/
Текст
THE
QUANTUM THEORY
OF
RADIATION
by
W. HEITLER
Professor of Theoretical Physics
in the University of Zurich
Third edition
Oxford
AT THE CLARENDON PRESS
1954
В. ГАЙТЛЕР
КВАНТОВАЯ
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Перевод с третьего английского издания
Лсд редакцией и с предисловием
академика Н. Н. БОГОЛЮБОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 195S
Редакция литературы по вопросам физических нау
Заведующий редакцией проф. А А СОКОЛОВ
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Книга Гайтлера, перевод первого издания которой был выпущен
у нас в 1940 г., хорошо известна советскому читателю. Они была
первой в мировой литературе книгой, специально посвященной кван-
квантовой электродинамике, и в течение ряда лет служила учебником
для всех изучающих этот круг вопросов. Книга посвящена систе-
систематическому рассмотрению эффектов, обусловленных взаимодействием
заряженных частиц с полем излучения. Эта основная цель определила
и основные особенности книги. Главное внимание автора обращено
на получение конкретных результатов, как правило, доводимых
до числовых значений, которые сейчас же тщательно сопоста-
сопоставляются с экспериментальными данными. Вопросы общего характера
играют в книге несколько подчиненную роль и рассматриваются
лишь постольку, поскольку это необходимо для приложений. Именно
этим отличается „Квантовая теория излучения" от других весьма
Ценных книг по этому вопросу, появившихся в последние годы.
Особенно следует отметить ясный и доступный характер изло-
изложения. Это делает книгу превосходным справочным пособием для
экспериментаторов.
Со времени выхода первого издания книги Гайтлера (второе
издание, сравнительно мало отличающееся от первого, у нас не
переводилось) аппарат квантовой электродинамики был значительно
усовершенствован, что дало возможность изучить ряд эффектов,
теоретическое рассмотрение которых ранее считалось невозможным.
Автору удалось отразить в книге основные новые методы и главные
достигнутые результаты, не увеличивая чрезмерно ее объема и
сохранив обший характер и стиль изложения. Изложению новых
идей посвящена специальная гл. 6, в которой в рамках обычной
теории возмущений развита современная теория радиационных попра-
поправок на основе матрицы рассеяния.
Вместе с* тем значительные изменения претерпели и другие
разделы книги. В гл. 2 включен специальный параграф, посвящен-
посвященный используемым в квантовой теории поля сингулярным функциям.
Существенно по-новому изложено квантование электромагнитного
поля: все рассмотрение ведется параллельно в двух калибровках —
кулоновской и лоренцовой, причем во втором случае используется
индефинитная метрика. В отличие от первого издания теория элек-
Предисловие редактора перевода
трона излагается на основе представления об электронно-позитрон-
ном поле. Кратко рассмотрен также и вопрос о позитронии. Выде-
Выделена специальная гл. 4 об общих методах решения уравнений кван-
квантовой электродинамики, содержащая, в частности, общую теорию
затухания.
Естественно, что автору пришлось полностью переписать параграф,
в котором резюмируется современное состояние теории и обсу-
обсуждаются возможные перспективы ее дальнейшего развития. В част»
ности, исключено содержащееся в первом издании сравнительно
подробное изложение теории Борна — Инфельда.
Изложение экспериментальных данных приведено в соответствие
с результатами, полученными к моменту выхода книги A953 г.).
Наконец, включен ряд приложений, содержащих более подробное
изложение некоторых затронутых в книге частных вопросов.
Таким образом, книга написана в значительной степени заново.
Однако следует отметить, что новая методика излагается лишь
в гл. 6 и используется только для расчета радиационных поправок,
расчеты же всех эффектов в первом неисчезающем приближении
(см.% гл. 5) ведутся старым методом. Кроме того, в соответствии
с общим планом книги в ней не рассмотрен ряд вопросов, суще-
существенных для общего построения квантовой, теории поля, но не
необходимых для расчета рассматриваемых Гайтлером конкретных,
эффектов* Отметим, наконец, что ряд новейших методов квантовой
теории поля (например, метод функции Грина) не мог быть включен
в книгу, ибо эти вопросы получили свое развитие в основном уже
после выхода книги в свет.
Таким образом, книгу Гайтлера нельзя рассматривать как учебник
по современной квантозой электродинамике. Она представляет собой
классический труд, содержащий весьма детальное рассмотрение
всех до сих пор наблюдавшихся эффектов и совершенно необходима
любэму теоретику или экспериментатору, соприкасающемуся с кван-
квантовой электродинамикой.
Академик #¦ Н. Боголюбов*
ПРЕДИСЛОВИЕ
К ТРЕТЬЕМУ АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Читатель, знакомый со вторым изданием этой книги, прежде
всего заметит существенное увеличение ее объема. Настолько,
и даже еще в большей степени, развилась за это время квантовая
теория излучения. Чтобы настоящий том не разросся до неразум-
неразумных пределов, мне пришлось ограничиться электродинамикой элек-
электронов и позитронов, не затрагивая ни электродинамики мезонов
и нуклонов, ни всей ядерной физики, исключив даже вопрос о сверх-
сверхтонкой структуре.
Книга в некоторых частях неизбежно стала „труднее*, однако
в разделах, трактующих более элементарные вопросы (на которых
полностью основывается дальнейшее построение более углубленной
теории), я пытался сохранить стиль первого издания. Эти разделы
составляют^ достаточную теоретическую основу для понимания
большинства приложений, изложенных в гл. 5 и 7, В тех же
целях был добавлен специальный параграф „Элементарная теория
возмущений". Читатель, интересующийся в основном приложениями
теории, найдет в конце введения схему, которая проведет его
через книгу, не завлекая в лабиринты теоретических трудностей.
Чтобы не прерывать излишне основной линии аргументации,
Цекоторые теоретические детали отнесены в приложения. При раз-
развитии математических методов требования элегантности отставлялись
«а второй план, если это представлялось целесообразным в интере-
интересах точности и ясности изложения.
Упоминаемые в книге эксперименты отобраны более или менее
Случайно и лишь в целях проверки узловых пунктов теории. При
этом не имелось э виду достигнуть какой-либо степени полноты,
Я весьма обязан своим многочисленным помощникам—Дж. Мак-
Конеллу (J. McConnell), критически прочитавшему большую часть
новых теоретических параграфов, Г. Веффлеру (Н. Waffler), собрав-
рему и критически просмотревшему экспериментальную литературуг
8 Предисловие к третьему английскому изданию
К. Блейлеру (К. Bleuler) за помощь и существенные упрощения
в построении § 10 и 16, Е. Арну (Е. Arnous), С. Цинау (S. Zie-
nau) за помощь и советы при составлении § 15, 16 и 34, послед-
последнему также за помощь при чтении корректур, а моей жене за
различные стилистические исправления и, наконец, многочисленным
коллегам, указавшим на отдельные дефекты BtopoFo издания или
подсказавшим мне пути для улучшения. Я сожалею, что не могу
упомянуть здесь каждого из них.
В. Г.
Цюрих,
август, 1953.
ВВЕДЕНИЕ
После первоначального успеха — трудности или ограничения при-
применимости; таков обычный удел хорошей физической теории. В
конце концов ее вытесняет лучшая теория, в которой устранены
некоторые трудности или, как может случиться, которая обладает
большей областью применимости. История квантовой теории излу-
излучения, или квантовой электродинамики, примечательна в том отно-
отношении, что в ней проявляется прямо противоположная тенденция.
По мере того как шло время, теория в своем прежнем виде стано-
эилась все более и более корректной. Когда вскоре после завершен
адя построения нерелятивистской квантовой механики Дирак, Гай-
зенберг и Паули основали квантовую электродинамику, почти немед-
немедленно возникли серьезнейшие трудности, и самую идею о том, что
-$f о правильная физическая теория, едва ли можно было поддерживать.
З.ти трудности состояли не только в старой проблеме расходящейся
собственной энергии точечной заряженной частицы, теперь еще
усугубленной дополнительной поперечной собственной энергией, но
и в том, что ответом почти на любой физический вопрос, если только
Желали получить точный ответ, а не одно лишь первое приближе-
приближение, был „расходящийся интеграл".
Однако в качестве первого шага в развитии теории оказалось»
что она приводит к хорошим, превосходно согласующимся с экспери-
экспериментом результатам, если только ограничить вычисления первым при-
приближением и взаимодействие между электроном и излучением считать
слабым. Это первое приближение, как было показано, находится
в близком соответствии с классической теорией. В то же самое
время открытие положительного электронапоставило релятивистскую
квантовую механику, которую едва ли можно отделить от теории
^излучения, на прочный фундамент.
Более того, проведенный Бором и Розенфельдом глубокий анализ
вопроса об измерении напряженностей полей ясно показал, что
по крайней мере квантовая электродинамика вакуума должна быть
аиильной. Вместе с механикой частиц она образует единое после-
последовательное целое, из которого нельзя выкинуть ни одного из
положений этих двух теорий.
. Одно время казалось, что даже в первом приближении теория
становится несправедливой, если энергии рассматриваемых частиц
10 Введение
и фотонов очень велики. Открытие каскадных ливней показало,
однако, что это не так и что никаких ограничений применимости
теории со стороны высоких энергий по существу не было.
В качестве второго шага удалось извлечь из теории новые
чрезвычайно полезные еыюды — оказалось возможным последоза-
тельно рассмотреть вопрос о ширине линий, а позже и другие
явления, в которых существенно затухание. Это уже выходит за
пределы „первого приближения*, но также чреззычайно тесно связано
с классической теорией и соответствует эффектам, обусловленным
действием лоренцовой силы лучистого трения.
Сейчас осуществляется следующий и несомненно последний
мыслимый шаг в этом развитии, близкий к окончательному реше-
решению. Разумная трактозка высших приближений оказалась возможной
только тогда, когда было осознано, что все встр^чакзжнер^ в теории
бесконечности происходят от малого количества ненаблюдаемых
расходящихся величин — от той части массы и заряда частицы, кото-
которая обусловлена ее взаимодействием с квантовым полем. Они должны
быть включены в наблюдаемые конечные значения этих величин.
Если мы позволим себе не замечать, что эти добавки к массе и
заряду бесконечны и потому не поддаются свободному от математи-
математических возражений рассмотрению, то на пути к недвусмысленному
ответу на любой физически законный вопрос больше не останется
препятстзий. Исключительным успехом этой последней фазы теории
язляется количественное вычисление радиационного сдвига атомных
уровней энергии и дополнительного к обычному магнетону магнит-
магнитного момента электрона. Эти два эффекта относятся к числу
наиболее точных существующих сейчас подтверждений теории.
Поэтому предстазляется, что теория в том виде, в каком она
сейчас существует, должна быть удивительно близкой к оконча-
окончательному решению проблемы, однако правильной она быть не может,
поскольку математическая процедура, используемая для извлечения
результатов из теории, совершенно неприемлема. Можно представить
себе два созершенно различных направления для дальнейшего раз-
развития: 1) может оказаться, что существующая теория обладает
точными решениями и созременные трудности представляют собой
скорее результат непозволительных математических разложений;
2) возможно, что теория вообще не имеет решений в математиче-
математическом смысле этого слоза и требует глубоких изменений основных
физических представлений. Последние, можно надеяться, приведут
к тому, что мы лучше поймем элементарный заряд е, который свя-
связан с другими универсальными постоянными й и с постоянной тонкой
структуры, а также массы так назызаемых элементарных частиц.
Даже если бы оказалось, что справедлива первая возможность, надо
надеяться на дальнейшее развитие и во втором направлении. Однако
что бы ни выяснилось в дальнейшем, не может быть сомнения в том,
что современная теория, включая и несколько сомнительную матема-
Введение
И
тическую процедуру, которой приходится при этом пользоваться,
будет реабилитирована и в конце концов вьщлывет снова как пре-
превосходный приближенный метод, точность которого оставляет желать
немногого.
Логическая связь между параграфами
Воспроизведенная здесь схема показывает зависимость (имеются
в виду только соображения последовательного развития теории)
каждого параграфа от предыдущих. Например, чтобы понять § 12,
«Мтатель должен ознакомиться с гл. 1 и с § 7, 8, 10, а также
? §11. Обозначение V(—20) означает гл. 5, исключая^ § 20;
13.1,2 означает § 13, п. 1 и 2. Левая линия является плинией
элементарного понимания* — простейший путь, приводящий к основ-
основным приложениям, изложенным в гл. 5 и 7. Правая линия, приводя-
приводящая к гл. 6, является линией более углубленной теории. Средняя
линия специально относится к явлению собственной ширины линий.
Схема призвана дать лишь некоторые общие указания, и ее не еле»
дует принимать слишком буквально.
Глава 1
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 1. Общая теория Максвелла — Лоренца
1. Уравнения поля. Классическая теория излучения основана
ва максвелловской теории электромагнитного поля. Двумя основными
величинами, описывающими электромагнитное поле, являются напря-
напряженности электрического и магнитного полей Е и Н. Обе эти
Штряженности являются функциями координат и времени. Чтобы
Описать электрическое состояние вещества, надо наряду с полями
ввести еще две функции места и времени — плотность заряда р
ft Плотность тока 1. Если скорость заряда в некоторой заданной точке
Ш заданный момент времени есть v, то плотность тока равна
i = PV. A.1)
Для заданного распределения зарядов и токов поле определяется
уравнениями Максвелла — Лоренца
H 0, A.2а)
H 0,
divH = 0, A.26)
rotH — i-E-^pv, A.2в)
|точки означают дифференцирование по времени t).
Из этих уравнений легко вывести, что заряд и ток удовлетво-
удовлетворяют уравнению непрерывности (сохранения заряда)
div(pv)+P = O. (!.3)
С другой стороны, движение зарядов в заданном _поле опреде-
определяется уравнением Лоренца
k=P(E + l[vH]), A.4)
к — плотность силы, действующей на плотность заряда р.
электромагнитная сила находится в равновесии
>ая задается распределением масс зарядов.
ля тотечного заряда е (элементарной частицы) в уравне-
A.2) и A.4) надо перейти к случаю, когда р сконцентрировано
Н Гл. U Классическая теория излучения
в бесконечно малом объеме. Уравнение Лоренца A.4) можно тогда
проинтегрировать по этому объему и получить полную силу, дей-
действующую на частицу,
() A.5)
Силу К следует приравнять силе инерции, что в нерелятивистской
динамике приведет к соотношению
K=^(mv), A.6)
где m — инертная масса частицы.
Поле, которое нужно подставлять в уравнения Лоренца A.4)
или A.5), представляет собой как_внешнее поле, создаваемое другими
зарядами (конденсаторами, магнитами и т. д.), так и поле, созда-
создаваемое са_мим точечным _заряд,ом_. Это собственное поле будет, сле-
следовательно, также влиять на движение частицы. Обратное действие
собственного поля (реакция излучения), вообще говоря, мало, так
что в первом приближении мы можем подставлять в A.5) лишь
внешнее поле. Теория реакции излучения будет подробно разобрана
в этой книге. Она связана также и с некоторыми, до сих пор не
решенными, проблемами, например проблемой инертной массы
частицы.
2. Потенциалы. Уравнения поля A.2) можно свести к более
простым уравнениям, связывающим только одну векторную и одну
скалярную функцию вместо двух векторных. Из уравнения A.26)
следует, что Н всегда можко представить в виде ротооа некото-
некоторого другого вектора А, который мы назовем векторным потен-
потенциалом:
H = rotA. A.7а)
Тогда A.2а) примет вид
rot I
или
~A = — gradcp, A.76)
С
где ср представляет собой скалярную функцию, которую мы назовем
скалярным потенциалом. Тогда два других уравнения A.2в) и A.2г)
преобразуются в два дифференциальных уравнения для этих потен-
потенциалов. Воспользовавшись общим векторным соотношением
rot rot = grad div — V3,
§ 1. Общая теория Максвелла — Лоренца 15
они могут быть написаны в виде
^)=i^pv, A.8а)
_ узср — — div A = 4тгр. A.86)
с
Вектор А не определяется магнитным полем Н полностью.
Поскольку rotgradx = 0 для любой скалярной функции х> Т<> можно
добавить к А градиент произвольной функции х- Однако, со-
согласно A.76), мы должны заменить ср на <p + O/c)Z» если мы заме~
нили А на А — grad^ и хотим, чтобы электрическое поле Е при
этом не изменилось. Эту свободу в выборе потенциалов можно
использовать, чтобы упростить уравнения поля A.8). Если Ао и ср0
означают некоторые возможные значения потенциалов А и <р, то мы
определим % из уравнения
i ?0. A.9)
Если положить теперь
А = А0—
то мы получим
+ ? 0. A.10)
Равенство A.10) представляет собой соотношение между потенциа-
потенциалами и называется условием Лоренца. Уравнения поля (\.8) прини-
принимает теперь простую форму
^ ^pv A.11a)
-?— V?c? = 4*p. A.116)
Таким образом, А и eg удовлетворяют неоднородным волновым
уравнениям. Друг с другом они связаны только условием Ло-
Лоренца A.10). ' "
Но и теперь А и ср все еще не определяются полностью напря-
женностями полей Е и Н. Действительно, функция ^ ограничена
лишь требованием удовлетворения уравнению A.9). Поэтому мы еще
сохраняем свободу выбрать произвольную х» удовлетворяющую
[Однородному волновому уравнению
i A.12)
16 Гл. 1. Классическая теория излучения
Если мы заменим А на А — grad^ и у на у + (хЛО» то как напря-
напряженности полей, так и условие Лорецца A.10) останутся неизмен-
неизменными.
Различные способы, которыми можно выбрать А и у, оставляя Е
и Н неизмененными, называют различными
Ё Г
аинвариантность Ё и Н относительнсГтаких преобразований — гра-
5^^^^^^^^^^^^^^^^^^ШШ. Специальный класс
калибровки, когда выполняетпся^^ШяеППГГГО), мы будем называть
лоренцовой калибровкой. Другой важный способ калибровки, осо-
особенно удобный именно в квантовой теории, называется кулоновской
калибровкой и определяется условием
divA = 0. A.13а)
Эта калибровка приводит [в силу A.8)] к уравнениям поля
| = ^pv, A.136)
второе из которых является просто уравнением Пуассона. Поэтому
скалярный потенциал определяется из распределения зарядов так же,
цсак ерлд 6fr* ВГР* ОНИ РР^ОШШУЬ (ртсюля и происходит название куло-
новская калибровка). Эта калибровка будет рассмотрена более под-
подробно в § б и в последующих главах.
3. Запаздывающие потенциалы. Общее решение волновых ура-
уравнений A.11) легко сразу выписать. Как хорошо, известно, «адшдж
рефение уравнения Пуассона V2y = — 4тгр представляется ньютонов-
ньютоновским потенциалом
где интегрирование предполагается выполненным по всему простран-
пространству; грр1 означает расстояние между точкой интегрирования Рг и
точкой Р, в которой имеется потенциал ср. С помощью этого реше-
решения легко найги также и частное решение зависящего от времени
уравнения Пуассона A.116):
A.14a)
Это выражение имеет следующий смысл. Если мы хотим найти
потенциал в точке Р в момент времени t9 мы должны использовать
при интегрировании вкаждой точке Рг такое значение плотности
заряда, 'которое было в этой точке в прошлый момент времени
t — (rppr/c). Поэтому в каждой точке пространства мы должны брать
при интегрировании значение плотности в различные моменты вре-
§ U Общая теория Максвелла — Лоренца 17
цени; (fpp'/c) является тем временем, которое требуется свету,
Зтобы дойти от точки Рг до точки Р, в которой рассматривается
значение потенциала. Поэтому A.14а) принимает во внимание конеч-
конечную скорость с распространения электромагнитного поля.
Таким же' способом мы получаем частное решение уравнения
A,11а):
4 f ' AЛ4б)
-Потенциалы A.14) называются запаздывающими потенциалами.
Условие Лоренца A.10) удовлетворяется решением A.14) в силу
закона сохранения заряда, что легко проверить вычислением.
Выражения П. 14^ являются частным решением уравнений поля;
рни дают то поле, которое возникает только от рассматриваемых!
зарядов. Чтобы получить общее решение, надо прибавить к нему'
общее решение однородных волновых уравнений
1a=:0,
jff? = 0f A.15)
представляющее поле в свободном пространстве.
_Для этой части поля, удовлетворяющей свободным волновым
уравнениям П.1Ы. можно в соответствии с A.12) выбрать в пре-
пределах лоренцовой калибровки функцию утаким образом,чтобы
скалярный потенциал ср обратился в нуль. Поэтому не* зависящая
от зарядов часть поля определяется просто уравнениями
VaA —4-A = 0, divA = 0,
A.150
Е = —~А, H = rotA.
Общее решение (\A5f) о_бразуется суперпозицией поперечных волн
(см. § 6).
Запаздывающие потенциалы A.14) будут вычислены в § 3 дл
случай произвольным образом движущегося точечного заряда и при
менены затем к задачам излучения света и т. д.
4. Баланс энергии и импульса. В теории Максвелла прини-
принимается, что какой-либо объем, поле в котором отлично от нуля,
вносит определенный вклад в энергию и импульс. Энергия заданного
объема задается интегралом
^^г. A.16)
18 Гл. U Классическая теория излучения
Что касается плотности импульса, то принимается, что она равна
энергии, деленной на с2, проходящей через единичную поверхность
в единицу времени. Последняя задается вектором Пойнтинга S.
При обсуждении всех вопросов, связанных с излучением высокой
энергии, удобно вводить величину с X импульс, обладающую раз-
размерностью энергии. Поэтому в данной книге мы будем называть
эту последнюю величину как для частиц, так и для излучения
просто „импульсом".
В соответствии с этим определением импульс поля, заключенного
в некотором объеме, будет задаваться выражением
T. A.160
Допущения A.16) и A.160 подсказываются рассмотрением баланса
энергии и импульса для зарядов, распределенных в поле. Совпадение
импульса и потока энергии следует из этого рассмотрения. В самом
деле, если принять допущения A-16) и A.160, то легко доказать
закон сохранения энергии и импульса.
Формулы A.4) и A.5) дают для полной силы, действующей на
заключенный в некотором объеме заряд, выражение
Поскольку К должна совпадать с силой инерции, то, следовательно,
она представляет изменение механического момента и заряда за
единицу времени
Более того, изменение кинетической энергии заряда Т дается соот-
соотношением
gJ A.18)
где к — плотность силы A.4). Подставляя р и pv из уравнений Макс-
Максвелла A.2в), A.2г), получаем
)' AЛ9а)
С помощью A.2а) последние члены в этих формулах можно записать
также в виде
—c(HrotE).
§ /. Общая теория Максвелла — Лоренца 19
В соответствии с определениями A.16) и A.16') уравнения A.19) дают
^^„^1+* f(EdivE — [HrotHJ — [ErotE])rfT, A.20a)
dt dt ' 4tc J
^==_^ + J^J(ErotH — HrotE)tfT. A.206)
Объемные интегралы в правых частях можно преобразовать в поверх-
поверхностные. Применяя формулу Гаусса в A.206), сразу получаем
-— J (E rot Н — Н rot E) dz = — J div S dz = — | Sn do,
где индекс п означает компоненту, нормальную к поверхности рас-
рассматриваемого объема. Для преобразования уравнения A.20а) опре-
определим тензор, составленный из членов, квадратичных по напряжен-
ностям поля, тензор Максвелла:
дг-составляющая дивергенции этого тензора есть как раз
дх х ду ' dz
= ^(Ex*divE-+Hxd\vH — [HrotHJ— [E rot E]x),
где благодаря A.26) второй член обращается в нуль.
Поэтому интеграл в правой части лг-компоненты уравнения A.20а)
можно переписать (формула Гаусса справедлива и для дивергенции
тензора) как
Тем самым уравнения A.20) принимают вид
d Uxdt X = с | Тхп d°> О.22а)
Левая часть A.22) описывает изменение энергии и импульса заря-
заряженных частиц и поля, заключенных в некотором объеме; в правой
части стоят интегралы от нормальных составляющих по поверхности
рассматриваемого объема. Поэтому Sn и — Тхп надо интерпретиро-
интерпретировать следующим образом: Sn является энергией поля, проходящей
(в^ направлении из объема наружу) через единицу площади поверх-
поверхности в единицу времени; — Тхп представляет собой х-составляющую
2*
20 Гл. 1. Классическая теория излучения
импульса поля, проходящую через единицу площади поверхности
в единицу времени. Поэтому уравнения A.22) описывают полный
баланс, выражающий сохранение энергии и импульса в поле.
§ 2. Релятивистская инвариантность, импульс
и энергия поля
1. Преобразования Лоренца. Уравнения классической электро-
электродинамики инвариантны относительно преобразований Лоренца.
Преобразованием Лоренца называется ортогональное преобразо-
преобразование четырех пространственно-временных координат:
Х±, Л?2, Хд9 Х± = ICt.
Мы будем использовать для индексов, пробегающих значения от 1
до 4, греческие буквы, а для индексов, пробегающих значения от 1
до 3, — латинские буквы. Тогда преобразование Лоренца можно
записать следующим образом:
Хр = 2 а^х>> или хч = 2 «и^» B-1)
где а^ образуют четырехмерную ортогональную матрицу (несмотря
на то, что некоторые элементы комплексны):
чг, ^ [1, если v = X
Zi я^х = 2j а^а^ = °vx = L , i B.2)
jjl p. 10, если v_=p Л
и, если в число преобразований не включены отражения, детерминант
|в,„|=1. B.20
В общем случае B.1) представляет пространственное вращение и
переход к равномерно и прямолинейно движущейся системе коор-
координат. Специальное преобразование, затрагивающее только хх и лс4
и означающее переход к системе, движущейся вдоль оси х со ско-
скоростью v = |3с, записывается соотношениями
' хг +
JCi , , Хл1СТ . (Z.o)
V^l — pa /l —§2 /1 —?2 с У1 — рз v '
Для v <^ с отсюда получается преобразование Галилея xfL = x1 — vt
и t' = t.
Совокупность четырех величин А^ (\ь = 1, . . ., 4), преобразую-
преобразующихся так же, как и х^ называется 4-вектором:
41==2fliwA>. B-4)
V
Аналогично, тензор А^ определяется законом преобразования
pa
gr 2. Релятивистская инвариантность» импульс и энергия поля 21
Из {2-4) и из соотношений ортогональности B.2) следует, что ска-
скалярное произведение двух векторов инвариантно, скалярное произ-
произведение вектора и тензора является вектором и т. д. Итак,
2 ДА = Инв., 2 A-Bv = Сг B.6)
Поэтому инвариантной является также и длина вектора
2 4= Инв. B.6')
Если ср — инвариантная функция xv ..., х4, то из B.1) видно, что
*- <2'7)
Поэтому B,j. также является 4-вектором. Производная от 4-вектора
образует тензор
д
поэтому символ -а— можно рассматривать как jx-составляющую
4-вектора. Символ
является инвариантом. Из B.6) следует, если мы положим An =-5— ,
OX^i.
что четырехмерная дивергенция вектора является инвариантом, а
дивергенция тензора — вектором:
Четырехмерный элемент объема
dxx dx2 dxz dx± = Инв. B.11)
в силу B.2) также является инвариантом, в то время как для трех-
трехмерного элемента объема это не имеет места.
Согласно B.6')» длина бесконечно малого вектора dx^ который
можно рассматривать как смещение частицы, инвариантна:
Разделив последнее уравнение иа dt*t получим
22 Гл. L Классическая теория излучения
Поэтому мы можем определить инвариантный элемент времени
ds = cdtVT^\ B.12)
который называют элементом „собственного времени". Производная
от вектора по 5 снова является вектором и т. д.
2. Инвариантность уравнений Максвелла. Инвариантность урав-
уравнений Максвелла — Лоренца по отношению к преобразованиям
Лоренца будет доказана, если нам удастся переписать их в кова-
риантной форме, т. е. в виде соотношений между 4-векторами и
тензорами. Ключ к четырехмерной интерпретации этих уравнений
получается из следующего рассмотрения:
Из опыта следует, что электрический заряд инвариантен. За-
Заключенный в объеме dxxdx2dxz элемент заряда равен
de = р dxx dx2 dxs = Инв. B.13)
Поскольку четырехмерный элемент объема B.11) инвариантен, то
плотность заряда р в B.13) должна обладать трансформационными
свойствами четвертой компоненты 4-вектору Поэтому мы положим
tcp = /4.
Далее, ^-составляющая плотности тока равна
dx* . dxx
Р = *
Поскольку 1± преобразуется так же, как и dxv то ix должна пре-
преобразовываться, как dxv и быть поэтому первой компонентой 4-век-
тора. Поэтому плотности заряда и тока образуют совместно 4-вектор
pvx = iv /ср = /4. B.14)
Обратимся теперь к уравнениям A.11) для потенциалов. В левой
части обоих этих уравнений стоит оператор ,-^ — V2, являю-
являющийся в силу B.9) инвариантным. В правых же частях первого
и второго уравнений B.11) стоят как раз соответственно три пер-
первые и четвертая компоненты вектора заряда-тока B.14). Поэтому
скалярный и векторный потенциалы также должны образовывать
совместно один 4-вектор
Ах = Аг, Л4 = *ср. B.15)
Условие divAH—ср = 0 лоренцовой калибровки можно записать как
с
четырехмерную дивергенцию
' 1tL = 0- B-16)
§ 2. Релятивистская инвариантность, импульс и энергия поля 23
Тем самым уравнения поля A.11) для потенциалов в лоренцовой
калибровке принимают форму
= —y-v B.160
В противоположность лоренцовой калибровке, условие кулоновской
калибровки (divA = 0) не ковариантно, в равной степени не кова-
риантны в этом случае и уравнения поля A.136) и A.1 Зв). _Куло-
црвскую калибровку можно сохранить после преобразования Лоренца.
только если выполнить одновременно еще и соответствующее гра-
градиентное преобразование потенциалов.^
Напряженности поля получаются из потенциалов дифференциро-
дифференцированием. Если использовать четырехмерные обозначения B.15), то
из A.7а) и A.76) получается
;р __ А А ' д*- —• дАх дА*
С Х ДлдХ ллдХ* ^' B.17)
г, . дА% дА2
дА
Согласно B.8), производная -т—L, а следовательно, и разность
дА» дА„
является тензором. Он антисимметричен. Итак, напряженности
полей Е и Н образуют вместе один антисимметричный 4-тензор
Hx — fw Hy^fzv Hg = fi2> ^Ex=f4V... B.18)
Общие трансформационные формулы дают нам правила для пре-
преобразования напряженностей полей при переходе в движущуюся
систему координат. Если рассмотреть случай равномерного движе-
движения вдоль по оси х, то, используя B.3), B.5) и B.18), получим
1х ==: **х>
<2Л9>
В формулах B.19) надо считать, что Е и Н являются функциями
четырех координат х^, в то время как Е7 и Н/ следует рассмат-
рассматривать как функции преобразованных координат х\ причем значе-
значениями х', которые следует подставлять в левые части уравне-
уравнений B.19), являются те, которые получаются из фигурирующих
в правой части значений х^ с помощью преобразования B.3).
_ _^ Гл. L Классическая теория излучения
1 еперь можно легко переписать уравнения Максвелла — Лоренца
в векторно-тензорную форму. Рассмотрим сначала два неоднородных
уравнения A.2в) и A.2г):
div Е = 4™, rot Н — — Ё = — pv.
с с
С помощью четырехмерных обозначений B.14) и B.18) эти два
уравнения записываются в виде одного
2^-тЧ О-' «>• B.20а)
V
Вторую пару уравнений Максвелла составляют однородные урав-
уравнения A.2а) и A.26)
divH = 0, rotE + ~H = 0.
с
В четырехмерных обозначениях B.18) они дают соответственно
d/12 __ q
дх1 "г" дх2 ""•" дх3
дхг
и т. д. Величина -^===^v образует тензор третьего ранга.
Рассмотрение формул преобразования B.1) показывает, что то же
справедливо и для суммы *х^Н~^~М^в Поэтому четыре урав-
уравнения B.21) можно записать как одно тензорное уравнение
V ~Ь W + ^ = О, V> = - ^Xv = ^. B.206)
Тем самым мы доказали инвариантность уравнений Максвелла —
Лоренца относительно преобразований Лоренца.
3. Сила Лоренца. Импульс и энергия частицы. Чтобы закон-
закончить доказательство инвариантности полной системы уравнений клас-
классической электродинамики, нам надо еще написать в четырехмерном
виде формулу для силы Лоренца, т. е. формулу A.4/
B.22;
где к плотность силы. Но правая часть здесь просто скаляр-
скалярное произведение вектора и тензора, именно 2/<Л ^ = lj 2> 3)'
Поэтому плотность силы должна быть пространственной частые
4-вектора и мы можем записать B.22) как
§ 2. Релятивистская инвариантность, импульс и энергия поля 25
выписанное выражение представляет собой три первых компоненты
Й-вектора. Естественно определить &4 как четвертую компоненту
итого же вектора. Получаем
B.24)
Следовательно, &4 представляет собой работу, совершаемую полем
*шд зарядами единицы объема в единицу времени.
Если мы подставим для вектора заряда-тока /^ его значение из
первого уравнения Максвелла B.20а), то выражения B.23) и B.24)
примут вид
B.25)
— х V
v, X
дхх •
Правую часть этого соотношения можно записать также и как четы-
четырехмерную дивергенцию некоторого тензора. Для этой цели мы
Определим симметричный тензор
где 8 ^
1де V—
X, р
(8 v является тензором в силу ортогональности преобразований Ло-
ренца). Тогда, если воспользоваться B.20а), правая часть соотноше-
соотношения B.25) становится просто равной
k,-S
B.27)
Физический смысл этого тензора станет ясным, если расписать его
в трехмерных обозначениях. Подставляя значения /^ из B.18),.
Получаем следующую схему:
1 ху
1 УУ
т JL(
* гг.* _ v
Tyz ~TS
т L
1 zz r
B.28)
Пространственно-временная часть этого тензора представляет собой
поток энергии S, а чисто временная часть—плотность энергии гг.
Чисто же пространственная часть совпадает с введенным в A.21)
тензором Максвелла и представляет cj6oe поток импульса. Мы
будем называть B.28) тензором энергии-импульса. Его след 2 ^^
26 Гл. L Классическая теория излучения
обращается в нуль
2Г№ = 0. B.28')
Уравнение B.27) идентично с выражавшими баланс энергии и
импульса уравнениями A.22). Чтобы показать это, достаточно вы-
выписать отдельно производные по пространству и по времени,
например
ic at
Интегрируя по всему пространству, находим
==**. B.29а)
что действительно совпадает с A.22а). Точно так же четвертая
компонента k± соотношения B.27) в соответствии с B.24) дает
fldo —^, B.296)
что совпадает с уравнением A.226) баланса энергии.
Если мы проинтегрируем B.27) по четырехмерному объему,
который является инвариантом, то получим другой чрезвычайно важ-
важный 4-вектор — вектор и^ энергии и импульса всего заряда1). Если
заряд сконцентрирован в малом объеме и прбстранственное интег-
интегрирование распространено по всему этому объему, то можно будет
думать о заряде, по которому выполнялось интегрирование, как
о „частице" и говорить просто об энергии и импульсе частицы.
Левая часть уравнения B.27) дает тогда
с Г kxd~dt = c Г Kxdt = ax = uv
J J B.30)
с j k±dzdt=-i J p(Ev)dzdt = iT,
т. е. импульс u и (умноженную на /) кинетическую энергию Т ча-
частицы. Поэтому они также образуют вместе 4-вектор. Тем самым
мы получаем формулы для преобразования кинетической энергии и
импульса частицы:
1) Следует заметить, что трактовка Гайтлером вопроса оо энергии и им-
импульсе, особенно энергии и импульсе поля (см. ниже п. 4), несколько отли-
отличается от общепринятой [8, 9]. Мы не сочли, однако, возможным вступать
по этому поводу в примечаниях в дискуссию с автором, тем более, что
практически используемые в дальнейшем результаты [например, выраже-
выражения B.43)—B.45) для энергии и импульса поперечного поля] не отличаются
от обычных. — Прим. ред.
§ 2. Релятивистская инвариантность, импульс и энергия поля 27
Длина вектора а^ должна быть инвариантом
-2 «* = T2- D + 4 + «*) = 1Л B.32)
Ючевидно, что этот инвариант |х представляет собой энергию по-
покоящейся частицы (их = иу = иг = 0).
Поэтому, если предположить, что в одной из систем координат
частица находится в покое, то из B.32) получается зависимость
импульса и энергии частицы or ее скорости
B.33)
Это и есть знаменитые формулы Эйнштейна для энергии и импульса
движущейся частицы. Поскольку для v<^c импульс их должен
переходить в его классическое значение mvxcy то для энергии по-
покоя {1 получается выражение
у. = тс\ B.34)
Рассмотрим, наконец, релятивистское уравнение движения за-
заряженной частицы в заданном внешнем поле. Полная действую-
действующая на частицу сила равна
В нерелятивистской теории К надо было бы приравнять производ-
производной от импульса по времени. Как мы сейчас немедленно покажем,
релятивистская динамика получается, если приравнять К производ-
производной по времени от нашего 4-вектора и^, так что уравнением дви-
движения будет
х с dt dt у \ р \ х ' с ' ix) v '
В самом деле, уравнение B.35) можно переписать как четырехмер-
четырехмерное векторное уравнение. Разделив его правую часть на ]/l—J3'2,
получим в соответствии с B.18) и B.33)
Лев^я же часть окажется после такого деления производной по
собственному времени s B.12), которое является инвариантом.
Поэтому вместо B.35) можно написать
ds i
Уравнение B.36) представляет собой релятивистское уравнение для
Движения частицы в заданном внешнем поле.
28 Гл. U Классическая теория излучения
Четвертая компонента 4-вектора и^ представляет собой кине-
кинетическую энергию Т. Для частицы, движущейся во внешнем поле,,
можно рассмотреть также и полную энергию Е, т. е. сумму кине-
кинетической и потенциальной энергий. Потенциальная энергия равна
просто скалярному потенциалу ср, умноженному на заряд е.
Поскольку ср является четвертой компонентой 4-вектора, то
с_ полной энергией частицы также можн© связать некоторый 4-век-
B.37)
Итак, во внешнем поле с отличным от нуля векторным потен-
потенциалом А пространственные составляющие нашего 4-вектора и^ не
представляют полного импульса частицы, но лишь величину, которую
мы можем назвать кинетическим импульсом. Эта величина так же
относится к обычному импульсу, как „кинетическая энергия",—к пол-
полной энергии. В литературе величина их = рх — еАх (деленная на тс)
обычно называется 4-скоростью.
Пространственные компоненты рг представляют co6otf полный
импульс, который так же отличается от „кинетич^ско^^шдхль^а" Щ
на_векторный потенциал,., как Е отличается от Т на потенция л ьну ю
энергию eg». Если А = 0, то кинетический импульс и совпадает
с полным импульсом р.
Согласно B.32), вектор импульса-энергии pxi B.37) удовлетво-
удовлетворяет важному соотношению
V и2 _ V (р еАJ== а2. B.38)
4. Неэлектромагнитная природа инертной массы. Интегриро-
Интегрирование правой части уравнения B.27) по четырехмерному объему
также приводит нас к 4-вектору
:х . . . dx4. B.39)
С первого взгляда хотелось бы склониться к тому, чтобы назвать
этот 4-вектор вектором энергии-импульса поля. Однако такое обо-
обозначение, вообще говоря, не имело бы смысла. Выражение B.39)
состоит из двух частей. Разделяя производные по времени и по
пространству, мы, исходя из B.28), получаем для х- и ^-составляющих,
интегралы по времени от B.29):
{^xndS, B.40а)
10 / 2 "ef dXl dXl dxidt=+u + Sdt§ Snd°. B.406)
§ 2. Релятивистская инвариантность, импульс и энергия поля 29
Первые члены, U и G, действительно представляют здесь энергию
fl импульс поля, однако вторые представляют собой интегралы
tio времени от потоков энергии и импульса через поверхность. Эти
последние интегралы зависят, для некоторого заданного момента вре-
времени ty не только от поля в этот момент времени, но и от полей во
«се предыдущие времена. Но такую величину, зависящую от всей
предистории системы, конечно, нельзя называть энергией и импуль-
импульсом поля. С другой стороны, величины U и Gx, которые можно
*было бы с полным основанием интерпретировать как энергию и
импульс поля, не образуют 4-вектора, но являются частями 4-тен-
зора. Они ведут себя совсем не так, как соответствующие величины
для частицы. Поэтому, с точка зрения поведения энергии и ^мпул^са
такими же свойствами, как частица.
15"^ прежних теорий, которые
пытались выразить инертную массу электрона лишь через его электро-
электромагнитные свойства. Идея таких теорий, в основном принадлежащая
Абрагаму, состояла в следующем [ 1 ]. Допускалось, что электрон вообще
не обладает механической инертной массой. Однако он порождает
поле, которое обладает некоторым импульсом и энергией, и следо-
следовательно, определенной инерцией. Поэтому та инерция, которую мы
наблюдаем как массу при ускорении электрона, должна была цели-
целиком происходить от его поля. С релятивистской точки зрения ста-
становится ясным, что эта идея не могла быть правильной. Многочис-
Многочисленными экспериментами было показано, что и и Г для электрона
действительно ведут себя как составляющие 4-вектора (зависимость
инертной массы электрона от скорости)., Одня^п т^сл^риц^ пппр
^электрона имеет совершенно ДРУГОй,тцансФ0РМаиИ0ННЫЙ характер, что
привело бы к совершенно иной зависимости от скорости. Поэтому в клас-
классической теории мы не только должны приписать электрону механи-
механическую инертную массу, но должны также считать, что неверные
релятивистские свойства его поля каким-то образом компенсируются
(например, внутренними механическими натяжениями и т. д.), так
что электрон в целом ведет себя как частица. В квантовой теории
мы встретимся с той же самой проблемой, но увидим, однако
(см. § 29 и- приложение VII), что она примет несколько иную форму
и что собственное поле электрона действительно будет обладать в
некотором определенном смысле требуемыми корпускулярными свойст-
свойствами (хотя достигнутое пока решение проблемы не совсем удов-
удовлетворительно).
5, „Корпускулярные свойства" световых волн. Имеются,
однако, такие случаи, когда полная энергия и полный импульс поля
сами образуют -4-вектор. Это имеет, например, место для световой
волны любой формы и конечной протяженности. Мы докажем общую
теорему: Если поле отлично от нуля лишь внутри некоторого
30 Гл. 1. Классическая теория излучения
заданного конечного объема V и если внутри этого объема
отсутствуют заряды, то тогда полные энергия и импульс
поля образуют 4-вектор [1]. Поскольку в этом случае плотность
силы обращается в нуль, то мы получаем из B.27)
— = 0, 7jj.v = 0 на границах. B.41)
Чтобы доказать приведенное выше утверждение, рассмотрим сперва
произвольный вектор А^ который также удовлетворяет условиям
B.41), для которого
\ дЛ
^ = 0 и А, = 0 на границах.
Из примененной к четырехмерной дивергенции этого 4-вектора фор-
формулы Гаусса следует, что поверхностный интеграл от нормальной
составляющей вектора А, по поверхности четырехмерного объема
обращается в нуль. В качестве четырехмерного объема выберем
цилиндр, параллельный оси х4, основанием которого является рас-
рассматриваемый трехмерный объем. Будем
считать, что цилиндр ограничен сечениями
л:4 = const и л:4 = const, где х4 — время
в движущейся системе координат (фиг. 1;
координаты х.2 и хл на фигуре опущены).
Нормальными компонентами Ач на этих
двух сечениях будут соответственно ~А4
и +Л4, в то время как на стенках цилиндра
эта составляющая будет равна нулю» Фор-
Формула Гаусса даст тогда
Фиг. 1. Четырехмерное
J ^4rfx+J Л4 dz =0. B.42)
ырр С / /
интегрирование. —J ^4rfx+J Л4 dz =0. B.42
Итак, согласно B.42), интеграл от А^ по объему V инвариантен
Полагая теперь
где bH — произвольный постоянный вектор, получаем из инвариант-
инвариантности I Л4 d-z
di = и--составляющей 4-вектора. B.43)
I
Условие B.41), из которого следует B.43), будет выполнено для
любой пространственно ограниченной световой волны, про которую
можно считать что она была испущена некогда каким-либо источ-
источником света. В этом случае импульс G и энергия U поля образуют
§ 3. Поле точечного заряда и излучение света . 31
4-вектор G^, который ведет себя по отношению к преобразованиям
Лоренца как энергия и импульс частицы. В частности, для пере-
перехода к движущейся системе координат будут действовать формулы
В случае плоской волны Еу== a sin \ (— — А — Hz и длина вектора 0^
равна нулю. Поскольку содержащиеся в объеме V импульс и энер-
энергия равны
V - V
то
2 Ol = G% — U2 = 0. B.45)
Это обстоятельство можно выразить и так: энергия покоя плоской
волны равна нулю. Плоскую волну нельзя „оттрансформировать
к покою".
В общем случае, однако, уравнение B.45) не выполняется.^Сфе-
выполняется.^Сферическая световая впдня, цгпутрч,ня,я точечным источники^ (нгтпиниу
можно считать удаленным после испускания, света), о(жядя№-нулевым
импу льсом^^ью~конечной ^энедгией.
Ниже, в § 6, мы увидим, что каждое поле можно разложить на две
части — одну, получаемую суперпозицией световых волн, для кото-
рой поэтому энергия и импульс образуют 4-вектор, %и вторую»
содержащую статическое поле, для которой это не имеет места.
В квантовой теории только первая часть оказывается объектом кванто-
квантования, полагая начало существованию световых квантов, которые
также и в некоторых других отношениях ведут себя подобно части-
частицам; вторая, статическая часть по/ш_остается неквантованной.
§ 3. Поле точечного заряда и излучение света
Рассмотренная в § 1 общая теория Максвелла — Лоренца не-
немедленно дает нам выражение для поля, вызванного любым заданным
распределением зарядов. Для применения к атомной физике наиболее
важным является тот случай, когда создающий поле заряд — точеч-
точечный. Мы начнем поэтому с вычисления поля, создаваемого точечным
зарядом, который движется произвольным образом (оно понадобится
нам для многих целей). Затем мы применим полученные формулы
для простой модели источника света.
1. Потенциалы Вихерта. В общем случае поле зарядов,
распределенных с плотностью р дается (в лоренцовой калибровке)
32 • Гл. L Классическая теория излучения
выражениями A.14) для запаздывающих потенциалов:
C.1a)
Cлб)
где tr— запаздывающее (ретардированное) время для точки Рг.
Если заряды находятся в движении, то при выполнении перехода
к точечному заряду надлежит соблюдать осторожность. Например,
нельзя написать,вместо интеграла C.1а) просто
с
так как, поскольку мы должны подставлять в C.1) для каждой точки Р'
свое особое запаздывающее время, интеграл I р(Р', tf)dzr не будет
представлять собой полного заряда. Прежде чем выполнять переход
к точечному заряду, мы должны преобразовать интеграл C.1) в инте-
интеграл по элементам заряда de. Эту операцию можно выполнить сле-
следующим образом. Предположим, что элементы заряда жестко со-
соединены друг с другом и обладают в каждый момент времени f
все одной и той же скоростью v(O- Рассмотрим теперь сферический
слой толщины dr на расстоянии г от Р. Элемент объема этого слоя
будет равен dz = dsdr. Легко видеть, что соответствующим вкла-
вкладом в интеграл будет плотность заряда р (деленная на г), которую
встретит Аа своем пути сходящаяся сферическая световая волна,
если она имеет скорость с и придет в Р в момент t. Внешней
поверхности нашего слоя эта волна достигнет в момент V. За время
dt = —, в течение которого световая волна будет пересекать слой
толщины dr, некоторая доля заряда сможет протечь через внутрен-
внутреннюю поверхность слоя. Эта доля заряда (на единицу площади) составит
если направление вектора г выбрано вдоль линии РР'. Поэтому за
время dt световая волна „соберет" элемент заряда de, равный
Поэтому под интеграл C.1) надо подставить выражение
de
гс
§ 3. Поле точечного заряда и излучение света 33
Подставляя это выражение под интеграл C.1), можно теперь уже
непосредственно выполнить переход к точечному заряду и получить
<p(P, t) = — e
А(Р, t) = ]r-
L t--
ev
C.3a)
C.36)
с
,Bce величины в C.3) должны быть взяты для запаздывающего времени
t — (г/с). В частности, к запаздывающему времени t' относится, ко-
конечно, и расстояние г. Поэтому потенциалы C.3) содержат время
неявно, в чрезвычайно запутанной форме. Легко проверить, что C.3)
удовлетворяют условию Лоренца A.10).
Выражение C.3) было получено впервые Льенаром и Вихертом.
2. Напряженности поля произвольным образом движущегося
точечного заряда. Напряженности полей Е и Н можно получить
из C.3) дифференцированием:
Е = — grade? — i-A,
H = rotA.
Производные надо брать здесь по отношению ко времени t и коор-
координатам точки Р. Поскольку, однако, движение частицы в момент
t- определяется заданием v(tf) и v(t') ——-4т-Л то величины г и v,
входящие в C.3), являются функциями запаздывающего времени Ь'.
Поэтому мы должны выразить прежде всего производные по вре-
времени t через производные по времени tr. Запаздывающее время t'
определяется расстоянием г в момент f
r(tf)=zC(t — t') C.4)
Поэтому, дифференцируя по t, получаем
W = di7"dtz=z~T"dt===C\l ~~Tt)
или
% = т—г=~> C-5)
dt . (vr) s ' v '
хде мы временно использовали сокращенное обозначение
C.6)
34 ' Гл. 1. Классическая теория излучения
В силу того же уравнения C.4) f является также и функцией коор-
координат точки Р. Поэтому (г направлен от Р к Pf)
или в соответствии с C.6)
g«id*' = ?. C.7)
Для производных от s получим теперь, согласно C.5) и C.7),
^i — ^L^L — jL /4rv) I «a I (rv)\
dt—dfdt s \ г "Г" с-*~ с )> ,
г с ' cs\ г ' с ' с/
В этих формулах v означает производную от v по t', причем v
зависит только от t'. Поэтому
5я ^Т' rotv== — [vgradn^1^1- C.9;
В силу C.3) получаем для напряженностей полей
ldv, v. ds
——4- — _
lrotv + ^
Подставляя сюда наши формулы C.8), C.9) и C.6), найдем оконча-
окончательно
Напряженность магнитного поля всегда направлена перпендику-
перпендикулярно как к Е, так и к г, тогда как напряженность электрического
поля наряду с перпендикулярной к г составляющей обладает также
составляющей, направленной по г.
Само собой разумеется, что в выражениях C.10) имеется в виду.
что все величины относятся к запаздывающему времени tf = t — (r/c).
где само г также является расстоянием в момент*/'.
Формулы C.10) являются общими в том смысле, что они спра-
справедливы для любого заданного движения частицы с произвольной ско-
скоростью, однако они применимы только до тех пор, пока частицу
можно считать точечным зарядом. Они неприменимы на расстояниях
сравнимых с радиусом электрона.
§ 3. Поле точечного заряда и излучение света 35
Поле"C.10а) складывается из двух частей, которые ведут себя1
совершенно различно. Первая часть зависит только, от скорости и:
убывает на больших расстояниях от частицы, как г~2. Она пред-
представляет собой статическую (кулоновскую) часть поля и для v = 0
вырождается просто в —г/г3. Для v ф 0 эту часть поля легко*
получить из кулоновского поля с помощью преобразования*
Лоренца (применения см. в приложении VI). Вторая часть
пропорциональна ускорению у и убывает на больших расстояниях
от частицы только как г~*. Эта часть поля является поперечной;
соответствующие напряженности поля перпендикулярны радиус-
вектору г. Мы увидим, что она приводит к излучению света. Ту
область, где эта вторая» часть преобладает, мы будем называть
волновой зоной. Однако различие между этими двумя частями поля
имеет смысл только, если расстояние, на которое смещается элек-
электрон за время г/с, мало по сравнению с самим г (квазипериодиче-
(квазипериодическое движение или движение с v/c <d 1).
U. Вектор Герца системы зарядов. Дипольный и квадруполь-
ный моменты. В качестве первого приложения рассмотрим испуска-
'йие света системой точечных зарядов. Допустим, что некоторое
количество частиц с зарядами ек находится вблизи от некоторого
центра Q, положение. которого фиксировано. Расстояние (радиус-
вектор) точки Q от точки Я, в которой наблюдается поле, обозначим
через R (направление от Р к Q), а радиус-вектор от Р к ек-г-
через гк. Тогда положение каждого заряда может быть определено
вектором, изображающим смещение хк заряда ек по отношению
к центру Q
xk = rk — R. C.11)
Будем считать, что все смещения малы по сравнению с R и, кроме
того, что скорости всех частиц малы по сравнению со скоростью
света
|хл|<С/?, vk<€ic. C.12)
Полное поле является, конечно, суперпозицией полей, происходящих
*>т всех отдельных зарядов.
В выражении C.10) нужно было бы, однако, подставить для
каждой частицы свое собственное запаздывающее время tr,=t — —ч
Ио поскольку все смещения малы, будет удобно ввести новое вре-
время Т9 запаздывающее время центра Q, т. е.
T = t—7> C-13)
И выразить напряженности поля как функции этого времени Г.
36 Гл. /. Классическая теория излучения
Если хк мало, то будет малой и разность между общим време-
временем Т и индивидуальным временем &-й частицы t'k.
Используя соотношение
выразим прежде всего v и v как производные не по времени t\
а по времени Т. После этого найдем явное выражение напряжен-
напряженности электрического поля Е через Т вместо 4» что может быть
выполнено даже без использования приближения C.12). Мы будем
интересоваться только той частью Е, которая существенна в волно-
волновой зоне; все члены, убывающие как /*~2 или еще быстрее, не дадут
в излучение света никакого вклада.
Дифференцируя C.14) по t't получаем (для любого к)
^i^I ± C.15)
д? ' гс г '
где используется обозначение C.6). Поэтому скорость равна
v — mW~ дГ dt' ~"Г 7"^*X r> FЛЬ)
где производные по Т обозначены штрихами. Аналогично, опуская
члены порядка 1/г, несущественные в волновой зоне, получаем
для v
Умножая C.16) на г и сравнивая с C.6), получаем
ГС
Аналогично, умножая C.16') на г и исключая (rv)}/находим
(ЗЛ7)
Подставляя теперь C.17) и C.18) в существенную для волновой
зоны часть (второй член) выражения C.10а), видим, чт5 вклад каж-
каждой &-й частицы в Е сводится к
(ЗЛ9)
Если смещения \к малы по сравнению с R, то можно заменить тк
в C.19) на R, что не приведет к существенным для волновой зоны
изменениям.
§ 3. Поле точечного заряда и излучение света 37
Определим теперь вектор, являющийся алгебраической суммой
всех смещений, и будем называть его вектором Герца:
(Л 2D C.20)
к
При построении выражения C.20) имеется в виду, что все хк, кото-
которые были первоначально функциями от времен tki выражены теперь
как функции времени Т с помощью C.14) (которые дают лишь
чрезвычайно неявную связь между этими временами). Именно в таком
смысле должны выполняться дифференцирования, такие, как Z"\
Тогда получим для напряженностей полей в волновой зоне
Е = ?>з^"[К [RZ"]] т-R/c
^ I ^T-R/c'
Нам надо выразить теперь xk(tk) как явные функции времени Т.
Поскольку t'k и Т лишь мало отличаются друг от друга, то, исполь-
используя C.14), C.15) и C.17), можно написать разложение
--. C-22)
Если условия C.12) выполнены, то этот ряд сходится. Тогда
z =
где
C.22')
Первый член Zx является дипольным моментом системы заря-
зарядов. Второй член обусловлен эффектом запаздывания, поскольку
(xkR)/Rc представляет* собой разность запаздывающих времен &-й
частицы и центра. Он включает электрический квадрупольный и
магнитный дипольный моменты системы [2] и может, вообще
говоря, играть существенную роль, если только распределение за-
зарядов столь симметрично, что дипольный момент исчезает. Рас-
Расщепление Z2 на электрическую, квадрупольную и магнитную диполь-
ную составляющие производится следующим образом.
Определим тензор квадрупольного момента системы зарядов
(в этой записи верхний индекс к нумерует частицы) и магнитный
дипольный момент
S'fcl A* •=«'*)• C-236)
38 Гл. U Классическая теория излучения
Тогда
Z2 = Z,+ Zwd, C.24а)
C'24б)
^ C.24b)
Во всех этих формулах х и х' надо брать в момент времени Г.
4. Излучение света. Описываемое формулами C.21) поле убы-
убывает с увеличением расстояния как первая степень /?. Поэтому
какое-либо квадратично составленное из напряженностей полей вы-
выражение, например вектор Пойнтинга (поток энергии), будет убы-
убывать как R~2 и, следовательно, его интеграл по сфере радиуса R
будет конечным и не зависящим от R. Вследствие этого поле,
определяемое CJ21), приведет к возникновению конечного потока
энергии через сферу любого радиуса, т. е. к излучению света,
Поле излучения поперечно, обе напряженности поля перпендику-
перпендикулярны как к R, так и друг к другу. Поток энергии в единицу
времени через площадь R^dQ равен
= ^Г [EH] R*dQ = ^~Zsin26, C.25)
где б — угол между направлением вектора Ъ" и направлением на-
наблюдения. Поток энергии C.25) направлен нормально к поверх-
поверхности сферы и пропорционален квадрату второй производной от
вектора Герца по времени. Наибольшее значение он принимает по
направлению, перпендикулярному к Z", а в направлении Z" обра-
обращается в нуль. Направлением поляризации этого излучения (направ-
(направлением Е) является проекция направления Z" на перпендикулярную
к R плоскость.
Полная энергия S, испускаемая за единицу времени, получается
интегрированием C.25) по всем углам:
О 77/2
s=-| 4s- <3-26>
Простейшей моделью источника сйета является гармонический
осциллятор, т. е. один заряд, упруго связанный с центром и совер-
совершающий простое гармоническое движение с частотой v вдоль оси х.
В этом случае можно положить
Z = ех = ех0 cos \tf, Z" = — ev2 x.
Излучение такого осциллятора будет монохроматическим с той же
§ 4. Реакция излучения, ширина линий 39
частотой ч». Усреднение C.26) по времени дает
3 с»
Следовательно, излучаемая в единицу времени энергия пропорцио-
пропорциональна \4.
§ 4. Реакция излучения, ширина линий
В § 3 сказано, что движущийся точечный заряд, вообще говоря,
излучает. Излучаемая за единицу времени энергия определяется для
медленно движущейся частицы уравнением C.26). Согласно урав-
уравнению баланса энергии A.22), эта энергия должна быть поставлена
теми силами, которые поддерживают движение заряда. Поэтому
кинетическая энергия частицы должна убывать со временем. Вследст-
Вследствие этого было бы неверным определять движение частицы; исходя
лишь из действующих на нее внешних сил (например, квазиупругой
силы для осциллятора), поскольку излучение также должно влиять
ка движение. Чтобы можно было подвести правильный баланс энер-
энергии с помощью закона сохранения, нам придется рассмотреть об-
обратное действие испускаемого зарядом поля на его собственное
движение (реакцию излучения).
Мы обнаружим, однако, что, вообще говоря, сила реакции мала
по сравнению с остальными силами. Это позволяет рассматривать
эффект реакции излучения как малую поправку, так что в первом
приближении можно считать, что движение частицы определяется
лишь внешними силами.
Мы подойдем к подсчету обратного действия двумя различными
путями. Первый путь будет чисто феноменологическим: мы примем,
что в первом приближении движение частицы не меняется за счет из-
излучения и что последнее определяется формулой C.26). В качестве
второго приближения мы добавим тогда к уравнению движения не-
некоторый малый член (силу трения), который определим так, чтобы
соблюсти правильный баланс энергии.
Второй путь будет более глубоким и, с точки зрения общей
теории, более последовательным. Мы проведем прямое вычисление
силы, с которой создаваемое зарядом поле действует на этот самый
заряд. Выражение для силы реакции, которое получится на этом
Пути, будет в точности тем же, что и найденное из соображений
баланса энергии. Этот второй метод приведет, однако, и к другие
результатам, имеющим первостепенное значение в обсуждении всей
теории излучения.
f. Первый путь: баланс энергии. Из соображений простоты
^мы ограничимся нерелятивистским случаем медленной частицы. Тогда,
40 Гл. 1. Классическая теория излучения
согласно C.26) и C.20), излучаемая ускоренной частицей в еди-
единицу времени энергия будет равна
D.1)
В первом приближении уравнением движения частицы будет
К = /от. D.2)
где К — внешняя сила. К этому уравнению D.2) мы добавим еще
один член Ks („собственную силу"), который должен будет взять на
себя потерю энергии D.1):
K + Ks = mv. D.3)
Чтобы упростить выражение A.22) для баланса энергии, примем,
что для двух моментов времени tx и t2 состояние движения час-
частицы в момент t2 такое же, как и в момент tx. Тогда энергия
поля U в моменты tx и t% также будет одинаковой, и работа, вы-
выполненная силой Ks за этот промежуток времени, должна будет"
равняться полной излученной энергии
iJ D.4)
При сформулированных выше условиях это уравнение можно раз-
разрешить относительно К8- Интегрируя D.4) по частям, получаем
J (Ksv) dt = +1 iL J (vv)dt. D.5)
Условие D.5) будет выполнено, если положить
для любого момента времени. Выражение D.6) дает нам искомую
силу реакции. Она пропорциональна производной от ускорения по
времени. Для частицы, совершающей (в первом приближении) про-
простое гармоническое движение, можно, конечно, «заменить v на
— V2 V.
Легко проверить, что сила D.6) приводит к правильным резуль-
результатам и при рассмотрении сохранения импульса и момента.
Приведенный вывод справедлив только до тех пор, пока сила реак-
реакции D.6) мала по сравнению с другими силами. Для гармонического
осциллятора это всегда имеет место, если только частота не слиш-
§ 4, Реакция излучения, ширина линий 41
ком высока. Полагая x = x0cosv0/, получаем для квазиупругой силы
у^/их, и наше условие принимает вид
i^ D-7>
или, если ввести длину волны X,
Длина г0, как мы увидим в п. 3, является классическим радиусом
электрона и имеет порядок 10~18 см. Итак, условие D.7) выпол-
выполняется для всех волн, длина которых велика по сравнению с г0.
Условие D.7) выполняется для всех оптических частот и даже
для ¦у-лучей ядерной физики. Оно не выполняется для кос-
космических 7"лУчей> однако при их рассмотрении мы попадаем,
далеко в область господства квантовой теории.
2. Второй путь: сила самодействия. Перейдем теперь к
непосредственному определению силы, действующей на заряд со
стороны порождаемого им самим поля [3]. Если распределение за-
заряда задается функцией р, а его собственное поле обозначить
через Е8, Hs, то, согласно A.4), сила самодействия будет равна
D.8)
[Мы пишем индекс s сверху, поскольку сила самодействия D.8) не
окажется полностью идентичной D.6).] Для поля нельзя, конечно,
пользоваться выражениями для точечного заряда, поскольку эти выра-
выражения передают только поле вне рассматриваемой нами частицы.
Поэтому необходимо задаться сперва некоторым распределением
заряда; переход к точечному заряду можно будет выполнить только
в конечных результатах.
Выражение D.8) можно вычислить следующим образом. Рассмот-
Рассмотрим два элемента заряда de и def на расстоянии г друг от друга
** определим силу, с которой создаваемое элементом de поле дей-
действует на элемент def. При этом можно пользоваться полученными
$ § 3 запаздывающими потенциалами. Полная сила самодействия
Получится тогда интегрированием как по всем элементам de, так и
иЦо всем элементам de'. Магнитное поле не даст какого-либо
Эллада в силу самодействия, поэтому в дальнейшем мы его проста
ойустим.
Для проведения вычисления сделаем следующие упрощающие
предположения:
1) Распределение заряда является жестким (для малых скоро-
скоростей; для больших скоростей мы бу,д?ем учитывать сокращение
Лоренца). Поэтому все элементы заряда имеют в любой момент
^ремеци одинаковые скорость и ускорение.
Л, 2) Распределение заряда сферически симметрично и прости-
простирается по радиусу лишь на конечное расстояние порядка характе-
42 Гл. 1. Классическая теория излучения
ристической длины г0 (радиус электрона). В п. 3 мы обсудим,
в каком смысле можно будет впоследствии устремить г0 к нулю.
При использовании формулы (ЗЛО) для создаваемого элементом
заряда de поля необходимо соблюдать осторожность. Эта формула
выражает поле точечного заряда в фиксированной точке Р, которая
удерживается в покое. Но в нашем случае элемент заряда de',
в котором мы ищем поле, жестко связан с элементом заряда de,
создающим поле, и оба они в каждый момент имеют одну и ту же
скорость. Поэтому формулу C.10) можно будет использовать в нашей
задаче, только если мы положим скорость v заряда в момент вре-
времени, для которого вычисляется сила самодействия, равной нулю,
т. е. проведем вычисление для покоящейся частицы:
v@ = 0. D.9)
Последнее условие не означает, конечно, что скорость должна об-
обращаться в нуль и в запаздывающий момент времени t' = t— {гIc).
Условие D.9) не ограничит в действительности общности наших
результатов, поскольку силу самодействия для движущейся частицы
можно будет всегда получить, прибегнув к преобразованию Лоренца.
Согласно C.10а), создаваемое элементом заряда de электриче-
электрическое поле будет равно в месте расположения заряда de' в момент
времени t\
-(¦-
,@ = 0.
При этом r = r(^) и r = r(tr) относятся во всех точках к запазды-
запаздывающему времени t'.
3) Движение частицы изменяется столь медленно, что изме-
изменение ее ускорения за время, потребное свету, чтобы пересечь рас-
распределение заряда, мало по сравнению с самим ускорением:
Т^<С*. D.11)
Если г0 > 0, то D.11) является не только условием, которому должны
удовлетворять внешние силы, но и условием на саму силу самодей-
самодействия; но если го-*О, то D.11) всегда удовлетворяется.
Если мы примем условие D.11), то эффект запаздывания будет со-
составлять в D.10) малую поправку. Поэтому можно разложить любую
функцию от t' [например, r(t'), v(t')] в ряд по степеням/' — tr = r(t')lc.
Используя то обстоятельство, что v (*) = 0, получаем, например,
D.12)
§ 4. Реакция излучения, ширина линий 43
Во всех коэффициентах правой части стоит r(tr). Это „запаздываю-
„запаздывающее расстояние" r(tf) ни в коей мере не равно, конечно, расстоянию
адежду двумя элементами заряда в покоящейся частице. Даже если
-у = 0 в момент времени t, то частица двигалась (и ускоренно)
в момент t'. Чтобы выразить коэффициенты в D.12) через r(t) воз-
возведем это равенство в квадрат и подставим полученный ряд
в правую часть D.12). Это даст нам выражение r(t') через вели-
величины, взятые в момент времени t. Теперь будем писать просто г
вместо г(t) и т. п. Тогда
^r^r vJl-^r(rv)+-.- D.13a)
Подставляя это разложение в ряд D.12), получаем для r{t'):
^g--?rv-b... D.136)
Аналогично получаются разложения для v и v
v(O = —^v — JL.(ruv + -grv + .... D.13b)
~v + ..., D.13r
а для входящей в D.10) величины s
Все написанные выражения являются степенными рядами по г."
В формуле D.10) будем выписывать разложение dEs вплоть до
членов, не зависящих от г; все высшие члены обратятся в нуль при
предельном переходе к точечной частице го->0. Результат значи-
значительно упрощается, если сразу принять во внимание, что нам надо
будет выполнять в дальнейшем интегрирование по распределению
заряда. Поскольку оно сферически симметрично, все члены, не-
нечетные по отношению к вектору г, при таком интегрировании
выпадут. [Такое усреднение нельзя, конечно, проводить относи-
относительно г (/')•] Опуская поэтому нечетные по г члены, найдем
Й). D.14)
Интегрируя D.14) по всем элементам заряда de, de\ получаем
силу самодействия
D.15)
44 Гл. L Классическая теория излучения
где
dedef 4 v
3 ^^о <4Лб?
= ||v. D.166
Обсудим сначала второй член Ks. Он не зависит от распре
деления заряда и совпадает с выражением для силы самодействия
выведенным в п. 1 из соображений баланса энергии. Итак, сил
3aTyx^?j[4J3J^H?f^^ баланса энергии
предетавляет соб?й__чл?н ^to?Otjo^jt?h^i^^ j
запаздыванием внутри частиць1)_в.си_ле_^:амодействия.
Ср"а^нивТ5Г^D.16б) с условием D.11), которое ^доТГжно было быт
наложено на движение частицы, видим, что последнее принимае'
Ф°РМУ о & . 9 . г
C|^-4mv-^-. D.17
В дальнейшем мы положим г0 равным нулю. Тогда условия D.11
или D.17) будут выполнены автоматически, и условие D.7), использо
ванное при выводе в п. 1, будет необходимо только, если мь
хотим рассматривать силу реакции как малый эффект (как во все:
случаях приложений), но не будет иметь принципиального значения
Если мы продолжим разложение D.12), включая в него даль-
дальнейшие степени (г/с), то получим следующие члены для Ks, первы!
из которых будет пропорционален
Этот член зависит от внутренней структуры электрона (чт<
справедливо и для всех дальнейших членов). Однако он пропорцио-
пропорционален г0 и исчезает поэтому для точечного электрона»
Для медленно движущегося электрона Ks является единственно!
составляющей силы обратного действия создаваемого электроноь
поля на электрон (если не говорить о Ко> которая будет обсужден*
ниже). Не так будет обстоять дело в квантовой теории, где воз-
возникнут другие существенные составляющие силы реакции. Этот
вопрос будет рассматриваться в гл. 6.
Не представляет труда обобщить Ks на случай быстрых частиц
движущихся с релятивистскими скоростями. Мы приведем тольк<
результат:
__ 2*2 1 (:; v(vv) . 3v(vv) . 3v(vvJ
уу) , 3v(vv) , 3v(vvJ|_
_ ?2) "Г С2 A — ^2) "Г С4 A _ ?2J )
и У(^J\ D 18
§ 4. Реакция излучения, ширина линий 45
где ds = cY\—?2 dt означает опять элемент собственного времени,
а и — кинетический импульс (см. § 2). Если обозначить внешнюю
силу через Ке> то уравнением движения для частицы будет
7l = Ks + K«. D.18')
Уравнение D.18) не будет использоваться в этой книге, поскольку
для быстрых частиц всегда надо принимать во внимание квантовые
эффекты.
3. Собственная энергия. Первый член D.16а) силы самодей-
самодействия пропорционален ускорению. Поэтому он имеет такой же
,, -г / Г dedef
вид, как и сила инерции mv.^ Множитель г12 I == ja0 пред-
представляет собой электростатическую собственную энергию, или
энергию, содержащуюся в статическом поле частицы. Эта энергия
зависит от структуры частицы и для точечного заряда становится
бесконечной. Для заряда, распространенного на область по-
по, она составляет по порядку величины
Ро = ^-- DЛ9)
J^ член никакими способами ^ельзя „отличить^от механиче-
механического ине]зциа^ Поскольку ю природе инертной ""массы*
т мы ничего не знаем, мы могли бы с равным правом объединить
оба члена и считать, что сила самодействия Ко уже содержится
в определении массы т. В теории Абрагама было даже допущено,
что „неэлектромагнитной" массы вообще не существует (см. § J2,
ik 4), и Ко была положена равной всей наблюдаемой силе инер-
инерции mv. Тогда jj0 получает порядок величины \i = тс2 и
Исходя из таких соображений, постоянную /*0 называют клас-
классическим радиусом электрона
го = 2,818. \0'1Ъсм. D.21)
Предложенная Абрагамом процедура сталкивается, однако,
Ь большими трудностями. Движущаяся частица обладает наряду
1Ь-?обственной энергией таюк^е и ясобственным ji^i^
>згоже должен был бы быть включен в импульс частицы. Но это,
"<Однак1сГ, * н*евоз"можно^ шзскоШ^З^'^^^ § ~2, энергия и
ампульс поля частицы не образуют 4-вектора и не обладают
должными релятивистскими трансформационными свойствами. Эту
'Трудность можно было бы обойти, если ввести неэлектромагнитные
Кт. е. механические) внутренние напряжения, которые компенсировали
46 Гл. L Классическая теория излучения
бы неправильные трансформационные свойства собственного поля
частицы, но это означало бы крушение идеи о чисто электро-
электромагнитной природе инерции частицы [4]. Необходим
неэлектромагнитных сил в Л2?1??51?21И ча?212ЙМ—?..!S9J?^™bJM_протя-
н^ние5Г~с^ конечное
распрёд5летйе--заряда не мЪжеТ^ьТтГ^^^ действием
одних лишь^'ЗЖ^^
Для точечной частицы появляется дополнительная трудность —
собственная энергия и0 расходится. Эти две трудности все еще
не преодолены удовлетворительным образом, однако мы' увидим,
что в квантовой теории эта проблема принимает несколько менее
тяжелую форму (см. § 29 рГприложение VII). Будет показано,
что правильных трансформационных свойств для собственного
поля можно будет добиться, хотя используемая для этой цели
математическая процедура и не вполне свободна от возражений.
Более того, расходимость собственной энергии_оказывается значи-
значительно более слабой — только—1п г0, причем г0 можно определить
как релятивистский инвариант. Таким образом, даже для чрезвычайно
малых 70 собственная энедгия^до^н^стдваться много меньше ме-
рТШГ тс*.
^ стадии развития теории можно
придерживаться следующей точки зрения: из опыта известно, что
электрон обладает конечной массой и что его энергия и импульс
образуют 4-вектор. В этом 4-векторе должны быть заключены и
вклады собственного поля. Поэтому, если для описания частицы
используется ее наблюдаемая масса, то поправки вследствие на-
наличия собственного поля должны быть вообще выброшены. Имение
это мы делаем в данной книге. Тем самым рассмотренная труд-
трудность отодвигается в ненаблюдаемую область и не препятствует
более применению теории к наблюдаемым явлениям.
4. Ширина линий. Рассмотрим теперь, как влияет сила реак-
реакции D.166) на движение частицы. Вызываемое этой силой реакцир
изменение движения частицы должно, конечно, сказаться также и т
ее излучении.
Рассмотрим линейный гармонический осциллятор как простейший
источник света. Если мы пренебрежем силой реакции, то осцилля-
осциллятор будет колебаться бесконечно долго. Однако вследствие налдаии
силы лучистого трения амплитуда осциллятора будет убывать
Уравнением движения будет
тх== +
Будем считать, что условие D.7) выполняется. Тогда сила реакцир
будет малой и мы сможем подставить вместо х в качестве первой
¦ § 4. Реакция излучения, ширина линий 47
приближения выражение —vox для движения без потерь на излуче-
излучение. Тогда D.22) .принимает вид
х = — vox — T*> D.23)
где
Приближенным решением D.23) будет (в предположении
х = хое-№е-^. ' D.25)
Усредненная по периоду энергия осциллятора будет равна
туг 1 «• / * О | 2 о\ XV/ у/ (А О?л\
Итак, энергия убывает экспоненциально, причем 1/f является тем
временем, в течение которого энергия уменьшается в е раз. По-
Поэтому 1/y можно назвать временем жизни, осциллятора. Условие
D.24) (-у<С^^о) выражает то "обстоятельство, что это .в?емя_жизни
.велико по сравнению с периодом; в противном случае движение не
было бы даже приближенно периодическим; -[ является функцией
только частоты и не зависит от амплитуды колебаний осциллятора.
Испускаемый таким осцилляторш свет будет иметь амплитуду,
пропорциональную х, т. е. —nqX. Эта амплитуда, следовательно,
убывает по мере роста t так же, как и амплитуда колебаний осцил-
осциллятора, так что (для t > 0)
Е = Е0е-^2е'1^. (-4.27)
Формула D.27) не описывает более монохроматическую волну,
но представляет волну с некоторым спектральным распределе-
распределением^ (у). ЧтббЫ найти распределение интенсивности по спектру,
разложим D.27) в интеграл Фурье:
4-оо оо
EF M p-tot dt F M — — I e~%(vo-v) t ?-Y*/2 dt
-cio О
ИЛИ
Тогда для распределения интенсивности получим
1(ч)ж\ЕШ* = 10-1 =• D-28>
1) Если мы записываем классическую волну в экспоненциальном виде,
всегда будем иметь в виду ее действительную часть.
Гл. 1. Классическая теория излучения
Множитель /0 выбран здесь таким образом, чтобы полная интен-
интенсивность f/(v)^v равнялась /0. Описываемая распределением D.28)
спектральная линия обладает максимумом интенсивности при ча-
частоте %0, т. е. при частоте невозмущенного трением осциллятора1).
Av/y
Фиг. 2. Естественная ширина линии.
Для частоты v0 — \ = ^/2 интенсивность падает до половины макси-
максимального значения. Мы будем называть поэтому у также шириной
линии (фиг. 2).
Ширина линии равна обратному времена жизни^ Если выразить
ширину линии в единицах длин волн, то в соответствии е D.24)
получим 2)
= 2-л: ~ — — г г, = 1 18-10~4А D 29"»
Итак, птир^ня лини,и оказывается не. зависящей qj чдутоты и равна
(с точностью до численного множителя) радиусу электрона г0, кото-
который является универсальной постоянной.
Задача о ширине линий в квантовой теории будет рассмотрена
в § 18.
§ 5. Рассеяние и поглощение
1. Рассеяние свободными электронами. Допустим, что на элек-
электрон, который в среднем находится в покое, падает световая волна
Е = Еое~ы
частоты \. Если пренебречь релятивистскими эффектами, включая
и действие магнитных сил, то уравнением движения будет
3
EЛ)
1) Точное решение уравнения D.22) приводит к очень малому смещению
максимума — порядка y2/vo-
2) Мы обозначаем длину волны через 2пК.
§ 5. Рассеяние и поглощение 49
решение которого имеет вид
___ еЕ0 _ы 1 ___ 2 е* -
Таким образом, электрон начинает колебаться с частотой падающей
волны. Это приводит к возникновению излучения вторичных волн
той же частоты. Их усредненная по времени интенсивность на рас-
расстоянии R от электрона составит, согласно C.25),
е^Ъ sin2 ©
7 — Iэ I —
где 0 — угол между направлением наблюдения (R) и направлением
поляризации падающей волны Ео. Вводя интенсивность 10 = сЕ1/8ъ
первичного излучения, получаем
A r\ sin26
E.4)
где г0 —классический радиус электрона, а ср — зеличина размерности,
см2, называющаяся эффективным сечением рассеяния»
Если первичная волна не поляризована, то нужно провести усред-
усреднение по в и получить
1
или
рде о — угол рассеяния.
Эффект затухания заключен в величине х. Она составляет по
пюрядку величины го/л, что чрезвычайно мало для всех длин волн,
шлоть до длин волн ядерного ^-излучения. Заметное значение вели-
величина х могла бы получить' только для длин волн, присутствующих
в космических лучах, причем для кратчайших из них могла бы
сделаться даже больше единицы. Поэтому мэжно было бы думать,
что в этой области эффекты затухания должны были бы оказывать
решающее влияние на эффективное сечение. Однако на самом деле
В этой области существенны релятивистские и квантовые эффекты,
так что и к затуханию надо подходить *с квантовой и релятивистской
точки зрения. В § 33 мы покажем, что затухание чрезвычайно,
мало для elex длин волн.
Полное рассеянное излучение можно получить из E.4') интегри-
интегрированием по всем углам, причем для эффективного сечения (в пре-
пренебрежении у.) получается
ср =^/-0 = 6,65. 10~25 см2. E.5)
50 Гл. 1. Классическая теория излучения
Итак, полное сечение рассеяния свободным электроном является
универсальной постоянной и не зависит от частоты па»даютргр
Формулы E.4) и E.5) были выведены впервые Дж. Дж. Томсоном.
Мы увидим, что они сохранят свою справедливость и в кван-
квантовой теории, коль скоро релятивистскими эффектами можно будет
пренебречь.
2. Рассеяние осциллятором. В качестве второго примера- рас-
рассмотрим рассеяние света частоты v электроном, упруго связанным
с частотой собственных колебаний n0. В этом случае существенно
также учесть силу затухания. Если электрон совершает только сво-
свободные колебания, но не совершает вынужденных колебаний, обу-
обусловленных световой волной, то его движение будет периодическим
с частотой v0. Поэтому для силы затухания можно написать
2 е* •••' ^ ^
Уравнение движения получит тогда вид
X
и его решением будет
~Е0*~^, E.7)
о
х = 7Че-ы, х =- f- . E.8)
Для интенсивности рассеянного излучения, проходящего в единицу
времени через единичную площадку на расстоянии R, получим
(вместо х надо подставлять его действительную часть) тогда
Рассеянное излучение получает, таким образом, сдвиг фазы 8, кото-
который, однако, существенен только вблизи v== \>0. Усредняя по периоду
и вводя интенсивность первичного излучения, находим
Полное эффективное сечение ср рассеяния находится отсюда интегриро-
интегрированием по сфере
8гс 2 ^4 /к 11>
Ф=-5"А*0—^ 5~5 Г7 (эП
3 °(v^
$ 5. Рассеяние и поглощение б!
Формула E.11) является хорошо известной дисперсионной формулой.
Для vo-*O и ч <^ v получаем опять выражение E.5) для рассеяния
на свободных электронах. Для частот, далеких от резонансной частоты,
величиной т'2^ в E.11) можно пренебречь. В окрестности v = v0
эффективное сечение E.11) становится очень большим и мы при-
приходим к случаю резонансной флюоресценции. Тогда можно положить
v<—' \>0 и получить
E.12)
В квантовой теории мы встретимся с формулами, являющимися
простым обобщением формул E.11) и E.12) (см. § 19 и 20).
3. Поглощение. Нам надо рассмотреть, наконец, еще вопрос
О передаче энергии от падающей волны к осциллятору. В случае
резонанса, который особенно интересен, к определенному результату
можно прийти только, если допустить, что первичное излучение обла-
обладает вблизи \>0 непрерывным распределением интенсивности /0(v)dv
(размерность — энергия на см'* и на сек.). Поскольку вопрос о форме
(ширине) линии поглощения мы будем рассматривать в квантовой
теории, здесь мы вычислим только полное поглощение и сможем
поэтому пренебречь затуханием у. Для одной определенной v-й ком-
компоненты Фурье уравнением движения осциллятора будет
x-HoX = ?E(v)cos(n* + 8,). E.13)
где 8V — сдвиг фазы этой отдельной волны. Мы допустим, что эти
сдвиги фаз распределены случайным образом.
Поскольку для каждой отдельной частоты v передача энергии
будет зависеть в основном от разности фаз между осциллятором и
волной, то нам придется принять во внимание и свободные коле-
колебания осциллятора. Выферем решение уравнения E.13) таким
образом, чтобы при ? = 0 имелись только свободные колебания.
Такое решение будет иметь форму
где b — амплитуда, а 6 —фаза колебаний осциллятора при ^ = 0.
Передача энергии осциллятору за единицу времени (и на интервал
частот) будет равна работе, выполненной световой волной
E.15)
52 Гл. 1. Классическая теория излучения
Если теперь проинтегрировать E.15) по времени т, содержащему
целое число периодов 1/v, то член с cos{^t-+ 8V) B E.14) обратится
в нуль и мы получим
J ev dt = 'Щр- -^-a J dt sin (у +8.,) cos (v* + 3.,
0 '° ' 0
+ * (E (n) b) vojd* cos (y+в) cos (^4Л)« <5.16)
j
0
Этот интеграл зависит от фаз и, может принимать даже отрица-
отрицательные значения. Последнее означает, что, для некоторых фаз осцил-
осциллятор передает энергию световой волне (индуцированное излучение
света\._ Но поскольку фазы &tJ распределены, по предположению,
случайным образом, то можно усреднить по-Л,. Тогда последний
член в E.16) исчезает, а первый член всегда положителен и равен
о vov vov
Эта передача энергии велика лишь вблизи резонансной частоты
v = v0. Поэтому можно положить v~v0. Выражение E.17) предста-
представляет собой передачу энергии только от одной волны частоты м,
поэтому мы должны проинтегрировать его по некоторому интервалу
частот, принимая во внимание то обстоятельство, что интенсивности
в падающей волне были распределены по закону
/0 (?) dv = ± Е* (v) Го5з (/ + 8) d
Е (v) Го5 (v/ + 8,) dv = ~
В той области, где E.17) имеет заметное значение, можно считать
/0(v) постоянным (=:/0(v0)). Интегрирование по v можно распростра-
распространить от 0 до оо, поскольку E.17) обладает при v == v0 очень сильным
максимумом. Если vox ^> 1, то в E.17) будет входить интеграл вида
+ ОО
1 —- COS X . /г 1 о\
—Т2—dx = ie, E.18)
J
где x = (v0 — v)t. Поэтому поглощенная в единицу времени энергия
будет равна
ОО X
1 Г Г
о о
Энергия, передаваемая осциллятору, пропорциональна в среднем
времени т # интенсивности падающего излучения при частоте v0.
В остальном она от v0 не зависит.
Квантовая теория приведет к чрезвычайно близкой формуле
(см. § 17).
§ 6. Поле как суперпозиция плоских волн 53
§ 6. Поле как суперпозиция плоских волн. Гамильтонова
форма уравнений поля
В качестве предварительного замечания перед тем обобщением
теории, которое потребуется, чтобы принять во внимание квантовые
явления, полезно сформулировать ее в несколько ином виде. По-
Поскольку квантовая теория частицы существенным образом основы-
основывается на канонической форме классической динамики, то для наших
целей будет удобно выразить также и классическую теорию излуче-
излучения в канонической форме. Действительно, не представит труда на-
писать полную систему уравнений поля [A.2), A.5)] таким образом,
что они окажутся уравнениями Гамильтона для одной и той же
гамильтоновой функции, зависящей от координат частиц и некоторых
других переменных, описывающих поле.
1. Чистое поле излучения. Начнем с рассмотрения чистого поля
излучения (световых волн). Согласно § 1, п. 3, такое поле можно
вывести из одного векторного потенциала А, выбрав нормировку
скалярного потенциала таким образом, что ср = 0. Тогда потенциал А
будет удовлетворять уравнениям
V2A — ^-A = 0, F.1а)
divA = 0. F.16)
Потенциал А является функцией, определенной вовсех точках^про-
точках^пространства и времени._ Поэтому если мы захотим описать А'"через"
посредство канонических переменных, то число такихпеременных по
необходимости окажется бесконечным. Однако возможно ББП5р5ть
лишь счетное, множество таких переменных. Для этого допустим,
что все поле излучения заключено в некотором объеме, например
в кубе объема L3, и что. на поверхности этого объема поле должно
удовлетворять определенным граничным условиям. Чтобы получить
наряду со стоячими также и бегущие волны, постулируем, что потен-
потенциал А и его производные принимают одинаковые значения на двух
протившюлошшх_ поверхнортях объема, т. е. что """""
А периодично на поверхности. F.2)
Ребро куба L будем считать большим по сравнению с размерами
материальной системы. Тогда физическое поведение системы не
должно зависеть от L. Из соображений удобства будем, как правило,
полагать L— 1.
При учете граничного условия F.2) общее решение F.1) можно
представить в виде ряда ортогональных „собственных волн"
А =2 ft (О АХ (г), F.3)
А
54 Гл. 1. Классическая теория излучения
где Ах зависят только от пространственных координат, а дх— только
от времени^ Частные решения Ах должны удовлетворять граничному
условию (о.2) и волновому уравнению
+Jax = 0 F.4а)
с условиями
= O, F.46)
Ах периодично в L. F.4в)
Тогда qx удовлетворяет уравнению гармонического осциллятора
?х + ч?х = О. F.5)
Решением F.4) является бесконечная система взаимно ортого-
ортогональных волн, на которые мы наложим условие нормировки
\\AV) dz = 4ъсЧ1р. F.6)
Величины Ах можно, например, выбрать в виде косинусов и синусов
ех cos for), /8^ ex sin (iexr), | *x | = ?,
где xx задают направление распространения, а единичные векторы
ex — направление поляризации, всегда перпендикулярное в силу F.46)
к ях. Векторы %х могут принимать лишь дискретный ряд значений
2гс 2тг 2тс /с 7Ч
Чх— 1 пХа?> Чу = X Дх2/' У)з == Т Лхг> ^Ь '
где Лхж> Лху» ••• —положительные целые числа. Изменение знака
у *х не Д^ет нового Ах- Для каждой волны с заданным_х два напра-
направления поляризации могут быть выбраны npOHjjB^bHoVj^jiorjm бы
выбратьт и две цирку лярно-поляризованные в(>лныГ~Аналогично, вместо
косинуса и синуса можно брать какие-либо их линейные комбинации.
Будем считать, что в общих формулах F.3) — F.6) индекс X
указывает на направление _поляризации и выбранный род (косинус
йлй^синус) функции.
Поскольку пространственное поведение функций Ах является
заданным, то поле 0упет х^р^ктер^зд^атьс^ ямгТЛ^ТУДяМи Я\> Урав-
Уравнения же поля должны быть заменены уравнениями типа F.5). Но
такие уравнения легко записать как канонические; гамильтонианом
осциллятора является
4Ы? F.8а)
и уравнения Гамильтона
^"—Л. ^-Л-А F-86)
равносильны F.5),
§ 6. Поле как суперпозиция плоских волн 55
Полное поле будет описываться теперь бесконечным числом
канонических переменных дх п рх и полным гамильтонианом
Я = 2Ях- F.9)
X
Таким образом, поле представлено как система независимых осцил-
осцилляторов. В классической динамике Нх была бы энергией осциллятора.
То же самое справедливо и здесь. Покажем, что полная энергия
поля излучения равна сумме энергий всех осцилляторов
гх- F.10)
х
Напряженности поля выражаются через qx и рх формулами
1 • 1 у* 1 у
х х F.11)
Ах.
Эти формулы надо подставить в выражение для U. Мы получим тогда
интегралы типов
Г (А^Ар.) dz и Г (rot Ax rot Ар.) dz.
Для вычисления интегралов первого типа можно использовать соот-
соотношение ортогональности F.6). Интегралы второго типа можно пре-
преобразовать следующим образом:
Г rot Ах rot Ах dx = <? da [ Ах rot А^]п + Г Ах rot rot Ар. dz.
Поверхностный интеграл в правой части обратится в нуль, согласно
граничному условию (б.4в). Далее, rot rot = grad div — V2. Поэтому
в силу F.4а) и F.46)
2
J rot Ax rot Ац dx = A J (AxA,») dx. F.12;
Используя здесь условие ортогональности F.6), получим для пол-
полной энергии поля
-Итак, энергия поля действительно равна сумме энергий всех осцил-
осцилляторов.
Для применений к квантовой теории удобнее описывать поле н<
синусами и косинусами, а (комплексными) экспоненциальными функ
одями. Поскольку потенциал А действителен, то его можно пред
56 Гл. 1. Классическая теория излучения
ставить рядом
А-2(^@Ах+^@А*), F.14)
в котором амплитуды qx(t) теперь комплексны.
Решение уравнений F.4) и F.5) можно записать тогда в виде
F.15a)
Произведение qxkx изображает волну, распространяющуюся в на-
направлении —|— >сх. Векторы хх могут опять принимать только значе-
значения F.7), где, однако, пХх могут быть теперь как положитель-
положительными, так и отрицательными целыми числами. _ролны__с__п_ротищь
положными направлениями ъх и —%х будут обозначаться ^теперь
К\ Функции Х^ взаимно ортогональньГ в следующем
J(AX)dx = J (АхА__,0dz =
где А_{х — волна с вектором распространения —%^ (е_х —ех).
В таком представлении qx и #* не являются каноническими пере-
переменными, однако можно ввести новые (действительные) переменные
которые будут каноническими.
Уравнения поля F.5), которые справедливы как для qx, так и
для их комплексно сопряженных, можно вывести из гамильтониана
Уравнениями Гамильтона будут
Так же, как и раньше, можно показать, что 2 Н\ представляет собой
полную энергию U1).
Определим, наконец, число осцилляторов поля с ^ддянным ня-
правлением поляризации, направлением распространения (в_элем_енте
!) Переменные Qx, Px связаны с фигурирующими в F.8) переменными
Яъ Р\ следующим образом: если мы обозначим коэффициенты при косинусе
и синусе (для одного и того же х^) через qix и q2i, то
У/?1Х = Pi + Р-ь У72Р21 = ^х (Ох —0-х).
Эти формулы выражают каноническое преобразование от переменных
Ь •> Рчх к переменным Qh ,.., Р_х (Q-X относится к — хх).
§ 0. Поле как суперпозиция плоских волн 57
телесного угла dQ) и частотами между v и v-f-<iv, содержащихся
в"~о"бъеме /А Согласно F.7), это число должно быть равно элементу
объема""вИ--пространстве (при условии, что ti\x—целые), во всяком
случае, если допустить, что длина волны ф мала по сравнению
с L. Поскольку частота ч определяется условием
то элемент объема в «-пространстве задается выражением
р, rfv dQL* = п* dn dQ = ^ dv dQ ^
Это выражение пропорционально объему L3 и по существу не за-
зависит от его ,формы- Поэтому число осцилляторов поля на единицу
объема будет равно
^ ^.А.Л.-^Лс. F.21)
Мы будем называть pv функцией плотности состояний для све-
световых волн,
2. Гамильтониан для частицы. В качестве следующего шага
рассмотрим релятивистское уравнение движения B.35) для заряжен-
заряженной частицы в заданном поле. Чтобы переписать это уравнение
в гамильтоновой форме, достаточно учесть то обстоятельство, что
„гамильтониан совпадает с полной энергией Е частицы. В § 2 мы
видели [B.37)], что энергия Е является четвертой компонентой
4-вектора р^.. Теперь следует выразить Е как функцию канониче-
канонических координат и импульсов. JB декартовой системе координат
канонические импульсы совпалаютНс обычными импульсами. Поэтому
уравнение B.38) дает желаемое соотношение между /?4=/?1 и им-
импульсами р1=рх и т. д. Это уравнение можно записать в виде
И г Е = еу -f- VV + (p — ek)\ |* = тс%- F-22)
Поэтому мы можем ожидать, что F.22) будет правильным гамильто-
гамильтонианом. В самом деле, мы получим из него (используя энергети-
энергетические единицы для импульсов)
дх ~ с ~едх с V
дх ~ с ~едх с Vх дх ^VVdx ^Vs дх
С другой стороны, полная производная от Ах по времени t равна
58 Гл. 1. Классическая теория излучения
Используя F.24) в F.236) и вспоминая определения A.7а) и A.76
потенциалов, мы получаем
{\) F.25
что совпадает с уравнением движения B.35). Поскольку/?^—еА^==и
является 4-вектором кинетического импульса, то F.23а) дает пра
вильную ^связь между ui и vx
Таким образом, F.22) действительно является правильным гамиль
тонианом для частицы. Он содержит взаимодействие частиц
с полем. Так же как и в случае выражения для силы Лоренца, поле
которое нужно подставлять в F.22), включает не только внешне
поле магнитов, конденсаторов, источников света и т. д., но в раЕ
ной мере и поле, порожденное самим рассматриваемым зарядо*
Последнее приводит к возникновению силы обратного действия по;
на движущийся заряд (см. § 4). Если импульс мал по сравнени
с энергией покоя у, то мы можем перейти вF.22) к нерелятивистском
приближению (опуская постоянный член <х)
^ Нерел. F.2(
Это обычное нерелятивистское выражение для энергии частиц
в поле, обладающем потенциалами ср и А. В чисто электростатич(
ском поле (А = 0) второй член превращается в кинетическую эне{
гию /?<2/2|а.
3. Общая система из частиц и поля1). До сих пор мы пр<
образовывали к гамильтоиову виду уравнения движения для частии
и уравнения для поля, состоящего из одних световых волн. В кач<
стве последнего шага нам надо рассмотреть теперь общую систем
состоящую из частицы и поля произвольного вида. Чтобы получи'
также и релятивистскую теорию для взаимодействия двух частиц, д<
пустим, что у нас есть некоторое количестве частиц с зарядами е
Каждая частица будет тогда описываться набором каноничесю
переменных, скажем, qk и рк с гамильтонианом
Нк = ЗД (А) + У Л + {рк — екК (АO, F.2
где <р(^)> А (к) — поле в точке, в которой расположена k-я частиц
х) По этому вопросу, а также по вопросам последующих раздел
см. работы [5] или [6], а также [7].
§ 6. Поле как суперпозиция плоских волн 59
Полный гамильтониан для всех частиц будет тогда равен
# = 2#А;> F.28а)
1 * дН 1 • дН /п пп^к
тл^-Ж' тч*=Ж' F>28б)
В F.28а) вообще не принято какого-либо взаимодействия межпу
частицами; ниже_ мы увидим^ что оно содержится в гамильтониане
4Й§ поля-
Поле, которое нужно подставлять в F.27), складывается из внеш-
внешнего поля, созданного не относящимися к системе зарядами, и поля,
порождаемого всеми частицами системы, включая и саму k-ю ча-
частицу. Оказывается, что внешнее поле сре, Ае удобно выделить.
Поскольку оно фигурирует в F.27) только как заданная потенциаль-
потенциальная энергия (или потенциальный импульс) каждой частицы и не может,
зависеть от положений частиц, мы объединим в дальнейшем рас-
смотрении члены Ае, <?е вместе с членами рк, Нк и будем писать
просто рк и Нк вместо рк — еАе и Нк — еуе. В окончательный ре-
результат мы легко сможем снова подставить правильное поле.
Будем использовать сперва лоренцову калибровку. Тогда поле
будет удовлетворять уравнениям
V2A — ~ А = — -у- pv, F.29а)
V.2? —-^? = -4тгр, F.296)
divA+-7? = 0. F.29в)
Нам надо преобразовать эти уравнения в каноническую форму. Для
этого допустим снова, что поле заключено в объеме L3 и что все
потенциалы (и их производные) удовлетворяют граничному условию
А, ср периодичны на поверхности. F.30)
Мы разложим тогда, как и раньше, потенциалы в ряды Фурье.
Специальный случай поперечного поля, когда divA=<p = 0, был
рассмотрен выше в п. 1. Для общего случая, когда div А ф 0, заметим,
что каждое векторное поле можно разделить на две части, ...пелддя
из которых обладает равной нулю ливе.рге,нпир.йт а_цтпряя является
градиентом некоторогоскалярного поля. Итак,
F.31)
Поле Ах совпадает с поперечным полем
Ч = Zj <7> Ах,
60 Гл. 1. Классическая теория излучения
поле А2 можно разложить аналогичным образом
А2 = 2?а@Аа, F.32)
где Аа удовлетворяет волновому уравнению и граничному условию
V2AaH—2~Аа=0, Аа периодично. F.33а)
Согласно F.31), Аа можно представить в виде градиента скалярной
функции
= 0, F.336)
где 63 очевидным образом удовлетворяют тем же уравнениям F.33а).
Множитель с/ча добавлен сюда из соображений нормировки, а Ао
также образуют систему взаимно ортогональных волн, удовлетво-
удовлетворяющих волновому уравнению и граничному условию. Покажем
теперь, что они ортогональны также ко всем поперечным волнам Ах-
Для этого используем общую формулу векторного исчисления
J
dz {(rot a rot b) + div a div b -f (aV2b)} =
= | da {[a rot b]n -f- an div b}
{n—компонента, нормальная к поверхности). Подставляя в нее b = А>
и а = Аа, видим, что поверхностный интеграл обращается в нуль
из-за граничного условия. Первый и второй члены левой части
также исчезают в силу F.46) и F.336) соответственно. Поэтому
J (A,WX) dz = — A J (АЛх) dz = 0. F.34)
Величины Ах и Аа образуют полную систему ортогональных
друг другу волн, удовлетворяющих волновому уравнению и гранич-
граничному условию (но не условию divA=0).
В противоположность поперечным волнам Ах \Аа являются про-
дольяыми волнами.
Таким же образом можно разложить и скалярный потенциал
сг
^29а + "^'(?а=0' ?а ПвриОДИЧНО. F.356)
Эти cpff должны совпадать со скалярными функциями фа, введенными
в F.336), поскольку они удовлетворяют тому же уравнению и гра-
граничному условию. Поэтому можно написать
Aa = -^-grad?a. F.36;
§ в. Поле как суперпозиция плоских волн 61
Тогда и сра и Аа будут нормированы одинаковым образом:
F.37)
Коэффициенты gOa(t) и qa{t) в F.35а) и F.32) не будут неза->
Висимыми, поскольку должно быть выполнено условие ЛоренцаF.29в).
Подставляя в него F.32) и F.35), получаем важное соотношение
которое должно выполняться для всех значений времени t.
Теперь легко получить и дифференциальные уравнения, которым
должны удовлетворять амплитуды qv qa и q0(j. Это не будут урав-
уравнения для гармонического осциллятора, поскольку теперь поля должны
удовлетворять неоднородным уравнениям F.29). Подставим в F.29)
выражения F.3), F.32) и F.35а), умножим соответственно на А^,
Аа, сра и проинтегрируем по всему пространству.
Допуская, что все заряды являются точечными, получим
<6-39а)
к
2^^ <*» F-39б)
где Ах(&) — значение Ах в точке, в которой расположена k-я час-
частица. Уравнения F.39) являются уравнениями для вынужденных
колебаний осциллятора, причем правые части обусловлены нали-
наличием заряженных частиц.
Соотношение F.38) можно выразить в виде наложенного на
решения уравнений F.39) начального условия4. Дифференцируя F.39в)
по времени, получаем, согласно F.36),
с (уа grad
к
а подстановка F.396) дает
(-¦§" + v*) (?л— Яоа) = 0. F.40)
|Йоэтому F.38) будет всегда выполнено, если в момент / = 0
M» = ?0d и M«i = ?o»- F.41)
82 Гл. 1. Классическая теория излучения
Возвращаясь к рядам для А и ср и используя (б.39в) для q0:!, уви-
увидим, что начальные условия принимают форму
divA-+-^ = 0, divE = 4^p, для*=0. F.41')
Если эти два условия выполняются при ^ = 0, то F.29в) будет
удовлетворено всегда.
Если мы рассмотрим теперь только такие решения* которые
удовлетворяют начальным условиям F.41), то все осцилляторы q9 и
qOa можно считать независимыми.
Дифференциальные уравнения F.39) легко переписать в канони-
канонической форме. Правые части этих уравнений обусловлены части-
частицами и могут потому быть получены только из такого члена в га-
гамильтониане, который зависит от координат частиц. Таким членом
будет просто гамильтониан частиц ^Нк [уравнение F.27)], кото-
который зависит также от поля и потому вносит в описывающие поле
уравнения добавочные члены. Поэтому в F.27) содержится взаимо-
взаимодействие частицы и поля.
Для каждого из осцилляторов F.39) нам надо будет написать
гамильтониан типа VoO^ + ^V^). Продольные и скалярные волны пред-
представляются двумя осцилляторами qo и qOa. Поскольку, однако, ска-
ляуный потенциал ср входит в F.27) со знаком,
нь^^?1^^^тпРнпгп пошнцпаАп- А, мы должны J^
тониан для <7оа с отрицательным знаком. Как мы увидим, этот
зналГПйинус приведет к весьма серьезным выводам. Поэтому ДЛ5
продольных и скалярных волн мы примем гамильтониан
Я. = ^ + -^)-4(/й + ЭД, F.42
где /?Оа — импульс, канонически сопряженный с q0<5.
Теперь мы должны ожидать, что для полной системы, соста-
составленной из частиц и поля, гамильтонианом будет
H = ^Hk H-2tfx + 2Я„ F.43
к \ а
Частицы Поперечные Продольные
волны и скалярные
волны
а каноническими уравнениями:
1 • ,с АА
7^ (частицы), F.44а
Л (поперечные волны), F.446
#сг (продольные волны), F.44в
?оа (скалярные волны). F.44г
дН
дН _
дИ _
дЙ
1 •
.
— Ра,
•
дН
дН
дИ
~др1
дИ
§ в. Поле как суперпозиция плоских волн 63
И действительно, F.44) совершенно эквивалентны уравнениям поля
F.39) и уравнениям движения частиц F.25). Можно, например,
проверить, что (б.ЗЭв) совпадает с F.44г). Переменные qQ(J и р0<3
входят в На и HJr Согласно F.27), F.35а) и F.42), получаем
Поэтому F.44г) дает
— vj) #Ocr -f- 2
что совпадает с F.39в). Условие Лоренца F.41) также можно пе-
переписать через канонические переменные (как начальное условие)
к
Итак, мы представили полную систему уравнений поля в кано-
канонической форме. Физическое значение гамильтониана совершенно
ясно: первый член представляет собой энергию частиц (кинетиче-
(кинетическая -\- потенциальная); второй член — энергию световых волн
(см. п. 1); третий член должен был бы представлять энергию „продоль-
„продольных и скалярных" волн. Последние появляются, конечно, только в
присутствии частиц, и их значение легко интерпретировать: они
описывают кулоновское взаимодействие между частицами. Мы
покажем это в п. 4.
Приведенное выше представление уравнений Максвелла и урав-
уравнений движения в канонической форме основывалось на фурье-раз-
ложении поля. Однако возможно и непосредственно рассматривать
А (г, t) и cp(r, t) в каждой точке как канонические переменные и
развить канонический формализм без разложения поля. Эго будет,
в связи с квантовой теорией, показано в § 13. '
4. Кулоновская калибровка. Вместо использованной в п. 3
лоренцовой калибровки можно использовать также кулоновскую
калибровку
divA = 0 F.45)
и пользоваться уравнениями поля A.13)
grad ср = — pv, (о.4оа)
) = — 4тгр. F.466)
64 Гл. L Классическая теория излучения
Решение уравнения F.466) находится немедленно; оно имеет вид
статического потенциала, т. е. для точечных зарядов,
F-47)
где гкх— расстояние между точкой расположения заряда ек и точ-
точкой х наблюдения потенциала ф- В такой калибровке вообще не
возникает никакого продольного поля, _,а скалярное поле_является
статическим (как если бы заряды находились в покое). -~—-
Мы можем опять выразить А и ср так же, как и раньше. При
этом разложение для А будет, конечно, содержать только попереч-
поперечные волны <7>Ах'> Ч* не возникнут. Чтобы отличать кулоновскую ка*
либровку от лоренцовой калибровки, будем помечать в этом случае
все канонические переменные (включая qk, p'u для частиц) штрихами.
Как и раньше, получим из F.46а) умножением на Ах или Ас
[с учетом F.36)]:
^%k)9 F.48а)
ft)' F-48б)
а из F.466) [умножая на ср5 и используя F.356)]
^о.= 2 ***•<*)• (
к
Теперь уравнение F.486) будет следствием уравнения F.48в),
в чем легко убедиться дифференцированием, если использовать со-
соотношение
<Р* (ft) = (vfc grad cpa) = A vfeAa (k).
Поэтому F.486) можно^в дальнейшем не рассматривать. Более того,
согласно F.47), скалярное поле ср в момент времени t является
однозначной функцией координат частиц (и координаты поля х)
в тот же момент времени tl). Так как, согласно F.48в), q'oa зависит
лишь от значений ср в точках расположения частиц, то q'Qa в неко-
некоторый момент времени t является однозначной функцией только от
координат частиц q'u в тот же самый момент времени t и не
является независимой канонической переменной. Поэтому можно
рассматривать ср как некоторые явно определенные функции от д'к.
При гамильтоновой формулировке уразнений F.48) поэтому войдут
*) Не так обстоит дело с запаздывающими потенциалами, которые
весьма сложным образом зависят от координат частиц в некоторый преды-
предыдущий момент времени.
§ 6. Поле как суперпозиция плоских волн 65
только канонические пары q'k, pk и q[, p[. Легко найти, что гамиль-
гамильтониан будет равен
? rtte|qj-q;|. F.49)
i, к г
Гр'л — ек2^Ах (ft)]*. F.496)
Часть, обусловленная скалярным полем, приводит к статиче-
статическому кулоновскому взаимодействию между частицами; Н^ отли-
отличается от Нк F.27) существенным образом, а не только наличием
штрихов у переменных q и р. Фигурирующий в Нк потенциал А
является поперечным, в то время как в Нк присутствовали как по-
поперечное, так и продольное поля. Канонические уравнения движения
дН' 1 •/ дН' 1 •/ дН' •/ дНг -г ,R -m
d<lk c dPk c дA\ дРх
приводят, с одной стороны, к F.48а) и, с другой стороны, к пра-
правильным уравнениям движения F.25), где Е = —grad ср—A/с)А,
а ср — определенная уравнением F.47) функция от координат час-
частиц q'k, которую надо брать в той точке, в которой находится
рассматриваемая частица.
Могло бы показаться, что при такой калибровке частицы взаи-
взаимодействуют только мгновенным кулоновским взаимодействием и что
запаздывающее взаимодействие отсутствует. Однако дело обстоит
не так. Эффект запаздывания содержится в той частей гамильто-
ниана, которая зависит от^поперечных волн; он появляется при
избранной^калибровке за счет"взаимного обмена световыми волнами
между частицами (ср. призер в § 24). " ~~"
Кулоновский член F.49) содержит также и члены вида e\/rkk.
Они описывают бесконечную собственную энергию точечного заряда.
Мы уже встречались с этой трудностью в § 4. В соответствии
с проведенной там дискуссией мы должны удалить такие члены или,
Лучше, считать, что они уже включены в энергию покоя частиц \ik.
Поэтому кулоновский член в F.49) следует понимать как
?
гфк '
Соотношение между лоренцовой и кулоновской калибровками
Можно (как непосредственно очевидно из § 1) сформулировать как
градиентное преобразование. С другой стороны, оно может быть
сформулировано как каноническое преобразование от пере-
5 Зак. 1260. В. Гайтлер
66 Гл. U Классическая теория излучения
менных qk) pk\ qa, ра; qXi px\ qQa,. р0<3 к новому набору
переменных q'k , p'k ; q[, р[; число пар канонических переменных
при этом уменьшается. Докажем последнее утверждение.
Каноническое преобразование удобнее всего выполнять с помощью
производящей функции Q (q, /?'), зависящей от старых координат q
и новых импульсов рг (мы пишем просто q, pf для обозначения
всех входящих пар). Тогда старые импульсы и новые координаты
определяются выражениями
Эти соотношения дают нам возможность выразить q и р через
q' и р>:
= q(.qf, p'), P=PW, P')
[разрешая F.51) относительно q и р]. Новым гамильтонианом будет
тогда (если только Q не зависит явно от времени)
H'tf, p') = H(q(q', p'),
a qr и pf будут автоматически удовлетворять уравнениям Гамиль-
Гамильтона с Нг в качестве гамильтониана.
В нашем случае каноническое преобразование будет несколько
сингулярного типа, поскольку число пар канонических переменных
при этом уменьшится. Некоторые из переменных р' не будут
входить ни в Q, ни в новый гамильтониан. Это обстоятельство
обусловлено наличием условия Лоренца. Положим
к а / к X
В эту функцию не входят /^ и р^. Записывая F.51) для всех
четырех пар переменных, находим
т. е. переменные поперечного поля не меняются. Далее,
к с°
Первое из этих уравнений совпадает со вторым из соотноше-
соотношений F.44д), выражающих условие Лоренца, а д^ = 0 означает, что
после канонического преобразования продольное поле исчезает.
Далее,
F.53в)
§ 6. Поле как суперпозиция плоских волн 67
Здесь первое уравнение совпадает с первым из условий Лоренца:
?б.44д), a q'Q(j=0 означает, что после канонического преобразования
не будет и скалярного поля. Наконец,
7 Р* = 1ЙГ == 7 pk + e* ^J ^a 4: grad ?а ^ = 7
Чл = с-Г^ = Чл» F.53г)
т. е. координаты частиц также не меняются. Импульсы частиц
претерпевают, однако, изменение; р^. оказывается кинетическим
импульсом частицы, движущейся в одном только продольном поле
Aion^. Это как раз то изменение, которое необходимо, чтобы пре-
преобразовать Нк в Ни-
Чтобы найти теперь новый гамильтониан, выразим все q, р в Н
через q', pf'. Учитывая сингулярный характер преобразования, это
представляется сначала невозможным, поскольку соотношения F.53)
не позволяют выразить qa, pa, qOa и рОа через отмеченные штрихом
переменные. Вместо этого возникают соотношения между самими ста-
старыми переменными. Эти соотношения как раз и являются условием
Лоренца и дадут нам возможность получить новый гамильтониан Нг
как функцию только от тех новых переменных, которые лишь и
остались у нас, т. е. от qrw p'ki q[ и р[. Старый гамильтониан
можно переписать в виде
F.54а)
к, о <з а
В силу (б.53а) член Нх не претерпевает изменений. В первом чл-ене вы-
выразим Нк как функции рк вместо рк. Соотношение (б.53г) пока-
показывает, что это изменение будет состоять в замене рк — екА на
Рл — ^fcAtp., где Atr. — только поперечная часть от А. Тогда Нк
становится в точности равным гамильтониану частицы в кулонов-
ской калибровке F.496)
«*(?*. Pk)=Hk(qk,pk). F.55)
Наконец, член Hs можно преобразовать с помощью F.536) и F.53в).
При этом почти все члены взаимно уничтожаются и останется лишь
68 Гл. 1. Классическая теория излучения
зависящий только от координат частиц. пЗначение Hs можно теперь
легко найти; Hs удовлетворяет как функция от qx уравнению
Пуассона
V? Hs =—-L 2 WP* @ ^ (ft) = — 4* 2 eiek44i — Чь)> F.56)
<f, Л 'ft
где 8(qi — q&) = 0, исключая случай, когда координаты двух частиц
совпадают. Последнее уравнение выражает общее свойство всех
ортогональных систем функций. (Определение 8-функции см. в § 8.)
Решением этого уравнения будет
S <6-б7>
г, к
Поэтому новый гамильтониан будет равен
F-58)
что в силу F.55) и F.57) совпадает с F.49).
Движение частицы определяется теперь только поперечным полем
Atr. и положениями всех остальных частиц, входящими в Н8. Тем
самым очевидно, что гамильтониан для кулоновской калибровки дей-
действительно получается из гамильтониана для лоренцовой калибровки
с помощью канонического преобразования.
Каждая из рассмотренных калибровок обладает своими достоин-
достоинствами и недостатками. Кулоновская калибровка проще, в ней уча-
участвуют лишь действительно имеющие физическое значение перемен-
переменные и нет дополнительных условий, связывающих переменные раз-
различных типов. Однако ей присущ и тот серьезный недостаток, что
она не является релятивистски инвариантной. В то время как вся
теория в целом, конечно, инвариантна, выбор кулоновской кали-
калибровки не является инвариантным условием, и при переходе к дру-
другой системе отсчета для ее сохранения няп потенциал?ми ррцуп-
дится соверщлхь, градиентное преобразование. Крупнейшим преиму-
преимуществом лоренцовой калибровки является ее ковариантность, вследствие
:чего она не требует градиентного преобразования потенциалов при
преобразовании Лоренца. Однако она сложнее, поскольку в ней
участвует много наборов переменных, частично связанных друг
с другом дополнительными условиями. ЭтоГ'приводит к определен-
определенным осложнениям в квантовой теории. Положение усложняется еще
•больше отрицательным знаком гамильтониана для скалярной части
поля. Поскольку, однако, с этими осложнениями удается справиться
»с помощью общего метода (см. § 10), то использование лоренцовой
калибровки дает большие преимущества во всех вопросах, в кото-
которых представляется желательным явно демонстрировать релятивист-
Литература 69
скую инвариантность. Для более простых задач теории излучения
мы будем пользоваться кулоновской калибровкой. В последующих
главах будет развита квантовая теория для обеих калибровок.
ЛИТЕРАТУРА
1. Abraham M., Theorie der Elektrizitat, if, Leipzig, 1923; Becker R., The-
orie der Elektrizitat, Leipzig, 1933.
2. Brinkmann H. C, Zur Quantenmechanik der Multipolstrahlung, Диссер-
Диссертация, Utrecht, 1932.
3. Lorentz H. A., Theory of the Electron, Leipzig, 1916 (см. перевод;
Лоренц Г. А., Теория электронов, М. — Л., 1934).
4. Poincare H., Rend, di Palermo, 21, 129 A906).
5. Fermi E., Rev. Mod. Phys., 4, 131 A932).
6. Weyl H., Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig, 1933.
7. Kramers H. A., Handb. u. Jahrb. Chem. Phys., Bd. I. Leipzig, 1938.
8*. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, М. — Л., 1948.
9*. Иваненко Д. Д., Соколов А. А., Классическая теория поляг
М.—Л., 1951.
* Добавлено редактором перевода.
Глава 2
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНОГО ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 7. Квантование поля излучения
1. Введение. Развитая в гл. 1 классическая теория справедлива
только до тех пор, пока можно пренебрегать всеми эффектами,
возникающими вследствие конечности планковского кванта действия h.
Прежде чем вводить в теорию эту новую постоянную, подчеркнем
еще раз те экспериментальные и теоретические факты, в силу кото-
которых необходимость квантования поля стала очевидной. Исторически
именно из самой теории излучения выяснилась необходимость отсту-
отступления от классической теории. В применении к задаче о тепловом
равновесии излучения с черным телом классическая теория привела
к хорошо известной „ультрафиолетовой катастрофе", заключающейся
в том, что плотность энергии для коротких волн стремилась к бес-
бесконечности. Чтобы обойти эту трудность, Планк (и позднее Эйн-
Эйнштейн) допустил, что энергия монохроматической волны с частотой v
может принимать лишь значения, являющиеся целыми кратными
некоторой пропорциональной частоте единицы
Е = пЬ. G.1)
Здесь п — целое число, число световых квантов или фотонов;
2nh = h — универсальная постоянная Планка. Предположение G.1)
привело к правильной формуле для излучения черного тела. Это
означало, конечно, что классическая теория, несовместимая с пред-
предположением подобного рода, была уже в значительной степени
оставлена.
Квантование G.1) монохроматической волны вместе с законом
сохранения энергии привело к хорошо известному условию частот
Бора. Последнее, равно как и все представление о фотонной картине
световых волн, согласуется с бесчисленными опытами атомной и
ядерной физики.
В соответствии с G.1) пучок света (рентгеновских лучей, ^-лучей)
состоит, с одной стороны, из некоторого числа фотонов. С дру-
другой стороны, он может приводить к диффракционным явлениям,
характерным для классического представления о волне.
Именно эта двойственная природа света, согласно которой он
может проявляться то как волна, то как частица, обусловливает
необходимость квантования световых волн для их описания.
Необходимость квантования электромагнитного поля очевидна
также и из других соображений более теоретического характера:
§ 7. Квантование поля излучения 71
если мы допустим, что для описания частиц применима квантовая
механика, то увидим, что квантование поля логически связано с этой
теорией. Квантовые свойства частицы выражаются в соотношении
неопределенностей между .координатой и импульсом
Д?Д/?~Йс G.2)
(импульс в энергетических единицах). Но это соотношение было бы
немедленно опровергнуто, если бы для пучка света выполнялась клас-
классическая теория, ибо если бы дело обстояло таким образом, то мы
могли бы точно определить координату частицы с помощью сходя-
сходящегося пучка света (-^-микроскоп Гайзенберга), не передав ей замет-
заметного импульса, поскольку импульс светового пучка мог бы быть
сделан сколь угодно малым. Поэтому, если бы импульс р был измерен
ранее, можно было бы узнать положение и импульс с точностью,
выходящей за пределы G.2). Чтобы условие G.2) не нарушалось,
несмотря на возможность такого опыта, необходимо, чтобы для
пучка света существовало соотношение неопределенностей та-
такого же типа, как и G.2). Мы увидим, что дело будет обстоять
именно так, если световые волны проквантованы (см. п. 4). Тогда
световой пучок, если его частота и форма позволяют произвести
измерение координаты с точностью Д#, обязательно будет обладать
некоторым минимальным импульсом, который имеет неопределенность
Др. Этот импульс будет передаваться частице способом, не допу-
допускающим контроля экспериментатора, и соотношение неопределен-
неопределенностей G.2) сохранится и после измерения положения частицы1).
При построении формализма квантовой электродинамики легче
всего руководствоваться формальной аналогией между классической
механикой и классической электродинамикой, специально подчеркну-
подчеркнутой в § 6. Поэтому в настоящем параграфе мы будем описывать
поле набором канонических переменных и воспользуемся уравнениями
поля в форме уравнений Гамильтона. Тогда квант действия h можно
будет ввести так же, как и в обычной квантовой механике.
2. Квантование свободного поля излучения2). Рассмотрим
свободное поле излучения, которое образуется суперпозицией одних
лишь поперечных волн. В случае кулоновской калибровки НИК.8КШЕ
других волн не существует вовсе. Такое, поле можно получить из
векторного потенциала А, который, согласно F.14), можно записать
х) Детальное обсуждение этого опыта см. в книгах [1, 2].
2) Квантовая теория свободного поля излучения была впервые разработана
Дираком [3], Иорданом и Паули [4]. Общая схема квантовой электродина-
электродинамики обязана своим построением Гайзенбергу и Паули [5]. Относительно
квантования продольного и скалярного поля и перехода к кулоновской кали-
калибровке см. также работу [6] и общие обзоры [7—9].
72 Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
в виде ряда по плоским волнам (мы пользуемся комплексным пред-
представлением):
А = 2 (ЯЛ + (/хАх), div Ах = О
х G.3)
Вводя канонические переменные
Ок = Я\ + Я* и Р\ = — *\(.Я\ — Я*)> G*4)
получим для энергии отдельной волны
Нх=±(Й + Лф. G-5)
Если квантовая теория излучения записана в такой форме, то вопрос
о том, как вводить квант действия /г, становится совершенно три-
тривиальным. В точной аналогии с обычной квантовой механикой мы
должны считать теперь канонические переменные каждого осцил-
осциллятора поля некомму тирующим и операторами с перестановоч-
перестановочными соотношениями:
[PXQX] EEE3 PXQX — QXPX = — /й,
0 ( ' j
Результат такого квантования в применении к гамильтониану G.5)
получается из хорошо известного квантовомеханического рассмотрения
гармонического осциллятора. Собственные значения энергии для такого
осциллятора равны
(). G-7)
где пх — целое число. Амплитуду Qx можно для каждого значения к
представить эрмитовой матрицей (образуемой не зависящими от
времени собственными функциями осциллятора)
—О*
2v ' G.8)
Qn, n'=0, если /г'=7=/г±: 1.
Поэтому Qx обладает отличными от нуля матричными элементами
только для таких переходов, для которых квантовое число пх
к-то осциллятора поля увеличивается или уменьшается на единицу.
Согласно G.4), комплексные амплитуды qy q*, которые не являются
эрмитовыми, можно представить как
п — -i/^Cft+l)
4n,n+i— у ¦ ^ у
* ,ГЬ(п-\- 1) G Q)
Яп+ип=у -^—-у к }
Яп + 1, п === Яп, п+1 = 0.
§ 7. Квантование поля излучения 73
Здесь q* — матрица, эрмитово сопряженная с q\ однако мы сохраним
для нее обозначение обычного комплексного сопряжения q*. Выше
мы приняли, что L3=?l, в противном случае все амплитуды q, (f
имели бы множитель L~3/a.
В силу G.4), G.6) и G.9) амплитуды q удовлетворяют переста-
перестановочным соотношениям
Я\ я1 —я1ч\ = 57Х Sxix G.10)
(l = 0 или 1 в зависимости от того, являются ли осцилляторы X
и [А различными или совпадают).
В соответствии с первоначальной гипотезой Планка G.1) каждый
осциллятор поля обладает энергией, являющейся целым кратным h\.
Однако создается впечатление, что каждый осциллятор обладает еще
нулевой энергией 11%Ъ\ даже в низшем состоянии с пх = 0. Поскольку
число осцилляторов поля в некотором заданном объеме бесконечно,
то этот вывод приводит нас к необходимости приписать вакууму
бесконечную нулевую энергию. Эта трудность, однако, чисто фор-
формальная. Примененный метод перехода от классической теории
к квантовой не единственен, поскольку q и q* являются некомму-
тирующими величинами. Гамильтониан G.5), записанный через опе-
операторы q; имеет вид
Hx = 4(qxql+qU^ G.11)
Но G.11) можно было бы с равным успехом записать, не нарушая
соответствия с классической теорией, с измененным порядком следо-
следования операторов q*k и qx в одном из членов. Например, мы могли
бы написать вместо G.11)
l(P^ + vxQx)-|bx. G.12)
Но тогда гамильтониан G.12) имел бы собственные значения
n
—nx = qiqx G.13)
и нулевая энергия исчезла бы.
Состояние поля излучения описывается теперь числами пх для
всех осцилляторов поля.
В классической теории амплитуды Qx или qx и qx зависят от
времени. В квантовой теории мы заменили их операторами, не зави-
зависящими от времени, точно так же, как в уравнении Шредингера
Px(t) переходит в —^7Г~- Зависимость какого-либо явления от
Времени будет выражаться теперь изменением со временем волновой
функции. Так как в классической теории QX = PX и Рх = — v
74 Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
то мы видим из G.4), что производные от q^ и q\ по времени пере-
переходят в операторы
—/vxft вместо qx и + i\q{ вместо ql. G.14)
Отсюда следует, что напряженности полей будут предста-
представляться операторами [используем G.3)]:
Е А +
— ql Ах),
* ' G.15)
Н = rot А = / 2 (ft [х>А] — ft [xxAj]).
2
Для гамильтониана мы получим тогда
]?2 G.15')
Такое представление, в котором амплитуды выражаются опера-
операторами, не зависящими от времени, называется (в отличие от дру-
другого представления, которое будет введено ниже) представлением
Шредингера.
Рассмотрим теперь импульс поля, определяемый в классической
теории формулой
0 = 1/ [ЕН]Л. . •
Импульс G также можно представить в виде суммы
, G.16)
где Gx — импульс плоской волны.
Используя нормировку F.16) для Ах и соотношение ххех =
получаем
7 GЛ7)
где хх — вектор, направленный по направлению распространения-
волны, длина которого равна обратному значению длины волны.
Порядок операторов q и q* в G.17) мы снова выбрали таким
образом, чтобы не появилось нулевого импульса. Выражение G.17)
для импульса совпадает с точностью до численного множителя с выра-
выражением G.12) для энергии. Поэтому импульс коммутирует с энергией,
а его собственные значения равны
Gx = съупф = %кх, | кх | = fox, G.18)
где кх — вектор, направленный по направлению распространения с
длиной h\.
§ 7. Квантование поля излучения 75
Таким образом, энергия и импульс световой волны являются целыми
кратными величин к>. Кроме того, как мы видели в § 2, эти вели-
величины преобразуются при преобразованиях Лоренца как составляющие
4-вектора. П
плоская волна .ведет себя в точности так же, как пунак^п свободных
^ и.импульсом k(k = hv) \щ$$дая. Эти частицы
называются световыми квантами, или фотонами. Энергия покоя
светового кванта равна, в силу G.13) и G.18), нулю
Gl — Et = Q. G.19)
Ниже мы увидим, что при взаимодействии светового кванта, напри-
мер, с электроном энергия и импульс сохраняются.
С другой стороны, мы увидим, что квантованная волна попрежнему
сохраняет классические волновые свойства, т. е. может интерфери-
интерферировать и т. д.
Трансформационные свойства светового кванта при преобразова-
преобразовании Лоренца совпадают с выведенными в § 2 для полного импульса
и энергии частицы. Из B.44) получаем для системы, движущейся
вдоль оси х,
k'y = ky, ft' = (ft —^И. G.20)
или, если обозначить угол между k и осью х через 6 и переписать
G.20), для частот
iNe coseiL G.21)
— Р COS
Первое из этих уравнений представляет собой хорошо известную
формулу для эффекта Допплера. Второе уравнение, утверждающее,
что направление светового кванта в движущейся системе координат
отличается от направления в покоящейся системе, описывает
явление аберрации. Оба эффекта являются, конечно, классическими
(но релятивистскими), и их легко можно было бы вывести из формул
преобразования, приведенных в § 2.
Для каждой плоской волны \ у нас было выбрано определенное
направление поляризации ех. Поэтому каждый световой квант обладает
также определенной поляризацией. Вместо выбранной ранее линейной
поляризации можно было бы выполнять разложение по волнам, поля-
поляризованным по кругу. Мы получили бы тогда циркулярно поляризо-
поляризованные фотоны. Переход^ от одного набора независимых поляриза-
поляризаций (дл, Qo) к другому заключается в линейном преобразовании двух
независимых амплитуд ?1_и_д^ртносяцш^^ пре-
о5разование можно совершенно тривиальным" образом" представить
в виде канонического преобразования операторов qt и q.2.
76 Г л, 2. Квантовая теория свободного поля излучения
Мы разложили поле по плоским волнам. Мы могли бы провести
разложение, например, по сферическим или цилиндрическим волнам
и получили бы тогда фотоны, описывающиеся такими волнами. Такое
представление удобно для обсуждения вопроса о моменте света.
Переход от плоских волн к сферическим включает линейное пре-
преобразование волн с различно направленными % и опять может быть
выражен в виде канонического преобразования. Вопрос о моменте
света мы обсудим в приложении I.
Физическое содержание развитой здесь квантовой теории попе-
поперечных волн заключено, по существу, в допущении Планка G.1).
Наша теория является просто последовательным формализмом, выте-
вытекающим из этого основного допущения.
„Дуалистическая природа" света как волны и как пучка свобод-
свободных частиц, следующая из проведенного квантования, аналогична
дуалистической природе пучка свободных электронов (которым свой-
свойственна и природа частиц и природа волн де-Бройля). Эта аналогия
чрезвычайно плодотворна для развития квантовой теории, но все же
ее не надо переоценивать. Существование дискретного набора свето-
световых квантов является лишь результатом квантования. Соответствующая
классическая теория существенным образом является теорией поля,
поскольку при предельном переходе Й-»0 световые кванты пере-
перестают существовать; в то же время для пучка электронов кванто-
квантованием вызваны как раз волновые свойства, а классическая теория
является существенным образом теорией частиц. Корпускулярные
свойства светового кванта содержатся в приведенном выше соотно-
соотношении между энергией и импульсом, и нет никаких указаний на то,
что, HgnPHMeP>,, представлению о ^положенцц св^товогр_квянтяц
(или"о ^^оятности положения") можно придать какой-либо простой
физич[ ески JLfcMjbic л #
Для того чтобы при переходе к классической теории квантовая
электродинамика действительно превращалась в теорию поля, суще-
существенно, чтобы световые кванты подчинялись статистике Бозе—
Эйнштейна. Последнее очевидно, поскольку световые кванты по-
появляются в теории лишь как квантовые числа осцилляторов поля.
Поэтому два световых кванта нельзя отличить друг от друга. Кроме
того, число световых квантов, приписанных каждому осциллятору,
не ограничено. Если рассматривать осцилляторы поля как „квантовые
ячейки", то состояние всего поля излучения будет определяться
заданием чисел неразличимых частиц в каждой квантовой ячейке
(чисел заполнения). Но это в точности те переменные, с помощью
которых определяется в статистической механике микроскопическое
состояние ансамбля Эйнштейна — Бозе. Применяя обычные статисти-
статистические методы, мы получим формулу распределения Планка.
Если бы световые кванты удовлетворяли статистике Ферми—
Дирака, т.е. каждый осциллятор поля мог бы содержать не более одного
.кванта, то, выполняя предельный переход к классической теории,
§ 7. Квантование поля излучения 77
^никогда нельзя было4 бы получить теорию поля. Если бы это было
возможно, то даже для радиоволн интенсивность никогда не могла бы
превышать йч и убывала бы с возрастанием длины волны. Поэтому
длинные волны вряд ли могли бы вообще существовать. Принцип
суперпозиции, характерный для классической теории поля, не выпол-
выполнялся бы, поскольку при суперпозиции двух волн с равными длинами
волн и равными фазами мы можем получить волну с той же длиной
волны, но с большей интенсивностью.
Поэтому для ансамблей Ферми — Дирака классическая теория
поля не может существовать; такие ансамбли могут существовать
в классической теории только как системы частиц (ср. также заме-
замечания в § 12, конец п. 3).
3. Амплитуда состояния поля излучения. После квантования
полевые величины А, а следовательно, и Е и Н становятся операто-
операторами, которые должны действовать на волновую функцию или ампли-
амплитуду состояния W1). Амплитуда состояния удовлетворяет общему
уравнению Шредингера
G.22)
где Н—гамильтониан системы. Для свободного поля излучения
гамильтониан дается выражением G.15'), // = 2//х. Мы, очевидно,
имеем дело с бесконечным числом степеней свободы, каждой из
которых соответствует один осциллятор поля. Если гамильтонианом
является выражение G.15'), то взаимодействие между осцилляторами
поля отсутствует и собственное состояние оператора Н должно пред-
представляться произведением *PA)iFB) . . . W(X) . .. нормированных соб-
собственных амплитуд состояния Ч^ } отдельных //х. Поскольку собствен-
собственными значениями операторов Нх являются Ех — пф\, то мы можем
характеризовать различные состояния №{Х) числами заполнения пх\
{l) Wnx, дх = 0, 1, 2, ...
, G.23)
Общее решение уравнения G.22), тогда будет, конечно, предста-
представляться в виде
2 ... 4Fnx .... G.24)
*)^В дальнейшем мы будем предпочитать название „амплитуда состоя-
состояния" для ?, чтобы избежать смешения с волновой функцией ф частицы,
подчиняющейся уравнению Дирака, которая в дальнейшем (см. § 12) также
станет объектом вторичного квантования. В общем случае ? описывает со-
состояние системы с любым числом фотонов, электронов и т. д. [В советской
литературе иногда прибегают к буквальному переводу „вектор состояния"
употребляемого автором английского термина „state vector", однако термин
«амплитуда состояния" представляется нам более удачным. — Прим. ред.]
78 Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
где \с...п ...@|2 — вероятность найти пх фотонов типа 1, пх фото-
фотонов типа X и т. д. Собственным решением G.22) с полной энер-
энергией Е = 2 Ех будет
х. G-25)
Мы пишем здесь Wn^ (t) для собственной функции, содержащей
временную экспоненту.
Если поле взаимодействует с частицами, то в гамильтониане Н
должны содержаться члены, описывающие взаимодействие (см. гл. 3).
Разложение G.24) будет возможным и в этом случае (во всяком
случае, если используется кулоновская калибровка и поле состоит
лишь из поперечных волн), однако его коэффициенты будут тогда
зависеть от времени более сложным образом.
Мы не сказали пока ничего о тех переменных, от которых за-
зависит Wn . Это несущественно. Можно было бы выбрать в качестве
таких переменных амплитуды Qx, и тогда Wn были бы хорошо из-
известными эрмитово ортогональными функциями. Однако величины_Q
трудно наблюдаемы и во всяком случае не имеют__брльш_ого значения^
bo всяком случае, какие бы переменные ни были избраны, функции Wn
будут ортогональны и нормированы (ЧР^^ю') = <W для каждого к.
Скобки означают здесь интегрирование по переменным, от которых
зависит W. Матричные элементы операторов q и q*, образованные
с помощью Wn , определяются (для каждого X) уравнениями G.9)
• G.26)
где индекс „ор.а добавлен, чтобы подчеркнуть смысл q как опера-
оператора, действующего на W. Матричные элементы операторов q , q* 9
образованные с помощью собственных функций Wn (t)9 зависящих
от времени, равны тогда, очевидно,
@) = чп, «+i«-4
Эффект действия оператора qov. на х? можно усмотреть теперь
немедленно из G.26) и ортогональности W. Обозначая переменные
§ 7» Квантование поля излучения 79
от которых зависит W (какими бы величинами они ни были), через х>
получаем
- G-27)
х ?о#РТ«(*) = Уп + 1 Wn+1 (х);
У
аргументы в обеих частях считаются одинаковыми.
Таким образом, операторы дОр. или <7оР.> действуя на функцию *Fn>
превращают ее в функцию Wn_1 или соответственно ^п+1 от тех
же аргументов. Состояние, описываемое функцией №„_!, предста-
представляет собой состояние, в котором одним фотоном (рассматриваемого
сорта К) меньше, чем в состоянии lFn. Поэтому д^ описывают
поглощения фотона А, а д*х— испускание. Операторы q и ^*™^^
дают матричными элементами, отличными от нуля только для погло-
поглощения, или соответственно испускания, одного фотона, и никакими
больше (читайте индексы справа налево!).
Кроме представления Шредингера (в котором операторы не за-
зависят от времени, a W — зависит), можно пользоваться и таким
представлением, в котором временная зависимость переведена на
операторы и W не зависит от времени. Это будет представление
Борна — Гайзенберга, использованное этими авторами в их матрич-
матричной формулировке квантовой механики. Ниже, когда будет рас-
рассматриваться взаимодействие между светом и частицами, мы будем
часто пользоваться промежуточным представлением, называемым
представлением взаимодействия, где временная зависимость отне-
отнесена частью к операторам, частью к амплитуде состояния. Для сл}г-_
а б й
Д
чая свободного поля излучения представления взаимодействия и
Ьорна—Гайзенберга совпадают. Поскольку последнеевообще не
будет использоваться в этой книге, то мы уже сейчас будем поль-
пользоваться термином „представление взаимодействия".
Переход к представлению взаимодействия может быть выполнен
с помощью простого канонического преобразования. Будем обозна-
обозначать все величины в новом представлении штрихами. Тогда
\Yr=,eiminWt или W'nx = e1^ Wnx(t). G.28)
Новая амплитуда состояния W не зависит от времени, со-
согласно G.22),
Ж' = iheiHt/n W — eiHt/nHW = 0. G.29)
Поэтому собственное решение W'n для какого-либо отдельного
осциллятора совпадает с собственной функцией х?п без временного
множителя.
80 Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
Новые операторы q'Q и q* , явно зависящие от времени, должны
быть такими, чтобы матричные элементы q' и q'*, образованные
с помощью новых, не зависящих от времени функций W, совпадали
с матричными элементами G.260 операторов q и q*, образован-
образованными с помощью старых, зависящих от времени функций Wn(?):
ИЛИ
4 ' * G.30)
af = а р-Ы // -_- П* р+Ы
(для каждого А). Перестановочные соотношения между qr и q! не
изменяются
Операторы ^' и ^'* зависят теперь от времени, а их временные
производные
Up. =—'<.. <;. = + '< G.31)
выражаются так же, как и для классических величин, но G.31)
представляют собой, конечно, операторные соотношения. Соответ-
Соответственно, векторный потенциал запишется теперь в виде
a' (t)=Vis?» 2 (?Iax+4>j) -
= У4^2(^~^*Ах + ^+^аГ). G.32:
Теперь А'(?) зависит от времени, и напряженность электрического
поля можно получить непосредственно из операторного соотноше-
соотношения Е = А, которое опять приводит к выражению G.15) только
с
с q и q*, замененными на qr и q'*. В гайзенберговском представление
операторы удовлетворяют тем же самым дифференциальным урав-
уравнениям, что и соответствующие классические величины.
Переход к представлению взаимодействия совершенно тривиален
однако дает следующее преимущество. Когда мы будем рассматри-
рассматривать в дальнейшем взаимодействие с частицами, то гамильтониан h
надо будет дополнить членом, описывающим это взаимодействие
Если мы воспользуемся описанным здесь представлением, подставля*
в G.30) в качестве Н только гамильтониан свободного поля излуче-
излучения (и невзаимодействующих частиц), то №' будет все еще зависев
от времени, но эта зависимость будет тогда обусловлена толькс
взаимодействием, а свойственная свободным полям тривиальна:
экспоненциальная зависимость будет устранена. Это составляе'
§ 7. Квантование поля излучения 81
большое преимущество при трактовке взаимодействия как возму-
возмущения.
4. Световые кванты, фазы и аналогичные вопросы. Величины,
описывающие поле излучения, например напряженности полей, числа
световых квантов и т. д., н1^ обладают определенными численными
значениями, но являются квантовомеханическими величинами, кото-
которые, вообще говоря, не коммутируют. Какая-либо пара таких ве-
величин будет удовлетворять некоторым перестановочным соотношениям,
которые будут определять их поведение. Перестановочные соотно-
соотношения для напряженностей поля мы обсудим подробно в § 9. Здесь
мы ограничимся кратким рассмотрением таких соотношений, в ко-
которых участвуют числа световых квантов.
Число световых квантов л-го осциллятора поля представляется
матрицей
Из каждого квантовомеханического перестановочного соотноше-
соотношения всегда можно вывести соответствующее соотношение неопреде-
неопределенностей. Если две физические величины А и В удовлетворяют
уравнению
АВ — ВА = С, G.34)
где С — число, то А и В должны удовлетворять соотношению не-
неопределенностей
ДЛДВ>|С|, ¦ G.35)
смысл которого состоит в следующем: если значения А и В известны
лишь приближенно, и если величину А мы знаем с неточностью АЛ, то
величину В мы можем знать только с неточностью, превышающей С/ЛЛ.
Любая экспериментальная попытка обойти задаваемые соотношением
G.35) пределы нашего знания с помощью точного измерения, скажем,
сперва Л, а потом В, обречена на неудачу вследствие взаимодей-
взаимодействия между измерительной аппаратурой и системой. Ясно, что пх
не коммутирует с напряженностями поля Е или Н, задаваемыми
формулами G.15). Если п обладает определенным значением, то
напряженность электрического поля не имеет определенной величины
«Г^фдюктуирует вокруг некоторого среднего^^щаченияГ" Это имеет
$?с/Т6 и "в" том случае," когда световых кв^нтов^ет вообще (п = 0).
Хотя среднее значение Е будет в этом случае равно нулю, тем не
менее Е будет все время испытывать флюктуации вокруг этого
среднего значения *). Эти нулевые флюктуации электрического поля
w *) Нулевые флюктуации электрического поля Е не имеют непосредствен-
непосредственной связи с нулевой энергией (см. п. 2;, носящей чисто формальный
характер.
6 Зак. 1260. В. Гайтлер
82 Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
приводят, например, к возникновению определенных составляющих
собственной энергии свободного электрона в пустом пространстве
(см. § 29).
Вместо напряженности электрического поля Е можно ввести
фазу <р волны, полагая (для каждого к)
Тогда для <р получим, согласно G.10), уравнение'
е*?, G.36)
которое будет выполнено, если ср и п удовлетворяют перестановоч-
перестановочным соотношениям 1)
срд — n<r>= — i G.37)
и соотношениям неопределенностей
ДлАср>1. G.370
Следовательно, число световых квантов п и (умноженная на h)
фаза ср являются канонически сопряженными переменными. Из G.37')
следует, что если число световых квантов в волне задано, то
фаза этой волны полностью неопределенна, и наоборот. Если для
двух волн известны разности фаз (но не абсолютные фазы), то
можно определить полное число световых квантов, но останется
неопределенным, к какой из волн они относятся.
Теперь можно показать, что для квантованной световой волны
действительно, как то и было постулировано вп.1, выполняется соот-
соотношение неопределенностей G.2). Это соотношение неопределенно-
неопределенностей не может, конечно, относиться к положению и импульсу
светового кванта, поскольку представление о положении светового
кванта не имеет определенного смысла. Уравнение G.2) выражает
следующий факт: если пучок света выбран таким образом, что он
может дать изображение точки (электрона) по координате х с не-
неточностью Ах, то х-составляющая импульса этого пучка должна
обладать неопределеньостью, не меньшей AGx^ch/Ax.
Согласно классической оптике, изображение точки может быть
образовано, например, сходящимся монохроматическим пучком света
с телесным углом апертуры Ь и длиной волны А, однако благодаря
*) Это можно показать следующим образом: повторным применением G.37)
легко вывести уравнение
С его помощью G.36) доказывается немедленно, если разложить экспоненты
в ряды
§ 8. Функции о, Д и связанные с ними функции 83
диффракции фокус будет обладать в .^-направлении конечным про-
протяжением, определяемым формулой
Формула G.38) определяет размеры изображения, т. е. неточность
в измерении положения электрона.
Сходящийся пучок света можно построить из набора плоских
волн с одной и той же длиной волны, но различными направлениями
распространения %. Суперпозиция этих плоских волн должна, конечно,
производиться с заданными разностями фаз, иначе пучок не будет
обладать определенным фокусом. Тогда из G.37') следует, что хотя
полное число световых квантов может быть известно, их распреде-
распределение по отдельным плоским волнам будет совершенно неопреде-
неопределенным. Поскольку импульс G пучка прямо определяется числом
световых квантов в каждой плоской волне, то и он не будет иметь
точного значения.
Точное квантовомеханическое представление подобного сходя-
сходящегося пучка света весьма сложно. Однако неопределенность в зна-
значении G можно оценить путем следующего простого рассуждения:
если предположить, что полное число квантов в пучке равно еди-
единице, то неопределенным останется то, к какой плоской волне отно-
относится этот единственный квант, т. е. направление кванта. Он сможет
быть направлен произвольно в пределах апертуры пучка 0. Следо-
Следовательно, ошибка в Ох будет равна
AOa,«ftsin0 = bsin6. v G.39)
Но из G.38) и G.39) мы действительно получаем соотношение не-
неопределенностей
№xbxtthc, G.40)
постулированное в п. 1.
Мы видим, что соотношение неопределенностей G.40) является
простым следствием того обстоятельства, что импульс не может
быть меньше Ь.у.
§ 8. Функции 8, А и связанные с ними функции
В квантовой механике, и тем более в квантовой электродинамике,
введенная Дираком 6-функция стала важным математическим ору-
орудием, дающим возможность серьезно упростить многие выводы и
вычисления. В квантовой теории излучения и в релятивистской тео-
теории электрона особое значение приобретают релятивистские обоб-
обобщения . 8-функции. Мы посвятим этот параграф математическому
6*
84 Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
изложению свойств таких сингулярных функций, насколько они нам
понадобятся 1).
1. Функции 5(х), 3(г), Р\х и ?(*)• Дельта-функция является
операторной величиной, которая приобретает смысл только,
если она стоит под знаком интеграла. Когда ниже будут встре-
встречаться уравнения, в которых участвует „голая" 8-функция, их всегда
надо будет понимать как такие операторные соотношения.
Определим о-функцию как
* пт Г е{™A%^— Mm f cosx*dx = -i Urn 5!l^?# (8.1)
Предел при /С-> сю сам по себе, конечно, не существует. Если,
однако, правая часть (8.1) будет умножена на регулярную при
х==0 функцию и проинтегрирована по х по некоторому интервалу,
включающему точку х = 0, то предельный переход можно будет
выполнить после интегрирования и предел будет существовать. Мы
получим
*-*°° ~аК
= I lim f f(±}*±Ldy = f@). (8.2)
Поэтому о(х) можно мысленно представить себе как „функцию*,
обращающуюся в нуль при х Ф 0, но обладающую при х = 0 столь
сильной сингулярностью, что
J 8 (*)<**= 1 (8.2'
для получения последней формулы надо положить f(x)—\]. Выра-
Выражение (8.1) надо всегда понимать в таком смысле. Функция 8(jc'
теряет смысл, если она умножается на функцию f(x), которая сама
обладает особенностью при х = 0. Выражения типа о(х)/х суще-
существенно произвольны и получают определенное значение только после
того, как добавлены какие-либо дополнительные предписания.
Функцию §(лг) можно представить многими различными путями
Каждая полная система ортогональных волновых функций ип(х) дает
нам такое представление благодаря теореме полноты
Ях') = Цх — х'), (8.3
1) Математическое изложение свойств 5-функции см. в работе [10].
§ 8. Функции о, А и связанные с ними функции 85
где индекс п может быть и дискретным и непрерывным (или сме-
смешанным). Из (8.1) следует, что 8(лг) является четной функцией от х,
так что
8(-*) = 8(*). (8.4)
В смысле (8.2) можно также утверждать, что л;8(л;) = 0. Далее, из
Свойств определения (8.1) видим, что
~jl(x) (8.5)
О (X XiL-b(x Хо) /о о.
Последнее соотношение получается сразу, если учесть, что в ин-
интеграл (8.2) дают вклады только такие точки, для которых аргумент
8-функции обращается в нуль, и использовать (8.5).
Аналогично,
о (* — Art) S (а: — х2) = 8 (х — хх) 8 (хх — хг) =
= о (* — х2) о (хх — х2); (8.60
8-функцию можно определить также и как контурный интеграл
в комплексной плоскости. Пусть С — замкнутый контур, внутри
которого лежит точка х = 0, но нет особенностей функции f(x).
Тогда
и мы можем написать
8(*) = JL-L , 8.7
где символ С означает, что последующее интегрирование по х
должно совершаться по контуру С; С можно выбрать в виде беско-
бесконечно малого круга.
Можно определить также и производную о' (х) от 8-функции
8'(х):=1 lim (И^21Е^ — ЩКх) (8.8)
которую следует понимать в том же смысле, что и (8.2). Свойства
произведения 8' (х) на f(x) легко установить, выполняя интегриро-
интегрирование по частям и учитывая, что ?(л:) = 0 для х Ф 0:
fV(x)f(x)dx = — /@). (8.9)
Очевидно, что 8' (х) — нечетная функция от х.
Поскольку 8-функция — четная функция от х, то значение инте-
интеграла, начинающегося от точки х==0, равно половине значения
86 Гл, 2. Квантовая теория свободного поля излучения
интеграла от —а до -\-Ь [это можно непосредственно установить
из (8.2)]. Поэтому
1 Г -4-1 (*>0)
= 1в(*), е(*) = П\ ^п (8.10)
2 }_1 (Х<0)
е'(л;) = 2о(л;), з2(л:)=:1. (8 Л О')
Трехмерная 8-функция о (г) определяется равенством
S (r) s 8 (х) S (у) b(z)=^f «*<*'ИЧ (8.11)
где d!i% = dy.xd%yd%z и интегрирование производится по всему -/-про-
-/-пространству; 3(г) обладает свойством
(8.1 Г)
где интегрирование совершается по некоторой области, включающей
точку г = 0. Если /(г) непрерывна при г = 0, то очевидным обра-
образом можно написать также и
Оба выражения в правой части (8.12) приводят после интегрирова-
интегрирования по объему к тому же результату, что и 3(г). Деление на г2
и г допустимо здесь потому, что элемент объема dx содержит мно-
множитель г9. В (8.12) фигурируют множители 1/2тт, а не 1/4тс, по-
поскольку интегрирование по г совершается от точки г = 0.
В дополнение к определенной равенством (8.1) 8-функции важную
роль будет играть также и функция *)
к
l(x) = — i liin Г eiAJCd*= li
И in
\~е
\Кх
- cos Кх
К X ) X
Функция
К +oo
cos Kx .. С . , 1 Г ,- , ч , /о i лч
= lim I sin y.x d* = -7ГГ I etXire(x)ax (o.l4)
0 —oo
') Функция — -хт ''<* К*) обозначается обычно в литературе через S_ (x),
а функция —— I* (х) — через Ь+ (х). Поскольку в этой книге~комбинация
2nio+ (x) будет встречаться чаще, чем о+ (х), то мы сочли удобным ввести
обозначения ? и I*.
§ 8, Функции Ь, А и связанные с ними функции
87
называется главным значением 1/х. Она ведет себя, как \'/х везде,
исключая точку х Ф О (быстро осциллирующий cos Kx ничего не
будет вносить в интегралы по х), но для х = 0 функция Six обра-
обращается в нуль._ После умножения на f{x) и интегрирования по х
это эквивалентно тому, что малый интервал (—е... -f-s), сим-
симметрично взятый вокруг точки л; = 0, исключается из области инте-
интегрирования
X J
s
(8.15)
Тот факт, что исключаемый интервал должен быть расположен сим-
симметрично относительно точки х = 0, следует из нечетности функ-
функции §/х. Функция, комплексно сопряженная к ?(.*;), равна
к
С* (л:) ===== —|— г lim e'ixxdy. = -^-4- 1пй(х) =— С(—х). (8.16)
Для функций о(х), С (л:), С* (л:) можно найти много различных
представлений. На комплексной плоскости все три функции можно
определить как 1/х, только с особым.пу- а
тем интегрирования для каждой функции.
Для 8/х интегрирование должно, очевидно,
выполняться вдоль действительной оси с вы-
выброшенным интервалом (—©. .. -f-е). Чтобы
найти пути интегрирования для С(лг) и С(х),
отметим, что контурный интеграл по малому
полукругу около точки х = 0 в верхней
полуплоскости (взятый в положительном
смысле, т. е. против часовой стрелки) ра-
равен 4-*тс- Поэтому, согласно (8.13) и (8.16),
функции $/х, С, Г и о(х) определяются
интегрированием по контурам, изображен-
изображенным на фиг. 3. Сдвигая путь интегрирова-
интегрирования на прямую, расположенную немного
выше или ниже действительной оси, и заменяя переменную х,
скажем, на x±fa, можно получить также и представления
= 1im 7tt, ?(*)= lim тЛт:> (8.17а)
Фиг. 3. Пути интегри-
интегрирования выражения 1/х,
определяющие функции:
а)
П (х); в) :*
2tu5 (x).
9
Дифференцированием последнего из них получается также
QX
а->0
а2J *
(8Л7б)
(8.17в)
88 Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
Интегрирование совершается теперь во всех случаях вдоль действи-
действительной оси. Предельный переход о —> О должен, конечно, во всех
случаях выполняться после интегрирования.
Очевидно, что ~
xC(jc)=xC(jc)=1. (8.170
Дальнейшие свойства функций С(л:) и С*(х) будут отмечены урав-
уравнениями (8.40) и A6.4'). Значение произведения
?L §(*) = — lim
зависит от того, какой из предельных переходов, по а или по с',
будет выполняться в первую очередь и является поэтому произволь-
произвольным. Если, однако, добавить сюда еще и то условие, что оба пре-
предельных перехода должны выполняться одновременно с о = о', то мы
получим
@- 8 (х) = — — о' (х). (8.18"
XI
Еще одним представлением для 8-функции, которое понадобится нам
в следующем параграфе, служит
\ \ \ cos isx
о(х) = ~ Нт — 2~~^# (8*19>
Соответствующие свойства легко выяснить таким же образом, как
в (8.2), учитывая, что
Представление (8.19) подсказывается также и тем обстоятельством
что, согласно (8.17),
где индекс а указывает на то, что для С используется „з-предста-
вление" (8.17). Если использовать вместо последнего /С-представле-
ние (8.13), мы получим аналогичное соотношение с о, замененные
на 1//С. Действительно, согласно (8.13) и (8.19),
Очевидным релятивистским обобщением трехмерной S-функции 8(г
будет
§ 8. Функции Ъ, И и связанные с ними функции 89
Функция §4(х) обладает, например, свойством
= dx dxo
и может быть представлена интегралом
BtcLJ J J J
где x^— 4-вектор. Интегрирование распространяется по всем зна-
значениям переменных v.x, . .., х0. Начиная с этой формулы, мы будем
считать, что по дважды встречающимся релятивистским индексам
выполняется суммирование от 1 до 4.
2. Релятивистские Л-функции. Кроме тривиального релятивист-
релятивистского обобщения (8.21), существует и другой, более важный, путь
для релятивистского обобщения 8-функции. В (8.21) интегрирование
по всем четырем переменным х, х0 выполняется независимо. Если у0
(с точностью до множителя he) есть 4-вектор энергии-импульса ча-
частицы или фотона, то между х и х0 существует соотношение
¦'х'х^т2 (
где т — масса покоя частицы. Мы получим другую функцию, если
ограничим в (8.21) интегрирование лишь такими значениями х^, ко-
которые удовлетворяют (8.22). На самом деле мы получим при этом
даже две различные функции в зависимости от того, какое из двух
значений корня г±: )Ас'2 + г{2 мы выберем для к0. Поскольку знак х0
релятивистски инвариантен, мы получим таким образом две реляти-
релятивистски инвариантные функции. Оказывается, что удобно составить
сумму и разность таких функций для xoig0. Ограничение области
интегрирования удобнее всего выполнить, соблюдая дух релятивист-
релятивистской теории, добавив^ под интеграл множитель 8(^ + ^'2). В силу
(8.6) его можно расщепить на
(8.23>
4-/
Кроме того, можно добавить под интеграл еще и определенный фор-
формулой (8.10) множитель е(х^), который также релятивистски инвари-
-антен. (Знак четвертой компоненты вектора не может измениться
*Х) Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
при не меняющем направления времени преобразования Лоренца *).)
Тогда
г (х0) 3 (Х2 + ^) = -L {S (Е — *0) — В (? + у0)} , (8.24)
где мы учли, что o(Z:-f-xo) ф О, только если хо = — С
Рассмотрим сначала случай, когда х,л — нулевой вектор, 7] = О,
?==|х| и, следовательно, относится к фотонам. Полученная при
этом А-функция будет играть фундаментальную роль для переста-
перестановочных соотношений величин, описывающих электромагнитное поле.
В п. 3 мы рассмотрим случай т) Ф 0; функции, которые мы там
получим, встретятся в теории частиц конечной массы. Итак, мы
получаем две функции
Л(г> ^) = (^)8////^е"Лг(хо)8D) (8.25а)
л1 <*¦•')=
Мы опустили здесь множитель 1/2тс, поскольку интегрирование вы-
выполняется фактически только по трем переменным. Множитель /
добавлен к функции А^), чтобы она оказалась действительной.
Интегрирование легко выполняется. Мы получаем сначала
'л sin xr sin x*o- (8.26а)
(8.266)
Для дальнейшего интегрирования мы снова расщепим синусы и ко-
косинусы на экспоненты е±н^г±х^ и получим с помощью (8.1) и (8.14)
А (г, t) = ^{o(r — x0) — 8(г + *о)} = 1в(*о)8D), (8.27а)
д (г, *) = -L {-$ 1 9_\ = JL4. (8.276)
Как А, так и Ах оказываются сингул^ными на световом конусе
jco = zt:r, причем А имеет особенность 8-образного характера,
a Aj — типа 8/х.
*) Это замечание автора не* точно. Высказанное свойство имеет место,
конечно, только для времениподобных векторов, но как раз таким вектором
и будет х в силу наличия множителя Ь (*? -f" "Л Таким образом, нельзя
утверждать, что е (х0) есть инвариант; инвариантом будет только произведе-
яие
г (х0) Ь (х^ + уJ). — Прим. ред.
§ 8. Функции Ъ, Д и связанные с ними функции 91
Функция А (г, /) обращается в нуль всюду, исключая световой
конус. Это свойство не распространяется на функцию Дг В частности,
А2 ф 0 вне светового конуса. Такое различие окажется весьма важным
при обсуждении измеримости напряженностей электромагнитного поля.
Из (8.26) и (8.11) немедленно следует, что
4(,. , = 0) = 0, «Л?Л
(8.28)
Формулы (8.25) показывают, что А и Ах являются фурье-обра-
зами от е(хоM(х2) и о(х2) соответственно. Отметим, что А обладает
тем свойством, что она сама является собственным фурье-образом.
Для функции Ах это не так.
Обе функции А и At удовлетворяют волновому4 уравнению
что немедленно усматривается из (8.25). Оператор ? вызовет
появление под интегралом множителя х^, а х2 S(x2) ==Q.^Функция
А — нечетная функция от t, a At — четная функция.
3. Функции D и Dv Если х является 4-вектором импульса для
частицы с конечной массой, то он удовлетворяет условию х2 = — гр.
Поэтому мы можем обобщить определение (8.25), заменяя о(х2) на
8(х2 -\-г\*). Определим, таким образом1),
5y И Я
(8.296)
Возможными значениями х0 будут тогда ±Уъ'2-{-г\Я. Поэтому
(8.30,,
с ') - «sr- /<"» -«CMYV^X'- »••«•)
(Корни квадратные всегда следует брать со знаком плюс.)
Обе функции очевидным образом удовлетворяют дифференциальным
Уравнениям
= 0. (8.31)
*¦ г) В части существующей литературы обозначения Л и D перестав-
переставлены.
92 Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
Из (8.30) заключаем, что
dD
D(r, * = 0) =
_
dt
= '8«. *?.=0. (8.32)
Эти соотношения совпадают с соотношениями (8.28) для А- и
Aj-функций.
Сингулярности функций D и D± обусловлены исключительно
бесконечно большими значениями х. Но для больших | х | можно пре-
пренебречь величиной т]. Отсюда следует, что самые существенные
особенности функций D и Dx будут в точности совпадать с особен-
особенностями функций А и At и мы можем написать
D(r, O = ^e(xo)8D)+D(r, t), (8.33а)
Dl (Г' t] = ~Ь 5 + 6l(Г' °' (8>33б)
где функции D и Dx могут для любых значений т, t обладать во
всяком случае лишь меньшими особенностями и, конечно, являются
действительными. Мы увидим, что функция D будет конечной (или
равной нулю), a Dx сохранит на световом конусе логарифмическую
особенность. Особенно следует отметить, что главные сингулярные
части функций D и Dt не зависят от irj.
"" Явное вычисление интегралов (8.30) не составляет трудностей и
может быть сведено к использованию хорошо известных интеграль-
интегральных формул для функций Ханкеля. Результат гласит:
D(r, t) = -1.(*0)Rel^^_jgz4)|, (8.34a)
где Re — действительная часть. Поскольку Н^(ly) (^действительно)
действительно, a Hi"(у) (у действительно) имеет и действительную
и мнимую части, то функции D и Dt обладают следующими
свойствами:
1) Вне светового конуса г > х0, D (г, t) = 0 и потому D(r, f)
также равно нулю. В то же время мы видим, что Dl(rt t) ф 0 вне
светового конуса, как то имело место и для Ах. Для \i\~V Г* — -^ol
функция Dx убывает экспоненциально.
2) Внутри светового конуса г < х0, аргумент Н^ действителен
и в нуль не обращаются ни Д ни Dv Что касается функции D, то
это составляет отличие от функции А, которая обращалась в нуль и
внутри конуса при г < х0. При \г{уг2 — *о|^> 1 функции б и D%
§ 8. ФункцииЬ, А и связанные с ними функции 93
стремятся к нулю, как 1/(х*— г2). Последнее следует из асимпто-
асимптотических формул для Н^К
3) Вблизи светового конуса можно воспользоваться разложением
(пренебрегая членами порядка у'2 и старше)
{7i% i) (T-0.677...).
которое дает нам
~ f °
если r > | x01
если
(8.35a)
5 1п ?
^ = 5 1п ? VV2 — Jcgl + Конечные члены. (8.356)
Мы видим, что Dt облада_ет._на световом конусе ^^]и
логарифмической__Ъсобенностью^^ . Обе эти
особенности исчезают для ?)j^0.
4. Функция D2- Наряду с функциями D и Dt большое значение
имеет также и линейная комбинация х)
D.1 = Dl — U(xQ)D. (8.36)
Мы не можем сразу выписать фурье-представление функции D.2,
поскольку функция s(xo)D еще не была представлена нами в виде
интеграла Фурье. Чтобы найти такое представление, образуем
J #хг (х0) De~%%^ = (^1 J d*x J dHe^" V% (^0)г(х0) 3 (х
- 2 Г ^4хг (х0) 3 (х2 + ^) о (%—х') —^— = 2 -^-g
используя (8.14) для интегрирования по х0. С помощью обратного
преобразования отсюда получается
е <*о) D (г, t) ~ ^ J Л,V, _^ k (8.37)
Комбинируя последнюю формулу с (8.296), находим
о \1 > *-/ To \q_' I *> *o \J^\x. —|— »j ) (Л л. I o.OO )
Функция, комплексно сопряженная с D.2 [ D* = Di-\-U(x() D), пред-
представлялась бы через ^(к^-f-T^), но она нам не понадобится. Не бу-
будем мы вычислять и фурье-представления от a(xo)Dv что также
легко было бы сделать.
1) Эта функция обозначается часто через Da европейскими авторами,
а через Dp — американскими авторами.
94
Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
Дифференцируя интеграл (8.38), увидим с помощью (8.17') и
(8.21), что
= 2ifr(x). (8.380
Если т) = 0, то функция D2 вырождается в А2 == Аг— /гД. Для
нее можно [используя определение (8.13)] выписать явное выражение
Таким образом, мы видим, что
(8.39)
является фурье-образом от
комплексно сопряженной с ней_ функции С*(х2). Может оказаться
полезным объединить различные фурье-образы (для случая т) = 0)
в виде таблицы.
х-пространспгво
Д = -1в(хоKD)
, 1 §
^-пространство
[умножено на 2тс/{]
/е(хо)о(у?)
8
-Г
-Л*(^)
+ «<*?)
В случае fj =^= 0 в ^-пространстве (или х-пространстве, когда рас-
рассматриваются обратные преобразования) следует добавить и другие
особенности, которые не могут быть сильнеУ^юг^и^^
щий множитель 1/BиK, входящий во все выражения в х-прострап-
стве, в таблице опущен.
Все рассмотренные здесь с чисто математической точки зрения
сингулярные функции обладают совершенно определенным физиче-
физическим смыслом. Например, первый член А-функции о (г — хо)/г пред-
представляет собой запаздывающий потенциал_в точке г в момент вре-
времени t = xo/c от события, имевшего место в начале координат
в момент ^ = 0 и длившегося бесконечно малое время. [Подставьте
в A.14а)
Аналогично, о(г~\-хо)/г является ^опережающим потенциалом",
который представляет собой то же, что н запаздывающий потен-
потенциал, в котором переменены источник и точка наблюдения. Поэтому
можно написать A = Aret. — Aadv.-
§ 9. Перестановочные соотношения и соотн. неопределенностей 95
Функции С и А2 *) характеризуют последовательность явлений,
которые следуют друг за другом B?j^MeHjHj^^^ связаны.
Последнее существенно основывается на „способности" ^-функции
выделять аналитически отдельные направления времени. Примером
может служить следующая простая формула:
2"' ДЛЯ '>0' (8.40)
JM 0 для t< 0,
отличная от нуля лишь для t^>0. Вычисление интеграла в (8.40)
производится мгновенно дополнением пути интегрирования беско-
бесконечно удаленной полуокружностью в нижней/верхней полуплоскости.
Поэтому мы все время будем встречаться с этими функциями в тео-
теории вероятностей перехода, процессов соударения и т. п. (см.
в особенности § 16 и 28).
§ 9. Перестановочные соотношения и соотношения
неопределенностей для напряженностей поля
1. Перестановочные соотношения для напряженностей поля
в координатном пространстве. В § 7 мы представили векторный
потенциал А в виде ряда Фурье, амплитуды которого мы стали рас-
рассматривать как некоммутирующие операторы. Если теперь мы будем
рассматривать А как функцию координат, то ясно, что А в каж-
каждой точке пространства будет оператором и не будет в общем
случае коммутировать с А в другой точке пространства. Jloop-
динаты играют здесь роль параметров, а не (как в квантовой меха-
faHjKe частицы) физических вejni4JH, которые сами являются опера-
операторами. Если используё^с^Гпредставление взаимодействия (см. § 7>
пГТ$}Г"~то А является функцией также и от времени, и значения А,
взятые в двух разных пространственно-временных точках, являются
двумя различными физическими величинами, которые, вообще говоря,
не обязательно коммутируют.
Перестановочные соотношениемежду^_сауими потенциалами не
jforyr иметь непосредственного физического значения, поскольку они
ТГеизОежно будут зависеть от используемой кялибрпнки.. но они
весьма существенны для развития вычислительной техники. Они будут
выведены в приложении [[для кулоновской калибровки и в § 10
для лоренцовой калибровки. В этом параграфе мы pavCM
становочные соотношения ш^ду напряженно не
1диёгЪТ"*калибровки и обладающие непосдедственньш ^
*) Впервые С-функция была введена Дираком [11] в теории соударений.
Относительно роли функции Д2 в квантовой электродинамике см. [12],
а также [13, 14].
96 Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
В представлении взаимодействия напряженности поля задаются
выражениями [см. G.15) и G.32)]
^1V~4°-#"<(V~V)} (9-1)
Н = / V4^ 2 [ххе,] {g/ < V~V> - „^ < V~ V>} (9.2)
€ УСЛОВИЯМИ
^ = 0. (9.3)
Рассмотрим, например, коммутатор двух составляющих век-
вектора Н, Нг и Нк, в двух различных пространственно-временных
точках. Обозначая точку г, t через Р, получаем перестановочное
соотношение
t,)]. (9.4)
Если мы выполним здесь суммирование по направлениям поляри-
поляризации (ех всегда перпендикулярны хх) и будем писать г вместо
г2 — г^и t вместо t2 — ii9 то получим
\Нг(Л)Я,(Я2)] =
Суммирование 2 надлежит здесь выполнять по всем направлениям и
всем длинам векторов х. Это суммирование можно заменить интег-
интегрированием, если принять во внимание то обстоятельство, что,
согласно F.21), число волн на единицу объема, для которых %
лежит в элементе dY.xdxydxz, равно */3к/BттK. Тогда интеграл
J а 7' х Bтг)з J
будет в точности равен введенной в § 8 сингулярной функции Л.'
Согласно (8.27а), он будет явно выражаться в'виде
Точки, в которых Л отлична от нуля, образуют двойной конус
в четырехмерном пространстве. Эти точки могут быть достигнуты
световым сигналом, выходящим из начала координат г = 0 в момент
/ = 0, или, наоборот, испущенный в точке г, t световой сигнал
может достигнуть начала координат г = 0в момент ? = 0 (r=*-\-ct
или г = — ct).
§ 9. Перестановочные соотношения и соотн. неопределенностей 97
Входящая в (9.6) А-функция зависит от аргументов
|г2 —14 | — c(t2 — tx) и |r2 — ri\ + c(t2 — tt). (9.70
Поэтому она отлична от нуля, только если две пространственно*
временные точки, поля в которых рассматриваются, можно соединить
световым сигналом. Поэтому напряженности ноля в двух про^
С1$Р!?Н-С™1??^^ -быхш>~ ..саеди* ~
нены световым сигналом, d&
Перестановочные соотношения (ЙГ.5)~можно записать теперь в виде
- (9.8а)
Таким же путем находятся и перестановочные соотношения других
напряженностей поля:
, (9.86)
(9.8в)
Д (9.8г)
(/ Ф к] /, k и / образуют четную перестановку из х, у и 2)*
Соотношения (9.8) были выведены впервые Иорданом и Паули [4].
Из числа универсальных постоянных в перестановочные соотно-
соотношения (9.8) входят только с и Й, но не входит никаких постоянных,
относящихся к атомной структуре материи (т или е). Поэтому
некоммутативность напряженностей полЯд, „Ж*шр.ут можно считать
характерным признаком квантовой электродинамики, является всецело
эффектом из области1^з^едй11ё1?шГ^
электродинамикой и не имеет никакой связи с проблемой элемен*
тарных частиц.
2, Соотношения неопределенностей для напряженностей поля.
Из квантовомеханических перестановочных соотношений (9.8) можно
получить соответствующие соотношения неопределенностей. Если
две физические величины Л и В удовлетворяют уравнению
АВ — ВА = С,
где С — обычное число (не матрица), то А и В будут удовдетво*
рять соотношению неопределенностей
Однако получаемые таким образом из (9.8) соотношения неоп-
неопределенностей не слишком физичны. Они являются соотношениями
между напряженностями полей в заданных точках пространства и
времени, в то время как единственными измеримыми величинами
являются значения напряженностей поля, усредненные по некоторым
областям в пространстве и времени. Чтобы получить соотношения
Для таких усредненных значений, проинтегрируем (9.8) по двум
7 Зак. 1260. В. Гайтлер
98 Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
пространственно-временным областям b\ 7\ и L62 Т2 соответственно
для двух входящих в каждое уравнение напряженностей поля.
Будем называть эти области соответственно 1Х и /2, а относящиеся
к ним средние значения напряженностей поля Exjx или ExjJlrnx
и т. д. Результат интегрирования правой части будет зависеть от
относительного расположения двух таких областей, точнее от того,
может ли выходящий из 1Х световой сигнал достигнуть точек /2, и
наоборот. Ограничимся несколькими характерными случаями.
а) Обе временные области совпадают: 7\ = Т2. Согласно (9.7)
и (9.7')» Л-функция антисимметрична в двух временах tl и t2.
С другой стороны, (9.8а) симметрично в производных по этим двум
временам. Поэтому временной интеграл от правой части (9.8а) по
7\ == Т2 обратится в нуль. Следовательно,
HEiLlT bEkIt%T = bJHiLlT Шкь2Т=0. (9.9)
Итак, средние значения двух составляющих электрического или маг-
магнитного поля, взятые по совпадающим временным, но различным
пространственным областям, коммутируют друг с другом и потому
могут быть измерены одновременно1).
б) Обе пространственные ""области совпадают: Lx—L2. Тогда
интеграл от правой части (9.8г) обращается в нуль и мы получаем
bEiLTlbHkLTt = 0. (9.10)
Итак, средние значения напряженности электрического поля и на-
напряженности магнитного поля, взятые по
одной и той же пространственной, но
разным временным областям, коммути-
коммутируют и, следовательно, могут быть из-
измерены одновременно.
Из (9.9) и (9.10) следует, конечно,
что средние значения каких-либо двух
составляющих напряженностей поля по
^ одной и той же пространственно-вре-
пространственно-временной области всегда можно измерить
Фиг. 4. Две пространствен- одновременно,
но-временные области, та- в) Две области 1Х и /2 выбраны таким
'„ГоблТс^ТмогуГдосГ обРазом' что светов*е сигналы из неко-
гать области /2, но сигналы торых, по крайней мере, точек 1г могут
из области /2 не могут до- достигнуть /2, но не наоборот (фиг. 4).
стигать области /v Тогда вторая из Д-функций в (9.7) не
даст никакого вклада в интеграл.
Рассмотрим два случая одновременных измерений: х-составляю-
щей напряженности электрического поля Ех в 1хм в /2 и случай
]) Выражение „одновременное измерение двух величин" не исполь-
используется здесь в смысле „измерения в то же самое время", но означает, что
взаимное влияние двух измерений принято во внимание.
§ 9. Йерестановочные соотношения и соотн. неопределенностей 99
измерения Ех в 1Х и Ну в /2. Уравнения (9.8) немедленно приводят
нас к соотношениям неопределенностей
(9.11)
(9.12)
В (9.12) мы выполнили интегрирование по 7^; через ^10 и ^
обозначены моменты начала и конца интервала 7\.
Правые части (9.11) и (9.12) не представляет труда интерпре-
интерпретировать физически. Это будет сделано в п. 3 и 4. Здесь же мы
оценим сначала порядки величин. Допустим, что Li~L2, TX~T2 и
что расстояние между обеими пространственными областями Lx и L2
равно г.
Будем считать, далее, что размеры той части /2, в которую
могут попадать световые сигналы из Iv того же порядка, что и
сама /2 (см. фиг. 4). Порядок величины правой части, например,
уравнения (9.12) зависит от того, что L> cT или L<^cT. Легко
найти, что в этих двух случаях
(9.13)
Аналогичные выражения получаются и для (9.11). Поэтому оказы-
оказывается, что две составляющие напряженностей поля в двух таких
областях могут быть измерены тем точнее, чем больше расстояние
между двумя пространственными областями — результат, который
представляется весьма естественным.
Уравнение (9.13) дает нам также критерий того, когда стано-
становятся существенны квантовые свойства поля и когда можно при-
применять классическую теорию. Последнее имеет место в том случае,
когда напряженности поля велики по сравнению с задаваемым пра-
правой частью (9.13) членом, выражающим эффекты некоммутативности.
Если напряженности поля составляют по порядку величины Е, то мы
получаем (допуская, что расстояние между двумя областями по-
порядка L)
E*L*cT^>hc (L>cT). (9.14)
Поэтому типичной квантовой областью являются слабые поля. Для
световой волны частоты v формула (9.14) выражает просто то условие,
7*
iOO Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
что числа содержащихся в L3 световых квантов п должно быть
велико; действительно, поскольку ?L3 = аЪ и поскольку времен-
временной интервал Т должен быть выбран меньшим 1/м (в противном
случае среднее значение Е обратилось бы в нуль), получаем из (9.14)
» 1.
3. Измерения средних значений- напряженностей поля. Для
критического понимания квантовомеханического формализма важно
убедиться в том, что соотношения неопределенностей совместны
с той точностью, которая в лучшем случае может быть получена
при измерениях. Хорошо известная дискуссия неопределенностей
в положении и импульсе электрона, например, приводит как раз
к тому выводу, что пределы точности, определяемые соотношением
неопределенностей Д/?А^—-й, невозможно превзойти при непосред-
непосредственном измерении положения электрона, импульс которого был до
тех пор известен. Копируя в нашем случае этот мысленный экспе-
эксперимент, мы должны показать, что наши соотношения неопределен-
неопределенностей для напряженностей поля (9.11) и (9.12) совместны с той
точностью, которой можно достичь при~~одновременном измерении
двух составляющих напряженностей поля1). Для этой цели нам надо
рассмотреть сначала способ, с помощью которого можно измерить
одну из напряженностей поля. Формализм квантовой механики пред-
предполагает, что отдельная физическая величина, как, например, среднее
значение ^-составляющей напряженности электрического поля Exi,
может быть измерена точно. Естественно, что прежде чем перехо-
переходить к обсуждению соотношения неопределенностей для двух
составляющих напряженностей поля, нам следует проверить это
утверждение.
Измерить величину Exj было бы проще всего, взяв заряженное
пробное тело массы Ж, покрывающее область /Д заряд е которого
распределен по нему равномерно. Если мы измерим импульс рх'2)
этого пробного тела в момент t0 начала и tf конца интервала
времени 71, то среднее значение Ех будет равно3)
^ . (9.15)
Поскольку правые части соотношений неопределенностей (9.11)
и (9.12) зависят лишь от универсальных постоянных h и с и от гео-
геометрии рассматриваемого опыта, но не от какой-либо величины,
1) Мы следуем в этих рассуждениях работе Бора и Розенфельда [15].
2) Здесь используются обычные величины для импульса (размерность
г • см • сек-1).
3) В рассматриваемой процедуре допускается, что заполняющее область
тело является твердым. В работе Бора и Розенфельда [15] было доказано,
что в рассматриваемом случае предположение о существовании таких твер-
твердых тел законно.
§ 9. Перестановочные соотношения и соотн. неопределенностей 101
относящейся к элементарной частице (е или т), то проблема изме-
измеримости напряженностей поля_,де,„ ,мшкет- быуь связана с атомной
&• Поэтому пробное тело может иметь любые
Р^Ш^?2&^'?иШШу р
"размеры и любой заряд и, как мы увидим, окажется, что наибольшая
точность измерения достигается с помощью тяжелого пробного тела,
содержащего много элементарных зарядов. Поэтому связанные с эле-
элементарными частицами трудности (такие, как бесконечная собственная
энергия и т. д.) не будут играть какой-либо роли в рассматриваемой
задаче.
Нам надо, однако, учесть, что даже тяжелое пробное тело будет
подчиняться законам квантовой механики и, в частности, соотношению
неопределенностей между координатой х и импульсом рх\
Ьх\рх = }>. (9.16)
Поэтому если в момент t0 начала нашего интервала времени импульс
измерен с точностью А/?ж, то мы будем знать положение нашего
пробного тела в течение всего интервала времени Т с точностью,
не большей h/hpx.
Кроме того, если измерение импульса в момент t0 производится
в течение краткого интервала А?0(А?0 <^ Г), то пробному телу будет
передана некоторая скорость vx0 в соответствии с хорошо известным
соотношением (Ео—энергия)
АЕ0А/0 = ^0А^0Д/0 = /ь (9.17)
Допустим, что прежде чем было выполнено измерение рх0, поло-
положение пробного тела было фиксировано таким образом, что оно как
раз покрывало область /А Тогда vx0 будет как раз той скоростью,
которая необходима, чтобы сместить тело на Ах за время А^о:
v«=Spbfo = W ' (9Л8)
В противоположность неопределенностям в х и рх скорость vx0
является известной величиной, поскольку интервалы Ах и А^о могут
быть выбраны (если не рассматривать неопределенности скорости Ат/^,
которая мала, если масса М пробного тела велика). Аналогичным
путем мы измерим и импульс в конечный момент tr интервала 7
f4 течение малого интервала М' и вернем после этого пробное тело
в его первоначальное положение так, чтобы оно опять точно покры-
покрывало область /А
Рассмотренные неопределенности (9.16) и (9.17) приведут, как
мы увидим в п. 4, к ограничению точности одновременного изме-
измерения двух напряженностей поля, но_ не ^?И??ДУТ к ограничению
Т«щцю.сти измерения _дпной-рп,инстпрнцпй ^_l[Ji}^^]^^^2IS}?^:1'"^се
Эти неопределенности можно будет в последнем случае скомпен-
скомпенсировать.
102 Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
Точность измерения Ехх могла бы быть ограничена в первую
очередь следующими обстоятельствами:
1) неточностями А/?ж, с которыми измеряется рх в начале и конце
интервала времени Т\
2) тем обстоятельством; что пробное тело не может в точности
покрывать область L3 в течение всего времени Т вследствие
а) ускорения, действующего со стороны самого поля;
б) скорости vx0, которую получает пробное тело после t0. Эта
скорость [согласно (9.18)] становится "большой, если М и Д/?ж малы;
в) неизвестного смещения пробного тела Ах, связанного со зна-
знанием значения рх.
Эти неточности можно скомпенсировать следующим образом:
2, а) Поле не может заметным образом изменить положение проб-
пробного тела, если оно достаточно тяжелое.
2, б) Поскольку скорость vx0, передаваемая пробному телу при
измерении импульса в течение Д^о, известна, то мы можем скомпен-
скомпенсировать этот эффект, дав телу толчок немедленно после измерения
импульса, т. е. практически в момент начала интервала времени Г.
То же следует сделать и после второго измерения импульса //,,
2, в) и 1) Неизвестное смещение кх может быть сделано малым,
только если ошибка в измерении рх очень велика. Но это, однако,
не ограничивает точности измерения Ехт> поскольку в нашем рас-
распоряжении имеется еще один произвольный параметр — заряд г.
Точность измерения напряженности поля составляет, согласно (9.15),
bCxi— гТ —
Поэтому для любого сколь угодно малого Дх напряженность
поля Exj может быть измерена с любой желательной точностью,
если только заряд е пробного тела достаточно велик. Если мы
хотим добиться точности, достаточной для проверки квантов ых
свойств поля (ДЕ <^ Е), то мы видим из нашей оценки (9.14)(сГ~ L,
E*~hclLl) и из (9.19), что мы должны избрать Ьс/г* <^ Д^/L2 <^ 1,
т. е. s должен быть большим по сравнению с элементарным заря-
зарядом е.
Однако если е велик, то возникает другая трудность: измеряемое
описываемым путем поле будет состоять не только из внешнего поля,
которое мы хотим измерить, но в него будет входить.также и поле g,
порождаемое самим пробным телом, и как раз для больших значений
заряда поле § также становится сильным. Эта трудность существует,
однако, лишь в той стеяени, в которой нам неизвестно (и не может
быть вычислено) точное значение поля, поскольку, согласно (9.16)
и (9.17), мы не знаем точно положения и движения пробного тела.
Как мы увидим в следующем пункте, именно эта неточность /Д$
в поле, порождаемом пробным телом, и приводит к ограничениям
в точности измерений двух напряженностей поля. При измерении же
§ 9. Перестановочные соотношения и соотн. неопределенностей 103
одной напряженности поля эффект, обусловленный неточностью А|»,
можно снова скомпенсировать.
Вычислением поля $, порождаемого пробным телом, мы займемся
в п. 4. Из формул (9.22) — (9.28) мы увидим, что среднее значение
поля $ по области L3 пропорционально значению х:
§xI = Fx, №xI=*Fbx. (9.20)
Но тогда сила, действующая со стороны поля §.на само пробное
тело, будет полностью скомпенсирована, если мы подвергнем проб-
пробное тело в течение всего времени Т действию другой силы чисто
механической природы, также пропорциональной его смещению х от
первоначального положения ZA Такую силу можно реализовать,
например, с помощью пружины. Если подобрать упругость пружины
так, чтобы сила была равна
Kx = — eFx, (9.21)
то действующая со стороны поля S сила будет в точности скомпен-
скомпенсирована, каково бы ни было (известное или -неизвестное) смещение
пробного тела. Выполняемое таким образом измерение напряженности
поля $ будет тогда давать нам только внешнее поле. В_принципе
предела точности таких измерений не существует г). " "
4. Измерение двух напряженностей поля. Нашей следующей
задачей будет физическая интерпретация соотношений неопределен-
неопределенностей (9.11) и (9.12). В соответствии с общей квантовомеханической
интерпретацией соотношений неопределенностей мы должны показать,
что измерение среднего значения, скажем Ех, по пространственно-
временной области /j не дает возможности совершить точное изме-
измерение другой напряженности поля в области /2. Ограничения точности
последнего измерения обусловливаются тем обстоятельством, что при
измерении в 1Х пробное тело порождает в /2 поле S, S6, которое
в некоторой степени неизвестно. Это неизвестное поле добавляется
к полю Е, И в /2, которое мы хотим измерить, и в силу свойства
суперпозиции эти два поля нельзя разделить. Отсюда возникает
неточность в значениях Е, Н в /2, даже если само измерение поля
в /2 произведено точно.
Для определения этой неточности нам надо вычислить неопре-
неопределенность поля, создаваемого первым пробным телом. Источниками
этого поля являются:
*) Мы не упомянули двух обстоятельств, которые следует принять во
внимание при измерении ?ж: \) реакции, создаваемой пробным телом поля %х
на само это тело; 2) того, что поле %х, которое мы вычисляли классически,
также квантуется. Обсуждение роли обоих этих обстоятельств читатель
может найти в уже цитированной работе Бора и Розенфельда [15]. Ни одно
из них не приводит к каким-либо ограничениям точности измерения поля.
104 Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
а) Как мы убедились в п. 3, в течение всего времени Т пробное
тело испытывает неизвестное смещение ~ кх. Это приводит к возник-
возникновению поля электрического диполя с моментом еДл; в л;-напра-
влении, причем этот дипольный момент распределен равномерно по
объему L\ с плотностью b^xjL\. Поэтому неопределенность в зна-
значении скалярного потенциала в точке г2,^2' происходящего от диполь-
ного момента в объеме dzx в момент tv будет, если учесть, что
поле распространяется со скоростью света с, равна
а / j. \ j в кх д съ (г — ct) , /п поч
Д? (r2, t2) dz, = — ^ i dxlf (9.22)
где | r2 — rt I обозначено через г и t2 — ti—-через t. [Множитель с
в (9.22) обусловлен определением о-функции, согласно которому
б) В начальный момент tl0 интервала Т1 пробное тело получает
на краткое время А^10 скорость vx0 (в дальнейшем эта скорость vx0
компенсируется). Поэтому пробное тело вызывает появление плот-
плотности тока
'**i = 7i*izr (при ^ = ^10). (9.23)
В момент t\ (конечный момент интервала 7\) пробное тело снова
получает скорость vx = Алс/А^. Поскольку, однако, мы возвращаем
пробное тело обратно в его первоначальное положение L{, to инте-
интеграл от плотности тока по времени в момент t± будет иметь то же
значение, что и (9.23), но с противоположным знаком. Допуская,
что А/10 и A/i бесконечно малы, можно написать для полной плот-
плотности тока
e^?(^ —^о) — 4t — t[)\. (9.24)
Эта плотность тока приводит к возникновению в простран-
пространственно-временной точке r2, t2 вектор-потенциала л/. Для учета
запаздывания надо заменить в (9.24) t на t2 — (| г2 — гх |)/с, после
чего получаем для неизвестного вектор-потенциала
(x2t2) dz, = —- d^
С Li *
(9.25)
§ 9. Перестановочные соотношения и соотн. неопределенностей 105
Из потенциалов (9.22) и (9.25) получаем неопределенности в на-
пряженностях поля
дх2 с dt2 >
Интегрируя по всем точкам области 1Х и усредняя по области /2,
получаем полную величину неопределенного поля в /2, возникающего
от пробного тела в /f.
Г д
J ^
2
д b(r — ct)
(9.28)
tu,
Формулы (9.27) и (9.28) описывают ошибку в измерении поля
в /2. Поэтому можно написать
Поскольку в п. 2 мы приняли, что никакие световые сигналы
из /2 не могут достигнуть области /,, то аналогичного возмущения
измерения поля в Д за счет наличия пробного тела в /2 произойти
не может.
Если мы умножим (9.27) и (9.28) на неточность измерения поля
в 1Х (9.19)
то получим в точности выведенные нами ранее из формализма кванто-
квантования соотношения неопределенностей (9.11) и (9.12). Заряд е и
неизвестное смещение кх при этом выпадают.
Если обе области расположены таким образом, что световые сигналы
из /2 могут достигнуть Iv то выбор ошлтпой процедуры, обеспечи-
обеспечивающей максимально возможную точность, оказывается более слож-
сложным. Этот случай был рассмотрен в уже цитировавшейся работе
Бора и Розенфельда [15], где были подвергнуты тщательному анализу
и другие детали вопроса об измерении компонент поля *).
Итак, мы доказали, что следствия из формализма квантовой
электродинамики согласуются с возможностями, представляющимися
при измерении компонент поля. Это доказательство аналогично
доказательству соотношения неопределенностей для координаты и
импульса электрона, когда квантовые свойства светового пучка
*) Относительно распространения такого рассмотрения на тот случай,
Когда учитывается и рождение пар, равно как и обсуждение вопроса об
Измерении тока в квантовой электродинамике, см. в работах [16, 17].
106 Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
в у-микроскопе препятствуют точному измерению (см. § 7, п. 4).
В нашем случае, наоборот, механические квантовые свойства проб-
пробного тела препятствуют точному измерению двух напряженное/пей
поля. С этой точки зрения становится ясным, что квантовая меха-
механика и квантовая электродинамика образуют две неотделимые части
единой квантовой теории, и ни одна из них без другой не будет
последовательной.
§ 10. Квантование продольного и скалярного полей
Проведенное в предыдущих параграфах квантование электро-
электромагнитного поля основывалось на том обстоятельстве, что можно
выбрать кулонэвекую калибровку и заменить тем самым продольное
и скалярное поля мгновенным кулоновским взаимодействием между
всеми зарядами (см. § 6). При такой калибровке А выбирается так,
что divA = 0. Это соотношение сохраняется и тогда, когда А кван-
квантовано, в виде тождества, которому удовлетворяет оператор А,
как это очевидно из G.3). Хотя рассмотренный метод является самым
простейшим с точки зрения квантовой теории, он обладает тем суще-
существенным недостатком, что разрушает видимую релятивистскую инва-
инвариантность теории, несмотря на то, что сама теория, конечно, сохра-
сохраняет ковариантность. При современном предварительном состоянии
теории этот недостаток представляет нечто большее, нежели просто
недостаток элегантности изложения. Мы увидим в гл. 6,
отягощена сейчас определенным произволом ее Bbj.g^?^ju
^ p езу л ь-
^ По этой причине чрезвычайно желательно сохранять явную
ковариантность теории, насколько это только возможно. Мы увидим
также, что при вычислении более сложных радиационных эффек-
эффектов симметричная трактовка всех четырех компонент Ах .окажется
более простой, чем разделение поля на поперечную часть и кулонов-
ское взаимодействие.
1. Разложения Фурье и перестановочные соотношения. Мы
рассмотрим здесь квантование электромагнитного поля при использо-
использовании лоренцовой калибровки
(чтобы избежать путаницы с индексом л, мы будем использовать теперь
в качестве релятивистских индексов а и |3). Эта задача не решается
так прямолинейно, как то кажется с первого взгляда, и при ее
проведении в теории обнаружатся некоторые сомнительные места.
Мы разложим все четыре компоненты потенциала Ла в такие же
ряды Фурье, как в § 6. Используя представление взаимодействия
(т. е. включая временные множители) и комплексные амплитуды
§ 10. Квантование продольного и скалярного полей 107
q* и q вместо действительных q и /?, мы сможем записать это раз-
разложение в виде
A0.2а)
= (*xr) —v>/ [или
Здесь мы просто разложили л;-, j/- и ^-составляющие вектор-потен-
циала'А, обозначив соответствующие амплитуды через qiX, вместо
того, чтобы разделять его на две поперечные составляющие е^х
и продольную составляющую qz (см. § бI). Тегдедь_Х_не_ включает
описания поляризации. Для пространственной"' части qiX канони-
каноническими переменными были
Qi\ = ?i + Qi\ и Рп= — Ь\(Яп — Як)
[см. G.4)], поэтому в квантовой теории надо постулировать [см.
G.10)] перестановочные соотношения
Не так обстоит дело для скалярного поля. В § б было показано,
что скалярная часть гамильтониана отрицательна и соответ-
соответственно в переменных Q и Р, Qoa = — POa [см. F.42) и (б.44г)].
ПОЭТОМУ еСЛИ QOa= ^Oa-f-^Oa, TO P0o ДОЛЖНО раВНЯТЬСЯ +*va(#0a Ц0а)>
что отличается от соотношений для пространственных составляющих
знаком. Перестановочные соотношения [PoaQoa] = —^» выполняющиеся
для всех канонических пар, приводят теперь к соотношению
также с измененным знаком и, если исключить нулевую энергию,
скалярный гамильтониан равен
2S^ (Ю.5)
*) Если для какой-либо отдельной волны хх выбрана нормальная
координатная система с осью z, направленной по хх, то qx\ и qy\ будут
описывать две поперечные составляющие, а qzX — продольную. При
каком-либо другом выборе координатной системы к составляющим в нор-
нормальной системе можно перейти ортогональным преобразованием. Поскольку
перестановочные соотношения для всех трех компонент х, у и z в нормаль-
нормальной координатной системе координат одинаковы, то и амплитуды qih qiK
также должны удовлетворять тем же самым перестановочным соотноше-
соотношениям A0.3). Поэтому можно использовать одну-единственную координатную
систему для всех частных волн X. Множитель bikbxxr в A0.3) обращается
в нуль, исключая тот случай, когда для двух множителей в коммутаторе
совпадают как поляризации, так и х>у.
108 Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
Чтобы сделать перестановочные соотношения явно симметричными
во всех четырех составляющих, введем снова релятивистское / и
определим
где теперь q± не является комплексноч сопряженным с qA и, если бы
были применены обычные методы квантования, оператор q± не был бы
эрмитово сопряжъшшм^О1Щ)&хщ1пк. qv Амплитуды qv q± являются
"коэффициентами разложения мнимой величины Л^— /ф- Перестано-
Перестановочные соотношения приобретают теперь вид TT^tl = ~Ь ^/2v и их
можно включать в A0.3), если писать теперь индекс X и вместо а:
2^3e? («. ?=1, .... 4). .A0.7)
Таким образом, ^,антщание пррдолы^^ !^^Р
водит^к ,.gQggf^нию' двух новых типов фотонов---продЬлы'шх и ска-
скалярных, значение ко тор ы х ^стгнет^яснт^ иже". ЕГЪ б щ ё м мыГиме е м
Однако наличие другого
знака в A0.4) или тот факт, что в классической теории qA и q\
не сопряжены комплексно друг с другом, вынудит применить при
квантовании скалярного поля метод, отличный от обычных.
Вспомним теперь, что потенциал Ла должен удовлетворять усло-
условию Лоренца A0.1). Используя представление вза-имодействия, можно
выполнять дифференцирование операторов Ап непосредственно (см.
§ 7, п. 3) и, поскольку A0.1) должно было бы выполняться;_„в.„к.аж"
^ff.JIE2?lPaHCT^ быть
справедливым^ для любой__п_арциальной _волны, мы получили бы из
(ЮГйТюГ
A0.8)
Теперь сразу видно, что A0.8) несовместно с перестановочными
соотношениями A0.7). В самом деле, умножая A0.7) на у^ и сум-
суммируя по ,3 от 1 до 4, получаем в правой части (/?/2ч0*а, в то время
как левая часть, согласно A0.8), обращается в пуль. Это значит,
что коль^скоро операторы q и #* связаны
TFi'rб ^
ониTjFji'oryTrболее удовлетв^я^ь^^овию Лоренца. Эта трудность
является частной особенностью лоренцовой калибровки, поскольку,
как мы видели, при использовании кулоновской калибровки усло-
условие divA = 0 удовлетворяется операторами А тождественно.
Способ избежать этой трудности был впервые указан Ферми [18]
(ниже мы несколько видоизменим предложенную им процедуру): рас-
рассмотрим множество всех квантовых состояний, описываемых амплиту-
амплитудами состояния W, удовлетворяющими волновому уравнению, и потре-
потребуем, чтобы входящие в гамильтониан операторы А7 удовлетворяли
уравнению ? Ла = 0 и перестановочным соотношениям A0.7), но не
§ 10. Квантование продольного и скалярного полей 109
условию Лоренца A0.1). ^г^^^какое-либо из таких решений Wне
6j/^eT_ в обще м с л у ч а е о пис ыват ь состояние, которому в классиче-
классической теории;„соответствует решение уравнений7^1аксвТл'ла".ТГоаТёднее
сводится к Q^4a —0 только в том случае, когда выполняется еще
дЛ
и ¦~:=0. (В частности, нарушились бы уравнения div Е = 0 и
OXq
rotH Е — 0.) С другой стороны, могут быть и такие специальные
решения, которые обладают тем свойством, что для них после пре-
предельного перехода к классической теории будут удовлетворены урав-
уравнения Максвелла. Последнее будет иметь место, если мы выделим
из всего множества решений lF такие, которые будут удовлетворять
условию
g* = 0, A0.9)
дА
т. е. для которых собственное значение оператора -~—- равно
ОХи
нулю. Если нам удастся найти такое подмножество решений, то
(п.* д-<4« „А дА„ *
\\ •• ^_2 \\ | от ^_* t образуемые с помощью
ОХа ) ОХа
таких волновых функций, будут обращаться в нуль. Тогда и поло-
половина уравнений. Максвелла
(?* div ЕТ) = 0 и (V (rot Н — 1 Ё) ЧР1) = 0
будет удовлетворяться только в таком же смысле, в то время как
другая половина превратится в операторные тожде!:тв'а7^Т))щ^кот
fo4Ka зрения (Ш.У) также не может быть проведена последова-
последовательно х). Последовательный путь разрешения этой трудности был
указан Гупта [22] . и Блейлером [23], и мы будем в дальнейшем
следовать'их методу.
Требуется разрешить два вопроса: 1) что делать с аномальным
знаком в перестановочных соотношениях для q0 или .вопрос о действи-
действительности ср; 2) как можно последовательно сформулировать усло-
условие Лоренца? Ниже будет показано, что если применить, как мы
будем говорить „квантование с индефинитной метрикой", то можно
рассматривать q4 и q\ как эрмитово сопряженные друг с другом и
!) Метод, который используется сейчас в большей части литературы,
состоит в следующем. Условие Лоренца формулируется в форме A0.9),
а чтобы справиться с изменением знака в перестановочных соотношениях и
обеспечить действительность ср, меняется роль q0 и q0 как операторов испу-
испускания и поглощения (принимается, что q0 — оператор испускания, a q0 — опе-
оператор поглощения). Операторы q0 и q0 можно рассматривать тогда как эрми-
эрмитово сопряженные, оператор 'f будет эрмитовым, а А± — антиэрмитовым.
Хотя при должном обращении этот метод и дает правильные результаты,
однако он противоречив. Например, нормируемая ямплцтупя тгтпяния упг>.
влетворяющая A0.9). вообще н,е_ су_щес_1аует. Критику этого метода см,
fr работах [19—21].
ilO Рл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
А4 — как эрмитов оператор и интерпретировать при этом qv как и
<7$, как операторы поглощения, a ql— как операторы испуска-
испускания, и тем не менее получить для Л4 чисто мнимые, а для ср,
как то и требовалось, — чисто действительные средние значения.
Это находится в прямом противоречии с обычной квантовой теорией,
В КОТОроЙ ЭрМИТОВ ОПераТОР всегда Обляп^т топкк-n прйгтнитрпк-
ными средними значениями. Если сформулированные выше свойства
Т)удут достигнуты, то последовательная формулировка условия Ло-
Лоренца не составит труда.
2. Квантование с индефинитной метрикой. В обычной волновой
механике волновые функции образуют ортогональную систему функ-
функций ^, нормируемых так, чтобы 0^/с) —Sift. Среднее значение опе-
оператора Q в состоянии <!^ определяется равенством (Q) ==(^Q^), и
если Q — эрмитов оператор, то (Q)—действительно. Также дей-
действительными являются и собственные значения q оператора Q, удо-
удовлетворяющие уравнению Q& = qty.
Однако такая схема ни в коей мере ТТе~ представляет собой наи-
наиболее общего формализма квантовой механики. Возможное обобще-
обобщение (предложенное впервые Дираком [24, 25] и использованное им для
совершенно другой цели) состоит в следующем. Допустим, что
т] — оператор, который мы можем считать эрмитовым и который удо-
удовлетворяет также (это будет простейшее обобщение) условиям
7J=1, 7)+= 7). A0.10)
Тогда, если записать т] в виде диагональной матрицы, то ее диаго-
диагональные элементы будут равны rizl. Вместо обычной нормы (^*ф)
мы потребуем теперь, чтобы норма равнялась
(<?т?Ьк) = ± oik s Nfrk, N\ = 1. A0.10')
Будем называть т] метрическим оператором. Оператор Q^t эрми-
эрмитово сопряженный с Q, определим, как и обычно, требованием
(q*Qf)* = (f*Q*g)- Тогда, если Q — эрмитов оператор, Q^ = Q.
Все матричные элементы и средние значения должны образовы-
образовываться теперь следующим образом: если Q — некоторый оператор
(не обязательно эрмитов), то его матричные элементы и средние
значения определяются равенствами
<г«=адп<?<ы. (io.li)
{Q)i = ^hiQ<bi)^NiQii. A0.11')
Равенство A0.10') заменяет соотношение ортогональности. Наконец,
сюда надо добавить еще и соотношение полноты, именно
§ 10. Квантование продольного и скалярного полей 111
(заменяющее обычное 2tyi(x)^(л;') == 8(jc — л;') . Не представляет
труда убедиться, что Qik, определенные формулой A0.11), пере-
перемножаются по правилу перемножения матриц
I
Аналогично, если оператор Q— эрмитов, то Qik = Qki, если только
оператор т\ диагоналей (т^ = Л/^). Поскольку ф нормировано
теперь на ±1, то ясно, что F,Т|^Л нельзя интерпретировать, как
вероятность. Это обстоятельство не приведет, однако, к возникнове-
возникновению трудностей.
Предположим, что оператор Q — эрмитов и антикоммутирует с ч\
В обычной теории все средние значения оператора Q были бы дей-
действительными. Теперь дело будет обстоять совершенно иначе. Сред-
Среднее значение (Q) будет задаваться теперь формулой A0.1 Г), поэтому
(Q)* = 0W '1Q W* = (<W Qf V" <W) = о? Q ч ад = - (Q),, '
т. е. в таком случае все (Q)i — чисто мнимы. Наоборот, если
Q — антиэрмитов оператор (Q" = — Q) и антикоммутирует с ти то
все (Q) будут действительны. Таким образом, для операторов Q,
антикоммутирующих с тр последний эквивалентен множителю /.
Теперь уже совершенно ясно, как можно применить изложенный
метод квантования к скалярному полю, чтобы получить при этом
правильные свойства для Л4 и ср. Рассмотрим сначала один скалярный
осциллятор поля.
Потребуем, чтобы А^ (а не ср) был эрмитовым. Это значит, что
операторы q4 и q\ ведут себя в смысле действительности или мни-
мнимости так же, как и пространственные операторы q[ и q\, и эрми-
эрмитово сопряжены друг с другом. От метрического оператора т] надо
теперь потребовать, чтобы он антикоммутировал с q4 и #*:
*) 04 = — 4W f\gl = — qh\- A0.13)
Отсюда немедленно следует, что средние значения (Л4) оператодд^
Л будут чисто мнимыми, а потоку для оператора:_jp._= —jHi —
^-и~диджыхибыхь. Это позволяет нам трак-
трактовать #4 на той же основе, как и #;, т.е. рассматривать ^4 как
оператор поглощения, а #* — как оператор испускания, и назвать
Bv/h)q^q± = п± числом „скалярных фотонов". Последние ведут себя
во всех отношениях, исключая использование индефинитной метрики,
так же как и пространственные фотоны nv n2, пг. Для окончатель-
окончательного описания мы будем пользоваться числом п4 скалярных фотонов,
как характеризующим состояние квантовым числом. При действии на
112
Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
амплитуду состояния Ц'щ операторы
дать свойствами
[ср. G.27)] будут обла-
облаA0.14)
±Vn4
В качестве метрического оператора,
и ql, можно использовать
антикоммутирующего
71 = (—1)Л*. A0.15)
В самом деле, поскольку операторы #4 и #* меняют /г4 на единицу,
то оператор т| обязательно приводит к возникновению множителя
(—i) при перенесении его с левой стороны оператора #4 на пра-
правую. Я^но, что в этом представлении оператор т] диагоналей. Нор-
Нормировку Ч!\ч надо бу^ет записать тогда в виде
(<т^^^(-1)п^^Л/тП43^. A0.16)
Матричные элементы операторов q4 и
из A0.11), A0.100 и A0.14)
непосредственно получаются
?4П4+1,И4 = У ^;
(Ю.140
Они в точности такие же, как и для пространственных операторов.
Распространение на все осцилляторы поля является теперь три-
тривиальным. Мы опрр.пр.лим те.ре.рь Y] как прямое произведение опера-
операторов, относящихся к каждому осциллятору, причем, конечно, для
пространственных осцилляторов эти операт1э|^ единич-
ными. Поэтому т] будет обладать свойствами
т1Л4==Л^, т]Л4 = —Л4т]. A0.17)
Амплитуда состояния W будет произведением того же типа, что и
в § 7, п. 3, и ее норма будет равна
^==(-1Г, A0.18)
где я4 — полное число скалярных фотонов. Для каждого осциллятора
матричные элементы операторов да и ql, независимо от того, чему
равно а A, 2, 3 или 4), будут равны
§ 10. Квантование продольного и скалярного полей 113
Мы видим, что не требуется никакой асимметрии в интерпретации дЛ
и ql как операторов испускания и поглощения. Асимметрия простран-
ственных и временных составляющих перенесена теперь на метри-
ч^ский^од^ в гт^ре^Га^То^воГчнь1 х
соотнрщ(ШИЯХ*.ЛИ..й_.м^тр_ичных элементах, ни в услозиях эрмитовости,
ни в интерпретации.
3. Условие Лоренца. Наша следующая задача заключается во вве-
введении условия Лоренца. Мы должны, конечно, потребовать, чтобы
как физически возможные допускались только такие амплитуды со-
дА
стояния Wl, для которых среднее значение оператора ^—2 обращается
в нуль. В излагаемой теории это условие примет новую форму:
A0.20)
Условие A0.20) должно выполняться в любой точке простран-
пространства г в каждый момент времени t. В действительности, для не-
непрерывного перехода к классической теории требуется нечто боль-
большее, чем A0.20). Именно,^Heo6xomuOj_jij^
TeH3O2?L2^2I^^I}l^c^ 1^ж- Переболи ли в их классические зна-
чения. Поскольку этот тензор квадратичен по напряженностям поля,
то необходимо также, чтобы обращалось в нуль и среднее значение
оператора (з—Ч *)» т. е. чтобы выполнялось
A0.21)
Мы увидим ниже, что A0.21) будет выполнено.
Рассмотрим снова сначала осциллятор поля с фиксированным вол-
волновым вектором х. Систему координат будет теперь удобно выбрать
таким образом, чтобы ось z была направлена по вектору х. Тогда
Ml _L — = 0
дх1 ' дх2
автоматически и мы будем иметь дело лишь с третьей и четвертой
составляющими. После исключения аргументов п1 и п2 (поперечных
фотонов) наше условие запишется в виде
Н- A0-22>
Выражение A0.22) состоит из двух членов: одного, происходящего
из операторов q и пропорционального е^%г)~ы, и другого, проис-
происходящего из операторов q* и пропорционального ?-*(*г)+Ыв Оче-
Очевидно, что оба они должны обращаться в нуль независимо, поскольку
х) Это обстоятельство подробно обсуждается в работе [26].
8 Зак. 1260. В. Гайтлер
114 Гл. 2? Квантовая теория свободного поля9 излучения
A0.22) должно иметь место для всех г и t. Поэтому A0.22) сводится
к (к4 — пс3):
^) = о. A0'23)
Второе из этих уравнений эквивалентно первому, поскольку (f эрми-
эрмитово сопряжено с q, а т, коммутирует с q$, но антикоммутирует
с qA, почему второе из уравнений A0.23) можно записать также
в виде
явно комплексно сопряженном с первым.
Чтобы удовлетворить первому из уравнений A0.23), достаточно
потребовать1)
(?з+ ty№.= 0. (I0.24J
Амплитуду состояния 4'L можно, конечно, представить как су-
суперпозицию нормированных собственных функций с определенными
числами фотонов п6, nv которые мы будем обозначать Ww.jW4:
Ч'х = 2 erhn}Vnn A0.25)
(Ч »..«лД^«р = (-i)"'\< s< • A0-25'>
Используя операторные свойства A0.14) (и такие же для оператЪ-
ров q:i), получаем из A0.24)
/лзЧ- 1 ^1.,-ы.г14 + //л4+ 1 О/.. и4-!-1 = 0, A0.26)
где, конечно, с= 0, если какой-либо из индексов отрицателен. Мы
получим набор возможных амплитуд состояния 4'l, выбирая линейные
комбинации функций с одним и тем же значением суммы п^-\~пА:
'„ — %2, A0.27)
' L :==1 * nO i" • * * "i ^ \ "Г" '• n - r, r ~T~ • * * "i l * On*
]) Б качестве другой возможности удовлетворить A0.23) можно было бы
иотребовать выполнения условия (<уа 4- Ш^) Wj = 0._Такое условие не можетт
однако быть выполнено^ поскольку не может существовать состояния,
*H3jjjV4eHHU iDoiJQHOB1 из ~k6t0poT0 запрещено. Последнее обстоятельство
является также причиной того, что не может быть удовлетворено усло-
условие A0.9).
10. Квантование продольного и скалярного полей ' 115
Для случая общей координатной системы (х не направлен обяза-
обязательно по оси 3) соответствующие комбинации усложнятся. Полу-
Получаемые таким путем функции, как будет видно из соображений,
которые мы приведем ниже, не нормированы. Ради краткости мы
будем называть их лоренцовой совокупностью.
Если расщепить Аа (ср. п. 6) на
х
и подвергнуть аналогичной операции и оператор Лоренца
дА* — i I л. I ¦
дха
то легко видеть, что A0.24) будет означать требование
L-WL =0. A0.28)
условия Лоренца, используемая нами вместо
1й^?бЬ1[ В "
A0.9) в квантовой т^"р1ий^с?обЬ1[ного поля излучения. В таком виде"
это условие не зависит,"" конечТТоТ^ от" выбора системы координат.
В результате эрмитова сопряжения из A0.28) получается
Умноженное справа на т], последнее условие эквивалентно требованию
*1^+ = 0, A0.29)
откуда мы опять получаем A0.20), т. е.
Вследствие A0.28) и A0.29) будет также
Наконец, представление A0.23) показывает явно, что L~ коммути-
коммутирует с L+, поскольку [qbq*] компенсируется другим коммутатором
—'iQflll' так что1)
-О A0.30)
в согласии с требованием A0.21).
*) С помощью таких же соображений можно заключить, что среднее зна-
значение от Ln обращается в нуль. В обычной квантовой механике из этого
следовало бы тогда, что /,ч7 = 0 и что L имеет единственное точное значе-
значение 0. Здесь такой вывод не может быть сделан и
8*
116 Г л, 2. Квантовая теория свободного поля излучения
Выражение A0.24) не может содержать времени, поскольку как
Чг и #4, так и WL не зависят от / (не считая временных экспонент,
которые не существенны). Поэтому мы можем рассматривать A0.24)
или A0.28) как начальные условия, которые должны быть выполнены,
скажем, при t = t0. Из такого требования будет тогда следовать, что
эти же условия и A0.20) будут выполняться во все моменты времени.
Амплитуда состояния Wl будет попрежнему зависеть от чисел попе-
речных фотонов, которые не затрагиваются условием Л аренда. Есте-
ствеТШои что эти числа должны быть одинаковыми вовсех членах
той же W<?l
Новые комбинации W<?) обладают примечательным свойством. Из
A0.27) и A0.16) немедленно усматривается, что нормы всех W^?
обращаются в нуль, исключая только п = 0, и что для п = 0
норма — положительна. Кроме того, все 4W—взаимно ортогональны.
Поэтому мы можем нормировать их требованиями: *?
(«TV5-i)=l A0.31а)
И ""
(«г?у*'Ч^ь')) = 0 (л или п'ФО). A0.316)
Отрицательные нормы не встречаются в лоренцовой совокупности ч7^.
Это снова позволяет прибегнуть к обычной вероятностной интер-
интерпретации физически наблюдаемых величин, таких, как числа попе-
поперечных фотонов. Физическое состояние будет описываться амплиту-
амплитудой, составленной в виде линейной комбинации амплитуд W(?\ при-
причем теперь мы будем требовать, чтобы эта линейная комбинация
включала ч?<?); такую амплитуду состояния можно нормировать на
единицу. Сама ч??) будет, вообще говоря, состоять из ряда раз-
различных членов с различными числами поперечных фотонов, и коэф-
коэффициенты при этих членах будут давать вероятности нахождения
определенного числа таких фотонов. Любая примесь состояний* ч?(^>
с пфО не сможет изменить этих вероятностей. Продольные и ска-
скалярные фотоны не наблюдаемы(или, прибегая к другому выраже-
выражению, вероятностиТихобнаружения"рШТыГнул^уг^"~' '"
Амплитуды состояния W^ и ЧГх? -f- 2 c^L) описывают одно и
то же физическое состояние, и для физически наблюдаемых величин
„примесь" функций W{?> несущественна. Тем не менее они состав-
составляют существенную часть теории и их, как мы сейчас увидим,
нельзя просто опустить при вычислениях.
4. Градиентная инвариантность. Мы покажем сейчас, что „при-
месьа с обращающейся в нуль нормой тесно связана с различными
Калибровками, все еще возможными внутри лоренцовой калибровки.
§ JO. Квантование продольного и скалярного полей 117
В классической теории потенциалы Аа всегда можно изменить, не
вступая в противоречие с A0.1), добавляя 4-градиент
^ О- A0.32)
Покажем теперь, что если амплитуда состояния ч7^> изменяется
за счет добавления произвольной „примеси" ^cnW%\ то среднее
пфО
значение потенциала А^ претерпевает градиентное преобразование
A0.32). Для этой цели образуем сперва среднее значение напря-
женностей поля /ар, которые градиентно инвариантны. Пусть
Л A0.33)
пфО
будет общим выражением для амплитуды состояния. Тогда
(.0.34)
Используя разложение A0.2) для АЛ, получаем немедленно, ?
коммутирует с LT
[/ePL-] = 0. A0.35)
Поскольку L~WL == 0, то отсюда следует также
?~/«p«i; = <). A0.36)
Если вспомнить теперь, что совокупность амплитуд состояния W&
включает все амплитуды состояния, обращающиеся в нуль под дей-
действием L~~, то из A0.36) следует тогда, чтооператор /а^, действуя
на 4Tjr, приводит к амплитуде состояния, принадлежащей к лоренцо-
вой совокупности:
Более того, при действии /0^ на какую-либо ч?? (п Ф 0) возникает
суперпозиция амплитуд состояния W(™\ не включающая ч7<?),
/«з^ь* — 2 Ьптг№^ъ\ Ьпо == 0 (я ?= 0). A0.37)
Чтобы удостовериться в этом, рассмотрим опять парциальную волну
с х, .направленным по оси 3 (уг = х2 = 0). Тогда операторы fik, fu
и /24 (г#' fe=li 2, 3) будут действовать только на числа заполне-
заполнения поперечных фотонов (поскольку fijc~q<i"*jc — <7Л и xt = х2 = 0,
то будут присутствовать лишь операторы qx и #2, но не операторы
#з и #4; аналогично в /i4~<7iy4—^47i)- Оператор /34, поскольку
/у3 = у4> является по существу оператором —i(LT -\-L+). При этом
L~W*jJ обращается в нуль, a L+, действуя на любую амплитуду
состояния, может лишь увеличить число фотонов (любого рода).
118 Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
Поэтому оператор /^ не может создать при действии на WW ампли-
амплитуды W®\
Подставляя A0.33) в A0.34) и используя A0.37) и A0.316),
видим, что
(f^L = (V'frJ^T?) - (^Г/.^f). (Ю.38)
Иными словами, средние значения напряженностей поля, а потому и
любых градиентно инвариантных операторов, не зависят от примеси
состояний ЧГ{?) (пфО) и могут быть образованы из одних лишь
функций W^\ соответствующих нулевому числу продольных и ска-
скалярных фотонов. "Итак, для средних значений градиентно инвариантных
величин примесь состояний с неравным нулю числом продольных
или скалярных фотонов несущественна. Что же касается оператора т],
то в средних значениях, включающих только ч7^>, он равен единице.
Рассмотрим теперь средние значения потенциалов
A0.39)
и расщепим (Aa)L на две части — происходящую за счет Ф<?> и
остаток
(Л)? = <Л)°+(Л>/- A0-40)
Поскольку координаты г и t являются у нас параметрами, а не опе-
операторами, то любая производная от среднего значения по координа-
координатам равна среднему значению соответствующей производной. По-
Поэтому A0.38) можно представить в виде
или
Из A0.41) следует, что (АЛ)' можно представить как 4-градиент
некоторого скаляра
вследствие чего
^^(Ajo + g-. A0.42)
Конечно, скаляр у, как и сам потенциал Ла, удовлетворяет уравне-
уравнению П'/ = 0- Итак, (A*)L отличается от (Ла)° лишь изменением
калибровки, т. е. добавление Wig) к амплитуде W$ означает совер-
совершение градиентного преобразования над средними значениями по-
потенциала.
Добавки Ч;М к амплитуде состояния составляют столь же суще-
существенную часть формализма, как и сами потенциалы и их различ-
§ 10. Квантование продольного и скалярного полей 119
ные возможные калибровки. Еще более существенна роль продоль-
продольных и скалярных составляющих поля при реальном вычислении ра-
радиационных эффектов, когда присутствуют заряды, поскольку, как
было показано в § 6, они заменяют тогда физическое действие ку-
лоушског^ взяимодействия и будут появляться в так называемых
виртуальных или промежуточных^ состояниях^ Простейишй^~пршл€р
(взаимодействие двух электроновI5удет приведен в § 24, а даль-
дальнейшие— в гл. 6. Мы увидим тогда, что метрический оператор
в явном виде никуда не войдет и что все, что понадебится, — это
матричные элементы A0.19), формально идентичные для всех четы-
четырех составляющих. Однако для логически последовательной форму-
формулировки теории использование индефинитной метрики существенно.
Релятивистскую инвариантность сформулированного выше метода
квантования и введения условия Лоренца легко проверить1). Мы
можем воздержаться от изложения этого доказательства, поскольку
ковариантность теории окажется очевидной при дальнейшем изложе-
изложении (см. § 13, 28 и т. д.), где оператор т] не будет явно фигури-
фигурировать, а результаты будут изложены в ковариантной форме.
Итак, законы квантовой электродинамики для свободного поля
в лоренцовой калибровке можно записать в виде уравнений
A0.43)
имеющих место для всех четырех значений а, $ и утверждения,
что Аа (включая и Л4) являются эрмитовыми операторами. Обобще-
Обобщение на случай наличия зарядов будет рассмотрено в § 13 и прило-
приложении III.
5. Четырехмерные разложения Фурье. Перестановочные соот-
соотношения для потенциалов Ла. Этот и следующие пункты будут
посвящены дальнейшему чисто формальному развитию теории, кото-
которое окажется полезным для техники вычислений.
Все четыре компоненты потенциала Аа выступают теперь на
равных правах. Они удовлетворяют одному и тому же условию
эрмитовости (все компоненты Аа эрмитовы) и имеют одну и ту же
интерпретацию (#а—операторы поглощения). Это позволяет сфор-
сформулировать все соотношения, которым удовлетворяют Аа, явно
ковариантным образом. В частности, будет полезно выразить АЛ
в виде четырехмерного разложения Фурье.
1) См. [23]. Оператор г{ заменяет релятивистское /, которое является
инвариантным.
120 Гл. 2. Квантовая теория свободного поля излучения
Разложение A0.2) можно переписать в виде интеграла Фурье
в х-пространстве, а не в "виде суммы по парциальным волнам хх.
Число парциальных волн в элементе объема dH составляет д?3х/BттK.
Поэтому1)
ffA4We"VM. (Ю.44)
Для дискретного набора волн операторы qx к qfc коммутируют, если
X ф \'. Поскольку теперь х меняется непрерывно, то мы должны за-
заменить в перестановочных соотношениях множитель 8хх/ на8(х—х'),
что будет указывать на коммутативность <7(х) и <7*(х'), исключая
случай х = х/. Численный множитель в коммутаторе должен быть
таким, чтобы после интегрирования коммутатора по х I-^-^ полу-
получился тот же результат, что и после суммирования A0.7) по всем
парциальным волнам. Мы получаем из этого требования
to.(*L(О! = ^М(* — *') (xs|x| = ^-). A0.45)
Теперь можно перейти к четырехмерному представлению Фурье,
допуская, что интегрирование должно выполняться независимым
образом по всем значениям 4-вектора х^. Компоненты Фурье должны
быть тогда отличны от нуля, только если хо = ±:|х|. Входящие
в A0.44) два члена отличаются только знаком при уохо в показателе
экспоненты, так как знак х не существенен, поскольку интегриро-
интегрирование по х включает и интегрирование по всем направлениям.
Поэтому A0.44) можно записать в виде
Аа(г, 0 = ]/4^ J ^Л (*,) «Vf, A0.46)
где Аа(*у) — функции всех четырех компонент х^. Сравнение
с A0.44) показывает, что компоненты Фурье -Ла(х^) можно связать
с амплитудами <7а(х) и <7*(х) следующим образом:
v . A0^47)
Если подставить A0.47) в A0.46), то интегрирование по х0 может
быть выполнено, и мы опять возвращаемся к A0.44). Операторы
АЛ(\) и ^aOv) B общем случае не коммутируют. Удобнее будет
исследовать перестановочные соотношения [^4а(х )ЛЛ—х^)] (с из-
измененным знаком у всего 4-вектора ха во втором множителе), так
как в действительности именно эти величины не будут коммутиро-
коммутировать при х„=*?.
1) Амплитуды Фурье q (x) удобнее определить с множителем Bтг)я/*
в знаменателе, а не с множителем Bтс)з. Благодаря этому мы избежим по-
появления множителей Bтс)з в перестановочных соотношениях.
§ 10. Квантование продольного и скалярного полей 121
Из A0.45) и A0.47) находим
= 1Яа (*) ?е (*')] § (*о - *)8 (*' — *о) +
7*а (— *) q$ (— «01 8 (х + *о) 8 (*' + *о) =
^/г1 A0.48)
где использовались соотношения (8.60 и (8.24) для х = х/.
В § 9 перестановочные соотношения для напряженностей поля
были получены в координатном пространстве. Будет удобно вывести
подобные соотношения и для потенциала Ла. Последние неизбежно
будут зависеть от избранной калибровки, но при выборе лоренцо-
вой калибровки соотношения принимают очень простой вид. (Пере-
(Перестановочные соотношения в кулоновской калибровке приведены в при-
приложении II.) Из A0.46) и A0.48) следует для коммутатора операторов
и
2, *,) лэ (rlf h)] = ^Jd^jd^ [л
Мы обозначили здесь фурье-компоненту..для потенциала Л^через
А^—хДчто возможно, поскольку интегрирование производится по всему
четырехмерному /-пространству. Интеграл в правой части является,
как видно из сравнения с (8.25а), фурье-разложением Д-функции.
Поэтому
[Ла(г2, *2)i4p(rlf ^I = —4icttc8epA(r2 —rlf t2 — tx). A0.49)
Это соотношение эквивалентно перестановочным соотношениям A0.43).
Его ковариантность очевидна. Полагая tl = t2 и используя (8.28),
получим из A0.49)
И. (га M
Л(г2, t), i4p(rlf 0] = — 4«/Йса8вр8(г2 — г,). A0'49/>
Свойства А-функции были выяснены в § 8. Мы видим поэтому,
что A0.49) отлично от нуля только на световом конусе, т. е.
когда \v2 — r1\ = c\t2 —^| и две точки г2 и г v могут быть сое-
соединены световым сигналом, посылаемым либо из г2 в г1э либо на-
наоборот. Значение этого обстоятельства для вопроса об измери-
измеримости составляющих электромагнитного поля было выяснено в § 9.
122 Г л, 2. Квантовая теория свободного поля излучения
Дифференцируя A0.49) по rv tx и r2, t2, придем к перестановочным
соотношениям (9.8 а—г) для напряженностей поля Е и Н1).
Перестановочные соотношения A0.49) выполняются, только если
для Аа используется лоренцова калибровка. Хотя это условие и
не использовалось явно при выводе A0.49), однако разложение
A0.46) предполагало выполнение уравнения СИа = 0; это видно и
непосредственно из A0.49), поскольку ?А=0. Уравнение ДЛа=0
эквивалентно, однако, уравнениям Максвелла, едш условие Лоренца
выполняется в смысле п. 3. С другой стороны, интересно отметить,
что перестановочные соотношения выполняются независимо от вы-
выбора калибровки из числа удовлетворяющих условию Лоренца.
Иными словами, ограниченное градиентное преобразование, не меняю-
дА
щее условия ^—- = 0, сказывается не на изменении перестановочных
соотношений, а на возникновении обсужденной в п. 4 добавки
к амплитуде состояния.
6. Фотонный вакуум; средние значения. Для некоторых целей
будет полезно разделить операторы испускания и поглощения. Это
можно сделать и в координатном представлении. Определим
Тогда оператор Л+ будет оператором испускания, а А" — операто-
оператором поглощения2). Выполняя комплексное сопряжение и изменяя
знак у х^ под интегралом, видим, что At сопряжено с А~.
Отсюда немедленно следует, что
fAf]
[AfAf] = [A^Af] = 0, A0.51)
поскольку как q, так и q* коммутируют между собой.
С другой стороны, получаем, как и в A0.48),
[ А: (— •/;> AJ (х,)] = - А 8вр84 (х, — v) Ь <*0 — х) =
44 ^Ц^ 4 AQ-52)
1) Для этой цели полезно отметить, что
д" * пол <ЭД д^
дх~~ дх
2 2
2) В большей части литературы значки + и ~ употребляются обычно
в противоположном смысле. Мы перевернули обозначения, поскольку нам
представляется, что обозначение + сразу наводит на мысль об испускании,
а обозначение -—о поглощении.
§ JO. Квантование продольного и скалярного полей 123
1ср. (8.23) и (8.24)]. При переходе в координатное представление из
A0.50) и A0.52) найдем
^{Ь1(г2 — г1, t2 — /1) + /Д(г3— rv t2—tt)}. A0.520
Правая часть этого коммутатора является линейной комбинацией
функций А и At [см. (8.25)]. (Напомним, что обе функции Л и At
зависят только от |г2 — V1\ и являются, соответственно, четной и не-
нечетной функциями времени t.)
Операторы А1-"(г, t) и Л~(г, t) можно интерпретировать как
операторы испускания и поглощения, действующие в определенной
точке г, t пространства-времени.
-Все рассматриваемые нами операторы q, q*, Л^ и Л" и т. я.
.действуют на описывающую состояние поля амплитуду W, которую
можно считать зависящей от чисел заполнения фотонов каждого
сорта (а= 1, . . ., 4).
Особенное значение имеет состояние 1Г0000 с равными нулю чис-
числами заполнения для всех четырех сортов фотонов. Мы будем на-
называть, такое состояние фотонным вакуумом. Тут следует уточ-
уточнить что мы имеем в виду под отсутствием продольных и скалярных
-фотонов. В п. 4 мы видели, что состояния, отличающиеся только
числом продольных и скалярных фотонов (в предположении, что они
относятся к лоренцовой совокупности XYL), физически эквивалентны
и различаются только калибровкой средних значений потенциала А.
Поэтому состояния
пфО
Icp. A0.27)] с равным нулю числом поперечных фотонов с одина-
одинаковым правом могут претендовать на название фотонного вакуума.
С помощью градиентного преобразования их можно преобразовать
в состояние 11'0000. Положение меняется в случае присутствия заря-
зарядов. Тогда мы сможем снова рассмотреть состояние без поперечных
фотонов, однако вследствие наличия статического поля зарядов не
будет существовать состояний, в которых нет ни продольных, ни
скалярных фотонов. Тем не менее, определение состояния вакуума
требованием отсутствия продольных и скалярных фотонов имеет из-
известный смысл во многих случаях, именно тогда, когда взаимодейст-
взаимодействие, как между частицами, так и между частицами и полем излу-
излучения можно рассматривать как возмущение. Именно так будет
обстоять дело для столкновений между свободными частицами. Мы
вернемся к этому вопросу в § 13.
Итак, будем считать, что фотонный вакуум определен требова-
требованием отсутствия фотонов любого сорта. Ясно, что тогда оператор
124 Гл. 2, Квантовая теория свободного поля излучения
иоглощения должен, действуя на амплитуду состояния Ф*о = Ч^оооо»
приводить к нулевому результату1)
AaW0 = 0. A0.53)
Так как сопряженным с А~ оператором является А+, то будет
также и WIa? — Q и, поскольку т) коммутирует с At и антикомму-
тирует с At у то
<пЛа+=0. * " A0.530
Поскольку Wo принадлежит к лоренцовой совокупности,, то ясно,
что A0.53) и A0.53') совместны с условием Лоренца A0.28).
Рассмотрим теперь средние значения некоторых величин поля в
специальном состоянии \F0, т. е. средние значения по фотонному ваку-
вакууму; будем обозначать их индексом 0, (Q)o = (^Fo^Q^o)* ^з 00.53)
и A0.53') следует, что
{AZH=(A+H={AaH = 0. A0.54)
Средние значения от произведений А'?А± и А~А~ также равны
нулю. То же справедливо и для произведения А+А~, если опера-
оператор А" стоит справа; единственным неисчезающим произведением
двух множителей А будет Л~Л+. Чтобы вычислить среднее значе-
значение (А~А+H, заметим, что (АМ~"H = 0, и поэтому
(А~А+H=([А-А+]H.
Но коммутатор [Л^"Лр"] является не оператором, а с-числом. По-
Поэтому, учитывая, что норма (Wqiq^q) = 1, получим из A0.52)
MJ (ю-55)
Последнее равенство выполняется потому, что
В координатном пространстве из A0.52') получим, заменяя tl^±t2,
(A?(r2, t2)A+(rv ^,)>о=41гйс8вр1(Л1 —/Д)(г2—rlf t2—tx). A0.56)
Таким же образом можно вычислить и средние значения произве-
произведений более чем двух множителей: выполняя коммутирование,
г) Такая простая форма определяющего вакуум условия стала возмож-
возможной только за счет использования индефинитной метрики при квантова-
квантовании А^ Иначе оператор А± надо было бы интерпретировать как оператор
испускания и для любого состояния было бы А± W =/= 0. Ср, примечание на
©тр. 109.
Литература
иожно переместить все операторы А вправо, а все А+ — влево,
придя, таким образом, к нулевому среднему значению, причем оста-
останутся только коммутаторы операторов, являющиеся с-числами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bohr N., Atomtheorie und Naturbeschreibung, Berlin, 1931.
2. Heisenberg W., Die physikaHschen Prinzipien der Quantentheorie,
Leipzig, 1930 (см. перевод: Гейзенберг В., Физические принципы
квантовой теории, М.—Л., 1932).
3. Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc, А114, 243, 710 A927).
4. Jordan P., Pauli W., Zs. f. Phys., 47, 151 A928).
'5. Heisenberg W., Pauli W., Zs. f. Phys., 56 1 A929); 59, 169 A930).
6. Fermi E., Rev. Mod. Phys., 4, 131 A931).
7. Pauli W., Handb. d. Phys., XXIV, 1, 1933 (см. перевод: Паули В.,
Сбщие принципы волновой механики, М.—Л., 1947).
8..Wentzel Q., Quantentheorie der Wellenfelder, Berlin, 1946 (см. перевод:
Вентцель Г., Введение в квантовую теорию волновых полей,
М.—Л., 1947).
9. Kramers H. A., Handb. u. Jahrb. d. chem. Phys., Bd. I, Leipzig, 1938.
10. Schwartz L., Theorie des distributions, Paris, 1951.
11 Dirac P. A. M., The Principles of Quantum Mechanics, Oxford, 1935
(см. перевод: Дирак П. А. М., Основы квантовой механики, М.—Л.,
1937).
12. Stuckelberg E. С. G., Rivier D., Helv. Phys. Acta, 23, 215 A950).
13. Feynman R. P., Phys. Rev., 76, 769, A949) (см. перевод в сборнике:
„Новейшее развитие квантовой электродинамики," ИЛ, 1954).
14. FierzM., Helv. Phys. Acta, 23, 731 A950) (см. переводе сборнике:
„Новейшее развитие квантовой электродинамики", ИЛ, 1954).
15. Bohr N., Rose nf eld L., Det. Kgl. dansk. Vidensk. Selsk., 12, No. 8
A933).
16. Bohr N., Rose nf eld L., Phys. Rev., 78, 794 A950).
17. Corinaldesi E., Диссертация, Manchester, 1951.
18. Fermi E., Rev. Mod. Phys., 4, 131 A932).
19. В e 1 i n f a n t e F. J., Phys. Rev., 76, 226 A949).
20. Ma S. Т., Phys. Rev., 75, 535 A949).
21. Coester F., Jauch J. M., Phys. Rev., 78, 149 A950).
22. Gupta S. N.. Proc. Phys. Soc, 63, 681 A950).
23. В leuler K., Helv. Phys. Acta, 23, 567 A950).
24. Dirac P. A. M., Comm. Dublin Inst. Advдnced Studies, A, No. I
25. Pauli W., Rev. Mod. Phys., 15, 175 A943).
26. В ell nf ante F. J., Physica, 12, 17 A946).
Глава 3
ЭЛЕКТРОННОЕ ПОЛЕ И ЕГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
С ИЗЛУЧЕНИЕМ
§11. Релятивистское волновое уравнение для электрона
1. Уравнение Дирака. Мы предполагаем, что читатель знаком
с элементарной теорией уравнения Дирака. Настоящий, раздел по-
посвящен лишь суммированию фактов, используемых в дальнейшем,
а также установлению системы обозначений.
Релятивистское волновое уравнение для электрона, взаимодейст-
взаимодействующего с электромагнитным полем, имеет вид
1Ц = Щ={(я, р
Здесь р = сХ импульс, jx = тс2, px — (hcli)(d/dx)t а и |3—че-
|3—четырехрядные матрицы, удовлетворяющие соотношениям
«*?+К = 0, «*«„ + «,«.„= О, a*=p* = <f, ... A1.2)
Их можно представить, например, в виде
-с »)• ч: -Ъ
где 1, 0, з — не числа, а двухрядные матрицы; в частности, or— спи-
спиновые матрицы Паули, определяющиеся условиями
]Можно выбрать следующее представление:
С i> (? ") С !
-С i> *(? «)¦ -С -!
Оператор спина имеет вид
Та-2Л0 а)"
Соответственно, функция ф имеет четыре компоненты, ^>р, р = 1,. . ., 4..
^Чнячок р слелует рассматривать как дискретный аргумент функ-
функции ф (а не как индекс, обозначающий собственное состояние)..
Можно изображать 0 в виде матрицы с одним столбцом; тогда
11. Релятивистское волновое уравнение для электрона
выражение ajj есть матричное произведение
причем результат опять представляет собой однорядную матрицу.
Переходя к комплексно сопряженным величинам, можно получить
уравнение, сопряженное с A1.1). Функцию »]>*, комплексно сопря-
сопряженную с ф, следует рассматривать как матрицу с одной строкой,
причем оператор а и другие, примененные к '1Л должны стоять
справа от нее. Например,
Таким образом, ф* есть матрица, сопряженная с 6.
.Чтобы записать волновое уравнение в симметричном виде, удобно
ввести вместо ф* функцию
6+ = *<Ь*р. (П.4)
Обозначение ф+ общепринято, хотя матрица № и не является со-
сопряженной с ф. Сопряженное волновое .уравнение при этом прини-
принимает вид
6+{(в>Рор. + ^А)+-?;х + ^ср}. A1.5)
Предполагается4, что оператор рор. действует налево
на что и указывает индекс „ор."; удобно, однако, писать его справа
от ф+.
Чтобы сделать явной релятивистскую ковариантность уравне-
уравнений A1.1) и A1.5), удобно переписать их, введя матрицы fu:
T4 — P' \i — шг? — — L?ai \l— l> z> 3), (^11.0)
причем
Если теперь ввести оператор, изображающий 4-вектор энергии
импульса,
he д ( he д . д
i dXi — п~дГ)
и положить AV = A, icp, то уравнения A1.1) и A1.5) принимают вид
128 Гл. 3. Электронное поле и его взаимодействие с излучением
Величины -(а в известном смысле можно рассматривать как мат-
ричный 4-вектбр. Во всяком случае величины
^ = **№%*) О».8)
или
t + (ф+ ф) = ее
р = /4 =
действительно образуют 4-вектор. Здесь е = — \е\ — заряд элек-
электрона. Из уравнений A1.7) непосредственно следует, что"^4-вектор i^
не имеет источников
^ = 0. ' A1.9)
Физически он интерпретируется как плотность тока и заряда. Сопо-
Сопоставление A1.8') с классическим выражением B.14) приводит к мысли,
что оператор а играет роль скорости ^частицы. Эта точка зрения
подтверждается также сравнением оператора Н с классическим
гамильтонианом. Последний, в соответствии с F.22), дается формулой
+(V — eAJ=}(v, p
где релятивистская скорость частицы равна
v р — еК '
Т
Сравнение этого выражения с уравнением A1.1) показывает, что
V—>«?, Y^—х/'7^'2->?. Собственные значения матрицы ах суть ±1
и, следовательно, собственные значения \х как будто оказываются
равными ±с. Эго объясняется быстрым беспорядочным движением
электрона [1] (Zitterbewegung), обусловливающим наличие спина;
в то же время средняя скорость электрона определяется его импуль-
импульсом и равна cp/\i.
Для свободного электрона типичное решение уравнения A1 Л)
имеет вид плоской волны
есь р, Е (т. е. компоненты 4-вектора р^) — уже не операторы
а числа; и — четырехкомпонентная величина, именуемая спинором
она зависит от р^, но не от г и t. При этом ^+Pp.op. = —p^f.
§ 11. Релятивистское волновое уравнение для электрона 129
уравнения A1.7) принимают вид
или
Поскольку величина и имеет четыре компоненты, при любом
заданном значении р? мы будем иметь четыре различных решения.
Они соответствуют, во-первых, двум возможным ориентациям спина
и, во-вторых, наличию не только положительных, но наряду с ними и
отрицательных значений энергии. Физическое значение последней,
наиболее существенной, черты теории будет разъяснено в даль-
дальнейшем. Для иллюстрации типа возможных решений рассмотрим
свободный электрон, движущийся в направлении оси z\ при этом
рх = /?0 = О. Пользуясь представлениями A1.2') и A1.3'), получаем
следующие четыре решения:
«2
«3
«4
t
1
0
0
0
1
Р*
t
0
1
0
/7 1
| Pz
0
1
Л г1/.
A1.12)
Физический смысл этих решений становится ясным, если подей-
подействовать на функцию A1.12) операторами oz и Я. Легко усмот-
усмотреть, что
<3gU = ±u для | решений соответственно,
Ни = ±\Е\и для Е^О соответственно.
Таким образом, решения, помеченные индексами \ I , описывают
^лектрон со спином в направлении ±z (естественно, х- и ^-компо-
^-компоненты спина при этом не имеют определенных значений). Интересно
отметить, что только компонента спина в направлении движения
Иожет иметь определенные значения; решений, соответствующих
точному заданию других or-компонент спина, не существует. Ана-
Аналогично, для решении под рубрикой ?^0 энергия принимает соот-
соответственно положительные и отрицательные значения. Функция A1.12)
Армирована на единичный объем.
9 Зак. 1260. В. Гайтлер
130 Гл. 3. Электронное поле и его взаимодействие с излучением
Для свободного электрона с положительной энергией, заданным
направлением спина и импульсом в интервале сРр число собствен-
собственных состояний в объеме Z,3 равно
Собственные функции ф п (г) удовлетворяют обычным условиям
ортогональности и полноты. Поскольку р также ^является аргументом
волновой функции, интегрирование по координатам включает и
суммирование по всем значениям р. Далее, индекс п, нумерующий
состояния, указывает, в частности, и знак энергии и -ориентацию
спина. Таким образом, соотношение ортогональности имеет вид
Неравенство п Ф п! может означать, в частности, что различными
являются ориентации спина или знаки энергии. Условие полноты
имеет вид „ ^^
[см. (8.3); для дискретных переменных р в правой части появляется
множитель 8рр' ].
В дальнейшем мы будем опускать индекс р (поскольку это
совместимо с ясностью изложения), условившись, что суммирование
по р подразумевается во всех произведениях типа (ф*, .,., ф) или
(ф+, ..., ф) (между функциями могут стоять операторы а, [3).
Обобщение на систему нескольких частиц производится триви-
тривиально. Каждой частице соответствуют свои Операторы «Л, (Зл, рк
и т. д. Функция ф зависит от переменных всех частиц, т. е. от гк
и р?. Оператор ал, конечно, действует только на рЛ, но не на р?:.
В системе п частиц матрицу лк можно рассматривать как прямое
произведение сомножителей, которые все равны единице, за исклю-
исключением ?-го, который дается матрицей а, представляемой' формулой
A1.20- Общее число компонент функции ф равно 4П; при этом ф
антисимметрична по всем частицам.
2. Суммирование по спиновым состояниям. В дальнейшем
часто будет необходимо вычислять суммы, содержащие решения
уравнения Дирака для свободных частиц. Суммы будут браться
либо по двум ориентациям спина и двум знакам энергии, либо
только по ориентациям спина (при заданном знаке энергии). Оказы-
Оказывается возможным произвести вычисления, не обращаясь явно к кон-
конкретным представлениям для матриц а, C или у' Пусть Qt и
Q8 — два оператора, составленные из матриц а, р. Обозначим сумму
§ И. Релятивистское волновое уравнение для электрона 131
по всем четырем состояниям с заданным импульсом р через Ър.
Тогда условие полноты A1.13') принимает вид1)
2p«Xf = V* (паз'7)
Отсюда немедленно вытекают, например, следующие равенства:
2*' («'Qi*') (tif*QX) = KQA^). A1. На)
2 VQ«) = SP Q (Sp Q - 2 QPP)> A1.146)
p
где SpQ—шпур оператора Q.
Вычисление шпуров не представляет труда. Прежде всего из
формул A1.2)—A1.3') и A1.6') явствует, что шпуры всех произве-
произведений нечетного числа матриц ах, ayt $ или -^ обращаются в нуль.
Далее, поскольку Sp 1 = 4, получаем, например,
=s —4 и Т. Д. A1.15)
Значение шпура не изменяется при циклической перестановке со-
сомножителей' или при изменении их порядка. Например (a, b — фик-
фиксированные векторы),
Sp («a) (<%b) = Sp (eb) («a) = + 4ab / A1.15")
Обозначим теперь символом Sp суммирование только по двум
направлениям спина при заданном знаке энергии. Последний будет
указываться значком „+в или „—а. Заметим, что
Н+\Е\ = (ар) + Р^ + 1^1 „ _ / «• • Е
2 ' 21Е{ (
[и,
Е<°> A116)
Е<0,
Принимая это во внимание, сумму S± • • •# Можно привести к виду
2[Е\ "•
Таким образом, имеем
Sp± (u'QlU')(u'*QX) = («*Qi X%le"' Q*""). (И
S^ifif^. A1.176)
!) Четыре решения а пр» фиксированном значении р сами образуют
полную ортогональную систему. Суммирование по всем состояниям в A1.13')
включает сумму J? (которая дает 5рр,) и сумму по всем значениям р от
«<(рг) [она дает Цг—г')}.
9*
132 Гл. 3, Электронное поле и его взаимодействие с излучением
Поскольку / (Е -\- ар ~)~ ?№ = Т хРх + ^» равенства A1.17) можно
переписать также и в релятивистски инвариантном виде [пользуясь
формулами A1.16) в применении к #*]:
(П.186)
(при этом следует иметь в виду, что при Е < О, /?4 = /р0 = — /1Е |).
3. Переход к нерелятивистскому случаю. Если энергия неко-
некоторого состояния (не обязательно свободного электрона) близка
к а, то возможен переход к нерелятивистскому волновому урав-
уравнению. При Е > 0 из формул A1.12) явствует, что компоненты
uSt u± малы по сравнению с uv u.v имея величину порядка p/i~v/c.
Это имеет место и в общем случае, когда ср, А^=0, и р является
оператором, если только для матриц а, р использовать представ-
представление A1.2')- Тогда волновое уравнешгег^можно расщепить на два.
Обозначим две „большие компоненты" <1^ и 62 через fl>x (двухрядная
матрица), а малые компоненты — через'^п. Система уравнений A1.1),
будучи выписана для собственного значения Е, принимает вид [при
учете A1.2')]:
(? — 1Оф1 = *р.}1 + (*, р — еАЦа, A1.19а)
р — еАЩ. A1.196)
Величина еср будет порядка Е — jx и, следовательно, <С!^. По-
Поэтому функцию фц можно с помощью A1.196) выразить через фг
В пренебрежении величинами порядка р2/[х2, Я + |х можно заменить
на 2jx, а произведением е^и пренебречь. Тогда
A1.20)
Для решений, соответствующих заданному импульсу р (с-число),
можно также написать
Подставляя A1.20) в A1.19а) и пользуясь соотношениями A1.3) и
равенством
|„ А \— Ьс'дА*
§11. Релятивистское волновое уравнение для электрона 133
получаем уравнение, содержащее только 6f:
+ (p_<A)_ jg
Последнее слагаемое в фигурной скобке представляет собой хорошо
известный спиновый член, соответствующий магнитному моменту
еЬ/2пгс. Уравнение A1.21) справедливо с точностью до членов по-
порядка v/c включительно.
Таким же путем можно расщепить и выражения для плотностей
заряда и тока. Полезно проделать это для элемента перехода (и* аи ),
где р и р' — различные импульсы. В том же приближении, что и
раньше, из уравнения A1.19) получается для компоненты ап (при
А = ср = 0)
i)+
Здесь n — единичный вектор в некотором направлении. Первое
слагаемое в A1.22) представляет собой среднюю (по двум состоя-
состояниям) скорость электрона (р-\- /7г)/2а, второе описывает спиновый
ток. Для состояний с отрицательной энергией „расщепление" реше-
решений протекает совершенно таким же образом.
4. Теория дырок. Как мы видели, релятивистское волновое урав-
уравнение имеет решения, соответствующие отрицательным значениям
энергии. Это обстоятельство обусловлено тем, что энергия свобод-
свободной частицы дается корнем квадратным
Таким образом, при любом заданном значении р знак энергии Е
может быть как положительным, так и отрицательным.
Наличие уровней отрицательной энергии, понимаемых в букваль-
буквальном смысле, могло бьГпривести к серьезным затруднениям. В клас-
классической теории, правда, никаких трудностей не возникает, так как
можно определить энергию как положительное значение квадратного
корня, и с течением времени это не изменится. В квантовой теории,
однако, это невозможно, ибо внешнее поле (если только оно доста-
достаточно быстро меняется) может вызывать переходы между состоя-
состояниями с различным знаком энергии. Поэтому отрицательные уровни
нельзя исключить из теории, и если последняя не совершенно оши-
ошибочна, то они должны иметь какой-то физический смысл.
134 Гл. 3. Электронное поле и его взаимодействие с излучением
Интерпретация состояний с отрицательной энергией стала вполне
ясной после открытия частиц, обладающих всеми свойствами элек-
электронов, но несущих положительный заряд. Эти положительные
электроны, или позитроны (вместе с отрицательными электронами),
могут быть созданы быстро меняющимися электромагнитными полями
(^-излучением высокой энергии, при столкновениях быстро движу-
движущихся частиц и т. д.I)*
Равным образом позитроны могут аннигилировать с .отрицатель-
.отрицательными электронами, причем энергия покоя 2тс<2$ выделяется в виде
света. Таким образом, правильная квантовая электродинамика должна
описывать существование положительных электронов и процессы их
порождения и уничтожения
Связь между теоретическими состояниями отрицательной энергии
и наблюдаемыми на опыте позитронами дается созданной Дираком
„теорией дырок". Эта теория была сформулирована за два года до
открытия позитронов с целью избежать трудностей, обусловленных
уровнями отрицательной энергии.
Чтобы исключить возможность перехода^электрона с положитель-
положительного на отрицательный уровень, сделаем два фундаментальных пред-
предположения [4].
1) Все отрицательные уровни с энергией от —тс2 до —оо (для
Свободного электрона) заполнены электронами, и, следовательно,
никакие переходы в эти состояния невозможны. Существенно при
этом, что электроны подчиняются принципу Паули.
2) Электроны на уровнях отрицательной энергии не создают
внешнего поля и ничего не вносят в полный заряд, энергию и им-
импульс системы. „Нулевым значениям" заряда, энергии и импульса
соответствует такое распределение электронов, при котором все
отрицательные уровни энергии заняты, а все положительные — сво-
свободны. Это состояние мы будем называть электронным вакуумом.
Несмотря на второе предположение, допускается, что внешнее
поле все же может действовать на электроны, находящиеся на отри-
отрицательных уровнях.
Рассмотрим что происходит при удалении одного из электронов
с энергией Е =—\Е\ и импульсом р. В силу второго предположе-
предположения вся система приобретает при этом отличные от нуля заряд,
энергию и импульс
Е+ = —Е = \Е\, е+ = — е, р+ = — р, A1.23)
где е — заряд обычного электрона. Это означает, что дырка в рас-
распределении электронов отрицательной энергии обладает положи-
положительным зарядом и положительной энергией) ее импульс и спин
противоположны импульсу и спину электрона с соответствующей
отрицательной энергией. Дырка ведет себя, таким образом, как
1) Это явление было впервые открыто Андерсоном [2]; см. также [3].
# 11. Релятивистское волновое уравнение для электрона 135
обычная частица с массой, равной массе электрона, но с положи-
положительным зарядом. Энергия и импульс теперь связаны соотношением
A1.24)
причем имеется в виду положительное значение квадратного корня.
Таким образом, позитроны представлены дырками в распределении
электронов, заполняющих уровни отрицательной энергии.
Образование и аннигиляция „пар" позитронов и электронов опи-
описывается следующим образом. Пусть в начальный момент нет ни
электронов с положительной энергией, ни дырок. Внешнее поле,
действуя на электроны с отрицательной энергией, может перевести
один из них из состояния с энергией Е и импульсом р в состояние
с положительной энергией Е' и импульсом р'. Тогда возникает пара
с энергиями и импульсами
р ,= — р, Е+ — —Е — \Е\,
: ^ (ц25)
Чтобы такой переход был возможен, необходимо затратить энер-
энергию, превышающую 2тс2:
Е' — Е = Е+ + Е_ > 2mA A1.26)
С другой стороны, коль скоро в начальном состоянии имелась
пара, электрон может заполнить дырку, изображающую позитрон,
и пара аннигилирует. При этом энергия A1.26) выделяется в форме
излучения и т. д. В процессах рождения и аннигиляции пар полное
число частиц не сохраняется, тогда как полный заряд остается
постоянным. Процессы с участием электронов отрицательной энер-
энергии („вакуумных электронов") суть процессы существенно много-
многоэлектронные. Для описания их необходимо пользоваться антисим-
антисимметричными волновыми функциями, зависящими.от координат столь-
стольких частиц, сколько фактически вовлекается в переходы. При этом
имеется в виду и антисимметрия относительно перестановки элек-
электронов положительной и отрицательной энергии.
При описании процессов, идущих с образованием и аннигиляцией
конечного числа пар, представление о бесконечном числе электронов
на отрицательных уровнях фактически не используется. Теория дырок»
„Приводит, таким образом, к следующей интерпретации: переход
электрона с отрицательного на положительный уровень означает
образование пары, а обратный переход — аннигиляцию.
Теория дырок приводит к далеко идущим следствиям, касающимся
даже наших представлений о свободном электромагнитном поле.
Рассмотрим что происходит с электронным вакуумом гтри наложе-
наложении электромагнитного поля (например, кулоновского поля атомного
ядра). При наличии поля уровни отрицательной энергии—не такие,
136 Гл. 3. Электронное поле и его взаимодействие с излучением
как для свободных электронов. Поэтому если в отсутствие поля
все отрицательные уровни были заполнены, то при наличии его
некоторые из них окажутся свободными, а часть состояний с поло-
положительной энергией будет занята. Иначе говоря, появится некоторое
число пар. Последние действуют как диполи (полный заряд равен
нулю); таким образом, вакуум оказывается поляризованным. Эта
поляризация вакуума в известной мере аналогична поляризации не-
неоднородного диэлектрика (ибо кулоновское поле неоднородно); она
составляет наиболее характерную специфическую особенность
теории. _
Подробное рассмотрение поляризации вакуума мы отложим до
§ 32; однако качественные следствия ее легко усмотреть уже сей-
сейчас. Постоянное поле приводит и к постоянной поляризации, при
этом поляризуемость вакуума оказывается не зависящей от поля и,
следовательно, все заряды изменяются просто на универсальный
постоянный множитель („диэлектрическую проницаемость" вакуума).
Поскольку экспериментировать в „идеальном вакууме", когда поля-
поляризация отсутствует, невозможно» рассмотренный эффект является
принципиально ненаблюдаемым (хотя благодаря бесконечному числу
пар, участвующих в данном процессе, поляризуемость оказывается
бесконечной). Неоднородное поле, сверх того, создает еще и неодно-
неоднородную поляризацию, которая приводит к наблюдаемым (и конечным)
эффектам. Например, световая волна, распространяющаяся в неод-
неоднородном поле, будет испытывать рассеяние на поляризационных
диполях, т. е. должно иметь место рассеяние света кулоновским
полем. Равным образом две световые волны будут рассеиваться
друг другом (см. § 32).
В рамках линейной теории свободного электромагнитного поля,
когда справедлив принцип суперпозиции, подобные явления принци-
принципиально не могут быть получены. Электромагнитное поле более не
представляет собой независимого объекта, а оказывается внутренне
связанным с „электронным полем". Эти отклонения от теории Макс-
Максвелла в обычных условиях очень малы; они заметны лишь в очень
сильных полях или при очень высоких частотах.
Другую характерную особенность, с которой мы встретимся при
дальнейшем развитии теории, составляют так называемые „вакуум-
„вакуумные флюктуации". В состоянии электронного вакуума полный заряд
равен нулю. Это, однако, не означает, что всегда равен нулю заряд
в любом малом элементе объема. В действительности, вероятность
обнаружить электрон или позитрон (или несколько электронов) в лю-
любой области пространства в любой момент времени отлична от нуля
(ср. § 28, п. 4).
Теория дырок оказалась в блестящем согласии с опытом. Однако
следует признать, что формулировка теории с помощью представ-
представления о бесконечно большом числе частиц в состояниях с отрица-
отрицательной энергией является неудовлетворительной.
§ 12. Вторичное квантование электронного поля 137
v
В следующем параграфе, однако, мы увидим, что теорию можна
формулировать непосредственно в терминах позитронов (а не элек-
электронов с отрицательной энергией). При этом грубость рассмотрен-
рассмотренной только что картины в значительной мере смягчится.
§ 12. Вторичное квантование электронного поля
1. Вторичное квантование плоской волны. До сих пор мы рас-
рассматривали систему электронов и позитронов обычными методами
задачи многих тел, могущих занимать как положительные, так и
отрицательные уровни энергии. Помимо этого метода существует„
однако, и другой, в котором позитроны с их свойствами вводятся
в рассмотрение с самого начала. В этом методе ^-функция, подчи-
подчиняющаяся уравнению Дирака, сама квантуется подобно тому как
было проведено квантование поля излучения А. Преимущество такого
способа рассмотрения состоит в том, что при этом не появляется
„бесконечного моря" электронов отрицательной энергии и в теорик>
вводятся только физически существенные элементы. Сверх того,
возможность порождения и уничтожения частиц учитывается вполне
естественным путем. Иордан и Вигнер [5] впервые показали, что
вместо того, чтобы пользоваться антисимметричными волновыми
функциями в многомерном конфигурационном пространстве, можно
рассматривать ^-функцию как некоторое волновое поле (подобное
полю А) только в трехмерном пространстве. При этом следует лишь
считать ^-функцию квантовомеханическим оператором, удовлетво-
удовлетворяющим определенным квантовым условиям; последние надо сфор-
сформулировать так, чтобы выполнялся принцип Паули. Корпускулярная
природа электрона выявляется тогда только в этом процессе „вто-
„вторичного квантования".
Любое зависящее от времени решение уравнения Дирака можна
разложить по собственным функциям задачи о свободном электроне.
В это разложение, естественно, входят состояния как с положи-
положительной, пик и с отрицательной энергией. Для дальнейшего будет
существенно написать их раздельно. Обозначим через ир8? (или vp8?}
нормированные 4-компонентные амплитуды для свободного электрона
с импульсом р, спином s (=±1/.2) и положительной (отрицательной)
энергией (р=1, 2, 3, 4). Их можно выразить, например, форму-
формулами A1.12). При этом для состояний отрицательной энергии удобно
изменить знаки р и s, так что эти величины изображают импульс
и спин позитрона.
Для отдельной плоской волны величина ир89е1 №>№ представляет
собой собственную функцию электрона с энергией Е > 0, однака
v_Pt _s> ?е~1 рг'/Лс есть собственная функция электрона с энергией Е < О,
импульсом —р и спином —s\ таким образом коль скоро данный
уровень отрицательной энергии не заполнен, величины -р-р и s пред-
представляют импульс и спин позитрона: По аналогии с разложением
138 Гл. 3. Электронное поле и его взаимодействие с излучением
поля излучения G.3) можно написать
% @ = 2(M^wi(pr)/*c+^^ A2Ла)
Поскольку в отличие от А функция ^ не является вещественной,
Ь* теперь не представляет комплексно сопряженной с а величины:
арв и bp<s СУТЬ независимые амплитуды — функции времени t. Впредь
всюду, где это позволит ясность изложения, мы будем опускать
индексы s, р.
Соответствующее разложение функции ^* имеет вид
Перейдем теперь к процедуре квантования, рассматривая ампли-
амплитуды a, by a*y b* как не зависящие от времени операторы. На первый
взгляд, казалось бы, этого можно добиться, накладывая, по ана-
аналогии с G.10), условие [арар] = —. 1 х). Тогда, как и в G.13), вели-
величина арар=^пр имела бы смысл числа заполнения, т. е. числа элек-
электронов в состоянии с импульсом р и спином 5. Однако в соответ-
соответствии с результатами § 7 оказалось бы, что собственные значения пр
равны 0, 1, 2,...—в явном противоречии с принципом Паули.
Очевидно, вместо этого квантование следует провести так, чтобы
возможное число частиц в любом состоянии равнялось нулю или еди-
единице. Последнего можно добиться, накладывая условие антикомму-
тациа
щ~арар-\-арар=\ A2.2)
со знаком „ + ", а не „ —". Матричное представление таких
операторов а*, а легко найти 2). В простейшем нетривиальном слу-
случае а* и а должны представляться по меньшей мере двухрядными
матрицами. Принимая во внимание, что до квантования величина а*
была комплексно сопряжена с а (и, следовательно, после квантова-
квантования а и а* должны быть эрмитово сопряженными), находим (в том
представлении, в котором оператор а*а диагоналей):
'0 0>
1 0у
1 0>
о 0;> аа*=\л i)=i-n- A2-зб)
Единственность этого неприводимого представления операторов,
удовлетворяющих A2.2), видна сразу, коль скоро мы примем во
г) Множитель ft/2v здесь не появляется, так как функции и, v уже
нормированы.
2) Тривиальным решением было бы а = а* = 1 /1/*2. Это решение, однако,
«бесполезно, ибо величины а, а* оказываются при этом с-числами.
§ 12. Вторичное квантование электронного поля 139
* j<j«" — ¦ ¦ ¦ — -¦¦ -¦¦ ¦--¦ -
внимание, что формально матрицы A2.3) суть не что иное, как ли-
линейные комбинации спиновых матриц Паули; неприводимость послед-
последних есть хорошо известный факт.
Из представлений A2.3) вытекает, далее, что
а* = а*2 = 0. A2.4)
Величина п принимает два значения: 0 и 1, и потому ее можно
интерпретировать как числа электронов в состоянии р, s(E > 0) в соот-
соответствии с принципом Паули. Подобно операторам q и q* в случае
поля излучения, а и а* суть операторы „уничтожения и порождения"
электрона; иначе говоря, они меняют наличное число электронов
s системе на ±1. Подобно тому, что было сделано в § 7, нам при-
придется ввести амплитуду состояния системы электронов ЧР"Я, зави-
зависящую от числа наличных электронов и от времени; операторы а, а*
действуют на ЧР во многом аналогично формуле G.27). В данном
случае, однако, имеются лишь два состояния Wx и Wo и естественно
ожидать, что действие операторов aov. и #oP. на Фп будет выра-
выражаться соотношениями
Действительно, тогда матричные элементы, а и а* равны
а01 = (W*o О.Р.ЧГ0 = а10 =г(WlaopWQ) = 1,
* * * A2.6)
ап — а10 = а00 = ап = Ooi = аоо = 0»
что совпадает с представлением A2.3). Таким образом, величины
л* и а играют роль операторов порождения и уничтожения, и принцип
Паули соблюдается.
Точно так же наложим условие антикоммутации и на амплитуды
Ъ *
=l. A2.7)
В соответствии с представлениями теории дырок bub* можно
рассматривать как операторы уничтожения и порождения позитрона.
Действительно, в разложении A2.1) для функции ф амплитуда состоя^
ния с отрицательной энергией обозначена через Ь*\ эта величина,
таким образом, описывает поглощение электрона с отрицательной
энергией, что эквивалентно испусканию позитрона. Матричное пред-
представление операторов b и Ь* такое же, как и~ для а, а*. Амплитуда
состояния Wn+n- теперь зависит от чисел как электронов, так и
позитронов, причем а*а = п~, b*b = n+.
2. Набор плоских волн. Обобщение изложенного только что
метода на случай нескольких плоских волн *) не совсем тривиально.
1) То есть электронов с различными импульсами. — Прим. ред.
140 Гл. 3. Электронное поле и его взаимодействие с излучением
Амплитуда состояния W n+ ...п-... при этом будет зависеть от
чисел заполнения * электронов и позитронов для каждой отдельной
волны. На первый взгляд можно было бы попытаться рассматривать
операторы ар и т. д., как прямые произведения сомножителей,
каждый из которых относится к одной отдельной плоской волне (опи-
(описывающей позитрон или электрон). Все эти сомножители были бы
двухрядными единичными матрицами исключая лишь относящиеся к
р-волне; последний определялся бы формулой A2.3а). Обозначим пока
эти прямые произведения через ар и т. д., в то время как через ар и
т. д. будем обозначать отдельные сомножители (двухрядные матрицы).
Тогда мы получили бы, что ар, а*р — apaP' = 0 при р Ф р'. Однако
это не может быть правильно. Действительно, мы можем перейти к не-
непрерывному спектру, произведя затем, предельный переход р->//.
При этом соотношение, которому удовлетворяют операторы ар и ар>
должно непрерывно переходить в A2.3а). Но это может иметь место
только, если
A2.8)
Для непрерывно меняющихся р и рг символ bppf заменится на
3(р — р') (см, п, 3). Из A2.8) явствует, что волны с различными
импульсами не являются независимыми. Мы увидим, что это есть
не что иное, как выражение антисимметрии волновой функции
в конфигурационном пространстве. Чтобы найти матричное пред-
представление операторов, удовлетворяющих A2.8), надо пронумеровать
отдельные волны в каком-нибудь произвольном порядке, снабдив их
индексами 1, 2, . . ., А, . . ., jx и т. д. (нумеруются все волны, отно-
относящиеся как к электронам, так и к позитронам). Тогда ах будет
прямым произведением сомножителей, по одному для каждой отдель-
отдельной волны; в этом произведении, однако, помимо единичных матриц 1а>
будут фигурировать также матрицы
/— 1 О
[ а A2-9)
Положим (косой крест означает прямое произведение)
ях = сх X с2 X . . . X <\_1 X ах X lx+i X 1х+2 X • . .,
A2.10)
ах = с, X с2 X • • • X cx_i X ах X lx+i X 1х+2 X ...
и аналогично — для b, b*. Из представлений A2.3) и A2.9) явствует,
что сх антикоммутирует с ах и а{: схах-{-ахс1 = 0. Тогда из A2.10)
немедленно вытекает
axal-+-alax = 0 (а ф X)
в соответствии с A2.8). Кроме того,
\-a^ax = 0 (|i Ф X или;х = Х). A2.11)
§ 12, Вторичное квантование электронного поля 141
В дальнейшем мы будем обозначать антикоммутаторы типа A2.11)
фигурными скобками {...} и спустим черту над операторами. Тогда
Соотношения антикоммутации для операторов а, а* и b> b* будут
такими, же, как и для амплитуд поля излучения, с той лишь разни-
разницей, что все коммутаторы J...] заменяются на антикоммутаторы.
Например,
{4;<VW = [fpjbp'j] =8*Л*'. A2.12а)
{4j4v} = {ap8*p'j} = {bpJtfb'} = {арЛ'*'\ =0 и т. д. A2.126)
Единственные отличные от нуля антикоммутаторы даются фор-
формулами A2.12а).
Очевидно, оператор ар8 коммутирует в обычном смысле с произ-
произведением ap'j'dp'jr
[fl1iJfl^d'fl1,'d'l = 0 (рФр' или s Ф s%
Равным образом,
a%,j= a*pj = 0f а*рар~Пр, b*pbp=np. A2.12в)
Развитый здесь формализм эквивалентен ограничению только анти-
антисимметричными волновыми функциями в конфигурационном простран-
пространстве. Мы покажем только^ что это утверждение правдоподобно, но
воздержимся от общего доказательства, которое довольно гро-
громоздко [5].
Рассмотрим два электрона с импульсами р и р', причем все про-
прочие состояния не заняты. Тогда оператор apapapdp', будучи приме-
применен к 1Г, дает единицу. Переставить два электрона можно с пбмощью
оператора
* *
И = арпр'пра^,
действие которого сводится к следующему (читаем справа налево):
поглощается сначала электрон с импульсом р', затем—с импуль-
импульсом р а потом испускаются последэвательно электроны с импуль-
импульсами рг и р. Хотя в -данном случае электроны не нумеруются, но
¦представляется все же достаточно очевидным, что оператор Р бла-
благодаря различному порядку следования операторов порождения и
уничтожения действительно описывает перестановку двух электронов.
На основании A2.12) мы видим, что в применении к амплитуде
состояния W
р * * 1
Л dpdpdpfdp' 1 .
3. Соотношения антикоммутации для ф* Перейдем теперь, как
и в § 10, к-непрерывному спектру, заменяя суммы по р интегра-
интегралами (суммы по дискретным спиновым переменным, конечно, оста-
останутся). Число состояний в единице объема с импульсами в интер-
142 Гл. 3. Электронное поле и его взаимодействие с излучением
вале йър и с заданным спином есть d3p/Birfic)8. Перейдем сначала,
как и в § 7v к представлению взаицрдействия, вводя в операторы
a, by а*, Ь* множители, зависящие от времени,
A2.13)
Здесь Е — всегда положительная величина; в формулах для Ь
и Ь* она означает энергию позитрона* Разложения A2 Л а) и A2 Лб)
принимают вид (вместо ф*, и мы пользуемся функциями ф+ = *ф*[3 и
A2.14)
Антикоммутаторы операторов а^ и др. даются формулами A2Л2),
с той лишь разницей, что в правой части S^S^' заменяется на
8^'8(р — рО [о множителе BnhcK/» см. стр. 120]. Поскольку .теперь
а> а* и т. д. — операторы, то операторами являются также вели-
величины ф, ф*. В известной мере они похожи на Л^(г, f)\ однако есть
и разница: во-первых, фиф* подчиняются другим правилам пере-
перестановки (коммутаторы заменяются на антикоммутаторы); во-вторых,
до квантования функции ф и ф+ были комлексными, и поэтому опе-
операторы ф, ф+ — не эрмитовы»
Подобно Лр (г, t)t операторы ф и ф+ определены в любой точке
пространства-времени. Поскольку мы пользуемся представлением
взаимодействия, фиф1" явно зависят от времени; в шредингеровском
представлении A2.1) это не имело бы места. Очевидно, оператор ф
приводит к поглощению электрона или к испусканию позитрона, т. е.
к уменьшению отрицательного заряда на едищщу; оператор ф+, на-
наоборот, увеличивает отрицательный заряд на единицу.
Составим теперь антикоммутаторы операторов ф и ф+, взятых
в двух пространственно-временных точках, rlf tx и г2, tz. Поскольку
все операторы а антикоммутируют с Ь* и друг с другом, то получаем
{Wv *гЖ^ «} = {Ф+(Г1, *1)Ф+(г«. ^2)}=0. A2Л5)
Таким образом, операторы ф, взятые в любых двух различных
пространственно-временных точках, антикоммутируют. Не обращается
в нуль только антикоммутатор {ф+(гх, ^)Ф(г2» ?2)}- Для него мы
§ 12. Вторичное квантование электронного поля 143
получаем на основании A2.12) и A2.14) [полагая (рг)—Ect = р»хЛ
A2.16)
Суммы по спинам в A2.16) можно вычислить с помощью соотноше-
соотношений A1.16) и A1.18). Принимая во внимание, что суммирование
производится здесь при фиксированном знаке энергии, получаем
w
При получении последнего из этой цепи равенств была использо-
использована теорема полноты A1.13"). Индекс рр' означает соответствую-
соответствующий матричный элемент оператора т .
Аналогично,
. 02.18)
Здесь фигурирует именно —Т^» так как слева стоит функция
p a Pq— по определению положительная величина1).
В применении к показательным функциям в A2.16) получаем
A2Л9>
Есди теперь в интеграле A2.16) изменить знак р во втором сла-
слагаемом и принять во внимание, что e~iEtlh—еШ1П = — 2/ sin Et/fr
и ?l==-j-|/"j12_|_p'2) T0 интеграл сводится к D-функции (8.30).
Окончательно имеем
A2.20)
Релятивистская инвариантность этого выражения очевидна.
Как и в случае электромагнитного поля, часто бывает удобно
пользоваться не трехмерным фурье-разложением A2.14), а четырех-
четырехмерным.
I) В отличие от формулы A1.18а), где /?0 — энергия электрона на отри-
отрицательном уровне.
144 Гл. 3. Электронное поле и его взаимодействие с излучением
Как и в § 10, п. 5, положим
A2.216)
Знак /?^ здесь изменен по сравнению со вторым слагаемым в A2.14),
т. е. значение р0 для позитронов вновь отрицательно. Сравнивая
<12.21а) с A2. Г4), видим, что
b (р0 — ?) + &-*-«Vp
^Р~(/У *) + ^(/V *)> A2.22а)
8 (А) — ?) + b-p-eVP;9b (р0 +¦ ?) =
Р^ ^)^ A2.226)
Здесь ф~ и ^(+) + — операторы уничтожения, а ф+и ф(-) + — опе-
операторы порождения соответственно электронов и позитронов.
Антикоммутаторы, т. е. {^^(р , ^)^(~)f(/?'» 5')j» пропорцио-
пропорциональны 8ed'. Проведя, как и выше [см. A2.17)], суммирование по
спинам, получаем для неисчезающих антикоммутаторов:
s)} = ± Т?9, -yjL. 3 (р „
*Я
причем по определению Е =-4-"j/p2-|-|x2. Благодаря наличию дельта-
функции, о(р — р7), Е = Е' и '
С помощью функции в(д:) = ±:1 при яЗ^О и равенств (8.23)
и (8.24) это соотношение можно переписать в виде
A2.24) -
Окончательно для полных операторов ф получаем
S {^, (p;. s)^^, s)} = T^ip^ — tfitipjbipl + v.*)- A2-25)
Совершая над этим выражением фурье-преобразование, вновь
приходим к равенству A2.20).
Равным образом легко вычислить и средние по вакууму значения
операторов. (Имеется в виду электронный вакуум, т. е. состояние,
в котором нет ни электронов, ни позитронов.) Для любого произве-
произведения величин ф+ и 6 отличный от нуля результат получается,
§ 12, Вторичное квантование электронного поля 145
только если оператор порождения стоит справа, а оператор уничто-
уничтожения— слева. Таким образом (мы пишем просто р вместо р , s),
Ф+. (/>') % (р)\ = (S<^>+(/>') 4-р+ (р))о = (S №+> + (р') Ф+ (р)}H =
^^ 54(^—<)§03« + ^а). A2.26а)
, (Р) <# 0>')>0 = (ЭД- (р) <|*7' + (Р'))о =
l±iMA2.266)
Согласно A2.15) и A2.20), любые две полевые величины, ф
или <{/**, взятые в различных точках пространства-времени, никогда
не коммутируют, хотя могут антикоммутировать. Тот факт, что мы
везде получили соотношение с яяяшкоммутаторами. является непо-
непосредственным выражением принципа Паули.
Таким образом, операторы ^(rlf tx) и ty(r2> t2) никогда нельзя
измерить одновременно, как бы далеко ни отстояли друг от друга
точки гх и г2. Это означает, что, несмотря на формальную аналогию
с квантованием электромагнитного поля, ф нельзя рассматривать как
измеримую величину (в отличие от напряженностей поля). В пре-
предельном случае, когда справедливо классическое описание, электроны
ведут себя как частицы, и неквантованное <]>-поле в трехмерном
пространстве физически не существует. С другой стороны, с по*
мощью оператора ^ можно построить и измеримые полевые вели-
величины. Примером тому является плотность тока, к рассмотрению
которой мы и переходим.
4. Плотность тока и энергии. Согласно теории Дирака, плот-
плотность тока дается выражением
/н=^(ф%ф). A2.27)
Если теперь произвести вторичное квантование ф, то / также
оказывается оператором. Однако в определенную таким образом
плотность тока вносят ^клад и все вакуумные электроны, заполняю-
заполняющие уровни отрицательной энергии. В этом можно убедиться, вы-
вычислив среднее значение полного тока 7^=Г/А^т в состоянии
с заданными числами заполнения Пр> tip. Пользуясь разложениями
02.1), получаем г)
2 4 4)(V-pW-p)}- A2.28)
1) В самом операторе 1^ содержатся дополнительные члены, пропор-
пропорциональные операторам порождения и уничтожения пары частиц с противо-
противоположно направленными импульсами. Именно, сила тока равна
h = <fk) +ec^ {apb*__p (upakvp) + b__pap {vmpakup)}.
Ъ выражении для полного заряда ^ эти члены отсутствуют. Очевидно»
<6 = a
146 Гл. 3. Электронное поле и его взаимодействие с излучением
Величина е(и^^ир) изображает ток, обусловленный одним элек-
электроном с положительной энергией и импульсом р, е (vf_р1рУ-р)— ток
одного электрона с отрицательной энергией и импульсом —р или
ток, созданный позитроном с- импульсом 4~Р (здесь е = — \е[—
заряд электрона). Следовательно,
< = ^2 fa Dъир) — п+ (vtp^v-p)} A2.29)
р, в
представляет именно то значение тока, которое должно было бы
наблюдаться в системе электронов и позитронов, в то время как
в выражении A2.28) содержится дополнительное слагаемое — ток
вакуумных электронов
/^ = «2(/.Лг-.?). A2,30)
Это нежелательное слагаемое можно устранить весьма простым
путем. До вторичного квантования величины ^ и ^ были коммути-
коммутирующими функциями координат и времени. После вторичного кван-
квантования они-уже не коммутируют, и в нашей власти распорядиться
порядком следования сомножителей. Воспользовавшись этим обстоя-
обстоятельством, можно взять вместо <{/**...<]> любую линейную комбинацию
из ф+...ф и ф...<^. При этом, чтобы выражение типа (<]>.. .7.. .^f)
имело смысл с точки зрения матричного умножения в "[-пространстве,
вместо матриц ^ надо подставить транспонированные матрицы f ;
тогда, например,
Введем теперь другое определение плотности тока, по-
полагая [6, 7]
** = + % №%<() —(Й^*)}- A2*31)
Если бы <Ь+ и ф антикоммутировали, мы могли бы изменить по-
рядОк их следования (изменив знак), и второе слагаемое совпало бы
с первым. Поступая теперь так же, как и раньше, находим для
полного тока
р, в
Здесь было использовано то обстоятельство, что при одной и
той же ориентации спина электрона и позитрона (и^^ир) = (г/^ ч.^у_р).
Действительно, токи, созданные одним электроном и одним позитро-
§ 12. Вторичное квантование электронного поля 147
ном, очевидно, должны совпадать дру% с другом с точностью до
знака е. В выражении A2.32) уже не содержится вклада'от элек-
электронов отрицательной энергии, и ток обусловлен лишь реально
существующими частицами.
Плотности .тока /^(r, t)% взятые в различных точках простран-
пространства-времени, удовлетворяют определенным правилам коммутации
(а не антикоммутации). Их легко найти непосредственным вычисле-
вычислением с помощью соотношения A2.20). Расчет дает формулу типа
1'ДГ1. *iK(r2. t2)]= .. .D(r2 — rv t2 — tx). A2.33)
Точками перед D(r2 — vv t2 — tt) изображены здесь некоторые
операторы, содержащие матрицы ^» производные (действующие на
D-функцию), а также один оператор ф+ и один ф. Существенным
является наличие общих множителей в виде D-функции и ее произ-
производных х). В § 8 было показано, что D-функция обращается в нуль,
если точки rv tx лежат вне светового конуса точек r2, t2, или
наоборот. Поэтому коммутатор исчезает, если точки, в которых
рассматриваются величины i^ и it, нельзя связать сигналом, распро-
распространяющимся со скоростью v^C с. В этом случае величины 1^(г19 tx)
и /v(r2, t2) допускают одновременное измерение. Полученное усло-
условие обязательно, если мы считаем /^ наблюдаемой величиной^
требуя вместе с тем, чтобы принципы измерения не противоречили
теории относительности. Отличие . D-функции от нуля внутри све-
светового конуса связано с тем обстоятельством, что возмущение, обу-
обусловленное измерением плотности тока, может переноситься электро-
электронами, движущимися со скоростью v4^c
Физически разумные результаты, касающиеся измеримости плот-
плотности тока, существенно связаны с тем, что ff соотношении A2.20)
[а потому и в A2.33)] фигурирует именно функция D, а не Dt* \
Проблемы измерения плотности тока ^(r, f) можно было бы иссле-
исследовать таким же пухем, каким в § 9 обсуждался вопрос об изме-
измерении напряженностей поля. Оказывается, что ограничения, накла-
накладываемые на одновременное измерение величин ^ в разных областях
пространства-времени, согласуются с вытекающими из развитого
формализма соотношениями неопределенностей. В частности, это
относится и к тем случаям, когда надо принимать во внимание обра-
образование пар. Детали читатель может найти в работе Бора и Розен-
фельда [10] (см. также [11]).
Помимо плотности тока, есть и другие квадратичные по <]>* и ty
выражения, имеющие физический смысл. Гамильтониан для одного
свободного электрона имел вид // = (ар)-[-?[х' Соответственно, для
квантованного поля можно определить плотность гамильтониана
W A2.34)
I) См. [8, 9]. При tx = t2 правила перестановки явно выписаны в прило-
приложении III, формула (III.12).
148 Гл. 3. Электронное поле и его взаимодействие с излучением
Пользуясь ((ар) +Р.О«р*=Ер«р. ((«p) + foO*-p = — ?pv_p и при-
принимая ао внимание условия нормировки функций и и v, можно при-
привести полный гамильтониан к виду
// = 3@dx = 2i(n~I: +(n+ — \)E ). A2.35)
J p,s p p p p
Сюда входят энергии электронов и позитронов, а также бесконечная
добавка, обусловленная „фоном" электронов отрицательной энергии.
Если воспользоваться той же процедурой, что и при вычислении
тока, то это выражение только симметризуется, но нулевая энергия
не исчезает. Им,енно, полагая
1 1 ~ ~
gftf = -— ф* ((ар) -f- Sty-) Ф — -у Ф ((аР) + 31х) y » A2.36)
получаем
"-Site—j)+te-T))E*- A2-з7)
Р> 8
Как и в гамильтониане поля излучения, здесь фигурирует нуле-
нулевая энергия. Она устраняется, как и раньше, вычитанием ее из пол-
полного гамильтониана.
Заметим, что оператор Н приводится к диагональному виду од-
одновременно с п~ и п+.
Плотность гамильтониана S№ можно дополнить до полного тен-
тензора энергии-импульса. Величина $№ составляет его 44-компоненту;
компоненты 4/ определяют плотность импульса (ф*рф). Этот тензор
приведен в приложении VII.
§ 13. Взаимодействие электронов с излучением
1. Гамильтониан полной системы. В классической теории (см. § 6)
как уравнения Максвелла, так и уравнения движения электронов
можно вывести из полного гамильтониана системы. Последний состоит
из:
а) гамильтониана поля излучения
dz A3Л)
б) суммы гамильтонианов всех частиц (k — номер частицы)
tfel.+int.= 2tf*, A3.2)
включающих также и взаимодействие частиц с электромагнитным
полем (а следовательно, и друг с другом).
В гл. 2 было произведено квантование свободного электромаг-
электромагнитного поля, а в гл. 3, § 11, 12 была получена квантовая форма Нк.
§ 18. Взаимодействие электронов с излучением 149
При этом электроны описывались уравнением Дирака либо
в ЗМ-мерном координатном пространстве (N — число частиц), либо
с помощью трехмерного „й-поляа, подвергнутого вторичному кван-
квантованию. Теперь легко поставить общую задачу о системе электро-
электронов (и позитронов), взаимодействующих с электромагнитным полем.
Особым преимуществом теории Дирака является ее линеаризо-
линеаризованная форма. Вследствие последней гамильтониан [в отличие от
классического гамильтониана F.22)] также аддитивно складывается
из двух частей //ei.+int, = #p]. + Mnt.i описывающих соответственно
энергию электронов в отсутствие поля излучения и взаимодействие
их с полем. При этом последний член линейно зависит от потенци-
потенциалов [см. A1.1)].
Состояние всей системы в целом описывается амплитудой состо-
состояния Ф\ изменение которой со временем, в представлении Шредин-
гера, определяется уравнением
ih5 =» (Ягаа. +Яе1. + Нщ.) W. A3.3)
Аргументы функции W, равно как и явный вид гамильтониана Я,
в известной мере зависят от калибровки потенциалов (кулоновской
или лоренцовой), а также от того, описываются электроны в кон-
конфигурационном пространстве или в представлении вторичного кван-
квантования, Рассмотрим обе калибровки по отдельности.
Кулоно$ская калибровка. В этом случае условие d?vA = cp = O
выполняется как операторное уравнение, и только' поперечные волны
дают вклад в гамильтониан поля излучения
Операторы qx, естественно, удовлетворяют тем же правилам
перестановки, что^ и для свободного поля
Если электроны описываются как частицы в конфигурационном
пространстве, то
где индексы it k нумеруют электроны. В атомных задачах кулонов-
ский член в A3.6) скорее следовало бы включить уже в невозму-
невозмущенный гамильтониан, т. е. в оператор #ei., а не в Н\пи- Функция Ч?
здесь зависит от координат всех электронов и от переменных, опи-
описывающих поле излучения; естественно, она антисимметрична отно-
150 Гл. 3, Электронное поле и его взаимодействие с излучением
сительно перестановки любой пары электронов. В нерелятивистском
приближении оператор //ei.-f-//int. переходит в выражение A1.21)
и, следовательно (в пренебрежении спиновым членом, который носит
уже релятивистский характер),
С другой стороны, если описывать электроны в представлении
вторичного квантования, то гамильтониан дается объемным интег-
интегралом типа A2.35), а плотность тока, /^, билинейна по ф, ф* *):
и т. д. A3.8)
Ясно, что при этом кулоновский член в A3.6) (обозначим его
через //'с>) следует заменить кулоновским взаимодействием полной
плотности заряда с самой собой, т. е.
/P^i^ - A3.9)
После вторичного квантования ty* и ф становятся операторами, дей-
действующими на числа заполнения электронов и позитронов. Ампли-
Амплитуда W, описывающая состояние с заданными числами заполнения
фотонов и электронов, есть W + _ , а амплитуда произ-
произвольного состояния имеет вид
+
Тогда величина | с |'а представляет вероятность обнаружить пх фото-
фотонов типа X, п+ позитронов типа р и т. д. Соотношения антикомму-
антикоммутации для величин ф и 6* даны в § 12.
Лоренцова калибровка. В классическом случае потенциалы удо-
дА
влетворяют условию ^-^=:0. Гамильтониан электромагнитного поля
имеет вид (см. § 10)
X а
Помимо поперечных волн, сюда вносят определенный вклад также
и продольные и скалярные колебания. После квантования
где ^а — число фотонов (включая продольные и скалярные) с „поля-
„поляризацией" а. При описании электронов в представлении вторичного
1) Строго говоря, после вторичного квантования следовало бы положить
f = 1/а ((ф*ф) — (фф-)) и т. д., как в § 12, п. 4.
§ 13. Взаимодействие электронов с излучением 151
квантования оператор #ei. попрежнему дается формулой A3.8).
С другой стороны, гамильтониан взаимодействия #int. теперь содер-
содержит величину еу — е(лА) [см. A1.1)] и может быть Записан в виде
Япч. = -е J а+тЛ*)* = - 7
Амплитуда состояния зависит теперь от чисел заполнения фото-
фотонов всех четырех типов.
Формулировка условия Лоренца для общего случая поля, взаимо-
взаимодействующего с электронами, требует специального рассмотрения и
будет дана в дальнейшем. Благодаря условию -^=0 выраже-
ние A3.12) является калибровочно инвариантным.
Весьма замечательно, что подинтегральное выражение в A3.12),
т. е. плотность гамильтониана взаимодействия ей/W,—реляти-
ей/W,—релятивистски инвариантна, хотя ни полный гамильтониан, ни часть его,
вообще говоря, этому условию удовлетворять „не обязаны* (вообще
говоря, <§№ есть 44-компонента тензора). Эта особенность квантовой
электродинамики окажется чрезвычайно полезной при рассмотрении
радиационных поправок (см. гл. 6).
Амплитуды поля излучения qx или q^ с одной стороны, и ампли-
амплитуды электронного поля api bp—с другой, описывают независимые
степени свободы (это будет ясно также'из п. 3). Поэтому операторы
qyi q*x коммутируют с ар:
2. Представление взаимодействия. Условие Лоренца 1). До сих
пор мы пользовались представлением Шредингера, в котором все
операторы Ла, 6 не зависят от времени. В предыдущих параграфах,
однако, неоднократно использовалось и так называемое представление
взаимодействия, в котором зависимость от времени путем тривиаль-
тривиального преобразования переносится с амплитуд состояния W на опера-
операторы. При этом для свободных электромагнитного и электронного
полей амплитуда состояния перестает зависеть от времени. Анало-
Аналогичное преобразование можно произвести и в общем случае взаимо-
взаимодействующих полей. Мы, однако, перенесем зависимость от времени
на операторы лишь частично: амплитуды состояния lF попрежнему
будут зависеть от времени, но лишь благодаря наличию взаимодей-
взаимодействия; зависимость же от времени, обусловленная гамильтонианами
свободных полей, переносится на операторы Л, ^. Последние зави-
зависят от времени так же, как и для классического случая невзаимо-
невзаимодействующих полей (отсюда название „представление взаимодей-
взаимодействия").
1) Представление взаимодействия уже давно используется для рассмот-
рассмотрения радиационных задач. Впервые его систематически исследовал* Томо -
нага [12].
152 Гл. 3. Электронное поле и его взаимодействие с излучением
Обозначим теперь через
гамильтониан свободных полей. Коль скоро заданы все числа запол-
заполнения электронов и фотонов всех типов, оператор Но диагоналей и
равен энергии системы невзаимодействующих фотонов и электронов
[см. A3.4) и A2.35I. Положим (ср. § 7, п. 3)
A3.13)
Это влечет за собой преобразование операторов
A'eszA (t) = eiHM* Ае~ш**'*,
у ==$(() — eiEji*^e-mjtih и т< д# A3.14)
Таким образом, Аг и <J/ явно зависят от времени. Аналогичные
формулы справедливы и ддя коэффициентов разложения q, q*> а и т. д.
В применении к операторам испускания и поглощения q, q*t ap
и т. д. это приводит лишь к появлению временных множителей е* in
и т. д. (ср. § 7, 10, 12). Действительно, пусть <jrx будет операто-
оператором поглощения фотона определенного типа \, тогда Н0=пхЬ\-\-Е' >
где Е'— энергия фотонов всех остальных типов, а также элек-
электронов. Очевидно, qx коммутирует с Е'х), а не с пхй\. Получаем
(e-mj/ft\ —q е-ы и т д>
1^ 'п+1 чп% п+1 А
Поскольку полный гамильтониан есть # = ^0 + //int., то функция W
в соответствии с A3.3) и A3.13) удовлетворяет уравнению
или
ihf = HLw', A3.15)
где
HLt = eiH^Hint.e-iH^\
Уравнение A3.15) является исходным при вычислении вероятно-
вероятностей переходов. Естественно, представлением взаимодействия можно
пользоваться как при кулоновской, так и при лоренцовой калиб-
калибровке. В последнем случае правила перестановки операторов Д»
имеют наиболее простой вид. Оператор //iQt. отличается от H\nt.
только появлением экспоненциально зависящих от времени множи-
множителей при всех операторах испускания и поглощения. Таким обра-
образом, правила перестановки операторов, зависящих от времени.
1) Следует заметить, что Ег квадратично по электронным операторам
ар, ар и т. д. Поэтому и оператор ар,, антикоммутируя с каждым из со-
сомножителей, все же коммутирует с Ег>
§ 13. Взаимодействие электронов с излучением 153.
в представлении взаимодействия оказываются такими же, как и для
свободных полей [см. A0.49) и A2.20I.
— rlf t2 — tx),
A3.16)
-rl9 tz-\). A3.17)
Кроме представлений взаимодействия и Шредингера, существует
еще представление Борна — Гейзенберга, в котором зависимость от
времени полностью переносится на операторы. Этого можно до-
добиться с помощью преобразования W" = eimin W, где Н—полный
гамильтониан системы. Правила перестановки при этом принимают
более сложный вид, чем A3.16) и A3.17), в частности, операторы
А* и <1>р> взятые в различные моменты времени, более не коммути-
коммутируют друг с другом. В этой книге, однако, представление Борна—
Гейзенберга не будет использоваться.
В представлении взаимодействия, когда операторы Q' явно зави-
зависят от времени, производные от времени, согласно A3.14), даются
формулой
^ = ![//0Q']. * A3.14а)
Кроме того, для любого представления можно определить пол-
полную производную dQjdt от оператора по времени, потребовав, чтобы
производная по времени от среднего значения (Q) равнялась сред-
среднему значению от производной, dQ/dt:
(в случае индефинитной метрики следует Ф* заменить на №*?]).
Производные по времени от ЧР* и W*, входящие в выраже-
выражение для d(Q)jdt, определяются из волнового уравнения [см. A3.3)
в представлении Шредингера и A3.15) в представлении взаимодей-
взаимодействия]. Соответственно для всех трех указанных выше представле-
представлений легко находим
Естественно, значения (Q) и d(Q)/dt не зависят от специаль-
специального выбора представления.
Усцрвие Лоренца (при лоренцовой калибровке) в присутствии
зарядов принимает более сложную форму. Для свободного поля она
в соответствии с § 10 имеет вид
^0 или
154 Гл. 3. Электронное поле и его взаимодействие с излучением
где символ (...) означает среднее значение величины, стоящей
в скобках, a WL — амплитуды состояния из того ограниченного
класса, для которого справедливо условие A3.18). Последнее сформу-
сформулировано здесь в рамках представления взаимодействия, и функция
Wl не зависит от времени. Если же имеются заряды, то 4*L начи-
начинает зависеть от времени. Условие, заменяющее в этом случае
равенство A3.18), выведено в приложении III. Там показано, что
уравнения Максвелла для средних значений напряженностей поля
имеют место, коль скоро при всех t справедливо соотношение
Как и раньше [см. F.41), F.41')Ь равенство A3.19) автоматически
выполняется при всех t, коль скоро удовлетворены два начальных
условия
(^?Ч A3-20а)
A3-20б)
В представлении взаимодействия имеет место операторное уравне- ,
ние Qcp = 0 и, следовательно,
^ divA + 9 <:divE.
Поэтому и здесь классические начальные условия I g— = О,
divE==4irp) имеют силу для средних значений. Второе слагаемое
в A3.206) отражает тот факт, что в присутствии зарядов имеется
кулоновское поле и, следовательно, есть скалярные и продольные
фотоны. По -этой причине и меняется условие, накладываемое на
амплитуды состояния. При р = 0 оба условия A3.20) сводятся
к A3.18).
Есть, однако, обширный класс задач, в которых можно не при-
принимать во внимание указанную только что модификацию условия
Лоренца. Это — задачи о столкновениях свободных частиц друг с дру-
другом и с фотонами, коль скоро взаимодействие между ними (в том
числе и кулоновское взаимодействие) рассматривается как возму-
возмущение.
Действительно, рассмотрим две частицы, приближающиеся друг
к другу из бесконечности. В начальный момент, t = — оо , они на-
находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга. Создан-
Созданное ими кулоновское поле обращается в нуль в любой конечной
области пространства; в частности, поле одной частицы равно нулю
вблизи другой. Таким образом, начальные условия сводятся к A3.18),
и можно считать, что начальное состояние (при t = — оо) описы-
описывается амплитудой WQi удовлетворяющей условию Лоренца A3.18)
§ 13. Взаимодействие электронов с излучением 155
для свободного поля и соответствующей отсутствию продольных и
скалярных фотонов. Спустя длительное время после столкновения
(скажем, при ^ = -|~оо) частицы вновь разойдутся бесконечно далеко,
и опять амплитуда состояния будет удовлетворять условию A3.18),
т. е. условию Лоренца для свободного поля. Во время столкновения
должно соблюдаться полное условие Лоренца A3.19), но зтэ будет
иметь место автоматически, ибо равенстзо A3.19) выполняется всегда,
коль скоро справедливы начальные условия A3.20). Следовательно,
никаких дальнейших ограничений в более поздние моменты времени
накладывать не надо1).
Таким образом, вероятности переходов можно вычислять, выби-
выбирая начальное состояние без продольных и скалярных фотонов, пре-
пренебрегая условием Лоренца во время столкновения и принимая во
внимание только конечные состояния без продольных и скаляр-
скалярных фотонов2). В § 24 будет рассмотрен пример (столкновение
между двумя электронами) и будет явно показано, что таким пу-
путем получаются те же результаты, что и при кулоновской калиб-
калибровке.
Все изложенное справедливо лишь для бесконечно большого ин-
интервала времени. Важнейший пример, когда такой простой учет
условия Лоренца невозможен, составляют* задачи со связанными
электронами. В этом случае переходы совершаются за конечный
промежуток времени и кулоновское поле электрона все время от-
отлично от нуля. Здесь следует пользоваться начальными условиями
A3.20) во всей полноте. Поскольку это довольно сложно, то мы во
всех задачах о связанных электронах будем пользоваться только
кулоновской калибровкой (см. гл. 5 и § 34).
При наличии постоянного внешнего поля можно либо рассматри-
рассматривать последнее классически (соответственно накладывая классическое
условие Лоренца), либо пользоваться кулоновской калибровкой.
3. Канонический формализм. Квантование электромагнитного
поля было основано на том, что, разложив поле в ряд Фурье, мы
для каждой отдельной плоской волны могли найти пару канонически
сопряженных величин. Далее было показано, что полевые величины
в каждой точке пространства (или, в представлении взаимодей-
взаимодействия, в каждой точке пространства-времени) следует рассматри-
рассматривать как операторы; правила перестановки для них были получены
1) На языке теории возмущений это означает, что продольные и ска-
скалярные фотоны будут встречаться -в промежуточных состояниях, но на них
яе надо накладывать никаких условий. Точное доказательство этого утвер-
утверждения см., например, в работе [13].
2) В конечном состоянии может быть „примесь" со скалярными и про-
продольными фотонами, удовлетворяющая условию A3.18). Это обстоятельство,
однако, не отражает ничего, кроме произвола, связанного с возможностью
различной калибровки потенциалов (см. § 10).
156 Гл. 3. Электронное поле и его взаимодействие с излучением
из соответствующих соотношений коммутации для коэффициентов
Фурье.
Интересно указать, что уравнения поля и правила перестановки
можно представить в более сжатом виде, если рассматривать сами
потенциалы и ф-функцию в каждой точке пространства как само-
самостоятельные переменные. Тогда можно воспользоваться тем же
стандартным формализмом, который применяется в динамике и позво-
позволяет из классического лагранжиана получить гамильтониан и кано-
канонические переменные (и, следовательно, вывести правила переста-
перестановки). Лагранжиан кладется в основу теории ввиду его релятивистской
инвариантности. Mbi будем пользоваться лоренцовой калибровкой и
начнем с классической теории Лагранжа— Гамильтона, рассматривая
не только электромагнитное, но и электронное поле ф как обычное
классическое поле в трехмерном пространстве1).
Будем рассматривать величины А^(г, f) и АДг', f) как различ-
различные переменные, а производные Л^(г, t) — как соответствующие
обобщенные скорости в смысле теории Лагранжа — Гамильтона.
Равным образом ^(r, t) в каждой точке пространства представляет
самостоятельные динамические переменные электронного поля и соот-
соответствующие им скорости ty.
Лагранжиан свободного поля излучения обычно пишут в виде2)
^ = _-Д = -_(^__), A3.21)
где / —тензор поля. Положение несколько осложняется тем, что
производная Л4 не входит в jg7, и поэтому нельзя определить им-
импульс, канонически сопряженный с А4. Эта трудность связана с усло-
условием Лоренца, и есть несколько способов обойти ее. Очень простой
путь заключается в следующем. Будем рассматривать условие Ло-
Лоренца и производную от него по времени как начальные условия,
подобно тому, как -это делалось в § 6 и в п. 2 настоящего пара-
параграфа. Тогда, пользуясь условием Лоренца, можно переписать сме-
смешанный член в A3.21) в виде
/
д дА,,
^=° <13-22>
(если только Л,, исчезает на бесконечности, что мы вправе считать
выполненным). Следовательно, подинтегральное выражение в A3.21)
1) Эта процедура носит чисто формальный характер и Отнюдь не озна-
означает, что „классическое <Ь-поле" имеет какой-либо смысл. Уже неодно-
неоднократно (см. стр. 76, 145) подчеркивалась глубокая разница между полями,
подчиняющимися статистике Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака. Пред-
Представление о ф-поле приобретает физический смысл лишь после квантования.
2) См., например, [14].
§ IS. Взаимодействие электронов с излучением. 157
можно заменить на 2(dA^/dxJii после чего производная Л4 уже
©ходит в лагранжиан.
Таким образом, мы берем классический лагранжиан всей системы
в виде1)
Наличие здесь объемного интеграла выражает лишь тот факт,
что лагранжиан дается суммой по всем независимым переменным;
последняя в данном случае сводится к интегралу по всему про-
пространству.
Очевидно, подинтегральное выражение в A3.23) инвариантно
относительно преобразований Лоренца; то же самое справедливо и
по отношению к величине I Ldt, так как четырехмерный элемент
объема также представляет собой инвариант.
Импульс, канонически сопряженный с А (г), дается производной
д 9* *
—=~- (г) при заданном значении г. При этом из сумйы по г выде-
дАу, . ~
ляется один определенный член. Обозначим импульсы, сопряженные
с А^(т) и fy(r), через В^(г) и 7р(г). Имеем
вв-ЦГв5-^' A3.24)
;
Таким образом, импульс, сопряженный с ^р, есть по суще-
существу '>*.
Гамильтониан системы дается выражением ?№ — ^2лРЧ — «S7»
причем суммирование производится по всем парам канонически со-
сопряженных величин, что в данном случае опять сводится к интегри-
интегрированию. Таким образом, выражая всюду А^ и fy через В^ и ^р,
получаем
- J dz j JL [Di:cB^ + gra.d'2 A J — L (X l(«p) + fa) ф) —
^o+^iat, A3.25)
l) Фактически электронная часть L обращается в нуль в силу уравне-
уравнения Дирака, но это обстоятельство не играет роли.
158 Гл. 3. Электронное поле и его взаимодействие с излучением
Гамильтоновы уравнения движения приводят теперь, с одной сто-
стороны, к уравнениям Максвелла, а с другой стороны, к уравнению
Дирака для функции ф. Следует обратить внимание лишь на одна
обстоятельство: плотность гамильтониана J{? зависит не только от
А^(г), но и от производных от этого вектора по координатам,
—?к ' . При этом производную -~2~ наДО вычислять следующим
путем. Рассмотрим вариацию S6, полагая
Тогда **
(во втором слагаемом был изменен порядок следования операций
дифференцирования по xi и варьирования). Поскольку гамильто-
гамильтониан Н дается объемным интегралом от ©Ж\ второй член здесь
можно преобразовать, интегрируя по частям; тогда оказывается*
что производную~т-д- следует заменить вариационной производной
д Ш (/==1,2,3).
Гамильтоновы уравнения принимают вид
д
дВл'
( (дВл
о \ -г-'—)
\дх4
т. е.
I
или, принимая во внимание A3.24),
у.3 . 1_ ;• 4п_ . ее
Далее,
/йф= {pjx-j- (ар) —
§ 13. Взаимодействие электронов с излучением 159
Равенства A3.28) суть не что иное, как уравнения Дирака для
функций ф и <у (чтобы убедиться в этом, стоит лишь положить
3? = /»ф+74 и воспользоваться соотношениями между матрицами &
и f ). Выражение A3.27) есть волновое уравнение для потенциа-
потенциалов А,; оно эквивалентно уравнениям Максвелла, коль скоро выпол-
выполняется условие Лоренца. Последнее теперь имеет смысл начального
условия. Поскольку потенциалы А^ удовлетворяют уравнению вто-
второго порядка, равенство -г—2- = О справедливо во все моменты вре-
времени, если имеют место начальные условия
дАа
дха
= 0, -зг-рЧ =0 A3.29)
ot ox* \tssto
[ср. аналогичное рассуждение в связи с F.41), а также приложе-
приложение III].
В терминах канонических переменных условия A3.29) можно
переписать в виде [мы пользуемся равенствами A3.24) и A3.27)
для В4]
дх{
[ср. те же уравнения в терминах коэффициентов Фурье (б.44еI-
Напряженности поля выражаются через канонические переменные
следующим образом:
При этом второе из уравнений A3.30) идентично равенству
4irp, а гамильтониан A3.25) сводится к выражениям A3.8),
A3.10) и A3.12).
Развитый до сих пор формализм носил „классический" характер
в том смысле, что величины A^t B^ ф и у еще не были подверг*
нуты квантованию. Квантовые условия появляются теперь совершенно
очевидным путем. Следует лишь принять во внимание, что величины
ЛДг) и А^(гг) рассматриваются как независимые переменные. Таким
образом, мы получаем канонические соотношения
- 0.
160 Гл. 3. Электронное поле и его взаимодействие с излучением
В случае электронного поля единственное формальное отличие
состоит в том, что коммутаторы заменяются антикоммутаторами
{}
В представлении Шредингера все эти операторы не зависят от
времени. В представлении взаимодействия [переход к которому осу-
осуществляется с помощью преобразования A3.14)] правила переста-
перестановки A3.32), A3.33) справедливы для операторов, зависящих от
времени, если оба оператора относятся к одному а тому же мо-
моменту:
[Ax(rv t)B4(r2, О1 = «8(г2 —r^, A3.34а)
Mr2, OXp'OV 0} = й8(г2 —Г!)8РР', (Х = Щ*) A3.346)
ИДг2, t)A>(rv 01 = {%(г2> 0 V(ri. ')} =
= Ир,(г2. ОФР(Г1, 01 = 0 A3.340
и т. д.
Далее мы получаем
Подставляя сюда выражение A3.25) для Но и пользуясь правилами
лерестановки A3.32), находим
? г, 0- A3.35а)
Аналогично,
{здесь [//orVp] — коммутатор, а не антикоммутатор). Пользуясь соот-
соотношениями A3.33) и формулой A3.25), получаем
^ A3.356;
. Вообще, зависящие о г времени операторы A(t), B(t), ty(t)t y(t
удовлетворяют операторным уравнениям, по форме совпадающий
с классическими уравнениями поля в отсутствие взаимодействия
Заменяя В^ на (dAJdt)/4nc* и / на ihty* и принимая во внима
ние равенства (8.28) и (8.32), легко усмотреть, что соотношение
A3.34) и A3.347) суть не что иное, как частный случай A3.16) i
A3.17) при tt = t2. Для A3.34') и A3.34а) это очевидно. Полага:
в A3.17) tx = t2y видим, что единственный отличный от нуля член ест!
поскольку <J>+ = /<J/*j3, отсюда сразу следует A3.346).
Литература 161
Соотношения A3.16) и A3.17) лишь по видимости являются бо-
более общими, чем A3.32) и A3.33). Действительно, если разложить
поля в ряды Фурье и определить правила перестановки так, чтобы
удовлетворялись условия A3.32) и A3.33), то отсюда вытекают
соотношения A3.16) и A3.17), как в § 10 и 12'. Это очевидно также
и потому, что в представлении Шредингера канонические соотноше-
соотношения A3.32) и A3.33) суть полные квантовые условия. Начальные
условия A3.30) в квантовой теории превращаются в начальные усло-
условия для средних значений A3.20). Чтобы удовлетворить принципу
Паули, на операторы ф пришлось наложить соотношения антиком-
антикоммутации. В классическом предельном случае последние в отличие
от коммутаторов отнюдь не переходят в скобки Пуассона. Это еще
раз свидетельствует о том, что классического ^-поля фактически не
существует.
Плотность гамильтониана 3$ можно дополнить до полного тен-
тензора энергии-импульса, который приведен в приложении VII.
ЛИТЕРАТУРА
1. Schrodinger E., Sitz. Preuss. Akad., XXIVfl930).
2. Anderson С. D., Phys.-Rev., 41, 405 A932); 43, 491; 44, 406 A933).
, 3. В 1 а с k e 11 P. M. S., С h a d w i с k J., О с с h i a 1 i n i G. P. S., Proc. Roy.
Soc, 144, 235 A934).
4. Dirac P. A. M., The Principles of Quantum Mechanics, "Oxford, 3d ed,
1947 (см. перевод второго издания: Дирак П. А. М., Основы кван-
квантовой механики, М.—Л., 1937).
5. Jordan P., Wigner E., Zs. f. Phys., 47, 631 A928).
6. Н е i s e n b e r g W., Zs. f. Phys., 90, 209 A934).
7. Dirac P. A. M., Proc. Cambr. Phil. Soc, 30, 150 A934).
8. Pauli W., Ann. Inst. Henri Poincare, 6, 137 A936).
9. Pauli W., Phys. Rev., 58, 719 A940).
10. Bohr N., Rose nf eld L., Phys. Rev., 78, 794 A950).
11. Corinaldesi E., Диссертация, Manchester, 1951.
12. Tom on ag a S., Progr. Theor. Phys., 1, 27 A946); 2,101 A947) (см. пере-
перевод в сборнике: „Новейшее развитие квантовой электродинамики",
ИЛ, 1954).
13. Coester F., Jauch J. M., Phys. Rev., 78, 149,-327 A950).
14. Wen tz el G., Einfiihrung in die Quantentheorie der Wellenfelder, Wien,
1946 (см. перевод: Вентцель Г., Введение в квантрвую теорию
волновых полей, М.—Л., 1947).
И Затс. 1260. В. Гайтлер
Г л ачв а 4
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
§ 14, Элементарная теория возмущений
1. Общие соображения. В предыдущих параграфах были изло-
изложены физические и математические основы теории поля излучения,
а также электронов. Теперь мы должны развить методы, с помощью
которых из этого формализма можно извлекать физические резуль-
результаты. Квантовомеханическое поведение системы описывается волно-
волновой функцией или амплитудой состояния ^(t), удовлетворяющей
волновому уравнению
Здесь Н — полный гамильтониан, содержащий вклады от поля излу-
излучения #ra<L, от электронов #ei., рассматриваемых либо как кванто-
квантованное поле, либо без применения вторичного квантования, и от их
взаимодействия с электромагнитным полем #mt.- Внешнее поле или
кулоновское взаимодействие между частицами можно считать вклю-
включенным либо в #ei., либо в член, описывающий взаимодействие #int..
Пусть Н0 = Нга.ъ.-\-Не\. — энергия невзаимодействующих поля излу-
излучения и электронов. В § 13 было показано, что можно ввести не-
несколько иное представление (представление взаимодействия), в ко-
котором
^ L? [ iH^iaUe-iH"\ A4.1)
Операторы Но и //int. были приведены в § 13, п. 1 для двух
использованных там калибровок (кулоновской и лоренцовой). Соб-
Собственное состояние ч7...^... оператора //гаа. характеризуется зада-
заданием чисел фотонов каждого сорта /гх. (В лоренцовой калибровке
имеется четыре типа фотонов naV а = 1, . .., 4.) Кроме того, функ-
функция W зависит от переменных, описывающих электронную систему.
Если мы имеем дело лишь с ограниченным числом электронов ил?
позитронов, то нет необходимости пользоваться формализмом вто-
вторичного квантования. Собственная функция оператора //еь соответ-
соответствующая, скажем, собственному значению а, зависит тогда, напри-
например, от координат частиц: фа(. . .гк. . .). Если же используета
вторичное квантование, то W есть функция чисел Пр, Пр отрица-
отрицательных и положительных электронов в каждом отдельном состоя-
§ 14. Элементарная теория возмущений 163
нии р. Собственной функцией Но будет тогда хР...пх..$а или» если
применяется вторичное квантование, ЧР"...Ях...1Р...п+...пГ....
Электромагнитное поле описывалось нами с помощью операторов
испускания и поглощения, например #*, qv и гамильтониан взаимо-
взаимодействия //mt., будучи пропорцибнален А (или Ла в лоренцовой
калибровке), линеен по этим операторамг). Поэтому, действуя на
W'..^..., н[ъь. изменяет число фотонов в индексе на 'единицу. Ана-
Аналогично, если используется вторичное квантование, то оператор //int.
билинеен по ty+, ^ и потому, действуя на W, изменяет два из „элек-
„электронных" чисел заполнения /г~, /г+ на единицу.
Будем ради краткости обозначать собственное состояние опера-
оператора Но через 1ГП, где индекс п включает все квантовые числа,
полностью описывающие всю систему фотонов и электронов, не
взаимодействующих между собой. Пусть энергия системы в состоя-
состоянии п будет Еп. Точное решение уравнения A4.1) можно тогда раз-
разложить по функциям Wn:>
V@ = 2 bn{tWn, ¦ A4.2)
п
причем величина \bn(t)\2 есть вероятность того, что система в мо-
момент времени t находится в невозмущенном состоянии п. Подставим
это разложение в A4.1), умножим на Wn и проинтегрируем по всем
переменным, от которых зависит Wn (просуммируем, если перемен-
переменные дискретны). Получим
где //int.ni*» — матричный элемент //iDt. для перехода т—>п. Зави-
Зависимость Нш. от времени легко найти из A4.1). Так как оператор Но
диагоналей и, действуя на функцию Wn, умножает ее на Еп, можно
написать
^int. n\m = пп\те
И
"*п@ = 2 Нщте{Еп~Ет) mbm(t). A4.3)
т
Здесь величина Нп\т не зависит от t и равна матричному элементу
не зависящего от времени оператора //int.- Из уравнения A4.3)
следует, что нормировка Ъп остается постоянной:
-i9==0- A4-30
1) В нерелятивистском приближении Hint содержит еще и член
а потому qy, qx входят квадратично.
11*
164 Гл. 4. Методы решения
Матричные элементы Нп\т отличны от нуля, если числа фото-
фотонов в состояниях тип отличаются друг от друга на единицу. Если
волновое уравнение A4.3) выписать явно, то оно представит собой
очень сложную систему бесконечного числа уравнений —по одному
на каждый стоящий в левэй части коэффициент разложения Ь...щ...
с определенными %. В правую часть такого уравнения могут войти
все коэффициенты типа b...nx±i.... Далее, через уравнения для
Ь..,пх ± 1... будут втянуты величины Ь с индексами . . .пх-{-2. . . и
.. . /гх —1— 1» tip-\-l и т. д. Таким образом, все уравнения связаны
между собой. Такая система уравнений столь сложна, что не может
быть и речи об ее точном решении для какой-либо задачи. И, дей-
действительно, пока неизвестно ни одной задачи теории излучения, для
которой такое точное решение было бы найдено. Поэтому прихо-
приходится пользоваться той »или иной формой теории возмущений, рас-
рассматривая взаимодействие с излучением #iat. как малое возмущение.
К счастью, это допущение можно вполне оправдать. Действительно, опе-
оператор Hint пропорционален е и решение, разложенное в степенной
ряд по е, будучи выражено через безразмерные величины, должно
означать степеннэй ряд пэ постоянной тонкой структуры e^lhc=* 1/137.
Это —малая величина. С другой стороны, разложение в степенной
ряд вызывает некоторые опасения. Из дальнейшего будет видно,
что теория приводит к определенным трудностям, связанным с рас-
ходимостями, причем следует иметь в виду, что возможная их при-
причина состоит в применении недозволенных разложений. Мы, однако,
встретимся с этими трудностями лишь в гл. 6, где они будут об-
обсуждаться подробно и где будет показано, что они связаны только
с ненаблюдаемыми результатами теории. Во всех задачах, имеющих
физический интерес, применимость теории возмущений не вызывает
сомнений.
Это приводит к радикальному упрощению нашей математической
проблемы. Для большого класса задач (глазным образом рассмотрен-
рассмотренных в гл. 5) оказывается достаточной совершенно элементарная
теория возмущений, к изложению которой мы и перейдем, имея
в виду прежде всего ^читателей, интересующихся бэлее элементар-
элементарными применениями.
2. Вероятность перехода и изменение энергии. Большинство
задач, представляющих интерес в теории излучения, связано с вычи-
вычислением вероятностей перехода. В некоторых из них существенно
также изменение полной энергии, обусловленное взаимодействием
с излучением. Мы ограничимся этими двумя проблемами. Предпо-
Предположим, что в момент времени ? = 0 система находится в определен-
определенном невозмущенном состоянии (например, соответствующем наличию
одного атомного электрона в возбужденном состоянии и отсутствию
§ 14. Элементарная теория возмущений 165
фотонов). Обозначим это состояние индексом 0:
*@I ^ A4.4)
Под действием возмущения Hintt оно будет изменяться с течением
времени, и позже некоторые из Ьп (например, амплитуда вероят-
вероятности, описывающая атом в основном состоянии -|- излученный фотон)
станут отличными от нуля. Ясно, что в первом приближении будут
отличны от нуля лишь те из коэффициентов b1v которые относятся
к состояниям с числом фотонов, отличающимся от исходного на еди-
единицу. Таким образом, в первом приближении
A4.5a)
^0=2//0|Л/("«)(/й A4.56)
П
Далее, в качестве Ьо в A4.5а) можно подставить выражение A4.4).
Это будет верно лишь для сравнительно малых времен t, пока Ьо
еще не изменилось заметно, но этого достаточно для вычисления
вероятности перехода за единицу времеци. Тогда решение, удовле-
удовлетворяющее начальному условию A4.4), будет
i(En-E0)t/H
(Н.6)
Вероятность обнаружить систему в момент t в состоянии п, если,
при t = 0 она была в состоянии 0, равна
Нас не будут интересовать очень короткие промежутки вре-
времени t (порядка одного периода h/En). Несмотря на предполо-
предположение о достаточной малости t no сравнению с временем жизни
исходного состояния 0 (так что за время t величина Ьо не изме-
изменяется заметно), мы можем в то же время в равенстве A4.7) перейти
к пределу ?—>оо. Это означает, что t^>h/En или h/E0. При t-^oo
множитель, содержащий t, есть не что иное, как умноженное на t
представление о-функции (8.19). Поэтому мы имеем
7|М0|9=-х1Я«1°1а8<Е» —?о)- A4-8)
Смысл этого равенства состоит в следующем: когда t—^ со, выра-
выражение
I —cos (Еп —Ео) t/h
166 Тл. 4. Методы решения
исчезает всегда, за исключением случая Еп = Е0. В этом последнем
случае оно становится бесконечным (~t), однако интеграл по Еп>
взятый по области, включающей точку Ео, конечен:
Г dE l — cos(En — Eo)t/h _ 1 Г d 1—cosy ^ п
—oo
Это обстоятельство и выражается множителем $(Еп — Ео).
Левая часть равенства A4.8) есть вероятность перехода за
единицу времени для перехода из состояния 0 в состояние п. Нали-
Наличие 8-функции означает, что энергия сохраняется и переходы про-
происходят лишь между состояниями с равной невозмущенной энергией.
Здесь явно предполагается, что существует такое время t, при кото-
котором Ent/h^>l, но t значительно меньше времени жизни начального
состояния. В гл. 5 будет показано, что это всегда так; этот факт
связан с малостью эффектов затухания (ширины линии), о чем уже
шла речь в классической теории (см. § 4).
Формула A4.8) с 3-функцией справа имеет определенный смысл,
лишь тогда, когда можно интегрировать по Еп или Ео, т. *е.
если одно из двух состояний принадлежит непрерывному спектру.
Так будет, если в состояниях п или 0 имеется фотон. Тогда мы
интересуемся не вероятностью'какого-либо определенного состояния п,
характеризующегося точной парциальной волной фотона и пр.,
а лишь переходами -во все состояния с импульсом фотона, лежащим
в некотором бесконечно малом интервале. Умножим A4.8) на число
Состояний pndEn с требуемыми характеристиками и энергией в ин-
интервале dEn и проинтегрируем по Еп. Тогда
.т 1Л 2HL\ H .J2n M4Q^
¦ ^71 I 0 ' p. I ¦* ¦* П I 0 I rn V '
I n
дает искомую вероятность перехода за единицу времени в первом
приближении. Эта формула будет использована при изучений испу-
испускания и поглощения света.
Во многих случаях, однако, в первом приближении правая
часть A4.9) обращается в нуль. Рассмотрим, например, рассеяние
фотона электроном (свободным или связанным). Здесь должны изме-
измениться два числа заполнения пх: первичный фотон должен погло-
поглотиться, а вторичный (рассеянный) испуститься. В A4.9) допускается
изменение лишь одного „фотонного" числа заполнения. Чтобы описать
этот процесс, надлежит перейти к следующему приближению, допуская
появление двух сомножителей Н. Напишем вместо A4.5)
A4.10а)
')t/h. A4.106)
§ 14. Элементарная теорий возмущений 167
Состояния п! отличаются от исходного 0 на один фотон, а пг от
п — снова на один фотон. Таким образом, п отличается от 0 на два
фотона, что и требуется. Нужно рассматривать лишь такие состоя-
состояния п', которые могут осуществить указанную связь между началь-
начальным и конечным состояниями 0 и п. Мы назовем их промежу-
промежуточными или виртуальными состояниями.
Виртуальные состояния пг не обязаны удовлетворять начальным
условиям A4.4). Величины Ьп> —быстро меняющиеся функции с ма-
малыми амплитудами, и если бы нам нужно было удовлетворить на-
начальному условию, этого можно было бы добиться лишь для интер-
интервала времени порядка h[En, что физически бессмысленно.
Как и раньше, решаем A4.10), подставляя Ьо=\. Получаем
. нп'\о i(En
°п Е Е
П'
Если заменить Нп\0 „составным матричным элементом"
п'
to уравнение A4.12) оказывается тождественным с уже решенным
уравнением A4.5а). Следовательно, вероятность перехода за еди-
единицу времени равна
2
п\ п'Г1пг | О
п'
р„. A4.14)
Величина A4.9) — порядка ?2, а A4.14) — порядка е*. Этот способ
можно продолжить, рассматривая все более сложные радиационные
процессы, требующие еще большего числа шагов с большим коли-
количеством промежуточных, состояний. Например, когда в процессе
участвуют три фотона, вероятность перехода в единицу времени -шл|0
?нова дается формулой A4.9), но теперь
нп\п'нп'\п»нп"\о ПА ...
(Е0-Еп>)(Е0-Еп'>)-
п' ,п"
Во всех случаях равенства A4.9), A4.14), A4.15) дают вероятности
Переходов лишь в первом неисчезающем приближении и лишь если
разности Е0-^Еп> не обращаются в нуль.
В задачах о рассеянии больший физический интерес, чем вероят-
вероятность перехода за единицу времени, представляют эффективные
сечения. Рассмотрим две частицы в объеме L3, сталкивающиеся
168 Гл. 4. Методы решения
с противоположными импульсами. Если частицы изображаются пло-
плоскими волнами, нормированными в ZA то, очевидно, что wn\0-+0
при L3 —> оо для любого состояния п. Это можно установить также,
рассматривая зависимость матричных элементов (см. п. 3) и рп
(см. § 6 и 11) от /А С другой стороны, вероятность определенного
столкновения О —> п можно изобразить площадкой <pwio' перпенди-
перпендикулярной к линии движения таким образом, чтобы можно было ска-
сказать, что соударение имеет место, если частицы сближаются в пре-
пределах этого сечения. Тогда число столкновений в единицу времени
будет
Vnio^ir1- или ^10 = 7^^^10- A4Л6>
Здесь vi-\-v2 есть относительная скорость частиц (она может пре-
превосходить с\). Величина ср^1о не зависит от ZA Очевидно, что сече-
сечение инвариантно по отношению к преобразованию Лоренца вдоль
линии движения.
Таким же путем можно рассматривать изменение энергии невоз-
невозмущенных состояний. Поскольку оператор Я^. описывает испуска*
ние или поглощение фотона, то диагональные элементы Hmtt равны
нулю. Соответственно, возмущающая энергия оказывается по меньшей
мере второго порядка по н'ш.* Рассмотрим состояние п с невозму-
невозмущенной энергией Еп. Мы ищем теперь стационарное решение с общей
энергией Е, скажем Е = Еп-\-АЕп. Для Ьп имеем
п z^
ihh , —Н п h J(En'-En)V*
Во втором уравнении достаточно сохранить одно слагаемое — с Ъп>
так как все прочие члены (с Ьп») дадут в &Еп вклад более высокого
порядка малости. Стационарное решение найдем, полагая
bn{t) = с .е-*№>, Ьп.=с
откуда
2л Еп Еп
*
При этом величина ЫВп в знаменателе была опущена. Это оправ-
оправдывается тем, что АЕп считается малым по сравнению с Еп. Полу-
Полученное равенство представляет собой обычное выражение для сдвига,
энергии во втором порядке теории возмущений и может рассматри-
рассматриваться как диагональный элемент A4.13). Изменение энергии элек-
электрона благодаря его взаимодействию с излучением или его соб-
собственную энергию можно рассматривать как результат испускания
и поглощения фотонов в промежуточных состояниях п'. Эта радиа-
§ 14. Элементарная теория возмущений 169
ционная собственная энергия добавляется к собственной энергии,
обусловленной кулоновским полем и уже встречавшейся в § 4. Оба
вклада будут в рамках квантовой теории детально рассматриваться
в § 29.
Если радиационные проблемы изучаются в нерелятивистском при-
приближении, то оператор Hmt. состоит из двух частей, из которых
одна линейна, а другая — квадратична по А:
Оператор Н изменяет сразу два фотонных числа заполнения. Со-
Совершенно очевидно, что формула A4.13) для переходов второго-
порядка при этом заменяется формулой
ЯA) Ы1)
пп\пгП) О , „B) /1А 1Q\
Eq — Еп' \~Мп\°' A4.18)
п'
Результатов этого параграфа достаточно для применения теории
к радиационным процессам, рассматриваемым в.первом неисчезаю-
щем приближении теории возмущений (сколь бы велик ни был этот
низший порядок), т. е. почти для всех задач гл. 5. Только в задачах,
связанных с. конечной шириной линий, приведенные выше решения
требуют уточнения (см. § 18). Общая теория явлений затухания
будет развита в § 16 и использована в § 22 и 34. Более общему
формализму теории возмущений, включающему поправки высших
порядков к радиационным процессам, посвящены § 15 и гл. 6.
3. Матричные элементы. Для приложений в гл. 5 удобно за-
заранее вычислить в явном виде матричные элементы //int., встречаю-
встречающиеся в изложенной выше теории возмущений. Будем рассматривать
электроны как частицы в конфигурационном пространстве. В куло-
новской калибровке #int. дается уравнением A3.6) или, в нереляти-
нерелятивистском приближении, A3.7). Мы рассмотрим лишь часть, зависящую
от поля излучения (кулрновское взаимодействие можно включить в
#е].)- Для А используем разложение G.3), т. е.
2(?А + 4&> ^.lW'^. A4.19)
Матричные элементы qx и #* даются формулами G.9). В реляти-
релятивистском случае Нп\т отлично от нуля лишь для переходов типа
т = Ь, ..., /гх, ...—>яееея, ..., /ixztl..., A4.20)
т. е. при излучении или поглощении лишь одного фотона и при любом
изменении состояния системы электронов Ь-^а.
Обозначив символом | интеграцию по пространственным коор-
координатам и суммирование по индексам р функции ф, получим для
170 Гл. 4. Методы решения
одной частицы
H = — е у^^/^+Т J ф^*(^%. A4.21а)
фа«вв"*Сж^г)фь• A4.216)
Здесь ае представляет компоненту матричного вектора а в напра-
направлении поляризации светового кванта.
При переходах типа A4.20) энергия, вообще говоря, не сохра-
сохраняется, если хотя бы одно из встречающихся там состояний является
промежуточным. Разности энергий двух состояний, соответствующих
двум переходам; имеют вид
En — Em = Ea-Eb + kx. A4.22)
В нерелятивистском приближении первый член равенства A3.7)
> также дает отличные от нуля матричные элементы лишь для
переходов, при которых испускается или поглощается один квант.
Второй член пропорционален
А2 = 2 [чхЯ„ (Ах
Соответствующие матричные элементы отличны от нуля, если испу-
испускаются или поглощаются два кванта (или один испускается и один
поглощается). Таким образом (для одной частицы),
Нерел. A4.23а)
J &рее-и*>-%, Нерел.(П.2Ъб)
где рв— компонента вектора р в направлении поляризации 1).
Далее, например,
1/B) __
li п I 6, riyy n +1 —
^^\ (Н.24)
Наконец, рассмотрим частный, но очень важный случай свободных
электронов. Релятивистская волновая функция свободного элек-
электрона дана в § II. Для двух состояний &а, ^ъ с импульсами ра, рь
имеем
гГр r)/ftc
Подставляя эти функции в матричные элементы A4.21), получаем
t) Заметим, что безразлично, стоит ли оператор ре перед е^хг>1 или
после, так как (хе) = 0.
§ 14. Элементарная теория возмущений 171
для интеграла (полагая х = k/hc)
(F»-f«±*lWe. A4.25)
Этот интеграл пропорционален 8(р6 — pazt:kx) и обращается в нуль,
«ели не имеет места равенство (знаки отвечают поглощению и ис-
испусканию соответственно)
р6 — pad=kx = 0. A4,26)
Равенство A4.26) выражает закон сохранения импульса. Таким
образом, импульс сохраняется во всех процессах взаимодействия
светового кванта со свободной частицей *). С другой стороны, со-
сохранение энергии было общим результатом теории возмущений
(см. п. 2).
Матричные элементы для переходов свободного электрона, при
которых импульс сохраняется, даются соотношениями
== —-е у *$1^Упх+\(иа*еиь), A4.27)
где волновые функции плоских волн нормированы на единичный
объем L3= 1.
В нерелятивистском случае матричные элементы суть
//A) —
= "Ski *Л+* = -е /^ ^t1 ?'
а для переходов, в которых участвуют два кванта, например,
//B)
V V1
1). Нерел. A4.28')
Если используется лоренцова калибровка, то все изменения огра-
яичатся появлением четырех типов фотонов с числами заполнения
,ita, a=l, ..., 4. Как показано в § 10, матричные элементы опе-
операторов qaX и #*х в точности те же, что и у gXi q^. Таким образом,
вместо A4.27) получаем для свободных частиц
= - е V2^V^T~l(uhЛ) = Ща, пл+1 \рь, п, A4.29)
f x) Импульс связанного электрона, вообще говоря, не сохраняется, так
#сак ядро может принять на себя некоторую часть импульса.
172 Гл. 4. Методы решения
(где опущен индекс I). Для связанных частиц использование лорен-
цовой калибровки непрактично, так как условие Лоренца принимает
тогда очень сложную форму.
Во всех приведенных выше формулах объем L3, в котором за-
заключено рассматриваемое поле, был принят равным единице. В про-
противном случае в разложении A4.19) появился бы множитель L~ 2, если
Ах нормировано к 4тгс2. Следовательно, все матричные элементы,
включающие один фотон A4.21), A4.23), A4.27), A4.28), пропор-
пропорциональны L~Y3, a A4.24), A4.280 пропорциональны ZT8. Составные
матричные элементы A4.13), A4.15) и пр., включающие п фотонов,
пропорциональны L .
§ 15. Общая теория возмущений; свободные частицы
Для более сложных приложений квантовой электродинамики необ-
необходимо развить теорию возмущений исходя из более общей точки
зрения, которая позволила бы доводить вычисления до любого желаемого
порядка приближения. Удобно будет различать два класса проблем:
а) столкновения между свободными частицами и квантами и б) про-
процессы, включающие связанные атомные состояния. Для первого„класса
проблем справедливо много интересных теорем и связей, допускаю-
допускающих довольно общую трактовку, тогда как для второго класса при-
приходится применять довольно разнородные соображения (см. § 16).
В этом параграфе мы рассмотрим столкновения между свобод-
свободными частицами и квантами. Сюда можно включить также случай,
когда имеется внешнее поле А^\ если только его можно считать
возмущением, вызывающим переходы свободных частиц (например,
рассеяние электрона в статическом поле), но не приводящим к обра-
образованию дискретных уровней.
Следующие характерные упрощения имеют место в случае сво-
свободных частиц. Перед столкновением частицы и кванты настолько
удалены друг от друга, что их взаимодействие исчезает. Полная
энергия сводится тогда к энергии невзаимодействующих частиц и
принадлежит к непрерывному спектру. Так как в течение соударе-
соударения энергия сохраняется, то точная полная энергия в любой момент
времени совпадает с энергией свободных невзаимодействующих
частиц перед соударением, а также с конечной энергией после
соударения, когда взаимодействие снова исчезает. Все эти энергии
относятся к непрерывному спектру. Таким образом, в случае столк-
столкновений между свободными частицами и квантами невозмущенные
энергии до и после соударения одни и те же *). Последнее не-
несправедливо для связанных состояний, когда невозмущенная энергия,
*) „Невозмущенная энергия" свободных частиц включает, однако, соб«
ственные энергии отдельных частиц (см. п. 2).
§ 15. Общая теория возмущений; свободные частицы 173
вообще говоря, отлична от точной полной энергии. Более того, ве-
вероятность перехода за единицу времени обращается в нуль, когда
объем L3, в котором мы рассматриваем систему, стремится к беско-
бесконечности. Конечным' остается лишь эффективное сечение столкно-
столкновения [см. A4-Л6)]. Отсюда следует, что „ширина линии" началь-
начального состояния равна нулю и нам вообще не нужно будет рассма-
рассматривать здесь вопросов, связанных с шириной линии.
ч
1. Зависящее от времени каноническое преобразование. Будем
исходить из волнового уравнения в представлении взаимодействия
A3.15) (штрих у W теперь опустим):
№ = (H(t) + H<*) (t))W, A5.1)
где Н (t) = Hf[nt—гамильтониан взаимодействия с полем излучения,
а #(е) (t) — гамильтониан взаимодействия с внешним полем (если
такое присутствует). Оператор H(t) следовало бы дополнить чле-
членом, описывающим собственные энергии (см. п. 2), но дальней-
дальнейшее рассмотрение не зависит от явной формы H{t). Так как ис-
используется представление взаимодействия, то операторы Н(t) и Н№
Зависят от t. В релятивистской теории электронов H{t) и Н^
линейны по е,, и мы будем считать их малыми величинами первого
порядка. В нерелятивистских задачах H{t) содержит также квадра-
квадратичный член ^е1 [см. A3.7)], который должен считаться величиной
второго порядка. Если используется кулоновская калибровка, то H(t)
включает кулоновское взаимодействие Н^С) также второго порядка
—>ё*. Очень легко обобщить наши результаты так, чтобы вклю-
включить также члены второго порядка, но пока предположим, что H(t)
содержит лишь члены первого порядка.
Рассмотрим теперь действие возмущения, вызванного взаимодей-
взаимодействием H(t) (оставляя Н*<в) вне рассмотрения). Пусть W сначала бу-
будет невозмущенной-амплитудой состояния единственной свободной
частицы или кванта. Оператор //, действуя на \LJ\ изменяет число
фотонов на единицу, и, если электронное поле вторично прокванто-
вано, изменяет также число электронов. Решение A5.1), записанное
в представлении с заданными числами фотонов и электронов каждого
сорта, будет иметь вид ряда с членами, соответствующими любым
числам заполнения фотонов и электронов. Отдельный свободный
электрон теперь уже не будет более „голым" электроном, а будет
сопровождаться фотонами (и электронными парами). Аналогично,
фотон будет. сопровождаться электронными парами. Эти сопрово-
сопровождающие частицы мы называем виртуальными. Это те частицы,
которые встречаются в промежуточных состояниях (см. § 14). Клас-
Классическим аналогом такого виртуального поля является не что иное,
как поле, сопровождающее движущуюся частицу, в ее окрестности.
Таким образом, каждой невозмущенной амплитуде состояния W един-
единственной частицы соответствует возмущенная амплитуда состояния,
74 Гл. 4. Методы решения
обозначаемая через W, которая описывает ту же частицу, но
в то время как W есть лишь приближение нулевого порядка, W
есть точное решение уравнения A5.1) (если возмущение учтено до
бесконечного порядка), причем W' не будет зависеть от времени.
Энергия, принадлежащая W, есть возмущенная энергия, отличаю-
отличающаяся от невозмущенной энергии на величину, которую мы назы-
называем собственной энергией частицы. Этот факт, однако, бу!дет принят
во внимание лишь при дальнейшем развитии теории (см. п. 2 и
§ 29). Если же имеется несколько частиц или квантов, то произ-
произведение амплитуд состояния 4F', относящихся к отдельным ча-
частицам или квантам (снова обозначаемое через ч7'), будет теперь
зависеть от времени. Будут происходить переходы между различ-
различными состояниями свободных частиц, приводящие, например, к реаль-
реальному испусканию фотона, рассеянию частиц и т. д. Именно вероят-
вероятности таких переходов мы и хотим вычислить. Переходы имеют
место лишь между состояниями одной и той же энергии. Таким
образом, наша задача заключается в определении такой амплитуды
состояния W, временная зависимость которой обусловлена лишь
реальными переходами; W будет определяться новым гамильтони-
гамильтонианом /С, который отличен от нуля лишь для переходов между состо-
состояниями одной и той же энергии.
Амплитуда W должна получаться из W каноническим преобра-
преобразованием, которое мы запишем в виде г)
4F' = SW, SW' = W, A5.2)
где S(t) — унитарный оператор (получаемый из //), который, оче-
очевидно, также зависит от времени. Если подставить выражение A5.2)
в уравнение A5.1), то получим волновое уравнение для W
Ж = ih (SW + $Ф') = (Н -+ #(е)) SW'
или, умножая на S~\
№' = (S~%H (t) S — ihS'^S + S^HWS) W = (K (t) + K&) ^v, A5.3)
K{t) = S'xH{t)S — ihS'% K^ (t) = 5-1Я(е) (О S, A5.3-0
Так как исходный гамильтониан Н был эрмитов, новые операторы К
и /С(е) также эрмитовы. До сих пор S было полностью произволвчч
но. Для правильного определения 5 следует потребовать, чтобы
у оператора K(f) отличными от нуля были лишь такие матричные
элементы, для которых полная энергия сохраняется. Поизводная 1Г'
должна обращаться в нуль, если имеется только одна свободная ча-
!) Каноническое преобразование этого типа впервые было применено
Блохом и Нордзиком [1]. Развиваемый ниже вариант теории возмущении
отличается от ранее опубликованных, но в нем используются элементы из
работ [2—5].
§ 15. Общая теория возмущений; свободные частицы ' 175
стица, но это будет иметь место лишь при условии правильного
учета собственной энергии.
Введем сначала малый, но конечный интервал энергии s и по-
потребуем, чтобы
= 0 при \Еп — Ет\>г. A5.4)
В дальнейшем s будет автоматически устремлено к нулю. Впредь
до учета собственных энергий (см. стр. 183) вместо Еп можно под-
подставить невозмущенные энергии. Мы будем говорить, что опера-
оператор /С^ойладает матричными элементами лишь на „энергетической
поверхности".-..или что он диагоналей по отношению к полной энер-
энергии. При вычислении К мы будем иметь в виду только предельные
значения при s —>0. ,
Для определения S разложим 5 и К по степеням е, учитывая
при этом, что H(t) первого порядка малости. Получаем
S=l — Sjl + Si —Sg + SiSa+SjA — Si — S*+ •••> A5.5).
K(t) = K1(t) + K2(t) + kb(t) + Kt(t)+ ..., A5.6)
S~x = 5+ определено так, что SS~1—l. Записывая A5.3') в виде
SK=HS — ihS,
Получаем следующую систему уравнений:
К2 @ = Н (О Si — StK,. @ — ibS* A5.72>
Ks @ = Н (О S2 — S^aW —S^@ — ih'S3, A5.7.)
/C4 (t) = H (t) Si — S,K3 (t) — S2K2 @ — SsKt @ — ibSt. A5.7,)
Рассмотрим теперь по отдельности составляющие, лежащие на
Энергетической поверхности и вне ее [в смысле уравнения A5.4)].
Для недиагональных составляющих /С = 0. Уравнения A5.7) допу-
допускают тогда последовательное определение Sx (л=1, 2, 3, . . .)
р> всех порядках обычным интегрированием. Диагональные состав-
составляющие не определяют К и 5 однозначно, так как в A5.7) входят
|шшь комбинации A\~f- ihS\» Это полностью соответствует физиче-
физическому положению вещей. В самом деле, Система сильно вырождена
Ш поэтому можно совершить любое линейное преобразование между
Достояниями равной энергии, чего мы не желаем делать. Напишем
^т === ^j &m \
яли бы допустить, что в этой формуле встречаются элементы
т\п на одной и той же энергетической поверхности, то W было бы
176 Гл. 4. Методы решения
линейной комбинацией состояний W, между которыми могут проис-
происходить реальные переходы, как, например, между состояниями
электрона с различными направлениями импульса. Поэтому потре-
потребуем, чтобы элементы Sm\n на энергетической поверхности обраща-
обращались в нуль. Должны допускаться лишь члены Sm\m, диагональные
по всем переменным. Такие члены означают попросту перенорми-
перенормировку W, которая необходимо должна произойти, если требовать
нормировку 4jV на единицу, т. е. унитарность оператора 5. Оче-
Очевидно (и в дальнейшем будет проверено), что Sm\m = 0. В даль-
дальнейшем индекс d. будет означать матричные элементы на энергети-
энергетической поверхности, а п. d. — недиагональные по энергии матричные
элементы. Индекс D. будет означать матричные элементы, диаго-
диагональные по всем переменным. Таким образом, 5 имеет лишь мат-
матричные элементы типов Sn.a. и Sjy. и мы можем потребовать, чтобы
Sd. =SD. = 0. ' A5.8)
Гамильтониан Н, будучи линеен по электромагнитному полю, обла-
обладает лишь матричными элементами для испускания и поглощения
одного фотона и, кроме того, отличен от нуля при сохранении им*
пульса свободных частиц. Импульс и энергия не могут одновре-
одновременно сохраняться в'единственном акте испускания и, следовательно,
H(\Xt) = 0. Для упрощения записи будем писать Н вместо H(t),
Hf вместо H(t')9 HW вместо H^{tr) и т. д. Из уравнения A5.7t)
получим теперь
Нижний предел интегрирования является произвольной постоянной,
значение которой мы установим позднее.
Матричные элементы Sd. определяются из условия унитарности;
S+ = S'1 или, согласно A5.5),
Можно предположить без потери общности, ыто диагональные мат-
матричные элементы действительны (мнимый вклад означал бы попросту
несущественный фазовый множитель). Тогда
Sid. = Sid. = О, A5.110
S2D. =tt(Si)d. , A5.112)
1 ч
_*_ /ОС 1 С С О'Л /1 С 11 Л
3D. — "о" \^1*^2 ~Т~ 2*^Х *^1/ D. V * ^* * ^3^
§ 15. Общая теория возмущений; свободные частицы 177
.110 следует, что (SxK)d. = 0, так как K = Kd.> an. d.
элементы 5t не дают вклада в d.-произведения. Поэтому из A5.72),
1511)
,dt't A5.92)
52n. a => ~ f dt' f dt'iH'H")*. d., A5Л02)
В соотношении A5.92) множитель // = //(?) постоянен при инте*
грировании. Разумеется, порядок следования множителей НН' суще-
существенен. Из A5.73) получаем, используя A5.92), A5.102), A5Л12)>
t v
Kz(t) = ~ J dt' j df(HH'H"\., A5.98)
t t V t"
+1 (Й)« J H'df (8% —jdt'f df J df'H"(HfH"\\. A5.103)
Для вычисления /С4 в Sid. нет необходимости, так как оно входит
9 К4 только как множитель при //, а Н&. = 0. Также не нужно
й 54. Окончательно из A5.74) получаем
К4 @ = (HS3)$. — S2D.K2 @ =
t v t"
t V t»
df I dt"r {НН"{Н'Нг")ь)ь\ +
g _|EbD/C2@. A5.94)
В качестве нижнего предела интегрирования удобно выбрать неко-
некоторый момент времени —Г, например F->oo, в далеком прошлом
йеред соударением. Оператор Я, или любое п. d.-произведение опе-
операторов //, будет быстро осциллирующей функцией t\
и если взять среднее по Г, интервалу, заключающему много перио-
периодов, то любой интеграл от п. d.-произведения обращается в нуль
на нижнем пределе. Это, конечно, не имеет места для d.-произве-
12 Зак. 1260 В Гайтлер
J78 Г л, 4. Методы решения
дений; (//#')<*, и ПР-» встречающихся в A5.9). Иными словами, можно
было бы сказать, что перед столкновением энергия взаимодействия равна
нулю. Поэтому в качестве нижних пределов во всех интегралах по
времени можно выбрать —оо1). Подобным же образом все п. d.-
произведения обращаются в нуль при t = -\-oo.
Чтобы сделать явным то свойство оператора /С, что он лежит
на энергетической поверхности, лучше всего вычислить интеграл
оо
Г Kdt. Действительно, будет показано (см. п. 3), что значение
—оо
этого интеграла достаточно, если только мы интересуемся состоя-
состоянием системы по истечении большого промежутка времени после
соударения. В представлении взаимодействия, пользуясь временно
для представления невозмущенными состояниями, оператор К можно
записать в виде
ЦЕ -Е )ЦП
e m , A5.12)
где Kn\m не зависит от tt откуда
A5-12')
f
С помощью интегрирования по времени приведенные выше фор-
формулы для К можно еще несколько упрости ib. Прежде всего мы
видим, что
Далее, поскольку #( — оо) = 0, из A5.10^) видно, что2)
*) Возможность выбора в качестве начального момента t = —оо осно-
основывается на том факте, что вероятность перехода за 1 сек. обращается
в нуль при /,з=^оо. Для проблем, в коюрых имеются связанные состояния,
такое упрощение невозможно.
2) К пределу t-*~co нужно переходить лишь после образования квад-
квадрата, так как
Это же относится ко всем произведениям и пр., встречающимся дальше.
§ 15. Общая теория возмущений; свободные частицы 179
не зависит от t. Поэтому второй член A5.94) можно преобразовать
с помощью интегрирования по частям к виду
со t V V
—OO —CO —OO —OO
= St (oo) J 5t (f) K2 (O dt' — fs\ @ K2 (t) dt = - (Sl)j>. J K2 (t)dt.
— OO —OO —OO
Таким образом, получаем для К
2^hKl — Qi A5.13!)
со со t
2izhK2ss J K2(t)dt = ± j dt j dt'(ЯЯ')сь A5.132)
— CO —CO —CO
со t V
— t = J^-2 fdtf df J df(HH'H"\. A5.13,)
— OO —CO —CO
CO * *' . t*
D = ^L-3 j dt f df f df f df" (HH' (H"H"%. d.)d. +
A5.13J
— CO —CO —OO —OO
Члены —^/2(S?)d. возникают вследствие перенормировки новой ам-
амплитуды состояния W. Их мы будем называть ренормировочными чле-
членами. За исключением членов такого типа, К имеет одинаковую
структуру во всех порядках.
С помощью приведенного преобразования мы исключили из вол-
волнового уравнения A5.3) переходы в виртуальные состояния. Новый
.Гамильтониан К приводит лишь к реальным переходам.
Наконец, мы должны рассмотреть еще вклад от внешнего поля Н^в
Нам понадобится К лишь с точностью до второго порядка по Н.
В этом порядке
= tf(е) _{_ Н1е\ — 5хЯ(в) + StH(e) + Н(% — 5, Я И5, =
12*
180 Гл. 4. Методы решения
Используя выражения для Sx и S2 и соотношения
t v
находим
<«> = fH^dt,
—oo
—oo —oo
oo t t'
zbKie) = гш j dt J dt> j dt"
— OO —OO —OO
t V
m Sdt Sdt' S dt"H'H{e)H"+т J ( E?)d д(
—oo —oo —oo
Выражения для К{\* и /Сгв) можно записать также более симметрично,
Изменяя обозначения t^t', а затем порядок интегрирования в 7([в)
и пользуясь тем, что
J Hdt = 0,
—oo
получаем
oo t -foo t
— J dt J dt'H'W* = + J Л J df
—oo —oo —oo —oo
Подобным же^^образом можно переписать и выражение для /СBв\ Для
любого п. d.-произведения
поскольку интеграл от —со до +оо обращается в нуль. (Это не
имеет м«ста для членов SJ//^e\ H^S*.) Принимая во внимание это
§ 15. Общая теория возмущений; свЬбодные частицы
обстоятельство, получаем после простых выкладок
t
2irfi/Cie) = g- J dt J rf*' (tftf <e>' + Же)#')> . A5.13^)
— со' —oo
oo t V
= щр fdtj dt' j df {(HH\. i.HW + НН*ГН* +
?)D). A5.13'/))
—oo —oo —oo
Соотношения A5.13^)) имеют почти такую же структуру, как и
соотношения A5.13). В A5.13) нужно лишь последовательно заме-
заменить каждый множитель Н на Н^е\ не меняя его места в произве-
произведении. Дальнейшее изучение соотношений A5.13^) можно провести
в значительной мере таким же путем, каким были изучены соотно-
соотношения A5.13).
В § 13 подчеркивалось, что если пользоваться лоренцовой калиб-
калибровкой, то Mat. представляет собой пространственный интеграл от
релятивистского инварианта. Отсюда можно сделать вывод, что ин-
инвариантом будет и К: прежде всего dzdt есть инвариант, и если
все интегрирования по времени распространяются до оо, то выска-
высказанный факт очевиден. Однако в действительности интегрирования
по времени ограничены, например в A5.133), неравенствами ^>^>^.
Но такая последовательность во времени сохраняется и после соб-
собственного преобразования Лоренца. Поэтому /С2 и /С3 инвариантны.
Также легко убедиться, что п. d.-ограничения и члены ~S^ не при-
приводят к нарушению инвариантности. Мы опускаем детальные дока-
доказательства, поскольку инвариантность К станет очевидной при даль-
дальнейшем построении теории (см. § 28, 30)х).
2. Энергетическое представление, собственные энергии. Для
разных целей мы будем вычислять выражения A5.13) и A5.13*е))
различными способами. Простой способ вычисления состоит в исполь-
использовании энергетического представления и в вычислении матричных
элементов К- Последние выражаются через матричные элементы Я.
Запишем
*) Формулировка кванторой электродинамики, выявляющая ее ковариант-
ковариантность на любой стадии теории возм>щений, была предложена Томонага [6] и
ей следуют в большей части литературы. В этрй теории t заменяется про-
пространственно-подобной поверхностью t(x, у, г). Однако введение таких гипер-
гиперповерхностей не необходимо для ковариантности (см. § 28) и не полезно по
существу, поскольку ни один значительный результат не может зависеть
от формы поверхности, котерая произвольна.
1$2 Гл. 4. Методы решения
обозначая не зависящие от времени матричные элементы, как в § 14,
через Нп\т и используя для представления сначала невозмущенные
состояния. Для различения состояний на одной и той же энерГгети-
ческой поверхности будем обозначать их» через Л, В, С, ..., тогда
как через п, т, k, ... будут обозначаться состояния с \Еп— ЕА\ > з.
Интегралы по времени в A5.13) вычисляются немедленно. Нижние
пределы интегрирования никогда не дают вклада. Из уравнений
A5.13) получаем с помощью определений A5.12), A5.12')
A6.14,)
.142)
„ 'лА\п'лп\т"т\к"к\В
A4J.IB /г? p w/7 p w/7
2 (EA-EnLEB-tJ 2 {Ев-
\ В
Во всех этих выражениях нужно произвести суммирование по всём
дважды входящим индексам. Подобные же формулы для К^ могут
быть немедленно получены из уравнений A5.13(в)). В последних двух
членах A5.144) использовано уравнение A5. lOg). Если любое со-
состояние, не принадлежащее энергетической поверхности, принадле-
принадлежит непрерывному спектру энергии, возможно включающему Ев* то
п. d.-ограничение означает, что из области интегрирования должен
быть удален интервал е(|?п — Ев\>ъ) и что поэтому все знаме-
знаменатели берутся в смысле главного значения.
Прежде чем идти дальше, в теорию нужно внести одно важное
изменение. Оператор К содержит также элементы, диагональные по
всем переменным Ка\а> Поскольку К является новым гамильтониа-
гамильтонианом в преобразованном уравнении A5.3), то ясно, что Ка\а есть
вклад состояния Л в энергию, собственная энергия А. Даже в слу-
случае единственной частицы производная W не обращается в нуль.
Проблема собственной энергии требует обширого исследования,
которое будет проведено в гл. 6. Но уже сейчас ясно, что настоя-
настоящие измеряемые энергии состояния Л — это не невозмущенные энер-
энергии, а возмущенные энергии Еа = Еа-\-Ка \а- Более последовательно
выражать К через Е, нежели через теоретическое Е. Чтобы выра-
выразить К через>истинные энергии Ё, возвратимся к определению пред-
представления взаимодействия A4.1). Пусть ЬтИ будет такой поправкой
к невозмущенному гамильтониану //0, что собственными значениями
оператора Н0-\-ЪтН являются энергии Ё: Оператор ЬтН будет
§ 15. Общая теория возмущений; свободные частицы 188
определен в § 29, где показано, что его можно записать как про-
простую добавку к массе m каждой частицы и потому в случае един-
единственной свободной частицы он имеет форму jBSjj,1). Переопределим
теперь представление взаимодействия с помощью формул
- A5.15)
Так как Ч? удовлетворяет волновому уравнению с гамильтойиайом
то получим для Ф волновое уравнение (снова опуская штрих у Щ
ihW = (H(t) + HM(t) — bmH)W [A5.16)
вместо уравнения A5.1). Мы видим, что в гамильтониан вошел до-
добавочный член, именно"—§тп^» который будет определен так, чтобы
он в точности вычитал собственные энергии. Нужно-заметить, что
это никоим образом не есть изменение теории или изменение гамиль-
гамильтониана, а всего навсего изменение представления.
Оператор ЬтИ можно включить в теорию возмущений раздела
A5.1), если там заменить везде H(t) на H(t) — ЬтН. Так как в гл. 6
будет изложен общий подход, ограничимся здесь явными форму-
формулами в энергетическом представлении. Согласно формулам A5.15),
энергии, входящие во временные экспоненциалы и энергетические
знаменатели, являются собственными значениями оператора Н0-\-ЪтН,
т. е. возмущенными энергиями Ё.
Совершим, как и раньше, каноническое преобразование, имея
в виду новый гамильтониан /С, который отличен от нуля лишь на
Энергетической поверхности, причем энергетическая поверхность
означает теперь равные энергии Е (внутри интервала е). Более
того, К не должно иметь D-элементов. Получаем
К^ к + К{в) + К{8\ Kia) = S'lHi8)S9 Н{8)=Е* — ЪтН. A5.17)
Прежде чем переходить к вычислению оператора A5.17) в энер-
энергетическом Представлении, заметим, что состояния А, п, ..., между
которыми берутся матричные элементы, можно интерпретировать
как переопределенные состояния W с их виртуальными сопровожде-
сопровождениями; К есть операторная функция от операторов испускания и
поглощения q, q* и т. д., причем в нашем распоряжении имеется
произвол в выборе матричного представления последних. До сих
пор мы использовали представление, в котором число п „голых*
частиц (т. е. частиц без виртуальных полей) диагонально и опера-
оператор q поглощает такие голые частицы. Однако W7 наилучшим
1) Поправка pSfx должна добавляться к гамильтониану //0 = (ар) -|~ pp.;
есть ряд 5|а3 -г ^ +
184 Гл. 4. Методы решения
образом выражается не через п (в каковом случае ЧР будет, йообще
говоря, рядом членов), а через числа п' физически реальных частиц,
т. е. частиц с их виртуальными полями. Поскольку W = S~14r, nT и
п связаны подобным же каноническим преобразованием п! = S~~xnS.
Числа л'(но не п) являются, естественно, измеримыми величинами.
Аналогично, q' = S~~1qS есть оператор, который поглощает одну
реальную частицу. Когда п! диагонально, qr формально идентично
с матричными выражениями, данными в гл. 2 и 3, если заменить
там п на п', и перестановочные соотношения остаются прежними.
Если мы воспользуемся теперь представлением, в котором диаго-
диагонально л', то матричные элементы д' и пр. (а также К), образо-
образованные с помощью новых амплитуд состояния V и выраженные
через п', численно будут такими же, как и матричные элементы q>
образованные с помощью амплитуд состояния W и выраженные
через п:
(СЛ') = (<Л).
Точно так же обстоит дело и с оператором K(q), если в нем q
заменить на q'> Поэтому в дальнейшем состояния Л, /г, ... (мы не
вводим новых обозначений) можно считать переопределенными состоя-
состояниями, выраженными через числа реальных частиц. Операторы q и
т. д. действуют на эти числа заполнения; Еп и т. д. будут энер-
энергиями реальных состояний.
Наиболее важные составляющие оператора ЬтН приводятся
Т^ диагональному виду одновременно с операторами Но или Н0-{-ЪтН
и представляют собой собственные энергии различных состояний А.
Однако у оператора ЬтН имеются также и недиагональные матрич-
матричные элементы. Это следует из того факта, что |3 не коммути-
коммутирует с (ар), вследствие чего и ЬтН не коммутирует с Н0-\-ЪтН.
Матричные элементы этого типа имеют релятивистскую природу,
причем существуют только п. d.-элементы (см. § 29). Для про-
простоты мы на время пренебрежем вкладами таких матричных эле-
элементов; впоследствии эти вклады можно будет совсем тривиально
включить в теорию [см. A5.22I. Поэтому S является тем же пре-
преобразованием, что и прежде, а К и /С(е) в формуле A5.17) фор-
формально идентичны с выражениями A5.14) с той лишь разницей, что
теперь все состояния являются переопределенными состояниями
с переопределенными их энергиями Ё. Опустим значок ~ над Е и
условимся, что во всех формулах для К энергии являются истин-
истинными энергиями.
Разложим 5 и #(8) = tf?°+tfi8)--f ..., тогда добавочный член /С(а)
в A5.17) будет иметь вид
A5.18)
§ 15. Общая теория возмущений; свободные частицы 18&
За исключением последнего члена, у которого отличны от нуля мат-
матричные элементы для переходов В-+А, у всех остальных членов
отличны от нуля лишь D-элементы. Теперь HW должно быть опре-
определено так, чтобы КА{А = Ка\ \
= — КгА\ а >
//J2 = - Киц а — у {S\)A ЯЙ - у HiA\Sx)\ + (SiZ/SSibiA. A5.19)
Матричный элемент перехода оператора /С(8) можно с помощыо
соотношений A5.19) и A5.10!) представить в виде
is(8) ИА\ пИп\ тИт \пИп \В п
Матричный элемент A5.20) обусловливает собственную энергию
в промежуточном состоянии я. Его нужно добавить к матричному
элементу A5.144), чтобы получить новый оператор К- Рассматри-
Рассматриваемый матричный элемент можно включить в первый член выра-
выражения A5.144) при & = /г, используя тождество
11
После этого для Ка\в при АфВ находим
_ На\ п^п 1 m^m\k^k \ В
Em){EB-Ek) кфп
НА\пИп\тНт\пИп\В 1 НА\пНп\АИА\тНт\В
{Ев - tn) (Е3- EJ (сп-EJ 2 (LA- Епу (Ев -EJ
1 ИА1гИп\ВИВ\тИч1\В /1^
-Т A5
ДляЛ^, ..., Kz получаем формально прежние выражения A5.141>2,з)
Kia\B =0, К2А\В —К2А\В> КбА\В === К'6А\ В » A5.211|2>з)
хотя, конечно, энергетические знаменатели во всех этих формулах
имеют теперь другое значение.
В нерелятивистском приближении в гамильтониан Н входит еще
член второго порядка Нк2). Оператор Н^л. г а при кулоновской
калибровке и Н&К — также второго порядка1). Обобщение полу-
полученных выше формул на этот случай вполне очевидно без особых
выкладок. Каждую пару {Нп\тНт\ВI(Ев — Ет) можно заменить
1) С включением H^d выражение A5.22) релятивистски точно.
186 Tjl 4. Методы решения
множителем Н%\в, если обозначить через ЯB) любой из этих вкла-
вкладов. Таким образом, когда # = #W + #B)
A5.222)
Ев-Ет +И«(»)+ Ев-Ет •
+
+¦
A\nnn\knk\B
(EB-En)(Es-Ek)
(Ев-ЕпНЕв-Ет)(Еп-Ет)
EB-tm
Матричные ^элементы A5.21), A5.22) являются обобщениями
матричных элементов § 14.
Сделаем, наконец, замечание относительно ренормировочных чле-
членов с множителем 1/2. Покажем, что их также можно включить
в главный член (который имеет одну и ту же структуру во всех
порядках), если только иметь при этом в виду, что для знаменате-
знаменателей, которые становятся тогда сингулярными, следует прибегать
к надлежащим образом выбранному предельному процессу. Про-
Проиллюстрируем эту идею на примере выражения A5Л44). Запишем /С4
в форме
„ __ HA\nHr,\mHm\kHk\B /I^OT*
Предположим, что Ед точно равно Ев- Из матричного элемента A5.144)
исключены состояния /п==С (в частности, также т = Л или В), рас-
расположенные на энергетической поверхности. Включим теперь их.
Тогда знаменатель ®1(Ев — Ет) становится сингулярным. Чтобы опре-
определить, какое предельное значение можно приписать матричному эле-
элементу A5.23), заменим Ев на переменную энергию Е и, чтобы
зафиксировать значение Е, напишем
EB)Kt(E), A5.24)
где К4(Е) получается из A5.23) с помощью замены Ев-+Е. В § 16
и в приложении IV будет показано, что выражение A5.24) является
действительно точной формой Kv если мы исходим из конечной
ширины уровня и устремляем ее к нулю. Пусть теперь т будет
§ 15. Общая теория возмущений; свободные частицы 187
состоянием С на той же энергетической поверхности, что и S. Будет
показано, что вклад дает лишь состояние С = В или А. Таким образом,
Ет = Ев- Этот вклад (обозначим его через к[) тогда примет вид
— Ев)
где f(E) несингулярно при Е = Ев- Функция Ъ(х)$/х по существу
не имеет определенного смысла. Можно, однако, приписать ей одно-
однозначно определенный смысл, именно —11<?>'(х)> если провести пре-
предельные переходы, подразумеваемые в определениях Ъ(х) и ®jx
одновременно1) [ср. (8.18)]. Если принять это условие, то часть /е?»
о которой идет речь, можно будет представить в виде
,пIВ * НА\пИп\СНС\тИт\В
~ 2 (EB-EnLEB-EJ 2(EB-E
Более того, отличные от нуля вклады получаются лишь в случае
совпадения С с А или с В. В этом можно убедиться, рассматривая
зависимость от объема L3 при L3—уоо. Если С = Л (или В), в со-
состояниях п (или т) содержатся виртуальные фотоны, испущенные,
а затем поглощенные в состоянии А. Эти виртуальные фотоны при-
принадлежат непрерывному спектру. Сумма по п содержит функцию плот-
плотности, которая пропорциональна ZA Если же С Ф А (или Б), состоя-
состояния п, т могут в силу сохранения импульса быть лишь изолирован-
изолированными состояниями, и множитель L3 не появляется* Следовательно,
в пределе L3->oo отличный от нуля вклад дают лишь состояния
С = А (или В)'2). Когда С = Л, второй член формулы A5.25) содер-
содержит в качестве множителя собственную энергию состояния А и по-
поэтому сократится, если добавить собственно-энергетический член,
используя тот же самый предельный переход. Отличные от нуля
вклады дают лишь состояния с С= А в первом члене формулы A5.25)
и с С = В во втором члене. После этого выражения A5.25) и A5.14)
становятся тождественными. Приведенный выше предельный переход
аналогичным образом появляется и в дальнейшем развитии общей
теории в § 28 и 30. Если условиться всегда выполнять такой пре-
предельный переход для сингулярных членов в К, то можно поль-
пользоваться только первыми членами формул A5.13), A5.14) без
1) В дальнейшем это произойдет автоматически (см. § 30).
2) Относительно зависимости от Z,3 оператора К и эффективных сечений
см. § 14. Если, например, КА \в относится к рассеянию, то эффективное сече-
сечение рассеяния будет равно у ^L*pA\ /С|2, р ~ L? и КА\в Д°лжно быть
~ Z,, чтоб!>1 <р не зависело от Z,8. Это именно так в случае /С4, ибо сумма
по п или т содержит множитель /Д поскольку каждое Н ^L^9'
188 Гл. 4: Методы решения
ренормировочных членов. Эти первые члены имеют одинаковую струк-
структуру во всех порядках.
3, Решение волнового уравнения. Наша конечная задача состоит
в решении волнового уравнения A5.3)
(в случае необходимости нужно добавить член К^)- Здесь К заме-
заменено на /С, чтобы учесть собственную энергию. Значок ~ мы
опять опустим. Оператор К имеет отличные от нуля матричные
элементы лишь на энергетической поверхности, т. е. Ка[В>
\ЕА— Е#|<е. Пока не нужно устремлять е к нулю; такой переход
произойдет автоматически, когда будет найдено решение. Мы ищем
решение, которое описывает систему, находящуюся в начальный
момент / = — со в определенном состоянии О, так что вероятности
всех других состояний равны нулю. Требуется вычислить вероятности
других состояний Л, В, ... после столкновения, скажем, при / = -j-oo.
Для этой цели полагаем
2
А ' A5.26)
К л , в @ « (WA /ОР'д) = К
где WA — нормированная амплитуда состояния А, включающая сопро-
сопровождающие виртуальные фотоны и т. д. Отсюда
%\ A5.260
в
В решение существенно входит определенная в § 8 функция С:
оо
С (Е) = ^ J ««*/« dt = |—ЫЪ (Е), A5.27)
О
ЯС(Е)=1. A5,270
Чтобы решить A5.26), положим
bA{t) = bAV)-\-UAl(?(Eo— EA)ei{B*-BoM9 A5.28)
где UA\o — пока неизвестная, не зависящая от времени амплитуда,
причем ?/о|0 = О. Используя интегральное представление A5.27),
можно доказать следзиощее свойство функции С
tfj J
foo
= д J ^Ш7А^=( A5-29>
§ 15. Общая теория возмущений; свободные частицы 189
Отсюда немедленно следует, что [согласно A5.28)]
Ьл(— oo) = SA0. A5.30)
Поэтому начальные условия Ьа = 0 при А Ф О удовлетворяются
в момент t = — со. Чтобы показать, что выражение A5.28) удо-
удовлетворяет уравнению A5.260, подставим A5.28) в A5.26')- В силу
A5.27') получим
и потому
UA\o = Ka\o+ 2 Ka\bUB\(?(Eo—Eb)- A5.31)
В фО
Это уравнение относительно UA\o> в котором можно достигнуть
дальнейших упрощений. Прежде чем сделать это, вычислим вероят-
вероятности переходов. Вероятность состояния А равна \bA(t)\*> а веР°-
ятность перехода в это состояние за единицу времени есть
Это выражение не зависит от t. Из соотношений A5.28), A5.27)
и A5.27') находим
||fti|9 = wA|0== у 1^,о!'2 {ЧЕо-Еа)-?(Ео-Еа)} =
= ~\Ua{O\*4Ea — Eo). A5.32)
Таким образом, мы видим-, что |^УА|оГ2 есть, в сущности, вероят-
вероятность перехода и, кроме того, что эта вероятность отлична от нуля
лишь при ЕА = Ео- Это означает, что можно устремить s->0
в выражениях для К- Совершив этот предельный переход, мы упро-
упростим тем самым уравнение A5.31). Второй член в правой части при-
примет тогда вид
К а \ в^в | оС (Ео — Ев) =
в
= Zj Ka\bUb\o-e р
Знак ^суммирования по В включает также интегрирование по Ев-
Если е достаточно мало, то КА\в и Ub\ о будут постоянны в интер-
интерзале е, и, поскольку UA\o нужно нам лишь при ЕА = Ео* можно
написать
9 dEB= Г р § F dEB=0.
0 — Ев J EA— EB
ЕА*
190 Гл. 4. Методы решения
Таким образом, уравнение для U приводится к виду
- A5.33)
н
Это интегральное уравнение относительно UA\ о- Фигурирующая в нем
операция суммирования по всем состояниям В включает, вообще
говоря, интегрирование по углам, суммирование по спинам и поля-
поляризациям и т. д. Суммирование, однако, идет лишь по тем состоя-
состояниям, которые лежат на энергетической поверхности. Интегрирование
по Ев может быть выполнено немедленно в силу множителя 3(?#—Ев)
A5.33')
где рв — число состояний В на интервал энергий с1Ев- В A5.33')
теперь Ев = ЕА = Ео, т. е. все энергии равны.
Оператор К дается рядом по степеням е. Поэтому если бы мы
хотели получить выражения для Ua\o или ^а\о как решений A5.33'),
то мы также получили бы их в виде рядов по е. Это, конечно, .возможно,
но поступать таким образом нет необходимости. Действительно, урав-
уравнение A5.33') точное. Ниже выяснится, что второй член уравне-
уравнения A5.33') имеет совсем другой физический смысл, чем соответ-
соответствующие высшие члены оператора К. Назовем второй член уравне-
уравнения A5.33') членом затухания, так как он обусловливает то, что на
классическом языке называется радиационным затуханием. С другой
стороны, высшие члены К оказываются типично квантовыми эффек-
эффектами hv, сверх того, содержат произвольные величины, которые тре-
требуют специального рассмотрения (см. гл. 6). В § 33 г) мы изучим
положение дел на примере эффекта Комптона.
Можно рассматривать уравнение A5.33) как матричное уравнение
относительно U. Решение находится немедленно. Определяя по ана-
аналогии с К [уравнение A5.12')],
получаем после умножения A5.33) на Ъ(Еа—
Т) '\-Ы~КУ1. A5^34)
Наличие знаменателя 1 -f- ЫК уже указывает на его значение как
фактора зат>хания.
Амплитуду bA{t)y которая удовлетворяет начальному условию
Ьа(—со) = оАо, можно рассматривать как ЛО-элемент матрицы
§4О@- Эго матрица,^ преобразующая амплитуду состояния при
t = — оо, W (—оо) = Ч'о в амплитуду состояния W (t)
—oo). A5.35)
*) Уравнение A5.33) было 'выведено для специальных случаев в рабо-
работах Вильсона [7], Сокглова [8], Гайтлера [9), Гора [1и], а для общего слу-
случая— Гайтлерсм и Пенгсм [11]. См. также [12].
§ 15, Общая теория возмущений; свободные частицы 191
Матрица $=s$(-{-oo) называется 5-матрицей *). Она определяется,
согласно соотношениям A5.28), A5.29), формулой
Щ) . A5.35')
Матрица $, очевидно, унитарна. Ее недиагональные элементы равны
по существу матричным элементам оператора U и потому также
позволяют вычислять эффективные сечения рассеяния. Слегка отлич-
отличное определение получается из уравнения A5.33')
A5.35")
Для матрицы §>(t) имеется разложение, аналогичное разложению
оператора К. Согласно A5.35), $(t) также удовлетворяет волно-
волновому уравнению A5.3). Поэтому, как можно убедиться прямым диф-
дифференцированием,
t t v
JV*(*')+)? Sdt' $dfK{t')K(t") + ... A5.36)
—оо
Подставляя разложение для К из п. 1, можно получить выражение
для матрицы $ через Н. Однако нам не понадобится такое разло*
жение.
В основу нашей теории возмущений мы положили разложение
оператора /С, а не |Цкожение матрицы $ в силу следующих трех
причин: а) для физических целей желательно изолировать эффекты
затухания, что невозможно сделать, если пользоваться разложениями
матрицы U или $; б) когда разложение A5.36) применяется в выс-
высших порядках, оно оказывается сингулярным на энергетической по-
поверхности, в силу чего необходимы некоторые специальные мани-
манипуляции; не так обстоит дело в случае К\ в) в то время как мат-
матрица $ унитарна в целом, этого нельзя сказать относительно
отдельных членов разложения A5.36). Разложение К имеет то пре-
преимущество, что каждый его член эрмитов.
Если пренебречь членом затухания, то
и^ равенства составляют содержание так называемого принципа
детального равновесия, часто используемого в статистике. Член
затухания нарушает общую применимость этого принципа, вместо
которого имеет тогда место лишь более слабая теорема, которую
мы выведем в приложении V.
1) См. [13, 2]. Имеется обширная литература относительно свойств
S-матрицы Важнейшими из старых работ являются [14] (сводка предыдущих
исследований) и [15]. Различные другие формы разложения /С, эквивалентные
указанным выше, даны также в работах [16—18].
192 Га. 4. Методы решения
§ 16. Общая теория эффектов затухания
Обратимся теперь к проблемам, включающим дискретные связан-
связанные состояния; Рассмотрение этих задач придется вести совершенно
иначе, так как здесь неприменимы многочисленные упрощения, исполь-
использованные в § 15* Рассмотрим атом в возбужденном состоянии ди-
дискретного спектра. Наиболее существенные отличительные особен-
особенности будут состоять тогда в следующем: I) существует конеч-
конечная вероятность перехода за 1 сек. в низшие состояния,
сопровождаемого испусканием фотона, и т. д., тогда как для стол-
столкновений между свободными частицами эта вероятность перехода
обращалась при ?3->оо в нуль; следовательно, нельзя задаваться
начальным условием в момент времени t — — оо; начальное усло-
условие должно быть сформулировано для конечного момента времени,
например для ? = 0; 2) начальное состояние (и, вообще говорят, все
состояния) будет обладать конечной шириной Г, тогда как в случае
§ 15 Г = 0 (при 1«->оо).
В дальнейшем мы будем заниматься точной общей теорией реше-
решений волнового уравнения типа ihW = H(t)W или уравнения A6.1),
приведенного ниже, в случае наличия дискретных уровней. В этой
теории (являющейся обобщением § 15, п. 3) не придется иметь дела
с гамильтонианом взаимодействия //. Для наиболее важных приме-
применений (см. гл. 5), в которых ширина уровня и пр. рассматривается
лишь в первом приближении, в качестве исхо^ого пункта можно
использовать невозмуи*енные состояния. Оператором //1)удет тогда
гамильтониан взаимодействия //int., с помощью которого можно вычи-
вычислять вероятности переходов между такими невозмущенными состоя-
состояниями. Однако с точки зрения строгой теории, в особенности если
нужно вычислять .высшие приближения, эту процедуру следует усо-
усовершенствовать.
Связанный электрон, подобно свободному, сопровождается своим
виртуальным полем, т. е. полем в его окрестности, и его волновая
функция содержит примеси виртуальных фотонов и пр. Было бы
желательно сначала произвести каноническое преобразование с целью
переопределения таких атомных состояний, чтобы включить в них
виртуальные состояния, как было сделано для свободных частиц в § 15,
а затем уже вычислять вероятности переходов между такими пере*
определенными состояниями. Преобразование должно быть таково,
чтобы переопределенное основное состояние атома не изменялось
больше вследствие взаимодействия с полем. Взаимодействие же должно
приводить лишь к реальным переходам из возбужденных состояний.
В конце этого параграфа и в § 34 мы укажем на трудности, воз-
возникающие при проведении этой программы, когда ширины уровней
конечны. Имея в виду наиболее важные приложения, мы будем поль-
пользоваться в дальнейшем обозначениями и терминологией, относящи-
относящимися к „голым" невозмущенным состояниям, где Я^. играет роль
§ 16. Общая теория эффектов затухания 193
гамильтониана. Следует, однако, помнить, что развиваемая ниже тео-
теория сохраняет свою форму при замене Hmt. преобразованным гамиль-
гамильтонианом Ку когда амплитуды вероятностей b имеют смысл ампли-
амплитуд переопределенных атомных состояний.
Применения теории будут приведены в § 20 (резонансная флюо-
флюоресценция) и в § 34 (сдвиг уровней и радиационные поправки
к ширине линии). Простая задача о ширине линии при испускании и
поглощении будет рассмотрена еще раз элементарным способом в § 18.
!• Общие решения х). Будем исходить опять из системы уравне-
уравнений, определяющих изменение во времени амплитуд вероятности Ьп
состояний п в представлении взаимодействия A4.3),
ihbn(t) = ^Hn\mbm(f)el{ n~ mt/n9 A6.1)
где Н — энергия взаимодействия между заряженными частицами и
полем излучения, а Еп можно рассматривать как невозмущенную
энергию Но состояния п. Можно, однако, перейти также к несколько
отличному представлению, как в § 15, п. 2, и считать, что Еп вклю-
включает собственную энергию состояния п. В этом случае И есть
энергия взаимодействия минус оператор сэбственной энергии (см. п. 3).
Последнее представление более удовлетворительно. В этом случае
у оператора И отличны от нуля также и диагональные элементы Нп\п.
В релятивистских проблемах отличные от нуля диагональные элементы
имеются также и у кулоновского взаимодействия.
Мы желаем найти решение уравнения A6.1), удовлетворяющее
следующему начальному условию: при ?== 0 система находится, напри-
например, в состоянии О, а все прочие амплитуды вероятности равны нулю:
?п@) = 0, #0D-0)= 1; A6.2)
t = -{-0 означает, что t приближается к нулю с положительной
.стороны. (Эго обстоятельство должно быть указано для bo ввиду
его разрывности, см*, ниже.)
В дальнейшем будет широко использоваться сингулярная функ-
функция С(^), определенная в § 8. Ее главные сзойства [согласно § 8
и уравнениям (8.40) и A5.29)] состоят в следующем:
оо .
/• 1 1 plXt Л)
C(jt) = — / eixtdt= Hm—f—= Hm — = & Ы1(х\ A6.3)
x',(x)=l, A6.3')
'* ПРИ '>Ql A6.4)
— 2rd, при t < 0,
t -> oo \ — 2ir/o \X).
l) По изложенному здесь вопросу см. работы [19—21]. Многочисленными
упрощениями мы обязаны Блейлеру.
13 Зак. 1260. В. Гайтлер
194 Гл. 4, Методы решения
Уравнение A6.1) и решение bn(t) имеют физический смысл лишь
в том случае, когда />0. Для аналитических целей, однако, удобно
распространить решение на отрицательную половину оси времени,
Можно произвольно выбирать значения Ьл для отрицательных t.
Возьмем такое решение, чтобы
bn(t) = bo(t) = 0 при *<0. A6.5>
Тогда волновое уравнение A6.1) удовлетворяется тождественно, но
при /<0 нормировка b равна нулю, а не единице. Из уравнений
A6.2) тогда следует, что амплитуда bo имеет разрыв при tf==Q.
Она претерпевает скачок от 0 при / = — 0 до единицы при / = + 0.
В окрестности ?~0, bo сингулярна и ведет себя, как o(t): Ьо*=ь (t)
при /~0. Интегрируя по небольшому интервалу t, включающему
точку ? = 0, получаем как раз требуемый скачок
—0)=1. A6.2')
При пфО, bn(t) непрерывны при ? = 0. Теперь можно распростра-
распространить волновое уравнение A6.1) на отрицательные значения t, вклю-
включая точку t = 0, если добавить неоднородный член, который как раз
и обеспечит скачок Ьо\
1ЬЬп=^Нп[тЬтеНЕп-Ет^ + шЬ,г0Ь(е). A6.6)
т
Это волновое уравнение справедливо теперь для всех значений t.
Из A6.6) следует, что Ьп(п Ф О) непрерывна при * = 0, тогда'
как bo испытывает скачок A6.2х)- Мы хотим найти такое решение,
для которого bn = bo = 0 при t < 0; тогда начальное условие A6.2)
будет выполняться автоматически.
Для решения уравнения A6.6) применим к амплитудам b(t)
преобразование Фурье:
со
fdEO(E)e**-*>*'* A6.7)
а также
со
J A6.7')
где Е — энергетическая переменная, заменяющая временную пере-
переменную t. Подставляя эти разложения в A6.6), видим, что мы удо-
удовлетворим волновому уравнению, если положим
3± O. A6.8)
Необходимость этого соотношения следует из факта единственности
решения, удовлетворяющего начальным условиям A6.2).
§ 16. Общая теория эффектов .Ьат у хания 195
Чтобы получить уравнение для G,2|o» нам следовало бы разде-
разделить уравнение A6.8) на Е— Еп. Но такое деление не однозначна.
Вообще, если xf(x) = g(x) и g(x) не сингулярна при х = 0, то
f(x) — g(x) I -^г-j- осо(лг) , поскольку хо(х) = 0, причем а произ:
дольно. Мы покажем, что если амплитуды Ьп удовлетворяют нашим
начальным условиям, то результат деления на Е—Еп должен обо*
значать умножение правой части уравнения. A6.8) на С(?— Ен)
(т. е. следует положить а = — Ы и 1/х интерпретировать в смысле
Главного значения). Выделим для удобства множитель Go\o* Для
чего положим *
Gn[O(E)^Unlo(E)Oo\o(E)^(E — En) (n Ф О); U0\o=0. A6.9)
Тогда из A6.8) получим фундаментальное уравнение
ип\о(Е) = Нп{О+ S Нп]п?(Е — Ет)иш(Е) (п Ф О). A6.1Q)
т ф О
Условимся в дальнейшем всегда разделять состояния с п — 0 и
с п Ф О.
Уравнение A6.10) есть уравнение, определяющее матрицу (У для
любого значения энергии Е. Для определения Gq\o мы наводим
из A6.8) уравнение
тфО
ИЛИ
A6.12)
ф
Здесь нет сингулярности при Е — Ео- Вообще говоря, То\о имеет
действительную и мнимую части, и мы увидим дальше, что дейст-
действительная часть, которая всегда положительна (взятая в определен-
определенной точке), описывает ширину линии. Когда уравнение A6.10) для U
решено и U известно, Г может быть вычислено по формуле A6.12),
и таким образом Go\o будет найдено. В дальнейшем мы будем
опускать индекс О \ О у величины Г, которая всегда относится к на-
начальному состоянию.
Подставляя соотношения A6.9), A6.11) в формулу A6.7), нахо-
находим для амплитуд bw bo выражения
МО — а J *Д/»юГО д-|;+.м№<?) С»*0)' A6л:>>
— оо
со i (EQ-E) ЦП
13*
196 Гл. 4. Методы решения
Здесь U определяется из уравнения A6.10) и в свою очередь опре-
определяет Г по формуле A6.12).
Нам нужко теперь доказать, что удовлетворяются начальные условия
A6.2). До сих пор мы показали, что наше решение удовлетворяет
неоднородному волновому уравнению A6.6), которое означает, что
Ьп и bo удовлетворяют однородному уравнению A6.1) при ^>0 и
f<0 и что bo испытывает единичный скачок при t = 0, тогда как Ьп
там непрерывны. Чтобы доказать, что условия A6.2) выполнены,
мы должны, например, показать, что Ьп = Ьо = 0 при ? = —0. Так
как из однородности уравнения вытекает общее следствие, что
нормировка b сохраняется
+ 2 |**@|9) = 0, A6.15)
пф О
то достаточно показать, что bn— bo = 0 при t = —сю. Тогда все b
должны с необходимостью обращаться в нуль, пока уравнение
остается однородным, т. е. для всех отрицательных значений t.
Нормировка претерпевает скачок на единицу и остается равной еди-
единице для всех положительных значени \ t.
При t = — оо из свойства A6.4') следует, что
ЦЕ—Еп)еиЕп-Е>т = 0
и отсюда Ьп(—со) = 01). Чтобы получить такое же соотношение
для to, воспользуемся тем, что х*,(х)= 1, и напишем
— 2тЛ J
t - Ео + Va /,,Г (Е)
i(En-E)t,n_ _
i jfdE (?_ Ео)е* {Ео-Е) tin
— СО
FdE гючв-Ы
J Е-Е0 + Ч21.,Г(
ОО
Первый член обращается здесь в нуль при отрицательных значе-
значениях t, согласно сво \с,тв^ A6.4), втозоЗ член обращается в нуль
при t=—оо, согласно свойству A6.4'), как и выше. Отсюда сле-
следует, что Ьо(—оо) = 0.
Мы показали, таким образом, что решение A6.13), A6.14)
С матрицей U, определенной из уравнения A6.10), и величиной Г,
Определенной из уравнения A6.12), удовлетворяет однородному вол-
1) Если U (Е) не сингулярна при Е-=ЕЪ. До тех пор пока не приме-
применяются разложения, не отвэчающие флзической стороне дела, это, вообще
говоря, верно, однако соотношение A6.2) можно доказать также и в том
случае, когда U сингулярно.
§ 16. Общая теория эффектов затухания 197
новому уравнению при ?>0 и начальному условию A6.2) при
^=-+-0. Этими требованиями решение определяется однозначно.
Мы видим, что автоматическое удовлетворение начальных условий
было достигнуто именно благодаря использованию С-функции.
Из начального условия и соотношения A6.13) следует, что
A6.16)
Это означает, что сумма всех вычетов (если они имеются) от
Un\oGo\ol{E — Еп) в верхней половине комплексной плоскости
обращается в нуль (С там регулярна). Мы можем воспользоваться
соотношением A6.16), чтобы придать решению bn{t) другую форму.
Если вычесть равенство A6.16) из уравнения A6.13), то множи-
множитель еъ ^Еп~Е)tlh — 1 обращается в нуль при Е = Еп и подавляет
сингулярность С(? — Еп). Поэтому множитель С можно заменить
множителем \/(Е— Еп). Таким образом, „
J
**
dE
Это выражение явным образом удовлетворяет начальным услозиям.
Уравнения A6.10) и A6.12) можно объединить в одно матрич-
матричное уравнение, поскольку правые части этих двух уравнений
являются соответственно недиагональной и диагональной составляю-
составляющими одной и той же величины. Если Еп—собственные значения
гамильтониана Яо, то вместо С(? — Еп)Нп)т можно написать
[?(? — HQ)H]a\m и т. д. Будем писать ради краткости С вместо
С (Е — Яо), тогда
U = H + HW + jtbT. A6.10')
Заметим, что при таком обозначении С не коммутирует с операто-
оператором Н. Уравнение A6.100 является общим матричным уравнением.
В представлении, где Но диагонально, Г тоже диагонально, a U не-
недиагонально.
Чтобы получить представление о физическом смысле полученного
решения, предположим на время, что Г не зависит от Е. Такая не-
независимость действительно имеет место с очень большой* точностью
в ряде простых проблем. Пусть
Га. 4. Методы решения
Тогда можно немедленно вычислить I
~ dEei{Eo-E^^n
0 ^ "~ 25 J Е—?о — Ч'
-\<а Re (Г)*
с помощью интегрирования по контуру, расположенному в нижней
полуплоскости. Экспоненциальное убывание показывает, что дейст-
действительная часть Г, Re (Г) должна иметь смысл полной вероятности
перехода за 1 сек. из состояния О во все другие состояния. С дру-
другой стороны, периодический множитель показывает, что мнимая
часть 1т(Г) означает изменение энергии в состоянии О. Это как раз
tq, что мы назвали собственной энергией состояния О; Re (Г) обус-
обусловливает ширину уровня для переходов, начинающихся в О,
а 1т(Г) определяет сдвиг уровня. Если же воспользоваться пред-
представлением, в котором Еп и Ео включают собственные энергии, то
1т(Г) обратится в нуль (ср. п. 3). Точная теория подтвердит эти
результаты в их существенной части. Будет видно также, что Uп\о
обусловливает вероятность перехода О —> п.
2. Вероятности переходов. Вычислим теперь вероятность
hn(t)\* того, что система в момент времени t находится в состоя-
состоянии п. Чтобы найти^ значение bn(f) в любой момент времени t,
нужно иметь полное решение уравнения A6.10) для любого значе-
значения Е. Наиболее интересными с физической точки зрения случаями
являются, однако, только следующие:
1) Вероятность определенного перехода 0->п за единицу вре-
времени вычисляется для малых промежутков времени, таких, что
Re(F)^<C! 1. Однако несмотря на это ограничение, нас не интере-
интересуют промежутки времени, сравнимые с атомным периодом, а потому
можно допустить, что выполняется также условие Ent/h^> 1. Это,
конечно, предполагает, что ширина уровня мала, h Re (Г) <^ Еп,
условие', которое хорошо выполняется для всех атомных систем.
Мы придем к тем же выводам, если положим Re(P)->0, а затем
t -+ оо .
2) Вероятность распределения различных состояний п> в которые
система может переходить по истечении большого промежутка
времени, такого, что по меньшей мере некоторые переходы из О
действительно произойдут. Это означает, что Г/—юо.
Для больших значений t временной множитель в уравнении
A6.17) дает представление С-функции согласно формуле A6.3) и
оо
§ 16. Общая теория эффектов затухания 199
Интеграл можно вычислить, если сравнить его с соотношениями
A6.16) и A6.11). Интеграл в уравнении A6.19) отличается от инте-
интеграла из соотношения A6.16) тем, что в последнем вместо С (в—Еп)
стоит C(?w—Е). Сложим почленно равенства A6.16) и A6Л9) и
учтем, что ?(*)+?(—х)— —2шо(х). Находим1)
Моо)= J Ц^П)
— ОО
Отсюда видно, что для больших промежутков времени U и Г нужно
знать лишь при Е = Еп. Вероятность распределения состояний п для
больших промежутков времени дается поэтому формулой
*\о
П6
где мы положили
-jSIm(r(?n))sA?. A6.21)
Приведенная формула уже имеет вид формулы для „распределения
интенсивности в случае конечной ширины уровня" ЯеГ(Еп)
(ср. форму линии классического осциллятора в § 4) с максимумом, сме-
смещенным на ДЕ. Одна:<о в бэлее сложных проблемах U может также
сильно зависеть от Еп (см. § 20).
Для вычисления верэятности перехода за единицу времени не-
необходимо выполнить предельный переход Re(F)->0, прежде чем
устремлять ?->оо. Нлже мы увидим, что Re (Г) „всегда положительно.
1) Опять-таки это справедливо, если U не сингулярно при Е = Еп.
См. примечание на стр. 196. Уравнение A6.20) следует также из уравне-
уравнения (i6.13), если воспользоваться свойством A6.4') С-функции.
Если угодно, Ьп(оо), как и в § 15, можно назвать S-матрицей. Можно
разложить $ или даже bn(f) в ряд по возрастающим степеням е (или Н)
путем разложения числителя и знаменателя уравнения A6.20). После
некоторых выкладок находим
со оо t
3 = 1 ++- f Ну)М + Щр$ dtf
О 0 0
Это полностью аналогично разложению A5.36), только нижний предел
теперь не —оо, а 0 в соответствии с наложенными начальными условиями.
Такое разложение, однако, бесполезно, если мы хотим изучать проблемы
с конечной шириной уровня.
200 Гл. 4. Методы решения
При Re (Г) —>-0 знаменатель в уравнении A6.13) переходит в пред-
представление С-функции. Таким образом,
*»(') =-25 J
(Re(D->0), A6.22)
где мнимые параметры, входящие в представление С-функции, обо-
обозначены индексами (^(х)=== 1/(лг-}~/з)). Параметры о и Г устрем-
устремляются к нулю независимо друг от друга. Теперь необходимо найти
предельное значение величины Сг(?— Ео) * (Е — En)etiEn~~E)tlH .
Мы не можем прямо воспользоваться свойством A6.4'), поскольку
оно справедливо лишь в том случае, когда нет других множителей,
сингулярна зависящих от Е. Разобьем произведение С-функций на
частные дроби
A6.23)
Общий множитель является С-функцией лишь при условии, что
в процессе предельного перехода о все время > Г, если же
с < Г, то множитель изображает ?*-функцию. Оба случая при-
приводят к одному и тому же результату, поэтому можно считать, что
а > Г. Применим теперь соотношение A6.4') к обоим членам тож-
тождества A6.23) [предварительно подставив это тождество в уравне-
уравнение. A6.22)], объединяя множитель е п~~ о) с первым членом.
После этого рассматриваемые члены сводятся к функциям Ь(Е—Е'о)
и Ь(Е — Еп) соответственно. Таким образом,
&я(*->оо) = еа-г(Ео — En){Unlo(Eo)eiiE"-Eo)m —Unl0(En)} ,
A6.24)
откуда с помощью соотношения A6.3')
;[E"-Eom. A6^24')
Построим теперь выражение для вероятности перехода за еди-
единицу времени
Wn0 == It Ibn I2 = *»*» ~^~ * *Ъп
и снова применим свойство A6.4') к функции ?(Е'о—Еп)е~г(Еп~Е°} г'п
и к функции, комплексно сопряженной ей. Тогда второй член пра-
правой части уравнения A6.24) не даст никакого вклада и мы получим
по = +11 Unl0 (Е'о) Г3 { С (Е'о — Еп) - С* (Е'о — ?„)}¦
§ 16. Общая теория эффектов затухания 201
Поскольку С (я) — C*(jc) = — 2тио(лг), это выражение сводится к
\
g A6.25)
Таким образом, l^jol'1 представляет собой по существу вероят-
вероятность перехода за единицу времени. Более того, эта вероятность
отлична от нуля лишь при Еп— Ео — Л? = 0, т. е. лишь в том
случае, когда сохраняется энергия, в которую включены любые
сдвиги уровней энергии, вызванные взаимодействием с излучением.
Приведенный анализ вплоть до A6.20) является точным а
общим; формула же A6.25) основана на предположении, что
Re(r)<^?:n, и справедлива лишь в предельном случае Re(]7)->0.
В применении к проблемам атомной физики это обычно очень хоро-
хорошее приближение, но необходимо иметь в виду, что концепция
„вероятности перехода за единицу времении есть приближенная
концепция и \Ьп\* не пропорционально t в точности ни в каком
промежутке времени.
Покажем теперь, что Re (Г) есть сумма вероятностей всех перехо-
переходов из О во все другие состояния. Значение Г дается формулой
A6.12), в силу которой для любого фиксированного Е имеем (Но\о
действительно, поскольку оператор Н эрмитов)
A Re (Г (?)) = / 2 [НоХтищоГ.{Е — Е
тфО
A6.26)
Здесь мы воспользовались тем, что С*(л;) = — ?(—х). С другой
стороны, Um\o(E) дается формулой A6.10). Умножим уравнение
A6.10) на U*m\o(E)^(Em — Е), а уравнение, комплексно сопряжен-
сопряженное с A6.10), на ит\о(Е)^(Е — Ет), просуммируем по т и резуль-
результаты сложим. Так как С(х)-|-С(—х) — — 2?ио(л;), то получим
тф О
= 2 {Н
т ф О
— ?)
Двойная сумма обращается в нуль, в чем убеждаемся, заменяя
т^± п во втором члене. Сравнивая полученное выражение с соот-
соотношением A6.26), видим, что
(E — Em). A6.27)
J02 Гл. 4, Методы решения
Этот результат также точен. Очевидно, что Rer(?)>0. Если по-
положить теперь
го правая часть уравнения A6.27) сведется к сумме вероятностей
всех переходов
2w*o, A6.28)
зю такое отождествление справедливо лишь тогда, когда wn& дается
формулой A6.25).
Мнимая часть Г приобретает вид
~\m(T(E)) = Hoio+~ 2 [Ho\?(E — En)UnW +
пфО
+ Hnl0?(E — En)Ul{0(E)}. A6.29)
У\.ы рассмотрим ее в п. 3.
Видно, что все физические свойства можно вывести из матрицы
Un\o(E)> которая определяется фундаментальным уравнением A6.10).
\сш мы желаем знать детали зависимости от времени различных
амплитуд вероятности, то нужно решить это уравнение для всех
значений Е. Если же мы хотим знать вероятности лишь для больших
промежутков времени t (не обязательно больших IY), то достаточно
знать U лишь при Е = Еп, Отсюда, правда, еще не следует» с необ-
необходимостью,' что Еп = Ео~{-&Е. Если же, кроме того, IY <^ 1, то
единственными значениями Еп$ дающими отличные от нуля вклады,
-оказываются
3. Сдвиги уровней. Мы видели, что мнимая часть Г играет роль
сдвига энергии Ео [см. A6.20') и A6.25)]. Немного странным, однако,
представляется то обстоятельство, что этот сдвиг оказывается не-
несимметричным по отношению к начальному и конечному состояниям.
Можно было бы ожидать, что Еп также смещается. Эта ас/мметрия
имеет место лишь до тех пор, пока состояния м, О, ... рассматри-
рассматриваются как „голые" невозмущенные состояния. Очевидно, что не
может быть большого смысла в утверждении, что атом был перво-
первоначально в невозмущенном состоянии с энергией Ео* поскольку на
самом деле этот уровень смещен и имеет энергию, скажем, Ео- Сим-
Симметрию можно легко восстановить с помощью простого изменения
представления точно так же, как это было сделано в § 15, п. 2.
Величина 1тГ, взятая в точке Е — Eq, является нечем иным, как соб-
собственной энергией состояния О. Воспользуемся первым приближением
§ 16. Общая теория эффектов затухания 203
для матрицы U, равным гамильтониану Н [согласно A6.10)], и
свойством С(?— Ет)-+-7(Е — Ет) = 2<Р1(Е — Ет). Тогда получим
тфО т
Введем теперь матрицу —Н{8), относительно которой мы будем
предполагать, что она диагональна одновременно с Яо, причем ее
диагональные элементы являются собственными энергиями соответ-
соответствующих состояний. В отличие от матрицы Н ^ из § 15, новая мат-
матрица И{6\ относящаяся к связанным состояниям* не своди1ся к про-
простому изменению массы. Поэтому мы используем для нашего пред-
представления не собственные значения Но, а собственные значения
Но —Н =Но1)- Пусть собственные значения Йо будут Ёп, Ео
и т. д. Выполняя переход к представлению взаимодействия, так же
как в формулах A5.15) и A5.16), находим: 1) энергии, которые мы
до сих пор обозначали через Еп и т. д., являются сдвинутыми энер-
энергиями Ео=Ео—Нко\о\ 2) гамильтонианом взаимодействия будет
теперь не #int., a Hmt. + //ы). Теперь И{8) определяется из условия
обращения в нуль 1тТ(Ёо) (вплоть до второго порядка по ё). Фор-
Формула A6.30) принимает тогда вид
]m n/j? \ п J-rij) 1 V iat. O| m int. m\ О
A6.31)
Это — формула A4.17) для собственной энергии. Уравнение A6.31)
справедливо, конечно, для любого состояния, так как любое состояние
может быть начальным. Отличный от нуля вклад в Hmt.o\o дает
только кулоновское взаимодействие (если применяется кулоновская
калибровка). Таким образом, в новом представлении 1т Т(Ео) обра-
обращается в нуль, тогда как во всех формулах этого параграфа, в ча-
частности в формулах A6.20) и A6.25), под энергиями следует пони-
понимать смещенные энергии. Асимметрия между начальными и конечным
состояниями исчезает, по крайней мере, постольку, поскольку 1тТ(Е)
может быть отождествлено с 1тГ(?о). Строго говоря, это не так,
даже в том случае, когда мы рассматриваем распределение конечных
состояний по истечении большого промежутка времени. В последнем слу-
случае появляется 1тГ(?„), причем Ёп зависит от частоты испущенного
1) Для точной формулировки этого представления необходимо прежде
всего учесть изменение массы Oj, в гамильтониане //0. Эго будет проведено
в § 34.
204 Гл. 4. Методы решения
фотона. Разность АЕ, в нашем новом представлении, будет равна
д с- _ J_ t- т у (Ъ \ \^ (^'mt- 01 w^int. m\O ^itit. О \ mMint. >n\O\
A6.31')
Эта разность входит в знаменатель формулы A6.20'), которая теперь
выглядит следующим образом:
Поскольку Т(Е)— медленно меняющаяся функция от Е, а Е отли-
отличается от Ео лишь на величину порядка ширины уровня, то раз-
разность &Е оказывается чрезвычайно малой. Мы рассмотрим ее в § 34,
п. 4. Формула A6.31") симметрична по отношению к обоим состояниям.
Сдвиг уровня A6.31) будет изучен в § 34. Там будет показано,
что его нельзя полностью приписать изменению массы (в противо-
противоположность случаю свободных электронов). Этот сдвиг является (очень
важным) наблюдаемым эффектом. Будет показано ниже, что для
разрешенных переходов он обычно намного меньше ширины уровня.
Приведенный вышэ способ восстановления симметрии в сдвигах
уровней является в известной степени провизорным. Собственная
энергия состояния обязана своим существованием виртуальному полю,
сопровождающему частицу. Мы должны были бы, прежде чем вычи-
вычислять реальные переходы между различными состояниями, включить
виртуальное поле в определение атомного состояния, как то было
разъяснено в начале этого параграфа. Однако отделение виртуальных
фотонов от фотонов, испущенных в реальных переходах, не так ясно,
как в случае свободных частиц (см. § 15). Ширина уровня в прин-
принципе простирается до бесконечности, в силу чего фотон любой энер-
энергии может играть роль как виртуального фотона, так и фотона,
испущенного в реальном переходе. Поэтому нельзя непротиворечиво
ввести „энергетическую поверхность", как в § 15. Исключение пред-
представляет лишь основное состояние, ширина которого равна нулю.
Действительно, вообще не существует точного определения изолиро-
изолированного возбужденного атомного состояния с конечным временем
жизни. Метод рассмотрения излучения света зависит, коль скоро
рассматриваются более тонкие детали линии излучения, от того,
каким способом был возбужден атом. Эти детали зависят до неко-
некоторой степени от условий возбуждения.
Такая проблема возникнет, когда будут рассматриваться высшие
(радиационные) поправки к ширине уровня в § 34, п. 4. Дальше
будет показано, что для этой цели достаточно пользоваться грубым
способом отделения виртуального поля, отражающим условия возбуж-
возбуждения (будет использован тот факт, что ширина уровня очень мала
по сравнению с расстояниями между уровнями). Поправки к ширине
Литература 205
уровня оказываются на самом деле не зависящими от условий воз-
возбуждения. В первом приближении все явления, связанные с шириной
уровня, могут вычисляться с помощью невозмущенных состояний.
Простого изменения представления недостаточно для исключения
виртуального поля. В этом можно убедиться следующим образом:
согласно элементарной теории возмущений A4.11), вероятность
виртуальных состояний во втором приближении равна
U=Fo. A6.32)
Конечно, можно дать ясное определение виртуальных состояний
по отношению к основному состоянию, ширина которого равна нулю.
Поэтому вероятность A6.32) должна была бы обратиться в нуль для
основного состояния, если бы виртуальное поле было правильно
исключено (путем замены И преобразованным гамильтонианом /Q.
До сих пор мы лишь требовали обращения в нуль величины Im Г(?*о),
а не ее производной. Последняя окажется равной нулю, когда мы
применим результаты этого параграфа к случаю свободных частиц
(см. приложение IV). После применения преобразований, которые
вводятся в § 34, п. 4. условие A6.32) будет выполняться как для
основного состояния, так и в предельном случае свободных частиц.
ЛИТЕРАТУРА
1. В 1 о с h F., Nordsieck A., Phys. Rev., 52, 54 A937).
2. Dyson F. J., Phys. Rev., 75, 486, 1736 A949).
3. Та ti Т., Tomon aga S., Pro^r. Th-or. Phys., Japan, 3, 391 A948).
4. Sch winger J., Phys. Rev., 74, 1439 A948); 75, 651; 76, 79.) (Пй) (см.
перэзод в сбоэникэ: „Ноззйш^е раззитие кзангозой электродина-
электродинамики," ИЛ, 1954).
5. Н е i 11 е г W., М а S. Т., Phil. Mag., 11, 651 A949).
6. Tomonaga S., Progr. Тпэог. Phys., Japan, 1, 27 A916) (см. пзрезод
в сборнике: „Новейшее раззитие кзантовой электп линамики", ИЛ, 1954).
7. Wilson А. Н., Ргос. Cambr. Phil. Sec, 37, 301 A941).
8. Соколов A., Journ. of Phys. (СССР), 5, 231 A94;).
9. Heitler W., Prcc. Cambr. Phil. Sec, 37, 291 A941).
10. Gora E., Zs. f. Phys., 1:0, 121 A943).
11. Heitler W., Peng H. W., Proc. Cambr. Phil. Soc, 33, 293 A942).
12. Pauii W., Meson theory of Njchar Forces, New Y ,rk, 1946 (см. пере-
перевод: Паули В., Мезоннэя теоо^я ядерных сил, ИЛ, 1917).
13. Dirac P. A. M., The P-iaciples of "^Quantum Mechanics, Third td., Oxford,
1947, p. 173 (см. пзревод второго издания: Дирак П. А. М., Основы
квантовой механики, М. — Л., 1937).
14. Heisenberg W., Zs. Naturforsch., 1, 608 A946).
15. МфПег С, Det. Kgl. dansk. Vidensk. Selsk., 25, No. 1 A945); 22,
No. 19 A946).
16. Gupta S. N., Proc Cambr. Phil. Soc, *7, 454 A950).
17. Miy azi ma Т., F ц k n d a N.. Progr. Theor. Phys., Japan, 5, 849A950).
18. Pirenne J., Phys. Rev., 86, 395 A952).
19. Heitler W., Ma S. Т., Ргос. Roy. Ir. Ac, 52, 109 A919),
20. Arnous E., Zie nau S., Helv. Phys. Acta, 2*, 279 A951).
21. Sch on berg M., Nuovo Cimento, 8, 817 A951).
Глава 5
РАДИАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
В этой главе мы применим развитую в предыдущих параграфах
теорию для вычисления вероятностей различных процессов, в которых
световые кванты испускаются, поглощаются, рассеиваются или уча-
участвуют каким-нибудь иньщ образом. Как было разъяснено в гл. 4,
, математическая сложность проблемы такова, что оказывается необ-
необходимым применять разложение по степеням электрического заряда е
(или постоянной тонкой структуры e^jhc). Для практических прило-
приложений вполне достаточно ограничиться лишь наинизшим порядком
по ?, в котором появляются отличные от нуля результаты, тогда как
высшие порядки дают, очень малые поправки. Мы увидим, что наи-
наинизшее приближение уже находится" в превосходном согласии
с экспериментом. Вычисление поправок в высших порядках ни в коей
мере не осуществляется прямым и очевидным образом, поэтому выс-
высшим поправкам будет посвящена специальная глава (гл. б). Имеется,
однако, класс проблем, рассмотрение которых не вызывает затруд-
затруднений, хотя они и находятся, в некотором смысле, за пределами
низшего приближения. Это — эффекты затухания. Явления затухания
соответствуют классическим силам торможения излучением, пропор-
пропорциональным х (см. § 4). Соответствующие понятия можно непосред-
непосредственно перевести на язык квантовой теории. Эффекты затухания
будут в основном изложены в этой главе (см. § 18 и 20). Для при-
применений, описанных в этой главе, достаточно элементарной теории
возмущений, изложенной в § 14, которую нужно слегка обобщить,
чтобы можно было рассматривать вопросы, связанные с ширинами
линий. В § 20 мы будем пользоваться общей теорией затухания
(см. § 16).
§ 17, Излучение и поглощение1)
Процессы- излучения и поглощения света атомом могут быть легко
поняты с помошью развитой выше теории. Атом и поле излучения
образуют две квантовомеханические системы с энергией взаимодей-
взаимодействия Н]П[. Это взаимодействие, рассматриваемое как возмущение,
1) Теория излучения и поглощения света впервые была развита
П. А. М. Дираком [1].
§ 17. Излучение и поглощение 20*
является причиной переходов невозмущенной системы (атом -f- излу-
излучение), состоящих в общем а) из перехода атома из одного кванто-
квантового состояния в другое и б) из испускания или поглощения свето-
световых квантов.
Поле излучения имеет непрерывный спектр. Если излучается или
поглощается световой квант с импульсом k(k = hv), его можно при-
приписать на выбор какому-нибудь одному из очень большого числа
радиационных осцилляторов (в единичном объеме L3):
№ ИЬ НО
M*' A7Л>
имеющих одну и ту же частоту (из интервала dk), одно и то же
направление распространения (внутри элемента телесного угла dQ)
и одинаковую поляризацию. Отсюда следует, согласно § 14, что
существует вероятность перехода за единицу времени. Более того,
если пренебречь эффектами, связанными с шириной уровня, то энергия
невозмущенной системы сохраняется во всех переходах, в кото-
которых испускаются или поглощаются световые кванты.
Взаимодействие между атомом и полем излучения может вызвать
такие радиационные переходы даже в том случае, когда в начальном,
состоянии вообще нет световых квантов. Предположим, что атом
возбужден в начальном состоянии. Тогда при переходе в конечное
состояние будет излучен световой квант. Такой процесс представляет
собой спонтанное излучение света.
В § 14 мы видели, что в первом приближении испускается или
поглощается лишь один световой квант. Такие переходы проис-
происходят прямо без промежуточных состояний. Вероятности переходов,
даются тогда матричными элементами энергии взаимодействия //int.
для прямого перехода из начального состояния в конечное.
В теории излучения и поглощения можно ограничиться нереляти-
нерелятивистским приближением. Даже в случае тяжелых атомов энергия
/С-оболочки все еще много меньше тс2. Поэтому релятивистские
поправки, хотя они значительны для урана и рентгеновских лучей,
излучаемых в переходах на /С-оболочку, не изменяют серьезным
образом результатов. Мы можем поэтому использовать взаимодей-
взаимодействие A3.7):
//lnt. = — f (PA). A7.2)
Второй член, пропорциональный Л9, приводит к переходам, в кото-
которых участвуют два кванта, поэтому этим членом можно пре-
пренебречь. Матричные элементы оператора A7.2) для излучения или
поглощения кванта с импульсом к> даются формулами A4.23):
A7.3)
208 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
где ре— компонента импульса электрона р в напразлении поляризации
фотона кх. Для простоты ограничимся случаем одного электрона.
Если атом состоит из нескольких электронов, матричный элемент
A7.3) нужно записать в виде
j ^Ре
A7.3')
1. Излучение. Вычислим сначала вероятность излучения света.
Предположим, что имеются два невырожденных атомных состояния
a, b с энергиями Еь > Яа. Закон сохранения энергии утверждает
тогда, что могут излучаться лишь световые кзанты с энергией
k=,fa = Eb — Ea. A7.4)
Уравнение A7.4) представляет собой хорошо известное условие ча-
частот Бора.
Вероятность перехода за единицу времени, согласно A4.9), бу-
будет равна
та = ?Ря1нР> О7-5)
где рЕ представляет собой число конечных состояний с энергиями
между Е и E-{-dE. В качестве рЕ мы должны, очезидно, подста-
подставить в нашем случае число радиационных осцилляторов рк. Энергия
конечного состояния равна k~\- Еа = E, и потому dE = dk, р^ = рЛ;.
Формула A4.9) получена путем суммирования по всем радиацион-
радиационным осцилляторам с одними и теми же физическими свойствами.
Поэтому \И\'2 означает квадрат матричного элемента A7.3), усред-
усредненный по всем таким осцилляторам. Поскольку это среднее значе-
значение 'будет зависеть только от частоты и пр., а не от рассматри-
рассматриваемого частного осциллятора, можно заменить пх величиной п,,
обозначающей среднее число световых квантов на осциллятору
имеющих частоту v, направление распространения к и пр., присут-
присутствовавших еще до излучения.
Подставляя уравнения A7.1) и A7.3) в формулу A7.5), полу-
получаем вероятность излучения светового кванта УЬ за единицу времени
в данном направлении
$\4^+^ A7.6)
Вообще можнэ предположить, что длина волнл излученного света
1/х велика по сравненио с размерами атома. Если обозначить энер-
энергию атома через Е, то длина волны составит по порядку величины
Х~|. A7.7)
§ 17. Излучение и поглощение 209
С другой стороны, размеры атома а, грубо говоря, равны
Е~- или 0~g-. A7.8)
Поскольку /2с/?2=137, то \ велико по сравнению с а. Поэтому
множитель g-*(xr) B формуле A7.6) можно опустить, так как он
почти постоянен в области, где йа или фь отличны от нуля. Пола-
Полагая p/fjL = v/c и вводя обозначение В для угла между направлением
поляризации и вектором v, найдем для вероятности перехода
{-v2zab, причем vxab—матричный элемент
^-компоненты скорости г/, соответствующий переходу Ь-*а. Так
как в квантовой теории
получаем
^§ n.,)- A7.10)
Вероятность излучения состоит, согласно формуле A7.10), из
двух членов. Первый член не зависит от интенсивности радиации,
имевшейся до излучения. Он приводит к спонтанному излучению
и отличен от нуля, даже если м, = 0. Второй член пропорционален
^интенсивности радиации azv частоты \>, имевшейся до процесса излу-
излучения. Этот член приводит к вынужденному излучению. Это выну-
вынужденное излучение впервые было постулировано Эйнштейном, кото-
который показал, что его существование необходимо предположить для
объяснения теплового равновесия в газе, испускающем и поглощаю-
поглощающем излучение. Из классической теории это обстоятельство можно
вывести с помощью принципа соответствия, поскольку в § 5 было
показано, что световая волна, падающая на осциллятор, приводит
не только к поглощению света, но при определенной разности фаз
между осциллятором и падающей световой волной — и к излучению
света. Аналогичный процесс в квантовой теории описывается членом,
пропорциональным п^ [2].
Полную интенсивность излучения за единицу времени можно по-
получить из формулы A7.10), если умножить ее на /Ь и проинтегри-
проинтегрировать по всем углам. Суммируя сначала по направлениям поляри-
поляризации, получаем sin26 вместо cos2©, где 6.— угол между вектором х
(положение электрона по отношению к ядру) и направлением рас-
распространения к. Для спонтанного излучения находим
^ A7.11)
14 Зак. 1260. В. Гайтлер
210 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
Формула A7.11) дает интенсивность излучения за единицу времени
в4 направлении к. Полная интенсивность получается интегрированием
A7.11) по всем углам .
5 = -±?*|хв»|». A7.12)
Формулы A7.11) и A7.12) почти тождественны с формулами
C.25) и C.27), полученными в классической теории. В последних
следует лишь заменить среднее по времени от координаты осцилля-
осциллятора х2 матричным элементом той же величины, соответствующим
переходу Ь->а:
^9->2|хвЬ|*. A7.13)
Соотношение A7.13) дает хорошо известную связь между классиче-
классическими и квантовотеоретическими величинами, следующую из прин-
принципа соответствия.
Если атом содержит несколько электронов, хаЪ нужно заменить
суммой матричных элеметов
*хвЬ-> 2 **х*а&- A7.14)
к
Выражение A7.14) есть полный дипольный момент атома. Излуче-
Излучение, даваемое формулой A7.12), есть дапольное излучение (см. п. 3)
той же интенсивности, что и излучение классического осциллятора
с амплитудой A7.13).
Порядок величины вероятности перехода за единицу времени
составит, согласно формулам A7.10), A7.7), A7.8) (полагая хаЪ~а),
. <17Л5>
т. е. порядка 108 сек.-1 для оптической области, 10й сек.-1 для
рентгеновских лучей и 1014 сек.-1 для "[-лучей. Он не зависит от
массы излучающей частицы, но зависит, конечно, от заряда.
2. Поглощение. Вероятность поглощения светового кванта можно
вычислить таким же путем. Рассмотрим пучок света интенсивности
/0(v)<2n (энергия на см? - сек), приходящий из заданного направле-
направления внутри элемента телесного угла dQ. Поглощаемый световой
квант может быть у любого радиационного осциллятора из интер-
интервала частот dv. Если в начальном состоянии среднее число кван-
квантов на осциллятор равно п^ то интенсивность /0(\») дается фор-
формулой
A7.16)
Суммирование по всем таким радиационным осцилляторам дает для
вероятности перехода за единицу времени снова формулу A7.5),
§ 17. Излучение и поглощение 211
где р^—уже число начальных состояний. Из уравнения A7.3) нахо-
находим (переход от п., к /iv—1)
Вероятность поглощения, как и следовало ожидать, пропорциональна
интенсивности падающего пучка света. Коэффициент пропорциональ-
пропорциональности в точности такой же, как и в случае испускания. Поэтому
отношение обеих вероятностей равно
^512Е_ = А±1. A7.18)
Как хорошо известно, именно соотношение A7.18) необходимо,
чтобы обеспечить правильное тепловое равновесие между излучением
и газом.
На том же основании, что и в п. 1, можно опустить множи-
множитель ?*<хг) в формуле A7.17). Усредняя по всем ориентациям атома
(т. е. по направлениям х, С052в = :1/з) по отношению к падающему
пучку и вводя вместо п^ первичную интенсивность /0(м) по фор-
формуле A7.16), найдем энергию, поглощенную -за единицу времени:
Эта формула соответствует формуле E.19), полученной для
поглощения классическим осциллятором. Для трехмерного осцилля-
осциллятора квантовая теория дает как раз
откуда получается классическая формула, выведенная в § 5.
3. Квадрупольное и дипольное магнитные излучения. В п. t
было показано, что матричный элемент, соответствующий испуска-
испусканию света, вообще говоря, можно заменить матричным элементом?
дипольного момента ха&. Для некоторых переходов Ь-+а, однако*
матричные элементы дипольного момента ха& могут быть равны
нулю. Такие переходы классифицируются как запрещенные. Если,,
однако, для перехода Ь->а матричный элемент ха& = 0, то матрич-
матричный элемент A7.3) может оказаться не равным нулю и переходы
смогут тогда иметь место в высшем приближении и с меньшей
вероятностью.
Для длин волн X ^> а экспоненциальную функцию, входящую»
в матричный элемент A7.3), можно разложить по степеням отноше-
отношения а/к:
ц e t A7.20>
!212 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
Матричный элемент A7.3) можно тогда разложить аналогично
{подставляя —bxjc вместо ре/\х и обозначая смещение электрона
не через г, а через х):
{хве-И**У)аЬ = хваЬ — 1{хв(*х)}аЪ. A7.21)
Для запрещенных переходов хаЬ = О второй член может все же
дать некоторую вероятность перехода. Согласно формуле A7.6),
интенсивность дается формулой
A7.22)
Порядок величины выражения A7.22) меньше порядка величины
интенсивности разрешенных переходов A7.11). Так как 7=1Д и
х~а, то отношение интенсивности „запрещенного перехода" к ин-
интенсивности „разрешенного перехода" имеет порядок (а/к)* [пред-
[предполагается, конечно, что матричный элемент A7.22) отличен эт
нуля].
Разложение A7.20) в точности соответствует разложению C.22')
вектора Герца Z в классической теории. Первый член представляет
собой дипольный момент. Второй член в случае ^системы электро-
электронов, совершающих гармонические колебания, можно записать в виде
A7.23)
обозначает вектор, направленный от ядра к точке наблюдения
x/x). Выражение A7.23) как раз та величина, матричный
элемент которой входит в формулу A7.22). Оно является электри-
электрическим квадруполъным и магнитным диполъным моментами атома.
Разложение A7.21) можно рассматривать также как разложение,
в котором запаздывание между различными точками атома учиты-
учитывается во все более высоких степенях приближения.
Мы видим, что в проблемах испускания и поглощения света
квантовая теория дает результаты, во всех деталях совпадающие
с результатами классической теории (в смысле принципа соответ-
соответствия Бора).
В высших приближениях возможно также излучение двух фото-
фотонов в переходе Ь -> а, причем Еь — Еа = kt-\-k2. Вероятность такого
процесса очень мала по сравнению с вероятностью единичного ис-
пусканияДЗ] (ср. также § 23).
§ 18. Теория естественной ширины линии
При классическом рассмотрении процессов испускания и погло-
поглощения света мы видели, что линия, излученная осциллятором, не
является бесконечно узкой. Она имеет известную естественную
§ 18. Теория естественной ширины линии 213
ширину ft соответствующую распределению интенсивности D.28)
Т 1
1 (v) = 7° 2i? (v — voJ + Y2/4 ' A8. Ir
где м0— частота осциллятора. Своим происхождением эта естествен-
естественная ширина обязана силе торможения излучением, действующей
со стороны испускаемого излучения на осциллятор (самодействие
электрона). В приближении, учитывающем естественную ширину,
силу реакции можно вывести просто из закона сохранения энергии.
Поэтому в этом приближении нет связи с проблемой структуры?
электрона, как в случае всех высших приближений.
Квантовомеханический формализм содержит затухание излучения
столь же полно, как и классическая теория. Поэтому можно ожи-
ожидать, что квантовая теория также без затруднений объяснит есте-
естественную ширину спектральной линии.
Действительно, малость энергии взаимодействия //mt. между ато-
атомом и излучением не была единственным предположением нашей
теории возмущений (см. § 14). (Это предположение, конечно, фун-
фундаментальное.) Мы нашли решение уравнений A4.5) для промежут-
промежутков времени t, малых по сравнению со временем жизни начального
состояния., так что вплоть до момента времени t полная вероятность
перехода очень мала. Ясно, что такое предположение делает невоз-
невозможной теорию ширины линии, поскольку ширина линии самым
своим существованием обязана (в классической теории) постепенному
уменьшению амплитуды осциллятора или (в квантовой теории) убы-
убыванию вероятности пребывания атома в его начальном состоянии.
Вайскопф и Вигнер [4] дали улучшенное решение уравнений
теории возмущений, справедливое также для промежутков времени t9
сравнимых с обратной величиной вероятности перехода.
1. Атом с двумя состояниями. Мы рассмотрим сначала простой
случай атома, который может находиться только в двух состоя-
состояниях а, Ь (Еь > Еа). Возвратимся к дифференциальным . уравне-
уравнениям A4.5). Пока достаточно учитывать лишь те состояния, в кото-
которые возможны прямые переходы из начального состояния (первое
приближение по Н). Предположим, что в момент ? = 0 атом воз-
возбужден и световые кванты отсутствуют. Тогда можно ограничитьс:
рассмотрением таких состояний, из которых атом перескакивает
в низшее состояние, испуская один световой квант hv с частотой,
примерно равной Еъ — Еа. Обозначая амплитуды вероятности через
Ьъо и baix> найдем
ihbb0= 2 Я6О, ahbahei{Fb-Ea-WI\ A8.2а)
iB°-Eb+W\ A8.2б>
214 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
Начальными условиями будут
й*о@)=1. йаЧ@) = 0. A8.3)
Попытаемся решить уравнения A8.2), полагая
e-№, A8.4)
т. е. предполагая, что вероятность нахождения атома в воз-
возбужденном состоянии убывает экспоненциально со временем
жизни 1/f. Условия A8.3), очевидно, совместны с подстанов-
подстановкой A8.4).
Подставляя выражение A8.4) в уравнение A8.26), получаем
дифференциальное уравнение
ihbah = Я„ч1 ьое* *а-*ъ+*>} W-TW (j 8.5)
решением которого будет
— bah = Hahlb0 й(,х_,0 + /т/2) , A8.6)
где положено
Eb — Ea = k0 = fo0. A8.7)
Наконец, нам следует удовлетворить уравнению A8.2а). Подставляя
решение A8.6) в уравнение A8.2а), получаем
Л18-8)
Суммирование по осцилляторам поля I в правой части можно
заменить интегрированием по частотам v. Пусть pkdkdQ пред-
представляет собой, как и прежде, число осцилляторов с данными физи-
физическими свойствами на единицу объема, тогда правая сторона
соотношения A8.8) сводится к интегралу
где
причем Г ^ — -интегрирование по всем направлениям распростра-
распространения и пр. Если наше решение правильно, то интеграл A8.9) не
должен зависеть от t. Нас снова интересуют лишь такие промежутки
времени t, для которых \t 3> 1 • Это неравенство все еще оставляет
открытым вопрос о том, велико ли ^t. В дальнейшем величина f
окажется малой по сравнению с ^0. Это обстоятельство выражает
тот факт, что затухание мало или же время жизни велико по срав-
сравнению с частотой атома. Тогда f можно опустить, в интеграле A8.9).
§ 18. Теория естественной ширины линии 215
Разобьем интеграл на действительную и мнимую части, согласно
формуле [/00 действительно]:
_jsuuvo—^?^ A8.10)
При vo? ^> 1 первый член в смысле § 8 является главным значе-
значением 1/(\0 — n). Косинус, будучи очень быстро меняющейся функ-
функцией, не дает вклада в интеграл по v. Исключением является только
точка, в которой n0 — n = 0, но там функция обращается в нуль.
Второй член является как раз S-функцией. В самом деле, благодаря
'быстрому изменению синуса он не дает вклада в интеграл, за
исключением точки v0 — v = 0, когда
sin (v0 —¦ v) t _^
становится бесконечным. Интеграл по v конечен и имеет значение тт.
Поэтому можем написать
sC^-^J **8(n o—v). A8.100
Эту С-функцию мы уже рассматривали в § 8. Подставив выраже-
выражение A8.10') в A8.9) или A8.8), найдем, что f имеет отличную от
нуля мнимую часть
Эта мнимая часть имеет простой физический смысл. Как явствует,
например, из формулы A8.6), величина Im(-f) означает поправку
к частоте излучаемой линии n0. Это смещение линии обычно очень
мало в случае разрешенных переходов. Сейчас нас интересует ши-
ширина линии, даваемая действительной частью Y» поэтому сдвигом
лилии мы здесь пренебрежем. Детальное обсуждение проблемы
сдвига проведено в § 16, п. 3 и в § 34. Действительная часть f
(обозначаемая просто через f) проистекает из второго члена раз-
разбиения A8.10'). Интегрирование функции 8(v0 — v) no v дает еди-
единицу, после чего в |//|'2 следует подставить \ = %>0. Таким образом,
«eJ. A8.12)
Согласно A7.5), f как раз равна полной вероятности спонтан-
спонтанного излучения Ь->а за единицу времени. Этого и следовало ожи-
ожидать, поскольку, согласно подстановке A8.4), f была определена
как обратная величина времени жизни возбужденного состояния.
Распределение интенсивности излученной линии дается функцией
вероятности конечного состояния Ьа\^ По истечении промежутка
216 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
времени t ^> 1/^, когда атом наверняка соскочит вниз, вероятность
испускания кванта с энергией %чх будет иметь вид
или, интегрируя по всем направлениям распространения и пр., со-
согласно A8.12), получаем
h^ . A8.13')
Полная интенсивность есть ^м = /0. Формула A8.13') тождественна
поэтому с классической формулой D.28), с той единственной раз-
разницей, что "f теперь означает не 2е2^у3тс6,- а вероятность перехода
за единицу времени, как показывает соотношение A8.12).
В квантовой теории спектральная линия имеет поэтому то же
распределение интенсивности, что и в классической теории
(см. фиг. 2, стр. 48). Ширина линии в точке, где интенсивность
достигает половины своего максимального значения, равна полной
вероятности перехода за единицу времени. Максимум интенсив-
интенсивности падает на частоту \0, даваемую разностью энергий двух со-
состояний атома A 8.7) (немного измененных благодаря небольшим
сдвигам линий).
Связь между полушириной и вероятностью перехода можно по-
понять из соотношения неопределенностей для энергии и времени:
которое утверждает, что энергия системы известна лишь с точ-
точностью Д?, если на ее измерение затрачено время М. В нашем случае
возбужденное состояние имеет время жизни 1/^ благодаря отличию
от нуля вероятности радиационного перехода. Поэтому энергия воз-
возбужденного состояния определена лишь в пределах интервала
А?: = Й^, а это означает, что уровень энергии Еъ имеет ширину
Д/^^/ф Частота излученной линии будет иметь поэтому такую же
ширину An— 7- А это как раз и является нашим соотношением.
Приведенные выше результаты могут быть выведены непосред-
непосредственно из общей теории § 16. Ради ясности мы вывели их в рас-
рассмотренном простое случае еще раз с самого начала. Действительно,
общее уравнение A6.10) для амплитуды вероятности сводится здесь
просто к
?Лих | 60 = ^alx I 60»
и вероятность при t = oo дается уравнением A6.20), которое тож-
тождественно с уравнением A8.13), если Т(Еп) заменить константой ?•
В более сложных проблемах, касающихся ширины линии (см. § 20),
мы будем пользоваться теорией § 16.
§ 18. Теория естественной ширины линии
217
2. Несколько атомных состояний. Случай, когда атом имеет
несколько состояний а, Ь, с,..., более сложен. Он был также изучен
Вайскопфом и Вигнером [4]. Однако в этом случае результат нельзя
однозначно вывести из классической аналогии. Можно было бы ожи-
ожидать, что распределение интенсивности линии, излученной в переходе
b-^а, определяется, как и: раньше, уравнением A8.11) с полуши-
полушириной 7аь> равной вероятности перехода Ь->а. Но этот вывод не
согласуется с приведенными выше рассуждениями, опирающимися
на соотношение неопределенностей. Квантовая теория приводит
к отличным результатам.
Если обозначать атомные уровни в порядке возрастания их энер-
энергий через av а2,. . ., то можно, согласно формуле A8.13), приписать
каждому уровню, скажем а^ некоторую ширину, даваемую суммой
вероятностей всех переходов из аг на все низшие уровни
w A8Л4)
где wa.\a. —вероятность перехода
^-. Ширина некоторой линии
скажем аг —>• ак, дается тогда суммой ширин двух уровней а^ и а%
A8.15)
Распределение интенсивности снова классическое,[уравнение A8.12)]
с Y = 7&i- Эти результаты легко выводятся с помощью метода § 20.
Полученный вывод полностью отличен от
вывода, подсказываемого принципом соответ-
соответствия, согласно которому можно было бы за-
заключить, что ширина линии пропорциональна
ее интенсивности. Такое заключение, однако,
неверно в квантовой теории. Здесь может слу-
случиться, что даже слабая линия довольно ши-
широка. Рассмотрим, например, случай с тремя
уровнями а, Ь, с, изображенный на фиг. 5.
Вероятности всех переходов из высшего уров-
уровня с малы, а потому с — узкий уровень. Из Ь
к основному уровню а (всегда резкому) ведет
сильная линия, поэтому уровень Ь—широкий.
Согласно A8.15), линия с-+Ь должна также
бо1ть широкой, хотя вероятность перехода очень
мала. Линия с—> а, с другой стороны, узкая,
поскольку она соединяет два узких уровня.
Фиг. 5.- „Слабые,
но широкие" линии
в квантовой теории
ширины линии.
3. Поглощение. Форма линии поглощения должна совпадать
с формой линии испускания, если падающий пучок света имеет по-
постоянную интенсивность в области ширины линии. Это следует из.
общих соображений о равновесии (закон Кирхгофа).
218 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
Пусть 10(ч)с1ч = 10(у0)с1ч обозначает интенсивность первичного
пучка. Тогда за единицу времени в переходе а->Ъ будет поглощена
энергия из интервала от n до v-f-^K равная
A8.16)
v* 2n (v — voJ 4- г2/4
где wab — вероятность спонтанного излучения при переходе Ъ—>а.
Множитель в выражении A8.16) определен так, чтобы полная энер-
энергия, поглощенная за единицу времени, была равна энергии из фор-
формулы A7.19).
Рассматривая слой толщины Длг, содержащий N атомов на 1 см?
в поглощающем состоянии а, можно определить коэффициент по-
поглощения на 1 см первичного светового пучка t(n):
A8л7>
Если частоты сильно удалены от максимума, то (^ — ^0 ^
и коэффициент поглощения убывает как квадрат разности частот
A \0. Эта разность связана с длиной волны соотношением
A/3
В этом случае отношение поглощенной интенсивности к первич-
первичной определяется соотношением *)
^^ A8.18)
(Здесь длина волны равна 2ттХ.)
4. Другие причины уширения линий. Помимо затухания, свя-
связанного с испусканием излучения, самого по себе, имеется несколько
других причин, которые фактически приводят к уширению линий.
а) В газе при температуре Т атомы (массы М) движутся со ско-
скоростями, распределенными по закону Максвелла: е~*х . Если мы
наблюдаем свет, испущенный в лг-направлении, то линия будет сме-
смещена вследствие эффекта Допплера на величину [G.21) при v <C^ с]
A8.19)
Усредняя,'получаем в силу этого широкую линию с распределением
интенсивности
-Ис2ьч21гчЪт
/(v)^== const dve ° A8.20a)
*) Соотношение A8.18) справедливо лишь, когда х (К) Д^с мало. Для
больших значений х (X) Ал: левая часть соотношения A8.18) должна быть
заменена выражением 1—(х)Л
§ 18. Теория естественной ширины линии 219
%. ¦ . ,
и с шириной на половине максимума
2. A8.206
. Вообще гоиЪря, допплеровская ширина о намного больше есте-
естественной ширины *у« Однако распределение интенсивности экспонен-
экспоненциальное, а потому быстро убывающее с ростом расстояния от
максимума An в отличие от естественной ширины, которая имеет
очень длинный хвост, убывающий лишь как 1/Д№. Поэтому интен-
интенсивность, наблюденная на большом расстоянии от максимума (т. е.
если An 3> 8), обязана естественной ширине (а также причинам,
обозначенным „б" — „г").
б) В газе конечной плотности возбужденный атом испытывает
столкновения с соседними атомами. Эти столкновения могут при-
привести к переходу на основной уровень. Действие таких столкнове-
столкновений на ширину линии можно описать следующим образом: если число
эффективных столкновений за 1 сек. есть Г, то время жизни воз-
возбужденного состояния b укорачивается* Общее число переходов
за 1 сек. (радиационные переходы + переходы, обусловленные столк-
столкновениями) равно теперь ^Ч"Г. Поэтому ширина уровня Ь будет
равна
^6 = Т+Г. A8.21)
Испущенная линия имеет такое же распределение интенсивности,
как и естественная линия A8.16), с той лишь разницей, что у теперь
следует заменить на f + Г. При очень малых плотностях эффект
уширения, вызванный столкновениями, становится малым.
в) Возбужденный атом будет вступать в различные взаимодей-
взаимодействия с окружающими атомами. Это приведет к смещению и рас-
расщеплению возбужденного состояния (эффект Штарка, резонансная
связь и пр.), вследствие чего произойдет эффективное уширение.
При очень малых плотностях эти эффекты также малы.
г) Эффект Оже: если атом с несколькими электронами возбужден
таким образом, что /С-электрон поднят на высокий уровень, то
обычно испускается рентгеновская линия, например, при скачке
L-электрона на /С-вакантность. Взаимодействие с электронами на
высших оболочках может привести не к испусканию фотона, а к вы-
выбросу одного из них в область непрерывного спектра. Этот процесс
конкурирует с испусканием фотона и дает некоторый вклад в ши-
ширину L-уровня. В отличие от случаев „аа—„ва ширина Оже не
зависит от внешних обстоятельств (температура, плотность) и не
может быть отделена от радиационной ширины. Радиационную
ширину и ширину Оже следует объединить в общую „естественную
ширину". Ширина Оже существует, конечно, только у рентгенов-
рентгеновских лучей.
220
Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
б. Экспериментальная проверка. Измерения естественной ши-
ширины спектральных линий очень немногочисленны, потому что уши-
уширяющие влияния (см. „аа—„в") обычно превосходят естественную
ширину в оптической области. Тем не менее сделано несколько из-
измерений *). Для рентгеновских лучей легче исключить причины
„аа — „ва. Здесь достаточно рассмотреть единственный пример.
Измерены естественные ширины /,-серии Аи [8]. По разностям
ширин линий можно убедиться, что ширина линии есть сумма ширин
двух соответствующих ей уровней согласно предсказанию теории.
Из дальнейших измерений формы края полосы /.-поглощения можно
по отдельности определить ширины нескольких рентгеновских уровней.
Вероятности переходов из этих уровней во все другие состояния
были вычислены как для радиационных, так и для переходов Оже.
Эти вычисления не очень точны, так как точные волновые функции
сложных атомов неизвестны. Теоретические числа в приведенной
таблице получены с помощью волновых функций, найденных по
модели Томаса — Ферми [9], а числа в скобках — с помощью водо-
родоподобных волновых функций [10]. В табл.- 1 приведены
наблюденные и вычисленные ширины нескольких уровней. Знак >
при некоторых числах, относящихся к ширине Оже, означает, что
эти числа следует немного увеличить, поскольку они не учи-
учитывают некоторых переходов с очень малой, повидимому, вероят-
вероятностью. Ввиду трудности вычислений согласие нужно считать
удовлетворительным.
Таблица 1
ЕСТЕСТВЕННЫЕ ШИРИНЫ УРОВНЕЙ (РАДИАЦИОННАЯ И ШИРИНА ОЖЕ)
В дв ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ РЕНТГЕНОВСКИХ УРОВНЕЙ в Аи
Уровень
(вакантное
место)
К
и
ш
/ли
Ml
радиационная
66
1,8A)
@,9)
A,6)
0,1
Ширины
вычисленная
ширина Оже
>0,8
> 11,9 E,5)
B,2)
B,6)
>10,2
уровней
полная
67
> 13,7 F,5)
C,1)
D,2)
> 10,3
наблюденная
54
8,7
3,7
4,4
15,5
В высшей степени желательны точные измерения формы и ширины
линии водорода. Радиочастотная техника, успешно примененная для
определения сдвига линии (см. § 34), повидимому, делает такие
измерения возможными. Однако в момент написания книги точных
сравнений теории с экспериментом еще не сделано.
рения.
О ширине спектральных линий см. работы [5—7], содержащие изме-
изме§ 19. Дисперсия и эффект Рамана 221
§ 19. Дисперсия и эффект Рамана
В этом параграфе мы рассмотрим рассеяние света на атоме.
Процесс рассеяния состоит в поглощении первичного светового
кванта с импульсом к0 и одновременном испускании вторичного
кванта с импульсом к. Рассеивающий атом может либо остаться
в своем начальном состоянии (когерентное рассеяние), либо, как
в эффекте Рамана, оказаться в некотором другом состоянии.
Общий характер процессов рассеяния зависит от того, имеет ли
энергия первичного кванта k0 тот же порядок величины, что и энер-
энергия связи электрона в атоме, или же она велика по сравнению
с энергией связи. В последнем случае электрон можно рассматривать
как свободный. Рассеяние на свободных электронах будет детально
обсуждаться в § 22. Пусть k0 будет того же порядка, что и энер-
энергия электрона. Грубо говоря, это есть область видимого света
вплоть до частот мягких рентгеновских лучей. Поэтому можно
пренебречь всеми релятивистскими поправками. Более того, можно
предположить, что длины волн как первичного кванта к0, так и
рассеянного кванта \ велики по сравнению с размерами атома.
Обозначим состояния атома через niy в частности начальное
состояние — через я0, конечное состояние — через п (энергии Eiy
Ео, Е). Закон сохранения энергии утверждает, что частота рас-
рассеянного кванта к отличается от k0 на разность энергий атома
k—ko = Eo — E. A9.1)
Предположим, что kQ не находится вблизи резонансной частоты
атома Ег — Е0 (см. § 20).
В случае когерентного рассеяния (ср. п. 2) атом остается
в прежнем состоянии по = п. Частота рассеянного кванта k будет
тогда такой же, как и частота первичного кванта k0. В случае
Е0ФЕ будет иметь место эффект Рамана.
С другой стороны, импульс, вообще говоря, не сохраняется при
взаимодействии света со связанным электроном.
1. Дисперсионная формула. Согласно § 14, нерелятивистское
взаимодействие между электроном и излучением дается формулой
"ut~--J(pA) + ?^ = //p' + //<». A9.2)
В отличие от теории излучения здесь нельзя пренебрегать вторым
членом, пропорциональным Л2. Как показано в § 14, этот 'член
второго порядка имеет отличные от нуля матричное элементы для
прямых переходов, в которых общее число световых квантов изме-
изменяется на два.
222 Гл. 5. Радиационные процессы в -первом приближении
Матричные элементы оператора Н{2) даются соотношениями A4.24).
В нашем случае, т. е. для перехода EQ, ko-+E, k, получаем
= ?_*Щ f фУ^-%о(^ое), A9.3)
где через е0, е обозначены единичные векторы в направлении поля-
поляризации двух квантов к0, к (% = к/йс).
В интеграле A9.3) экспоненциальную функцию можно считать-
постоянной. Матричный элемент отличен тогда от нуля, очевидно,
лишь при по = п, т. е. в случае когерентного рассеяния
A9.4)
где X — вектор, указывающий положение атома.
Первый член Н{1) уравнения A9.2) является членом первого
порядка. Он может привести к переходам с участием двух фотонов
лишь через посредство промежуточных состояний, отличающихся
от начального и конечного состояний только одним испущенным или
поглощенным квантом. В нашем случае имеется два рода таких
промежуточных состояний, отличающихся порядком, в котором
происходят испускание кванта к и поглощение кванта к0:
I. Сначала поглощается квант к0, после чего квантов нет. При
переходе в конечное состояние испускается квант к.
П. Сначала испускается квант к. После этого в наличии имеются
ба кванта к0 и к. При переходе в конечное состояние поглощается
квант к0.
В обоих возможных промежуточных состояниях атом может нахо-
находиться в любом возбужденном состоянии п-г.
Обозначая начальное состояние через О, конечное состояние
через F, а оба возмущенных промежуточных состояния через I и II,
можно представить матричные элементы первого члена Н^\ соот-
соответствующие переходам из О в I и II, а за-1ем в F, следующие
образом [согласно A4.23)]:
/A) __
~~ "k % A9.5)
\ Yh
J фп/
где р0 и p — компоненты р в направлении поляризации двух свето-
световых квантов к0 и к соответственно.
§ 19. Дисперсия и эффект Рамана 223
Разности энергий начального и промежуточного состояний равны
— Ei9 E0 — En=E0 — Ei — k. A9.6)
Составные матричные элементы Kf\o> соответствующие переходу
О-*/7, даются общей формулой A4.18). Суммирование должно
распространяться на все промежуточные состояния.
Предполагая снова, что длины волн квантов к0 и к велики по
сравнению с размерами атома, получаем в нашем случае1)
где роп.п —матричный элемент/?0 для перехода no->niy а в — угол
между направлениями поляризации квантов к0 и к.
Вероятность перехода за единицу времени дается формулой
где рЕ—число конечных состояний на единицу объема и на интер-
интервал энергии dE. В нашем случае рЁ—число осцилляторов поля на
единицу объема, одному из которых может быть приписан квант к;
иными словами,
Деля обе части формулы A9.8) на интенсивность первичного пучка»
т. е. в случае одного светового кванта на скорость света [см. A4.16)>
Х,8=1], получаем дифференциальное эффективное сечение рассеяния
светового кванта к с заданной поляризацией внутрь элемента телес-
телесного угла dQ
A9.10)*
Эта формула не применима в случае резонанса, т. е. когда
кЕ
г) В суммирование 2 ну^шо включить также состояния непрерывного
i
спектра атома. Вклад последних, однако, не очень велик для оптической
области.
224 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
В случае когерентного рассеяния получаем хорошо известную
дисперсионную формулу
Уравнение A9.11) впервые было получено Крамерсом ги Гейзен-
бергом [11] с помощью принципа соответствия, примененного
к классической формуле (?.11) (при ^ = 0). Существование второго
члена собЭ в дисперсионной формуле впервые было показано
Валлером [12]. Этот член совпадает с выражением, описывающим
рассеяние на свободном электроне E.4)г). Если
(но к0 все еще велико по сравнению с размерами атома), " первый
член формулы A9.11) мал и дисперсионная формула переходит в
классическую формулу для рассеяния на свободном электроне.
При п0Фп из формулы A9-10) получается хорошо известная
формула для рамановского рассеяния, как было предсказано Смека-
лем и Гейзенбергом. Существование рассеянного излучения с часто-
частотой, сдвинутой на величину, соответствующую разности энергий
между двумя квантовыми состояниями, экспериментально было обна-
обнаружено в твердых телах Ландсбергом и Мандельштамом [13] и
в жидких растворах Раманом и Кришнаном [14].
2. Когерентность. В классической теории излучение, рассеянное
атомом, когерентно с первичным излучением. Такое положение
основано на том обстоятельстве, что, за исключением случая резо-
резонанса, рассеянная волна и первичный пучок имеют одну и ту же
фазу [разность фаз Ь дается формулой E.9), о = 0, за исключением
случая резонанса].
То же самое справедливо, конечно, и в квантовой теории, если
только рассеянная частота та же, что и первичная. Применение идеи
когерентности требует, однако, некоторых предосторожностей. Как
мы видели в § 7, фаза квантованной световой волны <р в силу
соотношения неопределенностей
ДААД<р>1 A9.12)
определена лишь в том случае, когда число фотонов неопределенно.
В случае рассеяния одного светового кванта, как показано в п. 1,
фазы двух волн совершенно неопределенны.
Мы* могли бы проверить фазовые соотношения, если бы рас-
рассмотрели первичную волну с числом квантов, достаточно большим
1) В § 5 величина В означает угол между к и направлением поляри-
поляризации кванта к0. В E.4) выполнено суммирование по направлениям поляри-
поляризации кванта к.
§ 19. Дисперсия и эффект Рамана
225
для определения с большой степенью точности как фазы, . так и
числа квантов; это, разумеется, выражает обычный переход к клас-
классической теории.
Однако при рассеянии одного кванта понятию когерентности
также можно придать простой физический смысл, если рассмотреть
рассеяние двумя атомами Л, В, расположенными, скажем, на рас-
расстоянии R друг от друга. В классической теории рассеянные на двух
атомах волны интерферируют друг с другом, давая максимум
или минимум интенсивности в соответствии с разностью хода рас-
рассеянных волн. Для этого классического результата существенна
только разность фаз двух волн, рассеянных двумя атомами. В кван-
квантовой теории последняя может иметь определенное значение даже
тогда, когда полное число световых квантов
является определенным. В этом случае, од-
однако, мы не знаем, на каком атоме рас-
рассеялся световой квант.
То же самое (классическое) распределе-
распределение интенсивности следует также и из кван-
квантовой теории. Рассмотрим два атома в поло-
положениях Ха> Хб и в квантовых состояниях пг>
тг. Расстояние между А к В можно обозна-
обозначить через
ХА — Хв = Ъ A9.13)
-(Rx),
(Rxjf
Фиг. 6. Разности фаз
при рассеянии двумя
атомами А, В.
(фиг. 6). Вероятность рассеяния пер-
первичного кванта к0, дающего вторичный
квант к, можно рассчитать тем же методом,
как и в случае отдельного атома. Поле излучения взаимодействует
с каждым из атомов; следовательно, функция взаимодействия имеет
вид
в. A9.14)
Матричный элемент оператора К A9.14) можно тогда написать
сразу. Вместо A9.7) получаем два аналогичных члена
Две скобки [.. . ] равны друг другу, если предположить, что оба
атома одинаковы. Следовательно, A9.15) будет совпадать с матрич-
матричным элементом A9.7), с тем единственным отличием, что множитель
¦g*(xo-x»X) заменится множителем
e«Vx- X^ + ^V*> *В) = е<(*о-*. *б>A +ei{*o-*' R)). A9.16)
15 Зак. 1260. В. Гайтлер
226 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
Тогда вероятность перехвда A9.11) будет содержать множитель
^ — х, R)]. A9.17)
Именно этого результата следовало ожидать, согласно класси-
классической теории. Скалярное прозведение (%0 — х, R) представляет собой
разность оптических путей двух рассеянных волн в единицах 1Д,
т. е. классическую разность фаз (см. фиг. 6). Таким образом, две
волны, рассеянные атомами А и В, можно считать когерентными
в том же самом смысле, что и в классической теории.
3. Рассеяние рентгеновских лучей. В заключение качественно
рассмотрим характер рассеяния в том случае, когда энергия первич-
первичного кванта k0 увеличивается и длина волны становится сравнимой
с размерами атома или меньше их. В этом случае в интегралах, вхо-
входящих в матричные элементы A9.3) и A9.5), экспоненциальную функ-
функцию eiix^\ описывающую световую волну, нельзя считать постоянной.
Численное значение матричных элементов *?tu меньше, чем зна-
значительнее изменение этих экспоненциальных функций в пределах
атома. Соответственно убывает и интенсивность рассеянного излу-
излучения. Это справедливо как для когерентного рассеяния, так и для
рамановского (по крайней мере, если атом остается в одном из
состояний, принадлежащих дискретному спектру). Наконец, если
длина волны Ао мала по сравнению с размерами атома, матричные
элементы и, следовательно, интенсивность рассеянной волны обра-
обращаются в нуль. Грубо говоря, это справедливо, когда
V>~T~2-I37i> A9.18)
где /—энергия ионизации и а — радиус атома. Для легких элемен-
элементов условие A9.18) удовлетворяется в области жестких рентгенов-
рентгеновских лучей.
С другой стороны, по мере того как энергия первичного кванта k0
возрастает до значений, превышающих /, начинает преобладать дру-
другой процесс. При ko^>I электрон после рассеяния может оказаться
в состоянии, принадлежащем непрерывному спектру, например,
с импульсом р и энергией Е. Это будет особый вид эффекта Рамана.
Частота рассеянного излучения смещается тогда относительно k0
соответственно соотношению
k = kQ — (Е — Ео). A9.19)
Поскольку энергетический спектр электрона непрерывен, мы полу-
получаем, кроме обычной несмещенной линии (когерентное рассеяние),
другую — смещенную — линию с широким распределением интенсив-
интенсивности. Однако при этих условиях полная интенсивность будет мала.
Если теперь k0 продолжает возрастать, становясь большим по
сравнению с /, то смещенная линия становится все более узкой и
§ 19. Дисперсия и эффект Рамана
227
все более интенсивной. В этом можно убедиться следующим образом.
Пусть в конечном состоянии электрона его импульс определяется,
выражением
р^к0 — к, A9.20;
Тогда поскольку tyn = ег&> гУЛс, то в интеграле A9.3) множитель ^(*о-х. *)
как раз скомпенсируется и A9.3) станет большим, как бы ни была
мала первоначальная длина волны. Для данного угла рассеяния вели-
величина к полностью определяется формулами A9.19) и A9.20). Таким,
образом, получаем интенсивную и узкую смещенную линию.
При очень малых длинах волн рассмотренный процесс становится
идентичным с рассеянием на свободном электроне. Формула A9.20)
выражает просто закон сохранения импульса (который всегда
имеет место при взаимодействии со свободными электронами), по-
поскольку при ko^§>I импульс электрона в связанном состоянии срав-
сравнительно мал. Ширина смещенной (комптоновской) линии определяется
флюктуацией импульса в связанном состоянии.
Непрерывный переход от когерентного рассеяния на связанном
электроне к комптоновскому рассеянию на свободном электроне каче-
качественно показан на фиг. 7. Интенсивность несмещенной (когерентной)
ко<1
ко>1
ко»1
ко>»1
Фиг. 7, Качественная схема перехода когерентного рас-
рассеяния в комптоновское при возрастании первичной частоты k0
(/— энергия ионизации атома) для данного угла.
л —только когерентное рассеяние; ?—• комптоновское рассеяние на свобод-
ном электроне.
линии уменьшается по мере того, как увеличивается резкость и
интенсивность смещенной линии.
Промежуточный случай с или d на фиг. 7 осуществляется при
рассеянии рентгеновских лучей с энергией приблизительно 50 000 эв
на легких элементах (углерод, бериллий). Согласно измерениям
Дю Монда [15, 16], смещенная (комптоновская) линия имеет широкое
распределение интенсивности с шириной порядка самой величины
умещения. Было показано, что эта ширина совпадает с той, которую
Следовало ожидать из распределения импульсов для электронов
В атоме.
15*
28 Гл, 5. Радиационные процессы в первом приближении
§ 20. Резонансная флюоресценция
Изложенная в § 19 теория дисперсии непригодна в том случае,
когда частота первичного излучения к0 приближается к резонансной
частоте атома Е^ — Ео. В этЪм случае один из знаменателей диспер-
дисперсионной формулы A9.11) обращается в нуль и интенсивность рас-
рассеянного излучения становится бесконечной.
Причину этого нарушения можно усмотреть уже из классической
теории дисперсии для гармонического осциллятора (см. § 5, п. 2).
Там обращение в бесконечность амплитуды вблизи резонансной
частоты v0 было устранено путем учета затухания, вызванного
обратным действием испущенного света на атом. Тем же способом
мы воспользуемся и в квантовой теории. Так как это затухание очень
мало, то интенсивность рассеянного излучения будет во всяком слу-
случае очень велика по сравнению с обычным рассеянием.
Тормозящее действие излучения можно учесть в дисперсионной
формуле почти тем же самым способом, как это было сделано
в теории ширины линии (см. § 18). Общая теория явлений зату-
затухания, изложенная в § 16, дает нам готовые результаты, и мы
воспользуемся здесь этой теорией. Решение соответствующих урав-
уравнений окажется совсем простым.
1. Общее решение уравнений1). Поскольку резонансная флюо-
флюоресценция будет существенно зависеть от распределения интенсив-
интенсивности первичного излучения в области естественной ширины линий,
то мы примем пока для первичного распределения интенсивности
общее выражение I0(k)dk (размерность — энергия на см2 в 1 сек.),
которое позже будет специализировано.
Как видно из дисперсионной формулы A9.11), в случае резонанса
существенно только то промежуточное состояние, для которого зна-
знаменатель обращается в нуль, а рассеянием, обусловленным квадра-
квадратичным членом Л2, можно пренебречь. Обозначив основное состояние
атома через п0 (энергия Ео), а рассматриваемое возбужденное состоя-
состояние через п (энергия Е^) (предположим, что оба состояния невы-
невырождены), ограничимся теми промежуточными состояниями, в которых
атом возбужден и один световой квант k\ поглощен. Частота k\
будет почти совпадать с резонансной частотой атома, которую мы
запишем в виде
^(?„-?0)з^0. B0.1)
Конечное состояние атома снова окажется состоянием Ео> причем
будет испущен другой световой квант k0. Пока мы не знаем, точно ли
*) См. [17], а также [18]. Здесь мы рассматриваем рассеяние света на
атоме в основном состоянии. Рассеяние возбужденным атомом также было
исследовано Вайскопфом [19]. Об использованном здесь методе см, [20].
§ 20. Резонансная флюоресценция 229
совпадает частота ka с частотой поглощенного кванта kx, но, ко*
нечно, ka может отличаться от k\ лишь на величину порядка есте-
естественной ширины линии.
Таким образом, следует рассмотреть три типа состояний: 1) на-
начальное состояние О (энергия Ео)> состоящее из первоначального
распределения интенсивности /0 и атома в состоянии Ео; 2) промежу-
промежуточное состояние А (энергия Ех) с атомом в состоянии Еп и одним
квантом kx, поглощенным из /0; 3) конечное состояние Ас (энер-
(энергия ?ха) с атомом в состоянии Ео и испущенным квантом ?а; квант кх
остается поглощенным. Очевидно, что
Ex, — Ex = ko — k0i Ex, — E0 = k, — kx. B0. 1')
Согласно § 16, вероятности этих состояний зависят от ампли-
амплитуд U\\o, U\o\o- Эти амплитуды зависят от переменной энергии Е9
хотя они будут рассматриваться только при Е = Е\ и Е = Е\а соот-
соответственно. Величина U удовлетворяет общим уравнениям A6.10),
которые в нашем случае сводятся к1)
\ B0.2а)
| — Ех), B0.26)
где
КЕ — Ед^-^&^—ЫЦЕ — Ед. B0.2b)
Кроме того, константа затухания Г определяется уравнением A6.12):
B0.3)
Согласно A6.27) и' A6.28), действительная часть Г, взятая при
Е=Ео* представляет собой полную вероятность перехода за 1 сек.
из начального состояния. В уравнениях B0.2) и B0.3) мы учли, что
отличны от нуля лишь те матричные элементы оператора //, которые
соответствуют одному фотону. Поэтому Яха|о==0.
Чтобы решить уравнение B0.2), подставим B0.26) в B0.2а):
^ ?х), B0.4)
обозначив
^ ^ ). B0.5)
!) В равенстве B0.26) нет суммирования по X, потому что kx в
то же, что и в первом индексе Ха.
230 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
Умножая B0.4) на Е— Ех и замечая, что *C(*)=1, получаем
или
B0.6)
из уравнения B0.26)
Величина /7 не имеет особенностей при действительных значениях
Окончательно из B0.3) для Г имеем
T(E) Y |Ях'°|2 B0
Выражения B0.5)—B0.8) дают полное решение. Величина y имеет
простой смысл: #ха|х— это матричный элемент, соответствующий
испусканию кванта k*\ этот матричный элемент в действительности
не зависит от X. При Е = Ех величина -у совпадает с постоянной
затухания, встречавшейся в теории ширины линии испускания в § 18.
Действительно, B0.5) совпадает с формулой A8.8) (было показано,
что стоящий, там множитель, зависящий от времени, есть в точности
5-функция). Действительная и мнимая части -у являются, таким обра-
образом, соответственно полной вероятностью перехода при испускании
из возбужденного состояния и сдвигом уровня возбужденного состоя-
состояния. Разбивая С-функцию согласно формуле B0.2в), непосредственно
получаем также A8.11) и A8.12). Это справедливо, если Е — ЕХу
но мы увидим, что -у практически не зависит от Е.
Аналогично, пренебрегая в B0.8) малой величиной ?> находим,
что мнимая часть Г при Е = Е0 представляет собой вклад в соб-
собственную энергию основного состояния, обязанный поглощению фото-
фотонов из первичного спектра. В этом параграфе мы не интересуемся
сдвигами уровней (см. § 34), и поэтому заменим величины ^ и Г их
действительными частями, которые снова обозначим через -f> Г. Тогда
Т(?) = Ц-2W* 1 х 1аЦЕ — Ей) = Щ J dQa|Яь,х|ар*., B0.9а)
<209б>
В выражении B0.9а) сумма по о заменена обычным интегралом;
Qa — телесный угол, под которым испускается квант k<j. Видно, что f
§ 20. Резонансная флюоресценция 231
практически не зависит от энергии Е1). После суммирования по X
то же самое будет справедливо и для Г.
Исходя из B0.6) и B0.7) мы могли бы в соответствии с A6.13),
A6.14) рассчитать вероятности всех состояний в любой момент вре-
времени t > 0. Нас интересуют они только для больших времен, когда
процесс уже закончился. При t—> oo вероятности определяются
обшей формулой A6.20). В нашем случае
U
ElQ - Ео
Заметим, что энергию Е, которую следует подставить в Г,
а также и в другие величины формулы B0.10), надо взять соответ-
соответствующей тому состоянию, вероятность которого мы желаем рас-
рассчитать (Еп в § 16), т. е. Ех и Е\9 Для Ь\ и Ь\<,. Подставляя B0.6) и
B0.7), мы видим, что
*л(оо) = 0. B0.11)
Этот результат легко понять, поскольку по истечении достаточно
большого промежутка времени атом не может находиться в возбу-
возбужденном состоянии. Используя соотношение B0.Iх), получаем рас-
распределение вероятности испущенного кванта
| Ьх* (со) |2 = ш __^J + тщ] [{k°_ ад2 + й?/4] . B0.12)
Строго говоря, y> Г следует взять при Е = Е\^ но практически обе
величины постоянны.
Дальнейшее рассуждение зависит от формы первичного распре-
распределения интенсивности I0(k)dk. Мы ограничимся двумя важными
случаями: а) первичная интенсивность /0 постоянна в области естест-
естественной ширины линии, т. е. атом облучается светом с непрерывным
спектром; б) первичное излучение состоит из монохроматической
линии, ширина которой.мала Tio сравнению с естественной шириной
линии y атома.
2. Случай (а). Непрерывное поглощение. Если I0(k) постоянно,
то сумму 2 в B0.96) можно заменить интегралом; Нц 0 предста-
1) Строго говоря, значение kJf которое следует ввести в правую часть
B0.9а), определяется из условия Е — EXl = 0 и зависит от Е. Однако у (Е)
как функция k9(o~->kl) изменяется очень медленно. Поскольку y потребуется
только при Е = Ех или Е = Е\д, то обе эти энергии отличаются от Ео самое
большее на величину порядка ?• Таким образом, можно, например, при-
принять &а = k0.
232 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
вляет собой матричный элемент, соответствующий поглощению
кванта kx. Согласно § 14, |#х|о|2 пропорционально числу квантов пх.
Обозначим через dQ \ H{k)\2Hk значение |#хюГа. усредненное по
всем осцилляторам, из которых могут быть поглощены фотоны к.
Проинтегрируем выражение B0.96) по kx. Поскольку рассматриваются
лишь значения энергии ?:, близкие к Ео, то поглотиться может
только квант с энергией k, близкой к энергии k0 (в пределах ~f);
Н и рк слабо зависят от к, поэтому в выражения для Я, р можно
подставить значение k = k0. Тогда Г не будет зависеть от ? и мы
получим
T = ^PkodQ\H(k0)\*nka. B0.13)
Среднее число квантов пко можно выразить через первичную интен-
интенсивность A7.16)
HadQnK = I^, B0.14)
и отсюда
Выражение B0.15) совпадает с формулой A7.17) для полной вероят-
вероятности поглощения в единицу времени. Так как Г означает полную
вероятность перехода из начального состояния, то мы видим, что
полная вероятность резонансной флюоресценции равна полной вероят-
вероятности поглощения. В общем случае, т. е. когда первичная интен-
интенсивность не слишком велика, Г будет очень мало по сравнению
с вероятностью перехода у, соответствующей спонтанному испуска-
испусканию. Величина Г представляет собой естественную ширину основного
состояния атома, обусловленную вероятностью поглощения. Действи-
Действительно, если /0 содержит только ограниченное число фотонов, то пк и Г
обращаются в нуль в пределе Ls—>со (см. § 14).
Обсудим теперь формулу B0.12) для распределения вероятности
испущенного кванта ка.
Так как Г очень мало, то первый множитель знаменателя прак-
практически имеет свойства функции 8(&х—ка) и показывает, что kx
едва ли может отличаться от ka. Наибольшее значение разности k\—ka
по порядку величины совпадает с величиной &Г, которая предста-
представляет собой ширину основного состояния. Следовательно, энергия
сохраняется, насколько это разрешается соотношением неопреде-
неопределенностей.
Если проинтегрировать уравнение B0.12) по всем квантам ka,
которые могут быть испущены, то мы получим форму линии погло-
поглощения; если же проинтегрировать по всем kx, то получим форму
линии испускания.
§ 20. Резонансная флюоресценция 233
Используя уравнение B0.13), для вероятности испускания кванта к*
получим
B0-16)
Полученное выражение совпадает с той формулой, которая была
выведена в § 18 для формы спонтанно испущенной линии. Таким
образом, если мы облучаем атом непрерывным излучением, мы полу-
получаем ту же самую линию испускания, что и при возбуждении атома,
любым другим способом, например при столкновениях.
Вероятность того, что квант kx поглотится через время t = oof
получается с цомощью суммирования уравнения B0.12) по всем ka.
Так как Г<С1т» т0 второй множитель в знаменателе можно считать
приблизительно постоянным в области ka = k\t где первый множи-
множитель имеет максимум. Используя соотношение B0.9а), получаем
>I2 "«<**> = Т to-lw + w ' B0Л7)
Полная вероятность поглощения и испускания при t= оо, 2 |#
равна, конечно, единице, согласно соотношению B0.13).
В свою очередь, B0.17) совпадает с формулой, выведенной в § 18
для формы линии поглощения (причем эта форма та же, что и
у линии испускания).
Следовательно, можно сделать следующий вывод: в том случае,
когда мы облучаем атом светом с непрерывным спектром, резонанс-
резонансная флюоресценция ведет себя по отношению к форме поглощенной
и испущенной линий в точности так, как если бы имели место два
независимых процесса: поглощение и последующее испускание.
В случае индивидуального процесса поглощение—-испускание мы дол-
должны, однако, помнить, что энергия всегда сохраняется в преде-
пределах Г и что, следовательно, перед испусканием атом „помнит", какой
квант он поглотил. Это обстоятельство находит свое отражение в том,
что формула B0.12) для |#ха(со)|2 не совпадает с произведением
вероятностей испускания и поглощения, так как первый множитель
знаменателя связывает приблизительно 8-образно частоты двух кван-
квантов k\ и ka, но не частоты kx и k0.
Зависимость частоты испущенного фотона от частоты поглощен-
поглощенного становится более значительной в случае монохроматического
поглощения.
3. Случай (б). Возбуждение с помощью резкой линии. Пред-
Предположим теперь, что ширина первичной линии мала по сравнению
с естественной шириной линии испускания. Тогда 10(у) отлично.от
S34
Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
яуля, скажем, только при частоте vt (фиг. 8). Полную первичную
интенсивность Г I0(k)dk обозначим через /0.
Полная вероятность перехода из основного состояния есть снова
Г(?о). Сумма 2 в уравнении B0.96) должна быть распространена
только по первичной линии, которая практически
является бесконечно узкой. Поэтому
г. B0.18)
Уравнение B0.18) определяет полную вероят-
вероятность резонансной флюоресценции за единицу
времени. Она уменьшается с увеличением расстоя-
расстояния первичной частоты kx от резонансной часто-
частоты k0, согласно формуле для формы линии с
полушириной у ( = ширине линии испускания).
Интенсивность вновь испущенной линии можно
получить, интегрируя B0.12) по всем квантам,
которые могут поглотиться. Так как Г<Ст» то
первый множитель в знаменателе опять показы-
показывает, что ka практически равно kx, или к^ = к1У
так как могут поглощаться только кванты часто-
частоты kx. Следовательно, испущенная линия должна
иметь ту же самую ширину, что и первичная линия, и поэтому
она должна быть гораздо более узкой, чем естественная. Так как Г
обращается в нуль при малой первичной интенсивности, то можно
предположить, что Г мало даже по сравнению с шириной /0 (хотя,
конечно, /0 уже, чем -у)- Тогда в силу B0.14) интегрирование дает1)
Фиг. 8. Резонанс-
Резонансная флюоресцен-
флюоресценция при возбужде-
возбуждении линией /0(v),
ширина которой
¦мала по сравнению
с естественной
шириной ?•
Испускаемая в резуль-
результате такого возбужде-
возбуждения линия имеет ту же
форму /0(v).
wika) —
B0.19)
Распределение интенсивности w{kQ) по существу определяется двумя
факторами. Во-первых, w{ko) пропорционально 10(ко}. Это означает,
что испущенная линия имеет точно ту же,форму, что и первич-
первичная, а следовательно, она гораздо резче естественной (см. фиг. 8).
Во-вторых, знаменатель B0.19) практически постоянен в области, где/0
отлично от нуля. Поэтому этот фактор определяет полную интенсив-
интенсивность, которая уменьшается с увеличением расстояния от максимума,
1) Следовало бы Г (?) определить по формуле B0.18), в которой вме-
вместо kx — kQ нужно поставить Е — E0 + kx — #0> причем зависимость от Е
•становится тогда более сильной. Величину Е = Е\а = Ео -f- ka — k\ следует
подставить в Г(?) в B0,12) и B0.19) Однако поскольку ka и k\ практически
совпадают с частотой первичного пучка kv то Г (Ео) и Г (?^) снова оказы-
оказываются практически равными и могут быть заменены прежней постоянной Г.
§ 20. Резонансная флюоресценция 235
лежащего при &0, совершенно в той же пропорции, что и интенсив-
интенсивность естественной линии.
В случае монохроматического возбуждения (случай „б") форма
испускаемой атомом линии резко отличается от формы линии, испу-
испускаемой им спонтанно. Следовательно, испускание и поглощение
нельзя рассматривать как два последовательных, независимых про-
процесса, потому что тогда атом не „помнил" бы, какой световой квант
он предварительно поглотил, и испускал бы естественную линию.
В этом случае резонансная флюоресценция должна рассматриваться
как однофотонный процесс.
Можно показать также, что вторичная испускаемая волна коге-
когерентна с первичной1). Этого также не могло бы быть, если бы
поглощение и испускание были независимы.
С другой стороны, можно спросить, в каком состоянии—-основ-
состоянии—-основном или возбужденном — находится атом в процессе резонансной
флюоресценции. Ответ на этот вопрос может дать лишь измерение
энергии атома. Мы сейчас увидим, что при таком измерении совер-
совершенно расстраиваются все фазовые соотношения. Энергию атома
можно измерить посредством неупругих столкновений с электронами.
Чтобы совершенно определенно решить, возбужден атом или нет,
измерение должно быть произведено за время, малое по сравнению
со временем жизни 1/у возбужденного состояния (иначе атом спон-
спонтанно перешел бы в нижнее состояние во время измерения). Следо-
Следовательно, мы должны иметь, по крайней мере, одно столкновение
за время 1/f. В момент, когда происходит столкновение, когерент-
когерентность волны нарушается. Но если мы прервем световую волну 1/у
раз в 1 сек., то линия не будет более монохроматической, а ширина ее
будет равна hy (уширение при соударении, см. § 18 ). Это как раз и
есть естественная ширина линии. Мы убеждаемся, таким образом,
что* в результате измерения испускаемая линия уширяется, по край-
крайней мере, до естественной ширины линии. Процесс резонансной
флюоресценции происходит теперь так, как если бы атом самопро-
самопроизвольно испускал фотон, предварительно возбудившись в резуль-
результате поглощения первичного фотона.
Таким образом, мы получили следующий результат.
Резонансная флюоресценция представляет собой однофотонный
когерентный процесс, если атом не возмущается извне. При воз-
возбуждении атома с помощью резкой линии испущенная линия имеет
ту же форму, что и первичная. Энергия атома в таком процессе
остается неопределенной. Как только квантовое состояние атома
становится определенным, процесс происходит так же, как при
испускании, независимом от поглощения. Тогда испускаемая линия
имеет естественную форму.
1) Фаза рассеянного излучения, однако, смещена относительно фазы
"первичного излучения, что имеет место и в классической теории (см. § 5).
236 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
Следующие задачи решаются тем же самым методом и почти
таким же путем:
1) Атом возбужден в наивысшее из трех состояний (с) и может
скачком вернуться либо на уровень (Ь), либо на уровень (а) (основ-
(основное состояние), и также из состояния ф) в состояние (а) (см. фиг. 5,
стр. 217). Наиболее важным результатом является результат, опи-
описанный в § 18, п. 2.
2) Два одинаковых атома находятся на расстоянии R друг от
друга. При ^ = 0 первый атом возбужден, а второй находится
в основном состоянии. Первый атом может скачкообразно пе-
перейти вниз и испустить фотон, который затем может поглотиться
вторым атомом. Спрашивается, какова вероятность w нахождения
второго атома в возбужденном состоянии в любое более позднее
время t. Результат следующий: вероятность w в точности равна
нулю при любом t << R/c и начинает постепенно расти при t > R/c.
Так должно быть, поскольку фотон не может двигаться *) со ско-
скоростью, превышающей скорость света.
3) Возбуждение электронами [24]. В этом случае также суще-
существует определенная степень когерентности. Если электронный пучок
монохроматический (с энергией е), то испущенный свет имеет час-
частоты к < е, а форма линии, грубо говоря, совпадает с естественной,
но обрезана при & = е. Закон сохранения энергии, конечно, запре-
запрещает испускание фотонов с к > е.
§ 21. Фотоэффект
Если энергия Ъч светового кванта, падающего на атом, больше
энергии ионизации / атома, то электрон поднимается в состояние
сплошного спектра. В этом случае может поглощаться свет всех
частот, и спектр поглощения сплошной. Кинетическая энергия Т
электрона, после того как электрон оставил атом, определяется
уравнением Эйнштейна
r=fiv — /. B1.1)
Фотоэффект играет важную роль в поглощении рентгеновских
лучей и ^-квантов в веществе (ср. гл. 7). Он ведет к заметному
поглощению даже в том случае, если первичная энергия значительно
превышет энергию ионизации атома. Поскольку в этой книге нас
особенно интересует область высоких энергий, то мы будем иметь
в виду поглощение главным образом излучения высокой энергии, а
не излучения оптической области 2).
1) См. [21], а также [17 — 20] и работу [22]. Рассеяние свободной ча-
частицы несколькими силовыми центрами требует применения теории, изло-
изложенной в § 16. Эта задача была поставлена Вентцелем [23].
2) Для детального рассмотрения и обсуждения оптической области
частот, включая угловую зависимость и т. д., читателю следует обратиться
к соответствующей литературе, в частности к книге Зоммерфельда [25].
§ 21. Фотоэффект 237
Мы произведем вычисления только для очень простого случая и
лишь сошлемся на результаты, полученные для других случаев. Так
как свободный электрон не может поглощать света, то нам следует
ожидать, что вероятность фотоэлектрического поглощения должна
быть тем больше, чем сильнее связан электрон. Мы можем, следо-
следовательно, ограничиться поглощением К-электроном. Кроме того,
предположим следующее:
а) Энергия фотонов падающего света велика по сравнению с энер-
энергией ионизации /С-электрона /. Для атома с зарядом ядра Z это
условие можно записать в форме
Как известно из теории столкновений, соотношение B1.2) совпадает
с условием применимости борновского приближения *). Поэтому
в матричных элементах можно заменить волновую функцию электрона
в с'плошном спектре плоской волной. Наши результаты, конечно, не
будут применимы в окрестности границы поглощения (/Ь— /).
б) С другой стороны, энергия электрона в сплошном спектре
будет предполагаться малой по сравнению с /яс2, так что реляти-
релятивистские поправки несущественны, т. е.
2. B1.3)
В действительности ошибка не будет очень велика вплоть до энер-
энергий около.0,5 mcq.
1. Нерелятивистский случай, большие расстояния от границы
поглощения. Вероятность перехода в единицу времени для фото-
фотоэлектрического поглощения дается общей формулой A4.9). Поскольку
конечное состояние электрона принадлежит к сплошному спектру,
то рЕ представляет собой число квантовых состояний электрона
в единице объема
Поэтому мы можем предположить, что первичное излучение состоит
только из одного фотона /iv 2).
Для матричных элементов Н следует пользоваться уравнением
A4.23а) для случая поглощения одного кванта
B1.5)
*) Ср., например, [26].
2) В случае дискретного поглощения атомом вероятность перехода
в единицу времени существует только в том случае, если первичное излу-
излучение состоит из многих квантов с непрерывным распределением интенсив-
интенсивности.
238 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
где ре — компонента импульса в направлении поляризации первичного
кванта, фа—волновая функция электрона в /С-оболочке, фь*—вол-
фь*—волновая функция электрона в сплошном спектре с импульсом р
^ а = О^ B1.6)
где ао = Ь*/те2—боровский радиус.
Вводим вместо а число а = Zhc/a0, которое имеет размерность
энергии
. = f-~2i?/ = V2JT=^. B1.7)
и вектор q, представляющий собой импульс, переданный атому,
q = k —р. B1.8)
Тогда интегрирование B1.5) дает
Если мы разделим вероятность перехода в единицу времени на
скорость первичного пучка, т. е. на с, то получим дифференци-
дифференциальное эффективное сечение (дифференциальное потому, что оно
относится к испусканию электрона в элемент телесного угла dQ)y
согласно A4.16). Таким образом,
Это выражение дает угловое распределение испущенных фотоэлек-
фотоэлектронов. Обозначим через б угол между направлением светового
кванта к и электрона р, а через ср— угол между плоскостью (рк)
и плоскостью, образованной вектором к и направлением поляризации
е, т. е. 6 есть угол между векторами р и к, а ср — угол между
плоскостями векторов (рк) и (ек). Тогда ре и q можно выразись
следующим образом:
#а — 2pk cos 6, B1.11а)
рв = р sin H cos cp. B1.116)
Знаменатель a2-\-q2 выражения B1.10) можно упростить. Поскольку
B1.10) во всяком случае верно лишь для нерелятивистских
скоростей, мы можем пользоваться уравнением B1.3). Согласно B1.1)
и B1.7), имеем
§ 21. Фотоэффект 239
и отсюда *)
а2 + <р = а2 + /?2 + /г2 — 2р? cos 6 = й Bjx + k — 2p cos 6) да
да 2,1* A—р cos в), р = ^ = ?, B1.12)
Наконец, согласно B.1.7) и B1.2), ос мало по сравнению с /?..
Поэтому мы можем положить /?2 = 2&fi. Подставляя снова вместо а ега
значение Z[x/137, получаем для дифференциального эффективного»
сечения
7/а 4 У? sins6 cos*ср
(l-pcos6L ^ Я^. B1ЛЗ>
Таким образом, большинство фотоэлектронов испускается;
в направлении поляризации первичного фотона F = */21г, ср = О)..
В направлении распространения самого фотона k интенсивность фото^
электрической эмиссии равна нулю. Знаменатель выражения B1.13),
указывает, однако, на незначительное преобладание направлений^
-рассеяния вперед, которое становится все более существенным
с увеличением скорости электрона. В релятивистском случае ма^
ксимум сильно смещается в направлении вперед.
Полное эффективное сечение для испускания фотоэлектронов,
в любрм направлении можно получить интегрированием B1.13) па
всем углам. При этом можно пренебречь членом j3cos6 в знамена-,
теле. Умножая на 2, чтобы учесть, что /С-оболочка содержит
электрона, получаем эффективное сечение <р# Для фотоэффекта
/С-оболочке (выраженное через отношения k/I и k/\i):
т) =^^-zT{j) ,Нерел. B1.14)
г^де cpo=8irr^/3 — эффективное сечение томсоновского рассеяние
E.6), которое можно использовать в качестве удобной единицы.
Для /С-оболочки посредством умножения формулы B1.14) на
число N атомов в 1 см* получаем коэффициент поглощения т^
на 1 см для излучения частоты v
&Т' Нерел- B1Л4'>
Коэффициент поглощения быстро убывает с частотой (сте-.
пень 7/2). Это справедливо, однако, лишь до тех пор, пока оправь
дываются наши предположения B1.2) и B1.3).
На фиг. 9 представлен график lg<?K (в единицах <р0) для С, А1,
Си, Sn, Vb в логарифмическом масштабе, чтобы охватить большой?
интервал частот. Формула B1.14) дает на этом графике прямую»
!) Релятивистская поправка дает только члены порядка {vjcJ. Следовав
тельно, в B1.12) и B1.13) допустимо сохранять члены порядка v/c9
240
Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
линию с тангенсом —3,5 (пунктирные кривые для им < 0,5 тс'2).
Отклонения от прямой линии обусловлены двумя поправками, рас-
рассмотренными в п. 2 и 3.
+6
+5
+4
+3
+2
ч
J
ч
s^4
м
\
ч^ч
ч
¦Си
L .
ч ^
Sn \
ч7
Чч
ч
\\
>
\
ч
ч
ч^
А14
N.
ч
ч
<<^
^*—
-2
-3
-4
0,001 0,002 0,005 0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1 2 5 Ю 20 50 ^Щг
20 Ю 5 2 1 0,5 0,2 0,1 0,05 0,02 0,010,005 0,002 0,0010,0005 А
Фиг. 9. График \g эффективного сечения фотоэлектрического по-
поглощения в /(-оболочке для С, Al, Cu, Sn, Pb в логарифмическом
масштабе.
Вверху указаны границы 2Г-поглощения (для С граница поглощения лежит сразу
же за пределами графика). Пунктирные кривые (прямые линии при ftv < 0,5 wca)
рассчитаны в борновском приближении [см. E.14) и E.17)]. Отклонение от прямых
линий при fit > 0,5 me3 обусловлено релятивистскими эффектами. Сплошные ^кри-
^кривые—точные. Они интерполированы по формуле E.16) и по результатам точных
численных расчетов, приведенным в табл. 3. Кружка относятся к измерениям
Аллена, крестика —к измерениям Грея.
2. Окрестность границы поглощения. Согласно формуле B1.2),
борновское приближение не справедливо более для тяжелых элемен-
элементов, или в случае, когда #v так мало, что энергия испущенного
электрона того же порядка, что и энергия ионизации /. В этом
случае вместо плоских волн нужно пользоваться точными волновыми
функциями сплошного спектра. Кроме самых тяжелых элементов,
достаточно нерелятивистского приближения.
Матричные элементы B1.5) с правильными волновыми функциями
непрерывного спектра были вычислены Штобб [27]. Полное
эффективное сечение ук из B1.14) следует умножить на
i — l hv
B1.15)
так что
?0
0— 4? arc otg ?
Не ре л. B1.16)
§ 21. Фотоэффект 241
Зеличина ?2 представляет собой отношение энергии ионизации
< кинетической энергии испущенного электрона. Множитель /(?)
уменьшает эффективное сечение в непосредственной близости от
границы /(-поглощения (? —>• оо) на множитель 2тс^—4 = 0,12. Даже
«а расстоянии от границы поглощения, равном пятидесятикратной
энергии ионизации, /(;) все еще равно лишь 0,66.
Характер этих отклонений, связанных с множителем B1.15),
можно видеть на фиг. 9. Точные кривые довольно медленно при-
приближаются к прямым линиям, рассчитанным в борновском прибли-
приближении. Для Си и А1 на графике представлены некоторые резуль-
результаты измерений А^лена [28]х>. В действительности согласие гораздо
лучше, чем это можно видеть из диаграммы, на которой представ-
представлен только график lg<?E.
В области мягких рентгеновских лучей следует, однако, иметь
в виду, что фиг. 9 дает коэффициент поглощения только К-обо-
лочки. Внешние оболочки, конечно, также дают некоторый вклад,
который следует учитывать, особенно если /Ь лежит ниже границы
/("-поглощения (см. п. 3).
3. Релятивистская область. Если, с другой стороны, энергия
первичного кванта порядка тс2 или больше, нужно пользоваться
релятивистскими волновыми функциями ^к и фр. Используя бор-
новское приближение, которое можно применять для легких эле-
элементов, получаем [29]
~^Г = ТТ374~
Гд y G 9\ I I y -4- t/"y2 Т . ,
X I^ + ^^^^-t^-^I — ^^L—т 1п ^+^-^4 } |; B1Л7)
1 «-гр. ..^ , B1.170
Здесь f — отношение полной энергии (кинетическая энергия -\-тс2)
электрона к энергии, покоя. При -у -> 1 формула B1.17) переходит
в нашу нерелятивистскую формулу B1.14).
Для очень больших энергий k 3> а формула B1.17) принимает
вид
Фтг 3 Z* [Л
B1.18)
ук убывает в релятивистской области медленнее, чем в нереля^»
тивистской; при больших значениях &/и — лишь как \i/k (вместо (u-/kO!*
при k
г) Из измеренного коэффициента поглощения мы вычли часть, обуслов-
обусловленную рассеянием (ср. § 22).
16 Зак. 1260. В. Гайтлер
242
Г л, 5. Радиационные процессы в первом приближении
Поэтому кривые, изображенные на фиг. ,9, при k — \ь поды-
подымаются вверх и в конце концов стремятся к прямым линиям,
наклоненным к оси под углом с тангенсом, равным —1. Более
медленное спадание ук в релятивистской области проявляется в том,
что даже при k~ 10 тс** в случае тяжелых элементов фотоэффект
вносит значительный вклад в полное поглощение (ср. § 36).
Наконец, в табл. 2 приведено значение ук в единицах cpQZ6/1374
в той области, где, по крайней мере для легких элементов, мно-
множитель B1.15) несущественен. В выбранных единицах ук зависит
только от отношения k/\i, но не от Z.
Для тяжелых элементов формула Заутера не годится. Холм, Фаулер
и др. [30] произвели точные численные расчеты cpff для нескольких
элементов и при двух значениях k в интервале, в котором суще-
существенны релятивистские эффекты.
Таблица 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
(БОРНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ)
?2Г1374
cp0Z5
0,1
1,84-104
0,25
793
0,5
81
1
10,4
2
2,04
3
0,96
<p*137*
5
0,45
10
0,183
20
8,35-10
50
3,13-10~2
100
1,5410 ~2
Они нашли следующие значения сря, вместо приведенных в табл. 2
(значения при &/;х=1 и 5 частично интерполированы) (табл. 3).
ТОЧНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
Таблица 3
А1
Fe
Sn
Pb
0,69
22,3
17,8 •
12,3
7,9
l
8,1
6,5
4,5
3,2
2,2
1,24
. 1,05
0,79
0,60
5
0,35
0,30
0,24
0,19
§ 22. Рассеяние на свободных электронах 243
Наконец, Холл вывел формулу, которая является хорошим при-
приближением при любых Z и при k ^> |х [31] *). Он нашел, что
<21Л9>
При очень высоких энергиях B1.19) отличается от формулы B1.18),
полученной в борновском приближении, множителем 2,2 для РЬ и
множителем 1,5 для Си.
На фиг. 9 сплошные кривые интерполированы с помощью зна-
значений табл. 3 и формул B1.16) и B1.19). Для свинца ср^. было
определено экспериментально Греем [32]. Его результаты превос-
превосходно совпадают с теоретической кривой.
Чтобы получить коэффициент поглощения на 1 см, следует
умножить величины, приведенные в табл. 2 и 3, на /Vcp0Z6/1374.
Значения этой величины для некоторых элементов даны в приложе-
приложении VIII.
Приведенные выше результаты относятся только к коэффициенту
поглощения /С-оболочки. Чтобы получить грубую оценку влия-
влияния более высоких оболочек, можно воспользоваться тем эксперимен-
экспериментальным результатом, что около 80°/0 полного фотоэлектрического
поглощения при больших энергиях (—mfl) обусловлено /(-оболочкой.
Это следует также, по крайней мере приближенно, из теорети-
теоретических расчетов фотоэлектрического эффекта /.-оболочки 2). Поэтому
в гл. 7 мы используем теоретические значения, полученные здесь,
умножив их на б/4> чтобы получить полное фотоэлектрическое по-
поглощение в атоме.
§ 22. Рассеяние на свободных электронах
1. Формула Комптона. Рассеяние на свободных электронах имеет
фундаментальное значение во всех явлениях, связанных с поглоще-
поглощением ^-квантов, космическим излучением и т. д. Поэтому этот вопрос
следует рассмотреть детально.
Обсуждаемый здесь процесс состоит в следующем: первичный
фотон к0 соударяется qo свободным электроном, который можно
считать вначале покоящимся
ро = О, Е0 = р (р = ш*). B2.1)
Общий случай р0 Ф О можно получить из частного случая B2.1)
посредством преобразования Лоренца. В конечном состоянии фотон
оказывается рассеянным, так что вместо к0 мы имеем квант к. Так
1) Даже при ?->оо формула B1.19) не вполне точна. Разница соста-
составляет около 4% Для РЬ. Приближенная формула, справедливая при k ^§> I,
получается умножением B1.17) на экспоненциальный множитель из B1.19).
2) Детальное изложение теории и сравнение с экспериментом содержатся
в обзоре Холла [31], а также [33].
16*
244 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
как, согласно § 14, п. 3, при взаимодействии света со свободными
электронами импульс сохраняется, то в конечном состоянии электрон
имеет импульс р (энергию Е)
р = к0 — к. B2.2)
Закон сохранения энергии гласит:
B2.3)
Согласно B2.2) и B2.3), частота рассеянного фотона не может быть
равна частоте первичного фотона. Используя релятивистское соот-
соотношение между импульсом и энергией р^ = Е'2— |х2 и обозначая
угол можду к0 и к через 0, из B2.2) и B2.3) находим
k=
что представляет собой известную формулу смещения частоты
рассеянного излучения. Она показывает, что в нерелятивистском
случае, k0 <^ jx, частоты рассеянного и первичного излучения сов-
совпадают. В релятивистском случае изменение частоты тем больше,
чем больше угол рассеяния 0. В „крайнем релятивистском" случае,
т. е. когда энергия первичного фотона k0 велика по сравнению
с энергией покоя электрона (k0 ^> |х), можно выделить две различ-
различные области значений 0. Для очень малых углов к снова при-
приблизительно равно k0
k~k0, если /гоA —cos6) <^I [х. Кр. рел. B2.5)
Для больших углов, т. е. при A — cos6)&0 ^> |х,
В этом случае, независимо от первичной частоты, энергия рассеян-
рассеянного фотона порядка jx. Тогда длина волны имеет порядок
Х = Т~т1йГ-*о- B2-7)
Здесь Хо — универсальная комптоновская длина волны. Область углов
B2.5;, в которой k значительно больше |х, уменьшается с ростом
первичной частоты k0.
2. Промежуточные состояния, вероятность перехода. Чтобы
рассчитать вероятность перехода из начального состояния О (к0, р0 = 0)
в конечное ^(к, ,р), следует учесть, что данный процесс может
идти лишь через промежуточные состояния, которые могут
отличаться только на один квант от начального и конечного состоя-
состояний. Поскольку в таких промежуточных состояниях сохраняется
§ 22. Ра!ссеяние на свободных электронах 245
шпульс (но не энергия), то возможны лишь следующие два про-
промежуточных состояния:
I. Сначала поглощается фотон к0. После этого фотонов нет.
Электрон имеет импульс
р' = к0. B2.8а)
При переходе в конечное состояние испускается фотон к.
II. Сначала испускается фотон к. Присутствуют как фотон к0,
так и фотон к. Электрон имеет импульс
р" = — к. B2.86)
При переходе в конечное состояние поглощается фотон к0.
Электрон, движущийся с релятивистской скоростью с данным
импульсом р, может пребывать в четырех состояниях, в соот-
соответствии с тем обстоятельством, что электрон может иметь любую
из двух ориентации спина, а также положительную или отрица-
отрицательную энергию (см. § 11):
? = ±У> + ^2- B2.9)
Все эти четыре состояния следует учитывать в качестве промежу-
промежуточных состояний. Поэтому каждое из указанных выше двух проме-
промежуточных состояний (I и II) в действительности является четырех-
четырехкратным, поскольку формулы B2.8а) и B2.86) определяют лишь
импульс электрона. С другой стороны, в начальном и конечном
состояниях энергия электрона, конечно, положительна. Мы зададимся
пока также каким-нибудь определенным направлением спина.
Составной матричный элемент, определяющий вероятность пере-
перехода, равен
где 2 — суммирование по всем четырем промежуточным состоя-
состояниям, т. е. по двум ориентациям спина и по двум знакам энергии;
Ео, El, ...—полные энергии начального и промежуточного состоя-
состояний. Разности энергий в знаменателях B2.10), согласно B2.2), B2.3),
B2.8), B2.9), равны
Ео — Eu = \L-hk0 — (E"+ko+k) = \L — E" — K
где E't E" — энергия электрона в I и II состояниях
Если мы обозначим амплитуды Дирака электронов с импульсами
Ро» Р> р'> р" через и0, и, и', и", а компоненты матричного век-
вектора а в направлениях поляризации фотонов к0 и к соответственно
246 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
через а0 и а, то, согласно A4.27), получим матричные элементы
переходов О->1 и т. д.
B2.12)
(u"*au0).
В действительности, переходы в состояния с отрицательной энер-
энергией запрещены, согласно теории дырок (см. § 11). Поэтому вместо
промежуточных состояний с отрицательной энергией появятся про-
промежуточные состояния, содержащие положительные электроны.
I. Сначала конечный фотон к испускается электроном с отрица-
отрицательной энергией и с импульсом р', который затем переходит
в состояние с импульсом рис положительной энергией. Другими
словами, квант к испускается, образуя пару с импульсами р+ =—р',
р~ = р. При переходе в конечное состояние первичный электрон р0
скачком переходит в дырку (или аннигилирует с позитроном р+),
поглощая фотон к. Матричные элементы этих двух стадий про-
процесса совпадают с Н$\ (первая стадия) и Ню (вторая стадия)
[см. B2.12)], хотя их порядок обратный. Амплитуда и' относится к
состоянию с отрицательной энергией. Энергия в промежуточном
состоянии равна Ei — y.-\-ko-\-k-\-\Ef\-\-E. Отсюда вследствие
сохранения энергии Eq — Ei — — u— к^-{-Е\ Ef = — \Ef\. Полу-
Полученное выражение представляет собой разность B2.11^) со знаком
минус. Знак минус компенсируется благодаря тому обстоятельству,
что первичный электрон заменяется электроном в состоянии с от-
отрицательной энергией, который становится электроном в конечном
состоянии. Так как система двух электронов имеет антисимметрич-
антисимметричные волновые функции, то их обмен дает знак минус в матричном
элементе. Вклад этого промежуточного состояния в К обусловлен
поэтому как раз той частью первого члена формулы B2.10) [вместе
с B2.11) и B2.12)], ко7орая соответствует отрицательным энергиям.
II. Фотон к0 поглощается электроном р" с отрицательной энер-
энергией, который переходит в состояние с импульсом р. Иными словами,
образуется пара р+ = — р", р~=р. При переходе в конечное
состояние первичный электрон скачком переходит в дырку, испуская
квант к. В этом случае матричные элементы и энергетические зна-
знаменатели также согласуются с B2.11) и B2.12) для промежуточного
состояния II с отрицательным Еп.
Отсюда видно, что мы получаем одинаковые результаты в любом
случае, используем ли мы теорию дырок или допускаем состояния
§ 22. Рассеяние на свободных электронах 247
с отрицательной энергией в качестве промежуточных состояний *)•
Поэтому впредь можно применять последнюю процедуру.
Вероятность перехода за единицу времени для нашего процесса
рассеяния, согласно A4.14), равна
" = тг!*то19р*' B2ЛЗ)
где pF—число конечных состояний, приходящихся на интервал энер-
энергий dEF. При вычислении pF следует соблюдать известную осто-
осторожность. Благодаря сохранению импульса конечное состояние пол-
полностью определяется частотой рассеянного кванта к и углом рассеяния.
Поэтому
B2.14)
где рк — число состояний рассеянного фотона на интервал энер-
энергий dk. Было бы неправильно, однако, приравнивать энергетические
интервалы dk и dEp. Действительно, конечная энергия определяется
как функция k, 0 выражением
B2.15)
отсюда
(»\ ™ B2.16)
и, следовательно,
Ek>
l^- B2-17)
Здесь dQ — элемент телесного угла, в который рассеивается квант.
Собирая формулы B2.10) —B2.13), B2.17) и деля яа скорость
света, получаем дифференциальное эффективное сечение для про-
процесса рассеяния
Г V /^«JgOjgZSffiJ 1*4*) (^"ЛТB2.18)
Формула B2.18) справедлива для заданных поляризаций обоих световых
квантов и заданного направления спина электрона в конечном и на-
начальном состояниях. Суммирование 2 производится по всем напра-
направлениям спина и по обоим знакам энергии промежуточных состояний.
1) Это обстоятельство имеет место для большинства радиационных про-
процессов в первом приближении, но его надо проверять в каждом
отдельном случае. Примером, где оно не имеет места, является собственная
энергия электрона (см. § 29). В этом случае теория дырок дает совсем
Другой результат. В качестве точной теории, конечно, всегда следует ис-
использовать теорию дырок (или теорию позитронов, изложенную в § 12).
248 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
3. Вывод формулы Клейна — Нишины. Нашей следующей зада-
задачей является вычисление матричных элементов, входящих в B2. Ц).
Суммирование 2 можно легко выполнить, если воспользоваться общей
формулой A1.14а). Эту формулу нельзя, однако, непосредственно
применить к B2.18), так как знаменатели в этом выражении зави-
зависят от знака энергии Е'. Поэтому мы предварительно умножим
числитель и знаменатель первого члена B2.18) на \L-\-ko-\-E'. Тогда
знаменатель уже не зависит от знака Ег. В числителе же можно
воспользоваться волновым уравнением
Е'и' = [(«р')+ fri] и' = ЯV. B2.19)
При суммировании р'остается, конечно, постоянным. Таким образом,
получаем г)
2 (V- + ?о 4- ?') («*««0 («Vo) = (Iх + *о) 2 (« W) («
+ 2 (tfaH'u') (a%« о) • B2.20)
Применяя общую формулу A1.14а)
О О О О О
и учитывая тот факт, что Е =р -f-рь = ^о —г~ Н- > Для первого члена
уравнения B2.18) находим
'(и*аи') (и^арРо) _ ({х -f fe0) (ц*ааоцо) + {u*aHatfi() ^2 2П
Второй член формулы B2.18) можно вычислить тем же способом.
Если ввести сокращенные обозначения
o), B2.22а)
/С" = 11 — й + Я" = [1.A-|-р) — ft — (ak), B2.226)
где р' и р/л заменены равными им величинами B2.8а) и B2.86)
то, производя в B2.18) суммирование,'получаем
_ 1 Ш*аК'«Фо) (u?*oK"*lh)'] /99 ооч
-^L к ъ J- / B2-23)
Это выражение можно упростить и дальше, используя волновое урав-
уравнение для и0, т. е. [(аро)^^] ио = Е0и0. Так как ро = О,
Е0 = \ь, то
A—Э)«о = О.
Этим уравнением можно, конечно, пользоваться только в том слу-
случае, когда |3 действует непосредственно на и0. Далее, р антиком-
1) Об этом методе см. [34].
§ 22. Рассеяние на свободных электронах 249
мутирует с а и а0, поэтому члены 1+J3 в B2.22) исчезают, и мы
получаем
^ = ~ (и* [2 (еое) + ¦- а («ко) а0 + ~Ч («к) а] *0) • B2.24)
Здесь использовано соотношение
aaQ + аоа = («е) («е0) + («е0) (ее) = 2 (еое). B2.25)
Дифференциальное эффективное сечение B2.18) пропорциональна
квадрату выражения B2.24), которое зависит от направлений спина
электрона в начальном и конечном состояниях. Мы, однако, не инте-
ресуемся вероятностью нахождения электрона в состоянии с опре-
определенным спином после рассеяния. Поэтому просуммируем вели-
величину rfcp по всем направлениям спина электрона после рассеяния и
усредним по всем направлениям спина в начальном состоянии.
Обозначим суммирование только по направлениям спина через S
(или So Для начального состояния) в отличие от суммирования 2*
которое распространяется также на энергии обоих знаков. Таким
образом, нам надо образовать
1
-rfSoS
выраж. B2.24)
B2.26)
Суммирование S по направлениям спина можно свести, согласна
A1.16) и A1.17), к суммированию 2^ п0 всем четырем состояниям,
принадлежащим данному импульсу р. После подстановки
«=^«. Мо==^±А»Ио- B2.27),
суммирования S, So можно заменить суммированиями 2^> 2^° по-
повеем четырем состояниям
Y S0S | (u*Qtio) |2 Ез 1 S0S
Вместо величины Q следует подставить оператор из B2.24); Q+—
эрмитово сопряженный оператор, получающийся из Q заменой по-
порядка множителей на обратный (так как операторы а эрмитовы).
Таким образом, получаем в явном виде (при р0 = О, Ео = а, р = ko—к,.
Р . к I Ь ___» Ь\'
1
iS0S
выраж. B2.24)
X [ft0 —A + ^ + P^ + ^ko) —(«k)l X
][
B2.29)
250 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
Шпур можно просто вычислить по методу § 11. Шпур отличен от
нуля лишь для таких операторов, которые содержат четное число
множителей как J3, так и а. Порядок множителей под знаком шпура
можно заменить на обратный или переставить циклически. Кроме1
того, а2 ==«2=1, (ак)9=&2 и т. д., kj_e, ко_]__ео и, следова-
следовательно,
ао(ако) = — (ако)ао и т. д.
Тогда B2.29) принимает вид
выраж. B2.24)
2 — _L_ J_
4
к —
+ ^gr[(ако) а°а (ак) а°а"(е°е)(ако) а°а (акI1" B2*30)
Последние два члена (в квадратных скобках) можно объединить
с помощью B2.25) и получить
—lSp(ako)aoa(ak)aao= — { Sp (ak0) (ak) = - (kok). B2.31)
Аналогично,
|Spaoa = (eoe). B2.32)
Поэтому B2.30) можно представить в виде
еJ + П^(*о*—(коЮ)]. B2.33)
выраж. B2.24)
Обозначим угол между напрайлениями поляризации первичного и
вторичного квантов через 8, (e0e) = cosB. Кроме того, из B2.2) и
B2.3) следует, что
ftoft — (kok) = li(fto—ft). B2.34)
Тогда, согласно B2.18), B2.24) и B2.33), дифференциальное эффек-
эффективное сечение принимает вид
A ] B2.35)
Это и есть известная формула Клейна — Нишины [35, 36]А). Она
определяет для всех первичных световых _квантов данной частоты
и поляризации интенсивность излучения, рассеянного под данным
углом 0 с заданным направлением поляризации. С помощью B2.4)
можно представить B2.35) как функцию k0, бив.
1) Эта же формула выведена И» Таммом [37].
§ 22. Рассеяние на свободных электронах 251
Мы так подробно рассмотрели расчет матричных элементов
потому, что использованный здесь метод будет служить -образцом
подобных вычислений для многих других квантовых процессов.
4. Поляризация, угловое распределение. Обсудим прежде
всего угловое распределение и поляризацию рассеянного излучения,
определяемые формулой B2.35).
Рассеянное излучение удобно рассматривать как составленное из
двух линейно поляризованных компонент _]_ и [| . Обозначая напра-
направления поляризации фотонов к0 и к соответственно через е0 и е,
можно выбрать следующие два направления е:
(_1_) е перпендикулярно к е0, cos 9 = (еое) = О,
( II) е и е0 лежат в одной плоскости [т. е. в плоскости (к, е0)],
cos2e= 1—sin20cos2cp,
где ср—угол между плоскостью (к0, к) и плоскостью (к0, е0),
а 6—угол рассеяния (к0, .к). Согласно B2.35), компонента [| всегда
интенсивнее компоненты J_.
В нерелятивистском случае k0 = k и
rfcp± = O, d<pI( =r2QdQ(l— sin26cos2cp). Нерел. B2.36)
Выражение B2.36) совпадает с классической формулой Томсона,
E.4), если пренебречь константой затухания х. Этого и следовало
ожидать, потому что условие k0 = fiv0 <С^ me*1 можно также истол-
истолковать как условие h-+0, которое выражает переход к классиче-
классической теории. Если первичное излучение поляризовано, то рассеянное
излучение поляризовано полностью. Если первичное излучение непо-
ляризовано, то следует усреднить по ср. Интенсивности рассеянного
излучения в этом случае определяется формулой
^cp = Ir2rfQ(l+cos26). Нерел. B2.37)
В другом крайнем случае, когда энергия первичного кванта
велика по сравнению с me2 (k0 ^> а, крайний релятивист-
релятивистский случай), мы должны согласно п. 1, различать случаи малых
углов 0 B2.5) и больших углов B2.6). Дифференциальное эффек-
эффективное сечение в этих двух случаях (т. е. при ko~k и k0 ^> k)
принимает вид
do±=:0i dy^r20dQ(\— sin26cos2cp)(малые углы), Кр. рел. B2.38а)
rldQp
д 4*0 A - cos 6) (большие углы), /Ср. ^-B2.386)
Из B2.38) следует, что в случае очень малых углов распределение
интенсивности такое же, как и в классической теории. В случае больших
углов рассеянное излучение не поляризовано, даже если первичный
252
Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
луч поляризован и имеет приблизительно равномерное распределение
интенсивности. При этом с возрастанием энергии первичных фото-
фотонов интенсивность рассеянного излучения убывает.
Уже из B2.386) можно видеть, что при k0 ^> {х полная вероят-
вероятность рассеяния уменьшается, как ~[а/^о- Обе области (как малых,
так и больших 0) дают примерно одинаковый вклад в полное эффек-
эффективное сечение, так как область, в которой справедливо B2.38а),
порядка 62#—lV&o> a dQ bdti
100
0,15
0,50
0,25
\
\
iN
У
<
о
1"
y=f
y=5
30°
60°
в
30°
120°
150°
180°
Фиг. 10. Угловое распределение при комптоновском рас-
рассеянии как функция угла рассеяния для различных частот
первичного фотона у = ^о/Р"
Измерения Фридриха и Гольдгабера для т = 0,173.
Чтобы получить, наконец, полную интенсивность излучения, рас-
рассеянного под углом 6, следует взять сумму d<p = dy . -f- dy |(. Если
первичное излучение не поляризовано, то, усредняя по ср, получаем
idQ.
k
B2.39)
Здесь k — функция 6, определяемая выражением B2.4). Если под-
подставить B2.4) в B2.39), то дифференциальное эффективное сечение
принимает вид
, = rldQ
X
-f2(l_COS6J
—созб)]
}, B2.40)
§ 22. Рассеяние на свободных электронах 253
Угловое распределение B2.40) представлено на фиг. 10 как
функция угла рассеяния Ь для различных отношений у = ko/\i. Для
малых углов интенсивность рассеянного излучения имеет прибли-
приблизительно то же значение, что и в классической теории, тогда как
для больших углов интенсивность тем меньше, чем больше частота
первичного излучения. В релятивистской области ?ассеяниевперед
становится все более существенным. Даже для жестких рентгенов-
рентгеновских лучей (f~0,2) релятивистское отклонение от формулы Том-
сона для больших углов довольно велико.
На фиг. 10 представлены результаты произведенных Фридрихом
и Гольдгабером [38] 1) измерений углового распределения рентгенов-
рентгеновских лучей с длиной волны 0,14 А или -у = 0,173 в углероде. В пре-
пределах ршибок опыта экспериментальные данные полностью согла-
согласуются с теоретической кривой.
Дифференциальное эффективное сечение можно выразить не только
через угол 6, но и через энергию k рассеянного кванта. Используя
B2.4), после интегрирования по азимутальному углу получаем
где k изменяется от &ou/(a -f- 2k0) до k0.
5. Электроны отдачи. Рассеяние света сопровождается отдачей
электрона, который до рассеяния можно считать покоящимся. Энер-
Энергия электрона отдачи равна Е— ^ = kQ — k, а направление отдачи
образует угол C с направлением первичного фотона, причем обе
величины являются функциями угла рассеяния. Из законов сохране-
сохранения B2.2), B2.3) находим
_ /gg(l — cos 6) Q_/1 t ч-,/" 1 — cos 6
LV cos? (ltTJ К
L—V- p> + jkoA_cos6) > cos? —(l-t-TJ К 2+T(y+2)A-cos0)-
B2.42)
При изменении 0 от 0 до к, Е — jx увеличивается от 0 до максимальной
величины ?тах — \>> — 2kl/(\L-\-2k0), а C изменяется от тг/2 до 0. Элек-
Электроны отдачи никогда не рассеиваются назад. Подставляя B2.42)
в B2.40), получаем угловое распределение электронов отдачи
d9 = irl [T
x(i+[TT
cos* ft 2A + f)a sina p
где dQp — элемент телесного угла, в который летит электрон отдачи.
1) См. также [39].
254 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
В крайнем релятивистском случае у ^> 1 снова можно различать
между областью малых и областью больших углов р:
)> * Кр.рел. B2 А 4ь)
Г» 1). Яр. /^л. B2.446)
Здесь также обе области углов дают вклады одинакового порядка
в полное рассеяние. При малых S угловое распределение быстра
спадает в пределах интервала порядка C—1/-у.
6. Полное сечение рассеяния. Чтобы получить полное сечение
рассеяния, следует проинтегрировать эффективное сечение гктйсем
углам. Элементарное интегрирование дает
B2.45)
В качестве единицы <р0 для сечения ср используется классическое
эффективное сечение томсоновского рассеяния E.5)
Б нерелятивистском случае f <С^ 1 мы снова находим, что ср = <р0.
Первые члены разложения правой части B2.45) по степеням f
имеют вид
С другой стороны, в крайнем релятивистском случае из B2.45)
получаем
fa^ ) КР'РеЛ- B2'47>
Выражение B2.47) согласуется (с точностью до логарифмического
множителя) с оценкой п. 4, основанной на формуле B2.38). Таким
образом, при очень высоких энергиях число рассеянных квантов
уменьшается с увеличением частоты первичного излучения. Это
является причиной того, что проникающая способность ^-квантов
возрастает с увеличением частоты до тех пор, пока не становятся су-
существенными другие процессы поглощения, например образование пар-
Эффективное сечение B2.45) представлено на фиг. 11 как функ-
функция энергии первичных фотонов, причем использован логарифмиче-
логарифмический масштаб, чтобы охватить большой интервал энергии. Значе-
Значения ср/ср0 даны в табл. 4.
§ 22. Рассеяние на свободных электронах
255
Таблица 4
ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ КОМПТОНОВСКОГО РАССЕЯНИЯ В ЕДИНИЦАХ Фо
ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЭНЕРГИЯХ ПЕРВИЧНЫХ ФОТОНОВ
т
Фо
0,05
0,913
* 0,1
0,84
0,2
0,737
0,33
0,637
0,5
0,563
1
0,431
2
0,314
3
0,254
Y
Фо
5
19,1
10
12,3
20
7,54
50
3,76
100
2,15
200
1,22
500
0,556
1000
0,304
хит2
Экспериментальной проверкой теории служат опыты по изме-
измерению полного коэффициента поглощения рентгеновских лучей или
^-квантов в различных веществах. Коэффициент поглощения z на
1 см равен
yVZ B2.48
где N—число атомов в 1 смь, a Z — число электронов в атоме.
Коэффициент поглощения пропорционален полному числу элек-
электронов NZ в 1 смв. Формула B2.48) справедлива, конечно, в том
случае, когда первичное излучение настолько жестко, что все
1,0
0,8
0,4
0,2
— —
1
с
1
I
\
\ ¦
\
IAI
1
\
\
\
4,
j
i
IGu
i
i i
\
\
. у
1
1
Mb
Pb
к
V
\
Томе
ч
пи
ТЬС1!
'
9MMM
Щ10,02 0,05 0г1 0/ 0,5
5 10 20 50 W0 200 500
fiVo
me2
1000 500 200 100 50
20 .10
5
2 1
0,5
0,2 0,1 0,05 Х.ед.
Фиг. 11. Зависимость полного эффективного сечения комптоновского рас-
рассеяния (формула Клейна — Нишины) от частоты первичного фотона v0
(на нижней шкале нанесена начальная длина волны).
Для сравнения представлено эффективное сечение фотоэлектрического поглощения на один
электрон (пунктирные кривые <pj?/Z<p0). Измерения: X — данные Хьюлетта и Аллена (введена
поправка на фотопоглощение в углероде; О~Данные Рида и Лауритсена (углерод и алюминий);
Q — данные Мейтнер и Хупфельда, Чао (углерод).
256 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
электроны можно считать свободными. Для получения - следует значе-
значения, данные в табл. 4 или на фиг. 11, умножить на NZy0. Эта
величина приведена для различных веществ в приложении VIII.
При сравнении теории ? экспериментом следует, однако, иметь
в виду два обстоятельства:
1) В случае рентгеновских лучей полное поглощение обусловлено
не только рассеянием. Мы видели в § 21, что фотоэлектрический
эффект также дает сильное поглощение, которое, однако, быстро
уменьшается с первичной энергией.. Чтобы сравнить фотоэлектри-
фотоэлектрическое поглощение с рассеянием, мы нанесли на фиг. 11 (пунк-
(пунктирные кривые) также и эффективное сечение ук для фотоэффекта
из АГ-оболочки (умноженное на б/4, см. стр. 243). Это сечение было
рассчитано в § 21 в тех же единицах. (Поскольку сечение ср^ отно-
относится ко всему атому, то на графике нанесена величина <p^/ZcpQ.)
Мы видим, например, что для углерода фотоэлектрическое поглощение
гораздо больше, чем рассеяние при длине волны А > 500 Х-ед.;
тогда как при А < 300 Х-ед. существенно только рассеяние.
2) С другой стороны, как мы увидим в § 26, поглощение у-излу-
чения обусловлено главным образом образованием пар. Сечение
образования пар растет с первичной энергией, а также с атомным
номером Z. В углероде образованием пар можно пренебречь при
к0 < 10}х. При сравнении с теорией мы использовали только те из-
измерения, в которых фотоэлектрическое поглощение и образование
пар малы по сравнению с поглощением благодаря рассеянию. На
фиг. 11 представлены экспериментальные результаты для трех областей
длин волн:
а) для рентгеновских лучей с длиной волны Х = 100—300 Х-ед.
[40, 41] (рассеяние на углероде);
б) для жестких рентгеновских лучей с длиной волны X « 20—50
Х-ед. [42] (в углероде и алюминии);
в) для f-излучения ThC" с длиной волны А == 4,7 Х-ед. [43—45]
{в углероде).
В первой области мы вычли из экспериментальных данных фото-
фотоэлектрическое поглощение, которое составляет около 10% полного
поглощения. Во второй и третьей областях никаких поправок не
потребовалось.
Экспериментальные данные превосходно совпадают с теоре-
теоретической кривой. Поэтому мы можем считать справедливость
формулы Клейна — Нишины доказанной, по крайней мере для энер-
энергий до J0. тс*.
К вопросу о поглощении 7-излУчения мы вернемся в § 36, где
будут приведены также эксперименты для более высоких энергий.
Во всех трех об'ластях электроны являются практически сво-
свободными и когерентное рассеяние совершенно ничтожно. Это было бы,
конечно, несправедливо в случае более мягкого излучения, для ко-
§ 23. Множественные процессы 257
торого следовало бы учитывать энергию связи электронов *). Как
мы видели в § 19, наличие связи изменяет интенсивность рассеян-
рассеянного излучения, давая, помимо комптоновского, также и когерентное
рассеяние (несмещенная линия). Кроме того, смещенная (комптонов-
ская) линия становится шире для данного угла рассеяния. Положение
максимума смещенной линии по сравнению с тем, которое дается
комптоновской формулой B2.4), изменяется очень незначительно [48].
Теоретические результаты этого параграфа основаны на первом
приближении теории возмущений. Радиационные поправки и поправки
на затухание будут рассмотрены в § 33. Они малы для всех
энергий.
§ 23. Множественные процессы
В предыдущих параграфах мы рассмотрели различные процессы,
в которых испускается один фотон. Основные черты этих процессов
всегда можно получить уже из классической теории. Квантовая теория
поля предсказывает, что все эти процессы могут также происходить
и с испусканием не одного, а двух или более квантов, причем оба
кванта разделяют между собой испускаемую энергию. Например,
при переходе атома из одного состояния в другое возможно испу-
испускание двух фотонов kv k2, причем kx -\- k2 = Ео, где Ео — разность
энергий двух состояний атома *2). Аналогично, при комптоновском
рассеянии фотона к0 вместо одного могут быть испущены два вто-
вторичных фотона. Мы назовем этот последний процесс „двойным
рассеяниеми и рассмотрим его как один из простейших примеров
множественных процессов.
Множественные процессы интересны по различным причинам:
1) Порядок величины вероятности множественных процессов
нельзя однозначно оценить из классической теории с помощью прин-
принципа соответствия. Эти процессы являются типичными квантовыми
эффектами. Для критического понимания рассматриваемой теории
важно знать, подтверждают ли эксперименты предсказания этой тео-
теории. Далее, если один из двух фотонов имеет очень малую энергию, воз-
возникает своеобразное положение, так называемая „инфракрасная ката-
катастрофа" (см. п. 3), которая имеет большое теоретическое значение.
2) При очень высоких энергиях в космическом излучении происходит
Замечательное явление „ливней". В этих ливнях одна быстрая частица,
или фотон, при прохождении через вещество испускает вместе с фо-
фотонами большое число электронных пар. Теперь известно, что боль-
большинство этих ливней имеет каскадную природу и что теория тормоз-
1) Влияние связи на комптоновское рассеяние было вычислено различ-
различными авторами [34, 46—50].
2) В оптической области одновременное испускание двух квафтов было
изучено М. Гепперт-Майер [51]. Вероятность перехода очень мала. Здесь
нас больше интересует область высоких энергий.
17 Зак. 1260. В. Гайтлер
258 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
ного излучения и образования пар их полностью учитывает (см, § 38).
Из экспериментальных данных нельзя, однако^, полностью исключить
возможность настоящих множественных процессов.
1. Двойной эффект Комптона. В качестве простого, но харак-
характерного примера мы рассмотрим здесь „двойное комптоновское рас-
рассеяние" [52]. Первичный световой квант к0 „рассеивается" первона-
первоначально покоящимся свободным электроном таким образом, что вместо
одного рассеянного кванта к испускаются два кванта kt и к2. Вероят-
Вероятность перехода для этого процесса можно рассчитать так же, как
и для обычного рассеяния (см. § 22).
Законы сохранения в этом случае выражаются уравнениями
B3.1а)
У B3.16)
Из B3.1) следует, что если &0<|а, то сумма энергий обоих фотонов
kx и k2 порядка k0: '
где О(х) — член порядка не выше х. Если, с другой стороны,
kQ ^Э> ^ и если оба кванта kx и k2 рассеиваются на большие углы, то
*1 + *2~Г. Р, E~k0. B3.3)
Здесь мы рассмотрим случай, когда энергии обоих; квантов kx и k2
одного порядка или, по крайней мере, порядка jx, если fto]>y. Это
единственный интересный случай в связи с настоящими множественными
процессами. Случай, когда один из двух фотонов имеет очень малую
энергию (т^к что процесс практически совпадает с однократным
рассеянием), будет рассмотрен в п. 3.
Переход из начального состояния О(к0р0 = 0) в конечное
/7(к1, к2, р) может происходить только через два последовательных
промежуточных состояния, например:
I. Квант к0 поглощен. Электрон имеет импульс
р' = к0; B3.4)
II. Квант кг испущен. Электрон имеет импульс
р" = к0 — кх. B3,5)
Другие пары промежуточных состояний можно получить, если из-
изменить порядок испускания и поглощения трех квантов. Всего имеется
шесть пар промежуточных состояний.
Составной матричный элемент, который определяет вероятность
перехода O-+F, согласно § 14, имеет вид
HFUHlllHlO По fiv
(Е0-Е1){Е0-ЕПУ>
$ 23. Множественные процессы 2591
где суммирование 2 производится по всем шести промежуточным
состояниям, направлениям спина и знакам энергии электрона в про-
промежуточных состояниях. Разности энергий в знаменателе B3.6), со-
согласно B3.4) и B3.5), имеют вид
Eo — En^ko + v. — kx — E^; ?''2 ==//'2-f-[Л
Указанное в B3.6) суммирование 2 можно выполнить тем же
методом, что и в § 22. Вероятность перехода пропорциональна
\KfoV- Сумммируя по направлениям спина электрона в конечном со-
состоянии и усредняя по начальным состояниям, получаем (опуская
йсе численные множители)
gv
/С" = ji(i+?)-f-*o — *!+(«. ко—kt). B3.9)
Для оценки порядка величины достаточно* рассмотреть первый
член B3.8), возникающий от первой пары промежуточных состояний»
Остальные члены того же порядка *). Таким образом, дифференциаль-
дифференциальное эффективное селение определяется выражением
^il Ь <23ло>
где 0, — угол между к0 и к,, a
где { }—шпур из B3.8). Здесь мы опустили также множитель
дЕр
-^ [см. B2.16)], потому что он порядка единицы для всех
энергий.
ГЪи вычислении шпура в B3.8) рассмотрим два случая:
и ko^> :
1) /го<Су, kv &2~/e0. Величину Н-\-Е, согласно B3.1)> можно
представить в виде
B3.11)
т) Можно показать, что не возникает „интерференции" различных про-
промежуточных состояний, которая привела бы к уменьшению величины резуль-
результата. По порядку величины весь матричный элемент определяется первым
членом B3.8).
17*
260
Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
Наибольший вклад в шпур из B3.8) дают члены, пропорциональные
Поскольку, однако,
{ }
и, согласно B3.9) и B3.11), а входит только в комбинации :
то из выражений для Н-\-Е, К' или К" лишь один член jjlA —(— ^)
дает отличный от нуля вклад в шпур. Поэтому числитель в шпуре
порядка \y-kl, а знаменатель порядка jx2&q и, следовательно,
---, B3.13)
где { } — шпур в B3.8). Подставляя B3.13) в B3.10), для эффек-
эффективного сечения найдем
Нерел. B3.14)
2) k0 ^> jjl. Для больших углов рассеяния kv k2 — р и Н-\-Е,
К', К" порядка kQi согласно B3.1). Поэтому числитель шпура в B3.8)
порядка k^y а знаменатель ~|х&
и, следовательно,
Для больших углов рассеяния из B3.1) имеем:
Таким образом, эффективное сечение
§\ kt
Кр.рел. B3.15)
Мы должны были бы также рассмотреть случай, когда один или оба
кванта рассеиваются на малые углы, так что их энергия сравнима с k0.
Однако, как и в случае простого рассеяния, можно видеть, что
в полное сечение область малых углов не дает вклада более высо-
высокого порядка, чем область больших углов, кроме возможного мно-
множителя In &0/;jl, который мы здесь не считаем величиной более высо-
высокого порядка.
Сравнивая результаты B3.14) и B3.15) с соответствующими
формулами B2.46) и B2.47) для простого рассеяния, получаем сле-
следующий порядок величины эффективного сечения (в единицах г^):
B3.150
Простое рассеяние
Двойное рассеяние
§ 23. Множественные процессы 261
Таким образом, для малых энергий, &0<С^, двойные процессы
очень редки. Вероятность двойного процесса отличается от вероят-
вероятности простого процесса множителем &0/137 jx . Она стремится к нулю
при переходе к классической теории, потому что ^/137 = e2^h/c
пропорционально й.
При высоких энергиях, &0^>^, двойное рассеяние сравнительно
более вероятно. Однако его вероятность все еще в 137 раз меныие>
чем вероятность простого процесса.
Полученные результаты легко обобщить. Например, можно по-
показать, что вероятность того, что фотон, проходя через поле атома,
создаст две электронные пары вместо одной, в 137 раз меньше,
чем вероятность образования одной пары. (Образование пар будет
подробно рассмотрено в § 26.) Эффективное сечение одновремен-
одновременного образования „-ливня" п пар при множественном процессе (когда
Ьо^р) х) порядка
?$г^§^. Кр.рел. B3.16)
Поэтому множественные процессы редки и ливни в космических лучах
ими не обусловлены (см. § 38).
2. Экспериментальная проверка. Экспериментальное доказа-
доказательство существования множественных процессов получить довольно
трудно. Дело не только в том,- что эти процессы редки. Трудно
также установить, что данное явление действительно происходит
в одном элементарном акте, а не в виде последовательности событий.
Доказательство, однако, можно получить из наблюдений космического
излучения [53]. Через эмульсию фотопластинки, чувствительной к
электронам, пропускалось ^-излучение высокой энергии, Проходя
через поле атома, фотон обычно образует пару электронов, видимых
благодаря следу, который представляет, собой вилку с малым углом.
Наблюдалось около 1400 таких вилок. Были обнаружены два случая»
когда четыре следа, также образуя очень малый угол, возникали
в одной точке, или, во всяком случае, в пределах расстояния в не-
несколько единиц 10~4 см. Большинство следов можно было иденти-
идентифицировать как электронные, тогда как остальные следы соответ-
соответствовали частицам столь высокой энергии, что их идентификация
была невозможна. Однако нет никаких причин, которые мешали бы
приписать эти следы электронам. Крайне невероятно, что двойные
вилки обусловлены двумя последовательными событиями. Можно
было бы думать, что сначала образуется одна пара и что затем
*) Более тщательное исследование показывает, что множитель в знаме-
знаменателе B3.14)—B3.16), повидимому, равен тс 137, а не 137. Это делает ре-
результат еще меньшим.
262 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
один из электронов испускает жесткий фбтон, который уже образует
вторую пару. В § 25 и 26 будет показано, что'средняя длина пробега
электрона, прежде чем он образует жесткий фотон, порядка 1 см. Тот
же порядок имеет средняя длина пробега фзтона дэ образования им
пары. Поэтому вероятность того, что оба события произойдут в пре-
пределах, скажем, 10~" см, оказывается очень малой. Следовательно,
весьма вероятно, что оба события в действительности являются
образованием двойной пары в одном элементарном акте. Относи-
Относительная частота двойного процесса по сравнению с частотой, про-
простого процесса, повидимому, порядка 1 :700, что вполне согла-
согласуется с оценками п. 2, если опустить там численные множители,
такие, как тс и т. д. Другой пример множественного процесса был
обнаружен в связи с аннигиляцией позитронов (см. § 27).
Множественные процессы представляют собой весьма ценную
проверку квантовой электродинамики. Они являются характерным
результатом комбинации квантовой теории и теории относительности,
которые применяются к электромагнитному полю в областях, где
принцип соответствия более не применим. Эта проверка тем более
ценна, что квантовая электродинамика еще далека от полного завер-
завершения (ср. гл. 6) и a priori не очевидно, что все ее предсказания
согласуются с опытом. Однако до сих пор никаких противоречий
между теорией и экспериментом обнаружено не было.
3. Испускание инфракрасных квантов. Когда один из фотонов,
на которые расщепляется первичный фотон, является очень мягким,
возникает положение, совершенно отличное от) того, которое описано
в п. 2. Пусть энергия этого фотона будет kr. Рассмотрим случай,
когда &г<СС&0 и, следовательно, kr<^ik (где k — энергия второго рас-
рассеянного кванта, который называется основным квантом). Нас особенно
интересует случай &г->0. С теоретической точки зрения этот про-
процесс еще можно назвать множественным, но с практической точки
зрения он едва ли отличается от обычного рассеяния, так как рас-
рассеянный основной фотон к .имеет практически те же энергию и
импульс, что и в случае простого процесса. В частности, следо-
следовало бы ожидать, что в пределе kr-+Q этот процесс дает поправку
порядка ?6 к комптоновскому рассеянию. Однако это совсем не так
просто. Ниже будет показано, что эта поправка, поскольку она обу-
обусловлена двойным эффектом Комптона, расходится, как dkrjkr при
kr—>0. Эта очевидная трудность встречается при рассмотрении
многих радиационных процессов (ср. § 25) и характерна для совре-
меннного состояния теории. Она называется „инфракрасной ката-
строфой11. Эта трудность будет устранена, когда мы рассмотрим
дальнейшие вклады в поправки порядка ?6 к простому рассеянию,
возникающие от высших членов матричных элементов. Это будет
показано в § 33. Чтобы рассмотреть поправки к комптоновскому
§ 23* Множественные процессы 263
рассеянию, нам потребуется эффективное сечение двойного рассеяния
при очень низких (инфракрасных) частотах kr.
Рассчитаем эффективное сечение двойного рассеяния в пределе
очень малых kr и удержим лишь члены наибольшего порядка по
l/kr [54, 55]. Составной матричный элемент снова состоит из шести
членов, каждый из которых соответствует определенной последова-
последовательности поглощения кванта к0 и испускания квантов к1$ kr. Теперь
очевидно, что энергетические знаменатели EQ— Ev EQ— Еи имеют
различный порядок величины по kr в. зависимости от того, проис-
происходит ли испускание кванта kr в середине последовательности,
в начале или в конце ее. Если вначале испускается kn а электрон
имеет положительную энергию, то, согласно законам сохранения,
0 TK kr> B3.17)
тогда как Ео — Еп с точностью до незначительных изменений со-
совпадает со знаменателем для простого процесса и имеет порядок
величины k0 или k. Аналогично, если kr испускается в конце, то
Ео — ?п=
(к0— k = p + kr, ? = /j5T+V = *0 + ji —ft —ftr)f B3.18)
также порядка kr\ EQ — Е\ — энергетический знаменатель, тот же,
что и у простого процесса. Если квант kr испускается в сере-
середине последовательности, то оба знаменателя велики, порядка k0
или к. Поэтому мы можем ограничиться двумя типами промежуточ-
промежуточных состояний, в которых kr испускается вначале и в конце, и если
только электрон имеет положительную энергию до и после этого
испускания.
Матричный элемент, соответствующий испусканию kr, содержит
множитель (u'Q* (яег) и0), если kr испускается вначале; u'Q — волновая
функция электрона после испускания kr. При очень малых kr эта
функция и'о практически совпадает с и0. Таким образом, в нашем
приближении этот множитель есть (ио(аег)и0), т. е. среднее значе-
значение (яег) в состоянии, в котором электрон имеет импульс р0 и по-
положительную энергию. Согласно § 11, это среднее есть (poer)/feo = О,
потому что р0 = 0 (первоначально электрон покоился). Аналогично,
если kr испускается в конце, то
(«•(«ег)«) = ^. B3.19)
Таким образом, существенный вклад дает лишь член, соответствую-
соответствующий испусканию кванта kr в конце. Остающиеся множители пред-
представляют собой в точности составной матричный элемент обычного
эффекта Комптона, который нам нет необходимости выписывать явно.
264 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
Обозначая его через Кс> найдем для матричного элемента двой-
двойного эффекта Комптона
Чтобы получить эффективное сечение, следует взять квадрат B3.20)
и умножить его на функцию плотности. Последняя есть произведе-
произведение функции плотности в случае обычного эффекта Комптона (вклю-
дЕр
чая множитель-гг- на функцию плотности для инфракрасного фо-
k]dkT
тона, т. е. г~ dQk . Суммируя по двум направлениям ег и ин*-
тегрируя по направлениям kr, получаем
\dk zoo oi\
Здесь Е, р — энергия и импульс электрона после рассеяния. Выра-
Выражение B3.21) дает дифференциальную вероятность комптоновского
рассеяния, сопровождаемого испусканием в произвольном направле-
направлении инфракрасного фотона с энергией в* интервале dkr. Мы видим,
что dydc пропорционально поперечному сечению Клейна — Нишины
d^Q. Наиболее характерными чертами выражения B3.21) являются:
1) множитель e^jhcy который делает двойной эффект Комптона не-
невероятным, но, с другой стороны, 2) зависимость от kr: dkrlkr.
Эта функция расходится, когда kr-+Q или когда производится ин-
интегрирование по интервалу от 0 до конечной величины. Оказывается, что
ydc превышает оценки B3.15')i если kx <d k2. Однако если исклю-
исключить очень малые значения kr, то интеграл от B3.21) по kr имеет
порядок B3.15/)- ,
При k0 <C^ \> (р <С1 у, ?~^) выражение B3.21) сводится к
4 е* « kl I + cos2 6 dkr
Ят/Ф1-С0*Ъ—2— J7d^ B3-22>
где р<*?&2Щ(\—cos6); 6 — угол рассеяния основного кванта.
§ 24. Рассеяние двух электронов
1. Запаздывающее взаимодействие. Рассеяние двух заряженных
частиц с кулоновским взаимодействием можно рассмотреть точно
в рамках волновой механики, если только эти частицы движутся так
медленно, что их взаимодействие в каждый момент времени является
статическим, так что всеми эффектами запаздывания можно пре-
пренебречь.
Положение становится иным, когда эффекты запаздывания ока-
оказываются существенными. В этом случае, как мы увидим, задача
представляет собой проблему квантовой электродинамики, и до на-
настоящего времени ее решение было найдено только с помощью раз-
разложения по степеням константы взаимодействия, т. е. Z^e3, где
§ 24. Рассеяние двух электронов 265
Zxe, Z2e— заряды двух рассматриваемых частиц. Причину такого
подхода можно усмотреть в следующем.
В § 6 мы показали, что взаимодействие системы заряженных:
частиц между собой и электромагнитным полем можно разложить
на две части: 1) статическое, мгновенное, кулоновское взаимодей-
взаимодействие между частицами и 2) взаимодействие каждой частицы с
поперечным световым полем, используя кулоновскую % калиб-
калибровку. Если мы предположим, что при рассеянии двух заряженных
частиц свет в действительности не испускается (что, конечно, яв-
является приближением), то всякое отклонение от статического взаимо-
взаимодействия, которое представляется, например, запаздывающим взаимо-
взаимодействием, должно быть обусловлено взаимным обменом световыми
волнами между двумя заряженными частицами. Даже при рассмот-
рассмотрении испускания света одной частицей невозможно избежать раз-
разложения по е2. Поэтому нельзя надеяться рассмотреть запаздывающее
взаимодействие лучшим образом, не прибегая к разложению по ?'2.
Поступая последовательно, следует затем разложить также и статиче-
статическую часть взаимодействия, т. е. применить известное борновское при-
приближение. К счастью, с количественной точки зрения, это хороший спо-
способ разложения, потому что эффекты запаздывания существенны только
при больших скоростях, когда применимо борновское приближение.
Рассмотрим две заряженные частицы, подчиняющиеся уравнению
Дирака, и пусть их волновые функции будут 6Х, <J/2. Тогда стати-
статическое взаимодействие есть V= Z1Z2e2/r12. В первом борновском
приближении V имеет матричный элемент, соответствующий рас-
рассеянию из начального состояния О, в котором две частицы имеют
импульсы рС1, р02, скажем,, в конечное состояние с импульсами р1г
р2. Мы используем решения в виде плоских волн
/*о и т. д.
Тогда матричный элемент V равен г)
VF0 = ZxZ2e* J ^1^1 gi(
=*ZtZ2e* J |гУ^, *
^ |Pol-Pl|2 (<W(<W B4-*>
*) Поскольку этот интеграл расходится, в него следует подставить мно-
множитель
е-аг« (/-12 = 114-1-2 1),
а затем устремить а к нулю. Нужно учитывать также то, что было сказано
в § 14, п. 3 о сохранении импульса и нормировке волновых функций.
Если вычисляется эффективное сечение, то в нерелятивистском случае
выражение B4.1) приводит к формуле Резерфорда. Замечательно, что по-
последняя получается также и при точном рассмотрении. Тот факт, что пер-
первое борновское приближение совпадает с точным решением (для эффектив-
эффективного сечения), является особенностью кулоновского поля и, конечно, не
имеет места для других сил.
266 Гл. 5ь Радиационные процессы в первом приближении
{d~l2 — элемент объема rt — г2), если только сохраняется полный
импульс, т. е. если
В протизном случае Vfo обращается в нуль.
Нашей задачей является теперь обобщение B4.1) на случай за-
запаздывающего взаимодействия.
Для иллюстрации методэз квантозой электродинамики и их связи
с классической теорией пэлезнэ вычислить матричный элемент запаз-
запаздывающего взаимодействия различными способами: 1) сначала, сле-
следуя Меллеру |56], определим полуклассическим способом матрич-
матричный элемент перехода р01, Рог-^Pi» Рг Для запаздывающего взаи-
взаимодействия между дзумя часгицамл. Затем покажем, что тэт же
самый результат получается^ есл! использовать методы, изложен-
изложенные в этой кнлгеч Мэжнэ ллээ 2) испэльзозать кулонэзскую
калибровку и таким образом прибавить к B4.1) тот вклад, который
возникает от взаимного обмена сзетозыми квантами, либо еще проще
3) использовать лоренцову калибровку. В этом случае можно считать,
что полное взаимодействие обусловлено обменом фотонов, причем
всего имеется четыре типа фотонэв, включая продольные и скалярные.
/. Пусть частицы 1,2 заданы их плотностями заряда и тока p(rv t)f
p(r2, t), i(rt, 0»,*(r2» О- Тогда запаздывающие потенциалы, соз-
созданные частицей 1 в точке г2, определяются в классической теории
уравнением A.14)
взаимодействие частицы 2 с этим полем есть
i.tfT== Jp(r2, *)?(r2f t)dz2 — |J(i(r2, <)А(г„ tj)dz2.
образом, запаздывающее взаимодействие между двумя части-
частицами имеет вид
к — Г Г Р(гь f — zWOpfo. *) ^ а*.
a ret. — I I а^а^2 —
- J / '^'-ffi'^'Wx,. B4.3)
где потенциалы не фигурируют в явном виде. Теперь можно
лерейаи к волновому описанию частиц и подставить для р» i их
выражения, согласно теории Дирака, т. е. (ф*ф) и с(<\*&1). Кроме
того, можно определить матричный элемент перехода p(r, t)t
24. Рассеяние двух электронов 267
подставляя вместо ф плоскую волну и01е*^г^*се-1Е°Мп и вместо ф*
плоскую волну u*e~i(^ri)/*ee+iEMh и т. д.
Этим путем мы получаем матричные элементы перехода для
P(ri)> P(r2)> i(ri)> i(r2)» соответствующие переходу, рассмотрен-
рассмотренному в B4.1I). Необходимо, конечно, использовать волновые функ-
функции, зависящие от времени
о (V,, / —^) = Z.e(u*u
' \ * С MllPoi I v 1 0
Р (Г2
*(r2> 'klPo. = Z2^ (^2«02)^(р--ра' */*«^'<4>.-*.>'/*. B4.4)
Так как мы имеем дело с двумя частицами в конфигурационном
пространстве, то у операторов а стоит индекс рассматриваемой частицы.
Подставляя B4.4) в B4.3), получаем матричный элемент запазды-
запаздывающего взаимодействия
e Pi» *i)+ Poi-Pi» '¦)]/лв^+<(До1-я1)г11/лс# B4.5)
Второй член в квадратной скобке следует понимать как скалярное
произведение двух матричных векторов а2» ai- Выражение B4.5)
отличается от B4.1) в двух отношениях: во-первых, благодаря вза-
взаимодействию токов появляется член ах, а2; во-вторых, эффект запаз-
запаздывания содержится в дополнительном множителе ei{E^~E^r^fic. Обе
величины соответствуют релятивистским эффектам.
Интеграл B4.5), подобно B4.1), обращается в нуль, если им-
импульсы не сохраняются. В действительных процессах рассеяния энер-
энергия также будет сохраняться, и поэтому мы должны рассмотреть
только те переходы, для которых
.Ем—Е1== -Е02 + Е2. B4.6)
Интегрирование B4.5) дает окончательно
«го = Z'ZflT2 [(^(^-("XVKaAi)!' B4-7)
J) Эту процедуру можно строго обосновать, используя метод вторичного
квантования для электронного поля (см. § 12). Величина /Cret определяется
выражением B4.3) также и в квантовой теорий, но р = ф ф и т. д. являются
операторами, возникающими при вторичном квантовании ф. Таким образом,
/Cret# — оператор. Затем образуем матричный элемент К для перехода B4.1)
с помощью амплитуды состояния ч7 квантованного поля,т.е. для того случая,
когда поглощаются два электрона с импульсами р01, р0з и два с импульсами
Ph P2 испускаются. В результате получается B4.5).
258 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
где мы положили
Poi — Pi = k. An — ?i = s- B4-8>
Релятивистская инвариантность выражения B4.7) очевидна: k? — еа
есть квадрат 4-вектора р0)—р;. Множители и также можно объ-
объединить релятивистским образом. Матричный элемент перехода
4-тока частицы 1 имеет вид
ИЛИ
Тогда, очевидно,
Приведенный вывод B4.7) является полуклассическим в том
смысле, что в нем не используется вторичное квантование. Поэтому
не очевидно, что формула B4.7) дает лишь первый член разло-
разложения ~?'3. В дальнейшем мы покажем, что тот же самый резуль-
результат получается с помощью вторичного квантования.
2. Вывод с помощью вторичного квантования. *//. Кулонов-
екая калибровка. Если используется эта калибровка, то мы должны
прибавить к B4.1) вклад, возникающий за счет обмена поперечными
фотонами' между двумя частицами. Очевидно, переход р01, рО2-+Ри
р2 обусловлен лишь обменом фотонами и является эффектом вто-
второго порядка. Имеются два промежуточных состояния:
I. Частица 1 испускает фотон к = р01 — рх. Этот фотон затем
поглощается частицей 2, так что ее импульс становится Po2~f~^==P2*
II. Частица 2 сначала испускает фотон —к, рО2 = —k-f-p2, и
этот фотон затем поглощается частицей 1. Так как
то
Используя A4.13), получаем составной матричный элемент второго
порядка
(и; (а2е) «02)«(V) uj (g-L^
B4.10)
§ 24. Рассеяние двух электронов 269
Здесь е-1-направление поляризации фотона, одинаковое в обоих
промежуточных состояниях; 2 — суммирование по двум направлениям
в
поляризации
2 ibSy^O B4.11)
Второй член можно преобразовать, используя волновое уравнение
(«;(в1к)а01) = («;(«,. Ро1-р1)Ио1) = (?О1-?1)(«х1)'
(и>2к)Ио2) = -(Ео2-?2)(ИХ2)- ( '
Таким образом, согласно B4.6) и B4.8),
К*о = *ZxZt -gg- [5 («>02) («>oi) ~ ««AJ <<«Ai>] ' B4 •! 3>
Теперь Л'^о следует прибавить к VVo- Полное взаимодействие имеет
вид
Kfo = ^
Если член формулы B4.13), пропорциональный е9/&2, объединить
с B4.1), то сразу получится B4.7).
///. Лоренцова калибровка. Наконец, в качестве простого при-
применения квантокой трактовки продольного и скалярного полей
рассмотрим ту же самую задачу в лоренцовой калибровке. В этом
случае существует четыре типа „фотонов" с „поляризациями" 1,..., 4.
Все эти фотоны имеют одну и ту же энергию k и импульс к. Ста-
Статическое взаимодействие отсутствует. Все взаимодействие дается
составным матричным элементом второго порядка типа B4.10).
Снова имеются два типа промежуточных состояний, как и в случае II,
и энергетические знаменатели — прежние. В § 10 было показано, что
матричные элементы испускания или поглощения фотона с поляриза-
поляризацией а(=1, ..., 4) — формально те же самые, что и в случае
поперечных фотонов. Различие заключается только в том, что вектор
поляризации е заменяется единичным вектором с направлением,
совпадающим с одним из четырех пространственно-временных напра-
направлений. Например, если электрон переходит из состояния р0 в р,
то, согласно A4.29),
eZy
Поэтому, в полной аналогии с B4.10), составной матричный элемент
определяется выражением (объединяем оба энергетических знаме-
знаменателя)
KF0 = — e^zj^^ 2 («tv«oi)DT^o2). B4.14)
270 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
Релятивистская инвариантность сохранялась с самбго нача~ла. Чтобы
убедиться в том, что B4.14) и B4.7) совпадают, следует лишь
выписать 2» имея в ВИДУ> что uf = iu*$, *ц = C, *у» =— 1$аг:
и-
2 КТДЖТЛ) = - W (И2ио2)+(«XV («2*2«o2)- B4.15)
Таким образом, B4.14) и B4.7) совпадают.
В настоящем выводе не принималось во внимание условие Лоренца.
Оно не необходимо при рассмотрении столкновений между свобод-
свободными частицами, потому что, как было показано в § 13, п. 2,
и приложении III, до и после столкновения, когда частицы беско-
бесконечно удалены друг от друга, состояние можно выбрать таким
образом, чтобы фотоны всех типов полностью отсутствовали.
Очевидно,-что последний вывод (Ш) наиболее краток и наиболее
удовлетворителен с релятивистской точки зрения.
3. Обменные эффекты. При выводе формулы для Kfo (cm. выше)
мы вовсе не учитывали тот факт, что. если две сталкивающиеся
частицы одинаковы, то волновая функция в конфигурационном про-
пространстве должна быть антисимметричной. Действительно, B4.7)
и B4.14) справедливы только в том случае, когда частицы различны.
Формулы с учетом антисимметрии волновой функции можно получить
очень просто.
Амплитуда Дирака а зависит от дискретной переменной р, кото-
которая играет-роль координаты. Каждая частица (отмеченная номером,
см. § 11) обладает такой переменной. Кроме того, амплитуда и
имеет индекс, обозначающий состояние частицы, которое характери-
характеризуется импульсом р, спином й знаком энергии. Выше мы обозначили
через их волновую функцию частицы 1 с импульсом рх после рас-
рассеяния. Выписанная полностью, она должна обозначаться aPi A).
Очевидно, волновая функция конечного состояния должна теперь
быть заменена антисимметричной комбинацией
-т= {«ц.О) и*,B) е*КРАЖрл)]/*е_ Upi B) иРл(\)е*' раЖрл)/лс]} . B4.16)
Можно считать, что второй член здесь возникает благодаря замене
р!^±Рт То же самое надо сделать и для начального состояния, т. е.
следует прибавить второй член со знаком минус, заменяя рС1 ^± р01.
Измененный матричный элемент Kfo получается затем из B4.14)
прибавлением членов с заменой px^±pq и р01 ^± р0^ (со знаком минус)
и членов с заменой рх ^± pQ, p01 ^± ро^> (со знаком плюс). Полученное
выражение следует разделить на 2. Члены, в которых производится
двойная замена, конечно, равны. Таким образом (полагая Z1 = Z2= 1),
§ 24. Рассеяние двух электронов 271
находим
KF0 = - еЧк&с* V |"(^4)<VW _ (<^.)<<Vaf>
и-
(Л' = р01—р2, s^ = ^oi_E2). B4.17)
Второй член в B4.17) описывает обменные эффекты. Строго говоря,
каждую скобку, выписанную полностью, следовало бы читать как
(ut 0OрА (О) и т- Д«» но поскольку каждая скобка есть просто-
число, то она не зависит от номера рассматриваемой частицы.
4. Эффективное сечение. Можно использовать тот факт, чта
теория лоренцовски- .инвариантна (то же самое будет справедлива
и для эффективного сечения), и вычислить эффективное сечение
в некоторой частной системе координат. Наиболее удобно выбрать
ее так, чтобы центр инерции двух частиц покоился.
Это значит, что
Ро2 = — Poi = — Ро> Р2 = — Pi= — Р> |Pol = lpl- B4.18)
Конечно, Е01 = Е02 = Е1== Е2 = Е. .Эффективное сечение во всякой
другой системе координат (например, в той системе, где одна иа
частиц первоначально покоилась) можно получить простым преобра-
преобразованием Лоренца.
Вероятность перехода в единицу времени определяется общей
формулой 2r,lh\KF0\^[JF (см. § 14). Здесь *pF dEp — число состояний*
для которых конечная энергия лежит в интервале dEp. Так как оба
электрона имеют, согласно B4.18), строго противоположные импульсы,
то (FdEF равно числу состояний, в которых один электрон имеет
энергию Е (в интервале dE)
Здесь Ер — полная конечная энергия, Ер — 2Е, поэтому
Дифференциальное эффективное сечение есть вероятность перехода
в 1 сек., деленная на относительную скорость двух частиц, т. е»
2v—2(pc/E). Таким образом,
§? B4-20)
Наша единственная задача теперь состоит в том, чтобы оценить
квадрат скобок в B4.17). Сделаем это с помощью метода шпура,
уже примененного в § 22. Просуммируем по направлениям спина
272 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближенна
Pi и Рг и усредним по направлениям спина' /?01 и /?02. Исполь-
Используя A1.18) и замечая, что все и принадлежат положительной энергии,
получаем
2u L &2_Е2 kr2 е'2 J
= fi4F4 (Ь2 - Р'^2 SP Ту, (Т • Р01 + ^) Tv (Т * Pi + ty) X
X Spifj, (T • P02 +l?) T, (T
(T • A + W X
Р2. A^^- B4.21)
Здесь для краткости 4-произведение ^/^ обозначено через ^ • р-
Суммирование следует произвести по всем релятивистским индексам,
которые встречаются дважды.
Вычисление шпуров производится тем же способом, что и в § 22,
используя правила § 11. Полезно также заметить, что
2 Т«ТДа = — 2V
а
В системе центра инерции, которой мы пользуемся
Таким образом, ? = s/==0 и, кроме того,
(Pi • Poi) = (Рг • Poi) = (РоР) — ^2 = Р* cos" 6 — Е*
<J>i-Po2) = (Pz-Poi) =-p^cos^e — ^ I B4.22)
(Pi • Л) - (Poi ' Ро2) = - (Р2 + f2) = - B?9 — ^) 1
ft^ = 2p3(l— cos 6), /s/2 = 2/72A+cos6). B4.23)
Здесь 0 — угол рассеяния одной из частиц. Формулы B4.22) и B4.23) мы
используем при вычислении шпуров B4.21). Тогда с помощью B4.17)
после непосредственного вычисления эффективное сечение B4.20)
принимает вид
*? = Т p*E*fn* 6 [4 ^ +Р')'-3 (Да + Р*)а sin" Q+P4(sin4 6+4 sin^ 6)].
B4.24)
Это выражение нельзя на практике непосредственно применять,
потому что оно относится к лоренцовой системе координат,
в которой рассеяние обычно не наблюдается. Преобразуем по-
поэтому B4.24) к системе координат, в которой один из двух элек-
электронов, скажем, тот, который имел импульс р02, первоначально
докойлея. Эффективное сечение инвариантно относительно такого
§ 24. Рассеяние двух электронов 273
треобразования. Скорость, входящая в преобразование Лоренца, есть,
>чевидно, срО2/Е= — ср/Е. Таким образом, если мы обозначим
звездочкой все величины, относящиеся к новой лоренцовой системе,
го падающая частица будет иметь следующие импульс и энергию:
Через б был обозначен угол между р^ и рг Рассеянные частицы
имеют теперь импульсы р*, р* и энергии E*v E*%. Угол между р*
и р* обозначим через О*. Получим
р\sin Ь**=рsine, p*cos6*«=—p(l + cos6),
B4.26)
Полезно также выразить эффективное сечение через энергию, пере-
переданную электрону, который первоначально покоился, т* е* через
—?*•• Угол Ь связан с El формулами B4.26) и B4.25)
2?*
\ B4.27)
Если обозначить энергию отдачи, переданную первоначально покоивше-
покоившемуся электрону (энергия, потерянная паданэщей частицей), в едини-
единицах |х через qy то с помощью B4.28) и B4.24) мы получим
эффективное сечение {56J
X {(Т_ i)'a_ill=Izil)l2T+T Т
(=4-1' т-4)« B4-28)
Из B4.25) и B4.26) следует, что q связано с 0* выражением
1) Sin 6
—l)sinae* ' B4.29)
Т—1—# есть кинетическая энергия, оставшаяся у падающего
электрона. Однако между падающим электроном и электроном отдачи
нет никакой разницы. Действительно, B4.28) не меняется, если
поменять местами q и у—1 —q. Однако частицу с меньшей энер-
энергией всегда называют частицей отдачи. Тогда q меняется от 0 до
G—0/2» Соответствующие углы для падающей (более быстрой)
274 Рл. 5. Радиационные процессы б первом, приближении
частицы есть 0* = 0 и 0,н, причем максимальный угол Ьт> со-
согласно B4.29), определяется выражением
Направления движения электрона отдачи и падающего электрона
обраоуют угол О', который всегда больше 0*/4. Так как имеется
полная симметрия между двумя частицами, то связь между ^и У'
получается из B4.29), если заменить q на f—1—q и о* на О'.
Таким образом,
Максимальный угол, под которым испускается частица отдачи, опре-
определяется выражением B4.29') при # = 0, т. е. e' = 7i/2. Таким
образом, О*ш<о'<тт/2; 0<0*<С
В нерелятивиСтском приближении (т->1) выражение для tfcp
упрощается. Прежде всего, из B4.26) находим, что в этом случае
Ь = 2<>*. Тогда 0* изменяется от 0 до эг/2. Непосредственно из
B4.24) для dy получаем
- B4.30)
где vo^~скорость падающего электрона. Последние два члена обу-
обусловлены обменом. Впервые они были получены Моттом [57]. Первый
член, который только и остается, если частицы различны, предста-
представляет собой известную формулу Резерфорда, и здесь нет нужды
его рассматривать.
Если потери энергии малы, то B4.28) сводится к выражению
^ = 2^^-^ (?<Л-О- B4.31)
Видно, что dcp быстро уменьшается с увеличением потерь энергии,
так что наименьшие потери энергии наиболее вероятны. Выраже-
Выражение B4.31) есть хорошо известная формула Бора. Она также реля-
релятивистски точна. Даже когда q принимает свое максимальное зна-
значение х/2 (y—1), отклонение точного выражения B4.28) от B4.31)
не очень велико. Формулы B4.28) и B4.31) используются при
расчете тормозной способности вещества для быстрых электронов
(ср. § 37).
Формулы B4.24) или B4.28), описывающие рассеяние, были
экспериментально проверены при энергиях в несколько единив тс*
и оказались в хорошем согласии с экспериментом *).
1) Для детального рассмотрения см. [26].
$ 25. Тормозное излучение 275
Ради полноты приведем также формулу эффективного сечения
рассеяния электрона в фиксированном кулоновском поле, т. е. в слу-
случае, когда одна из частиц считается бесконечно тяжелой. Никакие
эффекты запаздывания тогда не возникают, и точное выражение
матричного элемента имеет вид
). IPoIHpI = P. B4-32)
Множитель (и*#02), относящийся к ядру, теперь, конечно, следует
отбросить. Релятивистски точное выражение для эффективного сече-
сечения в борновском приближении [58] имеет вид
) <24-33)
Эта известная формула едва ли нуждается в рассмотрении. Переходя
к „противоположной лоренцовской системе", в которой электрон
первоначально покоился, получаем эффективное сечение столкновения
быстрой тяжелой частицы с покоящимся электроном. Выражая его,
как и в B4.28), через энергию, переданную электрону, qz=z(E*/p)— 1,
найдем *
2c2d
(г; —скорость тяжелой частицы). Различие между B4.28) и B4.34)
возникает благодаря спину и обменным эффектам, а также благо-
благодаря тому обстоятельству, что в последнем "случае изменение импульса
тяжелой частицы ничтожно.
§ 25, Тормозное излучение
Если электрон с первоначальной энергией Ео (импульсом р0)
проходит через поле ядра (или атома), то он, вообще говоря, пре-
претерпевает отклонение. Поскольку такое отклонение всегда озна-
означает определенное ускорение, то электрон должен излучать.
Таким образом, существует определенная вероятность того, что будет
испущен фотон к, а электрон перейдет в новое состояние с энер-
энергией Е (импульсом р):
E + k = E0. B5.1)
Поскольку ядро значительно тяжелее электрона, суммарный
импульс системы электрона и фотона, вообще говоря, не сохра-
сохраняется; ядро может принять на себя любой импульс. Поэтому
мы получаем конечную вероятность перехода в любое конечное
состояние Е, р, удовлетворяющее условию B5.1).
1. Дифференциальное эффективное сечение [59]. Взаимодей-
Взаимодействие, вызывающее переход из начального состояния О(р0) в конечное
18*
276 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
состояние F(p, к), состоит из двух частей: а) взаимодействия #iat.
электрона с полем излучения, являющегося причиной испускания
фотона к, и б) взаимодействия V электрона с полем атома. Таким
образом, полное взаимодействие равно
Н=*НЫ. + У. B5.2)
Будем трактовать V как возмущение точно таким же образом,
как и взаимодействие #int. с полем. Это приводит к разложению
вероятности перехода по степеням ?2 (или Z#2). Первое (борновское)
приближение этого разложения дает правильные результаты только
в том случае, если
2^оэ2^<1 и 2«5и2я^-<;1. B5-3)
где vo> v — скорости до и после столкновения соответственно*
В случае легких элементов условие B5.3) всегда выполняется, если
первичная энергия имеет релятивистский порядок, за исключе-
исключением небольшого интервала таких частот, при которых электрон
отдает почти всю свою кинетическую энергию Ео — tx световому
кванту и потому по окончании процесса* имеет очень малую ско-
скорость v. Для малых начальных скоростей Зоммерфельд дал точную
теорию [60], результаты которой излагаются в п. 2. Аналогичным
образом при больших энергиях v~c, но для тяж'елых элементов,
повидимому, необходимо сделать некоторые поправки (для свинца
Ze'2/hc = Q,6)* Они будут даны в п. 5.
Сначала рассмотрим случай чисто кулоновского поля V—Ze^/r.
Взаимодействие Нт\. электрона с излучением имеет неисчезаю-
щие матричные элементы только для тех переходов, при которых
сохраняется импульс. С другой стороны, у кулоновского взаимодей-
взаимодействия 'V отличны от нуля только.те матричные элементы, для кото-
которых состояние поля излучения остается неизменным, тогда как им-
импульс изменяется на некоторую величину. Переход О -> F происходит
через промежуточное состояние. Очевидно, возможны два промежу-
промежуточных состояния:
I. Испускается фотон к. Электрон имеет импульс р':
р'^Ро— к. B5.4)
Переход О -> I обусловлен слагаемым Hmt, в выражении взаимодей-
взаимодействия B5.2). При переходе в конечное состояние F (благодаря взаи-.
модействию с атомом V) импульс электрона изменяется от р' до р.
II. Электрон имеет импульс
р" = р + к, B5.5)
выбранный так, чтобы при переходе II —>• F фотон к испускался с со-
сохранением импульса. Переход О —> II обусловлен взаимодействием V,
§ 25. Тормозное излучение 277
Матричные элементы взаимодействий Hmt. и V для рассматривае-
рассматриваемых переходов можно взять непосредственно из A4.27) и B4.32)
= — е У —j— {a[ <xu0), VFi == , (в а'),
Г Л |р р|B5.6)
Viio =
= — е у
Здесь а означает компоненту а в направлении поляризации к^.
Знаменатели в матричных элементах взаимодействия V, согласно
B5.4) и B5.5), равны *между собой; обозначим их через q*, так что
q = Po — Р'/==Р' — Р = Ро — Р — к*, B5.7)
здесь q — полный импульс, переданный ядру*
Обозначая через 2 суммирование по направлениям спина и зна-
знакам энергии промежуточных состояний1), запишем матричный эле-
элемент перехода О -> F в виде
где разности энергий Ео—Е\ и Ео — Ец, согласно B5.4) и B5.5),
равны
Eq — Ец = Ео — Е"9 Е" = р" -f- [х2.
Вероятность перехода в единицу времени дается выражением
w = 2j\KF0\*pF, B5.10)
где р^р — число конечных состояний на интервал энергии dEp. В ко-
конечном состоянии присутствуют электрон с импульсом р (энергией Е)
и фотон к, причем Ер = ?"+ k. Так как к и р независимы друг
от друга, то число конечных состояний р^ равно произведению двух
функций плотности рЕ и рк электрона и фотона, и при данном k
можно положить dEF=dE. Таким образом,
dk. B5.11)
1) Здесь также можно использовать промежуточные состояния с отрица-
отрицательными энергиями вместо промежуточных состояний с положительными
электронами (см. стр. 246).
278 Гл. 5 Радиационные процессы в первом приближении
Деля на скорость падающего электрона сро/Ео, получаем из
B5.6), B5.8) —B5.11) дифференциальное эффективное сечение рас-
рассматриваемого процесса
(ц WQ (и»\)
B5.12)
Формула B5.12) относится к некоторым определенным направле-
направлениям спина до и после процесса. Поскольку нас не интересует на-
направление спина, мы выполняем суммирование S по всем его напра-
направлениям в конечном состоянии и усредняем (V2So) п0 направлениям
спина в начальном состоянии.
Здесь мы не рассматриваем поляризацию испущенного излучения
(см. ниже). Поэтому просуммируем B5.12) также и по обоим на-
направлениям поляризации фотона к. Все эти суммирования можно
произвести совершенно так же, как это было сделано в теории
эффекта Комптона (§ 22). Дифференциальное эффективное сечение
имеет вид
— Z2ei dk ?.
--ШТТ
p2sin2e+Posin29o 1
(Е-р cos в) (Еа-р0 cos %)(' B5.13)
где б, 0о — углы между к и р, р0 соответственно, а <р — угол между
плоскостями (рк) и (рок). Величина q есть функция углов и, согласно
B5.7), равна
— 2рор (cos 6 cos 80-|т- sin 6 sin б0 cos cp). B5.14)
Формула B5.13) определяет вероятность . того, что квант к испу-
испускается в направлении, образующем угол 60 с первоначальным на-
направлением электрона, и что электрон рассеивается в направлении
с полярными углами 0, <р относительно к. Прежде чем рассматри-
рассматривать угловое распределение B5.13), проинтегрируем дифференциаль-
дифференциальное эффективное сечение по всем углам и получим полное эффектив-
эффективное сечение испускания кванта k с энергией в интервале между k и
k-{-dk. Удобно представить эффективное сечение как функцию
отношения k к начальной кинетической энергии Ео — |х [т. е. как
функцию k/(E0—|J>); новая переменная изменяется от 0 до 1].
# 25. Тормозное излучение 279
Поэтому определим эффективное сечение ср/с испускания кванта k
с энергией в интервале dk/(E0— <х) при помощи соотношения
Qk. B5.15)
о — I*
Интегрирование B5.15) по углам элементарно, но довольно
утомительно. Оно дает
Ро Р*
где использованы следующие обозначения:
B5Л6)
/ lnPo + PoPEok о,
L = in -5 = z In,
EJ * B5.16')
Величина ср является удобной единицей для выражения эффективного
сечения тормозного "излучения и аналогичных процессов. Она про-
пропорциональна квадрату заряда ядра.
2, Сплошной рентгеновский спектр. Прежде всего применим
нашу теорию к сплошному рентгеновскому спектру. В этом случае
начальные энергии малы по сравнению с энергией покоя электрона ^
т. е. мы имеем нерелятивистскую задачу.
Полагая Ео и Е равными \i и пренебрегая всеми р и k по срав-
сравнению с jx, получаем для дифференциального эффективного сечения
простое выражение
d — 2 z%4 dk p sin 6 db sin 6° d®°d(? у
? *~" ? 137 & p0 ^ X
X {р951П20+р2$1п2ео_2^о51п0 51п6осо5ср}. Я^^л. B5.17)
Поскольку ^ = (p2 /?2)/2|a мало по сравнению с р0, то можно,
согласно B5.14), написать для qq
q2 = p2jrpl — 2рр0(cos 0 cos 60-f sin Ь sin 60 cos 9) = (p0—pJ. Церел..
B5,170
В этом случае q не зависит от направления к.
280 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
Для данного направления рассеяния электрона (т. е. для данного
угла между р0 и р) максимум интенсивности расположен в напра-
направлении, перпендикулярном к плоскости движения электрона [т. е.
к плоскости (pop)]. Это соответствует классической теории, в которой
максимум интенсивности испускается перпендикулярно к ускорению.
Если проинтегрировать B5.17) по всем направлениям р, получается
интенсивность излучения, испущенного в определенном направле-
направлении 80.
Полное эффективное сечение испускания фотона k дается выра-
выражением B5.15). В нерелятивистском случае получаем
7-0; * * k р* ро~р Г 3 \Т0) к к
Мере л. B5.18)
Pq
где Т0 = Е0— {х = тг кинетическая энергия первичного элек-
электрона. Формула B5.18) показывает, что вероятность испускания
кванта k уменьшается, грубо говоря, как 1/А. В пределе коротких
длин волн & = /?2/2{а и cpfc обращается в нуль (см. ниже), тогда как
для очень длинных волн интенсивность АсрА логарифмически расхо*
дится. Это обстоятельство справедливо,- однако, только в чисто ку-
лоновском поле и в борновском приближении. Как мы увидим в п. 3,
для экранированного поля k$k стремится к конечному пределу при
&->0. С другой стороны, мы увидим [см. B5.19)], что в точной
теории cpft остается конечным и при k = py2\*<.
Формулы B5.17) и B5.18) справедливы лишь, если выполнено
условие B5.3) применимости борновского приближения. В случае
очень малых энеогий при вычислении матричных элементов опера-
оператора V нельзя пользоваться плоскими волнами в качестве волновых
функций электрона. В этом случае приходится использовать точные
волновые функции непрерывного спектра. Это было сделано Зоммер-
фельдом [25]. Из его результатов можно вывесга следующую при-
приближенную формулу [60]*).
Угловое распределение остается тем же самым; полную интен-
интенсивность, определяемую B5.17) и B5.18), следует умножить на
фактор
При больших значениях vo(t. e. при малых Q множитель B5.19)
существенно отличается от единицы, главным образом в пределе
коротких длин волн. При р^>0 B5.19) обращается в бесконечность,
*) Критические замечания и более поздние данные см. в работе [61].
Множитель B5.19), зависящий от 5, есть квадрат точной волновой функции
|ф|а для электрона в конечном состоянии в точке нахождения ядра.
§ 25. Тормозное излучение
281
и так как B5.18) при этом равно нулю, то эффективное сечение <?к
стремится к конечному пределу. Множитель B5.19) всегда больше
единицы, так как ? > ?0 и функция х/{1— е^~х)) монотонна.
На фиг. 12 представлена интенсивность kyk испущенного излу-
излучения в единицах Е0<р (в нерелятивистском случае E0 = \i) как функ-
функция отношения k/(E0 — <а). В нерелятивистском случае формула B5.18)
0,1 Q2 0,3 0,4 0,5 Q6 0,7 0,8 0,9
f/(E2)
Фиг. 12. Зависимость интенсивности тормозного излучения
от ^/(? 2)
Числа, проставленные над кривыми, относятся к первичной кинетической энер-
энергии Яо—Р- в единицах \i = mc2. Пунктирные части кривых рассчитаны в борновском
приближенли, пренебрегая экранированием [см. '5.16)], и справедливы для всех
элементов. Сплошные кривые в том месте, где они отклоняются от пунктирных
кривых, рассчитаны для свинца (кроме кривой для нерелятивистского случая,
которая рассчитана для алюминия). Отклонения представляют: я—при высоких
энергиях и для мягких квантов—эффект экранирования; б—при малых энергиях
(нерелятивистская кривая)—влияние множителя Зоммерфельда E.19). Единица
измерения: c2
(пунктирная часть кривой) дает распределение интенсивности, не зави-
зависящее от первичной энергии Го. При приближении к области жестких
квантов множитель Зоммерфельда B5.19) приводит к отклонению
or кривой, рассчитанной в борновском приближении, причем это
отклонение зависит от первичной энергии и от заряда ядра Z (мы
не учитываем, конечно, множитель Z2, содержащийся^ единице ср).
На графике сплошная кривая относится к алюминию (Z = *13),
To/lx = O»125^ или 2тг?0==1,2. Для тяжелых элементов отклонение,
обусловленное множителем B5.19), значительно больше. Интенсив-
282 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
ность в этом случае гораздо меньше интенсивности, представленной
пунктирной кривой (кроме случая /г/Г0~1).
В область мягких квантов „точная" кривая B5.19) продолжена
пунктиром, потому что в этой области экранирование будет изме-
изменять распределение интенсивности.
Дальнейшее рассмотрение вопросов, относящихся к сплошному
рентгеновскому спектру, в частности поляризации, углового распре-
распределения и сравнения с экспериментом, в книге Зоммерфельда.
3. Область больших энергий, эффект экранирования. С уве-
увеличением энергии максимум углового распределения в направлении
движения становится все более и более резким. В этом можно легко
убедиться, если рассмотреть крайний релятивистский случай Е,
S0^>jx. Тогда р0 почти совпадает с Ео. и знаменатели Ео— />0cos60
и т. д. становятся очень малыми при малых углах 60. Таким образом,
q также имеет минимум при малых 60 и 6. Следовательно, и электрон
и фотон летят в направлении движения в пределах среднего угла
порядка 6—\^/Е0, как показывает детальное рассмотрение форму-
формулы B5.13) [62, 63]1),
Грубо говоря, угловое распределение при высоких энергиях
имеет вид
ЫЧ )J ¦ B5-20)
Такиац образом, излучение, испущенное под углом [а/Е0, частично
поляризовано [64]. Преобладающее направление поляризации перпен-
перпендикулярно к плоскости (р0, к). Отношение интенсивностей в напра-
направлениях, перпендикулярных и параллельных этой плоскости, оказы-
оказывается равным
Для всех других углов 60 это отношение близко к единице. В част-
частности, эффект велик при k<^E0 (но k^>\i).
Распределение по частотам определяется уравнением B5.16).
В крайнем релятивистском случае Ео, Е^>[х эта формула имеет вид
- dk Е \Е% + Е2 2
2Jk
!) Для эффекта Комптона средний угол имеет порядок 0 ~ (ix/E0)l'2t если
вторичный фотон к порядка k0. Различие в порядке величины возникает
потому, что электрон отдачи берет на себя часть энергии. Этого нет в слу-
случае ядер отдачи при тормозном излучении (ядра ггредполагаются бесконечно
тяжелыми). - ~
§ 25. Тормозное излучение 283
При данном отношении к/Е0 вероятность испускания растет, грубо
говоря, пропорционально логарифму E0/\l. При малой энергии кван-
тов й~0 интенсивность kyk логарифмически расходится.
Полученная выше формула для эффективного сечения была вы-
выведена в предположении, что поле ядра является строго кулонов-
ским. Естественно возникает вопрос, не вызывает ли экранирование
кулоновского поля, обусловленное распределением заряда внешних
электронов, необходимости внесения каких-либо существенных изме«
нений. При классическом подходе к задаче для ответа на поставлен-"
ный вопрос надо было бы исследовать, насколько значительно экра-
экранирование при тех параметрах соударения г, которые дают основной
вклад в эффект. Однако в квантовой теории представление о пара-
параметре соударения не имеет определенного смысла, поскольку элек-
электрон представляется в виде плоской волны. Действительно, усред-
усреднение по всем параметрам соударения уже содержится в интеграле,
выражающем матричный элемент V:
VFl ю J
p'-p, т)/Лс
dx =
Мы можем придать некоторый смысл представлению о параметре
соударения, выяснив, какие расстояния г дают основной вклад в ин-
интеграл. Очевидно, ими являются значения
r~j. B5.22)
Расстояния, превышающие B5.22), дают малый вклад, потому
что экспоненциальная функция быстро осциллирует в области, где г
практически постоянно. При меньших расстояниях величина dx~r*dr
мала. Поэтому можно рассматривать величину B5.22) как наиболее
существенный параметр соударения.
Тогда очевидно, что при очень малых q дифференциальное эффе-
эффективное сечение B5.13) становится очень большим. Если первона-
первоначальная энергия Е0^>[а, то минимальное значение q равно
B5-23)
Следовательно, согласно B5.22), для значения эффективного се-
сечения еще существенны расстояния порядка
тс
B5.24)
При данном отношении kjE, rraax# тем больше, чем выше первичная
энергия. Если k порядка Е, то rmax становится величиной порядка
радиуса /С-оболочки при Ео~ 137;-/Z. Поэтому можно ожидать, что
как раз при больших энергиях экранирование кулоновского поля
284 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
внешними электронами приведет к уменьшению эффективного сечения.
Для мягких квантов k это будет иметь место, согласно B5.24), даже
при несколько меньших энергиях»
Приблизительное представление о величине эффекта экранирова-
экранирования можно получить из рассмотрения того случая, когда ггаах велико
по сравнению с радиусом атома. Мы назовем его случаем ^полного"
экранирования. В -качестве атомного радиуса можно взять вели-
величину, даваемую моделью Томаса — Ферми,
a~aJL~xl*~ 137X0Z~l/a B5.25)
{а0 — боровский радиус водородного атома). Если теперь rmax# велико
по сравнению с а, то мы наверняка получим правильный порядок
величины эффективного сечения при условии замены максималь-
максимального параметра соударения rmax> атомным радиусом а [см. B5.25)].
В формуле B5.21) для распределения по частотам rmax. стоит под
знаком логарифма. Этот логарифм теперь следует заменить на
In A37 Z~lt*). Тогда при данном отношении kjJE^ аеличина ук будет
стремиться к конечному пределу, так как Е0/\х -> оо , Кроме того,
для квантов малой энергии (&~ 0) интенсивность kyk не расхо-
расходится логарифмически, а стремится к конечному пределу.
С помощью атомной модели Томаса — Ферми точные вычисления
[59, 65] полного экранирования дают следующую формулу распре-
распределения частот:
-dk E l +
^[{^J1A83ZV) + 4] Kp. рел.
B5.26)
Если экранирование не полное, то теория дает непрерывный пе-
переход от формулы B5.21) к формуле B5.26).
Так как cpfe, грубо говоря, пропорционально E0/k, то интенсив-
интенсивность kyk на фиг. 42 представлена в единицах Еоу для различных
первичных кинетических энергий Ео — jjl. Пунктирные кривые (пре-
небрегается экранированием) справедливы для всех элементов, так
как Z содержится только в величине ср. Сплошные кривые рассчи-
рассчитаны с учетом экранирования для свинца (Z = 82), исключая кривую
для нерелятивистских энергий, которая справедлива для алюминия;
кривые приближаются к кривой полного экранирования Еп~оо
[см. B5.26)] в области квантов малой энергии. В этой области не-
нерелятивистская кривая также должна была бы стремиться к конеч-
конечному пределу, если бы учитывалось экранирование. В области кван-
тоа большой энергии экранирование не имеет существенного значе-
значения. С другрй стороны, в пределе квантов большой энергии
(k~E0 — |а) кривые, вероятно, стремились бы к определенной ко-
§ 25. Тормозное излучение 285
нечной величине, если бы использовались точные волновые функции
непрерывного спектра, как в точной теории Зоммерфельда для
нерелятивистских энергий.
Для легких элементов экранирование менее заметно. Для тя-
тяжелых элементов использование борновского приближения ведет
к некоторой ошибке даже в случае средних и мягких квантов
(ср. п. 5).
Как видно из графика, распределение интенсивности, грубо
говоря, равномерно по всему интервалу частот.
Характерная трудность возникает, повидимому, в том случае,
когда вместо распределения по энергиям рассматривается эффек-
эффективное сечение. Оно ведет себя как dkjk при малых k. Следует
думать, что интеграл по k дает поправку к рассеянию электронов
в кулоновском поле (см. § 24) благодаря испусканию очень мягких
фотонов. Эта поправка логарифмически расходится. Аналогичная
трудность встречалась и в С1учае двойного эффекта Комптона (см.
§ 23). Решение задачи то же самое. Имеются дополнительные по-
поправки к рассеянию без излучения, возникающие за счет высших
приближений теории излучения, и они в трчности -уничтожают рас-
расходящуюся часть. Эга „инфракрасная катастрофа" будет подробно
рассмотрена в § 33 в связи с простым и двойным эффектами Комп-
Комптона:
4. Потери энергии. Заметная доля энергии, которая теряется
электроном при прохождении через вещество, обусловлена тормоз-
тормозным излучением, если к имеет порядок кинетической энергии Ео.
Среднюю энергию, теряемую при одном столкновении, можно полу-
получить, интегрируя интенсивность kyk по всем частотам от 0 до Ео—[х.
Средняя энергия/ теряемая на 1 см пути, определяется выражением
где N— число атомов в 1 смъ. На фиг. 12 показано, что площадь
под кривыми одного порядка величины для всех энергий. Поскольку
на фиг. 12 представлено эффективное сечение, деленное на Ео, то
энергия, теряемая на 1 см пути, грубо говоря, пропорциональна
первичной энергии Ео при высоких энергиях Ео ^> |х и постоянна
при малых кинетических энергиях Ео — [х <t^ jx. Поэтому удобно
ввести эффективное сечение cprad# для потерь энергии на излучение
B5.28)
286 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
После элементарных, но довольно скучных вычислений из B5.16)
получаем [66]
где функция F(x) определяется интегралом1)
y. B5.29')
О
При малых л: функцию F можно разложить в степенной ряд
F(x) = *-^+f-g+... B5,30)
При больших х можно воспользоваться (точной) формулой
F(x) =-i «а+ 1Aп*)» —/>(!). B5.31)
Из B5.29) — B5.31) для обоих предельных случаев получаем
?ra4. = j?. Нерел. B5.32)
?ral=4(li3-i-)?. Kp. рел. B5.33)
В случае малых энергий средняя энергия, теряемая на цзлуче-
ние, не зависит от первичной энергии. При высоких энергиях отно-
отношение энергии, теряемой на излучение, к начальной энергии лога-
логарифмически растет с Ео. Это, однако, справедливо лишь в том
случае, если пренебрегать экранированием. В случае полного экра-
экранирования из B5.26) после интегрирования получаем
a. = ? {4InA83Z-V.)+J) Кр.рел. B5.34)
В этом случае сргш3. постоянно.
Эффективное сечение срга^. для потерь энергии на излучение
представлено на фиг. 13 в логарифмическом масштабе. Формула
B5.33) при высоких энергиях и без учета экранирования дает пря-
прямую линию. Кривые, учитывающие экранирование, получены из кри-
кривых фиг. 12 численным интегрированием. Они асимптотически стре-
стремятся к значениям, даваемым уравнением B5.34).
Эти кривые количественно правильны для легких элементов.
В случае тяжелых элементов следует помнить, что применение бор-
1) Эта функция табулирована; ср. [67, 68].
§ 25. Тормозное излучение
287
новского приближения ведет к некоторой ошибке в численных зна-
значениях, однако ошибка невелика даже для свинца (см. п. 5).
Значения сргаа /ср даны в табл. 5.
Таблица о
Эффективное сечение для потерь энергии при излучении
(борно: ское приближение)
Е -тс*
тс'1
Н2О
Trad,
Pb
0
5,33
l
5,5
2
6,5
5
9,1
8,75
10
11,2
10,3
20
12,9
11,4
50
14,6
12,6
100
15,6
13,3
200
16,4
13,8
10С0
17,5
14,5
со
18,3
15,2
Чтобы дать грубое представление о практическом значении по*
лученных результатов, на фиг. 13 представлено для сравнения
в тех же единицах эффективное сечение для обычных потерь энер-
энергии электрона при неупругих столкновениях (ионизация атомов).
75
12,5
sfc
Ю
у
V
X
V
н2о
AI.W
US 1 2 5 10 20 50 WO 200 500 WOO 2000 5000 WOOQ
Фиг. 13. Эффективное сечение cprad для потери энергии электрона на
излучение на единицу пути [определяется уравнением E.28)].
Борновское приближение. Единицы измерения cp = r^Z2/137. Пря.нся линия при высо*
ких энергиях рассчитана без учета эффекта экранирования и справедлива для всех
элементов. Пунктирные кривые в тех же единицах показывают потерю энергии при
неупругих столкновениях для различных веществ. Справа указаны асимптотические
значения для Al» Cu, Pb.
288 Гл. 5. Радиационные процессы & перьом приближении
Общий вопрос о потерях энергии частицы при прохождении через
вещество будет рассмотрен в § 37. Здесь мы только заметим, что
потери энергии #на 1 см пути при столкновениях пропорциональны Z,
тогда как рассматриваемый эффект пропорционален Z2 и, грубо
говоря, не зависит от энергии. Отношение потерь энергии к пер-
первичной энергии (которое представлено на фиг. 13) уменьшается,
следовательно, как 1/Я0, тогда как та же величина для потерь энер-
энергии на излучение возрастает логарифмически. Таким образом, мы
получаем поразительный результат: при энергиях выше некоторого
предела потери энергии почти полностью обусловлены испуска-
испусканием излучения, причем они значителъяо превосходят потери
на ионизацию. Для свинца этот предел лежит приблизительно при
20 тс*, для воды — при 250 тс2.
б. Поправки, экспериментальная проверка. Все полученные
аыше результаты являются приближенными в том отношении, что
1) использовалось борновское приближение. Менее значительные по-
поправки следует сделать также в связи с тем, что 2) ядро не является
бесконечно тяжелым и может принимать на себя некоторую энергию
отдачи; 3) ядро не есть точечный заряд, оно имеет конечную протя-
протяженность. Наконец, следует иметь в виду, что 4) мы пренебрегаем
всеми поправками теории излучения высшего порядка (включая эф-
эффекты затухания). В гл. 6 будет показано, что последний вид по-
поправок D), вероятно, должен быть очень мал; такие поправки не
превышают долей процента. Основной является поправка A). Ниже
будет показано также, чт5 эффект, связанный с энергией отдачи,
тоже очень мал. Конечный размер ядра проявляется только в том
случае, когда q [см. B5.22)] велико, т. е. при больших углах
6, 60. В данном случае этот эффект велик, но для эффективного
сечения, проинтегрированного по углам, учет конечного размера
дает очень малую поправку.
Согласно п. 2, отклонение от борновского приближения велико
для тяжелых элементов и низких энергий. Можно ожидать, что,
согласно B5.19), для больших Z это имеет место и при высбких
энергиях. Однако надлежащее рассмотрение показывает, что это
справедливо, только для больших углов испускания, в то время как
для основного угла порядка ^/Ео эти поправки малы. В крайней
релятивистской области получаются следующие результаты [69].
Поправка существенна только при малых параметрах соударения (боль-
(большие q), когда можно пренебречь экранированием. Поэтому эффект
экранирования и отклонение от борновского приближения аддитивны.
Поправкой к формулам B5.21) или B5.26) является дополнительный
член / k ч -dk Е
^Ы2
§ 25. Тормозное излучение 289
Эта поправка —24 и имеет противоположный знак по сравнению
с поправкой в нерелятивистской области, где B5.19) больше еди-
единицы. Поправкой к сечению cprad. [см. B5.33) или B5.34)] является
величина cprad. = — 2<pQ(Z), которая составляет около 9% для РЬ.
При изучении прохождения «электрона через атом следует, на-
наконец, учесть, что электрон может также сталкиваться с атомными
•электронами и давать тормозное излучение. Используя упрощенный
метод, мы рассмотрим в приложении VI испускание тормозного из-
излучения при электрон-электронных столкновениях. С теоретической
точки зрения наиболее существенно то обстоятельство, что электрон
отдачи может принять на себя значительную часть энергии и им-
импульса (это обстоятельство чрезвычайно затрудняет точные вычис-
вычисления). Можно показать, однако, что окончательная формула для
электрон-электронных столкновений при k ^> jx едва ли отличается
от формулы, выведенной в п. 1—4 (за тем исключением, конечно,
что множитель Z2 опускается), хотя эффективное сечение в этом
случае, вероятно, несколько меньше. Это следует понимать в том
смысле, что передача большого импульса электрону, который пер-
первоначально покоился, хотя и возможна, но происходит редко и дает
малый вклад в полное эффективное сечение. Отсюда следует также,
что пренебрежение отдачей в приведенном выше рассмотрении не
вызывает существенной ошибки. Вклад атомных электронов в тор-
тормозное излучение в этом случае можно учесть с достаточной точ-
точностью, просто заменяя множитель Z2 на Z{Z-\-A), где А близко
к единице (вероятно, немного меньше; ср. также § 26, п. 2). Таким
образом, изменяется лишь единица измерения ср.
Измерения тормозного излучения при высоких энергиях немного-
немногочисленны. Наибольшей интерес для проверки наших результатов
представляет явление, которое связано с прохождением очень быст-
быстрых электронов через вещество и с образованием в результате этого
каскадных ливней, рассмотренных в гл. 7. Эксперименты недоста-
недостаточно точны, хотя качественно они полностью согласуются с пред-
предсказаниями теории.
В качестве попытки количественной проверки теории упомя-
упомянем также измерение энергетического спектра "f-излучения, обра-
образованного в Pt электронами с энергией 19,5 Мэв = 39 [х [70]1).
Наблюдалось ^-излучение в направлении движения в пределах
малого телесного угла. Результаты нельзя непосредственно срав-
сравнить с кривыми фиг. 12, потому что последние относятся к инте-
интегралу по всему телесному углу. Распределение интенсивности,
которое следовало ожидать в экспериментальных условиях, было
рассчитано и представлено на фиг. 14. Оно аналогично кривым
фиг. 12. На рисунке показаны результаты измерений вместе с их
х) При 330 Мэв было показано, что теория, по крайней мере прибли-
приближенно, согласуется к экспериментом [71].
19 Зак. 1260. В. Гайтлер
290
Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
статистическими ошибками. Видно, что в пределах довольно боль-
больших экспериментальных ошибок согласие в общем хорошее.
о
20
40тс2
Фиг. 14. Относительное энергетическое распре-
распределение тормозного излучения, сопровождающего
прохождение электронов с энергией 19,5 Мэв
через мишень Pt (измерения и теория).
При той же примерно энергии C4 \i) измерялась [72] зависимость
от Z. Было найдено, что эта зависимость находится в очень хоро-
хорошем согласии с теорией, если электронный вклад предполагается
равным Л ==0,75.
§ 26. Образование позитронов
Согласно § 11, образование электронно-позитронной пары сле-
следует истолковывать как переход обычного электрона из состояния
с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией.
Для образования пары свободных частиц необходима энергия, пре-
превышающая 2/Tic2. Она может быть сообщена либо в результате по-
поглощения ^-кванта, либо при соударении с частицей, кинетическая
энергия которой больше 2тс<*. Однако законы сохранения энергии
и импульса удовлетворяются лишь в присутствии еще одной ча-
частицы (например, атомного ядра). Таким образом, пары будут обра-
образовываться при прохождении ^-лучей или быстрых частиц через
вещество. Рассмотрим прежде всего наиболее важный случай.
1. Образование пар у"лУчами в присутствии ядра с за-
зарядом Z. Обозначим энергию и импульс позитрона и электрона
соответственно через E+i p+ и Е_, р_. Рассматриваемый процесс
состоит в следующем: 7"квант» проходя через кулоновское поле
ядра, поглощается электроном, находящимся на уровне с отрица-
отрицательной энергией Е= — Е+, р — — р+; электрон при этом пере-
переходит в состояние с положительной энергией ?_, р_.
Этот процесс тесно связан с явлением тормозного излучения
(см. § 25). Процессом, обратным образованию пар, является, оче-
очевидно, переход обычного электрона в присутствии ядра из состоя-
§ 26. Образование позитронов 291
ния с энергией Е0 = Е_ в состояние Е = — Е+ с испусканием фЪ-
тона с энергией
k E E E+ I)
Этот процесс отличается от обычного тормозного излучения лишь
тем, что энергия конечного состояния отрицательна. Поскольку ма-
матричные элементы для прямого и обратного процессов суть комплек-
комплексно сопряженные величины, эффективное сечение образования пар
можно получить непосредственно из вычислений § 25. При этом,
однако, следует взять другое выражение для плотности состояний рр.
Именно, поскольку в случае образования пары в конечном состоя-
состоянии находятся позитрон и электрон, а не электрон и фотон, плот-
плотность состояний будет иметь вид
а не pEpkdk, как в § 25. Далее, вероятность перехода нужно делить
на скорость падающего фотона (т. е. на с), а не на скорость па-
падающего электрона v0. Поэтому формулу B5.13) для дифферен-
дифференциального сечения следует умножить на
?E?udk ?o ~
Поскольку Ро = Р--» Р = — Р+' углы О, 80, ср, указывающие на-
. правление движения электрона в начальном и конечном состояниях,
связаны с углами G+, 6_, ср_,_, указывающими направление движения
позитрона и электрона, следующими соотношениями:
8+ = * — О, 6_=6О, ?+ = * + ср. B6.4)
где 6± — угол между векторами "к и р±, ср+ — угол между пло-
плоскостями векторов к, р+ и к, р_. Далее, полагая
Е0 = Е_, Е = — Е+, ро = р-, р = р+ B6.5)
и подставляя B6.3) — B6.5) в формулу B5.13), получаем диффе-
дифференциальное эффективное сечение для образования пары р4, р_
• Z2_ ei_ p+p_dE+ sin6+ sin e__Qf6+^e_^cp +
?~~ 137 25Г P q* X
i p2, sin2 6 , p2 sin2 8
+р+созе+)
2p+/7_sin6+ sin6_ cos
6
_ —p_ cos 6_) (?+ — P+ cos в
p\ sin26+ -\-p\ sin26_
?- -p- cos 6_) (E+ — p+ cos 8
^ = (k — p4— p_)*. B6.7)
Интегрирование по углам выполняется точно так же, как и
в случае тормозного излучения. Эффективное сечение для образова-
19*
292 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
ния позитрона с энергией Е+ и электрона с энергией Е_ оказы-
оказывается равным [59, 66, 73]
q E F
br)l}- <26-8)
^t^., B6.8')
В крайнем релятивистском случае, когда все энергии велики по
сравнению с энергией покоя электрона, выражение B6.8) принимает
вид
?
Выражения B6.8) и B6.9) симметричны относительно позитрона*
и электрона. Это связано с использованием борновского приближе-
приближения, на котором основаны вычисления § 25. В этом приближении
потенциал V входит лишь квадратично, и знак заряда не существе-
существенен.
Пределы применимости выражений B6.8) и B6.9) те же, что
и для уравнений B5.16), B5.21), т. е.
1) Скорости электрона и позитрона v+ и т/_ должны быть так
велики, а заряд Z так мал, что
^ |?! B6.10)
(условия применимости борновского приближения).
2) С другой стороны, энергии электрона и позитрона не должны
быть настолько велики, чтобы было существенно экранирование
кулоновского поля внешними электронами атома, т. е.
2Е?Е~ <C137Z"V3. B6.11)
Если условие B6.10) не выполнено, то матричные элементы сле-
следует вычислять с помощью точных волновых функций непрерывного
спектра. В нерелятивистском приближении (т. е. при v+, v_<^ic)
точная формула [74] отличается от выражения B6.8) в основном
множителем
§ 26. Образование позитронов 293
? =
Множитель B6.12) нарушает симметрию относительно Е? и Е_. Это
связано с тем, что позитрон отталкивается, а электрон притягиваете
ядром. Вероятность образования пары оказывается малой при малых р+
и большой при малых /?_. Подобную же поправку надо ввести и
в релятивистскую формулу, если рассматриваются тяжелые эле-
элементы. Она имеет такой же характер и порядок величины, как
в случае тормозного излучения (см. § 25, п. 5). Поправка велика,
если k составляет нескрлько тс*> но при возрастании энергии она
становится относительно меньше (в %), а затем меняет знак. В край-
крайнем релятивистском случае поправка к выражению B6.9) или B6.13)
составляет [69]
с2 i с2 i о /о г> 27
'-Q(Z), Кр. рел. B6.12')
где Q(Z) дается выражением B5.35).
Экранирование становится существенным лишь в том случае,
если энергии электрона и позитрона велики по сравнению с тс*.
В случае полного экранирования, т. е. при 2E+E_/kx^>l37Z~1^i
получим формулу [65], соответствующую уравнению B5.26):
B6.13)
2. Обсуждение результатов. Полное число пар. Угловое рас-
распределение пар при Е+, Е_^$>тс* определяется формулой типа
B5.20). Средний телесный угол, в котором заключены направления
вылетающих электронов и позитронов, имеет порядок величины
G~mc2/&. Для меньших энергий концентрация частиц в направле-
направлении падающего потока ^-квантов выражена менее резко.
Представляет интерес рассмотреть отдачу, испытываемую ядром.
Хотя мы и пренебрегли энергией отдачи, очевидно, что импульс
отдачи, обозначенный в уравнении B6.7) через q, не обязательно
мал. Эффективное сечение можно выразить через q и угол bq между
векторами q и к (вместо 6+, 6_); тогда получится распределение
по. величине и направлениям импульса отдачи [75]х). Результат изо-
изображен на фиг. 15. Импульс отдачи в большинстве случаев меньше |х,
и вектор q направлен в основном заметно в сторону от к. Для тор-
1) Попытка измерения распределения импульсов отдачи была сделана
в работе [76].
294
Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
мозного излучения мы получили бы примерно такие же результаты.
Малая величина отдачи находится в полном соответствии с рассмо-
рассмотрением этого вопроса в приложении VI.
Распределение по энергиям, представленное формулами B6.8),
B6.9), B6.13), изображено на фиг. 16. Эффективное сечение (в еди-
единицах cp = Z2ro/137) выражено для удобства как функция от кипе-
тической энергии позитрона, отнесенной к полной кинетической
энергии, k — 2тс2.
О' 30" 60° 9СГ
в,
Фиг. 15. Образование пар.
а — распределение импульсов отдачи ядра q\ б —угловое рас-
распределение импульсов отдачи (9 —угол между импульсом
отдачи q и импульсом к первичного фотона). Сплошные кри-
¦ вые для А: = 33 {а; пунктирные-для А: = 8,2 ц..
Для фотонов малой энергии распределение имеет широкий мак-
максимум, когда электрон и позитрон приобретают одинаковую энер-
энергию. При увеличении энергии максимум становится все более поло-
пологим. Для очень больших энергий распределение имеет два макси-
максимума, в одном из которых одна из частиц приобретает очень малую
энергию, а в другом — очень большую энергию. В конце концов,
распределение стремится к асимптотической кривой (со), представ-
представляемой формулой B6.13).
Симметрия в отношении Е+, Е_ связана с применением борнов-
ского приближения. При точном вычислении максимум распределе-
распределения сместился бы вправо. Это смещение максимально при больших
зарядах ядра Z и малых k.
Полное число образующихся пар можно найти интегрированием
выражений B6.8) — B6.13) по всем допустимым значениям энергии
позитрона. В крайнем релятивистском случае, если пренебречь экра-
экранированием, получим
-/28, 2k 218\ V, ,пс 1,4
Кр. рел. B6.14)
или, если экранирование является полным,
Кр. рел. B6.15)
При малых энергиях и в тех случаях, когда экранирование не-
неполное, интегрирование удается выполнить только численно.
§ 26. Образование позитронов
295
Результаты интегрирования представлены на фиг. 17, где изоб-
изображено полное эффективное сечение cppair в логарифмическом мас-
масштабе в единицах ср как функция от fa. Из фиг. 17 видно, что
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
(E+-mc2)/(fiv-2mc2)
W
Фиг. 16. Распределение электронно-позитронных пар по энергиям.
Величина ср?" dE+ —эффективное сечение образования позитрона с энергией от
Е, до Е.+dE,. Проставленные при кривых цифры указывают энергию первич-
первичного фотона в единицах тс3. Кривые при k-бпгс2 и & = 10апс2 справедливы для
любого элемента (экранированием пренебрегается). Остальные кривые^ вычислены
для свинца (при k = oo также и для алюминия^. Единица измерения: cp = ZJ r^/137.
Борновское приближение.
вероятность образования пар быстро возрастает с увеличением fa,
стремясь к постоянному значению при больших энергиях. Она при-
примерно пропорциональна Z'3 (поскольку ср ^ Z ^). Значения cppair/?
приведены в табл. 6. Эти результаты получены в борновском при-
приближении.
Вероятность образования пары -^-квантом k в поле ядра с заря-
зарядом Z можно сравнить с вероятностью комптоновского рассеяния
того же самого кванта на электронах атомной оболочки. Последняя
.вероятность определяется формулой Клейна — Нишины B2.45), умно-
296
Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
О
500 WOO 2000
Фиг. 17. Зависимость эффективного сечения образования пар
в единицах <р = Z2rq/137 от частоты первичного фотона.
Борновское приближение. Прямая линия соответствует высоким энергиям в пре
небрежении экранированием. Справа указаны асимптотические значения для
А1, Си, РЬ. Пунктирам показано полное эффективное сечение комптоновского
рассеяния в тех же единицах. Кривая с отметкой Z<p(e1-) дает грубую оценку
для вклада от атомных электронов (умножение на Z) для А1.
жендай на число электронов Z. На фиг. 17 представлено также и
эффективное сечение комптоновского рассеяния в единицах <р. В этих
единицах для разных элементов, получаются, разумеется, различные
кривые. /
Как видно из приведенных кривых, эффективные сечения обра-
образования пар и комптоновского рассеяния зависят от энергии фотона
совершенно различным образом. Цщ малых энергиях вероятность
образования пар в общем значительно меньше вероятности компто-
комптоновского рассеяния, в то время как при больших энергиях образо-
образование пар происходит гораздо чдще. Значение энергии, при котором
вероятности обоих эффектов становятся одинаковыми, зависит от Z
и составляет примерно 10 тс2 для РЬ и 30 тс2 для А1.
Если пользоваться точными волновыми функциями, а не борнов-
ским приближением, то следует внести поправки, приведенные
в табл. 7.
В табл. 7 приведены результаты численных расчетов для двух
довольно низких энергий (для РЬ) [77]. Ясно видно, что поправка убы-
убывает с ростом энергии. Для того чтобы показать сдвиг распределе-
распределения по энергиям в сторону больших энергий позитронов, приведено
§ 26. Образование позитронов
297
Таблица 6
ЭФФЕКТИВНОЕ СЕЧЕНИЕ ДЛЯ ОБРАЗОВАНИЯ ПАР Т-КВАНТАМИ
(БОРНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ)
Hv/mc* .
Al
Pb
3 | 4
0,085
0,32
5
0,61
6
0,89
10
1,94
20
3,75
3,60
50
6,2
6,0
flt/mc'
' A1
Pb
100
8,2
7,7
200
10,0
9,0
500
11,8
10,3
1000
12,6
10,7
oo
13,4 .
11,5
также отношение средних кинетических энергий позитрона и элек-
электрона. В борновском приближении это отношение было бы равно
единице, и оно действительно стремится к единице с ростом k.
При очень больших энергиях формула B6.12') дает сравнительно
малую поправку'к полному числу пар B6.14) или B6.15)
Кр. ре л. B6.150
Для Pb это приводит к уменьшению cppair примерно на
Таблица 7
ТОЧНОЕ ЭФФЕКТИВНОЕ СЕЧЕНИЕ ДЛЯ ОБРАЗОВАНИЯ ПАР В Pb
И СДВИГ КРИВОЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
(в единицах <р)
k/mc*
3
5,2
Точное значение
0,17
0,73
Борновское
приближение
0,085
0,64
2,0
1,4
Как и в случае тормозного излучения, в образование пар дают
вклад также атомные электроны. Легко убедиться с помощью зако-
законов сохранения, что порог для образования пар в поле свободного
электрона равен 4jx, а не 2jx. После столкновения имеется один по-
позитрон и два электрона. Для некоторых энергий эффективное сече-
сечение было вычислено непосредственно [78, 79]; кроме того, его можно
298 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
найти методом, изложенным в приложении VI. Эффективное сечение,
отнесенное к одному электрону, равно
] B6.16)
Аддитивная постоянная (—11,3) несколько неточна. Выражение
B6.16) весьма схоже с B6.14) при Z=l. Разница состоит лишь
в большем численном значении отрицательной постоянной [в.B6.14)
она равна —8,1]. Это приводит к тому, что электронный вклад
(отнесенный к одному электрону) несколько меньше, чем ядерный
(деленный на Z'2).
Равным образом, кулоновское поле атомных электронов экрани-
экранировано примерно на том же расстоянии, что и ядерное. Мы не со-
совершим большой ошибки, если примем формулу для полного экра-
экранирования с заменой lnB&/ji) на зависящий от Z логарифм из выра-
выражения B6.15). Таким образом, ср^1.-) будет меньше B6.15) (деленного
на Z'2) на аддитивную постоянную порядка —3. В еду чае полного
экранирования общий вклад, вносимый электронами, будет
±1 ?., л~0,7 — 0,8. B6.17)
Tnucl. ^
Как и в случае тормозного излучения, вклад от электронов можно
учесть, заменив множитель Z2 в единице ср на Z(Z-\-A). Однако
значение А не очень надежно. При меньших энергиях А должно
убывать, в частности, обращаясь в нуль при k = 4jx. С помощью
грубой интерполяции можно начертить кривую энергетической зави-
зависимости <p(ejjir> которая изображена на фиг. 17, однако она имеет
скорее качественный, чем количественный, характер.
3. Образование пар заряженными частицами. Пары электрон—
позитрон могут образовываться при столкновениях между любыми
двумя заряженными частицами, обладающими достаточной энергией.
Ниже будут приведены результаты теоретических расчетов для раз-
различных интересных случаев. Все результаты, за исключением слу-
случая „а", получены с помощью метода, изложенного в приложении VI,
или близких к нему методов.
а) Тяжелая частица (масса Мо ^> ji, заряд Zo) сталкивается
с тяжелой частицей (Ж, Z) или с покоящимся атомом. Кинетиче-
Кинетическая энергия Го мала по сравнению с энергией покоя: Г0<^М0с2.
Полное эффективное сечение для образования пары какой-либо энер-
энергии имеет порядок [80, 81]
§ 26. Образование позитронов 299
Оно убывает с ростом То и весьма мало по величине. Однако
если Ео превосходит М0с2, положение меняется и эффективное сече-
сечение снова возрастает. При Ео^> Мс2 оно становится довольно
большим.
б) Тяжелая частица (Мо ^> ja) сталкивается с другой тяжелой
частицей, находящейся в покое, но
Ео Э> Л10А
Полное эффективное сечение оказывается равным [82—-85]
_28_/ZZoro\2 _р^
*— 27*Л 137 ) Ш Мос*> (Л.1У)
где ?1— постоянная порядка единицы, а члены порядка С In $'EJMoc*
здесь отброшены. Если покоящейся частицей является атом с экра-
экранированным полем, то эта формула справедлива для не слишком
больших энергий
Для случая полного экранирования приближенно получаем
Y 27п V 137 / Zk L M0e2 AfoC2137 Z/з J
Мы видим, что ср сначала возрастает как 1п3?0, а затем, когда
становится существенным экранирование, — как 1п2Е0. Величину р
не удается получить указанным выше методом; более детальные
вычисления Нишины и др. показывают, что, повидимому, }3 ~ 1/4.
Полагая р = х/4, получаем для ср функцию от Ео/Мос*, изображенную
на фиг. 18. Мы видим, что экранирование оказывает лишь малое
влияние.
в) Одна из частиц — электрон. Можно рассмотреть либо столк-
столкновение быстрого электрона (Ео ^> а) с атомом, либо столкновение
быстрого протона (Ео ^> М0с'2) с покоящимися атомными элек-
электронами. Поскольку один случай получается из другого с по-
помощью преобразования Лоренца, полное сечение при заданном
значении Е0/М0с'2 в обоих случаях оказывается одним и тем же
(с точностью до тривиальной зависимости от Z). Однако для энергии
образуемой пары получаются совершенно различные значения.
В случае тяжелой быстрой частицы из приложения VI следует, что
почти все пары, равно как электрон отдачи, обладают малыми
-энергиями, меньшими \lEq/Mqc* <^i Eo. Если же падающей частицей
является электрон, то, совершив преобразование Лоренца к системе,
в которой тяжелая частица покоится, получим пару с большими
300 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
скоростями частиц. Энергия ее будет принимать значение вплоть
до Ео (энергия падающего электрона).
Полное сечение в обоих случаях будет порядка B6.19), хотя
и с другим численным значением постоянной р. Таким образом,
кривые фиг. 18 грубо приближенно применимы и к случаю обра-
образования пар быстрым электроном в поле ядра. Это же относится
и к образованию пар при электрон-электронных столкновениях-
В последнем случае энергия порога составляет 7ix. Для высоких
энергий попрежнему оказывается справедливой формула B6.19)
только с другим значением р."
г) Случай образования пары при столкновении двух фотонов
с энергией k1-\-k2^>2\i представляет чисто теоретический интерес.
Для плотности энергии, характеризующей черное излучение при
разумных температурах, вероятность этого процесса чрезвычайна
мала.
Мы видим, что эффективное сечение для образования пар
быстрыми заряженными частицами возрастает, по меньшей мере,
как 1п2?0, даже при учете экранирования. Теоретически, при?0—юо
она становится бесконечно большой. Но это, очевидно, невозможно.
Вообще маловероятно, чтобы эффективное сечение превысило размеры
атома, но бесконечный рост сечения противоречит элементарному
условию нормировки всех вероятностей на единицу, вследствие чего
вероятность конечного состояния не может возрастать до беско-
бесконечности. Причину возникшего осложнения следует искать в исполь-
использовании теории возмущений. В частности, можно ожидать, что учет
явления затухания приведет к конечной величине для эффективного
сечения. Однако этот вопрос носит академический характер, поскольку
энергии, при которых возрастание становится существенным, настолько
велики (в связи с логарифмическим характером возрастания), что
нет необходимости рассматривать соответствующие поправки
(ср. также § 33, п. 5).
4. Экспериментальные данные. Наиболее важная проверка
теории связана с поглощением ^-излучения в веществе. Коэффициент
поглощения на 1 см, обусловленный образованием пар, равен
B6.21)
где N—число атомов в 1 см^. Коэффициент поглощения, обуслов-
обусловленный различными факторами, а также соответствующие экспери-
экспериментальные данные будут детально рассмотрены в § 36. Здесь мы
коснемся экспериментальной проверки лишь некоторых специфиче-
специфических особенностей образования пар.
Имеется мало данных по абсолютному измерению полного эффек-
эффективного сечения cppair. В одном из наиболее ранних опытов [86] изме-
измерялось отношение <ppair/cpcompt. с помощью ^-излучения ThC//(fe = 5,2^).
Число полученных позитронов равно числу пар, в то время как
§ 26. Образование позитронов
301
число электронов больше числа пар, что связано с появлением
электронов отдачи при комптоновском рассеянии. Если предположить,
что последнее следует формуле Клейна — Нишины, то для cppair (в РЬ)
получается 9pair = 2,8» 10~24 см2 = 0,73ср. Это находится в полном
•согласии с цифрами, приведенными в табл. 7.
Для ^"лУчей той же энергии (& = 5,2ja) было измерено рас-
распределение позитронов по энергиям и по углам [87, 88] и удалось
проверить вывод (см. табл. 7) о преобладании позитронов высоких
энергий, которое связано с использованием точных волновых функ-
функций в кулоновском поле. Было показано также, что угловое распре-
распределение позитронов и электронов приближенно следует закону B5.20).
Наиболее важным моментом в проверке теории является зависи-
зависимость от Z. Теоретически закон пропорциональности Z2 должен
быть уточнен по следующим причинам: а) атомные электроны дают
вклад, который приводит к зависимости cppair от Z(Z-\-A)\ б) при
?>50[а существенно экранирование; в) имеют место отклонения
от борновского приближения. При k ~ 30 }х они составляют около 10%,
но при малых энерг-иях становятся больше. Зависимость от Z была
измерена при йч = 3 и Ьтс*1. Было обнаружено, что для всех эле-
элементов, вплоть до Fe, справедливо борновское приближение, и cppair
возрастают при больших Z до значений, указанных в табл. 7
для РЬ" [89]. Относительные измерения cppair при различных Z были
выполнены также при к = 34,4 ^ [90]. Результаты приведены в табл. 8.
При этих энергиях экранирование очень мало, согласно фиг. 17.
Поэтому величина ^ObsJZ(Z-\-A) должна быть постоянна (если спра-
справедливо борновское приближение), причем величина А должна быть
несколько меньше единицы. Мы выбрали величину А так, чтобы
отношение cpObS./Z(Z-f- А) было, постоянным для легких элементов.
Таблица 8
ЗАВИСИМОСТЬ ЭФФЕКТИВНОГО СЕЧЕНИЯ ДЛЯ ОБРАЗОВАНИЯ ПАР ОТ Z
(Измерения проведены при ?==34,4 {л)
Z
?obs.
Wz(z+°3)
3
34
3,0
13
530
3,0
29
2400
2,8
50
6800
2,7
82
16600
2,5
Оказалось, что А = 0,8. Это немного больше, чем показано на
кривой <р<е1-) фиг. 17. Однако последняя кривая носит грубо оце-
оценочный характер и не претендует на количественные предсказания.
.Мы видим, что величина yob3./Z(Z-}-А) сначала постоянна при Z <20,
а затем медленно убывает с ростом Z. Поскольку зависимость Z(Z~\-A)
в основном хорошо оправдывается, это расхождение, повидимому,
302 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
связано с отклонениями от борновского приближения. ПоправкаBб.15/)
имеет правильный знак и порядок величины. Детальное количествен-
количественное сравнение с опытом провести не удается, так как формула B6.15Г)
получена в крайнем релятивистском приближении, а последнее в дан-
данном случае не вполне применимо. Кроме того, и экспериментальные
данные недостаточно точны.
Более точную проверку теории
20\- / при высоких энергиях см.
в § 36.
Образование пар быстрыми
электронами в поле ядра было
обнаружено методом фотоплас-
0,5
О
тинок при исследовании косми-
космических лучей. При этом на пла-
10 Ю2 103 Ю4 Ю5 стинке виден тройной след час-
Ео/Мос2 тиц, выходящих из одной точки
^ 1О ~«, ^ (пара и ядро отдачи, а также
Фиг. 18. Эффективное сечение образо- v r r „ ч хУ
вания пар в поле ядра заряженной ча- след падающей частицы). Уда-
стицей энергии Eq^MqcK лось произвести грубую оценку
Сплошная кривая с учетом экранирования, пун- ЭНергеТИЧеСКОЙ ЗаВИСИМОСТИ Эф-
ктирная кривая-без учета экранирования. Из- (ЬеКТИВНОГО СечеНИЯ [911. Ре-
мерения выполнены для электронов в космических * l J
лучах. зультаты показаны на фиг. 18.
Хотя точность здесь не велика,
все же ясно видно, что соблюдается закон пропорциональности 1пд Ео
или \п2Е0.
В этих же экспериментах наблюдалось образование „двойных
пар". Последние проявляются в виде четырех следов, выходящих
из одной точки, причем след падающей частицы отсутствует. Это
один из немногих примеров множественных процессов (см. § 23).
§ 27. Аннигиляция позитронов
Процессом, обратным образованию пары, является аннигиляция
позитрона и электрона. Согласно теории дырок, аннигиляцию можно
представлять как переход электрона из состояния с положительной
энергией в состояние с отрицательной энергией. Энергия, высво-
высвобождающаяся при этом-процессе (^2/яс2), может быть, например,
излучена в виде света.
Наиболее важным процессом этого типа является аннигиляция
свободного позитрона при столкновении со свободным электроном.
Из законов сохранения следует, что это может произойти лишь
с испусканием по меньшей мере двух фотонов,
1. Аннигиляция с испусканием двух фотонов. При вычислении
вероятности аннигиляции свободного электрона и позитрона при их
соударении удобно сначала провести вычисления в системе отсчета,
§ 27. Аннигиляция позитронов 303
связанной» с центром масс электрона и позитрона. Тогда импульсы
электрона и позитрона равны по величине и противоположны по
направлению
Р+ = —Р-- B7.1)
Все другие случаи получаются отсюда путем преобразования
Лоренца. В этой системе координат нужно рассмотреть переход
электрона из • состояния с импульсом р0 = р_ и энергией Е0==Е_
в состояние с импульсом р = — р+ = р0 и отрицательной энергией
Е = —?'+ = —?*_. Из законов сохранения следует, что оба фотона
получат одинаковую энергию, равную энергии одной из исходных
частиц, и будут двигаться в противоположных направлениях
кг — — k2, kx = k2 = Ео. B7.2)
Вероятность перехода вычисляется примерно так же, как и
в случае эффекта Комптона (см. § 22). Чтобы получить эффективное
сечение, следует принять во внимание, что конечное состояние опре-
определяется лишь направлением klt так как вектор к2 направлен про-
противоположно кх. Энергия конечного состояния есть Ер = 2kx. Поэтому
плотность состояний равна dQkl/2BTzhcf. Далее, нужно разделить
вероятность перехода на относительную скорость частиц, 2р0с/Е0.
Таким образом, получаем
2п Ео dQEl
*?!^9 <273>
где К—составной матричный элемент данного процесса. Усредняя
по направлениям спинов позитрона и электрона, получаем дифферен-
дифференциальное эффективное сечение
e*dQ Г
Е20 - (?j- pi cos2 6) (exe2 f + 4 (p^) (p0e2)
E20 —
4 (PoetJ (p0e2J
Здесь ev e2 — единичные векторы поляризации фотонов, а 6 — угол
между направлением импульса позитрона и одного из фотонов,
например кг.
Для изучения поляризации фотонов удобно выбрать ег и е2 либо
в плоскости (p+kj), либо перпендикулярно к ней. Соответственно
эффективное сечение будем обозначать через dcp ., если оба фотона
поляризованы в плоскости (р+k^, и ^ср . , если бдин из них поляри-
поляризован в этой плоскости, а другой — ей перпендикулярен и т. д.
Мы увидим, что наибольший интерес представляет случай, когда
304 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
импульс р+Е==р0 исчезающе мал. При этом формула B7.4) прини-»
мает^вид
"Тип = d<?±± = °- d*u - W- Нерел' B7'5)
Таким образом, фотоны, образованные при аннигиляции, поляри-
поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Этот результат
будет еще обсуждаться ниже. При высоких энергиях (Ео У^> |х)
поляризация практически отсутствует.
Суммируя по всем направлениям поляризации, получаем следую-
следующее выражение для эффективного сечения:
'*<& r?g + lS + f8sln»8 2^ sin4 6 I
а<?-4р0Е0[ El-plcos4 (?»-/$ cos» б)" J* {Z Л)
Чтобы получить полную вероятность аннигиляции, надо проинте-
проинтегрировать B7.6) по углам 6 (от 0 до тг) и ср. Последнее интегри-
интегрирование также производится в пределах от 0 до тг, так как пере-
перестановка фотонов не приводит к новому состоянию. Интегрирование
дает
Это выражение определяет эффективное сечение аннигиляции пози-
позитрона и электрона с равными и противоположно направленными
импульсами ра. Однако в практически важных случаях электрон
можно считать покоящимся. Вероятность аннигиляции для этого слу-
случая получается из B7.7) с помощью преобразования Лоренца.
Поскольку эффективное сечение расположено перпендикулярно напра-
направлению движения, оно само по себе инвариантно относительно
преобразования Лоренца. Таким образом, нужно лишь значения Ео
и р0, входящие в формулу B7.7), выразить через энергию Е+ и
скорость v'+ позитрона в системе отсчета, связанной с электроном.
Поскольку относительная скорость равна $ = vo/c — po/Eo, получаем
?+=¦
ИЛИ
Яо = уа(Я+ + {х). B7.8)
Величину р также можно выразить через энергию Е+:
Ео
B7.9)
§ 27. Аннигиляция позитронов 305
Подставляя B7.8) и B7.9) в формулу B7.7), найдем эффектив-
эффективное сечение аннигиляции позитрона энергии Е+ с покоящимся элек-
электроном
B7.10)
Эта формула впервые была получена Дираком [92].
Выражение B7.10) имеет максимум при малых энергиях (?— 1).
При Е?+-*\ь эффективное сечение аннигиляции расходится. Однако
это не означает, что вероятность аннигиляции становится бесконеч-
бесконечной. Число актов аннигиляции в единицу времени в веществе с N
атомами в единице объема в этом случае составляет
R = ZNyv+ = NZnr20c (сек.-1). Не ре л. B7.11)
Например, для свинца мы получаем R = 2 • 1010сек.-1. Следова-
Следовательно, время жизни медленного позитрона в свинце — порядка
Ю~10 сек.
у- С увеличением энергии эффективное сечение убывает. При очень
больших энергиях получаем
B7.12)
В системе отсчета, связанной электроном, частоты квантов анни-
аннигиляции, вообще говоря, не одинаковы. Как видно из углового рас-
распределения B7.6), при большах энергиях позитрона в исходной
системе отсчета оба фотона испускаются преимущественно вперед
и назад. После преобразования Лоренца фотон, летящий вперед,
приобретает почти всю энергию позитрона, в то время как второй
фотон получает лишь энергию порядка тс2. Если, однако, кинети-
кинетическая энергия позитрона мала по сравнению с ш:2, то оба фотона
получают одинаковую энергию (тс*) и испускаются в противополож-
противоположных направлениях, будучи поляризованы во взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных плоскостях.
Из формулы B7.10) можно получить вероятность аннигиляции
быстрого позитрона при прохождении через вещество. Это будет
сделано в § 37 и будет показано, что вероятность этого очень мала.
Поэтому в большинстве случаев быстрый позитрон сначала теряет
всю свою энергию и уже затем аннигилирует со скоростью, опре-
определяемой формулой B7.11) *).
1) Точнее, за время, меньшее времени жизни B7.11), установится нечто
вроде теплового равновесия. Поэтому позитрон все же сохранит некоторую
малую энергию. Равным образом малыми скоростями обладают и.атомные
электроны. Следовательно, аннигиляционные фотоны будут испускаться под
углами, несколько отличающимися от тс, а энергии их будут несколько отли-
отличаться от [л [93]. Возможно также, что позитрон образует вместе с электро-
электроном связанное состояние типа водородного атома, называемое позитронием
<ем. ниже).
20 Зак. 1260. В. Гайтлер
306 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
2. Экспериментальные данные. Изложенную выше теорию можно
проверить различными способами. Существует большое количество
экспериментальных работ, в которых с помощью метода совпадений
показано, что при остановке позитрона в веществе образуются два
фотона, движущиеся в противоположных направлениях. Точные из-
измерения длины волны аннигиляционных фотонов были выполнены
Дю Мондом и др. [94]. Поскольку k = \i, длина волны аннигиля-
аннигиляционных фотонов должна равняться комптоновской длине волны,
о
2тсХ0 = 0,024265 А. Измеренное значение оказалось равным
о
0,02427±0,00001 А. Отсюда видно, что позитроны действительно
сначала тормозятся и лишь затем аннигилируют. Кроме того, рент-
рентгеновская линия аннигиляционного излучения обладает некоторой
шириной, наличие последней связывается с распределением скоро-
скоростей электронов в металле (Си), в котором происходит торможение
позитронов. Эта ширина соответствует энергиям вплоть до 16 эв>
что согласуется со средней энергией электронов проводимости.
Чрезвычайно интересно теоретическое предсказание взаимно пер-
перпендикулярной поляризации фотонов. Его можно проверить, восполь-
воспользовавшись тей обстоятельством, что рассеяние фотонов на свободном
электроне зависит от их поляризации.
Пусть два фотона Vlx и k2 = — kt рассеиваются на электронах на
одинаковый угол 6 и пусть наблюдаются совпадения рассеянных
фотонов ki, k2 (^ kiki = /_ k2k2 = 6) в следующих двух случаях:
1) вектор к2 лежит в плоскости (ki, ki);
2) вектор k2 перпендикулярен плоскости (kb ki).
Согласно формуле B7.5), поляризация аннигиляционных фотонов
такова, что либо а) вектор et лежит в плоскости (kb ki) и тогда
вектор е2 ей перпендикулярен, либо б) вектор ег перпендикулярен,
а е2 параллелен этой плоскости. Пользуясь формулой B2.35), со-
содержащей зависимость от поляризации, и выполняя суммирование
по поляризации для случаев „а" и „б", а также по (ненаблюдаемым)
поляризациям рассеянных фотонов, можно найти отношение чисел
совпадений в условиях „1" и „2". Простая выкладка дает
у B) _ 62+ F — 2sin2 6J i +B —cos 6J
~ 2b(b — 2sin20) > °~ 2—cos6 # V'.M)
(здесь использовано условие kt — k2= ^).
Это отношение равно 2,6 при 0 = 1/2<п. Оптимальный угол, при
котором выражение B7.13) достигает максимума, немного меньше 90°;
при этом отношение B7.13) составляет 2.85.
Соответствующий эксперимент был осуществлен [95]х). В усло-
1) Этот эксперимент был впервые предложен Уилером [961; см. также
[97, 98].
§ 27. Аннигиляция позитронов 307
виях опыта телесный угол принимал менее выгодные значения; со-
соответственно величина отношения B7.13) должна была равняться 2,00*
что и было получено экспериментально B,04 ±0,08).
Кроме рассмотренного выше процесса аннигиляции, следует
ожидать существования множественных процессов, идущих с испу-
испусканием не двух, а трех (или большего числа) фотонов. Согласно
§ 23, трехфотонная аннигиляция должна встречаться примерно
в 137тс раз реже, чем двухфотонная. Действительно, теоретическое
значение отношения вероятностей трех- и двухфотонной аннигиля-
аннигиляции, вычисленное для свободного позитрона со скоростью, практи-
практически равной нулю, составляет примерно 1/370 (см. также п. 4).
Правильность указанного здесь порядка величины была подтверждена
экспериментально с помощью установки, регистрирующей тройные
совпадения [99]. Этот эксперимент дает интересный пример множе-
множественного процесса.
3. Аннигиляция с испусканием одного фотона. Позитрон может
аннигилировать с испусканием одного фотона, если участвующий
в этом процессе электрон ^связ^ан^с ядром. Вероятность такой одно-
фотонной аннигиляции, вообще говоря, значительно меньше, чем
для двухфотонной, составляя (для тяжелых элементов, где она
максимальна) не более 20% последней.
Рассмотрим этот процесс для наиболее простого случая, когда
электрон находится в /С-оболочке атома, и кинетическая энергия по-
позитрона велика по сравнению с энергией ионизации /С-оболочки.
Последнее допущение позволяет воспользоваться борновским при-
приближением. Тогда вычисления выполняются примерно так же, как
и в случае фотоэффекта на /С-оболочке (см. § 21, п. 1, где сделаны
такие же допущения).
Рассматриваемый процесс состоит в переходе электрона из
/С-состояния в состояние с отрицательной энергией и импульсомс
р = — р+ с одновременным испусканием фотона энергии
\ + V—^\ B7-14)
здесь «2/2а — энергия связи /С-электрона.
• Матричный элемент для этого процесса отличается от матрич-
матричного элемента для фотоэффекта лишь тем, что электрон переходит
в состояние с отрицательной энергией Е = — Е+. Плотность со-
состояний теперь будет dQ№/BTzhcys, а не dQpE/BTzhcJ и вероятность
перехода следует делить на скорость падающего позитрона, а не
на с. Все это в результате дает множитель —k2/p2+. В уравнении
сохранения энергии можно пренебречь энергией связи /С-электрона,
полагая A = ?+-f-j*. Тогда эффективное сечение аннигиляции пози-
позитрона на /С-оболочке (учитывая оба электрона) получится, если
20*
308
Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
в формуле B1.17) заменить у
упомянутый выше множитель
-E+/\i, k—>E+-\-\i и ввести еще
Z5
о 137*/»+
1%+Т— +Т— ?+"Ь2'А In E++P+].
B7.15)
Когда кинетическая энергия позитрона ж значительно меньше или
значительно больше {л, формула B7.15) принимает вид
B7.16)
/С/7. р*л. B7.17)
Г К— 3 '0 1374 {X '
_ 2 Z5 [JL
срг_4ттго 1374 —.
Эффективные сечения одно- и двуфотонной аннигиляции изобра-
изображены на фиг. 19. При одинаковых энергиях эффективное сечение
однофотонной аннигиляции всегда
значительно меньше, чем двух-
двухфотонной (в расчет на атом).
В отличие от последней срг при
малых энергиях убывает.
Отношение вероятностей одно-
и двухфотонной аннигиляции мак-
максимально при Е+ — 10;j, когда оно
составляет около 20°/0 (для РЬ).
Эта величина получена с помощью
борновского приближения. Точное
значение, повидимому, еще мень-
меньше, как в случае фотоэффекта
Фиг. 19. Зависимость эффективного
сечения аннигиляции от энергии по-
позитрона (электрон неподвижен).
Кривая / соответствует двухфотонной анниги-
аннигиляции (сечение в единицах Znrz); кривая //—
однофотонной аннигиляции (сечение в едини-
\
V
ч
-"я
Ц01 0,1
1
10
100
(срчтабл; 2 и 3, стр. 242).
В частости, при малых энер-
энергиях *) множитель p+/\i в фор-
формуле B7.16) следует заменить на
^-1 ' * 137/>+'
4. Позитроний. Позитрон и электрон могут образовать свя-
связанную систему,- подобную атому водорода. Волновые функции и
энергетические уровни такой системы в первом приближении совпа-
совпадают с водородными с заменой боровского радиуса а0 на # = 2а0
1) Более детальное рассмотрение однофотонной аннигиляции см. в оабо-
тах [100—104]. F .
§ 27. Аннигиляция позитронов 309
(благодаря изменелию приведенной массы). Тонкая структура спектра
такой системы будет, однако, совершенно другой вследствие спиновых
и обменных эффектов. Мы не можем здесь входить в обсуждение
весьма интересной схемы уровней [105, 106]. Упомянем лишь, что
основным является х5-состояние, в котором спины электрона и пози-
позитрона антипараллельны. Оно образует дублет с ^-состоянием,
энергия возбуждения которого составляет 8,5 • 10~4 эв. Волновые
функции обоих состояний практически совпадают с волновой функцией
основного состояния водорода.
Такой атом позитрония, разумеется, неустойчив и самопроиз-
самопроизвольно аннигилирует. Поскольку скорости электрона и позитрона
в „атоме" малы, для вычисления его времени жизни можно восполь-
воспользоваться уравнением B7.11). При этом -нлотность электронов ZM
следует заменить плотностью вероятности пребывания электронl
в точке, где находится позитрон, т. е.
К(/- = 0)|2 = Л=-Лг, B7.18)
где ф(г) — волновая функция водорода.
Следует, однако, принять во внимание еще одно обстоятельство.
Выражение B7.11) есть среднее по всем четырем направлениям
спинов двух частиц. Из закона сохранения момента количества дви-
движения следует, однако, что лишь в ^-состоянии позитроний можег
распадаться на два фотона с противоположными импульсами (и, сле-
следовательно, нулевым полным моментом количества движения).
В 85-состоянии возможен лишь распад по меньшей мере на тря
фотона; соответственно это состояние не дает вклада в B7.11).
Поэтому, чтобы получить вероятность распада для ^-состояния,
нужно умножить~B7.11) на 4. Из B7.11) и B7.18) получим
<27Л9а)
Теоритическое значение вероятности распада на три фотона ока-
оказалось в 370 раз меньше величины B7.11) [107—109]. Таким обра-
образом, на основании B7.11) и B7.18) получаем
= 7-10* с**-*.
Множитель х/з соответствует трем спиновым ^-состояниям-.
Существование позитрония было экспериментально доказано Дей
чем [110].
310 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
ЛИТЕРАТУРА
1. Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc, A114, 243, 710 A927).
2. Planck M., Warmestrahlung, Leipzig, 1923.
3. Mayer-Go p pert M., Ann. d. Phys., 9, 273 A931).
4. Weiss ко pf V., Wi gn ег Е., Zs. f. Phys., 63, 54; 65, 18 0930).
b. Weiss ко pf V., Phys. Zs.> 34, 1 A933).
6. Margenau H., Watson W. W., Rev. Mod. Phys., 8, 22 A936).
7. van Vleck J. H., Weisskopf V., Rev. Mod. Phys., 17, 227 A945).
8. Richtmyer F. K-, Barnes S. W., Ramberg E., Phys. Rev., 46,
843 A934).
9. Ramb erg E. G., R i с h t m у er F. K-, Phys. Rev., 51, 913 A937).
10. Pin cher le L., Nuovo Cimento, 12, 162 A935); Physica, 2, 596 A935).
11. Kramers H. A., HeisenbergW, Zs. f. Phys., 31, 681 A925).
12. Waller I., Zs. f. Phys., 51, 213 A928).
13. Ландсберг Г., Мандельштам Л., Naturwiss., 16, 557, 772 A928).
H.Raman С. V., Kr i s h n a n K- S., Nature, 121, 501 A928).
15. Du Mond J., Rev. Mod. Phys., 5, 1 A933).
16. Ross P. A., Kir kp a trie к P., Phys., Rev., 46, 668 A934).
17. Weisskopf V., Ann. d. Phys., 9, 23 A931).
18. Segre E., Rend. Ace. Lincei, 9, 887 A929).
19. Weisskopf V., Zs. f. Phys., 85, 451 A933).
20. Heitler W., Ma S. Т., Proc. Roy. Ir. Ac, 52, 109 A949).
21. Kikuchi S., Zs. f. Phys., 66, 558 A930).
22. Hamilton J., Proc. Phys. Soc, 62, 12 A949).
23. W e n t z e 1 G., Helv. Phys. Acta, 21, 49 A948).
24. Heitler W., Zs. f. Phys., 82, 146 A933).
25. So m m erf e Id A., Atombau und Spektrallinien, II, Braunschweig, 1939.
26. M о 11 N. F., M a s s e у Н. S. W., Theory of Atomic Collisions, Oxford,
1949 (см. перевод: Мотт H., Me ее и Г., Теория атомных столкно-
столкновений, ИЛ, 1951).
27. Stobbe M., Ann. d. Phys., 7, 661 A930).
28. Allen S. J. M., Phys. Rev., 27, 266; 28, 907 A926).
29. Sauter F., Ann. d. Phys., 9, 217; 11, 454 A931).
30. H u 1 m e H. R., M с D о u g a 11 J., В u с k i n g h a m R. A., Fowler R. H.,
Proc. Roy. Soc, 149, 131 A935).
31. Hall H., Rev. Mod. Phys., 8, 358 A936).
32. Gray L. H., Proc. Cambr. Phil. Soc, 27, 103 A931).
33. Hall H., Phys. Rev., 84, 167 A951).
34. Casimir H., Helv. Phys. Acta, 6, 287 A933).
35. Klein O., Nishina Y., Zs. f. Phys., 52, 853 A929).
36. Nishina Y., Zs. f. Physi, 52, 869 A929).
37. Тамм И., Zs. f. Phys., 62, 545 A930).
38. F r i e d г i с h W., G о 1 d h a b e r G., Zs. f. Phys., 44, 700 A927).
39. Jauncy G.E.M., Harvey G.G, Phys. Rev., 37, 698 A931).
40. Hewlett С W., Phys. Rev., 17, 284 A921).
41. Allen S. J. M., Phys. Rev., 27, 266; 28, 907 A926).
42. Read J., Lauritsen С. С, Phys. Rev., 45, 433 A934).
43. M e i t n e г L., H u p f e 1 d H., Zs. f. Phys., 67, 147 A930).
44. Chao С Y., Phys. Rev., 36, 1519 A930); Proc Nat. Ac, 16, 431 A930).
45. Tarrant G. Т. В., Proc. Roy. Soc, 128, 345 A930).
46. Franz W., Zs. f. Phys., 90, 623 A934).
47. Wen tz el G., Zs. f. Phys., 43, 1, 779 A927).
48. В loch F., Phys. Rev., 46, 674 A934).
49. So mm erf eld A., Ann. d. Phys., 29,715 A937).
50. Franz W., Ann. d. Phys., 29, 721 A937).
51. Mayer-Go ppert M., Naturwiss., 17, 932 A929); Ann. d. Phys., 9, 273
A931).
Литература 311
. 52. Н е i 11 е г W., N о г d h e i m L., Physica, 1, 1059 A934).
53. Hooper J. E., King D. Т., Phil."'Mag., 41, 1194 A950).
54^Eliezer С J., Proc. Roy. Soc, 187, 210 A946).
55. Jost R., Phys. Rev., 72, 815 A947).
56. M0ller C, Ann. d. Phys., 14, 531 A932).
57. Mot t N. F., Proc. Roy. Soc, 126, 259 A930).
58. Mot t N. F., Proc. Roy. Soc, A135, 429 A932).
59. Bet he H., Heitler W., Proc. Roy. Soc, A146, 83 A934).
60. Elwert G., Ann. d. Phys., 34, 178 A939).
61. J< i г к p a t r i с к P, Wiedraann L, Phys. Rev., 67, 321 A945).
[6K)Hough P. V. C, Phys. Rev., 74, 80 A948).
ШStearns M., Phys. Rev., 76, 836 A949).
МГМау M., Wick G. C, Phys. Rev., 81, 628 A951).
65. Bethe H., Proc Cambr. Phil. Soc, 30, 524 A934).
66. Racah G., Nuovo Cimento, 11, No. 7 A934).
67. Powell E. O., Phil. Mag., 34, 600 A943).
68. M i t с h e 11 K-, Phil. Mag., 40, 351 A949).
69. Maxim on L. C, Bethe H. A., Phys. Rev., 87, 156; Da vies H.,
Bethe H. A., ibid., 156A952).
70. Koch H. W., Carter R. E., Phys. Rev., 77, 165 A950).
71. Bloc к er W., Kenney R. W., P a n of sky W. К- Н., Phys. Rev., 79,
419 A950).
72. Lanzl L. H., Hanson A. O., Phys. Rev., 83, 959 A951).
73. Racah G., Nuovo Cimento, 13, 69 A936).
74. Nishina Y., Tomonaga S., Sal^ata S., Sci. Pap. Inst. Phys. Chem.
Res., Japan, 24, No. 17 A934).
75. J о s t R., L u 11 i n g e r J. M., S 1 о t n i с к М., Phys. Rev., 80, 189 A950).
76. Modesltt G. E., Koch H. W., Phys. Rev., 77, 175 A950).
77. Hulme H. R., J a ege r J. C, Proc. Roy. Soc, 153, 443 A936).
78. Votruba V., Bull. int. Acad. tscheque des.sciences, 49, No. 4 A948);
Phys. Rev., 73, 1468 A948).
79. W h e e 1 e r J. A., L a m b W. E., Phys. Rev., 55, 858 A939).
80. H e i 11 e r W., N о r d h e i m L., Journ. de Phys. et le Radium., 5, 449
A934).
81. Лифшиц Е., Sow. Phys., 7, 385 A935).
82. Bh a b h a H. J., Proc. Roy. Soc, A152, 559 A935); Proc. Cambr. Phil. Soc,
31, 394 A935). .
83. Л а н д а у Л, ЛифшицЕ, Sow. Phys., 6, 244 A934).
84. Nishina Y., Tomonaga S., К ob ay a si M., Sci. Pap. Inst. Phys.
Chem. Res., Japan, 27, 137 A935).
85 WilliamsEJ, Det. Kgl. danske Vidensk. Selsk., 13, No. 4 A935).
86. С h a d w i с к J., В 1 а с к e 11 P. M. S., О с с h i a 1 i n i G. P. S., Proc. Roy.
Soc, A144, 235 A934).
87. S i m о n s L., ZuberK, Proc. Roy. Soc, A159, 383 A937).
88. Zuber K., Helv. Phys. Acta, 11, 207 A938).
89. H a h n В., В a 1 d i n g e г E., H u b e r P., Helv. Phys. Acta, 25, 505 A952).
90. Walker R. L., Phys. Rev., 76, 1440 A949).
9b Hooper J. E., King D. Т., Morrish A. H., Phil. Mag., 42, 304
A951).
92. Dirac P. A. M., Proc. Cambr. Phil. Soc, 26, 361 A930).
93.de Benedetti S., Konneker W. R.f PrimakoW-Н., Phys. Rev.,
17, 205 A950).
94. Du MondJ.W.M, Lind D. A., WatsonB. В., Phys. Rev., 75, 1226
A949).
95. W u С S., S h а к n о v I., Phys. Rev., 77, 136 A950).
96. W h e e 1 e г J. A., Ann. N. Y. Acad. Sci., 48, 219 A946).
97. Pryce M. H. L., Ward J., C, Nature, 160, 435 A947).
312 Гл. 5. Радиационные процессы в первом приближении
98. SnyderH. S., Pastern a ck S., Hornbostel J., Phys. Rev. 73,
440 A948).
99. Rich J. A., Phys. Rev., 81, 140 A951).
100. Fermi E., Uhlenbeck G. E., Phys. Rev., 44, 510 A933).
101. H u 1 m e H. 'R., В h a b h a H. J., Proc. Roy. Soc, 146, 723 A934.)
102. Nishina Y., Tomonaga S., Tamaki H., Sci. Pap. Inst. Phys. Chem.
Res., Japan, 24, No. 18 A934).
103. Bethe H., Proc. Roy Soc, A150, 129 A935).
104. Jaeger J. C, Hulme H. R., Proc. Cambr. Phil. Soc, 32, 158 A936).
105. Pirenne J., Arch, de Sci. Phys. et Nat., 28, 233 A946); 29, 121, 207
A947).
106. Берестецкий В. Б., Ландау Л. Д., ЖЭТФ, 19, 673, ИЗО A949).
107. Ore A., Powell J. L., Phys. Rev., 75, 1696 A949).
108. ЛифшицЕ, ДАН СССР, 60, 211 A948).
109. Иваненко Д., Соколова., ДАН СССР, 61, 51 A948).
ПО. Deutsch M., Phys. Rev., 82, 455; 83, 866 A951).
Глава 6
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ *)
Изложенные в предыдущей главе приложения теории к различ-
различным процессам излучения были основаны на разложении в ряд
по степеням электрического заряда е, играющего роль константы
связи между заряженными частицами и" полем излучения. Там рас-
рассматривались лишь члены первого^ неисчезающего порядка по е,
причем в ряд по степеням е разлагались не сами амплитуды вероят-
вероятности непосредственно. В этом можно убедиться, например, из
формулы для ширины спектральных линий A8.13), где члены взаимо-
взаимодействия входят как в числитель (полная амплитуда перехода), т&к
и в знаменатель (ширина линии), но в обоих случаях учитываются
лишь с точностью до первого порядка по е. В общем случае тип
используемого разложения ясен из формул § 15 и 16; при столкно-
столкновениях свободных частиц разлагается эффективный гамилыпо~
ниан К волнового уравнения A5.3), а в задачах связанных состоя-
состояний— амплитуда U и постоянная затухания Г. Вообще говоря, ампли-
амплитуда вероятности b отличается от этих величин лишь эффектами
затухания, которые, как мы видели, аналогичны появляющимся в клас-
классической теории. Они являются следствием особенностей собствен-
собственного решения волнового уравнения и~ие связаны с пренебрежением
членами высших порядков в /С, Г и т. д. Их структура ясна и вполне
однозначна.
В отличие от указанных эффектов затухания члены высших по-
порядков в разложениях по е (точнее, по безразмерному параметру
e^jhc), связанные с реакцией излучения^ мы будем называть ради-
радиационными поправками. Эти поправки являются типично квантовыми
эффектами и оказываются тесно связанными с представлением
о точечных зарядах (приводящим к трудностям уже в классической
теории). Их рассмотрение содержит целый ряд неясностей. Удовле-
Удовлетворительное согласие между теорией и экспериментом, отмеченное
в гл. 5, показывает, однако, что радиационные поправки малы
по сравнению с эффектами первого порядка. Тем не менее иссле-
исследование этих поправок и оценка их порядка величины по ряду при-
*) В этой главе pt х и т. д. обозначают 4-векторы р^у х^ и т. д.»
а,р-х— произведение 2 JW /*2
314 Гл. 5. Радиационные поправки
чин весьма важны. Вплоть до 1947 г. удовлетворительное теорети-
теоретическое исследование радиационных поправок оказывалось вообще
невозможным, так как прямые вычисления приводили к бесконечным
выражениям. Можно проследить, что эти трудности вызываются ис-
использованием представления о точечном заряде. Крупным достижением
в понимании квантовой электродинамики явилось установление того
факта, что все указанные бесконечности вызываются только двумя
величинами — бесконечной собственной массой электрона, проис-
происходящей от его взаимодействия с полем излучения, и бесконеч-
бесконечным собственным зарядом, связанным с поляризацией вакуума
(см. § И, п. 4).^ Кроме них, имеются также бесконечности, связан-
связанные с чистым вакуумом, подобные собственной энергии вакуума
и флюктуациям вакуума (см. § 28, п. 4).
Все указанные величины, однако, принципиально ненаблюдаемы.
Наблюдаемы лишь полная масса и полный заряд электрона, вклю-
включающие собственную массу и собственный заряд. Хотя обращение
последних величин в бесконечность все еще остается основной не-
неразрешенной трудностью теории, однако они должны независимо
от их значений объединяться с „начальными", массой и зарядом
(т. е. с теоретическими значениями массы и заряда, соответству-
соответствующими случаю отсутствия взаимодействия с полем излучения), после
чего комбинациям „начальной" и „собственной" массы и „началь-
„начального" и „собственного" заряда должны быть сопоставлены наблю-
наблюдаемые конечные значения массы и заряда. Указанная операция
называется перенормировкой1) массы и заряда. Для свободного элек-
электрона полная собственная энергия сводится, таким образом, к не-
ненаблюдаемой собственной массе. После отщепления бесконечных
собственных эффектов для радиационных поправок в любой конкрет-
конкретной задаче получаются конечные результаты, которые, как и ожи-
ожидалось, оказываются, вообще говоря, малыми по сравнению с рас-
рассмотренными в гл. 5 эффектами первого порядка,
В ряде случаев поправки имеют также существенное практи-
практическое значение. Хотя для свободного электрона собственная энер-
энергия . ненаблюдаема, однако положение вещей меняется, когда элек-
электрон помещается во внешнем поле. Собственная энергия принимает
тогда другое значение, что приводит (при должном учете собствен-
собственной массы и заряда) к конечному изменению энергии, вызванному
взаимодействием с полем излучения. Если, например, внешнее поле
является кулоновским полем ядра, то энергетические уровни оказы-
оказываются смещенными по сравнению с обычными результатами кван-
квантовой механики. С этим смещением мы уже сталкивались в § 16,
г) Идея перенормировки массы не нова и содержится во всех работах,
где „опущена собственная энергия". Тот факт, что все бесконечности кван-
квантовой электродинамики сводятся к указанным ненаблюдаемым величинам,
впервые установлен в работе [1] и в последующих работах [2, 3J.
§ 28. Общее вычисление матричных элементов 315
18 и 20, но последовательно оно может быть рассмотрено лишь
на основе материала данной главы. Подобным же образом, если
внешнее поле является постоянным магнитным полем, электрон будет
иметь энергию, несколько отличающуюся от энергии, соответству-
соответствующей его магнитному моменту eh/2mc. Это отличие, которое мо-
может рассматриваться как поправка к боровскому магнетону, также
обусловлено взаимодействием с полем излучения. Экспериментальное
открытие радиационного смещения спектральных линий и отклонения
магнитного момента от обычного боровского значения вместе с по-
последующим расчетом этих эффектов, приведшим к прекрасному
согласию с экспериментом, составляет одно из основных достижений
квантовой электродинамики.
Эта глава посвящена рассмотрению радиационных поправок.
Нам придется иметь дело с рядом математических тонкостей, связан-
связанных с наличием расходящихся выражений. Математические рас-
рассуждения не всегда будут достаточно строгими, и мы будем стре-
стремиться подчеркивать трудности и неоднозначности, вместо того
чтобы затушевывать их благоприятными для теории аргументами.
Большим подспорьем в предстоящем математическом рассмотрении
является релятивистская ковариантность результатов. Поэтому что-
чтобы можно было пользоваться такими, связанными с ковариантностью,
аргументами, будет весьма удобным развить ниже теорию возмуще-
возмущений в ковариантной форме. Это будет нашей ближайшей за-
задачей (см. § 28).
§ 28. Общее вычисление матричных элементов
1. Диаграммы, описывающие взаимодействие. Здесь будет
развит общий метод вычисления матричных элементов, соответствую-
соответствующих соударениям свободных электронов и фотонов. В соответствии
с A5.13) эти матричные элементы в общем случае имеют вид
где
*п
~ Ш {mV S dtn J rf'-i • • • S
Ренормировочные члены. (
2S.I)
Здесь Кп — я-е приближение ядра К волнового уравнения A5.3),
a tv t2, ..., tn — различные времена. В § 15, п. Забыло показано,
что в решение входит только интеграл по времени К.
316 Гл. 6. Радиационные поправки
Матричное произведение гамильтонианов Н в B8.1) подчинено
условию, выражающемуся в том, что любое частное произведение
следующих друг за другом сомножителей не содержит множителей,
расположенных на одной и той же энергетической поверхности.
В уравнении A5.13) это свойство отмечалось значком п. d. (не
диагональный относительно энергии). Указанное ограничение суще-
существенно в том случае, когда промежуточные состояния принадлежат
к непрерывному спектру и на энергетической поверхности возникают
сингулярности. Такой случай будет рассмотрен ниже, а пока мы
отбросим это ограничение. „Ренор~мировочные члены" (типа 1/2SlK2
и т. п.) не нуждаются в отдельном вычислении. Часть из них исклю-
исключит некоторые вакуумные эффекты (см. п. 4), остальные следует
рассматривать подобно тому, как это было сделано на стр. 186,
т. е. при правильно подобранном предельном переходе они могут
быть включены в главный член B8.1), что будет продемонстриро-
продемонстрировано на ряде приложений (см. § 30). Метод вычисления выражения
B8.1), использованный в § 15, п. 2 и применяемый в гл. 5, весьма
прост в тех случаях, когда число промежуточных состояний мало,
но для рассматриваемых ниже более сложных процессов он стано-
становится довольно громоздким. Излагаемый ниже метод, принадлежащий
Фейнману [3] и Дайсону [4] *), позволяет объединять некоторые
группы промежуточных состояний и описывать вклады таких групп
простыми выражениями. Указанные группы легко различаются друг
от друга и, как правило, имеют различный физический смысл. За-
Заменяя попеременно гамильтониан Н на Н^е\ можно ярименять фор-
формулу B8.1) в случае наличия внешнего поля.
Уравнение B8.1) может быть записано в несколько отличной
форме, если использовать функцию e(t) = ±l при t^O. Тогда
имеем
к =_WIYl-1x
А" 2nh\ih)
B8.2)
оо оо
х/dtn ... ] at, 1 + s(V'w-l) • • • 1 + <(?~')
—оо
Гамильтониан H(t) релятивистского взаимодействия электронов
с полем излучения выражается в виде
0- B8.3)
Мы, конечно, должны были бы исходить из выражения
*/г О^Та^— *W^f) для тока' но это привело бы нас в точности к тому
же результату, что и B8.3). Ниже мы будем всюду пользоваться
1) Многое из того, что изложено в этом параграфе, содержится в рабо-
работах Штюкельберга [5]; см. также [6].
§ 28. Общее вычисление матричных элементов 317
лоренцовой калибровкой, и поскольку рассматриваются свободные,
частицы и фотоны, то можно не принимать во внимание дополни-
дополнительное условие. Для описания электронного поля мы будем исполь-
использовать метод вторичного квантования (см. § 12). При этом К будет
являться оператором. Разлагая ф+, ф и А^ в четырехмерные интег-
интегралы Фурье, согласно A0.46) и A2.21), получаем
B8*4а)
[Из соображений симметрии мы вводим здесь ?^==хйс. Тогда
A(k) — (hc)~*/aA(х), где Л(х)— величина, введенная в § 10; x4 = /v/c]
Если бы в выражении B8.2) отсутствовали факторы e(f), то интег-
интегрирование по четырехмерному пространству немедленно привело
бы к S4(s) для каждого Я, где
Обозначая четырехмерные переменные интегрирования в множи-
множителях Я(^) через х{, а соответствующие 4-векторы, возникающие
в разложениях ф, ^f и Л, через р{, р'^ кх и т. д., перепишем B8.2)
в виде (х0 = ct)
X ... [+z
B8.5)
где
5i = ft+fti —pj. . B8.6)
Обозначим произведение операторов, входящих в B8.5), через L
Рассмотрим теперь некоторый определенный процесс, в котором
принимают участие электроны (положительные и отрицательные)
с импульсами Р, Р'9 . . . и фотоны с импульсами /С, ... Мы будем
называть их реальными частицащь При этом Р всегда будет отно-
относиться к поглощаемому отрицательному электрону или испускаемому
позитрону, Рг — к испускаемому электрону или поглощаемому пози-
позитрону, а К — к испускаемому или поглощаемому фотону. Тогда, если
318 Гл. 6. Радиационные поправки
Кп имеет для рассматриваемого процесса отличные от нуля мат-
матричные элементы, то каждому реальному электрону и фотону Р, Р', К
в произведений B8.7) соответствует один и только один из опе-
операторов ф(Р), Ф+(Р')> А (Ю- Кроме них, в B8.7) будут содержаться
также другие операторы ф(р), tyf(p')> A(k), описывающие испу-
испускание и поглощение виртуальных частиц и квантов. Последние
операторы обязательно будут входить парами, в соответствии с тем,
что каждая испущенная промежуточная частица должна быть в новь
поглощена до окончания процесса. Поэтому для каждого Л (&), k ф К
найдется А( — &), а ф(р), ф+(//)> рфР> р' фРг должны появляться
в виде пар ф+ (//) . . . ф(/?), причем р' — р. Ввиду того что интег-
интегрирование в B8.5) распространяется по полным четырехмерным:
пространствам р, рг и k, различные множители ф(Р), &(р) и т. д.
?удут появляться в произведении B8.7) на всевозможных местах.
Среди них всегда будут находиться тройки операторов [происходя-
[происходящих из одного и того же Н{гг)\ ^f (p/i)A(ki)^(pi)/ приводящие
к возникновению множителя
Некоторые из этих трех 4-векторов p'v pit kx могут быть (или не
быть) импульсами реальных частиц, участвующих в процессе.
Предположим на некоторое время, что значения 4-импульсов
Р, Р' и К реальных частиц и импульсов р, р'', k, . . . виртуальных
частиц фиксированы. Интегрирование в B8.5) предполагает прежде
всего суммирование произведений L B8.7) по всем перестановкам П>
таким, при которых импульсы Р, р, . . . оказываются аргументами
каждого из операторов ф, а импульсы /С, kf ...—каждого опера-
оператора Л и т. д.; Кп состоит из суммы таких перестановок. Затем
каждый член интегрируется по значениям Р, р, /С, .. . Ранее мы
обозначили импульсы пары операторов ф+(//)> Ф(Р)» соответствую-
соответствующих одной и той же виртуальной частице, различными буквами;
ниже мы автоматически получим рг = р.
Вклады в /Сп, соответствующие этим перестановкам, могут быть
подвергнуты классификации путем следующего графического приема:
1) Представим каждый из 4-импульсов Р, /?, Р', . . . электронов
линией -> или ч—, импульсы /С, k, ... фотонов линией .
2) Три оператора, соответствующие какому-либо одному Я(^),
будут изображаться точкой, называемой вершиной. Из такой вер-
вершины берут начало три линии — одна фотонная линия и две элек-
электронные линии. Одна из электронных линий, соответствующая
импульсу pit будет направлена к вершине [множитель <Hft)L другая,
соответствующая импульсу р'{ [множитель <J>f(/^)], направлена " от
вершины. Электронная линия р, входящая в вершину, описывае
§ 28. Общее вычисление матричных элементов 319
поглощение (испускание) отрицательного (положительного) электрона
с 4-импульсом z±zp; линия, выходящая из вершины, описывает ис-
испускание (поглощение) отрицательного (положительного) электрона.
Фотонные линии не направлены. Тройку операторов ф, &+, Л, соот-
соответствующих одной вершине, мы назовем триплетом. Некоторые из
трех линий, входящих в вершину /, могут описывать реальные ча-
частицы.
3) Очевидно, что выражению Кп соответствует в точности п
вершин. Каждая линия, соответствующая Я, Я', /С, входит только
в одну вершину и имеет один свободный' конец; каждая линия, изо-
изображающая виртуальные импульсы k, р, не имеет свободного конца
и начинается и кончается в различных вершинах. Поскольку мы уже
6
Фиг. 20. Диаграммы взаимодействия для эффекта
Комптона в первом приближении.
допустили, что аргументы операторов ф+(//) и ф(р), соответствую-
соответствующих виртуальной линии, совпадают (//=/?), то для описания такой
линии достаточно одного импульса. То же справедливо и для вир-
виртуального k.
4) Теперь можно построить диаграммы для рассматриваемого
процесса (т. е. при фиксированных Я, Я', К и я), составленные из
свободных линий, виртуальных линий рДи вершин, всеми возможными
способами, совместимыми с приведенными выше условиями.
На фиг. 20 показан пример диаграмм для комптоновского рас-
рассеяния в приближении ?2, а на фиг. 21—пример рассеяния элек-
электрона внешним *полем Л^ (фактор А^е\ заменяющий здесь оператор
свободного фотона Л, изображен линией — ) в первом
и втором приближениях. Очевидно, что приведенные совокупности
диаграмм являются полными и *не существует других диаграмм,
удовлетворяющих всем условиям, кроме состоящих из двух несвязан-
несвязанных частей. Последние буд^т рассмотрены в п. 4.
Видно, что каждая диаграмма изображает ряд последовательных
промежуточных состояний. Например, в диаграмме эффекта Комптона
промежуточная линия на фиг. 20,а представляет как отрицательный
электрон с импульсом р = Р-|-К, так и позитрон с импульсом
р+ = — р = — Р — К = — Р' — К'1).
0 С учетом того обстоятельства, что в каждой вершине полный импульс
сохраняется (см. ниже).
320 Гл. 6. Радиационные поправки
В § 22 два указанных промежуточных состояния были обозна-
обозначены символом I, а два других промежуточных состояния — симво-
символом II; последние описываются диаграммой фиг. 20, б.
Фиг. 21, о описывает рассеяние электрона в низшем по-
порядке (~#), а фиг. 21,а — в2 первые радиационные поправки к
этому процессу (—?s). Мы предоставляем читателю рассмотреть
Фиг. 21. Диаграммы взаимодействия для рассеяния элек-
электрона во внешнем поле.
о—первое приближение; д, б, в1У вг — радиационные поправки низшего
порядка.
возможные последовательности промежуточных состояний,, показан-
показанные, например, на фиг. 21, а1).
Очевидно, что B8.5) является суммой вкладов от каждой тако!
диаграммы
Кп=У?Оп. B8.8
Мы увидим далее, что различные G, как правило, значительно отли
чаются друг от друга по своему физическому смыслу. В каждо
Оп еще содержатся некоторые перестановки П. Мы рассмотри
теперь одну частную диаграмму и вычислим ее вклад G.
2. Пример вычисления диаграммы взаимодействия. Для любо
данной диаграммы G импульсы Р, /С, р и т. д. линий, входящи
в каждую из вершин, фиксированы. Выбор мест в произведении 1
на которых могут находиться операторы ф+ (//), ф+(Я') и т. д
оказывается теперь существенно ограниченным. Очевидно, что едш
!) Каждая вершина изображает виртуальный процесс. Чтобы рассмотре
различные возможности, нужно пройти через вершины во всех возмо;
ных вариантах: это дает 3! = б различных последовательностей для кажд<
из диаграмм фиг. 21, а, б, в. Поэтому число промежуточных состояний, соо
ветствую-щих одной диаграмме, быстро возрастает с ростом числа вершя
§ 28. Общее вычисление матричных элементов 321
ственно возможная перемена порядка состоит в перестановке между
собой триплетов, относящихся к различным вершинам, без отделе-
отделения друг от друга трех операторов ф+Лф, образующих эти три-
триплеты.
- Рассмотрим такую перестановку Р. (Индекс перестановки не
следует путать с импульсом реальной частицы.) Возьмем неко-
некоторый соответствующим образом выбранный порядок I вершин
1,2, ...,#, причем среди импульсов/^, //, ki некоторые выделенные
импульсы Р, Р\ К принадлежат реальным частицам. Перестановка
вершин Р меняет порядок операторов ф и А в произведении L, не
нарушая при этом целостности триплетов, а также переставляет
$i в экспоненциальном множителе формулы B8.5). Можно считать
при этом, что все Р, Р', К отличны друг от друга и от всех про-
промежуточных импульсов р, //, k. На самом деле, конечно, при инте-
интегрировании виртуальные импульс'ы р принимают любые значения, но
интегрирование по малой области около какого-либо Р дает в инте-
интеграл исчезающе малый вклад. Особые случаи, когда один из Р
равен одному из Р' или когда подинтегральное выражение имеет
особенности при р, равном Р (и непосредственное интегрирование
но р оказывается невозможным), будут рассмотрены ниже (см. п. 3
% 4). Следовательно, все операторы ty+(//), ty(p) будут антикомму-
тировать, а все А {к) коммутировать между собой, за исключением
рар операторов ф+(/^)> ty(pj) (ниже мы покажем, что pfi = pj)f со-
соответствующих одним и тем же виртуальным электронным линиям,
#_пар A(ki), A(kj) (кг — — kj), соответствующих одним и тем же
виртуальным фотонным линиям. Операторы, составляющие такие
лары, обязательно принадлежат к различным триплетам, соответ-
соответствующим различным вершинам диаграммы. Следовательно, два
любых триплета будут коммутировать (так как каждый из них со-
содержит как ф+, так и ф), кроме тех случаев, когда оба триплета
содержат операторы из одной и той же пары. Пусть L\ — некото-
некоторый первоначальный порядок произведения операторов ty и А,
a PLi — порядок тех же операторов после перестановки вершин Р.
Коммутируя в PLi операторы ф и Л, можно „почти полностью*
восстановить порядок Ц\ запрещенными окажутся лишь переста-
перестановки ф+(р0Ф(Р)^Ф(Р)Ф+(/О или A(k')A(k)t?A{k')A(k) порядка
рйераторов, образующих пару. Если, сравнив порядки PL\ и Li,
^пытаться восстановить из PL\ порядок L\ настолько, насколько это
**O34fo*KHO, то мы заметим, что РЦ будет отличаться от L\ тем, что
ъ кр случаях порядок операторов в парах, соответствующих вирту-
виртуальным электронам, окажется обратным. Если при этом операторы ф,
•^бр^зующие пару, могли быть проантикоммутированы, то восстанов-
восстановление ' порядка I не привело бы к изменению знака. Но поскольку
в \р случаях перестановка операторов ф не может быть выполнена,
21 Зак 1260. В. Гайтлер
322 'Гл. 6. Радиационные поправки
мы получим множитель (—1)р. Аналогичные перестановки внутри
пар А(&)А(&'), соответствующих виртуальным фотонным линиям,
не приводят к изменению знака [поскольку операторы А (&), не вхо-
входящие в одну пару, коммутируют].
Мы условимся выбирать порядок I так, чтобы для каждого вир-
виртуального электрона оператор ty(p) стоял слева от ^f(//)- Этого
всегда можно достичь (нумеруя соответствующим образом вершины),
кроме случая, когда виртуальные электронные линии образуют зам-
замкнутый цикл1). (Этому случаю соответствуют, в частности,
фиг. 21, а и б, но не б.) Имеем тогда
Ц = ... *t(Pj+i)tf(Pj) • • • <КА+1)Ф+ (Pi) • • •> B^.9)
где многоточия стоят вместо операторов, соответствующих лишь реаль-
реальным электронам, а также, конечно, вместо множителей типа ^ Л (k)
и т. д. При этом вершины перенумерованы индексами 1. . л.. J. . .п
и каждая виртуальная электронная линия соединяет вершины с со-
соседними номерами j и j-\- I; PL\ отличается от Li, во-первых, фак-
фактором (—1)>р, во-вторых, тем, что в Лр случаях комбинации
*Нр)Ф+ (р') заменены на № (p')ty(p), а в-третьих, тем, что в не-
нескольких случаях порядок A(k) А (&') заменен обратным. Все осталь-
остальные множители в PL\ и L\ совпадают.
Рассмотрим далее матричный элемент отдельной диаграммы О
для рассматриваемого перехода 2). Ввиду того что каждая виртуаль-
виртуальная частица испускается и поглощается, для каждой пары <Н/?)ф+(/О
можно взять ее среднее значение по вакууму. В соответствии с
A2.26) имеем 3)
S % (Р)$' (Р'))о - + 7РР' 1 + ?2(А)) S4(Р — Р'M(Р2 + ^ B8.10а:
!) При этом порядок операторов в L справа налево соответствует дви-
движению по направлению электронных линий, а оператор ^ — началу вирту
ального цикла.
2) Используемое здесь рассуждение, приводящее к формуле B8.21)
может быть проведено более четко и последовательно с помощью теорел
Вика [Wick G. С, Phys. Rev., 80, 268 A950), см. перевод в сборнике „Но
вейшее развитие квантовой электродинамики", ИЛ, 1954], устанавливающи:
общие правила для представления матричных элементов от операторны:
выражений типа B8.1) через вакуумные ожидания от упорядоченных т
времени произведений операторов рассматриваемых полей типа B8.13) \
B8.Щ. — Прим. ред.
3) При этом предполагается, что суммирование по спиновым индекса?
выполняется одновременно с интегрированием по виртуальным импульсам /
§ 28. Общее вычисление матричных элементов 323
Отсюда видно, что вклад от пары отличен от нуля лишь при
р = /?', как ранее и предполагалось.
Вклады, соответствующие фотонным линиям, мы рассмотрим ниже.
Множитель (—1)>р автоматически учитывается знаком минус в пра-
правой части соотношения B8.106). Однако перестановка Р действует
также на аргументы si9 входящие в экспоненциальный множитель
выражения B8.5). Изменяя обозначения переменных интегрирования
xv ..., хп, можно добиться того, что экспоненциал е1^пхп+ •
не изменится и нам останется лишь рассмотреть действие Р на
множитель
При первоначальном порядке I пара ty(Pj+i)^(Pj) соединяет две
вершины j, j-\~\ и соответствует множителю
1 +?
Если перестановка Р такова, что она приводит к паре ^f(jj+i
то при изменении обозначений аргументов jq, ..., хп необхо-
необходимо также переставить xoj и xoj+1) так что после перестановки
будет xoj > xoj+l. Тогда обе формулы B8.10) могут быть объеди-
объединены в одну путем умножения г(р0) на e(xQj+1 — xoj). При этих
условиях получаем
S {% (Pj+1) $¦ (Pj))o = — S {$¦ (Pi)% (Pj+i))o =
= Т„. '+<*/><^-»«> *Q,J+l-P*)*(lt+rt- B8.11)
Проследим теперь за интегрированием по p$+v Pj- Так как Р
действует только на множители A -f- s (xoj.n — xoj)) /2, которые
не зависят от р и p't то зависимость от /?, р'\ кроме сомно-
сомножителей B8.11), будет содержаться еще лишь в экспоненте
et(8j+ixj+i+xj8j)lnc^ Это приводит нас в силу содержащейся в B8.11)
8-функции S4(/7^1 — pfj) к выражению etpj^xj+i~xj)/He. Мы не будем
проводить интегрирование до конца, так как из § 8, п. 4 видно» что
J
= 2й" J
B8.12)
Чтобы убедиться в этом, достаточно отметить, что фурье-образ от
e(po)8(/?2-f-{x2) равен —ID и что, с другой стороны, фурье-образ от
-—/s(jcq)D равен A//гсMУ(р9 + ца). Следовательно, под знаком инте-
324 Гл. 6. Радиационные поправки
грала в (р0)в (х0) 3 (р2 -(- а2) может быть заменено на A /Ы) §/(р2 -+- }*2;
[ср. (8.29) и (8.37)]. Умножая обе стороны на ^^Кр^Ч-Н-3)» полу-
получаем B8.12). На основании B8.12) можем написать
j J d*pdУ S <% (р) Ф+, (р')>0 -=-// *pd<p'S <Ф? (/) % (Р)>0 • • ¦ =
= 55- / J diPdiP%?' ?(Р9 + ^2K4(Р —Р') • • • B8-13
Многоточия обозначают здесь экспоненциальные множители.
Аналогичным образом можно рассмотреть и вклады от виртуаль-
виртуальных фотонов. Пусть, например, фотонная линия соединяет вершинь
/» 1> У < ' (в общем случае / и / могут не быть пocлeдoвaтeльным^
индексами). Ввиду того что к — переменная интегрирования, можж
выбрать знаки импульсов пары k, k! так, чтобы вершинам / и J
соответствовали операторы А (к) и Л (—kr). При первоначального
порядке мы имеем тогда пару A^(k) Л^ (—к'), вклад которой раве!
ее вакуумному ожиданию A0.55):
{k — k')l+\{ko) 5 (k% B8.14
После перестановки Р вершин оператор Л(—/5.') в некоторы:
случаях может оказаться впереди A(k). Вакуумное ожидани
(A(—k')A(k)H отличается от B8.14) тем, что е(&0) заменено н
— s (k0). [Замена к на — kr с учетом о4 (/г — &') дает г (/г0) -> — s (/го)=
= — е(&0).] В результате перестановки мы приходим к порядку
когда у > /. Тогда, ввиду того что xoj и д:ог также переставляются
мы приходим к выводу, что знак перед ео(?о) зависит от знака нера
венства xol^xoj. Поэтому мы снова можем написать
B8.1J
Входящий сюда импульс k (в силу равенства к = kr) войде
в экспоненту в виде е 1 * . Исходя из B8.15) при помощи рас
суждений, полностью аналогичных тем, которые были проведены д/
виртуальных электронных линий, получаем
АД—*'Мц<*»о ••• =
= 2^7 mwr J J d*kd*k'? (^2)§4 (* — ^) • • • B8-1(
Выражения B8.13) и B8.16) не зависят от перестановок Р. Зав!
симость от Р остается теперь лишь в выражении
§ 28 Общее вычисление матричных элементов 325
которое в действительности тождественно равно единице. Чтобы
в этом убедиться, заметим,' что перестановки Р могут быть реали-
реализованы путем перестановок лишь соседних вершин, а при каждой
такой перестановке г меняет знак. Координаты х (включая л:0) с уче-
учетом B8.13) и B8.16) поэтому полностью исчезают из всех множи-
множителей подинтегрального выражения, кроме экспоненты, и интегриро-
интегрирование по xv . . ., хп в B8.5) выполняется с помощью соотношений
J
Si). B8Л8)
Прежде чем собрать результаты, следует рассмотреть еще слу-
случай замкнутых электронных циклов. Простейший пример такого цикла
представлен на фиг. 21, б и имеет вид • Zjzt • ~ >
но возможны и более сложные случаи. Предположим, что диаграмма
содержит не более одного замкнутого цикла. Двигаясь вдоль него
по направлению электронных линий, легко убедиться, что началь-
начальному порядку I будет соответствовать один множитель ф+(//)ФСр)
с „обратным порядком" операторов. Эта пара будет связывать вер-
вершины /->у\ />у, и, следовательно, xoj > xoi. Вакуумное ожидание
имеет вид
S «¦+ (Р1) ф (Р))о = - 1~;°*) .... xoi > xoi. B8.19а)
Опущенные в правой части B8.19а) множители имеют тот же самый
вид, что и в B8.10). Переставляя операторы, имеем также
¦¦> xoj>*oi' B8.196)
Обе формулы B8.19) снова могут быть скомбинированы вместе
подобно тому, как это было сделано ранее. Отличие состоит лишь
в знаке минус в правой части. Случай нескольких замкнутых циклов
вполне аналогичен разобранному, но в наших приложениях он не
встретится,
Вклад G одной отдельной диаграммы в матричный элемент может
быть теперь очень просто записан в импульсном представлении.
Нужно лишь сделать некоторые замечания относительно порядка
сомножителей. Для наглядности выпишем явно матричные дираков-
ские индексы р операторов <J>, &+ и матриц -у. Вершины диаграммы
перенумеруем числами 1, 2, . . ., п в порядке, соответствующем
движению вдоль виртуальных электронных линий (в случае отсут-
отсутствия замкнутых циклов). Однако когда соединяются реальные элек-
электронные линии, открытый цикл может быть прерван *). Каждой вер-
вершине / соответствует фактор 6+', (р) -у , АрХ&)ЬрХр), где р; и
U ЪНН % г
1) В начале и конце каждого незамкнутого цикла виртуальные элек-
электронные линии соединяются с внешними электронными линиями, соответ-
соответствующими реальным электронам (позитронам). — Прим. ред.
326 Гл. 6. Радиационные поправки
р^ — дираковские матричные индексы, а \ь\ — 4-векторный индекс.
Часть операторов ф+, Л, & может быть объединена в пары. Поэтому
Gn представляется в виде произведения множителей следующих типов:
1) операторов свободных фотонов А (/С); 2) операторов свободных
(входящих и выходящих) электронов ф, ф+; 3) факторов распростра-
распространения виртуальных фотонов [см. B8.16)]; 4) факторов распростра-
распространения виртуальных электронов [см. B8.13)]; 5) фактора B8.18) и
матрицы Yp.» соответствующих каждой вершине.
В качестве примера выпишем образцы множителей различных
типов, входящих в Gw, обозначив остальные многоточиями. Пусть
эти линии связывают или соединяют следующие вершины:
Индексы
Линия вершин
Реальный фотон h
Входящий реальный электрон .... g
Выходящий реальный электрон .... f
Виртуальный электрон i~>i~{-\
Виртуальный фотон j — /
Обозначая через Ne, Np соответственно числа реальных электронов
и фотонов, а через ме, пр — числа виртуальных электронных и фотон-
фотонных линий, найдем
n = Np + 2np = ±(Ne + 2nB)9 B8.20)
так как в каждой вершине сходятся две электронные линии и одна
фотонная и каждая виртуальная линия связывает две вершины. Каждому
замкнутому циклу соответствует знак минус, который мы выразим
множителем (—1)с#р*. Вклад Gn в матричный элемент примет тогда
вид
• • • X
Если имеется замкнутый цикл, то одному из виртуальных электро-
электронов будет соответствовать множитель (f • Р-f-*"'x) r(j)
По всем матричным индексам р^, р^ и по векторным индексам \i{
должно быть проведено суммирование. При этом нужно учесть, что
вследствие наличия в фотонных факторах символа Кронекера tyi^j
мы получим iil = iij. Все матричные сомножители р^р' затем могут
быть записаны в виде символических матричных произведений, причем
§ 28. Общее вычисление матричных элементов 327
порядок сомножителей будет определяться структурой диаграммы
(он соответствует движению по направлению электронных циклов)
и всегда может быть без труда установлен.
В качестве иллюстрации запишем О„ для трех диаграмм
фиг. 21, о, а, б (диаграмма фиг. 21, в будет рассмотрена в п. 3)i
Одна из них (фиг. 21, б) содержит замкнутый цикл. Мы получим
X (Ф+ (Р') чАв) (К)'!>(Я)). B8.22)
* S ¦•• / d*Pd*P'd4(d*pd*p'dW (/> _ р _ А) X
X
B8.23a)
(в) 1 /2e2\*'3 С С г г г
2"КП \ПС / J J
X (ф+ (Я') т^ (Р)) Sp (Т • р + iji) -Г;х (Т • / + «!*) тИ1е) (К). B8.236)
Отсюда видно, что, несмотря на некоторую сложность вывода,
полученные формулы весьма просты по своей структуре, так как
факторы, соответствующие различным промежуточным состояниям,
комбинируются в простые выражения и в каждом отдельном случае
совокупности различных виртуальных состояний соответствует один
интеграл. Упрощения становятся более ощутимыми, когда число про-
промежуточных состояний становится большим (такие случаи, однако,
не рассматриваются в приложениях гл. 5). Наиболее важное пре-
преимущество состоит, однако, в том, что Gn имеет полностью кова-
рааншную форму. Он зависит только от полных 4-векторов.
3. Сингулярные случаи. Теперь необходимо рассмотреть важ-
важный случай, когда 4-импульс виртуального электрона может ока-
оказаться равным 4-импульсу реального электрона. Это как раз тот
случай, когда становится существенным „недиагональное ограничение"
формулы B8.1). Иными словами, мы должны принять во внимание,
что в матричном произведении, образующем Н в формуле B8.1),
отдельные сомножители не могут иметь аргументом 4-импульс началь-
начального или конечного состояния х). Пример такого случая представляют
матричные элементы диаграмм фиг. 21, вг и в2.
х) Как будет показано в п. 4, неантикоммутативность операторов ф здесь
ничего не меняет.
328 Гл. 6. Радиационные поправки
Если бы мы применили там формулу B8.21), то две из 8-функ-
ций о4 (р — k—P')b^{pf-\~k—p) скомбинировались бы в 84(Р'—-/?')
и, следовательно, оказалось бы, что Р'= р*'. Но матричный элемент
содержит также множитель С*(р/2 + ^2). Ввиду того что Р'—импульс
реального электрона (P'2-f- \i2 = 0), то мы пришли бы к силь-
сильносингулярному выражению ?*@). Действительно, выражение
54(Р'—/?')С(//2-f-^совершенно бессмысленно. Ниже мы ограничимся
лишь рассмотрением того случая, когда в начальном состоянии при-
присутствует только один электрон и сингулярность имеет только что
описанный вид.
В энергетическом представлении теории возмущений (см. § 15)
„недиагональное ограничение" выражалось в том, что члены с обра-
обращающимися в нуль энергетическими знаменателями исключались
и заменялись некоторыми новыми членами, ренормализационными чле-
членами, содержащими квадраты энергетических знаменателей. В § 15
мы убедились также в том, что такие случаи можно включить (фор-
(формально) и в общую формулу с обращающимися в нуль знаменателями,
но при этом последние надо интерпретировать как главные значения,
выполняя соответствующий предельный переход для выражения
18 (*) = —!-«'(*)•
Именно с таким положением мы только что и столкнулись 1).
Сингулярности возникают в С*-функциях, которые можно расще-
расщепить на две части:
Особенность функции С* (р/2 -f- ^) при p/2-j-u2 = 0 целиком заклю-
заключена в 8-члене, в то время как с?-члеи, по определению, никакой
особенности не содержит. Поэтому рассуждение, приведенное в п. 2>
надо модифицировать следующим путем. Если 4-импульс р' вир-
виртуальной частицы ввиду наличия о4-функций оказывается равным
4-импульсу реальной частицы (так что //2-|-ia2 = 0), то С должна
быть заменена на с?/(//2 + и2), а 8-функция опущена
?(р/2 + Еа)-» Л 9 (при р'-+Р). B8.24)
р + ^
!) Здесь становится ясным, что разложение К удобнее разложения
S-матрицы, несмотря на внешнюю привлекательность последнего [см.
A5.35'), A5.36)]. Также становится очевидным смысл проведенного в § 15
канонического преобразования. Если не проводить этого преобразования (от
Н к К), то разложение S-матрицы привело бы к формуле типа B8.1), но
без ,,.недиагональных ограничений" и ренормализационных членов. Мы видим
теперь, что такое разложение содержит сингулярности, не имеющие физи-
физического смысла, появление которых объясняется, таким образом, разложе-
разложением неподходящей величины.
§ 28. Общее вычисление матричных элементов 329
Все остальные рассуждения, приведенные в п. 2, остаются без изме-
изменений. Мы можем теперь, например, сразу же написать вклад диа-
диаграммы (см. фиг. 21, вг) в виде
d^Pd^Pfd^KdApd^prd^k?{P + K—pf) X
~~ ~~ Bти/)з р'2 + Р2
X (^+(jP/)Ta(T'/?4~ilx)Ta(T#/?/4~ Щ) тИ^ЧЮ^С^))- B8.24b!)
В этой формуле комбинация §4-функций дает сингулярный фактор
24(Р'— р')&1(р'2-\~\^)- Этот член, однако (с учетом собственно-
энергетических поправок), имеет вид й(х)§/х и потому не приводит
к трудностям. Он сводится к —Vg^'C*) и компенсируется с частью
ренормализационных членов. Это будет детально показано в- § 30,.
где будут, вычислены Gz{a)i G3(<?,, O3(ei).
4. Флюктуации вакуума. Мы предполагали в п. 2, что все
4-импульсы реальных электронов и фотонов отличны друг от друга
и от импульсов виртуальных электронов. Кроме того, мы также не
рассматривали случаев, когда диаграмма взаимодействия состоит, из
двух несвязанных частей. Если некоторые из 4-импульсов электро-
электронов равны друг другу или принимают равные значения внутри области
интегрирования, то соответствующие операторы 6 уже не будут
антикоммутировать друг с другом, как это предполагалось в п. 2*
Простым примером того положения, когда импульсы двух реальных
электронов равны друг другу, является собственная энергия элек-
электрона, которую мы рассмотрим в § 29. Она является диагональным
элементом вида <|/*"(Р') . . . ф(Р) при Р = Р'. Здесь ф+(Р') и ф(Р)
уже более не антикоммутируют между собой. Возникает, казалось бы,
необходимость учитывать в матричном элементе вклад от антиком-
антикоммутатора {tyf(P')ty(P)}- Однако это не так. Дело в том, что анти-
антикоммутатор {<{/**(Pf) ф(Р)} уже не представляет собой оператор,
изменяющий состояние системы, а является с-числом. Поэтому его
дополнительный вклад в матричный элемент оказывается не завися-
зависящим от наличия реальных элементов. Он сохраняет, в частности,
свое значение и для. электронного вакуума. Таким образом, он не
описывает часть собственной энергии электрона, а является собствен-
собственной энергией вакуума. Для того чтобы вычислить собственную энер-
энергию самого электрона, следует вычесть энергию вакуума, т. е. опу-
опустить вклад {<Ь+ф} (см. § 29, п. 1). Этот рецепт является общим.
Антикоммутаторы операторов ^> относящихся к реальным электро-
электронам, приводят к не имеющим смысла вакуумным эффектам, которые
нужно опускать при вычислении физических величин. То же самое
относится и к случаю, когда оказываются равными импульсы двух
Гл. б. Радиационные поправки
реальных фотонов. Приведенные выше формулы остаются поэтому
правильными и в этом случае.
Аналогичные соображения можно развить и тогда, когда диаграмма
взаимодействия состоит из двух не связанных между собой частей.
Пример такого положения, относящийся к рассеянию электрона во
внешнем поле в приближении <—е3,
приведен на фиг. 22. Соответствую-
Соответствующий матричный элемент является
произведением двух множителей,
^соответствующих двум частям диа-
W' *" граммы. Первый множитель G[e)
<t> и г. 22. Диаграмма взаимодейст- совпадает с матричным элементом,
вия, состоящая из двух несвязан- соответствующим фиг. 21, о. Вто-
ных частей. рой множитель —Ov *) не за-
зависит от внешнего поля и от со-
состояния электрона и описывает чисто вакуумный эффект. Ваку-
Вакуумная электрон-позитронная пара плюс фотон рождается и затем
аннигилирует. Этот эффект можно назвать флюктуацией вакуума.
Он состоит в том, что где-то в пространстве (может быть, очень
далеко от рассматриваемой области) появляются пара и фотон. Эти
флюктуации являются необходимым следствием того, что гамильто-
гамильтониан Н содержит операторы порождения пар, и состояние, соответ-
соответствующее полному отсутствию невзаимодействующих частиц (мате-
(математический вакуум), не является собственным состоянием квантовой
электродинамики. Истинное собственное состояние с наименьшей
энергией, именуемое „вакуумом" (физический вакуум), содержит,
будучи разложено по состояниям невзаимодействующих частиц, вир-
виртуальные пары и фотоны. Поэтому в последнем состоянии имеется
определенная вероятность найти некоторое количество электронов
в любом месте пространства в любой момент времени. Заметим
теперь, что включение таких виртуальных пар в определение дей-
действительных состояний как раз и достигается каноническим пре-
преобразованием, проведенным в § 15. Определенные там новые состоя-
состояния W содержат уже виртуальные компоненты. Если рассматривать
переходы между такими новыми состояниями (именно это мы всегда
и делаем), то флюктуации вакуума не войдут в конечный результат
и вклады от диаграмм, подобных фиг. 22, скомпенсируются 2). Это
действительно имеет место. Вклад от главных членов в B8.1), рав-
!) Знак минус связан с наличием одного замкнутого цикла. Действи-
Действительная часть Gv при этом положительна.
2) Флюктуации наблюдаемого заряда возникают, например, при измере-
измерении заряда в некотором элементе объема. Этот заряд не коммутирует с пол-
полной энергией и поэтому низшему энергетическому состоянию (вакууму)
•соответствует некоторая вероятность найти в каком-либо элементе объема
неисчезающий заряд. Флюктуации заряда были впервые вычислены Гейзе* -
¦бергом [7].
$ 29. Собственная энергия электрона 331
ный — OvO({\ компенсируется частью ренормировочных членов
(которые до сих пор не рассматривались). Это особенно легко про-
проследить в энергетическом представлении. Для перехода Р -> Рг
имеем
x )pt | р = Нр> | p'-fpair-p Нр> +pair | P-f-pair Ъ Др+pair | Р
С28.25)
Здесь V — индекс вакуума, a „pai/" (пара) — индекс состояния^
содержащего виртуальную пару и фотон. Последнее равенство вы-
выполняется в силу того, что в каждом переходе либо Р, Р', либо
виртуальная пара не принимает участия. Множитель Нр\рг равен
квадрату амплитуды перехода I/—>pair, т. е.
^pair| V
F .
pair
Соответствующий вклад ренормировочных членов из A5.13^) равен
^P|P+pair^JP+pair|P * НР' \ P+pair^P' 4-pair | Р'
— — /7p' j p . B5.2b)
¦^pair
Таким образом, B8.25) и B8.26) взаимно уничтожаются. Вакуум-
Вакуумные эффекты исчезают благодаря каноническому преобразованию.
Остающийся вклад от ренормировочных членов представляет собой
существенную часть процесса и может быть включен в главные
члены с помощью подходящего предельного перехода (см. § 30 и
стр. 186). Для практических целей можно постулировать следующее
правило: несвязные диаграммы типа фиг. 22 описывают несу-
несущественные флюктуации вакуума и должны быть опущены.
Действительное вычисление Gv приводит к сильно расходящемуся
выражению, но поскольку Gv не возникает при вычислении наблю-
наблюдаемых эффектов, то не мешает нам рассчитывать физически на-
наблюдаемые явления в любом желаемом приближении.
При рассмотрении более сложных процессов в диаграммах взаимо-
взаимодействия возникают дальнейшие „топологические" усложнения, но
в последующих приложениях такие случаи нет необходимости рас-
рассматривать.
§ 29. Собственная энергия электрона
Возникновение бесконечной собственной энергии явилось в клас-
классической теории (см. § 4) главным препятствием для последователь-
последовательного применения представления о точечной частице. В квантовой
332 Гл. 6. Радиационные поправки
теории эта трудность до сих пор еще не ликвидирована, но в не
которых отношениях проявляется в другом виде. Ниже мы увидил
что хотя собственная энергия все еще расходится, однако эта рас
ходимость оказывается менее сильной, так что „инертная масса
электромагнитного поля, скажем, вне объема порядка классическог
радиуса электрона оказывается пренебрежимо малой по сравнению
наблюдаемой массой электрона. Поэтому, в то время как в классическо
теорий можно было бы поддерживать идею о чисто эле.ктромагн-итно
природе массы электрона, теперь такая точка зрения представляете
весьма неправдоподобной. Следующая задача (уже возникшая в § 4
требующая теперь разрешения, заключается в релятивистском поведе
нии собственной энергии. Если электрон вместе со своим поле
рассматривается как релятивистская частица, то собственная энер
гия может сказываться только в виде добавки к массе электрона
Мы увидим ниже, что, как и в классической теории, это. не про
исходит автоматически, но что этого можно добиться, использу
расходящийся характер собственной энергии, т. е. выполняя инте
грирование на бесконечности некоторым предписанным образом
В то же время собственный импульс —(i/c) Г T4kdz приобретав
правильные трансформационные свойства, а все остальные соста
вляющие тензора энергии-импульса могут быть обращены в нул
(см. приложение VII).
Собственная энергия электрона, являющаяся теперь лишь вкла
дом в массу электрона, может рассматриваться как принципиальн
ненаблюдаемая величина, так как ее нельзя отличить от других вкла
дов в полную массу электрона.
В соответствии с нашей общей программой мы вычислим соб
ственную энергию электрона, разлагая ее по степеням е2 и ограни
чиваясь низшим порядком ~?2.
1. Собственная энергия. Элементарное вычисление. И
соображений наглядности применим сначала элементарный метод [8]
подобный использовавшемуся в гл. 5. Удобнее воспользоваться ло
ренцовой калибровкой и применить введенный в § 10 метод кван
тования продольных и скалярных фотонов. Тогда сможем исследо
вать статическую собственную энергию одновременно с „поперечно!
собственной энергией", считая ее следствием процессов испускани
и поглощения продольных и скалярных фотонов.
Согласно § 14, п. 2, собственная энергия состояния А равна
л п
и
где Ип\а. — матричный элемент взаимодействия для перехода Л—>п
Если состояние Л соответствует свободному электрону в фотонно>
вакууме, то состояние п может* возникнуть из Л путем испускани;
фотона при соответствующем изменении состояния электрона. В про
# 29 Собственная энергия электрона 333
Межуточных состояниях п импульс сохраняется, а энергия, вообще
говоря, не сохраняется.
Пусть теперь Р будет импульсом электрона в состоянии А и
пусть энергия Е будет положительной. Тогда состояния п будут
содержать испущенный фотон с импульсом кис любой из четырех
поляризаций а=1, ..., 4. Вклад от поперечных фотонов а=1, 2
яриводит к "поперечной собственной энергии, тогда как поляриза-.
ции а = 3, 4 дадут кулоновскую собственную энергию, аналогичную
рассмотренному в § 4 классическому выражению. Мы не будем,
однако, разделять эти два эффекта. Появление поперечной собствен-
собственной энергии (являющейся квантовым эффектом) можно понять сле-
следующим образом. Как мы видели в § 7, в фотонном вакууме, не
содержащем свободных фотонов, электромагнитное поле не исче-
исчезает, испытывая флюктуацию около нулевого среднего значения,
поскольку потенциал поля не коммутирует с числом фотонов. Элек-
Электрон, будучи помещен в такой фотонный вакуум, взаимодействует
с этими вакуумными полями, и результатом этого взаимодействия
является поперечная собственная энергия.
В состоянии п электрон обладает импульсом р' == Р — к и мог бы
иметь положительную или отрицательную энергию Е'. Однако в со-
соответствии ? теорией дырок переходы в состояния с Ег < 0 оказы-
оказываются запрещенными. С другой стороны, электроны с отрицатель-
отрицательной энергией все же дают вклад в собственную энергию.
Дело заключается в том, что вакуум также имеет собственную
энергию, соответствующую собственной энергии всех электронов,
находящихся в состоянии с отрицательной энергией. Эта энергия
обусловлена переходами электронов из состояний с отрицательной
энергией в состояние с положительной энергией. (Какие-либо другие
Переходы невозможны.) Энергия одного свободного электрона должна
быть, естественно, определена как разность энергии электрона и
энергии вакуума, так чтобы энергия вакуума была нормирована
к нулю. Далее, если в состоянии А содержится электрон, то пере-
переход электрона отрицательной энергии в это частное состояние ока-
оказывается запрещенным. Поэтому наличие электрона в состоянии А
изменяет собственную энергию вакуума на величину, соответствую-
соответствующую переходу в состояние Л. Изменение энергии вакуума, вызван-
вызванное присутствием электрона в состоянии Л, фигурирует (со знаком
минус) в качестве составляющей полной собственной энергии этого
электрона. Вместо B8.1) получаем поэтому
—\E"\—E — k' \я**Ч
Е>0 Я"<0
Удобно обозначить импульс состояния с отрицательной энергией
через —р", так чтобы р" означал импульс позитрона с энергией
jE"| и р" = —Р —к.
334
Гл. 6. Радиационные поправки
Матричные элементы испускания и поглощения фотона с поляри
зацией а=1, ..., 4, согласно A4.29), равны
B9-3
Я„огл. = — еЬс уГЦ- (н
если электрон переходит из состояния 1 в состояние 2. Обознача
амплитуды и для состояний Р, р', р" через и, и', i/' соответственно
запишем B9.2) в виде
?' >0
(
Е" <0
изменив порядок сомножителей во втором члене. Суммирование здес
производится по всем импульсам к и по всем четырем поляризация!
а=1, ..., 4. Импульсы р' и р" определяются из закона сохране
ния импульса, а знаки Е' и Е" фиксированы. Мы должны, наконец
просуммировать еще и по возможным спиновым состояниям в р', р"
Это суммирование выполняется по способу, изложенному в § 1
[см. A1.186) с измененным знаком у р"\, и дает
Sp\u^u')(u'\u)= 2^-(«Ч(т •/ + '» V0> B9.5а
B9-56
Суммируя по а, получаем
Та(Т ' /)Та = — 2Т • Р'> ТаТа = 4. B9.6
Подставляем B9.6) в B9.5) и B9.4) и заменяем суммирование
по к интегрированием. Изменяя во втором члене B9.4) знак у 1
с учетом того, что
т-/>' = <•??'-МтрО и р" = _
найдем
е2
J k
ГрЕ'
¦
(- 2i> — /M ^ 1
\E'\(E+\E'\+k)
Г
7
Это выражение можно было бы легко упростить, сведя ег
к шпурам, ввиду того что и^ и а относятся к одному и тому ж
состоянию. Однако мы не станем этого делать по следующим при
чинам. До сих пор мы еще ни разу не воспользовались тем, чт
uf и а относятся к одному и тому же состоянию. Ниже мы увиди?*
что имеется также и недиагональная „собственная энергия", описы
ваемая теми же самыми формулами, что и приведенные выше, гд*
§ 29. Собственная энергия электрона 335.
однако, иУ и и относятся к различным состояниям. То же относится
и к обобщению W, которое потребуется нам в § 34. Ввиду этого
мы выполним интегрирование по к прямо в B9.7). Мы будем считать
при этом, что и принадлежит к состоянию Р, но не будем пред-
предполагать того же относительно uf. Таким образом, мы будем фак-
фактически вычислять оператор, действующий на и.
Проинтегрируем сначала по азимутальному углу ср в к-простран-
стве, направив полярную ось по направлению Р. Единственный член„
зависящий от ср, есть '
Ввиду того что (yP) непосредственно действует на а, можно
воспользоваться уравнением Дирака
(ТР) и = (—*??+':*) я.
и № после объединения обоих членов примет вид
__ ie* Г №dkd cos 8
w — чш) w x
(ц-i» l-EE'+E (E' + k) (Рр')/Р2) + (ц+ц) (E' + k) ix B-(Pp')/P2)
Если продолжать интегрирование, пользуясь переменными k и Ь
(угол между векторами Р и к), то можно прийти к результатам,
не имеющим релятивистски-инвариантной формы, поскольку само к
не "являетсч инвариантным. Чтобы получить желаемую инвариант-
инвариантность результата, перейдем от переменных к и cos 0 к новым ин-
инвариантным переменным. Это можно сделать путем небольшого-
обобщения метода Паули и Роза [9—11]. Введем следующие пере-
переменные:
,v = E' — k, , w = ?/-fA, - B9.9)
где
Е' = /jxa-HP —кJ".
Величина
является инвариантной, так как р/,?'/, а следовательно, и p'-f-k*
Er-{-k образуют 4-вектор. Выражение B9.9') представляет собой
квадрат этого 4-вектора. Мы увидим сейчас, что B9.8) сводится
к интегралу по переменной е. В новых переменных B9.9) и B9.9х)
элемент объема равен (здесь Я==|Р|)
k2 dk d cos 6 1 , , /ол , лv
W = -2pdvdw, B9.10)
336 Гл. 6. Радиационные поправки
а пределы интегрирования, соответствующие
— 1 <cosfl<+l>
0<&<оо,
суть
Выражая B9.8) через г/ и -до, заметим, что
?,=«±». (рр')^!.^^^-^3 —И-2). B9.1
Интегрирование по v выполняется немедленно
J W4 — ръ е2 9
B9 1
Подставляя B9.11) и B9.12) в B9.8), замечаем, что множ
тель (и^и) обращается в нуль после интегрирования по v. Остат
после несложной выкладки дает
J
(?2 Х
Мы видим, во-первых, что результат расходится как
lim In e,
S->OO '
где s — безразмерная величина типа энергии, деленной на у. Если
мы хотели установить предел применимости теории при некото{
очень большой энергии, можно было бы сделать это инварианта
образом, выбрав очень большое конечное значение верхнего пред*
значений е. Даже при emaXe , превышающем наивысшие достижим
энергии, In eraax. будет оставаться величиной порядка едини
(например, 10 или 20). Поэтому наличие знаменателя 2тг137 делает
очень малым по сравнению с а (а+,3# порядка единицы). Поэто
хотя мы и вынуждены констатировать наличие серьезных затруд
ний в теории (а может быть в способе разложения?), весьма
роятно, что „на самом деле" электромагнитная собственная энер
электрона мала по сравнению с его энергией покоя.
Заметим, во-вторых, что выражение B9.13) имеет правильь
релятивистские свойства. Оно представляет собой поправка к ма
§ 29. Собственная энергия электрона 337
электрона 1). Все множители, за исключением (и*$и), являются
инвариантными. Заметим теперь, что гамильтониан свободного элек-
электрона равен
J Ф) dz = (
Н = J
Поэтому если мы исправим .^accj/, то изменение в гамильтониане.
Н, ЬтН (которое мы и хотели вычислить) составит
$€=e Г = Sji J (ф*Рф)Л = 8ji.(tt*pe). B9.14)
Поэтому формула B9.13) дает нам не зависящее от Р выраже-
выражение для изменения массы
3*?1*- <29Л4'>
Для этого результата существенно исчезновение члена (и*$и) = i{a*a)
в B9.8). В противном случае этот член не имел бы правильных
релятивистских свойств.
Для свободной частицы с импульсом Р и положительной энер-
энергией значение (и*$и) можно, конечно, немедленно вычислить
M. = ?. B9.14")
Заметим теперь, что если Six представляет собой поправку к массе,
то W должно иметь вид
W = -з— ои. = -9- о;х
и B9.13) действительно сводится в силу B9.14') к такому виду.
Тот факт, что W можно интерпретировать как поправку к массе,
является большим успехом теории. Благодаря этому можно считать
весь эффект ненаблюдаемым. В самом деле, величина, которую мы
до сих пор обозначали через |i, является не той массой, которую
*мы измеряем, а некоторой ненаблюдаемой теоретической величиной
|(массой электрона в отсутствие электромагнитного поля). При этом
наблюдаемая масса равна
Это обстоятельство надо все время иметь в виду, читая настоящую
главу; как мы увидим ниже, возможность получения конечных выра-
выражений для наблюдаемых поправок порядков к различным физическим
величинам целиком основывается ра тщательном анализе массовых
поправок Six (и аналогичных поправок 3# к заряду, ср. § 32).
1) Инвариантное выражение для собственной энергии было впервые по-
получено Швингером [2в] более сложным путем.
22 Зак. 1260. Щ. Гайтлер
338 Гл. 6. Радиационные поправки
Из того что энергия поля свободного электрона (которая ест
его собственная энергия) сводится только к собственной массе
вытекает, что полная энергия электрона и поля ведет себя ка
четвертая компонента 4-вектора. Казалось бы, что тогда и други
компоненты тензора энергии-импульса должны были бы также облг
дать правильными трансформационными свойствами. Это опять н
получается автоматически, но, как мы покажем в приложении VI
интегрирование можно провести так, чтобы получились правильны
релятивистские свойства. В этом смысле проблемна релятивистског
поведения поля заряженной частицы (см. § 4) может считатьс
решенной.
Логарифмическая расходимость полной собственной энергии нахс
дится в явном противоречии с линейной расходимостью статическс
собственной энергии в классической теории A/г|г-И), см. § 4
Возникает вопрос, каким образом статическая собственная энерги:
которая должна была бы остаться неизменной в квантовой теори
(при кулоновской калибровке), смогла оказаться столь подавленно?
Эго обстоятельство является следствием теории дырок и принциг
Паули. Рассмотрим электрон, представляемый в координатном пр<
странстве волновым пакетом очень малых размеров. В импульснс
пространстве он представлялся бы распределением, содержаще
состояния с отрицательной энергией. Последние, однако, все запо,
нены электронами фона. Следовательно, составляющие с отрицател
ной энергией надо исключить из волновой функции и электрон i
может представляться волновым пакетом бесконечно малого размер
но должен иметь конечные размеры (порядка hjmcy как легко пок
зать). Следовательно, статическая собственная энергия должна така
уменьшаться.
2. Недиагональные элементы. Мы видели, что изменение массы
в гамильтониане свободного электрона описывается членом, пропо
циональным матрице {?, и что собственная энергия электрона име
как раз такую структуру. Матрица J3 не коммутирует с Н = («р)+ ?
и поэтому „собственная энергия" должна иметь также недиагона^
ные элементы (когда Н диагонально). С точки зрения вторично
квантования ф содержит оператор уничтожения отрицательного эле
трона и оператор порождения позитрона. В свою очередь, ф* соде
жит оператор порождения положительного и уничтожения отрии
тельного электрона. Поэтому, например, выражение B9.14) име
матричные элементы одновременного рождения или уничтожения па
При этом закон сохранения импульсов дает
§ 29. Собственная энергия электрона 339
С точки зрения одночастичного рассмотрения это означает, что выра-
выражение B9.14) обладает матричными элементами, соответствующими
йереходу электрона из состояния с положительной энергией и импуль-
импульсом р в состояние с отрицательной энергией и тем же самым
импульсом р = — р+. Обозначая одночастичную амплитуду для
состояний с отрицательной энергией через v, можно записать не-
недиагональные элементы B9.14) в виде
(8»Я)гЛ=^№). B9.15)
Естественно, что для свободного электрона переход B9.15)
запрещен законом сохранения энергии. Однако в промежуточных
достояниях такие переходы могут иметь место (как мы увидим в § 30),
й существенным является тот факт, что такие переходы содержат
ненаблюдаемую поправку к массе, с которой следует обращаться,
если мы хотим получить конечные выражения для наблюдаемых
Эффектов, точно так же, как и с диагональным членом.
Эта массовая поправка может быть рассмотрена общим методом,
иодобно тому, как это было сделано в A5.15) и A5.16). Если
J*—„теоретическая масса", содержащаяся в невозмущенном гамиль-
гамильтониане //с, а уехр. — наблюдаемая масса, то гамильтониан, описы-
описывающий свободные электроны с наблюдаемой массой и энергией,
очевидно, равен
f#0-f 8wtf*
Следовательно, если мы хотим иметь дело лишь с наблюдаемыми
Энергиями и работать в представлении взаимодействия, то должны
положить
, B9.16)
причем W будет удовлетворять уравнению
= (Н @ + Н{е) — ЪтН) W. B9.160
Мы получили, таким образом, добавочный член в гамильтониане
взаимодействия —8W#. Для одного свободного электрона —ЬтН
полностью компенсирует собственную энергию. В более сложных
процессах —ЬтИ проявляется как добавок к взаимодействию, кото-
который мы рассмотрим ниже. Его эффект проявится в компенсации
всех „массовых бесконечностей" в теории.
3. Другой способ вычисления собственной энергии. Ввиду
foro что член —ЬтН слелует ввести в общую теорию возмушений,
будет полезно повторить вычисление ЬтИ, пользуясь развитой в § 28
вычислительной техникой. Простое вычисление члена ЬШИ явится
Первой иллюстрацией этих методов.
340 Гл. 6. Радиационные поправки
Диагональная часть ЬШН представляется простой диаграммой
фиг. 23, на которой Р и Рг — 4-импульсы рассматриваемого элек-
электрона. (Далее окажется, что Рт — Р.) Электрону Р, Рг соответствуют
р1 h p операторы <}>+(Р').... ф(Р), между которыми
.-* ~Zl~Z~* стоит несколько матриц, причем ясно, что вся
^ эта комбинация не меняется при переходе от
Фиг. 23. Диаграм- диагональной к недиагональной части ЪтН.
соабсВтвеИннойеИ9нер! Об^™ формула B8.21) дает для этого слу-
гии электрона. чая (ге = 2, Np^=,0)
— k — P)X
B9.17)
Выполняя суммирование по \ь и интегрирование по k и Р', полу-
получаем непосредственно (комбинируя две 84-функции)
X С((Р— р)*)?(р*+№- B9.18)
Интегрирование по р может быть проведено различными путями.
Мы используем теперь способ, все время сохраняющий явную кова-
ковариантность. Представим для этого С* в виде
со
(:•(*)= / f e-^dz. B9.19)
о
Поскольку в выражении B9.18) аргументы С*-функций являются
инвариантными, переменная т также окажется инвариантом размер-
размерности 1/[х2. Используя далее равенство Р2 = — [х2, найдем
J d*p B*> — т • р) С* ( (Р -
[ ,0-^--^], B9.20)
= J
0 0
где обозначено
B9.21)
Для вычисления Z используем общую формулу для интегралов
Френеля
оо
о, р > 0. B9.22)
§ 29. Собственная энергия электрона 341
В четырехмерном интеграле B9.21) среди четырех компонент р
отрицательный знак встречается три раза (для рг, /=1, 2, 3),
положительный знак один раз (для р0). Поэтому B9.21) дает
Z = + n:Vw/(x+x')^(x-x') ^ B9.23)
L т *dz — у . р z 7 (99 23^
Мы видим, что Yp. входит лишь в комбинации -у • Я, которая,
действуя на ^(Я), дает
После дифференцирования по Я„ в экспоненциале B9.23) можно
положить Я2 = — уЛ С учетом B9.18), B9.20), B9.23) и B9.230
получаем теперь для ошИ
О О
J dT rfx' X
B9.24)
Содержащийся в B9.24) множитель ф*р^ снова показывает,
что ЬШН обладает правильными релятивистскими свойствами. Все
остальные множители являются инвариантами. Мы можем снова
положить1)
B9-25)
Чтобы установить степень расходимости Sjx, введем переменные
и получим
оо 1 / оо
еЧ / 5 , 3
0 0 \ 0 /
B9.26)
Расходящаяся часть интеграла равна —3/21п Т|/|тГ_>0. Чтобы
сравнить эту формулу с предыдущим результатом (см. п. 1),
!) Возникновение интеграла по Р связано с вторичным квантованием.
Для дискретного спектра мы имеем соответственно (см. § 12, п. 3)
Г
3
Pp(*F$up) + члены с ь*> ь'
Р
Диагональный матричный элемент этого выражения для состояния, содер-
содержащего один электрон с импульсом Р, как раз равен (uP$Ujp).
342 Гл. 5. Радиационные поправки
вспомним, что 7)' = jj,V и хг обратно пропорционально квадрату
энергии, в то время как е имело смысл энергии, деленной на р.
Для точного сравнения необходимо поэтому положить e9=l/Y-
Расходящаяся часть 8[л, при этом принимает вид
Ins
t
совпадающий, с расходящейся частью выражения B9.14'I)-
4. Роль массового оператора в теории возмущений. Изменение
массы от начального значения 4а к наблюдаемой массе }A-f-8}A должно
быть учтено в расчетах всех радиационных процессов высшие
порядков. Этот учет производится путем добавления в гамильтониан
взаимодействия члена —ЬтН B9.160- Поэтому мы назовем член —ЬтН
массовым оператором
— ЬтН = — J <де Щ dz = Н<8). B9.27;
По причинам, которые станут ясными из дальнейшего, мы записы-
записываем здесь оа в виде матричного оператора между ф* и ф. До сих
пор мы вычисляли 8х в приближении е2, однако в B9.27) 8jjl должнс
быть дополнено членами высших порядков ~?4, ..., содержащими,
очевидно, и недиагональные элементы.
Добавочное возмущение —ЬтИ должно быть, наравне с основным
гамильтонианом взаимодействия //, включено в общую теорию возму-
возмущений. Ограничимся теперь рассмотрением процессов соударений
между свободными частицами. Член —ЪтН, который мы будем
рассматривать лишь в приближении е2, имеет по отношению к энер-
энергии как диагональную, так и недиагональную части; последняя иг
них обсуждалась в п. 2. Примененное в § 15 каноническое преобра-
преобразование 5, исключающее все недиагональные члены, надо дополнить
теперь еще одним членом второго порядка
On. a. = тг "ъ. d. (О dt » (^2 ) = — o2 .
Подобным образом в третьем порядке будет присутствовать соот«
ветствующий добавочный член S^\ содержащий произведение Н{8)Н
!) Выражение B9.26) имеет также конечную мнимую часть. Однако е<
появление всецело связано с неоднозначностью вычисления расходящихе
интегралов. При некоторых других способах вычисления получаются дей
ствительные выражения. Например, разделяя С*-функции на §- и 5-част*
без труда убеждаемся в том, что вклад в результат дает лишь чисто мнимо
произведение $Р • &, приводящее к действительному 5|л. Этим путем мож»
получить как раз интеграл B9.7).
§ 29. Собственная энергия электрона 343
Поэтому, как легко видеть, формулы A5.13) для К должны быть
дополнены следующими членами (//d =0):
2*Щ3) = J H{e)(t)dt, B9.28а)
—со
-fco Ь
2*bKie) = ±- J dt fdf (H'fi. (t) H (?) + Н (t) //?V (О ). B9.286)
— ОО —ОО
-fco t V
= (^J f dt f dt' fdf (н?л. (t) H (?) H (O -j-
— OO —CO —CO
+ H (t) Hia) (?) H (f) + H (t) H (?) //&. {f)) -f
Ж J
+co t
l8>^«- С) B9.28в)
—со —со
и т. д., причем последующие добавки от члена четвертого порядка
в Н{8) нам не потребуются. При этом К автоматически оказывается
4ia энергетической поверхности, и /С^ имеет лишь D-элементы (пол-
(полностью диагональные), так как недиагональные части Н лежат вне
энергетической поверхности. В К*] мы не включили ренормализа-
ционные члены, содержащие V2(^i)d» поскольку их, как и в § 15
И 30, можно включить в главные члены путем некоторого предель-
предельного процесса. Заметим еще, что в присутствии внешнего поля
в формулах B9.28) Н должно быть попеременно заменено на Я(в).
Полное выражение для К состоит из членов A5.13), A5.13(е))
я B9.28). _
Члены К}8) можно рассматривать тем же способом, что и в § 28.
Оператор Н имеет вид ф .. . ф, поэтому мы можем снова по-
построить диаграмму взаимодействия, состоящую из фотонных и элек-
электронных линий, причем операторам ф+ .. . ф будут соответствовать
вершины, в которых начинается и кончается по одной электронной
линии, но в силу отсутствия множителя 7рДг #2 будет входить
фотонных линий, так как Н(8) имеет порядок ё*\ матричный эле-
элемент К$ порядка ent в который Я(8) входит один раз, содержит
всего п—1 вершину, а числа реальных (Л/) и виртуальных (п)
электронных (N€, ne) и фотонных (Np9 np) лийий связаны между
собой соотношениями
l . B9.29)
344 Гл. 6. Радиационные поправки
При этом только п — 2 вершины соединены фотонными линиями,
а в одном месте вместо е появляется множитель —Sjx//. Общая
формула B8.21) принимает вид
X ^+(Я0 ... Six ... ^(Р) .. -X (Множители того же типа, что и B8.21))
B9.30;
причем Gn надо добавлять к соответствующим Gn. В том случае,
когда 4-импульс р' виртуальной частицы становится равным (ввиду
наличия соответствующих 84-функций) импульсу реальной частицы,
следует опять применять рассуждения § 28, п. 3, согласно которым
в соответствии с общими „недиагональными" предписаниями теории
возмущений функция С (р/2 + ра) должна быть заменена на $АУ2+^2).
В более сложных выражениях, содержащих // , в частности
для того, чтобы проследить сокращение бесконечностей с членом Н ,
удобно не вычислять Sa до конца, а рассматривать его как опера-
оператор, который стоит между —i^iP') и Ь\Р — Я')Ф(^) в B9.17)
и который после небольшого комбинирования 34-функций принимает
вид
B9.31^
Положение этого оператора в общей формуле B9.30) определяется
диаграммой взаимодействия. Множитель ?(Р — Р') заменяется одним
из
Для иллюстрации рассмотрим вклад Я(8) в матричный элемент
электрона во внешнем поле в приближении е3. Ему соответствуют
две новые диаграммы, которые изображены на фиг. 24 и тесно
связаны с диаграммами, показанными на фиг. 21, вх, в2.
к\ к\
1
Фиг. 24. Диаграммы взаимодействия для электрона
во внешнем поле, описывающие вклад массового
оператора.
Применяя формулу B9.30) (п = 3, Np=\) с учетом B9.ЗГ
и обозначая" импульсы электрона до и после рассеяния через Р и Р',
§ 30. Электрон во внешнем поле 345
получаем, например, для фиг. 21, вг [Ър располагается сразу-
после ф+(Р'I:
(|f / jdip dip'
X 8* (P + /C—p')? (// — P') (ф+ (P') T,, (T • P +'» T, (T • />' + *lO X
/29
Фактор ^, заменяющий С*, является следствием „недиагонального"
условия. Поведение электрона во внешнем поле будет исследовано
ниже. Там будет показано, что член B9.32) сокращается со всеми
„массовыми бесконечностями", возникающими в этой задаче.
При рассмотрении связанных частиц необходимо обобщить вве-
введенный массовый оператор. Это будет сделано в § 34.
§ 30. Электрон во внешнем поле
1. Матричные элементы взаимодействия, соответствующие
диаграммам фиг. 21, а н б. Чтобы продолжить изучение радиа-
радиационных поправок, рассмотрим теперь поведение электрона в задан-
заданном внешнем поле Л^\ которое может быть либо электрическим,,
либо магнитным,, либо их суммой. Мы будем считать, что электрон
находится в области непрерывного спектра, и процесс взаимодействия
можно рассматривать как процесс „взаимодействия между свобод-
свободными частицами". При этом могут быть исследованы различные
физические явления. Считая Л^ (х) постоянным магнитным полем,
получаем энергию взаимодействия электрона с таким полем, которая,,
по крайней мере для медленного электрона, может быть выражена
через его магнитный момент. Мы увидим ниже (см. § 31), что
радиационные поправки приводят к значению магнитного момента,
слегка превышающему боровский магнетон. В § 32 мы рассмотрим,
поляризацию вакуума и ее наиболее существенное, следствие —
собственный заряд электрона. Наконец, мы могли бы вычислить
радиационные поправки к рассеянию электрона, например в куло-
новском поле, так как проведенные рассуждения обеспечивают
теоретическую основу для такого рассмотрения, однако мы не будем
проводить этого вычисления в явном виде. Вместо этого в § 33
будут вычислены поправки к комптоновскому рассеянию. Данный
параграф будет посвящен некоторым формальным моментам, в част-
частности связанным с задачей отделения реальных физических эффектов.
от эффектов, обусловленных собственной массой электрона.
Оператор рассеяния G(e) в первом приближении (— е) был полу-
получен в § 28 [см. B8.22)], а в следующем приближении (—еъ) пред-
представляется суммой членов B8.23а), B8.236) и B8.24вх). Вклад,
от диаграммы фиг. 21, в2 подобен вкладу от фиг. 21, вг. К последним,
¦346 /*д,> 5. Радиационные поправки
членам должен быть прибавлен также вклад от массового опера-
оператора B9.32).
Рассмотрим теперь матричный элемент этих операторов, соот-
соответствующий переходу отрицательного электрона из некоторого
состояния Р в состояние РЛ, которым соответствуют спинорные
амплитуды upi #?,. Чтобы получить матричный элемент опера-
оператора ^(Р), заметим, что, как показано в § 28, ty(P) являются коэф-
коэффициентами разложения ф в интеграл Фурье и что интеграл
Г <24Рф(P)/Brw/2c)Va9 согласно § 12, п. 3, соответствовал дискретной
сумме 2 арир* Матричный элемент оператора ар для процесса
поглощения электрона в состоянии Р равен единице, и поэтому можно
заменить интеграл Г d^Pty (P)/Bnhcy/* на ир. Предполагая для про-
простоты, что Л[е)(х) имеет лишь одну компоненту Фурье, запишем
(ЗОЛ)
Поскольку внешнее поле, являясь классическим, удовлетворяет
условию Лоренца
дА[е)(х)
дх^ '
имеем также
Сравнивая с B8.4в), найдем
A[e\K') = A{:
Замечая еще, что при переходе к сумме по дискретным состояниям
?(р—//) заменяется на opp'/B7:hc)^i найдем, что матричный элемент
от О[е) равен
ЬаР), Р' — Р = К. C0.3;
Подобным же образом мы заменим во всех формулах для Gf
интеграл J с?Р^(Р) на иР, а А[е)(К) на (иА УШ) А[в) и т. д.
Рассмотрим сначала члены 0{f\a) и G^, соответствующие диа-
диаграммам фиг. 21, а и б. Выражения, содержащие матрицы -f» легкс
упрощаются. Для этого мы воспользуемся соотношениями, вытекаю-
вытекающими из имеющихся 34-функций,
К = Р' — Р = р' — р, р' = Р' —/г, p^P — k (для О(йв|а)), C0.4а
k=P — P'=:—K = p — p' (для &$#), C0.46
§ 30» Электрон во внешнем поле 347
я также условием Лоренца C0.2) и уравнениями поля
Т . Pup = /;itfP, Яр'? • Р' = *>4» и Р* = Р'2 = — jx2.
Тогда, выполняя интегрирование по /?, // в G^la) и по //, & в О^»
«осле несложных вычислений получаем
' *) (Р* + ^ - **)
X ^(k1)^(k^—2P . k)t:(k* — 2P' * А), C0.5а)
Л^ / ^^ {2^ (Т Р) + Л (Т • Ю + /Cv (т • Р) -
C0.56)
Член К.,(Ч • Р) в C0.56) в действительности исчезает, согласно
условию C0.2), и оставлен нами лишь иа соображений симметрии»
Эти выражения будут вычислены в последующих параграфах.
При этом будет показано, что О^\в) описывает поляризацию вакуума
м при К—>0 приводит к ненаблюдаемым эффектам, тогда как О'Д*)
дает вклад в магнитный момент электрона.
2. Сокращение членов собственной энергии. Рассмотрим далее
вклады O(^\ei) и О^\в1)> Здесь необходимо -соблюдать осторожность
в связи с появлением сингулярности при обращении знаменателя
в нуль. Мы покажем, что, когда оба члена складываются вместе,
расходимости сокращаются и сингулярность знаменателя $7(р/2+ц2)»
исчезающего при р'=Р', дает конечный результат.
В G{f(ei) вместо р удобно ввести 4-вектор q = p — k- При это^1
Р + — //) можно заменить на Ъ4(Р-\-К — Р') и мы получим
)+^) *(Я — Р)*
Р + Р-2
Выполняя в GVFi) интегрирование по р% найдем
' — Я)- C0.6а)
х
Эги два выражения почти сокращаются. Если бы оказалось воз-
возможным заменить ^(q — Pf)o^(pf — q) на V(q — Р')Ъ*(р'— Pf),
:то интегрирование по q в C0.6а) привело бы нас к выражению C0.66),
взятому с" противоположным знаком. Однако ввиду сингулярного
348 Гл. 6. Радиационные поправки
знаменателя $/(р/2 + ра) это невозможно и сумма C0.6а) и C0.бб)
оказывается конечной.
Предельный переход, необходимый для рассмотрения сингуляр-
сингулярного знаменателя, подобен описанному на стр, 186 и приводит
к „ренормализационным членам" элементарной теории возмущений.
Конечное значение разности рассматриваемых выражений может быть
получено различными способами, однако имеется условие, устраняю-
устраняющее неоднозначность результата. Дело заключается в том, что ввиду
ковариантности выражений C0.6) результат предельного перехода
также должен быть ковариантным. Поэтому четыре компоненты р'
должны фигурировать симметричным образом. Функция 84(Р'— //),
будучи умножена на /(//) и проинтегрирована, приводит к двум
следствиям: 1) она делает 4-вектор pf параллельным 4-вектору Р',
так что р' = Р'A + е) (гДе ? — инвариант), и 2) делает равными
длины //2 = Р'2, так что е—>0. Опасная сингулярность gP/(//2 + {J-2)
связана лишь с длиной //. Поэтому в выражениях C0.6а) и C0.66)
можно сразу положить 4-векторы д, /?', Р параллельными без введения
какой бы то ни было неоднозначности, тогда как для приравнивания
их длин необходимо использовать некоторый предельный процесс,
Поэтому положим
<=^(i+«). ^=/^о+»о C0.7;
и заменим
' — p') на 8(s)de,
p'—q) на 8 (г — e')S(e') C°8'
Очевидно, что, произведя замену C0.8) в 84-функциях и замену C0.7]
в соответствующих регулярных множителях /(//) и /(//, q), мы не
изменим исходных выражений. Выполняя эти операции в C0.6),
получаем
GC%s f d*p'd*qf(p', q) 8 V{q — P')V(p' — q)->
1+8), P/(l+e0)8(e — eO8(eO 9 fo , ч ds dsr, C0.9a^
-;
ffd8> C0.96;
___.8(e)d8>
где f{p',q)> g{pf) — не выписанные явно остальные множител*
выражений C0.6а) и C0.66) и /(/?', q = Р') = —g(p').
В C0.9а) можно сразу проинтегрировать по г (и заменить за-
затем е' на г):
JV f^Ce)*. C0.10)
§ 30. Электрон во внешнем поле 349
Далее можно провести разбиение
где второй член не содержит особенности и может быть без труда
проинтегрирован. Соответствующие части выражений C0.96) и C0.10)
равны друг другу по величине и противоположны по знаку, а потому
сокращаются. В § 15 было показано, что в обычной теории возму-
возмущений выражению (сР/еM(е) следует приписывать смысл
-f 8(e) = —i-8'(8). ' C0.12)
В то время как в общем случае левая часть соотношения C0.12)
не имеет определенного смысла [см. (8.18)], в данном случае здесь
не содержится неоднозначности, так как все сингулярные функции
возникают вследствие одних и тех же интегрирований в уравне-
уравнениях B8.1) и B8.4), а потому для всех них должно быть исполь-
использовано одно и то же представление.
Подставляя C0.11) и C0.12) в C0.96), C0.10) и C0.6), получаем
C0.13a)
X ир' {т, It (p/ + *)+<>] V (т • Р' + <>+т • />'е) L)«?x
X 840C4W[(^'4-*)a + |iab C0.136)
Интегрирование по е выполняется без затруднений. Для этого сле-
следует продифференцировать подинтегральный множитель при Sf(e)
по г и, взяв его с обратным знаком, положить е = 0. В C0.136)
величина г входит лишь один раз и результат дифференцирования
сокращается с соответствующим членом в C0.13а). Член г2 не дает
вклада, и мы получаем
> J d*ft? (A») X
X -? и%. ftp. U • (Р' + к) + i!» + т • Р'г] тЛт • Р' + ty) Т,} Up X
C0.14)
При дифференцировании функции С воспользуемся представлением
С(л:)=1/(л: — h) и, приводя с помощью соотношения
-^Ь-+-&=пр приа-,0
350 Гл. 6. Радиационные поправки
оба члена, возникающие после дифференцирования, к одному зна-
знаменателю, получаем выражение [Зв]
х и%. {?, [т • (/*+ *)+<>] (т • Р') it • (Р'+А)+W т, х
X (Т • Р'+'»7Л «р?(*9) {С*[(Я'+*)9 + ^ }*> C0.15)
являющееся релятивистской формой „ренормализационных членов",
приЕеденных ранее в § 15, п. 2 в энергетическом представлении.
Заметим, что квадрату энергетического знаменателя соответствует
здесь множитель {С*}'2.
Упрощая далее произведение матриц ^ без труда найдем
C0.16)
Сравнивая с C0.3), убеждаемся, что Gs^i) пропорционально G(iK
Представляет интерес сравнить проведенный анализ с теорией воз-
возмущений, изложенной в § 15, п. 2. Возмущение, связанное с мае-
совым оператором оа(^+^), приводит к сложному матричному эле-
элементу второго порядка с одним энергетическим знаменателем вида
/f(j)/y(e)/(. ..). Ввиду „недиагональжго условия" диагональные эле-
элементы оператора И^ не дают никакого вклада. Отличное от нуля
выражение возникает лишь за счет недиагональных элементов (см-
§ 29, п. 2). Оно равно теперь сумме второго члена в формуле C0.11)
и результату дифференцирования множителя -у • Р' -|- ix -|- е («у • Р')
в C0.136). Это выражение не имеет сингулярного знаменателя, но
расходится при интегрировании по k и, в свою очередь, сокращается
с матричным элементом третьего порядка вида Н • Н • Ше\ после
чего остаются только ренормализационные члены 1/2Ei)^(e), соот-
соответствующие выражению C0.16). Мы увидим, что последнее значе-
значение конечно (за исключением области k—> 0, см. § 33, п. 4).
К члену C0.16) должен быть добавлен вклад, соответствующий
диаграмме фиг. 21, в2. Он отличается от G6 (ejf) заменой Р на Рг
под знаком интеграла:
08(e2)=G8(") (Р^р')> C0.17)
Таким образом, радиационные поправки к рассеянию во внешнем
потенциале описываются суммой выражений C0.5а), C0.56), C0.16)
и C0.17):
§ 31. Аномальный магнитный момент электрона 351
§ 31. Аномальный магнитный момент электрона
1. Покоящийся электрон в магнитном поле. Одно из наиболее
интересных следствий теории заключается в том, что радиационные
поправки приводят для покоящегося электрона к возникновение
небольшого добавочного магнитного момента, прибавляющегося к обыч-
обычному магнетону eh/2tnc. Чтобы получить этот добавочный момент,
воспользуемся общей теорией рассеяния электрона во внешнее поле
(см. § 30), считая внешнее поле магнитным полем с вектор-потен-
вектор-потенциалом А^\г) = Л^?г(КГ//йс, где п — пространственное направление
А^ — 0 и частота стремится к нулю К->0, /Со = 0. Так как напря-
напряженность магнитного поля имеет вид
то существенными будут члены, линейные по К- Кроме того,
мы будем считать электрон нерелятивистским и его импульс — стре-
стремящимся к нулю Р —Р' —>0. В срответствии с C0.3) матричный
элемент первого порядка равен
G[e) = — еАУ (u^nuF) = - еА\1\и*р>апиР). C1.1)
С помощью A1.22) находим отсюда в нерелятивистском прибли жен
Qto^—rt-AWuripiP' — P, n])up—^A{?up.(Pn + P'n)uP, C1.2)
тде up—двухрядный спинор в а-пространстве. Первый член в C1.2)
описывает взаимодействие магнитного момента с полем. Поскольку
Р' — Р = К, то (i/hc)[P' — Р, п]А{п} = Г(в) и этот член в C1.2),
дсак и следовало ожидать, является матричным элементом выражения
Второй член в C1.2) описывает процессы рассеяния и т. д.
Радиационные поправки, приводящие к возникновению дополни-
дополнительного магнитного момента, будут пропорциональны, с некоторым
численным множителем, первому члену выражения C1.2). В част-
частности, они будут пропорциональны разности Р'— Р, тогда как
члены, пропорциональные сумме Р' —(- Р, будут соответствовать
другим физическим эффектам. Заметим чакже, что члены, содержа-
содержащие множитель (u^p.Up), не могут относиться к магнитному моменту,
поскольку они не содержат матриц з. Поэтому нам нужно учиты-
учитывать лишь члены, содержащие *у и линейные по Р' — Р.
Поправки порядка е'2 к матричным элементам электрона во
Внешнем поле (~еа) состоят из трех частей, приведенных в § 30,
-а именно: О(ь\п), G[r){6} и О3 (ei) + <^o ад- Как будет показано-в § 32,
352 Гл. 6* Радиационные поправки
член G^le) описывает поляризацию вакуума и, когда поле почти
статическое, не дает вклада в магнитный момент. Наоборот, члены G^la)
и G% (ei) -+- ^з (в2) являются существенными для рассматриваемого
вопроса. Магнитный момент связан лишь с членами, пропорциональ-
пропорциональными матрице у. Но как мы только что убедились, в нереляти-
нерелятивистском приближении y уже пропорциональна разности Р' — Р.
Поэтому в остальных сомножителях суммы G?\a) -+-O3 Fi) + G3 (вз)
можно положить р = Р', Я0 = Я0. Мы могли бы также положить
Р = 0, Я0 = 1х, но это удобнее сделать позднее.
При P{JL = P{A имеем G3 (ei) = G% (в2) (что приводит к возникнове-
возникновению множителя 2), и члены G^\a) и 2G3 (б*) можно объединить, если
предварительно изменить знак у k в G3(ej).
Используя также соотношение P.P/ = P2 = — jx2, получаем
Gs s (Gie){a) + 2G3 (eI))p=p, = -JL ^e) J d*A X
)}9. C1.3)
2. Вычисление дополнительного магнитного момента. Прежде
чем выполнить интегрирование по k, введем одно упрощение, вос-
воспользовавшись соотношением j
- 2
C1.4)
которое непосредственно проверяется; С* представляется в виде
С*(л;)== \/(х — /о), а ад — вспомогательная инвариантная переменная.
Кроме того, удобно воспользоваться преобразованием перемен-
переменных
k}f. = k'}>-\-Pv.w. C1.5)
Подставляя C1.4) и C1.5) в C1.3) и опуская штрих у kr, снова
можно воспользоваться уравнениями ^*Р = 1^и Я2 = — рь2 ввиду
того, что матрица т является единственным матричным сомножите-
сомножителем, расположенным между иУ и и. Тогда, удерживая лишь члены,
пропорциональные ^» получаем
1
* i&hc J J ^ • п п
л, рХ
§31. Аномальный магнитный момент электрона 353
Смысл преобразования C1.5) состоит в том, что теперь знаменатель
зависит квадратично от каждой из компонент k и поэтому после
интегрирования по k все члены, линейные по любой из компонент k
(включая kQ)t исчезнут. Член ^ • k даст вклад, только будучи умно-
умноженным на &п, и поэтому в результат войдет лишь слагаемое *(nkn
(по п нет суммирозания!). Поэтому C1.6) оказывается пропорцио-
пропорциональным ^л и можно выделить множитель G^ [ср. C1.1)]:
I 2 2 2 2 2 j
i. C1.7)
Примем теперь во внимание, что электрон покоится, т. е., что
р = 0, Р0 = \ь, так что (Р . fc)9/ji,9 = fcg. Сравнивая C1.7) с C1.2),
найдем тогда, что выражение C1.7) описывает дополнительный
магнитный момент Ag в единицах eh/2mct равный
. C1.9,)
О
Ь "^ C1.92)
Рассмотрим сначала интеграл It. Он является сходящимся
и легко вычисляется. Упростим (ЗЬЭ^, интегрируя сперва по
двум компонентам kx> ky с помощью плоских полярных координат
?$ * l
4-со +оо 1
л - IJ dkz J ^0 J
-оо -оо 0 °
Затем мы проинтегрируем по k0 по контуру, располагающемуся
в верхней комплексной полуплоскости. Знаменатель, если несколько
изменить Определение о, можно записать в виде
1 1
бткуда следует, что в левой полуплоскости находится полюс второго
ворядка &0 = — з + /о. Поэтому, согласно формуле Коши, находим
1 Л , д 1
53 Эм. 156(К В, ГаАтлер
354 Гл. 6. Радиационные поправки
Наконец последнее тривиальное интегрирование дает
_?. C1.10)
о
Интеграл /2 требует специального рассмотрения. Легко видеть,
что если разбить его на два члена, содержащие k2n и ftj* по отдель-
отдельности, то оба эти члена будут расходиться, но их сумма сходится,
по крайней мере, если не пользоваться для ее вычисления специально
неподходящими методами; однако значение /2 не является поэтому
однозначным, а зависит от метода вычисления. Читатель может, на-
например, испытать два следующих простых способа интегрирования:
1) сначала, как и в Д, интегрировать по kx, kyi потом по k0, а по-
потом по kz\ 2) сначала интегрировать по k0 в комплексной плоскости
(полюс третьего порядка), затем интегрировать по к, используя
сферические координаты (и усредняя по углам с помощью соотно-
соотношения k2x = */зк2)- В обоих случаях интегрирование по w выпол-
выполняется в последнюю очередь и приводит к конечным, но различным
результатам. Отсюда вытекает, что, подбирая соответствующий
способ интегрирования, можно прийти для интеграла /2 к любому,
наперед заданному, численному значению, включая также и значе-
значение нуль. Каким же образом следует фиксировать значение /2?
Это определяется требованием релятивистской инвариантности.
Рассмотрим интеграл вида
/ - fftft d4fc
V
Ввиду того что d*k,G и \iw являются инвариантами, 1^ представляет
собой тензор с индексами jjl, v. Однако поскольку после интегриро-
интегрирования по /^-пространству не остается векторов и тензоров, которые
могли бы образовать /^, то остается лишь одна возможность:
где /—инвариант.
По этой же причине выражение C1.92) для /2 имеет вид
/2 = /«D —^ = /(8«» —»44)=0 C1.11)
(полагая, например, п = х и откладывая интеграцию по w).
Поэтому значение /2 = 0 является единственным значением, нахо-
находящимся в согласии с ковариантными свойствами подинтегрального
выражения, и мы должны приписать его интегралу /2 (который
в противном случае окажется неоднозначным).
Следует заметить, что использованные выше аргументы, типа
яматематических пожеланий" (wishful mathematics), которые ха-
характерны для многих вычислений поправок высшего порядка, не
§ 31. Аномальный магнитный момент электрона 355
являются удовлетворительными с точки зрения математической
последовательности и строгости. От вполне последовательной тео-
теории следовало бы ожидать, что она приведет к однозначным резуль-
результатам, которые никогда не смогли бы придти в противоречие с ос-
основными предположениями (например, релятивистская инвариантность).
С другой стороны, не возникает сомнения в том, что использован-
использованные выше методы приводят к правильному результату и что буду-
будущие улучшения теории практически ничего не изменят в нем.
Подставляя C1.10) и C1.11) в C1.8), найдем
^5Г°'«»161" C1Л2>
Этот результат был впервые получен Швингером [12]1).
Дальнейшие поправки к магнитному моменту электрона имеют
порядок ~?4, ?6, ... Член я4 также был вычислен в работе [15].
Он оказался равным Ag7 =—2,97/^г*2137*3, так что
= 0,001145. C1.13)
Как мы увидим, это значение находится в прекрасном согласии
с экспериментом.
Вычисления можно продолжить также и в другом направлении.
Дополнительный магнитный момент, связанный с радиационными по-
поправками, содержит также члены, зависящие от напряженности поля H(ej.
Первый член, пропорциональный Н(е), можно интерпретировать как
магнитную поляризуемость электрона. В действительности ока-
оказывается, что следующий член разложения по Н(е> пропорционален
и разложение имеет вид [16]2)
47 еЬН^ , 8 ehH^ t 2еЬН{е)
Эта величина слишком мала, чтобы ее измерить, но важно отме-
отметить, что магнитная поляризуемость (и все высшие члены по Н^)
также конечна.
3. Измерения. Первые указания о том, что электрон имеет ано-
аномальный магнитный момент, были получены из измерений сверхтон-
сверхтонкой структуры водорода и дейтерия [17]. Обе цифры оказались
примерно на 0,3°/0 больше, чем следовало ожидать из известных
J) Интересный вывод этой величины был дан Люттингером [13], кото-
который исходил из точной волнсвсй функции электрсна в магнитном поле.
Существует одно состояние (в первом приближении), где магнитная энергия
полностью компенсирует энергию пскоя и полная энергия исчезает. Радиа-
Радиационные поправки к этому состоянию дают энергию во втором приближе-
приближении, которая целиком связана с избыточным моментом. Преимущество этого
метода заключается в отсутствии необходимости проводить ренормировку
массы. См. также [14].
2) Этот результат был получен методом Люттингера.
23*
Гл. 6. Радиационные поправки
значений магнитных моментов для этих двух ядер. Одинаковая про-
процентная величина расхождения для обоих ядер делала маловероят-
маловероятным предположение, что причиной его являются какие-либо эффекты,
связанные с внутренним строением ядра. Брейт [18] первым пред-
предположил, что эти результаты являются следствием аномального маг-
магнитного момента. Наличие дополнительного момента было оконча-
окончательно установлено прецизионными измерениями [19] зеемановского
расщепления различных атомных уровней, для которых гарантиро-
гарантирована рэссэл-саундерсовская связь. (Уровни 2А/9, 2А/2 для Ga и 25t/8
для Na были исследованы первыми.) Измерения этих расщеплений
непосредственно приводят к магнитным моментам соответствующих
состояний, но ввиду трудности точного измерения Н^ могут быть
определены лишь отношения соответствующих величин для различ-
различных атомных состояний. Результаты показали небольшое отличие
от значений, ожидавшихся согласно предположению, что момент
электрона составляет eh/2mc и равен орбитальному магнитному чмо-
менту для состояния с / = 1. Поскольку последний едва ли может
отличаться от ожидаемого значения, то единственное объяснение
заключается в наличии отклонения магнитного момента электрона
от боровского магнетона. Позднейшие точные измерения зееманов-
ских уровней водорода [20] дали значение
Д?= 0,001146=tO,000012, C1.15)
которое превосходно согласуется с теоретической величиной C1.13).
Заметим, что даже поправка порядка е* выходит, вероятно, за пре-
пределы экспериментальной ошибки и, повидимому, подтверждается
измерениями.
Теория дополнительного магнитного момента вместе с теорией
линейного сдвига спектральных линий (см. § 34) является одним из
основных достижений квантовой электродинамики, тем более важным,
что эти два явления пока единственные, в которых радиационные
поправки доступны экспериментальной проверке.
§ 32. Поляризация вакуума1)
1. Тензор индукции и его свойства. Нам предстоит рассмо-
рассмотреть теперь еще один член рассеяния электрона во внешнем поле,
матричный элемент которого G^L описывается выражением C0.56).
Так как Р и Р' заданы, то К=РГ— Р также фиксировано и отлично
от нуля. Поэтому функцию С*(АГ2) можно заменить на 1/К'2 и запи-
записать G[^{6) в виде
l,L A[e)
^—Чяг-' C2Л)
I) Наиболее важны следующие работы по поляризации вакуума элек-
трон-позитронными парами [2в, Зв, 9, 21—27].
§ 32. Поляризация вакуума * 357
где /^ — матричный элемент электронного тока
V = ^D'V*P>' C2.2)
а тензор Z^v определен соотношением
L^ = Sbc S *р {2р^+р^+рЛ-К^+р*+р ¦ К)} х
X W4VK>2-H/> + TO C2.3)
в котором члены, пропорциональные К.» в действительности исче-
исчезают вследствие условия Лоренца на А[3> C0.2):
КХе) = 0. C2.4)
Однако мы удерживаем их из соображений симметрии.
Прежде чем вычислять тензор L,v, установим его физический
смысл и сформулируем некоторые требования, которые должны
выполняться, если результаты вычисления окажутся физически разум-
разумными. Эти требования связаны с релятивистской и^градиентной ин-
вариантностями результатов. Понимать их следует в следующем
смысле. Если бы теория была вполне последовательна и потому
интеграл L,v, сходился надлежащим образом, то эти требования вы-
выполнялись бы автоматически, поскольку теория при ее начальной
формулировке обладает всеми этими свойствами инвариантности.
В действительности, Lav содержит расходящиеся и неоднозначные
части, значения которых зависят от способа вычисления. Это поло-
положение вещей подобно встреченному уже нами при рассмотрении
магнитного момента (§ 31), где интеграл /2 оказался неоднозначным.
Теперь положение еще более усложняется ввиду наличия расходи-
мостей. Поэтому упомянутые „требования" не будут обязательно
автоматически выполняться при реальном вычислении Z,^, напротив,
их выполнение будет обеспечено специальными приемами, которые
лы обсудим ниже.
Тензор Z^v зависит лишь от К (так как р есть переменная инте-
интегрирования) и не зависит от Р. Более того, из C2.3) видно, что
при одновременном изменении знака у К и р значение L^ не ме-
меняется. Поскольку изменение знака у переменной интегрирования
не меняет значения интеграла, то отсюда вытекает, что L^v должно
'быть четной функцией К. Если считать К малым, то L.^ может
*5ыть разложено в ряд, и тензорные свойства L^ указывают, что
коэффициенты разложения будут иметь следующую структуру:
2>,=М«+ ^'?-+WV+lVkzk^+ l? (/с2J s,v+ • • •
C2.5)
При этом член L{^ не будет давать вклада в C2.1) ввиду усло-
условия C2.4). Воспользуемся теперь тем обстоятельством, что ^
не должен зависеть от калибровки потенциалов A'f\ т. е. не должен
358 Гл. 6. Радиационные поправки
меняться при добавлении к Л{^(х) члена вида * ' , где ^ — ска-
скаляр. Разложим х(х) в интеграл Фурье [подобный разложению для
А[еЧх)] и обозначим его четырехмерную компоненту Фурье через
Х(К)> тогда компонента Фурье -~- будет равна x(/C)/Cv. Доба-
вление этого члена к А& в C2.1) не должно изменить G^.
Поэтому L^ должно обладать свойством
Подставляя сюда разложение C2.5), найдем
г __ о /W тB) га /B)
j^q — и, l>i — i^i , 1^2 — *-2 » • • •
ИЛИ
L^ = — (/Cp./Cv — /O28av) Z/, C2.7a)
L'^Li + L^H- . . . = Z/(/O2). C2.76)
Формула C2.3) показывает, что L^—релятивистский тензор
второго ранга. Поэтому V является инвариантом, зависящим лишь
от К'2.
Тензор L^ должен иметь вид C2.7) в любой разумной теории.
По причинам, объясняемым ниже, L^ называется тензором индукции.
2. Индуцированные токи. Подставляя C2.7) в C2.1), найде-м
с помощью C2.4)
3 (б) с \ / v v c v v • \ • /
Смысл этого уравнения легко понять. Оно описывает взаимодей-
взаимодействие нового электронного тока
M,= i,L' C2.9)
с внешним полем. Выражения Aiv или V содержат виртуальные
фотоны и электронные пары. Действительно, благодаря взаимодей-
взаимодействию с электромагнитным полем электрон способен вызвать рож-
рождение новых электронных пар, которые образуют „индуцированный
ток" Ai\,. (Взаимодействие самого iv с А[е) описывается, конечно,
членом G(fh) Дело обстоит так, как если бы „вакуум" являлся ди-
диэлектриком, и любой внесенный в него заряд или ток вызывал ток
поляризации. Поэтому член C2.8) обусловлен поляризацией вакуума,
уже описанной в § 11, п. 4. Ток Aiv в общем случае зависит от К
не так, как /v, поскольку Z/ зависит от /С3. В координатном пред-
представлении это означает, что Aiv не является той же самой функ-
функцией координат, что и /v. „Диэлектрик" оказывается неоднородным.
Причина этого заключается, конечно, в неоднородности поля элек-
электрона. Лишь первый член Lx разложения C2.76) не зависит от К'2,
§ 32. Поляризация вакуума 359
и соответствующий член A/v@) в точности пропорционален /v. По-
Подробнее этот вопрос будет обсужден ниже.
Жы могли бы, конечно, непосредственно вычислить ток поляри-
поляризации, индуцированный свободным электроном, не рассматривая
взаимодействия с внешним полем, и получили бы в точности фор-
формулу C2.9). То обстоятельство, что О'^\б) описывает взаимодействие
тока поляризации с Л[е\ непосредственно вытекает также из диа-
диаграммы взаимодействия фиг. 21, tf. Из нее видно, что электрон
посредством своего поля (виртуальная фотонная линия) порождает
пару, которая взаимодействует с А^ (т. е. поглощается А[е>).
Можно дать также другую интерпретацию уравнения C2.8).
Его можно записать в виде
<32Л0>
где /СМ^— компонента Фурье выражения — ^
Если теперь обозначить через l[ внешний ток, создающий внеш-
внешнее поле А[е)(х), т. е.
или
то мы получим
Д/<д) = /Л'. . C2 Л1)
Формула C2.10) описывает запаздывающее взаимодействие между
двумя токами /v и A/J *). Величину Д/J , описываемую форму-
формулой C2.11), можно интерпретировать как „ток поляризации", инду-
индуцированный внешним полем. Действительно, вычисляя ток поляризации
непосредственно (без обращения к электрону), мы приходим в точ-
точности к выражению C2.11).
На первый взгляд представляется удивительным, что эти две
интерпретации являются взаимно исключающими друг друга, а не
дополняющими. Можно было бы думать, что если А№ индуцирует
ток C2.11), а ток iv в свою очередь индуцирует ток C2.9) (как
это показывают прямые вычисления), то при взаимодействии между
А[е) и /v мы должны были бы складывать оба эти эффекта, получая
таким образом множитель 2. Этот множитель, однако, отсутствует.
1) См., например, уравнения B4.7) и B4.9), которые дают матричные эле-
элементы запаздывающего взаимодействия в импульсном представлении между
Двумя электронными токами, причем в соответствующих переходах изменение
4-импульса одной частицы описывается величинами е, к. В формуле C2.10)
соответствующее изменение равно /Со» К.
360 Гл. 6. Радиационные поправки
Дело связано тут с вопросом о способе измерения. В самом деле,
если мы хотим обнаружить поляризацию по ее физическим проявле-
проявлениям, то мы должны выбрать некоторую фиксированную отправную
точку, например, внешний ток, который мы должны считать изве-
известным. Таким образом, Л<е) уже включает свой ток поляризации и
мы можем измерять физические эффекты, связанные с A/v. Наоборот,
выбирая в качестве исходного пункта электрон, можно измерять A/ie\
но мы не можем измерить их одновременно1).
3. Перенормировка заряда. В разложении C2.76) первый
член Lr(Lx) не зависит от К'2. Ток поляризации Д/.Д0) при этом
в точности пропорционален /v (или bJf пропорционально /Je)), a G^
в точности пропорционально G{3):
(%1б)(К2-+0) = Ц(#\ C2.12)
где Lx не может зависеть от чего бы то ни было и потому является
универсальной постоянной, инвариантной относительно преобразова-
преобразований Лоренца 2).
Физические эффекты, вызываемые выражением C2.12), идентичны
эффектам, связанным с G^\ и отличаются от них множителем Lv
Выражение C2.12) можно полностью учесть изменением одной
универсальной постоянной — заряда электрона, или, точнее, кон-
константы взаимодействия е* двух рассматриваемых токов /v и l\eK
В самом деле, записывая Gie) в виде взаимодействия двух токов /v
и Де, убеждаемся, что он пропорционален е2. Поэтому C2.12) опи-
описывает вызванное радиационными поправками второго порядка изме-
изменение величины ?2, именуемое собственным зарядом:
Ъ(е*) = еЧ1) или 8^1 = 111^. C2.13)
Таким" образом, в пределе /С2—>0 вакуум ведет себя как некий
универсальный однородный диэлектрик, эффективно изменяющий все
помещаемые в него заряды на постоянный фактор. Как и в случае
обычного диэлектрика, нетрудно заметить, что закон сохранения
заряда выполняется вследствие того, что при внесении в диэлектрик
*) В этом месте рассуждений во многих статьях по поляризации вакуума,
где вычисляется ток М[с) и с его помощью производится ренормировка,
содержится ошибка. Она приводит к появлению лишнего множителя 2 в ое.
2) Следует отметить, что сумма Gl^a) + G3 fel) + G3 (в2у рассмотренная
в § 30 и 31, не дает подобного вклада при /f->0. Правда, там содер-
содержатся члены, пропорциональные G^ при Р — Р' = 0, но в общем случае,
кроме /<", они зависят также от Р и потому не допускают интерпретации,
аналогичной той, которая может быть дана выражению C2.12).
§ 32. Поляризация вакуума 361
каждого элементарного заряда заряд — 8 | е | отодвигается в беско-
бесконечность.
Любое подобное- изменение заряда полностью ненаблюдаемо. Мы
не можем „устранить" диэлектрик, которым является вакуум, и из-
избежать порождения зарядом виртуальных пар. Можно измерить е
лишь путем изучения поведения электрона в данном внешнем поле
(или во.взаимодействии с другой частицей). Если е измеряется таким
способом, то измеряемое значение включает заряд Ъ\е\, вызванный
радиационными поправками. Мы пришли здесь в точности к тому же
самому положению, что и при изучении радиационной поправки
к массе ои, которая также оказалась принципиально ненаблюдаемой-
Если при рассмотрении физических явлений мы используем всегда
наблюдаемые значения всех зарядов (как мы всегда делаем), та
отсюда следует, что вклад от члена Lx или Gi%) (/B->0) должен
быть опущен. То же самое, разумеется, относится и к соответствую-
соответствующим членам высших порядков по е^. Как мы увидим ниже, Ъе,
подобно 8а, в действительности расходится, и тот факт, что это
ненаблюдаемая величина, имеет фундаментальное значение при:
приложении результатов квантовой электродинамики к физическим
явлениям.
Однако для того, чтобы такая интерпретация была последова-
последовательной, необходимо удовлетворить еще одному условию. Дело за-
заключается в том, что в отличие от масс элементарньус частиц, при-
принимающих различные значения, заряды всех элементарных частиц
в точности равны друг другу. Поэтому, несмотря на то, что мы
можем допустить малые и отличные друг от друга изменения массы*
связанные с электромагнитным взаимодействием (подразумевая, что
в правильной теории 8а окажется конечным), изменение ое можно
допустить только в том случае, если окажется, что для всех эле-
элементарных частиц ое имеет одно и то же значение. Хотя пока еще
не было предложено общего доказательства этого положения, однако
его справедливость представляется нам почти несомненной. Изме-
Изменение заряда 8#, согласно C2.13), не зависит от природы внешнего
тока 4е), который может быть связан с протонами, ^электронами,
мезонами или любыми другими заряженными частицами. Правда,
Lt при этом зависит от масс и спинов виртуальных пар. Однако
в общем случае взаимодействия двух токов, соответствующих двум
различным частицам, должны рождаться и давать вклад в ток поля-
поляризации пары всех существующих частиц, и результирующий Ье
с учетом вкладов пар всех остальных частиц окажется не зависящим
от природы рассматриваемых взаимодействующих частиц. Надо также
отметить, что между первоначальным электроном и электронами
тока поляризации не возникает никаких обменных эффектов. Это
следует из того отмеченного выше обстоятельства, что один и
тот же ток поляризации можно рассматривать либо как вызванный
362 Гл. 6. Радиационные поправки
электроном, либо как обусловленный внешним полем. Положение
является полностью симметричным по отношению к двум рассматри-
рассматриваемым частицам, и поэтому при учете всех виртуальных пар оно
не может зависеть от рода рассматриваемых частиц. Эти соображе-
соображения, вероятно, применимы также к поправкам высших порядков.
Исключение собственного заряда можно также проводить путем
изменения заряда е в гамильтониане, вполне аналогично тому, как
это было проделано для 8а в § 29. Поскольку, однако, в рассматри-
рассматриваемых нами ниже приложениях учет поправок сводится к простому
опусканию ряда членов, мы отошлем читателя к соответствующей
литературе [28].
4. Вычисление тензора индукции L. Перейдем к вычислению
тензора индукции LaN. Мы придем здесь к еще более трудному
положению, чем в случае неоднозначного интеграла /2 в § 31. Неодно-
Неоднозначная часть тензора L^ расходится, не удовлетворяет общему
требованию C2.7) и потому разрушает как релятивистскую, так и
градиентную инвариантность.
Сперва мы получим выражение для L^ путем непосредственного
интегрирования. Чтобы устранить из числителя члены, линейные по
компонентам К, перейдем в C2.3) к новой переменной интегриро-
интегрирования Рр-\-х/2 Л^» обозначив ее опять через р^
_/а] Цр — Чъ КJ + «а* ~ io)' ^°Z * V
Теперь вычислим интеграл по р0 путем контурного интегрирования.
В верхней полуплоскости у знаменателя есть два простых полюса
в точках
Ро==: 2" о х' Ро===: "~г ~2 о 2'
* C2.15)
смещенных относительно действительной оси на бесконечно малые
расстояния. При выполнении интегрирования необходимо различать,
являются ли индексы jx и v в произведении р^р^ пространственными
или временными. После небольшого вычисления [с явным использо-
использованием C2.15)] получаем
J
-К2))]
— (Ег — Ег) К, (лМц + PMJ \, C2.16)
§ 32, Поляризация вакуума 363
где
Р^=1—V C2.16')
Ввиду наличия факторов J3v4 и т. п. компоненты р± (или р0) не вхо-
входят более в это выражение. Для дальнейшего интегрирования перей-
перейдем к инвариантным переменным, поДобным тем, которые исполь-
использовались при вычислении собственной энергии (см. § 29, п. 1).
Положим
х — Е2 = v, El + B2 r=w, z* = w*— К2,
C2.17)
или
где ср — азимутальный угол вектора р относительно направления К-
Поскольку 1ЕХ и iE2 можно рассматривать как четвертые компо-
компоненты векторов с импульсами V2K + P и х/2\{ — р, то i(El-\-E2)
и К образуют 4-вектор и поэтому z^===w2 — К'а является инвариан-
инвариантом. Инвариантом является также выражение
Член рчр,^ в C2.16) содержит только пространственные компо-
компоненты и после интегрирования по ср дает —'%р2Ъ^$^ (без суммиро-
суммирования по %>). Подобным же образом последний член (AT4Pv» KtPp.) дает
вклад лишь в том случае, когда индекс v (или jx) соответствует
К-направлению.
Величины р2 и (рК) с помощью C2.15) могут быть выражены
через Ev E2 и, следовательно, через v и г. Интегрирование по <р
и v элементарно и его результат может быть выражен в виде
Член JLV удовлетворяет требованиям градиентной и релятивист-
релятивистской инвариантностям, тогда как L^ не является ни лоренцово-
инвариантным, ни градиентно-инвариантным (из-за множителя f^4).
Рассмотрим сначала LaV _^
Как и следовало ожидать, L^ зависит лишь от К'2, за исключе-
исключением необходимого множителя /C^/Cv — К'\^ и коэффициент U
364 Гл. 6. Радиационные поправки
является инвариантом. Разлагая его в ряд по степеням /С2 и срав-
сравнивая с C2.7), найдем
оо
Таким образом, Lx при больших z расходится логарифмически
(^lnz). Его физический смысл, согласно C2.13), сводится к пере-
перенормировке заряда
Нl
Отсюда следует, что Ъ\е\ уменьшает абсолютную величину заряда е.
Обоснование приведенной интерпретации расходящегося собственного
заряда может быть проведено аналогично тому, как это было сде-
сделано для собственной массы. Если в какой-либо будущей теории
Ье и 8<А окажутся сходящимися, то их действительные значения,
повидимому, окажутся весьма малыми из-за множителя 1/137. Ввиду
инвариантности переменной z (размерности \yQ), для того чтобы сде-
сделать се конечным, можно ввести некоторый достаточно большой
инвариантный параметр обрезания гтлУл и тогда даже при сравни-
сравнительно больших значениях 2maXt величина Ъе останется очень малой.
Член L2 и все высшие члены разложения по К'2 сходятся;
12» ?з> • • • приводят к наблюдаемым физическим аффектам. Их
вклад в Gi%) имеет порядок К2 и выше, не считая зависимости
тока /v от Р и Р7. Поэтому члены Z,2, I3» • • • ничего не вносят
в магнитный момент покоящегося электрона и тем самым оправды-
оправдывается произведенное при его вычислении пренебрежение членом '^
(предполагая, что вклад от L равен нулю).
Вычисление интеграла C2.18а) дает [9, 29]
C2.18b)
Первый член разложения по К* имеет вид
1К* КК
К <32Л8г>
Перейдем теперь к рассмотрению выражения Z. Тот факт, что
при вычислении явно ковариантного выражения C2.3) появляется
нековариантный член C2.186), показывает, что процедура вычисле-
вычисления неоднозначна. В действительности L расходится даже квадратично.
Он также не зависит от /С. Ввиду этого, даже без учета градиент-
градиентной инвариантности, он должен был бы иметь форму L08 , в то
§ 32. Поляризация вакуума 365
время как выражение C2.185) имеет лишь пространственные эле-
менты Ltii a Lu = 0. Неоднозначность L можно установить, приме-
применив другой способ вычисления. Для этого образуем форму LXHK»
непосредственно исходя из C2.3). Так ка:< Lj;/Cv==O азтоматически,
то мы сможем „доказать", что LxtKt=*0, если покажем, что
L^K,t = Q. Но поскольку, согласно своему определению, L^ имеет
не ту форму, для которой это соотношение выполняется автомати-
автоматически, то отсюда будет следовать, что Lyt=*Q. С точностью до
несущественных множителей можно написать
Г/ V Г Л4
1 ^ ~ J Р
ИР + Ю* + I* - /а] [
Можно без труда „доказать", что это выражение равно нулю. В пре-
пределе с->0 можно положить (p*-\-J<*)/(pl-{-p2 — /а) = 1. Производя
аналогичную модификацию во втором члене, имеем
Этот интеграл очевидным образом обращается в нуль, так 'как после
проведения во втором члене замены переменных /С+ р ->р' этот
член сокращается с первым при условии, что интегрирование по
р и р' проводится по одинаковым конечным областям, пределы
которых одновременно устремляются к бесконечности. Можно также
сказать, что каждый член в отдельности по соображениям симметрии
равен нулю, что становится очевидным, если провести сначала ин-
интегрирование по компоненте р^ (и //) в конечных пределах вида
— Ху.. +Л^» симметричных относительно точки рх = 0. Хотя из-за
расходимости интеграла приведенные „доказательства" не убеди-
убедительны, все же очевидно, что существует способ интегрирования,
чпри котором 27=0. Равенство результата интегрирования нулю или
какому-либо не ковариантному и не градиентно-инзарлангному выра-
выражению зависит лишь от порядча ингегрирозания и способа устрем-
устремления соответствующих пределов к бесконечности.
Таким образом, мы видим, чъо квантовая электродинамика в ее
современной форме содержит определенные неоднозначности, кото-
которые в конкретных вычислениях приводят к нарушению лоренцозой
и градиентной инвариантностей. С другой стороны, эти неопреде-
неопределенности дают возможность потребовать выполнения указанных
свойств инвариантности путем запрещения способов интегрирования,
приводящих к неинвариантным результатам. Применительно к рас-
366 Гл. 5. Радиационные поправки
сматриваемому случаю это означает, что L должно считаться равным
нулю х).
Попытки устранения указанных неоднозначностей будут рассмот-
рассмотрены в § 35. Мы увидим, что до настоящего времени эти попытки
имели весьма небольшой успех.
б. Собственная энергия фотона. Проведенные выше рассужде-
рассуждения можно, в частности, применить к проблеме собственной энергии
фотона. В соответствии с* элементарными вычислениями свободный
фотон обладает квадратично расходящейся собственной энергией,
соответствующей процессу испускания фотоном электронных пар
с последующей их аннигиляцией. Соответствующая диаграмма имеет
вид 17""*" и не требует отдельного вычисления в связи
с тем, что это выражение уже вошло в наши вычисления (это пока-
показывает диаграмма на фиг. 21, б). Совершенно очевидно, что наличие
у фотона собственной энергии, т. е. массы, привело бы к нарушению
градиентной инвариантности, а тем самым к противоречию с исход-
исходными положениями теории. Мы увидим, что так называемая соб-
собственная энергия фотона описывается как раз выражением L и
обращается в нуль, когда L = 0, т. е. при постулировании соот-
соответствующего способа вычисления.
Как мы уже видели в § 28, формализм не изменяется при замене
внешнего поля А[е) оператором свободного фотона Ач. Разница
заключается лишь в том, что условие Лоренца /СД, = 0 здесь
не является тождественно выполняющимся операторным соотношением.
*) В приведенных здесь рассуждениях (так же, как и при рассмотрении
эффекта собственной энергии электрона) Гайтлер не указывает, что предла-
предлагаемая им рецептура устранения бесконечностей не является однозначной.
Например, при устранении расходимости из П (К2) можно было бы вычитать
из нее не U @) [как это сделано в формуле C2.18в)], а 7/(К2), где /B__.
некоторое фиксированное число, отличное от нуля. Полученное таким путем
выражение для тензора индукции
^av = (К2 V — Ka/Q U' (К?) J V (&))
также обладало бы всеми требуемыми свойствами инвариантности (градиент-
(градиентной и релятивистской) и не содержало бы бесконечностей. Ясно при этом,
что такое изменение рецепта вычитания эквивалентно конечной перенорми-
перенормировке заряда электрона на величину
Принятый автором конкретный вид процедуры вычитания, однако, наи-
наиболее удобен с практической точки зрения, так как он приводит к отсут-
отсутствию радиационных поправок для реальных свободных фотонов и электро-
электронов. — Прим. ред.
§ 32. Поляризация вакуума 367
Поэтому реальные фотоны вызывают ток поляризации, который
с учетом отсутствия условия C2.4) имеет вид [ср. C2.1) и C2.10I
/ А
Ч C2.21)
Энергия взаимодействия этого тока с полем фотонов равна соответ-
соответственно — A/с)Д/ Л^. Вычисляя ее среднее значение для состояния
с одним фотоном с импульсом К, получаем собственную энергию
фотона в виде
W==—i^V^uhot.- C2.22)
Здесь (AjA^phot. содержит произведение операторов испускания
и поглощения для рассматриваемого фотона. Используя формулу
из § 10
где К — импульс, а е — направление поляризации фотона, получаем
w=-imLe°- C2>23)
Так как К относится здесь к реальному фотону, то /С2 = 0. Кроме
того, К перпендикулярно е и поэтому Ке = 0. Отсюда непосред-
непосредственно вытекает, что член L, представляющий собой физически
существенную часть L, не дает вклада в W. Поэтому в согласии
с проведенными ранее элементарными вычислениями W= — Lee/2|K|*
Отсюда следует, что любой способ вычисления или постулат, кото-
который дает L = 0, ведет также к обращению в нуль собственной
энергии фотона.
6. Наблюдаемые эффекты поляризации вакуума. Мы убедились,
что любые члены L, в тех случаях, когда они возникают, не имеют
физического смысла и должны быть опущены.
Выражение U (К'2) имеет физический смысл, однако его часть
Лх = иф) описывает изменение заряда и является ненаблюдаемой.
Сумма Т'(К2) — L' @) остальных членов разложения L2/C2,... и т.д.
описывает наблюдаемые явления. Можно считать, что эти члены
описывают пространственно распределенный ток индукции.
Члены L2, ?3, ... дают вклад в радиационные поправки к про-
процессам рассеяния, в смещение уровней атомных электронов (см. § 34)
и т. д. Однако в этих поправках роль эффектов поляризации вакуума
обычно не представляет особого интереса. Более интересными
представляются явления, целиком основанные на наблюдаемых соста-
составляющих поляризации вакуума. В качестве примера приведем
Гл. 6. Радиационные поправки
следующий эффект. Статическое внешнее поле Л(е) индуцирует неодно-
неоднородное распределение тока Д/ , отличающееся от тока, вызывающего
это поле.
Рассмотрим теперь фотон, движущийся в поле Л(в). В то время,
как, согласно максвелловской теории, внешнее поле и поле фотона
накладываются друг на друга без взаимодействия, теперь фото*
будет рассеиваться индуцированным током. Поэтому фотон будет
отклоняться внешним полем. Пользуясь терминологией виртуальны>
процессов, можно сказать, что внешнее поле рождает виртуальную
электронную пару, падающий фотон поглощается одним из электроноЕ
{изменяя его > импульс) и, наконец, пара аннигилирует, испуска*
вторичный фотон в другом направлении.
Подобным же образом, заменяя внешнее поле вторым фотоном;
приходим к рассеянию двух фотонов друг на друге. Эти качествен-
качественные результаты показывают, что квантовая электродинамика (более
точно, теория взаимодействия электромагнитного поля с вакуумом
виртуальных электронов) приводит к феноменологическим отклоне-
отклонениям от линейности уравнений Максвелла. Однако эта нелиней-
нелинейность является не внутренним свойством электромагнитного поля,
я результатом его взаимодействия с электронами *).
В качестве иллюстрации указанных нелинейных эффектов рас-
рассмотрим процесс рассеяния света на свете. Ввиду^ того чтс
вычисление соответствующего поперечного сечения при всей своеЕ
принципиальной простоте является несколько громоздким, мы сразу
приведем конечный результат [34] для случая рассеяния двух фото-
фотонов с одинаковой частотой v, одинаковой поляризацией и противо-
противоположно направленными импульсами. Соответствующее поперечное
сечение для отклонения (обоих электронов) на угол 6 при fiv ^
имеет вид
*Р= 2*V» 137*
Вследствие наличия фактора 1/137'3 и других численных множителей
эта величина чрезвычайно мала даже для ^~излУчения ftv~u
(<? — ^о • Ю~6 Для ?v = a) и совершенно пренебрежима для видимогс
света. Интересно отметить, что согласно C2.24) ср очень быстро
возрастает с увеличением h-я и, если бы это выражение оставалось
справедливым, то привело бы к весьма большим значениям сечения,
Такое положение, однако, не имеет места. Было показано [35, 36J,
*) Феноменологическая теория нелинейного максвелловского поля была
развита Борном и Инфэльдом [30, 31]. Эта теория имеет много общзго
с нелинейностямя, возникающими в квантовой электродинамике. См..
например, [32, 33].
§ 33. Поправки к комптоновскому рассеянию 369
что в крайне релятивистской области полное сечение имеет вид
ср = r\k (¦?)' , Кр. рел. (Ь » jjl) C2.25)
где k — малая постоянная. Поэтому ср никогда не превышает вели-
величины порядка Го • 10~6 и кажется маловероятным, что рассеяние
света на свете и другие нелинейные эффекты при каких-либо усло-
условиях играют существенную роль, даже, например, во внутренних
областях звезд, где плотность фотонов весьма велика.
§ 33. Поправки к комптоновскому рассеянию
1. Общая часть. В качестве примера вычислений поправок
высшего порядка в процессах рассеяния рассмотрим как простейший
случай эффект Комптона. Соответствующие вычисления типичны для
процессов рассеяния, а оценки порядка величины поправок, которые
мы получим, в той или иной степени будут справедливы для рас-
рассеяния электрона во внешнем поле, для рождения пар ^-квантами
и т. д. При этом оказывается, что рассматриваемые поправки могут
быть разделены на две группы и соответственно этому разделению
мы будем в дальнейшем различать радиационные поправки и поправки
затухания;
а) Радиационные поправки. Матричные элементы рассматривае-
рассматриваемых процессов представляются в виде рядов К = К2 + /f4 + • • •»
причем в вычислениях § 22 рассматривались лишь члены К2- Член /С4
приводит к поправке, и поскольку К2~^ и /Q — е*> то поправка
низшего порядка по е, отвечающая члену K<lK± + KlK± (при вычи-
вычислении \К\2), имеет порядок eQ. Эта поправка является чисто кван-
квантовым эффектом (при переходе к м, m и т. д. она оказывается
пропорциональной h) и не имеет аналога в классической теории.
Важной проблемой, решение которой становится возможным благо-
благодаря учету члена /Q, является „инфракрасная катастрофа",
связанная с испусканием виртуальных квантов низких энергий. Этот
вопрос будет рассмотрен в п. 3 настоящего параграфа.
б) Поправки затухания. Эффективные сечения выражаются
не через \К\^, а через \U\2, причем, согласно A5.ЗЗ'),
B0. C3.1)
Даже если не учитывать К4, то второй член в C3.1) (соответствую-
(соответствующий затуханию) даст поправку. Ниже будет показано, что в нереля-
нерелятивистском приближении эта поправка совпадает с поправкой, вызы-
вызываемой классической силой лучистого трения, и мы действительно
получим этим путем классическую формулу Томсона, поправленную
на затухание. В релятивистской области эффекты затухания видо-
видоизменяются квантовыми эффектами и, как мы увидим, оказываются
очень малыми для всех энергий.
24 Зак. 1260. В. Гайтлер
370 Гл. 6. Радиационные поправки
В то время как поправки затухания вытекают из члена низшего
порядка в разложении К (с дальнейшими поправками из членов
высших порядков) и независимо от точки зрения вполне однозначны,
вычисление /Q и высших членов становится возможным лишь путем
применения техники исключения собственной массы Sjx и собственного
заряда ое, рассмотренной в предыдущих параграфах.
Хотя поправки двух указанных категорий целесообразно разли-
различать друг от друга, поскольку они связаны с разными физическими
явлениями, не следует думать, что это различие соответствует эффектам,
отличающимся по порядку величины. В одних случаях тот или иной
из этих эффектов может оказаться значительно больше другого,
тогда как в других случаях они совпадают по порядку величины.
Член /Q можно вычислить с помощью техники, развитой в § 28.
Однако ввиду того, что вычисления оказываются очень длинными,
мы не станем их здесь воспроизводить. Наше изложение будет
ограничено рассмотрением наиболее интересных моментов, для чего
окажется достаточным исследовать упрощенный вариант задачи, несвя-
несвязанный с громоздкими вычислениями. Для этого рассмотрим „нере-
„нерелятивистский случай" &0<С^[а (k0 — энергия падающего фотона), ог-
ограничиваясь членами низшего порядка по ko/\i. Мы увидим, что эти
члены пропорциональны (/^/{j^lnd*//^I).
Мы выберем нерелятивистское взаимодействие в кулоновской
калибровке
Я = |-А2 —1(рА). C3.2)
Это выражение дает правильный результат в интересующем нас
приближении лишь в том случае, когда спин частицы равен нулю.
Для частиц со спином 1/2 гамильтониан C3.2) оказывается, вообще
говоря, недостаточно точным в рассматриваемом приближении, даже
при добавлении спинового члена —(ehc/2\i) (sH) 2). Эффективное
сечение для частиц со спином х/2, если его вычислять правильно
*) Строго говоря, нерелятивистскими могут быть названы члены порядка
не выше ko[p, а члены k^fy? в действительности содержат релятивистские
эффекты. См. также следующее примечание.
2) Тот факт, что выражение C3.2) для бесспиновых частиц в рассматри-
рассматриваемом порядке оказывается достаточным, является далеко не тривиальным.
Он может быть получек путем исследования релятивистского волнового
уравнения для таких частиц, что, однако, выходит за рамки нашей книги.
Для читателя, интересующегося этим вопросом, отметим, что указанный
результат может быть получен наиболее простым образом из релятивист-
релятивистского волнового уравнения в форме Саката — Такетани
где р и у\ — антикоммутирующие матрицы второго ранга со свойствами,
Р*) + *)Р = О, p2 = Yj2=i. Это волновое уравнение, будучи релятивистским
§ 33. Поправки к комптоновскому рассеянию 371
(см. стр. 375), отличается от сечения, к которому приводит выра-
выражение C3.2), лишь различными численными множителями в некото-
некоторых членах. Ввиду этого мы приведем ниже также результат,,
соответствующий предельному переходу ко/± <С^ 1 в точной реля-
релятивистской формуле.
2. Радиационные поправки. Для получения необходимого нам
выражения наиболее удобно воспользоваться полученными ранее фор-
формулами A5.224) для матричного элемента четвертого порядка К±.
Ввиду того, что в этих формулах уже учтена собственная энергия
(что отмечено значком -—), нам не придется заниматься перенор-
перенормировкой массы. Что же касается перенормировки заряда, то она
без труда может быть выполнена в окончательной формуле.
Рассмотрим частицу, находящуюся первоначально в состоянии
покоя, Ро=О (мы пользуемся здесь обозначениями, принятыми
в § 22). При этом матричный элемент ЯA) оператора (рА) в том
случае, когда он стоит крайним справа, дает нуль и формула A 5.2 24
сводится к трем членам
C3.3
Матричные элементы Hw [члена в C3.2), линейного по А]
да НB) (члена А2), согласно формулам § 14, п. 3, имеют вид
Я — -*¦/?&.). "W-^SV>. C3.4)
При этом в низшем порядке мы имеем просто /C2F0 =*= #fo • Выра-
Выражение Н описывает процесс испускания или поглощения фотона к
(с поляризацией е), а р — импульс частицы до или после процесса
Соответственно. Выражение ЯB) относится к процессам с участием
у квантов кик' (рассеяние к-* к' или испускание к и к' и т. д.).
Соответственно этому, в промежуточных состояниях п могут
Присутствовать либо один фотон с переменным импульсом к', либо
/три фотона к, к0, к':
ni : к', р' = к0 — к',
п2: к, ко, к', р' = — (к-f-к7).
яо своей форме весьма напоминает нерелятивистское уравнение. Функция
для положительно (отрицательно) заряженных частиц нормирована соот-
соотношением ф*РФ = ± 1 [37,38,39]. В частности, необходимо показать, что про-
промежуточные состояния, содержащие виртуальные пары, дают вклад высшего
^норядка. Для спина */г в общем случае не существует нерелятивистского
^Уравнения, приводящего в рассматриваемом порядке к правильному резуль-
результату. Дискуссию этого вопроса см. в работе [40].
24*
372 Гл. 6. Радиационные поправка
В нерелятивистском приближении по соображениям сходимости нужно
включить энергию отдачи электрона в энергетические знаменатели.
Как можно показать, такая операция приводит в рассматриваемом
приближении к правильному результату. Имеем поэтому
р р ь ь' (ко-к/J f F ь V I
C3.5)
Во втором члене выражения C3.3) каждому состоянию п соответ-
соответствуют ровно два изолированных состояния / с уже определенными
значениями импульса, приводящие в конечное состояние F. В третьем,
ренормировочном, члене (множитель —1/2)у однако, импульс к' про-
промежуточных состояний j оказывается переменным.
Первый член в C3.3) принимает теперь вид
Hfn н% = у Г k*dkrdQk,/2i&h*c*V (eoe')(e'e)
X { ko^.kr^ (k()_k/)a/2p, — k + kf + (k + kO2/2ka J '
fe' —(k0 — k'J/2f*
Вычислим это выражение с точностью до членов ko/\t? In (}V&0), nPe"
небрегая даже членами порядка &0/у-3. В этом случае можно пре-
пренебречь в знаменателях членами (кок')/р> и (kk')/w, так как если
мы произведем по ним разложение, то линейные члены дадут нуль
после интегрирования по направлениям вектора к', а квадратичные
члены окажутся порядка 1ДиА Заметим также, что в случаях
обращения знаменателей в нуль интегралы следует брать в смысле
главного значения. Интегрирование оказывается очень простым и,
с учетом законов сохранения,
и и (к0 к) ^0/1 пч
где б — угол рассеяния (<? к0, к), находим
еое){ 4 In— -C + cos б) In —}.
C3.7)
Логарифмически расходящийся член этого выражения рассмотрим
ниже. Таким путем производится вычисление второго члена в C3.3),
который оказывается сходящимся:
8 """^^-ln—. C3.8)
о [х^ у fctzQ /Zq
§ 33. Поправки к комптоновскому рассеянию 373
Новыми и весьма важными свойствами обладает последний (ре-
нормировочный) член. Ему соответствуют два промежуточных
состояния
j\ : к, к', Pl = k0--k — к', Eo-Ej\ = kQ-k-k'-{^-\-к'J =
_ ,, V* ¦ (к',ко-к)
у2
Состояние у2 является изолированным и, как легко видеть, дает
вклад, исчезающий в процессе предельного перехода L3->oo. Заме-
Заметим теперь, что разность Ео— Ejx\ пропорциональна kr и обращается
в нуль при k'—>0. Элемент объема при интегрировании в &'-про-
странстве дает множитель kf2dk't а произведение Н{1}НA\ со-
согласно C3.4), приводит к дополнительному множителю 1/&'. Так
как знаменатель содержит квадрат разности (Eq — EjJ, то мы
видим, что при малых значениях kr подинтегральное выражение
ведет себя как dk'jk' и интеграл поэтому расходится на нижнем
пределе. Эта расходимость дает нам объяснение „инфракрасной
катастрофы", ввиду чего мы назовем соответствующее выражение
инфракрасным членом. Чтобы не иметь дела с явными расходи-
мостями в промежуточных рассуждениях, заменим временно ниж-
нижний предел интегрирования малой величиной ш. После этого ин-
интегрирование становится элементарным. Мы снова выпишем только
высшие члены, которые здесь имеют порядок ~&о/[а21п(<а/о)), а не
^о/у-2 In (u/k0). Пренебрегая членом (kr, k0 — k)/tu в-знаменателе,
найдем
SI H^ нул B) 4 e±hc Id p.
2 (Eo — ?vJ ^° 3 {x У f^k ° p.2 o) *
Прежде чем сложить полученные результаты, рассмотрим рас-
расходящийся член в формуле C3.7). Заметим, что он пропорционален
матричному элементу второго порядка для рассматриваемого про-
процесса Н(?Ь = К2, причем расходящийся множитель пропорциональ-
пропорциональности является числом и не зависит от к0 и к. Обозначая этот член
через K4s.ch. (так как он описывает собственный заряд), имеем
~ __ • 8 е2 kr
Зтс he 2{J-
К2. C3.10)
к' ->оо
Поэтому C3.10) приводит лишь к изменению численного множителя
в формуле Томсона для рассеяния, полученной из К2> но не меняет
ни энергетической, ни угловой зависимости. Как раз к такому поло-
положению мы пришли более общим способом, исследуя в § 32 эффект
374 Гл. 6. Радиационные поправки
собственного заряда1). В самом деле, относя член C3.10) к соб-
собственному заряду и замечая, что Н% пропорционален е2, получаем
¦==--^r-^-ln^r . X33.ll)
he
' ->оо
Этот результат почти в точности совпадает с C2.19) и C2.20).
В тех выражениях z являлась инвариантной переменной размер-
размерности № и расходящуюся часть интеграла можно было записать
в виде
В проведенной выкладке мы не употребляли инвариантных пере-
переменных. Тем не менее C3.11) отличается от точного результата
§ 32 только множителем 2, а большей точности нельзя и ожидать
от такого нерелятивистского рассмотрения. Знак S(^) в C3.11)
также согласуется с результатом § 32. В соответствии с тем, что
там было сказано, член /Gs. ch. должен быть опущен.
Суммируя теперь результаты из C3.7) — C3.9), найдем
~ 4 e*hc /г k2 2(eok)(eko)i V ,
Кл = — -о г=\\ —(еое) —-C + cos6)-j In V-
ijL ~\/ Ъ Ъ II ml2 U,2 I f?f.
+ (eoe)-f A— cos 6) In ~|. C3.12)
С помощью B2.17) находим эффективное сечение (в нашем при-
приближении E/\i= 1)
Это выражение приводит к добавке порядка е6 в формуле Томсона,
основной пропорциональный \К2\2 член которой имеет порядок ?4 2):
_о 14- COS2 6 ^ ^
Выполняя суммирование по е, усреднение по еои полагая также & = k0,
получаем для <2ср6
+ (l+cos26)(l— cos6)In-^-1 (спин 0, ko<^\i). C3.13)
*) Выражение C3.10) нельзя связать с изменением массы, так как
собственную энергию мы уже отбросили.
2) Что соответствует нерелятивистской формуле, где с точностью до
множителя &2/&о первое приближение имеет вид 1 — B&0/|х)A — cos 6). Здесь
отброшены члены порядка ^q/^2 и выше.
§ 33. Поправки к комптоновскому рассеянию 375
Эта формула совпадает с результатом строгого релятивистского рас-
рассмотрения (которое, однако, гораздо сложнее)" [411.
Для случая спина 1/2 былисопубликованы две различные формулы:
а) формула [42], в которой множитель [...] при \n(^/k0) в C3.13)
заменен на
| cos6 + 4cos2fj +
и б) формула [43], совпадающая с C3.13) (по неизвестным причи-
причинам). Инфракрасный член в обоих случаях одинаков. Ввиду значи-
значительной сложности вычислений к моменту написания этих строк при-
причина противоречия не была установлена.
Полное поперечное сечение имеет вид
. C3.14)
Отрицательный знак этого выражения не приводят к трудностям,
так как оно является малой поправкой к ср4. Откладывая пока обсу-
обсуждение смысла а), заметим только, что значение ш следует выби-
выбирать так, чтобы In (<а/ш) не был очень большим. Ясно тогда, что ср6
действительно очень мало. По сравнению с ср4 оно содержит не
только множитель 1/137, но и множитель kl/\*<2<§^ll). Поэтому, при-
принимая во внимание существующую точность измерений, кажется
весьма маловероятным, что отклонения от формулы Клейна — Ни-
шины могут быть обнаружены в эксперименте.
Переходя к частотам &0 = йч0, 1/137 = e*/hc> найдем, что ср6 про-
пропорционально h и является поэтому чисто квантовым эффектом.
В крайне релятивистской области ko^>\*< и поправка оказывается
сравнительно большой [42, 43]. Для некоторых углов рассеяния ее
значение достигает нескольких процентов сечения Клейна — Нишины.
Важность полученных результатов заключается в доказательстве
конечности радиационных поправок, а также в доказательстве того,
что первое приближение, которое рассматривалось всюду в гл. 5,—
чрезвычайно хорошее приближение.
3. „Инфракрасная катастрофа4'2). В гл. 5 мы обнаружили на
нескольких примерах, что каждый процесс может сопровождаться
испусканием фотонов очень низкой, стремящейся в пределе к нулю
1) Как было показано, радиационные поправки всегда исчезают в пре-
пределе малых энергий [44].
2) „Инфракрасная катастрофа" была подробно рассмотрена Б лохом и
Нордсиком [45] и Паули и Фирцом [46]. В этих старых статьях, однако, со-
содержалась основная трудность: хотя компенсация низких частот была про-
продемонстрирована, радиационные поправки расходились в области частот вир-
виртуальных фотонов. Эта трудность теперь преодолена с помощью последова-
последовательной ренормировки массы и заряда. В связи с нашим изложением см.
работы [47, 48].
376 Гл. 6. Радиационные* поправки
частоты. Например, в эффекте Комптона испускание кванта k может
сопровождаться испусканием второго инфракрасного кванта kr
(см. § 23). Хотя, вообще говоря, двойной эффект Комптона весьма
маловероятен, его вероятность ведет себя как ln(u/?r) при малых kr
и при йг->0 стремится к бесконечности. Строго говоря, это при-
приводит к невозможности вычисления вероятности даже обычного рас-
рассеяния, потому что к нему следовало бы добавить в качестве по-
поправки (порядка ?6) вероятность двойного процесса при ?г = 0. Этот
вопрос, однако, носит чисто академический характер, так как даже
если kr соответствует длине волны порядка „лабораторных разме-
размеров" L, то логарифм
In -^ 1п -^ — In 10"
все еще остается меньше числа 137 (а выражения содержат еще и
другие малые множители). Тем не менее возникает теоретическая
трудность, и на примере рассмотрения поправки к обычному эф-
эффекту Комптона мы покажем сейчас, как она устраняется.
В § 23 была получена формула B3.22) для двойного эффекта
Комптона. Интегрируя ее по kr от нижнего предела ш->0 до неко-
некоторого предела km<^k0> найдем
где 0 — угол рассеяния основного кванта. Выражение C3.15) пред-
представляет собой вероятность комптоновского рассеяния с испусканием
дополнительного очень мягкого фотона ш < kr < km. Мы видим
теперь, что C3.15) в точности компенсирует инфракрасный член
в C3.13) или C3.14), происходящий от виртуальных квантов, рас-
расположенных в интервале ш < kr < km. [Заметим для этого, что
1пAл/ш) = 1п([л/^т)+1п(^т/(о).] Поэтому, двойной эффект Комптона
с испусканием фотона низкой энергии kr < km компенсируется по-
поправкой порядка eQ к обычному эффекту Комптона. Выберем теперь этот
произвольный низкий предел km, ниже которого мы рассматриваем
испускание дополнительного мягкого фотона kr < km так, чтобы
процесс, в котором происходит испускание дополнительного фотона,
оказался неразличимым от процесса, в котором такой фотон не
испускается. Мы можем теперь устремить ш к нулю и не получим
расходимостей. Формула рассеяния при этом представляется формулой
Томсона, поправленной а) на выражение C3.13), в котором ш заме-
заменено конечным, но произвольным пределом km, и б) на реальный
двойной эффект Комптона, отличающийся от простого эффекта Комп-
Комптона испусканием второго кванта kr > km. Произвольность предела km
лежит в природе явления. Мы (точнее, экспериментаторы) сами
должны решить, при каких условиях единичный чрезвычайно мягкий
§ 33. Поправки к комптоновскому рассеянию 377
фотон физически отличается от вакуума. В этом смысле „инфракрас-
„инфракрасной катастрофы" не существует.
Компенсация инфракрасных расходимостей двойного эффекта и
поправок к обычному эффекту Комптона при kr < km не случайна
и непосредственно связана с общими формулами теории возмущений.
Мы предоставляем читателю доказать этот факт.
4. Радиационные поправки к рассеянию электрона в куло-
нов с ком поле. Аналогичное положение возникает и при рассеянии
электрона во внешнем поле. Дело заключается в том, что расходя-
расходящиеся поправки к рассмотренному в § 30 рассеянию без излучения
и расходящаяся часть тормозного излучения с испусканием фотона
низкой энергии kr компенсируют друг друга при ?г < ?w, где
km — произвольный предел, весьма малый по сравнению с энергией
падающего электрона. Из соображений полноты мы приведем также
формулу для радиационных поправок к упругому рассеянию элек-
электрона в чистом кулоновском поле. В первом приближении этот про*
цесс описывается формулой Резерфорда B4.33):
где р — импульс падающего электрона.
Радиационная поправка порядка ?6 в нерелятивистском прибли-
приближении /?/^<С!1 имеет вид [12, 49] (Е2 = /?2 -f- а2)
. C3.16)
Здесь km представляет собой минимальную энергию мягкого тор-
тормозного .фотона, при которой процесс тормозного излучения стано-
становится отличимым от чистого упругого рассеяния. Видно также, что
малость я?срв по сравнению с rfcp4 обеспечивается множителями 1/137,
2/?2С
5. Поправки затухания. Для изучения влияния второго члена
в формуле C3.1) достаточно взять вместо К его главное прибли-
приближение /С2-
Рассмотрим сначала нерелятивистский случай ko = k<^.\i. Нере-
Нерелятивистскому взаимодействию света со свободным покоящимся элек-
электроном соответствует матричный элемент рассеяния C3.4), который
при ko = k = hv принимает вид
Ик*> = 7" (е°е) ~7~ • C3.17)
Если пренебречь всеми состояниями, содержащими более одного
кванта, то среди состояний В в правой части уравнения C3.1)
останутся лишь состояния, содержащие один рассеянный квант
378 Гл. 6. Радиационные поправки
с импульсом к', отличным по направлению от к0 и к. Уравне-
Уравнение C3.1) примет при этом вид
'Рк Uk>K> C3.18)
где подразумевается суммирование по всем углам вектора к' и двум
направлениям* поляризации е'. Чтобы решить C3.18), положим
UkK = *(еое); UU'k = *(еое')- C3.19)
Ввиду того что усреднение по всем направлениям к' и двум на-
направлениям е' дает
(е'е)(е'ео)==у(еое),
находим из C3.18)
Для сечения рассеяния, просуммированного по двум поляризациям е,
получаем
НГ?' Нерел- C3-21)
что совпадает с классической формулой E.4х). Таким образом, вто-
второй^ член в C3.1) как раз дает классическую силу лучистого тре-
трения—v. Постоянная h не входит в C3.21).
В действительности, однако, формула C3.21) не имеет области
применимости. В самом деле, поправка х становится сравнимой
с единицей только при &/}х~йс/?2= 137, т. е. при столь больших
энергиях, для исследования которых становится обязательным реля-
релятивистское рассмотрение, необходимое уже при k~\i. Уравне-
Уравнение C3.21) подсказывает нам,.что поправки, обусловленные затуха-
затуханием к формуле Клейна — Нишины, будут существенны для энергий
/iv > 137а. Мы увидим, однако, что на самом деле этого не про-
происходит и что влияние затухания оказывается пренебрежимо малым
при любых энергиях. Чтобы показать это, необходимо прибегнуть
к релятивистскому рассмотрению,
Решение интегрального уравнения C3.1) для релятивистского
рассеяния представляет значительные трудности. Поэтому мы не
станем проводить строгое решение, ограничившись доказательством
того, что эффектом затухания можно пренебречь [50]. Когда эффект
затухания мал, можно положить
и считать, что V мало по сравнению с Я. Тогда в первом при-
приближении C3.18) примет вид
г Рк, Нк* л0. C3.22'
§ 33. Поправки к комптоновскому рассеянию 379
Нам нужно установить порядок величины второго члена в C3.22)
по отношению к первому. С этой целью удобно перейти к лорен-
цовой системе, в которой полный импульс равен нулю: р0 = — к0,
р==—к. В этой системе процесс рассеяния приводит лишь к изме-
изменению направлений к0, р0 на к, р без изменения частоты: ko = k\
Ро~Р- Ввиду того что ожидаемая область проявления эффекта
определяется условием k^>\it ограничимся рассмотрением крайне
релятивистского случая и условимся всюду пренебрегать энергией
покоя электрона. Простое вычисление, подобное проведенному в § 22,
приводит нас к матричному элементу
и*ааоио , и*а0 [(акр) + («к)] ащ \ ,оо 0<*ч
—k I ?о* + (кок) )' C3*23)
где Ео = У jj,2 -{- kl — начальная энергия электрона. Видно отсюда,
что //fcfc0 имеет порядок e2fk21). Ввиду того что р&' ~?9, мы видим
также, что второй член в C3.22) по порядку величины равен
tf2(?2//ic)(l/&s) (множитель e^jhc подчеркивает тот факт, что раз-
размерность второго члена совпадает с размерностью первого). Таким
образом, член затухания в 137 раз меньше первого члена. Более
того, вычисляя полное сечение, проинтегрированное по направлениям к
^Ял^оРР,+ ...> C3.24)
убеждаемся, что перекрестные члены исчезают. Поэтому в C3.24)
второй член отличается от первого множителем 1/1372.
Таким образом, поправки затухания оказываются очень малыми
при всех энергиях. В действительности, второй член в C3.24) имеет
порядок ?8, тогда как первая радиационная поправка имеет поря-
порядок eQ и потому оказывается гораздо большей. Тем же самым путем
можно показать, что затухание несущественно и в тормозном излу-
излучении, рождении пар и т. д., в отличие от того, что имеет место
при классическом рассмотрении.
Полученный результат весьма важен, поскольку он обосновывает
законность применения теории возмущений первого порядка ко всем
процессам, рассмотренным в гл. 5. В частности, применение теории
к процессам очень больших энергий (например, к каскадным ливням)
основывается на том обстоятельстве, что как эффекты затухания,
так и радиационные поправки малы даже для наибольших известных
энергий.
Мы используем этот факт, чтобы сделать несколько общих заме-
замечаний об асимптотическом поведении эффективных сечений при очень
больших энергиях и о роли затухания в этом случае. Рассмотрим
s системе центра масс соударение двух любых частиц, в результате
1) Выражение C3.23) имеет особенность при (kok) = — k^k9 так как ?0
почти равно ^0, что приводит к In (k0/^) в проинтегрированном сечении. Можно
показать, однако, что степень \n(kQ/^) в члене затухания не выше, чем
в первом члене.
380 Гл. 6. Радиационные поправки
которого опять имеются две частицы, и обозначим энергию одной
из них через е. Предположим теперь, что эффективное сечение,
вычисленное в пренебрежении затуханием, в области больших
энергий ср — | /<" р3 ре — еЛ. Так как pe~s2, то |/C|~*V«(«-2). для
простоты допустим, что К не зависит существенным образом от
угла „рассеяния", хотя для процессов рассеяния в крайне релятиви-
релятивистском случае это условие даже в системе центра масс выполняется
обычно не очень хорошо. Тогда U определяется соотношением
U — /С/A + *тс/Срв). Отсюда следует, что
где А — малый численный коэффициент, который для электромаг-
электромагнитных процессов содержит множитель 1/137 в степени, равной
порядку /С. Поэтому
?«
Здесь следует различать случаи а ^ — 2 илиа> — 2. Еслиа<; — 2,
как в случае эффекта Комптона, знаменатель оказывается по мень-
меньшей мере постоянным и в силу малости А близким к единице для
любых s. Затухание оказывается пренебрежимо малым. В другом
случае, при а>—2, в асимптотической области ср— е~2 незави-
независимо от значения а. В этом случае затухание играет очень важную
роль. Среди процессов с участием фотонов и электронов до сих
пор не известны случаи, для которых а >—2, но положение может
оказаться иным для процессов с участием мезонов. Приведенное
рассмотрение показывает, что эффективное сечение в любом случае
не может неограниченно возрастать вместе с энергией. Аналогичные
соображения можно развить и для процессов, в которых участвует
более двух частиц. Здесь существует только один случай (см. § 26, п. 3L
когда ср->оо при ?->оо.
§ 34. Радиационные поправки в связанных состояниях
1. Общие соображения. Предыдущие параграфы настоящей главы
были посвящены процессам рассеяния свободных частиц; теперь мы
перейдем к рассмотрению радиационных эффектов для дискретных
уровней. Имеется несколько типов поправок. Рассмотрим атом
с одним электроном, который находится в возбужденном состоянии О
и может перейти в основное состояние, испустив фотон. Для про-
простоты предположим, что никакие другие (многостепенные) переходы
не могут иметь места. Как было показано в § 16, распределение
вероятностей конечных состояний Еп = Ео -\- hv (Ео — энергия основ-
основного состояния) имеет вид
C4.1)
§ 34. Радиационные поправки в связанных состояниях 381
Здесь Ёо, ^о — энергии, смещенные на значения соответствую-
соответствующих собственных энергий (см. § 16, п. 3):
Ео = Eq — Hq \о> ^о === ^о — ДЛ о>
н(й) Н0\тНт}0 j „ C4.Г)
НО\О — Б Б Г ИО\О
{Но | о соответствует лишь кулоновскому взаимодействию). Кроме
того, в C4.1) содержится дополнительное смещение Д?\ равное (мы
опускаем знак ~)
В то время как в используемом представлении (смещенные уровни)
1тГ(?о) = 0, 1тТ(Еп) для ЕпФЕо не равно нулю и зависит от
частоты v. Ввиду того, что ширина линий очень мала, Еп практи-
практически равно Ео> а 1тТ(Еп) весьма мало. При этом иа того, что
Re Г может считаться постоянной, вытекает, что максимум линии
соответствует разности энергий смещенных уровней при условии,
что смещение вычисляется по формуле C4.1')-
В гл. 5 (в частности, в § 18, а также в § 20) мы рассматри-
рассматривали U и ReF в первом приближении, а смещением уровней пре-
пренебрегали. Поэтому возникают два типа радиационных поправок:
1) Смещения уровней —Hq\o и т. д., которые в первом неисче-
зающем приближении равны собственным энергиям связанных состоя-
состояний. Мы увидим ниже (в п. 2 и 3), что в отличие от случая сво-
свободного электрона эти члены не сводятся к простому изменению
массы, приводя после перенормировки массы и заряда к конечным
и наблюдаемым выражениям.
2) Радиационные поправки к вероятностям переходов, обусло-
обусловленные \U\* и шириной линии Re Г. Обе эти величины связаны точ-
точным соотношением, выражающим тот факт, что Re Го | о является
полной вероятностью переходов из состояния О. Радиационные по-
поправки к Re Г рассматриваются в п. 4, где также исследуется
дополнительное смещение Д?. Поправки второй категории лежат вне
пределов существующей точности измерений. Поэтому, с экспери-
экспериментальной точки зрения, сдвиги уровней представляют гораздо
больший интерес.
Весьма существенным является вопрос о сравнении величины
сдвига уровня с его шириной. Предвосхищая результаты п. 2Ч и 3,
опишем положение, имеющее место для водородоподобных атомов.
Для Р-уровней, когда переход с каждого из них в основное состоя-
состояние разрешен, смещения очень малы по сравнению с шириной. Для
¦25-состояния, которое метастабильно и имеет пренебрежимо малую
ширину, смещение много больше ширины уровня. То же самое спра-
справедливо, конечно, и для основного состояния, ширина которого равна
382
Гл. 6, Радиационные поправки
нулю. Для высших 5-уровней, несмотря на наличие разрешенных
переходов в низшие Р-состояния, вероятности переходов быстра
убывают, как и сдвиги уровней при росте главного квантового числа,
и, вообще говоря, сдвиги уровней оказываются много больше их
ширины.
Положение для трех уровней атома водорода с п = 2 иллюстри-
иллюстрируется табл. 9.
" Таблица 9
СДВИГИ УРОВНЕЙ И ИХ ШИРИНЫ ДЛЯ 25- и 2Я-УРОВНЕЙ АТОМА
ВОДОРОДА (В ЕДИНИЦАХ ЧАСТОТЫ V; ЭНЕРГИЯ В ЕДИНИЦАХ h4) *
Уровень
251/2
2PV*
2P*U
Положение невозму-
невозмущенного уровня
относительно
0
0
1,1.27г. 10Ю
Радиационный сдвиг
(теоретический)
+ 1040.271.106
— 17.27i.106
+ 8". 271.106
Ширина
уровня
Re Г
^7
6,3 • 108
6,3 • 108
* В экспериментальной литературе обычно выражают сдвиг уровней в
„мегагерцах" —единицах в 2и-106 раз меньших используемых здесь. Для удобства
сравнения в третьем столбце таблицы этот мвожитель выделен; ReT — ве-
вероятность перехода за секунду.
2. Вычисление сдвига уровня *). Подробное вычисление сдвига
уровня оказывается очень длинным. Ввиду этого в последующем
изложении мы уделим основное внимание всем существенным теоре-
теоретическим моментам, опустив часть громоздких вычислений. Основной
вклад в сдвиг происходит от нерелятивистской области (см. ниже),
для которой вычисления проводятся достаточно просто и будут нами
полностью приведены. Основное внимание мы обратим на то, каким
образом получаются однозначные и конечные результаты. Последнее
оказывается возможным Ь результате последовательного применения
методов, изложенных в предыдущих параграфах, т. е. путем исклю-
исключения членов, связанных с собственной массой и собственным зарядом.
Рассмотрим электрон в связанном состоянии с потенциальной
энергией V и волновой функцией 60. Собственной энергией этого
состояния назовем величину W== — Hq8\Q. С точки зрения теории
I) Сдвиг уровня для водорода был впервые вычислен Бете [51] нереля-
нерелятивистским методом с помощью „обрезания" виртуальных энергий, больших
тс2. Последовательные релятивистские вычисления были выполнены неза-
независимо в работах [За, 49, 52, 53]. Ниже мы придерживаемся в основном,
изложения Френча и Вайскопфа [52]. Очень интересный полуклассический
вывод линейного сдвига был сделан Крамерсом [54]. Этот вывод предше-
предшествовал экспериментальному открытию сдвига.
§ 34. Радиационные поправки в связанных состояниях 383
дырок, все состояния с отрицательной энергией являются заполнен-
заполненными (в данном случае такими состояниями являются отвечающие
отрицательным значениям полной энергии точные решения для потен-
потенциальной энергии V). Как и в § 29, собственная энергия электрона
будет, в первую очередь, обусловлена виртуальными переходами
в другие состояния п с испусканием поперечного фотона k, тогда
как переходы в состояния отрицательной энергии будут запрещены»
Кроме того, собственная энергия вакуума изменится вследствие того,
что электроны отрицательной энергии не смогут совершать вир-
виртуального перехода в занятое состояние ф0. Для связанного состоя-
состояния закон сохранения импульса не выполняется. Электрон (а также
электрон отрицательной энергии) может испустить или поглотить
фотон, не изменяя своего состояния. Поэтому оказывается возмож-
возможной также и следующая последовательность виртуальных процессов-
Электрон, находящийся в ф0, испускает фотон, оставаясь в ф0, а фотон
поглощается электроном отрицательной энергии, который также не
меняет своего состояния, или наоборот. Мы запишем эти члены
отдельно и назовем их по причинам, которые будут объяснены ниже,
поляризационными членами. Тогда член собственной энергии, связан-
связанный с виртуальными фотонами, W(tr\ будет равен [по аналогии
с B9.2)]
7Olwft ^raftlO VI nn | Ok nOk \ n
к,Еп<0 П ° •
~TT [Hn\nk H()k | 0~|~ ^OlOfc
). и т. д. C4.2')
Два члена в выражении для Wp фактически равны друг другу.
Мы будем использовать кулоновскую калибровку, так как при-
применение дополнительного условия к связанным состояниям является
затруднительным. При этом фотоны к в C4.2) оказываются попе-
поперечными и, кроме них, в W войдет еще член, соответствующий ста-
статической кулоновской энергии [член Но\о в C4.Г)] и являющийся
квантовым аналогом классической собственной энергии lim e'2/r.
В квантовой теории соответствующий член имеет вид
-\ C4.3)
где ф — вторично проквантованная функция электронного поля. Мы
можем разложить фиф*
384 Гл. 6. Радиационные поправки
но, в противоположность § 12, здесь tyr суть точные одноэлек-
тронные волновые функции для потенциала V, а аг и аг — соот-
соответственно операторы поглощения и испускания; суммирование произ-
производится по состояниям как положительной, так и отрицательной
энергии. Здесь нам удобнее относить величины к состояниям элек-
электронов с отрицательной энергией, а не к состояниям позитронов.
Тогда нам нужно будет взять диагональный матричный элемент опе-
оператора C4.3) по состоянию, в котором содержится один электрон
в ф0, а все состояния с отрицательными энергиями заполнены, и
вычесть (как и для WW) соответствующий диагональный матричный
элемент для вакуума. Получаем без труда
En>° En<°
Wf = e* ^ [ {dzd^%{r)UT\){-^.)i/n{t)) . C4.4)
Выражения C4.4) и C4.2) можно скомбинировать в релятивистское
образование. Заметим для этого, что
г —г'
! W^(r)eiW'^n(r)m: (/) е-^У-Ыг')). C4.4')
Аналогичным образом можно представить и подинтегральное выра-
выражение для Wp\ В тех случаях, кегда п — состояние с отрицатель-
отрицательной энергией, следует изменить знак у k в экспоненте. Пусть далее
Я= ^+(аР)Ч-|? будет оператором энергии, так что Яфп = Бпфп,
^пН = Entyn. Этот оператор вследствие члена (ар) не коммутирует
с ?l±*(kr)/*c]. Соответственно этому находим
= <$>). C4.5)
Правая часть этого соотношения представляет собой матричный эле-
элемент перехода т-+п с испусканием или поглощением продольного
фотона. Подобным же образом С^Т^±г(кГ)/Лсфт) представляет собой
матричный элемент для скалярного фотона ^
$ 31. Радиационные поправка в связанных состояниях 385
Нам потребуется теперь следующее тождество:
Заменяя \\k в C4.4х) с помощью C4.6) и используя C4.5), найдем,
что выражение C4.4) с точностью до последнего члена в C4.6)
сводится к следующему:
Л En>o En<o
х1п\
причем матричные элементы //Wfcxio получаются из C4.20 заменой
(уе) соответственно на fa и Т4-
Последний член из C4.6) вклада не дает
= о
вследствие теоремы полноты и на основании того, что интегриро-
интегрирование (ук) по угловым переменным #ает нуль. В формуле C4.7)
Hnicx\o представляет собой матричный элемент испускания продоль-
продольного (к == 3) или скалярного (X = 4) фотона, а
= ^nkx | о
есть матричный элемент для поглощения. Таким образом, ^з не Дает
вклада в поляризационный член.
Комбинируя полученное выражение с C4.2), находим, что полная
собственная энергия W(?)-f-WW принимает вид
2u E0 — En — k 2u En — E0 — k
к Еп > 0 Еп < О
4
AJ т
к Жп<0
Результат был бы точно такой же, если бы мы проводили вычисле-
вычисления в лоренцовой калибровке, не используя условия Лоренца1).
1) Такое соответствие, однако, не имеет места для Г (Е) в произвольной
точке ЕФЕ0. (См. п. 4.)
Гл. 6. Радиационные поправки,
Соображения релятивистской симметрии применимы здесь в той же
степени, что и для свободных частиц (ср. § 10 и 24, п. 1).
Попытка непосредственного вычисления интеграла C4.8) приво-
приводит нас к логарифмической расходимости, подобной той, которую
мы получили раньше при вычислении собственной энергии свобод-
свободного электрона. Способ устранения этой трудности очевиден и за-
заключается в выделении из C4.8) членов, связанных с собственной
массой4и собственным зарядом.
Рассмотрим сначала вклад от поляризационных членов Wp. От
описывают чисто релятивистский эффект, связанный с поляризацией
вакуума. Это можно установить следующим образом. Представи\
себе, что волновые функции <Jn состояний с отрицательными энер-
энергиями, так же как и %, разложены по плоским волнам. Ввиду того
что tyn — волновая функция состояния с отрицательной энергией длз
потенциала V, ее разложение по функциям свободных частиц будет
содержать и плоские волны с положительной энергией; иными ело
вами, будут рождаться пары. Если потенциал V мал (как это имее:
место в атоме водорода), то первые члены в разложении V буду
как раз соответствовать свободным парам, рожденным внешним полем
Так как функция 60 практически нерелятивистская, то ее разложе
ние будет содержать лишь плоские волны с положительной энергие!
и малыми импульсами. Поэтому мы можем написать
Фо = 2 CptijeWte, ф* = 2 44'^"i (Р'г)Мс • C4-9
р р>
2
р т
Энергия Wp обусловлена испусканием виртуального фотона элек
троном, находящимся в состоянии &0 с последующим поглощение!
этого фотона электроном отрицательной энергии, или наоборот
С точки зрения разложений по плоским волнам, этот процесс соот
ветствует тому, что электрон с импульсом Я(?>0) испускае
фотон, переходя при этом в состояние Я'(?'>()), а затем фото
поглощается парой, рожденной полем V» Эта картина в точност
соответствует процессу, рассмотренному в § 32 и названному та]
поляризацией вакуума. Напомним, что этот процесс наглядно може
быть изображен диаграммой фиг. 21, б. Ясно поэтому, что W.
представляется не чем иным, как суммой уже вычисленных в § 3
матричных элементов
C4.10
В § 32 матричные элементы О^\в) были выражены через импуль
поля К.у Для электростатического поля /Q = 0, А(?} =
у
A{*]=LV(K)le, причем V{K)-r- коэффициент Фурье пртенциала V
Поэтому формулы C2.1), C2.2) и C2.7) дают
§ 34. Радиационные поправки в связанных состояниях 381
Вычисление множителя L' было также проведено в § 32. Та&
было показано, что выражение U @) описывает собственный заряс
и должно быть опущено. Поэтому мы должны заменить? И т
V{К2) — L'@). Эта величина определена уравнениями C2.18 в, г).
Поскольку V медленно меняется в пространстве, достаточно исполь-
использовать лишь первый член разложения по Л. Получаем при этом
Переходя к координатному представлению K2V(K)-+ —
можно выразить C4.11) через исходные волновые функции "
*. C4.12)
Здесь (V'2VrH — наблюдаемое значение V'2V. Для водорода онсР будет
вычислено ниже. Выражение C4.12) является приближенным, так
как при его выводе а) предполагалось, что V мало и б) были от-
отброшены члены порядка /С4, т. е. V4!/. Оба приближения вполне
законны, особенно ввиду того обстоятельства, что член C4.1 2) дает
Сравнительно малый вклад в весь эффект в целом.
Рассмотрим теперь член Wq. При непосредственном вычислении
он также расходится, однако в отличие от предыдущего eiro рас-
расходимость связана с собственной массой. Как мы убедили сь (см.
§ 29), для свободного электрона вся собственная энергия сРбусло-
влена собственной массой. Хотя для связанного* электрона такое
положение уже не имеет места, но и в этом случае вычитание опе-
оператора собственной массы устраняет расходимость. Этот оператор,
однако, требует здесь некоторого обобщения. Гамильтониан ¦ связан-
связанной частицы имеет вид Н = VH-(«p) + ity- Массовая поправка ^должна
входить здесь только в последний член, и поэтому добавка $< энер-
энергии частицы, находящейся в состоянии ^0, должна иметь вид*
Чтобы теория была последовательной, необходимо,, чтообы 8jx
была той же самой инвариантной величиной, что ц, для свободного
электрона. Поэтому нам нужно определить оператор ЬтН так,* чтобы
его наблюдаемое значение имело форму C4.13). Для свободного
электрона величина ЬтН имеет лишь диагональные элементы РР
(отвлекаясь от недиагональных элементоз специального вид~а, рас-
рассмотренных в § 29, п. 2), но в том случае, когда 60 предсттавлена
разложением типа C4.9), появятся также недиагональные эл-ементы
(8mtf)p'|p. Требуемое обобщение производится без труда с поомощью
соображений, развитых в § 29. Собственная энергия частицы
Гл. 6. Радиационные поправки
с импульсом Р и энергией Е определяется формулой B9.4), кото-
которую можно представить в виде
C4.14)
где 8/ = г±:1, причем знак определяется знаком энергии виртуаль-
виртуального состояний и'. Суммирование производится по состоянию пг
с энергиями обоих знаков. Рассмотрим теперь действие искомого
оператора ЬтН на ф0. Оставляя вне рассмотрения первый множи-
множитель <}>*, с помощью C4.9) определяем
Ърт)р/ "C4.15)
где (ЪтН)р определено формулой C4.14) и, следовательно,
ЬтН = 2nfl W % k (ЯТ1?g!lV) (" = («P) + fr). C4.15')
Следуя шаг за шагом выкладке § 29, п. 1, выполним суммирование
по промежуточным состояниям и перейдем к введенным там инва-
инвариантным переменным. Заметим, что хотя в этом выводе и прини-
принимается во внимание уравнение (^ • Р) и = i\iu, тем не менее первый
множитель и|, или ф* нигде не используется. Поэтому мы можем
непосредственно обратиться к формуле B9.13), откуда найдем
№> C4.16)
Так как Sjx для свободной частицы не должно зависеть от импульса Р,
то интеграл по s не должен зависеть от Р, как это на самом деле
и имеет место ввиду постоянства пределов интегрирования. Умно-
Умножая C4.16) на ф*, видим, что определение C4.15) действительно
приводит к желаемому результату C4.13), в котором Sjx имеет
то же значение, что и для свободной частицы1).
Наблюдаемая часть собственной энергии определяется теперь
выражением2)
C4.17)
1) В поисках правильного выражения для оператора ЬтН Френч и Вайс-
копф обнаружили неопределенность, для устранения которой приходится
прибегать к громоздким релятивистским построениям (включающим также
рассмотрение внешнего магнитного поля). Из приведенных нами же сообра-
соображений, однако, вытекает, что к ЬтН нельзя прибавить какое-либо выраже-
выражение, не нарушив при этом инвариантности ofx или ее значения.
2) Пример использования массовой поправки в используемом предста-
представлении см. в п. 4 настоящего параграфа.
§ 34. Радиационные поправки в связанных состояниях 389
При конкретном вычислении этой величины удобно разделить
промежуточные состояния на два класса в соответствии с тем,
является ли значение k „большим или малым". К счастью, энергия
ионизации / отличается от величины [а = mft, определяющей область
влияния релятивистских эффектов, малым множителем 1/2 • 1372.
Мы можем поэтому так определить промежуточную энергию <x\i,
где" а—1/137, чтобы /<С!а[х<С1[А. При испускании фотона импульс
электрона сохраняется с точностью до соответствующей состоянию ф0
неопределенности- импульса порядка /. Поэтому, если k > «jx, то
\Еп\ > ajx^>/. В этой области виртуальных энергий электрон пра-
практически свободен. С другой стороны, при k < a\i, \En\ <ia\i и
электрон может рассматриваться нерелятивистски. Мы обозначим
соответствующие вклады через Wqr. и Wqk. r..
В /^-области волновые функции электронов tyn, находящихся
в промежуточных состояниях, можно представить в виде борнов-
ского разложения по степеням V, причем достаточно рассмотреть
только члены порядка V. (Члены V'2 в. действительности равны
нулю.) Мы опустим это вычисление, которое оказывается очень гро*
моздким. Оно приводит к сравнительно малой величине, равной
±(gradV[*p]) ±VV. C4.18)
Член (SVH возникает вследствие релятивистского взаимодействия
спина со статическим полем.
Нам нужно, наконец, вычислить еще нерелятивистский вклад
Wqn. r. Эта *область дает основную часть эффекта, а вычисления
оказываются очень простыми. Здесь нужно рассматривать только
состояния с положительной энергией [первый член в C4.8I, а также
только поперечные фотоны, так как продольные и скалярные члены
полностью сокращаются с соответствующей частью массового опе-
оператора е2/г\г-^о- Функция ф0 практически отлична от нуля только
в области порядка а0 (боровский радиус) и, кроме того, (kr)/hc<^ll
при k<^ia\L. Поэтому можно заменить единицей фигурирующую
в матричных элементах экспоненту ег^г^Пс (это приводит к ошибке
при k~a\i, которая, однако, должна быть малой, ввиду того, что
формула имеет правильный переход в /^-область). Получаем из
C4.8)
«[X
1 \PeO\n\2 _ 2 X* Ckdk\Po\n\2
k "~ ^ J — k*
^ о n | o n
e, Jc, n no
C4.19)
Отсюда следует вычесть нерелятивистскую часть массового опера-
оператора, определяемого уравнениями C4.14) и C4.15). При k^
390 Гл. 6. Радиационные поправки
Е~ [х, а Е; имеет также порядок \i. Функция иг относится только
к положительным энергиям, вследствие чего (uf (уе)я') превращается
в (u*peuf). Суммирование по иг немедленно выполняется, и с помощью
C4-15) мы получаем
к, в
Вместо IpIq.q можно также написать 2IPo|nl'3* Комбинируя это
п
выражение с C4.19), найдем
Оф.
C4.20)
пренебрегая разностью ?п—Ео по сравнению с «а. Если бы это
выражение не содержало логарифма, сумма по п могла бы быть
вычислена в замкнутой форме с помощью формул элементарной
квантовой механики
(^У C4.21)
Ввиду того что логарифм есть ^медленно меняющаяся функция от Еп,
можно вынести его из-под знака суммы, заменив разность Еп — Ео
ее некоторым средним значением. Тогда имеем ~"
** *• »• - 3TW Шч Wo ['«а + г» щ^щт] • C4-22)
Складывая C4.12), C4.8) и C4.22), приходим к следующему выра-
выражению для изменения энергии: .^
C4.23)
из которого выпал предел а. Среднее значение (Еп — Ео) (состоя-
(состояние п = 0 не дает в него вклада) было определено численным пу-
путем для водорода. Ясно, что эта величина должна быть порядка /.
Для состояния ^0 с главным квантовым числом п = 2 было найдено
In "** - = 7,6876. ' C4.24)
Член C4.24) является доминирующим в выражении B4.23). При
ТФ\ численное значение логарифма лишь незначительно отличается
от C4.24),
§ 34. Радиационные поправки в связанных состояниях 391
3. Результаты и эксперименты. Содержащиеся в C4.23) сред-
средние значения без труда вычисляются для водородоподобных атомов,
Тогда имеем
V'2y = -f 4™2Z3 (r)
И
f 8/Z2 / л
( fa /°
Д C4.25)
0, для
*~7'
? C4.26)
ДЛЯ ] — 1~~
Здесь / ==il2Z^eei/a0 — энергия ионизации. Поэтому все средние зна-
значения пропорциональны Z4. Наибольший вклад в C4.23) пропорцио-
пропорциональный C4.25), отличен от нуля только для 5-состояний. Поэтому
Для Р-состояний значение W много меньше, чем для 5-состояний.
Численные результаты для трех состояний п = 2 в водороде приве-
приведены в табл. 9. Они включают поправку -|-6-2ulO6 для состояния
25з/2, обусловленную членом более высокого порядка в разложении V,
а также конечностью массы ядра [55, 56]. Последняя поправка
имеет несколько отличное значение для де#герия. Важным след-
следствием развитой теории является снятие вырождения уровней 2Si/2
и 2Pi/2, которые по теории Дирака являются совпадающими. Эти
состояния оказываются сдвинутыми относительно друг друга на
**= 1057 - 2тг • 10е сек.-1
Были вычислены также поправки, связанные с собственной энер-
энергией четвертого порядка и с аномальным значением магнитного
момента электрона1). Точное теоретическое значение смещения
в единицах 2тг • 106сек.~1 оказалось равным
¦ E2s1/9~E2plh= 1057,2 (для Н); . 1058,5 (для D).
Попытки измерения тонкой структуры водорода спектроскопи-
спектроскопическими методами уже в 1938 г. привели Пастернака [58р) к за-
заключению, что эти два состояния не являются вырожденными, но
расщеплены примерно на 1000 • 2тг . 103 сек.-1 Разрешающая сила
спектроскопических приборов оказалась, однако, недостаточной для
более- точного измерения этого расщепления. Эго стало возможным
лишь благодаря развитию коротковолновой радиотехники, которое
привело к употреблению волн с длиной порядка нескольких санти-
* метров. В важном эксперименте Лемба и Ризерфорда [60—62]
1) Обзор результатов см. в работе [57].
2) Более пэздние спектроскопические измерения [59] привели к правиль-
правильной величине сдвига с ошибкой всего в 5()/о«
392 Га* 6. Радиационные поправки
непосредственно измерялось резонансное поглощение в пучке возбу-
возбужденных атомов водорода. Для увеличения точности пучок пропу-
пропускался через магнитное поле Я и измерялась полная * картина эффекта
Зеемана. Искомое смещение оценивалось путем предельного пере-
перехода при #->0.
Точные измерения дали следующие результаты:
Е281/а — Е2Р11ш=105798±:0Л (для Н); 1059,0±0,1 (для D),
которые находятся в прекрасном согласии с теоретическими значе-
значениями. Небольшое расхождение в том случае, если оно действи-
действительно существует, может быть отнесено к эффектам высших по-
порядков.
Были также проведены измерения в ионизированном гелии. Тео-
Теоретический сдвиг уровня 2S равен 13 800-2^. 106 (грубо говоря,
в Z4=16 раз больше, чем для водорода), а эксперимент дал вели-
величину A4 000±100) • 2ir • Юб Сек.-1 [63].
Экспериментальное подтверждение теории собственной энергии
связанного электрона представляет собой весьма важный результат.
Вместе с аномальным магнитным моментом электрона оно является
пока единственной проверкой явления, которое мы называем реак-
реакцией излучения. Несмотря на это, согласие между теорией и экспе-
экспериментом настолько^ хорошее, что мы можем быть уверены, что
радиационные " поправки (во всяком случае для не очень больших
энергий) правильно описываются теорией.
4. Радиационные поправки к ширине линий. Рассмотрим те-
теперь поправки к форме и ширине спектральных линий [64, 65], обу-
обусловленные высшими приближениями теории возмущений. Для про-
простоты рассмотрим атом в низшем возбужденном состоянии, чтобы
мог иметь место только один переход. Нас будут также интересо-
интересовать эффекты, связанные с энергетической зависимостью величин U
и Г, вытекающей из точной теории, изложенной в § 16. Хотя
к моменту написания этих строк точность измерений была еще не-
недостаточна для прецизионного измерения параметров линий, однако
можно надеяться, что по мере развития радиочастотных методов
подробное и точное исследование ширины линий окажется возмож-
возможным. Кроме того, этот вопрос имеет большое теоретическое значе-
значение. Если подтвердится предположение о том, что квантовая элек-
электродинамика является последовательной теорией, то окажется воз-
возможным рассчитать все эффекты такого рода с любой желаемой
степенью точности. Это относится также к протеканию процесса
излучения во времени. Поэтому мы должны иметь возможность вы-
вычислить U(E) и Г (Е) для любого значения Е и в приближении лю-
любого порядка. Мы видели, однако, что в высших порядках возни-
возникают неопределенности, для устранения которых приходится накла-
накладывать дополнительные условия релятивистской инвариантности.
§ 34. Радиационные поправки в связанных состояниях 393
В задачах о связанных состояниях это не всегда легко сделать;
поэтому надо показать, что фактически результаты получаются
вполне однозначными.
Задача, к которой мы сейчас должны приступить, состоит
в исключении виртуального поля связанного электрона в возбужден-
возбужденном состоянии. Как уже подчеркивалось в § 16, строгое определе-
определение возбужденного состояния не может быть однозначным; при
рассмотрении высших порядков оно должно зависеть от способа воз-
возбуждения атома. Мы покажем, что грубое каноническое преобразо-
преобразование, отражающее эти условия возбуждения, оказывается достаточным
для вычисления поправок к ширине линий.
В дальнейшем мы опустим « все несложные выкладки и сосредо-
сосредоточимся на пояснении основных теоретических моментов.
Для свободных частиц исключение виртуального поля выполня-
выполнялось с помощью канонического преобразования (см. § 15), подобран-
подобранного так, чтобы в преобразованном гамильтониане К были отличны
от нуля матричные элементы, для которых энергия строго сохра-
сохраняется. Толщину „энергетического слоя" s можно было взять бес-
бесконечно малой. Это преобразование можно применить и в рассма-
рассматриваемом сейчас случае, если принять во внимание, что ширина
уровня мала по сравнению с расстоянием между уровнями. Это по-
позволяет ввести в рассмотрение слой конечной толщины 2з, где е
велико по сравнению с шириной уровня и мало по сравнению с рас-
расстояниями между уровнями. Для основного состояния s->0. Про-
Процессы, происходящие вне этого слоя, являются виртуальными, и
малость параметра е дает уверенность в том, что практически сюда
попадают все виртуальные процессы. Процессы, происходящие
внутри слоя толщиной 2s, реальны и они покрывают практически
всю ширину линии. После того как виртуальные- состояния таким
путем исключены, возбужденное состояние атома оказывается почта
стационарным с точностью до относительно медленных реальных
переходов. Однако при этом линия оказывается обрезанной на рас-
расстоянии s по обе стороны от максимума. Это означает (ср. § 20),
что величину г можно рассматривать как ширину спектра излуче-
излучения, возбуждающего атом. Произвольность канонического преобра-
преобразования, выражающаяся в возможности по-разному выбирать значе-
значения е, отражает поэтому разнообразие условий возбуждения. Мы
увидим, что все поправки, связанные с е, пропорциональны 1/в и
обращаются в нуль при s—>co. Ширина линии при этом окажется
не зависящей от г, и лишь числитель будет зависеть от условий
возбуждения. Так как это имеет место и в первом приближении
теории возмущений, если рассматривать большие расстояния от
максимума, то неудивительно, что условия возбуждения влияют и
.на часть поправок к форме линии.
Преобразованный гамильтониан получается в основном так же,
как и в § 15. Разница состоит лишь в том, что для связанных
394 * Гл. 6, Радиационные поправки
частиц И имеет элементы также и на энергетическом слое. Мы ис-
используем представление, в котором снова появляются смещенные
уровни, но на сей раз в них с самого начала произведена ренор-
ренормировка массы. Невозмущенный гамильтониан, поправленный на
изменение массы, HMeef вид Н0-\-ЪтН. Конечное смещение уровней
(см. п. 2) представляется диагональным членом —(#(s) + &mf/)D ,
причем Ни) и ЬтИ определены уравнениями C4.1) и C4.15). (Ин-
(Индекс D. обозначает .диагональность по всем переменным, a N.D. —
недиагональность, по крайней мере, по одной переменной.) Таким
образом, в используемом представлении появляются собственные
значения оператора И0-^-ЬтИ- ~ (#'*>+8m#)D.===7/0. При этом
гамильтониан взаимодействия принимает вид //int. — §m// -f-
+(#'8Ч-8т#)в . Оператор #int. = H^ -\-Н'с> содержит кулоновский
член//(е) и член взаимодействия с поперечным полем Н&г\ Посредством
Нп\т в дальнейшем будем обозначать матричный элемент опера-
оператора #м..
В результате указанных преобразований трансформированный
гамильтониан принимает вид (с точностью до членов третьего по-
порядка)
(Н-ЪтН)А]п((Н-ЪтН)п]В)пАт
_
-\(ЕА-ЕВ)
2
C4.27)
Члены третьего порядка, зависящие только от H(tr\ довольно гро-
громоздки и здесь не выписаны. Они необходимы для вычисления ReF4,
но только, если ЕА точно равно Ев- Ниже будет приведено явное
выражение для ReF4. Все энергии в C4.27) являются - смещенными,
а индексы d. и n.d. обозначают, находится ли матричный элемент
внутри энергетического слоя или вне его. Поэтому член типа
(HV^H'W) окажется равным нулю при переходе к бесконечно тон-
тонкому слою, но будет отличаться от нуля при конечных значениях г.
То же самое относится и к членам, пропорциональным {ЕА—Ев)-
Гамильтониан К следует теперь испэльзозать вместо И в тео-
теории, развитой в § 16. Нам нужно вычислить значение Re Г "вплоть
до членов четвертого порядка и 1тГ — вплоть до членов второго
§ 34. Радиационные поправки в связанных состояниях 395
порядка. Для этой цели потребуется разложение для U *), которое
мы получим из формулы A6.10),
.. (В, СфО,ВфС).
C4.28)
Это выражение следует подставить в уравнение A6.12) для Г (при
одновременной замене Н на К), вычислим сначала Im Г2 (Я). Легко
видеть, что вклады от Я(с) взаимно компенсируются. Заметим далее,
что
Н~Но. = Яп. d., (tfd Я)о = (Н„.Яа.H , (Яа. й Ha.)D, = 0 > и т. д.
С помощью C4.1') находим теперь
= {Но , в\ {Ив| о\. (ё=Ё^ ~ Е0-Ев)• C4>29)
Это выражение обращается в нуль при E = Eq в соответствии
с используемым представлением (ср. § 16, п. 3). Матричные эле-
элементы Но\в ограничены здесь энергетическим слоем. Если О—ос-
О—основное состояние, то толщина слоя обращается в нуль и вели-
величина C4.29) исчезает при любых значениях Е. Таким образом,
в результате канонического преобразования основное состояние
становится стабильным и не смещается больше благодаря взаимо-
взаимодействию с излучением [условие A6.32) оказывается выполненным]'3).
Для всех возбужденных уровней значения ДЕ хотя и не обращаются
в бесконечность [так как выражение C4,29) не содержит никаких
бесконечных интегрирований], но и не равны нулю и зависят от
толщины слоя. Вычисления очень просты. Вклад в ДЕ дается только
матричным элементом перехода из О в основное состояние 0 с ис-
испусканием фотона k. Все другие переходы дают очень малые члены,
соответствующие чрезвычайно мягким квантам. Полагая E = E0-\-k,
приходим к следующему выражению для формы линии в предельном
случае процесса бесконечной длительности:
0=== °~Е°* C4.30)
!) Разложение C4.28) оказывается удобным лишь, когда U слабо зави-
зависит от Е, как это имеет место для простого перехода О->0. В других слу-
случаях U имеет, кроме того, резонансный знаменатель (как в примере, при-
приведенном в § 20) и разложение оказывается непригодные.
2) Это условие выполняется также при переходе к свободным частицам,
когда г стремится к нулю. При этом \щ Г (Е) = 0 для всех Е,
396 Гл. 6. Радиационные поправки
Здесь ? — ширина линии во втором приближении, вычисленная
в § 18. Следует рассматривать только те частоты, для которых
\k0 — ft|<Ce. Тогда
ДЯ~_йт^>-=-*). C4.300
Поскольку предполагалось, что е ^> йу, то ДЕ у
Следующее замечание относится к ДЕ. Вклад в эту величину
обусловлен лишь взаимодействием с поперечным полем, тогда как
часть, связанная с кулоновским взаимодействием, компенсируется
(вычитаемым) сдвигом линии. Отсюда явствует, что при вычисле-
вычислении 1тГ(Я) четыре типа фотонов не выступают симметричным
образом, как * это имело место в случае собственной энергии. Это
связано с условием Лоренца, которым нельзя пренебрегать в данном
общем случае.
Во втором приближении теории возмущений действительная
часть Г для перехода E0^>E0-\-k принимает вид
к
~lf\(Hom)dPpklk=E_Eo. C4.31)
Ввиду того что в данном случае энергия сохраняется с точностью
до величины порядка ширины линии, ограничение диагональными
величинами здесь становится несущественным. Из формул § 17
и 18 имеем ReГ2о |о(Ео) = Т• Поэтому, замечая, что выраже-
выражение C4.31) пропорционально &, получаем
Rer2(E) = 4?~^~^T±, C4.310
если .? = En — E0-\-k. Для значений ?, отличающихся от Ео на
величину порядка frf, разность ReT(E)— y имеет порядок
<
Член четвертого порядка Re^oio мы рассмотрим только
в точке E = EOi так как в этом случае вычисления (очень длинные)
значительно упрощаются, а их результат ReT4(E) в действитель-
действительности очень мало отличается от Rer4(Eo). Эта величина представляет
типичную радиационную поправку. Мы получаем
4г *е Г4О, о (Ео) = [(H'tr)PHtr) + Н'е)- ЬтН) 8 (//'W>+
-f Я(с)—8mtf)N D — тг2Я<"•> 8Я(И3 (H{tr) bH{f\ D +
(Н'(% PH{t\ ^*Ч'^Р X
T н(щ -Щ ("('г)р^%. "itr) ~ j "m *rftr) (н{{г)р*н«1 )D. 4-
-f-Комплексно сопряженные члены]}0]0. C4.32)
§ 34. Радиационные поправки в связанных состояниях 39?
Здесь символы 8 и Р означают
й 8-функцию от оператора надо понимать в виде суммы о-функций
от соответственных значений по всем состояниям \(НЪН)А,В =
*евНА\пЬ(Е0 — Еп)Нп\В и т. д.]. Некоторые члены, не дающие
вкладов ввиду ограничений п. d. и N. D., здесь опущены. Ширина
энергетического слоя положена равной нулю всюду, кроме перенор-
перенормировочного члена. Выражение C4.32) содержит также вероятность
испускания двух квантов /гх + k2==Eo— Ео-
Все вычисления в C4.32) можно явно выполнить до конца. При
этом представляют интерес следующие моменты: 1) Все члены
можно скомбинировать четырехмерным образом так, как если бы
использовалась лоренцова колибровка, а условие Лоренца не прини-
принималось во внимание. Исключение составляет только один член, за-
зависящий от г; он является нерелятивистским, но однозначным. При
Е Ф Ео скомбинировать члены таким релятивистским путем не
удается. Таким образом, главный член в ReT±o\o(Eo) [слагаемое у4
в уравнении C4.33)] является релятивистски инвариантным и не
содержит неоднозначностей. 2) Благодаря должному учету массовой
поправки выражение ReVw\o(Eo) оказывается конечным и одно-
однозначным, если только принять во внимание перенормировку заряда.
Последняя производится примерно так же, как и при вычислении
сдвига уровней 1). Весь расчет в целом также очень напоминает то,
что делалось в п. 2.
По порядку величины ReT4 для разрешенных переходов оказы-
оказывается равным
где р— средний импульс электрона в атоме.
Подставим теперь полученные выражения C4.30), C4.31')и C4.33)
в резонансный знаменатель формулы C4.1). Ввиду того что
Д?~&0^-&, этот знаменатель с точностью до членов четвертого
порядка может быть представлен в виде
- k + ЬЕ +1/8 ih (ik/k0 + Re Г4) ~ kQ - k + i/a ih
C4.34)
Таким образом, в знаменателе две зависящие от г поправки взаимно
компенсируются и он принимает почти классический вид. С другой
1) Значение Rer4(#) при ЕфЕ0 можно вычислить путем разложения
по степеням разности Е — Ео, причем вычисляемая разность оказывается
конечной и однозначной [как и при вычислении 1тГ2(Я)]«
398 Гл. 6. Радиационные поправки
стороны, в числителе появляется поправка, зависящая от е и
имеющая, по крайней мере, третий порядок малости. Ее следует
объединить с высшими поправками к U, которое нами не вычисля-
вычислялись. В первом приближении числитель имеет вид | tfOfc [ о Г2 ?к ^
^ const • k.
Член четвертого порядка в ширине линии ^4 является чрезвы-
чрезвычайно малым. Наличие множителя k/k0 при -у в знаменателе и мно-
множителя к в числителе приводит к слабым искажениям линии, вклю-
включающим дополнительный сдвиг максимума на величину порядка ^/к0.
Этот результат аналогичен классическому сдвигу частоты затухаю-
затухающего осциллятора (см. примечание 1 на стр. 48). Для оптических
переходов эта величина оказывается чрезвычайно малой *).
Таким образом, оказывается, что теория, изложенная в § 18 и 20,
дает прекрасное приближение к точной форме линии, С теорети-
теоретической точки зрения можно констатировать, что процедура пере-
перенормировки массы и заряда приводит к конечным и однозначным
результатам и в задачах с конечной шириной линий, включая и
временнбй ход процесса, излучения, и т. д. Неоднозначности, свя-
связанной с конечным значением s, можно избежать, если рассматри-
рассматривать процесс излучения совместно с процессом возбуждения, что,
однако, составляет более сложную задачу [65].
§ 35. Перспективы дальнейшего развития теории
1. Современное положение. Резюмируя полученные к настоя-
настоящему моменту результаты (в частности, результаты данной главы),
мы видим, что квантовая электродинамика находится в весьма свое-
своеобразном положении. С одной стороны, можно констатировать, что
современная теория, по всей вероятности, не может быть окончатель-
окончательной. Теория содержит значительное число расходящихся выражений,
хотя все они принципиально ненаблюдаемы. К таким выражениям
относятся: 1) собственная масса, 2) собственный заряд электрона
(оба расходятся логарифмически) и 3) различные вакуумные эффекты,
l) Для радиочастотных переходов с малым k0 (например, переход
2P3ya->2S1, в атоме водорода) искажения становятся заметными, но они
обусловлены только изменением числителя. Если k0 мало, то f еще меньше
(см. § 18), так что t2/k0 также мало. В том случае, когда из состояния О
возможны различные переходы на уровни /п, выражение C4.31') следует
заменить на
mEx^k~ZEm, C4.35)
,где y?w — вероятность перехода на уровень т, а Et— конечный уровень»
Основной вклад в это выражение соответствует большим значениям раз-
разности Ео — Ет, ввиду чего C4.35) практически оказывается равным полной
ширине y Уровня О и не зависит от &.
§ 35. Перспективы дальнейшего развития теории 399
как, например, собственная энергия вакуумных электронов, вакуум-
вакуумные флюктуации и т. д. Далее, в некоторых случаях'даже наблю-
наблюдаемые эффекты описываются неоднозначными математическими вы-
выражениями (ср. интеграл 1.2 в выражении для магнитного момента
в § 31). Однозначные результаты всегда можно получить путем
привнесения в теорию ряда „математических пожеланий" („wishful
mathematics")» т. е. путем наложения некоторых дополнительных
условий на неоднозначные интегралы. Если эти условия не прини-
принимать во внимание, то результаты могут противоречить даже основ-
основным предпосылкам теории, например условиям релятивистской и
калибровочной инвариантностей (ср. собственную энергию фотона,
§ 32). Ясно, что такое положение вещей математически совершенно
неприемлемо. *
С другой стороны, невзирая на эти трудности, оказывается воз-
возможным дать теоретический ответ на любой, корректно поставленный
вопрос, относящийся к наблюдаемым эффектам. В тех случаях,
когда предсказания теории можно проверить на опыте, они всегда
находятся в прекрасном согласии с экспериментом, и до сих пор
не было обнаружено ни одного серьезного расхождения, превышаю-
превышающего пределы точности вычислений. С весьма высокой степенью точ-
точности такое согласие имеет место в случае двух радиационных
поправок (магнитный момент электрона и сдвиг уровней в атоме
водорода, см. § 31 и 34). С большой точностью (~ 1%) согласие
с опытом имеет место во всех процессах рассеяния вплрть до энер-
энергий порядка 600 тс2 (см., например, обсуждение коэффициента
поглощения *[-излУчения в § 36); при значительно больших энергиях
теория дает по меньшей мере правильный порядок величины (см.
теорию каскадных процессов в § 38). Наконец, теория дает пра-
правильные результаты в задачах, относящихся к ширине линий (включая
и временной ход процесса излучения, см. § 34), в которых, по край-
крайней мере в принципе, расчеты можно провести в сколь угодно
высоких приближениях. Однако соответствующих измерений пока
еще очень мало *).
1) В этой книге не рассматривается проблема связанных состояний двух
частиц с запаздывающим взаимодействием, поскольку эта задача предста-
представляет основной интерес для ядерной физики и при рассмотрении сверхтонкой
структуры спектров. Трудность этой проблемы заключается в том, что в отли-
отличие от соответствующей задачи рассеяния (см. § 24), где можно пользоваться
разложением по степеням е, в данном случае кудоновсксе взаимодействие
надо учитывать строго. В то же время для эффекта запаздывания, обусло-
обусловленного обменом поперечными фотонами, не С)ществует других выражений,
кроме разложений. Однако для чисто электромагнитного взаимодействия
эффект запаздывания оказывается малым, и член порядка е* в общем случае
оказывается достаточным. В противоположность § 24, при stom оказывается
необходимым рассматривать также взаимодействке вне энергетического слоя,
что, однако, без труда осуществляется путем простого обобщения рассу-
рассуждений § 24, п. 2. Перенормировка массы и заряда в этой задаче позволяет
сделать конечными все высшие члены ряда теории возмущений.
400 Fa. 6. Радиационные поправки
Все вышесказанное относится не только к радиационным,поправ-
радиационным,поправкам низших порядков, рассмотрением которых мы в- основном огра-
ограничивались в предыдущих параграфах. Было доказано [67], что,
по крайней мере в процессах рассеяния свободных частиц, в любых
приближениях —еп не возникает никаких новых расходимостей
сверх уже рассмотренных (хотя, естественно, имеются вклады выс-
высших порядков в физически ненаблюдаемые величины).
Дальнейшая проблема возникает' при рассмотрении всего ряда
радиационных поправок для какой-либо наблюдаемой величины.
Каждый член такого ряда конечен и содержит возрастающую с номе-
номером п степень малого параметра 1/137. И действительно, было
показано, ^то первая и вторая радиационные поправки прогрессивно *
уменьшаются (см., например, в-§ 31 прправку ~е* к магнитному
моменту). Ввиду этого можно считать вероятным, что разложения
по степеням для наблюдаемых величин являются, по крайней мере,
асимптотически сходящимися. Тем не менее весьма маловероятно,
что эти ряды сходятся, так как число диаграмм взаимодействия,
дающих вклады в члены высших порядков, чрезвычайно быстро
возрастает вместе со степенью е'2 г).
Теория может быть математически несостоятельна вследствие
двух различных причин: 1) Весьма возможно, что разложения по
степеням ё2 недопустимы. Ввиду большой математической сложности
теории до сих пор неясно, имеет ли квантовая электродинамика
в ее современной форме строгие решения, не содержащие расхо-
расходимостей. Вполне можно представить себе такое положение, при
котором зависимость собственной энергии электрона от заряда пред-
представляется в виде функции, которая не может быть разложена
в степенной ряд, и любые попытки разложения приводят к расхо-
расходящимся величинам. 2) Равным образом вероятно, что основные .идеи
и формулировка теории нуждаются в каких-то фундаментальных
изменениях. Вторая возможность имеет в виду тот факт, что мы
вправе ожидать, что будущая теория определит отношения масс
элементарных частиц и численное значение константы e^/fic, а эти
вопросы явно находятся за пределами современной схемы теории.
Однако при любом изменении теории, независимо от того, будет ли
оно относиться только к математическому аппарату или будет иметь
более глубокий характер, полученные сейчас конкретные результаты
должны практически сохраниться.
Можно указать один пункт, в котором все современные резуль-
результаты бесспорно следует изменить, хотя и незначительно. Электро-
Электромагнитное поле взаимодействует со всеми элементарными частицами
и, следовательно, даже при рассмотрении исключительно электрон-
фотонных процессов необходимо учитывать появление других частиц
1) Для более простого случая (скалярное поле) было показано, что этот
ряд расходится при любом значении константы связи [68].
§ 35. Перспективы дальнейшего развития теории 401
в промежуточных состояниях (пары мезонов и т. д.). Кроме элек-
электронов, известны следующие заряженные частицы: 1) jx-мезоны,
спин х/2, масса 210 т, магнитный момент неизвестен; 2) тг-мезоны,
спин 0, масса 276 т; 3) тяжелые мезоны нескольких типов, массы
900—1500 т, спин, магнитный момент (и высшие мультипольные
моменты, если спин > 1) неизвестны; 4) протоны, масса 1835 т,
спин 1/2, магнитный момент составляет 2,78 ядерного магнетона
(он, однако, имеет мезонное происхождение). Этот перечень может
оказаться весьма неполным.
В принципе необходимо рассмотреть также и нейтральные ча-
частицы, обладающие электромагнитными свойствами: нейтрон со спи-
спином х/2 и магнитным моментом, равным —1,93 ядерного магнетона,
и нейтральную частицу с массой 2200 и полуцелым спином. Ней-
третто (нейтральный ir-мезон) с массой 264 т имеет нулевой спин
и потому не обладает электромагнитными свойствами. То же самое,
вероятно, относится и к нейтрино (спин 1/2У масса 0, магнитный
момент, повидимому, отсутствует).
Ввиду больших масс этих заряженных и нейтральных частиц их
влияние на наблюдаемые эффекты, относящиеся к электронам и
фотонам, оказывается чрезвычайно малым. Например, вероятность
рождения пары для частиц с массой М в (т/МJ раз меньше, чем
для электронов, ввиду чего такие промежуточные состояния не ока-
оказывают заметного влияния на сложные электрон-фотонные процессы.
Однако эти соображения не имеют места при рассмотрении расхо-
димостей и есть смысл исследовать, в какой мере учет других полей
может способствовать устранению неоднозначностей в теории.
Мы займемся сейчас рассмотрением этого вопроса, равно как
и некоторых родственных формальных построений. Будет показано,
что простая суперпозиция полей частиц с различными массами не
приводит к устранению всех трудностей, хотя имеются некоторые
указания на возможность прогресса в этом направлении. Однако
исследование электромагнитных свойств частиц со спинами 0, 1,...
выходит за рамки этой книги, и мы обсуждаем их здесь лишь по-
постольку, поскольку эти частицы могут оказать влияние на квантовую
электродинамику электронов.
До сих пор не делалось серьезных попыток выхода за рамки
разложений по степеням ?2, хотя в ряде вопросов (при рассмотрении
явления затухания) мы частично отклонялись от прямых разложе-
разложений. Дальнейшие математические исследования в этом направлении
являются в высшей степени необходимыми.
2. Формальная регуляризация [27] х). Существует чисто фор-
формальный прием, не имеющий прямого физического смысла, но позво-
i) Регуляризация является обобщением методов, ранее использовавшихся
в работах [За, 69, 70].
26 Зак. 1260. В. Гайтлер
402 Гл. 6. Радиационные поправки
ляющий устранить неопределенности, подобные тем, с которыми мы
встретились в § 31 и 32. Он основан на следующих соображениях.
Практически все расходимости и неоднозначности обусловлены
сингулярным характером А- и D-функций (см. § 8), фигурирующих
в перестановочных соотношениях для функций поля. Согласно (8.33),
D- и Di-функции имеют на световом конусе сингулярности типа
соответственно 8 (х2) и §jx2, а также более слабые особенности.
В окрестности светового конуса эти функции имеют следующий вид
[согласно (8.33) и (8.35)]:
1 Г 0 (г>|*0|),
{
где т] — масса покоя частиц поля. Отсюда вытекает, что самые силь-
сильные особенности не зависят от т], а слабые — пропорциональны гр.
С другой стороны, при очень больших ч\ обе функции D и Dx
стремятся к нулю всюду, кроме точек сингулярности, что непосред-
непосредственно следует из (8.30). Идея регуляризации состоит в следую-
следующем. Предположим, что мы заменили D- и Di-функции линейными
комбинациями соответствующих функций с различными массами т^
(мы пишем здесь т вместо ч\):
Особенности окажутся полностью устраненными, если выполняются
условия
Эти функции (или их фурье-образы) входят во все вычисления,
соответствующие диаграммам с виртуальными процессами любого
вида (см. вычисления в § 28). Например, в диаграмме собственной
энергии электрона содержится виртуальный фотон, а в диаграмме
поляризации вакуума присутствуют виртуальные электроны. Про-
Проведенная замена означает, что мы формально .вводим некоторые
другие виртуальные частицы с различными массами и „весами" с{.
Чтобы это не привело к каким-либо наблюдаемым эффектам, надо
иметь возможность устремить все вспомогательные массы к беско-
бесконечности; при этом коэффициент при функции основного виртуаль-
виртуального поля (фотонного или электронного) должен быть равен единице,
а соответствующая масса @ или т) — оставаться неизменной. Относя
к основному полю индекс 0, а к вспомогательным полям индексы
§ 35. Перспективы дальнейшего развития теории 403
У= 1, 2, ... и обозначая вспомогательные массы через Mj, запишем
соотношения C5.2) в виде
1 + 2S = 0' K+HciMj = 0> Л^->сх» C5.3>
J з
где то = О для виртуального фотонного поля и mo=m для вир-
виртуального электронного поля. Для удовлетворения условий C5.3)
необходимы, по крайней мере, два вспомогательных поля. Нефизи-
Нефизическая природа этой процедуры явствует из того, что некоторые
из коэффициентов Cj обязательно должны быть отрицательными.
Легко установить, как влияет регуляризация на любой конкрет-
конкретный результат. Рассмотрим, например, виртуальное фотонное поле
с виртуальными фотонами импульса к (энергии k)y приводящее
к матричному элементу типа I /(к, k)cfik. Сюда следует добавить
вклады от виртуальных „фотонных" полей с массами покоя Mj.
В действительности такие поля, конечно, не являются фотонными.
Они известны под названием нейтральных векторных мезонных полей
и существенно отличаются от фотонного поля конечной массой покоя
(и, следовательно, отсутствием градиентной инвариантности, что>
впрочем, здесь не существенно).
Таким образом, следует произвести замену
J/(k, k)d*k -> S сг J /(k,
= J /(k, ft)d»ft + 2 c. J /(k, V& + M))d4. C5.4)
Заметим, что импульс к не подвергается каким-либо изменениям.
В качестве примера рассмотрим интеграл /2 [см. C1.92)], кото-
который, как было установлено, неоднозначен. В соответствии с усло-
условием релятивистской инвариантности, он должен равняться нулю,
однако путем прямых вычислений для него могут быть получены и
другие значения. После интегрирования по w и k0 (в комплексной
плоскости) /2 принимает вид интеграла по обычному /^-пространству
* Г Л kl 1 kl \
/2 = d4[ 2- }п
C5.5)
Здесь kn (м=1, 2, 3) — пространственные компоненты вектора к«
Выполняя в соответствии с C5.4) регуляризацию /2, надо заменить к
на Yk2-{-tn?, оставив кп и элемент объема в импульсном про-
пространстве dbk неизменными. Обозначая регуляризованное значение
интеграла через /2д и интегрируя по углам, найдем
C5.6)
26*
404 Гл. 6. Радиационные поправки
Интегрирование в C5.6) выполняется элементарно; устремляя .верх-
.верхний предел интеграла к бесконечности при конечных тг, получаем
C5.7)
Если бы мы не проводили регуляризации (что соответствует случаю
?0=1, ^ = 0, j Ф 0), то получили бы конечную величину, равную
'it2/12/. Это как раз одно из тех значений, которые можно получить
для /2. Однако после регуляризации в соответствии с первым усло-
условием C5.2) выражение C5.7) обращается в нуль, что согласуется
с условием релятивистской инвариантности. Как видно, интегриро-
интегрирование здесь происходит по обычному трехмерному пространству,
без каких-либо дополнительных соображений, и теперь вполне одно-
однозначно.
Примерно также можно показать, что обращаются в нуль и не
удовлетворяющие условиям калибровочной и релятивистской инва-
инвариантности члены в тензоре индукции Lpv. Для этого приходится про-
провести регуляризацию виртуального электронного поля (т. е. ввести
„вспомогательные электронные поля") и воспользоваться обоими
условиями C5.2) г); При этом также однозначно обращается в нуль
и тензор собственного натяжения электрона (см. приложение VII).
Применяя регуляризацию к расходящимся величинам 8jx и Ье,
можно показать, что они будут конечными в том случае, когда
вспомогательные массы Mj являются большими, но конечными. В этом
•случае регуляризация сводится фактически к разновидности инва-
инвариантного „обрезания". При переходе к пределу Ж^->оо указан-
указанные величины снова расходятся.
Регуляризация является удобным приемом для рассмотрения не-
неоднозначных выражений, позволяющим не прибегать к употреблению
-(зачастую неудобных) инвариантных переменных. Однако ей трудно
лридать какой-либо физический смысл.
3. Суперпозиция действительных полей. Формальный, хотя и
ограниченный, успех регуляризационной процедуры приводит нас
к вопросу о том, можно ли достичь какого-либо существенного
прогресса в теории путем рассмотрения суперпозиции реально суще-
существующих известных полей. Ввиду неполноты наших знаний о суще-
существующих в природе частицах мы рассмотрим этот вопрос с чисто
теоретической точки зрения.
*) В более сложных случаях следует рассматривать регуляризацию не
только отдельных D- или Z^-функций, но также их произведений. Ввиду
чисто формального характера этой процедуры мы не будем здесь рассма-
рассматривать ее более подробно (см. [27]).
§ 35. Перспективы дальнейшего развитая теории 405
При этом мы будем обозначать термином „мезон" любую заря-
заряженную частицу с массой, превышающей пг, а "термином „ней-
„нейтретто"—любую нейтральную частицу с конечной массой. Спины
мезонов и нейтретто могут принимать значения 0, 3/2, 1, ... Надо
рассмотреть два существенно различных вопроса:
1) Существование мезонных полей окажет влияние на электро-
электромагнитные свойства электронов, поскольку эти поля могут фигури-
фигурировать в виртуальных процессах. Так будет обстоять дело во всех
задачах, где появляются виртуальные электронные пары, прежде
всего — в проблеме поляризации вакуума.
2) В тех случаях, когда электромагнитное поле является вир-
виртуальным (собственная энергия), виртуальные мезоны не вызовут
каких-либо изменений (исключая члены высших порядков). Таких
изменений можно ожидать лишь от добавления к электромагнитному
полю виртуального поля нейтретто, с которым поле электронов
может быть непосредственно связано. Это соответствовало бы фор-
формальной регуляризации фотонного поля, рассмотренной в п. 2. Хотя
один тип нейтретто (с массой, почти равной массе тг-мезона» и
спином 0) и существует в природе, все же совершенно неочевидно,
что это поле, или любое другое нейтральное поде, может быть
непосредственно связано с электронами. Главным образом это поле
взаимодействует с нуклонами. Поэтому мало надежды на то, что
трудности, связанные с собственной энергией электронов, можно
устранить с помощью реальных нейтральных полей. Ввиду этого мы
воздержимся здесь от обсуждения названной точки зрения *).
Возвращаясь к первому вопросу, рассмотрим прежде всего случай,
когда, кроме электронов, принимаются во внимание мезоны со спи-
спином 1/2 и 0. Частицы с такими спинами действительно существуют*
Квантовая электродинамика этих частиц напоминает квантовую элек-
электродинамику электронов в том отношении, что все расходящиеся
величины в ней ненаблюдаемы. При спине г/2 это обстоятельство
имеет место лишь в том случае, когда магнитный момент равен
боровскому магнетону (плюс радиационные поправки), но не соДеР~
жит „изначального" дополнительного члена.
Поляризация вакуума, обусловленная виртуальными мезонными.
полями, была исследована [73—76], включая также и высшие при-
приближения [77]. Результат заключается в следующем. Пусть п° и п^2—
числа различных мезонных полей (дополнительных к электронному по-
полю) со спинами соответственно 0 и г/2 и массами Mj, M]j2(j= ,1, ..., ri),
a m — попрежнему масса электрона. Тогда части тензора индук-
ции L^, не удовлетворяющие условиям релятивистской и калибро-
1) Взаимодействие электронов с нейтральными полями было исследо#ано
в работах [71, 72] и в последующих статьях.
406 Гл. 6, Радиационные поправки
войной инвариантностей, обращаются в нуль (во всех приближениях)
при выполнении равенств
nV« C5.8)
1 1
Последние до некоторой степени напоминают условия регуляризации
C5.3). Неизвестно, можно ли удовлетворить этим равенствам с по-
помощью реально существующих в природе частиц. При учете только
известных в настоящее время мезонов равенства C5.8) бесспорно
не выполняются, но можно предположить, что эти условия могут
быть удовлетворены, если существуют очень тяжелые мезоны (более
тяжелые, чем, например, протоны), которые в настоящее время еще
не удается обнаружить.
С другой стороны, в проблеме собственного заряда мы не при-
приходим к какому-либо прогрессу. Виртуальные поля со спином 0
, приводят к собственному заряду (изменению взаимодействия между
электроном и внешним полем) того же самого знака, что и поля
со спином 1/2. Поэтому при наложении таких полей собственный
заряд не может стать конечным.
Далее возникает вопрос о том, в какой мере может исправить
положение учет мезонов с высшими спинами, например со спином 1.
Это оказывается невозможным по ряду причин. В случае спина 1
число расходящихся выражений увеличивается и среди них появ-
появляются даже некоторые наблюдаемые величины. Например, в задаче
о поляризации вакуума начинает расходиться наблюдаемый член L2K'2
C2.18г). В действительности здесь возникает бесконечное число
расходящихся величин *).
Ввиду этого было высказано мнение, что заряженные частицы
со спином 1 не могут существовать в природе. Это может быть
и правильно, но приведенные соображения все же нельзя считать
убедительными. В чем бы ни заключался порок современной теории,
будь то недопустимые разложения или принципиальные физические
дефекты, соответствующие (неизвестные пока) исправления коснутся
также и полей со спином 1, и в настоящий момент невозможно пред-
1) Несмотря на указанные затруднения, представляет интерес рассмо-
рассмотреть собственный заряд, обусловленный виртуальными частицами со спином 1.
Он состоит из логарифмически расходящейся части, подобной собственному
заряду электронов (но с противоположным знаком), и неоднозначного квад-
квадратично расходящегося члена того же знака, что и о#, для электронов или
мезонов со спином 0. Квадратично расходящуюся часть можно обратить в нуль
путем специального способа вычисления (но в этом нет необходимости).
Таким образом, при помощи полей со спином 1 оказывается возможным
сделать собственный заряд конечным или обратить его в нуль, хотя при такой
процедуре и возникает некоторая неоднозначность (ср. [78]).
Литература 407
сказать, станет ли при этом электродинамика частиц со спином 1
сходящейся или трудности в ней сохранятся.
Подводя итоги, можно сказать, что простая суперпозиция полей
недостаточна для устранения трудностей существующей теории.
Есть некоторые признаки улучшения положения вещей, и возможно,
что окончательное решение вопроса можно получить лишь при учете
всех существующих полей, но тем не менее определенно необходима
новая идея математического или физического характера.
ЛИТЕРАТУРА
1. Tati Т., Tomonaga S., Progr. Theor. Phys., Japan, 3, 391 A948).
2. SchwingerJ., Phys. Rev., a) 73, 415; 6) 74, 1439 A948); в) 75, 651 A949)
(см. перевод в сборнике: „Новейшее развитие квантовой электродина-
электродинамики", ИЛ, 1954).
3. FeynraanR. P., Phys. Rev., a) 74, 1430 A948); б) 76, 749; в) 76, 769
A949) (см. перевод в сборнике: „Новейшее развитие квантовой электро-
электродинамики", ИЛ, 1954).
4. Dyson F. J., Phys. Rev., 75, 486, 1736 A949) (см. перевод в сборнике
„Новейшее развитие квантовой электродинамики", ИЛ, 1954).
5. Stuck elb erg E. С. G. Helv. Phys. Acta, 14, 51 A941); 17, 3 A944);
- . 18, 195 A945); 19, 242 A946).
6. Wick G. C, Phys. Rev., 80, 268 A950).
7. Heisenberg W., Ber. Sachs. Ak. Wissensch., 317 A934).
8. Weiss kopf V., Phys. Rev., 56, 72 A939).
9. Paul i W., Rose M. E., Phys. Rev., 49, 462 A936).
10. Gupta S. N., Proc. Phys. Soc, 63, 681 A950).
11. Kawabe R., Umezawa H., Progr. Theor. Phys., Japan, 4, 461 A949).
12. Sch winger J., Phys. Rev., 76, 790 A949) (см. перевод в сборнике „Но-
„Новейшее развитие квантовой электродинамики", ИЛ, 1954).
13. Luttinger J M., Phys. Rev., 74, 893 A948).
14. Geheniau J., Vi liars F., Helv. Phys. Acta, 23, 178 A950).
15. Karplus R., Kroll N. M., Phys. Rev., 77, 536 A950).
16. Gupta S. N., Nature, 163, 686 A949).
17. Nafe J. E., Nelson E. В., Ra b i I. I., Phys. Rev., 71, 914 A947).
18. Breit G., Phys. Rev., 72, 984 A947); 73, 1410 A948).
19. Foley H. M., Kusch -P., Phys. Rev., 72, 1256 A947); 73, 412; 74, 250
A948) (см. перевод в сборнике „Сдвиг уровней атомных электронов",
ИЛ, 1950).
20. Ко en ig S., Pro dell A. G., К u sc h P., Phys. Rev., 88, 191 A952).
21. Heisenberg W., Zs. f. Phys., 90, 209 A934).
22. Wei s-s kopf V., Det. Kgl. dansk. Vidensk. Selsk., 14, No. 6 A936).
23. Wentzel G., Phys. Rev., 74, 1070 A948).
24. Ко b a Z., Tomonaga S., Progr. Theor. Phys., Japan, 3, 290A948).
25. Koba Z., Take da G., Progr. Theor. Phys., Japan, 3, 407 A948); 4, 60,
130 A949).
26. MaS. Т., Phil. Mag., 11, 1112 A949).
27. Paul i W., Vi liars F., Rev. Mod. Phys., 21, 434 A949) (см. перевод
в сборнике „Сдвиг уровней атомных электронов", ИЛ, 1950).
28. Gupta S. N., Proc. Phys. Soc, 44, 426 A951).
29. U e hi ing E. A., Phys. Rev., 48, 55 A935).
30. Born M., Proc. Roy. Soc, A143, 410 A934).
31. Born M., Infeld L, Proc. Roy. Soc, 144, 425; 147, 522A934); 150,
141 A935).
32 Schrodinger E., Proc. Roy. Ir. Ac, 47, 77 A942).
33. McConnell J., Proc. Roy. Ir. Ac, 49, 149 A943).
408 Гл. 6. Радиационные поправки
34. Euler H., Ann. d. Phys., 26, 398 A936).
35. Ахиезер A., Sow. Phys., 11, 263 A937).
36. К ar pi us R., Neuman M., Phys. Rev., 83, 776 A951).
37. S а к a t a S., TaketaniM,, Sci. Pap. Inst. Phys. Chem. Res., Tokyo, 38,
1 A940).
38. S а к a t a S., Taketani M.; Proc. Mat. Phys. Soc, Japan, 22, 757 1940).
39. H e i 11 e г W., Proc. Roy. Ir. Ac, 49, 1 A943).
40. Heitler W., M a S. Т., Phil. Mag., 11, 651 A949).
41. Co rin aides i E., Jos t R., Helv. Phys. Acta, 21, 183 A948).
42. Schafroth M. R., Helv. Phys. Acta, 22, 501 A949).
43. Brown L. M./Feynman R. P., Phys. Rev., 85, 231 A952).
44. Thirring W., Phil. Mag., 41, 1193 A950).
45. В 1 о с h F., N о r d s i e с к A., Phil. Mag., 52, 54 A937).
46. Pauli W., FierzM., Nuovo Cimento, 15, 167 A938).
47. В e t h e H. A4Oppenheiraer J. R., Phys. Rev., 70, 451 A946).
48. Jos t R., Phys. Rev., 72, 815 A947).
49. F u к u d a H., Miyamoto Y., T о mo n a g a S., Progr. Theor. Phys., Japan,
4, 47, 121 A949).
50. Power S., Proc. Roy. Soc. Ir. Ac, 50, 139 A945).
51. Be the H. A., Phys. Rev., 72, 339 A947) (см. перевод в сборнике „Сдвиг
уровней атомных электронов", ИЛ, 1950).
52. French J. В., W e i ss kop f V., Phys. Rev., 75, 1240 A949) (см. пере-
перевод в сборнике „Сдвиг уровней атомных электронов", ИЛ, 1950).
53. К го 11 N. М., Lamb W. E., Phys. Rev., 388 A949).
54. Kramers H. A., Report of the Solvay Conference 1948, Bruxelles, 1950.
55. Bar anger M., Phys. Rev., 84, 866 A951).
56. Karplus R., Klein A., Schwinger J., Phys. Rev., 86, 288 A952)
(см. перевод в сборнике „Новейшее развитие квантовой электроди-
электродинамики", ИЛ, 1954).
57. Sal peter E. E., Phys. Rev., 89, 92 A953).
58. Pastern ас k S., Phys. Rev., 54, 1113 A938).
59. Kuhn H., Series G. W., Proc. Roy. Soc, A202, 127 A950).
60. Lamb W. E., R e t h erf or d R. C, Phys. Rev., 72, 241 A947) (см. пере-
перевод в сборнике „Сдвиг уровней атомных электронов", ИЛ, 1950);
75, 1325, 1332 A949); 79, 549 A950); 81, 222 A951).
61. L а га b W. E., Rep. Progr. Phys., 14, 19 A951); Phys. Rev., 85, 259 A952).
62. T r i e b w a s s e r S., D а у h о f f E. S-, Lamb W. E., Phys. Rev., 89, 98,
106 A953).
63. Lamb W. E, SkinnerM, Phys. Rev.f 78, 539 A950).
64. Arnous E., Bleuler K., Helv. Phys. Acta, 25, 581 A952).
65. Arnous E., Helv. Phys. Acta, 25, 631 A952).
66. Arnous E., Heitler W., Proc Roy. Soc, A202, 290 A953).
67. Dyson F. J., Phys. Rev., 75, 1736 A949).
68. Thirring W., Helv. Phys. Acta, 26, 33 A953).
69. S t u с k e 1 b e r g E. С G., R i v i e r D., Phys. Rev., 74, 218, 986 A948).
70. Rivier D., Helv. Phys. Acta, 22, 265 A949).
71. Pa is A., Verh. Kon. Nederl. Ak. v. Wetenschappen, 19, No. 1 A947).
72. 11 о D., К о b a Z., T о m о n a g a S., Progr. Theor. Phys., Japan, 3, 276,
325 A948).
73. Jos t R., Ray ski J., Helv. Phys. Acta, 22, 457 A949).
74. Feldmann D., Phys. Rev., 76, 1369 A949).
75. U m e z a w a H., К a w a b e R., Progr. Theor. Phys., Japan, 4, 423, 443
A949).
76. Umezawa H., Kamefuchi -S., Progr. Theor. Phys., Japan, 6, 543 A951).
77. Kail en G., Helv. Phys. Acta, 22, 637 A949).
78. M с С о n n e 11 J., Phys. Rev., 81, 275 A951).
Глава 7
ПРОНИКАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ ВЫСОКОЙ
ЭНЕРГИИ
§ 36. Коэффициент поглощения у-лучей
1. Теоретические данные. Когда пучок рентгеновских или ^"ЛУ-
чей проходит через вещество, его интенсивность уМеньшается
вследствие поглощения и рассеяния. Оставляя в стороне разного рода
процессы селективного поглощения, т. е. процессы, в которых по-
поглощается излучение одной какой-либо частоты (возбужден^ дискрет-
дискретных уровней), мы рассмотрели в гл. 5 три процесса, пРив°Дяш«их
к непрерывному поглощению:
1) Фотоэффект.
2) Комптоновское рассеяние на свободных электронах.
3) Образование пар.
Интенсивность /-монохроматического пучка, проходяШего через
вещество, убывает экспоненциально
I = IQe-rxy C6.1)
где коэффициент поглощения z представляет среднее число актов
поглощения или рассеяния, которое испытывает один фотон на еди-
единице пути. Значение т слагается аддитивно из трех частей» соответ-
соответствующих трем упомянутым выше процессам,
C6.2)
Если ср — эффективное сечение какого-либо из названных про-
процессов, то соответствующее значение z будет
-z = N9, C6.3)
где N — число атомов в 1 смъ.
Вычисленные теоретически численные значения эффективных се-
сечений приведены в следующих местах книги:
1) для фотоэффекта на /(-оболочке 1) в табл. 2 и 3 и на Фиг* 9'»
2) для комптоновского рассеяния в табл. 4 и на фиг. 11- Эти зна-
значения относятся к одному электрону, и для получения эффективного
сечения рассеяния на атоме их следует умножить на Z;
3) для образования пар в табл. 6 и 7 и на фиг. 17.
1) Более высокие оболочки дают лишь малый ,вклад, составляющий при-
приблизительно 25% от эффекта на /(-оболочке. В дальнейшем значение ук
умножается на 5Д (СР- § 21).
410 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
Поскольку эти сечения выражены соответственно в единицах
<p0Z6/1374, сро(=8гсго/3), ?(==roZ2/137) для нахождения Tphoti ^oompt.
tpair. Цифры в упомянутых выше таблицах и графиках нужно умно-
умножить соответственно на
Значения этих величин для различных веществ приведены в при-
приложении VIII.
При вычислении вклада от фотоэффекта лучше пользоваться
результатами точного расчета (см. табл. 3), чем борновским при»
ближением; однако имеющиеся в нашем распоряжении точные дан-
данные для образования пар слишком скудны и придется основываться
на борновском приближении. Это вносит существенную ошибку
только для малых энергий и тяжелых элементов, однако здесь вклад
в обший коэффициент поглощения от образования пар очень мал
по сравнению с комптоновским рассеянием и фотоэффектом. При
энергиях выше 30 тс2 следует ожидать, что теоретические коэффи-
коэффициенты поглощения для свинца окажутся меньше примерно н.а К(%
(для легких элементов — менее) значений, приведенных ниже; ошибка
более или менее не зависит от энергии (см. § 26).
Некоторый вклад в рождение пар вносят также атомные элек-
электроны (см. сплошную кривую на фиг. 17). Этот вклад пренебре-
пренебрежимо нал при энергиях приблизительно до 10 тс2; при более высоких
энергиях он составляет примерно 0,8/Z от ядерного вклада. Мы
учтем это обстоятельство, умножая TFair на множитель (Z~|-0,8)/Z
для всех эн ергий выше 20/яс2. Ошибка вследствие неточности этой
поправки не велика (< 3%) даже для легких элементов, так как
при малых энергиях значительно более существенны другие про-
процессы, а при высоких энергиях истинные значения не могут сильно
отличаться от ожидаемых.
В различных областях энергий три рассмотренных процесса играют
разную роль. При малых значениях fiv основной вклад дает погло-
поглощение вследствие фотоэффекта. По мере увеличения энергии более
существенным становится комптоновское рассеяние и, наконец, для
очень высоких энергий поглощение целиком обусловлено образова-
образованием пар. Границы областей энергии, в которых наибольшее зна-
значение имеет тот или иной из этих трех эффектов, приблизительно
следующие:
РЬ
А1
Фотоэффект
И ч\т& < 1
?v/mc2<0,l
Эффект
Комптона
-/1—10
-/0,1—30
Образование
пар
>ю
>30
§ 36. Коэффициент поглощения 7 -лучей
411
Зависимость коэффициента поглощения от атомного номера Z
имеет наиболее простой вид в области, где существенно лишь ком-
птоновское поглощение. В этой области т просто пропорционально
полному числу электронов" NZ в единице объема или, поскольку
Z примерно пропорционально атомному весу, пропорционально плот-
плотности вещества р. Следовательно, полное уменьшение интенсивности
вследствие поглощения пропорционально полной массе вещества
с поперечным сечением в 1 см2 пройденного ^-ЛУЧОМ- Это позво-
позволяет ввести массовый коэффициент поглощения т/р (г~1см?)У который
почти постоянен для всех элементов при данной энергии. Однако
такого массового коэффициента поглощения не существует в области,
где существенно образование пар, поскольку последнее пропорцио-
пропорционально Z2. Суммируя наши данные, получаем следующие значения
для полного коэффициента поглощения (табл. 10).
Таблица 10
КОЭФФИЦИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЯ т НА 1 см ПУТИ ДЛЯ Г-ЛУЧЕЙ (ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ) *
Пч/тс2
Воздух
н2о
А1
РЬ
0,1
2,16
1,87
0,96
—
0,5
1,44
1,25
0,297
~6
1
1Д1
0,955
0,224
1,70
2
0,803
0,698
0,164
0,78
5
0,501
0,431
0,104
0,477
10
0,347
0,298
0,0755
0,473
х кг4
ХЮ
20
50 -
100
1000
10 000
Воздух
Н2О
Al
Pb
0,262
0,222
0,0628
0,604
0,210
0,176
0,0596
0,850
0,206
0,169
0,0641
1,04
0,23
0,184
0,0804
1,40
0,24
0,191
0,084
1,49
Х"Ю
* Цифры для воздуха относятся к атмосферному давлению и 0° С. Для воздуха и воды
пренебрегалось фотоэлектрическим поглощением; оно лишь немного изменит значение ч
при энергиях, меньших 0,1 тс*. Для РЬ значение т = 6 при #v = 0,5 тс* имеет лишь оценоч-
оценочный характер, так как фотоэффект для этой энергии точно подсчитать трудно. Значение г
для 0,1 тс* не приведено, так как эта энергия меньше края /Г-полосы поглощения.
Здесь цифры вычислены с точностью 0,5—1о/о. Принимая во внимание ряд неточностей
исходной теории и в значениях материальных констант, нельзя гарантировать большей
точности, хотя в экспериментальной литературе иногда приводятся данные и с большим
количеством десятичных знаков.
Зависимость коэффициента поглощения т от частоты и атомного
номера для различных металлов показана на фиг. 25. При малых
значениях fiv коэффициент поглощения ~ быстро убывает вследствие
412 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
быстрого уменьшения фотоэлектрического поглощения. При более
высоких частотах т убывает медленнее, так как здесь поглощение
обусловлено главным образом комптоновским рассеянием. Для энер-
энергий, превышающих 2тс2, т снова возрастает вследствие образо-
образования пар и, наконец, стремится к постоянному асимптотическому
о
Ф 0,2 Q5 t
5 10 20
Ър/тс2
50 100 200 500 1000
Фиг. 25. Зависимость коэффициента поглощения х (см~^)
f-лучей в Al, Cu, Sn (плотность 7,00) и РЬ от первичной
энергии /?v (в логарифмическом масштабе).
Пунктирными линиями изображены три слагающие х для РЬ. Измерения про-
проводились при rtv = 1,635, 5,40, 34,4, 172 и 550 тс\
значению, наибольшему для тяжелых элементов. Следовательно, для
всех веществ существует область наибольшей прозрачности» лежа-
лежащая примерно при hv = 5 — 20/яс2. *
2. Экспериментальные данные. Критические замечания. На
фиг. 25 приведены результаты измерений для пяти значений энергий:
0,835 Мэв(= 1,635 тс*); 2,76 Мэв(=5,40 тс*) [1]; 17,6 Мэ&
(=Ъ4Лтс*)\2]\ 88 Мэв(= 172 тс*) [3] и 280 Мэв (= 550 тс*) [4].
Существует прекрасное совпадение теории с опытом в пределах
3% как для легких элементов (А1, Си), так и для тяжелых для энер-
энергий примерно до 10 тс1. При более высоких энергиях выявляется
некоторое расхождение для Sn и, особенно, для РЬ (~11%).
Эти расхождения обусловлены отклонениями эффективного сече-
сечения образования пар от значений, даваемых борновским приближе-
§ 36. Коэффициент поглощения ч-лучей 413
нием. (Все другие процессы при обсуждаемых энергиях дают малый
зклад в коэффициент поглощения.) Количественно'это объясняется
уравнением B6.15')- При Ь = 550тс2 эффективное сечение обра-
образования пар в РЬ, согласно борновскому приближению, равно 10,3ср".
Поправка составляет —1,04ср. Это означает уменьшение на 10%,
что находится в очень хорошем согласии с наблюдаемыми значе-
значениями.
Таким образом, можно сделать вывод, что теория образования
пар справедлива, по крайней мере, до энергий 600 тс2 с точностью
не менее 1%. Более высокой точности трудно ожидать по различным
причинам (см. ниже), а также потому, что модель Томаса—Ферми,
используемая при расчетах, не может претендовать на полную точ-
точность.
Для энергий, превышающих 550 ш:2, не имеется прямых изме-
измерений т, однако из анализа каскадных процессов, имеющих место
при проникновении в вещество ^"излУчения большой энергии (см.
§ 38), можно сделать заключение, что теория по существу остается
вполне справедливой вплоть до наиболее высоких наблюдаемых зна-
значений энергии.
„Во всех предыдущих рассуждениях не принимался во внимание
целый ряд процессов, которые также вносят некоторый малый вклад
в поглощение ^"лУчей- Упомянем некоторые из этих процессов:
а) образование двойных пар ^-лучами и другие множественные
процессы;
б) образование пар частиц, отличных от электронов, в частности
р>, тг или тяжелых мезонов и протонов;
в) рассеяние ^-лучей протонами или нейтронами;
г) образование мезонов при столкновениях с протонами или ней-
нейтронами.
Вероятность первого из этих процессов составляет 1/137 от про-
простого рождения пары, второй процесс в {т!\т)^ раз менее вероятен,
чем рождение электронной пары (здесь т! — масса соответствующей
частицы).
Третий и четвертый эффекты представляют большой интерес.
Известно, что протон (или нейтрон) окружен облаком мезонных за-
зарядов. Это дает вклад в рассеяние при всех энергиях и приводит
также к рождению реальных мезонов при поглощении фотона, если
fa превышает энергию покоя мезона. В водороде оба эффекта при
больших энергиях могут быть вполне заметны и их вклад в погло-
поглощение сравним с тем, что дают ранее рассмотренные процессы;
однако во всех других материалах образование пар всегда значи-
значительно превалирует, так как вероятность его пропорциональна Z2.
3. Диффузия у-лУчей через вещество. Коэффициент по-
поглощения был определен нами таким образом, что все фотоны как
414 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
поглощенные, так и рассеянные хотя бы на малый угол от перво-
первоначального направления считаются выбывшими из исходного пучка.
Очевидно, что явления, связанные с проникновением ^"лУчеи
через слои вещества конечной толщины, фактически значительно
сложнее. При очень больших энергиях имеют место каскадные про-
процессы, которые будут рассмотрены в § 38. При меньших энергиях
наиболее важным процессом является рассеяние, и некоторое коли-
количество фотонов будет рассеяно на малые углы с малым уменьшением
энергии. Следовательно, исходный пучок, вначале монохроматический
и прямолинейно распространяющийся в веществе, превратится в конус
с малым углом раствора, и излучение в этом конусе с возрастанием
угла будет становиться все мягче и мягче. Кроме того, электроны,
появляющиеся в результате фотоэффекта и образования пар, дают
тормозное излучение, а наличие позитронов приводит к аннигиля-
ционному излучению. Здесь мы вкратце рассмотрим лишь явления,
связанные с рассеянием на малые углы, оставляя без внимания все
прочие процессы.
Допустим, что фотон ?v(y = fajmfi) рассеивается на малый угол 6.
После рассеяния его энергия ^i определяется соотношением B2.4)
1 Если имели место п таких актов рассеяния, то
- Поскольку эти акты рассеяния статистически
независимы, угол с направлением первичного пучка составит в сред-
среднем У/г 6 = в'- Следовательно, если фотоны наблюдаются под углом Ь'
к первоначальному направлению, то ср-едняя энергия их будет
1/Y = 1 /7 +1/2^/2- При достаточно большой толщине слоя вещества
(когда может произойти несколько актов рассеяния) распределение
фотонов по углам оказывается гауссовым. Число фотонов с энер-
энергией у' на глубине х будет приблизительно равно
F(x, /, 6') =/О, tfe-W^-rffa-ftie-™, C6.4)
где т—полный коэффициент поглощения.
Предполагается, что т не зависит от энергии в рассматриваемой
области энергии Y""?'* Множитель f(x, Y)> T- e- распределение
энергии на глубине х, можно определить только при более деталь-
детальном рассмотрении этой диффузионной задачи [5, 6].
Если интересоваться в основном не увеличением угла, а дегра-
деградацией энергии, то диффузию фотона в веществе можно рассматри-
рассматривать как процесс потери энергии. Именно, пусть NZ — число элек-
электронов в 1 смъ, тогда средняя потеря энергии на 1 см пути соста-
составит, согласно B2.41),
J (*o-
|[^|] Кр.рел. C6.5)
(для
§ 37. Поглощающая способн. веществ в отношении быстрых частиц 415
Выражение C6.5) несколько похоже на формулу C7.8) для потерь
энергии быстрым электроном при столкновениях; численно, однако,
по формуле C6.5) получаются значительно меньшие значения (для
электронов под знаком логарифма стоит весьма большая величина ^//Z).
В равенстве C6.5) учтен также вклад от больших углов рассеяния.
§ 37. Поглощающая способность веществ в отношении
быстрых частиц
При прохождении через вещество частица может терять энергию
главным образом следующими двумя путями:
1) Она может непосредственно передать энергию атому при его
возбуждении или ионизации (неупругие столкновения).
2) Она может испытать отклонение в поле атома и испустить
при этом излучение (тормозное излучение). Этот процесс был по-
подробно рассмотрен в § 25.
Старые теории торможения быстрых частиц принимали во вни-
внимание только первый процесс. Это допустимо для электронов вплоть
до энергий 5 тс2, однако для больших энергий тормозное излучение
приводит к чрезвычайно большим потерям энергии, значительно пре-
превышающим потери энергии при неупругих столкновениях.
1. Средние потери энергии вследствие неупругих столкновений
(газы). Энергия, теряемая частицей при прохождении через веще-
вещество, впервые была подсчитана Бором [7] с помощью классической
теории. В квантовой механике эта проблема достаточно хорошо
исследована многими авторами [8—12] с помощью различных моде-
моделей атома.
Вычисления оказываются довольно длинными, и мы ограничимся
лишь изложением результатов. Энергия передается атомным элек-
электронам путем перебрасывания их на более высокие уровни, включая
и непрерывный спектр. Когда энергия первичной частицы ве-
велика по сравнению с энергией ионизации электронов, энергия, пере-
передаваемая атомным электронам, составляет в большинстве случаев
лишь малую долю от энергии ионизации; возможны также большие
потери энергии, но они относительно редки. В последнем случае
можно рассматривать атомные электроны как свободные и восполь-
воспользоваться теорией § 24 [см. B4.28) и B4.34)], которая дает эффек-
эффективные сечения для определенной передачи энергии q при столкно-
столкновении со свободным электроном.
Основная формула для потери энергии на единицу пути частицей
скорости v = с$ имеет вид
416 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
где N — число атомов в 1 смъ\ <Po = (*W3)/o— единица эффектив-
эффективного сечения; [х — энергия покоя электрона; z — заряд первичной
частицы; Z — атомный номер; / — некоторая средняя энергия иони-
ионизации, не совсем одинаковая для различных элементов и изменяю-
изменяющаяся в пределах 11—14 эв. Далее мы будем использовать значе-
значение /, определенное экспериментально для А1,
/= 11,5 эв.
Величина Wm есть максимальная энергия, которая может быть
передана свободному электрону первичной частицей. Если последняя
имеет массу М и энергию Е (включая энергию покоя), то из зако-
законов сохранения получим
?2
Если соударяющейся частицей является электрон (М — т), то
(считая более быстрый из них первичным) нужно взять' лишь поло-
половину от C7.2), т. е. •• / ' ../., . ; ^.-,%.'ы им»1
Wm = 1 (?—(*). , *¦:< , ,,,Г.(ЪТЯ)
В том случае, когда первичная частица — тяжелая (УИ!^>[х), ра-
равенство C7.2) можно заменить на
^» = ГГР2> если E<iMc^, C7.2-)
Wm = E, если Е»Жс2^. C7.2")
Почти для всех интересующих нас энергий выполняется условие
C7.2")- Если Wm подставить в формулу C7.1), то в потери энер-
энергии будут включены также редкие столкновения с большой пере-
передачей энергии.
Формула C7.1) остается в силе также в том случае, если со-
соударяющиеся частицы — тяжелые (не электроны) и если
C7.3)
В противном случае должны быть внесены следующие поправки:
а) Условие C7.3) фактически выполняется при всех интересующих
нас скоростях. Для очень медленных (или обладающих большим за-
зарядом) частиц Блох дал поправку [которую нужно прибавить
к C7.1)]
C7.3')
§ 37. Поглощающая способн. веществ в отношении быстрых частиц 417
Здесь Ф—логарифмическая производная от Г-функции
a Re — вещественная часть1).
Для больших значений 2/137J3 формула C7Л) переходит в хорошо
известную классическую формулу Бора. Для наших целей этой по-
поправкой можно пренебречь.
б) Если первичная частица есть электрон, то формулу C7.1)
надо несколько видоизменить, принимая во внимание, что при боль-
больших передачах энергии некоторую роль играют обменные и спино-
спиновые эффекты [см. § 24 о различии между формулами B4.28) и
B4.34)]. Согласно Бете, эту поправку можно учесть, если прибавить
к выражению C7.1) величину
Ве!. = — [^ — 21/ 1_^]1п2+1 + р*. C7.4)
Эта поправка также мала по сравнению с В в уравнении C7.1)
для всех значений |3, и, повидимому, она лежит в пределах точ-
точности всей теории. Однако мы будем включать C7.4) в приводимые
ниже численные данные. Дальнейшее уточнение формулы C7.1) чи-
читатель может найти в соответствующей литературе.
Представляют интерес следующие предельные случаи:
а) Тяжелые частицы, нерелятивистские энергии, Е—
С
Иерел- <37-5>
б) Электроны, нерелятивистские энергии, Е— [а
• <37-6>
В уравнениях C7.5) и C7.6) предполагается, что хотя р <^ 1,
но 2/137?<^; 1.
в) Тяжелые частицы, крайне релятивистские энергии, Е ^> Же3,
но Е <С Мс*(М/т)
г) Электроны, крайне релятивистские энергии, Е
!) Для больших х можно воспользоваться выражением
Для малых х:
V (х) = — 0,577... + jc 1,645... — *2 1,20.,. +
27 Зак. 1260. В. Гайтлер
418 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
Существенно, что потери энергии при столкновении зависят ст
скорости первичной частицы и практически не зависят от ее-массы.
Если представить —(dE/dx)col[ в виде функции от энергии
первичной частицы, то кривые будут примерно одинаковы для
всех частиц, но смещены для больших масс в область больших
энергий. Некоторая малая зависимость от массы для электронов
обусловлена наличием поправки C7.4), а в случае тяжелых частиц
очень больших энергий — зависимостью Wmox M, когда условие C7.2")
не выполнено.
Величина —(dE/dx)GOl[ как функция свойств вещества примерно
пропорциональна NZ, т. е. числу электронов в 1 сл&. Дополни-
Дополнительная зависимость связана с наличием Z под знаком логарифма
в формуле C7.1).
Потери энергии велики для малых скоростей и убывают как ~ l/v2
до тех пор, пока v не становится сравнимым с с. Они достигают
минимального значения, когда кинетическая энергия становится
порядка энергии покоя. Далее потери энергии снова возрастают
логарифмически, однако это возрастание настолько медленно, что
во многих случаях можно говорить, что потери энергии минимальны,
когда Е > 2Мс2.
Следует отметить, что приведенные выше выражения представляют
средние потери энергии и потому включают также редкие случаи
большой передачи энергии (вплоть до Wm). В не слишком толстых
слоях вещества эти большие передачи энергии весьма маловероятны
и наиболее вероятная потеря энергии (которая обычно измеряется)*
меньше, чем дает формула C7.1). Она может быть получена заменой
верхнего предела для передачи энергии Wm меньшей величиной W,
которая определена таким образом, чтобы в слое Ах происходило
(в среднем) как раз одно столкновение с передачей энергии W.
Таким образом, W зависит от Ajc. Распределение потерь энергии
(разброс) для быстрой частицы, проходящей через слой вещества
конечной толщины, было получено Ландау [14], однако, поскольку
отклонения от средних потерь невелики, мы воздержимся от деталь-
детального их обсуждения.
Таким образом, средняя потеря энергии с достаточно хорошим
приближением выражается через среднюю первичную ионизацию
частицы. Относительное количество случаев, в которых столкновение
с атомом приводит к ионизации (а не к возбуждению на дискретный
уровень), почти не зависит от энергии первичной частицы; то же
самое справедливо для средней энергии, передаваемой ионизирован-
ионизированному электрону. Таким образом, число пар первичных ионов, обра-
образованных на единице пути, приблизительно пропорционально средней
энергии, теряемой при столкновениях1).
1) Естественно, для электронов только эти потери (но не радиационные)
пропорциональны первичной ионизации.
§ 37. Поглощающая способн. веществ в отношении быстрых частиц 419
Число пар первичных ионов может быть оценено из того факта,
что образуется примерно одна пара ионов, когда первичные потери
достигают величины 32 эв. Эта цифра практически не зависит от
природы частицы и ее энергии (по крайней мере если последняя
не очень мала). Следует заметить, что вторичные частицы также
образуют пары ионов, и поэтому полная ионизация отличается от
первичной.
2. Поляризационный эффект. Все приведенные выше выражения
справедливы для изолированных атомов, т.е. когда атомы находятся
друг от друга на таком расстоянии, что можно с достаточно
хорошим приближением считать, что первичная частица взаимо-
взаимодействует одновременно лишь с одним атомом. Это справедливо
только для газов при малом давлении. Для конденсированных веществ
нужно внести существенные поправки. Допустим, что быстрая
заряженная частица движется в твердом теле или жидкости.
Окружающая среда будет поляризоваться вдоль пути частицы.
Эта поляризация уменьшает эффективное поле частицы, действующее
на данный атом. Эффект особенно существен для сравнительно
далеких столкновений. Когда частица испытывает близкое столкновение
с атомным электроном, то окружающие атомы находятся далеко
от частицы и поляризационный эффект мал, но когда параметр
удара сравним с межатомными расстояниями, то поляризация окру-
окружающей среды заметно уменьшает эффективное поле. Такие далекие
столкновения дают существенный вклад в потери энергии только
в том случае, когда частицы достаточно быстрые (как показывают
количественные оценки, только для частиц в релятивистской области).
Поэтому можно ожидать, что логарифмическое возрастание потерь
энергии в конденсированных средах будет частично компенсировано
поляризационным эффектом. В газах уменьшение потерь энергии
проявляется при еще более высоких энергиях. Эффект зависит от
диэлектрических и дисперсионных свойств среды.
Поляризационный эффект тесно связан с особым явлением, которое
имеет место при прохождении быстрых частиц через поляризуемую
среду. Предположим, что частица настолько быстрая, что ее скорость v
больше скорости света в среде с/п(п — показатель преломления).
Тогда с помощью теории Максвелла можно показать, что движение
частицы сопровождается испусканием довольно мягкого излучения
(в том числе и видимого света). Это излучение было обнаружено
Черенковым [15—18].
Вопрос о потерях энергии быстрыми частицами в конденсированной
среде, связанных с эффектом Черенкова, исследовался различными
авторами [19—23].
Результат трудно выразить в виде общей формулы, и мы при-
приведем ниже только численные результаты. Существенно заметить,
что все, что остается от логарифмического возрастания потерь
27*
420 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
энергии после минимума, всецело обусловлено излучением Черен-
кова.
На фиг. 26 и 27 изображены средние потери энергии вследствие
соударений в Н2О и РЬ как функция от энергии Е — Мс2 для
электронов, ц-мезонов (масса 210т), тг-мезонов (масса 276т) и
протонов. Поляризационный эффект указан для электронов и
[л-мезонов. Видно, что логарифмическое возрастание для больших
энергий существенно уменьшается в конденсированных средах.
10 100
(E-mcz)/mc2
1000
10000
Фиг. 26. Средние потери энергии для электрона в Н2О
и РЬ в единицах Mp0Zfj. в зависимости от кинетической
энергии Е—-[л..
Приведены кривые потерь при столкновениях, на излучение и полных
потерь: пунктирные кривые —без учета поляризационного эффекта,
сплошные кривые —с учетом поляризационного эффекта.
Кривые для Н2О справедливы также для воздуха (значения Z прак-
практически одинаковы и входят только под знаком логарифма), но
поляризационный эффект здесь, очевидно, начинает играть роль
при более высоких энергиях: ионизация становится постоянной при
1,2 • 104ш:2 для (х-мезонов и при 600 тс2 для электронов.
Теория потерь энергии при столкновениях и ионизации была
проверена чрезвычайно большим числом экспериментов и было найдено
наилучшее согласие, какого только можно было ожидать. Заметим
только, что логарифмическое возрастание ионизации после минимума
было проверено также для ^-мезонов в газах при энергиях
§ 37. Поглощающая способн. веществ в отношении быстрых частиц 421
выше 10 000 тс3, когда наблюдалось насыщение поляризационного
эффекта [24, 25]. Отсутствие существенного возрастания ионизации
в конденсированных средах было также подтверждено экспери-
экспериментально [26].
(Е-Мс2)/тс2
Фиг. 27. Средние потери энергии при столкновениях в единицах Aty0Zfi.
для ^.-мезонов B10 т), тс-мезонов B76/я, . изображена частично) и
протонов в Н2О и РЬ.
Пунктирные кривые —без учета поляризационного эффекта, сплошные кривые (jx-ме-
зоны> — с учетом поляризационного эффекта. Для сравнения приведены также полные
потери энергии для электронов. Шкала кинетической энергии Е— Мс* — в единицах
энергии покоя электрона (тс2=0,51 Aide).
3. Полные потери энергии. Второй причиной потерь энергии
электроном при прохождении его через вещество является тормозное
излучение. Средние потери энергии на единице пути были вычислены
в § 25. Они определяются формулой
(-тег) =
\ dx /rad.
C7.9)
где <pra<i.— эффективное сечение, графически изображенное на фиг. 13
и табулированное в табл. 5.
Как видно из выражения C7.9) и фиг. 13, потери энергии на
тормозное излучение ведут себя совершенно иначе, чем потери
вследствие неупругих соударений:
422 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
а) Они примерно пропорциональны Е. Это означает, что они
постоянны вплоть до энергий порядка тс*, а затем возрастают
пропорционально Е. При больших энергиях это возрастание стано-
становится еще более быстрым, так как <Prad. также возрастает от зна-
значений ~5<р при Е — [х < [л до значений^ 15ср при очень больших
энергиях.
б) Потери энергии пропорциональны не Z, т. е. массе вещества
сечением в 1 см?, пересекаемого пучком, a Z2. Поэтому для тяжелых
элементов они относительно более существенны, чем для легких.
В обоих этих отношениях потери энергии на тормозное излучение
(отнесенные к первичной энергии Е) ведут себя подобно коэффициенту
поглощения у-лучей, обусловленному образованием пар.
Чтобы получить численное значение (dE/dx)m^, нужно умножить
цифры, приведенные в табл, 5 и на фиг. 13, на ENy, причем зна-
значения Мр для различных веществ приведены в приложении VIII.
Полные потери энергии на единице пути равны
_dE__f dE
dx—\ </*
dx /coll.
C7.10)
Значения этой величины приведены в табл. 11.
Таблица И
СРЕДНИЕ ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ НА ЕДИНИЦЕ ПУТИ ДЛЯ БЫСТРЫХ
ЭЛЕКТРОНОВ В ЕДИНИЦАХ тс*
(Е- тсгIтс*
Воздух *
н2о
А1
РЬ
0,01
0,0845
78
147
255
0,1
0,0145
13,1
26,9
64,5
1
0,0046
4,08
8,65
24,5
10
0,0049
4,00
8,98
40,5
юа
0,0087
6,56
19,1
204
103
0,039
29,6
116
1,910
10*
0,33
262
1,095
19,300
* При нормальной температуре и давлении.
При вычислении потерь на излучение вклад от атомных электро-
электронов был учтен тем, что к эффекту на ядре была добавлена вели-
величина 0,8 <Prai/^ (см. § 25, п. 5 и § 26, п. 2). Значение 0,8, разу-
разумеется, не очень точно. Отклонения от борновского приближения
не были приняты во внимание. При очень больших энергиях по-
потери энергии обусловлены почти исключительно тормозным
излучением. Это имеет место при энергиях выше 20/ш;'3 в РЬ и
выше 200 тс2 в воздухе и воде.
§ 87. Поглощающая способа* веществ в отношении быстрых частщ 423
На фиг. 26 представлены обе слагающие полной потери энергии
для электрона в Н2О и РЬ. Как видно из рисунка, общий вид кри-
кривых весьма напоминает кривые фиг. 25, представляющие коэффи-
коэффициент поглощения f-лучей.
Для тяжелой частицы потери энергии обусловлены лишь неупру-
неупругими столкновениями. Потери на излучение в (т/М)* раз меньше,
чем для электрона той же энергии (ср пропорционально 1/М2, где
М — масса соударяющейся частицы.) Поэтому при достаточно боль-
больших энергиях тяжелые частицы тормозятся слабее, чем электроны.
Для протонов это имеет место при Я>100/ис2 в РЬ и при
Е > 200 тс2 в Н2О и воздухе,
4. Средний пробег. Быстрая частица, проходящая через вещество,
характеризуется более или менее определенным пробегом лишь
в том случае, если она теряет энергию непрерывно и флюктуации
потерь энергии на длине пробега малы. Это имеет место лить для
потерь энергии при столкновениях, но не для потерь на излучение.
Все же для того, чтобы исследовать проникающую способность
быстрых электронов, удобно определить средний пробег как рас-
расстояние, которое должна пройти частица, если она на всем пути
испытывает средние потери энергии C7.10). Этот средний пробег
равен . •
C7Л1)
До тех пор, пока существенны лишь потери при столкновениях, это
есть действительный пробег частицы с начальной энергией Ео с точ-
точностью до очень малых флюктуации.
Интегрирование в C7.11) можно выполнить лишь численно,
однако некоторые качественные особенности можно установить не-
непосредственно из выражений C7.11), C7.1) и C7.9).
а) Если существенны лишь потери при столкновениях, что имеет
место для тяжелых частиц и электронов с Ео < 2а, то величина
dE/dx зависит только от скорости и поэт . с^юа кова для равных
значений Е/М, отсюда следует, что R/M как функция Е0Щ (или
начальной скорости v0) одинакова для всех частиц *).
б) В нерелятивистской области C <С! 1, —dE/dx—\ЦЕ — Же2),
если отвлечься от слабой логарифмической зависимости. Следова-
Следовательно, R возрастает примерно как (Ео — jWc2)'1. Для тяжелых частиц
в крайне релятивистской области величина —dE/dx изменяется
медленно, поэтому R(E0) возрастает примерно пропорционально Ео.
*) Малая зависимость от М имеет место для очень больших энергий
вследствие зависимости Wm от Af. Для электронов под знаком логарифма
есть еще численный фактор [ср. C7.5) и C7.6)].
424 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
в) Когда потери электрон<?в на излучение достигают больших
значений, т. е. при Ео > 100 и, величина —(dE/dx)md пропорцио-
пропорциональна Е. Поэтому для очень быстрых электронов R(E0)'—InЕ$.
Это означает, что очень быстрый электрон не может проникнуть
через очень толстые слои вещества, как бы велика ни была его
энергия.
г) Если существенны лишь потери при столкновениях,* то сред-
средний пробег R примерно пропорционален 1/MZ, т. е. обратно про-
пропорционален плотности электронов в веществе. Дополнительная за-
зависимость от плотности возникает вследствие того, что Z стоит
Фиг. 28. Логарифм среднего пробега (умноженного 0)
для электронов, ^-мезонов и протонов в воздухе (пунк-
(пунктирная кривая) и РЬ (сплошная кривая) в зависимости
от энергии..
в C7.1) под знаком логарифма. Эта зависимость не очень майа,
если меняется, например, в пределах от 6 до 82. С другой сто-
стороны, для очень быстрых электронов <prad. ~Z2 и RNZ изменяется
1/Z
Средний пробег быстрого электрона для различных веществ
представлен в табл. 12.
Точные данные относительно пробегов тяжелых частиц приве-
приведены во многих работах (см., например, [27], и мы не будем приводить
их здесь. Для общей ориентировки на фиг. 28 дана зависимость^/?,
умноженного на A/Zcp0, от энергии для различных частиц в воздухе и
свинце. Начальный наклон кривой соответствует квадратичной за-
зависимости R~(E — Же)'3, которая для тяжелых частиц переходит
в линейную —EQ. Для электронов, напротив, пробег при очень
больших энергиях стремится к постоянному значению.
§ 37. Поглощающая способы, веществ в отношении быстрых < частиц 425*
СРЕДНИЙ ПРОБЕГ БЫСТРОГО ЭЛЕКТРОНА (в см)
Таблица 12
Воздух *
н2о
Al
РЬ
3,9
4,7
2,5
1,0
од
• КГ3
.10~3
.10~3
l
1,55-102
0,18
8,5-10-2
3,1 • 10~2
10
2,2 • 103
2,6
1,15
0,33
100
1,5 • 104
19
7,8
1,25
1000
6,3 • 104
82
28
2,4
* Атмосферное давление, температура 0° С.
5. Разброс (straggling). В п. 1—3 мы вычислили средние по-
потери энергии. Эта средняя величина может значительно отличаться
от энергии, действительно теряемой частицей в каждом отдельном
случае, когда быстрая частица проходит через слои вещества ко-
конечной толщины. Лишь в том случае, когда частица теряет свою»
энергию малыми порциями, можно пренебречь эффектом разброса.
Это имеет место для тяжелых частиц. Однако электрон может по-
потерять большую часть своей энергии при испускании одного жесткого
f-кванта. Согласно § 25 (см. фиг. 12), потери на излучение про-
происходят путем излучения как больших квантов, сравнимых с энер-
энергией электрона, так, равным образом, и малых квантов. Проходя
через слой вещества, электрон испустит лишь несколько фотонов
большой энергии и флюктуации потерь энергии будут велики.
Чтобы примерно оценить эффект этого разброса, мы будем
пренебрегать потерями энергии на столкновения и представим кри-
кривые распределения интенсивности фиг. 12 с помощью грубой, на
удобной формулы [28]1)
я~20 — 23.
C7.12)
E& — Eo In{Eol(Eo-k)}>
Формула C7.12) довольно хорошо описывает кривые фиг. 12
для энергий, превышающих 50 ш:2. Численное значение а составляет
около 20 для РЬ и около 23 для Н2О.
Следовательно, вероятность того, что электрон, пройдя беско-
бесконечно малое расстояние dl в веществе, содержащем N атомов
в 1 смьу потеряет энергию k, равна
C7.13)
C7.14>
,,ч ,, ayN dkdl
или, если ввести новые переменные
ф ==
1) Р азброс вблизи критической энергии (см. ниже) рассмотрен в работе [2д .
426 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
С помощью C7.12) получим для <prad
?—Ojzif—Ldy = b\n2. C7.140
Формула C7.14) определяет вероятность того, что по прохо-
прохождении бесконечно малого расстояния dl энергия уменьшится
в е~у раз по сравнению с начальной величиной. Нас же интересует
вероятность определенного уменьшения энергии после прохождения
слоя конечной толщины /. Покажем, что эта вероятность опреде-
определяется формулой
^^fdy. C7.15)
При малых / [когда Г(?/)~1/#/] формула C7.15) совпадает
оо
с C7.14). Вероятность w(y) нормирована на единицу, Г w(y)dy = 1.
о
Чтобы доказать справедливость равенства C7.15) для конечных /,
допустим, что электрон проходит сначала расстояние lv а затем /2.
Вероятность того, что энергия уменьшится на первом отрезке пути
в е~У^ раз, обозначим через iw1(y1)dy1. Если формула C7.15) верна
для обоих отрезков пути, то вероятность уменьшения энергии
в е~у раз на всем пути, согласно общим правилам исчисления
вероятностей, равна
у
w (у) dy = dy J wt ОО w2 (у —yt) dyx = .
о
-twtwJ yi (У-yJ *У1.= Y(bil + bk) ' C7Л6)
Следовательно, если соотношение C7.15) верно для 1г и /2> то
оно верно также и для /i-Мз- Поскольку правильность C7.15) для
бесконечно малого пути показана ранее, отсюда следует, что фор-
формула C7.15) справедлива для любого отрезка пути.
Распределение вероятностей C7.15) для различных значений Ы
изображено на фиг. 29. Константу b можно получить из фор-
формул C7.12), C7.14) и приложения VIII, где приведены значения Мр
для различных веществ. Для свинцовой пластинки толщиной 1 см
?/ = 2,6. Из графика видно, что вероятные потери энергии распре-
распределены в широком интервале. Для свинцовой пластинки толщиной 8 мм
(?/ = 2) вероятность уменьшения энергии в пределах ?-°'5 = 0,6 и
е~я = О,\Ъ5 почти одинакова.
§ 37. Поглощающая способн, веществ в отношении быстрых частиц 427
Вероятность того, что электрон, пройдя некоторый слой веще-
веществ?, сохранит больше чем е~У* от начальной энергии, равна ин-
интегралу
W(U,
где (bl—1, j;0)!— неполная гамма-функция1).
Величина W(Jbl, у) изображена на фиг. 30 как функция от Ы
при различных значениях у. Мы видим, что эти кривые простираются
2 3
Фиг. 29. Разброс.
Функция w{y) дает вероятность того, что энергия
электрона по прохождении через слой толщиной / см
уменьшится пропорционально множителю е~~У. Числа,
проставленные на кривых, указывают величину Ь\ где
Ь— константа, определяемая формулами G.12, и G.14)
(для РЬ 6 = 2,6 см'1).
в широкой области значений /, за исключением случая малых у,
когда Ео/Е близко к единице. Частица, попадающая в вещество с на-
начальной энергией Ео с вероятностью 80%, сохранит энергию
Еое~ь== Е0/20 после прохождения слоя толщиной Ы=2. При тол-
толщине W=4 вероятность достигает 35%. Если фиксировать значе-
значение /, то кривые дают распределение энергии в пучке электронов,
имеющих одинаковую начальную энергию Ео после прохождения
слоя /.
Теперь мы можем дать некоторое представление о пробеге элек-
электрона и его флюктуациях. Определим сначала парциальный пробег
следующим образом: рассмотрим электрон, теряющий энергию от
значения Ео до Е, Допустим, что Е настолько велико, что потерями
1) Численные значения этой функции см. в таблицах Янке и Эмде [30]
Пирсона [31].
428 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
энергии при столкновениях можно пренебречь. Вероятность того,
что после прохождения пути / энергия будет больше Е, равна
W{bly у)> у = \п(Е0/Е). Вероятность того, что это будет иметь место
после прохождения пути l-\-dl> равна W(bl-\-bdl, у)- Разность между
этими двумя величинами равна вероятности того, что в интервале
между / и l-\-dl энергия частицы уменьшается от значения >? до
значения 1
Фиг. 30.
Сплошные кривые: W(Ы, ^ — вероятность того, что электрон, пройдя слой ве-
вещества толщиной I, сохранит более чем е~У начальной энергии. Пунктирные
кривые: распределения вероятности парциальных пробегов U (И у)), т. е. вероятно-
вероятности того, что электрон имеет пробег между / и l+d\ причем его энергия умень-
уменьшается в е~У раз. Йа всех кривых проставлены значения у%
Назовем расстояние /, на котором это происходит, парциаль-
парциальным пробегом 1(у) (он зависит лишь от у). Распределение вероят-
вероятностей различных значений / для фиксированного значения у имеет
вид
=W(bl, y)—W(bt+bdl, y) = —
dl. C7.18)
Величина U (/), как и требуется, нормирована на единицу
C7.18')
так как №(оо, ^ = 0 и Щ0, у)=\ (см. фиг. 30).
*) Заметим, что электрон почти никогда не достигает точно значения Е,
скольку энергия теряется дискретно, большими порциями.
§ 37. Поглощающая способн. веществ в отношении быстрых частиц 429
Функция U(/) также изображена на фиг. 30 для нескольких
значений у. Мы видим, что кривая распределения пробегов действи-
действительно очень широка и • тем шире, чем больше потери энергии
(т. е. у). Например, для Ео/Е = 20 (у=Ъ) возможные пробеги нахо-
находятся в пределах от Ы—\х до W = 5. Наиболее вероятный пробег
всегда соответствует примерно Ы — у1)-
В предыдущих рассуждениях мы пренебрегали потерями энергии
при столкновениях, и поэтому Е не могло обращаться в нуль. Для
того чтобы получить полный пробег и его распределение вероят-
вероятностей, нужно учесть также потери энергии на столкновения. Это
чрезвычайно сложно в той области, где существенны оба типа потерь,
в частности потому, что тогда эффективное сечение тормозного
излучения убывает и простая апроксимация C7.12) уже не справед-
справедлива.
Однако можно идеализировать задачу, предположив, ^то при
энергии, превышающей некоторое критическое значение Ес, спра-
справедлива приближенная формула C7.12) для излучения, а при ?<?с
частица теряет энергию только на столкновения. Это грубое пред-
предположение приводит к разумным результатам при Ео ^> Ес. Для Ео
можно выбрать значение энергии, при которой потери на излучение
равны потерям на столкновения. Эта критическая энергия играет
важную роль в каскадной теории (см. § 38), численные значения для
нее см. в табл. 13 (см. стр. 440)а).
Действительный полный пробег R можно получить, подставив
в 1(у) значение ус — 1пЕ01Ес и прибавив к 1с===[(ус) остаточный
пробег RCy который имела бы частица, если бы ее начальная энер-
*) Следует заметить, что средний пробег, определенный в п. 4, не совсем
совпадает со средним значением /. Средний парциальный пробег опреде-
определяется формулой C7.11), если нижний предел в интеграле заменен на Е,
а —dE/dx— средние потери энергии. Согласно C7.12), средний парциальный
пробег R(yo) определяется формулой
С другой стороны, среднее значение / равно
с» оо у0 оо
1 = J лЛ@<я«у / w{bli y)d{bl) = TS dye'y J fxxj dx'
О О 0 0
Для больших значений х интеграл по х можно апроксимировать функцией
со
) = ey (значения, близкие к х = 0, не вносят ничего, так как Г @)=
° 1 1 Е
= оо), следовательно, 7 =-т- у0 = -г- In -~,что отличается от R (у0) множите-
множителем In 2.
2J В § 38 определение Ес несколько иное.
430 Гл. 7, Проникающая способность излучения высокой энергии
гия была Есг). Последняя не испытывает флюктуации (или они очень
малы), поскольку энергия теряется лишь при столкновениях. Поэтому
полный пробег равен
Распределение вероятностей действительных полных пробегов
u(R)dR имеет прежний вид C7.18) с заменой / на /с. Следова-
Следовательно,
Например, для свинца ?с~ \4\i (см. табл. 13) и Rc — 0,4 см
(см. табл. 12 и фиг. 28). Значение Ы= 1 соответствует, таким обра-
образом, 0,4 см. Это означает, что для получения полного пробега нужно
увеличить на единицу цифры, указанные на абсциссе графика фиг. 30.
Остаточный пробег Re в единицах Ы имеет примерно одинаковое
значение для всех веществ. Поэтому электрон, падающий на свин-
свинцовую пластинку с начальной энергией ?3ЕС ~ 280{х, имеет вероятный
пробег около 4-0,4=1,6 см с широкой кривой распределения,
лежащей примерно в пределах 0,8—2,5 см.
6. Сравнение с экспериментом. Открытие {i-мезона. Изложенная
выше теория потерь энергии на столкновения находится в очень
хорошем согласии с экспериментом. Мы коснемся здесь вопроса об
экспериментальной проверке теории потерь на излучение. Для этого
нужно рассмотреть электроны очень больших энергий, которые содер-
содержатся в космических лучах. Их потери энергии можно измерить
следующим способом. В камеру Вильсона помещается металлическая
пластинка соответствующей толщины / (например, /= 1 см для РЬ)*
Камера помещается в сильное магнитное поле, которое отклоняет
электроны. Наблюдая пути частиц в камере и измеряя кривизну
следов частиц с обеих сторон пластинки, можно определить энергию
частицы до и после прохождения пластинки, которую обозначим соот-
соответственно через Ег и Е2-
Величину (Ег — Е2)/1 нельзя, однако, отождествить с теоретиче-
теоретическими средними потерями—dE/dx, которые приведены в табл* 11.
Нужно принять во внимание также разброс, который был рассмотрен
в п. 5. Вместо Et — Е2 рассмотрим величину
*) Фактически это не совсем верно. Пробег /с был определен как рас-
расстояние, на котором имеет место скачок энергии от значения Е^>ЕС до
?<?с. Следовательно, на расстоянии /с некоторые частицы могут иметь
энергии значительно меньше Ес и поэтому Rc будет меньше. Однако вблизи
Ес наша идеализация слишком груба, как показывает более детальное ста-
статистическое исследование. Приведенные выше рассуждения относительно
полного пробега R нужно рассматривать только как грубую оценку.
§ 87. Поглощающая способн. веществ в отношении быстрых частиц 431
Среднее значение Y найдем с помощью C7.15).
— C7.19,
(?==2,6 для РЬ). Следовательно, Y—постоянная величина, не зави-
зависящая от толщины слоя и первичной энергии электрона. Однако
отклонения истинных значений Y от среднего Y в любом случае
весьма велики. Действительно, среднее отклонение равно
V2 V2 1
LTL = 7' C7Л9/)
В свинцовой пластинке толщиной 1 см среднее значение Y равно
2,6, а среднее отклонение от него — около единицы.
Измерения потерь энергии частиц в космических лучах были
впервые произведены Андерсоном и Неддермейером [32], которые
смогли проверить теоретические предсказания вплоть до энергий
в несколько сотен тс*2. Более детальные измерения были сделаны
впоследствии Блэккетом и Вильсоном [33, 34] *). Их результаты
представлены на фиг. 31 2).
Эти результаты были получены с помощью свинцовых пластинок
толщиной 0,33 см для энергий до 1000 тс2 и толщиной 1 см для
более высоких энергий. Кривые представляют среднее 'значение Y\
полученное для большого числа космических частиц. Мы видим, во-
первых, что вплоть до энергий около 400 тс2 экспериментальные
данные хорошо согласуются с теоретически предсказанными (К=2,6)-
Однако для более высоких энергий кривая неожиданно спускается
до очень малых значений. На первый взгляд кажется, что здесь
имеет место поразительное противоречие с теорией. Однако наряду
с основной массой частиц, характеризующихся малыми потерями энер-
энергии, были найдены также частицы, обладающие большими потерями
энергии, соответствующими по порядку величины теоретически ожи-
ожидаемым, причем имел место большой разброс потерь. Нет сомнения
в том, что эти частицы суть электроны, которые ведут себя точно
в соответствии с теоретическими предсказаниями. Однако если это
так, то частицы с малыми потерями не могут быть электронами,
так как нельзя допустить, что одинаковые частицы ведут себя по-
разному в одинаковых условиях.
Теперь мы знаем, что частицы с малыми потерями энергии имеют
отличную от электронов природу. Была измерена их масса и найдено,
J) Существование двух групп частиц с различной проникающей способ-
способностью было впервые обнаружено Неддермейерсм и Андерсоном [35]. Опи-
Описанные выше измерения являются наиболее тщательными.
$2) В приводимых данных была сделана поправка на потери при столкно-
столкновениях.
432 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
что она составляет примерно 210 электронных масс. Таким образом,
был открыт новый man частиц. Они тедерь называются [х-мезонами.
Измеряя потери энергии, можно было бы гораздо легче обна-
обнаружить мезоны, если бы не одно обстоятельство. Как видно на
фиг, 31, в области больших энергий наблюдается очень мало элек-
электронов, большинство частиц являются мезонами. Кроме того, едва ли
0
О
400
800
1200
Г, /тс2
1600
2000 2U00
Фиг. 31. Кривая средних потерь энергии космическими частицами
(экспериментальные значения).
^•—начальная энергия; Еа — энергия поелг прохождения свинцовой пластинки тол-
толщиной / см. Все частицы с энергией ?", < 4J0 тса — электроны. Почти все частицы
с энергией ijx>4J0 /тес2—^-мезоны. Небольшое число электронов в области высо-
высоких энергий (отмечены кружками) имеют потери энергии 1^=2,6 в соответствии
с теоретическим значением и обладают большим разбросом»
вообще существуют мезоны с энергиями Ех < 400 тс*. Область энер-
энергий, в которой оба сорта частиц присутствуют в сравнимых коли-
количествах, мала. Эти обстоятельства затрудняют установление факта
существования двух групп частиц с различной проникающей спо-
способностью. На самом деле для действительного открытия мезонов
весьма существенную роль играл значительно более косвенней путь,
а именно каскадная теория ливней (см. § 38), которая основана
на теории потерь на излучение и образования пар и дает блестящее
объяснение большой группы явлений в космических лучах.
7. Вероятность аннигиляции позитронов. В заключение мы
вкратце рассмотрим прохождение позитронов через вещество. При
этом прежде всего возникает вопрос о том, как нужно видоизменить
наши вычисления потерь энергии. В области применимости борновского
§ 37. Поглощающая способы, веществ в отношении быстрых частиц 433
приближения никаких изменений вносить не нужно, так как здесь
вероятность перехода пропорциональна квадрату взаимодействия элек-
электрона с другими частицами, и знак заряда не вносит никакого раз-
различия. Это остается в силе и для тормозного излучения в предельной
релятивистской области, в то время как при малых энергиях для
позитронов должна быть внесена поправка [см. B5.19); величины
$о и !• для позитронов имеют другой знак].
Поскольку мы не рассматриваем этой последней области,
единственное отличие состоит в том, что позитрон, проходя через
0,03
0,02
0,01
20
1 Ю
(E-mcz)/mc2
WO
Фиг. 32. Аннигиляция позитронов в свинце.
Кривая w (Ef) dEr представляет вероятность аннигиля-
аннигиляции позитрона с энергией Е'% Er+dEr в свинце. Кри-
Кривая W(Eii) представляет полную вероятность аннигиляции
позитрона с начальной энергией Eq во время движения
в свинце.
вещество, может аннигилировать. В § 27 была вычислена вероятность
аннигиляции позитрона при соударении со свободным электроном.
Если обозначить эффективное сечение этого процесса1) через ср (?;'>»
то вероятность того, что позитрон аннигилирует, пройдя расстоя-
расстояние dx, равна
Здесь в качестве Е! нужно подставить энергию позитрона в данной
точке его пути. Поскольку величина ср задана как функция от Е',
удобно ввести вероятность аннигиляции на интервал энергии dE'.
Эта вероятность равна [36]
C7.20)
— dE'jdx
1) Мы рассматриваем только двухфотонную аннигиляцию.
28 Зак. 1260. В. Гайтлер
434 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
где —dE1jdx—потери энергии на единице пути, вычисленные
в п. 1—3.
Подставив для cp(?v) формулу B7.10), а для dE'/dx — значения,
приведенные на фиг. 26, мы получим дифференциальную вероятность
аннигиляции на интервал энергии dE' в свинце, которая изображена
на фиг. 32. Мы видим, что она имеет максимум при Ег — тс2~тс2.
Как при больших, так и при меньших энергиях позитрон теряет
энергию так быстро, что не успевает аннигилировать. В соответствии
с результатами § 27 w(E') дает также распределение интенсив-
интенсивности непрерывного излучения, сопровождающего аннигиляцию.
Интегрируя выражение C7.20) по всей области энергий, полу-
получаем „полную вероятность аннигиляции во время движения".
= J w(E')dE'. C7.21)
Эта величина для свинца также изображена на фиг. 32, Полная
вероятность аннигиляции медленно возрастает с увеличением началь-
начальной энергии Ео, асимптотически стремясь к постоянному пределу при
очень больших энергиях. Для свинца этот предел составляет при-
примерно 20%. Таким образом, из быстрого пучка позитронов 20%
аннигилируют во время движения, а остальные 80% благополучно
доходят до конца свободного пробега. После этого они аннигили-
аннигилируют в течение времени, вычисленного в § 27 [см. B7.11I.
§ 38. Каскадные ливни
Одним из наиболее удивительных явлений, имеющих место в косми-
космических лучах, являются ливни. Было обнаружено, что при прохожде-
прохождении быстрых электронов из космических лучей через вещество
(например, металлическую пластинку толщиной в несколько санти-
сантиметров) образуется* большое количество позитронов и электронов.
Число этих частиц бывает от двухсот до нескольких сотен, боль-
большие же ливни содержат несколько тысяч частиц. Это явление было
открыто Блэккетом и Оккиалини [37, 38] с помощью камеры Виль-
Вильсона 1).
1. Механизм каскадных ливней* С помощью теории потерь на
излучение и образования пар возможно полностью объяснить явление
ливней, как своего рода каскадный процесс. Мы видели, что быстрый
электрон вскоре теряет свою энергию посредством излучения. По
прохождении электроном расстояния 1/Afcprad. [или 1/&1п 2, см.C7.14'I
его энергия уменьшается в среднем в е раз по сравнению с началь-
начальной энергией Ео (расстояние, на котором энергия уменьшается
I) О более поздних экспериментах см. любые монографии по космическим
лучам.
§ 38. Каскадные ливни 435
до ^г^о» равно 1/й). Значительная часть этой энергии излучается
в виде фотонов энергии k, сравнимой с Ео. Действительно, весьма
вероятно, например, что излучается фотон энергии k = lj2E0. Лишь
малая доля энергии излучается в форме мягких фотонов с энергией
k < 20 [л, и эта доля тем меньше, чем больше Ео. Расстояние 1/Яп2
для больших энергий составляет
15,2 (РЬ),
18j3 (н20) C8Л)
(мы основывались на точных результатах § 25, что лучше, чем
использование упрощенного уравнения C7.12)]. Во-вторых, фотон
большой энергии, как показано в § 36, имеет весьма большой коэф-
коэффициент поглощения с образованием пары. В пределе очень больших
энергий, согласно § 26, получим
11,5 (РЬ),
13)9 (На0) C8.2)
Средняя длина пробега такого фотона, т. е. расстояние, для кото-
которого вероятность образования пары есть 1—е~*9 равна т, что
по порядку величины близко к 1/Яп2. Отношение
¦у = 0,76 C8.3)
для всех веществ практически одинаково.
Из фиг. 16 (стр. 295) видно, что при образовании пары энергия
в среднем делится поровну между позитроном и электроном. Сле-
Следовательно, они оба получают энергию того же порядка величины,
что и Ео (хотя, разумеется, она меньше примерно в 4 раза), и при
дальнейшем движении в веществе они могут испустить еще фотоны
большой энергии. Последние снова образуют пары. Таким образом,
процесс повторяется с образованием все большего количества пар.
Весь „каскад" умножения происходит/ на длияе в несколько ft".
Наконец, энергии электронов, позитронов и фотонов становятся
настолько малыми, что дальнейшее образование жестких фотонов
и пар прекращается. В качестве критического можно принять то
значение энергии, при котором потери на излучение становятся
сравнимыми с потерями на ионизацию. Из фиг. 26 видим, что для РЬ
это имеет место примерно при \5тс'2, а для Н2О—при 200/тгс2.
Приблизительно при 'этих же значениях энергии начинает быстро
убывать скорость образования пар фотонами (см. фиг. 17).
Каскадную теорию ливней разработали независимо Карлсон и
Оппенгеймер и- Баба и Гайтлер [39, 40J с помощью различ-
различных математических методов. Дальнейшее усовершенствование и
обобщение теории как в отношении физических, так и математи-
28*
436 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
ческих апроксимаций было осуществлено в работах различных авто-
авторов [41—49]1).
Детальная разработка каскадной теории ливней связана со зна-
значительными трудностями, и здесь мы не будем входить в детали.
Некоторые существенные особенности явления могут быть получены,
однако, из весьма грубой модели. .
Во всех веществах каскадный процесс происходит в одной и
той же области, если измерять толщину не в сантиметрах, а в ха-
характеристических длинах 1/Яп2. Толщину слоя вещества, измерен-
измеренную в этих единицах, обозначим через t. „ Единицаи длины /0 для
различных веществ приведена в табл. 13. Примем следующую гру-
грубую апроксимацию. При прохождении электроном глубины t — \n2
(расстояние, на котором энергия в среднем уменьшается в два раза)
он всякий раз излучает фотон с энергией, равной половине его
собственной. В действительности энергия xI2Eq будет как-то рас-
распределена между различными фотонами, и наша модель несколько
переоценивает число частиц. При прохождении фотоном глубины
/ = 1п2 [мы пренебрегаем тем, что пробег фотона несколько больше,
см. формулу C8.3)] он всякий раз образует пару, причем электрон
и позитрон получают по половине энергии фотона. Полное число
электронов, позитронов и фотонов на глубине / будет, следова-
следовательно, равно ег, и энергия каждой частицы составит Еое~*. После
того как эта энергия достигнет предела Ес, она будет далее идти
на образование мягких фотонов, которые уже не смогут порождать
пар, а также на ионизацию. Мы учтем это, сделав 'предположение,
что размножение частиц прекращается, когда Еое~г становится
равным ъЕс, где х — число порядка единицы. Следовательно, макси-
максимальное число частиц и фотонов достигается на глубине
t ~\nJkm C8.4)
Нетрудно видеть, что в этой модели при не очень малых t число
фотонов равно примерно 1/i полного числа частиц. Следовательно,
максимальное число электронов и позитронов равно
Nm~^*el9 C8.5)
После того как число частиц достигло максимума, оно постепенно
уменьшается вследствие потерь на ионизацию и испускания мягких
фотонов, причем образуется лишь небольшое количество пар с малой
энергией. Наконец ливень полностью затухает.
Формулы C8.4) и C8.5), разумеется, не претендуют на точность,
и из этой грубой модели нельзя получить представления о деталях'
I) См. также Иваненко Д. Д., Соколов A. A., Phys. Rev., 53,
-910 A938).— Прим. ред.
§ 38. Каскадные ливни 437
процесса, но все же отсюда можно извлечь некоторые важные каче-
качественные выводы:
а) Максимальное число частиц в ливне пропорционально энер-
энергии Ео частицы, образовавшей ливень.
б) Глубина, при которой достигается максимум частиц, пропор-
пропорциональна логарифму Ео и равна нескольким „каскадным единицам" /0.
в) Развитие ливня не зависит от природы вещества, если тол-
толщина измеряется в каскадных единицах, а начальная энергия —
в единицах критической энергии Ес. Как видно из C8.1) и C8.2),
каскадная единица обратно пропорциональна iVZ3. Критическая
энергия примерно пропорциональна 1/Z.
г) Угловая ширина ливня, очевидно, невелика, поскольку при
больших энергиях как испускание фотонов, так и образование пар
имеют место преимущественно при малых углах отклонения.
Эти общие заключения будут в основном подтверждены более
точной теорией.
2. Результаты каскадной теории. Средние величины. Развитие
электронно-фотонного каскада представляет собой настолько слож-
сложную проблему теории вероятностей, что нет надежды получить ее
точное решение. Фактически требуется выяснить лишь следующее.
Задан электрон энергии Ео, попадающий в слой вещества. Надо
вычислить вероятность обнаружения N электронов с энергией > Е
на глубине t, а также вероятность найти известное количество фо-
фотонов. Во всех работах по каскадной теории ливней эта задача
делится на две части. Во-первых, определяют среднее число элек-
электронов N{E0, E, t) и фотонов Np(E0> k, t) с энергией больше Е,
или ky на глубине ?. Во-вторых, исследуют флюктуации этих вели-
величин. Очевидно, второй вопрос значительно сложнее первого, и до
сих пор он решен лишь частично (см. п. 3)
Первая проблема сводится к решению диффузионной задачи для
величин Л/, Л/"р. Даже и эту задачу можно решить лишь после неко-
некоторых физических упрощений. Полное решение можно получить при
следующих апроксимациях (приближение А):
а) Для эффективного сечения тормозного излучения и образова-
образования пар используются асимптотические формулы, соответствующие
очень большим энергиям и полному экранированию, т. е. фор-
формулы B5.26), B5.34), B6.13) и B6.15).
б) Все другие процессы не принимаются во внимание, в частно-
частности пренебрегается процессами потерь энергии при столкновениях
и эффектом Комптона.
в) Предполагается, что все частицы испускаются в направлении
движения, и уширение ливня не учитывается1).
I) Уширение ливня было вычислено в работе [50]. Оно обусловлено
главным образом многократным рассеянием на малые углы.
438 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
Можно развить улучшенный вариант теории, если учесть
потери энергии электронами при столкновениях (приближение В).
При этом делается допущение г) что потери энергии при столкнове-
столкновениях не зависят от энергии.
Как будет показано дальше, если решена задача Л, можно
в достаточно хорошем приближении получить и решение задачи В>
если соответствующим образом переопределить параметры в задаче Л.
Очевидно, что все эти допущения справедливы для очень боль-
больших энергий. Наиболее существенна апроксимация „а". Она спра-
справедлива с достаточной точностью лишь для Е > 200 а. Для меньших
энергий получается завышенная оценка размножения. Однако даже
если cprad считается постоянной, потери на излучение пропорцио-
пропорциональны Е и уменьшаются с уменьшением Е. Потери энергии при
столкновениях во всяком случае больше пэтерь на излучение при
энергиях меньше Ес (см. ниже), и в этой области электроны тор-
тормозятся настолько быстро, что неточности в cprad не оказывают
существенного влияния. Поэтому можно ожидать, что некоторая
погрешность в приближении В, которая имеет место при энергиях
порядка Ес1 не может быть велика, если Ео значительно больше Есг).
Заметим, что пренебрежение эффектом Кэмптона в апроксимациях
„б" и „г" <рполне справедливо. В самэм деле, из уравнения C6.5)
видно, что хотя фотон испытывает подобно электрону потери энер-
энергии при столкновениях вследствие эффекта Комптона, однако они
значительно меньше, чем для электрона. Так как число фотонов
того же порядка, что и число электронов, то эти потери энергии,
не существенны. С другой стороны, пренебрежение возрастанием
потерь энергии при столкновениях при малых энергиях существенно
лишь при Е < 2jjl; таких малых энергий мы рассматривать не будем.
Условие „г" справедливо при Е ^> [х.
Как уже указывалось в п. 1, развитие каскада не зависит от
вещества, если глубина измерена в „каскадных единицах". Это выте-
вытекает из того факта, что отношение характерных длин для тормоз-
тормозного излучения и поглощения фотонов есть постоянная величина,
практически не зависящая от Z. Учет потерь при столкновениях
(в приближении В) не меняет этого факта. Кроме того, дифферен-
дифференциальные эффективные сечения для тормозного излучения и обра-
образования пар зависят лишь от отношений EJE, EJk и т. д. Отсюда
следует, что в задаче А числа N и Np могут зависеть лишь от
отношений энергий EJE, E0/k, но не от самих энергий. Таким
1) В работе Арли [42] сделана следующая апроксимация. При ^С
пренебрегается потерями энергии при столкновениях, при Е<^ЕС прзнебре-
гается тормозным излучением и образованием пар. При соответствующем
выборе Ес это приводит к результатам, мало отличающимся от полученных
в принятых выше допущениях. Метод Арли есть дальнейшее развитие изло-
изложенного в § 37, п. 5.
§ 38, Каскадные ливни 439
образом, в задаче Л нужно найти функции
В задаче В вводятся еще другие параметры. Пусть потери
энергии на столкновения равны
-1**\ =3.
W/coll. '
Пусть /0 — каскадная единица (в см), определенная соотноше-
соотношением
°°))"l = V <38-6>
где cprad (сю) — значение cprad при Е-+оо. Определим тогда кри-
критическую энергию Ес как потерю энергии на столкновения на пути,
равном одной „каскадной единице":
Ес = р10 или _(g)=;Vcprad(TO)Ec. C8.7)
Отсюда видно, что Ес будет также энергией, при которой потери
на столкновения равны потерям на излучение, если cprad постоянно.
В действительности cprad меньше cprad (cxdI). Эта разница невелика,
поскольку Ес по порядку величины не менее 15 jx. Для cprad было ис-
использовано борновское приближение.
В табл. 13 приведены каскадные единицы /0 и Ес для различных
веществ. При вычислении /0 для учета влияния атомных электронов
на тормозное излучение и образование пар множитель Z3 (в ср) был
заменен на Z(Z-j-0,8) (см. § 25 и 26). Величину Ес трудно опре-
определить с большей точностью, так как потери энергии при столкно-
столкновениях также зависят от энергии. Поскольку это имеет значение
главным образом для сравнительно медленных частиц, примем для В
значение вблизи Ес. Из фиг. 26 получим l3/iVZcp01 = 15 для Pb
и 20 для Н2О, причем для конденсированных веществ принят во вни-
внимание поляризационный эффект.
1) Некоторые авторы приводят значение Ес, которое определяется из
соотношения
что дает несколько иное значение Ес. Заметим, что некоторые авторы при-
приводят данные, в которых в качестве „каскадной единицы" принято /01п2.
Приведенные в табл. 13 цифры нужно было бы еще исправить на отклоне-
отклонения от борновского приближения [см. B5.35) и B6.15')]. Это привело бы
к увеличению /0 и Ес примерно на 1О70 для свинца и несколько менее для
легких элементов.
440 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
Таблица 13
ХАРАКТЕРНЫЕ КАСКАДНЫЕ ЕДИНИЦЫ
Единица длины /0, см
Критическая энер-
энергия, тс2
Воздух
29 800
155
нао
38
170
С
20
180
А1
9,1
90
Fe
1,70
45
Си
1,42
42
Sn
1,21
24
Pb
0,51
14
Математические методы, применяемые для решения задач А и Ву
описаны в книге Яноши [51] *), и мы не будем их здесь приводить.
4 5- 6 7 8 9 10
Фиг. 33. Типичные каскадные кривые для ливня, создан-
созданного электроном с энергией ?0 == 100?с.
Среднее число позитронов и электронов (включая первичный электрон)
в зависимости от глубины t в каскадных единицах; сплошная линия —
число частии с ?> Яс без учета потерь на столкновения; тоже
с учетом потерь на столкновения; число частиц с Е > O,lffc
(с учетом потерь на столки вения); — •—•--• —число фотонов с k > EQ
(без учета потерь на столкновения).
Рассмотрим сначала задачу А (т. е. пренебрежем потерями на иони-
ионизацию). При этом средние числа частиц зависят лишь от t и от
отношения энергий EofE. Задача А решается точно, исключая окон-
окончательно вычисление некоторых интегралов, когда используется метод
горевала. Последнее вносит ошибку не более 10—15%.
На фиг. 33—35 сплошные кривые представляют средние числа
электронов и позитронов (включая первичные частицы) с энергией
больше Е в зависимости от глубины t при различных значениях Ео/Е.
*) Подробные численные данные приведены в работе [52]. Кривые, при*
веденные на фиг. 33—35, основаны на таблицах, помещенных в стой работе.
§ 38. Каскадные ливни
44*
На фиг. 33 изображено также число фотонов с энергией k > ?с.
Видно, что оно примерно совпадает с числом электронов и пози-
позитронов той же энергии*). Во всех случаях максимальное значение
числа частиц достигается на глубине в несколько каскадных единиц»
причем с увеличением отношения Ео/Е положение максимума сдви-
сдвигается в область больших тблщин. Максимальное число частиц быстра
2,0
2,5
{5
1.0
0,5
м
ш
12
i
У*
V
г
\2
<
.4
\
ч
N
-»IL i Л
S
\
*v
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 W
Фиг. 34. Каскадные кривые для ливня, созданного элек-
электроном с энергией EQ.
Представлен логарифм среднего числа частиц с энергией большг Е в зави-
зависимости от/.Числа,проставленные на кривых.указывают значение %**\g(EJE)»
Сплошные кривые рассчитаны без учета потерь на столкновения и спра
ведливы при ?>/?с; с учетом потерь на сто ;кновения и
при Е=ЕС; с учетом потерь на столкновения и при E^hlE^
— •—• — каскадные кривые для ливня, созданного фотоном (с первичной
энергией kj, ^-igftJE» число электронов с энергией > Е, без учета
потерь на столкновения.
растет с ростом EJE. Это вполне согласуется с результатами упро-
упрощенного рассмотрения в п..1. Действительно, максимум сплошной
кривой фиг. 30—35 может быть достаточно хорошо представлен:
соотношением
tm = \
C8.8)
1) Кроме того, присутствует большое количество фотонов малой энер-
энергии [53].
442 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
Рассмотрим теперь приближение В. Можно ожидать приблизи-
приблизительно следующее: электрэн, образованный с энергией Е\ будет
иметь энергию Е = Е'— Ect на глубине t в том случае, если он
не испытывает потерь на излучение. Он пройдет в среднем рас-
расстояние ?~1, прежде чем станут существенны потери на излуче-
излучение. Если мы рассматриваем электроны с энергией Е на глубине t,
большинство из них было образовано на глубине t — g и обладало
10 15 20 25 30
Фиг. 35. То же, чтсГи на фиг. 34, для больших
значений е.
энергией Е' — Е-\- gEc, где g— величина порядка единицы. Действи-
Действительная функция распределения будет примерно такой же, как без
учета столкновений, если вместо Е подставить энергию электронов
в момент образования E-{-gEc. Действительно, оказывается, что
именно так и обстоит дело. Однако g не является стрэго постоян-
постоянной, но слабо зависит от t и Е- С достаточно хорошим прибли-
приближением получим
NB(E0, Е, t) = NA(E0, E+gEc, t), g=g$r> t), C8.9)
где Na> N-b — среднее число электронов в задаче А и В соответ-
соответственно (решение уже более не является точным). Таким образом,
теперь Nb зависит от двух отношений EJE и Е/Ес. Фактор g
представлен на фиг. 36; как видим, он действительно не очень сильно
зависит от EJE и t*
На фиг. 33 представлены типичные каскадные кривые для ливня,
созданного электроном с начальной энергией ?0=100Ес. Видно,
§ 38. Каскадные лиёни
443
что потери энергии на столкновения уменьшают число относительно
быстрых электронов (Е > Ес) примерно в два раза. Число электро-
электронов с Е>О,\ЕС (с учетом столкновений) лишь немного меньше
Na{E > Ес). Если грубо разделить электроны на быстрые (Е > Ес)
и медленные (Е < Ес), то число быстрых и медленных электронов
будет примерно одинаково всюду, кроме области малых толщин,
где, естественно, медленных электронов меньше.
На фиг. 34 и 35 приведены три типа кривых: a) N^(E0/E)
{сплошные кривые), б) NB(E0/E, Е = Ес) (пунктирные кривые),
в) NB(EOIE, Е = 0,1Ес)
1,2 г
{пунктирные кривые). При
этом указываются значе-
значения е = \g (Eo/E) для каж-
каждой кривой.
Заметим, что величины
Е = О,\ЕС) относятся к од-
одному и тому же значе-
мы видим,
нию Ео. Опять
что кривые
совпадают
W
0,8
1
0,6
0,4
Q2
Na($)
О
0 2 4 6
8
t
10. 12 14 16
Фиг. 36. Вспомогательная функция g, ис-
используемая при вычислении потерь при
столкновениях е = Jg (Ео/Е) [см. C8.9)].
почти
]в (з + Ь
Е = О, \ЕС). Величина
NB (з, Е =. Ес) составляет
примерно половину от
Л^^(з), исключая область от-
сительноно малых толщин.
Энергетический спектр электронов можно получить из фиг. 33—35
следующим образом. Если интересоваться быстрыми электронами
с энергией Е ^> Ес> то из соотношения C8.9) видно, что можно
пренебречь потерями на столкновения (поскольку g едва ли превы-
превышает единицу). Кривые Na (сплошные) представляют тогда инте-
интегральный спектр. Например, вблизи максимума Nm{E)—\/Е и,
следовательно, дифференциальный спектр имеет вид
n(E)dE~^. C8.10)
Это соотношение приближенно выполняется вплоть до Е — Ес. Вблизи
энергии Ес и ниже спектр становится более равномерным. В интер-
интервале 0,\Ес — Ес содержится приблизительно столько же частиц,
сколько и в интервале Ес — Ео. Однако в области малых энергий
вся развитая теория вследствие грубости использованных апрокси-
маций носит скорее качественный, чем количественный характер.
Благодаря выравниванию спектра число электронов при дальнейшем
убывании энергии возрастает довольно медленно. Сказанное, однако,
444 Гл. 7. Прокипающая способность излучения высокой энергии
не относится к Е < 2 [х, так как при этом быстро возрастают потери
на ионизацию.
Приведенные графики с учетом фактора g позволяют легко
найти величины Nb для всех значений Ео, Е и t с помощью интер-
интерполяции.
Ливни могут создаваться также и фотонами. На фиг. 34 изо-
изображено также среднее число электронов и фотонов в ливне, вызван-
вызванном фотоном (при 8 = 2 и 4). Можно ожидать, что первая пара
будет создана фотоном лишь по прохождении пути примерно в одну
каскадную единицу. Следовательно, при t < 1 электронов практически
нет. В дальнейшем ливень должен развиваться примерно так же,
как и созданный электроном. Действительно, поздние стадии разви-
развития ливня не могут существенно зависеть от того, образован ли он
одним электроном с энергией Ео или электроном и позитроном,
обладающими в сумме той же энергией. Таким образом, каскадные
кривые для ливней, созданных фотонами и электронами, примерно
одинаковы, только первые смещены примерно на одну каскадную
единицу в сторону больших толщин.
3. Флюктуации. Рассмотрим теперь вопрос а том, насколько
истинное число электронов отклоняется от вычисленного среднего
значения N. Если бы тормозное излучение и образование пар были
статистически независимы, то имело бы место распределение Пуас-
Пуассона. Вероятность обнаружить N частиц, если среднее значение их
числа равно А/, составляла бы
C8.11)
Этот простой закон распределения вероятностей обладает тем
свойством, что для него среднеквадратичное отклонение дается
соотношением
(N — N)* = N* — N=N. C8.12)
Однако в ливне различные акты испускания не являются стати-
статистически независимыми, и распределение Пуассона не имеет места.
Но удобно сравнивать истинное распределение с формулами Пуас-
Пуассона C8.11) и C8.12).
Полное решение задачи о флюктуациях, которое дало бы функ-
функцию W(N)t до настоящего времени еще не получено. Значительный
прогресс был достигнут в работах Баба и Рамакришнана [54, 55J
и Яноши и Месселя [56—58]х). -Из их теории в принципе можно
вычислить все моменты распределения Nt 8/V2, 8iV3, . .. Как хорошо
I) См. также [59]. Из ранних работ по проблеме флюктуации см., в част*
ности, работу Скотта и Уленбека [60], а также превосходную тшигу Арли [42].
§ 38. Каскадные лцвни 445
изйестно, вероятность W(N) полностью определена, если известны
see эти моменты. Фактически, однако, удается вычислить лишь
наиболее существенный момент 8№. Во всех этих работах исполь-
используется простое приближение А (потери при столкновениях не учи-
учитываются).
Прежде чем излагать эти результаты, полезно дать качественное
рассмотрение вопроса. Нетрудно усмотреть один из источников
флюктуации. В § 37, п. 5 мы видели, что хотя в среднем при
уменьшении энергии до Еое~х электрон проходит путь ?=1,
флюктуации пробега около средних значений весьма велики, и почти
с той же вероятностью этот путь может оказаться равным 112 или 2
(см. фиг. 30). Рассмотрим теперь процесс возникновения ливня.
Первое столкновение может иметь место с большой вероятностью,
например, при t==2 вместо *= 1. Если это произошло, то предпо-
предполагая, что дальнейшее развитие ливня будет идти без флюктуации,
получим те же самые переходные кривые, что и для N, но смещен-
смещенные вправо на одну каскадную единицу. Если теперь рассматривать
ливень на некоторой заданной глубине tt то действительное число
электронов N будет отличаться от N следующим образом: при t <Ctm
число электронов N значительно меньше N [так как кривая W(t)
обладает большой крутизной]; при t — tm оно практически равно N,
так как в этой области кривая N идет полого; наконец, при t>tm
это число значительно превышает Nm. Пусть, например, е = 3,
a ?w = 6. При ?=12 N = 14, но истинное число частиц будет
Nz=zN(t— 13)= 19.« Среднеквадратичное отклонение составит
A9—14)9 = 25, что почти в два раза больше пуассоновского.
С другой стороны, вблизи максимума флюктуации значительно
меньше пуассоновских. Флюктуации велики и имеют противополо-
противоположный знак, если первое столкновение произошло при t = 1/2 вместо
*=1.
* «Флюктуации пробега могут иметь место также и на более поздних
стадиях процесса, однако их влияние оказывается малым. Если,
например, фотон где-либо вблизи t — tm образует пару, пройдя
путь ? = V2 вместо t—1, то это повлияет лишь на поколения,
порождаемые данным конкретным фотоном, т. е. лишь на малую
часть всего ливня. Кроме того, там есть много фотонов, пробеги
которых флюктуируют независимо в противоположных направлениях.
Поэтому можно ожидать, что главную роль иррают флюктуации
пробега при нескольких первых столновениях{ когда ливень еще
только образуется; эффект, ими обусловленный, был описан выше.
На фиг. 37 представлен десятичный логарифм среднего откло-
отклонения hN*IN в зависимости от t при различных значениях s = lg Eo/E.
Для распределения Цуассона мы имели бы \gW*/N = 0. Во всех
446 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
случаях есть две области, где 8ЛЛ2 значительно больше ЛЛ Они
находятся до и после максимума ливня — там, где кривые N имеют
наибольший наклон. Вблизи максимума величина 8ЛЛ3 очень мала —
практически неотличима от нуля (в этой области вычисления очень
неточны). Флюктуации здесь значительно меньше пуассоновских.
Все это качественно согласуется с приведенным выше рассмотрением,
Распределение \
Пуассона
Фиг. 37. Флюктуации каскадного ливня (созданного
электроном, без учета потерь при столкновениях).
ГТредставлена зависимость lgcWW) от ^при различных « = lg (EJE),
§iV2-iVa—N . Для сравнения приведено также среднее число
частиц N при е = 3.
Существует область, где W'2/N становится даже больше N. Это
имеет место на больших расстояниях за максимумом, где N равно 1—2
или менее.
Можно поставить вопрос о точном виде действительного распре-
распределения W(N). Разумеется, ответ нельзя получить, зная одну только
величину oN'2> Однако в качестве рабочей гипотезы можно принять
какое-либо правдоподобное предположение1). Полна обобщил распре-
распределение Пуассона таким образом, чтобы оно подходило для любых
!) Распределение Полна впервые было предложено в данной задаче
Арли [42], которому принадлежит также детальный математический анализ
этого распределения.
§ 38. Каскадные ливни
447
средних значений bN'2 и N только при условии, если Ш'2 > N. Эти
две средние величины входят в распределение Полна как пара-
параметры, в то время как в распределение Пуассона входит лишь N*
а Ш'2 фиксировано заданием N. Распределение Полна имеет вид
N\
1+bN/
легко проверить, что
+ bNI/b '
C8.13)
и, кроме того,
' ОО
^N*W(N) — ЛГ2 = 8Л^==Лф-Ь ftA/). C8.14)
о
Таким образом, параметр ft определяется среднеквадратичным
отклонением. При ft-^О формулы C8.13) и C8.14) переходят
в закон Пуассона C8.11) и C8.12). Условие ft>>0 необходимо;
отсюда вытекает ограничение bN2^N. Таким образом, распределе-
распределением Полна можно пользоваться лишь на некотором расстоянии
по обе стороны от максимума ливня, но это как раз то, что нам
нужно, ибо вблизи максимума флюктуации практически отсутствуют,
В качестве иллюстрации рассмотрим ливень на большой глубине
за максимумом. Например, при е = 3, ? = 20 мы имеем, согласна
фиг- 37, N = 0,385, bFF/N = 1,85. Следовательно, ft = 2,22. Рас-
Распределения Пуассона и Полна дают для W(N):
Распреде-444^
ление \^
Пуассона . . .
Полна ....
0
0,68
0,755
1
0,26
0,157
2
0,049
0,052
3
0,0063
0,0194
4
0,0006
0,008
Мы видим, что в то время как при 7V = 0,,l, 2 между обоими
распределениями почти нет разницы, вероятность появления довольно
большого числа частиц (редкий случай), согласно распределению
Полна, оказывается гораздо большей, чем в случае распределения
Пуассона. Хотя среднее значение N здесь равно лишь —0,4, вероят-
вероятность наблюдения четырех частиц составляет все же около 1%.
Истинное распределение может отличаться от распределения Полна
лишь в высших моментах 8Л/3 и т. д. Последние выявляются лишь
в различных нерегулярностях, которые маловероятны, или при
448 Г л* 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
вычислении W(N) в очень маловероятных случаях, когда значе-
значения W(N) во всех вариантах очень малы. Можно надеяться, таким
образом, что распределение Полна дает достаточно хорошее при-
приближение, исключая маловероятные случаи. (Для наиболее вероятных
случаев Л/ = 0, 1, 2 даже распределение Пуассона дает не слишком
плохие результаты.)
4. Экспериментальные данные. Выводы. В качественном отно-
отношении каскадная теория полностью подтверждается опытом. Хорошо
известны фотографии ливней, содержащих дЬ нескольких сот частиц;
«известны также случаи, когда полное число частиц исчисляется
тысячами. В больших атмосферных ливнях полное число частиц
близко к 105. Однако прежде чем назвать их каскадными ливнями,
«ужно удостовериться, что мы здесь действительно имеем дело
-с последовательно происходящим процессом, а не с множественным
процессом (как одно время предполагалось) или серией множествен-
множественных процессов, когда в одном акте образуется несколько частиц.
Удалось доказать, что мы действительно имеем дело с каскадом,
помещая в камеру Вильсона ряд тонких свинцовых пластинок.
Траектории частиц между пластинками становятся видимыми, и
можно наблюдать, как размножаются частицы и как постепенно
образуется и потом затухает ливень. Однако при критическом
подходе даже и этот эксперимент не исключает возможности сме-
смешанной природы ливня, когда на каскадный процесс накладывается
<еще ряд множественных процессов небольшой кратности. Повиди-
мому, наиболее прямым доказательством чисто каскадной природы
ливней1) являются эксперименты с фотопластинками, на которых
можно видеть все части следов частиц. На этих фотографиях видно,
что весь процесс разбивается на рлд „вилок", состоящих из двух
ветвей, т. е. вдоль оси ливня'3) возникают все время одиночные
пары частиц.
Труднее произвести количественную проверку теории. Известно
"бесчисленное количество экспериментов, полукрличественно подтверж-
подтверждающих предсказания15). Например, были проверены следующие
утверждения. Ливень развивается до максимума на глубине несколь-
нескольких каскадных единиц, и эта глубина медленно возрастает с ростом
величины ливня (т. е. первичной энергии); приближенные значения
каскадной единицы приведены в табл. 13; там же указана их зави-
зависимость от Z. Большинство частиц в полностью развившемся ливне
имеет энергии ~ Ес\ приближенные значения Ес также приведены
в табл. 13. Для Е > Ес распределение по энергиям примерно пере-
*) Разумеется, следует ожидать присутствия множественных процессов
в отношении 1/тс 137 к однократным (см. § 23).
2) Фотографии были получены в работе [61J.
3) Детали читатель может найти в книгах по космическим лучам.
Литература 449
дается формулой C8.10). Дальнейшее размножение имеет место
при переходе уже развившегося каскада из среды с малым Z
в среду с большим Z (вследствие того, что Ес имеет большие зна-
значения для малых Z). Этот переходной эффект также предсказывается
теорией. Если просуммировать энергию всех частиц ливня (с учетом
энергии фотонов и потерь при малых энергиях), то можно оценить
порядок величины энергии первичной частицы Ео и проверить соот-
соотношение между Ео и числом ливневых частиц.
Ко времени написания этой книги не было опубликовано работ
по точной количественной проверке теории при очень больших
энергиях. Приведенные ниже выводы, однако, по всей вероятности,
хорошо оправдываются опытом.
Должно существовать, по крайней мере, приближенное согласие
теории с опытом вплоть до энергий, при которых образуются ливни
в несколько сот или тысяч частиц, т. е. приблизительно до
10б—106 Мэв. Это довольно скромная оценка. Если бы при энер-
энергиях 106 Мэв теория давала неверный порядок величины эффектив-
эффективного сечения образования пар, то было бы очень трудно понять,
каким образом вообще в тонких пластинках свинца может образо-
образовываться ливень, содержащий тысячи частиц. Естественно, расхож-
расхождения в два или три раза еще не могли бы быть обнаружены.
Поэтому мы приходим к выводу, что теория тормозного
излучения и образования пар (а, возможно, и всех других радиа-
радиационных процессов), т. е. квантовая электродинамика электронов
и позитронов, остается вполне справедливой вплоть до наиболее
высоких наблюдаемых значений энергии. Никакого ограничения
пределов применимости этой теории (пока) не наблюдается.
ЛИТЕРАТУРА
1. Davisson С. М., Evans R. D., Phys. Rev., 81, 404 A951).
2. Walker R. L., Phys. Rev., 76, 527 A949).
3. Law son J. L., Phys. Rev., 75, 433 A949).
4. de Wire J. W., Ashkin A., BeachL. A., Phys. Rev., 82, 447 A951).
5. Fold у L. L., Phys. Rev., 81, 395 A951),
6. Foldy L. L., Osborn R. K., Phys. Rev., 81, 400 A951).
7. Bohr N., Phil. Mag., 25, 10 A913); 30, 581 A915).
8. M0ller Ch., Ann. d. Phys., 14, 531 A932).
9. Be the H., Handb. d. Phys., XXIV A), 521, 1933 (см. перевод: Бете Г.,
Квантовая механика простейших систем, М.—Л., 1935).
10. Williams E. J., Ргос. Roy. Soc, A135, 108 A932); А139, 163 A933); А169,
531 A939); Phys. Rev., 58, 292 A940).
И. В loch F., Ann. d. Phys., 16, 285 A933); Zs. f. Phys., 81, 363 A933).
12. Livingston M. S., Be the H. A., Rev. Mod. Phys., 9, 245 A937).
13. Bohr N.. Det. Kgl. danske Vidensk. Selsk., 18, No. 8 A948).
14: Ландау Л. Д., Journ. of Phys. (СССР), 8, 201 A944).
15. Черенков П. А., ДАН СССР, 2, 451 A934); 20, 651 A938); 21, 116.
339 A938).
16. Франк И., Т а м м И., ДАН СССР, 14, 109 A937). ,
17. Та мм И., Journ. of Phys. (СССР), 1, 439 A939).
29 Зак. 1260. В. Гайтлер
450 Гл. 7. Проникающая способность излучения высокой энергии
18. Sommerfeld A., Optik, Wiesbaden, 1950 (см. перевод: Зоммер-
фельд А., Оптика, ИЛ, 1953).
19. Halpern О., Hall H., Phys. Rev., 57, 459 A940); 73, 477 A948).
20. Fermi E., Phys. Rev., 57, 485 A940).
21. Wick С, Ric. Sclent., 11, 273 A940); 12, 858 A941); Nuovo Cimento, 1,
302 A943).
22. Bohr A., Det. Kgl. danske Vidensk. Selsk. 24, No. 19 A948).
23. Sen on berg M., Nuovo Cimento, 8, 159 A951).
24. Becker J., Chanson P., Nageotte E., Treille P., Price В. Т.,
R о t h W e 11 P., Proc. Phys. Soc, 65, 437 A952).
25. Ghosh S. K., Jones G. M. D. В., W i 1 s о n J. G., Proc. Phys. Soc, 65,
68 A952).
26. Pickup F., Voyvodic L, Phys. Rev., 80, 89 A950).
27. Montgomery D. J. X., Cosmic Ray Physics, Princeton, 1949.
28. Be the H., He i tier W., Proc. Roy. Soc, A146, 83 A934).
29. Eyges L., Phys. Rev., 76, 1113 A948); 77, 81 A950).
30. J a h n k e—E m d e, Tables of Functions, 2nd ed., 1933 (см. перевод: Я н к е Е.,
Эмде Ф„ Таблицы функций с формулами и кривыми, М. — Л., 1949).
31. Pearson, Tables of the Incomplete Г-function.
32. Anderson С. D., Neddermeyer S. H., Phys. Rev., 50, 263 A936).
33. Blackett P. M. S., Proc. Roy. Soc, A165, 11 A938).
34. Wilson J. G., Proc. Roy. Soc, A166, 482 A938).
35. Neddermeyer S. H., Anderson С D., Phys. Rev., 51, 884 A937).
36. Be the H., Proc. Roy. Soc A150, 129 A935).
37. Blackett P. M. S., О с с h i a 1 i n i G. P. S., Proc Roy. Soc, A139, 699
A933).
38. Blackett P. M. S., О с с h i a 1 i n i G. P. S., С h a d w i с k J., Proc.
Roy. Soc, 144, 235 A934).
39. Carlson J. F., Oppenheimer J. R., Phys. Rev., 51, 220 A936).
40. В h a b h a H. J., H e i 11 e r, W., Proc. Roy. Soc, A159, 432 A936).
41. Arley Nr, Proc Roy. Soc, A168, 519 A938).
42. Arley N., Theory of Stochastic Processes, Copenhagen, 1943.'
43. Arley N., Eriksen В., Det. Kgl. danske Vidensk. Selsk., 17, No. 11 A940).
44. Ландау Л., Румер Г., Proc. Roy. Soc, A166, 213 A938).
45. Rossi В., Gre isen K., Rev. Mod. Phys., 13, 240 A941) (см. перевод:
P о с с и Б., Г р е й з е н К., Взаимодействие космических лучей с веще-
веществом, ИЛ, 1950).
46. В h a b h a H. J., С h a k r a b a r t у S. К., Proc Roy. Soc, A181, 267 A943);
Proc. Ind. Ac. Sc, 15, 464 A942); Phys. Rev., 74, 1352 A948).
47. Chakrabarty S. K., Proc. Nat. Inst. Sc. India, 8, 331 A942).
48. Jan ossу L., Messel H., Proc. Phys. Soc, 64, 1 A951).
49. Тамм И., Беленький С., Phys. Rev., 70, 660 A946).
50. Rob erg J., Nordheim L. W., Phys. Rev., 75, 444 A949).
51. Janossy L., Cosmic Rays. Oxford, 1948 (см. перезод: Я нос с и Л., Кос-
Космические лучи, ИЛ, 1949).
52. Janossy L., М е s s е 1 Н., Proc Roy. Ir. Ac, 54, 217 A951).
53. Richards J. A., Nordheim L W., Phys. Rev., 74, 1106 A948).
54. Bhabha H. J., R a m a kri s hna n A., Proc. Ind. Ac. Sc, 32, 141A950).
55. R a m a k r i s h n a n A., Proc. Cambr. Phil. Soc, 46, 595 A950).
56. Janossy L., Proc. Phys. Soc. 63, 241 A950).
57. Janossy L., MesseiH., Proc Phys. Soc, 53, 1101 A950).
58. Messel H., Proc. Phys. Soc, 64, 807 A951).
59. Scott W. Т., Phys. Rev., 82, 893 A951).
60. S со 11 W. Т., UhlenbeckG.E., Phys. Rev., 62, 497 A942).
61. Hooper J. E., King D. T,, Morrish A. H., Canad. Journ. Phys.,
29, 545 A951).
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СВЕТА (§ 7)
В теории Максвелла вектор Пойнтинга S (деленный на с2) интер-
интерпретируется как плотность импульса поля. Поэтому момент коли-
количества движения относительно данной точки О (или данной оси)
можно определить как
M = -5- lrS]dz, (I. 1)
с J
где г — расстояние от точки О.
Плоская волна, распространяющаяся вдоль оси z (и не ограни-
ограниченная в направлениях х, у), не имеет момента количества движе-
движения относительно этой оси, так как вектор S направлен по оси z
и, следовательно, [rS]2=0. Однако для волны, ограниченной в пло-
плоскости х, у, это уже не так. Рассмотрим плоскую волну, отличную
от нуля, лишь внутри цилиндра с осью z и распространяющуюся
вдоль этой оси. Пусть на стенках цилиндра r=R амплитуда волны
обращается в нуль. Тогда можно показать, что граничная область
такого волнового пакета вносит конечный вклад в Мг.
Если во внутренней области г < R мы имеем плоскую цирку-
лярно поляризованную волну частоты v (или близкой к v, так как
для построения волнозого пакета требуется набор частот), то вели-
величина Mz оказывается пропорциональной полной энергии U
Мг = ±Ц>. A.2)
Здесь знак зависит от направления поляризации. Таким образом,
несмотря на то, что возникновение момента Mz представляет собой
поверхностный эффект, величина его пропорциональна объему [1—3].
Соотношение (I. 2) носит чисто классический характер, однако
его можно интерпретировать и квантовым образом. Если п — число
фотонов U = nfa, то Мг — ±пЬ. Это означает, что каждому "цир-
кулярно поляризованному фотону соответствует момент количества
движения ±h. В известном смысле можно сказать, что фотон имеет
спин 1 с двумя компонентами ztzl. Однако третьей компоненты
MZ=Q, которая в принципе могла бы быть у частицы со спином 1,
в данном случае не наблюдается. Это следует из условия попе-
речности div A = 0, которое, в свою очередь, связано с калибровочной
29*
452 Приложения
инвариантностью теории. Если бы фотон имел конечную массу
покоя, то существовали бы три независимые поляризации, включая
продольную, для которой Мг=0. Для линейно поляризованного-
света момент количества движения при классическом рассмотрении,
очевидно, обращается в нуль. В квантовой теории Mz не имеет
определенного значения, среднее же его значение обращается в нуль.
Рассмотрим подробнее случай сферических волн с сингулярно-
стью в начале координат О. Можно представить себе, что эти волны
испускаются электрическим или магнитным мультиполем, находя-
находящимся в точке О. Такие сферические волны можно, как это обычно
делается, классифицировать по их угловой зависимости, определяе-
определяемой сферическими гармониками КГ(9, <р). Пусть А есть векторный
потенциал, удовлетворяющий уравнениям
divA=0; ПА = 0; Е--= — ~ A; H = rotA. A.3)
с
Существуют два вида сферических волн соответственно двум воз-
возможным поляризациям плоской волны. Их можно назвать волнами
электрического и магнитного мультипольного типа. Каждый тип
можно далее подразделять соответственно значениям чисел /, т,
т — —/, ...+/, характеризующих сферические гармоники [4—6].
Мы не будем выводить здесь явных выражений для Е, Н,
а лишь приведем результаты этих прямых, но достаточно громозд-
громоздких вычислений.
Угловая зависимость каждой компоненты Е, Н представляется
комбинацией сферических гармоник, нормированных, согласно усло-
условию
$fY$dQ = bwbmm.. A.4)
Радиальная зависимость дается функциями Бесселя полуцелого ин-
индекса
Jj, и (ХГ)
/,(*¦) = С,-i±^U. A.5)
Условимся считать, что функции / нормированы в сфере
радиуса R соотношением
J f2ir2dr=4Tzc2. (I. 6)
о
В дальнейшем множитель при функциях fi±x будет также выби-
выбираться в виде Сь а не Сг±1. Поля Ей Н имеют вид
/. Момент количества движения света 453
Электрический мультиполь:
?*===*T^ ^ а™ teT-iYT-ifi-iA-P?+iYT+ifi+i\-\- Компл. сопряженная,
с
(I. 7а)
h a + i^t m* jnT mvm + 1*^ n? wivw + i* . ,
Уi д -j- Компл. сопряженная,
A. 7r)
Магнитный мультиполь: получается заменой Е->Н, Н->- — Е.
В уравнениях (I. 7) величины а™ — независимые амплитуды,
а Я' Q—сокращенные обозначения для выражений
уг-1 Г /B/-J-1) B/— 1)
+ т — ! АГ/+1) (*=ря) (^"^
?-i Г / B/ + 1) B/ —
(I. 86)
Нам будут нужны также радиальные компоненты. Для электри-
электрического мультиполя они имеют вид:
r=le-Ma™YT V 1A+ 1)^ + Компл. сопряженная.'A.9)
Исследуя сингулярность в точке г = 0, можно убедиться, что
источниками таких волн действительно являются электрический и
магнитный мультиполи кратности 2/.
При выводе этих формул неоднократно использовались хорошо
известные соотношения для сферических гармоник и для функций
30 Зак. 1260. В. Гайтлер
454 Приложения
Бесселя. Для удобства читателя выпишем их здесь в подходящей
для наших целей форме1)
— *z — У — Pi+in+1 + У т+1 qx~x l~u
(I. 116)
«i = W-l7=-*f^> ^ = ^ + (' + lO= + ^-i- (M2)
Нам потребуется также интегрировать по г. В связи с этим
имеет место следующее соотношение:
J {*/?+1 +(Ч-
Чтобы получить счетное множество ортогональных функций,
удобно наложить какое-нибудь граничное условие, например, при
г = /?. Мы потребуем, чтобы тангенциальная составляющая Z: обра-
обращалась в нуль при г = R (зеркальное отражение). Это условие
выразится в виде соотношения
(*+ОЛ-1 0^) ='Ли (*Л)« О- 14)
Если в соотношении (I" 13) пределы интегрирования суть 0 и R,
то последний член в правой части обращается в нуль и, следова-
следовательно,
в R
Л (I. 15)
Вычислим теперь полную энергию
U = ±f(E* + H*)dx (I.16)
и ^-компоненту М
Ж* = i J d'r (fi'W*- *&)¦ (I• 16')
Знак Yf выбран таким образом, чтобы YJm = (— \)mYf*.
/. Момент количества движения света 455
Очевидно, что результат будет один и тот же как для элек-
электрического, так и для магнитного мультипольных излучений. В силу
ортогональности функций Yf1 все перекрестные произведения, отно-
относящиеся к волнам с различными значениями / или т, обращаются
в нуль1).
Для отдельной парциальной волны /, т с учетом (I. 8) и (I. 15)
мы получим
в
U _=. ^1.| ат\ъ{\(г)т ^2_i i_/pm \2_i_ Afp-w^l Г/2
Аналогично,
= 2v«|c!-|» = «^-. (I. 17)
Таким образом, для отдельной волны /, т имеем Мх = Му = 0.
Вновь мы убеждаемся, что между величинами U и Мг имеется
вполне определенная связь. Если энергия поля складывается из п
квантов пЪ» (см. ниже), то Mz = nmh. Отсюда явствует, что момент
количества движения отдельного фотона равен nth, что имело бы
место и для электрона (без спина). Однако соотношение (I. 17)
является чисто классическим.
Интересно отметить, что момент количества движения содер-
содержится не в чисто волновой зоне, где поле перпендикулярно г, и
ведет себя как
/,~ Х-cos [w —j«
Действительно,' в этой зоне Мг обращается в нуль, как видно из
A.16') и A.9): Mz пропорционально Ег, а ^г~1/г2. Конечный
вклад в Мг обусловлен тонким интерференционным эффектом [71
в области, где Е~1/г2 и Н—1/г (для магнитного мульти-
поля ?~1/г, Н~ 1/г2). С другой стороны, главный вклад в энер-
энергию U дает именно волновая зона. Несмотря на это, имеет место
точное соотношение пропорциональности (I. 17).
1) Хотя функции Y™ и Yfm не ортогональны в том смысле, что
Г Y™Yfmd Ф0, однако вследствие условия A.14) перекрестные произве-
произведения все же не возникают.
30*
456 Приложения
Сферические волны можно проквантовать точно так же, как и
плоские (см. § 7). Амплитуды а™ должны удовлетворять переста-
перестановочным соотношениям (для каждой частоты \)
afa-/ — afaf = ^blvbmmrt (I. 18)
из которых следует, что
*-
пт*пт пт JL
Величина п™ есть число фотонов с квантовыми числами /, т. При
этом фотон представлен не плоской (как в § 7), а сферической
,волной. Тогда 1/ = я™/К Mz = n™mh. Нетрудно проверить также,
что, как это и должно быть, компоненты М удовлетворяют пере-
перестановочным соотношениям:
[МхМу\ = /ЙЖ2; [MXU\ == О,
Мы видим, что составляющая момента количества движения Мг
может принимать любое целое значение т: Однако нельзя провести
резкого различия между орбитальным и спиновым моментамих).
Момент количества движения циркулярно поляризованной волны
был измерен [8] при пропускании ее через двояко преломляющую
пластинку, которая меняла поляризацию волны. Пластинка могла
вращаться вокруг оси световой волны. Было обнаружено, что после
прохождения света пластинка действительно начинала вращаться и
приобретенный ею момент количества движения в соответствии
с (Ы7) пропорционален числу прошедших фотонов.
П. ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ВЕКТОРНЫХ
ПОТЕНЦИАЛОВ ПРИ КУЛОНОВСКОИ КАЛИБРОВКЕ (§ 9—13)
Для того чтобы вывести перестановочные соотношения для про-
пространственных составляющих векторного потенциала ЛДг, t), при
кулоновской калибровке мы будем исходить из выражений G.3),
используя представление взаимодействия
-i(V)+iV}. (и. 1)
Здесь векторы ех перпендикулярны хх. Это обстоятельство обеспе-
обеспечивает автоматическое выполнение условия divA = 0 как оператор-
*) В случае цилиндрических волн также существуют решения
с Л1г = ±| т \h( | т|>1). Это не плоские волны, ибо здесь имеет место
зависимость от г. Результат (I. 2) справедлив для волнового пакета, для
которого поле не зависит (или практически не зависит) от г при r<^R.
//. Перестановочные соотношения для векторных потенциалов 457
иого тождества. Операторы qv <7* удовлетворяют перестановочному
соотношению
М3=-^. (".2)
а все другие коммутаторы равны нулю. Переходя к интегрированию
в пространстве x(v = *c), получаем
И*(г2, t2)Ak(rv tx)] =
Здесь принято во внимание, что
Первый интеграл ~Bife дает релятивистскую Д-функцию (8.26а).
Этот член равен — 4izihcA(r, t), r==r2— rv t=zt2 — tt.
Второй интеграл можно переписать в виде
Г ** %%e+i (xr) sin tf = ^!— Г ^ e+i (xr) sin ^ =
J *3 г Л dxi2dxkl J %з
Интеграл в (И. 4) равен 1/2^^ при ?|*|<|г| и 1/2те1г|8@ ПРИ
^|^|>|r| (s(x)==dzl при л:^0). Это можно записать в компакт-
компактной форме
Вводя функцию
^ (И. б)
получаем
J ^ }. (И. 6)
Производная от г(х) равна е' (х) = 28 (х). Отсюда следует, что
функция Н обладает следующими свойствами (з(г)= 1):
¦ySr-VW-Ad-.Q. Я(г.0) = 0. f (r, 0) = -4-i. (П. 7)
Перестановочные соотношения (И. 6) существенно отличаются от
перестановочных соотношений при лоренцовой калибровке наличием
31 Зак. 1260. В. Гайтлер ¦ ;
458 Приложения
последнего члена, который содержит Я. Этот член обращается в нуль
внутри светового конуса с \ 11 > г, так как там Я(г, t) = — (х/4 тс)г(О>
а это ничего не вносит в содержащиеся в (И. 6) производные по
пространственным координатам. Однако вне светового конуса доба-
добавочный член отличен от нуля. Очевидно, эта добавка имеет лишь
формальное значение, показывая, что вектор-потенциал А не является
измеримой величиной. Тем не- менее,, желая получить правильные
соотношения перестановки для напряженностей поля, второе слагае-
слагаемое в (II. 6) необходимо принимать во внимание. Вычислим, например,
> о- с",
[Последнее преобразование сделано на основании (II. 7).] Возникаю-
Возникающие в (II. 8) производные от Н дают отличный от нуля вклад лишь
на световом конусе, как это и должно было быть. Равенство (II. 8)
совпадает с соотношениями (9.8а) и (9.86)* Аналогично, можно вновь
получить и правила „коммутации для компонент напряженности маг-
магнитного поля и т. д.
III. УСЛОВИЕ ЛОРЕНЦА В ПРИСУТСТВИИ ЗАРЯДОВ (§ 10, 13)
'дА
Как было показано в § 10, условие Лоренца -г—2 = 0 не мо-
жет выполняться как операторное тождество, если используется
лоренцова калибровка. Мы видели, что в отсутствие зарядов это
соотношение принимает форму некоторого условия, которое должно
быть наложено на вектор состояния и справедливо в любой простран-
пространственно-временной точке:
Скалярное поле квантуется с помощью индефинитной метрики. Усло-
Условие (III. 1) отбирает некоторую допустимую совокупность амплитуд
состояния Wl, называемую лоренцовой. Тем самым обеспечивается
дА
обращение в нуль среднего значения -^~2-
Для свободного поля Wl не зависит от времени, так как временную
зависимость можно полностью перенести на операторы с помощью
перехода к представлению взаимодейстьия. Условие (III. 1) можно
рассматривать как начальное условие при t = t0, тогда равенства (III. 1)
и (III. 2) будут выполнены и в любой другой момент времени.
III. Условие Лоренца в присутствии зарядов 459
В присутствии зарядов W зависит от t и (в представлении
взаимодействия) удовлетворяет уравнению
ih^ = H(t)W(t); //(*) = —7 J*WX (I1L3)
(H(O = #iat. B представлении взаимодействия).
Легко убедиться, что выполнение условия (III. 1) в любой момент
времени несовместимо с волновым уравнением (III. 3). Поэтому не-
необходимо обобщить начальные условия на тот случай, когда заряды
и токи либо присутствуют непосредственно, либо принимаются
во внимание в операторе взаимодействия Н(с). Это обобщение будет
дано, но не в форме, аналогичной (III. 1), а лишь в виде начального
условия. Это все, что требуется.
Для того чтобы уравнения Максвелла выполнялись как соотно-
соотношения для средних значений величин, необходимо, чтобы усло-
условие AIL 2) было справедливо в любой момент времени
°- (ш-4)
Чтобы выразить это соотношение в виде начального условия при
t = tQ, возьмем производную по времени от (III. 4). Она должна
обращаться в нуль, поскольку равенство (III. 4) справедливо в любой
момент времени. Для Ф и W* используем волновое уравнение (III. 3).
Оператор H(f) не эрмитов, поскольку член /4Л4 = /срЛ4 антиэрми-
антиэрмитов (Л4— эрмитов). Однако этот член антикоммутирует с ?) и, сле-
следовательно,
— ih^Fri = W*(t)Hf (ОТ1 = WV/(Q. (III. 5)
Таким образом,
Подставляя сюда в качестве H(t) интеграл (III. 3) (обозначив пере-
переменную интегрирования через г'), можно явно вычислить коммутатор.
Согласно A3.16), имеем
И.(г. \
где '
Д(г-г', 0) = 0;
Таким образом,
f dx'p(r', t)b(r — r') = 4Tahcp(r,t) (III. 7)
31*
460 Приложения
(/4= icp). В уравнении (III. 7) пространственные производные равны
нулю при t'— t* Таким образом, равенство (III. 6) принимает вид
Теперь можно показать, что достаточно потребовать выполнения
уравнений (III. 8) и (III. 4) только в начальный момент времени t0
(но, разумеется, для всех г)
^^ (III. 9a)
==0- (Ш-9б)
.Тогда окажется, что равенства (III. 4) и (III. 8) справедливы и в любой
лругой момент времени. Для доказательства необходимо лишь про-
проверить, что в силу волнового уравнения (III. 3) и уравнения
ПА*=0 (III. 10)
величина (тр^) удовлетворяет уравнению второго порядка
В представлении взаимодействия равенство (III. 10) имеет смысл как
•операторное уравнение; взаимодействие с током [классически описы-
описываемое членом —Dтс/?)^« в правой части] выражается в этом пред-
представлении с помощью волнового уравнения (III/3) для амплитуды
состояния. Поскольку W не зависит от г, из уравнения (III. 8) полу-
получим изложенным выше методом [пользуясь (III. 10I
Здесь во всех членах следует подставить одно и то же время t.
Для вычисления коммутаторов удобно использовать соотношения
антикоммутации A2.20) при t = t'
{ф+(г', ОфР(г, 9}=%/(г-г').
Это равенство легко получить, пользуясь свойствами D-функции (8.32).
Отличный от нуля вклад дает лишь производная по времени ^^(д/дх^)
в A2.20), Таким образом, коммутатор двух компонент тока /^ /v,
взятых в один и тот же момент времени, оказывается равным
^+
„ — г'). (Ш. 12)
Если один из сомножителей в этом равенстве /4 = icp, то коммутатор
обращается в нуль. Следовательно, обращается в нуль последний
9 III. Условие Лоренца в присутствии зарядов 461
член в (III. 11), так как р коммутирует и с Ла. Второй член
в (III. И) есть
= ШЬс J dz' ik (r', t) -?- S (r - r') = + 41СЙС di*?'k ° = -
(Ш. 13)
Здесь принят во внимание закон сохранения заряда, а также условие
(А —нечетная функция t). Следовательно, второй член в (III. 11)
сокращается с* первым и
.Л Л .
= 0. (III. 14)
Отсюда явствует, что если уравнения (III. 4) и (III. 8) удовлетво-
удовлетворяются в начальный момент времени t0, то они справедливы и в любой
другой момент времени t. Таким образом, необходимо наложить два
начальных условия. Условие (III. 9) было приведено в § 13. Оно
представляет собой квантовый аналог классического начального усло-
условия F.417). Заметим, в частности, что второе уравнение (III. 96)
или (III. 8) можно записать в виде
0 (III. 15)
либо' при t = t0, либо в любой другой момент времени t. При р = О
начальные условия сводятся к двум уравнениям
=0 и (w^:)^
которые оба удовлетворяются одним условием (III. 1)
д дА~ дА~
Для свободного поля производная ^г~ъ— отличается от -^— для
каждой парциальной волны только тривиальным множителем —h, и
условие (III. 1) выполняется для каждого v в отдельности. Таким
образом, из (III. 1) получаем автоматически
д дА~ д
?^0 ф*
Имеются также и другие формы дополнительных условий. В ча-
частности, можно представить условия в форме, аналогичной (III. 1),
462 Приложения
т» е. в виде L""W = O, где LT отличается от -^-J- дополнительным
членом, содержащим р. Мы не будем приводить эти различные
формы и предлагаем читателю обратиться к литературе, приведен-
приведенной в § 10.
Покажем теперь, что для средних значений действительно имеют
место уравнения Максвелла. Беря все величины в один и тот же
момент времени /, имеем
<|?) = 0. (III. 15а)
Далее,
W (A«)=(wA«) + 7ir«A«' "Ю1)=(згЛ). <ш- 15в>
Уравнение (III. 15в) следует из того, что Aa(t) коммутирует с A^(t),
а потому и с H(t), если учесть, что Д(/ = 0) = 0.
Следовательно,
1 * /л \— ! д /дАЛ— ! /д2АЛ I
\с* д& к *' ~ с* dt \ dt /~ с* \ dfl I •"
Поскольку ? Ла = 0 тождественно, то мы получим
Уравнения (III. 16) и A11.15а) совпадают с уравнениями Максвелла
для средних значений (см. § 1). В связи с этим заметим также, что
для напряженностей поля, которое выражается через первые про-
производные от А, мы имеем
^1—
дХа д^ а ^
В рамках лоренцовой калибровки мы не будем явно выписывать
векторов состояния, которые удовлетворяли бы соотношениям (III. 9)
(как это делалось для свободного поля в § 10). Это было бы слиш-
слишком сложно и не нужно для задач, рассматриваемых в данной книге.
При рассмотрении столкновений между свободными частицами мы
всегда будем рассматривать взаимодействие между зарядами и полем
как возмущение и, следовательно, рассматривать поля и заряды как
свободные и не взаимодействующие в начальный момент времени
?0== — оо. Тогда, как было пояснено в § 13, начальные условия
IV. Итерированное уравнение затухания 463
сводятся к начальным условиям для свободного поля при р = 0, и
условие Лоренца выполнен», если в начальный момент отсутствуют
продольные и скалярные фотоны. Для задач, включающих связанные
состояния, когда нужно пользоваться полными условиями (III. 9),
удобнее использовать кулсжовскую калибровку.
IV. ИТЕРИРОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ ЗАТУХАНИЯ,
ПЕРЕХОД К СВОБОДНЫМ ЧАСТИЦАМ (§ 16, 34)
В § 16 была изложена общая теория задач, в которых сущест-
существенна конечная ширина линий. Основными величинами, определяю-
определяющими амплитуды вероятности различных состояний, являются (У A6.10)
и Г A6.12). Диагональные элементы U равны нулю, оператор Г —
диагоналей. Оба эти уравнения содержатся в A6.10')
U = H+HW+~ihT; (IV. 1)
Е — переменная энергия, от которой зависят величины U и Г,
но не Н.
Как было объяснено в § 16, вместо Н нужно подставить пре-
преобразованный гамильтониан взаимодействия. Это преобразование
таково, что виртуальные состояния оказываются включенными
в определение состояний атома, однако для связанных состояний оно
не однозначно. Далее мы будем иметь дело с „голыми" состояниями
и используем представление, в котором невозмущенный гамильто-
гамильтониан Но — Но — Н{8\ исправленный на смещение уровней, является
диагональным (см. § 16, п. 3). Собственная энергия связанных
состояний —Н^ предполагается здесь диагональной одновременно
с Но. Тогда в уравнении (IV. 1) ? = ?(?— Но) и гамильтониан вза-
взаимодействия равен Н = Н[м.-\-Н'8).
Покажем, что эта теория переходит в теорию свободных частиц
(см. § 15), если выполнить соответствующий предельный переход.
Это будет иметь место для приближений низших порядков (до
третьего включительно), но в более высоких приближениях обнару-
обнаруживаются расхождения, вызванные как раз использованием „голых**
состояний. Эти расхождения ликвидируются при тех же условиях,
которые были получены в § 16 [см. A6.32)] для канонического
преобразования, исключающего виртуальные процессы. Условия ока-
оказываются выполненными для преобразования § 15 или 34, п. 4.
Преобразуем сначала равенство (IV. 1) к другому виду, близко
напоминающему уравнение A5.33), справедливое для свободных
частиц. Для этого представим С-функцию, входящую в (IV. 1),
в виде двух частей — главного значения и о-функции. Для кратно-
кратности положим (опуская — над Яо).
Si==8(E — Ho). (IV, 2)
464 Приложения
Ни Р, ни S, разумеется, не коммутируют с Н
= "Б Б~" Нп\т> (НР)п\т =
(Еп—собственные значения Но). Тогда
^ (IV. 3)
Оставляя без изменений последний член, заменяем оператор U, вхо-
входящий во второе слагаемое HPU, на правую часть уравнения (IV. 3):"
(IV. 4)
Продолжая этот итерационный процесс далее в члене HPHPU и
других ему подобных, получаем окончательно [9]
^ (IV. 5)
(IV. б')
Эти формулы являются точными соотношениями и эквива-
эквивалентны (IV. 1). Равенство (IV. 5') определяет К(Е) как явную функ-
функцию от Е. Например, члены четвертого порядка в К с точностью
до членов, содержащих //(•), имеют вид (НА |п = Мп<;.л|п)
(Е) =
iE-EnHE-tm)(Е-Ег) ' (IV" 6>
Все знаменатели здесь следует понимать в смысле главных значений *
Рассмотрим теперь случай свободных частиц» Физически оче-
очевидно, что вероятность перехода, равная Re Г, обращается в нуль,
если объем Lu, в котором рассматривается процесс, неограниченно
возрастает (см. § 14). С другой стороны, величина ИпГ'есть соб-
собственная энергия и не зависит от ZA
Если ReF->0, то существует вероятность перехода О -> А
в единицу времени wA | о и это понятие имеет точный смысл. Как
было показано в § 16, п. 2, wA\o имеет вид •
wAl0 = Ц-1 UA]0 (ЕА) \ЩЕА — Е0). (IV. 7>
Таким образом, нужно определить значения U лишь при
Е — ЕА — Ео- Мы получим случай свободных частиц, полагая в (IV. 5)
ReT->0, ЕА = Ео, Е-+ЕО (или ЕА).
Возьмем матричный элемент АО от оператора (IV. 5) и положим
строго ЕА = Ео- Затем будем стремить Е к Ео- Эта операция
выполняется непосредственно, пока рассматриваются только чле-
члены низших порядков в К (до третьего включительно, т. е. до
НРНРН). Член, пропорциональный Г, содержит множитель То\о(Е6)
IV. Итерированное уравнение затухания 465
и, как показано в § 16, 1тГо \о(Ео)~ О, если смещение уровня
включено в Но. При этом ReF->0. Таким образом, третий член
в (IV. 5) обращается в нуль и мы получаем
(IV. 8)
Здесь Ка\в совпадает с выражением, полученным в § 15, а фор-
формула (IV. 8) идентична с уравнением A5.33).
Может случиться, что в членах четвертого и более высоких
порядков для К второй знаменатель в (IV. 6) при Е = Ео обра-
обращается в нуль. Тогда предельный переход Е-+Ео следует выпол-
выполнять более аккуратно. Такое положение возникает, если состояние m
в формуле (IV. 6) совпадает с Л. или О1). Такие же особенности
встречаются и в членах четвертого порядка, зависящих от H(s)-f
последние имеют вид
Н{8)РН<8) + H{8)PH[nt:PHinL + НШРН{8)РНШ. + НШРНШРН{8). (IV.9)
Чтобы получить правильное предельное значение, умножим (IV. 5)
на Ь{Е — Ео) и проинтегрируем по Е. Для регулярной части К(Е)
получим К(Е6)- Для сингулярного множителя следует использовать
то же самое представление, что и для С, Р, S в (IV. 5), т. е. если
С(х)= l/(x-f-/a), то мы должны положить 8(х) = (a/iz)/(x2-f-о9)
с тем же самым а. Тогда, комбинируя Р и 8, получаем
?ЛЕ-Ь(Е — Ео) = -^о\Е~Ео1 (IV. 10)
и интегрирование по Е может быть выполнено. Для членов четвер-
четвертого порядка в К±а | о> принимая во внимание, что
тт(8) НА\ пНп \А Н Н
— Па\А = —Ъ =
после небольших вычислений получим
1 ^ A I n^n IA
2 (ЕА ?wJ
--[-Регулярные члены. (IV. 11)
Члены, ^выписанные в (IV. 11), представляют собой ренормировочные
2) Когда m Ф А, О, но Еш = Ео, можно показать, что вклад в КА стре-
стремится к нулю при Lz->oo. Дело в том, что при m Ф А, О возможны лишь
изолированные промежуточные состояния /, /г, в то время как при /я = 0
будет, например, состояние, содержащее один фотон с переменным импуль»
сом к, и интегрирование по к дает еще один множитель ZA По этой же
причине величина Iml^ 10 оказывается конечной при Z.3->oo, тогда как
Rr0
466 Приложения
члены. В целом (IV. 11) совпадает с выражением К±а\о A5.21)
(члены собственной энергии вычитаются с помощью Н{8)). В § 15
предельный процесс (IV. 10) предполагался уже выполненным. Мы
видим теперь, что он получается автоматически, если исходить из
теории с конечной шириной линий и затем переходить к пределу
ReF->0. Таким же путем убеждаемся, что второй член в (IV. 5)
дает
f Kia\b(E)c>(E — EB)UB]0(E)b(E — Eo) =
= К,а\в (Ев) S (Ео — Ев) U в, о (Ео), (IV. 12)
где Kia\b(Eb) получается из (IV. 11) с заменой О на В. Члены,
возникающие при дифференцировании Ub\o(E)^(E— Ео) по Et
пропорциональны К2А\ в(Кгв\в~\-Нв\в) = ® и т. д. и обращаются
в нуль.
Таким образом, два первых члена в правой части уравнения (IV. 5)
принимают вид (IV. 8), где оператор К в точности определяется
формулами § 15. Если бы в уравнении (IV. 5) не было последнего
слагаемого, то мы получили бы точную теорию столкновений сво-
свободных частиц. С точностью до членов третьего порядка в- К это
слагаемое действительно обращается в нуль, так как То\о (?о) = 0«
В четвертом порядке, однако, для него получается значение
-— J dEl (Е Ео) (НшРНы + #(8))
~ J dEb (E — Ео) (НшРНы. + ^(s)) PTo \o(E) =
(IV. 13)
вклад в которое обусловлен лишь членом 1тГ. Поэтому для того,
чтобы в пределе при ReT->0 правильно перейти к теории столк-
столкновений свободных частиц, нужно потребовать, чтобы
Im-
дЕ F__F
= 0. (IV. 14)
Это условие не будет выполнено,' если оперировать с „голыми" со-
состояниями и вычислять переходы между ними.
Уравнение (IV. 14) совпадает с условием A6.32), которое мы
получили, потребовав, чтобы состояния содержали виртуальные
добавки. Эго условие нужно понимать в следующем смысле. Сначала
следует произвести преобразование //, чтобы включить виртуальное
поле, и затем, когда 1шГ будет выражено через преобразованный
гамильтониан таким же образом, каким ранее оно выражалось через
исходный, условие (IV. 14) должно быть выполнено. При этом в пре-
пределе ЯеГ->0 теория переходит в теорию свободных частиц.
В § 34, п. 4 было'показано, что такое преобразование действи-
действительно можно произвести. Однако оно однозначно лишь для ста-
V. Принцип детального равновесия % 467
ционарных состояний, например для основного состояния атома или
для свободных частиц. Для этих состояний условие (IV. 14) выполняется»
V. ПРИНЦИП ДЕТАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ (§ 15)
Если рассматривать столкновения между частицами в первом<
приближении, то вероятность перехода 0->Л (отвлекаясь от мно-
множителя, характеризующего плотность состояний рА) дается величи-
величиной |/Саю|'2» где К—эрмитова матрица. Отсюда следует, что,
вероятность обратного процесса Л->0 равна вероятности прямого
процесса
Здесь Л и О могут включать все детальные характеристики
состояния — поляризацию, направление спинов и т. д. Соотношение
(V.1) носит название „принципа детального равновесия" и обычно
используется в статистике как достаточное условие для возрастания
энтропии и установления статистического равновесия (см. нижеI).
Однако принцип детального равновесия не может быть обоснован
как точное соотношение. Вероятность перехода дается выражением
|?/|, а не |/С|9, а оператор U — неэрмитов в силу наличия в A5.13)
членов, описывающих затухание. Действительно, величина —2mU
есть недиагональная часть унитарной ^-матрицы. Даже не говоря
о значении этого факта для статистики, весьма интересно знать, как
связан процесс 0->Л с обратным процессом А—>О. И действи-
действительно, с помощью квантовой механики можно вывести некоторое
общее соотношение, в известных пунктах отличающееся от (V.1).
При этом используются: а) инвариантность относительно изменения
знака времени и б) инвариантность относительно пространственных
отражений [10]. Для того чтобы проиллюстрировать существо дела,
рассмотрим нерелятивистское волновое уравнение для частицы со
спином 1/2 в заданном поле с потенциалами <р, А
^ (V.2)
Исследуем теперь свойства инвариантности уравнения (V.2) при изме-
изменении знака времени, ?-> — t. Если #е учитывать здесь спинового
члена, то сразу видно, что можно ввести новую волновую функцию
которая, как функция f удовлетворяет тому же уравнению, что
и ty(t). Чтобы убедиться в этом, стоит лишь заметить, что при
!) Достаточность этого условия не очевидна. Повидимому, для обоснова-
обоснования .принципа энтропии нужно ввести еще некоторые предположения стати-
статистического характера. — Прим. ред%
46& Приложения
замене t—> — t меняются также знаки токов (но не зарядов), поро-
порождающих А, ср. Это обстоятельство выражается подстановкой
А' = — А, <р' = <р, е' = е (V.4)
[заметим, что величина (рА) мнимая]. Следовательно,
Л%.= Н'Ч. (V.5)
где И' получается из Н заменой А на А' и т. д. Однако спиновый
член в (V.2) нарушает эти простые соотношения, поскольку а имеет
как действительные, так и мнимые элементы, а напряженность маг-
магнитного поля Н, согласно (V.4), меняет знак. Для того чтобы вос-
восстановить волновое уравнение в форме (V.5), обобщим (V.3), положив
Ф'(О = *Р@. (V.6)
где х — оператор, удовлетворяющий условию
таг= — аг*т. (V.7)
Здесь а* — матричный вектор, комплексно (а не эрмитово) сопря-
сопряженный с а. Производя в уравнении (V.2) замену t-+ — t и умно-
умножая его справа на т, убеждаемся, что У {?) снова удовлетворяет
волновому уравнению (V.5). Если для а использовано представление
A1.3'), то т будет иметь вид
/О — 1
о
Мы видим, что 1 при действии на ty меняет направление спина.
Если ty+ и ty_—два решения I ) и ( . ) с az = zt Vg» T0
•сф+ = +ф.; тф_= —ф+. (V.9)
Рассмотрим теперь столкновение двух частиц — 1 и 2, предпо-
предположив для простоты, что частица 1 имеет спин */2, а частица 2 —
спин нуль. Состояние А или О определяется импульсами рх, р2 и
направлением спина частицы 1, -f- или —. Мы получим ряд вероят-
вероятностей для различных процессов столкновений типа w / г ,
и т. д. (вместо I U I2 пишем w). Если изменить напра-
вление времени, то решение уравнения будет иметь вид (V.6). Изме-
Изменение знака времени означает, что, во-первых, начальное и конечное
состояния меняются местами и, во-вторых, направления всех импуль-
импульсов меняются на обратные (так как происходит замена ф на ф*).
Далее, наличие оператора т приводит к изменению направления
спина. Знаки в (V.9) при вычислении вероятностей, разумеется, не
существенны. Поэтому в общем случае можно утверждать, что
W г г = <ДО , г г . (V.IO)
РР ± 1*^2 ± ~Н~Н Т 1-^1-^2 ^
V. Принцип детального равновесия 469
Произведем теперь отражение всех пространственных координат:
— х, у->—у, z-+ — z. После этого преобразования все
импульсы изменят знак, но направления спинов останутся без изме-
изменений. Волновое уравнение не меняется при пространственных отра-
отражениях. Отсюда следует, что w г г = w / / для любого
J рхр2\рхр2 -p1-p2\-p1-p2
заданного направления спина. Комбинируя это соотношение с урав-
уравнением (V.10), получаем
W Г Г i= W Г Г . (V.1 1)
РХР2 ± IРХР2 ± РР2 Т IРР2 Т V '
Если отвлечься от направления спинов, то равенство (V.11) совпа-
совпадает с принципом детального равновесия. Однако фактически (V. 11)
отличается от этого принципа в том отношении, что для обратного
процесса спины имеют противоположное направление. Для деталь-
детального равновесия требовалось бы
W г г = W , г г . *)
РХР2 ± I РХР2 ± РХР2 ± I PXP2 ±
Некоторое соотношение равновесия будет восстановлено, если выпол-
выполнить суммирование по направляющим спинов в начальном -и конечном
состояниях
У\ w г / =w / г = w г /. (V.12)
?п РХР2±\РХР2± PP2\PP2 V2IV2
Такое равновесие является, однако, лишь „полудетальным". Тот факт,
что детальное равновесие не соблюдается при учете спинов, имеет
классическую аналогию. Больцман в своих работах по статистике
показал, что детальное равновесие не имеет места для столкновений
.между молекулами несферической формы.
Приведенное выше рассуждение можно применить к частицам
со спином 1 (фотоны!) и др. Вообще нельзя ожидать, чтобы прин-
принцип детального равновесия оставался в силе (за исключением первого
приближения), если принимать во внимание моменты количества дви-
движения, поляризации частиц и т. д.
В связи с нарушением принципа детального равновесия возникает
вопрос о статистическом равновесии и о справедливости //-теоремы.
Детальное равновесие является достаточным, но отнюдь не необхо-
необходимым условием справедливости этих теорем2).
Для того чтобы энтропия возрастала при стремлении к стати-
статистическому равновесию, достаточно3), чтобы для всех возможных
переходов А~^В имело место равенство
1) Пример такого нарушения принципа детального равновесия в мезон-
ной теории был дан Гамильтоном и Пенгом [И].
2) См. примечание на стр. 467. — Прим. ред.
3) Это условие получено Штюкельбергом [12].
470 - Приложения
Это — значительно более мягкое условие, чем принцип детального
равновесия. Нарушение детального равновесия при этом компенси-
компенсируется более сложными циклическими процессами. В квантовой
электродинамике условие (V. 13) всегда выполняется, по крайней мере
для свободных частиц. Это обусловлено тем, что U представляет
собой не диагональную часть унитарной матрицы S. Следовательно
[если взять & в форме A5.35"')]»
2j|gu \в Г =2j \&в \а\\
и поскольку диагональные элементы (А = В) в обеих частях равен-
равенства одинаковы, отсюда немедленно вытекает (V.13). Справедливость
//-теоремы при учете связанных атомных состояний не вызывает
сомнений, однако этот вопрос еще не исследован с точки зрения
точной квантовой электродинамики.
VI. МЕТОД ВИЛЬЯМСА — ВЕЙЦЗЕКЕРА (§ 25, 26)
Рассмотрение радиационных процессов при столкновении частиц
высокой энергии часто оказывается настолько сложным, что вычи-
вычисления делаются практически невыполнимыми. Так обстоит дело,
например, в случаях тормозного излучения при столкновениях элек-
электронов друг с другом, образования пар заряженными частицами
и др. В этих случаях большую помощь оказывает излагаемый ниже
простой метод [13, 14], который за счет некоторого снижения точ-
точности позволяет легко получить требуемые результаты.
Рассмотрим быструю частицу, движущуюся со скоростью, близ-
близкой к с. Поле такой частицы почти эквивалентно совокупности све-
световых волн различных частот. Как будет показано ниже, это утвер-
утверждение тем точнее, чем меньше величина 1—v'}/c*2. Соответственно
электромагнитное воздействие такой частицы на другую заряженную
частицу (например, на покоящуюся) эквивалентно действию этих
„виртуальных" световых^олн. Так, один из этих фотонов к может
быть рассеян покоящейся частицей, превратившись во вторичный
фотон к'. Тогда в спектре виртуальных фотонов быстрой частицы
исчезает компонента с импульсом к, а покоящаяся частица получает
импульс отдачи к — к'. Этот процесс представляет собой не что
иное, как тормозное излучение фотона к' при столкновении, причем
быстрая частица теряет энергию k. Соответствующее эффективное
сечение получается умножением сечения рассеяния на. число вир-
виртуальных квантов с энергией k.
Чтобы метод расчета был применим, необходимо иметь возмож-
возможность рассматривать движение быстрой частицы классически; при
этом в течение всего процесса излучения траектория ее должна оста-
оставаться практически прямолинейной. Таким образом, если М — масса
VI. Метод Вильямса — Вейцзекера 471
быстрой частицы, а Е— ее энергия, то должны выполняться условия
Второе условие может показаться слишком жестким, так как именно
большие потери энергии k~E оказываются наиболее существенными,
например, в случае тормозного излучения. Возможен, однако, и дру-
другой случай, к которому изложенный метод также хорошо применим.
Предположим, что покоящаяся частица (массы М') получает при
отдаче лишь малую энергию: (k — k')°/2M'c2 <^ MV2.
Рассмотрим процесс в „обратной" лоренцовой системе, в кото-
которой быстрая частица покоится, а покоящаяся движется с большой
скоростью. Тот факт, что частица М! испытывает- малую отдачу,
означает, что она мало отклоняется от прямой линии при движении
в обратной лоренцовой системе. Остается лишь представить ее
поле в виде разложения по виртуальным фотонам, после чего можно
поступать, как изложено выше. После окончания вычислений сле-
следует вернуться к исходной лоренцовой системе. В этом случае
на виртуальные кванты раскладывается поле фактически покоящейся
частицы и рассматривается рассеяние этих квантов частицей, кото-
которая фактически быстро движется. В „обратной" лоренцовой системе
виртуальные фотоны k* должны удовлетворять условию (VI. 1), но
после преобразования к исходной системе рассеянный фотон к' будет
обладать энергией, сравнимой с Е. Это будет разъяснено в приво-
приводимом ниже примере. Промежуточный случай, когда существенно
изменение энергии обеих частиц, не удается рассмотреть таким спо-
способом с достаточной точностью. Однако его можно приближенно
оценить, суммируя вклады от двух рассмотренных выше процессов.
Поле движущегося точечного заряда было' вычислено-в § Ъ
[см. C.10)]. Пусть частица движется вдоль оси z с постоянной ско-
скоростью (v = 0)f, так что в момент ? = 0 она проходит через точку
2 = 0. Рассмотрим поле в точке z — О на расстоянии b = Yx'A~{-У1
от оси движения. Запаздывающее расстояние от частицы в момент
времени t равно
Отсюда можно явно определить г» Тогда получается
Подставляя это выражение в C.10), получаем
1
472 Приложения
Эти соотношения справедливы при любом v. Разложим теперь Е
и Н в интеграл Фурье. Полагаем
}в соответствии с тем, является ли функция f(t) четной или не-
нечетной]. Заметим, что Н есть четная функция t% и обозначим четную
и нечетную части Е через Eevea и Eodd соответственно. Интегри-
Интегрирование приводит к функциям Ханкеля
A)
* = -, (VI. 5)
Y = . •
Заметим, что т ^> 1 при г>-*с, Eodd значительно меньше Eevea, а
соотношения между Eevea и Н такие же, как и в световой волне
частоты v, распространяющейся в направлении z. Чтобы получить
число эквивалентных фотонов p(y)dv частоты v, проходящих через
единицу площади на расстоянии Ъ, составим значение вектора Пойнтинга
с» со оо
J Sz dt = J p (v) Й v dv = 1 с J ds [EeTen(v) H (v)],.
—oo 0 0
Сравнивая это с (VI.5), найдем
Поскольку мы не интересуемся какими-либо частными значениями
параметра соударения, следует проинтегрировать (VI. 6) по поверх-
поверхности, перпендикулярной оси z. Названное интегрирование, однако,
нельзя распространять на область #->0. Это ограничение наклады-
накладывается квантовой механикой. В самом деле, фактически обе частицы
представляются волновыми пакетами. Для того чтобы можно было
говорить о параметре удара Ь, ширина этих пакетов Ад: должна
быть меньше Ъ. С другой стороны, частица не должна иметь боль-
больших боковых компонент скорости vx. За время столкновения (по-
(порядка Ь/с) расстояние Ъ не должно сильно меняться, следовательно,
(fivjc) <CI Ь или vx <С1 с. Согласно соотношению неопределенностей,
ширина любого волнового пакета- должна быть Ах > h/mc, где
т — масса рассматриваемой частицы. В то же время ?>Ддг.
. VI. Метод Вильямса — Вейцзекера 473
Отсюда следует, что параметр удара должен быть больше
b . = а — (VI 7^
"min me' ^ * '
где а — постоянная порядка единицы.
Для m следует взять массу более легкой частицы (массу элек-
электрона, если одна из частиц электрон).
Проинтегрировав (VI. 6) по области b > ?min, получим полное
число фотонов (k = hv)
?P{Zm)> (VI. 8)
Аргумент функций Ханкеля равен izm.
Если' Л/^тс2 = (Mk/mE) <C 1 (Ж > т), то zm <C 1 и P(*m) при-
нимает более простой вид. В этом случае
Действительно, при 2т~1 функция P(zm) быстро убывает, так
что (VF. 8) автоматически удовлетворяет условию (VI. 1). В прило-
приложениях всегда можно пользоваться формулой (VI. 9).
В качестве примера рассмотрим тормозное излучение при столк-
столкновении двух электронов. Эффективное сечение будет содержать
два вклада I и II, соответственно тому, пренебрегаем ли мы изме-
изменением импульса быстрой или медленной частицы. В случае II про-
процесс надо рассматривать в обратной лоренцовой системе. Пусть
ср(&, k')dk' — эффективное сечение комптоновского рассеяния фо-
фотона k на неподвижном электроне с образованием вторичного фо-
фотона k' [см. B2.41)]. Тогда первый вклад в эффективное сечение
тормозного излучения с испусканием фотона будет
. k')dk. (VI. 10)
Верхний предел интегрирования здесь равен и&'/О* — 2А') при
b'<il/2\L и Е ПРИ ?'>1/2!х* Учитывая условие (VI: 1), следует,
однако, взять в качестве верхнего предела несколько меньшую
величину, например Ет<Е, но и при этом можно считать Еш^§> \i.
Мы ограничимся случаем kr 2> <а, который представляет наиболь-
наибольший HHfepec. Легко получить
3-137 kri
474 Приложения
Мы видим, что наиболее вероятны малые значения к' и величина
<Pj быстро убывает с ростом k'. Поэтому с достаточной точностью
можно пренебречь членами порядка kr\Em и заменить верхний пре-
предел интегрирования на бесконечность.
Сравнивая (VI. 11) с результатами § 25, убеждаемся, что <рг
меньше истинного значения, отличаясь от него множителем порядка
|а/&'. Однако, как будет сейчас показано, вклад II дает величину
большего порядка.
Рассмотрим теперь процесс в обратной лоренцовой системе,
в которой быстрая частица покоится. Все величины, относящиеся
к этой системе отсчета, снабдим звездочкой. Эффективное сечение
испускания фотона k'*\ обусловленное рассеянием виртуального кванта
&*, также представляется формулой (VI. 10) с заменой A, к' на
к*, &'*; получающееся выражение справедливо при А* <С! ?• Вер-
Вернемся теперь к исходной системе отсчета. Поскольку к* имеет на-
направление быстрой частицы, имеем
и условие к <^i Е означает, что
А<Су. (VI. 13)
Следовательно, величина к также мала по сравнению с Е, и
равенство (VI. 12) принимает вид
k** = ?(E — k'). (VK 120
При заданном значении к' выразим формулу Клейна — Нишины
через кг вместо k'*, интегрируя по переменной &*• При к1< Я
пределы интегрирования имеют вид
)
(VI. 14)
т. е.
Формула Клейна — Нишины, выраженная через A*, k', имеет
вид
\ k*)dk^=*ф —1^ + ^ —^ + J5g*j; E^zE-tt. (VI. 15)
Это выражение следует умножить на q{k*)dk* и проинтегрировать
в пределах (VI. 14). Так же, как и раньше, мы вносим лишь неболь-
VI. Метод Вильямса — Вейцзекера 475
шую ошибку, заменяя Ет на оо. Выполняя интегрирование, легко
получить
Arldk? Е'
rl
Е , Е' 2л \\
+ Ц- aj—яг}-
Здесь уже нет ограничения kr <С! Е. Отброшенные члены, завися-
зависящие от Ет, имеют порядок dk'u/EmE. Мы видим, что при kr ^> ц.
вклад II больше чем I в отношении k'/p, поэтому величиной cpj
можно пренебречь.
Если одна из частиц (например, покоящаяся) тяжелая (массы
М ^§> т), то все изложенные рассуждения тем более справедливы.
Вклад II дает основной эффект. В обратной лоренцовой системе
быстрая частица движется с энергией уМс*, и условие для k* есть
&* <^i уМс*. Это означает, что верхний предел Ет может быть
выбран значительно большим, чем при рассеянии электрона, и замена
Ет-+оо хорошо обоснована. Действительно, формула (VI. 16) (умно-
(умноженная на Z2) практически совпадает с сечением тормозного излу-
излучения быстрого электрона в поле ядра B5.21), дополнительный
член —1/9 совершенно не существенен. Чтобы получить правильный
результат, нужно лишь положить 1п1/а = 0,9 или а = 0,4.
Мы видим, что практически та же самая формула справедлива
и для тормозного излучения при электрон-электронных столкно-
столкновениях. Однако следует ожидать, что численные результаты будут
несколько различными. Замена Ет на оо не может быть очень су-
существенной, пока Ет ^> а, но численные значения а могут оказаться
различными. Параметр удара был ограничен шириной волновых
пакетов обеих частиц. Если одна из частиц тяжелая, то шириной
ее волнового пакета можно пренебречь, и лишь электрон дает ог-
ограничение (VI. 7). Если, однако, обе частицы — электроны, то нужно
ожидать, что а будет больше. Повидимому, мы не совершим боль-
большой ошибки, выбрав для а вдвое большее значение. Это означает,
что эффективное сечение тормозного излучения при электронных
соударениях немного меньше, чем при столкновениях электронов
с ядрами. Например, формула B5.33) для потерь энергии на излу-
излучение при электрон-электронных соударениях была бы
() (VI. 17)
Повидимому, подобную же поправку следует внести и в случае
полного экранирования. При Е= 100 ^ эта поправка достигает 15%.
Этой цифре, однако, нельзя придавать слишком большого значения.
Поправка такого порядка величины была принята во внимание в § 25,
26, 36—38 при рассмотрении тормозного излучения и образования
пар в поле электронов. Рассмотренные там экспериментальные дан-
данные, равно как и непосредственные вычисления, повидимому, под-
подтверждают произведенную здесь оценку.
476 Приложения
Настоящий метод может быть применен к большому числу дру-
других задач, в которых трудно произвести точный расчет. Именно
таким путем были получены эффективные сечения образования пар
частицами, приведенные в § 26.
VII. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА И СОБСТВЕННЫЕ
НАТЯЖЕНИЯ
(§ 4, 29)
В § 4 и 29 был поставлен вопрос, может ли электрон со своим
электромагнитным полем вести себя в релятивистском отношении
подобно частице, характеризующейся 4-вектором энергии-импульса.
Само электромагнитное поле имеет тензор энергии-импульса T^f'
и, как было показано в § 2, величины Г T^dx и Г Tudt (полный
импульс и полная энергия) образуют 4-вектор только в том случае,
когда ¦ . р = О, В классической теории это, вообще говоря, не
имеет места, если есть точечные заряды. С другой стороны, в § 29
было показано, что при инвариантном способе вычисления расходя-
расходящегося интеграла, представляющего электромагнитную собственную
энергию W, можно обеспечить правильные трансформационные свой-
свойства ее. Тогда роль W сводится к добавке к массе электрона. Можно
ожидать, что подобным же образом решается и вопрос о трансфор-
трансформационных свойствах полного тензора энергии-импульса электрона.
Свойства Т™*' должны быть таковы, чтобы в комбинации с энер-
энергией и импульсом электрона получился 4-вектор. В классической
механике электрон сам по себе обладает 4-вектором энергии-им-
энергии-импульса. Однако в квантовой теории электроны описываются вторично
квантованным ф-полем, которое подобно всякому другому полю об-
обладает тензором энергии-импульса Г^ *). Энергия электрона дается
интегралом по пространству от плотности энергии &€ [представ-
[представленной уравнением A3.25)]; последняя же должна быть 44-компо-
нентой Tjfv-
Хотя существует общий метод получения Т^ из лагранжиана J2?
для любого поля, в данном случае Г^' легко вычислить непосред-
непосредственно (вид jg? приведен в § 13). Как и его 44-компонента, тен-
тензор rji' представляет собой билинейную форму от ^f и ф. Для
свободного электрона, не взаимодействующего с электромагнитным
ди-
диполем, должно удовлетворяться условие ¦¦¦> ^ = 0; только тогда
*) Этот тензор не имеет ничего общего с „внутренними натяжениями",
введенными в § 4.
VII. Тензор энергии-импульса и собственные натяжения 477
энергия и импульс электрона образуют 4-вектор. Кроме того,
4-тензор Т$ должен быть симметричным 1).
Таким образом, вводя ф и ^+ симметричным путем, положим
— Tf; = -J- Ф+ (Y^v + TvPF) Ф — | ф+ (TptPv op. + WV op.) Ф>
/ted t+ be дФ+ /WII 14
По условию, оператор рчОр. действует на ф+, а не на ф. Для 44-ком-
поненты получим, принимая во внимание уравнение Дирака,
7U = y(W —Ф'Ф)=7^(^
J J J (VII. 2)
Это есть симметричная форма для плотности гамильтониана (см. § 13).
При интегрировании по всему пространству
и равенство (VII.2) приводится к обычному виду. Подобным же
образом для 4х-компоненты получим
(Здесь вновь использованы уравнения Дирака для р4ф и ф+р4ор.О вы-
выражение (VII.3) представляет собой лг-компоненту полного импульса
электрона. Четырехмерная дивергенция выражения (VII. 1) обращается
в нуль
Г ЖГ = *+ ^Tli/
— Ф+ (TjiPvop.Pv + Т^ор.рО ф —
—"Ф+ (T^Pvop. + Т,/>р./>,ор.)Ф = О,
поскольку
ТчР,Ф = ^Ф» фЧр*оР. =—^ф+, р?ф =—1х2ф, Ф+Лр. = — №*•
Это означает, что для свободного электрона, не взаимо-
взаимодействующего с полем излучения, величины f T^dz и Г Tftdx
образуют 4-вектор энергии импульса.
. 1) Требование симметрии необходимо для существования момента коли-
количества движения. Мы не будем здесь приводить соответствующего доказа-
доказательства, ограничившись лишь указанием на аналогию с симметричным тен-
тензором электромагнитного поля ^*d
32 Зак. 1260. В. Гайтлер
478. Приложения
При наличии взаимодействия с излучением выражение (VII. 1)
очевидно, надлежит обобщить, полагая
| ^ ,1 +• (VH.4).
Таким образом, полный тензор энергии-импульса для системы
„электрон+излучение" будет
Т^ = ftf- + 7#, Т™а- = 1
Здесь /^ — тензор электромагнитного поля.
Если поля квантованы, то тензор Т^ представляет собой опера*
тор, и содержащиеся в нем производные ф и АЛ надо интерпрети-
интерпретировать обычным образом как полные производные, согласно урав-
уравнению A3.146).
Рассмотрим теперь тензор энергии-импульса покоящегося элек-
электрона, когда имеется лишь соответствующее виртуальное поле,
а световые кванты отсутствуют. Средние значения компонент Т^
в этом случае обозначим через G^v).. Подразумевается, что эти
средние значения вычисляются с помощью правильной амплитуды
состояния квантовой электродинамики, включая и примесь виртуаль-
виртуальных состояний (например, с точностью до радиационных поправок
первого порядка). Поскольку величины Г?4 образуют плотность им-
импульса, их средние значения, разумеется, обращаются в нуль. В силу
изотропии пространства имеем
= (Г°,) = (T9J; G*) = (Г».) = 0. (VII. 6)
Посмотрим теперь, какие условия необходимы для того, чтобы энер-
энергия и импульс электрона (включая и его поле) обладали корпуску-
корпускулярными свойствами. Вместо того чтобы пользоваться общим урав-
нением -s-1^ = 0, рассмотрим тензор в лоренцовой системе,
движущейся вдоль оси х со скоростью с$. Образуем интегралы по
пространству от G^), принимая во внимание равенства (VII.6),
а также правило преобразования элемента объема dz = dz°Y^ — ^'2-
Тогда из трансформационных свойств 4-тензора следует
¦f,rw Р "- ' ' (VIL7)
VII. Тензор энергии-импульса и собственные натяжения 47 9
Мы видим, что величины J (Tu) dz и i j(Tx4)dz преобразуются как
энергия и импульс частицы тогда и только тогда, когда \(Т^Х) dx~0 *)-
Этот интеграл мы будем называть интегралом собственных натя~,
жений. Таким образом, проблема сводится к тому, обращается ли
в нуль собственное натяжение для покоящейся свободной частицы
при учете ее собственного поля. Мы увидим, что ответ можно полу-
получить непосредственно на основании точного выражения для собствен-
собственной энергии2). Для этого вычислим шпур от 7^v(=2 7^)- Из фор-
мулы (VII.5) следует, что SpPad- = 0, а из (VII.4)
SP (Г*1-) = — 1
Поэтому, используя (VII.6), получим
Sp (ГО) = 3 G*,) + (Т°и) = ix (W). (VII.8)
С другой стороны, интеграл Г (^) dz° есть не что иное, как пол-
полная энергия покоящегося электрона, включая и собственную энергию
^° = !* + ^0- ' (VH.9)
Величина W0 вычислена в § 29. Среднее значение (&*fty) относится
к покоящемуся электрону, но вычисляется с помощью точной ампли-
амплитуды состояния системы, отличаясь от значения, которое мы полу-
получили бы для электрона без учета его взаимодействия с радиацион-
радиационным полем. Нам не придется явно вычислять это среднее значение.
*) Для движущегося электрона — j (Txx) dz = ^ — j (T^) dt° и
эта величина отлична ст нуля, даже если собственные натяжения пскоя-
щегося электрона равны нулю. Это умеет место даже и для электрона без
псля излучения, ка^к легко убедиться с псм<щью (VII.1). Натяжения при
втсм связаны просто с наличием импульса и не имеют стнсшения к сбсу-
ждаемым сейчас корпускулярным свсйствам. Величины ТХу~ Туу = ... = О,
если движение совершается вдсль сси х.
2) В связи с последующими рассуждениями см. работы Пайса и Эпштей-
на [15], которые получили ошибочный результат Г (Тхх) drP=? 0, так как исполь-
использовали неподходящее выражение для собственней энергии (см. ниже),
а также [16—18].
32*
480 Приложения
Достаточно заметить, что оператор цОУЗД) входит в полный гамиль-
гамильтониан, и это единственный член, который содержит явно массу ja.
Поэтому его можно выделить с помощью дифференцирования. По-
Поскольку среднее значение гамильтониана дается формулой (VII.9),
мы имеем
^ (VIM0)
Таким образом, из равенства (VII.8) — (VII. 10) получается
W*. (VII.1I)
Все определяется теперь тем, как именно зависит W0 от jx. Для
покоящейся частицы (u*fiu) = 1; поэтому, согласно B9.19),
где мы заменили верхний предел на s.nax, чтобы сделать интеграл
конечным. Если ешах не зависит от ja, то
=^ и /(^)^ = 0-
При этом собственное натяжение действительно обращается в нуль.
Однако утверждение о том, что smax не зависит от jx, отнюдь не
самоочевидно. С таким же успехом можно выбрать другие пере-
переменные (например, импульс виртуального фотона к); тогда интеграл
(VII. 12) будет зависеть от \i и собственное натяжение не обратится
в нуль. Действительно, различные способы вычисления W° приводят
к конечным (но, как мы видим, неоднозначным) результатам для
собственного натяжения. Эта неоднозначность мало отличается от
той, которая появилась при вычислении магнитного момента (см. § 31)
или поляризации вакуума (см. § 32). Из физических соображений
очевидно, что smax надо определить как величину, не зависящую от
массы частицы а. Лишь в этом случае собственное натяжение обра-
обращается в нуль, и электрон вместе со своим полем обладает транс-
трансформационными свойствами действительно наблюдаемой частицы.
В заключение следует заметить, что процедура регуляризации, опи-
описанная в § 35, также приводит к однозначному результату
VIII. Некоторые атомные константы
481
VIII. НЕКОТОРЫЕ АТОМНЫЕ КОНСТАНТЫ
t
Универсальные длины
Oq = h2/me2=s 0,529 • 10"8 см (радиус атома водорода).
\0 = fi/mc = 3,862- 10~п см (комптоновская длина волны).
г0 = е^/тс* = 2,818 • 10~13 см (классический радиус электрона).
«137» = йс/*?2 = 137,036.
Энергии и длины волн
= 2/0 = 27,09 эв (/0 — энергия ионизации атома водорода),
Z2m.
/= Z2/o— энергия ионизации /(-электрона = —~ ¦ 1372,
^ = т& = 2/0 -1372 *= 0,51 ЫО* эв.
При 2nl = 1 Х-ед. == 10
При Ь == |л,
При Ь = 106 эв
"а
см, fiv = 12,40 -10* эв = 24,3(х.
= 2,427 .10~10 еж.
1,240 • 100 еж-
Универсальное эффективное сечение
tp0 = 8т:го/3 (формула Томсона) = 6,653.10""
f = Z2rg/137 = Z2 • 5,795. 108 еж2.
Характеристики некоторых веществ
с*
11,28
0,450
0,235
0,165
А1
6,02
0,521
0,590
4,22
Ре
8,46
1,46
ЗД1
190
Си
8,46
1,63
4,12
327
Sn**
3,56
1,18
5,16
2 100
Pb
3,30
1,80
12,86
23100
Воздух ***
НаО****
0,0027
2,57 -Ю-4
137
1374
1,62-10
,-4
3,34
0,222
0,128
Х1022
ХЮ"
ХЮ"
N— число атомов (для воздуха и молекул НаО) в 1 см3; Z— заряд ядра.
* Графит, плотность 2,25;
** Sn, плотность 7,и0;
*** При атмосферном давлении и 0° С;
**** Для воздуха и воды NZ есть полное число электронов в 1 см3, NZ* сумма
значений Zx по всем ядрам в 1 см3.
482 Приложения
Обозначения.
Нерел. — не релятивистский, энергия <^ тс\
Кр. рел. — крайне релятивистский, энергия ^> тс2.
„Классический"—всюду означает Й->0.
Все импульсы р и др. имеют размерность энергии (с X обычный им-
импульс).
Пространственно-временные индексы: греческие индексы для значений
от 1 до 4, латинские индексы — от 1 до 3.
х4 = 1х0 = let и т. д.
Пространственные векторы обозначаются жирными буквами к и
&2=|к|2. В гл. 6 используются, однако, упрощенные обозначения
для четырехмерных скалярных произведений и др. (см. стр. 313)
* 2*
ЛИТЕРАТУРА
1. Darwin С. G., Proc. Roy. Soc, A136, 36 A932).
2. Geheniau J., Actualites Scientifiques, No. 778, Paris, 1939.
3. Humblet. J., Physica, 10, 585 A943).
4. Con way A. W., Proc. Roy. Ir. Ac, 41, 8 A932).
5. Heitler W., Proc. Cambr. Phil. Soc, 37, 112 A936).
6. Franz W., Zs. f. Phys., 127, 363 A950).
7. Abraham M., Phys. Zs., 15, 914 A914).
8. Beth R. A., Phys. Rev., 50, 115 A936).
9. P a u 1 i W., Meson Theory of Nuclear Forces, New York, 1946 (см. перевод
Паули В., Мезонная теория ядерных сил, ИЛ, 1947).
10. Со ester F., Phys. Rev., 84, 1259 A951).
И. Hamilton J., P e n g H. W., Proc R ,y. Ir. Ac, 49, 197 A944).
12. Stuck el berg E. С G., Helv. Phys. Acta, 25, 577 A952).
13. Williams E. J., Det. Kgl. danske Vidensk. Selsk., 13, No. 4 A935).
14. Weizs acker С F., Zs. f. Phys., 83, 612 A934).
15. Pa is A., Epstein S. Т., Rev. Mod. Phys., 21, 445 A949).
16. Rohrlich F., Phys. Rev., 77, 357 A950).
17. Villars F., Phys. Rev., 79, 122 A950).
18. Sawada K-, Progr. Theor. Phys., Japan, 5, 117 A950).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аберрация 75
Амплитуда состояния электромагнит-
электромагнитного поля в присутствии всех ком-
компонент 150—153
. . преобразованная (после
исключения виртуального поля) 173,
174, 183, 184
только продольного и
скалярного полей 112—116
поперечного поля
77—81
Аннигиляция позитронов 134, 135,
302—309
вероятность во время пробега
433, 434
однофотонная 307, 308
двухфотонная 302—307
поляризационный эффекг
304, 306
трехфотонная 307, 309
эксперименты 306, 307, 309
Баланс энергии, см. Сохранение
энергии
Бозе — Эйнштейна статистика 76
Борна—Гейзенберга представление
79, 153
Борновское приближение 237, 276,
292
отклонения, см. Образование
пар, Тормозное излучение, фото-
фотоэффект*
Боровский радиус 238, 284
Вакуум, см. Электронный, фотонный
вакуум
— наблюдаемая часть поляризации
364—369, 387
— поляризация 136, 356—369, 386,
387, 405
— флюктуации 136, 329—331
Вейцзекера — Вильямса метод
470—476
Вектор заряда-тока, см. Ток
— энергии-импульса 26, 30, 45. 74,
477
Вероятность перехода (общая) 165
166, 189, 198—202; см. также Из-
Излучение, Рассеяние и т. д.
Вершина диаграммы 318—327,343 344
Взаимодействие двух частиц 63, 150,
265—270; см. также Гамильтониан,
Кулоновское взаимодействие, За-
Запаздывающее взаимодействие
— излучения и частиц 58, 149—151,
157, 316
Виртуальные поля, частицы, состоя-
состояния 167, 173, 183, 192, 204, 205,
318, 393
— фотоны (быстрые частицы)
470—475
Вихерта потенциалы 31—33
Внешнее поле 59, 173, 179—181
матричные элементы для эле-
электрона, 327, 329, 345—350
Волновая зона 35, 455
Волновая функция (релятивистская)
свободного электрона 129
Время жизни атомного состояния,
осциллятора 47, 214
позитрона 305, 309
Вторичное квантование 137—148, 150,
159—161, 317—331
Вынужденное излучение 52, 209
Гамильтониан взаимодействия 149,
150, 157, 158
матричные элементы 170, 171
— частицы 57, 58, 62, 65—68, 126,
128, 147—150
— электромагнитного поля 54—68,
72—74, 107, 148—150, 157, 158
— электронного поля 147, 148, 149,
150, 157, 158
//-теорема (статистика) 469, 470
Герца вектор 37, 212
Главное значение 86—88, 215, 328,
329, 345; см. также С-функция
Градиентная инвариантность 16,
116—119, 151, 357, 358, 363—365
Градиентные преобразования 65—68,
118
484
Предметный указатель
Двойной эффект Комптона 257—264
инфракрасный фотон
262—264, 375—377
Детальное равновесие 191, 467—470
Диаграммы взаимодействия 319, 320,
330, 340, 344
Дипольный момент, излучение, см.
Электрический, Магнитный
Дирака уравнение 126—136, 159
нерелятивистское приближение
132—133
Дисперсия 50, 51,221—227; см. также
Резонансная флюоресценция, Рас-
Рассеяние
Диффузия f-лучей 4КЗ—415
Допплера эффект 75, 218
Естественная ширина линии, еж. Ши-
Ширина линии
Замкнутые циклы (диаграммы взаи-
взаимодействия) 325
Запаздывание 35, 36, 44, 65, 212
Запаздывающее взаимодействие
266—270, 399
Запаздывающие потенциалы 16, 17,
32, 94, 266
Затухание 46—51, 190, 213—217,
228—234, 377—380, 392—398, 467
— общая теория 193—205, 463—467
Излучение света 38,206—210,211, 212
Измерение тока 147
— напряженностей поля 100—106
— положения электрона 82, 83
Импульс электромагнитного поля
17—20,. 26, 74
— электронного поля 148, 477
Инвариантность по отношению к пре-
преобразованиям Лоренца взаимодей-
взаимодействия 151, 181
матричных элемен-
элементов взаимодействия 181, 327, 354,
357. 358, 363, 364
эффективного се-
сечения 168, 272
Инвариантные переменные 335, 363,
480
Индефинитная метрика ПО—124, 153,
154, 458—463
Индуцированные токи (поляризация
вакуума) 358, 359
Инертная масса, сила инерции 28, 45
Интегральное уравнение для ампли-
амплитуды вероятности 190, 195,463—465
„Инфракрасная катастрофа" 262—264,
28о, 375—377
Ионизация быстрыми частицами 418,
419
Итерированное уравнение (затуха-
(затухание) 463—467
Калибровка кулоновская 16, 63—68,
149, 150, 268, 269, 383, 456—458
— лоренцо^а 16, 59, 149, 172, 269,
270, 317, 332
Канонические перестановочные со-
соотношения 72, 159
Канонические уравнения для ампли-
амплитуд электромагнитного поля 54—65
полевых переменных 158
Каноническое преобразование для
исключения виртуальных состояний
174—181, 184, 204, 330, 342, 393,
466, 467
от лоренцевой калибровки к
кулоновской 65—68
Каскадные единицы 436, 439
— ливни 257, 434—449
флюктуации 444—448
численные данные 440.—443
эксперименты 448, 449
Квадрупольный момент, излучение,
см. Электрический квадрупольный
момент, излучение
Квантование поперечного поля 72—80;
см: также Вторичное квантование
— продольного и скалярного полей
106—125
Кинетический импульс 28, 58
Клейна — Нишины формула 250
Когерентность (рассеяние) 224—226,
235
Комптона эффект 243—256, 296, 297,
319, 409—415
на связанных электронах 227,
257
поправки затухания 377—380
радиационные поправки
369—377
численные значения 255
электроны отдачи 253; см.
также Двойной эффект Комптона
эксперименты 2о6
Комптоновская длина волны 244
Коэффициент поглощения (оптиче-
(оптический) 217
для рентгеновских и f-лучей
239, 243, 255, 300, 409—414
численные значения и экспе-
эксперименты 412, 413; см. также
Комптона эффект, Образование
— пар, Фотоэффект
Куло ювекое взаимодействие 64^—68,
150, 265, 268, 269, 383, 384
Предметный указатель
/С-электрон, волновая функция 238;
см. также" Фотоэффект, Анниги-
Аннигиляция
Лагранжиан 156, 157
Ливни, см. Каскадные ливни
Линейность, см. Нелинейность (поля
Максвелла)
Лоренца преобразования 20—31
для световых волн и фотонов
30, 75
• для эффективных сечений 273,
274, 304, 305, 474
— сила 13, 24, 58
— совокупность 115, 458
— условие 15, 22, 59, 65, 108, 113,
149, 153—155, 357, 458—463
Магнитная поляризуемость электро-
электрона 355
Магнитное мультипольное излучение
452—456
Магнитный дипольный момент, излу-
излучение 37, 212
— момент (аномальный) электрона
.351—356, 391
• измерения и численное
значение 355, 356
Максвелла тензор, см. Тензор энер-
энергии-импульса
— уравнения (в квантовой электро-
электродинамике) 109, 154, 461—462
Массовый оператор 342—345,
387—388, 390, 394
Матрица рассеяния, см. g-матрица
Матричные элементы амплитуды эле-
электронной волны 138—141
взаимодействия 169—172
кулоновского взаимодействия
265—275
общие выражения (для столк-
столкновений) 326—329, 344, 345
радиационных осцилляторов
72, 112
Мезоны 401, 413
— влияние на поляризацию вакуума
405—407
— открытие 431, 432
— потери энергии, пробег 4207-424
Момент фотона 76, 451—456
Множественные процессы, см. Обра-
Образование двойных пар, Двойной
эффект Комптона, Аннигиляция
Наведенное излучение 52, 209
Нелинейность поля Максвелла 368,
369
Неоднозначные выражения, интег-
интегралы 354, 362—365, 403, 404, 480
Несвязанные диаграммы взаимодей-
взаимодействия 329—331
Норма .амплитуды состояния (инде-
(индефинитная метрика) 116
Нулевая энергия 73, 148
Образование двойных пар 262
эксперименты 261, 262, 302
— пар 134, 135, 290—302, 409—415
в поле электрона 297—300, 410
заряженными частицами
298—300, 302
отклонение от борновского
приближения 292, 297, 412, 413
положительный избыток 297
численные данные 295—298
эксперименты 300—302,
412—413
ядра отдачи 293,294; см. также
Образование двойных пар, Каскад-
Каскадные ливни, Коэффициент поглоще-
поглощения
Оже эффект 219, 220
Оператор порождения, уничтожения
для фотонов 79, 110—113, 122—124
электронов и позитронов
139, 144
Опережающий потенциал 94
Осциллятор классический, поглоще-
поглощение, рассеяние 50—52; см. также
Радиационные осцилляторы
Параметр соударения (тормозное из-
излучение) 283, 284, 472
Паули принцип для электронного
поля 137, 145, 161
Перенормировка заряда 314,360—362,
373, 374, 387, 397; см. также Соб-
Собственный заряд
— массы 314, 337, 387, 388, 394; см.
также Массовый оператор, Соб-
Собственная масса
Перестановочные, соотношения для
тока 147, 4С0 "
напряженностеЙ электро-
электромагнитного поля 96, 97, 458
поперечного поля 73, 107;
см. также Соотношения антиком-
антикоммутации
потенциалов -электромаг-
-электромагнитного поля 121—123, 159, 160;
457, 459
— продольных и скалярных
фотонов 107, 108
— сферических волн 456
числа фотонов и фазы 82
486
Предметный указатель
Поглощение (оптическое) 51, 206,210,
217, 231
Позитрон, открытие 134, см. также
Аннигиляция, Образование пар
и пр.
Позитроний 308, 309
Пойнтинга векто*р, см. Импульс
Поляризационный эффект (потери
энергии, ионизация) 419—421
Поляризация вакуума, см. Вакуум
— испущенного излучения, см. Из-
Излучение света, Рассеяние, Анниги-
Аннигиляция и пр.
— световых волн, фотонов 54, 74,
107, 451, 452, 455, 456
Потери энергии частицы 415—423
при столкновениях 415—421
тормозном излучении
285—288, 421—423
— • флюктуации, см. Разброс
фотона 414, 415
эксперименты, численные
значения 420—425, 428
Представление взаимодействия 79,80,
142, 152—154, 162, 183, 339
для связанных состояний 203,
394
Принцип соответствия 210, 212, 224
Пробег флюктуации 427—430,445,446
— (частицы) 423, 424
Пробное тело 100
Продольное и скалярное поля, фо-
фотоны 60—63, 106—119, 150,269,385
Промежуточные состояния 167
в теории дырок 246; см. также
Виртуальные состояния, Диспер-
Дисперсия, Комптона эффект и т. д.
Проникающая способность, см. Коэф-
Коэффициент поглощения, Потери энер-
энергии
Радиационные осцилляторы 55—68,
72—80
— поправки (реакция излучения) 313,
320; см. также Комптона эффект,
Рассеяние, Ширина линии
Радиус атома 284
— электрона 45
Разброс (в потерях энергии) 418,
425—430
Рамана эффект 224
Рассеяние рентгеновских лучей на
атоме 227
— света на свободных электронах
49, 227; см. также Комптона эф-
эффект
классическом осцилляторе
50, 51
Рассеяние рентгеновских лучей на
нуклонах 413
. — свете 368, 369
связанных электронах 256;
см. также Дисперсия, Резонанс-
Резонансная флюоресценция
— электрона в кулоновском поле
275
на электроне 267—274
эффект обмена 270, 271
¦ радиационные поправки 377
Расходимость разложений квантовой
электродинамики 400; см. также
Собственная энергия, Собственный
заряд и т. д.
Реакция поля 14, 39—48, 58
Регуляризация 401—404, 480
Резерфорда формула 274, 377
Резонансная флюоресценция 51,
228-236
Ренормировочные члены 179,186—188,
331, 350, 466
Рентгеновские лучи, см. Рассеяние,
Коэффициент поглощения, Сплош-
Сплошной рентгеновский спектр, фото-
фотоэффект и т. д.
У-матрица 190, 191, 199, 328, 470
Саката — Такетани уравнение (спин
нуль) 370, 371
Сдвиг уровня 202—204, 215, 381—392
водорода, дейтерия, Не+, чис-
численные значения и эксперименты
381, 382, 391, 392
— фазы фотона в резонансном рас-
рассеянии 50, 235
— частоты осциллятора с "затуха-
"затуханием 48, 397
Сила инерции, см. Инертная масса
Сила самодействия 41—45
Скалярное поле, см. Продольное
поле
Смещение линии, см. Сдвиг уровня
Собственная масса 338,341; см. так-
также Массовый оператор, Перенор-
Перенормировка массы
— энергия вакуума 329, 333, 383
электрона 45, 46, 65, 168,
182—186,331,342,347—351,478—480
в связанном состоянии
202—205, 380, 381, 383—390
недиагональные части 339
поперечная 168, 333
фотона 366, 367
Собственное время 22
— натяжение, 404, 479, 480
Собственные волны, излучение
53—56, 452—456
Предметный указатель
487
Собственный заряд 360, 364, 374, 387,
406; см. также Перенормировка
заряда
— импульс 45, 332, 478, 479
Соотношение неопределенностей для
сходящегося пучка света 82, 83
напряженностей поля 98, 99
фазы и числа фотонов 82,
224
¦ энергии и времени 216
Соотношения антикоммутации для
амплитуд операторов ф 138—141
б-гюля 141—145, 153, 159,
160, 460
Составные матричные элементы 167,
186
Состояния с отрицательной энергией
129, 133—137, 246
Сохранение заряда 13, 128
— импульса 17—19, 26, 171
— энергии 17—19, 26, 40, 165, 166
при столкновениях 172, 189
Спиновые матрицы 126
суммирования 131, 132, 143,
248—250, 272
Сплошной рентгеновский спектр
279—282
Спонтанное излучение, см. Излуче-
Излучение
Среднее значение тока 145, 146
— — в индефинитной метрике 110,
118, 153, 154, 458—463
¦ напряженностей поля 118,
461, 462
— — по фотонному вакууму 124, 324
—- — по электронному вакууму 145,
322
Статистика Ферми — Дирака 76
Статическое взаимодействие, см. Ку-
лонэвское взаимодействие
Столкновения, общая теория
172—191, 315—329
— как причина уширения линий, см.
Уширение, Рассеяние, Потери энер-
энергии, Комптона эффект и т. д.
Сферические волны 75, 452—456
Тензор индукции 356—358, 362—366,
404
— энергии-имаульса 19, 25, 26, ИЗ,
161, 332, 478, 479
Теория дырок 133—137, 246, 333, 383
Термическое равновесие излучения
211
Ток, 4-вектор 22, 128, 145, 146
Томсона формула 49, 251, 378
Тор#)зная способность, см. Потери
энергии
Тормозное излучение 275—290,
421—423, 473—475
отклонение от борновского
приближения 220, 288, 439
при столкновении двух элект-
электронов 289, 422, 475
численные значения 286—288;
см. также Потери энергии, Раз-
Разброс, Каскадные ливни '
эксперименты 289, 290
Точечный заряд, классическое поле
33—35, 471, 472
Условие полноты 84, 130, 131
Уширение при столкновениях 219,
235; см. также Оже эффект,
Штарка эффект
Фаза фотона 82, 224
Флюктуации заряда 330
— напряженностей поля 81, 333, см.
также Флюктуации заряда, Ва-
Вакуум, Пробег, Каскадные ливни,
Разброс
Фотонный вакуум 122—125; см. так-
также Среднее значение
Фотоэффект 236—243, 256, 409—415
— из /,-оболочки 243
— численные данные 242
— эксперименты 239—240
Функция плотности излучения 57
общая 166, 190, 247
электронов 130
Функции 5-функция 84—89
— о+-функция, см. С-функция
— Д-функция 89—91, 96, 121, 457, 458
— D-функция 91—95, 147, 402; см.
также Перестановочные соотно-
соотношения, Соотношения антикоммута-
антикоммутации, е-функция, //-функция
— е-фу нщия 83, 90—94, 457
— //-функция (перестановочные со-
от юшения) 457
— С-функция 86—88, 93—95, 188, 189,
193—202, 323—329
Фурье разложения четырехмерное
119-125,317
электромагнитного поля 53—68,
72—75, 106—125
электронного поля 137—145,317
Цилиндрические волны 451, 456
Черенкова эффект 419
4-скорость 28
Ширина линии 46—48, 192, 195,
215—220, 230—233, 381
488
Предметный указатель
Ширина линии радиационные поправ-
ки 392—396; см. также Уширение
эксперименты 220
Ширина уровня, см. Ширина линии,
Сдвиг частоты
Шпур 131, 249, 250
Шредингера представление 74, 79,
151, 153, 160
Штарка эффект (уширение) 219
Эквивалентные кванты, см. Виртуаль-
Виртуальные кванты
Экранирование (тормозное излучение,
образование пар) 283,284,292—300
Электрический дипольный момент
37, 210
излучение 210
Электрический квадрупольный мо-
момент 37, 212
излучение 211, 212
Электрическое мультипольное излу-
излучение 452—456
Электрон отдачи Комптона (эффект,
рассеяние электрона на электроне)
253, 254, 273, 274
Электронный вакуум 134, 144; см.
также Среднее значение
Энергетическая поверхность 175, 183,
204, 393
Энергия покоя 27
Эффективное сечение 168
— — асимптотическое поведение
379, 380; см. также Поглощение,
Рассеяние и т. д.
Ядро отдачи (тормозное излучение,
образование пар) 288, 289, 293
294
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие к третьему английскому изданию 7
^ведение , 9
Глава 1. Классическая теория излучения (перевод Б. В. Медве-
Медведева) : 13
§ 1. Общая теория Максвелла — Лоренца 13
§ 2. Релятивистская инвариантность, импульс и энергия поля 20
§ 3. Поле точечного заряда и излучение света 31
§ 4. Реакция излучения, ширина линий " 39
§ 5. Рассеяние и поглощение 48
§ 6. Поле как суперпозиция плоских волн. Гамильтонова форма
уравнений поля 53
Литература * 69
if л а в а 2. Квантовая теория свободного поля излучения (перевод
Б. ?. Медведева) 70
§ 7. Квантование поля излучения 70
§ 8. Функции Ъу А и связанные с ними функции 83
§ 9. Перестановочные соотношения и соотношения неопреде-
неопределенностей для напряженностей поля 95
§ 10. Квантование продольного и скалярного полей 106
Литература 125
Глава 3. Электронное поле и его взаимодействие с излучением
(перевод В. Л. Бонч-Бруевача) 126
§11. Релятивистское волновое уравнение для электрона . . . 126
§ 12. Вторичное квантование электронного поля 137
§ 13. Взаимодействие электронов с излучением 148
Литература 161
Глава 4. Методы решения (перевод Б. М. Степанова) 162
§ 14. Элементарная теория возмущений . щ 162
490 Оглавление
§ 15. Общая теория возмущений; свободные частицы 172
§ 16. Общая теория эффектов затухания 192
Литература \ 205
Глава 5. Радиационные процессы в первом приближении
{перевод Д. Н. Зубарева и Б. М. Степанова) 206
§ 17. Излучение и поглощение 206
§ 18. Теория естественной ширины линии 212
§ 19. Дисперсия и эффект Рамана 221
§ 20. Резонансная флюоресценция 228
§ 21. Фотоэффект 236
§ 22. Рассеяние на свободных электронах 243
§ 23. Множественные процессы 257
§ 24. Рассеяние двух электронов 264
§ 25. Тормозное излучение 275
§ 26. Образование позитронов 290
§ 27. Аннигиляция позитронов 302
Литература 310
Глава 6. Радиационные поправки (перевод Д. В. Ширкова) . . . 313
§ 28. Общее вычисление матричных элементов 315
§ 29. Собственная энергия электрона 331
§ 30. Электрон во внешнем поле 345
§ 31. Аномальный магнитный момент электрона 351
§ 32. Поляризация вакуума 356
§ 33. Поправки к комптоновскому рассеянию 369
§ 34. Радиационные поправки в связанных состояниях 380
§ 35. Перспективы дальнейшего развития теории 398
Литература 407
Глава 7. Проникающая способность излучения высокой энер-
энергии (перевод Д. Н. Зубарева) 409
§ 36. Коэффициент поглощения ?-лучей 409
§ 37. Поглощающая способность веществ в отношении быстрых
частиц 415
§ 38. Каскадные ливни 434
Литература 449
Приложения (Перевод Д. Я. Зубарева)
I. Момент количества движения света (§7) 451
II. Перестановочные соотношения для векторных потенциалов при
кулоновсксй калибровке (§ 9—13) * . . *. . 456
III. Условие Лоренца в присутствии зарядов (§ 10, 13) 458
Оглавление 491
IV. Итерированное уравнение затухания, переход к свободным
частицам (§ 16, 34) 463
V. Принцип детального равновесия (§ 15) . . .* 467
VI. Метод Вильямса — Вейцзекера (§ 25, 26) 470
VII. Тензор энергии-импульса и собственные натяжения (§ 4, 29) . . 476
VIII. Некоторые атомные константы 481
Литература . . . 482
Предметный указатель 483
В. Гайтлер
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Редактор Л. В. ГЕССЕН
Технический редактор Е. С. Герасимова
Художник М. Г. Ровенскай
Корректор Я. Г. Якова
Сдано в производство 7/И 1956 г.
Подписано к печати 30/VIII 1956 г.
Т-08098. Бумага 60x927ie=6yM. л.
30,8 печ. л.
Уч.-издат. л. 29,9. Изд. N° 2/2844.
Цена 22 р. 95 к. Зак. 1260.
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
Москва. Ново-Алексеевская, 52
Министерство культуры СССР.
Главное управление полиграфической
промышленности.
4-я тип. им. Евг. Соколовой
Ленинград, Измайловский пр., 29.