре- 8
доточеНJlОЙ силы Р на CQо6одllО.и z
1<онце ,(рис. 178) изrllбаЮIЦIIЙ момснт
I/а расстоянии z от I,ОJща будет
м (z) == Pz,
а дифферепцпальпое ураВНСНIIС изо-
rнутой ОСI1 НОlIеОЛII (10.: 1) прпмет
ВlIД
Рис. 178
ci 2 ш Р:
CfiZ === EJ- .
После двунраТllоrо IштеrрироваНIIЯ будем иметь
dш PZ2
== е (z) == 2EJ + с j,
РzЗ
ш(z) == 6EJ + С 1 ! + C t .
Ci и С 2 опредеЛИl\1 из rраНПЧIIЫХ условиЙ:
при z == l ш == о;
при z == 1 О === О,
Из BToporo УС:lOlII1Я получим
Pl2
G'i == 'l.EJ ;
из псрвоrо )словuя получим
РZЗ
С 2 == 3Е) .
Уравнения проrпба и уrла поворота сл('дующие:
w(z)== :Ь: [2 ;)++(+)3J;
(10.35)
Pl2 [ ( Z ) 2 ]
О ( z ) == 1
2Е) l'
(10.36)
231
]\fаКСШlвльные значешIЯ W 11 О имеют место на свободном нопце
б 8ЛКИ в точ!\с А:
рр
Ш mаХ == f A == 'JEJ j
( 10.37)
P12
Отах == О А == 2EJ '
Отрпна тrЛЫIOе :тачснпе f л
w
A
z
Рис. 179
( 10.38)
свидетельствует о том, что проrиб направ-
лен в сторону, противоположную
положительпому направлению оси ш;
положительное значсние О показы-
вает. что поворот сечения происхо-
дит против часовой стрелки.
В случае изrиба балк,и. шар-
нирно опертой по конца." и несущеЙ
равномерно расп реде. енную наеруаку
q (рис. 179), llырашение изrибаю
щсrо момонта будет
ql qz2
М (z) == """"2 z ----т-- '
а диффоренциальное уравнение
IIзоrпутой оси балки (10.31) примет
вид
d'lш 1 ( ql qz2 )
dz 2 == EJ TZ '
ПрОIlнтсrрl1роnав дважды, полУ.чим
о ( ) dш ql 2 Q 3 + С .
z == dZ == 4EJ z GEJ Z l'
1 qz4
W (z) == 12 J Z3 24EJ + C 1 Z + С 2 .
rраНl1чпые условия следующие:
при z == О W == о;
при z == 1 W == о.
Пз nepBoro условия находим W (о) == С 2 == о;
И3 BToporo условия имеем
qP
С 1 == 24EJ .
Подстави!3 значения С 1 и С 2 В выражения для W (z) И 6 (z).
ПОЛУЧIl.\1 ураuпеIlIIС пруrой линии и уравнение уrла поворота
[ ( ) " ( ) 3 ] I
qPz z z
ш (z) == 'L4EJ 1 2 Т + т ;
о (z) == 1: ) [1 6 (+ У+ 4 (+)3].
232
( 10.39)
МаRСIВIaЛЫЮt.') зпачепие проrпба будет посредипе ПрО.'Iетз
5 ql4
Ш таХ == t == 8 4 Е} .
Мансимальные зпачепия уrла [юворота бу,lУТ на опорах
(10.40)
zз
6 (О) == о А == '2% Е J ;
О А == ОН'
Уравнения изоrнутой оси баJ1l И, анаЧl'IIIlН МaJ\СПl\l3ЛЫIЫХ проrIl
бов и уrлов поворота опорных сеченпЙ ДJJЯ ра3JШЧlIЫХ cx(' r ваrруже
ния простейших балок приведены в табл. 20.
При определениu перемещений OTдe.'lЬHЫX сечениЙ башш в ряде
случаев удобно ИСПОЛЬЗ0вать ераФоанплuтuчеСJl,u(i .метод, основанныЙ
на аналоrии между дифференциальным уравнснием упруrоЙ ЛIlIПШ
(10.31) и дифференциальной зависимостыo (3.3). сня;зывающсii пзrибаIO
щий момент и интенсивность распределенной Н8l'рУ,шп, УI<аааНIIая
М (z\
апалоrия ПОRволяет 8ычи:слепие проrпба W по нзвеСТПО:\IУ Е) I
вести так же, как определени:е М (z) по q (z). Ордиьата эпюры
М (z), деленная на EJ, рассматривастся I{aI\ Iншоторая фuюпuвная
наеруа-,;,а
(10.41)
м (z)
qф (z) === Е} .
В этом случае искомые проrиб w(z) и уrол поворота 8(z) опреде-
ляются соответственно как изrибающий момент М ф(z) 11 поперечная
сила Qф(Z) в сечении z фиктивной (взаимноll) ба:шп от фиктивной
ваrрузки, равной эпюре M(z) действитсльпой баЛIШ
W (z) === M:JZ) ; I
( 10.42)
О ( ) == Qф (z)
z Jё.'J'
Фиктивная (взаимная) бална IIмеет дшшу участков, равпую длипе
участков деЙСТDIlтеЛhНОЙ балки, а опоры выбирают ТaIШМ обраЗ0М,
чтобы удовлетворить условиям деформации деЙствительноЙ балки.
Сочетания опорных закреплений действительноЙ и фиктпвн й балок
приведены в табл. '17.
Последовательность определения деформаций следующая. Стропт
ся эпюра изrибающсrо момента действите,lЫIOЙ балки; выбирается
соотвотствующая схсма фиктивной балки; фПКТИВIЩЯ бална lIarpy
жается эпюрой изrибающеrо момента деЙствитеJIЫIOЙ ба.1юr; в выбраll
ном сечении фпктивной башш определяются фИliТIIВНLIС ИЗI'ибающий
момент Мф(z) и попсречная сила Qф(Z) п по формулам (10.42) вычисля
ются значения проrиба и уrла поворота в nыбрп.нном сеченпи*.
· Приве;{енный выше rрафоанаШ1ТfIЧССК!lli чста,,!:, П:!II Meтl)u JYfпpa. ()СНОfl:1 B
вый на и;{еНТIIЧIIОСТII ,,!:иффеРСНl{lfaJlЫIЫХ ypanHCl1lfi!:. не НnЛFIСТСЙ е;ЩПСТn l :IlНО
возможны\{. IIе,,!::\IШО GЫJJИ СФОР IУоlllронаlllJ 11 ;(PYI'l1e апа:юrии, ПоЗnО;lНющие
замениТ!, нахонцеНllе Cll;lOBblX и ;(СФОР ШЦIIОI!IIf,IХ ф,шторов В Oi(1I0\! (за;{юIНО:v!)
стержне нахош;{епие 1 ДСФОР fаЦИОI!I!ЫХ и СИ.[ОВЫХ фаl\торав В друrО l (фИI\ТИ B
НОМ, nэаимном) стержне (C l. ДОПОJIIюние, стр. 6 j О).
23'i
rде
qd qc
k == tg == d с .
После подстаllОВlШ IIзrl1баЮЩСI'О момснта в Ю1фференциаЛЬRое
уравнение (10.31), ДllУI\раТIIОI'О ero шпеrрироваНllЯ и определения
ностоянных llllTl'J'pll роваНl1Я, l\OTOphl llI ОI\азываются начальные
uapaMCTpbJ
С} . 00 11 С 2 == Ш О '
с
d
L,
I
L 2
е
w
а
::
q
Рис. 180
уравнения б (z) == 11 (z) И w (z) == 1 (z) в самом общем виде MorYT
быть записаны так:
'1 [ z \'-'. , (z а) Z2 '\" (z Ь)2
6 (z) == 80 + Е) М) -тr + .11 11 + Qo 2/ -+ р 2/ +
\'-'" (z с):.! '\. (z d)'J (z с)4
+ L qr; 2.J qd ;;1 + k 41
\. . (z . d)41.
k 41 J '
(10.43)
33
1 [ Z2 (z а ) 2
W (z) == ИJп + Uf)Z + Е) м f) 2т + .L.I 11 21 +
z,j \--, (z Ь):> (z с)4 (z d)4
+ Qo зт- + L..J р :1! +.L.I qc '""""4"1 1..J qd 41 +
, (z с) 5 (z d) О ]
т- .L.I k 5/ .L.I k 5! .
( 10.44)
Полученное уравнение (10.44) обычно называют универсальным
уравнением упР!J2ОЙ линии, имея ввиду, что оно может быть ПрIlме
нено пр" любых расчетных схемах балок.
В уравпеНИfl (10.4:3) и (10.44) IJодставляют lIаrрузки, расположен-
ные слева от рассматрипаемоrо сечени.н:; зпани сшtrаемых опрuдсл.н:
ются анаком соответС1'UУlOЩИХ силовых фаI\ТОрОВ. llтак, опреДСJIСlше
перемещений по методу начальных параметро13 в Ковочном итоrс СIЮ-
ДИТСЯ F\ опреДСJIеНl1IО величин на'IaЛЬНЫХ параМ8ТРОВ Qo, М о' е о JI ш().
При атом статические IfClЧDДЫIЫС парамотры Qo и Мо находятся И;:J
УСЛОIsИЯ равновесия башш, l'еомеТрИЧfСЮJe начаЛl>ные параметры е о
и ШО определшотсн из условий иа опорах. Для опре,L!8JlСНИЯ начальных
параметров QI. JI ill() l\10rYT быть использованы данные табл. 9, а для
определения парUИОТрО8 е о и шu данные табл. 20.
Воспольауем:сн полученным универсальным уравнением для
опредслепия проrибов КОнСОЛИ (рис. 181, а, б) в точках z == а и z == 2а.
Уравнение упруrой линии на участие, rде приложена наrрузка ц,
будет иметь вид
UJ (z) == Шп + 6 0 Z + ;J [Мо ; + Qo q ; ] .
Из условия равновесия ба.1lШ
11 а ХОДИМ
Рпс. 181
qa 2
Мо=== М А === ""'2";
Qo == Ra == qa.
Так как начало IЮОрДИllат совпа-
дает е заделкой, то rеО lетрические
начальные пара lетры проrиб и
уrол поворота в начале КООРДИlIат
равны нулю:
ИJ о == о; 60 === о.
Уравнение проrибов
участке АС будет
1 [ qa2 z2 qaz: j qz'l ]
ш(z)::....:: EJ 221+ 31 "4I .
При z == а
2.36
на nCpBOl\1
оа 4
юс.=:: 8EJ '
у раВnСIIИО проrиба па втором участие СВ будет
1 [ 'ча"- z"- z;! Z4 (z а)4 ]
w (z) === EJ Т 21 + ча 31 q 41 + q -М-- .
Положив z == 2а, llОЛУЧИМ ;J;ЛЯ проrиба Сllободноrо КОВШJ
7qa 4
Шв == '24Е) .
Определив проrllбы 11 yrJIbl поворота, можно проперить жесткость
балки ШIIl подобрать ее сечения из условия жесп<ости:
w шах == f [1].
Допускаемые величины проrиБОlJ (Л устанавливаются из условий
экеплуатации или эксперlвншталыIхx данных.
13 случае расчрта переМl'щениЙ ДJIЯ баЛОI\ с промежуточным шаjJ
пиром униnорси.1ыiеe уравненин (10.43) и (10.44) должны быть запи..
сапы в nиде:
1 [ z (z а) Z2
О (z) == 6\ t а (z е)О + eJ !но lТ + L.J м 11"""" + Qo T +
.. р (z Ь) 'l. .. \. ( .( z с) :1 .. \. ( z d);j .. \.., " (z с) 4
I 1..J 2! -1 2..J /r ';1 .L.J '.! ;)/ ...J ! I
l: --, (z d)4 ]
A
41 '
(10.4.5 )
1 [ Z2 \'--' ( z а) \!
W (z) == '/РО + Coz + а (z е) + Е) м о 2т + м :21 +
Z3 (z b)a (z c)4 .., (Z ld)4
+ Qп "ЗУ + р ;) I "-.J qc L (I(j 4 +
.. k (z c) k (z d) ь ]
, 5! L.J';'JI
( 10.46)
E 1 т,
p
m& p
[DE 1
Рис. 182
Рис. lt);j
!'Де а уrол, на RОТОрЫЙ отличаются уrлы поворота стерiIшеЙ. при"
\IЫЮIЮЩIIХ К ПРОМСШУТОЧIlОМУ шарниру, т. е.
е (е).:! + а == О (е)пр,
rде О (е)пр уrол ПОБорота праБоrо стеРI1ШЯ в то'ш (J ) (рис. 180);
О (е)п уrол поворота левоrо стержня n том же шарнире s.
Слаrаемые с СО"\ШОШI1тсле J (z j) < о Прl1 рас.чете llе у"штываются.
237
ВЗ9-ИМIlыii уrол lIаклопа а fJDЛЯСТСн допошштелыюii IICIl:3JsCC'!IIOii
величиной в уравнсниях (10.45) 11 ('10.1,6). 11aK и начальныс ШlРU11()ТрЫ
1.00 И О". yrOJI а определнется из УСJIUUИЙ на опорах. В 3aIШСl: IUС'i ,1 ОТ
расчетной схеМы баJIlШ возможны ).J,lla OCllOllHblX случая СОС'UШ!JUIШJ
опорных условип.
1. YroJ1 а мошет быть определен НЗ УСJ1(!)ВJIЯ равенства НУ';lЮ прu-
l'иб на правой опоре (рис. 182).
2. Уrол а определяется совместно с е о из УСJЮВIIЯ равенства lIУШО
проrибов па опорах В и С (рис. 183) путем решения системы ДlJУХ
алrебраичеСКIIХ уравнений.
56. Расчет балOI\ nepeMeHHoro сечения
на прочность и жеСТIЮСТЬ
е
llC. 184
11 ро ч-
М тах
О'шах == -< [0'].
Для стержня из ХРУШ ОI'О
материала сдсдует УЧllтываТl, 1\011-
цеllтрацию наllрншеПllii li местах
сопрнжеНШ-l двух ССЧСШlii РUЭIlОIО
диаметра. В этом с.' уч<;.( условне
ПрUЧIlОСТll ДОЛЖНО зarl IСЫlJатьс.н
в ШJДе
(10.<'17)
м
Cjшах == аО'и == а W [ о' ],
(10.48)
rде а 'fсореl'ичеС1\иii I;ОЭффИ-
циент концентрации напряжсний
(см. Приложение 2). В обеих фор-
мулах W момент сопротивле-
ния ослаблеНIIоrо сечения.
При определении деформации
ступенчатой балки (рис. 184, а)
!!!,;,обходимо записать дифферен-
ц.иал:ыюе уравнение llзоrнутой
ОСИ баЛI\И длн }{а/IЩОЙ из ступе-
ной, изrибные жеСТНОС111 попереч-
ных сечений IШТОРЫХ COU'j B TCTBt'H-
но равны EJ 1 ; EJ 2 : EJ'J;"':
d 2 w м (z) . d 2 w М (z) d 2 w М (z)
dz 2 EJ}' dz 2 === EJ z ; dz. 2 f 'J:: (10.49)
3амешш ступенчатую баJШУ эквивалентной бu:шuii lЮСТОН1шоrо
сечения с моментом инерЦI1И J o , рaIШЫl\1 МОМИIlТУ lllJ<jРЦJlll ОДПОI'О!l;.!
учаСтков балнп, например BToporo J u == J . ;l\ШOfI\lШ ЧllСJШТСЛl) 1I
знамеНD.тель праной части дифферепциалыюru ураUllСШlН (10.4Н)
для llроизволыl 'оo участка п па J o . ПОЛУЧl!:lJ
d 2 ш ,11 (z) J o М (z) J r , .11 (;;) ,_
dz"- Ь'J п J o =:;: EJ" 7; - "7.:.'J u i'щ
238
(iU.GO)
J
rде \3'/'1 == f () коэф(f,пциепт привеДСUIlЯ. U примере. прпведеппом
. 11
на j'IlC. 184, J(:J 2 :J а ==1::З:2 и l==Э; .J==1; 3== '
Теlh: f,al{ нзrибнroщий МОМСIIТ НllJшетсн линейной Функци€'й J.larpYH-
(,и, то Д.'Н] КЮНДl.i) чаСТII б ЛIШ вместо умножения на ноэффициент
прнве;J.ения llаrиuающеrо момента можно умножить на этот коэффи-
циент все внешние наrрузнп данной части вместе с внутренними усили
шш Q и Jt-f в местах сопряжения различных ступеней (рис. 184. б, в).
Сосдинив отдельные части друr с друrом и просуммировав внутрешше
успшш на CTbll{e, мы получим балну ПОСТОЯIlIIоrо сечения с изrибной
жестностью EJ o , наrружепную приведенными внешними наrрузнаМ!I
(т. . наrрузнами. измененными в Вп .раз). При этом в местах сопря
жений будут наблюдаться скачки поперечных сил и изrибающих мо-
ментов, соотпетственно равные
fjQf == Ql ( 2 . i)j fjQ2 == Q2 ( 3 2);
flM 1 == М 1 ( 2 1); Д'нz == М 2 ( 3 2)'
в местах стыка частей бални надо ПрПJ10ЖИТЬ дополнительные
СОСР(,;ЮТОЧ llные силы и сосредоточенные l\IОl\lеиты, определяемые при-
Вf>ДСННЫШI фОРМУJlами.
Полученная таним образом энвивалентная баJша (рис. 18<1: Р)
будет иметь упруrуlO ЛИIШЮ, полностыо совпадающую с упруrой
:llIIl!ICii адаНlIОЙ ступенчатой бални (рис. 184, а).
ТIrрсмещсния такоЙ баJII\И можно определить, интеrрируя дпффе.
rеll:щнльпое уравнение.
d 2 ш М ПР (z)
dz 2 EJ()
rде 11-1 пр мuмепт приведеНIIЫХ внсшних наrрузон и ДОПОJIШlТельпых
ш\rру;юк !J.Q f1 !J.M, определяемый, нан и в обычной балне, наrружЕ'Н-
пой по схеме рис. 184, е. Для определения w и е можно nОСПО.1lьзо-
патьсп ТaI\же УНlIверсаЛЫIЫl\fI1 ураВlIЕ'ПИНМИ (10.43) и (10.4-1) метода
lIачаЛЫIЫХ параметроп, рас.сматрнвая привсденную балну, нан баJШУ
ПО('Тl)ннпоrо сr'1еllИЛ с иаrиfillОЙ ЖРСТI\ОСТЫО лоп('речноrо сечения EJ/).
Валrrn с IIспрерывно меНЯЮЩИl\IСЛ по длине сеqение f. ЕСJIИ раз-
меры сечсния стершня н@Прерывно изменяются по ДЛИне. ТО формулы,
НОЛУЧ( НlIые на основании rиuотезы плоских поперечных сечений,
СТ<lПО13НТСЯ неверными, I{aH' и сама rипотсза. Однано, нан пок8зыаютT
результаты расч,..ета метод мп теории упруrости, в rOM случае, I\оrда
уrол нюшона оораЗУIOщеи поверхности стержня н ero оси пе превы-
шаст 15 200, распределение нормальных напряжений по высоте се-
чеuия можпо приппмать линейпым. Тоrда. естественно, мощем ис-
пользовать оБЫЧlIое условие про пости и диффереuцналыlеe уравне-
Ilне упруrой липии
(10.51 )
м (z)
а тах == W (z) [а);
(10.52)
(12w М (z)
dz 2 Е) (z) .
(10.53)
239
ПоrрСП1Воети при вычислспии касательных паЩЩ;l\СШ1Й по фор.
муле ЖураВСl{оrо
't == QS (у)
lJ(z)J(z)
(10.54 )
в Д8НПО:\I случае будут ббЛЫJJИМИ, чсм при вычислrJJПИ I[ОР f8ЛЬНЫХ
uапртнспий по формуле Павье:
С1==
А! (z) у
J (z)
(10.55)
ФОр:\fУJI,\ (11 .5:i). выражающую дифферепцпальпое уравнепи е
И;JПlба балки fJCpCl\fCHuoro сечеuия, мощно записать в ВИДе;
d 2 w .Н пр (z)
dz 2 HJ lJ
(10.56)
rдс М пр (z) == /(z) м (z) приведенuыЙ 113Ji'11' ,аЮЩIlЙ момент, смысл
KOToporo ОТЛllчеIl от М'пр' входящеrо в фор.\I)ЛУ (10.51); J() MOMeHT
rшерцпи !\аI\оrО Jшбо сечения, обычно паИООЛЫllИЙ или наименьшиЙ.
Балка, момснт СОПРОТШ :Iения I\ОТОрОЙ i\1(,ШН Т('Я ПрОПОрllионаJlbllO
пзrибающсму l\Iомепту от ВIЮII1ШIХ llaI'РУ,ЮI\, lIа;зып;н тся 6аЛI.'()ii ра8-
Ц.оео сопротU(JЛf'IlUЛ ив;тбу. РаССЧИ1ываетсн т,шан ОШ""lI\а по формуле
y ( ) == м (z)
z I:; I .
(10.57)
н ба:ше paBlloro сопротивления И;1rl1бу маКСIl:\н.\,;н,пые nапряже
ния в любом сечении ()i ит1.RОRЫ и равны допускаемым [а). ПрIlJ\l(,рОl\f
баJIIШ paBHoro СОПРОТИВ.iН'ШIЯ может служить консоль с постоянноЙ
шириной Ь и персмеНIIui1 высотоЙ h(.!.) (рис. 185), определяемоЙ из фор-
мулы (10.57). Тоща
Ш
T V ( ) == bh 2 (z) == М (z) == pz
z (; [ а ) [ а) ,
отт,у;щ
р lЮ lН5
V
h (z) === VZ.
Следовательно, высота UЮJl\lI I(,НЯ('Тс.я по
параболическому зпJ\ОНУ, ДОСТJJrая \laI\CJ\ Iy'-
ма в месте ианрепления
(10.58)
V
h() === h (1) ===
Посколы{\ соrЛ<1СIJО (1().58) в месте прилошсния СI!ЛЫ (z == О) h (О) == О,
то высота IЮПЦСВОI'О сечепия определяется ии УС.10ВИЯ среза:
tfZ.
: р 3 Р
't max == 2 F == 2 bh [-С],
240
ОП{УДfl
ЯР
'l> .
() I 1: I
1> (\.iIЮ' параf)nJIIРIССl\оrо очеРТIН1I1Н (л('сы,нt nЬП'()i1пые с ТОЧНИ
арснин ЭIШНОl\JlШ матеРIlала) 11'-1 ,-13 СЛОЖIIОСТ!I II.-Н'ОТUВ;Н ПИН при:мЕ'НЯ'
юте я весьма рсД1Ю. l!tl npaI{ТlII\e часто ПрИМСШIЮl 6<1:11\11 paBIIoro
СОIlрUТl1flJlеппя изrибу, имеющие по-
\ТОЩШУЮ ВЫСОТУ h IJ псрсменнуIO ши-
рину b(z) (рпе. 186).
;-{аю.Н-I иаменения IUприны Ь (2) паЙ-
:!C:\I из (10.57). Тоrда
р
"2
Рве. 18(j
l
При Z==2
w (z) == Ь (2) h'" == л1 (2) ==
(j I cr I [а I '
ОТ1\:уда получаР\I л 11 прii I!J'IO яаВПСI1-
'\10СП)
@
@
р
'2
:::ii
' , t
<
C !
8
б
@
.> ,
l . tt
I 1. .....с::: ,
'""t::::::r"
е
Рис, 187
: p
Ь (z) == li2fOТ z.
( l ) '!.р,
Ь О == Ь "2' -=-: :!Н> ! JI .
МаI\СШ\Ш.Лf,пыii проrп(, Ta1\oii баЛЮI раП!lоr n сопротпплсппя )1:!rIlGy
опре: слнстся па оснопаПIIII (Ю.5(i). 11 () \I.Щ('СТIIЬВI .10, J (z) lf их
отношеНlIЮ
bh3 b(z)h 3 .
Jo=== ; .I(z)== ,
.1\) Ь О I
J (z) == Ь (z) == "2i
24.1
мо»шо найти прпведеппый l\IO ICHT
111 (z) Р z .1 () Р l
М пр (z) =с= J(Z) .10 == "7 J (z) =.:: 4 '
lIодетаП.11!Я lIf пr в (10.5(j), ПО.JIJчtI:\J
d 2 w Pl
dz 2 4EJ() .
Иптеrрllр :Я эrо уравнсшис дважды, llаХО;lЮl
dw 1 ( Pl )
== о (z) == Еl Т z + С] ;
иZ 'IJ 1
1 ( р lZ2 )
W (z) == EJ o + C,Z + С 2 .
Постоянныс Иllтеrрпровапия С 1 11 С '2 ОПрО: С:IН ;отея ш условий
Отею щ
p
, l
I
а
,О
Рис. 188
откуда
242
ш(О) =:0; О ( ) ==0.
Pl2
Ci== T; С 2 ==().
Тоrда
( 1> l Р l'l. \
Ш (z) /_:./:> к Z2 Т z),
а
Ш 1Ш1Х =::: f == 11 ( ) ,, Fl.з .
. '- :::-T: Т:;'
Отсюда ШIДI!О, '1'1 U !\Jal CIOIi\"J!)J!I,1 ii I!рОfнб
баЛlШ pUBHoro ('OIlPOIIIH':I('IJJ! it:;I'I;(iy fI ПОJlТО-
ра раза БО:lЫIIС> lI!>orll()a VU:!I\I\ IЮСТОНlIl!оrо
ссчении с иаrJlбноii ,!,l'П ! ()("I ;,1() i:J,.
Прпве;J.сннан ТСОРИЯ е ;lОСТ11'1()'IiЮЙ СТСПС-
ПЬЮ IIрl1БЛПЖСlll1Я \\l1\;},CT бы '! 1'('Н().;I!) юваllа
при рЗ\i1iетс рес('п[1 (I'I! . IЮ, О, 6. 1:, ;».
При ЭТОМ IIIIIJIIIIIY 1,('PIlPI!:,IX ССЧСНП!1
ба.Уши опреДС';НIIОl 11: \'(' 1\;;I(1f! срези
(01. рис. 188, а, б).
р ,1..1
'"шах == F == ь д -< [с].
р
Ь-т. == lI!"C J '
ФОРЫУJIЫ для Оl1рСДСJIСIШЯ размероь поперечноrо сечения и макси-
!lШЛЬJЮl'U ПРОl'l1ба Gа;ю\\ pallllUl'o СОПРОllшлешш приведеuы в табл. 18.
Н таб 1. НЭ .ц<lIlЫ YraBJI 1l11Н унруruЙ JШНlIИ и уrлов поворота llопереч
llЫХ ССЧСlIllii }\ОIIСUJJ!,lюji GaJl/\IJ ПСрС!llСIlНОЙ высоты для некоторых
саучасв C IIШ'vУiН: IlШI.
57. l'ас'ют на kl;jl'иб с учетом сил ИIIСрI ИИ
ДсiicТIЗ!lС СШI ШЮРЦIlИ следует учитывать при расчете элементов
IЮНСТРУЮlllii, ПСIIытывающпх большие }'скорения. Примером может
А, . q 8"
.J' r. ) 'f-ffItI J
-Ei .,. q \ ; / )
А,! П\!Тf\" У
РJlС. 18а
Рнс. 190
{'ЛУ,НlIп СIlЩШIII\ АВ (рвс. 189), соеДllПЯЮЩИЙ две оси, одна из HQTO
r:.1X (01) являетсн водущеЙ. JIюбоЙ ЭJICMCIIT ДЛIlНЫ спарника, описы.
В'\ЮЩllli ОI\РУЖIlОСТЬ ра:щуса r с уrловой сноростыо 00, испытывает
цJнтрuстрсмlIте.1Iыlсc УС1\uреIIие oo 2 r. lIПТСНСlIDНОСТЬ возшшаlOщей по
, ;lIше спи.ршша распрсделенной llаrрузки будот:
'VF
q ==.!...... IJ.)2r
11 g ,
r.1;o p. Il.'Iощадь ПОllереЧ}lоrо сечения спаршша; i удельный вес
матервала; Ц ускорение силы тяжести.
II апболее опасным ПОJlошением Сllаршша будет крайнее нижнее
положе/ше А 1 В l' при I{oTOpOl\f uаrРУ3lШ от сил инерции qи 11 от соб.
CTlleHIIoro веса qc СУ:ЮШРУlOтся:
qmax. == qп + qc == '; w 2 r + "(F:::: i F (1 + w;r ).
РаСС:\Iатрпвая спаршш как баЛRУ па двух шарнирных опорах,
UUЙДе:\l маКСlшаЛLuыii: изrибающий момеIlТ
Q In ,-, х l2 P l 2 ( 2 )
М u == 8 1 + W g r
" шах === 8
Il папБОЛЫJlСС напртJ\РШJ('
G ЛJ тпх ==!!..... ,[2 ( W2r )
Ш3,; Нl 1V 8 1 + g .
Сш/ы /J 11 С'!Щi 111 J!U()6X(): IJMO У'IlIтыва'1Ъ l'Ю\а,С нри расчете шатуна
j!ОрШIlС1!оii !I1<lШШJЫ (РВС. н.ю). Шатун испытываст инерционную paB
!lОШ:рllО pJ.CIl jJC:I.uaOIIIIY 10 lIaI'рУЗНу, l\1СШllOЩУlOСЯ по JIинейвому за
1\ JiJY, ]\и;> IIO],(J:JUllO Шl pl1cYIll-\е. l\lШ-\Сl1:VIaJlЫШЯ ИНТСШ ИВ1l0СТЬ наrРУЗКII
24:1
будет в ТОЧЮ; А, I\orAa ]\РИВОШllП соr.тавляст с шатУНU.\1 тол, рав-
ный O.),
"(Р "
qшах ==. (J) r,
g
l'де r ради) с Н:рШЮШllпа.
максlIмалыlйй изrибающий момент в шатуне (при рассмотрепии
ero ]{Ю{ шарнирно ОlIСрТОЙ балки), юш 1I3В('СТI'0, будет на расстоянии
1
Vз ОТ точки В:
JИ шах ==
qrnax l2
9VЗ '
а маКСIlМI'\ЛЫIOС наПРЮНСНllО
М тах
а тах == .
Подставляя зна qеппе Qmax> lIайде :
Qmax 12 Fj12(J)2r
а
шах ) 1/ JV !J V}JV .
58. Касательные напрнженин при изrибс бал()н
ТОНRостениоI'U ПРОфИJlЛ. ЦеНТI) liзrпfiа
Формула Жураnсноrо дао] верные pe3YJlbТaTbl n случаях, 1\оrда
ШIlрина баЛItИ (сечения т.п на рас. 191) достаточно мала по срав-
нению с. высотоЙ h.
В сеЧ8ЮIЯХ т1пl ПОЛОI( тонкостеиноrо ПрОфИJlН (рис. Н)1. в, 8, д)
Н.1пря;Т\сния т, параШlельные УСИJIИЮ Q, настолько lIIa:lbl, что ими
Rn т
Ш mf!l т
E
т п 11, i
на rr. п !
'-I .
, 7, т, п (..
..... с д '<-
f]
ё
tJ
Рис. на
МОЖIЮ ПРСl\с6рсчь. Но в атих полках НО.!ШI1'-аIUТ 1,liСi1ТС'.'lьпые напри-
ШСlIlIЯ Т п ' перпеНДIIКУJlЯРllЫ() усшшю (1. 'IIIПЫШlН J\ШДУЮ ТОЛЩllНУ
пошш t, МuЖНО считать, что касательные Н:ШРШШ:)llllЛ Т п по ТОЛЩНllе
полки распределены равномерно. Тоща их lЮJШЧШIа опроделится по
фОР:\lу:rе
пs (,1')
't :.=:
[1 Jt'
(10.59 )
244
пайденной ИR рассмотрения УСJIОВИЯ равновесия части ПОЛI\И ДBYTaBpo
Boro сечения ДJlИНОЙ dz (рис. 1 В2), rде статичеСI\ИЙ момент
S(x) == ( x) t ( ; ).
( 10.60)
Из сопоставления фОр:\IУJJ (10.59) и (10.fЮ) ВИДНО, что заl\ОН распреде
ления Ka aT('.1 t,lfЫХ папрнжеllиii по ширине ПОЛКИ определяется заl\О-
ном И3l\1СIЮIJlIИ статичеСl\оrо м\)мснта
I Q S (х), т. е. Тп распре;],слшотся по линеii.
, ному заl\ОIlУ.
Эпюры касательных напряженпй,
построенные длн двутавровоrо сечения
'\ O при Q == 1 О Ol)Q 1,1', ПРИВСДСJJЫ на
pllC. 1 fJ3.
насателыlеe напрнжения в DОЛl\ах
TOlll\OCTellHblX профилеi1 существенно влия-
ют на характер напрнженноrо Состояния
етер;кня и вид ero дсфо рмации.
У,
Рио. 192
,'"
Если сечение имеет две оси i Q
симметрии и силовая ПЛОСIШСТЬ про-
хорт через одну из НИХ (рис. 194, а),
то В сечении В03Нlшают равнодей-
ствующие усИJ1НН в стенке Т от
и в ПОJll\е Т П (рис, 194, 6). В силу
симметрии полок усилия Т п аза- 1084 кr/си l .
имно у раановешиваются па I\аждой
ПОJше.
Иначе обстоит деJI0, если rлав-
нан центральная Q&b, перпендику-
лярная 1\ lIейrра.'lЫlOЙ линии, не ЯВ-
ляеrся осью СИ lмеТрllИ (рис. '195, а). у
Касательные llаПрНfКеннн н стенке
11 IJолнах приводнтсн соответственно Рис. 19
n УСllJШЯМ Т СТ 11 Т п (рис. 193, 6).
При ЭТОМ вертинадьными касательны:\ш lJапрнжениями а полках
пренебреrают. Поперечная сила
Q::;;; Тс'!"
При этом она не проходит через центр ТНJКести, а будучи равнодей
сrвующеii сиды Т ст 11 двух СП:! Т П' создающих пару, смещена иа
245
некоторое расстояние Хс (рис. 195, 6) n псресеНает llсi:irральпую
ШIНlIЮ II точ}{е С.
СJ\!('ЩСUlJС ХС .мОЖlIО ощюде."ТllIТЬ па условия
м А == Q ( ХС + % ) ТВ и t) == О,
УА
'>. tJ< 1
C":J:::;'
,::r:
a i r"
4 \
I r I Н!7.
r'l
idt L 1
I I .J
о..
ОТКУДi:l
у Чtl тывая > что
==t
тп
'!n Т-П'
о а
Рис. 194
'о
Рвс. 195
1'11 d
Ха::'=: Q (h t) 2'
(10.61)
QS X) dx ==
Qt (h t) (Ь d)2
4J
t(ll t)2(b d) d
ХС ==о 4} 2 .
СмеЩСIНIG равнодеЙствующей ОТllОСllТl'JlЫIO ЦЫJТpa тяжести сече--
НllЯ на раССТОНllllе Ха + Хо, нан это СJlсдует lIа схемы, lJрllвсдеnIIОЙ
На рвс. НJб, 11, ПрllВUДИТ к тому> ЧТО ВНСIШШН lIю'рузна Р, дейстnуlO
щая в ПJlОСI{UСТl1 zy, вызывает II ее'lСIШI1 ба.'IIШ HP ТОЛЬКО IIерСМСНIIЫЙ
по длине 113t'110ШОЩl1ii 1\1Оl\ЮlIТ M(z) == Pz. 110 1'i.lЮ1\(: НРУТЯЩIIЙ момент
(рис. '1 !Ю. 6) М;;р == P(x 1J + Хс) эа СЧС'1 е IРЩСIШОСТII lIОllеречной силы
Q == Р (Яll:1Нющuiiся рашюдействующеii УСIIJшii Т СТ 11 Т п)' 13С.'lсдствие
ЭТ01'0 балка бу; от Ilе rолы\о И31'пбатьсн, но 11 снручивап.сн (рас. 196,е).
ДJlЛ llрОДОТl3раЩСlIlШ С}{РУЧllвашш на практике ИСIlОJIЬ3УlOТ сим.
т n t ! X. ,П dХ X.
(;).;o d) (xo d)
. r X' Q (Ь ХО х) t h ;- t
J Jt dx
(Xo d)
ФОР:\IУЛУ (10,61) МОIl\ЮI ааписать n окончательно.\! виде:
246
мстричныс с.еченин иа днух швеллеров или выносят ТОЧ1\у приложl'UИЯ
паrрузки из rлавной ПЛОСНОСТИ так, чтобы она проходила через ТОЧI\У С
(рис. 196, ;:).
В TO)I случае учаСТОI\ батш ДЛl1UОЙ z ПОЛ.НОСТЫО уравновеСИl( Я
силами р, Q (z) :::: р И МОМСIlТОМ М (z) :::: pz И крученпя не будет. По
ЭТОМУ точку С П:1;JЫВaIОТ 1{t;/{тро.м, ияеufiа или 'If?HтpO,H жеcrпWос1iИ
у
р I\С. 1 !J6
I (( :пры !\с:rнба всех сечений UU.II\11 Р;1СflС:IОl/,('/IЫ 111) IIpHl\!(1ii, КО1'орап
н, нынаQТСЯ осью жестJZостu ба.;I1Ш (рис. 1 Ю, 6). Очсrшдно, дли стерж
lIeii с ююuной сшшетрией ось жеСТI\ОСТI1 ба:ш'lI совна;..(аот с осью, на
I\ОТОрОЙ раамещеuы центры ТНiкести сечеlll.1Li.
59. О paCQeTe баЛf)I на УПРУl'О}l основании
П рп раСС;\10трешш бал 1\11 па СШI0Iшru 1 упруrОl\1 основании
(рис. 197) прсд лаrается, что реaJЩИЯ ОсноuаllИЯ в наiI\: ОЙ точке про.
порциопальна УПРУI'О IУ проrпбу w в этой TOIIlH>.
Обозначив t\о;нI)(Iн'Цrн пт проrrорциона:rыJOСПI, Нl\fСIOЩJ\Й размер.
, 00
! "' MO
I !';
. fi
w ""1:.' Ц )
z
1
11/
Рис. 197
Рпс. 198
слла б ..
пос'fЬ ( . 2.' уквои а, получим, что III!Т('НСПВНОСТЬ рсакции OCllO-
длина)
вапин рщша аш.
TaKliM образом, при заданной внсшпеir распределенной пш'рузке
q (z) ПUJШШI распредс.т.снпап наrру:ша, ll.СI'СТПУЮЩ<lЯ на балку, будет
р (z) == q (1) аш (z).
( 10.62)
247
Расчет балок на упруrом осповании представляет с.обой статиче
еки нсопределимую надачу. ИнтеПСИВНОСТh рсаНЦl1 и осповаНII н СВRза 118
е деформациеЙ балки, ПОЭТО lУ при решении задач сначала пеоБХvДlll\1O
найти унруrую линию башш. Дифференциальное уравнение IIзоrву
той ОСи башш COI'JlaCHO (10.34) МОЖно записать II виде
d 4 ш (z) 1
dТ 8J Iq (z) аш (z)].
(10.63)
Если распределеннан паrРУЗI\8 отсутствует, q (z) == О (рис. 198).
уравнепие (10.63) ПрЮlет DП,1
d 4 w (2) а
== EJ W (z).
(10.64)
Выберем uачало координат па левом конце раСС:\lатрпваемоrо
участка, rде пачалыlшI параметраМII будут: шо, 60' М о и Qo. Введя
обо;шачепие
У ! 4EJ
L==
а
(L П:\lеет размерность .rЩllllЫ) и :1ЮlеllllВ пезаписимую пеРС lеппую z
безразмерноЙ абсциссоЙ
z
E==z; ,
уравпение (10.64) псрепише:'ll в виде
d 4 ш
+ 1 u )==О
d;4 .
Общее решение этоrо уравнения:
w == C1e; cos + C2e sin Е + C:le ; COS; + C4e ; siп;. (10.6:1)
I1:Шll соответствующие производпые ОТ (1().в;), выраЗIШ через
НIIХ Q, М п 6:
dш O L С . ( 1:: . : ( + . )
d; == ==, \е: cos с,; sm ) + С 2 е- cos,; sm:;;
C:le (cos; + sin ) + C4e ; (cos; siп ;);
(10.66)
d 2 w л1 (z)U 2 (С с . с: С :. C . !-
(1;2 EJ -== i e ' S1П '" 2 е ' ('os ; С: 1 е ' sш; +
+ C4e COS Е);
( 10.67)
d: ш Q (z)LЗ 2 [С еС ( С: . ) С .: ,. . 1:: )
d$,:J == == I cos,- + slп:; ').е- (cos:; sш,-
Сзе ; (cos sin Е) С 4e (cos sifJ Е)]. (10.68)
248
Полот ив в (10.65) (1О.в8) == О. получим выражения для
начальных параметров:
u =:: 01 + С З ;
LOu =:: С, + С 2 С: 1 + С 4 ;
L2Mo == ( 2C z + 2С 4 ) EJ;
L3Qo == (2С 1 2С 2 2С з 2С 4 ) EJ.
Решив спстему этих чстырех линейных урая пеПIIЙ от.носителыlo
ПОСТОЛIшых ИllтеrрIfрованпл, пол):чим Dыражсuие последних черсз
пачальныв парамстры в ви е:
Ш() L6u [,:lQo
С 1 == 2" + Т + f)EJ i
С LfJI) им." L3Q()
2 4 + 4EJ т НЕ] ;
С Q L60 + L3Qo .
3 2 4 8EJ'
С LO() L2M() L3Q()
4 4 4EJ + 8EJ .
Подставив выра;-Ю.шие постоянных ИНТСl'рироrщпия в (1 0.65)
(10.68), пайдсы
( ) У ( ) LO У ( С ) + L21\-1'1 у ( L: Q() ( С )
W Z == Ш а 1 :; + о 2" Е] 3:;) + EJ у 4 <" ;
О ( ) О ( LAf() y - L2Qoy . ) 4шо
z == ОУ 1 :;) + Е] 2 ( ) + Е J :: {:; L у 4 {I;);
м (z) === MOY 1 (О + LQOY2 ( ) а.u,wоуз ( ) aL 3 6 o Y 4 (Е);
/,
Q (2) ==: QOY 1 ( ) aLwaY '2 ( ) aL 2 0 0 УЗ ( ) т м ОУ 4 (Е),
rде Y 1 , У 2 , УЗ, У 4 фуrшции А. Н. I\рылова*;
У ] ( ) == ch cos == (e + e ) cos;;
У 2 (Е)==: (chEsinE+shEcosE)==:
1 t. t.
== 4' [(e + e ) sin + (е" e ) cos Е];
y: (;) == + sh Е sin Е == [+ (e e ) sin ];
у t (Е) == 1 (ch Е sin Е sh ; cos ) ==
1 .. "
== 8' [(e + e <;) sin Е (e e ) COg Е].
'" Значения эпос ФУЮЩI:Й привсдеllЫ в lIРИJющеШIII 4. БО:I С Пfщробные
таблицы ИJ\lеЮТСII в r1. 15].
249
Пр1l Jl.llфферСIlЦIIровашш фушщий нрыJIваa имеют место следующио
[IЗilШЫ(; ЗЮШСIIМОСТIl:
LY; == 4Y.t; LY == У 1 ; LУ з ' == У 2 ; LY4 == УЗ'
В оБЩе:\1 сл) час (рис. 199), l\оrда на отрезке Oz действует
сосредоточешшй :\Ю:\1eIlТ 1IJi В ТОЧI\е С абсцпссой ai. сосредоточенная
сила Pi в точке с абсциссой bi
11 равиомерио распределенная па-
rРУЗI\а qc па участке от z == с до
z::::: d, общие ураВIIепия дЛЯ Ш, е, Q
II 111 будут Иl\IСТЬ вид:
w(z) == Ш О У 1 (7:) + °oLY 2 (т) +
+ ь!у { +lI10L2Y ( )+ QoPytC;J+
+ L2 L ЛJ iY:J ( z а i ) +
+ L;J PiYj ( z b i )
4 qi [Уl( 2 Ci ) Y2( Z di )]}; (10.69)
О (z) 601'1 ( ) + ;) { + lI1 0 LY 2 (т) + Q o L2Y;1 (i)
41 ) WoY'l(i)+L1:MiY'i( z ai )+и Рiуз( Z Ьi )+
+ L3 (/{ У 4 ( z L Ci ) Y4( Z L d i )]}; (10.70)
М (z) == М О У 1 CIJ + Q\)LY 2 ( ) etL2wо з CI) etL 3 0 o Y 4 (I) +
+ }: 111 i У] ( z a i ) + L I р i Y 2 ( z b i ) +- L2 qi [ Уз ( z L Ci )
Y:J( Z di )]; (10.71)
Q (z) == QOY1 ( ) etLU'OY2 ( ) aL20(JY ( 1) 4J п У4 (i)
..... 1 1: Л1iУ4 ( z a i ) + J>iYJ ( z L b i ) + .
+ L qi [ У 2 ( Z Ci ) у 2 ( Z L d i ) ] .
d
Рис. 199
(10.72)
ТflКИМ обра:зо!\!, при I1звеt:тПЫХ начаЛl)ПhIХ lIара:\Н'трах Шо. 6 и , Мо
11 Qu веЛIlЧll!JЫ u' (2), О (z), Лf (z) и Q (z) !\JOi'YT ()ыть определены
n люБО!\l (:(''lРI11111 С НООРДllпатой z по фОр:\lула 1 (10.69) (10.72).
НаЧ[Шhllwе парю.IOТРЫ в I\аждом J\ОПI\}ЮТIIОМ случае lIorYT быт 1)
опрсд< леIlЫ 11<1 YC:IUlSiI rj на концах башш. Эти УС:IOВИЯ для различных
случаев нанреШIClIIJН ба"1Кll при совмсщсшш lIаЧi:ша I\оординат с левым
се I\ОUЦОМ преДСI'аШlепы Нllже.
250
Своб(щrн
Свободен
Свободсн
Оперт
Оперт
Заделан
Свободен
Оперт
Заделап
Оперт
Заделап
Заделан
JlеШ,liI консц
(z О)
-- I l
- i
ЛJ (\1
Мо Q"
МО Qo
,1} (,
Ир
Ilравый "овец
(z ')
VСJIOШIЯ на концах (iаЛНIJ
<Оllец I Прппы!i Iюнец
1( I
I м I
Q
u
о
ЛJ{
Лf{
Q{
о
о
о
о
\)
Лf{
u
()
о
о
о
1111 II Q1 соответствснно ВНСIШIJIе СОСрС;ЮJ'ОТICIШЫС il10l\leHT II СП:13
на прапоii опоре.
При выборе начала НООРДНllат па левом копце однопролотпон
uашш Дllа начальных парi.шетра всеrда извсстны. Для определения
двух друrих параш'ч.юв нсuБХОДIIi\lO решить C!JCTCMY двух алrебрапче-
ских уравuений, составленную пз условий з[шреllJJепин прапоrо l{ОНЦЗ
баЛКIl.
60. Изrиб балOl\, матсриал [\Оторых
не следует зю\Ону rУIШ
Диаrрюн,1Ы растнженпя и сжатия Д.1Я матерпалов, не следующих
закону fYKa (чуrуп, камень и др.), покааывают, что напряжения
растут медленнее деформаций и отставание роста папряшениii от дe
формаций 31lачитсльнее при растяжении, чем при сжатии (рвс. 200).
В ЭТО 1 случае нейтральная ЛIшнн не ПРОХОДJIТ чсрез центр тяжести
поперечноrо сечения, а смещается в сторону цснтра Н.рНВJI3ПЫ оси
ба,1ЮI (рнс. 2(1). По известному радиусу ],ри Шl3ВЫ неiiтральноrо
СЛОН р па основаппu rипотезы ПJIOСЮIХ ссчениii относительное УДЛИJIе
б
У 0е @
!J
ь
:4
Рпс. 200 Рпс. 201
ппе волокна, находнщеrося па раССТОННIIII 11 от нсйтра.тrьноrо слоя,
иак 11 прсжде, определяется пзвеСТПОll формулой
у
€ ==
р .
(10.73)
Цо;:}тому прежде Bcero следует наi.iтп ПОЛОlКсппс п радиус I\рИ- .
ВllЗНЫ нейтральноrо слоя.
251
Рассмотрим балку прямоуruльноrо ссчсния И3 мuтериала, не еле.
цуroщоrо ЗaJЮНУ I'YKa (рис. 202). Учитывая, что для мноrих материа.10В
заВИСlТмости.е == '(а) при растНiН ШШ и сжатии MorYT быть IIрсдстав
Лены в виде
€,. === k!JO' ; €СЖ == "" a;O';; H'
(10.74)
ril.e kp' kCit\, ri \\ т ВСЛИЧIIШЫ, xapaRTe-
риаУЮЩIlС фпаичсские свойства матс-
\риала, ПОJIОlI\енпс пейтраJIьноrо слоя
можно опредслить Ю! условпЙ
z == r O'dF == о;
..:...J J
/<'
Рис. 202
LЛ1х== cydb' M==O
ft'
I!ЛИ
h l 112
b( apdy S O'ciJ;dy) ==0;
u О
(10.75)
h l 112
b( O'pUdu+ ,\ aciI\Yd!!)== М.
() u
(10.76)
На основании (10.74) и (10.73)
1 1
ар == ( ::J. ) == ( " p ) п: а сж == ( ;c: )т == ( kc <P ) т, (10.77)
Подставляя (10.77) n (10.75) и (10.76) и ШIтеrрируя, соответственно
полУ.чим
1 f
п ( hl ) n т ( h ) т
1'ч 12,,==0'
п + '1 "рР т, + I "СiI\Р .' ,
1 1
.....!!:....... ь ( ) -n h; + h ( ) т ll == М
'2.п + 1 "рР '2т + 1 kcrнp ,
Учитывая, <{то h 1 + h z == h, из послеДИIlХ ).\вух ,\ IJaВl{(\lIИЙ LНliiлем
р, h 1 И h ZJ а ::!атем по формулам (10.77) IЩПрЛil\t JJIIЯ ар 11 а сж ,
Мощно решить и обратную ::!8!(аЧУ: опре.цеЛИТh наибольший
ДОПУСlщемый Иilrl1БПЮЩ l 1Й ыомрвт по доп.Усна():\Ih1;\1 напряжениям
растшкспия 10'1'1 или сжатия tО'сжl. Ври ЭТО:\J, JlОЛЬ:-JУЯСЬ формулами
(10.77), опрсдслнют uапrЮI{ения в крайних полокнах
(1().78)
(10.79)
1
( h- ) n
(crp)max==O'(=-'О: "рlр i
f
( h2 ) т
(О'сж)mах == cr2 == .
сщр
( 10.80)
252
На ос&овании (10.80) выражения (10.78) п (10.79) можно предста-
ВНТЬ в внде
C!)h! .......!!!.... (J2'l2:=;: о;
11+1 т+']
(10.81 )
п 2 т 2
2 l 1 ba)h) + 1 ba h2:=: Л/.
и , ..т +
(10.82)
I{poMc Toro, И:1 ураПllСllНЯ (10.80) следуст, чrо
Полы'!уясь СООТПОПIеппеы (10.81) (10.83)
h) + h z == h, 1\ЮilШО пu lJ 3 ВОСТНОМУ [ар 1 или r а С;I; 1
шение пеЙтраЛЫlOii оси п J(ОПУСRаемое ппачепи€'
мспта [Ml.
В случае, КОТ']Щ материал сле-
дует закону r уна, во МОl1:УЛИ уп-
PYI'OCTIl при растяжении Ер и сжа-
тии Ест пеодипю{овы (обычно
E ciН > Ер). эпюра ПОрМI.1JIЬПЫХ па
ПрЯЖСJшii ()удст IВleTЬ ШI , припr-
денный па рпс. 203, а l\laJ{сималь-
ные папряжепия ЩНJ известном
деiiСТВУlощем изrl1баЮЩР1\1 l\lОмепте
М для стерашя пряJ\lоуrолыIrоo сс-
чения будут опредеЛНТJ)СЯ по фор-
мулам -
h z
Л1 (
ар :=;: ' 1 -t
: _11 (
ас;;; == bIt'2 1 !
а r kp
а kсж
(10.83)
и УЧПТЫП:1Л, что
опреJl;еЛIlТЬ поло-
изrибаюrnеrо 1\10-
NC!f(
Рис 203
-. I I. p ) I
v /!,'сщ ;
V 'r "' )'
(10.84)
в случ ас, ROrjt[l паПРЮl\еппя опрсделяюТ(',Л через относительные
дефорыации в :краЙних ВОЛОКШ1Х, наЙДРН!fЫС' с пш,10щыo тензомет-
ров, ФоrШУJ1Ы (10)34) .fJучше нренставить в ВПДР
'JЛf ( Е сн , ) I
ер:=;: b h 2 1 + ;
ам €"
С1 сш === 61" ( 1 + ) .
l Е(:ж
( 10.85)
25::1
т 11 (i Л 11 Jl FI 17
Схемы деiiстпитольпых n СООТЕН 'fСТН 'Н)ЩПХ 11\1 фШ-ТШШ!,I'. u(\.тн'Щ
. - .. - . - ' '" ::: .
ЛеЙСТВ!lте;rьная U[\JIH3
<'iJ! f\'i'!lf\Ji:ll'l и:1 1H;t
;t
:r
f - .'
;;.r" ;.,
, " .J
.
.1
)
Ld:
tr
.z'1
7/(
' ----1
Ld: tьJ
";' ',
lLL UJ'
G =j'
[ ' " ]
254
БаJН\И Р(l;чтI'() СОНрОТИRШЧIИЛ 1131'пбу
т а б л и ц а 18
Cxc !a i)a iI\1I l' С'С' поперсч..
Н(\С ССЧСШ1С
!--<> .. ..,
I r-l I . II Ь
"'-.1 .. '
. -<:...1 .!.., . -t:::l-t:::
'Н;:/{)(J!!;:.'1f;'Пi? ?
ВI f::JРШУ:J.iU l Ь
!. " , ." f
': -t::: -с:1 з .r::;If
. j ЧЧ
: ч,LI ....J.
ФОР\lУ IЫ для определения размеров
ПОПСРСЧI10rо ссчения и l\IаНСИ:llальпоrо
проrп..а
, V ()fJz
lz == ;
81> ( l\:J
t == ЕЬ h)
Ь ;
, ..
r il Zt
t':;l:::-;;,k=:JР Ц
;..d T 'i
; . м
t......... . ,)
t" 1
---:' .. \:t:V
!f:J!JиЧС(:' l"' р' (i. I
f71.: ',,": -)r;,1 ' ""
f)pz
Ь ] := hT[-;Т ;
6Р ( l ) 3
f == ЕЬ h
V 3'2pz
d z ==
те [а]
m l
.. . ,Ь
, 1
.... . 1 .
. -t::: .r::: ...0::1
r'.z :!
l /
/lz == Z J
"f. LJ
IJ t bz
, 4-<::-+ ".
.1: T'
! .I
i m v . .
I .? --;
- . , : .:.c J
V (1[JCZ
ft z == --Ы-YGТ ;
1 f 6Paz'
h z ' == JI
I h,
I
1/ .) l 2 ( 2 )
.,q 1 1. Z .
, "{ /, i (; I 1 I2 '
3ql4
f == lбbEh:3
: P:.
Ь ] == / L 2 [:; ' ;
ЗРZЗ
f == 8bEh:i
255
$
'" I ,..............
t:r +I
cs:: ::а + I
Е-- Е-< . "'"'
ci о ...... '"'1
р. C'J ...:: + ....I .
\о о
'" ::а I I I
= о
Е-< t:: "" ""
:::I t'I .s I t'I
с:>
== ""' + + +
1: р.,
Q) s: '-1 ::..
:=; 5э <:'1
Q) =" - ='J
<:)
g. t:: "... !:::
Q) :"'1 <:'-1 ""
== I
= ;;. c... +
\о
.8
1': 1;з
ci
==
ci I
;.:;
:= '-1
==
==
C:.J +I ....... + ...::
с" I '----'
"- -01 "1 ...::
<:. I ""
1>< ..:::. I ....;: -;;-
::а ....... :'
== :2' . If ---.J 11 ;:; с' J + I
с" :..'" + t-1 ......I
11 N О +
Zl/" ..;:: ""' I
Q) р., +
t:I с.. +
ci 01/ t:: Ii
;., с::;
== 00:-, , I
s
'" :"'1 1"
Е- ::::..
ci ---............
g. 5 + '-"
ci ""1
с- о::! ='J
ci » "1+ ..... I
с .....: ;',] I
<;j
<;j :- 1::
r:; "
;;., I
:= ...... .......
;'J
cs::
cs:: I
:I:
cs:: - ......
r=; ,
'0
....
;;.,
о.. ]
Ё N :
.... r-:ro
;>.
Q;::.
== 7 !
==
Q) Q
= tj==
=
g.
256
I
!
+ I I
I+ I . I
."о::, I + +
<;j
<;j <;j '--'
С'--,
I <;j I
.
+
j l I
......::;)
9 5 11'Ч;
+
-;-
I
Е
J!
-;-
+
';;'
+
::,
-
......
""')
Со..::.:;)
fj
1 ""
='1
!
""
t<j
+
<;j
='1
...............
I
::.tJ
+
.
I
<;j
::::
+
""I
I
I
" 1 "" I
<;j .
+
+
O I
':'J
il
I
:", I
7' I
j
....::
I
I '
-;-
+
<;j
+
:'OJ
.....;;
:'
'="
t<j
+-
+
Ii
I
..
:i
"'1':'\1
+
-з
"
з
............ -
" ,
п
257
«s
!:f
111
\о ,=
= =
Q;)
='
Q;)
с.:>
:21
=:
с.
С
=
С
111
..
cf
=:
C
:t:
c\s
С =:
i=
Сф
=='
:I
C
" "
»с
11;:
Q)
:21
'i=
g
=-С
1:1 "
фQ
:21 = =
11:1
C\S
1118
5=
:t::t:
c\s С
:II
=
=
=
=
,=
C
g,
s
I:I:
;
=:::'
IICI
:;3
.25в
(00
&
о
=
g
t:::
е
N
....,
1i3'"
='g
=
>ISI
e
:5
;:с
:151
;:>.
t:::
\Q
u ?;
i\
11
ф
с>
\1
ISI
р.
=
о
1.... 11
I t'I
...........=...-
V/ ., 1 "'-. =
t'I --ъ 0<1 1 "'-.
V/ i
о I I
11 11
'э .....
t'I
I
1:1
.....-
i
I
:с
,....
i
+
\
11
+
1:1 О
n
t'I
I
.s t::I
:i
I
ф
..
\
..с::.
+
i
I
t'I
t'I I ,.с:,
1:1 ,.с:,
V/ +
t'I
V/ 1:1
О
,....
i
+ i
I
t
I
11
€
.....
v
+ t'I
1:1 \f
VJ .CI + I
v t
1:1 I
11
'"
:а
\
I
11
:
...
"I
t
,....
i
+
i
..........
\ с>
..... 11 с>
:'-J " I
I " .... 11
N "
=
11 11 =
1:1
ер ер 1:1
;е
;:с
+
..
,..............
I ot ..
............... ...............
. t4 1.... с> ... ,.... с>
c:s ...............
i + 11 + 11
с> tot tot 1..... tot
I v/ t4j..... 111 ISI
tot ('!";) v ('!";)
,..... tot I = I =
i 111 v/ ..
<:"1 ' v <:"1 '
t:I О ......
+ I C1':) о I
..... ...... ..... t
11
......... 11 ..... I "
f 11 .....
I
"
.....
'"
cl..
9*
259
'с
r:::!
Е:
о
:3 ' О 1
:е f-o 1 "
о 11 ......,
р. с., =' ,
о
I:Q
О О /J ::1 11 I!::
t:: с-
о r; о.. с::> =
о., о <::> ::1
t:::: 1'.
»
'
,
с'\/
+ ...............
I tj I
с":
:о +
1.....
м l/ N с
i'!""'" I I + 11
,;:)
:::::s;:
="- С-:.р 'o:j 1.....
......
,..,...
I;i I I I с ..;:t t::
= j VJ \!' 11 v;
Еа 11 V 11 11 [
t ............... ............... v; ..............
v/ ll ......,I I!:: l '::J- OC
..::::......... о.. :::;
:::; 1:1 ......
l 7'J
ti: м I
Q.) с..:,:::>
с::;
:Q;:: 11
fg 11 I
» N
I э
..... 11
1/
1
I
\$:
::;
r::;
со;:
Q
:::
8
-с:,
u
260
о
............... 11
I
о
11 g.
....
l :S:I I
о...
....t:.t:1 t:I
11 11
C:D C:D
Q
I I ...............
"' I
I .. [ .Q IS: ....
.... ...... ' а.
t:I + с
+ I + 11
....... ............... ,......
t.1 + " I I I
.... ....
ISI
.Q /....... VJ I + I о...
l ..... v/ t:j
v; I ............... f " '
+
п ""1 :vc ...... l' I
v; . v/ /..... """ v; z.
0.1" I """" ' O
Q ............... I ::> c;:,- м
"" 1""
"] . ....::..... ='J ..... l I
I I I 11
1 ""I 11
11 11 .....
='J
Е """' """
I l
;а i:3 11
......
-
"" ....
261
-i
IC N 1"
с c:I....
Е: 11 м
+
'"
::t Е-< c:l1....
с> = С
о.
с> t:I 00 11
о:: t:Q
с> с> I
=
с> 1=: ' =:1
R.
t::::: 8
>. " 1" t:I
11 ....1.1::3
1:3
C:D c::r-C'J
11
C:D
....,..., с
..... 11
1м '
з: I с 1:3 ...... =:1
....... 11
...... + t:I
;\Е 1f:)
+ 11: 1:31.... + ,.....--.....,
I...... 1f:) 1..... м I
1:3 .....
t:I I
, >:S:; 1f:) +
8:zi v/ ...... V/ со 1"
I .... 1......
c::r-1.1::3
0.1=: v/ -:-f)
t::'" .... V/ 1f:)
" ...... + I
5 (:) о "")
IO
tI::': 'I 1..... 1f:)
::>
....0 C::-='I 00
t:Q c::r-='I ...... I " 1"
"' .....
о.
>. I
11 1f:) I
"'"' 1
Е 11
I\.j
I\.j
'"
\о
'"
и
u
262
о
11
'
.....
+ ISI
1.....
о
""" 11 '
I
ф ===
о.. t--I
t:I
.... 11
""" а:>
c:::r-",
а:>
"" 1"'"
о .....
11 +
I t'I C'JIФ I"'" о
=== M 11
' о.. + I
..... t:I ===
+ + I
I 1:1
I"'" I \'"
..... ..... ......
°l I Ф
О ""I + ..../С'] v/ '" О
...... :;:!:...... 1:0......
I ...... j.... v/ I I ФN
v/ ф
+ I ......
V/ ...... "" '''''
v/ ....IC'J ....
,.... 1'" I
.. ..... О
v/ о 11
C'J I C'JIФ
О I::! О Lt:) M ......
c:::r-N -- - + I 11
...... +
'" ""
11';1 .....
I g. I
11
"""' I ""
!I
......
263
t:i о
\Q 11 о
!\)
11 "
'u IS:I
;::! ('j о- :::;;
Е-< t:I
'u 8. о- =:
t:I С.
о t:I
;з t:Q
О I I
1\:) 1::
8- 1=: "':t:.t:1 '
+ cY:) i
!:::: 8
;;., '; ='J I
11
11 11
с:>
Q;:>
+
0-1/.....
.........
""
t;)- " /М
+ о '"
11 + ...../С'.]
..... c'j '13 1'" о
\о ...., "" /"" 11 11
:s::s: II:> = .....,
:=1'. С. C'Q
:I:O r; t:I
:s:o.. I = ===
>;1:: "" I о- о...
>:::':: v/ t;)- -- VJ t:I 1:1
о:Е "" ...... /.....
с:..::: + I 1
1>0... N " I
о..:=; v/ + ""') v/
I::('j +
1>0:.;.: :::> ...... I .". :;;J
,-- ...c:;:j . """;...... N
..... ..... C
:.::.; :.=; I ф
'I са: ..... о
:: II:> I I 11 о
..... :::> +
о.. :\J " 11 э
;;., .,..
I .....
11
""
::
:.;
('j
\о
('j
о
2"4
11
I
= ......., ,...........
i:I. " 1"'
=== ,..,.,
i:I. + +
ll 1..... '
,..... .....
.......,I о
""",f>.I 11 I c'f:)
+ c'f:) 11
...../С"':)
+ .....
I ------......... =:
I i:I. cl lSi:I lSi:I
-'I t:= i:I. cl с::..
............... :.o :.o t:: :.o 1:1
I 11 I I "
" 11 11 CD
C:D
I=-
I -- 1-- "
.......,
/..... .......,/:"\] I "
.. '00 =::
......., /1 I"'"
i =
1:: i:I.
C<I ............... 1:1
...... =
+ о- /00
I t:: .....'
v/ i .. /0)
I .....
i C<I N
......., v/ IOO
v; "" c'f:) I
....
о N I + v; I I 1....
.... + /..... I.....
'. I
о I
I .::: I
.; ............... N 1""
"
I N I .....
СУ;) "1
....... I 11 ....."""':1 c'f:)
C c'f:) -----..........
::! ::! I
"1
" ....""") C
Ckj cY;)
---- :.o
"
11
265
c\l
-i о ............... '""
\с " ;:;;; .. 1'" ...
......
C'J I
'u IS: + о
;::! о... .0/..... 11
!-о t::j =::
'u О р...
о.
о t::j .I .I lSi:I
"': I N ' ):; р...
<;:) о t:.t:1 ......1.1::3 р... t:.t:1
Q . 1" t::j
<;:) 1=; ......1.1::3
8 ф I 11
.t::::: >. I I
11 11 11 11
C:D <:r:> C:D
;-..
;:з......
\о
:s::s:
:S:
1:1;0
:s:o.
r:;t::
':S:
е 1:1;
I>o
0.1=:
t::'"
I>o;:g
8
с:;;;
g,;;:g
:s1
о.
>.
I ""
.....
-.::!'
I
1......
c'f:)
I ..o
...
I
...
I i:"\J
......
":"'/:"\J
11
1..0
I
ll
+
II
+
v I VJ
v/ ... ...... VJ
:::>
... ......
..o
...
Ф
N
;::;-
lS1
р...
t::j
v/
v/
о
м I
.....
oo
'<:r'
I
11
I
I
11
......
...
С')
------
s!
s!
э
'", '"
:s:
:t:
1=:
'"
Q cl...
'"
:о; а..
(L)
о
266
..o l
Q..,oo
""
I
11
э
=::
о...
t::j
...
..о
""
ш
11
(
:s::
Q.
ISI
р...
t::j
...
'* :b\
'" 1 ""':1
:::-'
.......;"Q
I
11
s!
.....
\С"':)
..о :"\J
I
11
с::>
11 11 с::>
11
11
Q. ::1 tsr
/:j
t:I Q. =
t:I о...
I 1 t:I
I .(:) I
+.... "I
i:'J ;
c::r-
C'\J
I I 11
1/ ! 11 Q:)
с::>
,..............
I ...............
I"""
I + .........-... ..../C'\J
I I 1 + 11
.::;, I /3
............... I м "1' I"'"
ос) 1/3 ос) + I =
+ + 1/3 1"- ....IC'\J C'\J
C'\J t:I
v/ 1/ 11 v/ I
..... .::;, I /3 СУ;)
............... v/ ' ............... I"'" "I
V; + ::1 I /:1 v/
о V; Q. о...
I t:I t:I о "I
I
ct. c::r-"1'
11 J :'J I
I ' 11 I 11
11 ..... 1/ "
I
11
з
'" '"
а..
" 267
+ /
\о I;::., I
t:! ..Q "'"
l
'u
;::! '" I I ..с:> 1
;е Е- О '""IC"I о
'u О I"'" 11
11! о. ...... 11
о + ...............
о:: t:Q
с о
t: ............... IC'J ISI \,) I
с IS:I
о . I + s::l. 11 g.'-O о-
t:::: ""' t:I t:!
>.. ..Q-.::tI
c:::r-C'J I
I "'"
11 + а:>
а:>
I
I
00
.
I
I
'!I
3
I
':::=::::: I
:ь ' I C'J
N.o +
I + + I I
VJ '" I ..Q
.:J:: ..Q .... VJ.:J:: :'о!
VJ '>;:J /.... I \ 1.... +
о 00 :11'" v/ 00 I
' I ' I · ':i; I ' 1 ' .....
c:::r- c:::r- :::..
I I
11 11 I
"':JI
;О....
Е5
...
=0
=0.
r::c
;;'
=
;::>-'1
Е:::;
I;>.
ф=
=<:.)
:::<:
CI,);О
::::.;
=
о.
>..
'"
:s:
r::
се
00
'"
:о;
(L)
о
268
I
NI
..
I
I
.. 1 "'"
+
VJ
VJ
о
...............
"
..Q ..
+
/C'J
1
v/
v/
t:!
.... 1 """)
t;:J
c:::r-
I
11
'"
iit
о
li ,....
'
C<I ..... о- :SI
::\1 t:I о.-
t:I
.,... "'-:.
...............
I == t::)-
t-o """"
... о- c-r:
t:I
11
;:::-
.о j :'3
....,
I
......
I.!,)
I " I == + o
::l.
... t:I "' I 11
;
I
с
<:::! I ..,... ....
I I I о...
t:I
...... I + v/ ,......
<:::!I.... t-o 1"'-:.
L.,............ + v/
t-o . I с'1
I
'" ;1 I.!,)
<:D
t::)-C'1 -.:::< о
о
"I I o
r
[1
:'-.1 11
,.....
I
э I 11 э
269
..:
'о
\)
о::
с::.
,...,
N
"-4
.....
ЕЕ
eoteot
I
I»
&Q
Ш:=:
1S1
IC
J
i
IOC
U
27И
8-
i
8
ё
+
,....
t.n
I
с1
...............
с1
11
l 11
i
11
=
=
iO" l
g.
м
I
"
I "
....
N
+
ф
ф
I
"1 I
I
'1./1; 1
+ *
v to1l V I
,.............. U':I
v/ 1.... VJ
о N "'" I
;;" I ъ.
о ...............
«:)O I
I !
11
+
,.....
U':I
I
......
.......
з
'"
*
..;;t<
.. +
'
1.....
ф
U':I
1
U':I
...... I ""=>
c:::r-
I
"
11
IS::
р..
t:I
l c<I
..с:>....
м
I
с
............... 11
"'-:.
7'"
1:::1
м
I
о
..,..
I
I
I "
..Q ....
v;
t'I С t'I
V; V/
О
....""'\
..
..c:>
ф
c:::r-:Y)
.......
I\..j
s
I
11:t
I "
..с:>....
м
I
VJ S
...............
....""'\
ф
«:)ом
........
00 1"
..Q....
::'\":) <:>
+ <:> JJ
" .... fI
..Q!.... .
lQ ltI 111 111
.....
I 111 /:1
/:1 /:1
/:1
<:> jSj "/" :z./ 1
с\] с:з-
............... . /" с:з-
1:1 ....
с:з-о
1 I
..с::. а IN
\::)-ф 11 &r,)0)
:v:1 11 1
сс> 11
11 ф
CI:> 1/ ф
ф
11
/.q
t4....
11:1 ..../N
1:1 1/ "'/1Q
II + .../",
" J" t4
..Q "'"" 1:1 11
' '
c'f) .....
..... 1:1 с\] tt
c'f) I ....... 1 111
l .... А
+ ..QI..... с:з- v/ 1.... /:1
I tt . '"'
.-12 V ""' /'" '
I" t:C> " О Т
1
1
1/ (;];!; 11
I ...... 1
11 11
S
з
""
....
211
+
\Q "
с::;
Е: с': 11
t<) +
; <:;j t<) t'I ::::
t:: ;j + ::; ;:с.
:t Е-< i:I
о ...... Q. C'
о- t::
о 11 :::
р:: '
с о I "С::; t1 +
t: I с::; I I'
с ......:.0 с::: c:::
r: i::...
о р.. :'-J ,"",:'-J ::'J
...... I
>. j t::
I1 11 I
Н 11
ф :с> 11 11
со
I'-' +
'" + t<)1
"'"
00 I
+
t<) .", L"';) +
--....- ..... о ....
-;- 11 .....
:; 11 + '---'
" 1"
t'I ""'" + t<) t<) "'" - .
=:= '--'
=s I с::; :::. - .
:: -
i:;t: + + ;:j с с::;
,::: v/ "'11..... v/ v/ :'J
"'" ('1/:.:. с::;
о:а I +
a:: t<) v/ t<) "1 "'1
р..оО " \"' ",С::; I
IR.I=: v/ t<) I ..... + v/ + v/ . .'
t::C::
р..:;;:: '""' v/ ::::. -:: ;;::: I
=: t<) 1..... ;"-) -i'I с::;
ФС:;
=:.:: 11 ............... ' , 1"' +
t::
:G ""I Q :-r:- " '
р::..... с::; ,,
..... э I
р. Q., .......:.;) I
>.
11 11 I 11
Е
fI
;::; е1 ;::;
;::;
'" I\.j
ct.
...........
cl.
:;:
r::
'"
lC>
с::
:s;
Ф
U
cl..
272
+
I;j
""
о
1/ .......
J:>; t'I .....
cl. t'I +
c::t
t::: +
1:'. t:I
I t::: ....
+" " l 11
й I I
=-:! ::; I
1:1
1 ,с..
I 1/ I! t:I
11 11 ф
ф
Q
+
.... ...
11
t'I + t'l1.... I;j
1:1 ....I 1 .... +
':т'
О + I;j i...... IO .....
1" с 1/
11 t'I ...... + ....I
1/
t'I 11 -----........... t'I
'"" I;j I;j {....... 11 t'I i::I
cl. ' i + t'I 1:1 А
t::: v/ I i::I
::: --... + ..... I;j ::: о-
>=:... <-< о- t:I
:::: 'I v/ "<t' + t:I с;;'
v; ;;" I
t"l ;;-> СУ:)
+ " I с g. v; I t'l1___ I +
.... t; I "" ..,.., .....
::/J 11 I;j С'] "<t'
<::)- .'1 с:,- :'-;' C'-:J
'I 1/ .3: ':;!..... I! о " I
..... I + с I;j
11 э 1/ cr-
J ,
"'............... '" 1
1/ ...... i I;j 8
Э Э 11
э + э
273
<:::> .-------.......
....
IC ICO ............... со 'со
I;j ...... с:3......
Е: со ICO
с'-1 I;j -.;j'< с:3
\u + +
о +
:t Е-<
\u 8- ..... 11 ...... о> 10> ......
-.............. с:3 ...... 11
о
со "I "I -.;j'<
<::> о !:!
t:
<::> \::r--.;j'< :>:i
r:: :"} \::r--.;j'< "I р.,
:"'1
>., I \::r- -.;j'<
11 :'\1
11 I
ф "
ф
+ .....!N +
.....
..... 11
............... ............... 11
C"\J ' I"""
с:3 ....
3 . I с<) I ISI ISI
13..... /..... + I;j 1.....
r2 ............... I с:31...... ::р
lco ...... + .-------....... ...............
tt:o с:3 ..... I;j I 1'" , j<Q ..... I;j
is: + + ..... I;j .....
>;t: с'-1 ............... I
ois:>is: VJ 10> ...... 10> ............... N I
8:S .... .... ' I;j 1.... .....
p,tt: ..... ............... VJ -.;j'< I;j ...... ....,I
..Q VJ ............... + -.;j'<
со lco 11':1
О с:3...... VJ ............... +
фis: "I · [" + .....
I ............... . I с<)
is:C) ...... ..... +
tt::Z:: \::r-"'" \::r- ....."'" ..........,..
ф'" [
са::; :'\1 \::r-oo . '
is: :v?
J со lco I g.
......
>., 11
-.;j'< /1 J
S
'1 11
l f
:s:
:Z::
1=;
ct;!
\.:)
::;
ф
u
274
с:!
" '
с:! ....
I '"" I
о- ' с:!
о .... :'J
N I 11 + I +
.... I ....
ф t'I ' I IФ с:! <:ос ....
I .... 11 I 11
5-
1:1 I t'I
..,....Iф I с1
:= I
" I I:::.. ............... t::- 1:1.
t:I
I 11
I I t::- ",-"Т' с:> 11
" I с:>
с:> "
<:r>
I
t'I ....
'" ...../1:'\1
I +
I !...... с:!
с:! 1.... I 11
...... t'I
! " I ,," .:"J
t'I .... с:! .... 1.... + с1
"' 1"' I о.-
.... I . . :"J ..... 1::1
c'fj t'l1.... I + .. ' 11
I ....
I '
+ .... с:!.....
N I ., ,., :'J :=
..... ..... ф I
v/ VJ + с
с:о I;:!;
I t'I "11..... 'C[ ...............
VJ VJ t'I
!.....,........ I
, ! » I с1
О .... " ' с:! ..... 7'J о- .....
t::-c:o
:.I "'"'
:1
t::- --:::< I
C'J 11 11
, N I
11 ------ с:!......
, с:о
Э I
1,1;.
275
rлава 11
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
ПОД сложным сопротuвлеlluе.l! подразумевают рааШIЧПЫО комбина-
ЦИИ простых IlапрнжеlJНЫХ СОСТОЯllПЙ (растяжения, са.;атия, СДВИl'а,
/ rучения, изrиба). [3 оGще:\! случао паrрушеНI1Я бруса (рис. 204, а)
в ero 1l0переЧlIЫХ сечеIlIIЛХ деЙствуют
шесть 1\Оl\IПОНОIIТОВ внут РОШIIIХ усилий
(N Qx, Qy, М х , Му, М нр ) (рис. 04,б),
свн;шнпые с чеТЫРЬ\1Н II!ЮСТЬВIП дефОР:\lа-
!illSl:\II1 стерflШЯ: I'Щ ТНi/;еI1IН}." IJ.!III сжа-
пнщ, сдпи:rо:\!, КР.\ '!()нпе\l 11 II;Н'П{)О:\J.
На основашш I'IIIlOTeabl О НС;\aJШСИ\IО:\1
цеЙстпип сил нап РШМ'lflЮР СОСТОЯНIIО
iHOCTl\Oro стерлшя опро:tС.'IЯIOТ нутоы су,\{-
!\шрованпн ,напртI\С>lШ/,/Х состояниii, вы-
'\ШШlll,!Х l,аl:l\:lЫ!\J BI1,10\i ПРОСТ()!'О llar'руже-
ния в OT;teJI ЫЮСТ 11 ,
АналоrПЧ!l() ;Н'llЮР\lаIlИИ (поре\10ще-
НIШ) "OI'YT i'l,lTb оп r'с;[ол ('1lJ,) пупщ ело-
il,('III1Я :r.ефОjl\НЩ11 ii (IIоре.\Iещ('ниii:), вы-
3ШНШЫХ /\(\il,;iЬШ 1\O:\1I10Hl'IlTO:\! паrрузки
в ОТ;J,ОJlЫIOСТП.
П риицun С!рt. lUрuвI1JlIIЛ '}ейст8llЛ сил,
ИШl п ринц ип супе рnозuцuи, 11 ТНI \1 сшш 110
всех случаях, i\оrда дофоршщпп :\lалы,
а маТОРlll1,1} ПО,'J,ЧИШlется sal\OlIY I'УIШ. На
llраНТИ1,е реlШО НСТf\очаются СЛ чаи, l\Or.
: a в стержне воаНIIJШIOТ все lIlестr, I OM'
понентов внутреНIIИХ усилий, обычно ЩJlrхо;штси 1l:\IOTb Д('JIO с раз.
личными их комбинациями.
z
о
Рис. 204
61. Сложныii и косоН изrиб
СЛОЖ1tЫЙ, или llеn.llОС/ЩЙ, UЗ8u6 вы:!!,ша('тсн ВL!('i\ШШill СИvlЮШ,
действующи.\ш в рааных П..'ЮСI{ОСТЯХ, IIРОХО;ЩЩПХ чорез ось башш
(рис. 205, а). 11зоrнутая ОСЬ балки в ЭТО!\l С.Тlучао пе }'шляется пло-
СНОЙ кривой.
Если нс(' наI'РУ3НИ, вызывающие изrпiJ, Jt('iiствуют 13 одной пло-
СIЮСТИ, по СОВПlщающей ШI с ОДIIОЙ ИЗ r,lаВJШХ плосностей, то изrиб
наэы па отсн НОСЫ.М рис. 2()6, а).
Оnычно СJIOiЕПЫй или I\оСОй иаfпб ПРIШО;ЩТ к ДВу:\I ПЛОСНИ!\I
иаrи();:ш, ЩIН '/(,(0 шнрузки, /l,еiiствующле в ЩJOП:ШО,lJЬПЫХ ПРОДОЛЬ-
ных ll;ЮСI{ОСТНХ, раСЮIaдывают на состапаНIOщпе, Jlеil,ащие в rлапных
ПJЮСI\ОС'I'НХ zy И zx (РВС. l()5, б, 206,6). При ЭТО I В С('Ч('ППП ВО:Шl1-
кает четырu КОМПОI1lшта uuутренних УСИJШ.й: Qx. Q у, ,11 л II Аl у'
276
Напряжения в ТОЧI\аХ любоrо сеqения, расположенных в первом
нвадранте системы Rоординат ху (рис. 207. а), при одновременном
действии :м х и М у определяются формулой
а == МхУ + МуХ .
J x J y
(11.1)
IlрИ:\lеняя эту фОр:\IУЛУ n общо\! С.lучяе, следует учитывать :шаRИ
при координатах х и у
...............
I c v /,7;a..................
'OJ? 12 ............
У.1 0 с!\,о. ..................
.ф6 / .............
qf
у
а
б
Рис. 205
Рис. 206
277
При косом изrпбе (рис. 208) имеют место зави(щмости
М х == М c s а; }
М у == м SШ а,
rде М..... изrибающий момент в данном сечении в силовой плоскости
рр (рис. 207,6).
Формула (11,1) может быть записана в виде
( 11.2)
а == м ( У cos а + х sin а ) .
J x J y
а
Рис. 207
(11.3)
5
Уравнение нейтральной линии получим из (11.1), приняв а == о:
а == 1I1 J : Y O + MJyXO == О. (11.4)
Уравнение (11.4) является уравнение t пршroй липии, проходящей
fJррез на чало координат. Положепие нейтральной ЛПНIIИ опред еляется
танr(ШСО\f уrла ее наклона (рис. 207,6) 1\ ['лаВllОЙ оси х:
tg === ..J!..!!.. == м у . J х
Ха Мх-Т;;'
( 11.5 )
Строя векторную диаrра IМУ Mo [eHTOB (РИС. 208), опрсделяют
J 1'0Л а наклона силовой плоскости рр (плоскости действия l\roMeHTa)
м
tg a == .
Мх
Тоrда уrол наклона нейтральной линии (11.5) может быть представа
лен формулой
(11.6)
J x
tg == tg Cl,
J и
278
(11.7)
Иi1 которой видно, что в общем случае сложноrо изrиба, коrда
J х =1= J у, нейтральная ЛИIШЯ не перпеПДИI\улярпа к силовой липии.
Поскольку при косом изrибе отношепие М у к М х, характери-
зуемое tg а (11.6), постоянпо по всей длине стержня, УI'ОЛ наклона
пейтральнОй линии также постоянен, т. е. упруrая ЛИНИЯ распо-
ложена в одной плоскости п п (рис. 208), называемой п.л, с".остью
uа8uба.
Проверка прочности при сложном напряжеппом состояпии осу-
ществляется на осповании данных о паибольшем суммарном напря
жении. Очевидно, при сложном изrибе а тах будут в точках, наи
более удаленных от нейтральной линии (точки А и В на рис. 209).
Рис. 2()
;>;
I3 цанном случае в точке А IЗо;шикают наибольшие растяrиваЮЩlIб'
напряжепия, в точке В uаиБОJIЬШllе СiКИ ШЮЩllе папряжения.
Условия ПРОЧllОСТИ будут иметь ВIЦ:
Рис. 209
МхУл МУХА '.
а шах аА 7";'" + [а+],
МХУВ МуХв
а т1п а в 7";'" [a ].
В случае Kocoro lIзrиба (рис. 207, б) УСЛОВИЯ прОЧIIОСТИ запиmутся:
в виде:
( Х В sin (1. УН cos (1. )
amax aB 1I'1max + [a+J;
( X D sin (1. YD cos а )
а щ1п aD М шах + <: [a ].
В частности, ДЛЯ пря\юуrолыюrо сечения, коrда
J у ==..!JL. == w у;
XD х в
J x J:x
==- :.=: V х,
УВ YD
( 11.8)'
(11.9),
( 11.10)
(11.11)
279
формулы (11.10) и (11.11) l\IOrYT быть представлепы так:
( Sin а СОБ (1. )
атах==аВ===Мтах TV y + JV x < (a+J;
( Sill (1. COS (1. )
аmlп::-;аD=== Мmах J'VIj + ТУ Х <{a J.
(11.12)
(11.13)
Опредслрпи е разм еров ((;ЧСl!ПЯ в слJ чае IIСПЛОСRоrо и:ниба
проиаподлт I\H 'jOJlOM подбоrа, В8даваясь ра:ШI1ЧНЫМИ отношениями
!\1O:\lентов сопротивлениЙ. Насательпые на-
пряжеНIIЯ :\lOr}T быть определены по фор-
муле ЖураВСНОI'О
Рис. 21О
х
't QySx .
у J хЬ ·
QxSy
't x === 7h'
у
п еремещения ОП РО,, ('JШЮТСН ПО П рИlIЦИПУ
nезаUlIСИ\IОСТП деЙствия СИ,'I. Еслп W иро-
Пlб в направлснии rлаВIIоii OClI у; V проrиб
в направлении rJIюшоii ОСВ х (рис. 210), то
lщФФеРОНЦIШ.1ыше ураВIIСIlИЯ II:JПlоа в пло-
CliOCTHX !jOz If xOz бу/'l,УТ [IШJТЬ ВlCl
d 2
EJ x dz: == Мх:
d 2 v
Е] у dz 2 == М у ,
(11.14)
Уравн('пия (11.14) РОIПают JJIоБЫ:\1 п:тсстным
спосоБО:\1 Ш).I{ дЛЯ простоrо и:н'иба.
Величппа пол uoro п роrиба в люnо\! ССЧ('IШ II баJ1ЮI i\1O;J\()1 быть
получена rеометричесним СУМ!IIИРОШШПО,\I llрОt'Ilбов В ра;шых ПЛОС.
костях по формуле
f== V v 2 + ш 2 .
(11.15)
62. Изrиб с растяжением
СОВМ естное Действие изrиба и растлшения (сшатия) имеет место
при: продольно-поп еречном дойствии HaJ'PJ 30Н: ВIlсцентрешJOМ растя-
жении (сжатии).
Сложный изrиб с растяженис;и (сжатисм) ПрЯ:\1UI'О бруса. n об.
щем СJIучае (рис. 211, а), l\Оl'Да на 'РУС цействуlOТ продольные
и поперечные силы, Пl'ресt'I\:lющие ось бруса, 13 ССЧОШШ В03Нlшают
усилия 111 х. М у, Qx, Qy. а таюне ПРОДО.1ЫlOе УСl1лпе в напраВJIеlIИИ
оси z N 2 (рис. 11, б). Нормальные uапрлшепия В произвольной
ТQчке при этом опре е яются формулой
N z М;х Ми
a:=: + II+ X
F J x ' J ц
(11.16)
Полаrая напряженное состояиие в опасной точ[{е ЛИНСIШЫМ (ирене-
бреПlе J при это\! I\асательными напряжениями). условие прочности
запишем в обычном виде
280
а тах < [а].
(11.17)
Для сечения с ДВОЙНОЙ сиш.ютрией формула (11.16) ПрЮlет вид
а "=' + м х _ М !J
:1: /1' lV \ W у .
в случае ИЗfиба В плосности zy
N Мх
а:l: == F :i:: J V х .
(11 18)
Эти формулы ПРЮf('lНIЮТСЯ такжо ПРII рI1СЧ(:'Т(' на rrр()чность ПЛОСf\IfХ
pa 1 и apOR малоЙ 1\!'lIIщ:ты.
а
Рис. Ll1
Внецептрешюе растшкение (С l\атие)
ПрЯМОl'о бруса. Ядро се'leIШЯ. Па прак-
тине часто I1зrиб сочетается с rаСТЯfI СlIII-
см (сжатием), что обусловлепо nHCI eIlТpCll
ПЫИ ПрИЛОiRсние:\l паrРУЗIШ, шl.ра.lI.'1NIыIйй
оси стеРШIIЯ, lюr:щ раВllодеiiстuующан
р не совпадаот с осью iin..'lКИ (lilIC,
212). Обо:шаЧIШ I\ООр:Шllаты точ Юl при
ЛОiRеНIfЛ раВlIо: сiiств.\'ющеii Х р 11 Ур,
а расстоЯIШС этой ТОЧJ\И Л() ОСП Z, IJa:Н,J}![I.счое
Эli.сцептрuситеТО:\l, е. Вuутrешше УСИ.'ШН
в любом сеЧCIIIШ раIШЫ:
N == Р; Му == РХр; Мх == Рур.
а напряжения n ПРОИ:JВОЛЬПОЙ точке сеЧСНIIЯ
определяются формулой
N Ivl y М;х.
aZ;==F+ x+"J;"Y (11.1И)
или
Рис. 212
р ( ХрР урР )
a z == F 1 + 7"; Х + 7; у. (11.20)
ЭТУ формулу МОЖIIО выразить также Qope j радиусы инерЦIIИ
а == ( 1 + Х + . -ир и ) ' . (11.21)
2: F i2 ;'!.
iI .
281
Урапненпе пеiiтральпой линии cr == О наХОДИ:\f из (11.21):
Х р Ур
""'""':"2 хо + -----:r УО == 1.
t y t x
(11.22)
Отrе:ши, отсекаемые пей тральной линией на осях у п Х (рис. 213),
паЙIlеr.; иа (11.22), положив ХО == О, Уо == О,
.2
t v t
ХН х '
р
Из (11 .23) следует, что
х
Рис. 213
.2
Zx
У === .
н Ур
(11.23)
пейтральнап линия пересеI<ает I<оординатные
оси в ТОЧIШХ, пrIшадлежаЩIIХ Квад-
rапту, ПрОТИНОПОЛОЖПО!\lУ тому, в НО-
TOPO\f находится ТОЧI<а приложения
силы Р.
Условия прочпости для точек
с шшБОЛf)ШИ!\fИ растяrиrJaЮЩИ\1И и
наибольшюш СiюнrающшlП папrяже-
IШН\IИ (соответствеНIIО точек А и В
113 рис. 213) МОЖПО записать в виде:
р ( Хр
IЗ mах == а А == F '1 + ---т- ХА +
t y
Ур )
+ УА <: [cr+J;
t x
( 11.24)
р ( Хр УР )
cr m tп==cr Я ==7 1 i XH YH <[a ].
Эпюры напряжений cr z приведены па рис. 213.
Для стержня пря:\[оуrольпоrо сечения условие прочности удобно
представить слеДУЮЩЮI образои:
( 11.25)
Р МХ М у
<:J шах === F + W x + JV y <: [а].
ФОРМУЛЫ (11.24) (11.26) справедливы и в случае, коrда сила Р
Яl!.1яется сжимающеЙ, при условпи, что пет опасности потери устой-
чивости.
РасСТОЯlше нейтральноii линии от центра тяжести 11 величины
зон сечепия, испытывающих растяrпвающпе и CiI-\Iшающпе усилия,
зависят от :Н\сцентриситета е. Очеви;:що, одна па ;юп может отсут-
ствовать (при растяжении зона сжатия, при Сп\атпи зона растя-
iкения), а неЙтральная линпя пе будет перссеlШТЬ сечение.
Представляет большой праКТIlчеСRИЙ интерес, особенно при вне-
цептреннои сжатии колонн пз материалов, П.10ХО сопротивляющихся
растяжению (например, кирпичной кладки), :шать то максимальное
зпачение эксцентриситета, при KOTOPO\I В сечении не будут возни-
кать напрюненпя растяжения, т. е. нейтральная линия будет Raca-
тельной R сечению.
282
( 11.26)
Об.ласть воnруе Центра тяжести сечения, внутри nоторой прилu-
жение силы Р выаывает во всех точпах попе реЧ1tоео сечения напряжеllия
одноео анапа, нааывается я д р О'" с е ч е н и я. Для определения ядра
сечения необходимо задаваться рааличными положениями неЙтраль-
пой линии, проводя ее касательно к КОПТУРУ п ниrде не пересекал
ero (рис. 214), и вычислять координаты соответствующих точек при.
ложения силы по следующим, вы текаЮЩИ:\I из (11.23), формулам:
.2
t x
yp==...... j
Ун
.2
l
Х Р == .......1L.
Хн
(11.27)
Вычисленные ТaJtим образом ТОЧIШ и определят коптур ядра СС'l!'IIIIЯ.
Рис. 214
4
f
I
а..... (f..
oC:(
01::1<\1
2
2
А I ID....
31 ('
Рис. 215
При повороте нейтральной линии относительпо иеIютороii
неПI)ДВИЖНОЙ точ!,и контура сечения, например точки А, точка при-
ложения силы перемещается вдоль не которой прямой, нап ример
2 3.
Для построения ядра сечения какой-либо фиrуры, например
прямоуrолыпша (рис. 215), иеоБХО:Щl\IО рассмотреть ряд положений
нейтральной липии, совпадающих со сторона!\IИ сечения. Совместив
нейтральпую липию со стороной CD (ПО.rIожепиэ 1 1), получим:
Ь
УН == "2 j Хн == 00; Torдa на основании (11.27)
.2 .2
Z Ь ly
YP== == 6 ; Xp """'O,
Ун 00
rде
. J x hb 3 b S
Ех == F == 12bh == 12 ;
.2 J y bh 3 h 2
Zy == F == 12bh == 1"20
Таким образом, мы опредеЛЮI КООр,,\lшату точии 1 ядра сечения.
Совмещая положепие нейтральной липии со стороной AD (положение
2 2),' авалоrичпо получим
h
УН == 00; ХН == 2"
83
а кооrДИШlТiНIII ТОЧИИ се Я.J,рэ будут
у р == о;
ly
Xp== ==
Хн
h 2
h
===6.
12 ( )
адаваясь соответствующими положепию1И пей тральной липии .fj .Ч
и 4 4, по 1lllа.!lOrии опренеJIШI I\ООР;J,ипаты точен ндра 3 и 4.
IЗ таБJI. 21 приведенw форма 11 ра;:illеры ядра сечения для раз-
fIИЧIIЫХ сечении брусьев
63. 1131'06 с КРУlJениеl\J
Нру['лыii вал. Совместное действие И:1rиба и кручепия является
наиболее характерным случае:\f наl'РУЖРIШЯ валов. IЗ ЭТО.\-I напряжен-
ном состоянии имеют leCTO пять КО!\ШОllентов ВllУТ реНIIИХ усилий:
Мир == M z ; Му; М х ; Qy и Qx.
При расчете валов сначала строят llПJОРЫ изrибающпх :\1O\lептоя
Мх и М!/, реЗУJIьтирующеrо МО:\Jептв М :.) таюке к Р'утящих \IO:\1ен-
Рис. 21 (j
284
Рис 11
р нс. 218
топ М,.Ш п устанавливают опасное сечение (рис. 216, а, 6, в, е, д).
Роэ 'лr,1 НР::ЮJfЩ ii 113 Пlf)ающиii !O ( онт опрсделяют по q,o р:ну ле
м === v м: + M .
(11.28)
(10 ИJВОСТПЬНl М И М 1,1' " ОШIСI1О\f срчении опре; еляlOТ макси-
мальные поr \lалr,пые и Iше(1Т('ЛЫI(,J(' lIапрнжепил в опасиых точках
сечония (рис. 217) по фОР I.\'JIЮI:
V M :! + м 2
м х 11
а Olа х === w'"'" == 111
(11.29)
Лl ир
'1: ===
шах Y'
l'
( 11.30)
rланпые паПРЮ-l СIIШI IЗ l1uиболее онащюii точке (точка В па рис. 218)
будут (ем. 52)
а 1 == (а + 1/ а 2 + 4'1:2); а 2 == о;
1
a == 2 (а V а 2 + 4'1:2).
(11.31)
Для ПрОПСрКII прочпостп Э.'IС.\fеПТа, выдеЛСНIIоrо у опасной точки,
сле,1УОТ nОСllоль;юватьсл о; ной 1I3 Фор:.lУЛ соотnеТСТПУlOщей теории
ПРОЧlJОСТИ:
u энв М == 12т cr -+ 1 t m / а 2 + 4'1:2 . [а];
( 11.32)
crэI\в lV == Va 2 + :+:2 lа),
(11.33)
rдc
l(чl
m ==
i:; i .
ФОр I '.1Jа (11.32) 1IIJПI'O,'lТIa при rп < 1 для хрушшх lатсриалоI3 п при
т == 1 ЩIЯ пт.lСТJlIJШ,lХ (ат('рпа.'10П.
ПОJ;сrаВJJЯЯ в фOfщулы (11 ,:{ ) 11 (11.33) DЫРЮНСIlИЛ для папря-
lRенш1 Il j'ЧIlтьшая, что 1/V р === LJV, полуЧЮl
1 [ 1 'п V 2 2
u эив М == W М х + М у +
1 + т l;r 2 2 2 ]
+ v М ,ф + lI1 Х + Му [а];
( 11.34)
1 V ' r: 2 2 2
u анп TV == W' ,),7иМ щ , + Мх + Му [ а ].
(11.35)
Вторые СОl\1IЮf!\lIТl'ЛИ Н ЭТIIХ фОр:\lyJIaХ прсдставляют собой приведен-
пые ЮМСlIТЫ j1;] пр' деiiствие I\OTOpblX ЭI\ОllваЛ<.'нтпо совместному
285
Действию момептов М х, М у и М ир в соотвстствии С принятыми
теориями прочности
М == 1 т V M2 + M2 + 1+т V M2 + м2 + м2.
прМ 2 х у 2 ир х 11'
М пр IV == VrO,75M p + M + M == VO,75M p + М2.
Аналоrично для друr их теори й проч ности получим:
М прI == [V M;+ M + V M; +M + М: р ];
М пр II == 0,35 V M + M + 0,65 V ЛJ + M + M p
(при fJ. == 0,3);
М ПРIl1 == V M + M + M p' (11.40)
Условия прочности' (11.34) и (11.35)
можно 'выразить одной формулой
(11.36)
а
(11.37)
( 11.38)
(11.39)
МОР
а 9ия == [а).
(11.41)
Отсю;щ
М пр
W r;r'
(11.42)
диаметр ва.'lа онреде,'!И\1 И:! условия:
а
V 32М 3. / м
d ';? 1t [а ]Р V 1 О [а]Р '
( 11.43)
п риведенные формулы полностью при-
м еНИ1\1Ы и при расчете ва.1JОIЗ I\ольцевоrо
сечения.
Брус прямоуrОJIьноrо сечения. При
паrружении бруса прююуrОJIьноrо сече-
ния системой сил P 1 И Р2 (рис. 219, а),
вызывающих D сечении моменты ]I,f х, М. 71
JI Мир' расчот IIJЮnОi1.ЛТ по следующей
схеме. Внешние силы раСI\Ладыnают на
составляющие, ПРИllОДЯ их к оси вала.
Для нахождения опасноrо сеqения строят
эпюры Мх, Му и Мир (рис. 219,6). Установив по эпюра 1 опасное
сечение 1 1, расположенное левее ТОЧЮI прпложеnия силы Р2. нахо-
дят опасную точку в нем, для чеrо строят эпюры напряжений от
всех силовых факторов (рис. 220, а, 6, в, е, д, е):
Рис. 219
286
crz(M x ); az(M y ); 'txz(Qx); 'tyz(Qy); 't(М ир )'
Эпюра," (М кр) для длинной стороны контура имеет маI\СЮIУМ.
который обозначим '"шах (М ир)' Наибольшую ордпнату эпюры," (М ир.)
па короткой стороне обозначим '":пах (.М ир)' Эти напряжения мошn(
х
/У
. М.
бzfМу}=<-i х
. 'у
JJ""'z.
А О О
. y
"у ([м,р)
. f} .s,
tjz(Qy}:: .,
. 'b
JJ"'" z
z
А
8 д е
Рис. 220
rассчитать по известным формулам :кручения брусьев прямоуrоль-
uoro сечения (см. 47):
Мир
'С mах (М ир) == 't L ==: ';: N == a.hb 2 ;
*
-: ax (M Rp ) == ':М == ':К == '('t ma \: (М нр )'
В данпом СJlучас а mах ОТ изrиба не совпадают с 't шах от :круче-
ния, поэтому для выявлешlН СЮlOii опаспой точки приходится рас-
сматривать сочетание наПРЮl\енп:iI в нескольких точ:ках. Обычно
бывает достаточно трех точек: о;щоii из уrловых (А или С) и точ ек
посреДИfIе ДЛIшноЙ (точки L или N) 11 I\ОрОТКОЙ (точки Дl или К)
сторон прямоуrО.'Iьника. TaI\, длл точек С. L, К будем иметь:
м х М 71'
r.; С == JV х + TV у -< [:;];
м кр .:f: 3 Qx .
't L == a.hb 2 "2 bh '
* м HP 3 Q /J
't..., === "'{ ,"""" + т .
А I 7ы,2 lih
( 11.44)
(11.45)
(11.46)
281
Обычпо \ШСНТf'JJЫШ(! папряж('пн я от поперечпых сил Qx п Qy
маШ,1 и Ш\Ш \10(/\110 ПРСlIоi)РОI\l,
Эюшна,ilептныс Шl.ПрЮI\СНlJЯ в rоч!шх L и К соrлаСllО IУ теории
ПрОЧIIОСТИ 11 ТООрl1l1 I{УЛ()IlU i\fОР(1 равны:
в ТОЧНО L
V ( М х ) 2 'У ( lН кр 2 .
cr экв IV == """'fV'; + ,) ahb2 ') <,-" (а],
( 11.47)
а эиu
1 У . . ) 2 / ! ) 2
1 т Л х 1 + 'т/ ',\1,\ ':;р
М == --ит-;-- + l rv; + 4 \ aJ b2 Icr);
(11.48)
в точне К
cr экв 1 V :==.
V ( Л1 ' ) 2 ( * 11 ) 2
t-V: + з 1 h [crl;
(11.49)
У . ( ) 2 ( ' r 2
1 т М у 1 + т .!:.!JL !. .; .
crЭJ(В М : ТУу t rV,11 + I I al!h2) r l.
(11.50)
ТаЮВI обра;Ю I, шшuо.!IСС опасная Т()Ч\\а ОПj1l'J\е:IНСТСЯ ТОЛЬКО
в результатс ВЫЧИС:ТСНIIЯ эюнша,'I('I1ТfJЫХ lIаПРШJ,('!JlIll IЮ ':СОХ трех
TOQKaX (С, L и К) по Фоrыула 1 (11.44), 1 1.47) (11.50). Ilрп Эl0,\I
в кааЩО I нотш рстно,,, сл 'ча(1 полuжrп п о lIal\ OO,'ICO опасной "1 ОЧ!, И
зависит ОТ СООТНОПlСIIПЯ 1O:\jептоl3 лf х . Jl:, 11 МI<Р'
ОбщиН слуtJаii деiiсткил сил на брус, Еслп n ссчошш стер;ю1Я
действуют оссвая СlIла N z' изrI1f)н.юище \iO\I('ПТЫ в r:шJ3НЫХ ПЛОСI\О-
СТЯХ Ivf х и И у, а таи,ко крутящпii IО:IIf'НТ М' н \) , ТО yC.l0811 (' щючпо-
СТlI. llапрп:нер по IV теории прочаОСТI1, в то'ше К (рис. 220, а)
будет
V( 'Ни N z ) 2 , ( :- ЛlI\р ) 2
cr ЭНD IV ==: ,J'V";" + F" +.{ (;];ti [а],
(11.51)
апалоrпчпо в ТОЧI{е L
f ( N ) 2 1 1 ) 2
Л1 х z ,," HP
cr энв IV =::.: + F +.) ( al b2 -< [а].
( 11.52)
288
ФОР'lа и ра:1меры ядра сечения
т а б л н ц а 21
ПопеРСЧlluе t:C'iClIIIC:
АПРО ССЧеIlIIЯ
(З3 IIIТр\1 Х ()ваIЮ)
I\Bi:I.; pi11
.Х
...с::
/7
У
П:НЮ квадрат
I'аэ:\юры ядра сечевин
h
ХI == иl == 6 ;
h
Х2 == U-l == 3 ;
r Ш11J == O,0589h
11 рЮIОУl'ОЛ 1>11111,
h
иl == 6 ;
х
...c::
н Jt!,() 1'011\1
l)u flноБС;l реШI ы il
трсуrОЛЫIlll\
П:lРО 1I0;\обно
ПОII(>рСЧПО IУ сечеНIIЮ
10 :i 11 r,
ь
ХI -== (f ;
ь
Х2 == 3 ;
h
Y-l == 3 ;
r Шill -==
bh
() v Ь 2 + h '"
ь
Хl == "8 ;
h
У2 == 6.
h
111 == 12 ;
Vз
11 rи h == 2 ь (равностuронпий треуruЛ/у
IIIIK)
ь
Х 1 == 8 ;
1 ( :,
V .)
иl == 24 Ь;
V :,
.)
y == 1"2" ь
289
Продолжение табл. 21
ПОllерСЧllое сечсшlC:
НД[Ю сеЧСНIlЯ
(Э:JIIIТр!l ХОDЗlIO)
Полыи прямоуrольшш
х
Х, Х!
Ь
У
Пдро rЮ!\lб
IЗось JИ) I'OJJ ЫJ 11 f\
х
Ядро БОСЫ1иуrО.!(I,IJIШ
1\ pyr
УI
G 'i
I
Х r-:;" I Х
.. r
Fj
'
УI
}1дрu ('Р)Т
290
Размеры ядра се'1еПИА
1
Х] == 6
11 b: /L 1 b
Ь (Ыl Ь 1/11) ,
1
Уl == (3
bI1:' b1h i
h (bh b,h 1 ) .
При 11 == Ь и h l == b J (полыu квадрат)
r mln == 0,058911 [1 + ( ll )1\1
\
r lllin == (),225Ыl.
ЕСЛJl 80СЫ1И)ТОJIЫJlIR полыЙ (радиусы
ОПlIсаШlt.JХ OI руitшоетеii: uаРУ;'l\Iюii Н2'
iЗнутренней R 1 ) ТUЛЩIlШI СТ('I!!Ш равна
0,924 (Н,! R 1 », ТО
r min == O,2256R 2 [1 + ( : ) 2]
D
r==T
Прооолжеltuе таБА. 21
ПопеРРЧIIЩ: сечение:
НДР(1 сечения
( Зl)lIlтриховано)
Ра:!Меры ядра сеЧCIII1Л
lJолыЙ "pyr
r == [1 + ( ) 2]
Ядро I{pyr
Тонrюстеllll<lН труба
D
r==
4
Ядро I\p r
10*
У' л а (1 а 12
ОБЩИЕ тЕорьмы1 ОБ упруrl1Х СИСТЕМАХ.
ОRЩП.F: МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛRНИЯ ПЕРЕМЕЩЕIПНI
64. Обобщенные силы и перемещенин
13СТl'ечаЮЩI1ССЯ в задачах сопротивления материалов и строи-
Тl'.тJЫЮЙ l\lеХЮШIПI впепlПИ наrру:нш весьма ра шоо(jРfl:IНЫ 11 обычно
р d 8, . *
,
.. ....
-
Рис. 221
1->ис. 222
прс; ставляют собоЙ rруппу сил. Работу rруппы ПО ТОЯlШI)JХ СИJI
МOIЮlO ПIJедставить в виде IIрОJпве; еIllIЯ дпух ве.1J1qIШ
А == РДр.
(12.1 )
в котором l\Iножите.1J:Ь Р зависит ТОJIЫЮ от СП:I rРУПllЫ II l1а.зываетсн
обобl.Цe1lн,ой силой, а j" р зависит от пере lещеlIпii 11 на:!ыпаетсн
ибобщепн,ы.и, пе ре.меще1iием..
Таюш обра:Юl\J, пол; обобщенной силой будем ПОIlШШТЬ ."1юбую
наrру:шу (сосре;:J;OТОЧСIlпые силы, сосре;(()точенные l\ЮШ'I1ТЫ, раr,п ре-
деленные наrрУЗI\И), ,\Оторан способна сuвершать работу па соответ-
ствуIOще 1 обобщепно" псрюющеНИIl.
Так, раСС\lатrшпая работу СИСТЮIbI сил, деЙСТВ 'ЮЩIIХ 1т CTl'p-
жень (рис. 221), БУiJ,е 1 ЮIСТЬ
А == РДl РД2 == Р (Дl Д2) == P::'jY>
rJ(e Р обобщенная сила; Др::::::: дl Д2 ::::::: !1l о(iоuщrrшоо Ilере;\lе-
ЩСНIlС.
Работа CIICTe\IЫ СШI (рис. 222)
А == Р . AA i + Р . ЕlЗ, == Р (ОА + ОlЗ) (['Т' == Pad'f == JI,ld'f.
З. есь оuобщенноЙ силоЙ ЯВ.1НСТСН MO\leIlT .1f == Ра, [\ соотвеrстпуlO-
IЦlI\1 обобщеUПЫl\f пере\ЮЩСJШС\l уrол lIопорота (.9.
29:!
Длл СИСТС lbl сил (рис. 223) обобщенной СИЛОll является !\Iоиепт 1Н,
8 обобщеНilЫМ l1ере ещением изменепие уrла (J. между Э:J( l\1ентаI\1И
АВ и CD, т, е.
I:::.р == dtfl + dCf2'
Обычно принято обозначать обобщенныс перемещения (J\ !\
шшейные, так и YfJIOBble) буквами 1:::. 11 О С соответствующими двои-
НЫШI индеJ\СaJ\IИ. Первый индекс уна;зыпает ТОЧJ\У и направление
перемещения, второй силовой фактор, выававший ЭТО перемещение.
НаПРЮlер, I:::.рр озпачает перемещепие ТОЧJ\И при:ложения силы Р по
шшравлепию ее деiiствия, вызванное той же силой Р (рис. 224, а),
!:::.MM пере!\lещсние точки приложения !\10MeH
'Ia М в направлении действия момента, выз-
ванное ЭТИМ моментом (рис. 224, б).
Для обозначения полпоrо неремещения,
вызванноl'О неСКОЛЬКIНfИ силовыми факто-
раШI, при 1:::. сохраняют толЬ1Ю первый ин-
декс. Так, полныЙ ПрОfпб и уrол поворота
Iюнца балки (рис. 225) соответственно выра-
8ЯТСЯ формулами:
I:::.р == I:::.рр + I:::. PQ + ДРМ; }
(12.2)
/),М == I:::. МР + I:::. MQ + I:::. ММ '
M
.. пa
В\ ,])
\ I
\ d I
Рис. 223
Перемещения, вызванные еДИНИЧПОll силой (Р == 1) или е;нJUИЧ-
вым моментом (М == 1), принято обо;шачать буквой о и па:JL1вать
у.делыl:чч пе ре.1Iещеliuе.н. Если еДиничная сила Р == 1 вызвала пере-
мещение ар, то полпое пере"н'щение
.1 р, вызпапное силой Р, будет
A
8,
а
::
о I
Рис. 224
Др == Рор.
I A
(12.3)
с в
L1q f 11м ,1р
81
Рис. 225
Отсюда ра:терность уделыюrо пере"'lещения
о] == раамерность 060()щенноrо пеРЮlсщения
( размерность обобщеппоii силы .
Если силовые факторы, деЙствующпе па систему, обозначи'ть
соответственпо Х 1 , Х 2 ' X И т. Д. (рис. 226), то перС.\lещсния по
ваuраВJIеншо I\аЖ;:J:ОI'О из пих мошно выразить формулами
(12.4 )
1:::.1 == I:::. 1р + Х 1 О ll + Х 2 О 12 + Х: 01З;
2 == I:::. 2р + X 1 0 21 + Х 2 О 2 :! + Х: j О 2з ;
Аз == А зр + Х 1 О З1 + Х 2 О З2 + ХзО зз .
(12.5)
2<)3
rде
X 1 0 l1 == tl; Х 2 О 12 == Дt2; ХаО tЗ == Д1З;
х iOmi == Дтi'
РаЭl\IСрIlОСТЬ перемещопий 0mi IOII:ШО установить, умножив
11OCJIO; IIP( j!ав(шстВО па Х т . При этом выражеНI1(' XmXiOmi === ХщLl тi
имеет 1/(\;; jЩНLUс:rь работы (",Тсж), от!,уда получИ:\!
[OтiJ ==
r. {' с.'!
[XmJ tX i ]
А
А
в
Рис. 226
Например, в формуле (12.5) размериость
(013] ==
пТ C.l1
",р сж
",т "./'
1
соМ 1iF .
[Х 11 [ Ха]
65. Работа внешних сил
И;; рассмотреllИ)1 картины деформсщии ynpy!'oro ЭПС !el1Та
(РИС. 227, а) в пределах закона rYKa, нредставлешlOЙ в (юоr>:щн тах:
р
P+dP
%
L1
а
l:l
1
о 4.. q'A
дО
Рис. 227
обоfiщеuшш СIlла Р обобщенное перемещение (рИС. 227, б), сле-
дует, что lIрllращенпе силы dP lН>lзыпает бесконечно малое пере ю.
щенио d1. Работа внешних сил при ЭТОI\1, если преисбречь беСIЮ-
вечно l\IaJIЫ Ш B1'OpOI'O порн:ща, равно
dA == (Р + dP) dД ;::::: Ре/Д.
294
ПОЛllая работа, совершенпал статпчесни приложепноЙ обобщен-
ной силой Р, вызвавшей обобщеппое пере lещение t1 == Р'О рр, вы.
ражается формулой
r S P S P 1) р2
А == J Pdt1 == Pd (Р'Орр) == P'OppdP == p ;
А О О
'Орр
А == 2
Р2 t1:! РI1
== '2.'0 рр == 2""'"
ТаIШJ\1 образом, оействuтельпая работа при
обобщенной силы на упруеу" систе.му равна
ОКОН1iатеЛЬ1l0ео 81tаченuя сuлы на O-КОН1iа.
mеЛЬ1l0е fщаче1tuе соответсmв!Jющеео пере.
.1/еще1tUЯ.
При действии на 'ПРУl'УЮ систему
пеС/ЮЛЬЮfХ обобщенных сил Pt. Р2' ... ,
Р i (рис. 228) работа деформации равна
ПОЛУСУМl\Iе произведений онончательных
3Ш1ЧСlIIIЙ обобш:енпых СИJJ па соответст-
ВУЮII.OIе окончательпые суммарные обоб-
щеНlJые перемещения
А == -; Pil1i
(12.7)
и lIе аписит от порядка наrружения
спстемы.
66. Работа внутренних сил
п Рl1 упруrоii дефОР lаЦl1И в ЭЛlщентах
Л(>фОрl\111РУ(' 101'O тела ра,JВИВШОТСЛ ВНУТРС'lIlше
СIIЛЫ СИЛЫ Y/I PYflOr'O СОI1IJOПluв.lеllllЯ (рис. '2. !)).
Э 111 си.!!ы таю!\(' сuвершают pa(ioTY. Пос/\Олы\у
ШШр<-lп.пСIШЯ 111':1 ПIХ сш] (/Юl\а:ншы пупкти-
110,\1) ПРОТШЮIIОЛОЖlIЫ пере lCщеIlIlШI (на
IЮТОрЫХ они совершают работ '), вызывае:\fЬШ
I1IH-'IllШВIИ СIIЛЮШ' (пока:заны СПJIOIIШЫl\1И
JIIIII ия 1И), то работа впут ре1lних сuл Ilce еда
от рuцательпа. .
PafiOTB внутренних сил N, Q 11 М, воз-
1lI11\'iЮЩlfХ I! э,Тн:щ.'нте стерЖIlfl ЦJlНпоIl: ds (рис.
ОСl'JЮlt СI!ЛОЙ N па перемещении
Nds
11 (ds) == .
АIO lеlIТОМ М па перемещепии
d м ds
ер EJ
(12.6)
cmaтU1iecKOJlt действии
половUllе пРОll8веоеnия
р;
.
r L1"
l.q
i--> IIС. 228
1т
1лr,
М(;. Q
м м fl
: " .
...... I \
,N/ \ N I
q
N)
q
ds
1; · 1 /11
РIIС. 229
229), совершаемая
295
и попеrеЧJJОЙ силой Q па пере ,ещепии
(Jd!>
I ds == k GF '
(12.8)
l\lOil\eT "ыть пырашеиа формулой
M 2 ds N 2 ds Q 2 ds
dW == 2EJ 2Е!? ,С 2СР '
(12.9)
ИН1( rрll руя (12.9) в пределах иаждоrо стержня и суммируя резуль-
таты по всем стержням cllcTe fbl, получим формулу для ра60ТЫ
Rпутрt'lIНИХ сил В СJIучае плосиоrо IIзrи6а
8
== S JI.1"'ds r N 2 ds \. S Q"'ds
W 2EJ J '2.Е/1' L.I k 2GF.
п о о
(12.10)
Заметим, QTO выражение (12.8) получено из условия
dW Q
Ids== Q ,
rде
S 1 \ "i.'l.d,<;
dW Q == "i.'VdsdF == (/ [" -
2 I 2С
F F
2
Q 2 ds (' S х (}"'ds
== 2GJ: J ь2 dF ::::: (су 2GJ1' :
li'
S"'dF
k y == : + ИОЭффИIlпент, :'Iависящий от формы сечения.
л F
13 частности, для .прююуrольноrо сечения Ь >( h:
F == bh;
bh'J
J х == 12 ;
bh2 ( 4.у2 )
Sx == 8 1 h 2 ;
9 [/2 ( 4у2 )
k y ::::: 2h J 1 '"fl2" dy == 1,:2;
о
k 32 1 ..
для круrЛОI'О сечения == 27 ; для ЩЮI\аТlIЫХ про( Jlшеll приолиженно
k == :с ' rде Ь'с площаДЬ стеrши; F' ПОЛlIал 1l:IOЩ3ДЬ сечсния.
296
Для чистоr"о сдвиrа. -коrда
1: == ,
l!' ·
dT' VQ == r 't ' ( dsdF == 'tF..,ds == Ql ds == Q 2 ds
r 2 J 2 I :Z ,!ср'
F
В том случас, -коrда в стержнс деЙствует крутящиЙ момснт
М нр ' при -котором элементарныЙ учuсток стержня аа-кручивается на
тол
М ир d8
1--
1" GJ!{
r JlC С} н жесткость поперечпоrо сеч!'.
ЕНЯ стержня при кручении, эле tеll-
тарная работа впутренних СИJJ за счет
к РУЧСllИЯ равпа
1
dH1 HP == "2 М Kpd ==
2
MKpds
2С.! к
у
Рис. 230
а полная pa(ioT3 Вllутrснпих сил в стернше ДЛИНОЙ l будет:
2
S 1 Мирds
И' "р == "2 GJ к
I
( 12.11 )
I3 общем СЛУ'Ш8 (рис. 2:Ю), IЮf/Щ п ССЧСIIIIИ стержня деЙствуют
нсс шесть СИЛОВЫХ фаl\ТОрОП (N, Qx. Qy, М х , М у , M z == Мир)' работа
внутренних сил (сил упруrостн) будет определяться по фОРМУJJе:
" 2 2
== (' M;ds r м yds r MKpr/ s ......
JV J 2EJ x J 2EJy J 2GJf(
s s
2
r N 2 ds r Q xd. r Q ds
J 2ЕР J kx 2СР J k y 2СР .
s
( 12.12)
Форм 'ла (1 :2.12) спраuе;\JIИва и для стержнеЙ lаJIOЙ кривизны.
67. JlРП:\lСНСllие начала ВО3:\lOiIШЫХ псрсмсщениЙ
к упруrим системам
ПРН;\lСlштельно К упруrИ\1 систошщ начало возможных псре.\1е-
щепий lIfO,ЮIO сФор:нулировать Tal{: ес.Щ cucтe.r.ta находится в равпо-
весии под oeиcтeue.'.t прuложеппой ндсруаки, то cy.,tMa работ вnешltllХ
297
u 8пуmре1l1lих сил на вО3. tожпых бесr.ОllеЧll0 .малых пере. tещеltилх mO"le
cucme. tbl равllа пулю
Pillim + И1iт == О,
I7де Pi внешние силы; llim IЮЗМОilшые псре\lсщения точек при-
пожеНIIЯ этих сил; Pillim работа внешних сил: П Т iт работа
внутренних сил.
В IIjющ)ссе сонершешlН системой IЮJlIIОЖНОJ'О lн>ре н.>щеШ1Я I3СЛIl
чпна 11 IIапр шлеПlIе внешних 11 внутрснних си.'] остаются Ulm.31\1t'H-
ПЫ:\IИ. ПОЭТО:\IУ при IЗЫЧlIслеПИ11 ра()от с,пе.1 'ет (jpaTb Не ПО:ЮВИIIУ,
а полную Be.'lJI'Jl!II)' ПРОI\:-ше;tеIII1Я
с.ООТlютствующих с.11.1 П пср(щсщеннii.
Учитывая малость ftефор.\IН1ll1l1:
11 их линейную :ЩВИСШIOСТh 01'
uаI'РУЗОI\, в lШ чествf' во.7.М()Ж fibtX
пе ре...tещеltuй IOIНHO n рп IIШI11ТЬ
упрусие пере.'lеще/-l/U/'. иыаван.ные JlЮ-
бы.,t BUaJM Ilаерутщ 11 пр(,исхо()л-
щtLе без НДРУUlепил связей. Работа
внешних и 1III,\!треШIИХ сил па В03-
l\10iЮIЫХ пере ieщениях нааывя.стсн
вО3. tOЖl/пЙ ИЛИ в/е рm уалыl)uu работоЙ.
Рассмотрим Дflа состояния 11.110-
СRОЙ еистеШ,I, наХОJlящрiiся u рав-
новесии: СОСТОЯIlIIf' а, ПРI1 fЮТОрО 1
систе:\I3 деформируется обобщенной
СIlЛОЙ Ра (рис, 231, а), и состояние Ь СI1стеШd, ДР, ОР 1Ifр.\'ечоii СП:lOii
Р Ь (рис. 231, б). .
Пере,\Iещения СОСТОЯlIИЯ Ь MOL'YT расс.\штриваться ItaI{ ВО.НfOlIшые
для состояния а и, наоборот. пере I()ЩСIlИЯ СОСТОЯIlИЯ а являются
ВОЗl\IОЖНЫ.'\IИ для состояния Ь.
Поэтому, работа АаЬ еИJ) состояния а па пеРС IещеlIl1НХ состояния
ds'
А а1Т ь 8
ba
а
а ' Ь В
.lJаЬ
r5
Рис. 231
Ма Ой
(м
(12.13)
Ма оь
'\ 1. М ) ( #r;
, ) I\ i Q .
Qa МЬ
ds
а
М,)
Qb МЬ
r
ds
О
Рис. 232
ь и работа А Ьа состояния Ь на перемещениях состояш1Я а соотвстст-
венно равны
298
АаЬ == Р aL\ab;
( 12.14)
АЬа == Pbllba.
( 12.15)
Работа внутренних сид состояния а (рис. 232, а штр"ховые
ЛПНIIИ) на пеrrмещепиях, выавапных HarpY3Hoii СОСТОЯПШI Ь (рис.
232, а, 6), может быть наЙ;\€па па расс:\ютрення работы ВПУТРСIIПИХ
спл при деформироваШllJ ЭJIС'-1СIlта стержня J{ЛИНОЙ ds (рис. 233).
l tlb
I \ МЬ
: N b 11) .t
I
I
I
ds Дds) , J
Рис. 233
Ниже приведена СХ(:Шfl опреде:Н:IIИЯ раi)оты впутрсuнпх сил.
Внешнее УСИJше,
действующее lIа
эле lент
(рис. 232. 6)
LlСфОрМ<1Ц1IR
элемента
(pIlC. 233)
Работа IJlIутрелней
СИ.;JЫ СОСТОfIНИR а
1111 пере:wещенинх
СОСТ()НIlIlН Ь
I Р,бот. ""ут""нней
I CJlJlbl СОСТОПlШЛ а
в CIICTC !C стсраOIей
N b
(llds)b == N a (llds)b == '\' NaNb ds
."-J EF
N bds NaNbds s
EF EF
(1 ds )b == Qa (jds)b == , k QaQt,ds
С/.1'
== k Qb ds == k Q(Ль ds
GF GF
(drr)b== Ма (d9)b == '\' \ !11a M b ds
"-J ,. E.J
Mb ds МаМ bds
== EJ EJ
Qb
Мь
Та ним образом, по.'шое зпачешю ВО:J\ЮiЮЮЙ работы fНIУТРСIlUШС
сил стеРЩllевоir систеиы будет
iV (' M(['\!l,d" '\-' r NaNb ds
аЬ 2.J J 1:;,/ 2.J J EF
s s
r /_ QaQ/;ds
.l.J J (;Z,' .
8
(12.16)
299
Подста!Зляя (12.14) п (12.16) в (12.13), ПО.'JУЧIf:\\ общее выражеппе
начала В03J1IOЖIIЫХ перю/ещений для плоской УПРУI'ОЙ стержневой
спсте\1I.I
\.1 Р д [ Ma] fbd' S NaNbds +
а аЬ Е} + 1:..J EF
.
8
+ 5 k QJ b dS] ==0.
s
(12.17)
ЕСJIИ В :качсстве возможных принять действительпые перемеЩ8-
ния Да, Бызвапные заданноЙ наrРУЗl\ОЙ Ра, то выражеuие (12.17)
ПрИ lет НИ;l
[ 5 M d,s \. 5 i\;( ds
1:..J РаДа LJ Е} + EF +
'=
Q ds
+ 5 k cr ] ==0,
s
(12.18)
или
[ 5 М(:1.'; r N ds
2 Р а/).а 2 Е} + i-J J EII' +
s
5 Q dS ]
+ k GF == О.
s
(12.19)
Таним образом,
А + w == О,
( 12.20)
rде
А == РаДа,
(12.21 )
пре,'J.ставляет собой действительпую работу внешпих СШI в процессе
статичеСl\ОЙ деформации, а
1 [ 5 M ds 5 N( ds . Q dS ]
TV== + +}. k
2 EJ EF -.J GF
s
( 12.22)
представляет собоЙ работу внутрснних сил в ПрОI ессс статичеСl\ОЙ
дефОР lаЦlШ.
Из уравнепия (12.20) следует, что деjjствительные значения
работы ппеШПIIХ и впутренпих сил равпы ПО ПСJШЧШ!С И ПРОТIIВО-
ПОЛИI\НЫ ПО :шаl\у.
300
i 6R. Теоремы о взаи!\IНОСТИ работ и неремещениii
РаССМОТрШl упруrую СИСТЮIУ в НВУХ состолниях: в состоянип 1
(рис. 234, а) н в состояшш '2 (рис. 2Э , б), На основапии ПРИПЦИ!lCI
В03ЫОiJШ!.iХ пе ре;\,ещениii для перво\'о СОСТОННИЯ получи",
Р А \.""' [ ('MIM dS r N,N;!.ds ('k Q,(/.,d.,, ] ==0' ( 12.2:1 )
1 1 LJ J Е] + J El1' + J Glf' ,
S S :;
для BToporo состояния
Р .1 , [ M;!M}ds + \ N;!NJds 5 f,. Q'2Q,d" j == О
'2 I , I Е) ЕР + · СР .
..... ,
s s s
t
.q.
I
:1;1 L1 f (
а pz
I
L1 L1 f2
21
а
j
Рис. 234
(12.24)
t !;-=I f1
I .
i{==f 1
f 2
Рис. 235
Та\( как ВЫ:рЮJ\ения для работ ВПУТРСЮШХ сил В обеих формулах
О:НШaIЮВЫ, то из (12.23) И (12.24) выводим раПСLlСТВО
Рl А 12 == Р 2 А 21 . (12.25)
Формула (12.25) выражает теоре.\1,У о вааU.ЮLOстu работ (теорем}
Бетти): вО8М()Жllая работа вl{еШllUХ (IUtu 8нутреиних) сил состОЯfl,ия 1
на пе реJ.tещенuях состОЛ/-lия 2 равпа вVЗ.ltvжпой работе внешних (U.l7tU
впутре1l1lих) сuл состояния 2 на nереJ.tещенuлх состоя,пuя 1.
В чаСТII!Н\ случае, коrда Рl == 1; == 1 (рис. 235), на основании
(12.15) ПОЛУЧIШ соотпошепие
а 12 == a z1 ,
(12.26)
выражающее теоре.МУ о вааимности nеремещеnий (теорему Маi\свел.тш):
пере.мещеlluе mоч1'>U nрuложеnuя первой еОUnUЧIlОй сuлы по ее nаnравле-
пию, выаваН1l0е oeucmeue.'It второй еоипuчной сuлы, равно nеремещенuю
rпоч};и прuложеJlUЯ втор()й единичной силы по ее наnравленuю, выаван-
lLO.'€У действие.'! нервой еоиnичной силы.
69. Общие Фор:нулы для опреде.'IСIШЯ перемещений.
Метод Мора
Общие ФОР"IУЛЫ дЛЯ определения псре"lещениЙ леl'КО получить,
пользуясь начаЛО 1 возможных ПСРСМСЩСlIlIЙ, ссли В качестве BCnO-
моrаtельноrо состояния принять систе 'у, наrружепную в точке,
301
пере lещепие "oTopoii пас интересует, соответствующей еДIllШЧНОЙ
обобщенноЙ СIJ.1юii Х i == 1, ноторая должна совершать работу на
БОЗМОЖllО:\1 нереl\lещвнни. lШЮI.\I. является интересующее ШIС ПСрЮlе
щение [:\Р под деiiствием внешних HarpY30K.
Обо;ша1lИD \силия. вы:зваНlIые системОЙ внешних сил 'iP
(рис. 2З{i. а), черё;! м р, N р. Qp. а усилия, вызваНllЫ() еДlIпичноii
СИJюii Х i == 1 (рис. :!.3(), 6), через Mi. Ni. Qi. пачаJЮ ВОЗМОЖНЫХ
lIоре.\lещепий для tзспомоrательноrо состояния (принищш в качеств
BOa!\lOi!-;llОI'О цеПСТRительное перемещение) можно ааписать в виде
. == r r л1iМ pds r Ni N pds r QiQpdS ]
L1IP LJ Е) + J ЕР + J k СР .
s s s
а
Рис. 236
(1 .27)
ОчеВПДllО, в самом общем случае, при наличии всех шести KOM
понентов внутренних сил, формулу (12.27) можно а3Пllсать в виде
[ M M M M /',ffP."1 \P
lliP + + GJ +
х у к
s
Q Q Qr() NjN 1' ]
+ kx GF + k y с/,' + Е/" ds.
( t :2.28)
Формула (12.28) НRJIяется наиболее общей и ПрЮIСНII.\Щ Тilюке ДJJЛ
pUClleTa CTPP,КlI('ii \lалой крипианы. Опрс; елеJlИС JJ(' IЮ\JОЩl'fIIlii во
формулам (12.17) и (12.28) uаiJывают споrобо.н "'I)еа 11:111 сnисибо.и
пе ре.ЮtOжепия эпюр.
Е f)оJIыllII( 'I'неe С.lучаев при опредеЛlЧIIШ lIеРЮlещепиii о (j,ишах,
рамах 11 apl:UX по .leTO: 'y Мори в фориу;ю (1 .27) !Oil\flO преllебречь
RЛl]НIIII \1 прО.ЮШJ/II,IХ дефор.\IaЦИЙ и СДВIIl'а, ЧllТЫШ\}1 . !lllllr) пеrе.\lе-
щенив, "оторые lJы: ываютсн ИЗl'иБО I. Тоrда фОР\lу.lа (12. 7) ДJlЯ
lIJlO I\ОЙ систе.\lI.I може,Т быть записана СJIеЛ,УЮlJ.l,ШI uб ри.\u.\l:
r м i М fJds
L1 iP J Е) .
8
302
(12.29)
При IIрострапстпеШIO f Нl'lrружении формула Мора припимает вид
[ r - 1 ' 'с f x d S M Y M Y d r M 'I\P M KP d 1
iP == J . ! : s + J: S + J i GJ 1 :) S ,
11
(12.30)
Пр!! расчете ШR.рuирuwх ферм, оБРI'l:10ванпых IВ ПрНJ\IWХ стерж
ВРil, в форм)'ле Jopl'l сохраUЯf>тея член, сод'ершащий лишь продоль-
uую СИJIУ:
\. NjNJ'
!::..iP === ' 'P 1.
(12.;)1 )
Фор'/у.'lН (12.:11) носит наавапие <}юр.lt{Jлы .11aI-LС81'л.ла.
J 10pHLl()K ОllрецеJIСНИЯ пер,:щнцениii 110 :\I(ПОДУ :\Iopa.
1. С1'р"иrся ВСПО\lо/'ательнi'lЯ СIlсте.\l1 11 Пiн-ружается едпппчпоЙ
uarp.\':1l\oii в ТОЧКС l'.le треб) ('тся опреде.;lИТЬ пере ICщепr'I('. fl ри
опрс: е.rrепии JШIJl'iiпых пере!\1ещеппЙ в :JВIlRШЮ,\1 папраВJIОНШI ПРИIШН-
дыпается еЩJl1I1ЧIlая СlfЮl при ОlJреЦl'лении тлоных неремещений
СДППIJlIlIЫЙ !\IO:\leHT.
2. Д:т I,<,\Ж;JОI'О учаСТI\а системы выписываются вырашеlJlIЯ сило-
вых ф<ШТОТIOR в ПрОП:IНОJlЬНО 1 сочении эя.:taIlIIOЙ (Л1 р. N р. Qp)
и ВСПО:\IO{'аТ(;IЛЫЮЙ (M i , Ni, (}i) систе.\1
3. I3ЫЧIIСЛНЮТСН НО ВСЮI участнам Сllсте:\1Ы иптеrраЛl,1 Мора. При
расчете П.l0СJ:ИХ f)MIOI<, ра:\1 11 арон ИСIIолыуется фОР!lI -ла ('12.29),
прн расчет Ф II:\I формула (1:!.; 1).
4. Если ВЫЧИСJlеllllое перемещепие IIмеет ПОЛОilштеJIЬНЫЙ ;'шаI<.
то это аначит, что el'o папраRление совпадаf'Т с направлением еди-
ничной силы. ОтrицатеЛLUЫЙ .зпак унааыварт па 'то, ЧТО неЙстпитель-
Ное пере\fещенпе противоположно направлению еципнчноii силы.
В табл. 22 приведеНbJ выраiнепия интеrрала Мора для паиБОЛСt'
распространенных случаев сочетания эпюр M j и М р при иаrибе.
70. Ilеремсщсrшя, 8bI3RaHHbIe изменением теl\шературы
ПРС:ПIO,lОЖI1М, что элемент ('.трржня d.<; Hl'lrpeT внизу до темпера-
т 17 l,ids)
td
t H
ds
т п
а о /J
Рис. 2J7
туры {А IJ наlJерху до t B (рис. 2;17, а, 6), а также, что по высоте
сеченин Тf\\lПеrатура изменяется по линеЙному ;н-шону. Torna удли-
нении верхних и нижних волокон расс:\taТIНlВае:\юrо элемента равпы:
!::..В (ds) == 11ен ds:
Ан (ds) == a.tflds,
rде а коэффициент липеЙпоrо теыпературноrо расширепия.
(12.32)
303
Удлинение по оси нераВIIомерпо паrретоrо элемента и взаимный
ТОЛ поворота ero крайних сечепий высотой II равпы:
Е в + Е в
( ds), == а ds;
(12.33)
.1 н (ds) п (d.<;)
(dr.p), == 1/ == а
t и t B
11 ds.
(12.:И)'
ДJIЯ определения пеIJе lещения любоЙ ТОЧКИ К системы в .тIюБО 1
н<шравJНШИИ i i, nызпаuпоrо разностью температур, выбираем
в помоrа rс.ТILНую систему и паrружаем ее соответствующей обобщсн-
ной единичпой' паrРУЗJ\оii Xi == 1 (рис. 237, в). Прпшшая интерес 'JO,
щее пае п(>ремещение за возможпое, запишем в соответствии
с (12.27) формулу возможпых перемещепий ПрИ!\IСШIТСJlЫro 1. рас-
еыатриr.ае!\IOМУ случаю:
i' == 5 M i (d9), + 5 Ni ( ds)t.
s s
( 12.:35)
Учитывая (12.33) и (12.34), получим
Ди == 1\' irJ. Е н Е в ds + . м р
I ,
Сll (в
1, r1s
( 12.:16)
ФОРМУ.тIа (12.36) ПрЮlеПИ.\Iа n для расчета бруеьеu !\IаJIОЙ КРШЗИ;!НЫ.
В фер faХ, I'ДС действуют только про; олыIlеe усu:IИЯ, теJ\шера-
T 'pHЫO псреЛlеЩСIIИЯ определяются по фОР:\lуле
it == Ni ati ,
(1 .: 7)
Е н + t B
rде t == :2
температура ПО QСИ стсржня.
71. вы'ислeIlиеe интеrрала Мора
по Сlluсобу Верещаrина
ИНТОI'рал Мора 5 Лfi.iИ pdz для случая. l\Or:ta ;)11 юра от ;нцанпоii
lIаrру;тп П\lест ПрОП:ЗnОJlьпое, а от e; III11I'JllOii ПРЯ IO,ТIIIII('iillое
очерташю (рпс. 2:38), оrшзалось удобпьш uпре; с.'lПТЬ I'рафО-<llIа:/lIТII'
ЧССI<И.\I спо('оf)О\l, преJ,ложенным А. Н. ПорсщаПffIЫМ.
ПрИJ\1С:\1 С.1еДУЮЩIIС обознаЧСIlИR: 2 П:IO а;I,Ь эпюры М рОТ ВНСШ-
ней паrру:шп; С центр ТЯЖСQТII эпюр"'; ]1,1 с ордината энюры от
единичной uаrрузки ПОД центром ТЯЖести ЭIIЮрЫ 1\;/ р'
304
Очевп:нlO,
1I1 pdz == dQ
(дифференциал площади эпюры);
Mi==ztga;
MiM pdz === tg а. ' z Q;
/ /
zdQ == zC Q ; tg а. Zc == .116
,
MiM pdz == QMc.
,
@
@
А
в
с
D
@ 1, '!Z 1з
rис. 238
Рис. 2:-39
I--'И(j. 240
Общая фОР!\Jула псрс!\!ещспий для систем, состоящих из ПРЯМО-
ЛIшеЙllЫХ :ЭJlСЩ lIТОВ
" r P;JiMpdz
f1 iP J Ej .
l
запишется n виде:
f1 iP == Q c .
(12.38)
Это 11 есть фор. tУ.1а Верещаеl1па. 13ычисл('нис п() ;:этоЙ фОрЧУJlе
ПрОIJ:JВО;J.I1Тс.я- 110 учаСТКЮI, на каждо!\! lt:.! которых ПРЯ!\IOЛIJllсiiная
Эlllора : ОЛ;.lша бы ть бр:з перrло!\IOП (рис. 23!)).
13 Т,'Х С.'I,\.Ч<НIХ, lюrда обе :ЭПЮРI:/ (lIf i II 111 р) ПРЯМОЛlIнрiiны,
J\Ю,ЮIU У!\lПожать шющадь одной и;! III1Х па ординату друrОll ЭIIЮрЫ,
раСПО:Ю,IН)НIJ '1O IlO; цеНТРО!\I ТЯff\еСТ!I ПСрI30П:. Сложная эпюра М l'
l\Юil\ет быть paafilfTa на ПРОСТЫО фпrуры (рис. 240), для каж; оii ll.!
ноторых леп\О опрсцелить КООР;1lшату центра тяжести. Ilри TO!\I
площал:ь Irn;кдоЙ: фllrуры умножают па ордипату еДll1ШЧНОЙ эпюры llO;J.
305
ее l1CJlTpO J тяжести, обозначаемую через "'Ik (вместо 1kl ck )' Формула
ПсрещаrllН<1 в ЭТО J случае примет вид
iP == :L
h==1, 2,3...
Qh' Y(h
(12.: 9)
I3 табл. 23 ПРИВС;J,СНЫ площади и коордипатr,J цсптроп ТЯiI,ССТИ
JlСI\ОТОрых элеШ'lIтарuых фиrур.
1I jJИ учст() I\рУЧСНПЯ II соответствующиЙ член ООIщ'ii фОр IУJIЫ
(1L.: 8) будет ВХОДIIТЬ жесткость па l ручеIIlIе GJ H . Ес.11! ;:)II/ОРЫ Лf Р
и л,i j противоположны по знану, то результат пх ':\JIIОII\('НIТЛ ш!('('т
;шаl миuус.
Общая формула В('рсщаrИlIа ПрЮIСI-Ш.\ta и ПрIl расчсте CTPf\;'J,H(-'Й
I1ерс ]спuоl'О сечения. В этом случае IШТСI'рал ;\Iopa заШIСЫlli:l.UТСЯ
н nи; е:
LJ LJ 1rl JfI
MiM pdz 1 р J (z) ..
iP == Н.} (z) ===. EJt' Mjdz,
I I
rjte J (z) 1\1O\I('H1' инерции ПJlOщади ПРОИ:3ВО:Iьноrо ссчсния; J o
мu ншт IIпеРЦИII опреД('ЛРНllоrо (xapaKTeplIoro) сечснпя.
Назовем вс.ТIИЧIIПУ
J o
.' lпр == MI' J
, (z)
прUflедеllны.lt ll82uбающu.lt JltO.'tellтO.,t в те"'!Jще.1t сечении. Теперь
интеrра::I Мора может, быть ааписан 13 виде
r МiМ ПV
iP== J dz,
а фор\! .\'ла l el'(,НJa! ина
iP ==
Q пр Лl с
EJ()
( 12.40)
rде Qпр площадь эпюры Мар; Мс ор:.l,IJпата е::ЩНIIчпоii эпюры
под ЦСНЧЮ!\1 тяжести приnедеНllОЙ эпюры.
72. Потенциальная 9нерrил др4ЮР!\JaI'ИИ
в сuответствии с .lаКОПО 1 сохранения I1ерПIII рапота ППСIIIJIПХ
сил IIрИ n.ефОр!\1ИrОn3НИI1 упруrой сист( !\[ы Н(> пропадает, ,1 трансфор-
1\lпруется в ПОП'ШLИальную энерrию деФоrШНI1IIП, которан 1\10,1<(,1'
щюявиться n IЩ;Н' работы. совсршаемой вuуТрСПIlIШИ снлюш при
306
рааrру:шс. Tal\, при чаСТИЧНОlI разrРУЗRе (рпс. 241) башш, HceKO.'lЬY\O
JJЫНfш:\тлнсь 1/ ПрIIПОДПIВlан оставшую часть rpyaa, совершает uпрс-
Д('JIl>ШI 10 !т,ооту.
fI liСJI GрСl'ал при стаТИtjI:)СКО:\1 наrРУ;'I\СНИII юшетичссноii' ЭIIер-
!'IIl,ji, а ТШ,ШС потррлми энерrИII на ВН 'ТРСlJпсе Тj>РlIие, и:rмеПСllие
ll'шн'ратуры, 1\JаПIllтные 11 э.rrеRТРИЧVСН.1I1:) ЛВJН'ШIЛ, имеЮЩlIС место
ври ;щФuрмаЦlIII, 1\10,1>00 утверждать, ,{то У:\IРJJЫJlVНlЮ потеuциа.аыюи
ЭIIСРПIИ rр ':за равно IJЗМСIН IШЮ ПОТСllциаЛЫlOJf ЭllсрrИIJ ДСФОРШЩIIlJ,
Нi\КОШН'Нllоil упруrоii l<ОllСТРУRЦИСЙ, Т. е.
и==ира
r: e U прнраЩЩ/Il1:) потснциальной энерrИll деформации; U р
УМNII>Шс.ниl' ПОТl'НЦИGJIЫlOИ Эlll'рl'ИИ "руна.
У:\IСJJЫПСНllе IЮТСIЩШIЛЬНОЙ эuерrии
I'РУ:Щ ЧIIСJlеlIlЮ fJaIШО ДСЙ:СТВИТСJJhu()ii
pafiOTe ВlIСIШfllХ СIIЛ при наrружеНИ/l тела.
<':.'It' l ona тел ЫJO, потенциальнал i)lIерrия
дефОРШЩI/J1 ч IIСJJCНlЮ рапна работе ВIf('Ш-
них сил н I'IJ uаrРУil\СllИИ СИСТС:\IЫ IIЛИ
работр nllYTpellIIIIX сил, совершеШЮll
n щюцессе ра;lrРУ:ШI1. СоrлаСIIО (1L.1L),
1I0ТСlЩIlН:IЫlал зверrия ДСфОРi\lащш в об-
щсм случае 1\10;1\01' быть опрнделена фор- Рис. 241
1\1 У JIO Й
\ 2 2 \ i
== м xds ! М yds ...!.. MHpds
U А 2. EJ х + 2 EJ + 2 v С) +
s 8 У s и
2 f 2
1 N 2 ds 1 Qx ds 1 QlI ds
+ .x Efi' + 2' kx СР + '"2. ky СР
(.,. s
110t;,,0.'lbI'Y I10тешщальпая ЭIIСр-
rия нефор:\шщш ЯВJJЯСТСЯ квадра-
ТIIЧllоii фУШЩllсii о(,оБЩСJlIIЫХ сил
(П.111 обобщенных пере:\lеЩt-'НIIЙ), она
нссrда полоаШТf'.ll1.па.
73. Теоре ш l астилыIНО.
Теорема .тI3I'ранжа
(12.41}
f)
q.
. м
А В
,
Рис. 242
Раt;С:\IОТ!Ш:\1 упруrую систему
(рис. 2/12), ( таТlIЧ СIШ lIаrРУiI,еlIП 'Ю
ПРОJПВОЛЫlOi-i наrрузкоii Q и некотороН О;)ОUЩОlllюiI Сlfлоii Р. llep,
Мl'ЩСНl1е ТОЧl>ll приложенин силы Р но ее 1l311рашшвию и: от ее дell
СТВИЛ будет .1 рр, а пере.\lещение той жн ТО'JlШ по;.!, действис:\! t;ил
Q иудет Д/JQ' Прп полном поре lещеl1l11) раСС\I3трпваемой ТОЧКИ,
paR110\1 Др == д рр + д /JQ' потенциаЛЬ1I3Я эпсрrил УПРУl'ОЙ системы
выра,IИТСЛ форму:юii
1
U ==2 P!::..PP+P!::..PQ+U QQ '
307
";J.e и QQ энсрrllЯ, паНОШIснпая в результате деформации системы
толы,о Сllла ш Q, числснпо рапная работе сил Q на пы;шапных II:\IИ
перемещеПIIЯХ.
ТIШ I\aI{ !::..рр == РО рр , то вwшсприве,1еннуlO формулу 1\lОflШО запп-
са ть в виде
и== ; P20pp+P!::..PQ+UQQ'
(12.42)
Продифференцировав это выражение по силе Р, пол ЧИ l
ди
дР::= ра рр + !::..PQ == !::..рр + ДРQ == Др.
Таким образом.
ди
!::..р==ар'
(12.4:3)
. Пере. tещеп1,lе точпu прuложепuл обобщеппой сuлы по паправлепuю
ее действuл равпо частпой п роиаводпой от nотепциальной ане раии по
этой сиде. В этом состоит тео рема Кастильлпо.
3а:\lеТИ.\I, что вторая производпая от потеш иальной эперrии по
сипе (обобщенной) соrласно формуле (12.42) равна:
д2и дДр
дР2 == == 'б рр
(12.44)
и имсет существенно положительную вrЛИЧIlПУ,
Для плоской стержневой систе 1Ы фОРillула (12.41) llримет ВИД
U == r М2 (8) ds + 5 N2 (8) d8 5 k Q2 (.'i') d8
J 2EJ 2EF + '2.Glt"
s s s
(12.45)
rде М (8), N (8), Q (8) усилия В сечении стержпя.
Прю.lеняя правило дифферснцирования по паРЮlетру, наХОДЮI
!::.. == ди == r м (8) d8
Р дР J EJ
s
дМ (8) (' N (8) ds
+.) EF
дlУ (s) +
дР
+ S k Q (8) d8 . GQ (s)
GF дР'
s
(12.46)
или, пренебреrая влияпием па ВСЛИЧlIНУ пеРС.\lещени:й осевых
и поперечных сил, будем иметь
!::.. r [ (8) d8 . д 1 1 (8)
Р J EJ ар .
8
(12.47)
Если при определении пере:\lещепий ТОЧI{И по условию задачи
нет соответствУ.ющей обобщенной силы, ее вводят в виде фиктивной.
308
СостаВЛСНIIое пырашепие Д.'IЯ потепциа.1JЪноii эверrии деформации
дифференltи руется по этой СИJlе, после чеJ'О она прираВllивается нулю.
Если lIредставить потенциальную энерrиlO дефОР.\fащlИ нак
квадратпчuую функцию пе;{аписшIЫХ перемещепиЙ 1' 2' .. . , n'
то ока:зывается, что частная ПРОИ31юдная от lIотепциалыюЙ эперrии
по любо:'.!)' пере\lещеШfЮ равна силе, деЙствующей по направлению
пере:\!ещепин, т. е.
ди
7fF::'" == Р i.
t
в этом состоит теоре.на Лаераllжа.
( 12.48)
i 71. Теоре;)13 о минимуме потенциальноii энерl'ИИ
3а\fепим в статически неопределимой системе (рис. 243, a лишние
связи соотвеТСТВУЮЩЮIИ реакциЯ.\1И Х 1 , Х 2 , Х:: . . . (рис. 4:З, 6), которые
будем расс:\!атривать как lIеэаПIlСП
мые друr от друrа внешние lIаrруэ
RИ, и ВЫЧИС,'!IIМ по методу I\астильяно
соответствующие пере:\1ещеНJlЛ .11,
2' ::, . ,.
Зная заранее, что укааапиые
переиещепия raBHbJ н 'лю, мы И:\lеем
право записать
ди ди
1 == == (1; .1., == a == о;
дХ! %2
ди
.1:: == } X == О,
(j "
6\ 1 mm в с
\
а
(At1 mm в . c LP
\ X}
t5
Рис. 243
rде U == U (Х 1 , X z , Х::, ... , Р) полная потенциальная энеРl'lI"
деформации системы.
Леrко убедиться, что равенства
дИ O.
аХ 1 ,
дИ
дХ 2 ==0;
дИ
дХ:] ==0, '"
(12.49)
выражают условия экстреиума функции U. Нетрудно видеть, что
этот ЭRстрем:ум является МИIIИ:\fУМО:\f. ДОf\а:Jательствои IIоследиеrо слу-
жит положительный яшш вторых производных, I{OTOpble, соrласпо
(12.44), выражают переиещения 011, 022, оз::, '" , являющиеся сущест,
венно положптельными величпна?fИ:
д 2 И
::=: °11;
дХ;
d 2 U
== 022;
дХ 2
д 2 и ..
аХ; ::=: 0зз,
Таким образом, в статu'Чеспи Heoпpede.ltu. tblX систе.'ltах .ltUШ/luе
неизвестllые усилил припи.мают тапllе 8uа'ЧеuuЛ, при которых потеп-
цuа.ltъnая впе р2ИЯ дефо р.\иции И.J\tеет nаИ.J\tепъшее. апачеnuе (тео режа
Мепаб реа). Эта теоре ш известна также кю{ теореМа о нди.мепь-
шей работе, тан JШJ\ вместо потенциальной эперrии можно rоворить
о численно равной ей работе внешних сил. Из нее следует, что при
добавлснии н упруrую систе?IУ каких-либо связей потенциальная
энерrия системы всеrда уменыпаетс'я.
309
::ё
с'-1
се
::1' CI:I
tSI с::
1=;:
\о S
се О
Е--< 1'::
=
Q,)
==
=
са
==
ci
=
ci
lS:.
:::1
!;i
с..
с:
....
.;
:=
f-o
ё
е,)
:з
:=
:т
а.
=
t:f
t4
.......
310
са
о
....
I '--..
"-> + I
.....
, -..-... ,00-- -t::
ItS + 1;;;:
+ ..... + (tS
......- +
::: ' ......
' .....jф :::..
.......I ф +
......Iф
...... + .......
...... -..-... ,........
I I 1":: ,...;
с'-1 I
I I I I
l..tf' I ' ' '
: I ""
' ......
.....Iф ....[ф +
' ......!ф I
'" + .......
- .......
,..... -..-...
' ... ,..; l..s:f
I
с'-1 + + +
+ ,.:F ' '
' 7'J с'-1
с'-1 ........
.........
-t:: 1
....../ф ......Iф ......jф +
I
о-о I
J -..-...
I .s!
i ,:i:; I:i:; с'-1
+
.....IC"f:I .....i ф
;Ф
!
j..:;:
'"
,:i:;
I +
+
.....IC'J ......!С'-1
;;'ol
,,
/: -с::: '
J , \.....
_"'"' \.
I
)
C
t:I
(1) -=::: I ...
'
\.с::
,
,
I
са
..
'"
<-
::с:
:::1
;:
са
а.
:а
:Q
I
S
7)
I ' 1 .....
Itl ' ......... ts fi ... II('I" ts
11 :у:> ..... v ts ,ts /\
' ts ,ts ""' I Its I
I-:n'" . ,""ts l ts Its
+ + <:r:
..... 1:0-: 5- I ::;:
..... о-
t:: 1"::: I'(Y'} I I t::
-....- ..:::
"-.с I
I ..... .....
" I
....... <n..
' ' '''; I '
1..::: I
-;- I I
m.. ' '
+ + C'J ' ':€
......
-....- ..:::
.....::=: I I I .....1:'01
I .....
+ ..::: "...... ....... 0:1..
'..::: I ,..:::"" .......
I J + I
0:1.. -;; + +
+ ,
+ C"\I ' ....
..... ....., C"\I '
..:::
......I + .....jф I .....IN
,::;:; I
.......
-;- ...r O
I 1":::
+ ..:::
..:::"" .....IN
...../ф C"\I
.....I
I
1..::: ...r '
..::: I
.....jN :€ ..:::
.....IN
. \
l
.
"G
311
I ..... .....
"" с.
(ts 1'-.-:1.
I + +
It! 1т..
I + +
......
........ ........
I ,'
I
\ \
..... .....
I '
'
I с<:;
' "" I
,
....i ....I
..... .....
l..::r -----
(
I м +
+
'
1 м
....I .....IN
,......
I '
....j"'" !
I
' '
...s:::
....1 ....I:>e
, -t:::
'1
312
I
't!
'+
....
........
....IM
-----
,....
'
,:,,:,
-------
""
'
+
'
....IC'Q
'
....1:<:1
'
С'1 IC'Q
,
' ' '
..-::: ..-::: + +
"" O-J 1-;; ,("1'1.-
I ""L ' I, :L ts
I I + + +
1C'"l.. ,ts ::..
I I "---"
,(J д'
.....I + N
.....I::! ....! +
\ ,i '
с<?
1 + I
,.J' I ) .Е
к; I
..>::.- ..l
.....\ 'It"""Ii ....\
+
' 11 ,Д
Lf':) C'J
+ + -.:]" ..-....
+ I
' I .s:r
I +
.....I .....! .,.....jФ
I :'-1
\ +
Lf':)\ .....1"" .
.f
:
+
, ' +
N\ ""
!;'I\ .s:r +
'
I
-t:: \ -с:'"
,
"
r 1 <:'-,J
\ ::::i
o.t;
313
Таблица 23
В.10Iцадl, " IЮОрДИН31'Ы цеНТрО8 тнжеСТIf некоторых 9ле lеlJтарllЫХ
фш'ур
::IDЮРЗ
М
4
Zc 1 Zc
__ 1 __
ПJlОщадь
Координаты центра ТНiНеСТII
zc
I zC
lh
""2
l
3
.!.l
3
(h 1 + h 2 ) 1
2
h 1 + 2h 2 _ I
3 и ! + h;l)
h 2 + '2h 1 l
3 (h I + h 2 )
lh
Т
ь + l
а+'
з---
{\ вадра rичная
парабола
gз
314
lh
3
l
4
::3
l
4
:':JЛIO;-1:t
М
п родолжепuе табл. 23
Кубичесная
парабола
l
ПОЛОВИDа нвадратич
пой параболы
t'i вадратнчная
l!<1рn(jола
I{ва:tратичная
па раБО.'Н1
Площадь
!2
Ноордин::rты центра тпщести
хс
' XC
lh
Т
:!:...lh
3
2
'9 1h
v
[12 +
6
+ За (а + 1) 1
!! 1
5
1
8
1
2 l
l
Zc ==
l
I Zc; == "4
,
5
,
8
1
',[1
ba ! + t!al + ;)IJ.
;)а'Ч + ;)aI 2 + 1:J '
оа:!! + 4al'l. + р
:1аЧ + ;')aI 2 + Р'
r л а в а 1.'1
СТА ТИЧЕСКИ IIЕОПРЕДЕJIИМЫЕ СИСТЕМЫ
75. OCHOBIIЫ этапы расчета СТ(lтичесRИ
lIеопределимых систем
Статически веопределимыми называются системы, силовые фак-
l'Opbl в элементах I\ОТОРЫХ не MorYT быть определены ТОЛЬRО из
уравнений раШlOвесия твердоrо тела. В таких системах имеется
больше свяаей, че7lJ это неоБХОJОНIO д.Т]Н rаВlIопесия. Таким образом,
RA q pz /18
А 8
,НА
а
lliЧ А Р, I?c pz R8
А С 8
, .
о
Рис. 244
j f f
JA .11,8, mтm
а
ча сть СВЯdей в этом смысле является как бы JIИшнсii, а соответ-
ствующие усилия являются лишними lleuaBecmHbl.Mfl, По числу лишних
свяаеЙ или лишних uеизвестных усилий
устанавшшают стеnещ, статической llеоnре-
делиJ,щсти систеды. .
На рис. 244, а при педена ста тичеСКII
опредеЛИ.'\JaЯ систе7llа, а на рис, 244, б один
раа статически неОllрсце.ilимая. На рвс, 245, а
показана дважды стаТИЧ СЮI llсопредедимая
балка, получснная н;{ статически определи-
МОЙ систе7l1Ы (рис. 245,6) в ре; улыате уста-
ПОВНII двух шарНlljJНЫ х опор II точнах
В и С. На рис, 24(; ПОJ.;а,нша ; важды статн-
чеСIШ неОIIредеJIII.\I1lЯ плоская рама.
СтаТIIческан неопре: еJlШlОСТЬ может быть
результатом не ТО.ТIЫ\О введепия ДОПОJIIIII-
тельных связеii, по таюке и условием обраЗ0нанин систе IЫ. ПрПl\lе-
ром мошет СЛУiI\ИТЬ рама (рис. 247, а), в которой реающи опор
R A . НА' R B леrко определяются из условий раВIIовеСIIЯ, но послед-
ние не позволяют найти все силовые ФatПОРJ,l n ее элементах. Pa;J-
резав раму па две части и раСС.'\1атривая равновесие О;ОlОй И:J них
н.
R.
Рпс, 246
316
A
ппm J C
о
Рис. 245
(рвс. 247. 6), .'\Ihl усташшлпппем, что эта pal\la представляет собоЙ
спсте.'\IУ шесть раз статически I1еопредеJ1Ю1УЮ, так I\aK :каЖДЫЙ
ааl\IIШУТЫЙ (бесmарНИрllЫЙ) I\ОI1ТУР является три раза статиче-
СI{И неопределимы.м.
УстаПОВIН} ПlRрнпра па осп стержня (рис. 218, а) (одиночный
lI1арJlПр) обращнст в нуль пзrибаЮЩIlЙ момент в этом сечении 11,
сл('Довптелъно, спижает степень статичеСJ{ОЙ IIеопр('деJIП.'\IОСТИ иа
е;цшицу. Шарпир, ВЮlючешlЫЙ n узел (общиЙ шарнир), те схо-
дятся 1l ctepi-l\lIеЙ (C.'\I., lIап рИ.'\1 ер, рис. 218, б, в), CJlllil{aeT сте-
IН'Нп СТI1ТII'JСС1,ОЙ JIеопредеJIlВfОСТlI П3 п 1 та], как заменяет
р,
pr
"l
1),
'{
{'А
3 .
...., Iv
QJ
Р А
R8
а
If
(JIIC. Ljl
8 B
р IIС. 248
сопоН столы{о же О;J)IIЮЧIIЫХ шарuщюв (рис. 248, е). Степень CTn
ТН'lескоЙ неопределюlOСТП П.:JOСJ\ИХ систем (s) .'\lOжст быть OIIpC;I.PJleII3
110 (JjОр.'\iуле
s == 3k ш, (1 1.1)
[де k число заюшутых контуров, ш число шарнпров в перrС'Iете
на ОДППОЧНые. Осuованпе (зе.'\I.'IЯ) раСС.'\Н1ТРlшается нак стеРIlЮIlЬ
бесконечноЙ жесТI<ОСТИ (EJ == (0).
I [рп расчете статич еСЮI неопре; еЛЮIЫХ снсте.'\1 можно в Юl'IесТIЮ
пеll: вестных пrШIЮlать ] Ю{ силы ИШI СШIOвые фаJ\ТОрЫ, так II псре-
l\If'щеlllШ плп дефОР.'\IaЦИОIlные факторы. В перПО.'\1 случае Юlеем тш,
пазывае.'\IЫЙ . teтud сил, во втором метод не ре.1tещеllИЙ.
Расчет по ?llетоду сил проводят В Т81ЮЙ последовательности.
1. У СТ8иаШIИваlOТ степень статпчссноii псопредеЛИi\lОСТИ.
2. Путе.'\I УДll:IСШIЯ ЛИШНИХ связсii З8.'\lепяlOТ исходную СlIсте\lУ
стаТИЧССЮI опре; е:Ш.'\lОii. на:Jывае.\юй осповllОй систе.}!ОU. ТaIШХ CIICTe.'\1
Э17
МОШНО построить IIrСI,ОЛЫЮ. соблюдая при этом условиР их 1'(,U\leT-
рИ'lсскоii llеlfа 1(-'ННt\J\ЮСТИ,
:i, ОСIIОВНУЮ СIlСТСЫУ паrружают Jаданными ВПСШIII\.\lJl СИ;Ia jJf
И JIIIIIIIIЮI1l IIеиэвсстны 1И усилиями. 3ЮlеНЯIOЩИ:\1II пеЙетвпо уда.ттн-
JlЫХ СШJ.!еЙ, n pe3YJJbTaTI' Qero пол) чают а1'>вuваленптуlО систелу
4. Для обеспсчепия эквивалентности исходной и основной CI!CTC 1
неИ.;l!реТllые усилия ДО.:тшы быть подобраны Tal\, чтобы дефuр.\1аЦПП
OCf!OBIIOii свстечы 11(: ОТJIlf<IaЛИСЬ от деформации исходноii стаТII'lеСI\И
НСОНРР!IСЛИ:\ЮЙ систеШ,1. Для этоrо пеrемещепия точен ПРШЮil'l'ПИЯ
JJИIIШИХ непзвестных по направлрнию их
деЙСТf!ИЯ прираВ!Iипают пулю, На IlU:JY-
{Iепных таНЮI обра:юм ураВн\'IIИЙ опрс; е-
лиют апачешIЯ ЛИШНИХ неП:\ВССТПI,1 х усп-
M
а
А щfпшrшв
dбfх,
щfпшrшLt
Аа 8
А } .
IX,
=i-ql
q!2
Ц=8 '
fl
Rs =iql
!qt
,@
е
р не. 249
PIIC. 250
лиЙ. Определение перемещений соответствуЮЩIIХ ТО'НЩ lOiK НО
пrОИ:НlO,lИТЬ любым спосоБО:\1, однако ЛУЧШЕ' I1снользоuа1Ъ п ptl ,HO '
Ual1Uo.ilec общий метод Мора или способ ВереЩGl'IIIlа.
5. Ilослр установления значений лишних IН'llапеСТIIЫХ УСI!JШЙ
НРОll.:\ВО;J,ИТ онределеНlIе реаюшй и 1I0строеllllС эпюр внутренних
усилиЙ, IIодбор сечениii и проверку прочнuсти uБЫЧlн.J t СI!осоБО I.
Рассмотрим ПРШ,IСР расчота статически не()ПРС;JелююЙ СlJсте\IЫ
(рис. 24!). а). ПрllПИIЗ реакцию опоры Л за ЛИШНЮЮ НРII,\нее'llI.\'Ю XJ'
Il()ЛУЧИ.\! основную систему в виде консоли, ню'ру.-IlIВ f\ОТОРую рас-
преде.i1СIlПОЙ 'наrру;нюii q и УСIIЛl1е!\оJ Х 1 . придем i, ЭIШIfIШJlеПТllOii
системе (рис. 249, б). Дополнительны:Vl уравненпе.\f llере.\н щеUllii
будет рзuеиство пулю проrиба в точке В:
Дl ==0.
( 1:3.2)
[fОJJlШЙ проrиб ДI lОilШО представить кан сумму проrибов от впеm-
иеН наrрузни (рис. 249, в)
ql4
Д1Р == 8EJ
(1:i.3)
и от всизвсстuо1i реакции Х I (рис. 249, е)
Х 1 Р
Д1l == 3EJ .
(1 : .4)
:И8
Уравнепие (13.2) можем аписать в виде
Д1 == Д1Р + Дt] == О,
или
ql4 X,I"
SEJ -+ : EJ == О.
Отсюда паходш\ ИСl\О IУЮ реаl\ЦИЮ
:1
Х 1 == 8 ql.
Из уравнения стаТJШI1 леrl\О наЙти остальныс
оБЫЧJ1Ы \ СПОСОUО:\l построить эпюры Q 11 М. l\al
это пона; ано ШI рио. 250.
В табл. 4 ПрIlнедепы ра(iчеТllые ФОРМУЮ,l
для опре,'l.едешНl опорных реаl\IlИЙ, поперечноЙ
С1lЛЫ Q, 1I; Пl()ающеrо МО:\lепта М 11 IlеремещеНlIЙ
Д,,1Я ОСfЮIШЫХ случаеп шнружеНlIЯ стати-
чеСl\l1 неоп [1с,lСЛlШЫХ одпопролетных баЛОl\,
а в та()Л.:!5 цлл случаев Сl\1сщепия опор
11 Ilерн ШlО:\IСрПОI'О HarpeBB 6aJIOl\.
* 76. l,аНОIlИ'ICСlше уравнения мртода сил
ДОПOJIIII1ТеJJЫJые уравпения переlllещеllllU,
вы рЮI\В 10111.11 е ра Р('IJСТ!Ю H ' лю пе рюrещеlшii [10
наlIраl!ле IlIН\! Jllll1illllX неи:звеСТlIЫХ, удо(iно
СОl'таl!:IЯТh в TНI, 1!(}.!ы!!ае:\юЙ IUlJiOнuческuй ifio/,J.te,
'1. е. 110 ()Il Pi':li\leUHOii :$al\OlIOMepJlOCTII. ПОl\ЮI\(':\!
это на IlplB:ppe рРlllРllIIЯ II ростеiilllеЙ СТ3Тl1че-
CI\I! 11('0/1 рс; еШl.\!оii си ете:\\Ы (рис. 251, а).
lJы(iере" u 1\(1ч('етuс ОСIJOВlЮЙ CIlCTe lI>! I,Oll-
CO.'I/,; в I';RЧl'стве ЭI\ BJI Ba.ilPH ПlOji еl1ет(шы по.тJ\'-
'111\1 1\011(',0:/1,. Ilhr'J_'.\i-l\СJIII.\'Ю HIIPlIIllPii СIIJюii '[)
11 :JII1Jшрji fН Il,'В\'СТJlOii %, ((!lI\' 51, й). ;i(,]JОЛ-
I1I1ТС,'IЫЮl' УР,ШIНШIН' rl( rЮ\l('Щl'Jlllii, f!ЫРЮl\lJ.IOIlН'f'
ранеllе'l во II -ЛIO rН'I.('\IСIll<'((Ш-J '/'041\11 lf ОТ сил
р 11 X 1 , будет
.1. == д (Р, Х 1) == О.
(1; .7)
На ОСIlОШШIlII llринципа независимости дсН-
СТПIIЯ сил заНПШС:\1
.11 ==ДIР+Дl1,
(1 :1.8)
( 1:-1.5)
(1 :-1,6)
рr>r!Юl ПИ. а aT('M
lp
А 6
l '
а
tx,
5
1 А
3 8 ' 'P
Ы р
9 @
<>
(.
A tf
а I Х,='
д
С, С
lL?
--- @
t4cP
е
Рис. 251
rде .11 Р перС:\lеШ,i'Ние от заданноЙ ваrРУЗНI1 р
(Рli 251,е); .11. lIеrе lещение от силы Х.. Обо начивперемеЩl'Ilие
от %, == 1 110 ('(, lIапраВJlеllИЮ 'lере:! 011 (рис. 251, д), получим
Дll == 0l1 X l'
Ура JJ НСlше не pC:\le щt'llиЙ (13.8) примет вид
0l1 X 1 + Д1Р ==0.
(13.9)
319
;)1'0 IШlюннческая фОр lа уравнения пере:VlещеUIlЙ для один раз ста.
Тl1чеСЮI 1I00IIр деШIl\IOЙ системы. Иа формулы (13.9) имеем
.111-'
Х 1 == (1:{.1О)
011
Для системы, И'l\IеющеЙ две JIИШНИС еВЯ;НI (рис. 252), I ННОl1иче.
скпе уравнения будут иметь нид
011%1 + 012 X 2 + Д1Р == (); !
(1:{.11)
021 Х l + 022%" + Д2Р == О.
Х 2
Рис. 252
Лналоrично :\Юl'УТ быть написаны в каПОНИ1lеСl\ОЙ Форме. урав-
Нl'ния перемещеНllii ;щя любой ft раз статически неопреде ЛЮIUЙ
СlIстемы
011 Х 1 + 012% 2 + ОIЗХЗ + + 01п Х н + Д1Р == ();
'1:XI + о"Х, + о"Х, +'. о,,,Х ,, + А,р ;.I
Оп1 Х 1 + Оп2%2 + On: X + + 0I1Н'\" I1 + .1 пР == п.
(13.12)
Xz
Х,
} ..........
Х, r
р р Х 2
Р
Рис. 25:1
Пере:\lещсппя ДiР 11 0ij' входящие в каНОНlI'lССlше уравнения,
следует определять по l\!етоду Мора ИJШ способу Верещаrипа. Прп
расчете pa 1 и баЛОl\, для I{ОТОРЫХ ОТНОШСШfе высоты стержня н СП)
:ЩJIпе, l,ак правп:lO, меньше 0,1, в общеЙ фОР:\lуле М0ра ОI'раПlIЧИ-
ваются сохрапенпе 1 интеrралоn, учитывающих' ЛIШ1Ь паrибающпе
моменты. IJри ЭТО'I пршшадывают R ОСIЮll1юii СIIСТС;\lе е;ЩI1l1чпые
uэrРУЗЮI %! == 1, Х 2 == 1. ... , Х п == 1, а таЮI,е внешние IIaI'!,у31\И
::320
и строят соответствующие эпюры моментов, RaK это показано приме
нитеJIЬНО к ТрИЖДЫ статически неопределимой СИСТЮ.lе (рис. 253) на
рис. 254. Ординаты эпюр изrибающих моментов от задапной паrрузки
р (состояние Р) и КаждоЙ единичпой силы х---; == 1 (состояние 1),
Х 2 == 1 (состояние 2) и т. д. обознаЧИ l соответственно череi3 М р,
lIf i, М 2' ..., М п . На осповапии (12.29) нахоДИМ
r Д/1М pds ! r М 2 М pds r М ll Л1 pds
ДfР == J EJ ' Д2Р == J EJ ;..., ДпР == J EJ .
s
(13.13)
х.=! х=! =! l Х =1
f f J €
{: 1f 1 ......... F ' 2 r i
2
Р р X z =1
!'!!@ Ph h @ h 1 @ @
2 2 2
Р ис. 254
у дельные перемеЩОНIIЯ, имеющие одинаковые ипдоксы (rла впые
IЮЭффИЦllепты IшпоничеСI{ИХ уравпоний), определяют по фОР 1улам
О r M]M]ds . О == r M X12ds ,
11 J EJ ' 22 J EJ '
s s
.
. . . ,
О r MпMпds
nп J EJ
s
Удельные перемещепия, имеющие разные
lюэффициеuты), определяют по фОр lулам
r Лl 1 М 2 ds ! r Ml1113 ds .
012 J EJ ' 013 J };J ' ...J
s s
(13,14)
индеl\СЫ (побочuые
О' r "Xl}Vl k ds
tk J EJ .
s
(13.15)
UТИ перемещепия MorYT быть положительными ИЛИ отрицательпы.\Ш,
а таl{же равuьши нулю.
На осuовапии Teope IЫ о взаимности пере 10щепиЙ
0ih == 0ki.
Для систем, состоящих из пршюлинейпых Э:Iе Iептов, пычисле-
1l11Я перо [еЩОIIИЙ удобпо ПрОИдВОДИТЬ по способу Вuрещаrнна.
Например, для статичеСЮI неопредеЛШЮll системы (рис. 251, а)
lшееи (C I. рис. 251, /з, 8, д, е):
00 рМ Ср 001 М С 1 .
ilI P ==""EJ; 011 == ЕТ'
Pl2 -- 5
OOI)===8 ; MCp==6 1;
[2 2
001 == Т ; Лl С 1 == 3- l.
н :) 11135
321
СледоваТ(!JJЫIO,
5
il 1P == 48
ИЗ ФОР IУЛЫ (13.10) находим
р[3
EJ ;
t---
011 == 3EJ ·
il 1P 5
Х 1 ==........ == P.
011 16
l::СJШ учитывать влияние разности температур, то IIОрЯДОН расчета
сохраl1llТСЯ прежпи:м, а свободные члены ка1101IичеСI\ИХ уравнеНИll
llрll этом будут представлять собой перемещения в ОС110ВНОЙ системе
не топько от заданной наСРУЗКIl, но и от ИЗ lенения температуры:
HX 1 "x ' ... + 8,nx . + . ' I P l) + :d :; пt O ; , I
0111 XJ +oпz X2 + '" +OпrtXп + 1.1, 1.1
(13.16)
еде Ан IlОр l\Ieщеl1ИО в основной системе по паправлепию силы Xi,
вы:.шанноо ра:,шостыо 'l'юшератур.
110C:Je опреДОЛОl1ИЯ RОЭФФИЦIlСIIТОВ ОЦ И свободных ЧЛОНОВ iliP 11
il и решаЮI систему наНОl1llческих УРaIшеllИll (13.1а) и наХОДИl\l лит-
Шlе Ш-ЧI:Jвестныо %11 Х 2 , "', % п. Далее оБЫЧl1Ыl\1 спосоБО:\1 строим
ШlOры внутренних сил (N, Q и 111). Ilостроения удобно производить
меТОДО:'1 сумы:ировапия по схеме
м М,Х , + М,Х, + . . . + м Р; I
Q == 1Л Х l + Q2 X 2 + " + Qp;
(13.17)
N==N 1 X 1 +N 2 %2+ ", +Np-
ОПl8ТИМ, что вид I{аноничеСI\ИХ уравпеl1ИЙ остается неП3l\1енпым
при ЛlOБО 1 возможном варианте осповноН системы, 113:\lопяетсн лишь
смысл ЛИiШШХ пеl1:..!ВССТl1ЫХ и rеомеТРИ1lеСIШЙ смысл IIереl\lсщепиii.
13 табл. 2Н, 27, 28 приведепы раСЧСТl1ые фОр:'IУЛЫ для опреде:lе-
ппя llаrпбаlOщеl'О МО:\lента в xapal\TepHblx сечошlНХ пеI\ОТОрЫХ JШДОВ
стаТIfllССIШ l1сопредеЛЮIЫХ ра '1 для простеЙШIlХ случасв IIХ l1arpy-
шенин.
77. l\Iноrоопорные неразрезные баЛl\И.
Уравнение трех 1\Iоментов
II е раз рещы.чu называются балки, JlCi-I\аЩllе более чем на двух
опорах (c c, l1аЩJIшер, рис. 255, а). Число ШШШIlХ связеii в l1ераз-
резной ба:ше. а С:lедоватсльно, II ЛИШIШХ рсаlщиii равпо ЧllСЛУ про-
l\1СШУТОЧIIЫХ ollnp. IlUОl'да Iфаiiняя ОlIора ВЫПО.'Iняется n виде
заще.\IJ1С1llШ. В ::ЭТО.\I случае стспень cTaТlI ЧССIЮU uеопреде.1ЮIОСТlI
баЛIШ не.:НI'III нартен lIа единицу.
111Нl !3ы60ре ОСlIОUlЮЙ системы :за ШIШШlе СВЯJИ це:lесообраJНО
UрШlИмаТL Ilf' IJJЮ,\lс,,,утоquые опоры и ЛИШНlIС uсизвестные реаКЦIIIl
322
n ПIlХ (рис. 255,6), что привело бы к И:1лишпе rрО:\lОНЛКИМ ПЫЧИС-
леПИЯ 1 при определении лишиих неизвестпых, а изrпбюощне моменты
в опорных сечениях. В этом случае, очевидно, ОСUОЛIj.OЙ системой
будет систе\Jа однопролстных балок, соедипевных на 0I10p X шярпи-
рами. Torna эквпвалеНТJIRН система прп расчете по методу сил будет
пrепставлять собоij ряд простых шарПИрRо-опертых балон, Harpy-
тенных :1аданпой паrРУ:1JЮЙ и пrизвеСТIIЫИП пзrибаroщи:\1И !\Ю IС'нта!\ш
по КОIЩЮ1 (рис. 25В):
Af 1 ==X 1 : ,lJ 2 ==X::!: ,..; Mn+t==XY!+t".
Дополнительное уравнеШlе перемещепиii Д.rн каждой ПрО!\Iежу-
o : п: ,пl
tM lП-1
O ,
X2
ЛI2
1J J
Лf2 . / 1
т 2 7f?7
ХП'l Xт 2 l'
Рис. 255
Хм Xn.} X nI - 2 .
.. Ш.-1.:/
'1 7t 7/}r.
л.2 {
Рп с. 256
точноЙ опоры ДO.liКHO выражать условие равенства пулю взаимпоrо
T.1a пuворота опорных сечениЙ Сl\IеIIШЫХ балOIС ПОС1-\ОЛЫ{У
1\3 аца я из двух опорных балок осполной: сп
CТt'.\ILf под деЙСТВII :\I внешних Пill'руаОI{ в про-
лсн' И концевых МО:\I(ШТОВ ДСФОJ1}.шруется
IIС.IRВИСП!\IO от друrой, то торцы двух смежных
баЛОI\, ПрЮIЫКaIОЩИ:Х 1-\ ОДIlОi'1 опоре, например поЙ
(рпс. 257), MorYT поворачиваться па некоторЫII
уrол tз. ев и l1aB. Так I\<Ш в ИСХО;\lюii стаТИЧС'СI\1l
uеопределимоii неразре3ll0ii бал 1-\0 кан{дан пара
таКIIХ сечеllиii представляет сопоН одно се1н'пие,
то 113 УС.'Iовпii СUЛОШНОСТII их вааП:\lIIыii yro.'I пово-
рота должсн быть равеп uулю. Отсюда для каждой
IIромежуточuой опоры
/: /.
П
Рис. 257
tз. п == tз. ев + tз. раD == о.
(1R.18)
Та[{ как оспоппая: система состоит из отдельных, ие СВН3ilПШJХ
ме;IЩУ, собой однопролетных балок, то при раск рытии у'СЛОПШI (13.18)
11 *
323
Достаточно paCC:\IOTp TЬ ПрИМЫRающие R п-Й опоре дпа пролс\та [п
и 1'1)+1' ТоrПR УСЛОВII!' (11.18), записюшо(' в каU()Iшчес[\ой фОfmе,
бу дет иметь пил
0'1). п l Xn 1 + аппХ n + b nf n+1 Х n+1 + !.lnP == О.
X ) f ." Х п Х, Хп.,
/""-'. П
п i( . -? )М
,,/; 7: 7: ,/ .
l:>. ,..f..... c:! .
! :UПif
I ';!II
' .l. Jl+Jl J lJjJl."
r ' J 1 :Т и:. J... !i.,.:!.
.: '"
X..; . 1
.. ( J.'i ll i;ni5
"1 ...,."1':
I О
I
,("2 I
1"
, '
"
v
РIIС. 258
(11.1 )
в соответствии с построениями, припе-
денными на рис. 258, а, 6, в, в,
1
!.lnp == EJ 11
W n . +
')(
+
Ь} п+1
,
ln+1 .
( 13.20)
(Оп+1
1
fj'l,n l== EJ n
. 1 1 {п .
. . ': \)EJ 11 '
(1 .21)
Рвс. 25Н
'1
Опn == 1,' J
D 1!
JE... . 1 . ..2 + . lп+1 . 1 2
2 3 Е} п+1 . 3' ==
[11 [п+l
== 'MiJ/J + ;iЬ'J и+J
1
Оп,n-+l ==
п+l
( 13.22)
{и+l ,1 1 I n+l
2 . '3 == (jЬ,'J н+1
(1:3.2:3)
IIодстав.тJПЯ (lЗ.20) (13.23) в (13.19), получим
XIl j +2Xn ( + ln+I ) +Xn 1 lп+1 ==
J n J 7I J n + 1 + J n + 1
== () ( wnan + (1)11+1 [;П+1 ) .
Jnl n J n + 1 1 n + 1
324
(13.24)
3аменпв оБОЗП::\ЧСIIие JIППШПХ ПСИClf!естпых X i па Mi' нолуqШI урав-
nеllие трех .1[()A[f'/tтO(J
l 'п, 1' 1 ( "т,
iI. n 1 т- :.,1 " 7' '
, J n '/:1
. , \ [п Н
) [ ,1/ n + i
1" t,! J ,<+1
== 6 ( (I)/,ап -i ::t t!.. ) .
Jnl п ' J11+l/n+1
( 13.25)
При 'Расчете нсраЗРС;,liЫХ G[\ЛОi состаfJJlНЮТ столыю ураппепий
трех ;\Ю\lf'IПОfl, СRОJIЫ\о И\lсетсл п PO\j('}I":.\ точных опор. Реншв 11OJlY.
qРIIIl,\'Ю CIICTC\I'y ураr.Пl'нпii, ОПРР:If'.:!5':ЮТ J1J1I1!ШJf.! пеП:;НССТIIЫf> ;\Ю lепты
, 1? на Р!I()рах. апrJЛ !-\()I[I:еrщс \Ю'1е!lТI.1 ЭI'ВПВIJ.лептпоii СIIстеш,У, JJce
lJ.::I.'IЫlf'iiIII1lР рнеЧ{'ТI,; ljf,)jЮЛПНlОТ о(jl,IЧ!lI,Щ \1СТО;Ю'.!, 1,'11": Н!'П р::lсчете
люiJоii СТ::I.1'11'1('СI;И ОП 'РДt'.'Ш,\fоii сисrV\iЫ.
11,.'Ш ба.1l01 поеТОНf!П1Н'0 се'Н'НI!Л (J:-::: eonst) УР,lIIНСпtтс трех
IO\lептов (13.25) J прпщас1'СЯ:
ЛIn jlп + 2М п (1п +-- 111+1) + .lf п +[ln+1 ::.::;
( . ) (1) h 1 '
. u /1 а r1 п+ 1 T! :- )
== () + .
! п I I1 + !
(1 .26)
УрnппснТJЛ Tpf'X МОЧf'ПТОВ ;J.:JЯ I1Topoij 11 11 редппсле:rпей прор пераз-
rю'шоii nаЛЮI, ОЧf'J1ПJ.I10, fiYJt,\'1' СОlIf'Р;'IШТЬ ТОЛЫ,О ЛИ,I !l1O ,;eHTa.
Ура впепия ТРРХ !\JO!\II)ПТОВ lIr.ПОJ1l,., ЮТСЛ п при Щ1СЧf>те перазрез-
ТlI)lI па JIJШ, OlHIll J\nHCH J,OT()P(Jji iJ,РСТlШ I1J('ЛfНl. В ПО;\I случае
с.ОСТ:1ПЛЯЮТ ураПIIСПliе Т!"СХ IО\I II1'UП чшже ДЛfl :!:l.ЩС\1.'ЮliНоrО RОRПД,
(' [а ня там на J\ бы п rО!\J( ;.т,,:,\'точ I! 'Ю ОПОр ', УI fI СТ() rЮII 7 :т ;lеЛЮI впонлт
!l.ПI\ТIfВIIЫЙ Ilролет. 1' ('..11f :!ШН :Н111 Jlсвыii IЮП('U балтш, в уравнепии
'1 рсх МОЧСIlТОП ДОЮЮТl.! nl,lTb 1I0JJnil\e!Ji.I РJВПЫ;\Ш нулю Jl п 1' ln,
f' Юпап () l' U б
rI. q.леll ) )удет OTCYTCTUOnf\Tlэ. :.СЛIlIir. все 0110pbl I1 rШ,:\ре:ШОII ал.
1\11 II IХОДЯТСН IШ U:\ЩЩ ;" РОDШ" а I1меет l\ICCTO смеЩение прr\Оторых
OliOp, ТО П б()JJI\8 IOCYT ПО;ШJl!Ш ТЬ :-JШlчитрльuыr НI1ЧD.1JЫIl,Jе IН:шрн-
II;НJI1П. 81'11 шшртI;СПНН :18I1ИСЯТ ОТ }JR. ПIlIlj,J 1\ УрОВШIХ опор [% жест-
I,Щ',ТII балки, 'nе.'lИЧIН f1Я('.I, 11 рОПl\рlЩОJ\НЛЫ]() '!,n:i(lJ1ПЫ!\1 В(,JШ'ШПЮt.
П.'Jияппе С ,IСШСНТ!П r.пор на пяп \ тl\('ЛП()('П, п(>ра; рf:шоii fil1JIЮI
"",1,(;1' быть оценит е,тIСJl.\ЮЩII\1 оGра:ю\!. rl (':п> JI JeeT !\!ССТО !,(lР1'ппа
('.\:сщеШIЯ опор, тrpIJВCj!UJIIMJ [т pllC. 2Б(:, Yr.:JIJ попорота лепоrо
11 I1 pLlВ01'0 пролеТОD ОТIJOс,ит('.:1ЫIO (чroр" l) fjYilYT
о !/1 Yп l .
п ,
!J(I ! 1 - ?In
r! + t =:-. I';""'.
1 п 1--1
: 1'0,'1 повор()та СЧlIтае:и ПОJЮiIШТС.JJhlll,\ \1, 0(;,1!1 сеч ен ие по пора 'lIlI3D( ТСЯ
11" 'I<1с,?воI1 стре:ше. Очсвндпо, В;!1\iJ;\J!iыii )ТО.l поворота торцевых
СV'IVШIII ll::l ()поро '
il n == 6 п + 1 Оп.
(13.27)
325
Теперь иаполич()сr,ое урмптсппе П(НI расчетr ШI С Jf'1J!fЧlJIР, опор.
В ИОТОР()\f роль пP пrряст L\n П rшrет IНЦ
Оп. 1I 1 Х "'l 1 + ;j1l11 Х 11 + o. 1'/--I 1.Y a .' ,+ .1 1l == о.
('1 : . (8)
в случае (;аЛJ И IТОСТОЯ[[fюii il,РСТ1\ОСТП, с )"Н'ТО\1 (1 .21) (1З.:2З)
И (13.27), уравпеIШС трех ;\Ю\I(Ш [оn (1:\.28) ОIюпч,нельно моше;\1 .\апи-
сать в виде
Mn 11n + 21V/ n Оп +- I n + 1 ) + ,11 n + 1 / n + J == 6Е] (6 n + 1 6n).
( 13.29)
Если, кроме Сl\Iсmелиii опор цсiiствуют ппеПIIше наrРУ3RИ, в правой
части УРflRПСНИЯ (1 З.2Q) ДО.liIШЫ быть сохр;шепы члены, содерiI,а-
щиеся u uranoii Ч<l('.ТИ ур:шнеппя (13.26).
78. Расчет стаТПЧССIШ пеопрсделпмых
НРП80липеii IlЫХ стсршнсii
При расчете статпчеСЮI пеопреде:ПJ:\lЫХ упруrпх СI1('.Т(Ш, содер-
iRащих ИРIIволппсЙпые стерашп, т:ш ше, IШJ\ II прп Рi1счете .тпобых
стаТИЧССЮI rrеопре;tР.'iП\lЫХ CIfCTP;\I, реRО\lеПJi,\'СТСЛ ПО.lыопап,сл "нпо-
пичеСI\П\1И раПНСНlIЛ\llI ;\ICTO;ra СП. . Одпаl\О в ';)ТО;\\ случае ПСр(' IС'
щения, ВХО;1ЯIЦПС п ЮНIOППЧССЮlе 'рапп('шш, c.тrClyCT DЫЧI!СЛЯП, не
по способу RсрrщпппН1, п l!() !CTOД Ыора.
13 качестпе пршн;ра р(н r,\10ТI)1Ш I\руrоrюr. r:()ш,по ПОСТОЛIIяоrо
попсречноrо Сf'ЧСI1ПП, рIЧ ПТ1'JI !\пr:>:ос JlП.\'\IП рп J!l!j,I\IП П П ротипопо-
ложно напраШlеПНЫШf си 'la'JТI Р (рис. (j(), а). }тп СИСТС:\Н1, ШЩ
И ПСЛЮIЙ за JRп 'тыii т>опт 'р, ЛВ.тrнстсп ТРШI'J(Ы СТПТllqССI\I1 пеопре-
PtSr
A ' i1
r1
х.
А, A C,
'\ .. i j<-
\ : х,' J j Xz
" ' ./11
:r X.f
а
б
(J
3
Рпс. 260
делимой. Выбереи основную спсте'1У, разре;шн кольцо по ссчению А;!
(рис. 260, б). Из условия сп:vшетрпп CJтc;(yeT, что поперсчная сила
в этом сечении Х 2 == О. Ра:lрезав RОЛЫ(О по ДlIa:\lетр.v А т А;!
(рис. 260, е), И3 условий раВIIовес.ил ОТССЧСIlllOii 'I::tCTJJ находим :ша.
u Х р I " б u
чение пормальнои силы 3 == 2 . [' ешшеСТIIWII IIзrll ающни МОIIJСПТ
Х 1 найдеч и:з рассмотре'пил ЭIшпва.тroнтпоii СIIСТ(''.1Ы (рис. :ЮО, е).
КаноничеСI,ОО ураIшение поре:\IсщеНlIЙ, пыражающее условие
равенства нулIO nзаШIlIоrо уrла поворота rрапеЙ I3 сечепии А 2 , будет
Оl1Хl + .1 1р ==0,
(13.30)
326
rдо
1P == 11ft;; ds ;
(13.31)
о (' м I Л 1 ds
11 J Е] .
s
( 13.32)
ПрIl этом М р II i 11 COl"JlaCllO рис. 261, а, 6 l\IOI'YT быть выражены
фОр lуламп:
PR
М р == 2 (1 СОБ у)
( '1: )
O Y ;>2 ;
M\== 1.
{ Р @ @
81 I
\\I /JE ' \ -"'/ X
А >v'f! .'2 А: :" / ,=1
....! -i - 7-
O 1'jP - '%=1
P;j0 ""1'.' J
а с5
110дста13JIЯЯ ВЫfJaiI,СНИЯ ДЛЯ Лf 1 ) И 111\
В (13.31) и (13.:::>2), llОЛУЧИ.м:
1t
2
j PR"l (1 СО,<=; у) dr;
Д1Р :;;; 4 ' '1.10
о
l'lHj. :;61
== '2Pl{ ( ) .
Е] 2 1,
1t
2
о == 4 r Rdr; == 2т:R
11 J Е} EJ'
о
Теперь уравнеllие (1; .30) J\lOжет быть lIсреПJlсапо так:
2'itП Х + 2Р R2 ( 1 ) == О
Е} 1 Н} 2 '
ОТ!\У да
2Р R2 ( 1- 1 )
Х О 18 -) j J R
1 2-.:.Н , .
(13.3:-3)
Таюш образо.н, ИЗfпбающпй \!O IeHT 1; e()ll 1J IIJI А
111 А U,Jo l' Н
11 наll раlЗ:J( }J в СТОРОНУ, l1РОТПВОllОДOlЮ1УЮ Ill'llПЯТОЙ ранее,
327
НдПlоаЮЩIIii ыo !e]]T в ПрОЮБОЛЬНОМ сечении МОi1ШО выра,шть
формулой
РЛ
м (у) :.= """2 (1 cos r;;) + ,м А'
ма:КСlIШl.1JЫlWll lIЮl\}(ШТ
М 1l1а х. =:: Лf в == 0,318Р R.
Поперсчпап сила в любом
@
@
Рис, ()2
== 0,5Р SllJ 9; осспап ешш N (9) == О,&Р co:;:r НI1 rШ', 2G2 IlJilIBU,lUIIU
ЭIIlОрЫ Л1, Q 11 N.
n табл. 2:1 прппедспt.l раС'НПllые фОР\i,\','JI,( l\:m Оllре;Н'.'I\тШI УСIl-
лиii 11 ПС1Jе lCщеllIrЙ Б радШIЧВЫХ случаях IItll'pYll\e11 ШI 1\U:!LIЩ.
79. Определение пере:\lеrцениu 8 Сl'атичеСI\lI
lIеопрсделимых системах
После опредолсшш эuачеШIii .ТШIllIJПХ нои;звссrных YCII,lIlii
п построения эпюр пеРС lещеНlШ R статпчеСIШ lIСОIIре,l:е.тrIШЫХ спсто-
l\lax roЖIlО Шlii ти обыч Ш.>I\Ш спuсобu" 11. П ри 1'0\! В 1,:аl!'ДО\! 1;0111\ рет-
110\1 С.Т} 'Ч(Ш СЛ():I, ет пено,"! Ь 10 на '1'1> тот Ш-;ТО: , 1,О1'n р 1,1 ii на l!(jп,TI('<' 11 рОСТО
IIрlIfЮДI\Т l{ pe. y.'I1)TaTY IIaJlpll\lep, I1jJОПliiы и Т:IЫ 1l0ноrЮJ'а СС'lр[шiI
СТС\ТllчеСIШ пеОIlре;lеШI\IЫХ ()алок, /IСС.\'ЩIIХ C:ro;'I\II,\'/() 11<lI'P.\.<I\.V, реlЮ-
1\IеlIдуется опреДС.'IНТJ, по ютоду нача:IIЛЫХ пuра,\JСТ!ИВ. i\lотод l\lopa,
ЯВ:ШЮЩIlilсл ушшоrСClЛЫIЫ f, ОUl,JЧlIO JIСIJОШ,:! 'ЮТ IIJ\l1 ОlJрсделешш
IIоре lещеПIlЙ в ба.'Il\ClХ, рЮfах JI фер шх,
lIСIln.'IЬ:ЗУЯ фОIШУ.Т}У l\lopa
. == r ЛI i l1 jJ ds ,., r l} i N j) а,'
D. 1P J Ь'} + ""-1 J ЕР
s s
\.., с . Q;Q l' ds
..-J" ,
( 13,34)
следует раСС.\JU'fJШUJ1Ъ Оl,ОIl'НI!'[j,'lЫIЫV ЭIIII)I1I,I .Н ,\', Q ОТ СШlOвых
фURТОрОD С1UПl'J.ОСIШ псов рОДСШI.\lOii erJ( 1p\iI.', ;) 'JШ,IIШ ЭI1ЮрЫ 111 i,
N i, Qi от еДIlШIЧIЮI'О с.lI,'ЮIЮl'О фш\торu. COOTIJCH TB) 1UЩl'l'О llCHO IO IY;
поре ещеПIllО. 11 рll :НО.\I l .'IН устшlOШIOШШ <тюр Afi. Ni 11 Qi цe H CO-
328
образно единичную lID.t'РУЗКУ ПРПЮIд,'l,hJвать I\ оспоппоIi статичеСIШ
опреде.'!II J()ii CHCTl',\fe.
В Юlч('стuе Прll.\I р[l ВI,)i1JIC.'Jll\f ,'Ц.I(J\ll!ые П()I'('\If>IJ{<'ППЯ точек
111 11.. 11 П, и:! соотrЮТI'!'Р('JlIIO !< "(\!,,, '\l11'lН.'lЫ\U\J 11 IН'[НIJЮ)ЛЫIO,'.I
8,h. J
O , l,
А, j=t. л z
У;
р
а
@
(!
/) А,"
! 8,f
f r W; j), r xl
1'" Z I I 1 ,
. txJ ,X . ,Х,_
р 8
о
Р
z УР
РЕ
7s
iJ
[ j
@ ср)
ж 3
Рне, :26;1
lI:шраП;Н'IIШIХ H:IH (;таТIIЧС IШ пеОПР ;1;().'lшюii СllСТ \lЫ, преДСТRDШ-lЮ-
1I:,('ii eoGoij 0;1 IIO(Ю!IТ (\IlУЮ pa IY, 1I0; ; Cl1CTBlle;\l С11.11 Р, Ilрll.'10жешIJ.IХ
110 cxe lC, нршюдешюii [!а рl1С. 2Н;З, а, П JЮ IСl0 псеrо О!} РС:lf)JIЮI ЛIll1I-
1111;) пен;шсс:rШ,I8 этоii TP!I'/I,; !,l стаТlJlЮСI,11 uсопре: е.'lJ["lOii СI1сте\JЫ,
1:1.\\)I']\C\1 ОС!ЮПIIУЮ CIICTC\lY. ра;!рf',ЩВ О.1,ну Н:! C1'oel\ по ос!! СII,\шетрии
()lI1( , 2И,6), IJс.1еДС111iiР СJlШICТРlJП lНH (JУЭIШ f! iOC1'O ра.\ре;ш попе-
/:'''III,)Л Сl1ла Х 2 == О, На раСС\IOТр<'ПIIЯ УСДОВlI(; pIHтOB\ (',!IH ПО:ЮВНIlЫ
p,t\iL: (рнс. 2UЗ, о) lIaХОДШ\
2X: J == Р;
р
Х,\ === ' T
,llIlllIlп:i IIСН;JВССТПЫЙ ,\Ю;'.IСll'J' )(! ollpeite,ilJllCiJ ш СJIОr УlOщеrо IНШО'
1IIIIJl'СI\иrо уравпеюш:
DIlX f +.1 tP ==()'
( 13. {5)
:1;\C'c!, .lIP '1l0РС\Н Щ 1IIIе lJ ш.шР,1В,1l'IIIII1 if iicТIJIlЯ уоплия Х 1 ()Т
Р
('11:1 jJ 1\ Х;! =:: Т'
329
Для опрсделеuия пере1\lещсппii il 1P и 011 СТрОП\1 соотвстствую-
:щш эпюры (рве. 2f\3,?, д) П, ПО:JИУЯСЪ способо\' Версщаf!ша,
находим
д \ r м r>
1 Р . J 1..') . Ь') 1
s
Р1; Pl
.
8 . 4Ь')1 '
( 13.:3fl)
о == \ AI1Mld.<; ::::: +
11 .J EJ EJ 1 EJ 2 .
S
(13.37)
ПодстаВIlВ (13.36) 11 (13.37) в (13.35), И;\Iееl\I:
2
2 ( 11 12 ) Р 11 .
Е J 1 + j2 Х I + 4.EJ, ==0,
pz; [ ( 11 [2 )] l
Х 1 == 4J 1 2 7; + J; .
При 11 == 12 == l и J 1 == J 2 == J
P1
Х 1 === ..... 16 .
Па рис. 26З, е, ж. 8 IlОСТРОРl1Ы эпюры м, Q п [.... Д,1lЛ рnсс\ютрС'н.
ПОЙ ра:\IЫ.
)l,JIЯ определения В;ШП\lilOrо пеРЮlещеПIIЛ точек А 1 А 2 В I'ОрИ-
. онталыIOМ напра13ЛСIllIl1 щншлацывае:\1 1\ осповноii спсrеш н этих
@
а
@
б
Рас. 264
точках единичные силы (264,6) Xi =-= 1. J I Рfншпошая эпюру Jl Р'
которую удобнсе преДСТI1ВИТЬ в шце, IЮ!\Н:НIfIIIО,\{ на рис. 2М, а, па
эпюру Л1 i.. II ХО;LП.'J (при 11 == l'l == 1 и J 1 -='= J 2 :=; J).
\ !.1 iM р ds 1 ( Р 12 1
ilAl A2 == Д; == J Е) :::; Е) 16 . '2 +
s
Pl2
+
8
l Pl'l L ) Р13
2- L: . 4' == fJ4EJ '
ч т06ы опреДСJllI'1'Ь llзашlUОС ве рпшальпое lIеремощеппе точеI{ В] п 2 ,
прикладываем к ocnol.!lloii: еисттllО е ЭТllХ ТОЧI,ах еДИПlIчпые CIIJIbl
Xk == 1 (рис. L64, в). ПереШlOil\ Н ЭlIЮрЫ Мри iй h , находим
,.., r л1 k J1 J> d ' 1 ( PL:!,
ДBl B == ДН ,:= Ь..J J == EJ 16
s
L
2......
PZ2
16
1 Z2 Р 1
6.2+8."1(;
) 5 РР
2 == 192 ' EJ
в случае дейСТВIIЯ на стаТIl'frСIШ lIоопредеJIIl IУЮ систе\IУ темпе-
ратуры к пере lещеНlIЯ\J основной СIlстещu, паrруженной паiiденными
ЛИllШЮ1И llеИ;311еСТllЫ Ш, c,1IeAyer дооаВI\ТЬ тс\шераТУ!1ные пере Iеще-
llШl. 11 ри 91'0\1 формула (13.;{4) с УНРТОl\I (12.3fj) нрпш'\т вид
Д. == \. r дl i Л1 t ds r i Л'1 d l r k QiQ, ds +
IР J EJ + J ЕР I l..J J > СР
s
, r 7. ин + ( в ) . .., {' . (tл ( в )
+ .l.i J ,\ LIJ. ::: d. + L J м !':l h ds,
s
( 13}38)
rде 1I1 t , N t , Qt эпюры ОТ ЛI!IIШIIХ IJ('Н:ШС'СТНЫХ, 06УСЛОШ:ЮllНЫХ
изменением температуры.
13 таБJl. 24. 25, 29 ПРIlВCJtеllЫ Rыражспия ДJIЯ П<Jремещений
в статически Ilеопrеl еЛI1:\lЫХ o:tHUUpOJIeTHblX балн:ах и кольцо ДJШ
различных сручаев их паrружеПIIЯ.
80. О расчете IIpOC1'paIlCI'BCHHbIX ра:нных систем
Нак известно, в самом общел! случае в сечеюlИ стержня действуют
шесть внутреПIIИХ СИЛОВЫХ фаи торов: N 1 , Qx, Qy, М х , М у и M z .
, Для llеIlОДВШШ1Оrо наI\р\шлепия,
сеЧ('lI!1Я П)'IIШО llа.ТlOЖIlТЬ шесть связей
СlI:ШЯ n l":ОТОРЫХ I\IО1')'Т бы ть IIайдепы
на шссти уравпеШIЙ раВIIоuеСI1Я твер-
Jtoro ТС,'Ш.
Х 6
5i: PZ
R
8
а
о
RA
а б
Рис. ti.)
Рис. 2оь
l-\ОJШЧес'l'ВО СВЯ;Н:JЙ о l1рОС'fраНСТВШllОЙ системе, превышающее
.\ l\азанпое ЧПС,llО, дает степень СТЮ'НЧL'СIШll uеопределимости. Таи,
1I ространствеНllан рЮIa, 1l01<ааанпал па рис, 21)5. а, явлнется системой,
IIIecIb 'раз С1'Cl1'IlчеСIШ uеопредеЛllмоii, Т,Ш ЮН, из уравнопий равно-
ВССllЛ !\1ОШIIО определить лишь реаI\ЦIllI одноЙ жесткой опоры. Одип
11,1 вариантов ОСПОВIIОЙ систе 1Ы DЫlllеушыаНllОll рамы приведен па
рlЮ. 265,6. Для определеuия шести неизвеСТllblХ усилий llеоБХОДllМО
решить шесть ЮШОllичеСl\ИХ ураВlIеlшii оБЫЧllоrо вида.
э;) 1
11 РО ТР(l.ПствеIIпал рюш, показанная па рис. 2(3(-j, а, }шляется
rисте !О1I 24 риаа ста тв чески пеон редсшшо Й. Основная система
(рис. (j6, 6) (;одеРilШТ II<'Hlpa рCl.3[ЮJа, в f{(lЩЦО 1 на которых ШНОО.\l
шрсть пеll:!l:ll'СТUЫХ усшшii.
[J (I:'ШСТР.\'IЩИЛХ пстрсчаютсл 11JlССКШ; ра:IIЫ, IlО;\ВОРЖ llвые неЙ-
СТВШО llрuстрuнствеппых НaI руЗОI\. В I.:.ЛОСiШХ ра:\Н1Х, UUl'РУШl'IIllЫХ
пернеп;цш :IЛРllO 11: ИХ ПJJOСI\ОСТII (рис. 267, а), силовые фаl\ТОрЫ,
хаРШ\ТСРll.lующпе работу РсНIЫ J.) Н' If\Р П.ТlOСКОСТИ, равны пушо. С_10-
а
Q
IJ
{'НС. :!.Ы
доваТС' lblЮ, 1.1 Il1 CTH Н ll;шеС'l}l Х иа,lС ..J5?, '.1) 1РН раrшы lIУШU,
т. е. Х-\.=:. Ха == Хt:j == о IJlIC. 2()/ 6). ;)то 0\)СIОЯТСJ1ЬСТВО упрощает
расчет llЛОСJ\llХ pi:1\i.
1I}>11 расчстах ll.'ЮС!ШХ рЮI щю,:траIlС 1 B IlII!,lO Шll'РУ31Ш раС!':Ш:lЫ-
БаlUТ на ('ОСН1ШJНЮЩШ , дейСТВУЮЩliе в Ш!U('I,ОСТl1 IIЮIЫ И llеРПСН:ll1-
"УШIРНО 1, llcii, 11, ИСIЮJ1Ь.I.\'Н Н [НIIЩllll Ш',lаВI!(;lI \ЮСТИ дейстВlIН (;Н:l,
РUССЧll ТЫВ3JU"1 СIIСТI'Ч ': OT.'l(' 'IЫЮ ,ца 1;;t,I,ДОU :/,: Ш\I'Ру:юк, :lUi..iс'lВ.\'Ю-
ЩlIХ в paJ1JJ.lX Н:JOеl,UПНХ.
n I\зчrстве ПjJl1ш'ра !!:iI!! L',' \.)\\ p(H 'it;l 11(, "Н'!IЦJ С!Ш рЮIЫ, нона-
;Ji:l.lшuii 1111 рис. ()7, а. 11;: соu6раfl,СШlЙ
А "О, СIШ:\1СТjНJlI Щ,iGU!Jе 1 ОСIIUIШУЮ СИСТС lУ
U llIце, ЩШUО;..{(.'ШJO.\l на рис. 2GB. Этот
uариапт удобнее, '10.\\ НрlШО,J.СIШЫЙ па
рис. 267, в, т;ш ЮН\ "руТЯЩl1Й МО I(ШТ
Х 2 И поперечшtЯ СIlла Х: р т. е. носо-
СIIИ.\Jетричпые СИJIOuые фсшторы, ОI\азы
ваннс}} раВНЫ;ШI пулю. Н()и; веСТllЫЙ
11;Il'ибающнй l\!O:,!U!lT Х 1 :Iеп,о онроде-
Jll1Tb Il! ЮШСШ1 'lI'CI..UH; У рi\ lJ!!(ШIIЛ
Рис. :Ю8
JJXl + .11/' == О.
( 13.39)
Для онредеJlеШIЯ llеро.\ltJЩlшиii Д1Р и 0]1 CTJ)()l!\! 3111Ор'" Шl'116аю-
щих 11 руТНЩllХ l\JO.\leHT013 ) :IЯ P-l'О (рис. 2а9. а) н U: llli1f'!IЮI О X == 1
(рис, 269, 6) COCTOHllllji. ;)шо ры l.;руТЛЩIlХ !\1О.\! ('/1 I \Jll 1101\uз,ШЫ
штриховыми JШШIШ.Ш.
П рснеб РСПНl ВШIЯШJС i () l\ НЫ Х 11 НОНС рс '11i!,j : c.! :!. (:J\JIШ :lbl Мо ра
Д.1Я Оl1jJe,ЩJIСllИН ПСI)(щеЩl'lшii : 1l.ШIlШj.\l 13 B!I, L\
.1 \1 \ " Ы ,\'lЛ1.\./.{[S \1 (' Лll/ 1 М 1 / р ds \' Jl l1 l11 zp ds. !.
1Р / I 1') , + ' J I +- С) ' (13.10)
..... . .\ .; D -' К
S ..;
о == С Л1 Хl..1J х1 J.s ' j ' Л1?ll 1i .!}}..:! ' \ C J1 z1 M zl(ls
11 ,) lJ'J х 1 1-1 lJ'J v . ' ) GJ
. к
11 S S
(13.41 )
32.
Учитывал, что единичпые ЭIlЮРЫ оrраuичены ПРЛl\1ЫМИ ЛИПИЛl\Il,I.
персмещения Д1Р и 011 моше.\J ол реде.пнть по способу Вt:!рещаrина
"1
ДН-' == EJ 1
t t
q 1 1 . . l2... . 1 . 2 . === [ 2 ' 1 . 2::::;
8 3 2 С} f( 8
'i
(jlj ( EJ1
')!. E ' J 1 + б с) .
. 1 1 н
а
Рпс. 2(Ю
!::L ) .
11 '
2 ,I
'j}
@
о
11 '2.1'2 11 ( . EJ. ' )
01l== t'J + GJ ;;:=; Е} l+ GJ' ' l1 2 .
1 fi 1 и
На ОСIIовании (13.39) найдем
1 + 6 EJ. .!L.
GJf( [1
1 + 2 EJ 1 . .
GJI{ 11
11-1, М кр И Q приведепы
2
ДIР q l 1
X 1
О)] 24
А
])
qll
т
в
Рис. 270
l'ДС
==
Окончательные эпюры
[2
т; qZ:
[2 == Р 24 '
Т
@
на рис. 270.
::>33
';:;:
"-1 :з
t:::
CI: r;.c t'l1.....
I:rK E
1:: З +
5 ..... с>
::;; .....I
\,0= ;!; 11" 1"'" 11
;3 3 t'I .....
1': \1 t'I
со) "-1
E- . t:::
:;:t::t::: 1::
S с:: о..
t:: ....".;Н... о.. 1:1
ci r;jj'c:.J 1"
Q) , g t'I .... t:I
=: ............... .....1
\;:.Е:: . \" "[" ..:
t:: g-8E c
:.:: i:;
I--> "'-.
s::
== tI: t::: \с 1
....0.... J
Е- tё:t:E:
CI;j "" 8- 11 11 <::>
Е-
c::1::
с::... "....
се >:J.o
>,Р
о
1:1: с::)
1:1 r;
= t:::
Q)
g
Q)
>:s:
Q) 1:0:
Q. S
Q) c
t::
N С t'l1.....
о
== :::;:0::
r;...:5: IC\J
:а со::: ......IC\J
:::;: х
Е-о '" I
1:1 08 8 11 с:>
Q) "'e
r.:.
С a о 11
..,.,
c:.JQc..> 00:::. Х
Q) 1:::"'::;
= ",t:lo VJ
S tI:I O :;::: il s
t'I ...... ......
s2 v/
CI;j g.""tI:I IC\J
\ О
= t:: ", 11 с о
'" I""
м '. о ); 11
= =0=
1::::c.c:.J С"':: 1::"1 3
.. ..
:z "' ); 11 I
со)
== PfIj '<!; 11
r:c:
с) СУ
Р);
о
1::
1:' :>
= ;s
"'СО:! ::; t' @ @
\C е.:
::fV :Е о' CQ I J I
";: 1-->;0
CI;j:: r2-
с; ;:=
, ......
'"' ....(1) N j I
с. 1'=-' ...:
'::: С ::f
Е: g Со)""
х:с. '<:(
.... ui":
С .... :tl.... <>
t:: t: \;)
c J""
33
., 1'""
...... I ,..............
1.....
,.............. '
' 1"" + с::! .....
с::! 1..... со '
с::! i..... с::! ..... !
с::! с::!'-.... м 1->1'
v/
v/ + I о
v/ i' I 11
; N I
+ \fJ .....
о I
"'-') с::! I 1:"1
I"'" c::!! о..
::j
м I
I .....1
I C
11 !
11 I
......... C':I 11
.........
Q
, ........
t :
c::!t t:'J '.....} I
с::! 1:"" , с::! :...,
1 , I
I с::! 1:""" I 1"" :.<!
с::! 1...... '"
.. I .."... ..,...
с::!...... ..........-/ ............... О
i'..... QI..... ..,...
.,... с::! ,..... .,... \1
1:"1 / V
I i с::! 1..... '" :<
'"
I ...., 1:1
п/':'! ".., ' 1><\
:':' 1::'-1 ."': 1::"1 '" ."..
.,...1:'-1
il I I !,':'] .е
11 о I
11 1: -
;:Q 11 11 t"-o
:q о' 11 и 1..".......... IJ";)
11 C;:I и ;::r; о'
,1:1 L---
с::! 8 ='1
\Ji VJ 6' с::!
t'1 v/ V 1::
VJ с::! :< о..
v/ 0:1 с::! t::
О >=1
v/ ... i:S:I
\ с> 't'1 Q о..
с
с::! .."
. З {j ) {P @
I
t::J:, 't:,!
"« , ---L
\ \-....
Iv) I "'t
335
'::ji
J
:
r:3
2;d
.....;;;:
. ::::
E
:З;;
, о
... g::
itI3
;::::::::t:::
::::;::;
r: t.J
g
o:::
..... o.
0.0С::
C
i» .......
..... .....l;:>
::с::::
;:;
<=o.
S",C::
I-o
0.0
>"0-
О
;:;
О
::::
s::
c:u
c:u
""
с:5
Q
t::
с
9
C; e
!5
g
=
2::9
р" 3. <"
8,0 ::':
.:,)0'":\
!5
C;Q)t.J
;,:;:;;::с
с.;::>: .;
::a '"
5.g;
g2;
0E.g
O'
::a
0.0-
g
;:с::
(1')
.
. ::::
а.:>:с
r:;:
UCI:!
\:>
336
l
.....I
v/
t
v/
О
I
1......
С'')
I
'..:)
::д
I
\1
......
Q...
r.!
1\
i:1:1
6;
I
\1
Q.,
LJ";)I
11
LJ";)
,.....
N
.::::.
VJ
v;
о
\7
v/
....../='I
Q.,
\:) j
11
""-1
",;;
LJ";)I
11
C)I
r::
"""
"""
о
11
IS:
Р.
t::I
'" \....,
I
С"')
C'J
О
О
<5
I
\1
:::I
VJ
I
...../='1
...............
Q.,
11
о
11
......I
11
v/
с'1
:::::-
:::I
:=1
р.
с::
IS:
о..
с::
,.., \ ....,
;з
I:--:!)
1:--
I
11
"" \ ....,
......
Q...:"J
":
I
11
а::>
.......
Q...
I
1
\1
и
CI:!
S
....
11
I
11
(/
<:>
Q А
Cl::: ij Т , :"" ", "", Q
....., + N)I
N
-:::::;.
c:z '
Q
Ч)J
I
'" \ '"
....,
I
1"'"
"
\1 I':\
......
v/ ..J
о
\ :-->
.....
I
11
.........
..:::,
'..: \ '
1'1
1:::
р.,
t::
+
'=":
......... :'З
(."
.
J
1\
I
'" \ "
....
I
v/
:
I::j
о
>.'..
i
s
\g 1\
:::: t'I
::::
00
L<J
<:5
11
t::1
р.,
::::
\ ......
o...
00
о
О.
о
I
11
1
\
I
.. \
..... /
о
\1
11
<1",
l.......
I ':З
..... :.с
\
\1
\........
+
J' \ ::..
C'J
.. ,"-
. \ '
с
... -:::
1:
s.
t::
\1
..:::.
.........
э
::::1 i"'" \.,.,
I
I I
.........:....:
:-..J IC'A
\.....,
i='1 0...\С'!
11 \\
'<е:
J:::: J::::
:
....
<:! i......
I
/
...) ( j
tj \-...,
+
:::::-
v/
\ v
о
.....
17'1
! .
I
с,)
t;:
a.
::::1:""
\ ё:;
......
V/ _.....:....:..--
V \
cl)
:;
...
[
(3 ..,..-<
\? О
11
о: t:: И
-Е
..... - s
с-:
:.;:J
=-
,
;f \
"1
\1
r::! ,'"-'
.. i
о... \ 7'1
11
с>
.""
t.:j \ ::.
:---1
r::!
\1
'о
I
..:::.
::....
11
о
cz :i "f 1 . 1 ( <'f
ь \ij
Q. -- - f, . t. ! f.!:\
N '\\4
'--<- *-'\.,
"'" cq
r::!
t:::
s
:3
8
;
t::
'"'='
3:
п
;:::iOJ
.,...,
<:5
\;; I
11
и
с':: ;;!
1:'1 :: .:
o
11
r::!
+
:::.
-;I
::....I I
I
\1
и
о:
, р
';,.;'
, о
1-1
g.
337
==
<:.>
ЕЕО'
:Э
@:
('1J
<':J
.
O
338
"" 1.....
+ .....
.....
» 1" N
:..... '<::"
c <:)
11
11
v; I ::;:
t'I ....., ё.
t'I
VI I t:::
" "-I i " I
z., ......
1::)-00 I::)-l.IJ OO
00 ""
."....
I I 1/
1/ /1
.....--
I"""
.....100
1/ ..... r =']
1 '"
'"
:: (?О
...... Y.) Ioo
...... t'I .
о- I
l.IJ:OO v; 11 1/
11 1/
v; >: - S
с;:
о ':?,6
.:.; "" '.....
о- ""100
Ioo 11
1/ :oo со
"1 <:>
t'I
r.::.
11
о
E1 >t
.. ":>t,
-"
' ;1 '"
;:?j
о
11
ts.<
о...
t::
I
::JO
I
='-1
со I
;-< .....
I-.;j<
L,? iФ
'::I .,.....\=-: I ...
11 I ......I ......jC"\J 1>1
......1='-1 I 1 о- I
..... -.;j< I
..... ......'ф I t<l1.... ы(..... II
.. I
N t<l1.... ............... . -........./
С'I .....I 1C"': 11
::::- v/ ............... . s
c.:ii v/ 1 +
t<I v/ CN N 1.... ... s
\1
v/ с'1 ......1:"1 ......1;-..] i:i?
:::;
о I :::1 I "I:!I
.. I o
....., t<I!..... <'j :..... 11 11
...... ""
с:>
t<I "с:>
:::1;$ ::1 11 .....I=" t<I
11 11 I
'<t; СУ
Н
СУ
';l:
Ct.
339
"" '
,; З
.с
Е: i '"""I
:::: o 11
;з:
11
.
@ t1 i::I
а
ci:) о..
а , :r (.)
0., '58 g i:: I
::.:: e
a'"' .. l;з Z,,:z>
s5 (;:r- ф
I '!
Ii
I I
'"' 11
= 11
с:..а
;>00..
51
g
I
о ......
'"
О :-<
.:I;: с:
0(.) Е ""'I I
с-:
5
5c: 11 I l
E-<t: .,...../lf".)
:C
.... .,.. llf".)
:I;::S:0 о:::; (;:r-..... .
1:1' :E .gl
gg'; I 11
:.: C'.:)! v/ 11 11
=: - s
!i::З 11 v/ Q:\
t:fQ)Q о S
:.: :.:
oE'C. t:::
I
Q) ,= Q I>'t '""" ""
:s=N о
::C .....
8'1;2= .....I I <:> 11
I>'t
I. 11 .,..... <:>
0=1:1'
I:.,Q)
C,.) "1'; Io
(;:r- .,...
11
СУ
с::....
"" ..;
x
C)
::'0-
CI:!
0..0..
Q
t:;=
;:2С-::
..
Q)""
и:.:
ui:';
с-:
о
!r1 Jt I
/ Q::j '"
N (J:
t::J-
---'J
340
(;1
о
"""'
o
11
....,I
11
i:::
t::.
1 '"")
+
....,I
*
..., '
11
...
;.....
;...,i:a
a::i::(
...
с.;>С':3
Ф
o
01=';:
с.;>С':3
t'I
о-
i=:
:::.. I
c::r-:::>
"""'
:r;,
N
.у,.
,
(3
.....
о""
:,::::::
E5 O
о >:., З
c.;>5P-.
ё3
f-ot.:)
'"' ""
>:.,f-oo..
et: c':i О
=
.....<:.)0
::-.
I с;.
I I
I I"'"
I
I 1/ '" I
I < ! "< ....... '"
I
I CQ ::::;- C::J-
""-!
t--I :-'1
I I ... I С'" *
I + I 11
v/ + с: ""')
, I t'< j...... 11 - s
t<I t<I j...... * q:;, 1.....
11 v/ I
1
cr. о ! >:: CrJ
""-! а!
:::I r<:; I"'" 11
I СУ:)
6 CQ
11 +
;:I 11 "с:>
СУ *
11 11
,..
......
"' """'A
. .....
Б @" 1:;.
( \lr :t( t.JCG
<:с '''1'- 1
'"'
".
I
t. -
....., с:з-
1
, I
I
::,::ю
::::;-
t'oo
I
11
э
;j
.,.,
..,.
$ ,.............. ..... .......
'" 2. .. 10'
\с) p, t-< ...., ...;. i ;...:::,
. .::; MI
Е: .....
N'ё:::k1 +
:>: ..,. :"1
б ""': I С'I
;t ='")
:::: + """"'1"" I"" ""1""
1;( :;:titr: .,;:,1.....,
2::;:tC
» 1» I с\] 11 11
а v/ t'I ...... V
<t) o t'I t'I
а t'I
Q.. oQt:1 c::;)
t:.::: "'с== v; v 1::; :::::
»..,0. :'1 f;::., о..
0.01:: - I 1:: J:j
i: .. I ""'1""
p, ..... t-< ,. Б 8'
о: :: t":) I;З 6 'у
:::0:::
",r;...
Q) O ;,:,
@-='g ""
11 с-:
<:1:'" s:;E. Е.
:-0
-">0-
О
J:Q
g
.
t'l1
о ф
r;... ..;:. !
о +
. t::: со:!
o e c:,1 -о: 1;;:$ 1....
""I:: .,;:, !» :"1 ""
:::;0 .....
::; Eot со ................
QEot= "" ""'-1 ...:::, i
o:co:!S:? ""'-1 I
с:, ......
Q
11 I
1:1' t::f '" 11 -о I ...... .. 1...:::, C
<Do. с:, I::! ..... ..... 1;;:$
8 v/ v/ 11 + i I
1:1:>:= CJ:: ......
О .!1 t ... ""'" 11
v/ v/ t'I 1'"" 11
E5f-o ::;;
g .,;:, I о ""'" I::! Ф C'IS
cs ..... Е
CO:!"" l
8. i cs.....
eJ02 '; ""
ф .,;:,I -о ' о
:е=='" I::! ....,
=gt:t: 11 ""","" ф 11
o.!21S: "" I
8 ""
OIS:Ir Ф :: с
11
8 11
== с>
.:::J
:s ", :.i!: @ @
ё= ; If
O "
Р,::В - ....'"
со Р. 1: 4
:::' .'1.\
:";) -
;s;..:
15 1:'"
СЗ
со:! '"
о <;Q
342
\ """\
-<::" 1\
,
:7'\1 \ с1
".э :. о..
\/ 1::
<:у)
\
VI \
, ..t.:) ,",,='1
О 'X) :.-"?
I I
11 11
э
I
,.....
"' \;2., ..,;
I и
\ <:
..... 1::
с':> =
+
1\
с:>
\->
Q:
-; !oo
.....\00
с:::
..с> 11
и
\ .....\00
с.. ; S
"., \'" с \\ с.... \\ """
\ > \ ......\'XI
:.=1 .,....\00 v/
v/ 0::1
+ t:
v/ "'"' <:
\ """ '"" :6
\ 6:- v/
:.< --..\С'-1
::;-, E \ о 6: .....\'"
о...
\1 .....1'" \'" 11 11
1\ I 'о О
=r:: '" ""
1\ 1\ СУ 11
> СУ о
....с:::
с::::: 11
, О
'"
i11 :
{
::::;. ...: .... 1OQ
1
......
.....r 'O--l
343
'1'1
";,
;
a
:- -;
82
.
с:: ;.;\
I:
,..
:::"0
»g
о:
g
\
<:::'
i:
<:..'
<:;
":
с::
с::
R.
......
.....,
3"
.f
! s
:: Q >':
t:r с-:
. Q)
: ;
W ........
g
t)g
tI:t::::=:
go
:J" .;:;:
8.
gа:з
g
=
="""'Q
t:f.;!;
a
8.;;
Q)C,)
:Д
:::0
:::..:;;:
о
t::
О
.......... ...
"11.....-.
..:::, i c:j
I
"11' '
\f
<'J !""
N \.......
..с
!
с 1 i;:
I
11
"1
..:::
.с l
;
..:...:........
i- +
<::s _
- I
<:::'
I 5::
1I
\/
'--1
'J/
::,)
"" 1 .....
с.,:о
I
11
+",
.....с') .
О, ' l
<:: 1'.-
t:!
\!/
' \ :!-
..:....
"....
..:;:,
-::::
5,
....
<--1
I
'" ,
':" 1,""
1'---'
I
<::::
с..
11
"'"-1
11
"'"-1
<::::
:::...
\7
<1
v;
I ":j
""
....
1\
с::
с.::
:с
! '!:
::-...
11
«:
.....
ZI
+
-;-
+ ,
,
..Q
"
'"
<:->
..с)
C)I
+
s
<::::
'"'
---.
.:::'
5
:2:::
o
:a
:::..
::;
G.>
х:::
U
Q
344
/.......... "'
i= Т. -
I :
"",' I
c::., ll . i- :
I i
"'<: .i
ci!
' 1
c ! 'JI
tJ L}..
ci: . "
1 1
::: +.
' . I ::-
:: I
, ---.
С'I ::"":
......
01 1 "
...:::::. . ....
<:::
IJ
"'::!
--;
о
11
C>
1,
..6 1 +
7']
I
'-1
.....
'о:
....... -:'r.>
с..
t::
I
11
::ь \..,
I
::: \""
..:::j.....
'"'
.....
7'1
v.
c'j
Б
"'"
,/
c'j
8
c:j
11
с>
<:>
'" ....!
,...... 11
:::;
.................-- о..
I::!
\У I
"1 "")
\!j t ,-; .
;-'\ .......,..
О I ::x::>
:'?
1I
...............
'<.....I l
I
х ....,
'" \ 7'! \'"
s ...: 'Vj :;т-..,.... N
......
r::; ..... I
Л 1..... <: I
1\ s :'J
>.: .......
,> :-J
, <, \
. ," ':::;'-1
""-. ......1:-: '-' >.:
...... ...... <:: \У :-< o'j
,
11 "'" <::
1\ 1\ ,О:; ...... ......
\7 .-:; ......
>.: ::1
G) ...., I I О ""-"I
o'j о-:: >:т'
, S " Е c-I'
..... ...., 1= t:: N \...., !I
,..,.. 11
С--\ с>
с:.; с> N
с:.; Ц
..а ..а 1::
V 1\ :3 11 ,/
r-; о
о I
';:; CJ:- \ ='}
r. @ 11 c
u с,) t"I
Q,; G) l
" / r;, ; '"" Y I ("
Q:' '-' f, . }';' l f :<-)' ""
i::-:I' I
;;1 I "
! ' : '1 . }
а'11 А1 L< _:
Q ".... ..,;;,: , '"::1,--.!
345
':>:
.,: ..c
\с E
Р,::Е
Е:
::;
::!
;t
i '
11! tiJ=1:I::
<:; :::;::СО , ::=> .....I='!
<::>
t; C:Т-
<::> ' g r-- 11
Q.,
t::: 8::
0.00. t:;
з. о-
р, I:f "" =:
1:I::tI:\O
=0...
::C:':
с:> 2-
0::It::
0::IЕ-
o.g,
>-0
О
:; ""
@N '"
0tr: I .
== I
a:: i ,.... ,..............
11 .....I '" I
.с.> CtI
о' t.> 8 I I 11
8 .... ............... >.: I
:;:SE-t ,.............. ""'I . 0::1
11 C'I 11 lr.1 + s с:т- :<:!
I ......
0::It::" I "" ""i 11
oo v/ v/ !I ,..............
;. .....I и
о> ,.. "" 0::1
G.> Е- ':: '"'
0.0::1:3 I ::J и Е
::C::: v/ ,.............. v/ .8 .
0::'..Q I ' ....1<:'\1
t:: t:(;-:: о '"' I
0.0::1
i8 I .....1<:'\1
;:.:5 11 11
:.: .:.: i:Q , "'1 11
r:c: о с
..E-t 11 =" C> t-o
C,)gJ
11 11
5';;; о о
""'" 11
:;)
-<::>
t-o
D:
а=
O'
р,:з
0.0.
;13
tc ro
e
...
u
1::>
346
'::f:" Q '"
t I \'!J ,> I<я
t)- <:;
, :! I п
,o:1J
I
;f: t:r !
;Q
:' I
l\;!.
с.
::::
1 "'"'")
т
"'-''::J''
I
11
t::I
о..
1::1
1 "'"'")
,.,.
"'-'х)
':J- ie
I
11
'С']
11
I
11
с:)
....,
.,., 1 ::>
С;.:У)
11
:::; v;
\1
I I о
il
с:;.
:--:i
""'
.....
)
10
... I
""
tJ.
ci; "" с5-
.......,.. t<")1
t- '
I
то
I тo
....1 """"
.....I
11
о'
"" '
....
:'
....I
I
1.,.,
. 1:":'
>.:
0::1
, S
;:=
::>
11
-<:>
1
.. ' 1 3
:I
1
11
, >:
:..,
'"""<
iI
х
d
. S
о.
11
<::>
N
'"
....
с::
':1
+:0
+
rN
*
11
.....
I
.....
*:.::
11
t::z::
....../С']
11
>1:
;::
t:{
r-..
Q с':3
::I
ф
Е-< ::t:
O
8са
\о
*
O::.:
::t: ::!:
С':3 ф О
t:;j t:{ :I1
"'ф>,
o..Q
8
o..::t:Q
Е-<О......
><:
2.
g
t:::QO
==
о..
t:I
.
:1:<::>
I
с:)
:I:C:>
I ""
I
11
q
I .
«:
..,.,
+"
Q:)
*С:::
*
11
i:Q
с:::
"'r.
:j:a::>
I '"
N
11
.....
* "<
:147
1
I
............. I
.. I ' . 1::.
....::.. ;j
+ о + :' I
О
"1 i....... 11 " \ --:5
"1 ::::
v; . . . . 11
'>
'" а. \у . "1
\jj ,
.... ..' 't I - S.
t:: о-
С I:-I ..,;: с\ \/ . .1 ::J t::
I . I
:-: .'1 -=> l
I . с> 6-
11 I! ....... ::'\
с 17'}
с> с>
..... , н I
,!:}, I CJ:)
11 I
I
::>") I
il с,
со I 1:,
?:I :;I I
. ....., .
I :v31 01
I с>
.....,. '" 11 I .....,'"
k:"""" \1/ k;:......
"' ...... 11 c 1 С'-:
"1
11 \1 \f Н
с!4 ( ......
'::> I v;
...... 1\
Q:\ О
t"\ "', I"
I ......
k1 ,
11 "':'\
......' 11J I
I"" 11
!! v
--:
-...
оп
7'J
:t1 >"
t.:f
:::J
r-:
\ (.)
'1:
с:;
F--< ::-
(3
с:;
t::
...
.,.
<:,)
C:I
з
с:..
с:..
с:;
1::
с,)
1:1
==
::
ё5
:s
с::
с-
е
1::
е
Q,)
1:1
==
с,)
=-
""
::::
с':3
C:
:3
!:>:.:
:r
....s
..;
3
,..
Б..
4
Q.,o..
z
...
; ;.!i
Q,)e:!
с" ..
i=.:
348
....,
.<:\t:з'. :
\;$Jrv:., '
Рl
t?
v
r>1' , f @ f
J;\t .д 1 '
:'
'1 к ..<
l':...
<= I
с>
""""
i:;:.J
<:у:
11
c"j
Е
о
11
о
"1
I
\
':\,.......
::. - &>.
, ]
! \ fJ t:--=-
J. >- ....; }:7
, I
. ..-;! [.
' 1
)
j
--..
;. ......
oq loq ;
\ ....,
........ + I:
t, i""" о 11 о
.. l
11 ........ 11
"1
с'1 t<i
i::
v/ r:r: ::i v/ со z..
о- >=
'<1 :::i N 'k !'::"
v/ Q \1
.... ....- ;I
о о .',
....:::: 6
-.-.. с:>
........
3
э
;:;I
::о "1
........ 11
I ,..... i
(;о
ф <:'1 . .
11 I "1
с:: с'
........ I
....... .....;: I :"1 """
"'"'t I """':>
с I k: -:'1
""-- l ,
11 1 1 I ....... 11 I
..... 11
VI ф 11 VI с >: 11
11 t>< 11 11
'" :-: '" S >.:
Е
VJ .. \f ..... "'"'t S
..... .-::.-;
! 1 О С
со О ::::,
7"1 ....... I
.,... I 11 I """ 1"
11 """ '" --.. C
,,1 .... '" ....
I t, '" ф , е
'" . '"
I "'"' I "
......
11 11 Q:)
, СУ CI:: )
I ::с; "
J
') f'1
"' @ @ t3 i"
<o"'" ............. '" @l,"/" @С:---.,
1:0! J 1 J 1 '{
rj 1 ,
,] <b'(' ! 'J I i
:s J 1, .
с;! "'-' '"" ''''T , l. t '"
l [!." , Р!
.::( j
3)
«:)
'::;:
:з
2
;:.,::;
.ё3
,:.:;
No::I
';
:9:I:j......
le
2 g.
""'о
i:I
Ф:I:j
=0
:.:;
tQc:>
8.
8
о
r=
.,.
'';:)
::
'u
.::!
о
'ъ
с
о...
t><
0::1
S
8
о' ;;::
0::I1::
5°9
.....CI:I
c.>f-<
:!: 2
0::1::;:0
::= t::{::C
о.""
25.8
:X:a
о .
Фo::l
:':;:;;::t:
=
o. g;
Ф
::аEfФ
Q:::1
00::1::::
/:3';;:>
O
=сх:
::::::::
tQ
Ф
Ф
с.>
:i:
t::;
0::1
\;;:>
0::1
::;;
Ф
U
350
+
I
V I
t'I
\f I""
O I
"" ....
.;'::?
tI
tx:: ·
:::
:I:I
Фса
I:!' о.. О
ф >.=
<:.) E-<:
C.J
0..:::1
Ф c:l) :s::
... t::
о::;;
<:.) Ф сх:
::ё! Е-< t.)
i:Q ...
1:: C.J
:.::сх:
Od5S
:::::I.O
:-------- 1 '"
"1 .....
.......
k::
;;
':'
11
"'-;
""";
I
""
....
>1
11
C:::I
11
4
y '->
\ f
.....I
11
::::
о..
I
='J
и
......
v/
t'I
v/
С
e:.:.'"
о
11
t'I
::::
о..
I
11
. =
2.
c:l) ..
>:: =. е
:;; c:l) C.J
Фе-< :::i
f'"
:sз о..
о ф
8 с:: ""-;;
; р..
Ф """'са
:I:I c:l) \O
:::: o..
=:: S ф о
<:.) 8
е-<са ...0
=0.. O
Ф "'0
:::: i:Q
;' 8 . е
>&o::::g
';i'z. i'E
O;>,caro::::
Е-< \0 о..
I I
ф
<1
/j
'="..
'""> /
...... -!:::
-<1 ;'01
-
11
'"">
k:
<I
/j
СУ)
....
0::1
S
""-;
""'<
11
е;..
с:
b r
.....,.;:::
с I i9I
i \ I_,+,
, ') I
+" i
с:: ro
o..
g
8:
<:.)ss
со) аз
Е-< е-< сх:
о t.)
t.) ...
:s:i t::I
:..:: Ф
I ol=:
I ::::
v/
"1
v;
С
'ro
o..ro
Ф 1::
o..
..,,: CJ
со) ...
Е-<
о
><
о..
Q
::О........
:::
:..::
е-<"\.о
ro :::i
0..0
:t<
о
Gз
...
с.
11
о
О...
:::i ;;;:
. ;;
:I:lc.J
а
6
!-< ro
:::10..
Ф О
::;: r;..,
:j' .l: ;j)
e;.:
' o о
>-9< :"::::I::::::
::L i"; С') :::i
о>,саса
:..::...\.Oo..
! I
<1
I
11
1;::)
...:>
о
t.)
I!
;J I
....
<1
t1
I1
.:r,
.....
\f
"1
\1
о
(5
11
с:.:;
11
t:;
о
11
С'/
"'! I @ " @
1\
'-/ --...
1
...;
.....-<:::
""
Т а б Jl И Ц а 26
11аrибающие моменты в r-образноii раме ( k == J 2 h )
J I l
Схсма HarPYBKII
J1 опюра М
Изrибающий момент М
в характерных сечеНJIRХ
в Jz (]
Риrель и СТОЙНCl J,
ша рвн рпо оперты .::::
А
1l==1+k
м ;:: а (1 + а) Р
В 2п а
111 р == а [ 1 а (1, + а ) ] аР
2.11
ь
a==
1
q
tt Н 1't н н
r
Р П
ql'J.
MB==
8п
м ;:: а (2 а) kb р
в 2п
а
а==т
iY ·
Аl в == [:3а ( а) 2] k2 ;
а
а::..... т
351
п родолже1tuе табл. 26
C\C l;\ lIarpY3Kll
11 ЭIlIOР'l М
ИзrllUП ЮЩПЙ МО:ЧСIlТ М
n X<1IJ:Jl<TCfJIIIJX ССЧСIIШIХ
I::r
111 == qkh2
В Ьп
:fr
11 ' EJ 2 f
" B <
rОРН1()!lташ> нос сыеще-
IIIН опоры С.
r . .:-t
. .... "I
л1 == 3 EJ 2 f
В пl2
I3еРТIшальп()е С.\lещсшн!
опоры С
I30РТIшаЛЫЮD С lеЩСlIШ'
0110 ры А
3начсшш л1 те ше, что 11 Прll верти-
IШЛЫЮ:'1 С lещеШIll ОILОрЫ С, ио С обрат-
Ш,I!\IИ :-I1I3Ю\\1lI
HarpeB па де
r
м в ==;3 I:-J ( '1 + ) з. t
fl/I- [2
а . I;О;)I!Ii!IIЩIIСПТ
линеiillОl'О 'Н'\ш ратур-
1101'0 раСJJlJ11Н ШJЯ
352
п родо.lжеlllUJ таб.t. 26
Схема наrрузни
п эпюра М
IIзrпuающий !\lOl\Iент М
D характерных сечен иях
в J t С
Риrель шарпирно оперт, [Р '
стойка защемлена ..с:: l
. А
п == 4 + ; ".
м (1 (1 + а) р.
.L А па,
м 2а (1 + а) Р
i B п а
[ 2:1(1+(1) ]
.111' == (1 1 паР;
Ь
а == T
q
t Н Hi н t
r
al 2
Л/А == ;
ql2
.'1,/8==
P ll
1.И А == [2 + (2 + :-1k) а] а: . р
71 / 3ak (1 Q:) Ь Р .
1.' В п ,а h
м р == аЬР аМ А (1 а) Л1 л
MA==[a('2 3a) (1 a)(3a 1)]M
, ki l а
.1.' 13 == , (I а) (За 1) 11:; а == h
12 5.JIHi
353
ПРо{)о/t"сенuе табл. 26
Cxe 1a наrрувки
и эпюра М
1
Изrибающиti моrdепт М
в характерп1:.tх се<lеП1ШХ
I q r
м q (2 + k) h 2 .
А 4п ,
Д1 qkh 2
B
4п
fоризонтальное
смещение опоры С
Е] f
м А == 6 (2 i-- 3k) nh 12
м == 1 8 Е] 2 f
в
Вертикальное
смещение опоры С
r
MA==6
nl 2
м EJ 2 /
в == 12
Ве ртикальное
смещение onoPJil А
3начепия М те ще, что и при верти-
I{альпом смещении опорЫ С. но с обрат-
ными знанами
Поворот опоры А
на уrол б
F
EJ
М А == 12 (1 + k) ...........! б
nh
Мв==:6 б
nl
354
п ро8олженuе табл. 26
Схеыа наrРУЗНII
11 эпюра М
Изrпбающпй момент М
в харантерных: сечениях
HarpeB на дt
r
. EJ 2 ( 2 h 2 )
М А == 6 3 + + аде
nh k 12
М В == 6 Е J 2 ( 3 + 2 lt 2 ) аде
nh 12
а коэффициент
ЛIlllейноrо темпера.
TyplIoro расширеuия
Риrель и стойка защемлены
в ,
с
J,
ос:
А
n==1+k
а 2 а а 2 а
М А == 2п Р; М в == n р
аа
Мс == [(2 а) k + 2 (1...... (1)] 2п Р
м р == ааР аМ в (1 а) Мс;
ь
a==Z
q
tttHftH
r
q12 q1't.
М А == 24п ; М в == 1 2п
Мс == (2 + 3k)
12*
355
Продолжение табл. 26
C:-.C:,13 паrРУЗНI1
!! эпrбp1\ 1\1
IIзrпuаЮЩll!I !lЮ IСНТ 111
11 xapai;TepIiЫx СС'1СIШП\
N .
р
.t::>
J.'IJ А == [1 + а (1 + 2k)] аЬ Р
2п
м == ak(l a)b p
I3 1l
111 == ak (1 а) Ь Р . а
С '2п ' а == 7;
r
I r
м А == [ а (2 За) (1 а). (30. 1 ) ] 111
:2.п
м в == (1 а) (За 1) kM
n
1 k.H а
1J с == (1 а) (3сх 1) . а ==
2п ' h
.1/ ::= q С:) + 2k) ' '2 .
А 4п '
qk/l 2
м в == 1:!л
1J,] == qkl 2
с '24п
rорпзоп}'а.1ЫlОе
С IОЩОlllIе опоры С
356
Лf А == 3 (1 + 2k) : t
м == 6 Е] 2 f
R nhl
м ==3 EJ 2 t
с пЫ
Продu.1женuе табл. 26
(;хе ш паl'РУЗЮJ
и эпюра М
Il;Н'IIИПIOЩIIЙ l\1O.\JСIП 1\1
fJ харантсрных сечениях
(4
ВеРТИI{аЛЫlOе
смещение опоры С
м == 3 EJ.,!,!
,<\ nl 2
,' 1 6 EJ'!. f
'.B
11 ') (2 + 1 Е) 2 f
L С == v 1')
nl
ВертикаЛЫIOf1
С lещепиЕ' опоры А
..
3пачеНIIЯ iJ1 те Же, (ПО 11 при верти-
,;алыo;нJ смещении опоры С. по с обрат-
пыми 3lШКЮIИ
110ВОрОТ опоры А
на уrол е
F
л1 == (3 + 4k) Е) 1 е
А nh
111 ===2 EJ2 0
/J nl
fI,/ == Е} 2 О
С 1/1
HarpeB на Ае
r
а коэ:fJфициент
линейноrо темпе-
ратурпоrо расширения
3Е} ( 1 h 2 )
М А == Т 2+ k +[2 адt
6Е] 2 ( h2 )
111 в == 1 + l2 аАе
3EJ" [ h2 ]
1Jf c == 1 + (2 + k)zr аАе
357
1I31'llбающие моменты в ll обра;jнuii palHe
т а б л и Ц а 27
( k == .:!.!!!:... )
J I l
СХС Ш паrРУRЮI
1I !:)Qюра М
q
,tt1 t t
n
л
t Н Н/Н Н ,
n
358
Стой ни
ша рп и рпо
оперты
йзrIluаЮЩIlЙ момент 111
1J харантерных сечениях
1
п == 3 + 2k
3аЬ
111 В == J.H с == '2.п l Р
м == (: + 4k) аЬ р
р '2nl
м м (3 2а) а 2 q 1 2
В С 4п
а
а == 7
qJ2
М в ==ЛJ с ==4n
q1 2
М тах == (1 + 2k)вп
п родО.!lжrltllе табл. 27
Схема наrрузии
и эпюrа М
Изrибающий !\IOМ IIТ М
В хараитерных сечеНИfIХ
11 "
i
'.
1
Дl в == j1[c == 2: hP
м r l1 ' (? а) ':J.k ] Р
в п 2
РТП
Лl == [ 1 + ( 2 а) ak ] Р
с п 2
111 р == (1 а) (РЬ + lIJ в)
Ь
а== 11:
м == 3 + (1 + 3( 2 ) k М
в 2п
i1J 3 [l + (1 а 2) k] М
j c 2п 1
а
а==т
qlП
1(I h 2
l\Jп==(2+k)
. (fh 2
Лl с == (6 + 5k) &
359
п рvдолжение табл. 27
Схе 1a наrРУЗКII
11 9пюра 1\1
И:Jrll{iающий l\Iомент М
в характерных сечеЮlfIХ
ln 1
q q
7kr;h'l.
М в ::= JI C == 60п
HarpeB на М
п
, 1 :" 1 3EJ 2 a6t
" n .1 С nh
а Н.ОЭффИЦИ ент
лпнеiiвоrо температур-
пот расширения
в с
J;
СтоiiIШ
эащемлепы
пl == 2 + k п 2 === 1 + 6k
( 1 2а 1 )
М == ааР
А 2n 1 2n 2
( 1 2а 1 )
м в == + ааР
nl 2n 2
( 1 2а 1 )
Мс== ааР
пl 2n 2
( 1 2а 1 )
M D == т---- + ааР
п 1 2п 2
Ь
a==
l
360
п родолженuе табл. 27
Cxe la наrРУЗl\И
II эпюра М
IIзrllбаЮЩJlЙ момент М
в характерных сечеШIRХ
!VI А == а2 [ 3 2а 3 (1 а) 2 ] q 2
п! п 2 12
РЦЩ
r\
1'.1 D == а2 [ 3 2а + 3 (1 а)2 ] q 2
n} n 2 12
:>1 1 2 [ 2(Э 2а) 3(t a)2 ] ql2
11 С == а. .....
n} п 2 12
111 в == а2 [ 2 (3 2а) + 3 (! а)2 ] ql2 ;
п} п 2 12
а
a==
l
q
tHtfftH
Н
J
q[2
MA==Mп==
1 n}
q[2
М В ""'" 111 с :=: .
оn!
н == 2 + :1k [2
1 шах 24п1 q
р
1 ....j Яk
М А == -'1 п == hP
2п;?
3 k
1'.1 в =;= .11 с == 2 п hP
2
361
п ро80лжеnuе табл. 27
CXC 1a паrРУ3I\I1
11 эпюра 1\1
ИЗI'пvающпй :IIO:IICHT 1\1
в хара!,тсрных ссчеШ/JlХ
М А == { 1 З (1 r:x) k +
n z
+ а [1 + r:x (1 + k)] } Р
1l) 2
Дl в == [ 3 (1 r:x) k _ а (1 а) k ] .!::. р
n z n1 2
1If D == { 1 3 (1 а) k
ll z
а [1 + а (1 + k)] } .!::. р
n 1 2
М с == [ :1 (1 а) k + а (1 а) k ] .!::. р
n 2 п l 2
Ь
а ==71:
м
362
Д! А == [ : a (22 а) + 1
а (2:- 3а) k ( 6ak 1 )] 1
2n1 п 2 2
j}1 в == ak ( 2 За + ) 111
2/11 n'}.
( 2 :1а З )
MC==ak + м
2n) n'}.
ДI [ За (2 а) 1 +
D 2
а (2 За) k
+ 2Лl
( 6ak 1 )] l
11 2 ...
а
а== h
п ро()олжеnllС табл. 27
CXC !(1 паrрУ3КII
11 эпюра М
ИзrпGаЮЩIlЙ 1O leHT М
в хар:ШТерllЫХ ссчеН!lRХ
1 :11
q
м А == ( k:+ 3 + 1 + 4.k ) qh2
6п 1 п 2 4
( 2 1 ) qh2
ЛJ в == k
п2 6пl 4.
( 1 2 ) qh2
Мс== + k
6п. п2 4.
м D == ( 1 + 4k 3 + k ) qh 2
п 2 6п 1 4.
{ П 1
, .
q q
Дl Д! 8 + :1k ч h2
A D '60
qh 2
М В == М с == 30п 1
HarpeB па jj,t
r;
' 1 1' [ 3 (1 + k) EJ 2 1:дt
.1 А .1 D kll h
1
'JEJ 2 av.t
..11 п :=: J1 с :::-:-
п.h
7. I\ОЭ I/фИЦlIент
.1 Ij !friilloro ТО 1Ператур'
IIUJ'O расширения
::\(13
Паrибающис :\HHtCHThI 8 зашшутой раме
Таб.lица 28
k J h .
J, l'
р . п == 1 + р + 6k; rп == (2 + k) + k P (3 + 2/.-)
J;j'
Схс:ча наrРУЗКII
Изrllбающие MO leHTbl в узлах рамы
(положительные MO leHTbl вызывают растл;r;сНlЮ
с внутренней сторпны ЩllllЫ)
( 1 1 2а ) Р l
М А D == а. ( 1 a.) + -.'
. т Il 2'
( 2k + ; р 1 2а ) Р l
MBC== a(I a.) + ---.-
, km n 2
а
а == --
l
w
Р О
Т!
-'-
i64
( ; + 2k 1 2a ) Pl
М А D==a.(t- а)fJ + 2 ;
. km n
( 1 1 2а ) Р l
M Bc == a(1 a)p +
, т n 2
а
a.==
1
iH А D == а { 1 а. [а (t + k) (2 + k)] =+
, т
+ [1 + ;Jk(2 а)] } P 2 h
п .
Mв.c==a{ l т ar:z(k+p)+p]i:
1 ') } Р/,
i: (.)l1k + р) ...... )
п
а
а,==,}]
Схема наrrУ3lШ
п ро80лжеnuе табл. 28
Изrпuающпе моменты D УВ.,ах рЮIЫ
(по. lОШlIте.:IЫIые !\1O:lICHTbl вызывают раСТНШСНl!е
с ВII утреннеЙ стороны РЮIbl)
ql2
И А == М D == 12т ;
ql2
111 в == М с == 12
2k+:'\p
R
, .1 + 2k ql2
Л1 1 == ilI D == /) .
f km 12'
, fJ ql2
Лf D == Л1 с == т 12
м == (.(2 [ 3 2а + ,'1 (1 а)2 ] !!!!..
А. D т п 12
11/ 2 [ 1 ( . I ,', I ') :!:
1J (J::::: а ,) o:) (-' с + ор)
. .!.:т
+ 3 ( 1 ) 2 ] ql2 .
п а. "'"1'2" '
а
а===т
365
Схе;\13 lIаrрузки
п родOJtжеnuе табл. 28
ИзrIlбающие моменты в узлах ра:,<ш
(ПОЛОЖIlтсльные моменты вызывают растяжсние
с внутренней стороны рамы)
q{]
111 А, D == (12 Р [ k (3...... 21%) (2k + 3) :t
+ ( 1 (1 ) 2 ] ql2
n 12
[ 3 2(%
М Во С ==;.-. (%2 р :t
L :f:3(1;a)']4i;
а
cx==
l
]1,[ == ( 3 k + 1 + 4k ) qh2
А. D от п 4
м == ( k + 3р + 2k + Р ) qh2
!3' С 6т n 4
'i
866
М А == м в == Мс == II1. D ==
h 2
1+k[2
1+k
l]l2
12 при /2 == /8
Схе)!а Harpy 3H1I
п родолжеnuе табл. 28
ИЗfllбаЮЩJlе момеНты D уз. Iах рамы
(положите;Iьные 1I1O lelITbl вызывают растяжение
с внутренней стороны ра)1Ы)
8+ 3k
MA==MD==
т
qh 2
00
7 + 2k qh 2
MB==Mc== Рва
Лl А, D == ( + )
:м == ( 3 Р + 2k i:: ) ]1,1
в, с km п 2
JJ
м ( 3 + 2k + .! ) м
А, D Р km п 2
( 2+k 1 ) М
МВ с==,.."....р + ..
, km n 2
367
УrПЛИJl lf лерсщ:щенпл при наrРУЖСIIИII lюльца в ero плоскости
Q
СХ('\I;I
о
ffi
I Р
368
N. Q, м пор:нальпая и поперечная силы и п:зrп-
lIоказапы ПОЛОЖllтельпые паправлепия для УСIIЛИй.
растап ия уrла r.e); ох' оу изменения диаметра кольца
лпчепиlO диа:\lетра); Е модуль упруrости матерпаJШ;
N
Q
qR
о
1 .
2 р 5111 9
1 .
"2 р cos 9
1t
0<;:9<2
р (0,318; cos 9 + siл 9)
О 1:
<9 2
р (0,318:1 sin r.e
cos 9)
1t
2<9<1:
1t
2 -< 9 -< 1t
р . 0,318;'; . cos l'
р . 0,3181 sin 9
т а 6 л и ц а 29
бающий момент в сечении НО.1ьца, определяемо}! уrЛО 1 r.e (на рис) Hlie
неiiствующих на впереди лежащее сечение нольца в направлении воз-
11 llаправлении осей х И у (положительное значение cooTBeTCTBIeT у:ве-
Р, J площадь и момент инерции сечения кольца.
м
о
qR2
8х == оу == ЕР'
PR (0,,1183 + sin ер)
рИ 1
О Х == о 137
, EJ
PR:!
Оу == 0,149 ЕТ
те
0<9<:т
f)R (0,3183 cos If + siп r.e 0,8183)
PR3
ОХ == 0,1366
7t
;T-<СР<:7t
PR3
с'у == о 1488
, EJ
р R (0,1817 + О,318Э cos ер)
369
СХСЖl
2Р
370
N
0<9<а
р (0,:;-18:1 sin 2 а cos 'f +
+ sin 9)
а <r.r<1t
р . 0,3183 Sill 2 а cos r.r
0<9<а
р [0,3183 СОБ 9 (sin 2
sj1]2 а)]
a;<9<
р [0,3183 СОБ 9 (sin 2 r
8il1 2 а) + 8il1 9]
<9<п
I
р [0,3183 cos 9 (sin 2 1:J
......... sin 2 а)]
()
0<9<(%
р (cos 9
0,3183 sin 2 а sin 9)
a<cr<1t
......... р . 03183 sin 2 а sin 9
0<9<(%
р [0,3183 sin 9 (sin 2 а
Sin2 )J
a;<9<
р [0,3183 8in 9 (8in 2 а.........
......... sin2 ) + cos 9]
<9<п
р [0,3183 sin 9 (sin 2 сх.........
sin 2 р)]
1\1
п родО.1жеlluе табл. 29
О :;;;;:rr <' сх
PR [0,3183 (сх sin сх + cos а +
+ sin 2 сх cos 1> 1)
......... sin сх + sin 1>]
cx<'1><1t
р R [0,3183 (сх sin а +
+ cos сх + SiIl 2 сх cos ер 1)]
р R3 [ 1
ОХ == ЕТ ;[ (sil1 2 а + 2) +
+ 0,6366 (сх sin сх + cos сх 1)
2 sin а]
р R3 [ 1 .
Оу == EJ "2 (SIl1 а cos сх +
+ а) + 0,6366 (а sin сх +
+ со" а 1) sin сх]
О<1><СХ
р R [0,3183 ( sin ;3 + cos
сх sin сх cos сх sin 2 сх cos 9 +
+ sin 2 .cos 1» sin + sin сх]
cx<1><'
PR [0,3183 ( sin + cos ........
сх sin сх cos сх sin 2 а COS ер +
+ sin 2 cos 1» sin + sin 1>1
<1><п
р R [0,3183 ( iin р + cos р
а sin а + cos rx sin 2 сх cos 1> +
+ sin 2 cos ер)]
. Р R:I [ 1. .
().х == B'j i (sm 2 сх + sш 2 ) +
+ 0,6366 ( sin р + cos р
сх sin сх cos сх) + 1 2 sin ]
р H: i [ 1
oy== EJ "2(sin cos +
+ sin сх cos сх сх) +
+ 0,6:-Н-Ю с3 sin + cos р
asina coscx)+
+ sia сх Sill ]
iJ71
Cxc la ,\ Q
О<1?<а О<ср<а
tft р [0,3183 (а Р [0,3183 (sin а cos а
sin а cos сх) 11 cos ер а) + 1 J si n 9
a<9<7t a<9<7t
р . 0,3183 (а....... р . 0,3183 (sin а . cos а
sin сх cos а) cos rp а) sin 9
О<9<а О<ср<а
р р
/) })
2 sin а cos 9 2 siп а sin 9
$
372
О<9<п
1I () 0,6366 cos ер
О<9<п
(I 0,6366 sin ер
1\1
Продолжение табл. 29
0 7 a
РН [0,3183 (sin а а со..; а +
+ а cos 1> sin а cos а COS 'f)
COS ? + COS а J
a 7 п
Р R . О,;}1В:З (sjп а а cos а +
+ с1. со" ? si 11 с1. cos с1. со!') ?)
О;ю == PE ;j [0,6366 (sjn а
а cos а) + (sin а cos сх а) ] ;
PR'J [
ау == EJ 0,6366 (sin а
а cos а) + cos а +
+ + sin 2 а 1]
()<?<а
Р R ( COS 1 )
sif} а
при 1> == (). 2з, 4а, '"
м(+) == PR ( )
шах 2 siп а а
при ? == а. 3а, ...
( ) PR ( 1 )
-'1 == ct g а
шах а.
O<9<j
1110 (0,6366 cos 9 )
1t
2 <9<'-
( 1 \
м о О,и ;о() cos т I 2}
Радиа;rIЫlOе перемещение точии
ПРIIЛOiкеНIIЯ СИЛЫ от центра
р R3 [ 1 ( а
2EJ sin 2 а 2 +
+ sin 211. ) .! ]
4 а
Радиальное пеРЮlещение в точ-
ках 1> == О, 2а, 411., ' ., (и центру)
Р Н] ( 2 1 а. cos а )
4Е) -;: sin а siп 2 с1.
ОХ == о
ау == о
3 "')
1,)
Cxc 'a
()
M"
W
р === 2qП sin сх
374
N
O<qJ 1t
]l1
Т 0,6366 sin сх cos 'f
O<:r<a
qR ( i1t sin 3 сх cos 9 +
+ sin а sin 9)
СХ<9<7.
7R ( з 1 1t sin 3 сх cos 'f +
+ SiIl 2 ер)
О<9<'"
М п
0,6366 sin сх si,n 9
О<9<а
qR C sin 3 а siп 9
........ sin сх cos ер)
СХ<9<т.
qR ( 91 sin3 с1. sin 9
c.jt
sin ер со::; 9 )
п родолжен,uе табл. 29
1\1
0<9<СХ
;110 [0,318:1 (2 cos 9 sin а -+ а) 1]
CX<9<7t
Мо [0,3183 (2 cos 9 sln сх +- а)]
" д/о R2 (О 6 ') 66 . )
ОХ == Е) ' ,) сх Slll а
ау == lJi ;2 (О,6366сх +- cos сх 1)
0 9 CX
М (О) qR 2 [sin а sin 9
sin::l а (1 cos Ф) ]
3т. '
a 9 т.
.н (О) +- qR2 [ sl113 а (1 cos 9)
oit
(Sin 2a +si11 29 )]
М (О) == qR2 [ +- sin 2 сх +
1 ( . 1. 2
+- БIIl сх ...., а Slll а
т. 2
sin:J a : . СХ )]
SШ а COS а
;) 4 4
о == 2qR4 [ sin сх +- sin2 сх
х EJ 4 2 2
sin 3 сх 1 ( сх .
SIll а +-
12 jt 4
:-з . 1. 2 )]
+- 4" Slll а COS а+-2" сх Slll а
ау == 2qR-1 [ } +- sin 2 а
Е) 1 4
а sin сх sin 2 а cos сх
,....... -----r 12
COS сх ( cx sin2 сх "
6' 1: 2
з . сх. )]
+ 4 sш сх cos а+-"'4 SIll а
373
r.XC I;j N Q
O<r.r<a
qR [siп а sin r.r +
+ (1 + cos а) cos r.r ] O y a
р == 2чп sin а N (1t) co,,;:r qR [sin а cos 9
a 9<1t (1 + cos а) SiIl i].......
qR(1 + cosa) +N(1t) siП 9
N (т.) cos? a )' 1t
qR qR SiIl 9 + N (1t) sin 9
N (т.) == ....... (1t
1t
sina+acosa)
t O ? a О<? а
......qR sin 2 )' qR siI) ? cos :р
dd a :p<т. a a 9<т; a
q ....... qR . sin а . sin? qR SiIl а cos ?
376
м
п родолже1l uе табл. 29
O tp<a
'lП'l [sin а sin 'f + (1 + cos а)' cos 9
(т. а + sin а)] +
+ N (т.) R, cos 9
a<9 т.
qR2 [cos 9 (sin а а)] +
+ N (т.) , R . cos 9
2:.<a 1t
2
qR.t ( 2а
о х === 2 +
. Е) 1t
2 si n а 5 t' i 11 а
+
7t cos (l а cos а )
+ -----т--
o cx п
q ю ( 2а
О У == ')..r- +
EJ'::;; 1t
2 sin а а sil1 rJ. cos а )
+ '
О, 9 а
qR 2
М (О) T sin29
a tp<1t a
.11 (О) qR2 (sin а . sin 9
1 . 2 )
2 slП а
м (О) == qR2 [ ( ; +
I
I
: . )
+ а sin 2 а + :т SIП а cos а
-1 . 2 1
':::;Jn (J,
2'
I
qR.t [ . sin 3 а
ох == Е) Slt) (j +
+ (а + 3 sin d cos а +
1t
+ 2а Si112 (1.)]
q R4 [ . 2
y == ,;1111 a
U EJ'
. 2
SlП а. COS а ....../ а sin а
3
2 СОБ а 2 7. sj n а
""""""""3+3+
, (2а Si}}2 а + 3 51П а Х
х cos а + а)]
rл ава 14
РАСЧЕТ ПЛОСКИХ КРИВЫХ БРУСЬЕВ
81.' Определение напряжений n брусьях
большоЙ l рИВИ3НЫ
I{ RpIIBbl I брусьям ОТ!lOсятсн rрузоподъемные }{рЮЮf, ПРОУПlивы,
звепья цепсй, ободы ШI\l!ВОВ п Rолес, арIШ и т. п. Осп этих брусьев
являются ПЛОСRИМII КРПI3J,ши. В попоречных сеЧСlllIЯХ ПЛОСКОI"О ({ри-
Boro бруса в обще:\I случас дсйствуют трп внутренних СIШОВЫХ Фан-
тора 111, Q п N, прюшло оп[)еде.'1еНIIН ноторых т[шое а\с, }{ап и в
брусьях с прямоii осью. ДlIффСРСlIциальные завпсююсти I\IСЩЦУ 111,
Q И q были ПрIIlзедепы в 21.
Рис. 271
.....
-<::
у I
I
О,
Прсдставляют бо:rьшоii праl{тичеСЮIЙ иптсрес Rривые брусья,
имеющие продольную ПJIОСНОСIЪ симметрии (рис. 271, а, 6), n кото-
рой обылно действуют внешние наrРУ3ЮI.
Распределение нормальных напрнжеllиii в поперечных сечспиях
кривых брусьев ИНое, Ч('}I в брусьях с пршюЙ осью. Это раЗЛИЧIIО
при прочих равных УС.!IOШJЯХ TC I бо..I,ше, '101lI больше }{рпвизна бру-
са, хаРaI{ТСРI\ jУС:\ШЯ ОТJlОШОНПС:\I высоты IIоперечпоrо сеЧОllllЯ h
!{ривоrо стеРiЮШ к радиусу I{РИВИ3IIЫ R cro оси. В связи с этим
378
\
прппято fН1ЗJшчать 6Р!lСЬЛ . ta01тl
h i
"'pUGU.1llbl, у I\OTOpblX R < 5' 1I
о. /1- 1
6 русь.п 6олыаоu пPUOU8Ilbl, у которых R ::.> 5 .
llри I1зrllое брусьсв l\Щ.'IОЙ I\рИППЗlIЫ нор:'.шльпые папряшешш
с достаТОЧllоii стененью точности :\lOшно определять ПО формуле Напье
(lUЛ), нывсдеНlIоii для 6а.,'1ОК с ПрЮlОЙ осью. l\lаКСЮШJlЬJlые шшря-
жсния, подсчитанныс по формуле lIавье для бруса прямоуrольноrо
h 1
сечения с ОТНОШСШlе:\1 Л == 15 ' ОТ.'1пчшотся па 2% от папряжеПИll,
ВЫЧI1С.'1еппых по фОР:\lулам ДJIЯ ()рус() f)олыпоЙ ЩШШI311Ы; при
h 1 3 5 0! . h'l 7 01.
R == 10 па ,/0, при R == 5 Шl 10.
Рассмотрим случай чистоrо изrllба бруса БОЛЫIlОЙ I{РИВIIЗПЫ
( ::.>}) (рис. 271). Предполаrаеl\l, что радиус r H неЙтральноrо
слоя пеи:знестеп 11 пе СОНшщает с радиусом R оси стержпяо
'v'
о
Рис. 2.7'20
При выводе формулы для опредеJlеIlIШ нормальных напряжений
в брусс болr,шоЙ I{РИВИЗНЫ исходят ИЗ тех же rШlОТСЗ, что и при
выводе форму.'IыI Навье, т. е. пользуются rllпотезоii плоских сечеllИЙ
и ПlПоте;иii о TO:'.I, что продольные BO.'IOKUa материала не давят
l\pyr на дрl'уа. 13I,I ираем направление осеЙ сечения х и У, как пока-
:laHo на рис. 71 (при этом ось х считается совпадающей с ней траль-
J10ii .'lипией, положение IЮТОрОЙ ПОЮ1 пс известно). Направление у
1, центру КРИRН3ПЫ принято за ПОЛОiЮlТсльное.
РаССl\iОТРИl\f статuческую сторону 8ада'Чu и напишем условие равно-
ВССИЯ при I( нитс.'1ыIo R элементу бруса (рис. 272, а), остаВШС:\IУСЯ
379
после удаленпя отсеЧОIШЫХ чnстей. Для нашеrо случая, l\or да в сече-
IIlШ ДС'йСТВ):ОТ ОДНН СllЛОПОЙ фактор М х, будем Шlеть
J а dF == о;
F
(14.1)
5 ау dF == 'М.
F
(14.2)
в силу СII ШОТрllll
Л1!J == \ сх dF === О.
J,"
РаСС)ЮТРИl\1 еСО,'tетРUЧfСКУЮ сторону аадачu. ОТIЮСlIТСЛЫ10е удли-
lJенне проIlзполыIo ВЫДСJlеIШОl'О Э.'10меI1ТUрllоrо участка АВ, находя-
щеrося па раССТОЯIIIШ у от llсЙтраЛblЮЙ линии (рис. 27'2.,6) и по.'1у'-
qившеrо n реЗУJIЬТDТО деформации УДЛlшение уд. d'f, равно:
!I jj. d'f
е==
(r H у) d'f '
(14.3)
rде (r lI у) d9 ДЛlIпа ЭЛС 10Ilта до деформации.
Из раеСJ\IотреllИЯ фuаuческ,ой стороны аадачu, определяемой за ко.
IlO I !'УIШ
а == Ее == Е д d9 у
d9 r H у
(14.4)
условие (11.1) перепишем в виде
(' а dF == Е jj. d9 (' У dF == о.
j d9 J r у
F F 11
Тан кан
Е jj. d9 =1= О,
d:p
то
(' ydF ==0.
j r y
F н
(14.5)
Из (14.2) llаХОДШI
dF Е jj. d9 у2 dF 71 1
ау d ;,.
r r y
F F 11
(14.6)
380
Тйк нан
' у'2. df;' f у2 + r,,!! rJl!J j ' ( rп!! ) !
=== dF== y djf:::::;
r н у r Il у r н у
F F F
!JdF
== ydF+r lI == Sx+o,
r y
F 1<' II
1I.11f
у2 dP
== . s == ( e) F == еь-',
r у х
F н
l\lOltIеи представить (14.6) так:
Е д dtp еР == М.
d'f
(14.7)
Отсюда
Е д dr.r м
dlf еР ,
(14.8)
rде е расстояние от нейтральной J1ИППИ дО центра тяжести; Р
ШlOщадь поперечпоrо сечеllIlЯ.
r
L
а
или
Рис. 27:3
110ДСПШИВ (14.8) D (14.4), найде}! ФОР IУЛУ ДЛЯ определепия нор-
ыальных напряжений при IIзrибе
.1.11 у
а == , (14.9)
eJi (rlJ у)
а Му
SX(rH Y)'
(14.10)
381
[),о м ИЗПI()шощиii I\IO lепт в сечеНI1И; Sx статичеСRИЙ момент
площади с.ечешlЯ Rpl1DOrO бруса относительно нейтральноЙ линии.
II:\ НШШJlза (14.9) или (14.10) видно, что пормаЛЫJые наПРШI,ения
но высоте РnСIIреде:IЯlOТСЯ по пшерболичеСI\ОМУ заНОllУ (рис. 273, б).
АБСО:IIO'lIlые ве:ШЧl1НЫ напршшшпЙ в краЙПIIХ волоюшх сечения
бр}:са СО[Ю1СНО (14.9) опред<шятся но фОР:Ну'лаl\1
Mh[ A1h 2
аl == FeR 1 ; а 2 == FeR 2 '
(14.11)
rде пl И п 2 соответственно радиусы кршшзны внутренних и внет-
ПIlХ ВО.'101\ОН l\рИПОI"О бруса; h 1 п h 2 расстояния от нейтральной
JIIIШIl1 дО этпх ВОЛUI\ОП. ;Зван папряшешIЯ определяется по uаправ-
леНIIЮ изrибающоrо момента в сечении.
ФОр IУЛЫ (14.9) (14.11) MorYT быть IICIlOJIb30DaHbl, если известна
входящая в эти ФОРМУЛЫ веЮfЧlша е или радиус нейтральноrо слоя
r н' пос[{олы{у
е == R 'н'
(14.12)
rде R радиус слоя, в котором раСПО.1Jожены центры тшкести сече-
пиЙ бруса. l'адиус 'п определим из уравнения (14.5).
I1рОIIЗDедя замену переменпых: r == 'н у или у == 'н " пере-
ПIIШе 1 урапнсппе (14.5) в слеДУIOще 1 виде:
r у dF == 5 rи ldF 10::: О,
J 'н у ,
F F
или
'11 (' dF F == о.
J r
F
О ТСJOда
F
'н S d: .
F
Тю\ как для ПРЯl\fоуrол&ноrо сечения F == bh (h высота сечения;
Ь Шllrина сечения); dF == Ь d" формула (14.13) может быТ[, записа-
на в шще
(14.13)
Ы" h h
rИ== == R == R .
2 2 2
S Ь d, lп R 2,303 Ig R
1 1
r
RI
(14.14)
Воспользовавшись рядом
h h
Jn == ln R + i == ln 1 + 2 R == " _ [ 1 + ( ) 2 + i. ( ) 4 + ... ] ,
пl R 1 л 3 2п 5 2R
2 2п
382
будем иметь
е == R r H == R
R
1 ( h ) 2 1 ( h ) 4 .
1 +"3 '2В + 5 2Л +. . .
в первом приближении
( 1 ) h2
е == R 1 ( ) 2 :::::; 12R '
1 + 3 2R
(14.15)
Во втором приБЛИiнешш
h 2 [ 4 ( h ) 2 ]
е == 12Л 1 + 15 2Л .
(14.16)
На основании (14.13) аП8.10I'ПЧПr.I1\I путем J\Юi-hПО ПО.rIучпть выра-
i!,снпе для е в случае друrпх форм поперечно[о сечсния. n таб:I. 30
11 Рllведены радиусы кривизны r ll пеЙ траJIЫIOrо с.лоя для сечrниii
ril:3ДИЧНОЙ формы. Из (14.12) по известным r lI MOI'YT быть опреде-
.'(С'ПЫ и величины е. Для некоторых форм поперочuоrо сечеlJИЯ е
lOilШО определить по табл. 31.
82. Расчет на ПРОЧIIОСТЬ
Условие прочности для стержня малой l\рИJШЗlIЫ, коrда в ero
сrчепии действуют изrибающпii моиеllТ п 1I0рмальпал спла (рис. 273, а)
Iшеет вид
111 N
а тах == И1 + F < [а],
(14.17)
I',le Р площадь сечения; W MO:\feIlT сопротивления сечения (см.
11).
Для стержня большой RРИВИЗНЫ на основании (14.9) условие
IIРОЧНОСТИ будет
Му N
а тах == Ре (r H у) + F < [а].
(14.18)
11 rп этом нужпо рассматривать ТОЧJШ сечения, в IЮТОРЫХ СУМ-
\1;1 рные напряжения от I1зrиба 11 РПСТЯil\СПИЯ будут вапбольшшlИ
(I'IIC. 273, б, в, е). Для этпх точеR n ФОРМУЛУ (1Ii.'18) С.7}rдует ПО;.I.-
( 1 "ваять у == h 1 ПЛII У == lL;!. lJ соответствrшIO r п у == R 1 11,'(11
Т,I у == В 2 .
383
Если брус большой НрИВИЗIIЫ изrотовлеII из материала, для
(ШТl)роrо допускаемые напряжения па растяжение [а+1 и сжатие [a ]
различпы (llеI\оторые чуrуны, пластмассы и др.), то условия проч-
IЮСТИ дотЮIЫ выполпяться для нраНН1IХ точен сеЧСПIIЯ l{aI{ в растя-
u}тоЙ, тю и, В сжатой облаСТII.
83. Определение перемещениii
Для определения пере IещеllИЙ в стеРiIШЯХ тобой I\РИВИЗНЫ
удобно пользоваться методом Мора ( 69).
В стеРilШЯХ малоЙ "рнви:шы MOiHHO пренебречь ПРОДО.1ЬНОЙ
J1.РфОрl\lаЦIlРЙ и деФОJшациеii сдппrа и в С,1Jучае ШIOСНОI'О llзr1lба
ПО:JL30ватьсл формулоЙ l\Iopa в виде
r iJ i M р ds
ДiР == J Ь')
s
(14.19)
При ПЛОСl{О I ИJfllбе бруса большоЙ БрIШП6UЫ деформаЦllЯ ЭJIС-
мепта от деЙствия СПJIИЙ Дl Р 11 N р состоит из удлинепия Д (d-;)
отрсзна ds оси и ОТНОСllтельпоrо поворота dO сечениЙ, 01'рапичппа-
ющих элемент (рис. 274, а, 6). Взаимный т()л поворота сечспий
Дd == d0 1 , вызпапныЙ IIзrибаЮЩIШ J\lO ICHTOl\I, 1I1OiI\I10 опреде.1JИТЬ из
(14.8), rде еР == I 5х I == 5,
Л1 р d y 111 р ds
d0 1 == ES == HSR o .
УI'ОЛ поворота сечениЙ, вызванныЙ ОССВЫ:\IИ силами вслеДСТЕlIе
веОДИlIановоЙ длины ВОЛОНОII элемеIIта (рис. 274, б), равеп
N pds
d0 2 == tPRo .
ПОJIllLlii yro.l поворота состаВ.1пет
л1 р ds N р ds
dO == d0 1 + d6 2 == -+ .
ESR o E//R o
(14.20)
T Д.1ППСШJе э.:rемента в реЗУ.lыате деiiСТВI!Я осевых спл
N jJ ds
Д(dS)l== ЕР .
384
УДJllшение. вызванное попоротом сечения па уrол d81..
м р ds J.11 р ds
!1 (dS)2 е d0 1 == ESR o е == EFRo .
Полное удлинение oceBoro полонна
N р ds М р ds
(ds) == 6 (dS)l + 6 (dS)2 == ЕР + EPno .
к
(
Рис. 274
(14.21)
1.
о
Подставлял (1-'1.20) п (Н.21) D фОр!\-fУЛУ ВОЗ fOiI\НЫХ перемещений,
11" '\O,l;IIM общую форму.тIУ lI.ЛЛ определения пере:\lещеНlIЙ бруса боль-
JJloii нрпвизны
5 r МiДfр NiMp+MiNp NiN p QiQp ]
6 iP L ESR u + ЕРВ о + ЕР + k СР ds. (14.22)
s
Обычно па ПРaI,пте препобреrают nЛШIIШС I попере'lНОЙ силы,
11 Р<';1ультате чеrо Пос.Тlеднее слаrае.\lОС в (14.12) отсутствует.
В табл. 32, 3 приведены выраif\ешJЯ для опрс;цшения переме-
11!1'lIlIii спободноrо l\Оlща КОНСОЛLноrо KpyroBoro стсрашя постоянноrо
11<llll'реЧlIоrо сеченпя при раЗЛlI<IIIЫХ CXC\IUX cro lJaI'ружеIIIJЯ, а в
! ,I,'i,'r. :и значенпя опре; еленных ШIТСI']ШЛОВ, часто встречающихсл
111'11 опредеЛСШIll нере,\IСЩСIШЙ в I\рПВЫХ стеРЖllЯХ.
" ',1186
385
Таб,тrпца 30
Радиус I:РИВПЗПЫ пеiiтралъпоrо слоя 7'н для сечений
рааЛИ1lНоii формы
Сечсние
(С центр тткести)
r п
п рюю уrольни:к
х
-<:::
h h
r Il ln Л 2 1 +
В] ln
h
1 2R
R 2 h r 1 ( h ) 2 1 ( h ) 4 ]
ln R I == R L 1 + :3 2R + 5" 2п +.. .
Трапеция
у Ь 2
Тавр
Тавр
у Ь 2
380
h(b 2 +b 1 )
7'в::::: 2 [ ы122 b 2 R 1 ln п 2 ( Ь Ь )]
h п 1 1 2
7'п ==
b 2 h 2 + ы 1 h j
Ь 1 R,{ Ь 1 112
2 n B + 1 n п 1
7'11 ==
b 2 h 2 + b 1 h 1
'"i:; ln !!3 + b 1 lл !!
R',!. R 1
Продолжение' табл. 90
Ссчение
«(; центр тн жести)
ТlI
Двутавр
Корытное сечение
Ь 2 У
х
с х
>е:
r b 1 h 1 + bzh z + b 3 h 3
н 1 Rz Ь J пз , Ь . 1 R-t
Ь 1 n B + z n 1" 3 n Il: з
b j h 1 + 2b 2 h 2
r п == ....., h R
Ь 1 Rz 2 + 2Ь 1
1 n R 2 N R h
1 2 Z
Троуrольник
Треуrольник
ot::
IЗ.
h
r==
н 2 [ R z ln Rz 1 ]
h В 1
r п ==
h
2 [ 1 R 1 ln R2 ]
R 2 R 1
387
Продолжение табл. 30
Сечение
(с центр тяжести)
r H
I\pyr
у
х
d 2
, ==
!I 4 (2R V4R2 d2)
I\ольцевое ссчеllпе
V;'R2 d2+ V4R2 D2
I 4
D2 d 2
.4 (V4Л2 d2 V4R2 D2)
.-:Q::
Опа:Il>ПОО сеqенпе
'п :----:::
d 2
4 ( R VitR2 d 2 )
аиа '1C1IИе lюэффициента k n формуле е == kR
т а (j .1 11 Ц а 31
Сечение
R
а
1!
п РЮ10уrольВlШ
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,G
2,8
З,О
3,5
4,0
6,0
8,0
10,0
h
а == Н. В 1 == :2
388
0,305
0,204
0149
0:112
0,090
0,077
0,065
0.055
0,047
0,041
0,028
0,021
0,0093
0,0052
0,0033
Про80лженuе табл. 31
R I
а k
1,2 0,418
1,4 0,299
1,6 0,229
1,8 0,183
2,0 0,149
2,2 0,125
2,4 0,106
2,0 0,091
2,8 0,079
3,0 0,069
3,5 0,052
4,0 О,(НО
6,0 0,018
8,0 0,010
10,0 0,0065
1,2 0,409
1,4 0,292
1,6 0,224
1,8 0,178
2,0 0,144
2,2 0,120
2,4 0,103
2,6 0,089
2,8 0,077
3,0 0,067
3,5 0,049
4,0 0,038
6,0 0,018
8,0 0,010
10,0 0,0065
1,2 0,408
1,4 0,285
1,6 0,208
1,8 0,160
2,0 0,127
2,2 0,104
2,4 0,088
2,6 0,077
2,8 0,067
Э,о 0,058
3,5 0,041
4,0 0,030
6,0 0,013
8,0 0,0076
10,0 0,0048
Се'!Сние
Тавр
Ь 1 ::=: 4Ь 2 ; h 1 == 1,5Ь 2 ; h 2 == 4,5Ь 2 ;
а == R п 1 == 2,04Ь?
Двутавр
а)
Ь 1 == 6Ь 2 ; Ь з == 4b z ;
h 1 == 2Ь 2 ; h 2 == 3b z ; h3 == Ь 2 ;
а == R R 1 == 2,34Ь 2
б)
Ь 1 == Ь З == b2; h 1 == h3 == Ь 2 ;
h z == 4b z ;
а == /l п 1 == 3b z
389
п родолженuе табл. 91
Сеченис Н I
k
а
в) 1,2 0,453
b 1 ::::: Ь з == 6Ь 2 ; 1,4 0,319
h 1 == h3 == Ь 2 ; h 2 == 4Ь 2 И 1,6 0,236
а == R Rl == 3Ь 2 1,8 0,183
2,0 0,147
2,2 0,122
2,4 0,104
2,6 0,090
2,8 0,078
3,0 0,067
3,5 0,048
4,0 0,0:36
6,0 0,016
8,0 0,0089
10,0 0,0057
Трапеция 1,2 0,336
1,4 0,229
1,6 0,168
1,8 0,128
2,0 0,102
2,2 0,084
с;: 2,4 0,071
2,6 0,061
2,8 0,053
3,0 0,046
3,5 0,033
4,0 0,024
а) 6,0 0,011
b 1 == 2Ь;!; h == (1 + 3) Ь 2 ; 8,0 0,0060
4 10,0 0,0039
а == R R 1 == h
9
б) 1,2 0,352
Ь 1 == 4Ь 2 ; h == 5Ь 2 ; 1,4 0,243
а == R Rl :== 2Ь 2 == 0,4h 1,6 0,179
1,8 0,138
2,0 0,110
2,2 0,092
2,4 0,078
2,6 0,067
2,8 0,058
3,0 0,050
3,5 0,0:37
4,0 0,028
6,0 0,012
8,0 0,0060
10,0 0,0039
390
п ро8олжепuе табл. 31
Сечсп ис R I h
а
Треуrолъник, у KOToporo 1,2 0,361
h == ь и а == R R 1 == 1,4 0,251
1,6 0,186
h Ь 1,8 0,144
==3==5 2,0 0,116
2,2 0,0$16
2,4 0,082
2,6 0,070
2,8 0,060
3,0 0,052
t::!? 3,5 0,038
4,0 0,029
6,0 0,013
, , 8,0 0,0060
10,0 0,0039
Rpyr 1,2 0,224
1,.1 0,151
у 1,6 0,1 08
1,8 0,084
2,0 0,069
2,2 0,058
2,4 0,049
d C<: 2,6 0,042
у 2,8 0,036
3.0 0,030
d 3,5 0,022
а == 4,0 0,016
2 6,0 0,0070
8,0 0,0039
10,0 0,0025
}\'ольцевое сечеНlIе 1,2 0,269
1,4 0,182
у 1,6 0,1Э4
1,8 0,104
2,0 0,083
2,2 0,068
2,4 0,057
2,6 0,049
2,8 0,043
3,0 0,038
3,5 0,028
D 4,0 0,020
D == 2d и а == == d 6,0 0,0087
2 8,0 0,0049
10,0 0,0031
391
t:':I
М
r:'$
t::r
=
\о
r:'$
E-t
1:1
=
=
с;>
:Е.......
>ос
с..=
=:
C;>
= j:Q
Е-с
=
c..E-с
t::gs
t:I: Е-с
= С
=: С
с;>
:r t:I:
с;> =
=:
с с:.>
=
с с:.>
== :g
=8-
t:l:c:.>
t::
8
t:I j:Q
=: с
==
:E
=
Е-с
Q)
С
С =:
,Q
с
=
с Е-с
=
>ос
c..
=
сс.
.. с
с
== ...
,QQ)
1'; С
С =:
,Q
=:
'"';
C:I Е-с
c:rc.
=:с:.>
с j:Q
I
::!:>
с ...
== :::.
С
Э
с"""'"
= =
Е-с
=: g
15:1 ...
=
Q)Q
a
::1!1 с
C;>
c:.>
t::I=
392
I
t;'
t;'
со)
'(j)
.....
"""'"
+
'
I
t;'
с
'(j)
+ I"
trJ
Q
Co)
+
, (j)
t:':I
I
MI
;:.
<::>
.....
........
I С::;
"" \ I
J
е.....
+
;;,
I
I ' '
Co), Q
trJ со)
I I
1<:"1
'
е.....
I
+
+
.....
.......
i
.,. I
CI:
:Е
u
ti
с сл
'00 ti t;'
;;;
е..... со)
+ 1+
...........
I
:S Q
\
I
,
t;'
C/J
Q
со)
+
t!
с:
, (j)
t:':I
I
+
"t""!J
"1
C/J
Q
со)
:,';)I
t'\
C'J
C/J
Q
со)
....I
I
+
.....
I
'(j)
i
I
"" I
tI
<:"1
С
'(j)
со)
I
.....I
с.. I
I
MI
+ +
t:':I
'ёi)
I
+
'(j)
:Yji I
I 8
I MI I
I
с: со) tI
'00 rп ';;]
<::> .....I 8
+ ""'1
I
"" '............... <......
I I
о...
+
'i
""tI 1:'1
tl ""t! 1::'\1
.S t!
u1 u1
О "" I
Q
I
'
!
I tl
1::'\1
'щ
+ tI
tI +
.9 t! tI
u1 rп
c':t '(j) О
со)
t!
tI I
М/С':! cqt! I <:'J ........
'
' I
I
I
. I t;'
rп
cq t! О
со)
t;' tI
rп '(j)
8 tI
I tI
u1
О
........ со)
I tI '
+
tI I <:'J
'
393
C'I"J
СУ:>
==
=- t.) +
о
1:1 = r-
?>
== с. IN N
\о ф с rп
:E о . о 'ёi)
Q
CI: Il 1/
'" Е-<
о
= р.. ..,...
== 1:11 о .........
1:11 ;::J .-<
о
с.=- I + I
= J::
С. е
r:::: " ;;:..
=
Q,) ::>
",\С) :s::
1:11 t.) I '
= о
== .::
= ?> 'щ
со 11
Е-сс. :.: +
о
Q =
о
t:I =: r:: ';п
=
r:::: == о J:: .-< +
== Q,) 2- '00
* ]I
о I
c.
:= J::
о
ф
Е-с ;;:.. I
с' I
8 I
j:Q Е-с
8 Ф
б:* s:
5-
:':::ф tI: .
С 1:11 i=; I
'" == ?> '(j)
Са,) ::o
== 8 ;:i II
,.QC :с.... +
== ФЕ::
С Е-с '" .-< 1=1
Соо
+ 'щ ...
s I .0 .-< 1::: ' ёi)
":::., ФJ:: '(j) .-<
= I ll l
g
=-1:11
== Е-с Ф
С Q :s
" С Ф
" со I /
С <:)
'" С r:; <:>
С
== =
=I:II
\С)С
С = ::..
=:
1:11 " ф
==
ф u
S"==
фф
:!1 =
I
Q,) =
==
394
+
с'\1 rп
I о
';;; Q
II I
.<
t'\
I '00 :"-1
..,... ';;;
+I + I
.< I
..,... , .<
I '" ' +.
i
tI
'ъ rп C'.J
О rп
'00 Q О >::::
Q
IIC'\1 ';j)
..,... tI
'--" ..,... .-<
,... '--"
..,... il
I +
i с,.<
L.............. r
с'> '
+ + ""
t;' C'I t;'
C'I t;'
rп
'00 о rп .;;;
Q О
11 Q
..,... ..,... $
'--" '--" .<
L.............. .<
I + ' +
C
395
Таблица :=14
3на t ICJlИЛ определенных ИIlтеrралов, часто встрсчаюи.щхсл
при определении пеРС)lCщениil в Itривых стержнлх
Пределы интеrРllрования
Иптеrрал ОТ О ДО I'J. loт О ДО IOT О д<> ; I от l' до '-
sin tp d:r 1 c.os а 0,293 1 2
c.os tp d:r sin а 0,707 О
sin 2 ср dcp 1. а 0,143
sш 2iX + 0,785 1,571
4 2
cos 2 ер dcp 1 . 2 а 0,643 0,785
"4 sш а + "2 1,571
sin 2 ер cos ер dtp SiIl 3 а 0,118 0,333
-з---- о
cos 2 ер sin tp dr.p 1 cos 3 а 0,216 0,333 0,667
3
sin 29 dcp 1 cos 2а 1 О
2 -----r 2
S cos 29 dr.p 1 . 2 i О О
2SШ а 2
sin ер cos 9 dep sin 2 а 0,5
0,25 О
9 sin r.p dep sin а а cos а 0,152 3,141
9 cos 9 d ер cos а + а sin а 1 0,262 0,571 2
9 sin 2 9 d:r (a2 asin2Ct) 0,0833 0,868 '2.47
4
1
"8 (cos 2а 1)
9 cos 2 ер d9 (а 2 + а sin 2а) + 0,226 0,368 '2,117
1
+ 8 (cos 2а 1)
9 sin 29 d:r sin 2а а cos 2С!
2 0,25 0,785 1,571
I 9 cos 29 d:r 1
"4 (cos 2а 1) + 0,143 0/5 О
+
2
siп(а у)siПуd:r sin а ct COS IJ. 0,076 0,5 1,571
"""""2
s cos(a 9)sin9d9 а sin а 0,278 0,785 О
""""""2
396
r л а в а 15
РАСЧЕТ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВ
И ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСНОВ
81. Толстостенный цилиндр, подвержеllIlЫU
внутреннему и наружному давлению
Цилиндр считается толстостенным, если то.тrЩппа ero стешш
Gольmо одной десятоЙ ero среднеrо радиуса. РаССМОТрIПJ толстостеu-
выЙ цилиндр, находящийся под действие:\1 внутрепноrо (Рl) 11 наруж-
)[()ro (Р2) дав.тrенпй (рис. 275); r 1 и r 2 соотпетст-
JlРШЮ внутренниЙ 1:1 наружныЙ радиусы цилиндра. 2r.
IJС,'lедствие осевой СЮll\1еТр11И цилиндра и наI'РУЗОI\ 22
lli.шряжсния И дефОРl\JaЦIШ в ци.'пшдре будут TaIt- r,
il\C СШ\Iметричпы относительно Ы'О оси.
Двумя сеченишш, перпеп;щкулярпы:\1И осп
1 I1;шндра, выделим ко.1ЬЦО едИlШЧНОЙ ДЛИНЫ
(pIIC. 275). Из этоrо НО:Iьца вырежем элсмент nbdc
(plIC, 276, а) двумя ШIOСI\ОСТЯШI, проходящюfИ че-
P(', ось цпли:ндра и образующими между собой тол
(/1), 11 двумя цилипдрическими поверхностями ра-
;IIlУСЮIИ r И r + dr (рис. 276,6). По rраням эrоrо
;>,'IC:\ICIITa будут деЙСТlJова ть радиальные а т И тап-
1 t'IЩIJaЛЫlые ао напряжения, оамоняющие воздсй-
(',твпе отброшснной части цшшпдра 11 удовлетво-
РНЮI1ЩС условиям равновесия элемента. Очевидно,
:;,) и cr r будут rлаВНЫl\lИ паПрЯi-кеНИЯl\1И.
Определение a r == 1 (Рl' Р2' r) и ао == /1 (Рl' р'!., r)
11;\ '111Cl\I с рассмотреНIlЯ статич.еСf1,ои стороны за,J,а чи
11 составим уравнсния стаТИЮI в соответствии G
:1 jJl\lШТОЙ системой Iюордппат (рпс. 276, в): Рис. 275
x==o; y==o.
ct
а
о
Рпс. 276
2
13,;шrодаря СlI!\шетрии Э.'IС:\1ента второе условио удовлетворяется
/Oil\;J.ocTBeHHo, а ш'рвое ПОс.'lС нодстаНОllIШ выражсниЙ для уси.тшй
II(III\IOT IJПД
Х == cr1,r dO + (аl' + dcrj') (r + dr) dO 2 (а о dr SiIl d 2 0 ) == О,
397
. dB d6
Принимая sш 2" =="2 и о тб l 1 асывая величины BToporo порядна
малости, получим
dcrr
r dr + cr r cr О == о.
(15.1)
()то уравнение содержит два пешшестных наJIряжепия ао И а т ,
Д;rш их ОПРСitСЛСНIIЯ необходимо рассмотреть есо,лtстрuчсскую u физu-
чсскую CтOPUllbl 8аоачu, что позволит прсдставить уравнение (15.1) в
ПСРСl\1('ЩСНИ ЛХ.
Обо;шачим радиалыюе перемещение цилиндричссной повеРХllОСТИ
ра:щуса r через u (рис. 276, е); тоrда пере:\lещение цилиндрической
1I0ВСРХНОСТП pa;'l.lIyca l' + dr будет u + du. Относительное удшшение
элемепта ДJlIШОЙ d1' выразится ФОРМУЛОЙ
du
Ет == dr . (15.2)
ОТНОСlIтсльпое удлипение в танrенциальном (окруЖНОМ) пзправ-
лешш будет ра13lIО:
(1' + 11) d6 l' dB u
Ео == l' dO == r .
Рассматривая Физuческую сторону задачи, предстаВЮI заВII911 1ОСТИ
l\lеащу ПRпряжениюш и деформациями в соответствии с оооощен-
пым заRОНО:'v1 rУIШ применительно к ПЛОСНОМJJ напряженному, состоя-
НИIO в следующем виде:
Е
cr == 1 2 (е + {J-ЕО)j
r f.I. r
Е
ао == 1 2 (ео + (J-E ).
{J- r
(15.3)
Учитывая (15.2) и (15.3), получим
cr r == l' Е {J- 2 ( + (J- ); I
ао == 1 Е {J-2 ( + (J- ) .
Подс.тавив (15.4) в (15.1), полу,чим дифференциа,llьное уравпение
в перемеЩСllИЯХ
(15.4)
d 2 u . du о
d1' 2 + l' d1' 1'2 ·
Записав это уравнение в виде
[ i. . d (u1') ] == о,
d1' l' dr
nOCJle двунраТlIоrо ero интеrрирования найдем общее решение:
1
u == С 1 1' + С 2 , (15.6)
r
(15.5)
rде С 1 П С 2 постояниые иптеrрирования, определяемые из rрапич-
вых условиii:. 13 паше.\1 случае такими rраничными у'словиями БУ.дУ.т:
(а Т )Т==Т1 == Pl И (ат)т==т. == P2'
398
Подставив (15.6) в (15.4), найдем
crr::::: 1 Е 2 I C 1+ fJo )C 1 1 fJoC2 ] ;
..... fJO r2
(j О == 1 Е fJO 2 [(1 + fJO ) С! + 1 r 2 fJO С 2] .
Подставлял rравичные условия в (15.7), ПО,1УЧИМ
(15.7)
(15.8)
Е [ 1 !). ]
Pl:::::; 1 !-,-2 (1 + tJ-) С 1 C2 ;
Е [ 1 !-,- ]
Р2== 1 tJ-2 (1 +!-'-)C! 7 С 2 .
Решив совместно эти уравнения, найде 1
2 2
1 fJ. rlPl r2P2
Ci :::::; ' 2 2
r'J, rl
2 2
1 +!-'- r 1 r 2 (р! Р2)
С 2 :::::; . 2 2 .
r',!. rl
Подставив значения ПОСТОЯШIЫХ С] II С 2 В (15.6) (15.8), наЙДС t
OJ\Ончательные форму.1Ы для опреде.lIеНlIЯ радиаJIьноrо псре Н ЩСUlIЯ и
11 шшрлжений (формулы Л л."е):
2 2 2 2
1 !-'- rlPl r 2 P2 1 + 1.1 rl r Z (Рl pz) 1
u:::::;------в' '2 '2 r+ , 2 :J
r'2 rl r2 rl
r p] r P2 rir; (Pl Р2)
2 2
r"/. rl rZ rl
'r'
(15.9)
а , ==
'7
(15.10)
r Pl r P2 r r (Pt ........ Р2)
cr о == '2 2 + 2 :J r2
r'!, rl r2 rl
('15,'11)
С:ЮЖИD (15.10) и (15.11), убеждаемся, что
а , + а О == COllst,
« ,11', О13uтельпо,
fJO
Ez == Е са т + аи) == COIlst,
1 <'. попсрсчные сечения ЦIIJIlПщра при ДСфОр ШЦIlII остаются пло-
'1,11\111. Формулы (15.9) (15.11) прапеДЛlIIIЫ ДЮI бссконеЧl10 JiШШ-
11111 () ЦllЛlшдра и rодятсн для ИСПОЛЬЗ0вашIЯ n СС'IСIIШIХ ЦИШШЩJа,
.IIII'/ilТОЧНО удалеl111ЫХ от ДНИЩ, ССЛИ TD.I\OBblC 1Il\lеются.
J r рlI на.'IlI'lИП OCCllblX: HarpyaoH N, ;(сiiСТВУЮЩIIХ I1.'! ЦIlJШIДр,
1: 'lilСТIIОСТП при llа.'IIl'ШII днищ, в CI'O стсшНtХ В0311И \aJОТ ocellblC
11,111 JШ,!iСllИЯ
N N
"".
.Z ' 2 2
F 7t (r z rl)
(15.12)
399
При TOM В (15.9) появляется слаrае!\юе
и == Il r ,
· Е
(15.13)
а напряжения а r И а О не изменяются.
В чаСТПО I случае, !\о!'.ца отсутствует llаРУЖ1l0е давление (Р2 == о,
Р1 == р), фОр:\lУЛЫ Д.llЯ опре; елешIЯ напряжений п перемещенпй в
толстостеlIНО:М цишшдрс l\IOЖlIО записать в виде
IJ Т == :! r; "2 ( 1 ! ) р; (15.14)
r"2 r}
ао == 2 ,> :! ( 1 + : ) р; (15.15)
r 2 r}
k !i
r2
Радиальное пере:\Iещсние ВНУТрСПlIей повеРХlIОСТИ, т. е. увели-
чение BHYTpeHHcro ра,1,пуса, рашlO:
(и)Т==Т 1 == i ( + : + t-t) р. (15.18)
Для паружной поверхности ЦШШlIдра llмееи;
(а Т )/'==Т2 == о;
2k 2
( IJ а\==Т2 == 1 k 2 р;
При этом
rде
" 2 2
1 t-t r p 1 + t-t r1 r 2P
и == . r + Б---- т---------7'
, r;; rl r2 r) r
(15.16)
(IJ")тах :=-:: (IJ Т )Т==Тl == p; )
1 + k 2
(аО)тах == ( IJ а)Т:::::Тl == '1 k 2 р,
(15.17)
(15.19)
r 2 2k 2
(и)Т==Т 2 == Е '1 k 2 . р.
(15.20)
Эпюры наПРЯЖСllпii ДЛЯ расс шт-
риваемоrо случая при k == !i. == 0,5
r 2
приведены на рис. 277, а. Напряже-
ния вдоль радиуса И3:\lепяются по
rиперБО.llИЧССRОМУ заl\ОI1У. Опасные
ТОЧКИ (ТОЧНИ наибольших напряже-
а пий) нахо,1,ЯТСЯ на внутрепнеЙ по-
веРХllОСТИ ЩIЛипдра при r == r 1 .
Рис. 277 11з аllализа (15.17) следует, что
при r;! 00 и k О
(IJ,,)т:::::т. == p; (аи)Т==Т 1 == р.
Используя, llрСДПО.'lОЖИЧ, третью теорию ПРОЧПОСТИ, имеем
aSl\D III == cr) аз < [а]. (15.21)
400
в rасс:матривае юм ПРС,J.ОЛLПО:\I случаf\ (k :>- ())
1.71==(:;O)r_ rl -р; '-"3'==-(::/.)r'-'--/l p
УС.'lовие ПрОЧНОСТll (15.21) Прll:\!еТ IШД
'2p<,[:;J,
ошуда
[с]
Р<'т'
Та-юш образом, ЦП:ШIl; р с пссыш TO:ICTOii стопкоii lIe ;J.ОIIУСlшет
BUYTpCllHcro ДавлешIН, GО:IЫJlСI'О UlJpe;H':J( llIlOii веШIЧllIIЫ, т. е. упе
Шlчение толщины стеш,и ЦН:Шllдра 110 BC('I'; a лв.:-шетсл эффеКТlШllЫl\1
СIIособом УВСЛIltlешrл ПРОЧIlОСТII.
аССМОТрШI частныЙ С:Jу(шii, HOr;]J1 I)IJU'!Jтcтayeт вllутреннее Oaв
.леlluе (Р1==(), Р2==Р)' ФОР IУЛЫ (15. }) (15.11) I1РШIУТ пид
1 1). ,;р 1 + '1
и== E ' ' T
; ,; ,]' ,
Ст == :!' :! ( /1 /'! ) Р;
'2 "1 '
а О == 2' 2 ( 1 + :: ) р.
'2 '1 \
Кан ПИДllО 113 (15.23) 11 (15.24), оба пап ряжения в ЭТОl\f СЛУ1ше
СiЮIl\1аЮЩllе, IIрllчеl\I I с(} 1> I :;т 1. На ВllУТРСШЮЙ ПОfерХllОСТП
(1.7/')Т==Тl == о; (15.25)
( ) 2 ( 15.26)
:;0 т==тl == '1 fl2 Р;
r 1 2
(U)Т==Т I :---= Е 1 k2 р. (15.27)
" "
,} r [)
(15.22)
'r'
r; ''1
(15.23)
(15.2 )
11а наРУЖIIоr1 повеРХlIОСТIl ЦIIЛПIlдра
(:;Т)Т==Т 2 == p;
1 + k 2
( cr О)Т==Т2 == '1 /(2 р; (15.28)
(и)Т==Т2 == i С + : fJ.) р. (15.29)
Эпюры папршнепиЙ I.7 т И 1.70 при k. == !.L ==: 0,5 нривеДСIIЫ на
' 2
рис. 277,6. IIаllбольшее по аБСОЛЮТJJоii велнчипе папряшеШIе 1.70 OHa
аывается на виутрепuеii поверхпости ЦII..'IИIlдра; ЭТll ТОЧЮI II яВJШIOТСН
опаСНЫМll. Положив в формуле (15.22) '1 == О 11 r == '2' получим ВО';Ш-
(ШIIУ перемещеппл паРУШIIоii поверхности для СШIOШllоrо ЦIl:ПIllДРU:
р, "2
(и)1'==Т2 == 17 (1 t).
(15.ЗО)
n табл. 35 прнвсдеllЫ расчстные ФОРМУЛЫ дЛЯ толстостсПlJl,JХ
цилиндров при раЗШIЧПЫХ схсмах Иal'рущеIlШ-f.
401
85. Расчет составных цилиндров
С це.1ЬЮ 1I0:JУЧСlIИЯ бодее раЮIOl\IерUОl'О распределеuия напряже-
ний 110 ТОJlЩlше стенки и раЗI'РУЗЮI lшутрешшх слоев аа счет .'lУЧ-
шеrо lIСПОЛЬЗ0ваllИЯ нарущных, цилиuдры де.1ают состаВНЫШl llуте I
одевашш С lIaтяrО!.l одноrо ЦlIJIIшдра иа ДРУI'ОЙ (обычно С ПО:\lОЩЫО
I'орячсii посадки). n таких цшшндрах веЛИ'ШIШ AOlIYCJ\ael\1oro внут-
реlшеrо давлеuия может быть значительно больше, чем в цеЛЬВО:\1
цишшдрс, что используется при изrотоплешш орудиЙных стволов.
При посадке OAHoro ЦИЛИНДра па Apyroii с наТШ'Оi\l О/{РУЖliЫО
напряжеllИЯ во впутреШlе:\:I цилиндрс ЯПЮIIОТСН С,JШ:\ШIOЩIIМИ, а в
JlаруЖUО l растяпшающюш. Эпюра шшряшеlIНЙ, во;шшшlOЩИХ после
JJосаДКИ, представлена на рис. 278, а.
Под деiiствием BHYTpeHHero давления в ТaIЮ l состаВНО:\1 цилиндре
возшшают uапрнщеIIИЯ, оuределяеыые по фОр:\lУJJЮl (15.14) И (15.15)
а
б
(j
Рис. 278
как для цсдьноrо ЦП:lIшдра Jl характеризуе.\lые <тЮрЮIИ, поназан-
ными на рис. 278,6. ПРОСУ:\IМl1ропап эпюры шшрюкениЙ, Прllведен-
ные иа рис. 78, а и рис. 278, б, мы ПОЛУЧШI ; СЙСТВlIтельuуIO эпюрYJ
(рис. L.78, в), Юlеющую "lССТО в состаllНО.\I ЦШШНдро при I1нутреНlIе:\I
давлешш.
Из СУШ\Iарной эпюры ВИДНО, ЧТО напряжения в стеlше cOCTanHorO
ЦlIJП:lllдра распреде.тншы бо.:юе paBHo\Н pHO, 'IЮl в СП:lOШllОЙ стенке
(эпюра ПОI а;jаuа ПУНКТИРО.\:l), ПОЭТО:\IУ В составных ЦИ.1Jиндрах lI.\IeeT
место более рациональuое использоваuие материала, че:\1 в сплошuых
цилиндрах.
При расчете составпых цилиндров ОСIЮilUЫ.\1 НВ:1Яется установле-
ние ве:II:lЧИНЫ давлешш Ре па поверхности их l\ОНТU}ПU ври :JaJ aHllOM
наТЯI'е О, предстаВ.'Iнюще:\1 couoii разuость ЫСIIЦУ наРУII\IlЫ.\I ;Ща:\lеТ-
ром llпутренпеrо ци,,'шндра 1 и ВНУТрСНI\JШ ДlШ.\ICТрО:\1 ШIРУЩllоrо
IЩЛИН;(РU 11 (рис. 279). Очепидuо, у:\lСl1ЬШСШIC паРУi1шоrо радиуса
UИУТРСllпеrо ЦI1Л1IНдра U I II увсличеuие llпутреlllJеl"О ра;.J.иуса uаруж-
вт'о ЦИ.тшщ(р(\ ин равны половине lШТЯI'а:
о
I UI 1+ j ин 1== "2'
(15.31)
'читыван, что о llесыш мал по сраВllСll1I1О с радиусом поверх-
ности ]\ОI1таl\Та, БУ;lС:\I считать, что r21 == r 1I1 == re (re радиус по-
BUPXJIOCTll IЮUТUЕта cncTanHoI'o цилиндра).
НОНТЮ\ТIIОС даВ:Jение Ре будст наружнь!.\l д.'ш вuутреШICl'О ци-
лиuдра и вuутреU1!IШ J);ая паружноrо цишшдра.
402
Обозначим
k 1 ==- ; k. == .
, с '2
Радиальное ПСрСl\lСЩСIll1е J\ОllтаI\ТНОЙ повеРХllОСТИ
ЦИЛИllдра определяем по фОРl\lуле (15.29):
rc ( 1 + k )
uI== Еl 1 ki [1-1 Ре'
паружноrо по q ормулс (13.18):
'с ( 1 -+ k; )
Ин == Е -+ Р'2 РС'
2 1 k.l
!l
ппутреппеrо
(15.32)
(15.33)
\ I
Рис. 27fЭ
Подставляя абсолютные значешIЯ этих перемещепий в (15.31).
Ш,1еС 1
rc ( l+k ) 'с ( 1+k; )
Е 1 1 k [J. 1 Ре + 7Iz 1 k; -+ [1-2 РС == 2 '
ОТRуда, решив ураППОllIlС относIlтолыlo РС' llаходим
2
(15.34)
Ре === ( 2 ) ( 2 \ ·
rc 1 -+ k 1 'с 1 + k 2 ,
Е 1 1 k 1J. 1 + Е 2 1 k; т [1-2)
Если составляющие цилиндры I1зrотовлены из одНоrо материа. 1 Ia,
фОРМу'ла упрощается 11 ПРИllИl\шет пид
оЕ (1 ki) (1 k;)
Ре == 2' ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) '
'с 1 -+ k 1 1 k 2 -+ 1 + ""2 1 k 1
(15.35)
По пайдеНllОМУ зпа'lеШIЮ Ре == f (о) ОПРО,'J,СJIЯЮТ пачальные напря-
жения во nпутреНllеы (ФОР IУЛЫ (15.23), (15.24)) и наРУЖllО I (фор-
мулы (15.И), (15.15» цилиндрах. ФОр:\IУЛЫ (15.34) и (15.35) спрапед-
ливы, если напряжения по превышаlOТ предела пропорциопальности.
При появлеШlll при посадне плаСТИЧССJ\llХ дефор шций фаRтичеСlше
усилия Ре бую: т меlIъше расчетных.
403
86. ТС:\IПl\ратурные напряжения в толстостенных цилиндрах
n с.1учас нсраВllО:\lсрпоrо HarpoBa ТО.1СТОСТОПНЫХ цилипдроu В них
раЗБIшаются тс:\шсратурuые uапряжения. При расчете те:\lПораТУрllЫХ
наПРЯШСПIlЙ ПО:lучсипые рапсе урarщепие равиовесия (15.1) и rCO:\ICT
РИЧССlше СООТIIОШСНlIЯ (15.2) И (15.3) остапутся без измепеIIиii, а фи-
ЗИЧССКIIе :зависююсти будут пе CKOJIbKO ИIIЫШI.
Обо:шаЧIIВ через t (r) повышоние те\шературы, зависящес от
теI\ущеl'О радиуса r, и через Gt I\ОЭффИЦИСПТ лппеiiпоrо расширения,
а таЮ1\е, ПрIIIIЯВ значения юдулп Е II 1\ОЭффИЦIlспта Пуассона р.
соотвстствующш.ш среднеЙ те:\шературе СТОНIШ, ЗaIШШС:\I обобщоu-
вый ЗЮ\ОII rYI\a в виде
', (а, a,. 1"0) + а' (r) COllst; I }
Ет == Е (a r 11- cr z 11- а и) + at (r); (15.36)
1
Ео == Е (аи 11- a z 11- a l') + at (r). J
Решив эти уравнеuия относIIтс.тIыIo папрлжепиii, получим
Е
Oz == (1 + 11-) (1 211-) [(1 !J.) Ez + {Hr + 11- Е о (1 + 11-) а.Е (r)]; (15.37)
Е
a r == (1 + 11-)( 1 211-) [( 1 !.I.) Е/, + iJ.E& + !.I.Ez (1 + 11-) а.Е (r)]; (15.38)
Е
ао == t 1 + IJ.) (1 211-) [(1 IJ.) Ео + lJ.E/, ,- p,:z (1 + 1.1.) '1Е (r)]. (15.39)
Имея в BH1IY, что
du u
Er == (1r и Ео == r '
(15.110)
после подстаПОDIШ n ураВllОПIЮ (15.1) DыраiI<ОllllЙ (15.38) и (15.39)
найдсм
d 2 u + 1 du u 1 + 1.1. dt (r)
dr 2 r' dr f2 == 1 i.l. а. .
(15.41)
Зная закоп изменения те:r.шературы t == f (r). нз уравпеппя (15.41)
:\ЮiШЮ определить персмещеппе.
Персписав (15.41) в вп,']:е
[ . d (ur) ] == 1 +. (.l. 'J. с/Е (r)
dr r dr 1 [). dr'
lIосле двукраТllОТО IштеI'рllрОШШIlЯ i>TOro ураВllешш 110.'IУЧШI
т
1 1 + 11- С2
и == . 1 аЕ (r) r dr + C1r + .
r 11- r
1'1
(15.42)
Посто.;пшые пптrrрП}Jовашш С 1 II С 2 ОПрС;(СJIlВI 113 условиЙ для
cr r па BIIy'TpcHlleii n ннруашоI1: поверХUОСТII ЦII.:IlIпдра
(::;/'),:;1', == о; (a/')r:;r2 == О. (15.43)
404
Внеся (15.40) и (15.12) В (15.38), буде\1 П\fеть
r
Е [ 1 + fJ- 1 С, C z [1- ]
cr r == 1 + 1 '""2" at (r) rd,+ 1 + 1 z .
fJ- fJ- r .:.? r :;.
т.
Подставив это выражение в (15.43) п решив полученпую при ЭТО t
систе Iу' ДВУХ уравнений отпосите.ТIЬНО 'IIОСТОЯIIIlЫХ интеrрироваНIIЯ,
найдем
Т2
(1+fJ-)(1 2р.) 1
Ci == 1 . at(r)rdr [J-Ez;
[J. '2 '1
Тl
2 T
1 + fJ- '1
С 2 == 1 . at (r) r dr.
[J- r 2 rl
Тl
После подстаНОВI\И (15.40) в (15.37) (15.39) с y eTOЫ (15.42) и пай.
денных значенпЙ С 1 И С 2 ПОJIУЧII:\I
Е l 1 T ,2 r 1 '2 ]
ат == 1 ""2 at (r), dr + 2 2 2 ае (r) r dr ;
..... [J- r (r 2 + rl) r
(15. 4)
ав == 1 Е [ r ае (r) r dr + 2 ;i r at (r) r dr at (r);
[J- r J (r 2 rl) , 2 j
Тl т.
Т2
cr z == 1 Е u. [ 22!). 2 \ 'аt(r),dr+(1 [J-)Еz tJ.t(r) ] . (15.46)
· '2 rl '
Тl
Неизвестная величина Ez, ВХОJ];ЯЩая в последнюю фОр:\IУЛУ, в слу-
чае свободноrо расширения Ц1ШlПI,1ра мощет быть найдена И3 условия
отсутствия в ПОIIсреЧllо:\t сеЧОIШII ЩI:lIIн: ра ПРОДОJIЬПОЙ силы:
(15.45)
2;-; Т 2
N == i . crzr dr d'f == О
о т.
(15.47)
If.ТIИ
Т2
i crzr dr == О.
Тl
Подставляя в последнее равенство вырашеппе для а , (15.46), найдем
Ez == 2 ( a.t (r) r dr.
r2 ' 1 J
т.
с учетом полученноrо вырашопия E фОР\lу.1Jа (15.46) ПрЮlет ВИД
Т2
P ( ') )
cr z == 1 J a.t (1') , clr ;J.t (r) .
[J- r2 r 1
Тl
(1J. 8,
40
Т,
Вычислить пнтеrраJJ аС (,), dr и определить папряжепия поз-
r1
можно, если известен закон изменения температуры t (,) по толщине
стен ки.
При .лuиеUМ.ff- запоие ua.meJ-tеJ-tUЯ температуры
t (r) == т '2 r ,
'2 '1
rде Т == С 1 С 2 ; С 1 и С 2 температура на внутренней и наружной
поверхностях цилиндра соответственно.
Подставив (15.49) в (15.44), (15.45) и (15.48), после иптеrрирова-
пия найдем Еа.Т [ r ( r ) r r ]
<1т== ::3(1 1-L)('2 rl) r 72 1 f2 r r ; (15.50)
Еа.Т [ r ( , ) , ': ]
<19 == ::3 (1 ) ( ) 2r + """2 1 + 2 2; (15.51)
[1. r2 r 1 r "2 r 1
Еа.Т [ 2 (r ' ) ]
<1z == ::3 (1 )( ) 3r 2 2 .
I-L '2 " '2 '1
Напряжения у. вuутреннсй поверхпости цилиндра при r == rJ будут
(a r )r==r1 == о;
Еа.Т [ (, , ) 1
(аВ)Т==Т1 == (a Z )r==r1 == ::3 (1 [1.) (r 2 'I) 3r 1 , '; J'
у нарУ.жной поверхности при r == r 2
(а т )r==ra == о;
Еа.Т [ 2 (, r ) ]
(ae)r==r == (az)r==r == 3 (1 ) ( ) 3'2 2 2 .
2 2 I-L '? " ''2. r 1
а
о
Рис. 28()
(15.49)
(15.52)
} (15.53)
} (15.54)
Эпюры распределения температууных напряжений по толщине
стенки ЦИлиuдра с отношением k == !) == 0,5 при [J. =:; 0.3 приведевы
'э
на рис. 280, а.
406
в случае ЛО2ариф.\tu'ЧеСКО20 закона изменения температуры в
rолстостенноrо цилиндра
т 1 ,'},
t(r) == п .
111 '
'1
После подстаповки (15.55) в (15.44), (15.45), (15.48) и выполнения
иuтеrрироваuия фОрМj'JIЫ для определения напряжеIlИЙ а т , а6 И a z
соответственно будут И lеть ВИД
а т == Еа.Т ,'}, [ ln + .,' '}, ( 1 ': ) 111 ] ; (15.56)
2 (1 {L)l11 ' r; '1 ' '1
а6 == Еа.Т, [ 1 lп . ( 1 ' ) lп ] . (15.57)
2(1 {L)ln....!. , ,; , ,2 '1'
'1
a z == ЕаТ '2 [ 1 21п 2 2, 2 ln ] . (15.58)
2(1 {L)ln , '2 'l '1
'1
стенке
(15.55)
у впУ.треПIlСЙ поверхности цилиндра при , =='1 напряжения
( а r )i'==rl == о;
(аО)Т==Тl == (aZ)r=Ofj == ЕаТ, [ 1 ln !J... ] (15.59)
2 (1 !.L) 111 ..2. r; .,..... ,i '1'
'1
У нарУ.жной поверхности при, == '2
(а т \==Т2 == о;
(а6) Т==Т2 == (az)r==ra == ЕаТ, [ 1 ln !J... ] . (15.60)
2(1 {L)ln ': ' ' '1
Эпюры распределения тюшературных напряжений по толщине
стснни цилиндра с отпошением: k == !i. == 0,5 при !.L == 0,3 в случае
'2
изменения температуры по лоrарифмическому закону представлепы
lia рис 280,6.
Вблизи торцов ЦШ1Индра паПРЯi1\ения, определяе\Iые с помощью
приведенных формул, MorYT Юlеть место .ТIИШЬ в том случае, если
торцы будут IlаrружеНы поверхностной наl'РУЗl\uii, изменяющейся в
соответствии с формулой для a z .
87. Расчет вращающихся дисков
Вращающийся ДИСl\ обычно испытывает растяжение ПОД дейст-
вием центробежных сил, являющихся для пеrо основной наrрузкой,
а также изrиб. При неравномерном Harpcne в нем MorYT ВОЗНИIшуть
11 температурпые напряжения. Обычно nаrрузка и температурное
ноле симметричны относительно OCII ДИСI\а, вследствие чеrо напря-
жение является фушщией расстояния от оси вращения.
Рассматривая тонкий ПЛОСIШЙ ДНСJ\ IIОСТОЯIШОЙ толщины h,
можно считать, что напряжения по el'o толщине распределены равно-
407
:>оюрпо, а тШРШI\I'fIПЯ, пара.тшельпые оси диска, отсутствуют ( Z == О).
Таl\ИМ об р(ЫО I, :1ада ча определеllИЯ llап ряжений в ДИСI\е сводится к
1'<1.1\ llааывае IOЙ шюскоii задаче теОрПIl уп pyroc ти, а ЮIСШЮ к :зада че
u П:ЮСI,О:>О1 llaIl ряшеliНО 1 состоянии.
Ес:ш ЩIСI" удельпая масса матеРllа;ш I\OToporo равна
l B l la-
g'
щаетсн с Т:lOвой cKopocTыo (о, то массовые силы, действующие на
выделснный элс [Спт ДIlСIШ (рис. 281, а), MorYT быть представлены
раВllодеiiствующей (рис. 281, б), лежащеЙ в среДИllНОЙ ШlOскости
a e ellTa II равпой
(/т(,}2 r === l llr (16 rlr . w 2 r.
g
........
.... --a.h rd (}
..... d()
....,....
а
о
Рис. 281
fhrd8drUJ2r
X
""'" .....
{:j
t
../.,
Запишом условие равповесия элеыента, спроектировав Все силы па
ось х:
da r i
r + r ао (O.r 2 == О.
dr g
rеО IетричеСКIIе п физичеСI\ие уравпсшш при расчете ДIIСКОВ
такпе же, как 11 в задачо JIШlе «15.2) (15.4». Поэтому дифферен-
циа.тIьное уравнение (15.61) в перемещениях с учетом (15.4) примет
вид
d 2 и + ! . (lu == ......:... 1 1J-2 . l (0 2 r.
dr 2 r rfr,2 Е g
Переппсав (15.62) в виде
d [ 1 d (и, ) ] 1 f1- 2
dr r'
J . (02,
g
и проиuтеrрпровав ero последовательно двашды, пайд<ш
С 2 1 /J. 2 А( 2 3
и==Clr+r 8E' g(O '.
Подставив (15.63) в (15.4) буде I иметь
ar==CI+ 3+1J- 1(J)2r2.
r 2 8 g ,
С 2 1 + :1р. А(
aO==CI r2 ' i w2r2,
rде
Е Е
С 1 == 1 1). C 1 ; С 2 == 1 + f1- С 2 .
408
(15.61)
(15.62)
(15.63)
(15.64)
(15.65)
(15.66)
Постоянные С 1 П С 2 (С:Iе;J,Oватс.1ЬПО, С 1 и ) определяются из rpa-
пичпых условиЙ. Для дисна с цснтраJIЫlЫМ отвсрсти<щ в обще:\1 слу-
чае Иl\lее:\f следующис условпя па I3путрснпеl\1 (1' == 1'1) n впеmне:\1
(1' == 1'2) контурах:
(O'r)j'==r 1 == (;Тl;
(G r )r==T2 == G T2 .
в соотпетствии с (15.64) эти услоJЗПЯ JI.ают два ураВПСllПЯ:
С'2 :) +- :J. '( 2 2.
о' == С 1 + """"7 . (.> 1'1
rl ": 8 g ,
С 2 : + [). "( 2 2
cr == С 1 + . . . (,) '.,.
Та , 8 [!.
Решая СОв:llестпо эту СИСТСl\IУ двух уравпеПИll, па хо;],ШI:
2 2
1'2 1'1 З + 1). -( ( '2 2 )
С 1 == G r2 т----2 О'Т! + 8 (\)2 1'1 + "2 ;
1'2 1'1 "2 1'1 g
2 2 2 2
1'2'1 "11'2 :3+/).'( 222
С 2 == с Т 2 а Т1 в---- g w 1'1'2'
1'!. 1'l 1'2 1'l
в случае, коrда O'r. == О II а т ! == О,
3 + 1). "{ 2 ( 2 2 )
С 1 == в------ . g (,) 1'1 +- "2 ;
з + 1). '( 2 '2 2
С 2 == . i (1) 1'1'2'
(15.67)
(15.68)
(15.69)
(15.70)
Подставив последпие 3ШIЧСIIlIЯ С 1 П С 2 В (15.61:) II (15.65), получиы
., "
3 + (J. "( ( '2 2 ';,; )
О' Т == . . (,)2 '1 + ". ,,2 .
8 g -,.2'
", . (О. [(3+ 1') (ri + 7; + 7 :; ) (1 +3:') 7']'
Обо;шаЧIlR
!'..!.. == k;
1''l.
l' :3 + !)."( 2
== р; . . (,)21'., -== С'
''2 8 g ,
1 + :11).
3+1). =-=Пl.
може:\1 записать:
С Т == С [1 + k 2 (1 ? ) 2]; I
СО == С [1 + k 2 (1 + 1'2 ) тр2] .
(15.71)
(15.72)
(1:>.7:1)
(15.74)
409
Напряжение а т положительно и достиrает наибольшей величипы
при р == Vk == V rl :
r2
(аТ)тах == с (1 k)2.
(15.75)
Напряжение 0'0 также положительно при всех значениях р и
достиrает максимума при р == k:
(аО)тах == с [2 + (1 т) k2].
(15.76)
Из сопоставления (15.75) и (15.76) следует, что всеrда имеет место
не равенство (ав)тах> (ат)тах' Поэтому условие прочпости должно
быть записано (например, по IV теории) в следующем виде:
а энв IV == (аО)тах == с [2 + (1 т) k2] -< [а]. (15.77)
в случае хрупкоrо материала следует пользоваться теорией Ку-
лона Мора, иоторая при аз ==a z == О приводит К той же формуле
(15.77).
Формулы для определения напряжений в сплошном диске (rl==O)
на основании (15.64) и (15.65) будут иметь вид
а , == С 1 3 + [J- ..l w 2 r 2 .
8 g ,
1 + З[J-"'( 2
0'0 == C 1 . g . w 2 r .
(15.78)
(15.79)
Если внешняя наrрузка на наруЖIlОМ контуре (r:::::: r 2 ) отсутст-
вует, т. е. а т2 ==0, то соrласно (15.78) находим
3+fJ- "'( 22
С 1 == . g . w r 2 == с. (15.80)
Подставив (15.80) в (15.78) и (15.79), будеи иметь
а т == с (1 р2);
ав == с (1 тр2).
(15.81)
(15.82)
Оба напряшепия положительны и увеличиваются с приближснием
к цсвтру, диска. В центре диска при р == О
3+/J. "'( 22
(ат)тах == (ав)тах == с == . g (U rz.
(15.83)
Соrласно (15.3) радиальное пере.\lеЩСШlе
и == Ев . r.
(15.84)
Так как
1
Ев == Е (ав [J-:J r ),
то
r
и == Е (ав [J-cr r ).
( 15.85)
410
ДЛЯ опредеЛ(lПИЯ пере fещсния на наРУЖНО 1 ROHType диска в фор-
мулу (15.85) НСОUХО;1,ШIО подстаВlIТЬ ;значенил r == r<!; "о == а0 2 ; a r ==a r2 .
В с.ч'чае нераВНОЩ рIIоrо паrрева дисна 1, нап ря,кеНПЮI, вызван-
ВЫМ центробежными СИ.'Ш.\Ш 11 НОIIТУРНЫ.\Ш паrрузками (если тановые
Юlеются), С.Т[едует прибавить те.\fпературпые напряжения. Тсмпера-
турные напряжтшя опре,1,СЛЯIOТСЯ Tal, же, Kar, и в толст()стеНПО 1
цилиндре, поэточу уравнсние равновесия (15.61) при w == О б удет
совпадать с уравнеНlIе I (15.1):
dcr r
r dr + a r '4е == О.
('15.86)
Относительные дефОР faЦИИ с учеТО 1 те IПсратурпоrо расширения
определяются следующими выраЖСIIИЯ IИ:
', (a, .,)+at(r); }
Ео == Е (ав r-ar) + at (r).
(15.87)
Решая СОЮlестно эти уравнения относитепьпо напряжсний, найдем
Е }
a r == 1 r-2 [Zj' + r- B (1 + ) а.! (r)];
Е
а и == 1 r-<! [Еи + r-EI' (1 + 1-L) a.t (r)].
Учитывая (15.2) и (15.3), получим
a r == 1 EfL2 [ +fL (1+ l)Ctt(r)]; I
аь == 1 !r- 2 [ + 1-L (1 + r-) at(r)].
П ри линеЙНО 1 изменении те lПературы вдоль радиуса
r rl
t (r) == Т последние выражения ПрИПIВIaЮТ вид
rZ rl
Е [ dU lt r rl ]
ar== +IJ. (l+:J.)a.T ;
1 /1. dr r r 2 rl
Е [ U du r r 1 ]
ао == + 1-L (1 + !J.) аТ .
1 IJ. r dr r2 rl.
( 15.88)
(15.89)
дисна
(15.90)
(15.91)
Модуль упруrости Е II коэффициент Пуассона /.l. полаrаем постоян-
ными, не зависящими от те шературы, и равными 1IХ значениям при
среДIIСЙ те шературе дисна.
411
Подставляя (15.90) и (15.91) в уравнение равновесия (15.86), (iудсм
lJ\iCTb
d 2 u + . !!:. == 1 + iJ. аТ.
dr'!. r dr r 2 r2 ...... rl
(15.92)
Записав ЭТО уравнспие в ВIIде
[ . d (ur) ] с-=: 1 + fl аТ,
dr r dr r 2 r l
после дnойпOl"О I1нтсrрпроваПIIЯ ПОЛУЧШI выражеuпе для пере lещепия
82 1 + fl 2
U == B 1 r + + ::3 ( ) aTr .
r r 2 r1
(15.93)
ПодстаВIIВ (15.93) в (15.90) н (15.91), для напряжений пайдем
В 2 Т
IJ r == Л 1 + 2 3 ( } a.Er;
r r'l r 1
('15.94)
n.) 2 Т Е '
Со == Н\ ' 2 . а 'r,
r , r'!, r 1
(15.95)
rде
В Е ( B + a.Trl ) .
l 1 ,
1 [). r 2 r1
Е
В 2 == 1 + fl В 2 .
Постояпные В 1 П В 2 lOrYT быть опрсделспы из rрапичпых условий
при r == rl; (crr)j'=ort == C rt == О и прп r == r2; (cr r )r==r 2 == о.
НапряшсПllП 01 ЦСIIтроБСfIШЫХ СIIЛ II те:\шературпые папряжения
слсдует ПРОСУММllроnать. 13 случае лпнеii:поrо ШВlепешIЯ те:'.шературы
вдоль радиуса, СЛОfIШВ правью части выражеппй (15.64) и (15.94).
а таюне (15.65) и (15.95), буде:'.f lшеть
L 3+fl "( 22 Т Е
а т === D + . О) r а r'
r 2 8 g J (r2 rl) ,
L 1 + 31). "( " " 2 Т
Со ::::: D 2' . . (J) r . aEr,
r 8 g 3 r2 r1
(':tC D == С 1 + В 1 ; L == С 2 + В 2 повые постояпuые, которые надле-
ilШ 1 оп рсдслить ИЗ rрапичных условий.
412
:g I
в I::
gb?
O
tt:
=8
z::: s:
:Е!:: О
tt:Q:) Е-<
g. "8
;З 5
8 О
fi
r:; t::::
r:...,
::f
:=
\0
Е--<
:.:
с:.>=
::r'E--
0<:.>
Е-оо
(I):I::
;;::0..
....<:.>
c:.>
S-o"-
=
ф' >-
o..o
(I):!:
=<:.>t:t
с:.>С':5
Ф о..
о;:;:
:::0..
Si
С'3;:;:
=r::
p.,::r
0=
О
С.
=:
=:
=:
:r
s=
ф
r,..
с
Е-о
с
Е-о
1':
>ri .,
C'3:s1
:!:Е-<
::<<:.>
00
Е--:::
t=
о..
tt:g
=0"-
B=
:E: :>а
tt: 0 ....
@'gg
2е:о..
-g s
C'3r::
r:::sI
::r
:з
1':
с.
с
-&
ф
:а
==
Е-о
с"
I
a::
==
....(1)
Р->о..
0..=
C'3
=
С'3З
=
U
::::: ;:l..
I":i
З а
а :З
@8
'1
" .......
I / g 1 1
I .,....
11 о "
t'f' 'l u'"
11 11 11
() JJ lj1
.1 1 ""
I ::::: + J
....... ...........,
::"II
I .....,
11 :1 11
...
t,
.......
.......
.......
'"
:J::
'")
О
I
u I
....L
I
.....
Q
u
:::1
5
11 е.
, E: :3
IJ с
I
1:)0
'': 11
" '"
11 t)
.... 11
:=:
g
::Q а
Q,
;;2
"":' =
' !! ' Ij 1 1 1
" I
::: 11
ь
t)
.,
I
-=>
t,
'"
u
с:
u
......
е
ё)
[,
""
D
'"
t,
C'Jl.J , +
+ +
+ .... ....
" ...... ';L ';L
........ +
) "1
r------------,
=" ' i " ....... r------------,
:i 01........1....
с:.. о.. "1 -, .... !
I ;:; ", .... р..
"" ...... ........
...... а .... -----. -----. :!
5 ':'1..... + '-" :j } """
.... s GJI("\1 + .... +
"'"""" ..-( .,.... a<'>
;::i .... 1 ,....j :; ';'.1 ......
;:::", ':'1 C\I + .... '-" r::r С'..
:;.1 + +
h ::а .... . ::::::1
;:::", <,>"" kJ
.... -::.. .... I ....
11 ::а :з I
Q, о... е- 11
:J:: ::: е- "
.... ;:;
о ::: @
C'J О CQ :::
-I ' i
:I l I-:,
......
I I :I < I <'f
,;,1-:-1
....
11 11
"-
ь ..::>
1:)
s::;.,
:.--.:=
t::
0...::;2
ф
8
r. !-' о
::::: с..:>
:::r:::::: 5:j
&
о.
+
R
s
::
5-
,.....
:::
@ ::;:
::а
t; I
' " У
I " '
О If
11
...
u
""
u
"' 1':..
.,....
Ii:: /1-
+
р..
s
з
5-
О::а о...
....
,..Q .....
с......
."
;t ::::
:-:::f
-
O
t: 1 '" ...
....
р.. . " I
;.!:; -
Q. ""i.'
I
о
11
1 '" ..... ' ' ...
'N "" .... "1 '" ....
,, , . t , ,
I I
11 11
.....
...r ..
0:.-.....
...... О..:::::
=
с:......ё3
::-r.....
;:з
ё;:"1.
3 t; е
::::: С
<:.J ...,
'- -=>
u ь
'"
ь
'"
ь
l ;;
.
-i
'с
t:
Q)
==
g 5 I..
;:g:€ .... I ....
g 11
=
=Q
=
O
;:
g. '8
2
фS =
;Зё? О
t;g
....
"-'
::!
;J:
с
(t:)
с
1::<,
t::
:>:
ф-"
gg
Ь<.....
с;;<
:::с.
;:r::c:.>
с:.>:!:1
:::r0....
ф=
o::
с.о=
Q):>::i:1
i:u
ф с.
О:>;
I=:;:r::
03::;:
=1:;
E
=:
:J::...
t;'u
00
....::::
I%)
с.
а::Ф
5 '"
i:<:\\
9 u
o
c.:>:::f
t:: U 03
fg Q.
фс.
з::::
tI::::
I=:
03=
t;=
.'::::
s::
iEtr.
?>Q.
E-
O3
.,....
::a
t::
U(7;)
-:'1
I
'I;' I
11 11:.....
'- I
ь:::,
C::J " -::-11""'/
'-
р.
:::{
=::1 ....
.... 1::<,
.... ....
а
.....
.....
:Е
r,..
:::1
r,..
о
X!
11
:::
С''' :>J
'-
о:
""....
1::::
:::{<:.)*=
О p. ::t:I
,
::х: :::
::::
::t:I ....,
r: C::J
at;°o
:
Q
t>
+
..... j
"....
R:
I
":'-S e-l
."
C\I ":'1
"."-....
\
+
I t
-:"I
'"
'....
I r...
-:l-:J
'-
"" ""
c,,
r...
...
t>
-:-1 """
'-
".
1::<,,,,
I 'i
ё:: \ ....
11
""
р.
",,>5
::::
Q
>-:::
i;
::i
е-
@
CQ
11
1\
:::
N
t>
+
r...
0:1 -:'1
I
.
:1 .....
'-
.;:
";.. f"'8i
I ""
....
р:. ""
'-
t.'J I
t;J
I
+
L
I
..... \"'t
"'....
""....
I 1...
';-I I
-:'JN
r...
Q
Ь
С'1 ....,
C-1
+
r .1 а в а 16
РАСЧЕТ ТОНI\ОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕI\
88. Расчет ТОПlюстеllНЫХ оболочен
по беЗ:\Юl\lентноii теории
I{ ТОНКЮJ оболочющ MorYT быть отпесспы rщстерпы, nО;J:опапор-
пые реэерпуары, ВОЗД 'IПпые и raaOnbТe Gалопы, нупо:rа ;щаппй,
rер:\fетичесrше перf'I'ОрОДКИ в са:\Jолстах и судах, аппараты химиче-
CKor? машиностроения, чаСТ]J корпусоп турбин п реа.I\ТИВПЫХ двиrа,
'fслеи и Т. П.
а
о
Рис. 282
Расс roТрИ!\f ЭЛС:\lСПТ оболочтш, поу\а:J3ТШЫЙ па рис. 282, а, 6.
В общем случас n сечениях, RОТОрЫ'.1И выделсв э.:тО:\Jент, будут дей.
ствовать поrОllпые (отпосснные к Р,llТППЦО Щ1ИllЫ сечения) усилия
(рис, 282, а) и MO:\JCHTbI (рис. 282,6): IIОр:\Jальные усилия N 1 И N 2 ;
RасатеЛЫIЫе (сдвпrающпе) УСIIЛИЯ 81 1I 82; поперечные силы Ql И Q2;
изrибающпе l\roщ'пты Лl 1 п JI,f:!; r;рутящне l\JO:\fCIITbI 11-11 Iф И 1112 ир'
J'чет псех псречпсленпых сп.тювых факторов при расчете обо.'Ю-
чек прпвол:ит к песьма С.'ЮЖПЬJ:\1 I1СХО:ЩЫМ rщффер('нциа.;тьным урав-
неНИЯ:\I, решение ЕОТОРЫХ дате ДЛЯ простых случаев сопряжено
с большими мате:\taтпчеСI\IШИ трудностюш:. По l\lпоrих случаях ИСХОД,
пые уравнепия MorYT быть СУЩССТfЮБПО упрощены. Этоу'о можно
достичь ИСХОДЯ из СЮJOrо харю\Тера адачи. По.первых, если обо-
лочка прсл:станляет собоЙ тсло праЩСIIIIЯ 11 паrрузка си:\шстрична
относительно оси оБО.1IОЧIШ, то за;JД 'Уа па;зывается осеС/lJt.чеm РU'Ч1Юй
И в ЭТО:\1 СJIучао по всех сечснпях, оорп;юванпых ПЛОСJ;ОСТЯЫИ, прохо-
дящими через ось СШШСТРШJ, II ОрТОI'ОШШЫIЫХ ии ссчениях имеют
место рапепствп
1I1! I\р == 1112 HP == 8i == 82 == о; Q! == О (или Q2 == О).
Во-вторых, если по ппду оБОЛОЧJШ, xap3KTrpy пзrру;нш II занрепле-
пий можно по тем ПЛII ШIЫМ соо(,раЖСНПЯ:\f приЙти I\ выводу, что
l\аЮlо-либо усилия шш l\fO:\JCHTbl всюду малы по сравнснию с осталь-
415
ПЫМТI УСПЛИЯl\lП 11.111 мочентаl\Ш, то ПрllШI:\laIОТ допущение, что ЭТИ
УСП;ШН 11 l\1Ol\ICПТЫ равны пулю. I1аПРПl\1ер, часто ПО.1Iаl'ают, что
М 1 М 2 l}! 1 HP JlI 2 HP == о; Ql == Q2 == О,
11 JЗ реЗУJIЬПIТС ПРИХОДЯТ н таl\ па:\ЫJЗаСl\lоii без.ltо. tСllIппоЙ теории
оБОЛО1fСfi.
n чаСТIlОСТИ, бе3:\ЮЩ\lппоii: теориеЙ оuолочет{ пользуются при
определении наПРЯil\Сllllй в pe; cpB 'apc (рпс. 28; ), продстаIЗШ-JIOЩО 1
соuоЙ ОСОСII:\I,\IСТрII'ШУЮ оБОЛОЧI';У. GY;LC:\I СfштаТI), '!ТО !\fСРIЩlIOПНЛЬ-
пые СОЧОШIЯ СРС;:ЩНllоii поверхности оБО.'10ЧJ\II образуют плаппые I';РЯ-
выс, а ТО.'1ЩИlШ ОUОJIОfllШ 11- ЯJшяется :\I<шоii по сравпению с раДllУ-
сами l\рПВИЗПЫ. Топн'! В случас :1аНрСПЛСlJIШ нрасJЗ рСЗСрJЗуара таl\ИМ
Рис. 28
rис. 284
оGраЗО:\I, что па ППХ l\IOrYT ,J;OUCTnOBaTI> ТО.IЫЮ уСIlЛПЯ, I\асатсльuые
1-\ :\lерпдионаЛЫIЫ:\1 НРИПЫl\J, I\ЮiЮIO счптать, что оболоч!\а lIаХО;J.IIТСЯ
JЗ БО:!l\Юl\ICIIТПО:\1 паПРЯfI\('IШО I СОСТОЯШШ.
Резервуар, ПОf\аааIlПЫЙ на рис. 28: , заПО.'1IlСlIIшii (ПОJШОСТЫО пли
час1'ПЧПО) rа:юч, ЖllДl\ОСТЬЮ пли сын) ЧЮI всщсством, В I';OTOpO:\1
;ЩВ.'IСНlIе ОДIШaI\ОlЮ во всех ТОЧI\ах П.10СI\ОСТП, нсрпеll,J)шулярпоii к
осп рсзорвуара, предстаJЗ.'1нет собоii оБО.1IОЧI\У, пахо,J:ЯЩУЮСЯ не толы,;о
в БС3l\f0.\fCПТПО:\f, ПО II В осеСJШ I\1СТРПЧIЮ.\f паlIрЯЖСIШО f СОСТОЯIIIШ.
ВЫДОЛИl\I из расс.\штрпвае:\lOii 060.'JO'lI\ll ПРПl\fоуrольuыЙ: I';РПВО,ТIII-
псiiпыii: ЭJfе:\ICПТ AUCD, нровс;щ JJ:па б.11J.\I\IIХ ОССВЫХ ССЧСIIШI JI IЩ
0PTOI'oua:IbHbIx н IIIШ 11 К ПОJЗеРХUОСТII ОUОЛОЧI\II CC'I('I1I1H. Оi)0:т1l'iШI
JJ::ШIIЫ rрапеli :ЫС.НСllта ЧСрС:J (Is[ н dS 2 (рвс. 28 ). 1.3 I'рaJJЯХ ;):Il':\ICIITa
СООТВОТСТВСIllIO бу; ут деiiствовать раСТНI'ПВaIОIЦIlС УСИЛIlЯ (в С;Iучае
Шlутреuпоrо даВ.rIСIШЯ) N Z (]Sl II N1(ZS2' 3; CCI) N 1 И N 2 соотвстстпеппо
нориа.lbllые усп:шя, IIрПХО; ЯЩIlССН Ш\ (,; ШШЦУ. ДЛIIIIЫ нонтура ;):Ie
l\I епта,
N 1 == =t . h; N 2 == С т . h,
(1а.1)
rде аl 01ifJ!J.JlCIl()(? (шпротнос ШШ J\ОЛЫ ('JЗОС) 1l0р.1tПЛЬ1l0е nаnряжеlluе,
uапраП.;JrllllОС НО IшсатслыlII к OI';РУilOIОСТП радпуса ?t == Рl; а т
.1и' риииОllа.1 ЫIOС 1/0 fJ. tа.1ыюе пап [JЛЖСНllС, нап ра B.ТIcllHOe по насатсльноii
1\ l\Iерll;щану С ра; I1УСОИ Рт == Р2'
РаСС:\IOТрIШ условнс раUIfОВССllЯ ЭЛО:\lспта, СПРООI\ТиропаJЗ па IfОрШ1.'f1>
OOi (рис. L8 ) ПIlутреНПIIС усилия, дсiiстпующис ПО КОПТУРУ ЭJlе:\lента,
416
в. пшще дв.Dлепие р, дойствующее па выдрлеппыir элещ'пт п:'Тощздью
dS 1 . ds z :
2N d . dCfi + N " . d Y2 + Л Т dN ) l ' " d Y2 " о
1 82 SШ 2 2 'S1 SШ Т (2 + 2! -'1 SIll Т fJdSld 2==
Учитывая малость тлоп d Y1 И d Y2 И пронебреrая во:шчппюш
BToporo ПОРЯДJ{а MaJIOCTlI, паХОДП.\1
N i + N 2 ::::: p .
Р 1 Р2
(16.2)
Учитывая таижо (16.1) II то, :что Pt::::: Рl П Рт::::: Р2' па оснопашш
(16.2) получим
I
+ 12! E
pt Рт h .
(16.3)
Уравпение (16.3) называется уравне1l11е.l! Лапласа. Для опrС'J е:lе-
пия двух неизвестных at и й т ОДНОI'О УРilВШ'lIШI Jlапласа по;юста.
точно. Пторое ураВIIение лоrко можно ПОJiУ(ШТЬ из раССI\ЮТрОIIIIЯ
условий равновесия нижней :части оБОJIОЧНИ радиуса r. отсеЧСIIlIOll
коничосной ПОВСРХIIОСТЬЮ А 1 п 1 В 1 (рис. 285):
N 2 COS а . 21tr....... p1tr 2 Qж Qp == О.
[де Qщ вес жинкости или сыпуqсrо тела, находящеiiсл в pacc IaT"
rпвасмой части резервуара; Qp соuстпенпый вес раСС:\lаТрlIвас IOЙ
части pe epByapa.
. I (]
'о'''т'l " > f '00
' I" ' ':t б;, ."
и '
rllC. 83
РIIС. ?86
Отсюда 110Н)IlIJое YCIl,'III(' в 1,(I<'l'\.ill jlIIBaf'.\IO I ССIJ('IIII11 СТСНЮJ (jудот
i r ().,. + (J п
.\';! =-= п;:; I :!;.>ca .:( (16.1)
J!!i l ; A' , .\I('l'IЦllUl1ШII.!IОО llOp\ia.'I!,lIlJl' lI<111P:I;I;l'111;..) ;,/\ CO":I<1.<.:I/O
OIlP0;J, .'lII:,1 п:i <! OjHIY:ii.I
(r , ();!, 1.(1])
С т == '211 CO '-1 Т '}:т:,1L COS '-1
( 1 О. Ц
( Н).5)
TaI{ 1\31\ ;;;цачз ОllРС,lслt'IJIIЯ JНШРЛif;r>f!JI ir в СТР!fЮ1Х pe epByapa
IН'L1IaJШСЬ в ПрО; lIо.rlOjl\(!IlIIlI, что I1аПРНil,С'IIII:I 110 ТОЛЩIIlJ(' ст())ши рас-
Ilродслены раПIIО\lt'рllO, не бы.10 l!('оi)ХО;llшоспf р:.1СС\fаТ]JI!.ШНЬ rcoMeT
jJНЧССI{УЮ и (I.JII:JllЧРСI,УЮ стпрОIIЫ ;"цаЧIl, т. С. В IIрНIIЛТО!I постаПОВI;О
:\il,lJ\.ча О расчете TO!lJ,OCTCIIIII.IX COCY: OB ol\a::a.тracb СТt\.тн'н:скп опр(-
J\С:Ш!\lOй.
н 15.1186
, 17
IIормальпые наПрЯil\rпия a t И а т , Jl.ействуIOЩПС в площа,'l.Rах,
rде отсутствуют Iщсателыlеe папрящ('нпя, очеШЦllО, являютсн rлав
пыми. Что I,асастся TpeTbcro r.'1aJНlol'O наПРЯШСПllЯ, ШШР:1I1ЛРIlIЮI'О
по ПОр1\lа.111 1\ поверхности о(iо.rrОЧIШ, то опо на fШУТрСlIIll-'iJ Jlоверх-
IЮСТИ равно р, а на паружпой ПУ:IЮ (при впутреШННJ J(аВЛ('IIИИ).
lIосколы\у 1\ ТОlIкостеПllЫХ оБОЛОЧI,ах а 1 == rз ! И а 2 == а т :=шаЧI\ТС.IЬПО
fiолыпе р, п()сле;ЩП1\l по сравпеПIIIО е а, И а т прспебрсrаlOТ, т. е. аз
ПО.lаПIЮТ равным пулю.
СлrЛОПП1СЛhПО, будем полаrать,ЧТО l\IатерllflЛ оболочки находится
в ПЛОСIЮ.\I lIапrяжеППО f СОСТОЯПlIII. ПОЭТО:'lIУ прп расчете на проч
IJОСТУ, 1з ;1,lПIICI\\lOCTI\ ОТ состояния l\JaН'рlIaЛП CJlc.'l.yeT пользоваться
сuотвеТСТВУlOщсii теорпеil: ПрО'l!lОСТll. TaI" по IV теории ПрОЧНОСТИ
УСЛОВИО ПРОЧIlОСТII ОУ,1.ет 1I.\ICТl, пп;t
v 2 2
";)НВ IV == crt + с т G(J m <;: [с].
( 16.6)
Ниже прнпедрпы расчстпые фор ,улы для резервуаров ра:шичпых
(f 01'1\1.
С Ф е р п ч е с 1, п Й б а л л оп ааПО:Iпеll rаЗО.\l, даВ.lение KOTOPOI"O
pa!J80 р. ПО.lстаfl:IЯН в (16.:З) :НШЧСII1IiJ Рт == Pt == Л; а т == at == а,
найдем
2 ==
П h'
ИЛИ
рП
а == с, == а 2 == .
(16.7)
у СJIORИЯ прочнпСТII по ПСрВОЙ, третьеi1 п чствеРТОlr теорпю,f проч-
пасти приuо нтся к виду
рП
а J1ш IV== 2h <[с]. (16.8)
I и л 11 П Д Р п ч е с к п й б а л л о н заПОЛllСН ra30 f, давлеппе KOToporo
равно р (рвс. 286).
lJ ЭТО.\I случае
Pt == R; Рт == 00.
Из (16.3) наХО:lIШ
рП
а! == h .
(16.9)
Напряжсние а т В стспке баллона, отдалеппоii от ero ТОРЦОВ, опре-
цеЛЮ1 по фОР.\lуле (16.5) (полOiКIШ Q;н == Qp == о; (J. == U):
рП
а т == 2h ' (16.10)
или
1
а т == :2 at.
с Ф е р и ч е с к и й r е 3 е р в у а р (рпс. 287) паполпеп ЖИДНОСТЬЮ
(пли СЫПУЧЮf теЛО l) с lIЛОТПОСТЬЮ 1. 13 ЭТО l случае
pt == Рт == П; r == R sin ер; 1I == R (cos ер cos );
р == "(П == "iR (cos ер со:) ).
418
Пз уравнения Лапласа ШIХО;1,IШ
pll - "(R2
cl + С т == -1Z == ,: (соз ер соз ).
(16.11)
(3u(;[IO.тIЬЗ0вапшпсь Форr.rУ.l0il (1в.5), н I-ютороii
Qj\; == I V АВС == 1 -} ..Il (зл lIС) == i R3 (1 со:; ер)2 ( +
+cos:r), (1в.12)
о
о
Рпс. 287
Рис. 288
полошив в пей Qp == о и (J. == :ЮО ер, паiiде f
cr == I П2 [ 1 + соз ер + соз 2 ер соз ] .
т h ; (1 + cos ер) 2
Затеи из (16.11) ОПрСДСJlIШ
с =-= j П 2 [ 2COS2 ер + 2cos ер 1 ,........ cos ] .
t h 3 (1 + cos rr) 2
Маl,СП:VIaльное напряшсние будет в точно С. rде ер == О,
(Hi.13)
(16,14)
,П 2 (1 cos )
С ттах == С/шах == 2h .
(1о.15)
Па "раю обо.1JОЧНИ, при ер ==
r.I ,R2 2 cos соз 2
crm( )== crt(lJ)== ()h ' 1+соз .
(1(i.16)
с Ф о r 11 ч е с R и ii н у п 0.1 радиуса R и с ТО.rIпщпоii rТРII/\И h
IY I rотоплен из 1\1 а териала с ШIOТIIОСТЬЮ 1 (рис. 288). В,'С (' ;tJIIIIЩЫ
1I,1Oщади оБО.7IOЧIШ q == jh. Нормальная СОСТflВ.lшощая
qn == q cos ер == jh cos ер
IfI'paCT роль НflВ.тншпя, ПрШlOiНСПllоrо 1\ попорхпости, и в УрПВПРf/ИIl
.'IаlIласа (1а.:1) слрдуст I10лаrать р == qn, а n ураВНСПlIII (1Н.:) р==О.
Учитывая, что Pt == Рт == R, из ураuнснпя Лапласа наХОДIl:\1
рН
С т + crt == h == '( R cos 9.
( 1(j. 1 7)
11*
419
Иеполиул rI,орl\IУ:ТУ (16,;,)), n нотор()й
Qp =... qS \i '1; ""7. i'/Sл( '1.; . '(II'2..IUI с 7'0 )1 ;:n2 (1 С();;; ((),
Т. О.
()р ,. ;, ;lill:! (! . СО:3 )');
r == и sil1 9; а == 900 9; р == О,
а таЮJ\е учитывал, что в сечеппи АВ вес части АСВ вызывает сжа.
тис, паiiде:ll
1 Н
ат == 1 + COS 9
Тоrда па ур:шпсппл ,(16.17) 11:\lee1\l
1 cos 9 cos 2 «
а[ == ...,п
I 1 + со:) 7'
(16.18)
(1G.19)
]ерlIДllOll:1.:Н,lIые ШШрШIН\lIШI ВСlO;\ ' СII;ШШЮ;ЩIС 11 JЮ;Jрастают
110 l\ICpC уда:Il'!lШI от ПСРIl1ШJI,I I\YllOm1. 1, I,P:1.IO; Ii:О.1I.f(СП!.!(' Пil.lIрЛЖС-
JШЯ U BCpXI1(';'j Ч(J.СТII I,унола UТРlIIщтr.rrЫI/.lС (С;'I,!ВI3IОЩIIl'); ПРIl
9==51050' <J!111 ойращаютсл л ПУ.;!!>. (J. ПрlI 9>;)1050' стаl10ВЯТСЯ
растлпшаЮJJШ.\JII. ПРIIIlС;\СППЫС рс;! 'ш..таты веРШ.I, ССЛII УСТРОЙСТllО
КУПО:Jа ТЮ;ОIlО, что J) ПО.,I l\Юi'УТ воаШIl,ать ТО:IЬКQ рсаJ\ЦI1П, направ-
ЛСШJые по l\acaTP.iIIollOii l\ ;\ICрПДllОllалыюii щншоЙ.
8 ). Распорные IЮЛJJца в оБО;lO'шах
I.::C:11I в lll)I\OTOpO 1 ссч()шш АА] 060:10'11\11 (рис. ::8:1) IОlсется порс
:IO,Н, то I;асаТСЛЫJЫС 1-\ lIIСРll,'топаЛJ..Jюii J\pIlBOi'1 UlCпа и Сllрава от
ТОЧЮI /1 образуют !СШДУ собоii ТОЛ 18(j') (а) + aJ, IIОI"ОНIIЫС УСII-
ШIЯ, JЗы;шанпыо l\lсрпдпопальпыJ\II наПРНII,РI1Ш'\1lI a ll11 11 ат2 (рпс. L Ю)
в сечеНIШХ 1381 11 СС], беСI,()ПСЧIlО GШПIШХ I\ АЛ) (о(iразоиаПllЫХ
I\ОШlчеСЮIl\lII IlоверХIIОСТ1ВlII OlJJ1J 1 11 O'},CC 1 , НорщtЛЫfЫЩI 1-\ сре:иш-
ной !JOПОРХIIОСТIl оБО.'IOчюr), БУ,1УТ раппы G'тl'll JI Gт2h'l.' rде h) lJ Il;!.
ТОЛЩlша чаетеi; ОUО."ЮЧl\JI 7 П 2.
B 1 A 1 C t
Рис. 8 !
Рис. 290
Из УС.10J!lIЛ ра13ll0веСlJЯ !\о.lьца BB 1 G\C ШICе.\l:
(jl'I,/ 1 COS се! 21tr == GI;12' c,os а'}, 2n:r,
или
'lI11h, COS а) == cr I" '}. COS (Х 2 .
420
Таl\И\I образо r, проеIЩИИ этих усилий па ось ()f)()ло'1КИ взашlПО урап.
1I0ВС\ШIВаются. I3 то же llрО IЯ сумма проеющiJ у]\азаНIIЫХ усилпii на
II:IOС]\ОСТЬ АА 1 (рис. 291) дает поrОllНОО радпалыlOО УСll:ше
q == aтl1 l sin аl + a т2 h 2 sin а 2 ,
(16.::И)
I\оторое можно рассматривать I\aK мостную паrрузку, СШШIaЮЩУЮ
оБОЛОЧI\У 11 моrущУ.ю вызвать в оБОoilочке значптельный IIзrиб.
Рис. 291
А
Рис. 292
Чтобы УМСНЬШИТЬ изrпб, в резервуарах часто устанаШIИвают
I\()льца ЖССТJ\ОСТИ, пли раСПОРIIые кольца (рис. 292), I\OTopble п BOC
IIfНJПШlают на сс()л раl иаJlьные усилия q по cXO Ie, ПрИВО; СПIIОll
на рис. 293. n I,Q.1IЬЦО возшшают толыю Сiюшающие шшряжешfЯ,
11 условие прочности д.'Iя кольца. будет пметь вид
qR K
F:"<[a],
к
(16.21)
"ДО R K радиус средиппой поверхности кольца; F H площадь по-
переЧIIОI'О сечения кольца; q поrонпая наrру'ЗI\а, действующая па
I\ОJIЬЦО, определяе IaЯ по фОр:\lуле (16.20).
Рис. 293
ru
Рис. 294
IIIIоrда вместо рас.порноrо Rольца в месте IIЗ':!ОI\Ia создают МОСТ-
ное УТО:Iщоние оболочки, заl'ибая края днища резервуара ВIIУТРЬ
u60ЛОЧRИ, ИЛИ, IIапример таи, нан пока3aIЮ Ш\ рис. 294.
n табл. 36 прпводены расчетныо ФОР IУЛЫ дЛЯ онределения па-
нряжепий и перемещений в ТОIIКОСТСННЫХ о()олочках.
421
Т а б л и U а 36
Расчетные ФОР)IУ.:IЫ дЛЯ определения напряжений и пере)lCщений
в ТUlПЮСТСIIНЫХ оuолочнах
р давлепие; q поrонная наrрузка; а т И CJt меридиональное и
окружное нор шльные напряжения (положительпые при растяжении);
h толщина оболочки; R радиус среДIlнноii поверхности в попе-
речном сечении оболочки; Е, [J.. .м.......... соответственно МОДУЛЬ упру-
rости, коэффициент Пуассона и удеЛЬНЫll вес материала оболочки;
w пере:\lещеНIlе в ш:шраплении НОр fали к поверХlIОСТИ (направление
от оси или центра оболочки считается положительным); . удель-
ный пес жидкости.
Схема
Формулы
Сферическая оболочка.
Равномерное внутрсн-
нее давлен ие
. б т
. fJ е
. &>
р.
рН . pR2
а т == а! == '2h ' w == '2Eh (1 [J.)
Внутреннее давление р == ,R (1 cos а)
Сферическая оболочка,
полностью заПО.'1пеЮIaЯ
жидкостью и опертая
по кольцу радиуса
R sin ао.
.
. -?
422
а<; ао
CJ == .H2 ( 1' 2COg2a )
т 6h 1 + cos а
IR2 ( 2 cos 2 а )
Ct == 6h 5 6 cos а + 1 + cos iJ.
а>ао
CJ == jR2 ( 5 + 2 cos 2 а )
т 6h 1 cos а
. j Н2 ( 2 cos 2 а )
CJt == 6h 1 (; cos а 1 cos iJ.
Про8(нжеlluе табл. 36
Схема
Формулы
Сферический ро.!ер-
пуар, наполненныЙ
ЖИДКОСТЬЮ. 1\ро ши
свободно онорты
--=- ,=
L3ПУТРОIlнее давление р == '(Н (cos cos )
а == '(Н2 [ 1 + cos + cos 2 :p cos ]
т h ; (1 + cos ) 2
cr == '(Н2 [ 1 + 2 cos 1> + 2 cos 2 cos ]
t h 3 (1 + cos ) 2
IIрП :r == о
'(Н2 1 cos
а т == at == h 2 == а тах
пр" cf ==
j Н2 2 cos cos 2
а т == crt == h 6 (1 + cos )
П;JмеПОIlИf> ра.1пуса [{pyra на контуре
д == jR2 sifl (1 + fJ.) (2 cos а cos 2 а)
Eh 6(1 + COSCl)
СферическиЙ купол под
лрйствием собстпенноrо
веса. l\рошш своБОДIJО
оперты
'(м Н R 1 cOS COs21>
а т == 1 + cos ; at == j м 1 + cos
at == О при 1> == 51 о 50'
at < О ПрИ О < а < 51 о 50'
at > О ПрИ а. > 51 о 50'
Сферический купол.
РаВПО lерное нормаль-
ное давление. I\POMI\II
шарнирно оперты па
упруrое кольцо. Мате-
риалы оболочки и коль.
ца ОДИНalЮВЫ
В;lали от краов при II > lOh
рН
а т == crt == 2h
НаПРЛЖ('IIИЯ
а === рН2 sin а [
н 2
в опорном кольце
V Лh ]
c osa 0,39 1 ) .
t sш а
F + О,З9h V Rh t
[де F площадь сеЧОIlИЯ опорноrо кольца
423
п !ю rl п.1Ж('l/lIе mап.1. .'16
Схсма
ФОР IУЛЫ
ДЛПlIuая ЦШШII,J,РИЧС-
СЮ\Н ОUОJ\ОЧI<а е ДНИ-
щами. РаВIIО Н рНОС
ВIIУТР IIIНЮ цаиш.т 110
[3,'l,а:ш от Hpa B
рП рН
От == 2il ; crt == h == II1ах
бтj
w == рП 2 ( 1 1:. )
Eh '2
Ци.тIIlН;J,Р, заПОЛIlt'I1НЫII
II\II: )\ОСТЫО. BCrXHIIO
I"РеШ с[юБОДIlО оперты
cr iHR. '((Il х)1l
m '2h ' °t == h
2R
::t:
)l,JIИIШRЯ I\оIшчсс]"ая
оliоаUЧl\а. Р[)ПlIO jерIlОР
[шут РРШНЧ' да I!:I (')) НО
Вда.'lИ от краев
рх tg а. рх tg '1.
а т 2h ' crt h
Зрх 2 tg 2 а.
w == 4TIE
424
п ро,8олжепuе табл. 36
Сх('м;)
Формулы
НОНIlчсснал оБОJIО'lI\tI
ПОД деЙСТDIIС 1 СОССТ-
вснпоrо веса. I\РRЯ
своБОДIlО оперты
НоничеСI\ая оболочка,
полностью наполненная
жидкостью. I\рая СВО-
бодно оперты
Вдали от н'расв
'( м . х '( м . х . sin 2 а
а m == 2 cos а. ; а t == cos а.
l'адпалыюl' пере JещеПllе края (х == l)
L\ == 1 \ gct (Sin2a. )
При sin ct == V L\ == О
а т ==
IХ tg ct (Il -} х)
'2h COS а
at ==
"( у tg а. (Il х)
h cos а.
3'(Il2 tg а. 3
а ттах == 16h cos а при Х == 4" н
'(H 2 tga. Н
atmax == 4h cos а. при х == 2
ИзменеНl1е радиу:са Kpyra на контуре
'(НЗ tg 2 а.
Д """'!J-
6hE СОБ сх
425
п родО//Жflluе табл. 36
СХС Ш
ФОРМУJIЫ
ЦИЛШIДрllчеСl\ая обо-
лочка с коническим
Дllищем, заПОЛllОllная
жидкостыo
=1.
I1апряжешlЯ D ДПllще
а т == 2 sC1 с% ( Н + 1J и 4 х ) Х
'(Х tg С%
Ct == h cos а (ll + н и х)
Ни
ЕСJ1И Н > J ' то
<J == J Ч (J. ( II Н и ) Н
тшах 'Lh СО:; С% + J и lJрИ Х == Н К
Ни
Если II < :3 ' то
3'( tg С% II Н 2
а тшах == 1Ы cos з. ( + 1\) при
:
х == 4 (Н + н и)
Если Н':> II 1\' ТО
'( tg (J. ( lJ II 2
<J/ шах === 4h cos 'J. + к)
Если 1J -< Н 1,' ТО
а! == '(tgC1 НП
тах h cos с1 к
Н+НК
при х === 2
при х == Н К
ЦШIИНДрИЧОСliан обо
лочка со сферическим
днищем, ааПОЛllонная
ЖИДКОСТЬЮ
426
НапрящеНlIН в ДШlще
'(Н [ х (: я х) ]
<J rп == 2h Н+ lIc x+ 3(2.н. x)
<J mшах == J: (П + Не) при х == О
'(Л [ х (зя х) ]
<Jt == 2h Н + Не х 3 (2П х)
'(Я
<Jt m ax=== 2h (1I + Не) при х==О
Для полусферическоrо днища (Н е == R)
'(Я
а тшах == atmax === 2h (Н + R) при х -= О
п ро8олжение табл. 36
Схема
Формулы
Торовая оболочка. PaB
номерпое впутрепнее
давление
pR 2а + R sin Чi
cr ==
m 2h а + R sin
pR (2а Л) 1t
а ттах == 2h (а R) при == 2
pR
crt == 2h
w == ; [ (1 2!J.) + (1 !J.) cos r]
Значения а т И crt достаточпо точны при
а';;;;:' (2 3) R
rлава 17
РАСЧЕТ КОНСТРУ[{ЦИй ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ
СОСТО Н НИ ям
90. Основные ПОНlIТИЯ О предеЛЬНО1\! СОСТОЯНИИ
п Рllвсдеlшые выше методики расчета па прочность стеРiI\неЙ,
балок 11 нонструющii были основаны на оценне прочпости lI1атериаJlа
в опасной ТОЧl{е, т. е. проводился расчет по BOnYCKae.ltbl.lt lIаnр'</'же-
пилм. Опасным, ШI1l преДСЛЬНЫIlI. состоянием 1\0JJСТРУИЦИll счита.1JОСЬ
таное ее состояпие, при котором lIаиБОJlьшее ЫОСТIIое Н8.пршксние
ДОСТllrало опасной величины llре;tела текучести (для плаСТl1ЧlIOl'О
матеРШlJ1а) или BpeMeHHoro СОПРОТlшления (для ХРУПКОI'О lIIатериала).
СОСТОЯllпе всеЙ остальпой массы материала во ВllIlllfaпие пе прини-
I\ШЛОСЬ.
В то же врс ш ПрИ BepaBIIo lepHo 1 раС!Iреде.'1СНШl папряжеНlI Й,
например при ИJI'Ибе, кручепии, в статически I1еОПРСДС.'IIШЫХ IЮН-
стрУЮШЯХ, IIзrотовлеПIlЫХ из пластичных lI1aTepIlU.10B, llОЯВЛ('1\ не
lIIестных llаllряшеНlliI, раппых пределу теI\УЧССТИ, II большинстве CJIY-
чаев не является опасным ДЛН всей КОIIСТРУЮЦШ в цеЛО:\I.
R свяаи с этим воаНИI\ла lIеО()ХОДИ1l10СТЬ в 110110\\ 1I0:txu:te 1-\ OltCllI\e
ПРОЧНОСТII 1\оIIСТРУКЦИЙ по се пределыl:\Iуy СОСТОЛlIИЮ.
Под преде.'lЫtbl.ч сосrnОJtltие.Л1 КО1lсmру'щии пО1l1О!ОlОrn такое ее со-
сrnО.</'ние, при KOnlOpO.lt 01lа терлет сnособl!ОСrnь соtl/Юfl?lIв.ттьсл впеш-
1lU.lt воздействИя.7ft или перестает удовлетворлnzь nредъ.<tвл.'lе.lIы.}1 ". ней
аJ<СnЛ уат аЦИО1lJlы.lfl т ребо ва1lИЛ.}t.
Ра;шпчают три пида прсдельных состошшii: 11) по несущеЙ сnо-
соб1l0сти (прочности, устоЙчивостп и усталости. IIри достижснии
этоrо состояНlШ КОllСТРУНЦИЯ теряет способность СОПРОТlШJIЯТI)СЯ
внешним воздС'йствиям или получает таIше оста ТОЧIiые llа I('lIешIЯ,
при которых она перестаст удовлетворять пре:tъявляе\IЫМ 1, llеЙ
ЭНСlIJlуатаЦ1l0ППЫ1\l требоваШlШl; б) по разВитию чрез.wер1lblХ дефОfJ-
JlИЦ/1,й ОТ стаТИЧССЮIХ или ДlшюшчеСIШХ наrрУ;ЮI\, при I,ОТОРЫХ в
J:-;ОIlСТРУЮЩИ, сохраншощеii прочпость u устоiiЧIIВОСТЬ, IIОЯВ.1ЯЮТСЯ
llеобраТИ lые дефор:\шЦIШ 11.1И l\оле6аНllЯ чре;шерноii а.\IIIЛIlТУ,1.Ы, та"
что конструкция перестает У.J.овлетпорять IIреДЪНВ.1не\lЫ\1 к ней
ЭJ\СПJlуатаЦПОННЫ\1 треБОВ<lIIIIЮl; п) по 06разовПЩllО /1, раавитulO тре-
ЩИflЫ, I\orAa в НОНСТРУI\ЦШI, сохраННlощеii ПрОЧНОСТЬ 11 'отоii'IIIIЮСТЬ,
появляются крупные трещины, вслсдствис чеrо дальпсiiшан ЭI,Сfrлуа-
таЩIЯ НОIIСТРУIЩПIl стапоВl1ТСЯ неВО;Jможпоii (нотеря Tpe6ye\loii ВОДО-
непрошщае\lОСТИ, опасность I\Орр03l1И П;l-аа повреЖДСlllIЯ от делочноr о
С.J:ЮЯ н т. н.).
:м ето ды расчетов по п ре ;.tел ЬНЫ!\I СОСТОШIШIМ широко ПРШIеняются
при проеlПllровашш cTpollTe.lbIlblX 1\оIIСТРУIЩИЙ 11 позволяют вскрыть
резервы IIРUЧПОСТll, не IIсполь; уе,\П,:е при расчетах по допускаемым
напряжсния!\[, II У:'Iеньшить вес конструюцш.
Ниже раССМОТРСЮ,I HOf\OTOpble ПрН!\lСрЫ расчета по пределыlмM
lIarpyaHa\1 l\UlIСТрУI\lЩI1, II:Jl'OTOB.'IeIIIII,IX 11:1 плаСТIIЧНЫХ материалов,
IfмеlOЩПХ ПJIоща:II\У теl\УЧеСТlI па ;Щfll'ра\J:\IaХ раСТЯiI\С\llIН, Сil\аТlIЯ'
и ЧllСТОl'U Сil.ШI1'а. С Ц('.'1ЫО УНРUЩСIIIIЯ расчето13 :ни ДI1<lI'РЮl!\t:,)'
(рис. 295) схеыатв:шруются таюш оБРU30:'I, что учаСТОI{ ВРЯ!\lоii, выра-
428
жающиir Ю\ОН rYJ\a, пепосрr;\сттн'ппо пrреходпт R rОРИ:ЮIlтаЛI,ПУЮ
ПРНМУЮ ()С;; IIJIaBI1010 IIL'IН'ХО;Щ ([>11(, L\ (i). ;-JТШI С,-ШШ\1 ЩJIIIII!:\ШСТСН
равенство IeЖ,'l,У щю;(е:Ia:.111 IIIJOlIOР!lIЮIlU:II,IIUСТII Jl H'I';Y'IeCTJl. ,Ц.lI1IШ
!'Орll:юнтаЛЬUОl'О учаСТl\L1 ;(ШII'рН\I:\IЫ не О!'рatШ'II!Uа.стсн, т. е. :'IштершtЛ
считается И,l,СЗЛЫЮ I1:ШСТll'IlI ,I \1, НС УЩЮ'IШIЮЩIl:\IСН. 'l'юшя ЦШI.!'рюrма
JlОСПТ наЗВaIше ()uacpa.Il.11IA ffР{/It()тЛJl.
3ЮJCна рса.'1ЫIЫХ J(l1a1'раШI СХ(ШС\Тll.шроuаuпоu ДIШI'ра,ШlOii lIрапд-
тля ПРIIЮf,'1е:\ш Д';Ш l\IL\Tepll<l.'lOIl TIIHa аЛЮ IlШIШ 11 13110ШIC ДОПУСТlI:\IR
ДЛЯ :'IJaTepl1a.'IOll, И:\IСIOЩIlХ ;(lIiН'РЮШЫ с оrраШI'IСllll0ii Д:IПlIоii 11.'10-
ЩС\,J;ЮI теI\УЧССТII (РИС. !П).
llрсдслыюо СОСТОЯШIС 1\ОI:IСТРУIЩIllI, ОIlрс;(е.'IНС:\ЮО ;!IIUЧЛТС,lыюii
Il.'шстичесноii дефор:\ШЦIIt'ii, IШСТУIlВТ В нача:IС УПРО'1IIf'llltя l\ЩТСРП3:Ш
н llf!едел L.II ,\ Н на "р У:\IШ :\1O;1\t''f. iJ ы 1'1> вы 'lIlC:ICII<1 110 11 PC;\C';JY ТСl\УЧССТ П.
б J
Б Се Cy
.
8
Рве. 2И5
Рвс. 2а6
Рпс. 297
Для C.I0i!\llUL'O Jl<lllpHIl\CIIIlOI'O СОСТОЯlIИЯ существуют раа:шчJI'ЫО
тсории lJСРСХО;Щ ыатерlIil..'Ia в плаСТI1'IНОС СОСТОЯlIИС. Наиболсе llPOCTO
)JUC'ICT Ы ВЫНО.'Ш Я ЮТС}J пр 11 IIСПОJlIJ:юваНИIl теории шшстп ЧlIОСТII ССН
lkllalla, СОI'лаСIJО 1\0Topoir 11."IaСТИЧНОС состояние l\Iатерпа.'Iа нрн с:юж-
но:\{ IШНрШ[\СIl!IО:\I СОСТОЯШШ наступает тоrда, I\Оrда наИUО.'1IJIIШО
l\aca теШ)lIЫС IJШlрЛiRСIll1Я достпrаlOТ предеЛЫlOrо знаЧСllИЯ предела
ТСJ\УЧССТИ нрн СДВIII'е
'ё тах == 'ё т ,
(17.1)
ИСХОДЯ Н:\ ШЛОJI\СIШЫХ ВЫШО полоа СIIIlЙ, pacc IOTplBl 11LШОТОрlIО
xapal,TcpHblC С:Iучаll раСЧ('Т:l но IJpC:\C.llJ!lO:\IY, СОСТОЯНIIIО.
!Н. l'аС'I('ТЫ прп раС' НЖС/llШ п сжаТIIИ
Прн paCTНiI\ClIllll II e;I i1TII!I IIНllрmI\LШШl распре; С:IНЮТСЯ равно.
:\[срно по П.'IOLЩЦII IIOJI()PC'IIIO/'() С("I(;!IШI СТL'[JiЮIН. IIoJTo.HY paC'ICTI..
на 'ПРО'ШОСТI> CTaTll'lt'CI\lI OIlI)(','(C..'II1
:\IЫХ СlIсте,\1 НО :\OIl 'Cl\aC\j():\IY Н<1IJрЯ-
il';СIШЮ 11 по II rL': (':J1)llO'IY СОСТОЯIIlfЮ
:ЩlOт О;ЩI1 11 тот iI\C pP;Ij'.TJ I,ПН.
Л случае ста ТII'IССЮ! IJr01l РСД(',l JI:\II,I л
('псте)} ре:ЗУ:II,таты IHIC'ICTOll (,УДУТ
ра;!.1IПЧПЫ. ЭТО .1CI'1 O lJОIi:а:зап) HU
щншере расчстu на раСТНiI\сние трех-
СТСрШUСВОll llOдвеСI\ll (рис. 298), па.
I'PYif\ellHoii СП:IOii Р. J Iлоща;J.И ПОПС-
речных сеЧСllllii стержней O;],IТHaKOBЫ;
l\Iатериа.1 П.1аСТIIЧНЫЙ с предсло'\! те-
J\УЧССТl! с' 1"
При раСЧL'те расс:\!аТjШШ1С:\lоii 0;ОI3il,;\Ы стаПl'lССIШ ПСОПРl';\с.:rШJOii
С1Iсте:\!ы по (jullycliac.llo.lty l/anp.'ZJ/Ct'IlLUO, COI',laCIlO ДaJllIЫ:\1 4.1, ЩШ
P 1 == Р2 == Р
t 2 !
О<с/..
А х
Р
р
р.
РИС. 2\)8
4 И
р
N, ==' t :.! <'0,";1 Gt '
(17.2)
С05 2 Gt
N'l==N з . == Р
1 + 2. С05 3 а .
(17.3)
ОчеВП,1IIO. всеrда лr 1 > "'/2 == ;\' з, т. е. большсе усплпо ПО:ЗIlIшает
в срсдш:ш CH pi1;HO. СледоватrлыlO, в сре;I.пе 1 стержне будет и наи-
бо.тIlJшее напряжсние. равное
cr == N 1
ша Х /i
1
1 + 2 СО 53 Gt
р
у'
(17.4)
Запас ПрОЧIIОСТП при ЭТО 1 будет равен:
а т 1 + 2 C()s:J Gt F
п т Р ат,
cr шах
(17.5 )
п рп расчете расс:\raтривае lOii ПО; В('СКJI по пределыl.,tуy состОЯ/lllЮ
УСlI,1пе 11 сре;ще 1 стершпе ЩНl lI()явлеlIlllI н HO l п.1аСТПЧССI оii дефор-
мании бу.:.tет
N 1T == F а т .
(17.6)
При ЭТО 1 соrласuо (17.2) вuешпяя наrру;ща
р 1т == (1 + 2 cos:i а) "а т ,
(17.7)
а усилия в краЙних стеРiIШЯХ рассчатривае:\юii СИСТС:\fЫ, превраТIID'
шейся в статически определюrую СIlсте:\IУ, бу;I.УТ
р Fa T
N ==N ==
2 з со:; а
(17.8)
Несущая сносоон()сть I{ОПСТРУIЩIfII пыпсржать паrру;щу Р> Р1Т
будет исчеРllана, "оца IIC\llрЮl\еllШI JI краНlll1Х етерiЮIЛХ Л,ОСТlIrнут
предела TPl\y'recTII, ) СООТ!II}тетв.\'ю I1'т ЭТ()\I}' '\IО\ЮI/ТУ ШНРУЗJ\а со-
rлаСJIО (17.8) 6y;teT равна:
/)!lР [i':J T
N == N == Fcr ==
2 3 т 2. cos Gt
ОТI<уда
р пр == (1 + 2 cos а) [;'а т .
(17.9)
Запас прочпости при расчете по пре;J.слr..по:\rу СОСТОЯШIЮ
\
р пр (1 + 2 со::: а) F cr т
п пр =:::: Р === fJ
(17.10)
Из сопостаВ"'1(ШПЯ (17.5) и (17.10) ВIIДПО, что ппр>п т . Например,
п пр
при (1. == 300 отношение == 1,19. ТaI Юl обраЗО:'lI, расчет 110 IIpe-
п т
дельпому состоянию П03ВОЛIIЛ DЫЯВJIТЬ СI\рЫТЫЙ запас прочности
консrрунn,ии.
4ЗО
92, Расчет при I\РУЧСIlИИ
Ilри !'РУ'Iешш СТОрilШl'L'i 1.:1I,lOlIIпоrо l.;pyr:IOro СОЧСIIIIЯ I\асатель-
пые паПРЯiI\еIllIЯ в YIIpyroii OUJlUCTlI I/a раССТОНIIlШ р от цснтра ссче
пия (рис, 2U9) Оllре:lе:шютсн по ФОIЩУ:Нj ( 4u)
М,;рр
"Cp== '
j11 HP
't"шах:== JV p .
(17.11)
(17.12)
;'Сl
РIIС. 299
Рис. 300
ОППСIIОС СОСТОНIIIlО СТСjJi],IIЯ при раСЧСТl\ па нручспие по допу'С-
Ю\l',\1ЬJ:\1 lНШРЮI,СIIIIЛ.\\ ОПрСДСJlНf.l.ТСЛ IIOЯШIСIIIIС 1 пластичсских дефор'
ШЦIlii в крайпих волоюшх, I\O да нрутящпii MOl\ICHT
J1l<P == И т == ';;'fTV p . (17.13)
11 Рll ЭТО I CTepiI\ClIb сохраПIIТ способность воспринимать во.Jрастающий
I\РУТЛЩllii ИО lепт ПС.1е: стnпо РОСТiI напряжений до уровня преДl'ла
ТСl.;учееТII ';;1' (рис. 300) в ТОЧl\ах, лежащих ближе к цептру сечеПIIЯ
(рис. :Юl, а).
При расчстс по npe: e,'1bfIO JY СОСТОЯLlШО, при KOTOpO l пласти-
ЧССlше деформпции rа(:lfр(.J: с:rСIlЫ по ВССМУ сеЧСIlIПО (рис. 301, 6),
нрутлщиЙ IO:\H>IIT равсн (рис. :101, в)
Рис. 301
d/2
'Н ПР == i р dl/1"T == 1"1'.20: S 2dp
F о
IIЛИ
1td 3
jН пр == 1"1' 12'
Tr
(17 111)
\17.15)
481
UС.111ЧПШI
т:Д3 _ ТУ
12 - р (пл)
(17.16)
lIa.:L.:UaCH:;l п,Zat.'lIl1'iCCJ;и.lt .ltО.Щ;/1lIlO.1t СOiZрОlli1l6ЛСllllЛ при l1ручетш. ТоrДiA
lI1 пр == 't T . TVfJ (ПЛ)' (17.17)
Отношение иредельпоrо момснта 1I1 пр н Mo [eHTY 11fT' определяс-
МО.НУ но фОРl\Iуле (17.13), бvдет
ТЮ\ОВ СI\рl,н Liji . ,;i\lJt1.C 11рОЧIlОСТll CI\py-
'ШПi1Сl\Юi'О Ь:РУI'.ТlOl"O стерil\Шl, ноторыЙ об-
Нi.\ружшшется п.рн псрехо;\() от расчета по
ДОUУСIШС lЫ;\l 11<.\ 1I РНiШ'IlШJ 'о' (, rасчету ио
I!pC,'..((\'lLrIOl\IY СОСТОПlll!IО.
U С,'lj'чае стаПIЧI'('I,lI rrСОНрСДРJI1шuii
Сl!С1'СШ.I, 11 jll!J)L':lCl:(:'-";\ 11:1 "!lС. 302, а, 6, в
8апас ПрС1IIIОСТII 111)11 Р'Ц"]("'1() 110 ПрСДСЛЬ-
IIO:\!j' СОСТОЯШIЮ ОJ,а;ЗLIпастсл в 1,78 р:.\.т UUJlI,ше :!аllаса ПрОЧllОС-
ТВ, lIол :чаС.\Iоrо при paC'ICTO но ДОlJУСI,аС'\1],J1\I uаПРЮl,СШIJВI.
J'
б
Рис. Ю2
93. Рас'ют при U31'llбс
11111Р JV 'i (П,;I) тД 3 . 16 4
л1 т .. == 1:2. . ..({'; ==;: 3" '
llJШ
M IIP =-= м т == 1, :{3Jl т.
I fрп IIзrпбе НОр.\JаЛЫlые напряжения по высоте сечения распре-
.tРJIСllЫ llepaBIlO:\lCpllO (рис. 303, а) II на раССТОЯllIШ у от неuтралыlОЙ
:IIIШШ ОllрСДL'ШIЮТСЛ по форм):ле Навье (10.6)
ly
a===J'
, Пllас/Т/"U(у"" '(' 3"'1.'-'
6 т : . б r tg ' ", .,," ,С,., u,. (J'F
( Ш . ) M(IYТ) // I( ' )
1 J / / llLТ /]
b !J:lfJljсiЩ [Ir Ь:)
Je a
а
б
{J
Рпс. 303
i\!Ш,СШШ,JLII1.:L' llШ/[Шil,С'llШl llа l,раю СС'IСIllIЯ
М
С пШХ == W '
432
rде TV MO:\JCHT сопротивления при изrибс, которыЙ, папример.
:(.'1П ба,'lIШ нртЮУf'о.'IЫlОrо CC'lCjJ IIН Шl!рПllоrI U II I3IlleoToii h равен.
lV::;:; lJJt'l.
6
Опаспая величина IIЗI'ибающсrо момеита при расчете по допуснае-
:-'IЫМ папрШШ'ШIЛ:.\f будет (если пре;1елы теI учести при растяжении
II сжаТИIl о:ошановы)
Мт.с; a T IV.
(17.18)
IIpll это r баЛIШ спосоопа ПОСП[ШНШlать возрастающий изrибающий
1110.\10111'. По мере У130личешIЯ И:Н ибающеrо l\Ю!\!('llта по сравнению
с 'н т lIлаСТl1ЧСС],ОС состошш:е материала распростр:шяетсн n направ-
:1l'i[ШI lIсiiтра IЬНОЙ осп (рис. 303, б) НП:IОТЬ дО ПОЛ!lоrо исчсрпашНl
несущеЙ способности башш. Предс.1ЬUОО СОСТО.fIlШР наступит тоrда,
I;OI';([t TeI\Y'IOCTb распрострапится по все:.\lУ попсреЧIlО!\IУ сечению
(рис. :\03, в), noc:rc чоrо далыIiiшанH дсфор!\нщия баJIlШ будет происхо-
;щ'П, бсз УВСЛIl'Iеuня IIзrIlбающеrо !\1Ol\ICIITi:1 в' раСС:.\taтриваеМ:Оl\I попе-
IJО'ШU:\I сеЧОIlIШ оGра; устся 1'31, называсмый пластичес.кий шарlIИр,
];оторый передаст п:зrпбающпй lO:.\lеllТ, раВlIЫй предельному изrи-
()НIOЩ(':\IУ 1\Ю!\1СНТУ, опродеЛЯСЫО:.\IУ для ссчсшIЯ, СlIl\IмеТрИЧIlоrо отно-
СIIТСЛЫIО IIcllTpa"IbIroii осп, но форыулс
1.11 =--= с с: 11 (111' == CJ . 2. , r У . d F == а т . 2 . S
пр .\ '{11 т} тах'
F F/2
(17.19)
[';(0 SШD.Х стаТПЧССJшii моиспт площади ПОЛОВИllЫ поперечноrо сече-
ПШI ОТПОСТlтолыlO пойтра.:IыIйй оси.
!3СШIЧШlУ 2S шах прппято называть пластичес.ким: MO}IellTOM сопро.
ТJlll;IСШIЛ П обозначать 11' ШI' ТОI'да
ДJ пр == CJтlVпл.
(17.20)
ОТllошешIC
.111 пр vV пл
11fт "fV
(17.21)
хараI\терпзуст стсnень уве.1ПЧСIIIIЯ запаса ПРОЧНОСТII бал.ки при пере-
ходе Ii: расчсту по ПРС;I:еЛЫIЫl\1 паrРУ3Шl\I. D случае баЛI\И прямо-
JTo.1bIIoro сечсния
bh 2
ТУ ПJ1 Т
11' == bh2 == 1,5.
6
lV пл
) :rя двутавровых прокатных ба.10.к в средпсм W == 1.18.
В табл. 37 свсдепы расчстные ФОjНIУЛЫ ДЛН определения пласти-
lеСIШХ MOMeIHoB СОПрОТIIВ.J:СllIIЯ для некоторых сечений балок.
433
Т а (j .'1 И Ц а Я7
ПлаСТИ'lССIШС o eHTЫ сопротивления для Hel\OTopblX
ce".eHllii балOl'
Сечение
Пластические моменты сопротивления
у
'/.
.J::: Х
j;:;
'/.
Ь
bh'l
y ил == т ; JV пл == 1 , 5ТV :ю
. h'l [ 3 3
JV пл ::= 3 (Ь'l Ь, )2 ы -+ /12
(b + b ) /
]
L
у
bh 2
w ПJl == 6 (2 V 2) O,0977bh 2 ;
tV п:I 2,: (НV х
-т
d 3
W пл == 6" ; W пл == 1,7W x
434
Проf)олженuе табл. 97
\.ечс11 пе
11.':1CTII.;C'CI(\IC I\Ю!VIСIIТЫ сопрuТИDJJeНlIR
у
х
1 3 3 )
JV 1IJI == 6 (d H d B ::::: d2
1 а 3 d р,
H1 1J " == 1,7 1 а4 fV х; а == d
н
в
W Ш1 ==2S x ; JV ПJI (1,14+1,18)JV x
r л а в а 18
УстоIlЧl1ВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
94. Устойчивое и нсустоiiчивое ynpyroc равнов(>сие
в CIICTe le, паходящсйся в ДСфОр!\1нроваПIIО:\l состояшш, равно-
весие между вuеШIIlПШ IIaI'rУ ш<нш п ВЫаывае IЬ};,1П ПЫI1 ВНУТРСIIlIIШИ
t;ШШШI упр тости может быть пе ТО.1IЫЮ устоiiЧIШЫ l, по II lIcyc'J.'oif-
'ШВЫ!\!.
УПРУl'ое раНlIовесне устойчиво, ССJЩ l СфОрI\llIроваIIНОС ТС.l0 lIРИ
:IЮООl\f малом отнлоп()пии от СОСТОПНIIЯ раВUОВССIIЯ стрс,\штся 130ЗlJра
l'lIТЬСЯ R перпонuча.1ЬНО:НУ СОСТОЯIlIIIO 1I llо;шращастся J, HC,\IY ПОС';lе
IlреI\ращешш впспшеl'О по;цеЙстшш, наРУПIIIВIlIСI'О псрвона'lа.lыюе
равновеСIIОС состояние. iHPYI'OC равповссне /iеустойчиво, если дe
фОРl\шрованное тело, будучи выведено из 1101'(1 ..аI-\иМ-.)шбо воздсiiст,
ПШ.Ш, ПрО,J,ОJliнает ДСфОр lIIроваться I! Ш.lIIрnВ.Т:: IIIШ ВЫЗВaIIIlОI'О
ОТI\лопения и nOCJIC llреI\раЩСIIИЯ воадоiiст13ПЯ в IlСХО:ЩОС состо.
Яlше не возвращастся. MOil,;l'y ЭТl1МИ двумя СОСТОЯUlIНШI раl3lЮПU'
сия находится пе реХО;..(I10е СОСТОЯНIIС, 'па;зывас.\IOС нритuчесftu.1t. П Рll
(,РИТlLЧССIЮ.\l состояшш дефор:\шровашюе те.:1O I1аХО,'J,I1ТСЯ в Gcaraa.
JШЧПОl\'1 равновеСI1П: оно 1\IOЖСТ сохранять перВОШ.l'Ш:JЫЮ Нрllдаппую
e.\IY ФОРМУ, по МОЖСТ 11 потсрнть се от ca.\lOro IюлшчптеЛЫЮI'О
воздейстпия.
УстоЙчивость формы равновссия i СфОРШ.IIюваllllОl'О тс,;ш :!аВI1СИТ
ОТ велпчипы ПРИ.10iНСПНОЙ I\ НСМУ lIal'pyal,lI, Il а,'fJу,жа, превЫlllеН,ие
кота рой вЫ.'1ывает поте рlО устойчивости пе р-
вон,ачалыlйй (jjO[J.1tbl тс.1Л, Ilпаывастсл 1.рити-
цеспои нае р!/Зl<ОЙ и 060Зllац,аетсл це рез Р нр '
На рис. :301., а, 6, в пона:IUПЫ: В03!\lOжные
случаи дефОР ШlюваIlШI СТСРiЮШ в заВПСIl-
мости ОТ СiIшмающсii паrру;нш: llрП Р <
< р ЩJ фuрма равновесия остается устоЙ..
чипоii (рнс. 301, а); при Р == Р НР СОСТОЯllllС
боара;l,1l11ЧНОl'О рU13110ВОСl1Л, I,UI'; a стср,Ш'llI>
.\lOа,()т ;ЩНII.\ШТЬ O; H() н:! тррх I10i\а:!анных
СlI.'lOuшоii II IIУН:-;ТЩJIIЫ'.111 :IlIIlIIH\i:l IIОЛОЩС-
IШЙ (РПС. 304, 6); ЩШ Р > '>НР стср,ю'нь ТС-
ряет устой.чшюсть, ВЫllучпваетея, 'f. О. пря-
l\Iотшеiiпал форма равновесия пер<,стает быть
УСТUЙЧIIвоii (рвс. :10-1, в).
Достижение наrрузнаШI ч,РllтичеСIШХ ава ЧСIIИй раВНОСIl.1ЬНО pa'l-
рушению hUНСТРУIЩИИ, 1'81.. на\{ llс)стоiiЧllвая фОР:\1а раВНОНСtпя
не.минуu.\!О будет утрачена, что праJ\ТIIЧССЮI еВЛJано С llсоrраПIIЧСR-
НЫ1\! pOCТO 1 деформациЙ и наIlРЛil\СНlIll. Ра РУШСНlIе обычпо происхо-
дит внсзапно от I1зrиба 11 при l\Ia.iIblX 311iJ.'iСШ!НХ С,i,lшаЮЩIIХ напря-
Жепий, J\оrда прочность ;).10.\-lснта па са..НТl1С еще да';IeI,О не исчерпана.
Для обеспечения опрсде.1СННОI'О :тll()С(1 устuiiЧliВUСТI1 пrобходю.ю,
чтобы УДОВЛСТПОрн.'lось 'CJIOBlIe
Р</{р
а
436
Р=/{р
б
Рис. 304
D
р .:;;; [Р],
(18.0
rл.е Р л.ействующая паrрузка; r Р] ДОПУСJ<аемая паrрузка, Rоторая
ЩНl КОЭффИlЩСllТС запаса устоii'lПВОСТII nу равна:
р
rp]== .
l1у
(18.2)
Таюш обраЗО:\1, lIрИ расчоте упруrпх СИСТЮl (в чаСТlIОСТИ, таких
ТlIПI1ЧНЫХ систем, l аюши ЯВ.Т]ЯЮТСН сшатые СТОРiЮIИ) па устоiiчп-
(юсть прежде Bcero нообходимо УЛIСТЬ определять ВСJIИЧIШУ l\рI1ТИ
({ССНОЙ СИДЫ Р КР'
Ннже мы расс'\lОТрИМ OCHOBHbll) фОр'\I '.1Ы
:ря онреде.ТIеНlIЛ критических паrРУ;ЮI\ прн z
('il аТlШ ДJlИШIOrо TOHHoro стеРilШЯ ИJШ lIрИ Z
H\l\ llазываО'\!О,\1 продольно.}!, И32u6е. Р
9':>. Формула Эii.1сра длн Оllрсде.'lеиин
J\рИТИЧССlюii ИaI'РУ3JШ сжатOl'О стсршин
Продподаrал, что [<РИТlIчес[{ая СШIa Р НР
110 выаывает в стержне наПрШI\t.тllii, нреиы-
IllаЮЩifХ про; с.'I пропорционалыlOСТП, п что
11 \ICIOT место ТО.1ЬКО MaJIbIe ОТI,.10пеПШI ОТ W
11 рШlОJIIIнсiiноii ФОР,\lЫ, зпачение ЩJIlТlIЧССl\оii
('ll:/Ы РIФ Д.тJЯ сжатоrо стерiIШН Juшноii l,
.1;( 1\ рСIIJlсшюrо по схеме, ПРИI.:рдеШlOii на
plIC. ;305, а, МОЖНО опроде.ТIИТЬ ИЗ с.ттСД'уЮП.{СI'О
I1 рI1UJ/Ш:l\СНIIОl о JщффеРОlщиаДЫIOl'О уравнения
ШUl'[jутоii оси балки ( 54):
EJ d 2 W (z)
min d 2 === М (z),
. ..
а
Рис. 305
(18,3)
",(О J тill паll\JСlн..шпii ЛIO.\IСlJТ JlllCpHlI11 ссчсшlН стержпя (при
IIIIТРIЮ устоii'lИlЮСТII JlIЮl'lli'i прон;юii.тlет ПСРПСНДllНУЛЯРПО Н осп
IШI\IСIIЬШl'ii щесТl\ОСТИ); М (z) IIJrIlОD.IOЩllii !\1O\ICl:iT, равныЙ
J\ll (z) == Рш.
IlО;{СТalШВ ("18.4) в (18.3), ПОJl чюI
Е) d2 W I ] , о
min "(fi2" т W ,
11 :ш
d 2 W
(Е2 + k 2 W == О,
[дв
Р
k2
ЕJ шin .
( 18,4)
(18.5)
( 18.6)
437
Реmепием полученпоrо одпородпоrо Iщффоренциалу,ноrо уравне-
ния (18.5) будст
ш == А sin kz + в cos kz,
r; e А и В постоянные ИIIтеrрпроваНIIЯ определяются из I'рaIIИЧ-
IIЫХ условий. В чаСТllОСТИ, для случая mарнирноrо закреплении нон-
цов сжатоrо стеРЖllЯ (рис. :-З05, а), rраllичные условия будут:
w (z) Iz==o == о; ш (z) IZ==I == о.
Из первоro rраничноrо условия следует. что В == О, ПОЭТО IУ
1lJ (z) == А sin kz.
Ив BToporo условпя получаем
А sin kl == О.
(18.7)
Тан нан
А +0,
то
sin kl == О.
( 18.8)
I\орепь этоrо уравнепия kl может И lеть бескопечпое число зпаченпй:
о, ;0;, 2п, ... , nп, т. е.
kl == nп,
rде n. прои3волыiсc целое чпсло.
Очевидно, первыЙ норепь kl == а должеп быть отброшен. так НаН
он ив соответствует ИСХОДНЫМ даllНЫМ задачи. Таним образ ом,
k 2 l 2 == n 2 т. 2 .
(18.9)
Учитывая (18.6) и (18.9), наХОДЮI IIСl\омое критическое значение
усилия Р
п 2 т. 2 Е} min
Р НР == l2
(18.10)
Это выражепие впервые было получсно ;)jjлерО 1 11 на:швается фор-
мулой Зйле ра.
Наименьшее значеllие критической сиды P p' получаемое при
n == 1 и kl == 7., равпо:
;0;2 Е} min
р p == ----z:;
(18.11)
Уравнение изоrН) той линии при ыа.1ЫХ дефор.\шциях соrласно
(18.7) имеет вид
. ft1tZ
w(z)::::: А sш Т'
4 8
3пачеппе А хараRтеРIl; 'уется величипой МаRспмальпоrо проrиGа
. ;:nz
lC шuх == /, I>оrда SIП 1 == 1. C1Jl',l,OnaTc.1 ьно,
w == I sin .
l
(18.12)
Максимум w (z) имеет leCTO при таном :шачении z, для KOToporo
dw == о
dz >
т. е.
dш пп пr:.z
dz I Т cos Т == О,
J1 JJ II
7'CпZ
cos т == О.
Наименьшее ,шаЧСПl1е арrумепта, при котором косину равен
1t
нулю, равно 2' слс; uваТСJIЬНО,
z
1
z==Zn'
(18.13)
пт:.z 1t
==2'
оп,уда
....Ic:-..
11з (18.12) пли (18,13) СJIсдует, что п рап-
110 ЧИС,1IУ полувuл" сипусоиды, Уl\lсщающихся
lIа : .1ШJe И:30I'Ilутоrо стеРJfШЯ (рвс. JИ()). !::СД 11
1
11 == 1, то z == Т, и I\ШI\СIПШЛЫlOе зпачепис
IIIЮПlба ш тах :::::: f имсст мссто посредине
(' 1 ('рiIШЯ. Это соответствует OCHOBHO IY случаю, показашIOМУ па рис.
::1 (i, и, коrда после IIОТСрИ стсраше:\1 устойчивости при минимальном
.III,I'IСШШ критичесноЙ силы P p на ero изоrнутой оси умещается
'IО,lЫ\О одна полуполuа сипусощ:щ.
Рис. З06
!)6. Влияние условиii 3aI\рспленил IЮНЦОВ стержня
на величину I;РИТИ'IССlюii силы
Вл инuие усло ий закренлспия кош ов стсрiЮIСЙ на величину
J;РIIТlIЧССIЮЙ силы леrко выяснить путсм сопоставления вида иаоrну-
'1IIii оси стержня при различных случаях закрепления с формой
11 шrнутой оси в основном случае, т. е. при шаРНИРПО:\1 заRреплснии
()!iUIIX КОIЩОIЗ стержня.
Стержень д.лUllОЙ 1 с одnим жестно аакреп.леli1tы.ч, а дру,щ.ч ева-
(jiJОItЫМ копцом (рис. 307, а). При Еотерс устойчивости стержень Нахо-
439
дптся В TaHO 1 Ше СОСТОЯПШI, нан и полопппn стержня ДЛПJ\оii IJ == 2l
с шарНПрIlО Jа!,РСIl.:IеIIllЫl\Ш I\ОIЩЮШ (рпс. ()7, 6). 3то ЭllnЧIIТ, что В
раСС.\!.1ТРШЮС.\IO.\I ('JIY'lao
1 т. 2 ЕJ шiп т. 2 ЕJ ШjfJ
Р кр ::::: (2l)2 41 2 (18.14)
При ЭТОМ Il30ПIутая ось стсрЖIIН (рис, 307, а) пмсет ппд ПОЛОВИНЫ
1
ПОЛУВОЛНЫ СИIlУСОИДЫ. IНIЧИТ, n == 2"'
о
р
i5
р
.....I't
...../C'\j
11
-..J
.....1"1-
Р
Р'1\'. ;-308
W
А z
z z
R g
Рис. 310
Рис. 307
Рис. 309
Стержеnъ дл/inой с аву. м!/, жеt.:'111'<О аа1iреплеIlIlЫ.ми коnцамu
(рис. 3(8), При потере устоЙчивости среДIIЯЛ часть сторааш будет
иметь таJ\УЮ же форму, нан и стержень ДJIIIIЮЙ L::::: f с шарппрпо
ааJ\репленпыми J\онцами, т. е.
1t 2 Е} min 4,,2 Е} miIl
Рlф (п ' l'
В ЭТО.\I случае образуется две полуволпы:: среДIlЯЯ, длиной L == .
и две I\раiiппх ПОЛОВИНJ\И IIОЛуволны, длпной . Значит, n == 2.
Сте ржеnь, д.lIUlОЙ l С orЭnu.,t жест1iО аап реплеfllIЫ.,t 1'<ОIlЦОJlt,
а Qpyaи. LI Шарl/UрllО onepтblllt {рис, 309}. После I10тери устоЙчииостз
440
( 18.15)
правая часть стержня сп будст Пl\ЮТЬ lШД ПОЛУПОЛБЫ СIIПУСОIIДЫ.
11;з сравнсния рис. ЗОи 11 рllС. 307, б llахо;щи, что учаСТОJ\ С В имеет
:l.lIШУ L;::;::: 0,71, а следовательно,
1 ,;2 EJ mJn
Р нр;::;::: ( 0,71) 2 .
Нз сопоставления (18.11) и (18.14) (18.15) следует, что в общем
с.lучае уназанные фОр IУЛЫ l\IOrYT быть предстанлены в виде
(18.16)
п 2 EJ m1n
р ир == (vl)2
(18.17)
1',1:e vl == lпр прuведеН1laЯ длина стержня; 1 фаRтичеСI\ая длина
стсржня; 'v коэффициепт приведепия длипы.
При шаРПИРНОl\l за:nреплении обоих нонцов стержня v == '1; если
п:щи конец стержпя жеСТI\О заRреШlен, а друrоЙ свободен, v == 2;
1
I'С:Ш оба нонца жеСТRО за:nреплены, v == 2" ; еслп один I\опец жеСТRО
:Iаl\реплен, а второй шарнирный оперт, v == 0,7.
Приве,1.енные случаи :шкреплепия I\ОIЩОВ С1'ершпя па праI\тике
н ЧПСТО I виде пстречаются ре,lIЮ. Нuиболее распространены случаи
.lаЩЮШIепия, коrда о;щн Iюпец стержня жеСТI О заделан, n друrой
.\ I1p TO оперт ШIII ROI':\a о()а Iюпп,а упруrо заI\реплены.
Рассматривая псрвыii 113 УI а:lаПIIЫХ случаев (рис. 310), леrRО
.::1\fCТПТЬ, что после потери уСТОЙЧИIЮСТII упруrо опертый Rопец пере-
Ш\II <1СТСЯ в перпшаЛЫIO:\-f напраВЛСПIIИ па Щ'личину fB' при ЭТО I
IЮ:ШШ\ает упруrая реакция R B . пропорциопальная ОТI\лонению fn
1I равпая
R B с . fB'
1 ;\<' с RОЭффИIщепт жеСТ:nОСТII опоры В.
Дифференциальное ураВIIClше упруrой .1JIШIIИ при ЭТО I. будет
1/ \!сть вид
d 2 w
EJ min (h2 == рип ш) с/в (l z)
( 18.18)
11.111
d 2 W с/ в
---------т;::;::: k 2 ив ш) (l z),
dz ЕJ шiп
(18.19)
I ;l8
Р
k 2 ==
EJ min
1II'реписав ураВНСПllе (18.19) в внде
d 2 Ш, ( rl ) с/ в
----ё[2 + k 2 Ш == k 2 /л 1 +" 2 z,
z ЩJ HP
(18.20)
441
flаходюr ero р m пие:
f1) С sin kz + D СОБ kz + f в ( 1 + [ ) + т f в z (18 21)
кр кр
Постоянные интеrрирования и критическую наrРУЗRУ опредеJIЮJ
и;! rрапичных условиii:
при z О
w (О) W А О,
dw (О) О (О) о;
dz
(18.22)
(18.23)
при z 1
W и) W В == f в'
( 18.24)
Из (18.22) находим
D f в ( 1 ......!........ [ ) .
Рн.р
Для использовапия (18.23) вычислю! производную (18.21)1
d d w kC cos kz kD sin kz + r f в'
Z HP
откуда при Z О получасм
с
kC + fll == О,
кр
или
с
C fB'
кр
Подставив получснные зпаЧСlIИЯ С п D в (18.21), паЙдсм
w (z) 'в sin kz t[J ( 1 l ) cos kz +
kP кр 1. пр
( С ) cfB
+fB 1 1 + z.
кр кр
( 18.25)
Ifсполызусм rрапичпое условие (18.24). Полошив в (18.25) z""" [, найдем
w(Z) k; fBsinkl fB ( 1 + Z ) COSkl+
кр HP
+ f B ( 1 T [ ) + rfB1 f B ,
кр кР
442
fI :rи
+ si[) kl ( 1 1 ) cos kl == О,
k/ ЩJ РЩJ
oТI yдa
tg kl == kl ( 1 P:Zp ) .
(18.26)
Если из этоrо уравн('нпя наiiти lIаЮIСПЫJlсе ;шачение k, то тем самым
будет найдено паимепыпее зпаченпе I\рнтическоii наrрузки
р ир == k 2 EJ mln'
Рассмотрим два пре; ельных случая. Полошив с == О, паХО,'J.ю.l
tg kl == 00;
kl ==
2 .
т. е. приходим к расчстпоu cxe Ie, коrда одна (левый) копец iКeCTKO
эа;(ел п, а друrоii (правыЙ) свооодеп (рис. 307, а). Величина крити,
чеСКОII силы в ЭТО I случае определ яется формулой (18.14).
7t
Положив С == 00, 113 (18.2а) IIаХО;J.ШI tg kl == kl; kl == О 7 ' и вели.
'IIШу критичесноЙ силы (18. Hj), I\оторая соотпетствует случаю, Korдa
о; tш КОIIец стершнн жестко за.:J;С.JIап, а ЦРУl'Оll шарпирпо оперт (рис.
:Ю9).
Слел:оnательпо, изменение IЮЭФФИЦllепта упруrости с от нуля до
бесконечности l\южет быть учтено коэффициентом приведепия '1. кото-
рыЙ при ЭТО I будет и::щеllЯТЬСЯ в нределах от 2 до 0,7.
Значения lюэффициента приведеIIlШ длины '1, а также коэффи-
циснта устоЙчивости '1J == k 2 l 2 для центра,'IЫIO сжатых стержней
JlпСТОНШIOI'О и переl\leшюrо поперечных сечений Д.1JЯ различных слу-
'1<1('11 их паrружеllИЯ: 11 ЗaI реплеIIИН приве;1,ены в табл. 38. n табл. 39
;lаllЫ зпаЧСIIIШ НlJИТIРlеСЮIХ HarpY:JOl\ для полосы и некоторых дву.
1<ШрОВЫХ балок.
97. О потере устоii'IИВОСТИ при наПрЯiI\енинх,
превышающих преде.'1 пропорциональности материала
Форму.1Jа Эiiлера бы.1Jа получена из диффеrСllциальноrо уравненпл
.' IIруrой линии, ПОЭТО:\IУ ею можно пользоваться лить n случае,
1'(':111 справсдлив закон ryKa, Т. е. пока нритическоо напряжение,
I!О.!IIШШlее В ciКaToM стержне при КРИТIIчсскоii: Harpj'3Ke P p' 11е прс
Jlышает предела пропорциона.1JыIстии
Рир
акр == F -< cr rJ Ц'
ПредстаВIIВ нритическое напря:жепие в DII,'J.e
P p n 2 EJ m1n ;:2 Е
'нр F <,1)' (': )"
«з
, / J min
rде ; ==-= ;тln:-=: V /1' ППIl\lспыппii l'.lавпып рП;J:П 'С пнерЦIIИ
ПЛОЩ3;Щ се.чСl1ПП стерrЮШ ( 10), Шll1
п 2 Е
акр == V' (18.27)
л==
i mfn
бе;зразмерная величипа, называемая еuбпостъю стеРЖllЯ, из (18.27)
ВПДИ.\I, что критическое папряжение зависит тот.ко от модуля упру-
rости Е и rпбкости л.
Тlостроив rрафик зависимости CJ ир == t О,) (РИС. 311) (!ипе рболу
.'Jйлера, 1ОjIШО уос:щтьrл, что для
данпоrо материала (с П:!I;('СТlIЫl\f мо-
дуле 1 Е) фОР lула (18.27) справсц-
Лива, начипая с опреД('Л('lIпоrо зпа-
чепия rибности, которое 1OiТ\CT быть
наЙдено НЗ условия
rде
p) K'kff
бr:с 2400 N
6, =2000 К
'IIЧ
1000
о
50 100
Рис. 311
(18.28)
п 2 Е
акр == V <: cr ПП '
ОпредеЛЮ1 11 ределыI"1o rибность
Л пред ' Iшше Iитороii формулой
(18.27) пользоваться ПС.тJLЗЯ:
V 1:2 Е
)'пред ::;> .
а пц
Тю , например, Д.1Я ста.1И марки Ст. : , МОДУЛЬ упруrости КОТОрОЙ
Е == 2 106 JfF/C.M 2 , cr пп 2000 ".Т/с.м,2,
V те:! Е '1 )"''d 112 2. 106 100,
л <л пред == == r '2000 .
пн
т. е. формулой Эiiлера (18.27) можпо пользоваться па УЧ3.СТl е rипер.
болы, показаПНОll па рис. 311 СПЛОПlIIOU ЛlIнией, ЩНI ПI6КОСТlI Л
пе менсе 100.
Однано, нак поназывае; опыт, и па участие, rде ), < )'пре;J;' при
напряжениях в стершпе, бо.тJЬШИХ cr пц ' при которых формула ЭЙлера
дает завышенные :шачепия критических ШШрШНСНИll (учаСТОI\ rипер-
болы ЭЙлера, по:казаНIIЫIl па рис. :-Н 1 НУШПИрО.\I). стержень может
потеРЯТl, устоiiчивость. П ЭТО f случав значсние критпчеСJ\оrо напряже-
ния может быть ВЫЧИС.тIепо соrлаСIlО ОПЫТНЫМ данным Ф. С. Неип-
споео для различных .материалов по 3МПИрllчеСl\Оll формуле
акр == а ЬЛ. (18.29)
Длн .чуrу'па ПО;!ЬЗУIOтся Rвадратиqной заппсшlOСТЬЮ
444
акр == а Ьл + с).2.
(18.30)
3пачеПIlН постояппых 1iOзrIНРППШ'НТОВ а, Ь и с ДЛЯ пеноторых
мnтерпаJЮН lIj1liпС'деlШ ШJlI,е.
l\Ia1CplIa,l "пред а Ь с
Ст. 2, Ст. 3 100 3100 11,4
Ст. 5 100 4640 32,6
Сталь 40 90 :1210 11,6
I\рс.\lНlIстая сталь 100 5890 38,2
Дерево (сосна) 110 293 1,94
Чуrун 80 7760 120 0,53
При не!,оторых ;;паЧСIIIIЛХ rИUНОСТII )'0 НС.'1llчипа аир, вычисленпая
110 фОрl\l 'J/а:\1 (18.2\1) Н.Ш (18.:10), стD.IlOlНlТСЛ раНIIОЙ прсдеJIЬПО!\IУ
II:IПРШ!,СIIШО ИРIl C I;aTlIlI, т. е. : .'IЛ lI.'ШСТIlЧIIЫХ Ы<1тсриалоп
а ир ::=: а т;
;\:IП ХРУШШХ :\IaTCplIa.'IOU
а I<р === а В'
r.тераши, у J,ОТОрых 1, < )'0' на; ываroт сте ржшt.1LU .малой еllбкостu
11 р:\('счптывают TO:ILliO на !lJЮЧПОСТJJ. ДЛЯ стаJIИ l\IарI И Ст. J, нащш-
\II'Р. I!рП O <). < 1(Ю rрафIШ ;заПllСlВlОСТП анр::=: f (),), полученный па
"I'IIО!:nШШ фОрЫУЛЫ ('18.29), пре;(став.тшет собой паШIOПllУIO IIРЮ1УЮ
\ il рис. :и 1), а часТJ. rрафшш NS прп О < л < 40 !\lОжет расс!\l3ТрИ'
1:,II'j,rя нан I'ОрП30Jlталышя .iIШШЯ.
Таюш обрааО:\I, rрафИI\ а HP == f ().) ДЛЯ стали l\Iарни Ст. 3 состою
11.1 трех учаСТI,ОВ: rОРПЗ0птаЛЫlOrо учаСТI\а N S, соответствующет'о
1;:' == а т ; ПaIШОТlJJоrо учаСТJ\а SM Прll 40 <). < 100 11 rиперболы :=!ii
11')1<1 при 1, > 100 (llрапсо ТОЧЮI Лf).
s 98. Расчет сжатых СТРРilшеii на УСТОН(IlIВОСТЬ
при ПОМОЩИ I\ОЭффИl П<'1IТОВ умеflьшенин
осповпоrо ДОIIУСI,ас:\tOrо напрнженил
Цеllтра.'lЫТО С;!,нтые стерШIII1 с :\шлоi.. r IlUJ\ОСТЬЮ (), < )'0) сохра
'1 :1101' I{('СУЩУЮ епосоuпость при УСЛОВIIlI, что нритичеС1ше напряжо.
"1:1 не IIреВЫlIlD.Ю1' опаСIIоrо папряжешIЛ, т. е. ITO
а ир < а о .
1.\0 для ХРУПНIIХ штсриалов а о ::=: а в , для плаеТIIЧllЫХ материаЛОА
11 == а т . IIесущал способиость стержией малой rпБКОСНI определяется
11 рочпостью ыа терпалD..
n случас стержнеЙ с БО.1ЫUОЙ rПUIЮСТЬЮ опасным состояние"'1
(,l('дует СЧИТ1l1Ъ 1I1О:\1Сит во:шшшопепин в сжатом стержне напряже-
IIJlii, равпых а 1ф . П03ТО \IУ l\лн обеспечешш работоспособности стержня
lIеобходшю ВЫПО.:J.псшlC с.ттеДУlOщеrо условия устоЙчивости:
аир <: [а J y '
(18.31)
445
rде [а]у Jl,ОПУСl\ас\юе напряжение на УСТОЙЧ'пвость, опре;:r:с.'Iяе:\fое
по ФОР lУJIU
акр
[а]у == .
nу
Зд сь nу l\оэффициепт запаса устойчивости, l\ОТОрЫЙ И;J-за воз:\ющ-
пои Эl\сцентричпости приложеIIИЯ IШl'РУЗIШ, I1Сl\рl1ВЛСIIИН стержня
и lIеоднородности материала ПРИПИl\шется псеrда неСJ\ОЛЫ,О больше
OCHoBHoro :коэффициснта запаса ПРОЧIIОСТI1 (nу> по). ДJIЯ стали
п у == 1,8 -+ 3,0; для чуrуна nу == 5,0 + 5,5; для дерева nу == 2,8 -+ 3,2.
Че:\1 больше rпб:кость, тем меньшим ПрИПIfмаlOТ lIу'
На практике при расчете на устоiiчивость принято польаоваться
не допускаемым напряжснием на устойчивость [а ]у' 11 ДОПУСJ\аемым
uаПРЮНСllием на сжатие [a ] С соответствующим поправочным козф-
Фl1циентом ер, зпачение KOToporo может быть установлепо из отно-
шения
[а]у !!:Q.
[a ] nу а о
Отсюда
а ко
[а] ==
у а о
[a ]
nу
или
[а]у == 9 [a ],
(18.32)
rде
акр
cp==
а о nу
( 18.33)
Здесь ер коэффициент уменьщсния доnускаеJ.tОЗО напряжения на
сжат tе, или 'Коэффицuеnт условНОЗ0 допус'Кае. tо;]о напряжения.
В табл. 40 пуиведены зпачения 9 для различных rИUI\ОстеЙ.
Таким оора:10М, учитывая (18.32), расчетную ФОIНIУЛУ на устоЙ-
чивость (18.31) теперь можем переписать в ВИ,'l,О
а шах < [а]у == If [a ]
или
N
cr == < 9 [a ].
F брутто
(18.34)
Различают два вида расчета на устойчивость: поверочный и прое'К-
тировочный.
При поверочном расчете исходят из пзвестных размеров 11 формы
поперечноrо сечения стержня и прежде Bcero определяют наименьший
446
осевой !\JOMNIT пнсрппп J m In' площnлт, F, nычпсляют 1\JПНИ\fАЛЬПЫЙ
радиус инерции
. V J mln
lmln== ,
а таюке rибность
'Il
'.== .
i m1n
3aTe I, :-!пан rибность, нахол:ят ПО таUЛlще коэффициент 9, определяют
ДОПУСIШОl\lое папряжепие на устоiiЧIIПОСТЬ
[а]у == Ч' [a ],
р
сравнивают действительное папрлжепие (j == с допускасмым
F брутто
llапрткеllllе 1 па устоЙчивость [а]у И выясняют, удоплетворяется
ли условне
(j <;;: r (j Iy
При npoe.,.тиpoв0111l0. , раС'Чеmе ИСХОl1.ят из условия
р
Необходимое сечение
<;;: [a ].
Ч'Ji'брутто
определяется формулой
р
F брутто F ч' [a ] '
(18.36)
(18,35)
а==
Нроме ИСКО ЮЙ площаlЩ F (iPYTTO В пос.1едне.\l соотпошепии неизвест-
ным яnляется также коэ<tфИIlJlСНТ 9. Поэтому при под()оре сечения
приходится ПОЛI)30IJaП,СЯ l\1ет()лом последовательпых приближений,
варьируя всличину J\ОЭффШI.IIРlIта 9. Обычно при псрвой попытке
ПРIlшшают 91 == O,5+0,(j. IlpJl ПрlШЯТОl\l Уl по формуле (t8.:16) опре-
полнют Fбрутто И подбирают соответствующее сечение. Зная сечение
и опредслив J min' i m1n и '., устанавливают фактическое значение
I;оэффициента 91" Если 91' эначите.ТfЫЮ отличается от 91' то И папря-
I\ение БУll:СТ отличаться от допускаОl\lоrо Тоrда следует повторить
расчет, т. е. предпринять вторичную 1I0ПЫТКУ, приняв среднее по
IIС.'lИЧIше значепие между ко<>ффициентаШJ 91 и 91':
2 == 91 + 91'
, 2'
I3 результате второй ПОПЫТIШ устанавливают 9;. Если требуется
третья ПОIIЫТJ,а, то расчет повторяют при
(!; 92 + 92'
тЗ 2
11 т. Д. Обычпо Ila праJ\Тlше удастся обоiiтись двумя-тремя попыт-
:;ЮШ.
447
- 99. Выбор мат('риала и- рациональной формы
попсрс'шых ССЧОllllii сжатых стержнеii
ДЛЯ стержней большой тибкости (А> "пред)' Коrда аир < а пц ,
модуль упруrости Е является едипственной характеРПСТlшоii, опре-
долтощей сопротивляемость стержня потере устойчивости. Тоrда,
очевп;:що, для стальных стержней, работающих на сжатие, у, которых
П{)(штически Е меняется мало, нецелесообразпо применять сталь
IJOВЫШl'IШОЙ ПРОЧllОСТИ. Что I\асается фОр IЫ поперОЧНОI'О сечения, то
Р<ЩIIOIli1.1I,ПОЙ будет таная форма, при J\ОТОрОЙ при определепной
ПJIоща;щ величина паИl\lеlIыпеrо радиуса IшеРЦИIl i m1n является
ШШО().:Iьшuй.
13ведем беJразмерпую характеристику
i m1n
==' VF '
RОТОрУЮ паЗ0ве I удеЛЬJlЫМ рад/( YCU.}t инерции. О раЦИОНАЛЬНОСТИ Toro
пли IlilOI'O сечеlllIЛ МOfЮЮ судить па основании данных. прпведеННЫ1:
ниже.
Анализ приведенных даШIЫХ fЮказываот, что наиболее рацио-
IШЛЬНЫм.и лвл лются тру('iчатые
сечения, столь же рациональны
Jюробчатые ТОПI\остеппые сечения.
Наименее раЦIIонал ьными НВЛЯЮТ-
z ся сплошные пршюуrоль п ые сече-
ппл.
При проеlаПрОDаПIIИ ('[срш-
пей, песущан способllOСТI) 1,01'0-
рых определяется СUПРUТl\в:теllием
потере УСТОll'lИВОСТИ, следует
стре lИТЬСЯ к тому, чтобы стер-
жень был раВПОУСТОЙЧИВЫl\I во
всех направлениях, т. е. чтобы r.il8впые моменты инерции были по
ВОЗМОЖНОСТИ одинаковыми.
Сечение
( авн )
ТруБЧАтое а == d === 0,95 0,8
нар
Трубчатое (а == 0,7 0,8)
у rОЛJ{ОБое
Двутаnровое
Швеллерное
Квадратное
I\руrлое
Прямоуrольное (h == 2Ь)
$
Рис. :112
100. ПроДольно-поп('речпыii изrиб
2,2Е......1,64
1,2 1,0
0,5 о.з
О ,H O 27
O' 1 O'29
, 0,289' ,
0,283
0,204
Изrиб стержня называется продо;rЫIO-поперечным, еели в ero
поперечных сеч('шIЯХ во:шИIШЮТ изrпбающпе !\lO leHTЫ как от про
дольных, ТЗI( И ОТ поперечных паrр):ЗОI\ (рио. 312).
448
lЗычпслепие полпоrо изrйбающеrо момепта А10 в поперечных
ссч<?нилх производнт С учетом проrибов оси стержня:
А1 п (z) I == 1 1I1 (z) 1+ I SU'iJ(z) 1,
(18.37)
rде 111(z) И31'ибающий момепт от действия поперечной наrруаки;
swп(z) изrибающий момснт от действия осевой наrрузки S. Определе-
ние величины ПОШlOrо изrибающеrо момепта Mn(z) ослол<няется тем,
ITO в этом случае пелыт ПОЛЬЗ0ваться принципом независимости
действия СИJJ.
Рпс мотrЮI приближенный метод опреде.'Jенил иаrибающеrо
1O:\юнТа Л1 п (Z)' Он ОСllоваll па допущении, '1то IIзоrпутая ось баЛlШ при
lIuперечной uаrРУЗI\,е ПРИllимает форму СИНУСОllДЫ. т. е.
( ) . Jtz
W Z ; SIll Т .
(18.38)
11 рп наличии ПрОДОJIЬПОЙ силы таюке приБЛIПКСllПО ПРИПJшают, нто
. Jtz
ИJ п (z) 10510 Т"
(18.39)
Т:шор допущение по:чюллет получать ДОСТ!1ТОЧНУЮ точность для
IllHrIlJlpHO опертой баЛI\И при действии 110перtJЧIШХ наrРУ:Юl , направо
:II'IШЫХ n одну сторону. особонно, если леформация баЛКll оказы-
вается СJIl\JмеТрИЧllоii отllосителыlo ее сре,швы, rдр ИJ l1 ( ) == 'п'
ДифферепциаЛЫII.J. ураr.пешш упруrоЙ линии при поперечном
11 lJ{Jодольпо попеlJеЧlJОjl,( изrибе соответствt'пuо заШlше:\1 Tal\:
d 2 ш( z) м (z) .
dz 2 /!.') '
( 18.40)
d 2 шп(z) 111 (z) ll'п(Z)
== Е) 7J
(18.41)
1!сJ\ЛЮЧИВ и:з урпвшшиii (18.40) и (18.41) 111 (z) и учтя допущепия
(IS.:38) и (18.ЭU). будем IIMelb
" d'l ( . 1tZ ) S . т.:z
(f п {) dz 2 SIll.T == /!.'J '1I SIll т.
1:) 5 118fi
4'19
После Лllфqн\р('пппrош\Пил получим
2 S
7 (tп f) == Е) 'п'
(18.42)
ОGОJпаЧIIВ
702 Е) == Р
[2 <J'
( 18.43)
II: УРЮШ('Н1JЯ (18.42) ПlliiДС 1 пыраж('пне для проrиба ПОСрСДIJIЮ про-
:ICTU 6а.11\1I npu ПРО;'l:ОЛЫlO-попеРСЧПО l шrпбс
t
t п ==
1
p
(18.44)
ФОР Jу.'l(1 (18.4-1) д;.Н'Т УДОВЛСТПОРПТС.тrьпые результаты, Rоr,тщ СЖИ-
щнощал: СН.lа S не ПРСВЫШ3.СТ О,8Р;'р, ПреДllолаrал, что пзrпбающпе
l\1О JСПТJ,I ЩJOПОрЦIюна.1JЫIЫ lJроrибам, в соотвстстnrш с (18.44) l\IOЛШО
ЛО.1УЧIIТL IIРОСТУIO ПРПU.'JПl1\еllllУЮ фОР lу.1У для ОllрС,'1,елеНlIR 113rIl-
бающоrо Ю.\Юilта IIрИ нродоа:ьпо-попереЧlIО.\l IIзrпuе в шцо
E == .11
1. n S
1
р)
(18.45)
Тоrда ПО.:1ПЧJIШl Ia]\СШШ.ТIЫ[],JХ IIаJlрЛil\СIlIIii в ССЧОIllШ стерiЮШ опре-
Л;С.:IПТСН фОрl\lУ lOii
s (;11 П)lllах
(jшах == ii + lV
(18.46)
плп С УЧОТО 1 (18.45) формулоЙ
cr == + 111
шах [. П 7 ( 1 )
. Р.}
(18.47)
.......
На фОР I '.'IЫ следует, что П{НШЦIIl1 IIС:НlIЗПСИl\10СТII деiiствпя СШI
зпесь 110 II!\ICCT ;\1('CTa.
13 TC\I).l. 41 ПРПRО;(ОlТЫ 'раВIlеппл: IIзrиuающеrо !\lOмента 11 упру-
l'oii .'111111111 ЩШ пеl ОТОрЫХ С.1учаов ПРОДО:IЫlO-ПUlТсречпоru И3I'llба
б<1ЛО1; lIOСТОJJШIОIО lJОП('j)ечноrо сечеЛJlЯ.
4!)r
ct!
;:j
1::
tj
\:J
:
Q.)
=
ЕЕ
Q
foo
:Q
foo
ЕЕ
=
foo
=
Q.)
::r
1:1
;.::
>.
'"'
=
's
=
Ео<
1:1
;.::
tI::
!
ф
Q.)
I
с::
с Н
"' \"
C> ;>
= t:;:
? I!
=а Q..,
t:
z; Q
S
>.
:;
...::<.
с
?5 ..е.
:J
-,J =
....
\о""
Е:
с,.)
с
=:
,=
о
f-<
с,.)
р..
,ё.
,>::;.
с:;
::!\
...
:r:
С!.>=
t::
::r'
=:J::
>&:::
.=<.
З
e
g.
Q
00
с;;,
,-:-
i
.
:'1
ф
0;,'
ф
00
ф
С.
е:
c
'''1
g
ф
ci
........... ..
с::... i c:t. с:...
t::: 1 j 1 !
=
= ,j
:1::1:
;;. i l'
<-с, "":
:.>!:. 1 J ,,' i
"" ,j
:::: I
а:,,, i
;..:!:.
L)Q r
'-
\ ,
'Н '11 1;.\::' ::"1 ,') "
451
'с
:!
<;:; ..
.....
6 (.)
с:-
Q. :;:
t:: '::>:
Q 00 о:>
Е- Ф r--
CJ --=' "'" .....
.... "j ci о.
Е- CY:I N
r::::
Q.)
.
&
::с:
:Е
f-ttQ
tc=
9'cr
,ё.=
""'r:t
0<:;>
::С:::
5-
t::
N
о
о:>
ф
:.о
ci
Q
Q.
0;:= *i
:I: tc
>.
f::
()'"
",,:С
а;е
Со'
U
IJ 'U ".У tп [,,-
4Ы
t'J1
t'J1
r!:=\Iс'с ....-Iоо.....ф r--
:О::<:iОО ""':=\Ir--C'I?
..:t'ОО:=\lоощ r--ооФ
:',1 'Y:; .п '"-D r--. oo 6
....-I:=\IC'I? фr--оо(;';
О о"'6с"'66со"'со
&; Ф 8С;
N ... .. ;
.....:=\I.:v: фr--ООQ:)
oco"'-::::3c"'cc-::io
Q
J:,
r--ro..:t'
фОО.,....ОC\JфQ:)Q:)ф
OO .....OC\J cv:; C\J
<:'1'" C\J'" ... ф'" r: о :r;'" r:
.......... .....
tjl
.....C\I фr--ООф
o"'c"'o "'c;o ociO
<:'1 r--
It) It) ф.....t-- It)
00 r--1Q-ФC\J....-IФoor--
';'J "'.......'" .. .......0...0...0'
j ' '
....C\lC'I? фr--ООQ:)
. о о ci :..; ( ...:::;... с':5 r:::i
Q
4[13
"о
t:i
'с
c;:j
f:
::s
"t
<::)
F:"
с
о
1:1
tI'
>:si
О
С
t
ф
t:
/:::1
::;;
:t
ф
F:"
:.о
Ф
фС"': ф оо
ООФФ-.;j>Оф
ф-;::' ....-f NМ
'lillt""f0lllf""f "IiIII""'1
0....
Lr,)
rNU';)r--
О O O O ..,..; с'\\
:J3
!-<;:t1
I:;
Ф::;:
=::t
/:::Ia:
=
8::t
IS:
Lr,)......::т:>r--С'\1
фОООООО
.....00000
:J..
'о;
I.Q 1/)
C'\\ r--
а O C a ..... с'\\
IS:
Q...
1:)
0:."' 1
+ Q.,....
ar;z
11
t:
ф
s
\с)
о
t:Q
IX:
а:=
;:t1tt: <:о
iE Ф Q.,
o..iE
+
ct &
C'I:!
:z:
ФО
С)Ф Q
:s: 11:
Q.,
'О .О ':,\1.' а
454
t::
с-..,
-.::t
.
C:!I
11 Е::
==
I
+ .,...
ф. ':fJ -
.,...
/1
Е:
=
о-
t:
c:l c..r""
с:.
,..;:
<N
+
е;
с:.
:.:;
с' 1 к:
......
455
м
о.
00
00
о.
\с)
c::s
Е:
'u
I'-
W
i
с:::.
с:::.
о..
1::::: 1:1"
>:SI
...
t-
IQ
ci;;
=
1:
>80
>80
'"
:2
'п 'п i\L
456
t:
a.>
Is:I::I
=0::
Is:Is:
€<1tI
€<
"'1::1
/si
р,.
t:I
Og$ OiS:: N "",ффN
.t:> ..... Ф ,oct
о ф ф ф 11:1, , "', О, oq,' -..I". r-.фМф
M:'I':I-:Y1Sc-t:'ММММ"''''N N"'N
... о СУ;) -'.О Ф М If:) Ф t"- 000000
C\I , щ g , ,t::, J2, оо Ф,
о "", M
"'NNNNNNC'-INNC'J ..... ....
/ I
-.:rr-..:rсcv:ооlt:ll.f';)фr-.мr... '" r... r... ф
r:r:r: ;b C\I r...OCQ
Q м '" r...
",' "' c":i ,=,i C'i N ",' "' c'i' c'i c":i r--' r:: r:: ф
.
r... r... r... r-- r... r-. !:-- (.... !:-- r... r-- 1.f';)0O:--J
:о:оф:офф:офффф м cv:: 00
со , -..1", , -..:r. , -..1", ''11, , ""',-..1", ффооr...
C'-INNNNN"''''C'JNC'J o<:tt' -..1'" -.:i .,,;
J ", -..:r Фr...ООфО 1;:\1.... NM
0660'60 660'O''': 00'(2)0
I
c:t ;:"
0..1>-1
+
, """
11 11
с..
:G
о..
-..:r
.....
о::
a::1s:
IQ:!:I
:E
р,.:Е
t-p,.
QJ:.o
'"
C'l:!1Q
2
сЗа.>
Is:
oooo :.cr--
!;;;j5
::; oo ,.; м N <='i
r... """Ф"""'Фt'-
00 r... Ф
..... tl:) lI:)ф-..t'
r: Iri -:j< м c'i
ооr...ООC'Jr...
b
I/'S -.:i t:Y"i N
Оффll:)о-..t'1:""-
1:""- I/)ОО-:j<МФ
-..t'..-tt'- QI:""--..t'
-:j< -..t' r:r'; M C'\1
I/).сt--оофО
'? o 60 O ci .:
CI)
»
1:;:
с)
ф
s'
\о
О
::о
..
....
е;,
t'...
t-<)
00
R
..
(:)1....
<>:>
<::::.-
<о
c:s
c:s
c'..j
<::::.-
с::.
457
00
\с)
c::s
Е:
<:u
<:u F:"
cl
о
<::)
о.. :S:
1:::: :;
о
t N \-;j1 ф
ro r--
... ep 00
== Q .,....
Q,)
:S:
I:f
=
-&
Iti
:а
:a
:a:s:
Ф
:S:!:t
t:rl:t:
t
?5
:S:
i
с"1
11:)
Ф
м
N
Lr,)
с"1
r--
6
+
IN
cf - +
II""
cr: <N
cr::s: а:: :с;
:r:= I""'"' ............... р,
-.-С!.>
:t: . +
р,:I: IN с(
Q,) +
f-op, --------------
Q,)i:-. ;-1.... +
:=
;:;;...
Q,)o о: е-
i><i:-. I'''".) + а......
UQ,)
z: li I
-т
Q.
:с
а...
'О 'О 'l\[' Lr,) ф r--
....
458
I
I
I
c'i
ф
:"')
00
I'-
ф
oo
.....
o,,:j<
с:.о
ф
C'J
o,,:j<
:"')
'.::<
О
t'\)
"'1
......
....
f1
о
с...
с...
1()
Q.
n )1
! о-
У I ::::;-f;;
""""' r .....
......
j
1I 1 fI /1
f;- t о-
:с ;:. :t;
cl" Q... f Q... , '
ф о ;;
-.;000 "'1
459
-i
'о
t:.I
Е:
<u
.
<u F:"
W
<::) ()
CtI о
<::) S
ii'
t::: >::;;
о
[) Lr,) r-- о:>
р. ::.D ..;:tI
E-t .,.; ...... ci
tII t-- N
=-
lS1
>е-
е
C1:I
о
2
Е;а
фl=;
с:1::!
:::а:
-е.а
-9ф
2
:g
CI
:о
м
Q
о'
ф
Lr,)
ci
..;:tI
ф
ф
ci
о: [1 .
s Q. :z ft
:%:;!; ,.lf- ,..............
::>,'" \N IC'J
>. (:;-1 --..
'"'
,.) ""'
r. t 11 11
::..,..
.<. 1 Q.
C :с:
""' t ц,
:JQ.) Q.. Q..
, ,
и'а W C'\:J cr:
N N N
460
:....
ф
..;
I
I
I
ltlj
J:lJ
I
6-1='1
...............
:с
Q.
\ B ! "
\ t
\ t
, .
LQ
C"\J
C'\J
с'1
......
IO
00
00
C'\J
.....
:!:
................
I
IC') I
ф
с'1
I ",
ф
......
:D
.,.,
"'1
со
t---
ci
f.
Q..
iiO
! l t '
i t I
L t..J
(;;;- ,.,
Q,
:z::
*
11 .
Q,
:z::
cl
(
C'-I
4fН
ос
oi
о::::
<1.>
<;) ;::-
Е:
..;
а C.J
а
а :з
;:)..
t:::: ,::;:
Со'
...
t
>& I
€<
с':>
с
1;
11
t:;
r:'-
. _ I _
:1!
..1:1:1
iSI
!
>9а.:>
;;Х:;:::!
iSI
Et
I:I:
а:::>:
:r:
;Е;;:
P.
" :>.
tE'
:E
<:.)0
""'
U<:)
:::
II 'О \L
4б2
;::-
r-- "'1 О 00 r--
00 (,:;) '" о L'"
фооr:-:ф-..,;
&3g
=- ..
I
t t5
1Eg8
3
t:" r:::
I'- ::si 8..
f-- ;::
,
=:; \5
t:::
>t;:'< c':s
>g
з
=
s:::::
>,
>< .-: ::;J
ф
:3
.... Q"
с) c':s
c-:=
o.. tt:
.... .... с::
S°<:.)S'
:::; t1:
3
\о :::1"-'
"б
с..о..
.......
L'J О LI":I
С'I L'j r-- О О О О О
О o6o r:r: -u-S
tt:
<:.)
Е-<
c':s
t::: с':
,..., c':s
.....
O
сх)
I
;;з 1 ""
:-J
1':
00 со . ... -:'-1 1': ::;: :.=:
--:::< :'1 о :..р ;::;: :.;:: L.":!
" -:,-i':'i ..,.... c Q с:
I I
::::-
;;;:
L.,,:!OU"::
C'I L r--- С С С -:::::
с 6 6 -::; :,i, : ,.; ,r-5
::::
о...
'! J
t
i
00
<:"
с.
,.-;
с-
:--:
'-'
с:
::;'
(yJ
о
ф
<::' О
..".
-="1 C-.I ':) !N е-1 C\I
I ' ! ! ' )..!
:..;) ::;: ,: '" .f:; ,
;} At
со
. l
<:'1
О
5 t
'<:'T ':) -:.=: 00
'"':>
..;
C ='-l"'!':';::OO:::>
oc:::':cc6
I} ]
: ]
4uЗ
00
с:;
':'J e'\I 1 с'..:&
,j' "V"""Т, --.:j1
1"""'
с
.00
\с
00 ""
..,..., U'jU'j-.::l''
r:-: ..,.; t": N ф -.;r
......NNcY:iC'l:
I
1..;-
......1
+
I
ll
+
JI
;;;
":
<::>
<::>
t::::
<Х)
о
F'"
IS:
E-t
C;I
е
,
о
Е-<
(J
1»
E-t
t:
S
i
о)
о
с:!
ф
о
ф ""
M U'j U'j ..... ..;:!'
NL ОФ"""U'j-.:t'
.....NN cY:i
..,.
Q
CY:i Ф "'". ""
ФФ-.:t'ОU'j-.::l"
......N
..;:!'
...... t--
Ф. OO ....... "!. r:--: О. "'
::;<U'j......Ot---.::tt-.::r
......N::'J':'f"
'"
о
Q
t::I
CJ.)
*
:;:
"'=
\о
;:s::
о-
.....
.....
О......N..;:!'фООс
666660"':
..;
t--
Ф
"
f.-':"
с.:
:;:
l:tI
Q)
р"
t::I
CQ
Q)
:а
l:tI
Е-<
CJ.)
о..
8
<:)
:.::
CJ.)
:а
о-
<:)
Е-<
<:)
:.::
CJ.)
:а
g;
е:::
>8'::С
8
:s:
р.
t:
Q
tI:
с::::::::
::с:l:
:E ")' 1)
I»
Е-<о.
(JI:.,
'"
"':1:
.-.;- Q
С>О
и 1:.,
ОС!)
IS:
D U b..\t ..... N
464
t'- ..... со ::'1 со ::'1 .
с- осоФ t'-l.!': СООСфф [
;: C'lt;r;J,-r: Фv. u::UJ-.::rФ I
oooocO.....C'lUJt'-
66 о. 6 с 6 0.0. о. ...:: c'i ...... ...,
............... ci'"
""
.0 I
UJф.....фОСО .,.... t'-
с> СОф t'-Оф С()фо:t'- Ф .....
'"' 1.!jt'-ф СОСОСОфСОф . ........
О<::>ОО..,..,.....C'I ф..... I
6ci66oo66oC'iC'i C'I
...
11 "1 !:! ....
F" 1 I
I.!jфМ С() Q :::::-
с> t'-t;r;JФОФФ СОО t
.,.... t'-:-<:ОC'lС1':.....t;r;Jt'-ф
<:'1 ."..,..........""С1': фОt'-С1':
6606666....i'':C'i"C'i" ф I
* Т
lS1 .....
1=; j
\о 1
cv:..;tte>t'-CO"" -IS: J
..... I.!j :<,) 0". Ф "" О Ф t'-
C'lt'-t;r;J"" I.!jt;r;JОC'lФ Р.
C'lC'It;r;J I.!jt'-ОI.!j.".., r::::
666666...... ...... C'iC'i 1"""
..... I
........
I х .....
Ф;-r: -.............;
.....ф.....:J)t'-СО......Оt'-Фt'- """ I-;
.....СОф::'1.....t'-С1':UJС';) :'О 1="
I.!jt'-ф.....l.!jф""""I'
О о" о" о. ...... ...... ...... C'-J. c'i c'i 11
е
'l.
I ...":1 I
со C'I -.::r -с-. L..... -.;. Ф L!J Ф с'! J; t'-
='.J :J) t'- Ф L(j C'I U:: О UJ Ф
i C()J.>OC'-J-.::rt'-ОC'l --r
-::5 о" ....i ............- ...:: ::'1- c'i c'i ",," c'i
"" t'- "" С. со a.Q Ф О 11';1 t'-
Ф::'1OJt'-фC'f;,UJ ФФ
C'lt;r;JUJФСОО""t;r;J--r..;tt-.::r
...... ..... -...... ....i ...:: c'i "". "". c'i c'i c'i -
L!J...........t;r;J...... 0L!J:v:1.!j I
,,-, ф С() ..... I.!j '!;) ..... I.!j ф ф
d ф СОО......C'I<:v: ""I'
...... ...: ...:: c'i" c'i" "j c-.i c-.i c'i c'i"
ф ф t'- C'I t'- :;, О Ф ..... - Ф t'-
C':I UJ""ФФ""t'-C'l..;ttфФф
Q О........ """."l . . . ""I'. .
::'1"""""" C'\!""""""""C'I
:-<: UJ UJ М Ф ::-': t'- t'- t'-
СОC'lфQN L!JФФФ
r;; C'lC'I<:v:t;r;JcY:i ..;tt cl.
N "". c-i c-i c-i N. c-i c'i c'i" c-i
r-)'
t'-t'-t'-i't'-t'-t'-t'-t'-t'-t'- . "
ФФФФФФФФФФФ .,
с> -.::r r--;- "
N. . c'i c-i c'i c'i c'i ",] ",,- "'1 "' t;,
(
,',,",,"
...... "". С":. . UJ. Ф. r:--: СО. Ф_ О.
'.0
ОООООоОООО.....
t;r;J
t;r;J
465
00
;::!
:t
F'"
..;
(:) Q
О
(:) е:
с::<.
t::::: ,:::;:
о
Е-
Q
Р.
<1>
:S;
:::r
:S;
>&
>&
'"
о
;::::
I
= ='J ос С L"
['-o.... ......... oo...o
t "'"" "'"" "'"" 1:'-,)
ё)
""
а C'I .:.=>
;;;: C" N L ::;:. Н')
r-: "'"" -.:i r-: с
"'"" ..... ....... с"з
:з
;ц
i:J"
::: ос)
::: "".,.... OC)lQ
м::!' "" -.D -.:ir-:C
O'Qo.
0.<1> "'"" ...... ..... ='1
:I:
Q::;
с"з
::': -:.с 00 L
Q '" Фо, r-:с'
о: ""'I:"""'IC'J
::;<
Р.
52
;J ос)
::: С"ЗОС)С ,,"
;!' C'I u-i=:"-.:ir-:C
..... ..... ='1
..;\ С"З...;:fIфОС)С
6a"'oc
*
::а
Е-:!::
:r:;::;
Q.)
:S;r:(
:::rtt
Is:=
=
O)
a
а::!:: ! о.
:1:
l'
о.:Е I .
С,}р. I
Е-<о.
Q""
",'" : f
::C
Фа 1. о.
ИI'-t
U<1> о..
IS: *
'П'О W ...;:fI
""
466
I
I
ос) L,? ос)
Е " :'] ,..: I ::;... .........-:
='1 :'";) '" lQ
:=
:':> ос) С'! L'? ос)
"'..... ...,.; l
o. ;:"..) -: L
Q::;
r::
е
Е::
;;:
tr
;.-.
9 .....':'-10 0C)
CJ : I oo ...
:-r; 'v
..;I С"З .:.=>ОС)с
000:5"':
*
* *
I
J о.
\
11
о.
:1::
о..
IJ";)
""
:;:
:::1
I:f
р.
Q)
t::I
=»
t::I
E-t0
t::I
С) r:tS
::gCQ
QQ
=St::l
.
g
..:1
О
::-i
::::i
;з
E-t
С)
t:I::
t::I
Q)
;:;а
с":
ISI
а
Q)
::r<
С)
u
..Q
>::
С'] "
I ; i!
:-.:>
I ;.gJ;6 Nt!
с-: ':::' r-... со
+
C
11
"1
* .. 1.....
..,. 1".
C\I
U:::::;;cY:i:::;;CcY:J
С'! 1..":1 r-... r-... со ..
о с--; ..,; ф [ 00
r-...r-.........СОСОl1J
::.=>c.=>--:::-r-...r-...CO"
,,-; L :.о r..: 00
.....С'] фСО::)
000000"':
Qt
'-':I 1"
JJ
ф
С'-;)
' ,
....
С) tr..... t:I::
t:: Q) ::i:! ':::= О
gu g E-t o
r:tS Cl,)E-t g/::l
8 1:: 8 t::I t:I::
::;: ф t:l::u
1::: е- .... р. :::1 E-t
s g><
О U::a tr t::I
. 1::
:::! .ё О
t:I:: i; ffi: 1:: tx::
Q.U>, :S: :::I
t:: :а t:: ..Q t::I
..:I 8g. -'"""'
@E-tu:s:oС)
Q' .. u
:..:: О р::
s. а : 8 i3
t:::: О I:X: :s: tx:: О
uOI::..QC
t;' t:: :s: ....
О О iI: >< ...... ..:1 '
=t::I:s:= ffi t::I
:;P::= Е3
(5 r:tS°....'"'0j;>,0
аОр. ф;;с:
t::Qt:::;:>. E-t 01:::
Utrl:X:t:: ><u :::;U..:l
l C)u l >< r ::::r:tS I =:
UE-t С)Е: t::jC'j Q)
...... C']&:S:M=:>,..;:!'
11 8 ffi 11 t 11 11
;:;а ::r< О S t::I u
':::=
:::=
u
С)
tт'
=
t::I
О
-=-
::S:
::а
t::I
..:1
r:tS
t::i
:::1
::s
r:tS
р.
:;:
t::
........
467
ос
.,:
\с
t:
i="
с с)
't> о
с е
tr
......
..... ,::;:
8
u
р.
Е-1
\Q
.:&
'"
о
::G
о
с:з
о
СУ) c":i 00 с']
С'1С'1Ф
001r:J6
='1 :-:: '."''':'
...... <:'1 у) r--
I OO "...... N. ""
,,.. :..с r-- :f) ::.
..... ""
? I о ...... 1..') 1..') N ...
11";) :5 r.: :f5
t--<i(""""l
N :::> СУ) ф >.') с'1 ....
....: 11";) ф r.: ,XJ. :
, Ir. 00 00 .;1: '-')
I ['-011";) ф ,r.>:--I '"
I1";) Ф r:-:х. :
oooo.,.,r--......r--
... t--"'i"оооФС'.l N
. .. .
11";) Ф r-- r-- :У'
.r: фr--......Ф
\ 00 ф r-- 7": ""
<3 r-- t..:' 00. 00
I
*..;\.... C'1 Ф. OO О.
ооооОО......
i:Q
с)
о
,.Q
1=;
о
:::{
::с
::<
с)
о
..,;-
J:I
1=;
о
......cr.:C'I
('оо. ""..... cr.. ('оо. cr.:.
:'":! 0011";)011";)..;:!'
С'l С'1':: ::-,
IX:
с)
...
ф
::
о::
с)
Е-.
:lJ
3
C'J
6 i!:.
...,;oo l1";).o I1";) ..;:!'
N '='" с!";
:;
+
с) ;
IX:$:
;
ф
$+
\ ;:.8 "
ОФ ..... 1f5 "'"
С'1 (';>-"
=::
H
!i
...;
5.1
ф
t-:I
=::'....-'
Е--»
t::
::10
o
.....
. I \
..... С']..;:!'ф 000
c> 666 6""';
>,
о;.::
:а
Е-1:::
t:::::
r:;
Э!:t
:::tt!
;
I
'.3.
с:!
j , _.....
\ с.. ,
t::
t::r:: I
t: ....;;-
;:r;" I ,
.-.:t: \
AI» 1
9J...
b \ "J r--:, ,--,i
::: I
:;0 1
J
«>
r.J:;:
\
'U 'U t-- \ 00
, " СУ)
lj8
ф
::е
'"
-o
t+
:tS
t:r'
> ............
"'-')
11
:;
CCI......... ......
>.
о:: t:a
:: 8
::1 ;
g; '"
g
::
;0
ат:з
'"">
:::g
а:
....
Е "..;" \...
ф
"""О::
I
I
I
C'\J .....C'\J ,'i' .....C'\J .....C'\J:v':I .....C'\J:v':I ......C'\J .....C'\J -.::!'
со
"" ..,.... :r :.c ;"I:::: r-- r-- N ..... >r:i '" '"' '"' >r:i >r:i LQ LQ ф ф
,, ; ; ,,
<:;
>r:i ..... с) ':";) ;.;:J LQ '"' OO :r:I N C'\J :.o,", ,", NC'\J.......,..,
:'f) N Ф::;:,I '"' C'\J ..... ..... t-.. С'с r:r. r--ффф r-- r-- r-- r-- 00 00 00 00
ф =) oo r-: 1:'': C;; ... .. =: C';> ф ф ф ф C':J ф"ф"ф" ci ффr:;;,"cr;
t1? 00 00 С"} '"' :<:1 00 00 .....ф::---.I C':J I..r,) LQООФ>r:i фффф
:v:: r-- --r LQ ''1' 00 ФО 00'.0 ;;", '"' '"' ................ ...... 11j ,",,", фффф
X) C'-i 'XJ Ф Lri oo oo r-.: r-- oo oo oo oo C':J ф' C':J ф r:;;,"ф"ф"ф ф"ф"ф"ф
...
Q
Ф ..... LQ М 00 r-- N..,... Ф а. ..... ф C'\J 00 М C'\J '"' C'\J..... М Ф
О LQ ..... r-- ф..... LQ Ф :v:>..... ф '-::' :'J;"/ LQ С\:) М ..... О Q Q LQ LQ LQ '"'
..... r-- M r-->D"фФ t-o r-:r-: 00000000 ф"ф"С';>"ф ф"ф"фф
со>
00 t'"- >r:i l1j LQ 00 ................ [..... '"' C'\J r--...... C'\J 00 .......... t-o r-- '"' м cv:;
r-- О 00 ю...... '"' '"' -:::> 00 о м ...... О 00 Ф l1j '"' l1j I..r,) '"' C'\J C'\J C'\J C'\J
'f)" ...: I :--: c'i C'-i :.r;; >r:i I ,.; r:: ф r..,'" ф t..... r:: r-: r-: 00" 00" oo 00 ф ф ci
О
0-
о"
.....
о"
C'\J
о"
'"'
::5
'.о
С
00
о"
c:t.'
t
-> i; 1
t . '
'"'" !!
. с:1 '-
I !
- ,. I
, f. ,
cr5
469
...
\
i:::
о
<'ь
<::
Q.,
t:::
f-
=:::
Q,);::
:S:'"'
I::f
:S::::::
>8<==
-е-С::
С';)>.:>
O
25
J::
:::::
a
C)
о.:Е
<:'>1>-
Е-<о.
O
:;;:<:1
Q,)o
><
С)<:.>
'П 'П i\L'
470
f::"
Е=:
Q
С
i::
s:
::>:
О
Е-<
Q
1>-
t:
S
z
.&
с':>
о
:;е;
=;::
c
4' t"I
E:..Q
+
е'
". '--'
:><
11
........ t'.!
со;: --.....;
о
:.с:
8 Q
;:;
u
::!С
о..
8
:: 3
t:::
8
о
::!:I
==
g
:j
. !.....
....1
......C'] ':::t' ....C';j ':::t' ..... ':::t' .....C';j ':::t'
t-- :'') 00 Ф ......::r 11':) ф
о ф N О О L':) ':::t' t;f) со::.=:.о UJ со со со со
. f:'J ?1
с'
L'-> с:.о С: С'I r:.::> ф '-;:< ':::t' со
L':) N Ф со N с.с L':) со ф UJ UJ со со со r--
j ggRf g g
.".
О
ф
g:j ;.f g
r:.::> L':) со ..... UJ t;f) N с:.о ':::t' r-- ф ф
С': N ос r-- ас N..... N О Ф Ф о Ф ;; Ф
С'l :'01 =- о r-: r.: r.: r..: N N ................ ф v-.) v-.) v-.)
N N N N :;-..] N N t;f) t;f) С':' СУ': t;f)
с>
ф со С'') с:.о '-;:< c';j с") ф c';j со UJ :v:> с'1
C":C:-v.:'o1 .....L.I:I N оr--r--ф ':::t'Mt;f)t;f)
=- 00 00 00 ф L-) ) ,.;- Lri ........ о о о v-.) UJ IO v-.)
:'о) ...... ........... N C'I .:'01:'0) СУ': СУ': ,,';1 <:': М СУ': М
N
О
OQ
о
о
r:.::>
О
;;:
,,:>11:
1:;:)......,
'
: I
, g
t::
u .. L':
["-- Ф
с (;\l с
.:1 .:1
с с
I::t: t:;
[
::'J Х.
о:. .
с.) с.)
f-t
Q;I с)
о:. 00 о:.
I:j ... [....
Q u-5
...
ii: '" '""
:::: ...... ."...
::::.: ::::.:
7F 6\
!.....
с.)...... о 00. u ...., ."...
..... ../
:::1 ""') [ '"'-:> о ф
= ; f ......
::r 11
о.. ::;..
Q;I Q;I N
:II
= '-")
f-t ;;>,
с:
8 :II Q t:: \:: >'-
"" 8 8
с @ с с:;
с.-.
1 I
-.
-1 .
, с::.
T ! r:! l\ 'l Е .
"'\
, i с:> c:::"'l
'=:- с-
, .. " \\ -......
11
v е- 11 (/ с;.
Ji j с:;:,- :.:
N
...;1'
g
;:;
с
с
t:'{
u
f-<
с)
о:.
ё;;
'"
\
8
:::
t:
ё)
;:;:;
с
.."..
"""'
l I
ф
ac\.!jO
\N"u-5ФС"5
cY?cY?
С'': .... ф N
ФО О
cY?C'f:)C'lN
J
",'"; .... ф N
r.: oo 6
NC'I """"
.....,
11
:;...
:II
S
@
п
;:
O....NC\'J
\-/-71 е-
/
tJ \ [ \:
\...... '
!::
с:>
<::;- 'У
:--) -' р.
с:;:,- :.:
а...
,..,....
471
"ро80лжeJtuе табл. 98
Схсы:\ стержня
11 ero наrрушеНIIЯ
НОЭф\,.JlIlJIIСIJ'I
ПРнвсдеНИR дтшы "
1:\ОЭффIlЦПСН1
устоiiЧIlПОСТН '1
44
11 J . 1/ р, (l а)
ри rn == 11 п == <.
J 1 (1 а) Р) а
7.2 EJ т1n
р ==
Кl! (\la):.!
т
4
2
о Ц4 l 8 1.'7. 1,6 п
При Рl == Р2 == Р и J 1 == )2 == )
'jt2 EJ EJ
Р == Тj /
ир ('11)2 12
а а
т 7 1)
О 0,699 О 20,19
0,1 0,652 0,1 23,23
0,2 _ 0,604 0,2 27,06
0,3 0,558 0,3 31,75
0,4 0,518 0,4 36,8
0,5 0,500 0,5 39,48
0,6 0,518 0,6 36,8
0,7 0,558 0,7 31,75
0,8 0,604 0,8 27,04
0,9 0,652 0,9 23,23
1,0 0,699 1,0 20,19
472
тl рооолжenuе табл. 98
Схсыа СТСtJiЫlf:I 1 1
11 ero Н::Irрушенин
I
I
15
A ), М.7 2 р,
1 а + 1 "
c [
НОЭффJlЦIJСНТ
IIРllпедешщ Д:ШIlЫ
RОЭффНЦIJСНТ
устойчпtЮСТII 1j
j.a
l lpllт=== J / ' 1I
1 ( а)
Р" (1 а)
Рl а
fJ
1t:/ Е) min
р
1\)' ('Ia)2
т
8
6
4
2
0,4
о 0,4 0,8 1,2 1,6 п
При Рl==Р2==Р J 1 ==J 2 ==.1
1t 2 Е) Е)
Р НР == =="IJ f2
а а
т т 'Ij
о O,()V9 О 20,19
0,1 0,646 0,1 23,63
0,2 О,ИЗ 0,2 28,09
0,3 0,5: 9 0,3 33,96
0,4 0,487 0,4 41,68
0,5 0,4:1Н 0,5 51,12
0,6 0,41 0,6 58,84
0,7 0,412 0,7 58,92
0,8 0,4:Ю 0,8 .'51,97
0,9 0,407 0,9 45,27
1,0 0,500 1,0 39,48
473
п ро80лжеnuе табл. 38
CXC:\I"l стерiНПЯ
I1 cro lIзrруШСНIIЯ
46
P;
474
RОЭФФПЦIJСПТ
прпведешlП Д.:l1J ны v
НОЭФфIlциент
устойчивости 1]
J 2 a P2(l a)
При т == J 1 (l а) и п == Р 1 а
п 2 Е) шin
р
кр ('1а)2
т
б
4
2
При Р 1 == Р2 == Р и J 1 == J 2 == J
1t'l. Е) Е)
PKP== ==YlT
а
т
.0
а,l
0,2
O,R
01
0:5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
05
0:46З
0,426
0,:191
О,:Ю2
0,:15
0,362
0,3!J1
0,426
О,lt63
0,5
а
т
О
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0.6
0,7
0,8
О,а
1,0
11
39,48
46,13
51,45
64,56
75,22
80,76
75,22
64,56
54,45
46,13
39,48
Про80лже1iuе табл. 38
Cxe !a С1еРЖJ{Я
11 ero наrружеllИН
47
А J P, J 2 ]tfJ
4> . a ' r ,
. j "
I\О3ффI1ЦI!СIIТ
приведения д:шны v
I-\оэффшщснт
устоЙчшю(;ти 1)
J 2 a P'2и a)
IIри т == и п == '
J I (l а) Р] а
..2 Е) Шlll
Р ==
ир ('1(1)2
т
6
4
2
О
0,1
о
При Рl == Р2 == Р п Ji == J 2 == J
Р :::::> -;:2 П) EJ
Щ) ('/l)2 YJ l2
а
т
а
т
1).
о 1,0 О 9,87
0,1 О,НЗ;) 0,1 11,8;3
0,2 0,868 0,2 13,11
0,3 0,80<'1 O,: 15,26
0,4 0,746 0,4 17,72
0,5 () ,690 0,5 20,19
0,6 О,О72 0,6 21,88
0,7 0,()()8 0,7 22,14
0,8 O,(j79 0,8 / 21,4
0,9 О,6Ю 0,9 20,55
1,0 0,699 1,0 20,19
475
п рооо//жеn1l8 табл. 98
CXC;\I:! СТlJрiНIIЯ
П ero паrрутеНИf<
ь'О"'ффllциеш
,СТОЙЧIIВОСТI1 1)
НОЭlрфIЩIlt:Н'I
1(JIJП"деНIIIl ЛЛJfIlI.1
4
H
476 .
,77
;m;
J
J'la P2(l a)
При т == J I (1 а) п п::=--..: Р\а
r;2 Р.! rnilJ
р =--=
::р ('Ja)2
о 2
11 Рll Рl == Р2 == Р и J t ==J 2 ==J
Р == ':!
ю ('Vl)2 11 [2
а а
1 ---т 1)
О 1.0 О 9,87
0,1 0,925 0.1 11,53
0.2 0,85 0,2 'lЯ,65
0,3 0,776 0,3 16,37
0.4 0,704 0,4 199
0,5 0,636 0,5 24,42
0,6 0,575 0,6 29,82
0,7 O,5: 0,7 Э5,1
0,8 0,507 0.8 38,41
0,9 0,501 0,9 39,4
1,0 0,5 1,0 39,48
! ,:.:]\1(1 C'l't:pHiHH
!t ' I'O IIзrРУiI<СВ:"
4':
r; ffi ,7, ,.ii , ,
' , .. . 7'
I !, i J!. '!- I
,.... .............. .... 1
5()
tt
р
. i т:т
LiОЭФФIЩl1Сll'!
'1\!I1ВСДСlJllfl j}JlIIII,,1 V
ПРООО.1жеlluе табл. ,!J8
I
I
!
RОЗФФlJциею
уСТОЙЧ:ШОСТlI 'IJ
11 .J., ! 1
рll т == J ' 1
1
J>?I?
П п == Р] 11
т.:' I:J тin
р
HP \'1/,)2
Значения v IIаХОДЯТ И.,
rрафш\Ов, построснных
'tlЯ ( XNI 47
11 Р 11
:110/1 :iJ [1
т 1 == и т ==- J 1
J 1 /(1 1 2
jt2 Е) mJn
р == I )2
"1' (". I
т 2
8
б
4
2
/ "
, I
j
I lo '2 п 2 Е.I
5'1 I I J plJ ')
k l ="- 11 "2 == -т; l КI) (vl 1 )2
I II
I f
Р р I
t t 1, Jf.,
I
о
477
п родо.1Жe1illе табл. 38
Схе:\1а стержпл
и ero наrружеНИJl
Б2
Р З, З.
,<
(о Lt .
53
l P' !] /; q pz
ff ·
,J, J, J
L,/ <i __tJ
54
r:tJ' J
(g . (,-- Ы
q78
I \ОЭФФIlЦI1СIП
пршзедсюш д:шны
I\ОЭФФПЦl1епт
устой.ЧIIНОСТИ 11
.1J() I1
IIри rn:=:
11 [о
;-;2 Е1 miп
Р нр:=: ('I l O)2
v
4 8 12
1 1 .1_, [,
ри т ==
J 1 [-2
И п== P2
P11 1
т. 2 Е] min
р Щ) == ("[1)2
Значония '1 наХО;(51ТСЯ' И3
rрафш\Ов, ПОСТРОСИllЫХ
ДЛЯ схемы 48
П :1Jo [1
рп rп==
11 [о
п 2 Е.l тln
Р HP === ('1[0)2
v
8 т J
п ро80лжеnuе та .Il. 38
Cxe Ja стержня
11 ero наrружеШJfl
Н'ОЭффПЦПСIIТ
ПрlJвс еНШ-J Д:ШIIЫ v
Коэффициснт
устойчивости 11
55
", 2 EJ
Р кр == ('Yl 1 )2
р
. + '- .
1 o I L...J.._I: f.-
()
0,4
0,8
1,2 l.я
{,
56
р D 1 9,8696
+ , f
I
.....,....... -----i
57
п число пролетов
11 v n 7j
1 0,699 1 20,2
Lia P 2 0,879 2 12,77
(J.J t lt t 3 0,939 3 11,19
4 0,964 4 10,62
5 0,977 5 1{),34
() 0,983 6 10,21
7 0,988 7 10,1
8 0,99 8 10,07
!) 0,992 9 10,()29
tO
0,994
10
9,9895
479
п ро8мжепuе табл. . 8
Схе:\ш С'fсрЖШl
11 eI'O наrружеШIfJ
Ноэ ффll Цllен'l'
П!ншедеШIA Л:ШIIЫ 'i
RОЭФФИЦIlСНТ
устойчивости '1)
58
'
цщ' i lJ {J
rl ЧИС.Т]О IIрОЛР.ТОВ
11 I v I " I У;
1 0,5 1 39,48
2 O,() ) ' 2 20,2
;) ).814 : 14,Н
4 O, 7H 4 12,77
5 O, 117 5 11,74
(j O,O;i J 6 11,19
7 0,\)54 7 10,84
8 о.ти 8 10,62
9 0.971 9 10,47
10 .977 10 10,Я4
59
р р
1 c { I
tЮ
F '
р
!
{И
q q
" ('
I {
r-.....
р ( з-i )
кр 4 lф
480
' mg
r '
о. б i ,1, .. i ': :
0.2 ' ,
о 40 80 1.?0 1 ' iI..
L , !SEJ
I
IV " I
1,0
0.5 . Н . : ! c.....:
а2 I l' ,
'о 40 8О 120 нд J5ij
СХС\!а CTPpil,l1f1
11 см IIal'[)Y'I:UlllifI
п роf).').1Жf'/lIJе табл. 88
f\О:)ФФIIЦllrнт
ЩJlшеJСlII1fl длины v
{;:.;
q i'----- З:
A ::-
L L .
р ( !J} )
Нр q ЩJ
(j;)
t.
+
I
п r
4
I ( ,
I !
'!; .) 1186
V ffi= !': l' . ,шr , .т-------
0,6 о ; oi '1 I.оL-...i .о! -1
0.2 .ij *=l].:::: k ;;
() i,U Ю!2() .,'
. . .... : о :;
, .. .
/1'1'" '-,'.1 .
'" i
П/.''''=--;7 ;
"1 ' \ '. "".;. , J +*,.
п::::: ('\ + ,") I .I
0,5 -< 'v <' 1'0
Н СI\оторые I\ОIll,реТПI.1 р
Д,ШIlЫ() при:
n:=-О
т ! rr о r П 1 0 .T\'! /1 .
I 'I \ "1' ,1
8 I о .... . . " ..!.... . '-<:;'..."
I \ I \ 1 './ ,"-.'
f.) \1 ,: _ _ //, L _ 1
l \ \) '<.i
4 .. _ i6(-;".. ... [ :-: '1
, , / (п' .1......4-.. '
':' К ',,) .........-+. ..: .,]
.L ";,,,',,0', .J T'
/ c.... :::-..:::::t:.::=::
О 2 4 б (] {,7 2
1/ .--=: 0,:1
о
1 \U;).iHjJlI Ц!IСIIТ
\'CToii ЧIIВ()СТII 'yj
11 < 1] <; :\а,1;)
!j81
п родолжтuе табл. S8
Схема стерШНIJ
11 cro паrружеНIIН
НОЭффllЦИСНТ
ЩШ RсдеНllfI П;IИ вы
КОЭФФИЦIlент
устойчивости тj
НЗ
11==1
11==2
т,
8
{J
4
2
О 2 4 6 8 т 2
n == 4
8
6
4
2
О 4 6 8 (Т/2
n==1О
т,
8
б
4
2
О 2 4 б 8 т 2
482
Схема СТ('[JЩIIR
11 ero наrружеВИА
64
h . т,::т: т2:ОО J,Ш р
i .Т ..
t
т,=оо: т 2 ",т р
1 *
65
Щ.IП; IП,'О
l
:+7
F.- IП":;IП' "
11-)-
Rоэффициент
приведеНИfl ДЛИНЫ"
0,5 -< v -< 2
Некоторые (шнкреТlIые
данные
8
()
т
51 l
тl == EJ '
S2 l
т 2 == Е J
'1 , 2 ZЗ
И п ==
(51 + 52) EJ
..- ....
;
0,7 -< v < 00
Некоторые I\опнретпые
данные
л
24
fб
8
fj
в
р, 19 fJl
't
51 l 52 l
т 1 == EJ ' Тn 2 == EJ
rI ' 2 za
И п ==
(51 + 52) EJ
.... ....
проаолж нuе табл. 98
Ноэффициент
устойчивости 11
2,4424 -< 7j -< 39,48
о < 7j -< 20,14
483
п роf}олжеlluе таил. .fJ8
I
I
I
u -1
I
l> C:\I; ('I 'JI. !IiJ
'1 1'1') JI:I: PYH;,'III'"
,, ,\) 1)
........
. .
. I '" ..;:
I '
- -- '.
", " !-
п === .
(\1 ...L \_, ' '.1
..'"
I
- - - - -1
I
'
!
п С
р
,..l;,.;;.....
,,) "? (1
п=== (51 -+ \J/ '.1
.** **,*1fI
484
I \" 11;)','(" 11 j, 11('11'1
IIp'!HCJlr!IIJH .'1,II1111" ,
0,5 -< v < 1
I;ОJlI;РСПlые ;:Jна'I('lfIIЛ v
ЮI \''1' быть в:!нты П:I
I'PU:J)1I1\[I, lюстроеНIIОI'O
:(.'111 (:),,(I:.Ij,] 5 )
I':c.rl II т I === т == т ==
\1
- ;;;J то
8 т
<v<oo
I OIlI\P('llll,1C ;Ш,I'IР/JJIН
:\IOП'Т vып.. В:\ЛТl:I па
('1М [JIII,a, ПОСТIЮРlllIоr'о
дЛН OC:'I!,] ();-\ (слуqаii
11 == О)
1':CJlII m 1 == 1112 == т ===
sl
' 'J' то
v
2,2
1,4
1,0
о
т
1, v;)(iнj"JИ ЦIIСIIТ
У{'ТО iiч 11 U..СТИ r;
И,8(НЮ < 'fj < 39,48
о <'fi <9,8696
п родолженuе табл. 98
Схема стержня
и ero паrруitiешlЛ
68
с,е оо j . Р
811
т 1 == EJ :
821
т 2 == Е.1
69
t т,-О: т,'ОО Р
l ,т ..
f
т,.оо;т 2 "'О Р
l :t
81 ;
тf == Е;
521
т g == Е!
Ноэффициент
приведеПИR ДЛИНЫ \1
0,5 <v<;: 1
НеI\оторые I\ОIшретпые
данные
o,
0,7
0,5
О 8 16 24 32 п
n == rl r 2 zз
(81 + 82) EJ
...., .....
0,7<v<:2
НеI\оторые :кон:кретные
даппые
r\ r 2 13
п == (51 + 52) EJ
.... .....
Ноэффициен'1'
устойчивости 1j
9,8696 'fJ < 39,48
2,4424 <: 'fJ < 20,14
485
Продолжение табл. 88
Cxe:lНl с':ержнн
11 el'o наl'rУЖСНlIЛ
НоэФФициент
Прllllе,1СНИЯ ДJlИНЫ '1
Ноаффициент
УСТnЙЧ\lВОС'fИ r;
70
т,.т:{т,.п.DO . Р
J
т, п ; т2 т . р
. A '
' 1 l
т 1 =::: Е} ;
S,) 1
т 2 == Ё}
.....
71
r.' т,.т,;,о"" оот . Р
J r т, =оо,п.,о:т;о/П р
{ ::
'>1 1
т} == Е}
$2 1 ,
т 2 == Е J '
r\ r" {!
(SI + ) Е}
n==
. .', *
486
0.5<'1 <0,7
11\0l/J;rетпые .шачеНIIН '1
MOI'YT быть В;ШТЫ И;J
rрафЮ\fl.. построеIlноrо
ДJIH СХt)l\lЫ 54
п==
ry r:!. [
(s} + -'2) Е}
*..
1<'1<2
Некоторые !:ош<реТIIые
данные
б 8 т
20,14 < 1J < 39,48
2/1424 < '1 < 9,8696
п роаолженuе табл. 88
Схема СТСР;Ю1fI
11 ero наrрушеНИf1
КОВ fJфициент
приt3едеНИR ДЛИНЫ v
Коэффициент
УСТОЙЧПDОСТИ 1]
72
c :пoo: т'д:P
I I
. . .. . ,.....j
73
r.
т,=т;п=О;т 2 =О 2
1 3
c п;o,т,. ,P
81 l
т 1 == lfJ ;
S2 t .
т 2 Е! '
'1'213 I
п
(81 т 52) EJ .
.."',****
р
О,7<оу<1
н опкреТIIые ;значения -v
l\lOrYT быть RЭЯТЫ из
rрафика, lIocTpoeBHoro
,'lЛЯ схемы 52 с учетом,
51 l
что т 1 == EJ ; т'2 ==
-"21 .
EJ .
п==
rl '2 [3
(8} + 2) EI
.. :;1***
2< -v < 00
JIel\OTOpwe KOНI{peTHыe
Д1Ншые
74
!П,,,т;,,О
р
f
SI 1
тl == Е} ;
s., 1
т 2 == ЁJ
...'"
[lробходима также про.
ПСрIШ устоЙчивости по
формуле
р ==..!J!..L I
кр r 1 + r '}
***
3а расчетное Прll Пllма.
ют наllмепыпее зпаче.
вис Р кр
9,8696 < 'rj < 20,14.
о < 'rj < 2,4424
9,8696
487
,
п родолженuе табл. 98
Схема стеРЖНR
и ero наrРУiНеНИR
НОЭффИЦllент
ПРИDС;:JеНПR ДJIИНЫ 'J
НОЭффИЦllент
устойчивuсти 1]
75
P F , f
f ll =a5J
0.56
44 0.59
0.62
ДВ7
42 a
. 85
91
О 100 200 с
{== ; С== ,
(r коэффициент тест.
IЮСТИ УПрУI'о переl\Iе-
щающейся опоры)
76
V t:tt
r Rоэффициент Же-
сткости упр)то-пере-
\fOщающейся опоры
488
При числе пролотов
п == 2 значения V MorYT
быть взяты И3 rpa-
фЮШ, построеНllоrо для
схемы 69.
При п == 3
" gп]
1,8
1,0
О 8 16 24 - с
При п == 4
2, .
1,8
1.0
1 О 8 16 24 С
rl 3
С;:: EJ
п ро80лженuе табл. 98
Схема стержня
и ero наrру>шшия
I\ОЭффИЦllент
приведеuия ДЛИНЫ '1
I\оэффициент
устойчивости 'IJ
77
v ttf
r коэффициент же-
сткости упруrо- пере-
мещающейся опоры
При числе пролетов
п==2
"' II
2,6
1,8 '
:0
,(} (i с
n==3
2, III
1,8
1.0
, О 8 16 24 . с
п==4
2, 1I
8
1,0 .
о 8 16 24 с
rl 3
c==
EJ
489
п родолженuе табл. 88
СХС;\\:I CTCPi!\ 1111
11 ero наrружения
Нuэффициент
ПРlIведения длины v
Н'оэффициент
УСТОЙЧИВОСТI1 11
78
Значения v MorYT быть
взяты из ('рафика, по-
CTpoeHHoro для схе-
мы 52. При этом т ==
sl
== 2EJ
(8 коэффициент же-
сткости упруrо-поnора-
чивающейся опоры)
79
.
Значенпя v MorYT быть
взяты ИЗ rршfнша, по-
CTpoeHHoro для схе-
мы 54. При этом т ==
sl
== 2Е J
(8 коэффициент же-
СТI\ОСТИ упруrо-ново-
рачивающейся опоры)
· J и J 1 наибольший и Н31Пlеныпий моменты инерции попереЧноrо сечения
соотвеТСтвенно.
.. ПреДП().lаrается, что имсеТСА нескОЛl,иО учас r ков ОДIIНЗНОВОЙ ДШIНЫ,
причем разности leiK;:J:y моментами инерции соседних учаСТI\ОВ одинаковы,
... rl и r2 ко[)ффициенты шеСТИОСТII левой и правоii упруrо-перемещаю-
ЩИХСI1 опор.
**** S. и 2 КО[)ффllциепты жеСТИОСТII лсвой IJ правой упруrо-поворачи-
вающихся опор.
..... с иоэффипиент н<есткости ynpyroro основаllИА (lю[)ф,рициент
ПоСТели), раввыЙ ОТllошению реаиции основания к erO осадке.
490
Т а б л и ц а 39
Критические паrРУ3RИ ДJНI пnлnсы и пеJЮТnрЫХ ДBYTaBp )HЫX балOl'*
Типы опор:
1==3
в I'ОрIlЭОI1Т<lЛЫIOЙ И
вертикальной ПЛОС1\О-
стлх ааДСЛI\а
Ш
n rори:юнтальной
ПЛОСIЮСТИ аадrлка,
n веРТlIl\аЛLНОЙ
l1 apllIlp
G=з
в rорп:юптальпой
ПЛОСI\ОСТИ шарнир,
в пертиналыJOЙ аа.
дел ка
- $3 -
в rори:юпта.ттьпоii
плоскости шарнир,
в lJ!:'ртикапыroil
направляющие
F
в rОРИ;ЗОIIтальпоii и
IЮ рт икал ьпоil ПЛОСНО'
стих шарниры
Схема
f';рl!l'llч снаfI наrрузк<!
t . ) M
7tS
М I\r == 'Il
п Рll потl'рР УСТОЙЧJ!1IUСТИ плоскость дей.
ствия пары сохраня!:'т НРII,Н\НШНУЮ ориепта-
IЩЮ n системе ПnДВIIЖПЫХ - осей, жесТI\О
свя: аНIIЫХ с неР(' fOщаЮЩП IСЯ ТОРIЮRЫМ се.
Чf\ПИf\!\J
при
4/)1;'1 ( а )
р ир == T S ---= --т Е} /
== О р == 4,О1ЗS
а I\Р l 'l
Если высота нопсолr>поil ПО.'ЮСЫ 1\lIшяется
71
по аакону h == h'J V 1 +, rде Ilo высота
ПОЛОСЫ у основания; z тенущая ноордината
ВДОЛЬ полосы, то
mS
РI\Р == Т
п I 1 I 1 , 3 I 2 I 4
----т ;Т,4"" ,81 :-3,21 3,oJ
* s == )/ Е} GJ 1\ ' rде EJ .llаименыuая жесткость при и н'нбе
С} жестrюсть при иручении.
491
п родолже1tuе табл. 99
Схема
НритическаА ваrРУЭКll
8 1
k8
Р КР == l2
Ноэффициент k берется из таблицы.
[2 2GJ И
При этом 'х. == 7ii . rде D жест-
иость одной иа полои двутавра при иаrибе
в ее плосиости
'х. 1 0,1 / 1 I 2 I :-\ / 4 / 6 / 10 / 24 1 4()
" 44,3 15,7 12.2 10,7 .76 8,69 7,58 6,19 5,64
При 'х. > 40 k == 4,0\3 2
( 1 V )
t . . p
r Ш1 ; WJ 1
Р === 5,568
ир l2
l ) 12,858
(q кр ==
Если высота IЮНСОЛЬПОЙ полосы мепяется
V
но заl\ОНу' h == ho 1 т., rДе ho высота
полосы у ОСIIования, z текущая КООРДII-
т8
ната вдоль пuлосы, то (ql)ир == l2
п I 1 / 1, : 3; J 2 I 4
щ4 11,2 12,8
492
( !l!L. ) == 26,58
2 ир l'"
qo в корне
СХС\!;!
п pn;)o.1:J/('PIII(P та!).!. 89
'{r'JIТIIЧt;С'I{<lН lI<ll'j'Y:j!;;,
t J}
1 () t: С'
( 01 ) ==
t 1\1' l"l
M (t ==i Y
\. [ !
М С 3 ,11
. . ''!
( tb= . / I
. .......,.,
1
-;:.)
M(:i, 7
,.; l\ р === -;: , :) I f + ( r ' '):! --;J }t
,V . I :..С)"
,';J,e /1, BI,I(I)I(\ [,a:II>1{ п ;';I'С!J,(,eJ1, o;tlfo(J
НО:! IIO:lOJ, ,l/!,\"lillI[JiI 11['11 II,!IIII)(' Р ('(. II:I(,(":I,U-
С111
Ь') + (;,/"
.11 .=. - 1-
1-\11 !./i
V ( Ь') .1. (;./ ' ) '_:! ( --::7 )
+ I t( " ..
") l' I 1 ,) . {J "-T 1
'"'" t I t \
!ll1il":lIliii .!lliII\ UJlP(',tC':Hl<n I\flIITIJIH'<':!-;ОI' ;т(\.
Ч ('! 111<' ,\I();\Il'IIТ:I, 11(\ J! ра IIЛ (' 11110 ,-о '! РОТlШО-
/10,10:/\110 ';OI;(\, iI:i IJiJ'.I\' 11:1 (' ,\(' 1(,
P
. . .
1 ;--т"'r"""
.- ..,
k\
i',,1' . i
а: I 1 (\05 / (1,1 [ 1/,1;') I (),:! I 0,25
T1Т[{j J )1tI1 ,HtJ !}Т :1,1
a:I I I):: I ,'.:: j l 1:,11':/1'-) 1 ' ( ,5
k t.()1 I f7Т- It), J1
Pt. '
1t =T C
I I -'-- I
?
1 (' О') ( )
р __ О,,,., 5 ') 1. а '; .
Jip u,jS t LJ
4а::!
п ро8олжеllШ! табл. 99
Cxe I,1
НРJlтичеСК8Н Н8rРУЗИ8
!
fТПТ
, z J
kS
Р ир == J2
/2 2С] и
При 'х. == fii , rде h высота баш"" И ,
D жестность ОДНОЙ из полон двуталра при
изrиfiе л ее плоскости, значения k будут
'х. I ()А / 4 I 8 / 16 I 32 1 ()4 / 160 1 400
Т 86, 4 ;)1,Н L5,6 L1,8 19,6 18,;) 17,5 17,2
t- l
( 1 ) == 28, HS
q ИР 12
11J J1 I
kS
(ql)ир =="j2
12 2С) к
Прll 'х. == /;2 п' rДе h лысота балки,
D жесткость одноп И3 полок длутавра
при изrибе в ее ПЛОСНОСТll, значения k
будут
'х. 1 (), 4 1 4 I 8 1 16 I 32 I 64 / 128 J 4()()
Т 14.1 5;3 42,6 : j(),:) :j2,6 ;Ю,5 29,4 L8,6
"-Q4
Если при опрОIШДl,Jвании на)'рузна остается
параллельпой IН'РRОIНJча.JJI,нmIУ направле-
ПИIO, то
(п 2 62)2
02 ( 2'+ 02 )
Если при ОПРОЮIДыпапии паrРУ3Rа остается
направленной н исходному центру нриви.шы,
то
Е}
( q R) ир =="""Jj'2 .
п 2 Е}
(qR)ир ==
7':2 62
02 ( п 2 + 62 Е] )
· GJ K
п родП,lжепuе та.6л: /J9
с'хс!\:з
I-<О:РIIТlIчеСК:tН lН1rруаt\:J
И . . М
м 2п5
ир ==
44,55
Р НР == {2
Ш I
g
:'l'
kS
Р"р == j2
[2 2GJ
При 'х. == F D н , rде h высота баЛI\И;
D жесткость одной из ПОЛОI\ двутавра ПрИ
ИЗfпбе n ее ПЛОСКОСТИ, :шачеНия k будут
'Х. I () 4 [ 4 I 8 / 16 1 J2 1 6 1 128 1 2()
т 2G8 88,8 65,5 50,2 40,2 : 4, 1 :10,7 28,4
k5
Р ир == [2
а : ' 1 0,1 I (),2 1 0,3 \ (),4 I 0,5
117 5;J,2 35,2 8,5 26,7
Чt. .
( [ ) 48,65
q кр l2
4 .)
п fJVОО.lжеlluе та6.1. 39
CJ\c la
r'1'11l'1lЧССI<3П lIаrр)'эна
ч
Jir=fffi ! r Q "и
J;:-. :t. ,, ,
" 1;>' l . 71 .
r--
({
. E P=
. . ...C . '
. kS
tЧ1)I<JJ == [2
/'2 2 С) н
i 1 Рlf % == lL 2 , rде /l высота uа:шп,
D I,'CCТI';UCТL O;.J,llOii II.! nU.,101, ДBYT Bpa при
\I:HIlOC в се ПJlОСI';ОСТlI, значсния k uудут
'" () 4 / 4 I / 1() I : : I Щj 1 128 / 400
I. H!) 1(;1 ТПi" 7;{,Р 58,(1 55,8 51,2
р kS
HP == 7
а: I 1 0,1 1 0,::> I (),:1 / 0,1 1 0,5
u,IR 155 80,9 58,ti 5:3,0
r,' =r{'
; TTT f : t.'
. ..: '- ' I
. . . - ( :
.. =. J. :
q
T lLfh
M
. J'
4!Ю
(:1 ) == 12 ,IS
1 Щ) Z2
тЕ)
(qR)l\f1 == 7'
IIаrру.ша оспн'тся lIаrн.:ТЛСЛLIlOii cnoe lY;
перВОIlа 'Щ.1 ЫIO:\lУ на IJ Р ПJl('IIIJIО
О I r: : 1, 1 71: : ) \ ;: 1 1 '()()';Т: I I, 17: / '\ ,24;;;
п (Ю.1 I:!.lj " ,85 ) ,51 1 4(\ 1,00
) "':; ,
IЩ):"' 12
а : 1 / 0,1 I 0,2 1 О,:', I 0,11 j (),5 I l},f) I 0,7 1 0,8 1 0,9
(j.J, ::4.7 2;'),.s ,H 22,9 25,7 :-\2,!) 50,7 m
. . :; \ ,Н)
\'11)1\1' == l2
п ро()олженuе табл. 89
Схема
i\Рl1ТllчеСКall наrру.!Юl
'td
k5
Р КР == 7
а: 1 1 0,1 r 0,2 / O,: 1 0,4 1 0,5 1 О,Н 1 0,7 \ 0,8 1 °,9
77,5 41,5 :)1 ,5 8,U :Ю,5 :-37,1 53, ) t04 376
f 'i
( 1 ) == 57,25
q ир [2
@а
".)
Р ир == {2
а: 1 1 0,1 1 0,2 1 0,::\ [ 0,4 1 0,5 1 О,Н I 0,7 1 °,8 \ 0,9
k 79,6 4: ,2 :3;1,7 :-31,9 ;:35,1 45,1 70,3 149 625
t . ,
J
( 1 ) 1с: 64,6S
q ир 12
kS
Р ир == 7
а: { \ 0,1 1 0,2 / 0'3 1 0,4 / 0,5 1 0,6 1 0,7 \ 0,8 / 0,9
k 1;)8 67,1 47,0 40,1 39,9 4о,2 64,2 119 422
4 7
п ро80лжение табл. 39
Схема
Критическая наrРУ8И3
' i
&
( [ ) -== 84,88
q ир [2
kS
Р КР == "[2
а : [ \ 0,1 1 0,2 1 0,::з 1 0,4 1 0,5 1 0,6 1 0,7 \ 0,8 1 0,9
1( 1/15 67,6 47,1 40,7 41,8 50,5 75,0 150 6:50
' 'r
( [ ) == 86,4S
q кр [2
1lC=d J
498
Вертииальные перемещения OlIO!JHblX сече-
ний невозможны:
kS
Р кр ::; [2"
а: 1 \ 0,1 \ 0,2 1 0'3 1 0,4 \ 0,5
" 393 114 63,1 47,2 43,2
Про80лженuе табл. ag
Схема
КРIlТllчесиая НaI'рузиа
qJ
Шj ,.
13ертикальные перемещепия опорных сече-
пий предполаrаются неВ03l1fОЖUЫl\1И
98,7S
(ql)ир ==
r
1Б==f
kS
Р ир == 12
а : ' 1 0,1 1 0,2 / 0,:\ 1 0,4 1 0,5 1 О 'В I 0,7 \ 0,8 1 0,9
k ;:\!JV 118 т,Н 52,() .5/), 57,7 82,2 161 6 1
---' [ Ч.:
I 1 '
I I
( 1 ) == 120,6S
q ир /2
499
RО ффИЦJlенты условнпr() ДОПУСБаем()r() напряжения на сжатие .
МатеРllа:)
С' 11 (
Сталь
Ст. О
Ст. 2
Ст. :3
Ст. 4
Ст. 5
НЛ 1
НЛ 2
(15ХСНД)
СПИ
ЧУI.УН
С Ч 12 28
СЧ 15 18
С Ч 15 30
СЧ 15-32
СЧ 15-36
С Ч 18.:-\6
сч 21-qО
СЧ 21 44
СЧ 2q.44
С Ч 28 48
А .;НОМИНllевый
СПJIaВ
A:vlr
AMro
ЛВТ1
Д16Т
!,аМСIlные и
arщокаМСIIПые
ЭJIе:\lенты
Железобетон
[)етон тнжелыu
[)етон лешиЙ
ДерСIЮ (соспа,
е"lЬ)
500
о I 10 I 20 I 3@ I 4С! I 50 I UO I 70 I (1
1,00 O.H ) О,т 0,95 0,92 0,89 О,8и 0,81 0,75
1,0 0,98 0,95 0,92 0,89 0,86 0,82 0,76 0,70
1,00 0,98 0,95 0,9:3 0,90 0,83 0,78 0,71 O,6:
1,00 0,97 0,95 0,91 0,87 0.83 0,79 0,72 0,65
1,00 0,97 0,91 0,81 0,6\3 0,57 0,44 0,:14 0,26
1,ОО О.95 0,87 0,75 0,60 0,4::1 0,32 0,2:3 0.18
1,00 0,97:1 0,945 0,917 0,87 0,77 O,G85 (),60Я 0,5:1
1,00 0,973 0,946 0,89 0,77 0,64 0,542 0,458 0,387
1,00 0,996 0,992 0,90 0,78 0,66 0,557 0.463 0,:187
1,00 0,999 O,9U8 0.835 0,70 0,568 0,45.5 0;35:3 0269
1,00 0,99 0,96 0,91 0,85 0,78 0,72 0,65 0,58
1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,83 0,73 0,64
1,00 1,00 0,96 0,90 0,84 0,76 0,70 0,63 0,57
1,00 1,00 0,95 0,86 0,73 0,68 0,59 0,52 0,46
1,00 0,99 0,97 0,93 0,87 0,80 0,71 0,61 0,49
I
Та б л и ц а 40
к о о l' 1, Л
90 I 100 I 110 I 120 130 140 150 I 16С I 170 I 180 I 19() I 200
I
0,69 0,60 0,52 0,45 0,40 0,36 0,32 0,29 0,26 0,2:1 0,21 0,19
0,62 0,51 0,43 0,38 0,32 0,28 0,26 0,24 0,21 0,19 0,17 0,16
0,54 0,45 0,39 0,33 0,29 0,26 0,23 0,21 0,19 0,17 0,15 0,14
0,55 0,43 0,35 0,30 0,26 0,23 0,21 0,19 0,17 0,15 0,14 0,13
0,20 0,16
0,14 0,12
0,405 0,415 0,365 0,327 0,296 0,265 О,2З5
0,322 0,28 0,243 0,213 0,18;\ 0,162 0,148
0,:112 0,252 0,21 0,175 0,15 0,129 0,11З
0,212 0,172 0,142 0,119 0,101 0,087 0,076
O,5: 0,48 0,43 0,38 0,35 0,32 0,29
0,57 0,52 .......
О,51 0,45 ....... ....... ....... ....... ....... .......
....... ....... ....... ....... .......
0,;)8 0,31 О,25 0,22 0,18 0,16 0,14 0,12 0,11 0,10 0,09 0,0
t
8
501
-<1'
'"
et! О
1:1:
с"
ISI I
t::: ............... I::! 1.....
Q) I"'" /.... "11....'
\о = I::! I
et! С I I I I
с::
Е-" 6 ...... I::!
1:1: ............... ............... I
,.Q I .Q .Q
I rл rл
С I
I I
с Е ..cj ..cj "' ..c:::..c:I
с. rл rл .Q <:.) rл
с:: ;z I"" <:.) r; .:с
I
= .:t: 4: ..cj
Q) I
.с:.с I
с" tЛ Л ..s::1
""')
1;: o.l I
<:.) q;,
q;, 11 I "
:s I 11
с.
с 11 э :.:!
Е-о
С
э
Q) э
:=
1;:
N
-;I I
; I::!
1:1 11
1;
I::! I::! I::!
:= ..с::: ос VJ
..cj rл v/ 1\ .с (/) 1\
rл I ',.,
'" I:t: I "" I
I I ...:с:
>. 1:1 ..с IS: =: 4: .',:, i::: =::
с. оС..с
с:: == Е ..c..c:l cr:. rл о- С. '5 Q (f, 0.. С.
:: rл UJ 1:: 1:: t:: t::
а) ..cj I ..с:::
u1 О Q :)
== с,;) I
с 11 11 11
" q;, з: q;,
= I
с" q;, q;, \\.) q;,
Q)
Е-о С. ......
1:1: Q) 1"'::;
Q) 1:1
::s с
о =
'"
с
'" ё
Q)
8' I:t: N
S С tx:
Е-о 1::: <
\Q с,;) :::::::
1:1 с :t:a.>
'" 1:
С':р..
== ё \.:)0.
C':
1; C': I:l.
== Q)i:a
1:1: &5
со> ?!:
1:1: \со :s;
= 111
!. '" <:
==
502
+
.....j='J "
I
..с::: I
u . .....
I " u ......
c...1 ...:.::
Q
'J l 11
I I
11 3 ..c1
11 Q
" 11
3
,.............. !
j...... I
I
............... Ioo
I
I
I .....1:'01
,..............
.....I
I .....I
Q
4::
............... ..с1
<;,) ......
Q
I
"I 11
...../:-\1
11
503
r
-i :?<I
'с
lct)
t: I
q;,
;::s
:t: I
q;, Q
+ ::;;I
. I 1.....
'''''/N -'=
с I
q I IN
rJ) ."...
Е
" ............... I
iS 4: /
-Е .. .
..:с:
1 1
11
'"I
.....1
i
11
"'"
=
"'"
.....
rJ) I ' 1'" I
IN
I 4: I.g ..cj
:?<
..cj I I
Q
Q I'"
Е
I Ii j
'"I .....
11 "
I 8
.....I
11
11 ......
'"'"
N
Nt
s
:::;3 $r1
:t:Q)
;;: !
I»
cl '1- ,
... , I
:= , I
Q)::i ) l
. ;;:
U
IS: <!
504
+ ...............
.Je
..--------.... ...............
I I"'" 1 ...............
I I I I"'"
I .. + +
............... ...............
+ +
.Je
с:2 с:2
I .Je '00 I 'u)
.S .9 I I
rл rл 4:: 4::.Je
4::
, I I UJ с:2 UJ (J] с:2
4:: .Je О . О О .....
.9 .9 .9 ,g t) rл Q :J rл
rл rл 4:: UJ rл I / I
I с:2 I .....
I '"
1" o.l
-.:.::
""') q;,
+ 11 11
11 11 Е
:::!
;а Э
с:2 t'l
.9 'u) -.:.::
rл I \!f Л с:2 с:2
I ';п 'rл \f Л
Т I
...:.:.Je I
,8 .9 .9 .9 = = I ...:.:.Je
...:.: .Je.Je
rл rл rл rл rл (J] с:2 :S:I :S:I
>:: о . о- о-
L.............. 'rл I о . rл (.) rл 1:<
t) rл
I...:.: о ..... о
t) о
11 11 11 11
11
I
3 q;, q;,
:s :s
'=1.
а;:;
505
......
-i
\.:)
+ IX)
!:: I
<u ......IC'J ----
;::s +
:t: I IC'J
<u
t"I j"""'"""'" .., IC'J
............... rл
с ...:с Q t-., 1"'--.,)
(,,) ({,
с rл Q
J:::<. Q (,,)
t::: (,,)
..-1 I
.................
;z I" .......
l' '"I
-<
+
1I
.....1-:'1
...............
I
'"
..... I :"'J :?J "
I ",' с
..:.;: 1:".1 'л ':;
t<I сп Q
с> (,,)
-< (,,) rJ.
cr. + с> .......
Q (,,) +
(,,) ..... I
+ I
'7 ..:.:
:iE ..... rл
I I rл Q
Q (,,)
(,,) I
, l' I"
I ./
I
1'='1 11
'" s
-..;.
:t N
;i:Q:'
10;:': N
:'
\0 ,"'
C:
:::::s
ф
С:З
:::
506
..:.:: I
=
'ёij =
..с:. I"" 'и)
..:с: I I CI)
UJ О
8 Q
"I Q
..:с: ..:.::-:.; 1-0
CI) .s = са
..... '00 о ..-41..:.:
...:с Q tJ) .сп
UJ + 11
о I
Q
1.....-........
I CI) 11 ISI
о Q..
Q r:::
11 I з:
,..... '"
s
507
1
\
""11
\Q
t:
cu
:::s
cu
с
\'t)
с
с...
t::::: Е
(/)
с>
Т ::::. C.J
..:.:
'fJ ..:.:: ,.....
.= с> (/)
cf) <.J с>
\ C.J 1:=
\ \ '00
.....
I ..:.::
.,..
<.
11
..:.::
"..... 11
,.....
.....
........,
I\j N N
а::
;::E;j
:х:;ф
:E
\? 1»
""Е'
'"
С3:!:
08
:: =t =с::
508
+
............,
I ,.............,
I
(/)
о
с,)
+ +
I I
.....!N 4:: :\1
I ы:,
'iij ц i...... "'""
t"I ::;;1:\1
I
(f.
О
u ;' /0'
'"I
::?I +
11
'"I
..../C\J
;::
11
;::
"'
I I" I 1'"1"
+ 1:-'1 . .::;; I .....ЗР
.....1:\1 + +
! I 1='1
t-:j -=: I I
1", ............... 0(jj
c:,.1:':': c:,.1 c:,.1
tf)
о
с,) 11
4:1='1 11
8
+ .....1
<+
E
+
509
r .4 а (J (l 19
упруrИЕ НОЛЕБАПИЛ
101. Нлассификацил механичесRИХ Rолебаниii
Все КО.'Iеиательпые проr ессы, С которыми приходится встречаться
в физике 11 техшшо, МОЖНU l\ласспфицировать в соотвстствии С aal\O-
110М, по '\ОТОрОМУ пекоторая величипа, характеризующая I-\о.тюбатель-
llЫЙ процесс, изменяется 130 времени. Такую клаССIIФШШЦИЮ можно
Шiзвать хи1tе.матическои в ШИрОКО:\-I смысле этоrо слова. I-\олеGания
l\1O('YT быть периодuчески.w и Ilепе риодuчески.iчи. Нроые Toro, имеется
IIl11рqкий промежуточиый fшасс тю{ паJываеllIЫХ почти периодичесr.их
1\олебан ии.
Периодические колебания описываются периодической функциеЙ,
апа'lенио которой повторяется через определенный отрезок времени Т,
на,зывае:МЫll периодом КО.llеба1tий, Т. е.
Нс + Т) == f (е)
при любом 8начепии перемонной с.
Непериодическими называются функции, не удовлетворяющие
;-)TO IY условию.
Почти периодпчеСRпе Функцмп определяются услоннем
Ifl(t +'t) tt (t)I<:€
при люБО f с, rде 't и € определенные постоянные веЛIl'IIШЫ. Оче-
ПIIДIIО, что если € очень \!ало по сраВllеШIIО со СрОДUIlМ аllачением
модуля ФУUКЦИIl 11 (с) за вре 1Я С, то поч-
ти периодическая фушщин будет близка
1\ перподичеСI\ОЙ, в которой 't будет почти
epиoдoд. .
1, наиболее распространепным перио-
дичеСЮIМ колебаниям относятся ('ар.мни-
ческие, или сиllусоидальные, I\ОЛСI1ННИЯ.
Неперl1ОДПЧОСIШО колебаНlIЯ "ораадо
раJноо(jраJIНЧ перllОДlIЧССКJlХ. Такие коле-
б:lIШЯ чаще BCOI'O являются затухающи.м.и
(рис. :11:3, а) IIЛИ llарасmающи.м.и (pllC, JI 3,6)
СИllУСОllдаJILlIЫШI колебаниями. Затухаю-
lI т ие колебашlЛ laтематиqески !Ol'YT быть
нредсrавлены выражснием
а
"
б "
['НС. 313
1IО (19.1), только знан
(плюс).
5tO
х == A O! cos (wt +tf),
(1а.1)
!'де А, tf, о и w постоянные величины;
t время.
Нарастающие rармониqеские I\олеба-
ния математиqески ОIIисываютсн апалоrич-
ари e должен быть заменен на обратный
CTporo rоnоря, названи!' затухающие rармонические (пли сипу.
СОllД3ЛЫlЫе) lюлебания не совсем лоrи'шо, так юш rаР IOнические
ноле5анил не l\Iory'I ватухать. Тем не менее на практине этим назва.
иием польауются.
Классификация RолсбателыIхx нроцессоп по внешним признакам
не является достаточной, а потому она должна быть ДОПОШJена клас-
сифинацией lюлебаний по ОСНОШlbll\l фиаllчесюlМ прпзна-
нам рассматриваемых I\олебатеJIЫJЫХ систем.
При исследовании l\олсбат('лыlхx движений упру-
[lIХ систем важно звать, НaI,ое ЧIJСJIО не аППСИМhIХ пара-
метров опреДСJШСТ 1J0ЛОЖСIIlIР СИСП I\IЫ в шlждый Д3UlJЫЙ
момент времени. Число таЮIХ параметров па:Н>lвается иc.
ЛО. t степеней свободы.
:u простейших случаях положснир системы может
быть определсно одной пелпчшюй. ТaJше CllCTCMJJI назы-
ваются Cllrme.Ma.MU с одной степенью свободы. I\олсбатель-
lIая система., состоящая из 'rpyaa Q, lIOДВРШI'ШIOI'О на
пружине (рис. 314), будучи устроена так, :что ВО.\Мошпы
только перпшалыJеe перс:мещсния J'руза, является сисп -
моЙ с одной стененью свободы. Ее положение в любой
момонт времени lOжет быть опредслено одним пара.
метром перемещенисм по верпшали.
ПрПl\tСрО!l1 систе fЫ с дву.ш/. степенями свободы может
слутпть I1спеСО!llая баЛJ\а, fl('сущая две массы (рис. 315). Здесь нсаа.
DИСll:\IЫМИ нараметрами, опренсляющимп положение системы n лю60Il
lIЮ!lЮПТ BpC:\ICIIII. l\10rYT служить перемещения масс т1 И nZ z относи-
тельно полошrния равновесия. 7ВО';1J1чипая ЧJIСЛО сосреДО10'JСllllhlХ
r.J асс колебшощеЙся балки, переходим в пределе 1\ балке с раСI1j)(ЩО-
леlJlJОЙ по всеЙ ДЛIШ(' массой 1\олебат('льной сисmеме (рис. :И6)
с 6еС1'iоне'Чl/Ы.И чuсло.М стРf1е1lей свободы.
Нлассифинация механических I{ОЛ ебан ий
тf т 2 мож т быть проведена и по друrим признакаl\'1
В частности, принято различать слеДУЮЩllР
, . <J {'тыре типа колебаниЙ: собственные колебания,
вынужденн.ые 1'iолебан.ия, пара.м.етрu1tеские 1'iоле6а.
пия и а втО1'iо.аебан и''/..
Собственными (или свободными) называются
1'iолеба 1lI.и/. , вОЗЮ.l1'i010щuе в изолированной системе вследствие внешне?iJ
возбуждения (<<толчкоп»), вызывающеео у точе7'i систе tы нача.llЬНЫ/:,
отклонения от nО.WЖСНUЯ равновесия, и продолжающиеСJt aaтe t бласо-
даря наличию вliутреftНИХ уnру?их сил, воссmанавливающих равновесие.
Нео(iхпДПi\13Я i)Пf'РI-ИЯ, обеспечивающая пропссс нолебаний, поступарт
ИЗIJJIQ в Шl'ШЛЫlыii ЫОМРПТ во:!буiНДСНИЯ нолебанпЙ. Период нолебшшй
Рис. ;-315
. . . .
. , = ._. _: rт-
/
,
Рис. З16
Рис. З17
Q
I , I
t$?I
Рис. 314
(вре IЯ одноrо полноrо колебания) или частота колебаний (ВСШlчина,
обраlная пrриоду) зависит от самой систе IЫ. Частота ноло(iзпий явля-
стся вполне опредолеппой для данной системы и называется собственной
ч(]стотr.й НО.ТIебаний спстемы. Собствснныр I\олсfiаuия и; -;\а потерь энер-
rни в систсме праr,ТПЧССЮl всеr'Да ЯIШНlOтся ;,)зтухаЮЩИ\1И, хотя пр"
анаЛIпе собствеНfIl,IХ IЮJJсuаниЙ: ПОТСрЮIll :iперrпи часто препеБРСI'ают.
511
Вынужденными наЗЫIЮ10тся f>олебаИtl.q, yпpy oй cucтe.'Ibl, пРОl1СХО.
дящuf' при ()cйcrпвllи на систелу (в течение всеео nроцесса 1iолеба//ий)
вадаllпых вис/ш/их nериоди:чес1'>U IlЗ.ltеllЛlOщихсл воа.мущающих сил. Ха-
рaJпер IЮJIебатеЛЫIOI'О процесса при ЭТО 1 опредсляется не толыю
свойства\JИ СПСТС fЫ, но сущестпеппо зависит т<.шже от впеШllсi1 силы.
П рИ:\lерОl\l вынужденных I\олruапий MorYT СЛУЖИТЬ поперечuые коле-
бания балки (рис. Э17), пы н,шuемые lIеураnrювешенной Iассой ротора
устаПОlшеllПОI'О па неп работаЮЩС1'0 ;-\ЛСЕТ})о"lОтора.
Вынужденные I\олебаппя пропсходлт с частотоii В()' :\!УJЦаlOщ('ii
силы II под: ерiI\ппаютсл на счет пенр('рывFННО 1I0СТУПЛРIJШI ЭllерПll1
извне. При совпаДСНПIl 'шстоты. В03:\IУIЩIЮЩIJХ СIIЛ С чнстотоii собст-
вснных колебаНИlI спстеl\IЫ наступает ЯВЛ('I/пе ре:Юllапса, хаРaJ{терпое
резким возрастание:\! амплитуды вынужденных колебаниii, нредстав-
ЛЯЮЩИ:vI опасность для работы раСОJaТРПВН():\ЮЙ мехаНIlчеСIЮЙ J\Оле-
бательноЙ системы.
Пара.неrпри 1 Iески.}щ называются r.оле{jа1lИЯ упр роЙ сисrпе.МЫ, в nро-
цессе ""UтOP':>lX периодически .меllяются rР/liluчссr.uе nара.нетры cucтe.ltbI
велиЧИ/lЫ, хара1'>териЗУЮUfие ,массу или жсст!i()сть cиcme.l/bl. ПрlI нто:\(
впеШПl!е СI1ЛЫ не влпяют непосре; ствеНlro на rюлепате.'lЫIOе дrlIl;J,С-
ние, а и:шепяют фиаичеСl\ие парюlCТрЫ CIICTO\lbI. 11 рrШОРО:\1 парю((\т.
рпчеСl\ИХ колебаний :\ror'YT служить попсре'l ные IЮ.тJр\"iапия laccJ,] па
вращаlOще IСfI стсржне HeKpyr:rol'o С('Чt'llllfI, П\lеЮЩGЧ ра:\ный ,)I,Ba
ториалыI1l !IfO:\reHT иперПИIl отпосптеЛLlJO В3,1I!:\IfIO l!ерПСН:Щl\'"Лll р'
lIЫХ ocelI. .
Ашnоr.олсбапия.}/и, или са,мп'Коле6аНllл.ни, уп РУёОй систе.l/Ы на./ы-
ватотся незатуха1Ощие колебания, пoUaro РЖll6ае.ltые Пlап/.l. LU (JнеШ1tll.lLU
сила.ч.и, характер воздействил KOтO!i/,IX ип редрл. \lетс.н, ca.ltU.lt колеоа-
теЛЬНЫ.lt пpolfecco t.
Авто(юлеоаПIfЯ ВО:!ПIшают n систе lе I! ОТСУТСТRие IШСШШIХ П('РIlО-
дичеСI\IIХ ПО:-lдеЙСТlшii, Хар[штср l\ОЛ('()i\П11 ii Оl1редсляется IIСКЛЮ'III-
ТСЛЫIO устройством CIICTe I},f. IIстоrШIII\ :Н1cprllll. IЮI\рывnюrцпi1 потерll
ЭIIОр1'lШ в СIfСТС:\lе в НfЮILсссе ('е I ОJlе()(Шllii, СОСТ<Jи:тст неОТЪС:\JЛ{'\IУЮ
часть CI!CTC.\lIlI, Таюш о()ра'Ю I, аНТОI\Олul>анпя ОТ,:lIIчаются ОТ СО()СТ-
веНIIЫХ 1,0Jlс()аНIIЙ, НIШПIOIЩI '(СВ :ннухаЮЩЮllI, ТС:\I, ЧТО АНН ПО :щту-
хают. С друrоii стороны, аВТОIЮJюоашlН ОТ.7I1!чаютсл от ВШIУiIЦСlllfЫХ
11 IIapf\\leTpll'lCCI\IIX ({():lебанпiI, BыaЫBae [ыx впешш[ш[ СП:Ш\IIl, xapal,-
тер дсiIстuин I\OTOpblX В обоих СЛУ'ШЛХ ;задан, пш, что ОIШ ЯВЛЯЮТСЯ
са.1L060.1буждаЮ1ци.I//U:Ч" та" I\a[{ llрОЩ СС НО.10(jаШIii :ЦОСЬ унраВ,'lлетсл
са шМП l\олс()аIlIJЛ \IIJ.
ПриыерО t автоrюлсбаlfиi'J fOжет служпть впбрацпя частей Сi:ШО-
лет(\ (флаттер), I{()fJ,a IIСТОЧН\ШО\I ДОПОЛНlПОЛЫIOlI эперrпи, по;щер-
iюшаЮЩU[1 IЮ:lсп:1II1IfI СIIСТСШ,I, лвлястсл теРI'ПЛ 1!0а,.1,УШIIОI'0 нотою\,
а таище ТР('Il!'ТННlЮ фла('u па ветру.
l\лаССlIфIlЮЩШО I\О.1ебанпii прпшIТО таIШ{С I1рОПо,rщть по ВIЦY,
дефОР"Iаций УПРУПIХ ;)ЛС lCнтов IЮНСТРУJ\l\IШ. n частности, ПРlшеUII-
тельно н стерщиеВЫ,\I СПСТe:'vIам ра;шпчаlOТ продо.'I.ьные, поперец//ь:е и
J>рутUЛЬ1iые колс6аllи. .
При продольпых liо.'I.ебаlШЯХ пере,ltещепия всех точеn упру<'оео
стержня /lall равле//ы вдuль оси стержнл. При ,нои имеет место дефор-
:\Jаl ПЛ У,'l;ШIlIС/lIlН или укорочеuия стержuя, т. е. продолыlеc lюле.
БЮIIIН !\ЮilШО па'Н>JВать rЮ.'lсt1ашш:\ш раСТЛiненпл сжатия.
При rюпе реЧllЫХ (и.1тбпых) полебаНllЛХ основные I>олпт{енты пе ре.
.мещеНllй (проeuбы) llаnра6Лe1lЫ nерпендUl>УЛЯр1l0 оси стержня.
При 1'>рутилыlхx rтлеоаlщq.."'С U.ltr?1O.'п .lterт,o пepe.lteпиble 8ефор.l/аl(:J.!..t
/<i.ручениJt. ВО; :\ЮiRПЫ: таЮRе {I.зrиi)ПО-I,rУТШIЬПЫО 1\О:Iебаш1Н, т. е.
КО.lеоанпя, при ноторых о;щовре"IСШIO ШIеют иесто перС:\JеПНhllr I1ЛПО
[f кручение.
512
102. Свободные колебанил сист(ш
с одной степенью спободы
Простейmсй колебатеЛЫIOIr систсмоЙ С ()i!:П() 1I степrпыо спободы
может служить rруз, подвешенный на вертшшльно расположеuноЙ
прушине (рис. 318).
Дифферепцпальное уравнение I\0.1ебаНИII rруза
Q ПОЛУЧЮ:I, взяв CY!\I:\IY ПрОСI\il11ii пссх СlIЛ (Пl:ЛlO
чая СИЛЫ ипсрции соrлаСIIО ПРИIlЦИНУ Дашшбсра)
на ВСРТlшальпую ось, n впде
( () .. )
Q+cx Q x ==0.
Отсюда
Q ..
х + сх == О,
g
пли
;; + (1) 2х О,
(19.2)
О"'сх
x
g
Рис. 318
rде х пеРТJшаЛЫIOе псрс:\тсщснпе rrуза от поло-
rf 2 x
шения статичеСI\оrо раВIIопеСI!Я; :l: == df:i:; t прс;\.ш; с жеСТБОСТЬ
ПРУIIШНЫ; g УСНОРСIlIlС СШI LI ТЯiI.ссти; w уrловая частота собст-
венпых колебапиЙ
(1)2 :::. cg :=: ) '; (19.3)
(J ОСТ
. ОСТ == !2.. удлинение пруашпы при СП1ТПЧССI,ОМ сiiстВIШ rруза Q.
с
Решением уравнеlIИЯ (19.2) будет
х == А cos wt + п sin (М, (19.4)
rДе А n В постоянпые !lIlтеrрирошшпя, зависящие ОТ начальных
условиЙ.
Если заданы начальная коор:щната rруза хо и пачальная скорость
ио == х при t =:: О, то п; (19.'1) ОПРС;J;СЛПМ
А B
== хо; w .
ПО.1Jаrая
хо == а sin а и == а cos а,
w
решение (19.4) МОЩПО представить в виде
х == а siп (wt + а),
rде а юшлптуда I\олебапиЙ, определяе:-.шя ФОРМУЛОЙ
а == V .'12 + }]2 == .. I x + 'v .
V (О
(19.5)
(19.6)
.'}'n Ю
tg а. == .
Vo
ЛСЛПЧПШl (1)[ + 7. JШ:1ЫШ1СТСН фазоЙ 1i.D.1e6a!lllii, а ,величпна а с8вЩ0."'"
фазы. На ОСlIOШ1ШIИ (19.G) 7. можст быть опредеЛСlIО 113 условия
17 5-118G
513
7 r.Т[()ЩIЯ Ч1\('ТОТ1\ J\О.1Iебаппй (число Rолебаппй, сопсрrnае:\tOс в
ТС'lСШI0 2п сс,.) на основании (19.; ) будст
ю == .. (" ./ ( 19.7)
V СТ
ИЛIJ
Ю == V С ,
т
[дс т == J2. 1\шсса по;щеlПснпоrо [ру:!а.
g
Зная !{pyronylO ЧRСТОТУ, l\ЮIIШО опреД('ЛIIТЬ пе риод КO/tебаllUЙ
2п V OCT V m
т == == 2п g == 2п с .
ч н сто r\Олеба пп ii в сенупду, т. е. секундная частота, вырашае-
мая в п'рцах, определится формулой
1 ю
f == т == 2 .
(19.8)
(19.9)
При I,ОJJебаппях rру:за, ПОДПСП1епноI'O на J\Онце пружипы. пред-
ставляющеЙ собой стерщсш> ллппоЙ 1 с жеСТ:hОСТЬЮ поперечноrо
ссчсния па растшнеппе EF и ЖССТI\ОСТЫО
ЕР
С==т,
собственная частота RолсбаПIIl1 соrласно (19.7) определится ФОРМУЛОЙ
V g V EFg
ю о Q l.
Ст
ИМОЯ n DIЩУ. ЧТ() ,({ == т, l\ЮiIШО заПIIсать:
g
а) == V == V f . (19.11)
Из фОр:\IУЛ (19.10) JI (19.11) видно, что частота соб-
ственных нолсuаrшii систсмы прп пеllЭl\ЮJШОЙ массе
BO:lpacTaeT С унеличснпюr жссткости и ущщьшастся
с улеJIIIчешн:,\] массы прп пеиз:нешюй жеСТJ{ОСТИ.
ОТПОIIJЕ'lIIЮ частот СО()СТЛСПIIЫХ ]\().1сбаппЙ rру;юв,
прш,репленных I\ f\ОIIlЩМ двух ра:шых стсржнсЙ,
обратно IJрОПОр! lюrIaЛЬНО I\ОРШО IшадраТllо;\rу И;1
ОТ110ШСНШJ стаТIJчеСI,ПХ ущпшеппiI стержней.
П рШЮрО:\I CIICTe;\1Ы с одноЙ степенью свобо,1,Ы
ЫОlI\ет СJlУiЮIТЬ т3.!ш,е I,оле6аТf'ЛЫI3.Л СIIстема, со-
стоящая 113 J\IaССИЛПОI'О дисна, ПРlшрСП,lспноrо R
IШiЮIС:\lУ НОПЦУ жесТI\О аанреlIJНШНОl'О ВСрХIШ;\] ноп-
I\()!\! лала (рпс. 3'19), Если н дисну В ero плосности
ПРI1.10ЖПТЬ П вне:ншпо УД(1.тrIlТЬ пару сил, то воз-
llШШУТ свободныс I\о:rсбанпя нручrПIlЯ na:ra вместе
с дпс] ю]. ОfiоэпаЧIШ I РУТIIJlЬНУЮ жестность пала
(Нl/УТНЩIIi..i !\Ю lСIlТ, вызывающий ::Jа1\ручпвание вала па О,l,ПlI ра;щап)
чероз с:
(19,10)
, /
ер
Рвс. :\1 \)
Gт:d 4
С == l . 32 '
(19.12)
.1514
r;1;r G lOдуль упруrостп при сдппrе; d ди::шетр Шl.1n; 1 Д.1IIП3
вала.
ПОСПОJIЬЗ0ваШlIПСЬ пrШЩIIIlО J Дала:\Jосра (lIперцпеii массы СТСрiШIН
11!)CIIl'Uperael\1), ПО.1УЧJШ днффсрепцш)дьпое урашншпе I,РУТlJЛЬПЫХ
I\О:JсбаПllll ДlIСI<а, нрпраВШ1lJ I'РУТЛЩl1ii l\IОШ ПТ С?, деllСТВУlOщпii
в валу при el'O ЗaI<РУЧlIваШIII Ш:I. Уl'ОЛ r.p, !\IО.ш пту СIIЛ JШСРЦIIII массы
;IIIС1,«;
d 2 r.p
J ае 2 + С? == О,
(19.13)
r; c J момепт ИIIерl1;ШI дпсна относпт(\'тыю осп стерашл, перпепди-
I\У.'JЛРНОЙ ПЛОСIЮСТII ДИСJ\а.
Дал диска постоянной ТОЛЩШIЫ lt, П;JrотовлеНllоrо из матерпа.11.1
с удеJIЫIЫМ весом l' получим
77.D 4 h"( QD2
J == :-З2g == sg J (19.4'1)
l', e D диаметр ДIlСЩ1; Q вес ДIIСI<а.
Д.;lН ДIlСIЩ переЛlCнпоii ТОЛЩIlПЫ h (р)
П/2
J == . l! (р) '(р3 dp.
О
(19,15)
()UОJпаЧIlIЗ
2 С
W == т'
(19,1G)
уrавнепие (19.13) переШIШЮI в виде
d 2 r.p 2"
dt'2 + W 'r' == О.
(19.17)
Общсе решение этоrо уравнения будет
l' == А cos те + п siп шt.
(19.18)
11 сриод I\олебаIШ й расс ш трпваеl\lОП' СIIСТС:\1Ы
2т.. 1 / т
т == ы == 27': r с .
(19.19)
)(ля СТСРiIШЛ ПОСТОЛIlпоrо /l.иа.\lетра d с УЧСТО:\I (lЗ.12) П;\1сеы;
т == 277. V : 2и
С.:(1 4 '
(19.20)
а ССJ<УПДШIП частота lюлсбаПIlЙ
1 1 V Тi.G(/4
f == т == 277. : )'2} l .
(19.21)
в та()л. 42 прпвс,'J,С'ПЫ соБСТlЮП1iые частоты колебаний спстем
(' O; 1l0Й стспенью свободы.
17* 515
103. Вын)'»щепные Iюлеuания систем
с одноii стеllеllЬЮ свободы при rармоничеСIЮМ возбуждении
'раВlIСIllIO 13ЫПУШ,l,СIlIIЫХ I О:Н'Jбаuпi.i СIIСТСЫЫ е одной СТlтснью
Q ..
свободы (рвс. ;318) ПU:IУЧШl, сс:ш i! (19.2) l\pOl\IO Сll.l llIlеrЦlШ х
g
11 сид УПРУI'ОСТИ, де:iiСТВУЮШ,I1Х па I'РУЗ Q, учтсы ВJIIIЯШIO ПСрllОДИ-
чесноii во;шущающеii силы Р cospt:
() х 1 сх == Р cos pt.
g
(19.22)
Обо:ша'1IIВ
cg == (1)2.
Q ,
(1{).23)
Р gcos pt
==qcospt,
r:щ р Уi'.'IОIЗDЯ частота во;шущающеii СИ.1Ы, прпвеДЮl уравнение
(19.22) 1\ ВИДУ
(19.24)
:; + ш 3 х == q cos ре.
(19.25)
При р 1\1a.'Io.\1 по сраШ-IСIШЮ с w члепом х l\lОiЮЮ пренебречь п счи-
тать, что имест ыссто толы\О стаТНЧССI;(JЯ дефОРl\IaI ИЯ, l\IaI\CIOIaJIblIOD
значеlluе которой
q
Х СТ == (1)2 .
(19.26)
Д.1Я ОПР(': ('.ТIСIIlШ днпаl\шчес].;uii деi1Орматщи необходимо решить
уравнение (1 .25). Решснис ураВНСllИН (1!J.25) fJудст состоять 1I:! СУ.\1l\IЫ
общеl"О реШСIl1lН О;lIlUРО:ЩОJ'О УР,ШШШIlЯ (ВрlI q cos pt == О)
Х' == А cos шЕ + в SiIl wt
(19.27)
и чаСТПОfО рСОJСIIIТЯ ур:шнснпя (19.25)
х == с . cos р t.
(19.28)
ПО;l,ставив (19.28) в (1а.25), паiIде:\I
q
C== .
(1) p
(19.29)
ТОI'lЩ общее рсшсние уравпешIЯ (19.25) будст
х == А COS шt + 1J SiIl шt + cos pt.
w p
(19.30)
Псрпые два С.lаrаеl\lЫХ IIpalloii 'IaСТИ (1V.30) хараlасри;зуют С130бод-
вые КО.'IсuашlЛ, I\OTOpЫ оuычно iJLlCTpU затухают; IIОСJlс}.щее xapal\Te
ризует 13ЫПУiТ\ДС!lНЫС устаНОllПВШТlССН I';ОJlсuашlЯ с уrJIOВОЙ частотой р
( )
с перПО; О:\I 1\ == =:: П.1П f == , щ 11 аШIЛIIТУДОй С == '2 . ЛМПШI'
р.;;т:: (J) р
туда ВЫIlуждеIIlIЫХ КОJIсбшшй СУШ,ССТВСIlIIO заВlIСlIТ ОТ СООТIlошепия
516
сооствrПFlоi! (J) и Rыпут;:J:енпой р частот I\олеuаншi и может быть
оха pa.lae ри;ювана тан ВU;Jывас:ш,ш r.оэффuцuеllто.lt 'Ш раст аlllШ tiO.lсба
flUil шш 1.0зrfiфиЧNетпо.J[ дuна.llUЧССr.осо УСllЛС1iLt:'/.
== х С == (J):! q /12 : ы == == (19.31)
Сl' (1) Р 1
(J)2
пли
r 1
t 1 '
Т:!.
1
rде
т 2;: . т 2;:
1 Р , (J"
l\aK видно из (19.31), при l\IaЛ 1\1 отношсшIИ
[3 1 Il с.... Х СТ ' !\оrда же частота BЫ
(1'
HYi-I\ДСIlПЫХ Iюлебанпп р .... (J), т. е. .J!... 1, то
(J)
С 00. I-{оrда р == (J), ЮIССТ МССТО состояние
резонанса. Соответствующан частота nо:н!у-
щающеп силы р == РКР при аТОМ Шi:Jьшается
r.рuтu'Чесr.ой. rрафllI\ зависII.\ЮСТН j 1 == f ( ) ,
llриведенный на рис. 320 и прсдстав.тrЯЮЩllЙ
собоЙ так называС.\IУЮ а.Jtплuтуд!tУЮ r.рllвую
тудпо-частотllУIO хараптерuстику, ПО:JВОЛЯСТ
денис колебательной СIlстемы в заВПСllМОСТII
свободных (J) и вынуждеПlIЫХ р I\о.'Iсбаний.
(19.32)
)
о
.р..
(;J
Рис. 320
ре,1Оllаllса, П:III а.1tnлu-
проапали;зировать пове-
от соотпошеВШI частот
104. Свободные Болебапия систе ы с одноН степенью
свободы с учетом сопротивления. пропорционаЛf.ноrо СIЮрОСТИ
Уравненис свободных Iю.1сбаний системы с ОДI10Й СТСI!СПЫО сво-
боды (рис. 321, а) с учеТО:\1 сопротивления, пропорционаJIЫIOI'О ско-
rости движения ко.тrеUJIющеrося
I'руза, получим из расс.мотреI1ИЯ
х YC.тrOBlIii cro динаl\ШЧССIЮ]'О равно-
весия:
Q !2. ;; ах == Q + сх,
g
+ 2пх + (J)2X == О, (19.33)
I'де а коэФфицпент ПрОIlОрЦИО
пальности; ах сила СОПРОТ1Iвле-
ния.
В уравнении (19.33)
2 cg. ag 9 34
(J) ([, 2п Q' (1. )
или
J
а
Рис. 321
( )('jозпаЧIIМ
(J) == (J)2 п 2 .
(19.35)
517
rCII!Cll!lC ПНШПСПШJ (10.33) будст
х::.= e nl (А ::ill OO1 t + в co (l),t),
(19.ЗG)
[де с === ;2,718.
П СрllОД ;Ja тухаlO ЩllХ 1\О.'lсuаuп.ii раСС:'ШТрlШU L':- U il lll 1 С:'Ш
T
001 V оо:! п 2 '
rде п Iюэффициент, харю{теРllЗУЮЩПll де:.шфпрующую способность
колсuателы1iii СИСТС:\IЫ. Па (НJ.З()) шщпо, ITO пз-за мпожителя {' п!
юшЛИТуда l\ОлебаlIПI1 с теЧСППС:'f nrс:\нчш уJ\юпы1aстсяя I\олеUНIIJJЯ
затухают. ПОСТОШIIlЫС lII1теI'рировашIЯ А 11 1J II рсшеппи (19.ЭG) онрс-
еля отся па па'l8.'1ЫIЫХ УСJЮllllii. Тю\, По.lаrая, что Прll t == О Х == хо;
Х == хо, llaXO;JJI 1 r
(19.;.\7 )
п == хо; А ==. (Ха + пх о ).
001
В ЭТО:'f случае реШСllпс.(19.ЗG) можст быть ПРСJ(стаВJIСJ10 в ВII,'lЛ
х == e nl [ :: siп OO1l + х() (со,..; (l)1 е + Il siп e')1 t )] . (H1.J8)
13 часТIlOМ случае, I\Оl'да А == О, т. е. I\Оrда
ХО + пхо == о,
Ыl (1)1
уrавнеппе (19.38) пr1шет впд
х == xйe пl cos (01t.
l'рафПЧССНll это уrаВПСIIllС нрсдстаВ.1СIlО па рпс. 321, 6. Тыеныпсние
<lШIЛИТУДЫ С:lсдует rеО:'IеТрllЧСClюii JlрОI'рСССIШ. ) еiiСТВIIтс.rIЬПО, при
t == о; t == Т; t === 2Т II Т. д. ЮllIЛllТУДЫ СООТВСТСТВСIШО ШIСЮТ Jпачешш:
!1T 2пT
а о == хо; а\ == хйе ; a t == Х'о II Т. д.
а о аl 0k иТ
== ==...== ==e ,
аl а 2 ak+l
отнуда
ln..!!.!!:..... == ]п е ПТ == пТ =о: О. (19.ЗD)
аА+l
Псличина о IIа: ьшается ло<!арщfJ.ituчесr.u.1L UCh'pc.1lellfno.1L 1\о. ебаl{UЙ и
оБЫЧIIО ЯВШlетёя основuоЙ хараI\ТСрIlСТШЮЙ ;Jатухашш l\O.1euaHIIII, или
харш\ТсрпсТlШОЙ дюшфпрующпх своЙств I\олебатслыюil спстеиы.
l\1етоды опреде.тrешIЯ хараl\терПСТlIК деl\IПфПРОВ:НIIIЯ I\олсбательпых
спстеl\I и данные по деl\IПфllрУЮЩП:\I cBoiicTBa I l\ОПСТРУКЦПОlIПЫХ
матерпалов Прllведеш.J в [11].
105. ВЫII ТiКДСIIПЬJe I.олсuашш СilСТСМ с одноН степснью
свободы С учетом СОПРUТИВЛ('ШIН, ПрОПОрЦIlона.'1ЫIOI'О СIЮрОСТИ
Cor.TIaCHO даппым предыдущпх паrаrрафоI3 диффсреl1цII3лы1еe
уравненпе вынуждепных l\Олсбашri:i: СIIстеыы, ПРНВС;I,сшюii па рпс. 321, а,
при деiiствии BHCIlIHei'r возмущающей СШIЫ Р sill Jlt ;IO,liЮЮ быть daIШ'
сапо в ОI\ончате:IЫЮ.\1 видо:
;; + 2пх + (l) 2 X == q Sill pt, (19.40)
518
(',1,(', Ю\h ТУ r'[1ПС'С,
(1)2
('r:! Pg
Q qO=7i'
(19.ttl)
().)щео рСIIIСIШС уравпС'шIЛ (t rJ. '10) бу;'1,СТ сос:тонтт. lП С 'l\НIЫ рС'!!1СППЛ
Щ:JOf10;ЩО!'0 ураВНСIIIШ (1 !).;3;»
х (. Il! (Л sil1 (')1 t + п cos m]t),
1':(0 ")! С.= V Ш2 11.2 . 11 '/D.CTIIOI'O rСII!СI[ШI ураUlrС/ШП (Н)..'JO)
х J{ ill fil + L COS !Jt (19,42)
IIoc,10 I10;iСfLШОВ/\11 O ) 2) n (1И.1О) Ilaii:!c:\1
'. :. 2 . 2{/рп
It ., " ) 2 I I ., ., , L (2 2'" !., 2 (19A »)
((I) /) (f/) I/ ,,' fJ )- .;. 'Jp п
Т()!';щ общсо rСШСllllO ураВI/l'I/ПП (19.1.0) бу от ШICТЪ BH;
х == e l1! (А sil1 (1)lt + JJ cos Cl)lt)
2pqп 1 q «(1)2 р2) .
( 2 2 ) 2 I I 2 2 ('05 pt Т (" 2)" I !. 2 .) sт pt. О!).1.1)
(,) fJ " (J/I 1/ ") Р IfJ п-
ПОс]\о.т/ы;у со /:рс.\lС'не.\/ ('по(jО:UII.:С 1;O.1PUНll11H, ХDраI\ТСIJ1I.JУЮСЫС
'1.(('[10:\1, СО,lС'Рil\аIЩШ ;I)[Юjl\[пr.'II, e пt. :J(JTyx<tJOT, то 1[1'1[ устаНОВIIВ'
IIII/.\:СП ЕолсбаПIlНХ ВЫI!У;:\ СlIllыr /\o.'(C'iJallIlH СllСТС.\JЫ будут хараЕТС'
р".юпатьсн ПОС,lС;iНЮШ двумя Ч:IСIIЮШ ПР[1Воii частп рсшсппя (1а.44),
I1РОIIОРЦIIопа.тrы/ы:\ш q. 1I0Р1l0,1 lIС:JaтухаЮЩIIХ I\О:lсuаншl БУJJ;СТ
Т 2,-
1 '
Р
Если ввести С.1С',J:УЮЩУЮ зюrспу:
'2q Р/l .. т:. ,
((1)2 /12)2 + qfJ2 2 SIJ1 а.,
(19.45)
.) q (t": --:; Р:) .) 2 =- " COS 7.,
\(,) р) ; jfl п
(19.46)
I () i'СIIIСПIJС ,'рп ВЫНУЖДСННЫХ I\оле()аппii :\Юп\СТ быть ПРfI/l;стаП:IСIJО
1: /:II; e
х == (СО51 а. sin fJt sin а. cos pt) == т: Sill (pt а.),
('[9.47)
I 1,' аШJ:rНТУ;:I.а Q! 11 TO,l с(пш'а фаз (j. па ОСlIопаШIII (19.13) 11 (1.0.1(j)
,.,: jlL';iС.1ЛЮТСЛ СОО fl3СТСТПСllИО ФОlН1У,ТIЮШ:
т: q .
v «(!)2 р2)2+1 р 2 п 2 '
2рп
'()'а. =-==
u (,,2 р2 .
(19.18)
(19..'19)
11 ) ; 11 (.) > Р rO,l а.
б.\т;\ст IIО.тro;'IШТС.1ЬПЫ\С
и щтьшпч
2'
Т.
е.
11 < 1. < ; . IJ 1>11 (,) < р ПО:IУЧЮl ; < а. < п, Т. о. ВЫl1рI ДОIIПLlе I\O:Ie-
'H)
балил отстают от возмущающей силы больше, чем па . При p==ro;
tg G. == 00, т. е. колебательная система запимает свое среднее положение
II тот MO:'fCIlT, ноrда возмущающая сила имеет максимальное значеIlие.
Имел в виду, что
q gP . 2 cg
Q.(J)===Q'
(19.50)
находим
q g PQ Р t
ы2 Qcg с СТ'
(19.51)
rдe ОСТ деформация пружипы при статичеСJ\ОМ приложснип ампли-
ТУДIIоrо значения возмущающеii: силы.
Учитывая (19.51), выражение для амплитуды выпуждепных коле.
бапий Ш (19.48) можем представить в виде
Ш == ОСТ == ОСТ .
V ( р2 ) 2 4р2п2 V ( ]'2 ) 2 ]'212
1 + 1 +
ы2 ы4 1' 1'
2п
rде '( == I\оэффициент, зависящий от демпфирующеЙ способности
колебательной системы.
(19.52)
:к
jJ
4-
2
О 1 2
Рис. 322
d.
о
Рис. 323
Прп 1'1 Т Ш ---+ t CT ; при 1'1 ---+ Т Ш ---+ 00.
Коэффициент нарастания а IПЛИТУДЫ [3 в рассматриваемом случае
равен:
Ш
==
()СТ
или, с учеТО I (19.52),
1
== .
v (1 : )2 + 4::п 2
Л:'ШЛIIТУjl;ные рсзонансные нрпnые == /1 ( ) для раl.:IИЧПЫХ зна.
чениii 1 ПОШI.ЗnНЫ тш рис. З22, а rра'lнш, ныра;нающпii зависимость
а == 12 ( ). ПрИJlеден на рис. 323.
(19.53)
520
106. RРИТИIJССI\ая CKOpOCТJ) вращения вала
Число OUOpOTOlI, при I\OTOpO 1 пращающисся палы, попа;:J;ая n рсзо-
IIШIС, становятся ::J,Пllа шчеСЮI lIСУСТОЙЧПВЫМП, п PC,3Y:lbT<lT8 чеrо MOI'YT
НО;JПИIШУТЬ llеДОlIУСТИ lО БО.'IЬШlIе 1..0лебапия, I1азыпается критически.?t.
\10ШНО показать, что таЮI:\1 н:ритнчсским: ЧIIС.тIО:\1 оБОрОТОll вала лвля-
('тсл число оборотов в сеНУIЦУ, соответствующее собственноЙ частоте
V['O поперечных нолебаШliI:.
Рассмотрим пращешlO ДИС1{а, пасажеШlОrо па BaJI (рис. :324, а).
1 \VUTp тяжееТII ДПСl{а С ПРЮ{ТIIЧССIШ всеrда не сuвпадает с осью
вращения на НeIЮТОРУЮ ве.'ШЧIШУ е. ЦтlтроvеЩI1ая сила, действую-
щая на пал при uращешш дис!{а пеСО:\l Q
У['':lОвой СНОрОСТЬЮ р, будет
т == !l.. р2 (ш + е»)
g
['де w проrиб пала в месте посаДЮI дисна.
Реакция вала в месте ПрИЛОЖСПllЯ силы Т
р == сю,
J'; e е ero Изrиuная жссткость, Б случае ПОСТОШI-,
1101'0 сеченил жесткостью EJ, при размещо-
IIIШ дисна посреДlше шарнирно olIepToro пала .
48EJ
c;;=: .
11з условия равновесия очеВIIДПО. что Р == Т. IIодставив вместо Т
11 Р их выражения, найдем:
(w+ е) р2 == еш
g
Н:lИ
е
а
Рис. 321:
о
.(19.54)
w ==
.L 1
р2 Q
JIчея ввиду, что СОUСТnСlIная частота попсреЧlIЫХ колебаний вала
2 cg
w Q '
уравнение (19.51:) 1\10iЮIО предетаВIIТЬ так:
е
ш=== .
1
р2
I/;J (19.56) слс,2'(УСТ, что КРllТПЧССI{ая скороеть, при нотороЙ
,\\';(ст
(19.55)
(19.56)
w --+ 00,
Р (!) V cg
ир Q .
11 рlI Рир> w центр тяжести дисна будет раСIIолаrаться между линией)
lощипяющей оноры, II I1СRривлепной ОСЬЮ вала (РИС. 324, б), и урав-
Щ'ШIС дЛЯ опредеЩШl1Я ПРОfиба запишется ТЮС
!l. ( Ш ,........ е) р2 == СШ,
g
(19.57)
521
отнуда
ш === === . (1().58)
( ,,)2
1 . о 1 0'0
[J Q 1)"2.
И (HJ.58) C.'lC/l,yCT, что с 'встl'{СJII'('.\1 р IIpOrlJU W >- С, Т. С. при очснь
uолыt1l!Х СIЮрОСТНХ I CI!Tp ТН,I';ССТП ЩСI\а ЦОСТIlrtl.СТ .111111111, соедп-
няющсij опоры, и Il.ЮflJутыii lIа:1 вращастся BUI\pyr Jl('11Tpa ТЯlI;ССТИ
ДIlСЮl С.
107. Свободные IюлсбаllIIН пруrllХ СIIС1'(':\1
с IIССIЮ:IЫШ III СТ('IIСШI:\Ш епоuоды
При рПСС ЮТрСIIIIJJ I\олсiiаппii УIIJ1 'ПIХ ClICТl'\[ с IIССI\О,1ЫШ ' \lII стс-
пеПЯ:\llI спuGu; ы ;ЩФФСРСIIIIШ1ЛI,lfl,IР УрНВlIСIlШI ;(ВI!i],СIII1Н по J\I:r ПIХ
с;:тучаях :\1Oil\1lO ПО:IУ'JПТl>, I\<Ш 11 В С:lучас CIICTC:\I),! с O; IJOЙ СТСlIl'lJЫО
, Х, ' Х 2
.1 C ol
а
(J , Х,.,) С,..(х. !. Х,)
б
, П7 , Х. I!I ;(2
о (} .
Рис. :325
свобо; ы, I10ЛU:ЗУЯСl> ПрlIlЩШЮ),l ДаЛЮluера. 1'<\1\:, ,":\.'lЯ СПСТС:\lЫ с двумя
СТСIlСIIЮШ свобо,":\ы, 1I01Ш;1aIШОII па рис. 325, а, состоящсii П;1 двух
I\IaCC т 1 11 Тn 2 11 двух ПРУЖlIlI С щеСТI,ОСТЯ),Ш Сl 11 C:.I.' llО.!10II\ПВ, что
массы ;\IOI'YT llсре;\1сщатьсн ПрIl ОТСУТСТВI1I1 ТрСIIШI TOJIUl,O В rорп;юп-
талыJ:\I папраплсшш П,":\О:Il> ОСН Х, а T3I\,I,C оuо:шачпп ПСрЮIСЩСlIlIе
массы т 1 II Jп 2 COOTBeTCTllCIIIIO 'Н'РС;! Хl II X:.I.' БУ: С:\1 IIые1Ъ, что на
массу т 1 деiicтвуют силы lIатна,СlIlШ IlPYil\Illl С1Хl 11 С;! (Х 2 Х]),
а 1'аюн:с СIlла IIIIСIЩIIlI m1d;'1' rраВНСШIе ДВШI,СШIН массы Тnl будст
CIXI + С 2 (Х2 X 1 ) т 1;;;1 =:: О,
или
т;;;] + с1хl С:.I. (х;! Х]) == О.
(19.59)
СХС7IШ сил, дсiiствующих па i IO ),Iaccy, в оGщс.il С.ТIУ'ШС ПОl\а;щпа па
рис. :323, б.
Па :lIассу т 2 , J\рО:\Ю СИ:IЫ IШСIЩIIП, l(CI[CTBYCT ТО:IЫ О сила патя-
жешrн llTOpOll: ПРУЖIIIlЫ С ;! (Х 2 Х 1 ) и УрRВIlСПlIC:\I ее ДШШ\СШIП бу,":\ет
Тn 2 !;;2 + С 2 (х;! Х 1 ) == О. (И.во)
'раВlIения ДВIIiНСПШI (19.59) И (19.60) :\ЮiIШО бы.'lО бы попучить
llССIЮЛЬJ\О иным спосоБО:\I. ДсiiеТВИТС:ILIIO, можно считать, что 111\10-
IOтся две свлэаНlIые меацу cui)oii НРУi:.'Шrы (РII. . :325, в), н:оторые ПОД-
верl"310ТСЯ деЙСТШIIO СШl ИПСрЦИII tn 1 х( П т;!х 2 , ПРШIOtI\СНIIЫХ в то\{-
I\аХ 1 II 2. Тоrда перпая lIрУlIшпа II3I'рУiI\3СТСЯ cl1.'IOii т;Xl т 2 ;;;2'
а вторая СIlЛОЙ т2X' ' ПСРС:\lСЩ('IШС нсрвой Iacci>! при 01'0:\1 будет
рапп О УДЛIlпеншо НСРПОЙ прушипы:
а llСРСl\Iещспие второй l\ШССЫ
тlXl т 2 Х 2
Хl == ,
С1
т 2 Х'2
Х;:! == Xl
С 2
JпI:.t'l lIi 2 Х 2 Пl 2 Х 2
С 1
С 2
522
r r рсобра:ював ПОС.тIс;щ пе УР:ШIlСllllЛ, ПОJlУЧЮI CIICTC,\lY ДИФФСРf'IЩlIaЛ f .
III,IX ,\'раIШСШIii, ЭI\ВIIUD:IIШТIIЫХ (1а,5а) и (19,60):
х,С! + тl;;l + fп 2 ';2 == О,
.T 2 C l G 2 + С 2 (т 1 Х 1 + т 2 ;;2) + с 1 nz 2 ;;'2 О.
(10.61)
(19.62)
ПаПОО.:Irе оБЩIШ спосоБО 1 состаПЛСIIПЯ дпффСРСIщиальпых урав-
I1C'lIIlii ПnЛЯСТСН п:теСТIIыii н:! Тl'ОрСТlIЧССI\Оii l\юхаППЮI СlIособ, ОСПО-
ванныЙ па пршюпсшш ураШН'lIпii .ТI:Нр:ШiI\i1 I3TOpOrO рода, которые
прll ОТСУТСТIШН СII.1 СОПРОТlш.'IСIJШl 11 ВIН'ШШIХ IЗО:!l\lущаЮЩIIХ СИЛ
IШСlOТ вид
d ( ОТ ) дТ еЮ
dt (J:ч иXi == иJ:i '
(i === 1, 2 , 3" . . . , 11 ) ,
(19.63)
1.((\ Т Н И СООТПСТСТВСIШО ЮlIIстичссная и ПОТСПIща.1ЫIая эпсрrия
(' JICTC ILI.
IIрШЮШlТеJJЫlО н СllСТ(ЩС, Нрlше;I;еllllОЙ па рас. 325, а, будем
ШIСТЬ
.2 . 2
т.Хl Пl2Х2
T== - + '
:2. :2.'
U С,Х! (':!. (Х 2 ,(,)2 .
==T+ '
81' 81', дТ дТ
""""';""'" == т 1 х 1 ; "'7'"" == т 2 Х 2; а === о; д == о;
I
d ( 81' ) .. d ( 81' ) ..
dt их! ===т 1 Х l; dt 8Х2 == lп 2 X 2 i
ди ди
:"}""" == С 1 Х l С 2 (Х 2 Хl); ::J"" == С 2 (Xz Хl)'
U,f'J ИХ2
УравпеПllС (lU.GЭ) ПРШIeТ !НIД
/llJ. '1 + СI Х ' - С 2 (Х 2 Хl) == о; )
1lI,!Х 2 + C (Х'2 Хl) == о.
(19.64)
\' раппешlЯ, получеUlIые Н..! уравпеJ1l1ii Ла I'рaIШ\а, ОI\азались
('( ) 'НШДaIОЩII:\Ш С TaI-,ОПЫ Ш, нол УЧСIIllЫ:ШI на осповаПИII
lа:rЮlб(:.ра. Таное совшцснпе ЮlCе1' место всеrда.
Решение ураl3Ilснпii (19.61) ище:\I D шще:
Х 1 == 1'1 sin (ы t + a)f }
.f. 2 == )..'2 sin (wt + а),
пo;rшостью
припципа
(19.65)
I [1' )'i, )'2' (,) 1I а НОСТ,)ЯПIIЫС,. ноторые ДО.1iIШЫ быть выбраны таи,
"')ОЫ удов:rСТВОРП:lIIСЬ ураВНСIlIШ ('1 J.tИ), rrодстаВIlВ решспил (19.65)
1 \'рашrСIIIIЯ (HJ.(j ), Ifaii,'{C:\T
i) (с) + ('l т)(,)2) {'2 С 2 =:::; о; } (1U.(j6)
/\lCZ + 1'2 (С 2 tn 2 ( 2 ) == о.
523
n этих урпвпсппях псп:шестными являются Лf, 1.2 И (1). Частоту ю
определим IП (19.66), полаrап, что А 1 =f. О и А 2 =f. О. Это ВО3l\ЮЩНО
тоrда, HOI'}\a определитель ОДНОРОr'1.IlОЙ систе IЫ относительно Аl и А 2
будет ранен нулю:
I C1+C2 тlW2 C2 I
== О,
C2 С2 т 2 ш 2
или
Отсюда
U\i 2 == ( Сl + С 2 + ) =F V ( Сl + С 2 + ) 2 С}С 2 .
, 2 тl т 2 4 тl т 2 rn} т')
(!)4 ( Сl + C z + ) (!)2 + С 1 С 2 == О.
тl т 2 _ ml т 2
Соответств епно MorYT быть определены Две собствеппые ч астоты:
(!)1 == 1/ ( Сl + С? + .!!J: ) V ! ( СI + С 2 + ) 2 С 1 С 2 ;
2 т\ т 2 4 т 1 т 2 т} т 2
(!)2 == ... / ( Сl + С 2 + ) + V ( Сl + С 2 + ) 2 СI С 2 .
V 2 тl т 2 4 т 1 т 2 тl т 2
Двухчастотный нолебатс.тIЬНЫЙ: процесс в соответствии с (19.67)
МОШНО записать так:
Х} == )'ii Si . n «(!)lt + (%1) + Лi2 si . n (Ю2t + С%2); }
(19.68)
Х 2 == 1.21 SШ (ro}t + С%1) + 1.22 SШ (ro 2 t + С%2)'
ПервыЙ ПНДенс при л ПОJ\азывает номер ноордипаты, а второй помер
слаrаемоrо в строне, или номер частоты. Из (19.66) имеем
А' Сl + С2 m}ro А с
2 ' . 2 2
1:1 С 2 '1; С 2 т 2 (!): '
или в соответствии с п рпнятои ипдеI{сациеи
А Сl + С 2 mlroi
Х 21 == , 21 ==
1\ 11 С 2
1.22 == 22 == С 2 2 .
12 С 2 т 2 Ш 2
Тоrда уравнения (19.68) MorYT быть записапы тах:
Хl == Ан sin (ю 1 t + С%1) + А12 sin (ю 2 t + (12); }
(19.69)
Х 2 == 'Х. 21 А н sin (ю 1 t + С%1) + Х 22 Л 12 sin (ю 2 t + ( 2 ).
(19.67)
Значения J'!i' А12' '11 И а 2 определятся из начальных
например, полаrая при t == О
Х 1 (О) == о; Х 2 (О) == о;
1 (О) == о; 2 (О) === Vo,
условий. Так,
из (19.69) найдем
).}}.sin:11 + )'12 sin а 2 == о;
)'.21/'11 sin аl + '42 А 12 siП:12 ==: о;
)'l1Ю} cos а 1 + J. 12 (U2 COS 17.2 == о;
121 Л н (1)1 COS (11 + 'X. 22 J. 12 (1)2 COS а 2 == VO'
524
ОТСЮ;1а, ПОСI\ОЛЬRУ bli' Ы2' 1.21" П '1.22 п:шостпы, пайдем
ио 1 1.'0 1
111 == 112 == о; А11 == - , А12:::= 1. х '
Ш1 1.21 Х 22 Ю 2 -22 21
] I() бllрая пачальпые УСЛОIШЯ Tal\, чтобы )'12 было равпо пулю. полу:-
'IIШ одночаСТОТIIые I\олебаUIIЯ, описываемые ОДНОЙ rармошшой:
Хн == }'н sin (w 1 t + (1);
Х21 == Х 21 А ll sin (wtt + (11)'
];О.:Iеааппя, описывае:\Iые одпоii rар:\1ОШПЮЙ, пазываются nepBbllltu нор-
.\lПЛЫ/Ы.ЧU колебанинми.
Очевидно, при условинх, I\оrда "11 == О, l\олебатшя будут проис-
ХО;ЩТЬ по второй формо. IЗторые нор ш.Т}Ьпые I\олсбашlЛ б) ду:т опи-
сываться формулами
Хн == А 12 sin (w 2 t + (12);
Х22 == "1.22)'12 sin (w 2 t + (12)'
(Jис,'!о НОр:\IaЛЬПЫХ форм RолебarшU: и равпое e'IY число собствен-
"ых частот совпадают с gиелом степепеii свободы I\олебатеJIЬНОЙ
CilCTe;vlbl.
В табл. 42 приведепы собствепные !НIСТОТЫ колебапий, систем
с ,1,пумя степенями СIЮ'" ')ДЫ.
.
а
'
б
Рис. 32о
. 1
Рис. 327
ХараI\терпы:\1И колебаТС.'!1ПЫМИ СlIсте:\lами со ыпоrшПI степенями
('BOOO:J:bl нвляются упруrие валы с насажснны:\1И на них дисками
(рIIС. 326, а). Рассмотрим I\РУти.i'Iьпые I\олсбаuия TaI\orO шша.
Пусть J 1 . J 2 , J з , . . . . J n IIIQ:\leIlTbl инерции масс дисков отно-
Сllте.зьпо оси вала; ер1, СР2' СРз' ... , СРп уrлы поворота ДИСI\ОВ при
I\().тrсоаниях; С 1 , С 2 , Сз. ... . Сп ЖОСТIЮСТlI при I,РУ:ЧСlll1И ра JlIIqпых
,\ 'ШСТl\ОВ вала:
GJ
Ci == ,
li
J',' o J р полярпыii МОМСНТ IшеrЩШJ площаДп сочешш вала; li дли-
11;1 СООТUСТСТВУЮЩСI'О учаСТI,а.
ТОI'да uеЛИЧIlIIi,1 J\РУТНЩПХ MO ICHTOn, ВО;IIIIшающпх в сечениях
1": !:IIIЧПЫХ учаеТI\ОВ lшт.l при 13:1Юi:\ШОl\I повороте ДIlСIЮВ, соответст-
1:1'1\110 будут Сl ('71 «2); С 2 (СР2 9з) 11 т. д. (РИС. 326, б). J\ипеТlIчеСRУЮ
11 llотспцпальпу:ю ЭПСРПШ СlIсте 1Ы с п стспеНюПl свободы (преuебре-,
525
rал I\fОЩ'ПТОЫ ипорцrш массы вращающеrося Rала по сравпепию с МО.
l\IeНТЮ1И инсрции ДllСI{ОВ) можно прсдставить в Пllде
i==n . 2
1: J.('.,
Т== .
2 '
i==l
f
J
(19.70)
i==n
MI\pi ep
U L1 2 '
i==l
rдв
lII щ )i == Ci (н УН1)'
Подставляя (19.70) в уранпсния Лш'рапжа (19.63), ПОЛУ'lЮI сле-
дующую CIICTCl\IY ДllфферСIIЦlIальпых уравнении свободпых l,;рутиаь-
пых I\олебаний вала с n стспепшIИ свободы:
Jl 1 + С 1 (Уl ер2) == о;
J2 2 + С 2 (ер2 ep;l) Cl(1'1 1'2) == о;
J з 7з + С З (ерз ep-t) С 2 (ер2 1':1) == о;
)
I
(19.71)
\
)
Jп ; n 1 + Cп 1 (r.pn 1 ерn) Cп 2 ('Pn 2 1'п l) .::: о;
J 1 :911 Cn 1 (epn i 1'п) == О.
СУЫl\ШРУЯ эти уравнеНIIЯ, бу: ем Иi\IСТЬ
J 1 91 +- J 2 ;f2 + .., + Jn п == о,
отнуда
J 1 91 + J2 2 + . .. + J n 9n == const,
т. е. l\IО:\Iепт I\оличества двишеппя системы BOJ\pyr оси вала при
своБОДIIЫХ I\олебанпях остается постоянным. Обычно момспт ноли-
чества Движспия ПРПl1Ю18ЮТ рапиым нулю и тем са "ЫЫ IIСI\Лючают
из рассмотрения любое вращение вала I\aI\ тверДОIО тела и раСС.\1аТ-
ривают толы{o I\олебательное движение, вызываемое СI\РУЧlшаниеl\J
вала.
РеШсuвс ураIШСllшl (19.71) ПЩСl\1 u DIЩО
Уl == Л 1 cos «(I)t + а);
'Р2 == Л 2 cos «(I)t + а);
1'п == )'n COS «(I)t + а).
}
(19.72)
110дстаВ.ilШ) (19.72) в (19.71), будеl\1 Иl\lСlЬ:
J 1 Л 1 (1)2 Cl (Л 1 Л 2 ) === о;
J 2 Л 2(1)2 + С) ()'1 )'2) С 2 (1.2 Л;I) == о;
J r )'11(1)2 + Cn 1 (Лn 1 )'/1) ='= О.
}
(19.73)
ПСl{.'Jючая НЗ атпх ураUIIСШli:i: "'1' )'2' .... )'n, ПО.Ч:ЧШJ yparтellue
tщстоты.
526
Так, в случае трех диснов (рис. 327) спстюrа уравпенпп (19. 7; )
прюн. т ВIIД
J 1 л 1 ы 2 С1 (1'1 А 2 ) == о; }
J 2 Л 2 (1)2 + С 1 0'1 )'2) С 2 (1'2 /'3) == о;
J з Л з (l)2 + С 2 (1'2 Аз) == о.
(19.7<1)
с.'IОJ:I\ИВ :эти уравпешlЛ. ПОЛУЧИ:\!
J 1 Л 1 + J 2 f'2 + Jзл з == о. (19.71а)
Нз псрвоrо Il TpOTLeI'O ураШНШllii спсте IЫ (19.7<1) l!айде\1
) Cl )'2 . Л ('2)'2 (19.75)
'1 J 1 (1)2 Сl' :! J a t,)2 С2 .
ПО,J,стапив (19.75) в (19.74а), получим
JIJ2JЗ ы4 ( JIJ2 + J 1 J з + J 2 J:! + J 1 J з ) ы2 +
С 1 С 2 С1 С 2
+ (J 1 + J 2 + J з ) == о. (19.76)
Решая это ураВНОllие- ОТНОСIlтелыIO (1)2, l\IОIIШО получить два I,ОРПЛ
ш II ы;. соответствующие двум rлавньш ВНДа:\I I\олебанпii. lIодсташш
2 2 9 )'1
;щте l Ы 1 11 Ы 2 В уравнение (1 .7;), ПОЛУЧllИ ОТllошеl1ИЯ аl\lШШТУД T
'2
1..2
11 Т для двух rлавпых впдов I\О.1еоашш II тем саиыи устаНОВИ.\l
3
состояние системы во время нолебапип. Уна:занпые два DП:Щ 1\O:H ua-
Ш!li ;.1,.'111 ТРОХll1ассовой: I-юлебатолыюii СПСТО\IЫ пре:J:стап.'IОПЫ 11:1 рНс'. ;\27
;щш'раШIЮIИ 1 и II соответствеиио дЛЯ ОДНОУ3ЛОВОU 1I ДllУХУЗ:lОвоii фор:\!
'{ ол С баlI и Н.
В I\ачестве друrоrо ПРИ Ieра спсте IЫ со l\шоrИ1l1И ('ТСПО!JШШ
<':вободы раСС:НОТРШI поперечные 1\0!IсбашlЛ упру 1'0й GаЛI\И, несущеii
рJЦ сосредоточенных точечных масс
(рнс. 328), Проrпбы в местах ПРll.10iI\О- т, .'I'J: m.j т п
Я С G А .. ......... r8 :-" .1' , ' , '
llI1 1IШ С тl, т 2 , . . . , l1l п l\IOI'YT )ЫТЬ :
выражены чере;J силы инерции в следу-
юще:н l\aIЮШlчеСI{О l виде:
Рис. 328
W1 == тl;;! 011 т2 '2012 . . , тn п(,1n;
Ш 2 == тl l021 т 2 и:2 0 22 . . . тnЙJпО2п;
...... .,. ........ ...1
(H.1."i7)
Wn == тl lOnl т 2 ;;;2(,п2 . . . l1l п ;;;п О nn,
rде (C I. 69)
l
(,. == '\'" r Л1 и 11 k d
th J Е] Z
о
(lш.цеl{СЫ ik Прll о выражают пеРС.\lещеш1Л в нанраВJlешш i, пы i!LШ-
lIые одиu.lIЧИОЙ С.lIЛОll, действующеЙ в направлещIИ k); м.; (:), Jй'!! (.!:)
lI.н'иоающие моменты, ВЫ;JПЮШЫО соотвi:пствепuо едшп: ШЫ 1I1 СН:l<.tШl
P i == тi i == 1; Pk == тk'i.v k == 1.
5')7
RОЭффllЦИСНТЫ 0ik удобно определять по фОРМу'ле Всрещаrина
( 71):
!2 i M Z
Gik===> EJ '
rде Q площадь эпюры .iv1i (П;IИ ее части); M ордината эпюры
J\1 k , раСПОЛОЖОllпая протпв центра тяжести площади эпюры Q.
Д.ТIя CllCTCl\Ibl С о;:щоi1 степеIlЬЮ свободы на ОСIlоваllIШ (19.77) бу:-
Д('М Il IeTL ураПllешlC е О,1НШl lJСИ:JвеСТIIЫllI
ИI1 == тl 1011'
Это уравш:шие эквивалеIlТНО lIзвестному: уравнению
т;;; + сш == о,
поскольку
1
с== .
011
Для системы с двумя стеПСIIЯl\IИ свободы пе1l3Dестпые ф}.пкции
проrиба Ш1 и Ш2 соrлаСllО (19.77) выразятся так:
Ш1 == тl '1 011' т2' '2012;
Ш2 == тl;;"1 021 т2 2022'
n обще:и С.'Iучае ПрII решешIИ ураППСl1пii (19.77) фу'нкцию проrиба
следует искать 13 BI1,'J:C
U'i ::=: )'i 5i11 (wt + и).
Подставляя (19."i8) в (19.77), lIаЙде 1
1'1 (m 1 011w 2 1) + !'2т2012ш2 + о.. + ЛпmпОlпw2 == о; }
) 1 1 0 1 2 2 т О2 Ш 1! ... '. +. л т o п 2 ; .
"lm 1 0 n1 w 2 + l' z т 2 0 n2 (t)2 + ... +- Л п (;nпОnпы2 1) == о.
(19.78)
(19.79)
п Рll па.'шчпн l\ОлсиаlIпii а;\Ш:ШТУ;:J,а /'i не обращается в пуль,
еСЛlI Оl1рС,'l,еЛIIТСJIЬ, состаПЛСШlыir 11:\ l\оэффпциеПТОD системы уравпе-
НПJ1 t19.7D) Прll /'i, }JCl.BC'H НУ.'IЮ:
П11011ю2 1
')
т 1 ()21 Ww
т 2 О12'(й2 о .
т 2 1\22(й2 1
т п о 1п ы 2
m п 02n ю2
== о. (19.80)
. , 2
lп 1 (Jпl W
m 2 0 n2 w 2
тпОnпы2 1
IIюшсав зтот опрсделпс.'IЬ в pa3BepIIYTo .1 Вllде, будем иметь
1........, a 1 w 2 + а 2 ю 4 а:!ю 6 + о. . + ( 1)п а п ю 2п == о, (19.81)
rде ai l\оэффшщеllТЫ прп ра шичпых степенях уrловой :частоты Ю.
И;! (19.81) ,\lОilШО llаiiти вырашсшш длл: ыастот (Ul' (U2' '.0' (,О)П
«(\)1> (02 > ' . . > ('jn).
528
Общее решение СIlстемы уравнений (19.79) будет
wi == )'il sin (ю 1 е + а 1 ) + )'i2 sin (ю 2 е i а2) + .., + )'in Sill (юпе + а п ),
11.'111
ИI1 == )'11 sin «(!)1 t + Gl 1) + /'12 sin (w').t +- а 2 ) +- . ., + Л 1n SiIl «(!)nt -I а n );
Ш2 == /'21 siп (w 1 t + Gl 1 ) + )'22 sil1 (w 2 t + а:!) + ... + Л2n sin «(!)пе +- а п );
Шп == /'111 sin (w1t -- а 1 ) + )'п2 sin (w 2 t + а2) + ." + Л nn sin (шпе + а п ).
В чаСТIlО I CJIY'lae СllСТСЧЫ с Jl.ВУ IЯ стеПСIIШШ свободы ураппспи
(19.79) II (19.80) БУl УТ шrстr, шц .
jI'l (т 1 01l ю2 1) + )'2т20 12ю2 == о;
Лlml021w2 + )'2 (т 2 0 22 ш 2 1) =------= о;
l т!1311Ш2 1 m2131zw2 I
== О,
т! 13 z1 w2 т 2 13 22 ю 2 1
или
0)4 (1311 1322 13 2) т! т 2 ш 2 (1311 т 1 + 13 22 т 2 ) + 1 == О.
Решив ПОС.'IеДllсе ураВll епие, ПОЛУ'lIПf выражения для ча стот Ыl и 0)2:
V 1 ( " + 1> m2..J
Ш 1 == 2 011 u22 т --т
2 (1311 1322 1312) т 2 1
+ V (1311 + 1322 )2 4 (011 1322 13 2)2 ] ;
"', v 2 (IHo" ft:,) т, [он + o".
V( " ... т2 ) 2 4 1> 1> 1>2 2 т2 ]
0l1+022 (ul1u22 U!2) .
т! т 1
108. Продольные и I\рутильные lюлебаНИ1J етержней
При продольных нолебаниях етержня все еl'О :частицы ДВII
жутея IIараллслыю оси. П рп выводо диффсренциалыюrо уравнения
продолыIхx RолебаНПll стержня расс:\ютр ИМ
условие динаМlIчссноrо раВIIОВССИЯ участна Ь
стержня ДЛИIlОй dz (рис. 329, а), оrраНПЧСII- . . ::::::::t.-.
Horo сечениями а II Ь. Об0311аЧIlВ пеРС1н'ще- I
IШО сечения а черсз и, а сеЧСIIИЯ Ь через Z dz I
ди d . U u
и + az z, llаИДСl\l усилия, деllствующие в ce '
ЧСllИЯХ а и Ь (lвrея в вщ\у, что ОТllОСIПСЛL- Щ
а
uи ) . h ---I
ное удлинеНllе <:. az . II! I
Na== EJi1 a a ;
о
Nb EF [ + ( ) dz ] . Рис. 329 .
529
т д 2 11
Р И == т. Qt2 dz.
CII,'l ппrрltIш ЭЛСllfепта стrрiJШЯ ДЛIIПОП rlz при оощrТf 1Ifассе
CTepil\llH 111 11 i{<'/IШС L бу;{ст
То ";{ , по<:н,зу ясь ПрППЦШЮ:\I ,Il;шншGера, УС.'Iовпе ДIIIIЮI1l'lССI\О ro
рUlJlIUВUСIIЛ J<1C:lICIITa стержня JаШlше;\I 13 I3пде
.N b N a == Р и '
II.'I1I
() ( ди ) т д 2 и
EF Qz iJz dz == Т Щ2 dz.
т
СО1\раТlШ па rlz Il за:lICШIll ll? на р (п.'10ТIIОСТЬ материааа), пред-
стаВШI дIlфферсllцllаJIыl ураlшеШIС продолыIхx I\олебаниi.i ст ра\Ня
в виде
ураВIIСIIпе (10.82) 3aIIИШС 1 так;
д 2 u д 2 и
a 2
Qt 2 rЭz 2 '
(19.33), СJIСДуя lCTO,J;Y Фурье, шце:ll n шце
и == ZT,
д 2 и д 2 и
Е д::.2 == р (Jt 2 .
Е
Обозначив а 2
р ,
Решешю ураВllСIlIIЯ
[Де
(19,82)
(10.ВЗ)
( 19.84)
z == 11 (z); Т == 12 (t).
ПРОДllффсрепцпропав уравнение (19.84) по Z II t, llо:rучаеи
()2и ,(f2T д 2 и d 2 Z
at';' == z dt2 : Dz 2 == Т (Jz2 ' (19.85)
ПО;J;стаrшв (19.85) [! (19.83), П:\lсе:\I
, d 2 T 2 d 2 z
Z dt 2 а Т dz 2 '
пли
1 d 2 T а 2 d 2 Z
т . dt2 == 7 . dz 2 .
Прпраrшпвал правую и щтуlO чаСТI1 пос:'rе,J;пеrо ураВIIеllИЯ 1\ ОДllОЙ
11 Toii ;1,е llOСТОЯШlOй l3еЛПЧIШС w 2 , IIОЛУЧII:\1 два обычных уравнения
BToporo llOр:цr,[\:
d 2 T
== ы2T'
dt 2 '
d 2 Z (J)2
dZ2 == a 2 Z .
ЧаСТUЫ.\IIl рсшеНIIЯlllII ЭТИХ урашreШlii СООТВСТсТВСIШО будут
Т == cos wt; sin (lJt;
Z == cos z; Sjll z.
а а
530
(19.86)
(19.87)
( 19.88)
ДЛЯ ПО.ТТУЧСПIIЯ обrш'rо решсппя ураппrнпя (19.86), состаплrппоrО
П.! частных рСIlIСlIиIr (19.88), пеОUХО;lIl.\1O УЧlIтываТl, I'Р3.Пllчпые yc.lO
ВIIЯ СТСрiЮlЯ, Так, СС.;1I1 оба I\ОШЩ спободпы, ТО ДОЛiкпы УДОI.lлетnо-
рлться СЛСДУЮЩIIС услошш:
( )Z O == о; ( )Z==l == о.
ПО,1.стаIIОllI\Оii реII\епиii (lН.88) IЗ (1<).8В) и (19.8i) убсшдае.\IСП, что
w
решение siI1 а z уr[ШJ\СНIIН (1!).8i) С.'щ(уст ИСК.'IЮЧПТЬ, I aI\ 110 СООТ-
ВСТСТПУlOщее ПСрПО.\IУ YC.l0111I1O (И.8\1).
ДШI обеспечеНIIЯ вторOl'О УСJJOВШI (19.80) II ео б XO,J,lI J\IO, 'I'fOGLI I.Iы-
ПОШIЮIOСЬ рапснстI.IО
( 19,89)
sin l == О,
а
(19.rю)
ПО:Iучсппое уравllепие частоты будет удоплетпорспо прп
l == iт:.,
а
['де i == 1, 2, 3...
'tlacToTY ОСIIОПUОI'О тона Iхоп:сuаПIl ii б ,. С l
lIЫСТЬ ЩНl i == 1:
а;: т:. V E
«)1 == '- == l ;;.
Соотвстстп ющпii JIерпо; J\Олсбашrii
(19.91)
2п V р
1:1 == === 2l Е'
ФО}J.\Нt JiOi О В1ца l\о.'IсбаuиЙ ПОIшзапа па рис. 329, б I-:Рlшоii 1,
д:тя :которой
(la,t)2)
r ill 1 Z 7tZ
21 == С] COS7 == С 1 COS /'
Форма BToporo ПН;(<l колеоаIIШI, д.'!л KOToporo
((J21, r 27tz
а =.:: 2r. 11 Z С'! cos Т
пrШЮ; Сllа н[\. рпс. :\2В, u (f\рШ.lUН 11).
()(jТЦlIii ВlC чаСТllоrо решеНIIЯ ураВПСIШН (19.83) ПРII i-й ф()Р 10
Но.lсошшii бу ст
i;:z ( iтr.at . i7tat )
U==COST АiСОSТ+ВiSШТ .
fI<l,'Ю/I\PIIПе I подоопых 'IaL-ТlIblХ рсшениЙ Jlюбое прОДО;Iьное КQШ?"
баП1lе стrрашя \ТОiЮIO преДСТi.lLlllТЬ R ПIIде
(19.93)
и
\,
"'-J
iroz ( iroat . iт:.аt )
cos T .''1 i cos l + Пi SII1T '
(19.9 )
":::.! , LI...
I';J.C проп;шолы1еe постояuuые Ai 11 LJi ДОШIШЫ выбпраться П.З 113.'1<.1..'11>-
НЫХ у'СJlOIШU.
5.31
Например, ПУСТЬ при t == О (и) [ o == 1 (z); (u')t==O == 11 (Z). Тоrда
из (19.U4) при t == О паходим
i==oo
I(z) ==
i==l
i1tz
А i cos Т ;
i==oo
iт:а В i1tZ
f 1 (z) == I i COS У .
i='=l
откуда, используя метод Фурье, наЙДем
l
2 r i1tZ
Ai == Т J I(z) cos ydz;
о
1
2 j iт.z
Bi == "':'""""'"""" 11 (z) cos ! dz.
l1ta
О
Rрутильные шшсоанил стержнн (например, цплиндрическоrо)
леrI\О охарю\теРИ3011ать посреДСТВОJ.1 пычеРЧI1вапия ВОЛllИСТОЙ линии
па развернутоЙ поверхности
стерлшл (рис. 330, а). Обозначим
э.. yroJI 3aI\ручиваllИЯ сечения, па.
хол:лщеI'ОСЯ па расстоянии z, отно-
сительно lIеподвижноrо сечения
z . dz . . 2r 7t
. че рез 9, а УI'ОЛ закручиваuия се-
а о чепия с I\Оордипа ТОЙ z + dz
Рис. 330 череэ 9 + ; dz (рис. 330, 6). Тоrда
отпосительный уrол заI\ручпванил эле:\lеuтз длппой dz будет , а
крутящие !lIомепты (с:\.1. 46) в сечениях стержая с КРУТИЛЬНОЙ жест-
I\ОСТЬЮ GJ р, оrрааичивающих ЭЛО-'Iентарпу.ю el'o длин)': dz слева JI
справа, соответствешlO будут:
, (J!f> ( a!f> а2? )
GJ p az и GJ p az + az2 dz .
При:равшшая равнодействующую этих крутящих моментов MOMeHT
a 2 rp
инерции вращOIШЯ элемента длипой dz, равпому pJ p at 2 dz, rде р
плотпость материала, IIОЛУЧИ.\! дифференцIlалыlеe ураВllсние КРУ.
ТИJIЬНЫХ колебаниЙ стержня
a 2 rp д 2 ?
GJ p az 2 dz == pJ p ot 2 dz,
или после СОI\fJ3.щепия на J р и dz:
а 2 ч> а 2 ч>
G az 2 == р 7Ji2' (19.95)
G
.через а 2 , уравнение ('19.95) можно представить в
р
Обозпачая
Аиде
а 2 ч> 2 а 2 ч>
ае 2 а az 2 '
(i9.96)
532
rешение ураnнения TaJ\oro вида rаСС:\Iотрепо nыше пля . случая про
:..\ольпы:х I\олебапиii стеРШШI.
13 табл. 43 приведены частотные уравпения п собственные формы
IIРОДОЛЬНЫХ II I,РУТПЛЫIЫХ I\олебапнii стерашсЙ при ра личных rpa-
ШIЧlIЫХ условиях.
109. Поперечные 1,0лсбашlЛ ПРИ3Мl;iтиqеСIШХ стержнеЙ
ДифференцналыIOС уравнение попсречных колебаний стержня
получим из рассмотрепия YC.:JOB\I ii ДllШJ.l\шчеСКОl'О равuовеСIIЯ эле-
ыента dz (рис. ;)31), uыдеаенuоrо 1I;3 IIРОIlзво.'II,ПО закрепленноrо
стержня.
Проеl\ТИрУЯ все силы, деЙствующие па расс штрипаеиый элемепт
(включая в соотuетстПlШ с ПРИПЦlIлт.l
Даламбера силы ИlIерцпи) на Берти-
l\альную ось w,буде 1 иметь
oQ d . 0
Q qi dz Q az ' Z == ,
откуда
w
z
oQ
qi == az '
(19.97)
Q
М (t ,HQi Н
М+Ш:!dz
t ) 02
Q+fШ.dz
Ql.
rде Q поперечпая сила; qi интен-
сивность СИ.'I ипеРЦlIИ массы
д 2 ш
qi == pF
dl
dz
(19.98)
Рис. 331
(Р площадь поперечноrо сечсшш; р плотность материала; ш
поперечное перемещепие; t премя).
lIодставив (19.98) в (19.97) наifл.ом уравнение ПОСТу'пате,llьпоrо
движения элемснта колеблющоrося стержня:
()2ш oQ
pF iJt 2 === дZ' (19.99)
Дли получения ураRПСIIIIП пращ8телыlrоo ДRюкеНIНI элемента
стержня в плоскости wz слоаШ\I уrол попорота сечения О, пы-
званный изrибои, с yr.'Io:l1 CHBlIra 1, обусловлеппым деiiствие 1
по еречвой силы: .
ош
f)z === о + 1. (19. '100)
в силу извеСТНОll свя:;и между изrибающпм МО:\lептом М и
у'rлом поворота 6 ( 51:)
м == EJ dO
dz'
(19.101)
и между поперечноЙ СИ.10Й Q И yrJIOM еДвиrа 1 для припятой В па-
шем случае систе 1bl Iюордипат ( 66)
Q == kjFG (19.102)
(k КОЭффИIl,иент, учитывающий форму сечепия стерашя) выраженпе
для Q в соответствии с (19.100) (19.102) может быть пре; СПll3леIIО
так:
Q kj.'G (;; 8) .
(19.103)
533
Тан J\a 1\ l\IO IСПТ IIIIС РЦIIII ПРНП(('J[ПП l\faССЫ raCCl\JaTp п П[1(':lIO ro эло
щтТ,l р[шсн
и 2 О \ ' д20 " д20
) 1/2 dm :.:::: !/р dF dz == р} (/Z,
( t .., 'иt ot
ураВllrПIIО враНЩТР:lыюrо ДВIIЖСШIJl ;Э;IС.\Iепта на ОСIlопашш lIрIIIlЦИ-
на ДааЮluора l\IOJI\eT быть заlШ' ЭI10 в виде
д М а 2 О
Q dz 7h dz == pJ де 2 dz
пли после СОJ\[JШЦ('IШЛ па dz и попстапоВlШ (19.101) СЛОДУЮЩIШ
обрuзом:
( DШ, ) 820 а 2 О
"-С]? 1h о + Е} oz 2 pJ де'.! == о.
IJродпффсреНЦJl[JОШШ это УрUl3lЮIШС ПО z, ПОЛУЧlIМ
( i)2Ш да ) д:30 a:JO
kC /1' uz 2 a'z + Е} OZ'3 р:] д;:, ()е 2 == О.
ПодстаВIIВ (19.103) в (19.fHJ), UУДfШ ШIеть
д 2 ш ( ()2 ш ао )
рР ()( kCF az 2 дi со: О. (Н).103)
НСI\.'JIОЧIIВ 113 (19.Ю'1) 11 (19.105) уrол О, ПО,ТIУЧШI )щ'рч'среIIцнаJIЫIOО
ураВlIСIше свободных попсречных J\олсuаШIй стершил
E J а4ш J ( Е ) ()4ш iРш p'V д 4 10 () t 1 r\ .10G)
az 4 р 1 + ' kG JZ2 (/t'l. + р]? д( + kG дi4 == . \ v
Еслп препебречь спла:lШ IIнеРЩIIJ праIIlСНИЛ элемента 11 U.:iШШП l\1
па проrпб ПОlIереЧllОЙ сп.;:rы, ураШlUПIIО (HJ.10G) l\ЮШllО пре;{СТaIНIТЬ
D видо
(1И.104)
f)4 ш (Рш
EJ Dz4 + рР де 2 == О.
(19.107)
Простеlшш.\I пеРlIOДlIчеСI,ШI решеrШЮI ураППСПIlЛ (19.107) Н13:НННСН
тю\ называемое ела61l0е r.о.tебаlluе, в !\ОТОрО:\I фушщип проrпба lюлеб-
лющеrося стеРЖllЯ llзщтяетсп с теrrеШIС:\I uре:\ЮШJ по rаР ЮllПче-
CJ Ol\IY заJ\ОII У
ш == 9 (z) si/l (wt + а).
(1\1.108)
ФУПlЩIIП 9 (z), устшraв:шваЮIЦilН З:Н;Оff Р:l.спрс:tе,'1еНIIЛ ;\НШСll-
;\Нl.'1I,IIЫX ОТЮ1О11ении точо}\ ОСП стеР;'I\UЛ, uа:Шll.1СТСП фОр.1tоЙ i!ЛП611020
/i:O.lеUIlIlUЛ или собствепllОй (}jOp.ltOLl.
ДЛН ПОЛУ(Iепил ypal!IIolll1ii соuстпеппых ФОР)I по; стаВШI (Н).108)
n (НЭ,107) II после СОI ращеIlIIЛ Шl sin (wt + ) ПО.'IУЧIШ
(L4.
; k 4 9 == О, (lа.1Оа)
/1 Z4
rДО
рli'ш 2
/,.1 == H) .
(19,110)
Общео реШf'нпе ураШIeJlШ: ("1!).lШ)) ШI('Сf шц
9 (z) ;;::.:: А cos kz + 1) ;-;ili k!. -+ с Cl1 k + D sl1 kz, (19. t 1 [)
lI.;:rп, БУДУЧIl пыра;'Щ'110 чсрс I ФУШЩIШ 1 рLl,'ЮПП, ;шачешш 'I\OTOpbIX
ПрПDсдепы II ПРШIOшошш О, :заСШСЫlшется таи:
ер (z) =:;:; C!S' (kz) + f-''J..T (kz) + C;jU (kz) + C,lV (kz).
534
Rд('(',ь А, П, С, J) (ппп (\, ('2, C;I, С 4 ) постолппые ПllТ(\I'РlIРО-
nаПIJН, (jIIJ1L'; C.i1He ILJC 1I,) J (':Юlll1ii ;ЩI;РСП:Н'l!IIН стсрщпя. Т:ш, llШIJ.JlI
ш р, длл IllарППрПО 3aI_rСШНШIJоrо стерlIШН (рнс. 332) УСJlUIШЯ па
"овцах будут:
ПРIl ;:,::..= О
Прll Z::.= 1
9 (О) == о;
9 и) == о;
9" (о) == о;
9" (l) == О.
lIсхо; л ИЗ ;)ТIIХ YC.l0Вllii 11 IIЗ (1и.111), GYl1.C 1 Iшеть
А + с == о; п sin kl + D ::;11 kl == о;
A + с == о; B siJl kl + D 511 kl == о,
OТI\y да
А == с == D == о,
l] siJl kl == О.
110 1'31\ КШ- п =1= о, С,'IеДОI3ате.тIЬНО, 8111 kl == О. Нз IIолучеuпоrо частот-
1l0ёО у fю(]не1tU:i I1aXO.;;{II 1
ll;з рашшстпа
kil == iп
(i == 1, 2, 3, .. .).
Р Рш тш
4 t t
k i == Е} == EJ
опреде.'II11\1 СООСТВСIIПУЮ I\pYI'onyro частоту
2 V EJ i2;:2 V EJ
(J)i == k i т == "[2 т '
(19.112)
псриод
т 21: 212 V m
== (!)i == i 2 1: Е]
U тшстоту Iи.lеUaIшi:i, ец,
1 i 2 ;: V EJ
f == т == 21 2 т .
(19.113)
раВIН'Iше СООСТВОШIL1Х форм IИ.lе
Galll1ii стерашя будет
9i (z) == [j sin i Z . (19.114)
Первые три собственные фОрМЫ коле-
баПI1Й баЛI\И Шl ДI3ух ОI10рах ПOl\а3Ш1Ы
па рис. 3: 2.
Общес решеПllе Днффсрснциа.'lыюrо
уравпешIЛ (19.107) примеНIIтельно I\ рас-
c:-.raТрИI!ае юй баJJI\О па двух Оllорах мо-
iHCT быть ааПИСl1ПО в виде
р ИО. 332
, '\ .. iitS
'" (i, t) =: (а, со:; (J)it + ь, Slll (J)i t ) SШ Т .
{...
rде а( И Ь' ДОШЮIЫ быть подобраны И3 паЧDЛЬПЫХ УСoll0Dиii (при t==O).
Частотuые ураВlIРIШЯ 11 их корни, а таЮI\е урarшеппя сооствеППЫJ
форм попсречных Н().10uапнu стеrашей при ра:JЛИ'IШJХ :НШРОIIЛСНИЯХ
ИI: КОНЦОВ приве;I, НЫ в 1ufiл. 44. l\орпи чаС10ТUЫХ ураllнеШIЙ попе.
(19.115)
5:35
речных НО,lе()аниu стержнсй на упруrпх опорах приведеНLI в табл.45;
стеРЖllсii с сосре;J.оточеIIllЫМИ l\1асса.\llI в таБJI. 46. n табл. 47
Прllве;(l'IIW ;НШЧСШШ llCI OTOpblX IIUТСI'ралuв, встречающихсл при рас-
чстах IIОlIСрС'ШЫХ IШJlсбаuпй стержней. .
Е с.!! 11 I\о.тrе().;IЮЩlli!сн стержень испытывает действие продольной
СШШlUющей СИ.1Ы N, то диффсреllцuа.'IЫЮС уравнение Уllруrой JLИНИИ
имсет ви;
d'l.w
EJ dz 2 == М (z) Nw.
lIос.'1С Д13оii:поrо дифференцирования 11 ЗЮIены соrлаСIIО пршщипу'
d'l.Лl а 2 ш
Дадамбсра dz 2 == рР Dt"!. получим диффсроuциаЛLllое уравнеllие
споБО,J,l1ЫХ 110переЧl1LIХ колебаниЙ стержня
д 4 ш д 2 ш д 2 ш
EJ az 4 + N oz 2 + pF at 2 == О.
Собственная форма нолебаний опр елится в атом случае выражением
(z) == А C,os k1z + п sin k1z + с ch k 2 z + D sh k 2 z,
rДе
.. 11 V
k 1 == а V ;[ + "4 + ;
/ 1 V
k 2 == а 1 2 + "4 + а 2 ;
N
а == EJ '
Величина k опредrляетсн по фОР:\Iуле (19.110),
Выр<ы;епня ЩIЯ собственных частот понеречных колебаний стерж-
ней, llаrРУfI\СШIЫХ lIрОДОЛLllЫМИ силами, прl1ведепы в табл. 48.
110. 3aIЮН сохрансния знеРI'ИИ при IюлсбашlЛХ
Из пршщипа сохраuсшIЛ эuерrии при кодеuаIIIIЯХ вытскает, что
сумма IШIIстичеСIШll и потенциальноЙ энерrпи I\о.леGательной механи-
'IССlшii систсмы n JIюбоЙ l\Ю Iеuт ВРСЫСНIl остастся постоян-
ноЙ (::шсрrСТIIЧССI\ИМИ lIотеРЯl\fИ ПрСllсБРСi'аем), т. е.
т + и == const. (19.116)
n частности, примошпельпо R СIIСТСЫО с одной: сте-
пспью свободы (рнс. 333), для ноторой
Т == !l.. х 2 ;
Q 2g
сх 2
Рис. 333 и ::= 2 '
ураВIIСШlе (1а.11О) примст вид
Q . 2 сх 2
2g Х + т :::::: COllst,
(19.117)
rдс с ЖССТIЮСТЬ ПРУШlIlIЫ,
5за
Праnая часть ураnпепия (19.117) зависит от пачальпых условий.
Полаrая, например, что при t == О псрсмсщенис (Х)/==о == Хо, а пачаль-
пая снорость (;;)/==0 == хо == О, будсм иметь
2
Q . 2 сх2 СХ О
2g Х +""2 == Т' (19.118)
т. е. при колебаниях сумма IШIlСТIlческой и потенциальпоii эрерrий
остается равной начальноЙ эперrпи деформации пружины, растянутой
па величину Хо'
Из ашшиза rравпепия (19.118) ВИ,l,IЮ, что В l\1O ICHT, J\осда I олсб-
лющийся rpy3 находится в сре;1;ПС:\I НОЛОSI,СIШИ (х == О), энерrия
системы опреде:rястся IШНСТJJЧССI,оii ЭПСрПJСЙ
'2 2
Qx max СХ О
2g 2.
(19.119)
Уравнепие (19.11\)) мшиет быть IIсполь:ювано для определения
частоты колебапиii. ДеiiСТВlIтелыlO, 110.'IОЖИn
Х == ХО COS (J)t; Х таХ -== ХоЫ,
после подстаНОВКII значепия х 11 Х таХ n (19.119) буде f иметь
QX (,)2 cx
'2g ·
откуда
(',::
w 2 == Q
II
V == l( "g ,
Q ОСТ
что совпадаст с получеШlOii рапсе фор:.rУЛОlf (19.3).
3ЮlеПI\I, что, ПСХО:lЯ П,1 уравнеIIIIЯ (19.117), ВЫР[li'l\ающеrо :н1'НОIl
сохранения эпсрrип при I,от<iПJJlJЯХ, ЛСrIЮ ПОЛУЧIlТ!} ;J.I1фференциа.'IЬ
ное уравнение ll:ВНrI\СIlIlЯ I,;што5.1ЮIIJ;еrося rруза. Д.1Я этоrо достаточно
уравнение (19.117) про:щфферепцпровать по вреиепи t II ПРОlIзвести
соответствующее СOI rащсние.
w ==
(19.120)
111. НСl\отпрые приближClШЫС методы определеIIИЛ
собственных частот I\Олебаний упруrих систем
Способ Реiiлел. Частота колебанпlr ОНРС,lелястся из paCC IOTpe.
пия баланса ЭIlСрПШ систсмы при опрсделснных допущениях относи
те.'IЬПО дефОРl\1Н роваlJlIЯ Rолебательпоii упруrоii спстемы. В частности,
для учета массы НРУШ\JНЫ в Rолебателыюii систеl\fС с одной стспснью
свободы (рис. ; ::ЗЗ) НС.'Iается допущсние, что lIIаССEI ПРУiI\ИIIЫ МEI.:та по
срarтснпю с l\Н\сспii JIОДUСlПСJшоrо l'py a Q, ФОР,\Ja J';ОЛСUUIIПli пс
заnJIСIlТ сущсстnеНIЮ пт Массы ПРУ;'ЮlIlЫ п с Л,uстаТОЧIIоii ТО'IIЮСТЫО
М0;ВНО ПРПIIЯТI" что Пl'Рf):\J(чцепш' .тIтобоrо (ч, попсrеЧIЮ"О С('ЧСIIПЛ на
раССТОЯШIII yj от аа!,ре[IЛСllТIOI'О J,ОlJца Т:Н,ОС' же, 1\111\ если бы ПРУiIшпа
u ху,
ubl.'IH нсвесомон, Il равпо { (l длина пруашны).
537
При пrсс r;lПIIПЦЫ длппы пруашпы q, юшrТIIЧССJ\f\Л :шrрrrт :1ле.
!\ICJITa 11 р Yil\ IIIIЫ :щ шюii rf-r; БYJ ет
q ( 1] (/Х ) 2
dT П === 2g т . dt dYj,
а по.'шал юшеТlIчеСI\afI эперпт Hceii ПРУШIIНЫ Dыра;нIТСЛ IJПТСi ра.:н.ш
1
т == r ( l . dX ) 2 (}.(, =-= ( iX. ) 2 gl .
п J 2g l dt j '!.g.r1 t ;J
()
Это зпачопнс IШПСТlJчеСhОU эrrrр rнп ПРУiI\IJIIlI c.тrr;:r:yeT прибаШIТЬ
1\ юшетичеСI\Оll ЭIl<>р I'IIIf ('руза
т == Q ( 1 ) 2
Q 2.g d t
Tor a ПО.'1пал IшпеТIIчеСI\ая :)IJ<>рrllЯ БУ;l;С'Т
т == т + т == ,! ( с!:! ) 2 ( () + q, ) .
Q п 2g .r 1t ' ;
I3ыращение потснцнаЛЫlOii: ЭIlсрrпи остапотся ПРС'i-Iшшr:
2
и == r:!
2 .
Теперь условие сохраuешlЯ :шерrШI l\олсuтОЩОllСЯ систе:\IЫ мошет
быть прсдставлсuо в lНlДc
1 ( dX ) 2 ( ql ) сх2 CX
2g ({С Q + т ' 2 == .
Сравнивая это ураВПСIIПС с (19.118), пахо;щч, что Jl;ЛЛ ОI CIIЮI
IШIШНШI массы ПРУЖIlПЫ па частоту СОUСТПСIШЫХ I\ОJ[с(JarшЙ НУЖIlО
J{ песу rру:ш ПРIl(jаппть одну треть ucca ПРУЖIlIТЫ. Таюш образом,
щ)у!'отш частота определяется ФО Р!\lу.'Iоlr
U) .. / (19.121)
==v Q g3i.
3
РаСС\Ю:jlll:,! l\олсGюшя rpY:Ja, раСПОЛОiJ\СIшоrо IlосреДIlllС балки
(РIJС. ;(;1). Сл{';t . н ICTO;ty l'еii.'lея, ПОШll'ае I, что пос Gа.'Нш ql мал
сравнитсльно с rру:юч Q 11 что l\рпвая нро-
Z ?;: Q rпGа балки прп I\0.тr06аШIЯХ ииоет Т,Н':УIO
жс Фор !у, l\aI\ П крппал стаТIIЧССi\оrо про-
птGа. Ооо:тtlчпп чсрс:! 1 1I0рС ЮЩОНПС '"РУ-
7 .. J L . . за Q прп "о.1сбашшх, 1I0"УЧI \I пыра;1<.,IIIС
.. попrрсlrl!OI'О ПСрС lCщеllllЯ ЛlOооrо ;).'[0:\10111'0.
Gатш д:пшоii (lz Il ПССО:\I qd::" llаХО,,\лще-
f'ОСЯ па раСС1'ОШIIIII z от оворы (стр. L66):
Рпс. 334 1 1 Зzl2 4z3 ( 19.122)
ш l;j
l\ПllОТПЧОСl{ая :)IJС'рrпл са1\IОП Gатш
1/2
T == 2!!. \ ' ( (11 . 3zl 2 4.::3 ' ) 2 dz == i . 9 ( ' (11 ) ' 2.
(:) 2g ,. dt l'J 3.) 2.g (lt
О
f): Я
{) ппrТII'1РСI;:1Я 1пrrrпп rrУ:1Я
'/' :..о..: Ч ( /l ) :!
· r '2 g (1 t .
1I0"'Ш:1П I;ШlrТlI'IССI;:1Л ::.шСРПIН С!lС1 С\Ш Gy; eT
(.) + , ql ( 1/) 2
Т == 1'J- + Те :=- '2 И t (19.123)
Пользулсь п:шеСТIIIJ:\1 lII,rР:1;r;СПIlС:\1 ;(.lН п()тсIщlIа:IыIii ЭШ'рl'НIJ
Де I,()r:\I[ЩПIl I1ЭI'JlИП
,
r Л1'l. dz
и J '2Е) '
о
М == Е} (/2ш
J J dz'2'
iI пн;ще ::rштьшпл, ЧТО
rде Д.'Iл раСС:IlПТрПШlс:\юrо С.'IУ'Н1Л cor.'IclCIIO (19.122)
d 2 /V 21
dz2 :::::: i Iz,
IIаЙДf\Ы:
1/2
r Е) ( 24 ) 2 21Е) "
и == 2 J '2 ТJ Iz dz == [ .
о
Тслопие сохрапеПIlЯ Эllсрrпп нрн 1\О.iIобанплх теперь пршют ШIД
17
Q + "5 ql ( d l ) 2 21.Е) '
Т + и == / l + l : 12 == const,
. g ( t
ПродиффеРСНЩIропап IlOслс;\псе уравnеПIIС ПО ВРСШ (III (, после COI\pa-
ЩСШJЛ по..1УЧIВI
а 2 ! 48Е) g
dt2 + ' 17 1==0,
Q + 35 q l
(19.124)
11.'[ (] IJIJС:;:I.Я ПОНЛТlIе припедеllllоrо ПРОl'II(iа ОI1Р'
17
Q +;;; I Fl
О .);) 3
пр 18Е} l,
('19.125)
дпффорепциа.iIЬПОС ур,ШНСПIlе I;олебаппii rруза па баJше с учеТО 1
ШiССЫ после,' I1сii (HJ,121) ОJ\ОIl'lатЕ'ЛЫIO J\lОШllО преДСТi.Н:llТЬ в НJIДO
{}2' + 1 == о.
dt Опр
;:;; g
Отсюда круrопал QaCTOTa колебапии rруза соrласно (1 а.120) опреде.
ЛI1ТСЛ фОР:\1улоii
w:--= I / :.. g . '.
J () пр
(19.126)
IIз (19.125) слодует, что для учета массы башш при ОПРСjТ,еленпи
частоты собствснных ко:rебапиii l'руза, расположеНlIОI'О посредине
балки, l остаТОЧI!О 1\ НССУ 1I0с.1сднеrо НрllбаШIТf> i == 0,48:1 паса ба.1I\lI.
N 17 l д ,-
СЛПЧIlпа ;;;:: q rш:н,шuстсл п {lиве e1ll1011 .массой (,алтt.
.J;) g
ИСПО;r[Ь:Jуt :\I. МСТО;.!. (><,iJЛРЛ для ОI:Рt'; l'';I('ТlШl '13(''1'0'1'/,] IЮII<'рСЧПЫХ
I\Олебюшii ,стррil\lfЯ е ('()среJ ОТОЧl'IJl[Ы JlI :\1<1L'саШJ (рнс. :J:c.8). 13 JTOM
случае IIрС ДПО.'1U f'(н'тся, что 1, I!If('ТllчеСl\<:\Н JIH'pJ'1I н С 11 стемы он роде-
ляется только постунателыI II перС1\IеШ<'Шlе:\1 1\I[\С(" а потенциальная
энер rия обусловлена To.;ruKo 1I:1пrUО:\1 стеРilШЛ. fI ала rал, что все массы
r\олеб.'IIOТСН СlIнфа:ша с ОДИПaIюrюii частотоiI, llереыещеппе сечения
башш с абцпссоii z D фУШЩИИ премеПII 1I1ОЖ<.ш описать Сlшусоидаль-
ным 3aI 01Ю:\J
(z, t) == w (z) siп (wt + а),
[де w (z) функция, определяющая фОрl\IУ колебаний.
Снорость перемещепия оси баJIЮI будет .
09 (z, t)
v(z, t)== дt ==ww(z)со:з(wt+а),
и тах == (ОШ (z).
МaI{СИJ\ШЛLпое ЗШlчеШlе юшетическои энерrии п масс равно
i==n
1 2 2
Т == "2 тi W Шр
i>=1
(19.127)
rДе U'i аМПЛIlтудпое 3Шlчение проrпба в месте i-ii сосредоточешlOЙ
массы.
МаНСШlaльпая
потепциальпан энсрПlЯ деформации
1
U == r E J ( d2u; (Z» ) 2 d
2 J dz2 Z.
О
балки
(19.128)
ПрпраВПlIвая прапые части уrаrтеlIПlr (19.127) и (19.128) I! решая
11U:1)"ICШlOе уравнсние OТIIOCIlTC:lblIO (02, паiiЦС.\i
1
r ( d 2 ) 2
J Е J d (} z
w 2 ==
==11
,..., 2
тi W i
i l
(19..129)
540
В случае непрерывнО распрсдсленноЙ массы формула Рей лея для
приuлижеlIlIОl'О опредс.чошIЯ нвадрата I,pyroBoii частоты (19.129) lIрlI
!eT ВИД
1
r EJ ( d21 ) 2 dz
) r17
п
ы2 ==
1
.\ II/Ш'!. dz
О
(19.130)
rде
F"(
т""
g .
Если деЙСТI3птелышя форма Iю.;те(jаrшii W (z) и:шестпа, <fормула (19.129)
даот точное ::значенио частоты. О(1Ь!ЧJIО ФУШ\IlПЯ ПРОflluа и' (z) зарав<:>е
но п;шестна J.I ею, С.1сДУН J\j('TO: Y РеЙJIОЯ, нрпходнтся задапа'nся.
Способ Ритца являет,СП Щ\.'I1неiiшим развитие 1 спосоuа J!ейле.н.
n уравнешro упруrой ЛIIlIIIII I\олсблющейся системы вводятся lIеБО
торые параl\10ТРЫ, ЕNIIJЧIIJЩ J\OTOpbIX подбирается таКим образом,
чтобы частота OCHOnHoI'O '.ош\ Gы:ш ШШШШ. 1 Iыюii. Так, IШIlрПI\Юр, при
поперочных I\О,ТlсuанияХ стеРiI\[lЯ ФУШЩПЯ IIроrпба выбирается в ВIIДО
ряда
1l! (z) == а (U'l (z) + а 2 и'2 (z) + . . . ,
(19.1:)1 )
иаЖДll1r члеп I,oToporo :tО.'1ЖОII у; оВ.'rетворятr.. rраIlIlЧПЫ 1 УСЛОПIlЯМ,
а I\ОЭффПЦИОIlТЫ ,ря;щ a j , а 2 , a: I , ... должны выбираться 113 УСЛОllИЯ
I\IlШПМУ!lta частоты:
()
Оа;
1
r ( d 2 w ) 2
J EJ dz 2 dz
() ==0.
1
. lIIш 2 dz
О
(19.1:32)
Про;щффеРОlщиrовав это DырашеUlIе п ра;щелив реЭУ:Iыат на
1
I тю'.!. dz, с учеrО!l1 (19.130) ПО.1УЧШI
о
l
D (' [ ( d21V ) 2 ,, ]
cJai .' EJ dz 2 ы2тш dz == О.
()
(19.13З)
Таиих уравпеIlиii [jy;_ C1' стодьио, СI\ОЛЫ-Ю qлеIIОВ в ряде (19.131). По-
лучешraя сист(' ш ураuношrЙ ОДПОРО: l[а ОТIIосите.'IЫIО I\Оэ'рфицпентоп
а 1 , а 2 , аз, ..., ан.
Приравняв ОfJрС; С:IИТСЛЬ этой Сilсте:\щ нулю, ПОЛУЧIШ частотноа
уравнение. Этот l\Iетод по,!воляет иаiiТJI но ТОJIЬИО шпшую частоту
собствеrшых I\о.10[)анпй, но II :!ПGчеUIIЯ 13ЫСШIIХ ЧDСТОТ, хотн 11 С
мепыuей точностью.
[j41
с//()('();) Gуr;н()ва rа.'1сртша. ПрШfСППЧ этот способ прп реПIО-
J1I1H, 11:\ II,Р 11.\l('jJ, :;a;\U'Ilf о ПОllСрОЧНЫХ I\(теG шIНХ СТСрIlШJ1 llrре:\IОП-
1101 u Сl'ЧСШlН, ОIШСЫIШС\lЫХ дпффсроrЩШ.\:тIЫIЫ:\I ураВIlСIIIЮ:\I
I
д" [ , () 2 и 1 (/; ш '
" Ь) (2) ,. -; J 1/1 == О.
d;:, dz 2 dt 2
('1 0.1 : q)
РеlIЮlIJlС этоrо урtlПlН'IIIIЯ l\ЮilШО паiiТJJ с поl\ющыo подстаноВIШ
w === z (z) . т (t),
lil'lЮ.тrыуя I\ОТОРУЮ ПО:IУLJШ', ДllффсроrЩllа,lЫ!ОС
; с.'IеIШН ФУIllЩПIl Jl}ЮПJiJа Z (z):
(/2 [ 1:' J ( ) (j2Z ] 2'/ О
() Z 2 1'.. Z d z 2 т (1) Z-I == \ .
уравнсшrс Д,llЯ опро-
(19.135)
СоrJIаспо спосоiiу [)уБПОВil l'<1,l('[)J\IIПа дсiiСl'lштс.'Iыraя крпвая IIpf).
rпба, выраа\ае.чан ФУШ-\llIIрii Z (z), ;3а:\lСНЯСТСЯ UСI\ОТОрОЙ прпuлижсн-
ноЙ Фуш\П.нсii У (z), у;\ов.1СТ!ЮIНlItJщ('ii I'рarШЧIIЫЫ ус.тrОВИJ-Ш за;щчн.
Фушщпн (z) : ОШI\lТа быТ!, 0PTOI"OIItl:IIJl!a псхо;J,НО !У дпфферОllЦП<1JII.>-
ноыу оператору. С ;поii цr:IЫО ol)pa:!ye.\! ШIТеrраJI
l
{ ::2 [Е} (z) d2 z Z) ] ты 2 ,} (z)} у (z) dz == О.
о
(19.136)
Отсюда, в частностп, l\1Ofl\el быть получона формула Рсii.'Iея
r [EJ (z) +" (z)]" t (z) dz
(J)2 == О
l
S т'f2 (z) dz
о
(19.137)
Ec.тJ. Il прr ,1стапптъ у (z) n впде рида
' (z) == а 1 '}1 (z) + a2' 2 (z) + . . .
(19.138)
п рассмотреть наащоо ш 'СJIю"ае:\IЫХ Yi (z) 1\Ю-\ П03:\lOжпое lIоре:'\fOще-
ПIIР, то IШОСТО (1!),1:Ю) получ!ш СООТIIOШ('IIIlО, llыращающео равопстпо
lIУШО Iшртуа.:rЫlOii раljОТЫI
[
.\ ([ Е J (z) t 11 (z)]" пНI) 2.} (z)} + i (z) d z == О.
(J
(19.139)
ТШ\11Х Р:1ВСПСТВ :\IOiIШО знппсать с:rолы\О, СIЮЛЫ\О слаrаСi\IЫХ Пl\lСОТ
ПРIllIПТОО ;l,'IЯ (z) выраiI\ОllИС (19.138).
l аiIЦОС п.з уравпеuнii (19.139) OlЩОРО:J:НО и СО,lОРЖИТ НСIIзвеСТIlЫО
l\оэффrЩlIrнты а l' а 2 , аз, .. . в nopnoii СТОПСIШ. II рпраШIЯll пулю опро-
деЛlJТС.ЧЬ CIICТL'l\IЫ урапнении (19.13!1), ПОЛУlJIШ частотное ураВПСIlие,
113 I\OTOpOro l\ЮЩОТ быть O[IPO: C'.lOIIa уr.rIOпая .частота соБСТБСIIНЫХ
КО.'lсбаппu.
542
т 11 () Л П т( n "'2
Со(}стпенные частоты lюлебаппu ('истсм с одноii и дву;\[л
('тспенл:\ш свободы
111 :насса rру:-за; с fJ\CCTI\OCтr, УПрУI'Ol'О злс),!спта; l Jl:лппа стсрт-
ШI; G ilfО; УЛJJ упруrОСТI! JlplI С;ОШI'С; EF жесткость ТIОl!(\р<'Чllоrо
('('Чf\ППЯ стержня IIJ1I1 parTтI,('III1I1; GJ/I Жf'СТ1,ость попсрочпоrо С("Ю
ШIЛ стсрат:я ПРll I,РУЧСIIIIII; Е) IJ\CCTI\OCTb попереЧIIоrо ССЧСIIIlЯ
стсрilШЯ ПрlI II.3ПI()С
Чпс.:lО
Схема НО.'Iсбательноii CTCJle
системы всН
свобо.
пЫ
!:I
т
t
{
н :
a:
Ic/
H : 1
Сn(iСТПСППi1.R чаСТОТi\ /, ?ч
I== )/ т С
2;:
1 l( CТ
f о---:: 8 flПlП 1
11 ЧИСЛО ШIТIЮll ПррI\Т!IIЫ
..1. '1 ( ЕЕ?
I . 2;: Jt 1IIl
f 1 ( ('lё2
2 т ((' + -;;)
М3
Продолжсние таил. 42
Схема I\О:lС(iательнОЙ
спстемы
ЧIIС IOI
CTCI!oc- 1
неи
свобо-
ПЫ
СоБСТВСIIнан частота f, <Щ
П ' c,
С, e, IIg:
н -S:2
/.?
1
I V C1 + С 2
2т. т
т( с т 2
D-NJЖЖ-О
::::. ::::=.
J
t ce
1
t:=:.! V c (ml + т 2 )
2т. т1 . m 2
== J 1 / G.lp
t 2;: /J
J ro IOНТ ИПОрЦIlII массы диена
ОТIIОСIIТО.;:rьпо ОСП стерilШЯ
q J p
J(
C .
J 1
J CO
t== V GJp (J1 +J2)
2п lJ 1 . J 2
J 1 , J 2 МОМО1!ТЫ [шсрцпп масс ДИСКОВ
( Р
т
1 11
1 V 3EJ
f 2;: ml J
[lt т [
а Н Ь
.l
544
1
l V ; EJIJ2
f == 2т:.аЬ т (aJ 2 + bJ 1 )
при J 1 == J'!. == J
1 . r ; )ь;л
t == 2т:qЬ V
1
прп J 1 == J 2 == J и а == Ь == 2"
2 V ; EJ
f 'it тР
п ро[)олжrтllе тnб./. 1:2
Схема l\олебатсл ноtj
СIIСТС м Ы
СобственнаR частота f, Щ
ЧlIСЛО
СТСПС-
НСЙ
свобо-
ДЬ!
, EJ Н т
l V 3E.fl
f == ..аЬ та (За + 4Ь)
l
при а == Ь ==
2
8 V m
f == 7пzl'J
[) lIт ,
а Ь
l
, (: J I!
I V '<3ЕЛ
f == 2..аЬ таЬ
l
П р и а == Ь ==
:2
== 4 V 3EJ
f 7t тZЗ
1 V 3EJ
f == пЬ т (За + 4Ь)
[ "
ь
t == V ::\EJIJ2
2..Ь т (aJ 2 + bJ 1 )
при .1] == .12 == .1
1 V :)EJ
t == 2..Ь т (а + Ь)
1 Н ,) IIR(;
2
t 1 V 1 l ( С2 + С] + С 2 ) '--=..
1,2 "2 т; -п т-
=1= V ( + с, + С 2 ) ' 2 4.!:1 1 :.::
т'! т 1 Пl 1 т 2 J
r ..
== 1 / [( С 1 + С2 + ) \ :r
21t 2 т 1 т 2
=1= 1 / ( 2 . ) 2 + 4 1
т 1 т 2 m 1 т 2 J
при Сl == С 2 == С И т l == т 2 == т
1 1 2 == 1 / 3 =1=, У] .
,2п 2 т
545
п родо.Jtжеlluе табл. 42
СХСМ<\ KOJleGaTCJlbIIO.
системы
СоuствеНН8П частота J, (1'4
ЧИСЛО
t.;тепе-
ней
()побо.
ДI,
1 V 1 I ( о) + С:. + С 2 + C ) 1=
11,2 == 2 ,,:, !
.. '11-1 т?
=F V l С 1 +С з + С2+Са ) 4 СIС2+СIС:l+С2Сз J ""'"
rп 1 III'} т 1 т 2
1 1/ 1 [( Сl + Са С 2 + С:\ )
== + =F
L7t. т 1 т 2
=1= I // ( Cl + 0з С 2 +- C;j ) 2 + 4 ]
т 1 т 2 т 1 т 2
при С1 == С 2 == С И т 1 == т 2 == т
11 == ;. V о ; 12 .!. V С + LC;!
2" т 2т.: /Jl
т, С I т ; С 2 тз
DWМOW#VO
........
.....
546
1 1/ 1 {[( Сl С 1 ) ( С2 С 2 )]
11 2===;' ) +",. + + =F
'LТC '- т) 1])9 т 2 т:\
V '" [{ ('1 ('1 ) ( (':! С 2 )] 2 ICIC2 }
+= . -т . . + +Ч"2 ===
т1 т 2 т I1I з т 2
L
1 ' v 1 I ( Сl ('2 С 1 + С 2 )
== :)..:. ') . , + . + =1=
"",. тl т I/I
V( Сl С 2 + Сl+ С 2 ) ' 2 I ,11/) +fJI 2 +rп з ] '
=F + lJ:C 1 [2
т 1 та rп2 1lL 1 т 2 тз
при С 1 == С 2 == С И т 1 == т 2 == тз == т
/1 == V ., ; 12 ==.! V 3c
2.. т 27t т
п ро[}о.ftжеlluе табл. 42
Схема колебатеЛЬНОi
СlIстемы
Собствсннан '!астата 1, щ
.7/ J 2
F НФ
ЧИ(;JIO I
етепе-
ней
(:ВОби, \
ЛЫ
1 V 1 l ( С2 ('1 + (;2 ) '1
I1 2 + ..
. 2т.: :2 J') .J 1
=1= V( + С1 + ('2 '( 4 С 1 С'} ] ==
J 2 ./ 1 J I .1')
J. V ! [ { С1 + <'2 1.. (;2 ) =F
2т. L \ /1 I J."
2
I :! ]
1/ ( (t + С 2 С 2 ) ,1'2
=+ +'l
J 1 J 2 J,.l 2
J " J., I\IOМОПТLJ инерцпи масс ДПСКОВ
относительно оси вала
11 Р 11 С 1 == С 2 == С И J 1 == J 2 == J
f == i V ;-{ =1= vg с
1,2 2т. 2 7
J,
18*
f == V 1 t ( С, + C: + ('2 + ('3 )
f 2 2 '; J I +
· r.: 1 ' ?
V ( С1+СЗ С2+СЗ ) CIC2+CIC3+C2C J ==
=+= J 1 + J 2 4 J 1 J 2
== 1 / ! [( 01 + сз + С 2 + С 3 ) +
2it 2 J 1 .I?,
2
=1= .. / ( С' + C С 2 + CS ) 'l + 4 C ]
V J 1 J 2 J,.I 2
J 1 , J l\Iомепты инерции массы дие-
нов относ.ительно оси ваШI
при С 1 == С 2 == С И J 1 == J 2 == J
1 V C . 1 V с + C;.}
11 == 2т. J ' /2 == 2-it
;)47
Про80лжепuе табл. 42
Схема нолсбательпой
Сllстемы
СоGствешrаfJ чаСТОта " rjJ
ЧlIСЛО
степе-
ней
свобо-
ДЫ
J J 2 'JJ
Ф
f == ! V ! [ ( + С 2 + ('] +- ('2 ) ' ,
1,2 27': J] J J 2
V( С] С2 ('J+('2 ) 2 JJ+J2+J:з l
=F J + J + J 1ClC2 J J J
] 3 2 1 2 а
== V { [ ( + ) + ( C2 ....i С 2 ) ] =F
21': 2 J] J 2 J 2 J: l
2
=F ( [( !+ ) ( +! )] 2+1 ('1:2 }
V ,J] J 2 Jz J з J 2
J]. J 2 . J з MOl\IOIITl>! lш rщш масс дис-
НОВ ОТIIОСIIте.'IЫIO оси па.lа
при С 1 == С 2 == С II J] == J 2 == J з == J
f V 2с 1= с
1,2 2.. J
1 V 1 [ т2
==- 2 011+022 =F
11,2 2.. 2(011 022 O]2)т2 т 1
2
=F V ( 0l1+022 f/l2 ) 2 4(011022 oi2) 1112 ]
т] т]
0ih проrиб оси ба;ши в сечешш i ОТ
единичноii СIIJlЫ, ПРШlOшеШlOii n
сочешш k;
0ih == 0ll!
1
EJ
Нт
N} }
648
2
1 V UEJ ( l2
11,2 2 l З 1 + +
,. т 3 1(J
+ l/ 1 + ;:: + ::: )
1(J ра,'ЩУС Пllсрrщп l'руза относи-
TC:lbllO cro цснтра ТЯFl-;ССПI;
пр" 1 i: ( ( )
' ) .,. l :3 1 l 2
,. 'п
1 I / ; EJ ( '! 4Р )
12 2 V IIlР ') + 3i
ь.
...:.: ...:.:
t"'-: C = r.п ::::
"" -9;;: О 'и; ";j
а:;; с.;>
с ct!\O с-) с-) с-)
:rQ)
t:: '" :r 11 11 11
== о
== ........
:: 3: 3:
\о 9
О о 9"
C';J Е-< U
Е--< с.;>
о
==
"S1 а:
* ::
с..
Q.)
iii
с.;> <:1$
с-
:::! ... .!: м , м
1:1 о :Y:I
:= a
CI:S О I
:r
'-о fo< ..... ......
Q.) о .i; ..; ..; .i;
1": fo< 11
о <:;>
=t: ct! ......
J:r' .ic....
е
::а i5.
== о
,.Q
1":
1:1
»
с.
1:1
::а
==
,.Q
1":
О
О Q)
С. е
==
::а p:i о о с
::;1 ct! " " 11
с. с-
о ...
>& Q)
о с r.п ,
Q.) :ц
fo< 'и; О
::а о с.;> (fJ
= fo<
<:)
== <:1$
Q.) р"
=
с.;>
о
с.;>
1:1
1::1
::
Q.)
= t::
= := B
CI:S tr: :G {j
с. Q)
»
Q.)
::а :1:
= ct!5'
cr.Jfo<
<:1$0
:е
Q.) Q)
a; м
I:r u
549
I ь. w w
0)= (f)
>9;: .9 о
1:1::;; '.F) (,)
\.,) \.,)
\с ....а;
::: 11 "
с:! "'0
t: a5 ----
fo<rn
;::s g:. э-
:t О э-
"-:> U
8
с =''JIN
ct:)
с
1:1::
== Ф
:rJ
а; ..,;
а
CI$
р.. О
u'?
О ..,;
О
=
fo<
О l1j
fo< N
1:.) l-: О ..,;
CI$
t7' ">\"1
== 1<') ....... Lr:> 1<") 'r.>1:::;)
= t'\C' c.o \Q О
р..
О
......
.:i'
.... . =.... .
tI:t о =tl:t O
ф:r1 ::r :;!
I I :;! :Е = It: I ;::l. :Е :s1
O;::l. =
11 ФО g.:Q
11 = t е- 11 11 =
(,);::l.
:Q ф t:a:::
t:a:::Ф:;! =1:!II t:I:
.., = Ф (,)o=
:s: =: t:a::: =;::l. =: =: O *
:rJ
Q = фgФ = = ol
t;: I ct! :r1 о р"' = :r1
Ф Ф
i:Q \о ct! ct! c:s I Rt
rn I Q,) \о IS:(,)0:Q \с
р.. Ф Ф Ф
о 1=: 8 t:I . t:a:::
11 о О о . = =
c:s O;::l.
= 8" 0= :?с! (,)
fo< :Q о ... »ОфФ
о blJ ::Q ФО» blJ ::а ::а 1I!tr'tr'
fo< = '"' 8
1:.) .w .tI 2' f; .w
ct & ,.Q ""
t:r I=t I = c:s,.Q:
= о !S::.
О =(,) 1::( (,)Cf)I::(::r
» 0= О » »S-
1:1 rt == Ф
!. i:&1 ::zI I'"'
= I:t..l:fiE= = = е;
1::: Q. Ф 2' I ф81
I::t о 1::: 1:1
'"' I:{
а:
ts: .
1:1::
а; .
f::a:
Е 1:1:: <:"
Р..:Е м'о
:<:0- .....:
Cl$a; i5' I
rofo<
O
Q,) . \
м ..
t,,')
G."I{'
550
.9
rJ}
'->
11
.......
э-
о I.I? 8 !'- 8 C'J
r:-- r:-- "'l
6 о "<i ..,...
о Lf:) о о
I.I? Ф "! g
o 6 ..,... I.I?
..... ...... ....I .....t
о C\I 8 00 о с'\}
"" I.I? .
o о С'\}" .... о lf':I.
с'\} ....
о C\I о 00
с'\} Lll J,) C'\I
О о о Lr) I.l')
...... о ":::1'1.
............... ............... ............... ..,... ....
Lf:) .... 8. ф / '
о с'\} 00 /V';)<::::I
6 О ...... о о C'\I ..... ....... <::::1 -.:t
............... о C"":i. .. -.;j-.
...... о о C\I u-; ......
о ...... о:> 00
o о. о о
............... ....
tj ....
t:S .... ....
.... t:I .:;
t:I
11
IS:I IS:I'.'
Er
." fJ:! IS:I
.... , ::Q
.. IS:I =
Q.. II I "'"') Е-< (.)
Q.. mi:i:la=:
t:I 11 ::a (.) = 1:1:1
М <:><:> , fE
=: t:I::S<:> Q,
I 51
=:"'"') (.)
'а5 IS:I . =:
= '.IS:I=:IS:I
<:> (,) IS:I tIi
Х 'а5 g
E-< р" Ф
::Q g <:> (,)
3cc..Q
CQI::{I:f'
g ::Q ::а g
<:> :g I <:>
IS:I
= =
[ » I
t:: r..::a ::a
:;;
ь.о
.....
ч::
!':J "
,
551
6
11::
6-
н
C :з
i:":I
09= н I!:
:Ж:: ';п .Q
f/) 1:::
3: О t!:
\с (,) I Ео<
:::1': ?>
ФС
Е: fЗII:: э- '-") а.. :t:
<:.> t.JC\1 11 I t!:
'8:1> 1:::
U 1::{
I I ,,
с
ct,)
с .
11
t::1 t!:
I!: cs
Q)
::r:: t!:
с\1
:з
?> I!:
С .Q
е
е:: g
с со
f-o t::
t.J
с\1 t;:
р" 2t
I I
::с;
11
::t!Is:'Ct: cs
ё о E-<(,)g= Q)
r:{
=0 ::е
11 11 О I d'
I Ii О = E-< "'IJ:i
;:;:: "'"') (,)
I ф . ct: 11
t::: cq t::: .; Е-< ct: := ...
cq:= ::::: = .....
Is: := "'"')(,)=Ф
+ = + Q)
Q) = О Q,) tr' 1:::
t!: =tr'Q,) ?>
::r:: \о ,.j \о ,.j Е-< Q,) (,) :i!1
Q,) Q,) "'"')0(,):=
с
О О . ..Q = е
с\1 ;;:: I ;;:: 0i::i:::f
g
?> Q,) Q,) Ом CtI о-
З ::t! ::а С-::»В'ф
e-o= Ео<
= blJ = blJ 2
е:: "'" "'" r... :=
с ............... ::а == Е-< 1:::
Ео< О ...... =: ...... ::а I = Q)
t.J t::{ I Е-< (,)(,) Q,) r:{
с\1 » Q)
::r' О
о- cq о- ... t::j
t:: ;;:: ;:;::::а ::s с
I I I :st :з
f-o
cq cql:f"::e::1:l с
Е: cq Е: O- = Ео<
"'"') t.J
,.j Q,) Q,) о- C1S
Е: ,.j f t р"
'-")
Q)
:з
l;
G)
11 =
== Ео<
:ж:: t.J
Q) \о
I::: 8
t::j= ....
i:E .
::::12. :5
C1SQ)
Eo<
C\1t.J "t 10
::Ii1 Q)
t.J Е:: 1:::
U
552
Т а б л и ц а 44
Частотные уравнения и собственные формы попере'lНЫХ
колебаниЙ стернше ii ПОСТОНlIIюrо с ечения
Парни частот
lIoro уравне-
ния ·
Схема закреплс-
ния стерiННЯ
Частотное
уравнсние
i I hil
Собствснная Форма
колебаний
1 О
2 4,730 9 (z)==(ch Н СОБ kl) Х
р ( EJ 3 7,853
1, . СОБ kl . сЬ kl == 1 4 10,9!Ю Х (БЬ kz + sin kz)
l 5 14,137 (shkl sinkl) Х
Х (сЬ kz + cos kz)
i (2i 1)
fJf[J 1 3,142
2 6,28:3
t / :t
sin kl == О 3 9,425 9 (z) == sin ks
l 4 12,566
i i7C
1 4,730
fJf[J r- 2 7,853 9 (z)==(sh kl sin kl) х
СОБ kl . сЬ kl==1 3 1 О, 996 х (сЬ kz СО:3 kz)
l 4 14,137 (сЬ kl СОБ kl) Х
i (2i+1) Х (sh kz Si11 kz)
2
1 1,875
. p f EJ 2 4,691 9 (z)==(sh kl+sin kl) <
.1 cos kl. сЬ lcl== 1 3 7,855 Х (chkz coskz)
l 4 10,996 (сЬ kl + cos kl) х
i (2i 1) х (sh kz sin kz)
1 3,927
, , p f [J 2 7,069 r.p (z)==(sh kl+sin kl) Х
:t tg k l == th kl 3 10,210 Х (chkz coskz)
t 4 13,352 (cb kl + СОБ kl) Х
i 1t . Х (БЬ kz sin kz)
4 (4 +1)
о
3,927
7,069
10,210
13,352
4i 3
4"""""" 1t
2
· (k i l)2 V EJ h V EJ
Собственные частоты опре еляют по формуле ,. == ==
rAe т.. pF. 2,,/1 pF 2п т '
fJ r; [ J
f !
*'
tg kl == th kl
1
2
3
4
5
9 (z)==(ch kl+cos kl) х
х (shkz+sinkz)
(БЬ kl + sinkl) Х
Х (Cll kz +- СОБ kz)
553
Т а б л и n А 45
Корпи частотных уравнений поперечных RОJlебанип
стержней ПОСТUЯllНоrо сечения на упруrих опорах ,'.
Схема закрепления стержня
['рафик для определения
. кОЭффициентов /! 1
I<t l Асимптота
5 при k l ::3. 9265
,
p O
200 [5
&l
f}
6
8Я
It
О 500 1000 Р/
krt
It
)
2
о
50
100
Р/
t
p FP
#
250
500 .cl
tJ
{kl)2 l/EJ /i.2 V FJ
· Собственные частоты Оllределяют 00 формуле / == 21tl2 ' V pP .... Пi'
еде m == рР.
554
Продолжение табл. 40
Схема вакреплеНИlI стержня
I'pафик для определенин
коэффициентов kl
t
p a
r
l {
. f[J
, с
0';7
3
2
1I
f 2
О 200 400 fY
{, {1
, s t + ' . т JJ...
, 1 2' L LJ+L2
11 /, . [;07 0.8 а9 1,0 :.
;
'0 2 4 б ·
555
Т а б л п ц а 46
Корни частотных травнениit поперечных IЮJIебаниii
стержней постоянноrо сечения с сосредоточенными
массами т*
Схсма стерiННЯ
!'рафик для определеННR
коэффициентов kl
t: р{ О т
-
M
fEtНffi
о 20 40 т
jF[
k 2 l EE1m б9Ч
4,5 '
а5
, О 5 10:ift
"
в5
м
815
1,5
I<,!
J(
z
-f
I
pf[J r;7
о
20
40 2/rl.
k 2 L
-4
т P( [J т
kt {2 f t, ]
1,5
0,5
О 2
Таб.'Iпца 47
Значения неIЮТ()РЫХ интеrралов, встречающихсп при расчетах
1I01lсре'lНЫХ lюлсбаниii стсржнсii (rfi i-я сuбственная форма
lюлсбаниii )
1 1 1 {
Схема зщ,рспаСШ1l1 ..!.. \' 'ii и.У t \ 2 1 j" (у;) 2 dx S "
стерilШfI i "I . 'f i dx {3 (Yi)2dx
1 ,
О О О О
1 O,6JG6 0,5 4,9343 48,705
2 О 0,5 19,739 779,28
А ,) 0,2122 0,5 44,41 ;3 3945,1
,)
4. О О,;) 78, 55 12468
.'> O,127J 0,5 123,:П 304.10
O,8't't!) 1,0:\3\) 12,775 518,52
2 О O,H т'. -13,977 :}7!)7, t
3 О,:;О,'Л 1 ,()()()() '8,!) 0 Н619
4. О 1,0000 171,.'i8 :;9940
5 O, :Ht/ 1,0000 26't,Ot 89t:i8
1 О,!Н47 0,1!JU6
2 0,()586 0,5010
А ,) 0,2361 0,5000
,)
4 0,ОЗI0 () , 5000
5 0,1<164 0,5000
1 1,0667 1,8556
2 0,425:2 0,9639
3 0,2549 1,0014
4 0,1819 1,0000
5 0,1415 1 ,0000
5,5721 118,80
21,13 t 1230,40
47,017 54:3:3,0
82,4б2 15892
127,79 369О8
8,6209 22,933
20,176 467,97
77,763 3808,5
152,83 14619
205,52 39\)40
537
Т а б л п ц а 48
Собств{>пные частоты поперечных lюлебапиii стержней постпянноrо
сечеНЮI наrр жснных продольными силами
Схема стержня
1:06ствепная частота колеGаниi\
p a
{
N
ыl
0,562 V EJ ( 5Nl2 )
t 1 jr рР 1 + 14Е}
t р(О
, q \
/ == () ,. п2 1I E) ( 1 + )
1 l'}. рР 8Е}
pF[J N
.L :r
7t i 2 I Z::J I N l2 )
/i === 2 l2 \ 1 +
рР i 2 n 2 EJ
r л а Il f} 20
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ДЕЙСТВИЮ
ПОВТОРНО-DЕРЕl\I Е i r ных НАПРЯЖЕНИЙ
112. Явление усталости материаЛО8
Vсталостыф материалов (в частности, металлов) называется ЯIJЛ"'-
ние разрушения при r.шоrо:кратном повторепии паrружений. Способ-
ность материалов сопротивляться разрушеuию ври повторпо-перемеп-
нык напряжениях называется вЫflосливостъ/Ф
Jltame риала.
Усталостное 'раЗру'шение наблюдается
при наличии одной из следующих особен,
ностей наrрушения:
1) при MHoroRpaTHOI\1 наrрушении одно-
ro зпа:ка, шшример, периодичеС:Кll изме-
пяющеrося О1' нуля до МaJ\симума (рис
335, а);
2) при MHoroRpaTHoM IIаrрушении, пе-
риодичес:ки изменяющемся не ТОль:ко по
веЛIIчине, но и по зпа:ку (зпа:копеременнос
наrру;:кение), :коrда на БЫнЩШИВОСТЬ мате.
риала одновременно о:казывают ВЛИЯllие JI
повторность и переменвость наrружения.
При этом различают симметричное lIarpy'
жение (рис. 335, б) и lIесиммеТРИЧНОf>
(рис. 335, о, е).
. Для раарушения от усталости педо-
ста точно перемеНI\ОСТИ uапряжен ий. Н р,.
обходиr.lО таиже, чтобы напряжения имели
определенную величину. М аксималъное на.
nрлжепие, при r.omopoJ1t материал способен
сопротивллтьс.'l" не раарушалсь, при любом
проиаволыю большом 'Числе пО6mореllИЙ наr:ру;жений, N а 8 ы в а е т с.Ч
п ре 8 е .7 () .1( в bl /( () с л и в о с т и и л и n р е д е л о м у (; т fl л о С т u.
у сталостпый излом металла имеет
хараRтерный ид (рис. 336). На нем
обычно можно наблюдать две зоны:
одна из пих (А) rлад:кая, притертая,
образоваВlIIаяся 'вследствие постепен-
Horo развития трещины; друrая (В)
:крупнозернистая, образоваnruаяся при
о:кончательпом изломе ослабленноrо
развивmейся усталостной трещиной
сечения детали. 30на В у ХРУПI\ИХ ма-
териалов имеет :крупно:кристалличе.
с:кое, а у вяз:ких ВОЛОкнистое строе
ние.
Мехапизм обра:ювания трещин при
повторно-переменпом напряжении весь-
Ма СЛОЖell и не может считаться ПОЛ-
Рис. 336.
6 V\/V\
f
а
б Ь\ f---:\ L
\ j 'C1 ' t
б h . /\ /'\
'-/ V \. :
Б Vv\A
е
Рис. 335
559
НОСТЫО II;IУЧСШILШ. Па пссо:.шеппых ЛОЛОiI\еппй теории усталости
1I1OilШО ОТllICТIIТЬ слсдующис:
1) Ilроцессы, прОIlСХОДПЩIlС в J\ШТ?,рlIaJlС ПJ lI повторпо-псрС:\lСIlНОЫ
lIal'РУЖeJIИИ, носят реЗRО выражеппыи меСТlIЫИ харантер;
2) решающее влияние на явление усталости до образования пер
вой трещины ОRазываlOТ насатсльные наПРЯЖСIllIЯ, вызывающие пла-
стичесние сдвиrи и разрушеПllе путем среза. Развитие усталостных
треЩИll УСl\оряется при наличии растяrивающих напряжений П У.
плаСТИЧlIЫХ, и, в особенности, у хрупких материалов (типа чуrупа),
в КОТОРЫХ Ilоявлеппе ТРСЩlIlJ отрыва "шачнтелыю повышает чувстви-
тельность :к растяrиваЮЩIll\l напряженпям.
Предел ВЫlIОСЛIlВОСТII определяют эксперимснтально на соответ-
ствующих llСIIытатедьных машинах ПУТС.\l испыташlЛ парТIIП образцов
IIЗ данпоrо материала в :количествс пе мепее 6 12 штун. Предел
выносливости зависит от l\lноrих фаRТОрОВ, в ТО.\1 .чИС.1С от формы и
б
б
р
rJ
Рис. 337
размера образца или детали, способа ее обрабоТIШ, состоянии поверх-
НОсТlI, вида напряжешюrо состояпия (растяжспие сЯ\аТIJС, нручсние,
IIзrиб), закона из:\юисНIШ наrРУЗI\И во времени при испытании, темпе-
ратуры п т. п.
В БОЛЬШИlIстве случаев псременпые напряжсI.lИЯ, вызывающие
разруmеШlе от усталости, прсдстаВJlЯЮТ собоЙ функцию Bpe eHII
а == f (е) с периодом, равным 1'. СОВОНУПI.lОСТЬ всех апа'lrнпЙ lIапряжений
за одии псриод называется ЦU1iЛО.tt напр.<tжеIlUй (рис. 3:П, а). На вели-
.чину предела усталости оказывают ВЛIIЛlше маНСИl\IаЛЫIЫС (Ртах) и
l\Iипимальпые (Pmin) наПРЯЖСlIПЯ ЦIШ.1а. ОСIIОШЮЙ харантсрпстИIЮi.i
ЦПЮlа является 1iоэффициент aCulItlltempuu ЦU1i.tа
Pmin
r == . (20.1)
Ртах
Различают таюне среднее напряжеltuе ЦUпла (рпс. 337, б)
PI1mx + Pmin
Ре == 2 (20.2)
п а. tnлuтуду цur;,Ilа
560
Ртах Pmin
Ра == 2
(20.3)
Среднее напряжепие цинла может быть нак положительн м, таи
и отрицатеЛЬНЫ I; юшлитуда цинла определяется аБСОЛЮТRОIl вели-
ЧИllОll (без учета знаRа).
В соответствИи с (20.2) И (20.з), очевидно,
Ртах == РС +- Р а ; P m ln == Рс Ра'
Наиболее опасным нвлл:стсл: так называемыЙ СUJltмеmрuчный цикл
(I\оrда Ртах == Pmin И РС == О). при нотором
Pmin
r == ............... == 1.
Ртах
Предел усталости при симметричпом ЦIl1ШО обозначается ерез P 1'
При пульсирующем цик.!е, ноrда Pmin == О,
О
r == == О,
Ртах
а продел ВЫIIОСШIВОСТИ обозпачают через Ро. При ПОСТОЯННQЙ наrру'З-
НО, l\оrда Ртах == Pmin == р,
r == .J!... == 1.
Р
В самом обще 1 случае при Rоэффицпепто асимметрии l' предел
усталости обо;шачают через Рт' 13 чаСТПО 1 случае, например, при
l' == 0,5 предел усталости обозначают Р o 5' ЦИRЛЫ, имеющие ОДII-
пю{овые хараRтеРИСТИRИ ", называют подобпЫ';tu. ХарюпеРПСТIша ЦИRла,
или 1\оэффициент аспммеТРИII, может меняться от 00 до + 00 (см.
tабл. 49).
Следует иметь в виду, что в случаях, коrда речь идет об уста-
JIОСТИ при растяжении сжатии или изrиGо, Шlесто обозначениЙ Ра'
Рс' Ро, Ршах' Pmin И т. д. необходимо использовать обозначения
соответствепно аа' ас, ао, а тах , a min И т. Д., а в случае расс;\ютрения
сопротивлсния материалов действию повторпо-пере:мепных Rасатель-
пых папряжепий (при цнкличеСIЮМ Rручешш) следует ПРlшеlIЯТЬ
обозпачеПIIЯ '"а' '"с' '"о' '"тах' '"min И т. д. '
113. Методы определения предела выносливости.
Диаl'раммы 'сталости
При испытапии материала на ВЫIIОСЛИВОСТЬ чаще Bcero ИСПО.1Ь-
зуют rлаДIше ЦИЛlIНДРllчеСIШО образцы ДIШ lетром 7 10 .ШИ.
В зависимости от вида действующих в образце 1I0BTOpII0-пере-
:МСШIЫХ напряжепий (растяжения сжатия, пере:мешюrо ИЗfпба,
перемепноrо кручения), а такжо хаРaI{теРИСТИRИ Цlшла (Rоэффпциен-
та аСШll\1еТРИII r) :шачепия предела выносливости будут ра3ЛI1ЧНЫ!l1И.
Поэто [у, ставя перед собой цель получения предела ВЫНОСJIИВОСТII
материала, Со1едует зараlIее указать, при НaIЮМ ВИДе деформации
(изrи()е, Rрученип п т. п.), а таI\же при каком харюпере измеПСНШI
напряжений за ЦПКJI, т. е. при каном зпаченип r, требуется опреде-
лить предел выносливости.
В соответствии с поставленной задачей выбирают испытательпую
MHU ину. ДJIЯ испытания на усталость при llзrибе ПРlшеllЯЮТ МDШИНЫ
5lil
(рис. : 38), В которых цикличеСlше сш.шетричные паПРЮНЕ'Пi\Я В испы-
туемом образце вознинают за счет вращения образца, паrРУЖСШlOfО
у]{реплеIlНЫМ на :конце с ПОМОЩЬЮ шарIШОnОI'О подшишпiна rру;юм.
Число оборотов в l\IИНу'ТУ таних маШIlН обычпо составляет O!{OJl(} 3000
(50 ец). Современные усталостпыо машины,
в частности машины с маrНIIТОСТРШЩИОП-
пыми вибраторами для испытания при
растяжении сжатии, ПОзволяют произво-
дить испытания при частотах порядна
10000 20000 щ.
При испыташш партии образцов с
целью определения предела выносливости
необходимо обеспечивать в отдельпых
образцах разлпчные напряжспия ДJIЯ вынв-
лени я закономерности измепеппя числа ЦИЮlОв до разрушепия при
тех или иных уровнях напряжений. .
Обработка получаемых ЭRспериментальных данных осуществляется
путем построения -кривых усталости, часто пазываемых 1'>pllBbl/ttu Bek
лера (РИС. 339).
:!
. rpYJ i
Рис. 338
I
6 1
О
....
б ь
LqN
N
Рис. 339
Рис. 34.0
Н.рltnая усталостн строится но ТОЧI\аl\l D ]{оордипатах: максимаЛЫlOt'
напряжение цикла Рта х (а тах или 'С тах ) число цИlШОВ до разру-
шения N. Rаждой точне соответствует ОДИll разрушиl3ШИЙСЯ образец,
проработавший N ЦИНЛОВ с задаппым Ртах' .
По мере снижения напряжения образцы выдерживают до разру-
шения все большее число ци:клов, а нривая усталости Ртах == f (N)
как бы приближается н некоторой асимптоте, параллельной оси
абсцисс N. Число цинлов, при котором нривая усталости практи-
чесни начинает совпадать с асимптотой, может быть принято за баау
испытания на усталость, т. е. за "акое число циклов, превышепие
RoToporo при данном напряжении пра:ктичес:ки не должно приnодить
К разрушению образца. Таним обра:юм, бааой испытания на выносли-
вость нааывается наибольшее число пoвrпopHo-пepe.мeHHЫX llаеруженuй,
существенное превышение 1'>отОР020 не 8о.ажно приводитъ 1'> усталостНЫ/tt
раарушения.м испытуеJIWео об рааца при aaHHO.llt напряжении.
Для черных металлов (сталь, ЧУfУН и Т. п.) В инженерной прак-
тине за базу'; испытапия принимают 10 млн. цинлов; для цветных
металлов (медь, алюминий и т. п.) . база испытания R 5 10 раз
больше, eM для черных металлов.
Б некоторых случаях, особенпо для цветных металлов, нривая
усталости в lюординатах N, Р медленпо стремится н асимптоте, по-
этому базу испытапия приходится выбирать значительно б6льшей.
Б таких случаях вообще трудно rоворить об истинном, тан называемом
физичеСRОМ пределе усталости,' ПОСНОЛЬRУ та:ковой праНТlIчесни отсут-
ствует. rОilОрЯТ об условном преДРJlе усталости, понимая под пим
562
маКСЮfaЛЬПОР напряжепие, при нотором пr ПрОИСХОДИТ разрушение
при осущестплешш ОПР_ЩСШ'lШСl'() lIаперед заданпоrо LШСJIa ЦИRЛОВ,
ПрИПИмаеl\10rо за базу ИСПЫТaIШЯ.
Кроме построения первичных диаl'рамм усталости, в Rоординатах N,
а тах при растяжении сжатии 11 иэrибе или в Rоординатах N, 't max
при иручении эти дию'раммы строят также n полулоrарифмичеСRИХ
ноординатах Ig N, а тах (рис. 340) или 19 N, 't max ' В этом случае пре-
дсл усталости будет хараитеризоваться ординатой rОРШlOнтальноrо
участка кривой усталости.
Нак показывают М1l0rочислепные испытания на усталость, для
пеноторых материалов l\IОЖПО заметить следующие соотношения между
пределаi\1И выносливости при СИ:\lметричном цикле, полу,qенными при
Ilзrибе a 1' иручении 'C 1 и растяжении сжатии а:' 1 на rлаДRИХ
образцах. Для стали a 1 == О,7а: 1 ; для чуrуна a i == 0,65а: 1 , 'C 1 ==
=== о ,8:J 1; для сталей и леrRИХ сплавов 't 1 == О,55а :1' Замечено так-
же, что для стали существуют следующие соотношения уиазанпых
проделов ВЫНОСЛИВОСТIJ с временным сопротивлением при растяжении:
:; 1 === О,28а в ; a 1 == О,4а в ; 't 1 == О,22а в' Для цветных металлов
C 1 == (0,24 0,5) СВ'
ДиаrраМ'f8 предельных напряжении. Для характеРИСТИRИ сопро-
ТПВ.'Iяеl\IOСТII материала повторно-перемонным напряжепиям при раз-
:шчпоЙ асимметрии цикла строится таи называемая диаарам.ма пре-
дельных папряжен.uй (рис. 341) в иоординатах а тах , a min ас (диа-
,! раЖ.лtа С Jttuтa).
Рис. 341
Рис. 342
Ординаты ИРИВОЙ САВ диаrраМl\IЫ соответствуют значениям пре-
;\елов устаJIOСТИ (маисимальпым значениям напряжения) при различ-
ной асимметрии ЦlIRла, которые берутся из первичных диаrрамм
усталости.
- TanreHc уrла наилона луча, проведенноrо из начала координат
. O пср(-'сечения с предельной кривой САВ и образу,ющеrо J rол
е осью абсцисс ас, будст:
а тах 2а roах 2
tg Р == == === 1 + r .
ас а тах + a min
(20.4)
563
Дпаrрашrы предельпых напряжений обычно оrр:ншчиnают в верх-
пей части предеЛО 1 прочпости или пределом теJ\УЧССТИ материала.
ПримерпыЙ вид диаrраммы предельных напряжениЙ, оrраниченной
пределом текучести "С т ' для случая цикличоекоrо кручения, приве-
ден на рис. 342.
Дню'раммы предельных напряжений можно строить также в KOOp
дпнатах аа ас (auaepaMltta Хейл). В этом случае (рис. 343) TanreHC
уr;r:ш , образоваllноrо лучом, проведонным из начала координат,
е предельной кривой будет выражаться так:
аа "тах amin 1 r
tg === === === .
ас amax+crmin 1+r
Для оценки СОПРОТИВДЯСl\ЮСТИ матеРllала rroвторно-переменпым
наПРЯiI\еНИЯ 1 при сложном uаlIрЯ
жеНI-lO 1 состояпии, llапрнмер при
совместном деЙствии ЦИI\ЛичеСRоrо
и;!rиба и I\РУЧСШIR, ИСIIОЛЬ;!УЮТ
соответствующи уста.;юстные ма-
(20.5)
о
Рис. 313
РИС. 344
типы, позволяющпе подучать ИIIтересующее нас напряженное co
стояние.
На рис. 344 приведены результаты ;жсперимонтов С rлаДЮIМИ
образца ш при различпом сочетапии пере lенных НОр IaЛЪНЫХ (а) И
касательных ('t) напряжений при СlПrмеТрИЧНО:'1 ЦIш.'Те. Через a l
И "C 1 оБОЗllачены пределы выносливости соотвстственно только при
изrибе н только при кручешш, а V a И "С а предельные амплитуды
при одновременном действии ИЗfпuа и кручения. икспериментальпые
данные rрупп:ируются около RрШЮЙ, которая с достаточной степенью
ТОЧllОСТИ может быть аIIПРОI{спмировапа для конструющонпых сталеЙ
дуrой иру ra (рис. 344, кривая 1), ОПИСЫI3ас IOЙ ураППСШlем
( a J 2 + ( 't J 2 === 1.
(20.6)
Д.ТIЯ высокопрочных сталеЙ If чуrупов экспериментальные дапные
располаrаются ближе к ЭЛЛlllIти:ческим Дуrам (рис. 44, нривая 2).
В СJIучае симметричноrо цикла с соблюдение 1 синхронности и
спнфuзности напряжений условие прочпости в амплитудах rлавных
напряжениЙ в соответствии с третьей теорией прочности запишется
так:
(аl)а (аЗ)а === a l' (20.7)
а по четвертой теория прочности в виде:
[('l)a ( а 2)аР + [(а2)а (а З )а]2 + [('З)а (:JI)a]2 == 2a 1' (20.8)
564
При сложпом папряженном состоянии, харaJ\терпзуемои COB:\recT-
ным Действием циклическоrо изrиба и кручения, условие прочностп
(20.8), С у'четом соотношения a l :::= -I3't 1 будет иметь вид
V 2 ( a 1 ) 2 2
аа + '" 1 '" а == a l'
(20.9)
Зто условие совпадает с выражением (20.6), вытекающим из ЭI\сперп
.\IенталыIхx данных.
1 и. Влияние на предел ВЬПlOсливости материала
IЮНСТРУI\ТИВlIO- т еХНОЛОl'ических факторов
Влияние I\онцентрации напряжений. Напбольшее В.1ПЯШlе на
предел выносливости ОRазывает RопцеI1трация папряжепий, степень
I\ОТОрОЙ характеризуется теоретичеСЮIМ коэффициентом RонцентраЦИJl
а. (см. Э 27). Нан поназывают ОПЫТЫ, предед усталости обра:щов с кон-
l еIIтраТОра:\Ш напряжениЙ P 1H оказывается БОЛI.>ше вычислеllllOrо
!Iерез теоретическиЙ RоэффицпеllТ I\ОнцентраЦIIП а., т. е.
P l
P 1H <р' 7.
Поэтому наряду с теоретпчеСКЮI :коэффициентом I\оПцентрации вве-
дено ПОIIятие эффективll020, ШШ асйствитеЛЫ{1J20, 1iоэффицuеllта 1>оп-
це1lтрации k. Эти Rоэффициенты обозначеIIЫ тю\: Д.тJ:я нормальных
напряжений
k ==
::1 a 1H'
для касательных напряжениЙ
k _ 'C 1
, .
'C 1K
rде a } и 'c } пре;:I,СЛЫ выносливости, полученпые при действии
цикличесюrх IIop:\ra.'1bIIbIX и J\асательных напряжениЙ "а rлаДЮIХ
образцах; a 1H и 'C 1H пределы выносливости образцов с I\ОШI,ентра-
торами напряжениЙ.
ПраRтичеСIШ она;Jалось удобнее определять эффеRТШНIыii НUJффН-
цпент концентрации через так llазывае.\IЫЙ r.оэффицuент чувстви-
теЛЬ1l0сти материала !{ концентрации папряжеНlIЙ
k l
q== a. 1 '
( 20. 1 О)
RОТОРЫЙ зависит от 11f\тсрпа.1а, а такше от Rо;эффицпентоn Q'J; k cr ;
С1.а при пормальных наllРЯЖОПИЯХ или Q,; k,; а., при насательных.
Для определения I\Оэффициснта чувствительпости q в JIIITepaType
шrеются rрафиrш (рис. 345). 3иая q, а тю,;ке теоретичеСЮIЙ коэффи-
циент J\ОIIцентраЦИll наJ/ряшеIIИЯ С1., можно опр('делитr. соrласно
(20.10) эффеI{ТИВНЫЙ коэффициент J\ОIщеllтрации k по фОР:\lу.'Iе
k==1+q(:x 1).
(20.11 )
565
Для материаЛR. чувствительноrо к концентрации напряжения,
коrда q --+ 1, k --+ а. Для \Iaтериала. по qувствительноrо к конц\ш-
трацн 11 напряжения, коrда q -+ О, k -+ 1.
Влияние концентрации напряжений при сложном напряженном
состоянии оценивается на основе испытания образцов с нонцентра'
торами и получения соответствующих диаrрамм (рис. 346), которые
аналоrи'IНО диаrраммам, приведенным для rладких образцов (рис. 344),
описываются эллиптичесной зависимостью
( ) + ( ) 2 == 1.
а 1и 't fK
qб
0,4
о
40
80 100 64$
xr;HMt
Рис. 345
(20.12)
'(ак
'C 'к
0,8
0,4
о
0,4
8 бак
б t!(
Рис. 346
('де а.... 1и . 't 1и пределы усталости при симметричном ЦИRле для
обраsцов с Rонцентраторами ТОЛЬRО при пзrибе и толы,О при I\руче-
нии соответственно; а ак' 't аи амплитудные значения напряжений
при одновременном синхронном и синфазном изменении напряжений
при сложном напряженпом состоянии и различных сочетаниях пере-
менных нормальных и (шсательных напряжений.
Влияние размеров (масштабный фантор). Эксперименты пока-
зывают, TO с увеличением размеров образца предел выносливости
падает. Это снижение обычно учитывается с помощью HeRoToporo
коэффициента, обозначаемоrо, например, примени.тельно к нормаль-
ным напряжениям тан:
( a 1)a
e
(1 (a l)do)
(20.13)
rде (l1 i)do...... предел выносливости rладкоrо лабораторноrо образца
диаметром d o == 7 -+- 10 M.:4t; (a 1)a предел выносливости рассматри-
ваемой детали диаметром d> d o . Поскольну (a 1)a < (a 1)ao, то, оче-
видно, "Коэффициент 6.ttuяния абсолютных раз.J.tерО6 е а < 1.
При наличии концентратора влияние масштаба оценивается так
же, как и для rладких образцов с помощыо I\оэффициента е аи :
(cr 1И)d
Е и == ) (20.14)
а (а 1и d n
сде (а 1И)d и (a 1H)do пределы выносливости детали и лаборатор-
Roro образца соответственно. На рис. 347 приведены кривые зависи-
500
:\юсти е == f (а). Эдесь кривая 1 соответствует детали из уrлеродистой
стали б з КОНЦЫJТраТОfа, l\рllвая 2 детали ИЗ леrированной стали
(а в == 100 --+- 120 ,.r/MM) при отсутствии концентратора и из уrлеро-
диетой стали при налюши концептратора; кривая 9 соответствует
детали из леrироВ8ННОЙ стали при наличии концентратора; кривая 4
для любой стали при весьма большой концентрации напряжений
(например, при концентраторе типа надреза).
Снижение предела усталости
с увеличением разморов особонно
сильно выражено унеоднородных
материалов. Так, например, с уве-
личением размера образца из се-
poro чуrуна о 5 + 10 мж ДО 50 м.м
снижение а в и G i может достиr-
нуть 60 --+- 70%. Для уrлеродистой
стали увеличение диаметра образ-
ца с 7 мм до 150 м.м приводит к
снижению предела выносливости
примерно на 45%.
Кроме эффективноrо коэффи-
циента концентрации (kr:J d для образца вводят понятио ффе'Ктив..
ноео 'Коэффициента 'Концептрации папряжений для детали (ka) д' у'ЧII.
тывающеl'О одновременно и размеры и концентрацию:
(G I)do
(ka) Д == ( ) '
G...fи d
Е
1,0
48
46
0,4
10
200
d,t1M
. Рис. 347
(20.15)
Если ( a)d определяется на образцах достаточно больmоrо диа-
метра (коrда -' дальнейшее увеличение диаметра мало влияет на (ka)d)'
то
(cr :1Jd
(k) ==
а Д (ta)d (G 1И)d
2
К5
СХ5
м (t!tв)M
1
О D,1 0.2
#=2; d"JO 50MM
O,J
(ka)d
(ea)d .
(20.16)
2
тт&
r
d
6 б =50
О о,! 0.2
5=2; d=JO 50MM
0.3
Рис. 348 Рис. 349
Влияние концептраторов паIlРШШ:НИЯ существенно зависит от вида
напряженноrо состояния. При циклическом кручении. например, коэф-
фициепт I\Опцентрат,ии оказывается более низким, чем при изrиб
при той же форме концентратора. Это видно, в частности, 11;] рис. ;1118
и 349, на которых приведоны значения эффективных коэффициентов
567
концснтраЦIIII для ступснчатых валов с rалтс.1ЫО соотвстственно ДЛR
нзrиба 11 нручешJЯ. Соотношснпе МСЖДУ h:, If kJ .\10JI<СТ быть вред-
стаВoI1епо формулой
k, == 1 + 0,6 (kJ 1).
На рис. 350 приведепы rрафшш, хараI{терИЗУIOщие эффективные
Jюэффициепты КОIlЦСlIтращш при растящеШIII сжатии. Из rрафи-
IЮВ (рвс. 31t8 И 350) впдно, что значе-
НlIЯ эф,ректиnпых ноэффициентов при
растпжешш сжаТlIИ UССIЮJlЬКО пре-
вышают ТaIювые при П:3rибе. Более
IlОШlЫе даШlые о НОЭффl1цпентах НОН-
центраЦИII II ЧУВСТВlIтелыюсти :к кон-
центраIЩll наПрЮКСIШU llриведспы в
1I ршlOЖРШШ 2.
В.'1ишше СОСТОЯНIIИ поверхности.
[f а преДСJI ВЫПОСЛIшости существеппоо
1l.1I1ЯШlе ОI{азывает состошше повсрх-
ЕIOСТII дрталп шш обрuзца. Это обълс-
D,б # пяется TCl\I, что на IЮRСРХПОСТИ почти
liсеrда ЮIСЮТ мссто дефс.кты, связанные
с каЧССТllО l се l\lсхюшчес]шй обработ-
ЮI, а таЮI\С с Iюрро;шеu ПОД ВJшяпи:е:\I
о.крушающеii среды. ПОЭТОl\IУ усталост-
вые треЩШlы,IШ]{ нраюlЛО, начинаются
с повсрхности, а плохос I\ачестnо послсднеii ПрПВО;:I,ПТ I{ СIшжеuию
предела усталости.
Влияние Iшчестnа механической обрабоТIШ ПОl3еРХПОСТII па ВЫНОС-
ливость 10iЮЮ оценить llОКОТОрЬШ КОЭффИЦIIеиТО:\1 -< 1, который
palleH отношению предела nыиОСЛIШОСТII lIспытуемurо образца с Оllре-
делешюu обрабОТI\оii Ilоверхпостп к пределу ВЫllOСШIВОСТИ тщательно
Кб
СХ{)
1,8
1.0
о 0,2 0.3
12= 2 ' d;30 50MM
d '
Рис. 350
jJ
J3л
),4
I?О 68,
Н(/ММ?
0,4
0.2
40
"(
60
80
100
120 I3 g ,кr/ин z
Рис. 351 Рис. 352
ОТIЮ.тIПРО13ашюrо образца. Па рис. 351 ПрП13сдепа зависимость коэф-
фициента от пред.ела нрочности для ра:шичных видоn обработки
поверхности стальных обраЗЦОll. н: ривая 1 соответствует полирован-
IIЫlН образцам; кривая 2 llI.ТШфОllапным; I{РИllал 3 образцам с тон-
кой обточкоп; кривая 4 обра:ща l с rрубui'1 обточноЙ; Rривая 5 с
паличием оналиuы. И:J rрафика тцио, что при rрубоЙ обточке пре-
дел выносливости сиИif\ается па 40%, а при наличrlИ ОRалины па 70%.
ВлrrяшlO RОРРО;НШ В процессе ИСПЫТiШПЯ на предел выносливости
при ротациопном изrибе ПOI{азапо в ВIIде rрафиков на рис. 352, rде
по оси ординат отлошеuо значение Rоэффициента
a 1
I( == .
a 1
568
пыражающоrо отношСние предела ПЫНОСЛIIВОСТИ норродированпоrо
образца 1 н Прl'ДСJIУ I3Ыl!ОС.'IIIВОСПI liолироnанноrо образца a 1' а по
осп абсцисс Bpe ICHHoe СОПРОТJlшн'нпе материала исследуемых образ-
цов. Нривая 1 хараJ\теризует ШIIIЯШI(' J\ОррОЗИИ В пресной воде при
наличии нонцентраторов напряжсниЙ: J\рипая 2 в преспой воде при
отсутствии концентратороп 11 в !lЮрСI\ОЙ поде при паличии концентра-
ЦIШ; привая 3 в морской поде нрп отсутстппп I\Онцентрации.
Влияние пауз. На пр(',Т"(сл выносливости пиеют влияние паузы
(перерывы наrРУЖСIIИЛ). ИrrОI'да за счет пау;з чпсло ЦIШJIОR до разру-
шения увеJlИчивается па 15 20(%. УВ(,ЛИЧСlше числа ЦIIRЛОR те:\1
больше, чем чаще паузы 11 чем опп Д.ТIIIТС.'Iъпее (последний фактор
плияет слабее).
Влияние переrрузOI\ (паrрузок, б6льпн1:Х предсла выпосливостн)
па величину предела выносливости заПИСIJТ от характера переrрузо1С
При малых переrру;шах до опрrделеllноrо числа циклов усталостная
прочность повышается, при БО.1ЫIШХ переrрузнах после определен-
1I0ro числа ЦИЮIOВ ПОНIIшается.
Влияние треIlИРОВI\П. Ес.'1И создавать в образце папряжеIIИН не-
MHoro НИ/I\е предеJIa выносливости, а зате I постепенно п х у величи-
вать, то сопротивлеШJе усталости материала может быть су щестпонно
повышено. Это явлепие, па:IЫlш(':\юе трснироВlЮЙ материала, ШИрОI\О
используется в теХl!lше. Особоrо эффекта можно достпrнуть при
постепеННШI увеличении псреl'РУЛiИ. При этом упрочнение !\южпо
получить при сравнпте.1ЬПО KpaTJ\oBpe:\IeIlIIlIX треНПРОВI\ах (порядна
50000 циклов), НО прп СIlЛЬПlIХ переrрузнах.
Влияние температуры. IIримеНlIтелыIO н обычным КОНСТРУIЩИОП-
пыl\f материалам повышение темпрратуры прпводит к СJшжепию пре-
дела выносливости, а снижение температуры н повышению выносли-
вости нак rлаДI\ИХ обра:щов, тю\ и образцов с :hонцентраторами.
Для стали при тсмпературе выше 3000 С с се повышением на
нашдые 1000 С продел усталости па ает на 15 20%. Одпако для
некоторых сталеЙ с ПОВЫIl1Сlшем Те:\ш('ратуры от 20 до 3000 С наблю-
дается некоторое повышсние предела усталости. Это повышение,
ПО-ПИДИМО:\IУ, сшпано с фИ3ПI\0-химичеСIШI\IИ процессами, протекаю-
ЩЮШ в материаJIе по однопремеПlIЫМ воздействием температуры
If цинличесnих напряшепиii. Влияние концентрации напряжепий на
выносливость, IШ1{ правпло, с повышением темп ратуры уменьшается.
При ПОIIНIJ\РППJI те:\lПсратуры от 20 до 1900 С предел выносли-
вости у пеI<ОТОРЫХ сталеii увеличивается более чем вдвое, хотя удар-
пан вязность при ЭТОМ существенно падает.
9 115. Расчет на прочность при ПОВТОрIIо-перемеНIlЫХ
наl'рузках
При простых видах дсформации деталп, работающей при сим-
:\IOТРИЧНОМ ЦИIше, наПрИl\lСр при ЦIIJ\Л1IЧеСI\Оl\f растяжении сжатии
пли изrпбе Il фаJ\ТПЧС'СЮI деЙСТВУЮЩеМ знакопеременном папрюне.
ппи аа' запас ПрОЧПОСТII l\IOiIШО оuредС'лпть по формуле
( 1I\)ll
lla== '
а
rAo (cr lJ{)d........ предел ВЫПОСШlВостп дета.'1П при растяжении-сжатии
пли изrибе, который может быть определен по проделу выносливости
лабораторных полирuвапных образцов (cr l)(lo' с учетом эффективноrо
lюэффициента концептрацпи (kcr)d' масштабllоrо фактора €o' состояния
569
поперхпости
rами В 11 И'
п среды, характеризуемых, соответственно, Jщ'}ФФпциен-
по формуле:
( ) (a l)(l
а...1к d == (ko)dEO H
в случае СJIОЖНОl'О напряжен ноrо состояния c orJIacno
.. I 2 [ (a 1H)d ] 2 2
(G.-.1И)d == V аа + ('t 1K)d 'Са
или соrласно (20.6)
(20.9)
2 2
аа 'Са
+ ==1.
(a...1K)d ('C 1K)d
( 0.17)
Тоrда, имея в виду, нто
(a 1H)d
п==
а аа
и
('t 1H)d
n1:== '
а
на основании (20.17) будем иметь
1 1 1
п2 .= 2 + ""'2 ·
Па n1:
отКуда запас прочности при сложном напряженном состояппи опре-
делится формулой
Па' п'!:
n== V 2 2.
Па + n'!:
в случае опредоления запаса прочности при асимметрюIНОМ цикле
11 любом виде циклическоrо наrружения (изrиб, растяжение...... сжа-
тие, кручение) можно исходить из
схематизированной диаrраммы пре-
дельных напряжений для rладких
образцов (рис. 353), представив ее
в виде прямой, проходящей через
точки А 11 В С координатами О,
u
a i и ""2' ао, уравнение которои
I1меет вид
ао a 1
а тах == G i + а с == a 1 +
ао
2"
+ ( 1 2a 1 a о ) а
ао С
пax
I
1
Рис. 353
["де o...... коэффициент
цикла равен:
570
(20.18)
ба
tlли
а тах == G i + (1 ...... o) ас, (20.19)
нувствительности матерюша к асимметрии
,1, == 2a 1 ад
'1'0 .
ао
(20,20)
При действии Rасат<,льtIых uапряжепий уравIН'НИС предrльвой
r,ривоil Iaксимальвых uапрюксппй по аналопш с (20.19) будет IlМСТЬ
вид
't max == 't 1 + (1 ф,) 't c . (20.21)
Значения коэффициентов 7" и Ф't дЛЯ сталей с разлИ!IПЫМ вре-
менным сопротивлением приведсны ниже:
а в , ,.r/MM 2 0/" ф
35 55 О О
52 75 0,05 О
70 100 0,1 0,05
100 120 0,2 0,10
120 140 0,25 0,15
Предельная аМПЛI1туда напряжений для rладкоrо образца на
основании (20.19) мошет быть выражена формулой
Оа == а тах ас == cr i ...... 7"а с .
Предельпая амплитуда папряшений для детали (craK)d будет
аа a 1 о/оа о
(ааИ)d == (kо)д == (kз)д
с
Рис. 354
(20.22)
'11
Рис. 355
а уравнение кривой предельных напряжений для детали (рис. 354)
может быть записано в виде
a 1 [ 7" ]
(amaX)d == (ааИ)d + ас == (k )д + 1 (kо)д а о .
(20.23)
Для определения запаса прочности детали, напряжение в которой
на диаrрамме предельных напряжений (рис. 355) характеривуется
ТОЧКОЙ М с координатами а а , ас, необходимо найти координаты
ТОЧRИ N, находящейся па пересечении луча, ВЫХодящеrо из начала
координат, с КРИВОЙ предельных напряжений для детали. Координаты
571
точт\П N опr(' е.тJ'ЛТСЛ lJЗ СОШlеСТRоrо расс roтреНIIЛ уравпетшй I\рИDОЙ
(ШШIIII) AN предеJ1ЬНЫХ наПрНiкенпii дал др-таЛIl
(:J:пах, K)d == ( J + [1 (k ) д] a (20.24)
II уравнения луча
а
а == а' Lrr1 . а' с '
13'1{ ас с ь,
(20.25)
rде штрихаМII оGо нID.'1()ПЫ Т('I,ущие Т,ООРДllпаты.
Ордината ТОЧIШ N, .тI(тшщеii на lIереСС'IСIIlIII ПрЮIЫХ AN И ON.
будет одпа 11 та же, т. е.
(J;nax, H)d == а:пах'
или
а..... 1 , [ a ] ' а mах ,
(ka),T т 1 (kа)д ас == ас,
oТI yдa паХО;:Щl\I аuсциссу точки N:
a (k ) [ amaxa 1 1 + ] ==
д ас (k )д
Учитывая, что Са == а шах ас, по.'IУЧИ:\1
a l ас
(k )цаmах а с (k )д -+ aac
, a l ас
ас == (k O' ),( аа + '}a:J'c .
Подставляя это 3Ш1.чеппе a D (20.25) и обозначая эту ордппату
(ar'nax) Rерез (crпд d' получим
(20.26)
a l а шах
( а тк) d == (k ), cr + u а
о' ,.с( а ' о' с
Таким образом, окончательное выражение ДШI запаса ПРОЧПОСТlI
запишется так:
(arK)rf a l
n
а а тах (kО')дG а + O'ac .
Аналоrпчно при Iiручеппи
n == 't 1
, (k,)Д't а + +-;7с
(20.27)
(20.28)
При СЛОШНО:\I сопротпвлеПИII и lIссиммеТРИЧВОl\l ЦИ1\ле запас ПрОЧе
иОСТlI может быть опрсделен по формуле
Пап,
n== ,
V n + n
rде Па Н По; находят, соответствепно, по формулам (20.27) и (20.28).
Выбор запаса ПРОЧПОСТII при расчетах на действие повторно-
пере:\Iенных папряжениii зависит от точности определения усилиЙ
и напряжений, от ОДllОрОДНОСТИ материала, качества обработки детали
572
п ,n:руrих фаI\ТОров. При поныПIСПНОЙ точпостп опрсдеЛС>НIIЯ П(1ПРЯ-
il\СllИЙ (в чаСТllОСТИ, с ИСПОJlЬЗ0ваПllе:\1 теШ:!Оl\1стрироваПl1Я), одиород-
1101\1 материале и начеСТВСПIIОЙ обработне принимают запас ПРОЧНОСТIJ
f/ =:= 1,3 + 1.4-
Для обычноЙ точности ОПРt'дслепия усилий 11 умеренноп одно-
родности материала п == 1/1+ 1,7. При понишенной точности опре-
j\слепия УСII:ШЙ п паПРНiI\СIIпii, а таЮне при понюнеппой одпород-
IIOСТП матер пала п == 1,7 + :1.0.
Остановимся па ПОрЯДI\( пfJосюпиР()80Чll0Z0 расчета па вынослп,
!юсть, паПРIПlер, ШТОI\а поршпrUОL'О ДВllr(1те.'1Я, ноrда дапы наrруан:и,
;\сiiСТВУЮЩllе на прОСI\ТИРУСМУЮ деталь (Р шах И р min); задап мате-
рllал, т. е. известны а в , а т , a l' Уа; п;шсстна техполоrпЯ обраuотни
;\еталп; известеlJ тин I\онцсптратора (lIреДПОЛОЖIШ, задан диаметр
1l0перечноrо отпеРСТJJЯ в детали о) 11 требустся онределить раамеры
l(с>тали. При решеПlI11 постап.'1СIшоlt ;задачи прежде Bccro устанав:ш-
ваlOТ опасное сечение дета:ш, HOTOpЫ I, очевидно, будет сечопие в
место Rонцептратора. Тан ка!, соотношеПШI диаметра отверстия НОН-
I(l'птратора и ДИа:\lCтра самой детаJIИ нсизвестны, следует задаться
тсорстичесюш ]\ОЭФФИЦl1ентом !\Опцентрации <1а И для даппоrо матс-
риала по известному (ав) 11:1 rрафпка (рис. 345) при даппом <1(1 опре-
l е.'1ИТЬ коэффициент чупствптслыlстиII материала R RонцентраЦИII
напряжсний Qa' а затем по формуле
(k cr )(l == 1 + q" (аа 1)
пайТII зпачение ЭффЫ\ТIIВПorо I\оэффицпепта I\опцентрации. Из rpa-
фllI\а (рис. 351) па ходят ;шачешю коэффициента , характерпзующеrо
I,ачество обработки поверхности. Задавшись ноэффициеНТОl\l €, учиты-
вающим размеры, определяют эффентивный ноэффицuент I\онцептра-
ЦПIl дета. 1 IИ
(k ) (ka)d
а Д Ер .
3aTc f, задапIППСЬ
п == a 1
а (kcr)}[cr a + '-;)cr<J с
ноэффшщептом запаса прочности па' по фОР lуле
cr lF
р p. р +р.
( k ) . шах mш + ' тах ШIП
а Д 2 Уа 2
пnходят площадь ПОJlrречпоrо сечепия детали
п [ Р p. р + р. ]
F == ( k ) шах шш + I тах mш
a l а Д 2 '-( 2
u се ДIIa leTp
а== l/ .
r 7t
По Оf,ОllчаППII расчета пеобходимо ПРОВ('РИТЬ правильность выбран-
поrо ноэффиJtиепта Е по rрафину (рис. :147) при известном теперь
диаметре детали d. n слуqае резноrо расхождения получепноrо зна-
чепия € с принятым ранее расчет веобходимо утоqнить.
В случ ае провероч//оzо расчета известпы форма и размеры детали
(преДПОЛОЖЮI, рсчь идет о круrлом ступенчатом стержне, подвержен-
HO ! осевой повторно-пере:\оfенной наrРУЗRе с заданной асимметрией
цикла); aдaHЫ максимальный диа lетр d и радиус занруrления r
в месте сопряжения ра:!Ных диаметров вала; известен материал детали
573
(а Н' G T , -; 1) п l\эчесТlЮ ее :\f( ХafШЧССI\ОЙ ()nрnf\ОП,1I ТрсGуr.тся опре-
делить ДОПУСI\аемое усилпе, I\OTopoe МOiЮП ВОСНрIПJIIl\Ш'IЪ деталь.
Решать поставленную задачу следует в таном порядне:
1. Установить теоретиуеСI\ИЙ I\оэффициент концентрации а о , поль-
зуясь, например, rрафиком, принеденным на рис. 350.
2. По rрафИI\У (рис. 345) найти Iюэффпциепт чувствитеЛЫЮСТ[1
к концентрации напряжений qa'
3. Определить эффективный lюэффициент концентрации
(ka)d == 1 + qa (<Ха 1).
4. По rрафИI\У (рис. 347) найти коэффициент влияния абсолютных
размеров Е.
5. По rрафику (рис. 351) определить коэффициент , учитывающий
I\ачество обрабОТI\И поверхности.
6. Найти эффективный RОЭффИЦИОНТ I-\опцентрации uапряжеППll
для детали
(kO)d
(kа)д == .
7. Задаться коэффициентом аапаса прочпости по,
8. Определить амплитуду папряжений, исходя 113 формулы
п a l .
о (kа)д аа + фаа с ·
,. a 1 1
"'a
па ас
(kа)д + Фа'
а
Обычно для неl\ачественных сталеп Фс; == О, ТоrДа
a l
а а == па (kа)д .
9. Определить допускаемое амплитудное усилие
т;а 2 a l
р а == F minO'a == т пo(ka)Jj, .
10. Найти среднее усилие
1+r
Pc==Pa 1 .
r
Н. Определить максимальное и минимальное усилил n:шша
Р шах == Р а + Р с;
P m1n == Ршах . r.
Наконец, рассмотрим noрядоуь определения вапаса пРОЧ/-lости
для вращающеrося I\руrло ro трубчатоrо вала с поперечным от-
верстием для смазки О, испытывающеrо перемепный IIзrиб при
симметричном ЦИl\ле с заданным М'шах == Ма совместно с пере-
мевным крулением с М кр шах при известuой асимметрии цикла r.
574
Известен Rару шый D и пнутренний d диаметры пала, материал Iшла
(ав' (JT' a l' 't l)' fl таЮ1\t' качество механическоii обработки поверх-
HOCTlt вала.
Задачу следует решать в тан,ом порядк :
1. Определить номинальные напряжения в вале от иаrиба и I\p '-
чения ( 46, 50):
М тах
alll:t\ == ;
а а == а тах , ас == о;
М НР тах
"С шах == V р
't min == r't max .
't max 'tmin
"Са ==
2
't max + 'tmin
't c == 2
2. Определить коэффициент концентрации при изrибе при извr-
о
стном D (рис. 173).
Э. Определить по rрафи:ку (рис. 345) ПрИ найденном а" и извест-
ном а в I\оэффициент чувствительности к концентрации напряжений qo
и найти эффективный I\Оэффициевт I\онцентрации при изrибе
k" == 1 + qJ(a" 1).
4. Выбрав по rрафику (рис. 347) Е, а по rрафику (рис. 351)...... ,
определить эффеКТИВIlЫll fiоэффициент концентрации для детали
k
а
(kJ) Д == € .
5. Определить запас прочности при изrибе по формуле
n == a l
J (kа)даа + ФJас
a l
(kJ)д О'а
(так как для рассматриваеМОl'О случая ас == О).
6. Установить I\Оэффициент концентрации при кручении Cl-r.
а также, прппяв q-r QJ' определить эффектшзпый коэффициент НОН-
центрации при нручрнии
k-r == 1 + Q (а,!: 1).
Приняв те жо Зllачеппя Е п , :что и при иаfибе, найти эффен-
тивный коэффициепт I\онцентрации для детали при кручении
k't
(k't)Д == Ёf'
575
7. ОПРСДСЛИТ" :шпас ПРОЧПОСТИ ПРИ НРУЧСПИП
п == 't l
't (k..:)д 't a + ,'te
8. Вычислить общий I\оэффициепт запаса прочности
паП,
п== .
1/ 2 2
V па + п,
т а б л и ц а 49
ХараRтсрисrИIШ ЦПIШОВ повторно-перемеllноrо наrружснця
НаИ:'vlеноваппе ЦИК:Ia
Ртах: Pmin
Pmax+Pmin
'{ic == 2
Ра
PтHx Pт:n
2
Pmin
r==
Ртах
Постоянный ПОЛОЖИ-
тельныЙ
I Р
J Lt
Ртах == Pmin>O
РС == Ртах ==
== Pmin>O
Ра ==- О
Несимметричпыii
ПО.rIожитеЛЫIыii
р
ПУЛЬСИРУЮЩИЙ
положительный
t\ / J I.c
НесюаfCТрИЧНЫЙ
576
Ртах> о
Pmin>O
Ртах> о
Pmin == О
Ртах> О
Pmin < О
Ре>О
Ра =1= О
1
Ре == 2" Ртах
1
Ра == "'2 Ртах
Ре>О
Ра =1= О
r == +1
О, .... r
r==O
1<r<O
п ро80.1жение табл. 49
"'е =о
}Jшах + PmllJ
2
'mш
l J m ax
Наименование цикла
Ртах; J!min
Ршах 1)mlIl
Ра -=
2
Симметричный
Ршах == Pmin РС == О r == 1
Pmin < О Ра == Ртах
IIРСJlММI?ТРИЧПЫЙ
Ршах > О, РС <О
f1 ш iп < О 00<r< 1
t Ра =1= ()
J Рта'. < I Pmin I
Пульсирующпй
отрицатрльuыii 1
Ртах == О Ре == l fi ШIII
t r == oo
п Pmin <О 1
Р?- == 21 Pmin I
НССИ1\ll\ЮТрIlЧПЫЙ
отрицатсльпыii
tпzt Ртах < О Ре <О
Pmin < О Ра =1= О +1<r
е::,:, 1:
ПостоянныЙ
отрицательныЙ
Ртах == Ршiп ==
j P t !ima.x == Pmin<O == РС <О r==
J L Ра == О
I
<+00
+1
19 5-118б
577
r л (1, 8 (1, 21
РАСЧЕТ ПА УДАРНУЮ ПАrРУ3RУ
116. Расчет на удар при oceBO дсiiствии нзrРУ31Ш
Влияние ударноrо действия паrРУЗJ\И па IЮлпчппу дсформатщи
или напряжения принято оцепивать коэфrflициептО.1t диllа.ttиЧltостu
Од
kд== . (21.1)
ОСТ
rДе ОСТ дсформаn:ия упруrоrо элсмспта (рпс. :-156, а), при статпч('-
сном прпложсвии ваI'РУ3IШ Q (прп постrПt'IIIIОМ УЩ'.lIIЧI'ПIII1 lIаr'ру;ШТl
"' ?\ от пуля до е(' I\ОIl!'ЧIНН'() ;Jfr3'1l'IIIIЛ); 0;( де-
I Х I фор нщпя (рис. : 56, 6) "[JII YiHIPIlOM ПРИ.'10же-
пии наrРУЗЮf (пр<,;що.101ЮШ, при па:LСIIИII
::t:: rруза Q с высоты П).
Дипаl\III'1('СIШЯ дефорызнr!л l\ЮЖI:'Т быть
пыражспа Ч('РС3 стаТIJЧ('СI-\УIO ФОlщулuii
<cs'
Од == k}J CT
1
По апаJIоrип 'CTaIfOB/"1 еня,н, Щ'iI:ДУ дина,
l\шчеСЮIМ п стаПIЧI'Сl\ll \1 lIaJ!рю:.I'IIIIНl\Ill:
Q
ад == kдcr ст === k;l У
(21.2)
а !5 Чтобы восполыюватьсл ФОР IУЛОЙ (21.2),
Рис. 356 неоБХОДЮIО ;JH3Tb I\ОЭффllI{IIСIIТ ДIIIIЮШЧНОСТII
k JI ,
П pll опрсделеШl1I IЮЭффIIIJИ рпта ДII 11 [\:\111 ЧIl ос 1'11 IIСХОДЛТ IIЗ допу-
щения, что свлаь ,между уси.ШЯ.Шl u де(fjирлацltJ/.ни сохранлетСJl оди-
наковий как при статuческой Р СТ' та}, и nрl! дuпQ.ЮlЧССJ;Ой Р il на;;руз-
,ax, т. е.
Р СТ
ОСТ === 7
Р д
Од == "7"
EF
rдо с === 1 жсстность стержпя.
I3ывод ФОРМУЛЫ дЛ л опредсления Rоэффициепта динаМПЧПОСТll
па:шруется "а аю\ОНI' сохрансния эперrПII. И:.J:\IOН('IIП8 потсuцналыIйй
Э нерПf (J ПОЛО;.!,('IIIIЛ l'руаи т при eI'O па:Ц'ПIIИ с высоты Н и прохож-
AeUHl1 пути II + Од будет
т == Q (Н + Од),
(21.3)
573
ПотеПI иальпая эперrпя деформации стержпя, паиоплеппал при
ударе. МОiИСТ быть выраЖl'113 форыулоii
2
1 с8 д
U д == '2 р д д == 2" . (21.4)
На основании ЗaJюна сохраНСНIIЯ эперrип запишем
т == Ид
IШИ
2
с8 д
Т == Q(Il + Од),
(21.5)
Имсл ввиду, что ОСТ == !l... . уравнонис (21.5) можпо представить таи:
с
од 20 ст д 20 ст Н == О.
Отсюда опрсдслим пспзвсстную динамичсс кую дсформацию
д == ОСТ :!: V O T + '20 ст Н'
Удсрживая в соответствии с фпанчсски.м смыслом аадачи знак ПЛюс,
последнюю фОРМУ.'IУ МОЖС 1 предстаШJТJJ n ВИДС
од == ОСТ (1 + V 1 + : ) .
Тюшм обра:юм, в СООТВСТСТВПИ с (21.2) находим
фицпеllта ДИНЮIИЧlJОСТП:
V
k д == 1 + 1 + .
СТ
(21.6)
выражение ноэф-
(21.7)
v 2
Если учесть, что Н == 2ii (и скорость паДающеrо rруза в начале
удара), получим
k д == 1 + V 1 + д 2 . (21.8)
ОСТ
2Н == Qv 2
ТЮ, ЮШ 1) и' rде То == QH ==2 g юшетичесная ЭIlерrил па.
СТ СТ
дающеrо rруза К МОМСIIТу' соударения; U СТ == QOCT потенциаль-
ная ЭНОРl'ИЯ дсформации стержня при стаТПЧССКО 1 прпложеппи на-
rРУЗIШ Q, l\ОЭффИЦIlОIlТ ДИllаМИЧIlОСТII мошuо танже выразить формулой:
V То
k д == 1 + 1 + U .
СТ
При Н == О k д == 2. посколы\,, нак правило, Н 8 ст , ТО В йь;раже-
нпи для k д lOiЮIО препсбречь едlПШЦСЙ по сравнснию со B'l'OpblM
СJIаrаемыМ. То! да НОЛУЧШl
V '21[ V ;2 V J';
k д 1 + а == 1 + r == 1 + u.
ет СТ СТ
(21.9)
(21.10)
19'"
579
ДШliНШЧ('Сlюе Н3ПJШ/I,('ШJ() прп ударе соrласно (21.2)
CJ == 11; cr == а ( 1 + V 1 + 21I ) ';:::, Q + V 2QllE .
д ; С r СТ ,
ОСТ F IF
Дппаl\IИ чеСl\ая Hal'pY3l\a ПрIl ударе
р == cr F' == k cr F' == Q ( 1 + V 1 + '2.1I ) .
д д д СТ 8 ст
Из апаЛИil3 формулы (21.11) ППДIlО, что при palllloMepuoJt распреде-
лении lIапрлжепий по длипе стеРЖl/Л, т. е. },оеда сте ржен.ь UJteem
постОЛllll0е сечеllие, веЛUЧUllа дuпа.ми-ческих пап РЛJН:еllU й за висит пе
только от площади попереЧJlоео сечепил стеРЖШl Р, IШI, ЭТО имеет
место при действии статичеСI\ОЙ наrруаl\И в сТатнчсснп опреД('ШI:\IЫХ
системах, но и от ееи д ли нь! l и .модулл уп руеuстu . щте риала Е. При
это;н, че.Ч больше об"ЬеJt .материала, пoOeepeaeMOiт удару упруеоео
стерЖIlЛ, meJ! Jtеньше вО31lиr.ающuе в ue.At дU7lG. tu-ческие uапрлжеllUЛ.
С друrой СТОрОIIЫ, снижение напряжениЙ врп ударо в стершпе
с ВЫТОЧI\оii l\Iожет быть достиruуто путем уменьшеНIIЯ объема упру-
rOI'o ЭJIеМf'пта за счет уменьшения ПJIOщаДIl утол-
щенной части 1I увеличения тем самым дсформа-
Q тпвности стержня. ЭтоЙ же цслп l'vlОiIШО Достиr-
нуть, взяв материал с более Шl31ШМ !\fQдулем
:t: упруrости; выравняв площадп IIопеРСЧIlоrо сече-
ния по ДЛИIlО стержпя; увеличив ДJШПУ стеРЖIlЯ;
а таюне путем DIшючеlШЯ буферных врушин.
Учет массы стершня, lIснытывающеrо удар,
можст быть осуществлен в предположешIИ, :что
после СМЯТIIЯ 11 СIIIlжешIЯ СfiОрОСТИ rруза на
перnО:\I этапе от v ДО и1> равной с]\орости дви-
жения BepXlIero сеч ('пия стершвя в начале BToporo
этапа удара, Cl\OpOCTb НШfiелешащих сеЧСIIUЙ умепь-
шастся по лппеiiuому закону, падая до пуля
IЗ IIПil\llем сечении (рис. 357), т. е. снорость в
JlIоБО:\1 сечешIИ стержня па расстояuпи х от
Рпс. 357 ШliШlоrо 1\0Ilца будет
(21.11)
(21.12)
х
v(x) ==VIZ'
Соответствующая юшеТПЧССI\ая ЭlIсрrия элеl\1снтаРIIОIО у'частна
стсржня длиноii dx в рассматриваеМОl\l сечении будет
I FdX ( Х ) 2
dTc== V1Z '
а ПОЛlIая шшотичеспая ЭlIсрrпц ударяеl\10rо стержня может быть
IЗыраШСl1а формулой
или
2 !
т с == : . : х 2 dx == 1
о
2
и 1
тg.
т
C 3
2
иl
2g '
80
rде Qc == '{ Fl собствеппый вес ударяемоrо стеРЖIlЯ.
Выразим потерю эперrИIl на омлтие материала в месте соударе-
нпя rруза и стержня в течение первоrо этапа удара (коrда скорооть
изменяется от v == V 2gB до v 1 ) формулой
Qv 2 ( Qv Qov ) Q [ 2 ( Qo )]
I1T== + == V2 Vl 1+ .
2g 2g 3 . 2g 2g 3Q
(21,13)
Эту ,не потерю энерrии можно выразить так:
Q 1 Qo Q [ 2 ( Qc )]
!::"т == 2g (v и 1 )2 + "3 2g (О и1)2 == 2g и 2 2VV1 + иl 1 + 3Q . (21.14)
ПрираВIIЯВ правые части формул (21.13) и (21.14) и решив получен-
ное уравнение относительно иl' найдем
v
и1 == Q .
1+
3 Q
(21.15)
Таким образом, кинетическая энерrия, которая при ударе переходит
в ЭIIерrию деформации ударяемоrо стержня, будет
2 2
Q V 1 1 Q ои1 Qv 2
Т == 2g + 3" . 2g == ( 1 Q (' ) .
2к 1+ ЗQ
Подставив в (21.9) вместо То пол еIIное значение Т, выразим
коэффициент динамичности формулой
k д == 1 + V 1 + J .
. СТ
(21.16)
П;Ш
'1 f Qv 2
k д == 1 + V 1 + ( 1 Q c ) ,
2к 1 + 3 . Q иСТ
.
Учитывая, :что 2g == Н; HQ == ТО, а также, обозначив Q == , фор-
мулу (21.17) перепишем в виде
k. 1 + V 1 + ( т о 1 ) '
иСТ 1 + "t
Максимальное напряжение при ударе определится фОр IУЛОЙ
(21.17)
(21.18)
ад == kдcr от == а ст ( 1 + V 1 + ( То .!.. ) ) ,
иСТ 1 + 3
IJЛИ
[ V 2EFH ]
ад == а ст 1 + 1 + ) .
Ql ( 1 + .! Flj
3 Q
581
3П<lченшr l(оэФФпциепта, учитыnaющеrо faccy ударяемоrо эле-
меНТа, для некоторых частных случаrп прппедены в таб.1J. 50.
117. Напряжение при СI\ручивающем ударе
в случае ударпоrо нруqенил, осуществлле юrо, предположим, по
cxe [e, приведешюй" на рис. 358, маКСЮlальные динамические напрл-
шешlЛ в пале 't д опредслятсл по фор-
ЗдесЬ Н высота паденил rру:за; Q вес падающеrо rруза; R
радиус RрИlюшипа; 1 длина вала. J Р' TV p IIолярuые МОМСПТ
иuерЦИII 11 момент сопротивления сечения В8.1а.
ДинамиqеСЮIе напрлжсния, nозшшающнс в валс при резком
торможении быстро nращающеrосл махоппка (рис. :159), IJмеющеrо
запас юшетичсской энерrии ТО,
МОЖНО наЙ ти. также исходя из за-
кона сохранеuил энерrпп
То == ИД'
rде И д потенциальнал энерrпя
деформации BaJIa при ударпо.м кру-
чении.
Имея в виду, gTO
777.
Рпс. 358
муле
't ==k't ,
Дтах Д СТ mаХ
(21.19)
rде
k д == 1 + V 1 + ll . (21.20)
СТ
J1 кр! QR2z
ОСТ == H == GJ p R == GJ p ;
м кп QR
'tCTтax JV p == W p '
(21.21)
Рис. 359
2
1 МКР.дl
Ид == '2 М кр . дСРд == 2GJ p ·
и у'читывая, gTO
или
(21.22)
't Дmах
М кр . д
---w;--
пd З
М ир. д == 't Дmах . TV р == 16 'tдmах: ·
можно эаписать
't;max:1t 2 d 6 l 't;max lF
Ид == 162GJp' 2 == .
582
(21.23)
ПодстаВПR (21.23) R (21,21) и реШIlВ ПО;:IучеПlIое уравпепио ОТНО-
сительно иско:м:оrо :м:аксималыюrо динаМllческоrо напряжения, получим
2 V TrP 21 2
"С Дтах == ТF ' ( . 4)
rде кинетичеСIШЯ эперrпя маховика вссом Q, вращающеrося с уrло-
вой скоростью 00, определитсл формулой
ТО == ; ( )2 == ; 002; J == 2
(п диаметр маховпка).
118. Расчет на удар при изrибе
ЫаксЮ\ншьпые ДlIнюшческие папряжешlЛ npIJ ударпом изrибе
l\IOrYT быть определспы по фОРllfуле
cr ==ka ,
д шах Д СТmах
rде
k === 1 + V 1 -+ '21I
д { ст
иСТ статическпЙ проrпб в месте удара, зависящиi1 от схемы паrру-
жеllПЯ и условий оппрапил).
В случае удара посрсдине оашш с
пзrпбноii жесткостью ссчения EJ Q
(рпс. 3ОО) получим
QZЗ Л1 Ql
f CT == 4 8EJ · аСТmзх === W === 4JV ' ::t::
:>:
а макси ш.nъпые lщнамическпе напрл-
шспил в TOM случае будут
а == k tJ === [ 1
;Т:шзх .\ СТ шзх 4 1У +
+ V 1 + J(jg[ .J ] . Рпс. 300
Обозначив QH == ТО' будем Шlеть
cr == !Е.. ( 1 V 1 + 96T II EJ ]
Дmах 4JV + (12[.1'
(21.25)
Тсловие ПРОЧПОСТII в ЭТОМ случае ааПIIШСТСЛ так:
== ( 1 + V 1 + jl'r,HJ ) ' r'
:1111;]\ tiTV (j2l.j [ л 1 .
(21.26)
1' O
от
[tJJ
д n д
(п,1 запС'.с ПРОЧIIОСТП с учетом ;rJ;ипаll1ичсскоii па rРУЗI\II, а т преД(,:I
текучести материала балкп).
58;
Учесть массу ударяемой балки можно, применив методику, рас-
смотренную при продольном ударе. Будем полаrать, что в конце
первоrо этапа удара скорость балки в месте падения rруза равна Vl'
Qv .
Кинетическая энерrия rруза, очевидно, будет равна 2i' Предполо-
iЮ11\1 также, что при ударе и при статическом приложении наrру:ши
(в нашем случае посредине пропета балки) иэоrвУ.тая ось балки
может быть описана одним и тем же уравнением
W == / 3 (3l2z ...... 4z 3 ),
l.
QZЗ
rде f == 48EJ стрела проrиба балки.
Обозначив величину маRсимальноrо проrиба посредине балки
через Штах' величину проrиба в селении па расстоянии z от левоrо
конца балки определим по формуле
ш тах
W == (3l2Z ....... 4z 3 ),
а скорость движония этоrо сечения........ из выражения
аш аш mах 1
v == == . (3l2Z 4Z3)
dt dt l3 .
'-
Кинетическая энерrия элемента балки dz, находящеrося на рас-
стоянии z от левоrо конца балки, будет
dТ б == v 2 ,F dz == ,F [ dW max . (3l2Z 4zз) ] 2 а!
2g 2g dt za '
а кинетическая энерrия всей балки определится формулой
1/2
Т 2 r ,F ( dW max ) 2 1 (3l 2 4 3 ) 2 d 17 1 Fl ( dW max ) 2
б == .) 2g dt 16 z....... z z 35 . 2i dt ·
о
Поскольку, В Rоице nepBoro этапа удара СЕОрОСТЬ посредине балки
равна Vl' т. е.
аш тах
dt ==Vl'
"-
то кинетическая энерrия балки в начале BToporo этапа удара будет
17 J.!!1
т б == 35 ' 2; и1.
(21.27)
Выразив потерю энерrии на смятие в месте удара за первый
этап в виде
Qv'l ( Qv 17 IFl2 ) Q [ 2 2 ( 17 1 Fl )]
T == g 2g + 35 ' 2g V 1 == 2i" v иl 1 + 35 . Q , (21.28)
584
или
6.1 ==!l.. ( V и 1) 2 + !2 IFl ( О V 1 ) 2 ==
2g 35 2g
Q [ 2 ( 17 1Fl )]
== 2i v 2vv 1 + иl 1 + 35 'Q ,
(21.29)
а затем, приравняв правые части уравнений (21.28) и (21.29) и решив
полученное уравнение относительно V1, наЙДем
v
и 1 == 17 IFi'
1+ зs '7j
(21.30)
Кинетическая энерrия системы (балка...... rруз), Rоторая должна
трансфррмироваться в энерrию деформации балки при ударе, опре-
делится формулой
2
Q V l 17 rFl 2 Qv 2 1
Т == "2" + 35 . '"2' иl == "2 . 17 Fl ' (21.31)
g g g 1+ ,L
35 Q
Обозначив
Qv 2
То == QH == 2i'
формулу (21.31) можем переписать в виде
т == То
1 7 "IFl'
1+ I
35 Q
(21.32)
Максимальпое динамическое напряжение соrласпо формуле (21.25)
после замены в НеЙ То на Т определится так:
Ql ( V 96TEJ )
С1 Дтах == 4W 1 + 1 + 7J2i3 '
пли с учетом (21.32)
С1 Дтах == kд(jст mах == 4 [ 1 + V 1 + 2 (6TOI J 1FI) ] ' (21.33)
Q [3 1 + 35 . Q
rдс
k == 1 +... /1 + 96T o EJ
д V Q2[З ( 1 + 17 . i F l ) .
35 Q
(21.34)
585
Таблица 50
Значсния lюэффициента , учитывающеrо массу ударяемоrо
9ЛСМСllта в формуле Iюэффициента динамичности
.. (' 2.Н .. / v 2
k д == 1 + V 1 t ОСТ (1 + а . ) == 1 + V 1 + gOCT (1 + а. )
II пысота падешш удаРЯIOщеrо тела; v СIЮрОСТЬ ударНIOщеrо тела
n ЫO !OHT начала удара; ОСТ дсформация ударяе:моrо упруrоrо эле-
мента lIрИ статичеСIЮМ приложении силы, равной БССу' ударяющеrо
Qэ Q
тела; == ([' rде Qэ;r вес ударлеl\Iоrо эшшепта, вес ударяю-
щеrо тела; g ускорение силы тяжести
Схе 13 ynpyroro элсмеllта I
и характер ero наrружснИЯ
586
tt
/
\
1/3
Fi
Fl +F2+ V F IF2
67
336
п роаолже1luе табл. 50
Схема ynpyroro 9.'1еМСlIта
11 характер ero наrРУil\СIШЯ
2 + 4'1) '1)2 61)3 + 3т,
105Yj2 (1 '1))2
dJQ
':t: ' 8 + т,:! (140 + 231'fj + 99'1)2)
" r;L 4 O (1 + 1;)3 '1)2
Е 105 105'fj + 35'1)2 2'1)3
, L 140,/2
':t: ' 24 24у; 4r;2 + 8'1/3 'У/4
L / ; ) YJ2 (5YJ 4 'fj2)2
\
)
б 3 + 1] YJ2
L . 140Yj2 (1 YJ)2
Q
Д [ . 1
15
. z
l l 11
2' '2
15
z ч3
r л а е а 22
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
119. Основные понятия и формулы для определения
ROHTaKTHblX напряжений и деформаций
Напряжения и деформации. возникающие при взаимном нажатии
двух соприкасающпхсн тел, пазываются onтa тnы.ми. Материал
'в месте контю{та, не имея ВОЗМОЖНОСТII
свободно деформироваться, находится
в объемном напряженном состояшщ
(рис. 361). Контактные напряжения
имеют чисто местный характер и весьма
быстро уменьшаются по мере удалеНIlЯ
от места соприкосновения. Контактным
напряжениям следует уделять сущест-
венное внимание при расчете на проч-
ность таких деталей, как шариковые
1 роликовые подшипники, зубча тые
олеса, колеса подвижноrо состава,
ельсы и т. п.
, Впервые правильное решение ос-
новных задач о контактных напряжениях и деформациях бы.тIO про-
ведено методами теории УПРУI'ОСТИ в 1881 1882 п. r. rерцем.
Ниже приведены некоторые формулы для определения контакт-
ных напряжений и деформаций, полученные при следующих пред-
положениях:
1) напряжения в зоне нонтакта не превыmают предела упруrости;
2) площадки K(I!ITaKTa малы по сравне-
нию с поверхностями соприкасающихся
тел;
3) силы давления, распределенные по
поверхности контакта, HopMa.fIbHbl к этой
поверхности.
Сжатие шаров. Радиус круrовой пло..
щадни а (рис. 362), образующейся в месте
контакта при взаимном нажатии силой Р
двух шаров с радиусами Rl и R 2 И моду-
лями упруrости материала соответственно
El и Е2' определяется по формуле
Рис. 861
V +
а == О 88 Р Е1 Е 2
, 1 1
+
1"(1 R 2
(22,1 )
р
Рис. 362
НОр faльные (сжимающие) напряжения на площадке коптакта
распреде.ТI(ШЫ по полусфере. Наибольшее напряжение, ИМеющее место
588
n центре плоmадки КОНТ:ШТЯ. м()жет быть определено п() :I'Ор\lуле
р J V E Е;
а з == I а тах I == 1,5 "'"""""""2 == о ,:J88 4Р
. ла (Е 1 + Е 2 )2
(R 1 + Н 2 )2
H R
(22.2)
a 1 == а2 == 0,8/ а тах 1.
Два друrих rлавных папршнешш в центре площадКИ равны:
Блаrодаря объемпому напряженному состоянию материала
в центре площаДЮI коптанта, при нотором всс три сжимающие
р
Рис. 363,
4
Рис. 364
\
напряжения практически о.riинановы, материал здесь может выдер-
живать без появления остa:tочных деформаций веСblШ большие дап-
ления, составляющие, uа-rфимер, COr.J1aCHO четвертой теории прочно-
сти величину а тах 15::rT' ДЛЯ стали, у которой а пц == 10000 1irjc.,t 2 ,
а тах достиrает 50000 KT/cJtt 2 .
Наиболее опасная точна в З0не коптанта расположсна на оси z,
на rлубине, равной примерно половине радиуса площадки касания.
rлавные напряженил в этоЙ точне равны:
ai == а2 == О,lВа mах ; аз == О,Ва шах ,
(22,3)
rде а шах определяется по фОРМУJlе (22.2).
Наибольшее касательное напряжение в опасной точке
аl аз
't max == == О,31а шах .
(22.4)
Максимальные шшряженил, ВОJНIшаЮЩIIе в площадке при Дав-
лении шара па llоrпутую сферичесную поверхность с радпусом Л 2
(рис. 363), ПОJIУЧЮI по фОР fуле (22.2), замепив в ней знак при R 2
па обратный:
V E E
а шах == 0,388 4Р
(Е 1 -+ Е 2 )2
(Л 2 R 1 )'J
п л
(22,5)
58
При ДRвлепип тара радиусом Н 1 == R па плоскость (рис. 364),
папрящсuпя определим по формуле (22.5), прнняв в пей R 2 == 00:
V . ,22
El Е 2 1
а тах == 0,388 4Р (Е 1 + Е 2 )2 . "fi2
(22.6)
Сжатие цилиндров. При взаимном сжатии раВНО:\lерно распреде-
ленноЙ паrРУЗ1\ОЙ q двух цилиндров, сопринасающихся параЛJIСЛЬ-
ПЫl\Ш обрааУЮЩНМII (рпс. 365), ширина ПрЯМОУI'ОЛЫЮЙ ШIOЩRДНИ
контакта опредсляется ПО формулr
b 2.15Y
1 1
y+'""7F""
I 1 2
+
Hl R 2
(22.7)
z
Рис. 365
Рис. :-366
Наиболыпес папряжение, Дсйствующ е R ТОЧНRХ оси ПЛОЩаДЮJ I(aCa-
пил, определяется фОрМУ.тIОЙ
q V Еl Е 2
а тах == 1,27 ь:::: 0,418 2q Е 1 + Е 2
Hl +- Н 2
Нl R'}
(22.8)
ОпасНая точна в зоне контакта находптся IШ осп Z па rлубинс,
равной О,4Ь. fлавпые папряжеПIlЯ в этой точке имеют слсдующие
значспия:
аl == O,180aтax; I
а'2 : О,288 а тах :
<Т:J О, 780а тах'
(22.9)
МaI,СЮ1а,Т{ьное насатеЛЫIOе папряжепие ь' опасной точне
't max == О,3а тах ,
(22.10)
590
ИзиеПИR в фОР:'lуле (22.8) ЗШ\I\ при R 2 па обратный. получим папря-
ШОllllе в СЛУЧi:l.е давления ЦIlJIИЩJ,ра lIa вurпут 'ю ЦIIJIиндрическуIO
ПOlюрхность
418 J I Е\ Е 2
а1l1ах == О, 2q Е Е
'\ + '2
Л 2 Н 1
П\ Н 2
(22.11)
п РIl взаIl.ШIOl\f ,rЩПJI 1Il1Il ЦШIIIllдра раДИУСО1\f Rt == R 11 ШIОСI\ОСТИ,
-приняв в (22.8) R 2 == 00, lIаiiдеы
V '2(/
ашах == 0,418 R
Jy.'\ Е 2
Е] + Е 2
(22.12)
ПривеДСНlIые пыше Фоr tyJlЫ получены Прll КОЭффИЦИОIlте Пуас-
сона (1- == 0,3. ИjJ,IНll,О в праlПlIчеСЮIХ pi:l.CrH'Tax они нрнrо;:щы и при
друrпх 3IIaчеlIJIЯХ 1J..
В общем случае IЮIIТ3Iаа двух тел lI:j ОДШIaI\Овоrо материала,
сжимаемых СИJюii Р в нанравлешш ОСIl z (рис. ;1()(j) 11 касающихся по
ПЛUСI\ОСТИ АВ, при раДllусах l,pJIJНI:JIIbl IIерIЮJ'О ТОШI Рl 11 Рl': птороrо
тела Р2 и р; (ПОЛaJ'аем, что Р. < Р{ Р2 < р;) ПОЛУОСII оБРi:l.:Jующейся
ЭЛЛШIтичеСI{ОЙ площадки КОIIтанта UlIределяются формулами:
( ,
а==а
: p (1 /J.2)
Е ( + + \ 1 + )
Р. Рl' f Р;
(22.13)
Ь I-V
;)р (! /-12)
( 1 1 1 1 ) '
Е + + +
р 1 Рl Р2 Р2
(22.14)
rде /-1 НОЭффИЦIIСIlТ Пуассона.
Нище приведены значения но;)ффициентов ct и кан фушщпй
вспомоrательноrо yrJIa ф, ВЫЧIIСШlе fOl'О по формуле
V ( 1 1 ) 2 ( 1 1 ) 2 - ( 1 1 ) ( 1 1 )
:f: , + ---, + '2 , ., cos 29
, , Рl Рl Р2 Р2 Р 1 Рl Р2 Р2
COS 'f == 1 1 1 1 '
+,+ +,
Рl Рl Р2 Р2
(22.15)
rде 9 уrол Iежду rлавными плоскостями кривизны тел, в которых
лежат радиусы Рl и Р2' Знаки в формуле (22.15) выбираются так,
чтобы cos У был положительным.
591
cJ.U сх cJ-° а
20 3,778 0,408 f:Ю 1,486 0,717
30 2,731 0,493 65 1,378 0,759
35 2,397 0,530 70 1,284 0,802
40 2,136 0,567 75 1,20 0,846
45 1,926 0,604 80 1,128 0,893
50 1,754 0,641 85 1,061 0,944
55 1,611 0,078 90 1,000 1,000
Наибольшее uапряжепие в центре lIлощаДIШ контакта
р (22.1 в)
а тах == 1,5 паЬ
Наиболее опаспая ТОЧI{а расположена На осп z па пеl\ОТОрОЙ rлубине.
u Ь
зависящеи от отпошеIШЯ а'
l\1аI\спмальпое RасаТl'льпое напряжение ие заВIJСИТ от Уl\азашюrо
отношеIШЯ и равно
't max О.32"roах'
(22.17)
Ню\ следует из ПрI .всдеIlIlЫХ формул, I{OIlTaI\THble наПРЯЖ I1II
JаllИСЯТ от упруrих своиств материала и не являются липеипои
ФУНRциеЙ паrРУ3RИ, так что темп их роста отстарт от темпа увеличе-
ШIЯ Сilшмающсii паrрузки. Это обънсняется тем, чтu с увелпчениеl\1
наrРУ3RИ увеличиваются и размеры площадки контакта. В табл. 5 J
приведены расчетные формулы для определепия параметров ноптаR1u
двух тел (НОЭФФИЦIlСПТОВ А И В уравнения эллипса l\асаПИЯ, раз-
l\Iора ,площадки НОIlтанта, наибольш(>r() KOHTaRTHoro напряжения
"шах 11 взаимноrо сближения .1). Для упрощеuия ВЫЧIIСЛ( НИЙ по при
педепным формулам n табл. 52 даны значения входящих n них I\О:Эф-
фuциентов па, пь, пр, ПА в аависпмости ОТ ОТНОШI'НИЯ А 11 В.
120. ПроверI\а ПРОЧIIОСТИ
при IЮlIтактных напрнжениях
ПроверRУ прочностп при l\оптактпых напряжениях следует произ-
ВО,:J.llТЬ по третьей или четв!:)ртой: теории ПРОЧIIОСТИ:
а эив IIJ == С!] C! < [а].
а шв IV == Jf : [(а] ( 2 )2 + (а 2 а з )2 + (аз al)2" [<1].
592
Подставпn в ЭТП формулы a 1 . С 2 , аз, выраженные через С таХ В центре
площаДIШ ROHTaI{Ta, запишем УСЛОВИЯ ПР(}ЧlIОСТИ В виде
a )}{B == татах [а},
(22.18)
ОТRуда
1
а тах т [а] == [а]i\ОПТ'
[де r а ]l\ОПТ == J.::L ДОПУСRаемое напряжение для наибольшеrо напря-
т
жения в месте ROHTaI{Ta. Значения Rоэффициента т в заВИСИМОСТIl от
u u Ь
СООТНОШСllИЯ полуосеи ЭЛЛI1ПТИЧССRОИ ПЛОЩадки а приведены НИЖе.
ь a Н\B ПI cr экв IV
т:; т..
а а тах cr max
1 (Kpyr) О,Ы.О 0,620
0,75 0,625 0,617
0,50 0,649 0,611
0,25 О,в46 0,587
О (полоса) 0,600 0,357
Можно рсноые1lдопать с.т:rедующий ПОрЯДОl\ расчета на прочность
элементов конструющи в мсстах КОIIтанта:
1; Опред лить rлаппыс радиусы I{РИВИ3НЫ НОПТaI{ТИРУЮЩИХ тел
Pl' Рl, Р2' Р2' а ТаЮ:I\С )ТОЛ 0/ между их rлаВНЫl\Ш плосностями
КРИВИЗНЫ.
2. Вычислить по фор:нулам (22.1:-3) и (22.14) с учетом (22.15)
разм('ры полуосей эллиптической площадки KOllTaI{Ta.
3. По фОР Iуле (22.16) определить а тах , а ведучас нруrлоЙ
11 пршюуrолыюii площадuк коптакта по формуле (22.2) или (22.8)
COOTBCTCTBeIIlIO, нс онреде.'1ЯЯ раз:\юров IlJIОЩ,ЩКИ.
4. Рuсчет па прочпость можно ПрОII3НUДИТЬ по формуле (22.18),
находя знаЧСIШЯ rп по пыП!спривецепной таблице. При ЭТО:\I реКОМСII-
,(устся исходить II! чствертой тсории прочности.
5. Для ролш,опых и шарIШОВЫХ ПОДШИПШШОВ [cr]ИОПТ ==
----= :\5000 + 50000 ",r /с.м 2 ; для рс.т:rьсовой стали 80()() + 100()О "'Т/с.м 2 .
В табл. 5:3 прпвсдсны наибольшие допускае:\Iые давлсния
на ПJlощаДI{е I\OHTaKTa при пер во начальном контакте по линии
(т == 0,557) и статичеСI{ОМ паrрушеНИIl. В случае первоuачальпоrо
l\Оптакта в точке ;значение [а]ионт следует увеличить в 1.3 -+ 1.4
pa:.Ja.
593
Расчетные формулы для определения параметров IШНТaI,та двух тел
НОЭффlIIЩСНТЫ
ypaBHeHlIfl аЛ:lIIпса
Схема насаНИfl иасаНИfl I-'азмеры п:ющаДIШ нонтанта
А lЗ
Два сфсриче..
ских тела
р
Шар и сфери-
:ческое уrлуб-
ление
R2> R 1
594
R 1 + Н 2 R 1 + Л 2
2R 1 R 2 2R 1 R 2
R2 Rl H2 Hl
2Н 1 R 2 2R 1 Н 2
а == ь == О,908и ><
х { Р ( 1 [1; + 1 [1; )
Нl+Н2 Е 1 Е 2
Если Е 1 == Е 2 == Е
У Р
а == Ь == 1,109 Е
Н 1 Н 2
Н 1 + R 2
а == ь == 0,9086 х
V R R ( 1 [1 1 [1; )
х р 1 2 +
R2 Rl Е 1 Е 2
Если Е 1 == Е 2 == Е
V р R 1 R 2
а == Ь == 1,109 3 E .
Н 2 Н 1
Т а б л и ц а 51
Наибольшсе напряжение, Отах
Сближение соприиасающихся тел, А
0,8255 х
3 V ( R1 + л 2 ) 2
(),5781' Р 1H2 2
( 1 !J. + 1 fJ.2 ) 2
Еl Е 2 Х
u /-'-1:=: /-"2 == 0,3, то
0388 У Р Е2 ( Н1 + Я2 ) 2,
" Л 1 Н 2 '
1
шах 't =="3 С!тах;
шах 0'1 == 0,133С!тах
V ' ( 1 2 1 2 ) 2
p2 Rl+R2 fJ.l + fJ.2
В 1 R 2 El E'l
1 231 Y ( ) 2 Rl + R 2
, Е R 1 R 2
0,5784 Х
V ( ) 2
H2 H1
Х 3 Л 1 Л 2
Р 2 2 2
( 1 1)'1 1 fJ.2 )
Е + L'
, 1 и2
11 fJ.l == fJ.2 == 0,3, то
0388 V РЕ2 ( H ) 2
, и 1 R 2
1
шах 't == 3" O'mnx
шах С!1 == О,133а шах
0,8255 Х
3 / 2 22
Х I Р2 R 2 R 1 ( 1 fJ.l + 1 fJ.2 )
111 R 2 Е 1 Е.
1 231 V( ) 2 R2 R 1
, Е R 1 R 2
595
Схсм:!. касания
СфсрпчеСl\ое
телu и плос.
ность
k
СферичеСl\ое
тедо и ЦИЛИНДР
р
р
п 2 > R 1
596
I\оэффициепты
ураВПСIIИIl эллипса
насаППIl
1
2Л
1
2Rl
А
в
1
"l1r
( +
2 R 1
+ J.... )
R 2
'!
!
Раэмсры п,ющадни ковтанта
а == ь == 0,9086 х
Х VРл С E. : + 1 . : ) i
Если Е. Е. B.I
I
" 3
а == Ь == 1,109 V R
а == 1,145п а х
V R R ( 1 11- 1 11-; ) I
Х Р 1 2 +
2R2+Rl Е 1
Ь == 1,145пь х
3 ( 2 1 3
R 1 R 2 1 Р"l [!а
хl Р2Л2+Rl( + )
Если Е 1 == Е 2 == В,
З V Р Н 1 Н 2
а == 1,397п а Е 2Н 2 + Нl
V Р R 1 R 2
Ь == 1, 397п ь Е 2Н 2 + Л 1
п родолженuе табл. 51
IlааGoпьшее паПРЯШ6Iше, а тnх
Сuлшкепие сопринsоаЮЩИХСR тел,
{ , р
о 5 7 84 ( 1 /1- 1 /1- ) :1
I И ' +
. E g
11 !Ч == (J-2 == 0,8, то
V
0,388 Р Е2 2
1
шах't == 3 ашах!
тах 0'1 == О,133а тах
О,365пр Х
V ( '2Н2 + Нl ) :1
Л 1 Н 2
,. р 2 2 2
( 1 /1-1 1 /J. 2 )
Е 1 + Е 2
" '1 == /1-2 == 0.,3, то
O,2,1Jll Р Х
х V РЕ2 ( 2Л 2 + Нl ) 2
Л 1 Н'}.
0,8255 Х
Х V р2 ( 1 /1- ; 1 /1- ) 2
R +
V( р ) 2 1
1,231 Е R
O,655п Х
V P2 2Н2 + R 1 ( 1 /1- + 1 /1- ) 2
Х Л 1 Н 2 Е 1 Е 2
0 97 7 V ( ) 2 2R2 + Н 1
,п Е Rl1
597
Схема иаrаl1IIЛ
Размеры площадии иовтакта
RОЭфС)IЩИСНТЫ
уравнсния ЭЛJIипса
касания
Сфериqеское
тело и цилипд-
риqсский же-
лоб
,
R2> Н]
Сфериqеское
тело и Kpyro-
вой желоб u
(ша рИКОВЫll
подшппник)
п 2 :> Rs
598
J
1 ( ( +
2" R] 2 Н]
J + J
1
2Н)
а == 1,145п а Х
V R)R2 ( 1 !-'-; + 1 !-,-
х р '2R 2 Н 1 Е 1 Е 2 ") ,
. I
Ь == 1,145пь Х
V R ( 1 !-'-: 1 !-'-: )
Н 1 2 +
х р '2П 2 Н 1 Е 1 Е 2
Если Е 1 == Е 2 == Е
,3/ Р Н 1 R 2
а == 1,397 n а V Е '2Л 2 ,Rl
V ' р Н 1 Н 2
Ь == 1, 397п ь Е 2R 2 Rl
а == 1,145n а Х
{ ' ( 1 !-'-; 1 !-'- )
3 Р + Е 2
Х '2 +
7f; П 2 Ra
Ь == 1.145пь х
х{р
2 2
1 !-'-1 1 !-'-2
+
2 +*
л; П 2 3
Если Е 1 == Е 2 == Е
У .
Е
а == 1,:'НПп а +
П 1 П 2 R3
{ Р
J
Ь 1,397n, 2 l + J....
7f; П 2 R3
п ро80лжеНl/.е табл. 51
Наибольшее пааРflжение. а тах
Сближсние соприкасаЮЩИХСfl тел, А
0,365пр Х
О,655п А Х
3 r ( 2R2 Rl ) 2
V III Н 2
Р 2 2 2
Х ( 1 /J-l 1 /J-2 )
Е 1 + Е 2
II [1.1 == /J-2 == 0,3, то
о 245п :... 11 ' РЕ2 ( 2Л 2 л 1 ) 2
,р Л 1 Л 2
V 1 2 1 2 ) 2
Х p2 2n2 Rl ( +
Н 1 11 2 Е 1 В 2
V( ) 2
Р 2R2 Rl
0,977п А Е
, 1 2
О,365п р Х
0.655п А Х
{( 211 ) 2
3 +
Л 1 R 2 R3
Х Р ( 1 fJ. + 1 fl ) 2
Е 1 Е 2
II /J-i == /J-2 == 0,3. то
V ( 2 1 1 ) 2
О,245пр РЕ2 +
Н 1 R j R з
r ( 2 1 l'
V р2 + ) х
х R 1 R 2 R3
2 2 2
( 1 /J-l 1 f12 )
Х + -
Е 1 E j
3 I ( р ) 2 ( 2 1 1 )
0,977п А V Е Rl .,..... R. + R;
599
Схсма насаВIIА
РОЛIШОВЫЙ
ПОДШIШНИI\
.
>00
НОВффИЦИСIIТЫ
уравнсния ВJJлипса
касания
РавмеРЫ площадии контанта
.
I
( J.... ( +
2 R 2 2 R}
)
R4
А
+ )
R з
в
а == 1,145п а Х
V 1 fJ- 1 f1-:
+
р Е} Е 2
Х 1 1 1 1
н-;+ 7i; + R:J ....... R4
ь == 1,145пь Х
V 1 fJ-; 1 f1-:
3 р в-:-+
х 1 1 1 1
l1; + R"; + R з
Если Е} == Е 2 == Е
V р
а == 1.397п а Е
1 1 1 1
+ +
R 1 R 2 R3 R4
V р
ь == 1, 397п ь Е
1 1 1 1
+ + .....
R} R 2 R з R4
п рооолже1tuе табл. 51
Наибольшее напряжение, а тах
СБJIIlжение соприкасаЮЩИХСR тел 1:.
О,365п р Х
О,655пl:. Х
r ( 1 1 1 1 ) 2
У 8 л;+ л;+ Л;
х р ( 1 fJ- 1 fJ-; ) 2
+
El Е 2
I! fJ-i == 112 == 0,3, то
0,245п р х
V ( 1 1 1 1 ) 2
РЕ2 + +
R 1 R j R з R4
V 2 ( 1 1 1 1 )
3 Р + + х
R 1 R 2 R3 R4
,/ ( 2 2 ) 2
л 1 fJ-l 1 2
x +
Е 1 82
О,977пl:. х
V( р ) 2 ( 1 1 1 1 )
х + +
Е R 1 Я 2 R з R4
601
Схема иасаНИR
Цилиндры СО
ВЗ3 имно пер-
пендпкуляр-
пыми осями
;tL&
R
602
Rоэффпциенты
уравнснип эллипса
насаНИR
1
2R 2
А
1
2R 1
Размеры П ОIЦадкп контакта
в
а === 1,145п а Х
V 2 2
R R ( 1 !J. 1 1 [.J.2 )
х р 1 2 +
R 2 +Л 1 El Е 2
ь === 1,145пь Х
xVp
2 2 )
П R ( 1 [.J.l 1 [.J.2
1 2 +
R 2 + Л 1 Е 1 Е 2
При
а == ь == 0,9086 Х
V ( 1 [.J. 1 [.J. )
Х Р R + Б--------
1 2
Если El == Е 2 == Е(
З I Р Л 1 Н 2
а == 1,397п а V Е Л 2 + Н 1
..3 j' Р Л 1 R 2
Ь == 1,:З 97п ь V Е Л 2 + Л 1
При
j' РН
а == Ь == 1,109 V
I
I
Продмже1-luе mа()л. 51
Наибольшее напряжение, а тах
Сближение соприиасаЮЩИХСR тсл, А
0,365п р х
V ( R2+Rt )2
Р П t П 2 ,
Х ( 1 [1-; 1 Il' ) 2
Е 1 + Е 2
п t == п 2 == R
( Н
I ),J781
р
( 1 2 1 2 ) 2
H [1-1 + [1-2
Е 1 Е 2
11 [1-1 == [12 == (),3, то
3 . ( ) 2
( ) ')/,,, V РЕ 2 Н2 + Н 1
, J.)пp Rl Н 2
f( I == Н 2 == R
O. 388 V Р ( )'
0,655п А Х
V R2 + Rl ( 1 [1- 1 [1-: ) 2
х p2 +
RIR'). El Е'}.
V 2 2
р2 f1 (1'1 1 [1-2 ) 2
0,8255 T\ +
V ( р ) 2 R2 + R 1
О,977 п А Е Rl R 2
V( р ) 2 1
1,231 Е R
603
Нозффицпенты
уравнения Э.'lшшса
Схе:\ш насаНИR касанпя Размеры площадки нонтанта
А I в -
Цилиндры 1 ( 1 Полуmирина полоски контакта
с параллель- ........ 2 +
нымп осями
q8 + ) ь == 1,128 х
R 2 V Р я,я, c : 1 '
. t Х +
1 R 1 + R 2 Е 1 Е ?, J
q:.#
t
При
Ь == 0,798 х
J/ PR С : j :)
х 1 Е + Е
1 11
Если El == Е?, == Е
1'" 2У Р Rl R 2
Ь ,v2 lE Rl + R 2
При
(
\ Ь == t 076 V Р R
, lE
60'4
ПроlJолжепuе табл. 51
Наибо"ЬШес напряжсние, а тах
СБJlIlженnе сопринасаЮЩlIХСR тел, f.
0,5642 х
I ll! +Н2
'/ 1 Р
А Т 2 2
1 [1-1 1 [1-2
Е + Е
1 2
л 1 == Л 2 == R
I р
тп
0,798 2 2
1 1 J.l 1 Р-'1
+ E
1 2
I r (J. 1 == lJ. 2 == 0,3, '1'0
0418 V PE Н} + Н 2
, l Н 1 Н 2
/,', ::---..:: П 2 == R
0,591 V
2Р [ 1 !1-: ( ln 2R1 + 0,407 ) +
т:.l Е 1 Ь
+ I E, (ln 2 , +0.407)]
2Р [( 2R )
---;:r In Ь + 0,407 х
( 1 [1- 1 lJ.: )]
х Е 1 + Е 2
0,5796 , (In 4Rt2R'1 + 0,814)
р ( 4R2 )
О,5796 lБ In + 0,814
605
Схема насаНIIЯ
ЦИЛИllДР
И цилинДриче-
ская впадина
с параллель-
IIbIMII осями
Цилиндр
и ПЛОСКОСТЬ
Два теда, orpa-
пиченные
1\ риволиней-
выми поверх-
ностями 11
СОПРИl\асав-
шиеся ДО де-
формации в
ОДНОЙ точке
вО6
RОЭффllциенты
уравнения эллипса
касания
А В
(
2 R]
J
Размеры шющаДIШ нонтаита
[IОЛУШПРlluа полоски контакта
ь == 1,128 х
,. f Р Н] П 2 ( 1 11-i 1 tL )
Х V т U 2 Н] +------в-;-
Если Е] == Е 2 == Е
V Р П] Н 2
Ь == 1,522 ТЕ П 2 R]
1
2R
ПОЛ'уширипа полосни контакта
Ь-==1,131 Х
.. / Р R ( 1 f1- 1 tL )
Х V т +E;""
Если Е] == Е 2 == Е
.. {JiR
ь == 1,526 V -ТЕ
J.)ольшая полуось эллипса
1 3 / -3 ( 1 tL + 1 tL ) Р
'l пa/
2 Е] Е 2 k
Малая по.'lУОСЬ эллипса
V 2 2
3 ( 1 11-] 1 11-2 ) Р
Ь==пь +
2 Е] Е 2 k
Р наrрузка. Е модуль упруrо-
СТII; tL коэффициент П TaCCOIIa;
1 и 2 индексы, соответствующие
первому и второму TPJI3M; ' k
сумма rлавных I\рИВИ3Н поверхно'
стей соприкасающихся тел в месте
псрвопачальноrо контакта
ПродмжепUi! табл. 51
НаИUОЛЫllее !lаПрRШСНI1С. атах
Сближение СОПРИJ(асающихся тел; 1:.
r
/ р
0,5642 У Т
Н 2 П 1
/{l П 2
1 fJ- 1 p.
+
Е 1 Е 2
11 fJ-l == fJ-2 == 0,3, то
0418 V РЕН2 Пl
. l П 1 П 2
р
1,82 ш (1 ln Ь)
r
0,564, V
р
IЯ
1 fJ- 1 fJ-
+ Б-;""
If fJ-l == fJ-\1 == () , , то
0/,18 V РЕ
,1 {П
Уменьmенир размера диаметра ци-
линдра между двумя сжимающими
ero rранлми (с учетом НОlIтантных
и общих деформаций цилиндра)
р ( 4R )
f:.D == 1,159 lE 0,41 + 'П ь
пp ( ') % ( 1 2 k1 2 ) 2р, х
fJ-l fJ-2
+E
1
rде п
р == Па пь
1
пtJ."'2 X
V 9 ( 1 fJ- 1 fJ-: ) 2 2
+ Р k
4 Е 1 Е 2
607
Т а () л и n а 52
qИСJIепныс зпачспил Iюэффициепт()в пф пь, пр, пtJ,
А
R
Па
nь
Пр
ПА
1,0000 1,000 1 ,0000 1,00nО 1,0000
0,9623 1,013 0,9873 0,9999 0,9999
0,9240 1,027 0,9742 0,9997 0,9997
0,8852 1,042 0,9606 0,9992 0,9992
0,8459 1,058 0,9465 0,9985 0,9985
0,8059 ,076 0,9318 0,9974 0,9974
0,7652 1,095 0,9165 0,9960 0,9960
0,7238 1,117 0,9005 0,9942 0,9942
0,6816 1,141 0,88:37 0,9919 0,9919
0,6384 1,168 О,8и60 0,9890 0,9889
0,5942 1,198 0,8472 0,9853 0,9852
0,5489 1,233 0,8271 0,9805 0,9804
0,5022 1,274 0,8056 0,9746 0,9744
0,4540 1,322 0,7822 0,9669 0,9667
0,4040 1,:181 0,7565 0,9571 0,9566
0,3518 1,456 0,7278 0,9440 0,9432
0,3410 1,473 0,7216 0,9409 0,9400
0,3301 1,491 0,7152 0,9376 0,9366
0,3191 1,511 0,7086 0,9340 0,9329
0,3080 1,532 0,7019 0,93. 0,9290
0,2967 1,554 0,6949 0,9262!: " 0,9248
0,2853 1,578 0,6876 0,92'19 0,9203
0,2738 1,603 0,6801 0,9172 0,9155
0,2620 1,631 0,6723 0,9121 0,9102
0,2501 1,660 0,6642 0,9067 0,9045
0,2380 1,693 0,6557 0,9008 0,8983
0,2257 1,729 0,6468 0,8944 0,8916
0,2132 1,768 O,n:i74 0,8873 0,8811
0,2004 1,812 0,6276 0,8766 0,8759
0,1873 1,861 0,6171 0,8710 0,8668
0,1739 1,916 0,6059 0,8614 0,8566
0,1603 1,979 0,5938 0,8507 0,8451
0,1462 2,053 0,5808 0,8:)86 0,8320
0,1317 2,141 0,5665 0,824G 0,8168
0,1166 2,248 0,5505 0,8()82 О,7Н90
0,1010 2,381 0,5:325 0,7887 0,7775
0,09287 2,463 0,5224 0,7774 0,7650
0,08456 2,557 0,5114 0,7647 0,7509
0,07600 2,669 0,4993 0,7504 n.7349
0,06715 2,805 0,4858 0,73:38 0,7163
0,05797 2,975 0,4704 0,7144 O,6 43
0,04838 3,199 0,4524 0,6909 0,6675
0,04639 3,253 0,4484 0,6856 0,6613
0,04439 3,311 0,4442 0,6799 0,6549
0,04237 3,373 0,4398 0,6740 0,6481
0,04032 3,441 0,4352 0,6678 0,6409
0,03823 3,514 0,430<1 0,6612 0,6333
608
п рйIJйлжеиuе табл. 52
А
В
11а
nь
Пр
n,1
0,03613 3,594 0,4253 0,6542 0,6251
0,03400 3,683 0,4199 0,6467 0,6164
0,03183 3,781 0,4142 0,6387 0,6071
0,02962 3,890 0,4080 0,6300 0,5970
0,02737 4,014 0,4014 0,6206 0,5860
0,02508 4,156 0,3942 0,6104 0,5741
0,02273 4,320 0,3864 0,5990 0,5608
0,02033 4,515 0,3777 0,5864 0;5460
0,01787 4,750 0,3680 0,5721 0,5292
0,01533 5,046 0,3568 0,5555 0,5096
0,01269 5,432 0,3436 0,5358 0,4864
0,009934 5,976 0,327:-1 0,5112 0,4574
0,007018 6,837 0,3058 0,4783 0,4186
0,003850 . 8,609 0,2722 0,4267 0,3579
т а б л и ц а 53
Допуснаемые Д:\ ...; .IИЯ На площадке коптакта при первона qальном
Бонтакте по липии и статическом наrружении
Мар на
метаЛ.:Iа
Временное
сопротивле-
ние,
},-r/M. t2
Твердость
по Бринелю
Допускаемое
мансимальное давление
на ПJIощадне нонтакта
[а]конт, пl'/CM 2
CT8.тIЬ
30 48 60 180 8500 10500
40 57 70 200 10000 13500
50 63 80 230 10500 14000
50r 65 85 240 11000 14500
15Х 62 75 240 10500 16000
20Х 70 85 240 12000 14500
15ХФ 160 180 240 13500 16000
ШХ15 38000
Чуrун
СЧ21-40 96 180 207 8000 9000
С Ч24-44 100 187 217 9000 10000
СЧ28-48 110 170 241 10000 11000
СЧ32-52 120 170 241 11000 12000
СЧ35-56 130 197 255 12000 13000
СЧ38-60 140 197 255 13000 14000
20 o-II"'f> 60З
Доnолпеиuе
ДЕВЯТЬ НОВЫХ АНАлоrий В СОПРОТИВЛЕНИИ
МА ТЕРИАЛОВ
в работах [30,31] предложепы девять новых апалоrий, базирую-
щихся на идентичности дифференциальных уравнепий в задачах
нахождения для стержнеЙ продольных сил п продольпых перемеще-
ШIЙ при OC(,BO I раСТЯiI\СНИИ сшатии, уrловых деформаций и уrло-
вых Ш'РСI\IРЩСlшii при l\ручешш, уrлоnых деформаций и сдвиrовых
линейпых пер смещений при сдвиrе, обобщеипых поперечных сил
и ИЗr'ибаIOЩИХ момснтов, уrлов поворота п проrибов при изrибе.
Нише формулируются эти аllалоrии.
А II а л о r и я 1. Задачи пахождеlШ!t продольных сил u nере.:меще-
пий при oceeoJt растяжении сжатии стержня аквивалептны аадачам
1lахождеllИЯ обобщенных попе речных сил и иа2ибаlОщих oМoJteпmofl при
иави6е вааИJUlОЙ 6аЛ1>и. У словил эквивалентности и взаимности
1'аковы:
п (х)
EF (х) Z q (х);
N (х) Q * .
Ер' ( Х') +- (х),
и (х) Z м (х).
(Д.1)
(Д.2)
(Д.З)
Здесь 12 (х) интенсивность распределепной продольной наrрузки;
q (х) интснсивность распределенноЙ понсречной наrрузки; N (х)
ПРО/'1.0ЛЬ I!<1 я сила; EF (х) ЩССТIшсть при растяжении сжатии;
Q* (1:') обобщенная попеР{)ЧIШЯ СlIла, Q* (х) ==: Q (х) + т (х); u (х)
продолыIOО перемеЩСlше; Л! (х) иаrибающи.й момент; т (х) интен-
СИВНОСТЬ распредеJIеlшо i момеuтной паrРУЗКII.
А н а JI о r и я 2. Задачи пахождепия nродОЛЫ-lЫХ усилий и пе pe. te-
щенuй прп oceeo. t растП,жепии сжатии стержня аr.вивалептны аада-
ча. L пахuждепия у?,лов поворота и провибов при иавu.бе вааи,,}щой балки.
Условия ЭIшивалеНТНОСТII и взаимности т,шовы:
12 (х) -+ л1 (х)
Elt' (х ) +- EJ (х)
N (х)
liР (х) +- а (х);
и (х) Z w (х).
(Д.4)
(Д.5)
(Д.6)
Здесь EJ (х) жесткость ПРIl изrпбе; а (х) уrол поворота; w (х)
проrпб.
t.i10
А п а л о r и я 3. 8адачи нахождenия уеловых дефо рJ.иций и линей-
нЫХ сдвиеовых nере:лtещеllUЙ при cenapupoeaHHOJ.t сдвиее стеРЖ1lЯ Э1iви-
валентны аа8а'Ча. t llйхож8еllия npOOV.(tbllblX сил и продолыlхx пе ре.меще-
иий при растяжении сжатии вааU.Юto80 стержия. Условия ЭRв.ива-
лентиости и взаИМllОСТИ таковы:
q (х) k -+ 7l (х) .
СР (х) +- Eli' (х) ,
(Д.7)
-+ N (х)
I (х) +- ЕР (х)
(Д.8)
v (х) Z и (х).
(Д.9)
Здесь еР (х' ЖССТI\ОСТЬ при сдвиrе; k IюэффпцпеlIТ, xapUI\Trpll-
зующий IIеравпомерlfОСТЬ распределепия J{асаТСЛЫIЫХ ШШРЯШСПl1Й по
высоте сечения; I (х) отIIосителыlйй сдвиr (уrловая деформацпя):
v (х) сдвиrопор лшrеЙпое перемещепис.
А н а л о r п я 4. 8адачи нахождения уеловых дефор.'tаций и лrщей-
НЫХ сдвиеовых nе ре.мещеllий при cenapupoeaHlloJ.[ сдвиее стержня экви.
валентны аадаЧЙJlt nахождеиия ye. oвыx дефор:ttаций и уеловых nepeJ.te-
щеиий при кручении вааи.Шtоео стержня. Условия ЭIШИlШЛ<'[[ТНОСТИ
и взаимности ОПIJсываются формулами:
q (х) k -+ т н (х)
СР (х) +- GJ и (х)
(Д.1О)
i (х) Z б (х);
(Д .11 )
v (х) :t: (х).
(Д.12)
Здесь т к (х) пптепспвпость распределенной крутящей паrрузки:
eJ K (х) шеСТI\ОСТЬ при кручении; б (х) уrловая деформация (отно-
сительный уrол заRРУЧIlвания); 9 (х) уrловое перемещение (yrOJl
закручиваШIЯ).
А п а л о l' И Я 5. Задачи нахождения крутящих MOJtellтoe и уедов
аакручивания при кручеиии сте рЖllЯ Эr.вивалеllтllЫ аадача. t lIахожuе1lил
обобщенных попе речных сил и иаеибающих JtoJtteHmoe при иаеи6е lial.lll.lJt-
ной балки. Условия взаимности и ЭJ{ВllвалеНТllОСТИ TaRoBbl:
т и (х)
Z q (х);
GJ н (х)
(Д.13)
1I1 к (х) -+ * '
е} к (х) +- Q (х);
(Д.14)
9 (х) Z М (х).
Здесь М К (х)...... крутящий момент.
(Д.15)
'2С *
С11
А п а л о r n л 6. Задачи llахождени.q, nродолыl:сc сил и пе ре:ие.
щений при растяжеНии........ сжатии стержн...q, эпвивалентны аадачам
llахождвния nрутящих JtOJl,eHmOB и уелов 8а ручивания при nручениu
8ааи.мМео стержня. Условия взаимности и эквивалентности таковы:
п (х) -+ т}( (х) (Д.16)
Е// (х) о+- CJ}( (х)
N (х) -+ М к (х) (Д.17)
EF (х) о+- CJ}( (х)
и (х) Z (х). (Д.18)
А н а л о r и я 7. Задачи нахождения уеловых деформациЙ и линей-
ных сдвиеовых nереме'щений при сепарированном сдаиее стеРЖ1l.<J- экви-
валептны задача.м, нахождеllия обобщенных попе речных сил и иаеuбаю-
щих .MO. te1tlnOB при uащбе вааиJШОй бадnи. Условия эквивалентности
и вааимuости таковы:
...2J:L k ..... q * ( х ) .
СР' ·
(Д.19)
v(x) Z м (х);
i (х) Z Q* (х).
(Д.20)
(Д.21)
А R а л о r п я 8. Задачи llахождения уеловых деформаций идиней.
ных сдвиеовых nере.lJLещений при сепарированно)" сдвиее стержня Э1>ви-
валентны аадачам нахождеllия уелов поворота и проеибов вааи),тои баЛ1>и.
У словил взаимности и эквивалентности выражаются формулами:
q (х) k -+ М (х) .
СР' +- '
v (х) w (х);
i (х) Z а (х).
(Д.22)
(Д.23)
(Д.24)
А н а л о r и я 9. Задачи llахожденuя рутящих .моментов и уалов
ааnручuвания при nручении эnвивалептны аадачам нахождепия уелов
поворота и проzuбов вааи. НОЙ баЛ1>U при uвеuбе. Условия взаимности
и эквивал нтности таковы:
т к (х) -+ М (х) (Д.25)
CJ K (х) -+-- EJ (х)
Ми (х) Z а. (х); (Д.26)
CJ к (х) (х) :t w (х). (Д. 27)
, 612
Прошшюстрируем некоторые аналоrии ПрИ Iераl\IИ, взятыми из
П\азаппых статей.
. При !\I е р 1, ТЯ;I\t'ЛЫll ПРИJ:'JaтичеС:nИll стержень находится под
деЙСТВИЮ.I силы тяшести, представляющей собой осевую равномерно
распределенную наrрузк)' интенсивностью n x) == 1F2 (рис. 367, а).
Здесь F площадь попереЧIIоrо сечения; 1 о()ъемпы.и вес. Покажем
для этоrо случая ПрllМf'нение апалоrии 1. В задаННQМ стержне rpa-
ничные условия тановы: при х == О и == О и при х == l и == О. в соот-
ветстВIIИ с (Д.З) взаимпыЙ стержень до;rжен быть выбран таи, чтобы
{J
а
Рис. 367
изrибающие моыенты по нопца?ll равнялись пулю. Этому условию
удовлетворяет ба.ТУна на двух опорах (рис. 367, б). В соответствии
F'( "(
с (Д.1) фИКТПВllоЯ IIurРУ3Ю1 для ;поii 60.'11\11 q (х) == EF == Е '
rде Е МОДУЛЬ упр тости, Теперь достаточно для этой взаимной
(фИКТИВIIОЙ) башш IIОСТРОIIТЬ от фШ\ТIШПОЙ паrрузки две эпюры:
поперечных сил (рис. :Ю7, в) II изrибающих моментов (рис. 367, ё).
1 [ервая эпюра в соответствии с (Д.2) представляет эпюру продо_туьных
N( u
СШI EF ' вторая ;эпюру продольных пере teщеIlIIИ.
Пр Il М ер 2. Тшт:е.ТУЫЙ ПрИ3?1штичеСIШЙ брус 3aI(рецлсн у верх-
11('1'0 КОJща (рис. ;Ю8, а) и uаходится ПО,l действием собствеююrо
веса. Покашем п на ;этом Прllмере ПрИ!\ICНОНl1е 3.палоrии 1. rраНIIЧI-lые
условия здесь ТiШОВI,r: при х == О N:=::: () ври х == l u == О, В ;)TO l
С,'I.':чае взаимная (iа,;ша ДО.тшша быт}, выбрала так, чтобы lIоперечная
('II.тya на ОДIIО I IЮllце 11 нзrибающпй !\Ю:\fент на друrом раВIlЯЛИСЬ
нулю. COOTB(,TCTB IOЩUЯ БUJlЮl lIока шНа На рис. 368, б. :Эпюра Q (х)
N (:1')
(рпс. 368, в) соотвотствует ;ЭПlоре ЕР ' а ()пюра 1\.1 (х) (рис. :J68, е)
спответствурт эпюрр и (х).
П р 1:1 I е р :3. Для стержня, ПОЮ1заппоrо на рис. 369, а, прЮlеним
I ШIJfOПIЮ 2. В соотве1СТВИИ с (д.в) rраНIlЧllые условия во взаимноЙ
IJ,I,TIJ\e ,Т"(ОШIШЫ быть тановы, чтобы по концам проrибы раllПЯЛИСЬ
11,\'_110. ЭТИ:\1 УСЛОВИЯМ удовлетворяет балка, показанная I1a рис. 369, 6.
613
в соответствип с (ДА) i == :/; представляет собой момоптпую
паrрузку, а ПОТО IУ эпюры Q (х) (рис. 369, в) п М (х) (рис. 369, 2) от
этой наrРУЗIШ будут эпюрами уrЛОll наЮIOна и прошбов, которые
N (х)
в свою оgередь являются эпюрами EF п u (х).
При м е р 4. 3ащемлепный с двух IЮIIЦОВ нруrлый вал заиру.
J(
l1 O
.....
б f} е
Рис. 368
х
о=О w=o
:::!
11
><-
11
><'
.<.,
8 2
Рис, 369
чивается равномерно распределенными крутящими моментами иптен-
сивностью т к (рис. 370, а). Покажем на этом примерр ПРII.ТIОЖl'Пие
аналоrии 5. rраНIIчные условия в заданном стержне таиовы: при
х == О (( == о 11 при Х == 1 == О. в соответстВIШ с (Д.15) во ВзапМНОМ
стержне на концах и rIIбающие моменты должны равняться нулю.
Взапмная бал на 1l0l\азана на рис. 370, б. Фиктивная паrрузка
614
q (х) == ,;; x} . В соответствии с (Д.14) и (Д.15) эпюра Q (х) соответ,
к
! к (х)
ствует GJ (рис. 370, в), а эпюра М (х) ........эпюре УfЛОВ занрулива,
к
ния (х) (рис. 370, 2).
При 1\1 ер 5. Ступепчатый вал (рис. 371, а) занручивается двумя
сосредото еННЫI\1И МО lептами. Взаимпая бална постоявпоrо попере .
тм:::тк
Рис. 370
!1Jl 4дJl
Рис. : 7'I
Horo сечения, по продольным раз.М( ра!\l и схеме паrружепия соответ,
стпующая ИСХОДIlО IУ валу, по с приведенпыми значениями длив,
т. е. с различным l\1i1сштаБО 1 приведепных участнов, показапа на
рис. 371, 6. Здесь J р I:I J р""'" полярные моменты инерции сечений
вала слева Il справа. Теперь для рСJlIепия задачи осталось построить
две ЭlIЮрЫ Q 1I 111 (рис. 371, в, 2).
Подобны:\! обраJО 1 l\10ryT быть примепены для решения задач
11 друrие апа:юrшr. Приведепные апалоrии: значительно расширяют
воз южпости эффrI\ТППlIоrо IIсполь;ювания материала справочнина. Ряд
щншых, ОТIlОСЛЩIIХСЛ 1\ одному виду llапряшсппо дефОРl\1ироваlIвоrо
СОСТОЯllИЯ стерЩШI, может быть с помощью аналоrий ИСIIОJIЪЗ0ван
ори раСС}lОтрешlИ ДРУПIХ ШIДов дсформаций.
615
<DИЗИRо-механичесRие свойства материалов
(для ориентировочных расчетов)
а в ....... предел прочвости при растяжении (для, дерева ---- вдоль волокон);
ас ...... предел прочности при сжатии (для дерева вдоль волокон);
ал ....... предел прочности при иаfибе;
'С в ....... предел прочности при кручении;
'С ер ...... предел прочности при срезе (для дерева........ вдоль волокон);
а nц предел пропорциональвости при растяжении;
а т ....... предел текучести при растяжении;
Преде;J IIреде:1
rеиучести, дe;'!
Материа:I ПРОЧНОСТII, пропор- выносливо-
'КТ' /.\t.\t 3 ЦIIона:I "HOCTII. сти, r.Т'/Лt.м 2
"l'/.н.лt Z
rOCT 380...... 60
Ст. 1
а в == 32 40
СТ.2
а в == 32 ...... 40
Ст.3
а в == 38 47
СТ.4
СТ.5
св == 42 52
ан == 50 ...... 62
Ст.6
'в == 60 ...... 72
rOCT 5520 62
151\
20К
а в == 38
a n == ,11
616
а т == 18
а т == 19 ...... 22
С Т == 21 ........ 21
С Т == 21 ...... 26
С т == 26 ...... 28
а т == 30 ...... 31
С Т == 21 ...... 23
а т == 23 ...... 25
Уl'леродистые
обыкновепноrо
a 1p == 12...... 15
C l == 16......22
't l == 8...... 12
a lp == 12......16
a l == 17...... 22
1: 1== 8......13
C 1p == 12......16
c l == 17 ...... 22
t l == 10 13
a l == 19 25
C 1p == 17...... 22
a l == 22 ...... 30
'"C 1 == 13 ...... 18
с 1 р == 19 ...... 25
a l == 25 ...... 34
'C .1 == 15...... 20
специаЛЬRоrо
Приложение 1
0'0,1 условный предел ТОНУЧССТIJ при растяшении (деформация 0,1 %);
а т . С предел тенучеСТIJ при сжаТIIИ;
v T . И предел текучеСТlI при иаrибе;
a 1p предел выносливости при растяжении;
a 1 предел ВЫНОСЛIIВОСТИ при IIаrпбе;
' 1 предел ВЫНОСЛИВОСТII при нру ении.
Относи- Rоэффициент
Te:lbHOe Твердость Модуль
':J::Ш нсние У,ТJ:<:tрпап Ноэффп. ЛIIнейноrо
по Брн, упруrОСТII У дсльный расширеШIR.
(ОТПОСИ- I/С:IЮ, nпзко('ть, Е (О), циент вес, е/с.\t З х 10 8 ........!.....
те 'IЫlOе }, l'/. 1.I12 },r.I1/C. H ' х 10 },T/,'\f.\t2 llузrСОIIЗ
'yiI\C!lllC ), арад
О/
,О
".
стаJIИ
Ha eCTBa***
28 110
26 НО
.21 23 131 7 10
19 21 143 в 8
l.) 17 170
II J а н а ч е п п я
2:3
2
7 8
() 7
6111
Преде:1 П pC;I.e:1
текучеСТII, Прсдел
МатериаJJ ЩЮЧНОСТ1I, ПРОПОТ\- вынос.;нШ()СТII,
'КТ /JIt.1t 2 ЦlIона:JЬпОСТII. пТ / /11М 2
r.r/MM 2
rOCT 6713 53
Ст. 3 .мост. а в === 38 а т == 24
М16С ан == 38 а т == 23
rOCT 1414 54 :1
:;1
А12 а в == 42 57 '1
A40r а в == 60 75
Rалествеп
rOCT 1050 60
10 а == 34 42 а т == 21 a 1p == 12.......15
в a 1 == 16 22
" 1 == 8 12
20 а п == 42 50 а т == 25 a 1p == 12 16
a l == 17 2:2
't 1 === 10 13
30 а в == 50 ....... 60 а т == 30 a lp === 17 21
a 1 == 20 27
't 1 == 11 14
40 а в == 58 70 О'т == 3q a 1p == 18 24
a l == 23 32
't 1 == 14 19
45 ан == 61 ....... 75 а т == 36 a 1p == 19 25
a 1 == 25 34
't 1 == 15 20
50 а в == 64 80 а т == 38 a 1p == 20 26
a 1 == 27 35
't 1 == 16 21
60 а в == 69 90 а т == 41 cr fp == 22 28
a l ==31 38
't 1 === 18 22
зоr ан == 55 70 а т === 32 а 1 == 22 32
60r а в == 71 а т == 42 a 1p == 23 32
618
OTHOClI- Коэффициент
тсльное Твердость Моду:)!>
уд:шнение ПО Bpll Ударная упруrост !1 НОЭффll УДСJIЬНЫЙ JПшейноrо
(ОТПОСИ- неJIЮ, ВЯЗНОСТЬ, Е (О), циент вес, 2/С,М 3 раСШllре ния .
тельнОе r.l'/MM 2 "riI' Jlt/c.M 2 х 10 4 нI'/.лt.Лt2 Пуассона х 10 Р .....!......
сужение), <!рад
%
22 (50) ...... 7 10 ...... ....... .......
22 (50) ...... 7 10 ....... ....... .....
22 (36) 160 .......... 2,02 .......... 11 ,9..........14,2
14 (20) 207 .......... .......... ....... .......
Продолжение приложепия 1
11 Ы с***
31 (55) 1,90 7,83 11 ,6 14,6
25 (55) 2,02 7,82 11,1......14,4
21 (50) 8 7,82 12,6 15,6
19 (45) 6 2,135 7,81 12,4 14,6
16 (40) 5 2,04 7,81 11,6..........14.7
I 11 (40) 4 2.2() 7,81 12,0..........14,1
12 (35) 2,08 7,80 11,1 14,6
20 (45) 8 2,17 7,81
11 (35) 2,109 7,81 11,6 14,6
619
ПJ?еде:I П реде:!
текучеСти, П реде:1
Материа:J ПРО}НОСПI, ропор- выносливости,
r. /.и.\ti ЦJlонаЛЬНОСТII, ",r /.\t.lt g
",['//It.\(2
,
ЛеrироваНlIые
r IJЯ 66 а в == 64 66 (JT == 39 ...... 42 a l == 31
"C 1 == 16
rOCT 4543 61
20Х а в == 72 85 а т :::. 40 65 O l == 31 38
"C 1 == 17 23
OX ОВ == 73 105 о т == 65 90 о 1 р == 24 34
C l == 32 48
't 1 == 21 26
45Х св === 85 105 v T == 70 95 a 1 == 40 50
З0ХМ (JB =:.= 74 100 от ::=.: 54 85 a jr == 37
C l == 31 41
" 1 == 23
40ХН а в == 100 145 (JT == 80 130 (J 1p==31 42
C l == 46 60
12ХН3А а в == 95 140 а т == 70 110 a l == 42 64
" 1 == 22 30
20ХН3А а в == 95 115 а т == 85 110 a l == 43 65
'ё 1 == 24 31
40ХНМА а в == 11 О 1 70 а т == 85 160 a 1 == 50 70
" 1 == 27 38
зохrСА а 110 170 I ' 85 15о a l == 48 70
в т
'C 1 == 28 40
Нержавеющие жаро
rOCT 5632 61
1Х13 (ЭЖ1) а в == 61 а т == 41 a i == 37
620
Относи- НQЭффициент
тельное Твердость Мод"у лъ
уд.пивевие по Б ри Ударная уп уtoС'tи Ноэффи УдельНЫй линейноrо
(относи.' нелю, ВЯ8НОСТЬ, (О), циевт вес, е/с,м,3 расширения,
пr.'.f./С,м,З Пуассона 1
тельное r;r /.лt,м, х 10 ' хJ:'/.лt,м,g х 106 ерад
сужение ),
%
продолженuе nрuложен,U!lt 1
стали**k
18 21
7,11
2,07
7,74
11,З
2,185 (0,808) 7,85 13,4 14,8
9 (45) 187 219 5 2,109 (0,8015) 7,82 12,8
2,130 7,82 12.3 14.4
2,040 7,82 Н,8
2,040 (0,815) 7,85 11,o 14,5
2,040 7,85 11,7
1,980 (0,8ЗО) 7,85 Н,О
IIрочные сТа ли
22 (60)
1;
2,2
7,75
10,1 12,25
621
.. ......... .
-.
Преде:1 Предел Предел
тен-учест И, оыносли-
Матерпа.:J ПРОЧПОСТII, пропор- ВОСТII,
tL[' /.лt.м 2 ЦlIональ ности, "'[' / мм 2
}.r/.M.H 2
2Х13 (3Ж2) (закал- а в == 72 а т == 52 a l == 37
!Ш с 1000 10200 С
на воздухе, отпуск
при 720 7500 С)
1Х17Н2 (ЭИ268) (за- О'в == 96 О'т == 77 O' i == 49
каЛlШ с 10300 С, от-
ПУС.н при 6800 С)
1Х18Н9Т (ЭЯ1 Т) 0'0 == 58 а т == 24 a 1 == 20 24
't 1 == 13,5
Х12Н22ТЭМР 0'0 == 133 О'т == 104
(ЭП696М, ЭП33)
(прокатка,старенне
7300 С, 16 ч +
+ 6300 С. 16 ч)
Жаростойкие и жаро
rOCT 5632 31
Х20Н77Т2ЮР 0'0 == 92 109 О'т == 66
(3И437Б) (аустенп-
тизацrш при
10800 С) с охлажде-
ннем на воздухе,
CTap HIIe при
75()0 С, 16 ч)
iRC6I\ (закалка с О'в == 100..... 107 О'т == 88 94
1210 12200 С с ох-
лаlIщением на воз-
духе, отжиr при
9500 С, 2 ч)
ТуrоплаВI\пе
Вольфрам (псш'rпро-
ванный*****)
Сплавы вольфрама
\V 15Мо*****
W 2Nb*****
\У 3,6Та*****
0'[1==10,7
О'в == 17,5
О'в == 23,4
О'в == 35
U22
Продолженuе прuложенuя ]
OTHOCIl
Te..lbIlOe ТверДОСТL МОДУ 1),
Y;:(JJlIlICIlJIe по БРII' 'JIЛРlIан упруI'ОСТ1! НОDффП- Уде ьпый
( OTI\OCII НСЛЮ, ПН81«)СТЬ, Н (О), циент вес, 2/C.\1 3
те.1ЫIOС "r / J\I.M 2 1,r .л1/С.IIt 2 Х 10 " пl'j.м.лt 2 Пуассона
сужение),
%
.
21 (65) I) 17 2,2 7,75
17 (59) 2,0 7,75
70 (80) 28 2,0 , 7,9
20 (46) ...... .......
прочныс сплавы
11 24
(10 21)
3,5
2,0
8,2
1,5 7
(8 16)
металлы
49 (76)
4,2 (1,5)
0,3
19,3
27 (78)
9 (25)
15 (8)
Ноаф ;)IIЦIIСВТ
шшсiшоrо
раСUlllРСIlИЯ,
х 10' ....!.......
f?pad
10,1
10,3
1(j,6 18,()
12,7
4, 5
';:2:3
ПРедел Предел Предел
теиучеСТII,
Материал прОЧIlОСТИ, пропор- выносливо-
"r;MM I циональностп, сти, "r/MM 8
"r IMM 2
Молибден ов == 78 от == 76
Сплавы молибдена
{ 200 С ОВ == 80 от == 68
ВМ-1 18000 С ОВ == 1 О
{ 200 С а в == 75
BM 2 18000 С а в == 9
. ( 20" С а в == 43 GO
BM 3
18000 С а в == 12 13,5
,
Ниобий ан == 77 от == 60
Сплавы ниобия
{ 200 С а в == 75 а т ==::: 70
ВН-2 15000 С а == 8 10
в
ВН-З { 20" С а в == 75 80
15000 С а в == 12,5
{ 200 С J а в == 81 а; == 73 J
ВН.4 15000 С а о ==17
Серый
rOCT 1412 54
СЧ 12-28 а в == 12
ас == 50
а ll == 28
СЧ 15.32 ОВ == 15
ас == 65
а и == 32
"Св == 24
СЧ 18.36 а в == 18 a fp == 3,5
ас == 70 a l == 9,0
а и == 36
624
-
Относн- НОЭффИЩIСЮ
тельное 'fBCP;J:OCTb МО;1.УЛЬ
уДffiIНеШlе Y: apHaH :НОЭФФII- ТдеJIЬН1>lЙ линейноrо
по Бри- упруrОСТlI расmlфеНИfI,
(относи- Нелю, вязиость. Е (G) циент вес, е/с.м 3 х 1 О' ..J........
тельное п1:' / .м.м 2 "р .м/с.лt 2 х f O 4 ,,1:' /.\Iм 2 Пуассона
сужение), 2рад
%
20 3,3 (1,22) 0,31 10,2 5,6
10 3,3 lO,
45 1,85
10 (30) 0,2 3,: 3
18 1,85
2,8 (О, 7 3,25
40)
40 50 .
(6,5)
20 25 37 1,06 (О ,88) 0,39 8,57 7;1
(25 35)
18 28 27 1,06 8,6а 6,25
..........
16 20 30
(40 70)
40 43
1"6 (33) 5 7 I
24 (30)
п ро8мженuе п рuложенuя 1
[IYI'Yl1
t43 229
O,8 1,5 (0,45) 0,23 0,27 6,8 7,1 10 12
0,8 1,5 (0,45) 0,23 O,27 6,8 7,1 10 12
163 229
170 229
0,8 1,5 (0,45) 0,23 0,27 7,O 7,2
10 12
62::i
ПреДС:1 f1ре.'1.С:!
l'екучеСТlI. llрсдеJI
Матсриал UРОЧНОСТlI, прuпор- ВЫНОСШШО'
пТ / МJo! 2 шюнальностп, сти, "Т/ММ!
пТ / мм!
СЧ 21-40 а == 21 а т == 0,75а в a l == 10
n
а . 95 't 1 == 8
C
а 11 == 40
't == 28
n
СЧ 24.44 а == 24 а т == о, 75а IJ a 1p == 6,5
IJ
ас == 100 a l == 12
а!! == 44 't 1 == 10
"u == 30
СЧ 28-48 а == 28 а т == 0,75а в a fp == 7,5
в
ас == 110 a l == 15
ан == 48 't 1 == 11
't == 35
n
СЧ 32-52 а == 32 а т == О,85а в a 1p == 7
в
ас == 120 a l == 14
а II == 52 't i == 11,5
't == 39
в
СЧ 35-56 а == 35 а т == О,85а в a 1p == 7,5
в
ас == 120 a l == 15
а 11 == 56 'ё 1 == 11,5
't == 40
в
СЧ 38-60 а 38 а т == О ,85а в a l == 15
n
ас == 140 't i == 11,5
ан == 60
't == 46
n
Белый чуrун а в == 10 20 ......
ас == 70 НО
а п == 30 50
ЖаРОПРС)lШЫЙ
rOCT 2176 43
Х28
Х34
а в == 35
а п == 55
а в == 40
ал == 50
626
ОТНОСI1 НоэффициеН'J
тельное Твердость Модуль
удлинение Ударная Ноэффи- линейпоrо
по Бри- УПРУl'ости УДСJIЫIЫЙ раСШИРСНИА
(относи- нелю, вязность, Е (О), ЦIlСПТ Вес, е/см З
тельное nI:'/M.M 2 ,,!' .м/см 2 х 10 4 пr/.Аt,и 2 Пуассона х 10 6 ......!.......
сужение), ?]юд
%
....... 180........207 0,9 0,85 (0,45) 0,23 0,27 7'2........7,3 10........12
t I
,........ 187........217 0,9 1,1 (0,48) 0'23........0'27 7'25........7.4 10........12
1'0........1'2 170........241 1,0 1,2 (0,52) 0'23........0'27 7'3........7'4 10........12
1'0........1'2 187........255 1,0 1,3 (0,56) О, 23........(), 27 7'3.........7.4 10........12
1.1........1'3 197........269 1,1 1,45 (0,64) 0'23........0'27 7,3........7'4 10 12
1'2........1'4 207........269 1,0 1,6 (0,7) 0,23........0'27 7,4........7'6 10........12
,........ 300........700 0.1........0,5 1'6........1'8 ........ 7,5 :1: 0,2 8:1:2
Продолжепuе прuложеllllЯ ]
...yryn
220........270
250 320
627
Преде.'l Предел
текучести, Предв..I
Материал прочности, пропор.- вынооливо
r/Лt.Аt 2 циовальности, сти, пrl. tM2
'1ft' / .Au.t 2
КОВRиii
rOCT 1215 59
ФеррптныЙ:
1-\ Ч 30-6 О'в 30 О'т :=: 19 О' fp == 7
0'11 :=: 49 О'т. С :=: 21 O' l == 12
't B == 31 О'т. 11 == 31 't l == 11
К Ч 33-8 О'в 33 О'т == 21 О' lp == 8
О'п :=: 53 О'т. С == 23 0' 1 == 13
'r B == 34,5 О'т. 11 == 33 't l == 12
КЧ 35-10 О'в 33 О'т :=: 22 О' lp == 8
О'и == 57 О' == 21 0' 1 == 14
т. с
'ё в == 35 o'f. п == 34 'ё l == 13
КЧ 37-12 Ов 37 С т == 23 О' lp == 8
О'п == 58 О'т. с == 25 O' l == 14
"в == 37 О'т. 11 == 35 't 1 == 13
П ерлитныЙ
К Ч 45.6 О'в :).. 45
!{ Ч 50-4 О'в :> 50 а т == 27 a 1p == 11
cr и == 72 О'т. с == 30 a 1 == 18
't B =:2 52 а т . и == 42 't 1 == 16
R Ч 56-4 О'в :;? 56
RЧ 60-3 О'н 60
Н Ч 63-2 О'в :;? 63
Чуrун с шаро
rOCT 7293 54
в Ч 45-0 cr == 45 50 а т :=:: 35 40 a 1 == 18 ....... 20
в
О'с == 150 160
О' == 65 75
и
't == 45 50
в
ВЧ 50-1,5 cr :в:: 50 60 О'т == 40 ....... 50 a 1 == 20 ........ 22
в
СО ::: 170 180 't 1 == 17...... 21
ан == 90 ....... 100
Тв == 50....... 55
628
ПродО/lжеliuе прuложенuя 1
OTHOCJl f{оэффициен1'
Te lbHoe Твердость l\10;J.У:ТЬ
удлиненне по Бри- У ,J,арная ynpyrOCTJ! f{оэффи Удельный шшеиноrо
(OTHOCIl нелю, ВЯзнОСТЬ, Е (О), Ц1lенТ вес, е/с.\!3 расширения.
тельное 'КТ /.\t.H 2 1irJ1f/C.H 2 х 10 4 'Кr/.Нлt 2 п уассова х 1 О 8 J.......
СУiНеНIIе), I ера д
%
I
ЧУl'УП
:> 6 (7) 163 1,2 1,55 (0-,63) 0,23 7,2 10,5
:> 8 (9) <: '149 1,3 1,6 (0,64) 0,25 7,21 10,3
:> 10 (11) <: 149 1,1 1,66 (0,65) 0,27 7,2,.2 10,2
>- 12 (13) <;;; 149 1,6 1,98 (0,73) 0,36 7,21 10
6 <: 241
:> 4. (3,5) <: 241 0,8 1,74 (0,68) 0,28 7,3 10
:;>4 <: 269
:>3 <;;; 269
>2 < 269
ВИДНЫМ l'рафитом
0,4. 1 ,4 207 269 0.5 1 ,5 1 ,3 1,6 (0,7) 7 7,5 1O,6 11,4
1)5 3,0 207 255 1.5 3
1,3 (0,775)
7 7,5
10,6 11 ,4
629
Предел Предел
текучести, Преде I
Материал uрочпости, пропор- выносливо-
",/:, / .лцt 2 Цllопа"ЬПОСТII, СТИ, п/:' / .AtM 2
",/:, / IIt.At 2
ВЧ 60.2 ан == 60 70 О'т == 42 ....... 55 0' 1 == 17 23
О'с == 200 210 '1: 1 == 15 16
0'11 == 105 110
1: == 60...... 75
в
lJЧ 45-5 а в == 45 55 О'т == 32 ....... 42 a l == 18 20
О'с == 180 200
О' 11 == 65....... 75
1: == 40....... 45
в
В Ч 40-10 О' == 40...... 55 от == 30 ....... 40 a l == 25 ...... 28
в
О'с == 200 220 1: 1 == 19,8
О'и == 60...... 70
АЛЮl\IПIIIIОВЫС сплавы
Цветные
rOCT 4784 65
АМцМ О'в == 13 от == 5
'1: ср == 8
AMr2M О'в == 19 а т == 8
'1: ср == 12,5
АМr2П \ О'в == 25 а т == 21
'1: с ;) == 15
AMr6 0'0 == ;-32 а т == 17
AMr6M 0'11 ==:30 О'т == 15
Д1 (О) О'н == 21 а т == 11
Д1П (3 п ЕС) О'н == 41 О'т == 25
'1: ср == '27
е О ) 0'11 == 22 0''1' == 11
Д6 (3 11 ЕС) a u == 46 а т == 30
630
O l == 5*
a l == 12*
a l == 12,5*
0' 1 == 7,5*
O l == 12,5*
ОТПОСН- НО<JффПЦIlСПТ
тельное Твердость МОДУЛЬ
УДJшнеНJlС Ударная НО<JффJl ШIНейпоrо
по Брп упруrОСТJ1 Удельпый расшпрешш,
(относн- нелю, вязкость, Е (О), циснт пес; е/с.\! 3
теJlыюе -кr/мм 2 nr м/см 2 Х 10 4 nr/MM 2 Пуассона Х 1 ф" ..J......
сужение ), ярад
%
п родолжe1tuе п рuложe1tuя ]
2 З 255 285 1 ,5 J
1,8 (0,8)
7 7,5
10,O 11,4
5 1O 173 207 2,5 8
1,3 (0,7)
7 7,5
Ю,6 11 ,4
Ю 20 156 179 5 7
1,6 (0,75)
7 7,5
10,6 11,4
металлы
n е фОРl\1пруемые
23 (70) 30 0,71 (0,27) 0,3 2,73 24
23 (64) 45 0,71 (0,27) 0,3 2,67 23,8
6 60 0,71 (0,27) 0,3 2,67 23,8
24 0,7 2,64 '2.4,7
18 0,71 (0,27) 0,:1 2,64 24,7
18 (58) 45 0,71 (0,27) 0,31 2,8 22,9
15 (30) 115 3 0,71 (0,27) 0,31 2,8 22,9
15 (50) 50 0,71 0,31 2,8 22
105 0,71 0,31 2,8 22
631
Материал
ДН5, Д1GП
ПЛaIшрощшпые листы
(Я 1I ЕС)
попу- { (3 пЕС)
фаб-
рика- (О)
ты (С3)
П.ТIшшроnаНIIые JIПСТЫ
(3 lJ НС)
ПрОфПЛl1 (3 u НС)
АН4-1
БД17
Прсде,"]
ПРОЧНОСТlI,
ti.r/.It.1t 2
св === 44
а J3 == [)2
'('Р == :21 30
а n == 22
а в == 4:3
а в == 4U
:1 n ::0= 42 ))0
I ан === 43
I а в =.;:: 49
11 pC;Je:J
Т НУЧССТИ.
ПРОПОР
ЩlOlIал ЫЮСТl1.
",Т/.лt.м 2
а т 29
а т =: 38
а т == 10
а т == 23
а т == .Н
:1 т == 40 44
а т == 28
а т == 33
Предс.'1
выносшlВО-
ет 11, п[' / .Н.Н 2
a l == 14*
a l == 91!<
a l == 13**
a i == 16,5*
ЛЛЮl\Iпнпсвые
rOCT 2G85 G3
АЛ1
литоЙ в землю а в === 20 а т == 17 a i == 5,61!<
'ер == 17
термообработка Т5 а в == 26 а т == 22 a l == 5,6*
"ер == 22
тер мообработка Т7 ан == 22 а т == '18
литой в КОКИЛЬ а в == 30 а т ==: 26 a l == 6,5*
(термообработка Т5) "ср == 22
АЛ2
литой в землю а в == 18 а т 8 a 1 == ,),5**
'ер == 13
:штой f! метаЛЛIl- а в == 22 а т 9 a l == 7*1!<
чсс-кую форму
литой ПОД давле- а n == 22 а т == 12
нием
АЛЗ
литоЙ в зеl\1ЛЮ а в == 17 С т """ 12
терl\100брабоТIШ Т5 а в == 20 а '1' == 17
литой n мета.'I.:IИ' Св == 22 от === 12
чсскую форму
теР fOобра ботка Т5 а n == 27 а с 22
632
\ OTllOCII-
Ноэффициепт
тельilOе ТвердосТЬ модут,
удлинение Ударная Ноэффи- линейноrо
по Бри- ynpyroCTlJ УдеJJьныii расширения,
(ОТНОСИ- ВСJIЮ, вЯЗКОСТЬ, Е (О), ЦIlеllТ ве('., е/с.м. 3
Te.:lbHOe -кТ 1.At-'vt 2 1;r .M/C,J.t 2 Х 10 4 ",r/ЛI,\\2 Пуассона Х 106
еужеН\1I ), еР<1д
%
I
18 (30) 105 )
l 0,71 (0,27)
11 (15) 131
18 (ЗО) 42 0,31 2,78 22,7
13 (15)
6
7 )
13 (2о) 12!) 0,72 (0,27) 0,:-33 2,8 19,6 24,8
20 11,) 0,71 (0,27) 0,31 2,75 23,6 26,!)
п родо.1 жепuе п риЛОЖe1-lUЯ 1
с п л а в Ы л и т с й н ы (>
1,0 80 \ 0,72 (0,27)
0,5 100 0,3 0,3:3 2,75 22,3 24/1
1,2 90
0,5 1 O
6 50 \
5 55 0,8 (),7 O,72 О,:1Э 2,1.)5 1,1 23.3
(0,27)
1,8
2 70 \
3 75 0,7 O,72 0,:13 2.7 22 24
4 70 0,22 (0,27)
3 80 ( ), 'I:J
6З:
Предел Предел
теRучести, Предел
Материал ПРОЧНОСТII, про пор- BblHOC:JIII10
пr/.v..лt 2 циопал ьпости, СТII; 'КТ'/ M.w,2
пТ/.м.м 1
АЛ8 (термообра. а в == 30 а т == 17 a i == 5*
ботю Т4) 't cp == 23
литои в землю
литой в металл и- а в == 33 а т == 18
ческую ФОРМУ
ЛЛ9
литой в землю а в == 20 а т ==11 a l == 4,5*
( термообрабОТIШ 't cp == 15
Т4)
литой в землю а в == 24 а т == 21
( тер 1О0бработка 't cp == 12
Т6)
литоЙ в мсталличе- а в == 23 ......
CI{YIO форму (тер-
мообработка Т6)
ЛЛ11 ( термообра- ан == 22 а т == 15 a l == 6,5
ботка Т2)
АЛ13
литой в землю а в == 17 а т ==9 a l == 4*
't cP == 14
литой n металлп- ав == 20 а т == 10
ческую форму
АЛ15В
литой в зсмлю а в == 15 ......
термообработка Т5 а в == 20 ......
литой в метаЛЛII- а в == 18
ческую фОр IУ
термообработна Т5 а в == 22
АЛ19 (литой n
землю)
тср;\юоб ра БОТI\а Т4 а в == 32 а т == 1(j a 1 == 7**
термооб рабо:ша Т5 <10 == 37 <1 т == 2:!. a 1 == 7*
ТlIтан II ero
ВТ1 <1n == 61 <1 т == 47 a l == 26
ОТ4 <1 н == 70 83 а т == 55 ...... 65
634
Продолженuе прuложенuя 1
! ()ТlIосlt I НООФФ<!Ц<len,
I Te:IbHoe ТверДОСТI, l\10ДУ;Н.>
У;:J.:шнсние Ударнал I\ОЭФФ1[. JlIшеиноro
по Бри упруrОСТII Удельный 'ЩСШJJренип
(относи нелю; вязкость, Е (О), циеnт пес, В/С.м 3 ' {'
тельнос nr/AtM 2 ",r ,М/с,м 2 Х 10 4 nl"/.лfм 2 Пуассона х 106
СУЖ ,ние); ерад
,о
12 75 1 }
(),7 O,72 0,33 2,55 24,5 25,6
15 80 (0,27)
6 55
2 75 I (),7 0,72 0,33 2,66 23 24,5
(0,27)
5 70
2 80 ....... 2,94 24,4
3 65 0,5 } 0,33 2,6
(),7 0,72 20
5 70 (0,27)
....... 70 }
....... 80 0,7..........0,72 0,33 2,7 22..........24
0,5 70 (0,27)
0,5 85
9 90 ....... } 0,7 0,72 0,33 2,78 19'5.......21.9
5 100 ...... (0,27)
сплавы
20 30 150 180 7 1,121 (0,411) 0,32 4,5 8
( 45)
1 0 40 229 :-ю2 3'5.......6'5 1.1 (0,4) ,......... 4,55 8.......9'8
(25 55) 1,2
635
Преде:J ПреДe;J
текучести, Преде:;J
Материа.1 ПРОЧНостп. пропор ВЫНОС:;JПВ
r r /.м.м 2 Iщона.ПЬНОСТI1. СТИ, пТ/.м.м 2
1'ir / .м.м 2
ВТ8 а в == 105 118 а т == 95 НО a l == 50
.ср 65 70 :J пц == 75 85
ВТ3.1 ан == 95 120 а т == 85 11 О a l == 48
't cp 65 а ПIJ == 70 85
ВТ14 а в == 95 120 а т == 85 11 О
Медные
Лату
rOCT 10H) 47
Л68
l\1яrRая ан == :i2 С о . 1 == 9,1 a l == 12
't cp == 20
твердая а о == 66 а О ,1 == 52 a l == 15
,,1JA77-2
мяrRая ан == 40 а т == 14
твердая а в == 65
ЛМц 58-2
мяrная cr D == 40 а т == 15,6
твердая а о == 70
ЛС 59-1
мяrRUЯ а в == 40 а т =-=14
't cp == 26 a l == 16
тв('рдая а в == 65 а т == 45
ЛI\80-З
МЯП\аЛ а в == ЗО а т == 20
твердi.\Я а в == 60
636
Относи Ноэффициент
тельноЕ.' Твердость Мод y:Ib
УДШIНение по Бри- Ударная упруrОСТIJ Ноэффи- Удельный липейноr.о
(от носи- нелю, вяз}(ость. Е (О), циепт вес. е/с.м" расширения.
тельное Yi.r /м.м 2 кТ .м/с.м 2 х 10 ' Yi.r/MM 2 Пуассона х 1 06
сужение). epaD
%
.
9 15 ;)10 З50 ;З 6 1,1 (0,425) 0,3 4,48 8.3 9,1
(;Ю 55)
11n 10 З 6 1,15 (0,43) 0,3 8,6 4,5
( 5 10)
6 10 255 388 2,5 5 1,15 ........ 4,52 8 8,7
(25 35)
Продо.1жеlluе 11 рllЛОЖС11UЛ J
сплавы
/т
53 (70) 55 17 1,1 8,6 19
3 150 1,15
55 60 20 1,05 8,6 18,3
12 170
<10 85 12 1,0 8,4 21,2
10 175
45 (41) 90 2,в 5 1,05 (0,35) 8,5 20,6
16 НО
38 100 12 0,98 8,5 17
4 180
637
.
Предс:! lIредеz
текучссти, IIРСДСсl
МатсриаZJ ПРОЧНОСТII, лропор- выНосаиво-
'I'i.['/.м.лt 2 циональности, сти, 1.l'/.м.м 2
'I'i. r / .ММ 2
Б ронаы
Бр. 0-10 а в == 25
Бр. ОЦ8-4 а в == 20 а т ==4 5
Ер. ОЦС 6-6-3
rOCT 613 65
литье в землю ан == 15 а т ==11
литье в RОIШЛЬ а в == 18 а т == 8 10
't cp == 22 а пц == 5
Бр. ОФ 10-1
литье в землю а в == 20 30 а т == 14
а пц == 8 9
литье в кокиль а в == 25 35 а т == 20
't cp == 34 а пц == 13 14
Б ро llВЫ
[ОСТ 493 54
Ер. А5
литье в кокиль а в == 28 а т == 7
мяrкая деформи- а в == 38 а т == 16
руе:мая
твердая lJ е форми - ав == 80 а т == 50 1 == 13,4**
руемая а пц == 48
Ер. АМц 9-2
литье в кокиль а в == 40 а т == 20
деформи- а пц ==11
мяrкая а в == o а т == 30
руемая
твердая деформи- а в == 60 а т == 50 a l == 21 ****
руемая
Ер. АЖМц 10-3-1.5
литье в I\ОRИЛЬ
мяrкая деформи-
. руемая
тЛ('рдая деформи-
руемая
а в == 56
't cp == 38
а II == 61
ан == 60 70
IJ Т == 21
:J IЩ == 1 7
а т == 19
a l == 28****
638
Продолже1tuе прu.!tоже1tUЯ 1
Отпоси- НОЭфФИЦИСН'I
TeJI ьнос Твердость МОДУЛи
удлинение Ударнап Rоэффи- шшейноrо
по Бри- упруrОСТII У деJIЫIЫЙ расширеНИf:I.
(отНоси- нелю, вязкость, Е (О), цпент вес, е/с,J.l З
тельнос r;r /.лt.и 2 п[' J.t/cM 2 Х 10 4 ,,1" /.II.\(2 Пуассона xtf)l
сужепие) I ерад
%
оловЯ1tные
11 80 3
4 75
6 60 8,82 17,1 18,2
4 (6 10) 60 2 3 0,9
3 (3) 80 1OO 0,6 0,754 8,58 17 22
17 tO (10) 90 120 0,9 1.03 8,76 17
алюJltU1tuе вые
55 (48) 65 16
65 (70) 60 11 8,2 15,6
4 200 1,1
20(25 90 120 7 0,92
27)
25 110 130 1.05
4 5 (55) 160 180 7,6 17 20
22 (25 130 (j 8
27)
:\2 (55) 125 HO 1.05
!) 12 160 200 7,55 16 20
639
Материал'
Предел
прочности,
nr/Jv!M2
Предел
текучести,
пропор-
циоиалыIOСТИ,
nr /,м,м2
Предел
ВЫJlОСЛИВО
сти, nr /.лt,м2
Бр. Атс 7-1.5-1.5 С1 в 50
I:Jp. АЖ9-4
литье в НОЮJЛь а в == 55 а т == 20
ДСФОРМII- == 60 а пц == 18
мяrная С1 в а т == 22
руемая а nц == 12,7
твердая деформи- а в == 55 С1 т == 35
руемая
rOCT 493 54
Ер. НМц3.1
мяrкое состояние
твердое состояние
МА1
листы
прутки
МА3
полосы
прутки
ВМ65-1
прутки
прУ-ТКИ (НС)
полосы
ПрОфИЛIl
IIОКОВIШ
ШТЮШОВЮI
64U
а в == 35 40
а в == 65 75
а в == 21
ан == 24
7 н == 19
:ср == 13
а в == 29
'"ср == 14
а в == 28
ан == 35
а в == 33.р
't cp == 16
а в == 34,5
а в == 34,5
"н == Яl
Jfj == 32
а т ==.. О 20
а т == 1 О 20
a l == 21 ****
a i == 18,5****
Б ронва
a i == 11 16
Маrниевые сплавы
а т == 12
а т == 14
а т == 17
а т == 22
а т == 30
а nц == 14.5
а т == 28
а т == 29
С1 пц == 13
а т == 29
а r == 25
01 == 26
a l === 7.5**
a l == 7.5**
a l == 15*'"
Относи- I
TeJIbHOe Твердость .модуль Н'ОЭффl!ЦИСНТ
удлинение по Б pH ' дарнап упруrОСТII RОЭффI1 УДС:IЬПЫЙ линейп()rо
(относи НСЛЮ, 8Я31ЮСТI" Е (О), циент Все, е/с.м З \1<\сuшреНIIН,
TCJIbHOC "Т / .Al.\t 2 1'>F.н/с.и 2 x10 4 пТ/.мм2 Пуассона Х 10 Q
сушение), ерад
%
п родолжеnuе п РU/Юженuя 1
18
10 20 120 140 6.3 1,12 )
(25 30)
40 (33) 110 8 1,12 0,49 7,5 16,2 17,1
5 160 20() 1,16
r.ре.ftt1tuстал
25 45 70 90 }13 17 1.04 8,4 15,8 20
5 10 170 1!J()
Д е фор 1\1 11 Р У е м ы е
8 4.5 0,5 0,4 }О,34 1.76 22, 3 32
4 (6) 45 0,6 0,1
15 (23) 0,43 }О.З4
1,8 , 26.1 31.2
12 fЮ 0,43
9 (24) 60
9 (2<'1) О,Н
10(25) > 0.1:3 0,34 1,8 20,9 22,6
Н)
1
1<i 55
5-118:", fi41
Предел ПреДС;1
ТСl\учести, Пре;(СJI
Матер иа:J ПРОЧНОСТII, прС'пор- ВЫНОСJШВО-
'КТ / .м.м 2 IlIIQHa:IbHOCTII , сти, ",r/.лI.лt 2
r.T / М.А! 2
l\]аl'llllевыЙ сплав
МЛ6
литой
тер юобрабОТJ\а Т4
а п ==16 а, ==11
't cp == 14
ан == 25 а т == 10
't cp == 15
ан == 26 ат == 14
't cp == 16
a l == 8.5**
a I == 9,5**
термообработки То
a l == g.5**
СВlIнец
rOcT :1778 65
ан == 1,5 а т == О,;) 1
1,8 (дефор-
мированныЙ
и О)
a l == 0,42***
ЦПНR rOCT 3640 47 а в == 6.4 а т ==1.0
Нинель ан == 40 55 а т == 6 20
l'OCT 849........ 56 (мяrкое (млrкое
состояние) состояние)
ан == 50 100 а т == 28 90
(твердое (твердое
СОСТОЯIlIIе) состояние)
Мельхиор МНЖМц
30-0,8-1 (МН 70-30)
rOCT 492 52
мяrкос состояние а в == 35 45 а т == Н
твсрдое состолuис а в == 55 65 а т == 54
I1сйзильбер МНЦ 15.
20
!'ОСТ 492 52
мяrкое СОСТОЯllие а в == 40 45 а т == 14 a l == 12 14
твердое СОСТОЯIIИС а в == 60 ........ 72 а т == 59
МОНl:'ль НМШМц
28-2,5-1.5
rOCT 492 52
МЯI'КОР СОСТОШIIlе ан == 50 ...... 60 а т == 20 a l == 17
TBCpДO состояни{' а в == 70 85 а т == 65 75 a l == 26
642
ОтНоси-
тельное TBep;J:OCTb MO;l:Y.:I Rоэффициент
удлинснис ПО Бри- Ударная упруrосТИ Ноэффи- Удельный линейпоrо
(ОТНОСII НС:IЮ. ВЯ8НОСТЬ, Е (О), циснт вес, е/с.м,З расширения,
TC.:IbIJOe nr / J.t.\t 2 "r.l!/c.\t 2 х 10 4 "Т/... fд 2 Пуассона х {О' .....!........
сущение). арад
%
Пр()долже1l е при оже1tUя, 1
ЛIlтейныЙ
1.5 (2,5) 55 0,2 (0,16) 11.81
5 (12) 60 0,3 0,42 (0.165) 0,33 26,1 27.7
1 (3) 80 0,15 (0,165) 0,33
35 50 3,8 4 20,6 2.3 O,15 0.18 11,34 28
(90 100) (литоii) (О)
(литоЙ)
60 70
(дефор-
мирован-
IIЫй)
20 (50) 20 0,53 7.133 39,7
30 50 90 120 1,8 22,7 }
(мяrкое (О) (0,73) 8.9 13,3 16,3
соСтоя- 125 220
IIне) (ню-арто-
2 15 ванный)
( тверАое
состоя-
ние)
40 50 70 1,54
3 5 190 8.9 16
40 50 70 } 1.26
2 3 160 8.7 16,6
! 30 50 110 140 )
(65) 1,82 8,8 14 15
I 3 5 (50) 140 220
..: 1 . (ИЗ
Ма ТСрJ1ал
ПрсТ{е:I
прочности,
nr/MM2
ПреТ{e:l
теRучести,
пропор-
ционаJIыIсти,,
пТ/мм 2
ПреД'::I
выносливо-
сти, nr /мм 2
СтеКЛQШlасты
[ОСТ 1 0087 G2,
[ОСТ 10292 62,
[ОСТ 2910 67.
rOCT 10316 62
на основе ТI\анп
па основе нитей,
ориептирова иных
в двух взаимнопср-
пеПДИRУЛЯРПЫХ на-
правлениях
ТеRСТОЛПТЫ (на ос-
пове хлопча тобу-
мажных тканеЙ)
[ОСТ 5 52,
[ОСТ 2910 67,
[ОСТ 5385 50
ДревеСIIые пл3.стIПШ
[ОСТ 8697 58
rетппанс (па основе
сульфатноЙ бумаrи)
[ОСТ 2718 66
Фпбра (па оспове
специальных сор-
тов БУ lаrII)
[ОСТ 691 о 54
80ЛОRНИТЫ (наполни-
тели:
ХЛОПI\овыr очесы,
асБОВОЛОI\ПО, стен-
ЛОВОЛОIШО)
644
ан :::= 26 10
ас == 10 30
ан == 13 15
а в == 30 50
ас == 23 1G
ан == 10 42
а в == 1,5 11
ac==12 25
аи==7,5 16
't n == 9 10
С'в == 14 30
ас == 12 18,5
а и == 16,5 28
а п == 6 10
0'11 == 4 11
О'в == 5 7
ас == 8 14
СП == 6 9,5
а в == 3 13
С с == 10 15
С'и == 4 13
Пласт И'IеСI\ие
а пц == 12,2 26 :::= 0,22 0,25
а в
а т == 7 8
a i == 0,25 0,28
а в
a f == 0,25 0,3
а
в
a fp == 2
a i == 0,23 0,3
а
в
а 1{} == 5,8
a i == 0,2 0,3
Св
(j l == ;З,5 4,9
a i == 0,2 0,3
0'8
С' i == 0,25 0,3
О'в
Продолжение приложепuя 1
ОТПОСII- Н08ФФ
тельн()е TBCP;J:OCTh l\IО:1:УЛЬ
У:1.:I lI ненис Уларпая Ноэффи Улелъный :шпс
по Бри- упруrОСТII расти
( ()ТlюсIt- IJс:rю. ЛR:JI<ОСТЬ, ь' (О), циент вес. e/c.r.t 8
тсльное r.I'/.лI.м 2 "r лrjс.\t 2 Х 10 4 'lirjMM 2 Пуассона х 106
СужснItе),
%
ициент
йноrо
Р<'J!ИR,
1
er,a(}
массы
27 38 O,5 5,25 O,18 (),22 О ,035 1.1 1,85 0,45 8,3
(O,035 O.O4) 0,622
28 52 0,5 5,25 O,24 O,35 O,035 1,7 1,9 0,45 8,3
0,622
30 0,35 o.o4 0,1 1,3 1 ,45 3,3 4,1
(0,25)
18 20 O,17 0.8 O,12 O,34 1,2 1 ,4
25 30 (8 20) Х 0,1 O,18 1,3 1,4 20
х 1 0 2 (O,O08
0,025)
10 (0,07) 1 ,1 1,25
18 ;);) (15 ()!))x 1).o;) (1,11H
х 1 0 2
1,35 1 ,9
fИ5
Ма терна,!
Тер:\IОрl'аНТПDНЫР
пресспоропши (па-
ПОЛНllтелп:
дрепсспал IYI\a,
Iша рцсвал :нука,
с.:пО,lа)
l OCT 568() 66,
rOCT UЭ59 66
ОрrаШIчрское СТСIШО
(па оснопе полпме
роп II СОПОЛII мрроп
l\IстакрплопоЙ НIIС-
лоты)
rOCT 10667 65,
rOCT 9781 61
ТСр lOпласты
ЛlIIIСЙВЫР ПОЛII lCрl.l
с РU3ЛIIЧlIОЙ СТС'
ПСIIЫО кристаллпза
ЦПII
lIеарын ропа ШIЫU
Фторлоп.4 (фторо-
ПЛаст-4)
rOCT 1 0007 62
I\anpOII А, Б, В
Полиамидпая смола
68 rOCT 10589 63
646
Прt'J1,е l
ПРUЧIlОСТJI,
r.Z'/.ItM 2
:!в == 2,5 6,9
ас == 7 30
ан == 4,5 10
а в == 5 10,8
ас == 7 12
а 11 == 8 17,6
а в == 1.2 8
ан == 1,2 10
а в == 0,01
0.12
ас == 0.017
0/15
a ll == 0.07
0.5
ан == 1.4 2,5
а с == 1,2 2
ан == 1.1 1,tj
а в == 6
а с ==7.5
a ll == 9
ап==5 6
ас == 7 8.5
а п == 7
Прс;:{ел
ТСI\УЧССТИ,
Пj)ОПОр-
ЦIIональностп,
/, r /.Н.Н 2
ПrСДСЛ
ВЫI10С lIIПО
CTII, r. r /.лtAt 2
a l == 0.3 0,4
а в
a l == 0,1 0,16
а в
a l == 0,15 0,2
ан
ОТПОСН- Но::,ффпциент
TCJlbHOe TB PДOCTЬ l\'Тo;(yпъ
уд:шнеlllIе ТпарнаfТ НО()ффl1 Удельпый JIllНеЙIlOrо
НО Бри- УIlруrости раСIIlIIРСIlИН,
(относи- не:IЮ, внЗ«()СТI" 1:; ',О). Ilиент ВСС, e/Ot 3 х 106
тельное 1,[' /.Н.;I,2 1.]'.\!/С.\l2 Х 10 4 r>T/M.At 2 Пуассона
СУiКснш") , ера
%
10 60 O,O3 O,8 ........ 1,3 2,7 (O,22 7)X 1
2.5 23,2 12 25 (4 33) х O,O27 O,041 1,18 1,2 6 120
х 10 2
...... 3 16 (),0015 O,O07 ........ O.92 2.1 .........
1.5 14 ......... (O,16 0,OOO37 ......... О ,O2 0,6 (3,5 7,8) х
2,2) х 0,002 х10
х 1 O 2 (О,О()() 15
0,00(19)
300 350 3 6 ......... 0,O017 ......... 2, 19 2,35 (8 25) х 10
0,0085
150 200 10 12 1,5 1,6 0,0141 ......... 1.1 1,14 «() 15) х 10
(O,OO!l;)
0,0(48)
100 10 13 О,И12 1,11 (10 12) >< 1
Продолжепuе прuложеllU.<1, 1
о
о
647
Предел
Предел текучести, П реДСJI
Материал орочности. пропор- выносливО-
"r /.At/tt2 циона;;JЬНОСТИ, сти, 11.1" /.м.м 2
11.r/MM 2
ВИIIипласт а в == 4 ....... 6
rOCT 9639 61 а == 8 16
с
ан == 8 12
ПОЛИЭТlIлеп высокой а в == 2.2 4,5 ,
плотности (пизноrо ас == 2.8 -1
давлеlШЯ) а и == 2 3.8
Полистирол БЛОЧIlЫЙ а в == 3,5
rOCT 9440 60 ас == 10
а и == 9.5 10
Лед
Каучук патуральпый
Стекло
rOCT 10135 62
Базальт
rрarшт
Известняк
п есчапник
Мрамор
Кладка из rранита.
извеСТllяка, KHp
пича
Б ОТОН
648
Дp rие
ав==1,6 Э.8
а в == 3 9
ас === 50 200
ан == 5 15
ас == 25 30
а п === (),
ас == 1 2Н
Ci C == 5,0 '15
а в == 0.2
ci с == 4 1.5
ас == 10 18
a u == 0,02
0.05
ас == 0.25
0,9
ас == 0.5 4.8
Продолженuе nрuложенuя 1
Относп НОЭФФIlЦИСНТ
тельнос Твердость МОДУ :Ib
УД:Iинснпе 1 да рва я Rоэффи Удrльный ЛItнейпоrо
по Бри упруrости расширения,
(отпоси нелю. впзкость, Е (О). Цl!СПТ ВСС. е/с.н З х 108 ......!.....
TC:IьHOe r.l'/MM 2 ), СМ /С.!о! 2 Х {O 4 "r/M.!o[2 П}'ассона
сушение). ераи
%
10 100 13 16 0,5 0,8 0,03 0,Oq 0,354 1,3 1,4 (6 7) х 10
250 900 q,5 5,8 0.005 O,O08 ......... 0,9Ii 0,96
0,4 ,7 14 15 0.16 (),2 0,012 0,o32 1'o5 1,1 60
материалы
0,1 (0,25 50,7
0,03)
600 70() (0,6 1) х 0,47 0,91 (1.8 2,8) х
х 1 0 4 Х 102
0,015 0/18 0,85 0,18 0,32 2,2 8 0,5 15
0,025 (0,()22
0.032)
2.7 3,3
0,49 2,5 2,8
0,42 1,8 2,6
0,18 2,1 2,8
0,56
2,5 2,8
j
0,09 0,1
0,06
o,o27 0,03
0,146 0,232 0,16 O,18
} 4 7
1 o 14
()49
Предс.:1
Пре;т.е:1 тснучести, ПредеZ1
Матерпап ПрОЧIlОСТll, пропор ВЫIIОС.:1IIВО-
1, ['/ Лtлt 2 I \I1U IIaJlhJlOl:TII, стн. r;r /.и.м 2
1, C/.AtM 2
Сосна обынновепшш cr B == 9,31 11,5 (jпц == 6,1
(15% влажности) cr c == 4,27 4,66 а пц == 3,1
ан == 7, 6 8,77
"ер == O,62 O,73
Ель обыкновенная а в == 1O,7 12,2 cr пц == 5,6
(15% влюЙности) ас == 3,85 4,23 (jпц == 2,7
а и == 7,74 7,22
'ё ер == O,52 O,67
[) ерсэа ООЫЮlOвенная Ci B == 16,1 21 С"ПЦ == 3,;'
(15% ВJШiЮlOСТП) Ci e == 4,37 5,3З
:111 == 9,67 10,8<1
"ер ==O,85 1 ,;)3
Тополь ( 15 o В;IaЖ cr n == 8,69
llOСТИ) ас === 3,47
Ci п == 6,09
"ер ==O,54 O, 71
Акация (15% В.111Ш- cr B == 16,9
JlОСТП) ас == 6,65
си == 13,92
'ё ср == 1,25 1,4
Бук кавнаЗСНИll (15% cr n === 12,91 а пц == 7
влажности) ас == 4,74 а пц == 2,9
а и == 9,53
Тср == O,99 1 ,31
Ясень (15% влажно- cr B == 14,4 lв,6 cr пц == 7,4
сти) Ci e == 4,5 5,1 Ci ПЦ == 2,7
а и =: 9,8 11,5
"ср === 1 ,11 1 ,38
650
Продолжение при.rfAJжеНIlЯ 1
Относи- Но;:tффициент
тсльное твср;{ость !\10;{УJl, ;lIIпсiшоrо
У):{ЛИПСIIИС по Брll Ударнаf! plpyroeTJ1 Нозффи- у ДСJl!,н Ы Й раСIllИрСllI1R.
(относи- нелю, IJН31<ОС1Ъ, .Е (G), ЦI\С11Т нес, е/С.\13 X10'
те;н,ное l'ir /.11 ,Л\ 2 lil'.\t/CJ.1 2 Х 1 O 4 ,,1' /.Лt.li 2 [!уаеСОllа
сужснис), l,a(j
%
1,99 2.7 I),18 O,23 O.102 O,1q5 0.49 0,48 0,54 l3 lOJl ь ВО ло-
(0.0055) КОII :),7;
nonepel{
[юпокоВ
6З,6
1,82 2,52 0,18 0,19 0,11 (0.0055) O,4q 0,46 l3;lОЛЬ поло
НО!! ).4;
IIоп('рек
IЮ.ТJ.ОКОll
34,1
2,98 3,92 O"H 0,54 0,15 0,184 0,41 O,64 O,73 Вдоль во-
(0,0065) :IOНОll 2 5
1,73 2,5
0,19
0,13 (0.0055)
0,46
Вдоль по-
ЛОКОll 2 5
...... 6.19 8,81 0,92 o,o9 O,16 ....... O,75 O,81 ВДОЛЬ во-
(О ,OO45 локон 2 5
0,o065 )
...... 3,79 5,71 0,39 0,127 (0,0065) 0,58 0,68 Вдоль вол о-
КОН 2 5
5. И. 7,;)1 (),;j (),4 ) О.12ч О,1fJ
(0.oOu5)
0,43
0,66 O,71 [)доль IЗО;JО-
КОН 2 5
651
Предел
Материал Предел тскучести, Предел
DрОЧНОСТИ, проrюр выносливости,
fi,r /.м.м. 2 ЦllоналыlOСТИ, fi,r/MM 8
1.l'/м,м,2
Дуб (15% влаЖIlО- а в == 12,88 а пц == 2,9 I
сти) ас == 5,2 а оц == 7,4
ал == 9.35
"С ср ==O,85 1 ,25
Липа (15% влаЖllО- а в == 11 ,58 G пц == 4,5
сти) ас == 3,98 а пц == 2
Си == 7,8
"С ср == О, 73 O,8
Ольха (15% ВJlaiIШО- а в == 9,63
сти) ас == 3,87
ан == 7,1
"С ср ==0,78 (),85
Клеп (15% влаЖllО- ас == 5,2
сти) а и == 10,53
I 'cp I,13 1,29 I
I
I
.. Предел ВЫНОС:JИВОСТИ получеtl Шt базе 5 х 10' цшшов.
.. ПРСДСJI ВЫIIОС;llIВ(,СТII получен на базе 2 х 107 ЦИНJIOВ.
...... Преде;I ВЫНОСЛИВОСТИ получен на базе 107 циклов.
*..** Прсде:l ВЫНОСJlIШОСТИ ПОJIУЧСII на базс 106 ЦИКJЮВ.
"'......... С1 п ' относительное удлинсние 11 относительное сужение приве;:Jены !(.'/lI
СОСтояние материала: О ОТОiНжевный; 3 свежезакалеllНЫЙ; ЕС естествснно
Термообработка: Т2 ОТШlIr; Т4 закаJlliа; Т5 sакалка и KpaTf\OBpe:'lCНlJQC
'1'7 эанална 11 стабилизирующий ОТDУСИ.
(j52
OTHOCIl RтJффИЦИСНТ
теЛIJНОС Твсрд()сть Модуль
УДЛlIненис Ударная ноз\)фи ЛИlIеi!1I0rо
по БрlI )'пруrОСТII УдеЛЫIЫЙ раСШIIР('II!IН,
(относи ВС:llО , внзкость, Н (О), ЦИСIIТ ВСС, е/сJo.t 3
ТСЛhНОС nr /лtм 2 nl' Jrtjc.M 2 х 10 4 r.rj.Аtлt 2 Пуассон" х 1 О.
сужение), ера
%
4,63 6.53 0,46 O,073 O, 151 0,43 0.76 Вдоль
(0,0065) волокон
4,9:
попеР('I
волокон
54,4
1,56 2,34 0,28 0,09 (0,0045) 0,51 Вдоль
волокон
5,4;
попеРСI\
ВUЛОI\ОН
44,1
2,48 3,67 0,25 0.132 (0,0055) 0,53 Вдоль
волокон
2 5
5.06 6,9 0,37 0,118 (0,0055) 0,7 Вдоль
волокон
2 5
I
Прод(lлжеJU,lе nрuложен,u.<t 1
те:>шературw 1 б:JО" С.
СОС1'арснныЙ; ИС I1СJ<УССТВСПНО состаренный.
щсполнос) IIснуССТВСIIlЮС CTarelIlIe; Т6 закалка и полное и СНУССТВСНllое старение;
(j5J
;=
с,)
*
с::
111
=
=-
Е-
=:
Q;)
g
ci
е
i
.Q
..
I
..
со)
..
l1l:I
=-
=-
Е-
=
Q;)
1:[
:; I
>:S:I N 1..'":1 c'f:)
0= c'f:) ф
t::t:: o ' o
..сс:>
I=::E с:,. I I
С:>о:: t-- Ф N
.... N If:) 00
=с:
I о о о'
g: I I
р, ;;; ""- t! 1..'":1 If:) If:)
: g 11 !-.I o 6 о
= I I I
t:: о- с:,.
с:>.... N N N
:=t:: CtS О o 6
C:> ...
= (,)
>tЭ<t:: t:t: "':; I I
о о о
о.,.. 1::[ tJ 00 N
:.!i
!с
N
....m.. 11
t:: I
Q):S:
=:1:: ,'7
c)
=;е ::: '17 с:;)'
>tЭ<cr:
>tЭ< :=i 7 7 If "" ""
rot:: iIi! "t-
0<:5 ..... J ",' С:;)- :;;
Xt:: О ......... ......... .........
= 1..'":1 1/ / I
:::1= I 1( 1( 1(
a:: 7 7 [Т с::)
CQ<:5 О О О
=0- О J с\1 00 ':!'
........ c'f:) :s: .....
Xt:: С;:)С:;)
Q)Q) 11 CQ. 11 11 11
>tЭ< -....:- -....:- CtS
...
>tЭ<а:: (,) brt:. CQ CQ
С\)О Ь Ь
IJ;; = t:t: I I I
р..
1::[
t:t!
(l)1tSI 15:
=:= 1=
t:: =
=(1)
C!:)g. О
i If:)
IIS::= I
== о
i3g c'f:)
11
N <с:.
Е-о= .' ","' '"
(1)(1) 1/
P. =
g= I
1::: Ф ffi
cr:= ...
=
11::1: ctj
(1) Р,::: I
:Е I=:
р,О<:5 Q Q;)
o-I:I::E-o ::.1
=
Q
1:1::<:5$ о Ф
<tI........ ::a ::: :::
;:;:t::= C:::E-t
... CtI
f t.> *
U C)
с!:) p::jl';
I и/и .....;
C'I
Q.)
=
tI:
с)
!Е
о
1';
=
р..
J:::
:а
..
=
Q;)
=:
1:[
=
8
654
о-
h
- CY:I
:;j
.......
'1- 1:1:: со
I С:)- I "'"
Е-<
, ' с::: <о
, . j ! ... :: :.е .,...,
;> о
...
WД ............................... + .,
:...... @
:.е :.е :..: I .....
::--1 oo ::::> ::"1 11 ;>
/J l ) v ::!:;
L . \:) ..,... ..,... ,.. с::: ;:::
QI " ,, ,,;'.) II II ' CD.. :::;: -:";1
Е-<
Ф
ь \J Ь Ь
5. I I I I :;j .:з с:::
р. ..... ..... 1=";
t:: ::::( '-oj со..! ""н t:: с 1) >8<
с::
! ....
с$
о <:'.!
u':>
I
о J
l;i"J ......11'
11 ..,..
C'.I ;
1:: 11 \'1. ""
о-
1::; '
Е-<
h
lli
..... .
/EI
g i J
:;j \о
:::;:
' h
сх: , с':)
i:Q ::::
.
N
653
<:\!
с:
::i
:х:
с::.
R.
:s:
E-o>:sl
8==
t::
С;)С!:
Е-оо.
;; 1
t;:::: I f
CD. t!
tl'g 11
Е-о о. е;,.
:I:iE-о
э:::::
<1>
::r
:S:::::
>8<0
>8<:'::
8:.::
о I1:ICV)ФI1:lС"1 ['. 11:1 11:1
ОфCV)С"1С"1 ['. cv)
CD. Л I:"i' ...: ...:
Е-о
::::':SI
::: 00 ['.CV)CV)0 OC"1 oq
a ::.... о "1"!."!. с"1 ['. -.::\' cv)
:;:: QO c'i ...:
"'11:"""'4 "'11:"""'4
>8<С: et:"
(1:>0.
ot:: t) о
:.::<:5 '" ООООООф O ['.['.
:::: "::i" C"1 "!. . ОфCV)С"1
,::;: ...... yt C"1 ...: ...:
::е:::: "'11:"""'4"'11:"""'4
::::5;
i:Q<:tI
1S:0. C"111:1011:l0 C"111:1011:l
E-оЕ-о I
:.:::::: 00 ..,..,C"1 oo
с;)с;) 60666 6666
>8o::r
>8<::::
(:)0
:J; QI'1::3 11:1
q ..,..,
E-otl
::::':SI
gs:s:
::r::::
::;:<1>
>8<:Е
>8<а::
(l:>c,
ot::
:J;<:tI
::::
=
5
<1><tI
tl'o.
ISiE-о
Е-о=
<1><1>
g-g
@
a:
:=t:r
=:.::
t;
15
:::::.::
<:tI:S:
<:5E-oI=:
::2::::::;:
(!)(!)
:S
U(!)
r.::
(1:>
UjU w'
::i
Q.)
1i\
'::'
('"с)
а
['. OOOCV)
С"1. ..,.., ф cv)
с"1 ..,.., ...: ...:
...
"l
00 ['. "::i" О С"]
Ф L') "::i" cv)
C'i"':"':"':"':
0['.0000
с"1 Ф "::i" cv)
c'i . ...:
Ф..,..,-;::оф
O:.o cy)
C'i"':"':"':
С"1..... М ООСУ)
"::i" Ф L') <:r:: С''';>
N '"
:'\J1[j01[j0
OO C"1
66666
L')
656
О с"1 ['. 11:1 О
C'l. ..,.., 00 ..;:j< cv) СУ';)
С"1 ...: ...: ...: ...:
О с"1 11:1 О 11:1 С
OO C"1
'....-. 66660
\[j
"!.
.,...
,.......
..,...
"?
...... +
l1':I L') 11
...... C'l IIIIN
'4\"'=! '" 11
11 11 :1
"': ,..
со.. с:: ф..
.... ... р. . ..., ". :;O
с::
ro ':::: 000 ..,...
;J8 C3J -.::r V
II 11 ro \1 !\ 1I Q!"'=!
Е-<
I"'",=! <:) i:Q а:
ь ь ь
1:I::....::s: 1:1:: I I I I::i
i5..a. 1:; р.
1=:( = 1=:( "'"'I 1::::
tШЗ
о
u? ..
I
о
м C'J <$ <'{
11 11
"'=!
[ q \"'=!
t:: ::::
...............
Е-< I
1":
ro
Q
с::: CI)
<:)
о :s::
:::1
i Q.)
1'"
r::: ;;..,
ro р.
со ::е:
cf5
G57
t;
O
:х:
;::s
З
Q.) E
>.:>.
C::
с:> I
: I I
;::s
;;..:::, t:I
t;'S 11
Q.) со
:1 QЗ1-<
;;::1:1
:::rQ.)
;:;9
-8<
с:> -8<0
ro
с:> :.:
t::::
f-< cYl.
=
S:s:
r::rQ.)
:E
>8;
C';>
ОС::
,;::: --'
Sё
!ё
So}ф
:e:g
(1;)0
:s;
f-< t:!
::s::
:S::S:
r::r:l:l
>800::
фQ.
о;::
:C:
,=
;S:!S:
:G::i:
c:)r::r
C)
t;'Q.
I ;s:f-t
1-<":
Q.)Q.)
r::r
0:1:1
<:'>0
f:-t
:S:
tt::S:
cs:r::r
tI;:C:
с) I»:s:
tE I=:
p,c:)
e !i:;
;!'!;r.;
С)С,)
UQ.)
1=:
ro
и/и 'i,\('
658
о..
....
:s:
::ч
<:1.1
i::: J::::
CQ>&
, l[j с<';) r-.. :'1 t-- t--
со) '11> С"",Ф :.оН ).1 OOOOOOt--t--t--
600000 000000
Е-<
<:)
1:1::
r=: Lr.I Lr.I L":> Lr.I \:') L":>
:::!: : ('t! С'1 \:') t-- N Lr.I С'] L":> t-- NLr.I
N 000..,.....,.....,... O O O ..,... ..,...
11 000000 QOOOOO
j"'=!
:s: CQ О =>
" --. Lr.I N
С. , .....
!::': ;,:
ro
:':1
u
Е-<
1:1::
1:1:
о
Ш
&-
""
'-<'
--..-
,....
?>.. со <:.::., 0,,;:' C'-J <:;::,
<:;::" <::::>' <::::J' '
?'
N
11
QI
(:)
\
I
?
11
"(:j
t:::1
о..
t::
::::
:::s
""
"::5
1"
r;;, (::>
<:h "J. С:> '.r;, <:::,
..... "'i ....; '....
р..
CI:I
1:::
,........
..,....
u II
"" ""=е Е-<
с::
?' О
---... ---... ><
+ ro
IC :.е
00 N
NLr.I V 11 ?' ? I.r)
11 11 Ql"'=!
CD..
t:::
\:) ь с,)
1 I 1:1 1:' ro
р.. ro :.::
"""'<N t::: ::: 1::
м>&
.................. .............. . -
о
МОNФt:--
А M с'! "': О О
..............
:::
с> ФОООООФ
!<: ао N OO
............................,..;
t> с>
Lt';> ""'Lr.lООфl'":)
\1' N..,....OCO
"f!"'4"' "' " "
,::;: "'I NLr.lOLr.lO
с,)
1:; q0..,......,....N
ro 00000
Е-<
о;)
I:!:: I't! u')
1:; О
ч
. ,......
659
::1
;u
W
<:>
Q..
1:::;
E,:s I
0=
;::;с::
c..>
;:-;
;01:::
I
::;
::; I I
tr';::cr:.. ts
...;:; 11
tI; с1'
Q.)!::
::; ...
t:<Q.)
S
g
ro
о:.:.
;r;
с> NO OO-.:t' О OOON-.:t' -.:t'::'\1 00 =:-.:t'
'" M ...... ..... CJq. .....-: M "!. ..... cY::NC'1
f-oIl..."'С.. Л 'C'""'I "'11:"""'4 N ";
:t = ...
Q;:;; NOO:.cNOO """ ' r-- С cv: !'o:DNIOOO
::::: с>
g о() IO "!. С. !'о. '-: "!. "!. Ф tq "!.
>& . 'OII!""""I ..... ..... """'''''''''''II:"''''I
09
:, t:: " с>
С"" :; О '!) =" :..::: OO ОО ФО
;:: ц-:,
Е-< -.:t' ::"t ..... O С. "" N.. ..... O t:-- -.:t' "!. ...... .......
:;: <:) v; "'11:"""'4"'11:"""'4 .....-4 "'11:"""'4 .................... .....
::::
::::::r :з
""
::с... >-I C'\] Ol C NI ";)CI C С'] I О L'j О
E-- оо..........::"! Ос.......... С'! ОО..........С']
::; о.ооос. 06666 00000
е@
>&с::
CТ:: IO
Qi с'! tq
..... ..... ......
...С!
5::s:
ё@
:s:c..>
>&;е
>&а::
C1:I,",
о=:
;':;""
oIS:s:
=::;:
:C:t:f
a
:S:
E-оС::
(l)а.>
g-g
(1)0
Е-<:с:
=
a:
t::
",с:).."
o.c::
oc..>
",,:C:I=::
=('j::=
c..>
c..>
Ut:;
C1:I 1
I
и/и \L
а:
:1:
Q..
:;::
660
I
.....
0-
11
....I
-.:t'
f::;:
::Е
:о
i:C
с::
t::
<'.)
t:x::
i::[
м 1;-.' C-J
-<
:Е -< -<
00
N- IO С ф
00 < I :::..
o <: CYJ ---"oo
I .:::)..... c:;C с:;0.
I g 12 I
о CtJ со:; со ct:ф
I a а6
<'.) I;:;<u I
t:x::IO o:oOt:x:: oo
--: r:=:< r:=::"::
т ч::;:::::: < t::[ <
<:d
::rJ
r...
с"
00 I ю",)
IO
rc
r:-. 1:: <'.)
М N f-oc::
< < t:x::r:=:
:2 <
IO- Х '.::::
00_ N- -6'
:s <00.....
Ч cn.C3
CtJ ";. с:; I ,.....
о с:; о с:;
I @ ctJC''" r:=:;;O::
t; r:=: 5 aOO g-
<'.) 5:"1 ;:; I <'.) <'.) _
t:x::IО: I:I::ICI::З
о r---I=; r:=:.:.ot::::;::
I t::[ ..... t::[ <: ч - h!:
.....
с5
11
А ....:
......
I ,'"
.....h f::;:
о: t:x::
I=;i
t::[
u
;;;:
о
0:1=1
;;;: !j
::Q
:::::;:11
Ф;;;:о
C"o..
Q,) ..... .....
0...........
1:: r:=: f-o
о J.J
=
,;;;: >,
sol=l
=CtS
с,) tI1
><octJ
U><:C':I
t
о ."
f-o I u
::Q
<'.) с.
<'.)
о '-'
::zC ::;:
с::
1--
I=;i ::S l с..,
CtJ CtJ t С:(:
I
..,. ф.:.оr:-.r:-.r--
60000
Z-.-:-1
t:: :;; !O-I Nl1':>Ol1':>O
;;; q, 0_ .....h "!.
, ----- 00000
Ф
"=
f-o
\,)
V' I"
::::r ь r: о.
....,I\".
I
::
:;
...
о
IO
I
о
r:=: СУ:>
CtJ 11
f-o
u
CI: 1::
I=;i о..
t::[ 1::
I CtJ
t:::1
<'.) CtJ
.... C':I
.... CtJ
t:x::S
!5 1=1
Q::; !j
i::'; ::Q
<li
J::t:
Ф::;: ;:;а
0..::1"
1=1;;0::0
0з
CtJ f-o
Ф,::;: ::r:
><0;;'"
U:S 1=1
=--
о
f-o
::а
с:; l
:,.)
IS: v
<'.)
О
....,
с:; в
.....
I
'
/t;;$
. i C'I
t;;;:)"
"'- ...
<:$
l'
:r-, <::,
." .......
"' ...
.....
:.с:
00
оIO
.....
н !I
a:I
\:)
I I
"""
.....
:s::
titi1
(N E::s
:2=
о:: 30
;::; :::::€
;z: c.:>tt::
c:u T
со
t:c I I
:::! i:C
о... :::: i:S
-=: ::<.... 11
::r
c:u '" е;,-
.....0-
...
c.:>
ё ф
t:f
.е.=
со -g
't>
со ,5:? ;,:;
о... >--i
t:;
3
1:;:::
::r
c.:>
.е.:::
>&ё::
gg
:'::2
. =
=8
Е9с:
....0.
:t::c
с.:>Ф
?t:f
'0'=
()
tS
':s
g
!S:Ф
>&!Е
>&tt:
0)0-
0=
;':;ш
1:=
!S:=
;,:;IS:
g
::<0-
!S:
:C
Q)Ф
o-t::::f
О:С
ФО
;,:;
!s:
c:::1S:
:s:t::::f
:с;,:;
=:
::::
1>00",
o.:I:
!:"ОФ
"';,:;
:
:;::с=:
с.:>Ф
r><::S
UФ
::::
о)
и/и i't
662
<::r
ОН'! Lf";)
L L r-- r-- r---
00000
..I
C'J Lf";) О L О
OO C'J
00000
I"
........
;>
+
11
it-
....1...
о-
t:::
,..
cn..
L r--- C'J C'J '.:!'
'::" Lf";) r--- r--- ["
00000
Lf";)OLf";)C
OO""" C"!
60000
O
О
t:!::
<'.)
Е-<
tI::
I:':!
с
II
-;,.с::.. ц"l
..... . с::$ c;;:;j
;>
;:
<l> :::
t:"',.g..
fi
Cf:)i:-<
i:C
\:)
::::;
о-
"'.
о:::
<l>
@
t; :.с
t:!::
11
:;;
:;;
-.....
д.
'"
;
iQ
ь
"I
о-
с
Е-<
1..
......
'"
0о:<? -.::t'Lf";)
L.... 00 00 00 00
00000
"I
C'JLf";)CLf";)O
OO C']
00000
: >-
Lf";)
о
с
с
C"Joor---OjLf";)
C"J С) r--- L -.::r<
С'1
л
с
00
C'Jr---Ojм
СОО Lf";)-.::r<
C-J "
<=>
'"
\,
r--- C'J :;::, L r---
r--- L....... '.:!' М.
11111:"""4
C'J Lf";) О L О
oO C'J
00000
d I
l1jф
s. .
---,:;:)
C'J l1j L =-
OO.,..........N
66006
О.
......
lJ";) о L":> lJ";) О
M ...... oq, <:.О. lJ";).
NN.................
N:.o:.oOOOO
.....фt"'-lJ";)-<::'
...;
'- О , О '-
00.00. :.о. L":>.
N L'"":) С 1": =-
oo...........
000':5-=5
О.
......
ф ;::) -.:::<'L":I t"'-
lJ";) 000000
6606-:5 А
ti
ii
'
:ос
<'.)0
t'::S
A
M lJ";)lJ";) C'I ..... M
Ф. Ф Ф q Ф Ф. Ф. r--: 00. ф. ф. С'-;.
000:;):::;. :;:)ОС:::;>С 00000
....I
;'\) 1":1 О L":I С :") 1 ":> О 1.1,) <:) :'\1lJ";) О lJ";) О
:::> О ..... ..... С'1 О О ...... ...... N :;:) О ..... ..... N
00060>::::" -::i660c 0.с'-0.60.
;,\1.() О I() О
OO...........N
0666с
О
N
:.o NO
"".,....ФI:'-oL":I
.. .. ...
...... м N ;'\1
N О 00 Q L":I
..: ..
:;-,) :.о С 00
Ф.ОО. t,,: L ":>. -.::::.
.......
:"1''':10':,):::;>
-::> О ...... ..... ;,\1
:;66ос5
о
N
I""
lJ";)
о
О.
.....
О
N°
663
:'\)
r ::3
E-<
o.
55=
Е-< ""..... 1 ....
t:: I I
s t$
t:f 11
t: с:.<
ФЕ-<
::;;tI:I
t:fCo.>
t:f
.....::;:1
>&0
>&:.:;
ro
:.:;
;=;
s..
=z
;х;
о
о
1::::
f<C""l.
;:::,:;:
Co.>
::::::;;
t:fc.>
z:E
o:тJl'""t
О.....
::e
,:::;:
;:9
S
.....0.
E-<
:':;:1:
c.>
""".....
>&:::
g
t t!
З,:s;I
:s::::
1:1:::
З
А.....
.&0:
roo.
,:: .....
:s:.....
:.:;::
01:1
фCl:S
С"о.
:s:
:I:
фс.>
0.1:1
О.....
::;;
о:=>:
:s:S"
:t:.....
ф I»:s:
:Е
=[;
r:!
tIi",,;:S
=
Ф
х:О::
U
Н
D./ u \L
664
со
11
,
а
ct:
<'.)
t:;::
I=:t:
p::i
t.J
8-
;>.
t::' о,
а "'"
5 00
11
;::5 :ос
t:;::Ф
r::;N
ч"
"!
..,..., ....
'8
(..... t-----
C
I .
Ю
..,...:::-<
I .
";. C'l
с ",," .,..
I:E-< <
...;:i<c--5'u5 c ::5
<c I......
:.E:.E<ot=:::
tJ":)
-:5
I
со
,,""
:;
11
I
i:Y";
СУ;)
о
11
IQ
:::
C:Q,--::-
"J
.......
5.
t=
r:::::,,
C>L.
,..
,.
ro...
:''':1
CY:i
О
'\t..
II
t:!::
=
;з ct:
.....0...
00...
р..
t=
с":)
=
t:!::
<'.)
Е-<
t:!::
t::t
о
i><
@
''"='1
r::;
'4'
?
с;}
"A
с5
"'o
r:::::,,'
11
QI
1
C':I :\I
I I I
00 Ul.
11 1<.....
lJ";) - I
N<
5 ---q t ::E
; .... -.::" М r--:
t::: <
t5 L'j I.::E <: <:
о:: NLI5 ф
< .....
:Е::Е<ч
-::t'...........0 Ф C':I Ф t-- Ф
:::t ф. oq, '4. q. t'-:t'-:t'-:O:
асс о.... 00000
""
::;
::'1 lJ";) аюо N L'j О lJ";) а
:.: I q.q ..-:.C'! q.q..-:...-:."!
'::S:I 00000 00000
с,)
t::: \1
ct:
.... tQ
U О
q О
t::: I .... N
с..
q:
о МО t-- ..... .....фО t-- Ф '" N
t'-: q ';. c-q "! oq, . cq "1 c-q oq,t'-:Ul. "1
л ......... "'II:"-I ...... "'II:"-I"'II:"-I......0IIIt""'I 1IIII:"""4 1IIII:"""40111t""'1
:;
:;; ..... "1 ::'J N lJ";) t-- 00 t-- 11':1 Ф MNOOOO
с;: :.q, 1.. 1. "1 "! qUl. c-q,,! t'-::.q, c-q"1
IIIII:"""4 "'II:"-I 11111:"""4 '" """'""'
\:) :.ом r--.N .....OO c t.... о ..... С"I М с:>
-.:::. "!"! ul. ';. с\ c-q "! ul. 1..1. ';. cq "!
v; 'OII!"'""'I1IIII:"""4 0IIIt""'I "'II:"-I"'II:"-I "'II:"-I 0IIIt""'I1IIII:"""40111t""'1
,;:::: ::'JlJ";)ою:::, N lJ";) О L О ,,] 1<'";) С 1:';) С
-=: '"'! о О ..... .... ::'1 q. O.. .. ='!
C,J ' ооосо
r;, :::'0000 ООССс
се
....
u
о:: I lJ";) q q,
I О ...... C':I
а
r::$
з
0::0
::S:I
3 :а
:::t:::::
:::.J
o.. ...
g; с
ah:
:; .
U::S
I
::;<
а
....
:3
C:I
u
u
о
:3
r-: ...,
с':! с':!
;J:
i ,
at
J
'C.
с.>
i::
t:1
:;.-,
о-
665
с\)
:::s
:t
s:::
Е,::;
с:::: ..... о;, 00 r-- r-- ...... .....« ......N:.= 11';)
== oq,oq,Ol q "t r--:. ol o;, q qc..c:
,:)ф
5:€ 000............ 0000......
!::: "";:;; ";:;;
....0. :!;
I ;:; '"'
&:: I I
».... ,. C'J , С С ::'-.1 0 0 С'1 L":i О L," О
р" :::'Y"l. tS 1"':; q"'":."'":.C'l qq"'":. C'l О q,
t:1 11 о 00000 00000 О 00000
O:S "... 00 ......
:::Со
I1 А
g 1:0
\.} t)
>&0 1.... q О q
>& Z. ...... N ::::: .....
8:с: о-
::r:: 1:: :::1
,,,"
::::=
S::'=
а=
::::
>& .,
>&0:
roo.
0=
:C:
,= ;
::s....
0;:"'"
;::i::f
....o:s
....0.
!;;!;:
ф....
>&с.:>
>&;;:
C!:i'O
:с:
!:S
g; :::;:
:::::::
t:r:1::
>&t:t:
roo.
0=
:C:O:S
ta
,= ....
::::....
:с:=
u::f
фCl:S
р-оо.
....
Е:=
фс.:>
0.t:1
о:::
с.:>о
,
IS;
се:::
s
ФР">
р">С,)С;::
o..=E--i
I'..ос.:>
;:;
::::
фф
и,;
U
I а/и '\'
о
tЪ
с
t:::::
(i66
I /
t': I I o
N С''';:
oo О =:> q
I о I
,,-, < I
00 <1; 00 00 О
NV':iOV':iO О I
О. О. . . "! j:Q I < <1; :::!
00000 о м
;:Q N r-- c'i <l)
сс\ < c:.
о сс\
i:1 I <:0 <r-- Е-<
u Ф . I u
. <:"1
О =: V':iO ФО :s
c'i '" <:"'""' I I
1=( I
..;::tt.
v':i t
c'i ф
c'i
I I I I
q о:
......
<: ..... :.:
I I
v':i 00 "...
C'I':) 00
-:f. <
a:I I :s <: <:
о
j:Q м r..: c'i <l) 0:::1 "t-
со <: 'N' 't--:'
1;: ...... со
:::1 I :s <1; <: Е-<
u U
=: c'i tt5 ф а:
' '" .-:::
1=( :;;Е -< t::( t::(
ф
ф I
о
О
11 о L'1 cf:)
..;::tt
\ 11 cf:)
11 о
I , ts I
, ......
'" о
... :.q,
00 ...... I 11
!I I lf:) -::!' I
с' 1 q 1I
q О ==
5- \1 I о о..
t:: 11 c'i t:::
Q:::.1
о -, i:1 ffi
Е-< 0:21
:Е\ i:1
...
::Q U>,
U 0..=1 =t=
.... ч ;:;:::'::
u а:
u о::>:: ;:;::
о ;:SE-<
{J \0 .::::! Q \:::
:3 :::! :::i :2I g- с::
.......,.. ... a:I
t":I сОФЕ-<
:::>: со р.. о =
s:...: 00
667
...,.
'-";;::
O
:;:::I:
;
1ti
<:: III
с.. a::r
s::: g 11
"""
c.:>;r:
Q.) c.:>
gg
а >90
>9<:':;
а 8:.:;
с..
t:::::
cr
=
:::
a
c.:>
....;!::
""'....
eg,
t:I .....
:.:; <:5
, ;
::;: I
;::i::f lJ";)
::;:0:1 О
A <:5
:.:;t'
ov..,. I!
е Ф
>8<g
C!:ig !j I "r.:j
I
""'"
F-< t!
,=
1:::::::
t:r::::J
t=G.>
>9<:Е
>8<0:
ctlo,
t::
'Е ::
;:а::::
ut:f
с.:>O:S
o,
t::
;::
с.:>с.:>
o,t:f
C:I:
с..' С
:.:;
5
:::::с
s ::
:1:: i:"' ,
..,QC<:
g
o:s=
O:S C:
f"'"...... ....
c.:>
и?
uc.:>
;::;
ro
и/и \!'
668
I
о Q,)
"
"'
с.,
L':) :::!
C'J
<:5
I ;::
...
..... :2i
ci с=
с
11 P.
, ........ о с)
I в
I ;:t:: о-
..;:;
\ '" ...... СУ",
l(';: lJ";)
ф
:-i
<; .'":; :;:) 11
:; х . 11
с:- ':'з ..... :::i .\ I !
ь
!j :"1:j
1. t"'-- <'.) с::.
о ql:'-
t> ::> ..... ..... \
;,...., Е' Ц
O
;,....,
р"
..... ..... <':; i "[J
о .. L':)
::.: .....
lJ";) о о
..... "1
с>:) [
:= I I I u :.е
о ....
\ -:, \ "":' 5 N О
.....
с-::: f , 11 11
,= 6 Q
3 2 [
D 2,::=
>< 2. *
ct: t:: 0..:::
t:; а 0=
t:: Е-<
g
..:I;;
Що =
1I; :::::>e-
;g[
!;,
о: o..::f ('.) а
1::1: = ==
t:: :5 g
о.. 8 Ф
t:: I::I: Н:
I '"
-
I
- --т-- <;J'
""'" "I
:i
; g
,..... '""'"
('.) ct:
Е-< >,
P'8.
Е-< ....
8".t:
(,.)
:: о::;
s: :::::
I:I:: Ф
1:1:: t:::! a ' ""
81E
G
""
;:;;
о
'1':1
I
о
м
11
"1:j l.t:I
C'J
0.0
t:: I
: L
q,
с
11
;"1::$
ч: =
I <'::',
с::::, .<'
, 'ii
с:::,
'CQ
':t'
oo..
o.
s
Ф
с:;>е-
::.J со
E-
3Ф Ф
.....::f
s-
; \O
Ф
3.t;CQ
а Е-< ::Q
Ь :r
b
8g
.!.
I ...
а r-:
t::
;...,
('.)0..
:.с:
......
t;
i
;:
с,) F-<
с:) о.. с
u
с
:i
еЗ '
l
- .
-Т
'
ф
:::
::.J
i:1'
;;....
о..
::;;:;
с5
669
E,
e
З
:E
I
:: I I
';:: "'>. t:S
П
t о.
С>....
=ё>
е;;!
.ё.о
>&
с':>
O
:!:
о
CI)
:::1
;:е
о
<"1:J
о
C!1..
,==
...=
а::::
>&::::
>8-:1::
(?о.
01:
;':O:S
>=:
:зS
:z:.....
;::i::r
....с;!
Е:о.
;,:
c>:I:
>&с>
>&t:f
s
:s
as
:s:c>
>&:€
>&0::
"'о.
tI;
':: ::::
::::
\,):1
с>с;!
:;<0.
....
Е::=
с>с>
o.::r
О.....
c>
E-<
::=
0::=
S
=
r.. E-t ..
?>\,)С':!
Q.=
...ОС>
o:s;,:1'f
:
tI;:S:
фс>
И
uc>
r:
ro
0/ п \l'
6'10
' '
Q ::'1
c.'J
::Q
... tJ О
$, ::::> с"'::
00 cq. Q il
j"<j
!с 00
с>
b Ф r--:. ;....,
;......
1::" .....
::::> lr.I
'"'":) r--:. ::::
с ""
;;;
а
о.. ;::;
ф
I lr.I U
I"::I N
L'J
00 С'l
01 N
il
I
T
I
I
6 >< I
Q
1:: ;.с; t=:
S
IS:
':::1 I Е-< C'\J
'" .... Q Ф L r-: q
о р..
t:I: ..... I 1::\0 ............... ..... С'1
:=f I >< о 1::
о (.) ....
"'1::::; :"1 S
IS: '--" ..... t::
р. ..... t!' ...;;::
1:: ..Q g I Q t:::
с!. р..
.. о 1::
CI: t:: I о
о c':s 1:'1 Е ,=
Е-< 1::
ф I .!';: Н I с.:
t:r' ;t; >< t=: "' оооосо
(.) 22 ;., . ... (.) c':s ..... '1'НО t-- 00 с":> О
::: "';:1'
8,::::1 [$ 8 Е-< !с
..... <:.i
О .....
t;J::tI: 1:: с: с: ь
t=:t:r' Р. Q I:!;: t=:
g
1:: .... ::ч
:5
::
t::it:r'
og
<:.i О
.... 1::
uS
05
i
;; ::::
::::
d
:; ' ('
",' \:
"",.
,'" "
, "
'g
..::=
(171
1:1:':
:::s
::t
<::>
1::
o
:::::Q
aJ
r::
'"'
1-<С:::
o.
..-<
1 1 1
::::ф-
tт D
S:
....aJ
t::r:j
t:::t=
090
09:::
:t:
<::>
<::>
о...
1::::
1-<C!"'
=::>1
=
t::r....
E.
.в.
t:I
,:S! ;s:
;з....
::с....
:::!
o;j
....0..
1-<1-<
....
aJ....
09 а.>
09t::r
(Т)а
;;J;
€;::d
ёJ :;:;:
;s:::
:::f=
09С:::
(1)0.
=
:;;=
t.):::f
aJ""
tт C
1-<
Ё=ffi
g:::f
с::::
aJO
E-<
;si:i
5:i
.<:.) ""
0.;:::1-<
I'.
:=
sta
S1
ко<;
U
'с6
и/и '!.\['
672
о
=
s
....
о
о..
=8
!:I !:I
О c'j
:::1
C'j
Р" .."
u....
:
I:!:: :::1
I:::P"
1=(g
<::)
:::;1
:::1
(jJ
Р"
>.
с..
;:::
""
.....
'
.....
I
I :.:;
.....
....
......
><
сб
;t;
!:I
;t;
><
з
Р"
8
о
s
х
»
!:I
с.
'"
.....
6
1:::
о :::1
0..<::)
i::I
о >.
u о..
;t;
z.
о
:g t:I:: ,....
I ё3
:G @
s:= 8 t;
с:;
=
I
I
I :::>
..,..
п
;;J;
;;:.
....
'-:. I. r--; '4 q
i::
о<:
t:>
000000
I1JФ ОО О
..,..
1
6
5
a:I a:I
W W
1:ft)C)
=
w 1:::: ;,..
Еа=-:[
>< o
':::э >&
IS:::::: a:I о
g =
) 8. 5
& gБi!
[u@
u= t:!
w
g
t=:f-<
s
o а
u >....,
CQ
.............
.... f-<
U U
О 1::
I7'\O
:э :э >':::1
a:I""""'
<';S w :S:: CQ
CO=- :=
':'9.
;;, 11 ,:,
I N
t::
U.J'
foo"
foolZ:
фф
)i/S:
I:f
&:::ts::
t:!>&
>&
= g
ts::
=
=,
w:!
g
a:I a:I ';
I 2...
.... ;:з
'1::! О.з t:;
=....
I
UJ> с.. t:!
ф
..... ......
, J
о':> е::
O 1:1
с)
u
1:1
tS:I
8 '
t:::
t:!
ф
If
.,..
'::1'
tS:I
1::
w
u
'::1
О
t:;
Q"
:.::
f-<
Q)
a:I
f-<
О
О
u
><1::::
:З o::a
E: o.
::r Q) » ;:t:
:::1 t:! с.. О. о
Е.
= о '
и о 8,t:t1
:з g
1:1 13
E
a:I 1:it:!Q)
од t)
ЗIS: t::::t)>>
a:I t:; t::::
С1:).... t:!; f-<
; cl.> =
o::t:! ф f-<
t:; Ф ;.:: с:: u
t:::eB g
11
...
t::::
IS:
:s
:::
S
l:: ,.Q
CQt:;
"о
. \о
:s::
S f-<
,.Q f%?
;
...... f-<
U
..... ... ................
673
t '::
S
::
1
I I
iS. >. :;s (Y' t!
!:: п' 11
!;:р. "="
Е
t?
r..J..
1::1
(!l.
t::,
<ЗJ
=
Ef
- .в-:::
'gg-
:.::ii]
,:::;1
!:С а
C'O
o.
E-оЕ-о
6
-s-
.
;"7 ::з::
,а
F-<t$
,
S
.в.:Е
-и
(ос-
О....
:.:;С;
:t:
S
Q,) C-:S
t1'
=:ii;
5't:r::
0.:0
:.:;
cr;::'
::f
:fi
vc-:s
}g
.....
С'О:=,
E =
\.JQJ
с'Т:>
U/lJ
;I 'j
t=:
8 S
l:i:I
", q
о......фМ
I I
tx: ,
g. ООА
0(.'1'.)0
I 1.
g: m
:=[:= ::f
S: I I
cv')
tз2
::Ф. I.!':I ,l";) (:) I.!':I О с'1 ,')
;::) ::;:r:.... L":: Ф Ф t r-- r--
u '
:) O
.ь::Е 1
i:;::t
8R .--.
"':::1 м
G'"
;:::Ео
5:r;
..
l> .......
I
\r I
1.!':I1.!':I1.!':I01.!':I0C'11J":>
с"1 , t--:. t";. [--:
...............................................
QJ
J
I
о
r::.
;a!
8g
:1
!:::
OI.!':lUjUjUj OO
"!cq >q OQ.
с'1 с' 1 C'J с'1 C\I C'J C'J N
ОМфС':>С'1 ООО
"-:>q
.............................................
o OoOOOc
....':" ,п t"-- ос; Ф :2
8 g8
...... ......
". "
') п
";t
CQ
Ф
t::f
8
t=:
S c'l l1':J.
:::i I
.,
.....
о ':j Q С'!
\;j C'i CQ ......
О -'1
t=:
О
р.. t:J tl
....
s о::
t1 ф
t:[
О)
1s1
G.J
>;
:t
T ....
'\?
I (;,
с::::
ь
..
i
: "t5
:I
!,
1:1:: IS;
=
>с ;:;
'""
::;:
(..) '"
CtS
t:I::;:!
::s: :s:
:= 1=:
a
IXI
==
Е-<
О IS:
8 о
(..) \с) ...
О....
Е-< :::i;1 IS;
1:1:: ;:;
Ф
)! =
о .....
::E(..)
2 "
::;
;"'j .........-;
..... ........ ,.,
;:::: [; "
r: .
"
e-02
'3 o ..:
<:J
r--. , ;:;: t""'1
О t=":
;; G.;
':: ,.) (..) q
о :::: ""
("";
а: с:;.-',
8
.....
::"'1
::::
"
.....
.С:
r:
ь
v
с:;:
[
(.(:::.
':t-
н
с:=-<
+
с\:)
.,...
........
""1-
'N'
H
Нi Л ,
"':: CJ C)
;::: t::=i=;=
:' j
.....
cr:
;:t
q)
ч
:::!
Q"
\1)
;:е
<:>
<:>
Q"
1:;:
':SI
ggj
tt:Q)
tE
a::
=g<
t ;.. , ,,",
= I I
р' = <п. t!
g D
t Q-
(j.)=
1s:Q)
t:f1:1
==
>&0
>&:t:
8:t:
s:
Q)=
=::tI
I:1QJ
=
>&0::
>8-
(1;)1:1
a
,= =
=
I:Qt:I"
=
<ЗJ=
>8<CЗJ
-e.g
ro
!i;t:I
(l,>tII
==
t:1::t1
*
>9<0::
(I;)
01:1
:t:O:!
::tI
.
Qt:!
<ЗJ""
:r
t:::...
...=
Q)
g
20
E-<:t:
=
а:=
=::f
:t:
15 >..
у o.
5
;:- ;I; ii.J
gl=f
;I; r::
<':!"":
0:.....;
;;:;I;
<1-
и?
UQJ
'1:>
п/п \l
I
676
QO
о"
11
u I u';!:!.
(
....
1
"1
1
;;.,
;;.,
t:::(
С"!
C"-I
N
о"
1,
-.::t'
N
О
"
IS
I
""'с
о"
11
u..../ ur::;
1
t--
о"
[
-.::t'
N
6
"
IS
r
ф
о"
11
u..../ ur::;
1
с\':)
<:'')
О
1
00
L'":)
N
о"
"
IS
I
с\':)
t....
.......
СУ:'
О
I
tt:>
О
оа
11
IS
I
Lt';)
о
11
u"" t):<
1
11')
o
I
-.::t'
О
11
... 1 I:Q
u u
I
tr,)
JJ":I
tt:>
О
11
I Е:
1
'-':)
r:.D
d
I
tt:>
O
....-:0
о"
11
IS
1
· · · ,... t:J:
о '" Е-<;:::11:1:: ,.....
u ;=
о (:;==:""Фс.;
Ci:1U B=
r::: =:: >-,:::
; s 'ffi :;-
ggQ..S
.=: CQCQ\O
c::::: :;:
E-< ( ?
1\0 ::::;....;;»
(1) ).... ;;
.. ., Is: о
Ф:= tt: 11 iI:
..Q I
t-:::
::::0...
\о ::: :з
;:;;
.[i
'"'
о
:E
p..
I::t<'"'t::t:
е
ts: о
ф ;:Е1 ::J
f-o Ф
C':S r-(
t:: r':' с1.>
M
""""
IXII C'lфU'jОО
О..с:
, NN CI"i
;;. .....
<D.
i1з
Q.) O Ф. c'l +
g;Q) cv:IC'";I..;I'U'j ...-t
11:1 ;;. 11
Q.)
ф ::11
1;1 <n.
fo< .
t,)
b:I 0008
=, ..;1'<:,000.....
1;1 " 1:...
1::1 ;.:
"'')
"i
ф u
:e с ?Е
1"': tJ
с;: С
r-:. =:
8C':S
O-f-o
c':s » S
:5.5 ф
I С" о'=: 1Е
Е-< ..... Q
.... t:: Q.f Е-<
:: " . Qф
р.. ,
[) c':s IS:
= Eoo
..:;.
.... .....
li7 .
.
'->
C\
::!
<::>
::!
Q,
1::
ё
1
1:;;
t.:::
::
:!JQ;
;:;:i:
ао) о::
g 1 1 1
::.: . ts
11
f:;: с.. е;,.
;
::
.&0
-?:С
t ...
"
.::
\:; =--:' 1
:::;..,...
::a
5
>&><
с".:5 с,)
"' tJ::
а;:м
:=:=0
:з:;
s!
:::: С::: ё:
C::S t::J:
I " M ...
f-- ",
1:1
,Q, '"'
O::
e-
O
;:;g
.
..::...
55=-
'"
>&:1
>Во::::
,.
..
:
::::::::
:1
>9<1:1:
r:>o.
с::
;'::;с-:
,'"
;;:=
(.):1
CJ'"
=rc..
:;:Е-о
Е-о::
8.
с::.=
CJo
;.c;
0::;;
s
=
,t
o.:J:
g
('Or:
::!!::::=
QJQ)
и;;;;
Ое:!
сб
и/и \.O
678
C()r-- L'":)
С ... , C"J
-:5 =:, с о о'"
о:> "" о:> ""
о "...... :-1 с'! с'! м
ос ас:=:>оаа I!j
",aJ ci
C()1!jC']CC I
. о 6 ci6 >d
ф
ci
r:o:s
....
а:: : :"l "::' L"':I
ас::5::500
+
..,...
11 ::::
(1)
Е-<
""
t:::[
c':s
<:.)
о
g
:Q с:
t=: c':s
е
;;...
0:;1
о. :>.
t:::t
r
!
f
i
O ,
:"
т
.r::-
-::-.:.
t.:
\с
С::,
...;t-
<::::)
'1:j/:Q
"
с:,
С;)<
':J') '4'
1\
\
,
\
<::::J
-:)
:.о :"-1
сО.....сУёr--
,,-5 м ..:;
"'"' :.: '::' I!
a. ____'--'o
iI
о..
:::
OO OO
.....
<I!j
I C'
Ir::
<
l'
,1
..,...
1=:[0
L--j' S
<8"
::E
о
...
м .
<
::;
ф
с'1 I
С':>
..... I
11 ...,,:,..
С']
<:':s .
i't
е lIi
c:;:
ii
о
:=
:::::
о
:€
а::
Е-<
<:.)
со::: :=
о.. r-
.....
.....
с.с
......
с..
Q
а::
а:: Е--
О
::о <:.)
?
84
<:.) "-
c..
t
[iJ
.
'-'
Ф Ф
о ""';.::'01
; I ! I Ш
...... 11':1.
о 11 о О ,
11 :o I l
1:0 I .
ф "" ;:---
;:а =: :I!"-...
g.C"? iЗ :':О
11 "':.: о
о о.... 11'"1
;.=> 11 11 l
::r: 11 OaJ 00:: I
:;:s;
Е--
'"
cr:
r-:
r::[
j I I I I I 1 IТij"r,
I ! ; c l ': ' I J r l:1 11/(:
, , \, I
1...., ,
и)
. . .i j
\:s : .
6..
cl.>
а1
1:1:: 1-<
c':s О
..о u
t=:
8
»=
о ::r::
)1t;
cr: c':s :;.,
t=:::=
t
r t1 if
. ---.......
r....:.
...
:::
...
о
.....
.....
се
<:
':"1
«
.....,
.....,
,
11"".'-
< :;
.-':, .
.11':1
;1
....... \t"')
___, .
:: :: ,....
;: ':'"}
I
I
-- '
... о..=-
I
..;:,
.........,,
\:;)
...,
с": .
.....
..о'
.... ф
;:а
\о C':!
......
с;з
:.:: :.!
;;:: :::: ф
"">&
c':s '"
tJ- 1:1::
I:I::C':I
:::::::: о
Ф;:ао
t!' ....
cr: :;;
N
О
.......
.....
+
......
11
..,.:
ё3
:::: \.;? :=
..,
2
::..,С-
.g
;5
,... ... ё;
::
:Ш
t
I
;з
(Q
r;;:;
I
;:;:
u
о
:5
Q
:.::
....
'=
,..,"
..... r-<
()7g
I!: ..с'
/,-<,... 1-< Ф
с..>.=
с: ..
\:)
:::!
::Е: r:a
Cl,)a: 1-<
cu /'-<0. >. ::i$
=: 8 ffi
<:) I
-:: ; I I 1::
:::! >&
R. »:S:""'- t! [C!:
D' @ D
cu 1=:
1'-< О. C':It::t
/'-< t!:
g:; 1:; 1:;0
cu
t::fl:f
::S:tI3 Ф :Q О
::::
$ о:: :::
ct) r? C':IФ
<:) g: :-:r
;:!:;
t::::
...
С::':>:
:;ts:
a
=:1:
o8o:z::
>9
ga-
:::;
'; :s:: +
::;::
I:f .,..,
:s:"" 11
1'-<0.
:,:'"
CI,)::I a:l.
>&CI.J
€-=
00
:,:
... t!
g; .:=
5
о&а:
С?а.
cr:=
Х;1
;:
a
<l.:
:::-'
:::...
f.-::I
Q,.1J
g
g
:z::S
?:
<:ОС!)
"
U
r5
и/и i
680
о
;;t::
О
о:: \;::J
...::
1:'; Q
8
;,,:: .:::)
8 [:;
ба
O"J
......
v r)
m
i:
::
(
LQ
o
N
......
fi
N
00 I
< tq
N
',-'
<
:.5
..,...
li.)
<
.....
,о:::;
м
<
...... ...
е;"'>
.tr.'
NO
11
О
t:: н
С::о
11
h:i:...
("\J
ь
o:: ::;; т ! """"'"
:;:: [j lf
...:1 U '
1=: (l, y
з !
>.::: a:I
О ....
t =
[ @ ............
i::::::;a:I
о
C\:I
L()
.....
C'I'З
11
"'/'-
L
О
о.
I
N
О
о.
11
...
1::
s:l.
1:1
lr:>
<::
::s
М.
<::
:2
С'1
<::
R:I
О
;Q
'"
1=:
u
а:
с:::
rr:::(
\.о
1:;
C':I
=:
6
Е-< ." с";)
a:I C<J
t::ts:l.
t:{
О::::::::!
ul=:::S
1:;:=
::S
u ::::!
0t:=0
C:::
OO
t::: р., u
.....
N
r--
<::1
6
I
с<';)
q
о
.....
r--
"'"
с>
C"I
11
I'"
(.).f f
' 7' i ; f \g
" ' :
ч ':::
. . с;
С!::::;
y 1"'" 13 со-
, с:. , &
<:;:,.
t--
"'"
о
I
CQ
(,) ...
=:
1:;
1З
:.) zc
C!::
Ii
IJ:)
ci
I
!I <'1 6
Q j;Q
b
(,)
;} 6
'" l' I .1. I
;; 2
t::ill
<.с
':1
co..
:':J
f-o
(,)
tI::
c'\,j
<'
'" ;:;;
' С!:: С!::О
<1J ----. со: (...
.I
с ;:J:.:::;
с:::;: CL":!
5' 11 g. '!
f.-t CQ с:
с,) 1) :-:' h
r=: '--" ". . """""'"
lr' l/" С;)
"t ..
I
"f
't::-
'.Q
-.j-
N
с:::.
(') '" "'"
С!::
Н.
: .
о
В. -
...:..
С
=
:::5"
: i
;1
.....
"'
...
'"
----.
X
E!"
t
I:i: С
Е-< I
:I:I (,) \
с)
;I!! t=I о
=:
r:>::r»
""
.......
с':>
С"]
I'
(,)
gg
;.....
f.-t
С!::
1=:[
\о
=
'"'
::::
681
ПРllложенuе 3
ФУНlЩIIИ н.РЫ:lOва S , т, и, v
1
8 (kz) Clr..2" (сЬ liz + СО5 kz);
Т (kz) == (sh kz + sln kz);
1
и (kz) == 2 (сЬ kz ....... С05 kz);
у (kz) == (511 kz sin kz),
прuчем
8' (kz) == kV (kz); 81/ (kz) := k 2 U (1.z); 8111 (kz) == 1,3], (kz);
Т' (1.z) == kS (1.z); ]'1/ (kz) == k 2 V (kz); 1'111 (kz) == k'jU (kz);
и' (kz) == k1' (kz); И" (kz) == k 2 S (kz); и//1 (1.z) == k:JV (1.z);
V' (kz) == kU (kz); 171/ (1.::) == 1.21' (kz); V'" (kz) == " 3 8 (kz)
I,z
s (I!;;)
l' ( 11 z)
и (/iZ)
v (I{z)
0,00 1,00000 О,ооооо 0,00000 0,00000
0,01 1,00000 0,01000 0,00005 0,00000
0,02 1 ,ооо()о 0,02000 0,00020 0,00000
0,03 1,00000 О,О:ЮОО 0,00045 0,00000
0,04 1,00000 0,04.0()0 0,00080 0,00001
0,05 1 ,00000 0,05000 0,00125 0,00002
0,()6 1,00000 О,о(юоо 0,00180 0,00004
0,07 1,00000 0,07000 0,00245 0,00006
0,08 1,00000 0,08000 0,OO:32l) 0,00009
0,09 1 ,()оооо 0,09000 0,00405 0,00012
0,10 1,00000 0,10000 0,00500 0,00017
0,11 1,00001 0,11000 0,00(Ю5 0,00022
0,12 1,00001 0,12000 0,00720 0,00029
0,13 1,00001 0,13000 0,00845 0,00037
0,14 1,00002 0,14000 0,00980 0,00046
0,15 1,00002 0,15000 0,01125 0,00056
0,16 1,00003 0,16000 0,01280 0,00068
0,17 1,00003 0,17000 0,01445 0,l)Q082
0,18 1,00004 0,18000 0,01620 0,00097
0,19 1,00005 0,19000 0,01805 0,00115
0,20 1,00007 0,20000 0,02000 0,00134
0,21 1,00008 0,21000 0,02205 0,00155
0,22 1,00010 0,22000 0,02420 0,00178
0,2,) 1,00012 0,23000 0,02645 0,00203
0,24 1,00014 0,24000 0,02880 l),00231
0,25 1,00016 0,25000 0,03125 0,00261
0,26 1,00019 0,26001 0,03380 0,00293
0,27 1,00022 0,27001 0,03645 0,00;:328
0,28 1,ООО2Н 0,28001 () ,c) 92 О О ,00:1С6
0,29 1 ,OO02 О,290Ы О,О4205 0,00407
682
п родо,/же/lllР- пprt,10.1f1elll1.q, 3
:::j т (k,)
и (hz)
V (hz)
0,30 1,()Ш:'/, 0,30002 0,04500 0,00450
О,:Н I,(J(\ШН 0,:11002 0,04805 0,00497
O,:\ 1 , ()()(:;j " О, :ЮОЗ 0,05120 0,00546
O,:\; 1,()()()', !/ О ,: ;зоо: \ 0,05445 0,00590
0,: 4 I.()()(i....);) 0,:\400;/ 0,05780 U,ОО655
0,:15 1,!)()()(;:!;) O,:\5()(J;j 0,06125 0,00715
0,:1(; 1,00070 O)(i()O;) 0,(J(И80 0,00778
O,: 7 1 ,оот н О,; 170()(; 0,()(i845 0,О()81t1
0,:18 1,OOOHti O, \НОО() О,07:!:Ю 0,00915
0,39 1 ,ОООЩ.i О,:ШОU7 O,07ti05 0,00989
0,40 1,00106 О, 1t()()08 0,( 18000 0,01067
0,41 1,00117 ОА 1 ()()\I O,08.'JO:> 0,01149
O,.1 1,ОО12!I O,lt2011 0,O88 O 0,0123:>
O,Ii;{ 1,()()ltj O,It:\OI О,О!/:!;/;> 0,01:\25
0,41 1,OOI.'i(j О"ИОltj 0,O!;(i81 0,0 Н20
ОА5 1,()()171 O,;J,'j()I.r-, 0,101 :!(; O,OI51B
U,4() 1 ,()О 18ti О,4(;() 17 0,1 О;,Н 1 0,01 ()2;;
0,47 1,()()2Щ 0,0'1701 !) О,11Ot/7 0,017:\1
0,48 1,00221 0,0'18021 0,11522 О,018,И
0,49 1,002tjO О, It !Ю2:1 U,12007 0,01 %1
0,50 1,00260 О,БОО26 п,12502 0,02084
0,51 1,00280 0,51029 О,I;Ю(J7 0,02211
0,52 1,ООЗО!! О,52Ш1 0,1 Я522 О,О2:И '.
0,5:1 1,ОО:12r1 О,5:Ю2,'t 0,14048 O,021t81
0,54 1 ,()(): 5 O,:i1,0;j8 0,1158:: 0,02624
0,55 1,00:\81 O,.J;)! )'. О,1512а (),0277;\
О,5() 1 ,()Ot/ 1 () О,;'()()', (; 0,1 ЫШ4 0,02927
0,57 1 ,ощ 4 () 0,;)7050 0,Hj250 О,О;Ю: 7
0,58 1 ,ОО,'. 71 О, .'i80!i4 O,1fj8 5 O,0325:
О,5!! 1 , ОП ;Дr') о.:>! 10 (Ю 0,17411 0,0;-3424
О, (Ю 1 ,00:; '. () (),C(I07/, 0,1800(; 0,03601
О,(а 1,(10;)77 (),(i 1 070 O,18()1 0,03781
0,62 1 ,()()(; Н) ( 1,(j'!07(j О,1И:228 0,0397:)
О,Н;} 1,()(Hi;)O (),(j; ();,, 0,1 ('8 ,;\ О ,(Н 1(j!)
0,6<'i I , ()()(;!)! I (\ (; III ,! j О,:-!О 'J8!1 ()JЧ \(-j!1
0,6;> I ,()()7,'! (), f i, ,( J 11 О,211;Ю П,О4578
O,(j() 1,( )()7!I() ( 1, I i/; J{ I 't О,217!)1 0,047:(1
0,67 J . ()( IН::П () ,Ii,-Il:': 0,22458 О,О50! ;
0,68 1 ,()( )Н!l1 (),f}; ':! 1 О,2:И:И 0,05248
О,6r1 11 f){)Ij;j :; O,li!11 :ю O,2; 820 0,054 77
0,70 1,() 1 ()()() П,701 () 0,24510 0,05718
0,71 I,OI0;J() (\ , 7 11.')( ) 0,2522:i 0,05967
0,7 1 ,о 11 () (),7 H)I 0,2.5939 0,0(j22 1
0,7;\ I ,()1 и-с 1),7,\17:: O,2G66() О,О(И8G
0,7/, 1 ,1 ) 1 ', J I 11,7'11f{j О,П4Д\ О,\Ю 7 ;;1;
0,75 1,() 1:: I к I ),7[)J JS I (), 81 '1!) 0,07,);' "
0,76 1,Оl:\ 1() O,7li211 I О, 8!JСЮ O,07: ! !)
h2
н (hz)
п родолжеl-tuе приложеl-tUЯ 9
r (О,) , и (о,) I v (О,)
0,77 1,OHliJ 0,77226 0,29674 0,07612
0,78 1,01542 0,78240 0,30451 0,07913
0,79 1,0 lI.5L:3 0,79256 0,31238 0,08228
0,80 1/>1707 0,8027: 0,32036 0,08538
0,81 1,01794 0,81290 0,32844 0,08862
0,82 1,01884 0,82:309 O,3: 662 0,09194
0,8:3 1,(нт8 0,8:3:128 0,34490 0,09535
0,84 1,02075 0,81:\48 0,35329 0,09885
0,85 1,02175 0,85:)80 0,36177 0,10242
0,86 1,02280 О,86:3Н2 0,37036 0,10608
0,87 1,02::388 0,87415 0,37905 0,10983
0,88 1,02500 0,88,140 0,38785 0,11366
0,89 1,02615 0,89465 0,39674 0,11758
О,ао 1,027:15 0,90492 0,40573 0,12159
0,91 1,02858 0,91520 0,41483 0,12570
0,92 1,02986 0,92549 0,42404 0,12990
0,93 1,03118 0,9;1()82 0,43335 0,1::3418
0,91 1,03254 0,U4612 0,44275 0,1: 856
0,95 1,ОЭ:195 0,95615 0,45227 0,14303
0,96 1,03540 0, 6Ы9 0,46188 О,Н761
0,97 1,ОЗ(ЮО 0,97716 О,471()1 0,15297
0,98 1,0:1845 0,U875:3 0.48143 0,15704
0,99 1,01005 0,9979:1 0,49136 0,16190
1,00 1,04169 1,008:33 0,50139 0,16687
1,01 1,04:3:38 1,01876 0,51152 0,17193
1,02 1,00'1513 1,02920 0,52176 0,17710
1,03 1,04(-jЮ 1,03953 0,53211 0,18237
1,04 1,04878 1,05014 0,54256 0,18774
1,05 1,05068 1,06064 0,55311 0,19322
1,06 1,05264 1,07 t 16 0,56377 0,19880
1,07 1,054Н6 1,08169 0,57454 0,20449
1,08 1,05f173 1,09225 0,58540 0,21029
1,09 1,05887 1,1028З 0,59638 0,21620
1,10 1,06106 1 , 11 4З 0,60746 0,22222
1,11 1,06333 1 ,12405 0,61865 0,22835
1,12 1,06562 1,1346а 0,62995 0,23460
1,1:{ 1,ОН800 1.14536 0,64134 0,24095
1,14 1,07044 1,15605 0,65285 0,24742
1,15 1,07295 1,16(i77 0,66446 0,25401
1,16 1,07552 1,17750 0,67619 0,26071
1.17 1,07816 1,18828 0,68801 0,26753
1,18 1,08087 1,19908 0,69995 0,27447
1,19 1,08:365 1,20990 0,71200 0,28153
1,20 1,08651 I 1,22075 0,72415 0,28871
1,21 1,08934 1,23163 0,73641 0,29601
1,22 1,0924:3 1,24254 0,74878 0,30344
684
kz
S (hz)
Продолжеllllе прuло:vcеlllJ.ч 9
т (h') I и (h'J I V (k'J
1,23 1,09550 1,25:J48 0,76196 0,:-ИО99
1,24 t ,ОИ8()5 1,2tИ44 0,77; 85 0,31867
1,25 1,10187 1,27545 0,78658 0,32647
1,26 1,10518 1 ,2HtjM 0,799Эt) 0,3:1439
1,27 1,10856 1,2\1750 0,81228 0,34245
1,28 1,11203 1,:ЮНti6 0,82531 0,35064
1,29 1,11557 1,31980 0,83845 0,35896
1,30 1,11920 1,33097 О,85НiЗ 0,36741
1,31 1,12292 1,: 4218 О,8п507 0,37600
1,32 1,12fj73 1,35:14:З 0,878.15 0,38471
1,33 1,13062 1,3(;471 0,89214 0,39357
1,34 1,13460 1,37(Ю4 0,!Ю585 0,40256
1,35 1,138б7 1 ,38740 O,flHHi6 0,41169
1,36 1,14283 1 ,: !J881 0,93Э3() 0,42096
1,37 1,14709 1 ,41026 0,947f>4 0,4:Ю35
1,38 1,15144 1,42175 0,9fi180 О,4:Ш91
1,39 1,15588 1,4:3329 0,97607 0,44939
1,40 1,НЮ4:-3 1,44487 0,99047 0,45933
1,41 1,16507 1,45(\55 1 ,(Ю4 7 О,4(Ю 1
1,42 1,16982 1,4(j817 1,01959 0,47952
1,43 1,17466 1,47990 1,03434 0,48980
1,44 1,17961 1,49167 1,04920 0,50021
1,45 1,18467 1,50349 1,06417 0,51078
1,46 1,18984 1,515: 7 1,07926 0,52149
1,47 1,19510 1,52728 1,09448 0,53237
1,48 1,2(Ю48 1,5:-Ш26 1,10981 0,54339
1,49 1,20597 1,551 :-30 1,12526 0,55456
1,50 1,21157 1 ,56 ;:j8 1,14083 0,56590
1,51 1,21729 1,57.153 1,15653 0,57738
1,52 1,22:312 1,5877: 1,172:15 0,58903
1,53 1,22!Ю7 1,5!)Н99 1,18828 0,60083
1,54 1,2: 51!1 1,()12;-Н 1.20435 0,61279
1,55 1,241:З2 1,G24()9 1,22053 0,62492
1,56 1,247()9 1,6Л14 1,23679 О,б3720
1,57 1,25407 1,fj4 -Ю5 1,25327 0,(i49tj5
1,58 1 ,:2(;()(;: 1 ,(Ю:222 1 ,2698: 0,(ifi226
1,59 1,:!.т:\2 1 ,Ы4 (; 1,28(552 0,67504
1,60 1,П41:', 1,(j8757 1,30333 0,fj8800
1,61 1,2(1) 1 ОН 1,700:И 1 ,; 2027 0,70112
1,G2 1 ,2НН1;) 1,71:\ 1 9 1,3:-3734 0,71441
1,6:J 1 )В;,: а; 1,7:!.(;()8 1,35453 0,72786
1,64 1,:юпl 1,7:-3!Н0 1,37186 0,74149
1,65 1,:1101И 1,75216 1,38932 0,75530
1,66 1,:!l7H 1,7(.i5:Ю 1,40690 0.76928
1,67 1 ,: :l;;;)R 1,77Я52 1,42462 0,78:141
1,68 1 , : :ин 1,7\1181 1,44248 0,79778
1,69 1,:\.1 1[11 1,80519 1,46046 0,81229
68
. -- ' I ' -- ' ' I .."
/,z S (hz)
т (hz)
ПР(J(}О.1же/-tuе прuлоЖе/-tU. .1
I U V
,
1,70 1,;14974 1,81864 1,47858 O,8269U
1,71 1,: 5808 1,8:1219 1,49683 О,8418ь
1,72 1 ,36657 1,84581 1,5352:1 0,85692
1,7З 1,37;)22 1,83952 1,53375 0,87216
1,74 1,:58401 1 ,87:. :-H 1,55242 0,88759
1,73 1,::ЗН297 1,88820 1,57122 0,90321
1,7(\ 1 АО208 1,90117 1,5IЮНi U,91903
1,77 1,41135 1,91524 1,tj()!)24 0,93502
1,78 1,42078 1,92%0 1,б2816 0,95120
1,79 1,43038 1,94З()6 1,tИ78:) 0,9б759
1,80 1,4401:3 1,95801 1 ,БЫ: .'1 0,98416
1,81 1 ,4. 5006 1,9721Н 1,li869a 1,00093
1,82 1,46015 1,\J86D7 '1,70тн 1,02191
1,83 1,47042 2,00166 1,72673 1,03507
1,81 1,1808б 2,О1и42 1,74li82 1,05244
1,8[) 1,491-17 2,03128 1,7070!) 1,07001
1,8(j 1 ,50225 2,01623 1,78745 1,08778
1 ,8 7 1,51:322 2,0613:3 1,807\)8 1,1057в
1,88 1,52437 2,О7Н52 1,828б8 1,12394
1,89 1,53570 2,09182 1,84952 1,14233
1,90 1,54722 2,1 ()72:1 1,87051 1,16093
1,\11 1,;)[)8!)2 :2,1227G 1,8!Jlt)(i 1,17974
1,Н2 1,[)7О81 2,1:\841 1,:11 :!.!J7 1,19877
'1 ,g' 1,58290 2,15418 1,a;\1 : 1,21800
1,а1 1,59518 2,17006 1,\).')IЮБ 1,23745
1,\)5 1,61265 2,18608 1,97783 1,25713
1,т; 1,Н20:12 2,20222 1,9\)\)77 1,27701
l,т 1,6:1319 2,21849 2,02187 1,29712
1,Н8 1,64626 2,23489 2,04415 1,:11745
1 , J\) 1,n;)\)54 2,25142 2,06707 1 ,ЗR800
2,00 J ,Ы;Ю2 2,26808 2,О8\Н8 1,35878
2,01 1,68т1 2,28;)37 2,111Ю 1,:17828
2,02 1 ,700Н2 2,30181 2,13187 1"Ю102
2,(); '1,7Н7'. 2,:Н889 2,157\17 '1,42219
:С:, (),j '1 ,72!)() 7 2,:-):НН 1 2,181L;) I,М418
2,0.) 1.7,',;\1;2 2,,'\5:И7 2,2047О 1,4ОЫ1
2,0\', 1 , /.)8ItO 2,:170аа 2,228J 1,48827
'2,07 1,77 т 2,:188(i4 2,25212 1,51068
:\08 1,7A8f;1 2,It0615 2,27609 1,.13332
2.09 1,8'),103 2A24 1 2,30024 '1,55620
2,10 1,81 )7;3 2,44253 2,32458 1,57!)33
2,11 1 ,8: 565 2,46081 :2, И910 1,60269
2,12 1,8;i17H 2,170:2;> ,:;7: 80 1,62():10
,1,1 1,8l)817 2,1t9785 2,39868 1, f)т J 7
,11 1,88479 2,5161)1 I 2,42375 1,1;7.'.28
2,15 1 ,9()1 ()3 2,5355/ 2,14902 1,т86;)
2,Hi I 1,\1187() 2 J ))f)4fij i 2.-17117 1, 72: :27
I
1(
II fJодолжt3lluе Тt[JU./tожеltIlЯ 8
hz S (I/z) Т(lЩ и (kz) I V (hz)
2,17 1,9;Ю12 L ,57:)\I 2,50011 1,74813
2,18 1,05:17;\ 2,5Ю37 2,5259, 1,77:126
2,1и 1,97158 2,(;1;100 2,55198 1,79865
2,20 1 ,И8 по 2, U;\208 2,57820 1,814:)1
2,21 2,00807 2,()527 ) 2,60461 1,85022
2,22 2,ozтl L,т2 Hi 2,6:И26 1,87G40
2,23 2,Otj,j(j() ,(;Ю;\2 2,65810 1 ,90283
2,21 2,()(j17(j 2,71:\88 2,6851:\ 1,92 )5в
2,25 2,08.'J20 2,7:И(i 2,71237 1,H5G55
2,26 2,10:\!Ю 2,7;J.');)li 2,7:\982 1,98381
2,27 2,12:187 2,77ЫО 2,76748 2,01135
2,28 2,14412 2,7И8СН 2, 7H5: 6 2,03916
2,29 2,1 li46;) 2,81;1;)8 2,82345 2,06725
2,30 2,18:)17 :2, И:):\ 2,8;)17 ) 2,0 15():)
2,31 2,2()()57 , O:-\:2!! 2,88027 2,12129
2,32 2,2ПU3 2, 8,)/I(i 2,!JO!J02 2,1:S;j24
2,33 2,L.Ii!!()'1 2,ит ;) 2,9:П98 2,182-'17
2,34 2,271Ы 2, ЮО4 2,U6717 2,21200
2,35 2,29: 88 2,Н!):\28 2,9!)659 2,21182
2,36 2,:-Шiо'15 2, )7li:И 3,02621 2,271 3
2,37 2,33!): 2 2,Щ)!)li2 3,03612 2,:Ю2:И
2,38 2,36250 :\,02:Н2 3,08624 2,:1:{;Ю6
2,39 2,38598 3,04G86 3,11658 2,:Ю406
2,40 2,40978 3,0708J 3,14717 2,:1O.): 9
2,41 2,4:\:\8!) ;\ ,ОП506 3,17800 2,42700
2,42 2,158;\2 3,11 !)52 ;\,2ШЮ7 2,45895
2,4: 2,48:!С7 ;\, Н12:\ 3,2'Ю;Ш 2,4!Н 19
2,11 2,508Н :1,НШ19 3,271% 2,52:П5
2,45 2,5:\:\5 о,191:\9 3,ЭО;-\78 L,5ЫJ64
2,4() 2,5GH27 3,21 !Э86 ,:1:\5 5 2,Stш8Э
2,17 2,585;\G :1,24558 3,36817 2,li2; :s5
2,48 2,li117-'1 : , 27'156 3,10076 2,65720
2,49 2,(;;)818 3,29781 3,4:1;ЮО 2,691;-Н)
2,50 . 2,66557 3,32,4: 3 3,46072 2,72.587
2,51 2,вюоо ;\,351 '13 3,500'lO 2,7(5070
2,52 2,72079 ; ,:i7820 3,5:i371 2,7Н5 'И
2,53, 2,7/1 )!I:; 3,4(\555 3,56765 2,8;)1 ;:>'7
2,51 2,777, 'J. :\,LJ3:И8 ::,G0175 2,8Ы22
2,55 :! ,Н()tiП ;\,1()1Ю 3,6:\6:-',2 2,tЮ;\12
2,5li , : ;j.'f!) :\,18Ю 1 3,67107 2,Ю J:!5
2,57 ,Rlj.)()7 ;-I':iI7RО :{,70 0 61 2,Ч7fjS;-\
2,58 :! , \ I.')(\}. :\,51ШЮ : ,7t/ 1114 ;\,ОНО8
2,5У L 1 I'J.;); 5 3,57571 3,77705 3,05167
2,60 ,!I'--)(j()6 :\,fЮ511 :=1,81295 :{,ОШI(i:!,
2,61 :!,\! 71/, ;),I): 1S:\ :1,R'I Jl3 : ,1:27Ю
2,62 o,IJ 18и:,: 3,ЫИ<')(j ;) ,8dJ65 :3,1(;()(;')
Продолжен,uе прuложенuя 9
hz S (1lZ) Т (hz) I и (hz) I V (h z)
2,63 3,05047 3,69521 3,92235 3,20;)64
2,64 3,08273 3,72587 3,95955 3,24505
2,65 3,11538 3,75186 3,99696 3,28483
2,66 3,14843 3,78818 4,03469 3,32499
2,67 3,18188 3,81984 4,07273 3,36552
2,68 3,21755 3,85182 4,11108 3,40645
2,69 3,2500i 3,88415 4,14926 3,44775
2,70 3,28470 3,91682 4,18877 3,48944
2,71 3,31980 3,94985 4,22810 3,53152
2,72 3,35533 3,92321 4,26717 3,57401
2,73 3,39128 4,01695 4,30777 3,61688
2,74 3,42767 4,05105 4,34811 3,66017
2,75 3,46449 4,08550 4,38879 3,70381
2,76 3,50175 4,12034 4,42982 3,74794
2,77 3,53945 4,15554 4,47120 3,79244
2,78 3,5776а 4,19112 4,51293 3,83736
2,79 3,61619 4,22709 4,55503 3,88271
2,80 3,65525 4,26345 4,59748 3,92847
2,81 3,69476 4,30020 4,64030 3,97465
2,82 3,73493 4,33735 4,68330 4,02127
2,83 3,77520 4,37490 4,72705 4,06832
2,84 3,81612 4,41285 4,77098 4,11582
2,85 3,85751 4,45122 4,81530 4,16375
2,86 3,89940 4,49001 5,86000 4,21212
2,87 3,94176 4,52921 4,90510 4,26095
2,88 3,98461 4,56884 4,95059 4,31028
2,89 4,02796 4,60891 4,99648 4,35996
2,90 4,07181 4,64940 5,04277 4,41016
2,91 4,11617 4,69034 5,08947 4,46082
2,92 4,16103 4,73173 5,13658 4,51195
2,93 4,20640 4,77357 5,18410 4,56355
2,94 4,25230 4,81586 5,23206 4,61563
2,95 4,29875 4,85862 5,28042 4,66820
2,96 4,34567 4,90181 5,32923 4,72124
2,97 4,39315 4,94553 5,37846 4,77478
2,98 4,44117 4,98970 5,42814 4,82881
2,99 4,48972 5,03435 5,47825 4,88335
3,00 4,5:-3883 5,07949 5,52883 4,95838
3,01 4,588:>0 5,12513 5.57985 4,99392
3,02 4,f): 872 5,17127 5,63133 5,04998
3103 4,68950 5,21791 5,68:327 5,10655
3,04 4,74085 0,26556 5,73569 5,16364
3,05 4,79277 5,31272 5,78858 5,22126
3,06 4,84527 5,36090 5,84195 5,27942
3,07 4,89836 5,40963 5,89580 5,33810
3,08 4,95204 5,45888 5,95014 5,39734
3,09 5,00631 5,50868 6,00498 5,45711
688
п роаолжеl/llе nр/lложеllU.ч 9
11.1- S (hz) Т (hz) U (hz) I V (hz)
3,10 5,061'18 5,55901 6,06032 5,51744
3,11 ;',1166В 5,60990 6,11616 5,57832
3,12 ;;,17275 5,66135 6,17252 5,63976
3,1: 5,22931 5,71;)36 6,22936 5,70177
3,14 5, 8678 5,76594 6,28678 5,76435
3,15 Б,Э4'" 7 5 5,81910 6,34"'71 5,82751
3,16 5,40:-\16 5,87281 6,40Э17 5,89125
3,17 5,46257 5,92717 6,46217 5,956:>7
3,18 5.52245 5,98209 6,52171 6,02049
3,19 5,582U8 6,03762 6,58'182 6,08fЮ1
3,20 5,tИ118 6,09375 6,64247 6,15213
3,21 ;',70(Ю: 6,15050 6,70:369 6,21885
3,22 !),7G8Б5 G,20787 6,76349 6,28621
3,23 5,8:1 на 6,26588 6,82800 (-j,35117
3,24 ,r;,HH501 6,32451 6,89080 6,4 '2277
3,25 ;), !}( i() 21 6,38379 6,95:)81 u,4U1UH
3,26 (j,025;\5 6,44:372 7,01848 li,ЫН85
3,27 6,Ш) 115 6,50431 7,08:)22 6,rj:) Эf)
3,28 6. 1 581 : \ 6,56555 7,14857 6,7tX352
3,29 6,22532 6,62747 7,21454 (), 77;) \3
3,30 6,29364 6,69006 7,28112 6,81,782
3,31 6,36248 6,75334 7,31833 6,9:':O:J5
3,32 6,4:3206 6,81732 7,41619 6,99478
3,33 6,502:-)8 6,88199 7,-1.84(-Ю 7,OG928
3,34 6,573lt5 6,94737 7,55383 7,11,143
3,35 6,64527 7,01:316 7,62363 7,2203G
3,36 6,71786 7,08027 7,в94 10 7,29СО6
3,37 6,7!Н21 7,14782 7,7()521 7,37425
3,38 6,8в531 7,2ННО 7,8.3706 7,45226
3,39 6,91026 7,28513 7,90957 7,53099
3,40 7,015т 7,35191 7,98277 7,61045
3,41 7,09247 7,42516 8,05666 7,69065
3,42 7,16978 7,49676 8,13028 7,77159
3,43 7,24790 7,56885 8,20661 7,85326
3,44 7,32685 7,64172 8,28266 7,93573
3,45 7,40662 7,71539 8,35945 8,01893
3,46 7 А872З 7,78986 8,38697 8,10291
3,47 7,518;)8 7,86511 8,51535 8,18768
3,48 7,650и9 7,91124 8,59427 8,27322
3,49 7,73115 8,01816 8,67407 8,35956
3,50 7,81818 8,09592 8,75464 8,44671
3,51 7,!10:Ю9 8,17153 8,83599 8,53466
3,52 7,98888 8,25:)98 8,9181;:) 8,62343
3,53 8,07556 8, 33431 9,00107 8,71302
3,54 8,16:И5 8,41550 9,08482 8,80346
3,55 8,251 f.iI1 8,49717 9,16938 8,89472
3,.56 8,31104- 8,58054 9,25478 8 j 98685
689
I(z
S (kz)
т (kz)
таОЛиЖ(:,::е nр"лож:::: 8
4,00
4,0
4,0
8,4:)137 8,61440 9,34100 9,07982
8,52264 8,74917 9,42807 9,17367
8,61485 8,83485 9,51599 9,26838
8,70801 8,92147 9,G0477 9,36399
8,80213 9,00902 9,69442 9,46048
8,8 772 9,09751 9,78493 9,55788
8,993:30 9,18696 9,876 7 9,65618
1 9,09035 9,27738 9,96870 9,7554.1
!),18815 9,Э6878 10,06193 9,85557
9,28747 9,46116 10,15608 9,95666
9,38754 9,55453 10,25115 10,05869
9,488М 9,64831 10,3/1717 10,16168
а,59077 9,7Н:Ю 10,44414 10,26564
0,68159 9,81072 10,51206 10,37057
9,79819 9,93819 10,64095 10,47648
9,90349 10,03670 10,74082 10,583:19
10,00986 10,13626 10,84169 10,69130
10,117:)2 10,23690 10,94355 1 О ,80023
10,22587 10,3:)861 11,0/1643 10,91017
10,33552 10,44141 11,15033 11,02116
10,44630 10,545::33 11 ,25526 11,1;)318
10,55819 10,65()34 11 ,36124 11,24627
10,т123 10,75649 11,4а878 11,36041
10,78540 10,87377 11,576:38 11,47564
10,90074 10,97221 11,68555 11,59195
11,01725 11,08180 11,79582 11,70935
11 ,1З493 11 ,19255 11,90719 11,82786
:. 11,25380 11,30419 12,01969 11,94750
11 ,3738 11,41763 12,13329 12,06826
11,49318 11,53198 12,24803 12,19017
11 ,61769 11 ,64754 12,36393 12,31322
11,74145 11 ,764:14. 12,48099 12,43745
11,86646 11,88238 12,59922 12,56285
11,99271 12,00166 12,718011 12,68944
1 12,12024 12,12224 12,83926 12,81723
12,24905 12,24407 12,96109 12,94623
;з 12,37917 12,36722 13,08415 13,07645
1 12,51059 12,49167 13,20844 13,20797
5 12,6433:: 12,61744 13,33;198 13,34063
6 12,77740 12,74453 13,46079 13,47460
7 12,9128:3 12,87299 13,58888 13,60966
8 12,О49ао lЯ,00280 13,7'1825 13,74637
9 12,18775 13,13398 13,84893 13,88421
13,32730 13,26656 13,98094 14,02366
1 13,.1682;3 13,400J: 14,11427 14,16381
2 13,61057 13,53593 14124895 14,30565
; ,57
3,58
3,59
360
З;G1
36')
3'63
З;()!.
: ,G5
3,G6
3,67
368
3;69
370
:<71
372
;7З
3,74
3,75
3,76
3,77
378
3;79
3,80
3,81
3,82
3,83
38..1
3;85
386
3:87
3,88
3,89
3,90
3,9
3,92
3,9.
3 9!.
3;9
3,9
39
3;9
3,9
690
1J роди,? Жf1UIС п fJll.10жетuul, .1
: I ' T l(/<: : U (h'J I \' (h'J
4,0
4 (И
4:03
4,()()
4,07
4,08
4,09
4,10
4,11
412
4:1
"'Н
4: 1;-)
4,Н)
4,17
4,18
.'J ,1Н
4,20
4,21
/, ')')
f,,,--,,,,,,,,,
t. ')')
J ,......)
"',2'1
4,2;)
.'J.2б
.'J,'27
<'1,28
, ,2:)
1i)0
1, ,:\ f
1, ,:\L
4,Э:
<'J,;И
Ij ,Э3
q,:ю
с, .: 7
<'J,:
q,,;:1
,'1,-'11)
1,/,1
(),11
1I,Ij:
1j,1,
,;,;-.
Ij ,1 ()
;',1,7
-1,18
4.1И
': , 7 ;/,: \;)
1 :\,H!I!I,j:)
1'I,01"L2
1'1,1 !J'I:;;j
11,:И:\!);)
1 '1 ,1, П;-)О(}
1 '1 ,() '17т
1,1,80180
1/" !)....) 7 ,'..7
15,1И70
1J,27: ;Ю
1 ;J,4:;:386
15.....)!J;-):):
1;J,7Ii!JII2
1:J,!J 1(i'l
11;,OH1,j()
1(;, :2liOO 1
1 (), 1,: ;020
1 (j,lj():!()8
1 (j, 77. \(;8
1 (), !)5t1!J!J
, 17, 1280()
17,:ЮЫП
17/,Ю'!()
17 ,(i(i!1 ;)
17 ,Н, IIj();-)
1 S, () '.О()8
18,2:?7!Н
18,tj 17(;7
18,(j()!I S
1H,80'!.'-iU
18,!J!J8:!::
1 !), 19,/.18
19 39/ 1 !I 1
f :Ii!j(;:2()
HI,7:J J 'j
(I,()(}Ii';1
().:':121
;':11,1,:21 ;')1)
L(),Ij::: Щj
:2U,8'Ю51
2 f ,(Ю2 17
21,2"!J%
f ,'10Н91
:.. f ,7:! 01
:! I ,! 11, (j: .)
'!, 17::88
1;;,Ы:27;)
1; ,81102
1;\,!);)071
1It,0!)195
1<'1 2;\/[61
11 ;:\7883
111,521::;5
14 ,G7179
1,'.,82()58
1 <'J тон;з
1:< 12288
15,27()'1 t
{;) ,1i;; 1 [)7
1:J,, J88: 5
\:J,71тG.
1:! ,!H}(; 8
Hj,0(j8GO
1 (j,2;i2()1
jО,:шп\
l(j,;)(;10 )
1G,7;3271
1 (j,UЩI2
17 ,07;) !I
17, И:!(j
17 /I ;;(),)
17,(j():2(j(j
17,7821',
t 7 , !1(;: 1(; i
! 8, f ,1(;,/1)
1fЦ;\18:\
IS,;"J18S!/
IS.707 JO
18,8Р887
1!'1,О918:2
1 !/,:)I)(i77
1 !), '18; \"/ '[
1 1,(j П
1 !) ,3 ;; 8f )
()/)87()l
"(1 ')(р?С)
O: J G8
(),7Шj22
: О,п:.:(щ
),1,1;:;8::
:.: t ,З;'jОН'I
:..' 1 ,;J(j!)27
'! 1,78,-;87
1'. ,38500
н ,52:!/i 2
11,(j(5'122
11,80144
1<'J,!И:306
15,О8ЫЭ
15,2:3065
15,37663
15,57408
15,G7301
15,82:J51
'15,!П551
16,1290,3
16,28'11,}
Нj,.<И082
1 (j,;)!.J!Ю9
1 (j, 7;i8U6
1(J,H2046
17,О8:ШО
'17 24811
17:411(Ю
17,58:-307
17, 7;j2 7
17,fJ:2i!.1)8
18, О!)7 ()3
f8,:п:Ю J
1 В, Ij ;-)O()
18,() 87/[
18,80!l2fJ
18,!I() I(i
UJ,17j!H
1 Н,3(;207
1 !J,.'i,iOl ()
t !), 7 'lNJS
10, (/:: 1 !)'1
::!O.12;ji!J
:':0,:)2 J (j
')0 r, t Р4 j
():7'1 !) 1
',(\ 9') 1 :>0
21;12516
::'1,3::3120
: 1 ,.'):; :;,)
21,7 jfЮ:J
:21, 9(j236
:2, f 7(Ю,)
:2:!,:Ю;\'1,i
1;' ,4'1882
1'1,5\);-3:\;)
Н.7:\228
101 88658
15;03530
15,18:515
15,33703
15,1:)007
1;),611156
'15,80035
15,Н6;:Ю1
16,1170;.)
1{),27755
16,43f)62
1(),6О:З2/
1 G, 7()841
16,93522
17 '10З(j3
17:27121
'17/14;;30
17,61861
17,793fЮ
17,тО28
18,1186'7
18.:32878
18/jlOG1
'18,(39125
18,87fЮ4
1 :1,06683
I 9, 2;)58:
Н),41(Ю7
19,6:30;3;)
1 а,8.1:302
20,О:Ю;)7
20,22872
20,!t2!Ю 1
LO,6:H21
20,8:ij ;}
L1,OH6
21,24985
21,.'J6007
21,Ы2Э5
21,88670
:1.2, lО:И'>
22,:1 170
:!.2,.J12<'J(}
"'2,7[i:J j
(If;!
п род()лжепuе прuложепuя 9
kz S (/щ Т (hz) I и (hz) I V (kz)
4,50 22,40166 22,01274 22,61246 22,99027
4,51 22,63270 22,23791 22,83371 23,21750
4,52 22,86fЮ2 22,46540 23,05722 23,44695
4,[у3 23,10163 22,69524 23,28303 23,67865
tJ,iJ4 23,33965 22,92744 23,51114 23,91962
Q,5;-) , 20,57990 23,16204 23,74159 24,14888
4,51.) 2:З,82259 2;), 19905 23,97439 24,38796
4,:17 24,О67б6 23,63850 24,20957 24,62888
4,58 21 ,::Н 766 23,88041 24,44916 24,87166
4,59 24,56510 24,1L481 24,68719 25,11733
.4,60 24,81752 24,37172 24,92967 25,36541
4,61 25,07242 24,62117 25,17463 25,61593
4,62 25,32984 24,87318 25,42210 25,86892
4,63 25,58980 2.5,12777 25,67210 26,12438
4,64 25,8 )233 23,38498 25,92467 26,38236
4,6:1 26,11746 25,64483 26,14981 26,64288
4,66 26,38520 25,90734 26,43757 26,90597
4,67 26,65559 26,17254 26,69797 27,17164
4,О8 2Н,92865 26,44046 26,96103 27,43994
4,69 27,20440 26,71113 27,22678 27,71087
4,70 27,48287 26,98456 27,49526 27,98448
4,71 27,7G410 27,26079 27,76799 28,26079
4,72 28,()481О 27,53985 28,04045" 28,53982
4,73 28,;'Ш490 27,82177 28,31729 28,82160
4,74 28,62454 28,106555 28,59693 29,10618
4,75 28,91704 28,39327 28,87944 29,39356
4,76 29,21242 28,68490 29,16483 29,68378
4,77 29,51072 28,97852 29,45314 29,97686
4,78 29,81197 29,27513 29,74440 30,27285
4,79 30,11619 29.57477 30,03855 30,57176
4,80 30,42341 29,87746 30,33591 30,87363
4,81 30,73367 30,18325 30,73367 31,17849
4,82 31,04699 30,49215 30,93959 31,48637
4,83 31,36340 30,80420 31,24607 31,79729
4,84 31,68295 31,11943 31,55569 32,1 '1130
4,85 32,00565 31,43787 31,86847 32,42842
4,86 32,33153 31,75955 32,18445 32,74868
4,87 32,66063 32,081t50 32,53670 33,07212
4,88 32,99298 32,41277 32,82615 33,39876
4,89 33,32862 32,74438 33,15194 33,72865
4,90 33,66756 33,07936 33,48105 34,06181
4,91 34,00976 33,41774 33,81353 34,39828
4,92 34,355.54 33,79570 31,14942 34,73810
4,93 34,70464 34,10486 34,48879 35,08128
4,94 35,05718 34,45367 34,83153 35,42788
4,95 35,,11320 'И,80602 35,17782 35,77792
4,96 35,77275 35,16195 35,52765 36,131-15
692
S (hz)
lPoao: ::ue тло:е:,: .!
kz
[' (flZ)
4,97
4,98
4,99
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1
6,2
21t
6,3
6,4
65
6:6
6,7
68
6:9
7,0
7,1
72
7:3
7/1
7,;)
7,(i
7,7
7,8
5
;:
7,а
8,0
8,1
8 ')
8:3
8<1
8:5
8,fj
8,7
8,8
8,9
:щ 1 : J85 :):),;} 1 \) ;35,88107 :З6,4RS4!J
3li,50253 Э:>,Нfит 36,23810 за,849()8
30,8728<'J :Ю,:251 ;):) 36,59878 37,21a o
37,21680 ;Ю,О 1 ,'1 :Ю,!Ю:311 37,58100
41,1 И5В!! 4() ,;},и О5 40,818О1 41,46636
45,5,i): 70 41,87<1\);) q5,()8518 45,75840
50,3li2G3 4!), (;lЮ82 4B,8l)826 50,49909
55, (;7008 ,'И, Щj Ю!J ;);),03539 55,73685
н1 ,52R:И 6(),К 1 !) 1Н (Ю,81 НО7 61,5:Z47;
т,9Н5Э1 О7,2\I001 (Ю,21974 G7 ,921:11
75,13504 7<1,1,Юli7 71,:ЮО33 74,99136
83,01840 82,:\1183 82,1 ;-1:L88 82,80633
!Н,72379 91,07172 90,79Юl 91,Н562
101,з:тю 100,71в87 100,:З7773 1 00,9 629
111,95(j(И 111,:п280 110,\17;\:-37 111,55491
123,68604 12:{,19521 122,Н8а50 123,22830
134,37338 1: :3,87215 '1 ; :3,:П338 1:Щ87245
13G,64:136 1:36,15()92 135,(И350 1:-1Н,1 :Иl1
150,9682li 150,4тa 119,И7508 150,: 5257
16(),77508 1()() ,:1!) 25!! 165,79749 166,17747
184,24925 183,92922 1Ю,29902 183,G17б8
203,55895 2Ш,:Ю357 202,G4457 202,89872
224,89590 221,7()860 224,02740 224,21449
2,'18,47679 2/18,35761 217,66106 247,77920
271,5%17 L74,48G55 27 ,78157 273,82956
;:Ю: ,3:3425 :-Ю:З,28:381 302,f4970 302,62707
: :З:>, 1(i205 3;\5,251:\4 З:И,55370 :i 4,46067
:\7(),;3Э 1!) :\70,50СЮЗ 369,81211 369,64954
!lт), 1.'{): 40 ),4/J5:)1 408,77698 408,51(ЮО
'1:):2,1 'II )() !1:J:2,H214G 451,73742 4Ы,tJ4146
'I\!!I,Ы'IТ: 500,O;): 81 499,42 47 4 UЭ, 06.'J8H
;):-)2,11::1::3'1 ;j5 ,5 O!I7 552,()104L 551 ,58780
Ы(),177;)7 (j 1 () , ( 4 Н ш; 610,1LЗ61 G09,65112
(j1:\,!)U 7 (j,B,4U2;) (И: ,99272 643,49252
ы 1 , !)7(i7 (;7'1,8t98() U74,34Зб7 67:3,82102
7'I\tl:l; -', 7/1:-),7; 41) I 745,31233 744,7447:3
. :!:\ /1 !I:); ;:! ;: J:) 18!) 82:-1,7:3886 823,28200
!1111,O(iHP7 !HI\)t\787 910,40722 90а,7О714
1 ()1';),7:):>',7 lИ(Нi,', i!Jl:2 '1006,18385 1005,51695
1111 ,;)\1711 \ 1 11:!, I Ю n 1112,026:39 1111,3393::3
1',"2 }, 115 1 2:2! i,( 1 11/1() 1228,99:i26 1228,29291
1, ;:,7,;) 7;).')1) 1 :', \H, 8...:(), ) 1358,25430 1357,51763
',',()I \,: ,-);1,77 1 ;")О 1,( )j );)() 1501,1024.2 1500,:39658
11;:)1'1,1 :,:,',!) 1l i:')r\,8:1:И2 1658,9(Ю58 1 (j58,2G8;i()
18.\ ,.') (;07 () 1 t); : , 1:261 )7 18З3,4:2G14 1832,74:20/:
liЮ
Н,О
Н,1
!),
9,:\
rJlt
3
95
9:6
. 9 7
9:8
9,9
10,0
hz
8 (kz)
Продолжен,Uе прuложе1-tuя 3
т (k,) и (h,) I V "'I
2025,315<'15 2025,97701 2026,22658 2025,56489
22:18,34934 2238,98270 22:39,29706 22:i8,66360
2473,79487 2474,заЗ7:3 2474,76971 2471,17079
2734,00871 2731,56071 2735,00094 2734,44255
3021,59536 3022,10755 3022,59505 3022,08297
3097,41192 3097,91193 3098,41197 3097,91193
::\339,43314 3339,89411 3.'340,43031 3359,96926
:3690,70306 3691,11321 :1691,68775 3691,27754
4т8,92063 4079,26590 4079,88299 4079,53766
450R /171 0:3 4508,2.1298 4508,а0146 4508,61946
4982,14802 4982,35202 498:3,03721 4982,32136
559(),19606 5506,:14112 5507,03599 5506,88844
Приложепие 4
Ф 'нrщии I\ры.10Шl длл расчета балок ПОСТОЛlПIOI'о сеqепил
на yrrpYI'OM основании
J 1
J з
J.
J?
() 1 О () О
0/)10 1,пооо 0,01000 0,00005 () ,00000
0,020 1,0000 0,02000 0,00020 0,00000
0,05 1 ,0000 0,0500 0,0013 0,00002
0,10 1,0000 0,1000 0,0050 0,0002
0,20 0,9997 0,2000 0,0200 0,0014
о,:'Ю 0,9987 0,2999 0,0450 0,0045
0,40 0,9957 0,3997 0,0800 0,0107
0,50 0,9895 0,4990 0,1249 0,0208
0,60 0,9784 0,5974 0,1798 0,0360
0,70 0,9600 0,6944 0,2444 0,0571
0,80 0,9318 0,7891 0,3186 0,0852
0,\)0 0,8931 0,8804 () ,4()21 0,1211
'1,00 0,8337 О ,tЮ68 0,4915 0,1659
1,10 0,7568 1,(И65 0,5952 0,2203
1,20 0,6561 1,1173 O,i035 0,2852
1,:-Ю 0,5272 1,1767 0,8183 0,3612
1,40 0,3656 1,2217 0,9383 0,4490
1,50 0,1664 1,2486 1,0620 0,5490
п/2 0,0000 1,2546 1,1507 0,6273
1,60 O,0753 1,2535 1,1873 0,6615
1,70 0,3644 1,2322 1,3118 0,7863
1,80 0,7060 1,1789 1,4326 0,9237
1,fЮ 1,1049 1,0888 1,5464 1,0727
2,00 1,5656 0,9558 '1,6490 1,2325
2,10 2,092; 0,773;) 1,7359 1,4020
2,20 2,6882 0,5351 1,8018 1,5791
2,30 з ,iЗ5fj2 0,2335 118408 1,7Ы4
{Ю4
п ;lOаО.1же:'il пРI'-д,ожения 4
J I
J a
J.
.12
2,40 4,0976 0,1386 1,8461 1,.
2,50 4,9128 0,5885 1,81U5 2,
2,60 5,800З 1,1236 1,725() 2"
2,70 .....6'7565 ........1,7509 1,5827 2,
2,80 ........7'7759 ........2'4770 1,3721 2,
2,90 ........8'8471 ......3,3079 1,0838 2,
3,00 r---9,96G9 ........4'2485 0,7069 2,
3,10 ........11,l11rJ 5,:i023 0,2303 2,
3,20 ........12,2о5о ........6,4711 ........0'3574 2
,
3,30 13,4048 .......7,7549 ........1'0678 2,
з,40 11,5008 ........9,1507 ........1'9121 2,
3,50 ......15'5198 ........10'6525 ........2'9011 2
,
3,60 ........16,4218 ........12'2508 ........4,0459 2,
з,70 ........17,16:!2 ........13'9315 ........5,:35'14 1,
з,80 ........17,68Т\ ........J5,(i7G1 ........6'8313 О,
з,90 ........17'9;;87 ........17'4590 ........8,4909 О,
4,00 ........17 ,8 а8 ........lа,2524 10,: ()5 ........0'
4,10 ........17,;)47:2 ........21,0160 12,3404 1,
4,20 16,: 505 ........22'0755 ........14,5:274 ........э,
4,30 ........14,77:!2 ........24'2669 ........16,8773 4,
4,40 ........12,518{) ........25,637; .....19,3743 ........6 ,
4,50 ........9,489() ........26'7447 .......21,9959 ........8,
4,60 .....5,5791 ........27,5057 .......24,7117 10,
4,70 ........0'6812 ........27'8274 ........27,482:1 ........13,
4,80 5,3164 ......27,6052 ......30'2589 16,
4,90 12,5239 ........26'7239 ........32,9814 19,
5,00 21,0504 ........25'0565 ........35,5775 ........23'
5,10 30,9 97 ........22,1661 37 .9619 ........26.
5,20 42,.1ви1 ........18,8057 ........40'0350 ........30,
5,30 53,5:И 7 .....1: , 920 1 41 ,682С> :И,
5,40 70,2(iЗ7 ........7,64qO .......42.7727 .........::>8'
5,50 8G, 7( 11.4 .......0,1 90 1 ........4:3,15g: 4:3,
5,60 101 81j87 9,75/.4 ........42,6775 47,
5,70 121: 7;\52 21,2199 ........41.1451 51,
5,80 14(;,2;J '18 :\4,7.')()4 .......38,3640 ........55'
5,90 1(НI,2Ю7 50,5:20;3 .....34'1198 .......59,
6,00 1!j(j,t881 70,6079 .......27,4846 .......62,
6,10 221,80J9 91,4992 .......19,4005 61":
........ ;),
6.20 2.'1:>,52:\1 112.5249 .......10,2356 ,......66,
2т. 2(i7,7/IШ 13;),8725 О ........66.
6,30 :!7:!,:!.'tЮ "138,/1120 2,2886 ........6G,
6,50 ;\2"', 7 Ю 1 198,1(;37 35,771 ;{ ........();; ,
7,00 11:\,:\7(i:2 38Н,8072 180,11 rJ 1 ........1 :3,
7.50 ;)1; ,З70() 580,т10 423,!"I8J8 1 :3;\,
5/2п () О4:3,9927 643,9H:2t5 121 ,
8,00 2!(j, fj47 628,8779 737,3101 !. ')')
J ,
8,50 ........1<179,3701 241,4136 981,0984 8lЮ,
9,00 3u!"l1 ,,'J815 .......1010'8800 834,8607 1:\10,
31t 6195,8:!:Ш .......3097'9120 о 15'1 ,
9,5{) ()(Ю(), !}.'jV4 ........3581,47Ы) 251 ),!);i;")!) I, )' :\/,
10,0 V2.Ю,1j733 .......7616,14и2 ........29и5,70и5 I ,
946'1
129а
3065
4725
6208
7,ИЗ
8: 46
882:3
87()9
80и8
0589
4195
0735
GO'J,!)
99Li9
23:2\
707:\
8392
1812
7501
5615
G290
!:Ю38
5732
4GO!1
l3232
0525
7317
о;ЗIt 6
724(j
!!524
2557
5558
7563
7429
03БJ
7889
1503
4981
9;H)
!JJ7S
Э1U5
28-1
()5()(j
9!)(j4
871:::;
:-)917
;Ю07
!);"j(j()
,'11: I
:;(; ',{ i
ПЕРЕЧЕНЬ ТЛGЛИЦ
Таблица 1.
Т а б л и ц а 2.
Т а б л 11 Ц а 3.
Табл 11 ца 4.
Т а б л и ц а .
Т а б л 11 Ц а 6.
Таблица 7.
Т а б л 11 Ц а 8.
Таблица 9.
Т а б л п ц а 10.
Таблица 11.
Таблпца 12.
ТаБЛlIца 1::3.
Т а б л п Ц n 11.
Та uл 11 ц'"' 1;).
Таблпца1(;.
Т а б JI II Ц а 17.
т а б л 11 Ц а 1 Н.
ТаБЛllца 1\1.
Т а б Jl 11 1 t tI :!О.
ТаБЛПЦIl2t.
т а б л И ц а 2:!.
Т а б л 11 Ц а З.
rСО I('ТрНЧССI\II(> ха ра «те рпетп IШ П.10СЮl Х ССЧt'IШЙ
УrО. Т IЫlIIЮI рtlllJIоБОI\ll1' (l OcT R500 57) .
YrOJIf>1II1l\1I lIf'раПllо(jОJШ(' (j'OcT 8510 57) .
Jl[Лt':I:Н'j1Ы () ()\'T 8:2"0 [)(j) . . . .
IIfв('л.'н'ры (J'()СТ 82 0 !jG*). . . . .
ьа.ТII\II Jt ВП,Н\РОПj,J(' О'ОСТ K2 9 56) .
БаЛI\1I дн)'таВРОIlЫО (rOCT 8239 50*)
БаЛ1\I1 Дfl 'Т,ШРОПЫ:О ШИРОl\ОПО:IOЧllЫИ
(rOCT Ы83 52). . . . . . . . . . .. . .
Опорные рсаlЩШI, попореЧIIые СИЛЫ J[ Ifзrпба
ЮЩIIС МО:'lевты в стаТИЧССI\П опrедешшых
баЛl\ах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИзrибаЮЩl1Й J\lО lепт М I 1I0рыальпая N и ПОIlС
речпая Q силы n НОНСОЛЫIO l J\pyroBo l стержне
при наrРУШСПIIII в ero ПЛОСI<ОСТII '. . . .
IIЗFибающпЙ М из lf крутящий М кр ?llО!\1епты в
I{ОПСОЛЫIOИ J\pyrono l стераше ПрII паrружсппп,
IJСрПСIIДI1I';уаНр[[О 1 ('ro П.10С},ОСТJI. . . . . . . .
J\!()ДУ.rI11 'пруrОСТIf 11 l\О;)ффIIJ пепты Пуассона. .
ОрпеllТПРОПОЧПЫG IJС,'1IIЧ!IIIЫ основпых ДОПУСRа-
(,,\I!oТ\': IIUПРЯiН('ШJU ]Ш раСТЯiНСШfО II Сl-I\атпе. . .
J, phtr-j1ПU преДf',ТILпоrо состояшш пзотроппых
Мi\Т('РП(),10В ("РIJ rтатпчеСКО 1 паrружсшш). . .
J ()II.\'('I;:H"J1.IP 111\ ПРШI,СПЛЯ l .lЯ спарных СОСДIlпе-
Ullii . . . . . . . . . . . . , . . . . . . .
Л(т \TI\:H"IJ.II' !I,IПРn;НСIIПЯ Т(ля древесины
\':'\(";'11 нрiiеТlIlIт(',л,!lЫХ JI соответствующих IШ
фlll Т1ll!llI,l.\ ();I:I!)[,.. ...........
J;a:II,1I pallll()!'O ('()JIР()ТIfn,'IСllIlЯ паr1lбу. . . .
'palllll'1111J1 .\IIP.\IOil ,'111111111 11 уrла поворота по-
11 (' 1'("1111,1 Х (' ("1 ('1111 ii 1;0 11 l:о ,'Т Ы!Oll баЛI\И перС:'IeШlOll
IIМ('О11,\. . . . . . , . . . . . . . . . . . . . ,
YplIlIlI('1I11J/ 'III' T()ii .'1/JJlПlI, MaJ,CI1Ma,'Тlbllblr про-
1'11 fi 1.1 II T.TII,I I\OI!OpO'la I\ОПЦСIJЫХ 11 опорных се-
'H'IIII ii (''1'111'11'1('('\;\1 OJIPf': (',1JIf IblX балок ПОСТОЯВ-
11010 J(OI/('I1(''IIIOI'O ('("f('IIIШ. .........
Фо рш\ 11 рll J \1(' ры п;! ри С("IР1!lШ. . . . . . . . .
I!Щ!(\iЮ\IIIIJ/ J1I1Tt'I'P:I:I;\ T pa S MiMpdz Д,'ТlЯ раз-
J11I'IIII.I:'\ ('O'I('Тilllllii :Ш/Оfl .\J i J\ ,11 f ,
J)тНЦII:Щ 11 J\O()rHlllliI IIJ Щ'IIТI1<JJ] 1H;],CCТlI 11('1\0-
101'ЫХ ,1.'1('\1('111<1)'111>1.\ фlll l'. . . . . . . . . . .
21
78
82
8G
88
90
92
94
116
138
139
151
1:52
173
200
200
254
255
256
258
289
10
H1
(\97
Т а б л II Ц а 21. Опорные реНIЩИП, поперечные силы, пзrибающие
моменты 1I перемеЩСIJI!Я в статпчеСJШ неопреде-
ЛlПIЫХ ОДllопролеТIlЫХ бf\JlRах . . . . . . . . .
т а б л п ц а 25. Расчетные формулы, учитывающие смещение
опор и измененис теll1Пflратуры в статически не-
определимых баЛRах (про ПОСТОЯНIlОМ EJ)
I1зrнбаЮЩIIС MOl\lellTbl n r.обраЭIJОЙ раме. .
IIзrибающие моменты n П-обраЭJJОЙ раме
J1зrпбающие l\lОМОПТЫ в заlllКНУТОЙ раме
Усилпя п персмещешш при паrружении I\Ольца
в cro плоскости .. . . . .
т а б л 11 Ц il 30. Радиус I"РИВII3JIЫ нейтральпоrо слоя r R для сече-
лпй разлпчной формы . . . . . . .
т а б л п Ц а 31. Значение J ОЭффl'lЦllента те в формуле е == kR
Т а б л п Ц а 32. П epPl\h-'щешш спободпоrо конца 1{0нсольпоrо
r,pyroBoro стержня постоянпоrо сечеппя при па-
rррш\нип u ('то плоскости . . . . . . . . . . .
r а б л п Ц а 3:3. ПеР(> IСЩСШIЯ свободноrо конца J\опсольноrо кру-
rOBoro стержня ПОСТОЯIlноrо сечения при Harpy-
а,СIIJШ в П<'рIIt'ПДПJ\УЛЯрПОЙ ПЛОСJ{о«ТII . . . . .
r <l б л и Ц а 3 . Значсния опрrделенных интеrралов, .часто встре-
чающlТХСЯ прн определешш перемсщений в кри-
вых стержнях . . . . . .
r а б л п Ц а 35. Расчетные формулы для толстостенпых цилинд-
ров . . . . . . .
r а б л п Ц а 36. Расчетные ФОРl\IУЛЫ дЛЯ определения напряже-
ниЙ и переМ('JЦРliИЙ в тонностепных оболочнах
Т::I б J1 11 Ц а 37. I1ластичеСIШ е моменты сопротивления для HeI{o-
торых сечеrшй баЛОI\ .
т а б л 11 Ц а 38. I\оэффициенты 'J п 'f) для определения I р.ити е-
скоlI наrрузки ЦСlIтрально сжатых стержней по
n 2 EJ EJ
формуле Р кр == ('Jl)2 == 'f) [2
(' п б л 11 Ц а 39. }\рптичеСRие паrРУЗIШ для полосы IJ неноторых
двутавровых балон , . . . . . . .
т а G л 11 Ц а 4.0. l'l:оэффrщпенты УСЛОВlIоrо допуснаеl\!оrо напря-
жеlIПЯ па сжатие 1J' . . . . . . . . . . . . . .
r а б л 11 Ц а 4.1. УраппешJП пзrпuюощеrо моиента M(z) 11 упруrой
ЛIIШШ w(z) для ПСl\ОТОрЫХ случаев продольно-
поперечноrо изrиба баJIOI, ПОСТОЯШlOrо попереч-
поrо сечеrшя . . . . . . . . . . . . . .
т а б .11 11 Ц а 26.
Т б л 11 Ц а 27.
Т а fi л II Ц а 28.
т а б л и ц а 29.
334
348
351
358
364
-368
386
388
392
394
396
413
422
434
451
491
500
502
т [l б л и ц а 42. Собственные .частоты Rолебаппii систем СОДПОЙ
п двумя степенями свободы . . . . . . . . . . 543
Т а б J] и Ц а 13. Частотные уравнения II собственные формы про-
дольных II !ЧJУТИЛЬНЫХ Rолебаний стерашей по-
стояппоrо сечения . . . . . . . . . . . . . . . 549
Т а б л 11 Ц а 44. ЧаСТОТIIые уравнеппя II собственные формы по-
перечных нолебапиu стержней постоянпоrо се.
еШIЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
Т ;1 б JI И Ц а 45. I\орrш .частотных уравненпй поперечных нолеба-
ппп: стержней постояпноrо сечения На упрутих
опорах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55'1
Т .\ б .1 II Ц а 1,в. I\орпи .частотных уравненпи поперечпых колеба-
ний стержней постоянноrо сечения с сосредото-
неНПЫМII массами m . . . . . . . . . . . . . . 556
в9F\
Таблпца17.
т а б л и ц а 48.
т а б л II Ц (\ !19.
т а б л II Ц а 50.
Таблица 51.
Таб.lIица ;):2.
Т а б л и Ц а 5:3.
Значсния некоторых IIHTcrpa:ron, ВСТРI:Ч,)ЮЩИХСЯ
прп p!.lCLICTi1X попереЧJlЫХ I:o.1cua п if i1 стсршней
(1ft i я собстпеншш фор ш. l\О;lI tЬНllii). . . . .
Собственные 'IaCToTbl поперечных колебаний
стержней ПОСТОЯШIOrо сечония. наrружепных
ПРОДОЛЬНЫМИ силами ............
Характериотиии ЦIII\.'IOB поnторпо-переменноrо
наrружешш . . . . . . . . . , . . . .
ЗнаЧСНllЯ IШЭффНШ:UIlТtI а, У'lНН{D.НОЩСI О мш.:еу
УJщряе IОl"О ().'Il' j(J!lTa 11 фор.чу.:rо l;О()ффИЦI!СlIта
ДlIlН1МIIЧllOСТJI , . . . . . . . . . . . . , . . .
Расчстныu фОр 1 УШJ J\.I Н 011 J1C; C':l('l' пл I1ilpaMeTpon
IЮllтаJПП двух Tl'.'1 . . . . . . . .
ЧlIс.1СПllЫО :тtl'lellllН l\о:)Ф'IJ!lЦJ t IlТ()В Па' 1/[,. Пр' flj,
J1,опускаС:IIl,It' ; аВЛС'llIIЛ I/а JJ,lUlЩ\;ЩР l\OIlTCl.I\TtI
ЩНI IIl'рUОШIЧtlДЫIO I I;OHTa1\'l', Hv :ШШJП 11 CTa
Tl1'I('C"O 1 lШI'Р}ЖСlllШ . . . . . . . . . . . . .
537
558
576
586
594
(Ю8
U09
ОfJlАВДЕНИЕ
Прсдис.тIОППО
rлаn8 1.
r л а в а 2.
r л.а в а 3.
700
Введение
1. HaYI'\(\ о СОПРОТППЛf}ПIIIf l\Н\тсрпалов. Изучаемые
оБЪСRТЫ . . . . . . . .
g 2. Виды д"чюрмацпii. Понятия о деформированном
СОСТОЛШIИ l\Jа тсрнаЛ<l
3. Основныс ПlПотсзы
rеОl\lетричес[,ие характсристИIШ ПJЮСRИХ сечений 10
9 4. СтатичеСIШЙ MO-':IеНТ площаДlI. Цептр тяжести пло.
щади. . . . . . . .. ............. 1 О
g 5. Моменты инерции плоских фиrур. . . . . . . .. 11
6. Моменты инерции сложных сечепий . . . . . .. 13
s 7. Моменты инерции ОТВОСJfТСЛЫIO параллольпых осей 14
8. 3ависимость I\IРЖДУ МОI\ЮllтаШl Iшt'РЦI111 при пово-
роте коордипаТI1ЫХ осеЙ . , . . . . . . . . . .. 14
9. ОпредереUIIе напраВЛf I1jlЯ rлаnных осей инерции.
rлаВIIые l\Io-'IоIIты инерции . . . . . . . . . . .. 15
10. rрафпчесное представлсние момснтов инерции,
Понятно о радиусе и эллипсе инерции . 17
* Н. Момепты сопротивления . . . . . 21
S 12. Порядок расчета . . . . 22
s 13.
14.
15.
S 16.
17.
9 18.
19.
20.
S 21.
2 22.
9 23.
24.
Внешние и внутренние силы. Метод сечений.
Эпюры внутренних сил . . . . . .
Rлассифишщпя внешних сил . . . . . . .
Впутреl1Нllе силы. Метод сечений, Эпюры внутрен-
них спл . . . . . . . . . . . . . . . . .
Балки и их опоры . . . . . . . . . . . . . . . .
Вычисление реакций . . . . . . . . . . . . . . .
Усилия и моменты в сечениях балки. . . . . . .
Дифференциальные вависимости при изrибр балок.
Некоторые особенности эпюр Q 11]1;1 ......
Построение эпюр для статичес:ки опред лимых рам
Построенис эпюр для :кривых стержней. . . . . .
Дифференциальные 8аВИСlIМОСТИ при изrибе плос-
ких кривых стержней . . . . . . . . . . . . . .
Построение эпюр внутренних сил для простран-
ственных стержней. . . . . . . . . .
Напряжения в сечении . . . . . .
у словил про шости И жесткости .
3
5
5
7
9
98
98
99
102
104
106
106
108
109
111
112
113
115
r л а в а 4.
r л а в а 5.
29.
30.
9 31.
32.
33.
34.
9 35.
36.
r л а в а 6.
37.
9 38.
r л а в а 7.
39.
40.
9 41.
42.
r л а в а 8.
9 43.
44.
45.
r л а в а 9.
46.
9 47.
48.
49.
rла,ва 10.
50.
51.
52.
53.
f 54.
f 55.
25.
26
27.
9 28.
Меха rrи',еСJ:l.с ха рю:теРИСТИI:1I fa Тf'рна:ш при
раСТШI\СIllШ и сжатип
Напряжения u деформации при растяжении и ежа-
тип
Испытание матвриа:юв на растяжение и сжатие
I\онцентрация напряжений . . . . . . . . .
ДОПУСI\аемы наПРЮШШIIЯ .
НО
143
1t18
149
140
Напрнжеппое и деформированное СОСТОНllие
Наllряжепия в точн . fлаВllыr площаДIШ и rшш-
ПЫО папряжения . . . . . . . . .
ТIlIнеЙное папряжеПIlое СОСТОЯUIJU .
ПЛОСl\ое папряжеНIlОО состоЛlШО
Прю.шя задача при ШIОСНОМ шшртН/\IJIЮ 1 состоя-
нни. K[-yr напряшеllпii. . . . . .
Обратная задаЧ<l при IlЛОСНОМ ШlllрШI\ОllIЮ\l состря,
IfИ 11
Объемнuе напряженное СОСТОЯIIIIО, . . . .
ДефОРМi\ЦIlII при объсмном щшрюнеШlOl\I состоя
нип. ОбобщеПНЫ{1 закон rYHa ....
потспциалыllяя эперrия деформацип .
Н:ритерии прочности
ОСIlОВlIыв теорпи прочности .
ПОlIЯl'ие о некоторых новых теориях прочности.
Растяжение п сжатие . . . . . . . . . . . . .
Расчет стержней на растяжение (сжатиС') с учетом
собствеlllIоrо веса. . . . . . . . . . . . . . . . .
Стержень paBlIoro сопротивления раСТЮI\f'UIlЮ
(сжаТIIЮ). СтупuнчатыЙ снржень. . . .
Статически J[('опрсдеЛПl\IЫU I\ОНСТРУНЦIlИ
Расчет rпбких UlIтей . . . . . . . . . . . . . . .
Сдвиr
Сдвиr. Расчет па срез
Чистый сдвиr. . . . .
Некоторые при меры расчета на
153
1.,:3
l:И
1[j5
157
158
НЮ
НИ
163
165
Н>5
169
178
срез
178
179
180
183
191
191
192
195
202
202
207
212
214
216
21С
2НI
222
224
I\ручение .. . . . . . . . .
Напряжения и деФОР}lаЦIIIl при нручеuии
Крученир стержней н<шруrЛОl'О сеченил
Расчет винтовых ПРУЖИlI
RОllцептраЦllЯ напряжений при кручении.
IIзrпб
норм[lлыlеe паПрЮf\ения при плосно:н Ilзrпбс
l{асаТf'лыrые напрящсния при изrllбе . . . . .
Расчет на прочность при ивrибе . . . . . . .
I-\ОIlЦ(,lIтрация напряжений при ивrибе . .
Диффсрспциальное уравнение изоrнутой ОСIl балки
(упруrой липии) . . . . . . . . . . . . . . , . .
Определение перемещений в балках по l\Iетоду
начальных параметров . . . . . . . . . . . . . .
228
231
701
s ';)7,
58.
5\1.
Э GO.
P[\('Q('T 63,1:01\ пере;\Iспноrо сеченпя Шl пrочностъ
11 i[':С П':О('.Ть . . . . . .. . .........
Рис'lСТ ШI. иэrиu (' УЧVТU;\1 Сll:I инерции . . . . . .
насателыlt! наВрЯiRСllИЯ при изrибе балок ТОlШО-
CT('HHOI'O профиля. Ц HTp н;зrиба .,......
о рJсч те UH:lOK на 'llpyro I основании. . . . . .
Ilлпu UП.ТIОl\, матеРl1аЛ которых не слсдует заl\ОНУ
l' yIШ , . . . . . . . . .
238
243
244
247
251
276
276
280
284
;Ю.
{'лапа 11.
tj 1.
()2.
6:3.
Сложное сонротшшеllие
(;Jюшныи 11 I':ОС(;Й lfзrнб
илн(i с рuсттl\ШIIIl' 1 .
Il;JI'пб с I':РУЧСШlе:-'I .
l' :1 а в I 1 . О" I,ис T('I)PC IbI об Yllpyrllx ('IН'т(' I.'\Х. Общне
:.\lеТОДЫ ОНРСДСЛСIIШl IIСРР:\1<'Щ('lшii 292-
G'J.. ОБОUЩСIII[[,Il' СII:I11 II нср('ж'щеIIШI 292
* (j,j. P;toora ВШJШШIХ ('IШ . . . , . . . 29ft
(Ю. Pi.lUO'lH пн)"треI!lШХ С1[,ll. . . . . . 295
g G7. JlрIВlеJlСШIС начаJla .вО3l\lОiIШЫХ пеРСj\IещеIШЙ
н УПРVI'Иl\f спстем,ш . . . . . .. ...... 297
С8. ТООРО;1Ы О DJашшостп работ II IlеремещешrЙ . . . 301
{Ш. Общне формулы для определенпя перемещениii.
!CTO} Мора .., . . . . . . . . . . . . . . . . яш
70. ] [ере:мещения, DЫ3ВUIЛlые И3l\1еНСIШСl\I темпсратуры . 31)3
7 t. l3ычнсление IIНТОl'ра,тш Мора ПО СlIособу В реща-
ППIа .. ............... 301
72. Потонциальная энерrИл дефОРJIaЦIШ 306
9 . Теорема I-\аСТIIЛЬЛНО. Теорема Лаrрапжа . . . 307
s '1. Теорема о минимуме П0теНЦIlа.1ьноlI эперпш: 309
J' ,1 [\ D а 13. СтаТИ(IеСl\И неопредеJlимые системы 316
7'5. Основные этапы расчета статичесюr неопреде.1:II-
ыых CHC'l ( И. . . . . . . . . . . . . . . . 318
76. I\аНОIJичеСI-тс уравнешш метода СШУ 319
77. МIIОl"JЫЮРНЫЗ Iн:разрезш,rе б:1.ЛЮI. Уравнение трех
MO IeIIToB .................... 322
g 78. Расчет СТ8.тпчесюr неопред еЛIIl\1LIХ КРИВОЛIшеiiных
с.теРЖiIеii ...........,.......' 326
s 79. Опре,J;СЛСПllС ПСр(' lещеIIИll в статичеСl\И пеопр('де-
JШМЫХ снстемах . . . . . . . . . . 328
ВО. О расчете lipocTpalicTBeHIIblx рамных СIIСТОМ 331
.!' ,Т! u В..! Н. Расчет ПЛОСIШХ I\рИВЫХ брусьев 378
81. ОпределеШlе напряжеIШй В брусьях оо;rьПlОЙ нрп-
ВIIЗПЫ . . . . . . . . . . 378
g 82. Расчет на НР(lЧНОС1'Ь . . . 383
8:3. Определение lI('ромещепий 384
l' л а в а 15.
81.
Расчст тплстостенных ЦIIЛИНДРОВ И вращающпхся
ДИСНОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ТОnСТОСТСJlПЫЙ: ЦIIЛИlЦР, подверженныЙ ВlI J '1'рfШ-
HL'.\I.,. l! Н,1V,)',ЮLO,\I)' дюз.ТfсНШО
РЙС'j'. " <':останных ЦПЛПНi1РОВ . . . . . . . . . . .
397
s 83.
397
102
702
86. Температурные папрлшслrш в ТОЛС'Jостеппых ци.
ЛIIпдрах . . . . . . It()
87. Расчет вращающихся ДИСI{ОВ 407
r JI а в а 16.
88.
э 89,
Расчет ТОIIКООТellНЫХ оБОJIОЧ Н
Расчет ТОНRОСТСIШЫХ оБОJIОЧС'I\
теории . . . . . . . . . . . . .
Распорные I{ольца n оболочках .
415
110 беЗМО IеНТIIоii
415'
420
r л а в а 17. Расчет l\Онструкциii по предеЛЬJlЬJ:\1 спс,Т()ЛНllам
90. Основные попятпя о преДt>ЛЬНОl\l СОСТОЯlJ [!П .
91. Расчеты при раСТЯi-1\ении и сжаТПII \ .
92. Расчет при RРУЧСIПШ. ..... .
93, Расчет при пзrиuе . .
428
428
429
431
432
r л а в а 18. У СТОИ'II1ВОс.и са:атых СТС'Р}Iшеii :". .
94. У СТОЙЧII вое п lIеустоii r швое УЩ»)ТОС jJiiПIIОВ('СJ!I' ,
S 95. Формула Эii.1Срd дал ОlIрСД<'ЛСllIlН I;РIIТlIЧ('СI;оii
наrРУ3IШ сжатоrо стС'рШШI . . . . . . . , . .
96. Б.'IИЯШlе услопий закреплснии I\ОIЩОR стсril;НЛ I!.I
всЛII'ШПУ I\рIIТПЧССI\оii СШIЫ . . . . . . .
э 97. О потере УСТОЙЧl1ВО ТП при напрл,ш'ш!ях, ЩН'1Ш-
mающих предеJ1 пропорцпопалыIOСТП l\НlтrрПi1ла
98. Расчот сжатых СТt>ржнеЙ на уетоi1чшюсть при
ПО:\IОЩИ I\ОэффициеНТОR ':lIСIlЬШСIШЯ OCIIOBIIOI'O
ДОПУСIше!\IOrо lIаП[ЧIil\('JlШ! , . . . . . .
99. Выбоr матерИ::.1.ла 11 РС1цпопн.'1ьноЙ ФОР:\lЫ ПОllt'р(.tj.
пых сечеIШП сжатых CT(,P,Iт 'ii
100. Продольно-поперечныЙ НЗrно
r л а в [\ 19. rпру['ие r.плеоания. . . . . .
s t01. НлаеСИфllЮЩI1Л мсхаlIичеСIШХ I\олобаПIl ii .
* 10:2. СпоБОДIlWС I\О,rн ()аПIIЯ спстем с о;птоii CТCJl('III,f()
Сllоб(lJJ:Ы . . . . . . . . . ,
103. ВЫIIУiIЩСППЫС }{О.:rJСОд.IIПЯ спетс:\! с O; lll'ji \:'1\'11('111,'0
сnободы при rЭр:\ЮII\lЧРС1\О\! lJ();J(}YjJ\,l,<'lllIll, ., ,
10'1 СвоБОДllые I\о.тrе()UIIIIЛ cHcT!'.\!ы С (): "oii ('1 !'(II'III,III
свобо;(!.! с учrТ{) 1 СОПРОТIIЛ,'lt'liШI, 11 P"1!'II'1l11011;I,1 1.
1l0l'О CI\OpOCTIf . . . . . . . . . . . . , . .' ,
s 10.i ЛЫН\,iIЩСllпые I{()лебап1ТЛ ('lIrтl'\1 С O) II')ij \') ('11('1111'11
сrЮU()j(Ы с 'ryC'TO:\1 СОПРОТНВ.1СI!IIЯ, 1I})(IIIOj)IIIIIIII;I:II,'
lIoro СI,UРОСТП . . . . , . . . . , . .
lO(). I рIlТIIЧ('СЮШ С'КОрОСТЬ ВРQЩN!ШI вала. .
107. Сrюбо:тыf' I\О.'I\'UiШIlЯ УllРУПIХ еп(''t'С':\1 (' II('('I\II."J.-
1,I1.\IП СТ('П('ПЯ:\Нf свобо; ы . , . . . . . , . . ' , ,
9 108 J[ РОДОJlЫIЫО Н нрутнлыIсc I\олС'батшя CT!'pil,II(,ji .
1т). I1 ОТН РРЧIIЫ() l\о:н'баIJИЯ ПрПЗ!\lатrIЧ('('ТШХ CTPpil\llt'ii
110. ;ЗаI\ОП сохраштпя ЭlIерПlП при {;OJll'б[шпн\: , , ,
111. II еJl:оторые прпб,тr Н;I\('IIIIЫР l\\('TO: lJ о нr)('; f'JI t' 111111
собстпснпых час.тот Ео;:н..бпнпii УН1'УУIIХ CIIC'\'PM . .
r л а в n 20. СОllр()тпп::енпс l\fnтrрпалов Дf'НствпlO ITOIITOpll/t.
lJ('рС 1СШ!ЫХ папртl,;('нпii .,.'.
11:2, HII:II'IIII!' yr,Ta,'IOCIII Щ11"jJна,lОВ . . , .
* 11: , ;\10Т():Щ 0!/РСЩ',ТfСlJ1!I1 прrДС.тI,1 DbIllUC:IIIUOC 111, )(1111'
rn,l IЧЫ C'Тa."IOCTH , . . . . .' .....
1:Н;
436
1:37
4: {I
44.:
11!i
4
,ИН
510
;'10
;) 1: 1
) Н;
:",17
,",IH
12 ,
) :! :2
;) I
;):1: \
,:III
):\1
:; ( ,
j):JO
68.
103
g 114. Влияние на предел ВЫНОСJШВОСТИ материала коп-
структиnно-техволоrпчесних факторов. . . . . . . 565
115. Расчет на llРОЧНОСТЬ при повторпо-перемепных
паrрузках . . . . . . . . . . 569
r л а в а 21. Расчет на ударную наrру шу. 578
116. Расчет па удар при осевом действии наrрузки. . 578
117. Напряжение при скручивающем ударе . . . . . . 582
9 118. Расчет па удар при ИЗfибе. . . . . . 583
r .п а в а 22. Контактные напряжения. 588
119. OCHOBHЫ понятия 11 формулы Д.ТIя определения
КОнтактных папряженпЙ и деформаций. . . . . . 588
12(). ПроверI\а ПрОЧIIОСТИ при IЮПтантUЫХ IНШРЯЖСIIПЯХ 592
ДОI10. т шеllие. Девять H(JBbIX апал{)rиii в сопротив:юнии мате-
риалов 610
11 РШIOжеUIIЯ ......................... 616
1. ФП31IНО l\lехаНl!ЧРСl\l!(' свойства !\lатерналов ..' 616
2. Коэффициенты КОfIЦ"нтраЦШI 11 ЧУВСТВIIТРЛЬНОСТИ
J{ концентрации напрюнепий. . . . . .. ... 654
3. Фушщпи J\рылова S, Т, и, V . . . . . . . . . . 682
4. Фушщип Крылова для расчета ба.'IОН nOCTORIlil0I'O
сечеuия на упруrоu осповаНllИ 694
Литература 696
Псрсч('нь таблиц
698
')
lIncapenRO rеорrий Степанович
НI,ОI1.rlел Анатолий lIетрович
МUТDССБ В<1ЛСНТIШ ВЛ8ДИМllрОВИЧ
СlllJАВОЧНИН ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ
Рсюн,тор Е. А. LЗОРОIlЬ1\О. Художестnеrшыii редактор В. М. ТеПJ1.япСfJ. ОФор:.rле-
(ШС Х}";fl.ОiЮ!Ш\а В. Ф. }(оваЛЬСnО20. 'fехнпчесинй редактор Б. 1\1. }(рuчевскйя.
Hoppel,TopLI Л. М. ТUЩСНnО, А. И. Раз6uчпая.
Сдано в набор 28.1 1974 r. ПОДПI!саIIО к печати 8.IV 1975 r. БФ 00999. 3ак.5-1186.
Иза. Л'!! 328. Тираж 76000. Бумаrа 1дШlIнrlO !е,'!Овашraff Д':Ш юшr в переl1Jlt ТI;
J\:;' 7. бумаrа И2 1 '} Д':Ш книr в псреШlетс N2 5. Формат 84 х {О8 1 / 82 . rС;lОвно-печ.
ЛIIСТОВ 36,96. УчеТНО-IIЗД. листов 33,3. Цена р тб. в переплете J\\I 7 и 1 IJyG.
O нои. в. ncpCn':leTe N2 5.
Издательство «IIаукопа думка», Ииев, Репина, 3.
Отпечатано с матриц Книжной фабрики Ю1. M. В. Фрунзе республиканскоrо про.
I!зводственноrо объеД1lнения «ПО.1иrрафЮlИrа» rоскомиздата УССР. Харьков,
IlонеЦ-3dхаржрвская, ь '8 113 ХаРЬКOfк!{оl"i КНI1/КПО!f фабрике «КОММУНИСТ» р('спу-
t1о1ИКд 111' Kor n 11 1"1\\ '4 F\t)I!r ПН' Н нт () об н: ё! и НО!!' jI «По 1!!rp аWh!!И r а ,> I"o\" ко !И.э:1 -'! Т а
'CCP. X"I"'['''P \" ,'111('11,'" ! .