ТБАХМАН
Э. ШМИДТ

п -УГОЛЬНИКИ

л-ЕСКЕ
von
FRIEDRICH BACHMANN
Dr. Phil., O. Professor an der University Kiel
und
ECKART SCHMIDT
Studienassessor, Kiel
fclBLIOGRAPHiSCHES INSTITUT MANNHEW/WfEN/ZtjRfCH
Hochschultaschenbucher-Verlag
1970
«СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА»
Популярная серия
Ф. БАХМАН, Э. ШМИДТ
/г-угольники
Перевод с немецкого
А. И. Сироты
Под редакцией
И. М. Яглома
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1973
УДК 512:513.19
В этой книге на вполне элементарном материале, начинающемся
с простейших геометрических истин (середины сторон произвольного
четырехугольника являются вершинами параллелограмма и т. д, ),
развита весьма изящная теория, устанавливающая зачастую совер-
шенно неожиданные связи между геометрией и важными концепция-
ми и понятиями современной алгебры. Большое достоинство книги —
сопровождающие изложение задачи, которые позволяют читателю все
время контролировать степень овладения материалом.
Книга рассчитана на любителей математики самых разных кате-
горий, начиная от старшеклассников, интересующихся этой наукой
(например, учащихся школ с математической специализацией).
Редакция литературы по математическим наукам
0223-040
Ь041(01)-73
ОТ РЕДАКТОРА
Имя первого из авторов — профессора университета
в Киле Фридриха Бахмана —знакомо советскому читателю
по переводу его обстоятельной монографии, в которой из-
лагаются развиваемые кильской школой идеи в области
оснований (евклидовой и неевклидовой) геометрии1).
Настоящая книга носит совсем другой характер.
Она начинается с достаточно поверхностной (и широко
известной) теоремы- середины сторон любого четырехуголь-
ника являются вершинами параллелограмма. (У авторов
вершины четырехугольника могут принадлежать любому —
конечномерному или бесконечномерному—векторному про-
странству, построенному над почти любым полем; чита-
телю, однако, мы рекомендуем рассматривать построения
авторов на обычной плоскости или в трехмерном прост-
ранстве.) С этого простого предложения начинает раскру-
чиваться цепь теорем —и как далеко эта цепь ведет! Вна-
чале каждому n-угольнику сопоставляются три других
n-угольника: вершинами одного из них являются середины
сторон исходного n-угольника (отображение0); вершинами
второго—точки пересечения медиан (центры тяжести)
треугольников, образованных тройками соседних вершин
исходногоn-угольника (отображение*); вершинами треть-
его—четвертые вершины параллелограммов, построенных
на трех соседних вершинах исходного n-угольника (ото-
бражение'). Эти «циклические операции» отображают мно-
жество всех n-угольников в себя, но, вообще говоря, не
на себя: «полное» множество всех /г-угольников они могут
х) Ф. Бахман, Построение геометрии на основе понятия симмет-
рии, «Наука», М., 1969.
6
ОТ РЕДАКТОРА
перевести в его подмножество, в определенный «цикличе-
ский класс» ц-угольников.
Так, отображение0 переводит множество всех 4-уголь-
ников в класс параллелограммов; три отображения °, • и
взятые в любом порядке, «сжимают» множество всех 6-уголь-
ников в класс шестикратных точек (6-угольников
А^А^А^), как видно из следующей «коммутативной
диаграммы,»:
Далее понятия циклической операции (отображающей
множество всех /г-угольников в себя) и циклического
класса n-угольников обобщаются; рассматриваются все-
возможные циклические классы п-угольников — цепочка
таких классов ведет от множества всех п-угольников
к «нулевому классу», содержащему единственный (вырож-
ОТ РЕДАКТОРА
7
денный!) п-угольник, все вершины которого совпадают
с началом координат. Впрочем, выражение «цепочка клас-
сов» может создать у читателя неправильное впечатление:
структура циклических классов оказывается достаточно
сложной и разветвленной; в ней устанавливается опреде-
ленный «порядок» и вводятся алгебраические операции,
превращающие эту структуру в булеву алгебру классов
n-угольников, на всем протяжении книги служащую одним
из основных инструментов исследования.
Постепенно изложение обогащается новыми алгебраи-
ческими и геометрическими деталями. Число рассматри-
ваемых классов n-угольников растет; рассматриваемые
свойства систем п-угольников становятся более глубокими.
Меняются и сопровождающие изложение задачи (которыми
мы настоятельно советуем не пренебрегать): сначала это
несложные упражнения; затем среди них появляются
и некоторые «большие темы», которые могут послужить
трамплином для самостоятельной исследовательской работы
читателя. На ранней стадии исследования большую роль
приобретает алгебра многочленов, в частности «много-
члены деления круга» (делители многочленов хп — 1); затем
неожиданно возникают мотивы, навеянные теорией чисел.
Используемые алгебраические средства становятся более
глубокими: наряду с булевой алгеброй применяются
некоторые понятия теории структур (перечисленные
в приложении II); специально анализируются случаи того
или иного основного поля, над которым строится «прост-
ранство n-угольников» (в частности, специально рассмат-
риваются многоугольники над полем вещественных или
комплексных чисел). И при этом все построения остаются
совершенно прозрачными и элементарными.
Автор настоящих строк надеется, что эта своеобраз-
ная и очень красивая «микротеория», выразительно демон-
стрирующая на сравнительно элементарном уровне неко-
торые типичные черты «больших» математических теорий,
вызовет интерес читателей. Кажется только, что авторы
несколько перегрузили изложение не особенно существен-
ными алгебраическими деталями, и преподавателю, кото-
рый захотел бы использовать материал этой книги
в занятиях с начинающими математиками, следует поза-
ботиться о том, чтобы раскрыть «ядро» развиваемых здесь
g	ОТ РЕДАКТОРА
конструкций, не слишком углубляясь в частности, состав-
ляющие «оболочку» этого ядра (см. также авторский обзор
содержания на стр. 12).
Немногочисленные подстрочные примечания перевод-
чика и редактора книги обозначаются звездочками в отли-
чие от нумерованных сносок авторов; звездочками же
отмечены названия тех фигурирующих в списке литера-
туры работ, ссылки на которые отсутствуют в немецком
оригинале. Мы также изменили порядок приложений,
поскольку то из них, которое посвящено многочленам
деления круга, более тесно, чем второе, примыкает
к основному тексту книги.
И. М, Яглом
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
Математика обладает способностью
открывать в окружающих нас вещах
новые стороны и неожиданным образом
расширять наши представления.
П. С. АЛЕКСАНДРОВ
Это книга об и-уюльниках, классах n-угольников и
отображениях множества n-угольников в себя.
n-угольники относятся к изначальным геометрическим
объектам. Каждый знаком с какими-либо классами п-уголь-
ников, и геометрические наблюдения, на которых осно-
вывается эта книга, настолько элементарны, что будут
понятны всем (см. введение). Однако трактовка более
общих вопросов уже опирается на определенный алгеб-
раический аппарат.
Для удобства использования этого аппарата мы опре-
деляем n-угольник как набор
(ар аг,..., ап)
п элементов некоторого векторного пространства над
полем, в котором п- 1у=0. Перефразируя Г. Шоке1), можно
сказать, что понятие векторного /г-набора открывает нам
«царский путь» в геометрию—путь линейной алгебры* *).
Основным объектом нашего исследования являются
определенные множества п-угольников, которые назы-
ваются циклическими классами. Прототип этого понятия
(при п = 4) — класс параллелограммов, т. е. множество
4-угольников (ап а2, а3, а4), для которых аг—а2 + л3 —
— а4 = о. В общем случае циклический класс состоит из
всех n-угольников, удовлетворяющих некоторой «цикли-
ческой» системе однородных линейных уравнений с коэф-
фициентами из данного поля.
Основная теорема о циклических классах утверждает,
что число циклических классов для каждого п конечно,
х) Г. Шоке, Геометрия, «Мир», М., 1970.
*) Имеются в виду приписываемые Евклиду слова: «В геометрию
нет царского пути».
10
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
точнее, что циклические классы образуют некоторую
конечную булеву алгебру. Произвольный ft-угольник одно-
значно разлагается в «сумму» ft-угольников из «атомарных»
циклических классов. Таким образом, ft-угольники обла-
дают некоторой атомарной структурой. Краеугольные
камни — м-угольники из атомарных классов — отличаются
определенными свойствами правильности.
Алгебраические средства, которыми мы пользуемся,
лежат в основном русле алгебры1), и одна из целей этой
книги состоит в том, чтобы описать очень красивые, на
наш взгляд, связи между геометрией ft-угольников и
алгеброй.
Мы предполагаем, что читатель знаком с основными
фактами линейной алгебры и такими алгебраическими
понятиями, как группа, кольцо, поле, векторное прост-
ранство, гомоморфизм2). Необходимые понятия и резуль-
таты теории структур, а также основные свойства много-
членов деления круга изложены в двух приложениях.
Мы весьма признательны Г. Киндеру (написавшему
приложение о структурах), нашему постоянному собесед-
нику, одному из авторов развиваемой здесь теории, а
также У. Шпенглеру, прорешавшему 126 упражнений.
За помощь при корректуре мы благодарим Л. Бреккера
и П. Клопша.
Киль
Ф. Б.
Э. Ш.
т) Однако попытки обобщить эту теорию могут встретить алгеб-
раические трудности.
2) См., например, [3], [6], [9],' [10], [12].
ПРЕДЫСТОРИЯ КНИГИ
Осенью 1964 г. во время конференции Общества усо-
вершенствования преподавания естественных наук я за-
дался вопросом, нельзя ли для оживления курса геомет-
рии предложить тему, доступную студентам, связанную
с систематической теорией, но не слишком отягощенную
элементарно-геометрическими рассмотрениями. Я занялся
тогда исследованием n-угольников на основе некоторого
аксиоматического точечного исчисления. Основную роль
при этом играет подходящим образом специализированная
диэдральная группа (абелева группа, расширенная присоеди-
нением смежного класса некоторого инволютивного эле-
мента). Этот подход, который лег в основу статьи [21],
опубликованной в Grtmdziigen der Mathematik *), и был
более подробно развит в курсе лекций в январе—феврале
1966 г., использовал Э. Шмидт, который доказал уже
известную к тому времени основную теорему для рацио-
нального и вещественного числовых полей с помощью
диагонализации циклической матрицы.
Летом 1966 г. Г. Киндер, побуждаемый к тому
В. Пейасом, предложил новый подход к этой теории на
языке векторных пространств. Он показал, что связь между
циклическими классами n-угольников и многочленами про-
ясняет касающиеся циклических классов закономерности.
Эта книга излагает содержание двухчасовой лекции,
которую я прочитал осенью 1966 г. в Мичиганском уни-
верситете и, в развернутом виде, зимой 1967/68 г,—
в Кильском университете.
При подготовке настоящего издания я часто с благо-
дарностью думал о математиках, которые во время докла-
дов и в личных беседах со мной проявляли интерес к этой
небольшой теории и рекомендовали опубликовать ее из-
ложение.
Ф, Б.
*) «Основы математики» —многотомное издание, по своим уста-
новкам близкое к выпускаемым издательством Гостехиздат—Физмат-
гиз —«Наука» книгам «Энциклопедии элементарной математики».
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ
В конце введения и в гл. 1 и 2 определяются понятия
циклического класса n-угольников и циклического отобра-
жения. Главы 1—4 посвящены в первую очередь при-
мерам1).
В гл. 5 и в § 1 гл. 6 развиваются алгебраические
методы, с помощью которых в § 2 гл. 6 доказывается
основная теорема о циклических классах.
После алгебраической подготовки, которой отведены
гл. 7 и § 1—2 гл. 9, мы в гл. 8 и 9 переходим к система-
тическому рассмотрению булевой алгебры циклических
классов n-угольников. Результаты сведены в основную
диаграмму (рис. 61., стр. 157).
В гл. 10—12 рассматривается разложение /1-угольни-
ков в сумму n-угольников из атомарных циклических
классов для случаев, когда основным полем является
поле рациональных, комплексных или действительных
чисел.
Можно сократить чтение этой книги, ограничившись
лишь гл. 1, § 1—5 гл. 2, § 1—4 гл. 5 и гл. 6.
х) При чтении этих глав можно оставаться на наивной точке
зрения, в стиле введения, и рассматривать специальные классы
отображений л-угольников, не задумываясь о скрытых за ними общих
понятиях.
ВВЕДЕНИЕ
Во введении мы будем пользоваться нестрогими сооб-
ражениями наглядности. Все геометрические образы пред-
полагаются вложенными в некоторое евклидово простран-
ство произвольной размерности1).
Вспомним простую теорему: во всяком четырехугольнике
середины сторон обоазуют параллелограмм (рис. 1). В этой
теореме всякому четырехугольнику А ставится в соответ-
ствие новый четырехугольник Л°, образованный середи-
нами сторон А. Тем самым задано некоторое отображение
множества четырехугольников в себя. В результате этого
отображения получается не все множество четырехуголь-
!) При этом мы используем лишь аффинные, но не метрические
понятия и результаты.
14
Введение
ников, а некоторый его подкласс —класс параллелограм-
мов: отображение «специализирует» множество четырех-
угольников. Специализация проявляется также в пониже-
нии размерности: ведь произвольный четырехугольник,
вообще говоря, имеет размерность 3, в то время как па-
раллелограмм самое большее двумерен.
Итак,
Г. Если А — четырехугольник, то А° — параллелограмм.
Естественно возникает общий вопрос: для всякого ли п
множество n-угольников специализируется при подобном
отображении? Для нечетных п ответ оказывается отрица-
тельным (для п — 3 это очевидно). Для п = 6 специализация
существует1), но она не так наглядна, как при и —4.
Вообще, справедливо такое утверждение:
2°. Середины сторон произвольного 2т-угольника А обра-
зуют 2т-угольник Л°, стороны которого, взятые через одну,
образуют замкнутые векторные многоугольники.
Последнее утверждение можно уточнить следующим
образом. Если мы условимся обозначать стороны многоу-
гольника Л° попеременно через а и Ь, то ^-стороны, взя-
тые отдельно, образуют замкнутый векторный многоуголь-
ник2) и то же самое верно для b-сторон. Так, стороны
изображенного на рис. 2 шестиугольника Томсена (см. [25],
рис. 3, или [22], рис. 28) обладают указанным свойством.
Этим же свойством обладает изображенная на рис. 3 пятико-
нечная звезда.
К сожалению, термин «параллелограмм» не охватывает
никаких n-угольников, где п > 4. Чтобы исправить по-
ложение, введем новое понятие, обобщающее понятие па-
раллелограмма и имеющее смысл для каждого четного
п = 2т. А именно, 2т-угольник назовем 2т-параллелограм-
мом, если каждая из его сторон образует с противопо-
ложной стороной обычный параллелограмм. К числу 6-па-
раллелограммов принадлежат, например, контуры обычно
употребляемых параллельных проекций (параллелепипедов
т) См. Яглом [27], стр. 31.
2) Иными словами, если мы сдвинем параллельно а-стороны
(взятые в любом порядке) так, чтобы конец каждой стороны совпал
с началом следующей, то конец самой последней a-стороны совпадает
с началом первой.
6
Рис. 2.
Рис. 3.
5	4
1	2
Рис. 4.
16
ВВЕДЕНИЕ
(см. рис. 4)); однако, разумеется, 6-параллелограмм может
и не быть плоским.
Если А — некоторый 6-угольник, то Л° не обязан быть
6-параллелограммом. Можно, однако, поставить вопрос
о том, нельзя ли указать отображение, которое переводит
множество всех 6-угольников в класс 6-параллелограммов.
Чтобы дать ответ на этот вопрос, модифицируем исполь-
зованное ранее отображение. Середины сторон м-угольника
являются центрами тяжестц двух последовательных его
вершин. Отсюда возникает естественное видоизменение
этой конструкции: вместо середин сторон условимся рас-
сматривать центры тяжести трех последовательных вершин
n-угольника. Полученные центры тяжести образуют новый
n-угольник А • , который мы и поставим в соответствие
исходному n-угольнику А. На рис. 5 приведен пример
указанного построения: точка 1 • является центром тяжести
вершин 1, 2, 3; точка 2 • —вершин 2, 3, 4 и т. д.; все
полученные точки 1 • , 2 • , ..п • являются вершинами
n-угольника А • , при этом имеет место такое предложение:
3°. Для любого 6-угольника А 6-угольник А • является
6-параллелограммом.
Рассмотрим, наконец, еще одно отображение. Любые
три последовательные вершины n-угольника дополним чет-
вертой точкой до параллелограмма. (На рис. 6 точка 1' яв-
ляется четвертой вершиной параллелограмма 1, 2, 3, Г;
точка 2' — параллелограмма 2, 3, 1, 2'; точка 3' — парал-
лелограмма 3, 1, 2, 3'.) Множество четвертых вершин
параллелограммов образует n-угольник, который мы обо-
значим через Л'. Наше новое отображение—это отобра-
жение Л—+Л'. При этом справедливо следующее утвер-
ждение:
4°. Для всякого 6-угольника А шестиугольник А' яв-
ляется призмой.
Под призмой мы понимаем то, что наглядно изобра-
жено на рис. 8, а и б. (Обратите внимание на нумерацию
вершин!) Утверждение 4° тем более замечательно, что для
п = 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11 отображение Л —+ А' не-
вырожденно, т. е. никак не специализирует множество
всех п-угольников.
Вот еще одно утверждение, в котором сам исходный
П-угольник принадлежит специальному классу:
4
3
Рис. 7,
18
ВВЕДЕНИЕ
5°. Если А есть 8-угольник, в котором вершины, взятые
через одну, образуют параллелограммы, то А0 есть 8-па-
раллелограмм (рис. 9).
Рис. 9.
Фигурирующий в 5° 8-угольник А может быть построен
следующим образом. Возьмем два произвольных паралле-
лограмма и перенумеруем их вершины соответственно
только нечетными и только четными числами (1, 3, 5, 7)
и (2, 4, 6, 8). Тогда искомый 8-угольник А есть 8-уголь-
ник (1, 2, 3, ..,, 8).
ВВЁДЕНЙЁ
19
Множество 6-угольников специализируется при любом
из рассмотренных отображений (см. утверждения 2°, 3° и 4°).
Последовательное выполнение этих отображений все более
и более сужает специализацию:
6°. Для любого 6-угольника А 6-угольник А° • является
аффинно-правильным (сы. рис. 10), a Az • ' — тривиальным
6-угольником, т, е. 6-кратно взятой точкой.
При этом снижается максимально возможная размер-
ность 6-угольников: если исходный 6-угольник может быть
пятимерным, то аффинно-правильный 6-угольник не более
чем двумерен, а тривиальный имеет размерность 0.
Как можно доказать сформулированные утверждения?
Первый возможный для этого путь основан на эле-
ментарной геометрии. Например, утверждения Г и 5° сле-
дуют из теоремы: средняя линия треугольника параллельна
основанию и равна его половине (см. рис. 11 и 12). Далее,
пусть в четырехугольнике (1,2, 3, 4) точки 1 • , 2 • явля-
ются центрами тяжести соответственно вершин 1, 2, 3
и 2, 3, 4. Тогда отрезок (1 • , 2 •) параллелен стороне (1, 4)
и равен ее трети (рис. 13). Шестикратное применение
этого факта доказывает утверждение 3°.
Второй путь основан на векторной алгебре. Выберем
произвольно в пространстве начало координат. Тогда
точка пространства задается своим радиусом-вектором,
а /1-угольник— набором п радиусов-векторов — вершин
я-угольника:
(ап а2,	а„).
При этом мы далее не будем различать точку и отвечаю-
щий ей вектор, а также /i-угольник и отвечающий ему
набор n-векторов. Все свойства (Г — 6°) легко перевести
на язык векторной алгебры, после чего их доказательство
сведется к простым выкладкам.
Доказательство Г. Заметим, что четырехугольник
(av а2, а3, а4) является параллелограммом тогда и только
тогда, когда а2 — ах = а3— а4, или
«1—а2 + а3—=	(*)
т. е. когда знакопеременная сумма его вершин равна ну-
левому вектору о. Пусть теперь А == (ар а2, а3, а4). Тогда,
Рис. 13.
ВВЕДЕНИЕ
2i
очевидно,
Л° = (у(а1 + о2), у(«2 + а3), j(a3 + «4), y(«4+«i))-
Легко проверить, что знакопеременная сумма вершин че-
тырехугольника А° всегда равна о.
Доказательство 2°. В 2т-угольнике стороны,
взятые через одну, образуют два замкнутых векторных
m-угольника тогда и только тогда, когда
(«2—«1) + («4—а3)+ ... +(«2И—«2и_1) = о,
(а3—а2) + (а5—а4)+. •.+(а1—агт) = о.
(В каждом из равенств в скобках стоят векторы сторон,
взятых через одну.) Но каждое из этих равенств можно
переписать так: —«2 + «3—а4 + ... +«гЯ1-1—«2т = о;
таким образом, знакопеременная сумма вершин 2т-угольника
должна равняться нулю.
Если теперь А = (а1г ..., а2т) — произвольный 2т-
угольник, то
Л =	т~ «2),	(<Х2 + «3), . • •, ~2 Н- .
Легко проверить, что знакопеременная сумма вершин
2щ-угольника А° всегда равна о.
Доказательство 4°. Нетрудно видеть, что 6-уголь-
ник является призмой тогда и только тогда, когда
«1 «4 = а3 — а - а2
(см. рис. 8, а, б). Пусть Л = («1( ..., ав) —произвольный
6-угольник. Через а[, а'г, ... обозначим четвертые вер-
шины соответствующих параллелограммов: (ах, «2, а3, а{),
(«2, а3, а4, «2), .... Тогда из (*) находим
«; = «!—а2 + а3, «; = «2—«з + «4.«; = ав—«1 + «2.
Легко проверить, что всегда
:6^2*
$2
ЁВЁДЕНЙЁ
так как каждая из этих разностей равна — а2 + а3—
— а4 + а5—ав. Итак,	..., а') —призма.
Доказательство утверждений 3°, 5°, 6° предоставляется
читателю.
Утверждения Г — 6° возникли из рассмотрения естест-
венных геометрических отображений; они показывают, как
специализируются при тех или иных отображениях опре-
деленные классы «-угольников, где п фиксировано.
Существует много других теорем такого типа. Чтобы
очертить общие рамки наших исследований, необходимо
строго установить, какие множества «-угольников мы на-
зываем «классами» и какие отображения «-угольников нас
интересуют, т. е. дать основные определения. Простейшие
примеры, разобранные выше, позволяют надеяться, что
мы напали на след глубоких закономерностей, связываю-
щих классы «-угольников и определенные отображения.
Теперь от примеров мы перейдем к общим понятиям
циклического класса и циклического отображения. Опреде-
лениям этих понятий посвящены гл. 1 и 2 нашей книги.
ГЛАВА 1
ЦИКЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ П-УГОЛЬНИКОВ
§ 1. n-угольники, пространство п-угольников
Пусть п — натуральное число и К—(коммутативное)
поле, характеристика которого взаимно проста с и. Эле-
менты этого поля будем обозначать буквами а, Ь, ...,
нулевой элемент—символом 0, единичный—1. Обратный к
п элемент (он существует в силу требования, наложенного
на характеристику поля) обозначим l/п. [Для поля харак-
теристики 0, в частности для поля рациональных чисел Q,
это требование выполняется при любом п,]
Обозначим через V векторное пространство над 7<; эле-
менты а, &, ... из 7 назовем его точками, нулевой вектор
о—его началом. Размерность V может быть какой угодно,
конечной или бесконечной, но она не должна равняться
нулю (т. е. V не должно сводиться к одному лишь на-
чалу о).
п-уголъником назовем любой упорядоченный набор п
элементов из V: (ап а2, ..., а„); n-угольники мы будем
обозначать также заглавными буквами Л, В,...; буквой О
мы обозначим нулевой n-угольник (о, о, ..., о). Множество
всех n-угольников обозначим
Сложение n-угольников и умножение их на элементы
поля К определим равенствами
(av аг, .... «„) + (&!, Ьг.&„) =
= (0! + ^, аг + Ь2, .... ак + д„),
с (а,...ап) = (саг....сап)
(см. рис. 14 и 15). При этом множество всех п-угольников
становится векторным пространством над К, & именно
... ©к
Это пространство Лп мы будем называть пространством
п-угольников.
24
ГЛ. 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ л-УГОЛЬНИКОВ
Наряду с формальным определением /г-угольника мы
будем использовать и геометрическую терминологию.
Точки ар ап мы назовем вершинами /г-угольника;
упорядоченные пары последовательных вершин (ah az+1)—
его сторонами (где натуральные числа i берутся mod/г;
таким образом, (а„, —тоже сторона n-угольника); раз-
ности ai+l — —векторами сторон. Если п = 2т четно,
Рис. 14. Сумма двух треуголь- Р и с. 15. Умножение 3-угольника
ников.	на число.
то ai и ai+m назовем противоположными вершинами
«-угольника, a (az, а/+1) и (az+w, az+m+1)—его противо-
положными сторонами. Однако при этом не следует забы-
вать, что на «-угольники можно также смотреть как на
элементы векторного пространства Vn.
В определении /г-угольника не предполагается, что его
вершины обязательно различны. Тривиальным мы будем
называть «-угольник (а, а, ..., а), т. е. п раз повторенный
1-угольник. Множество тривиальных «-угольников мы
будем обозначать символом п. Легко проверить, что
—подпространство пространства Лп.
§ 2. Циклические классы
К индексам //-угольника (ар ..., ап) применим п раз
циклическую подстановку. Мы получим //-угольники
(а2, .... а„, «0, (а3,.... ап, а,, а2), (ап,а,.а„_х) (I)
§ 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
25
с тем же набором вершин и сторон. Будем считать, что
все они задают один геометрический «-угольник.
Если исходный n-угольник удовлетворяет уравнению
0^ + ^+ ... +сп_,а„ = 0
с произвольными коэффициентами с0, с,, .... сп_1^К,
то этому уравнению вовсе не должны удовлетворять все
«-угольники (1). Поэтому мы ограничимся рассмотрением
лишь циклических систем уравнений, т. е. однородных
систем
£<>«12 ~Ь • • • + сп_\ttn — о,
£<>^2 Н- • • • +Сп-А = о.	(2)
сйап^сха^ ...+с„_1а„_1 = о
с заданным набором коэффициентов с0, clt ..., с„_^ /(.
Множество решений такой системы обладает тем свойст-
вом, что вместе с п-угольником (alt .... ап) ему принад-
лежит и вся последовательность (1).
Множество решений циклической системы мы назовем
циклическим классом п-угольников. Из теории систем одно-
родных уравнений следует, что циклический класс является
подпространством пространства Лп.
В связи с тем что вся циклическая система (2) одно-
значно определяется одним из своих уравнений, мы вве-
дем сокращенную запись системы (2):
c0al + qa4-|-...+c„_1a„ = o....	(2')
Набор п элементов (с0, ...» из будем называть
коэффициентами циклической системы, а элемент —
ее суммой коэффициентов.
Всякий n-набор элементов из К определяет единствен-
ную систему (2), а следовательно, и единственный цикли-
ческий класс. Однако разные n-наборы могут определять
один и тот же циклический класс. Таковы, например,
наборы, различающиеся лишь общим множителем с=£0.
Поэтому в случае K = Q всякий циклический класс мо-
жет быть описан целочисленным п-набором.
Циклическая система с набором коэффициентов (0, ...
0) определяет множество Ап всех n-угольников. Ци*
26
ГЛ. 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ л-УГОЛЬНИКОВ
клическая система
Oj—а2 = о, ...
определяет множество <Аъп тривиальных л-угольниковх).
Множество. решений циклической системы
О1 — О, ...
состоит из одного л-угольника О=(р.....о). Итак, Лп,
п> {О}—циклические классы.
Рис. 16.
Пример. Пусть п — 4. Четырехугольник (av ait а3,
at) называется параллелограммом, если векторная сумма
противоположных сторон равна о: (а2—аг)+(а4—а3) = о,....
Полученную циклическую систему запишем в форме
«1—а2 + а3—= о..........	(3)
Здесь первое равенство означает, что знакопеременная
сумма вершин равна о, а остальные три равенства сле-
дуют из первого. Итак, множество параллелограммов об-
разует циклический класс.
Для всяких трех точек alf а2, a3£V точку аг — а2 +
+ а3 (см. рис. 16) мы назовем четвертой вершиной парал-
лелограмма тройки (аг, а2, а3) или, короче, просто чет-
вертой вершиной тройки (а1} а2, а3).
При л=1 оба эти класса совпадают: всякий 1-угольник, разу-
меется, тривиален.
§ 3. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ «-УГОЛЬНИКА
27
Упражнения*)
1.	Всякий циклический класс g инвариантен относительно ли-
нейных преобразований а пространства V: из (alt	следует,
что (аап ...» aa„)gg.
2.	Всякое ли подпространство пространства Лп = Уп, которое
с каждым n-угольником (ax, а2, ап) содержит всю последова-
тельность (1), является циклическим классом?
3.	Обязательно ли каждый циклический класс вместе с /г-уголь-
ником (аъ ..., ап) содержит также и л-угольник (ап, a2, aj?
4.	Всякий набор, полученный из (с0, clt crt-i) циклической
подстановкой, определяет тот же циклический класс, что и (с0,...,сп_i).
5.	Если (с0, q,	и (d0, dlt ..., dn_x) определяют один
и тот же циклический класс, то (с0“^о>	•••>
определяет циклический класс, охватывающий первый.
§ 3. Центр тяжести л-угольника.
Нуль-изобарический класс
Под центром тяжести /г-угольника (ap а2, .aj
мы будем понимать точку	из т. е- среднее
арифметическое вершин /г-угольника. При /г = 2 центр тя-
жести называется также серединой 2-угольника (отрезка).
Каждому /г-угольнику (ap ..	поставим в со-
ответствие тривиальный п-угольник, каждая вершина ко-
торого является центром тяжести исходного. Полученное
отображение обозначим через о:
о: («п	.....
Образ (з(а^ ,, ,,ап) п-угольника при нашем отображе-
нии мы будем называть п-угольником центра тяжести,
или просто центром тяжести исходного /г-угольника **).
Ясно, что о есть линейное отображение пространства Лп,
переводящее Лп в класс Лип тривиальных /г-угольников;
для всякого тривиального /г-угольника имеем a (а, ..., а)=
*) В тех случаях, когда условие упражнения имеет вид форму-
лировки некоторой теоремы, требуется доказать эту теорему.
**) Таким образом, термин «центр тяжести» будет иметь у нас два
значения: точки и /г-угольника; из контекста всегда будет ясно, о чем
идет речь.
28
ГЛ. 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ п-УГОЛЬНИКОВ
= (а....а). Отсюда вытекает следующее свойство ото-
бражения о:
аа(ар .... а„) = <т(а1,	(4)
— центр тяжести центра тяжести n-угольника совпадает
с (первым) центром тяжести. (Отсюда видно, что отобра-
жение о является проекцией: о2 = о; см. § 4 гл. 2.)
Многоугольники (ап а2, ..., ап) с центром тяжести О,
т. е. такие, что
....а„) = (о, . ..,о),	(5)
образуют циклический класс, так как равенство (5) есть
иная форма записи циклической системы
(все уравнения этой системы совпадают). Этот цикличе-
ский класс является ядром линейного отображения о; он
обозначается через Лх> п и состоит—если вернуться в ис-
ходное пространство V—из всех л-угольников, (обычный)
центр тяжести которых совпадает с началом о пространства V.
Изобарачными мы будем называть два п-угольника
(ах, ...» aj, (ftv ..., bn), имеющие один и тот же центр тя-
жести:
а(ах, =	...,bn).	(6)
Условие (6), очевидно, эквивалентно равенству
“л” S’;}?
Свойство «изобаричности» есть отношение эквивалентности
в множестве Лп всех n-угольников, совместимое с линей-
ными операциями в Л„*); оно задает разбиение множе-
ства всех n-угольников на изобарические классы. Всякий
/г-угольнпк изобарпчен своему центру тяжести [см. (4)].
*) Другими словами, если А — Ах и В — Вг, где ~— знак от-
ношения изобаричности л-угольнпков, то
А 4~ А । Вг и	с А — с А । •
<4. ДВА ТИПА ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССОВ
29
Два тривиальных n-угольника изобаричны тогда и только
тогда, когда они совпадают. Отсюда следует, что всякий
изобарический класс содержит ровно один тривиальный
п-угольник, являющийся общим центром тяжести всех
n-угольников этого класса. Этот тривиальный п-угольник
является представителем изобарического класса.
<Лп является изобарическим классом, содержащим
(о, ..., о); назовем его нуль-изобарическим классом. [Вся-
кий изобарический класс является смежным классом Лп+
+ (а, .. .,а). Если ау=о, то смежный класс не является
подпространством V", а значит, циклическим классом;
Лп—единственный циклический класс, являющийся изо-
о
барическим классом.]
§ 4. Два типа циклических классов
Всякий циклический класс содержит тривиальный
п-угольник 0 = (о,	о).
Г. Если циклический класс содержит тривиальный
п-уголъник, отличный от О, то он содержит все триви-
альные п-угольники.
Доказательство. Предположим, что данный ци-
клический класс определяется набором коэффициентов
(с0, .. • ,	Тривиальный n-угольник (а,	а),
а о, принадлежит этому циклическому классу. Это оз-
начает, что он удовлетворяет системе уравнений (2):
coa + qa+ ... +сп^1а = о или (£cj)a==o.	(7)
Так как по условию а =#о, то 2^ = 0. Но если
то (7) удовлетворяется при любом а.
2°. Всякий циклический класс вместе с каждым п-уголь-
ником А содержит и его центр тяжести оА.
Доказательство, n-угольник аА является сред-
ним арифметическим п-угольников последовательности (1),
включая исходный. Поэтому он является решением одно-
родной циклической системы как линейная комбинация п
ее решений.
30
ГЛ. 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ л-УГОЛЬНИКОВ
Из 1° следует, что существует два типа циклических 
классов:	*
А. Циклические классы, охватывающие класс п три- 
виальных п-угольников. Класс такого типа вместе с п-уголь-
ником (ар	содержит все п-угольники	1
(ах....«„)+ (а.....а) = («х +	, а„ + а),
получаемые из (а1...ап) всевозможными параллельными
Переносами. Другими словами, этот класс инвариантен
относительно параллельных переносов. Такие циклические
классы мы назовем свободными.
В. Циклические классы, которые из тривиальных
n-угольников содержат только п-угольник О. Из 2° следует,
что всякий такой циклический класс содержится в нуль-
изобарическом классе Лп. Эти циклические классы назо-
О
вем центральными.
Сформулируем окончательный результат:
Теорема 1. Существует два типа циклических классов:	1
свободные, т. е. те, которые содержат класс тривиальных
п-угольников, и центральные, содержащиеся в нуль-изоба-
рическом классе. Свободные циклические классы являются
пространствами решений циклических систем с нулевой
суммой коэффициентов, центральные—пространствами
решений систем с суммой коэффициентов, отличной от
нуля.
Ап—максимальный,	п—минимальный свободные
циклические классы; Лп— максимальный, {О} — минималь-
ный центральные циклические классы. На приведенной
диаграмме (рис. 17) связь между этими четырьмя основ-
ными классами изображена наглядно: циклические классы
отмечаются точками, а соединяющие эти точки наклонные
или вертикальные отрезки обозначают включение ниже *
расположенного класса в класс, расположенный выше на
том же отрезке. При этом свободные циклические классы
можно представлять себе расположенными где-то на от-
резке, соединяющем Л1|Я и Лп, а центральные классы —
на отрезке, соединяющем {О} и Лп.
§ 4. ДВА ТИПА ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССОВ
31
Пример. Пусть п = 4. Тогда свободный циклический
класс образуют параллелограммы, а центральный цикличе-
ский класс, определяемый системой а1-]-а3~о........—	па~
раллелограммы с центром тяжести в начале о.
Для любого /1-угольника А n-угольник А — аА при-
надлежит Действительно, в силу (4)
о (А —о А) = о А — оА = О.
Геометрически п-угольник А — оА получается из А таким
параллельным переносом, что его новый центр тяжести
совпадает с началом о.
Если А принадлежит некоторому циклическому классу,
то, согласно 2°, ему же принадлежит о А, а следовательно,
и А — оА. Позднее мы докажем, что отображение
А—+А — оД,
как и следует ожидать, ставит в соответствие каждому
свободному циклическому классу содержащийся в нем
центральный класс и что это соответствие взаимно одно-
значно.
Итак, два типа классов естественным образом связаны
друг с другом; поэтому мы не потеряем никаких геоме-
трических свойств «-угольников, если ограничимся лишь
одним из этих типов. В наших примерах мы будем пред-
почитать свободные циклические классы.
32
ГЛ. 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ м-УГОЛЬНИКОВ
Упражнения
Г. При п / 1 четыре основных циклических класса попарно раз-
личны. При п = 2 никаких других циклических классов нет.
2. Пусть некоторый свободный циклический класс g определен
набором (с0, ..., где 2с/ = 0. Тогда набор +	+
+ определяет класс л-угольников из g с центром тя-
жести в начале о.
3. Пусть центральный класс определен набором (с0,
Тогда набор — cl~ci ...,	— с), где с—любой элемент поля,
не равный	определяет тот же циклический класс.
§ 5. Периодические классы
Пустьd—делитель n: n = d-d.
Рассмотрим циклическую систему уравнений
«!=»<«+!.•••»	(8)
определяющую циклический класс, состоящий из л-уголь-
ников
(«v ...,ad, alt ...,ad,	.... ad),
т. e. из d раз пройденных d-угольников (рассматриваемых,
разумеется, как (сМ)-угольники). Назовем такие п-уголь-
ники периодическими с периодом d\ рассматриваемый класс
назовем тоже периодическим и обозначим через Ла, а-
Ясно, что Ла, а—свободный циклический класс.
Каждому делителю d числа п соответствует свой пе-
риодический класс Ла, а. Крайние случаи: Лп>1—класс
всех n-угольников Лп', Лх,п—класс тривиальных и-уголь-
ников.
В связи с этим приведем следующую таблицу. Распо-
ложим вершины n-угольника в d столбцов из d вершин
каждый:
®d + l • • • Mn-d+l
^2 &d+2 ••• #Л-</ + 2
аа aid ... ап
§ 6. СТЕПЕ НЬ’СВОБОДЫ ЦИКЛИЧЕСКОГО КЛАССА
33
Строки этой таблицы содержат d элементов. Каждую из
них назовем d-шагдвым d-угольником многоугольника А =
= (ап а2, ..., а„), или, короче, хордовым d-угольником.
Позже мы неоднократно воспользуемся возможностью вы-,
деления тех или иных новых циклических классов с по-
мощью наложения определенных ограничений на хордо-
вые d-угольники. В частности, класс d состоит из тех
й-угольников, для которых все хордовые ^угольники
тривиальны.
§ 6. Степень свободы циклического класса
Как мы уже отмечали, циклический класс параллело-
граммов обладает следующим свойством: всякие три точки
аз могут быть единственным образом дополнены
до параллелограмма: ai = a1 — а2 + а3. Можно сказать,
что этот циклический класс обладает тремя степенями
свободы (или что его степень свободы равна 3).
Дадим общее определение. Циклический класс #
n-угольников имеет степень (свободы) f, если f—макси-
мальное число произвольно взятых точек alt ..., af, ко-
торые могут быть единственным образом допол-
нены до n-угольника (аг ..., af, cif+li .. .,ап) класса (в.
Степень циклического класса # обозначается Grad#.
На рис. 18 числа под циклическими классами обозна-
чают их степени свободы. Для периодических классов,
2 № 588
34
ГЛ. 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ л-УГОЛЬНЙКОВ
очевидно, Grad ЛлГл = d, ибо при многократном прохожде-
нии одного и того же многоугольника его степень, оче-
видно, не меняется.
Рассмотрим теперь циклическую систему (2), задаваемую
набором коэффициентов (с0,	Запись (2) для ли-
нейной системы необычна; перепишем ее в более привычной
форме:
. +сп_1а„ = о,
+ соа2 + • •. + сп _ 2ап = о,
с1а1 + сгаг + ... + сйап = о.
Теперь легко выписать матрицу
стемы:
коэффициентов этой си-
/с0 Сх ... С„_1 \
М (с0, сх, .сп_х) = с«-’ с» ; •	.
с2 ... с0 J
Каждая строка матрицы содержит одни и те же элементы,
только от строки к строке их совокупность циклически
сдвигается на один элемент вправо. Такие матрицы назы-
ваются циклическими.
Предположим, что первые г строк этой матрицы ли-
нейно независимы, а (г+ 1)-я строка является их линей-
ной комбинацией. Тогда всякая следующая строка является
той же линейной комбинацией г предыдущих. Итак, г по-
следовательных строк матрицы являются максимальной
линейно независимой системой, следовательно, ранг ма-
трицы равен г. Из теории систем линейных однородных
уравнений следует, что в этом случае п—г произвольно
заданных последовательных точек могут быть единственным
образом дополнены до решения системы. Отсюда следует
Теорема 2. Степень свободы циклического класса, задан-
ного набором (са, ..., cn_j), равна
n — RangM^, ...,сп_х}.
Упражнение. Пусть dim V—m. Тогда dim Vn — n-m, и если
g cz —циклический класс, такой, что Gradg = /, то dimg —/т.
§ 7. РАЗМЕРНОСТЬ и-УГОЛЬНИКА
35
§ 7. Размерность «-угольника
Определим размерность dim А «-угольника А, пони-
маемого как система из п точек векторного простран-
ства V. Для n-угольника с центром тяжести о естест-
венно положить
dim(ар я2......ап) = dim<яр аг, .... а„>,
где <ар а„> — подпространство, натянутое на век-
торы ар .... ап. Так как —о, то размерность
этого подпространства не превышает п—1. Для произ-
вольного n-угольника А положим
dim А — dim (4 — оД),
так что «-угольники, полученные один из другого парал-
лельным переносом, имеют по определению одинаковую
размерность. Размерность «-угольника не превосходит
«—1, всякий тривиальный «-угольник имеет размер-
ность 0, размерность треугольника и параллелограмма
не превосходит 2.
Размерность «-угольника есть размерность минималь-
ного содержащего его линейного многообразия в V. [По
определению, все линейные многообразия в V суть смеж-
ные классы Т + а, где Т—подпространство V и
dim(7'-|-a) = dim7’.]
Замечание. Пусть размерность V равна «. Рас-
смотрим максимальную размерность, которую могут иметь
«-угольники, принадлежащие заданному циклическому
классу. Это число будет одним и тем же для свободного
циклического класса и для отвечающего ему централь-
ного класса1); оно равно степени свободы центрального
класса, в то время как степень свободного класса будет
на 1 выше.
*) Это введенное в § 4 понятие будет еще уточнено в § 2
гл. 3.
2*
35
ГЛ... .(.„ЦИКЛИЧЕСКИЕ - КЛАССЫ «-УГОЛЬНИКОВ
§ 8.	Примеры циклических классов
Здесь мы ограничимся лишь примерами свободных
циклических классов, выделяемых в множествах /г-уголь-
ников при тех или иных фиксированных значениях п.
Отношение принадлежности между этими классами, ко-
торое будет нас особенно интересовать, мы условимся
схематически изображать на графических схемах или
диаграммах следующим образом: если в диаграмме два
р
р
Рис. 19.
циклических класса соединены наклонным * или верти-
кальным отрезком, то класс, находящийся ниже, вклю-
чается в верхний, принадлежащий тому же отрезку.
Число под классом обозначает степень свободы этого
класса.
Заметим, что мы не стремимся указать здесь полный
набор всех циклических классов, даже для малых и.
Вопросами полноты мы будем заниматься несколько
позднее.
а)	п~р (простое число). Нам уже известны свобод-
ные циклические классы Лр, Л^р (рис. 19). Этим исчер-
пывается множество периодических классов р-угольников,
так как р имеет только тривиальные делители р и 1.
Ь)	п = 4. Существуют три периодических класса: Л4,
Л2| 2 (класс дважды пройденных отрезков), Л1>4; приба-
вим к ним еще циклический класс параллелограммов,
§ 8. ПРИМЕРЫ ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССОВ
37
при этом мы придем к диаграмме, изображенной на
рис. 20.
с)	п = 2т. Во введении уже упоминались 2т-парал-
лелограммы, для которых векторная сумма противопо-
ложных пар сторон равна нулю; они, очевидно, опреде-
ляются циклической системой
Л1 U2-\-Otm+l	+ ъ =	....
Эквивалентным является требование совпадения середин
отрезков, соединяющих пары противоположных вершин:
"2" (^1 “Ь ^/я +1) = "2” (^2	+а)> ••• •
Класс 2т-параллелограммов имеет степень т+1. На
рис. 21 изображен один специальный 12-параллелограмм.
4-параллелограммы являются также 4-угольниками,
знакопеременная сумма вершин которых равна о (см.
равенство (*) на стр. 19). Это условие позволяет также
выделить определенный циклический класс 2/п-угольни-
ков, задаваемый циклической системой
а1—а2 + а3—а4+...+а2,„_1—а2т = о, ... .
Все уравнения этой системы совпадают с первым урав-
нением, откуда следует, что рассматриваемый класс имеет
степень 2т—1. Этот циклический класс мы будем назы-
вать АСО-классом (буквы АСО напоминают нам, что здесь
«Альтернированная (знакопеременная) Сумма (вершин) —
Нуль»). Таким образом, получена
Теорема 3. Множество 2т-параллелограммов и множе-
ство 2т-угольников класса АСО суть циклические классы
2т-угольников.
При п = 4 оба эти циклических класса совпадают.
Это совпадение имеет место только при n = 2m = 4, так
как лишь при m4-l=2m—1 степени этих классов
одинаковы: из т-1-1—2т—1 следует, что т = 2.
При n = 4m справедлива
Теорема 4. Всякий 4m-параллелограмм одновременно яв-
ляется АСО-многоугольником.

§ 6. ПРИМЕРЫ ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССОВ
30
Доказательство. Если (оп а2, ..., ав) есть
8-параллелограмм, то (а1У а2, а3, ав) и (а3, а4, а„ а3)—
параллелограммы, откуда уже следует его принадлеж-
ность классу АСО. То же рассуждение проходит и в об-
щем случае.
d)	/1 = 6. Имеется четыре периодических класса: Л3,
Л3,2 (класс дважды пройденных треугольников), Л2< 3 (класс
трижды пройденных отрезков), Л^ в, а также, согласно
теореме 3, класс 6-параллелограммов’(рис. 22) и АСО-класс
(рис. 23).
Во введении указан еще один вид 6-угольников —
призмы (рис. 24). Расположим вершины произвольного
6-угольника в таблицу
а4 а3 а5
at а3 а2
в которой индексы по строкам отличаются на две, а по
столбцам—на три единицы. Тогда призму можно будет
определить как такой 6-угольник, для которого в V су-
ществует параллельный перенос, переводящий точки пер-
вой строки таблицы в соответствующие точки второй
строки. Циклическая система аг — а4 — а3—а3, ... пока-
зывает, что множество призм является циклическим
классом.
6-угольник называется аффинно-правильным, если в V
существует такая .точка, которая дополняет каждые три
последовательные вершины 6-угольника до параллело-
грамма (рис. 25). Множество аффинно-правильных 6-уголь-
ников (обозначим его через 5?6) также является цикличе-
ским классом, так как оно может быть задано цикличе-
ской системой
a1—a2 + a3 = a2—a3 + ai,
.В диаграмме (см. рис. 26) указаны включения, суще-
ствующие между восемью циклическими классами 6-уголь-
ников. Если из одного класса диаграммы исходят два
поднимающихся вверх отрезка, то каждый раз можно убе-
диться, что соответствующий класс является пересече-
нием вышестоящих. ' В качестве примера покажем, что
справедлива
40
ГЛ. 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ л-УГОЛЬНЙКОВ
Теорема 5., Аффинно-правильные 6-угольники суть 6-па-
раллелограммы с нулевой знакопеременной суммой вершин,.
Для доказательства заметим, что АСО-6-угольник,
6-параллелограмм и аффинно-правильный 6-угольник сле-
6-угольнши
тривиальные
в-угольники
Рис. 26.
дующим образом определяются с помощью четвертой вер-
шины = —^f+i + ^z + 2 тРех последовательных вершин
АСО-6-угольники суть 6-угольники, для которых
= а'г = а'5, а3 = ав;
6-параллелограммы суть 6-угольники, для которых
аг = а3 ~ а5, а2 ~ ~
аффинно-правильные 6-угольники суть 6-угольники, для
которых
— — а3 = = аъ = ав.
Отсюда сразу вытекает справедливость нашего пред-
ложения.
§ 8. ПРИМЕРЫ ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССОВ
41
Отметим еще одно свойство степеней свободы: в изо-
браженной на рис. 26 диаграмме имеются отрезки трех
разных направлений, и вдоль отрезков каждого фикси-
рованного направления разность степеней постоянна,
причем сумма этих трех разностей равна разности между
максимальной и минимальной степенями классов диаг-
раммы.
Случай п = 6 есть первый действительно интересный
пример развиваемой нами теории, и мы рекомендуем его
читателю в качестве «самого главного» примера.
е)	и = 8. Наряду с четырьмя периодическими классами
Л8, ^4,2 (класс дважды пройденных 4-угольников), c//2t4
(класс четырежды пройденных отрезков) и 8 здесь име-
ются также (теорема 3) класс 8-параллелограммов и АСО-
класс. Из теоремы 4 следует, что АСО-класс охваты-
вает класс 8-параллелограммов.
Далее, дважды пройденные параллелограммы составляют
циклический класс, входящий в Л4> 2; он определяется
системой
а1 — а2 + а3 —а4=-о, ....
Кроме того, отметим множество 8-угольников, для кото-
рых оба хордовых четырехугольника (образованных вер-
шинами, взятыми через одну) являются параллелограм-
мами (рис. 27); это множество также является циклическим
42
ГЛ. 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 71-УГОЛЬНИКОВ
классом, определенным системой
а3 + а4—а, = о, ... .
В диаграмме (рис. 28) этот класс не назван, а лишь
отмечен точкой, под которой стоит цифра 6—степень рас-
сматриваемого класса.
8-угольники
дважды пройденные
4-угольники
4
АСО- 8- угольники
7
четырежды прой- дважды
денные г-угольники пройденные
Ъ	pnrsfl ЛЛй
£	/.  —
8-параллелограммы
параллелограммы л
тривиальные
з-угольники
1
Рис. 28.
Диаграмма классов 8-угольников отличается от диа-
граммы восьми классов 6-угольников: периодические
классы образуют в ней цепочку, призмы и аффинно-пра-
вильные 8-угольники отсутствуют. Классы дважды прой-
денных 4-угольников образуют поддиаграмму нашей диа-
граммы, совпадающую с диаграммой 4-угольников.
f)	п=10. Легко указать восемь циклических классов,
аналогичных классам 6-угольников.
Вместо аффинно-правильных 6-угольников здесь появ-
ляется класс, определенный системой
ах—а2 + а3 —а4 + а5-а2—а3 + а4—аь + а*9 .., .
§ 8. ПРИМЕРЫ ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССОВ
43
Этой системе удовлетворяют обыкновенные правильные
10-угольники евклидовсйй плоскости и их аффинные образы
(докажите!). Однако на рис. 29 показан 10-угольник этого
класса, отнюдь не являющийся аффинно-правильным. Этот
циклический класс имеет степень 5; максимальная раз-
мерность входящих в него 10-угольников равна 4 (если
размерность V не менее 4).
Общим свойством для 6, 8, 10 является то, что эти
числа имеют по 4 делителя.
g)	п=12. Число 12 имеет 6 делителей; этот факт
сильно увеличивает число свободных циклических классов.
1) —6) суть периодические классы 12-угольников, от-
вечающие делителям d= 12, 6, 4, 3, 2, 1.
7)—11). Класс трижды пройденных параллелограм-
мов определяется набором 12 чисел (1, —1, 1, —1,
0, ..., 0). Дважды пройденные 6-угольники классов
АСО-6-параллелограммовг призм и аффинно-правильных
6-угольников образуют еще'четыре циклических класса,
отличных от вышеуказанных. Если (с0, ......с5) — набор
коэффициентов, определяющих один из классов б-уголь-
ников, то соответствующий класс 12-угольников опреде-
ляется набором (с0,	..., с5, 0,	0).
Рис. 29.
12) —16). Дальнейшие циклические классы получим
путем наложения условий на хордовые d-угольники
(см. § 5). Те 12-угольники, у которых три хордовых
4-угольника являются параллелограммами, образуют цик-
лический класс, определяемый набором (1, 0, 0, —1, 0,
0,	1, 0, 0, —1, 0, 0). Аналогично 12-угольники,
/
§ 8. ПРИМЕРЫ ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССОВ
45
у которых хордовые 6-угольники принадлежат цикличе-
ским классам АСО, 6-параллелограммов, призм и аффин-
но-правильных 6-утольников, образуют циклические
классы. Если (с0, ..., с5) — набор, определяющий рас-
сматриваемый класс 6-угольников 9, то соответствующий
класс 12-угольников определяется набором (с0, 0, q, О,
..., с5, 0). «Мальтийский крест», изображенный на
рис. 30, есть 12-угольник, в котором оба хордовых 6-уголь-
ника. аффинно-правильны.
17)— 20). Другое требование, которое можно нало-
жить на хордовые d-угольники,— это требование их изо-
баричности. Для d=2, 3, 4, 6 получается четыре цикли-
ческих класса 12-угольников. Если изобаричны хордовые
2-угольники (пары противоположных вершин), то полу-
чаем 12-параллелограммы; если изобаричны хордовые
6-угольники, то получаем АСО-12-угольники.
В мальтийском кресте оба аффинно-правильных хор-
довых 6-угольника — и даже вообще все хордовые d-уголь-
ники—изобаричны.
21). Расположим вершины 12-угольника в таблицу
Л1 а4 а7 а10
а5 а8 ап а2
«о Я12 «3 «6
где индексы по горизонтали возрастают на три, а по
вертикали — на четыре единицы (по модулю 12). Потре-.
буем, чтобы существовали параллельные переносы, пере-
водящие точки одной строки в соответствующие точки
любой другой. Легко видеть, что это требование совпа-
дает с аналогичным требованием для столбцов; 12-уголь-
ники, удовлетворяющие этому требованию, назовем (3, 4)-
призмами. Очевидно, множество (3, 4)-призм определяется
циклической системой
ах —а5 = а4—-а8, ...
и потому является циклическим классом.
Читателю предоставляется возможность определить
дальнейшие циклические классы 12-угольников и распо-
ложить их в диаграмму (рис. 31).
т) Эти 6-наборы были таковы: (1, —1, 1, —1, 1, —1), (1, —1,
0,1, —1, 0), (U 0, —1, -1, 0, 1) и (1, —2, 2, —1, 0, 0).
46
ГЛ. 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ «-УГОЛЬНИКОВ
Упражнения
1.	Каждую вершину треугольника a, b, с £ V отразим относи-
тельно каждой другой вершины (рис. 32). Полученный 6-угольник
(2а —Ь, 2а —с, 2Ь — с> 2Ь—а, 2с — а, 2с —Ь) имеет знакоперемен-
ную сумму, равную о.
2.	Пусть а, д, г, р £ V. Построим отражение точки р относи-
тельно а, полученной точки— относительной, затем относительно с
и затем повторно относительно а, b и с. Полученная замкнутая
фигура есть призма (рис. 33).
3.	Пусть а, Ь, с, р Построим четвертые вершины парал-
лелограммов а—р + Ь, Ь—р + с, с—р + а. Многоугольник 4 =
= (а, а—р + Ь, Ь, Ь—р + с, с, с—р + а) есть 6-параллелограмм.
Всякий ли 6-параллелограмм описывается таким образом?
Вершины шестиугольника -~-(4 + Р), где Р~(р.....р), явля-
ются серединами ребер «тетраэдра» а, Ь, с, р. Многоугольник
“(4 + Р) также является 6-параллелограммом (рис. 34). Таким об-
разом, три пары середин противоположных ребер тетраэдра имеют
общую середину, являющуюся центром тяжести тетраэдра. Что мы
получим, если р—центр тяжести (а, Ь, г)?
4.	Пусть n = d*d и —циклический класс d-угольников. Мно-
жество п-угольников, в которых все хордовые d-угольники принад-
лежат классу является циклическим классом. Набор п чисел,
определяющий этот циклический класс, получается из d-набора
(с0, . ..,_с^_1), если между каждыми двумя числами последнего по-
ставить d—1 нулей.
5.	Пусть п = dd — разложение числа п на взаимно простые дели-
тели. Циклическая система
ai-a</+1-a3+1+ad+d+1 = o....
определяеТ-Циклический класс л-угольников. Назовем их (d, ~d)-приз-
мами,', (d, d)-npH3Ma состоит из d совместимых параллельными пе-
реносами d-утольников, или из d совместимых параллельными
переносами d-угольников; (2, 3)-призмы —это обычные 6-призмы.
Всякий л-угольник есть (л, 1)-призма. Для каких л не существует
больше никаких классов призм?
6.	Пусть n = d*d. Если ^ — циклический класс d-угольников,
то множество j всех п-угольников, являющихся d раз пройден-
ными d-угольниками из ^d, т. е. множество л-угольников
(«ь ...» ad, ах....ad, ..., ах....ad),
где (аь ..., ad) g <gd, является циклическим классом. Утверждение
«если (с0, ..., c^-i) —определяющий набор для <&d, то j опреде-
ляется набором (с0, ..., cd-±, 0, ..., 0)», вообще говоря, неверно.
/
i
Г-ЛАВА 2
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
^-УГОЛЬНИКОВ
§ 1. Циклические отображения
Во введении приведены примеры отображений множе-
ства n-угольников в специальные подмножества, которые
оказываются циклическими классами. Например, каждому
n-угольнику ставится в соответствие п-угольник, образо-
ванный серединами сторон:
(ар а2, .... «„)-*(&!, t>2.....&„),
где
&i = y(ai + «s). *2 = у(а2 + 0з).....
Система, определяющая это отображение, носит явно ци-
клический характер: всякое последующее уравнение полу-
чается из предыдущего циклической подстановкой индек-
сов 1,2,....
Дадим теперь общее определение. Линейное отображе-
ние множества всех n-угольников Лп в себя называется
циклическим, если оно задается системой
&i = W1 + c1a2 + ... + сп_хап,
&2 G)#2 4“	4" • • • 4~
=	4“	4" • • • 4“
где (&п ..., Ьп)— образ n-угольника (ах, ..., ап) при
данном отображении. Коэффициенты (г0, .. ., назовем
п-набором коэффициентов циклического отображения.
Ядро этого отображения (множество /2-угольников, пере-
ходящих в О (о, о, о)) определяется однородной си-
стемой,. получающейся, если в (1) положить bi — o, Она
совпадает с системой (2) гл. 1 (стр. 25) и, следовательно,
определяет циклический класс (задаваемый тем же п-набо-
ром (с0, cv ..., Итак, получена
§ 2. АЛГЕБРА ЦИКЛИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
'49
Теорема 1. Циклический класс является ядром цикличе-
ского отображения с тем же набором коэффициентов.
Эта определяющая связь между циклическими классами
и циклическими отображениями является основанием для
дальнейшего изучения циклических классов.
Теорема 2. Различные п-наборы элементов из К опреде-
ляют различные отображения.
Доказательство. Надо доказать, что если два
отображения совпадают, то совпадают также определяю-
щие их n-наборы (с0,	..., сп_^ и (d9, dv ..., dn^1).
Как и раньше, предположим, что пространство V состоит
не из одного только нуль-вектора; итак, пусть а=^о.
По предположению оба циклических отображения пере-
водят n-угольник (а, о, ..о) в один и тот же п-уголь-
ник, т. е.
(соа, ..., c1a) = {doai d^a, ..., dra).
Так как а=И=о, отсюда следует,^ что c^d; для всех
М 1, ..., п— 1.
Итак, число циклических отображений равно числу
п-наборов элементов из К. Различные циклические отобра-
жения могут иметь один и тот же циклический класс в
качестве ядра. К числу стоящих перед нами задач отно-
сится и задача определения количества циклических
классов.
Примеры из введения приводят к близкому вопросу:
всякое ли циклическое отображение переводит множе-
ство всех п-угольников в циклический класс? В этой и сле-
дующей главах будут найдены образы геометрически
наглядных циклических отображений. Ответ на общий
вопрос будет дан в гл. 6 и далее.
§ 2. Алгебра циклических отображений
Прежде чем перейти к примерам, мы хотим очертить
общие рамки наших исследований.
Пусть ср —отображение множества в себя. Через
<рЛ обозначим образ n-угольника А при этом отображе-
50
ГЛ. 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ л-УГОЛЬНИКОВ
нии. Полный образ и ядро отображения ф обозначим так:
Кет <р = {А :<рЛ = О}, Im ф = уАп = {фЛ: А С Лп}.
Пусть <р, -ф, ...—эндоморфизмы векторного про-
странства Лп (линейные отображения Лп в себя). Сложе-
ние, умножение на число и произведение эндомор-
физмов определяются равенствами
(ф + ф) А = фЛ 4~фЛ, (сф) Л = с(фЛ), (фф) Л = ф(фЛ), .
так что умножение эндоморфизмов — это их последователь-
ное выполнение. Обозначим через 0 нулевой эндомор-
физм ф, для которого Imф = о, и через 1—единичный
эндоморфизм ф, для которого фЛ = Л для всех Л. По
отношению к названным операциям множество эндомор-
физмов образует алгебру над К, которую мы обозначим
через End (<//„); 0 и 1—нулевой и единичный элементы
этой алгебры.
Циклические отображения являются частными слу-
чаями эндоморфизмов. Отображение
С: (Яр а2, .... а„)-*(а2, .... ап, aj
является циклическим и определяется n-набором коэффи-
циентов (0, 1, 0, ..., 0). [При п=1 имеем £=!.] Оче-
видно, что £" = 1. Степени	Л
1, с, :2, .-Л"-1	(2)	|
эндоморфизма £ образуют циклическую группу порядка п ।
и переводят каждый п-угольник А в множество п-уголь- 1
ников, получающихся из А циклическими подстановками |
вершин. Очевидно, что всякий циклический класс инвариан- I
тен относительно £.	।
Пусть теперь ср — циклическое отображение, опреде- ?
ляемое n-набором (с0, q, ..., сп_^. Тогда систему (1)
можно переписать так:
(&р *2, ...,&„)=	I
= (cqOj, соя2, .. •, гоя„) 4*	~ U	..., ип) 4“	*
4-^, qa3........с1я1)4- 4-CiU«i> «а.......ап)+	1
+{сп.,ап, .. .,сп_1ап_1)=-. 4-сп_1£”"1(«1, «2...........«„)	=
п- 1
i=Q
§ i. АЛГЕБРА ЦИКЛИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
51
Поскольку (а1(	а„) — любой п-угольник, получена
Теорема 3. Циклическое отображение с набором коэф-
фициентов (с0, clt .... c„_j) представимо в алгебре End (</Z„)
в виде
п-\
2 <#.	(3)
1=0
Разумеется, само отображение С не представляет ни-
какого геометрического интереса; однако всякое цикличе-
ское отображение оказывается представимым в виде ли-
нейной комбинации степеней (2), которые в силу теоремы 2
линейно независимы. Действия с этими линейными ком-
бинациями полностью определяются операциями в алгебре
Епб(Л„). Равенства
2 с&‘ + 2 d& = 2 (ci + di)	с' 2 с&‘ = 2 (cci) V
показывают, как производится сложение циклических
отображений и умножение на число с£К. При перемно-
жении двух линейных комбинаций степеней следует
учитывать, что £"=1; поэтому
2^'’-2^'=2^,
где
ео “	4"	-14~ • • • + dn _ 1с1,
~ йосх +	. + dn _
еп -1	-1 + dxcn _ 2 4~ • • • 4" dn _iC0.
Таким образом, произведение циклических отображений
снова является циклическим отображением.
Коэффициенты произведения не меняются при замене ct
на dh и наоборот. Отсюда следует, что произведение
циклических отображений коммутативно:
Теорема 4. Циклические отображения образуют комму-
тативную алгебру над К, подалгебру алгебры Епс1(Лл),
с базисом 1, £, ..
Эта алгебра является одновременно групповой алгеброй
(над К) циклической группы, порожденной элементом
52
ГЛ. 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ОТОВРАЖЕНИЯ л-УГОЛЬНИКОВ
Мы будем обозначать ее через К [С] и более подробно
рассмотрим в § 1 гл. 8.
Из коммутативности циклических отображений в силу
теоремы 1 вытекает, что циклические классы инвариантны
относительно всех циклических отображений.
Теорема 5. Если ф—циклическое отображение, а % —
произвольный циклический класс, то ф^с{».
Доказательство. В силу теоремы 1, # является
ядром некоторого циклического отображения <р: #=.Кегф.
Если А € Кегср, то срД = О; поэтому тем более ффА=фО=О.
Но так как фф = фф, то ффЛ = О, откуда следует, что
фЛ € Кег ср.
§ 3.	Сумма коэффициентов циклического отображения
Некоторые свойства циклического отображения
Ф = 2сД' связаны с числом $(ф)€^—суммой коэффи-
циентов этого отображения. Соответствие
Ф = 2^'’-*5(ф)=2с,-	(5)
является гомоморфизмом алгебры К [С] в К'- действительно,
равенство
$(фф) = з(ф)-$(ф)
непосредственно следует из (4).
Аналогично, из определения (1) циклического отобра-
жения следует, что
L&‘=£c'-Ea'-’ или
Отсюда вытекает:
Если сумма коэффициентов s (ср) циклического отобра-
жения ср равна 0, то ср переводит каждый п-угольник в
п-угольник с центром тяжести о, а все множество Лп
в нуль-изобарический класс Лп. Такие отображения со-
ставляют ядро гомоморфизма (5) и, следовательно, идеал
алгебры
Циклические отображения ср с суммой коэффициентов
s (ср) = 1 —это те отображения, которые сохраняют центр
§ з. Сумма коэффициентов циклического отображения 53
тяжести любого п-угольника и, следовательно, изобариче-
ские классы. Такие циклические отображения' мы будем
называть изобарическими циклическими отображениями.
Произведение таких отображений является изобарическим
циклическим отображением.
Пример. Отображение о из § 3 гл. 1, сопоставляю-
щее каждому n-угольнику его центр тяжести, есть изоба-
рическое
тов (—,
\ п
циклическое отображение с набором коэффициен-
1, .... Д:
п ’	’ п J
<у=4(и-т2+...+£"’1).
Очевидно, что
1010 = ^ Кего = Л„.
Теорема 1 допускает уточнение. Всякий циклический
класс служит ядром циклического отображения, либо
имеющего нулевую сумму коэффициентов, либо изобари-
ческого. Действительно, если s (ср) 0, то —т-гю — изоба-
S (ф) ’
рическое отображение с тем же ядром, что и ср. Отсюда
и из теоремы 1 гл. 1 следует
Теорема 6. Свободные циклические классы являются
ядрами циклических отображений с нулевой суммой коэф-
фициентов; центральные классы—ядрами изобарических
отображений.
Упражнения
1.	Пусть А — (аъ а2, ...» ап). Вершины л-угольника (£--1)4
являются «векторами сторон» 0/+1 —а,- для 4; при этом
1ш(£-1) = Л„, Кег (£—=
о
2.	Обратимые циклические отображения образуют группу отно-
сительно умножения в К [£]. Всякое обратимое циклическое отобра-
жение взаимно однозначно переводит в себя любой циклический
класс. Примеры: растяжение (или гомотетия) с-1, где с 0 0 — эле-
мент из К; отражение п-угольника относительно его центра тяжести
2а—1; £; £ —с, где сп £ 1. Какие из этих отображений являются
изобарическими?
Циклические отображения с суммой коэффициентов. О необратимы.
54 ГЛ. 2. ЦЙКЛЙЧЕСКЙЕ ОТОБРАЖЕНИЯ л-УГ ОЛЬНЙКОЙ
3.	Пусть ф—циклическое отображение. Множество Fix ср =
= {А: ф А = А} есть циклический класс. Если ф изобарично, то
Fix ср —свободный класс. Пример: если d — делитель л, то Fix£rf =
— при л = 4 класс Fix (£ —£2 + £3) —это класс параллело-
граммов.
Для всякого циклического класса существует циклическое
отображение, для которого 4? = Е1хф. Исследуйте соотношение
Fix ф = Fix-ф; например, если Char К #2, то Fix ф = Fix (2ф—1).
§ 4.	Проекции
Пусть М—любое множество элементов a, b, ..., а
Ф, ...—отображения М в себя. Будем обозначать
через Im ср образ М, а через Fix ф множество неподвиж-
ных элементов отображения ф:
Im Ф = {cpa:ag М}, Fix ф = {а:фа = а}.
(Р1хф есть максимальное подмножество М, на котором ф
тождественно.) Очевидно, что Р1хф^1тф.
Отображение ф, такое, что фф = ф, называется идем-
потентным отображением (идемпотентом), или проекцией
(проектированием) М в себя. Утверждение, что ф есть
Проекция, эквивалентно каждому из трех следующих
утверждений:
1)	сужение ф на 1шф является тождественным ото-
бражением;
2)	1шф = Е1хф;
3)	1ш ф s Е1хф.
Различные проекции могут иметь один и тот же образ.
Замечательно, однако, что если проекции коммутируют,
то из совпадения образов следует совпадение самих
проекций:
Теорема 7. Если ф и коммутирующие проекции
(т. е. ф\|) = 'фф) и 1ш ф — Im ip, то ф = гр.	«
Доказательство. Пусть а — любой элемент из М.
По условию теоремы 1тф = 1тфс= Е1хф. Таким обра-
зом, фа£ Fix гр, т. е. г|хря = фя. Аналогично грфя = г|х/, но
так как фф = г|)ф, то	(для всех а).
Квазипроекцией будем называть такое отображение М
в себя, -которое на образе М действует взаимно одно-
§ 4. ПРОЕКЦИИ
55
значно (другими словами, сужение <р |im ф которого на
образ 1тф множества М взаимно однозначно).
Введем обозначение <р = <р Тогда если ср—квази-
проекция, то <р-1ф — проекция М на 1тф.
Пусть теперь (Л, +) — абелева группа с элементами
о, а, ...; ф, -ф,...—эндоморфизмы Л. Ясно, что 1тф
и Пхф являются подгруппами в Л. Наряду с ними ф
задает еще одну подгруппу—ядро ф:
Кегф = {а:фа = о}.
Множество эндоморфизмов Л является кольцом по
отношению к операциям сложения ((ф + ф)а = фа + фа)
и умножения (т. е. последовательного выполнения эндо-
морфизмов); нулем этого кольца является эндоморфизм О,
переводящий каждый элемент Л в о; единицей—тождест-
венный эндоморфизм 1. Если ф—эндоморфизм, то 1—ф—•
тоже эндоморфизм. Положим 1—ф = ф'; тогда ф" = ф,
т. е. ф—*1—ф есть инволютивное соответствие в кольце
эндоморфизмов Л. Очевидно, справедливы соотношения
Е1хф = Кег(1—ф); Кегф = Е1х(1—ф).
Пусть теперь ф — идемпотентный эндоморфизм, или
проекция в Л. Тогда 1—ф—тоже проекция и выпол-
няются равенства
1=ф + (1—Ф), Ф(1— ф) = (1— ф)ф = 0.
Два отображения, удовлетворяющие последним равенст-
вам, называются взаимно дополнительными. Имеем также
1тф = Кег(1 — ф), Кегф = 1ш (1—ф).	(7)
Теорема 8. Если ф — идемпотентный эндоморфизм абе-
левой группы Л, то
Л = 1шффКегф.	(8)
[Последнее равенство означает, что
Л = 1п1фН-Кегф и 1шфГ|Кегф = {о}.
Говорят также, что 1m ф и Кегф—дополняющие друг
друга подгруппы группы Л.]
56
ГЛ. 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ «-УГОЛЬНИКОВ
Доказательство. Для всех а^Л имеем
а = а • 1 = сра + (1 —ср) а £ Im ср + Im (1 —ср) =
= Im ср + Кег ср.
Если а С Imcp 0 Кег ср, то (поскольку Im ср = Fix ср)
сра = а и сра = о, откуда а = о.
Эндоморфизм ср группы Л тогда и только тогда есть
квазипроекция, когда
Im ср2 = Im ср и Кег ср2 = Кег ср.	(9)
Действительно, ср—квазипроекция тогда и только
тогда, когда всякий элемент из Im ср имеет свой прообраз
в Imcp:
Im ср € cplm ср,
или, поскольку ср Im ср — Im ср2,
Im ср s Im ср2, т.* е. Im ср = Im ср2
(обратное включение очевидно), Далеел утверждение:
«ср действует на Imcp взаимно однозначно» эквивалентно
утверждению: «из срсра = о следует сра —о», т. е. эквива-
лентно включению
Кег ср2 е Кег ср.
Таким образом, ср есть квазипроекция тогда и только
-тогда, когда
Im ср £= Im ср2, Кег ср2 е Кег ср,
т. е. когда (9) имеют место (поскольку обратные вклю-
чения тривиальны).
Теорема 8'. Для того чтобы эндоморфизм ср абелевой
группы Л удовлетворял условию (8), необходимо и доста-
точно, чтобы ср был квазипроекцией.
Доказательство. Следующие высказывания экви-
валентны между собой:
1)	для всякого сра существует срб, такой, что сра = срср&;
§ 4. ПРОЕКЦИИ
57
2)	для всякого а существует &, такой, что сра = срср&,
или ср (а—ср&) = о, или а —ср&^Кегср, или а = ф& +
+ (а—ср&), где а—фй^Кегф;
3)	Л С Im ф + Кег ф.
Кроме того, эквивалентны высказывания: из ффа = о
следует фа = о; из фа С Кег ф следует фа = о; Im ф А
А Кег ф= {о}.
Проекции существуют и среди циклических ото-
бражений множества всех п-угольников Лп в себя; будем
называть их циклическими проекциями. Так, 0 и 1 —
циклические проекции. В § 1 этой главы был поставлен
вопрос об образах циклических отображений. Следующая
теорема дает на него частичный ответ:
Теорема 9. Если ф — циклическая проекция, то 1тф —
циклический класс.
Доказательство. Если ф — циклическая проекция,
то 1 — ф—тоже циклическая проекция. Тогда 1гпф==
==Кег(1—ф); но Кег(1—ф) является циклическим клас-
сом (теорема 1).
Сумма коэффициентов $(ф) циклической проекции ф
равна 0 или 1. Действительно, отображение ф—>$(ф)
является гомоморфизмом /<[£] на /С Если ф — идемпо-
тент, то s (ф)—тоже идемпотент в К, но поле не имеет
идемпотентных элементов, отличных от 0 и 1. Если
$(ф) = 1, то $(1—ф) = 0 (и наоборот). Отсюда и из тео-
ремы 6 следует, что если ф — изобарическая циклическая
проекция, то 1гпф—свободный циклический класс. Если
же $(ф) = 0, то 1тф — центральный циклический класс.
Образ и ядро любой циклической проекции являются
взаимно дополнительными подпространствами векторного
пространства Лл (см. теорему 8).
Суммируем полученные результаты:
Теорема 9'. Если ф — циклическая проекция, то 1тф
и Кегф—взаимно дополнительные циклические классы.
Если при этом ф изобарично, то 1т ф—свободный, а
Кегф—центральный циклические классы; если же $(ф) = 0,
58
ГЛ. 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ л-УГОЛЬНИКОВ
то, напротив, Kerq>—свободный, a Im ср — центральный
классы..
Пример: о есть изобарическая циклическая проек-
ция, 1та = Ль„—класс тривиальных и-угольников,
Кет а—нуль-изобарический класс Лп (см. § 3 гл. 1 и §3
этой главы). Далее, 1 —с есть циклическая проекция
с нулевой суммой коэффициентов. Итак,
=	гДе Imo = ^li„==Ker(l—о),
Кего = Лп = Im (1 —а).
О
Пусть А — произвольный п-угольник. Разложение
Л = о4 + (1— о) Л
является представлением А в виде суммы тривиального
п-угольника—центра тяжести А—и n-угольника, полу-
ченного из А таким параллельным переносом, чтобы его
новый центр тяжести совпал с о. Это представление А
в виде суммы тривиального и нуль-изобарического п-уголь-
ников единственно.
Упражнение. Эндоморфизм абелевой группы тогда и только
тогда является квазипроекцией, когда существует некоторая проек-
ция, имеющая с данным эндоморфизмом одинаковые образ и ядро.
Так как проекция полностью определяется своими образом и ядром, то
для заданной квази проекции ф искомая проекция единственна и
равна ф~* ф.
§ 5.	Примеры
Мы укажем примеры изобарических циклических ото-
бражений для п = 4 и /1 = 6.
а)	п — 4. Циклическое отображение («,, а2, а3, at) —*
* (^1> ^2> ^3>
+ ...
ставит в соответствие каждому 4-угольнику 4-угольник
середин его сторон. Обозначим это отображение через х2:
х, (а1( а2, а3, at) =
= ^2" (^14*	(®з4~ «з). "у (®з Н-"2” (^4 "Ь-^1)♦.
§ 5. ПРИМЕРЫ
59
Образ всякого 4-угольника при этом отображении имеет
знакопеременную сумму вершин нуль и, следовательно,
является параллелограммом; Imx2 является циклическим
классом параллелограммов. При этом х2 переводит в мно-
жество тривиальных 4-угольников класс дважды прой-
денных отрезков (ар а2,	а2), т. е. <//2|2 в Лх,4.
Перейдем теперь к изобарическим циклическим отобра-
жениям в Л2|2. Очевидно, что таким является отобра-
жение
^ = y(ai + «3). •••.
которое каждому 4-угольнику ставит в соответствие дважды
пройденный 2-угольник середин диагоналей исходного
4-угольника (рис. 35). Прообразами тривиальных 4-уголь-
ников являются здесь параллелограммы. Это отображение
обозначим через щ.
Итак, для всех отрезков диаграммы свободных классов
4-угольников из § 8 гл. 1 мы имеем циклическое отобра-
жение, которое переводит верхний класс в нижний
60 гл. 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ П-УГОЛЬНИКОВ
(рис. 36). Последовательное выполнение х2р2 тривиализи-
рует все 4-угольники.
Как элементы К [С], х2 и р2 можно записать так:
х2 = 1(1-Н),	И2 = |(1+^),
откуда
>мч=4(1+о4 (1 +?)=4(i+та+сз)=<*.
Отображение р2 является циклической проекцией
(идемпотентом). Действительно,
(1(1 +^))2 = 4 О + 2С2 + £4) = у(1 + С2), так как ^=1.
Примечание. Буква х с индексом всегда обозна-
чает отображение, сопоставляющее каждому п-угольнику
n-угольник центров тяжести нескольких последователь-
ных вершин исходного; р с индексом обозначает отобра-
жение, сопоставляющее каждому n-угольнику п-угольник
центров тяжести хордовых многоугольников. Это так
называемые последовательные и хордовые усреднения (см.
гл. 4).
Ь)	п==6. Через х2, х3, а3 обозначим циклические ото-
бражения (яр ..., аб) —> (&р ..., £0), заданные посред-
§ 5. ПРИМЕРЫ
61
ством циклических систем
'Х2*	= “2"(#i4"#2), • ••>
х3:	й1-|(а1 + а2 + а3),
а3:	—а2 + а3, .
х2 — знакомое нам отображение, сопоставляющее каждому
6-угольнику 6-угольник середин его сторон; х2 и х3 —
отображения в 6-угольники центров тяжести соответ-
ственно двух и трех последовательно взятых вершин
исходного 6-угольника; а3 переводит 6-угольник в 6-уголь-
ник, состоящий из четвертых вершин последовательных
троек вершин исходного 6-угольника. Для этих трех
отображений справедливы следующие предложения вве-
дения:
Г. х2 отображает Л^ в класс ^-угольников с нулевой
знакопеременной суммой вершин',
2°. х3 отображает Л^ в класс ^-параллелограммов',
3°. а3 отображает Л^ в класс призм (см. рис. 37—40).
В их справедливости мы убеждаемся элементарным под-
счетом:
1°.	= 0	—знакопеременная сумма вер-
шин].
2°. Из системы, определяющей х3, следует, что
4 (К + &4) = 4 (&2 + *&) = ^(&з + bt) =4 £ at.
Это означает, что во всяком 6-угольнике—образе сере-
дины диагоналей совпадают между собой и с центром
тяжести исходного 6-угольника (он же — центр тяжести
полученного 6-угольника).
3°. Из системы, определяющей а3, следует, что
=ь3—ьл=ьа—ь2=2 (±а«),
т. е. в 6-угольнике—образе тройки вершин (йп Ь3, Ь.) и
(&4, Ье, Ь2) различаются на вектор параллельного пере-
носа £(±а,) (призмы). Кроме того, £(±а,) =

§ 5. ПРИМЕРЫ
63
В диаграмме восьми свободных классов 6-угольников
(§ 8 гл. 1) х2 действует в направлении NW — SO (ееверо?
запад—юго-восток), х3— в направлении NO—SW, а3 —
в направлении N—S, на каждом отрезке вышестоящий
класс отображается в нижестоящий (рис. 41).
Тот факт, что х2 переводит класс 6-параллелограммов
в класс аффинно-правильных 6-угольников (рис. 42),
можно обнаружить и без подсчетов следующим образом.
Рис. 41.
Пусть А есть 6-параллелограмм; тогда и2А по теореме 5 —
тоже 6-параллелограмм, а, согласно 1°, знакопеременная
сумма его вершин равна о; таким образом, в силу тео-
ремы 5 гл. 1, х2Л—аффинно-правильный 6-угольник.
Возьмем произвольный 6-угольник и применим к нему
последовательно в любом порядке три отображения х2,
х3, а3; в результате получится тривиальный 6-угольник,
а именно 6 раз повторенный центр тяжести исходного
6-угольника (см. рис. 40).
64 ГЛ. 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ л-УГОЛЬНИКОВ
В К [£] рассматриваемые отображения записываются
в виде
х2 = 1(1 + £), х3 = |(1+т2), а3=1-£ + £2> .
откуда
^Л«,^|(1+р4(1 + Н^)'(1Ч + Сг) =
=1(1+с+с2+^+:4+с5)=о-
Упражнения
1. Отразим каждую вершину 5-угольника (an ...» а5) относи-
тельно середины противоположной стороны/ Тем самым определяется
циклическое отображение Р множества 5-угольников в себя. Приме-
ним отображение а3 к Р (at....... а5); ~в результате получим
(а2, ...» aj; поэтому р — обратимое отображение.
2. Обобщением а3 являются изобарические циклические отобра-
жения, определенные для нечетных и, а именно:
аи:(О1....«и)—*-(&!....ьп), где &! = «! —а2 + а3 — ...+а„,
при этом аи=1 — $ + £2—При нечетных п и Char К /2
отображения ап и х2 взаимно обратны.
§ 6. ЦИКЛИЧЕСКАЯ КВАЗИПРОЕКЦИЯ
65
§ 6. Циклическая квазипроекция
Примеры предыдущего параграфа показывают, что при
п = 4 и 6 многие циклические отображения переводят мно-
жество всех ^-угольников в циклические классы. Между
тем нас интересует вопрос о том, являются ли все цикли-
ческие отображения отображениями на циклические
классы, т. е. переводят ди они все пространство Лп в
(те или иные) циклические классы.
В качестве примера приведем дальнейшее исследова-
ние этого вопроса для отображения х2 при п = 4.
Пусть А — произвольный 4-угольник; тогда х2Л, т. е.
4-угольник середин сторон, является параллелограммом.
Обратно, пусть В—заданный параллелограмм. Сущест-
вует ли «описанный вокруг него» 4-угольник, т. е. суще-
ствует ли 4-угольник Л, такой, что В=х2Л? Если да,
то что можно сказать о множестве описанных 4-угольни-
ков? Существуют ли среди них параллелограммы, и если
да, то сколько именно параллелограммов?
Мы утверждаем следующее:
1°. х2Л—всегда параллелограмм. 2°. Для всякого парал-
лелограмма В существует такой 4-угольник Л, что
В — п2А. 3°. Для всякого параллелограмма В существует
единственный параллелограмм Л, такой, что В = и2А.
Прежде чем доказывать эти предложения, объеди-
ним их:
Теорема 10. Пусть п~4\ тогда х2 отображает мно-
жество всех 4-угольников на циклический класс параллело-
граммов'. в множестве параллелограммов х2 действует
взаимно однозначно.
Теорема 10 утверждает, что х2 есть квазипроекция.
^Очевидно, что проекцией х2 не является: Imx2=?^Fixx2
и х2 = у(1+£) не совпадает со своим квадратом.^
Доказательство 2°иЗ°. Пусть (6Р 62, &3, &4)—
параллелограмм, так что
b.-b. + b.-b^o,'	(10)
3 № <588
66 ГЛ. 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ «-УГОЛЬНИКОВ
Найдем решение неоднородной системы
~2	= *2*
1 1 (н)
^3	2	+	^4— 2 (^4~Ь^1)>
где четвертое уравнение представляет собой знакоперемен-
ную сумму первых трех и поэтому является их следст-
вием. Положим aj = o; тогда остальные три вектора най-
дутся однозначно и мы получим частное решение си-
стемы (11):
(О, 2Ьи —2&х + 2&2, 2&х—2&2 + 2&3).	(12)
Общее решение соответствующей однородной системы есть
циклический класс Кегх2; он состоит из дважды прой-
денных отрезков с центром тяжести о, т. е. из 4-уголь-
ников (с, —с, с, —с). Общее решение исходной системы
(11) есть сумма частного решения (12) и общего решения
однородной системы
(с, — c + 2bv c—2b1 + 2bt, ~c + 2bl — 2bi + 2b3), (13)
где с произвольно.
Множество решений (13) всегда содержит параллело-
грамм, ибо требование, чтобы «знакопеременная сумма
вершин равнялась нулю», приводит к единственному зна-
чению с — у(3&!—2624-&3). Согласно (10),
С =	& + где Ь =	(14)
Решение (13) данной системы имеет следующий гео-
метрический смысл: чтобы получить четырехугольник,
описанный вокруг параллелограмма (&п &2, &3, &4), до-
статочно, выбрав любую точку г, отразить ее относи-
тельно точки полученную точку отразить относи-
тельно &2, затем относительно &3. Так как формула (13)
дает все решения системы, то всякий описанный 4-уголь-
ник можно получить таким образом. Описанный парал-
лелограмм, как следует из (14), получится в том случае,
§ 6. ЦИКЛИЧЕСКАЯ КВАЗИПРОЕКЦИЯ
67
когда с — четвертая вершина параллелограмма, натянутого
на точки Ь, (где b—центр тяжести заданного
параллелограмма; рис. 43).
Приведенный разбор примеров циклических отображе-
ний ставит ряд дополнительных общих вопросов. Напри-
мер, всякое ли циклическое отображение является квази-
проекцией, т. е., согласно теореме 8', для всякого ли
циклического отображения образ и ядро—взаимно допол-
нительные подпространства пространства V"?
Упражнения
1.	(Шоке [26], стр. 68.) Пусть Char Д’ ^2. Для произвольного
n-угольника В определите все л-угольники 4, для которых В яв-
ляется л-угольником середин сторон, т. е. х24 — В. (Из упр. 5 § 2
следует, что при нечетном п для всякого л-угольника 4 существует
единственный «описанный» л-угольник, вершины которого являются
знакопеременными суммами л последовательных вершин исходного
л-угольника 4.)
2.	Пусть л = 6. Всякий АСО-6-угольник есть х2-образ точно
одного АСО-6-угольника. Всякий 6-параллелограмм есть х3-образ
точно одного 6-параллелограмма. Всякая призма есть а3-образ точно
одной призмы.
3.	Пусть л = 4, Char# / 3. Тогда а3, х3 взаимно однозначно
отображают на себя- Одинаковы ли параллелограммы середин
сторон 4-угольников 4 и а34? Если 4£Л4, то х34 =—у^"х4.
4.	Пусть л = 5, Char# 7= 2, 3. Тогда х2> х3, а3 взаимно одно-
значно отображают Л 5 из себя. Если 4£Л5, то х2>с3а34 =	4.
*	о	О
3
68
ГЛ. 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ л-УГОЛЬНИКОВ
§ 7.	Изобарические циклические проекции для л = 4
Пусть п = 4. Для каждого из трех периодических
классов 4-угольников изобарическими проекциями, пере-
водящими в эти классы все пространство Л4, являются
соответственно 1, р2, о. Больше никаких циклических
проекций с этими классами в качестве образов не суще-
ствует. Это следует из теоремы 7 и коммутативности
циклических отображений.
Найдем циклическую проекцию, переводящую Л4
в класс параллелограммов. Поскольку х2— квазипроекция
(теорема 10), искомой проекцией является х^1х2, где х2—
ограничение х2 на множестве параллелограммов (см. § 4
этой главы).
Пусть А — произвольный 4-угольник, и пусть х2Л = В,
х7хх2Л = х21В^=А*. Тогда х2Л = п2А* — В, т. е. А*—парал-
лелограмм, имеющий с Л одинаковые середины сторон, и
Л —> Л*—искомая проекция:
Теорема 11. Пусть п = 4\ отображение, сопоставляю-
щее каждому 4-угольнику такой параллелограмм, что се-
редины сторон образа и исходного 4-угольника совпадают,
является циклической проекцией множества на класс
параллелограммов; оно изобарично и равно 1—р2 + о.
Доказательство. Пусть Л = (ап ..., а4), В и Л*
определены, как выше, Л*=(а*, ..., а4). Чтобы получить
явное выражение а/ через ah необходимо, положив
(у(а1 + а8)...у(а4 + «х)),
подставить в формулу (13) из § 6 значение с, задаваемое
равенством (14). При этом мы получим циклическую си-
стему
а^^За. + а.-а. + а^)........
Таким образом, А —* 4*—циклическое отображение с ко-
эффициентами (3, 1, —1, 1), сумма которых равна 1;
§ 7. ИЗОБАРИЧЕСКИЕ ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ л = 4	69
в /<[£] это отображение задается так:
|(з+5-^+с8)=1-|(1
= 1—ц2 + а.
Последнее выражение, записанное в форме
А* = А — р2Л + оЛ,
Рис. 44.
дает способ построения параллелограмма Л*, если задан
4-угольник А: а* есть четвертая вершина параллело-
грамма, натянутого на точку ah середину диагонали
(а,-, а/+2) и центр тяжести А (рис. 44; центр тяжести А
есть середина отрезка, соединяющего середины диагона-
лей в Л).
. Итак, для каждого из четырех свободных циклических
классов (см. § 8 гл. 1) существует изобарическая цикли-
ческая проекция, переводящая в этот класс все простран-
ство Л^
Теперь снова возникает общий вопрос: для всякого ли
циклического класса п-угольников существует циклическая
проекция, переводящая в него все пространство Л£
70
ГЛ. 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ /г-УГОЛЬНИКОВ
У пр ажнени я
1.	Пусть /1 = 4. Для каждого из операторов 1, р2, 1 — р2-}-о, &
введем новый оператор, полученный вычитанием его из тождествен-
ного оператора 1. Мы получим циклические проекции, которые пе-
реводят е//4 соответственно в (О}, в класс параллелограммов с цен-
тром тяжести о, в класс дважды пройденных 2-угольников с центром
тяжести о, в класс
о
В силу теоремы 8', Л = А* + (ц2“^) А есть однозначное разло-
жение А на 4-угольник из Imx2 и 4-угольник из Кегх2.
2.	Im(£—1) = <Лп — Im (1—а)- Пусть /17=1. Тогда £—1 есть
о
квазипроекция: для х =	+ 2?2 + ••• +(« — О?"”1) имеем
(£—1)%=1— а> а на отображение 1 — о, а следовательно, и
о
(£—1)х являются тождественными. Таким образом, £—1 и % об-
ратны друг другу. Элемент % является обратимым: даже в # [£] можно
найти	такое, что = 1 (сделайте это!).
3.	Пусть /1 = 4. Определим циклическое отображение % равен-
ством х2%=1 — |а2 + о- Обратимо ли % в [^]?
§ 8.	Циклические матрицы
Запишем в обычной форме систему (1), определяющую
циклическое отображение с набором коэффициентов
(с0, ^1» • * •, £n-i)*
^i=	+сп_1ап,
^2 ~	Ч" С0®2 Ч~ • • • 4"^«-2®п>
Ьп= са + с^Ч-... + с„ап.
Коэффициенты этого отображения образуют циклическую
матрицу М (с0, clt	определенную в § 6 гл. 1.
Циклическому отображению £ соответствует цикличе-
ская матрица Z — M(0, 1, 0,	0)—матрица некото-
рой подстановки Zn = E (где £—единичная матрица).
Имеет место разложение
(^0> CV • * * ’ ^гс-1) “
Соответствие
*) То есть такая матрица, все элементы которой равны 0 или 1
и в каждой строке и в каждом столбце которой имеется ровно одна
единица.
§ 8. ЦИКЛИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ
71
есть изоморфизм алгебры /<[£] на алгебру /<[Z] цикличе-
ских матриц порядка п над К: Последовательному вы-
полнению циклических отображений соответствует умно-
жение циклических матриц; отсюда следует, что это
умножение коммутативно.
Таким образом, мы получаем еще одну интерпретацию
теории циклических отображений n-угольников в виде
теории циклических матриц порядка п. Циклический
класс n-угольников можно теперь охарактеризовать как
множество тех n-угольников, которые циклическая мат-
рица переводит в нуль.
Представление циклических отображений на языке
алгебры матриц открывает новый доступный непривлека-
тельный подход к изучению циклических отображений и
циклических классов п-угольников.
У п р. а'ж нения
1.	Неособые циклические матрицы порядка п образуют абелеву
группу относительно матричного умножения.
2.	Неособые диагональные матрицы D порядка л, которые пре-
образуют каждую циклическую матрицу Т снова в циклическую
[т. е. такие, что D~171D—снова циклическая матрица], суть те мат-
рицы, диагональные элементы которых имеют вид
с, cwt cw2, ..., сш72”1,
где с / 0, а 1 в К. Найти такие матрицы D над полем ра-
циональных и действительных чисел (см. § 5 гл. 9, упр 3).
3.	Пусть К —поле, содержащее все корни л-й степени из 1, а
w =	1 —первообразный корень. Неособая матрица порядка п
U = где
преобразует всякую циклическую матрицу в диагональную. Пусть
Т —циклическая матрица, соответствующая набору (с0, съ
Тогда диагональная матрица D—U-^U состоит из элементов
t/z = c0-pc1wz + c2u»2Z+ ..	где i= 1, 2..... п.	Какие
следствия можно вывести отсюда для идемпотентных циклических
матриц?
ГЛАВА 3
ОБ ИЗОБАРИЧЕСКИХ ЦИКЛИЧЕСКИХ
ОТОБРАЖЕНИЯХ
§ 1. G-ЯДрО
Здесь мы будем заниматься отображениями, которые
являются одновременно циклическими и изобарическими;
к их числу относятся, например, отображения 1, о, £.
В а помним, что изобарическим называется отображение ф,
переводящее в себя каждый изобарический класс, т. е.
такое, что 0фЛ = пЛ для всякого n-угольника Л, что
можно также записать в виде равенства
оф=а.	(1)
Если ф — циклическое отображение, то формуле (1) экви-
валентны следующие утверждения:
(1—с)ф = <р —а;	(2)
з(<р)=1;	(3)
^b„<=Fixcp.	(4)
По поводу эквивалентности равенств (1) и (3) см. § 3
гл. 2. Эта эквивалентность вытекает также из следующей
леммы:
Лемма. Для всякого циклического отображения ф
фо = 5 (ф)о.
Доказательство нетрудно получить, вспомнив
свойства произведения циклических отображений; см. § 2
гл. 2.
Обратимся теперь к эквивалентности (1) и (4). Ясно,
что (1) эквивалентно равенству фо = а (ибо циклические
отображения коммутативны); последнее же означает, что
для всякого n-угольника Л
ф(оЛ) = оЛ, т. е. Л1>л^Е1хф.
§ 2. ДВА ТИПА ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССОВ
73
Итак, пусть ср—изобарическое отображение. Ядро <р
есть центральный класс (см. теорему 6 гл. 2). Наряду с
множеством п-угольников, которые отображение <р обра-
щает в нуль, рассмотрим множество п-угольников, кото-
рые ф перецедит в тривиальные п-угольники (т. е. в их
центры тяжести). Это множество Кегф назовем о-ядром
отображения <р:
Кег<р: = {Л :<рЯ = стЛ} = Кег (ф — о) *).
а
а-ядро ср также является циклическим классом (тео-
рема 1 гл. 2); он содержит все тривиальные п-угольники
[ибо аА = А для каждого тривиального п-угольника А
и в силу (4) фЛ = Л, а следовательно, срЛ = оЛ] и, зна-
чит, является свободным циклическим классом. Это сле-
дует также из теоремы 6 гл. 2, если учесть, что
s (ср— ог) = $(ф)—s(o) = 1 —1=0.
Упражнение. Справедливо равенство tp — a. Пользуясь им,
докажите лемму.
§ 2. Два типа циклических классов
Теорема 1. Всякий циклический класс является или
0-ядром, или ядром некоторого изобарического циклического
отображения. Свободные циклические классы являются
о-ядрами, а центральные—ядрами изобарических цикличе-
ских отображений.
Доказательство. В силу теоремы 6 гл. 2 до-
статочно показать, что ядро циклического отображения гр,
для которого s (гр) = 0, является также 0-ядром некото-
рого изобарического циклического отображения. Обозначим
тогда s (ср) = 1 и Кеггр=Кегср.
ст
Мы хотим установить связь между свободными и
центральными циклическими классами. Предварительно
установим следующие соотношения (в которых ср—цик-
*) Знак := (в нашей литературе чаще используется в том же
clef '
смысле символ =; def—сокращение латинского слова definition
определение) означает «равно по определение».
74 гл. 3. ОБ ИЗОБАРИЧЕСКИХ ЦИКЛИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
лическое изобарическое отображение):
Кег ф П Кег о = Кег ф; СТ Кегф = 1шо+Кегф; СТ (1 — о) Кег ф — Кег ф. а	(5) (6) (7)
Кег о—нуль-изобарический класс, Imo = Fix о—класс три-
виальных n-угольников (см. § 3 гл. 2).
Доказательство (5) и (7). Пусть А — произволь-
ный n-угольник. Три следующих утверждения эквива-
лентны между собой: a) фЛ = О; Ь) фЛ = оЛ = О; с) су-
ществует такой n-угольник В, что А = (1 — о) В и срВ = оВ.
Из а) следует <ирЛ = оО=О, а значит, в силу (1),
оЛ = О, т. е. равенства Ь). Если выполняется Ь), то
Л = (1 — а) Л и фЛ = оЛ, следовательно, верно и с). Из
с) в силу (2) следует фЛ = <р (1 — о) В= (ф— а) В —
= фВ—gB—O, т. е. а).
Эквивалентность Ь) и а) видна из равенства (5), экви-
валентность с) и а) — из равенства (7).
Равенство (6) можно доказать аналогично, но мы вос-
пользуемся свойствами модулей. Если 93, ‘9, 9Z)—под-
пространства некоторого векторного пространства (а цик-
лические классы являются ими), то
из 93 S) следует (.59 + 9) n 9D — 93 + (49 П @9)
(см. приложение II). Далее, о-ядро отображения ф яв-
ляется свободным циклическим классом; поэтому Im os
S Кег ф и
а
Кег ф = ,Лп П Кег ф = (Im а + Кег о) Г) Кег ф =
СТ	О	G
= 1ш о 4- (Ker of! Кегф) = Im а-(- Кег ф.
О
Из теоремы 1, (5) и (6) следует, что отображение
Кег ф —> Кег ф (ф — изобарическое)
СТ
является взаимно однозначным отображением множества
свободных циклических классов на множество центральных
§ 2. ДВА ТИПА ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССОВ
75
классов. Таким образом, каждому свободному цикличе-
скому классу # соответствует единственный центральный
класс, который мы обозначим Результат сформули-
о
руем в виде следующего правила и теоремы 2:
Правило. Если ср изобарично и% = Ker ср, то % = Кег ср.
гг	°
Теорема 2. Соответствие ft—* %, где —свободный, а
о
%—отвечающий ему центральный циклический класс,
является взаимно однозначным отображением множества
всех свободных циклических классов на множество цент-
ральных циклических классов. При этом справедливы ра-
венства
# =	+	(1—o)# = g.
о о	’о	о
Циклическая проекция 1—о (см. § 4 гл. 2) сопо-
ставляет каждому n-угольнику А n-угольник с центром
тяжести о, получаемый из А параллельным переносом.
Теорема 2 утверждает, что эта проекция устанавливает
взаимно однозначное соответствие между обоими типами
классов.
Рассматриваемое соответствие (см. рис. 45) очень
естественно. Достаточно ограничиться одним из этих ти-
пов, поскольку привлечение второго типа не может до-
76 ГЛ. 3. ОБ ИЗОБАРИЧЕСКИХ ЦИКЛИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
ставить нам никаких новых геометрически содержатель-
ных фактов. Однако подобное ограничение (скажем,
свободными циклическими классами) может оказаться за-
труднительным из-за чисто алгебраических осложнений.
Следующий параграф содержит некоторые указания по
этому поводу.

10}
Рис. 46.
Иногда мы будем пользоваться этими ограничениями,
например в § 1 и 2 гл. 4, но для того, чтобы сформу-
лировать и доказать основную теорему нашей теории, и
для выяснения связи между циклическими классами и
циклическими отображениями нам потребуются оба эти
понятия в их естественной алгебраической общности.
На изображенной на рис. 46 диаграмме указаны все
включения 16 циклических классов 6-угольников, кото-
рые получаются, если к 8 свободным циклическим клас-
сам присоединить соответствующие им центральные
классы (по поводу обозначений см. § 1 гл. 4).
Замечание 1. Пусть снова ср—изобарическое цик-
лическое отображение. Как следует из (4), Im ср содер-
жит класс тривиальных n-угольников [^lt „^Fix cp^Imcp].
Значит, если Im ср является циклическим классом, то
обязательно свободным. Равенство ф Im ср — Im ф • ср вы-
полняется уже для всякого отображения множества в
§ 3. ОБ ИЗОБАРИЧЕСКИХ ЦИКЛИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ 77
себя; для ф = 1—а оно имеет вид
(1 — о) Im (р = Im (ф — о)
[см. формулу (2)]. Из теоремы 2 следует такое
Правило. Если у —изобарическое отображение и
# = 1тф, то # = 1т(ф—о), (Здесь $— свободный цик-
лический класс.)
Замечание 2. Два подпространства S3 и # вектор-
ного пространства Лп называются взаимно дополнитель-
ными, если
<4 = $ + #,	т. е. =
Из двух взаимно дополнительных циклических клас-
сов один всегда свободный, другой — центральный. Дей-
ствительно, два свободных циклических класса не могут
быть взаимно дополнительными, так как их пересечение
содержит по меньшей мере класс тривиальных п-уголь-
ников; два центральных класса также не могут быть
взаимно дополнительными, так как их сумма не выходит
за пределы нуль-изобарического класса.
Упражнения
1. Циклическое отображение £—1 взаимно однозначно отобра-
жает множество свободных циклических классов на множество
центральных классов (см. упражнения к § 3 и 7 гл. 2).
2. Пусть в множестве 6-угольников одно за другим действуют
циклические отображения х2, х3, а3, 1—о. Проследите по изобра-
женной на рис. 46 диаграмме, как с каждым отображением мы бу-
дем спускаться к все более узкому классу 6-угольников и в конце
концов дойдем до нулевого класса {О}; таким образом, х2х3а3(1— о)=0.
§ 3. Об изобарических циклических отображениях
Мы сделаем несколько замечаний, которые будут по-
лезны при о ерировании с изобарическими циклическими
отображениями.
Напомним, что К [£] — коммутативная алгебра цикли-
ческих отображений; ф—> s (ср)— гомоморфизм этой алгеб-
ры на /С. Ядро этого гомоморфизма (множество отобра-
78 ГЛ. 3. ОБ ИЗОБАРИЧЕСКИХ ЦИКЛИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
жений, для которых s (ср) = 0) является идеалом /0 в
К [С], К[Ш/0^Ки, следовательно, /0—максимальный
идеал в К [С]. Для любого с СК множество 1е цикличе-
ских отображений ср, таких, что s (ср) = с, является смеж-
ным классом по идеалу /0; /х—множество изобарических
циклических отображений (для которых s (ср) = 1) —
представимо в виде
Л = /о + ^	(8)
так как оС/г Если ср, гр С Л, то срар£/р но —ср, ср+
4-гр^/х; всякая знакопеременная сумма нечетного числа
элементов из снова принадлежит /Р Отображение
ср—>1—ср переводит /х и /0 друг в друга, а
ср-И—ср+ о	(9)
является инволютивным отображением Д в себя. Если
ср—идемпотентный элемент/р то 1—<р + а—тоже идемпо-
тент. Их произведение равно о, а «булева сумма» (сумма
минус произведение, см. § 1 гл. 5) равна 1; поэтому эти
две изобарические циклические проекции называются
взаимно ^-дополнительными.
Правило. Если у —изобарическая циклическая проекция,
то это справедливо и для 1—ср 4-о, причем
Im (1 — ср 4- о) = Кег ср, Ker (1 — ср 4- о) = Im ср. (10)
о' о
Равенства (10) следуют из очевидного равенства
Im ср = Кег (1—ср) и определения о-ядра. Оба множества
в (10) являются свободными циклическими классами
(теорема 1).
Пример. 1, а—взаимно о-дополнительны. При и = 4
множество четырех изобарических циклических проекций
из § 7 гл. 2 распадается на две пары взаимно о-допол-
нительных: 1, а и pi2, 1—4-су; при этом Im (1—pi24~a) =
= Кег |л2 есть класс параллелограммов.
а
Упражнение. В К [4 главный идеал (а), порожденный а,
есть Ла; следовательно, он состоит из циклических отображений
гдес0 = сх=:... = сп-1. Главный идеал (1 — а) = 70 и 7<[£] =
= ^оф/0.
ЗАМЕТКА О СЛОЖЕНИИ «-УГОЛЬНИКОВ
79
Заметка о сложении «-угольников
1. Сложение «-угольников. Напомним, что под
//-угольником мы понимаем произвольный набор п точек
из V. Пусть A = (av ап) и B = (bv .... bn)— два
таких /г-угольника.
Если А и В принадлежат нуль-изобарическому классу
(имеют центр тяжести о), то их сумма имеет ясный гео-
метрический смысл: t-я вершина А-\-В является четвер-
той вершиной параллелограмма, натянутого на точки ait
о—общий центр тяжести для А и В и bf, при этом
центр тяжести А + В также совпадает с о. На рис. 47
построена сумма трижды пройденного 2-угольника и
дважды пройденного 3-угольника с общим центром тяже-
сти о; здесь п = 6 и сумма А^-В есть ризма.
Пусть теперь А, В—произвольные //-угольники. По-
прежнему t-я вершина А-\-В есть четвертая вершина
параллелограмма (а,-, о, &,•), но теперь о—обычная точ-
ка, геометрически не связанная с //-угольниками Л и В, а
лежащая «где попало». Однако геометрические свойства
суммы все-таки сохраняются и в этом случае. Так, сумма
(Сп с2, ..., с6) трижды пройденного отрезка (а^ «2, alt
аг, «р а2) и дважды пройденного 3-угольника (bv b2,
b3, Ьг, Ь2, Ь3) по-прежнему является призмой; легко про-
80 ГЛ. 3. ОБ ИЗОБАРИЧЕСКИХ ЦИКЛИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
верить, что c} — C4 = c3 — cG, ... (ибо (fli + bj— («2+^) =
= («1 + ^з) — (Я2 + *з)> •••)•
Для центров тяжести Л, В и А-\-В имеет место со-
отношение
(у(А + В) = оА + оВ.
Однако если А и В изобаричны: оЛ = аВ = S (s, s, ..., $),
то А + В только в том случае принадлежит тому же изо-
барическому классу, что Л и В, когда S = О.
Для изобарических п-угольников можно ввести новую
операцию сложения из центра тяжести, не выводящую
из их изобарического класса. Определим новую сумму Л
и В как п-угольник, t-я вершина которого является чет-
вертой вершиной для тройки (az, s, b^, где s—общий
центр тяжести А и В. Очевидна связь между новой сум-
мой (обозначим ее через А + В) и старой:
А + В = А + В— S.
а
Эта связь позволяет чисто алгебраическим путем устано-
вить формальные свойства новой суммы.
Упражнение. Множество всех 4-угольников евклидовой
плоскости с произвольно выбранным началом образует группу отно-
сительно сложения. Параллелограммы образуют подгруппу этой
группы. Образуют ли подгруппу квадраты?
2. Сдвиг сложения в абелевой группе. Пусть (Л, +)—
абелева группа и Введем новую Операцию, кото-
рую будем называть сдвигом сложения на элемент s:
a + b = a + b—s.	(1)
$
Будем говорить также, что эта операция получена па-
раллельным переносом на элемент s:
x—+x + s	(2)
обычного группового сложения, в том смысле, что к ней
приводит цепочка отображений
(а, &)—>(а—s, 6—s)—*(a—s) + (6—s)—*
-^((a—s) + (b—s)) + s = a-]-b—s.
ЗАМЕТКА О СЛОЖЕНИИ /г-УГОЛЬНИКОВ
81
Так как (x + s) + (у + $) = (х+у) + 5, то перенос (2)
s
устанавливает изоморфизм между (Л, +) и (Л, +).
Отсюда следует, что (Л, +)—тоже абелева группа с ну-
8
левым элементом s.
Пусть (41, +) — подгруппа группы (Л, + ). Подгруп-
пой, изоморфной (41, +) относительно сдвига сложения +,
8
является смежный класс (4L-\-s, +). Наоборот, каждый
8
смежный класс можно превратить в группу, заменив груп-
повое сложение сдвигом сложения на элемент s, принадле-
жащий этому классу.
ЕСЛИ ф— ЭНДОМОрфиЗМ ГРУППЫ (Л, +) И 5ёР1Хф, то
множество ф-прообразов элемента s:
{<?€ Л:фС = «} = Кегф + $	(3)
является абелевой группой по отношению к операции +.
Наконец, пусть (R, +, •) — коммутативное кольцо с
элементами а, Ь, ... и $—идемпотентный элемент в R.
Отображение х —* sx (умножение на s) есть идемпотентный
эндоморфизм кольца R, при котором s переходит в себя.
Ядро {х£ R:sx = 0} этого эндоморфизма обозначим через /;
при этом снова
,{с£ R:sc = s} — I + s.	(4)
Так как (x + s)(y + s) = xy + s для всех х, у£1, то пере-
нос (2) устанавливает изоморфизм колец (/, +, •) и
(/-f-s, +, •); в последнем s—нулевой элемент.
S
Упражнения
1.	Пусть (Л, +) —векторное пространство над полем К и
тогда (Л, +) с обычным умножением (с, а)—*са	в том
и только в том случае является векторным пространством, когда
s = o.
2.	Пусть (/?, +, • ) —кольцо,	и Г — подкольцо; (T-f-s, +, •)
s
является кольцом тогда и только тогда, когда s2 —s и sT ~ {0} — Ts.
3.	Сложение изобарических м-угольников из центра
тяжести. В векторном пространстве всякий изобари-
ческий класс (множество n-угольников с общим центром
82 гл. 3. ОБ ИЗОБАРИЧЕСКИХ ЦИКЛИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
тяжести s) является смежным классом Лп + S по Л„—нуль-
изобарическому классу; здесь S = (s, s, .... s) —тривиаль-
ный n-угольник, общий центр тяжести этого класса.
Поэтому изобарический класс относительно следующим
образом определенной операции сложения1) (сложение из
центра тяжести):
A+B=A+B—S
а
образует абелеву группу с нулем S. Очевидно, что
а—в=а—B+S.
о
Мы далее не будем пользоваться этим «сдвинутым»
сложением. Отметим, однако, два случая, когда обычная
сумма n-угольников совпадает с йбвовведенной, и поэтому
ее можно понимать в смысле «сложения из центра тяжести»:
1) сумма п-угольниксв из нуль-изобарического класса;
2) знакопеременная сумма нечетного числа изобариче-
ских /г-угольников [к 2) заметим, что для изобарических
А, В, С имеем А— В + С= А— В + С].
О о
Примеры. К случаю 1). Циклический класс /г-уголь-
ников назовем атомарным, если он отличен от нулевого
класса {О} и не содержит никакого отличного от {О}
циклического класса. Из теоремы 1 гл. 1 следует, что
класс п тривиальных наугольников явЛяется атомарным
(минимальный свободный циклический класс); все осталь-
ные атомарные класса —центральные (почему?).
В дальнейшем мы покажем, что всякий п-угольник
может быть единственным образом представлен в виде
суммы п-угольников из атомарных циклических классов.
Любая сумма n-угольников из атомарных классов
относится к случаю 1); прибавление тривиального
/г-угольника означает только параллельный перенос (в V)
полученного ранее /г-угольника. Отсюда следует, что ис-
комое разложение на атомарные классы имеет внутренний
геометрический смысл.
х) В выражении А-'ГВ индекс а сокращенно обозначает общий
а
центр тяжести qA = ogt
заметка о сложении «-угольников
83
К случаю 2). Всякая знакопеременная сумма нечетного
числа изобарических образов заданного n-угольника А
есть сумма 2). В самом деле, если, например, ф, ф, х—
изобарические циклические отображения, то (ср—трЧ- х) А =
= срЛ—фЛ + х^ есть сумма 2). Если ср есть изобариче-
ская циклическая проекция, то 1—ф-f-a—ее о-допол-
нение и
(1 —ф + ст) Л = Л — срЛ + оЛ = Л—- срЛ;
а
1-й вершиной этого.n-угольника является четвертая вер-
шина параллелограмма, у которого остальные три вер-
шины—это 1-я вершина Л, /-я вершина срЛ и центр тя-
жести Л. Для и = 4с этим построением совпадает данная
в § 7 гл. 2 конструкция параллелограмма (1-— р2 + о)Л,
который имеет одинаковый параллелограмм середин сторон
с данным 4-угольником Л.
Внутри изобарического класса, являющегося абелевой
группой относительно сдвига сложения А+В, всякое
а
изобарическое отображение действует как эндоморфизм;
иначе говоря,
Ф (Л + В) = ср Л + фВ
о	а
[ср. формулу (1) гл. 3].
Можно сделать еще один шаг в рассмотрении связан-
ных со сдвигом сложения конструкций, определив следую-
щим образом сдвиг сложения в множестве изобарических
циклических отображений {ср £ К [С]: Оф = а}:
<р ф — ф ф—°-
а
Относительно так определенного о-сложения это множе-
ство становится абелевой группой; присоединив же сюда
ранее определенную операцию умножения (последователь-
ное выполнение отображений), мы получим коммутативное
кольцо эндоморфизмов изобарического класса, нулевым
элементом которого является эндоморфизм о. При этом,
например, 1 — ф = 1 —- ср + о и для каждого n-угольника А
О
(ф + ф) А = фЛ + фЛ.
G	О
84 bl. 3. он йзоЬарйческйх ЦИКЛИЧЕСКЙХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
Таким образом, по отношению к операциям (+, •) мно-
О
жество изобарических циклических отображений образует
кольцо эндоморфизмов любого циклического класса, в ко-
тором сложение понимается в смысле сложения из центра
тяжести.
Итак, мы выяснили, что с геометрической точки зрения
достаточно ограничиться свободными циклическими клас-
сами, поскольку положение начала о является для нас
несущественным. В дальнейшем, имея это в виду, мы
нигде не будем добиваться формулировок, не зависящих
от выбора начала.
t Jt А Ё A 4
ОТОБРАЖЕНИЯ УСРЕДНЕНИЯ
§ 1. Изобарически распадающиеся л-угольники
Обозначим через т(л) число делителей п. Как известно,
оно зависит от показателей степени, с которыми входят
простые делители в «каноническое^ разложение» числа п *).
Пусть d—делитель п и n = dd. Вершины п-угольника
(ар ..., ап) расположим в таблицу по модулю d:
+ i • • • &n-d+l
^2 &d+2 • • • &n-d+2	/1\
<*d <*2d
В строках этой таблицы стоят d-наборы, определяющие
хордовые d-угольники заданного n-угольника (см. §5 гл. 1);
число их равно d.
Различные циклические классы можно определять на-
ложением условий на эти хордовые многоугольники. Если
потребовать, чтобы все хордовые d-угольники из (1) были
тривиальными, то получится периодический класс .
Существует т(п) периодических классов; их можно рас-
положить в диаграмму включений, аналогичную диаграм-
ме делителей числа и.
Будем говорить, что n-угольник (ар ..., ап) d-кратно
изобарически распадается, если d хордовых многоуголь-
ников из (1) имеют общий центр тяжести. Легко прове-
рить, что он совпадает с центром тяжести исходного
n-угольника. Все d-кратно распадающиеся п-угольники
*) Если л = р“'р“» ... р“", то т(п) = (а1 + 1)(а2-Н)...(а„ + 1)
(эта формула доказывается легко и имеется во многих учебниках тео-
рии чисел).
86
ГЛ. 4. ОТОБРАЖЕНИЯ УСРЕДНЕНИЯ
образуют свободный циклический класс определяемый
циклической системой
-^-(a1 + arf+1+ ... +	=	••• •	(2)
Крайние случаи здесь таковы: =	=
Примеры для п = 2/и: Л\т— класс 2т-угольников
с равной нулю знакопеременной суммой вершин; Л™т—
класс 2т-параллелограммов.
Для всякого делителя d числа п существует свой
класс Л%. Следовательно, всего имеется т(п) классов изо-
барически распадающихся n-угольников; их можно рас-
положить в диаграмму включений соответственно диа-
грамме делителей числа п.
При п = 6 класс з + ^з, 2 есть класс г.ризм (см.
заметку о сложении /г-угольников), а Л1ПЛ1— множество
6-угольников, распадающихся как на 2 изобарических
3-угольника, так и на 3 изобарических 2-угольника, т. е.
класс аффинно-правильных 6-угольников (теорема 5 гл. 1).
Примеры показывают, чго сумма двух периодических
классов в общем случае не является периодическим клас-
сом и пересечение двух классов типа Л% также не является
классом того же типа. Таким образом, с помощью взятия
сумм периодических классов и пересечений классов типа
Л% можно получать новые циклические классы.
Замечание по поводу обозначений. Для того
чтобы оттенить разницу между делителем d числа п и
«дополнительным» делителем d, подчеркнем, что в обозна-
чении Л„ верхний индекс указывает число изобаричных
хордовых многоугольников, на которые распадаются
n-угольники рассматриваемого класса, а не количество
вершин в каждом из этих многоугольников. Это замечание
будет важно ниже, при определении отображения
Упражнения
1.	Grad Лп= п —	1.
2.	Пусть 4=1(0]., ..., ап). Вершинами я-угольпика (td—1)4
являются «хорды порядка d», т. е. векторы +	О/. Если d | п,
то Ini (Cd-l) = X Ker(id-l) = Fix^ = ^ 5.
J 2. ХОРДОВЫЕ УСРЕДНЕНИЯ	87
3.	Множество периодических классов % (где d\n) является
«и-подсвязкой», а множество классов Л„—«+ -подсвязкой» струк-
туры подпространств пространства Лп- Сравните их со структурой
делителей числа п.
§ 2. Хордовые усреднения
Пусть снова d | п. Хордовым d-усреднением мы назовем
циклическое отображение (av ..., aj —> (blt ...» bn):
^i==^-(ai + ad+i+ • • • +^„,d+1), ...»	(3)
которое далее будет обозначаться символом Ясно, что
— изобарическое циклическое отображение, переводящее
вершины n-угольника А в центры тяжести ..., bd
строк таблицы (1), т. е. хордовых d-угольников. Очевидно,
что bx — bd+1,..., т. е. что	есть d раз прой-
денный d-угольник.
Теорема 1. является проекцией; =
Ker
а
Доказательство. Мы только что показали, что
.Очевидно, ^rfjsFixp.d. [Если ax = ad^, ...,
то b1 = a1, ... .] Отсюда следуют первые два утвержде-
ния нашей теоремы. Третье утверждение по существу
совпадает с определением класса равенство
pd(a1( а2, .... а„) = о(а1( а2, ..., ап)
— это лишь иная запись циклической системы (2), задаю-
щей
В алгебре К [С]
= у (1 +¥ + ¥*+ • • • +bn-d), в частности ^ = 0, р„ = 1.
Множество всех т (п) проекций pd для заданного п
замкнуто относительно умножения, точнее, имеет место
Правило. pr-	St, где (г, $) = НОД чисел г, s | п.
Доказательство мы оставляем читателю в качестве уп-
ражнения,
88
ГЛ. 4. ОТОБРАЖЕНИЯ УСРЕДНЕНИЯ
Отображение 1—pd4-cr является о-дополнительной
к p.rf циклической проекцией. Оно изобарично; кроме того,
из теоремы 1 § 3 гл. 3 следует
Теорема 2. Im (1 — Pd+ff) = ^n. Ker(l—Pd + ст) = ^</, 3 •
СТ
Упражнение. Каждый из восьми свободных циклических
классов 8-угольников (см. § 8 гл. 1) является образом класса
соответственно при следующих циклических проекциях: ц8 = 1,
Рз, Pi = «. щ—Рл + Рз. Щ—Ра + Рь Ре—Рз+Рь Р4~Рг + Рг
§ 3. Дополнительные проекции
Две циклические проекции мы назовем взаимно допол-
нительными (ср. § 4 гл. 2), если они переводятся друг
в друга инволютивным оператором 1—. Таким образом,
каждой циклической проекции <р отвечает единственная
дополнительная проекция 1—ср.
Проекциями, дополнительными к pd и 1 — prf+a, яв'
ляются 1—pd и pd—о. Покажем, что образы и ядра
этих четырех отображений определяются следующей диа-
граммой:
Доказательство. Im(l—Pd + °) и Im pd известны
(см. теоремы 1 и 2 из § 2). В силу второго правила из
§ 2 гл. 3 соответствующие им центральные классы — это
Im(l—цй) и Im(pd —о). Ядра этих проекций получаются
из формулы Ker<p = Im(l—<р), где <р—циклическая про-
екция..
Применение теоремы 9' гл. 2 к проекциям prf и
1—Pd + a приводит к следующему результату:
Теорема 3. Лп — Л^ j ф Лп, Лп = Лп@Л^<^.
§ 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
89
Ее первое утверждение равносильно однозначности
представления каждого п-угольника в виде суммы^д, раз
пройденного d-угольника и п-угольника, все хордовые d-уголь-
ники которого имеют центр тяжести о. Это разложение
легко получить геометрически. Обозначим через В перио-
дический п-угольник—d раз пройденный d-угольник цент-
ров тяжести последовательно взятых хордовых d-уголь-
ников n-угольника А. Тогда равенство А = В+(А—В)
и будет искомым разложением. В частности, гри п = 2т
и d — m многоугольник В есть дважды пройденный
m-угольник, вершины которого являются серединами «глав-
ных диагоналей» А (т. е. средними арифметическими пар
противоположных вершин), а А — В есть 2т-параллело-
грамм с центром тяжести о (т. е. 2т-угольник, середины
всех диагоналей которого совпадают с о, см. рис. 48).
Максимальная размерность многоугольников В и А—В
в этом случае равна т— 1 и т.
На рис. 49 изображена диаграмма включений четырех
циклических классов теоремы 3 и четырех основных клас-
сов (см. § 4 гл. 1). Отрезки, соединяющие два класса
90
ГЛ. 4. ОТОБРАЖЕНИЯ УСРЕДНЕНИЯ
этой диаграммы, означают существование проекции (одной
из проекций	1 — р^фаили!—о), отображающей верх-
ний класс на нижний. Параллельные отрезки означают
одинаковые проекции.
Упражнения
1. Всякий 4-угольник однозначно представим в виде суммы
дважды пройденного 2-угольника и параллелограмма с центром тя-
жести о. Всякий 6-угольник однозначно представим в виде суммы
Рис. 49.
дважды пройденного треугольника и 6-параллелограмма с центром
Тяжести о. Всякий 6-угольник однозначно представим также в виде
суммы трижды пройденного 2-угольника и АСО-6-уГольника с цент-
ром тяжести о.
2. Если ф—изобарическая циклическая проекция, то проекции
ф—-о и 1—ф не являются изобарическими. Их сумма равна 1—о,
а произведение 0. При этом
Х=1т (ф—о)ф Im (1—ф) = 1т (ф — о) ф Кег ф,
а при ф = р^ имеем
t/ln = c^z/ Т Ф t/ln*
& о U1 <* О
§ 4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ УСРЕДНЕНИЯ
91
§ 4. Последовательные усреднения
Ради полноты изложения рассмотрим здесь обобщения
введенных ранее отображений и2 и х3, которые для нас
будут менее важны, чем отображения, введенные в преды-
дущих параграфах.
Циклическое отображение (alt ..., ап) —> (&п ..., Ьп),
определенное системой
=	....	(4)
будем называть последовательным d-усреднением и обозна-
чать через х^; отображение х^ изобарично.
При п = 4 имеем: 1шх2 = Кегр2 — класс параллело-
ст
граммов a Imp2 = Kerx2— класс дважды пройденных
а
2-угольников Л2,2. При d\n справедлива общая
Теорема 4. Im xd = Kerv.d — t/ld.d .
CT
Доказательство. 1) Рассмотрим таблицу (1) для
n-угольника (b1....bn). Сумма элементов любой ее строки
равна -Г откУДа следует, что
2) о-ядро отображения—это множество п-угольников,
удовлетворяющих условию xd (alt ..., а„) = о (aL..ап),
которое можно также записать в виде циклической системы
(аг + ... + ad) = у: а{.....	(5)
Из первых двух равенств системы (5) следует, что al=ad+i>....
Отсюда в силу цикличности (5) Kerxd = <4d,l. Обратно,
СТ
если а1 = arf+1.то система (5), очевидно, удовлетворяется.
3), Заметим, что xd = y(1 4Ч + £2+ • • • +Cd-1) и
xd|id = <у.
Для завершения доказательства теоремы 4 остается
показать, что	т. е. что для всякого d-кратно
изобарически распадающегося n-угольника существует его
х4-прообраз. Мы докажем даже большее:
92
ГЛ. 4. ОТОБРАЖЕНИЯ УСРЕДНЕНИЯ
Для всякого п-угольника из <4dn в Adn существует
точно один его ха-прообраз.	(*)
Доказательство. В /<[£] существует элемент Kd,
удовлетворяющий уравнению
l=xdXd + p.d	(6)
[между прочим, отсюда следует, что	Лег-
ко проверить, что этим элементом является
- (1-S)• 4 №+ 2^ + ... + (n-d)
Напомним основные тождества, которыми необходимо
пользоваться при подсчете:
хД1-:)=4(1-^); £”=1; и<< = £(1+^+...+^).
Рассмотрим циклическое отображение xd = Xd4-o. Так
как Kdo — a [см. формулы (1) гл. 3], то xd-xd = xd-Xd4-o,
и из (6) следует, что
1—Hd+o-	(7)
Но, по теореме 2, Adn — Fix (1 — + о). Таким образом,
^=Fixxrf.xrf.	(8)
Итак, для всякого n-угольника В из Ad его х4-прооб-
раз равен xdB; по теореме 5 гл. 2 он принадлежит
Однозначность прообраза также следует из (8): если
A1,Ai^Adn и x^t = x^2, то х</х</Л1 = х^х4л2; в силу
коммутативности циклических отображений и из (8) полу-
чаем, что Л1 = Л2. Итак, утверждение (*) и теорема 4 до-
казаны.
На классе d-кратно изобарически распадающихся
n-угольников сужение отображения xd есть отображение,
обратное сужению xd.
Следствие. Отображение xd есть квазипроекция, имею-
щая с циклической проекцией 1—р.4 + о одинаковые образ
и ядро.
§ 4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ УСРЕДНЕНИЯ	93
Это следует из теорем 2, 4, утверждения (*) и первого
правила из § 2 гл. 3.
Упражнения
1.	является обратимым элементом в К [£]; укажите обратный
ему элемент.
2.	На классе 2/и-параллелограммов ит взаимно однозначно;
у- (1“£) + а обратно к пт. Пример для п = 4: отображение
1 — £ + <? каждому параллелограмму ставит в соответствие «описан-
ный вокруг него» параллелограмм (см. § 6 гл. 2 и у пр. 3 к § 7 гл. 2).
3.	Если n — dd — разложение п на взаимно простые множители, то
Кег(^-1)(^— l)=Kerzdx5 =Im nd+Im = ^d,d+^d,d
— класс (d, ф-призм (см. упр. 5 к § 8 гл. 1).
ГЛАВА 5
ИДЕМПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
Понятие булевой алгебры и остальные-необходимые нам
понятия из теории структур содержатся в приложении II,
которое и рекомендуется просмотреть, прежде чем присту-
пить к этой главе.
§ 1.	Идемпотентные элементы кольца
Пусть (R, +, •) — коммутативное кольцо с элементами
О, а, 6, ... . Элемент а называется идемпотентным, если
а-а = а. Множество идемпотентных элементов из R обо-
значим через Е (R). Оно содержит нулевой элемент и вместе
с элементами а, b всегда содержит ab, но не обязательно
и Ь.
Для любых элементов из R определим присоединенное
произведениех):
aob = a + b — ab.	(1)
Введенное таким образом умножение элементов кольца R
коммутативно и ассоциативно, его единицей является О
кольца. Два элемента называются взаимно ортогональными,
если их (обычное!) произведение равно 0. Для взаимно
ортогональных элементов а о b = a + b, Если a,b£ E(R),
то и aob^E(R)} в частности, в этом случае аоа^-а.
(£ (R), о, •) является дистрибутивной структурой. Дей-
ствительно, легко проверить, что для этих операций спра-
ведливы законы дистрибутивности и поглощения (осталь-
ные аксиомы структуры очевидны).
х) Ван-дер-Варден ([6], II, стр. 57) обозначает его звездочкой и на-
зывает «звездчатым умножением», а Джекобсон ([8], стр. 20) —как и
мы, кружочком (п называет «круговой коммутацией»).
г
§ 1. ИДЕМПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КОЛЬЦА
95
С помощью операций о и • в множестве элементов Е (R)
можно ввести отношение : мы будем писать а Ь, если
ab = a, или, что эквивалентно, aob = b. При этом 0 оказы-
вается наименьшим элементом E(R). Таким образом, опе-
рации о, • можно понимать как структурные максимум и
минимум (см. приложение II).
Если кольцо R содержит единицу, то она является
наибольшим элементом в Е (R). Отображение а—> 1—а
кольца R в R взаимно однозначно и инволютивно. Если
а£Е(R), то 1 —ag Е (R); при этом справедливы равенства
1=ао(1— а), а(1—а) —0,	(2)
т. е. а и 1 —а суть взаимно дополнительные элементы струк-
туры Е (R).
Итак, (£ (R), о, •)—дистрибутивная структура с до-
полнениями, т е. булева алгебра.
Теорема !.• Идемпотентные элементы коммутативного
кольца с единицей образуют булеву алгебру по отношению
к операциям о и • .
Далее присоединенное умножение о мы будем называть
булевым сложением.
Заметим, что отображение 1 — переставляет опера-
ции о и •. Действительно, для любых a,b£R
1 — (aob) = (l-a)(l-b), 1— ab = (l — а)о(1— b). (3)
Положим 1—а—а'-, тогда равенства (3) примут вид
(аоЬ)'— a'-b', (a-b)' = a'ob', a, b£R.
Примеры к теореме 1.
1.	В области целостности R с 1 (в частности, в поле)
О и 1—единственные идемпотентные элементы. Действи-
тельно, из а* —а следует а(1-а) = 0, а так как R не
имеет делителей нуля, то а —0 или 1—а = 0.
2.	Идемпотентами кольца классов вычетов Z/(30) являются
О, 1, 6, 10, 15, 16, 21, 25. На рис. 50 наглядно изобра-
жена булева алгебра Е (Z/(30)).
3.	Пусть Kv К2..Кк — поля; R = 2®^<> т. е. R
есть множество ^-наборов
К, а2, .... ак), где	(4)
96 ГЛ. 5. ИДЕМПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
в котором сложение и умножение определяются покомпо-
нентно. Здесь Е (R) состоит из 2* элементов вида (4), где
все az €{0, 1}. Элементы
(1,0, . ..,0), (0, 1, ...,0), ..., (0, ...,0, 1)	(5)
(их число равно k) атомарны в Е (#); Произведение двух
различных элементов из них равно нулевому элементу
(0, 0, ..., 0); следовательно, они «взаимно ортогональны».
Рис. 50.
Булева сумма элементов (5) является обычной суммой и
равна единичному элементу (1, 1,	1) кольца#. [При-
мер 2 можно рассматривать как частный случай этого
примера.]
Упражнения
1.	Пусть 7? — коммутативное кольцо с 1. Если а£Е (7?) и Ь£Е (7?),
то Е (7?) принадлежит также и элемент
a©b:=a-\-b—2ab = aob — ab — ab'
(Е (7?), ф, •) является булевым кольцом с единицей, т. е. кольцом
с 1, в котором каждый элемент идемпотентен.
2.	Пусть 7? — коммутативное кольцо с 1, в котором сущест-
вует . Обозначим через 7 (7?) множество инволютивных элемен-
тов R, т. е. элементов, квадрат которых равен единице; 7(7?) —под-
группа группы обратимых элементов.
§ 2. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
97
Рассмотрим взаимно однозначное отображение
е—>2е—1	(*)
множества Е (/?) на /(/?). Посредством этого отображения перенесем
операции (о, •) из Е (7?) в I (R). Тогда получим, что / (/?) является
булевой алгеброй относительно операций
аиЬ: — ~(1 +а4~Ь — ab), а^Ь'.	1 + а + b + ab)
с максимальным элементом 1 и минимальным элементом —1; а и~ — а
являются в этой алгебре взаимно дополнительными. Операции шип
можно понимать как максимум и минимум относительно введенного
условием 1 + а= (1 + а) b отношения а^Ь.
Если <?, f£E (??), причем посредством отображения (*) эле-
менты е, f переходят соответственно в а, Ь, то efoe'f' переходит
в ab (е' = I — е, f’ = !— /). Элементы ef и efff взаимно ортогональны.
3.	Если /? —прямая сумма k полей Kit Char Kz 0 2, то / (/?)
содержит 2k элементов (4), где	— 1}.
§ 2. Булевы алгебры, порожденные конечным числом
элементов
Примеры предыдущего пункта служат иллюстрацией
также к следующей теореме, которая основывается на
представлении единицы в виде суммы попарно ортогональ-
ных элементов.
Теорема 2. Пусть в коммутативном кольце R с едини-
цей элементы elf . . ek отличны от 0 и таковы, что
1 =е1 + е2 + ... + ek,	(6)
ezey=0, f#=/.	(7)
Тогда все «частичные суммы» выражения е2 + ... + ek обра*
зуют булеву алгебру по отнсшению к операциям о, •, содер-
жащую 2k элементов, причем элементы в; в ней атомарны.
Под «частичными суммами» выражения
ех + ... + ek	(8)
подразумевается само это выражение и все те, которые
получаются из него, если отбросить любое число слагае-
мых. Таких частичных сумм можно построить 2*, включая
пустую сумму, равную 0.
4 588 4
98 гл. 5. ИДЕМПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
Перейдем теперь к доказательству этой теоремы.
1)	Все ег идемпотентны. Действительно, умножим обе
части равенства (6) на <?z. В силу (7) получаем е( = е*.
2)	Для попарно ортогональных элементов операции о
и + совпадают. А так как все е, попарно ортогональны,
то частичные суммы выражения (8) являются также буле-
выми суммами. В частности, всякая частичная сумма
идемпотентна.
3)	Произведение двух частичных сумм снова является
частичной суммой; она состоит из тех слагаемых eh кото-
рые входят в оба сомножителя («пересечение» частичных
сумм).
4)	Булева сумма двух частичных сумм также является
частичной суммой; в нее входят те eh которые содержатся
хотя бы в одном из сомножителей («объединение» частич-
ных сумм). Так,
(^i ^2) ® (^2 Н~ е»)= е^ о е3 о о е3 — е± о е2 о е3 = е^ е3 4" е3.
5)	Дополнение к данной частичной сумме есть сумма
всех тех eh которые в нее не вошли.
Из 1) и 2) следует, что частичные суммы выражения (8)
являются элементами E(R); согласно 3), 4), 5), они обра-
зуют булеву подалгебру алгебры (E(R),o, •).
6)	Две частичные суммы совпадают тогда и только
тогда, когда в них входят в точности одни и те же сла-
гаемые. (Пусть, например, ех 4- ег 4- е3 = е2 + е3 + е4; умно-
жив это равенство на ev получим ^ = 0 в противоречии
с тем, что е,#=0.) В частности, если i=#=/.
Таким образом, наша подалгебра состоит из 2к элементов.
7)	Произведение е( на частичную сумму равно е,-
или 0, смотря по тому, входит et в эту частичную сумму
или нет. Отсюда следует, что е,- атомарны (см. приложе-
ние II).
Наконец, очевидно, что частичные суммы более чем
с одним слагаемым не атомарны, чем и завершается дока-
зательство теоремы.
Дополнение 1. Если в теореме 2 отказаться от предпо-
ложения для всех I, то частичные суммы выражения
ег + ... + ek по-прежнему будут составлять булеву под-
алгебру (E(R), о, •) с атомарными элементами е,=/=0.
§ 2. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
99
Если I — число элементов et у= 0, то эта подалгебра содер-
жит 2' элементов.
Дополнение 2. Для элементов el9 ...,ek£R (6) и (7)
эквивалентны равенствам
1=ехое8о ... оек	(6')
и
е^ое^о ... о е,_1ое(+1о ... оеА) = 0.	(7')
Таким образом, утверждение, что ех, ...,ек—попарно
ортогональные элементы, в сумме дающие 1, эквивалентно
следующему: любой из элементов ех, .-.,ек дополнителен
к булевой сумме остальных, и их «прямая» булева сумма
равна 1.
Доказательство. В доказательстве теоремы 2 мы
уже перешли от (6), (7) к (6'), (7') [см. 1), 2), 3)]. Об-
ратно, пусть элементы е1( ... ,ек g R удовлетворяют (6'), (7').
Обозначим ехо ... oei_1cei^.io ... cek — e*i ; тогда равен-
ства (6х), (7х) принимают вид
1=^ое/ и ед* = 0.
Это означает, что 1=^ + ^*. Умножив последнее равен-
ство на eh получим = значит, а,- идемпотентны и,
следовательно, идемпотентна любая их булева сумма. Далее,
если i =#= /, то ei-et=^ (... oefr-e^ej, в силу закона погло-
щения (см. приложение II, аксиома 3). Умножим теперь
полученное равенство на е;, мы получим 0 = что дока-
зывает (7). Равенство (6) следует из (6х) и (7).
Пусть теперь ех, ..., ек—произвольные элементы Е (R)
[так что равенства (6) и (7) не обязаны выполняться].
Определим так называемые минимальные булевы много-
члены от ех, ..., ек, к числу которых относятся выра-
жение
^1’^2 • • • &к '	(9)
и все многочлены, которые могут быть получены из (9)
заменой любого числа элементов et на е\ = 1 —е,-. Фор-
мально число этих многочленов равно 2*; мы обозначим их
через Afx, Л1а, ..., М2к . Справедливы равенства
+	(10)
4*
100 гл. 5. ИДЕМПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
И
M{Mj = 0 при /=/=/.	(11)
[Равенство (10) доказывается индукцией по k; (11), оче-
видно, следует из того, что ere'i=0.]
Суммы минимальных многочленов, т. е. частичные суммы
М1 + ЛТ2+... + Ли	(12)
образуют булеву подалгебру алгебры (E(R), о, •) (допол-
нение 1 к теореме 2); эта подалгебра содержит элементы
еи ег, ек. (Действительно, запишем, например, равен:
ство е1=е1-\ и представим 1 в виде суммы всех минималь-
ных. многочленов от ег, ..., ек.) Это есть минимальная
булева подалгебра Е (R), содержащая заданные элементы
elf ег...ек; будем говорить, что она порождена ими.
Отличные от нуля минимальные многочлены атомарны
в этой подалгебре. Если их количество равно I, то под-
алгебра содержит 2Z элементов. Очевидно, I 2*. В случае
I = 2к будем называть порожденную элементами ех...ек
подалгебру свободной подалгеброй.
Примеры
1.	Пусть e£E(R)n е=Н=О, 1. Минимальные многочлены
от е—это е и а'; остальные суммы минимальных много-
членов 0 и е4-е' = 1. Булева алгебра, порожденная эле-
ментом е, состоит из 4 элементов: 0, 1, е, е' (рис. 51).
2.	Пусть ех, ег € E(R), elte2^0, ^ = 0, et + e2^l.
Минимальные многочлены от ev е2 суть следующие:
еге2 = 0>	е[ег-=ег, e{ei = \—el—е2. Три по-
следних отличны от нуля. Все отличные от нуля суммы
минимальных многочленов сводятся к ех + е2, е[, е'г, 1. Та-
ким образом, булева алгебра, порожденная элементами
е1( ег, состоит из 8 элементов (рис. 52).
§	3. Идемпотентные эндоморфизмы абелевой группы;
Im-вложения
Под. вложением мы будем понимать изоморфизм или
антиизоморфизм структуры Lt на подструктуру структу-
ры Lt, т, е. взаимно однозначное отображение Lx в L2,
§ 3. ИДЕМПОТЕНТНЫЕ ЭНДОМОРФИЗМЫ
101
сохраняющее структурные операции «максимум» и «мини-
мум» или меняющее их местами.
В теоремах, связанных с этим понятием (теоремы вло-
жения), речь идет о вложениях некоторых «малых»
структур с определенными свойствами (как, например,
булевых алгебр) в «большие», которые, вообще го.воря,
даже не являются дистрибутивными.
Пусть (Л, + )—абелева группа, (End (Л), +, •)—кольцо
эндоморфизмов группы Л, (Ь(Л), +, П)—структура под-
групп группы Л. Если <р—идемпотентный эндомор-
физм Л, то
({0, 1, <р, 1-ф}, о, •)	(13)
является булевой алгеброй эндоморфизмов группы Л.
Образы отображений (13) являются подгруппами в Л.
При переходе к образам операциям о и • соответствуют
операции 4- и П. Поэтому отображение Im является изо-
морфизмом булевой алгебры (13) на следующую подструк-
туру структуры (Ь(Л), + , П ):
({{о}, Л, Im <р, Im (1—ф)}, + > 0),	(14)
которая тем самым тоже является булевой алгеброй
(рис. 53). Результатом этого вложения является теорема 8
из § 4 гл. 2. Двойственные рассуждения приводят к вы-
воду, что Кег—антиизоморфизм структур (13) и (14).
102 ГЛ. S. ИДЕМПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
Это утверждение можно обобщить. Пусть (Е, о, •) —
произвольная булева алгебра эндоморфизмов Л. Заметим,
что элементами Е являются попарно коммутирующие
идемпотентные эндоморфизмы. Если фф = <р (или фоф = ф),
то говорят, что ф^ф.
Теорема 3 (теорема об Im-вложении). Пусть (Е,с, •) —
булева алгебра эндоморфизмов абелевой группы Л, тогда
Im (т. е. отображение ф —* Im ф) является изоморфизмом
Рис. 53.
(Е, о,-) на подструктуру структуры подгрупп (L (Л), +, П).
Эта подструктура, естественно, также является буле-
вой алгеброй; обозначим ее Ь£(Л).
Доказательство. В силу теоремы 7 гл. 2 ото-
бражение Im взаимно однозначно. Поэтому остается до-
казать, что для коммутирующих идемпотентных эндомор-
физмов Ф и ф справедливы равенства
1т(фоф) = 1тф + 1тф;	(15)
1т (ф • ф) = 1т ф П 1т ф.	(16)
Если ф, ф€Епд(Л) и фф = фф, то
Fix ф + Fix фЕ Fix (фоф) s Im (фоф)е Im ф+ 1тф; (15')
Е1хф П 1тф£ 1тфф= 1тф п 1тф. (16')
Действительно, для первого включения (15') имеем:
если фа = а, то (фоф)а = (ф + ф—фф)а=а и Е1хф =
£=Р1х(фо,ф). Второе включение очевидно (см. § 4 гл. 2).
§ з. идемпотентные эндоморфизмы
103
Третье включение проверяется легко: (ф о зр) а = (ф +ip—
— зрф) а = <f>a + ip (a—qpa).
Для первого включения (16') имеем: если 1ра£Р1хф,
то фтра = 1ра, т. е. тра € Im фф. Второе включение: фтра =
= ф (ipa) = зр (ф«).
Если ф и ф, кроме того, идемпотентны, то Fix ф = 1тф,
Fixip = Imip и (15') и (16') превращаются в (15), (16).
[(16) выполняется даже для таких коммутирующих ото-
бражений <р и 1р, из которых по крайнёй мере одно идем-
потентно.]
Для коммутирующих идемпотентных эндоморфизмов
Ф, ip выполняются также правила
Кег фф = Кег ф 4- Кег ф;	(17)
Кег (ф о ip) = Кег ф П Кепр,	(18)
которые выводятся из (15) и (16) с помощью равенства
Кегф=1т(1—ф) и законов де Моргана. Три следующих
соотношения эквивалентны:
1) ф Ч’»	2) 1шф = Im ip, 3) Кег фэ Кепр.
Для нас теорема 3 представляет интерес в том случае,
когда 0, 1€£. Тогда {о} и Л принадлежат ЬЕ(Л); для
всякого элемента ф из Е существует дополнительный эле-
мент 1—ф€£; взаимно дополнительные элементы из Е
переходят при Im-вложении во взаимно дополнительные
подгруппы в Л, и произведение отображений ф 1 —ф—*
—» Im(l—ф) = Кегф (т. е. отображение Кег) является
антиизоморфизмом Е на кЕ (Л).
Дополнение. Если ф1( ..., фА—эндоморфизмы Л, удовле-
творяющие условиям
1 =Ф1 + ф2+ • • •+ф*	(19)
и
Ф;Ф7 = 0, »#=/,	(20)
то Л =
Доказательство. В силу (20) фп ..., фА попарно
коммутируют. В порожденном ими подкольце кольца
End (Л) выполнены теорема 2 и ее дополнения; частич-
104 ГЛ. 5. ИДЕМПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
ные суммы выражения ф^ . • • + ф* образуют булеву ал-
гебру,. атомарными элементами которой являются <р(- =£ 0.
Заменим (19), (20) эквивалентными равенствами второго
дополнения. Доказываемое утверждение следует теперь
из теоремы 3.
Упражнения
1. Найдите булеву алгебру идемпотентных эндоморфизмов для
циклических групп порядка 6, 30, 105.
2. Если <р—идемпотентный эндоморфизм векторного пространства
над полем, характеристика которого не равна двум, то l-f-ф —ав-
томорфизм. Найдите обратный к нему.
§ 4. Булева алгебра циклических проекций
Основная ценность материала этой главы для теории
п-угольников состоит в возможности применения теоремы 1
к алгебре К [£] циклических отображений, что приводит
к (£(/<[£]), о, •)—булевой алгебре циклических проекций.
Посредством Im-вложения эта булева алгебра отобра-
жается в структуру подпространств векторного простран-
ства п-угольников -Лп. Так получается булева алгебра
Циклических классов (теорема 9 гл. 2). Позже (гл. 6)
мы докажем, что эта алгебра содержит все циклические
классы.
Из § 4 гл. 2 мы знаем, что из двух взаимно допол-
нительных проекций в £(/([£]) одна всегда изобарична,
а другая имеет нулевую сумму коэффициентов. Обе они
при Im-вложении переходят во взаимно дополнительные
.циклические классы; один из них свободный, другой —
центральный (см. теорему 9' гл. 2). .
а является атомарным элементом в Е (К [£]). [Дей-
ствительно, s(<p) = O или 1 для всякой циклической про-
екции q>; следовательно, в силу леммы из § 1 гл. 3
фо = 0 или фо = сг; поэтому если ф^сг, т. е. ф<т = ф, то
Ф = 0 или ф = о.] Так как о—наименьшая изобарическая
циклическая проекция (см. равенство (1) гл. 3), то осталь-
ные атомарные элементы из Е (К [С]) имеют нулевую сумму
коэффициентов. В булевой алгебре циклических классов,
полученной посредством Im-вложения алгебры Е (К [£]),
класс 1т<т = Л11П тривиальных п-угольников—минималь-
§ 5. ПРИМЕРЫ Im-ВЛОЖЕНИЙ
105
ный свободный циклический класс—является атомарным;
остальные атомарные классы—центральные.
Булева алгебра Е (К [С]) содержит по меньшей мере
т(п) хордовых усреднений pd(d | п) (см. теорему 1 гл. 4),
а значит, и порожденную ими подалгебру. [Напоминаем,
что = or; ц„= 1.]
§ 5. Примеры Im-вложений
Булева' подалгебра алгебры £(/<[£]), порожденная
одним элементом ст, состоит из элементов 0, 1, а, 1—а.
Посредством Im-вложения получаются четыре основных
циклических класса (рис. 54; см. § 4 гл. 1).
Построим булеву подалгебру Е (pd, о) алгебры Е (К [С]),
порожденную двумя элементами р,4 и а, где d | п, d=£l. Буле-
вы минимальные многочлены от pd и ст суть
^0 = 0, (1 —Hrf)cr = O, fAd(l— a) = p,rf—ст,
(l-pd)(l-a)=l-gd.	(21)
Многочлены ст, pd—ст и 1 — являются системой ато-
марных элементов подалгебры Е (p.d, ст). Следовательно,
она содержит 23 = 8 элементов—сумм минимальных мно-
гочленов; ими являются 0, атомарные элементы, допол-
нительные к ним элементы и 1. [Это верно для любой
подалгебры Е (<р, ст), где ф—произвольная изобарическая
циклическая проекция 1, ст.]
На рис. 55 изображена диаграмма булевой алгебры
£ (p<f, ст). Диаграмма циклических классов, полученная
посредством Im-вложения, знакома нам по § 3 гл. 4
106 гл. 5. ИДЕМПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
(см. рис. 49). Теперь мы знаем, что эти восемь цикли-
ческих классов образуют булеву алгебру относительно
операций суммы и пересечения.
Интересно исследовать булеву подалгебру алгебры
Е (К [£]), порожденную всеми циклическими проекциями pd
(где d п\ п—фиксировано). При п = 4 и вообще при
п = рг, где р—простое число, она имеет тип рассмотрен-
ной выше алгебры.
Пусть теперь п = 6. Подалгебра порождена проек-
циями Pi = o, р2, р3, |ie = 1. Можно считать, что она
порождена только элементами р2 и р3. Минимальные
многочлены от р2 и р3:
р,2р,3 = <т, >2 (1 — р3) = ц2—о, (1 — р2) р3 = р3—а,
(1-р2)(1-Из)	(22)
отличны от нуля, а следовательно, являются системой
атомарных элементов подалгебры Е^, состоящей из 24= 16
элементов—сумм минимальных многочленов. Это восемь
изобарических отображений
1, 1—р2 + а, 1— р3 + о, (1 — p2 + a)(l — p3 + o),f2„.
О, Р2,	рз,
(они разбиты на пары ^-дополнительных, записанных
в 4 столбцах) и восемь отображений с нулевой суммой
§ 5. ПРИМЕРЫ Im-ВЛОЖЕНИЙ
10?
коэффициентов, которые получаются из (23) вычитанием
элемента а, или, что то же самое, умножением на (1—о)
[см. формулу (2) гл. 3].
Теорема 4. Пусть п = 6. Булева алгебра, порожденная
четырьмя хордовыми усреднениями (здесь т(6)=4), содер-
жит 16 циклических проекций. Образами этих, проекций
в Ав являются восемь свободных циклических классов из
§ 8 гл. I и соответствующие им центральные классы.
Эти 16 циклических классов 6-угольников образуют булеву
алгебру в структуре, являющейся подпространством Ай—
векторного пространства 6-угольников.
Доказательство. Достаточно установить справед-
ливость второго утверждения теоремы, так как первое
уже было доказано выше, а третье следует из второго
на основании теоремы 3. Осталось найти образы при
проекциях (23) и соответствующих им неизобарических
проекциях. Образы первых трех пар из (23) получены
в теоремах 1 и 2 гл. 4. Далее, согласно § 1 гл. 4,
Im.(l — ц2 + о) (1 — Цэ + о) =
= 1пт(1 —р2 + о)П Im(l—Рз + о) = ^Л^
— класс аффинно-правильных 6-угольников и
Im (ц2 + р3—о) = Im (р2орз) = Im ц2 + Im р3 = s + 4,.»
— класс призм. Образами At при неизобарических ци-
клических проекциях из являются центральные классы,
соответствующие перечисленным свободным (второе пра-
вило из § 2 гл. 3), что и доказывает теорему.
Как известно, единица представима в виде суммы
атомарных элементов (22) из Е^.
1 =а+(|л2—а) + (ц3—о) + (1—(р2 + р,3 —а)). (24)
Посредством Im-вложения (дополнение к теореме 3) полу-
чаем разложение
6®^2> зфе^з, 2®^в-	(25)
ООО
Справа стоят атомарные классы булевой алгебры, состоя-
щей из 16 циклических классов 6-угольников (см. рис. 46).
Из (25) следует
108 ГЛ. 5. ИДЕМПОТЕНТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
Теорема 5. Всякий 6-угольник однозначно представим
в виде суммы тривиального 6-угольника, трижды пройден-
ного 2-угольника с центром тяжести о, дважды пройден-
ного 3-уголъника с центром тяжести о и аффинно-пра-
вильного 6-угольника с центром тяжести о.
Рис. 56. Разложение 6-угольника с центром тяжести о в сумму
призмы с центром тяжести о и аффинно-правильного 6-угольника
с центром тяжести о.
Применим (24) к 6-угольнику А:
А = оД + (р2—о) Д + (щ—о) Д+ (1 — (На + Нз — °))-4- (26)
Этой есть искомое разложение А: первая компонента оА —
это тривиальный шестиугольник—центр тяжести Д; р2Д —
трижды пройденный 2-угольник, состоящий из центров
тяжести хордовых 3-угольников 6-угольника А; анало-
гично, р3Д—дважды пройденный 3-угольник середин
диагоналей А. Вторая и третья компоненты (26) полу-
чаются таким сдвигом ц2Д и р3Д, чтобы Их центр тяжести
совпал с нулевой точкой.
§ 5. ПРИМЕРЫ Im-ВЛОЖЕНИП
109
6-угольник Л* = (р3 + р3— о) А является призмой.
Опишем ее построение: i-я вершина Л* является четвер-
той вершиной параллелограмма для тройки (t-я вершина
р2Л, центр тяжести Л, Ля вершина р3Л). Будем говорить,
что призма Л* натянута на центры тяжести хордовых
многоугольников многоугольника А. Очевидно, что если Л —
призма, то Л* = Л.
Четвертая компонента Л — многоугольник (1— (ц2 +
+113 — а)) Л = Л—Л * — есть аффинно-правильный 6-уголь-
ник с центром тяжести о; мы назовем его аффинно-
правильной компонентой 6-угольника Л.
Просуммируем полученные результаты.
Теорема 6. Пусть А—произвольный 6-угольник и Л*—
призма, натянутая на центры тяжести его хордовых
многоугольников. Тогда А—Л* является аффинно-правиль-
ным 6-угольником с центром тяжести о (см. рис. 56).
Замечательно соотношение размерностей Л, Л* и
Л —Л*: многоугольник Л, вообще говоря, пятимерен,
призма Л* не более чем трехмерна, аффинно-правильный
6-угольник Л—Л* не более чем двумерен.
Упражнения
1.	Проведите аналогичные исследования для л = 8.
2.	Булева алгебра, порожденная всеми (где d | п), имеет т (п)
атомарных элементов.
3.	Пусть K = Q, V = Q2. Разложите 6-угольник [(—5,6), (7,7),
(10,2), (0, —7), (—5, —5), ( — 7, —3)] в соответствии с теоремой 5.
4.	Всякий 4-угольник однозначно представим в виде суммы
тривиального 4-угольника, дважды пройденного 2-угольника с цент-
ром тяжести о и параллелограмма с центром тяжести о. Разложите
таким образом 4-угольник [(0, 0), (7,1), (6,6), (3,7)]; здесь /( = Q,
V = Q2.
Глава в
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
О ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССАХ
§ 1. Сравнения в кольце главных идеалов
Пусть R—коммутативное кольцо с 1. Единицы (или
обратимые элементы) кольца R образуют по умножению
абелеву группу U. Элементы a, b £ R называются ассо-
циированными, если существует такой элемент u£U,
что a—ub (в таком случае мы пишем а~Ь). Ассоцииро-
ванность является отношением эквивалентности в R. Класс
ассоциированных с а элементов обозначим через Ua.
Порожденный элементом а главный идеал Ra мы будем,
как обычно, обозначать через (а). Очевидно, что из а ~ 6
следует (а) = (Ь) (но не наоборот!).
«Лемма. Пусть ех и е* — идемпотентные элементы
коммутативного кольца с 1. Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
1) е~е*; 2) (е) = (<?*); 3) е = е*.
Отсюда следует, что класс ассоциированных элементов
содержит не более одного идемпотентного элемента.
Доказательство. Очевидно, что 1) => 2) и 3) => 1);
таким образом, остается доказать, что 2) => 3).
Множество (е) состоит из элементов ае, ruea^R. Так
как е—идемпотент, то ае-е — ае: умножение на е не ме-
няет элементов из (е). В частности, если е* £ (е), то
е*е — е*. Аналогично ее* = е. Отсюда в силу коммутатив-
ности кольца следует, что е* — е.
Кольцом главных идеалов называется область целостно-
сти с 1, в которой всякий идеал является главным1).
Известные примеры колец главных идеалов: кольцо целых
чисел, кольцо многочленов над произвольным телом.
») См., например, [9], § 49; [5], ч, I, § 17, 18; (11], § 8, 9.
§ 1. СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
Ш
В кольце главных идеалов всякий отличный от нуля
элемент, не являющийся единицей кольца, представим
в виде произведения простых элементов—и это пред-
ставление единственно с точностью до порядка сомно-
жителей и замены их ассоциированными.
Пусть теперь R— кольцо главных идеалов, и пусть задан
элемент mgR. Будем говорить, что а сравним с b по
модулю т:
a~bv№<\(rri), если a—b^(tn).
Сравнение является отношением эквивалентности в R,
согласованным со сложением и умножением элементов R.
Элемент eg R назовем идемпотентным по модулю (т),
если e2 = emod(m), или, что то же самое, е(1—е) = 0
mod (т). Если е идемпотентен mod(/n), то е' =1—е —
тоже идемпотентен mod (tri). Произведение и булева сумма
двух элементов, идемпотентных mod(m), тоже идемпотен-
тны mod (m).
Элемент т из R назовем свободным от квадратов, если
он представим в виде произведения попарно неассоции-
рованных простых элементов:
т^Рг pt ... pk (£>!)•	(*)
Для случая, когда т свободен от квадратов, мы до-
кажем две теоремы об идемпотентных mod (т) элементах.
При этом мы будем пользоваться простейшими свойствами
сравнений, знакомыми читателю из элементарной теории
чисел и справедливыми для любого кольца главных иде-
алов1).
Итак, пусть т имеет вид (*) и ig {1, 2, ..., k}. Нам
понадобятся следующие утверждения:
1°. а = b mod (tri) тогда и только тогда, когда
a = bmod(p/) для всех р;.
'2°. Элемент е тогда и только тогда идемпотентен
mod (т), когда для каждого pt он сравним mod (р,) либо
с 0, либо с 1.
!) Для доказательства основной теоремы теории циклических
классов n-угольников нам понадобится тот случай, когда Ц — кольцо
многочленов над полем К.
112 ГЛ. 6. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССАХ
Доказательство. Следующие соотношения экви-
валентны:
е(1 — е) = 0 mod (m); е (1 — е) = 0 mod (р,) для всех р;;
для каждого р,- либо e = 0mod(p1), либо e=lmod(p().
3°. («Китайская конструкция».) Для всякого р{ в Д
существует элемент eh такой, что
ei = 1 mod (р^;	(1)
ez==0mod^).	(2)
Из (2) следует
е, = 0 mod (pj) при i^i.	(2')
В силу 2°, е,- идемпотентен mod(m), а в силу 1°, ег
однозначно определен mod(m). Справедливы равенства
1 ==е1 + е2+...-|-eAmod(m);	(3)
efij = 0 mod (т), j.	(4)
Доказательство. Так как р,- и у взаимно про-
сты, то сравнение — = 1 mod (р,) разрешимо. Обозначим
Pi
через левую часть этого сравнения, в котором вместо
Х[ стоит некоторое его решение. Очевидно, е,- удовлетво-
ряет сравнениям (1), (2), а следовательно, и (2'). Срав-
нения (3), (4) удовлетворяются по модулю всех (р,),
а в силу Г и mod (т).
4°. 2* частичных сумм выражения + ... -\-ek идем-
патентны и попарно не сравнимы mod(m). Всякий идем-
потентный mod (т) элемент сравним с одной из этих
частичных сумм.
Доказательство. Если /—подмножество множества
{1, 2.....k},	то, согласно (1) и (2'),
V ____( 1 mod (pi) для i (Е I,
fa ei = ( 0 mod (p() для i £ I.
Это означает, что частичные суммы et + ... + ek идем-
потентны mod (т) (утверждение 2°). Всякие две формально
различные частичные суммы несравнимы mod (т): если
ev например, присутствует в одной из них и отсутствует
5 1. СРАВНЕНИЯ в КОЛЬЦЕ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
ИЗ
в другой, то первая сумма сравнима с единицей, вторая—
с нулем mod(pz). Если е—произвольный идемпотентный
mod (m) элемент, то в силу 2° существует подмножество
/ множества {1,2, ...,&}, такое, что е = 1 mod (pz) для
ig/ и e = 0mod(pz) для	Отсюда следует, что
е = 2 ei m°d (.Pj) Для всех Рь а значит, e = yezmod(m).
/е/	»е/
Итак, доказана
Теорема 1. Пусть R—кольцо главных идеалов и т—сво-
бодный от'квадратов элемент вида (*). В R существует
ровно 2к идемпотентных по модулю (т) элементов, попарно
не сравнимых mod (/и) между собой и таких, что каждый
идемпотентный mod (m) элемент сравним mod (/и) ровно
с одним из этих 2А элементов.
Теорема 2. Пусть R—кольцо главных идеалов и т сво-
боден от квадратов. Всякий элемент из R ассоциирован
по модулю (т) с некоторым идемпотентным по модулю (т)
элементом.
Скажем точнее: для всякого a£R существуют идемпо-
тентный по модулю (т) элемент е и элемент и, такие,
что
а = ие' mod (т) [е' = 1 —е],	(5)
сравнение их = 1 mod (т) разрешимо. (6)
Доказательство. Пусть т имеет вид (*) и elt .. ,,ek
— идемпотентные по модулю (т) элементы «китайской
конструкции». Разобьем все простые элементы рг, р2, ..., рк
на две группы: те, которые делят а, и те, которые а не
делят. Пусть / = {/: р,-1 а}. Положим
£«7=0.
/е/
Элемент е идемпотентен по модулю (/и). Как и в дока-
зательстве 4°,
| 1 mod (pz), если pz | а,
Q, \
( 0 mod (pz), если pz X й.
114 ГЛ. 6. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССАХ
Отсюда следует, что ае^0mod(р,) для всех pz (при рДа
первый сомножитель, а при р,- )( а второй сравнимы с ну-
лем mod(p()). Таким образом, ае гз 0 mod (т), или
a = oe'mod(m) и а==(а + е)е' mod(m).
[Последнее сравнение следует из того, что ее' ss 0 mod (tri).]
Положим a-f-e = «. Тогда справедливо сравнение (5) и
[ 0 + 1 == 1	0 mod (р{), если р{ | а,
и — аД-е а-|-0 = й*0mod(р^, если р(- )(а.
Это означает, что ни один из простых р( не делит и. Сле-
довательно, и и т взаимно просты и сравнение (6) раз-
решимо. Теорема доказана.
Замечание. Идемпотентным и ассоциированным
с amod(m) элементом является е', а не е. Такие обозна-
чения выбраны потому, что, как показано в доказатель-
стве, элемент pt ассоциирован mod (т) с e’i = 1 —eit а не
с et.
§ 2. Основные теоремы о циклических отображениях
и циклических классах
Вернемся к теории n-угольников. Пусть выполнены
все условия § 1 гл. 1. Через [х] обозначим кольцо мно-
гочленов над К. Оно является кольцом главных идеалов,
а также алгеброй над полем Д. Если в произвольный
многочлен f (х) вместо х подставить С, то получим цикли-
ческое отображение f (£)—элемент коммутативной алгебры
Д'[С] циклических отображений. Подстановка х—>£ задает
гомоморфизм’ К [х] на Д[С]. В силу теоремы 4 гл. 2
ядром этого гомоморфизма является идеал, порожденный
многочленом хп—1:
/ (х) == 0 mod (х"—1) эквивалентно /(£) = 0.
Сравнение mod(x"—1) в Д[х] эквивалентно равенству
вК[«:
f (х) = g (х) mod (хп—1) эквивалентно /(£) — £(£)•
Теорема 3. Многочлен х“—1 в Д[х] свободен от квад-
ратор.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ЦИКЛИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ П5
Доказательство. Многочлен хп—1 не является
ни нулем, ни единицей кольца /С [х]. Хорошо известно,
что многочлен, не свободный от квадратов, должен иметь
со своей производной общий множитель, отличный от
единицы. Но нетривиальный общий множитель у много-
членов f(x) = xn—1 и-ях"”1 может существовать только
в том случае, когда многочлен пхп~х нулевой, т. е. если
п — 0 в поле Д, что противоречит предположению гл. 1
о характеристике поля Д.
Пусть число простых делителей многочлена хп—1 в
кольце Д[х] равно k и
х" — 1=/\(х) р2(х) ... pk(x),	(7)
где pi(x)—попарно не ассоциированные в силу теоремы 3
простые делители х"— 1.
Обозначим через Fd(x) d-й многочлен деления круга
из /<[х] (см. приложение I). Тогда х"—1 может быть
представлен в виде произведения
хп— 1=ПЛИ*)-	(8)
Поэтому k не меньше числа сомножителей в правой ча-
сти (8), т. е. числа т(п) делителей п. С другой стороны,
k, конечно, не больше, чем п, поэтому
т (п) k п.	(9)
ЕслиК = О (Q —поле рациональных чисел), то мно-
гочлены деления круга, как известно, неприводимы и (8)
является разложением хп— 1 на простые множители. В этом
случае т(п) = £. Второе равенство в (9) (k — n) выпол-
няется, если поле К содержит все корни n-й степени из 1
(например, если К. = С—поле комплексных чисел). Мно-
гочлен х—1 всегда является простым делителем х”—1
независимо от поля /С и числа п.
Циклические проекции являются образами идемпотент-
ных mod(x" — 1) элементов из /<[х] при гомоморфизме
К [х]—*/<[£]. Из теорем 1, 2 и 3 следует
Теорема 4. Существует ровно 2* циклических проекций.
Всякое циклическое отображение ассоциировано с неко-
торой циклической проекцией, т. е. для всякого цикличе-
116 Гл. 6. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССАХ
ского отображения <р существует циклическая проекция л
и обратимое циклическое отображение х, такие, что
ФвХ*-
В силу леммы, циклическая проекция, ассоциирован-
ная с циклическим отображением ф, определена однозначно;
обозначим ее через л„. Из теоремы 4 следует, что мно-
жество всех циклических отображений распадается на
конечное число классов ассоциированных элементов. Вот
еще одна формулировка теоремы 4:
Теорема 4'. Алгебра К [£] состоит из 2к классов ассо-
циированных элементов; циклические проекции образуют
полную систему представителей этих классов.
Теперь можно вернуться к рассмотрению циклических
классов n-угольников. Здесь нам будет полезна
Теорема 5. Для циклических отображений ф, ф следую-
щие утверждения эквивалентны:
1)ф~ф, 2)(ф) = (ф), 3) Кегф = Кегф, 4)1тф=1тф.
В частности, для всякого циклического отображения ф:
Кег ф = Кег л.,	(10)
1тф = 1тл¥.	(И)
Доказательство. Очевидно, что 1) => 2). Если
(ф) = (ф), то Кег ф = Кег фи Im ф s Im ф (действительно,
если ф = хФ, то Кегф — Кегхф э Кегф и 1тф=1тхФ =
= 1тфх^1тф); из (ф) э (ф) следуют обратные включе-
ния. Значит, 2) =$> 3) и 2) => 4).
В частности, положим ф = л,.; тогда, так как 1°ф~-л.;,
то также 2° (ф) = (л,.), и утверждения 3) и 4) превращаются
в равенства (10) и (11).
Далее, рассмотрим утверждения:
Г) л,. ~лф, 2') (л?) = (яф), 3') Кет л? = Кег Лф,
4') Im л?= Im Лф.
Учитывая, что 1°, 2°, (10), (II) справедливы также и для ф,
легко получить эквивалентность 1) и Г); 2) и 2'); 3) и
3'); 4) и 4'). Но каждое из утверждений Г) —4') экви-
валентно равенству л¥ = Лф. [В самом деле, для Г) и 2')
$ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ЦИКЛИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ Ц?
это следует из леммы; для 4') — из теоремы 7 гл. 2.]
В силу формул (7) гл. 2, 3') эквивалентно равенству
Im(l—nj=lm(l—Лф), а последнее в силу теоремы 7
гл. 2 эквивалентно тому, что 1—л^=1— лф, или л? = Яф
на основании равенства (7) и теоремы 7 из’гл. 2.
Следствием теорем 4 и 5 является
Теорема 6. Всякое циклическое отображение является
квазипроекцией.
Первое доказательство. В каждом коммутатив-
ном кольце с единицей из а ~ b следует а2 ~ Ь2. Если
элемент а ассоциирован с идемпотентным элементом е, то
а2 ~ е\ следовательно, а2 ~ а. Это утверждение в силу
теоремы 4 применимо к каждому циклическому отобра-
жению ф; но по теореме 5 из ф2 ~ ср следует, что Im ср2 =
= Im ср и Кегф2 = Кегф, т. е. что ф —квазипроекция.
Второе доказательство. Пусть ф—циклическое
отображение. По теореме 8 гл. 2 Imл^фКегл^, а,
согласно (10) и (11),	= Im ффКегф. Из теоремы 8'
гл. 2 теперь вытекает, что ф — квазипроекция.
В силу теоремы 1 гл. 2 циклические классы п-уголь-
ников определяются как ядра циклических отображений.
В силу теоремы 5 два циклических отображения имеют
одинаковые ядра тогда и только тогда, когда они ассо-
циированы. По теореме 4' существует ровно 2k классов
ассоциированных элементов. Отсюда следует, что суще-
ствует ровно 2k циклических классов п-угольников.
Тот факт, что (при заданном п) существует только
конечное число (а именно 2*) циклических классов
n-угольников, составляет внушительную часть основной
теоремы о циклических классах.
Чтобы разобраться детальнее в строении циклических
классов, полезно подробнее ознакомиться с циклическими
проекциями.
В силу (10) и (11) всякому циклическому отображе-
нию ф отвечает единственная циклическая проекция л^,
имеющая то же самое ядро и тот же образ, что и ф.
Рассмотрим циклическую проекцию е?=1—лг Она на-
118 гл. 6. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССАХ
зывается дополнительной к и удовлетворяет «обратным»
(по сравнению с (10), (11)) условиям
Кег ср = Кег л. = 1ше,,	(12)
Im ср = Im л? = Ker	(13)
Множество {л,: <р £/([£]} содержит все циклические
проекции (действительно, каждая циклическая проекция
ассоциирована сама с собой) и совпадает с множеством
дополнительных проекций 8С. В силу (12) и (13) совпадают
множества:
1)	ядер циклических отображений,
2)	ядер циклических проекций,
3)	образов Лп при циклических проекциях,
4)	образов Лп при циклических отображениях.
Но первое * из них (а значит, и все четыре) является
множеством циклических классов (теорема 1 гл. 2). Под-
черкнем еще следующий факт:
Теорема 7. Всякий циклический класс является образом
Лп при некоторой циклической проекции.
Мы ответили теперь на все поставленные в гл. 2 во-
просы, касающиеся циклических классов и циклических
отображений.
Булева алгебра (£(/<[£]), о, •) циклических проекций
(см. § 4 гл. 5) содержит 0 и 1 и состоит, согласно тео-
реме 4, из 2k элементов. С помощью Im-вложения (см.
теорему 3 гл. 5) ее можно отобразить в структуру под-
пространств Лп. В результате в множестве (в булевой
алгебре) 2k циклических классов (см. теорему 9 гл. 2)
индуцируется структура исходной булевой алгебры (тео-
рема 7). Итак, имеет место
Основная теорема. Циклические классы п-угольниковобра-
зуют конечную булеву алгебру.
Эта булева алгебра является подструктурой структуры
подпространств векторного пространства Лп. Если k—
число простых делителей многочлена хп — 1 в К[х], то
число циклических классов п-угольников равно 2к.
При всей необозримости структуры подпространств Лп
понятие циклического класса п-угольников выделяет в ней
конечную булеву решетку.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ЦИКЛИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ Ц9
Выводы из основной теоремы таковы:
Сумма и пересечение двух циклических классов п-уголь-
ников снова являются циклическими классами-,
Лп является прямой суммой атомарных циклических
классов—атомарных элементов булевой алгебры циклических
классов',
всякий п-угольник однозначно представим в виде суммы
п-угольников из атомарных циклических классов.
Понятие атомарных циклических классов, как и число
этих классов, зависит от поля К. Грубо говоря, «-уголь-
ники атомарных классов обладают определенными свой-
ствами регулярности. В гл. 10—12 мы рассмотрим этот
вопрос более подробно.
Пример: н = 6, /C = Q. Так как т(6) = 4, то су-
ществует 24=16 циклических классов 6-угольников. Сле-
довательно, в § 5 гл. 5 перечислены все циклические
классы 6-угольников и полученное там разложение (рис. 46)
является разложением на «атомарные 6-угольники».
Процедура нахождения атомарных циклических классов
или атомарных компонент пространства n-угольников мо-
жет быть следующей. В соответствии с «китайской кон-
струкцией» для всякого делителя р{(х) двучлена х"—1
определим многочлен ez(x)^7<[x], удовлетворяющий
условиям
е,(х) = 1 mod(pz(x)),	(14)
et (х) = 0 mod •	(15)
Тогда еДС), ..., ek(Q—отличные от нуля попарно орто-
гональные циклические проекции, сумма которых равна 1;
они являются атомарными циклическими проекциями в
£(/([£]) (теорема 2 гл. 5); Ime^C), .... Im ek (С)—ато-
марные циклические классы n-угольников, и разложение
А на атомарные компоненты имеет вид
4 = е1(0Л + е2(Р^+-..+^©Л.	(16)
п-угольники, для которых заданные атомарные ком-
поненты обращаются в нуль, образуют циклический класс,
И каждый из 2* циклических классов можно получить
120 ГЛ. 6. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССАХ
этим способом. Например, если	то 6-угольники,
у которых отсутствует аффинно-правильная компонента,
являются призмами (см. § 5 гл. 5).
Упражнения
1.	Пусть ф —циклическое отображение. Если g —циклический
класс, то ф^—тоже циклический класс, причем ф^ С (усиление
теоремы 5 гл. 2). Справедливо равенство ф^ = л<?^. В булевой ал-
гебре циклических классов рассмотрим интервалы [Кегф, Лп] и
[{О}, Im ф]. Если g пробегает элементы первого интервала, то
g—>ф$ — изоморфизм первого интервала на второй (рис. 57). Какие
циклические отображения обладают следующим свойством: всякий
циклический класс принадлежит точно одному из этих двух интер-
валов? (См. приложение II; § 5 гл. 2; § 2 гл. 3.)
2.	Инволютивные циклические отображения называются цикличе-
скими симметриями. Они составляют подгруппу группы единиц коль-
ца # [£] и имеют сумму коэффициентов ±1. Пусть теперь Char# # 2.
Циклические симметрии образуют также булеву алгебру по отноше-
нию к композициям, введенным в упр. 2 из § 1 гл. 5; е—>2е—1
есть изоморфизм булевой алгебры циклических проекций на булеву
алгебру циклических симметрий; при этом1) Fixe = Fix(2e—1),
Bahn е = Bahn (2е—1). Существует точно 2й циклических симметрий.
Отображение
ф —> Fix ф
есть изоморфизм булевой алгебры циклических симметрий на булеву
алгебру циклических классов. Циклические симметрии ф, для кото-
рых Е1Хф —являются «отражениями относительно #», т. е.
эндоморфизмами Уп, которые поэлементно оставляют на месте,
а всякий n-угольник Д из дополнительного к g класса переводят
х) Bahn ф (траектория, орбита) определяется как Im(l—ф).
§ 3. ПРОСТЫЕ ДЕЛИТЕЛИ МНОГОЧЛЕНА х"-1	121
в —4. [Если ф = 2е—1, то можно сказать, что под действием m
всякий л-угольник отражается от своего е-образа.)
В группе циклических симметрий изобарические симметрии обра-
зуют подгруппу индекса 2; неизобарические можно получить из них
умножением на —1.
Структурный минимум попарно различных антиатомарных эле-
ментов булевой алгебры циклических симметрий равен произведению
этих элементов. Циклические симметрии являются частичными про-
изведениями произведения всех антиатомарных элементов.
3.	Если п~2т, то есть изобарическая циклическая симмет-
рия. Пусть K = Q. При п = 4 изобарические циклические симметрии
образуют «четверную группу Клейна», состоящую из четырех эле-
ментов: 1, £2, у (— 1 + С +£2 + £3), у + £2 + £3)- Определите
все изобарические циклические симметрии при п = 6.
§ 3. Простые делители многочлена хп—1
и атомарные циклические классы
Пусть Pi (х) —произвольный простой делитель хп—1.
Тогда pi(t) — циклическое отображение, с которым ассо-
циирована циклическая проекция 1—еДУ (см. замечание
в конце § 1). Равенство (12) принимает вид
КегрД^ЬпеД?).	(17)
Отсюда следует, что ядро циклического отображения р( (?)
является атомарным циклическим классом.
Так как вообще ядро циклического отображения
co + ciC+ • • • +£n-i£"-1 является пространством решений
циклической системы coat + схаг +    + сп_1ап = о, ...
(см. § 2 гл. 2), то наш вывод можно переформулировать
следующим образом:
Теорема 8. Циклическая система уравнений, п-набор
коэффициентов которой совпадает с п-набором коэффи-
циентов простого делителя многочлена хп—1 в К[х], опи-
сывает атомарный циклический класс п-угольников.
Под п-набором коэффициентов собственного делителя
~£с,х‘ многочлена хп—1 подразумевается набор (с0, ...
..., cn_i). Положим по определению, что отвечающий
многочлену х"—1 как делителю самого себя n-набор есть
(О, 0, ..., 0). Последнее соглашение надо учитывать
только в простом случае п =1.
122 ГЛ. 6. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССАХ
Как говорилось ранее, существует единственный сво-
бодный атомарный циклический класс — класс тривиаль-
ных n-угольников; все же остальные атомарные классы —
центральные (ср. с заметкой о сложении n-угольников в
конце гл. 3).
Класс тривиальных /г-угольников соответствует прос-
тому делителю х—1 многочлена хп— 1. Действительно,
при п=+1 набор коэффициентов х—1 имеет вид (—I, 1,
О, .... 0); соответствующая циклическая система
—ах + «2 = о, .... или = аг — ... = а„
X
определяет класс тривиальных n-угольников. [При п — I
многочлен х—1 не является собственным делителем;
в силу соглашения его 1-набор коэффициентов является
«нулевым набором» (0); здесь каждый 1-угольник удов-
летворяет соответствующей системе 0ах = о, которая опре-
деляет класс всех 1-угольников, совпадающий с классом
тривиальных 1-угольников.]
Положим рх(х) = х—1. Тот факт, что остальные pt (x)
определяют центральные классы, легко усмотреть также
из следующих соображений: имеем р2 (х) ... рк (х) —
= х"”1+...+х+1; при х= 1 получаем
Ра(1) •••	= т. е. pz(l)+=0, i = 2, .... п.
Но р, (1)—это сумма коэффициентов многочлена р,(х).
Итак, сумма коэффициентов циклического отображения
р,(£) отлична от нуля, и задаваемая этим набором коэф-
фициентов циклическая система определяет центральный
класс (см. теорему 1 гл. 1).
Если пронормировать все многочлены р,(х), где 1,
1	2-
умножив их на —ттт, то подстановка х—приведет
Pi (О
к изобарическим циклическим отображениям с теми же
ядрами, что и р ,-(£).
Если /( = (1 (Q — поле рациональных чисел), то про-
стыми делителями х"—1 являются многочлены деления
круга Fd(x), где d[n и F1(x) — x—1; они и определяют
ятомяпные циклические классы.
§ 3. ПРОСТЫЕ ДЕЛИТЕЛИ МНОГОЧЛЕНА хп-1
123
Пример: K =	п = 6. В этом случае
х9 — 1 = Л (х) f 2 (х) F3 (х) Ft (х) =
= (х — 1) (х+ 1) (х2 + х+ 1) (X2 — х+ 1)
и Г2(1) = 2, f3(l) = 3, Г,(1)=1. Циклические системы
с нормированными наборами коэффициентов для d = 2, 3, 6
имеют вид
d = 2: y(at + a8) = o, d = 3: j(a1 + «2 + a3) = o,
d = 6: «!—aa + a3 = o..................
Они определяют (как видно непосредственно из уравне-
ний) соответственно класс Л2)3 трижды пройденных
2-угольников с центром тяжести о, класс А3 2 дважды
О
пройденных 3-угольников с центром тяжести о и класс
5?в аффинно-правильных 6-угольников с центром тяжести о.
Вместе с классом тривиальных 6-угольников эти классы
образуют полный набор атомарных циклических классов.
Циклическими отображениями, которые получаются под-
становкой х—>£, в нормированные многочлены Fd(x),
d = 2, 3, 6, являются
=	уГ8(0 = х„ «) = а.,
т. е. в точности те отображения, которые рассматрива-
лись в гл. 2 в связи с изучением возможных классов
6-угольников.
Упражнения
1. Для любого п и любого допустимого К «л-угольник— центр
тяжести» л-угольника А является атомарной компонентой А.
2. Пусть л = 4 и элемент —1 не является квадратом в К. Пусть
4 —некоторый 4-угольник и А—и А = 40 (см. § 4 гл. 2). Атомар-
ными компонентами А являются о А, дважды пройденный 2-угольник
середин диагоналей 4-угольника Ао и параллелограмм, который
имеет тот же параллелограмм середин сторон, что и Ао.
Если элемент —1 является квадратом в /(, то этот паралле-
лограмм не будет атомарной компонентой: его можно будет разло-
жить на два квадрата (ср. гл. 11).
ГЛАВА 7
ИДЕМПОТЕНТ-ВЛОЖЕНИЕ.
ФАКТОРКОЛЬЦО КОЛЬЦА
ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
В настоящей главе мы рассмотрим с некоторой общей
точки зрения те развитые в § 1 гл. 6 конструкции, кото-
рые совместно с понятием Im-вложения послужили алгеб-
раическим фундаментом доказательства основной теоремы
о циклических классах п-угольников.
Эта глава является чисто алгебраической. Мы изучим
здесь соотношения между делителями элемента пг, при-
надлежащего кольцу главных идеалов R', идеалами кольца
7?, порожденными этими делителями; идеалами фактор-
кольца Rl(triy, идемпотентными элементами кольца R/(m).
Нас особенно будет интересовать случай, когда т свобо-
ден от квадратов.
Эти алгебраические результаты в гл. 8 будут приме-
нены к теории п-угольников. При этом в гл. 8 роль R
будет играть кольцо многочленов К [х], а роль элемента
tn g R—свободный от квадратов многочлен хп— Г,
факторкольцо /< [х]/(/п) с точностью до изоморфизма
совпадает с алгеброй циклических отображений вектор-
ного пространства п-угольников Лп.
В § 2 гл. 8 будет рассмотрена в общем виде фунда-
ментальная связь между делителями х"—1, циклическими
классами п-угольников и циклическими проекциями (см.
изображенную на рис. 60 схему). В § 3 гл. 6 эта связь
была рассмотрена лишь для простых делителей х"—1 и
атомарных циклических классов.
В начале настоящей главы мы придадим новую форму
второй теореме о Im-вложении, рассматривая ее как тео-
рему о /^-модулях. Это позволит нам ввести понятие идем-
потент-вложения.
Теореме об идемпотент-вложении в гл. 9 мы противопос-
тавим теорему об идеал-вложении. Она описывает общую
§ 1 «-МОДУЛИ
125
ситуацию, из которой, минуя циклические проекции,
следует теорема о циклических классах и устанавли-
вается связь между делителями х"— 1 и циклическими
классами п-угольников.
§ 1. Я-модули
Пусть (R, +, •)—кольцо с 1 и (Л, +)—абелева
группа. Элементы R мы будем обозначать через а, b.....
г, s ..., а элементы Л—через а, b, ... .
Л называется R-модулем, если определено отображе-
ние R/.Л в Л\
(г, a)->-ra,	(1)
называемое умножением, такое, что выполняются следую-
щие правила:
1) г (а + Ь) = га + rb;	2) (r + s)a = ra + sa‘,
3) (rs) а = г (sa);	4) 1 а = а.
Для всякого r£R множество г Л есть подгруппа в Л.
Говорят, что г аннулирует а, если
га — о.	(2)
Множество тех г, для которых равенство (2) выполняется
при любом а, называется аннулятором Л (обозначается
ап Л}-.
ап Л == {г:га = о для всех а} = {г:гЛ = {о}}.
Множество ап Л является (двусторонним) идеалом в R.
(Разумеется, правильнее было бы писать ап«Л.)
х Пример 1. Пусть /? = Еп<1(Л). Умножение (1) опре-
делим как применение эндоморфизма к элементу из Л.
Тогда апЛ = (0).
Пример 2. Кольцо (R, +, •) является R-модулем,
если в качестве умножения (1) взять умножение в R.
Так как единицу аннулирует только 0, то anR = (0).
126
ГЛ. 7. ИДЕМПОТЕНТ-ВЛОЖЕНИЕ '
§ 2.	Идемпотент-вложение
Пусть R коммутативно. Тогда гЛ является /?-подмо-
дулем Л для любого г. Пусть, как и выше, (£(/?), о, •) —
булева алгебра идемпотентных элементов из R (теорема 1
гл. 5). Если е, f£E(R), то
из еЛ = {Л следует e^f (mod ап Л),	(3)
(ео/)Л = еЛ + М>	(4)
efd — еЛ{\!Л.	(5)
Свойство (3) доказывается так же, как теорема 7
гл. 2, а (4) и (5)—как правила (15) и (16) из § 3 гл. 5.
Обозначим через £,(Л) структуру /^-подмодулей Л. Поль-
зуясь свойствами (3) — (5), мы по-новому сформулируем
теорему 3 гл. 5:
Теорема 1 (идемпотент-вложение). Пусть R—комму-
тативное кольцо с единицей, Л есть R-модуль, ап Л = (0).
Тогда отображение
е-*еЛ (e^E(R))	(6)
является изоморфизмом булевой алгебры (E(R), о, •) на
подструктуру структуры (Т(Л), +, Л).
Рассматриваемое вложение выделяет в ЦЛ) булеву
алгебру /^-подмодулей Л.
§ 3.	Частный случай идемпотент-вложения
Рассмотрим частный случай /?-модуля—само (комму-
тативное) кольцо R (см. в § 1 пример 2). Подмодулями
в нем . являются его идеалы. В частности, rR — (r) есть
главный идеал, порожденный элементом г. Через L(R)
обозначим структуру идеалов кольца R. По теореме 1
отображение
е->е/? = (е)	(7)
является изоморфизмом булевой алгебры (Е (/?), о, •) на
подструктуру структуры идеалов (L(R), +, Л).
Особенно проста связь между идемпотентами и идеа-
лами R, если R представляет собой прямую сумму полей
§ 3. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ИДЕМПОТЕНТ-ВЛОЖЕНИЯ
127
Единица этого кольца имеет вид
=rei + e2+• • •(8)
где ev ег...ек—попарно ортогональные идемпотентные
элементы
Ej —(1,0....0),	е2 = (0, 1, .... 0), ...'
...,еА = (0, 0...1).	(9)
Элементы ех, .... ek атомарны в булевой алгебре
(Е (/?), о, •); всякий элемент в Е (R) представляет собой
частичную сумму выражения ех+...+ел (см. примерЗ
из § 1 гл. 5 и теорему 2 гл. 5).
Вложение (7) переводит единицу (8) кольца R в
/? = (*!)+ &)+..•+(**).	(Ю)
а всякую частичную сумму — в соответствующую частич-
ную сумму выражения (е2) + (е2) 4- • • • + (в*). При этом
идеал (е,) состоит из всех элементов кольца вида (0, ...
..., 0, ah 0, .... 0) и, следовательно, изоморфен
Более того, справедливо утверждение: каждый идеал
М кольца R является частичной суммой выражения (е^ +
+ (е2)+...+(еД
Доказательство. Имеем М = ехМ + е2М + ...
... +екМ [вложение s следует из того, что М— 1д-Л4,
и из (8); вложение э—из того, что МзегМ]. Всякий
идеал е,Л1 или равен нулевому идеалу, или совпадает
с (е,) [ясно, что (ед^е,М; с другой стороны, так как
идеал (е,) изоморфен полю, то он содержит только нуле-
вой идеал (0) и самого себя].
Теорема 2. Если R — (конечная) прямая сумма полей,
то отображение (7) является изоморфизмом Е (R) на
(полную!) структуру идеалов кольца R.
Таким образом, в прямой сумме k полей всякий идеал
есть главный идеал, порожденный некоторым идемпотент-
ным элементом; структура идеалов является булевой
алгеброй из 2* элементов.
128
ГЛ. 7. ИДЕМПОТЕНТ-ВЛОЖЕНИЕ
§ 4.	Идеалы и делимость в кольце главных идеалов
Пусть R—кольцо главных идеалов. Включение (г) э
Э (s) эквивалентно утверждению, что г делит s: г | s.
Если г | s, то все ассоциированные с г элементы делят
любой элемент, ассоциированный с s. В частности, утверж-
дению 1) (r) = (s) эквивалентно 2) r|s и s|г, а если
R—область целостности, то и 3) г ~ s.
Сумма идеалов (а) и (Ь) есть идеал, порожденный НОД
(а, Ь) элементов а и Ь: (а) 4- (Ь) — ((а, Ь)); пересечение
идеалов (а) и (Ь) есть идеал, порожденный НОК [а, 6]
элементов а и Ь: (а) П (&) = ([а, й]). НОД и НОК элемен-
тов а, b определяются этими свойствами с точностью до
ассоциированности.	. .
Отношение «делит» и понятия НОД и НОК перено-
сятся на классы ассоциированных элементов. Множество
классов ассоциированных элементов является структурой
L с операциями НОК и НОД в качестве (структурных')
максимума и минимума. Отношение «делит» является
в этой структуре отношением частичной упорядоченности.
Соответствие г —> (г) является антиизоморфизмом струк-
туры L на структуру L (R) идеалов кольца R. Обе эти
структуры обладают свойством дистрибутивности (см.
приложение II).
В кольце главных идеалов разложение на простые
множители однозначно (точная формулировка приведена
в § 1 гл. 6). Отсюда следует важное свойство колец
главных идеалов: в них всякая возрастающая цепочка
идеалов обрывается.
Пусть m£R. Классы элементов, ассоциированных
с делителями т, образуют подструктуру L (т) s L; назо-
вем ее т-подструктурой структуры L. Структура L(m)
также дистрибутивна и при т 0 конечна.
Если т свободен от квадратов, т. е. допускает пред-
ставление
=	. .pk,	(*)
где Pi—попарно не ассоциированные простые элементы
(fe^l), то 2* частичных произведений из РхР2...рА по-
парно не ассоциированы и представляют собой все дели-
тели числа т (пустое частичное произведение считаем
$ 5. ФАКТОРКОЛЬЦО КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
129
равным 1). Очевидно, что /71-подструктура является струк-
турой с дополнениями, даже булевой алгеброй с 2* эле-
ментами и с простыми элементами рг, р2......pk в ка-
честве атомарных.
Идеал (/я) будем называть свободным от квадратов,
если т имеет вид (*).
§ 5.	Факторкольцо кольца главных идеалов
Пусть заданы кольцо главных идеалов R и элемент
/п#= 0 из /?; далее, пусть R/(m) — факторкольцо по глав-
ному идеалу (т). Рассмотрим следующие структуры:
т-подструктура,
L2: интервал [(/п), А?] структуры идеалов R,
L3i структура идеалов кольца Rl(m),
L^. (Е (R/(m)), о, •)—булева алгебра идемпотентов
кольца R/(m).
Делители т обозначим через t. Соответствие
/-(О
является антиизоморфизмом 112 структур Lx и Ьг.
Далее, канонический гомоморфизм а—*а + (/п), отобра-
жающий R на Rl(m), индуцирует изоморфизм структуры
идеалов, содержащих (т), на структуру идеалов кольца
R/(m). Так как идеалы, содержащие т, суть не что иное,
как идеалы, порожденные делителями т, то отображение
(0 — (1 + (т))
является изоморфизмом L2 на L3. Очевидно, справедлива
Теорема 3. Произведение отображений i12, f23 является
антиизоморфизмом т-подструктуры на структуру идеа-
лов кольца Rl(m). Всякий идеал из R/(m) имеет вид
(/ + (т)), где t\m. Если t2\m, то (Zx + (m)) = (/2 + (m))
тогда и только тогда, когда (t}) — (t2).
Из теоремы 3 следует, что всякий идеал кольца R/(m)
является главным. Однако R/(m) может содержать дели-
тели нуля, и тогда его нельзя назвать кольцом главных
идеалов.
5 №588
130
ГЛ. 7. ИДЕМПОТЕНТ-ВЛОЖЕНИЕ
Пусть а—произвольный элемент из /?; тогда (а + (т))—
идеал в R/(m) и справедлива
Лемма, а) Если (a,m) — (f), то (а4-(m)) = (t 4- (m));
b) равенство (al + (m)) = (at + {m)) эквивалентно (altm) —
= (а2, т).
Доказательство, а) Если а£(1), то а+(/п)€
g(/ + (m)). С другой стороны, так как t£(a, т), то/
допускает представление t = иа 4- vm; отсюда следует, что
t + (m) = иа + vm 4- (т) — иа-\- (tri) С (а + (ги)).
Ь) Пусть (а(-,/и) = (/;), i=l, 2. Тогда из а) следует,
что (а(- +(/«)) = (/,•+ (/»)), и, в силу теоремы 3, (/4 + (/п)) =
= (/2 + (т)) эквивалентно (ti) = (t2).
Напомним, что элемент е С 7? тогда и только тогда
идемпотентен mod (/и), когда смежный класс е Ц- (т) идем-
потентен в кольце R/(m). Согласно § 3, существует изо-
морфизм
/43:е + (щ)-*(е + (т))
L4 на булеву подалгебру структуры La.
Произведение отображений i12i23 дает возможность
получить все идеалы кольца R/(m), а отображение i43—
по крайней мере один из них. Естественно, возникает
вопрос: является ли отображение t43 отображением на,
или, что то же самое, всякий ли идеал в R/(m), который
может быть записан в виде (/ 4- (т)), где 11 т, порож-
дается идемпотентным смежным классом? Ответ на этот
вопрос дает «китайская теорема об остатках» (см. тео-
рему 4').
Теорема 4 («китайская теорема об остатках»). Пусть
элемент т=£0 кольца главных идеалов R представим в виде
произведения попарно взаимно простых элементов-, т =
= /х/2 ... tk. Тогда существуют смежные классы
е2 + (т), e24-(m)...ek + (m)	(11)
со следующими свойствами-.
а)	смежные классы (11) попарно ортогональны, а их
сумма является смежным классом единицы;
b)	(64-(/п)) = (1-е/4-(/п)).
§ 5. ФАКТОРКОЛЬЦО КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
131
Доказательство, а) Пусть	Так как tb
Г( взаимно просты, сравнение = 1 mod (/,) разрешимо
в R. Обозначим через левую часть сравнения, в кото-
ром Xi есть некоторое его решение. Тогда
е,- = 1 mod (/,),	(12)
6z = 0mod(7,).	(13)
Следовательно, 6; = 0mod (tj), j y= i, и
1 =e, + 6,+...+e*mod(m),	(14)
e^sOmod(m), i^i.	(15)
Последние два сравнения справедливы потому, что они
выполняются для попарно взаимно простых г — 1, 2.k.
В факторкольце R/(m) сравнения (14) и (15) переходят
в равенства. Утверждение а) доказано.
Из сравнений (14), (15) следует, что е,- идемпотентны
mod(m) [достаточно (14) умножить на е;]. Значит, 1—*et
тоже идемпотентны mod(m).
b) 1—e,-€(G) 1СМ* (12)1; mg (/,-), следовательно,
(1 —6;, т) = (?(). С другой стороны, в силу (13) существуют
u,-6R, такие, что 6Z =	следовательно, 1 = 1—6, + м/р
Умножив последнее равенство на получим (1 —6,-, т).
Таким образом, (^) = (1 — ez, т) и утверждение Ь) следует
из леммы.
Теорема 4' (частный случай «китайской теоремы об
остатках»). Пусть ту=0—элемент кольца главных идеа-
лов. R и t—делитель т, взаимно простой с m/t. Тогда
система сравнений
e=lmod(/),	(16)
6 = 0mod(y)	(17)
разрешима в R [однозначно mod(m)[, причем е и 1—6
идемпотентны mod (т) и
(t + (m)) = (l-e+(m)).	(18)
Следствие. Пусть, как всегда, R—кольцо главных идеа-
лов, т свободно от квадратов и R[[m)—факторкольцо по
9*
132
ГЛ. 7. ИДЕМПОТЕНТ-ВЛОЖЕНИЕ
(т). Всякий идеал в R/(m) является главным, порожден-
ным некоторым идемпотентным элементом (см. теорему 2
гл. 6).
Доказательство. Из теоремы 3 следует, что вся-
кий идеал в R/(m) может быть записан в виде (t + (/«)),
где t\m, а из теоремы 4'—что при свободном от квад-
ратов т он порождается идемпотентным смежным классом.
Теорема 5. Если R—кольцо главных идеалов и т—сво-
бодный от квадратов элемент вида (*), то структуры Llt
L3, L3, Li являются булевыми алгебрами из 2А элементов.
Произведение i12iM антиизоморфно отображает через L2
на L3, а отображение i43 является изоморфизмом L4 на L3.
Доказательство. 1) является булевой алгеб-
рой из 2А элементов (см. § 4); значит, Ь2 и L3—тоже
булевы алгебры с этим же количеством элементов (так
как i12 и i?s—антиизоморфизм и изоморфизм).
2) «43 является изоморфизмом на L3 (см. только
что доказанное следствие). Поэтому булева алгебра Lt
тоже содержит 2А элементов.
Условимся обозначать через е,- решение системы срав-
нений (16), (17). В силу (18) имеет место
Правило, (t -f- (т)) = (1—et + (m)).
Так как 1—et-\-(m) и et + (т) - взаимно дополнитель-
ные элементы из L4, то, применяя ii3 и пользуясь пра-
вилом, получим
(/~Ь(т)) и (et + (/«)) — взаимно дополнительные
идеалы в R/(m).
Теорема 6 («китайский изоморфизм»). Если R—кольцо
главных идеалов и т£ R свободно от квадратов, то
отображение
i-^et + (m)	(19)
является изоморфизмом т-подструктуры на булеву алгебру
идемпотентных элементов кольца R/(m).
Доказательство. Рассмотрим произведение сле-
дующих отображений: 1) антиизоморфизма «1а структуры
§ 5. ФАКТОРКОЛЬЦО КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
133
Li на L2; 2) изоморфизма i33 структуры L2 на Z,s; 3) «до-
полнительного» отображения L3 на L3: х —*1— х (оно
является инволютивным антиизоморфизмом L3 на L3); 4) изо-
морфизма структуры L3 на Lt. Последовательность
указанных отображений действует следующим образом:
* (0 —* (/ + (tn)) — (et + (m)) -> et + (m)
и является изоморфизмом.
Имея в виду специально теорию п-угольников, прида-
дим связи между рассматриваемыми булевыми алгебрами
более удобный для нас вид. При этом, чтобы избежать
антиизоморфизмов, заменим булевы алгебры Lv и
двойственными к ним алгебрами /4» Ц и
Рис. 58.
Теорема 5'. При условиях теоремы 5 L'2t Ц, L\
являются булевыми алгебрами из 2* элементов, связанными
естественными изоморфизмами Z12, i23 и i43, отображаю-
щими соответственно на L'2, Ц на L3, L\ на L3.
134
ГЛ. 7. ИДЕМПОТЕНТ-ВЛОЖЕНИЕ
Обозначим через Ьъ второй экземпляр L4 и рассмот-
рим булевы алгебры
£*1> £*2>	^4» ^5» где £*5 ~ Z>4 == Е (7?/(/л), о, •)•
Тогда «дополнительное» отображение в Е (/?/(т)) является
инволютивным антиизоморфизмом булевой алгебры L5,
т. е. изоморфизмом на L6; «китайский изоморфизм»
отображает £х на Ьъ.
Остается указать следующую интерпретацию сформу-
лированного в этом параграфе правила. Пусть t\m\ пост-
роим две цепочки отображений
/—(О —(/ + (т))
и
t —► et + (m) -> 1 — et + (m) —> (1 — et + (tn)),
переводящих t в идеал из R/(m) (отдельные шаги этих
цепочек—это изоморфизмы на L'2 и Ь'2 на L’3\ на
L6, L3 на L’t и L’t на L3 (см. рис. 58)). В силу правила
результирующие отображения являются одним и тем же
изоморфизмом Lj на L'a.
§ 6. Факторкольцо как сумма факторколец
Теорема 4" (дополнение к «китайской теореме об остат-
ках»). Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда
R/(m)^®R/(ti).
Доказательство. Обозначим через у,-: a—>a + (ti)
канонический гомоморфизм R на R/(t{). Тогда
у: а —+ (цха, у2а.уАа)
— гомоморфизм R в прямую сумму колец R/(ti). Ядром
этого гомоморфизма является идеал (т). Далее, а^Кегу
тогда й только тогда, когда a = 0mod(Q для всех i, т. е.
когда a = 0mod(/n). Если av а2, ..., ak—заданные эле-
менты из R, a elt ..., ek—элементы, рассматриваемые
в доказательстве теоремы 4, а), то в силу (12) и (13)
+	...+aAeA^n,-mod(O, i = 1, 2, ..., k.
Отсюда следует, что ср есть отображение R на прямую
сумму, что и доказывает теорему.
§ 6. ФАКТОРКОЛЬЦО КАК СУММА ФАКТОРКОЛЕЦ
135
Разложение теоремы 4" можно несколько уточнить:
W = 2®(e(+(m))	(20)
И
(е,• + («)) =	(21)
Действительно, частичные суммы суммы всех смежных
классов (11) образуют булеву подалгебру алгебры Lt.
[Это следует из теоремы 4, а) и дополнения 1 к теореме 2
гл. 5.] Посредством ii3 (идемпотент-вложение) эта подал-.
гебра отображается в структуру идеалов La, при этом
сумма всех смежных классов (11) отображается в разло-
жение (20). Изоморфизм (21) доказывается следующим
образом: индуцированный ср изоморфизм R/(m) на прямую
сумму переводит aet + (т) в (0.......0,	ср(а, 0, ..., 0),
но
{aet + (т)\а € R} = (<?, + (т)).
Следствие из теоремы 4*. Если т—свободный от квад-
ратов элемент вида (*), то R/(m) =	причем
RKpt)—поля.
Для доказательства достаточно применить теорему 4"
к взаимно простым делителям р, и вспомнить, что
идеал, порожденный простым элементом, максималь-
ный. Это означает, что факторкольцо по нему является
полем.
Итак, если R — кольцо главных идеалов, а т свободен
от квадратов, то Rl(m) является прямой суммой полей.
Структура идеалов кольца R!(m) изоморфна булевой ал-
гебре его идемпотентных элементов (ср. теорему 5).
ГЛАВА 8
БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
П-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ I)
§ 1. Булевы алгебры Lx — £6 ‘
Пусть выполнены все предположения § 1 гл. 1.
Напомним, что через К [х] обозначается кольцо многочле-
нов над полем К', многочлен хп—1 свободен от квадра-
тов, k—число простых делителей многочлена х"—1
в К [х], L (х”—1) —структура делителей х" — 1—яв-
ляется булевой алгеброй с 2* элементами (см. § 2 гл. 6).
Подстановка х—► £ индуцирует гомоморфизм [х] на
алгебру циклических отображений /([£]:
fW — fQ-	(О
Ядро этого гомоморфизма есть идеал, порожденный мно-
гочленом х”—1. [Действительно, С" —1=0; но если
/(х)|х”—1, то /(С)#=0, так как 1, £, ..., С"-1 незави-
симы (см. теорему 4 гл. 2).] Отсюда следует, что
/С[х]/(х”-1)~	(2)
При этом изоморфизме
f(x) + (x”- !)->/(?);	(3)
в частности, смежный класс х переходит в £. Итак, имеет
место
Теорема 1. Алгебра /([£] циклических отображений изо-
морфна факторкольцу кольца главных идеалов К [х] по сво-
бодному от квадратов идеалу (хп—1).
Если разложение многочлена хп— 1 на простые мно-
жители в К [х] имеет вид
х"—1=Р1(х)р2(х) ... рА(х),	(4)
то
К [x]/(xn—1) 2ФК \x\KPi(х))	(5)
(см. следствие из теоремы 4" гл. 7); слагаемые в правой
части являются полями.
§ 1. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ £, - Ls
137
Теорема 1'. К [С] является прямой суммой k полей.
Напомним важные следствия из этих теорем: 1) булева
алгебра £(/<[£]) циклических проекций имеет точно 2*
элементов; 2) всякий идеал в К. [£] является главным,
порожденным некоторой циклической проекцией (см. § 3
гл. 7).
Структуры Lj—L5 (§ 5 гл. 7) в нашем случае прини-
мают вид
Ly структура делителей многочлена хп—1;
Ег: интервал [(х"—1), К [х]] из структуры идеалов
кольца К [х];
Ls: структура идеалов кольца К [£];
Z,4: (Е (К [CD, о, •)—булева алгебра циклических
проекций',
Lh: (Е (%[£,]), °> •)—булева алгебра циклических
проекций.
(Напомним, что Ls—это просто второй экземпляр Z,4.)
Все эти структуры являются булевыми алгебрами. Между
ними существуют изоморфизмы или антиизоморфизмы
(теоремы 5 и 6 гл. 7), переводящие каждый элемент одной
из этих алгебр в единственный соответствующий ему эле-
мент любой другой из них.
Мы хотим описать действие этих отображений. Для
этого введем следующие обозначения: t (х)—произвольный
делитель многочлена х” — 1; t (х)—дополнительный к нему
делитель, так что х”—1 = /(х)/(х); е(х)—многочлен,
идемпотентный по модулю (х"—1); е(£)—отвечающая е(х)
циклическая проекция.
Система сравнений
е (х) н= 1 mod (t (х)),	(6)
e(z) = 0 mod (t (x))	(7)
имеет единственное по модулю (xn—1) решение, т. е,
существует единственный многочлен степени < п1), удо-
влетворяющий этой системе. Эго решение идемпотентно
К числу многочленов степени < п присоединяем и нулевой
многочлен.
138 ГЛ. 8. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ n-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ I)
по модулю (х"—1) (теорема 4' гл. 7); обозначим его через
et (х).
Как и раньше, чтобы избежать антиизоморфизмов,
заменим булевы алгебры L2, L3, Lt двойственными к ним
алгебрами L3, L3, L[. Итак, мы будем рассматривать булевы
алгебры
L2, L3, Lt, L6	(*)
и отображения
i12: <(х)-*-(/(х))—-антиизоморфизм на L2 и, сле-
довательно, изоморфизм на L3;
t23:	(*)) ~* (t ©)—канонический изоморфизм 1.г на
L3 и, следовательно, изоморфизм Ц на L3 (под-
становка х—► £);
ii3: е(£)—+ (е(£)) —изоморфизм Ь4 на L3, следова-
тельно, также L't на L3 (идемпотент-вложение;
см. теорему 2 гл. 7);
i45: е (С) —> 1—е(С)—«дополнительное» отображение
(инволютивный антиизоморфизм) в Е (К [£])>
следовательно, изоморфизм L\ на L3 или совпа-
дающий с ним изоморфизм i64 L3 на L4;
i16: t (x)—(£)—-изоморфизм Lt на L6 (теорема 6
гл. 7).
[Обозначения Lv L2.....L3, t12, i23, i43 будут в даль-
нейшем употребляться именно в этом, специализированном
по сравнению с гл. 7 смысле.] Согласно теоремам 5' и 6
гл. 7, имеет место
Теорема 2. Структуры Llt L2, L3, L'it Lb являются
булевыми алгебрами из 2А элементов', они связаны указан-
ными выше изоморфизмами.
Произведения отображений i12i23: t (х) —+ (t (х)) —> (t (£))
и h6 i64 ii3- t (х) et (£) —► 1 — et (О — (1 — et (£)) совпадают
в силу правила из § 5 гл. 7:
(/(£)) = (!—МО)-	(8)
Таким образом, отображения i12, i23, i^1, i46, образуют
цикл изоморфизмов: их произведение является тождест-
венным автоморфизмом £4 (рис. 59).
Л- БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ - Г1
13$
Нахождение образа нетривиально лишь для послед-
него из отображений теоремы 2. Для заданного делителя
t (х) многочлена х"—1 здесь требуется найти многочлен
е((х). Мы укажем явное выражение для et(x) через про-
изводную /' (х).
Рис. 59.
Теорема 3 [дифференциальное выражение для et (х)].
Если t (х)—делитель хп — 1, то многочлен
— l(x)xt'(x)	(9)
удовлетворяет сравнениям (6) и (7), так же как многочлен *)
[t (х) xt' (х)—Grad t • (хп— 1)]
степени < п.
(Ю)
*) Grad f (х)—степень многочлена f (х).
140 Гл. 8. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ л-УГОЛЬНЙКОЙ (ТЕОРИЯ 1)
. Доказательство. Очевидно, многочлен (9) удовле-
творяет сравнению (7). Для проверки сравнения (6) про-
дифференцируем обе части равенства /(х)/(х) = хл—1 и
умножим результат на -^-:
- f (х) xt (х) + 7 (х) xf (х) = хл.
Первое слагаемое s 0 mod (/ (х)), а правая часть
=1 mod (t (х)) [поскольку х"==1 mod (/ (х)), ибо t (х) |хл— 1].
Отсюда следует (6).
Старший член многочлена (9) равен -^-GradZ-x". По-
этому степень многочлена (10), сравнимого с (9) mod (хл— 1),
будет < п, что и доказывает теорему.
В силу теоремы 3
^(0 = |7(РСГ(С).	(П)
Пример. Для делителей / (х): 1, х—1, хл-1+...
...+х+1, хл—1, циклическими проекциями et(t,) яв-
ляются 0, о, 1 — о, 1.
Теперь мы можем указать решение следующей задачи:
для данного циклического отображения f (Q найти цикли-
ческую проекцию, порождающую в К [С] тот же идеал, что
и /С).
Во-первых, найдем, хотя бы с помощью алгоритма
Евклида, НОД многочленов f (х) и хл—1. Обозначим его
через t (х). По лемме § 5 гл. 7 (](&)) = (/ (£)). Иско-
мая циклическая проекция, согласно (8), находится по
теореме 3. Из теоремы 5 гл. 6 следует
Теорема 4. Если f (t,) —циклическое отображение и
/(х) = НОД (/ (х), хл—1) в К [х], то
(Ш) = (/(0) = (1-М0);	(12)
1 — et (£) является циклической проекцией, имеющей с отоб-
ражениями f (£) и t (£) одинаковые образ и ядро.
Отображение tu является изоморфизмом. Поэтому эле-
менту 7(х), дополнительному в структуре Lj к i (х), оно
§ 2. ДЕЛИТЕЛИ МНОГОЧЛЕНА хп- I И ЦИКЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 141
ставит в соответствие циклическую проекцию 1—еД£),
дополнительную в структуре L5 к е((£): еу(£)=1—ef(£).
Следовательно, в силу (11)
4	(13)
Упражнение. Определите идемпотентные по модулю (х" — 1)
многочлены степени < п из Q [х] для я = 4 и 6.
§ 2. Делители многочлена хп — 1
и циклические классы
Как известно, Im-вложение является изоморфизмом бу-
левой алгебры циклических проекций А5:(Е(^[С]),о, •) на
Le: булеву алгебру циклических классов п-угольников
(см. § 2 гл. 6). С другой стороны, если /(х)|хп—1, то
Кег/ (£) — ядро циклического отображения t (£) — является
циклическим классом (теорема 1 гл. 2). Мы будем назы-
вать его циклическим классом, определенным многочленом
t (х). Точнее говоря, этот класс определяется циклической
системой уравнений, n-набор коэффициентов которой сов-
падает с п-набором коэффициентов многочлена t (х) (ср.
§ 3 гл. 6).
Теорема 5. Отображение
/(х)-Кег/(С)	(14)
задает изоморфизм структуры делителей многочлена хп—1
на булеву алгебру циклических классов п-угольников.
Докажем теорему последовательным применением уже
известных изоморфизмов.
Циклическая проекция, переводящая множество всех
п-угольников в циклический класс п-угольников, определенный
многочленом t (х), есть et (£):
Ker f (C) = ImMO-	(i5)
Действительно, t (£) и циклическая проекция 1—et(£)
имеют совпадающие ядра (теорема 4); поэтому
Кег/(С) = Кег(1—«<(□) = Im
142 ГЛ. Б. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ л-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ 1)
[см. формулы (7) гл. 2 и равенство (12) гл. 6, где роль
et(Z) играет e/(S)j.
Доказательство теоремы 5. Произведение отоб-
ражений t151ш: / (х) —> Im (С) является изоморфизмом
L1 — L(xn—1) на Le. В силу формулы (15) он совпадает
с отображением (14).
Рис. 60.
Предположим, что выбрана система 2к попарно не
ассоциированных делителей хп— 1; тогда из теоремы 5
следует
Теорема 6. Любой из 2к циклических классов п-угольни-
ков описывается циклической системой уравнений, п-набор
коэффициентов которой совпадает с п-набором коэффициен-
тов одного из 2k делителей многочлена хп—1 (ср. теоре-
му 8 гл. 6).
Теорема 7. Две циклические системы уравнений с п-на-
борами коэффициентов (с0, q...сп_х) и (d0, dlt ..., (/„_х)
тогда и только тогда определяют один и тот же цикли-
ческий класс, когда многочлены ^срс1 и имеют один
и тот же НОД с многочленом хп — 1.
$ 3. СПЕКТР
143
Таким образом, вопрос о том, определяют ли две цик-
лические системы один и тот же класс, Можно решить
с помощью алгоритма Евклида.
Доказательство теоремы 7. Равенство Кег/(?) =
= Kerg(£) эквивалентно равенству (/ (С)) = (g(0) (теорема 5
гл. 6); по лемме из § 5 гл. 7 последнее равенство эквива-
лентно утверждению, что f (х) и g(x) имеют с хп—1 один
и тот же НОД.
Изоморфизмы теоремы 2 позволяют отобразить каждую
из алгебр Z4, L's, Ц на L5, тогда как Im отображает
L& на Le. Таким образом, для каждой из алгебр
^1> ^"2> ^3> ^4>	(*)
имеется изоморфизм, отображающий ее на булеву алгебру
циклических классов L6. При этом элементам алгебр (»),
отвечающим друг другу в силу теоремы 2, сопоставляется
один и тот же циклический класс.
Каждый из изоморфизмов алгебр (*) на Le указывает
свой путь к изучению циклических классов. Для изомор-
физма Ц на Le он изложен в теоремах 5 и 6. Чаще всего
мы будем пользоваться этим изоморфизмом и изоморфиз-
мом Im алгебры L6 на Le. Изоморфизм L't на Lt является
отображением Кег; он ставит в соответствие каждому эле-
менту е (£) € L't циклический класс Im (1 —е (£)) = Кеге (?)
и представляет самостоятельный интерес (см. § 3 гл. 5).
Изоморфизмы L'2 и L'3 на L6 ставят в соответствие каж-
дому идеалу циклический класс и будут рассмотрены
в гл. 9.
Упражнение. Если хп—1 =1 (х) t (х), то Im t (£) = Ker
Отображение t (x) —> Im t (£) задает антиизоморфизм структуры дели-
телей хп—1 на булеву алгебру циклических классов.
§ 3. Спектр
Пусть N— поле разложения многочлена хп—1 над К
и w—первообразный корень п-й степени из единицы:
N = К (ш). Под спектром многочлена хп — 1 мы будем пони-
мать множество всех корней n-й степени из единицы:
W, W2, .	wn— 1.	(16)
144 ГЛ. 8. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ-«-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ I)
Оно распадается на k классов, каждый из которых состоит
из корней, принадлежащих одному простому в К [х] дели-
телю хп— 1. Каждый такой класс мы будем называть точ-
кой спектра.
Функция, определенная на множестве (16), с областью
значений {0, 1}, принимающая равные значения на сопря-
женных корнях, называется заданной на спектре харак-
теристической функцией. Если е, f — характеристические
функции, то функция е[ равна 1 в точках, где обе функ-
ции принимают значение 1, и 0 во всех остальных точках;
eof равна 1 в точках, где хотя бы одна из функций е
или f принимает значение 1, и 0 в остальных точках.
Характеристические функции с операциями о, • образуют
булеву алгебру из 2k элементов. Ее атомарными элемен-
тами являются функции, принимающие значение 1 ровно
в одной точке и 0 в остальных точках.
Понятие многочлена, идемпотентного по модулю (хп — 1)
в /<[х], тесно' связано с понятием характеристической
функции.
Сравнение по модулю (хп—1) означает равенство на
спектре:
1°. f (х) = g (х) mod (хп— 1) эквивалентно утверждению
f(wl)~g(wl) для всех wl.
Действительно, h (х) = 0 mod (хп—1) эквивалентно ут-
верждению хп— 11 h (х), а оно в свою очередь эквивалентно
утверждению х—и/| /г(х) ,для всех wl, т. е. h(wl) = 0 для
всех wl.
2°. е2 (х) = е (х) mod (хп — 1) эквивалентно утверждению
e(wl)£ {0, 1} для всех wl.
Другими словами, многочлен из А? [х] идемпотентен
тогда и только тогда, когда он принимает на спектре лишь
значения 0 и 1.
Доказательство. Согласно 1°, данное сравнение
эквивалентно утверждению е2 (wl) = е (wl) для всех wl, а так
как е(оуг)—элементы поля N, то последнее равенство выпол-
няется только тогда, когда e(wl) = 0 или 1.
Если многочлен f (х) С К [х] равен нулю на одном из
корней n-й степени из 1, то он обращается в 0 также на
всех сопряженных к нему корнях; если /(х) принимает
§ 3. СПЕКТР
145
значение 1 на некотором корне п-й степени из 1, то он
принимает то же значение на всех сопряженных к нему
корнях [достаточно применить предыдущее утверждение
к 1 — f (х)]. Отсюда и из 2° следует, что
Многочлены из К [х], идемпотентные по модулю (хп— 1),
являются характеристическими функциями на спектре
многочлена хп— 1. Несравнимые по модулю (хп—1) много-
члены, согласно 1°, на спектре различаются.
Мы получили новую интерпретацию идемпотентов фак-
торкольца К [х]/(хп—1), а следовательно, и циклических
проекций. Построение циклических проекций сводится
к решению интерполяционной задачи в К[х]:
Теорема 8. Пусть t(x)—делитель хп—1. а) Если
, ч ( 1 на корнях многочлена /(х),
V' “ I 0 на остальных корнях п-й степени из 1,
то Кег / (£) = Im е (£), т. е. циклическая проекция е(£)
отображает множество всех п-угольников на циклический
класс, определенный многочленом t (х). Ь) Если
, J 0 на КОРНЯХ многочлена /(х),
1 на остальных корнях п-й степени из 1,
то Кег/ (С) = Ker е (С).
Доказательство, а) Условия для е(х) эквива-
лентны сравнениям (6) и (7). Следовательно, e(x) = et(x)
и справедливо (15).
[Замечание. Многочлен (10) теоремы 3 решает сле-
дующую интерполяционную задачу: для делителя t (х)
многочлена хп—1 найти многочлен степени <п, прини-
мающий на корнях t (х) значение 1, а на остальных кор-
нях п-й степени из единицы значение 0.]
Ь) Наложенные на е (х) условия эквивалентны тому,
что 1—е(х) удовлетворяет сравнениям (6) и (7); поэтому
1—е(х) есть многочлен еДх). Таким образом, е(£) =
= 1—-ef(£), и наше утверждение вытекает из теоремы 4.
Упражнение. Циклическое отображение f (£) тогда и только
тогда обратимо, когда f (х) и хп— 1 в К [х] взаимно просты, т. е.
когда в поле разложения х”—1 ни один из корней п-й степени из 1 не
является нулем f (х).
146 ГЛ. 8. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ л-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ I)
§ 4. Примеры определения циклических классов
по делителям многочлена хп — 1
Простой делитель х— 1 многочлена хп— 1 определяет
циклическое отображение £—1 и, следовательно, цикли-
ческий класс
Кег (£—1) = {Л:(£—• 1) Л = О} = {Л:£Л —-Л}
— класс Лг,„ тривиальных n-угольников. Дополнитель-
ному к х—-1 делителю
тДх): =-^-(1 +х4-х2 + ... -Ьх""1)
(нормированному так, чтобы сумма его коэффициентов
равнялась 1) соответствует циклическое отображение
/и1(£) = о’, и, следовательно, циклический класс Кег о=Лп—
нуль-изобарический класс (как известно, он дополнителен
к классу тривиальных п-угольников).
Будем различать два типа делителей t (х) многочлена
хи—1:
I) х—1 | t (х), или, что то же самое, t (1) = 0;
II) х— IJ'/fx), что эквивалентно t(x)\ml(x), или
Ц1)^0.
[/(1) есть сумма коэффициентов /(х).]
Всякий делитель типа I) определяет некоторый сво-
бодный циклический класс, а всякий делитель типа II) —
центральный класс.
Действительно, по теореме 5 условие х— 1 | / (х) экви-
валентно включению „ = Кег (£— 1) s Ker t (£).
Если делитель t (х) типа I) определяет свободный цик-
лический класс ё, то t (х)/(х—1) определяет соответствую-
щий центральный класс ё. Действительно, t (х)/(х—1)
есть НОД/(х), /пДх); он определяет ё[\Лп = ё.
Всякий делитель / (х) типа II) можно, умножив его
на 1//(1), нормировать так, чтобы—его сумма коэффици-
ентов была = 1 тогда соответствующая получаемая
*) Идемпотентный по модулю (хп~ 1) делитель типа II) должен
быть нормирован так: поскольку его значение в точке 1 спектра
Ф 0, следует потребовать, чтобы оно было =1.
$4. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПО ДЕЛИТЕЛЯМ МНОГОЧ Л ЕЙ А	14?
подстановкой х—циклическая проекция будет изобари-
ческой. Делитель t(x) типа II) можно нормировать так,
чтобы равнялась 1 сумма коэффициентов многочлена
/(х)/(х—1).
Пусть d | п и n~dd. Многочлен —1 является дели-
телем хп — 1 типа I). Ему соответствует циклическое ото-
бражение 1, и циклический класс
Кег (£“- 1)= {Л: (Cd-1) Л = О} = {Л :^Л = Л}
— это класс Ad, d d раз пройденных d-угольников.
Делителю типа II)
1	<1 Y^—— 1
^(х):=|(1+х+...+^-‘) = 7^гг
соответствует центральный класс Ad, 2-
Делитель типа II)
(х): =4(1 +^+ • • • +^"4)=4Й
дополнителен к —I. Он определяет дополнительный к
Ad,d класс Adn — класс d-кратно изобарически распада-
ющихся п-угольников с центром тяжести о (см. теорему 3
гл. 4).
Многочлен md(x) идемпотентен по модулю (хп—I),
так как он принимает значение 1 на корнях d-й степени
из 1 и значение 0 в остальных точках спектра. Действи-
тельно, если — корень d-й степени из 1, то wia—l
и
md(ayz) = 4(l	+	+ ... -J-te/<"“rf>)= 1,
а если w1 не является корнем d-й степени из 1, т.е.
Wld 1, ТО
Отображения md (С) и kd (С) суть не что иное, как хордо-
вое и последовательное d-усреднения. Их ядра известны
из теорем 1 и 4 гл. 4 и первого правила § 2 гл. 3.
148 ГЛ. 8. БУЛЁВЫ АЛГЕБРЫ «-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ I)
Частичные произведения выражения (х — I) kd (х) md (х)
являются нормированными представителями элементов
булевой подалгебры алгебры делителей многочлена хп — 1.
Если d^l, п, то 8 формально различных частичных
произведений действительно различны. Частичные произ-
ведения, состоящие из kd (х) и md (х), определяют централь-
ные классы {О}, Jd, d, <Adn, Л„, а эти же многочлены,
ООО
умноженные на (х—1),— соответствующие свободные цик-
лические классы.
Делители многочлена xd— 1 определяют циклические
классы n-угольников, содержащиеся в классе d раз прой-
денных d-угольников. [Действительно, условие t (х) | ха— 1
эквивалентно включению Ker t (£) s Ker (£d—l) = ^d,3.]
В булевой алгебре циклических классов n-угольников они
образуют подструктуру, которая изоморфна булевой алгеб-
ре d-угольников; n-угольники этих классов получаются
d-кратным прохождением d-угольников соответствующих
классов.
Введем следующие обозначения: если %d— некоторый
циклический класс d-угольников, то через fid, 5 будем
обозначать класс d раз пройденных d-угольников из
(av .... ad, av .... ad, .... alt .... ad),
где (av .... ad)£$d. (17)
%>dt d является циклическим классом n-угольников.
Лемма. Пусть d \ п, t (х) | ха— 1 и — циклический
класс d-угольников, определенный многочленом t (х). Тогда
%d,d есть циклический класс n-угольников, определенный
этим же многочленам.
Доказательство. Класс d-угольников, определенный
многочленом xd— 1, есть —множество всех d-угольников',
класс n-угольников, определенный этим же многочленом,
есть ^d, d*
d-\
Пусть теперь t (х) = У собственный делитель
1=0
х*— 1. Тогда является пространством решений цикли-
ческой системы
coai+ ...+cd_1ad = o, с0а2+ ... +cd_xa1 = o, ...
(d уравнений). (18)
§ 4. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПО ДЕЛИТЕЛЯМ МНОГОЧЛЕНА хп- 1149
Так как t (х) | xd— 1 | то циклический класс
определенный многочленом t(x), содержится в Ла, d* —
Ла, d- С другой стороны, он является пространством
решений системы
^0,+...+ crf_1ad=0, с0а2 + ... +cd_1ad+l=0, ...
(п уравнений). (19)
Если (а1( ..., ad) удовлетворяет системе (18), то (at ..., ad,
	ad, ...,«!	ad) удовлетворяет системе (19);
поэтому............Обратно, пусть (аг.....a„)s#„.
Поскольку Чоп = Ла, 3, имеем ad+l = alt ...; следова-
тельно, система (19) совпадает с (18), т. е.
Теорема 9. Из атомарных циклических классов п-уголь-
ников не являются подклассами периодических классов лишь
те, которые определены делителями многочлена Fn (х).
Остальные атомарные циклические классы п-угольников
получаются из атомарных циклических классов d-угольников
(d || п) с помощью ^-кратного прохождения этих d-уголь-
ников.
Здесь d || п обозначает, что d—собственный делитель
п, т.е. d | п и d^n.
Доказательство. Атомарные циклические классы
определяются посредством простых делителей х"—1, сле-
довательно, простых делителей многочленов деления круга
Fd(x) при d\n.‘ Различные многочлены деления круга
имеют различные простые делители. Если циклический
класс % определен простым делителем р (х) многочлена
Fd(x) при d || п, то, согласно лемме, ^n = ^d,a, поскольку
Fd (х) |xd—1. Таким образом, при d\\n класс содер-
жится в периодическом классе Ла, а- Простые делители
многочлена Fn (х) не делят х*— 1 при d || п Поэтому
определяемые ими классы не содержатся в собственно
периодических классах.
Если K=Q, то для каждого п имеется точно один
«типичный» атомарный класс n-угольников, а именно тот,
который определяется многочленом F„ (х). Все остальные
атомарные циклические классы n-угольников получаются
из «типичных» атомарных классов d-угольников (d|n) их
ISO tVL 8. БУЛЕВЫ АЛГЕЁРЫ «-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЙ t)
многократным прохождением. «Типичный» атомарный класс
6-угольников состоит из аффинно-правильных 6-угольни-
ков с центром тяжести о. Для произвольного п «типичные»
атомарные классы описаны в гл. 10.
Упражнения
1.	Делитель t (х) многочлена хп—1 тогда и только тогда идем-
потентен по модулю (хп — 1), когда дополнительный делитель делит
многочлен 1 — t (х) Многочлен
l-md(x)=-^-((l — xrf) + (l-x2d)+...+(l— хп~а)), где d | п,
делится на ха — 1; поэтому md (х) идемпотентен по модулю (хп — 1).
2.	Пусть d\n и	(х) —производная md(x). Тогда
1 — md (х) ss 4" (ха— 1) хт',(х) mod (хп — 1)
и	а
(см. (6), гл. 4).
3.	Пусть n = dd. Если е (х) — многочлен из /( [х], идемпотентный
по модулю (ха— 1), то e(xd) идемпотентен по модулю (хп— 1). Поль-
зуясь этим, докажите, что md(x) идемпотентен по модулю (х” — 1).
4.	Если n — dd и w— корень d-й степени из 1 в X, то многочлен
является идемпотентным по модулю (хп—1) собственным делителем
xn— 1 из К [х]. Могут ли быть в К [х] другие многочлены с этим
свойством?
ГЛАВА 9
БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
И-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ II)
§ 1.	Соответствие Галуа между аннуляторами и ядрами
Прежде всего напомним известные факты.
Лемма. Пусть М, N—множества; ср—отображение
М в N, а ф—отображение N в М, такие, что
1)	фсрх = х для всех х£ М, 2) срф// = у. для всех y£,N.
Тогда ср есть взаимно однозначное отображение М на N
и ф обратно к ср.
Действительно, ср взаимно однозначно: если фхх = <рх2,
то фсрхх = ф<рх2 и, согласно 1), хх = х2. Кроме того,
ср является отображением на: в силу 2) любой элемент
y£N является ср-образом элемента фу£/И.
Пусть, как и раньше, R— кольцо с единицей, Л— не-
который R-модуль (см. § 1 гл. 7). Говорят, что r£R
аннулирует а %. Л, если
га = о.
Аннулятором подмножества из Л называется множество
элементов кольца R, аннулирующих любой элемент этого
подмножества.
Если 53—некоторый r-подмодуль Л, то его аннулятор
an$?= {г:гЗЗ = {о}}
является идеалом в R. Обратно, пусть S—идеал в R.
Ядром этого идеала называется множество элементов из
Л, аннулирующихся всеми элементами из S:
кег S = {а: Sa = {о}};
оно является ^-подмодулем в Л.
Если S, Т суть идеалы из R, а 33, $ суть R-подмо-
дули Л, то
из S^T следует кег S3 кег Т,	(1)
из 53^5? следует ап 33 э ап <6,	(2)
152 ГЛ. 9. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ n-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ II)
an ker S = S,
кег ап 93	S3,
ап кег ап S3 = ап S3,
кег ап кег S = кег S.
(3)
(4)
(5)
(6)
Утверждения (1) — (4) очевидны. Докажем (5): здесь
включение э получается, если в (3) положить S = an$J,
обратное включение следует из (4) и (2). Утверждение (6)
доказывается аналогично.
Множество идеалов кольца R, которые являются анну-
ляторами /^-подмодулей А, обозначим Lan(R):
Laa (R) = {anS3-.S3 есть R-подмодуль A},
а множество R-подмодулей А, являющихся ядрами идеа-
лов кольца R, обозначим £кег(Л):
Lker (</£) = {кегS:S—идеал в R}.
Для всякого идеала ScR идеал ankerS есть мини-
мальный охватывающий S аннулятор. [Действительно,
ankerS является аннулятором; в силу (3) он содержит S;
если SsT и Т—некоторый аннулятор, то в силу (1),
(2), (5) an ker S s ап кег Т = Т.] Если М—множество иде-
алов в R и <Л4> — идеал, порожденный их объединением,
тоапкег<Л4>—минимальный аннулятор, охватывающий
все идеалы из М.
Для всякого R-подмодуля S3 = А множество кег ап S3
есть минимальное охватывающее S3 ядро. Если At—мно-
жество R-подмодулей из А и <гО— подмодуль, порож-
денный их объединением, то кегап<^>—минимальное
ядро, охватывающее все R-подмодули из Ак
Пересечение аннуляторов является аннулятором, пере-
сечение ядер—ядром:
П ап й = ап <М>,
(7)
П kerS = кег <Л4>.
SeM
(8)
Доказательство (8). Вместо 0 будем писать
SeM
просто П- Включение из 5^<7И> и (1) следует, что
§ 2. ИДЕАЛ-ВЛОЖЕНИЕ
153
ker S э ker <A4>. Отсюда n ker S э ker <Af>. Обратное
включение s: для любого S£M имеем n ker S^kerS.
В силу (2) и (3) an(f) kerS) an kerS э S э <M>. При-
меним (1) к крайним членам этой цепочки: ker ап (П ker S) s
s ker <Л4>. В силу (4) П kerS s ker an (П kerS) = ker <Л1>.
Утверждение доказано.
Из формул (7) и (8) следует, что Lan(R) и Lker (Л)
являются полными структурами с включением в качестве
отношения частичной упорядоченности и со следующими
операциями «минимум» соответственно: inf М = П S для
S 6 м
всякого подмножества М из Lan (/?) и infant = П 33 для
всякого подмножества <Л1 из £кег(Л). Операции «максимум»
определяются отсюда следующим образом: sup М. =
= an ker <Л4> для Lan (/?) и sup М — ker ап <в<> для £ker (Л),
Теорема 1. Пусть R—кольцо с 1 и Л—некоторый
R-модуль. Ограничения операций ker и ап соответственно
на множества Lan(R) и LkeT (Л) являются парой взаимно
обратных антиизоморфизмов структур Lan(R) и £кег(Л).
Доказательство. Из (5) и (6), согласно лемме,
следует, что ограничения ker и ап являются взаимно
однозначными и взаимно обратными отображениями на.
Из (1) и (2) следует, что они являются антиизоморфиз-
мами *)•
§ 2.	Идеал-вложение
Потребуем теперь, чтобы R было кольцом главных
идеалов; Л—по-прежнему Д-модуль. Справедливы сле-
дующие три утверждения:
Г, ker (г) П ker (s) = ker [(г) + (s)],
2°. ker (r) +ker (s) = ker [(г) П (s)]>
3°. Из (O)^rc(s) и (r)€£an(R) следует, что
(s)£Lan(R).
x) По поводу общего соответствия Галуа, индуцированного неко-
торым отношением между двумя множествами, см., например, [2].
154 гл. 9. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ л-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ II)
Они означают, что пересечение и сумма двух ядер—снова
ядро и что всякий идеал, содержащий отличный от нуля
аннулятор, сам является аннулятором.
Доказательство. 1° следует из (8). Докажем 2°.
Включение = очевидно. Пусть
(r) + (s) = (O.
(9)
Если 1 = 0, то утверждение тривиально. Если /=£0, то
существуют элементы r1,s1,u и v, такие, что г = /\t, в = з^ и
/ = ur + us. [Действительно, t есть общий делитель г и s,
и потому представим в виде их линейной комбинации.]
Итак, t = urit + vs1t, откуда, поскольку /=£0, имеем
1 — ut\ + nsP Кроме того, rst = rjs, = t\s g (г) П (s).
Пусть теперь а € кег [(г) Г) ($)]. Тогда rs1a = rlsa = o;
следовательно, sva € кег (г), rta € кег (s). С другой стороны,
а = 1 • а = (url + osj а = игга + vsLa С кег (s) + кег (г).
Включение э доказано.
Докажем 3°. Это утверждение эквивалентно следую-
щему: из (0) =/= (г) s (s) и ап кег (г) — (г) следует, что
ап кег (s) = (s). Положим ап кег (s) — (/). В силу (3) (s) s (/),
а в силу (6) кег (s) = кег ап кег (s) =кег (/). Так как (г) = (s),
то существует такой rt, что
. r = rls.	(10)
Для всякого а £ кег (г) имеем rxsa = о; следовательно,
t\a С кег (s) =кег (/), поэтому tt\a = o. Итак, /г, аннули-
рует кег(г): tr±g апкег(г) = (г). Существует такой и, что
ti\ = ur = ur1s. Так как г#=0, то из (10) следует, что
rt#=0, следовательно, t = us, т. е. (/) = (s). Из двух
взаимно обратных включений вытекает, что (/) = (s), и
an ker (s) = (s).
Следствием теоремы 1 и утверждений 1°—3° является
Теорема 2 (идеал-вложение). Если R—кольцо главных
идеалов и Л—некоторый R-модуль, mo Lan(R) и Lker (Л)
являются подструктурами соответственно структуры
идеалов кольца R и структуры подмодулей модуля Л',
отображение кег является антиизоморфизмом Lan (R) на
Eker *
§ 3. ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ
155
Если ап Л 5^(0), то Lan(R) есть конечный интервал
[ап Л, /?] структуры идеалов из R.
Таким образом, если ап А (0) и ап Л — (т), то струк-
тура Лап(7?) изоморфна интервалу [(/и), 7?], который в
свою очередь антиизоморфен структуре делителей элемен-
та т (см. § 4 гл. 7). Следовательно, существует изоморфизм
структуры L(tri)—делителей элемента т на структуру
Ь,<ег(Л): /-^(O~*ker(O.
В частности, если идеал ап Л =(т) свободен от квад-
ратов и k—число простых делителей элемента т, то
L(m), [(m), 7?], Lker(<4)—конечные булевы алгебры из 2*
элементов.
§ 3.	Второе доказательство основной теоремы.
Основная диаграмма
Вернемся к теории п-угольников. Пусть выполнены
все условия § 1 гл. 1. Если /(£)—циклическое отобра-
жение, то через
/© А	(11)
обозначается образ n-угольника А при отображении f (?).
Легко проверить, что относительно этого «умножения»
на f (?) пространство всех n-угольников — V” является
К [?]-модулем.
Однако при п=#1 кольцо К [?] не является кольцом
главных идеалов. Чтобы иметь возможность применить
теорему об идеал-вложении, придется перейти к кольцу
главных идеалов /С[х]. Для этого определим умножение
многочлена f (х) £ К [х] и n-угольника А £ -Лп формулой
/(х)-Л = /(?)Л.	(12)
Теперь Лп является /С [х]-модулем и
апЛ„ = (х"—1)=#(0).	(13)
По теореме 3 гл. 6 идеал х"—1 свободен от квадратов.
Поэтому структура
интервал [(х"—1), /<[х]] структуры идеалов
кольца К [х]
156 ГЛ. 9. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ n-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ II)
является конечной булевой алгеброй. По теореме 2 ото-
бражение ker является антиизоморфизмом Ьг на структуру
LkerM„). Значит, и эта структура является конечной
булевой алгеброй в структуре подпространств векторного
пространства Ап.
Для произвольного идеала (f (х)) = К [х] • f (х) имеем
ker (f(x)) = Kerf (р.	(14)
Действительно,
кег(/(х)) = (Л^[х]7(х)-Л = {О}} = {Д:/(х).Л = О} =
= {Л:/(С)-Л = О} = Кег/(«.
Но по теореме 1 гл. 2 ядра циклических отображений
являются циклическими классами, и равенство (14) дока-
зывает справедливость следующего утверждения:
Структура Lker (Лп) состоит из циклических классов
п-угольников.
Итак, снова получена
Основная теорема. Циклические классы п-угольников об-
разуют конечную булеву алгебру; она является подструк-
турой структуры подпространств векторного простран-
ства Лп (ср. § 2 гл. 6.)
Первое доказательство основной теоремы опиралось на
идемпотенты, конструкцию китайской теоремы об остатках
и идемпотент-вложение (в специальной форме Im-вложе-
ния). Второе доказательство обходится без этих вспомо-
гательных средств и основывается только на понятии
7?-модуля и идеал-вложении.
Замечание. При этом получено, очевидно, и новое
не использующее циклических проекций доказательство
теоремы 5 гл. 8 о связи между делителями I (х) много-
члена х"—1 и циклическими классами. Действительно, в
конце § 2 мы установили изоморфизм t (х) —► (/ (х)) —*
—> ker (t (х)) структуры делителей х"— 1 на булеву алгебру
Lker(4„), которая, как показывает (14), состоит из цикли-
ческих классов п-угольников: кег(/(х)) = Кег/(£).
Лп является также К [£]-модулем. Из определения (12)
следует, что ker (/(х)) = ker (/(£)), а в силу (14)
ker (/(х)) = Kerf (С) = ker (f (£)).	(15)
§ 3. ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ 157
Следовательно, отображение кег является также антиизо-
морфизмом структуры идеалов кольца /< [£] на булеву
алгебру циклических классов (ср. доказательство теоре-
мы 5 гл. 8).
ЛИ
Рис. 61. Основная диаграмма.
[xHZ обозначает подстановку х —> £.]
Таким образом, цель, поставленная нами в гл. 8, до-
стигнута, и мы можем сформулировать заключительную
теорему об изоморфизме между рассматриваемыми буле-
выми алгебрами (см. также изображенную на рис. 61
основную диаграмму, где просуммированы полученные
результаты). Отображение t (х) —> Ker t (£) (теорема 5 гл. 8),
158 ГЛ. 9. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ «-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ П)
являющееся результатом последовательного выполнения
отображений х—и Кег, обозначим Кег-(х)—-*£.
Теорема 3. Отображения Кег-(х)—>£, ker, ker, Ker, Im
являются изоморфизмами булевых алгебр
^4> ^5	(*)
на булеву алгебру циклических классов п-уголъников L3.
Элементам булевых алгебр (*), соответствующим друг
другу при изоморфизмах теоремы 2 гл, 8, они ставят
в соответствие один и тот же циклический класс.
Доказательство. Запишем набор из пяти соот-
ветствующих друг другу элементов булевых алгебр (*).
Если t (х) | хп — 1 и К—мультипликативная группа
поля /С, то
K't(x), (/(х)), (/(Р) = (ej (£)), Ш еД£),
где еДС)=1—еД£), И есть искомый набор. Этим элемен-
там соответствуют циклические классы
Ker/(£) = ker# (х)) = кег(/ (0) =
= ker (e't (£)) = Ker et (С) = I m et (£).
Первое, второе и четвертое равенства справедливы в си-
лу (15), пятое—в силу равенств (7) гл. 2.
Упражнения
1. Если ф— эндоморфизм векторного пространства над К и
т (х) —минимальный многочлен для ф, то К [ф] — К [х]/(т (х)).
2. Пусть Char К # 2. Тогда К [£] = К [х2]: всякое циклическое
отображение может быть записано как линейная комбинация степе-
ней отображения х2. Приведите пример. Каков минимальный много-
член для х2?
§ 4. Градуировка.
Степень свободы циклического класса
Такие понятия, как степень, размерность, ранг, позво-
ляют поставить в соответствие каждому элементу булевых
алгебр Lv L3i 1^ = 1^, L3 некоторое число из множества
{О, 1, ..., п]. А именно:
§ 4. ГРАДУИРОВКА
159
(LJ Делителю хп—1, а также классу ассоциирован-
ных делителей сопоставим степень многочлена
t (х) —* Grad t (х).
(L3) Идеалу из Л" [С] сопоставим размерность идеала
(/(О)-dim (/(С)).
[Алгебра К [С] по теореме 4 гл. 2 является п-мерным
векторным пространством над К', всякий идеал как под-
пространство /С[£] имеет свою размерность.]
(Ls) Циклической проекции сопоставим ее ранг
₽(С)~> Range (С)
[под рангом циклического отображения f (С) = %cjt,1 пони-
мается ранг циклической матрицы М (с0, со .... cn-i)]-
(Le) Циклическому классу сопоставим его степень
свободы
>Grad$ (см. § 6 тл. 1).
При этом справедливы соотношения
Rang/(С) = dim (/(C)),	(16)
п—Grad/ — dim (/(C)) для /(х)|х" —1.	(17)
Несколько отложив доказательство этих равенств, выве-
дем из них важные следствия.
Если t(x)—делитель х"—1 и (/ (С)) = (/ (С))> то
GradKer/(C) = n —Rang/(C) = n —dim (/(С)) = Grad/. (18)
Первое равенство выполняется в силу теоремы 2 гл. 1,
второе и третье следуют из (16), (17).
Снова заменим структуру идеалов из К [С] двойствен-
ной ей структурой L'3 и поставим в соответствие идеалам
их коразмерность:
(И)	(/ (0) — codim (f (0) = n —dim (f (0).
Тогда происходит одновременная градуировка алгебр Lv
^в’
160 ГЛ. 9. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ n-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ II)
.Теорема 4. Элементам булевых алгебр Llf L3, Lb, L6,
переводимым друг в друга изоморфизмами теоремы.2 гл. 8,
соответствует одно и то же число.
Доказательство. Четыре переходящих друг в
друга элемента из Lv L3, Lb, L6 можно записать так:
К-/[х], (ИО), Кег /(£), где t (х) \хп — 1
(см. теоремы 2 и 5 гл. 8). Им соответствуют числа
Grad/, n—dim (/(£)), Ranged), Gnid Ker / (£).
Первое, второе и четвертое числа одинаковы в силу (18).
Далее, (et (£)) = (7(£)) (см. равенство (8) гл. 8 и конец
§ 1 той же главы), а из (16) и (17) следует, что
Ranget (£) = dim (et (£)) = dim (/ (£)) = n —Grad7= Grad t.
Теорема доказана.
Следствием из теоремы 4 является
Теорема 5. Степень свободы циклического класса, опреде-
ленного делителем t (х) многочлена хп—1, равна степени
многочлена /(х); степень свободы циклического класса, опре-
деленного циклической системой с коэффициентами с0,	.
..., сп^1, равна степени НОД (в /([х]) многочленов 2$срс*
и хп—1.
Так как сумма степеней простых делителей многочле-
на хп—1 равна п, то сумма степеней свободы атомарных
циклических классов n-угольников всегда равна п. Этот
факт следует также из того, что справедлива
Теорема 6. Для любых циклических классов S3 и %
Grad (S3 + £) + Grad (S3 П %) = Grad S3 + Grad %.
Действительно, аналогичная формула справедлива для
размерностей любых двух подпространств векторного про-
странства; нам достаточно лишь применить ее к про-
странству К [С] [идеалы (/(£)) являются в нем подпро-
странствами] и воспользоваться тем, что Grad Ker f (£) =
dim (/(£))•
§ 4. ГРАДУИРОВКА
161
Предоставляем читателю обобщить на булевы алгебры
циклических классов /г-угольников утверждение о разно-
стях степеней свободы соседних классов в диаграмме
циклических классов 6-угольников (см. § 8 гл. 1).
Перейдем, наконец, к доказательству равенств (16)
и (17). Рассмотрим изоморфное кольцу /< [£] факторкольцо
/С [х]/(х“ —1). Его элементы—смежные классы f (х) +
+ (хп—1), где f (х) С К [я], мы условимся обозначать
[/(х)]; классы [с], где с К, образуют изоморфное К
подкольцо кольца К [x]/(xw — 1). Если положить по опре-
делению
с[/ (*)]•• = [^(х)], с € к,
то К[х]/(х”—1) превратится в алгебру над К, каждый
элемент которой имеет вид [/(%)], где f (х) = с0 + с1х+...
• • •	с, € К. Как векторное пространство над К
эта алгебра имеет размерность п\ ее базис образуют эле-
менты
[1], И.....(19).
Всякий идеал в К[х]/(х”—1) является главным идеалом
([) (*)]) (см. теорему 3 гл. 7), его размерность как под-
пространства векторного пространства мы обозначим через
dim ([/(х)]).
Докажем следующие формулы:
RangM(c0, q......cn_r) = dim ([2^'']).	(16')
n—Gradt = dim ([/(x)]) для Цх)|х”—1.	(17')
В силу изоморфизма [/ (х)] —(£) они совпадают с фор-
мулами (16) и (17).
Доказательство (16'). Положим с04-с1х+..,.
... +cn_iX"-1 = / (х). Смежные классы
[/(*)], [X/(х)], .... [x”-VW]	(20)
образуют систему, порождающую подпространство ((Цх)]).
Согласно равенствам
[f W]=ce[i]+^ W + •
6 Ns 588
162 ГЛ. 9. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ л-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ П)
[х/(х)] = с„_1[1]+с0[х] + ... +cn_i[xn l],
[*" - lf (X) ] = Cj [ 1 ] + C2 [x] + . . • + Co [xn l],
максимальное число линейно независимых классов систе-
мы (20) равно рангу матрицы М (с0, cv ..., сп_г), что
и требовалось доказать.
Доказательство (17'). Для /(х) = х”—1 утверж-
дение справедливо. Пусть теперь Grad/ = /n < п. Смеж-
ные классы
[/(х)], [х/(х)], .... [х”"®-1/(х)]	(21)
линейно независимы. Действительно, если бы линейная
комбинация смежных классов (21) с коэффициентами а0,
..., ап_т_1 равнялась [0], то мы имели бы
[(ао + а.1х4-...+ап_и_1хя''я’1)^М] = [О]; однако это
возможно лишь в том случае, когда а0-ф ахх + ...
Обозначим через s (х) многочлен степени < п, сравни-
мый с х”"®/(х) по модулю (хп—1). Так как /(х)|х” — 1,
то также s (х)=х"~т t (х) mod (/,, (х)). Отсюда следует, что
t (х) | $ (х), или s (х) = s, (х) t (х). Очевидно, что Grad sx (х)<
</г—т; поэтому смежный класс
[хч-”7 (x)J = [sx (х) I (х)]
лежит в подпространстве Т, порожденном классами (21).
Следовательно, [х] Т sT.
Итак, [/(х)] (Е Ts(|7 (х)]) и [x]TsT. Отсюда следует,
что Т = ([/(х)]). Базис Т, состоящий из п—m смежных
классов (21), является также базисом ([/(х)]), что и до-
казывает формулу (17').
Упражнения
1.	Выведите неравенство Grad Кег/(£) <Grad f для /(х) =
m
== 2 С1Х? ^Cm 0» m < п) непосредственно из циклической системы
о
уравнений соа1 + б?1а2+ ... +cmam + 1 = о, ....
§ 5. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
163
2.	Более абстрактное доказательство равенства (17) получается
из соотношения	*
п —dim (t (£)) = dim К [?]/(/ (£)) = dim К [х]/(/ (х)) = Grad t
для i (х) | xrt — 1.
3.	Пусть # = Q. Какие из чисел 0, 1.........п являются степе-
нями свободы циклических классов л-угольников? Для каких п
каждое из этих чисел может быть степенью свободы некоторого
циклического класса?
§ 5.	Смешанные задачи
1.	Пусть ^ — циклический класс степени т, определенный де-
лителем t (х) = c0 + cix + ... +стхт (где /(х)|х«—1). Произволь-
ный n-угольник из g можно получить следующим образом: alt
ат выберем произвольно, ат + 1........ап найдутся единствен-
ным образохМ из рекуррентной системы
0)^1 “F • • • 4~	+1 “ О»	- т	=
Полученное представление циклического класса назовем нормаль-
ным. При этом представлении .....—параметры. [/(х) можно
еще нормировать так, чтобы ст = 1.]
2.	Пусть у—автоморфизм, а ф—эндоморфизм некоторой абёле-
вой группы. Обозначим уфу-1 через ф7; тогда у (Кег ф) — Кег ф7,
у(1тф) = 1тфТ.
3.	Пусть п — 2т\ отображение а: (ах, а2, Дз. а2/л)
—> (аь— а2, аз> •••» —а2т) является инволютивным автоморфиз-
мом <//„, но не циклическим отображением. Для всякого цикличе-
ского отображения / (£) имеем /(£)« = /( — £)• Отображение
/ю—*/(—«	'	(*)
является инволютивным автоморфизмом в К [£], а также в
Е (К [£]). Справедливо равенство a (Ker t (£)) = Ker t (Q* = Ker t (—g).
Отображение
Ker/(£)-+Ker/(-£)	(**)
является инволютивным автоморфизмом булевой алгебры цикличе-
ских классов, сохраняющим степень класса. Оно меняет местами
АСО-класс и нуль-изобарический класс, класс тривиальных
2т-угольников и класс /и раз пройденных 2-угольников с центром
тяжести о.
При К — Q, л = 4 и п = 6 исследуйте, как отображение (*) пре-
образует циклические проекции, а отображение (**) —циклические
классы.
4.	Пусть п четно и d | п. Вместе с tnd (х) (§ 4 гл. 8) многочлен
md (_является идемпотентным mod(x”—1) делителем многочлена
хц— 1. Если d четно, то md (х) = rnd (—х). Пусть d нечетно. Уста-
новите связь между md (х) и md (—х) и опишите ее в терминах бу-
левой алгебры циклических проекций и циклических классов. На*
6*
164 ГЛ. 9. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ n-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ II)
пример,
md (x) + md(—x) = m2d(x), md(x) md(—x)^ 0 mod (xn—1), (*)
1—md (—x) + nti (—x) = 1 — (m2d (x)—md (x)) +
+ (m,(x)-ml(x)).	(**)
Заменяя x на g в (**), получим циклическую проекцию, кото-
рая имеет одинаковые образ и ядро с а^=1— £ +£2—• • • +
ее можно записать так: Цг О Hd О 0 ““НгД
5.	Пусть Char/(#2. При нечетном п отображение ad (d | п)
обратимо; обратным элементом является х2(1 — £rf+£2rf—• • • +
6.	Отображение а3=1 — £ + £2 специализирует множество
п-угольников только при п = 6, 12, 18....
7.	Действие а3 на параллелограмм, а также многократно прой-
денный параллелограмм сводится к циклической перестановке его
йершин. Существуют ли еще нетривиальные n-угольники, обладаю-
щие тем же свойством?
8.	Пусть Char# = 0. Рассмотрим отображение хг“у(1 + £ +
+ ?2+ • • • +^г“1) Для любого г=1, 2, .... Если d есть НОД
чисел г и п, то хг и х^ имеюг одинаковые образ и ядро.
Если и нечетно и ^ = НОД(м, п), то,ам, ad имеюг одинаковые
образ и ядро.
9.	Отображение £—является автоморфизмом кольца
К [С], переводящим f (□ = Co+Ci$+...+c„_1gn-1 в /(g-l) = c0 +
+ £n-iS+ • • • +	Пусть t (х)— делитель хп—1. Если t (х)
симметричен или антисимметричен (см. § 1 гл. 12; при /< —Q это
предположение выполняется всегда), то отображения t (£) и t (^-1)
имеют одинаковые образ и ядро.
10	(циклические классы циклических отображений). Циклическое
отображение пространства Vn задается п-набором коэффициентов
(с0, сг	cw-i), следовательно, «п-угольником» из вектор-
ного пространства Кп (здесь V = /G dtn~^nY Все понятия теории
п-угольников посредством изоморфизма (с0, .....сп-д—Crt1
переносятся из Кп на # [£]. Идеалы в К [£] можно истолковать
теперь как «циклические классы циклических отображений».
Пример. Идеал (от) состоит из «тривиальных» циклических
отображений, т. е. отображений	где с0 —сх = ... = с„^1;
идеал (1—о) — из циклических отображений «с центром тяжести 0»,
т. е. из циклических отображений с&1, где —2^ = 0 (ср.
упражнение к § 3 гл. 3).
11	(циклические отображения циклического класса). По теореме
5 гл. 2 циклический класс Й’ остается на месте под действием лю-
бого циклического отображения. Но, вообще говоря, внутри g не-
которые отображения действуют одинаково Мы хотим выделить в
# [£] подмножество, содержащее все различные циклические отобра-
жения класса (ё.
§ 5. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
165
Пусть многочлен t (х) | хп — 1 определяет класс*^:^ = Ker t (£)==
= Im et (£). Два циклических отображения одинаково действуют на g,
когда они сравнимы mod (t (£)). Всевозможные различные цикличе-
ские отображения g представляются -элементами идеала (et (£)).
Справедливы равенства
К [CJ = (/ (О) ® (et (О) И (et (О) Я [£]/(/ (О) К [х]/ (/ (х)).
Идеал (et (£)) состоит из циклических отображений, которые пе-
реводят Лп в g.
12.	Пусть л = 4. Системой представителей всех циклических
отображений на классе параллелограммов
(ci\<> tig» аз, (I4), di — й2-Ь<1з—	= о
являются циклические отображения с набором коэффициентов
(Со, сь с2, с3), где с0 —q + Ca —с3 = 0,
т. е. класс «параллелограммов» циклических отображений (в смысле
задачи 10). В частности, к ним принадлежат циклические отображе-
ния, переводящие множество всех 4-угольников в множество парал-
лелограммов, такие, как х2 и проекция 1^—ц2 + о с наборами коэф-
фициентов (1, 1, 0, 0) и ~ (3, 1, —1, 1).
Руководствуясь этими примерами, установите общую теорему
относительно различных циклических отображений циклического
класса л-угольников.
13	(Киндер). Из всякой подстановки л множества {1, ..., л}
можно получить автоморфизм л векторного пространства л-угольни-
ков Лп~Уп наД
л: (di, ..., ап) >(ял(1), •••, як(Я));
л—>л есть мономорфизм группы всех подстановок чисел
{1, ..., л} в группу автоморфизмов Лп. Например, циклическое
отображение £ есть образ подстановки Q 3 ’** ^ = (1, 2, ..., л).
Вообще говоря, л не является циклическим отображением. Пока-
жите, что для всякого л^©п следующие утверждения попарно экви-
валентны:
1°. л£/<[£]; 2°. л£ = £л; 3°. л(1 ... л) = (1 ... л) л;
4°. (л(1) ... л(л)) = (1 ... л); 5°. л = (1 ... л)/для некоторо-
го /€{0, 1, ..л—1}; 6°. л = У для некоторого j£{0, 1......л —1}.
Отсюда следует, что л является циклическим отображением
тогда и только тогда, когда оно имеет вид некоторой степени £.
14 (Киндер). Согласно задаче 2, автоморфизм пространства Лп
отображает всякий циклический класс на циклический класс,
если он принадлежит нормализатору N (К [£]) кольца К [£] в
End (Лп\ Покажите, что для всякой подстановки л чисел |1, ...,л|
166 ГЛ. 9. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ /г-УГОЛЬНИКОВ (ТЕОРИЯ И)
следующие утверждения попарно эквивалентны:
1°.	2°.	3°. (л (1) ... л(п))СЛ[С];
4°. (л (1) ... л (п)) = (1 ...пр, где jg{0, 1.п— I}; 5°. Сущест-
вуют /, взаимно простое с л, и &£{0, 1, ..., л — 1}, такие, что для
1 = 1, 2, ..., п
л (i) ~ i. / -f- k mod п.	(*)
Группу подстановок со свойствами 1°—5° обозначим через Gn.
Пусть Fn—подгруппа подстановок л£Ол, таких, что автоморфизмы
л отображают на себя всякий циклический класс. Подстановка
(1 ... n)£Fn(j = k— 1) порождает группу Zn порядка л, которая
в Gn (и тем самым в Fn) является нормальным делителем.
Покажите, что факторгруппа FrjZn изоморфна группе Галуа
многочлена хп—1 над полем /(. Смежный класс nZn подстановки л,
удовлетворяющей сравнению (*), соответствует /(-автоморфизму
У C[Wl —>	i (С[£/<) поля /( (до). Здесь до— первообразный
корень л-й степени из 1 в поле разложения /< (до) многочлена хп — 1
над К.
15. Пусть Кр— простое поле характеристики р и р\п. Если
п = р1т и (р, m)= 1, то хп—1 — (хт—\)Р1. Существует по меньшей
мере (р1 +1 )’с (/я) циклических классов. Определите циклические
классы 6-угольников над /С3 (они образуют дистрибутивную
структуру, но не булеву алгебру).
ГЛАВА id
РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОМПОНЕНТУ
П-УГОЛЬНИКА
§ 1. Q-правильные и-угольники
n-угольник А называется Q-правильным, если все его
хордовые d-угольники1) изобаричны (здесь d—любой не-
тривиальный делитель числа п). Множество Q-правиль-
ных n-угольников обозначим через 31п.
Всякий 1-угольник и всякий р-угольник (р—простое
число) Q-правильны: — &р = Ар\ таким образом,
для п = 1, р понятие Q-правильности бессодержательно.
Чтобы оценить, насколько оно ограничительно в случае
составного п, полезно разобрать несколько частных слу-
чаев (см. рис. 62—85).
В гл. 4 были рассмотрены классы изобарически
распадающихся га-угольников: если d\n и n — dd, то
n-угольник, все хордовые d-угольники которого изобарич-
ны, называется d-кратно изобарически распадающимся.
Множество таких n-угольников образует циклический
класс Л„; Л„ есть класс n-угольников; Л"—класс три-
виальных п-угольников.
Очевидно, что является пересечением всех клас-
сов Л£, где d=£n:
= П Л^ = П Л*	(1)
d|п	d\n
d=£\,n	d=£ntl
SHn является свободным циклическим классом (как пере-
сечение свободных циклических классов).
Примеры. совпадает с классом параллелограммов
Ле —класс аффинно-правильных 6-угольни-
ков (§ 1 гл. 4). Вообще, Q-правильными 2р-угольниками
х) Хордовые d-угольники л-угольника А — это строки таблицы
и . п
вершин этого многоугольника, записанной mod .
168 ГЛ. 10. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОМПОНЕНТЫ л-УГОЛЬНЙКА
(р — простое нечетное число) являются 2р-параллелограм-
мы, имеющие равную нулю знакопеременную сумму вер-
шин. Это такие 2р-угольники, в которых все р-наборы
последовательных вершин имеют одну и ту же знакопе-
ременную сумму. Их «параметрическим представлением»
является
(аг, ...» ap,— at + 2s, .. .,— ^ + 25),
где s = at — a2+ аг—... +
Итак, Q-правильный 2р-угольник можно построить
следующим образом: выберем произвольно р точек, пост-
роим их знакопеременную сумму (хотя бы путем последо-
вательного достраивания четвертой вершины параллело-
грамма) и затем отразим выбранные точки относительно $.
Теорема 1. Пусть п =/= 1; п-угольник А тогда и только
тогда Q-правилен, когда для каждого простого делителя р
числа п все его хордовые р-угольники изобаричны.
Доказательство. Если /|d|n, то
Так как для всякого делителя 1 числа п существует
простой делитель р, такой, что р | d, то для всякого
класса, входящего в первое пересечение (1), найдется со-
держащийся в нем класс Л„/р. Этими меньшими классами
и можно-ограничиться в пересечении:
П^/₽ ДЛЯ П=#= 1.	(2)
-
Пример. 5LS = Л*—класс 8-параллелограммов (см.
теорему 4 гл. 1).'
Все хордовые d-угольники Q-правильного и-угольника
(где d\n) Q-правильны. Действительно, при /|d|n все
хордовые 7-угольники хордового d-угольника для А сами
являются хордовыми /-угольниками для А и потому изо-
баричны. Можно задать обратный вопрос: как влияет
Q-правильность и изобаричность хордовых многоугольников
на Q-правильность всего n-угольника? Например, если
выбрать два аффинно-правильных 6-угольника и перену-
меровать их вершины так: (а1( а3, ..ап), (а2, at, ...
то 12-угольник (а1( а2, . ..,а12) является Q-правильным.
В частности, при специальном выборе аффинно-правиль-
Рис. 71.
Рис. 72.
Рис. 73.
Рис. 74.
Рис. 75.
Рис. 76.
Рис. 83.
Рис. 84.
Рис. 85.
§ 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ -
171
ных 6-угольников получаются «мальтийский крест» и
«звезда Давида» (рис. 82, 77).
Q-правильные n-угольники с центром тяжести о обра-
зуют центральный циклический класс Для него также
справедливы формулы (1) и (2), если в них все свободные
классы Лд заменить соответствующими центральными
классами
о
Упражнения
1. При п = р\ где р—простое число, л-угольники, хордовые
р-угольники которых изобаричны, являются Q-правильными.
2. Если л/1 и п*—свободное от квадратов ядро п (максималь-
ный свободный от квадратов делитель п), то Q-правильными явля-
ются те л-угольники, все хордовые л*-угольники которых Q-npa-
вильны и изобаричны.
§ 2. Циклические классы, определенные многочленами
деления круга
В гл. 8 мы говорили о циклических классах «-уголь-
ников, определенных многочленами деления круга Fd(x),
где d\n, и прежде всего о классе, определенном много-
членом F„ (х). При п= 1 это есть класс всех 1-угольников.
Теорема 2. Пусть п=£1. Циклический класс п-угольни-
ков, определенный многочленом Fn (х), состоит из Q-пра-
вильных п-угольников с центром тяжести о:
KerF„(C) = SV	(3)
О
Доказательство. Из многочленов md(x) (см. § 4
гл. 8) образуем булеву сумму (см. § 1 гл. 5)
2	(4)
d II л
На первообразных корнях п-й степени из единицы много-
член (4) принимает значение 0, а на остальных 1. Дей-
ствительно, на первообразных корнях каждое слагаемое
равно 0, а на корнях d-й степени из единицы, где d || п,
слагаемое md(x) равно 1, следовательно, и булева сумма
равна 1.
172 ГЛ. 10. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОМПОНЕНТЫ п-УГОЛЬНИКА
Рассмотрим систему равенств
Кег Fn (I) = Кег 2 о pd = П Ker pd = П -Adn =
d||n	d||n	d||« °	0
Справедливость первого равенства следует из того, что
(£) = ji* и из теоремы 8Ь гл. 8; справедливость вто-
рого—из правила (18) гл. 5 и, наконец, третьего—из § 3
гл. 4.
- Теорема 3. Fr (х) определяет класс тривиальных п-уголь-
ников; Fd(x), где d\n, d=H=l,— класс d раз пройденных
^.-правильных d-угольников с центром тяжести о:
Ker (£) =	„, Кег Fd (£) = d для d | п, d #= 1. (5)
Доказательство. Первая из формул (5) нам уже
известна ^ем. § 3 гл. 6). Пусть теперь d\n, дф 1. В силу
теоремы 2, F^(x) определяет класс Q-правильных d-уголь-
ников 9ld, по лемме из § 4 гл. 8 тот же многочлен оп-
ределяет класс n-угольников Sld.d-
Каждому делителю d соответствует свой класс Std.'a',
его степень свободы равна (см. теорему 5 гл. 9) степени
определяющего многочлена Fd(x), следовательно, значению
функции Эйлера ф (d). Отсюда следует, между прочим, что
класс Q-правильных n-угольников при п 1 имеет степень
свободы <р (п) + 1.
Поскольку произведение многочленов деления круга
Fd(x) (ПРИ д\п) равно хп—1 и они попарно взаимно
просты, то, согласно теореме 5 гл. 8, Лп является прямой
суммой циклических классов (5).
Если /С = Q, то многочлены Fd(x)(d\n, старшие коэф-
фициенты равны 1) являются простыми делителями хп— 1.
Поэтому классы (5) являются атомарными циклическими
классами (теорема 5 гл. 8; ср. § 3 гл. 6).
Теорема 4. При К = Q атомарными.циклическими клас-
сами n-угольников являются класс п тривиальных п-уголь-
ников и классы Slid d раз пройденных Q-правильных d-уголь-
ников с центром тяжести o(d|n, d^l), включая (при
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОМПОНЕНТЫ «-УГОЛЬНИКА
173
d = n,n=£l) класс 9ih (^-правильных п-угольников с центром
о
тяжести о.
Пример: К = Q, п — 12. Существует шесть атомарных
циклических классов 12-угольников:
тривиальные 12-угольники,
шестикратно пройденные 2-угольники с центром
тяжести о,
четырехкратно пройденные 3;угольники с центром
тяжести о,
трижды пройденные параллелограммы с центром
тяжести о,
дважды пройденные аффинно-правильные 6-угольни-
ки с центром тяжести о,
Q-правильные 12-угольники с центром тяжести о.
Выясним, что представляют собой Q-правильные
12-угольники. Многочлену Fi2 (х) = х*—х2 + 1 соответствует
циклическая система а, — а3 + а5 = о..Она распадается
на две системы—с нечетными и четными индексами,—
каждая из которых определяет аффинно-правильные
6-угольники. Итак, Q-правильными являются 12-уголь-
ники, оба хордовых 6-угольника которых аффинно-пра-
вильны и изобаричны.
§ 3. Рациональные компоненты /г-угольника
Как и для всякого делителя хп — 1, для многочлена
деления круга Fd(x), где d\n, существует однозначно оп-
ределенная циклическая проекция, отображающая множе-
ство всех п-угольников на циклический класс, определен-
ный многочленом Fd(x) (см. § 2 гл. 8). Обозначим ее че-
рез ed:
KerFd (S) = Im ed.	(6)
Проекция ed соответствует многочлену Fd(x) при изо-
морфизме структур г\5: Lr на (см. § 1 гл.-8). При этом
произведению делителей из Lr изоморфна булева сумма
соответствующих проекций и взаимно простым делителям
соответствуют ортогональные проекции. Поскольку много-
члены Fd (х) для всех d | п попарно взаимно просты и их
It4 ГЛ. 10. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОМПОНЕНТЫ л-УГОЛЬНИКА
произведение равно хп — 1, проекции ed для всех d\n по-
парно взаимно ортогональны и их сумма равна 1.
Рис. 86. Разложение 6-угольника с центром тяжести о на его
рациональные компоненты.
Отсюда получается однозначное разложение произволь-
ного n-угольника А на n-угольники из циклических клас-
сов (5):
(7)
d\n	v 7
Циклическая проекция ер отображающая множество
всех n-угольников на класс тривиальных, совпадает с о;
следовательно, ех4—центр тяжести n-угольника А. При
dy=l многоугольник edA есть d раз пройденный Q-npa-
вильный d-угольник с центром тяжести о.
Эти n-угольники 8аА мы будем называть рациональными
компонентами 4, а n-угольник гпА—рациональной Q-npa?
вилъной компонентой 4. Если 7< = Q, то разложение (7)
является атомарным (см. рис. 86).
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОМПОНЕНТЫ п-УГОЛЬНИКА
175
Для всякого делителя d циклическую проекцию можно
получить из Fd (х) и его производной с помощью форму-
лы (11) гл. 8. Существует еще одно интересное представ-
ление
Теорема 5.
= На П (1 — Pt)-
‘ 11 d
Доказательство. Пусть d\n. Рассмотрим много-
член
fd(x): = md(x) П (1— mt (х)).
‘ \\d
Он равен 1 на первообразных корнях степени d из 1 и О
на остальных корнях степени п из 1. Действительно, на
первообразных корнях степени d из 1 все сомножители
произведения fd (х) равны 1 (на каждом из таких корней
md(x) равен 1, a. md(x) равен 0, t ||d). Остальные корни
из 1 либо являются корнями степени t (t || d), либо вообще
не являются корнями степени d из 1. На первых из них
mt (х) равен 1, а 1—tnt (х) равен 0; на последних md(x)
равен 0.
Отсюда следует, что fd (?) является циклической проек-
цией, (отображающей множество всех п-угольников на
циклический класс, определенный многочленом Fd(x)(<M.
теорему 8а гл. 8). Поэтому fd(&) = &d- Теорема доказана,
Приведем формулу, обратную к доказанной в теореме 5:
(8)
11 d
[Поскольку ed попарно ортогональны, в формуле (8)
можно вместо простой суммы писать также булеву сумму.]
Доказательство. Многочлены tnd (х) и fd (х) свя-
заны следующим сравнением:
md (х) = S ft W mod (х" — 1).	(9)
Действительно, поскольку многочлен Д(х) равен 1 на
первообразных корнях /-й степени из 1 и 0 на остальные
176 ГЛ. 10. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОМПОНЕНТЫ «-УГОЛЬНИКА
корнях n-й степени из 1, то стоящая справа в (9) сумма
равна 1 на всех корнях степени d из I и 0 на всех осталь-
ных корнях n-й степени из 1. Таким образом, эта сумма
совпадает с та(х) на спектре многочлена хп—1. Если
в (9) вместо х подставить £, получим (8).
Упражнение. Вывести непосредственно из формулы (8) муль-
типликативное правило для ud (§ 2 гл. 4).
§ 4. Булева алгебра, порожденная хордовыми
усреднениями, и ее атомарные элементы
Как известно, хордовые усреднения pd, где d\n, явля-
ются циклическими проекциями и как элементы булевой
алгебры (Е (К [£]), о, •) порождают некоторую подалгебру
Еу. (§ 5 гл. 5). Элементы не являются свободными
образующими алгебры £р, т. е. не все pd атомарны в Е^.
Справедлива
Теорема 6. Циклические проекции ed (где d\n) образуют
систему атомарных элементов алгебры Ev. Эта алгебра ,
содержит 2Х(И) элементов и в случае К = Q состоит из всех
циклических проекций.
Доказательство. По теореме 5, ed (где d\n) при-
надлежат Е?;, они отличны от нуля, попарно ортого-
нальны и их сумма равна 1. Отсюда (в силу теоремы
2 гл. 5) следует, что еа атомарны в некоторой подалгебре,
принадлежащей Е„ и содержащей 2’(п) элементов. Из фор-
мулы (8) вытекает, что эта подалгебра совпадает с Е .
При К — Q количество простых делителей хп— 1 равно т (п)
(§ 2 гл. 6), а количество циклических проекций равно 2х(п)
(теоремы 1' и 2 гл. 8); следовательно, все они содержатся
в Ev. Теорема доказана.
Фигурирующее в теореме 5 произведение можно со-
кратить: при d#=l можно ограничиться максимальным
собственным делителем t числа d. Запись комбинаций
из pd с помощью операций о, •, 1— [как, например,
в теореме 5 или в формуле (4)] удобна тем, что изомор-
физмом Im (или антиизоморфизмом Кег) она непосред-
ственно переносится на соответствующие комбинации
циклических классов. С другой стороны, раскроем скобки
§ 4. БУЛЕВА АЛГЕБРА, ПОРОЖДЕННАЯ ХОРДОВЫМИ УСРЕДНЕН. 177
в произведении теоремы 5 и воспользуемся правилом из
§ 2 гл. 4. Тогда мы и представим ed в виде целочислен-
ной линейной комбинации из элементов где t\d.
Пример: /2= 12, 81 = pi1, е2 = р2—рп е3 = р3—рр
= 1^4	Н-2» ^6 Нб Из Р'2“ЬР'1>	&12 ~ И12 Нб Нч 4“ Hi
(причем всегда рх = о, а при п=12 еще р12=1).
В этом примере коэффициенты при р, в представлениях
для равны 1, —1, 0 и сумма их равна нулю при d=/= 1.
Эта закономерность имеет общий характер. Действительно,
на основании формулы обращения Мёбиусах) из (8) следует
Теорема 7.
е* = 2>(тХ
t\d
Здесь ц(т)— функция Мёбиуса натурального аргу-
мента т, определенная следующим образом: ja(1) = 1;
p(m) = (—1)г, если т есть произведение г попарно раз-
личных простых делителей; р (т) = 0, если m #= 1 и не
свободно от квадратов; при этом 2 И (0 = 0 ПРИ всех
Итак, мы получили два представления е„ (теоремы 5 и 7).
Применяя законы де Моргана к формуле теоремы 5 и
учитывая, чтор„=1, эти представления можно перепи-
сать так:
1 — = S W
d\\n
d\\n
(10)
(11)
Упражнение. Проекция (где d\n) допускает следующее
представление с помощью функции Мёбиуса:
1 = 0	t\(d, i)
х) См., например, Хассе [18], §4,7 [или Виноградов [7].—
Прим, ред.]
178 гл. 10. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОМПОНЕНТЫ п-УГОЛЬНИКА
[(d, i) обозначает НОД чисел d и Z], Если число d свободно от ква-
дратов, то справедливы также формулы
1	( d //л -п
= 0)’
где ф (/и) — функция Эйлера.
§ 5. К построению рациональных компонент п-угольника
1-угольник имеет единственную рациональную компо-
ненту—самого себя. Пусть теперь п=/=1.
Класс Q-правильных п-угольников является пере-
сечением классов где d\\n. В булевой алгебре цикли-
ческих классов п-угольников дополнительными к Лп явля-
ются классы у (теорема 3 гл. 4); поэтому дополни-
тельным к центральному классу 91п Q-правильных п-уголь-
о
ников является класс
^п~	(12)
d\\n
сумма всех собственно периодических классов. Для него
справедлива теорема, аналогичная теореме 1. С другой
стороны, поскольку Лп разлагается в прямую сумму
циклических классов из теоремы 3, то Лп есть сумма
всех этих классов, кроме
Из = вытекает, что Im(l—е,п) = Лп.
Примеры. Л*-—класс призм (см. § 5 гл. 5); Л*2—
класс 12-угольников, оба хордовых 6-угольника которых
являются призмами.
Теперь рассмотрим разложение n-угольника А на его
рациональные компоненты. Запишем А следующим образом:
А =2ейЛ + е„Л = А* + гпА,
где Л* = 2е<*(Л)= (1— е„)А.	(13)
d\\n
Прежде всего представим себе, что для всякого собст-
венного делителя d числа п построен периодический
n-угольник [tdAf вершинами которого являются центры
тяжести хордовых d-угольников (dd = n> теорема 1 гл. 4).
§ В. к ПОСТРОЕНИЮ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОМПОНЕНТ л-УГОЛЬНИКА 179
Компонента &dA при d=^n строится из таких собст-
венно периодических n-угольников, а именно из p,dA и
где t—собственный делитель d, для которого у сво-
бодно от квадратов (см. теорему 7). Подобным же обра-
зом на основании формулы (11) строится n-угольник Л*;
А* и его слагаемые sdA (d||n) принадлежат классу Л*п.
Q-правильная компонента гпА не принадлежит клас-
су Л*п (если Л £ Л*п, то гпА = О) и не строится из соб-
ственных периодических n-угольников. Ее можно пред-
ставить в виде разности Л—Л*, что уже было сделано
для п = 6 в теореме 6 гл. 5; Л и Л* изобаричны, поэтому
Л—Л* есть Q-правильный n-угольник с центром тяжести о.
Упражнения
1. Если п равно степени простого числа р, то дополнительным
к центральному Q-правильному классу является периодический
п
класс, а именно класс р раз пройденных —угольников.
2. Всякому свободному циклическому классу //-угольников
можно поставить в соответствие два свободных класса р1 + ^уголь-
ников: 1) класс р1+^угольников, хордовые //-угольники которых
принадлежат g, 2) класс pz +^угольников, хордовые р^-угольники
которых изобаричны и принадлежат Всякий ли свободный цикли-
ческий класс р1 + ^угольников можно при 7( = Q получить таким
образом?
ГЛАВА И
КОМПЛЕКСНЫЕ КОМПОНЕНТЫ
//-УГОЛЬНИКА
§ 1. w-л-угольники, правильные /1-угольники
Пусть w—некоторый корень п-й степени из 1, при-
надлежащий полю К (до=1 всегда принадлежит полю/<).
Назовем w-n-угольником такой n-угольник, в котором
каждая следующая вершина получается из предыдущей
умножением на w:
(a, wa, w2a, w^a), a^V.	(1)
Если a =£0, то все вершины п-угольника (1) принад-
лежат одномерному подпространству /<а пространства V.
Если	то множество ^-//-угольников совпадает
с классом тривиальных n-угольников. Если	то
w — корень многочлена (хп — 1)/(х—+
... + хп~1, следовательно,
1+	(2)
Отсюда видно, что при	всякий оу-п-угольник
векторного пространства V имеет центр тяжести о; дейст-
вительно,
±(a + wa+w2a+ ... +^“1а) = о
v для всех w =/= 1 и всех а б V.
Вместе с w полю К принадлежит также иг1. Если
вершины /г-угольника (1) переписать в обратном порядке,
то получится йу~1-п-угольник и так можно получить
каждый ^/'М-угольник. При ^=^±1 только нулевой
n-угольник О является одновременно оу-п-угольником и
^-1-п-угольником.
и/-п-угольники образуют циклический класс, число
степеней свободы которого равно 1. Он является атомар-
ным классом, определенным простым делителем х—w.
§ 1. и>-л-УГОЛЬНИКИ, ПРАВИЛЬНЫЕ л-УГОЛЬНИКИ
Действительно, при n=£l п-угольники (1) являются ре-
шениями циклической системы a2 = walt ... . При п=1
множество &у-п-угольников совпадает с множеством всех
1-угольников и утверждение остается справедливым
(ср. § 3 гл. 6).
Если К содержит все корни n-й степени из 1, т. е.
если хп—1 разлагается в К [х] на линейные множители,
то для всякого корня n-й степени из 1 имеется свой
класс uz-n-угольников и справедлива
Теорема 1. Если поле К содержит все корни n-й сте-
пени из 1, то атомарными циклическими классами п-уголь-
ников являются классы w-n-угольников/ где w пробегает
все корни n-й степени из 1 (см. § 3 гл. 6 или теорему 5
гл. 8).
Если к и/-п-угольнику (1) прибавить произвольный
тривиальный n-угольник, получим
(а-|-&, wa + b,	+ a, b^V. (4)
Множество n-угольников вида (4) обозначим через
Тогда — класс тривиальных n-угольников. При
класс является свободным классом, соответствующим
центральному классу ш-п-угольников; он имеет степень
свободы 2, определяется многочленом (х—1)(х—w) и в
булевой алгебре циклических классов является верхним
соседним к классу тривиальных п-угольников.
Пусть теперь /< содержит все корни n-й степени из 1.
Тогда существует ф(п) классов
где w — первообразный корень n-й степени из 1.	(5)
Все «-угольники, принадлежащие классам (5), т. е. все
п-угольники (4), мы назовем правильными п-угольниками*).
Правильными будем также называть все тривиальные
п-угольники1). В нетривиальном правильном п-угольнике
все вершины различны.
*) Ясно, что при Д = 4£ и (ИтУ=1 (комплексная плоскость)
— это класс правильных л-угольников (в элементарно-геометри-
ческом смысле; см. стр. 184, в частности, рис. 87).
2) Поскольку класс тривиальных «-угольников существует при
любых п и Д, имеет смысл называть их правильными также и в том
случае, когда Д не содержит всех корней л-й степени из 1.
182 ГЛ. 11. КОМПЛЕКСНЫЕ КОМПОНЕНТЫ «-УГОЛЬНИКА
Класс (5) единствен только в случае ср (п) = 1, т. е.
при п = 1, 2. Класс <ё1(п==1), соответственно (S_1 (п = 2),
содержит все 1-угольники, соответственно 2-угольники,
поэтому для всякого допустимого поля К любой 1- или
2-угольник является правильным. При этом случай п=1
является несколько особым, ибо из всех классов (5)
только при п=\ является атомарным; все остальные
классы (5) при п =^= 1 содержат класс тривиальных
п-угольников.
Множество правильных п-угольников, т. е. объедине-
ние циклических классов (5), вообще говоря, цикличе-
ским классом не является: действительно, сумма двух
п-угольников из различных классов (5) не является пра-
вильным п-угольником. Оно является классом только
при n = 1, 2.
Сумма всех классов (5) определяется при n^= 1 много-
членом (х—l)F„(x) (теорема 5 гл. 8), а прип=1—мно-
гочленом х—1. Отсюда следует, что сумма классов (5)
является классом Q-правильных п-угольников; однако
только при п~\, 2 всякий Q-правильный п-угольник
является правильным п-угольником.
Следствие из теоремы 1. Пусть К содержит все корни
п-й степени из 1. Атомарными циклическими классами
являются: класс тривиальных п-угольников (при п = 1 —
единственный) и, кроме того, при п^1, ср (п) классов
правильных п-угольников с * центром тяжести о (в сумме
они составляют центральный класс Q-правильных
о
п-угольников) и классы —кратно пройденных правильных
d-уголъников с центром тяжести о (где d—всевозможные
нетривиальные делители числа п).
Это следствие обосновывается следующими рассужде-
ниями.
В любом из классов оу-п-угольников для всякой точки а
можно указать единственный п-угольннк с началом а.
Если w—первообразный корень n-й степени из 1, то все
классы теоремы 1 суть классы ^-п-угольников, где
/6 {1, 2, ..., п}.
Обозначим wl-п-угольник с началом а через Л Да)
(так что ЛДа) — это исходящий из точки а uj-n-угольник).
§ 2. СЛУЧАЙ ПОЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
183
Тогда Лх (а) — правильный/г-угольник. Если / взаимно
просто с п, то wl—тоже первообразный корень и At(a)—
тоже правильный n-угольник; множество его вершин со-
впадает с Лх(а), только нумерация будет иной: условимся
говорить, что Аь (а) получен из Аг (а) 1-хордовым обходом1),
где I взаимно просто с п. В общем же случае если wl —
первообразный корень d-й степени из 1 (где d\n), то
Л Да) есть -^--кратно пройденный правильный d-угольник
[т. е. wl-d-угольник с началом а]\ при d=/= п многоуголь-
ник Л Да) будет собственно периодическим.
Многоугольник Л„(а) = (а, а, а) имеет центр
тяжести а. При /гу=1 все /г-угольники Лх(а), ..., Л„_Да)
(в том числе и многократно пройденные d-угольники) в
силу (3) имеют центр тяжести о.
Подведем итог сказанному:
Теорема 2. Если А —правильный n-угольник, то всякий
n-угольник, полученный из него 1-хордовым обходом (где I
взаимно просто с п), также является правильным. Если
d—делитель п, то хордовый d-угольник правильного п-уголь-
ника А является правильным d-угольником; при d =/= 1 он
имеет тот же центр тяжести, что и исходный Л.
Упражнения
1.	Среднее арифметическое л-угольников Дх (а), ...» Ап (а) есть
л-угольник (а, о, ...» о).
2.	Обладают ли Q-правильные л-угольники свойством, сформу-
лированным в теореме 2?
3.	Простое поле характеристики р, Р/^п, содержит все корни
л-й степени из 1 тогда и только тогда, когда р as 1 mod л.
§ 2. Случай поля комплексных чисел
Если 7( = С—поле комплексных чисел, то для всякого п
корни /г-й степени из 1 имеют вид
.	9тг
w = = cos 6 + i sin 0, где 0 = — I (/ = 1,2, ..., n).
J) Пусть 4 = (ax, .an) и / — произвольное число. Образуем
л-угольник (ах, ах+/, ..., ац-(и-1)/), где индексы у а; берутся
mod л, — именно этот л-угольник мы будем называть полученным
из А I-хордовым обходом.
f84 ГЛ. 11. КОМПЛЕКСНЫЕ КОМПОНЕНТЫ /г-УГОЛЬНИКА
Всякое одномерное подпространство Са в V, где а=/=о,
представляет собой гауссову числовую плоскость. Отобра-
жение
x—+wx
здесь представляет собой поворот вокруг нулевой точки о
на угол 6. Каждая вершина оу-п-угольника (1) получается
из предыдущей вершины с помощью этого поворота. Сле-
довательно, правильные в нашем смысле п-угольники на
гауссовой плоскости являются правильными п-угольниками
в обычном (евклидовом) смысле (рис. 87).
При ю — е'\ где 0 = —, ш-п-угольники суть обыкно-
венные правильные выпуклые n-угольники с положитель-
ным обходом вершин и центром тяжести о (см. рис. 88);
игМ-угольники— это те же n-угольники с обратным по-
рядком обхода вершин. Они образуют новый циклический
класс: при п > 2 оба эти класса правильных n-угольни-
ков различны; общим для них является только нулевой
n-угольник. Если ф(п)>-2, то существуют еще и другие
правильные n-угольники с центром тяжести о, например
при п = 5 класс пройденных в. положительном (соответст-
венно в отрицательном) направлении правильных пяти-
конечных звезд с центром тяжести о (рис. 89).
§ 2. СЛУЧАЙ ПОЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
185
Всего над полем комплексных чисел существует п.
атомарных циклических классов п-угольников. Ими
являются:
При п = 4—тривиальные 4-угольники; дважды прой-
денные 2-угольники (а, —а, а, —а); квадраты (a, ia,
—а, —ia)', квадраты, пройденные в противоположном
направлении.
При n = 5^0=y-, w = е'^ —тривиальные 5-угольни-
ки; правильные 5-угольники (a, wa, .... w*a); правиль-
ные 5-угольники, пройденные в противоположном направ-
лении; правильные звезды (a, w2a, w*a, wa, w3a);
правильные звезды, пройденные в противоположном
направлении.
При п = 6^0 = -^-, ау = <?'6^—тривиальные 6-угольни-
ки; трижды пройденные 2-угольники (а, —а, .... —а);
дважды пройденные правильные 3-угольники (a, w2a,
wia, a, w2a,. w*a)', правильные треугольники, дважды
пройденные в противоположном направлении; правильные
6-угольники (a, wa, ..., w5a); правильные 6-угольники,
пройденные в противоположном направлении.
186 ГЛ. 11. КОМПЛЕКСНЫЕ КОМПОНЕНТЫ п-УГОЛЬНЙКА
§ 3. Комплексные компоненты я-угольника
Пусть, как и раньше, поле содержит все корни
n-й степени из 1. Всякий п-угольник А однозначно раз-
лагается в сумму п-угольников из атомарных цикличе-
ских классов, т. е. в силу теоремы 1 в сумму &у-п-уголь-
ников, где w пробегает все корни п-й степени из 1. Сла-
гаемое, соответствующее заданному корню w, назовем
w-компонентой А, а все эти слагаемые—комплексными
компонентами А.
Наша задача — найти комплексные компоненты п-уголь-
ника Л = (ар а2, ап). Запишем прежде всего оче-
видное равенство
(Яр аг......я„) = (Яр О......О) + (О, а2, .... о)+
+ (о.....о, ап).	(6)
Поскольку сумма всех корней n-й степени из 1 при п =£ 1
равна 0 [см. (2)], имеем
(йр о, .... о)= У •i-(al,©a1,u>2a1, ..	(7)
по всем ы
Тем самым п-угольник (лр о, ...» о) представлен в виде
суммы п-угольников из атомарных классов теоремы 1,
а именно в виде суммы оу-п-угольников с началом в точке
~ в силу однозначности атомарного разложения
мы получили комплексные компоненты п-угольника
(ар о, о). Аналогично
(о, а2, о,	У ~-(wn~1a2, a2,wa2......шп_2а2),
по всем w
где справа стоят комплексные компоненты п-угольника
(о, а2, о, ...» о), и т. д. В силу (6) достаточно сложить
все эти разложения; при этом мы соберем все компоненты,
относящиеся к одному корню ш; их сумма даст &у-п-уголь-
ник, а именно оу-п-угольник с началом
-(wnal + wn-‘a2+ ... +wa„) = -^w-la2+i.	(8)
2 = 0
• Как известно, все остальные вершины этого ш-п-угольника
получаются из его начала умножением соответственно на
§ 3. КОМПЛЕКСНЫЕ КОМПОНЕНТЫ л-УГОЛЬНИКА
187
х’,	...» wn^1. Тем самым мы полностью решили по-
ставленную задачу. [Этот результат можно описать сле-
дующим образом. Запишем один под другим ^’"1-п-уголь-
ники с началом где 4=1,2, ..., п. Тогда центр
тяжести точек, лежащих на главной диагонали этой таб-
лицы, является первой вершиной (8) ^/-компоненты
м-угольннка А. Остальные вершины этой компоненты
получаются умножением первой последовательно на w,
w2, ..., ш72"1; они являются также центрами тяжести сис-
тем точек, лежащих на параллелях к главной диагонали.]
&г/-/г-угольник с началом (8) является образом п-уголь-
ника (ах, а2, ..., ап) при циклическом отображении с
n-набором коэффициентов у(1,	^"2,	о/“(”“1)),
т. е. (см. теорему 3 гл. 2) при циклическом отображении
^(С): =|(1+^’1С + ^-Т+...	=
1 /г"1
1	= 0
Сформулируем полученный результат:
Теорема 3. Если поле К содержит все корни п-й степени
из 1, то
2	где еда(С) = -£ да-Ч'',
по всем w
I = о
является однозначным разложением произвольного п-уголь-
ника А на n-угольники из атомарных циклических классов.
Слагаемое ew (£) А является ^-n-угольнйком, a ew (£) —
проекцией Лп на множество ^-п-угольников.
Следствие. Отображение ew (£) проектирует множество
всех n-угольников на класс w-n-угольников, являющийся ато-
марным циклическим классом, определенным многочленом
х—w.
Другими словами, e.w(Q являются атомарными цикли-
ческими проекциями. Это следствие можно взять за основу,
проверив его непосредственным подсчетом (подобно двум
первым утверждениям теоремы 1 гл. 4). Тогда из него
188 ГЛ. 11. КОМПЛЕКСНЫЕ КОМПОНЕНТЫ «-УГОЛЬНИКА
будет вытекать теорема 3. Однако, поскольку строение
отображений само по себе представляет интерес,
мы получим наше следствие из общих теорем гл. 8.
В гл. 8 указаны два пути нахождения циклической
проекции, отображающей Ап на циклический класс, опре-
деленный многочленом х—w\
1) Для t (х)^=х—w отображение et (£) есть нужная нам
проекция (см. формулу (15) гл. 8). Вычисление с помощью
формулы, содержащей производную t (х) (теорема 3 гл. 8),
приводит к следующему результату:
1	1
i= О
Подстановка х—>£ дает искомую проекцию ^(Р-
2) По теореме 8а гл. 8 нужная нам проекция полу-
чается подстановкой £ в многочлен из 7<[х], равный 1 на
w и 0 на остальных корнях n-й степени из 1.
Рассмотрим делитель многочлена хп—1, дополнитель-
ный к х—w:
^^ = u)"1(l + (ui“1x) + (a>‘1x)3+ ... +(®-1x)n"1).
Он равен нулю на всех корнях n-й степени из 1, отлич-
ных от w\ если же подставить в него x = w, то он обра-
щается в ш”1/!. Поэтому достаточно поделить рассматри-
ваемый многочлен на w~1n и произвести подстановку х—>£.
Заметим еще раз, что ненулевыми комплексными ком-
понентами Q-правильных n-угольников с центром тяжести
о могут быть только правильные n-угольники с центром
тяжести о.
Пример. На гауссовой числовой плоскости (случай
V = % = С) всякий параллелограмм с центром тяжести о
однозначно представим в виде суммы двух квадратов с цент-
ром тяжести о, проходимых в противоположных направ-
лениях. На рис. 90 4 = (.«!, а2, —— а2) разлагается на
/-компоненту А:
(ar — ia^ ia, + a^ —a. + ia^ — ia. — аЛ
v ' l	+ 1	4	4-	4	X	4/

190 гл. И. КОМПЛЕКСНЫЕ КОМПОНЕНТЫ п-УГОЛЬНИКА
и (— ^-компоненту А:
-^-(al-t-ia2, ~ia1 + a2, —a.—ia,, ic^—aj.
Аналогично всякий 3-угольник с центром тяжести о
однозначно представим в виде суммы двух проходимых в
противоположных направлениях правильных 3-угольников
с центром тяжести о; всякий аффинно-правильный 6-уголь-
ник с центром тяжести о—в виде суммы двух проходи-
мых в противоположных направлениях правильных 6-уголь-
ников с центром тяжести о (рис. 91).
Упражнения
1.	Как специализируется разложение параллелограмма на два
квадрата с тем же центром тяжести, если этот параллелограмм яв-
ляется ромбом?
2.	Для каких п все комплексные компоненты п-угольника на
гауссовой числовой плоскости можно построить циркулем и линейкой?
3.	Пусть К содержит все корни n-й степени из 1. Эти корни
являются собственными значениями эндоморфизма t, пространства^;
класс ^-п-угольников— собственным подпространством, отвечающим
собственному значению w (множеством п-угольников Д, для которых
£Д = шД); атомарное разложение <Лп — разложением на собственные
подпространства эндоморфизма g; e.w (g) является проекцией <Дп на
соответствующее корню w собственное подпространство.
4.	Всякое циклическое отображение /(g) действует на классы
^-п-угольников как растяжение (гомотетия) с коэффициентом f (ш).
ГЛАВА 12
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ
П-УГОЛЬНИКА
§ 1. Симметрические циклические классы
В векторном пространстве «-угольников рассмотрим
отображение
Л = (ах, аг, .... ап)->Д* = (а1, ап.аг), (1)
которое всякому «-угольнику А ставит в соответствие
«-угольник А* с тем же началом, но с противоположным
порядком обхода вершин.
Очевидно, что отображение (1) является инволютивным
линейным отображением Лп на себя:
Л** = Л, (Л + Л)*=Л* + Д*, (сЛ)* = сЛ*.
Далее, (£Л)* = £-1Л*, откуда следует, что для любого
циклического отображения / (С)
(HQA)*=f^)A*.	(2)
Если А принадлежит циклическому классу, являющемуся
ядром отображения /(£), то Л* € Ker f (£'х) (и обратно),
т. е. отображение (1) переводит всякий циклический класс
снова на циклический класс.
Условимся называть симметрическими х) те циклические
классы, которые переводятся в себя отображением (1);
другими словами, циклический класс является симметри-
ческим, если вместе с каждым n-угольником А он содер-
жит также и n-угольник Д*.
Имеет место
х) Симметрические циклические классы известны также под на-
званием циклических-антициклических классов, так как вместе с
n-угольником А каждый из них содержит все п-угольники, получен-
ные из А как циклической, так и антициклической подстановкой.
192 ГЛ. 12. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ л-УГОЛЬНИКА
Теорема 1. Симметрические циклические классы п-уголь-
ников образуют булеву подалгебру булевой алгебры всех
циклических классов n-угольников. Эта подалгебра содержит
четыре основных класса; вместе с каждым свободным цик-
лическим классом она содержит соответствующий ему
центральный класс, и обратно.
Последнее утверждение следует из теоремы 2 гл. 3.
Рассмотрим следующее отображение кольца К [%] (оп-
ределенное для многочленов т^О):
f W —> f * W = *Grad 7 С* “ *) •	(3)
Ясно, что с^ — с для каждого с=£0 из Кс,	=
= f*(x)g* (*). Многочлен f (х) называется симметрическим,
если f * (x)~f (х), и кососимметрическим, если /* (х) = —f(x),
1°. Если f* (х) ассоциирован с f (х), mof (х) —симметриче-
ский или кососимметрический многочлен (и обратно).
Доказательство. Пусть /* (х) = cf (х), где с=^=0
и eg К. Если с1Л О—старший коэффициент f (х) и с0—его
свободный член, то с0 = сст, ст = сс0; следовательно, ст=с?ст
и с~ ±1.
2°. Отображение (1) переводит циклический класс Ker f (£)
на циклический класс Кег/*(£).
Доказательство. Так как все степени £ обратимы
в /<[£], то /(£-х) и £Grad//(£-1)=/* (£) ассоциированы
в /([£], а значит, имеют одинаковые ядра (см. теорему 5
гл. 6):
Кег/(Г1) = Kerf* (£).
Для доказательства следующей теоремы напомним о
существовании изоморфизма структуры делителей много-
члена хп—1 на булеву алгебру циклических классов
л-угольников (теорема 5 гл. 8):
/ (х) —> Кег ^ (£).	(4)
Теорема 2. Пусть i (х) | хп— 1. Если многочлен t (х)
симметричен или кососимметричен, то класс КегНесим-
метричен, и обратно.
§ 1, СИММЕТРИЧЕСКИЕ ЦИКЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
193
Прежде всего заметим, что из Z(x)|x”—1 следует
t* (х)\хп— 1; в самом деле,_если хп—1 = t(x) t (х), то
_ (Х«_ 1) = (хи— 1)* = t* (х) Г* (х).
Доказательство теоремы 2. В силу изоморфизма
(4) t (х) и t* (х) ассоциированы тогда и только тогда,
когда Ker t (Q = Ker t* (£) (по поводу «только тогда» см.
замечание выше), после чего теорема 2 следует из 1° и 2°.
Многочлен х— 1 кососимметричен, и если f (х) симмет-
ричен, то произведение (х—l)f (х) кососимметрично. Если
Char К. =/= 2, то каждый кососимметрический многочлен
можно получить из симметрического умножением на х— 1.
3°. Если Char/(=#2, то множество кососимметрических
многочленов совпадает с множеством многочленов вида
(х—1)/(х), где f (х)—симметрический многочлен.
Доказательство. Для любого многочлена g(x)
имеем g* (l) = g(l). Если g(x) кососимметричен, то, кроме
того, g(l) = —g(l); следовательно, g(l) = 0 при Char/<=/=2,
т. е. g(x) делится на х—1: g(x) = (x—1)/(х). Из£*(х) =
——g (х) следует, что (х— l)*f* (х) = — (х— 1) f (х), откуда
/*(*) = /(*)•
4°. Многочлен
Рп(х) = х-^-=1+х+...+х"~^
не имеет кососимметрических делителей.
Доказательство. Рп (1) = л-1 =/^0. Отсюда сле-
дует, что ни Рп (х), ни его делители не делятся на х—1.
Если Char К =£ 2, то в силу 3° Рп(х) не имеет кососим-
метрических делителей. Если же Char/< = 2, то всякий
кососимметрический многочлен одновременно является
симметрическим, что тоже позволяет условно считать
наше утверждение справедливым.
Следствие теоремы 2. Симметрические делители много-
члена Рп(х) определяют симметрические центральные
классы; они же, умноженные на х—1, определяют свобод-
ные симметрические классы.
7 № 558
194 ГЛ. 12. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ л-УГОЛЬНИКА
Доказательство. Симметрические центральные
классы содержатся в нуль-изобарическом классе. Так как
последний определяется многочленом Рп (х) (см. § 4 гл. 8),
то симметрические центральные классы определяются сим-
метрическими или кососимметрическими делителями Рп (х)
(теорема 2). В силу 4° можно считать эти делители сим-
метрическими.
Если многочлен t (х) —симметрический делитель Рп (х)
И $— определенный им симметрический центральный класс,
то (х— 1) t (х) — многочлен, определяющий соответствующий
свободный класс $ (§ 4 гл. 8). По теореме 1 класс %
тоже симметричен.
Пример. Многочлены деления круга Fd (х), где d\nf
симметричны при dy=l (см. приложение I); многочлен
F^x) кососимметричен. Над полем рациональных чисел Q
эти многочлены определяют атомарные циклические классы.
В силу теоремы 2 они симметричны. Отсюда следует
(теорема 1), что симметричны все циклические классы
над Q.
Упражнения
1.	Пусть п 1, 2 и од—принадлежащий К первообразный
корень п-й степени из 1. Класс од-п-угольников отображением (1)
переводится в класс од~1-п-угольников; при п Ф 1, 2 классы пра-
вильных n-угольников не являются симметрическими.
2.	На гауссовой числовой плоскости Q(i) из 16 циклических
классов 4-угольников только 8 симметрических; эти классы опреде-
лены и над Q.
3.	Если Char К Ф- 2, то симметрические делители хп—1 опреде-
ляют центральные симметрические классы, кососимметрические дели-
тели хп—1 определяют свободные симметрические классы.
§ 2. Специальный тип циклических
систем уравнений
Имея в виду возможность разложения векторного про-
странства n-угольников на симметрические циклические
классы (в общем случае такая возможность существует
только над специальными полями), рассмотрим в этом и
следующем параграфах симметрические циклические
$2. СПЕЦИАЛЬНЫЙ ТИП ЦИКЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ^
классы п-угольников минимальной степени, а именно:
Класс тривиальных п-угольников и симметрические
центральные классы степеней 1 и 2.	(5)
Класс тривиальных п-угольников—это единственный
свободный циклический класс степени 1; он симметричен.
При- четном п — 2т существует центральный симметричес-
кий класс степени 1; это Л2)Яг—класс m-кратно пройден-
ных 2-угольников с центром тяжести о. Этот класс опре-
деляется многочленом х 4-1. Других симметрических
классов степени 1 не существует.
Из классов (5) подробного изучения заслуживают
только симметрические центральные классы степени 2.
Они могут существовать лишь при п^3 и определяются
квадратичными симметрическими делителями многочлена
Р„ (х), т. е. многочленами из К [х] вида
х2 —сх-\- 11 Р„ (х)
(6)
(см. следствие теоремы 2 и теорему 5 гл. 9).
В булевой алгебре симметрических циклических клас-
сов п-угольников все классы (5) атомарны1).
Пусть п^гЗ и х2—сх+1—квадратичный симметри-
ческий многочлен в К[х]; пока не будем предполагать,
что он делит Рп (х). Его коэффициенты (1,—с, 1, 0,..0)
определяют циклическую систему уравнений
саг + а3 = о,....	(7)
Симметрический циклический класс, являющийся ее реше-
нием, обозначим через # (с): # (с) ~ Ker (С2—+ 0- Степень
свободы этого класса 2, принадлежащие ему /г-уголь-
ники не более чем двумерны.
Система (7) имеет следующий геометрический смысл:
существует такое с £ 7<, что сумма аг и а3 равна с-крат-
ной вершине а2, сумма а2 и равна с-кратной вершине а3
х) Симметрический центральный класс степени 1 существует, как
мы уже отмечали, лишь при п = 2т; он определяется двучленом х+1
и не содержится ни в каком симметрическом центральном классе
степени 2. Действительно, соотношение х+1|х2—сх +1 | Рп (х) не-
возможно [из х+1 |х2 —сх+1 следует, что с = — 2, но х2 + 2х + 1 =
= (х+ I)2 не является делителем Рп (х)].
7*
J06 ГЛ. 12. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ п-УГОЛЬНИКА
и т. д. Из нее следует, что все вершины /г-угольника
(ап а2,...,	(с), начиная с третьей, можно выразить
в виде линейной комбинации вершин аг и а2. Для этого
построим по числу с последовательность с0, q, с2,... £ К:
с0 = —1, cl = 0, ск+2 = — ск + сск+1 (6>0).	(8)
Из первых п—2 уравнений системы (7) вытекает, что
ак-= — ска2 для 6=1, 2....................... п. (9)
Выразив ап_г и ап из (9), запишем два последних урав-
нения системы (7) в виде
cn+1e2, а2 = (cn_1 c)a1 спаг. (10)
Если cn — —1 исп+1 = 0, то с„+А = ск для всех k^O.
В этом случае мы будем говорить, что последователь-
ность (8) является периодической с периодом п. Заметим,
что при этом с„_1=—с.
Примеры последовательностей (8) для различных с:
с=2:	—1, 0, 1,	2, 3, 4,
с = — 2: —1, 0, 1,	—2, 3, -4,
с = -1: —1, 0, 1,	— 1, 0,
с = 0:	—1, 0, 1,	0, —1, 0, ..
с= 1:	—1, 0, 1,	1, 0, —1, 0
% (2)—класс тривиальных п-угольников;
$ (—2) при п = 2т — класс Л2 га;
О ’
# (—1) при п=3— класс 3-угольников с цент-
ром тяжести о;
2? (0) при п = 4 — класс параллелограммов с
центром тяжести о;
2? (1) при п = 6 — класс аффинно-правильных
6-угольников с центром тяжести о.
Теорема 3. Пусть п^З. Система вида (7) может
определять из ненулевых классов лишь класс тривиальных
п-угольников и центральные симметрические классы сте-
пеней 1 и 2. Система (7) определяет центральный сим-
$ 2. СПЕЦИАЛЬНЫЙ ТЙП ЦИКЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ^?
метрический класс степени 2 тогда и только тогда,
когда последовательность (8) периодическая с периодом п.
Доказательство. Свободный симметрический класс
степени 2 существует только при четном п = 2т— это
класс Л2}/я, определенный многочленом (х— 1)(х+1)
(см. теорему 1). Очевидно, что он не может быть пред-
ставлен циклической системой (7). Центральный сим-
метрический класс степени 2 является классом (с)
тогда и только тогда, когда с удовлетворяет условию (6).
Если (6) не выполняется, то % (с)—симметрический
циклический класс степени < 2, т. е. или нулевой класс
Л1>л = ^(2) тривиальных м-угольников, или, при п = 2т,
класс Л2, т = Й’ (—2).
Второе утверждение теоремы 3: Crad #(с) = 2 озна-
чает, что при любом выборе аЛ и а2 система (7) разре-
шима. Так как а3,..., ап из первых п — 2 уравнений
выражаются через ах и а2 по формуле (9), то с учетом
этих уравнений последние два уравнения системы, т. е.
уравнения (10), должны тождественно удовлетворяться
при любых и а2. Для этого необходимо и достаточно,
чтобы в обеих частях этих уравнений коэффициенты при
и а2 совпадали, т. е. чтобы
1 = — сп, 0=cn + i, о=с„..1 + с, 1 = — сп. (11)
[Если уравнения (10) выполняются при любых а2, то
они выполняются, в частности, при ах=0=о, а2 = о и при
а1 = о, а2=^=о, что приводит к равенствам (11); с другой
стороны, если выполняются (11), то система (10) удовлетво-
ряется при любых и а2.] Равенства (11) означают, что
последовательность (8). периодическая с периодом п.
Итак, утверждение, что с определяет симметрический
центральный класс степени 2, эквивалентно условию (6),
а оно в свою очередь —утверждению, что элементу с соот-
ветствует периодическая последовательность (8) с перио-
дом п.
Таким образом, подобные периодические последователь-
ности элементов из /С оказываются тесно связанными с
Центральными симметрическими классами степени 2.
198 ГЛ. 12. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ п-УГОЛЬНИКА
Упражнения
1.	Пусть условие (6) выполняется. В поле разложения много-
члена хп— 1 над К корнями х2 — + 1 являются два взаимно обратных
корня л-й степени из 1: w и ш-1; при этом с =	и w 7= ± 1.
Исходя из этого, докажите, что последовательность (8) — периодиче-
ская с периодом п.
2.	Если последовательность (8) — периодическая с периодом л, то
со + с1+ сг+ • • • +
3.	Для каких рациональных чисел с и для каких вещественных с
последовательность (8) является периодической?
4.	Пусть пусть аъ а2 — линейно независимые элементы из
V (dim V ^2) и имеется рекуррентная последовательность =
= —ak_2 + cak_i для 6 = 3, 4........Последовательность точек
«2, я3, . . . является периодической с периодом л тогда и только
тогда, когда такова же последовательность (8).
§ 3. Аффинно-правильные я-угольники
Аффинно-правильными центральными классами мы будем
называть симметрические центральные классы степени
2, содержащиеся в Q-правильном центральном классе
[Единственный аффинно-правильный центральный класс
степени 0—это нулевой класс; аффинно-правильный цент-
ральный класс степени 1 существует только при п = 2: это
Л2 = 5?2—класс 2-угольников с центром тяжести о.] Свобод-
ные классы, соответствующие аффинно-правильным цент-
ральным классам, назовем свободными аффинно-правильными
классами. Назовем п-угольник аффинно-правильным, если
он принадлежит аффинно-правильному классу.
Все аффинно-правильные п-угольники являются Q-правиль-
ными. Каждый такой п-угольник самое большее двумерен
(т. е. расположен в плоскости). Все тривиальные и-уголь-
ники и все 1-, 2-, 3-угольники аффинно-правильны.
Поскольку Q-правильный центральный класс при п #= 1
определяется n-м многочленом деления круга Fn (х) (теорема
2 гл. 10), справедлива
Теорема 4. Для п^Зотличные от {О}аффинно-правиль-
ные центральные классы определяются квадратичными
симметрическими делителями многочлена Fn (х).
Аффинно-правильными 4-угольниками являются парал-
лелограммы; при п = 6 наше новое определение совпадает
J 3. АФФИННО-ПРАВИЛЬНЫЕ n-УГОЛЬНИКИ
199
с введенным в гл. 1. В случаях п=1, 2, 3, 4, 6 всякий
Q-правильный n-угольник является аффинно-правильным.
Теорема 5. Нетривиальные аффинно-правильные п-уголь-
ники над произвольным полем К. (таким, что Char К. Хп)
существуют только при п = 2, 3, 4, 6.
Действительно, уже над полем рациональных чисел
многочлен деления круга Fn (х) неприводим и, следователь-
но, имеет квадратичные делители только тогда, когда он
сам квадратичен, т. е. когда <р(п) = 2.
Если К содержит все корни n-й степени из 1, то
квадратичный симметрический делитель Fn (х) со старшим
коэффициентом 1 имеет вид
хг — (да + да-1)х +1 = (х—да) (х—да-1)	(12)
(да—первообразный корень n-й степени из 1).
Отсюда с учетом изоморфизма (4) следует
Теорема 6. Если К содержит все корни n-й степени
из 1, то при п^З всякий аффинно-правильный п-угольник
с центром тяжести о однозначно представим в виде суммы
правильного w-n-угольника и правильного ье~1-п-угольни-
ка, где да—некоторый первообразный корень n-й степени из 1.
Иллюстрацией к этой теореме может служить пример
из § 3 гл. 11.
Лемма. Пусть п 3, х2—сх + 1 С К [х] —квадратич-
ный симметрический делитель многочлена Fn(x):
x2-cx+l|F„ (х)	(13)
и с0, cv с..—последовательность элементов из К, опреде-
ленная формулами
с„ = 2, с^ — с, с*+4 = — сА + ссА+1 (&>0).	(14)
Тогда в К [х]
Fn(x) = П (х2-сах+1).	(15)
(fe, П)=1,
fe < п/2
Доказательство. В поле разложения хп—1 над
К элемент с имеет вид с = ш + где w—первообразный
200 гл. 12. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ л-УГОЛЬНИКА
корень п-й степени из 1. Положим
ck = wk~i-w~k при k — 0, 1, 2, ... .
Тогда с0 = 2, с^ — с и справедлива рекуррентная формула
ск+2 =—с* + с4+1. Отсюда следует, что ск = ск. Многочлен
F„(x) равен произведению двучленов х—wk, где (k, n)= 1.
Так как w~k = wn~k и из (k, п) = 1 следует (п—k, п)= 1,
то сомножители х—wk и х—w~k входят в разложение
многочлена Fn (х) попарно. Лемма доказана.
Как показывает доказательство леммы, последователь-
ность (14) не может иметь меньший чем п период, и если п
четно (n = 2m), то ст = —2. Кроме того, ск = сп_к. Из лем-
мы следует
Теорема 7. Пусть nZ>3. Если многочлен Fn(x) имеет
один квадратичный симметрический делитель в К [х], то
он в этом кольце полностью разлагается в произведение
квадратичных симметрических делителей. Таким образом,
нетривиальные аффинно-правильные п-угольники над К су-
ществуют тогда и только тогда, когда Fn (х) разлагается
в К [х] на квадратичные симметрические делители.
Итак, при заданных и 3 и Д' из существования одного
ненулевого аффинно-правильного центрального класса
следует существование у <р (п) таких классов. Их сумма
является центральным классом Q-правильныхп-угольников.
Кроме того, из существования разложения (15) мно-
гочлена Fn (х) следует существование аналогичного разло-
жения многочленов Fd (х) для всех делителей d 1 числа п:
Fd(x) = П (х2—елх+1) для djn, d^3	(16)
(k, n) = -J
*<Т
(случай d — 2 в доказательстве не нуждается), или, что то
же самое, существование нетривиальных аффинно-правиль-
ных d-угольников (rfled|n, d=/=l).
Из сказанного следует, что лемма описывает способ,
с помощью которого одному аффинно-правильному классу
§ 3. АФФИННО-ПРАВИЛЬНЫЕ л-УГОЛЬНИКИ
201
ставится в соответствие некоторая последовательность
циклических классов. Остановимся на этом подробнее.
Пусть п^З и $ (с) — аффинно-правильный централь-
ный класс, определенный квадратичным симметрическим
делителем х2 — сх 4-1 многочлена Fn(x). Построим после-
довательность циклических классов п-угольников
#(0 = W, W.............<ё(сп),	(17)
где ck удовлетворяют соотношениям (14). Здесь ё (сп) =
— $(2) = Л11И—класс тривиальных п-угольников; при
п = 2ш имеем ё (ст) = ё (—2) = ^21 т. За исключением этих
двух случаев, х2—сАх +1 являются делителями многочлена
= (см- Доказательство леммы), и, следователь-
но, соответствующие классы $ (ck) являются симметри-
ческими центральными классами степени 2. Так как
# (сл) = £ (сл_Д то при нечетном п различные классы (17)
представлены набором $ (сх), $ (с2), ..., # (q/7_i)/2), # (сД
а при четном п (п = 2m) —набором $ (сД ..., $ (ст), $ (сп).
В силу теоремы 4 и леммы, если (k, n) = 1 (и только
в этом случае), % (ck) — аффинно-правильный центральный
класс.
Если k^n и = d, то класс % (сл) состоит из
—кратно пройденных аффинно-правильных d-угольников
с центром тяжести о (действительно, х2 — ckx + 1 является
делителем Fd(x)', см. (16) и лемму из § 4 гл. 8).
Для случаев k=^n и k = т, п = 2т соответствующие
классы уже указаны.
Выясним, какие геометрические соотношения сущест-
вуют между классами (17). С этой целью рассмотрим п
отображений в себя:
Л = (ар	ап) ►Ak — (av ^i+2A, •••> ^i + п-Д
(18)
где k = 1, 2, ..., п. Здесь At = Л, А„ = (alf ..., at) —три-
виальный п-угольник; все Ak имеют своим началом а/,
Ak и An_k различаются между собой только направлением
обхода: Лл_л = Лл. Многоугольник Ak получается из Л
8 №5'8
202 ГЛ. 12. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ л-УГОЛЬНИКА
6-хордовым обходом (см. примечание на стр/183). Если k
взаимно просто с п, то множество вершин n-утольника Ak
совпадает с А; если (6, п) = , то Ak есть ---кратно прой-
денный хордовый d-угольник n-угольника А.
Мы хотим показать, что отображения (18) п-угольники
аффинно-правильного центрального класса % (с) переводят
в п-уголъники класса % (ck). Предварительно докажем
Предложение. Если выполнены все условия леммы, то
х2—сх+1\х2/г—ckxk-\-l для всех 6=1, 2, ..., п.
Доказательство. В поле разложения многочлена
хп—1 над К квадратный трехчлен х2—сх+ 1 имеет вид (12);
Ck = Wk + поэтому W2k — CkWk + 1 =0 И W~2k —	+
+ 1 = 0: корни w и оу"1 многочлена х2 — сх+1 являются
также корнями многочлена x2k—ckxk+l. Следовательно,
наше предложение справедливо над некоторым расшире-
нием поля К', поэтому оно справедливо и в К[х].
Из этого предложения следует, что класс % (с) =
= Кег(£2 — О содержится в классе Кег (£2* —-f-1).
Если A = (av а2, ..., а„)£#(с), то а,—cka1+k + a1+2k =
= о, ..., а это означает, что Ak 6 Й* (ck), что и требовалось
доказать.
Итак, отображения А—>Ak ставят в соответствие аф-
финно-правильному n-угольнику А с центром тяжести о
аффинно-правильные n-угольники с центром тяжести о,
многократно пройденные аффинно-правильные d-угольники
с центром тяжести о (где d — нетривиальный делитель
числа п) и (для 6 = п) тривиальный n-угольник. Если А
принадлежит классу % (с), то его образы распределяются
по классам % (ск). В симметрическом классе % (ск) вместе
с Ak лежит также Л„_А = Л^.
Сформулируем полученные результаты в виде теоремы,
аналогичной теореме 2 из гл. 11:
Теорема 8. Если А—аффинно-правильный п-угольник,
то все п-угольники, которые получаются из А 6-хордовым
обходом, где k взаимно просто с п, также являются аф-
финно-правильными. Если d—делитель п, то хордовые d-уголь-
§ з. аффинно-правильные «-угольники
203
ники п-угольника А являются аффинно-правильными
d-угольниками, которые при имеют тот же центр
тяжести1), что и Д.
Вернемся к разложению многочленов Fn (х) на квадра-
тичные симметрические делители. Если при п^З в AT[-v]
существует один квадратичный симметрический делитель
х2 —сх+1 многочлена Fn (х), то имеет место разложение
{(п-1)/2
(х—1) П (*2~слх+1) для нечетных п\
т~\
(х—1) (х+ 1)Ц (х2—ckx~i 1) для четных п = 2т,
k= 1
(19)
где ck удовлетворяют соотношениям (14) [см, (15), (16) и
формулу (8) из гл. 6; при п=1, 2 разложение (19) три-
виально; сомножители х2—ckx + 1 определены только при
п^З]. Структурный изоморфизм (4) переводит (19)
в следующее разложение пространства n-угольников Лп\
(с1)®	(сг)®’ • ’©# (^(п~1)/2)
для нечетных п\
а „ © ^2, и © # (С1) © % (с2) ©... ©	(20)
ч °	для четных п — 2т.
Здесь все классы $ (ск) (^=1, 2,	, соответ-
ственно у—11 являются симметрическими центральными
классами степени 2.
Итак, в разложение (20) входят класс тривиальных
n-угольников и симметрические центральные классы степе-
ней 1 и 2; все они при п^З описываются системой типа
(7) (теорема 3).
Упражнение. Пусть п^З и g (с) —аффинно-правильный
центральный класс. Образом g (с) при отображении А -> Ak (соот-
ветственно A ->An-k) является # (ck), £—1, 2, . . ., п.
8=
г) Совпадение центров тяжести следует из Q-правильности А.
204 ГЛ. 12. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ л-УГОЛЬНИКА
§ 4. Три крайних случая булевых алгебр циклических
классов и-угольников
Пусть, как и прежде, п — натуральное число, К—не-
которое поле и V—векторное пространство над ним,
удовлетворяющее требованиям § 1 гл. 1. Обозначим через
(К, V) булеву алгебру n-угольников из V [см. основную
теорему § 2 гл. 6]; она изоморфна структуре делителей
многочлена хп—1 в [х] [фундаментальный изоморфизм
(4)]. Отсюда следует, что при фиксированном все булевы
алгебры Ln (К, V) независимо от V изоморфны между собой.
В частности, только от К зависит число атомарных клас-
сов алгебры Ln(K, V), равное числу простых делителей
хп—1 в 7([х]. Обозначим его через kn(K). Тогда число
циклических классов в Ln (К, V) (тоже независимо от
выбора V) равно 2^^).
Обозначим через и2, ..., п^п (ю степени простых
делителей хп — 1 в К[х]. Тогда
п = и14-/г2+ ...	(21)
[Так как х—1 всегда делит хп — 1, будем считать, что
нх=1, а при четном и, поскольку х-(-1|х”—1, и п2=1.]
В силу изоморфизма (4) и теоремы 5 гл. 9 числа nlf п2, ...
..., rikn(K) являются также степенями свободы атомарных
циклических классов в Ln(K> V).
Для любого поля К 2Т (п) циклических классов, опреде-
ленных всеми частичными произведениями, входящими
в произведение
IKW.	(22)
d | п
образуют булеву подалгебру Ln (К, V) Ln (К, V) (всегда
присутствующие циклические классы п-угольников). Случай
совпадения Ln(K, V) = Ln(K, V) (минимальный случай)
имеет место тогда и только тогда, когда (22) является
разложением хп—1 на простые множители, т. е. когда
1)	kn(K) = r(n).
Вообще,
Т (л) С kn (К) < п,
(23)
§ 4. ТРИ КРАЙНИХ СЛУЧАЯ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР «-УГОЛЬНИКОВ 205
и максимальный случай
2)	1гп(К) = п
имеет место тогда и только тогда, когда хп—1 в К [х]
разлагается на линейные множители. Равенство (21) при-
нимает в случае 1) вид п=	а в случае 2) вид
d | п
п=1 + 1 + ... + 1. Вопрос о том, как выглядят в обоих
случаях атомарные циклические классы, обсуждался
в гл. 10 и 11.
Теперь появляется еще одна булева подалгебра
Ln {К, V) — подалгебра симметрических циклических классов
п-угольников (теорема 1). Эти классы определяются сим-
метрическими или кососимметрическими делителями мно-
гочлена хп—1 в К [х] (теорема 2); поэтому их число не
зависит от V. Если через k*n(K.) обозначить число ато-
марных циклических классов в L*n (К, V), то общее число
классов в этой подалгебре будет равно 2kn<'K\
«Всегда присутствующие» циклические классы п-уголь-
ников симметричны (см. конец § 1): L°n{K, V)sL*n(K, V).
Отсюда следует, что т(п)++*(/(). Если k* принимает
наименьшее возможное значение /г* (К) = т(п), то это оз-
начает, что многочлены деления круга Fd (x) (где d|n)
не имеют в /([х] ни одного нетривиального симметри-
ческого или кососимметрического делителя. В этом случае
L*n(K, V) — L°n(K, V)-
Число k*n (/() принимает наибольшее возможное значение
тогда и только тогда, когда х"—1 разлагается в К [х]
на симметрические и кососимметрические множители сте-
пеней 1 и 2. В этом случае равенство (21) принимает вид
( 1+24-24-... + 2 для нечетных п;
П~ \
( 1 + 1+ 2+ ...+2 для четных п;
следовательно, k*n (Л) = 1 + j. Это тот случай, о кото-
ром говорилось в конце § 3. В общем случае справедливо
неравенство
т(п)<^(/<)<1 + [|].	(24)
206 ГЛ. 12. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ я-УГОЛЬНИКА
При этом L*n(K, V) является булевой подалгеброй ал-
гебры Ln(K, V), следовательно, k*n (К.) kn (К). Остано-
вимся на случаях, когда k*n = k,„ т. е. когда всякий цик-
лический класс является симметрическим. Очевидно, что
для этого достаточно потребовать, чтобы симметрическими
были атомарные классы в L„. [В структуре делителей
многочлена из К[х] эквивалентным является условие,
чтобы всякий делитель был симметрическим или косо-
симметрическим; для этого достаточно потребовать, чтобы
такими были простые делители хп — 1.]
Здесь мы также рассмотрим два крайних случая. Пер-
вый :
т (я) = k*n (К) — kn (Д') означает, что
/•Ж,	=	V)
и, следовательно, совпадает с уже знакомым случаем 1).
Остается
3)	мю=*ия) = 1 + [т|-
Если при любом п имеет место случай 1), то соответ-
ствующее поле К обладает следующим свойством: всякий
многочлен деления круга в нем неприводим. Если при лю-
бом п имеет место случай 2), то поле К содержит все
корни любой степени из 1. Если при любом п имеет место
случай 3), то поле К таково, что всякий многочлен деле-
ния круга, за исключением Fl(x) и F2(x), разлагается на
неприводимые квадратичные симметрические множители.
Мы хотим показать, что этим свойством обладают макси-
мальные упорядоченные поля.
§ 5.	Вещественные компоненты /г-угольника
Лемма. Упорядоченное поле не содержит никаких
других корней из 1, кроме 1 и — 1.
Доказательство. Пусть К—упорядоченное поле.
Нужно показать, что никакой многочлен хп—1 не имеет
в К корней, отличных от 1 и —1. Пусть сначала п четно.
Так как в разложении
хп — 1 = (х— !)(%+ 1)(1 +х2 + %4+ ... +х”“2)
§ 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ п-УГОЛЬНИКА
207
третий сомножитель положительно определен, то корнями
хп — 1 в К являются только +1 и —1. Если п нечетно,
то хп—1 является делителем х2П—1 и потому имеет не
больше чем два корня: 4-1 и —1; но так как (—1)"—1 =
=—1 — 1 у= 0, то остается один корень 4-1.
Пусть теперь К—максимальное упорядоченное поле1).
Тогда неприводимыми многочленами в являются,
как известно, линейные и знакоопределенные квадратич-
ные многочлены. При п^З многочлены деления круга
Fn(x) не имеют делителей х—1 и *4-1, поэтому в силу
леммы разлагаются только на знакоопределенные квадра-
тичные множители. Покажем, что они симметричны.
Пусть х2—cx + d—такой делитель; тогда d является
корнем n-й степени из 1. В силу леммы d=l или —1.
Если d =—1, то х2—cx-\-d при х=±1 принимает зна-
чения разных знаков (±с; очевидно, что сУ=0), что
противоречит знакоопределенности многочлена х2—cx-\-d.
Итак, d= 4-1 и х2—cx-\~d симметричен. Отсюда следует,
что разложение многочлена хп—1 на простые множители
имеет вид (19) (в обозначениях леммы из § 3), а разло-
жение Лп на атомарные циклические классы имеет вид (20).
Сформулируем полученные результаты:
Теорема 9. Пусть К—максимальное упорядоченное
поле. Для заданного п над К, кроме класса тривиальных
п — 1	п
n-угольников, существует —, если п нечетно, и ,
если п четно, атомарных циклических классов п-угольни-
ков. Эти классы состоят или из аффинно-правильных
п
n-угольников с центром тяжести о, или из -j-кратно
пройденных аффинно-правильных d-угольников с центром
тяжести о, где d пробегает множество всех нетривиаль-
ных делителей п. Все циклические классы п-угольников
симметричны.
Если К является полем вещественных чисел R, то
число с из леммы § 3 равно сумме двух взаимно обратных
4 См. Бурбаки [4]. Максимальные упорядоченные поля иначе
называются вещественно-замкнутыми полями с их однозначно опре-
деленным упорядочением (см., например, Ван дер-Варден [5], ч I, гл. 9).
208 ГЛ. 12. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ п-УГОЛЬНИКА
первообразных корней n-й степени из 1:
2Jt
2 cos — = е" n + e 1 n >
n	1	’
a ck вычисляются по формуле
cft = 2cosAi-^- (k = 0, 1, 2, ...).
Для n=l, 2, 3, 4, 6 разложение xn — 1 на простые
множители, а значит, и разложение Лп на атомарные цик-
лические классы над R и над Q совпадают. В этих слу-
чаях над R существуют только те циклические классы,
которые существуют над Q. Для п = 5 атомарными над Q
являются класс тривиальных 5-угольников и класс всех
5-угольников с центром тяжести о. Над R последний
класс разлагается в прямую сумму двух атомарных
аффинно-правильных центральных классов, определенных
циклическими системами
аг—2 cos-у а2 + а3 = о, ..аг— 2 cos-у я2 + а3=о, ...
(25)
(см. рис. 92 и 93).
В частности, на вещественной аффинной плоскости
(V = R2) всякий 5-угольник с центром тяжести о одно-
значно разлагается в сумму аффинно-правильного 5-уголь-
§ 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ «-УГОЛЬНИКА
209
ника с центром тяжести о и аффинно-правильной
5-угольной звезды с центром тяжести о (рис. 94).
Разложение (19), тривиальное при п = 1, 2, при /г>3
существует над всяким полем /<, удовлетворяющим усло-
виям: Char Д' X п и Fn (х) разлагается в К [х] на квадра-
тичные симметрические множители х2—cx-j-d, не обяза-
тельно простые. Тогда существует и разложение (20);
при этом слагаемые—класс тривиальных n-угольников и
центральные симметрические классы степеней 1 и 2 —
являются атомарными, вообще говоря только в булевой
алгебре симметрических циклических классов п-угольников.
Назовем вещественными компонентами п-угольника А
компоненты, входящие в классы разложения (20). При
п=1, 2 рациональные, вещественные и комплексные ком-
поненты /г-угольника совпадают. При /? = 3, 4, 6 совпа-
дают рациональные и вещественные компоненты.
Итак, вещественными компонентами п-угольника яв-
ляются аффинно-правильные n-угольники или многократно
пройденные аффинно-правильные d-угольники, где d—соб-
ственный делитель п\ кроме тривиального п-угольника
центра тяжести, все остальные компоненты имеют центр
тяжести о,
210 ГЛ. 12. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ «-УГОЛЬНИКА
В связи с введенными *‘В этой главе понятиями возни-
кает ряд проблем. Например, было бы интересно выяснить
соотношение между понятием аффинно-правильных /1-уголь-
ников, введенным в § 3, и обычными аффинными обра-
зами правильных n-угольников. Но у всякой книги дол-
жен быть конец, и мы считаем возможным здесь остано-
виться.
Упражнения
1. Циклической проекцией, отображающей пространство Лп на
циклический класс, определенный делителем х2 —сх-f-l многочлена
Fn (х), является
1 п~ 1
— Ё
k= о
(в предположениях леммы из § 3).
отображающие Лл на циклические
лями х2 — c/jX-|-l многочлена хп~ 1
Найдите циклические проекции,
классы, определенные делите-
(где*=1-2.........
2 (косинус-многочлены). Пусть /С—-поле, характеристика кото-
рого не делит и, иш—первообразный корень n-й степени из 1, при-
надлежащий полю разложения многочлена хп—1 над /С. Если
Л—R, то суммы
wk-\-w~k, £ — 0, 1, . .., Г-yj ,	(*)
2д
равны 2 cos k — . Определим n-й косинус-многочлен Сп (х) как много-
член со старшим коэффициентом 1, имеющий корнями значения (*).
Легко проверить, что
Сх (х) = х—2,
С3 (х) = (х —2) (х+1),
С5(х) = (х —2) (х2 + х- 1),
С2(х) = (х—2) (х+2),
С4 (х) = (х-2) (х+2)х,
Св (х) = (х—2) (х+2) (х+1)(х-1).
Вообще, л-й косинус-многочлен Сп (х) для нечетных п предста-
вим в виде
Сп (х) -
— 2(Л-1)/2	2) Xi	) Х
(х—2) 1 2 J (х+2) 1 2 J,
§ 5. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ /1-УГОЛЬНИКА
211
а для четных п—в виде
К«-2)/4] / п ч п-2	2.
С„(х)= 2(„_2)/.2 (х-2)(х + 2) 52 (Л,)*2	(*-2)'х
Х(х + 2)>
Коэффициенты n-го косинус-многочлена Сп (х) лежат в простом
подполе поля Кив случае Char К = 0 целочисленны.
3 (Киндер), а) Отображение f (g)	является инволютив-
ным автоморфизмом К-алгебры К [£].
Ь)	Фиксированные элементы этого автоморфизма —назовем их
симметрическими циклическими отображениями — образуют подал-
гебру К [г)] в К =	Ее ранг равен 1+[£•]•
с)	Минимальный многочлен эндоморфизма т] пространства Vn
есть п-й косинус-многочлен Сп (х): К [q] К [*]/(Сп (х)).
d)	Булева алгебра (Е (К (т)]), О,«) идемпотентов из К [т|] является
булевой подалгеброй булевой алгебры циклических проекций
(£(*[£]). О, •)•
е)	Симметрические циклические классы n-угольников являются
ядрами симметрических циклических отображений. Требование сим-
метричности Кег/(£) эквивалентно условию f (g) ~ f (£-1) (теоре-
ма 5 гл. 6); идемпотентность f (£) эквивалентна идемпотентности f(£”x)
(см. а)); ассоциированные идемпотенты равны (лемма из § 1 гл. 6).
f)	Булева алгебра симметрических циклических классов п-уголь-
ников изоморфна структуре делителей многочлена Сп (х).
Нетривиальные аффинно-правильные n-угольники существуют
(при n # 1) тогда и только тогда, когда Сп (х) разлагается на ли-
нейные множители.
4	(Киндер) (см. упр. 14 в гл. 9). Пусть w—первообразный
корень п-й степени из 1 в некотором расширении поля К. Покажите,
что
а)	все циклические классы n-угольииков симметричны тогда и
только тогда, когда w и ш-1 сопряжены над К. [Это не всегда так;
например, это не так при п~8 и К — Q (/) ]
Ь)	Если п есть степень некоторого нечетного простого числа, то
все циклические классы n-угольников симметричны тогда и только'
тогда, когда [ш:К] четно (см. приложение I, § 1, упр. 2).
5	(a-n-угольники). Пусть п, К и V—натуральное число, поле
и векторное пространство над ним, удовлетворяющие требованиям
§ 1 гл. 1. Будем интерпретировать как End (У)-модуль. Всякий
эндоморфизм Р пространства V индуцирует линейное отображение Лп
в себя:
Р («1.	......о„) = (РЯ1, ₽а2, .... Ра„).
Если 4g— циклический класс «-угольников, то
End {V)4g — 4g.
212 ГЛ. 12. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ КОМПОНЕНТЫ п-УГОЛЬНИКА
Если dim V Grad то существует п-угольник такой, что
End (V)4 = g.
Ограничимся автоморфизмами а порядка п пространства У:ап=1.
Фиксируем такой автоморфизм и рассмотрим множество а-п-уголь-
ников
Лл = {(а, аа, .... an~1a):a^V}.
Если /п (х)£Л [х] —минимальный многочлен автоморфизма а, то
т (х) | хп — 1 и
1°. Л«!=Кег/п(£),
2°. End (V) Л« = Ker tn (£).
Вообще говоря, не всякий циклический класс {£ = Ker I (£), где
t (х) | х”—1, представим в виде 2°. Однако если dimV'^n и $—
свободный циклический класс, то существует автоморфизм a
порядка п пространства V на себя, такой, что g = End (V) Ла.
Можно ли в представлении 2° ограничиться идемпотентными эндо-
морфизмами V?
По аффинно-правильным n-угольникам см. Боттема [23]; по по-
воду содержания гл. 10—12 см. Киндер [24],
ПРИЛОЖЕНИЕ I
МНОГОЧЛЕНЫ ДЕЛЕНИЯ КРУГЛ
Э. Шмидт
§ 1. Корни из единицы
Пусть заданы натуральное число п и поле К, харак-
теристика которого не делит п.
Элемент w некоторого расширения поля К называется
корнем n-й степени из 1, если он является корнем мно-
гочлена хп—1.
В силу предположения относительно характеристики
поля К многочлен хп— 1 и его производная п-хп~} вза-
имно просты. Отсюда следует, что многочлен хп—1 сво-
боден от квадратов и не имеет кратных корней ни в ка-
ком расширении поля К (ср. с теоремой 3 гл. 6.)
Таким образом, поле разложения хп—1 над К имеет
ровно п различных корней n-й степени из 1. Они обра-
зуют группу относительно умножения. Эта группа как
конечная подгруппа мультипликативной группы поля
является циклической х). Каждый порождающий ее элемент
называется первообразным корнем n-й степени из 1. Если
w—первообразный корень n-й степени из 1, то все эле-
менты
w, w2) ..., wn = 1
являются корнями n-й степени из 1; при этом wl тогда
и только тогда является первообразным корнем, когда
(/, п)=1. Число первообразных корней n-й степени из 1
равно значению функции Эйлера ср (и), которая опреде-
ляется как число взаимно простых с п натуральных чи-
сел, меньших п.
В циклической группе корней n-й степени из 1 всякий
элемент имеет порядок, равный некоторому делителю d
числа л, и, следовательно, является первообразным корнем
т) См. Артин [1], теорема 26.
214
ПРИЛОЖЕНИЕ I
d-и степени из 1. Таким образом, и множество корней
п-й степени из 1 состоит из первообразных корней d-fl
степени из 1, где d пробегает все делители числа п.
Поле разложения х"—1 над простым полем характе-
ристики 0 (или характеристики р, где р — простое число,
не делящее п) называется n-м полем деления круга
характеристики 0 (соответственно характеристики р).
Оно получается из исходного простого поля присоедине-
нием к нему первообразных корней п-й степени из 1.
Поле комплексных чисел при любом и содержит все
корни п-й степени из 1. Первообразным корнем п-й степени
из 1 является число
2 л/
w = e п .
На гауссовой числовой плоскости все корни п-й степени
из 1: оу, ш2,	ш”-1, wn= 1 располагаются в вершинах
правильного п-угольника, вписанного в окружность ра-
диуса 1 (рис. 95).
МНОГОЧЛЕНЫ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
215
Упражнения
1. Сумма всех корней n-й степени из 1 при п # 1 равна 0;
сумма первообразных корней л-й степени из 1 равна —р (л), где
ц— функция Мёбиуса (см. стр. 216). Произведение корней л-й степени
из 1 равно (— 1)п + 1, произведение первообразных корней п-\\ степени
из 1 равно — 1 при п ~ 2 и +1 при п # 2.
2. Если простое число р является характеристикой поля К и
п — тр, то хп—\=(хт — 1)^ и всякий корень л-й степени из 1
является корнем Л1-й степени из 1.
§ 2. Многочлены деления круга
Сохраним предположение о том, что Char/CJ/n. Под
п-м многочленом деления круга мы будем понимать мно-
гочлен со старшим коэффициентом 1, корнями которого
являются первообразные корни n-й степени из 1, т. е.
многочлен
— П (х—пробегает множество всех
первообразных корней n-й сте-
пени из 1). ,
Степень n-го многочлена деления круга равна ф(п),
и пока он определен лишь над полем разложения мно-
гочлена хп—1.
Так как множество всех корней из 1 состоит из пер-
вообразных корней степени d, где d пробегает множество
всех делителей /г, а первообразные корни d-й степени
являются корнями d-ro многочлена деления круга, то
х”-1 = ПгДх).	(1)
d\n
Формула (1) однозначно определяет Fn (х). Из нее
прежде всего следует, что FA(x) = x—1. Если известны
Fd (х) для всех d || п, то многочлен Fn (х) можно получить
из этой формулы, применяя обычный алгоритм деления
целочисленных многочленов. Отсюда следует, что коэф-
фициенты Fn (х) при любом п принадлежат простому под-
полю поля К и целочисленны, если Char/< —0. Поэтому
эти многочлены можно рассматривать над простыми по-
лями.
Над полем рациональных чисел многочлены деления
круга неприводимы1)', представление (1) является разложе-
нием многочлена хп—1 на неприводимые сомножители.
х) См., например, Ван-дер-Варден [5], ч. I, § 53.
216
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Примеры.
Fi (х) = х — 1,	F2(x) = x+1,
F3(x) = x2 + x+1,	F4(x) = x2+1,
F5(x) = x4 + x3+x2 + x+1, E„(x) = x2—x+1.
Гомоморфизм Z на Z/(p) (p—простое число, не деля-
щее п), продолженный на соответствующие этим полям
кольца многочленов, переводит n-й многочлен деления
круга над полем рациональных чисел в n-й многочлен
деления круга над простым полем характеристики р.
Пользуясь формулами обращения Мёбиуса1), можно
получить из формул (1) следующее выражение для F„(x):
Е„(х) = П(хй-1)-<^>.	(2)
d\n
Здесь р.—функция Мёбиуса натурального аргумента, опре-
деленная следующим образом:
{1, если т=1,
(—1)г, если т есть произведение г попарно
различных простых делителей;
О, если т #= 1 не свободно от квадратов.
Пример. Если р—простое число, то
хр— 1 = Fp (х) Ft (х)
и, значит,
М=тЕг=^-1+^"г+ • • • +*+ 1-
Если и* — свободное от квадратов ядро п (см. стр. 171;
1*~ 1), то
Fn(x) = Fn^x^).	(3)
Этот результат можно получить из формулы (2), приняв
во внимание, что функция Мёбиуса не свободного от квад-
ратов аргумента равна 0. Следовательно, многочлены
деления круга достаточно определить для свободных от
квадратов индексов.
А) Ср. выше, стр. 177; см., например, Хассе [18], § 4, 7 [или
Виноградов [7]. — Прим, ред.].
МНОГОЧЛЕНЫ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
217
Многочлены деления круга удовлетворяют следующим
рекуррентным соотношениями
Fnp(x) = Fn(xP), если Р~простое число и р\п,
г ! X Fn(xp)	(4)
г„р (х) = р \ . , если р — простое число и р/п.
1	'nW
Доказательство. Запишем равенства (4) без дро-
бей:
Fnp(x) = Fn(xp) при р\п, F„P(x)Fn(x) = Fn(xP) при р/п.
Левые и правые части этих равенств являются нормиро-
ванными многочленами одинаковых степеней, имеющими
одинаковые корни, а значит, совпадают.
Формулы (4) позволяют вычислять многочлены деления
круга для любого п. Исходными в этих вычислениях
являются многочлены
F1(x)=x— 1, Fp(x) = xp 1 + х^+2+ ...+%+ 1.
Многочлен Ft (х) кососимметричен, все остальные много-
члены деления круга Fn(x), 1, симметричны (см. § 1
гл. 12):
Fn (х) = хф W Fn (х"1) при п=/=1.	(5)
Из (3) следует, что достаточно доказать (5) для сво-
бодных от квадратов п. Для простых р многочлены Fp(x),
очевидно, симметричны. Если Fn (х) симметричен (п=£1)
и р — простое число, не делящее п, то Fnp(x) симметричен
как частное симметрических многочленов (см. (4)).
Значение п-го многочлена деления круга при х — 1 (сумма
коэффициентов многочлена) равно
FnW = <
О при п— 1,
р при n — pk (р простое,
1 в остальных случаях.
(6)
Согласно (3), достаточно ограничиться случаем свобод-
ного от квадратов п. При п= 1 и п = р утверждение (6)
очевидно. Далее, если (6) верно для /г =4 1, то в силу (4)
при простом qYn имеем
р»а(ч - рп(1) — Ь
что и требовалось доказать.
9
№588?
218
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Вот еще одно соотношение для нечетных п=£1:
Ftn(x) = F„(-x).	(7)
Согласно (3) и (4), это соотношение достаточно доказать
для нечетных простых р:
Х?~2+ ... — х+ 1 =FjP(—х).
Упражнения
1.	Формулы (2) и (4) являются частными случаями соотношения
Fn (*) = П FiXn/dlt} (*') Для dln-
t\d
2.	Докажите формулу (5), пользуясь представлением (2).
3.	Вычислите значение л-го полинома деления круга Fn (х) в
точке х= — 1.
4.	л-й многочлен деления круга над лг-м полем деления круга
характеристики нуль неприводим тогда и только тогда, когда
(л, /и)|2.
§ 3. Теорема Редей
Как всякий целочисленный многочлен, n-й многочлен
деления круга порождает главный идеал в кольце Z[x].
Справедлива следующая
Теорема1). В кольце Z [х] главный идеал (Fn (х)) при
п^ 1 порождается многочленами Fp(xn/P)t где р пробегает
все простые делители числа п.
Ограничимся свободным от квадратов п [см. (3)].
Теорема доказывается индукцией по числу простых дели-
телей числа п. Для простого п утверждение справедливо.
Пусть п = тр, где т^ 1 и р—простое число, не делящее т.
Положим
f (X) = Fт (х?) F-'p (х) и g (X) = Fp (хи) F^p (х).
В силу (4), /(x) = fm(x)€Z[x] и
ё = (х“-1)Гяр(х)= П Ftp (х) С Z [х].
х) .См. Редей [14]; .Шёнберг [20].
МНОГОЧЛЕНЫ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
219
Корнями многочлена f (х) являются первообразные корни
m-й степени из 1 и; корнями g(x)— первообразные корни
tp-й степени из 1 u; t пробегает все собственные делители
числа т. Результант R многочленов f (х) и g(x) равен
R = П (V—и) = П (1 — fl«)-
и, V	и, V
R является единицей в кольце целых алгебраических
чисел. Действительно, единицами являются v, w = v~1u,
как первообразные корни некоторой степени из 1,
и 1—w= 1—ц-1«, как показывает соотношение
(1_ш) ц (1_K,/) = Frf(i)=L
</. <0=1
/ #= i
С другой стороны, результант многочленов f (х) и g(x),
как известно, представим в виде
R = F (х) f (х) + G (х) g (х),
причем коэффициенты многочленов F (х) и G (х) принад-
лежат тому же кольцу, что и коэффициенты f (х) и g(x)1).
В нашем случае все многочлены целочисленны, поэтому
RgZ, а из его обратимости следует, что R = ±l. Итак,
в кольце Z[х]
0) = (Ш. £(*))
и, следовательно,
(F^(x)) = (Fm(x/’)> F/x“)).
Отсюда по индукции доказывается окончательное утвер-
ждение теоремы.
Пример. Представление Fn (х), соответствующее
теореме Редей, легко указать при n = pq, где р, q — раз-
личные простые числа. Найдутся числа 0 < а < q и
0<6<р, такие, что 1=ар — bq. Тогда
Ppq (Х) ” х__ 1 Fpq W 1 X^pq W —
Хар— 1 г	Xb(J — 1
— хр_\ ?р(х )	1 x?q(x )•
Сомножители, стоящие перед многочленами деления
круга, являются целочисленными многочленами.
т) См., например, Ван-дер-Варден [5], ч. I, § 27.
220
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Упражнения
1.	F6(x) = F3(x2)—xF2(x3), Fu(x) = (x3+l)F3(x^-xFb(x3).
2.	Коэффициенты многочлена Fpq (х) (р, q — простые числа) рав-
ны 0 или ±1. Определите число положительных и отрицательных
коэффициентов этого многочлена.
3.	Многочлен /7105 (х) является многочленом деления круга мини-
мального индекса, в котором не все коэффициенты равны 0 или ±1.
§ 4. Многочлены деления круга над простыми
конечными полями
Пусть заданы натуральное число п и простое р, не
делящее п. Порядком числа р по модулю п называется
минимальное натуральное число /, для которого pz=
= lmodn [обозначается Ord(p, и)]. Согласно малой
теореме Ферма, Ord (р, п) | ср(м).
Многочлены деления круга, неприводимые над простым
полем характеристики 0, могут не обладать этим свойством
над полями конечной характеристики.
Пример. Все р—1 отличных от нуля элементов
простого поля характеристики р являются корнями (р— 1)-й
степени из 1. Отсюда, следует, что над простым полем
характеристики р всякий многочлен деления круга с ин-
дексом п, делящим р—1, разлагается на линейные мно-
жители. Так, для р = 7
Fr (х) = х— 1,
Г8(х) = (х—2) (х— 4),
Условие «п делит р— 1»
Вообще, справедлива
F2 (х) = х— 6,
рв (х) = (х-3) (х-5).
означает, что Ord (р, п) = 1
Теорема, п-е поле деления круга характеристики р
имеет над своим простым полем1) степень Ord(p, п).
Доказательство. Пусть /( есть /г-е поле деления
круга характеристики р и е—степень К над его простым
подполем. Тогда К—конечное поле, содержащее ре элемен-
тов. Мультипликативная группа любого поля из р1 эле-
ментов (/ — натуральное число) является циклической
х) Ср. Редей [15], § 135.
МНОГОЧЛЕНЫ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
221
группой порядка р* 1— 1. Поле К является минимальным
конечным расширением простого поля, таким, что его
мультипликативная группа содержит подгруппу корней
n-й степени из 1, имеющую порядок п. Известно, что
конечная циклическая группа содержит подгруппу по-
рядка п тогда и только тогда, когда ее порядок делится
на п. Итак, рв—1—минимальное из чисел р1 — 1, кото-
рые делятся на п, или е—минимальное из чисел /, таких,
что п\(р1—1), т. е. //=е= 1 modп, а это означает, что
е = Ord (р, п).
Из этой теоремы следует, что всякий первообразный
корень n-й степени из 1 является алгебраическим элемен-.
том порядка Ord (р, п) над простым полем.
Следствие. Над простым полем характеристики р п-й
многочлен деления круга Fn (х) является произведением по-
парно не ассоциированных неприводимых многочленов сте-
пени Ord(p, п). Число неприводимых сомножителей в раз-
ложении Fn(x) равно <p(n)/Ord(p4 и).
Упражнения (Здесь рассматриваются многочлены деления
круга над конечным простым полем характеристики р.)
1.	Fn(x) неприводим тогда и только тогда, когда л = 4, qkf 2qk
q — нечетное простое число) и р —первообразное *) по мо-
дулю п число.
2.	При р= 2:	Г7(х)	= (х3 + х+1)(х3+х2+1),
при 13:	Р7(х) = (х2 + Зх+1)(х2 + 5х+1)(х2 + 6х+1),
при 17:	Р9 (х) = (х24-3х+ 1) (х2 4-4x4- 1) (х2-7x4- 1),
при р = 3:	F8 (х) = (х2 + *~ 1) (х2 —х—1),
при р=11:	Р15 (х) = (х2 —2x4-4) (х2 + 4х + 5) (х2 + 5% + 3) X
X (х24-3х—2).
3.	Определите число неприводимых множителей многочлена
х12 — 1 при р = 5, 7, 11.
*) То есть является по модулю п первообразным корнем из
1 степени ср (л).
ПРИЛОЖЕНИЕ И
СТРУКТУРЫ
!
Г. Киндер
i:
Множество L называется структурой1), если в нем !
определены две бинарные операции и и п (отображения I
LxL—>/.) и бинарное отношение (подмножество LxL), |
удовлетворяющие следующим аксиомам:
Аксиома 1 (ассоциативность)'. (а^Ь)^с~а^(Ь<->с))	|
(а п Ь) п с — а п (Ь г, с),	?
Аксиома 2 (коммутативность): а^Ь = Ь<^а,
anb = br-ia.
Аксиома 3 (поглощение):	at-j(anb) — a,
an(a^b) = a.
Аксиома 4:	a^.b<.—>anb = a.
Примечание к аксиоме 4. Если для двух опера-
ций и и ci в множестве L выполнены аксиомы 1, 2 и
3, то отношение можно определить при помощи
аксиомы 4.
Аксиомам 1—4 эквивалентны следующие аксиомы:
Аксиома 1' (рефлексивность):
Аксиома 2' (транзитивность):
Аксиома 3' (антисимметрия):
Аксиома 4' (максимум):
Аксиома 5' (минимум):
а^а.
а^Ь ;\Ь^с^>а^с.
а^Ь /\'Ь^.а=> а = Ь.
a, b^.c^—yaub^.c.
с^.а, b <,—> c^.anb.
Мы приведем примеры структур и некоторые методы
получения новых структур из заданных. Начнем с важ-
нейшего примера, являющегося до некоторой степени
прототипом всех структур:
I.	Множество (Л4) всех подмножеств множества М
с операциями (J и П и отношением S.
Английское lattice, немецкое Verband.
СТРУКТУРЫ
223
2.	Пусть (£—некоторое множество подмножеств из
М ((£	$ (Л4)), замкнутое относительно операции пересе-
чения, т. е. такое, что для всякого подмножества 991 s (S
П9Л = п
Т
Всякому подмножеству АсМ. поставим в соответствие
подмножество <Л>£(£—пересечение всех подмножеств
из (5, содержащих А, Тогда ((£, < U >, П, является
структурой « U > означает операцию (7, U) —> <7 U £/».
Следующие четыре примера 3—6 являются частными
случаями примера 2.
3,	Множество всех подгрупп некоторой группы.
4.	Множество всех нормальных делителей некоторой
группы. (В этой структуре T^U ==<T\jU>==T'U.)
5.	Множество всех /^-подмодулей некоторого /^-модуля
(R — кольцо). (Здесь <Т и t/> = Т 4- U.)
6.	Множество L(R) всех двусторонних идеалов неко-
торого кольца R. (Здесь <Т U = Т£7.)
7.	Множество L (/?)\{(0)} всех отличных от нуля иде-
алов области целостности R с операциями +, П и
8.	Пусть R — кольцо главных идеалов, L(R)—струк-
тура идеалов кольца R (пример 6). Рассмотрим отобра-
жение а—>(а). Полным прообразом идеала (a) = Ra
является класс ассоциированных с а элементов Ua\ че-
рез U обозначается группа обратимых элементов («еди-
ниц») кольца R. Соответствие Ra—> Ua взаимно однозначно
отображает структуру L (R) на множество классов ассо-
циированных элементов. В последнем можно следующим
образом ввести операции и, п, для произвольных
a, b£R пусть Ua^Ub—класс наибольшего общего дели-
теля а и b\ Ua^Ub—класс наименьшего общего кратного
а и ft; Ua^Ub означает, что а делится на Ь. Тогда ука-
занное выше соответствие станет изоморфизмом структур.
9.	Пусть (/(, ^) —произвольное линейно упорядочен-
ное множество, т. е. такое, что в нем выполняются ак-
сиомы Г, 2', 3' и для всяких двух элементов а, Ь£К
справедливо одно из отношений a^b, b^a. Относи-
тельно операции a^b = max (a, b), ar-i& = min(tf, b) и
отношения множество К является структурой.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
224
10.	Структурой является множество Е (R) всех идем-
потентных элементов коммутативного кольца R с опера-
циями a^b = aob( = а + Ь—а • Ь) и amb = ab (см. приме-
чание к аксиоме 4; см. также § 1 гл. 5).
Пусть задана структура (А, и, п, ^). Определим
отношение > следующим образом:
а^Ь <—>Ь^а.
Тогда (L, г-i, lj, также является структурой; она
называется двойственной к исходной. Сформулируем
принцип двойственности теории структур:
Если некоторое утверждение $ теории структур спра-
ведливо для всех структур, то справедливо также и двой-
ственное к нему утверждение ©*, полученное из © заменой
l-j, п, соответственно на п, ы,
Действительно, S* справедливо для всякой структуры
(L, l-j, п, ^), так как справедливо для всякой струк-
туры, в том числе и для (/,, п, ы, ^),
Пример.
11.	Структура, двойственная к структуре примера 8,
состоит из классов ассоциированных элементов с опера-
циями НОК и НОД и отношением | («делит»).
Пусть задано семейство структур (£, т. е. отображение
i(Lh uz, nz, ^z) множества «индексов» I в мно-
жество структур. Произведением структур H<S = H@,’
t	ie I
называется множество всевозможных отображений а мно-
жества / в объединение множеств U Lh при которых
i el
i—Произведение Ц (£ является структурой отно-
сительно операций и, п и отношения определенных
следующим образом:
a^b <=> yi С 7: az <,• b,-.
[Если I пусто (7 = 0), то (£= 0; очевидно, что и (J L(— 0,
i 6 I
так что П состоит только из пустого отображения
пустого множества в себя, и 0ы0 = 0 = 0г->0, 0^0.]
СТРУКТУРЫ
225
Пример.
12.	Пусть Э? — семейство коммутативных колец с мно-
жеством индексов / = {1, 2........ и}.	Отображение
i—► (£ (9iz), о, •) определяет семейство структур. Их про-
изведением является структура (Д^ф.. .фЭ?„), о,-)
идемпотентных элементов прямой суммы Э^ф.. .ф 91ч.
Будем говорить, что структура (Т,	п', </) яв-
ляется соответственно подсвязкой, и -подсвязкой, п -подсвяз-
кой и подструктурой структуры (L, и, п, ^), если
она удовлетворяет условиям, собранным в следующую
таблицу:
(Г, lj , гл , К') называется	структуры (Д, 1—J, гл , <), если Т czz Д и для всех a,be Т выполняется
подсвязкой ы -подсвязкой п -подсвязкой подструктурой	а b <=> а <; b a l-j' Ь~a «-J b а гл ' Ь = а гл Ь а	Ь —а	Ь/\а гл' £ —д гл Ь
Примеры.
13.	В структуре ($Р({1, 2, 3, 4}), (J, П , =) (см. при-
мер 1) подсвязкой является {0, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3, 4}}.
14.	В структуре классов ассоциированных элементов
кольца целых чисел Z с операциями НОК, НОД и отно-
шением | подсвязкой является {U, U3, U4, U6, (/24}
(см. пример 11 (и 8); здесь U — {1,—1}).
15.	Структура (6, <и>, П, s) примера 2 является
П -подсвязкой структуры подмножеств (ф(Л1), U , П , s)
(пример 1).
16.	Структура /^-подмодулей /?-модуля М (пример 5)
является подструктурой структуры подгрупп аддитивной
группы М (примеры 3 и 4):
17.	Всякое подмножество, замкнутое относительно опе-
раций и и m, структуры (L, и, п, О образует под-
структуру относительно ограничения этих операций. Спе»
циальные подструктуры в (L, и, п, можно получить,
226
ПРИЛОЖЕНИЕ II
выбрав для элементов а, b из L следующие подмножества:
(«)<: = {х: а С х}	(верхний (главный) идеал),
(&)>: = {x:b^x}	(нижний (главный) идеал),
[а, Ь]-. = {х:а х Ь} (интервал, или промежу-
точная структура Ь/а).
К этим специальным случаям относится следующий
пример:
18.	В структуре классов ассоциированных элементов
кольца главных идеалов с операциями НОК и НОД и
отношением | (пример 11 (и 8)) классы, состоящие из
делителей заданного элемента т, образуют интервал
[t/, От]. В § 4 гл. 7 он обозначался через L(m).
Пусть теперь задана произвольная структура (L, и,
г-1, ^). Если а^.Ь и будем писать а<Ь:
а < b: <~> а b Д а =/= Ь.
Отношение, двойственное к <, обозначим >.
Определение.
Элемент а из L называется
в (l, lj , гл , <), если
нулевым элементом
единичным элементом
атомом (атомарным эле-
ментом )
антиатомом
а х для всех х g L
х^а для всех х £ L
существует единственный х g L,
такой, что х < а
существует единственный х £ L,
такой, что а < х
Будем обозначать через 0 нулевой, а через 1 единич-
ный элемент структуры (если они существуют). Их един-
ственность следует из аксиомы 3'.
Если существует атомарный элемент а, то существует
и нулевой элемент структуры, причем это единственный
элемент, меньший а. Действительно, пусть п < а. Для
всех х б L имеем хпа^а, поэтому или хпа=а, или
хпа = п. Итак, п^.х для всех х £ L. Это означает, что
п = 0. Атомарные элементы будем обозначать буквами р,
Структуры
227
q, ... . Множество всех атомарных элементов обозначим
через (L, и>, п, ^).
Высказанное утверждение допускает двойственное.
Примеры.
19.	В структуре (Л4), и> П, S) (см. пример 1)
пустое множество 0 является нулевым элементом, М —
единичным. Одноэлементные подмножества атомарны; их
дополнения до М антиатомарны.
20.	В структурах, встречающихся в алгебре, атомар-
ные элементы часто называют минимальными, антиато-
марные — максимальными элементами (подгруппами, идеа-
лами, ...).
21.	В структуре, состоящей из множества действи-
тельных чисел отрезка [0, 1], операций max, min и от-
ношения (см. пример 9), нулевым элементом является
число 0, единичным—число 1. Ни атомов, ни антиатомов
в ней нет.
22.	В структуре ({Ua:a£ /?}, НОК, НОД, |) (пример 11)
нулевым элементом является U — U], единичным—{0} =
= UQ. Атомарными являются классы, состоящие из про-
стых элементов, антиатомов не существует (если R не
является полем).
Пусть снова задана произвольная структура (L, и,
гл, <:). Обозначим через [а] множество атомарных эле-
ментов p£L, таких, что р а:
[а]: ={р:р^?((Л, и, п, ^)Др^а}.
Отображение
а [а]	(*)
переводит исходную структуру (L, и, п, ^) в структуру
всех подмножеств множества атомарных элементов
GP(W> rn , <;), U, П, £=))• Это отображение может
быть сильно вырожденным (структура примера 21 не имеет
атомарных элементов: [а] = 0 для любого а), но может
быть также изоморфизмом. Так, в примере 1 (и 19) ото-
бражение х ->{*} является, очевидно, взаимно однознач-
ным отображением М на §Х(^}(Л1), U, fl,S). Поэтому
(*) является изоморфизмом структур (^)(Л4), и, П, S) и
($(ад(М), и, П, S), U, П, S))-
228
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Отсюда следует
Теорема 1. Если структура (L, u, п, изоморфна
некоторой структуре (ф (Л4), U, П, ^), то в качестве
множества М может быть взято (L, <->, п, ^); тогда
данный изоморфизм структур есть не что иное, как ото-
бражение (*). Для того чтобы структура (L, и, п, <:)
была изоморфна структуре всех подмножеств некоторого
множества, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
следующие два требования:
(1) для любых a, b£L
[а] = [6]
(2.) для любого множества А атомарных элементов
структуры (L, и, п, <:) существует элемент a£L, такой,
что А = [а].
Мы хотим теперь показать, что для того чтобы струк-
тура (L, и, m, удовлетворяла этим требованиям, не-
обходимо и достаточно, чтобы она была полной, атомар-
ной, дистрибутивной структурой с дополнениями; другими
словами, чтобы она была полной булевой алгеброй.
Дадим необходимые определения.
Элемент s структуры (L, и, п, называется верхней
границей множества A s L, если а^э для всех а£А.
Обозначение:
A <s.
Элемент g£L называется точной верхней границей,
или структурным максимумом множества A s L, если
A <s<zz>g^s,
т. е. если g является нулевым элементом в структуре
всех верхних границ множества А (см. пример 17). От-
сюда, в частности, следует единственность точной верхней
границы. Ее обозначение:
ид.
Используя это обозначение, требование (1) в теореме 1
можно записать более сжато: для любого элемента a^.L
a=U[a].	(!')
структуры
229
Двойственные понятия: нижняя граница множества А
s А
и точная нижняя граница (или минимум) множества А
пл.
В силу аксиомы 4' всякое двухэлементное подмно-
жество А = {а, Ь} в L имеет точную верхнюю границу, а
именно
a^b= Ь}.
Структура называется полной, если любое ее подмно-
жество имеет точную верхнюю границу. В полной струк-
туре всякое подмножество А имеет также и нижнюю гра-
ницу'.
ПЛ = [J{x:x^A}.
Действительно, если а^А, то {х:х^ А} ^а. Отсюда
следует, что С1{х:х^Л}^а и и{х:%^Л} является
нижней границей множества Л, очевидно, превосходящей
все остальные нижние границы.
Структура, двойственная к полной структуре, тоже
полна.
Всякая полная структура (L, u, п, имеет нулевой
элемент, а именно Ц0(=~- пЪ, и единичный элемент
LR( = П0).
Примеры.
23.	Структура ($ (Л4), U, В , £=) примера 1 [и, следо-
вательно, всякая структура со свойствами (1) и (2)]
полна. Точной верхней границей множества подмножеств
из М является объединение этих множеств, точной ниж-
ней границей — их пересечение.
24.	Полны также структуры примеров 2—6, 8, 11 и 21.
25.	Произведение семейства полных структур полно.
26.	Всякая непустая конечная структура полна.
27.	Неполной структурой является, например, мно-
жество рациональных чисел Q с операциями max, min
и отношением (пример 9).
Элемент у называется дополнением к х, если
хпу — 0 и х uj у=1.
250
ПРИЛОЖЕНИЕ it
Структура с нулем и единицей называется структурой
с дополнениями, если каждый ее элемент имеет по крайней
мере одно дополнение.
Структура, двойственная к структуре с дополнениями,
сама является структурой с дополнениями. Чтобы дока-
зать, что произведение структур с дополнениями является
структурой с дополнениями, необходимо использовать
аксиому выбора.
Примеры.
28.	Структура (^3 (Л4), и, П, £=) [а также всякая
структура, удовлетворяющая требованиям (1) и (2)] яв-
ляется структурой с дополнениями. Всякое подмножество
А из М имеет единственное дополнение, а именно мно-
жество, дополняющее А до М:
М\А = {х:х£	Л}.
29.	Структура ^-подмодулей некоторого К-моду ля
(/<—поле, см. пример 5), а следовательно, структура
подпространств векторного пространства являются струк-
турами с дополнениями, так как всякий базис подпро-
странства может быть дополнен до базиса всего прост-
ранства.
30.	В структуре ({Ua:a£ R}, НОК, НОД, |) примера 11
(и 22) интервал [Ua, Ub], где a\b и а=/=0, является
структурой с дополнениями тогда и только тогда, когда
элемент — С R свободен от квадратов. В этом случае класс
Ut£ [Ua, Ub] обладает единственным дополнением — клас-
сом t/y. В частности, структура L(m) = [f7, Um] дели-
телей элемента m£R (см. пример 18) является струк-
турой с дополнениями тогда и только тогда, когда т
свободно от квадратов (обратимые элементы относятся к
свободным от квадратов).
31.	В структуре (Е (R), о, •) идемпотентов коммута-
тивного кольца R (см. пример 10) всякий непустой отре-
зок [я, Ь] есть структура с дополнениями; однозначно
определенным дополнением к х£ [а, Ь] является а—х + Ь.
Если кольцо R имеет единичный элемент 1, то 0 и 1 в R
соответствуют 0 и 1 в (E(R), о, •); в этом случае вся
структура E(R)=[0, 1] есть структура с дополнениями.
СТРУКТУРЫ
231
[Если в кольце /? всякий делитель нуля нильпотен-
тен, как, например, в факторкольце2/(р") или в области це-
лостности, то идемпотентными элементами являются только
О и 1. Действительно, из а- = а или а (а—1) = 0 следует,
что а — 1 или а—делитель нуля; но тогда он нильпотен-
тен, а нильпотентный идемпотент равен нулю.]
Выясним теперь, что означает требование (2).
Теорема 2. Если любой элемент х полной структуры,
имеет точно одно дополнение х', то для всякого множества
А атомов структуры
Л = [иЛ].	(2')
Доказательство. Очевидно, что Л s [UЛ]. Дока-
жем обратное включение. Пусть р£ [U Л]. Так как Л
и рпр'==0, то соотношение	выполняться не
может; следовательно, не может выполняться и соотно-
шение Л ^.р'. Это означает, что существует элемент Л,
такой,что q &р’- Осталось показать, что р = q £ А. С одной
стороны, так как p'^q^=q, то p'nq = 0. С другой сто-
роны, ри(р'<_к7)= 1. Так как р атомарен, то р^(р't-iq)
равен либо нулю, либо р. Если р n (р'и^) = 0, то в силу
единственности дополнения p'^q — p' и q^p', чего не
может быть. Таким образом, pn(p' <-^q) — р. Тогда р' i->q —
= p^(p'^q)=l.
Итак, q—элемент, дополнительный к р , значит,
Структура (L, м, п, О называется дистрибутивной,
если в ней выполняется дистрибутивный закон
(DJ a(bпс) = (аb) п (а^с).
Двойственным к нему является закон
(Dn)	an(b^c) = (anb)u(anc).
Докажем, что в дистрибутивной структуре закон (Dn)
тоже справедлив, т. е. структура, двойственная к дистри-
бутивной структуре, тоже дистрибутивна.
Доказательство.
an (b ljc) = ап (а^с) п (Ьис) =
— ((a nb)«-»а) п ((a nb) lj с) = (а п Ь) ^(апс).
232
приложение II
Обратное утверждение совпадает с двойственным к
только что доказанному и справедливо в силу принципа
двойственности.
Подструктура дистрибутивной структуры дистрибутив-
на. Произведение дистрибутивных структур дистрибу-
тивно.
Примеры.
32.	Сруктура (ф(М), U, A, s) [и, следовательно,
всякая структура, удовлетворяющая требованиям (1) и (2)]
дистрибутивна.
33.	Структура (L(R), +, А , ^) идеалов кольца
главных идеалов R дистрибутивна. Действительно, доста-
точно показать, что
Ra A (Rb + Rc)^(Ra A Rb) + (Ra A Rc)
(противоположное включение очевидно во всякой структуре).
Пусть Rb-\-Rc=Rd, тогда d = bu-]-cv, b = db', c = dc'.
Всякий элемент из Ra(] (Rb + Rc) представим как в виде ха,
так и в виде yd = ybu + ycv. Первое слагаемое ybu = ydb'u =
~ xab'и £ Ra П Rb; второе слагаемое ycv — ydc'v = xac'v£
$Ra(] Rc, что и требовалось доказать.
34.	Дистрибутивны следующие структуры: структура
примера 8, изоморфная структура примера 33, и двойствен-
ная к ней структура ({Ua-.a С /?}, НОК, НОД, |) примера 11.
35.	Дистрибутивна структура всякого линейно упорядо-
ченного множества (пример 9).
36.	Структура (E(R), о, •) (пример 10) дистрибутивна.
Действительно, если а, Ь, с—идемпотентные элементы
коммутативного кольца R, то а (Ь о с) = ab + ас—abc —
= ab-{-ac—abac=(ab)o(ac) (см. § 1 гл. 5).
Теорема 3. Если в некоторой дистрибутивной структуре
с 0 и 1 как элементы xlt ylt так и элементы х2, у2 взаимно
дополнительны, то из хг^х2 следует y2^zy1>
Доказательство.
У2	(^1 и *1) (iJi У2) = У1ш СЧ n Z/2) С yl (х2 m l/2) = УГ
Из этой теоремы следует, что элементы дистрибутивной
структуры с 0 и 1 имеют не более одного дополнения.
структуры
233
Дистрибутивные структуры с дополнениями называются
булевыми структурами1) (или булевыми алгебрами). Допол-
нение элемента х (однозначно определенное в силу теоремы 3)
обозначим через х'. Отображение
х—+х'
является—снова в силу теоремы 3 — изоморфизмом булевой
алгебры (L, м, m, <^, 0, 1, ') на двойственную к ней
булеву алгебру (L, п, ш,	1, 0, '). Итак, булева алгебра
двойственна сама себе. Легко проверить, что в ней справед-
ливы законы де Моргана
(a^b)' = а' nb' и (anb)f = af ^Ь'.
Булевой подалгеброй булевой алгебры (L, и, п, 0, 1, ')
называется подструктура структуры (L, lj , п, ^), содержа-
щая 0, 1 и вместе с каждым элементом х дополнительный
к нему элемент х', другими словами, подмножество, содер-
жащее О, 1 и замкнутое относительно операций ш, п,
вместе с ограничением на него этих операций.
Примеры.
37.	(^J (М), U, А , ^) и, следовательно, всякая струк-
тура со свойствами (1) и (2) является булевой алгеброй
(см. примеры 28 .и 32).
38.	Интервал [Ua, Ub], описанный в примере 30, в частно-
сти подструктура L(m), если т свободно от квадратов,
являются булевыми алгебрами (см. пример 34).
39.	Булевы алгебры, состоящие из идемпотентных эле-
ментов кольца, указаны в примерах 31 и 36.
40.	В дистрибутивной структуре с 0 и 1 множество
элементов, имеющих дополнение, является подструктурой
(пример 17) и даже булевой алгеброй.
41.	Булевой алгеброй является множество всех открытых
подмножеств М некоторого топологического пространства
с операциями:	—множество внутренних точек мно-
жества М и	MnN = M()N и отношением: M^N
означает М е М(черта означает замыкание множества).
Следствием дистрибутивного закона (Пы) является
модулярный закон
(М)	а с => а и (Ь п с) = (a l-j Ь) п с.
х) George Boole, 1815—1864.
234
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Для доказательства достаточно применить (DLI) к левой
части равенства в (М). Структура, удовлетворяющая этому
закону, называется модулярной. Очевидно, структура,
двойственная к модулярной, модулярна. Всякая под-
структура и произведения модулярных структур
модуля рны.
Для модулярных структур очевидным образом справед-
лива следующая теорема об изоморфизме (см. рис. 96):
Для произвольных a, b -отображение
х—> а их («объединение с а»)
интервала [апЬ, Ь] в интервал [а, а^Ь] и т -отображение
y—+ymb («пересечение с fc»)
интервала [а, в [a mb, b] являются взаимно обрат-
ными изоморфизмами структур, т. е.
amb^x^bz^ (х^а)тЬ — х,	(3)
и, по принципу двойственности,
a^y^a^bz} а^(Ьту) = у.	(4)
Обратно, закон (М) является следствием как утвер-
ждения (3), так и утверждения (4). В этом можно убе-
диться, положив, например, в (4) у— (а^Ь)тс,
я** —
СТРУКТУРЫ
235
Примеры.
42.	Структура нормальных делителей группы G (при-
мер 4) модулярна. Справедливо даже более общее утвер-
ждение: для всяких трех множеств А, В, С = G, таких,
что Л'1 s А и C-CsC,
А = Л-(ВПС) = (Л-В)ПС.
(Доказательство тривиально; оно использует включения
Л"1 С г АС = СС = С.) В частности, структура подгрупп
абелевой группы модулярна и, следовательно, модулярна
структура подмодулей некоторого /^-модуля (пример 16).
(Отсюда название «модулярный».)
43.	Подсвязка примера 14 из пяти элементов не явля-
ется модулярной.
44.	Структура подгрупп группы обратимых элементов
факторкольца Z/(8) модулярна (см. пример 42), но не
дистрибутивна.
Мы хотим теперь установить достаточные условия для
того, чтобы структура удовлетворяла требованию (1). На-
зовем атомарной структуру, в которой требование
[a] = [b]^a<b	(1)
выполняется по крайней мере для случая [а] = 0, т. е.
в которой из [а] = 0 следует, что а = 0. Всякая непустая
атомарная структура имеет нулевой элемент.
Теорема 4. Всякая атомарная модулярная структура
с дополнениями удовлетворяет требованию (1).
Доказательство. Пусть [a] £= [Ь]. Дополнение к
а mb обозначим через с. Имеем
[спа] = [спа] п [b] = [спапЬ] = [0] = 0.
В силу атомарности структуры спа = 0. Далее,
b 0: а п b и (с n а) = ((a n b) u с) n а — 1 п а — а.
(Здесь во втором равенстве мы воспользовались законом
модулярности.)
Примеры.
45.	(ф (Л4), U , Г), s), как и всякая структура со свой-
ством (1), атомарна (см. пример 19).
236	приложение и

46.	Структура ({Ua:a£ R}, НОК, НОД, |)классов ас-
социированных элементов кольца главных идеалов R ато-
марна (см. пример 22).
47.	Всякая конечная структура атомарна.
48.	Структура подпространств векторного пространст-
ва (см. пример 29) атомарна. Ее атомарными элементами
являются одномерные подпространства.
49.	Структура (L (/?), + , А , ^) идеалов кольца R
с единицей в общем случае неатомарна, но всегда анти-
атомарна (т. е. в ней выполняется свойство, двойствен-
ное к атомарности).
В заключение соберем в одной теореме факты, уста-
новленные в теоремах 1—4:
Теорема 5. Для того чтобы структура была изомор-
фна структуре всех подмножеств некоторого множества,
необходимо и достаточно, чтобы она была полной ато-
марной булевой алгеброй.
Следствие. Для того чтобы структура была изомор-
фна структуре всех подмножеств некоторого конечного
множества, необходимо и достаточно, чтобы она была ко-
нечной булевой алгеброй.
.Литература к приложению II: Биркгоф [2], Хермес [19], Мак-
лейн и Биркгоф [13], Резерфорд [16]. [См. также Скорняков [17].—
Ред.]
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Алгебра
1.	Артин (Artin Е.), Galoissche Theorie, Leipzig, 1959.
2.	Биркгоф (Birkhoff G.), Теория структур, М., 1952.
3.	Биркгоф (Birkhoff G.) и Маклейн (MacLane S.), A survey of mo-
dern algebra, New York, 1965.
4.	Бурбаки (Bourbaki N.), Элементы математики. Алгебра (много-
члены и поля, упорядоченные группы), М., 1965.
5.	Ван-дер-Варден (Van der Waerden В. L.), Современная алгебра,
ч. I, II, М. , 1947.
6.	—Algebra, I—II, Berlin, 1966—67.
7*. Виноградов И. М., Основы теории чисел, М., 1972.
8.	Джекобсон Н., Строение колец, М., ИЛ, 1961.
9.	Кохендёрфер (Kochendorffer R.), Einfiihrung in die Algebra,
Berlin, 1955.
10.	Ковальский (Kowalsky H. J.), Lineare algebra, Berlin, 1965.
И. Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, M., 1962.
12.	Ленг С., Алгебра, М., 1968.
13.	Маклейн (MacLane S.) и Биркгоф (Birkhoff G.), Algebra, New
York, 1967.
14.	Редей (Redei L.), Cber das Kreisteilungspolynom, Acta Math.
Acad. Sci. Hung., 5 (1954), 27—28.
15.	—Algebra I, Leipzig, 1959.
16.	Резерфорд (Rutherford D. E.), Introduction to Lattice theory,
Edinburgh, London, 1965.
17*.Скорняков Л. А., Элементы теории структур, M., 1970.
18.	Хассе (Hasse Н.), Лекции по теории чисел, М., 1953.
19.	Хермес (Hermes Н.), Einfiihrung in die Verbandtheorie, Ber-
lin, 1967.
20.	Шёнберг (Schoenberg I. J.), Note on the cyclotomic polynomial
Mathematika, H (1964), 131—136.
238
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Геометрия
21.	Бахман (Bachmann F.) и Бочек (Boczeck I.), Punkte, Vektoren,
Spiegel ungen, Grundziige der Math., Band II А. Кар. 2, Gottin-
gen, 1967.
22.	Бляшке (Blaschke W.) и Боль (Bol G.), Geometric der Gewebe,
Berlin, 1938.
23.	Боттема (Bottema O.), De elementaire meetkunde van het platte
vlak, Groningen, 1938.
24.	Киндер (Kinder H.), Eine geometrische interpretation der Galois-
gruppe von xn—1, Vortrag in Oberwolfach, 29.5.1969.
25.	Томсен (Thomsen G.), Schnittpunktsatze in ebenen Geweben,
Abh, Math. Sem. Univ. Hamburg, 7 (1930), 99—106.
26.	Шоке Г., Геометрия, M., 1970.
27.	Яглом И. М., Геометрические преобразования, ч. I, II, М., 1955—
56.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Л, л, ...	n-угольники, О = (о, ..., о) —нулевой п-угольник, стр. 23 Циклические классы п-угольников:
Лп Л}> п Лп О Ъ 0	множество всех n-угольников, стр. 23 класс тривиальных n-угольников, стр. 24 нуль-изобарический класс, стр. 29 центральный класс, соответствующий свободному циклическому классу g, стр. 75
ллп	периодический класс (п — dd), стр. 32 класс d-кратно изобарически распадающихся n-угольников (d | п), стр. 85
91п	класс Q-правильных n-угольников, стр. 167 класс аффинно-правильных 6-угольников, стр. 39 Специальные циклические отображения:
S а	(ах, а2> ..., ап)-+(а2, ..., ап, aj, стр. 50 проекция; каждому n-угольнику (ах, а2, ...» ап) ставит в соответствие n-угольник центра тяжести, т. е. п-угольник (а, а, ..., а), где а = ~	а/, стр. 27
14	(для d | п) хордовое усреднение, проекция, каждому п-угольнику (ах, а2, ..., ап) ставит в соответствие --кратно пройденный d-угольник с вершинами d , — («i + «d+i + ---+an-<t+i)>	этиточкияв-
240
ОБОЗНАЧЕНИЯ
	n ляются центрами тяжести хордовых -^--угольников n-угольника (аь а2» •••» ап)> стр.
	последовательное усреднение; каждому п-угольнику (alt а2	ап) ставит в соответствие п-угольник с вершинами (fli + а2 + • • • + лД .. •; эти точки являются центрами тяжести d последовательных вершин n-угольника (alt а2, ..., ап), стр. 91
«(ф)	сумма коэффициентов циклического отображения ф, стр. 52
KlCI E(K [CD Grad £ Ker <p	алгебра циклических отображений, стр. 51, 52 булева алгебра циклических проекций, стр. 104 степень (свободы) циклического класса стр. 33 ядро отображения ф, Im ф—образ ф, Fix ф—мно- жество неподвижных элементов отображения ф, стр. 50, 54
End (Л) an Л ker S aob: = a-}-b—ab, r(n) q>(«) и(«) d.H«	кольцо эндоморфизмов абелевой группы Л, стр. 50 аннулятор 7?-модуля Л, стр. 151 ядро идеала S, стр. 151 стр. 94 число делителей числа п, стр. 85 функция Эйлера, стр. 213 функция Мёбиуса, стр. 177 d является собственным делителем n: d | п и d ?= п, стр. 149 Специальные полиномы:
Fn(x) tnd(x)	n-й полином деления круга, стр. 215 стр. 147
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аннулятор 125, 151 Антиатом 226 АСО-класс 37 Ассоциированные элементы НО Атом 226 Атомарная структура 235 Атомарный класс 82 — элемент 226 Аффинно-правильный 6-угольник 39 —п-угольник 198 Булева алгебра 233 Булево кольцо 96 — сложение 95 Вершины п-угольника 24 Вложение 100 Дополнительные проекции 88 Законы де Моргана 233 Идеал-вложение 154 Идемпотент 54, 94, 111 Идемпотент-вложение 126 Изобарические циклические ото- бражения 53, 72 Изобарический класс 28 Изобаричные п-угольники 28 Инволютивный элемент 96 Квазипроекция 54 Китайская конструкция 112	Китайская теорема об остатках 130, 131, 134 Китайский изоморфизм 132 Кольцо главных идеалов 110 Компоненты п-угольника вещест- венные 209 	комплексные 186 	рациональные 174 Кососимметрический многочлен 192 Минимальные булевы многочлены 99 -	...... Многочлен деления круга 215 Модуль 125 Модулярный закон 233 Нуль-изобарический класс 29 Ортогональные элементы кольца 94 Основная диаграмма 157 — теорема 118, 156 Параллелограмм 26 Периодический класс 32 Подсвязка 225 Подструктура 225 Полная структура 229 Последовательные усреднения 60, 91 Правильный п-угольник 181 Призма 39 Присоединенное произведение 94 Проекция 54 Пространство п-угольников 23
242
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Размерность идеала 159
— п-угольника 35
Ранг циклического отображения
159
Свободный от квадратов идеал 129
------элемент 111
— циклический класс 30
Сдвиг сложения 80
Симметрический многочлен 192
— циклический класс 191
Сложение п-угольников 23
----из центра тяжести 80
Спектр 143
Сравнимые элементы 111
Степень (свободы) циклического
класса 33
Стороны п-угольника 24
Структура 222
— с дополнениями 230
Теорема об Im-вложении 102
Тривиальный п-угольник 24
Усреднения 60
Функция Мёбиуса 177
— Эйлера 213
Характеристическая функция 144
Хордовые усреднения 60, 87
Хордовый d-угольник 33
Центральный циклический класс
30
Центр тяжести 27
Циклическая матрица 34
—	проекция 57
—	система 25
Циклический класс 25
Циклическое отображение 48
Частичная сумма 97
Ядро идеала 151
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора . . г......................................... 5
Из предисловия авторов .................................... 9
Предыстория книги......................................... 11
Обзор содержания.......................................... 12
Введение.................................................. 13
Глава 1. Циклические классы	п-угольников.................. 23
§ 1.	n-угольники, пространство	п-угольников........... 23
§ 2.	Циклические классы	............... 24
§ 3.	Центр тяжести п-угольника. Нуль-изобарический
класс s , . . . , . > . , . ........................... 27
§ 4.	Два типа циклических классов..................... 29
§ 5.	Периодические классы 4 s......................... 32
§ 6.	Степень свободы циклического класса.............. 33
§ 7.	Размерность п-угольника ......................... 35
§ 8.	Примеры циклических классов ..................... 36
Глава 2.	Циклические отображения п-угольников............ 48
§ 1.	Циклические отображения _........................ 48
§ 2.	Алгебра циклических отображений	................ 49
§ 3.	Сумма коэффициентов циклического	отображения . .	52
§ 4.	Проекции . , , ,................................  54
§ 5.	Примеры	8 t ^ ... .	58
§ 6.	Циклическая квазипроекция t ..................... 65
§ 7.	Изобарические циклические проекции для п=4 . .	68
§ 8.	Циклические матрицы . 5 , ....................... 70
Глава 3. Об изобарических циклических отображениях ....	72
§ 1.	а-ядро........................................... 72
» § 2. Два типа циклических классов .................... 73
§ 3,	Об изобарических циклических отображениях , , ,	77
244	ОГЛАВЛЕНИЕ
Гл5ва 4. Отображения усреднения........................	. а .	85
§ 1.	Изобарически распадающиеся n-угольники	s	а	а	а	а	85
§ 2.	Хордовые усреднения » , s ,	t	f	a	s	a	*	a	s	s	<	«	87
§ 3.	Дополнительные проекции , a	s	a	a	a	a	a	t	a	a	«	a	88
§ 4.	Последовательные усреднения	.	.	,	»	»	a	«	a	a	a	a	91
Глава 5.	Идемпотентные элементы и булевы алгебры	s	s	а	а	94
§ 1.	Идемпотентные элементы кольца . * . а	. .	.	4	,	а	94
§ 2.	Булевы алгебры, порожденные конечным	числом	эле-
ментов , а , . « « » . , а . . а а » .	. а	а	«	97
§ 3.	Идемпотентные эндоморфизмы абелевой группы; Im-вло-
жения	100
§ 4.	Булева алгебра циклических	проекций	.	«	*	5	а	а	«	104
§ 5.	Примеры Im-вложений * .	. . а . *	»	а	4	а	а	*	®	105
Глава 6. Основная теорема о циклических классах	4	s	s	s	а	НО
§ 1.	Сравнения в кольце главных	идеалов	.	.	а	,	.	,	НО
§ 2.	Основные теоремы о циклических отображениях и
циклических классах . . .	. а « s .	а	,	а	,	.	«	114
§ 3.	Простые делители многочлена хп—\ и атомарные
циклические классы .	а «.«»' а »	121
Глава 7. Идемпотент-вложение. Факторкольцо кольца главных
идеалов	124
§ 1.	/^-МОДУЛИ . i . . .	^25
§ 2.	Идемпотент-вложение «?...« 4 «« s < а а ? (	126
§ 3.	Частный случай идемпотент-вложения ..».»««	126
§ 4.	Идеалы и делимость в кольце главных	идеалов	а	а	128
§ 5.	Факторкольцо кольца главных идеалов	»	,	,	.	а	а	129
§ 6.	Факторкольцо как сумма факторколец	.	.	.	,	♦	а	а	134
Глава 8.	Булевы алгебры n-угольников (теория	I)	.	.	а	а	»	а	136
§ 1.	Булевы алгебры	—L5................................... 136
§ 2.	Делители многочлена хп—1 и циклические классы 141
§ 3.	Спектр . s .........*  ............................... 143
§ 4.	Примеры определения циклических классов по де-
лителям многочлена хп—1	*	146
Глава 9. Булевы алгебры n-угольников (теория II) . 5 s а	151
§ 1.	Соответствие Галуа между аннуляторами и ядрами 151
§ 2.	Идеал-вложение......................................... 153	!
§ 3.	Второе доказательство основной теоремы. Основная	|
диаграмма s , .........................................  155	[
।
ОГЛАВЛЕНИЕ
245
§ 4.	Градуировка. Степень свободы циклического класса 158
§ 5. Смешанные задачи ..................... t а а s	163
Глава 10. Рациональные компоненты п-угольника . . ? ? « а	167
§ 1.	Q-правильные п-угольники	167
§ 2.	Циклические классы, определенные многочленами
деления круга ...................... ..........	4 ,	171
§ 3.	Рациональные компоненты п-угольника	173
§ 4.	Булева алгебра, порожденная хордовыми усредне-
ниями, и ее атомарные элементы	г 176
§ 5.	К построению рациональных компонент п-угольника 178
Глава 11. Комплексные компоненты п-угольника	.	4	4	а	»	а	180
§ 1.	г^-п-угольники, правильные п-угольники	.	*	s	s	а	а	180
§ 2.	Случай поля комплексных чисел > 4	4 s %	«	183
§ 3.	Комплексные компоненты п-угольника	а s а а	?	t	186
Глава 12. Вещественные компоненты п-угольника	.	,(	а	4	а	а	191
§ 1.	Симметрические циклические классы . .	.	s	.	.	«	а	191
§ 2.	Специальный тип циклических систем	уравнений	4	а	194
§ 3.	Аффинно-правильные п-угольники.........а	198
§ 4.	Три крайних случая булевых алгебр циклических
классов п-угольников............................	.	204
§ 5.	Вещественные компоненты п-угольника . . . . . а 206
Приложение I. Многочлены деления круга. Э. Шмидт а а а	213
§ 1.	Корни из единицы.............	4 4 , . s а а	213
§ 2.	Многочлены деления круга.............. . а а а а	215
§ 3.	Теорема Редей........................ . . . <	218
§ 4.	Многочлены деления круга над простыми конечными
полями . . . . ....................................	220
Приложение II. Структуры. Г. Киндер...........8 s 4 а 222
Список литературы ..............................г i « «	237
Обозначения.................................... . < . ?	239
Предметный указатель............  .	4 . 4 4 4 . . 4 . . «	241
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформле-
нии, качестве перевода и другие просим присылать по
адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер.,
д. 2, издательство «Мир».
Ф. Бахман, Э. Шмидт
л-угольники
Редактор Н. И. Плужникова
Художник А. В. Шипов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Е. С. Потапенкова
- Корректор К. Л, Водяницкая
Сдано в набор 17/Х 1972 г. Подписано к печати
14/Ш 1973 г. Бумага Ха 2 84ХЮ8,/З2=3,88 бум. л.
Усл. печ. л. 13,02. Уч.-изд. л. 11,12. Изд. Ха 1/6784.
Цена 77 коп. Заказ № 583.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Набрано и сматрицировано
в ордена Трудового Красного Знамени
Первой Образцовой типографии
имени А. А. Жданова «Союзполиграфпрома»
при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли
Москва, М-54, Валовая, 28
Отпечатано в ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградской типографии № 2
имени Евгении Соколовой «Союзполиграфпрома»
при Государственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли
г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29
77 коп.
В популярной серии
«СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА»
вышли а свет следующие книги:
беккенбах э., беллман р. Введение в не-
равенства
оре о. Графы и их применение
нивен а. Числа рациональные и ирра-
циональные
неванлинна р. Пространство, время и
относительность
стинрод н., чинн у. Первые понятия то-
пологии
линдон р. Заметки по логике
мостеллер ф., рурке р„ томас дж. Вероят-
ность
шоке г. Геометрия
хартсхорн р. Основы проективной гео-
метрии
кац м., улам с. Математика и логика.
Ретроспектива и перспективы
гроссман и., магнус в, Группы и их
графы
милнор дж., уоллес а. Дифференциаль-
ная топология (начальный курс)
ЭББИНХАУЗ Г.-Д., ЯКОБС К., MAH Ф.-К.,
хермес г. Машины Тьюринга и рекур-
сивные функции