Автор: Пятницкий Е.С. Трухан Н.М. Ханукаев Ю.И. Яковенко Г.Н.
Теги: общая механика механика твердых и жидких тел механика
ISBN: 5-9221-0182-Х
Год: 2002
Текст
УДК 531@75.8)
П99
ББК 22.21
Пятницкий Е.С., Трухан Н.М., Ханукаев Ю.И., Яковенко Г.Н.
Сборник задач по аналитической механике: Учеб. пособие: Для
вузов. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 400 с. —
ISBN 5-9221-0182-Х.
Сборник содержит более тысячи шестисот задач по теоретической механике
и практически охватывает все ее разделы. Помимо традиционного раздела ки-
кинематики и общих теорем динамики, большой объем сборника занимает раздел
аналитической механики. Во втором издании A-е изд. — 1980 г.) были введены
новые параграфы: уравнения механики неголономных систем, устойчивость дви-
движения, дискретные модели механических систем. В третьем издании сборник
переработан, добавлены новые задачи и исправлены обнаруженные опечатки и
неточности.
Сборник рассчитан на студентов, аспирантов и преподавателей университе-
университетов, физико-технических и инженерно-физических вузов. Он будет также полезен
студентам технических вузов при изучении теоретической механики.
Ил. 386. Библиогр. 68 назв.
Рецензент: доктор физико-математических наук А.П. Маркеев.
ISBN 5-9221-0182-Х © ФИЗМАТЛИТ, 2002
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию 5
Предисловие ко второму изданию 5
Из предисловия к первому изданию 6
1. Кинематика и динамика
Ответы и
Задачи решения
§ 1. Движение точки 9 295
§ 2. Сложное движение точки 15 297
§ 3. Плоскопараллельное движение твердого тела 24 300
§ 4. Движение твердого тела с неподвижной точкой. Об-
Общий случай движения твердого тела 32 303
§ 5. Динамика точки 45 308
§ 6. Изменение импульса и момента импульса системы . 49 309
§ 7. Изменение кинетической энергии. Смешанные зада-
задачи 56 310
§ 8. Динамика точки в центральном поле 67 313
§ 9. Динамика относительного движения 76 315
§ 10. Динамика систем переменного состава 82 317
§ 11. Динамика твердого тела 90 321
2. Аналитическая механика
; 12. Уравнения Лагранжа 113 329
| 13. Электромеханические аналогии 134 334
; 14. Условия равновесия 142 336
: 15. Устойчивость равновесия консервативных систем . . 149 337
| 16. Малые колебания консервативных систем 155 338
| 17. Движение диссипативных систем 178 353
; 18. Вынужденные колебания. Частотные характеристи-
характеристики 184 354
| 19. Уравнения Гамильтона, Рауса, Уиттекера и Якоби . 197 359
; 20. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Нётер 206 363
21. Вариационные принципы механики 217 366
Оглавление
Ответы и
Задачи решения
§ 22. Интегральные инварианты 224 366
§ 23. Канонические преобразования 234 368
§ 24. Уравнение Гамильтона-Якоби 260 377
§ 25. Методы оптимального управления в задачах механи-
механики 273 388
§ 26. Уравнения механики неголономных систем 277 390
§ 27. Устойчивость движения 282 392
§ 28. Дискретные модели механических систем 290 392
Предисловие к третьему изданию
Настоящее издание сборника выпускается по предложению из-
издательства «Физматлит» одновременно с третьим изданием книги
Ф. Р. Гантмахера «Лекции по аналитической механике», которая бы-
была положена в основу этого сборника. Сборник переработан, добавле-
добавлены новые задачи и исправлены обнаруженные опечатки и неточности.
2001 г.
Предисловие ко второму изданию
За время после выхода в свет первого издания A980 г.) «Сборник»
был апробирован в учебном процессе в МФТИ и других высших
учебных заведениях, как в университетах, так и в ряде технических
вузов. Авторы получили письма от отечественных и зарубежных
читателей и при подготовке второго издания в максимальной степени
постарались учесть их замечания и пожелания.
В 1983 г. сборник был издан в Китайской Народной Республике.
В процессе работы над вторым изданием практически все раз-
разделы подверглись переработке. Введены новые разделы: уравнения
механики неголономных систем, устойчивость движения, дискрет-
дискретные модели механических систем. Включение в сборник раздела по
дискретным моделям связано с интенсивным использованием вычис-
вычислительной техники для решения задач механики. При составлении
разностных схем для интегрирования уравнений движения механи-
механических систем важно, чтобы дискретные модели имели те же законы
сохранения, что и исходные непрерывные системы. Такой алгоритм
построения дискретных моделей может быть получен, в частности, из
вариационных принципов механики. Добавлено свыше трехсот новых
задач. Исправлены обнаруженные опечатки и неточности. Порядок
следования разделов остался прежним.
Авторы признательны читателям, приславшим свои пожелания
и замечания. Глубокую благодарность авторы выражают коллегам
по кафедре теоретической механики МФТИ, чьи советы и доброже-
доброжелательная критика способствовали улучшению «Сборника». Авторы
выражают глубокую благодарность профессору А. П. Маркееву за
большой труд по рецензированию рукописи.
1995 г.
Из предисловия к первому изданию
В настоящее время отечественная литература по теоретической
механике располагает такими учебными пособиями, как получившие
всемирную известность «Сборник задач по теоретической механи-
механике» И. В. Мещерского, «Сборник задач по теоретической механике»
Н. Н. Бухгольца, И. М. Воронкова, А. П. Минакова и др. Поэтому
в данном сборнике задачи по традиционным разделам механики
представлены сравнительно слабо и основное внимание уделяется тем
ее разделам, которые еще не нашли достаточно полного отражения
в учебной литературе, в частности электромеханическим аналогиям,
вариационным принципам, интегральным инвариантам, уравнениям
Гамильтона, каноническим преобразованиям, методу Якоби и т. д.
При составлении сборника был использован опыт преподавания
теоретической механики в Московском физико-техническом инсти-
институте.
Внутри разделов задачи расположены в основном по принци-
принципу «от простого к сложному». В ответах и указаниях (там, где
это целесообразно) используется векторно-матричная форма записи.
В остальном применяются обычные для курсов механики обозначе-
обозначения; единственным исключением является запись вида г — 1, п вместо
традиционной г — 1, 2, ..., п.
При составлении сборника авторы использовали ряд задач из
учебного пособия по теоретической механике, изданного в МФТИ,
и некоторые задачи из учебников и монографий по теоретической
механике. Основная часть задач составлена самими авторами.
Приведенный в конце книги список литературы, отнюдь не пре-
претендует на полноту и охватывает только те работы на русском языке,
которые по содержанию наиболее близки к настоящему изданию.
Авторы искренне признательны профессору МГУ В. Г. Дёмину
за обстоятельный разбор рукописи и ряд ценных замечаний.
Особую благодарность авторы выражают Г. М. Ильичевой.
1979 г.
ЗАДАЧИ
1. Кинематика и динамика
2. Аналитическая механика
1. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА
§ 1. Движение точки
1.1. Точка движется так, что во все время движения ее ускорение
направлено к неподвижному центру О. Показать, что траектория
точки лежит в плоскости, проходящей через центр О.
1.2. Электрон в постоянном магнитном поле движется по винто-
винтовой линии в соответствии с уравнениями
х = acosoo?, у = asinatf, z — Ы.
Найти тангенциальную и нормальную компоненты ускорения элек-
электрона и радиус кривизны его траектории.
1.3. В поле отталкивающего центра точка движется в плоскости
ху по закону х = occhatf + Pshoctf, у = ychco^ + pshoctf, где а, Р, у, р
и со — постоянные величины. Найти уравнение траектории точки
и уравнение годографа скорости.
1.4. Сохраняя условие предыдущей задачи, найти радиальную wr
и трансверсальную w^ компоненты ускорения точки.
1.5. Колечко движется по параболе у = ах2 с постоянной ско-
скоростью v. Найти ускорение колечка в зависимости от его поло-
положения.
1.6. Если при переходе с прямолинейного участка у = 0 железно-
железнодорожного пути на криволинейный у = f(x) нормальное ускорение
меняется скачком, то происходит явление так называемого мягкого
удара. Как должен начинаться криволинейный участок пути, чтобы
такого удара не произошло?
1.7. Точка движется по плоскости так, что угол между вектором
скорости и радиусом-вектором во все время движения равен а. Найти
уравнение траектории точки, если в начальный момент г@) = го,
ф(О)=Фо.
1.8. При движении точки ее скорость v и ускорение w связаны
соотношением w = axv, где а — постоянный вектор. Найти уравне-
уравнение траектории точки.
1.9. Сохраняя условия предыдущей задачи, показать, что при
таком движении |v| и |w| остаются неизменными.
1.10. Точка описывает окружность радиуса R. Ускорение точки
образует с ее скоростью постоянный угол ос (а ф тг/2). За какое время
скорость точки увеличится в п раз, если в начальный момент она
равнялась vq?
10 1. Кинематика и динамика
1.11. Точка движется в плоскости ху с постоянной по модулю
скоростью |v| = и. Вектор скорости образует с осью Ох угол а =
= at (a — постоянная величина). Определить уравнение траектории
точки и модуль ее ускорения, если в начальный момент t = 0 точка
находилась в начале координат.
х2 у2
1.12. Точка движется по дуге эллипса —?+—? =1. Вектор уско-
а о
рения точки во все время движения направлен параллельно оси Оу.
Найти ускорение точки в тот момент, когда ее ордината равна 6/2,
если в начальный момент ж@) = 0, у@) = 6, v@) = vq.
1.13. Точка движется в плоскости ху. Модуль скорости v точки
и угол 6, составляемый скоростью с осью Ож, являются известными
функциями времени t. Используя плоскость годографа вектора ско-
скорости, найти нормальную и тангенциальную компоненты ускорения
точки.
1.14. Точки Л и В движутся таким образом, что во все время
движения расстояние между ними не изменяется. Показать, что для
ускорений этих точек выполняется соотношение
1.15. Точка движется по плоской кривой. В каждый момент вре-
времени известны скорость v(t) и кривизна траектории k(t). Показать,
что система дифференциальных уравнений х = i>cos\|/, у = г; sin\|/,
\j/ = vk определяет закон движения точки х = x(t), у = y(t).
1.16. Используя условия предыдущей задачи, найти закон дви-
движения точки х = x(t), у = y(t), если v = at, k = ?-1, a = const и если
в начальный момент t = 0 известны координаты точки xq и ^/о, а также
угол Р, который ее скорость составляет с осью Ох.
1.17. Самолет движется в вертикальной плоскости Ох у. С по-
помощью приборов найдены скорость центра масс самолета v(t) и нор-
нормальная перегрузка n(t). (Нормальной перегрузкой называется отно-
отношение нормального ускорения wn центра масс к ускорению свобод-
свободного падения g.) Используя результаты, приведенные в задаче 1.15,
найти закон движения центра масс этого самолета х = x{t), у = y{t),
если v = bVl + a2b2t2, n = ab2/(gVl + a2b2t2), где а и b — известные
постоянные.
1.18. Движение точки в плоскости задано в полярных координа-
координатах г = r(t) иф = ф(?)- Показать, что в случае постоянства сектори-
альной скорости (г2ф = const) вектор ускорения точки коллинеарен
ее радиусу-вектору.
1.19. Планета движется по эллиптической орбите, уравнение
которой в полярных координатах имеет вид: г = . Найти
l + ecoscp
j 1. Движение точки 11
зависимость радиальной wr и трансверсальной w^ компонент уско-
ускорения планеты от г, используя закон площадей г2ф = с = const.
1.20. В некотором приближении орбиту Меркурия можно пред-
представить плоской розеткой, уравнение которой в полярных коорди-
натах имеет вид г = , где со = const Ф 1. Используя закон
l + ecoscocp' ^ J
площадей г2ф = с = const, найти зависимость ускорения w планеты
от г.
1.21. Движение точки в плоскости задается в полярной системе
координат компонентами скорости vr = 1/г2 и^ = 1/ar, a = const.
Найти уравнение траектории точки г = г(ср), а также радиальную wr
и трансверсальную гиф компоненты ее ускорения, если в начальный
момент г@) = го, ср(О) = сро-
1.22. Используя условия предыдущей задачи, найти тангенци-
тангенциальное и нормальное ускорения точки.
1.23. Точка движется в плоскости с постоянной радиальной ско-
скоростью vr = с > 0 и радиальным ускорением wr = —а2/г3, а = const.
Найти уравнение траектории точки, если в начальный момент г@) =
= г0 иср(О) =ф0.
1.24. Найти радиус кривизны р траектории точки, если известны
ее скорость v и ускорение w.
1.25. При движении точки ее радиус-вектор г, скорость v и уско-
ускорение w связаны соотношением w = a(v x r), a — const > 0. Найти
радиус кривизны траектории точки как функцию г и v.
1.26. Движение точки в плоскости задано в полярных координа-
координатах г = г(?), ф = ф(?). Найти радиус кривизны траектории.
1.27. Доказать, что если ускорение точки имеет постоянное на-
направление, то оно равно w = ш;3/р, где a — постоянная, v — скорость
точки, ар — радиус кривизны ее траектории.
1.28. Точка движется в пространстве с постоянным ускорени-
ускорением w. В начальный момент t = 0 она имеет скорость vo, образующую
с ускорением угол а. Определить радиус кривизны траектории точки
как функцию времени.
1.29. Самолет, изображенный на рисунке точкой Л, движется
горизонтально на высоте Н с постоянной скоростью vi = v. В момент,
когда самолет пролетает над ракетной установкой, пускают самонаво-
самонаводящуюся ракету В, имеющую скорость V2 и все время направленную
к точке Л, | V21 — 2|v|. Найти уравнение траектории ракеты Л В =
= г(ф) в системе отсчета А^ц, движущейся с самолетом. Найти также
время полета ракеты с момента вылета до поражения самолета и ее
ускорение как функцию угла ф.
12
1. Кинематика и динамика
1.30. Точки Ли В (см. рисунок) движутся в плоскости с постоян-
постоянными скоростями vi и V2 таким образом, что компоненты их скоро-
скоростей, перпендикулярные соединяющей их прямой, равны:
К задаче 1.29
К задаче 1.30
(параллельное сближение в задаче преследования). Найти
уравнение траектории точки Б, закон сближения ЛВ = r(t) и время
движения точек до встречи, если точка Л движется по прямой.
1.31. В задаче преследования убегающий Л движется по прямой
с постоянной скоростью vi. Догоняющий В движется с постоянной
скоростью V2, направленной по Л В. Найти уравнение траектории
сближения Л В = г(ср) в системе отсчета, связанной с убегающим, если
Фо ф 0. (См. рисунок к задаче 1.29.)
1.32. Используя условия предыдущей задачи, найти ускорение
догоняющего В и радиус кривизны его траектории в зависимости
от г = Л В и угла ср между ЛВ и прямой, по которой движется
убегающий. (См. рисунок к задаче 1.29.)
1.33. В задаче преследования скорость V2 догоняющего посто-
постоянна и все время направлена на цель. Удаляющаяся цель движется
с постоянной скоростью vi и ускорением w = (v\/l) sincp, где / = const,
а ф — угол между скоростью цели и скоростью догоняющего. Найти
траекторию догоняющего г(ср) в системе отсчета, связанной с целью
(см. рисунок к задаче 1.29.).
1.34. В задаче преследования с упреждением догоняющий дви-
движется с постоянной по модулю скоростью V2 так, что угол 5 между
направлением его скорости и направлением на цель остается посто-
постоянным. Найти время, через которое догоняющий настигнет цель,
движущуюся по прямой с постоянной скоростью vi.
1.35. В задаче преследования цель движется прямолинейно с по-
постоянной скоростью vi. Скорость V2 догоняющего постоянна по моду-
модулю и все время направлена на цель. Определить нормальное ускоре-
ускорение догоняющего в момент совмещения его с целью в следующих слу-
случаях: а) 1 < v^/vi < 2; б) V2/V1 = 2; в) i^/vi >2. Рассмотреть случаи
удаляющейся и приближающейся цели (см. рисунок к задаче 1.29.).
j 1. Движение точки 13
1.36. Движение точки задано в криволинейных ортогональных
координатах #i, #2, 9з соотношениями qi = qi(t) (г = 1, 3). Связь меж-
между этими криволинейными и декартовыми координатами выражается
зависимостями х = 91(91,92,93), У = Ф2 (91,92,9з), * = Фз (91,92,9з)-
Показать, что проекции ускорения на касательные к координатным
линиям криволинейной системы определяются выражениями
3 3
2 V^V^I^l -2 /гх ^
где г; = > > I -— 1 д^. [Координатной линией называется кри-
t=ij=i ^ qjs
вая в пространстве ху z, вдоль которой изменяется только одна из
координат qi, г = 1, 3.)
1.37. Используя решение задачи 1.36, найти скорость точки
и проекции ее ускорения на касательные к координатным линиям
для следующих криволинейных ортогональных координат:
а) цилиндрические координаты r^^z\x = г cos 9, У = г sin 9, z = z;
б) сферические координаты г, 6, 9: % — г sin6 cos 9, У = г sin6 sin 9,
z = rcos6;
в) координаты параболического цилиндра а, т, z: x = от, у =
г) координаты эллиптического цилиндра и, v, z: x — a
у — ash^sin^, z = z\
д) параболические координаты а, т, 9: % — ^^ cos 9, у = ox sin 9,
* = (т2-а2)/2;
е) координаты вытянутого эллипсоида вращения и, v, 9: х —
= ashusinvcos9, ?/ = ash^sinvsin9, 2: = ach^cos?;;
ж) координаты сплюснутого эллипсоида вращения п, г», 9: х =
= ach^sin^cos9, 2/ — ach^sin^sin9, z = ash'ucos^.
1.38. Положение точки определяется зависимостью радиуса-век-
радиуса-вектора от криволинейных ортогональных координат: г = f(gi,(/2,93)-
Найти радиус кривизны траектории, считая, что qi(t), г — 1,3, из-
известны.
1.39. При движении точки со скоростью v(?) ее цилиндрические
координаты изменяются во времени по линейному закону. Найти
компоненты кривизны траектории.
1.40. Точка движется по координатной поверхности q\ — const
ортогональной системы криволинейных координат с постоянной по
модулю скоростью v. Говорят, что точка движется по геодезической,
14
1. Кинематика и динамика
О
если вектор кривизны траектории направлен по нормали к поверхно-
поверхности q\ — const. Найти уравнение геодезической.
1.41. Точка движется по поверхности сферы вдоль координатной
линии ф (г = const,6 = const) сферической системы координат с по-
постоянной скоростью v. Найти вектор кривизны траектории и указать
условия, при которых траектория точки явля-
У\ v ется геодезической.
1.42. Точка (см. рисунок) движется в плос-
плоскости так, что угол между вектором скорости
и вектором ускорения постоянен. Угол ср между
направлением вектора скорости v и неподвиж-
неподвижной осью изменяется по заданному закону ср(?).
Найти скорость и ускорение точки как функции
К задаче 1 42 угла ф, если в начальный момент t = 0 заданы
г;(О) = г;о, ф@)=ф0.
1.43. При движении точки проекция ее скорости v на ось Ох
имеет постоянную величину и. Доказать, что ускорение точки выра-
выражается соотношением w = г>3/up (p — радиус кривизны траектории)
в том и только в том случае, если траектория точки — плоская кривая.
1.44. Годограф вектора скорости точки задан в сферических
координатах г>, ф^, Qv (см. рисунок) зависимостями v = v(t), ф^ =
= cpv(?), Qv = ®v{t)- Найти нормальное ускорение точки.
1.45. Выразить орты сопровождающего трехгранника (т, n, b)
через вектор скорости v и вектор ускорения w точки, если wxv/0,
ат-v > 0.
К задаче 1.44
К задаче 1.46
1.46. Точка движется таким образом, что ее ускорение равно w =
'у
= ~з (г х г), где г — радиус-вектор точки, у = const, г х г ф 0 (см. рису-
рисунок). Показать, что точка движется по поверхности кругового конуса.
§ 2. Сложное движение точки 15
1.47. Найти кривизну траектории точки, движущейся с ускоре-
'у
ш w = -о (г х г), где г — ее радиус-ве
г
ный момент скорость точки равнялась
'у
нием w=^(rxr), где г — ее радиус-вектор, у = const, если в началь-
г
§ 2. Сложное движение точки
2.1. В соревнованиях по ориентированию на местности п участ-
участников в начальный момент находятся на окружности радиуса R на
одинаковом расстоянии друг от друга. Во время движения каждому
из участников известен лишь пеленг соседа, который в начальной
позиции был справа. Для того чтобы собраться на окружности ради-
радиуса г (г < R), участники ориентируют направление своей скорости
по известному пеленгу. Найти время, через которое они соберутся на
заданной окружности, если каждый из них будет двигаться с посто-
постоянной скоростью v.
2.2. При движении яхты с юга на север со скоростью v\ ее флюгер
показывает, что ветер дует с запада. Флюгер другой яхты, движу-
движущейся со скоростью V2 с запада на восток, показывает, что ветер
дует с юго-запада, образуя угол а с направлением «юг-север». Найти
модуль скорости ветра и угол Р между направлением «юг-север»
и направлением ветра относительно не-
неподвижного наблюдателя.
2.3. Винт самолета, установленного
на вибростенде, вращается с постоян-
постоянной угловой скоростью со относительно
горизонтальной оси MN (см. рисунок).
Ось MN перемещается параллельно са-
самой себе в вертикальной плоскости zy по
закону ОМ = a smut. Найти ускорение
точки А на конце лопасти, если М A — R.
2.4. При стрельбе по движущейся це-
цели ствол орудия длины / вращается в вер- задаче
тикальной плоскости с постоянной угловой скоростью coi. Платфор-
Платформа, на которой установлено орудие, поворачивается вокруг верти-
вертикальной оси с постоянной угловой скоростью 0J • В момент вылета сна-
снаряд имеет относительно ствола скорость vq и ускорение г^о, причем
ствол направлен под углом а к горизонту. Найти скорость и ускорение
снаряда в этот момент.
2.5. Полая трубка (см. рисунок), изогнутая в форме кругового
кольца радиуса R, вращается с постоянной угловой скоростью сох во-
вокруг оси А В, укрепленной в рамке. Рамка в свою очередь вращается
ВОКруГ ГОрИЗОНТаЛЬНОЙ ОСИ CD С ПОСТОЯННОЙ уГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ С02-
16
1. Кинематика и динамика
По трубке с постоянной относительной скоростью vq движется ша-
шарик. Найти скорость и ускорение шарика в положениях 1, 2, 3, 4
в момент, когда плоскость трубки совпадает с плоскостью рамки.
К задаче 2.5
К задаче 2.6
2.6. Кабина для тренировки космонавтов (см. рисунок) враща-
вращается относительно горизонтальной оси 1-1, укрепленной в раме, ко-
которая в свою очередь вращается относительно вертикальной оси 2-2.
Угловые скорости вращения coi и Ю2 относительно указанных осей
постоянны. Найти ускорение точки кабины, отстоящей от оси 1-1
на расстояние / и находящейся в начальный момент на оси 2-2, как
функцию времени.
2.7. Горизонтальная плоскость ху вращается вокруг вертикаль-
вертикальной оси Oz с постоянной угловой скоростью со. Из неподвижной
точки О плоскости ху начинает движение точка М. Найти траекто-
траекторию точки М относительно плоскости, если абсолютная скорость v
точки постоянна. Найти также относительное ускорение wr точки М
в зависимости от ОМ — I. Рассмотреть два случая: a) v • со = О,
б) v-co^O.
2.8. Показать, что при сложном движении точки имеют место
соотношения vr = wr + wc/2, ve = we + wc/2, где ve, vr — переносная
и относительная скорости; we, wr, wc — переносное, относительное
и кориолисово ускорения.
2.9. Найти условия, при которых в сложном движении точки
справедливы соотношения vr = wr, ve = we.
2.10. Показать, что при сложном движении точки всегда спра-
d,
ведливо тождество -г(уг — ve) = wr — we.
CLv
§ 2. Сложное движение точки
17
2.11. Призма ЛВС (см. рисунок) движется поступательно вдоль
оси Ох с ускорением w, имея в данный момент скорость v. По линии
наибольшего ската ВС призмы катится без скольжения цилиндр,
скорость центра которого относительно призмы постоянна и равна vo-
Радиус цилиндра 7?, ZBCA = ос. Найти скорости и ускорения точек
1, 2, 3, 4 цилиндра в данный момент времени.
В
У///////////////////////////////////////
О
в
К задаче 2.11
К задаче 2.12
Ocoi
А
2.12. Направляющая Ох вращается в горизонтальной плоскости
вокруг точки О с постоянной угловой скоростью со (см. рисунок).
В этой же плоскости относительно направляющей движется стер-
стержень Л В с постоянной скоростью vo- Стержень образует прямой угол
с направляющей. Найти зависи-
зависимость скорости и ускорения точ-
точки В стержня от времени, если дли-
длина стержня равна / и в начальный
момент точка А совпадала с точ-
точкой О.
2.13. На плече А В центрифу-
центрифуги (см. рисунок) укреплена испыта-
испытательная кабина, которая вращается
вокруг горизонтальной оси 2-2, пер-
перпендикулярной вертикальной плос-
плоскости CAB. Угловые скорости цен-
центрифуги coi (относительно оси 1-1)
и кабины 0J постоянны, длина плеча
А В равна L. Найти ускорение точки М кабины, лежащей в плоскости
CAB на расстоянии ОМ — I от оси 2-2^ в зависимости от угла ср
поворота кабины.
2.14. Круговое кольцо (см. рисунок), точка О которого непо-
неподвижна, совершает колебания в своей плоскости по закону ср = =
= (posinco?. Радиус кольца равен R. Точка А движется по кольцу так,
что s = at2, где s — длина дуги О\А. Найти скорость и ускорение
точки А в момент времени t = тг/со.
18
1. Кинематика и динамика
2.15. Стержень О Л (см. рисунок) вращается в горизонтальной
плоскости относительно вертикальной оси Oz с постоянной угловой
К задаче 2.14
К задаче 2.15
К задаче 2.16
скоростью со. Колечко Р колеблется вдоль стержня по закону ОР —
= а(\ + sincooO- Найти скорость и ускорение колечка, пренебрегая его
размерами.
2.16. Стержень О А (см. рисунок) совершает колебания в плос-
плоскости ху по закону ср = cposinco^. По стержню скользит колечко Р.
Пренебрегая размерами колечка, найти его скорость и ускорение, если
OP = at2/2.
2.17. Движение точки Л в плоскости ху (см. рисунок) задано
в полярных координатах г = r(?), ср = ср(?). Представляя движение
точки Л относительно плоскости ху как сложное: вместе с системой
О^л (переносное) и относительно О^л (относительное), найти проек-
проекции скорости и ускорения точки Л на оси О^ и Ол.
К задаче 2.17
К задаче 2.18
2.18. Движение точки Л (см. рисунок) задано в сферических
координатах г = r(t), 6 = б(?), ср = ср(?). Найти скорость и ускорение
точки, используя разложение движения на относительное (в плоско-
плоскости ф = const) и переносное (с этой плоскостью).
2.19. Горизонтальная платформа (см. рисунок) вращается во-
вокруг вертикальной оси Oz с постоянной угловой скоростью со. На
§ 2. Сложное движение точки
19
платформе установлен математический маятник длины /, совершаю-
совершающий колебания в плоскости xz по закону ср = (posincoo^- Найти ско-
скорость и ускорение точки А в момент времени t = к/Bщ).
2.20. Математический маятник (см. рисунок) переменной длины
колеблется в вертикальной плоскости по гармоническому закону ср =
= (posinotf. Найти скорость и ускорение точки А, если длина / части
О А нити уменьшается по закону l = l$ —at.
О
К задаче 2.19
К задаче 2.20
К задаче 2.21
2.21. Точка А подвеса математического маятника А В длины /
движется в вертикальной плоскости по окружности радиуса R так,
что длина дуги О А равна at. Колебания маятника происходят в этой
же плоскости по закону ср = (posinco?. Найти скорость и ускорение
точки В маятника в момент времени t = к/со.
2.22. Парабола у = ах2 вращается вокруг оси Оу с постоянной
угловой скоростью со. Бусинка А движется по параболе с постоянной
скоростью vq. Найти скорость и ускорение бусинки в зависимости от
ее положения.
2.23. Стержень А В длины 2а скользит своими концами по сто-
сторонам прямого угла так, что конец А движется с постоянной скоро-
скоростью и. По стержню движется шарик М с постоянной относительной
скоростью v. Определить скорость и ускорение шарика М в зависи-
зависимости от времени, если в начальный момент AM = О, О А = 2а.
2.24. Диск радиуса R катится по неподвижному рельсу без сколь-
скольжения. Скорость и ускорение центра диска равны v$ и г^о соответ-
соответственно. Найти скорость и ускорение произвольной точки рельса
в системе координат, связанной с диском.
2.25. Кольцо (см. рисунок), внутренний радиус которого равен Я,
обкатывает без скольжения неподвижный цилиндрический вал ра-
радиуса г. Найти скорость и ускорение центра вала в системе отсчета,
связанной с кольцом, если угловая скорость кольца равна со.
20
1. Кинематика и динамика
2.26. Убегающий А (см. рисунок) движется по окружности ра-
радиуса R с постоянной по модулю скоростью v\. Догоняющий В
о
К задаче 2.23
К задаче 2.25
движется с постоянной по модулю скоростью г>2, направленной по
линии цели В А. Найти относительное ускорение wr догоняющего
(в системе Аху, ось Ах которой направлена по вектору скорости vi)
в зависимости от расстояния г между А и В и угла ср между векто-
векторами Vi И V2-
К задаче 2.26
К задаче 2.27
2.27. Пластинка в проигрывателе (см. рисунок) вращается с по-
постоянной угловой скоростью со. Звуковая канавка на пластинке пред-
представляет собой архимедову спираль, задаваемую уравнением г = г о —
— kq>. Найти абсолютную скорость va иглы и скорость vr иглы относи-
относительно пластинки в зависимости от угла поворота а звукоснимателя
(ОгА = О1О = 1).
2.28. Используя условия предыдущей задачи, найти тангенци-
тангенциальное и нормальное ускорения иглы в зависимости от угла а.
2.29. Точка движется в плоскости со скоростью v = \(t) и уско-
ускорением w = w(t). Найти скорость и ускорение центра кривизны тра-
траектории точки.
2.30. Источник, испускающий v колебаний в единицу времени,
и прибор, регистрирующий эти колебания, перемещаются относи-
относительно среды, в которой распространяются колебания, со скоростями
§ 2. Сложное движение точки
21
v\ и V2 соответственно. Источник и прибор движутся вдоль соединяю-
соединяющей их прямой; скорость распространения колебаний равна а. Найти
число vf колебаний, регистрируемых прибором в единицу времени.
(Эффект Доплера.)
2.31. Используя условия задачи 2.1, найти траекторию движения
какого-либо участника соревнований (см. рисунок), если в начальный
момент г@) = го, ср(О) = сро-
г-1
л.
г + 1
О х
К задаче 2.31
К задаче 2.32
2.32. Сегнерово колесо (см. рисунок) вращается с угловым уско-
ускорением 8, имея в данный момент угловую скорость со. Относитель-
Относительная скорость истечения частиц жидкости и = const. Найти скорость
и ускорение частиц жидкости в выходном сечении 5, принимая О А —
2.33. Диск (см. рисунок), укрепленный на валу с эксцентриси-
эксцентриситетом ОО\ — е под углом а, вращается вокруг оси ВС с угловым
ускорением 8, имея в данный момент угловую скорость со. Точка А
движется по диаметру диска, проходящему через точку О по закону
О\А — asinco?. Найти скорость и ускорение точки А.
К задаче 2.33
К задаче 2.34
2.34. Диск (см. рисунок) вращается с постоянной угловой ско-
скоростью со относительно вертикальной оси Oz, перпендикулярной его
22
1. Кинематика и динамика
плоскости. В диске имеется круговой желоб радиуса R, центр кото-
которого О\ смещен относительно центра диска на расстояние ОО\ — s.
По желобу с постоянной относительной скоростью v движется шарик
в направлении, показанном на рисунке. Найти скорость и ускорение
шарика в зависимости от времени, если в начальный момент шарик
находится на наибольшем расстоянии от точки О.
2.35. Диск радиуса R (см. рисунок) катится без скольжения
по прямой Ох. В диске имеется желоб, совпадающий с диаметром,
в котором по закону О\Л = asmwt движется шарик (a ^ R). Найти
скорость и ускорение шарика Л в зависимости от времени, если
О
v = wot
К задаче 2.35
К задаче 2.36
центр О\ диска движется с постоянным ускорением г^о- В начальный
момент скорость центра равнялась нулю, желоб был горизонтален.
2.36. Круговое кольцо радиуса R (см. рисунок) катится без
скольжения по прямой Ох. В кольце движется шарик по закону ср =
. Найти скорость и ускорение шарика, если центр кольца
движется с постоянным ускорением wq.
В начальный момент центр кольца имел ско-
скорость, равную нулю. Размерами шарика пре-
пренебречь.
2.37. Два стержня (см. рисунок) враща-
вращаются в плоскости вокруг своих неподвиж-
неподвижных концов О\ и 0<i в направлениях, ука-
указанных на рисунке. В точке М пересечения
стержней находится охватывающее их ко-
колечко, которое свободно может перемещать-
перемещаться по стержням. Найти скорость колечка
в зависимости от угла ср, если угловые скорости стержней равны coi
и 0J, а расстояние колечка от концов 0\М — ai, O2M = 0,4.
2.38. Точка (см. рисунок) движется по эллипсу, уравнение кото-
К задаче 2.37
рого в полярных координатах имеет вид г =
Р
l + ecoscp
. Эллипс в свою
§ 2. Сложное движение точки
23
К задаче 2.38
очередь вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг оси,
перпендикулярной его плоскости и проходящей через один из его
фокусов. Найти скорость и ускорение точки
в зависимости от г, если движение точки по
эллипсу происходит в соответствии с законом
площадей г2ф = С, где С — постоянная вели-
величина *).
2.39. Спутник движется по эллиптической
орбите, плоскость которой образует постоян-
постоянный угол 6 с плоскостью земного экватора.
Уравнение орбиты в полярных координатах
имеет вид г = p/(l + ecoscp), а движение по
орбите происходит в соответствии с законом площадей г2ф = С,
где С — постоянная величина. Влияние несферичности Земли на дви-
движение спутника в некотором приближении можно описать с помощью
следующей модели. Эллиптическая орбита спутника вращается (как
твердое тело) с постоянной угловой скоростью coi относительно оси,
проходящей через центр Земли перпендикулярно плоскости орбиты.
Плоскость орбиты в свою очередь вращается с постоянной угловой
скоростью 0J вокруг неподвижного в пространстве направления «юг-
север», также проходящего через центр Земли. Найти скорость и уско-
ускорение спутника относительно Земли в тот момент, когда он находится
в перигее орбиты. (Прецессия орбиты спутника.)
2.40. По упругой среде распространяется волна (см. рисунок),
форма которой не изменяется во время движения. Скорость дви-
движения вершины волны В равна vq. Скорости точек среды Л и С
(в основании волны) равны нулю. Най-
Найти скорость частиц среды в точке D
волны, касательная к которой образу-
образует угол а с осью Ох.
2.41. В условиях задачи 2.17 под-
подсчитаны переносная ve и относитель-
относительная vr скорости точки А. Ввести по-
поступательно движущуюся систему ко-
координат так, чтобы скорости ve и vr
поменялись ролями.
2.42. В условиях задачи 2.17 движение точки задано в полярных
координатах следующим образом: г = vt, ср = со? (у = const, со = const).
Найти такую поступательно движущуюся систему координат, чтобы
переносная ve и относительная vr скорости поменялись ролями.
К задаче 2.40
х) К такой приближенной модели приводит учет влиянии несферичности Земли
на движение спутника в плоскости земного экватора.
24
1. Кинематика и динамика
2.43. Пусть подвижная система координат введена так, как тре-
требует вопрос задачи 2.41. Для точки Л найти ve, vr, we, wr, wc.
Сравнить полученные выражения с результатами задачи 2.17.
§ 3. Плоскопараллельное движение твердого тела
3.1. Скорости двух точек плоской фигуры, движущейся в своей
плоскости, равны по модулю. Найти геометрическое место возмож-
возможных положений мгновенного центра скоростей.
3.2. Плоская фигура движется в своей плоскости. Найти гео-
геометрическое место возможных положений мгновенного центра ско-
скоростей, если известно отношение X ф 1 скоростей двух точек фигуры,
расстояние между которыми равно а.
3.3. Скорости трех точек плоской фигуры, движущейся в своей
плоскости, равны по модулю. Найти положение мгновенного центра
скоростей.
3.4. Диск радиуса г (см. рисунок) катится внутри цилиндриче-
цилиндрической полости радиуса R, прижимая тонкий обруч радиуса р (г <
< р < 7?), как показано на рисунке. Проскальзывание при движении
отсутствует. Найти угловую скорость обруча, если линейная скорость
центра диска равна vq.
3.5. Нерастяжимая нить наматывается на неподвижный цилиндр
так, что в любой момент времени подвижная часть нити прямоли-
прямолинейна. Показать, что скорость любой точки подвижной части нити
перпендикулярна нити.
COl,?l
kC0,?
К задаче 3.4
К задаче 3.8
3.6. Плоская фигура движется в своей плоскости. Найти поло-
положение точки Л, если известны скорость этой точки уд, скорость
некоторой другой точки vo и угловая скорость фигуры со. Использо-
Использовать полученный результат для определения положения мгновенного
центра скоростей Р.
§ 3. Плоскопараллельное движение твердого тела 25
3.7. Равнобедренный треугольник АС В [АС = ВС) движется
в своей плоскости так, что \уа\ — \ув\ = v. В каких пределах может
меняться значение скорости вершины С, если ZACB = ос?
3.8. Кривошип (см. рисунок), несущий п шестеренок радиусов
Гь Г2? • • ••> гп соответственно, вращается вокруг неподвижной оси О
с угловым ускорением г и имеет угловую скорость со. Шестеренки
находятся во внешнем зацеплении друг с другом. Первая шестеренка
вращается с угловой скоростью coi и угловым ускорением ei. Найти
угловую скорость и угловое ускорение остальных шестеренок.
3.9. Кривошип (см. рисунок), несущий п шестеренок радиусов
ri,r2, ... ,гп соответственно, вращается вокруг неподвижной оси О
с угловым ускорением г и имеет угловую скорость со. Шестеренки
находятся во внешнем зацеплении друг с другом. Первая шестеренка,
кроме того, находится во внутреннем зацеплении с шестеренкой, вра-
вращающейся вокруг той же оси О с угловым ускорением 8q и имеющей
угловую скорость соо- Найти угловую скорость и угловое ускорение
каждой шестеренки.
3.10. Используя условия задачи 3.8, найти скорости и ускорения
точек k-й шестеренки, занимающих положения Л, В, С и D (см.
рисунок к задаче 3.8).
соо,ео
К задаче 3.9
3.11. Два одинаковых диска (см. рисунок) радиуса г катятся
без скольжения по прямой CD, поворачивающейся с угловой ско-
скоростью соо вокруг точки С. Стержни ОАиОВ длины / каждый
соединены шарнирами между собой и с дисками (в точках О, А
и В). Найти линейную скорость точки О в зависимости от угла ср,
если относительные скорости центров дисков равны ^и^,а точки
соприкосновения дисков с прямой CD находятся на расстояниях 1а
и 1в от точки С.
3.12. Стержни А В и ВС шарнирно соединены в точке В и опира-
опираются на два прямых угла, как показано на рисунке. Точка В движется
по прямой хх, равноудаленной от вертикальных сторон углов. Во
время движения стержни касаются вершин прямых углов. Доказать,
что скорость точки касания каждого стержня вершин прямого угла
26
1. Кинематика и динамика
направлена вдоль стержня. Найти также скорость этой точки в зави-
зависимости от угла ZABC = ср, если скорость точки В равна v$.
К задаче 3.11
К задаче 3.12
3.13. Показать, что при движении плоской фигуры в своей
плоскости (см. рисунок) ускорение мгновенного центра скоростей Р
направлено по нормали п к центроидам.
3.14. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки Л
плоской фигуры, движущейся в своей плоскости, если известны
ускорение этой точки w^ и положение
мгновенного центра скоростей Р.
3.15. Плоская фигура движется в своей
плоскости, причем ее угловая скорость рав-
равна со. Найти радиус кривизны траектории
точки Л фигуры, если известны ускорение
этой точки у?а и положение мгновенного
центра скоростей Р.
3.16. Угловая скорость плоской фигу-
фигуры, движущейся в своей плоскости, отлич-
отлична от нуля. Найти геометрическое место таких точек фигуры, для
каждой из которых проекция ускорения на прямую, соединяющую
точку с мгновенным центром ускорений, совпадает с нормальным
ускорением точки.
3.17. Сравнить скорости и ускорения точек Л, Б, С, D (ЛВ =
= ВС = CD = DA) для двух движений A) и B) диска радиуса г
(см. рисунок). В первом случае диск катится без скольжения по
прямой, а во втором — по окружности радиуса R > г. Скорость
центра диска О в обоих случаях постоянна и равна vq.
3.18. При движении плоской фигуры в своей плоскости известны
ускорение wo точки О фигуры, а также угловая скорость со и угловое
ускорение г фигуры. Найти точку А, имеющую заданное ускоре-
ускорение w^ и мгновенный центр ускорений.
К задаче 3.13
§ 3. Плоскопараллельное движение твердого тела
27
3.19. Найти угловую скорость со и угловое ускорение е плоской
фигуры, движущейся в своей плоскости, если известны ускорения
точек Л и В фигуры.
К задаче 3.17
3.20. Кривошип О А (см. рисунок) длины / вращается с угло-
угловым ускорением е вокруг оси О неподвижной шестеренки радиуса г
и несет на конце А ось другой шестеренки радиуса R = 2г. Ше-
Шестеренки соединены между собой охватывающей их цепью. Найти
скорость и ускорение точки М подвижной шестеренки в момент,
когда AM _L О А, если угловая скорость кривошипа в этот момент
равна со.
А
О
К задаче 3.20
К задаче 3.21
3.21. Концы Л и В стержня (см. рисунок) движутся по двум
взаимно перпендикулярным прямым Ох и Оу. Скорость точки А
постоянна. Показать, что ускорение любой точки стержня перпенди-
перпендикулярно О у и изменяется обратно пропорционально кубу расстояний
этой точки от оси Оу.
3.22. Диск радиуса R (см. рисунок) катится без скольжения по
направляющей АВ, вращающейся в вертикальной плоскости с по-
постоянной угловой скоростью со. Найти скорость и ускорение точек
1, 2, 3 и 4 диска, если относительная скорость его центра постоянна
и равна vq. В начальный момент точка касания диска с направляющей
совпадала с точкой А.
3.23. Стержни АВ и CD (см. рисунок) длины R и г соответствен-
соответственно, соединенные шарнирами В и С со стержнем ВС длины а, могут
28
1. Кинематика и динамика
вращаться вокруг неподвижных точек А и D, оставаясь в одной плос-
плоскости. Угловая скорость со стержня А В постоянна. Найти ускорение
точки С в тот момент, когда стержни А В и CD параллельны между
собой и перпендикулярны отрезку AD.
К задаче 3.22
К задаче 3.23
3.24. Стержни А В, ВС и CD (см. рисунок) соединены шар-
шарнирами, причем стержень CD может поворачиваться вокруг непо-
неподвижной точки Z), а стержень А В вращается с постоянной угловой
скоростью со вокруг точки Л, движущейся по прямой AD с посто-
постоянной скоростью v. Найти скорость и ускорение точки С в момент,
когда угол между стержнями А В и ВС равен нулю, а угол ADC
составляет 90°.
С
К задаче 3.24
3.25. Диск радиуса R (см. рисунок) катится по прямой без
скольжения. В некоторый момент времени известны скорость vq
и ускорение wq центра С диска. Найти нормальное и тангенциальное
ускорения точки А(х,у) диска (х ф 0,?/ ф 0).
3.26. Диск радиуса R катится по прямой без скольжения. Найти
геометрическое место точек диска, для которых нормальное ускоре-
ускорение равно нулю.
3.27. Диск радиуса R (см. рис. к задаче 3.25) катится по прямой
без скольжения. Найти радиус кривизны траектории точки А(х,у)
§ 3. Плоскопараллельное движение твердого тела
29
диска (х ф 0,2/ ф 0). Показать также, что радиус кривизны траекто-
траектории любой точки обода диска равен удвоенному расстоянию от этой
точки до мгновенного центра скоростей.
3.28. Шкив радиуса R (см. рисунок) жестко соединен с валом ра-
радиуса г, катящимся без проскальзывания по горизонтальной прямой.
Найти геометрическое место точек шкива, для которых расстояние
до мгновенного центра скоростей совпадает с радиусом кривизны
траектории.
Л
К задаче 3.28
К задаче 3.30
3.29. Прямая ЛВ обкатывает без скольжения с постоянной уг-
угловой скоростью со неподвижную окружность радиуса R. Найти ско-
скорость и ускорение произвольной точки М прямой ЛВ.
3.30. Цилиндр радиуса г (см. рисунок) катится без скольжения
по внутренней поверхности неподвижного цилиндра радиуса 72, при-
причем скорость v центра О подвижного цилиндра постоянна. Найти
скорость и ускорение точки А неподвижного цилиндра относительно
системы координат, связанной с подвижным цилиндром, считая, что
угол между линией центров цилиндров СО и диаметром неподвиж-
неподвижного цилиндра, проходящим через точку А, равен р.
3.31. Обруч радиуса R (см. рисунок) обкатывает без скольжения
неподвижный цилиндр радиуса г. Найти скорость и ускорение точ-
точки А обруча, если угол между линией центров ОС и осью О у равен
ф = со? (со = const), а положение точки А на обруче определяется углом
3.32. Решить предыдущую задачу в случае, когда цилиндр пере-
перемещается поступательно, причем его центр О движется по окруж-
окружности х2 + (у — рJ = р2 с постоянной скоростью vq. В начальный
момент скорость точки О направлена по оси Оу. (Модель известного
гимнастического упражнения с обручем.)
3.33. Стержни АС и ВС (см. рисунок) длины 1\ и /2 соответ-
соответственно, соединенные в точке С шарниром, движутся в плоскости.
Известны скорости свободных концов стержней уд и v^, а также их
30
1. Кинематика и динамика
ускорения wa и w#. Найти угловые скорости и угловые ускорения
стержней, если угол между ними в рассматриваемый момент времени
равен ф @ < ф < тс).
К задаче 3.31
К задаче 3.33
3.34. Эллиптическая пластинка с полуосями а и b (a> b) катится
без скольжения по горизонтальной прямой с постоянной угловой
скоростью со. Найти скорость центра О эллипса в зависимости от
времени, считая, что в начальный момент его большая полуось была
горизонтальна.
3.35. Мальчик бежит с постоянной скоростью vq и с помощью
водила (см. рисунок) катит перед со-
собой обод, имеющий форму эллипса
с полуосями а и b (a> b). Кольцо во-
водила находится на постоянной высоте
h < b над землей. Найти наименьшую
и наибольшую угловые скорости обо-
обода, если нет проскальзывания.
3.36. В каждый момент времени t
известны скорость \(t) движущейся
в плоскости точки и радиус кривизны
ее траектории р(?). Найти угловую скорость и угловое ускорение
сопровождающего точку трехгранника (т, n, b).
3.37. Доказать, что мгновенный центр скоростей сопровождаю-
сопровождающего трехгранника движущейся в плоскости точки в любой момент
времени совпадает с центром кривизны траектории точки.
3.38. Точка В (см. рисунок) шарнирного соединения двух стерж-
стержней Л В и ВС движется по вертикали, равноудаленной от одинаковых
неподвижных цилиндров I и II, на которые стержни опираются во
время движения. Доказать, что скорость той точки каждого стержня,
в которой он касается цилиндра, направлена вдоль стержня. Найти
К задаче 3.35
§ 3. Плоскопараллельное движение твердого тела
31
скорость точки касания стержня в зависимости от угла ZABC = 2ср,
если скорость точки В равна vo-
3.39. Схват С (см. рисунок) плоского двухзвенного автоматиче-
автоматического манипулятора ЛВС движется с постоянной скоростью v вдоль
прямой OOi, образующей с осью Ахч угол а. Найти угловые скорости
звеньев А В и ВС в зависимости от конфигурации манипулятора, т. е.
от углов ф1 и ф2, если А В = /i, ВС = 1%.
С
К задаче 3.38
3.40. Схват С (см. рис. к задаче 3.39) плоского двухзвенного
автоматического манипулятора ABC движется с постоянной скоро-
скоростью v по окружности радиуса R с центром в точке х\ = а, х^ — Ъ.
Найти угловые скорости звеньев А В и ВС в зависимости от cpi и ф2,
если их длины равны 1\ и 1ч соответственно.
3.41. Обруч радиуса R (см. рисунок) катится без проскальзы-
проскальзывания по внутренней поверхности обруча радиуса 2R. Найти тра-
траекторию, скорость v(s) и ускорение w(s) (s = О А) произвольной
точки А подвижного обруча, если его центр движется с постоянной
скоростью v.
К задаче 3.41
К задаче 3.42
3.42. Стержень (см. рисунок) движется в плоскости, опираясь
одной из своих точек на вершину угла А. Конец В стержня скользит
32
1. Кинематика и динамика
по некоторой кривой. Показать, что скорость точки касания стержня
направлена вдоль стержня.
§ 4. Движение твердого тела с неподвижной точкой.
Общий случай движения твердого тела
4.1. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки. Дока-
Доказать, что если мгновенная ось занимает постоянное положение в теле,
то движение является вращением вокруг неподвижной оси. Обратно,
если мгновенная ось неподвижна в пространстве, то она неподвижна
также и относительно тела.
4.2. При движении твердого тела с неподвижной точкой известна
компонента со^(?) угловой скорости на ось О^, жестко связанную
с телом. Найти проекцию углового ускорения на эту ось.
4.3. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О. В теле
выбраны точки Аи Ач, А% так, что векторы ОА\, ОА^ ОА% взаимно
ортогональны, |O^4i| = IOA2I — |ОЛз| = 1- Найти скорость точки Аз,
если известны скорости vi и V2 точек А\ и A<i соответственно.
4.4. Юла (см. рисунок) вращается вокруг своей оси симметрии
ОС, с постоянной угловой скоростью coi. Ось ОС, равномерно враща-
вращается относительно вертикали О z с угловой скоростью СО2, так что
угол 6 остается постоянным (регулярная прецессия). Найти угловую
скорость и угловое ускорение юлы относительно Oz.
К задаче 4.4
К задаче 4.5
4.5. Квадратная пластина со стороной а (см. рисунок) вращается
с постоянной угловой скоростью сох вокруг своей оси симметрии О Л,
которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью о>2
вокруг неподвижной оси ОБ, образуя с ней постоянный угол 6. Найти
скорости и ускорения точек С, D, Е и F пластины в тот момент, когда
прямые О Л, О В и ОС лежат в одной плоскости.
§ 4. Движение твердого тела с неподвижной точкой
33
4.6. Диск радиуса г (см. рисунок), насаженный под прямым
углом на стержень ОС длины гд/З, вращается вокруг ОС с посто-
постоянной угловой скоростью coi» Стержень ОС вращается вокруг оси
О z с постоянной угловой скоростью 0J — <?ъ образуя с этой осью
постоянный угол 6 = 60°. Найти скорость и ускорение диаметрально
противоположных точек Л и В диска в тот момент, когда эти точки
лежат в плоскости zOC.
К задаче 4.6
К задаче 4.7
4.7. Диск (см. рисунок), насаженный под прямым углом на стер-
стержень ОС', вращается вокруг ОС с постоянной угловой скоростью
coi. Стержень в свою очередь совершает гармонические колебания
в вертикальной плоскости ху по закону ср = (posincoo^- Найти угловую
скорость и угловое ускорение диска в зависимости от времени.
4.8. Плоскость П (см. рисунок) вращается с постоянной угловой
скоростью со относительно неподвижной оси Oz, перпендикулярной
плоскости П. Прямой круговой конус с углом раствора 90° при вер-
вершине катится по плоскости П без скольжения так, что его вершина О
К задаче 4.8
К задаче 4.10
неподвижна, а скорость центра С основания относительно плоскости
равна v. Найти мгновенную угловую скорость П и угловое ускорение
8 конуса, если ОЁ = 1.
2 Е. С. Пятницкий и др.
34
1. Кинематика и динамика
4.9. Используя условия предыдущей задачи (см. рис. к ней),
найти скорость и ускорение точек Л, В и С конуса.
4.10. Коническое колесо радиуса г (см. рисунок), жестко наса-
насаженное на стержень ОС длины / = г\/3, катится по горизонтальной
плоскости без скольжения. Стержень ОС описывает коническую
поверхность, вращаясь вокруг неподвижной точки О (в точке О
сферический шарнир) с угловым ускорением е, имея в данный момент
угловую скорость со. Определить угловые скорость и ускорение колеса
и ускорения его точек А и В.
4.11. Квадратная рама ABCD (ЛВ = AD = а) вращается вокруг
оси А В (см. рисунок) с постоянной угловой скоростью со. Вокруг
оси АС, совпадающей с диагональю рамы, вращается (также с по-
постоянной угловой скоростью) диск радиуса г; центр диска совпадает
с центром рамы, а его плоскость перпендикулярна плоскости рамы.
Какой должна быть угловая скорость вращения диска вокруг оси
А С, чтобы в тот момент, когда точка М лежит на диагонали BD,
мгновенная ось вращения диска совпадала с прямой AMI Найти
вращательное и осестремительное ускорения точек М и N в этот
момент.
D
В
К задаче 4.11
К задаче 4.12
4.12. Тонкий обруч радиуса R (см. рисунок) катится без сколь-
скольжения по прямой А В. Скорость центра обруча постоянна и равна vq.
В плоскости обруча укреплена ось CD\ вокруг которой с постоянной
угловой скоростью со вращается перпендикулярный ей диск ради-
радиуса г, причем центры диска и обруча совпадают. Найти скорость
и ускорение точек 1, 3 диска, расположенных на концах диаметра,
лежащего в плоскости обруча, и точек 2, 4 диаметра, перпендикуляр-
перпендикулярного плоскости обруча, в тот момент, когда ось CD образует угол а
с прямой А В.
§ 4. Движение твердого тела с неподвижной точкой
35
4.13. При движении твердого тела заданы его угловая ско-
скорость сэг и угловое ускорение гг относительно некоторой подвижной
системы отсчета. Известны также угловая скорость сое и угловое
ускорение ге этой подвижной системы отсчета относительно непо-
неподвижной. Определить угловую скорость со и угловое ускорение е тела.
4.14. Твердое тело участвует в п вращениях относительно осей,
пересекающихся в одной точке. Угловые скорости каждого враще-
вращения (Ok (к = 1, п) постоянны по модулю. Выразить угловое ускорение
тела через векторы ац, ©2, • • •, <оп, предполагая, что coi — постоянный
вектор.
4.15. Решить предыдущую задачу в предположении, что угловые
скорости (Di, (D2,..., шп меняются по модулю.
4.16. Шар радиуса г (см. рисунок) катится по плоскости без
скольжения. Задавая ориентацию шара направляющими косинусами
/ з ч
aij-> hj — 1? 3 (х\ — ^2 aijXj, i = 1, 3 ),
шара без скольжения.
выписать условия качения
COl
К задаче 4.16
К задаче 4.17
4.17. Два вала (см. рисунок) соединены шарниром Кардана-
Гука. Найти закон изменения коэффициента передачи к = сс^/соъ
если угол между осями равен ср.
4.18. Существуют двенадцать вариантов начального расположе-
расположения колец карданова подвеса (который обеспечивает вращение твер-
твердого тела вокруг неподвижной точки) относительно неподвижной
системы координат: два из них (а и б) представлены на рисунке. Для
этих двух вариантов выразить проекции угловой скорости твердого
тела на неподвижные оси Oxyz и на оси О^л^, связанные с телом, че-
через углы поворотов колец карданова подвеса \|/, 6, ср и их производные
v, е, ф.
4.19. При специально подобранных условиях твердое тело, имею-
имеющее неподвижную точку, движется таким образом, что проекции
угловой скорости тела на оси О^ и Ог\ системы координат ^л^, жестко
2*
36
1. Кинематика и динамика
связанной с телом, меняются во времени по закону
а . . b
щ = —— = csinGsincp, con = —— = asinGcoscp,
en с ch t
где а, 6, с и d — известные постоянные. Задавая положение твердого
тела эйлеровыми углами \|/, 6 и ср, найти траекторию следа оси ОС, на
сфере единичного радиуса.
К задаче 4.18
4.20. Конус с углом 2а при вершине катится по плоскости без
скольжения. Вершина конуса неподвижна. Угловая скорость конуса
постоянна и равна со. Найти скорость и ускорение точек плоскости
в системе координат, связанной с конусом.
4.21. Биллиардный шар движется по плоскости так, что од-
одно из его центральных сечений S во все время движения остается
вертикальным. Показать, что вектор угловой скорости шара лежит
в плоскости, перпендикулярной сечению S.
4.22. Три ортогональных орта i, j, k жестко связаны с твердым
телом так, что орт j перпендикулярен некоторому сечению S. При
движении твердого тела это сечение S остается вертикальным. Ис-
Используя формулу
00 = 1
dt
dk
+k
di
показать, что со = coie + co2J, где е — орт вертикали, a coi и со2 —
скалярные величины.
4.23. При движении прямой (оси Ох) известны ускорения wi
и W2 точек с координатами х\ и хч соответственно. Найти ускорение
точки этой прямой с произвольным значением координаты х.
§ 4. Движение твердого тела с неподвижной точкой 37
4.24. Конус с углом 2а при вершине движется по неподвижной
плоскости, касаясь ее одной из своих образующих. Движение проис-
происходит таким образом, что ось кинематического винта во все время
движения направлена по линии касания конуса с плоскостью. Со-
Составить дифференциальные уравнения движения вершины конуса,
если заданы мгновенная угловая скорость конуса со(?) и скорость его
вершины v(t). Для случая, когда со и v постоянны, найти траекторию
вершины конуса.
4.25. Горизонтальная плоскость (см. рисунок) вращается вокруг
вертикальной оси Oz с угловой скоростью со(?). Конус, вершина О\
которого неподвижна относительно
плоскости, катится по ней без сколь-
скольжения. Центр основания конуса С
движется равномерно относительно
плоскости со скоростью v. Найти уг-
угловую скорость и угловое ускорение
конуса. Высота конуса /г, угол при
вершине 2C.
4.26. Используя условия преды-
предыдущей задачи, найти скорость и уско-
ускорение точки А конуса, в которой
его основание касается плос- кости
@0! = 1).
4.27. Векторы скоростей всех точек твердого тела отложены от
общего начала. Найти геометрическое место концов этих векторов.
4.28. Известны скорости vi, V2, V3 трех точек твердого тела, не
лежащих на одной прямой. Найти угловую скорость со тела.
4.29. При движении твердого тела известны ускорение точки О
тела wo, угловая скорость со и угловое ускорение е, причем со х г ф 0.
Найти точку, ускорение которой равно заданному вектору w.
4.30. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки с уг-
угловым ускорением е, имея в данный момент угловую скорость со.
Показать, что вращательная компонента ускорения какой-либо точки
тела совпадает с касательной, а осестремительная компонента —
с нормальной в том и только в том случае, когда эта точка лежит
в плоскости, содержащей векторы е и со.
4.31. Показать, что вектор угловой скорости сопровождающего
трехгранника (т,п,Ь) лежит в спрямляющей плоскости тЬ.
4.32. Точка движется по закону х = x(t), у = у (t), z = z(t). Найти
угловую скорость сопровождающего трехгранника (т,п,Ь).
4.33. Конус с неподвижной вершиной О (см. рисунок) и углом
при вершине а = п/2 катится без скольжения по горизонтальной плос-
38
1. Кинематика и динамика
К задаче 4.33
кости так, что ось симметрии ОС — h вращается вокруг вертикали
с постоянной угловой скоростью П. Найти вращательное и осестре-
мительное, а также касательное
и нормальное ускорения точ-
точки В.
4.34. Круговой конус с пря-
прямым углом при вершине и ра-
радиусом основания, равным R
(см. рис. к задаче 4.33), катит-
катится без скольжения по горизон-
горизонтальной плоскости так, что ско-
скорость центра основания посто-
постоянна и равна v. Вдоль прямо-
прямолинейного канала, проведенного из вершины О конуса в центр С
его основания, равномерно движется точка со скоростью, также рав-
равной v. Определить ускорение этой точки в момент, когда она попадет
в центр основания.
4.35. Круговой конус с прямым углом при вершине и радиусом
основания R (см. рис. к задаче 4.33) катится без скольжения по
горизонтальной плоскости. Вершина конуса неподвижно закреплена.
Центр основания конуса С движется равноускоренно со скоростью
v = wt. По желобу, совпадающему с диаметром основания, по закону
СМ — Rs'mwt движется точка М. Найти ускорение точки М в мо-
момент времени t = тс/со, если в этот момент желоб лежит в плоскости
ОСА.
4.36. При движении твердого тела с неподвижной точкой О
известны его угловая скорость со и угловое ускорение е, причем |со| =
= const. Найти касательное wT и нормальное wn ускорения произ-
произвольной точки тела.
4.37. Угловая скорость со твердого тела с неподвижной точкой за-
задана проекциями coi(t), o>2(?), соз(^) на оси, жестко связанные с телом.
Найти угловое ускорение е тела.
4.38. При движении твердого тела, имеющего неподвижную точ-
точку О, углы Эйлера меняются по закону \|/ = оо?, Э = тс/3, ср = 2оо?.
Определить ускорение точек М и N тела, если ОМ || со, a ON || е,
где со — угловая скорость, е — угловое ускорение тела. Расстояния
4.39. При движении твердого тела орты ei, e2, ез подвижной
системы координат, жестко связанной с телом, выражаются через ор-
з
ты Ti, T2, тз неподвижной системы отсчета равенствами е^ = ^2 aijxj->
§ 4. Движение твердого тела с неподвижной точкой
39
%j = ^OLijQi, где OLij — заданные функции времени. Показать, что
мгновенная угловая скорость со твердого тела может быть представ-
представлена в форме
4.40. При движении твердого тела известны скорость у а точки А
тела и направление вектора скорости точки В этого тела, задаваемое
единичным ортом е. Найти модуль скорости точки 5, если у а х е ф 0.
4.41. Гайка накручивается на неподвижный болт. Известны ско-
скорости у а и у в {у А Ф у в) Двух точек гайки и направление оси болта.
Найти угловую скорость со гайки и скорость v ее геометрического
центра.
4.42. При движении тела с одной неподвижной точкой известны
скорости у а и v^ двух точек А и В тела. Найти угловую ско-
скорость со, если скорости точек Аи В удовлетворяют одному из условий:
а) у а х у в ф 0; б) у в = ocv^ (a — произвольная константа).
4.43. Испытательная платформа (см. рисунок) вращается вокруг
оси Oz, перпендикулярной ее плоскости, с угловой скоростью fi.
На платформе укреплен гироскоп, ротор которого вращается с уг-
угловой скоростью со вокруг оси, лежащей в плоскости платформы
и параллельной оси Ох. Найти кинематический винт гироскопа, если
расстояние между осью Оz и осью ротора равно а.
1
{о,
К задаче 4.43
К задаче 4.44
4.44. Точка О\ стержня О\А (см. рисунок) скользит с постоянной
скоростью г>о вдоль стержня Ож, вращающегося с постоянной угло-
угловой скоростью со около центра О (ось вращения перпендикулярна
плоскости рисунка). Стержень О\А вращается вокруг стержня Ох
40
1. Кинематика и динамика
с постоянной относительной угловой скоростью соо- Найти кинемати-
кинематический винт стержня О\А.
4.45. Тело участвует одновременно в трех винтовых движениях,
оси которых расположены по диагоналям граней куба, как показано
на рисунке. Найти результирующее движение тела, если \щ\ = <о,
|vj| =v. Ребро куба равно а.
К задаче 4.45
К задаче 4.46
4.46. В момент метания диска радиуса г (см. рисунок) его плос-
плоскость горизонтальна, а три его точки Л, В, С имеют скорости v a — 0,
vb — v^vq — V%v, причем вектор скорости v^ лежит в плоскости дис-
диска. Показать, что скорости точек диска в этот момент распределены
так, как если бы происходило вращение вокруг некоторой оси. Найти
угловую скорость со и направление оси вращения.
4.47. Координаты точек тела и их скоростей заданы в некото-
некоторой системе координат. Точки Л(а,0,0), В(а,а,а), G@,0,а) тела
имеют в рассматриваемый момент скорости уд(г>,— г>,2г>), v^(v,0,v)
и vc{v,0,2г?). Найти кинематический винт тела.
4.48. В некоторой системе координат точки А(а,0,0), 5@, а,0),
G@,0, а) твердого тела имеют в рассматриваемый момент скорости
у А @, v, v), у в @, v, v), vc (—v, 0,0). Найти кинематический винт тела.
4.49. Известно, что скорости точек Л, В и С твердого тела
в некоторый момент удовлетворяют соотношению v^ = v# ф ус- При
каком условии, наложенном на векторы у а и ус-, скорости точек тела
будут распределены так, как если бы происходило вращение вокруг
некоторой оси? Найти также модуль и направление угловой скорости
вращения.
4.50. Доказать, что при любом движении угловая скорость со
твердого тела связана с распределением скоростей его точек равен-
равенством ю= A/2) rot v.
§ 4. Движение твердого тела с неподвижной точкой
41
4.51. Поле скоростей V{ = Vi(xi, Ж2, жз) (г = 1,3) твердого тела
задано в некоторой системе отсчета. Каким условиям должны удовле-
удовлетворять функции Vi(x\, X2, жз) (г = 1,3), чтобы в теле существовала
прямая, скорости точек которой равны нулю.
4.52. Поле скоростей V{ — V{{x\, x<i, Ж3, t) твердого тела задано
в системе Ох 1X2X3. Показать, что равенство v-rotv = 0 выполняется
тождественно пож1, Ж2ИЖ3, если оно выполняется хотя бы в одной
точке.
4.53. В постоянном магнитном поле электрон движется по вин-
винтовой линии х = a cos bt, у = a sin bt, z = ct. Найти кинематический
винт натурального триэдра точки.
4.54. Водило PLO (см. рисунок), несущее оси трех колес, вра-
вращается с ускорением eg. В рассматриваемый момент его угловая
скорость равна щ. Колеса находятся в зацеплении, как показано
на рисунке. Радиусы колес рав-
равны ад/2. Первое колесо вра-
вращается относительно водила
с угловым ускорением 8i, имея
в данный момент угловую ско-
скорость сох. Методом сложно-
сложного движения найти скорость
и ускорение точек Л, 5, С,
D третьего колеса, используя
в качестве подвижной системы
координат систему О ху z с на-
началом в центре третьего коле- К задаче 4.54
са, которая: а) вращается вме-
вместе с води лом, б) движется поступательно, и в рассматриваемый
момент ось Oz параллельна плечу PL. Точки имеют координаты
Л(а,а,0), В (а,— а,0), С(—а,— а,0), D(—а,а,О). Длина плеча PL =
= 1.
4.55. Прямой круговой конус с образующей длины / и неподвиж-
неподвижной вершиной О (см. рис. к задаче 4.33) катится без скольжения
по горизонтальной плоскости. Вдоль образующей конуса вырезан
желоб. По желобу движется точка М по закону ОМ = f(t). Найти
ускорение точки М в тот момент, когда желоб занимает вертикальное
положение, если скорость центра основания конуса равна г>о(?)-
4.56. Ориентация осей О^, Ог\ и О^, жестко связанных с твердым
телом, относительно поступательно движущейся системы отсчета
Oxyz может быть задана таблицей направляющих косинусов, т. е.
ортогональной матрицей A(t). Показать, что угловое перемещение
твердого тела в системе Oxyz из начального положения в конечное
может быть осуществлено одним поворотом (теорема Эйлера).
42
1. Кинематика и динамика
Указание. При решении воспользоваться тем фактом, что орт и
оси конечного поворота должен удовлетворять уравнению Ли = и.
4.57. Из начального положения в конечное тело переводят после-
последовательными поворотами вокруг осей, связанных с телом (см. рису-
рисунок). Сравнить результирующие пово-
повороты двух последовательностей
Z2
4.58. Две неподвижные пересекаю-
К задаче 4.57 щиеся оси 1\ и 1ч заданы ортами ii и i2-
Рассматриваются два движения твердо-
твердого тела. В первом движении тело поворачивают на малый угол ср
вокруг оси /i, затем из нового положения на такой же угол ср вокруг
оси /2- Во втором движении перемещения тела отличаются порядком
поворотов: сначала на угол ср вокруг оси 1^ затем — на угол ср вокруг
оси 1\. Показать, что перевод тела из конечного положения в первом
случае в конечное положение во втором можно осуществить (с точ-
точностью до о(ф2)) поворотом тела на угол ср2 вокруг оси /з> заданной
ортом i3 = i2 x ii •
4.59. Показать, что для скалярной и векторной частей кватерни-
онного произведения п векторов справедливы соотношения
sqal (A,i
о ... о A,n) = (-l)nsqal (Хп о A,n_i о ... о A,i),
vect (^no^n_1o.
4.60. Показать, что кватернионное уравнение ЛоХ — ХоЛ = 1
не имеет решений ни при каких значениях Л.
4.61. Найти все решения следующих кватернионных уравнений:
а) X2 + аХ + 6 = 0, где а и b — скаляры;
б) Л о X2 = X о Л, где Л — известный кватернион;
в) Л о X2 = X о Л2, где Л — известный ненулевой кватернион.
4.62. Пусть R = го + г — некоторый кватернион. Показать, что
преобразование Л о R о Л = 7?', задаваемое кватернионом Л, не
изменяет скалярную часть кватерниона Я, т.е. R! = го + r', где г'
определяется соотношением г' = ЛогоЛ.
§ 4. Движение твердого тела с неподвижной точкой 43
4.63. Показать, что преобразование А,огоА,, задаваемое векто-
вектором X с \Х\ = 1, представляет собой зеркальное отражение вектора г
относительно плоскости, перпендикулярной X.
4.64. Показать, что последовательность двух преобразований
г' = А,огоА, и r^^jLtor'ojLL (|Х| = 1, ||i| = 1), представляющих со-
собой зеркальное отражение векторов гиг' относительно плоскостей,
перпендикулярных X и \i соответственно, эквивалентна вращению
вектора г вокруг линии пересечения этих плоскостей на двойной угол
между ними.
4.65. Поворот твердого тела задается двумя последовательными
вращениями вокруг осей О^\ и 0^2, заданных в неподвижной системе
координат. Показать, что результирующее преобразование будет тем
же самым, если вначале выполнить второй поворот вокруг оси ОЪ^,
а затем первый вокруг оси О^, преобразованной вторым поворотом.
4.66. Поворот твердого тела задается углами Эйлера \|/, 6 и ср.
Найти угол и ось конечного поворота тела с помощью кватернионов.
4.67. С твердым телом связана прямоугольная система коорди-
координат ei, e2, ез- Вращение тела задается тремя последовательными
поворотами вокруг оси Ое\ на угол 60°, вокруг оси Оеъ на угол 90°
и вокруг оси Оез на угол 60°. Найти ось и угол результирующего
поворота тела.
4.68. В условиях предыдущей задачи определить положение ра-
радиуса-вектора г точки тела в неподвижной системе координат после
поворота, если в связанной системе координаты этой точки равны
A, 0, 1). В начальном положении тела подвижная и неподвижная
системы совпадали.
4.69. Последовательными поворотами вокруг собственных осей
тело повернули на угол 180° вокруг оси Ое± и на угол 90° вокруг оси
Ое2- Другое такое же тело из того же начального положения повер-
повернули на угол 90° вокруг оси Ое2 и на угол 180° вокруг оси Oei. Найти
параметры Родрига-Гамильтона относительного положения тел.
4.70. Тонкий однородный диск (см. рис. к задаче 11.84), центр О
которого неподвижен, обкатывает без скольжения неподвижный ко-
конус с углом 90° при вершине. Угловая скорость линии касания по-
постоянна и равна fi. Найти угол и положение оси конечного поворота
диска в момент времени t = n/il.
4.71. Конус с углом при вершине 90° (см. рис. к задаче 4.33)
катится без скольжения по плоскости. Известна угловая скорость
оси конуса П. Найти кватернион, связывающий начальное положение
конуса с текущим.
4.72. Твердое тело с одной неподвижной точкой совершает регу-
регулярную прецессию. Проекции вектора мгновенной угловой скорости
44 1. Кинематика и динамика
тела на связанные с ним оси удовлетворяют условиям p2(t) + Q2(t) =
— Ро + #о> г@ = го- Угол нутации равен тс/4. Найти закон движения
тела в параметрах Родрига-Гамильтона.
4.73. Два близких положения системы координат, жестко свя-
связанной с телом, задаются кватернионами A(t) и A(t + dt). Исполь-
Используя теорему сложения поворотов A(t + dt) = 5ЛоЛ(?), показать, что
уравнения Пуассона (уравнения кинематики твердого тела) имеют
вид Л = со о Л/2, где со — мгновенная угловая скорость тела.
4.74. Показать, что уравнения Пуассона Л = оооЛ/2 имеют пер-
первый интеграл: ||Л(?)|| = const.
4.75. С твердым телом связана прямоугольная система коорди-
координат Ое^ез- Сначала тело поворачивается вокруг некоторой оси О^
на угол а, затем вокруг оси Ое± на угол 90°, и вокруг оси Ое2 на
угол 90°. В результате тело заняло первоначальное положение. Найти
ось 02, и угол а первого поворота.
4.76. Рассматривается движение твердого тела с неподвижной
точкой. Используя для радиуса-вектора г произвольной точки соот-
соотношение г = Л о го о Л (где го — начальное положение произвольной
точки тела, Л — нормированный кватернион, задающий положение
тела) и выражение для скорости произвольной точки тела в виде
f = со х г, получить кинематические уравнения Пуассона в кватерни-
кватернионах.
4.77. В системе координат х\, x<i, x% точка движется по закону
х\ — e*sin?, X2 = e*cos?, х^ — е1. Определить матрицу поворота,
описывающую ориентацию естественного трехгранника т, n, b.
4.78. В условиях предыдущей задачи найти компоненты угловой
скорости естественного трехгранника по ортам т, n, b и ортам системы
координат xi, #2, хз-
4.79. Материальная точка движется с постоянной скоростью
по винтовой линии х = cost, у = sin?, z = t. Матрица поворота,
описывающая ориентацию естественного трехгранника относительно
системы координат ж, у, z, имеет вид
S =
Определить параметры Родрига-Гамильтона и угол результирующе-
результирующего поворота трехгранника.
1
V2Smt
-at
1
/281П
1
Ж™*
— sint
1
--=cos*
1
V2
0
1
V2
\ 5. Динамика точки 45
4.80. В динамике корабля используются углы \|/, 6, ср, которые
определяют последовательные повороты тела относительно его осей
О у. Ox, Oz. Определить параметры Родрига-Гамильтона.
4.81. Выразить параметры Родрига-Гамильтона через углы \|/,
6, ф, определяющие поворот тела относительно его осей Оу, Oz,
Ох соответственно, которые используются в динамике летательных
аппаратов.
4.82. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью со.
Начальное положение тела относительно некоторой системы отсчета
х\, #2, хз определяется кватернионом Л@). Найти текущие значения
параметров Родрига-Гамильтона, если проекции вектора со на оси
Ох\, 0x2 и Ох% постоянны.
4.83. Твердое тело совершает регулярную прецессию. При по-
помощи кватернионов показать, что если угловые скорости прецессии
\j/ и собственного вращения ф несоизмеримы (т. е. отношение \j//cp
является иррациональным числом, что представляет случай общего
положения), то тело никогда не возвратится в исходное положение.
4.84. Показать, что при условии несоизмеримости угловых ско-
скоростей прецессии и собственного вращения твердого тела для любого
8 > 0 найдется такой момент времени t > 0, что для кватерниона Л(?),
задающего положение тела, справедливо неравенство ||Л(?) — 1|| < 8,
т. е. положение тела будет сколь угодно близко к начальному.
§ 5. Динамика точки
5.1. Частица массы т движется по закону х = asinco?, у =
= acosco?, z = pt (винтовая линия). Показать, что такое движение
может происходить под действием силы F = — га(оо х v), где со = сок,
v — скорость частицы, а к — орт оси Oz.
5.2. Точка массы т движется в плоскости под действием постоян-
постоянной по модулю силы F, образующей постоянный угол а с направлени-
направлением вектора скорости. Найти уравнение движения точки в полярных
координатах, если ее начальная скорость равна vq.
5.3. Колечко может скользить по шероховатому (коэффициент
трения равен /) проволочному круговому кольцу радиуса R, распо-
расположенному в горизонтальной плоскости. В начальном положении ко-
колечку сообщили скорость г>о- Найти такое значение г?о, чтобы колечко
вернулось в начальное положение с нулевой скоростью.
5.4. Колечко Л может двигаться по проволочной кривой, за-
закрепленной в вертикальной плоскости ху (ось Оу направлена вер-
вертикально вверх). Коэффициент трения между колечком и кривой
равен /. Составить уравнение движения колечка по кривой, считая,
46 1. Кинематика и динамика
что кривая задана уравнениями х = x(s), у = y(s), где s — длина
дуги О А.
5.5. Колечко (см. рисунок) может двигаться по вертикальной
окружности радиуса R. Коэффициент трения при этом движении ра-
равен /. Какую скорость надо сообщить колечку в наинизшей точке А,
чтобы оно достигло точки В ?
5.6. Колечко может двигаться по параболе у = ах /2 (ось О у
направлена по вертикали вверх). Коэффициент трения при этом
движении равен /. Какую скорость надо сооб-
сообщить колечку в нижнем положении, чтобы оно
достигло высоты h ?
5.7. Камень отпущен без начальной скоро-
скорости на высоте Н над Землей. Пренебрегая си-
силами сопротивления, найти время, по истечении
которого камень достигнет высоты /г, если си-
ла притяжения меняется с высотой по закону
mR2g/(R + zJ, где R — радиус Земли, a z —
задаче . расстояние до ее поверхности. В выражении для
времени перейти к пределу при R —> оо (случай однородного поля
тяжести).
5.8. Точка массы т движется без трения по прямой Ох под
действием силы F = F(x). Найти в квадратурах закон движения
точки, считая х$ > 0 и F(x) ^ 0.
5.9. Парашютист массы т прыгает с самолета, летящего горизон-
горизонтально на высоте Н со скоростью v. По какой траектории движется
парашютист при затяжном прыжке (до момента раскрытия пара-
парашюта), если сила сопротивления воздуха F = —Рг?, где v — скорость
парашютиста, а изменение ускорения свободного падения с высотой
не учитывается? Из полученного уравнения предельным переходом
Р —> 0 найти уравнение траектории в отсутствие сил сопротивления.
5.10. На высоте Н над Землей точке массы т сообщается на-
начальная скорость г>о, направленная вертикально вниз. Найти ско-
скорость точки на высоте /i, если на нее действует сила сопротивле-
сопротивления F = — Р^2, а сила притяжения меняется с высотой по закону
mR2g/(R + zJ, где R — радиус Земли, a z — расстояние до ее
поверхности.
5.11. Точка массы т движется по прямой Ох в среде с сопротив-
сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости (F = — Р^2). Найти
закон движения точки (в квадратурах), если на нее, кроме того,
действует сила Ф = Ф(х) ^ 0 и в начальный момент xq > 0.
5.12. Точка массы т падает вертикально (изменение ускоре-
ускорения свободного падения с высотой не учитывается) без начальной
скорости в среде, сила сопротивления которой F = —f(v). Найти
\ 5. Динамика точки 47
зависимость скорости от времени, если F = —av — Рг>2, где ос и |3 —
положительные постоянные величины. Найти предельное (при t —>
—>• оо) значение скорости в этом случае.
5.13. В однородном магнитном поле на электрон действует ло-
ренцева сила F = -(vxH), где Н — напряженность поля, е — заряд
электрона, v — его скорость, ас — скорость света. Найти траекторию
движения электрона, считая, что напряженность поля Н направлена
по оси Oz.
5.14. Над поверхностью Земли действует однородное магнитное
поле, вектор напряженности Н которого горизонтален. Найти уравне-
уравнения движения частицы массы т и заряда е под действием магнитного
поля и однородного поля тяжести (дрейф частицы в однородном маг-
магнитном поле под действием тяготения). В начальный момент г@) =
= го, v@) = vo- Провести анализ решения при Н —» 0.
5.15. При условиях предыдущей задачи частице, находящейся
на поверхности Земли, сообщают вертикальную скорость vq. Най-
Найти наибольшую высоту подъема частицы ?тах, ее полную энергию
в наивысшей точке и работу, совершенную действующими силами
при этом подъеме.
5.16. При условиях задачи 5.14 частица начинает движение на
высоте h от Земли со скоростью г>о, направленной вертикально вниз.
При каких значениях h частица не упадет на Землю?
5.17. Над поверхностью Земли действует постоянное по времени
электрическое поле, вектор напряженности Е которого направлен
вертикально вверх, причем |Е| меняется с высотой по закону |Е| =
= Е$A + z/zq)~2. До какой высоты Н поднимется точка массы т
и заряда е, если она подброшена вверх на высоте z$ с начальной
скоростью vq?
5.18. Найти движение частицы массы т под действием силы F =
= —о (у х г), если в начальный момент г = го и скорость частицы vo-
сг
Так двигалась бы частица электрического заряда е под действием
силы Лоренца F = - (v x H) в магнитном поле монополя с магнитным
зарядом q. Напряженность такого поля равна Н = qr/r .
5.19. При условиях предыдущей задачи частица движется по
круговому конусу с углом 2бо при вершине. Показать, что в сфериче-
сферических координатах г, 6, ср траекторию г = г(ср) частицы можно найти
d2(l/r) 1
из уравнения — ' + -sin6o = 0. Величина 6о и положение конуса
е/ф г
определяются начальными условиями.
48
1. Кинематика и динамика
5.20. Излучение электромагнитных волн движущимися заряда-
зарядами приводит к потере ими энергии. Эту потерю энергии возможно
описать, вводя «силы трения», так что в нерелятивистском случае
(v <С с) уравнение движения заряда е (с учетом лоренцевых сил
о
о
торможения f = —p-v
оС
можно представить в виде
„ е, ТТЧ 2е2..
т\ = еЕ + - (v х Н) -\ тv.
сv у Зс3
Объяснить, почему в этом уравнении сила f играет роль диссипатив-
ного члена.
Указание. Воспользоваться теоремой о вириале.
5.21. Материальная точка (см. рисунок) движется без трения
по оси Ох под действием силы F = F(x), зависящей от положения
точки. Доказать, что фазовые траектории точки на плоскости хх
могут быть только кривыми трех типов: либо скорость точки не
X i
О
К задаче 5.21
К задаче 5.22
изменяет своего направления во все время движения (рис. а); либо
происходит одно изменение направления скорости (рис. б); либо,
наконец, движение точки периодическое (рис. в).
5.22. Спиннингист, стоящий в точке О на берегу реки (см. рису-
рисунок) , наматывает леску так, что ее длина меняется по известному за-
закону l(t). Леска предполагается горизонтальной и соприкасающейся
х) Это уравнение имеет ограниченное применение, так как в отсутствие внешнего
поля (Е = О, Н = 0) оно имеет решение v = ехр
Зтс
t , приводящее к абсурдному
выводу о неограниченном «самоускорении» заряда при выходе из поля. Поэтому
выражение для лоренцевой силы торможения применимо лишь в том случае,
когда она оказывается малой по сравнению с силами внешнего поля (подробнее
см. [39]).
§ 6. Изменение импульса и момента импульса системы 49
с водой только в точке соединения с блесной массы т. Составить диф-
дифференциальное уравнение, описывающее изменение угла \|/ между
леской и скоростью реки и. При решении считать, что взаимодействие
между водой и блесной происходит по одному из законов: а) вязкое
трение F = — Cv, б) трение скольжения F = — jllv/v, где v — скорость
блесны относительно воды.
§ 6. Изменение импульса и момента импульса
системы
6.1. Найти траекторию колечка массы т (см. рисунок), которое
скользит без трения по обручу массы М и радиуса г, касающемуся
гладкой горизонтальной плоскости. В начальный момент система
находилась в покое.
К задаче 6.1 К задаче 6.2
6.2. Два одинаковых однородных стержня АС и ВС (см. ри-
рисунок), соединенные шарниром С и сжатой пружиной, лежат на
абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Вследствие действия
сжатой пружины стержни стремятся разойтись, чему препятствует
нить АВ. Какую траекторию опишет точка А при обрыве нити А В,
если в начальный момент система находилась в покое?
6.3. Система состоит из двух материальных точек, массы ко-
которых т\ и ГП2- Точки взаимно отталкиваются силой, пропорцио-
пропорциональной расстоянию между ними, коэффициент пропорциональности
равен jlx = m\m<il{vti\ -\-rn2). При движении точки остаются в гори-
горизонтальной плоскости ху. В начальный момент ? = 0 х\ = у\ = §,Х2 =
= a(mi + m2)/mi, ?/2 = 0, х\ — у\ — 0, x<i — 0, уч — Ъ{т\ + m^/mi.
Найти движение точек в поступательно движущейся системе отсчета
Сху, начало которой совпадает с центром инерции.
6.4. Доска массы М может скользить по горизонтальному ше-
шероховатому полу. По доске движется точка массы т. Коэффициент
трения между точкой и доской равен /. Какому условию должен
удовлетворять коэффициент трения /i между доской и полом, чтобы
доска оставалась в покое, если она покоилась в начальный момент?
50 1. Кинематика и динамика
6.5. Зонд, несущий контейнер с приборами, опускается верти-
вертикально в атмосфере с ускорением wq] масса зонда вместе с контейне-
контейнером равна М. В некоторый момент времени контейнер отделяется,
в результате чего зонд начинает подниматься с ускорением 2w$.
Найти массу т контейнера. Сопротивлением воздуха пренебречь.
6.6. Плоская фигура массы т движется поступательно в сво-
своей плоскости со скоростью v. В некоторый момент времени точка
фигуры, лежащая на прямой, проведенной через центр инерции па-
параллельно вектору скорости, закрепляется. Найти импульс ударных
сил.
6.7. Шарик массы т находится на гладкой горизонтальной плос-
плоскости. В начальный момент времени ему сообщается скорость v
под углом а к горизонту, после чего он начинает подпрыгивать
над плоскостью. Коэффициент восстановления при ударе равен X
@ < А, < 1). Найти время, по истечении которого
шарик перестанет подпрыгивать, а также рассто-
расстояние, пройденное шариком по горизонтали за это
время.
6.8. При движении волчка массы т (см. рису-
рисунок) точка О неподвижна; плоскость zC» проходя-
проходящая через вертикальную ось Oz и ось симметрии
ОС, волчка, вращается вокруг оси Oz с угловой
скоростью ю(?); угол 6 между осями Oz и ОС,
К задаче 6.8 меняется по заданному закону Э(?). Определить
силу реакции в точке О, если расстояние от центра
масс С волчка до точки О равно /.
6.9. Показать, что при определении положения центра инерции
системы материальных точек любую подсистему можно заменить
одной точкой, масса которой равна массе подсистемы и которая
расположена в центре инерции этой подсистемы.
6.10. Используя утверждение предыдущей задачи, методом вы-
выделения подсистем показать, что при наличии у твердого тела
а) плоскости материальной симметрии;
б) оси материальной симметрии;
в) центра материальной симметрии
центр инерции тела лежит соответственно а) в плоскости симметрии;
б) на оси симметрии; в) в центре симметрии.
Могут ли быть у тела непересекающиеся оси симметрии?
6.11. Доказать, что в любой системе материальных точек в каж-
каждый момент времени можно выбрать такие точки системы, числом не
более четырех, что если этим точкам приписать надлежащим образом
подобранные массы, то их центр инерции будет совпадать с центром
инерции исходной системы.
§ 6. Изменение импульса и момента импульса системы
51
6.12. Материальные точки mi (г = 1, TV) имеют декартовы коор-
координаты а^, bi, C{. Показать, что функция
N
г=1
достигает абсолютного минимума в точке, совпадающей с центром
инерции системы. Какой вид имеет функция ф(ж,у,;г:) для твердого
тела, плотность которого распределена по закону p(x,y,z)?
6.13. Однородный круговой конус поставлен основанием на глад-
гладкий горизонтальный стол. Конусу сообщается угловая скорость coq
так, что скорости точек его оси симметрии равны нулю. Чему будет
равна угловая скорость конуса, если по его образующей от вершины
до основания опустится шарик, масса которого в к раз меньше массы
конуса?
6.14. Два одинаковых шарика могут двигаться без трения по
сторонам прямого угла, расположенного в горизонтальной плоскости.
Шарики несут заряды разных знаков и начинают движение из состо-
состояния покоя. Показать, что они одновременно окажутся в вершине
угла.
6.15. По сторонам прямого угла хОу, расположенного в горизон-
горизонтальной плоскости, могут скользить без трения шарики Л и В масс
mi и га2 соответственно. Шарики взаимодействуют друг с другом
по некоторому закону. Силы взаимодействия направлены по прямой,
соединяющей шарики. Найти зависимость между координатами ха
и у в во время движения, если в началь-
начальный момент шарики покоились, жд@) =
= ж0, ув{0) = Уо Ы > 0, у0 > 0).
6.16. Однородная палочка Л В дли-
длины 2а (см. рисунок) шарнирно закреплена
в точке В. От конца В палочки начинает
двигаться материальная точка Z), масса т
которой равна массе палочки. В началь-
начальный момент палочка находилась в горизон-
горизонтальном положении; получив толчок, она
начинает вращаться в вертикальной плоскости по часовой стрелке.
Определить, за какое время точка D достигнет конца А палочки,
если она движется таким образом, что угловая скорость со палочки
остается постоянной.
6.17. Неоднородный диск радиуса R может свободно вращаться
в горизонтальной плоскости вокруг своего центра. Сидящая на краю
неподвижного диска лягушка совершает прыжок в направлении хор-
хорды, в результате которого она приземляется в ту же точку диска,
mg
К задаче 6.16
52 1. Кинематика и динамика
а диск поворачивается на угол а. Считая массы диска и лягушки
равными, найти радиус инерции диска.
6.18. Однородный диск массы т может катиться без скольжения
по горизонтальной прямой. К центру диска прикладывается гори-
горизонтальная сила, в результате чего центр диска начинает колебаться
по синусоидальному закону с амплитудой а и частотой со. Найти
зависимость силы трения от времени.
6.19. При прохождении электронного пучка через фокусирующее
устройство расстояние каждой частицы от оси пучка изменяется в
а раз. Скорость частицы в пучке до фокусирующего устройства равна
vi = v^e^ + Vzez, а после фокусировки V2 = v^e^-\-vzez (ег, еф, ez —
орты цилиндрической системы координат, ось Oz которой направле-
направлена по оси пучка). Найти отношение ^ф1/^ф2 считая, что в процессе
фокусировки на частицы действуют только радиальные силы.
6.20. Доказать, что момент импульса Кд системы материаль-
материальных точек относительно полюса А связан с кинетическим моментом
импульса К в этой системы относительно полюса В равенством К# =
—i n
= Кд + В А х Р, где Р = ^2 miyi — ^vc — импульс системы.
г=1
6.21. Однородный диск вращается вокруг неподвижной оси АВ,
проходящей через центр диска. Доказать, что кинетический момент
диска относительно любой оси, параллельной оси А В, равен кинети-
кинетическому моменту диска относительно самой оси А В.
§.Т1. Движение системы материальных точек относительно си-
системы отсчета ж, ?/, z представлено как сумма двух движений: дви-
движения относительно системы ^, л, ? с началом в центре инерции С
и соответствующего переносного движения. Показать, что момент
импульса абсолютного движения системы относительно полюса О
выражается равенством Kq = К^ +К^ , где К^ — момент им-
импульса системы относительно полюса О в ее переносном движении,
а К^ — момент импульса системы относительно центра инерции в ее
относительном движении.
6.23. Плоская фигура движется в своей плоскости. В момент
времени t* некоторая точка фигуры закрепляется. Показать, что
момент импульса относительно этой точки сразу после закрепления
совпадает с моментом импульса относительно этой же точки в момент
времени t*.
Указание. При решении задачи пренебречь величинами, имеющи-
имеющими порядок времени удара.
6.24. При движении плоской фигуры массы m в своей плоскости
в некоторый момент времени закрепляется точка Л, имеющая в этот
момент скорость уд. Угловая скорость фигуры непосредственно пе-
§ 6. Изменение импульса и момента импульса системы 53
ред закреплением равна со. Найти угловую скорость ©i после закреп-
закрепления, считая известными положение центра инерции С и момент
инерции фигуры J относительно оси, проходящей через точку Л
перпендикулярно плоскости.
6.25. Доказать, что при качении без скольжения однородного
шара по горизонтальной плоскости сохраняется угловая скорость
верчения. (Угловой скоростью верчения называется проекция абсо-
абсолютной угловой скорости шара на направление нормали к плоскости.)
6.26. Показать, что при качении без скольжения произвольного
выпуклого твердого тела по горизонтальной плоскости угловая ско-
скорость верчения, вообще говоря, не сохраняется.
6.27. Используя теоремы об изменении импульса и момента
импульса, доказать, что силы реакции невесомого нерастяжимого
стержня, связывающего две материальные точки, направлены по
стержню в противоположные стороны и равны по абсолютному зна-
значению.
Указание. Предполагая скорость и ускорение точек стержня огра-
ограниченными, в уравнениях движения устремить массу стержня к
нулю.
6.28. Однородный цилиндр (см. рисунок) радиуса R и веса mg
катится по шероховатой горизонтальной плоскости (коэффициент
трения скольжения / = 1/8) под действием постоянной горизонталь-
горизонтальной силы Q. Найти ускорение центра С цилиндра и угловое ускорение
цилиндра в двух случаях: a) Q = rag/З; б) Q = mg.
Q
К задаче 6.28 К задаче 6.29
6.29. По шероховатой наклонной плоскости, образующей угол
а с горизонтом (см. рисунок), катятся без скольжения цилиндры Л
и Б, имеющие одинаковые радиусы г и одинаковые массы га, но
различные моменты инерции: момент инерции относительно оси ма-
материальной симметрии цилиндра В равен гаг2, а цилиндра Л равен
угаг @ < у ^ 1). Коэффициент трения скольжения между цилиндра-
цилиндрами равен /. Определить ускорение центров, а также силу давления
цилиндра Л на цилиндр В.
6.30. В упражнении с обручем гимнастка сообщает центру од-
однородного кругового обруча радиуса г горизонтальную скорость vq
и закручивает его с угловой скоростью coq- Коэффициент трения
54 1. Кинематика и динамика
между обручем и полом равен / (во время движения обруч не под-
подпрыгивает). Как должны быть связаны величины vq и соо Для того,
чтобы обруч вернулся в исходное положение за время ?, определяемое
музыкальным сопровождением?
6.31. По однородному диску радиуса R и массы М, лежащему на
гладком горизонтальном столе, ползет жук массы т. Траекторией от-
относительного движения жука является окружность радиуса г. Найти
траекторию абсолютного движения жука, если в начальный момент
диск и жук находились в покое. Рассмотреть два случая: а) центр
окружности совпадает с центром диска; б) окружность проходит
через центр диска.
6.32. По плоской фигуре, свободно лежащей на гладком гори-
горизонтальном столе, начинает двигаться материальная точка, переме-
перемещаясь из положения А в положение В по некоторой траектории, не
проходящей через центр инерции С фигуры. В начальный момент
система находилась в покое. Показать, что угол а поворота фигуры
относительно стола меньше угла ср = А АС В, под которым видна
относительная траектория точки из центра инерции фигуры.
6.33. По плоской фигуре массы М, лежащей на гладком го-
горизонтальном столе, начинает двигаться точка А массы т. В на-
начальный момент система находилась в покое. Траектория относи-
относительного движения точки задается уравнением R = /(ср), где R =
= АС — расстояние от точки до центра инерции С фигуры, а ср —
угол между АС и осью С^, жестко связанной с фигурой. Составить
уравнения для определения траектории точки С относительно стола,
если центральный момент инерции фигуры равен J.
6.34. Пластина массы т может двигаться в неподвижной плоско-
плоскости ху. Положение пластины задается координатами ж, у полюса Р
и углом ф, который прямая, соединяющая полюс Р с центром масс С
пластины, образует с осью Ох. Составить уравнения плоскопарал-
плоскопараллельного движения пластины в переменных ж, ?/, ср, если момент
инерции пластины относительно оси, проходящей через полюс Р
перпендикулярно плоскости пластины, равен J, a PC = I.
6.35. Тонкая пластина массы т движется в своей плоскости.
Показать, что момент импульса пластины относительно какой-либо
ее точки А определяется равенством Кд = JA<u + m(AC x уд), где
со — угловая скорость, За — момент инерции пластины относительно
оси, проходящей через точку А перпендикулярно ее плоскости; АС —
радиус-вектор центра масс пластины.
6.36. Ось 00' маховика (см. рисунок), установленного на косми-
космической станции, неподвижна относительно станции и проходит через
ее центр масс и через центр масс маховика. Маховик раскрутили от
§ 6. Изменение импульса и момента импульса системы
55
нулевой до некоторой угловой скорости соо •> которая была определена
с помощью датчика, жестко связанного со станцией. Найти абсолют-
абсолютную угловую скорость П станции, если в начальный момент система
покоилась; моменты инерции станции и ма-
маховика относительно оси 00' равны соответ-
соответственно J\ и J2.
6.37. Решить предыдущую задачу
(см. рис. к ней) в предположении, что ось
00' проходит через центр масс маховика
и не проходит через центр масс станции.
Моменты инерции станции и маховика
относительно оси, проходящей через центр
масс С системы параллельно оси 00', равны
J\ и J соответственно. Момент инерции
маховика относительно оси 00' равен J^.
6.38. Человек раскачивается на качелях, приседая и вставая
(см. рисунок). Расстояние от центра масс системы «человек-качели»
до оси подвеса качелей является известной дифференцируемой функ-
функцией времени l(t) = /о + /(?)• Составить дифференциальное уравне-
уравнение, определяющее закон изменения угла ср(?) отклонения качелей от
вертикали, если момент инерции системы относительно оси подвеса
равен J(t) = J0 + F(t).
К задаче 6.36
К задаче 6.38
К задаче 6.40
6.39. По какому закону нужно изменять длину l(t) плоского
математического маятника, чтобы маятник двигался по закону ср(?) =
= оо?, где со = const.
6.40. Известное упражнение с обручем (хула-хуп) можно описать
с помощью следующей упрощенной модели. Цилиндр Л радиуса г
(см. рисунок) совершает поступательное движение. Его центр О
56
1. Кинематика и динамика
движется по окружности радиуса р с центром в точке О\ по закону
а = a(t). Однородный обруч радиуса R и массы т обкатывает без
скольжения цилиндр А. Составить уравнение движения обруча, счи-
считая, что вся система расположена на гладкой горизонтальной плос-
плоскости. Найти также условие, при котором обеспечивается контакт
между обручем и цилиндром.
6.41. В модели упражнения с обручем, описанной в предыдущей
задаче (см. рисунок к ней), центр О цилиндра А движется по окруж-
окружности радиуса р с постоянной скоростью v. Показать, что в системе
х О у уравнение движения обруча совпадает с уравнением движения
математического маятника длины 2gp(R — r)/v2.
6.42. В модели упражнения с обручем, описанной в задаче 6.40
(см. рисунок к ней), центр О цилиндра А движется равномерно
по окружности радиуса р со скоростью v. Показать, что уравнение
движения обруча допускает решения, которым соответствуют вра-
вращения обруча с постоянной угловой скоростью со. Найти величину
со и показать, что при таких движениях условие наличия контакта
между цилиндром и обручем не нарушается.
§ 7. Изменение кинетической энергии.
Смешанные задачи
7.1. Однородный стержень ОБ длины / и массы М (см. ри-
рисунок) вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг оси,
перпендикулярной стержню и проходящей через точку О. Вдоль
ОБ с постоянной относительной скоростью vo движется однородный
стержень О\А длины а и массы т так, что стержни все время
находятся в одной плоскости. В начальный момент точки О и О\
совпадали. Найти кинетическую энергию системы как функцию вре-
времени.
К задаче 7.1
К задаче 7.2
7.2. Клин массы mi с углом а при вершине (см. рисунок) дви-
движется горизонтально со скоростью vq. Доска массы т^ движется
§ 7. Изменение кинетической энергии. Смешанные задачи
57
вдоль наклонной грани клина с относительной скоростью vi и тянет
груз массы газ, движущийся по вертикальной грани клина. По доске
с угловой скоростью со катится без проскальзывания однородный
цилиндр массы т^ и радиуса г. Найти кинетическую энергию сис-
системы.
7.3. Однородный стержень Л В массы М и длины / (см. рисунок)
вращается с постоянной угловой скоростью coi вокруг неподвижной
оси Л. Однородный диск радиуса г и массы т, соединенный со
стержнем шарниром в точке Б, вращается относительно стержня
с угловой скоростью С02- Найти кинетическую энергию системы, если
в начальный момент центр диска С лежал на продолжении отрезка
Л В, а вращение стержня и диска происходят в одной плоскости.
К задаче 7.3
К задаче 7.4
7.4. Однородный стержень О Л длины / и массы М (см. рисунок)
вращается с угловой скоростью со вокруг неподвижной оси О и в точ-
точке Л соединен шарниром с однородным диском радиуса г и массы т.
Диск катится без проскальзывания внутри цилиндрической полости
радиуса R = / + г, прижимая к ней тонкий обруч радиуса р и массы ц,
как показано на рисунке. Найти
кинетическую энергию системы.
7.5. Кривошип О А мас-
массы М (см. рисунок) вращается
вокруг неподвижной оси О с уг-
угловой скоростью соо и несет п
шестеренок массы mi, Ш2,...
..., тп и радиуса гь г2,..., гп К задаче 7.5
соответственно. Последняя ше-
шестеренка находится во внутреннем зацеплении с неподвижной ше-
шестерней, центр которой совпадает с точкой О. Найти кинетическую
энергию системы, считая шестеренки однородными дисками, а кри-
кривошип однородным стержнем.
58
1. Кинематика и динамика
7.6. Кривошип О А массы М (см. рисунок) вращается вокруг
неподвижной оси О с угловой скоростью соо и несет п шестеренок
массы mi, Ш2,..., тп и радиуса ri, Г2, • • •, гп соответственно. Веду-
Ведущая шестеренка 1 вращается независимо от кривошипа вокруг той же
оси О с угловой скоростью coi. Найти кинетическую энергию системы,
считая шестеренки однородными дисками, а кривошип однородным
стержнем.
К задаче 7.6
К задаче 7.7
7.7. Однородный круглый цилиндр радиуса г и массы т (см. ри-
рисунок), обмотанный нерастяжимой нитью, подвешен к неподвижной
точке О. Под действием силы тяжести цилиндр опускается, разма-
разматывая нить и раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей
через точку О. Найти импульс р, момент импульса К а относительно
точки А и кинетическую энергию Т цилиндра в зависимости от
угла ф, расстояния О А = I и их производных.
7.8. Система, состоящая из п материальных точек массы mi,
Ш2,..., mn, движется относительно некоторой системы отсчета ж,
?/, z. Как следует ввести подвижную систему отсчета !;, л, ?, чтобы
независимо от характера движения системы материальных точек
связь между кинетической энергией абсолютного движения Та
(по отношению к ж, у, z) и энергией относительного движения Тг
(по отношению к !;, л, Q выражалась соотношением Та = Тг + Те,
где Те — кинетическая энергия переносного движения системы?
Иначе говоря, при каких условиях кинетическая энергия сложного
движения системы точек равна сумме кинетических энергий каждого
движения по отдельности?
7.9. Найти работу силы F = a(yi + z] + жк) (а = const), точка
приложения которой перемещается вдоль отрезка винтовой линии
г =
@
2тс).
7.10. Свободное твердое тело движется под действием некоторой
системы сил, главный вектор которой равен R, а главный момент
относительно некоторой точки О тела, равен Mq. Показать, что
элементарная работа сил, приложенных к свободному твердому телу,
§ 7. Изменение кинетической энергии. Смешанные задачи 59
определяется соотношением 5Л = Rrfro + Moa>d?, где со — угловая
скорость тела, а го — радиус-вектор точки О.
7.11. Показать, что потенциальная энергия пружины (см. рису-
рисунок), состоящей из двух последовательно соединенных частей Л В
D
К задаче 7.11
и BD с жесткостями ci и сч соответственно, совпадает с потен-
потенциальной энергией пружины жесткости с = c\c<il{c\ + C2). Решить
аналогичную задачу для параллельно соединенных пружин.
В задачах 7.12-7.15 силовое поле задано проекциями силы поля
на оси декартовой системы координат. Выяснить, потенциально ли
поле, и, если оно потенциально, найти потенциал.
7.12. Fx = yzsmat, Fy = xzsmat, Fz = xysmat.
7.13. Fx = --^, Fy = —^-2, Fz = 0.
(x-yy {х-уУ
7.14. Fx = yzcos(xyz) + texp[—(x + y + z)t],
Fy = xz cos(xy z) + texp[—(x + у + z)t],
Fz = () [( )]
( . ± О . Г X —
Fz = — aZ (a = const).
B + 2 + 2K/2
7.16. Для каких функций/1 (г), /г(г), /з(г) (г = д/ж2 + ?/2 + ?2 )
силовое поле 7^ж = /i(r), F^ = /2(^M ^ — /з(г) будет потенциаль-
потенциальным?
7.17. Материальная точка движется в центральном поле общего
I (Т U Z /|Г
вида F(r,?) = , где г — радиус-вектор точки. Показать,
л/х2-\-у2-\-z2
что сила F(r, t) потенциальна в том и только в том случае, когда силу
f(x,y,z,t) можно представить в виде ср(ж2 + у2 + z2,t).
7.18. Гравитационный потенциал тела произвольной формы за-
задается функцией П(ж,з/,2:). Показать, что в каждой точке (x,y,z),
лежащей вне тела, функция П(ж, у, z) удовлетворяет уравнению Ла-
пласа У2П = 0, где V2n(ж, у, ^) = ^^ + -т + -т.
с/ж ду oz
60 1. Кинематика и динамика
7.19. Силовое поле задано при помощи «направляющей» плос-
плоскости ах + by + cz = 0 так, что в каждой точке пространства вектор
силы F перпендикулярен этой плоскости, а сила F = F(p) является
известной функцией расстояния р точки от этой плоскости. Показать,
что поле потенциально, и найти его потенциал.
7.20. Массе т, находящейся в состоянии покоя, сообщается ско-
скорость v. Как изменится совершаемая работа, если скорость массы
увеличивается на ту же величину v, но от начального значения vo?
7.21. Мотоциклист увеличивает свою скорость сначала с 55 до
60 км/ч, а затем с 60 до 65 км/ч. Сравнить величины совершаемой
при этом работы.
7.22. Материальная точка массы т прикреплена к концу нерас-
нерастяжимой нити и вместе с ней движется по гладкой горизонтальной
плоскости. Нить наматывается на неподвижный цилиндр, ось кото-
которого вертикальна. Показать, что если нить во все время движения
напряжена, то скорость точки постоянна по величине.
7.23. Точка массы т движется по прямой Ох в силовом поле
с потенциалом П = \|/(?)ср(ж). Показать, что если в некоторый момент
времени t = to выполняется условие \|/(?о) ^ А > 0 и \\f(t) ^ 0, при
всех t ^ to, то полная энергия точки удовлетворяет неравенству
Е ^ #o\|f(i)/v(*o), гДе Ео = E(xo,to).
7.24. Используя условия предыдущей задачи, показать, что если
\\f(t) ^0 и \\f(t) > 0 при всех значениях ?, то полная энергия E(t)
удовлетворяет неравенству E(t) ^ Eo\\f(t)/\\f(to).
7.25. Два одинаковых шара массы т и радиуса г притягиваются
один к другому с силой, зависящей только от расстояния между
центрами шаров. В начальный момент шары покоились, а расстояние
между их центрами равнялось а. Рассмотреть два случая движения:
1) шары движутся навстречу друг другу, 2) один из шаров неподвиж-
неподвижно закреплен. Показать, что отношение t<ijt\ промежутков времени
от начала движения до момента соприкосновения шаров равно у2.
7.26. Каждый элемент бесконечно тонкого однородного непо-
неподвижного обруча радиуса R и общей массы М притягивает матери-
материальную точку Р, лежащую на перпендикуляре к плоскости обруча,
проходящем через его центр О. Силы притяжения описываются зако-
законом всемирного тяготения. Определить скорость, с которой точка Р
пересечет плоскость обруча, если в начальный момент расстояние ОР
было равно /, а точка покоилась.
7.27. Тяжелый однородный стержень длины 2/ и массы т
(см. рисунок), закрепленный шарниром О, опирается на параллеле-
параллелепипед массы М и высоты а. Параллелепипед соединен пружиной
жесткости с с неподвижной стенкой и может двигаться по гладкой
горизонтальной плоскости. В начальный момент система находилась
§ 7. Изменение кинетической энергии. Смешанные задачи
61
в покое, стержень составлял с горизонтом угол фо, а пружина была
ненапряжена. Найти скорость v параллелепипеда в зависимости от
угла ф.
2/ .
К задаче 7.27
К задаче 7.28
7.28. Физический маятник состоит из однородного шара радиу-
радиуса г (см. рисунок), подвешенного на невесомом стержне к точке О;
нижняя точка шара описывает окружность радиуса R. Другой такой
же шар положен в круговой желоб радиуса R и катится по нему без
проскальзывания. В начальный момент центры шаров находятся на
одном уровне и начинают движение без начальной скорости. Найти
отношение наибольших скоростей центров шаров. При каком соотно-
соотношении между радиусами R и г эти скорости будут одинаковыми?
7.29. Однородные стержни AD и BD (см. рисунок), шарнирно
соединенные в точке Z), опираются на два гладких угла. Длина
каждого стержня равна расстоянию между опорами /. В начальный
момент стержни горизонтальны и расположены симметрично отно-
относительно опор, а затем (после малого начального толчка) приходят
в движение за счет собственного веса, причем точка D перемещается
по вертикали. Определить скорость точки D в тот момент, когда
концы Л и В стержней достигнут угловых точек.
у
А Ц
в
л
/ ^
//
чс
У/////
D
\
\
\
Vе ^
h
К задаче 7.29
К задаче 7.30
7.30. «Гармошка» ЛВСDE (см. рисунок) из четырех шарнирно
соединенных однородных стержней длины / каждый стоит на глад-
гладком горизонтальном полу и удерживается в равновесии стяжкой BD.
62 1. Кинематика и динамика
После разрыва стяжки гармошка начинает падать. Найти зависи-
зависимость скорости точки В от ее высоты h над полом, если в начальный
момент эта высота была равна /го-
7.31. Подъемник состоит из площадки CD и 2п одинаковых
стержней длины 2/, соединенных шарнира-
шарнирами, как показано на рисунке. Для подъема
груза концы Л и В нижних стержней стяги-
iD ваются. В тот момент, когда груз находился
на высоте Яо, тяга Л В разорвалась, так что
концы Л и В оказались свободно опертыми.
Пренебрегая трением, найти скорость груза
как функцию его высоты Я, если вес пло-
площадки с грузом равен Р\, а общий вес стерж-
ней — Р2.
7.32. Как изменятся импульс р и кинети-
ческая энергия 1 плоской фигуры массы га,
движущейся в своей плоскости, если в некоторый момент времени
закрепить центр инерции фигуры?
7.33. Плоская фигура движется в своей плоскости. В некоторый
момент времени точку фигуры, совпадающую с мгновенным центром
скоростей, закрепляют. Как изменятся импульс, момент импульса
и кинетическая энергия фигуры в результате закрепления?
7.34. Однородный металлический диск вращается по инерции
вокруг неподвижной оси. От внешнего источника к диску подводится
некоторое количество теплоты, в результате чего диск нагревается.
Объяснить, что произойдет с угловой скоростью и кинетической
энергией диска.
7.35. Математический маятник массы га отклоняется на угол фо
и отпускается без начальной скорости. Найти силу натяжения N нити
в зависимости от угла ср.
7.36. К однородному круговому обручу массы М (см. рисунок),
который может катиться без проскальзывания по горизонтальной
плоскости, жестко прикреплена точечная масса га.
В начальный момент обруч покоился и масса зани-
занимала наивысшее положение, а затем пренебрежимо
малый импульс вывел систему из положения рав-
равновесия. Показать, что при движении обруч под-
подпрыгнет только в том случае, когда отношение масс
удовлетворяет неравенству т/М ^13. К 7 36
7.37. Тело массы га лежит на гладком гори-
горизонтальном столе и прикреплено к концу нити, проходящей через
небольшое отверстие в столе. На втором вертикально свисающем
конце нити прикреплено тело массы М. В начальный момент телу ш,
§ 7. Изменение кинетической энергии. Смешанные задачи 63
находящемуся на расстоянии а от отверстия, сообщена скорость vq
в плоскости стола перпендикулярно нити. Доказать, что скорость
тела т будет снова перпендикулярна нити в тот момент, когда
расстояние тела от отверстия совпадает с положительным корнем
2 mvl mvl
уравнения х - ^rvy-x - ^ry-a = 0.
JK 2Mg 2Mg
7.38. Однородный стержень длины а может свободно вращаться
в пространстве вокруг своего шарнирно закрепленного конца. В на-
начальный момент его приводят в горизонтальное положение и сообща-
сообщают угловую скорость соо относительно вертикальной оси. Найти наи-
наименьшее значение cpmin угла ср между стержнем и вертикалью во вре-
время движения, а также приближенное значение cpmin при coo ^ \/ё1а-
7.39. Как изменится угол cpmin в условиях предыдущей задачи,
если в начальный момент стержень образует с вертикалью угол фо?
7.40. Неоднородный тонкий стержень О А длины / и массы т
может свободно вращаться в пространстве вокруг своего шарнирно
закрепленного конца О. Центр масс стержня находится на рассто-
расстоянии а от точки О; момент инерции стержня относительно перпен-
перпендикулярной ему оси, проходящей через точку О, равен J. Составить
уравнение, которому удовлетворяет наименьшая и наибольшая вы-
высота конца А стержня, если в начале движения известны момент
импульса К стержня относительно вертикальной оси, проходящей
через точку О, и его полная энергия Е. Найти пределы изменения
высоты конца А, если в начальный момент стержень был горизонта-
горизонтален, а вектор его угловой скорости вертикален.
7.41. Однородный круговой цилиндр массы М и радиуса R по-
поставлен на гладкую горизонтальную плоскость так, что его ось верти-
вертикальна. На боковой поверхности цилиндра вырезан гладкий винтовой
желоб с углом подъема а. В желоб вкладывается шарик массы т.
Найти угловую скорость цилиндра в зависимости от вертикального
смещения шарика, считая, что в начальный момент цилиндр и шарик
покоились. Размерами шарика пренебречь.
7.42. Шар радиуса г (см. рисунок) катится без проскальзывания
по горизонтальной плоскости А В, пе-
переходя с этой плоскости на плоскость
BD, образующую угол а с горизонтом.
Достигнув угловой точки Б, шар начи-
начинает поворачиваться вокруг нее. В на-
начальный момент скорость центра С
шара равна vq. Найти наибольшее зна-
К задаче 7.42
чение угла а, при котором шар, пе-
переходя на наклонную плоскость, не будет делать скачка. (Отрыв
шара происходит в тот момент, когда проекция силы реакции опоры
64 1. Кинематика и динамика
в угловой точке на нормаль к траектории центра шара обращается
в нуль.)
7.43. Решить предыдущую задачу при дополнительном предпо-
предположении, что плоскость Л В образует угол Р < а с горизонтом, причем
в начальный момент точка касания шара с плоскостью находилась на
расстоянии / от точки В и скорость центра шара равнялась vq.
7.44. Однородный цилиндр радиуса г и массы т (см. рисунок)
свободно скатывается с неподвижного цилиндра радиуса R. Цилиндр
начинает движение из состояния покоя в ре-
результате малого импульса. Коэффициент тре-
трения скольжения равен /. Найти все значе-
значения угла ф, при которых качение происходит
без проскальзывания. Для этих значений угла
Ф найти скорости точек оси цилиндра г>(ф),
нормальную силу реакции Л^(ф) и силу тре-
трения ^(ф), если фо = 0.
7.45. Используя условия предыдущей за-
задачи, доказать, что катящийся без проскальзы-
К задаче 7.44
вания цилиндр не может оторваться от непо-
неподвижного цилиндра при конечном значении / раньше, чем начнется
качение с проскальзыванием.
Указание. Найти значение угла, которое соответствовало бы от-
отрыву при качении без проскальзывания, и показать, что при всех
конечных значениях / оно превышает значение угла, при котором
начинается проскальзывание.
7.46. Однородный стержень длины 21 начинает движение из со-
состояния покоя, свободно опираясь на гладкие стороны прямого угла.
В начальный момент стержень составлял угол осо с горизонтальной
стороной угла. Найти скорость vq центра стержня в тот момент,
когда стержень займет горизонтальное положение.
7.47. Однородная эллиптическая пластина с полуосями а и Ъ
(а > Ь) может катиться в вертикальной плоскости без проскаль-
проскальзывания по горизонтальной прямой. В начальный момент большая
полуось горизонтальна. Какую угловую скорость соо нужно сообщить
пластине в начальном положении, чтобы в момент, когда большая
полуось образует с горизонтом угол тс/4, угловая скорость пластины
равнялась щ/2?
7.48. Однородный шар массы т поднят на высоту h над гладким
горизонтальным столом и отпущен без начальной скорости. Считая
удар шара о стол абсолютно упругим, найти среднее значение кине-
кинетической энергии.
7.49. При помощи теоремы о вириале найти среднее значение
кинетической энергии одномерного движения точки массы га, на ко-
§ 7. Изменение кинетической энергии. Смешанные задачи 65
торую действует гармоническая сила F = Acosoo?, если в начальный
момент скорость точки равнялась нулю.
7.50. Непосредственным вычислением показать, что в соответ-
соответствии с теоремой о вириале средние за период значения кинетической
и потенциальной энергии гармонического осциллятора равны.
7.51. Используя теорему о вириале, показать, что при финитном
движении материальной точки в поле всемирного тяготения полная
энергия всегда отрицательна.
7.52. Система, состоящая из TV материальных точек, совершает
движение в конечной области пространства с конечными скоростя-
скоростями. Потенциальная энергия системы П(ж1, ... ,ждг,2/ь ..., 2/tv, ^i, ...
... ,zn) является однородной функцией степени к:
Используя теорему о вириале и закон сохранения полной энергии,
показать, что средние значения кинетической и потенциальной энер-
энергии имеют вид Т = Ек/(к + 2), П = 2Е/(к + 2), где Е — полная
энергия системы. Рассмотреть случаи к = 2 (осциллятор) и к = — 1
(ньютоновское взаимодействие).
7.53. Материальная точка массы m движется по гладкой гори-
горизонтальной кривой под действием постоянной силы, направленной
по касательной к траектории движения. Найти среднее (за время
движения т) значение кинетической энергии как функцию началь-
начальной и конечной скоростей vq = v(to) и v\ = v(tQ-\-x). Сравнить это
значение Т со значениями кинетической энергии в момент времени
т/2 и в момент времени t\ когда точка находится на полпути между
начальным и конечным положениями.
7.54. Используя условия предыдущей задачи и считая, что дей-
действующая на точку сила равна F, найти момент времени ?i, в кото-
который значение кинетической энергии совпадает с ее средним значе-
значением Т.
7.55. Грузы массы rai, Ш2,..., тп (см. рисунок) лежат на глад-
гладком горизонтальном полу и связаны между собой и с неподвижными
С2
777-2
К задаче 7.55
стенками пружинами жесткости ci, C2,..., cn+i. Используя теорему
о вириале, показать, что средние значения кинетической Т и потен-
потенциальной П энергий связаны соотношением Т = П.
3 Е. С. Пятницкий и др.
66
1. Кинематика и динамика
7.56. В условиях предыдущей задачи на каждый груз действует
сила сопротивления, пропорциональная его скорости. Показать, что
среднее значение кинетической и потенциальной энергий равно нулю.
7.57. Три одинаковых груза массы т (см. рисунок) соединены
между собой и со стенками одинаковыми пружинами жесткости с. На
средний груз действует сила сопротивления, пропорциональная его
скорости, F = — Рг>2- В начальный момент, когда все грузы покоились,
крайним грузам были сообщены скорости, равные vq и направленные
в противоположные стороны. Используя теорему о вириале, найти
средние значения кинетической и потенциальной энергий.
7.58. При помощи теоремы о вириале найти среднее давление,
оказываемое газом на стенки сосуда, пренебрегая межмолекулярны-
межмолекулярными взаимодействиями и считая, что средняя кинетическая энергия
одной молекулы равна е. В единице объема содержится п молекул
газа, а стенки сосуда являются абсолютно гладкими.
т
A/V
т
A/V
т
К задаче 7.57
7.59. Двойной плоский маятник АС В (см. рисунок) состоит из
двух одинаковых стержней длины /. На точку В нижнего стерж-
стержня действует постоянная сила F, направленная под прямым углом
к стержню СВ. Выяснить, является ли сила F потенциальной.
7.60. Показать, что в условиях задачи 7.28 отношение между ра-
радиусами шаров 7? и г, при котором наибольшие скорости их центров
одинаковы, не зависит от момента инерции шара, если шары неодно-
неоднородны, а центры масс совпадают с их геометрическими центрами.
7.61. Движение системы материальных точек представляется
как суперпозиция двух движений: относительно некоторой системы
отсчета ^1^3 и движение вместе с этой системой. Показать, что
кинетическая энергия Та абсолютного движения выражается равен-
равенством Та = Те + Tr + vo • рг + со • Ког, где Те — кинетическая энергия
переносного движения, Тг — кинетическая энергия относительного
движения, vo — скорость начала системы отсчета ^^з? со — ее
угловая скорость относительно неподвижной системы, рг — импульс
§ 8. Динамика точки в центральном поле 67
системы при относительном движении, Ког — момент импульса от-
относительного движения системы.
7.62. Звенья АС и ВС плоского двузвенного автоматического
манипулятора (см. рис. к задаче 7.59) вращаются с постоянными
угловыми скоростями сох и 0J- Найти кинетическую энергию ма-
манипулятора, если в начальный момент звенья были расположены
вдоль оси Ох. Звенья считать одинаковыми однородными стержнями
массы т и длины /.
7.63. Однородный стержень длины / и массы т, один конец
которого закреплен с помощью шарового шарнира О, отклоняют от
вертикали на угол фо и сообщают ему угловую скорость coq вокруг
вертикальной оси. Найти зависимость абсолютной угловой скорости
стержня fl от угла ср, а также компоненты силы реакции в шарнире О.
§ 8. Динамика точки в центральном поле
8.1. Тело отпущено без начальной скорости на высоте Н над
Землей. Найти зависимость скорости тела от его текущей высоты h.
Исследовать случаи Н/R% <С 1 и Н/R% ^> 1, где Rs — радиус Земли.
8.2. Показать, что в поле любой центральной притягивающей
силы за счет надлежащего выбора начальных данных можно реа-
реализовать круговую орбиту произвольного радиуса R. Показать, что
скорость движения по этой орбите постоянна.
8.3. Найти высоту искусственного спутника Земли, если он все
время находится над одной и той же точкой экватора.
8.4. Найти уравнение траектории материальной точки массы т
в центральном поле с потенциалом П(г) = —а/г, а > 0, если момент
импульса точки равен К, а полная энергия — Е.
8.5. Помимо центральной силы Fi, направленной к неподвижно-
неподвижному центру, на точку массы т действует сила F2 = — |3v, где скалярный
коэффициент Р зависит от времени, расстояния г до центра и от
скорости v точки, причем функция р(?, г, v) ограничена. Показать,
что траектория точки будет представлять собой плоскую кривую.
8.6. Из бесконечности по направлению к звезде S летит метеорит,
имеющий на бесконечности скорость Vqq > 0 и прицельное расстояние
р > 0. Может ли метеорит стать спутником звезды?
8.7. Гравитирующая звезда достаточно большой массы М (М >
> 2М0, Mq — масса Солнца) при остывании сжимается под дей-
действием сил тяготения. Найти зависимость второй космической скоро-
скорости vu для звезды от ее текущего радиуса г. Найти также то значение
68 1. Кинематика и динамика
радиуса г*, при котором вторая космическая скорость станет равной
скорости света с (так называемый гравитационный радиус) х).
8.8. Спутник движется вокруг Земли по эллиптической орбите
с эксцентриситетом е. Найти отношение максимального и минималь-
минимального значений угловой скорости радиус-вектора спутника.
8.9. Спутник Земли переведен с круговой орбиты радиуса г\ на
круговую орбиту радиуса г2- Как при этом изменятся кинетическая,
потенциальная и полная энергии спутника?
8.10. Спутник Земли массы т движется по эллиптической ор-
орбите с параметром р$ и эксцентриситетом ео- В некоторый момент
времени спутнику сообщается радиальный импульс Aq = тДго-
Определить параметры новой орбиты спутника, если в момент дей-
действия импульса он находился на расстоянии го от центра притяжения
и имел радиальную скорость го- Найти также приближенное значение
поправки к эксцентриситету Ае при малом импульсе Aq.
8.11. Материальная точка (см. рисунок) движется в централь-
центральном поле под действием силы Fr = — ocm/r5. При каком начальном
моменте импульса траектория представляет со-
собой окружность г = 2R cos cp? Показать, что в слу-
случае Fr ф —осга/г5 такая траектория точки невоз-
невозможна.
8.12. Материальная точка притягивается
к неподвижному центру массы М по закону Нью-
Ньютона. Показать, что при движении точки имеет
место векторный закон сохранения (интеграл Ла-
К задаче 8.11 пласа) (г х v) x v+yMr/r = а, где а — постоянный
вектор.
8.13. Определить совокупность начальных данных, при которых
в задаче двух тел расстояние между телами во время движения
остается ограниченным.
8.14. Две точки массы mi и m<i взаимодействуют по закону
всемирного тяготения. Найти величины начальных скоростей точек,
при которых расстояние между ними во время движения не будет
изменяться.
8.15. К двум взаимодействующим точечным массам т\ и m<i
приложены зависящие только от времени внешние силы F\(t) и F2(?)
соответственно. Показать, что такая задача двух тел может быть
сведена к задаче о движении в центральном поле точечной массы,
х) Впервые величину г* нашел Лаплас, используя закон всемирного тяготения
Ньютона и полагая г>п = с. Вычисления г* на основе общей теории относительно-
относительности дают то же самое значение г* (см., например, [39]).
§ 8. Динамика точки в центральном поле 69
на которую действует дополнительная сила
8.16. Какова должна быть зависимость внешних сил Fi и F2 от
переменных ri, Г2, ri, 1*2, t (г\ и Г2 — радиус-векторы точек в инер-
циальной системе отсчета), чтобы было справедливо утверждение
предыдущей задачи?
8.17. Две гравитирующие массы mi и т^ совершают финитное
движение. Показать, что минимальное и максимальное расстояния
между ними являются корнями квадратного уравнения
К0=0,
где Eq и К о — энергия и кинетический момент системы, а у —
постоянная тяготения. Из указанного уравнения найти условие, при
котором реализуются круговые орбиты.
8.18. Два одинаковых шарика массы m могут двигаться без тре-
трения по сторонам прямого угла ZxOy, расположенного в горизонталь-
горизонтальной плоскости. Шарики имеют заряды q и —q. Показать, что такая
система моделирует плоское движение материальной точки массы m
в поле центральной силы F = —а/г2 (а = q2).
8.19. Показать, что если известно уравнение г = г(ср) траектории
точки в поле центральной силы, то можно найти проекцию силы на
направление радиуса и квадрат скорости точки при помощи следую-
следующих соотношений (формул Бине):
/г(г)=
где с = г2ф — удвоенная секториальная скорость.
8.20. В каком центральном поле точка движется по траекто-
траектории г = р/[1 + ecosco((p — фо)] (при иррациональном значении со —
незамкнутая розетка)? В этом уравнении постоянные со, р, е и фо
определяются из начальных условий, причем со = у/1 + $т/Кц, р =
= со2/^0/(?тш), Kq — начальный момент импульса, а постоянные а
и р не зависят от начальных условий.
8.21. Опыт Резерфорда по рассеянию частиц основан на резуль-
результате решения следующей задачи. Частица массы т (см. рисунок)
и положительного заряда q (в опыте Резерфорда ос-частица) пролета-
пролетает мимо тяжелого ядра массы М заряда Q. Невозмущенная скорость
70
1. Кинематика и динамика
M,Q
К задаче 8.21
частицы (на бесконечности) равна г^, а прицельное расстояние рав-
равно d. Найти угол 6 отклонения траектории частицы, когда она снова
уйдет в бесконечность.
8.22. Комета массы т (см. рис. к задаче 8.21) движется в поле тя-
тяготения звезды S массы М (М ^> т), имея невозмущенную скорость
(на бесконечности) Vqq и прицель-
прицельное расстояние d. Найти уравнение
траектории кометы и определить
угол 6, на который отклоняется ее
траектория, когда она снова уда-
удаляется в бесконечность.
8.23. С какой начальной ско-
скоростью г>о, образующей угол а с го-
горизонтом, нужно запустить снаряд
с полюса, чтобы он попал на эк-
экватор? Землю считать однородным
шаром, гравитационное поле кото-
которого совпадает с полем точки, помещенной в центре Земли и имеющей
массу Земли. Найти также наивыгоднейший угол запуска осо (с точки
зрения минимизации потребной начальной энергии).
8.24. С Северного полюса Земли запускается снаряд так, что
направление начальной скорости vq составляет угол а с горизонтом.
Какой должна быть величина г>о, чтобы место падения снаряда име-
имело географическую широту ср (широта отсчитывается от экватора,
причем в северном полушарии ср > 0, а в южном — ср < 0)?
8.25. Используя условия предыдущей задачи, выразить эксцен-
эксцентриситет е и параметр р орбиты снаряда через углы а и ср. При каких
значениях а снаряд может попасть на заданную широту сро?
8.26. Используя условия задачи 8.24, найти такой угол осо, чтобы
снаряд упал на широте ср с минимальной ско-
скоростью. Найти эксцентриситет е и параметр р
соответствующей орбиты.
8.27. Найти уравнение траектории части-
частицы массы т в поле центральной силы с потен-
потенциалом
П(г) = -- + -^ (ос>0, р>0).
г г
8.28. Для объяснения наблюдаемого
неравномерного годичного движения Солнца
по долготе Гиппарх (II в. до н. э.) использовал задаче ь.
гипотезу простого эксцентриситета, состоящую в том, что Солнце S
(см. рисунок) равномерно вращается по круговой орбите единичного
§ 8. Динамика точки в центральном поле
71
радиуса вокруг центра О, отстоящего от Земли G на некоторое
расстояние е. Используя разложение истинной аномалии ср через
среднюю аномалию М для эллиптической траектории с эксцентри-
эксцентриситетом е — 0,01675, ф = М — 2esinM + E/4)e2sin2M — ..., найти
наибольшую ошибку в определении истинной аномалии древними.
8.29. Суть планетного механизма Птолемея (II в. н. э.), объяс-
объясняющего неравномерность перемещения по долготе внешних планет
(Марс, Юпитер, Сатурн) относительно Солнца, состоит в том, что
К задаче 8.29
каждая планета Р (см. рисунок) движется по круговой орбите (эпи-
(эпициклу) радиуса ад вокруг центра TV, также перемещающегося по
круговой орбите радиуса а (рисунок а), центр С которой находится
на расстоянии аг/2 от Земли G. При этом прямая ON (точка О лежит
на прямой GC на расстоянии аг/2 от точки С согласно гипотезе
бисекции эксцентриситета) вращается с постоянной угловой скоро-
скоростью со. Считается, что Солнце обращается вокруг Земли со средней
72 1. Кинематика и динамика
скоростью jlx (jlx > со) и направление от Земли на среднее Солнце S
всегда параллельно направлению от центра эпицикла к планете,
GS || N Р *). Сравнить видимую геоцентрическую долготу Сатурна
X = ZyGP = 309°4' (наблюдения Птолемея 22.12.138 г. н. э. в Алек-
Александрии) с расчетной, если серия предшествующих наблюдений поз-
позволила определить: 8 = 0,114, 5 = 0,108, П = 233°, со* = 86°33', (ц, -
)
8.30. Обращение планетного механизма, проведенное Коперни-
Коперником A543 г.), хорошо объясняет промежуточная система Тихо Бра-
Браге A577 г.). Поскольку никакими методами определения линейных
размеров в планетной системе астрономия древних не располагала,
Тихо Браге совместил со средним Солнцем S все точки Qi — Qs
в системе Птолемея (см. предыдущую задачу). Поэтому все планеты
у Тихо Браге обращаются вокруг Солнца, а Солнце — вокруг Зем-
Земли. Обращение же кинематики, проведенное Коперником, сводится
к остановке Солнца и включению в движение Земли. При этом вся
структура планетной системы, развитая древними, не только не пре-
претерпевает каких-либо коренных изменений, а лишь упрощается; на-
накопленные же экспериментальные данные только получают другую
интерпретацию. Объяснить физический смысл величин 5^ — радиусов
эпициклов.
8.31. Тело состоит из двух одинаковых материальных точек
масс га, соединенных невесомым нерастяжимым стержнем длины 21.
Показать, что в поле всемирного тяготения возможно следующее
движение: притягивающий центр О и движущиеся точки лежат на
одной прямой, а траектория каждой точки — окружность. Расстояние
ОС = Я, а С — центр масс точек.
8.32. При каком соотношении между R и / в результате схлопы-
вания масс из предыдущей задачи в одну, общая масса будет иметь
вторую космическую скорость?
8.33. Спутник Земли массы га движется по эллиптической ор-
орбите. Найти полную энергию спутника, если большая полуось его
орбиты равна а.
8.34. Чтобы перевести спутник с круговой орбиты радиуса R\
(см. рисунок) на круговую орбиту радиуса 7?2, ему последовательно
сообщаются два касательных импульса, вызывающих изменение ско-
скорости спутника на Avi и Ду2 соответственно. Найти значения Av\
) Для внутренних планет (Меркурий, Венера) центр эпицикла Птолемей по-
помещает в точке Q на прямой, соединяющей наблюдателя со средним Солнцем
(рисунок б). Скорость обращения планет в этом эпицикле со больше средней
скорости Солнца (\i < со).
§ 8. Динамика точки в центральном поле
73
и Дг?2, если в результате действия первого импульса спутник перехо-
переходит на промежуточную эллиптическую орбиту (эллипс Романа).
8.35. Материальная точка массы т притягивается к неподвиж-
неподвижному центру силой F = —/(г)г/г. В начальный момент скорость
точки vo направлена перпендикулярно
радиус-вектору tq. Найти траекторию
точки, если в начальный момент
К задаче 8.34
q =
8.36. Искусственный спутник Земли
выведен на эллиптическую орбиту, апогей
которой находится на расстоянии Н от по-
поверхности Земли, а перигей — на расстоя-
расстоянии h. Найти элементы орбиты спутника
(эксцентриситет е и параметр р).
8.37. Искусственный спутник Земли
массы т движется по эллиптической ор-
орбите, удаляясь от поверхности Земли на
расстояние Н в апогее и на расстояние h
в перигее. Найти полную энергию Е спутника и его кинетический
момент К.
8.38. Материальная точка массы т движется под действием
силы F = — /(г)г/г — Рг, где г = yx2 + y2 + z21 a Р = const. Найти
закон изменения кинетического момента Kq(?).
8.39. Искусственный спутник Земли массы т с начальной энер-
энергией Eq движется по эллиптической орбите. Найти зависимость ско-
скорости спутника от его высоты над поверхностью планеты.
8.40. В плотных слоях атмосферы на спутник массы т действу-
действует сила сопротивления F = — Pv. Найти зависимость секториальной
скорости спутника от длины дуги s его траектории, если Р = kv,
а начальное значение секториальной скорости с/2.
8.41. В каком центральном поле траектория материальной точки
определяется уравнением
d [А 21 п
—« - — со - = 0,
df \r) r
где со — постоянная
величина.
8.42. На материальную точку массы т, движущуюся в поле
центральной силы, дополнительно действует сила сопротивления F =
= — Pv, где Р — постоянная величина. Найти зависимость секториаль-
секториальной скорости точки от времени.
8.43. В условиях предыдущей задачи секториальная скорость
спутника уменьшается по экспоненциальному закону. Найти угловую
скорость вращения ф радиус-вектора спутника в плоскости орбиты.
8.44. Материальная точка движется в центральном поле, потен-
потенциал которого П = а/г2. Найти уравнение траектории точки.
74 1. Кинематика и динамика
8.45. Найти уравнение траектории заряженной частицы массы т
в поле неподвижного положительного заряда Q. Заряд частицы по-
положителен и равен q.
8.46. Дифференциальное уравнение траектории материальной
d2 /1\ , ч п
точки массы т в центральном поле имеет вид —~ - +\|/(г) = О,
где \|/(г) — заданная функция. Найти зависимость силы от г.
8.47. Найти в квадратурах уравнение траектории материальной
точки массы т в поле центральной силы F = —~ у(ф)? зависящей от
г
полярного угла ср.
8.48. Материальная точка массы т движется в поле централь-
ной силы F = —оУСф) я 5 зависящей от полярного угла ср. Найти
г г
уравнение траектории точки в квадратурах.
8.49. Спутнику, который движется по круговой орбите радиуса R
со скоростью г>, сообщается импульс чистого прижатия, в результате
чего возникает радиальная составляющая скорости, равная Av и на-
направленная к центру. Найти эксцентриситет е новой орбиты и угол ср
между радиус-вектором в точке приложения импульса и направле-
направлением на перигей. Показать, что параметр р при этом не изменится.
8.50. Спутнику, движущемуся со скоростью v по круговой орбите
радиуса 7?, сообщается импульс торможения, в результате которого
скорость изменилась на величину Av. Найти параметр р, эксцен-
эксцентриситет е новой орбиты и угол ср между радиус-вектором в точке
приложения импульса и направлением на перигей новой орбиты.
8.51. Два одинаковых спутника Земли движутся по круговым ор-
орбитам одинакового радиуса R. Одному спутнику сообщается импульс
торможения, уменьшающий скорость на Дг>, а другому — равный по
модулю импульс чистого прижатия, в результате которого возникает
радиальная составляющая скорости Дг>, направленная к центру. Для
новых орбит сравнить высоты г\ и г2 спутников в точке перигея.
8.52. Искусственный спутник Земли движется по эллиптической
орбите с эксцентриситетом ео и параметром р$. В некоторый мо-
момент спутнику сообщается касательный импульс Aq = Ыу, где v —
скорость спутника в этот момент. Найти параметры новой орбиты
спутника, если в момент приложения импульса спутник находился
на расстоянии Н от поверхности Земли, а угол между вектором
скорости v и радиус-вектором был равен р.
8.53. Искусственный спутник Земли массы т движется по эл-
эллиптической орбите г = р/A + ecoscp). Для поворота орбиты в ее
плоскости, т.е. для поворота большой полуоси орбиты на угол \|/
используются два касательных импульса q\ и q^. Полагая, что после
§ 8. Динамика точки в центральном поле 75
первого импульса спутник выходит на промежуточную круговую
орбиту, найти импульсы и минимальное время между моментами их
приложения.
8.54. Космический корабль движется со скоростью v по круговой
орбите, плоскость которой образует угол ср с плоскостью экватора.
В какой точке траектории и какой импульс скорости Av нужно
сообщить космическому кораблю, чтобы форма и размеры орбиты
не изменились, а ее плоскость повернулась на угол 45° вокруг линии
пересечения орбиты с плоскостью экватора?
8.55. Спутник массы т выведен на круговую орбиту вокруг
Земли в разреженные слои атмосферы. Вследствие торможения ат-
атмосферой спутник начинает снижаться и двигаться по спиралевидной
кривой, близкой к круговой. Считая, что угол а между вектором ско-
скорости v и трансверсальной составляющей скорости не меняется при
движении спутника, т. е. da/dtp = 0 (ср — полярный угол), показать,
что вследствие торможения атмосферой линейная скорость спутника,
движущегося по орбите, близкой к круговой, возрастает так, как если
бы он разгонялся тормозящей силой (парадокс спутника).
8.56. Эксцентрическая аномалия Е (угол в параметрическом
уравнении эллипса) связана с истинной аномалией ср (полярный угол
в уравнении конического сечения) соотношениями:
(cosE — e) . sin?Vl-e2
coscp = " —
A — ecosE)' A — ecoscp)
Показать, что зависимость эксцентрической аномалии Е от времени
определяется уравнением Кеплера: Е — es'mE = n(t — to), где п =
= 2п/Т — средняя угловая скорость обращения, а Т — период.
8.57. При исследовании проблемы N тел вводят в рассмотрение
N
так называемый момент инерции системы J = ^2 miYi Yi-> гДе ri ~
г=1
радиус-вектор г-го тела. Если величина J ограничена, то система со-
совершает финитное движение, если при t —> оо величина J возрастает
неограниченно, то система совершает инфинитное движение. Найти
выражение для d2J/dt2 и, используя его, показать, что в задаче ./V
тел движение будет инфинитным, если начальное значение полной
энергии Ео системы положительно.
8.58. На какую высоту над экватором Земли должен быть выве-
выведен спутник, чтобы он стал стационарным спутником, служащим для
обеспечения трансляционных межконтинентальных систем связи?
Землю считать однородным шаром радиуса R = 6380 км.
8.59. Твердое тело массы m находится в гравитационном поле
неподвижного центра О. Известны: R = ОС, где С — центр масс тела;
76 1. Кинематика и динамика
е& — орты, задающие главные центральные оси; /& — моменты инер-
инерции относительно е&, к = 1,3. Вычислить гравитационный потенциал
П и момент МG гравитационных сил относительно центра масс С.
При вычислении пренебречь членами более высокого порядка, чем
a21R2, где а — максимальный размер тела.
8.60. Однородный тонкий стержень длины 2/ притягивается по
закону всемирного тяготения к центру О. Найти точку приложения
равнодействующей гравитационных сил, считая / CR = ОС, где С —
центр масс стержня.
§ 9. Динамика относительного движения
9.1. Движущееся твердое тело содержит полость, целиком запол-
заполненную однородной несжимаемой жидкостью. Показать, что в дви-
движении относительно системы координат, жестко связанной с твердым
телом, кинетический момент жидкости не зависит от выбора полюса.
9.2. Космическая станция равномерно вращается вокруг своей
оси симметрии. Ось вращения поступательно перемещается с по-
постоянным по модулю и направлению ускорением w. Показать, что
в отсутствие внешних непотенциальных сил для материальной точ-
точки, находящейся внутри станции, в системе координат, связанной
со станцией, имеет место закон сохранения механической энергии.
(Потенциальная энергия точки состоит из потенциальной энергии
внешних сил и потенциальной энергии переносной силы инерции.)
9.3. Два небесных тела В и С (см. рисунок) движутся вокруг
общего центра инерции О по окружностям, лежащим в одной плос-
плоскости. Известны радиусы окружностей г\ и г 2 и массы тел т\ и m<i-
В плоскости орбит вводится вращающаяся система координат хОу,
начало которой находится в центре инерции О, а ось Ох направлена
на одно из тел. Показать, что если космический корабль попадет
в точку А плоскости орбит, находящуюся на одинаковом расстоянии
г\ + Г2 от обоих тел (треугольник ABC равносторонний), с нулевой
относительной скоростью, то он останется там навсегда.
9.4. Гладкая проволочная окружность радиуса R вращается с по-
постоянной угловой скоростью со вокруг своего вертикального диамет-
диаметра. Найти положения относительного равновесия тяжелого колечка,
надетого на эту окружность.
9.5. Гладкое кольцо радиуса г (см. рисунок), плоскость которого
вертикальна, вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вер-
вертикальной оси А В, находящейся на расстоянии а от центра кольца О.
По кольцу может скользить тяжелая бусинка. Найти угловую ско-
скорость, при которой положение относительного равновесия бусинки
будет определяться заданным углом фо, если a + rsincpo ф 0. Найти
§ 9. Динамика относительного движения
77
относительную скорость бусинки в зависимости от угла ф, если в на-
начальный момент ее скорость относительно кольца была равна нулю,
а угол ф равнялся фо-
Щ
\
1 if/i
\ \
\ \
О
/ /
/ /
К задаче 9.3
К задаче 9.5
К задаче 9.6
9.6. По внутренней стороне шероховатового круглого обруча
радиуса R (см. рисунок) может катиться без проскальзывания од-
однородный диск массы т и радиуса г. Обруч вращается с постоянной
угловой скоростью со вокруг своего вертикального диаметра Л В.
Найти положения относительного равновесия диска. Составить диф-
дифференциальное уравнение движения диска и убедиться, что величина
Зф2 + со2cos2ф — 4gcosq/(R — r) сохраняется во времени.
9.7. Маятник состоит из п одинаковых однородных стержней,
соединенных цилиндрическими шарнирами (см. рисунок). Точка под-
подвеса маятника движется по горизонтальной прямой с постоянным
ускорением w. Найти положение относительного равновесия маят-
маятника.
В
А
'/////////////////////////////////////////////Л
К задаче 9.7
К задаче 9.8
К задаче 9.9
9.8. Клин А В С (см. рисунок) движется вдоль горизонтальной
прямой с постоянным ускорением w. На наклонную грань ВС клина,
образующую угол а с горизонтом, помещается с нулевой относитель-
78 1. Кинематика и динамика
ной скоростью однородный цилиндр, который может катиться по этой
грани без проскальзывания. Каково должно быть ускорение клина
для того, чтобы центр О цилиндра двигался вверх по клину?
9.9. Однородный диск радиуса г (см. рисунок) может катиться
без проскальзывания по внутренней стороне вертикального обруча
радиуса 7?, поступательно движущегося вверх с постоянным ускоре-
ускорением w. Найти зависимость относительной скорости v центра диска
от угла ф, если в начальный момент ср = сро и v = vq.
9.10. Шероховатая доска А В (см. рисунок) колеблется вдоль
горизонтальной оси Ох по закону О А = asinatf. По доске может
катиться без проскальзывания однородный диск массы т и радиуса г.
В начальный момент to = О скорость центра диска относительно
доски была равна нулю. Показать, что за конечное время диск упадет
с доски.
С/ J\ Y^/^////////^^^^///^////////^ t>
К задаче 9.10
9.11. Точка А подвеса математического маятника длины / со-
совершает вертикальные колебания по закону О A — asinatf. Составить
уравнение движения маятника и убедиться в том, что это уравнение
допускает решения ср(?) еОи ср(?) = тс.
9.12. Точка подвеса математического маятника длины / движет-
движется по горизонтальной прямой Ох по закону at2 j2-\- Asmtsst. Составить
уравнение движения маятника относительно системы координат, по-
поступательно движущейся вдоль оси Ох по закону at2/2.
9.13. Математический маятник установлен на тележке (см. ри-
рисунок), которая может двигаться вдоль горизонтальной направ-
направляющей Ох. Ось подвеса маят-
маятника перпендикулярна направ-
направлению движения тележки, так
что маятник может вращаться
в вертикальной плоскости ху.
^_^ В начальный момент маятни-
^Л ку, находящемуся в наинизшем
q ^^ш^^^^^вш^^ ^ положении, сообщается угло-
угловая скорость соо- По какому
К задаче 9.13 закону должна меняться ско-
скорость тележки v(t), чтобы при
О < t < тс/Bсоо) маятник поворачивался вокруг оси подвеса с посто-
постоянной угловой скоростью?
§ 9. Динамика относительного движения
79
9.14. Найти выражение для силы F, которую следует приложить
к тележке для того, чтобы реализовать движение, описанное в пре-
предыдущей задаче. (Масса тележки М, масса маятника га, его длина /.
Массой колес и трением пренебречь.)
9.15. По гладкой горизонтальной плоскости, вращающейся с по-
постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси Oz, под
действием силы притяжения F к центру О движется материальная
точка А массы га. Считая, что F = —ja/r2, где г = АО, найти отно-
относительную скорость точки как функцию г, если в начальный момент
v = г>о, а г = го-
9.16. Невесомый стержень (см. рисунок), конец О которого шар-
нирно закреплен, вращается с постоянной угловой скоростью со во-
вокруг горизонтальной оси Oz, перпендикулярной плоскости рисунка.
По стержню катится без проскальзывания диск радиуса г и массы га.
Найти силу трения и силу нормальной реакции со стороны стержня
на диск в зависимости от угла ср поворота стержня и расстояния / от
точки О до точки А касания диска со стержнем. В начальный момент
точки О и А совпадали, а диск покоился относительно стержня.
О
в
К задаче 9.16
К задаче 9.17
9.17. Внутри гладкой горизонтальной трубки (см. рисунок), вра-
вращающейся вокруг вертикальной оси Oz с постоянной угловой ско-
скоростью со и перегороженной в точках А и В (ОА = 1,0В — L, I <
< L), может скользить без трения шарик. В начальный момент шарик
находился у перегородки А и имел относительную скорость vo, на-
направленную от оси вращения. Пренебрегая размерами шарика, найти
период его колебаний относительно трубки, считая удар о перегород-
перегородку абсолютно упругим. Построить фазовую диаграмму (траекторию
на фазовой плоскости у у).
9.18. Используя условия предыдущей задачи, но считая, что удар
шарика о перегородки не является абсолютно упругим, построить
(качественно) фазовую диаграмму движения шарика. При каких зна-
значениях коэффициента восстановления к шарик после первого удара
о перегородку В не вернется к перегородке А?
80
1. Кинематика и динамика
9.19. Колечко насажено на гладкую проволоку, расположенную
в горизонтальной плоскости П и изогнутую по кривой г = /(ф).
Плоскость вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вер-
вертикальной оси Oz. Найти закон движения колечка, если при t = 0
заданы г = г о и v = vq.
9.20. Вдоль гладкого стержня Л В, вращающегося в вертикаль-
вертикальной плоскости с постоянной угловой скоростью со вокруг своего
конца А, может скользить надетое на стержень тяжелое колечко.
Найти закон движения х = x(t) колечка относительно стержня, если
в момент времени t = 0 стержень занимал нижнее вертикальное
положение и ж@) = жо, ж@) = xq.
9.21. Шарик массы т помещен в шероховатую трубку. Динами-
Динамический коэффициент трения скольжения шарика о трубку равен /.
Можно ли при помощи этой системы моделировать эффект вязко-
вязкого трения, т. е. реализовать силу сопротивления, пропорциональную
относительной скорости F = —kv? Размеры шарика пренебрежимо
малы, трубка прямолинейна.
9.22. Используя решение предыдущей задачи, предложить схему
прибора для определения коэффициента трения скольжения в усло-
условиях невесомости.
9.23. Горизонтальная трубка (см. рисунок) вращается с постоян-
постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси Л Б, проходящей
через ось трубки. Шарику массы т, находящемуся в трубке на рас-
расстоянии xq от оси вращения, сообщается относительная скорость vo-
Пренебрегая размерами шарика и считая, что на него действует сила
сопротивления F = —kv, найти закон движения х = x(t) шарика от-
относительно трубки, а также начальную скорость vo, которую нужно
сообщить шарику, чтобы он достиг оси вращения.
К задаче 9.23
К задаче 9.25
9.24. Однородный диск может катиться без проскальзывания
по горизонтальной направляющей Ож, вращающейся с постоянной
угловой скоростью со вокруг вертикальной оси Оу. Найти закон
относительного движения диска.
§ 9. Динамика относительного движения 81
9.25. Стержень А В (см. рисунок) вращается с постоянной уг-
угловой скоростью со вокруг горизонтальной оси Ож, проходящей пер-
перпендикулярно стержню через его точку О. Ось Ох в свою очередь
вращается вокруг неподвижной вертикальной оси Oz с постоянной
угловой скоростью fl. Составить уравнение движения колечка, наса-
насаженного на стержень, выбрав в качестве координаты х\ расстояние
колечка от точки О стержня и приняв коэффициент трения между
колечком и стержнем равным /.
9.26. Материальная точка массы т движется относительно про-
произвольной неинерциальной системы отсчета по закону г(?). Доказать,
что переносная сила инерции потенциальна в том и только в том
случае, когда угловая скорость со системы является постоянным век-
вектором. Подсчитать потенциальную энергию переносных сил инерции,
если начало неинерциальной системы имеет ускорение w.
9.27. По горизонтальной плоскости, вращающейся с постоянной
угловой скоростью вокруг вертикальной оси, движется плоская фигу-
фигура. Показать, что в системе отсчета, жестко связанной с плоскостью,
переносные и кориолисовы силы инерции точек фигуры приводятся
к равнодействующим, проходящим через центр масс фигуры.
9.28. Плоская фигура массы т движется по плоскости, которая
t
вращается с переменной угловой скоростью со = /е(т) dx вокруг непо-
о
движной оси, перпендикулярной плоскости и не проходящей через
центр масс фигуры. Показать, что в системе отсчета, жестко связан-
связанной с плоскостью, как переносные, так и кориолисовы силы инерции
точек фигуры приводятся к одной силе
(равнодействующей). На каком расстоя- zk
нии h от центра масс находится линия I ю(?)
действия равнодействующей переносных
сил инерции, если момент инерции фигу-
фигуры относительно оси, проходящей через
ее центр масс перпендикулярно плоско-
плоскости, равен J и расстояние от оси вра-
вращения плоскости до центра масс фигуры
Равно а? К задаче 9.29
9.29. Однородный диск (см. рису-
рисунок) может катиться без проскальзывания по горизонтальной направ-
направляющей А В, которая вращается с угловой скоростью со(?) вокруг
вертикальной оси Az, проходящей через конец А направляющей.
Составить дифференциальное уравнение движения диска во вращаю-
вращающейся системе отсчета и проинтегрировать его в случае со(?) = соо —
= const.
В ..
82 1. Кинематика и динамика
9.30. В Земле прорыта шахта, направление которой в каждой
точке совпадает с направлением отвеса в этой точке. Определить
форму шахты с учетом вращения Земли. Землю считать однородным
шаром.
9.31. Горизонтальное кольцо радиуса R вращается с постоянной
угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через его
центр. По кольцу может скользить колечко. С какой относительной
скоростью нужно толкнуть колечко, чтобы оно могло совершить к
оборотов по кольцу, если коэффициент трения
скольжения равен /?
9.32. Под действием некоторой системы
i Л сил шарик массы т (см. рисунок) движется
так, что скорости всех его точек параллельны
плоскости, которая вращается с угловой скоро-
скоростью со(?) вокруг неподвижной оси, лежащей
в этой плоскости. Составить дифференциаль-
К задаче 9.32 ные уравнения движения тела относительно
плоскости.
9.33. Решить предыдущую задачу в предположении, что плос-
плоскость вращается вокруг оси, перпендикулярной к ней.
§ 10. Динамика систем переменного состава
10.1. Тонкая гибкая нерастяжимая нить длины L (см. рисунок),
сложенная пополам, уложена в тонкой горизонтальной гладкой труб-
трубке. Один конец нити закреплен, и примыкающая к нему половина
нити покоится, а частицам второй половины сообщается начальная
скорость г>о- Найти время ?, за которое нить распрямится, и длину s
К задаче 10.1
покоящейся части нити в тот момент, когда скорость точки изгиба
будет равна некоторой заданной величине, скажем, скорости звука а
(«эффект кнута»).
10.2. Тонкая гибкая нерастяжимая нить ЛВС (см. рисунок)
уложена в вертикальной гладкой трубке достаточно малого диаметра.
Концы Л и С нити закреплены, а точка В занимает наинизшее
положение, причем ВС = sq. В некоторый момент конец С отпускают
без начальной скорости. Найти зависимость скорости v подвижной
части нити от ее длины s.
§ 10. Динамика систем переменного состава
83
10.3. Тяжелая однородная цепь уложена на краю стола
на высоте Н от пола. Длина цепи много больше высоты Н.
В некоторый момент времени один из концов цепи соскаль-
соскальзывает и она начинает падать, причем в движение последова-
последовательно вовлекается звено за звеном. Пренебрегая
размерами звеньев, найти закон движения цепи.
1
К задаче 10.2
К задаче 10.4
10.4. Реактивное судно (см. рисунок) приводится в движение
насосом, который всасывает воду через входное отверстие горизон-
горизонтального канала и выбрасывает ее в противоположном направлении.
Относительная скорость воды на входе п, площадь входного отвер-
отверстия 5, площадь выходного отверстия S/n. Масса судна с находящей-
находящейся в нем водой равна га. Определить время разгона судна от скорости
vq до г>1, считая, что на него действует сила сопротивления, пропорци-
пропорциональная квадрату скорости, F = —kv2. (Задача И. В. Мещерского.)
10.5. Эскалатор (см. рисунок) пропускает стационарный пасса-
пассажиропоток постоянной плотности ill; скорости потока на входе и на
выходе относительно эскалатора го-
горизонтальны и равны и. В точке В
опора установлена на катки. Опре-
Определить силу реакции опор Л и Б,
если расстояние между ними состав-
составляет L по горизонтали и h по вер-
вертикали; общий вес системы равен Р,
а ее центр масс совпадает с середи-
серединой эскалатора.
10.6. На ленту транспортера
(см. рисунок), движущуюся с посто-
постоянной скоростью v, подается песок
с постоянной относительной скоростью и под углом а к начальному
горизонтальному участку транспортера. Конечный участок транс-
транспортера наклонен под углом р к горизонту. В точке Л лента опирается
на катки. Масса М транспортера с песком и масса т песка, сбрасы-
сбрасываемого с транспортера в секунду, постоянны. Центр масс С загру-
загруженного транспортера находится от левой опоры на расстоянии / по
J
h
о
р
-щ
к
L
\В
—Н
К задаче 10.5
84
1. Кинематика и динамика
горизонтали. Найти силу реакции опор Л и В, если расстояние между
ними составляет L по горизонтали и h по вертикали.
\ а
в
%
А±
Z -
Mg
L
>
Y//A
h
X
К задаче 10.6
К задаче 10.7
10.7. Входное сечение изогнутой трубы постоянного сечения S
(см. рисунок), закрепленной в вертикальной плоскости, образует
угол а с горизонтом; выходное сечение вертикально. По трубе течет
вода с постоянной скоростью и. В точке В труба опирается на катки.
Центр масс С трубы с водой находится от опоры Л на расстоянии /
по горизонтали. Масса трубы с находящейся в ней водой равна М.
Найти силу реакции опор, если расстояние между ними составляет L
по горизонтали и h по вертикали.
10.8. Рулон бумаги катится, разматываясь по горизонтальной
плоскости, причем размотавшийся слой бумаги остается в покое.
Толщина бумаги 5 много меньше радиуса г рулона, так что в каж-
каждый момент рулон можно считать цилиндром. В начальный момент
времени радиус рулона равен г о и его центр имеет скорость vq.
Найти зависимость скорости центра рулона от его радиуса и закон
изменения радиуса во времени на том интервале движения, когда
г ^> 5. При решении задачи считать, что размотавшийся слой бумаги
не оказывает влияния на движение рулона, т. е. что в точке контакта
рулона с плоскостью сила реакции равна весу рулона и направлена
вертикально вверх.
10.9. Цилиндрическая труба сечения S и массы tuq (cm. рисунок)
лежит на гладкой горизонтальной направляющей Ох. Под действием
сжатых пружин поршень Л выталкивает жидкость плотности р через
отверстие В площади Sq. Найти положение центра инерции частиц
жидкости, вылетевших из трубы к моменту времени ?, в зависимости
от закона движения поршня / = l(t) и закона движения трубы х =
= x(t), считая, что вылетевшие частицы сохраняют ту горизонталь-
горизонтальную составляющую скорости, которую они имели в момент вылета.
§ 10. Динамика систем переменного состава
85
Аналогично просуммировав по точкам трубы, частицам жидкости
в трубе и вылетевшим частицам жидкости, записать в конечной
форме закон движения центра инерции системы и получить из него
уравнение движения трубы. Масса поршня пренебрежимо мала, дли-
длина трубы равна L.
О
D
^ \
К задаче 10.9
К задаче 10.10
10.10. Цилиндрический сосуд массы М (см. рисунок) заполнен
жидкостью плотности р и закрыт сверху поршнем площади S. При
опускании поршня жидкость вытекает через вертикальную трубку D.
Расстояние от оси трубки до оси цилиндра равно а. Сосуд может
двигаться поступательно вдоль гладкой горизонтальной направляю-
направляющей Ох. При движении поршня уровень жидкости в сосуде меняется
по закону h = h(t), причем функция h(t) удовлетворяет условиям
h(to) = /io, h(ti) = О, h(to) = 0, h(t\) = 0, т.е. вся жидкость вытека-
вытекает из сосуда за время t\ — to без ударов в начальный и конечный
моменты времени. Составить уравнение движения сосуда, считая,
что частицы вытекшей жидкости сохраняют ту горизонтальную со-
составляющую скорости, которую они имели в момент отделения от
трубки.
10.11. По какому закону h = h{t)
шень в условиях задачи 10.10, чтобы
О ^ * ^ д/(а/ги0) arccos [МДМ+ р5/10)]
сосуд двигался с постоянным ускорени-
ускорением г^о?
10.12. Жидкость плотности р
(см. рисунок) вытекает из цистерны
массы М через трубку, отстоящую от
центра инерции цистерны на рассто-
расстояние а по горизонтали. Ось трубки
вертикальна, и частицы вытекшей
жидкости сохраняют ту горизонтальную
составляющую скорости, которую они
имели в момент отделения от крана. Во все время движения уровень
жидкости в цистерне остается горизонтальным, а центр инерции
находится на той же вертикали, что и центр инерции цистерны.
должен двигаться пор-
на интервале времени
О
К задаче 10.12
86
1. Кинематика и динамика
Пренебрегая массой колес и трением, найти скорость движения
цистерны в зависимости от времени, если масса жидкости в цистерне
меняется по закону
т0 ( id
т = —- 1 + cos —
I \ t
10.13. Решить задачу 10.10, считая, что ось трубки Z), через
которую вытекает жидкость, направлена под углом а к горизонту,
а площадь поперечного сечения трубки равна So. Рассматривая сосуд
как точку переменной массы, составить уравнение движения системы
в форме уравнений Мещерского и сравнить его с полученным уравне-
уравнением движения. При каком законе h(t) изменения уровня жидкости
уравнение Мещерского будет совпадать с точным уравнением движе-
движения сосуда?
10.14. Используя условия предыдущей задачи, найти зависи-
зависимость скорости поршня h от высоты /г, при которой сосуд будет
двигаться с постоянным ускорением wq.
10.15. Цилиндрический сосуд массы М (см. рисунок) заполнен
жидкостью плотности р, вытекающей через трубку D. Трубка дли-
длины / с выходным сечением площади S вращается в вертикальной
плоскости так, что угол между осью трубки и горизонтом меняется
по заданному закону а = a(t). Расстояние между центром вращения
трубки и осью цилиндра равно а. Масса жидкости в сосуде меняется
по закону т = m(t). Сосуд может двигаться поступательно вдоль
гладкой горизонтальной направляющей Ох в плоскости вращения
трубки. Составить уравнение движения сосуда, если при его движе-
движении центр инерции остающейся в сосуде жидкости находится на оси
сосуда, а частицы вытекшей жидкости сохраняют ту горизонтальную
составляющую скорости, которую они имели в момент отделения от
трубки.
Dj?
01
К задаче 10.15
К задаче 10.16
§ 10. Динамика систем переменного состава 87
10.16. Цилиндрический сосуд массы М и радиуса г (см. рисунок)
заполнен жидкостью и может двигаться по гладкой горизонтальной
плоскости; момент инерции цилиндра относительно его оси равен J.
Жидкость вытекает через вертикальную трубку D в днище цилин-
цилиндра, ось которой отстоит на расстояние а от оси цилиндра. Истечение
жидкости происходит таким образом, что ее масса в сосуде меняется
по закону т = rn(t), причем функция m(t) удовлетворяет условиям
m(to) = шо, m(ti) = 0, rh(to) = m(ti) = 0, т. е. вся жидкость вытекает
из сосуда за время t\ — to без ударов в начальный и конечный мо-
моменты времени. Составить уравнения движения сосуда, считая, что
находящуюся в сосуде жидкость в каждый момент времени можно
рассматривать как твердое цилиндрическое тело, движущееся вместе
с сосудом (иначе говоря, считая, что горизонтальная составляющая
скорости частиц находящейся в сосуде жидкости относительно стенок
сосуда равна нулю), а частицы вытекшей жидкости сохраняют ту го-
горизонтальную составляющую скорости, которую они имели в момент
отделения от трубки.
10.17. Решить предыдущую задачу, считая, что ось трубки го-
горизонтальна и направлена по касательной к стенке сосуда; площадь
выходного сечения трубки равна S и жидкость имеет плотность р.
10.18. Работу бульдозера, сталкивающего сыпучий материал
в яму, можно схематически представить следующей простейшей мо-
моделью. К бруску Л массы т (см. рисунок), который толкает слой
сыпучего материала постоянной линейной плотности р, прикладыва-
прикладывается постоянная сила Р. В начальный момент правая сторона бруска
находится на расстоянии L от края горизонтальной площадки Б,
по которой происходит движение, и скорость бруска равна нулю.
Считая, что при движении толщина
слоя не меняется и трение отсутству- у>
ет, найти время t движения бруска Л
до края площадки В.
10.19. Используя условия пре- Q
дыдушей задачи, учесть силу тре-
трения между слоем сыпучего матери-
материала и площадкой, считая ее пропор-
циональнои нормальному давлению
материала (коэффициент трения / постоянен). Найти скорость v
бруска в тот момент, когда он достигнет края горизонтальной пло-
площадки.
10.20. Реактивная тележка движется по прямолинейным гори-
горизонтальным направляющим; масса тележки меняется по закону М =
= Mq — |ui, относительная скорость и истечения газов из двигателя
постоянна, начальная скорость тележки равна vq. Найти зависимость
р
1»
X
4
I
L
К задаче
ш
10
18
1
1. Кинематика и динамика
скорости тележки от времени, если при движении на нее действует
сила сопротивления F = —av — $v2. Какова будет эта зависимость
в случаях, когда одна из констант а или Р равна нулю?
10.21. Камера сгорания ракеты, представляющая собой цилиндр
радиуса R и высоты /iq (cm. рисунок), целиком заполнена однородным
твердым топливом плотности р. Истечение газов, об-
образующихся при сгорании топлива, происходит через
отверстие А радиуса г в торце цилиндра. По мере
выгорания заряд продвигается специальным устрой-
устройством к выходному отверстию так, что горение проис-
происходит непосредственно у отверстия А. Масса корпуса
ракеты равна М; плотность газов, проходящих через
отверстие Л, можно считать постоянной величиной,
равной ро- Пренебрегая сопротивлением воздуха, со-
составить уравнение вертикального движения ракеты,
если высота заряда при его сгорании меняется по
закону h = h(t).
10.22. Показать, что импульс ракеты, которая
движется прямолинейно при отсутствии внешних сил,
достигает максимального значения в тот момент, ког-
А
j
ш
//уУ
Ш
/As/
W
¦
X '
А
К задаче
10.21
О
да скорость ракеты становится равной скорости истечения газов и
(и = const).
10.23. Ракета движется прямолинейно под действием реактивной
силы. В начальный момент ракета покоилась и ее масса равнялась
то; относительная скорость и истечения газов постоянна; действием
внешних сил пренебречь. При каком значении массы следует вы-
выключить двигатель, чтобы импульс Р, приобретенный ракетой, был
максимальным? Каков этот максимальный импульс?
10.24. Решить предыдущую задачу, считая начальную скорость
ракеты г>о отличной от нуля и меньшей и.
10.25. Найти значение массы, при котором кинетическая энергия
ракеты из задачи 10.23 будет иметь максимальное значение.
10.26. Двухступенчатая ракета несет полезный груз то- Рабочее
тело массы М находится в цилиндрических баках, причем на 1 кг ра-
рабочего тела приходится к кг стенок баков. Как следует распределить
массу рабочего тела между ступенями, чтобы ракета имела наиболь-
наибольшую скорость в конце активного участка? Скорость истечения газов
считать постоянной и равной п, действием внешних сил пренебречь.
Принять, что отработавшая ступень отделяется с нулевой относи-
относительной скоростью.
10.27. Цилиндрическое ведро массы М\ и радиуса R\ (см. рису-
рисунок) поднимается грузом массы Мч с помощью невесомого нерастя-
нерастяжимого каната, перекинутого через блок радиуса R^ момент инер-
§ 10. Динамика систем переменного состава
89
ции блока равен J. Ведро заполнено водой, которая вытекает через
отверстие площадью сечения S в центре дна. Уровень воды в ведре
все время остается горизонтальным, а скорость истечения равна u(t).
Составить уравнение движения ведра.
10.28. Ось цилиндрического бака (см. рисунок), из которого
жидкость поступает в сегнерово колесо, совпадает с вертикальной
осью вращения колеса. Уровень жидкости в баке меняется по закону
h = h(t). Выходное сечение каждого из сопел Л и 5, расположенных
симметрично относительно оси вращения, равно S, расстояние между
соплами составляет 2/; момент инерции пустого бака равен J, радиус
бака равен R. Найти угловую скорость системы к моменту времени ?,
считая, что находящаяся в баке жидкость вращается как твердое
целое вместе с баком и колесом (это можно обеспечить, например,
за счет перегородок).
К задаче 10.27
К задаче 10.29
10.29. Для создания искусственной гравитации космический ко-
корабль, движущийся по инерции, раскручивается вокруг оси сим-
симметрии реактивными силами. Сопла всех п реактивных двигателей
(см. рисунок) установлены симметрично в плоскости, перпендику-
перпендикулярной оси корабля, на расстоянии R от оси, причем можно считать,
что рабочее тело сосредоточено в точках 1, 2,..., п. Истечение газов
происходит с постоянной относительной скоростью и, скорость цен-
центра корабля направлена по его оси. Определить массу Дга рабочего
тела, необходимую для раскручивания корабля от угловой скорости
а>о ДО угловой скорости coi, если момент инерции корпуса корабля
и оставшегося рабочего тела равен J.
10.30. Физический маятник (см. рисунок) представляет собой
тонкую трубку массы М и длины /, заполненную вытекающей из
нее жидкостью. Масса жидкости в трубке меняется по закону m(t) =
= ph(t), где h(t) — высота столба жидкости. Составить уравнение
90
1. Кинематика и динамика
К задаче 10.30
движения трубки, считая, что частицы вытекшей жидкости движут-
движутся без сопротивления в однородном поле тяжести.
10.31. Используя условия предыдущей зада-
задачи, но считая, что М = 0, посредством предельно-
предельного перехода /г —)> 0, ph(t) —» m(t) получить уравне-
уравнение движения соответствующего математическо-
математического маятника переменной массы.
10.32. Физический маятник (см. рисунок)
представляет собой цилиндрическую поверхность
массы то и радиуса Я, которая подвешена на
нерастяжимых нитях длины R и на которую
из точки подвеса сыплется песок, так что масса
маятника меняется по закону m(t) = mo-\-[i(t).
Написать уравнение движения маятника, считая,
что песок прилипает к поверхности и что толщиной слоя песка можно
пренебречь.
10.33. Показать, что при малых значениях угла ср момент им-
импульса маятника из задачи 10.32 K${t) = m(t)R2q>
описывается тем же уравнением К$ + (g/ R)K$ =
= 0, что и маятник постоянной массы в однород-
однородном поле тяжести.
10.34. Найти малые колебания маятника из
задачи 10.32, считая, что его масса меняется по
линейному закону т = то + yd.
10.35. Исследовать движение маятника из за-
задачи 10.32 в линейном приближении, т. е. считая
углы отклонения ср малыми. Показать, что в этом
случае при любом законе изменения массы т = m(t) (m(t) — мо-
монотонно возрастающая функция) |ср(?)| и |ф(?)| будут малыми, если
они были малы в начальный момент.
К задаче 10.32
§ 11. Динамика твердого тела
11.1. Показать, что моменты инерции твердого тела относитель-
относительно любых двух параллельных осей и и щ связаны соотношением
JUi = Ju + 7тг(г• г — 2г • гс), где векторы yq = ОС и г = ОО i лежат
в плоскости Я, проходящей через центр масс тела С, перпендикуляр-
перпендикулярно этим осям, а О и О\ — точки пересечения плоскости П с осями и
и и\ соответственно.
11.2. Показать, что в любом твердом теле можно найти такие
пары параллельных осей и и г?, ни одна из которых не проходит
через центр масс, что моменты инерции относительно этих осей будут
§11. Динамика твердого тела 91
связаны равенством Штейнера Jv = Ju + md2, где т — масса тела,
a d — расстояние между осями.
11.3. Система Cx\x<ix% представляет собой систему главных
центральных осей инерции твердого тела массы т. Моменты инерции
относительно этих осей равны Ji, J<i и J% соответственно. Найти
выражения для осевых и центробежных моментов инерции тела в си-
системе O^i^2^35 начало которой находится в точке О с координатами
а1: а2: аз-> а оси параллельны главным центральным осям.
11.4. Главные центральные моменты инерции тела в некоторой
системе единиц равны 3, 4, 5, а масса тела равна 2. В системе С^г^з?
совпадающей с главными центральными осями инерции тела, точка Л
имеет координаты A, 2, 0). Найти тензор инерции тела для точки Л
в системе координат, оси которой параллельны осям системы C^i^2^3-
11.5. Доказать, что для любой плоской фигуры в системе Oxyz,
оси которой Ох и О у лежат в плоскости фигуры, тензор инерции
имеет вид
J XX
Jyx
0
Jxy
Jyy
0
0
0
*Jxx "т" *jyy
Как изменится соотношение между диагональными элементами этого
тензора, если учитывать толщину фигуры?
11.6. Заданы три произвольных положительных числа a, b и с.
Всегда ли можно «подобрать» такое твердое тело, чтобы эти числа
в некоторой системе единиц совпадали со значениями его главных
моментов инерции?
11.7. Какому условию должны удовлетворять главные централь-
центральные моменты инерции твердого тела, чтобы существовали точки, для
которых эллипсоид инерции представляет собой сферу? Где нахо-
находятся эти точки, если главные центральные моменты инерции тела
равны Л, Б, С?
11.8. Найти компоненты тензора инерции в главных централь-
центральных осях для следующих однородных тел массы М:
1) куба с ребром 2а;
2) прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2а, 26, 2с;
3) тонкой прямоугольной пластинки со сторонами 2а и 26;
4) тонкого диска радиуса R]
5) прямого кругового цилиндра с радиусом основания R и высо-
высотой Я;
6) полого цилиндра с внешним радиусом 7?2 и внутренним ради-
радиусом R\]
7) шара радиуса R]
8) кругового конуса с высотой h и радиусом основания R.
92
1. Кинематика и динамика
11.9. Определить главные центральные моменты инерции для
следующих моделей молекул (систем частиц, расположенных на неиз-
неизменных расстояниях друг от друга):
а) молекулы из трех атомов, расположенных на одной прямой;
б) молекулы из трех атомов, расположеных в вершинах равнобед-
равнобедренного треугольника;
в) молекулы из четырех атомов, расположенных в вершинах тет-
тетраэдра.
Размеры указаны на рисунках. Молекулы состоят из одинаковых
атомов массы т.
т т
К задаче 11.9
11.10. Какие параметры твердого тела следует включать в спра-
справочные таблицы, чтобы полностью описать геометрию масс твердого
тела?
11.11. Найти главные оси инерции в точке А однородного кру-
кругового цилиндра массы т (см. рисунок). Высота цилиндра равна Я,
радиус его основания равен R. Для случая Н = уЗТ?
выписать тензор инерции цилиндра в главных осях
для точки А.
11.12. Тензор инерции твердого тела в точке О
в системе координат Ох\Хчх^ имеет вид
/АО 0 \
О В -D , БфЪ.
\ О -D С
К задаче 11.11
ции
Найти главные оси инерции тела и моменты инер-
инер, В\, С\ относительно этих осей.
11.13. Тензор инерции твердого тела для точки О в системе
координат ОЖ1Ж2Ж3 имеет вид
§11. Динамика твердого тела
93
Показать, что величины: 1) А + В + С; 2) ВС - D2 + АС - Е2 + А В -
- F2; 3) ЛВС - AD2 - BE2 - CF2 - 2DEF будут одинаковыми
в любых ортогональных осях, т. е. являются инвариантами тензора
инерции относительно выбора ортогональных осей.
11.14. Кинетическая энергия твердого тела с неподвижной точ-
1
кой выражается равенством Т — -
, где
(г, Aj = 1, 3) —
компоненты тензора инерции в системе координат жх, Ж2, жз, связан-
связанной с телом, а со^ — проекции угловой скорости на эти оси. Анало-
Аналогично, для других осей х'х, ж^, х'% по той же формуле будем иметь
1 3
J'ik^i^'k- И3 условия независимости энергии Т от выбора
1
Т = -
i,k=l
системы координат получить закон преобразования компонент тен-
тензора инерции при переходе от системы жх, Ж2, #з к %i, х2-> Ж3' если
задана матрица направляющих косинусов {щк)^ k=v осеи системы
х'ъ ж'2, Ж3 относительно жх, Ж2, жз-
11.15. Прямой однородный круговой цилиндр (см. рисунок),
имеющий массу ш, высоту h и радиус основания 7?, вращается с по-
постоянной угловой скоростью со вокруг оси А В, проходящей через его
центр масс С и образующей угол а с осью симметрии. Найти величину
и направление момента импульса цилиндра относительно точки С.
К задаче 11.15
К задаче 11.16
11.16. Однородный диск радиуса R и массы m (см. рисунок),
насаженный на ось с эксцентриситетом ОС = е, вращается с угловой
скоростью со. Ось образует с плоскостью диска угол а. Найти вели-
величину и направление момента импульса диска относительно точки О.
11.17. Прямой однородный круговой цилиндр массы М, ради-
радиуса R и высоты h (см. рисунок) вращается с угловой скоростью
со вокруг оси, направленной по касательной к основанию цилиндра
в точке О. Найти момент импульса цилиндра относительно точки О.
94
1. Кинематика и динамика
11.18. Однородный параллелепипед массы т (см. рисунок) с ре-
ребрами a, b и с вращается с угловой скоростью со относительно своей
диагонали ОВ. Найти момент импульса параллелепипеда относи-
относительно произвольной точки А пространства.
11.19. Тонкий однородный диск массы т катится без скольже-
скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости, образуя с нею угол а.
Центр диска С описывает горизонтальную окружность с постоянной
линейной скоростью v. Точка О пересечения оси симметрии дис-
диска с горизонтальной плоскостью неподвижна. Найти кинетическую
энергию диска.
К задаче 11.17
К задаче 11.18
К задаче 11.20
11.20. Квадратная рама ABCD со стороной а (см. рисунок)
вращается вокруг стороны А В с угловой скоростью coi. Вокруг диа-
диагонали АС рамы вращается с угловой скоростью а>2 однородный
диск радиуса г и массы га, плоскость которого перпендикулярна
диагонали А С, а центр совпадает с серединой этой диагонали. Найти
кинетическую энергию диска при coi = С02 — ю? а также динамические
силы реакции в точках А и В, пренебрегая массой рамы и расстоя-
расстояниями точек А и В от опор.
11.21. Однородный круговой цилиндр массы га, радиуса R и вы-
высоты h (см. рисунок) вращается с угловой скоростью со вокруг оси
А С, проходящей через центр масс О цилиндра и образующей угол
а с его осью. Ось АС совпадает с диагональю прямоугольной ра-
рамы ABCD^ которая вращается вокруг вертикальной оси с угловой
скоростью fi. Найти кинетическую энергию цилиндра, если А В = а,
11.22. Куб массы га, ребро которого равно а, вращается вокруг
одной из своих диагоналей с угловой скоростью со. Вершины куба, со-
соединенные этой диагональю, движутся в пространстве с одинаковой
скоростью и. Найти кинетическую энергию куба.
§11. Динамика твердого тела
95
11.23. Однородная квадратная пластина массы т (см. рису-
рисунок) вращается с угловой скоростью со вокруг диагонали АС прямо-
прямоугольной рамы ABCD. Диагональ рамы АС проходит через центр
D
К задаче 11.21
К задаче 11.23
масс пластины О и лежит в ее плоскости. Рама вращается вокруг непо-
неподвижной оси А В с угловой скоростью fi, А В = Ь. Найти кинетическую
энергию пластины, если ее сторона равна а, АО = ОС', ABAC = а.
11.24. Решить предыдущую задачу для однородной треугольной
пластины со сторонами а.
11.25. Подсчитать кинетическую энергию однородного тонкого
диска массы т и радиуса г (см. рис. к задаче 11.16), насаженного на
горизонтальный вал с эксцентриситетом ОС — е под углом а к оси
вала, если угловая скорость вращения диска вокруг оси вала равна со.
11.26. Однородный куб массы т (см. рисунок) укреплен в пря-
прямоугольной раме ABCD. Ребро куба равно 2а, сторона рамы AD = 6,
угол ВАС = 60°, центр куба совпадает с серединой диагонали А С.
Куб вращается вокруг диагонали рамы АС с угловой скоростью coi,
а рама — вокруг неподвижной оси А В с угловой скоростью СО2- Найти
кинетическую энергию куба.
11.27. Двухосная гироплатформа (см. рисунок) несет на себе два
одинаковых гироскопа, вращающихся с постоянной угловой скоро-
скоростью со. Специальное устройство удерживает ось первого гироскопа
в плоскости платформы, а второго перпендикулярно к ней. Центры
инерции гироскопов С\ и Сч расположены в плоскости платформы
на расстоянии а от ее центра С. Считая гироскопы тонкими однород-
однородными дисками массы т и радиуса г, найти их кинетическую энергию
в случаях, когда 1) платформа вращается с угловой скоростью coi во-
вокруг оси С?, перпендикулярной плоскости платформы; 2) платформа
вращается с угловой скоростью со2 вокруг оси Сг|, параллельной оси
первого гироскопа.
96
1. Кинематика и динамика
11.28. Центрифуга для тренировки космонавтов (см. рисунок)
состоит из кабины, помещенной в раму, противовеса и горизонталь-
горизонтальной штанги, соединяющей раму и противовес. Штанга вращается
D
К задаче 11.26
К задаче 11.27
с угловой скоростью со вокруг вертикальной оси Л В. Цилиндриче-
Цилиндрическая кабина (высота цилиндра Я, радиус основания R) совершает
колебания вокруг вертикальной оси CD по закону ср = cposinfW. Рас-
Расстояние между осями Л В и CD равно L, расстояние / между осью
Л В и центром масс противовеса выбирается из условия отсутствия
динамических реакций. Массы кабины и противовеса равны Mi и М^
соответственно. Определить кинетическую энергию системы, считая
кабину однородным тонкостенным цилиндром с одинаковой поверх-
поверхностной плотностью оснований и боковой поверхности. Весом штанги
и рамы пренебречь.
К задаче 11.28
К задаче 11.29
11.29. Двигатель ветряной мельницы (см. рисунок) снабжен при-
приспособлением, автоматически устанавливающим его горизонтальную
ось А В по направлению ветра. Определить кинетическую энергию
§11. Динамика твердого тела 97
лопастей двигателя, если известна зависимость от времени угла пово-
поворота лопастей вокруг оси ЛВ: а = a(t) и угла поворота оси Л В вокруг
вертикали АС: Р = Р(?). Лопасти считать однородными прямоуголь-
прямоугольными пластинами массы га; расстояние внутреннего края лопасти от
точки В равно h\ угол атаки лопастей принять равным нулю.
11.30. Однородный цилиндр (см. рисунок), имеющий массу га,
высоту h и радиус основания 7?, вращается вокруг неподвижной
точки О, лежащей на оси цилиндра на расстоянии R от его центра
масс С. Скорость точки С равна г>, мгновенная ось вращения цилин-
цилиндра О и образует угол а с осью ОС. Найти момент импульса цилиндра
относительно неподвижной точки и его кинетическую энергию.
11.31. При некотором движении твердого тела с неподвижной
точкой О в каждый момент времени главный момент внешних сил
Mq относительно неподвижной точки, ортого-
ортогонален вектору мгновенной угловой скорости со.
Показать, что при таком движении кинетиче-
кинетическая энергия твердого тела сохраняется, а век-
вектор момента импульса Кq во все время движе-
движения ортогонален вектору мгновенного углового
ускорения е.
11.32. Показать, что при движении твер-
твердого тела с неподвижной точкой О кинетиче-
кинетическая энергия сохраняется в том и только в том и л л Qn
Ja Зс1Дс1Ч6 XX. oU
случае, когда вектор момента импульса К о-,
и вектор углового ускорения е ортогональны во все время движения.
11.33. Точка М твердого тела, совершающего движение в про-
пространстве, внезапно закрепляется. В момент закрепления угловая
скорость тела равна со, а скорость точки М равна у м- Считая извест-
известными геометрию масс тела и положение его центра масс С, найти
вектор угловой скорости fl тела сразу после закрепления.
11.34. Центр масс твердого тела, совершающего движение в про-
пространстве, внезапно закрепляется. Показать, что вектор угловой ско-
скорости тела сразу после закрепления совпадает с вектором угловой
скорости в момент закрепления.
11.35. Твердое тело с неподвижной точкой движется так, что
вектор момента импульса относительно неподвижной точки меняется
только по модулю, сохраняя неизменным свое направление в про-
пространстве. Показать, что для такого движения твердого тела имеет
место геометрическая интерпретация Пуансо: существует такая непо-
неподвижная плоскость, по которой эллипсоид инерции тела катится без
проскальзывания.
11.36. Твердое тело с неподвижной точкой в некотором силовом
поле движется так, что для этого движения имеет место геометри-
4 Е. С. Пятницкий и др.
98
1. Кинематика и динамика
ческая интерпретация Пуансо: эллипсоид инерции тела катится по
неподвижной плоскости без проскальзывания. Как связаны между
собой момент импульса Ko(t) тела и момент внешних сил Mq(?)
относительно неподвижной точки О при таком движении?
11.37. Убедиться в том, что углы поворота рамок и тела в тех-
техническом устройстве, изображенном на рисунке (карданов подвес),
соответствуют эйлеровым углам.
11.38. Твердое тело массовой плотно-
плотности р(ж, ?/, z) вращается вокруг неподвиж-
неподвижной точки в ньютоновском поле сил (Ш =
Gdmv t
= ~ (G — гравитационная постоян-
г г
ная). Радиус-вектор R, проведенный из цен-
центра тяготения в неподвижную точку тела,
имеет компоненты Rx = —Ryi, Ry = —
R R (O
y
Rz = —Rjs (Oxyz — главные оси тензора
инерции для неподвижной точки О; yi, у2,
уз — направляющие косинусы). Составить
уравнения движения тела.
К задаче 11.37 11.39. Платформа движется поступа-
поступательно с постоянным ускорением w. Соста-
Составить уравнения относительного движения асимметричного волчка
массы т, точка опоры О которого неподвижна относительно плат-
платформы.
11.40. Непосредственным вычислением убедиться в том, что
при движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки
в случае С. В. Ковалевской (Л = В = 2С, г\с — Сс — 0) имеет место
1-й интеграл уравнений движения
Р2-я2-
С
Y + 2р</-
С
где у, у', у" — направляющие косинусы вертикали в системе главных
осей твердого тела.
11.41. Составить динамические уравнения Эйлера для твердого
тела с неподвижной точкой О в переменных К\, K<i, К%, где К\, K<i,
К% — компоненты вектора момента импульса на некоторую систему
ортогональных осей O^i, 0^2, О^з, связанных с телом. Рассмотреть
также случай, когда оси О^ (i = 1, 3) являются главными.
11.42. Спутник, главные центральные моменты инерции которо-
которого А — В > G, совершает регулярную прецессию в поступательно
движущейся системе отсчета с началом в центре масс О спутни-
спутника. Реактивный двигатель, который создает постоянный момент М
относительно главной оси инерции О^, лежащей в экваториальной
§11. Динамика твердого тела 99
плоскости, включается в некоторый момент времени и через время Т
выключается. Пренебрегая изменением массы спутника, найти то
время работы двигателя Т, по истечении которого экваториаль-
экваториальная компонента угловой скорости соэ = (р2 + д2I/2, будет иметь
минимальное значение, если проекции вектора угловой скорости на
оси О^п^ в момент включения двигателя равны ро> Яо-> го соответ-
соответственно. Найти также значение соэ в момент t — T.
11.43. Показать, что в условиях предыдущей задачи последо-
последовательным включением и выключением двигателя можно обратить
в нуль экваториальную компоненту угловой скорости.
11.44. Симметричный гироскоп (А = В ф С) массы m вращается
вокруг неподвижной точки О. Центр масс гироскопа лежит на оси
симметрии на расстоянии / от неподвижной точки. В начальный
момент гироскопу была сообщена абсолютная угловая скорость со
вокруг оси, образующей угол а с осью симметрии гироскопа. Опреде-
Определить момент импульса гироскопа относительно точки О в зависимо-
зависимости от угла Р между осью симметрии гироскопа и вертикалью, если
в начальный момент Р = Po-
Poll.45. Твердое тело с неподвижной точкой движется под дей-
действием момента Mq = а х со, где а — постоянный вектор в системе
отсчета, связанной с телом. Найти два первых интеграла динамиче-
динамических уравнений Эйлера.
11.46. К твердому телу с неподвижной точкой приложен момент,
проекции которого на главные оси инерции тела равны соответ-
соответственно М^ = Apf(t), Мц = Bqf(t), M^ = Crf(t), где А, В и С -
главные моменты инерции тела, а р, q и г — компоненты вектора
угловой скорости на главные оси. Проинтегрировать (в квадратурах)
динамические уравнения Эйлера.
11.47. При движении твердого тела с неподвижной точкой О
его вектор момента импульса меняется в соответствии с равенством
Ко(?) = /№е? гДе е ~~ единичный вектор, неподвижный в простран-
пространстве. Найти закон изменения во времени проекций р, g, r угловой
скорости тела на его главные оси инерции.
11.48. Твердое тело с неподвижной точкой начинает движение
из состояния покоя под действием постоянного по модулю и направ-
направлению момента сил Mq . Найти закон изменения во времени угловой
скорости тела, если его главные моменты инерции равны Л, В и С.
11.49. Проводящее неоднородное сферическое твердое тело с мо-
моментами инерции А — В ф С раскручивается симметричным вра-
вращающимся электромагнитным полем вокруг центра инерции, совпа-
совпадающего с центром сферы. На начальной стадии движения, когда
угловая скорость тела мала, можно считать, что на него действует
4*
100 1. Кинематика и динамика
постоянный по направлению момент сил M.q (t) (по модулю и направ-
направлению такой же, как в случае неподвижного тела). Найти решение
динамических уравнений Эйлера на начальном этапе разгона тела.
11.50. К симметричному (А = В ф С) твердому телу с неподвиж-
неподвижной точкой О прикладывается постоянный по модулю и направлению
момент внешних сил Mq . Найти зависимость угловой скорости тела
от времени, если в начальный момент она была равна нулю.
11.51. Симметричный гироскоп вращается в воздушной сре-
среде. Учет сил сопротивления в соответствии с моделью Клейна-
Зоммерфельда приводит к уравнениям Ар = — (С — A)rq — АХ2р,
Aq = (С — A)rp — AX2q, Cr = —С\х2г. Найти зависимость р, q и г
от времени.
11.52. Используя условия предыдущей задачи, найти закон изме-
изменения во времени угла у между осью симметрии гироскопа и вектором
его мгновенной угловой скорости.
11.53. Симметричное тело (А = В ф С) совершает движение
с неподвижной точкой О. Найти зависимость угловой скорости тела
от времени, если на него действует момент внешних сил Мо(?), все
время направленный по оси динамической симметрии.
11.54. Осесимметричный космический аппарат (А = В ф С) вра-
вращается относительно продольной оси с угловой скоростью со (см. рису-
рисунок). Метеорит, летящий со скоростью г>, попадает под прямым углом
в точку D оси симметрии аппарата и застревает в ней. Расстояние
от точки D до центра инерции Р равно d. Описать дальнейшее
движение системы, считая, что масса метеорита т пренебрежимо
мала по сравнению с массой аппарата.
11.55. Однородный тонкий стержень длины / и массы га, центр
масс С которого закреплен, закручивается с угловой скоростью соо
вокруг оси, образующей угол а со стерж-
стержнем. Найти движение стержня.
11.56. Тонкая пластина движется
в пространстве. В некоторый момент
времени вектор момента импульса К
пластины относительно центра масс об-
образует с плоскостью пластины угол а.
Найти угловую скорость со и угол Р, кото-
который вектор со образует с плоскостью пла-
пластины, если главные центральные мо-
задаче . менты инерции относительно осей, ле-
лежащих в плоскости пластины, равны между собой, J\ — J<i — J.
11.57. Симметричное твердое тело (А = В ф С) с неподвижной
точкой движется по инерции. Найти угловую скорость собственно-
§11. Динамика твердого тела
101
го вращения ф тела, если в начальный момент ему была сообщена
угловая скорость, проекция которой на ось симметрии равна го-
11.58. Булава, главные центральные моменты инерции которой
равны А = В ф С', подброшена над землей. Найти параметры ре-
регулярной прецессии в поступательно движущейся системе отсчета
с началом в центре масс, если в начальный момент булаве была сооб-
сообщена угловая скорость, проекции которой на главные центральные
оси равны ро? %1 го-
11.59. Симметричный гироскоп (А = В ф С) вращается по
инерции вокруг своего центра масс. Найти параметры регулярной
прецессии, если в начальный момент гироско-
гироскопу была сообщена угловая скорость щ, проек-
проекция которой на ось симметрии равна го-
11.60. В момент метания гранаты ее ось
материальной симметрии А В (см. рисунок)
составляет угол а с горизонтом. Скорость точ-
O\ZL 1^ ^ ки А равна нулю, а скорость vq точки В ле-
лежит в вертикальной плоскости yOz, совпа-
совпадающей с вертикальной плоскостью матери-
материальной симметрии гранаты. Длина гранаты
К задаче 11.60
Л В = /г, расстояние между точкой А и центром масс гранаты равно /.
Найти движение гранаты, пренебрегая сопротивлением воздуха.
11.61. Однородному круговому цилиндру (высота /г, радиус
основания г), центр масс которого закреплен, сообщается вращение
с угловой скоростью а>о вокруг оси, образующей угол а с плоскостью
основания цилиндра. Определить движение цилиндра.
11.62. Однородный параллелепипед высоты /i, основанием ко-
которого является квадрат со стороной а, может двигаться так, что
его центр масс остается неподвижным. В начальный момент па-
параллелепипеду сообщается угловая скорость щ, образующая угол а
с его основанием. Найти движение парал-
параллелепипеда; в частности, рассмотреть слу-
случай а = 0.
11.63. В момент метания диска ради-
радиуса г плоскость диска горизонтальна и три
его точки Л, В и D (см. рисунок) име-
имеют скорости va = 0, vb = ^(b VD = л/2^о?
причем вектор v#, лежит в плоскости дис-
диска. Найти движение диска, пренебрегая со-
сопротивлением воздуха.
11.64. Показать, что параметры свободной регулярной прецессии
симметричного твердого тела (А = В ф С) с неподвижной точкой
связаны соотношением Сф = (А — C)\j/cos6, где ф — угловая скорость
К задаче 11.63
102 1. Кинематика и динамика
собственного вращения, \jf — угловая скорость прецессии, а 6 — угол
нутации.
11.65. Пренебрегая взаимодействием Земли с Солнцем и Луной
и считая Землю твердым сплюснутым сфероидом с эллиптичностью
(мерой сплюснутости) а = (С — Л)/Л « 1/300, оценить параметры ее
прецессии.
11.66. Показать, что осью регулярной прецессии тяжелого твер-
твердого тела с одной неподвижной точкой в случае Лагранжа может
быть только вертикаль.
11.67. При движении тяжелого твердого тела с неподвижной
точкой О в случае Лагранжа (Л = В ф С, центр масс Р лежит на
оси динамической симметрии, ОР = 1)в начальный момент проекция
угловой скорости на ось динамической симметрии и проекция момен-
момента импульса на вертикаль равны нулю. Показать, что угол нутации
определяется из уравнения 6 — (mgl/A) sin6 = 0.
11.68. При движении твердого тела массы га с неподвижной
точкой О в случае Лагранжа (Л = В ф С, центр масс Р лежит на
оси динамической симметрии, ОР = I) начальные данные \|/@) =
= \|/0, \j/@) = ?о, ф@) = фо, Ф@) = фо, 6@) = Эо, 0@) = 0 связаны
соотношением Суофо + (С — j4)\j/qCos0 = mgl. Показать, что в этом
случае тело будет совершать регулярную прецессию.
11.69. Центр однородного диска радиуса R и массы га жестко
соединен с тонким невесомым стержнем длины / = R/ 2. Другой
конец О стержня, образующего прямой угол с плоскостью диска,
закреплен сферическим шарниром. Определить движение диска в од-
однородном поле тяжести при следующих начальных условиях: щ = 0,
Фо = 0, 90 = я/4, щ = A/3) ^/Д Фо = 37#7Д <Эо = 0.
11.70. Велосипедное колесо радиуса R и массы га, равномерно
распределенной по его ободу, жестко насажено в центре на тонкий
невесомый стержень длины I = R, другой конец которого сферически
закреплен. Стержень образует прямой угол с плоскостью колеса.
Найти движение колеса при следующих начальных условиях: щ =
= о, фо = о, е0 = тг/з, щ = 2^7Д фо = y/g/R, e0 = о.
11.71. Один конец тонкого невесомого стержня длины / закреп-
закреплен сферическим шарниром, на второй конец насажена однородная
квадратная пластина со стороной а = 21 и массой га. Стержень
перпендикулярен плоскости пластины и проходит через ее центр.
Определить движение пластины в однородном поле тяжести, если
щ = 0, фо = 0, е0 = я/3, щ = v/2g/Co), фо = 5^2g/Ca), 60 = 0.
11.72. Найти (в квадратурах) закон движения однородного тон-
тонкого стержня длины / и веса Р, один конец которого закреплен
посредством сферического шарнира.
§11. Динамика твердого тела 103
11.73. Чему равна работа момента сил, поддерживающего регу-
регулярную прецессию симметричного твердого тела (А = В ф С)?
11.74. Волчок, который представляет собой диск радиуса г,
насаженный в центре под прямым углом на невесомый стержень
длины /, совершает регулярную прецессию вокруг вертикали с углом
нутации 6 и угловой скоростью прецессии СО2- Найти угловую скорость
собственного вращения волчка сох.
11.75. Симметричное твердое тело (А = В ф С) с неподвиж-
неподвижной точкой О совершает регулярную прецессию. Показать, что век-
вектор момента импульса Kq определяется выражением Kq = [С +
+ {С — A) cos6 0J/coi] coi + А@2, где coi и ©2 — векторы угловых скоро-
скоростей собственного вращения и прецессии соответственно, а 6 — угол
между ними. Используя это соотношение, получить выражение для
Ко в случае движения симметричного твердого тела по инерции.
11.76. Получить выражение для момента М внешних сил, под-
поддерживающих регулярную прецессию симметричного твердого тела
{А = В ф С) с неподвижной точкой, используя выражение для век-
вектора момента импульса, найденное в предыдущей задаче.
11.77. Симметричный гироскоп (А = В = 2G) совершает регу-
регулярную прецессию, так что углы раствора неподвижного и подвижно-
подвижного аксоидов равны 2а. Найти зависимость между мгновенной угловой
скоростью со гироскопа и приложенным к нему моментом сил.
11.78. Однородный круговой конус, вершина О которого закреп-
закреплена, может катиться без проскальзывания по горизонтальной плос-
плоскости. В начальный момент центру основания конуса М сообщается
горизонтальная скорость vq. Найти движение конуса.
11.79. В качестве датчика угловой скорости рыскания самоле-
самолета используется гироскоп, ротор которого (см. рисунок) вращается
с постоянной угловой скоростью
П вокруг оси 00', закрепленной
в прямоугольной рамке ABCD.
Рамка, связанная с корпусом само-
самолета пружиной жесткости &, в свою
очередь может поворачиваться во-
вокруг оси SS\ неподвижной отно-
относительно корпуса самолета и сов-
совпадающей с его продольной осью.
В режиме прямолинейного поле-
полета рамка горизонтальна и пружи- т.
, гл К задаче 11.79
на недеформирована. Самолет по-
поворачивается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоро-
скоростью со (со ^С П) так, что угол между плоскостью рамки и горизонталь-
горизонтальной плоскостью равен а. Моменты инерции гироскопа относительно
104
1. Кинематика и динамика
осей О О1 и SSr равны С и А соответственно, момент инерции рамки
пренебрежимо мал, сторона ЛВ равна 21. Найти угловую скорость со,
считая угол а малым.
11.80. Твердое тело массы га, обладающее динамической сим-
симметрией (А = В фС\ совершает регулярную прецессию в поле тяже-
тяжести. Центр масс тела лежит на оси симметрии на расстоянии / от непо-
неподвижной точки. Найти все значения угловой скорости прецессии СО2,
при которых тело совершает прецессионное движение с заданным
углом нутации 6 F ф 0, к/2) и с заданной угловой скоростью соб-
собственного вращения coi. В частности, найти приближенные значения
С02 при условии, что со^ ^ mgl/C.
11.81. Гироскоп (см. рисунок) с двумя степенями свободы (А =
= В фС', С ft = Н) установлен на основании, вращающемся с угловой
скоростью со вокруг оси, перпендикулярной оси кожуха гироскопа.
Масляный демпфер создает момент сопротивления — &бс, пропорцио-
пропорциональный угловой скорости кожуха. Показать, что на малых интер-
интервалах времени при малых скоростях со и большом коэффициенте
К задаче 11.81
К задаче 11.82
демпфирования к угол поворота кожуха гироскопа пропорционален
углу поворота основания. (Интегрирующий гироскоп.)
11.82. Для стабилизации по углу различных объектов приме-
применяют сервогироскопы, прикладывающие к объекту момент, который
компенсирует внешнее возмущающее воздействие. Схема привода
сервогироскопа представлена на рисунке. Найти такие угловые ско-
скорости Пир сервогироскопа (А = В фС\ при которых возмущающий
момент М — Mq cosco?, приложенный к внешней раме и направленный
по оси 1-1, компенсируется.
§11. Динамика твердого тела
105
11.83. Центру основания однородного кругового конуса с мас-
массой га, высотой h и углом при вершине 2а, вершина О которо-
которого закреплена и который может катиться без проскальзывания по
неподвижной горизонтальной плоскости, сообща-
сообщается горизонтальная скорость v. Найти равно-
равнодействующую (значение, направление и точку
приложения) сил реакции плоскости и реакции
в неподвижной точке, возникающих во время
движения конуса.
11.84. Тонкий однородный диск радиуса г
и массы га, центр О которого неподвижен, об-
обкатывает без проскальзывания неподвижный ко-
конус с углом 2а при вершине О; ось конуса ОМ
вертикальна. Найти модуль, направление и точку
приложения равнодействующей сил реакции ко-
конуса и реакции в неподвижной точке О во время
движения диска, если в начальный момент ему
сообщена угловая скорость соо-
11.85. Симметричное твердое тело (Л = В =
= ЗС) движется по инерции. В начальный момент времени проекции
угловой скорости на связанные с телом оси равны ро? #0 — 0, tq = Зро-
Найти закон движения тела в параметрах Родрига-Гамильтона.
11.86. В коническом зацеплении подвижная шестерня (см. ри-
рисунок), радиус г, масса га и моменты инерции А — В ф С которой
заданы, обкатывает неподвижную шестерню радиуса R так, что уг-
угловая скорость оси подвижной шестерни равна со. Найти динамиче-
динамические силы реакции Nx, Ny, Nz в точке контакта шестерен и силу
натяжения FH, оси подвижной шестерни.
К задаче 11.84
К задаче 11.86
К задаче 11.87
11.87. При большой угловой скорости со ведущего вала бегун
маятниковой мельницы (см. рисунок) прижимается изнутри к стенке
106
1. Кинематика и динамика
цилиндрической чаши радиуса R и катится по ней без проскальзы-
проскальзывания. Сечение бегуна, содержащее его центр масс, имеет радиус г.
Вес бегуна G, его моменты инерции А = В, С относительно осей,
проходящих через неподвижную точку, и угол 5 между основанием
и образующей заданы. Найти силу реакции N чаши.
11.88. Бегун дробильной мельницы (см. рисунок), представляю-
представляющий собой усеченный конус массы т с углом 6 между основанием
и образующей, равномерно катится без проскальзывания по дну ча-
чаши. Геометрические места точек контакта бегуна и чаши считать
окружностями радиусов г и R соответственно, центр инерции бегуна
находится в плоскости окружности радиуса г. Угловая скорость со
штанги бегуна и моменты инерции бегуна А — В фС заданы. Найти
нормальную реакцию и натяжение S штанги.
К задаче 11.8
К задаче 11.89
11.89. Периметрический гироскоп (см. рисунок) представляет
собой симметричный ротор (А = В фС\ снабженный стержневидной
шейкой радиуса г вдоль оси симметрии. Гироскоп вращается вокруг
центра масс так, что шейка катится без проскальзывания по ребру
лекала (кривая на поверхности сферы радиуса 72, центр которой
совпадает с неподвижной точкой гироскопа). Найти давление, ока-
оказываемое шейкой на лекало, если трение отсутствует и 1) направ-
направляющая является дугой большого круга, 2) направляющая является
окружностью радиуса р.
11.90. Для твердого тела массы т известны направления глав-
главных центральных осей системы xr, yf, zr и главные центральные
моменты инерции Л, В, С. Построить главные оси инерции тела для
точки О с координатами х'о = a, yf0 = b, zf0 = 0.
11.91. Оси О^л^ являются главными осями инерции для точки О
твердого тела. Моменты инерции относительно этих осей равны J^,
§11. Динамика твердого тела
107
Jq, J^. Найти центробежные моменты инерции для системы осей
Oxyz, если оси ОхиОу образуют угол а с осями ^ и л соответственно.
11.92. Материальные точки Л, В и С массы т каждая (см. ри-
рисунок) находятся в вершинах невесомого равнобедренного треуголь-
треугольника с длиной катета, равной а. Найти тензор инерции системы
для точки В в указанных на рисунке осях.
Найти главные оси для точки В. Показать,
что эллипсоид инерции для точки А является
эллипсоидом вращения.
11.93. Однородный шар рассекают плос-
плоскостью, проходящей через его центр С. По-
Показать, что эллипсоид инерции пол у шара для
точки С будет сферой радиуса г = л/2Л,
где R — радиус эллипсоида инерции шара.
11.94. Однородный куб рассекается на
две части плоскостью, проходящей через
центр куба С. Показать, что эллипсоид инер-
инерции каждой из этих частей куба в точке С является сферой радиуса
г = y2R, где R — радиус эллипсоида инерции куба.
11.95. Составить алгебраическое уравнение 3-й степени, кор-
корнями которого являются главные моменты инерции твердого тела
в точке О, если известны величины а\ — А + В + С, а^ — D2 + Е2 +
+ F2 - ЛВ - ВС - AC, as = ABC - CF2 - BE2 - AD2 - 2DEF,
представляющие собой инварианты тензора момента инерции отно-
относительно выбора ортогональных осей в точке О.
11.96. Показать, что моменты инерции твердого тела относи-
относительно наибольшей J\ и наименьшей J% осей выражаются ра-
равенствами J\ — min ^JikUiUk, Js = max ^Jik^i^k^ гДе J%k —
E? ??
К задаче 11.92
компоненты тензора инерции в некоторой системе ортогональных
осей.
11.97. Показать, что момент инерции J<i твердого тела относи-
относительно средней оси эллипсоида инерции определяется из решения
следующей минимаксной задачи: J<i — min max \" Jikaiak-> гДе
E?i
Jik — компоненты тензора инерции в некоторой системе ортогональ-
ортогональных осей.
11.98. В условиях предыдущей задачи показать, что
J<i = max min
ЕРИ ?„2=1
ikaiak-
108 1. Кинематика и динамика
11.99. Момент инерции твердого тела относительно оси Ох удо-
удовлетворяет неравенству Jox^ J\ гДе J ~ момент инерции тела отно-
относительно произвольной оси, проходящей через точку О. Показать, что
ось Ох является главной осью инерции тела для точки О. Сохраняет
ли силу это утверждение, если Jqx ^ J7
11.100. Однородный круговой конус массы т, с высотой h и уг-
углом при вершине 60° катится без проскальзывания по неподвижному
конусу с углом при вершине 120°. Найти модуль вектора кинетиче-
кинетического момента Ко и угол Р, который образует этот вектор с вектором
угловой скорости. Подсчитать кинетическую энергию конуса, если
центр его основания движется с постоянной по модулю скоростью v.
11.101. При движении твердого тела с неподвижной точкой
в некоторый момент времени известен вектор кинетического момента
тела Kq. Найти кинетическую энергию тела, если проекции векто-
вектора Ко на главные оси инерции для неподвижной точки равны К\,
к2, къ.
11.102. Известно, что вектор угловой скорости со(?) симметрич-
симметричного твердого тела (Л = В ф С) с неподвижной точкой образует угол
a(t) с экваториальной плоскостью эллипсоида инерции, построенного
в неподвижной точке. Найти разложение вектора со на направление
оси симметрии тела и направление вектора кинетического момен-
момента Ко-
11.103. При движении твердого тела с неподвижной точкой О
вектор кинетического момента Ко, вектор мгновенной угловой ско-
скорости со и орт е одной из главных осей эллипсоида инерции, постро-
построенного для точки О, в некоторый момент времени лежат в одной
плоскости, причем вектор со в этот момент не коллинеарен ни одной из
главных осей. Показать, что при любом движении тела векторы Ко,
со и е будут лежать в одной плоскости в любой момент времени.
11.104. Твердое тело с неподвижной точкой О обладает динами-
динамической симметрией (Л = В). Показать, что смешанное произведение
вектора угловой скорости со, вектора кинетического момента Ко и ор-
орта е (оси динамической симметрии) равно нулю при любом движении
твердого тела.
11.105. Твердое тело с неподвижной точкой движется по инер-
инерции. В начальный момент времени вектор кинетического момента Kq,
мгновенная угловая скорость со и орт е одной из главных осей эллип-
эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки, лежат в одной
плоскости. Каким будет дальнейшее движение тела?
11.106. Однородный эллипсоид с моментами инерции А, C/2) Л,
2Л движется вокруг своего неподвижно закрепленного центра масс.
В начальный момент эллипсоиду сообщена угловая скорость fl =
§11. Динамика твердого тела
109
= л/2оА-\-о)к (i, j, к — единичные орты главных центральных осей
инерции). Получить уравнения движения эллипсоида в квадратурах.
11.107. Твердое тело (А ф О, В ф О, С ф 0) с неподвижной точ-
точкой движется по инерции. Как должны быть связаны между собой
главные моменты инерции А, В и С тела, чтобы составляющая
его угловой скорости ур2 + q2 оставалась постоянной для любого
движения?
11.108. Твердое тело с неподвижной точкой, у которого А — В ф
Ф С, движется по инерции. Проекции угловой скорости тела на глав-
главные оси инерции для неподвижной точки в начальный момент равны
Ро> % и го- Найти угол нутации 6 и угловые скорости прецессии \\f
и собственного вращения ф.
11.109. Симметричное твердое тело (А = В ф С), имеющее непо-
неподвижную точку, движется по инерции. В начальный момент телу бы-
была сообщена угловая скорость со, образующая угол а с экваториаль-
экваториальной плоскостью эллипсоида инерции, построенного в неподвижной
точке. Найти параметры регулярной прецессии движения тела.
11.110. Твердое тело с моментами инерции А> В, С = А +
+ В движется по инерции вокруг неподвижной точки. Найти мак-
максимальное и минимальное значения угла нутации (между вектором
кинетического момента и наименьшей осью эллипсоида инерции),
если в начальный момент р = ро, q = qo, т = г$.
11.111. Твердое тело с неподвижной точкой (А > В > С) дви-
движется по инерции. Найти все движения тела, которые происходят
с постоянной по модулю угловой скоростью.
11.112. Ось А В велосипедного колеса (см. рисунок) укреплена
в раме так, что плоскость колеса перпенди-
перпендикулярна плоскости рамы. К раме прикла-
прикладывается некоторый момент М(?) относи-
относительно оси CD и находится закон враще-
вращения рамы. Можно ли по этой информации
без каких-либо дополнительных измере-
измерений узнать, вращается колесо вокруг оси
А В или нет?
11.113. Велосипедное колесо (см. рис.
к задаче 11.112) массы т и радиуса г,
установленное в раме, вращается с посто-
постоянной угловой скоростью соо вокруг своей
оси АВ. Рама вращается с постоянной уг-
угловой скоростью coi вокруг оси CD¦, пер-
К задаче 11.112
пендикулярной оси АВ. Определить динамические силы реакции
в подшипниках С и Z), если расстояние CD — I. Массу колеса считать
равномерно распределенной по ободу.
110
1. Кинематика и динамика
11.114. Тонкая пластина массы га (см. рисунок), точка О ко-
которой шарнирно закреплена, вращается с постоянной угловой скоро-
скоростью со вокруг вертикальной оси Ож, лежащей в плоскости пластины.
Ось ОМ, проходящая через центр масс М пластины, образует с Ох
угол а. Найти угол у, на который повернуты главные центральные
оси по отношению к осям Оху, если главные центральные моменты
инерции пластины равны Л, В и С, а ОМ — а.
К задаче 11.114
К задаче 11.115
11.115. Тонкая пластина массы га (см. рисунок) вращается с по-
постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси Oz, лежащей
в плоскости пластины. Центр масс пластины М находится на рассто-
расстоянии а от оси вращения, главная центральная ось М^м образует
с осью Oz угол а. Найти статические и динамические силы реакции
в подшипнике D и подпятнике Е, если главные центральные моменты
инерции пластины равны J4m = В, J^m = С, ЕО = 6, OD = с.
11.116. Однородный цилиндр (см. рисунок) насажен на верти-
вертикальную ось Л В, проходящую через центр масс О цилиндра и об-
образующую угол а с осью О^ цилиндра. Под действием момента сил
цилиндр вращается вокруг оси Л В с постоянным угловым ускорени-
ускорением 8. Определить компоненты динамических сил реакций в точках Л
и Б, если масса цилиндра равна га, радиус основания Я, высота /г,
/
11.117. Тонкий однородный диск веса Р и радиуса R (см. рису-
рисунок) насажен жестко на невесомый стержень длины / = д/3 Д/2, один
конец которого шарнирно закреплен. В начальный момент диску
сообщают собственное вращение с угловой скоростью фо = 4^/g/7?
и отпускают ось без толчка. Найти минимальное и максимальное
значения угла нутации 6 при движении диска, если в начальный
момент 6о = 30°, 6о = 0, щ = 0. Найти также зависимость угловой
скорости прецессии \j/ и угловой скорости собственного вращения ф
от угла нутации 6.
§11. Динамика твердого тела
111
11.118. Симметричный волчок (Л = В ф С) массы т (см. ри-
рисунок) в начальный момент получил угловую скорость собственного
К задаче 11.117
К задаче 11.118
вращения со, его ось симметрии в этот момент образовывала с верти-
вертикалью угол 6о- Какой должна быть начальная угловая скорость пре-
прецессии \j/o, чтобы движение волчка являлось регулярной прецессией,
если расстояние центра масс М от неподвижной точки опоры равно Z?
Определить при регулярной прецессии реакцию опоры. Показать, что
при со ^> \j/ угловая скорость прецессии не зависит от угла нутации.
11.119. При движении симметричного твердого тела с непо-
неподвижной точкой в поле тяжести (случай Лагранжа) угол 6 между
вертикалью и осью динамической симметрии сохраняет во время
движения постоянное значение. Какое движение тела реализуется
при этих условиях?
К задаче 11.120
11.120. Рамка уравновешенного гироскопа укреплена на непо-
неподвижном основании с помощью подшипников D и Е (см. рисунок).
Рамка поворачивается вокруг оси DE с угловой скоростью со. Ротор
гироскопа совершает п оборотов в секунду вокруг оси О^, рассто-
расстояние DE = I. Момент инерции ротора относительно оси симметрии
112 1. Кинематика и динамика
равен С. Определить силу реакции на подшипники D и Е рамки, обу-
обусловленную гироскопическим моментом. Массой рамки пренебречь.
11.121. Тяжелый симметричный гироскоп (см. рис. к задаче
11.118) совершает регулярную прецессию с параметрами \j/, ф, 6. Пе-
Перейдя в неинерциальную систему координат, вращающуюся с угловой
скоростью прецессии \j/, найти момент переносных и кориолисовых
сил инерции относительно неподвижной точки.
11.122. В условиях предыдущей задачи показать, что система
переносных сил инерции приводится к равнодействующей, а систе-
система кориолисовых сил инерции приводится к паре. Найти точку К
приложения равнодействующей переносных сил инерции. Расстояние
от центра масс гироскопа до неподвижной точки равно /, его масса
равна т.
11.123. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки.
В неинерциальной системе отсчета, жестко связанной с телом, найти
главный момент сил инерции относительно этой точки.
11.124. Получить закон вращения твердого тела вокруг непо-
неподвижной оси из динамических уравнений Эйлера.
11.125. Показать, что объем эллипсоида инерции твердого тела
для его центра масс больше объема эллипсоида инерции в других
точках тела.
2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
§ 12. Уравнения Лагранжа
12.1. Найти число степеней свободы плоского трехзвенного ме-
механизма ABCD (см. рисунок), у которого точки А и D могут пере-
перемещаться по прямой Ох.
12.2. Найти число степеней свободы плоского многозвенного ме-
механизма, изображенного на рисунке.
в
О ш;шЯ^;шпш;ш/>)Е1^
A D
К задаче 12.1
К задаче 12.2
К задаче 12.3
12.3. Определить число степеней свободы системы, состоящей
из двух волчков, установленных один на другом, как показано на
рисунке. Точка опоры нижнего волчка неподвижна.
12.4. Показать, что если выполнены соотношения
dfi dfk dfk dfi (._
dqk dqn dqi dqn
то линейная дифференциальная связь вида
n-l
является голономной.
12.5. Круговой конус с неподвижной вершиной катится по го-
горизонтальной плоскости без проскальзывания. Выписать уравнения
связей и выяснить, является ли эта система голономной.
12.6. Выяснить, какие из следующих дифференциальных связей
являются интегрируемыми; для интегрируемых связей найти соот-
соответствующее конечное уравнение:
a) xz + {у2 — х2 — z)x + (z — у2 — ху)у = 0;
114 2. Аналитическая механика
б) (xi+X2)/(xi-X2) = {
в) y-zx = O;
г) х(х2 + у2 + ?2) + 2(хх + уу + zz) = 0;
д) Bх + 2/ + я)ж + Bу + 2: + х)у + B* + х + y)i = 0.
12.7. Свободная материальная точка движется под действием
силы F = F(r, f, t) = Fxi+Fy$ + Fzk. Найти выражения для обобщен-
обобщенных сил, если в качестве обобщенных координат выбирается одна из
следующих криволинейных систем координат:
а) цилиндрические координаты г, ср, z: х = rcoscp, у = г sincp, z = z;
б) сферические координаты г, ср, 6: х = rsinGcoscp, у = rsinGsincp,
z = rcos6;
в) параболические координаты и, v, ср: х = дД^созф, у =
= л/ilvsin9, z = (и — v)/2.
12.8. В следующих задачах движение системы определяется ла-
лагранжианом L. Найти уравнения движения системы, если
L = -
(di = const, Ci = const);
6) L = -\aiqi -2^—-г-, (at = const);
LUo
в) L = -(x + ?/ + 2:)mgb; +
z у x j
12.9. Свободная материальная точка массы т движется в потен-
потенциальном силовом поле, причем П = П(ж, ?/, z, t). Декартовы коор-
координаты точки х, у, z связаны с ортогональными криволинейными
координатами gi, q2, q% равенствами
х = x(qu q2, g3), У = у{чъ 92, 9з), ^ = *(дъ 92, 9з).
Найти лагранж:иан точки в координатах д^, используя коэффициенты
Ламе
?-\ + ?4 + ^ (* = 1,2,3).
12.10. Точка массы т движется в силовом поле с потенциалом
П(ж, ?/, z). Найти лагранж:иан точки и составить ее уравнения дви-
движения в следующих системах координат:
а) цилиндрические координаты г, ср, z: х = г coscp, у = г sincp, z = z\
б) сферические координаты г, ср, 6: х = rsin6cos9, у = rsinGsincp,
z = rcos6;
§ 12. Уравнения Лагранжа 115
в) параболические координаты n, v, ф: х = л/uv соБф, ?/ = д/ггг; sin9,
2 = (гх-г;)/2.
12.11. Для плоского движения материальной точки в силовом
поле с потенциалом П(ж, у) найти лагранжиан в координатах q\ и q^
связанных с декартовыми координатами равенствами х = (q\ — #2)/2,
Y1A.1. Найти функцию Лагранжа и составить уравнения движе-
движения двух материальных точек с массами т\ и Ш2, притягивающихся
одна к другой по закону Ньютона. Выписать также интегралы дви-
движения системы.
Указание. За обобщенные координаты принять декартовы коор-
координаты ж, 2/, z центра масс системы, расстояние между точками г
и углы 6 и ф (широты и долготы), которые определяют направление
прямой, соединяющей точки.
12.13. В качестве модели двухатомной молекулы можно взять
систему из двух материальных точек массы mi и Ш2, упруго связан-
связанных между собой. Сила взаимодействия точек равна F = —с(г — го),
где г — расстояние между точками, с = const, a rо соответствует
положению, в котором упругая сила равна нулю. Найти функцию
Лагранжа, составить уравнения движения системы и выписать инте-
интегралы движения.
12.14. Найти движения системы, лагранжиан которой L =
= L(gi, (/2, • • •, Qn) не зависит от обобщенных координат и времени.
п
12.15. Найти движения системы с лагранжианом L = ^2 Fi(qi +
г=1
+ qi), если уравнения yi = фг(^), где фг(^г) = ^/(^г)? имеют решени-
решениями функции Zi =yi(yi) (i = 1, п).
12.16. Найти движения механической системы с лагранжианом
п п
L = - ^2 aik4i4k ~ S сг{^)Чг-> гДе агк = акг ~ ПОСТОЯННЫе ВвЛИЧИНЫ.
г,&=1 i=l
12.17. Найти закон движения точки, определяемый лагранжиа-
лагранжианом L = t^/l + x2.
12.18. Функция Лагранжа релятивистской частицы с массой по-
поУ
коя то в поле тяготения с потенциалом П = — (г = ^х2 + у2 + z2)
в декартовых координатах имеет вид
L = -mocz
где с — скорость света. Найти функцию Лагранжа частицы в сфери-
сферических координатах.
116 2. Аналитическая механика
12.19. Функция Лагранжа свободной релятивистской частицы
с массой покоя то имеет вид
-г v / -* Х\ \ Хп ~г Хо
где с — скорость света. Составить уравнения движения частицы
и найти их решение.
12.20. Найти закон движения точки, определяемый лагранжиа-
г тп , .о ,9ч ос/# . ч pi^2 p2?/2 t
ном L = у(аг + 2Г) + -(ж2/-уж) — (а, pi, р2 —положи-
—положительные константы).
12.21. Кинетическая и потенциальная энергии механической си-
системы являются квадратичными формами с постоянными коэффи-
п ^ п
циентами: Т = - X) сцкЫк, П = - X) cik4i4k- Найти движения
системы, если квадратичная форма Т положительно определена,
а квадратичная форма П отрицательно определена. В начальный
МОМеНТ 9г@) = </г(Ь 9г @) = ^гО-
12.22. Тяжелая точка может двигаться без трения в вертикаль-
вертикальной плоскости xz по кривой z = f(x). Составить уравнение Лагранжа
и найти его первый интеграл.
12.23. Тяжелая точка может двигаться по гладкому эллиптиче-
эллиптическому параболоиду z = ах2 + by2 (а > 0, b > 0, ось Oz направлена
вертикально вверх). Составить уравнения Лагранжа.
12.24. Частица массы m и заряда е движется в электромагнит-
электромагнитном поле. Напряженности Е и Н электрического и магнитного полей
могут быть выражены через скалярный ср(ж, y,z,t) и векторный
A(x,y,z,t) потенциалы при помощи соотношений Е = — gradcp —
1 дА
—, Н = rot А, где с — скорость света. Показать, что уравнения
с ot
движения частицы mv = e[E + c~1(v x H)] представляют собой урав-
уравнения Лагранжа, где в качестве лагранжиана взята функция L =
= mv2/2 — еф+(А, v)e/c.
12.25. Две точечные массы mi и Ш2, связанные пружиной жест-
жесткости с, могут двигаться без трения по сторонам прямого угла ZxOy,
сторона О у которого вертикальна. Длина пружины в ненапряженном
состоянии равна /о- Составить уравнения Лагранжа.
12.26. Две равные точечные массы m (см. рисунок), связанные
пружиной жесткости с, могут двигаться без трения, по неподвижному
кольцу радиуса г, лежащему в горизонтальной плоскости. Длина пру-
пружины в недеформированном состоянии равна /. Составить уравнения
Лагранжа. Используя координаты 6i = (cpi +ф2)/2, 62 = (cpi — Ф2)/2,
найти закон движения в квадратурах.
§ 12. Уравнения Лагранжа 117
12.27. Однородный стержень массы т и длины 2/ может сво-
свободно двигаться по гладкой горизонтальной плоскости. Каждый эле-
элемент стержня притягивается неподвижной прямой этой плоскости
(прямой Ох) с силой, прямо пропорциональной массе элемента и его
расстоянию от притягивающей прямой (коэффициент пропорцио-
К задаче 12.26 К задаче 12.28
нальности к). Составить уравнения движения стержня в форме Ла-
Лагранжа. Доказать, что центр С стержня будет двигаться по сину-
синусоиде.
12.28. Однородный гладкий тяжелый стержень длины 2/ (см. ри-
рисунок), помещенный на неподвижный гладкий цилиндр радиуса Я,
может совершать движение в вертикальной плоскости. Составить
уравнения движения стержня (до момента его отрыва от цилиндра)
в форме Лагранжа.
12.29. Два однородных стержня длины / каждый образуют плос-
плоский двойной маятник. Составить уравнения движения в форме Ла-
Лагранжа.
12.30. Составить уравнения Лагранжа, описывающие движение
двойного плоского маятника, который состоит из двух однородных
стержней массы т и длины / каждый (см. рисунок), если по стерж-
стержню А В перемещается точка массы М с относительной скоростью
г>0 = const; при t = О AM = 0.
12.31. Через блок О массы М (см. рисунок), подвешенный на
вертикальной пружине жесткости с, перекинута невесомая нерастя-
нерастяжимая нить с двумя грузами массы rai и m<i на концах. Нить по
блоку не скользит. Составить уравнения движения системы в форме
Лагранжа, пренебрегая весом пружины и считая, что блок — одно-
однородный диск, а грузы движутся по вертикали.
12.32. Сохраняя условия предыдущей задачи, найти закон дви-
движения блока и грузов.
118
2. Аналитическая механика
12.33. Используя уравнения Лагранжа, найти движение четырех
одинаковых однородных цилиндров радиуса г (см. рисунок), соеди-
соединенных между собой нерастяжимыми невесомыми нитями, как пока-
К задаче 12.30
К задаче 12.31
К задаче 12.33
зано на рисунке. Нити по цилиндрам не скользят, центры цилиндров
1, 2, 4 перемещаются по вертикали.
12.34. Два одинаковых однородных диска массы т каждый
(см. рисунок) могут катиться без проскальзывания по горизонталь-
К задаче 12.34
ной прямой. Центры дисков соединены между собой и с неподвиж-
неподвижными стенками пружинами жесткости с. Составить уравнения дви-
движения системы в форме Лагранжа.
12.35. Доска массы га (см. рисунок), соединенная пружинами
жесткости с с неподвижными стенками, может скользить по гладкому
AAAJ
К задаче 12.35
горизонтальному полу. По доске может катиться без проскальзыва-
проскальзывания диск массы га/2 и радиуса г, центр которого соединен с краем
доски пружиной жесткости 2с. Составить уравнения движения си-
системы в форме Лагранжа.
§ 12. Уравнения Лагранжа
119
12.36. Трехгранная призма ABD массы М (см. рисунок) сколь-
скользит по гладкой наклонной плоскости, образующей угол а с горизон-
горизонтом; ZBAD = $. По грани А В призмы скатывается без проскальзы-
проскальзывания однородный цилиндр массы т. Используя уравнения Лагран-
Лагранжа, найти ускорение призмы w и ускорение we центра цилиндра
относительно призмы.
К задаче 12.36
К задаче 12.37
12.37. Прямоугольный брус массы М (см. рисунок), в котором
вырезана цилиндрическая полость радиуса 72, соединен, с неподвиж-
неподвижной стенкой пружиной жесткости с и может двигаться без трения
по горизонтальным направляющим. В полости может катиться без
проскальзывания однородный цилиндр массы т и радиуса г (г < R).
Составить уравнения движения си-
системы в форме Лагранжа.
12.38. Однородный диск ради-
радиуса R и массы т (см. рисунок) мо-
может катиться без проскальзывания
по параболе у = ах2/2. Ось О у вер-
вертикальна, Ra^l. Составить функ-
функцию Лагранжа, приняв за обобщен-
обобщенную координату абсциссу х точки
касания.
12.39. Груз массы га, подве-
подвешенный на пружине жесткости с, может двигаться по вертикальным
направляющим без трения. В центре масс груза шарнирно прикреп-
прикреплен однородный стержень массы М и длины 21. Составить уравнения
движения системы в форме Лагранжа, если стержень во время дви-
движения не выходит из вертикальной плоскости.
12.40. Брусок массы М (см. рисунок), соединенный с непо-
неподвижными стенками одинаковыми пружинами жесткости с, может
скользить без трения вдоль горизонтальной направляющей. К центру
бруска на нерастяжимой нити длины / подвешен груз массы т.
Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа.
12.41. К центру бруска массы М (см. рисунок), который может
скользить без трения по горизонтальным направляющим, на упругой
К задаче 12.38
120
2. Аналитическая механика
нити жесткости с подвешен груз массы т (длина нити в ненапряжен-
ненапряженном состоянии /q). Составить уравнения движения системы в форме
Лагранжа.
К задаче 12.40
К задаче 12.41
12.42. Решить задачу 12.40, считая нить упругой (жесткость
нити ci, ее длина в недеформированном состоянии /о)-
12.43. К ползуну массы т (см. рисунок), который может пе-
перемещаться по гладкой горизонтальной направляющей, подвешен
двойной математический маят-
маятник с массами mi и m<i и дли-
длинами 1\ и /2- Ползун соединен
~*х с неподвижными стенками дву-
двумя пружинами жесткости с каж-
каждая. Составить уравнения движе-
движения в форме Лагранжа.
12.44. Однородный диск мас-
массы М (см. рисунок) может ка-
катиться без проскальзывания по
Ф2
777,2
наклонной плоскости, образую-
К задаче 12.43 Щеи Угол а с горизонтом. К цен-
центру диска на невесомой нерастя-
нерастяжимой нити длины / подвешен груз массы т. Составить уравнения
движения системы в форме Лагранжа.
К задаче 12.44
К задаче 12.45
12.45. Составить уравнения движения маятника массы т и дли-
длины / (см. рисунок), точка подвеса которого находится в центре диска
§ 12. Уравнения Лагранжа
121
массы М. Диск может катиться без проскальзывания по горизон-
горизонтальной прямой Ох] центр диска соединен с неподвижной стенкой
пружиной жесткости с.
12.46. Полый однородный цилиндр массы М (см. рисунок),
внешний и внутренний радиусы которого равны соответственно R и р,
может скользить без трения по внутренней поверхности неподвиж-
неподвижного цилиндра радиуса R. Внутри полого цилиндра может катиться
без проскальзывания сплошной однородный цилиндр массы т и ра-
радиуса г. Оси обоих цилиндров горизонтальны. Составить уравнения
движения системы в форме Лагранжа.
К задаче 12.46
К задаче 12.47
12.47. Внутри полого цилиндра массы М и радиуса R (см. рису-
рисунок) , который может свободно качаться вокруг своей горизонтальной
образующей, катится без проскальзывания однородный цилиндр мас-
массы т и радиуса г. Составить уравнения движения системы в форме
Лагранжа.
12.48. Однородный диск массы М и радиуса R (см. рисунок)
может катиться без проскальзывания по горизонтальной прямой.
В диске имеется гладкий круговой желоб радиуса г, центр которого
совпадает с центром диска и по которому может двигаться шарик
массы т. Пренебрегая размерами шарика, составить уравнения Ла-
Лагранжа системы и найти интегралы движения.
12.49. Однородный цилиндр массы М и радиуса г (см. рисунок)
может катиться без проскальзывания внутри неподвижного полого
цилиндра радиуса R. К центру подвижного цилиндра подвешен ма-
математический маятник массы т и длины /. Составить уравнения
движения системы в форме Лагранжа.
12.50. Две точечные массы mi и т<х (см. рисунок) связаны
упругой нитью жесткости с, пропущенной через отверстие в гладкой
горизонтальной плоскости. Масса rai движется по плоскости, мае-
122
2. Аналитическая механика
са m<i совершает пространственное движение. Длина нити в неде-
формированном состоянии равна /. Составить уравнения движения
системы в форме Лагранжа.
'жтжжжтжжжжж.
К задаче 12.48
К задаче 12.49
12.51. Точечная масса т\ (см. рисунок) движется по гладкой
сфере радиуса R, точечная масса га 2 движется по вертикали. Массы
связаны невесомой нерастяжимой нитью, пропущенной через малое
отверстие в наивысшей точке сферы, как показано на рисунке. Со-
Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа и найти
интегралы движения.
Ф2
К задаче 12.50
777-2
К задаче 12.51
12.52. К концам однородной весомой нити массы М и длины /
(см. рис. к задаче 12.51), пропущенной через малое отверстие в наи-
наивысшей точке гладкой сферы радиуса 72, присоединены точечные
массы т\ и 777,2- Масса т\ движется по сфере, масса га 2 движет-
движется по вертикали. Найти функцию Лагранжа и выписать уравнения
движения системы.
§ 12. Уравнения Лагранжа 123
12.53. Система состоит из п одинаковых материальных точек
массы т каждая (см. рисунок). Точки связаны одинаковыми пружи-
пружинами жесткости с и могут скользить без трения по круговому кольцу,
расположенному в горизонтальной
плоскости. Найти функцию Лагранжа
и составить уравнения движения.
12.54. В динамические уравнения
Эйлера вместо р, q и г подставляют их
выражения из кинематических уравне-
уравнений Эйлера. Являются ли полученные
таким образом уравнения уравнениями
Лагранжа в эйлеровых углах?
12.55. Получить из динамических
и кинематических уравнений Эйле-
Эйлера уравнения Лагранжа в эйлеровых
углах.
12.56. Найти функцию Лагранжа и составить уравнения движе-
движения симметричного волчка (А = В Ф С) массы т в однородном поле
тяжести, если центр масс волчка находится на его оси динамической
симметрии на расстоянии / от неподвижной точки.
12.57. Найти функцию Лагранжа и составить уравнения движе-
движения однородного стержня массы т и длины 21 в однородном поле
тяжести. Найти движение стержня.
12.58. Цилиндрический болт радиуса 7?, высоты Н и массы М
(см. рисунок) закреплен в центре О основания. На болт надета гайка,
которую можно считать полым цилиндром с внешним радиусом aR
(ос > 1), высотой / и массой т. Шаг винтовой нарезки равен h.
Составить функцию Лагранжа системы.
12.59. Однородный диск радиуса R и массы т (см. рисунок),
насаженный в центре под прямым углом на невесомый гладкий стер-
стержень, конец О которого закреплен сферическим шарниром, может
поступательно двигаться вдоль этого стержня. Центр диска соединен
с точкой О пружиной жесткости с, длина которой в не деформиро-
деформированном состоянии равна /о- Составить уравнения движения диска
в форме Лагранжа.
12.60. Симметричное твердое тело (А = В ф С) массы М (см. ри-
рисунок) может вращаться вокруг неподвижной точки О, лежащей
на оси симметрии тела на расстоянии / от его центра масс. В теле
имеется узкая цилиндрическая полость, ось которой совпадает с осью
симметрии тела. Вдоль полости может перемещаться материальная
точка D массы т, соединенная с неподвижной точкой О пружи-
пружиной жесткости с. Длина пружины в недеформированном состоянии
124
2. Аналитическая механика
равна /о- Пренебрегая трением, составить уравнения движения систе-
системы в форме Лагранжа.
У////////////Л
К задаче 12.58
К задаче 12.59
К задаче 12.60
12.61. Однородный стержень (см. рисунок) может двигаться
в вертикальной плоскости ху, которая вращается с угловой скоро-
скоростью со = со(?) вокруг вертикальной оси Оу. Составить уравнения
относительного движения стержня в фор-
форме Лагранжа.
12.62. Найти лагранжиан и соста-
составить уравнения движения замкнутой си-
системы материальных точек относитель-
относительно подвижной системы отсчета O1Y1Y2Y3.
Движение системы O1Y1Y2Y3 по отноше-
отношению к исходной инерциальной системе от-
отсчета ОХ 1X2X3 задано радиус-вектором
го(?) точки О\ и угловой скоростью враще-
вращения il(t). Взаимодействие между частица-
частицами полностью определяется потенциалом
К задаче 12.61
12.63. Точка массы га притягивает-
притягивается к неподвижному центру О силой F =
= —утМ/r2. Методом Лагранжа соста-
составить уравнения движения частицы во вращающейся системе отсчета
жх, Ж2, #з, переход к которой осуществляется при помощи преобра-
преобразования х = #icosco? — ?/isinco?, у = ?isinco? + ?/icosco?, z = z\, где ж,
у и z — координаты в неподвижной системе отсчета.
12.64. Гладкая проволочная окружность радиуса R (см. рису-
рисунок) вращается вокруг своего вертикального диаметра с постоянной
угловой скоростью со. На окружность насажено колечко массы га,
соединенное с точкой О окружности пружиной жесткости с; длина
§ 12. Уравнения Лагранжа
125
пружины в недеформированном состоянии равна Дсро- Составить
уравнения относительного движения колечка в форме Лагранжа.
Ф
А
О
К задаче 12.64
К задаче 12.65
D
12.65. Колечко массы т (см. рисунок) может скользить вдоль
гладкого стержня А В = 2/, концы которого в точках А и В жестко
соединены со сторонами прямого угла ZA О В, вращающегося вокруг
своей вертикальной стороны АО с постоянной угловой скоростью со.
Колечко соединено с точками Аи В двумя одинаковыми пружинами
жесткости с. Длина каждой пружины в недеформированном состо-
состоянии равна /, ZOAB = ос. Найти относительное движение колечка,
используя уравнения Лагранжа.
12.66. Однородный стержень А В массы т
и длины / (см. рисунок) может скользить без тре-
трения по сторонам прямого угла ZDOB, сторона
OD которого вертикальна. Точка А стержня со-
соединена с неподвижной точкой D пружиной жест-
жесткости с. Угол ZDOB вращается вокруг стороны
OD с постоянной угловой скоростью со. Соста-
Составить уравнения относительного движения стерж-
стержня в форме Лагранжа, если при ср = сро пружина
недеформирована.
12.67. Гладкое проволочное кольцо радиуса R
(см. рисунок) вращается с постоянной угловой ско-
скоростью со вокруг своего вертикального диаметра.
На кольцо надета бусинка массы га, соединенная
О
В
К задаче 12.66
с наивысшей точкой окружности пружиной жесткости с. Составить
уравнения относительного движения бусинки, если длина пружины
в ненапряженном состоянии равна /о-
126
2. Аналитическая механика
12.68. Точка может двигаться без трения в вертикальной плос-
плоскости yz по кривой z = f(y)- Плоскость yz вращается вокруг оси
Ох с постоянной угловой скоростью со.
Составить уравнения движения точки во
вращающейся системе координат в форме
Лагранжа. Найти движение точки в слу-
случае z = ay + 6, считая, что в начальный
момент ось Oz была направлена верти-
вертикально вверх и точка начала двигаться из
положения @,6) с нулевой относительной
скоростью.
12.69. Обобщенные силы Qi некото-
некоторой механической системы определяются
обобщенным потенциалом V(qj^qj) в со-
соответствии с равенствами
К задаче 12.67
_ d dV dV
dt dqi dqi
Показать, что силы Qi не изменятся, если вместо исходного потенци-
потенциала V(qj,qj) взять обобщенный потенциал
k=l
где \|/(#i, #2, • • • 5 Чпч t) — произвольная дифференцируемая функция.
12.70. Найти обобщенный потенциал гироскопических сил Qi =
k=i
i — 1? п)> гДе bo* = —bki — постоянные величины.
12.71. Материальная точка массы т движется под действием
силы F = ~з (v х г), где а = const. Показать, что эта сила имеет обоб-
обобщенный потенциал. Найти выражение обобщенного потенциала U
в сферических координатах.
12.72. По поверхности z = /(ж,?/), вращающейся вокруг верти-
вертикальной оси Oz с постоянной угловой скоростью со, движется мате-
материальная точка массы т. Найти обобщенный потенциал переносной
и кориолисовой сил инерции в относительном движении точки.
12.73. Показать, что уравнение движения осциллятора с вязким
трением (сила сопротивления F = —$v) можно записать как урав-
тт d dL dL п *
нение Лагранжа вида —-^-. ^— = U, введя надлежащим образом
at ox ох
функцию Лагранжа L(x,x,t) (см. рисунок).
§ 12. Уравнения Лагранжа
127
12.74. Два одинаковых груза массы т (см. рисунок) связаны
между собой и с неподвижными стенками пружинами жесткости с\,
С2 и сз- На каждый из грузов действует сила сопротивления F{ —
= — $Vi (г = 1,2). Показать, что уравнения движения системы можно
тт d dL dL n
записать как уравнения Лагранжа вида —-^-. т;— — и, введя над-
а? ОХ{ ОХ{
лежащим образом функцию Лагранжа L(xi,Xi,t).
i- с-
АЛЛЛ/И
pwwv
К задаче 12.73 К задаче 12.74
12.7'5. Механическая система имеет кинетическую энергию Т =
тп
тп 1
— тЕ^' потенциальную энергию П = - X) cikQiQk и функцию
1 Z
г=1
Zi
,k=l
о П
^2 Q
П
Рэлея R = - ^2 Qi- Показать, что для этой системы можно так ввести
г=1
функцию Лагранжа L(qj, qj, t), что уравнения движения могут быть
d dL 3L _
записаны в форме — —— -— = 0.
dt дсц dqi
12.76. (Г. Биркгоф.) Для уравнений Лагранжа
d dL 3L
dt dqi dqi
= 0 (г = 1, п) некоторой натуральной системы с L = Li + L\ + i
существуют такие множители Фг(#ъ <72> • • • ? <7п)> что
i=i
dt
где V = ^2 o,k{qj)qk- Показать, что в этом случае найдутся такие
к=1
новые обобщенные координаты 6^ (qi = qi @i, 62, ..., Эп)), что
г—— = 0, т. е. что координата 6i будет циклической.
Q
12.77. Пусть q\ — циклическая координата системы с лагранжиа-
лагранжианом Z/(Gi, ..., qn) <72? • • • 9 qn-, t). Показать, что переменные #2? • • • ? qn
описываются уравнениями Лагран^са с функцией L = L(gi, ^2? •••
ф\ • dL (
... , qn, qi, ..., qn, t) — cq\, где q\ находится из равенства -^— = с [с —
dqi
произвольная постоянная).
128 2. Аналитическая механика
12.78. Показать, что добавление к лагранжиану L(qj,qj,t) пол-
ной производной функции \|/(Gj, t): —-^— = 2^ ^—qi + — не ме-
няет уравнений Лагранжа.
12.79. Функции Лагранжа Li(qi,qi,t) и L^qiAi-,^) порождают
d дЬг дЬг d dL2 dL2
одинаковые уравнения Лагранжа, т. е. — -— — = — -— — =
at dqi dqi dt dqi dqi
= 0 (г = 1, n). Как связаны эти функции между собой?
12.80. Показать, что уравнения Ньютона гаД = F^(rj,fj,?)
(г, j = 1, N) ковариантны относительно преобразований Галилея т'{ =
= r^ +vo? + ro, где го и vo — постоянные векторы. Привести пример
преобразования, относительно которого уравнения Ньютона не кова-
ковариантны, в отличие от уравнений Лагранжа, ковариантных относи-
относительно любых преобразований координат.
12.81. Показать, что если обобщенные силы потенциальны
в какой-либо одной системе обобщенных координат, то они будут
потенциальны в любой системе обобщенных координат.
12.82. Символами Кристоффеля 1-го рода называются выраже-
выражения
_ 1 fdau daki дакЛ
iM~2\dqk dql dqi J'
Используя их, записать уравнения Лагранжа г г — Qi [г —
at dq da
= 1, п) склерономной системы, для которой
г,к=1
12.83. Механическая система с кинетической энергией Т =
1 п dll
о S агк{Чз^)ЧгЧк и обобщенными силами Qj = —— h
zi,k=l d°j
+ Qj(qj, qji t) (j = 1, n) совершает финитное движение. Получить
аналог теоремы о вириале, используя функцию G = / J Qj ~^~r~, где
L = T-U.
12.84. Шар радиуса г движется по шероховатой плоскости так,
что скорость точки касания шара с плоскостью равна нулю. Найти
систему бесконечно малых возможных перемещений произвольной
точки шара.
§ 12. Уравнения Лагранжа
129
12.85. Твердое тело может перемещаться в пространстве. Найти
систему бесконечно малых возможных перемещений произвольной
точки тела.
12.86. Записать необходимое и достаточное условие интегрируе-
з
мости уравнения дифференциальной связи ^2 о>к{я)Як — 0.
к=0
12.87. Два стержня (см. рисунок) могут двигаться в плоскости
поступательно со скоростями vi и V2 соответственно. Найти возмож-
возможные скорости колечка, связывающего стержни.
А
В
О
К задаче 12.87
К задаче 12.8
12.88. Диск (см. рисунок) может катиться без проскальзывания
по направляющей А В. Направляющая движется поступательно вер-
вертикально вверх по закону у а = Уа{1)- Является ли связь, налагаемая
направляющей на движение диска, идеальной?
12.89. Движение материальной точки ограничено некоторой свя-
связью. В некотором положении при t = t\ известны два возможных
перемещения {dv)\ и (drJ- Найти хотя бы одно виртуальное переме-
перемещение 5г точки.
12.90. Лагранжиан механической системы L = L(q, q) не зависит
явно от времени. Показать, что функция cp(g, q) = \. ~^Яг ~ L(q, q)
является первым интегралом уравнений движения.
12.91. Функция ф(ж, х) является первым интегралом уравнения
движения х = /(ж, х). Показать, что общее решение х = ж(жо, ^(Ъ t)
этого уравнения совпадает с общим решением уравнения Лагранжа
X
С ( \
с кинетическим потенциалом L{x, х) — х \— dy, где интегриро-
J У
о
вание по у производится при фиксированном х.
12.92. На рисунке показана схема плоского многозвенного ав-
автоматического манипулятора. Через ср^ обозначены углы, которые
звенья образуют с вертикалью, а через щ обозначены шарнир-
шарнирные углы (т.е. углы между звеньями). Силовые электродвигате-
5 Е. С. Пятницкий и др.
130
2. Аналитическая механика
ли, установленные в шарнирах, развивают управляющие моменты
Mi(t) (\Mi(t)\ ^ га). Найти обобщенные силы Q^. и (J?., соответ-
соответствующие двум системам обобщенных координат cp{cpi, ..., срп} и
\|/{\|/ь ...,}
К задаче 12.92
12.93. Обобщенным координатам 9ъ ..., qn системы с п степе-
степенями свободы соответствуют обобщенные силы Qi(#,<7,?), $2(95 9^)>
• • •, Qn(q,Q,t). Найти обобщенные силы, соответствующие обобщен-
обобщенным координатам cpi, ..., срп, связанным с координатами qi соотноше-
соотношениями qi = /г(ф, t).
12.94. В обобщенных координатах q и q функции Лагранжа од-
одной и той же механической системы имеют вид L(g, g, t) и L(g, g, t).
Найти связь между L и L, если известно преобразование qi =
= q>t(g), i = l~n.
12.95. Движ:ение системы с одной степенью свободы описывается
уравнением
q-F(t,q,q) = 0. (*)
Показать, что существует такая функция ц(?, g, g), при умножении
на которую уравнение (*) переходит в уравнение Лагранжа вида
d dL 3L _
dt dqi dqi
12.96. Убедиться, что системы уравнений Лагранжа, соответ-
соответствующие функциям Лагранжа L\ = (l/2)(^ + g|) ~ (co2/2)(^J Ч- <72)?
1/2 = A/2)gi92 — (а>2/2)9i92, совпадают.
12.97. Плоскость, в которой совершает колебания двойной мате-
математический маятник (см. рисунок), вращается с постоянной угловой
скоростью со вокруг вертикальной оси, находящейся на расстоянии а
от точки подвеса маятника. Массы и длины маятников равны mi, m<i
и /i, /2- Составить выражение в обобщенных координатах cpi, 92 для
функции Лагранжа La^c = Табс — Пабс в абсолютном движении и для
§ 12. Уравнения Лагранжа
131
функции Лагранжа LOTH = Тотн — VOTH в относительном движении (по
отношению к плоскости), где VOTH — обобщенный потенциал. В связи
с этой задачей обсудить тезис Герца о кинетическом происхождении
потенциальной энергии за счет скрытых движений.
ГП2
К задаче 12.97
К задаче 12.98
12.98. Манипуляционный робот состоит из платформы с жестко
укрепленной на ней вертикальной штангой (см. рисунок), вдоль ко-
которой может скользить звено А В = /, несущее телескопическое звено
СD = I. Звено СD с помощью винтовой передачи может выдвигаться
и убираться внутрь звена А В. Платформа может поворачиваться
вокруг вертикальной оси Ох%. Момент инерции платформы вместе
со штангой относительно оси Ох% равен J, моменты инерции звеньев
А В и CD относительно вертикальных осей, проходящих через их
центры масс, равны J\ и J<i соответственно. Пренебрегая трением,
составить уравнения движения робота, если к соответствующим зве-
звеньям приложены управляющий момент M(t) и управляющие силы
P\{t) и P2{t), как показано на рисунке. Массы звеньев АВ и CD
равны mi и m<i-
12.99. Составить уравнения Лагранжа гантели (см. рисунок),
состоящей из двух одинаковых масс, соединенных невесомым нерас-
нерастяжимым стержнем длины 2/, в поле всемирного тяготения. Считать,
что гантель движется без трения в неподвижной плоскости, содержа-
содержащей центр притяжения.
12.100. Неоднородное колесо радиуса г и массы m катится по
горизонтальной прямой без проскальзывания. Составить уравнения
Лагранжа, если момент инерции относительно геометрического цен-
центра О равен J, а расстояние от центра масс С до центра О равно р.
Найти также первый интеграл системы.
132
2. Аналитическая механика
12.101. Материальная точка В массы т соединена с неподвиж-
неподвижной точкой О двумя невесомыми стержнями ОАиАВ длины / ка-
каждый. Точка может совершать движение в вертикальной плоскости.
К задаче 12.99
К задаче 12.101
Плоскость равномерно вращается с угловой скоростью со вокруг вер-
вертикальной оси, проходящей через точку подвеса О. В точке соедине-
соединения стержней Л имеется пружина жесткости кручения с. Пружина не
напряжена, если стержни образуют прямую линию (ср = \|/). Составить
уравнения Лагранжа.
12.102. Материальная точка массы т может двигаться по глад-
гладкой горизонтальной плоскости Я, вращающейся вокруг вертикальной
оси с угловой скоростью, изменяющейся по заданному закону со =
= со(?). Составить уравнения Лагранжа для движения точки относи-
относительно плоскости Я.
12.103. Два небесных тела Ги5, находящиеся на постоянном
расстоянии друг от друга, движутся по круговым орбитам радиусов
г\ и r<i в одной плоскости вокруг общего цен-
центра масс. Угловая скорость вращения прямой,
соединяющей тела, постоянна и равна со. Со-
Р(ж, у, ^ставить в форме Лагранжа уравнения движе-
движения космического аппарата Р массы т относи-
относительно этих небесных тел, считая, что влияние
аппарата на движение тел пренебрежимо мало.
Массы тел равны mi и m<i (mi >m, Ш2>ш).
(Ограниченная задача трех тел.)
12.104. В задаче 12.37 составить уравне-
со
Sp
К задаче 12.103
ния Лагранжа при наличии трения скольжения между брусом и плос-
плоскостью скольжения (коэффициент трения равен /).
12.105. Кривошип, несущий две шестеренки одинакового ра-
радиуса, может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси,
проходящей через центр О первой шестеренки. Шестеренки нахо-
находятся в зацеплении друг с другом. Первая шестеренка вращается
§ 12. Уравнения Лагранжа
133
с постоянным угловым ускорением. Показать, что движение системы
эквивалентно движению маятника с потенциалом
П = — /Icoscp — i?cp,
где А = const, В = const.
О
К задаче 12.105
К задаче 12.106
12.106. Составить уравнения Лагранжа системы, состоящей из
двух одинаковых масс, соединенных между собой невесомым стерж-
стержнем А В длины L. Расстояние от точки А стержня до точки подвеса О
изменяется по закону I = l(t).
12.107. Составить уравнения движения плоского математиче-
математического маятника, длина которого меняется по закону / = /(?), в форме
уравнений Лагранжа.
12.108. Как нужно менять длину маятника I = l(t) в условиях
задачи 12.107, чтобы угол ср менялся по закону ср = ср(?) (ф > 0).
12.109. Длина / плоского математического маятника меняется
в зависимости от угла ср отклонения маятника от вертикали по закону
/ = /(ср). Составить уравнение Лагранжа и найти его первый интеграл.
12.110. Маятник массы т переменной длины /, где / = l(t) —
заданная функция времени, совершает движение в среде с сопротив-
сопротивлением. Найти обобщенную силу Q^ соответствующую координате
Ф, если сила сопротивления F = — |3v, где v — абсолютная скорость
точки т.
12.111. Показать, что система с лагранжианом
Х-\~уХ Х+уХ 1 . г/ . чо о 2т
L = — arctg In \(x + yxY + cozxz
сож сож 2
(у и со — размерные коэффициенты) эквивалентна линейному осцил-
осциллятору с вязким трением, движение которого описывается уравнени-
уравнением х + 2уж + (у2 + со2)ж = 0.
134 2. Аналитическая механика
12.112. Рассмотрим диссипативную механическую систему с ки-
кинетической энергией Т = -qTAq, функцией Рэлея R = -qTBq, по-
Z Z
тенциальной энергией П = -qTCq, где Л, Б, С — постоянные сим-
z
метрические матрицы. Матрицы А и В связаны равенством В = ХА,
где А, — постоянная. Показать, что при надлежащем выборе функции
тт г л. d dL
Лагранжа L уравнения движения можно записать в форме -гтг-—
а ъ о q^
12.113. Механическая система описывается функциями Т =
= -qTAq, П = -qTCq, R = -qTBq. Показать, что если симметри-
Z Z Z
ческие матрицы А и В коммутируют, т.е. АВ = В А, и ВА~ХС —
= СА~ХВ, то существует функция Лагранжа
L(q, Я, t) = \r^ 1^
§ 13. Электромеханические аналогии
13.1. Как определяется число степеней свободы в системе свя-
связанных электрических контуров?
13.2. Обсудить аналогию между законом Кирхгофа для замкну-
замкнутой электрической цепи и принципом Даламбера в механике.
13.3. Выяснить, что может служить механическим аналогом
электрического трансформатора.
13.4. Пользуясь электромеханическими аналогиями, составить
уравнения состояния изображенных на рисунках контуров.
13.5. Три пластины образуют последовательное соединение двух
конденсаторов переменной емкости. Средняя пластина неподвижная,
верхняя массы mi, подвешенная на пружине жесткости fci, и нижняя
массы Ш2, подпертая пружиной жесткости к^ соединены непроводя-
непроводящей пружиной жесткости к% и могут перемещаться по вертикали.
Конденсаторы включены в электрический контур, содержащий кро-
кроме них элементы е(?), R, L и С$. Составить уравнение состояния
системы, если в положении равновесия верхняя пружина растянута,
а средняя и нижняя сжаты (их деформации равны Дх, Аг и Аз
соответственно), расстояния между пластинами в этом положении
составляют а\ и а^ а емкости конденсаторов равны С\ и Сч-
13.6. Точка О\ подвеса математического маятника длины / со-
совершает горизонтальные колебания с частотой со и амплитудой А.
j 13. Электромеханические аналогии
135
Построить электрический контур, моделирующий малые колебания
маятника.
13.7. Два одинаковых математических маятника связаны между
собой пружиной жесткости к. Маятники подвешены на стержне Л В,
Ri
К задаче 13.4
который совершает горизонтальные колебания с частотой со и ампли-
амплитудой А. Построить электрический контур, моделирующий малые
колебания маятников. Рассмотреть также систему из п маятников.
13.8. Цилиндр массы М (см. рисунок) может скользить без тре-
трения по горизонтальной направляю-
направляющей. В цилиндре может сколь-
скользить поршень массы га. Простран-
Пространство между стенками цилиндра
и поршнем заполнено вязкой жидко-
жидкостью (коэффициент вязкости равен
Р). Цилиндр и поршень соединены
с неподвижными стенками пружинами жесткости к. Построить элек-
электрическую цепь, моделирующую движение системы.
К задаче 13.8
136
2. Аналитическая механика
13.9. В электрической цепи, изображенной на рисунке, подобрать
емкость С12 и взаимную индукцию М так, чтобы емкостная и ин-
индуктивная связи между контурами взаимно компенсировались, т. е.
чтобы в форме, разрешенной относительно старших производных,
уравнения состояния системы представляли собой два независимых
уравнения.
R
К задаче 13.9
К задаче 13.10
13.10. Пользуясь электромеханическими аналогиями, составить
уравнения состояния электрической цепи, изображенной на рисунке.
Показать, что для этой цепи можно так ввести функцию Лагранжа
С = C(q, q,t), что уравнения состояния можно записать как уравне-
уравнения Лагранжа вида
d дС дС _
dt dqi dqi
13.11. Механическая система, у которой координата q<i является
циклической, имеет функцию Лагранжа С = (mi/2)q\ + G77,2/2)g^ ~~
— (k/2)qf. Составить электрический контур, моделирующий движе-
движение этой системы.
13.12. Построить электрический контур, моделирующий паде-
падение парашютиста по вертикали в однородном поле тяжести. Силу
сопротивления считать пропорциональной первой степени скорости.
13.13. Найти электрический контур, моделирующий изменение
угловой скорости со турбины, если управляющее устройство создает
момент М — — а (со — соо)> гДе ю — текущее значение угловой скорости,
соо — заданное (в соответствии с целью регулирования) значение
угловой скорости, а — постоянная величина. Момент инерции тур-
турбины относительно оси вращения равен J. Силами сопротивления
пренебречь.
13.14. Установка Зоммерфельда (см. рисунок) для изучения вы-
вынужденных колебаний состоит из платформы, подвешенной на оди-
одинаковых упругих нитях общей жесткости &, и мотора, закрепленного
на платформе (общая масса мотора и платформы равна М). На
вращающийся с постоянной угловой скоростью со вал мотора наса-
насажен невесомый стержень длины /, свободный конец которого несет
j 13. Электромеханические аналогии
137
точечную массу т. Построить электрический контур, моделирующий
работу установки.
ш
ш
А
Ai
-*>
В
0
К задаче 13.14
К задаче 13.15
13.15. На груз Л массы mi (см. рисунок), подвешенный к непо-
неподвижной точке О на пружине жесткости к\ действует вертикальная
сила F = F(t). К грузу А на пружине жесткости кч подвешен груз В
массы га2, испытывающий сопротивление жидкости, пропорциональ-
пропорциональное первой степени скорости (коэффициент пропорциональности |3).
Построить электрический контур, моделирующий движение этой ме-
механической системы.
13.16. Доска массы М (см. рисунок) скользит вдоль горизон-
горизонтальных направляющих под действием силы F{t\ испытывая сопро-
сопротивление, пропорциональное первой степени скорости (коэффициент
Ш//А
М
К задаче 13.16
пропорциональности р). По доске катится без проскальзывания од-
однородный цилиндр радиуса г и массы т. Построить электрическую
цепь, моделирующую движение этой механической системы.
13.17. Построить электрическую цепь, моделирующую малые
колебания двойного математического маятника.
13.18. Два плоских математических маятника массы т и длины /
каждый (см. рисунок) соединены невесомой пружиной жесткости к
прикрепленной концами к стержням маятников на расстоянии а от
точек их подвеса. В положении равновесия пружина ненапряжена.
На один из маятников действует внешний момент сил M(t), а на
другой — сила сопротивления, пропорциональная скорости маятника
(Р — коэффициент пропорциональности). Построить электрическую
цепь, моделирующую малые колебания системы.
138
2. Аналитическая механика
13.19. Обращенный физический маятник О Л (см. рисунок),
представляющий собой однородный стержень массы М и длины /i,
прикреплен OptK неподвижным стенкам пружинами жесткости к.
жшжжжжшжжж^.
Ф1
~i А А А А А А A
ьЛЛДАЛ
о
• VN
Ф2\
V Н
в
К задаче 13.18
К задаче 13.19
В точке А подвешен математический маятник Л В массы т и длины
/2, на который действует сила сопротивления — |3v, где v — абсолют-
абсолютная скорость точки В. Построить электрическую цепь, моделирую-
моделирующую малые колебания системы, считая, что ее движение происходит
только в вертикальной плоскости вблизи положения ср = \|/ = 0.
13.20. Составить электрический контур, моделирующий движе-
движение изображенной на рисунке механической системы, приняв в каче-
качестве обобщенных координат q\ — [х\ + жг)/2 и qi — {х\ — Х2)/2.
к
КЛЛ/Ч
К задаче 13.20
Ф1
К задаче 13.21
13.21. Составить электрический контур, моделирующий кру-
крутильные колебания изображенной на рисунке механической системы,
приняв в качестве обобщенных координат q\ — (91+92)/2 и qi —
= (ф1-ф2)/2.
А;
А;
/V ш ЛЛг ш A/V m A/V ш
К задаче 13.22
13.22. Система из п одинаковых масс т (см. рисунок), соеди-
соединенных пружинами жесткости fc, представляет собой механический
j 13. Электромеханические аналогии
139
фильтр продольных колебаний. Построить электрический аналог это-
этого фильтра.
13.23. Пользуясь электромеханическими аналогиями, построить
контур, моделирующий движение линейной модели четырехатомной
777-1
777-2
777-3
К задаче 13.23
молекулы (см. рисунок). Модель представляет собой систему четырех
точечных масс mi, Ш2, тз, тп^ (mi = m± = т, тпч — тз = рт),
насаженных на гладкий горизонтальный стержень и соединен-
соединенных пружинами жесткости k\, k^ Ы
[к\ — к^ — к^кч — qk).
13.24. Четыре одинаковые точеч-
точечные массы m (см. рисунок), связанные
одинаковыми пружинами жесткости к
каждая, могут скользить по гладкому
неподвижному горизонтальному коль-
кольцу. Построить электрическую цепь,
моделирующую движение системы.
13.25. Решить предыдущую зада-
задачу для случая п одинаковых масс, свя-
связанных п одинаковыми пружинами.
13.26. Построить электрический
аналог пружины, состоящей из двух
последовательно соединенных участков с жесткостями ii и ^- Ис-
Используя выражение для эквивалентной жесткости пружины (см. за-
задачу 7.11), получить выражение для емкости эквивалентного конден-
конденсатора. Рассмотреть аналогичную задачу для случая параллельно
соединенных пружин.
13.27. Используя электромеханические аналогии, построить кон-
контур, моделирующий малые попе-
поперечные колебания упругой нити,
несущей п одинаковых точечных
масс (см. рисунок).
13.28. Используя электромеха-
электромеханические аналогии, построить кон-
контур, моделирующий движение си-
К задаче 13.24
а
а
^^
а
а
К задаче 13.27
стемы из пяти одинаковых цилиндров массы m и радиуса г (см. рису-
рисунок). Центры цилиндров движутся по вертикали: нити по цилиндрам
не скользят.
140
2. Аналитическая механика
13.29. Точка Л переменной массы т = m(t) (см. рисунок) дви-
движется вдоль оси Ох под действием силы F, направленной к непо-
неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию до центра
с коэффициентом пропорциональности к. Относительная скорость
О
m(t)
К задаче 13.28
К задаче 13.29
отсоединяющихся масс постоянна и равна и, причем отсоединяю-
отсоединяющиеся частицы вылетают в направлении, противоположном поло-
положительному направлению оси Ох. Используя электромеханические
аналогии, найти такие законы изменения расстояния d = d(t) между
пластинами конденсатора и электродвижущей силы Е — E{t\ чтобы
контур, изображенный на рисунке, моделировал указанное движение
точки переменной массы. Площадь пластин конденсатора равна Sq.
13.30. Составить уравнения движения электромеханической си-
системы, изображенной на рисунке. Длина пружины в недеформиро-
ванном состоянии равна /, ее жесткость равна &, масса подвижной
пластины равна т. Когда пружина недеформирована, расстояние
между подвижной и неподвижной пластинами конденсатора равно а,
а его емкость равна С\.
К задаче 13.31
13.31. В униполярном генераторе (см. рисунок), предложенном
в 1831 г. Фарадеем, при приложении аксиального магнитного поля Н
между центром и наружным краем вращающегося металлического
j 13. Электромеханические аналогии
141
диска возникает напряжение V = агсо, пропорциональное току г и уг-
угловой скорости диска со. Составить уравнения динамики генератора.
Момент инерции диска равен J, омическое сопротивление генератора
равно 7?, индуктивность L.
13.32. Доказать теорему Эйлера: число независимых контуров
линейной электрической цепи равно п = N — М +1, где М — число
узлов схемы (узлом называется точка схемы, при вырезании которой
приходится разрывать не менее трех проводников), а N — общее
число соединений между узлами *).
13.33. Найти число степеней свободы электрической схемы
(см. рисунок), проводники которой образуют пространственное
соединение в форме куба и тетраэдра.
/
/
X
К задаче 13.33
13.34. Пользуясь электромеханическими аналогиями, составить
уравнения состояния электрической схемы, узлы которой находятся
в вершинах: а) тетраэдра, б) куба. Каждый участок цепи между
вершинами содержит одинаковые индуктивности L, емкости С и со-
сопротивления R.
13.35. Дана электрическая схема, состоящая из п независи-
независимых контуров, в каждом из которых может содержаться индук-
индуктивность Z^, емкость Сг, омическое сопротивление R{ и источник
переменного напряжения ?i(t) (i = 1, п). Если у г-го и j-vo конту-
контуров имеется общий участок цепи, то он может содержать индуктив-
индуктивность Lij = Lji, емкость Cij = Cji и омическое сопротивление Rij =
= Rji. При наличии взаимной индукции между г-м и j-м контурами
соответствующий коэффициент равен М^- = М^. Пользуясь элек-
электромеханическими аналогиями, выписать выражения для функции
Лагранжа ?, функции Релея 1Z и для непотенциальных обобщенных
сил Q\.
х) Строгое определение получается при использовании теории графов, когда
каждой схеме ставится в соответствие ее граф соединений. В этом случае М —
число вершин графа и N — число его ребер.
142
2. Аналитическая механика
§ 14. Условия равновесия
14.1. Существует ли положение равновесия системы из N мате-
материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготе-
тяготения?
14.2. Материальная точка может двигаться без трения по по-
поверхности /(ж, 2/, z) = 0 под действием силы F = {—кх, —ку, — kz}.
Какой должна быть функция /(ж, ?/, z) для того, чтобы каждая точка
поверхности могла быть положением равновесия?
14.3. Приспособление для экспериментального определения ко-
коэффициента трения состоит из обруча (см. рисунок), расположенного
в вертикальной плоскости, и шайбы, насаженной на обруч. Найти
связь между коэффициентом трения / и наибольшим углом ср, при
котором отпущенная без начальной скорости шайба остается в рав-
равновесии.
14.4. Найти положение равновесия тяжелой точки массы га,
которая может двигаться без трения по винтовой линии на круговом
цилиндре с вертикальной осью Oz. Точка притягивается одной из
точек оси Oz силой, пропорциональной расстоянию между ними.
Коэффициент пропорциональности равен к.
Сп-1
ГПп-1
ТП2
7711
К задаче 14.3
К задаче 14.5
14.5. Найти деформации пружин в положении равновесия систе-
системы масс, изображенной на рисунке.
14.6. Материальные точки Ло, А\, А<ь,..., Ап массы га каждая
(см. рисунок) последовательно соединены одна с другой невесомыми
стержнями одинаковой длины. Вся система расположена в верти-
вертикальной плоскости. Первая точка Aq неподвижно закреплена и за-
занимает наивысшее положение, а на последнюю точку Ап действует
j 14. Условия равновесия
143
постоянная горизонтальная сила Q. Найти углы фх, ф2,..., срп, кото-
которые образуют стержни с вертикалью в положении равновесия.
14.7. Цепь, состоящая из п одинаковых однородных стержней
массы т каждый, подвешена в вертикальной плоскости. Стержни
соединены друг с другом с по-
помощью шарниров. Один конец
этой системы неподвижно закреп-
закреплен, а на второй действует по-
постоянная горизонтальная сила Q
(см. рис. к задаче 14.6). Найти углы
Ф1, ф2,..., фп, которые образуют
стержни с вертикалью в положении
равновесия.
14.8. Две одинаковые тяжелые
пластины массы т каждая (см. ри-
рисунок) заряжены зарядами q и —q соответственно. Пластины при-
прикреплены к неподвижным опорам с помощью одинаковых непрово-
непроводящих пружин жесткости к каждая и могут совершать движение по
вертикали. В положении, когда пружины ненапряжены, расстояние
между пластинами равно d, а емкость образованного ими конденса-
конденсатора в этот момент равна С. Найти положение равновесия системы.
К задаче 14.6
И т
И т
7////////////////////////////////////////////////.
К задаче 14.8
К задаче 14.9
14.9. Одинаковые гладкие пластины длины а (см. рисунок) укла-
укладываются одна на другую, как показано на рисунке. Найти макси-
максимальную длину «пролета» L (как функцию числа пластин п), при
которой система остается в положении равновесия.
14.10. Используя принцип возможных перемещений, доказать,
что равенство нулю главного вектора R и главного момента Mq сил,
действующих на твердое тело, является необходимым и достаточным
условием равновесия свободного твердого тела.
14.11. Балка несет распределенную нагрузку q(x). Из принци-
принципа виртуальных перемещений получить дифференциальные соотно-
соотношения, связывающие изгибающий момент М(ж), перерезывающую
силу Q(x) и нагрузку в каждом сечении балки.
144
2. Аналитическая механика
14.12. На изготовление фермы идет наименьшее количество ма-
материала в том случае, если в каждом сечении изгибающий момент
фермы равен нулю. Найти наивыгоднейшую в этом смысле форму
фермы, если распределенная нагрузка, отнесенная к единице длины
горизонтальной проекции фермы, постоянна. Длина фермы равна 2/,
ее высота h.
14.13. Однородный стержень А В = I может двигаться в верти-
вертикальной плоскости ху так, что конец Л скользит по прямой Оу, а ко-
конец В — по кривой у = f(x). Плоскость ху вращается с постоянной
угловой скоростью со вокруг вертикальной оси Оу. Трение в системе
отсутствует. Какой должна быть функция /(ж), чтобы любое поло-
положение стержня было положением относительного равновесия, если
= о?
14.14. Массы Ш{ (г = 1, п), связанные между собой и с непо-
неподвижными стенками пружинами (см. рисунок), могут скользить по
ГП2
J г
Bi
у| ¦llLhh№hh^hhhhlihhhM|hhhthhhhiijiiiiii!iiiiJllll- [У
К задаче 14.14
гладкой горизонтальной направляющей. Известно, что одна из край-
крайних масс (mi или тп) покоится. Показать, что в этом случае покоятся
и все остальные массы, т. е. система находится
в равновесии.
14.15. Система подвешенных на пружинах
грузов (см. рис. к задаче 14.5) может совершать
движение по вертикали. Показать, что если верх-
верхний груз находится в состоянии покоя, то в состо-
состоянии покоя находятся и все остальные грузы.
14.16. Система из In одинаковых стержней
массы т и длины / каждый (см. рисунок) мо-
может вращаться вокруг вертикальной оси MN.
Стержни соединены между собой шарнирами
-хв точках В\, Бз, • • •, B<in-\ и с невесомыми муф-
муфтами в точках Ло, Ач, /Ц,..., A<in- Трение в си-
системе отсутствует. Найти положение относитель-
относительного равновесия системы.
14.17. При переходе через препятствие вер-
вершины двух мачт линии высокого напряжения
оказались на высотах Н\ и Hi над уровнем моря (см. рисунок). Найти
форму равновесия провода длины /, считая его однородным, гибким
и нерастяжимым, если расстояние между опорами равно L.
Вз
М
К задаче 14.16
j 14. Условия равновесия
145
14.18. Система координат xOz (см. рисунок) движется посту-
поступательно относительно неподвижной системы xf0fzf с постоянным
ускорением wq. Концы нити неподвижно закреплены в системе xOz
z ,
z,
0
Wo
A(xi
f
B(X2
,Z2
X
О'
К задаче 14.17
К задаче 14.18
в точках A(x\, zi) и B{x2-,Z2)\ вектор ускорения wo образует по-
постоянный угол а с горизонтом. Найти форму равновесия тяжелой
однородной нити в движущейся системе координат.
14.19. Космическая станция вращается с постоянной угловой
скоростью вокруг оси О у, сохраняющей неизменное направление
в пространстве. Найти форму равновесия однородной нерастяжи-
нерастяжимой нити, которая расположена в неподвижной относительно стан-
станции плоскости ху, если концы нити закреплены в точках А(х\, у\)
И В(Х2,У2)-
14.20. Точка О подвеса неоднородной нити движется с посто-
постоянным ускорением wo- Найти положение относительного равновесия
нити в системе координат, поступательно дви-
движущейся вместе с точкой О.
14.21. Используя принцип возможных пе-
перемещений и считая поле тяжести однород-
однородным, найти уравнение z(x, у) свободной по-
поверхности идеальной несжимаемой жидкости
в цилиндрическом сосуде, равномерно вращаю-
вращающемся с угловой скоростью со (см. рисунок).
14.22. Показать, что плотность р одно-
однородной изотермической равновесной атмосфе-
атмосферы изменяется с высотой по барометрическому
-trhlRT К задаче 14.21
закону р = рое g'l/ilJ , где ро — плотность на
поверхности Земли, Т — температура, R — универсальная газовая
постоянная.
14.23. Потенциальная энергия консервативной системы П =
= П(д5+1, ..., qn) не зависит от обобщенных координат gi, #2, • • •,
qs Найти положения равновесия системы.
146 2. Аналитическая механика
14.24. Сформулировать необходимые и достаточные условия
того, что положение qi = ai (г = 1, п) натуральной системы с иде-
идеальными связями является положением равновесия, если уравне-
уравнения Лагранжа имеют единственное решение при заданных началь-
начальных условиях. Кинетическую энергию системы Т = Тч + Т\ + То =
п
aik(Qj, t)<jnqk + Z) bi(qj, *)& +7o(?j> *) и обобщенные силы
^ п
Qi — QiiVji Qj-, t) считать известными функциями. Из полученных
условий вывести принцип возможных перемещений для случая скле-
склерономной системы.
14.25. Для отыскания положений равновесия сложных механиче-
механических систем используют различные численные методы. В частности,
для консервативной системы с потенциалом П(ж^), г — 1, п, состав-
составляют систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка вида
~dt= Ъх~7 (ij* = 1'n) w
и решают ее на ЭВМ, перебирая по некоторому правилу возможные
начальные условия xs@) = x°s. Показать, что если процесс в системе
(*) для некоторого x°s (s = 1, п) сходится, т.е. если существуют
пределы lim xs(x®, t) = ys (г, s = 1, n), то положение xs =ys (s =
= 1, n) является полож:ением равновесия системы.
14.26. Показать, что в условиях предыдущей задачи вместо си-
системы (*) можно рассматривать систему вида
(
Х°-*°{ дх1 ' дх2 '•••' дхп
где функции Fs [z\, ..., zn) таковы, что система алгебраических урав-
уравнений Fs(zi) = 0 (г, s = 1, п) имеет только нулевое решение (z\ =
= z2 = ... = zn = 0).
14.27. Материальная точка может скользить без трения по
поверхности /(ж, у, z) = 0 в силовом поле с потенциалом П(ж, у, z).
Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, показать,
что всем стационарным точкам функции Ф = П(ж, у, z)+Xf(x, у, z)
(X — неопределенный множитель Лагранжа), удовлетворяющим
уравнению поверхности, соответствуют положения равновесия
точки, и обратно.
14.28. Шарик может скользить без трения по проволоке, изогну-
изогнутой в форме плоской кривой 2-го порядка ах2 + Ъху + су2 + ах + $у +
+ р = 0, 4ас — Ь2 ф 0. Найти положения равновесия шарика, если ось
О у направлена вертикально вверх.
j 14. Условия равновесия 147
14.29. Материальная точка в силовом поле F = {Fx(x, y^z\
Fy(x,y, z), Fz(x,y, z)} может двигаться без трения по поверхности
/(ж, у, z) = 0. Показать, что любое решение системы
(относительно переменных ж, у, z, X) определяет положение рав-
равновесия (ж, у, г) точки и, обратно, любому положению равновесия
(ж, у, ?) соответствует решение системы
(ж, у, яД).
14.30. Гибкая нерастяжимая нить ^ L- -J*
Л В (см. рисунок), концы которой закреп- ^
лены, находится в равновесии под дей-
ствием распределенной силы F = ?(s) = ^
г v/ Г \/( \л тл к заДаче 14-30
= \X\s)^ rEJ), где s — длина дуги. По-
Показать, что функции х = x(s), у = y(s), определяющие равновесную
форму нити и натяжение Т = T(s), являются решением системы
дифференциальных уравнений
Из каких условий можно определить произвольные постоянные, вхо-
входящие в это решение?
14.31. На склерономную систему наложены удерживающие свя-
связи fs{xi, Уг-, Z{) — 0 (s = 1, m; г = 1, п) и неудерживающие связи
gv(xi, yi, Zi) ^ 0 (v = 1, к). В некотором положении из всех неудержи-
вающих напряжены только связи gl5 ..., gi (I ^ к). Каким условиям
удовлетворяют возможные перемещения в этом положении?
14.32. Шарик массы m подвешен на гибкой нерастяжимой нити
длины / (неудерживающая связь). Показать, что в положении рав-
равновесия шарика для любых возможных перемещений, допускаемых
связью, выполняется неравенство 5П ^ 0, где П — потенциал сил,
и что справедливо также обратное утверждение.
14.33. На систему материальных точек с массами mi,m2, ...
... , mn, которая может двигаться в силовом поле с потенциалом
n(ri,r2, ...,rn), наложены идеальные удерживающие и неудержи-
неудерживающие стационарные связи. Доказать, что в положении равновесия
148
2. Аналитическая механика
системы dH ^ 0 на любых возможных в этом положении перемеще-
перемещениях и, обратно, что все точки, где дП ^ 0 на любых возможных
перемещениях, будут положениями равновесия.
14.34. Система движется в потенциальном поле П = ^2 ЫкЯк
к=1
причем на нее наложена неудерживающая идеальная
связь ^2 д? — 1 ^ 0. Найти положение равновесия системы.
г=1
14.35. Доказать справедливость следующего утверждения: для
того чтобы некоторое положение склерономной системы, на которую
наложены удерживающие и неудерживающие связи, было положе-
положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении
работа сил, действующих на точки системы, на любом возможном
(допускаемом связями) перемещении была неположительна.
14.36. Проволочная окружность радиуса г (см. рисунок) враща-
вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг своего вертикального
диаметра. Найти положения относительного равновесия колечка, ко-
которое может скользить по окружности без трения.
14.37. Два стержня АВ = I и ВС = I массы т\ и m<i соответ-
соответственно (см. рисунок) вращаются с постоянной угловой скоростью
со вокруг вертикальной оси. Найти угол ср, который стержень А В
образует с вертикалью в положении относительного равновесия.
К задаче 14.36
К задаче 14.37
К задаче 14.38
14.38. Найти зависимость между угловой скоростью со вращения
вала и углом ср отклонения стержней О А в О В от вертикали в поло-
положении относительного равновесия центробежного регулятора, схема
которого показана на рисунке. Шарики регулятора Аи В имеют мас-
массу т каждый, муфта С имеет массу М = am; жесткость пружины,
соединяющей точки О и С, равна &, а ее длина в недеформированном
§ 15. Устойчивость равновесия консервативных систем 149
состоянии равна 2/, АО = ВО = 2/, ОМ = ON = CM = CN = I.
Массой стержней пренебречь.
14.39. Материальные точки Ло, А\, Ач, ..., Ап (см. рис. к за-
задаче 14.6.) последовательно соединены одна с другой невесомыми
стержнями одинаковой длины /. Вся система, расположенная в верти-
вертикальной плоскости, вращается с угловой скоростью со вокруг вертика-
вертикали, проходящей через неподвижную точку Aq. Составить уравнения,
определяющие все положения равновесия системы.
14.40. Маятник составлен из п одинаковых стержней массы га
и длины / каждый, последовательно, соединенных друг с другом
шарнирами (n-звенный маятник). Маятник может совершать дви-
движение в вертикальной плоскости Я, которая вращается с постоянной
угловой скоростью со вокруг вертикали, проходящей через точку Aq
закрепления конца первого стержня. Составить уравнения, опреде-
определяющие положения относительного равновесия системы. (См. рис.
к задаче 14.6.)
14.41. Материальная точка может двигаться по линии пересе-
пересечения двух плоскостей — 2х± + хч + х% — t = 0, х\ — 2хч + х% +t2 = 0.
Найти систему бесконечно малых возможных перемещений точки.
14.42. Используя принцип возможных перемещений, доказать
теорему о трех силах: если свободное твердое тело находится в поло-
положении равновесия под действием трех сил, то линии действия этих
сил пересекаются в одной точке.
14.43. Кинетическая энергия механической системы в обобщен-
обобщенных координатах q = (#г)™=1 задается квадратичной формой Т =
1 П
= 9 ^ aik(Q,t)<iiQki коэффициенты аи* которой явно зависят от
2 i,k=l
времени. Доказать, что для таких систем справедлив принцип воз-
возможных перемещений: положение системы qi = C{ является положе-
положением равновесия в том и только том случае, если в этом положении
все обобщенные силы равны нулю.
§ 15. Устойчивость равновесия консервативных
систем
15.1. Частица массы га, несущая заряд е, находится в электри-
электрическом поле неподвижного заряда q. Найти положение равновесия
частицы в однородном поле тяжести и исследовать его устойчивость.
15.2. Стержень А В (см. рисунок), образующий угол а с верти-
вертикалью, вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг верти-
вертикальной оси О\Оч- По стержню может двигаться без трения тяжелое
колечко массы га, соединенное с неподвижным концом стержня А
150
2. Аналитическая механика
пружиной жесткости с. Длина пружины в не деформированном состо-
состоянии равна /о- Найти положения относительного равновесия колечка
и исследовать их устойчивость.
К задаче 15.2
К задаче 15.3
15.3. По гладкой проволочной окружности радиуса R (см. ри-
рисунок), неподвижно закрепленной в вертикальной плоскости, может
скользить тяжелое колечко массы га, соединенное с наивысшей точ-
точкой Л окружности пружиной жесткости с; длина пружины в неде-
формированном состоянии равна Iq. Найти положения равновесия
колечка и исследовать их устойчивость.
15.4. Материальная точка находится в поле тяжести на поверх-
поверхности, определяемой уравнением:
а) z = 4x2 + 2xy + y2;
б) z = х2 -ху + у2]
в) z = х2 + ху — у2]
г) z = 4х2-2ху + 2у2;
д) z = 2ху.
Найти положения равновесия материальной точки на каждой по-
поверхности и исследовать их устойчивость, если трение в системе
отсутствует, а ось Oz направлена вверх.
15.5. Гантель ЛВ длины 21 (см. рисунок) состоит из двух одина-
одинаковых масс га, соединенных невесомым стержнем. Каждая из масс
притягивается к неподвижному центру О по закону F = — осга/г2,
где г = О А — О В. Центр гантели может перемещаться по гладкой
горизонтальной направляющей Ож, вращающейся с постоянной угло-
угловой скоростью со вокруг неподвижной вертикальной оси Oz, причем
гантель не поворачивается относительно направляющей. Найти поло-
положения относительного равновесия гантели во вращающейся системе
координат и исследовать их устойчивость.
15.6. Шарик, подвешенный на невесомом стержне длины /, мо-
может совершать колебания в вертикальной плоскости, которая вра-
§ 15. Устойчивость равновесия консервативных систем
151
щается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса
маятника, с угловой скоростью со = const. Найти угол отклонения ср
стержня от вертикали в положении относительного равновесия. Ис-
Исследовать устойчивость соответствующих положений равновесия.
К задаче 15.5
К задаче 15.7
15.7. Прямой угол ABC (см. рисунок) вращается с постоянной
угловой скоростью со = уg/(ly/S) вокруг вертикальной оси AD.
В точке С с углом шарнирно соединен невесомый стержень СМ,
несущий на свободном конце груз массы т; длина стержня СМ —
= / вдвое больше длины стороны ВС угла. Показать, что положение
груза, соответствующее ср = тс/6, является положением устойчивого
равновесия во вращающейся системе отсчета.
15.8. Тяжелый шарик массы т может скользить по гладкой
проволоке, изогнутой в форме параболы х2 = 2ру и вращающейся
с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси Оу.
Найти положения относительного равновесия шарика и исследовать
их устойчивость.
15.9. Шарик (см. рисунок) находится в полости гладкой трубки,
изогнутой по эллипсу -^ + ^ = 1и вращающейся вокруг вертикаль-
а Ь
ной оси О у с постоянной угловой скоростью со. Определить положе-
положения относительного равновесия точки и исследовать их устойчивость.
15.10. По гладкой проволочной окружности радиуса R (см. ри-
рисунок), неподвижно закрепленной в вертикальной плоскости, могут
двигаться два тяжелых колечка В\ и Вч с массами т\ и m<i- Ко-
Колечки связаны между собой упругой нитью жесткости с, которая
пропущена через неподвижное кольцо, расположенное в наивысшей
точке А окружности; длина нити в недеформированном состоянии
равна /о- Найти положение равновесия системы и исследовать его
устойчивость.
152
2. Аналитическая механика
15.11. Два одинаковых шарика, связанные пружиной жестко-
жесткости с, могут скользить без трения по сторонам прямого угла, лежа-
К задаче 15.9
К задаче 15.10
щего в горизонтальной плоскости. Длина пружины в не деформиро-
деформированном состоянии равна /о- Найти положения равновесия шариков
и исследовать их устойчивость.
15.12. Однородный цилиндр А массы mi и радиуса г (см. ри-
рисунок) может катиться без проскальзывания внутри неподвижного
полого цилиндра радиуса R. К цен-
центру цилиндра А на невесомой упругой
нити жесткости с подвешена бусинка
массы Ш2- Найти положения равнове-
равновесия системы и исследовать их устой-
устойчивость.
15.13. Груз массы т (см. рису-
рисунок) подвешен на невесомой нерастя-
нерастяжимой нити длины / к точке А одно-
однородного стержня массы М, который
может вращаться вокруг закреплен-
закрепленной точки О (АО = /i, OB = I2). Движение происходит в вертикаль-
вертикальной плоскости. Найти положения равновесия системы и исследовать
их устойчивость.
15.14. Система (см. рисунок), состоящая из двух жестко связан-
связанных гладких стержней ОхиОу, угол между которыми равен а < тс/2,
вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикального
стержня О у. По каждому из стержней может двигаться колечко мас-
массы т. Колечки притягиваются друг к другу с силой, пропорциональ-
пропорциональной расстоянию между ними (коэффициент пропорциональности а).
Найти положения относительного равновесия колечек и исследовать
их устойчивость.
К задаче 15.12
§ 15. Устойчивость равновесия консервативных систем
153
15.15. Материальная точка движется по гладкому параболоиду
z = ах2 + $у2 (а > О, Р > 0), который вращается с постоянной угловой
К задаче 15.13
К задаче 15.14
скоростью со вокруг вертикальной оси Oz. Найти условие, при кото-
котором точка с координатами @,0,0) является положением устойчивого
равновесия в системе отсчета, связанной с параболоидом.
15.16. Материальная точка может двигаться по поверхности
х2 у2 z2 1
гладкого эллипсоида —^ Н—^Н—^ ~ 1 с полуосями а < о < с, вра-
вращающегося с постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной
вертикальной оси Oz. Найти положения относительного равновесия
точки и исследовать их устойчивость.
15.17. Доказать теорему Ирншоу: любая статическая конфигура-
конфигурация электрических зарядов является неустойчивой. Обсудить в связи
с этим вопрос об устойчивости молекул.
15.18. Кинетическая энергия и потенциальная энергия консер-
консервативной системы представляют собой квадратичные формы
П=
i,k=l
с постоянными коэффициентами, причем Т — положительно опре-
определенная форма. Доказать, что для этой системы условия теоремы
Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной системы яв-
являются необходимыми и достаточными условиями устойчивости.
15.19. Потенциальная энергия П(д) = П(дх,...,дп) консер-
консервативной системы является дважды непрерывно дифференциру-
дифференцируемой ограниченной снизу строго выпуклой функцией (П(осж^ +
+ A — а)уг) ^ all(xi) + A — ос)П(^), 0 ^ а ^ 1, а равенство имеет
154
2. Аналитическая механика
место лишь при Х{ — yi). Показать, что если положение системы
q = а является положением равновесия, то оно будет устойчивым,
причем других положений равновесия не будет.
15.20. Показать, что положение равновесия qi = ai{i = \)n) кон-
консервативной системы будет устойчиво, если потенциальная энергия
П(<7ь Q2-, • - • 1 Яп) является дважды непрерывно дифференцируемой
локально строго выпуклой функцией в точке а (т.е. в некоторой
достаточно малой окрестности точки а при 0 ^ ос ^ 1 выполняется
соотношение П(аж^ + A — и)у%) ^ аП(ж^) + A — а)П(^), где равенство
имеет место лишь при Х{ — yi). Убедиться в том, что в нижнем
положении равновесия математического маятника его потенциальная
энергия является локально строго выпуклой функцией.
15.21. По гладкому кольцу радиуса R (см. рисунок), располо-
расположенному в вертикальной плоскости, может скользить стержень дли-
длины 27?. По стержню может двигаться без трения бусинка массы га,
соединенная с одним из концов стержня пружиной жесткости с ф
Ф 2mg/R, длина которой в недеформированном состоянии равна
R/ 2. Найти положения равновесия системы и исследовать их устой-
устойчивость.
В
К задаче 15.21
К задаче 15.22
15.22. По гладкому кольцу радиуса R (см. рисунок), расположен-
расположенному в вертикальной плоскости, может скользить своими концами
невесомый стержень Л В длины 21. По стержню Л В может переме-
перемещаться без трения бусинка массы ш, соединенная с точками Л и В
пружинами жесткости с. Длины пружин в ненапряженном состоянии
равны 7?, плоскость кольца вертикальна. Используя обобщенные ко-
координаты ж, ф, найти положения равновесия системы и исследовать
их устойчивость.
15.23. Материальная точка может двигаться вдоль оси Ох под
действием силы F(x), зависящей только от положения точки. Пред-
Предполагая функцию F(х) достаточно гладкой, показать, что равновесие
х — а будет устойчиво в том и только в том случае, если на фазовой
§ 16. Малые колебания консервативных систем 155
плоскости (ж, х) существует замкнутая траектория, содержащая точ-
точку {а, 0} внутри себя.
15.24. В условиях задачи 14.36 исследовать устойчивость поло-
положений относительного равновесия колечка.
§ 16. Малые колебания консервативных систем
16.1. Зависят ли собственные частоты малых колебаний кон-
консервативной системы вблизи устойчивого положения равновесия от
выбора обобщенных координат (переход от одних координат к другим
осуществляется при помощи стационарного преобразования)?
16.2. Объяснить, почему в консервативной системе с двумя сте-
степенями свободы, у которой Т = (q\ + <7|)/2 иП = (^ + Q^)/^ лишена
смысла задача о малых колебаниях и необходимо исследовать нели-
нелинейные колебания.
1 п
16.3. В выражениях кинетической Т = - ^ UikQiQk и потенци-
г,к=1
1 П
альной П = - ^2 cik4i4h энергий консервативной системы коэффи-
Ч*1
циенты постоянны и связаны равенствами с^ = Ха^ (г, к = 1, п), где
А — положительное число. Показать, что в этой системе возможны
колебания лишь с одной частотой со = л/Х.
16.4. Механическая система с п степенями свободы совершает
малые колебания. Определить собственную частоту соп, если извест-
известны собственные частоты coi, C02, • • •, con_i и определители det А и det С
матриц коэффициентов кинетической и потенциальной энергий.
16.5. Вековое уравнение а^Х4 + aiXn~1 +.. .-\-ап-\Х-\-ап = 0 (Х =
= со2) малых колебаний некоторой консервативной системы имеет
два различных корня Х\ и Аз кратности к и п — к соответственно.
Показать, что Ai и А2 удовлетворяют уравнениям
I «о
16.6. Показать, что амплитудные векторы Uj и U&, соответствую-
соответствующие различным собственным частотам малых колебаний консерва-
консервативной системы, линейно независимы.
16.7. Собственным частотам малых колебаний консервативной
системы coj ф со& соответствуют амплитудные векторы Uj и щ. По-
Показать, что векторы ш и щ ортогональны, если скалярное произ-
156 2. Аналитическая механика
п
ведение определить следующим образом: (х, у) = J^ а^ж^ь гДе
i,k=l
А = {спи)™k=\ — матрица кинетической энергии системы.
1 п
16.8. Кинетическая Т = - ^2 агк4г4к и потенциальная П =
2i,k=i
I п
— 9 S cikQiQk энергии некоторой консервативной системы пред-
ставляют собой положительно определенные квадратичные формы
с постоянными коэффициентами. Свойства симметрии этой систе-
системы позволяют найти амплитудные векторы ui, 112,..., um (га ^ п).
Найти соответствующие собственные частоты системы, не решая
векового уравнения.
16.9. Консервативная система, у которой кинетическая Т =
Л П Л П
= 9 S аъкЯ%Як и потенциальная П = - ^ cikqiqk энергии пред-
Zi,k=l Zi,k=l
ставляют собой положительно определенные квадратичные формы
с постоянными коэффициентами, имеет собственные частоты pi,
V2-, - • -5 Рп и амплитудные векторы щ, U2,..., un. Найти собственные
частоты <$i и амплитудные векторы v^ консервативной системы с ки-
1 п а2 п
нетической Т = - Y, aikQiQk^ потенциальной П = — J] aikqiqk +
Z i,k=l Z i,k=l
р2 п
+ 7 Е CikQiQk энергиями.
Z г,к=1
16.10. Материальная точка Л массы га, которая может скользить
по гладкой горизонтальной направляющей у = а, притягивается к на-
началу координат О силой с потенциалом П = П(г), где г = О А. Найти
период малых колебаний точки в окрестности устойчивого положения
равновесия х = 0, у = а.
16.11. В Земле прорыта прямолинейная сквозная шахта, в ко-
которой движется без сопротивления материальная точка. Доказать,
что период Т колебаний точки, опущенной с поверхности Земли с ну-
нулевой начальной скоростью, равен периоду маятника Шулера, т.е.
Т « 84 мин. (Маятником Шулера называют такой математический
маятник, длина которого равна радиусу Земли.)
16.12. Неоднородный диск радиуса R и массы М (см. рису-
рисунок), центр масс С которого расположен на расстоянии а от его
геометрического центра О, может катиться без проскальзывания по
горизонтальной направляющей. Момент инерции диска относитель-
относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр
§ 16. Малые колебания консервативных систем
157
масс, равен J. Найти малые колебания системы около устойчивого
положения равновесия.
У \
'т$ш:шшшшшш$шш.
К задаче 16.12
К задаче 16.13
16.13. Обруч массы М и радиуса R (см. рисунок) может качаться
в вертикальной плоскости, опираясь на неподвижный цилиндр ра-
радиуса г; проскальзывание между цилиндром и обручем отсутствует.
Показать, что период малых колебаний обруча будет совпадать с пе-
периодом колебаний математического маятника длины 2(R — r).
16.14. Точка подвеса математического маятника длины / дви-
движется по горизонтальной прямой по закону s = at2/2. Найти малые
колебания маятника в системе отсчета, поступательно движущейся
вместе с точкой подвеса.
16.15. Тяжелое колечко массы т может скользить по неподвиж-
х2
ному гладкому проволочному эллипсу, задаваемому уравнением —« +
а
у
-\—2~ = 1, ось О у которого вертикальна. Найти малые колебания
колечка около устойчивого положения равновесия.
16.16. Тяжелое колечко массы т может скользить по гладкому
ж2 ^ У2 л
проволочному эллипсу —2" Н—2" = 1, вращающемуся с постоянной
угловой скоростью со вокруг вертикальной оси Оу. Найти малые ко-
колебания колечка около устойчивого положения относительного рав-
равновесия.
16.17. Тяжелое колечко массы т может скользить по гладкой
проволочной параболе у = х2/B1) (ось Оу направлена вертикально
вверх). Показать, что период малых колебаний колечка вблизи поло-
положения равновесия совпадает с периодом математического маятника
длины /.
16.18. В гладкой горизонтальной трубке (см. рисунок), вра-
вращающейся с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной
оси Oz, находится шарик массы ш, связанный с осью невесомой
158
2. Аналитическая механика
пружиной жесткости с. В начальный момент шарик находился в по-
покое относительно трубки на расстоянии а от оси О z и пружина
была недеформирована. Пренебрегая размерами шарика, найти зна-
значения со, при которых он совершает финитное движение, и найти при
этих значениях со малые колебания шарика во вращающейся системе
отсчета.
16.19. Конец О невесомого стержня длины / (см. рисунок), на
другом конце которого находится точечная масса т, шарнирно со-
соединен с вертикальным валом, вращающимся с постоянной угловой
скоростью со. Найти малые колебания стержня около устойчивого
положения относительного равновесия.
О
¦ЛЛЛ/Q ¦
К задаче 16.18
К задаче 16.19 К задаче 16.20
16.20. Математический маятник длины / (см. рисунок) соверша-
совершает колебания в плоскости, вращающейся вокруг вертикальной оси.
Точка подвеса маятника находится на расстоянии 1/2 от оси вра-
вращения. Угловая скорость вращения плоскости равна со = у g/'(д/З/).
Найти малые колебания маятника во вращающейся системе отсчета
вблизи положения равновесия фо = тс/6.
16.21. В поле двух неподвижных частиц одинакового заряда е,
находящихся на расстоянии а одна от другой, движется частица
массы т, несущая такой же заряд е. Считая, что движение совер-
совершается по прямой, соединяющей неподвижные заряды, найти поло-
положение равновесия частицы и ее малые колебания в окрестности этого
положения.
16.22. Гантель (см. рис. к задаче 15.5), состоящая из двух оди-
одинаковых масс т, связанных невесомым нерастяжимым стержнем
длины 2/, может перемещаться поступательно по гладкой горизон-
горизонтальной направляющей Ож, которая вращается с постоянной угловой
скоростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О.
Массы притягиваются к точке О силами F = — осга/г2, где г —
§ 16. Малые колебания консервативных систем
159
расстояние до точки О. Найти частоту малых колебаний гантели
вблизи ее устойчивого положения равновесия.
16.23. Бусинка массы га, которая может двигаться по гладкой
проволочной прямой А В, притягивается точками бесконечно тонкой
однородной окружности радиуса R и массы М. Центр окружности
лежит на прямой А В, а ее плоскость перпендикулярна этой прямой.
Силы притяжения подчиняются закону Ньютона: F{ — —к^т/г2,
где jll^ — масса элемента окружности. Найти частоту малых колебаний
бусинки.
16.24. Внешняя ось рамки деклинометрического гироскопа (А =
= В ф С, СП = //), установленного на географической широте ср,
направлена по вертикали (см. рисунок). Момент инерции рамки от-
относительно внешней оси равен J. Найти малые колебания оси ротора
гироскопа около направления на север. Угловая скорость вращения
Земли равна соз-
4 соз sin ф
Вертикаль
соз sin ф
Вертикаль
Восток
соз cos ф
Север
Восток
К задаче 16.24
Север
К задаче 16.25
соз cos ф
16.25. Внешняя ось рамки инклинометрического гироскопа {А =
= В фС\ С ft = Я), изображенного на рисунке, установлена горизон-
горизонтально в направлении «восток-запад» на географической широте ср.
Момент инерции рамки относительно внешней оси равен J. Найти
малые колебания оси ротора гироскопа относительно положения рав-
равновесия. Угловая скорость вращения Земли равна соз-
16.26. Шарик массы т (см. рисунок), подвешенный на пружине
жесткости с, во время движения может ударяться о преграду, как
показано на рисунке. Расстояние от преграды до положения рав-
равновесия шарика равно h. Считая удар абсолютно упругим, найти
частоту колебаний шарика. Рассмотреть картину движения шарика
на фазовой плоскости (ж, ж).
160
2. Аналитическая механика
16.27. Решить предыдущую задачу в предположении, что шарик
может двигаться между двумя преградами, как показано на рисун-
рисунке. Расстояния от положения равнове-
равновесия шарика до преград равны h\ и hi-
16.28. Груз массы т (см. рису-
рисунок) может двигаться по гладкой гори-
горизонтальной направляющей. Две пру-
пружины жесткости с\ и С2, прикреплен-
прикрепленные к стенкам в точках А и В, имеют
в недеформированном состоянии дли-
длины 1\ и /2 соответственно, 1\ + /2 <
< А В = L. Сила F взаимодействия
груза с пружинами определяется при-
приведенным графиком. Пренебрегая раз-
размерами груза, найти период его колебаний и изобразить траекторию
движения на фазовой плоскости.
16.29. Обращенный математический маятник массы т и длины /
(см. рисунок) может совершать колебания между преградами, обра-
образующими с вертикалью Oz малый угол а. Считая удар о преграду
абсолютно упругим, найти приближенное значение периода колеба-
колебаний маятника.
V///////////////A
У//////////////////;
К задаче 16.26 К задаче 16.27
1
1A/VV4
F 4
К задаче 16.28
16.30. Математический маятник массы т и длины / (см. рису-
рисунок) может совершать колебания между двумя вертикальными стен-
стенками, причем расстояния L\ и L<i между точкой подвеса маятника
и стенками удовлетворяют неравенству L\-\- L<i <С I. Считая удары
абсолютно упругими, найти такое значение ф@), чтобы при ср(О) = О
частота со = 104 yg/l-
16.31. Однородный горизонтальный диск может поворачиваться
без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр О;
момент инерции диска относительно этой оси равен J. В круговом
§ 16. Малые колебания консервативных систем
161
желобе радиуса г с центром в точке О совершает малые колеба-
колебания точка массы т, которая связана с диском лежащей в желобе
пружиной жесткости с. Найти частоту колебаний точки и сравнить
ее с частотой колебаний в случае неподвижно закрепленного диска.
(Эффект ухода вперед карманных часов, помещенных на гладкий
горизонтальный стол.)
L2
Z и
О
К задаче 16.30
К задаче 16.32
16.32. Гладкая проволочная окружность радиуса г и массы М
(см. рисунок), соединенная с горизонтальной неподвижной плоско-
плоскостью двумя одинаковыми пружинами жесткости с каждая, может
поступательно перемещаться по вертикали. По внутренней стороне
окружности может двигаться шарик массы т. Найти малые колеба-
колебания системы около устойчивого положения равновесия.
16.33. Колебательная система, представленная на рисунке, поме-
помещена на Земле и на Марсе; силы тяжести параллельны прямой А В.
Найти малые движения систем. Чем различаются эти
движения?
16.34. Два груза массами rai и Ш2 (см. рисунок)
связаны между собой и с неподвижной стенкой одина-
одинаковыми пружинами жесткости с. В каком соотношении
должны находиться массы mi и m<i для того, чтобы
вектор Ui = ( _.| ) был амплитудным? При этих значе-
1
i
m
с
m
К задаче 16.33
6 Е. С. Пятницкий и др.
К задаче 16.34
162
2. Аналитическая механика
ниях масс найти второй амплитудный вектор U2 и частоты главных
колебаний.
16.35. Два одинаковых груза массы т (см. рисунок), связанных
между собой и с неподвижными стенками пружинами жесткости с
каждая, совершают малые колебания по гладкой горизонтальной
направляющей. Как изменится наименьшая частота главных колеба-
колебаний системы, если один из грузов неподвижно закрепить? (Эффект
Ре лея.)
К задаче 16.35
К задаче 16.37
16.36. В условиях задачи 15.14 найти малые колебания в окрест-
окрестности устойчивого равновесия, приняв а = тс/3, гаоо2 = 5а/9.
16.37. Найти закон изменения во времени зарядов q\ и qi в кон-
контуре, представленном на рисунке. В начальный момент <7i@) = дю,
?2(О) = 92о, ?i@) = ?2@) = 0.
16.38. Электрический контур, изображенный на рисунке, моде-
моделирует явление биений. Найти закон изменения зарядов q\(t) и ^(О?
если в начальный момент <7i@) = #ю, #2@) = #2(b #i@) = #2@) = 0.
К задаче 16.38
К задаче 16.39
К задаче 16.40
16.39. Две массы т\ = 1712 = т (см. рисунок), связанные между
собой пружиной жесткости с, могут двигаться по гладкому неподвиж-
неподвижному горизонтальному кольцу радиуса R] длина пружины в не дефор-
деформированном состоянии равна Ry/2. Найти малые колебания системы.
16.40. Доска массы т (см. рисунок), которая может скользить
по гладкой горизонтальной направляющей, связана с неподвижны-
неподвижными стенками двумя одинаковыми пружинами жесткости с каждая.
По верхней стороне доски катится без проскальзывания диск массы
§ 16. Малые колебания консервативных систем
163
т/2 и радиуса г, центр которого соединен с краем доски пружиной
жесткости 2с. Найти малые колебания системы.
16.41. Два одинаковых однородных диска массы т каждый
(см. рисунок) могут катиться без проскальзывания по горизонталь-
горизонтальной направляющей. Центры дисков соединены между собой и с непо-
неподвижными стенками одинаковыми пружинами жесткости с. Найти
малые колебания системы.
Х\ Х2
К задаче 16.41
16.42. Однородный диск радиуса г и массы т (см. рисунок),
центр которого соединен с неподвижными стенками двумя одинако-
одинаковыми пружинами жесткости с каждая, катится без проскальзывания
по горизонтальной прямой. К центру диска подвешен математиче-
математический маятник длины / и массы т/2. Считая, что cl = mg, найти
малые колебания системы.
т/2
К задаче 16.42
К задаче 16.43
16.43. К центру однородного цилиндра радиуса г и массы т
(см. рисунок), который может катиться без проскальзывания вну-
внутри неподвижного полого цилиндра радиуса 72, подвешен матема-
математический маятник массы т/2 и длины / = (R — г)/2. Найти малые
колебания системы вблизи устойчивого положения равновесия, если
в начальный момент ср(О) = 0, 9@) = 90, ф@) = 0@) = 0.
16.44. Однородный круглый диск радиуса г и массы т (см. ри-
рисунок) подвешен на невесомой нерастяжимой нити длины / = Зг/2.
Найти малые колебания системы в вертикальной плоскости.
16.45. К концу Л однородного стержня Л В массы М и длины
За (см. рисунок), который может поворачиваться в вертикальной
плоскости вокруг неподвижной точки О (АО = а), на невесомой
нерастяжимой нити длины / = а подвешен грузик массы т = ЗМ/4.
164
2. Аналитическая механика
Найти малые колебания системы вблизи устойчивого положения рав-
равновесия.
16.46. К концу Л однородного стержня Л В массы mi = 2т
и длины 21 (см. рисунок), который может поворачиваться в верти-
К задаче 16.44
К задаче 16.45
кальной плоскости вокруг неподвижной точки О (АО = Л5/3), на
невесомой нерастяжимой нити длины / подвешен грузик массы т.
Конец В стержня прикреплен к неподвижному основанию пружи-
пружиной жесткости с (при горизонтальном положении стержня пружина
ненапряжена). Найти малые колебания системы около устойчивого
положения равновесия.
К задаче 16.46
1__
К задаче 16.47
16.47. Найти малые колебания обращенного двойного маятника,
изображенного на рисунке, вблизи устойчивого вертикального поло-
положения равновесия.
16.48. Решить предыдущую задачу считая, что система располо-
расположена в горизонтальной плоскости.
§ 16. Малые колебания консервативных систем
165
16.49. Точка подвеса двойного маятника, состоящего из двух
одинаковых однородных стержней длины / каждый, движется с по-
постоянным ускорением wq вдоль горизонтальной прямой. Найти малые
колебания маятника в подвижной системе отсчета.
16.50. Однородный цилиндр Л радиуса г и массы т (см. рису-
рисунок) катится без проскальзывания по внутренней поверхности полого
цилиндра В радиуса R и той же массы т, который может вращать-
вращаться вокруг своей горизонтально расположенной неподвижной оси О.
Найти малые колебания системы.
16.51. По внутренней поверхности полого цилиндра радиуса R
и массы М (см. рисунок), который может свободно качаться вокруг
горизонтальной образующей О, катится без проскальзывания одно-
однородный цилиндр радиуса г = R/A и той же массы М. Найти малые
колебания системы вблизи устойчивого положения равновесия.
К задаче 16.50
К задаче 16.51
К задаче 16.52
16.52. Три цилиндрические трубы с радиусами Rq = 3r, R\ = 2г,
R2 = г вложены одна в другую, как показано на рисунке. Внешняя
труба радиуса Rq неподвижна, проскальзывание между трубами
отсутствует, а их массы равны соответственно mi = 3m и m<i —
= т. Найти малые колебания системы около устойчивого положения
равновесия.
16.53. Материальная точка находится на внутренней поверхно-
поверхности неподвижного эллипсоида с полуосями a, b и с, главная ось Oz
которого направлена по вертикали. Найти малые колебания точки
в окрестности устойчивого положения равновесия.
16.54. По гладкому параболоиду z = ах2 + $у2 (а > О, Р > 0),
вращающемуся с постоянной угловой скоростью П вокруг вертикаль-
вертикальной оси Oz, может двигаться материальная точка. Найти малые
колебания точки в окрестности устойчивого положения равновесия
в системе координат, связанной с параболоидом.
166
2. Аналитическая механика
16.55. Найти общее решение задачи о малых колебаниях мате-
материальной точки, находящейся в поле силы тяжести на поверхности,
заданной уравнением (ось Oz направлена вертикально вверх):
а) lz-4x2-2xy-y2 = 0]
б) lz-2x2-2xy-3y2 = 0]
в) lz — х2 — ху — у2 = 0.
16.56. Твердое тело (Л > В > С) может свободно вращаться
вокруг неподвижного центра инерции. В начальный момент телу
сообщают достаточно большую угловую скорость fl относительно
наименьшей (наибольшей) оси эллипсоида инерции. Найти частоты
малых колебаний наименьшей (наибольшей) оси эллипсоида инерции.
16.57. Гиромаятник представляет собой быстро вращающийся
гироскоп (Л = В ф С, Си = Н) в кардановом подвесе; вес гироскопа
равен G, его центр масс лежит на оси симметрии на расстоянии s
от точки подвеса. Найти частоты малых колебаний оси симметрии
гироскопа.
16.58. Прибор, демонстрирующий работу гиромаятника, пред-
представляет собой гироскоп (А = В ф С) в кардановом подвесе (см. рису-
рисунок) . Ротор гироскопа вращается вокруг оси симметрии с постоянной
К задаче 16.58
угловой скоростью П (СИ = Н). Внутреннее кольцо вращается отно-
относительно внешнего кольца, последнее — относительно неподвижного
основания; моментами инерции колец пренебречь. Пружины жестко-
жесткости с между внутренним и внешним кольцами, а также между внеш-
внешним кольцом и основанием обеспечивают взаимную ортогональность
всех трех осей. Найти малые колебания оси гироскопа, используя
углы аир, показанные на рисунке.
16.59. Измерительный гирокомпас, применяемый для работы
на неподвижном относительно Земли основании, представляет собой
гироскоп (Л = В ф С, Cwz = Н) в кардановом подвесе (см. рисунок).
Наружная ось внешней рамки вертикальна, ось внутренней рамки —
кожуха гироскопа — горизонтальна; моментами инерции внешней
рамки и кожуха можно пренебречь. Груз массы ш, прикрепленный
§ 16. Малые колебания консервативных систем
167
внизу к кожуху гироскопа на расстоянии / от его оси, превращает
кожух в маятник, так что ось ротора при работе гирокомпаса остается
почти горизонтальной. Найти малые колебания оси гироскопа вблизи
положения равновесия.
A ce>3Sin(p
\ Вертикаль
777-1
777-2
Север
К задаче 16.59
К задаче 16.60
16.60. Найти малые вертикальные колебания системы трех гру-
грузов, соединенных между собой и с неподвижной опорой одинаковыми
пружинами жесткости с. Массы грузов т\ — тпч — гп, тз = т/2.
16.61. Найти малые крутильные колебания дисков (см. рисунок),
насаженных на упругий вал, при следующих начальных условиях:
ф.@) = Ф9, щ@) = ф9 (г = ТТЗ). Жесткости участков АВ, ВС и CD
вала на кручение одинаковы и равны с, моменты инерции J\ = J\\ =
= J, Jm = J/2.
II
III
1
1
А В
С
D
К задаче 16.61
К задаче 16.62
К задаче 16.63
16.62. Найти закон изменения во времени зарядов в электриче-
электрической цепи, изображенной на рисунке.
16.63. Найти закон изменения во времени зарядов в электриче-
электрической цепи, изображенной на рисунке.
16.64. Линейная модель трехатомной молекулы может быть
представлена как система трех точечных масс mi, Ш2, тз, насажен-
168
2. Аналитическая механика
ных на гладкий горизонтальный стержень (см. рисунок) и связанных
пружинами жесткости с\ и С2- Найти движение системы в случае,
когда с\ — С2 = с, mi = газ = га, га,2 = пт.
16.65. Гладкое неподвижное кольцо, расположенное в горизон-
горизонтальной плоскости, несет шесть оди-
одинаковых точечных масс га, последова-
\ тельно соединенных пружинами жест-
жесткости с. Найти движение системы.
16.66. Три маятника массы га
и длины / каждый соединены между
собой одинаковыми пружинами жест-
жесткости с, как показано на рисунке. Используя симметрию, найти малые
колебания системы вблизи вертикального положения равновесия.
16.67. Решить предыдущую задачу с числом маятников, равным
четырем и пяти.
777-3
К задаче 16.64
mm m
К задаче 16.66
К задаче 16.68
К задаче 16.69
16.68. Гладкое неподвижное кольцо, расположенное в горизон-
горизонтальной плоскости, несет четыре одинаковые точечные массы га,
последовательно соединенные пружинами жесткости с, как показано
на рисунке. Найти движение системы.
16.69. Найти закон изменения во времени зарядов в электриче-
электрической цепи, изображенной на рисунке.
16.70. Два груза массы га каждый (см. рисунок), соединенные
между собой пружиной жесткости с, а с неподвижными стенками
пружинами жесткости 2 с каждая, могут скользить по гладкой гори-
горизонтальной направляющей. К каждому грузу подвешен математиче-
математический маятник массы га/2 и длины /. Используя симметрию системы,
найти ее малые колебания. При вычислениях положить с = mg/ B1).
16.71. Однородная палочка массы га и длины / (см. рисунок)
подвешена на упругой нити жесткости с; длина нити в положении
равновесия равна 2//3. Найти малые колебания системы в вертикаль-
вертикальной плоскости вблизи устойчивого положения равновесия.
§ 16. Малые колебания консервативных систем
169
16.72. Шарик массы т (см. рисунок) подвешен на упругой нити
жесткости с к доске массы М, которая может скользить по гладкой
горизонтальной направляющей Ох\ длина нити в ненапряженном
состоянии равна /о5 размерами шарика можно пренебречь. Найти
малые колебания системы.
К задаче 16.70
К задаче 16.71
К задаче 16.72
16.73. К бруску массы М (см. рисунок), который может дви-
двигаться по гладкой горизонтальной направляющей, подвешен двойной
математический маятник, причем mi = m2 = М/2, l\ = l<i — I. Найти
малые колебания системы.
Ф2
К задаче 16.73
ТП2
В
К задаче 16.74
16.74. Две одинаковые бусинки массы т каждая (см. рисунок)
могут скользить по гладкому стержню А В. Третья бусинка массы 2га
может скользить по гладкому стержню ОС, перпендикулярному Л В.
Бусинки соединены между собой и со стенками пружинами жест-
жесткости с каждая. Система расположена в горизонтальной плоскости.
В положении, когда пружины не деформированы, бусинки находятся
в вершинах равностороннего треугольника со стороной а. Используя
симметрию, найти малые колебания системы около устойчивого по-
положения равновесия.
16.75. Проволочная окружность радиуса г и массы М = 2т
(см. рисунок), точка О которой неподвижно закреплена, может коле-
колебаться в вертикальной плоскости. По окружности могут двигаться без
170
2. Аналитическая механика
трения два одинаковых шарика массы т каждый. Шарики, разме-
размерами которых можно пренебречь, соединены между собой невесомой
пружиной жесткости с, имеющей в недеформированном состоянии
длину /. Используя симметрию системы, найти частоты ее малых
колебаний.
К задаче 16.75
К задаче 16.76
16.76. Однородный эллиптический цилиндр (см. рисунок) мо-
может катиться без проскальзывания по горизонтальной плоскости;
большая и малые полуоси эллипса в сечении цилиндра равны а и b
соответственно. Найти период малых колебаний цилиндра вблизи
устойчивого положения равновесия. Исследовать выражение для пе-
периода при b —» 0 и b —> a.
16.77. По горизонтальной направляющей могут скользить без
трения п одинаковых масс га, последовательно соединенных пружи-
пружинами жесткости с каждая. Найти движение системы.
/2Л-1 \ . , ч
Указание, Решение искать в виде ж& = a cos I ср I sin (cor + а),
к = 0, п +1, cos
I
V
ф I = cos
)
2га-
16.78. Найти колебания системы, описанной в задаче 16.77, счи-
считая, что первая масса соединена такой же пружиной и с неподвижной
стенкой.
Указание. Решение искать в виде ж& = asinA^ sin(co? + a), k =
= 0, n +1, sin[(n + 1)ф] = slump.
16.79. Найти колебания системы, описанной в задаче 16.77, счи-
считая, что первая и последняя массы соединены пружинами с непо-
неподвижными стенками.
Указание. Решение искать в виде ж& = as'mkQ sin(co? + oc), к =
= 0,n + l, sin [(п +1H] = 0.
16.80. Найти закон изменения во времени зарядов в электриче-
электрической цепи, изображенной на рисунке. (См. указание к задаче 16.79.)
§ 16. Малые колебания консервативных систем
171
16.81. Найти закон изменения во времени зарядов в электриче-
электрической цепи, изображенной на рисунке. (См. указание к задаче 16.78.)
16.82. Найти закон изменения во времени зарядов в электриче-
электрической цепи, изображенной на рисунке. (См. указание к задаче 16.77.)
х
К задаче 16.80
16.83. По гладкому горизонтальному кольцу (см. рис. к зада-
задаче 12.53.) могут двигаться п одинаковых масс га, последовательно
соединенных пружинами одинаковой жесткости с (последняя масса
соединена с первой). Найти малые колебания системы.
'Т Т "Т
L
С
X
т
К
L
¦•у-\_-_
ст
задаче
16.82
X
т
L
С
К задаче 16.81
Указание. Угловое перемещение k-ft массы искать в виде ср/, =
(Ч Ql Tl I /Y\/ I rv | i~i ТТР Ql T1 к814 Gl Tl Ik8 I T) 114
|J Dili I \X)u \^ y/j ) , 1 /~yO Olll Лу |J Olll I ft/ n^ / M '
16.84. Найти закон изменения во времени зарядов в электриче-
ской цепи, изображенной на рисунке. В начальный момент
р
— Q
,
) ( М)
Указание. Закон изменения заряда в k-м. контуре искать в виде
qk =
, где
К задаче 16.84
К задаче 16.86
16.85. По гладкой проволоке, изогнутой в форме винтовой линии
{х = acoscp, у = asincp, z = /кр), могут скользить п одинаковых буси-
бусинок массы m каждая. Бусинки последовательно соединены одинако-
172
2. Аналитическая механика
выми пружинами жесткости с. Пренебрегая силой тяжести, найти
движение системы. (См. указание к задаче 16.83.)
16.86. По винтовой линии х = acoscp, у = asincp, z = /icp (см. ри-
рисунок) могут скользить две системы материальных точек массы т.
Каждая система содержит п материальных точек, последовательно
соединенных пружинами жесткости к. Кроме того, г-е точки (г =
= 1, п) первой и второй систем соединены пружинами жесткости К.
Пренебрегая силой тяжести, найти малые колебания системы.
Указание. Решение искать в виде ср^ = a cos
= 6cos ( ~^—$
, г = 0,
cpn+i =
16.87. По гладкой горизонтальной направляющей (см. рисунок)
могут скользить 2п — 1 материальных точек с чередующимися мас-
массами тиМ, соединенных между собой и с неподвижными стенками
пружинами жесткости к и К. Найти малые колебания системы.
^TVjv--------
К задаче 16.87
Указание. Решение искать в виде X2i =
т
), i = 0, n-1, sin(nPi + nP2) = 0.
16.88. По гладкому кольцу (см. рисунок), расположенному в го-
горизонтальной плоскости, могут двигаться 2п материальных точек с
чередующимися массами тиМ, после-
последовательно соединенных между собой
пружинами одинаковой жесткости к
(последняя точка соединена с первой).
Найти малые колебания системы.
Указание. Угловые перемещения
точек искать в виде ф2г-1 = asin[Bi —
- l)P]sin(co? + а), ф2г = 6sinBip)x
xsin(co? + a), sin/p = sin[(/ + 2n)P],
г = 1, n, / = 1, 2n.
16.89. По гладкому кольцу (см. рис.
к задаче 16.88), расположенному в гори-
горизонтальной плоскости, могут двигать-
двигаться 2п материальных точек одинаковой
массы т, последовательно соединенных между собой пружинами че-
чередующихся жесткостей к и К (последняя точка соединена с первой).
Найти малые колебания системы.
§ 16. Малые колебания консервативных систем
173
Указание. Угловые перемещения точек искать в виде ф2г-1 —
= asin[iPi + (г — 1)Р2] sin(co? + а), ф2г = 6sin(z|3i + гЭ2)sin(oot + a),
sin [ipi + (г - 1)р2] = sin [(г + n)pi + (г + п - 1)р2], г = Т~п.
16.90. По гладкому кольцу (см. рис. к задаче 16.88), расположен-
расположенному в горизонтальной плоскости, могут двигаться 2п материальных
точек с чередующимися массами т и М, соединенных между собой
пружинами чередующихся жесткостей к и К (последняя точка со-
соединена с первой). Найти малые колебания системы.
Указание. Угловые перемещения точек искать в виде ф2г-1 =
= asin[iPi + (г — 1)р2] sin(co? + а), ф2г = 6sin(iPi + гЭ2)sin(oot + a),
sin [ipi + (г - 1)р2] = sin [(г + n)pi + (г + п - 1)р2], г = Т~гг.
16.91. Система из п одинаковых математических маятников мас-
массы т и длины / (см. рисунок), связанных пружинами жесткости с,
может совершать колебания в вертикальной плоскости. Пружины
прикреплены к маятникам на расстоянии h от точек подвеса; при
вертикальном положении маятников пружины ненапряжены. Найти
малые колебания системы.
у///////////^////////////^//////^^^
К задаче 16.91
Указание. Решение искать в виде ф^ = acos(Bi — l)P/2)sin(co^
=фп.
), г = 0,
16.92. Решить предыдущую задачу в предполож:ении. что левый
маятник соединен пружиной с неподвижной стенкой.
Указание. Решение искать в виде ф^ = a sin (г Р) sin(co? + a), г =
= 0, п + 1, фп+1 =фп.
16.93. Решить задачу 16.91 в предположении, что оба крайних
маятника соединены пружинами с неподвижными стенками.
Указание. Решение искать в виде ф^ = a sin (г Р) sin(co? + a), г =
= 0, п + 1, фп+1 = 0.
16.94. Невесомая упругая струна жесткости с и длины / с закреп-
закрепленными концами несет п равноотстоящих одна от другой и от концов
бусинок массы т каждая. Найти малые поперечные колебания систе-
системы. Считать, что действующая на каждую бусинку возвращающая
сила пропорциональна отклонению от положения равновесия.
Указание. Отклонения искать в виде yi = asin(i6) sinatf, sin(n +
+ 1)9 = 0, i = h/n.
174
2. Аналитическая механика
16.95. Используя решение задачи 16.94, предельным переходом
п —> ос найти частоты струны линейной плотности р = тп/l и жест-
жесткости с = FH(n + l)/l (FH — сила натяжения
струны).
16.96. Упругая невесомая нить (см. ри-
рисунок), свободно подвешенная одним концом,
несет п весомых равноотстоящих одна от другой
бусинок массы т каждая (расстояние между
соседними бусинками равно /). Найти малые по-
поперечные колебания системы.
Указание. Жесткость г-го участка (отсчет от
свободного конца) пропорциональна силе его на-
К задаче 16.96 тяжения в вертикальном положении равновесия
нити. При решении воспользоваться рекуррент-
рекуррентным соотношением для многочленов Чебышева-Поссе:
16.97. Сохраняя условия предыдущей задачи и считая жесткость
нити равной &, найти малые продольные колебания системы.
Указание. Решение искать в виде Х{ =
cpj =0.
+ a cos х
х sin(co? + a), г = 0, n + 1, cosf
16.98. Найти малые колебания сложного математического маят-
маятника, состоящего из п последовательно подвешен-
подвешенных один к другому простых математических ма-
маятников длины / каждый.
Указание. Угол поворота г-го маятника (от-
(отсчет от свободного конца) равен ср^ « sincp^ = [xi —
— Жг+i)//. При определении амплитуды в решении
Xi = щ sin (co^ + а) воспользоваться рекуррентным
соотношением для многочленов Чебышева-Поссе.
(См. указание к задаче 16.96.)
16.99. Материальные точки одинаковой мас-
массы (см. рисунок), которые могут двигаться по по-
поверхности прямого кругового цилиндра, соедине-
соединены пружинами таким образом, что образуют сеть,
охватывающую цилиндр и состоящую из т слоев по п точек в каж-
каждом слое. Ячейки сети представляют собой произвольные четырех-
К задаче 16.99
§ 16. Малые колебания консервативных систем
175
угольники; жесткости пружин в двух направлениях равны к\ и кч
соответственно. Найти малые колебания системы.
Указание. В цилиндрических координатах решение искать в виде
= cos
16.100. Решить предыдущую задачу в предположении, что верх-
верхний слой материальных точек соединен пружинами жесткости к\
с неподвижной направляющей цилиндра.
16.101. Решить задачу 16.99 в предположении, что верхний
и нижний слои материальных точек соединены пружинами жестко-
жесткости к\ с неподвижной направляющей цилиндра.
16.102. Неподвижный параллелепипед (см. рисунок) заполнен
материальными точками, которые связаны пружинами таким
образом, что образуется объемная
решетка, причем в положении рав-
равновесия ячейки решетки представ-
представляют собой произвольные шести-
шестигранники. Материальные точки пе-
переднего и заднего слоев (вдоль
оси Ох) и левого бокового слоя
(вдоль оси О у) связаны пружина-
пружинами с соответствующими гранями
параллепипеда; материальные точ-
точки верхнего и нижнего слоев (вдоль
оси Oz) и правого бокового слоя
(вдоль оси О у) со стенками не свя-
связаны. Жесткости пружин, парал-
параллельных осям Ох, Оу, Oz, равны к\, к% и к%\ число слоев вдоль
осей Ox, Оу, Oz составляет пх, пу, nz соответственно. Найти малые
колебания системы.
Указание. Отклонения точек от положений равновесия искать
в виде
К задаче 16.102
х ....
у\ = sinzcp sinj\|/cos
2/c-l
-е
( )]
5 sin (cot+ p) ,
С sin (cot + у) J
г = 0, пж + 1, j = 0,77^ + 1, k = 0,nz + l,
sin [(nx + 1)ф] =0, sin [(riy + l)\|f] = sin (%\j/),
cos
e = cos
176 2. Аналитическая механика
16.103. Колебательная система имеет собственные частоты сох,
0J, • • • 5 юп. Как изменятся собственные частоты, если на систему на-
наложить связь, уравнение которой имеет вид ад± + 602 = 0, где 6i и 02 —
нормальные координаты, а и b — постоянные числа (координатам 6i
и 02 соответствуют частоты coi и 002)?
16.104. Найти все частоты главных колебаний консервативной
1 п
системы, кинетическая энергия которой Т = - ^2 aik4i4k является
2i,k=i
положительно определенной квадратичной формой, а потенциальная
X п 1 п
энергия записывается в виде П = - ^2 aik4i4k + ~ S ^i^kQiQk^ гДе
2г,/г=1 2г,/г=1
А, > 0, а^, bi,bk — постоянные величины.
16.105. Из наблюдений над малыми колебаниями механической
системы были найдены ее собственные частоты coi, 002, • • -, соп (со^ ф
Ф coj, i,j = l,n) и амплитудные векторы щ, 112,..., un. Найти
вид матриц А и С, составленных из коэффициентов в выражениях
кинетической и потенциальной энергий, т. е. решить задачу иденти-
идентификации системы по результатам наблюдений.
I п
16.106. Кинетическая Т = - ^2 aik4i4k^ и потенциальная П =
= 9 S aikQi4k + i; S biCkqiqu энергии консервативной системы
г,/г=1 Zi,k=l
являются положительно определенными квадратичными формами
с постоянными коэффициентами. Доказать, что эта система имеет
собственные частоты coi, 002, «3 = ... = соп = 1, где coi и СО2 определя-
определяются из соотношений
l4 &~п det (Е + \А
V 2
В и С — векторы-столбцы с компонентами Ь{ и С{ соответственно, а
г=1
16.107. Кинетическая энергия гироскопической системы пред-
представляет собой положительно определенную квадратичную форму
1 п
о S агкЯгЯк с постоянными коэффициентами dik, а обобщенные
2 i,k=i
§ 16. Малые колебания консервативных систем
177
силы определяются соотношениями Q{ —
где bik = -Ьк{ —
k=i
постоянные величины. Найти движение системы.
Указание. При решении учесть, что всякая кососимметрическая
матрица В с помощью ортогонального преобразования с матрицей
(игк)™к=1 может быть приведена к виду
вг
где В j = f n ^ )' пРичем v j ~ действительные числа.
16.108. При исследовании малых колебаний вблизи устойчиво-
устойчивого положения, равновесия консервативной системы с кинетической
энергией Т = -
QiQk были найдены собственные частоты
(со^ Ф 0)^; г, j> = 1, п) и соответствующие им амплитудные векторы
u1, u2,..., un. Найти произвольные постоянные Bj и Cj в общем
решении задачи о малых колебаниях
q =
cos
по заданным начальным условиям qi@) = q®, qi(O) = q®, i = 1, n.
16.109. Материальная точка массы m подвешена на упругой ни-
нити жесткости с. В положении равновесия точке сообщается скорость
vq в вертикальном направлении. Учитывая, что нить работает на
растяжение, найти период колебаний точки.
16.110. Стержень МN массы 2т и длины 2/ (см. рисунок) может
поворачиваться вокруг своего неподвижного центра. Конец М стерж-
стержня соединен с неподвижной стенкой Л В пружиной жесткости 2с.
Масса га, которая может двигаться в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном к Л Б, соединена с концом Л^ стержня и стенкой Л В одинаковыми
пружинами жесткости с каждая. Решить задачу о малых колебаниях
системы, если она расположена в горизонтальной плоскости.
178
2. Аналитическая механика
16.111. Найти малые колебания двойного математического ма-
маятника, изображенного на рисунке.
К задаче 16.110
Ф2
К задаче 16.111
16.112. Найти малые колебания двойного маятника, состоящего
из двух однородных стержней массы т и длины / каждый (см. рис.
к задаче 16.111.).
§ 17. Движение диссипативных систем
17.1. Внутри горизонтальной шероховатой трубки (см. рисунок),
вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой ско-
скоростью со, может перемещаться шарик массы га, скрепленный пру-
пружиной жесткости с с концом трубки О. При недеформированной
О
ГП2
К задаче 17.1
К задаче 17.2
пружине центр шарика находится на оси вращения. Пренебрегая
действием силы тяжести, найти условия, при которых положение
относительного равновесия шарика будет асимптотически устойчиво.
§ 17. Движение диссипативных систем
179
17.2. Грузы массы mi и m<i (см. рисунок), связанные между
собой и с неподвижными опорами пружинами, как показано на ри-
рисунке, могут перемещаться по вертикали, причем на один из грузов
действует сила вязкого трения F = — $v (р > 0). Используя критерий
Рауса-Гурвица, показать, что положение равновесия этой системы
будет асимптотически устойчивым при любых С{ и гп{.
17.3. Можно ли решить предыдущую задачу, опираясь на тео-
теорему об асимптотической устойчивости определенно диссипативных
систем?
17.4. При каких значениях параметров ci и тп{ положение рав-
равновесия диссипативной системы, изображенной на рисунке, не будет
асимптотически устойчивым, если трение между массами и направ-
направляющей отсутствует?
ТП\
ГП2
ЛЛг
тс2
±с3 сЛ
К задаче 17.4
К задаче 17.5
17.5. При каких соотношениях между параметрами электриче-
электрической цепи, изображенной на рисунке, в системе возможны незатухаю-
незатухающие колебания, несмотря на наличие в среднем контуре омического
сопротивления R1
17.6. В системе, изображенной на рисунке, трение между гру-
грузами и направляющей А В отсутствует и сила сопротивления, дей-
действующая на второй груз, равна —Р^, где v — скорость этого груза.
При каких значениях параметров ci, C2, mi и тпч положение равно-
равновесия системы не будет асимптотически устойчивым?
HVM
УП\
C2
С2
ГП2
С2
В
К задаче 17.6
17.7. В системе, изображенной на рисунке, трение между гру-
грузами и направляющей Л В отсутствует и сила сопротивления, дей-
действующая на первый груз, равна — Рг>, где v — скорость этого груза.
180
2. Аналитическая механика
Показать, что положение равновесия системы асимптотически устой-
устойчиво при любых значениях параметров С{ ф 0, rrii ф О, Р > 0. Показать
также, что если сила сопротивления — Рг> действует не на первый, а на
к-й груз (к ф 1, к ф п), то при некотором
подборе параметров С{ ф 0, тп{ ^ 0, Р > 0
положение равновесия не будет асимптоти-
асимптотически устойчивым.
17.8. Система состоит из п грузов
(см. рисунок), которые связаны между
собой и с неподвижной опорой пружинами
К задаче 17.7
К задаче 17.8
жесткости Ci и могут перемещаться по вертикали. На груз тп дей-
действует сила вязкого трения F = —$v. Показать, что положение рав-
равновесия системы асимптотически устойчиво.
17.9. Годограф Михайлова многочлена /(А,) степени п не прохо-
проходит через нулевую точку, и A®^Q°arg/(ico) = Ajtc/2, \к\ ^ п. Найти
число корней этого многочлена с отрицательной вещественной ча-
частью.
17.10. В следующих уравнениях при помощи годографа Ми-
Михайлова найти число корней с отрицательной и с положительной
действительной частью:
а) А4 + 6А3 + 26Х2 + 46А + 65 = 0;
б) А4 + 6А3 + 18А2 + 24А +16 = 0;
в) А4 + А3-2
Ч4
)
д) Хъ + 5А4 + 10А3 +1IX2 + 7А + 2 = 0;
5 4 3 2
ж) А5 + 5А4 + т3 + 6А2 - 8Х- 16 = 0;
з) А5 + 2А4-2А3-А2 + 6А + 2 = 0;
и) А5 + 2А4 + 2А3 + 7Х2 - UX - 4 = 0.
17.11. В следующих задачах определить область устойчивости,
т. е. найти все значения параметров аир, при которых положение
равновесия асимптотически устойчиво:
а) х + х + х-ау = 0, у + у-$х + у = 0;
б) х + х + х — ш/ = 0, у + Pj/ — х + у = 0;
§ 17. Движение диссипативных систем 181
в) х + х + х — ш/ = О, $у + у — х + у = 0;
г) ж + ж + х — ау = О, ?/ — Рж + 2/ = О;
д) х + х + ж — а?/ = О, Р?/ — ж + у = О.
17.12. В следующих задачах выяснить, является ли положение
равновесия системы асимптотически устойчивым:
а) х + х + х — у = 0, у + 2у — х = 0;
б) х + 2х + Зх-у = 0, у + 2у-2х = 0;
г)
д) ж + ж — у = О, ? + ?/ + ж = 0.
17.13. Характеристическое уравнение линеаризованной системы
X4" + Х3 + 4Х2 + 2Х + 3 + к = О содержит параметр к. Используя годо-
годограф Михайлова, разбить ось значений параметра к на интервалы,
в пределах которых число s корней уравнения с отрицательной дей-
действительной частью не меняется.
17.14. Характеристическое уравнение линеаризованной системы
f(X) = D(X) — $К(Х) = 0 содержит параметр р. Многочлены D(X)
и К(Х) имеют степени п и т < п соответственно. При р = 0 все п
корней многочлена f(X) лежат слева от мнимой оси. При каких
условиях многочлен f(X) будет гурвицевым для Р = — 1? (Критерий
Найквиста.)
17.15. Массы Ш{ (г = 1,п) связаны между собой и с непо-
неподвижной опорой пружинами жесткости С{ (см. рис. к задаче 17.8).
На последнюю массу действует сила вязкого трения F = — $v (Р > 0).
Показать, что те значения со, при которых годограф Михайлова /(гсо)
характеристического полинома системы f(X) пересекает мнимую ось,
являются собственными частотами консервативной системы, в кото-
которую рассматриваемая система переходит в пределе при р —» 0.
17.16. Уравнения Лагранжа механической системы имеют вид
Aq + Bq + Cq = 0, где А, В и С — постоянные матрицы, причем А
и С — симметрические матрицы, отвечающие положительно опреде-
определенным квадратичным формам, а В — диагональная матрица с эле-
элементами Рп = р > 0, $ц =0 (г ф 1). Показать, что те значения со, при
которых годограф Михайлова /(гсо) характеристического полинома
системы f(X) пересекает мнимую ось, являются собственными часто-
частотами консервативной системы, в которую рассматриваемая система
переходит в пределе при р —> 0.
17.17. Характеристическое уравнение линеаризованной систе-
системы D(X) — $К(Х) = 0 с действительными коэффициентами содержит
параметр р. Степень многочлена D(X) выше степени многочлена
К(Х). Какой смысл имеют граничные точки Р* интервалов на оси
Р, в пределах которых число корней уравнения с отрицательной
действительной частью не меняется?
182 2. Аналитическая механика
17.18. Характеристическое уравнение линеаризованной системы
D(X) — $К(Х) = 0 содержит параметр Р; D(X) и К(Х) — заданные
многочлены степени п и т < п соответственно, причем у полинома
D()C) коэффициент при Хп равен 1. Как разбить ось Р на интервалы,
в пределах которых число корней характеристического уравнения
с отрицательной действительной частью не меняется?
17.19. Считая число Р предыдущей задаче комплексным, найти
разбиение плоскости Р на области, в пределах которых число корней
уравнения с отрицательной действительной частью не меняется (D-
разбиение).
17.20. В линейном приближении система уравнений движения
некоторой механической системы имеет вид
Y, (агкЯк + bikqk + cikqk) = О (i = 1, n),
k=i
где dik = aki, bik = bki, Cik = cki — постоянные величины. Показать,
что положение равновесия q = 0 асимптотически устойчиво, если
матрицы
А = (ajk)lk=n В = (bjk)lk=1, С = (cjk)lk=1
являются матрицами положительно определенных квадратичных
форм.
п
17.21. Кинетическая энергия системы Т = - ^2 aik4i4k->
zi,k=i
^ п
потенциальная энергия П = - ^2 cikQiQk и функция Релея R =
2i,k=i
1 п
— 9 S ^гкЧгЧк являются положительно определенными квад-
2 i,k=l
ратичными формами (указанных переменных) с постоянными
коэффициентами. Показать, что среднее значение кинетической
Т и потенциальной П энергий равно нулю.
17.22. Собственная частота линейного осциллятора равна соо-
Найти частоту затухающих колебаний этого же осциллятора в среде
с сопротивлением, пропорциональным скорости, если за п колебаний
его амплитуда уменьшается в к раз.
17.23. Груз массы m (см. рисунок), прикрепленный пружиной
жесткости с к стенке, может скользить по шероховатой направляю-
направляющей Ож, причем коэффициент трения скольжения равен /. Диск
радиуса R и той же массы, центр которого прикреплен к стенке
пружиной жесткости ci, может катиться без проскальзывания по
направляющей О\Х\. Коэффициент трения качения (плечо пары
§ 17. Движение диссипативных систем
183
трения качения) диска равен к. Найти такие соотношения между па-
параметрами с, ci, /, к и R, чтобы центр инерции груза и центр инерции
диска при одинаковых начальных условиях совершали одинаковые
движения.
х
К задаче 17.23
17.24. Однородный диск радиуса R и массы т, центр которого
прикреплен к стенке пружиной жесткости с, может катиться без про-
проскальзывания по неподвижной направляющей, причем коэффициент
трения качения (плечо пары трения качения) равен к. В начальный
момент диск покоится и деформация пружины равна х$. Какой будет
деформация пружины спустя время t\ = пп^/бт/с (п = 1, 2, ...)?
17.25. Движение осциллятора, помещенного в вязкую жидкость,
описывается уравнением тх + Рж + сх = 0. Найти такую положитель-
положительно определенную функцию V(x,x) (функцию Ляпунова), чтобы на
движениях осциллятора выполнялось равенство
. х)
Указание. Функцию V искать в классе квадратичных форм от ж,
х с неопределенными коэффициентами.
17.26. Цилиндр массы М может скользить без трения по го-
горизонтальной направляющей Ох так, что образующая цилиндра во
время движения совпадает с О ж. В цилиндре может двигаться пор-
поршень массы т. Пространство между стенками цилиндра и поршнем
заполнено вязкой жидкостью (коэффициент вязкости равен р). Ци-
Цилиндр и поршень соединены с неподвижным стержнем пружинами
жесткости с, как показано на рисунке к задаче 13.8. Показать, что
положение равновесия системы асимптотически устойчиво.
17.27. В соревнованиях по ориентированию на местности каж-
каждый участник ориентирует свой вектор скорости по направлению на
заранее заданного участника. Значение скорости выбирается пропор-
пропорциональным расстоянию между ними. В результате движение спорт-
спортсменов будет описываться системой дифференциальных уравнений
ri = A,i(r2-ri), r2 = А,2(гз-г2),...,Гп = A,n(ri-rn), гДе константы
Xi > 0, г^ — радиус-векторы участников. Доказать, что действуя по
такому алгоритму, участники за конечное время соберутся в круге
184
2. Аналитическая механика
у^го д.
радиуса г о > 0 с центром в точке г = 4l г , где г? — радиус-вектор г-
го участника в начальной позиции.
17.28. Динамическая система описывается уравнениями х\ —
= ai(x2 - xi), ж2 = ос2(ж3 - ж2), • • •, хп = an(xi - жп), где а* > 0 —
постоянные действительные величины. Показать, что всякое решение
системы при t—> оо сходится к одному из положений равновесия вида
х\ — х\ — ••• — хп = а-> гДе величина а зависит от начальных условий.
(Алгоритм встречи в задаче на ориентирование.)
17.29. Используя критерий Михайлова, показать, что многочлен
п п
f(X) = Y\(X + as) — Y\as при действительных положительных as (s =
1 1
= 1, п) имеет один нулевой корень и (п — 1)-корень с отрицательной
действительной частью.
17.30. Движение склерономной системы в линейном приближе-
приближении описывается уравнениями Aq + Bq+ Cq = 0, где матрицы А и С
положительно определены, а симметрическая матрица В отвечает
знакопостоянной квадратичной форме. Доказать, что равновесие си-
системы q = 0 асимптотически устойчиво в том и только в том случае,
если Ви5 ф 0, s = 1, п, где ui, 112,..., un — совокупность амплитудных
векторов, определяющих малые колебания консервативной системы
Aq+Cq = O.
§ 18. Вынужденные колебания. Частотные
характеристики
18.1. Перо сейсмографа (см. рисунок), регистрирующего коле-
колебания почвы (которые происходят по закону Lsmpt), вычерчивает
синусоиду с амплитудой Н и перио-
периодом 2к/р (см. рисунок). Длина стержня
Л В = /, расстояние AD = 6, масса т
головки сейсмографа 5, где находится
перо, и жесткость с пружины извест-
известны. Пренебрегая массой стержня, опре-
определить амплитуду L истинных колеба-
колебаний почвы.
18.2. Решить предыдущую задачу,
считая дополнительно, что сейсмограф
работает под воздействием демпфирую-
демпфирующего устройства, создающего сопротивление движению стержня А В,
пропорциональное его угловой скорости. Момент сил сопротивления
относительно точки А равен — рсо.
К задаче 18.1
§ 18. Вынужденные колебания. Частотные характеристики
185
18.3. Точка подвеса математического маятника длины / движет-
движется по горизонтальной прямой по закону s = at2 /2 + Asm wt. Найти
движение маятника в системе отсчета, движущейся по закону s =
= at2/2; исследовать случай резонанса.
18.4. Груз массы т (см. рисунок) движется в среде с сопро-
сопротивлением, пропорциональным скорости (коэффициент пропорцио-
пропорциональности Р). На груз действуют упругая сила пружины жесткости с
и возмущающая гармоническая сила p(t) = Лsinco?. Найти частотную
характеристику W(iod) системы. Построить графически амплитуд-
амплитудную R(со) = |И/(гсо)| и фазовую ср = argHZ(ico) характеристики в зави-
зависимости от частоты со. Найти частоту со*, при которой амплитудная
характеристика R (со) имеет максимальное значение
У////////////////////////////////.
К задаче 18.4
К задаче 18.5
К задаче 18.7
18.5. Построить амплитудно-фазовую, амплитудную и фазовую
характеристики груза массы т (см. рисунок), подвешенного на пру-
пружине жесткости с, если на груз действуют возмущающая гармониче-
гармоническая сила p(t) = Л sin со/; и сила сопротивления F = — $v. Рассмотреть
следующие значения параметров: а) с/т = 1, Р/га = 0,1; б) с/т = 9,
Р/т = 10; в) предельный случай р —> 0.
18.6. В условиях предыдущей задачи найти частотную характе-
характеристику И^(гсо) системы, считая «входным» воздействием силу p(t),
а «выходом»: а) скорость груза v\ б) комбинацию ax + bv.
18.7. Шарик массы т (см. рисунок) может двигаться внутри
шероховатой трубки, которая вращается с постоянной угловой скоро-
скоростью П вокруг оси Л Б. На шарик действуют упругая сила пружины
жесткости с и возмущающая сила F(t) = /lsinco?. Коэффициент
трения скольжения шарика о поверхность трубки равен ц, с > mft2.
При недеформированной пружине центр шарика находится на оси
вращения. Пренебрегая действием силы тяжести, найти частотную
характеристику W(i(o) шарика, считая «входным» воздействием силу
F(t), а «выходом» — координату х шарика.
18.8. Построить амплитудно-фазовую, амплитудную и фазовую
характеристики изображенного на рисунке электрического контура
186
2. Аналитическая механика
от входа ?{t) = Л sin со/; к выходу uBbIX(t). Рассмотреть также предель-
предельный случай R —> 0.
К задаче 18.8
К задаче 18.9
18.9. При какой частоте р = ро синусоидального генератора
(см. рисунок) в RLC-контуре амплитуда В вынужденных колебаний
для указанного uBbIX(t) будет максимальной? Найти это максималь-
максимальное значение амплитуды i?max и сдвиг фазы ср на частоте р = р$.
18.10. Для изображенных на рисунке электрических контуров
найти аналитически и построить графически частотные характери-
характеристики от uB^(t) к указанным ивых(Ь).
18.11. В некоторой системе вы-
выходной сигнал x{t) выражается че-
через возмущающее воздействие f(t)
(f(t) = 0 при t < 0) при помощи
линейного оператора вида x(t) =
t
= J H (t — т) /(т) dx. Показать, что ча-
о
стотная характеристика W(i(o) этой
системы от входа f(t) к выходу x(t)
выра^сается равенством И^(гсо) =
оо
= J #(?) е~ш^ d^ т. е. представля-
о
ет собой фурье-изображение функ-
К задаче 18.10 ЦИИ Я(^).
18.12. Для идентификации си-
системы, т. е. определения массы груза ш, жесткости пружины с и ко-
коэффициента вязкого трения |3, (см. рис. к задаче 18.5) к грузу при-
прикладывают гармоническое воздействие f(t) = /Isinco^ и определяют
амплитуду В и фазу ср вынужденных колебаний груза при различных
частотах со. Найти выражения для ш, с и р, если на частотах coi ф 0
и С02 ф oi найдены величины В\, ф! и В^ щ соответственно.
18.13. Найти частотную характеристику И^(гсо) элемента с запаз-
запаздыванием, поведение которого определяется уравнением xBbIX(t) =
— хъ^ — х). Построить графически амплитудную и фазовую харак-
характеристики элемента.
§ 18. Вынужденные колебания. Частотные характеристики
187
18.14. Два груза (см. рисунок), соединенные невесомой пружи-
пружиной жесткости с, могут двигаться по гладкой горизонтальной направ-
направляющей. Длина пружины в недефор-
мированном состоянии равна /о> масса
одного из грузов равна га. Под действи-
действием внешней силы координата другого
груза меняется по закону х = Л sin cot. K задаче 18.14
По какому закону меняется расстояние / между грузами?
18.15. В тот момент, когда линейный осциллятор массы га (без
затухания) с собственной частотой coq имел положение хц и скорость
?о> к нему была приложена постоянная сила F. Через какое мини-
минимальное время т нужно снять воздействие, чтобы дальнейшее дви-
движение осциллятора происходило с первоначальной полной энергией?
Проиллюстрировать результат на фазовой плоскости.
18.16. Линейный осциллятор массы га с собственной частотой
со о ПОД действием возмущающей силы совершает гармонические ко-
колебания с частотой р и амплитудой а. Какую работу совершает
возмущающая сила на интервале времени [to, t]? Показать, что ра-
работа, совершенная этой силой за половину периода вынужденных
колебаний, равна нулю.
18.17. Найти вынужденные колебания груза массы га, подвешен-
подвешенного на пружине жесткости с, если на него действуют возмущающие
силы F\(t) = /Isincoit и F2(t) = 5cos2co2^, а также сила сопротивле-
сопротивления F = —$v.
18.18. Найти закон изменения во времени заряда на обкладках
конденсатора емкости С в изображенном на рисунке контуре. Рас-
Рассмотреть следующие случаи: a) R = 0, со ф 1/y/LC, со ф l/B\/LG);
б) R = 0, со = 1/y/ZC (резонанс); b)R ф 0.
L
Г
R
О 1==
82 =
Sqi sin cot
1 r^O
?02 sin 2co?
c-
К задаче 18.18
К задаче 18.19
18.19. При учете запаздывания восстанавливающая сила в ос-
осцилляторе, изображенном на рисунке, меняется по закону F =
= —cx(t—i), где т > 0 — время запаздывания. Найти вынужденные
колебания осциллятора под действием гармонической силы f(t) =
= Л sin cot, а также частотные характеристики системы (амплитудную
и фазовую).
188 2. Аналитическая механика
18.20. Груз массы т (см. рисунок к предыдущей задаче) со-
соединен с неподвижной стенкой пружиной жесткости с. В положении
равновесия груза при t = 0 ему сообщается скорость vq и приклады-
прикладывается возмущающая сила F(t) = Fosin(fi? + \|/), которая действует
лишь в течение половины периода собственных колебаний. Считая,
что частота собственных колебаний больше частоты П, и пренебрегая
трением, найти такую силу Fq и фазу \|/, чтобы за время действия
силы груз пришел в положение равновесия с нулевой скоростью.
18.21. Тело массы т, прикрепленное к неподвижной стенке
пружиной жесткости с, совершает движение вдоль горизонтальной
направляющей Ох под действием силы mF(t), испытывая сопротив-
сопротивление —pi, пропорциональное скорости. Найти движение тела при
начальных условиях ж@) = жо, ж@) = xq в следующих трех случаях:
а) р2 = 2гас; б) р2 = 4гас; в) р2 = 6,25гас.
18.22. Сохраняя условия предыдущей задачи, найти закон дви-
движения x(t) тела при t > 0, если сила F(t) задана следующим образом:
Г0при*<0
v у 1а при t ^ О
(ступенчатое воздействие). При t = 0 тело находится в покое, т.е.
18.23. Сохраняя условия задачи 18.21, найти закон движения
x(t) тела при t > 0, если сила F(t) задана следующим образом:
Г 0 при t < О,
F(t) = {b/T при 0 ^ ^ Г,
[О при t > Г,
где Т —> 0 (импульсное воздействие). При t = 0 тело находится в по-
покое, т. е. ж@) = ж@) = 0.
18.24. Показать, что любое финитное движение системы с ла-
лагранжианом L = —j к -\ представляет собой периодическое
2<74 2<f q
движение с периодом 2тг/со.
Указание. При решении задачи перейти к новой обобщенной ко-
координате z — \jq.
18.25. Грузы с массами mi и m<i (см. рисунок), подвешенные на
невесомых пружинах жесткости ci и С2, могут двигаться по вертика-
вертикали. К грузу массы mi приложена вертикальная сила F(t) = as'mpt.
При заданных ci, mi и р найти начальные условия системы и значе-
значения С2 и Ш2, при которых амплитуда вынужденных колебаний 1-го
груза равна нулю (успокоитель колебаний без трения).
§ 18. Вынужденные колебания. Частотные характеристики
189
18.26. Решить предыдущую задачу, считая, что на груз массы
mi дополнительно действует сила сопротивления F = — $v\.
18.27. В изображенном на рисунке контуре подобрать начальные
условия, емкости С12, C<i и индуктивность L<i таким образом, чтобы
выходное напряжение wBbIX было равно нулю при заданной частоте
генератора р = ро (поглотитель колебаний).
ГП2
К задаче 18.25
К задаче 18.29
18.28. Как изменится искомое соотношение между параметрами
схемы в предыдущей задаче, если учесть омическое сопротивление R
в 1-м контуре?
18.29. Платформа (см. рисунок), на которой жестко укреплен
ящик, совершает вертикальные гармонические колебания по закону
z = A sin at. Внутри ящика могут двигаться по вертикали два одина-
одинаковых груза массы т, связанные между собой и со стенками ящика
пружинами жесткости с и с\ соответственно. При каких частотах
колебаний платформы в системе возможны резонансы?
18.30. Два груза массы т каждый (см. рисунок) соединены друг
с другом и с неподвижными опорами пружинами жесткости с. На
верхний груз действует вертикальная сила f(t) = As'modt, на ниж-
нижний — сила сопротивления F = —Рг>2- Найти частотные характери-
характеристики системы.
18.31. Два одинаковых диска с моментами инерции J каждый
(см. рисунок) связаны между собой и с неподвижной стенкой двумя
валами, жесткость на кручение которых равна с. На левый диск
действует внешний момент М = Mosinco^, а на правый — момент сил
сопротивления, пропорциональный его угловой скорости (коэффици-
(коэффициент пропорциональности равен |3). Найти частотные характеристики
системы.
18.32. Найти амплитуду Л и сдвиг фазы ср вынужденных колеба-
колебаний заряда на обкладках конденсатора Сч в изображенном на рисунке
контуре, если ЭДС генератора меняется по закону ?(t) =
190
2. Аналитическая механика
Задаваясь конкретными значениями параметров системы, построить
амплитудную и фазовую характеристики.
1
с
с
R
if1
К задаче 18.30
К задаче 18.31
К задаче 18.32
18.33. Построить амплитудную и фазовую частотные характери-
характеристики для системы с двумя степенями свободы, если заданы кинети-
кинетическая энергия Т = g^/4 + 4g|, потенциальная энергия П = (q\ + q\)/2
и диссипативная функция Релея R = (q\ -\-2q\q2~\- ^\) / 2. На систему
0
действует внешняя периодическая сила Q(?) =
F(t)
, где F{t) =
К задаче 18.34
18.34. Эллиптический маятник (см. рисунок) состоит из ползуна
массы га, который соединен пружиной жесткости с с неподвижной
стенкой и может скользить
по гладкой горизонтальной на-
направляющей, и материальной
—> точки такой же массы га, подве-
X
шенной к ползуну на невесомом
стержне длины /. К ползуну
приложено воздействие f(t) =
= Л sin pt. Параметры системы
удовлетворяют условию 2mg =
= cl. Найти движение системы, считая отклонения от положения
равновесия малыми.
18.35. Используя условия предыдущей задачи, выяснить, при
какой частоте воздействия р ф 0 и при каких начальных значениях
жо, ^о, фо, Фо ползун во все время движения будет неподвижен. Найти
закон изменения во времени координаты ф в этом случае.
18.36. Точка О\ подвеса двойного математического маятника
(см. рисунок) совершает горизонтальные колебания по закону ОО\ —
= asinco?. Найти колебания маятника в линейном приближении, при-
приняв со2 = g/l.
§ 18. Вынужденные колебания. Частотные характеристики
191
18.37. Два одинаковых однородных стержня длины / и массы т
каждый (см. рисунок) соединены пружиной жесткости с. Расстояние
между точкой подвеса и точкой закрепления пружины для каждого
маятника равно а, длина пружины в ненапряженном состоянии равна
расстоянию между точками подвеса маятников. Точки подвеса маят-
маятников совершают горизонтальные колебания по одинаковому закону
Л sinpt. Найти движение системы, считая углы отклонения стержней
от вертикали малыми.
О О
К задаче 18.36
К задаче 18.37
18.38. При каких частотах р возможен резонанс в системе, опи-
описанной в предыдущей задаче?
18.39. Детская игрушка состоит из двух одинаковых шариков
массы т (см. рисунок), связанных между собой пружинкой жестко-
жесткости с; верхний шарик с помощью такой же пружинки подвешивается
на руке. В недеформированном состоянии длина каждой пружинки
равна /. Шарики приводятся в движение вертикальным покачива-
покачиванием руки по гармоническому закону с амплитудой А и частотой со
(z = Asinat). Как меняется расстояние шариков от руки?
Т\
2Т\
К задаче 18.39
К задаче 18.40
18.40. Два груза массами га и 2га (см. рисунок) связаны между
собой и с неподвижной опорой одинаковыми пружинами жесткости с.
192
2. Аналитическая механика
На груз массы 2т действует сила вязкого трения, пропорциональ-
пропорциональная скорости груза (коэффициент пропорциональности |3), а также
периодическая внешняя сила F(?), зависимость которой от времени
показана на графике. Найти вынужденное движение системы, если
18.41. Три одинаковых математических маятника массы т
и длины / (см. рисунок) связаны пружинами жесткости с, которые
при вертикальном положении маятников не деформированы. Точки
подвеса О\, О^ 0% маятников совершают горизонтальные колебания
по закону aisinco?, a2sinco?, a3sinco? соответственно. Найти значения
&Ъ а2, &з, ПРИ которых резонанс в системе возникает только при
частоте со = у'g/l + c/m.
В
Фп\
К задаче 18.41
К задаче 18.42
18.42. Система (см. рисунок) состоит из п одинаковых стержней
длины / (см. рисунок), шарнирно закрепленных на горизонтальном
стержне А В. Между собой стержни связаны пружинами так, что
в положении, когда все стержни вертикальны, пружины ненапряже-
ны. Стержень А В совершает горизонтальные колебания по закону
О А = asinco?. Рассматривая движение стержней в линейном прибли-
приближении (т.е. при малых углах отклонения стержней от вертикали),
найти, при каких значениях частоты со в системе возможен резонанс.
18.43. В следующих задачах динамические системы заданы сво-
своими уравнениями движения. Для каждой из координат системы най-
найти частотные характеристики от указанных внешних воздействий х)
и построить графически амплитудно-фазовые характеристики на
комплексной плоскости.
а) х = — 2х + у — z + Asinco?, у = х — у, z = х + у — z;
б) х + 2х + х — J/ = 0, у + у + Зу — х — Asinco?;
в) х = — х + Asinco?, y = — 2y + 2x, z = —z + y;
) Нечетность порядка некоторых систем связана с тем, что иногда в качестве
параметров, характеризующих систему, вместо обобщенных координат выбирают
обобщенные скорости; так, например, поступают при исследовании динамики
турбин, где основным параметром является угловая скорость, а не угол поворота.
§ 18. Вынужденные колебания. Частотные характеристики 193
г) х + 2х + х = Asmwt, у+у+у=х z + 2z + z = у;
д) х + 2х + х = — у + /Isinatf, y + y + y = x;
е) х = — 2х — у + /Isinotf, у + 2у + у = х.
18.44. Два одинаковых груза массы т (см. рис. к задаче 18.29),
связанные между собой и со стенками резервуара пружинами жестко-
жесткости с и ci, могут совершать движение по вертикали. Сосуд укреплен
на платформе, которая совершает вертикальные колебания по зако-
закону z = asinotf. Найти вынужденные движения грузов относительно
платформы, если на каждый из них действует сила сопротивления
Fi = — $vi. Найти также все значения со, при которых амплитуда
вынужденных колебаний груза будет наибольшей.
18.45. Два одинаковых груза массы т каждый (см. рис. к за-
задаче 18.29) могут совершать движение по вертикали. На каждый
из грузов действует сила сопротивления F^ = —Pv^. Платформа, на
которой установлен сосуд, совершает вертикальные колебания по за-
закону z = asinco?. Показать, что с течением времена движения грузов
относительно платформы будут совпадать.
18.46. Сосуд совершает движение по вертикали по закону z =
= f(t). Внутри сосуда по вертикали могут двигаться два одинаковых
груза, связанных между собой и со стенками пружинами, как по-
показано на рисунке к задаче 18.29. На каждый из грузов действует
сила сопротивления F^ = —|3v^. Показать, что с течением времени
движения грузов относительно сосуда будут совпадать, т. е. что де-
деформация A(t) средней пружины при t —» ос будет стремиться к де-
деформации До, которую она имеет в состоянии равновесия системы
при неподвижном сосуде.
1 п
18.47. Кинетическая энергия Т = - ^2 aik4i4k и потенциальная
1 п
энергия П = - ^2 cik4i4k механической системы являются положи-
2 i,k=l
тельно определенными квадратичными формами с постоянными ко-
коэффициентами. На систему действуют силы сопротивления, опреде-
I
ляемые функцией Релея R =- ^2 (аа1к + $сгк)ЯгЯк (ос ^ 0,Р ^ 0,ос +
2 i,k=l
+ Р > 0). Показать, что с течением времени обобщенные коорди-
координаты qi (г = 1, п) будут изменяться по одному и тому же закону,
т.е. qi(t) = G2(?) = ••• = Qn{t), если вынуждающие силы имеют вид
п
fk=^2 aikuij f{t)-> гДе uij — компоненты амплитудного вектора
в решении системы, которая получается из рассматриваемой при a =
= р = о.
7 Е. С. Пятницкий и др.
194
2. Аналитическая механика
18.48. Кинетическая T(g, q) = qTAq/2 и потенциальная
энергии системы являются положительно определенными квадра-
квадратичными формами с постоянными коэффициентами. Известны все
собственные частоты системы coi, а>2, • • • > ®п (®г Ф ®k) и соответ-
соответствующие им амплитудные векторы щ, U2, ..., un. К системе прило-
приложено внешнее воздействие Qi =
(г = 1, п). Найти движение
системы, если в начальный момент она находилась в покое.
18.49. В теории линейных цепей рассматривают цепи, состоящие
из элементов с детектирующим (однонаправленным) действием, ког-
когда воздействие последующего элемента на предыдущий не учитыва-
учитывается. Найти частотную характеристику участка цепи (см. рисунок) со
входом f(t) = Asinotf и с выходом жвых(?), если этот участок состоит
из двух однонаправленных элементов с частотными характеристика-
характеристиками И/^гоо) и W2 (^со), причем элементы а) соединены последовательно,
б) соединены параллельно, в) образуют цепь с отрицательной обрат-
обратной связью.
= f(t)-y(t)
К задаче 18.49
18.50. В условиях предыдущей задачи частотные характеристи-
характеристики элементов И/^гоо) и И^^оо) представлены соответственно в виде
Ki{i<u)lDi{i<s>) и K2{i(o)/D2{i(o), где Kj(X) и Dj(X) (j = ТД) -
многочлены, причем Difa) и D2(k) являются характеристическими
многочленами элементов. Найти характеристические полиномы D()C)
соединений а), б) и в).
18.51. Механическая система описывается уравнениями в мат-
матричной форме Aq + Bq+Cq= Q(?), где А, В и С — постоянные
§ 18. Вынужденные колебания. Частотные характеристики 195
квадратные матрицы размера п х n, a Q(?) — вектор вынуждающих
сил. Показать, что если положение равновесия q = 0 (при Q(t) = 0)
асимптотически устойчиво, то матрица частотных характеристик
\Wjk{i^)Yj k-i системы совпадает с матрицей, обратной к матрице
[А(гсоJ + В(гсо) + С].
18.52. Показать, что для частотной характеристики И^(гсо)
системы, описанной в предыдущей задаче, выполняется соотноше-
соотношение lim argH/j/e(ico) = — Sjkn/2, где Sjk — положительное целое
число.
18.53. Из экспериментальных наблюдений были найдены все
частотные характеристики W(ico) = [Wjk{iw)]1j k=i системы Aq +
+ Bq+Cq= Q(?), для чего внешние силы Q(t) надлежащим образом
изменяли по гармоническому закону. Каким образом идентифициро-
идентифицировать систему, т.е. найти матрицы А, В и С, по матрице частотных
характеристик W(ico)? Найти выражения для матриц А, В и С, если
известны матрицы W(icoi) и W(ia>2) частотных характеристик для
двух значений частоты coi ф 0 и Ю2 Ф Ю1 • Положение равновесия q = 0
системы Aq + Bq+ Cq = 0 асимптотически устойчиво.
18.54. Задана матрица W(ico) = [И^^(гсо)]^=1. Каким условиям
должна удовлетворять эта матрица для того, чтобы она могла быть
матрицей частотных характеристик стационарной системы вида Aq+
+ Bq+Cq=Q(i)?
18.55. Динамическая система описывается уравнениями х =
= Ах + Ь/(?), где А = (<fyv)^v=i ~~ постоянная гурвицева матрица г),
a b — постоянный вектор. При гармоническом воздействии f(t) =
= As'mtdt вектор
частотных характеристик системы от входа / к выходам х\, Ж2, ...
... , хп соответственно задан. Производится переход к новым пере-
переменным х = Qy при помощи неособой постоянной матрицы Q. Найти
связь между векторами частотных характеристик W^ (гсо) и вектором
Wx(ico); иначе говоря, найти правило преобразования частотных
характеристик при линейных преобразованиях.
18.56. Среднеквадратичным значением сигнала x(t), опре-
определенного при —ос < t < +00, называется величина ж2 =
х) Гурвицевой называется матрица, все собственные числа которой имеют отри-
отрицательную действительную часть.
196
2. Аналитическая механика
1 т
= lim — J x2(x)d%. Показать, что среднеквадратичное значение
Т—)-оо
периодического сигнала x(t-\-x) — x(t) равно ^2 |Cj,|2, где G/, —
коэффициенты Фурье:
18.57. Найти среднеквадратичное значение (см. предыдущую
задачу и рисунок к задаче 18.5) координаты груза массы т, под-
подвешенного на пружине жесткости с и совершающего вертикальные
колебания в среде с сопротивлением. Сила сопротивления F = —Рг>,
+ОО
внешняя периодическая сила f(t) = ^2 акеШ ? а-к —~^к-
к=—оо
18.58. Найти среднее значение мощности TV, выделяющейся в ак-
активном сопротивлении 7?, в RLС-контуре, если ?(t) = ?osinco?, a N =
= Ri , где i — среднеквадратичное значение тока. (См. задачу 18.56
и рисунок к задаче 18.8.)
18.59. В условиях задачи 18.29 найти движение системы в случае
резонанса.
18.60. В электрической цепи, представленной на рисунке, ?\(t) =
= ?2@ — f/osinco^. Найти все значения со, при которых возможен
резонанс.
К задаче 18.60
К задаче 18.61
18.61. В изображенной на рисунке системе из п связанных элек-
электрических контуров ?\{t) = ?2(t) = ... = ?n{t) = asinco?. Найти все
значения со, при которых возможен резонанс.
^ п
18.62. Кинетическая Т — - ^2 aikQiQk и потенциальная П =
2г,/г=1
= - ^2 сгк4г4к энергии консервативной системы являются поло-
положительно определенными квадратичными формами с постоянными
§ 19. Уравнения Гамильтона, Рауса, Уиттекера и Якоби 197
коэффициентами. Известно одно из главных колебаний системы, т. е.
известны собственная частота coi и соответствующий ей амплитудный
вектор щ. На каких частотах возможен резонанс в этой системе,
если вынужденные движения описываются уравнениями Aq + Cq =
t, где А = [aik]^k=v С = [cik]^k=v
§ 19. Уравнения Гамильтона, Рауса, Уиттекера
и Якоби
19.1. По гладкой горизонтальной трубке (см. рисунок), вращаю-
вращающейся с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси,
может двигаться шарик массы га. Прене-
Пренебрегая размерами шарика, составить и ре-
решить канонические уравнения его относи- (
тельного движения.
19.2. Найти гамильтониан и соста-
составить канонические уравнения движения Щ^
плоского математического маятника.
19.3. Составить канонические урав- К задаче 19.1
нения движения математического маятника переменной длины / =
= /(?), где l(t) — заданная функция времени.
19.4. Составить канонические уравнения движения свободной
материальной точки в однородном поле тяжести.
19.5. Найти гамильтониан материальной точки в поле с потен-
потенциалом П(ж, 2/, z), если за независимые координаты выбраны: а) де-
декартовы; б) сферические; в) цилиндрические координаты.
В задачах 19.6-19.11 найти гамильтониан и составить канониче-
канонические уравнения движения механической системы, лагранжиан кото-
которой имеет следующий вид.
19.7. L = —1
Li
19.9. L= V4i H" 41 -acosg2-
Li
19.10. L = aql + (c2 + b2cos2 gi)g|.
198 2. Аналитическая механика
19.11. L = I \—(qiq2 f ?
-b(qi-q2).
В задачах 19.12-19.16 найти лагранжиан механической системы,
гамильтониан которой имеет следующий вид.
19.12. Я = \(р\+р\) + |(<ц -<Ы2 + ^(91 + <Ы2.
19.13. Я = qlP2 - Я2Р1 + а{р\ +р|).
19.14. H = -\p\ + -^f- )-acos<7i.
19.15. H = ^-
19.16. H =
19.17. Материальная точка массы m движется в поле притя-
притяжения к неподвижному центру. Составить канонические уравнения
движения точки, если притягивающая сила является функцией ее
расстояния от центра.
19.18. Найти гамильтониан и составить канонические уравнения
движения линейной модели трехатомной молекулы (см. рис. к задаче
16.64), которую можно представить в виде трех точечных масс mi,
Ш2, тз, насаженных на гладкий горизонтальный стержень и соеди-
соединенных пружинами жесткости с\ и с2.
19.19. Тяжелое колечко массы m (см. рисунок) скользит по
гладкой проволочной окружности массы М и ради-
радиуса Я, которая может вращаться вокруг своего вер-
вертикального диаметра. Найти гамильтониан, составить
канонические уравнения движения системы и решить
их (в квадратурах).
19.20. Два одинаковых шарика массы m (см. ри-
рисунок), связанные между собой пружиной жестко-
жесткости с (длина пружины в недеформированном состо-
состоянии равна /о), могут скользить без трения по трубке,
К задаче 19.19 вращающейся с постоянной угловой скоростью со во-
вокруг вертикальной оси. Найти гамильтониан системы
и составить канонические уравнения относительного движения ша-
шариков, пренебрегая их размерами.
19.21. Релятивистская частица массы покоя то при отсутствии
силового поля в декартовых координатах имеет лагранжиан L =
= — тос у 1 — (ж2+ |/2+ i2)/c2, где с — скорость света. Показать,
что гамильтониан свободной релятивистской частицы имеет вид Н =
j 19. Уравнения Гамильтона, Рауса, Уиттекера и Якоби 199
= cJuiqC2 +p\ +р2+р2,в частности, что при v = О Н = т^с2 (фор-
(формула Эйнштейна для энергии покоя). Составить канонические урав-
уравнения и найти закон движения частицы.
19.22. В сферических координатах ла-
лагранжиан релятивистской частицы в поле
тяготения имеет вид
.9 9 *о 9.9.9
г -а /1 г +г 92 + г ф sure у
У С г
где то — масса покоя частицы, а с — ско- к задаче 19.20
рость света. Найти гамильтониан частицы.
19.23. Составить канонические уравнения движения материаль-
материальной точки массы т по гладкой сфере радиуса R в однородном поле
тяжести (сферический маятник).
19.24. Материальная точка массы т может двигаться по глад-
гладкой сфере, расширяющейся по закону R = R(t). в однородном поле
тяжести. Найти гамильтониан и составить канонические уравнения
движения точки.
19.25. Составить канонические уравнения движения системы,
лагранжиан которой в сферических координатах имеет вид
где а — const, a F(б) — произвольная непрерывно дифференцируемая
функция.
19.26. Две материальные точки массами т\ и m<i связаны между
собой упругим стержнем жесткости с и помещены на гладкую гори-
горизонтальную плоскость; стержень не работает на изгиб и на кручение
и в нерастянутом состоянии имеет длину Iq; массой стержня можно
пренебречь. Составить канонические уравнения движения системы.
19.27. Найти гамильтониан и составить канонические уравнения
движения системы двух точек массами mi и Ш2, взаимодействующих
по закону всемирного тяготения. За обобщенные координаты принять
координаты центра масс системы ж, ?/, z, расстояние между точками г
и углы ф и \|/ (широты и долготы), которые определяют направление
прямой, соединяющей точки.
19.28. Симметричный волчок массы т (Л = В ф С) с неподвиж-
неподвижной точкой опоры О совершает движение в однородном поле тяжести.
Центр масс волчка находится на оси динамической симметрии О^
на расстоянии а от точки опоры. Составить канонические уравнения
движения волчка.
200
2. Аналитическая механика
М
<ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZA
19.29. Составить канонические уравнения пространственного
движения однородного стержня массы т и длины 21 в однородном
поле тяжести. Найти первые интегралы движения.
19.30. Найти гамильтониан свободного твердого тела массы т
в однородном поле тяжести, если главные центральные моменты
инерции тела равны Л, В и С.
19.31. Треугольная призма массы М (см. рисунок) скользит по
гладкой горизонтальной плоскости. Однородный цилиндр радиуса г
и массы т катится без проскаль-
проскальзывания по боковой грани приз-
призмы, образующей угол а с горизон-
горизонтом. Найти гамильтониан системы,
составить канонические уравнения
движения и решить их.
19.32. Найти гамильтониан
и составить канонические уравне-
уравнения движения двойного маятника, состоящего из двух одинаковых
однородных стержней массы т и длины / (см. рис. к задаче 12.29).
19.33. Выяснить физический смысл обобщенных импульсов pi =
= dL/дсц, для системы связанных электрических контуров (омиче-
(омическим сопротивлением пренебречь).
19.34. Пользуясь электромеханическими аналогиями, составить
канонические уравнения состояния электрического контура, изобра-
изображенного на рисунке.
19.35. Каким условиям должны удо-
удовлетворять постоянные матрицы А, В, С
и D для того, чтобы система уравнений
К задаче 19.31
—т— Со С 2 ~т~
q = Aq + Bp, p = Cq + Dp
была гамильтоновой системой?
19.36. Движение частицы массы т К задаче 19.34
в поле с потенциалом Щ91, #2, 9з) задано в ортогональных криволи-
криволинейных координатах 9ъ Q2 и 9з- Найти гамильтониан частицы, если
криволинейные координаты связаны с декартовыми координатами
соотношениями х = ж(91, 92, 9з)? у = 2/(9ъ #2, 9зM z = 2(91, 92, 9з)-
19.37. Найти гамильтониан системы с функцией Лагранжа L =
= L2 -\- L\-\- Lq, где
1
L2 = ~
i,k=l
= L0(9,
г=1
§ 19. Уравнения Гамильтона, Рауса, Уиттекера и Якоби 201
19.38. Составить канонические уравнения малых колебаний кон-
консервативной системы с п степенями свободы, для которой кинети-
кинетическая и потенциальная энергии представляют собой положительно
определенные квадратичные формы с постоянными коэффициен-
коэффициентами:
-| П -| 71
C\ / j b /v jL l> jL /v " c\ / j v *v jL l> jL /v \ v rv rv С 7 v rv rv С /
i,k=l i,k=l
19.39. Найти гамильтониан системы, лагранжиан которой равен
1 п п
L \.—^ * * X—^
2 ^ гкЧгЧк Z^
i,k=l i=l
где dik = dki — постоянные величины. Составить канонические урав-
уравнения движения и найти их решение.
19.40. Показать, что в консервативной системе с лагранжианом
п
где a,ij = const, Cij = const, ^ ^ih^kj = S cik^kj (h J — 1? n)> коор-
k=l k=l
динаты и импульсы удовлетворяют одним и тем же уравнениям:
= 0 (* =
19.41. Натуральной механической системе соответствует функ-
функция Лагранжа
1 N
С помощью невырожденного точечного преобразования qi = fi(Qj, t)
(i,j = l,n) осуществляется переход от лагранж:евых переменных
{^, д^, ^} к новым лагранжевым переменным {6^, 6^, t}. Найти соот-
соответствующую этому переходу связь обобщенных импульсов piq и pjq.
19.42. Найти закон преобразования обобщенных импульсов, о ко-
котором говорилось в предыдущей задаче, при переходе от декартовых
координат к координатам: а) цилиндрическим г, ср, z: x = rcoscp, у =
= rsincp, z = z\ б) сферическим г, ср, 6: х = rsinGcoscp, у = rsinGsincp,
z = rcos6.
202 2. Аналитическая механика
19.43. Гамильтониан трехмерного анизотропного осциллятора
в декартовых координатах имеет вид
Используя решение задачи 19.41, найти гамильтониан осциллятора
в цилиндрических и сферических координатах.
19.44. Составить канонические уравнения Гамильтона для систе-
системы, представленной в задаче 16.37.
19.45. Показать, что движение консервативной системы с двумя
степенями свободы и одной циклической координатой может быть
найдено в квадратурах.
19.46. Составить канонические уравнения Гамильтона для систе-
системы, представленной в задаче 16.38.
19.47. Составить канонические уравнения Гамильтона для систе-
системы, представленной в задаче 16.40.
19.48. Составить канонические уравнения Гамильтона для систе-
системы, представленной в задаче 16.41.
19.49. Система имеет функцию Гамильтона //(^,р^,^), при-
причем матрица [д2Н/(dpidpk)]™k=i является матрицей положительно
определенной квадратичной формы при любых q^ pj, t. Показать,
что функция \|/(#г? Чг > ^)? определенная в соответствии с равенством
\|/(<7г> Чг-, t) = max[Y^Xiqi — H(qi, Х{, ?)], совпадает с лагранжианом
{х}
системы L(qi, qi,t).
19.50. Система имеет функцию Лагранжа L(qi, g^, t) {i — 1? n),
причем матрица [д2 L / (dqidqk)]™ k=1 является матрицей положитель-
положительно определенной квадратичной формы. Показать, что обобщенные
импульсы pi = Pi(qj, qj, t) можно определить, рассматривая задачу
на экстремум y(qi,pi,t) = тах[^^<7г — L(qi, qi,t)] no всем перемен-
Ш
ным qi (i = 1, п). Показать также, что функция ф(^5 Vii t) является
гамильтонианом системы.
19.51. Доказать следующий критерий устойчивости состояния
равновесия систем в канонической форме: если в состоянии равнове-
равновесия (д*, р*) функция Гамильтона Я(д, р) имеет строгий минимум (по
всем переменным g^, pi (г = 1, п)), то это состояние будет устойчивым
по Ляпунову.
19.52. Для обобщенно консервативной системы с гамильтониа-
гамильтонианом H(qk,pk) найдена такая функция S(q\,q2, ..., gn), что выраже-
выражение H(qk,dSIdq\, ...,dS/dqn), в которое переходит гамильтониан
при замене импульсов р^ на /& = dS/dqk (к = 1, п), оказывается не
зависящим от координат qi (г = 1, п). Показать, что в этом случае
§ 19. Уравнения Гамильтона, Рауса, Уиттекера и Якоби 203
на движениях системы {qi(t),Pi(t)} при всех t будут выполняться
соотношения Pk(t) = /&(#(?)), если они выполняются в начальный
момент времени, т.е. если р^ = fk(qo) {i,k = 1, п).
19.53. Функции ft =Фг(9о,Р(Ь*)> Pi = ?t(9o,Po,*) {h3 = ^n)
задают закон движения системы с гамильтонианом H(qi,pi). Найти
закон движения системы с гамильтонианом /[//(ft, pi)].
19.54. Функции cp^Oppj,*), \|fi(cy, р^-, *), (г, j = 1, п), где аь
а2,..., ап, Pi, P2,..., Рп — произвольные постоянные, задают общее
решение ft = фг(оу, Pj, t), pi = \|/i(ocj, Pj, ^) (г, j = 1, n) гамильтоно-
вой системы с функцией Ho(qj, Pi,t). Найти закон движения гамиль-
тоновой системы с функцией
H(q, p, t) = H0(q,p + gradf(q, t), t) + df(q, t)/dt,
где /(g, t) — заданная функция.
19.55. Функции qi = ср^ос^, pj, *), Pi = \|/»(«j, Pj, *) (г, j = 1, n)
представляют собой уравнения движения системы с гамильтониа-
гамильтонианом Ho(qi,pi). Найти движение системы с гамильтонианом Н\ =
19.56. Натуральной механической системе соответствует функ-
функция Лагранжа
2 *-^ г
i=l
и функция Гамильтона H(q, pq,t). В исходном лагранжевом опи-
описании системы совершается переход от обобщенных координат ft
(г = 1, п) к обобщенным координатам 6^ (г = 1, п) в соответствии
с формулами неособенного преобразования ft = /г @, t) (г = 1, п).
Найти гамильтониан H(d,pQ,t), соответствующий описанию систе-
системы в новых переменных (см. задачу 19.41).
19.57. Системе с лагранжианом L(g, q,t) соответствует гамиль-
гамильтониан H(q,p,t). Найти гамильтониан H(q,p,t) системы, лагран-
лагранжиан которой равен L(g, g, t) = L(q, q, t) + dF(q, t)/dt, где dF/dt =
19.58. Система с гамильтонианом Ho(q, p,t) имеет лагранжиан
q, ft t). Найти лагранжиан L(q, q,t) системы с гамильтонианом
204 2. Аналитическая механика
19.59. В канонических переменных движение системы определя-
определяется гамильтонианом
Я(</, р, t) = Ф(</, р - gradF(q, t), t) -
где
г
.)fc=1
Показать, что уравнения Лагранжа этой системы не зависят от вы-
выбора функции F(qi, t).
19.60. В системе с лагранжианом L(q, q, t) переменные Pi опре-
определяются в соответствии с равенствами
dqi dq{ \ 1д(ИдAз \ij=i J
Показать, что для любой функции F(q, t) найдется такая функ-
функция Я(д, Р, ^), что в переменных (д, Р, t) уравнения движения си-
системы записываются в канонической форме
дН^Р^ р дН(д, Р, t)
Яг~ dPi ' г~ dqt (г-1,п).
19.61. Уравнения движения системы материальных точек в обоб-
обобщенных координатах gi, q^ ..., qn заданы в форме уравнений Ла-
гранжа 2-го рода
d ОТ дТ —^
~7i^~^~ = Qi (г = 1,п).
at oqi dqi
Записать уравнения движения этой системы в «полуканониче-
«полуканонической» форме, определяя обобщенные импульсы равенствами рк =
= dT/dqk (к = 1, п), из которых скорости q^ могут быть выражены
через qi. Pi и t с помощью соотношений q^ = \|//g(g, p, t) (к = 1, п).
19.62. Из «полуканонических» уравнений, полученных в преды-
предыдущей задаче, вывести канонические уравнения движения системы
в потенциальном поле с потенциалом П(д, t).
19.63. При выводе теоремы о вириале для финитных движений
системы материальных точек в декартовых координатах рассматри-
п
вают функцию G — ^2 Рг^ь гДе ri — радиус-вектор г-й материальной
г=1
п
точки, a pi = rriiVi — ее импульс. Используя функцию g = ^2 PkQk
k=i
(pk = dL/dqk, L = T — U = L(q, g)), получить аналог теоремы о ви-
вириале в обобщенных координатах.
§ 19. Уравнения Гамильтона, Рауса, Уиттекера и Якоби 205
19.64. Показать, что среднее значение гамильтониана H(qi, pi) =
1 П
ъ S агк(я)Р1Рк + Щд) на финитных движениях системы имеет
г,к=1
^т 1 Л ОН
19.65. На груз массы га, подвешенный на пружине жесткости с,
действуют возмущающая сила F(t) и сила сопротивления среды Q =
= — $v. Показать, что если ввести координату у = жехр[р?/Bга)],
где х — смещение груза из положения равновесия, то уравнения дви-
движения груза могут быть записаны в форме уравнений Гамильтона.
Найти соответствующие координате у лагранжиан L и гамильтони-
гамильтониан //; выписать канонические уравнения движения.
19.66. Частица массы га движется в плоскости ху под действием
г i
силы F = — /(г)-, г — ух2 + у2. Составить уравнения движения
частицы в форме уравнений Рауса.
19.67. Составить уравнения движения спутника массы га в поле
тяготения планеты массы М в форме уравнений Рауса.
19.68. Две точки с массами rai и га 2 взаимодействуют по зако-
закону всемирного тяготения. Составить уравнения движения системы
в форме уравнений Рауса. За обобщенные координаты принять ко-
координаты центра масс системы ж, ?/, z, расстояние между точками г
и углы ф и \|/ (широты и долготы), которые определяют направление
прямой, соединяющей точки.
19.69. Тяжелое колечко массы т (см. рис. к задаче 19.19) сколь-
скользит по гладкой проволочной окружности массы М и радиуса г,
которая может вращаться вокруг своего вертикального диаметра.
Составить уравнения движения системы в форме уравнений Рауса.
19.70. В сферических координатах лагранжиан релятивистской
частицы в поле тяготения имеет вид
r +rV + rVsirre G
с г
где то — масса покоя частицы, ас — скорость света. Построить
функцию Рауса частицы.
19.71. Найти функцию Рауса системы, гамильтонианом которой
является функция H(qi, Pi,t), выбирая в качестве переменных gi,...
• • • 5 Чп, Vis • • • 5 Vra-i Чт+l, • • • , Qn-
19.72. Найти функцию Уиттекера К и составить уравнения Уит-
Уиттекера системы с лагранжианом L = (q\ + q\ + q\ql)/2 — (q\ + ^|)/^-
19.73. Найти функцию Уиттекера К частицы массы т в одно-
однородном поле тяжести.
206 2. Аналитическая механика
19.74. Найти функцию Якоби Р частицы массы т в однородном
поле тяжести.
19.75. Составить уравнения движения частицы массы т в од-
однородном поле тяжести в форме уравнений Якоби. Найти первые
интегралы полученной системы.
19.76. Лагранжиан точечного заряда е и массы т в электро-
_ TTi /.о .о • 9 \ ^ г 1 п
магнитном поле имеет вид L = — \х + у + z ) — еср+ -[v x AJ, с —
а » с
скорость света, ср и А — скалярный и векторный потенциалы поля.
Найти гамильтониан заряда и составить канонические уравнения
движения.
19.77. Функция Гамильтона релятивистской частицы во внеш-
и I 2 4 2 g*V
нем электромагнитном поле имеет вид Н = \ / razc4 + сА I р А I +
у Vе/
+ еср, с — скорость света, р = (рх ^py^pz) — импульс частицы, А и ср —
векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля. Найти
лагранжиан частицы.
19.78. Найти функцию Гамильтона и составить канонические
уравнения движения осциллятора с вязким трением, функция Ла-
1 Г / з2 \ 1
гранжа которого равна L = -еР11т гпх2 + $хх — I с ) х2 , где
2 [ \^ 2mJ J
Р — коэффициент сопротивления.
19.79. Найти функцию Гамильтона и составить канонические
уравнения движения осциллятора с вязким трением, функция Ла-
гранжа которого равна L = е^^т[тх2 — еж2]/2. Показать, что функ-
функции L и L из задачи 19.78 связаны соотношением L(g, q,t) =
= L(g, 9, t) + dF(q, t)/dt (см. задачу 19.57).
§ 20. Первые интегралы. Скобки Пуассона.
Теорема Нётер
20.1. Вычислить скобки Пуассона (Kj,pi), (Ki, Kj), (К2, Kj),
(х{, Kj) (г, j = 1, 3), где жь ж2, ж3, Ръ Р2, Рз — декартовы коорди-
координаты и компоненты импульса частицы; К\, К^ К% — компоненты
ее момента импульса относительно начала координат, а К2 — К2 +
+ К1 + К1
В задачах 20.2-20.13 для заданных функций cp(g, p, t) и \|/(g, p, t)
вычислить скобку Пуассона (ф, \|/).
20.2. ф = д2+р2, \|f = arctg(p/g).
20.3. ф = 2 2
20.4. ф =
§ 20. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Нётер 207
20.5. ф = р*, Y
20.6. ф = 9г, Y = Pife (г, fc =
20.7. ср = 9г, ?=9fe (г, fc =
20.8. ф = pi, \|f = Pib (г,Л =
20.9. Ф = ф(дьР1), ?
20.10. ф = gcosa>? + -
со
20.12. Ф = cos [?(р? +9?I)? = sin
L«=i J
20.13. Ф = /i(g(ft, p»)),
20.14. С помощью скобок Пуассона записать канонические урав-
уравнения Гамильтона.
П Qf
20.15. Соотношения X(f) = ^Л^жх^г, . ..,жп) д—, Y(f) =
г=1 °^Ж*
= Е^(Ж1,Ж2, ...,ЖП)^—, ГДе /(ЖЬ ...,ЖП), Xi(xU . . . , Жп) И
Уг(ж1, ..., жп) — непрерывно дифференцируемые функции, задают
линейные дифференциальные операторы X и У соответственно.
Непосредственной проверкой показать, что коммутатор Z(f) =
= Х(У(/)) — Y(X(f)) является снова дифференциальным опера-
тором 1-го порядка: Z(f) = ^2 Zi(x\, ...,жп) ——, причем Z{ —
г=1 ^Xi
20.16. Используя решение предыдущей задачи, доказать тожде-
тождество Пуассона
где ф = ф(д, р, t), \|/ = \|/(д, р, t), / = /(<?, р, t).
20.17. Показать, что функции фх = р\ + д|5 Ф2 = р| + яЬ Фз —
= (фъ Ф2M гДе (ф1) Фг) ~~ скобка Пуассона, являются независимыми
первыми интегралами системы с гамильтонианом Н = Р1Р2 + qiq2-
20.18. Функция ф(д, р, t) является первым интегралом
обобщенно-консервативной системы. Показать, что функции dq/dt,
<92ф/ dt2,... также будут первыми интегралами этой системы.
20.19. Функция ф(д, р, t) является первым интегралом гамиль-
тоновой системы с циклической координатой q^. Показать, что функ-
функции <9ф/dqki d2(p/dq^,..., дп(р/dq7^ также будут первыми интегра-
интегралами этой системы.
208 2. Аналитическая механика
20.20. В гамильтоновой системе с га степенями свободы коорди-
координата q\ является циклической. Показать, что 2га независимых первых
интегралов системы можно представить виде W\ = q\ —
Wi = Fi(qj,p8,t) (г = 2, 2га), где функции Fk(qj,pS)t) (k = 1, 2га) не
зависят от циклической координаты q\.
20.21. В гамильтоновой системе с га степенями свободы коорди-
координата q\ является циклической. По первым интегралам, указанным
в задаче 20.20, построить такой первый интеграл W системы, чтобы
2га независимых первых интегралов определялись равенствами W,
8W/dqb...,d2n-1W/dqln-1.
20.22. Используя результат задачи 20.21, для гамильтоновой
системы с циклической координатой q\ построить два таких пер-
первых интеграла, при помощи которых можно получить полный набор
независимых первых интегралов системы, используя только скобки
Пуассона.
20.23. Показать, что для системы с гамильтонианом Н =
= ^[/(91 ? 92> • • • > Чт, Pi , Р2? • • • •> Vm), 9т+Ъ • • • ? 4n->Vm+l-> • • • , Pn? *]
функция /(91,92, ...,9т?РъР2, ...,Pm) является первым интег-
интегралом.
20.24. Показать, что для системы с гамильтонианом
Я = F[cpi(gb pi), ..., Фп(<7п, Pn), *]
функции фг(9г? Рг) (i = 1? п) являются первыми интегралами. Счи-
Считая, что система уравнений yi = фг(9г? Рг) разрешима относительно
импульсов pi = \|/г(9г') 2/г)? (*= 1> п)? найти движение системы (в квад-
квадратурах) .
20.25. Показать, что для системы с гамильтонианом
н = F{fn[... /2(/i(9b Pi)? 92, Рг), • • •, 9m Pn], *}
фуНКЦИИ /l(^l, Pi), /г(/г-1, 9г ? Рг) (г = 1, 7i) ЯВЛЯЮТСЯ ПерВЫМИ ИН-
тегралами. При га = 2 найти (в квадратурах) движение системы.
Считать, что система уравнений у\ — /i(#i, pi), уч = /2(ос, ^25 Р2) раз-
разрешима относительно импульсов: р\ = \|/i(^/i, ^1), Р2 — V2(a, 2/2? 92)-
20.26. Показать, что для системы с гамильтонианом
-1
г=1 Li=l
функции /г(9г? Рг) ~ Htyi(qi, pi) являются первыми интегралами.
20.27. Показать, что для системы с гамильтонианом
г п 1-1
§ 20. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Нётер 209
где ji и д{ — постоянные, функции Фг(^ьРг) являются первыми
интегралами.
20.28. Найти (в квадратурах) движение системы, гамильтониан
которой задан в следующем виде:
20.29. Функция W(q, р, t) удовлетворяет соотношению dW/dt +
+ (И/, Я) = /(?), где (И/, Я) — скобка Пуассона. Построить первый
интеграл канонической системы с гамильтонианом Я(д, р, ?), исполь-
используя функции W(q,p,t)n f(t).
20.30. Две механические системы с одной степенью свободы
каждая имеют гамильтонианы H\(q,p) и Я2 (#,/?) соответственно.
Известны конечные уравнения движения q(qo, Po^t) и p(qo, Po^t)
одной из этих систем. Найти конечные уравнения движения систе-
системы с гамильтонианом f(H\, Яг), если скобки Пуассона от функций
Hi(q, p) и Я2(д, р) равны нулю.
20.31. Найти ошибку в следующих «правдоподобных» рассужде-
рассуждениях. Материальная точка массы т начинает движение в плоскости
yz из состояния покоя в однородном поле тяжести, силовые линии
которого параллельны оси Oz. Следовательно, импульс точки рж,
сохраняется, т.е. рх = const. Производная момента импульса Kqv
точки относительно оси О у равна нулю, так как единственная внеш-
внешняя сила — сила тяжести — пересекает ось Оу и, следовательно, не
создает момента относительно этой оси. Поэтому Коу будет первым
интегралом, т. е. К о у = const при движении точки. Используя теоре-
теорему Якоби-Пуассона, получим, что pz = const, так как [рХ1 Коу) = pz-
Этот «вывод» находится в очевидном противоречии с уравнением
изменения импульса pz = mg.
20.32. Гамильтониан Я(д, р, t) некоторой системы удовлетворя-
удовлетворяет условию det [d2H/(dpi dpk)]™k=i ф 0. Показать, что соответствую-
соответствующая гамильтонова система не имеет нетривиальных (т. е. отличных
от константы) первых интегралов вида f(q,t) = const, зависящих
только от координат q и времени t.
20.33. Найти зависимость гамильтониана Я(д, р, t) от обобщен-
обобщенных импульсов pi (г = 1, п), если соответствующая система канони-
канонических уравнений допускает п функционально независимых первых
интегралов вида fi(q,t) = oci, /2(^9^) = 0С2,..., fn{Q,t) = осп, не зави-
зависящих от обобщенных импульсов.
210 2. Аналитическая механика
20.34. Система дифференциальных уравнений щ = Ai(q,p, ?),
Pi = Bi(q, p,t) (г, j = 1, n) имеет в некоторой области In независи-
независимых первых интегралов Wk(qj, pj, t) (k = 1, 2n). Доказать, что эта
система является гамильтоновой тогда и только тогда, когда скобки
Пуассона (VK&, W{) любой пары интегралов также являются первым
интегралом.
20.35. В лагранжиане L = - ^2 aij{(l)Qi4j ~Щд) консерватив-
г,7=1
ной системы функции ctij(q) являются однородными функциями од-
одного и того же порядка к, а потенциал П(д) — однородной функцией
порядка /. Как должны быть связаны числа &, /, а и 6, чтобы од-
нопараметрическое семейство преобразований (с параметром a) qi =
= qi exp (аа) (i = l,n),t = t exp (ab) удовлетворяло условиям теоремы
Нётер? Найти соответствующий первый интеграл системы.
20.36. Система состоит из п материальных точек с массами mi,
Ш2,..., тп (см. рисунок), которые могут перемещаться по гладкому
горизонтальному кольцу. Массы соединены пружинами, как показано
на рисунке. Подобрав преобразование qi =
= qi(q, ос) (i = 1, п), не меняющее лагран-
лагранжиана системы, показать, что в силу теоре-
теоремы Нётер система имеет первый интеграл
п
> С2 XI miQi- В качестве обобщенных координат
t=i
Чг {} — 1)п) принять расстояние по дуге
окружности от некоторой неподвижной точ-
точки до точек системы.
20.37. Показать, что преобразование
К задаче 20.36 ' ^ ^
поворота относительно оси жз удовлетворя-
удовлетворяет всем условиям теоремы Нётер для системы с лагранжианом L =
— f (x\ + x\ + x\) + ?L(t)(xiX2 — Х2Х\). Найти соответствующий пер-
первый интеграл.
20.38. Система материальных точек с массами mi, Ш2,..., тп
совершает движение в силовом поле с потенциалом
Х-1/2
¦=1 ^
где Xi^yi^Zi — декартовы координаты точек; г? = х\ + у\ + zf, а^, bi —
постоянные числа. Подобрав числа а и |3 так, чтобы однопараметри-
ческое семейство преобразований (с параметром a) Xi = ж^еаа, yi =
= |/геаа, Ii = Zieaa, t = te^a удовлетворяло условиям теоремы Нётер,
§ 20. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Нётер 211
показать, что функция
п Г п 1
i + ziZi) -t\ Y,mi (*? + Vi + *i) + 2П
является первым интегралом системы.
20.39. Движение механической системы определяется лагранжи-
^ п
аном L = - ^2 Qi — П(^г)- Показать, что если первый интеграл этой
системы найден при помощи теоремы Нётер, то он имеет следующий
вид:
где a, Ci, d — постоянные величины, a (&2j)?,j=i "~ кососимметриче-
ская постоянная матрица.
20.40. Движение механической системы описывается лагранжи-
аном L = - ^2 Qi ~ ЩЯг)- Показать, что для этой системы первый
2i=i
интеграл можно получить при помощи теоремы Нётер в том и только
в том случае, когда потенциальная энергия П(д) системы удовлетво-
удовлетворяет уравнению
t=l
где аи Ci — постоянные величины, a {bijO^ ¦1 — кососимметрическая
постоянная матрица.
20.41. Движение механической системы определяется лагран-
^ п
жианом L = - ^2 ^iQi ~ Щ#), где Х{ — постоянные положительные
числа. Используя результаты решения задач 20.39 и 20.40, получить
вид первого интеграла, который можно найти для этой системы при
помощи теоремы Нётер, и записать уравнение, которому должна
удовлетворять потенциальная энергия П(д).
20.42. Ответить на вопросы предыдущей задачи в случае, когда
^ п
механическая система имеет лагранжиан L = - ^2 aijQiQj ~П(д),
где (flf;)?7=i — постоянная симметричная матрица такая, что соот-
соответствующая ей квадратичная форма является положительно опре-
определенной.
212 2. Аналитическая механика
20.43. Движение консервативной системы определяется лагран-
п
жианом L — -^аг^-П(д). Показать, что система имеет первый
2i=i
п
интеграл вида Yl/^гЯг в том и только в том случае, когда потенци-
г=1
альную энергию П(д) можно представить в виде П(д) = F(z\, z<i, ...
п
... , zn-i), где ^ — линейные формы: Z{ — ^2 cijQj- Параметры а^,
i=i
6^ и Cjj — постоянные величины.
20.44. Используя условия предыдущей задачи, показать, что
п
система имеет т независимых первых интегралов вида ^2 ^ыЧг {к =
г=1
= 1, т) тогда и только тогда, когда потенциальную энергию можно
представить в виде
г=1 г=1 г=1
20.45. В условиях задачи 20.43 построить такое однопараметри-
ческое семейство преобразований, чтобы указанный в задаче первый
интеграл получался при помощи теоремы Нётер.
1 4
20.46. Механическая система с лагранжианом L = - ^2 Ял ~ П(^)
1 i=i
имеет первый интеграл a(gi^2 — Q1Q2) + Р(^з^4 — ЯзЯа)^ где аи р-
постоянные параметры. Найти вид потенциальной энергии системы
Щд).
20.47. Используя условия предыдущей задачи, построить такое
однопараметрическое семейство преобразований, чтобы указанный
в задаче первый интеграл получался при помощи теоремы Нётер.
20.48. Показать, что механическая система с лагранжианом L =
^ п
— о S Qi ~ Щя) имеет первый интеграл
1
i-iq2i - 42г-1<72г), Г ^ п/2,
в том и только в том случае, когда потенциальную энергию можно
представить в виде П = F(zi, 22, •. •, ^n-i), где
Zi = ah
Zr+k = Я1Я2к+2-Я2Я2к+1, к = 1,Г-1,
Z2r-i+l = Я2г+1, I = l,n-2r.
§ 20. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Нётер 213
20.49. Используя условия предыдущей задачи, построить такое
однопараметрическое семейство преобразований, чтобы указанный
в задаче первый интеграл получался при помощи теоремы Нётер.
20.50. Показать, что механическая система с лагранжианом L =
^ п
l имеет первый интеграл
1 п
2 X) а& (?< + Ь0 "
г—\
тогда и только тогда, когда потенциальная энергия П(д) обладает
следующим свойством: если П(д) представить в виде П(д) = F(gi +
+ Ьь <?2 + &2, • • •, Яп + Ьп), то функция F(zi,z2, ...,2П) является од-
однородной степени —2. Параметры а« и ^ - постоянные величины.
20.51. Используя условия предыдущей задачи, построить такое
однопараметрическое семейство преобразований, чтобы указанный
в задаче первый интеграл получался при помощи теоремы Нётер.
20.52. Найти однопараметрическое семейство преобразований
Я{ — Фг(#5 ?> ос) и t* = \|/(g, ?, а), удовлетворяющих условиям теоремы
Нётер, при помощи которых можно получить следующие законы
сохранения: а) закон сохранения энергии в консервативной системе;
б) закон сохранения импульса и момента импульса системы точек,
движущихся в потенциальном силовом поле с потенциалом П =
= F[\ri —Tj\], где \ri —Tj\ — расстояние между г-й и j-й точками;
в) закон сохранения импульса в системе с циклической координатой.
20.53. Динамическая система описывается системой уравнений
%i — fi{x) {i — 1? n)- Для каждой начальной точки ж@) = а суще-
т
ствует временное среднее lim — g(x(a, t))dt = \|/(а), где g(x) —
Т^оо 1 J
О
некоторая функция. Показать, что функция \|/(ж) будет первым инте-
интегралом системы. Убедиться, что для любого первого интеграла \|/(ж)
найдется такая функция g(x), что ее усреднение дает \|/(а).
20.54. Для каждой начальной точки (qo,Po) гамильто-
новой системы Н = H(q, р) существует временное среднее
т
lim - \g[qi{qo,po,t),pi(qo,po,t)]dt = 9(90,Ро), где g(q,p) -
о
заданная функция, а функция ср(#(ь;Ро) — непрерывно дифференци-
дифференцируемая функция. Показать, что для скобки Пуассона выполняется
(<p(q,p),H(q,p)) = O.
214 2. Аналитическая механика
20.55. В качестве динамической системы в условиях предыдущей
задачи берется гармонический осциллятор (H(q, р) = (р2 +со2д2)/2),
а в качестве функций g выбираются g1 = q2, g2= р2, g$ = qp. Непо-
Непосредственным вычислением показать, что соответствующие средние
имеют вид ф! = аГ2#(<Д р°), ф2 = H(q°, p°), ф3 = 0.
20.56. Показать, что для одномерного осциллятора среднее зна-
чение lim —
°° о
ции ф(д, р) является функцией одного переменного Н = (р2 + со2д2)/2,
т.е. что /(<Др°) = v[(po4©y2)/2].
20.57. Показать, что функции ф1 = pi/q2 и ф2 = (р2 — qi) exp (—t)
являются первыми интегралами системы с гамильтонианом Н =
= Piqi —P2q2 + q2- Построить полную систему первых интегралов и с
ее помощью найти закон движения.
-. d , „ ч / df \ ( „ б/ф\ .
20.58. Доказать тождество — (/,ф)= ~3~>Ф I + ( 1->~Г Ь гДе /?
ф — функции гамильтоновых переменных, (/,ф) — скобка Пуассона.
20.59. Динамическая система описывается системой дифферен-
дифференциальных уравнений Х{ — fi(x,t) (г = 1, п). Движение системы зада-
задается функциями Xi = фг(жо, ^(Ь 0? ГДе жо = ^(^о)- Показать, что при
любом фиксированном ?q функции фг(ж, ^, ^о) задают полный набор
функционально независимых первых интегралов динамической си-
системы.
20.60. Первые интегралы fi(qi,Pi,t),..., fm{Qi,Pi,t) канониче-
канонической системы находятся в инволюции, т. е. скобки Пуассона (/^, /&) =
= 0 (г, к = 1, т). Показать, что первые интегралы вида Ф(/ь /2,
... , /ш) и F(/i, /2, ..., /m) также находятся в инволюции.
20.61. Вычислить скобки Пуассона (ф(^), ^(^))? гДе ^ — ^(^? Р? ^)
H« = v(g,p,t).
20.62. Показать, что скобки Пуассона (ф,\|/) двух функций ф =
= ф(/ь/2, .-.Jrn,t) и \|/ = \|/(/ь/2, ...,/m,t), где Д = fk{qi,Pi,t)
{к = 1)т, г = 1, п), выражаются равенством
20.63. Заданы функции ср = ф(дь ..., gn, рь ..., рп, /ь ... ,/ш)
и \|f = \|f(gi, ...,9п,Рь •••?Рп,/ь •••j/m), где /^ = fi(q,p,t). Пока-
§ 20. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Нётер 215
зать, что скобки Пуассона этих двух функций выражаются равен-
равенствами (теорема В. Г. Имшенецкого)
k=l
где первые скобки вычисляются при фиксированном /^.
20.64. Каждой функции cp(g, p) гамильтоновых переменных
можно поставить в соответствие оператор Х^ по следующему прави-
= Х^1т\ где [X,Y] = XY -YX — коммутатор операторов, а
(фъфг) — скобка Пуассона.
20.65. Если в линейном пространстве L каждой паре элементов
a G i и t G t по некоторому правилу поставлен в соответствие эле-
элемент х) (коммутатор) с— [а,6], принадлежащий L и удовлетворяю-
удовлетворяющий следующим условиям:
1. [аа\ + Ра2,6] = oc[ai,6] + Р[а2,Ь], а, р = const (дистрибутив-
(дистрибутивность) ,
2. [а, Ь] + [6, а] = 0 (антикоммутативность),
3. [а, [6, с]] + [6, [с, а]] + [с, [а, 6]] = 0 (тождество Якоби), то про-
пространство L вместе с операцией коммутирования называют алгеброй
Ли. Показать, что следующие пространства с определенным в них
коммутатором являются алгеброй Ли:
а) трехмерное линейное векторное пространство, в котором опре-
определено векторное произведение с = ахЬ;
б) пространство вещественных матриц А = {сци)™k=\ ПОРЯД~
ка п 2), где коммутатор естественно определяется равенством С —
= ЛВ-ВЛ;
в) пространство вещественных функций a(g, р), где коммутатор
определяется через скобки Пуассона:
х) Соответствие с=[а,Ь] обычно называют бинарной операцией, т. е. операцией,
определенной на паре элементов.
2) Размерность этого пространства равна п2, по числу элементов матрицы.
216 2. Аналитическая механика
г) пространство линейных дифференциальных операторов а =
= ^а^(ж) ——, где коммутатор определяется соотношением с = ab —
— 6а, т. е. для любой непрерывно дифференцируемой функции f(x)
с/ = аF/)-6(а/),где
д) произвольная алгебра при с = aob — боа, где а о b — опреде-
определенное в алгебре умножение.
20.66. Группа q\ — щ (д, ?, а), ?* = \|/(д, ?, а) называется группой
дивергентных симметрии системы с лагранжианом L(g, g, ?), если
группа и система связаны соотношением
т( * ^#* *\^?* / dq \ dR(q,t,a)
Lyq , ——, t j — = ь I ^, —, 6 I ,
dt dt \ dt I dt
где R(q, t, a) — некоторая функция. Показать, что в этом случае
у системы имеется первый интеграл
п
w = ^2piT\i{q, t) — ?(<7, t)H + r(g, ^) = С,
г=1
где введены обозначения
d\\f
да
а=0'
т — —
а=о' 9а
а=0
р^ — обобщенные импульсы, Н — функция Гамильтона, соответ-
соответствующая лагранжиану L(q,q,t).
20.67. Убедиться,что группа ?* = ?, ж* = ж + ocsin(co? + р) при
любой фазе р является группой дивергентных симметрии (см. задачу
20.66) для возмущенного линейного осциллятора: ж + со2ж = f(t).
Вычислить два первых интеграла (р = О, Р = тс/2) и общее решение
х{Ь,СъС2).
20.68. Для возмущенного линейного осциллятора с вязким тре-
трением х + 2пх + kx = f(t) найти две группы дивергентных симметрии
(см. задачу 20.66), соответствующие первые интегралы и построить
общее решение x(t, C\, C<i). Рассмотреть три случая:
a)n2-&>0; 6)n2-fc = 0; в)п2-А:<0.
Указание. Использовать функцию Лагранжа из условия задачи
19.79 и идею задачи 20.67.
§ 21. Вариационные принципы механики 217
§ 21. Вариационные принципы механики
21.1. Показать, что вариационный принцип Гамильтона дает
форму уравнений движения механической системы в потенциальном
поле, ковариантную по отношению к произвольным преобразованиям
координат.
21.2. Используя принцип Гамильтона, показать, что уравнения
движения систем с лагранжианом Lo(q, q, t), ?i(q, q, t) = Lo(q, 4L 0 +
d ( ч
+ — <P(q, t), отличающимися на полную производную от произволь-
О/Т
ной функции <&(q, ?), совпадают.
21.3. Материальная точка движется по инерции. Показать, что
в расширенном координатном пространстве (x^y^z^t) через любые
две точки Мо(жо,2/о,^о?^о) и ^"i(^i,j/i,^i,ti), не лежащие в гипер-
гиперплоскости t = const, можно провести прямой путь и притом только
один. Непосредственным вычислением показать, что на прямом пути
действие по Гамильтону Wnp принимает минимальное значение по
сравнению с действием на любых окольных путях WOK.
21.4. Материальная точка движется в однородном поле тяже-
тяжести, силовые линии которого параллельны оси Oz. Показать, что
в расширенном координатном пространстве (ж, j/, z,t) через любые
две точки Мо(жо, j/o? ^о? ^о) и ^i(^i? 2/Ъ zi-> ^l)? не лежащие в гипер-
гиперплоскости t = const, всегда можно провести прямой путь и притом
только один.
21.5. В расширенном координатном пространстве (g, t) линейно-
линейного осциллятора L = (q2 — co2g2)/2 описать множество всех тех точек
(#1, gi), которые нельзя соединить прямым путем с начальной точкой
(*о, 9о).
21.6. Частота собственных колебаний линейного осциллятора
равна со. В расширенном координатном пространстве (g, t) осцилля-
осциллятора требуется провести прямой путь через точки {до, ^о} и {^l? ^l}-
Показать, что а) при t\ — to ф kn/ы (к =
= ±1, ±2, ...) задача имеет единственное ре-
решение; б) при t\ — to = кп/од (к = ±1, ±2, ...) ^
и q\ = (—l)kqo задача имеет бесчисленное
множ:ество решений; в) при t\ — to = kn/ю (к = ^ I
= ±1, ±2, ...) и q\ ф {—X)kqo задача не имеет
решения.
21.7. По гладкому горизонтальному
лп ( \ К задаче 21.7
стержню А В (см. рисунок), вращающемуся
вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со(?), может скользить
колечко массы т. Показать, что в расширенном координатном
пространстве колечка, т. е. в плоскости xt, через любые две точки, не
218 2. Аналитическая механика
лежащие на прямой t = const, можно провести прямой путь и притом
только один.
21.8. Используя условия предыдущей задачи, показать, что в рас-
расширенном координатном пространстве колечка на любом прямом пу-
пути, проходящем через две точки, действие по Гамильтону принимает
минимальное значение по сравнению с действием на окольных путях,
проходящих через эти же точки.
21.9. Плоский математический маятник длины / совершает ма-
малые колебания (в соотвествие с линеаризованными уравнениями).
Рассматривая расширенное координатное пространство (ср, ?), где
Ф — угол отклонения маятника от вертикали, нарисовать прямой
и окольный пути. Для различных начальных положений маятника
(фо? ^о) указать кинетический фокус, сопряженный начальной точке.
21.10. Свободная релятивистская частица имеет лагранжиан
L = —тос2д/1 — (?2 + 2/2 + i2)/c2, где с — скорость света, а ж, ?/,
z — декартовы координаты частицы. Показать, что в расширенном
координатном пространстве (ж, у, z, t) частицы через любые две точ-
точки А(х0, уо? 2о> *о) и B(xi, ух, 2i, *i), *i ф to, проходят прямой путь
и притом только один.
21.11. Частица массы т и заряда е движется в постоянном
однородном магнитном поле напряженности Н (вектор напряженно-
напряженности поля Н направлен по оси z) под действием силы Лоренца F =
= -[vxH], где v — скорость частицы, а с — скорость света. Показать,
что точка (xi, J/1, z\, t\) будет сопряженным кинетическим фокусом
для точки (жо, уо> 2о, ?о),еслиж1 = ж0, Уг = Уо, zi = zo + zo2nmc/eH,
ti = tQ-\-2nmc/eH (индекс 0 соответствует начальному положению
частицы, а индекс 1 — конечному).
21.12. Материальная точка движется по вертикали в однород-
однородном поле тяжести. Непосредственным вычислением показать, что
действие по Гамильтону на прямом пути z = gt2/2 меньше действия
на окольных путях вида z = antn (п ^ 1). Рассматривая двумерное
расширенное координатное пространство (г, ?), нарисовать прямой
и окольные пути системы.
21.13. Одномерный гармонический осциллятор частоты со при
t = 0 начинает движение без начальной скорости из положения до-
Вычислить значение действия по Гамильтону W на этом прямом
пути за период колебаний Т. Вычислить также значение действия
на окольных путях вида q(t) = at(t — T) + qo за время Т. Изобразить
прямой путь и семейство окольных путей в пространстве (g, t) и по-
показать, что существуют значения параметра а, для которых a) WOK >
> Wnp; б) WOK = Wnp; в) WOK < Wnp.
§ 21. Вариационные принципы механики 219
21.14. Точка массы т может двигаться по гладкой вертикальной
плоскости xz, вращающейся вокруг вертикальной оси Oz с постоян-
постоянной угловой скоростью со. Показать, что существует единственная
траектория, по которой точка перейдет из заданной точки A(xq, ^о)
в заданную точку В(х\, z\) за фиксированное время Т > 0.
21.15. Сохраняя условия предыдущей задачи, показать, что дей-
действия по Гамильтону на прямом пути ж(?), z(t) и на окольном пу-
пути x(t) + Ax(t), z(t) + Az(t) связаны соотношением WOK = Wup +
т
+ i l[(AxJ + ы2(АхJ + (AzJ]dt, если Дж@) = Ax(T) = Az(G) =
= Az(T) = 0.
21.16. Материальная точка движется по инерции по гладкой
сфере. Показать, что действие по Гамильтону на прямом пути Л Б, со-
содержащем точку С, диаметральнопротивоположную точке Л, строго
минимально по сравнению с окольными путями, также содержащими
точку С.
21.17. Показать, что для системы, описанной в задаче 21.7,
действие по Гамильтону на прямом пути имеет строгий глобальный
минимум.
21.18. Частица массы m движется в однородном поле тяжести,
силовые линии которого параллельны оси Oz. Показать, что действие
по Гамильтону на прямом пути, который проходит через две про-
произвольные точки Л и В расширенного координатного пространства
(ж, у, 2, ?), не лежащие в гиперплоскости t = const, имеет глобальный
минимум по сравнению со значением действия на окольных путях,
проходящих через эти же точки.
21.19. Лагранжиан механической системы представляет собой
положительно определенную квадратичную форму скоростей L =
^ п
= - ^2 CiikQiQk c постоянными коэффициентами а^. Показать, что
2 i,k=i
через любые две точки расширенного координатного пространства,
не лежащие в гиперплоскости t = const, можно провести прямой путь
и притом только один.
21.20. Используя условия предыдущей задачи, непосредствен-
непосредственным вычислением показать, что на прямом пути, соединяющем лю-
любые две точки (q(°),?o) и (ф >^i)j ^l Ф ^(Ъ расширенного координат-
координатного пространства, действие по Гамильтону будет минимальным по
сравнению с действием на любых окольных путях, соединяющих эти
точки.
21.21. Показать, что в (п + 1)-мерном расширенном координат-
координатном пространстве (q,?) системы с лагранжианом L = L(q) через лю-
220 2. Аналитическая механика
бые две точки A(q(°),?o) и В{ч ?^i)j не лежащие в гиперплоскости
? = const, можно провести прямой путь и притом только один, если
21.22. Функция Лагранжа системы L = L(q) зависит только от
обобщенных скоростей. Показать, что действие по Гамильтону на
прямом пути, проходящем через две точки A(q^\to) и B(qf^\ti)
(п + 1)-мерного расширенного координатного пространства, будет
минимальным по сравнению с действием на любых окольных
путях, проходящих через эти же точки, если матрица Гессе
[d2L/(dqi Qqk)]^k=i является матрицей положительно определенной
квадратичной формы.
21.23. Показать, что для системы с лагранжианом L =
^ п
— о Е WlQi + ^Qi] (аг — const, bi = const) действие по Гамильтону
2г=1
на прямом пути имеет глобальный минимум.
1 п
21.24. Кинетическая Т = - J^ UikQiQk и потенциальная П =
2 i,k=l
I п
= - ^2 сгкЯгЯк энергии консервативной системы представляют со-
zi,k=i
бой положительно определенные квадратичные формы с постоян-
постоянными коэффициентами. Из точки A(q(°\to) (n + 1)-мерного рас-
расширенного координатного пространства выпускаются всевозможные
прямые пути, и на каждом из них находится ближайший (по време-
времени) кинетический фокус Б, сопряженный для начальной точки Л.
Описать множество таких точек В.
21.25. Решить предыдущую задачу для консервативной системы,
1 п Xй 1 п
уКОТОрОЙТ=- X) 0>гкЫк,Ъ=7; Е ^гкЧгЧк^!, Е ЬфкЧгЧк^А^
Zt,fc=l г,/г=1 г,&=1
^>0и все коэффициенты постоянны.
I п
21.26. Кинетическая энергия системы Т = - J^ UikQiQk пред-
zi,k=i
ставляет собой положительно определенную квадратичную форму
от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами а^ {i,k =
= 1, п), а потенциальная энергия равна П = J^ Ci(t)qi. Показать, что
через любые две точки расширенного координатного пространства
(q(°), ?о) и (ч ? ^l)? не ле^сащие в гиперплоскости t = const, можно
провести прямой путь и притом только один. Показать также, что
§ 21. Вариационные принципы механики 221
действия по Гамильтону на окольном пути WOK и на прямом пути
1 г п
Wnp связаны равенством WOK = Wnp + - ^ aik^4i^4k dt, причем
Л 7- и—л
Aqs{t) = q°«(t) - q7{t) и Aqs{t0) = Д^) = 0 {s = 1, n)
21.27. Показать, что для натуральной системы
= L2 + Li + L(b L2= Y, aik(q)qiQk>0 при ^дг2>
i,k=l г=1
действие по Гамильтону на прямом пути не может быть максималь-
максимальным по сравнению с любыми окольными путями, имеющими такие
же граничные точки, как и у прямого пути.
21.28. Точка B{q^\ti} прямого пути q(?), соединяющего ее
с начальной точкой A{q(°), ?q} b (n + 1)-мерном расширенном коор-
координатном пространстве, является кинетическим фокусом, сопряжен-
сопряженным для точки Л. При этом на пути q(?) нет других кинетических
фокусов, сопряженных начальной точке. Показать, что значение дей-
действия Wnp на прямом пути q(t) связано со значением действия WOK
на любых других близких путях (окольных и прямых) неравенством
И^пр ^ М^ою т-е- на прямом пути действие локально минимальное *).
21.29. Если в выражении действия по Гамильтону W =
ti
= /b(q, i\)dt сделать переход к новому времени т в соответствии
to
с равенствами t = t (т), то в результате получим
где штрихом обозначена операция дифференцирования по т. Введем
в рассмотрение систему с лагранжианом L I q, — \tf, рассматривая t
V t )
как новую [п + 1)-ю обобщенную координату. Найти обобщенный
импульс pt-, соответствующий координате t.
21.30. Прямой путь qi = qi(t) (i = 1, п) системы с лагранжианом
L(q, q, t) проходит через точки A(q^°\ ?q) и B{q^l\ t\) (п + 1)-мерного
) Локальная минимальность понимается в следующем смысле: существует та-
п п
кое число е > 0, что при Y1 Д(/?М + S ^Qi{^) < ?? ^о ^ t ^ ti, выполняется
г=1 г=1
неравенство WOK > Wnp\
222 2. Аналитическая механика
расширенного координатного пространства. Для однопараметриче-
ского семейства кривых qi(t,a) = qi(t) + осфг(?), Фг(^о) — щ{1\) = О
(г = 1, п), проходящих через точки А и В, найти выражение для
р
второй вариации b2W(a) действия по Гамильтону W = L(q,q, ?) dt
to
на прямом пути, которому соответствует а = 0.
21.31. Обратимое преобразование (п + 1)-мерного расширенного
координатного пространства щ = cpi(q, t),t = \j/(q, t) (i = 1, n) перево-
переводит каждую кривую q = q(t), представляющую движение лагранже-
вой системы с функцией L(q, q, t), в соответствующую кривую q =
= q(^). Опираясь на принцип Гамильтона, показать, что функцию
L(q, dci/dt, ?), задающую лагранжеву систему с решениями
можно вычислить следующим образом:
где qi = щ (q, t) — обратное преобразование.
21.32. Материальная точка движется по инерции по оси Ох.
ti
Рассмотрев действие по Гамильтону W = L(x)dt на трехпарамет-
рическом (параметры осо, ai, аг) семействе кривых x(ao,ai,a2,?) =
= ao + ai^ + a2^2/2, проходящих через точки Л(жо,?о — 0) и ^(#i,?i),
найти такие значения параметров йо, 5i, Й2, определяющие кри-
кривую х(йо,их,Й2, t), чтобы W(йо,их,иг) ^ H^(ao,ax,a2) (прямой метод
приближенного отыскания экстремалей вариационных задач в задан-
заданном классе функций).
21.33. Лагранжиан L(q, q, t) некоторой системы является выпук-
выпуклой функцией относительно (qi, qi) (i = 1, п), т. е. для любого X Е [0,1]
выполняется неравенство
Доказать, что в такой системе значение действия по Гамильтону на
прямом пути Wnp и значение WOK на любом окольном пути, проходя-
проходящих через точки Л(q(°), to) и i?(qW, t\) расширенного координатного
пространства, связаны соотношением WOK ^ Wnp.
§ 21. Вариационные принципы механики 223
21.34. Материальная точка массы т движется в однородном
поле тяжести. Выписать выражение для действия по Лагранжу W*.
В трехмерном координатном пространстве частицы найти все кине-
кинетические фокусы (сопряженные для начальной точки (жсьЗ/о^о))?
которые возникают при рассмотрении принципа Мопертюи-Лаг-
ранжа.
21.35. Согласно принципу Ферма луч света в неоднородной среде
распространяется таким образом, что вариация
8 nds\ = 0,
где п = п(ж, ?/, z) — показатель преломления среды. Найти потен-
потенциал П(ж, 2/, z) силового поля, в котором траектории частицы будут
совпадать с траекториями светового луча (оптико-механическая ана-
аналогия).
21.36. Используя оптико-механическую аналогию, найти тра-
траектории светового луча в среде с коэффициентом преломления
n(x,y,z) = a(x2 + y2 + z2)-1/4.
21.37. Задано некоторое однопараметрическое семейство S пу-
путей д(ос,?), проходящих через точки A(q®,to) и B(q1Jti) (n + 1)-
мерного расширенного координатного пространства (q\, q<i, ..., qn, t).
Действие по Гамильтону механической системы с функцией Лагран-
жа L(q, g, t) на семействе S определяется функцией Ws(a). Верно ли
утверждение: из условия [5И/^(а)]а=а* = 0 следует, что путь q(a*,t)
является прямым.
21.38. Функция Лагранжа L(g, g, t) некоторой системы яв-
является строго выпуклой функцией обобщенных скоростей ^г, т.е.
[d2L/(dqi dqk^k-i при всех g, g, t является матрицей положительно
определенной квадратичной формы. Пусть через любые две точки
(qo,to) a (<7i,?i) (n + 1)-мерного расширенного координатного про-
пространства, не лежащие в гиперплоскости t = const, проходит един-
единственный прямой путь. Показать, что в этом случае действие по
Гамильтону WOK ^ Wnp для любых окольных путей, соединяющих
начальную и конечную точку.
21.39. Функция Лагранжа L(g, g, t) системы такова, что любые
две точки (a, to), (b,ti) (n + 1)-мерного расширенного координат-
координатного пространства можно соединить единственным прямым путем.
Показать, что в переменных q,p,t на прямом пути q(t), проходящем
г
через а и 6, достигается минимакс minmax [Y^PiQi ~ H(q,p,t)] dt
q(t) p(t) J
224 2. Аналитическая механика
(т.е. выполняется условие минимакса). Гамильтониан при этом яв-
является строго выпуклой функцией переменных Pi(t):
i,k=l i=l
на которые не налагается никаких ограничений.
21.40. С использованием условия задачи 21.31 для системы с ла-
лагранжианом L(x) = mx2/2 (свободная одномерная частица) вычис-
вычислить функцию Лагранжа, соответствующую новым переменным у =
= жеа, т = te2a. Убедиться в справедливости равенства
dy\ dx _ /dx\ , ч
—- -г- = L —- (вариационная симметрия).
ах J at у at J
21.41. С использованием условия задачи 21.31 для системы с ла-
лагранжианом L(?, ж, х) = тх2/2 — ы2х2/2 + хf (t) (возмущенный ос-
осциллятор) вычислить функцию Лагранжа, соответствующую новым
переменным у = х + ocsinco?, т = t. Убедиться в справедливости ра-
равенства
dy\ dx ( dx\ dR(t,x,a)
dxj dt "^'-' dtj dt
где R(t, x, a) — некоторая функция (дивергентная симметрия, см. за-
задачи 20.66, 20.67).
21.42. С использованием условия задачи 21.31 для системы с ла-
лагранжианом L(r, r, ф) = ш(г2 + г2ф2)/2 + а/г (кеплерова задача) вы-
вычислить функцию Лагранжа, соответствующую новым переменным
г = ге2а, ф = Ф, t = te3a. (*)
Убедиться в справедливости равенства
( dr dq\ ( .
где с(а) — некоторая функция (конформная симметрия). Преобразо-
Преобразование (*) и равенство (**) обосновывают третий закон Кеплера.
§ 22. Интегральные инварианты
22.1. В расширенном фазовом пространстве одномерного осцил-
осциллятора с лагранжианом L = (q2 — co2g2)/2, движущегося по закону
q = Л sin (оо? + а), найти уравнение поверхности трубки прямых путей,
соответствующей заданной постоянной амплитуде Л и изменению
фазы а от 0 до 2тс. Изобразить эту трубку в перспективе, показав
§ 22. Интегральные инварианты
225
С2
на ней прямые пути. Непосредственным вычислением показать, что
значение интеграла §(pdq — Hdt) по контуру С, лежащему в плоско-
плоскости t = t\, не зависит от t\.
22.2. В расширенном фазовом про-
пространстве (qi,Pi,t), г = 1, п, выбира-
выбирается замкнутый контур Со, по кото-
которому строятся трубки прямых путей
двух гамильтоновых систем с функци-
функциями Hi(qi,pi,t) и H2(qi,Pi,t) соответ-
соответственно (см. рисунок). На каждой из тру-
трубок выбираются контуры С\ и С<ь-> согла-
согласованные с Со г). Как связаны между со-
собой значения интегральных инвариантов
и h =
d i=1
C2 i=1
Выяснить, какие из криволинейных интегралов задач 22.3-22.8
являются универсальными интегральными инвариантами.
-
22.4. 1 = 1^
22.5. I =
22.6. / =
lnq)bp\.
^
2qiCO82
8Pi +picos(qiPi)8qi\.
t=l
22.7. / = l[(ap2 + bpq + cg2Mg + (ар2
j
22.8. / =
)Sp].
22.9. Вычислить значение интеграла
взя-
того вдоль замкнутого контура, лежащего на трубке прямых путей,
но не охватывающего ее.
) Два контура Со и Ci, охватывающие трубку прямых путей, называются
согласованными, если возможна такая параметризация одним и тем же пара-
параметром а, что при каждом значении а соответствующие точки контуров Со и С\
расположены на одном и том же прямом пути.
Е. С. Пятницкий и др.
226 2. Аналитическая механика
л П
22.10. Показать, что интеграл /' = осф J^ QfiPi, ос ^ 0, где кон-
тур С лежит в гиперплоскости t = const, является универсаль-
универсальным интегральным инвариантом. Найти отношение 1Г/I, где / =
о П
= Ф S Pi&Qi — универсальный интегральный инвариант Пуанкаре.
22.11. Как изменяется интеграл ф ^Г, qfipi + НЫ\ при произ-
сг=
вольной деформации вдоль прямых путей контура С, охватывающего
трубку прямых путей?
22.12. Найти общий вид функции Ф^, р, ?), для которой инте-
интеграл
г=1
является интегральным инвариантом (типа инварианта Пуанкаре-
Картана) гамильтоновой системы с функцией //(q, p, t).
22.13. Функция /(q, p, t) является первым интегралом системы
с гамильтонианом //(q, p, ?). При построении трубки прямых пу-
путей системы в Bп + 1)-мерном расширенном фазовом пространстве
(q, р, ?) начальный контур Go(q^(a), p^(a), ^o(a)) выбирается та-
таким образом, что /[q^(oc), p^(a), ^o(a)] = Р5 гДе Р ~~ фиксированное
число. Показать, что значение криволинейного интеграла
с-1=1
не будет зависеть от выбора контура С на указанной трубке прямых
путей.
22.14. В Bп + 1)-мерном расширенном фазовом пространстве
(q, p, t) канонической системы с гамильтонианом
начальный контур Co(qo, Po? ^о) трубки прямых путей выбран таким
образом, что ?о = 0, ср(дю, • • •, QsO, Pw, , Pso) = P, где Р — фик-
фиксированное число. Показать, что значение криволинейного интеграла
г=1
, p, *)]5*]
§ 22. Интегральные инварианты 227
не будет зависеть от выбора контура С на этой трубке. Изменится
ли этот вывод, если условие ф(дю, ..., 9«о? Рю? ? Р*о) = Р Для
контура Cq не будет выполняться? Предполагается согласованность
контуров Со и С (см. сноску к задаче 22.2).
22.15. Каким условиям должны удовлетворять функции А{ (q, p)
и Bi(q, р) (г = 1, п) для того, чтобы интеграл
С
г=1
был универсальным интегральным инвариантом?
22.16. Функция /(q, р, t) является первым интегралом канони-
канонической системы с гамильтонианом //(q, p, t). Доказать, что интеграл
I = • • • /(<Ь Р, 0 ^91 dq2... dqn dpi dp2... dpn
является интегральным инвариантом.
22.17. Показать, что в обобщенно-консервативной системе с га-
гамильтонианом #(q, p) интеграл
/ = ... #(q, p) dqi dq2... dqn dpi dp2... dpn
G2n
является интегральным инвариантом.
22.18. Показать, что каноническая система с гамильтонианом
Н = #[cpi(gi, pi), ..., Фп(<7п, Pn), *]
имеет следующие интегральные инварианты:
h = I '-'\q>k(qk,Pk)dqidq2... dqndpidp2... dpn (к = 1, n).
Gf2n
22.19. Показать, что интеграл
Г Г
/=| ... \q>(qi,pi)dqidq2... dqndp\dp2... dpn
Gin
является интегральным инвариантом канонической системы с га-
гамильтонианом Я(ф(9ъ pi), 92, • • •, qn, P2, • • •, Рп, *).
22.20. Показать, что интегралы
228
2. Аналитическая механика
/2= ... Ф2(ос, q2,P2)dqidq2dqsdpidp2dps,
/3 = • • • Фз(Р, 93, Ръ) dq\ dq2 dq% dpi dp2 dps,
где аир — произвольные постоянные величины, являются инте-
интегральными инвариантами канонической системы с гамильтонианом
Н = Фз{фг[ф1 (9ъ Pi), 92, Р2], 9з, Рз}-
22.21. Система с гамильтонианом //(q, p) имеет интегральный
инвариант вида
.I F(q,
q2... dqndpxdp2.. .dpn,
где F(q^ p, t) — непрерывная функция, an — число степеней свобо-
свободы. Показать, что функция F(q, p, t) является первым интегралом
системы.
22.22. Материальная точка (см. рисунок) движется по инерции
вдоль оси Ох. На фазовой плоскости {х,рх} точки выбирается
область Go {у ^ хц ^ 5, а ^ рхо ^ Р}. Со-
Совокупность движений точки (с начальны-
начальными условиями в Go) переводит Go в Gt-
Найти вид области Gt для произвольного
момента времени t.
22.23. Показать, что если для систе-
системы второго порядка q = Q(q,p,t), p =
= P(q,p,t) сохраняется «фазовый объ-
' g "ж ем», то эта система является гамиль-
тоновой, т.е. существует такая функ-
К задаче 22.22 ция H(q,p,t), что Q(q, p, t) = дН/др,
р-
а
22.24. Показать, что из факта сохранения фазового объема для
системы
Pi = P*(q, P, *) {г =
2),
вообще говоря, нельзя сделать вывод о том, что система является
гамильтоновой. Привести пример.
22.25. В фазовом пространстве одномерного гармонического ос-
осциллятора с гамильтонианом Н = (р2 + со2д2)/2 выбирается область
(до — оJ + (Vю2)(ро ~ ^J ^ 1? гДе а и b ~ постоянные. Из каждой точ-
точки этой области выпускается прямой путь системы. Как изменяются
форма и положение этой области во времени?
§ 22. Интегральные инварианты 229
22.26. Гамильтониан многомерного осциллятора имеет вид Н =
^ п
f + co?g|). Из каждой точки области
2п-мерного фазового пространства осциллятора выпускаются пря-
прямые пути, переводящие Go B Gt- Показать, что Gt представляет собой
внутренность эллипсоида
(ft "
г=1 ^
где о^(?) =
22.27. Гамильтониан системы H(qi, pi) (г = 1, п) и число а та-
таковы, что неравенство H(q^p^) ^ а определяет некоторый объем
Go B фазовом пространстве (qiiPi). Из каждой точки области Go
выпускается прямой путь системы. Как меняются положение и форма
области Go с течением времени?
22.28. Как меняется во времени величина некоторого объема Go
в фазовом пространстве (д, р) механической системы с лагранжи-
лагранжианом L(q, q, ?), на которую действуют дополнительно обобщенные
силы Qi(t) (г = 1, п)?
22.29. Найти необходимые и достаточные условия сохранения
фазового объема в пространстве #i, #2,..., %п Для стационарной
линейной динамической системы Х{ = ^2 aikxk (г = 1, п).
k=i
22.30. Показать, что фазовый объем линейной стационарной
динамической системы х\ — а\\Х\ + ayix^ #2 = &21Ж1 + а22^2 сохра-
сохраняется лишь в том случае, когда эта система гамильтонова. Выписать
выражение для соответствующего гамильтониана.
22.31. Груз массы т движется в среде с сопротивлением, пропор-
пропорциональным скорости (коэффициент пропорциональности р). На груз
действует сила пружины жесткости с (см. рисунок к задаче 18.4). На
плоскости (ж, х) {х — растяжение пружины) выбирается область Go
площади So. Совокупность движений груза с начальными условиями
в Go переводит Go в Gt. Найти площадь St области Gt.
T1.Z1. Движение динамической системы в координатах х\,
%2, • • •, хт описывается системой уравнений:
X<i — ji\"^l? **^2? * * * ? пъ) \ — 5 777/).
230 2. Аналитическая механика
Показать, что фазовый объем этой системы в га-мерном пространстве
х\-> Х2т • • •> хт сохраняется в том и только в том случае, когда divf =
г=1 ОХг
22.33. В трехмерном пространстве (р, д, г) угловых скоростей
твердого тела с одной закрепленной точкой, движущегося по инер-
инерции, выбирается некоторая область G$. Движения твердого тела
с начальными условиями в Go переводят эту область в область Gt-
Найти объем Vt области Gt-, если объем области Go равен V$.
22.34. Некоторая динамическая система описывается уравнения-
уравнениями Xi = fi(x\, Ж2, ..., хт) (г = 1, га), причем задача Коши для этих
уравнений имеет единственное решение. Каждая начальная область
Go в m-мерном пространстве #i, Ж2, •. •, хт траекториями системы
Xi = Xi(x®, х\, ..., ж^, t) переводится в область G^, если х° G Go-
Показать, что интеграл
Г Г
/*=... Ф(ж1, ж2, ..., xm)dxidx2 ... dxm
Gt
сохраняется на траекториях системы (It = Ito), т.е. является инте-
интегральным инвариантом системы в том и только в том случае, когда
г=1
22.35. Показать, что в условиях предыдущей задачи выражение
Г Г
It = ... Ф(жъ Ж2, ..., хт, t)dx\ dix2 ... dxm
Gt
будет сохраняться на движениях системы в том и только в том случае,
когда дФ(х, t)/dt + div[$(x, t)f(x)] = 0.
22.36. Два шарика с массами mi и Ш2 движутся навстречу
друг другу со скоростями и\ и и\ соответственно. Рассматривается
совокупность таких движений при различных значениях скоростей
и\ и ^2, заполняющих некоторую область So на плоскости щщ.
Как изменится площадь области So в результате абсолютно упругого
удара?
22.37. Решить предыдущую задачу, считая коэффициент восста-
восстановления при ударе равным к.
22.38. Шарик массы т движется по инерции вдоль оси Ох
и абсолютно упруго ударяется о перпендикулярную направлению
движения преграду. На фазовой плоскости (р, х) выбирается область
§ 22. Интегральные инварианты 231
начальных данных So- Совокупность движений шарика (с началь-
начальными данными в Sq) переводит So в St- Проследить (качественно)
изменение St с течением времени на фазовой плоскости с учетом
соударения с преградой.
22.39. Диссипативная система имеет кинетическую энергию Т =
п
= о S я\Iй потенциальную энергию П = - J] с-гкЧгЧк^ ^ik — const.
zi=l zi,k=l
Непотенциальные обобщенные силы равны Q{ — — тг^5 где R =
^ п
= 9 S ^гкЧгЧк ~ функция Релея системы, a bik = bki — постоянные
2 i,k=i
величины. В 2п-мерном пространстве (q, q) этой системы выбрана
некоторая область Go, объем которой равен Vq. Найти объем Vt
области G^, в которую переводят область Go движения системы
с начальными условиями в Go-
22.40. Найти закон изменения объема Vt диссипативной систе-
системы, описанной в предыдущей задаче, считая потенциальную энергию
произвольной дифференцируемой функцией n(q, t).
22.41. Для гамильтоновой системы статистический ансамбль
имеет плотность p(q, p, t). Показать, что интеграл
Г Г
I = • • • Р(<Ь Р, *) dqi dq2--- dqn dpi dp2... dpn
является интегральным инвариантом системы.
22.42. Задан статистический ансамбль плотности p(g^ Vi-> t) (i —
= 1, n), для которого справедлива теорема Лиувилля
где H(qi, pi, t) — гамильтониан системы. Этот ансамбль можно ин-
интерпретировать как «2п-мерную жидкость», поле скоростей которой
задается уравнениями Гамильтона qi = uqi = дН/dpi, pi = uPi =
= —дН/dqi, а плотность совпадает с плотностью ансамбля. Пока-
Показать, что в этих условиях для «жидкости» будет выполняться «урав-
«уравнение неразрывности» dp/d? + div(pu) = 0, гдеи= (gi, ..., gn, pi, ...
... ,рп) представляет собой 2п-мерный вектор скорости «жидкой
частицы».
22.43. Используя введенную в предыдущей задаче аналогию
между «2п-мерной жидкостью» и статистическим ансамблем, полу-
получить из «уравнения неразрывности жидкости» др/dt + div(pu) = 0
уравнение dp/dt + (р, Н) = 0, выражающее утверждение теоремы
Лиувилля.
232 2. Аналитическая механика
В теории динамических систем вероятность р нахождения дви-
движущейся точки в некоторой области G определяется как предел
{если он существует) отношения времени ^ti нахождения траек-
траектории в области ко всему времени движения Т, т.е.
т
1 1 р
р= lim ™У/г = Нт - \q>G(x(x0,t))dt,
О
где фо — характеристическая функция множества G:
о' ж^с!
В следующих задачах для конкретных механических систем тре-
требуется найти вероятность их нахождения в заданных областях.
22.44. Тело массы т (см. рис. к задаче 18.19) соединено со
стенкой пружиной жесткости с и может скользить по гладкой го-
горизонтальной направляющей. Найти вероятность q нахождения те-
Г Р2 1
ла в области G < 0 ^ х, 0 ^рх, сх2 + — ^ 2Ег\ > фазовой плоскости
I m J
(ж, рх), где х — растяжение пружины. В начальный момент времени:
22.45. Решить предыдущую задачу, считая дополнительно, что
на тело действует сила вязкого трения F = — $v с постоянным коэф-
коэффициентом р Dгас > р2).
22.46. Зависит ли вероятность нахождения изображающей точки
в области, указанной в задачах 22.44 и 22.45, от значений х$ и хц?
22.47. Динамическая система, описываемая уравнениями Х{ —
— fi{xi, х2-> - • • 9 хп-> t) (i = 1, n), имеет два интегральных инварианта:
Показать, что отношение ф(ж1,Ж2, ... ,жп)/\|/(ж1,Ж2, ... ,жп) будет
первым интегралом системы. Обсудить в связи с этим задачу 22.21.
22.48. Динамическая система описывается уравнениями Х{ =
— fi{xi-> х2-> • - • •> хпч t)- Найти условия, при которых эта система име-
Р п
ет интегральный инвариант вида / = ^ Фг(ж, t) dxi, где криволи-
/i = ...
G
h= ... \|/(жьж2, ...,xn)dxi... dxn.
§ 22. Интегральные инварианты 233
нейный интеграл вычисляется по любым кривым (в том числе и не-
незамкнутым — абсолютный инвариант по терминологии А. Пуанкаре),
лежащим в гиперплоскости t = const (n + 1)-мерного пространства
(М).
22.49. Показать, что в условиях задачи 22.48 переменные ж&,
Ф& (к = 1, п) являются сопряженными каноническими переменными,
. дН . дН »
Т.е. Жг = —, ф; = -^—, ГДе #= X, Фг(х, *)/г(х, *).
Сф <?ж
22.50. Функции ^=9i(q@),P@)^),^ = ^(q@),P@),0 (г = М)
описывают закон движения некоторой гамильтоновой системы, при-
причем некоторая конечная область П фазового пространства является
инвариантной (т.е. из {q'0', р'0'} G fi следует, что при любом t вы-
выполняется соотношение {фг^°\ р(°\ ?), \|/i(q^°\ Р^°\ t)} G fi). Выби-
Выбирается момент времени Т и некоторая область G G П, объем которой
равен 1/ > 0. Доказать, что найдется такой момент времени t^T\ что
область GnGt, где G^ — область, в которую переводится область G
траекториями системы, будет иметь положительный объем. (Теорема
Пуанкаре о возвращаемости областей.)
22.51. Материальная точка единичной массы движется по инер-
инерции по оси Ох. На фазовой плоскости {х,рх} выбирается область
Go — КРУГ единичного радиуса. Совокупность движений точки (с на-
начальными условиями в Go) переводит Go в Gf. Найти вид области
Gt для произвольного момента t. Непосредственным вычислением
убедиться в сохранении фазового объема.
22.52. По гладкой горизонтальной оси может двигаться точка
единичной массы. В расширенном фазовом пространстве этой си-
системы построить трубку прямых путей, исходящую из контура Go,
заданного параметрически уравнениями q(a) = sin а, р(а) = cos а,
?(а) = 0, 0 ^ а ^ 2тс. Для этой трубки вычислить интеграл Пуанкаре.
Сравнить его с интегралом Пуанкаре-Картана по контуру Gi, полу-
полученному путем сечения трубки плоскостью р — t = 0.
22.53. В канонической системе, заданной функцией Гамильтона
Я(д,р,^), определен переход к новым координатам и времени qi =
= fi(q,t),t = g(q, t). Преобразование импульсов pi = hi{q^p)t) опре-
определяется в соответствии с равенством
п п ~
^Pidqi — Н dt = ^pidqi — Н dt,
i=l i=l
гарантирующим гамильтоновость уравнений в новых переменных
(обосновать!). Показать, что переменные g,p,^, q,p,t и функции
234 2. Аналитическая механика
, р, ?), H(q, p, t) связаны соотношеними
E
г=1 t=l
22.54. В декартовых координатах гамильтониан релятивистской
частицы в поле тяготения имеет вид
где то — масса покоя, с — скорость света, a G — гравитационная
постоянная. С использованием соотношений, приведенных в условии
задачи 22.53, найти гамильтониан частицы в сферической системе
координат.
22.55. Для нижеприведенных одномерных систем с использо-
использованием соотношений из условия задачи 22.53 вычислить функцию
Гамильтона в новых переменных, если меняются ролями время и ко-
координата q = t,t = q:
а) движение точки по вертикали в однородном поле тяжести
Земли;
б) линейный осциллятор;
в) осциллятор с вязким трением (см. задачу 19.79).
§ 23. Канонические преобразования
23.1. Доказать каноничность преобразования qi=pilpi = qi (i =
= 1, п). Найти валентность с этого преобразования и производящую
функцию F(qi,pi,t).
23.2. Показать, что в одномерном случае невырожденное ли-
линейное стационарное преобразование q = щ + Рр, р = yq + pp всегда
является каноническим. Найти его валентность с и производящую
функцию F{q)p,t).
23.3. При каких условиях неособенное преобразование
является каноническим? Считая, что эти условия выполнены, найти
производящую функцию F(qi, pi, t) преобразования.
Установить каноничность и найти валентности с и производящие
функции F преобразований в задачах 23.4-23.9.
23.4. q = q + p, р = 2</(ехр[(</ + рJ] +1) + 2р(ехр[(</ + рJ] - 1).
§ 23. Канонические преобразования 235
23.5. q = qp, р = ln(q20p19).
23.6. q = peq, p = q + e~q + \np.
23.7. q = —gctgp, p — 21ncosp.
23.8. q = pq~\ p = q~\p*-bq*).
23.9. q = q~2 + In (tpq3), p = pqs + tpq3exp (l/q2).
23.10. Известны валентность с и производящая функция
F(<li,Pi,t) канонического преобразования q\ = /(^i, Pi, ^), P\ —
— Ф(#ъ V\ 11)- Показать, что преобразование
91 = /(9Ь РЬ *)?••• ? 9п = /(9п, Рп, *),
ь pi, t), ..., рп = ф(дп, Рп, *)
является каноническим той ж:е валентности с. Найти производящую
функцию этого преобразования.
23.11. Доказать, что преобразование qi = ^/^coscp^, pi =
= y/2hisin<pi (г = l,n) является каноническим (т.е. что Xi
и ф^ представляют собой гамильтоновы переменные). Найти его
валентность с и производящую функцию F.
23.12. Доказать каноничность преобразования
qi = Щг + dq>(pj,t)/dpi, Pi = Pi (г, j = 1, n).
Найти валентность с этого преобразования, его производящую функ-
функцию F(qj,pj,t) и закон преобразования гамильтонианов.
23.13. Доказать, что не существует канонического преобразова-
преобразования с валентностью с = 0.
23.14. Доказать, что у канонического преобразования ва-
валентность с определяется однозначно, а производящая функция
F{qi)pi)t) лишь с точностью до произвольной аддитивной
функции /(*).
23.15. Условия каноничности преобразования
можно получить при помощи следующей идеи х). В результате пре-
преобразования (*) любая гамильтонова система переходит в систему
(**)
х) Эта идея и была использована С. Ли в его работе 1877 г. по каноническим
преобразованиям (см. [17, с. 404-424]).
236 2. Аналитическая механика
где функции Qi и Pi зависят от выбора исходного гамильтониана
H(qj, pj, t). Для того чтобы система (**) была гамильтоновой, необ-
необходимо и достаточно выполнение равенств
dQi dQk dQi дРк дР{ дРк (.
dqk dqi ' дрк dqi ' дрк dpi
Условия, при которых эти равенства выполняются при любом выборе
функции H(qj,pj, ?), и будут являться искомыми условиями кано-
каноничности преобразования (*). Получить с помощью этих рассужде-
рассуждений условие каноничности преобразования (*) в виде тождества
где с ф 0 — некоторое число (валентность преобразования (*)), a bqi
и bF вычисляются при «замороженном» времени.
23.16. Задан гамильтониан H(q, p,t) системы с одной степенью
свободы. Найти условия, при которых преобразование q = q(q, p, ?),
p = p{q,p,t) переводит эту конкретную гамильтонову систему снова
в гамильтонову.
23.17. Вычислить квадрат якобиана канонического преобразова-
преобразования валентности с: q{ = qi(qj,Pj,t), p{ =Pi(qj,Pj,t) (г, j = 1, п).
23.18. В механической системе с лагранжианом L(qi, qi^t) совер-
совершается переход от обобщенных координат qi (i = 1, п) к обобщенным
координатам qi при помощи неособого преобразования qi = фг(^', t).
Используя соотношения из условия задачи 22.53, найти соответствую-
соответствующий этому переходу закон преобразования обобщенных импульсов
pi = \\fi(qj, pj,t) (i,j = l,n) и доказать каноничность преобразо-
преобразования qi = фг(^-, t), pi = yi(qj, Pj-, t). Найти также валентность с
и производящую функцию F этого преобразования.
23.19. Найти закон преобразования гамильтонианов при кано-
каноническом преобразовании, о котором шла речь в предыдущей зада-
задаче, считая, что обращение формул исходного преобразования qn =
— tyi{Qj•> t) приводит к равенствам qi = fi(qj, t) (г, j = 1, п).
Приведенные в 23.20-23.24 выражения Xi = Xi(q, t) (г = 1, 3)
определяют переход от декартовых координат к другим обобщенным
координатам. С использованием решения задачи 23.18 найти соот-
соответствующие этому переходу формулы преобразования обобщенных
импульсов pXi — pXi(Qi,<l2,q3,Pi,P2,P3,t). Установить каноничность
преобразования 24 = ^(91,92,93,*), Рх{ = Рх{(91,92,9з,РьР2,Рз,*)
(г = 1, 3), найти его валентность с и производящую функцию F.
23.20. х\ — pcoscp, X2 = psincp, Ж3 = z.
§ 23. Канонические преобразования 237
23.21. х\ = rsin6 coscp, Х2 = rsin6 sincp, х$ = rcos6.
23.22. х\ — q\ - v\t, x^ — q^- v^t, x% = q% - v^t.
23.23. x\ — д/^П coscp, Х2 = v^sincp, Ж3 = (^ —л)/2.
23.24. Xl = а^2-1)A-Л2)со8Ф, x2 = a^2 - 1)A -42)sincp,
жз = о^г|, а = const.
23.25. Задано каноническое преобразование qi = fi{qj,Pj,t),
Pi = щ(qj5 pj,t) (i, j = 1, n). Найти общий вид функций \|/^(qj, p^, ^)
(i,j = l,n), обеспечивающих каноничность преобразования g* =
= Л {Qj i Pj ? *) ? P* = ?г (?j, Pj, *) («, j = 1, rc). Иначе говоря, как можно
изменить формулы, задающие «новые» импульсы, не меняя формул,
задающих «новые» координаты, чтобы преобразование осталось ка-
каноническим?
23.26. Привести пример, показывающий, что не для любых
функций fi(qj,pj,t) (i,j = l,n) можно найти такие функ-
функции Wi(qj,Pj,t), чтобы преобразование qi = fi{qj,Pj,t), p% —
— ?г {Qj iPj->t) было каноническим.
23.27. Описать совокупность всех канонических преобразо-
преобразований, обладающих следующим свойством. Для любого решения
{qj{t),Pj(t)} исходной гамильтоновой системы найдется такое
решение {qj (t), pj (t)} преобразованной гамильтоновой системы,
что функции qj(t) и qj(t) будут связаны соотношением qi(t) =
= Fi(qj(t), t) (г, j = 1, п). Заданные функции Fi(qj, t) таковы, что
преобразование yi = Fi(xj,t) однозначно разрешимо относительно
а?1, ..., хп.
23.28. Задана цепочка преобразований
A R ~ ~ ~ С1 ~ ~ ~
pu t) —> Я(дь p{, t) —> L(ft, qu t),
где преобразование А переводит лагранжевы переменные в гамиль-
тоновы, преобразование С переводит гамильтоновы переменные в ла-
лагранжевы, а В является каноническим. Функция L и каноническое
преобразование В таковы, что к системе с лагранжианом L можно
перейти и непосредственно от системы с лагранжианом L с помо-
помощью точечного преобразования обобщенных координат qi = <&i(qj, t)
(г, j = 1, п) (см. задачу 21.31). Найти вид канонического преобразо-
преобразования В.
23.29. Задано каноническое преобразование qi = q>i{qj,Pj,t),
Pi = ?г(^') Pjit) {h J' = 1? n)- Каким условиям должны удовлетво-
удовлетворять функции fi(t) и /2@ для того, чтобы преобразование д* =
= fi{t)<Pi(qj,Pj> *), Р* = h{t)Vi{qjiPji *) было каноническим?
238 2. Аналитическая механика
23.30. Показать, что преобразование
qi = qiVi= JPi2^
(г, j =
является каноническим при любой непрерывно дифференцируемой
функции Ф(^', t) (j = 1, п) и у = const ф 0. Найти также валент-
валентность с, производящую функцию F(qj,pj, t) этого преобразования
и закон преобразования гамильтонианов.
23.31. Гамильтониан H(qi,pi, t) некоторой системы удовлетво-
удовлетворяет условию det -—-— ^ 0. В результате применения канони-
[dPidPj\ij=1
ческого преобразования qi = qij pi =ypi-\-d^{qj) t)/dqi (г, j = 1, n),
у = const ф 0, эта система переходит в систему с гамильтонианом
H{Qi>Piit)- Показать, что если исходной гамильтоновой системе соот-
соответствует лагранжева система с лагранжианом L(qi, qi, t), то новой
гамильтоновой системе будет соответствовать лагранжева система
с лагранжианом
23.32. Какому условию должны удовлетворять функции ср^ и
для того, чтобы преобразование
q% = q%, р* = фг(рь ...,Рп,*)+?г(дь ...,gn,^) (г = 1,п)
было каноническим преобразованием валентности с?
23.33. Установить условия, при которых преобразования qi =
— Qi{Qj•> Pji ^)j Pi —Pi{QjiPjit) {i — 1? n) переводят любую систему
дифференциальных уравнений вида
_dK{qj,pj,t) _ dK(gj,Pj,t) ,
чг — о 1 Pi — о ~т °^кг
О'Рг vqi
в систему такого ж:е вида, вообще говоря, с другой функцией К
и другой постоянной а.
23.34. В результате преобразования, определенного в задаче
23.33, любая система
дК . дК
переходит в систему такого же вида. Какими будут в преобразованной
системе функция K(qi,pi,t)n постоянная ос2?
§ 23. Канонические преобразования 239
23.35. Преобразование q = q, p = ps/6 применяется к гамиль-
тоновой системе с гамильтонианом: a) Hi = р2/2, б) Н<х — (р2 +
+ q2)/21 в) Я3 = qept, г) Н<± = ept. Составить уравнения движения
в новых переменных и выяснить, являются ли полученные системы
гамильтоновыми.
23.36. Заданы преобразование q = p2 /2,p = qm две канонические
системы с гамильтонианами Н\ = р и H<i = [р2 + q2)/2. Показать,
что указанное преобразование первую систему переводит в канони-
каноническую, а вторую — в неканоническую.
23.37. Систему с гамильтонианом
Н = (р + qJ ехр [2(р + qJ} + 2(p2-q2) exp [(p + qJ} + 2(p2 + q2)
подвергнуть преобразованию
q = p + q,p = 2p[exp (p + qJ + 1] + 2g[exp (p + qJ - 1].
Убедиться, что это преобразование является каноническим. Найти
гамильтониан преобразованной системы.
23.38. Систему с гамильтонианом
г=1 г=1
подвергнуть преобразованию qi = qi —jit\n(pijit)^ pi = api (i = 1, n).
Убедиться, что это преобразование является каноническим. Найти
гамильтониан преобразованной системы.
23.39. Систему с гамильтонианом Н = pq3/Bt) подвергнуть пре-
преобразованию
1
—о + 111
Я
3\
i(tpq j,
V
з 1±
= PQ 1 1 +
V
1
rexp —
Убедиться, что это преобразование является каноническим. Найти
гамильтониан преобразованной системы.
23.40. Систему с гамильтонианом
г=1 \
подвергнуть каноническому преобразованию
iW
Чг = -Лг arcsinW- pi , pi = 2qit (г = 1,
г i у z^ /
Найти гамильтониан преобразованной системы.
240 2. Аналитическая механика
23.41. Систему с гамильтонианом
подвергнуть каноническому преобразованию
gi, pn+i = pi (г = 1, n).
Найти гамильтониан преобразованной системы.
23.42. Показать, что существует унивалентное каноническое пре-
преобразование вида qi = ^2 uikQk> Pi — S vikPk {i — 1? n)> которое
переводит систему с гамильтонианом
2 2
i,k=l i,k=l
в систему с гамильтонианом
п
если [aik], [pifc], [щк], [vik] — постоянные матрицы, X) aikPiPk ~
i,k=l
положительно определенная квадратичная форма.
23.43. Как связаны между собой матрицы U = [uik]^k=1 и V =
= [vikYi к=\ в условиях предыдущей задачи?
23.44. Показать, что в результате замены переменных qi =
= qi exp (—р?), pi = pi exp (—y?), у = const, P = const, система
дН п . дН
становится гамильтоновой. Найти гамильтониан Н(щ, pi, t) преобра-
преобразованной системы.
23.45. Показать, что невырожденное преобразование qi =
= qi(qj,pj,t), pi = Pi(qj,Pj,t) (г, j = l,n) переводит систему
с заданным гамильтонианом H(qi,pi,t) снова в гамильтонову
систему в том и только в том случае, когда существует функция
Ф(<7г? Pi-, t) такая, что выполняется тождество
(i=T~n),
§ 23. Канонические преобразования 241
где (<fj, H) и (pi, H) — скобки Пуассона, а
г=1
23.46. Каким условиям должно удовлетворять преобразование
(может быть, и не каноническое) qi = qi{qj, Pj, t), pi = Pi(qj, Pj-, t)
(г, j = 1, n) для того, чтобы оно переводило систему с гамильтониа-
ном Н = ^2 (akQk + ?>kPk), а — const, Р = const, снова в гамильтонову
к=1
систему?
23.47. Построить каноническое преобразование, переводящее си-
систему с гамильтонианом Н = (р2 + со2д2)/2 (осциллятор) в систему
с гамильтонианом Н\ = со(р2 + q2)/2. Найти также валентность с
и производящую функцию F этого преобразования.
23.48. Найти движение осциллятора с гамильтонианом Н =
^ п
j + co2g?). Показать, что закон движения системы qi =
— ЯгЫо, Vo,t)iPi= Pi(q.o, Po? t) можно рассматривать как унивалент-
ное каноническое преобразование, т. е. движение системы в фазо-
фазовом пространстве представляет собой процесс непрерывного кано-
канонического преобразования начальных данных. Найти производящую
функцию преобразования и гамильтониан Н осциллятора в перемен-
переменных q0 и р0.
23.49. Показать, что закон движения свободной точки массы т
в однородном поле тяжести можно рассматривать как унивалентное
каноническое преобразование г = г(го, Ро, t), р = р(го, Ро, t). Найти
производящую функцию этого преобразования и гамильтониан Н
точки в переменных го и ро-
23.50. Функции q>i(qj,Pj,t), m(qj,Pj,t) (%,_]_= I, n) задают
решение qi =q>i(qj,Pj,t),pi= щ(qj,Pj,t) (i, j = 1, n) системы диф-
дифференциальных уравнений q^ = Qi(qj, Pj, ?), Pi = Pi(qj,pj,t) с на-
начальными данными (jfi(Q) = qi, Pi(fy = Pi (г = 1, n). Показать, что
функции ф^, щ удовлетворяют соотношению
г=1 г=1
где с ф 0 и F — некоторая функция, в том и только в том случае,
когда справедливы равенства
дК дК и.„ ,. -л ч
242 2. Аналитическая механика
в которых K(qj,pj,t) — некоторая дифференцируемая функция,
а функции a(t) и c(t) связаны следующим образом:
— = ас, с@) = 1.
23.51. Функции ft =(pi(q°j, р°, t),pi=\\fi(q°j, p9, t) (i = 1, n) зада-
задают уравнения движения гамильтоновой системы в конечной форме.
Используя общую формулу для вариации действия по Гамильтону,
показать, что преобразование ft = фг(#?, Pj, t),pi = Wi(qj, Pj, t) (i =
= 1, n) является унивалентным каноническим преобразованием, т.е.
что движение гамильтоновой системы представляет собой процесс
непрерывного канонического преобразования фазового простран-
пространства.
23.52. Показать, что при унивалентных канонических преобразо-
преобразованиях qi = qi{qj,Pj,t),pi= Pi(qj,pj,t) (i, j = 1, n) фазовый объем
V = I ... I dqi ...dqndpi...dpn
G
не изменяется.
23.53. Заданы каноническое преобразование A: q = p,p = qm ка-
каноническое преобразование В: q = q + p,p = q — p. Найти валентность
и производящую функцию суперпозиции преобразований: а) А В]
б) В А] в) В~гА, где В~1 — преобразование, обратное к В. Выписать
формулы указанных преобразований в явном виде.
23.54. Каноническое преобразование ft = fi(qj,Pj,t), pi =
= <Pi{qj,Pj,t) имеет валентность с и производящую функцию
F(qj, pj, ?). Показать, что преобразования: a) ft = fi(pj, qj, ?),
Pi = 4>i(Pj,Qj,t)} 6) qi = ^(q^pj.t), pi = fi{qj,Pj,t)\ в) ft =
= щ(Рз-> 4j-)t)-> Pi — fi{Pjj Qj> ^) являются каноническими. Найти
валентности и производящие функции этих преобразований.
23.55. Каноническое преобразование ft = q>i{qj,Pj,t), Pi =
— ViiQji Pjityi (h j — 1?n) переводит систему с гамильтониа-
гамильтонианом H(qj, pj, t) в систему с гамильтонианом H(qj, pj, t). Выписать
систему, в которую переходит исходная гамильтонова система
. _ dH(qj,Pj,t) . _ dH(qj,Pj,t) (. . ,
Qi о 1 Pi о \Ь 1 Э ^9 ^7
dPi dqi
в результате применения к ней преобразования
где функции ф^ и щ те же, что и в первоначальном преобразовании,
a f(t) — произвольная функция времени.
§ 23. Канонические преобразования 243
23.56. Выяснить, является ли преобразование qi = <$(t)qi, pi =
= ty(t)pi (i = 1, n, ф(?) ф 0) каноническим. Выписать систему, в кото-
которую переходит гамильтонова система
Pj,t) _ dH(qj,Pj,t) л-т^,\
qt~ dPi ' Рг~ d4i C*,j-i,«J
в результате применения этого преобразования.
23.57. Каноническое преобразование qi = <Pi(jjj,Pj,t), pi =
= Wi{~qj,Pj,t) (i,j = 1, n) имеет валентность с. Показать, что
преобразование д* = щ{Щз, PPj, t), p\ = Vt(a^j, PPj, *) будет
унивалентным каноническим преобразованием, если а$с = 1.
23.58. Каноническое преобразование qi = q>i(qj,Pj,t), pi =
= Wi{qj,Pj,t) (i,j = 1, n) имеет валентность с. Показать, что
преобразование
является унивалентным каноническим преобразованием.
23.59. Каждое из канонических преобразований, представляю-
представляющих собой суперпозицию М последовательных канонических преоб-
преобразований
(г, j=T-H,m = М?; qf+l = q}, pf+1 = р\)
имеет валентность ст и производящую функцию Fm(qJl+1 ^ Р^+1, t).
Найти валентность и производящую функцию результирующего пре-
преобразования.
23.60. Доказать, что каноническое преобразование
Чг = qMjiPj, *)> Pi=Pi(<ljiPj, t) (i = 1, n)
имеет производящую функцию F(t), не зависящую от д^, р^, тогда
и только тогда, когда функции qi (qj, pj,t) однородны по переменным
Pk нулевой степени, а функции Pi(qj, Pj, t) однородны по перемен-
переменным pk первой степени.
23.61. Найти общий вид канонического преобразования, имею-
имеющего валентность с и производящую функцию F(q, p, t) = 0 в одно-
одномерном случае.
23.62. Найти общий вид канонического преобразования, имею-
имеющего валентность с = — 1 и производящую функцию F — —qp.
244 2. Аналитическая механика
23.63. Верно ли следующее утверждение: суперпозиция любых
двух свободных канонических преобразований снова является сво-
свободным каноническим преобразованием?
23.64. Построить два таких свободных канонических преобразо-
преобразования, суперпозиция которых также является свободным канониче-
каноническим преобразованием.
Указание. При построении примера ограничиться линейными ка-
каноническими преобразованиями.
п п
23.65. Из критерия каноничности ^2 Pj^Qj — с S Pj^Qj ~
-bF{qi2Pi,t) преобразования qi = qj(qi)pi)t), pj = Pj(qi,Pi,t)
(г, j = 1, n) получить эквивалентный ему критерий каноничности,
записанный через скобки Лагранжа:
где 8{k — символ Кронекера.
23.66. Каким условиям должны удовлетворять постоянные мат-
матрицы
для того, чтобы невырожденное преобразование q = Aq + Bp, p =
= Cq + Dp было каноническим.
23.67. Найти производящую функцию ^(q, p, t) и валентность с
линейного канонического преобразования q = Aq + Bp, p = Cq + Dp,
где
постоянные матрицы.
23.68. Найти условия, которым должны удовлетворять матрицы
§ 23. Канонические преобразования 245
для того, чтобы преобразование q = A(?)q + B(?)p, p = C(?)q + D(?)p
было каноническим.
23.69. Доказать, что преобразование qi = qi(qj, Pj,t), pi =
— Pi{Qj, Pj,t) {h j — 1? n) будет каноническим в том и только в том
случае, когда существует такая константа с ф 0, что для скобок Пуас-
Пуассона выполнены тождества (g^, q^) = 0, (pi, pk) = 0, (qi^Pk) = c&iki
где dik — символ Кронекера. (Критерий каноничности, записанный
через скобки Пуассона.)
23.70. Якобиан преобразования qi = qi(qjiPj,t), pi =
= Pi{QjiPjit) (h J — 1 •> n) представляет собой функцию f{qi,Pi,t),
не равную тождественно постоянной. Может ли это преобразование
быть каноническим?
23.71. При каких значениях параметров ос^, Рг, Ъ-> §i преобразо-
преобразование qi = q^Pi , Pi = qfpf (г = 1, n) является каноническим?
23.72. Задана система функций fi(qj, Pj,t) (г, j = 1,п), для
которых якобиан о/ 2''"' п и q Любые две функции из указан-
9(pi,p2,...,Pn)
ного набора находятся в инволюции, т. е. скобки Пуассона (//, /&) = О
(/, к = 1, п). Показать, что можно найти такие функции фг(^', Pj, t)
(г, j = Vn), чтобы преобразование q{ = fi(qj,Pj,t),pi= щ(qj,Pj,t)
(г, j = 1, n) было свободным каноническим преобразованием валент-
валентности JLX ф 0.
23.73. Задана система функций qi = q%{c\^ ... ,C2n?0> Pi —
— Pi(ci-> • - • i C2mt) {i — I? ^)- Найти условия, при которых эти
функции определяют общее решение какой-либо гамильтоновой
системы.
23.74. Каким условиям должен удовлетворять набор 2п
функционально независимых по переменным qj, pj функций W{ —
= Wi(t, qj, pj) (г = 1, 2n, j = 1, n), чтобы нашлась такая гами л ьтонова
система, для которой функции W{ (г = 1, 2п) образуют полный набор
ее первых интегралов?
23.75. Показать, что для преобразований вида
_d^(qj,Pj,t) _d^(qj,Pj,t)
Яг~ d4i ' Рг~ dPi (hj
скобки Пуассона и скобки Лагранжа совпадают, т. е. что имеют место
соотношения [qj,qk] = (qj^Qki [Pj,Pk] = (Pj,Pk), [Qj,Pk] = (Qj,Pk)
23.76. Для преобразований
Pj,t) _ dv(qj,Pj,t) . 1"—ч
i ' Vl~~ dqi У1^-^п)'
246 2. Аналитическая механика
заданных при помощи функции ф(^-, pj, ?), показать, что для скобок
Лагранжа и скобок Пуассона выполняются равенства
23.77. Для системы с одной степенью свободы скобки Пуас-
Пуассона функций Hi(q,p,t) и Я2(д,р,?) удовлетворяют соотношению
(Hi, H2) = 1. Показать, что если гамильтониан системы равен
а) Н = Нг + Н2; б) Н = НгН2;
в) Н = Нг/Н2; г) Н = Н\ + Н1
то общее решение соответствующей канонической системы уравне-
уравнений можно найти, решив относительно g, р систему алгебраических
уравнений:
а)Ях
б) т
В) Я!
Г) ЯХ
(q, р, t) = с
{q, р, t) = с
(q,p,t) = c
(q,p,t) = c;
i+t, H2(q,
iel, H2(q,i
iV2t + ^, ,
LsinBf + c2
P,t) =
7,t)=C
U2{q,p,
), H2(q
C2-
2в~
t):
,P,
-*;
*;
= V-
t) =
23.78. Даны преобразование qi = qi(qj,Pj,t), pi = Pi(qj,Pj,t)
(ij = Vn) и обратное к нему q{ = qi(qj,Pj,t), pi = Pi(qj,Pj,t)
(г, j = 1, n). Показать, что матрица Лагранжа L, составленная из
скобок Лагранжа [qi,qj], [qi,Pj], \pi,Pj] (h j — 1?^) Для прямого
преобразования:
L =
и матрица Пуассона Р, составленная из скобок Пуассона
(Чг-> Pj)i (Рг-> Pj) {h J = 1? n) Для обратного преобразования:
P =
связаны соотношением LP = —E, где Е — единичная матрица.
23.79. Показать, что преобразование qi = qi(qj,Pj,t), pi =
— PiDji Pj>t) (h J — 1? n) переводит систему с гамильтонианом Я =
= 0 снова в гамильтонову систему в том и только в том случае, когда
скобки Лагранжа [д/,, #/], [д&, р/], [р^, р/] (А;, / = 1, п) не зависят явно
от времени.
§ 23. Канонические преобразования 247
23.80. Какой должна быть функция ф(д, р) для того, чтобы пре-
преобразование q = (q2 + р2)/2, р = ср(<7, р) двумерной фазовой плоскости
{д, р} было каноническим преобразованием валентности с?
23.81. Доказать, что любое преобразование фазовой плоскости
{.Я-> р}: Я— ф(^) Р) О' Р = v(#> P? ^)? сохраняющее площадь, является
унивалентным каноническим преобразованием.
23.82. Будет ли преобразование q = рсоБф, р = рвтф фазовой
плоскости {д, р} каноническим?
23.83. Показать, что в результате применения к канонической
системе qi = дН/dpi, pi = —dH/dqi (i = 1, n) невырожденного пре-
преобразования qj = 9j(xi, Ж2, . . . , X2n, *), Pj = Yj(#lj Ж2, • • • , ^2n, *)
j = 1, n) она переходит в систему
где Я(х, ^) = Я(ф(х, t), \j/(x, ^), ^), а символом [, ] обозначены скобки
Лагранжа.
Преобразования, допускающие (q^q)-описание (сво-
(свободные преобразования)
23.84. Невырожденное преобразование qi = qi{qj,Pj,t), pi =
— PiiQjiPjit) {h j — 1,n) удовлетворяет условию
det[dqi/dpj]^ -=1 ф 0 (свободные преобразования). Показать, что
это преобразование будет каноническим в том и только в том случае,
когда существуют производящая функция S(qi, qi^t) и валентность
с ф 0 такие, что
срг — и , рг — [i] j — i, it),
dq{ dq{
где р^ и pi выражены в силу преобразования через g^, qi и t. (Кри-
(Критерий каноничности преобразования в (д, д)-описании.) Показать
такж:е, что при этом гамильтониан преобразуется в соответствии
с равенством Н = сН + dS/dt.
Используя критерий каноничности в (д, д)-описании, выяснить,
какие из преобразований 23.85-23.105 являются каноническими. Най-
Найти для них валентность с и производящую функцию S(qj,qj,t)
(см. предыдущую задачу).
23.85. g = r
248 2. Аналитическая механика
23.86. qi = pn(pi +9g2) - 7l]/2, Pi = -2[pi +9g2],
92 = pn(p2 + 9</i)-3<fe]/2, P2 = -2[p2 +
23.87. qi = arccos(g- )-<?«, p; = -p» (г = 1,
23.88. qi = arccos(pi/cosqi), pi = X^/l — (pi/cosqiJsinqi (i =
23.89. & =
23.90. gi =
23.91. 9j =
23.92. §i = (p
p. = _
23.93. gi =
23.94. Qi = Qi- ._
k=
~ г 1 /
23.95. Oi =
n \ _
^ 9* h Pt = 9г (г = 1,п
=i J
HQi — P П Як ) (г = 1, n).
oo ni2 ~ / \l/2 -1/2 — 3/2/ xi/2
23.96. 9^ — (yPi) Q{ i Vi — ~Qi \YPi)
23.97. ^ =
23.98. $i = In
_ 1.
q2=2
23.99. qx =
= -!, arcsin ( aP2 gi )
b J
23.100. ft = ^arccos ^^ - |, px = -6pi -
b 3 '
§ 23. Канонические преобразования 249
23.101. qi = (ypi + q2)~1 - 9ъ p\ = -{ypi + 92),
= t:\ arccos ——— - q2 , p 2 = -
z | a j
23.102. 91 = (ypi + 92) - 91, pi = -(ypi + 92),
92 = 292, p2 = -^(yP2 + 9i)-
YP2 + 9i 2
23.103. & = aiqi + ln [yPi - Pexp ( f) %)/a?l,
_ у р П
Рг = Pt + —exp
23.104. 9i = WY- - 2afr exp
( ? $kq\
4=1
Г 1-в/ / п 9\М1/°С
23.105. 9г = \Щг ЫРг ~2у9гехр ( S ^) ) '
L v 4=1 ул
- Г 1-в/ ( п \\12/а
Рг = ф@ Щ{ ( ЦРг — 2у9г ехр ( XI 9^ I I
L v 4=i )п
1 (а+р—1)/(а—1) / о / v^
0С9г- I ЦРг ~ ^У9г ехР ( Z^ ^
Р L ^ 4=1
В задачах 23.106-23.110 выписать формулы свободного канониче-
канонического преобразования валентности ц, заданного своей производящей
функцией S.
23.106. S = J2 Ф*(*)9?9?-
t=i
23.107. 5 = fl sin (9^ + ft)-
2 = 1
П
23.108. S = XI cos(9^ + 9i).
t=i
23.109. 5= Х)9?[1п(й*)-*]-
2 = 1
23.110. 5= X) а%зЧ%Чз-
250 2. Аналитическая механика
23.111. Валентность и производящая функция свободного кано-
канонического преобразования qi = cpi(#j, Pj, ^)->V%— ?г(^'? Vj-> t) (г, j =
= 1, п) равны со и So(qi, qi,t). Построить свободное каноническое
преобразование валентности с с производящей функцией S(qi ,qn,t) =
= So{qi,qi,t) + fi(qi, t) + f2{qi, *), где /i(gb i) и /2(§i, t) — заданные
функции.
23.112. При каких значениях параметров ос^, Эг? Ш, v^ преоб-
преобразование qi = exp(aiqi)cos(fiiPi), pi = exp(щ<7г)sin(viPi) (г = 1, n)
является свободным каноническим преобразованием?
^3.113. Преобразование^ = qi(qj,pj,t),pi =Pi(qj,Pj,t) (г, j =
= 1, п) задано функциональными уравнениями
In ( ^ ) + (Pigi - otift)* = 0, In (^) + (р^й - aigi)t = 0.
у Щ1 J \ Pit /
Определить значения параметров а^, |3^, у^, 5^, при которых это пре-
преобразование будет свободным каноническим преобразованием. Найти
его валентность с и производящую функцию S.
23.114. Доказать, что если каноническое преобразование qi =
= qi{qj,Pj,t), Pi = Pi{qj,Pj, t) (г, j = 1, n) ^меет производящую
{jj) {jj ) ( ) ^
функцию F(t), не зависящую от qi и pi (г, j = 1, п), то оно не может
быть свободным.
Преобразования, допускающие (р,р)-описание
23.115. Невырожденное преобразование qi = qi(qjiPjit)-> Pi =
= Pi(<lj,Pji t) (h j — 1? n) удовлетворяет условию det [dpij
Ф 0. Показать, что это преобразование будет каноническим в том
и только в том случае, когда существуют производящая функция
i, Pi, t) и валентность с ф 0 такие, что
_ (Pj,pj,) _
cqt-~ dpi , Яг- д.
где qi и qi выражены в силу преобразования через /?j, pj и t. (Крите-
(Критерий каноничности преобразования в (р, р)-описании.) Показать, что
при этом гамильтониан преобразуется в соответствии с равенством
H = cH + dU/dt.
23.116. Показать, что преобразование qi = qi(qj, Pj,t), pi =
— Рг{Чз-> Vj->t) {h j — 1? n) будет каноническим в том и только в том
случае, если существуют константа с/0 и функция F()
такие, что выполняется тождество
п п
, p, t),
§ 23. Канонические преобразования 251
где bpi, dpi, и dF вычисляются при t = const. Показать также, что
закон преобразования гамильтонианов в этом случае имеет вид
г=1
где переменные qi, pi в правой части выражены через qi^pi в соот-
соответствии с формулами преобразования.
В задачах 23.117-23.120 выписать формулы канонического преоб-
преобразования валентности с, заданного своей производящей функцией U
в (р, р)-описании (см. задачу 23.115).
23.117. U= ?<?
г=1
23.118. U= f;
23.119. U= f;
23.120. ?/=?(?»+Pi+iJ,Pn+i= Pi-
г=1
23.121. Валентность и производящая функция канонического
преобразования qi = yi(qj,Pj,t), pi = Vi(qj,Pj,t) (i,j = l,n)
в (р, р)-описании равны с$ и Uq(pj, Pj,t). Построить канониче-
каноническое преобразование валентности с с производящей функцией
U(pj,pj, t) = Uo(pj,pj,t) + /i(pj, *) + /2(Pj, *)• ПРИ решении
использовать структурные формулы канонического преобразования
в (р, р)-описании. (См. задачу 23.115.)
Используя критерий каноничности в (р, р)-описании, выяснить,
какие из преобразований задач 23.112-23.126 являются канонически-
каноническими. Для канонических преобразований найти валентность с и произ-
производящую функцию U(pj, Pj, t) (см. задачу 23.115).
23.122. Чг = -{ЧгI-Щр1~Щ, Рг = {Чг)ЩрТ~1 {i =Т~п).
23.123. й = -qiPi, ^ = In [ipj'gfl (г = 1^).
23.124. 7г = -7Ргехр(-7г), Рг = ехр^г (г = 1, п).
23.125. qi = —-^sin2^, pi=lntgqi (i = 1, n).
23.126. qi = —yqi. Pi = Pi +exp(y^ — 1) (г = 1,:
252 2. Аналитическая механика
Преобразования, допускающие (q^p)-описание
23.127. Невырожденное преобразование qi = qi(qj,Pj,t), pi =
= Pi(Qji Pj-, t) {i, j = 1, n) удовлетворяет условию det [д pi/dpj]f a=1 ф
Ф 0. Показать, что это преобразование будет каноническим в том
и только в том случае, когда существуют производящая функция
Ф(<7г? Pi-> t) и валентность с ф 0 такие, что
где pi nqi в силу преобразования выражены через g^, pj и t. (Крите-
(Критерий каноничности преобразования в (д, р)-описании.) Показать, что
при этом гамильтониан преобразуется в соответствии с равенством
23.128. Задано преобразование qi = qi(qj, t) (г, j = 1, п). Найти
общий вид функций pi = pi (qj, pj, t) таких, что преобразование qi =
— QiiQjit) {h j — l?n) является каноническим. При решении вос-
воспользоваться результатами задачи 23.127.
В задачах 23.129-23.133 выписать формулы канонического преоб-
преобразования валентности с, заданного своей производящей функцией
Ф в (д, р)-описании (см. задачу 23.127).
23.129. Ф= t ]
23.130. $='?(
г=1
при этом pn+i = pi, 6„+1 = Ь\.
П
23.131. Ф= J] dijIn(qit)exp(aj(t)pj).
n
23.132. Ф= Y^ Q>ijcos(qit)sin(pjt).
n
23.133. Ф=
23.134. Валентность и производящая функция канонического
преобразования q{ = qi{qj,Pj, t),Pi= w(qj,Pj,t) (i = 1, n) в (q, p)-
описании равны cq и Фо(дг5?ь^)- Построить каноническое преоб-
преобразование валентности с с производящей функцией Ф(^,р^,^) =
= Фо(<7ь Р* ? *) + /i(<7b *) + /2(Рь *)• При решении использовать ре-
результаты задачи 23.127.
§ 23. Канонические преобразования 253
Используя критерий каноничности в (д, р)-описании, выяснить,
какие из преобразований задач 23.135-23.144 являются канонически-
каноническими. Для канонических преобразований найти валентность с и произ-
производящую функцию <&(ft, Vi-, t) (CM- задачу 23.127).
_
ft—
23.136. ft =
23.137. ft = In(p
23.138. gi = -
sin (t J] 9^1 (г = 1,п)
г=1
23.141. gi= ^l + ^cos4(g^
i =arctg -j
23.142. ft = y/(t-toJexpBqi(t-to))-4pl
arcsin h
-10 с -
arcsin h-^-exp(-ft(t-i0)) (г = 1, n).
с со
23.143. 9i = 2chftt, рг = Pi/(tshqit) (i = 1, n).
23.144. ft =lnft, pi=piqi (г = 1,п).
23.145. Используя (д, р)-описание, найти общий вид канони-
канонического преобразования, имеющего валентность с и производящую
функцию F(qi,pi,t) =0 (см. задачу 23.127).
23.146. Показать, что если у канонического преобразования ft =
= 4i{4ji Vj) t)-> Pi — Vi{4j-> Vj-> t) производящая функция F(t) не за-
зависит от ft, /?j (г, j = 1, n), то в качестве независимых переменных
можно взять ft, pj (г, j = 1, п), т. е. преобразования этого вида допус-
254 2. Аналитическая механика
кают (д, р)-описание. Найти вид производящей функции Ф(#г5 Pi, t)
таких преобразований в (д, р)-описание.
Преобразования, допускающие (p,q)-описание
23.147. Невырожденное преобразование qi = qi(qj,Pj,?), ^ —
= Pi(<lji Pj-, t) (i, j = 1, n) удовлетворяет условию
7^ 0. Показать, что это преобразование будет каноническим в том
и только в том случае, когда существуют производящая функция
R(pi, qi, t) и валентность с ф 0 такие, что
где qi и pi в силу преобразования выражены через pi, qj nt. (Крите-
(Критерий каноничности преобразования в (р, д)-описании.) Показать, что
при этом гамильтониан преобразуется в соответствии с равенством
H = cH + dR/dt.
23.148. Валентность и производящая функция канонического
преобразования q{ = qi{qj,Pj,J), Pi =Pi(qj,Pj,t) (i = 1, n) в (p, q)-
описании равны cq и Rq(pj, qj,t). Построить каноническое преоб-
преобразование валентности с с производящей функцией R(pj,qj,t) =
= Rq(pj, qj, t) + fi(Pj-> t) + /2(^751). При решении использовать
структурные формулы канонического преобразования в (p,q)-
описании (см. задачу 23.147).
Используя критерий каноничности в (р, д)-описании, выяснить,
какие из преобразований задач 23.149-23.136 являются канонически-
каноническими. Для канонических преобразований найти валентность с и произ-
производящую функцию R(pj, qj, t) (см. задачу 23.147).
23.149. qi = i-^arcsin y/l/Bqi)-pi), щ = 2q{t (г=Т~й).
23.150. ^ =
23.151. & =
23.152. qi = exp(—qi/ cos pi) — t,
Pi = -smpiexp(qi/cospi) (i = 1, n).
23.153. ^ = aiPi + ^7 ,Pi = -— (i = 1, n).
23.154. ^ = ^~1lnB^cos2p^M Pi — —qitsm2pi (г = 1, n).
§ 23. Канонические преобразования
255
23.155. & = ~ \\п (^\ - biP - at], pi = -X^ft (t = 1, n).
23.156. Й=(^
23.157. qi = -t
23.158. qi =
23.159. m =
i +CD?p?
4 = — (г = l,
^) (t = 1, n).
23.160. qi = qi
23.161.91 =
23.162. ?i = In p2-Y?i-fe
Pi =
"Pb
o?)
-P2, P2 = -;
23.163. q{ = W—,
V Р
Г) • ZZ Г) . i / Л/ГУ •
jfe=l
—
Pk J
В задачах 23.164-23.167 выписать формулы канонического преоб-
преобразования валентности с, заданного своей производящей функцией 7?
в (р, д)-описании (см. задачу 23.147).
23.164. R =?>i(i)p?$?.
г=1
256 2. Аналитическая механика
23.165. R =
n
23.166. R= Y,
n
23.167. R= X)
23.168. Показать, что канонические преобразования
а) gi = gt(9j,Pj,*), Pi=Pi{pj,t)]
в) gt =
r) 9i = 9i(9j,*), Pi=Pi(<li,Pj,t) (i,j = l,ra)
допускают формулировку критерия каноничности преобразования
в (Р) 5)-? (9? 5)-? (Р) р)-? (^) р)-описаниях соответственно.
В задачах 23.169-23.174 установить каноничность преобразова-
преобразования. Из 4п величин ^, р^ ?г? Рь связанных формулами преобразо-
преобразования qi = qi(qj,pj,t), щ = Pi{q%,Pj,t) (г, j = 1, га), выбрать 2га
независимых величин так, чтобы среди них не содержалось сопря-
сопряженных пар (qji, Pk) или Eife j Pk)- В выбранных переменных выписать
выражения для валентности и производящих функций.
23.169. qi = -
Pi = -Ръ P2 = -92, Ps = -ОД, 94 =
23.170. qi = -aqipi, pi = -\npi (i = l,rai),
qj = —aqjpj^ pj — \n(aqj) (j = n\ +
23.171. Q4 =
9i = 9i + exp{-ypj), Pj = ypj {j = rai +1, ra).
24.172. §i = riM1^, n = ^
~ I/a (l-o)
23.173. д^ — arcsin——, pi = —il \—sing^ (г = 1,
cos q{ y cos qi
} 23. Канонические преобразования 257
Qi
Pi = arccos . (j = ni + 1, ra).
sin p j
23.174. ^ = exp(-ft), pi = -piexpqi (i = 1, щ),
qj = qjexp(-pj), pj=exppj, (j = щ + l, n).
23.175. Найти производящие функции Д(р^, ^-, ?), 5(<7j, </j, ?),
) {pj^t) канонического преобразования, заданного
уравнениями ft = ft(q0, po, *), Рг = Pi(qo, Ро, *) (* = 1, ^), которые
можно рассматривать как уравнения движения системы с гамильто-
нианом Я = - E(Pi+ю?9г?) в (Р?9)"» (<7></Ь (р?р)-? (д,?)-описаниях
соответственно.
23.176. Показать, что тождественное преобразование ft = ft,
Pi = Pi (г = 1, n) является каноническим. Найти его валентность с
и производящую функцию F(qi, pi).
23.177. Показать, что преобразование, обратное к каноническо-
каноническому преобразованию ft = ft(<7j, Pj, *)> Рг = p%{q%,Pj,t) (г, j = 1, га)
является также каноническим преобразованием. Найти валентность с
и производящую функцию F(ft, pi, t) обратного преобразования, ес-
если валентность и производящая функция исходного преобразования
равны ^и <$>{qi,pi,t).
23.178. Производящие функции и валентности двух канони-
канонических преобразований q* = q*{qj,Pj,t), p* = p*{qj,Pj,t) и ft =
= qi(qj,Pj,t), Pi = Pi(qi,Pj,t) (i,j = l,ra) равны Fi(ft, pi, i),
F2(qi,Pi,t), c\ и С2 соответственно. Показать, что суперпозиция
этих преобразований является каноническим преобразованием.
Найти его валентность с и производящую функцию ^(ft, Рг, t)-
23.179. Доказать, что совокупность канонических преобразова-
преобразований образует группу преобразований.
23.180. Суперпозиция двух преобразований ft = qi(qj,Pj,tIpi =
= Pi{qi>PjJ) и Q* = QiiQjiPjJ)' P*=Pi(Qi^Pj^) (^ 3 = 1,n), из ко-
которых одно каноническое, является каноническим преобразованием.
Будет ли и другое преобразование также каноническим?
23.181. Показать, что любое каноническое преобразование ва-
валентности с можно представить как суперпозицию некоторого унива-
лентного канонического преобразования и преобразования вида ft =
= cqi,pi =р{ (г = 1,га).
23.182. Показать, что валентность с преобразований, принадле-
принадлежащих однопараметрической группе канонических преобразований,
которая может содержать и неунивалентные преобразования, зависит
9 Е. С. Пятницкий и др.
258 2. Аналитическая механика
от группового параметра а следующим образом: с = ехр (оса), где а —
постоянное число.
23.183. Показать, что совокупность линейных канонических пре-
преобразований образует подгруппу группы канонических преобразова-
преобразований.
23.184. Показать, что множество G\ канонических преобразо-
преобразований, у которых производящая функция удовлетворяет условию
F(qi,pi, t) = 0, образует подгруппу G\ группы канонических пре-
преобразований.
23.185. Показать, что множество Go унивалентных канониче-
канонических преобразований с производящей функцией F{qi1 pi,t) = O обра-
образует подгруппу Gq группы канонических преобразований.
23.186. Доказать, что подгруппа Go есть нормальный делитель
в группе G\ (G\ и Go определены в задачах 23.184 и 23.185). Что
представляют собой элементы факторгруппы Gi/Go?
23.187. Показать, что множество G* канонических преобразо-
преобразований, имеющих одну и ту же производящую функцию F(qi, pi, t)
и одинаковую валентность с, есть правый смежный класс по подгруп-
подгруппе Go (см. задачу 23.185), т. е. для любых преобразований gb g2 ? G*
найдется такое преобразование g0 ? ^о, что выполняется равенство
23.188. Доказать, что множество М всех унивалентных канони-
канонических преобразований есть нормальный делитель группы G канони-
канонических преобразований. Каковы элементы факторгруппы G / М?
23.189. Записать в явной форме суперпозицию канонических
преобразований r^gr, где через г обозначено каноническое преоб-
преобразование qi = pi, pi = qi (i = 1, n), через г — преобразование,
обратное к преобразованию г, а через g — каноническое преобразо-
преобразование q\ = qf/3, р\ = Pi/ql (г = 1, п). Найти также валентность с
и производящую функцию F преобразования r^gr.
23.190. Являются ли подгруппы G\ и Go из задач 23.184 и 23.185
нормальными делителями в группе всех канонических преобразова-
преобразований?
23.191. Найти такие условия, которым должна удовлетворять
правая часть системы дифференциальных уравнений
dqi гл <~ ~ \ dpi .„ „ ч ... ч
¦^- = Qi(9j,Pj,*), -^- = Pi(qj,Pj,t) (г, j = l,n)
для того, чтобы решение этой системы с начальными данными щ @) =
— Яг 5 Pi @) — Pi 5 определяло группу канонических преобразований (не
обязательно унивалентных).
23.192. Функции qi(qj,pj,t, a), pi(qj,pj,t, а) (г, j = 1, га), за-
зависящие от параметра а, удовлетворяют системе дифференциальных
§ 23. Канонические преобразования 259
уравнений
da dpi ' da dqi
определяемой некоторой функцией K(qj, Pj,t). Показать, что если
преобразование qi = qi (qj, pj, ?, a), pi —pi (qj, Pj, ?, a) является кано-
каноническим при некотором а, то оно каноническое при любом а.
23.193. Семейство преобразований пространства (qj)Pj-)t):qi =
— Qi(Qji PjAi a\ Pi — PiDji Pjiti °)i t = t является однопарамет-
рической (с параметром а) группой преобразований, т. е. функции
qi(qj,Pj,t, a), pi(qj, pj,t, а) дают решение системы уравнений
aqi — ,— — ч cipi j-, /¦— — ,\
причем при а = 0 имеют место равенства qi = Qi^ Pi = Pi- Пока-
Показать, что при каждом значении параметра а преобразования являют-
являются унивалентными каноническими преобразованиями (гамильтонова
группа) в том и только в том случае, когда существует такая функ-
функция K(qj,pj,t), что выполняются равенства Qi = дК/dpi, Pi =
23.194. Группа преобразований qi = qi(q, t, a), t = t, и лагран-
лагранжиан L(q,q,t) удовлетворяют условиям теоремы Нётер. Показать,
что при каноническом преобразовании qi = qi(q, t, a), p = (dq/dq)Tp
уравнения Гамильтона системы не изменяются, т.е. уравнения Га-
Гамильтона инвариантны относительно предложенных канонических
преобразований.
23.195. Задано преобразование щ = qi(q, p, ?), Pi = Pi(q, p, t),
для которого существует число с ф 0 и функция F = F(q,p,t)
такие, что выполнено тождество Y^Pi^Qi — c^Pi^Qi = —&F(q, P-, t).
Доказать, что это преобразование будет невырожденным, т.е. что
d(q,p)/d(q,p)fO.
23.196. Найти общий вид функций ср^ = фг(<7, Р-, t), при которых
преобразование ^ — Чг-, Pi — Фг(^? Р-, t) является каноническим.
23.197. Унивалентное каноническое преобразование с произво-
производящей функцией Ф(д, р, t) переводит систему с функцией Гамильто-
Гамильтона Я(д, р, t) в систему с функцией Н = 0. Показать, что функция Ф
удовлетворяет уравнению
дФ> А9Я9Ф А9Я9Ф А дН
^iiWiWiWi
г=1 г=1 г=1
260 2. Аналитическая механика
§ 24. Уравнение Гамильтона—Якоби
24.1. Составить уравнение Гамильтона-Якоби, определить его
полный интеграл и найти закон движения материальной точки мас-
массы т в однородном поле тяжести: а) в декартовых; б) в цилиндриче-
цилиндрических координатах.
24.2. Составить уравнение Гамильтона-Якоби, определить его
полный интеграл и найти закон движения свободной (при отсутствии
сил) точки массы т при следующих начальных условиях: ж@) = #о,
у@) = 2/о, я@) = 20, рх@) = mvOx, ру@) = mvOy, pz@) = mvOz.
24.3. Методом Якоби найти в квадратурах закон движения ма-
математического маятника массы т и длины /.
24.4. Составить уравнение Гамильтона-Якоби для одномерного
линейного осциллятора (плоский маятник при малых отклонениях,
колебания груза на пружине, LC-контур). Определить его полный
интеграл и найти закон движения.
24.5. Лагранжиан двумерного осциллятора имеет вид
Составить уравнение Гамильтона-Якоби осциллятора. Определить
его полный интеграл и найти закон движения, если заданы начальные
координаты и скорости.
24.6. Материальная точка массы т движется в поле центральной
силы с потенциальной энергией П = —у/г, г = ух2+ у2 + z2, у > 0
(ньютоновское или кулоновское взаимодействие). Методом Якоби
найти в квадратурах закон движения точки. Использовать сфери-
сферические координаты.
24.7. Используя условия предыдущей задачи, найти уравнение
траектории движения точки.
24.8. Частица массы т движется в потенциальном поле
П = — а/г + Р^, г = \/х2 + у2 + z2, a = const, p = const
(суперпозиция центрального кулоновского и однородного полей).
Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби частицы. (Эф-
(Эффект Штарка.)
24.9. Материальная точка массы т движется в центральном поле
с потенциальной энергией П(г) = — Mi/r+ Ц2/Г2. Составить уравне-
уравнение Гамильтона-Якоби для этой точки, найти его полный интеграл
и получить из него уравнение траектории точки.
§ 24. Уравнение Гамильтона-Якоби 261
24.10. Материальная точка массы т движется в потенциальном
поле
пМ,Ф) = вд + + ^ ,
г г sin e
где г, 6 и ф — сферические координаты, а Д(г), 0F) и Ф(ф) —
заданные функции. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-
Якоби для точки.
24.11. Материальная точка массы га, движущаяся в плоскости,
взаимодействует с двумя неподвижными центрами Л и i?, рассто-
расстояние между которыми равно 21. Потенциальная энергия взаимо-
взаимодействия равна П = — (yi/ri +72/^2), где г\ = ^J(x — lJ + y2 и r<i —
= ^/(x + lJ + y2 — расстояния от притягивающих центров до точ-
точки, a yi и Y2 — постоянные. Найти полный интеграл уравнения
Гамильтона-Якоби.
Указание. При решении использовать эллиптические координаты
^, л, связанные с декартовыми координатами ж, у равенствами х =
= /ch^cosrj, у = /sh^sinrj.
24.12. Точка массы га движется по гладкой сфере радиуса г
в однородном поле тяжести (сферический маятник). Составить урав-
уравнение Гамильтона-Якоби, найти его полный интеграл и получить
закон движения точки в квадратурах.
24.13. В наивысшей точке гладкой сферы радиуса г проделано
малое отверстие, через которое пропущена гибкая нерастяжимая
нить. К концам нити присоединены две материальные точки массы
mi и га2. Первая точка остается во время движения на поверхности
сферы, а вторая движется по вертикали. Найти полный интеграл
уравнения Гамильтона-Якоби для этой системы (см. рис. к задаче
12.51).
24.14. Две материальные точки массы т и М связаны гибкой
нерастяжимой нитью. Точка массы т может двигаться по гладкому
горизонтальному столу, а точка массы М находится на свисающем
конце нити, которая пропущена через небольшое отверстие в столе.
Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для этой си-
системы, если точка массы М может двигаться только по вертикали.
24.15. Модель двухатомной молекулы может быть представлена
в виде двух материальных точек одинаковой массы ш, соединенных
пружиной жесткости с (в ненапряженном состоянии длина пружины
равна /о)- Найти закон движения молекулы при помощи уравнения
Гамильтона-Якоби.
Указание. Использовать следующие обобщенные координаты: #i,
#2> жз ~~ координаты центра масс молекулы, 6, ср — углы широты
262 2. Аналитическая механика
и долготы, определяющие положение оси молекулы в пространстве,
иг — расстояние между атомами.
24.16. Сила взаимодействия двух точек массы mi и m<i обратно
пропорциональна квадрату расстояния между ними (ньютоновское
или кулоновское взаимодействие). (Задача двух тел.) Найти движе-
движение системы методом Якоби.
Указание. В качестве обобщенных координат взять координаты
центра масс системы ж, у, z, расстояние г между точками, а также
углы широты и долготы 6 и \|/, определяющие в пространстве поло-
положение прямой, соединяющей точки.
24.17. Составить уравнение Гамильтона-Якоби, определить его
полный интеграл и найти закон движения однородного стержня мас-
массы т и длины 2/ в однородном поле тяжести.
24.18. Однородный стержень массы т и длины / движется по
гладкой вертикальной плоскости О^п. Плоскость вращается с посто-
постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной вертикальной оси
Ог\. Найти относительное движение стержня методом Якоби.
24.19. Симметричное твердое тело, имеющее неподвижную точ-
точку, движется по инерции (случай Эйлера). Методом Якоби найти
движение тела в квадратурах.
24.20. Симметричный волчок массы т движется так, что его
точка М, лежащая на оси симметрии, во все время движения касается
гладкой горизонтальной плоскости. Расстояние от центра масс С до
точки М равно /. Методом Якоби найти движение волчка в квадра-
квадратурах.
24.21. Тяжелое однородное тело вращения массы т движется без
трения, касаясь неподвижной горизонтальной плоскости. В сечении
тела плоскостью, проходящей через ось симметрии, получается глад-
гладкая строго выпуклая кривая с непрерывно меняющейся кривизной.
Расстояние ОМ от центра инерции тела до горизонтальной плоскости
равно ^(Э), где 6 — угол между вертикалью и осью симметрии тела.
Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, если главные
центральные моменты инерции тела Л = В ф С.
24.22. Методом Якоби найти движение системы, лагранжиан
которой в сферических координатах имеет вид
L=r^(r2-\- r2e2+\j/V sin2 e) - \|д cose,
где X — постоянная величина. (Заряженная частица в поле магнит-
магнитного МОНОПОЛЯ.)
§ 24. Уравнение Гамильтона-Якоби 263
24.23. Составить уравнение Гамильтона-Якоби, определить его
полный интеграл и найти закон движения системы, лагранжиан ко-
которой в сферических координатах имеет вид
24.24. Многомерному возмущенному осциллятору соответствует
гамильтониан
Найти уравнения, которым должны удовлетворять функции
9ij(oci, ...,an,t), \|ffc(cci, ...,an,i), /(ab ... ,an,t) для того, чтобы
функция
^n n
была полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби этой сис-
системы.
24.25. Гладкий прямолинейный стержень вращается с постоян-
постоянной угловой скоростью со в вертикальной плоскости вокруг гори-
горизонтальной оси (которая проходит через некоторую точку стержня).
Методом Якоби найти движение колечка, насаженного на стержень.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 24.24.
24.26. Гладкая плоскость вращается с постоянной угловой ско-
скоростью со вокруг неподвижной горизонтальной оси, лежащей в этой
плоскости. В плоскости движется однородный стержень массы т
и длины /. Составить уравнение Гамильтона-Якоби для относитель-
относительного движения стержня и найти его полный интеграл.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 24.24.
24.27. Лагранжиан свободной (в отсутствие силового поля) ре-
релятивистской частицы имеет вид
L = -mocV1 - (х2 + у2 + z2)/c2,
где с — скорость света. Составить уравнение Гамильтона-Якоби ча-
частицы, определить его полный интеграл и найти закон движения.
24.28. Гамильтониан релятивистской частицы в центральном
поле имеет вид Н = cJm^c2Jry2xJrrp\+V2z —ос/г, где a > О,
г = д/ж2 + у2 + z2, с — скорость света. Составить уравнение
Гамильтона-Якоби и найти его полный интеграл. По полному
интегралу определить уравнение траектории частицы.
264 2. Аналитическая механика
Указание. При решении использовать сферические координаты.
24.29. Лагранжиан релятивистской частицы имеет вид
*
L = -тосVl " (^2 + У2 + ^2)/с2 - ф2 + 0
Методом Якоби найти закон движения частицы в квадратурах.
Указание. При решении использовать сферические координаты.
24.30. Для системы с лагранжианом L = д/ж2 + осж2 + Р соста-
составить уравнение Гамильтона-Якоби, определить его полный интеграл
и найти закон движения в квадратурах.
24.31. Гамильтониан системы имеет вид
Составить уравнение Гамильтона-Якоби, найти полный интеграл
и получить из него уравнения движения.
В задачах 24.32-24.35 система задается своим гамильтонианом
#(q, p, t). Подвергнуть систему такому каноническому преобразова-
преобразованию, чтобы в новых переменных полный интеграл соответствующего
уравнения Гамильтона-Якоби можно было найти методом разделе-
разделения переменных. Найти этот полный интеграл и закон движения
q(t), p(t) в исходных переменных.
24.32. Н =
24.33. H = piq2
24.34. Н = p2 + q2+arctg(p/q).
24.35. Н= E
Составить уравнение Гамильтона-Якоби, найти его полный инте-
интеграл и найти движение q(t), p(t) в квадратурах для систем, заданных
в задачах 24.36-24.47 гамильтонианами.
24.36. H = 2
24.37. Н =
24.38. Я = (pI+pI/cos2qi)/2 + bsmq1.
24.39. Н = l jl j
24.40. Я =
24.41. Н = р\ + smqi + {p2+ pzcosqiJ1ql-
§ 24. Уравнение Гамильтона-Якоби 265
24.43. H = 4 + -J4
4 J4 4i
Я1 Qi \Я2 <?2<7з
24.45. И =
о22
- sin q1 + p2 - cos <
24.46. Я = i
24 47 Я= 1
2
Составить уравнение Гамильтона-Якоби, определить его полный
интеграл и найти движение q(t), p(t) для систем, заданных в задачах
24.48-24.59 своими лагранжианами.
24.48. L = 3ql + 2g| + #f — ^ч\ — 3#| •
24.49. L = (</i#i+</|(/2 +</i)/2~cos#i-
24.50. L = -J%
24.51. L = -
24.52. L = -[^
•2 -2
^1 ^2 9 9
24.54. L = —2 H 2 ~^ЯгЯ2 + f\Q2)i гДе / — произвольная непре-
непрерывно дифференцируемая функция.
24.56. Ь = Ц + -А&
24.57. L = - ( qiql + ^z^ql) — g|cos^i•
24.58. i=i
24.59. L = (q21+q%Smq2)/2-(q21+ql)/2.
266 2. Аналитическая механика
24.60. Методом Якоби найти закон движения системы с гамиль-
гамильтонианом Н = Ф (pi, ..., рп, t).
24.61. В результате канонического преобразования система
с гамильтонианом H(qi,pi,t) переходит в систему с гамильтонианом
Hi (qi, #2 ? • • • ,Qmt)- Составить уравнение Гамильтона-Якоби для
преобразованной системы и найти закон движения.
24.62. Для системы с гамильтонианом
-I П П
Н = 2 Е ai3 ^PiPj + Е Wi (*)
составить уравнение Гамильтона-Якоби, определить его полный ин-
интеграл и найти закон движения в квадратурах.
Указание. Полный интеграл искать в виде
п п
S = -^Яг \q>i{t)dt + ^2aiqi+\\f(t,aj).
t=i t=i
24.63. На материальную точку массы т, движущуюся в одно-
однородном поле тяжести, в некоторый момент времени начинает дей-
действовать сила F = F(t). Найти движение точки, используя уравнение
Гамильтона-Якоби.
24.64. Опираясь на решение задачи 24.62, найти полный инте-
интеграл уравнения Гамильтона-Якоби системы, для которой
1 П П П
Я=2 Е aijPiPj+ Е ?<Ф<(*)+ Е Рг№)-
2
24.65. Для системы с гамильтонианом Н = ^ щ(г)(р^ + qf) co-
г=1
ставить уравнение Гамильтона-Якоби, определить его полный инте-
интеграл и найти закон движения в следующем виде: qi = qi(t, су, Pj),
Pi=Pi{t,aj,$j) (г, j = l,n).
24.66. Для системы с гамильтонианом
Н = F[cpi(gi, pi), ..., фп(дп, Рп), *]
составить уравнение Гамильтона-Якоби и методом разделения
переменных найти полный интеграл этого уравнения. Уравнения
Фг(#г, Pi) = У г (i = 1, п) разрешимы относительно pi, причем pi =
= \Кг(9г,Уг) (г=Т~^).
24.67. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби
системы с гамильтонианом
§ 24. Уравнение Гамильтона-Якоби 267
где /n_i = /n-i{---,/2[/i(gbPi)g2,P2]---gn-bPn-i}, а система
уравнений /i(gi,pi) = Pi, fk(h-i, Qk, Pk) = Р/с (Л = 2, га) разре-
разрешима относительно /^ (г = 1,га), причем pi = cpi(#i, Pi), р& =
24.68. Кинетическая и потенциальная энергии системы Лиувил-
ля имеют вид
-1
г=1 k=l
Составить уравнение Гамильтона-Якоби и найти его полный инте-
интеграл в квадратурах.
24.69. Кинетическая и потенциальная энергии механической си-
системы определяются формулами
k=l k=l
гдерк — импульсы, Ak = —-—, А = det ||фг/г(<Ы|| (h k = 1^п)^ ПРИ-
чем Hk(qk) и Щк(Як) ~ произвольные функции. Показать, что в этом
случае переменные в уравнении Гамильтона-Якоби разделяются.
24.70. Лагранжиан некоторой натуральной системы имеет вид
L = \ ? Fk{qk) f Ak{qk)ql+j: Bk{qk)qk +
k=l k=l k=l
2(
Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби системы.
(Н. Д. Моисеев.)
24.71. Какому уравнению удовлетворяет производящая функ-
функция S(qi,(jfi,t) свободного унивалентного канонического преобразо-
преобразования, которое переводит гамильтонову систему с функцией Н = О
в гамильтонову систему с функцией Н = H(qi, Pi^t)?
24.72. Функция So(qi, oc^, t) является полным интегралом урав-
уравнения Гамильтона-Якоби системы с гамильтонианом H^qi^pi^t).
Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби системы с га-
гамильтонианом
где F(qi,t) — заданная функция.
268 2. Аналитическая механика
24.73. При составлении канонических уравнений функция Га-
Гамильтона может быть задана с точностью до произвольной аддитив-
аддитивной функции времени ср(?), т. е. движения системы с гамильтонианами
H(qi, pi, t) и #*(ft, Pi, t) = H(qi,pi, i)+cp(i) совпадают. Установить
тождественность движения этих систем методом Якоби.
24.74. Совокупность производящих функций {?(ft, qi, t)} опре-
определяет множество всех свободных канонических преобразований ва-
валентности с, переводящих систему с гамильтонианом //(ft, Pi,t) в си-
систему с гамильтонианом Н = 0. Определить множество канонических
преобразований валентности А, ф с, обладающих тем же свойством.
24.75. Гамильтониан системы имеет вид
п
Н = F(pi, . . . , рп, *) + X) 9»Фг(РЬ • • • > Рп, *)•
Каким условиям должны удовлетворять функции /(oci, ..., осп,
9^(ai, ..., ап, t) для того, чтобы функция
г=1
являлась полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби этой си-
системы?
24.76. Уравнение Гамильтона-Якоби для системы с гамильтони-
гамильтонианом H(qi, pi, t) имеет своим частным решением функцию S(qi, t).
Показать, что если начальные значения д?, р? связаны соотношением
р? = dS(q^t°)/dq^ то равенства pi = dS(qj,t)/dqi выполняются
во все время движения, т.е. что поверхности fi(qj, Pj,t) = pi —
— dS/dqi = 0 целиком заполнены траекториями системы.
24.77. Основываясь на задачах 23.84, 23.115, 23.127, 23.147, запи-
записать дифференциальные уравнения в частных производных, опреде-
определяющие производящие функции R(pi, a*, i), 5(ft, a;, t), f/(pi, oc^, t)
и <&(ft, a^, t) унивалентного канонического преобразования, которое
переводит систему с заданной функцией Я (ft, pi,t) в систему с Н =
= 0. (Уравнения Гамильтона-Якоби в (р,</)-, (ft^K {PiP)~ и {QiP)-
описаниях соответственно.)
24.78. В задачах 23.84, 23.115, 23.127, 23.147 рассмотрены струк-
структурные формулы канонического преобразования в (p,g)-, (q,q)--,
(р,р)- и (д,р)-описаниях соответственно. Используя эти структурные
формулы, написать соответствующие уравнения, определяющие про-
производящие функции R(pi, ft, t), 5(ft, ft, t), U(pi,pi, t) иФ(^,^, t)
§ 24. Уравнение Гамильтона-Якоби 269
унивалентного канонического преобразования, которое переводит си-
систему с заданной функцией //(ft, Pi,t) в систему с гамильтонианом
1=1
Составить уравнение Гамильтона-Якоби в (р, р)- описании
(см. задачу 23.115), определить его полный интеграл и найти
движение g(?), p(t) для систем, описанных в задачах 24.79-24.83.
24.79. Одномерный осциллятор, Н = (р2/m + cq2)/2.
24.80. Свободная материальная точка в пространстве.
24.81. Материальная точка на равномерно вращающейся пря-
прямой, Н = (р2- m2coV)/Bm).
24.82. Система с гамильтонианом Н = G(pi, ..., рп).
24.83. Система с гамильтонианом Н = F(q\, ..., qn).
По заданному полному интегралу уравнения Гамильтона-Якоби
некоторой системы в задачах 24.84-24.89 найти гамильтониан этой
системы.
24.84. S = -
t=i /n(<7n)-ocn\|/n(<7n)
n-i
24.85. 5 = -
24.86. 5 = -
24.87. S = -c
24.88. 5 = cci J/(t) dt + J д/ccn/n(?n) rfgn + ]
270 2. Аналитическая механика
24.89. S = - ? qifi(t) - ? OiQi - ? [[Л(<) +ос,]2 di.
24.90. Функция S(qi, t, щ) является полным интегралом урав-
уравнения Гамильтона-Якоби
dS
Построить уравнение Гамильтона-Якоби
полным интегралом которого будет функция Si@j, осг> ?) =
= 5(/(Эг, i),oci,i), если преобразование ^ = fi(®j,t) (h 3 =0Уп)
является взаимно обратимым.
24.91. Используя решение предыдущей задачи, показать, что
вычисленная в задаче функция //i@, ре,?) будет гамильтонианом
системы, в которую переходит исходная система после канонического
преобразования
24.92. Гамильтониан H(qi, pi, t) является однородной функцией
первой степени относительно обобщенных импульсов pi. Показать,
что если S(qi, ос^, t) — полный интеграл соответствующего уравнения
Гамильтона-Якоби, то фE'(^5 Щ-, t)) тоже будет полным интегралом,
где ф(?) — произвольная функция, производная которой не обраща-
обращается в нуль.
24.93. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби
системы с гамильтонианом ф(Я(д^, Pi)), если функция S = — f(ai)t +
-) щ) {h к = 1, п) является полным интегралом уравнения
Гамильтона-Якоби системы с гамильтонианом H(qi, pi).
24.94. Механическая система имеет лагранжиан L(^, g^ t). По-
Показать, что
S((t, aj, р^), аь t) = L{qi{t, aJ5 рД ft(t, a^, p^), t) (iJ=T^n),
dt
где S(qi,ai,t) — полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби
этой системы, а зависимости qi = qi(t, aj, Pj) определяются из со-
соотношений dS/dai = $i (i = 1, n).
24.95. Гамильтониан канонической системы имеет вид Н =
= Hi(qi,pi) + H2{qi)Pi)^ причем известен полный интеграл
S(qi, оц, t) уравнения Гамильтона-Якоби dS/dt + H\(qi, dS/dqi) =
= 0. Исходная система подвергается унивалентному каноническому
§ 24. Уравнение Гамильтона-Якоби 271
преобразованию с производящей функцией S(qi,qi,t). Найти
функцию Гамильтона и выписать канонические уравнения в новых
переменных qi^pi.
Используя схему решения, описанную в задаче 24.95 (проводя ка-
каноническое преобразование, составляя канонические уравнения в но-
новых переменных, интегрируя и переходя к старым переменным), най-
найти в задачах 24.96-24.98 движение q(t),p(t) систем со следующими
гамильтонианами.
24.96. H = pqf(t)+py(t).
24.97. Н = pqf(t) + qnpy(t).
24.98. H = pqf{t) + qny(t).
24.99. Задан полный интеграл S(qi,ai,t) уравнения Гамиль-
тона-Якоби некоторой системы. Из соотношений dS/dqi (г = 1, п)
определяются первые интегралы fi(qj, Pj, t) = щ канонических
уравнений, соответствующих этой системе. Показать, что эти п
первых интегралов находятся в инволюции, т. е. что скобки Пуассона
от них (fi, fk) = 0 (г, к = 1, п).
24.100. Канонические уравнения гамильтоновой системы с п
степенями свободы имеют первые интегралы fi(qj, Pj, t) = щ (г, j =
= 1, п). Эта система интегралов однозначно разрешима относительно
обобщенных импульсов pi = Fi(qj,aj,t). Показать, что равенства
Fi(qj,a,j,t) = dS(qj,a,j,t)/dqi, где S = S(qi)ai)i) — некоторая
функция, имеют место в том и только в том случае, когда первые
интегралы /i, /2, • • •, fn находятся в инволюции друг с другом, т. е.
когда fi(qk,Pk,t), fj(qk,Pk,t) = O (г, j = 1, п), где (/ь fj) —скобка
Пуассона функций fi и fj.
24.101. Для канонических уравнений некоторой гамильтоновой
системы заданы п первых интегралов fi(qj, pj,t) = щ (г, j = 1, п),
[я f 1 п
~^~ Ф О-
Каким образом на основании этих данных получить гамильтониан
системы?
Найти главную функцию Гамильтона W для систем, описанных
в задачах 24.102-24.105.
24.102. Система материальных точек при отсутствии силового
поля.
24.103. Материальная точка в однородном поле тяжести.
24.104. Одномерный линейный осциллятор.
24.105. Материальная точка, движущаяся по гладкой горизон-
горизонтальной прямой, которая равномерно вращается вокруг вертикаль-
вертикальной оси.
272 2. Аналитическая механика
24.106. Непосредственным вычислением убедиться, что главные
функции Гамильтона, полученные в задачах 24.102-24.105, являют-
являются полными интегралами соответствующих уравнений Гамильтона-
Якоби.
Переменные действие—угол
Исследование консервативных систем, совершающих колебательные движе-
движения, часто проводят в специальным образом построенных канонических пере-
переменных {/s,(ps} (s = 1, п), называемых переменными действие—угол. При этом,
помимо всего прочего, предполагают, что переменные разделяются, т. е. что пол-
полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби можно искать в виде S = So(t, щ) +
п
+ Yl Sk{Qki oci, 0C2, ..., ап). В этом случае переход к новым каноническим пере-
к=1
менным, разумеется, не дает никаких преимуществ. Однако если рассматривается
система, в которой учитываются малые возмущения, то переменные действие-
угол невозмущенной системы являются адиабатическими инвариантами, т.е.
остаются инвариантами при медленном изменении параметров системы. Кро-
Кроме того, в этих переменных проще всего формулируются условия квантования
в квантовой механике.
В случае, когда {qi(t): Pi(t)} являются периодическими функциями (либра-
(либрация) или импульс pi является периодической функцией координаты qi (враще-
(вращение), переменные действия вводятся равенствами
1
где интегрирование ведется по полному периоду изменения импульса pi, опре-
определяемому соответствующей координатой qi. Если полный интеграл системы
известен, то pi = dS/dqi и U = щ(аг, ос2, ..., осп) (г = 1, п). Из этих соотно-
соотношений находятся щ = /i(/i, /2, • • •, In) и функция (укороченное действие) S =
п
= 2 Sk[qk, /1(^1), •••, /n(^n)] берется в качестве производящей функции сво-
к=1
бодного унивалентного канонического преобразования от переменных {qi,Pi}
к переменным действие-угол {/«, фг}:
dS dS ,. ^^
24.107. Функция S(qi, ai, ..., ocn_i, E) (укороченное действие)
является полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби
H(qi, dS/dqi) = Е обобщенно-консервативной системы. От
постоянных {oci, OC2, ..., ocn_i, E} делается переход к постоянным
{^1,^2, • • • Дп} с помощью преобразования ocs = /s(A,i, ..., A,n), E —
— /п(^ъ •••9^n) (s = 1, п — 1). После подстановки этих соотношений
в функцию S получается функция S{qi1X\1X2i • • • Дп)- Рассматривая
S(qi^ai) как производящую функцию свободного унивалентного
канонического преобразования {q,p} —» {^, ц}, найти гамильтониан
системы в новых переменных {X, |и} и проинтегрировать соответ-
соответствующие им канонические уравнения.
§ 25. Методы оптимального управления в задачах механики 273
24.108. Показать, что если переменная qi является циклической,
то переменной действие будет U = pi.
24.109. Найти переменные действие-угол гармонического осцил-
осциллятора, для которого Н = р2/Bга) + cq2/2.
24.110. Найти выражение гамильтониана кеплеровой задачи
в переменных действие-угол для случая финитного движения точки.
24.111. Функция Лагранжа L(g, g, t) является строго выпуклой
функцией обобщенных скоростей. Функция S(q,t) является решени-
решением уравнения Гамильтона-Якоби. Показать, что вектор-функция q(t)
будет движением системы, если при всех t выполняется соотношение
dS(q(t),t)/dt = L(q(t),q(t),t).
24.112. Показать, что главная функция Гамильтона
W(t, g, ?о? Qo) выражается через полный интеграл S(t, q, ос)
соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби следующим
образом: W(t, g, ?о> <7о) — 5^(Ь #о? а) ~~ S(t, q, а), где параметры а
могут быть исключены при помощи соотношения dS(to, Qo, сх)/дщ =
= dS(t, q,a)/dai.
24.113. Доказать, что главная функция Гамильтона
W(t, q, ?о? ^о) существует при всех q ф до и t ф to в том и только том
d dL дЬ
случае, если краевая задача для уравнении движения ——— -— =
at oqi oqi
= 0, qi(to) = qio, Qi{ti) = qn имеет единственное решение при любых
go, q\ и*1 фг0.
§ 25. Методы оптимального управления в задачах
механики
Задачи настоящего параграфа составлены в расчете на читателя, владеющего
аппаратом оптимального управления, в частности, процедурой и идеями прин-
принципа максимума Л. С. Понтрягина и методом динамического программирования
Р. Беллмана. Помимо решения задач механики методами оптимального управ-
управления, цель раздела состоит и в том, чтобы продемонстрировать роль методов
аналитической механики в теории оптимального управления.
25.1. Показать, что ограниченным управлением, т.е. моментом
вида М = u(t)K, где К — кинетический момент, a \u(t)\ ^ а, нельзя
за конечное время остановить твердое тело (Л ф В ф G), которое
вращается по инерции вокруг неподвижного центра масс.
25.2. Твердое тело вращается по инерции с угловой скоростью
а>о вокруг неподвижной оси; момент инерции тела относительно оси
вращения равен J. В некоторый момент включается двигатель, раз-
развивающий относительно оси вращения управляющий момент M(t)
(\M(t)\ ^ Mo). Указать на плоскости оо? область, в которой могут
находиться значения угловой скорости при всевозможных законах
изменения управляющего момента (область достижимости).
274 2. Аналитическая механика
25.3. На твердое тело, которое вращается вокруг неподвиж-
неподвижной вертикальной оси Oz, действует внешний момент Mz(t) = m{t)
(\m(t)\ ^ tuq). Найти закон изменения m(t), при котором тело пере-
переходит из начального состояния (фо, со о) в конечное состояние @, 0) за
минимальное время.
25.4. Материальная точка массы т движется под действием
силы F(t) (\F(t)\ ^ Fq) по гладкой горизонтальной направляющей
Ох. Найти закон изменения силы F(t), при котором точка переходит
из состояния (жо, xq) в состояние @, 0) за минимальное время.
25.5. Тело массы т отпущено без начальной скорости на высо-
высоте Н над поверхностью Земли. На тело действует управляющая сила
F(t) (\F(t)\ ^ Fb, Fq > rag). Пренебрегая изменением силы тяжести
с высотой, найти закон изменения силы F = F(t), при котором тело за
минимальное время достигнет поверхности Земли с нулевой конечной
скоростью.
25.6. Тело массы га, соединенное с неподвижной стенкой пружи-
пружиной жесткости с, может скользить по гладкой горизонтальной направ-
направляющей Ох. На тело действует сила F(t) (\F(t)\ ^ Fo). В начальный
момент времени тело неподвижно и находится на расстоянии 6Fq/c
от положения равновесия. Найти закон изменения силы F(t), при ко-
котором тело за минимальное время вернется в положение равновесия
с нулевой скоростью.
25.7. Груз массы га, подвешенный на пружине жесткости с,
может совершать движение по вертикали в среде с сопротивлени-
сопротивлением, пропорциональным скорости груза (коэффициент сопротивле-
сопротивления равен Р). На груз действует ограниченная внешняя сила F(t)
(\F(t)\ ^ Fq). Какими должны быть начальное положение и на-
начальная скорость груза, чтобы при воздействии постоянной силы
F = const груз пришел в положение равновесия с нулевой скоро-
скоростью за минимальное время по сравнению с другими допустимыми
законами изменения силы F(t)? Рассмотреть следующие случаи:
а) р2 - 4гас < 0; б) р2 - 4гас > 0; в) р2 - 4гас = 0.
25.8. Максимальная тяга, которую может развивать двигатель
турбопоезда массы ш, равна Р. Считая силу сопротивления R по-
постоянной, найти наименьшее время прохождения поездом перегона
протяженностью / между двумя остановками и максимальную ско-
скорость на перегоне. Рассмотреть следующие случаи: а) при работе
двигателя сила тяги направлена только в сторону движения; б) сила
тяги двигателя может быть направлена как в сторону движения, так
и против него (реверс тяги).
25.9. Два одинаковых груза т (см. рисунок), связанные между
собой и со стенками одинаковыми пружинами жесткости с, могут
§ 25. Методы оптимального управления в задачах механики
275
т
W\A
т
В F(t)
И
и
двигаться без трения по горизонтальной направляющей АВ, закреп-
закрепленной на тележке; масса тележки равна М; массой колес можно
пренебречь. В начальный момент
грузы смещены на одинаковое рас-
расстояние а из положения относи-
относительного равновесия и обладают од-
одной и той же относительной скоро-
скоростью и. По какому закону должна
меняться приложенная к тележке
сила F(t) (\F(t)\ ^ Fq), чтобы грузы вернулись за минимальное
время в положение относительного равновесия с нулевыми относи-
относительными скоростями?
25.10. Среди всевозможных путей, соединяющих точки
?o} и ^4i{q1, ^1} (см. рисунок) расширенного (п + 1)-мерного
координатного пространства, на пути q(t)
К задаче 25.9
q*(t,a
действие по Гамильтону W = J L(q, q, t) dt
to
имеет наименьшее значение (см. рису-
рисунок). На пути q(t) произвольно выбира-
выбирается точка i?{q(x),T} (to < т < t\) и рас-
рассматривается пучок всевозможных кривых
q*(?,oc), соединяющих точки В и А\. До-
Доказать, что действие по Гамильтону W =
= J L(q*, q*, t) dt имеет наименьшее значе-
i t
ние на кривой q(^) (т ^ t ^ t\). (Принцип
К задаче 25.10 оптимальности Р. Беллмана.)
т
25.11. Действие по Гамильтону W = J L(q, q, t) dt на пучке кри-
Mo(qf°,*o)
0
вых, соединяющих точки ^4o{q°5 ^°} и ^ljq1? T} расширенного (п +
+ 1)-мерного координатного пространства, при фиксированных qj
и Т является функцией от q® и to, т.е. W = cp(q°, to). Используя
принцип оптимальности (см. задачу 25.10 и рисунок к ней), показать,
что функция cp(q°, to) удовлетворяет уравнению
to+A
cp(qVo) =
2/(^o)=9°
y(to+A)=5r(to+A)
276 2. Аналитическая механика
где q(?) — прямой путь, соединяющий точки Aq и А\, а минимизация
проводится по всем функциям у (?), удовлетворяющим на ?о ^ ^ ^ ^о +
+ Д УСЛОВИЯМ 2/i(*0) = Qi, 2/г(^0 + А) = &(*() +А)-
25.12. Предполагая, что функция cp(q°, ?о)> введенная в пре-
предыдущей задаче, непрерывно дифференцируема, получить для нее
уравнение в частных производных, используя предельный переход
при А —>> 0 в основном соотношении задачи.
25.13. Если функция cp(q°, ?o)> введенная в задаче 25.11, являет-
является достаточно гладкой, то она удовлетворяет уравнению в частных
производных
Показать, что после выполнения операции минимизации это урав-
уравнение относительно функции ср переходит в уравнение Гамильтона-
Якоби системы с лагранжианом L(q, q, t).
25.14. Как следует из принципа Гамильтона, на прямом пу-
пути, соединяющем точки /l(q°, to) и ^(q1^ t\) расширенного (n + 1)-
мерного координатного пространства, действие по Гамильтону W =
ti
= J L(q, q, i) dt достигает стационарного значения (по сравнению со
to
значениями на окольных путях). Показать, что любой прямой путь
можно получить при помощи принципа максимума Л. С. Понтрягина
из решения следующей задачи оптимального управления.
Задан управляемый объект dxi/dt = щ(г) (г = 1,п). Найти
управление й(?), переводящее объект из начального состояния x(?q) =
= q° в конечное x(?i) = q1 и доставляющее наименьшее значение
критерию качества
/[u(t)]=
to
25.15. Управляемый объект описывается системой уравнений
dxi/dt = щ (г = 1, п), причем качество управления характеризуется
функционалом
ti
I = I L(x(t),u(t),t)dt.
Управление u(?), переводящее объект из состояния х(?о) = х° в со-
состояние x(^i) = х1 и доставляющее наименьшее значение критерию
§ 26. Уравнения механики неголономных систем 277
качества /, в соответствии с утверждением принципа максимума
определяется из соотношения
#(х, р, и(х, р, i), t) = max#(x, p, u, *),
{и}
п
где Я(х, р, и, t) = — L(x, и, t) + ^PiUi. Показать, что функция
//(q,p,u(q,p,?),?) совпадает с гамильтонианом механической систе-
системы, имеющей лагранжиан L = L(q,q, t).
25.16. Показать, что уравнение Беллмана, составленное для за-
задачи оптимального управления объектом, который описан в пре-
предыдущей задаче, в предположении достаточной гладкости функции
Беллмана совпадает с уравнением Гамильтона-Якоби механической
системы, имеющей лагранжиан L(q, q, t).
§ 26. Уравнения механики неголономных систем
26.1. На систему из TV материальных точек наложены идеальные
связи 1), из которых g конечных (геометрических и дифференци-
дифференциальных интегрируемых) и d дифференциальных (неинтегрируемых).
Выбраны такие независимые обобщенные координаты q\, q<i,..., qn
[п = 3N — g), что при подстановке зависимостей r^ = r^(gi, qz, ...
... , gn, t) (г = 1, m) в уравнения конечных связей они тождествен-
тождественно удовлетворяются. Показать, что общее уравнение динамики / =
N п дг-
— У2(т^г — F^Mr^ = 0, dri = V ——bqk, выражающее идеальность
г=1 k=l d^
N
связей ^2 Ri&ri — 05 можно представить в виде
г=1
к—1
N дг N dr N дг
Ет^уу ^ + Е^д ЕГ^. Можно ли
Е
при условии d > 0 из выражения A) получить уравнения движения
в форме уравнений Лагранжа 2-го рода?
) Здесь, как и обычно, предполагается, что при наличии в системе неидеальных
связей их реакции R* включены в числа активных сил, причем из эксперимен-
экспериментальных законов известны зависимости R* = /2*(гг,Гг, t), как это имеет место,
например, при наличии сухого трения.
278 2. Аналитическая механика
26.2. Используя условия предыдущей задачи показать, что в ко-
координатах qk (k = l,n) при наличии линейных дифференциальных
п
связей ^2 ask{4->tLk + &0s(<M) — 0 (s = 1, d) общее уравнение дина-
k=l
мики системы выражает следующее свойство: равенство (относитель-
(относительно dqk)
является следствием системы линейных уравнений
k = О (s = 1, d).
k=i
Исходя из этого утверждения х), получить уравнения движения си-
системы в форме Лагранжа 1-го рода.
26.3. Используя решение задачи 26.1, составить уравнения Ла-
Лагранжа второго рода, считая, что на систему наложены только связи
26.4. Выяснить смысл сумм ^CLsk^k B уравнениях движения
системы материальных точек в форме уравнений Лагранжа 1-го рода
d дТ дТ п i Ч
diWk~Wk=Qk
s=l
п
где равенства ^2 aqv{4i iLv~^a^s{4i t) = 0 (s = l, d) задают уравнения
v=l
неголономных связей.
) Говорят, что уравнение (а, ж) = ^2 акХк — 0 является следствием системы
k=i
уравнений (bs, х) = ^2 bskXk = 0 (s = 1, m), если для каждого решения х*к этой
к=1
п
системы выполняется условие (а, х*) = Y1 акХ*к = 0. В линейной алгебре извест-
к=1
но следующее утверждение: равенство (а, ж) = 0 является следствием системы
уравнений (bs, х) = 0 (s = I, m) в том и только том случае, если существуют
m
такие вещественные числа Х8, что а = J^ ?is6s. Это утверждение называется
s=l
теоремой Минковского-Фаркаша. Эта теорема справедлива не только в случае
линейных уравнений, но и в случае линейных неравенств. Именно: если неравен-
неравенство (а, х) ^ 0 является следствием системы неравенств (bs, х) ^ 0 (s = I, m), то
m
существуют такие неотрицательные Х8 ^ 0, что а = J^ ?is6s.
s=l
§ 26. Уравнения механики неголономных систем 279
о« к и d дт дт ds . —
26.5. Доказать тождество —— -— = -^т, г = 1,п, где 1 =
dt dqi dqi dqi
— ^^2rnkv<k ~ кинетическая энергия системы, S = ^^
k k
энергия ускорении системы, v& = 2^ ^—Qi ~ скорость к-и точки,
г=1 °^«
Wk = 22^~<li+ 22 о о gigj - ее ускорение (rk = rk(q)).
uqi ij=l °Чъ O(ij
26.6. Показать, что уравнения динамики голомной системы мож-
можно записать в виде уравнений Гиббса-Аппеля dS/dqi = Qi (i = I, n),
с 1^ 2 « ^ drk .
где ?> = 7;l^mkwk ~ энергия ускорении систем, w^ = }^ ~^—Qi +
+ S я—я—g*gj ~~ УСК0Рение fc-й точки, a, Qi — обобщенные силы.
26.7. Кинетическая энергия натуральной системы представляет
собой однородную квадратичную форму импульсов. Используя прин-
принцип Даламбера, составить полуканонические уравнения Гамильтона.
п
26.8. Проекция вектора скорости v = ^2 Qi&i изображающей точ-
i=i
ки в n-мерном координатном пространстве стационарной системы на
п п
направление вектора L = J^ Ljej равна нулю, v • L = J^ aijLjqi =
j=l ij=l
n
— S liQi- Считая эту связь идеальной, найти обобщенную силу, соот-
i=i
ветствующую реакции этой связи, и составить уравнения Лагранжа
2-го рода в зависимых координатах.
26.9. При движении стационарной системы имеет место условие
п
qn+i = ^2 liQi- Составить уравнения движения системы в форме
i=i
уравнений Гиббса-Аппеля.
26.10. Угловые скорости твердого тела, которое вращается во-
з
круг неподвижной точки, подчинены условию ^ а^щ = 0. Считая эту
г=1
связь идеальной, составить уравнения движения с неопределенным
множителем.
26.11. Движение главных осей центрального тензора инерции
твердого тела задается тремя компонентами скорости центра масс
тела и тремя проекциями угловой скорости тела на оси тензора
инерции. Из принципа Даламбера получить теорему об изменении
импульса и момента импульса.
280 2. Аналитическая механика
26.12. На систему материальных точек наложены связи
N
^2 hi^k — 0- Введение независимых скоростей qi по формулам v^ =
г=1
п N п
— S d-isQs обращает уравнения связей в тождества ^2 S ^ki&isQs —
s=l i=ls=l
N
= 0, если ^2 ^ki&is = 0. Составить уравнения динамики системы
г=1
в форме уравнений Маджи.
26.13. Угловые скорости со^ {i = 1, N) системы из N твердых
тел, вращающихся вокруг неподвижных точек, подчинены услови-
N
ям ^2 ^ki^i = 0- Независимые скорости вводятся по формулам щ =
п N
— S ais4s так5 что S 1/егаг$ = 0- Составить уравнения динамики
г=1 г=1
системы в форме уравнений Маджи.
26.14. Исключая неопределенные множители в уравнениях Ла-
гранжа, составить уравнения динамики материальной точки мас-
массы ш, движущейся по инерции по поверхности:
а) х2 + у2 + z2 = а2; б) х2 + у2 - z2 = а2;
в) х2±у2 = az; г) х2 + у2 = а2.
26.15. Исключая неопределенные множители в уравнениях Ла-
гранжа, составить уравнения динамики материальной точки мас-
массы ш, движущейся по инерции по кривой, заданной плоскостью ах +
+ $у + yz = 0 (а2 + р2 + у2 = 1) и поверхностью 2-го порядка:
а) х2 + у2 + z2 = а2; б) х2 + ^/2 = 1.
26.16. Неоднородный шар массы га радиуса R катится по шеро-
шероховатой горизонтальной плоскости без проскальзывания. Составить
уравнения движения с неопределенными множителями, полагая, что
центр масс шара совпадает е его геометрическим центром.
26.17. Неоднородное твердое тело сферической формы ради-
радиуса г катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания.
Центр инерции тела совпадает с его геометрическим центром. Опре-
Определяя ориентацию главных осей тела параметрами Эйлера-Родрига-
Гамильтона, составить уравнения динамики.
26.18. Конек массы га свободно движется по горизонтальной
плоскости так, что скорость v его центра масс направлена только
вдоль конька. Найти движение конька и определить горизонтальную
реакцию N плоскости.
\ 26. Уравнения механики неголономных систем
281
26.19. Диск массы т катится без проскальзывания по гори-
горизонтальной плоскости так, что его плоскость все время остается
вертикальной. Найти движение диска. Определить горизонтальную
компоненту силы реакции N.
26.20. Однородный шар катится по горизонтальной плоскости
без проскальзывания. Составить уравнения динамики в форме урав-
уравнений Маджи.
26.21. Диск радиуса г (см. рисунок) катится без проскальзыва-
проскальзывания по горизонтальной плоскости. Задавая положение диска углами
Ф, 6, \|/, составить уравнения, определяющие закон их изменения.
К задаче 26.21
26.22. Два тонких соединенных осью диска массы т и ради-
радиуса г каждый (см. рисунок) катятся по горизонтальной плоскости
без проскальзывания. Масса оси, соединяющей диски, равна М, ее
длина /. Полагая, что каждое колесо свободно (независимо одно
от другого) вращается вокруг оси, составить уравнения динамики
и найти движение системы.
К задаче 26.22
К задаче 26.23
26.23. Тяжелый однородный шар массы т и радиуса г (см. рису-
рисунок) катится без проскальзывания по внутренней поверхности сферы
радиуса R. Составить уравнения динамики и найти их первые инте-
интегралы.
282
2. Аналитическая механика
26.24. Тяжелый однородный шар массы т и радиуса г (см. рису-
рисунок) катится без проскальзывания по поверхности кругового конуса
с углом 2а при вершине. Ось конуса верти-
вертикальна. Составить уравнения динамики и най-
найти их первые интегралы.
26.25. Два одинаковых симметричных
твердых тела (А = В фС\ вращающихся во-
вокруг своих неподвижных центров масс, соеди-
соединены гибким невесомым тросом не допускаю-
допускающим скручивания так, что проекции угловых
скоростей тел на их оси симметрии равны.
Найти движение системы.
26.26. Показать, что для энергии уско-
ускорений системы материальных точек S =
1^2 „
= -2_^rriiW^ имеет место аналог теоремы Ке-
т 2 1Г 2
нига: о = —wz, -\— > vtiiW-, где Wir — уско-
К задаче 26.24 2 с 2 ^ гг' J
рение точек относительно системы координат,
движущейся поступательно с началом в центре масс системы.
§ 27. Устойчивость движения
27.1. Составить уравнения возмущенного движения для перма-
перманентных вращений твердого тела с неподвижной точкой в случае
Эйлера, вводя отклонения от возмущенного движения х = р — ро, у =
= q,z = r.
27.2. Показать, что для асимптотической устойчивости нулевого
решения х = 0 скалярного уравнения х = Х(х), Х@) = 0, необходимо
и достаточно, чтобы в некоторой окрестности \х\ ^ г (г > 0) точки х =
= 0 были выполнены два неравенства: Х(х) < 0 при х > 0; Х(х) > 0
при х < 0.
В задачах 27.3-27.14 выяснить, в какой области функции v(t, x)
являются: знакопеременными, знакопостоянными, знакоопределен-
ными. Какие из этих функций допускают бесконечно малый высший
и бесконечно большой низший пределы?
27.3. v(t, х) = е-\х\ + х\ + ... + х2п).
27Л. v(t, x) = -si2
27.5. v(t, x) = tx\
27.6. v(t, x) = x\-
+ x\.
г=1
г=1
27. Устойчивость движения 283
97 & ii(+ r\ — i V^
1=1
27.9. г;(*, ж) = а^-
27.10. v(t,x) = (l + sin*)(
27.11. v(x) =
27.12. v(x)= max
97 1 4 ^^тЛ TY1QV IAS тЛ^\ // ™\ V^ / . ггг .
^f.J.O. U \JL ] — IIlcxA \\v i Jb) j, yi^JLi — / iiJUi^
rQrib||/l /2 /m|| — n <^ m
1 cllliv \\L ,6 ,...,6 — II <^ III.
27.14. г;(ж) = max {xTL^x}, LTk = L^,.
27.15. Функция Ляпунова г;(ж, ^) и ее производная г)(ж, t) в силу
системы уравнений в отклонениях Х{ — Xi(x, ?), Х@, t) = 0, удо-
гг п п
влетворяют оценкам: а ^ ж2 ^ г;(ж, t) ^ b ^2 xh v{x, t) ^ — с J^ ж2,
n
r\l^2xh a > 0? 6 > 0, с > 0. Доказать, что нулевое ре-
г=1
9^ / v^ 2
шение ж = 0 уравнений в отклонениях экспоненциально устойчи-
устойчиво, т. е. для любых решений уравнений в отклонениях с начальны-
начальными условиями жо ? Я, Я = {Х!ж^о ^ р} выполняется неравенство
5^ж2(?) ^ Р^ж20ехр[ос(?о — t)], где числа а и Р не зависят от выбора
жоея.
27.16. Доказать, что тривиальное решение х = 0 системы ж =
= P(t)x, P(t) = \Pij\i j-i-, асимптотически устойчиво, если матрица
P(t) имеет предел при t —> ос, т. е. lim P(t) = Ро, где ^о — гурвицева
матрица.
27.17. Указать границы области, в которой может лежать по-
поверхность уровня v = с функции v(ж, ?), положительно определенной
в G{^x2 ^ Я} и допускающей бесконечно малый высший предел,
при малых с > 0.
27.18. Показать, что поверхности уровня г;(ж) = с функции v(x),
п
положительно определенной в области J^ ж2 ^ Я, образуют семей-
семейство замкнутых поверхностей, вложенных одна в другую и охваты-
охватывающих начало координат, если значения параметра с не превосходят
величины с* = min г;(ж).
284 2. Аналитическая механика
27.19. Для уравнений возмущенного движения х = Х(х), Х@) =
= 0, существует функция Ляпунова
полная производная которой v(x) в силу этих уравнений отрицатель-
отрицательно определена в области v > 0. Найти область притяжения начала
координат.
27.20. Дифференциальные уравнения в отклонениях Х{ —
= Xi(x\, #2, • • • j xm t) (г = 1, п) заданы во всем пространстве
Rn. Асимптотическая устойчивость устанавливается с помощью
функции Ляпунова v = A + sin21) [x\ + ж|/4 + ... + ж^/п2), полная
производная v(x, t) которой в силу уравнений в отклонениях
отрицательна во всем пространстве. Найти область начальных
условий жо, ПРИ которых отклонения xi(t) в возмущенном движении
не превзойдут г и область притяжения х = 0.
27.21. Докажите, что нулевое решение х = 0 системы возму-
п
щенного движения Х{ — ^2 aikxk {i — 1? п), ^ — [аг/г]^&=1 — const
k=l
асимптотически устойчиво, если симметрической матрице (ЛТ + Л)
отвечает отрицательно определенная квадратичная форма хт(Лт-\-
27.22. Коэффициенты ац^ линейной системы с постоянными
коэффициентами х = Ах, х = [х{]™=1, удовлетворяют условиям
п
^2 \ais\ + аи < 0, г = 1, п, строгого диагонального преобладания
8 = 1,8ф%
по строкам. Доказать, что нулевое решение х = 0 системы
асимптотически устойчиво.
Указание. Воспользоваться функцией Ляпунова
/ \ Г 2 2 2 1
U \*L> J — 111С1Л | «^ 1 5 2 5 ***5 721*
27.23. Все решения линейной системы х = P(t)x, P(t) =
= [Pij{t)], с ограниченными коэффициентами при начальных
п
условиях ^2 xio ^ 1 равномерно ограничены. Показать, что нулевое
г=1
решение ж = 0 системы устойчиво по Ляпунову.
27.24. Показать, что нулевое решение х = 0, |/ = 0 системы х =
= —xy2k, у = ух2к устойчиво по Ляпунову.
Указание. Воспользоваться функцией Ляпунова v = х2к -\-у2к.
§ 27. Устойчивость движения 285
27.25. Доказать устойчивость перманентных вращений твердого
тела в случае Эйлера около наибольшей и наименьшей осей эллипсо-
эллипсоида инерции (А < В < С).
Указание. При построении функции Ляпунова воспользоваться
условиями сохранения кинетической энергии и кинетического момен-
момента.
27.26. Используя теорему Н. Г. Четаева, доказать неустойчивость
перманентного вращения твердого тела в случае Эйлера около сред-
средней оси эллипсоида инерции (А < В < С).
Указание. Воспользоваться функцией Ляпунова v = —yz, где пе-
переменные х = р, у = Q — qoi z = г определяют отклонения от невоз-
невозмущенного движения р = О, q = qo^r = O.
27.27. Рассмотрим пример стационарной системы 2-го порядка
Для этой системы существует положительно определенная на всей
плоскости функция Ляпунова v(x,y) = х2/A + х2) + у2, полная про-
производная которой v = — 4[ж2/A + ж2L + у2/A -\-х2J} отрицательно
определена во всей плоскости. Принципиальное значение этого при-
примера состоит в том, что он показывает, что выполнение критерия
асимптотической устойчивости Ляпунова во всем пространстве мо-
может не обеспечивать асимптотической устойчивости нулевого ре-
решения системы в целом, т. е. при любых начальных отклонениях.
В связи с этим показать, что траектории системы не будут выходить
из области, определенной неравенствами
х ^ а, у ^ 2 +
где а > 0 — достаточно большое положительное число. Это означает,
что решения с начальными условиями из области G не будут стре-
стремиться к нулю. (Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. // ДАН СССР.
1952. Т. 86, № 6.)
27.28. Возмущенное движение описывается линейными уравне-
уравнениями с переменными коэффициентами Х{ — ^2Pik(t)xk, г = 1, п,
где Pik{t) = —Pki{t)-> а Ра ^ —У < 0. Показать, что нулевое решение
системы асимптотически устойчиво, используя функцию Ляпунова
il
27.29. Возмущенное движение описывается линейными уравне-
уравнениями с х = P(t)x, P(t) = [Pisit)]?s=ii c непрерывными ограничен-
ограниченными коэффициентами Pis(t), \Pis(t)\ ^ p. Показать, что решения
286 2. Аналитическая механика
уравнений возмущенного движения x(t) не могут расти быстрее
экспоненты с некоторым положительным показателем |3 < ос, т.е.
найдется Р > О, такое что
Указание. На решениях системы рассмотреть функцию v(x) =
27.30. Используя функцию Ляпунова v(x) = ^2 х\-> показать, что
нулевое решение системы х = P(t)x, P(t) = \\Pis(t)\\i 3=\, устойчиво
по Ляпунову, если матрица коэффициентов кососимметрична, т. е.
27.31. Динамика численности видов Л^, оспаривающих одну и ту
же пищу, может быть описана моделью В. Вольтерра вида Ni =
/71 ч
= Nilzi — ^2 JijNj), i = 1, n, где е^ > 0, jij = jji ^ 0. Показать, что
в переменных ^ = %^/Щ динамика численности популяции описы-
описывается системой градиентного вида 4г — dW/d^i (г = 1, п), опреде-
определяющей закон возрастания VK(^). Используя функцию И^(^), изучить
вопрос об устойчивости стационарного состояния системы.
27.32. Показать, что в условиях предыдущей задачи флуктуации
численности видов (т. е. отклонение численности видов от стационар-
стационарных значений) периодичны (закон периодического цикла Вольтерра),
а средние (за период) числа особей двух видов не зависят от началь-
начальных условий (закон сохранения средних).
27.33. Если в среде обитания находятся два противоборствую-
противоборствующих вида (хищник и жертва), то в соответствии с простейшими моде-
моделями В. Вольтерра борьбы за существование динамику численности
популяций можно описать системой двух уравнений:
TVi = N1(X1-\i1N2), N2 = N2(-X2 + ii2Ni),
где Xi > 0, |li^ > 0 — постоянные параметры, a Ni ^ 0 — численность
особей каждого вида. Показать, что стационарное состояние системы
устойчиво (но не асимптотически) по Ляпунову х).
Указание. Воспользоваться наличием в системе 1-го интеграла
i)N2Xl ехр (—щ7У2) = const.
х) При исследовании устойчивости необходимо учитывать условие неотрица-
неотрицательности Ni(t) ^ 0, Л^2(?) ^ 0.
§ 27. Устойчивость движения 287
27.34. Каким условиям должны удовлетворять непрерывные
функции щ(х) и щ(х) (г = 1, 2), чтобы нулевое решение х = у =
= 0 системы х = (pi(#)\|/i(j/), у = ф2(ж)\|/2B/) было: а) неустойчиво;
б) устойчиво по Ляпунову; в) асимптотически устойчиво.
27.35. Скалярное уравнение х = а$хт + aixm+1 + ...
... + а^хт^к(т > 1) имеет полиномиальную правую часть. При
т > 1 задача устойчивости относится к критическим случаям, так
как линейные члены в правой части отсутствуют. Показать, что
выбором знака числа а$ и показателем т > 1 можно распорядиться
так, чтобы получить (по желанию) уравнение, у которого х = О
устойчиво; х = 0 неустойчиво; и, наконец, х = 0 асимптотически
устойчиво.
27.36. Уравнение Ван дер Поля х + г(х2 — 1)х + х = 0, г > 0 опи-
описывает колебательные процессы в электрических цепях. Доказать,
что нулевое состояние равновесия этой системы неустойчиво.
27.37. Рассматривается линейный дифференциальный оператор
L{v(x)} = У2^~ ^aikXk, aik = const.
г=1 к=1
Найти собственные числа As и собственные функции us(t) этого
оператора в пространстве квадратичных форм, т.е. функций v(x)
п
вида v(x) = ^2 hjXiXj, где lij — постоянные.
Указание. Рассмотреть сначала аналогичную задачу в простран-
п
стве линейных форм v'(x) = ^2 ls%s
s=l
27.38. Найти собственные числа Ат и собственные функции
ит оператора L{v(x)}, указанного в предыдущей задаче, в классе
однородных многочленов
Wm= 2^ ahi2...inx1 xx2 2...жпп, rrii^Q, 2^rrii = m.
27.39. Задача построения функций Ляпунова вида v = xTLx для
линейных стационарных систем х = Ах, Л = ||flf;||i\'=i' c заданной
производной v = —xTWx < 0, х ф 0, сводится к решению матрич-
матричного уравнения Ляпунова ATL + LA = —W. Показать, что в случае
гурвицевой матрицы А решение уравнения Ляпунова можно пред-
оо
ставить в интегральной форме L = J eA4WeAt dt, где через exp (At)
о
обозначена фундаментальная матрица Ф(?)-решений системы х = Ах
с условием Ф@) = Е.
288 2. Аналитическая механика
В задачах 27.40-27.43 заданы уравнения возмущенного движения
х% = Х1аг/еЖ^ + 2/г(ж), \yi(x)\ ^р|ж|2, ац* — const. По указанным в каж-
Xi
дой задаче квадратичным формам И/(ж) = ^WijXiXj для системы
п
линейного приближения Х{ = ^2 aikxki i — 1? п-> построить функ-
к=1
п
цию Ляпунова вида v(x) = ^ hjXi%j, удовлетворяющую условию
(dv/dt)x=Ax — —W(x). Полученную функцию Ляпунова использо-
использовать для доказательства асимптотической устойчивости нелинейной
системы. Кроме того, используя г;(ж), найти возможно более широ-
широкую инвариантную область этой системы.
О *7 /LO 'Т* -1 f\rYi 1 I О /У* с\ I /Y>^ rft^ /у» „ rft ^ /у» „ /у> /у»^
W = _X2_X2
27.41. х\ — —х\ —
W = -х\-2х\.
27.42. х\ — —х\ — Х2 + х\, Х2 = —х\ —
W = -x\-x\.
27.43. х\ — —2х\ — 3^2 + #2, ^2 = —х\ —
W = -2x\-x\.
27.44. Найти П-предельное множество движ:ения осциллятора
с начальными условиями g@) = qo, p@) = р$. Гамильтониан осцил-
осциллятора равен H(q,p) = (р2 + со2д2)/2. Показать, что П-предельное
множ:ество всякого движения осциллятора определяется только его
энергией.
27.45. Нулевое решение х = 0 системы уравнений возмущенного
движения Xi = /г(ж1, #2, • • • ? хп), /^@, ..., 0) = 0, г — 1, п, асим-
птотически устойчиво. Найти структуру fl-предельного множества
решения X(xq, ^), где xq выбрано из области притяжения точки х =
= 0.
27.46. Динамическая система х = f(x) имеет решение Xj(t) =
= jj(l + e~*)cosco?, jj = const, j = 1, п. Найти П-предельное множе-
множество этого решения.
27.47. В задачах 27.44-27.46 найти ос-предельные множества ука-
указанных решений.
27.48. Показать, что состояние равновесия системы с одной
степенью свободы, описываемой уравнением Льенера: х + f(x)x +
+ g(x) = 0, будет асимптотически устойчиво по Ляпунову, если g(x)
нечетная функция и xg(x) > 0, х ф 0, a f(x) ^ Д > 0 при всех
значениях х.
27.49. Для определения точки минимума непрерывно диффе-
дифференцируемой функции \|/(ж) = \|/(ж1, Ж2, ..., хп) применяют так на-
§ 27. Устойчивость движения 289
зываемые градиентные процедуры, использующие решение системы
дифференциальных уравнений
Доказать, что в этой системе точка минимума ж* функции \|/(ж) будет
асимптотически устойчива, если в некоторой окрестности точки ж*
нет других стационарных точек функции \|/(ж).
27.50. Каким условиям должна удовлетворять функция \|/(ж)
в условиях предыдущей задачи, чтобы точка минимума ж* была
асимптотически устойчивым в целом положением равновесия гради-
градиентной системы (*)?
27.51. Движение некоторой динамической системы описывается
линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэф-
коэффициентами Х{ — Ylaikxk + fi(t)i i — 1? n, гДе непрерывная функция
f(t) периодична с периодом Т, т.е. f(t + T) = f(t). Доказать, что
эта система имеет единственное асимптотически устойчивое в целом
периодическое движение периода Т, если матрица А = [aik]™k=i
гурвицева.
27.52. Динамическая система описывается уравнениями ж =
= Ах + /(?), А = [агв]^в=1 — const. Показать, что если матрица А
гурвицева, а функция f(t) ограничена при всех t ^ 0, то у системы
имеется ограниченное замкнутое множество (имеющее нуль внутрен-
внутренней точкой), в которое любое движение попадает за конечное время
и там остается, т. е. что система обладает свойством диссипативности.
27.53. Показать, что нулевое решение х = 0 линейной системы
в конечных разностях x(s + 1) = Ax(s) с постоянной матрицей А
асимптотически устойчиво в том и только том случае, если все соб-
собственные числа Xi матрицы А лежат внутри единичного круга: \Х{\ <
< 1, г = 1, п.
27.54. Для линейной стационарной дискретной системы x(s +
+1) = Ax(s), A = [aij]ij=i, уравнение Ляпунова для функций v(x)
из класса квадратичных форм имеет вид ATLA — L — —W. Показать,
что решение этого уравнения представимо абсолютно сходящимся
рядом L = ^2 ATS\VAS, если все собственные числа Х{ матрицы А
5=0
по модулю меньше единицы.
27.55. Доказать дискретный аналог теоремы Ляпунова об асимп-
асимптотической устойчивости. Если для системы рекуррентных уравне-
уравнений
x(s + l) = X(x(s)),
10 Е. С. Пятницкий и др.
290 2. Аналитическая механика
существует положительно определенная в области С?{|ж| ^ h} функ-
функция Ляпунова г;(ж), первая разность которой
Av(x) = v(x(s + l))-v(x(s)) = v(X(x))-v(x) = -w(x) < 0
отрицательно определена в G, то нулевое решение x(s) = 0 систе-
системы (*) асимптотически устойчиво по Ляпунову.
§ 28. Дискретные модели механических систем
Назначение этого параграфа связано с анализом дискретных схем инте-
интегрирования уравнений движения (дискретных моделей). Вопросы, которые
здесь обсуждаются, связаны с первую очередь с вопросами механики. При
переходе к описанию уравнений движения в конечных разностях законы
сохранения могут нарушаться. В связи с этим обсуждаются способы фор-
формирования численных схем, которые не приводят к нарушению законов
сохранения. По существу речь идет о методах построения таких дискретных
моделей, которые содержат в себе законы сохранения исходной непрерыв-
непрерывной модели: законы сохранения полной энергии, импульса, фазового объема
и т. д. Необходимо заметить, что анализ этих вопросов имеет большое значе-
значение для механики. Это связано с тем, что предельные теоремы о равномер-
равномерной сходимости ломаных Эйлера к решению дифференциальных уравнений
движения имеют чисто теоретическое значение, так как при использовании
ЭВМ этого предельного перехода не производится, а в качестве приближен-
приближенного решения рассматривается соответствующая «ломаная» с достаточно
малым, но не равным нулю шагом интегрирования h. Одним из возможных
методов получения дискретных моделей служит вариационный принцип
Гамильтона, в котором действие W = J L(t, </, q)dt заменяется конечной
суммой вида
A)
где ts+1 -ta = ha, hs > 0; qs = q(s) = q(ta), Ls = blta, qs,
8 = 1
Выражение A) (дискретное действие) в пределе при N —>• оо, max/is
переходит в действие по Гамильтону. С использованием дискретного дей-
действия A) принцип Гамильтона (условие стационарности) при заданных
1 2
()
Q1, Я2 приводит к соотношениям
dW dW
§ 28. Дискретные модели механических систем 291
которые можно интерпретировать как дискретный аналог уравнений Ла-
гранжа. При построении дискретного аналога уравнений Гамильтона обоб-
обобщенный импульс на такте s вводится в соответствии с равенством
ВД = ^, C)
где Ls определено в A).
28.1. При численном интегрировании канонических уравнений
движения одномерного осциллятора q = дН/др, р = —дН/dq, Н =
= (q2 + р2)/2 используется дискретная схема Эйлера:
где h — шаг интегрирования. Найти закон изменения полной энергии
Es = H(qs, ps) в силу рекуррентных соотношений (*).
28.2. Найти закон изменения фазового объема Vs в дискретной
схеме численного интегрирования по методу Эйлера уравнений дви-
движения осциллятора qs+\ = qs + hps, ps+i =ps- hqs.
28.3. Дискретная схема Эйлера интегрирования уравнений ос-
осциллятора, описанная в задаче 28.1, является частным случаем схем
вида (q8+1 - qs)/h = aps+1 + A - o)pe, 0 ^ а ^ 1; (р8+1 - ps)/h =
= — [A,<7s+i + A — A,)GS], 0 ^ X ^ 1, зависящих от двух параметров а
и X. Найти условия, при которых в этой схеме сохраняется фазовый
объем.
28.4. В условиях предыдущей задачи найти соотношения меж-
между параметрами а и X, при которых в дискретной схеме Эйлера
интегрирования уравнений движения сохраняется полная энергия
осциллятора.
28.5. Используя дискретное действие A) и условие его стационар-
стационарности B), выписать соответствующую модель механической системы
с п степенями свободы, функция Лагранжа которой L = L(^, g, q).
28.6. Используя дискретное действие A) и условие его стацио-
стационарности B), построить дискретную модель осциллятора, считая шаг
интегрирования /г5, постоянным (hs = h).
28.7. Показать, что в дискретной модели осциллятора, описанной
в предыдущей задаче, сохраняется фазовый объем.
28.8. Проверить, сохраняется ли полная механическая энергия
в дискретной модели одномерного осциллятора, построенной в задаче
28.6.
28.9. Материальная точка массы т движется в плоскости ху
в поле центральной силы. Потенциал поля П = а/^/х2 + у2. Постро-
Построить дискретную модель этой системы в координатах ж, у, используя
дискретное действие A) и условие его стационарности B).
ю*
292 2. Аналитическая механика
28.10. Составить дискретную модель системы, описанной в за-
задаче 28.9, в полярных координатах г, ср.
28.11. Известно, что для системы с функцией Лагранжа
L(t, q, q) время можно включить в число обобщенных координат,
если в выражении действия по Гамильтону W сделать переход
к новому времени т так, как это описано в задаче 21.29. Исходя из
новой функции Лагранжа L(?, g, q1 /t')t' = L(t, g, tr, q') (штрих —
производная по т), выписать уравнения в конечных разностях по
методу, описанному в задаче 28.5.
28.12. Используя уравнения в конечных разностях, полученные
в предыдущей задаче, составить аналогичные уравнения для одно-
одномерного осциллятора (L = (q2 — q2)/2).
28.13. Показать, что в дискретной модели, полученной в задаче
28.12, сохраняется полная механическая энергия осциллятора.
28.14. Показать, что положение равновесия q = р = 0 дискретной
модели одномерного осциллятора qs+\ = qs + hps, ps+i — Ps~ hqs,
построенной по схеме Эйлера, неустойчиво по Ляпунову.
Указание. Найти расположение корней характеристического
уравнения относительно единичной окружности.
28.15. Обсудить утверждение предыдущей задачи в связи с за-
задачей 28.1 и методом функций Ляпунова.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1. Кинематика и динамика
2. Аналитическая механика
1. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА
§ 1. Движение точки
1.2. wx = 0, wn = асо2, р = а + 62/(асо2).
1.3. Если А = ар - (Зу / 0, то (рж - (ЗуJ - (ш/ - ужJ = А2, (аг/ - ужJ - (рж - (ЗуJ =
= А2со2. Если А = ар - (Зу = 0, то рж - (Зу = 0, рх-$у = 0.
1.4. wr = со2г, г/7ф = 0.
2
1.5. w = -
1.6. В точке сопряжения ж = а должны выполняться условия f(a) = 0, /'(а) = О,
/"(«) = о.
1.7. г = roexp[((p-(po)ctga].
1.8. Винтовая линия на круговом цилиндре, ось которого параллельна вектору а.
1.Ю. t=n~1 R
)
1.11. ж + у
\
1.12. wy = -8bv2/a2.
1.13. г(;п = г>6, wx = v,t = v/v.
1 cos В
(^ + C) + ^(^ + C) +
1.16.
a = const,
1.17. Парабола у — у о = а(х — хоJ /2 в системе координат, повернутой на угол
ж-жо 1 _ Г cosa — g
у-уо \~ \ sina cosa
1.19. wr = -c"
1.20. w = -c2
1.21. г = го + а(ф-фо),г(;г = -г-3B/г2 + 1/а2)
1.22. wx = - Г
= О.
r2 + 2a2
1.23. - = ---(Ф-
1.24. p =
1.25. p =
296 1. Кинематика и динамика
(,2 + г2-ДK/2
гBгф + гф) —
1.28. р = 1^
wt>osina
129 г-II Sin(P t=-- w = -
A + СО8фJ' 3 V ' I
1.30. В системе отсчета, связанной с точкой А прямая
го
, Т =
+ г»2 COS92
1.31. Г _si
i
sincp [tg(9o/2)J
1.32. w = этф, р = г
г
/ \ V1/V2
1.33. re~r/z (tg |) sincp = const.
i o>i + + r0 V2/«i+cos(9o+8) -r v2/«i+cos(<p + 8)
1.34. *-fo = —^-^ 77—. !2 'n " -;г,ф, го,фо- текущие
^[(^/^) -I]cos5
и начальные значения полярных координат в системе отсчета, движущейся
с целью.
1.35. В случае удаляющейся цели:
\ 1- n r\ I- 4i;ii;2sin<po ч ..
a) hm wn = 0; о) hm wn = — -9-; в) hm гуп = +оо.
ф^о ф^о ro(l + cos9o) ф^°
В случае приближающейся цели:
w n ^\ т 4i;i^2(l + cos9o) .
a) hm wn = 0; б) hm wn = 3 5 в) li
ф^тг ф^тг ro sin фо ф
1.37. a) v = v/r^~+7^~T^; wr = r-гф2, г^ф = - — (г2у), wz = i.
Г UjL
6)v = д/r2 + г2ё2 + q>2r2 sin2 6; wr = r - г(ё2 +ф2зт2е),
wq = —^(г2б) — rffi2sin6cos6,... адф= — (r2ffisin26).
b)v = ^(o2+T2)(o2+i2) + i2;
7
Va2
r) v = A/a2(
v^
< — (sh и + sin «;)« — sin«;cost)(w +« ) >,
t + sin^i; I ac J
\ 1. Движение точки
297
д) v = ^(о2+т2)(о2+*2)+о2т2ф2;
е) г; = а у (sh2 u + sin2?;)(u2 + г?2) +cp2sh2 usm2 v;
w = < — [(sh2
w + sin2i; Ldf
[(h2
ф281п2г') >,
гуф = — : — (ffish2 wsin2?;).
shixsini; at
ж) г; = a-\/(sh2i/ + cos2?;)(u2 + г;2) + ф2 ch2 и sin2 г;;
< — [(s
ldt
< — [(sh
dt
i;)u] — shuchu(u2 + v2 +q2sm2 v) >,
—ф ch u)\,
ti +г^ ф ch
; -Uch2 us'm2 v).
mv dtK
chi/sini; dt
3 \ 3/2 г / 3
2-1-1/2
]
где Li = — т-г- -
1.39. kr = —
d d(v'
1.40.
ir-гф2
5/2) d(*;2/2)
dt dqj dqj
=0, 3=2,3,
22
2д1 gi = const.
1.41. k = -er--t
r r
1.42. г; = voexp[ctga(<p —<po)], г<; = -г—.
olil ОС (Л ь
1.44. wn = vyQl+qlsm2Qv.
v v w — (w-v)v vxw
1.45. т = —, n = , b = ¦: r
V V V X W VXW
298 1. Кинематика и динамика
§ 2. Сложное движение точки
R-r
2.1. t=^
vsm(n/n)
2.2. u=^/v2
2.3. wa =
2.4. v=\i
= [(two — /со2 —/ce>2)cosa —2t>ocoisina] +
+ [(wo — /co2)sina + 2?;ocoicosa] + [2co2(coi/sina —
2.5. vi = V3 = yalR2 + Vo, ^2 = ^4 = yco2/?2
2.6. w = /^/(co2 +co|J +co2 Bco2 -co2)cos2coit.
2.7. В цилиндрических координатах г = 2^—(ф~фо),
со
2.11. vi = г;, г;г = yv
\ = \/v2 + 4v2 + 4wo cos a,
2 + 2 wo (cos a — sin a);
2.12. v = ^/( o) , ^/( 0)
2.13. гум = |[(co2+co2)/cos9 + co2L]2 + co2/2sin29 + 42/2i2|
22 ^1 1/2
2.14. гм =
4a V 7Г a]
—к 4ЯсофоBа Ясофо)со82- > ,
со V со J А \
ГГ/2а7Г \2 2 2 i2 / 2 2 \2>|
I I "p софо ) л + Я со фо cos a + I 2a + /tco <posina) [>
an
Ясо
§ 2. Сложное движение точки 299
2.15. v = ау со2, cos2 coot + со2 A +sin cootJ,
w = ay 4co2co2,cos2coot + [со2 + (со2 + со2,) sin coot] .
2.16. v = ^i
w = — у B — фосо2^со82се^) + фосо^2Dсо8се^ — cot sin cotJ.
.2 •• .. 1 d 2-\
2.IT. vt = r, Vri = ^Ф!^? ^ г — гф i^ri = ^ФН~2гф = (г ф).
r at v '
2.18. См. ответ к задаче 1.37,6.
2.19. VA = СО/ 8Шфо, WA = /у <
2.20. ид = д/а2 + Ф2со2(/о - atJ cos2 cot,
= фосо cos coty фдсо2(/о — atJ cos2 cot + [2a + (/o — at)cotgcot] .
2.21. г^Б = A/a2 — 2афосо/cos^—+фдсо2/2,
V /tco
2.22. v =
= Я ^/а4 + 2Ла2Ф2со2/ cos -^ + Л2Ф4со4/2.
2 ,
ж )
(l + 4a ж )
4оиг»2(9о-2м*)
2.24. г; = ——,w = —^ у VqCl2 + (woa — Vq) R2, где а — расстояние точки рельса
от точки касания колеса; a > 0, если колесо накатывается на точку, a < О
в противном случае.
2.25. v = (or, w = cxJr2/(R-r).
2.26.
_ 4fe2co2/2sin(a/2)
2/ со cos (a/2) sj k2 + 4/2 sin2 (a/2)
2/ cos (a/2) + k
B/ cos (a/2) + &K ' ^n ~ B/ cos (a/2) + kf '
3
V V
2.29. v = np,w = -x-p +
2.30. v' =
a — vi
2.31. r = roexp[(<po-<p)tgGc/n)].
300
1. Кинематика и динамика
2.32. В плоскости х\Х2 имеем
и — соа
v =
соа
-(со2+е)а
о
2.33. В системе координат хг, Ж2, жз имеем
О A sina
v = со | a cos cot cos a | , w =
a cos cot sina
О A = e + asincot.
2.34. v =
sina (гОА + 2co2a sin cot)
—aco2sincot cos a
-co2 sin a (OA + asincot)
-? +2co2s со2Я + 2со^о + ^- )cosa,
Rl \
где a = vot/R.
2.35. va =
H %- (Я sin ф — a sin cotJ,
R
sin ф
f о • . W0t • . V . 2AаЫ , , a • ^ •
гид = 4/I era sin cot 2~ a sin cot — г^о cos ф J +Wq ( —5— coscot+ — sin cot—si
где ф = wot/BR).
of 2 Ф \ 2 2 2
2.36. v = ( R фо со cos cot — 2 wq t sin —j +wot sin ф,
2 Г fWot \2 I2 f 2 Ф 2 \2
гу = Я —— — фо со cos cot — г^оэтф + 2i(;osin — + R со фо sin cot ,
I \ R J JV 2 /
где ф = фо sin cot —
2.37. v =
2R '
+ co2a2+ 2coico2aia2 соэф)/sin <p.
2
pr2
o2c
22Ге2 /1 l
4co2c -o-
[p2 \r V
2.39. В системе координат ?,ti>?> b которой ось О\ направлена по радиус-век-
радиус-вектору г, ось О\ перпендикулярна плоскости орбиты по coi, а ось Ог\
направлена так, чтобы образовалась правая тройка осей, получаем
0
С
(coi
где го =p/(l + e), co^ = co2sin6sincoit, 0^ = C02sin6coscoit,
C0? =C0l+C02COS6.
1/2
2.40. vd = 2vo sin (a/2), As =
-1/2
§ 3. Плоскопараллельное движение твердого тела 301
§ 3. Плоскопараллельное движение твердого тела
3.2. Окружность [х + Х2а/ A-Х2)]2 + у2 = а2Х2 /A-Х2J в системе координат
связанной с телом так, что Л@,0), В(а,0).
R — p
3.4. со =
R-r p
3.6. О А = -^(ох (vo-va)
со
3.7. (К \vc\^v/sm(a/2).
3.8. ak=Ji + (-i)k7±
[ rk
3.9. со, =co fl4-(—1)*—1 -cdo(-I)* —, e, =e [l + (l)fc1 (l)fc
Гк Гк
где Я = 2 у j
г=1
3.10. vA=®lk-®krk, vB =
wA
wB
wc =
= у (-
= у (w
^
wD = \/(-ы21к+?кГкJ + {dk+a2krkJ, где 1к =2^2
V г=1
3.11. v'z= |^~ 2 "" -coo^r + /cos|j] +yA 2VB tg|+coo 2
3.12. г; = г>осо8(ф/2).
3.13. Решение. Движение мгновенного центра скоростей по неподвижной цен-
центроиде можно представить как сложное: относительное движение — движение
точки по подвижной центроиде, переносное движение — движение точки вместе
с подвижной центроидой (т. е. вместе с телом). Поэтому для абсолютного ускоре-
ускорения мгновенного центра имеем
Wa = Wr +We+Wc.
Проецируя выражение для ускорения на направление орта касательной к цен-
центроидам х, получаем
wax = wrx + wex + wcx.
Из условия отсутствия скольжения следует, что wax = wrx. Кроме того, wcx = О,
так как wc = 2 со х vr = 2 (со х х) • (vr х х). Следовательно, в точке касания wex = 0. По
определению переносного движения we в точке касания совпадает с абсолютным
ускорением wp точки Р тела. Поэтому из последнего равенства вытекает, что wp
направлено по нормали к центроидам.
302
1. Кинематика и динамика
3.14. wn =
3.15. p = w
РА
\(*А.Щ\
3.16. Прямая, соединяющая мгновенные центры скоростей и ускорений.
3.17. Скорости точек в обоих случаях одинаковы; wA/wA =1 + X, w^ /w^'
= 1-А,, Tj\eX = r/{R-r).
л)]/(г2 + со4
АВ х (wb -wa)
3.18. О А = [co2(wo-wa)+?X (wo-wa)]/(?2 + co4).
3.19. со =
3.20. v = (o
3.22. V!=c
*, w =
V
+ r2) + (co4/4)(r2
^2; ^2 = J[v + ©(и* - Я)]2 + (v- с
= y/[v ~ ®(vt + R)]2 + {V~ СОЯJ,
3.24. vc = v,wc = л/3(9у4 - 8a2v2r2 + 64co4r2) (Эг).
2 2 n I
3.25. wn =
^
R2^x~2Ty2
3.26. Окружность радиуса R/2 с центром в середине отрезка, соединяющего
центр диска и точку его касания с прямой (за исключением самой точки
касания).
3.28. Прямая у = 0 и окружность х2 + (у — г/4J = г2/16 (за исключением точки
3.29. Ум = сож, ^м = со VR2 + ж2, где ж — расстояние от точки касания прямой
с окружностью до точки М.
3.30. va =2v— sir
3.31. 1;д=
-r)sin2(p/2).
§ 4. Движение твердого тела с неподвижной точкой 303
3.32. v = Jv2 + 4со(Я — г) sin - со(Я — г) sin - + vo cos ( - +
V ^ L 2 \2 р
г^у = —cos ( —t 1 — со2(Я —г) sinф —со2 sin(C — ф),
Р V Р / R
wx = — — sin I —t ) — со2(Я — г)со8ф + со2 cos(C —ф).
P V P / H
/l/2 й
(WB — Wa) • Ь + СО1/1/2 СО8ф —
(wb-wa)-1i+co2/2-c
?2 =
/1/2 si
/ n. sin сп
3.34. vQ =
a4 sin2 cot + б4 cos2 cot
3.35. C0min —
a2 sin2 cot + b2 cos2 cot
vb va
ab — n[a—b) ab -\-h[a —b
3.36. co = b-
3.38. u =
г; cos (ф2 — a) v cos (ф1 — а)
3.39. Ф1 = -—r-7 v, Ф2 =
/i sin (ф2 - Ф1)' h sin (ф1 - ф2)'
vcos(vt/ R — фг) . vcos(vt/ R —
3.40. ф1 = — —; r—, ф2 =
/81П(фф)
3.41. va{s) = (v/R)-\/4:R2 — s2, wa{s) = v s/R .
§ 4. Движение твердого тела с неподвижной точкой.
Общий случай движения твердого тела
4.2. г^ = щ.
4.3. v3 = -\
4.4. СО = л/СО2 + 2cOlC02COS6 + C02 5 ? = C0lC02Sin6.
а а
4.5. vc = ve = ^р (coi +CO2COS6), vd = vf = —^^
V2 V2
= гу^ = —pу (coi +co2coseL + co2sin2eBc°i +co2coseJ,
p
1(;d = 1«F = ~P
4.6. va = 0, г»Б=Зсо1г; г<;л = л/3со2г, г^в = л/2Тсо2г.
304 1. Кинематика и динамика
4.7. со = л/со2 +(poCOocos2c°o?, ? = Фосоол/со2, + (cof — cgo)cos2cgo?-
4.8. fi = co+^-l, e= -2"Bг;-со/).
4.9. ул =2v, vB = -((oI/v)y, yc = (l-co//Bi;))v;
wc = -B/2)Bi; -co/JOif.
4.10. coa = л/Зсо, ?a = д/3(е2 + со4); wa = rV9e2 + 21co4, wB = 2л/3
4.11. ^ = г^р = (co2/4r) (a + rV2} y
гсо2.
4.13. co = (oe +cor, e = ee +er +coe x cor.
4.16. Xi = r(dnai3 + 6c2ia23 + OC31OC33), Ж2 = — r(d
l
4.17. — = 2 2~? ГДе a =
coi 1 —cos asin ф
0
4.18. а) соя =0cos\|f + <psin0sin\|f, co^ = 6cos(p + \j/sin6sin(p,
coy = 6sin\)/ —фэтЭсоэц/, cc^ = — 6sin(p + \j/sin6cos(p,
co^ = cp + \j/cos6;
б) сож =6 cos \|/ + ф cose sin \|/, co^
coy = \jf — ф81п6, oe^
co2 = — 0 sin у+ ф cos 0 cosy; со^=ф —6sin6.
4.19. Локсодромия tg@/2) = tg@o/2)exp[A;(\(f — щ)], где k = ^^.
b c-\-a d
4.20. В системе координат ж, у, z (ось Оz перпендикулярна плоскости, ось Оу
направлена по линии касания конуса с плоскостью) имеем v = @, 0, жсо),
w = (—жсо2, 0, — yod2tga).
4.23. w = wi(x - х2)/(xi - х2) -\-w2(x - xi)/(х2 - xi).
4.24. Если О, ж, у — произвольная декартова система координат на плоскости, а
\|/ — угол между вектором v и осью Ох, то искомые уравнения таковы:
х = v(t)cosy 1 у = v(t)sm\\f, \\f = co(?)tgа. Окружность радиуса v/(соtga).
} 4. Движение твердого тела с неподвижной точкой
305
4
4
.25. соа = ь
.26. VА -—
/
со2Ч
V/2
\
2
V
h2 sin2
h2
cos2C
•о f
I
p'
+
1°
ea =
2//i
cos[3
/г
cos
cos а
i
2 "T"
' /г2
2lh
cosC
,2 /
sin2p V
1
sin а -\-
V
( v2 V
\ /i sin C cos C 1
4.28. co = a 2{((v2-v3)-a)n-((vi-v3)-a)r2 + (
r2)a}, где п и r2 —
4.29.
4.32.
4.33.
4.34.
4.35.
4.36.
радиус-векторы, проведенные из третьей точки к первой и второй соответ-
соответственно, а а = ri х г2.
_ (w-wo)(coxe) (w-wo)-co 2 _ (w-wo)-e _(w-wo)-co
(сохеJ (сохеJ ' (сохеJ ' (сохеJ
со = (v-1:)(т/к + Ь/р), где р — радиус кривизны, а к — радиус кручения
траектории.
z = 0,
wBp =
wM =
_. e . со ex со
В системе координат ж, у, z с единичными ортами i=-, j = —, к =
е со есо
для точки тела с координатами ж, у, z wT = —о о х (—zi + xk), wn =
х +z
4.37,
4.38.
4.40.
4.41.
' + z
е = coii + co2j + 063k.
WM = л/3со2г,
= 7co2r.
vB =
В системе координат ж, у, z , где ось Оz направлена по оси болта,
VAx~ VBx VBy—VAy
С0= = , V = VAz=VBz-
УУ ХХ
4.42.
4.43.
а) со = ); б) (й =
+A — а) %—, C = const.
Уравнение оси винта имеет вид у = со2а/(со2 + ft2), z = (ft/co);r, угловая
скорость равна дДо2 + ft2, линейная скорость . .
4.44. Уравнение оси винта имеет вид у = г>осо/усо2 +coq, z = (со/соо)ж, угловая
скорость равна д/со2 + cog? линейная скорость г>осоо/\Д°2 +юо-
306 1. Кинематика и динамика
4.45. Винтовое движение с угловой скоростью v2co и с поступательной скоро-
скоростью Bv — (оа)/у/2 вдоль оси винта, уравнение которой: х = a + v/co, у =
1 1 1
4.47. Уравнение оси винта z = а,у = 2а, угловая скорость со — — ,0,0 1, линейная
V а )
скорость у(г>,0,0).
4.48. Уравнение оси винта х + у = 0, z = а/2, угловая скорость равна со =
rv ( 1 1 \ V2
= V2—е, el—р,— —р,0 1, линейная скорость v = ———ve.
4.49. В системе координат х,у, z с осью Az, совпадающей с А В , должны
удовлетворяться условия: (vax - vcx)/yc = {vcy - vav)/xc = со, viz = 0,
г = А, В, С. Уравнение оси вращения х = —VAy/ы, У = ^Аж/со.
4.51. v-rotv = 0.
4.53. В системе координат ^,Л? С с ортами т, n, b уравнение оси винта имеет вид
^ab — ^c = 0, л = а, угловая скорость равна 6, линейная скорость с.
4.55. w = л
Ф 6 \|/ cos (\|//2) sin (е/2)
4.57. cos- = cos -cos —, ~-—
_
= coscos, ai = ^ =,
2 2 2' ^l-cos2(e/2)cos2(i|//2)
sin (\|//2) sin F/2) _ sin (\|//2) cos F/2)
Vl-cos2F/2)cos2(i|//2) ^1-cos2(e/2)cos2(i|//2)
где фиа«- угол и направляющие косинусы оси конечного поворота.
4.61. а)Х = —a/2 + x, х — любой вектор с модулем |х| = ^/b — a2/4;
б) при Я, х х = 0 решение вещественно: х\ = 0, Ж2 = 1, при А, х х / 0 решений
не существует; в) X = Л.
4.66. Угол поворота a = 2 arccos Xo, направляющие косинусы
2-1—1/2 ® V ~Ь Ф
Уг = ^г{1 — ^о} ' , г = 1,3, где A<o = cos—cos—-—,
6 ?~Ф 6 ?~Ф 6 ? + Ф
?и =sin—cos^—, X2 = sin — sin-——, ?i3 = cos—sin^—.
4.67. Угол поворота <р = 2 arccos 1/Bл/2), направляющие косинусы оси поворота
4.68. r = ii
4.69. Хо = А,1 = А* = 0, А,2 = -1.
4.70. Угол поворота а = 2 arccos Xo, направляющие косинусы
yi=Xi/y/l-tf, г = М, где ^0 =
5 4. Движение твердого тела с неподвижной точкой
307
4.71. Параметры Род рига—Гамильтона искомого кватерниона
^о = cos (e/2) cos (е/л/2) + A/ у/2) sin (e/2) sin (Q/у/2),
Xi = sin (e/2) sin (е/л/2), ^2 = (-1/л/2) cos (e/2) sin (е/л/2),
t
A,3 = sin (e/2) cos (е/л/2) - A/л/2) cos (e/2) sin (е/л/2), 0 =
sin
, ^2 = -p sin f д/р2, + qfg f J
sin -y=,
sin 7f + sin
4.75. § = —ii/л/З —i2/>/3 —is/л/З, a = 120°.
4.77. S =
(pint + cost)/у/3 (cost- sin t)/y/S 1/л/З
(cost — sin t) /л/2 —
(cost + sint)/y/6 (cost-sint)/y/6 -y/2/3 _
4.78. coT = -l/л/З, con = 0, cop = 7^3, ^i = 0, П2 = 0, П3 = -1.
4.79. ^o=2
—;= ) A-sint), Xi = cost 2
-1/2
A-sin*) 1
-1/2
\(/ e ф \(/ е ф
4.80. ?io = cos — cos — cos — + sin — sin — sin —,
АЛА А А А
у е ф у е ф
Xi = cos — sin — cos — + sin — cos — sin —,
A A A A A A
у е ф у е ф
X2 = sin — cos — cos — - cos — sin — sin —,
у е ф у е ф
A-3 = — sin — sin — cos — + cos — cos — sin —.
A A A A A A
\(/ e ф \(/ е ф
4.81. Xo = cos — cos — cos — -sin —sin —sin —,
А А А АЛЛ
\|/ e ф \|/ е ф
Ai = cos - cos - sin - +sin - sin - cos -,
\|/ e ф \|/ е ф
X2 = cos - sin - sin - + sin - cos - cos -,
у . е ф . \|/ e . ф
A,3 = cos — sin — cos — - sin — cos — sin — •
308 1. Кинематика и динамика
4.82. Xo(t) =?iocos— - -(?ncoi+?i2CO2+^3CO3)sin —,
z
Cut
— ^30J) Sill—,
z
cot
Sin —,
Z
cot
sin—-,
Z
где A,o, ^1, ^2, ^3 — параметры Родрига—Гамильтона кватерниона Л@).
§ 5. Динамика точки
5.2. r(t)=
cot
~~ ° 2
cot
= Xi cos —
cot
2
cot
2
1
CO
1
+ -
CO
1
CO
1
CO
rnv0
5.3. vo = \/gRsh4nfn, n — число оборотов.
5.4. s + f gxf + (x'y" — x"y')s2\signs +gyf = 0 (жг, у', ж", у" — первые и вторые
производные от функций x(s) и i/(s) по параметру s).
5.5. «о
5.6. v ^ y(g/a)[(l + 2a/i)expB/arctg\/2a7i)-l].
R)(H-h)
— h)/g — закон свободного падения в отсутствие сил сопротивле-
сопротивления.
Г Г 2 Т Т1/2
5.8. жо + — F&)dZ,\ dx = t-t0.
J L ш J J
5.9. „^
2
5.10. ^=
5.11.
XQ
J (Д + «)
2mg 2mg
; г^ = hm v(t) =E
2mg 2mg
5.12. г; = —; г^ = hm v(t) = E—, где ?i =
2m
5.13. x = 6i cos (cot + a), у = 62 H sin (cot + a), ^ = 6з + а2^, где со = ,
со со cm
а ai, a2, 61, 62, 63 и a — произвольные постоянные.
5.14. В системе Oxyz, где Ож направлена вверх по вертикали, а Ох — по вектору
напряженности Н, уравнения движения имеют вид
§ 6. Изменение импульса и момента импульса системы 309
ж = жо + жо^, у = уо + —A —cosco?) + —
со со
z = zq — — [ уо + — 1 A — coscof) + — sincof, где со = еН/(тс)
со у со у со
(с — скорость света).
5.15. zmax = 2 ' гДе ю = еН/(тс) (с — скорость света).
5.16. h > —2 ' гДе ю — еН/(тс) (с — скорость света).
со
5.17. Высота Н определяется из уравнения
2mgH2 - (mv2 + eEozo) H + eE0z2 - mz0 (v2 - 2gH) = 0.
5.18. Движение происходит по конусу, ось которого направлена по вектору а =
= m(ro х vo) (с — скорость света), а угол 26 при вершине опре-
определяется углом между векторами а и го. В сферических координатах
движение определяется уравнениями
у 1
) = arccos —, <р = — arctg
а со
а' " со ° аш
5.22. a) Zi|) + 2Z\J/ = ((З/тп) (Z\j/ — usini)/),
б)/ф_. oi\:._ Jlg(/v-WSinV)
sJi2 + iW
-\-u2 —
§ 6. Изменение импульса и момента импульса системы
6.1. Эллипс.
6.2. Эллипс.
6.3. х\ = —
6.4. /i^/
6.5. m =
6.6. P = -mv.
6.7. * = 2vsina/[g(l-A,)], L = u2sin2a/[g(l-A,)].
6.8. Rx = ml @ cose- ё2 sine -co2 sine), Ry = ml B ёсо cose + cosine),
rz = m(g-Zesine-Ze2cose).
i- 1 1 l\/r^2S4C Л*^140 Л/Г^124С Л/Г
6.11. jai = M— , ja2 = М— , цз = М— , ц4 = М
, ja2 = М, цз = М, ц4 = М,
V1234 V1234 V1234 ^1234
где М — масса всей системы, Vijks — объем тетраэдра, образованного
точками г, j, к, s = 1, 4.
310 1. Кинематика и динамика
6.15. yB{t) = yo\ x
Г 2
6.16. T=-arcsin ^-B-In3I.
со \ g '
6.18. F = (m/2)aco2sinco?.
6.19. v^/v^ = а.
6.24. m=m+(m/J)(AC xyA).
6.28.a)^ = ^,e=^|; б) «,с = jjg, e = \
2gsina (l-y)mgsina
6-29- «о = ^=
6.30. 4/gf (соог-г>о)- (соо^ + г'оJ = 0, если v0 < ыог < 3v0;
fgt-2vo = 0, если Зг^о ^ соог.
6.31. а) Окруж:ность радиуса Мг/(М-\-т) с центром в центре инерции системы.
2Mr sin\/l + o\|/ / Ът /г\2\
б)р (сЫ)
^ 2 г
1 + о cos2 v 1 + о \|/
ные координаты жука в системе, полюс которой совпадает с начальным
положением центра диска.
6.33. r(?) = mv))j—M), ^ = 1 + J(w + M) / (Ф), где г, Ф - полярные
координаты центра инерции фигуры.
6.34. тх — m/(psin(p — 7пф2/со8ф = Rx, ту + тп/фсоэф — rmp2/sin9 = Ry, Jcp +
-\-ml(y cos ф — ж sin ф) = Мг, где Rx, Ry, Mz — компоненты главного вектора
и главного момента внешних сил.
6.36. ft = -
6.37. ft = -
6.38. J(t)y + (dJ(t)/dt)y = -mgl(t)зшф.
6.39. l(t) = /0+gcoscof/Bco2).
6.40. 2(R — г)ф + pd2sin(ф — a) + pacos(ф — a) = 0,
(Я — г)ф2 + p a2 cos (<p — a) — p dsin (ф — a) ^ 0.
6.42. (o = v/p.
§ 7. Изменение кинетической энергии. Смешанные задачи 311
§ 7. Изменение кинетической энергии. Смешанные
задачи
7.1. Т = A/2) mv2 A + Л2) + A/2) rrmowo + A/6) {ma2 + M/2)co2.
7.3. Т = -(М + Зтп) /2со2 + - m г2щ, + - mr2 (coi + со2J + m/rcoico2 cosco2?.
7.4. Т = со2[ц(/ + г - рJ + C/4)т/2 + A/6)М/2].
7.5. Т=-
k=l
Jco2.
7.6. Т=-
U2 ^ г=2
4 fc=
fc=2
2 1
+
/ 3 Ч т
V 2 4 2
7.9. Л = -остт2.
7.16. /г = const (г =173).
-J
7.19. П = Ф(ос1Ж + ОС22/ + ОС32:), где Ф(^) = F(^)d^ а постоянные а« пропорцио-
пропорциональны а, 6 и с соответственно и удовлетворяют условию а? + а^ + а§ = 1.
7.20. Увеличится на mv • vo.
7.21. Ах =0,S
7.26. v = у 2уМ(\/Я2 + /2 — Я) (FIVE2 + /2) , где у — постоянная тяготения.
За2
7.27. ц = W 2—:—,2 . 4 A/2mg/(sin9o - зтф) - ca2(ctg9 - ctg(p0J.
ЗМа +4?тг/ sin <p
7.28. vi/v2 = д/Gг2 + 5Я2-10Яг)/[7(Я-гJ]; R = 2r.
7.29. uD =
7.30. u = i
Г'31' W = /-" '" -Р2[4п2-1 + 4п2/2/Dп2/2-Я2)
7.32. Ар = —т\с, AT = —mvc/2, где vc — скорость центра инерции фигуры
до закрепления.
7.35. N = mgCcos(p-2cos(p0).
7.38. (pmin = arccos [ [^а2^ + 36g2 - асо2,) /Fg)];
при coo > л/57^) 9min ~ arccos [3g / (acoo) ] •
312 1. Кинематика и динамика
гр j jo
7.40. hs h2 - l2h + —: B JE - K2) = 0,
mga 2Jmga
' + 1
А/ Ю
2mga у \2mga
7.42. amax = arccos [ Gv2 + lOgr) / A7gr)].
7.43. amax = arccos [ Gv2 + 10g(r cosC + / sinC))/A7gr)].
f2 — 1 /4
7.44. ф < 2 arctg —— ; г> = 4/ — g(/t + r) A — coscp);
11/ V 3
TV = mg Gcos(p — 4)/3; F = mg sin9/3.
7.45. Отрыву при качении без проскальзывания соответствовал бы угол <р =
= arccos D/7).
7.46. vc =
7.47. соо=4Л
7.48. T = (l/3)mgh.
7.49. Т = Л2/Dшсо2).
7.53. Для величин Т(т/2), Т и T(f') выполняются неравенства Т(т/2) < Т <
< Т(^), поскольку Т = (rn/6)(vo+vi+uo«i), Т(т/2) = Т-(ш/24)х
х (гл - i;oJ, T(f') = T + (г
7.54. *i =
_ ^v _
7.58. Решение. Согласно теореме о вириале 2Т = -^ F* -ri, где Т — средняя
г=1
кинетическая энергия системы, F* — сила, действующая со стороны стенки сосуда,
и г г — радиус-вектор г-й молекулы. По условию задачи ТГ = 2,/Ve; здесь N = nV —
общее число молекул во всем объеме V сосуда. Очевидно, что dFк = —пкРк dS,
где пк — орт внешней нормали в точке К стенки, а рк — давление в этой точке;
тогда
^Fj -ri = -(Ixj)pn-rrf5 = -ахррп-гс/б'.
• i J J J J
(S) (S)
По формуле Гаусса-Остроградского
Ьп• гdS = divr dV = 3 \\\dV = W-
(S) V V
следовательно, 27Ve = 3p V, и окончательно получаем р = B/3) ne.
7.62. Т = (ш/6)/2 [4c2
§ 8. Динамика точки в центральном поле 313
2 • 2
т г* о гл 1"ё / Ю0 Sin ФО / . 2 -2 , 9 \
7.оо. SZ = W — (cos<p —cos<po + о (sin ф + sin <poctg <р);
sin ф
7 = — эшф, Ь = —— E со8ф — 3 соэфо) Н —sin <po.
4 А А
§ 8. Динамика точки в центральном поле
2gR\H-h)
8.3. Н « 5,63 Я, где R — радиус Земли.
8.4. Коническое сечение г = р/A + е со8ф), где параметр р = К /(та) и эксцен-
эксцентриситет е = у/1 + 2ЕК2/(та?) определяются из начальных данных.
8.6. Нет.
8.7. г*=2уМ/с2.
8.10. р = ро, Ае « ropoAq/(eomgR2)i R — радиус Земли.
8.11. K0 = (m/R)x/a7s.
1 777-1777-2 2 |/ni/i^
8.13. В центральной системе Е = — vi — V2 — ¦¦ < 0.
2 777-1 + 777-2 |rl—Г2
8.14. viq = 77i2/S, V20 = rn-i/5, где 5 = удттгТ+ттг^Го/у, У — постоянная тяготе-
тяготения.
8.16. Произвольная зависимость от ri — Г2, ri — Г2, t.
8.20. ,Р(г) = -а/г2 + C/г3.
(mvldf-Q'q2
8.21. 6 = arccos
8.22. 6 = arccos
(mvldf
(dvlf-jjMf
(yMJ + (dv
Г
8.23. Vn =
cosa (sina + cosa)' ° 8'
8.24. vo = 2-
COS (
T - - - . .
sin а Я Зтг
тг Ф sinGc/8 + 9/4) Г со8(Зтг/8-ф/4I
8.26. ao = - + j, ^-81пC/8 ^Я[1+ J
p
8.27. r= 7 r, p = const; e = const, у = const.
l + ecos(oxp + y)
со2 = 1 + 2C/ (m/To), Aro = |roxvo|.
8.28. e = 2e, A9 = 43/r.
314
1. Кинематика и динамика
8.30. См. рисунок, ai = biuQ (i = 1,2) для внутренних планет, aj = ao/bj (i =
= 3,4,5) для внешних планет, где ai — средний радиус орбиты планеты,
а по — средний радиус орбиты Земли.
8.32.
8.33.
8.34.
К задаче 8.30
Е = —уга/Bа), где у — постоянная, зависящая от массы Земли.
где а — параметр, задающий потенциальную энергию спутника П = —
Круговая орбита радиуса го.
H-h
Р =
am
mgR2
, K = mR
K0(t) = Ko(?o)exp [-p(* - to)/m].
о 2a / 1
8.35.
8.36.
8.37.
8.38.
8.39.
8.40.
8.41. Сила притяжения F = —
8.42.
8.43.
8.44.
, где R — радиус Земли.
, R — радиус Земли.
т \ R-\-h a
v = vc exp I —— 1, где vc — начальное значение секториальной скорости.
т )
+1)г 2.
~~я , vc = г Ф-
г3 г:
( рЛ
v = г^сехр I —— ), где vc — начальное значение секториальной скорости.
V т)
2vc
ф = —2~ exp (—^t / т).
г
1
a cos соф + b sin охр' гас
2a 2 n
, 1Н г = со > 0;
§ 9. Динамика относительного движения 315
1 „2а 9 _
г = , 1-\ о = 0, где а и 6 — произвольные постоянные, с = г2у.
щ + о тс
8.45. Гипербола.
8.46. F(r) = —2~ ( v(r) ~~ ~ ) ? с = г2Ф-
ф
8.47. — = ЛБтфН-г> соэфН о sin (ф — т) \)/(т) ат, где постоянные А и В пахо-
пахота тс J
о
дятся из начальных условий.
ф
1 а Г . , ч. , ч
8.48. — = А81псоф+Всо8соф+ ^— sin [со(ф — тI ж(т) с?т,
г тс со J
о
где со = ^/H-C/(mc2), А и В — произвольные постоянные
8.49. e = Av/v, ф =-л/2.
8.50. p = R(v-
8.51. п < г2.
.5J. р = Ро
8.53. qi = -<72 = тлДа/р) к/1 - е - A - е) I, ?min = \|/д/р3/[а(! ~ еK]> гДе а —
параметр, задающий потенциальную энергию П = — am/г.
8.54. Av = v. Импульс сообщается в точке пересечения орбиты с плоскостью
экватора.
8.57. J = 2Ео + 2Т, где Т — кинетическая энергия системы.
8.58. h = 35870 км.
Mi = —з (J3 — J2)Y2Y3, ^2 = —3(^1 ~~ Л)У1УЗ, Мз
где ц — произведение всемирной постоянной на массу центра О, у& =
8.60. СА = (/ /Я) cos\|/, \|/ — угол между ОС и стержнем.
§ 9. Динамика относительного движения
9.4. ф1 = 0, ф2 = я, фз = arccos[g/(co2/2)] при со2 ^ g/R-
9.5. со2 = gtgфo/(a + гsinфo), г; = гф =
где Ео = —grcos<p0 — (
9.6. Ф1 = 0, ф2=я, фз =агссоз^/(со2(/?-г))] при со2 ^ g/(R — r).
- г)ф - со2(Я - г) sin2<p + 2gsinф = 0.
316 1. Кинематика и динамика
w
9.7. tg<pfc = — (k = l,n).
9.8. w > gtga.
9.9. v = ^Jvl + D/3) (g + w)(R- г) (coscp - coscpo).
9.11. cp+ [со2, — (a//) со2 sin cot] sin<p = 0, со2, — g/l-
9.12. /(p + gsincp + acoscp- Aco2sinco? coscp = 0.
9.13. v(t) = vo + — \n\co8(Qot\.
coo
9.14. F = (M+ m
9.15. v = \lv% — — co2r2 +
mr
2\
9.16. Сила трения F = (m/3)(gcos(p + /со ), сила нормальной реакции N
= mgsincp - mco2r + 2тсод/B/3)со2/2 + D/3) g/coscp.
2
9.17. Г = -
1п;
со «о + to/
9.18. 0^fe<
L2-/2
t;2 + co2(L2-/2)
Г Udfl
9.19. t =
(cr \ Xc\ 2"
xo + —~ ) chcot + — shcot — —~ cos cot.
2co / со 2co
9.21. Решение. Если в отсутствие силового поля трубке с шариком сообщить
вращение с постоянной угловой скоростью со, вокруг неподвижной оси,
перпендикулярной оси трубки, то с учетом закона Кулона Fxp = —fNsignv
уравнение движения шарика относительно трубки можно записать в форме
mx + 2m\u>\fx — та?х = 0, где х — расстояние шарика от оси вращения,
поскольку N = \Jk\ — 2m|co| • х\. Прямолинейное движение шарика в вязкой
жидкости под действием активной силы тсо2ж будет описываться уравнением
того же вида.
9.22. Решение. Соединим шарик с осью вращения трубки пружиной жесткости с;
тогда уравнение движения шарика относительно трубки будет иметь вид х +
+ 2со/ж + (с/т — со2) ж = 0, где х — расстояние шарика от положения относи-
относительного равновесия. При достаточно большой жесткости пружины с > тсо2A +
+ /2) из выражения для логарифмического декремента затухания (период Т =
2пл/т ^ - 1~ --2
\ a / с-тшо
I находим / = - а ,. 2 , 2ч» гДе a = 1п
/ со и mi4л -\-а )
х(Т)
§ 10. Динамика систем переменного состава 317
9.23. x =
vo > -—— xo
a = л/к2 + 4m2co2.
9.24. x = A1eu + A2e~u, где X = сол/б/3.
9.25. xi - xi((?>2 + ft2 sin2 cot) + g cos cot + / signal [4ft2 (жхсо cos cot + ±i sin cotJ
+ (жift2 sin cot cos cot+ g sin cot — 2Ж1С0J]1'2 = 0.
9.26. U = m ( wr--|coxr|2
9.28. /1 =
2 1 л>4
may ?+со'
^~ T. /2
9.30. x = ay\ 0<y^ 1.
9.31. Наименьшее значение v определяется из уравнения
:=2nfk.
В частности, при со = 0 г;2 + \Jg2R2 -\-vA = g/?exp Dл/А;).
9.32. 771Ж = i^c + 7ПС0 Ж + ТПОдх \ЮхХ Н~ СОт/?/ ), 7711/ = i^y + 772CO ?/ + ТПОду (С0ж Ж -
Jzzip = Mz +С02 Jjcy, где ж, у, ф — координаты центра масс и угол поворота
тела во вращающейся системе отсчета.
9.33. гпх = Fx +т(соу + со2ж) + 2тсоу, mi/ = Fy — тсЬж + тсо2?/ — 2?ггсож, JZz<P =
= Мг — coJ22, где ж, у, ф — координаты центра масс и угол поворота тела
во вращающейся системе отсчета.
§ 10. Динамика систем переменного состава
10.1. s
, t ^ \/bn g.
E + 2 V6) exp Bt VgT^ - V6) +1
\ 1 / h
10.4. t = —^- In ( ^^х 1, где р = — W —777 7 (р ~~ плотность воды).
2к \l-pvi 1 + pvoj и V pS(n — l)
10.5. ЯЛж=0, RAy = P/2-\iuh/L, RBy = P/2 + \iuh/L.
л, L-l ( h \ n
10.6. Rav = Mg— \-mu I sina+ -ycosa ? лбж ='^(^cosp —wcosa),
V /
/ /l
Яв„ = Mg— +m(vsm$ — u— cos a).
L L
318 1. Кинематика и динамика
10.7. Rax = S(l) R M+ S
Rbv = Mg— + pSu —, где р — удельный вес воды.
Li I
10.8. v =
10.9. Решение. Пусть x(t) — координата отверстия В в момент времени t\ тогда
координата центра инерции трубы х -\- L/2, центра инерции жидкости в трубе
х + (L — /)/2. Масса жидкости в трубе меняется по закону m(t) = p(L — l(t))S,
относительная скорость истечения составляет u(t) = — га/(Sop), масса частицы,
вылетающей в момент времени ?, равна dm(t) = —m(t)dt. Если частица dm
вылетела из трубы в момент времени т, то в момент времени t > т она будет
иметь координату х = ж(т) + (ж(т) — u(i))(t — т), и, следовательно, сумма dmiXi
по всем частицам, вылетевшим из трубы к моменту времени t, будет выражаться
интегралом
о
Координата xc(t) центра инерции вылетевших частиц будет равна отношению
t
этой величины к массе данных частиц — m(i)di = m@) — m(t). Сумма
о
произведений масс частиц на их координаты Xi для точек трубы вместе
с частицами жидкости в ней равна mo(x + L/2) + m(t)[x — (L — /)/2].
Таким образом, закон движения центра инерции всей системы в конечной
(а не дифференциальной!) форме дается интегральным соотношением mo(x(t) +
t
+ L/2) + m{t) [x(t) + (L - /)/2] - f ш(т) [ж(т) + (ж(т) - гг(т)) (* - т)] dz = At + В,
о
поскольку проекция главного вектора внешних сил на ось Ох равна нулю.
Это соотношение по существу представляет собой интегральное уравнение для
функции x(t), описывающей движение трубы. Дифференцируя это соотношение,
получаем
t
+т( х — — ) — т(т) [х(т) — u(i)]dT = A,
\ 2) J
2
о
а повторное дифференцирование дает
то 'х + т(?) —— + m(f) (x(t) - -^\ + m«(t) = 0,
или
(mo + m(t)) х = -[m(t)(L - l(t)) - m(t)l(t) - 2m(t)l(t) + 2m(t)u(t)]/2,
где m(t) = pS(L — l(t)), a w(f) = SI/So. Заметим, что в правой части этого
уравнения стоит выражение для реактивной силы.
§ 10. Динамика систем переменного состава 319
10.10. (M + pSh(t))x = -apSh(t).
10.11. /г=(/го + ^1 М
pS
10.12.
/ М \ Wo М
ho -\—- cos \ — t —.
V oSJ V a oS
где со = n/ti. Заметим, что, каково бы ни было отношение масс М и то, при
малых значениях t скорость v > 0, а при t > ? i скорость г; < 0, т. е. сначала
тележка движется вправо, а затем направление движения меняется.
10.13. (M + pSh(t))x = -pS[ah(t)-(S/S0)h2(t)cosa]. Уравнение Мещерского
совпадает с этим уравнением на тех интервалах времени, на которых
/г = 0.
10.14. h* = ^^-ih+?=-' S°a
M Soa\ Г 25cosa 1\
-^ + ^ exp (ho-h)\ >.
pS 25cosay [ Soa JJ
2 cosa(t)
10.15. [M + m(*)] ж + m(i) [a + /cosa(*)] - 2m(t) Ia(t) sina(t) - m2(t) ^ = 0.
pb
10.16. (М + ?тг)ж-7пасо8ф + 2?7гаф8тф = О, (М+ т) у - ma sin($>-2та(р cosy =
= 0,
Г 2 ~\
A d ( _ mr \ . . . . A . 2.
4— [J-\—-— 1ф + та (ж sinф — у cosy) = та ф.
10.17. (M + m)x — ma cosф + 2таф sin<p = (m2/Sp)sinq>,
(M + ?тг) г/ —та 81пф — 2таф cos ф = — (т2/5р)созф,
Г 2 \
d / mr \ . ... ч .9.
— ( J+ 1ф + ?тга(ж81Пф — усо8ф) = та ф—
ас \ \ л J
10.18.
Ю.19.
1 П *
\/Д
где А = 4C|aw + а2;
320
1. Кинематика и динамика
приа = 0;
a J \ Mo
а/11
^ приC =
а
10.21.
10.23.
10.24.
10.25.
10.26.
10.27.
10.28.
^]^^ где m(*)
), u(t) = -(pR2/por2)h(t).
т = то/е, Pm8iX=mu.
т = moexp(vo/u — l), Ртах = mouexp(vo/u — 1).
т = то/е2.
Масса первой ступени должна быть равной mi = М — Ш2, масса второй
равной m2 = (H I) ^ml + (l + k)moM - т0 .
+ M2g, dm/dt = -р5м(*).
= coo
где a = B/2 — R2)/R2, p — плотность жидкости, coo — начальная угловая
скорость системы.
10.29. Am =
1О.зо. ^{м^Ф
10.31. ф
10.32. Изменение угла ф будет описываться интегродифференциальным уравне-
t
inq> = - rh
sin (<p(?) — ф(т))с?т.
— \m(i)R2—
10.34. Решение. Так как ko + (g/R)Ko = 0 (Ко = ш(^)Я2ф), имеем K0(t) =
^ — mo/22(pocosinco?, со = y/g/R, поскольку до попадания первых
§11. Динамика твердого тела
321
песчинок в чашу Ко = то/22фо, Ко@) = тоЯ2ф@) = -тоЯ2ф2фо- Поэтому
t
И то . то
—^фосоэсот -г-
771 (т) 771 (т)
О
Если бы на чашу не сыпался песок, то m(t) = ттго, и из этого выражения получался
бы обычный закон малых колебаний <р = фо coscof + (фо/со) sincof. При т = ттго + \^t
после интегрирования получаем
ГПп \ Г i
со? +
СОТПо] . / CO77lO\ Г / CO771o\ COTTloll
-Ci -sin [у 1 Si [(ot-\ 1 -Si >,
где у = arccos (фо/д/фо + с°2Фо ) ? а Si (z) и Ci (z) — интегральные синус и косинус.
10.35. Решение. Таккакф(?) = —(mo/m(t)) д/фд + со2Фо cos(co? +y), где со =
фо- Исследуя функцию
и у = arccos
можно показать, что при любом фиксированном Т функции
ui(t) = mo/mi(t) и u2{t) = mo / m2{t),
дающие наибольшее и наименьшее значения <р(Т), кусочно постоянны на ин-
/ 2тг\ / 2ns 2tt(s + 1)\ ^
тервалах iti, t\ Л ,..., \ ti~\ , t\ Л . Отсюда следует, что при
у со у у со со у
любом Т выполняется неравенство
§ 11. Динамика твердого тела
11.3. J^{ = Ji +7711 2^a3 ~ ai ) ' J^k = тагак (j> / к).
/11-4 0 \
11.4. -4 6 0 .
V 0 0 15 /
11.7. А = В^С.
11.8. 1) Jx = Jy = Jz = B/3)Ma2;
2) Л = М{Ь2 + с2)/3, Jy = М(а2 + с2)/3, Л = М{а2 + 62)/3;
3) Л = М62/3, Jy = Ма2/3, Jz = М(а2 + 62)/3;
4) Jx = Jy = MR2/4, Л = МЯ2/2;
5) Jx = Jy = М(Л2/4+Я2/12), Jz = MR2/2-
11 Е. С. Пятницкий и др.
322 1. Кинематика и динамика
6) Jx = Jy = M[(R\ + Д!)/4 + Я2/12], Л =
7) Jx = Jy = Jz = 2
8) Jx = Jy = C/80)МDД2 + /г2); Jz = C/10)МR2.
11.9. a) J\ = J2 = 2m(a2 + /2 + a/)/3, J3 = 0;
б) Ji = ma2/2, J2 = 2m/i2/3, J3 = m[a2/2 + 2/i2/3];
в) Ji = J2 = J3 = ma2.
11.11. Одна из главных осей перпендикулярна плоскости, проходящей через ось
цилиндра и точку А, а две другие лежат в этой плоскости и составляют
* л .о 12RH
с образующей цилиндра углы аи а, причем tg 2а = ^ 2 •
Н = Ял/3 имеем
9 0 i
0 9 0 1.
4 V 0 0 2
11.12. Аг = А, Вг
С\ = [В + С — \/(В — CJ + 4D2]/2; направление соответствующих глав-
главных осей определяется векторами
ei=(o), еа=( 1 V е3 = ( (C-d)/D ) ,
W \{b-b{)Id)
заданными в исходной системе координат.
з
11.14. J'kv= V Jijaikajv {k,v = 1,2,3).
11.15. Kc = (mco/12) у (ЗЯ2 + /г2J81п2а + 36/?4со82а; угол C между осью сим-
симметрии цилиндра и вектором момента импульса определяется равенством
11.16. Ко = (гасо/4) л/Я4соз2а + 4(Я2 + 2e2Jsin2a; угол C между вектором мо-
момента импульса и плоскостью диска определяется равенством tg C =
11.17. Ко = mA5#2+4/i2)co/12.
11.18. В системе Oxyz, связанной с параллелепипедом, вектор Кл имеет ком-
компоненты
mau>(b +c ) mbu>(a +c ) mcco(a +6 )
Лж~ 12V2 + 62 + 2' ЛУ~ 12V2 + 62 + 2' ^ ~ 1
12 Va2
11.19. T=^ 2
§11. Динамика твердого тела 323
11.21. Т= у [fi2 U\ tg2p+ ( )
Л 1
+ —- (со cos a + ft cos (C + а)J .
^ J
11.22. Т = 2 22
11.23. T=
11.24. Т=
^ntga+^
8 48
11.25. T = (mco2/8)[4e2sin2
11.26. Г = (m/24) C62 + 8о2)и| + (то/3) aV(coi + и2).
11.27. Т^^ + ^^+шЬ + ^у* (г = 1,2).
11.28. T=^^(
2
11.29. Т = 2/2C2 + [а ^ +U
11.30. Ко = (mv/12R) ^/A5Я2 + /г2J + 36Я4 ctg2 a,
11.33. pi = р + m(bvs — CV2)/A, qx = q + m(cvi — avs)/B, n = r + m(av2 —
— bvi)/C, где (^1,^2,^3), (a,6,с), (p,q,r) и (pi,</i,ri) — компоненты
векторов vm, MC , со и fi в системе главных осей инерции тела для
точки М, а А, В и С — соответствующие моменты инерции.
11.36. Mo(t) = {i(t)Ko(t)i где [i(t) — скалярная функция; вектор Ko(t) во все
время движения перпендикулярен неподвижной плоскости.
11.38. Ар+(С-В)дг = угди/ду2-у2ди/дуз, Bq + (А - C)pr = yidU/дуг -
-узди/dyi, Cr + (B-A)pq = y2dU/dy1-y1dU/dy2, где
p(x,y,z)dv
а интегрирование ведется по области, ограниченной телом.
11.39. Ap+(C-B)qr = M?D-mw{r[cy"-^cy')i У = г/ - qy"',
Bq + (A- С) рг = Мц- mw (Ссу - Icy"), у = ру" - гу,
Cr + (B - A)pq = M^-mwfecy -Цсу), у" = qy-ру ,
где у, уг, и у" — направляющие косинусы вектора w в системе главных
осей О^, Ог\, О^ а ^с, Л с, Сс — координаты центра масс.
11.41. k1 + K3J:i2sKs-K2J:iSsKs = M1, k2 + K1J2hsKs-KiJ:hsKs =
S = l 8 = 1 8 = 1 S = l
з з
= M2, i^3 + ^E ha Кa -KxJ2 ha Кa = M3, где Aц)и=1 — матрица,
обратная к матрице тензора инерции тела в системе ^^з-
11*
324 1. Кинематика и динамика
11.42.
4^+arctgT У.
(Л-С)го [2 ь\(Л-С)р0П)
м у " м
+) +
11.44. Ко = д/а2со2 sin2 а + С2со2 cos2 а + 2Amgl(cos p0 - cos p).
11.46. р
¦(I
/(f)rff I, a эллиптические функции p(s), q(s), r(s)
представляют собой общее решение динамических уравнении Эйлера для
твердого тела с главными моментами инерции А, В, С в случае Эйлера.
11.47. p = f{t)p(\f{t)dt\ q = f{t)q(\f{t)dt\ r = f(t)r (I f(t)dt\ где
эллиптические функции p(s), q(s), r(s) представляют собой общее ре-
решение динамических уравнений Эйлера для твердого тела с главными
моментами инерции А, В, С в случае Эйлера.
11.48. В главных осях инерции телар = tp(t2/2), q = t q(t2/2), г = t r(?2/2); здесь
функции p(s), q(s), r(s) являются решениями динамических уравнений
Эйлера для твердого тела в случае Эйлера с начальными условиями
р@) = М&/А, q@) = M{V/B, г@) = М^/С, где М%], М%] и М^ -
проекции момента сил Мо на главные оси инерции в начальном положе-
M30 Г
r = ^ л/г ^E)^5 гДе Л^ю? Мго, Л/зо — проекции момента сил Мо на
С Мо J
о
главные оси инерции тела в начальный момент времени.
11.50.
(MW sin Ц- + М$ cos Щ, r(t) =
где Мо', Мо', Мо' — проекции момента сил на главные оси инерции
в начальном положении тела, ft = Мо'(С — А)/АС.
§11. Динамика твердого тела 325
11.51. р = е-х2*Ь8]п(^?ре-*2*+*\, q = е~хЧ b cos
?ре+*\, q е b cos (
r = (Зе~ц *, a, C и b — произвольные постоянные.
11.52. tgy 22
11.53. p = acos
где a, C, у — произвольные постоянные, а f(t) = Mo(t)dt.
11.54. Регулярная прецессия: угловая скорость прецессии \j/ = A/А)х
Хл/С2(хР -\-m2v2d2, угловая скорость собственного вращения ф =
= (А - С) со/А, угол нутации 6 = arctg (mvd/Ca)).
11.56. co
11.57. ф=(А-С)го/А
11.58. <V
11.59. у = ^/G2г2 + А2(со2-г2)/Л, ф = (A - С) го/Л,
6 = arctg (А/Сro) д/coq - ^o •
11.61. Регулярная прецессия: \j/ = coo cosa^/l + —2 ^ tg2a,
36 r4
/i2-3r2 . / 6r2
Ф=72—-^coosina, 9 = arcctg 72——3 tga
/г +3r \ /1 +3r
4 а4
11.62. Регулярная прецессия: \j/ = coo cos a W И о о~~2
(а +h )
h2 -a2 ( 2а2
h a (
Ф = —2 2 ^o sina? e = arcctg I 22
h -\-a \a-\-h
11.63. Центр масс Or диска движется по параболе х = (vo/y/2)t, у = 0, z =
= -gt2/2 + vot/2. В системе O'x'y'z, оси которой во все время движе-
движения параллельны осям неподвижной системы отсчета, диск совершает
регулярную прецессию: \j/ = \/lO/2)(vo/r), ф = vo/(r\/2), ось прецессии
определяется в системе O'x'y'z' ортом е = A/л/Ш, 1/л/10, 2/у/Ъ).
11.65. Период Тф Земли составляет 300 дней; наблюдаемый период нестабилен
и составляет приближенно около 420 дней.
11.69. Регулярная прецессия: \j/ = (l/3)y/g/R, ф = Sy/g/R, 6 = л/4.
11.70. Регулярная прецессия: \j/ = 2y/g/R, ф = y/g/R, 6 = л/3.
11.71. Регулярная прецессия: \j/ = y/2g/Ca), ф = 5^/2g/Ca), 6 = л/3.
11.74. coi = 2 22
326 1. Кинематика и динамика
11.75. Ко = Ав>2-
11.76. М = С (юз х coi) A + <^А — cose ].
\ С coi /
11.77. M = Cco2sin2atga.
11.79. а=
л/С2со2 + 4mg/ (С - A) cos6
11.80. И2 = У2(С_;
,, rag/
2 (Л-С) cose'
t
н г
11.81. а=-— L-
к [
о
11.82. П = Мо/(Ссо), р = ю.
11.83. Равнодействующая имеет вертикальную составляющую mg и составляю-
составляющую по линии касания конуса с плоскостью C/4)m?;2/(/icosa). Равно-
Равнодействующая приложена на линии касания конуса с плоскостью в точке,
3 f 3 v sin a 2 ч
отстоящей от вершины на расстояние - h cosa+ о— A + 5cos a).
4 20 gcos a
11.84. Равнодействующая равна mg, направлена вертикально вверх и прило-
приложена на линии касания диска с конусом в точке, отстоящей от вершины
конуса на расстояние со2,г2/Dg cos a).
11.85. %о = cospo^ cos (pot/у/2) — —^= sinpo^ sin (pot/у/2),
p
in (pot/л/2), %2 = —~j= sinpo^ sin (pot/\/2\,
—p cospo^ sin (pot/V2J + sinpo^ cos (pot/\/2J.
6~V2
11.86. Nx = (СЯ/г2)со2, Ny = 0, Nz =0, FH = i
11.87. N =
t
11.88. N = mg{R + r cos Q)/R + (со2 sin e/r) [C + {C- A) (r cos e/Д)],
S = -mgr/R- (со2 tge/r) [C + {C- A) (r cos e/Д)].
Сгф2
11.89. 1) TV = —2^ 25 гДе Ф ~~ угловая скорость относительно оси ротора;
R —г
11.90. Главные оси Ож и Оу образуют с осями Ожг и Оу7 угол а соответственно,
2mab ,
где a = 0,5 arctg —r «-, ось G>z параллельна оси Оz .
B-A + m(a-b)
§11. Динамика твердого тела 327
11.91. Jxy = (Js - J4) sin2a/2, Jx^ = JyC = 0.
11.92. В осях Bxyz тензор момента инерции для точки В есть Jb =
/ 3 0 0 \
= та2 I 0 2 1 , направляющие косинусы главных осей для
\ 0 1 1 /
точки В: 0, cosa, sina, где a = 0,5arctg2. Тензор момента инерции для
/200
точки А в осях, параллельных осям Bxyz, есть Jа = та [010
V 0 0 1
1 -I ПК I3 Л2 1 П
11.Уо. К — а\К — tt2A — аз = U.
11.100. Ко = (VlSl/20)mvh, C = 30°-ard
11.101. Т=\
\
( С\ 1
11.102. ю= I 1 — — I cosinae+—Ко, е — орт оси симметрии.
V А) А
11.105. Регулярная прецессия.
11.106. 6 = arccos
2 / f dt
t +
ЗТ J3ch(tM)-l|
О
11.107. 1) А = В — динамическая симметрия; 2) С = А + В — плоская фигура.
А\ Рп + а2
11.108. e = arctg
11.109. Угловая скорость собственного вращения тела ф = —-— со sin а, угловая
скорость прецессии тела \j/ = — v A2 cos2 а + С2 sin2 а, угол нутации 6 =
= arctg[(A/C)ctga].
Bjpl + ql
11.110. 6min=arcsin—. , 6max=arcsin
11.111. Вращение вокруг неподвижной оси, совпадающей с одной из главных
осей для неподвижной точки.
11.112. Нельзя.
11.113. Fc = FD =mr2coocoi//.
2masinoc(g — со a cos a)
11.114. sin2y= — к -.
(ВЛJ
328 1. Кинематика и динамика
11.115.
[та? ас— (С — В) со2 sin a cos а],
[a?ab + (С В) со2 sin
[ma?ab + (С — В) со2 sin а cos а].
11.116. Rах = -Rbx = ^{ЗЯ2 - h2)sm2a,
2a.
2 2
RAy = -RBy = га? CR2 - h2) sin2a.
11.117.
f 2
л sin 9
11.118. ?0 =
11.119. Вынужденная регулярная прецессия.
11.120. RE = RD=2nriG)C/L
11.121. M0e = (A-C)\i/2sinecose, Moc = Cxj/ф sin 6.
11.122. OK = (A-C)cosQ/ml.
11.123. Mo = rf/Ko/
2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
§ 12. Уравнения Лагранжа
12.1. га = 3.
12.2. га = 4.
12.3. п = 6.
12.6. а) Интегрируема, {i = 1, z = х2 + у2 — ху (здесь и далее ц — интегрирующий
множитель); б), в) неинтегрируема; г) интегрируема, ц = еж, еж(ж2 + у2 +
+ z2) = const; д) интегрируема, ц = 1, (ж + уJ + (ж + zJ + (у + zJ = const,
з
12.9. L = у ^Я^Й-П(ж(91,92,9з),2/(9ь92,9з),^(91,92,9з),*)-
12.10. a)i=-(f2 + rV + i2)-l
A
6) L = —(r2 + r262 + г2ф2sin26) — Il(rsin6cos(p, rsin6sin(p,rcos6);
A
в) L = -—[(vu + uvJ + uv(u — i)J + 4и2v2q>2] — П
oUV
12.11. L = G71/84192) (<7i+ 42) (9
12.12. L=
12.13. L = ^il^2-^2 + ?2 +
, y/m;sin9,
-П((91-92)/2,у/9192)-
2G7li+77l2)V
>2ч 77li77l2
2G711+7712)
9.9 9.9 . 9 N
г2ф2 + r2\j/2sin29) -
— —(г — гоJ, где x, у, z — координаты центра масс системы, а углы <р
и \\f (широта и долгота) определяют направление прямой, соединяющей
точки.
12.14. 9г=аг
12.15. <7г = ^г°
{г = М).
12.16. q = A
o, где А — матрица, обратная к матрице
12.17. ^ =
12.18. L =-ш0с2 д/l - (г2+ г2ё2 + г2ф2 sin2 б)/с2 + у/г.
12.19. Жг=аг^ + Cг (г = 1,2,3).
12.20.
^/p2 — ттгсо2 cos (ce>i? + ai) I
— -\/pi — TTicof sin (coi t + ai) I
д/р2 — ттгсо| cos (co2^ + 0C2) II
— \/pi — ттгсоз sin(co2t + a2) II'
330 2. Аналитическая механика
©1,2= [(Pi +Р2 +ос2/гм) ± д/(р1 +Р2 + oc2/mJ -4pip2] /{2т).
" (qo,uJ) . « (qoX) .
12.21. q = \ —^—;—х"и3 shyjt-\- 2_^ ~?—:—гги° cnyj t, где скалярное произве де-
j=1Jj(uJ\uJj j=1 (u',u'J
ние (х,у) = 2_j aikXiVk, a uJ — нетривиальные решения системы Air7 =
i,k=i
'\ A = (a«)^=1, С = (cik)lk=1.
12.23. (
A + Ab2y2)y + Aabxyx + ^b2yy2 + Aabyx2 + 26gy = 0.
12.25. Г7цж + сж I 1- ° = I =0, m2y + cy I 1- , °
v
Г л/mr2 dfii
12.26.
= f__
J Jho -
V/i0-(c/2)(/-2rcos6iJ
^o — полная энергия системы, Co, Ci, C2 — постоянные величины.
12.27. жс = 0, ус + kyc = 0, 2(p + A!sin29 = 0.
12.28. (ЗЯ2 + /2)ф-ЗЯж + Зж2ф + бжжф-3g^sin9 + 3ga^coscp = 0,
ж — Яф —жф2 +gsin9 = 0.
12.29. 8/ф1 + 3/ф2cos(ф2 — щ) — З/Ф2sin(q>2 — щ) + 9gsinфl = 0,
2/ф2 + 3/ф1 cos (ф2 — 9i) + 3/ф2 sin (ф2 — фг) + 3gsh^2 = 0.
12.30. L = ——- [4ф!+ф2 + Зф1ф2СО8(ф2 — 9i)] + -^-[/ Фг + vot ф2 + г;0
2 — <pi)] +
А
+ Mg(/СО8ф1
12.31. (M + 2mi + 2) ()
(M + mi + ?7i2)i/ + (^'i — rri2)x + cy — (М + mi + ?7i2)g = 0, где ж — смещение
груза массы mi относительно блока (вниз), а у — смещение блока.
12.32. ж = ж + ж?+ ;Ш1~
ft2
ft2
M(M + 3mi + 3m2) + 8m1m2 '
12.33. Центры масс цилиндров 1, 2 и 4 движутся с постоянными ускорениями
wi = G2/79)g, w2 = E8/79)g, W4 = E2/79)g; угловое ускорение цилиндра
3 составляет ез = B/79)g/r.
§ 12. Уравнения Лагранжа 331
12.34. Зшж1+4сж1 -2сх2 = 0, ЗтаЬ — 2cxi + 4сж2 = О.
12.35. Зтж + тгф + 4сж = О, 2тж + 3тгф + 8сгф = О.
-..„sin(a + p)cosC-3(M + m)sina 2 (M + m) sin C cos a
12.36. w = - - ^-« g, wc = — о i
3M + mC-2cos2f3) 3M + mC-2cos2f3)
12.37. (M + m)x + m(/2 — г)(фсо8ф — ф2этф) + еж = О,
) = 0.
1О ос г 3 .2 МХ~Г« ^' ,/ ¦ -«л I a I 2 , 'йЛ/1 , 2 ^
12.38. L=-mx | 5~^5 I — -?71#я|ж Н A + а ж
а
12.39. (М-\-т)х — М/(ф8Шф + ф соэф) + сх — (M-\-m)g = О,
4/ф — Зжsinф + 3gsinф = 0.
12.41. (М + т)ж + т(/8тф + /фсо8ф) = const, /ф + жcosф + 2/ф + gsiпф = 0,
ml + тх э1пф — ?77,/ф —тгт^соэф + с(/ — /о) = 0.
12.42. (TV/ + т)х-\-тA81пф + 2/фсо8ф + /фсо8ф — /ф з1пф)Н-2сж = 0,
12.43. L = [(т + пц + ш2)/2] ж2 + [(ггц + m2)/2] Zi<j>i(кщ +
/2Ф2 [^2ф2 Н~ 2ж СОЭф2 + 2/хфх COS (ф! — (
12.44. f - М + m J ж - /mecos (б - а) + т/ё2 sin @ - а) - (М + m)gsina = О,
/e-?cos(e-a)+gsin6 = 0.
12.45. (ЗМ + 2т)ж + 2т/фсо8ф — 2?гг/ф28тф + 2сж = 0, /ф + жcosф + gsiпф = 0.
12.46. [М(Я2 + р2) + шр2]ё-шр(р-г)ф = const, 3(p-r^-pe + 2gsn^ = 0.
12.47. (AM + Зт)Яё + m(R - r)[2cos (<p - 8) - 1]ф-
-2m(R - r) sin (<p - б)ф2 + 2(M + m)gsine = 0,
3(R - г)ф + R[2cos (<p - 8) - 1]8 + 2Я62 sin (<p - e) + 2gsin9 = 0.
12.48. (C/2)М + ?тг)Яф —mrv|>cos\|/ + ?7ir\i/2sin\)/ = 0,
ri|> — ^cos\|/ + gsin\|/ = 0.
12.49. CM + 2m)(R - r)q> + 2m/ecos @ - ф) - 2ш/ё2 sin (б - ф) + 2(M + m)gsii^ =
= 0, /ё + (R - r)q>cos F - ф) + (R - r)q2 sin F - ф) + gsin6 = 0.
12.50. min. — 7П1Г1Ф2 — c(l — n — Г2) = 0,
ГП2Г2 — 7П2^2(ё2 +ф|81п2б) — c(l — 7*1 — Г2) — m2gCOS6 = 0,
Г1ф1 +2Г1ф1 = 0, (Г2ф2 + 2r^2)sin26 — Г2ф2ё8т2б = О,
г2ё + 2г2ё - r2^2 sin 26 + g sin 6 = 0.
12.51. (mi + rri2)RQ-miR<p2sm26 + rri2g-migsin6 = 0, ф8т2е + фё8т2б = О.
12.52. L = - (M + ггц + m2)R2Q2 + ^ Я2ф2 sin2 6 + —— ( 6 - - sin26 ) ф2 -
MgRQ / 1 6\
- m2gRQ ^— [l-R- -RQ + Rcos- .
332 2. Аналитическая механика
12.53. L=^j^i2i-
i=l
Л С1
12.56. В углах Эйлера L = — (ё2 + \j/2sin2e) + — (cp + \j/coseJ - mg/cose.
12.57. L = (т/2)(ж -\- у -\- z ) + (ml /6) (ё +\j/ sin 6j — mgz, где х, у, z —
координаты центра стержня, а 6 и \|/ — углы Эйлера (б — угол нутации,
ц/ — угол прецессии).
1О KQ j ТП г.2 2'2 2.2»2]
1ГМЛ2 МН2 mR2, о ч ш/2
MR2 . ч2 ^^, 2 ч / 2тгж
— (чгсозЭ + ф) +—т—(а +1) (\|/С08б + ф+——
/МЯ \
+ I — Ь шж I gcose,
где ж — расстояние от центра гайки до неподвижной точки.
12.59. L = ^[ж2 + ж2(ё2 +\j/2sin26)] + ^—— -(\j/2sin2e + ё2) + (\|/со8б + фJ -
— тдхcosQ — -(ж — /оJ, где ж — расстояние от центра диска до точки О.
А
12.60. L = ^[Л(ф28т2е + ё2) + С(ф + ij/coseJ] + у [ж2 + ж2(ё2 + y2sin26)] -
— g(M/ + ?7гж)cose- -(ж -/оJ, где ж = OD.
12.61. ж-со2(?)ж = 0, i/ + g = 0, 2ф + со2(^)8ш2ф = 0.
n 3
12.62. L = Ty^mk^ivi +aik + VikJ — n(|pfc — pv|), где Vi(t) — компоненты
k=i i=i
скорости voi = го(^) точки О\ в системе Xi, X2, X3; величины aik
з
определяются из соотношений 2_^aikei = ^ х рд,, е« — орты системы
г=3
О1У1У2Уз, Рк — радиус-вектор к-й точки в этой системе.
12.63. xi - со2Ж1 - 2coyi +уМжх(ж2 + у\ + z2)~3/2 = О,
z2)-*/2 = О,
12.64. тЩ — mR(xJsm2(p + cR((p — фо) — mgsinф = 0.
12.65. ж = asin(v^^ + C) + ?t~1(gcosa + co2/sin2a) при 2с > mco2sin2a;
ж = 6sh(v^^ + y) + ^~1(gcosa + co2/sin2a) при 2с < mco2sin2a;
ж = (gcosa + co2/sin2a)?2/2 + G?i? + G?2 при 2с = mco2sin2a, где а, 6, c?i, 6/2,
C, у — произвольные постоянные, а А< = \2с/т — со2 sin2 a .
12.66. 2?7г/ф —?тг/со28т2ф —6с/81Пф(со8ф —соэфо) — 3mgsh^ = 0.
§ 12. Уравнения Лагранжа 333
12.67. 4mRq-m(??Rsm4(p + 2mgsm2(p-2csm(pBRcos(p-lo) = 0.
g ab
12.68. у = —~ о— [a(cosco? — chco?) + sinco? — shcof] + -(chcot ~~ !)•
2co A + a ) 1 + a
- xr/ • \ 1 v~^ , . d\\f(qj,t) . ч
12.70. V(qj,qj,t) = - > bikqiqk-\ 4 , где \|/( a j,f) — произвольная фу нк-
2 ^ ^ at
ция.
12.72. V = -(ш/2)со2(ж2 + у2) + ты(ху - ух).
12.73. L = \ e(p/m)t fmi2 + $xx - (с - f- )x2
2 \ 2m)
pm t (&/m)t / • 2 • 2 i • • P/2
12.74. L=-eK/ ' \m\x1 + x2]+$x\X\ + $x2x2 +-^^[x-i
c2(xi — x2) —
J
1 2 7^ T — — (P/m^ \^ '2 -l r\^ ' • • 4- — \^ 2 — \^
12.79. L\ — L2 = —F(qi, t), где F — произвольная дифференцируемая функция.
n n
12.82. 2_^агкЯк + 2_j ^i,kiQk<ji = Qi (г = l,n). Если принять обычное в тензор-
к=1 к,1=1
ном анализе соглашение о суммировании по повторяющимся индексам,
то эта запись примет вид aik(jh -\-Ti,kiqkql = Qi (i = 1,^)-
12.86. A-rotA = 0, A = (ai, a2, a3).
12.87. Возможная скорость колечка совпадает с его действительной скоростью.
12.88. Да.
12.92. 0Ф, = Mdt) - Mi+1(t), Qw, = Mi(t), Mn+1(t) = 0.
12.93.
12.94. L(g, <7,^) = L(y(q),(dq>/dq)q,t), где — = ( -^-L ) — якобиева матри-
oq \oqk)ik=1
ца преобразования.
12.97. L = ^ [/2Ф? + (a + Zi sin9iJco2] + ^у [/2ф2 + /|ф| + 2/1/2ф1ф2со8 (ф2 - <pi) +
2co2] + 2(mi + m2)g/icos(pi
12.98. J + Ji + J2 + ^j— + ш2(/ + лJ I ф + 2ш2(/ + л)лФ = M(t),
+ m2)g =
12.99. г-гф2 + у(г~^С
2
r2
= 0, где riJ = л/г2 + /2 ± 2r/cos\|/.
334 2. Аналитическая механика
12.100. (J + гаг2 - rarp coscp) ф - rag (г - р) 8Шф = 0.
12.101. га/2 [ф + i|> cos (ф - у) + \j/2 sin (ф - \|/)] + rag I sin ф + с (ф - у) -
—mod2l2cos(p(sm(p + sm\\f) = О,
— ц/) — ф2 sin (ф — \|/)] + rag/sin\|/ — с(ф —\|/) —
—raw2/2 cosy (sinф +sin\|/) = 0.
—
12.102. В полярных координатах г —г (ф +соJ = 0, — (г2(ф + со)) = 0.
12.103. х — 2соу — со2ж
— у rai(sc — xi)/ri +rri2(x — Х2)/г2 =0,
-уу (гаi/ту 2 + ^2/^2 J = О,
=0, где п = ^/(ж -^J + 2/2 + ^2
(г = 1, 2), у — постоянная всемирного тяготения.
12.104. (М + т)х + m(R — г)(фсо8ф —ф2sin<р) = —сх — fNsignx,
3(R — г)ф + 2жсо8ф — 2gsinф = О,
где N = (М -\-m)g + m(R — r)(фsinф + ф2со8ф).
12.106. 2/2ф1+4//ф1 + /Ьф2СО8(ф2 -фl)-/Lф2siп(ф2-фl) + 2g/siпфl = О,
Ьф2 + /ф1 cos(ф2 -<pi) + /(Ф1+Ф2)cos (ф2 -фг) + /ф2sin(ф2 -<pi) +gsiпф2 = 0.
12.107. $ '
С g Г 8Шф.„,
12.108. / = , — —, —, dt, где С — произвольная постоянная.
12.109. f f-r ) +/2)ф + 2--ф
у у аф / / аф
12.110. (ЭФ = -rag/sinф-C/2ф.
§ 13. Электромеханические аналогии
2
13.5.
2
= m2g -
13.9. C12 = -^гт r j , M =
——— + +—\ =e(t).
02^2 Co/
C2L2-C\L1
13.10. ? = \ eW^1 \b(ql + q\) + Rqiqi + Rq2q2+
j 13. Электромеханические аналогии
335
13.11.
13.13. ЯС-контур.
13.15.
13.16.
13.19.
Li \ L2
\L12
Ui2
13.23.
13.24.
13.27.
TTT TTT
13.29. d(t)
13.30.
13.31. Jda)/dt = ai2, Ldi/dt + iR =
13.33. ni = 5, n2 = 3.
336 2. Аналитическая механика
13.35. ?=-^ Lik(qi-qk) - - ^ -
i,k=l i,k=l
=^ Ё JWfc-«*J + f ?я<«?-
§ 14. Условия равновесия
14.2. / = Ф(ж -\-у -\- z ) — G = 0, где Ф — произвольная функция, а С — произ-
произвольная постоянная.
14.3. / =tg(pmax.
14.4. z = zq — mg/к, где zq — высота притягивающей точки.
г
14.5. Аг = ?утк/Сг (i=T^i).
14.6.
14.7. tgщ = 2Q/[mgBn-2А; +1)] {к = Т~п).
2
q mg
14.8. В положении равновесия деформация пружин равна ± —^—.
20 Сип, к,
rfM _ rfQ _
14.12. y = (xh/l2)Bl-
2 -.
14.13. 2/=т- ж2--
14.16. В положении равновесия ук независимо друг от друга могут принимать
одно из двух значений: ф& = 0 или
(п-/г) + 1)^|Ч (jfe=l~n), co2^ [2(n-k) + l]3g/l.
14.17. Цепная линия z = a ch [(x + р)/а] +у, где а, р и у определяются из условий
L
о
14.18. Цепная линия по отношению к «вертикали» g1 = g — wo в движущейся
системе.
Г dx
14.19. у(х) = с\ + С2 —, , ci и С2 определяются из условий y(aJi) = yi,
14.21. z =
§ 15. Устойчивость равновесия консервативных систем 337
14.23. Координаты qs+i, • ..,<7п в положении равновесия определяются из си-
системы равенств (dH/dqj) = О (j = s + 1, п); qi = щ (i = 1, s), где щ —
произвольные постоянные, т. е. система имеет континуальное множество
положений равновесия.
14.24. Равенства Ф<(а, t) - Д*(а, t) = Qi(a, 0, t), где Ф<(^-, t) = dbi(qj,t)/dt
и Ri(qj, t) = dTo(qj, t)/dqi (i = 1, n) должны тождественно выполняться
no t.
1428 х- b^~2ac j b 1<*№-
A A
2а /оф&-а2с-[32а + рА
14.31. 6/s = g (|Аб,г + g^ + ^) = 0; 8gi < 0 (i = М);
gr<0 (г =
14.34. qOk = -°^, гдеЛ =
А \k=i
14.36. ф1 = 0, ф2 = л, фз = arccos(g/co2r), возможно при со2 ^ g/r.
3g(mi+3m2)
14.37. ф1 =0, ф2 = arccos —к , возможно при со
2со2/(ш + ш)
2
о
(M + 2m)g + 2fe/ 2 (
14.38. ф1 =0, ф2 = arccos к , возможно при со ^ -
2l(k-\-m(o)
[к П -|
(п — к — 1) Y^sh^j + 2_. (п — j + \)smyj — g(n — к + 1) sin ф& =0.
14.40. С02/сО8фА; V^(n — 2 + 1/2) 81пфг — —- CO
il
к
г=1
— i)sinq>i — g(n — k-\-l/2)sin^>k =0 (k = 1, n).
3 v 4?-1
14.41. dr = 1 I c?A,+ — ( t-\-l ) dt, где c/?i — произвольное бесконечно
V i / 3
малое перемещение.
§ 15. Устойчивость равновесия консервативных систем
15.1. Положение равновесия смещено по вертикали от неподвижного заряда на
расстояние ^\eq\/mg, неустойчиво.
лгу г тё cos a — mco /о sin а 9.2
15.2. AS = /о — 2 . 2 ' с т1 шсо sin а5 устойчиво при с >
с — mco sin а
> mco2 sin2 а, неустойчиво при с < mco2 sin2 а.
338 2. Аналитическая механика
15.3. Положение равновесия <р = 0 устойчиво при с/о ^ 2(cR — rag); положение
Фо = arccos [A/2) clo(cR - rag)] устойчиво при с/0 < 2(cR - rag).
15.5. Положение равновесия х = 0 устойчиво при а > со2/3; положение равнове-
равновесия х = ^/(а/со2J/3 —/2 неустойчиво.
15.6. При со2/ ^ g: устойчивое положение равновесия <р = 0, неустойчивое — <р =
= л; при со2/ > g: устойчивые положения равновесия <р = ±arccos(g/co2/),
неустойчивые — ф = 0, <р = к.
15.8. Положение равновесия х = 0 устойчиво при со2р < g и неустойчиво при
со2р > g. При со2р = g любое положение шарика будет положением неустой-
неустойчивого равновесия.
15.9. При со2а2 ^ gb: устойчивое положение равновесия @,-6), неустой-
неустойчивое — @, 6); при со2а2 > gb: устойчивые положения равновесия
(±^a2-g262/(co4a2), -g&2/(co2a2)), неустойчивые - @, ±6).
t p> -t г» дп cRrri2lo Лп
15.10. АВг = 7 ¦ — , АВ2 =
(rax + ГП2) cR — m\m2g' (rax + ГП2) cR — m\m2g'
неустойчиво.
15.11. Континуум положений х2 + у2 = 12. неустойчивого равновесия.
15.13. Положение равновесия ф = 0, \|/ = 0 устойчиво, если 2га/х > М(Ь — /х);
положение равновесия ф = п, \|/ = 0 устойчиво при 2га/х < М(Ь — /х). При
2га/х = М(/2 — /х) система будет находиться в равновесии при любом ф
и \|/ = 0.
15.14. При а = гасо2 положений равновесия нет. При а / гасо2 существует одно
положение равновесия
2ragcosoc rag 2rag 2
(а —гасо2) sin2 а' а а —та?
устойчивое при а > гасо2 и неустойчивое при а < гасо2.
15.15. со2 <2gmin{a, C}.
15.16. При со2 ^ gc/b2: устойчивое положение равновесия х = у = 0, z = —с;
неустойчивое — ж = у = 0, z = с. При gc/b2 < со2 ^ gc/a2: устойчивые
положения равновесия ж = 0, у = ±д/б2 — g2c2/(co462), z = —gc2/(со2б2);
неустойчивые — ж = у = 0, z = ±с. При со2 > gc/a2: устойчивые положения
равновесия х = 0, у = ±^/б2 — g2c2/(co462), z = —gc2/(со2б2); неустойчи-
неустойчивые — ж = у = 0, z = ±с; ж = ±д/а2 — g2c2/(co4a2), у = 0, z = —gc2/(co2a2).
15.21. Положения равновесия: 1) жх = Я/2 + rag/c, фх = — л/2 — устойчиво; 2)
Ж2 = Я/2 — mg/c, ф2 = 7г/2 — устойчиво при с < 2mg/R, неустойчиво при
с > 2mg/R\ жз = 0, фз = arcsin(c,R/2rag) — неустойчиво.
15.22. Положения равновесия: жх,2 = ±rag/Bc), фх,2 = ±7г/2 — устойчивы; жз =
= 0, фз = 0, Ж4 = 0, ф4 = п — неустойчивы.
15.24. Положения равновесия: фх = 0 — устойчиво при со2 ^ g/r; ф2 = п —
неустойчиво; фз = arccos (g/co2г) — устойчиво при со2 ^ д/г.
§ 16. Малые колебания консервативных систем
339
§ 16. Малые колебания консервативных систем
i« л 2 ( тт 2V* detC
16.4. con=^nj
16.9. сог = Ja2 + C2p2, у» =щ (г = 1, n).
— со2 i + a 1 при со < coo =
16.15
16.16. x =
4 4
со -coo
t + a
16.18.
16.19.
16.20.
16.21.
16.22.
16.23.
± a \ 11 4 + A sin I coa
со V
при со > coo •
x = A sin f л/с/т — co2? + a I , co2?n < c.
I sin(&? + a), где фо — значение ф в положении равновесия,
I — со2 при со < y/g/l,
при
/ 4e /2
? = Л sin I —W f+ a I, где Е — отклонение частицы от положения
\ a V гма '
равновесия.
Частота колебаний равна д/(а//3 — со2J.
16.24. а = aosin
16.25. a =
340
2. Аналитическая механика
16.26
со = ,_ . ... А =
(//A)
- arccos (
положение и скорость.
/г, где жо и жо - начальные
16.27. со =
16.28.
16.29
л - arccos (hi I A) - arccos (/г2 /
где ж о и ж о — начальные положение и скорость.
Т = B/vo)(L — h — /2) -\-п [y/m/c\ + ^/m/c2j, где vo — скорость массы
на участке
16.35. Увеличится в \/2 раз.
'Ах\ _ . {3\ . (l la
16.36.
16.37.
Ay
+ 1) + 2^20 / 2
U-ilcos
+
16.38.
-1 У C0S I V Z ' ^
1/2
§ 16. Малые колебания консервативных систем
341
16.39. I-
_ л
Ф2= о"
16.40. }=A1
2\ / /~8с~ \ „ / Л / Г^"
1 J sin I d — t + ai J +Л2 ( 2 J sin BV ~~
16.41.
-1
3m
I2c^
m i
16.42.
-ysin (V "f
16.43.
у \1 Icosi
-б)созу1*-
2|1-^s 7
+ A2
sin |
2 / a
16.46. <p = Ai sin
4c \
— t + ai , \|/ = A2 sin
O777- /
yt + a2 |.
16.47.
342
2. Аналитическая механика
16.49.
16.50.
16.51.
16.52. (<fl)=A1(l)
W V2/
16.53. x = As\
16.54.
16.55. a)
16.58.
где coi,2 =
§ 16. Малые колебания консервативных систем
343
16.59. Ось гироскопа описывает эллиптический конус около направления на се-
север (осо = 0, (Зо ~ /fce>3sin(p/(rag/)) с частотой, определяемой уравнением
2#
mgl #
A A2
н
mgl\ _
= 0.
(
16.60. ( х2 = Ах\ 0
J
+А2 л/3 si
V 2 /
где coi = y/2c/m, C02 = у B-л/3)с/ш, соз = у B + л/3)с/ш.
16.61. ф2 = 0
(A
(/I3COS C03^ +
COl =
3coi
<qi\ ( 1
16.62. | 92 = Ai 0 | sin
k4s) V-l
+ A2\ лД sir
0 ,
• 0 |^
v<
6
V3<
0 ,
• 0 .
Фз
Фз
6CO2
2
CL
2-л/З .
CL
0
• 0
/3)
6
0 .
• 0 ,
Фз
-Фз
бсоз
/2 + у ,
16.63. U2 =
1+^2 0 sin
1
-2 | sin
1
16.64.
344
2. Аналитическая механика
16.65. Решение. Если принять радиус кольца равным единице, то кинетическая
и потенциальная энергии системы, очевидно, будут таковы:
1 6 1 6
Т=2^Ш(^' П= 2$^с(ф*~ф*+1J (ф7 = (р1)-
г=1 г=1
Поскольку общее движение системы является линейной комбинацией главных
движений, любое частное движение системы, возможное в силу ее симметрии,
представляет собой одно из главных движений. Так, например, возможно движе-
движение фг = unQi, где иц = 1/л/бш (г = 1, 6), причем все пружины ненапряжены
(рис. а). Тогда
Т = 8?/2, П = 0, §1 = 0, Ю1=0, Q1 = A1t + a1.
В качестве второго главного движения примем щ = Щ2&2, где
Ul2 = US2 = U52 = 1/л/бШ, U22 = ^42 = ^62 = — 1/л/бШ.
При этом средние точки каждой пружины покоятся, а соседние массы колеблются
в противофазе (рис. б). Тогда
T = Ql/2, П = Bс/ш)б2, ё2 + Dс/ш)е2 = 0,
со2 = л/Ас/т, 02 = А2 sin (л/ic/mt + а2).
В силу симметрии системы возможны два движения, при которых 1-я и 4-я
массы покоятся. В первом из движений (рис. в) <р$ = г^з0з, где
1X13 = г^4з = 0, гггз = ^зз = 1/л/4ш, ггвз = ^63 = -1/л/1т.
Пруж:ины меж:ду 2-й и 3-й, а также между 5-й и 6-й массами не напряжены, и на
К задаче 16.65
каждую из четырех движущихся масс действует восстанавливающая сила только
одной пружины. Тогда
Т = ёз/2, П = (с/2ш)9з, ё3
= у/с/т, 6з = Аз sin (д/с /'mt + аз).
§ 16. Малые колебания консервативных систем 345
Во втором движении с неподвижной 1-й и 4-й массами (рис. г) <р$ = 1^464, где
Ui4 = 1/44 = О, 1/24 = Um = l/V4m, 1/34 = 1^64 = — 1/л/4Ш.
Средние точки пружин между 2-й и 3-й, а также между 5-й и 6-й массами
покоятся. На каждую движущуюся массу действуют восстанавливающие силы
целой пружины и пружины половинной длины. Тогда
Т = &1/2, П = Cс/2ш)б4, ё4 + (Зс/т)е4 = 0,
со4 = у/Зс/т, 64 = A4sm(y/3c/mt + 0С4).
Нетрудно убедиться в том, что все найденные амплитудные векторы взаимно
ортогональны. В рассматриваемом случае метрика определяется диагональной
б
квадратичной формой ^сц^ЧгЧз — S ШФ?> откуда следует, что
где bV[l — символ Кронекера EV^ = 1 при v = \i; bV[l = 0 при v / ц).
Для того чтобы найти два оставшихся движения, воспользуемся свойством
ортогональности амплитудных векторов. Итак, пусть <р, = г^б; тогда
^1+^2 + ^3 + ^4 + ^5 + ^6 = О,
U\ — U2 + Us — U4 + U§ — Uq = 0,
^2 + ^3-^5 — 1/6=0,
U2 — 1/3 + 1*5 — 1^6 =0.
Эти четыре уравнения позволяют выразить четыре компоненты через две осталь-
остальные; выразим, например, г^, из, и^, uq через ixi, 1/4: из = 1/5 = —ixi/2, U2 = uq =
= —U4/2. Таким образом, фз = ф5 = — <pi/2, 92 = Фб = — Ф4/2, и кинетическая
и потенциальная энергии принимают вид
гт1 ^ /-2 , -2\ тт ^с / 2 . 2\
Т= |Ш(ф1+ф4), П= у (ф1+ф1ф4+ф4)-
Запишем уравнения движения этой системы с двумя степенями свободы:
2с с с .. 2с
фН фН Ф4 = О, Ф1+Ф4Н Ф4 = О,
т т т т
и будем искать их решение в виде <р* = ui sin (cot + а) (г = 1, 4), что дает алгебра-
алгебраическую систему для определения щ, U4'.
2с 2\ с с Bс 2\
со I ixi Н 1/4 = 0, —1^1+ со ] U4 = 0.
т ) т т \т )
Характеристическое уравнение этой системы
д=(--»2Т-(-Г=°
имеет два корня: се>5 = у/с/т, сое = у/Зс/т. Этим двум частотам соответствуют
два амплитудных вектора с компонентами 1x15 = 1/л/ЗШ, U45 = —1/у/Зт и и±в =
= 1/л/Зга, ^46 = 1/л/ЗШ.
346
2. Аналитическая механика
Итак, в главном движении будет <р$ = г^бб, где
65 = А5 sin (^Jc/m t + ос5 j ,
wi5 = 1/л/Зш, ^35 = i/55 = -1/л
i/45 = -l/л/Зга, i/25 = ^65 = 1/л/12т.
Средние точки пружин между 2-й и 3-й, а также между 5-й и 6-й массами
неподвижны (рис. д).
Наконец, в 6-м главном движении имеем <р, = г^ббб, где
q sin f уЗс/m t + осе J ,
wi6 = 1/л/Зт, изб = ^56 = -1/
^46 = 1/л/ЗШ, ^26 = ^66 = -1/
Пружины между 2-й и 3-й, а также между 5-й и 6-й массами не напряжены
(рис. е).
В рассматриваемой механической системе частоты coi = 0 и се>2 = \ficfm имеют
кратность один, а частоты соз = cos = ус/т и со4 = сое = \/Зс/т — кратность
два, однако все амплитудные векторы ортогональны. Общее движение является
линейной комбинацией главных движений:
Ф^ = иц (Ait + cti) +
j sin (coj t + otj).
Для того чтобы определить произвольные константы Аг и щ, запишем общее
решение в виде
б
Ф« = иц (Bit + С\) + У^ Ujj (Bj sm од jt + Cj cos од jt),
j = 2, 6).
где Bi = A±, C\ = ai, Д? =
В начальный момент имеют место равенства
ф° = иц С\ + 22 Uij Cj , Ф? = Uil Bi+22 Uij Wi Bj •
J=2 j=2
Условия ортогональности дают
б б 1 б
=^шф%г^, Б1 = ^шф%а, Bj = — ^rmp%ij, j = 2,6,
6
г=1
Ce =
? -Ф°/2-Фз/2 + Ф4 -Фб/2-Фе/2),
§ 16. Малые колебания консервативных систем
347
- Фб - Фб)
(ф§ - Фз + Ф° - Фб),
6
Ответ. <р$ = iXii(Aif+ a») + X] uijAjsin(coj? + aj), где
i=2
= y/c/m, ce>4 = y/3c/m, cos = у/с/т, сое = д/Зс/тп.
= yic/m,
1/л/бш 1/л/бш 0 0 1/л/Зш
1/л/бш -1/л/бш 1/л/4ш 1/л/4ш 1/у/пт
1/л/бш 1/л/бш 1/л/4ш -1/у/Ш -1/у/пт
1/л/бш -1/л/бш 0 0 -1/л/Зш
1/л/бш 1/л/бш -1/>/4Ш 1/л/4ш -1/л/12ш
1/л/бш -1/у/Ш -1/у/Ш -1/у/Ш 1/у/пт -1/у/пт
1/л/Зш \
1/у/пт
1/у/пт
1/л/Зш
Г 6 / 6
aj = arctg > тпфг гх»j I ^ ш<р, i/j
16.66.
16.68.
Ф1
фз
гжГ
i X4 ,
16.69.
Qs
Г
О | х
-1;
I +Л3 -2 | sin
/ ml2
o|sinlV^+a2| +
1>
— t + a3 I + A4 I ., I sin
m, I I 1 I
-1
/4c
' —f + a4
m
n I sin V7^7t + a2 l +
V
+ A3 I V I sin I \l-^Tt + az I +A4 I "-, I sin
,-l>
- f+ a4
348
2. Аналитическая механика
16.70.
16.71.
0 sin 4/—
+A2 I 2/л/З I sin f W3B - >/3)у t + a2V
\ i / \V / У
16.72.
' ° \
-2/л/З sin
1\ / 1
I О +Л2 -(М + ш)/ш ] х
\0
xsin
0
где h = /о + -
16.73.
/1
=(A1t + a1)[ О
V
М-\-т g
М к
-3 sin
-2
16.74. ( x2 =
16.75. со? = —
1 \
1 sin
-л/3/
2 c
,
m
t + ai
— 1 | sin
О
-4cos29o ,
где <рю = —ф2о = Фо — значения углов в положениии равновесия.
§ 16. Малые колебания консервативных систем
349
а —
16.77.
16.78.
16.79.
~ sin
3=1
3=1
т 2B
"«/»- i / c Jn
,-sin—r^r sin 2\ —tsm———— ]+aj.
n + 1 V V m 2(n + V '
v^ гЗп ( 2t jn
16.80. qi = > Л^ sin sin ( , sin -
3=1 П + 1
16.81. ^ =
16.82. qi =
16.83. фг =
2t . Bj-1)tc
р== sin:^ :
,- cos -
-sin
2B^1)^^"
2* . Jtt ,
I С IK \
sin 2t\ —sin — +ou +Ant + an.
n \ V rn n J J
16.84. qk =
16.85. фг =
16.86. фг = V Aj cos
2n
in I =— I I + >
/ / С 77Г \
sin 2W — tsin^— +аЛ +An
V ГП ATX J
o sin ( 2 4/— * sin ^ +ад-
2n V V ш 2n
m m 2n
Ir—ч B2 — l)j7T (Ik jn .
V« = ^ Aj cos sin [ 2 у — t sin t^— + ocj ) + An t + an —
3=1
2n
2K 4:k . 2 J7C
771 771 2fl
350
2. Аналитическая механика
16.87. х2г = У^ Aj Jk + K- Mco2 sin — sin (cojt + aj),
x2i+i= ^AjJk + K-m^2
Щ =
. 2
\2n
16.88. ф2г-1 =
^ Sin — — sin(cOjt + OLj
2n-l
ST Л /О/ 2 • 2iJn •
ф2?-= > Ап\/2к — mco ¦ sin sin
2
со/ =
7j
?7iM
-4——sin2— (i,Z = l,ra)
16.89. Ф2г-1 =
2n-l
ф2г = 2_j Aj Sin Sin (cOj t + aj ) + Л2n * + 0C2n,
.7=1
2
со/ =
16.90. Ф2г-1
1
kK . 2ln rj —
-4—9-sin — (г,/ = 1,п).
m2 nv' 5/
3=1
. . 2ijn . 2(г —
к sin —-—h /^ sin —
, n n
jJk-\- К — ты2 sin sin (co^t + aj
16.91. фг
2 m + Mk + K (m + M к + Ку kK 2 In , , ,
со, = — —±4/1 — — —4—T^sin —- (г,l = 0,n)
1 mM 2 у V mM 2 ) тМ 2п v ' ' ;
^J sin
j=i
§ 16. Малые колебания консервативных систем 351
16.92. щ = ^2 Aj sin-^—r^ sin(©,-? +су),
16.93. ф* = V"A7-sin-^- sin
*-^ J n + 1
16.94. ^^sin^sin^^sin^-^+a.j (i =Trf).
16.95. (о, = ^уу
16.96. xi = у AjLi-i I sinyobjt + oLj) (i = 1, n), (Oj — корни уравнения
27\ / 2
16.98. Фг=2^- Uii LM
Bг - l)rn
cos 2
2 m
2 . Г^1 . 2 Г7Г , ^2 . 2 S7rl
COrs = 4 Sin 1 Sin .
I ц 2m ja n \
352 2. Аналитическая механика
16.Ю0. (%')=2J2Jsin 2 +1 co ' ° -1-' :TГчl+
V *J/ r=ls=l Ш ^
yv . Br-l)z7t ^yLrOsin(corot + aro)
r=l
9 Г&1 9 BГ — 1) 7Г k,2 9 S7rl
o4 = 4 — sin ^— ^— + — sin — .
[ li 2Bm + l) li n J
m n —1 . о ' / /i / \
16.101. Y J = > > sin cos D . > . . Q < +
r=l s=l
+
9 . »^1 . 9 7*7T rC2 . о ^«« I
^s = 4 — sin H sin — .
I Ll 771 + 1 LI П '
^ ш + 1 V ^o sin (corOt + Cr0)
xijk
16.Ю2. uw
zijk/ s=l r=l /=1
9 I №i 9 Bs — l)n k,2 9 Br — lOc кз 9 /л
..^^ Л ciri -Ь '— _| — «in -^ — -I — sin
\_m 2(пж + 1) т 2(ny + l) m 2n2
16.103.
16.104. "i^n-i^dftl1^' »'=^ (г = 27^), гдеА = ||а^||Г,л=1, bb' =
16.105. По данным задачи можно найти множество систем, у которых А =
= (Ln^E^tn1 и С = (U~1)/EjlE@2U~1, где Ец — диагональная матрица
с произвольными ненулевыми элементами, ЕЮ2 = (Е^)ц=@2, U — матрица,
столбцами которой являются амплитудные векторы.
16.107. q{ = 2^ Ui,2j-i I -^ sin (vjt + aj) + B2j-i \ +
Л
+Ui,2j( -cos^ + a^ + ^-j + E
V j=m+l
(i = 1, n), Aj, Bj, aj — произвольные постоянные.
n n
16.108. Из начальных условий имеем q° = J^ CjU*, q° = J2 BiCOiU1. Амплитуд-
г=1 г=1
ные векторы, соответствующие различным частотам, ортогональны,
если скалярное произведение (х, у) векторов х = (sci,sc2, • • • ,жп)
и у = (yi, у2, • • • ,2/п) определяется в соответствии со следующим
§ 17. Движение диссипативных систем
353
равенством: (х, у) = J2 Q-ik^iVk- Поэтому (q°,uJ') = ^С{(иг,uj) =
i,k=l i=l
/ 0 j \
= Cj{u3,u3), откуда C Д\
Д\
Аналогично имеем Bj =
° u
16.109.
2ni/rnjc при Уол/с ^ g^/rп•,
— ( п + 2arcsin I —4/— 1+
с V V^o V с у
i,k=l
2
mg
¦ (
V
16.110. ( j )=А1 \ л sin. ..
М) V1/ VV2m
16.111. | ?1=*
16.112.
sin
при
sin [ л/ — t + ос2 ).
V ш
§ 17. Движение диссипативных систем
17.1. с-та? > 0.
17.3. Нельзя, так как рассматриваемая система не является системой с полной
диссипацией, т. е. определенно диссипативной системой.
17.4.
С3 С4
17.6. 2ci?7l2 = С2ГП1 ИЛИ 2С1Ш2 =
17.8. Производная полной энергии системы равна Ё = —-— = —(Зж^. Мно-
dt
жество М тех точек 2п-мерного фазового пространства системы, где Е = О,
определяется уравнением хп = 0. В этом множестве нет других движений системы
при t > 0, за исключением положения равновесия. Действительно, если xn(t) = О,
то xn(t) = const и последний груз будет находиться в состоянии покоя. Поэтому
сила, действующая на последний груз, будет равна нулю. При этих условиях
обобщенные силы, действующие на все остальные массы, будут равны нулю, т. е.
система будет находиться в равновесии (см. задачу 14.15).
12 Е. С. Пятницкий и др.
354 2. Аналитическая механика
В теории устойчивости имеется следующая теорема: пусть для системы урав-
уравнений yi = Y(yj), У@) = 0 существует положительно определенная функция
п dV
Ляпунова V(yj), полная производная которой V(yj) = $^ Ъ—^г{Уз) ^ 0 в силу
г=1 ОУг
системы уравнений, причем множество М тех yi, для которых V = 0, не содержит
целых траекторий системы (при t > 0), за исключением нулевого решения. Тогда
нулевое решение yi = 0 асимптотически устойчиво.
Поскольку E(xi, Xi) > 0, из этой теоремы следует вывод об асимптотической
устойчивости положения равновесия рассматриваемой механической системы.
17.9. (n + k)/2.
17.10. а) 4,0; б) 4,0; в) 2,2; г) 2,0; д) 5,0; е) 5,0; ж) 4,1; з) 3,2; и) 4,1.
17.11. а) |оф| <1; б) а<1, а + р>0; в) C > 0, -((З2 + 3)/(р + IJ < а < 1;
г) -3<оф<1; д) р(р + 1)>
17.12. а) Устойчиво; б) устойчиво; в) неустойчиво; г) устойчиво; д) неустой-
неустойчиво.
17.13. При к < — 3 число s = 3; при — 3 < к < 1 число s = 4; при /г > 1 число
s = 2.
17.14. На плоскости иг> строится кривая, параметрически заданная уравнени-
D(m) D(i(o)
ями и = Re Г^,. ч, г> = Im ,. ч, 0 ^ со < оо. Эта кривая не должна
/Цгю) Х(гсо)
проходить через точку и = — 1,г» = 0и иметь на отрезке (—1, 0] одинаковое
число спусков и подъемов при со > 0. (Спуск — это переход кривой от
значений г;(со) > 0 к г;(со) < 0, подъем — переход от значений г;(со) < 0
к г;(со) > 0.)
17.17. При C = C* характеристическое уравнение имеет хотя бы одну пару чисто
мнимых корней или нулевой корень.
17.18. На плоскости uv строится кривая, параметрически заданная уравнения-
?>(гсо) D(m)
ми и = Re __,. ч, v = Im __.. ч, — оо < со < оо. Интервалы, на которые эта
/Цгсо) К(г(й)
кривая разбивает ось и, и будут являться искомыми интервалами.
17.19. Границей областей служит кривая
?>(гсо) ?>(гсо)
Re^ ^=Imp=Im^ °°<ю<00
17.22. «, = »0^|l +
In к
17.23. 3c = 2ci, 2k =
17.24. xo-4:nkmg/(cR) (п ^ (Rcx0 - kmg)/ (Akmg)).
17.25. V = (m2/2C)x2 + (т/2)хх + Bтс + (З2)ж2/DР)-
§ 18. Вынужденные колебания. Частотные характеристики 355
§ 18. Вынужденные колебания. Частотные
характеристики
18.1. L = H
18.2. L = H,
18.3. 9 = Csin
1-
cb2
mp2l2
1-
cb2
mp2l2
l
/a2+g2-co
sin co? + arctg —, где <р — угол
g
отклонения маятника от вертикали.
18.4. со* =
О
при (З2 ^ 2гас,
д/с/га-|32/Bга2) при (З2 < 2тс.
18.6. а) г со/[га (г со) +гCсо + с], б) (а + г6со)/[га(гсо) +г
18.7. Ж(ш) = [га(гсоJ + 2гаДа(гсо) + с-
П2Г
— л о
2L
18.9. При 2L ? tfC : pi = ' 2 , Bmax = ^
2GL ЯО
4.L-CR2
/ 2 L R2 \
Ф = -arctg I "Бу ^ - "^- 5 при 2L < Я2С: р0 = 0, ?тах = а, ф = 0.
18.10. a) W =
в) W =
18.12. га =
; б) И/ =
СЬ(ш)
C = — . При практическом определении параметров измерения
выполняют при нескольких значениях частоты coi, С02, ..., соп, а затем
результаты усредняют.
18.13.
18.14. / = lo + а sin kt + b cos kt + A^ ^ sin cot, где к2 = с/га, а а и b — произ-
к — со
вольные постоянные.
1 о 1 tr 2 а. ГП
18.15. =—arctg 2
coo гасоожо ~~
2
&
18.16. А=—-(р2-щ) (sin pt0-sin pt).
12*
356 2. Аналитическая механика
д
18.17. х =— =sin(coi? + (p(coi)) +
ШСО2J + C2СО2
D
+
^/(с-4шсо2J+4C2со2
где ф(со) = arg (с — тсо2 + грсо).
18.18. В случае в) при достаточно больших t
sin (co? + ф(со))+
С?о2
гдеФ(со) = а^-—^г 2 .
18.19. x(t) = A\W(i(o)\ sin(cof + ф(со)), где VK(ico) = [ш(шJ + сехр(-шт)],
ф(со) = argVK(ico).
18.21. a) x(t) =-e~Jt[yxocosyt + (xo+yxo) smyt] +
¦ i J e-^'-^ F(x) sin [T(t - x)] dx, где у = y^
б) ж(*) = е a<[^o + (io + oc^o)^]+m-T)F(T)e a(t т) с?т, где a=J —;
в) ж(?) = —
ор
18.22. а) —о[1-е Jt(s'myt-\-cosyt)], где у =
2у
6L[i-(«
а
1 / с Г^~
18.23. а) — е~у sin,yt, где у¦= \ -—; б) te а , где ос=у—;
у V ^тп V тп
\ 1 / —pt —
в)-(е>-е
18.24. ^ =
§ 18. Вынужденные колебания. Частотные характеристики 357
18.25. с2 = 2
18.26. с2 = т2р2.
18.27. Емкости С\2 и С2 и индуктивность L2 должны удовлетворять соотноше-
нию (C12 + C2)/{L2C2C12)=pl
18.28. Не изменится.
18.29. Только при со = у/с/т.
18.31.
А(ш) = [т(шJ + (Зш + 2с] [т(шJ + 2с] - с2.
с
)
где
Д(гсо) = [«/(го
18.32. A = i
причем А(гсо) = [LiCi(zco)
+ C2] - C2 [ДС1 (гсо) +1]2.
л/. Г
А(гсо)
[L2CiC2BcoJ + RCiC2{iu) -
С2
18.35. p = \l у, жо = 0, жо = 0, фо = 0, фо = 1=\ ф= sin yTt.
V / my/gl mS V /
18.36. (f) = Сг (^) sin U2-V^)f t + aj +
18.37.
18.38. p = v/3g/B/).
Лео2
a2), где Ci, C2,
358 2. Аналитическая механика
oci и ос2 — произвольные постоянные; coi = к у C-\-л/5)/2 и се>2 =
= /г л/C — \/5)/2 — частоты главных колебаний, к2 = с/?тг.
, оо .
18.40. xk(t) = —^— ^2^Rk(coj){sin [cajt + щ(coj)] - sin [coj(t-i) + Ф1 (coj)]},
ico) (A; = 1,2);
n *-^ 1
1 ~ 2m2(гс
2m2(гсоL + (Зш(шK + 5сш(гсоJ + 2Cсгсо + с2 '
2с — ттгсо2
2m2(гсоL + (Зш(гсоK + 5сш(гсоJ + 2Cсгсо + с2 '
18.41. а\ = — аз, а2 = 0.
18.42. Резонанс возможен только при со = y3g/2/.
18.43. а) ^ = ^, ^ = 1+* И,2 = |g, где
3; б) Wx = ^r-y Wv={ia) + *™) + 1, где
; в) ^ =
11
JB + гсо)' j ж (гсоJ+ 2гсо+1' У
A + гсоJB + гсо)' * (гсоJ+ 2гсо+1' У Ai(ico)' z А2(гсо)'
где Ai(ico) = [(гсоJ + 2гсо + 1][(гсоJ + гсо + 1] и А2(гсо) = Ai(гсо)[(гсоJ + 2гсо +
,п \ w (гсоJ + гсо+ 1 1
_|_ 1 ¦ д \ М/ —— v ' I/I/ —— I/I/ .
Ж [(гсоJ + гсо + 1] [(гсоJ + 2гсо +1] + 1' У (гсоJ + гсо + 1 Ж'
е) И^ж = Ti—г , ^ = ———-, где А (гсо) = [(гсо) +2гсо+1] [гсо + 2]Ч-
А(гсо) А(гсо)
+ 1.
таи? ( (Зсо
18.44. z\ = Z2 = , = sin cof - arctg
/ c/i t/if \ dk
18.48. qi = i/ji I —^sincoif — -—coscoit I + 22 uik^ ^sincoif, где dk — эле-
\2СО! 2СО1 ) k=2 COfc-COi
менты вектора d = UTb.
18.49. a) W1(m)W2(m); б) ^(гсо) + Ж2(гсо); в) ^^
18.50. а,б) D = D1(X)D2(X); в) D = D1(X)D2(X) + K1(X)K2(X).
18.53. Пусть Г(гсо) = [yjk(i®)]™ k=i —матрица, обратная к матрице W (гсо), и пусть
U(со) и V(co) — следующие матрицы:
U(co) =
§ 19. Уравнения Гамильтона, Рауса, Уиттекера и Якоби 359
В этих обозначениях
. U(coi)-U(co2) _ V(coi) п co^U(coi)^
А= 2 2 » В= » С= 2 2
С02 — COi COi CO2 — С
18.54. Для любых значений coi, С02, соз, С04 (coi / С02, соз / Ю4) должны
выполняться матричные равенства
V(coi) У(со2) У(соз) УМ U(coi)-U(co2) U(co3) -U(co4)
COl C02 CO3 CO4 ' COS-CO? CO4-CO3 '
со4и(соз) —
2 2 — 2 2
C02 — COi Ю4 ~~ W3
U(co) + гУ(со) = WBco) (det W(ico) / 0).
18.55. Wy(zco) = QWa;Bco).
00 2
18.57. ^?=V — ak Если /(?) = asinco?, то ж2 = а2|Шгсо)|2,
где \У(ш) = [ттг(гсоJ + Cгсо + с]~1 — частотная характеристика груза.
18.58. 7V = RCW
18.59. Только при со = у/с/т.
18.60. Только при со = y/l/(LC).
18.61. Только при со = y/l/(LCi).
18.62. Только при со = coi.
§ 19. Уравнения Гамильтона, Рауса, Уиттекера и Якоби
2
19.2. Н=—^-о -mglcosq.
2ml
19.3. я=
ml2(
2ml (t)
19.4. H= (Рж+Р
19.5. a) #=-1-(p2-
B 2 \
p2 + —2 H—о—^o— I +n(rsin6cos(p,rsin6sin(p,rcos6);
r r sin 6 J
t 2 \
в) H = I p2 H—% +p2 I +n(rcosffi, rsinffi, z).
2m \ r
360 2. Аналитическая механика
2 2 2
19.6. H=^ + ^ + ql + ^
97
in2(gi-92))
19.8. H=^(p21
19.9. Я= ——^
lat
19.10. Я=^
4
2 \ 2
19.11. Я = —?— (glP2 + q2p22) +
л \\1Х М-^/ л VM-1-
• 2 • 2 • • 2 2
, ^2<7l^1^2 ,
1 1
2
iy.1^5. i^— 11
4a 2a 4a
• 2 .2
19.14. L=^ + ^-sin2
19.15. L=^(g2
19.16. L = qiq2-q\q2-
19.17. Н=
19.18. Н =
19.19. Н=—г
г г sin
19.20. Я=^(
2 2
19.22. Я = м/т2,с2 + р2, + ^|+ 2Рф2 --.
г2 r2sin26 r
1 / -2 Ч
19.23. Н= о '-2
2mR2
19.24. Я=
2mfi2(i) I"" sin29
1925 ф_Рт _ 1
19.25. r--,Pr_—з
Ре p*, + aF(
р =0, 9=-^Ц, Pe = FV 2.з
mr mr sin 6
§ 19. Уравнения Гамильтона, Рауса, Уиттекера и Якоби 361
19.26. н=ъ
г
г — длина стержня, х и у — координаты центра масс, а <р — угол,
образуемый стержнем с осью Ох.
2
I . „ „ „ . I I _ 'Г
19.27. Н =
М- =
ТП\
19.29. Я=-—(рж+Ру+Р;г)Н 2 ре + .2 -\-mgz, где ж, у, z — коорди-
*тп 2ml \ sin 6 /
наты центра масс стержня, а 6 и \|/ — углы Эйлера.
19.30. Я=—(р2+р2+р2) + -^ +
[ре sin2 6 + (р? — рф cos бJ] +
..^ «. rr Зшгрж+2(М + ш)рф + 4?7ггржрфсо8а
19.31. H= тг-г «—= mgr® sin a.
2mr2[3M + m(l + 2sin2)]
/^
19.32. Я= . -[р2+4р2-Зрфр?со8(ф-?)]-
ш/ [7 + 9sin (ф —v)J
-mg/соБф— -mg/cos\|/.
19.33. pi — магнитный поток в г-м контуре.
19.34. q\ = —, <J2 = —; pi = —
1
o \Oo /
19.35. A = -DT, В = Вт, С = CT.
1 3 2
19.36. Я=—5]-^
г=1 г
где Hi = а \ —— + —— + —— — коэффициенты Ламе.
1/ i я~ / \dqij \dqij
-I п п 1 п
19.37. Я = - ^2 PikPiPk - ^2 PikbkPi + 9 XI Pibbibk - L0(qi,t),
i,k=l i,k=l i,k=l
[pi* fe ,*)]"*=i= A, A= [ау(9Д1>*)]"л=1.
19.38. q = A-1p, p = -Cq, где A = [oifc]?iA;=1, С = [cifc]?iA;=1.
362 2. Аналитическая механика
t t
19.39. q(*) = qo + Rfp(T)dT, p(*)=Po+[b(T)dT,rfle R = A, A=[aik]?k=1.
to to
19.41. pe=ATPg, где A=[dfi/dQk]?k=1.
19.42. a) pr =pxcosq + pys'mq), рф = -pxrsm<p + pyrcosq), pz=pz;
6) pr = px sin6 cos<p + py sin6 sinф + pz cos6,
pQ = pxrcos6 cosф + pyrcos6 зтф-p^rsinG,
1 / ю2
19.43. Н= \р1 + Ц
2т \ г
if 2 Р2 \ г2
Я = I Рг Н—I Н—9—^о~ I Н (а sin2 6 cos2 Ф + Р sin2 6 sin2 Ф + У cos2 б)•
2ш ^ г г sin ey 2
19.44. Н=-*-
19.46. Н=-^=г^_
1
/I i ^-? I i ( \
19.47. Я = —^(Зг2р2 -4гржрф + 6р2) + с(ж2 + г2Ф2).
7тг
19.48. Я=^B2 |2 2
19.53. Qi =9i fe ] ДО
19.54. 9t=9t(aj»Pi»*)» Рг = Vt(otj, Pi, *) - df(qk, t)/dqi\qk =
t t
( Г \ / Г \
19.55. qi(t) = Vilaj,VJ, yE)^), Pi(*) = Vi Км Pi, YE)rf5 •
\ J / \ J /
о о
19.56. ЯF, ре, *) = Я[/(9, t), Ape, *] - (pe, ATdi/dt),
где A=
19.57. H = H(q,p-gradF,t)-dF/dt.
19.58. L = j{t)L0(q, q,
19.61. qi = 7I
7 р ^i(q•> р•> t) — ^[^5 v(^5 p? ^)? ^] ij"i э•> к== 1? ^)
г=1
§ 20. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Нётер
363
19.66.
19.67.
19.68.
R=
2mr2 2
} 2
2mr2sin26
где м- =
ТП\
19.69. R=
2
19.70. R = m0c2
19.71. Если det
i _
r4rV
moc r sin 6/ r
О, то R =
j,/e=m+l
qkfk(qj,Pi,qk,t) (j = 1, n, г = 1, m), где функции Д получены
из уравнений qu = dH/dpk, разрешенных относительно рк (k = m + l,n).
19.72.
19.73.
19.74.
19.75.
K(x,y,z,py,pz) = -
P = J2m(h — П) (l + y'2 + z'2), где П = —mgz, ah — постоянная энергии.
y'(h + mgzJm/P = a, 2m(h + mgzJm/P = C,
где P = J2m(h + mgz) (l + y/2 + z/2) — функции Якоби, а штрих означает
операцию дифференцирования по х.
19.76.
19.77.
19.78.
Я=2Ь(р-|А)+е(р-
g
L = — mcvc2 — v2 — еф+ — (vA).
Я =
cm - ^\ x
§ 20. Первые интегралы. Скобки Пуассона.
Теорема Нётер
20.1.
= -(Ki,ps) =P2, {К2,рз) = -(Кз,р2) = Pi, (xi, K2) = -(x2,Ki) = жз,
(x3,Ki) = -(X1,K3) = X2, (X2,K3) = ~(X3,K2) = Xi, (K!,K2) = K3,
364 2. Аналитическая механика
20.14. qi = (Qi, Я), pi = fa, H) (г = 1, п).
20 21 W?n 4- W?n~2 Wo 4W?n~2
U B)!KKl +B2)!KFl KF2+KK
20.24. pi = \|/г(<7г,осг), y-^ ^ ГТ = #ф.(а1,а2, . ..,а„, t)dt
J Ji[Qi W[Qi ai)) J
(г = l,n), где а« и р« - произвольные постоянные, fi{qj,Pj) =
20.25. Система имеет первые интегралы fi(qi,pi) = ci, /2F1,^2,^2) =
= С2, F(c2, qs, Рз) = сз, из которых в силу условия разрешимости следует,
что pi = \|/i(ci, G1), Р2 = V2(ci, c2, ^2), Рз = ?з(с2, сз, <7з). Из уравнения q3 =
имеем
3
дН dq^
~dt
Рз =
F(c2, <7з, ?з(с2, сз, ^з)) = сз, получаем
Дифференцируя по Сз тождество
= 1. Поэтому
дрз
1 Г С/\|/з
q3 = — ——5 или ——dq3 = t + рз. Аналогично, дифференцируя по
иуз/осз J Осз
с2 тождества f2(ci, q2,\\f2(ci, c2, q2)) = с2 и F(c2, ^3, ?з(с2, сз, ^з)) = сз,
из уравнения q^ = -z— получаем д^-^— + азт;— = 0. Это соотношение
<9р2 ^С2 ^С2
Г ^^2 Г д\уз
дает дополнительный интеграл —— dq2 + т;— <igr3 = P2. Точно так же
J dc2 J ac
зависимость
Г d\\fi Г d\\f2
получается первый интеграл —— dq\ + —— dq2 = pi. Поэтому
J дсх J дсг
координат и импульсов от произвольных постоянных а, с2, сз, pi, р2,
рз и времени определяется из следующих конечных соотношений: pi =
¦J
р2 = \|/2(Ci, C2, ^2j, РЗ =
'3
#Y2(ci,c2,g2) Г %з(с2,с3,9з) , _Q fetyi(ci,gi)
),
^С2
^\|/2(ci, с2, ^2)
^С9
+
о
2 = Pb
20.28. a) qi = Aism((Oit-\-щ), pi = Aidii cos ((Hit-\-щ), (i = l,n);
6) g'l =aisin(a2^ + Pi), pi = (ai/a2)cos(a2? + Pi),
p2 = a2 cos [{al/2al)t + (a?/4a|) sin2(a2t + Pi) + p2];
в) ^i=aisin[B/a|)f + pi], pi = aicos[B/a|)t+ pi],
q2 =a2sin[p2-Bai/a2)?], p2 = a2cos[p2 - Bai/a2)*];
2 [ dF(a2, ...,an,t) -—
r)Pt = 9t» qi=ai\ ^ rf* + Pt (г = 2,п),
§ 20. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Нётер 365
Г г
qi =aisin 2 F(a2, . ..,an,
L J
Г Г 1
pi = aicos 2 F(a2, ...,an,t)dt + $i\.
20.29.
20.30. При условиях задачи существует функция F такая, что /(i/i, #2) =
= F(H\). Поэтому
q = q[q0, р0, F'[#i(a0, Po)]t], p = p[qo, po, F'[#i(a0, po)]t],
где F'(H1) = dF/dH1.
20.33. H = — (p, A df/dt) +v(^ij t), где \\r(qi,t) — произвольная функция
n
координат и времени, А = [dfi/dqs]^s=1, а скобки (х, у) = У^ЖгУг-
«=i
20.35. Лг + / + 2 = 0, 6 + /а = 0;
п г п -I
2 XI а*^'^+^Ч XI a*J^«^+2Il(qfs) = const, s = 1, п.
20.37. Р1Ж2 —Р2Ж1.
20.41.
i+Ylbiiy/x'lXiqi+Ci)~д~+2аП = °'
J=l ' ^г
где а, с», d — постоянные величины, a (bij)fj=1 — кососимметрическая
постоянная матрица.
П г П -|
20.42. XI aijQi\a>Qj+ XI Vfci^9/+^ -
i,j=l ^ k,l=l -I
[1 n 1
2 XI а^^+пЫ Ba*+ d), A; = Vn,
«,i=i -I
n Г n "I on
X] a^* "^ X] ^kibkiqi + Cj —— +2аП = 0, где а, с», d — постоянные вели-
г=1 L /e,/=l -I ^
чины, Fы)а?^=1 — кососимметрическая постоянная матрица, а (уа;г)/с,г=1 ~~
матрица, обратная к {а^)^=1-
20.45. qi = qi + bid, где 6г удовлетворяют системе 2^Cii^j = ® (г = 1, гг — 1).
3=1
20.46. П = F (ql + ql, ql + 9I, ос arctg — - р arctg — ).
V q^ qi)
20.47. q\ = q\ cosaa — q^ sinaa, «72 = ^lsin
5з = g3 cos [3a — ^sinpa, J4 = аз sin pa + 04 cos pa, t = t.
366 2. Аналитическая механика
20.49. q2i-i = q2i-icosa —q2isi
i = 1, r. qi = qi, I = 2r + l,n, t = t.
20.51. qi = (qi + bi) exp — -bi, I=texpa.
§21. Вариационные принципы механики
21.5. Точки с координатами (ti =to + Аж/со, q\ / (—l)kqo), k = 1,2,...
21.24. Число различных точек В равно числу несоизмеримых частот системы.
21.25. Две точки.
21.28. На прямом пути q{t) выбирается последовательность точек
Bs(q(ts), ts) —> В(ц(г\ t\) при ts—У t\. Рассматривается последова-
s^oo
тельность ts —у t\ однопараметрических семейств путей (q^(?o, ос) = q^°\
q(s)(?s,oc) = q(t8), q(s)(?,0) = q(t)) таких, что q(s)(?,a)—yq(t,a),
s—>-oo
q(s\t,a)—>q(t,a), равномерно по a и t ? [to, ti]. Учитывая
s—>-oo
положительную определенность квадратичной формы с матрицей
[d2L/ (d<ji dqk)]™к_г, можно перейти к пределу под знаком интеграла
в выражении действия по Гамильтону и получить требуемое неравенство.
21.29. pt = —Н, где Н — гамильтониан системы.
21.30. 52И/
2
dqi9qh Tt oqtdik
21.34. Координаты кинетических фокусов удовлетворяют неравенству
^ (d2L(q,q,t) d d2L(q,q,t)
vo vo
21.35. П = —п2(ж, у, z)/2 + const.
21.36. Конические сечения.
21.37. Неверно.
§ 22. Интегральные инварианты
22.2. I1 = I2+l(H2-H1)dt.
J
Со
22.6. Является при ai — pi = ос2 — р2 = ... = ап — (Зп.
22.9. / = 0.
22.10. Г = -а1.
22.11. Не изменяется.
22.12. <?(q, p, t) = H(q, p, t) + F(t), где F(t) — произвольная функция времени.
§ 22. Интегральные инварианты 367
dAi дАк dBi дВк дАг дВк , ч
22.15. ——-—— = -—-——=0, -—-—— = c5ifc, (г,л = 1,п), где 8ife—
oqk oqi opk dpi opk oqi
символ Кронекера.
22.22. Параллелограмм, две стороны которого лежат на прямых рх = а, ру = C
и равны 5 — у, а две другие образуют с осью Ох угол X = arcctgt.
22.25. В любой момент времени область представляет собой внутренность эл-
эллипса, равного начальному, с главными осями, параллельными главным
осям начального эллипса, и с центром в точке q = a cos cot + F/co)sincot,
р = —асоsin cot+ 6 cos cot.
22.27. He меняются.
22.28. He изменяется.
n
22.29. ^au =0.
22.30. пц + B22 = 0; H =
22.31. St = Soexp(-$t/m).
22.33. Vt = Vo.
22.36. He изменится.
22.37. Площадь уменьшится в к раз
22.39. Vt =
22.40. Vt =
22.44. р = 0,25.
22.45. р= —
22.46. Не зависит.
22.48. —— + / Ф7 тг^~ = 0 (система уравнений в вариациях).
at ^—* охк
22.50. Обозначим область Gtm через Gm. В силу теоремы Лиувилля V{Gm} =
= VjG^o} = V > 0. Области Go, Gi,..., Gn содержатся в П. Если объем области Г?
равен Vi, то при N > Vi/V области Gi не могут попарно пересекаться по обла-
Г N 1
стям нулевого объема, так как в этом случае V < [J Gs > = NV\ > V\. Поэтому
U=o J
обязательно существует такая пара областей Gs и Gk (s / к), что V{Gsf]Gk} >
> 0. Пусть s < к. Тогда преобразование {</* = 9«(q, p, —st), pi = v«(q, p, — st)}
переводит Gs в Go, a Gk в G/e-s так, что объем области G'spIG'*; при этом не
изменяется. Поэтому V{Gof]Gk-s} > 0. Теорема доказана.
Теорема Пуанкаре сохраняет свою силу в случае преобразований, сохраняю-
сохраняющих меру. Приведенное доказательство использовало только это свойство движе-
движений гамильтоновой системы, выражаемое теоремой Лиувилля.
22.51. Эллипс: (х- tpJ+p2 = 1.
22.52. J = tt.
368 2. Аналитическая механика
22.55. а) Н = - у/-2m(mgt + р); б) Н = -^J-m(ct2 + 2р);
в) Я = -^-m(ce2m^2 + 2«
§ 23. Канонические преобразования
23.1. с = -1, ^
23.2. c = ap-Cy/0, F = -^
23.3. Преобразование будет каноническим, если найдется такое число с ф О,
что АГВ = сЕ, где А = [сцк\^к=1^ В = [6«fe]"fe=i и Е — единичная матрица;
23.4. с = -4, F = p2-^2-
23.5. с = -1, F =
23.6. с = 1, F =
23.7. с = 2, F =
23.8. с = 10, F = 0,2<T5B5p<76-p5).
23.9. с = -2, F = -p<73-^3exp(l/^2).
23.10. Производящая функция построенного преобразования равна
23.11. с = 1, F = — V^?ij(sinфг cosфг —
г=1
23.12. c = ,, ±
23.16. Скобка Пуассона функций q(q,p,t) и p(q,p,t) должна быть первым
интегралом заданной гамильтоновой системы.
23.17. с2п.
23.18. В векторно-матричной записи р= (А~ )тр, где матрица А = [aifc]"fc=i =
?k=i —
9fi(q,t)V
23.19. H[q, p, t] = ff[f(q, t), (A)^, t] - f ^^, (A)^, где матрица В =
5 a круглыми скобками обозначено скаляр-
ное произведение векторов, так что (х,у) = 2_\xiVi-
г=1
23. Канонические преобразования 369
23.20. рХ1 =ppcos(p- (p9/p)sin9, pX2 =ppsin(p+ (p9/
Рх3 =Pz, C = l, F = 0.
23.21. pxi = prsin6cos9+(pe/r)cos6cos9—(p9/rs
Px2 — Prsin6sin9+ (pe/r)cos6sin9+ (рф / r sine) cos ф,
Рж3 =Prcose- (pe/r)sine, с = 1, F = 0.
23.22. рЖ1 = pgi, pX2 = pq2, ржз = pq3, с = 1, F = 0.
лл лп л дДл / ч sin9
23.23. рЖ1 =2—— со8ф(р^+рл)-—=рф, рЖ2 =
5 + Л /5
23.24. рХ1 =
Рх2 =
aft2-Л
Т^ + ^
oft -л ) 5 -Л
23.25. qt=fi{qj,Pj,t), р* = a^(qj: p
Это преобразование является каноническим при любых a / 0
и Ф(^, ?). Его валентность асо, производящая функция aF(qj, pj, t) —
— Ф[/г(^, Pj, t), t], где со и F(qj, pj, t) — валентность и производящая
функция исходного преобразования.
23.27. q = F(q, t), p = (A^J^cp - 0/(q, tj/dq), где А = [dFi/dqh]?jk=1, а
/(q, f) — произвольная дифференцируемая функция.
23.28. В векторно-матричной записи q = <?(q, t), p = (D~1)/(cp - df(q, t)/dq),
где D = [d<&i/dqj]™^=1, /(q, t) — произвольная дифференцируемая функ-
функция.
23.29. f1(t)f1(t) = const.
23.30. c = y, ^ = Ф(^,^),
23.32. Vi(pj,t) = cpi, тг-1 =-7^ (i,k = l,n).
23.33. Должны существовать такая функция F(^, pi,t) и такие постоянные с
и \i, чтобы тождественно выполнялось равенство
23.34. K(qi,pi,t) = cK(qi,pi,t)-\-Ylpi-^--\-—, a2 = ai -\i, где с, \i и F те
же, что и в тождестве в ответе задачи 23.33.
370 2. Аналитическая механика
23.35. a)tf = FpI/3, Р = 0, Я = 2-5/3(ЗрL/3;
б) q = (брI/3, р = — A/2)<7FрJ/3, система не гамильтонова;
в) q = tqexp[tFpI/3], р = -(l/2)FpJ/3exp[tFpI/3], система не гамиль-
гамильтонова;
г) q = texp[tFp)lf% р = 0, Н = t\exp[tFpI/3]dp.
23.37. Н =
23.38. Я =
г=1
23.39. Я = 0.
23.40. Я = 0.
23.41. H = J2p?-
г=1
23.43. V = (U)T.
23.44. H(qi,pi, t) = Я(^ер*, р^е7*, t) i
23.46. Скобки Лагранжа [</*, ^], [^i, Pfe], [pi, Pk] от заданных функций должны
быть первыми интегралами исходной гамильтововой системы.
23.47. tf = co<7, p = p, c = co, F = F(t).
П Г со/ Х?2Л 1
23.48. F = V pOi<7oisin2coit+-i <7ог - ^ sin2coit , Я = 0.
U [ 4 V ^ У J^
23.49. F = mg^0+gt2p,0-(t/2m)(p20+p20+p20), Я = 0.
23.53. a)q = q + p, p = -q + p, с = 2, F =-q2/2-pq + p2/2-
о) q = q — p, p = q-\~Pi с = 2, r =# /2 — p# — pjl\
B)q = {q-p)/2, p = (q + p)/2, с = 1/2, F = (q2-2pq-p2)/8.
П
23.54. a) -c, -c^
г=1
в) с, с^Рг<7г - Ffe, qj,t)-^fi(pj,qj,t)<$>i{pj, q5, t).
23.55. qfj = ^ + у<7г, Pi = ^ + уРг
23.56. Преобразование не является каноническим, так как гамильтонову систему
с функцией Я(^г, pi, t) оно переводит в систему
dpi
(г-
} 23. Канонические преобразования 371
которая не является гамильтоновой.
М М ,т-1
23.59. с= П с-' F= E ( П сЛ
m=0 m=lAs=l
ны через Я^+1, Р^+\ t путем последовательного выполнения (га + 1)-го,
(т + 2)-го, ..., М-го преобразований.
23.61. q = f(q,t), p = cp(df(q,t)/dq)~ , где f(q, t) — произвольная функция,
удовлетворяющая условию df(q,t)/dq^O.
23.62. q = /(р, t), p = q(df(p, Ь)/др)~г, где /(р, t) — произвольная функция,
удовлетворяющая условию df(p,t)/dp^O.
23.63. Неверно.
23.66. Преобразование будет каноническим, если существует такое число \i / О,
что выполняются равенства АТС = СТА, BTD = DTB, ATD - СТВ = цЕ,
где Е — единичная матрица.
п
23.67. c = ^/(ajidji-bjlcji), F = -(l/2)[qTATCq + 2qTCTBp + pTBTDp].
3=1
23.68. Преобразование будет каноническим, если существует такая постоянная
\i ф 0, что выполняются тождества
AT(t)B(t) - CT(t)B(t) = цЕ, где Е — единичная матрица.
23.70. Нет.
23.71. (Зг = осг — с, ji = 1 — осг , 5j = 1 — ai + с, где щ и с / 0 — произвольные числа.
скобки Лагранжа заданных функций.
23.74. Функции qi(c,t), pi(c,t), полученные в результате разрешения системы
уравнений wi(t, qj, pj) = ci относительно qj, pj, должны удовлетворять
условиям ~Kr[ci, Cj] = 0, где [a, Cj] — скобки Лагранжа функций qi(c,t),
Pi(c,t).
23.77. При условиях задачи преобразование q = Hi(q, p, t), p = №(^, p, f) явля-
является унивалентным каноническим преобразованием.
23.80. <р = Ф(р2 + q2) + carctg(p/^), где Ф — произвольная функция.
23.82. Не будет.
23.85. с = р, 5 = -
23.86. с = 1, 5 =
23.87. с = 1, 5 =
372
2. Аналитическая механика
23.88. с = Х, S = Х^sinqi cosqj.
23.89. c =
23.90. c =
23.91. c =
23.92. c=^ = ^
23.93. c =
23.94. c =
23.95. c =
23.96. c =
9Q ОТ п — -v Q — \
4О.&I. с — у, о — 2
23.98. с = 1, 5 =
23.99. с = а, 5 =
23.100. с = 3, 5 = asinB^i
23.101. c = y, 5 =
23.102. c = y, 5 =
23.103. c = y, 5 =
23.104. c = y, ^=^
Ao.iuo. с — ц, d — — 7 i г qi —
23.106. qi =
23.107. qi = -
23.108. qi = -
23.109. q{ =
23. Канонические преобразования 373
23.110. q = nA-1p, p-ATq, A = [o«]"j=i.
23.111. Ъ=„(Я°1ЁШ1А
\ с с oq )
qj
pj
Co Co
где Ф<(|у, t) = -a/2fe, t)/db (t, j = T~S).
23.112. Ни при каких значениях.
28.113. ? = ? = ... = ^0, 5f#0, с *
01 02 On Ог Ol
= ^ — exp [t {aiqi - p»§i)] (г = 1, n).
г=1
23.117. ,~=[«р,(
23.118. ^- = ^ао-1п(р»*)*ехр(-^), ^ = (l/t)exp^, где 5j = c^
i=l k=l
a, bjk — элементы матрицы, обратной к матрице [а^]^j=1.
п $(t)
23.119. qj=^2 ^
7 U,tJUjk ,,l
1
bjk — элементы матрицы, обратной к матрице [akj]1kj=i.
23.120. qi+1 = cqt, pi+i =
23.122. c = A,, t/ = -^]^(piPiI/ai.
г=1
n 1 /R
23.123. c = p-a, t/ = -(^(^^a)
23.124. c = y, t/ = -y> р» Inp^
г=1
374 2. Аналитическая механика
п
23.125. с = у, U = — у /J Рг arctg [exp (р"г)] ¦
г=1
гг
23.126. С=-у, 1Г = - ^ (pj - pj) In (pj - Рг).
«=1
23.128. p = (AT)(cp-^/(q, *)/5q), где А = [^/^^]Г^=ь a /(q, *) — произ-
произвольная функция.
„ __ 1~1/Р r^_^L iVP
23.129. о7-=|
— элементы матрицы, обратной к матрице [akj]tj=i-
1
23.131. qj=caj(t) ^ aijbjkpkqk\n{qit), pj = —т— In
t,fc=i аД j fc=i
6jfc — элементы матрицы, обратной к матрице [akj]%j=1.
23.132. Ь = *[l- C2(Е^
1 . /c^, P
q3; = - - arcsin - > bji -r-,—тг ,
t \t ^ J sm(qit)J
bji — элементы матрицы, обратной к матрице [сиз]^^=1-
23.133. qi = qie~cpi, p{ = ecpi.
23.135. с=°-,Ф = 1^Я'-
Р Р г=1
23.136. с = 1, Ф =
г=1
п
23.137. с = -а, Ф = Vpi
§ 23. Канонические преобразования 375
п
23.139. с = Х, Ф = Х1
п
23.140. с = у, Ф = У^
«=i
23.141. с = 1, Ф =
г=1
23.142. с = 2, Ф =
г=1
п
23.143. с = 2, Ф = 2^2ргСп^гг).
«=i
п
23.144. с = 1, Ф = У^Рг1п<7г.
г=1
23.145. В (^,р)-описании искомое каноническое преобразование задается функ-
функциями 5г = Qi(qjiPj,t), Pi— Pi (QjiPj,t), гДе 5г (Qj)Pj>t)~ произвольные
dm dqi v-^ ^5г ~ / • i
функции, удовлетворяющие условиям -^-^ = т^5 > t^Pi =0 («? ' =
г\— ЦП
—— / 05 а функции pi(g'j,Pj,t) задаются соотношением
23.146. <S>(qj, pj, t) = ^яНЯз » Pi, *)» гДе 9ife, Pj, t) = qi{qj, p*(qk, Pk, t), t),
i=l
а функции p*(qj, Pj, t) получатся из последних п соотношений исходно-
исходного преобразования, если выразить pi через qj и pj.
23.148. gt=
- Ф; k ^9fc + ^ Эр' 'Р*' *)'*]'
23.149. с = 2, i2 = ^
«=i
n
23.150. c = A,, Я = -^№-Рг)[1п№-
i=i
n
23.151. c = X, R = ^cos(pit)-sin(qit).
23.152. c = l, i2 =
376 2. Аналитическая механика
п
23.153. с = 3, R = t^2(qi-aiPif.
г=1
23.154. с = -2, R =
23.155. с = -Х, R = ^2exP(а^ + biPi + Cjt).
i=l
23.156. с =°-,R = -l J2^-
n
23.157. c = l, R = ^2ai
23.158. c = X, R =
23.159. с = X, R = ty q] + - > -рг Jqf - coM + — arccos -
23.160.
23.161. c = y, Д = In (pi
23.162. c = y, R =
23.163. с = У, Л = --
23.164. ^=Фг(^)/Р((
23.165. 5г = - ( —р^ + arccos . ) , pi = —cqit.
23.166. q=cAq, p = -Arp, А = [а^=1.
23.167. qi=\n[cqi/(t cos pit)], pi = -aicqi tgpit.
23.169. c = a, F =
23.170. c = a, F = ^
г=1 j
23.171. c = T,F = ^piln(ygr1-
t=l
23.172. c = o, ^ = -р;й
23.173. c = l, F = ^Jsing'jsin5j
i=l
23.174. c = l, F = ?piln&+
§ 24. Уравнение Гамильтона-Якоби 377
23.176. c = l, F = F(t).
23.177. с = AT1, F = -AT^fai (§,•,?,-,*), pi{qj,pj,t),t], где # = qi(qj,Pj,t),
Pi = Pi(qj,Pj,t) (i = 1,ra) — обратное преобразование.
23.178. c = ac2,F = c1F2(qi,Pi,t) + F1[qi(qj,pj,t),pi(qj,pj,t),t].
23.186. Элементом факторгруппы Gi/Go является совокупность всех канони-
канонических преобразований с нулевой производящей функцией и одной и той
же валентностью с.
23.188. Для любого преобразования g ? G класс смежности Mg содержит
в себе все канонические преобразования с валентностью с = c(g), т. е.
произвольный элемент факторгруппы G/M есть совокупность всех
канонических преобразований с фиксированной валентностью с. Груп-
Групповое умножение в факторгруппе есть сопоставление двум элементам
с валентностями с\ и с2 элемента с валентностью с = Cic2: т. е. эта фак-
факторгруппа изоморфна мультипликативной группе вещественных чисел.
2 п
23.189. с = 1, F=-Y,PiQi.
г=1
23.190. Не являются.
23.191. Qi = дК/dpi +Р5г, Pi = —дК/dqi +ypi, K(q,p,t) — произвольная
функция, C, у — произвольные числа.
23.196. (Pi=y
§ 24. Уравнение Гамильтона—Якоби
24.1. а)а = ря + ^*, у = ру + %, * = ^- - |(р
2 2
24.2. 5 = mvOxx + mvOyy + mvOzz - mvot/2, где г>о =
= mvoy, pz = pz@) = mv0z.
24.3. C + f = /W— ^, p = ly/2m{h + mg/соэф).
^ J у /г -\-mgl cos <p
378 2. Аналитическая механика
24.5. 9i =
«-••«•
24.6. В сферических координатах полный интеграл имеет вид
sin 8 J V r r
--^ dr.
24.7. Уравнение траектории находится из соотношения OS/даъ = C2, в котором
следует положить ai = 0, поскольку движение плоское. После интегриро-
интегрирования получается уравнение конического сечения г = p/[l + ecos((p — (Зо)],
где p = a2/(my), е = д/1 + 2/ш2/(ту2), C0 = 2Л/а2"C2.
1 fl
24.8. S = -Ы + афФ + - - у/-
- -
2 J Л
+ 2mhr\2 -
где 5, Л5 Ф ~~ параболические координаты, связанные с координатами ж,
у, 2: формулами х = у^соэф, у = д/?П sin9, z = (^ —л)/2. В задаче 1.37 д)
введены иные парабалические координаты: ? = т2, л = о2, ф = <р.
24.9. В сферических координатах
dt+2m[\dr
S = —/i? + ai<p+ \/a2 7j-dQ+ \ 2mh-\ к ^ rfr.
J V sin 8 J V r r r
При исследовании этого движения без ограничения общности можно счи-
считать, что начальная скорость лежит в плоскости <р = const и, следовательно,
в начальный момент ду/дв = 0. Это условие вместе с равенством dS/dai =
= Ci приводит к равенству ai = 0. Для нахождения уравнений траектории
воспользуемся равенством dS/'<9a2 = C2 с учетом, что ai = 0. В результате
получим
6 Г dr _
J 2r2 д/2/ + 2/ ( + 2)/2
д ц/г -
Выполнив интегрирование, придем к соотношению
1/г-Ь
arccos ' = соб - у,
V62 +
, 2m[i2 2mh m\i\
где со = \ Ц , с = — , b = — , у = 2сол/а2 C2;
и а2 а2 + 2ш|а2 а2 + 2т7г|а2
отсюда г =
l + ecos(coe-y)'
§ 24. Уравнение Гамильтона-Якоби
379
При Ц2 = 0 полученное начальное решение переходит в решение ньюто-
ньютоновой задачи. Если начальные условия таковы, что е < 1, а со иррациональ-
иррационально, то траектория не будет замкнутой. Замкнутая траектория получится
в случае рационального со и е < 1.
24.10. S = -ht+
г / /
Х2т (а0 -
J V V
0(е) - -Ц-
sin е
+ i2m[h-R(r)--%) dr.
24.11. S = -a2t +
24.12. «p-
sin2 6 J a2 - a2 / sin2 6 - 2m2gr3 cos 6
t 1
+ | y/ml [—ai + 2(yi —72) cost) — 2a2/cos2r|] c/r).
= Pi,
у a2 — af / sin2 6 — 2m2grs cos 6
pi = ai, P2 = у 0С2 — oc2/ sin2 6 —
24.13. S = -
+
24.14. S = -ht + aq> +
f /
л 2G71i+7712)r2 h-
2mir sin 6
) c/6.
2G71 + M) I /г °^ - Mgr I dr.
у 2mr у
3 ч 3
24.15. 5 = — ( У^ a» + ar ) ^ + /]
24.16. S = —
+ афф +
sin 6
a5
2,2,2
где Н =
24.17. S = -(a;
7711 +7712
+ л/2тт1ажж + -
1
7^
3m g
, 2 ч
2ma, - 27712gz
Я/2
9
277i/
sin 6
380
2. Аналитическая механика
24.
24.
18.
19.
В
s
эйлеровых углах
+h
/2тал —
полный
по^ + (гпа
2(гл^лJ с
интеграл
Л т п
/юсу о
5J rf^4
имеет i
ш/2 /
6 ф 1
вид
2 (a?-a9cos9J
sin2 9
/ 9 \ 2
^ш/2со\ о ,
v 12 У
24.20. Если в качестве обобщенных координат выбрать координаты центра масс
хс = х,ус = 2/и три эйлеровых угла <р, \|/, 6, то полный интеграл уравнения
Гамильтона-Якоби равен
2ae_
K
24.21.
+ И/т
-de
24.22. S = -
(ж, у, z@) — координаты центра инерции тела, \|/, 0, <р — эйлеровы углы).
f a?\|/ + -
ГГ Г
24.23. S = -ht-
sine
-
J r
-a0 dr.
{)) -6/2(9Ic/9 +
sin e J
2m[h -
1
24.24.
dt 2
24.25. x = Ash((ot-\-y) - (g/2(a )cos(ot.
24.26. 5 = ai?+—-m/2co I A/a2 + sir
Г"
0 0
a2m/ со
§ 24. Уравнение Гамильтона-Якоби 381
где 5 и Л — координаты центра стержня, а <р — угол поворота.
24.27. S = —ctymoc2 + а2 + а2. + ос2 + а±х + сад + осз?.
24.28. В сферических координатах гамильтониан записывается так:
rsine
а
Полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби ищем в виде S = — ht + афф + Vr
+ Ve, что дает
с2 V г/ V дг ) г2 [\ дв ) Vsln<P
Положим (—j +(—j =ае; тогда ^—j = (h+-j ? - -д - тос ,
откуда l/9=Jy/a9-(^)de, Vr = J^(A+ =)^ - J -m^ dr.
Без нарушения общности можно считать, что начальная скорость лежит
в плоскости меридиана <р = const. Тогда в начальный момент ф = 0 и, следователь-
следовательно, рф = dS/dq = осф = 0. По полному интегралу находим уравнение траектории
dS _ Г dQ 1 Г dr
дщ J 2yW 2J,~2 /7ь nlr\2n-2 Пп1г2 ^2.2
/ \ yil — (X/ / J С — OC0/ / — IiIqC
Преобразуем это выражение к виду
Г dr
6со-у= -у-
J г л
^ e'-l h'/c'-mlc
с2(а2/с2-ае) р/г-1
: , тогда бсо — у = arccos , или г = , ч.
а/г е 1 + е cos (соб - у)
24.29. 5 = -
осе 2
г2 ° J V sin
^5 ^5 '
= a =p — = 4/ae- -ri- =Pe
dS {h-kr2/2J a0
^5 Г
— = ф - аф
о'аф I .
382
2. Аналитическая механика
dS If sinede I
dr
2^(h-kr2/2JC-2 -щ/г2 -m2c2
dS
(h-kr2/2)c-2
24.30. у = -t +
J (ax2 + $)(h2-ax2-
P* =
h2-ax2-l
J + P
24.31. 9г = —sin{2co4pi
dt
24.32. Каноническое преобразование pi = (pi +рг)/2, Ji = (#i + ^2)/2, P2 = (pi —
-(р1-^2), ?2 = -(
P2
24.33. Каноническое преобразование
Pi= 2^1 + (?2)' ?i=2^1~^
24.34. Каноническое преобразование
q = p2 + q2, p = arctg-;
^ = v^F+7 cosB* + P), p = -v^F+YsinBt + p).
24.35. Преобразование совпадает с преобразованием в предыдущей задаче:
q{ = Агеь cos (^e*), pt = Аге1 sin {Bie~2t) (г = Т~п).
24.36. ^ = -а^+^
24.37. S = ait+ ^л/2ос1-а:
¦J
24.38. 5 = -
24.39. 5 = -
24.40. S = -
cos
2a2 -
cosq2
2ai -a2 - (аз «2Si
cos
§ 24. Уравнение Гамильтона-Якоби
383
24.41. S-
24.42. S-
Г / : 1 2
- Vai-sin9i dq\ + -a292+OC393-oc3si
: -/i? + - ( gi д/ai - 9? + ai arcsin —^z 1 +
2 V v Vai/
a2
h —
a2 q2Vh-a1
arsh
a2
arch
24.43. 5 =-
+
/ о 0С3 аз .
9V— 1 Q2\ Q2 arch
I \ V 0C2 0C2
24.44. 5 = -/it + у ai - a39i2
-J/
1-h
24.45. S =
J V i-A
0C2 + 0C2
24.46. 5 = —cost + yailn9i+ yoc2ln92.
2ai + 00C2
2 2
24.47. # = —-; г f(t) dt -\- 91 lnai + 92 Ina2
24.48. S = -(ai + a2 + a3)* + 2л/ос3" 93 + y/bjl ai arcsin
2 ^Л Г / ^-7
2 — 2/i92 c/92 + у осз — 93 «9з.
— ai — (l + /i)cos 92
1-h
dq2.
-(9i
24.49. 5
24.50. S
24.51. 5
24.52. 5
24.53. S
24.54. 5
24.55. S = -a2t +
24.56. 5
+ 91 у 3(ai - 2q\) + y7^ oc2 arcsin д/3/а2 92 + 92у 2(а3 — 3qr|).
j у ai 9i 9i+J^
—cos91
dq2.
9i
f
-a2 dqi+
9i
dq2.
dq2.
= -a2t+ Jai-3qldq1+ Ja2 + /(92) -m
^92
! 92 '
c?9i+ v(oc2-oci9^)ctg92^92.
ai-92 sin91
(a2-ai92Jctg92
384
2. Аналитическая механика
24.57. S = —ait+ у/2(сц - а2cos<yi)q\ dq\ + у 2(ос2 — gr|)si
^/(ai - а2cosq\) tggrx dq\ + д/а2cos^2 d
J J
+ у 2ai - 9? rfqfi + у Bа2 - ^)sin92
24.58. 5 = —
24.59. 5 = -(
24.60. gi=Pi-
24.61. S = -
24.62. qi=Vi-
t, Pi = щ -
p
Ui{t) dt
24.63. Используя результат задачи 24.62, находим
<7г=Рг + — [( \Fi(t)dt) dt + ait (г =172),
(г =172), p3 = аз - mgt + \ F3(t)dt.
24.64. 5 = -
24.65. ^г = д/ос7 sinyi(t), pi =
24.66.
24.67.
24.68.
24.70.
Л М
гдел(г) = 2\\\fi
г
\ F(an,t)dt+
dqk,
24.71. -f
§ 24. Уравнение Гамильтона-Якоби 385
24.72. S(qi, щ, t) = ?0(<7г, ос*, t) - F(qi, t).
24.74. Искомое множество преобразований определяется совокупностью произ-
производящих функций {(X/c)S(q, g, t)}.
24.75. В качестве функций 9i(aj51) следует взять общее решение системы урав-
уравнений d<$i/dt = —<&i(q>j,t) (г, j = 1, п), а в качестве /(a?, t) — функцию
f(aj,t) = -\F{<s?i{aj,t),t)dt.
dU TT( dU \ n 8Ф TT( 8Ф
OR / OR
24.79. t/(p, h,t) = -ht+ -1= ^/2mh-p2 dp.
\Jmc J
24.80. J2 (?
24.81. U(p,h,t) = -ht + I ^p
777/CO J
24.82.
24.83. U(Pj,aj:t) = ~YtaiPi ~
24.84. ff = -/()
«=1
24.85. H = f{t)Yj{p
i=l
24.86. Я =
13 E. С. Пятницкий и др.
386 2. Аналитическая механика
24.88. H-
о. ™ о двг ^{dS\ dfi
24.90. Запишем производные —— = > —— —— так:
]_ _ Г U]dS \<Щ к=п
' где дв ~ [do\k=1 и [\
dSi _ Ш\Т / 05 \ д]_ _ Г dU]n dS
де ~ [до) UqJq=f(,0' где дв ~ [dok\
Частная производная функции #i по времени равна
В силу исходного уравнения и равенства
д*
имеем
5i (Ы
dt
з
(здесь (х, у) = ^2 Xiyi — скалярное произведение векторов х и у). Полученное
г=1
уравнение является уравнением Гамильтона-Якоби для системы с гамильтониа-
гамильтонианом
24.91. Точечному преобразованию q = f @, i) соответствует унивалентное кано-
ническое преобразование q = f @, t), pq = ( (-jr-) I Pe с производящей функци-
V Vс/0/ I
ей F, зависящей только от времени. Так как из тождества q = f (8(q, t), t) следует,
dQ /dA^df ^ ~ „ OF
что — = — I — I —, из закона преобразования гамильтониана Н = сН+ -^—
ut у С/0 J ut ut
dq
v'~dt) получаем
24.93. S = -q
dS
24.95. Производящая функция 5(с/г, с/г, ?) определяет преобразование ——
С/С/г
d2s "
О, эти уравнения раз-
— Р*5 т^ = —Pi (i = 1? п). Поскольку _ __
dqi dqidqj
решимы относительно pi и с/г, т.е. позволяют найти формулы преобразования
§ 24. Уравнение Гамильтона-Якоби 387
Qi = qi(<ij,Pj,t), Pi = Pi{qj,Pj,t) (i,j = 1, n), переводящего исходную гамильто-
нову систему в систему с гамильтонианом
i(Яз , Pj, t), Pi{qj, Pj, t)).
(Л Q
Так как S(qi, qi,t) — полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби -^— +
+ H1[qj, -—1=0, получаем Я = H2{qi(qj,pj,t),pi(qj,Pj,t)), откуда
\ oqi J
G\ Г Г /Г \ 1 /
f(t)dt с + \|/(?) ехр [—/(?) cfa I d? L р = ехр —
У L J V J / J V
/р \ г г р / г \ -I >|-V(n-i)
24.97. # = ехр /(?) d? 1 < кг — v(^)ехр (п - 1) \f(t) rff ] dt (га - 1) > ,
\J / U J V J J 1 J
f(t)dt-c\ ,
- lf(t)dt\ L-ne"nc[i|/Wexp(n[/(t)^j d*|.
24.99. Функция 5(^, 5j, t) определяет свободное унивалентное преобразование
5i = /^(^ 5 p^ ,t),pi = Fi(qj, pj, ?). При помощи скобок Пуассона условия
каноничности этого преобразования могут быть записаны так: (/г, Д) =
= 0,(Fi, Fk) = 0, (/г, Ffe) =5га; (г, /г = 1,га), где 5га; — символ Кронекера.
Требуемый результат вытекает из первых п соотношений.
24.100. Из условия задачи следуют тождества
ft(Qj, Fj(qk,ak, t), t) = щ (г, j, к = 1,п);
продифференцируем их по qk:
ЁА +у<±
dqk p=f ?-i di
A)
OS
Равенства Fi = —— эквивалентны условиям
B)
Из A) выразим -jr-^- и подставим в скобки Пуассона, что даст
it t\-
1
13*
388 2. Аналитическая механика
\dfi]n
Отсюда в силу невырожденности матрицы —— следует B), если скобки
Пуассона равны нулю. Обратно, если имеет место B), то скобки Пуассона равны
нулю.
24.101. Из соотношений /i(q, p, t) = щ (г = 1, п) находим, что pi = F;(q, a, t).
Используя решение задачи 24.99, получаем, что в условиях данной задачи суще-
существует функция *So(q, a? t) такая, что
д-^-\ /о. A)
k / i,k=i
Соотношениям A) наряду с функцией jSo(q, ex, t) будут удовлетворять также
функции 5(q, a, i) вида
5(q, a, t) = 50(q, а, t) + Si (а, t), B)
где 5i(a, t) — произвольная функция переменных ai, ..., ап и t. Из уравнения
Гамильтона—Якоби с полный интегралом «S^q, a, i) получим
ds ds0 , dSi , j4 .s as ds0
W ^r ^r Wi^= i{q'a']- C)
/ nrr \
Из последних п соотношений находим щ = fi I qj, ——, t I, и после подстановки
V vqj )
в 1-е соотношение C) приходим к уравнению Гамильтона—Якоби
Следовательно, гамильтониан Н системы равен
Я = 90[q, f(q, p, t), t] +9i[f(q, p, *),*],
где 9i(a, f) — произвольная функция.
n
24.102. Ж = Y, ^ГГТ^ Kx' ~ x'of + (Vi ~ »»J + (* " г«
24.103. Ж = Щ^Ц [(^ - «оJ + (у - 2/оJ + (г - гоJ-
24.104. Ж = ^ [(ж2 + ж2) cosco(t - tQ) - 2хх0]
2sinco(t — to) LV ' J
24.105. W = 2sh™<t_t [(ж2 + xo) chco(i - to) - 2xx0].
24.107. Я(Х,ц) = /„(Х1,...,Х„), U=0, V4 = -^ (»
2 2
p cq I mcq"
24.109. I = —— + -^-, ©= "- - '
2mco 2co
my2
24.110. H = ;
§ 25. Методы оптимального управления в задачах механики 389
§ 25. Методы оптимального управления в задачах
механики
25.2. со А
25.5. Если ось Ох направлена по вертикали вверх, то
2тН
Fo,
25.6. F(t) =
-Fo, nJ—<t^
m
F0: 2nd— <t^
25.7. Начальное отклонение ж о от положения равновесия и начальная скорость
хо должны удовлетворять соотношениям
в)
25.8. a) t =
= ржо, где z = рж0 -2cxq±2F0, \l= д/|4шс-р2|.
тР
25.9. Задача сводится к рассмотрению одномерного осциллятора массы М под
действием пружины жесткости B-\- М/т)с.
25.12. — hmin< Ь{д{ ,Vi,to) + у,—ог;м=^' пРичем ф(ч ,Т) = 0.
390 2. Аналитическая механика
§ 26. Уравнения механики неголономных систем
26.1. Непосредственно или рассуждениями, используемыми при выводе уравне-
уравнений Лагранжа 2-го рода, можно показать, что при любых зависимостях qu =
(k = l,n) справедливы тождества (по времени)
Ч d дт дт
S riri(q,t) dtdqk dqk
Из этих тождеств после несложных преобразований вытекает соотношение A).
Ответ на второй вопрос отрицательный, поскольку виртуальные перемещения
dqk не являются независимыми. Так в случае линейных кинематических связей
п
2_]cisk{Q, t)qu +aso(</, t) = 0 виртуальные перемещения удовлетворяют системе
k=l
п
линейных соотношений ^JaSA;(^, t)bqk =0, s = l,d.
k=i
26.2. Система уравнений движения имеет вид
d дТ ОТ ^ Л .
TtWkWkk^avk{q')Xv' 'n'
п
У j cisvqv + ciso = 0, s = 1, d.
v=l
Эта система относительно (n + rf) переменных запишется в виде {qi, ...
26-8- iwr
26.9. ^ = Qi,^n+i = 5]/^-
26.10. Асо1 + (С-В)со2соз = Mi + tan, B(b2 + (Л - C)co3coi =
26.12. ^ШгУга^ = д,, ^lViVi=0, где Qs =
г г
26.13. ^2aiski = ^2aisMi, ^1у»т»=0.
ч .. 2Т 2Т 2Т
26.14. а) тх = ^ж, ту = -^у, mz = ——3-
a a a
б)?тгж = 2?1Ж, my = 2Xy, mz = —2Xz, ^=
\ 26. Уравнения механики неголономных систем 391
mi2-2T
a +4az
2T 2T
г) тх = — —2~ж, ту = —^2 у, mz = Q.
a a
2T 2T 2T
26.15. a) mx = — —^ж, my = ——^y, mz = — -^a
a a a
6) mx = Xi2x + X2a, my = X±2y-\-X2$, mz =
mz2 -2T mz2-2T
26.16. mxc = Fx+X1
Ap+(C- B)qr =
Bq + (A- C)pr = M2-
Cr + (B - A)qp =
xc - (poci2 + qa22 + ra^R = 0, yc + (pan + qu2i + rasi)R = 0.
К этим уравнениям следует добавить уравнения кинематики.
26.17. АсоАо - ^оЫз + С'сЬз?^ — mr ш2Хз -co
(Ю
?" (Ю2^1 — 5i
— Вы2к2 — CcosXs + mr 1ы2Х2 — a>iA,i j
где coi = 2(^0^1
26.18. Центр конька движется по окружности радиуса R = v/y, угловая скорость
конька ф = const, N = mv§.
26.19. Траектория центра диска — окружность радиуса R = v/y, угловая ско-
скорость поворота плоскости \j/ = const, N = mv\y.
26.20. 4A(XoX1-XoX1)-2mr[x(XoX3+X1X2) + y(xl-X21)] =0,
4A(X0'i2 - X0X2) - 2mr [x ($ + a|) + у {XiX2 - ^о^з)] = 0,
- 2mr [x (X2X3 - AoA,i) + у (X0X2 + A,iA,3)] = 0,
= 0,
где Ao, A,i, A,2, А,з — параметры Родрига-Гамильтона.
26.21. -Юге + 5rcp2sin2e + 12r(j)\j/cose + 8gsin6 = 0,
26.22. Скорость центра оси v = const, угловая скорость оси ф = const.
26.23. В сферических координатах
соп = co-en = const, Jconcos6 + (J + mr2)coesin6 = const,
[J + m(R- гJ](ё2 + ф2 sin2 6) + Jco2 + 2mg(R - r)A - cose) = const,
где со = 4 / 2 (^2 + Ф2 sin2 e) + юп ~~ угловая скорость шара.
392 2. Аналитическая механика
26.24. В сферических координатах
соп = ю-еп = const, (J + mr2)copcosa+ Jconsina = const,
Jco2 + m(p2 + p%2sin2a) + 2mg(pcosa + rsina) = const,
где со = у (p2 + р2ф2 sin2 aj/r — угловая скорость шара.
26.25. Тела совершают регулярную прецессию с одинаковыми угловыми скоро-
скоростями собственного вращения.
§ 27. Устойчивость движения
. В-С . С-А/ . . А-В.
27.1. х= А yz, y=—^—(po + x)z, z= c (po + x)y.
27.15. Решение задачи основано на решении дифференциального неравенства
v ^ (c/b)v, которое вытекает из условия задачи.
27.16. Рассмотрим линейную стационарную систему х = Рох, где Ро — гур-
вицева матрица. Для этой системы существует функция Ляпунова v =
п
= V^ CikXiXk с отрицательно определенной производной в силу систе-
i,k=l
мы х = Pqx. Эта функция рассматривается для системы х = P(t)x. Из
анализа v в силу х = P(t)x получается утверждение задачи.
27.37. Если через Xi обозначить собственные числа матрицы А, то совокупность
всех собственных чисел As задается выражением {ki+Xj, i,j = 1, n}.
Все собственные функции u(t) получаются как всевозможные попарные
произведения собственных функций оператора L{v(x)} в пространстве
линейных форм.
27.38. Полная совокупность собственных чисел Лт определяется выражениями
k, где тк — произвольные неотрицательные числа, для которых
= т. Соответствующие собственные функции ит(х) оператора
Ь{г>(ж)} получаются как произведения вида {и™1 (х) и™2 (х)... и™п (ж)},
где через Uj(x) обозначены собственные функции оператора L{v(x)}
в пространстве линейных форм.
27.44. Кривая на фазовой плоскости р2 +со2^2 = р2, + ю2^2.
27.45. П-предельное множество решения Х(хо, t) состоит из одной точки х = 0.
§ 28. Дискретные модели механических систем
28.1. Es =
28.2. Vs = {l + h2)8Vo, 5 = 0,1,2,...
28.3. a + A,= l.
28.4. a = А, = 1/2.
28.5. ^-^-L^=0,rfleL, = L^,^,^±^Y hk=tk+1-th.
oqi oqi oqi \ hk J
28.6. qk+1 = qk + hyk,yk+i = -hqk + A - h2)yk, к = 0, 1, 2...
§ 28. Дискретные модели механических систем 393
28.8. Не сохраняется.
28.9. m(xk+i -2xk + xk-1) + h2axk (х\ + yl)~3/2 = О,
т(ук+1 - 2ук + ук-х) + h2ayk (х\ +у2к) 3 2 = 0.
28.10. т(гк+1 - 2rk + rfc-i) - mrk(qk+i - щ) + /ia/г^ = О,
l ^-1) = 0.
и д^к дЪк-х дЬк
.11. —-г —, h-— =0, где х = (х0, ...,xn) = (t,q1, ...,qn),
дх дх oxi
T (+ n qk+1 ~
k = L[ tk, Як,
28.12.
tk+i-tk ) h
Як qk-qk-
rik+i
7I 7
V hk+1 J \ hk
+qk-Qk-i=Q,rpphk=tk-tk-i.
Список литературы
1. Айзерман М.А. Лекции по классической механике. — 2-е изд., перераб. — М.:
Наука, 1980.
2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — 2-е изд. — М.:
Физматгиз, 1959.
3. Аппель П. Теоретическая механика: Пер. с франц. — Т. I, т. II. — М.: Физмат-
Физматгиз, 1960.
4. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 2-е изд.,
стереотип. — М.: Наука, 1979.
5. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. — М.: Наука,
1977.
6. Балк М.Б., Демин В.Г., Куницын А.Л. Сборник задач по небесной механике
и космодинамике. — М.: Наука, 1972.
7. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра
масс. — М.: Наука, 1965.
8. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитацион-
гравитационном поле. — М.: Изд. МГУ, 1975.
9. Беллман Р. Динамическое программирование: Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1960.
10. Биркгоф Дою.Д. Динамические системы: Пер. с англ. — М.: Гостехиздат,
1941; — Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999.
11. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические метода в теории
нелинейных колебаний. — М.: Физматгиз, 1963.
12. Бражниченко Н.Л., Кан В.Л., Минцберг Б.Л., Морозов В.И. Сборник задач
по теоретической механике. — Л.: Судпромгиз, 1962.
13. Булгаков Б.В. Колебания. — М.: Гостехиздат, 1954.
14. Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971.
15. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. В 2-х частях. — М.:
Наука, 1972.
16. Бухгольц Н.Н., Воронков И.М., Минаков А.П. Сборник задач по теоретиче-
теоретической механике. — М.; Л.: Гостехиздат, 1949.
17. Вариационные принципы: Сборник статей / Под ред. Л.С. Полака. — М.:
Физматгиз, 1959.
18. Балле Пуссен Ш.-Ж. Лекции по теоретической механике: Пер. с франц. —
В 2-х томах. — М.: ИЛ, т. I, 1948; т. II, 1949.
19. Веселовский И.Н. Сборник задач по теоретической механике. — М.: Гостехиз-
Гостехиздат, 1955.
20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967.
21. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. — 2-е изд., исправл. —
М.: Наука, 1966.
22. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы, ядра и малые коле-
колебания механических систем. — 2-е изд. — М.: Гостехиздат, 1950.
23. Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твер-
твердого тела около неподвижной точки. — М.: Гостехиздат, 1953.
Список литературы 395
24. Голдстейн Г. Классическая механика: Пер. с англ. — 2-е изд. — М.: Наука,
1975.
25. Демин В. Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяго-
тяготения. — М.: Наука, 1968.
26. Ден-Гартог Дою. П. Механические колебания: пер. с англ. — М.: Физматгиз,
1960.
27. Жуковский Н.Е. Теоретическая механика. — М.; Л.: Гостехиздат, 1952.
28. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. — М.: Наука, 1997.
29. Зоммерфелъд А. Механика / Пер. с нем. — М.: ИЛ, 1947.
30. Иделъсон Н.И. Этюды по истории небесной механики. — М.: Наука, 1975.
31. Картан Э. Интегральные инварианты / Пер. с англ. — М., Л.: Гостехиздат,
1952.
32. Козлов В.В. Симметрии топология и резонансы в гамильтоновой механике. —
Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 1995.
33. Колесников К.С, Блюмин Г.Д., Дронг В.И., Дубинин В.В., Ильин М.М.,
Огурцов А.И., Поэюалостин А.А., Саратов Ю.С. Сборник задач по теоре-
теоретической механике. — 2-е изд. — М.: Наука, 1989.
34. Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике. — 2-е изд.,
исправл. — М.: Наука, 1977.
35. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — М.:
Наука, 1965.
36. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.:
Физматгиз, 1959.
37. Лагранж Ж.Л. Аналитическая механика / Пер. с франц. В 2-х томах. — М.:
Гостехиздат, 1950.
38. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. — 3-е изд. — М.: Наука, 1973.
39. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — М.: Наука, 1973.
40. Ланцош К. Вариационные принципы механики / Пер. с англ. — М.: Мир, 1965.
41. Леви-Чивита Т., Амалъди У. Курс теоретической механики / Пер. с итал. —
В 2-х томах. — М.: ИЛ, 1951.
42. Лич Дою. У. Классическая механика / Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1961.
43. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. — В 2-х частях. —
М.: Гостехиздат, 1955.
44. Лурье А.И. Аналитическая механика. — М.: Физматгиз, 1961.
45. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. — М.: Гостехиздат,
1950.
46. Магнус К. Гироскоп: теория и применение / Пер. с нем. — М.: Мир, 1974.
47. Мак-Миллан В.Д. Динамика твердого тела / Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1951.
48. Маркеев А.П. Теоретическая механика. — М.: Наука, 1990.
49. Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы. — М.: Гостехиз-
Гостехиздат, 1952.
50. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. — 34-е изд. — М.:
Наука, 1975.
51. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. — М.: Наука,
1967.
396 Список литературы
52. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. — 2-е изд.,
перераб. и дополн. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1974.
53. Ольховский И.И., Павленко Ю.Г., Кузьменков Л. С. Задачи по теоретической
механике для физиков. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1977.
54. Парс Л.А. Аналитическая динамика: Пер. с англ. — М.: Наука, 1971.
55. Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П. Теоретическая механика. — Л.:
Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.
56. Поляхова Е.Н. Сборник задач по динамике течки в поле центральных сил. —
Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1974.
57. Понтрягин Л.С, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Мате-
Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Физматгиз, 1961.
58. Пуанкаре А. Избранные труды: Пер. с франц. — М.: Наука, т. I, 1971; т. II,
1972.
59. Розе П.В. Лекции по аналитической механике. — Ч. I. — Л.: Изд-во Ленингр.
ун-та, 1938.
60. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений
в примерах и задачах. — М.: Наука, 1988.
61. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по
отношению к части переменных. — М.: Наука, 1987.
62. Сборник задач по теоретической механике. — М.: Изд-во МФТИ, 1972.
63. Светлицкий В.А., Стасенко И.В. Сборник задач по теории колебаний. — М.:
Высшая школа, 1973.
64. Синг Д.Л. Классическая динамика: Пер. с англ. — М.: Физматгиз, 1963.
65. Суслов Г.К. Теоретическая механика. — М.; Л.: Гостехиздат, 1946.
66. Тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики / Пер. с англ. — М.: Наука, 1974.
67. Уиттекер ЕЛ. Аналитическая динамика / Пер. с англ. — М.: ОНТИ, 1937.
68. Халфман Р.Л. Динамика: Пер с англ. — М.: Наука, 1972.
69. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1965.
70. Шмутцер Э. Основные принципы классической механики и классической
теории поля / Пер. с нем. — М.: Мир, 1976.
71. Якоби К. Лекции по динамике / Пер. с нем. — М.: ГОНТИ, 1936.
Учебное издание
ПЯТНИЦКИЙ Евгений Серафимович
ТРУХАН Надежда Михайловна
ХАНУКАЕВ Юрий Исламович
ЯКОВЕНКО Геннадий Николаевич
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Редакторы: Н. А. Михалина, Д. А. Миртова
Оригинал-макет: В. В. Худяков
Дизайн обложки: А. А. Логунов
ЛР № 071930 от 06.07.99
Подписано в печать 05.03.02. Формат 60x90/16
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная
Усл. печ. л. 25. Уч.-изд. л. 25,5. Тираж 3000 экз. Заказ №
Издательская фирма
«Физико-математическая литература»
117864 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»,
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72.
E-mail: pfpv@vologda.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0182-Х
785922 10182 0