Глава 8. Дискретные системы
В этом разделе изучаются свойства линейных дискретных моделей, служащих
для описания дискретных (квантованных по времени) динамических процессов
(см. 1.1.2). В рассматриваемом здесь случае квантование сигналов x(t) по времени
осуществляется с постоянным интервалом (периодом, или интервалом дискрет-
ности) Т, и сигналы дискретной системы х(кТ) представлены последовательно-
стями идеальных импульсов различной амплитуды, определенных в равноотстоя-
щие моменты времени t — кТ. Целое число к = 0,1,2,... называется дискретным
временем, а сами амплитудно-модулированные импульсные последовательности —
решетчатыми функциями. С целью упрощения обозначений дискретные сигна-
лы рассматриваемого типа часто записываются просто как функции дискретного
времени х(к), т. е.
х(к) = х(кТ).
8.1. Дискретные модели динамических процессов
Описание дискретного процесса может быть представлено как решение разност-
ного уравнения [4, 10, 11, 12, 18, 20, 33]. Наиболее распространены разностные
уравнения n-го порядка (модели вход-выход) и системы уравнений первого по-
рядка (модели вход-состояние-выход), а также их операторные формы. Дискрет-
ные модели либо отражают динамику реальных квантованных по времени процес-
сов, либо являются одной из форм приближенного описания систем непрерывного
времени. В последнем случае возникает необходимость рассмотрения вопросов
квантования и методов преобразования динамических систем к дискретной форме,
т. е. их дискретизации (см. 8.1.1 и п. 9.2).
8.1.1. Построение дискретных моделей
Модели дискретных процессов. Разностные уравнения, описывающие динами-
ку систем дискретного времени получаются в результате анализа реальных (фи-
8.1. Дискретные модели динамических процессов
243
зических, экономических и проч.) процессов в различные моменты дискретного
времени к.
Пример 8.1. Рассмотрим цифровой накопитель (счетчик), содержание которого в
дискретные моменты времени к описывается функцией xi(k) с начальным значени-
ем (0) = хю. В момент к на вход счетчика поступает сигнал х2(к), в результате
чего в последующий момент дискретного времени к 4- 1 происходит увеличение
содержание счетчика на величину этого сигнала:
а?1(/г+1) = х\(к) 4-х2(к)>	(8.1)
Последнее выражение и является моделью счетчика, представленной в форме раз-
ностного уравнения первого порядка. Значение геДО) = хю играет роль начального
условия.
Уравнение (8.1) можно записать в операторной форме. Введем оператор сдвига
(упреждения) z, действующий по схеме
z х(к) = х(к 4-1),
и после элементарных преобразований получим
xt(k) = -J—X2(k).	(8.2)
z — 1
Оператор l/(z — 1) является передаточной функцией дискретной системы (8.1). □
Пример 8.2. Проанализируем прохождение однородных предметов (товаров) в тор-
говой системе склад-магазин, функциональная схема которой представлена на
рис. 8.1. Здесь ггЦА:) — число товаров в магазине, х2(к) — товары, поступающие
со склада, и(к) — заказанное количество товаров (заказ), f(k) — число реализо-
ванных (проданных) товаров, к — дискретное время в Днях. Начальное состояние
системы (в момент к = 0) характеризуется значениями rri(O) и Ж2(О).
Динамика товаров в магазине описывается разностным уравнением
гг1(Л;4-1) = хг(к) 4- х2(к) - f(k),	(8.3)
в котором число проданных единиц товара f(k) выступает в роли возмущающего
воздействия. Полагая, что заявка выполняется складом с задержкой в один день,
Товар
Рис. 8.1. Система склад-магазин
244
Глава 8. Дискретные системы
запишем модель склада в виде
ж2(А? + 1) = и(к),
(8.4)
где заявка и(к) на требуемое количество товара играет роль управляющего воздей-
ствия. Если задача управления ставится как задача регулирования объема товаров
в магазине, то переменная Xi считается выходом системы:
у(к) = х^к).
(8-5)
Таким образом, рассматриваемая система описывается уравнениями состояния
(8.3)-(8-4) и уравнением выхода (8.5). Разностные уравнения состояния связы-
вают значения переменных состояния xi и х2 в последующий момент дискретного
времени (следующий день) к + 1 с переменными системы в текущий момент вре-
мени к.
С использованием оператора сдвига z полученные разностные уравнения (8.3)-
(8.4) можно привести к операторной форме:
(®2(*)-/W),	(8.6)
Z — 1
х2(к} = 1 и(к},	(8.7)
z
удобной для построения структурной схемы (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Структурная схема системы склад-магазин
Модель дискретной системы может быть также представлена в форме вход-выход.
Для этого уравнение (8.3) переписывается для времени к + 2:
ят1(А?4-2) = хх(к + 1) 4- х2(к + 1) - f(k + 1).	(8.8)
После подстановки выражений (8.4) и (8.5), находим
у(к + 2) — у(к + 1) = u(k)-f(k+l).	(8.9)
Полученное разностное уравнение второго порядка связывает объемы товаров в
моменты дискретного времени к+2 и fc+1 с соответствующими значениями заказа
и(к) и продаж f(k + 1).
8.1. Дискретные модели динамических процессов
245
Для решения задачи стабилизации количества товаров в магазине у на заданном
уровне у* = const может быть использована простейшая стратегия управления
заказами — пропорциональный алгоритм управления
и(к) = Кг(к),
(8.Ю)
где
е(*0 = у* - у(к}
— отклонение, К — постоянный коэффициент. Графики процессов в такой систе-
ме при постоянном спросе f(k) = const приведены на рис. 8.3 и представлены
дискретными сигналами (решетчатыми функциями) у(к) = xi(k), Х2(к), и(к) и
/(*)• □
Рис. 8.3. Процессы системы склад-магазин
k 0123456789 k
Квантование непрерывных сигналов и теорема прерывания. Процедура пре-
образования сигнала непрерывного времени x(t) к дискретному (квантованно-
му по времени) виду называется квантованием (рис. .8.4). Такая процедура от-
ражает как реальные процессы, проходящие в цифровых системах управления
(см. п. 9.1), так и математические операции, использующиеся в различных сферах
теории информации.
Рис. 8.4. Квантование непрерывного сигнала
В результате квантования получается импульсная последовательность х(кТ) (ре-
шетчатая функция), которая при t = кТ совпадает с исходным сигналом:
х(кТ) = x(t)\t=kT,
246
Глава8. Дискретные системы
а в другие моменты времени не определена; Потеря информации при квантовании
зависит от величины интервала квантования Т или частоты квантования
Выбор интервала Т обычно осуществляется из соображений теоретической воз-
можности восстановления исходного сигнала по полученной в результате кванто-
вания импульсной последовательности (дискретной выборке), что отражает со-
держание известной теоремы прерывания (теоремы Котельникова-Шеннона).
Рассмотрим задачу, нахождения- сигнала x(t) по известной решетчатой функции
х(кТ) (см. рис. 8.4), полагая, что спектр сигнала x(t) ограничен частотой cumax.
Тогда, в соответствии с теоремой прерывания, точное восстановление функции
x(t) теоретически возможно при условии, что частота квантования ш более чем в
2 раза превосходит наибольшую частоту u>max:
cj > 2cjmax,
(8.П)
а для интервала квантования выполняется
7Г
Ш max
Т <
(8.12)
Приведенный результат широко используется в задачах идентификации динами-
ческих систем и дискретизации непрерывных моделей (см. ниже). Применение
теоремы прерывания в задачах синтеза цифровых систем управления имеет свои
особенности, которые обсуждаются в 9.2.2.
Дискретизация автономных систем. Под дискретизацией системы подразуме-
вается преобразование непрерывной динамической модели к дискретной форме
описания — одной из форм разностных уравнений. При этом предполагается, что
в моменты t = kT импульсные сигналы х(кТ) полученной дискретной модели
с определенной степенью точности повторяют значения сигналов x(t) исходной
непрерывной системы.
Здесь ограничимся рассмотрением автономной линейной системы, для которой су-
ществует точное решение задачи дискретизации. Методы дискретизации систем
более общего вида рассматриваются в 9.2.1.
Рассмотрим модель состояние-выход линейной системы управления
x(t) = Ax(t),	(8.13)
y(t) = Cx(t),	(8.14)
где x G — вектор состояния, z(0) = rr0 , у G Rni — вектор выхода. Решение
уравнения (8.13) имеет вид
x(t) = eAtxo.
(8.15)
8.1. Дискретные модели динамических процессов
247
Рассмотрим значения x(t) в дискретные моменты времени. При t = kT получим
х(кТ) = еАкТх0,	(8.16)
а при t = (к + 1)Г —
х((к + 1)Т) = еА(к+1^тхо = еАТеАкТх0 = еАТх(к). (8.17)
Следовательно, дискретный аналог уравнения состояния (8.13) имеет вид
х((А:+1)Т) = Adx(kT),	(8.18)
где
Т2	Тэ
Ad = еАТ = 1 + ТА+— Л2 + ... + — Л’ + ....	(8.19)
2!
Соответствующее уравнение выхода дискретной системы получается прямой под-
становкой t = кТ в выражение (8.14):
у(кТ} = Cdx(kT),	(8.20)
где Cd - С.
Таким образом, получена дискретная система (8.18), (8.20), процессы в которой в
квантованные моменты времени t — кТ точно совпадают с процессами в исход-
ной системе (8.13)-(8.14). Так как решения дискретной системы в промежуточ-
ные моменты времени не определены, то корректный переход к дискретной форме
предусматривает выбор достаточно малого интервала квантования Т. Максималь-
но допустимое значение Т устанавливается теоремой прерывания (см. неравенство
(8-12)).
Экспоненциальная зависимость матриц уравнений состояния непрерывной и дис-
кретной систем, позволяет сделать важный вывод о связи их собственных значе-
ний, а значит и корней соответствующих характеристических полиномов. В силу
определения матрицы Ad и свойства 3.3 (см. 3.1.3) матричной экспоненты запишем
Ai{4d} = А<{елт) = еТА-<л>, i = ЦТ,	(8.21)
что приводит к следующему заключению.
Свойство 8.1. Корни pi характеристического полинома det(p/ — А) непрерыв-
ной системы (8.13)-(8.14) связаны с корнями гг- характеристического полинома
det(zl — Ad) эквивалентной дискретной системы (8.18),(8.20) соотношением
Zi = eTpi, i = l,n.	(8.22)
Замечение 8.1. Отображение (8.22) не однозначно, и в общем случае нескольким
различным значениям pi соответствует одно и то же значение г». Тем не менее
при выборе достаточно малого интервала Т, удовлетворяющего условиям теоремы
248
Глава 8. Дискретные системы
прерывания, имеет место взаимно-однозначное соответствие корней непрерывной
и эквивалентной дискретной систем (см. п. 8.3).
Пример 8.3. Модель свободных колебаний маятника в вакууме описывается урав-
нениями (см. п. 4.2)
±i(t)	=	wQx2(t},	(8.23)
#2(0	=	— ^o^i(t),	(8.24)
?/(t)	=	zi(£),	(8.25)
О w0
—wo О
где y(t) — угловое отклонение, w0 — частота колебаний. Здесь А =
Для построения дискретной модели выберем интервал квантования Т < тт/wo и по
формуле (8.19) найдем
Ad = еАТ
cosw0T	sin woТ
— sin wo T cos wq T
Эквивалентное описание движения маятника в дискретные моменты времени t =
= кТ принимает вид:
ж1((А: + 1)Т) = cosw0T xi(kT) + sinwoT х2(кТ),	(8.26)
а?2((& + I)?1) = — sinwoT xi(kT) + coswoT х2(кТ),	(8.27)
у(кТ) = х^кТ).	(8.28)
В дискретную модель входят два разностных уравнения первого порядка (8.26)
и (8.27).
Графики непрерывного процесса гармонических колебаний y(t) и дискретного
(квантованного по времени) сигнала у(кТ) представлены на рис. 8.5.
Рис. 8.5. Непрерывные гармонические колебания маятника y(t)
и эквивлентный дискретный сигнал у(кТ)
Непрерывная модель маятника имеет мнимые полюсы pii2 = Tjwo- По формуле
(8.22) найдем полюсы дискретной модели:
21,2 = eTjw°T = coswoT jsinwoT.	(8.29)
Модель (8.26)-(8.28) может быть записана в форме разностного уравнения второго
порядка. После несложных преобразований найдем:
у ((к + 2)Т) - 2 cos у ((к + 1)Т)+ у (кТ) = 0.	(8.30)
□
8.1. Дискретные модели динамических процессов
249
8.1.2. Модели вход-выход
В общем случае линейная модель вход-выход одноканальной дискретной системы
(здесь — объекта управления) представлена разностным уравнением вида:
y(fc-f-n) 4- aiy(fc 4-п - 1) 4-... 4-an_!?/(fc 4-1) 4-any(fc) =
= bjufk 4- n — 1) 4-... 4- bn-jufk 4-1) 4- bnu(k), (8.31)
где y(k), u(k) — дискретные сигналы (решетчатые функции), соотвествующие вы-
ходной и входной переменной, bi — коэффициенты (параметры модели), п —
порядок модели. Уравнение (8.31) связывает значения входных сигналов и(к) в раз-
личные моменты дискретного времени к,к + п со значениями выходных сигналов
у(к) в моменты к, к 4- п — 1 (рис. 8.6). При этом предполагается, что начальные
значения выходной переменной
2/(0), Z/(-l), •••, Z/(-n4-l)
известны, а управляющий сигнал удовлетворяет условиям
u(—1) = ... = и(—п 4-1) = 0.	(8.32)
Ун
,...ч1||11Н|ПШ|11
-п-1	01 k k+n
ии
....||!||||ПШ||||
-101 k k+n-i
Рис. 8.6. Процессы дискретной системы
Модель (8.31) может быть переписана в операторной форме. Для этого введем в
рассмотрение оператор сдвига (упреждения)
z : z у(к) = у(к + 1)
и положим, что
гг у(к) = у(к + г).
С учетом введенных обозначений уравнение (8.31) легко преобразуется к виду
a(z) у(к) = b(z) и(к),	(8.33)
250
Тлава 8. Дискретные системы
где используются операторы
a(z) = zn + a1zn 1 4- ... + an-iz 4- ап,
b(z) - biz11-1 + ... + &п-1Р 4- zn.
(8.34)
(8.35)
Оператор a(z) называется характеристическим полиномом системы (8.31), а ком-
плексные числа Zi, г = 1,п, являющиеся корнями характеристического уравнения
a(z) = 0,
(8.36)
называются полюсами системы. Корни алгебраического уравнения
6(г) = 0,
(8.37)
т. е. комплексные числа zf, г = 1,т, называются нулями системы (8.31).
u(k}
W(z)
Из уравнения (8.33) найдем явную связь переменных
y{k) и и(к) в виде операторного уравнения:
у(к) = W(z) u(k).
(8.38)

где оператор
(8.39)
называется передаточной функцией дискретной системы (8.31).
Описание автономной дискретной системы дается однородным уравнением вида
У (к 4- п) + а!у(к + п - 1) 4- ... 4- апу(к) = О
или, в операторной форме, — уравнением
a(z) у(к) = 0.
(8.40)
(8.41)
Возмущающеё воздействие /(Аг), характеризующее влияние на объект управления
внешней среды (см. п. 1.2), рассматривается как дополнительный входной сигнал.
Тогда линейная модель дискретной системы принимает вид
у(к + п)	4-	aiy(k 4- п - 1) 4- ... 4- ап_1у(к + 1) 4- апу(к) =
—	biu(k 4- п - 1) 4-... 4- bn_iu(k 4- 1) 4- Ьпи(к) 4-
4-	dif(k 4- п — 1) 4-... 4- dn~if(k 4- 1) 4- dnf(k),	(8.42)
8.1. Дискретные модели динамических процессов
251
где di — коэффициенты, определяющие влияние на процессы в системе возмуще-
ния f(k). После соответствующих преобразований получаем операторную форму
модели (8.42):
a(z) у(к) — b(z) и(к) + d(z) f(k).	(8.43)
где используется оператор
cZ(z) = d1zn~1 + ... + dn^ip + zn,
и форму
y(k) = W(z) u(k) + Wf(z) f(k),	(8.44)
где
cZ(z)
а(г)
— передаточная функция по возмущающему воздействию f(k).
Решение разностных уравнений. Сама форма представления моделей вход-выход
указывает простой путь для получения рекуррентного решения, т. е. процедуры
нахождения текущих значений у(к} по известным значениям у и и в предшеству-
ющие моменты дискретного времени к. Подставляя в разностное уравнение (8.31)
к -I- п = 1 и принимая во внимание предисторию управляющего сигнала (8.32),
найдем
7/(1) = -ai7/(0) - <х22/(—1) - • • • - апу(-п+ 1) + biu(Q). (8.45)
При к + п = 2 получим
2/(2) = -ai?/(l) - ... - апу(—п + 2) + biu(l) + b2u(0).	(8.46)
Наконец, при к + п = к (или п = 0) запишем
т/(/г) = —apylk - 1) - ... - апу(к) + b^tlk - 1) + b2u(k - 2) + ... + bnu(0). (8.47)
Аналитическое решение уравнения (8.31) можно отыскать в виде
у(к) - Усв(к)+ ув(к).	(8.48)
Выражение (8.48) содержит вынужденную составляющая у3(к), соответствующую
реакции системы на входное воздействие и(к), и свободную составляющую т/св(А;),
соответствующую решениям однородного разностного уравнения (8.40) при на-
чальных условиях 7/(0), т/(-1),..., т/(-п + 1).
Поведение автономной системы и свободная составляющая переходного процес-
са т/св(^) зависят от полюсов системы zif которые в общем случае представлены
комплексно-сопряженными парами:
252
Глава 8. Дискретные системы
или, в показательной форме, —
4i+i =	(8.49)
где
= |4i+1| =	+	(8.50)
$i	= arg zii+1	=	arctg	—.	(8.51)
Для случая неравных полюсов свободная составляющая определяется выражени-
ем:
ya{k) = С^ + Сг^ + ... + Cnzt	(8.52)
где Ci — неопределенные коэффициенты, зависящие от начальных условий.
Вещественному неотрицательному корню zit для которого щ > 0, fa = 0, a V’i = 0
соответствует апериодическая составляющая переходного процесса (мода)
!«(*) = C7i|ai|fc = С( Мк,
а вещественному отрицательному корню, для которого щ < 0, fa = 0, а & = тг —
колебательная мода
Уг(к) = Ci|aJfc — Ci cos къ
(см. 8.1.4 и рис. 8.11). Паре комплексно-сопряженных корней характеристического
полинома Zi,i+1 соответствует колебательная составляющая (см. 8.1.4 и рис. 8.12)
?/г,г+1(М = Ai Mi cos(ki/ji-ipi),	(8.53)
где Ai, ipi — параметры, зависящие от начальных условий.
Если при некоторых начальных значениях имеет место тождество
?/св(&) = 2/*, к > 0,	(8.54)
где у* = const, то значение у ~у* называется положением равновесия автономной
системы (8.40). При условии, что ап / 0, находим, что единственным положением
равновесия рассматриваемой системы является начало координат
у* = 0.
Вынужденная составляющая переходного процесса определяется входным воз-
действием и(к). Наиболее распространенными входными сигналами дискретных
систем являются единичная импульсная последовательность и дельта-функция
Кронекера.
Переходный процесс у = h(k) системы (8.31) при нулевых начальных условиях
2/(0) = ... = у(—п + 1) = 0 и воздействии на ее вход единичной импульсной
последовательности
_ (0 при к < 0,
— [ 1 при к > 0
8.1. Дискретные модели динамических процессов
253
8(4) 14
О 2 4 6 8 1012 14 1618 k
Рис. 8.7. Специальные входные воздействия и переходные процессы (примеры 8.4 и 8.5)
называется переходной функцией (переходной характеристикой) дискретной си-
стемы (рис. 8.7), т. е.
h(k) = y(k)
НУ = 0
и = 1(A))
(8.55)
и = 1(А;).
— Усв(к)
Пример 8.4. Рассмотрим дискретную систему первого порядка
2/(fe + 1) + aiy(kj = biu(k)
(8.56)
с входным воздействием и = 1(A)). Полагая также г/(0) = 0, найдем переходную
функцию системы h(k). По формулам (8.45)-(8.47) получим
Ml)
h(k)
bi, Л(2) — — <2i&i +	,...,
((—ai)fc 1 + ... + Qj — ai + l)bi.
(8.57)
Переходная функция системы для случая = -0.905 и М = 0.095 представлена
на рис. 8.7.	□
Делыпа-функция Кронекера 5(к) представляет собой импульс единичной ампли-
туды:
г/7 \ Г 0 при к / 0,
(5(A)) = { 1	7 П
v '	(1 при к — 0.
Переходный процесс у = w(k) системы (8.31) при нулевых начальных условиях и
воздействии на ее вход импульсной функции 6(к) (рис. 8.7) называется весовой
функцией (характеристикой) системы, т. е.
w(k) = у(к)
НУ = 0
и = (5(A))
= 2/в(&)
и = <5(А)).
(8.58)
254
Глава 8. Дискретные системы
Отметим, что по определению w(0) = ... = w(—n-f- 1) = 0.
Весовая функция дискретной системы легко рассчитывается по рекуррентной фор-
муле (8.47). Принимая во внимание свойства дельта-функций, получим:
w(l)	= &i<5(0) = bi,	(8.59)
w(2)	= -aiw(l) + &2<5(0) = -o-ibi + b2,...,	(8.60)
w(A:)	— -aiw(k - 1) - ... + ak-iw(l) + bfc5(0).	(8-61)
Пример 8.5. Рассмотрим дискретную систему первого порядка (8.56) с входным
воздействием и = 5(к} и начальным значением т/(0) = 0. По формулам (8.59)-
(8.61) получим
w(l) = bi, w(2) = —w(k) = (—(8.62)
Весовая функция системы для случая а\ = -0.905 и bi = 0.95 представлена на
рис. 8.7.	□
Кроме основной дельта-функции Кронекера известны также смещенные дельта-
функции 6i(k), i = 1,2,.... Обозначим 5Q{k} = 8(к} и определим (для i — 1,2,...)
Si(k) = 50(k-i) = (° ПрИ
v 7 v 7	[1 при к = г.
Реакцией системы на смещенную дельта-функцию будет смещенная весовая функ-
ция (рис. 8.8)
Wt(fc) = wo(k — г),	(8.63)
где wofk) = w(k).
So 111111	5f  » 1111111111
0 i	k
Рис. 8.8. Смещенные импульсные функции
По известным весовым функция^ может быть определена реакция системы на про-
извольное входное воздействие, т. е. найдена вынужденная составляющая переход-
ного процесса ув(к). Представим дискретное воздействие и(к) в виде разложения
по дельта-функциям:
и(к') = и(0)<50(к) + w(l)Ji(fc) + ... + u(i)6i{k) + ....
8,1. Дискретные модели динамических процессов
255
Получим
yB(k) = u(0)wo(fc) + u(l)wi(A;) + ... + u(i)u>i(k) + ...
и, учитывая свойство (8.63), найдем
ув(к) = У? w(k ~ l)w(i).	(8.64)
i=0
Формула иногда называется суммой свертки и аналогична интегралу свертки
(2.62).
По формуле (8.64) нетрудно определить переходную функцию дискретной системы
к-1
h(k) = ^w(k-l).	(8.65)
i=0
Установившийся режим. Рассмотрим поведение модели ВВ при постоянном вход-
ном воздействии и(к) = const и установившуюся составляющую переходного про-
цесса у = уу = const. Замечая, что в установившемся (статическом) режиме для
любых i > 0 выполняется уу(к + г) = уу и и(к + г) = и(к), из выражения (8.31)
находим статическую характеристику дискретной системы:
1 + + ... + ап
где К — статический коэффициент. Отметим, что условием существования ста-
тической характеристики является
1 + &i +  • • + а,п О,
и система, удовлетворяющая этому условию, называется статической.
Статическая характеристика может быть получена также из операторной формы
(8.33) или (8.38). Сопоставляя (8.66) и (8.38), найдем
, bi + --- + b" = ил(1) = МД.	(8.67)
1 —Н <2.1 + ... + ап	я(1)
Следовательно, 1¥(1) = К, и в статическом режиме система описывается уравне-
нием
Уу = Ж(1)м.	(8.68)
8.1.3. Модели вход-состояние-выход
Сначала проанализируем частный случай управляемой дискретной системы, опи-
сываемой уравнением
y(k + п) + aiy(k + п - 1) + ... + an_iy(k + 1) + апу(к) = Ьи(к). (8.69)
256
Глава 8. Дискретные системы
Введем в рассмотрение переменные состояния
^i(fc)	=	у(к),
х2(к}	=	1/^ + 1),	(8.70)
ЖП(М	=	у(к + п~1)
с начальными значениями
^1(0) = у(0), х2(0) = 7/(1), ..., xn(0) = у(п - 1).
Используя выражения (8.69) и (8.70), найдем уравнения состояния — систему п
разностных уравнений первого порядка вида
Ж1(А;4-1)	= ^2(fc),
х2(к + 1)	= x3(k),	(8.71)
xn(k + 1}	= -anXifk) - ап-\х2(к) - ... - а}Хп + bu(k).
При этом уравнение выхода имеет вид
у(к) = Х1(к).	(8.72)
Структурная схема полученной модели (рис. 8.9) строится с использованием опера-
торов сдвига (запаздывания) 1/г, связывающих два соседних значения переменной
х по правилу
х(к) == - х(к + 1).
Z
Уравнения (8.71)-(8.72) представляют собой простейший случай модели вход-
состояние-выход (ВСВ). В более общем случае модель ВСВ управляемой дис-
кретной системы содержит уравнения состояния вида
Рис. 8.9. Структурная схема дискретной системы (частный случай)
8.1. Дискретные модели динамических процессов
257
Ж1(/с+1) = апгг^А:) + а12ж2(/с) + ... + ainrrn(/c) + biu(A:),
ж2(/с4-1) = a2i^i(&) + а22х2(к) + ... + а2пхп(к) + b2u(k),	(8.73)
жп(А:+1) = anixi(k) + ап2х2(к) + ... +
^пп^п (к) + Ьпи(к)
и уравнение выхода
у(к) = С1Ж1(/с) + с2х2(к) + ... + спхп(к),	(8.74)
где а^, bi, Ci — постоянные или зависящие от времени коэффициенты (парамет-
ры). Модель (8.73)-(8.74) связывает вход и(к) и выход у(к) через промежуточные
переменные Xi(k).
Для преобразования модели к компактной векторно-матричной форме необходимо
определить вектор состояния х = {.гг} 6 Rn, а также матрицы А = {а^}, В = {Ьг}
и С = {cj, г = Т7п. Тогда уравнения (8.73)-(8.74), описывающие модель вход-
состояние-выход, принимают вид:
®(fc + l) = Ах(к) 4- Ви(к),	(8.75)
у(к) = Сх(к),	(8.76)
где я;(0) = гг0- Структурная схема модели приведена на рис. 8.10.
Рис. 8.10. Структурная схема дискретной системы
Уравнения вход-состояние-выход могут быть записаны в операторной форме. Ис-
пользуя оператор упреждения z, запишем х(к +1) = z х(к). Тогда из уравнений
(8.75) и (8.76) находим
х = (zI — A)~xBu,	(8.77)
и
у = W(z)u,	(8.78)
где
W(z) = 44 = C(zI-A)~lB	(8.79)
a(z)
— передаточная функция дискретной системы (см. 8.1.2).
9 Зак. 6
258
Глава 8. Дискретные системы
Нетрудно получить, что
а(г) = det (г/— А)	(8.80)
и, следовательно, полюсы системы (корни характеристического полинома а(г))
совпадают с собственными числами матрицы А:
Zi = АДА}, г = 1,п.
(8.81)
Автономная модель дискретной системы является частным случаем модели ВСВ
(8.75)-(8.76) в отсутствие входных воздействий: и = 0. Она принимает вид
х(к 4-1) = Ах(к),
у(к) = Сх(к).
(8.82)
(8.83)
Аналогично получаются модели ВСВ многоканальных систем, а также модели
возмущенных дискретных систем, на входы которых поступают дополнительные
импульсные сигналы (возмущающие воздействия).
В простейшем частном случае уравнения состояния возмущенной системы прини-
мают вид
Ж1(А;Н-1) = х2(к),
rr2(fc+l) = ж3(/г),
(8.84)
xn(k + l) = -anxi(k) - ... - aixn(k) + bu(k) + df(k).
В более общем случае возмущенная дискретная система может быть представлена
в векторно-матричной форме, содержащей уравнение состояния
®(fc4-l) = Ах(к) 4- Ви(к) 4- Df(k)	(8.85)
и уравнение выхода (8.76).
Решение разностных уравнений. Рассмотрим решения уравнений (8.75)-(8.76),
полагая к > 0. Рекуррентное решение получается непосредственно из выражения
(8.75). При к = 0, запишем ж(0) = ж0 и у(0) = Сх0. Далее, при к = 1 получим
гг(1) = Аж(0) 4- Ви(0), у(1) = Сх(Г),
при к = 2 —
ж(2) = Ах(1) + Ви(1), у(2) = Сж(2),
при к — i —
х(г) = Ax(i — 1) + Bu(i — 1), у(г) = Сх(г)
и т. д. Решение соответствует итерационной процедуре, на каждом шаге которой
к = i используются значения x(i - 1), найденные на предыдущем шаге итёрации.
8.1. Дискретные модели динамических процессов
259
Для нахождения аналитического решения уравнения состояния (8.75) в рассмот-
ренной выше процедуре осуществим соответствующие подстановки. Найдем
х(1) = Ажо + Вм(0), ж(2) = А2ж(0) + Abu(ty + bw(l),.. •
и, наконец,
fc-i
x(k) = xca(k>) + xB(<k) = Akx0 + ^Ak-i-1Bu(i\	(8.86)
i=0
где жсв(/г) — свободная составляющая вектора состояния (или состояние авто-
номной системы (8.82)-(8.83)), хв(к) — вынужденная составляющая (реакция на
входное воздействие и(к)).
Подставляя (8.86) в уравнение выхода (8.76), получаем аналитическое выражения
для расчета выходной переменной
к— 1
у(к) =	+	= С Akx0 + '£,CAk-i-iBu(i').	(8.87)
1=0
Решение (8.87) может быть представлено как
fc-i
у(к') = СФ(0, к)хо + w(fc — гУи^г),	(8.88)
г=0
где
Ф(0, fe) = Ак	(8.89)
—	фундаментальная (переходная) матрица дискретной системы, а
w(k) = (7Ф(0, fe —1)В = САк~1В	(8.90)
—	ее весовая функция (см. 8.1.2). При этом выражение для расчета вынужденной
составляющей процесса ув(к") совпадает с приведенной ранее формулой (8.64).
Свойства моделей. Сначала рассмотрим поведение автономной модели (8.82)-
(8.83) и решения
х(к) = Акх0,	(8.91)
у(к) = САкх0.	(8.92)
Если для ж(0) = х* и любых к > 0 имеет место тождество
х(к) = ж*,
то значение х = х* называется равновесным состоянием, или положением равно-
весия, автономной системы. Очевидно, что в равновесном состоянии выполняется
х(к + 1) = х(к}
(8.93)
260
Глава 8. Дискретные системы
и, следовательно,
(I — А)х* = 0.	(8.94)
При условии det(Z — А) / 0 получаем, что единственным положением равновесия
системы (8.82) является начало координат пространства состояний Rn, т. е.
х* = 0,
а при det(Z—А) = 0 существуют нетривиальные множества равновесных состояний
(прямые, плоскости — подпространства), удовлетворяющие уравнению (8.94).
Как будет показано в 8.2.2, равновесное состояние х = 0 асимптотически устой-
чиво и, следовательно, х(к) —> 0 при & —> оо, если выполняется
1г»1 — |Аг{А}| < 1, i — 1,п.	(8.95)
Рассмотрим систему с нулевыми значениями корней характеристического полино-
ма (или собственных чисел матрицы Л):
Zi — Aj{A} = 0, i = l,n.
В этом случае матрица А является нильпотентной и, следовательно, найдется
целое число т G [0,п] такое, что
Ат = 0.	(8.96)
Для такой системы всегда выполняется
ж(п) = Апхо = 0,	(8.97)
т. е. имеет место следующее положение.
Свойство 8.2. Переходный процесс дискретной системы n-го порядка с нулевы-
ми значениями всех полюсов z, сходится из произвольного начального состояния
зт(О) = хо к положению равновесия х = 0 не более чем за п шагов.
Перечисленные асимптотические свойства автономных моделей состояния спра-
ведливы также для выходной переменной у (к) = Сх(к), и для свободных состав-
ляющих переходных процессов zCB(A;) и т/св(&) возмущенных дискретных систем.
Рассмотрим поведение модели ВСВ (8.75)-(8.76) при постоянном входном воздей-
ствии и(к) = const и проанализируем установившиеся составляющие переходного
процесса ху(к) и уу(к). Замечая, что в рассматриваемом режиме система (8.75)
имеет решение xy(k) = const, запишем ху(к -I-1) = ху(к). Тогда само уравнение
(8.75) принимает вид
ху = Аху + Ви.	(8.98)
При условии, что det(Z — А) / 0, алгебраическое уравнение (8.98) единственным
образом разрешимо относительно ху:
ху = -(I-A^Bu.	(8.99)
8.1. Дискретные модели динамических процессов
261
Подставляя найденное решение в уравнение выхода (8.76), находим статическую
характеристику рассматриваемой дискретной системы:
Уу = —С(1 — А)~1Ви,	(8.100)
где, в силу выражения (8.79),
СЦ-АУ'В = IV(1).	(8.101)
Отметим что для асимптотически устойчивой системы, удовлетворяющей усло-
вию (8.95), всегда выполняется det(/ - А) / 0, т. е. установившиеся решения
единственны. Более того, переходные процессы х(к) и у(к) с течением времени к
всегда сходятся к найденным выше установившимся значениям ху и уу.
8.1.4. Элементарные звенья дискретных систем
В качестве элементарных звеньев выделим простейшие блоки дискретной систе-
мы, описывающиеся разностными уравнения 1-2-го порядков и удовлетворяющие
условию
N = |МА}| < 1.	(8.102)
Элементарные звенья 1-го порядка. Звенья задаются уравнениями
у(к + 1) + ау(к) = Ьи(к),	(8.103)
обладают передаточной функцией
ч Ъ
z) — -----
z + а
и полюсом (корнем характеристического уравнения)
z\ = —а.
Решение уравнения (8.103) находится как
к-1
y(k) = »„(*) +y.W = (-a)'% + b]T(-a)'=-i-1u(i).	(8.104)
i—О
При b = 1 и a = 0 получаем звено чистого запаздывания (элемент задержки)
у(к + 1) = и(к),	(8.105)
с передаточной функцией
W(z) = - .
z
262
Глава 8. Дискретные системы
При а = — 1 получаем суммирующее звено {дискретный интегратор)
y{k + 1) = у{к) + Ьи{к)
(8.106)
с передаточной функцией
Уравнение (8.106) имеет решение
k-i
у{к) = у(0) + by^u{i),
г=0
(8.107)
которое показывает, что звено
звена (см. п. 2.3).
является дискретным аналогом интегрирующего
Im а
Проанализируем свободные составляющие пере-
ходных процессов звеньев первого порядка для
различных значений параметра а и, следова-
тельно, различных значений полюсов zx = -а.
Для этого рассмотрим автономную систему
у{к + 1) + ау{к) = О
(8.108)
с начальным значением у0 = у{0). Решением уравнения (8.108) является функция
г/(А:) = {-а)ку0,
(8.109)
различные реализации которой при у0 = 1 приведены на рис. 8.11.
При zi = а = 0 получаем
у{к) =0, к > О,
= 7^1
т. е. из произвольного начального положения у$ процесс сходится к нулевому
(равновесному состоянию) за один шаг.
При zi = -а е (0,1) имеем: (—а)к —> 0 при к —> оо, и получаем апериодический
затухающий процесс: у{к) —> 0. Звено асимптотически устойчиво.
При zi = — а = 1 (суммирующее звено) находим
у(к) = Уо, к > 0.
Звено нейтрально устойчиво.
Наконец, при z\ = — а > 1 находим, что при к —> оо (—а)к оо, и получаем
апериодический расходящийся процесс: |г/(/с)| —> оо. Звено неустойчиво.
При отрицательных значениях zi = -а переходные процессы приобретают коле-
бательный характер. При z\ = — а е (-1,0) получаем {-а)к —> 0 при к —> оо, и
затухающий колебательный процесс: у{к) 0. Звено асимптотически устойчиво.
8.1. Дискретные модели динамических процессов
263
Рис. 8.11. Переходные процессы звеньев 1-го порядка (zi = -а)
При zi = —а = —1
у(к) = ^уо, к > 0.
Получаем незатухающий колебательный процесс. Звено нейтрально устойчиво.
Наконец, при zi = — а < —1 находим, что при к —> оо |(-a)fc| —> оо, и получаем
расходящийся (неустойчивый) колебательный процесс: |t/(fc)| —> оо.
Элементарные звенья 2-го порядка. К дискретным звеньям этого типа относятся
колебательное и консервативное.
Колебательное звено описывается уравнением
у(к + 2) — 2М cosф у(к + 1) + М2у(к) = fosinф и(к),	(8.110)
где М G (0,1), ф е (0,тг/2). Звено имеет передаточную функцию
6 sin ф
z2 — 2М cos ф z + М2
264
Глава 8. Дискретные системы
и комплексно-сопряженные полюсы
21,2 =	= М{созф j'sinV')-
Звено асимптотически устойчиво и имеет статическую характеристику
6 sin V»
1 — 2М cos ф + М2
Консервативное звено (дискретный осциллятор) описывается уравнением
у(к 4- 2) — 2cos-0 у(к + 1) + у(к) = bsin$ и(к),	(8.111)
где ф G (0, тг/2), имеет передаточную функцию
W(z} =________ь^±________
z2 — 2 cos ф z + 1
и комплексно-сопряженные полюсы
^1,2 =	= cos ф^ j sin ф.
Звено нейтрально устойчиво и не имеет статической характеристики.
Консервативное звено (8.111) легко приводится в форме ВСВ. Определим перемен-
ные состояния из выражений
хх{к) = у(к),	(8.112)
sin ф Х2 (к) = у(к + 1) — совф у (к)	(8.113)
и запишем
cosip хх(к) + sinV’ xzfky),	(8.114)
— sin^ ^i(fc) + созф Х2(к)) + Ъз1пф и(к),	(8.115)
xi(k).	(8.116)
xi(k + l) =
гс2(/с + 1) =
У(к) =
Решения уравнения (8.117)
Проанализируем свободные составляющие переходных
процессов звеньев второго порядка с комплексными
полюсами 21,2 Для различных значений параметра М.
Для этого рассмотрим автономную систему
у (к + 2) — 2М cos фу (к + 1) + М2 у (к) = 0 (8.117)
с начальными значениями у(0) = 1 и г/(-1) =
= М~г совф.
имеют вид
у(к) = (М)к cos фк.
(8.118)
8.2. Основные свойства дискретных систем
265
Переходные процессы системы представлены на рис. 8.12. Если ф < тг/2, то полюсы
системы имеют положительные вещественные части: Re z1)2 > 0. При М G (0,1)
(колебательное звено) получаем сходящиеся колебательные процессы, при М = 1
(осциллятор) — незатухающий колебательный процесс, а при М > 1 — расходя-
щиеся колебательные процессы.
Аналогичное поведение демонстрируют системы, для которых тг/2 < ф < тг, что
соответствует отрицательно-вещественным полюсам: Re < 0. Основным от-
личием таких систем является двухчастотный колебательный режим, вызванный
дополнительным переключением знака выходной переменной на каждом шаге к.
Рис. 8.12. Переходные процессы звеньев 2-го порядка
8.2.	Основные свойства дискретных систем
К основным относятся структурные свойства систем дискретного времени — управ-
ляемость и наблюдаемость, а также свойства, связанные с устойчивостью их дви-
жения. Общие понятия теории дискретных систем во многом повторяют концеп-
ции, развитые в теории систем непрерывного времени. Тем не менее особенности
квантованных процессов и дискретных моделей часто позволяют привести доста-
точно простые обоснования базовых критериев.
266
Глава 8. Дискретные системы
8.2.1.	Управляемость и наблюдаемость
Будем рассматривать одноканальные дискретные системы (объекты управления)
x(fc+l) = Ах(к) + Ви(к),	(8.119)
у(к) = Сх(к),	(8.120)
где и(к) — скалярное управляющее воздействие, у(к) — скалярная выходная пе-
ременная, к > 0, ж(0) = жо. Проанализируем проблемы управляемости и наблюда-
емости дискретных ОУ, связанные со свойствами тройки матриц (А, В, С).
Проблема управляемости сводится к вопросу о су-
ществовании ограниченного управляющего воздей-
ствия и = и(к~), к е [0, kf], переводящего систе-
му (8.119) из произвольного начального состояния
я(0) = хо в произвольную точку пространства состо-
яний x(kj) = Xf за конечное время kf (точное опре-
деление управляемости дискретной системы практи-
чески повторяет определение 5.8). Напомним, что
свойство управляемости не зависит от выходной пе-
ременной у и поэтому может быть определено как
свойство модели (8.119) или пары (А, В).
Критерии управляемости дискретной системы иден-
тичны свойствам 5.6-5.8 (см. 5.3.1). Основной крите-
рий (свойство 5.6) связывает полную управляемость
с невырожденностью матрицы управляемости
U = [В|АВ|... |АП-1В]
и для одноканальной системы формулируется в виде:
det U / 0.
(8.121)
Доказательство основного критерия управляемости для дискретной системы
строится на базе определения управляемости и предусматривает нахождение в яв-
ном виде импульсной последовательности и(к), обеспечивающей перевод системы
(8.119) в произвольную конечную точку x(kf) = Xf.
Используя общую формулу (8.86), найдем значение вектора состояния х в момент
к = п:
х(п) => АпХо + Ап~1Ви(0) + ... + АВи(п — 2) + Ви(п — 1).
(8.122)
Выберем kf = п, a;(n) = Xf и перепишем последнее уравнение в виде
xf
= Апж0 + [В|АВ|...|Ап-1В]
и(п — 1)
и(п — 2)
(8.123)
и(0)
8.2. Основные свойдтва дискретных систем
ж
Это алгебраическое уравнение разрешимо относительно вектора (u(n - l),u(n —
—2),..., u(0)) тогда и только тогда, когда матрица управляемости U обратима,
т. е. выполняется условие (8.121). Находим
и(п — 1)
и(п — 2)
и(0)
= U-\xf- Апх0) .
(8.124)
Таким образом, найдена импульсную последовательность, которая за конечный от-
резок времени [0, п] приводит вектор состояния х(к) в любую заданную точку xf.
Необходимым и достаточным условием существования такой последовательности
является условие (8.121), что и доказывает основной критерий. Более того, на осно-
вании вышеизложенного можно сформулировать следующий полезный результат.
Свойство 8.3. Если дискретная система порядка п полностью управляема, то
она может быть переведена из произвольного начального состояния х0 G Rn в
произвольное конечное состояние х = xf за конечное время к = п.
Нетрудно показать, что значение к = п соответствует минимальному времени пере-
ходного процесса линейной дискретной системы, или минимальному числу шагов
для достижения заданного конечного состояния х/. Это коррелирует с известной
в теории оптимальных систем теоремой об'п интервалах (см. [27, 35, 40]), и со-
ответствующее управление дискретной системы1 иногда называется оптимальным
по быстродействию. Более того, принимая во внимание свойство 8.2 (см. 8.1.3)
можно сделать вывод о том, что для получения оптимального быстродействия за-
мкнутая система должна иметь п нулевых полюсов.
Проблема наблюдаемости одноканальной дискрет-
ной системы сводится к вопросу об единственности
решения задачи восстановления вектора состояния,
т. е. нахождения вектора х(к) в момент времени
к = 0 по известным йзмерениям выходной перемен-
ной у = у (к) при к € [0, к/], kf > 0 и известным
значениям входной переменной и(к) (см. определение
5.9). Напомним, что свойство наблюдаемости не за-
висит от входной переменной и и поэтому может быть
определено как свойство автономной модели (8.82)-
(8.83) или пары (А,С).
Критерии наблюдаемости дискретной системы повто-
ряют свойства 5.9-5.12 (см. 5.3.2). Основной крите-
рий (свойство 5.10) связывает полную управляемость
с невырожденностью матрицы наблюдаемости
268
Глава 8. Дискретные системы
и в рассматриваемом случае формулируется в виде
det Q / 0.
(8.125)
Для доказательства основного критерия наблюдаемости воспользуемся опре-
делением 5.9, положим kf = п—1 и найдем начальное состояние системы хо = ж(0)
по п заданным измерениям выходной переменной (г/(0), г/(1),..., у(п— 1)). Исполь-
зуя общее выражение (8.92), запишем формулы для указанных значений у:
2/(0) = Сх0,
2/(1) = САх0,
(8.126)
y(n —1)	=
или — в компактном виде
2/(0)
2/(1)
У(п- 1)
С
СА
САп-х
XQ.
(8.127)
Полученное алгебраическое уравнение разрешимо относительно вектора .т0 тогда
и только тогда, когда матрица Q обратима, т. е. выполняется условие (8.125).
Находим
= Q 1
2/(0)
2/(1)
2/(n- 1)
(8.128)
Таким образом, по заданной импульсной последовательности у(к) при к G [0,п-1]
найдено искомое начальное состояние х0. Необходимым и достаточным условием
единственности полученного значения х0 является условие (8.125), что и доказы-
вает основной критерий наблюдаемости. Кроме того можно сформулировать следу-
ющее положение, применяющееся в задачах оценивания (наблюдения) дискретных
процессов.
Свойство 8.4. Если дискретная система порядка п полностью наблюдаема, то
число последовательных значений выходной переменной у(к), необходимое для
определения ее начального состояния xq, равно п.
Нетрудно также показать, что число п является наименьшим для восстановления
произвольного состояния х0 е Rn.
8.2. Основные свойства дискретных систем
269
8.2.2.	Устойчивость дискретных систем
Как и для систем непрерывного времени, под устойчивостью дискретной систе-
мы понимают ее способность возвращаться в равновесное состояние (положение
равновесия) после окончания действия внешних факторов. Тем самым предпола-
гается, что рассматривается свободное движение управляемой системы уСв(&) или
а?св(&), либо движение автономной системы при ненулевых начальных условиях
г/(0), у(—1),..., у(—п + 1) или ж(0) соответственно.
Автономная система описывается уравнениями
a(z)y(k)	= 0	(8.129)
или
x(fc + l) =	Ах(к),	(8.130)
у(к) =	Сх(к),	(8.131)
имеет характеристический полином
a(z) = det(zi — А) = zn + a\zn~l + ... 4- an	(8.132)
и полюсы
Zi = -MA}, i = l,n.
Ее равновесное состояние (см. 8.1.3) для модели (8.129) принимает значение у* =
= 0, а для модели (8.130) — х* = 0.
Основные понятия устойчивости линейных дискретных систем практически пол-
ностью идентичны соответствующим понятиям непрерывных систем (см. п. 5.1).
Здесь ограничимся рассмотрением свойства асимптотической устойчивости, кото-
рое в рассматриваемом случае сводится к аттрактивности положений равновесия.
Устойчивость по выходу (техническая устойчивость) определяется характером
изменения выходной переменной у(к), т. е. свойствами решений системы (8.129)
или соответствующего выхода системы (8.130)-(8.131):
система (8.129) называется устойчивой, если выполняется
Ит у(к} = 0.
к—*оо
(8.133)
Устойчивость по состоянию определяется характером изменения вектора состо-
яний х(к), т. е. свойствами решений системы (8.130):
система (8.130) называется асимптотически устойчивой, если выполняется
lim |ж(А:)| = 0.
к—юс
(8.134)
270
Гпава 8. Дискретные системы
Как и в сйуйае непрерывных систем, понятия устойчивости по выходной пере-
менной и вектору состояния совпадают при условии полной наблюдаемости рас-
сматриваемой дискретной системы. Для неполностью наблюдаемых систем из
устойчивости по выходу, вообще говоря, не следует устойчивость по состоянию
(см. [26]).
Основной метод исследования устойчивости дискретных системы предусматривает
использование корневых критериев.
Рассмотрим решения уравнения (8.129) для неравных корней zi (см. 8.1.2):
п	п
= £й(к) =	(8.135)
г=1	г=1
Напомним, что корню характеристического полинома Zi (вещественному или ком-
плексному) с модулем Mi и аргументом соответствует составляющая переход-
ного процесса (мода)
Vi(W) = Ci Мк	(8.136)
При условии, что модуль Mi строго меньше единицы, т. е.
М = \zi\ < 1,	(8.137)
соответствующая составляющая переходного процесса г/Д/с) со временем затухает.
Если условие (8.137) имеет место для всех корней (г — 1,п), то затухающей
является' и функция y(k) в целом, т. е. выполняется условие асимптотической
устойчивости (8.134).
Аналогичный результат получается при рассмотрении поведения вектора х(к) как
решения уравнения (8.130):
	Jr(fc) = Ак Xq.	(8.138)
Переходя к нормам, получаем	|*WI < |л|1 ы,	(8.139)
где		
|А| = шах (АДАТА})* 2 , г = 1,п.		(8.140)
Следовательно,		
lim к—>оо	|ж(А:)| = |жо| lim |A|fc. к—+оо	(8.141)
В силу определения |А| получаем, что необходимым и достаточным условием
асимптотической устойчивости (8.130) будет Aj{ArA} < 1, или, что эквивива-
лентно, |АДА}| < 1.
Таким образом, справедлива следующая формулировка (корневой критерий).
8.3. Качество дискретных систем управления
271
Свойство 8.5. Дискретная полностью наблюдаемая систем? (8.129) или (8.130)-
(8.131) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда выполняется усло-
вие
\Zi\ = |Л<{4}| <1, г = l?n.	(8.142)
Критерий связывает понятие асимптотической устой-
чивости с размещением корней характеристического
полинома на комплексной плоскости; расположение
всех корней внутри круга единичного радиуса экви-
валентно асимптотической устойчивости системы. По-
этому окружность единичного радиуса является гра-
ницей устойчивости. Нетрудно’ показать, что наличие
хотя бы одного корня Zi = г* вне единичного круга,
т. е.
И > 1,
делает дискретную систему неустойчивой. Появление одного вещественного или
пары двух комплексно-сопряженных корней на единичной окружности
|z*| = 1
при условии расположения остальных корней внутри круга говорит о нейтральной
устойчивости дискретной системы (устойчивости по Ляпунову).
Замечение 8.2. Корневые критерии устойчивости дискретных систем могут быть
легко выведены из соответствующих положений непрерывной теории (см. 5.2.2),
если принять во внимание, что полюсы zt дискретной системы связаны с полюса-
ми pi эквивалентной непрерывной модели соотношением — exp(Tpi) (свойство
8.1, см. 8.1.1). Это свойство широко используется для анализа динамических по-
казателей качества дискретных систем.
8.3.	Качество дискретных систем управления
Как и для систем непрерывного времени показатели качества дискретных систем
предназначены, во-первых, для оценки динамических свойств системы, проявляю-
щихся в переходных режимах, и, во-вторых, для определения точности, характе-
ризующейся ошибками системы в установившемся режиме, Т. е. после окончания
переходных процессов.
8.3.1.	Динамические показатели качества
Динамические показатели характеризует поведение свободных составляющих пе-
реходного процесса усв(^) или хСв(&) замкнутой системы управления, либо про-
цессов автономной системы. Последние рассматриваются как решения скалярного
272
Глава 8. Дискретные системы
разностного уравнения
ad(z)y(k) = 0	(8.143)
или модели состояние-выход
x(fc + l) = Adx(k),	(8.144)
у(к) = Cdx(k}	(8.145)
с характеристическим полиномом ad(z) и полюсами
® ~ 1,Г1.
Естественно, что рассматриваются только устойчивые системы и, следовательно,
выполняется условие (8.142).
Динамические показатели качества дискретных систем определяются аналогично
показателям систем непрерывного времени и могут быть найдены с использовани-
ем тех же подходов (см. п. 6.1-6.2). Однако в силу того, что в основе дискретных
моделей часто лежат процессы непрерывной природы (см. 8.1.1), более целесообраз-
но установить соотношениями между динамическими показателями дискретных и
непрерывных систем. Такие соотношения получаются на основе конформных отоб-
ражений комплексных переменных [10, 12].
В общем случае к классу конформных относятся отображения комплексных
переменных, сохраняющие величины .'углов между пересекающимися кривыми
(рис. 8.13).
Рис. 8.13. Конформное отображение
Будем полагать, что дискретная система получена в результате дискретизации
динамической системы непрерывного времени, которая описывается скалярным
уравнением
a(p)2/(t) = 0	(8.146)
или уравнениями состояние-выход
i(t) = Ax(t),	(8.147)
y(t) = Cx(t).	(8.148)
8.3. Качество дискретных систем управления
273
Асимптотически устойчивая непрерывная система имеет характеристический по-
лином а(р) и полюсы
Pi = АДА} = -cxi^jfii, i = ]~n,
где > О, (3i> 0.
Напомним (см. 8.1.1 и свойство 8.1), что Cd = С, матрицы А и Ad связаны соот-
ношением
Ал = еАТ,	(8.149)
а значения корней характеристических полиномов (полюсов) дискретной и непре-
рывной систем — выражением
Zi — eTpi, i —	(8.150)
В силу последнего выполняются следующие соотношения:
Zi = e~QiT(cos/?iT^ jsin/%71),	(8.151)
Re Zi = e~aiT cos вгТ, Im Zi = ^e~aiT cos faT,	(8.152)
а также
|^| = e~aiT,	(8.153)
argZi = ^PiT.	(8.154)
Для выбора интервала квантования Т при переходе к дискретной форме описания
принимается во внимание условие (8.112) теоремы прерывания (см. 8.1.1). Найдем
значение
/3* = ma.x/3i, г = 1,п,
г
соответствующее наибольшей частоте колебательных составляющих переходных
процессов непрерывной системы. По теореме прерывания интервал квантования
должен удовлетворять условию
Т <	(8.155)
Поэтому в дальнейшем будем полагать, что для полюсов непрерывной системы
выполняется
|ImPi| < /Г < £.	(8.156)
Условие (8.156) с одной стороны отвечает требования теоремы прерывания, а
с другой, в силу T0i < % и выражения (8.154), вводит ограничение на аргументы
полюсов дискретной системы.
10 Зак. 6
274
Глава 8. Дискретные системы
Свойство 8.6. Полюсы Zi дискретной системы удовлетворяют условию
|argZi| < тг, г = 1,п,	(8.157)
тогда и только тогда, когда полюсы pi соответствующей непрерывной системы
подчиняются условию (8.156).
Отметим, что свойство 8.6 устанавливает условие взаимно-однозначного соответ-
ствия между полюсами непрерывной и дискретной систем, связанными соотноше-
нием (8.150).
Комлекснозначная функция
z = еТр	(8.158)
определяет конформное отображение комплексных чисел и ставит в соответствие
значениям полюсов непрерывной системы полюсы эквивалентной дискретной си-
стемы (см. рис. 8.13). При этом неравенства (8.156) и (8.157) устанавливают обла-
сти комплексной плоскости, в которых отображение (8.158) взаимно-однозначно.
Это и служит формальным обоснованием возможности проведения анализа дина-
мических показателей дискретных системы на основе известных свойств систем
непрерывного времени (см. п. 6.2).
Отметим основные свойства функции (8.158) (рис. 8.14).
1.	Кусок левой полуплоскости, ограниченный прямыми Imp = =р/Г, где /3* =
=s тгТ, т. е. область
Р~ = {р : Re р < 0, |1т р| < /3*}
отображается в область
Z“ = {z : |z| < 1 \ (Re z < 0,J0)},
т.	e. в круг единичного радиуса, из которого исключена левая вещественная
полуось (Re z < О, jO).
Рис. 8.14. Свойства отображения (8.158)
8.3. Качество дискретных систем управления
275
2.	Отрезок мнимой оси, ограниченный точками Im р = =F/?*, т. е.
S° — {р : Re р = 0, |Im р| </3*}
отображается в кривую
L° = {z : Н = 1 \ (—l,jO)},
т. е. в окружность единичного радиуса, из которой исключена точка (-1, jO).
3.	Точка р° = (О, J0) отображается в точку z° = (1, -JO).
4.	Бесконечно удаленная точка левой вещественной полуоси р°° = (~oo,j0)
отображается в центр круга Z~ — точку z°° = (О, JO).
5.	Граничные точки (0, ^j/З*) отрезка S° отображаются в точку (-—1, J0).
Перечисленные свойства сразу же позволяют сделать вывод об асимптотиче-
кой устойчивости дискретной системы, полюсы которой лежат внутри единичной
окружности (см. свойство 8.5). Более подробный анализ отображения различных
областей расположения полюсов приводит к оценкам качественных показателей
дискретной системы, рассмотренным ниже.
Оценка быстродействия. Прежде всего отметим, что скорость протекания дис-
кретных процессов определяется значениями модулей полюсов системы |zi|. Дей-
ствительно, выражение (8.153) показывает, что значения \zi[ уменьшаются с уве-
личением модулей вещественных частей полюсов непрерывной системы ait что
по теореме подобия (свойство 6.1, 6.2.1) равносильно увеличению быстродействия,
т. е. уменьшению времени переходного процесса t„. Более того, в соответствии со
свойством 8.2 в случае, когда дискретная система имеет только нулевые полюсы
Zi = Ai{AJ = 0, i = l,n,
ее переходный процесс заканчивается не более чем за п шагов, и, следовательно,
время переходного процесса определяется выражением
tn < пТ.
(8.159)
Отмеченное выше обстоятельство служит основанием для введения (по аналогии
с понятием степени устойчивости непрерывных систем, см. 6.2.2) понятия степе-
ни устойчивости дискретной системы как радиуса распределения ее полюсов на
комплексной плоскости.
Степенью устойчивости дискретной системы называется положительное число
г) = max\zi\, i = 1, п.
i
(8.160)
Учитывая, что скорость протекания процессов возрастает при приближении по-
люсов к началу координат (0, j'0), можно заключить, что степень устойчивости
276
Глава 8. Дискретные системы
Рис. 8.15. Свойства отображения (8.158) и оценка быстродействия
действительно характеризует быстродействие дискретной системы, а при ту = О,
т. е. для нулевых значений всех полюсов, имеет место оценка (8.159).
Для установления связи степени устойчивости с временем переходного процес-
са tn воспользуемся свойствами комформного отображения (8.158). Рассмотрим
непрерывную систему, полюсы которой удовлетворяют условиям (8.156) и
Re pi < —а*, г = 1,п,	(8.161)
т. е. а* — степень устойчивости такой системы (рис. 8.15). Грубая оценка времени
переходных процессов дается выражением
«п < — •	(8.162)
а*
Выражения (8.156), (8.161) описывают область расположения полюсов Р\ ограни-
ченную прямыми Re р = —а* и Im р = ^(3*. Отрезок прямой
S’7 = {р : Re р = — а*, |1тр|</Г}
при преобразовании (8.158) проектируется в кривую L77, т. е. окружность радиуса
а* < 1 с выколотой точкой (—1, J0):
И = ту, z * (-1,J0),	(8.163)
где
ту = е~Та\	(8.164)
Область расположения полюсов непрерывной системы Р77 отображается в область
Z77 (круг, из которого исключен луч (Rez < О, jO)).
Проведенный анализ служит основанием для следующего заключения.
Свойство 8.7. Полюсы Zi дискретной системы удовлетворяют условиям
|^| < е~Та*, |arg2i| < л-, i = T~n,
8.3. Качество дискретных систем управления
277
тогда и только тогда, когда полюсы pi эквивалентной непрерывной системы удо-
влетворяют неравенствам (8.156) и (8.161).
Из выражения (8.164) находим значение а*, и после его подстановки в (8.162)
получаем
ОЛП
tn < -г-,	(8.165)
Ш Г)
что соответствует грубой оценке времени переходных процессов дискретной систе-
мы с радиусом распределения корней (степенью устойчивости) г/.
Оценка колебательности. Напомним, что колебательность непрерывных систем
связана с наличием комплексно сопряженных полюсов. Для устойчивой системы с
вещественными полюсами, т. е. при pi = —04 < 0, все составляющие переходного
процесса имеют апериодический характер. При преобразовании (8.158) область
расположения таких полюсов (левая вещественная полуось Rep < 0) проектируется
в единичный отрезок правой вещественной полуоси: 0 < Re z < 1. Следовательно,
условием получения устойчивых апериодических процессов дискретной системы
будет
0 < Roz, < 1, Imzi = 0.
Для других значений полюсов из внутренности единичного круга переходные про-
цессы носят колебательный характер.
Колебательность процессов непрерывной системы можно оценить с помощью по-
казателя затухания £ (см. 6.2.3), который связан с размещением полюсов на ком-
плексной плоскости. Показатель
р = max I I = max (—), г = 1,п,	(8.166)
i I Re pi I i \ oti /
называемый степенью колебательности, связан с размером сектора PfJl
(рис. 8.16), в котором расположены все полюсы системы, по формуле
V’ = arctg р,
а значение показателя затухания находится как
£ = 1_е-2^/м.	(8.167)
Для установления связи степени колебательности р с расположением корней дис-
кретной системы воспользуемся свойствами комформного отображения (8.158).
Рассмотрим асимптотически устойчивую непрерывную систему, полюсы которой
удовлетворяют условиям (8.156) и
I Im я I <
I Re р J “
(8.168)
т. е. расположены в секторе (см. рис. 8.16).
278
Глава 8. Дискретные системы
Im ра
Рис. 8.16. Свойства отображения (8.158)
тР
z = е
-----►
и оценка колебательности
Отметим, что в силу свойства сохранения углов область расположения полюсов
эквивалентной дискретной системы лежит в пределах сектора размера 2^. Рас-
смотрим лучи S+ и S~ сектора Pfl (см. рис. 8.16). Их описание дается выражением
Im р = ±/z Re ру Re р < О
или, в параметрической форме, —
р ==	0е(О,оо).	(8.169)
Подставляя последнее выражение в (8.150), получаем параметрическое описание
кривых L+ и Lr на комплексной плоскости дискретной системы:
z = е-Т0(1Т7» = e-eT(cosepT^jsin0pT).	(8.170)
Найденные кривые L+ и L~ ограничивают область ZM, в которой расположены
полюсы дискретной системы, соответствующие степени колебательности р. Если,
кроме того, полюсы непрерывной системы удовлетворяют неравенству (8.156), то
нетрудно показать, что параметр 0 ограничивается значением к/(рТ).
Проведенный анализ служит основанием для следующего заключения.
Свойство 8.8. Полюсы Zi дискретной системы удовлетворяют условиям
|<г»| < е~вт, |arg2j| < ОрТ < тг, г = 17п,	(8.171)
где
\ 1лТ J
тогда и только тогда, когда полюсы pi эквивалентной непрерывной системы удо-
влетворяют неравенствам (8.156) и (8.168).
Значение показателя затухания £, соответствующего полюсам дискретной систе-
мы, удовлетворяющим неравенствам (8.171) и лежащим в области ZM, находится
из выражения (8.167).
8.3. Качество дискретных систем управления
279
Синтез дискретных систем по заданным динамическим показателям. Если в
основе дискретной модели лежит описание непрерывного динамического процесса
(объекта управления), то постановка задачи синтеза должна быть ориентирована
на получение желаемых качественных показателей процессов непрерывного вре-
мени, к которым относится время переходного процесса tn. перерегулирование а
или затухание £. Можно предложить два подхода к проектированию такого рода
дискретных систем.
Первых подход предусматривает использование полученных выше приближенных
оценок качества и показателей in, £. По заданным значениям этих показателей
определяются значения степени устойчивости
а* = -	(8.172)
tn
и степени колебательности
» = адм»	(8Л73>
системы непрерывного времени. После вычисления по формуле (8.164) значения
тр определяется круг Z77, а затем по формуле (8.170) — границы области ZM.
Пересечение Z7/ и Ztl дает искомую область расположения полюсов дискретной
системы. После назначения полюсов
Zi G Z^QZ^, г = 1,п,
расчет коэффициентов обратных связей регулятора может быть произведен мето-
дом модального управления (см. 7.3.1).
Отметим, что формула (8.162) дает лишь грубую оценку оценку времени пере-
ходного процесса и поэтому расположение корней в найденной области не всегда
гарантирует получение заданного значения tn.
Второй подход к проектированию дискретной системы позволяет исключить ис-
пользование грубых оценок времени переходного процесса. Он предусматривает
нахождение точных значений всех полюсов непрерывной системы pif обеспечива-
ющих заданное качество переходных процессов, и затем вычисление соответству-
ющих значений полюсов дискретной системы Zi по правилу Zi = exp(Tpi). При
этом полюсы pi определяются по заданным показателям tn и о с помощью метода
стандартных переходных функций (см. п. 6.3).
8.3.2. Оценка точностных показателей
Как и для систем непрерывного времени (см. 6.1.3), точностные показатели дис-
кретной системы управления оцениваются по установившимся составляющим пе-
реходных процессов t/y(fc) и £у(&). Поведение конкретной системы в установив-
шемся режиме зависит от ее структурных свойств, значений параметров, а также
280
Глава 8. Дискретные системы
типа входных воздействий — задающего воздействия у*(к) и возмущения f(k).
Структурные свойства, в свою очередь, определяются наличием или отсутствием
обратных связей, а также порядком астатизма разомкнутой части системы.
Модели замкнутых системы управления (см. также 8.1.2 и п. 6.4). Рассмотрим
систему (рис. 8.17), состоящую из последовательно соединенных объекта управле-
ния
у(к) = W0(z)u(k) + Wf(z)f(k),	(8.174)
и динамического регулятора
и(к) = K(z)e(k),	(8.175)
где
е(к) = у*(к)-у(к).	(8.176)
После подстановки (8.175) в (8.174) получаем модель разомкнутой системы
у(к) = W(z)£(k) + Wf(z)f(k),	(8.177)
где
W(z) = K(z)W0(z) = Wf(z) =	(8.178)
a{z)	a\z)
— передаточные функции по основному каналу и возмущающему воздействию,
a(z), b(z), d(z) — операторы соответствующих степеней (см. 8.1.2).
После подстановки (8.176) находим модель замкнутой системы (рис. 8.17)
у(к) = Ф(г)г/*(*0 + Ф/СЮЛМ,
(8.179)
где
_______ W(z)	.   Wf(z)	«ол\
ф(г) - T7W)’ Ф/(г) ~ ГПгй	(8180)
— передаточные функции замкнутой системы по задающему и возмущающему
воздействиям. Учитывая (8.178), легко получить
ф(г) = 77^- ф'(2) =
ac(z)
d(z)
ac(z\
(8.181)
Рис. 8.17. Замкнутая система
8.3. Качество дискретных систем управления
281
где
ac{z) = a(z) + b(z)
— характеристический полином замкнутой системы.
При определенных условиях установившиеся значения выходной переменной у =
— Уу(к), а также ошибки е = £у(/с) легко получить, используя известные правила.
Пусть, например, входные воздействия изменяются достаточно медленно, т. е.
у* (к) = const, /(/с) = const,
а передаточные функции Ф(г), Фу (г) определены в точке z = 1. Тогда по окончании
переходного процесса выходная переменная системы (8.179) принимает значения
(см. 8.1.2):
Уу(*) = Ф(1)/(А:) + Ф/(1)/(А:),	(8.182)
и установившая ошибка рассчитывается по формуле
^у(Аг) = у*(к)-у^к}.	(8.183)
Основными препятствиями для использования формул (8.182)-(8.183) являются
быстрые изменения входных переменных и вырожденность соответствующих пере-
даточных функций. Последнее связано с понятием астатизма дискретной системы
(см. также 6.4.2).
Статические и астатические системы. Рассмотрим дискретную систему с одним
входным воздействием:
	У{к} =	W(z)u(k),	(8.184)
где	W(z)	_ ад ад’	(8.185)
и	a(z) = zn + a\zn	1 + ... + a,n-\Z + an,	(8.186)
	b(z) = 61zn-1+.	 • • + &n-l2 + bn.	(8.187)
Будем полагать, что в данном случае в качестве входа u(fc) может выступать
управляющее, задающее или возмущающее воздействие.
Напомним (см. 8.1.2), что для статической системы выполняется
а(1) = 1 + ai + ... + ап / 0,	(8.188)
и значение передаточной функции в точке z — 1 определяется как
S = К'
282
Глава 8. Дискретные системы
где 6(1) = bi + ... + Ьп, К — статический коэффициент. Следовательно, в стати-
ческом режиме система описывается алгебраическим уравнением
уу = Ж(1)ад.	(8.189)
Отметим, что для статической системы характеристическое уравнение a{z) = О
не имеет единичных корней и ее схема не содержит дискретных интеграторов
(см. 8.1.4).
Теперь рассмотрим астатическую систему, для которой характеристическое урав-
нение может быть приведено к виду
a(z) = (z — l)KaK(z) = О,
где
„ / ~\ _ п—к, । Л _,п—к — 1 ।	. Л
— %	। Cl\Z	i • • • ।	—к,
и имеет к единичных корней. Число к называется порядком астатизма дискрет-
ной системы. Для астатической системы можно записать
где
и поэтому характерным признаком астатизма служит соответствующее число
(к > 0) дискретных интеграторов (рис. 8.18). Так как для астатической системы
значение 1¥(1) не определено, то можно ввести в рассмотрение показатель
называемый добротностью.
Определим промежуточную переменную (см. рис. 8.18)
у = WK(z)u	.	(8.190)
Рис. 8.18. Астатическая дискретная система
8.3. Качество дискретных систем управления
283
и перепишем уравнение системы в виде
v№ = да-	(8.191)
\z
Для случая медленно изменяющегося входного сигнала и имеет место простая
зависимость:
Уу = И^(1)и = Кки.
Напомним, что астатизм системы управления может быть обусловлен свойствами
объекта управления или наличием в ее составе динамических регуляторов.
Точность при постоянных входных воздействиях. Сначала рассмотрим систему
управления (8.179) при у* = const и нулевом возмущающем воздействии: f = 0.
Если в разомкнутом виде система является статической, т. е. W'(l) = К, то имеет
место
К Ьп
1 + К ап + Ъп
Следовательно, в рассматриваемом режиме
К
= Т+1< у '
и
— * *
е> = у -уу = ттку-
Последняя формула показывает, что система имеет постоянную установившуюся
ошибку, которая может быть уменьшена при увеличении коэффициента К.
Если в разомкнутом состоянии система имеет астатизм первого порядка (к = 1),
и следовательно,
где
то получаем
Тогда Ф(1) = 1 и, следовательно, обеспечивается абсолютная точность слежения:
Уу = у* И Еу = 0.
Теперь рассмотрим систему управления (8.179) при у* = 0 и постоянном возмуща-
ющем воздействии: f = const, т. е.
У =
284
Глава 8. Дискретные системы
Свойства системы зависят от передаточных функций разомкнутой части W(z) и
Wf(z). Если в разомкнутом виде система — статическая по всем входам, т. е.
W(l) = K,Wf(l) = Kf, то
и, следовательно,
Kf <
Уу 1 + Kf'
Последняя формула показывает, что система имеет постоянную установившуюся
ошибку, которая может быть уменьшена за счет увеличения статического коэффи-
циента К.
В случае когда разомкнутая система является астатической (по основному каналу)
и статической по возмущающему воздействию, то
Тогда Ф/(1) =0 и, следовательно,
Уу ~ £у ~ О'
Таким образом, как и для систем непрерывного времени, повышение точности
дискретной системы управления обеспечивается повышением порядка астатизма,
а также за счет увеличения статического коэффициента или добротности.