А. Б. Замолодчиков, Ал. Б. Замолодчиков
Конформная теория поля
и критические явления
в двумерных системах
Москва
Издательство МЦНМО
2009

УДК
ББК
530.1
22.31
329
Замолодчиков А. Б., Замолодчиков Ал. Б.
329 Конформная теория поля и критические явления в
двумерных системах. — М.: МЦНМО, 2009.—168 с.
ISBN 978-5-94057-520-7
В книге дан обзор современного состояния двумерной конформной
теории поля и ее применений к физике критических явлений в двумерных
системах. Последовательно развивается бутстрапный подход к конформной теории
поля, основанный на операторной алгебре. Детально рассмотрен ряд точных
решений теории, включающий «минимальные модели» с с < 1 и
параметрическое семейство моделей с с = 1. Эти модели описывают критические и мульти-
критические точки различных двумерных статистических систем, среди
которых наиболее известными являются модель Изинга, трехпозиционная модель
Поттса и модель Ашкина—Теллера. Также обсуждается альтернативный
подход к конформной теории поля, основанный на модулярной инвариантности
тороидальной статистической суммы («модулярный бутстрап»).
УДК 530.1
© Замолодчиков А. Б., 2009.
ISBN 978-5-94057-520-7 © МЦНМО, 2009.

Оглавление
Глава 1
Введение 4
Глава 2
Алгебра локальных полей 14
Глава 3
Ренормализационная группа в двумерной теории поля 26
Глава 4
Тензор напряжений в конформнойтеории поля 33
Глава 5
Конформный бутстрап 51
Глава 6
Вырожденные представления алгебры Вирасоро 63
Глава 7
Минимальные модели 75
Глава 8
Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера ... 94
Глава 9
Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап 140
Литература 159

Глава 1
Введение
При приближении к точке фазового перехода второго рода
характерный размер флуктуации параметра порядка — корреляционный
радиус Rc — неограниченно растет. Эти крупномасштабные
флуктуации, которые и приводят к появлению сингулярностей
термодинамических функций, можно описывать на языке эффективной
теории поля; при этом тонкие детали микроскопического строения
системы оказываются несущественными, а взаимодействие
флуктуации определяется только природой самого параметра порядка
и величиной Rc. Эти идеи, развитые Кадановым, Вайдомом, А. 3. Па-
ташинским, В. Л. Покровским и другими, составляют основу гипотезы
скейлинга и универсальности критического поведения (см.,
например, [27,109]). Непосредственно в критической точке Т = ТС
корреляционный радиус бесконечен, а соответствующая теория поля является
безмассовой и обнаруживает в своей инфракрасной асимптотике
масштабную инвариантность
χμ^λχμ (1.1)
(здесь χμ — координаты пространства, μ = 1, 2, ...,D) при условии,
что различные поля Фг, описывающие флуктуации параметра
порядка, преобразуются при замене (1.1) следующим образом:
Фг ->λ*Φζ, (1.2)
где показатели άγ называются аномальными масштабными
размерностями. Вычисление спектра {с?г} аномальных размерностей —
важнейшая задача теории, поскольку именно эти величины определяют
характер критических особенностей термодинамических функций;
см. [27, 109]. Теоретико-полевой подход к проблеме критического
поведения развивался в пионерских работах В. Н. Грибова и А. А. Миг-
дала [7], А. А. Мигдала [25] и А. М. Полякова [29].
В настоящее время свойства универсальности и скейлинга лучше
всего поняты на языке ренормализационной группы (см, например,
обзоры [23,148] и приведенные там ссылки). В этом подходе
критические сингулярности связаны с существованием неподвижных
точек ренормализационной группы в «пространстве эффективных

Глава 1. Введение
5
взаимодействий» S (см. [23Д48]). Неподвижная точка — это, по
существу, теория поля, обладающая симметрией (1.1) во всех масштабах.
Критическое поведение целиком определяется характеристиками
соответствующей неподвижной точки. Хотя неподвижные точки с
достаточно большой размерностью «неустойчивого многообразия»,
определяющие так называемые «мультикритические точки», весьма
трудно обнаружить в экспериментальной ситуации, исследование
всех неподвижных точек представляет принципиальный интерес как
первый этап общего анализа топологических свойств ренормализа-
ционной группы.
В 1970 г. А.М.Поляков [30] высказал гипотезу, что критические
флуктуации обладают не только масштабной, но и конформной
инвариантностью. Конформные преобразования — это такие
преобразования координат, которые не меняют углов между любыми двумя
векторами в данной точке (но могут менять длину). В действительности
в однородных и изотропных системах конформная симметрия следует
из масштабной инвариантности (1.1) при условии локальности
взаимодействия. Таким образом, классификация неподвижных точек ре-
нормгруппы эквивалентна построению всех
конформно-инвариантных решений теории поля. Конформная теория поля исследовалась во
многих работах (см. обзоры [80,84,145]).
Другое важное продвижение — гипотеза алгебры локальных полей,
предложенная независимо Кадановым (см. [113]) А. М. Поляковым (см.
[28]) и Вильсоном (см. [146]). Эта гипотеза состоит в существовании
такого «базисного» набора локальных полей (включающего параметр
порядка), что любые флуктуирующие величины, например
произведения компонент параметра порядка, взятых в различных
пространственных точках, можно разложить по этому базису. Более точная
формулировка этих «операторных разложений» приведена в гл. 2.
А. М. Поляков (см. [31]) предложил строить решения конформной
теории поля, комбинируя условия конформной инвариантности и
существования замкнутой алгебры локальных полей. При таком
подходе гамильтонова формулировка теории поля в явном виде не
используется, а основные «бутстрапные» уравнения возникают из
требования ассоциативности алгебры операторных разложений (которая
эквивалентна перекрестной симметрии корреляционных функций).
К сожалению, в многомерном случае D > 2 разложения базисного
набора полей на неприводимые представления конформной группы
недостаточно для «расцепления» этих бутстрапных уравнений.
При D > 2 группа конформных преобразований имеет конечную
размерность (D + 1)(D + 2)/2 (в евклидовом случае она изоморфна

6
Глава 1. Введение
0{Ό + 2)). Напротив, при D = 2 конформная группа бесконечномерна.
Соответствующая бесконечномерная алгебра генераторов этой
симметрии в конформной теории поля называется алгеброй Вирасоро;
эта алгебра хорошо известна в теории релятивистских струн (см.,
например, обзоры [101Д23Д38]). На самом деле теория релятивистских
струн, интенсивно развивающаяся последние 20 лет начиная с первых
работ по операторному представлению дуальных амплитуд [95,118],
представляет очень поучительные модели двумерной конформной
теории поля и методы обращения с такими моделями; см. [94,128,136].
Современное развитие двумерной конформной теории поля в
применении к задачам статистической физики в большой степени связано
с достижениями струнной теории [8,101,123,138]. Можно сказать
и наоборот: проблематика струнной теории, например попытки
достичь понимания «струнной физики» вне критической размерности,
инициированные знаменитой работой А. М. Полякова [132, 134] по
ковариантному квантованию струны, или проблема компактифика-
ции пространства-времени в теориях суперструн Грина—Шварца (см.
[55,101]), является важнейшим стимулом этого развития.
Современные методы конформной теории поля в струнной теории изложены,
например, в обзорах [87,88], а также в статье В. Г. Книжника [20], где
можно найти ссылки на оригинальные работы.
Разложение на неприводимые представления алгебры
Вирасоро (или более широких бесконечномерных алгебр, см. ниже) дает
возможность весьма детального описания базисного набора полей
в двумерной конформной теории. Представления со старшим
весом алгебры Вирасоро (а именно такие представления возникают
в конформной теории поля) подробно изучены в математической
литературе; см. [36,37,107]. А. А. Белавин и др. в работе [45]
показали, что такое разложение позволяет эффективно «диагонализи-
ровать» уравнения конформного бутстрапа и найти бесконечный
набор точных решений этих уравнений — «минимальных моделей».
Алгебра Вирасоро содержит один числовой параметр —
«центральный заряд» с; численное значение этого параметра, разумеется, есть
важнейшая характеристика конкретной конформной теории поля.
«Минимальные модели» Miplq) нумеруются двумя взаимно
простыми натуральными числами ρ > 1, q > 1, а соответствующие значения
параметра с равны
с(Р/<г) = 1-« аз)
и лежат в области с < 1. «Минимальные модели» точно решаемы
в очень сильном смысле: не только аномальные размерности всех

Глава 1. Введение
7
полей, но и корреляционные функции могут быть явно вычислены.
Оказывается, простейшая из «минимальных моделей» ^(3/4)
описывает хорошо известную критическую точку модели Изинга.
Роль условия унитарности в двумерной конформной теории поля
была выяснена в очень важной работе Фридана, Чу и Шенкера [92]
(см. также [91]). Условие унитарности должно выполняться для
статистических систем с локальным (взаимодействие ближайших
соседей) ограниченным снизу гамильтонианом (точнее говоря,
достаточно, чтобы существовала самосопряженная матрица перехода). В
конформной теории поля условие унитарности приводит к правилу
отбора допустимых представлений алгебры Вирасоро: эти
представления не должны содержать состояний отрицательной нормы («духов»).
Фридан и др. в работе [92] показали, что в области с < 1 это условие
отбирает следующий дискретный ряд значений с (и соответствующих
аномальных размерностей):
что в точности соответствует «минимальным моделям» M^plq) с q =
= р +1, ρ = 3,4, 5,...; эти модели Μ^=Μ{ρ/{ρ +1)) следовательно,
они исчерпывают все унитарные решения конформной теории поля
с с < 1. Остальные «минимальные модели» Jl(jplq) с q — ρ > 1
неунитарны.
Многие минимальные модели можно идентифицировать с
известными критическими и мультикритическими точками двумерных
статистических систем. B.C. Доценко в работе [73] установил, что модель
*М(5) описывает критическую точку трехпозиционной модели Поттса
(принадлежащую к тому же классу универсальности, что и
«модель твердых шестиугольников» Бакстера; см. [44]), а Фридан, Чу
и Шенкер идентифицировали «минимальные модели» ^(4) и ^(6)
с трикритическими точками статистических систем типа модели
Изинга и трехпозиционной модели Поттса (исследованными ранее
в работах [65,129]). Хьюз [103] установил, что аномальные
размерности в минимальных моделях М^ совпадают с показателями,
характеризующими «ферромагнитные» критические точки точно решаемых
«моделей RSOS», открытых Эндрюсом, Бакстером и Форрестером;
см. [41]. Согласно работе [103] это позволяет интерпретировать
модели с^(р), ρ = 3,4, 5, как мультикритические («(р — 1)-критические»)
точки статистических систем с изинговской симметрией. Имеются
и другие основания для такой интерпретации; см. [9]. Тем не менее,
вопрос о «физической идентификации» моделей Ji^ (т.е. вопрос

8
Глава 1. Введение
о вычислении соответствующих классов универсальности) нельзя
считать исчерпанным; для большинства из них пока не изучены даже
специфические внутренние симметрии. Соответствующая проблема
для неунитарных моделей M^plq), q > ρ + 1, вообще в основном
открыта (см., однако, работу Карди [59] о сингулярности Ли и Янга).
В. С. Доценко и В. А. Фатеев [74] предложили некоторую
«интерполяцию» минимальных моделей M{jp) на произвольные
иррациональные значения ρ (минимальные модели Jl(jplq) получаются при
рациональных значениях этого параметра) и предположили, что
имеется ее связь с критической теорией для статистических систем,
получаемых формальным продолжением q -позиционной модели Поттса
и 0(п)-моделина нецелые значения 0 ^ q ^ 4 и — 2 ίξ η ^ 2 (см.,
например, [130]). Согласно работе [74] параметр ρ связан с q или η
соотношениями д/q = 2 cos(tt/(p +1)) и η = 2 cos(?r/p). При ρ —> -2 возникает
связь с критическим поведением самоизбегающих полимерных цепей
(см. [71,75,76]) и с задачей протекания (см. [71,83]).
В некотором смысле величину с можно интерпретировать как
некую меру эффективного числа полевых степеней свободы,
имеющих крупномасштабные флуктуации в данной критической точке.
Поэтому естественно ожидать, что неподвижные точки ренормгруп-
пы тем более устойчивы, чем меньше соответствующее значение с.
Величина с как центральный заряд алгебры Вирасоро определена
только в неподвижных точках. Можно, однако, «продолжить» ее на
произвольные точки «пространства эффективных взаимодействий» S,
т. е. ввести функцию c(g), где g — точка из S, совпадающую в каждой
неподвижной точке g* с соответствующим центральным зарядом
с* = c(g*)· При движении пространства S под действием
преобразований ренормгруппы g(t) величина c(g) становится, конечно, функцией
ренормгруппового параметра: c(g(t)) = c(t)· В унитарной
непрерывной теории функцию c(g) можно выбрать так, что она монотонно
убывала под действием этих преобразований, т. е. ~ji^iX) ^ 0, причем
равенство достигается только в неподвижных точках; см. [10, 14].
Таким образом, упорядочение неподвижных точек по величине с
соответствует их упорядочению по степени ренормгрупповой
стабильности.
Для всех минимальных моделей с < 1. Значение с = 1 соответствует
свободному безмассовому бозонному полю, т. е. гауссовой
неподвижной точке. Такая теория содержит параметр (который можно
интерпретировать как «радиус компактификации» поля φ), а критические
показатели непрерывно зависят от этого параметра, так что здесь мы

Глава 1. Введение
9
имеем дело с линией неподвижных точек. Эта линия соответствует
критическим линиям модели Ашкина—Теллера (см. [42]) и восьми-
вершинной модели Бакстера (см. [5]). В работе [15Д54] построено од-
нопараметрическое семейство решений уравнений конформного
бутстрапа для спиновых корреляций в модели Ашкина—Теллера. Точки
М^р) при ρ —> оо сгущаются к специальной точке этой критической
линии.
Конформный бутстрап, предложенный в работе [45], является
«локальным» в том смысле, что основан на локальных операторных
разложениях. Карди (см. [60]) предложил альтернативную бутстрап-
ную программу — «модулярный бутстрап» (идея «модулярного
бутстрапа» высказывалась независимо В. Г. Книжником в 1984 г.). Можно
рассмотреть статистическую систему в прямоугольной области (или
области формы параллелограмма) размера L χ Γ с периодическими
граничными условиями (собственно, так обычно и делается в
микроскопической теории, а затем переходят к пределу при L, Г —> оо при
постоянном T/L). Такая область имеет топологию тора с некоторым
параметром Вейерштрасса (см. [1]) τ (τ = ίΤ/L для прямоугольника).
Если Rc < min(L, Г), то зависимость статсуммы от размеров L и Г
и, следовательно, от τ, выпадает. Наоборот, в критической точке
Rc —> оо ^ и при конечных L, Г статистическая сумма содержит тонкую
зависимость от τ, которая в явном виде выражается через характеры
представлений алгебры Вирасоро. Из очевидных физических
соображений следует, что статсумма как функция параметра τ должна
быть инвариантна относительно модулярных преобразований
(например, при замене L<^>T). Это требование накладывает
существенные ограничения на «конформный состав» пространства состояний
и служит основой «модулярного бутстрапа». Анализу двумерной
конформной теории поля методом модулярного бутстрапа посвящен ряд
статей [56,57,97,104,114,150,151,155]. Идея обобщения модулярного
бутстрапа на случай поверхностей высшего рода предложена в
работах [89,90].
Конформный бутстрап можно обобщить на случаи, когда теория
обладает в критической точке более высокими, чем конформная,
бесконечными симметриями. Наиболее известные примеры —
суперконформная симметрия и симметрия относительно группы токов.
Использование этих и других бесконечных симметрии позволяет
построить новые точные решения конформной теории поля (в
частности, с о 1) и, тем самым, описать новые неподвижные точки.
Суперконформная теория поля исследована в работах [47,77,93].
Бесконечномерная алгебра генераторов суперконформной симмет-

10
Глава 1. Введение
рии в теории поля — алгебра Невье—Шварца—Рамона (которая
также хорошо известна в струнной теории; см. [101,128,136]) —содержит
алгебру Вирасоро как подалгебру. Базис полей в такой теории
можно классифицировать по представлениям алгебры Невье—Шварца—
Рамона. В работах [47,77,93] построен бесконечный набор точно
решаемых «минимальных» суперконформных моделей. Унитарные
минимальные суперконформные модели (см. [93]) SM^, ρ = 3,4,5,...,
соответствуют значениям
CP = l(1-^T2j) (15)
центрального заряда с алгебры Вирасоро. Модель S^(3) совпадает
с ^#(4) и описывает трикритическую точку модели Изинга (которая
обладает, следовательно, суперсимметрией; см. [93]), a SM^—это
специальный случай критической модели Ашкина—Теллера.
«Физическая интерпретация» суперсимметричных неподвижных точек
S^(p) с ρ > 4 — в основном открытый вопрос (см., однако, [9]). Точно
решаемые модели с N = 2 расширенной суперсимметрией построены
в работах [12,50,69,70,127].
Модель G χ G-инвариантного главного кирального поля с
лагранжианом Весса—Зумино, предложенная Виттеном [147],
С.П.Новиковым [26] и А.М.Поляковым и П.Б.Вигманом [133], обладает в
неподвижной точке симметрией относительно (G x G)-алгебры токов,
т.е. прямого произведения «правой» и «левой» алгебр Каца—Муди
G. Тензор энергии-импульса такой теории квадратично выражается
через токи по формуле Сугавары—Соммерфильда (см. [140, 141]);
при этом алгебра Вирасоро «встроена» в обертывающую алгебры
Каца—Муди. Методы конформной теории поля позволяют построить
точное конформно-инвариантное решение модели Весса—Зумино
в инфракрасной неподвижной точке (см. [116]); соответствующие
значения центрального заряда с даются (для случая полупростой
группы G) формулой
c(G'fc)=C^G)Tfc (L6)
где D(G)—размерность группы G, CV{G) — квадратичный оператор
Казимира в присоединенном представлении, а к— центральный
заряд алгебры Каца-Муди, принимающий (в унитарной теории) целые
значения к = 1,2,... Исследованию этой конформной теории поля
посвящены работы [11,62,96]. Возможно суперсимметричное
обобщение модели Весса—Зумино [68]. Конформно-инвариантное решение
модели Весса—Зумино можно применить для описания критических
точек одномерных спиновых цепочек Гейзенберга; см. [38].

Глава 1. Введение
11
Годдар, Кент и Олив (см. [99,100]) предложили явную
конструкцию унитарных (вообще говоря, приводимых) представлений
алгебры Вирасоро в терминах представлений алгебр Каца—Муди. Если
G — алгебра Каца—Муди, Η — ее подалгебра, a TG и Тн —
соответствующие генераторы алгебры Вирасоро (т.е. компоненты тензора
энергии-импульса в форме Сугавары—Соммерфильда), то разность
Τ = TG — TH коммутативна со всеми образующими Η и представляет
алгебру Вирасоро с
с = c(«G/H») = c(G, к) - с(Н, к'), (1.7)
где к и к — центральные заряды алгебр G и Η соответственно. Таким
образом, представление алгебры Вирасоро с условием (1.7),
возникает как фактор некоторого конечно приводимого «базисного»
представления алгебры Каца—Муди G по соответствующему «базисному»
представлению Η с G. Эти авторы нашли случаи, когда возникающие
таким образом представления алгебры Вирасоро конечно приводимы
и совпадают с «минимальными моделями» М^ (этим, в частности,
доказывается унитарность моделей М^)). В других случаях это
представление содержит бесконечный набор неприводимых
представлений, что, однако, не может помешать ему служить основой для
построения унитарной конформной теории поля с о 1. Представления
S^(p) и другие модели (см. ниже) также можно реализовать этим
способом. При такой конструкции решений, однако, как правило,
остается открытым вопрос о внутренних симметриях возникающих
моделей.
Суперконформная симметрия и симметрия Каца—Муди
генерируются локальными токами спина 3/2 и 1 соответственно.
Локальные токи более высоких спинов рассмотрены в работе [152]. Можно
исследовать также симметрии, генерируемые нелокальными («почти
локальными») токами с дробными спинами. В работе [35] построена
алгебра «парафермионных» токов со спинами η(Ν — ή)/Ν, η = 0,1,...
...,Ν — 1, с любыми N ^ 2; поля с такими спинами естественно
возникают в ΖΝ-симметричных статистических системах; см. [85]. В
работе [35] найдена серия точно решаемых унитарных моделей [ΖΝ],
N = 2, 3,..., как представлений алгебры «парафермионных токов»;
модели [ΖΝ] конформно инвариантны с
2(Ν-1)
CN = N + 2 > N = 2> 3> ··· О-·8)
Модели [Z2] =-#(з) и [Z3] =М^) описывают критические точки
модели Изинга и трехпозиционной (Z3) модели Поттса,
[Z4]—специальный случай критической модели Ашкина—Теллера; модели [ZN]

12
Глава 1. Введение
с N > 4 описывают «критические точки бифуркации» ZN — моделей
Изинга [39]; тот же класс универсальности представляют
«антиферромагнитные» критические точки моделей RSOS; см. [41].
Другая алгебра «парафермионных токов» спина 4/3 (см. [13])
позволяет построить соответствующую серию «минимальных» моделей
Z3JC{p) с
ср = 2(ΐ-^^), ρ = 3,4, 5,..., (1.9)
обладающих Ζ3-симметрией и «самодуальностью». Другие точно
решаемые модели с «парафермионными симметриями» рассмотрены
в работах [98,131]. Модели М^·), SM^ и Z3-#(p) являются
представителями бесконечного набора серий точно решаемых унитарных
конформных моделей МТк, q = 1,2,3,4,..., характеризуемых
(р):
СШ_ 3q Г 2(q + 2)
S q + 211 pip + q)
который легко получить с помощью конструкции Годдара, Кента
и Олива (см. [99]); при этом -М{^=М^у S^C^=JC?^, Z-^M^ =-4%м·
Соответствующие аномальные размерности (см. [78]) согласуются
с показателями для недавно открытой иерархии точно решаемых
решеточных «RSOS-q«-моделей; см. [82,105,120].
Конформная теория поля с «высшей» симметрией, генерируемой
током спина 3, исследована в работе [79], где найдена серия
соответствующих унитарных «минимальных моделей» W3^^, p = 4,5,...
Эти модели обладают явной Ζ3-симметрией (в частности, W3^^ =
= ^(5)) и характеризуются значениями
центрального заряда. Следует отметить, что геометрический смысл
подобных «симметрии», генерируемых нелокальными токами и
токами высших спинов, еще предстоит понять.
Построение точного конформного решения, отвечающего
неподвижной точке, позволяет развить теорию возмущений и исследовать
поведение ренормализационной группы в некоторой окрестности
этой точки. Предварительные результаты в этом направлении
получены в работах [10,14,121].
Цель этой книги — дать систематическое изложение основных
идей и методов конформного бутстрапа в двумерной теории поля.
Данный обзор имеет значительные пересечения с недавними
обзорами Карди [61], Фридана и Шенкера [88] и Тодорова [144]. Мы не будем

Глава 1. Введение
13
подробно сравнивать содержание этого и упомянутых выше
прекрасных обзоров. Скажем только, что мы старались обращать возможно
больше внимания на техническую сторону дела, с тем чтобы читатель
мог уяснить основные вычислительные приемы без обращения к
оригинальным работам. В то же время мы не затрагиваем ряда важных
направлений, интенсивно развиваемых в последние годы. Сюда,
прежде всего, относится применение методов конформной теории
поля для ковариантного квантования струны и суперструны (см.
[40,43,49,63,66,67,86,117,124,126]); этот вопрос рассмотрен, в
частности, в обзоре В. Г. Книжника. Мы также совершенно не касаемся
конформной теории поля с симметрией относительно алгебры токов
и конформно-инвариантных решений моделей Весса—Зумино; в
связи с этим подход Годдара, Кента и Олива (см. [99,100]) и связанные
с ним результаты (см. [51,105,108]) не получили должного освещения.
Нам кажется, что этот круг вопросов заслуживает отдельного обзора.
Наконец, важное направление исследования критических явлений,
связанных с наличием границ, методами конформной теории поля,
начатое Карди (см. [58]) и развитое в ряде работ [52-54], выходит за
рамки нашей статьи (см. обзор Карди [61]).

Глава 2
Алгебра локальных полей
Основным объектом теории поля является набор всевозможных
корреляционных функций взаимно локальных полей At(x):
(Аг (χι) А2 (х2).. ΛΝ (χΝ)). (2.1)
Мы будем иметь дело с двумерной евклидовой теорией, так что
xt gR2. В лагранжевом подходе корреляционные функции определены
функциональными интегралами
A1(x1)...AN(xN)exp{-H|>]}dc/>3 (2.2)
где φ — некоторый набор «фундаментальных полей»,
—локальное действие, a Ar(x) — некоторые локальные функции от
φ(χ) и производных 3μφ, Ομθνψ и т.д. В выражении (2.2)
подразумевается, что Η [φ] включает слагаемое, обеспечивающее нормировку
функции распределения; в связи с этим множитель Ζ-1 не выписан.
Если плотность действия Ж определена, выражение (2.2) является,
как известно, чрезвычайно полезным инструментом при анализе
симметрии теории и при построении теории возмущений. В то же время
явное вычисление интегралов (2.2), как правило, затруднительно.
Кроме того, во многих интересных случаях представление вида (2.2)
для корреляционных функций (2.1) неизвестно. Поэтому мы
воспользуемся другой формулировкой теории поля, не использующей явно
выражений вида (2.2), а основанной на «бутстрапных» уравнениях
непосредственно для корреляционных функций. Излагаемый ниже
«бутстрапный» подход основан на идеях А.М.Полякова [28], Када-
нова (см. [113]) и Вильсона (см. [146]) о существовании алгебры
локальных полей; наиболее полным образом этот подход (для случая
конформной теории поля) сформулирован в работе [31]. Подчеркнем,
что нам неизвестно строгое доказательство основного
предположения данного подхода — операторной алгебры — в рамках лагранже-
вой теории поля, поэтому эквивалентность бутстрапных уравнений

Глава 2. Алгебра локальных полей
15
и выражения (2.2) представляет собой гипотезу. Интересный вопрос
о возможности «вывести» операторные разложения из стандартных
аксиом теории поля (см. [34]) здесь не обсуждается.
В нелагранжевой формулировке название «локальные поля» для
символов At(x) в выражении (2.1) означает просто ряд требований,
налагаемых на аналитические свойства функций (2.1). Обозначим
через R2 \ {ха} евклидову плоскость с набором выколотых точек {ха}.
Тогда (2.1) — вещественно-аналитическая функция любой из
переменных х{ на R2 \ {Xj, j Φ ί}, однозначная в этой области и
принимающая значения в С. Поскольку линейные операции сохраняют это
свойство, поля А{ можно считать элементами векторного пространства j4'.
Таким образом, N-точечные функции (2.1) есть N-линейные
отображения тензорного произведения j4\® j4*i® ...® jrfN в пространство
функций с указанными аналитическими свойствами.
Предполагается, что j4 — бесконечномерное пространство, допускающее введение
счетного базиса {Λ;·, j = 0,1,...}. Набор полей j4 является «полным»
в уточняемом ниже смысле. В лагранжевой теории j4 может
включать кроме «фундаментальных» полей φ любые составные поля типа
: φη :, : θμφφη :, : ΰμφδνφφη: и т. д. В рассматриваемом подходе j4
служит заменой традиционного пространства состояний.
Пространство j4 допускает разложение j4 = j4^ Θ j4^ на
подпространства бозе- и ферми-полей. Бозе- (ферми-) поля
перестановочны (антиперестановочны), т.е.
Af{xl)Afix2)=Afix2)Af\xl),
Af {χλ)Α^ (х2) = A2F) (χ2)4β) (χΟ, (2.3)
A^\Xl)A^\x2) = -Af (χ2)Α^(*ι).
Здесь Α(β) и A(F) —любые элементы подпространств j^(b) и^т. Эти
и подобные приводимые ниже соотношения для полей понимаются
как соотношения между корреляционными функциями, например
(XA™(.Xl-)A™(.x2)Y) = {XA^\x2)Af\Xl)Y),
где ХиУ —любые произведения полей из j4', скажем
X = Ah {У1)Ак (у2)... A1n (yN). (2.4)
В j4 имеется выделенный вектор / (единичный оператор),
определяемый равенством
(IX) = (X). (2.5)
Базис {Aj} в jtf удобно выбирать таким образом, что А0 =/ и
(Aj) = 0 для; ф0. (2.6)

16
Глава 2. Алгебра локальных полей
Мы положим также
(I) = 1 (2.7)
выбор другой постоянной в (2.7) привел бы просто к умножению на
нее всех корреляционных функций (2.1).
В дальнейшем будет удобно пользоваться комплексными
координатами (ζ, ζ) в12:
ζ = χ1 + ix2, ζ = χλ- ίχ2, (2.8)
где (χ1, χ2)—декартовы координаты плоскости. Таким образом, xt
в формуле (2.1) обозначает пару zb zb и A(xi)=A(zi, z{).
В пространстве j4 действуют линейные операторы dz и д^: j4^>j4.
По определению
{XdzAiz,z)Y) = jz(XA(z,zm,
а (2.9)
{Xd,Aiz,z)Y) = ±{ΧΑ0ε,ζ)Υ).
Иногда удобно использовать обозначения
Ρ = dz, P = dz. (2.10)
Очевидно, ΡΙ = ΡΙ = 0. Следующее соотношение эквивалентно
сделанному выше утверждению об аналитичности корреляционных
функций:
00 п —щ
А(*!, ζ0 = ^ ^ дпхд?АЬ2, *2), (2.11)
п,т=0
где ζΎ2=ζΎ —%2> %п =%ι ~%2- Это соотношение связывает
корреляционные функции (А{%Ъ%{)Х) и {Α(ζ2,ζ2)Χ), причем предполагается,
что ряд (2.11) сходится, если \ζ12\ < min \ζλ — ζ2\, где zb z{ — ком-
ί=1,...,Ν
плексные координаты точек у{ в формуле (2.4), a \z\ = {ζζ)112.
Пространство j4 образует алгебру относительно операторных
разложений; см. [28,31,113,146]. А именно, произведение любых
базисных векторов Аь Λ;· е j4 можно следующим образом разложить по
базису^}:
МхгЩ(х2) = J] С\^хъ *2)Ак{х2), (2.12)
к
где С^Ххъх2) — числовые коэффициентные функции, называемые
структурными функциями операторной алгебры. Равенство (2.12)

Глава 2. Алгебра локальных полей
17
понимается как набор соотношений между корреляционными
функциями:
(Ai (jcO Aj (х2)Х) = J] С* (*!, х2) (Ак (х2)Х), (2.13)
fc
где X—любое произведение вида (2.4), а функции С^ одни и те же
для любых X. Предполагается, что ряд в правой части равенства (2.13)
сходится, если \хг — х2\ < min \х2 — уД. В частном случае Ai=1 соот-
ί=1,...,Ν
ношение (2.13) превращается в разложение в ряд Тейлора (2.11).
В пространственно-однородной теории (которая здесь и
рассматривается) структурные функции зависят только от разностей
координат: сЬЛхъх2) = Cj(x1 - х2); следовательно, мы имеем дело с
набором функций двух переменных С^Ах) = C^Az,z). Все утверждения
об аналитических свойствах корреляционных функций (2.1) можно
выразить как соответствующие требования, налагаемые на функции
С^Ах). Именно, С^Ах)— однозначные аналитические функции
переменной χ на R2 \ {0}; при χ = 0 эти функции, вообще говоря, имеют
особенности.
Операторные разложения для бозе- и ферми-полей удовлетворяют
очевидным правилам отбора, которые записываются (условными)
соотношениями
А®А006^№ A™A™esf<n, A(F)A(F)e^(B). (2.14)
Иногда бывает удобно организовать базис в j4 так, чтобы явно
выделить производные {А;·} = {РпРтФа, п, т = 0,1,..., а = 0,1,...}. При
этом соотношение (2.12) представится в виде
00
At(z,z)Aj(0,0)=^^ Cfn'm)(ζ,ЮРпРтФа(0,0). (2.15)
α η,τη=0
Сравнивая равенство (2.15) с перестановочными соотношениями (2.3),
нетрудно вывести простые соотношения
CJ(*, z\P,P) = ±ezPe"pC^-z, -ζ \ Ρ, Ρ), (2.16)
где
CJ {ζ, ζ | Ρ, Ρ) = J] C«(n'm) (ζ, z)PnPm,
причем знак минус в формуле (2.16) относится к случаю Аь Λ;· е jrf^F\
а плюс — к остальным случаям.
Структурные функции С^Лх) содержат в себе всю информацию
о теории поля. Правило (2.13) позволяет, в принципе, вычислить

18
Глава 2. Алгебра локальных полей
любую корреляционную функцию (2.1), последовательно понижая
порядок коррелятора и сводя его к одноточечным функциям (2.6),
(2.7). Например,
(Л, MAj (0) > = С° (x) = Dtj (x). (2.17)
Существенно, однако, что для многоточечных функций такое
понижение порядка можно проводить несколькими разными способами,
пользуясь «правилом слияния» (2.12) в различной
последовательности. Очевидно, результат не должен зависеть от последовательности
«слияний». Другими словами, операторная алгебра с
определяющими соотношениями (2.12) должна быть ассоциативна. Это
требование накладывает очень сильные ограничения на структурные
функции С» (х). Оно выражается бесконечной системой функциональных
уравнений
Σ°ΙΜ -*2)сйз(х2) = Цс^СхОС^ад, (2.18)
fc к
где ряды в правой и левой частях сходятся при \хг \ > \х2\ > \х\ — Хг1· Эти
уравнения рассматриваются в данном подходе как основные
динамические уравнения. Условия ассоциативности можно записать также
в другом виде, рассматривая четырехточечную функцию
(Ah (.хОАк ШАц (*зМц (*4)>·
Эту функцию можно вычислить, применяя разложения (2.13) к
произведениям ΑιΑι и AisAi4. Альтернативно, можно начать с разложения
произведений А^А{ и Αί2Αί4. При этом получается формальное
соотношение
Σ СМ2 (Xl ~ X2)Dkl (X2 ~ X^ChU (*3 ~ Хл) =
к,1
= ZCM3(xi -*з№ыСлг3 -*4)ς?2ί4(*2 -ЛЧ). (2.19)
U
где Dij(x) —двухточечные функции вида (2.13). Конечно, ряды в
правой и левой частях соотношения (2.19) не имеют, вообще говоря,
общей области сходимости, и равенство (2.19) следует понимать в
смысле аналитического продолжения этих рядов.
В принципе, можно было бы строить теорию поля, решая эти
уравнения. Практически для этого надо найти удобное описание
пространства j4'. В гл. 4 мы опишем структуру пространства s4
конформно-инвариантной теории поля в терминах представлений

Глава 2. Алгебра локальных полей
19
бесконечномерной конформной группы. Эта классификация полей
позволяет найти ряд точных решений уравнений (2.19).
Евклидова инвариантность теории поля обеспечивается
следующим требованием. Пространство j4^ содержит симметричный
тензор напряжений Ίμν(χ) = Τνμ(χ), удовлетворяющий уравнению
непрерывности 3μΤμν{χ) = 0, т. е. равенство
θμ(τμνίχ)Χ) = θ
выполнено для всех χ е Ж2 \ {3^}, где yt —точки, обозначенные в
формуле (2.4). Если пользоваться координатами (2.8), следует выделить
три независимые компоненты тензора Τμν:
Τ = ΤΖΖ, Τ = ΤΖ>Ζ, Θ = -Τζζ. (2.20)
В этих обозначениях уравнения непрерывности Τμν имеют вид
dzTdz, ζ) = θζΘ(ζ, ζ), dzB{.z, ζ) = dj{z, z). (2.21)
Из уравнений (2.21) следует, что контурный интеграл
f ([т^,Ю^ + е(2,Ю^]А1^1,г1)...Ам^ы,Шы))) (2.22)
взятый по произвольному контуру Св12\{{zb z{)}, не меняется при
произвольных непрерывных деформациях контура в этой области.
Интеграл (2.22), взятый по маленькому контуру С = Q, окружающему
точку (Ζί,ζΊ), выражается через производную d/dzi(A1(z1,z1) ± ...
...AN(zN,%)). Разумеется, таким же свойством обладает интеграл,
получаемый заменой ζ <—> ζ, Τ <—»Г. Сказанное можно записать
формулами:
[Т(С, О^ - в(С, оЦ] Αίζ, ζ) = dzA(z, ζ) = ΡΑίζ, ζ),
C _ (2.23)
[τ(ζ^)^-&ίζ^)^]Αίζ,ζ) = dzA(z,z) =PAiz,z)·
с
Из уравнений (2.21) непосредственно следует также равенство
dz{zT + z&) = dz{zT + z&), (2.24)
из которого видно, что интеграл
'(СПС, С) - Св(С, О)^ - (ζτ{ζ, Ο - Св(С, О)Ц}х) (2.25)

20
Глава 2. Алгебра локальных полей
обладает свойствами, аналогичными свойствам интерграла (2.22).
Определим оператор спина S: j4' —> j^ равенством
SA^z,^ = ί[{{ζ-ζ)ηζ,ζ)-(ζ-ζ)Θ{ζ,ζ)}§--
с
-{(ζ-ζ)Τ{ζ,ζ)-{ζ-ζ)θ{ζ,ζ)}§-\Α{ζ,ζ). (2.26)
Нетрудно сосчитать перестановочные соотношения между
операторами (2.23) и (2.26):
[Р,Р]=0, [P,S]=P, [P,S]=P. (2.27)
Пространство jrf распадается на собственные подпространства
оператора S; ^ = 0^й, где Sj&^ =sj2?(s\ В дальнейшем мы предполага-
S
ем, что базис {А;} выбран так, что
SAj=SjAj; (2.28)
число Sj называется спином поля А;. Из соотношений (2.27) ясно, что
Ρ: jj& -^ ^(s+1), P: ^(s) -+ ^(5_1), (2.29)
так что, например, PnAj имеет спин s;· + п.
Если выбрать контур С в интегралах (2.22) и (2.25) так, чтобы он
охватывал все точки {ζ{, zt), i = 1,2,..., Ν, и предположить, что
корреляционная функция (Γμν(χ)Χ) достаточно быстро убывает при х—> <*>,
эти интегралы окажутся равными нулю. Отсюда вытекают следующие
соотношения, выражающие евклидову инвариантность
корреляционных функций:
Σ«-ζ-4+5'·)<χ>=0'
ί=1
где Χ — произведение (2.4) с Υί = (ζί}ζ{), a st — спин поля А^у^).
В частном случае двухточечных функций из соотношений (2.30)
следует, что
(Mz, z)AjiO, 0)) = e^+^Dij (r), (2.31)
где (σ, г) — полярные координаты, ζ = rexp(ia), 2 = гехр(—ΐσ), a
Dy(r) — некоторые функции радиального расстояния г. Из
сравнения (2.31) с правилами перестановки (2.3) следует, что спины st могут

Глава 2. Алгебра локальных полей
21
принимать только целые (для бозе-полей) или полуцелые (для ферми-
полей) значения, т.е. j^(b) = 0j^(s);^(f)= 0 j#is\ Очевидно,
SI = 0, И s€Z seZ+1/2
ST = 2T, SG = 0, ST = -2T. (2.32)
Нетрудно показать, аналогично соотношению (2.31), что
С* (χ) = eiCSi+s~Sfc)ffCj(r). (2.33)
Мы будем предполагать, что теория поля инвариантна относительно
пространственного отражения (х1, х2) —> (х1, —х2), т. е. (ζ, ζ) —»(ζ, ζ).
Это означает, что в пространстве j4 существует С-линейная
инволюция j4 —» j4, которую мы будем обозначать чертой, т. е. А —* А;
Agj#,A = A, причем
Д(х)А;· (0) = J] С*(х)Д(0), (2.34)
к
где С»(х) — структурные константы в соотношении (2.12), а х = (ζ, ζ),
если χ = (ζ, ζ). Черта над Г в формуле (2.20) имеет именно этот смысл.
В пространстве j4 существует С-антилинейная инволюция А^>А+,
А+ G j4, СО СВОЙСТВОМ
A+(0)A+(x) = ^[ςξ(χ)]*Α+(0), (2.35)
к
где звездочка обозначает комплексное сопряжение. Разумеется, базис
{Aj} в jtf всегда можно выбрать вещественным, т. е. At = Α;· (хотя это
и не всегда удобно); тогда
[с*(х)Г = с*(х). (2.36)
Поля (2.20) «самосопряжены», т. е.
Т+ = Г, Θ+ = Θ, Г+ = Т. (2.37)
Двуточечные функции
(A;, A;)R = <А+ (iR, -Ш)Α;·(0, 0)> (2.38)
с любым фиксированным вещественным R представляют собой
эрмитову билинейную форму на jrf и задают, следовательно, (зависящую
от К) метрику на j4'. Равенство
{Аь Aj)R = {Aj, А,)* (2.39)
выполняется в силу трансляционной инвариантности теории.

22
Глава 2. Алгебра локальных полей
В теории поля постулируется еще одно важное свойство —
положительность. Именно, метрика (2.38) (с любым Я) должна быть
положительно определенной (см., например, [32]). Это свойство
отнюдь не следует из операторной алгебры и уравнений (2.18). Оно
представляет собой, следовательно, важный критерий отбора для
возможных решений условий ассоциативности (2.18). Мощность этого
принципа продемонстрирована в работе [92]. Необходимо отметить,
однако, следующее обстоятельство. Условие положительности должно
выполняться, например, в лагранжевой теории поля (2.2), если
плотность действия Ж содержит производные функции ψ не выше первой
степени и является вещественной ограниченной снизу функцией от φ
и 3μφ. Можно доказать, что условие положительности выполнено
в статистических системах, описываемых самосопряженной
матрицей перехода. В то же время в статистической физике существует
много интересных систем, не описываемых таким способом, для
которых условие положительности заведомо не выполнено. Поэтому,
вообще говоря, имеет смысл рассматривать теорию поля без условия
положительности. При этом положительность выступает как
дополнительный критерий, позволяющий отбирать решения, адекватные
статистическим системам специального типа. Ниже мы
придерживаемся именно такой точки зрения. Теория поля будет называться
унитарной, если она удовлетворяет сформулированному выше
принципу положительности, и неунитарной в противном случае.
су
Рис.1
Как уже отмечалось выше, теория поля полностью описывается
корреляционными функциями (или операторной алгеброй)
некоторого «полного» набора взаимно локальных полей. Во многих
конкретных задачах, однако, оказывается полезным расширить пространство
полей, включив туда нелокальные поля определенного типа. Отличие
взаимно нелокальных полей состоит в том, что соответствующие

Глава 2. Алгебра локальных полей
23
корреляционные функции вида (2.1) не являются, вообще говоря,
однозначными функциями переменных xt. Свойства относительной
локальности таких полей Ψα (χ) определяют, следовательно, свойства
монодромии корреляционных функций
(Φι(Χι)Φ2(*2)···Φλγ(*ν)>· (2.40)
Рассмотрим, например, аналитическое продолжение корреляционной
функции
(...ΦαΟΟΦ,,ΟΟ...) (2.41)
по переменной χ вдоль замкнутого контура Су, обходящего точку у,
как показано на рис. 1. В результате получится другая корреляционная
функция вида
(...ФаМФ^Су)...). (2.42)
Условимся записывать это обстоятельство формулой
Фа(Сух)Ф/3(у) = Фа(х)Ф|00. (2.43)
При этом предполагается, что существует «полный» набор таких
взаимно нелокальных полей ^(ф) с базисом {Фа}, который служит
расширением пространства j4. Поля Фа также образуют операторную
алгебру
ФаСдс^Ф^ (х2) = Σ CYap (Χ! - χ2)Φγ (χ2), (2.44)
г
где, однако, коэффициенты СгаЛх) теперь не обязательно
однозначные функции переменной xeR2\ {0}. Вся информация о
монодромии корреляционных функций заключена в структурных функциях
Здесь мы рассмотрим только самую простую разновидность таких
нелокальных полей. Предположим, что базисные векторы Фа в j4^
можно выбрать таким образом, чтобы для всех аъ а2 выполнялось
соотношение
Фа1(Сух)Фа2(у) = Фа1(х)Ф«2(Сху) =
= ехр(2тпу(аъ а2))Фа1(х)Фа2(у), (2.45)
где у(аь а2) = у(а2, ах)—некоторые вещественные числа
(определенные с точностью до целочисленных слагаемых), называемые
показателями относительной локальности полей Φα , Фа2. Другими
словами, корреляционные функции (2.40) однозначны с точностью до
фазовых множителей.

24
Глава 2. Алгебра локальных полей
Нелокальные поля этого типа, которые мы будем называть
«почти локальными» (и иногда «парафермионами»), естественно
возникают во многих двумерных системах. Самый известный пример —
поля параметров порядка σ(χ) и беспорядка μ{χ) в двумерной
модели Изинга; см. [111,125]. Аналогичные поля имеются в ΖΝ-моделях
Изинга; см. [85]. Поля с такими свойствами локальности играют
существенную роль в теории голономных квантовых полей, развитой
Сато, Мива и Джимбо в работе [33] (где, впрочем, рассматриваются
поля и с более сложными свойствами относительной локальности).
Много других примеров предоставляет теория струн; см. [20,88,101,
136].
Поля Φαι и Фа2 взаимно локальны, если у{аъ а2) = 0(mod Ζ). Поле
Фа локально, если γ (α, α) = 0(mod Ζ). Предполагается, что
компоненты тензора напряжений (2.20) локальны относительно всех полей из
j4^\ это же относится, конечно, и к единичному оператору.
Отметим несколько простых общих свойств «почти локальных» полей. Если
Φ(α α ) —любое из полей, появляющихся в операторном разложении
Φα1Φ«2 = ..· + ^)Φ(αια2) + ..., (2.46)
то для любого Фаз показатели относительной локальности связаны
соотношением
Г(а3, (αια2)) = у(а3, аг) + γ{α3, α2) (mod Ζ). (2.47)
В частности, если корреляционная функция (ΦαιΦα2) отлична от нуля,
то у (а3, ах) + γ(а3, а2) = 0.
Предположим, что пространство j4^ может быть порождено
«слияниями» двух полулокальных полей Фх и Ф+, причем (ФХФ+) ^0,
а γ = γ(Φι, Φι) = — у(Ф^, Φι)· Тогда из приведенных выше
соотношений следует, что j4^ распадается на подпространства j4n (^(ψ) =
= 0j^n), характеризуемые значением «заряда» гг = 0, ±1,..., причем
η
для любых полей Фп е j4n, Фт е j4m показатель относительной
локальности равен γ(η, т) = ητηγ и I е^ Φι G ^ъ ф2 G ^2- «Заряд» η
аддитивен в том смысле, что операторные разложения (2.44)
удовлетворяют правилам отбора
ФпФт е sfn+n. (2.48)
Если число γ рационально, т. е. γΝ = 0 (mod Ζ), где N целое, то число
подпространств j4n конечно (и равно ΛΓ), а «заряд» π определен по
модулю N. Возникающая при этом операторная алгебра ассоциирована
с группой ΖΝ.

Глава 2. Алгебра локальных полей
25
Отметим, что спины почти локальных полей Фа простым образом
связаны с показателями относительной локальности. Так, в
приведенном выше примере поля Ψπ е j4u имеют спины, равные
5П = |Ггг2 (mod Z)/2. (2.49)
В частности, подпространство j4§ содержит только взаимно
локальные поля с целыми или полуцелыми спинами.
Операторная алгебра j4(ψ) всегда содержит подалгебру j4 с λ/(ψ)
взаимно локальных полей. Следует подчеркнуть, что для заданной
алгебры j4^ может существовать несколько различных подалгебр
локальных полей ^ц, ^(2)> ···> причем поля из ^i), вообще говоря,
нелокальны относительно полей из а^(2) и т· Д· Строго говоря, в этом
случае j^(1) и j4^ представляют собой разные теории поля и могут
иметь разную физическую интерпретацию. Тем не менее, в таком
случае теории j^(1) и J3^2) надо рассматривать как различные «локальные
представления» одной и той же теории поля j4^.

Глава 3
Ренормализационная группа в двумерной
теории поля
В лагранжевой теории поля (2.2) тензор напряжений Τμν (χ)
описывает вариации действия Я:
δ.Η =
2
άζχθμεν(χ)Τμν(χ) (3.1)
при бесконечно малых преобразованиях координат в R2:
χμ^χμ + εμ{χ). (3.2)
Выполняя формальным образом это преобразование над
интегралом (2.2), нетрудно получить следующее соотношение для
корреляционных функций (2.1):
N
/ л\А\ (*ι) · · Ά-ι ίΧί-ι)оеА( [XijAi+ι (Xi+i)...ΑΝ (Хдг)) +
ί=1
+
J
ά43μεν{χ){Τμν {χ)Α1{χ1)...ΑΝ{χΝ)) = 0, (3.3)
где символ δεΑ обозначает вариацию поля А (х) при
преобразовании (3.2). Вариация <5εΑ(χ) также является локальным полем, т.е.
beA^j4, и линейным образом зависит от функций εμ{χ) и
конечного числа их производных в точке х. При нелагранжевом подходе,
обсуждавшемся в гл.2, соотношение (3.3) постулируется и служит,
строго говоря, определением линейных операторов δε, действующих
в j4 . Матричные элементы этих операторов нетрудно выразить через
коэффициенты операторных разложений (2.12), если заметить, что
в силу уравнения непрерывности 3μΤμν = 0 подынтегральное
выражение в левой части равенства (3.3) представляется (при χ Φ xt)
в дивергентном виде
3Μν(χ)Τμν(χ)Α1(χ1)...ΑΝ(χΝ)).

Глава 3. Ренормализационная группа в двумерной теории поля 27
Поэтому можно написать
δεΑ(.χ) =
άγλελμεν{γ)Τμ\γ)Α{χ) + ά2γ3μεν(γ)Τμνίγ)Α(χ), (3.4)
j
дАх Ах
где Лх — произвольная «малая» область в Ж2, содержащая точку х,
а дАх — ее граница. Правая часть равенства (3.4) не зависит от
выбора Ах, в частности эта область может быть сделана сколь угодно
малой, откуда и следует указанная выше локальная зависимость δε
от £г(х).
В простейших случаях бесконечно малых трансляций εμ{χ) = εμ
или поворотов εμ(χ) = ωμνχν, ωμν + ωνμ = О, второй член в правой
части равенства (3.4) исчезает (что отражает евклидову
инвариантность теории), а соответствующие операторы δε совпадают,
очевидно, с операторами импульса и спина, введенными в гл. 2; см.
соотношение (2.23), (2.26):
<5, = ίεμΡ.., если εμ(χ) = εμ,
(3 5)
δε = ϊωμμ(χμΡμ - εμνΈ, если εμ(χ) = ωμνχν.
Другой важный вид координатных преобразований (3.2) —
однородные растяжения
εμ{χ) = \χμάί. (3.6)
Обозначим через D соответствующий оператор, действующий в j4,
а именно
δεΑ(0) = dtDA{0), (3.7)
где ε имеет вид (3.6). Очевидно, для таких εμ выполняется равенство
δεΑ(χ) = άζ{ίχμΡμ+Ό)Α{_χ), (3.8)
поэтому в рассматриваемом частном случае соотношение (3.3)
приобретает вид
N
Σ((^ΓΛ+Α·)α1(χ1)···Αν(χν)) +
ϊ=1 i
+
ά2χ(ΘΜΑ1(χ1)...ΑΝ(χΝ')) = 0, (3.9)
где Dt обозначает действие оператора (3.7) на поле А^х^), а Θ = Τμ —
след тензора напряжений. Отметим, что интеграл во втором члене

28 Глава 3. Ренормализационная группа в двумерной теории поля
в левой части равенства (3.9) может оказаться расходящимся при
x^xt; в этом случае соответствующие матричные элементы
оператора D будут содержать зависимость от параметра обрезания. В любом
случае [D, S] = 0.
Поведение теории поля при масштабных преобразованиях
описывается ренормализационной группой. Различные варианты
метода ренормализационной группы в теории поля и статистической
физике излагаются во многих учебниках; см. [4,18, 23,148]. Ниже
мы приведем лишь несколько основных соотношений и обсудим
специфические свойства ренормализационной группы в двумерной
теории поля.
Основным понятием метода ренормализационной группы является
«пространство локальных взаимодействий» S; см. [23,148]. В теории
поля это многообразие функционалов действия Η [φ] = J 3№{φ)ά2χ
в формуле (2.2), учитывающих условия локальности взаимодействия.
Обычно предполагают, что теория снабжена ультрафиолетовым
обрезанием; в этом случае требования локальности могут нарушаться
на расстояниях < R0, где R0—радиус обрезания. Вообще говоря,
«пространство взаимодействий» S бесконечномерно. Тем не менее,
мы предположим, что с ним можно обращаться как с конечномерным
многообразием; обычно это оправдывается тем, что существенными
оказываются лишь конечномерные подмногообразия в S; см. [23,148].
Пусть {ga = gx,g2,...} — некоторая система координат в S
(соответственно, точки в S будем обозначать g). Это означает, что локальная
плотность действия #€{sp) является функцией некоторого (вообще
говоря, бесконечного) набора переменных ga, т.е. J<?(<p) = ^(<р).
Рассмотрим производные
^W = ^i^M)· С3·10)
Очевидно, это локальные поля, т. е. Фа е j4v где индекс g у j4
указывает, что данное пространство полей отвечает точке geS. Рассматривая
только однородные и изотропные теории, мы будем считать поля Фа
бесспиновыми, т.е. Фае j?/co). Таким образом, подпространство sf®)
можно рассматривать как касательное пространство к S в точке g.
Дифференцируя выражение (2.2) по ga, получим
N
^-^(A1(x1)...AN(xAr))g = ^J(A1(x1)...Ai_1(xl-_1)BaAl-(xi)...)g +
ί=1
+ ά2χ{Φα(χ)Α1(χ1)...ΑΝ{χΝ))χ, (3.11)

Глава 3. Ренормализационная группа в двумерной теории поля 29
где оператор Ва определен формулой
ВаА = -^А; (3.12)
он учитывает в соотношении (3.11) возможную явную зависимость
полей А от g. Необходимость введения такой зависимости очевидна
в тех случаях, когда интеграл в соотношении (3.11) расходится при
x—>xt. В этих случаях матричные элементы операторов Ва должны
содержать зависимость от R0, с тем чтобы компенсировать
расходящийся вклад интеграла, поскольку мы подразумеваем, что (2.1) —
«перенормированные» корреляционные функции, не зависящие от R0.
След тензора напряжений Θ лежит в j4^ и может быть разложен
о
по базисным векторам (3.10), т. е.
θ(*) = 0αφΦα(*). (3.13)
Коэффициенты /3a(g), которые, очевидно, являются компонентами
векторного поля на S, называются /3-функциями. Векторное поле
/3a(g) — основной объект метода ренормализационной группы.
Комбинируя уравнения (3.9) и (3.11), нетрудно получить
уравнения ренормгруппы в форме Каллана—Симанчика (см. [18]):
N
Σ((χ?-^ + Γί&)Α1ίχ1)...ΑΝ(χΝή§ =
=Σ^α(^^<Λι(Χι)···ΛΝ(ΧΝ)>' (3·14)
a
где линейный оператор rr(g), определенный формулой
Τ = Ό-βαΒα, (3.15)
действует на поле Д(х/). Оператор (3.15) называется матрицей
аномальных размерностей. Можно показать, что оператор Г следующим
образом действует на базисные векторы (3.10):
ГФа = Г^)Фь = Фа+з^ФЬ. (3.16)
Это соотношение равносильно важному утверждению об отсутствии
перенормировок компонент тензора напряжений, т. е.
ΓΓμν =2Γμν. (3.17)
В перенормированной теории ни /За, ни матричные элементы
оператора Г не зависят от R0. Из уравнений (3.14) ясно, что две теории поля,

30 Глава 3. Ренормализационная группа в двумерной теории поля
отвечающие двум точкам ga(t{) и ga(t2) одной интегральной кривой
ga(0 уравнений Гелл-Манна—Лоу
dga = /3a(g)dt, (3.18)
отличаются лишь масштабным преобразованием χμ—>.Л^~Ч
Масштабное поведение теории поля зависит, таким образом, от
особенностей и глобальных топологических свойств векторного поля
/3a(g) (в известном смысле вычисление /3(g) равносильно решению
теории). Простейшие (и самые важные) особенности векторного
поля /3a(g) — это неподвижные точки g*A:
/3(£*а) = 0; (3.19)
индекс А нумерует неподвижные точки, т. е. решения уравнений (3.19).
Неподвижные точки могут быть изолированными, но могут и
образовывать подмногообразия в S с размерностью, большей нуля.
Критическое поведение статистических систем непосредственно связано
с неподвижными точками ренормгруппы, как объяснено, например,
в работах [23,148].
Дальше в этой главе мы будем предполагать, что рассматриваемая
теория поля унитарна (см. гл. 2), а все базисные векторы Фа (как и
координаты ga) вещественны:
Φί = Φα· (3.20)
Оказывается, условие положительности приводит к некоторым
ограничениям на возможное поведение ренормгруппы в двумерной
теории. Рассмотрим двухточечные функции
<Г(*,ЮП0,0)) = ^, (3.21а)
<т(*,яе(о,о)) = ^, (3.216)
<θ(*,*)θ(0,0)) = ^§, (3.21b)
ζ1 ζ
где Τ и Θ — компоненты (2.20) тензора напряжений, а t = log(zz). Из
уравнений (2.21) вытекают следующие соотношения для функций F,
H,Gb формулах (3.21):
Р = Н-ЗН,
(3.22)
H-H = G-2G,
где точка обозначает производную по t. Введем величину
c = 2F + 4H-6G. (3.23)

Глава 3. Ренормализационная группа в двумерной теории поля 31
Уравнение
c = -12G (3.24)
является простым следствием уравнения (3.22). Поскольку
G(t) ^ О (3.25)
вследствие условия положительности (см. гл. 2), уравнение (3.24)
показывает, что c(t) — монотонно убывающая функция переменной t.
Равенство в формуле (3.25) достигается, только если Θ = βαΦα — 0> τ·е·
в теории, отвечающей неподвижной точке; в этом случае с является
константой.
Функции с (t) можно придать простой смысл меры числа степеней
свободы, имеющих, с заметной вероятностью, флуктуации с
пространственными размерами е^2. Поэтому вывод об убывании этой
величины представляется естественным. В неподвижной точке
равенство с(£) = const отражает масштабную инвариантность флуктуации.
Если фиксировать t, скажем положить t = 0, то величина с будет
зависеть только от «констант связи» ga. При этом из уравнений ре-
нормгруппы (3.14) и соотношения (3.17) нетрудно вывести, что
Г(£)^гс(£) = -12Gab(g)^a(g)^b(g) ^ 0, (3.26)
где симметричная матрица
Gab(g) = Gab(0, g), Gab(t, g) = (*Ю2<Фа(*, *)ФЬ(0, 0)>, (3.27)
положительно определена ввиду унитарности теории. Матрица (3.27)
описывает метрику (2.38) в пространстве j4^ и, следовательно,
порождает метрику в S.
Равенство (3.26) показывает, что «поток ренормгруппы»
(описываемый уравнениями (3.18)) приводит к убыванию функции c(g),
причем стационарные точки c(g) обязательно являются неподвижными
точками
^сЫ = 0^№ = 0. (3.28)
После того как в гл. 4—7 будут изучены общие свойства конформных
теорий поля, отвечающих неподвижным точкам, мы сумеем доказать
и обратное: каждая неподвижная точка является стационарной
точкой для c(g).
Таким образом, каждая неподвижная точка g*A характеризуется
константой сл — значением c(g) в этой точке:
Са = с(£*а)-
(3.29)

32 Глава 3. Ренормализационная группа в двумерной теории поля
В неподвижной точке Θ обращается в нуль ввиду равенства (3.19).
При этом функции G и Я в формулах (3.21) также исчезают, а
двухточечная функция (3.21а) выражается через константу (3.29):
(Г(^ЮГ(0,0)>^ = ^. (3.30)
Константа сА является, как мы увидим, важнейшей характеристикой
конформной теории поля, описывающей неподвижную точку g*A; она
называется центральным зарядом алгебры Вирасоро.
Приведенные выше соотношения имеют два очевидных следствия.
1. Если две неподвижные точки g^ и g*2 соединены траекторией
ренормгруппы g(t) так, что g(—°°) =g*i и g(°°) =g*2> T0
соответствующие константы (3.29) связаны неравенством
с2<сг. (3.31)
2. Если имеется непрерывное многообразие неподвижных точек
$£ с S, то все точки этого многообразия характеризуются одним и тем
же значением константы с.
Следовательно, константа сА описывает, в некотором смысле,
степень неустойчивости данной неподвижной точки (см. [148]).
Можно утверждать, что среди неподвижных точек с заданной симметрией
наиболее устойчива та, которая характеризуется наименьшим
значением с.

Глава 4
Тензор напряжений в конформной
теории поля
В неподвижной точке след тензора напряжений Τμν исчезает, т. е.
Θ(χ) = τ; (χ) = 0. (4.1)
Как видно из формулы (3.9), это условие означает масштабную
инвариантность теории поля. Хорошо известно (см. [18,80,84,145]), что
при условии (4.1) в теории появляется значительно более широкая
симметрия — конформная инвариантность. Идея конформной
симметрии в теории поля и физике критических явлений принадлежит
А. М. Полякову; см. [30].
Конформными называются такие преобразования координат
γμ = γμω, (4.2)
при которых метрический тензор инвариантен с точностью до
множителя
ds2 = £μν dy»dyv = ρ(χ)£μν dx»dx\ (4.3)
Для бесконечно малых преобразований (3.2) это условие
записывается в виде
3μεν (χ) + 3νεμ (χ) = #μν 3λελ (χ). (4.4)
При выполнении соотношений (4.1) это условие обеспечивает
обращение в нуль вариации (3.1).
В двумерном случае (в отличие от пространств высшей
размерности) пространство векторных полей, удовлетворяющих условию (4.4),
бесконечномерно. Условию (4.3) удовлетворяют подстановки вида
*->£(*), *->?(*), (4.5)
где ζ (z) и ζ (z) — произвольные аналитические функции, a z, z —
комплексные координаты (2.8). Для бесконечномерных конформных
преобразований имеем
ζ -* ζ + ε(ζ), (4.6а)
ζ ->ζ + ε(ζ), (4.66)

34 Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля
где θ%ε = θζε = 0. Следовательно, в неподвижной точке двумерная
теория поля обладает бесконечномерной симметрией.
Обнаружить эту симметрию очень просто. При условии (4.1)
уравнения (2.21) приобретают вид
д-Т = 0, dzT = 0. (4.7)
В соответствии с уравнением (4.7) мы будем писать
T = T{z), Τ = Τ{ζ). (4.8)
Уравнения (4.7) означают, например, что любой коррелятор вида
<Г(*)Х) = (ηζ)Α1ίζ1,ζ1)..ΛΝίζΝ,ζΝ)) (4.9)
является однозначной (ввиду условия локальности) аналитической
функцией переменой ζ, имеющей особенности только в точках
%ъ ζ2,..., ζΝ. Поэтому интеграл вида
εϋζ)(Τϋζ)Χ)^ (4.10)
взятый по произвольному замкнутому контуру С, проходящему в
пересечении R2 \ {zt} с областью аналитичности функции ε {ζ), не
меняется при непрерывных деформациях контура С в этой области.
Следовательно, любые интегралы вида (4.10) являются интегралами
движения. Если ε{ζ) не содержит особенностей в области Лс, ограниченной
контуром С, то интеграл (4.10) сводится к сумме вычетов
Σ 2^£θ)(ΤΟ)Χ>= ^]{A1(.z1,z1)...5£Ai(zi,zi)...An(izn,zn)),
ZieAcJ ZieAc
(4.11)
где Q — маленький контур, окружающий точку z{. Введенный здесь
оператор
δεΑ{ζ,ζ) = Ι ^.ΒίΟΠΟΜζ,Ю (4.12)
J
имеет смысл вариации поля А при бесконечно малом конформном
преобразовании (4.6а). Аналогичным образом можно определить
вариацию
δΈΑ(ζ, ζ) = ί ^ε{ζ)Τ(ξ)Α{ζ,z) (4.13)
j
поля А при преобразовании (4.66).

Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля 35
Здесь необходимо сделать следующее замечание. Комплексные
координаты (2.8) вещественного двумерного пространства R2 связаны
соотношением ζ = ζ*, где звездочка обозначает комплексное
сопряжение. Часто удобно рассматривать это пространство как
вещественное сечение комплексного двумерного пространства С2. В этом
комплексном пространстве координаты (ζ, ζ) принимают произвольные
независимые комплексные значения. Корреляционные функции (2.1)
аналитически продолжаются в подходящую область в С2.
Преобразования (4.6), сохраняющие данное вещественное сечение,
удовлетворяют соотношению ε{ζ) = [ε(ζ)]*- Если отказаться от этого условия,
функции ε{ζ) и ε (ζ) становятся независимыми. С этой точки зрения
конформную группу (4.5) можно рассматривать как прямое
произведение Г χ Г групп Г и Г аналитических подстановок переменных
ζ и ζ. Компоненты тензора напряжений Τ и Τ представляют, таким
образом, генераторы групп Г и Г в теории поля.
Из соотношений (4.12) и (4.13) заранее очевидно, что
особенности функции (4.9) при ζ = ζ{ могут быть только полюсами конечного
порядка. Действительно, в противном случае не выполнялось бы
условие локальной зависимости вариаций (4.12), (4.13) от функций ε.
Рассмотрим операторное разложение произведения Τ(ζ)Α(ζ, ζ)
с любым А е Μ'. Из уравнения (4.7) и свойства локальности Г(£)
следует, что это разложение представляется рядом Лорана
00
Г(СЖ«, Ю = Σ (С - zTn-2LnA{z, ζ), (4.14)
П=-оо
где коэффициенты LnA, η е Ζ, — некоторые локальные поля, т. е.
LnA e j4. Разложение (4.14) является определением операторов Ln,
neZ, действующих в j4 . Аналогичным образом определяются
операторы Ln:
00
Τ{ζ)Α{ζ,ζ)= Σ (ξ-zTn-2LnA{z,z). (4.15)
П=-оо
Операторы Ln, конечно, сводятся к операторам δε, рассмотренным
выше, с ε{ζ) = (ζ" - z)n+1. В частности,
Ι_ι = а„ Г_! = дш, (4.16)
a L0 и L0 связаны с операторами спина (2.26):
S = L0-L0 (4.17)
и растяжения D (3.7) (последний совпадает в нашем случае с
матрицей аномальных размерностей (3.15)):
r = D = L0 + L0. (4.18)

36 Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля
Сг
Рис. 2
Поэтому соотношения (2.33) и (3.17) можно переписать в виде
L0T = 2Т, L0T = 2Т, L0T = L0T = 0. (4.19)
Необходимо найти перестановочные соотношения для операторов
Ln, Ln. Прежде чем решать эту задачу в общем случае, рассмотрим
интеграл
шпм
2πί
п+1
Τ{ζ2){ζ2-ζΤ+ίΑ{ζ,ζ),
(4.20)
где контуры Сг и С2 окружают точку ζ, причем С2 находится внутри
Съ как показано на рис. 2, а А — любое поле из j4 . Если вычислить
интегралы в той последовательности, которая указана в формуле (4.20),
получится L_xLnA. Можно, однако, сначала деформировать контур Сг
так, чтобы поместить его внутрь С2. При этом надо, конечно, учесть
вклад интеграла
jm^-^{j^1mc2)}A^z),
(4.21)
J?2
где С ζ —маленький контур, окружающий точку ζ2. Согласно
соотношениям (4.14) и (4.16) интеграл в фигурных скобках в
выражении (4.21) равен θζ2Τ(_ζ2), а весь интеграл (4.21) составляет
—(n + l)Ln_!. Следовательно, имеем
[L_1,Ln] = -(n + l)Ln_1. (4.22)
Мы так подробно описали здесь вывод уравнения (4.22), потому что
такой же прием систематически используется ниже при выводе
перестановочных соотношений. Аналогично формуле (4.22) нетрудно
получить следующие равенства:
[L_b Ln] = [L_b L„] = [I0, LJ = [L0, Ln]=0 и
(4.23)

Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля 37
точно такие же соотношения (4.22) и (4.23) справедливы, конечно,
для операторов Ln, Ь_ъ L0.
Первое наблюдение, которое следует из соотношений (4.22),
(4.23), — существование конечномерной подалгебры sl(2) x sl(2),
образуемой операторами 1_ъ L0, Lx и L_b L0, Гг:
[L±1, L0] = ±L±1, [Lx, L_x] = 2L0 (4.24)
(L_i, L0, Γχ удовлетворяют таким же соотношениям и коммутируют
с операторами L). Эта подалгебра соответствует подгруппе (4.5)
проективных конформных преобразований
r _ az + b у _ az + b (A 9ς.
ς " cz + d> ς - cz + d> l4eZbJ
где можно считать, что ad — be = ad — bc = 1. Проективные
подстановки (4.25) исчерпывают все конформные преобразования, регулярные
на римановой сфере (представляющей собой компактификацию
пространства М2).
Поле φ е j4 называется конформным, если оно удовлетворяет
уравнениям
Ιλφ = Ζλφ = 0, 10φ = Αφ, Σ0φ = Αφ, (4.26)
где числа Δ и Δ называются «правой» и «левой» размерностями
поля φ. Ввиду соотношений (4.17) и (4.18) величины
5 = Δ-Δ, d = A + A (4.27)
представляют собой спин и «аномальную масштабную размерность»
(см. [27]) поля φ. Как уже говорилось, спин локального поля φ может
принимать лишь целые (seZ) или полуцелые (seZ + 1/2) значения.
Компоненты Г и Г тензора напряжений являются конформными
полями, т. е.
L1T = L1f = 0, (4.28)
причем размерности равны (2, 0) для Г и (0,2) для Г. Базис {At}
пространства j4 можно составить из конформных полей φα с
вещественными размерностями (Δα, Δα) и их пространственных производных
* = Θ^α,..., д№ч>а, ···}· (4.29)
а
Это утверждение (как и (4.28)) может быть доказано в унитарной
теории поля (см. ниже). Вообще, в дальнейшем при выводе общих
свойств будет предполагаться унитарность теории. Некоторые
замечания относительно неунитарного случая сделаны в конце главы.

38 Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля
Бесконечный набор полей {φα, ...,3"3™φα,...} является базисом
неприводимого представления «малой конформной группы» SL(2) x
χ SL(2). Разложение (4.29) —это прообраз разложения пространства
j4 на неприводимые представления полной конформной группы,
которое мы скоро выведем.
Пусть φ1 и φ2 — конформные поля с размерностями (Δ^Δ^
и (Δ2, Δ2). Рассмотрим операторное разложение вида (2.15).
Инвариантность относительно SL(2) x SL(2) накладывает определенные
ограничения на вид коэффициентных функций в ряду (2.15). Из
формул (4.14), (4.16) и (4.26) нетрудно вывести соотношения
άζζΤ(ζ)φι(ζ,ζ)φ2(0,0) = (ζθζ + Α1 + Α2)φ1(ζ,ζ)φ2(0,0), (4.30a)
άζζ2Τ(ζ)φι(ζ,ζ)φ2(.0,0) = (ζ23ζ + 2ζΑ1)φ1(ζ,ζ)φ2(0,0). (4.306)
ζ,Ο
Подставляя сюда разложение (2.15) и сравнивая коэффициенты,
получим из соотношения (4.30а), что
где / — некоторые постоянные. Уравнение (4.306) приводит к
рекуррентным соотношениям на эти постоянные, позволяющим полностью
определить их зависимость от η и т. В результате получаем
а
х F(Aa + Аг - Δ2, 2Δα, ζ3ζ) χ
х F(Ka + Άλ - Δ2, 2Δα, ζδ$φαίζ, ΟΙ^=0, (4.31)
где f"2 — числовые постоянные, а F — вырожденная
гипергеометрическая функция. Нетрудно проверить, что разложение (4.31)
удовлетворяет соотношению (2.16).
Инвариантность относительно «малой конформной группы» (4.25)
определяет вид двух- и трехточечных корреляционных функций
конформных полей в бесконечной системе. Для их вывода следует
предположить, что компоненты Г, Г тензора напряжений удовлетворяют
асимптотическому условию
Г(2?) ~ z~4, Т(Ю ~ (Ю-4 при *, * ^ оо, (4.32)

Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля 39
которое означает, что поле Τμν регулярно не только в конечной части
£-плоскости, но и в точке ζ = °°. Тогда из формул (4.14) и (4.26)
получаются соотношения
N
Σ^Ηψα^Ι'ΖΟ-να^Ν,Ζη)) =0, П = О, ±1, (4.33)
i=l
где J^l) —дифференциальные операторы,
<£® = ζΐ+1-^- + (п + 1)А^, η = О, ±1. (4.34)
Для двух- и трехточечных функций из (4.33) немедленно следует, что
<¥>!(*!, ζΎ)φ2{ζ2, ζ2)) = Ό12δίΑ1} Δ2)5(Δ!, Α2)ζ^Α%*Ά\ (4.35)
где D12 — постоянные, δ(Δχ, Δ2) = 1, если Δχ = Δ2, и 5(Δΐ5 Δ2) = 0
в остальных случаях;
{φι(ζ1,ζ1)φ2(.Ζ2,ζ2)ψ3(ζ3ίζ3')) =
= C123(z12)^(z13)^fe)ri(%2)f3(z13)f2(223)fl, (4.36)
где С123 — постоянные, yt = Δζ· - Δ, ft = Af - Δ, Δ = Аг + Δ2 + Δ3,
Δ = Δ! + Δ2 + Δ3. В формулах (4.35), (4.36) и далее используется
обозначение ζ^ = ζ{ — ζ^ Уравнения (4.33) накладывают ограничения
и на многоточечные функции: N-точечная корреляционная функция
является функцией не 2Ν, а по существу 2Ν — 6 переменных.
Приведем выражение для четырехточечной функции, поскольку мы будем
часто пользоваться им в дальнейшем:
(ψι(.Ζι, *ι)...(/?4(*φ ζ4)} = Υ\(ζ^ (zi;)^G^(x, x), (4.37)
гдеП2 = Г13 = 0, ri4 = -2Ab γ24 = Α^+Α3 -Δ2 - Δ4, 734 = ^1+^2"
- Δ3 - Δ4, Г23 = Δ4 - Δι - Δ2 - Δ3> Tij так же связаны с Аь а вЦ —
произвольная функция проективных инвариантов
χ=Ζ-^±, х=ЬФ±. (4.38)
Выражения (4.35)—(4.37) отвечают следующему простому закону
преобразования полей φ при проективных конформных
преобразованиях (4.25):
φ{ζ,ζ) = (οζ + άΓ2Α(ϊζ + άΓ2Άφίζ,ζ). (4.39)
Преобразование (4.25) позволяет перевести три точки плоскости
в стандартное положение, скажем z1 = О, ζ2 = 1, ζ3 = оо.

40 Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля
Отметим, что симметрия, аналогичная «малой конформной
группе», хорошо известна и в многомерной теории поля. В частности,
соотношения, подобные соотношениям (4.31)—(4.37), известны в
многомерном случае; см. [30, 80, 84, 145]. Наличие бесконечномерной
группы (4.5) в двумерной теории позволяет продвинуться гораздо
дальше; см. [45].
Выражения (4.34) означают, что конформные поля с разными
размерностями взаимно ортогональны относительно любой из
метрик (2.38). Следует отметить, что ввиду симметрии (4.39) все
метрики (2.38) по существу эквивалентны; их легко связать между собой
проективным преобразованием (4.25). В конформно-инвариантной
теории наиболее удобен выбор предельной метрики (2.38) с R= oo;
см. [92]. Точнее говоря, положим
(Д-, АЛ = lim (β^^β^Α+ίζ,^Α^Ο,Ο)). (4.40)
Удобство формулы (4.40) определяется простым видом
соответствующей операции эрмитова сопряжения операторов Ln, Ln. Легко видеть,
что для метрики (4.40) справедливы равенство
L+ = L_n, K = l-n- (4.4D
В частности, метрика (4.40) диагональна по спинам и размерностям
всех полей, включая производные 9^3™φα.
В унитарной теории размерности всех конформных полей φα
неотрицательны; см. [92,145]. Действительно,
{1_λφα, L-ιΨα) = (φα, LiL-i</0 = 2{φα910ψα) = 2Δα(φα, φα), (4.42)
где мы воспользовались соотношениями (4.24) и (4.26). Кроме того,
как видно из соотношений (4.42), любое поле с «левой» размерностью
Δ = 0 обязательно удовлетворяет уравнению
Βϊψ = 0; (4.43)
если же Δ = 0, справедливо такое же уравнение относительно 3ζφ.
Поэтому ясно, что всякое поле с(А, Δ) = (0, 0) кратно единичному
оператору.
Рассмотрим операторное разложение (4.14) с А = Т.
Перестановочные соотношения между операторами Ln вполне определяются
сингулярными при ζ —> z членами этого разложения. Найдем эти члены.
Из соотношений (4.23) видно, что оператор Ln понижает «правую»
размерность поля на η единиц. Поэтому поля LnT,n> 2, должны
обращаться в нуль. Далее, поле L2T имеет размерности (0, 0), и согласно

Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля 41
сказанному выше
L2T = ±1, (4.44)
где I— единичный оператор, а с — постоянная. Поскольку 1_1Г = 0
(см. (4.16)), поле L{T должно быть конформным. Однако
наличие такого конформного поля противоречило бы коммутативности
Τ{ζ)Τ{ζ) = Τ(ζ)Τ{ζ) бозонных полей Г (см. (2.16)). Поэтому 1^7 = 0;
это равенство уже было выписано выше; см. (4.28). Следовательно,
можно написать
Г(ОГ0° = 2(С-*)4 + (С^Г(Ю + ζ^θ*Π«) + ге& (4.45)
где reg обозначает бесконечную сумму членов, регулярных при £—>£.
При выводе (4.45) использованы формулы (4.16) и (4.19).
Аналогичные рассуждения позволяют получить
тфт=w^+w^nz)+A*f w+regj (4,46)
ПОП*) = reg, (4.47)
причем в соотношениях (4.46) фигурирует та же постоянная с, что
и в (4.45), поскольку мы предполагаем симметрию относительно
пространственных отражений, т. е. (2.34) (в принципе, вероятно,
возможно обобщение теории на случай с Φ с). Разложения (4.45)—(4.47)
равносильны следующему утверждению о вариациях полей Τ, Τ при
бесконечно малых конформных преобразованиях (4.6):
δ εΤ(ζ) = е(*)ЗжП«) + 2е'Ш&) + ^в'"(*),
δ¥Ηζ) = 0,
где штрих обозначает производную по ζ. Вариации δΈΎ даются,
конечно, аналогичными выражениями. Вычисляя контурный интеграл
<Ь άζ1ίζ1-ζ)η+1Πζ1) ί άζ2{ζ2-ζΤ+1Τ{ζ2)Α{ζ,ζ) (4.49)
J J
двумя способами, как это делалось при выводе уравнения (4.22),
и учитывая разложение (4.45) при взятии интеграла по Q , нетрудно
получить перестановочные соотношения
[Lm,Ln] = (m-n)Lm+n + ^(m3-m)5m+n. (4.50)
Операторы Ln подчиняются таким же соотношениям, а
[Lm,Ln\=0. (4.51)

42 Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля
Последний член в правой части равенства (4.50) отличает алгебру
операторов Ln от алгебры Ли векторных полей
1п = -zn+1d/dz, [lm, U = (т - п)1т+п, (4.52)
соответствующих конформным преобразованиям (4.6). Алгебра (4.50)
является, следовательно, центральным расширением этой алгебры
векторных полей, а постоянная с называется центральным
зарядом. Это центральное расширение было открыто И. М. Гельфандом
и Д. Б. Фуксом в работе [6]. Алгебра (4.50) давно известна в
конформно-инвариантных моделях, возникающих в теории релятивистских
струн (см., например, [101,123,138]), и называется алгеброй Вира-
соро. Мы будем обозначать ее Vir; полная алгебра операторов Ln, Ln
обозначается ниже Vir xVir.
Двухточечная функция (Γ(ζ)Τ(Ο)) прямо выражается, как видно
из соотношения (4.45), через значение центрального заряда:
(ПгЖО)) = ^4- (4.53)
Таким образом, числовая постоянная с совпадает со значением
функции c(g), введенной в гл. 3, в данной неподвижной точке: с = c(g*). Из
условия унитарности немедленно следует условие положительности
этой постоянной
с> 0. (4.54)
Дальнейшие ограничения на величину с, следующие из условия
положительности (см. [92]), обсуждаются в гл.7.
Пространство j4 конформной теории поля является, конечно,
базисом некоторого (вообще говоря, приводимого) представления
алгебры Vir χ Vir. Далее мы покажем, как оно разлагается на
неприводимые представления.
Вернемся к общему операторному разложению (4.14). Поскольку
поле LnA имеет размерности (Δ — η, Δ), где (Δ, Δ) —размерности А,
ряд (4.14) обрывается снизу, т. е. LnA = 0 для всех η > ΝΑ; в противном
случае спектр размерностей не ограничен снизу. Отсюда следует, что
пространство j4 содержит специальные конформные поля Ф,
аннулируемые всеми операторами Ln, η > 0, т. е.
1ПФ = 1„Ф = 0 при η > 0,
(4.55)
Ι0Φ = ΔΦ, Ι0Φ = ΔΦ.
Поля, удовлетворяющие уравнениям (4.55), называются
«первичными конформными» (или просто «первичными») полями. Очевидный

Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля 43
пример первичного поля — единичный оператор /. Вообще говоря,
в содержательной конформной теории поля имеется несколько
(может быть, бесконечное число) первичных полей Φζ с размерностями
(ΔΖ,ΔΖ); индекс I введен для их нумерации. Далее мы всегда будем
предполагать, что первичные поля нормированы условием
(Φζ, Φζ,) = δι>ν, (4.56)
или, что эквивалентно,
<Ф+(*,ЮФг(0,0)> = διν(ζ)-2Αι(.ζ)-2Άι. (4.57)
Для первичного поля Φζ операторное разложение (4.14) имеет вид
Γ(0Φζ(*,*) = £^Ф1&Ю + ^ £φζ (*,*)+reg, (4.58)
где опущены члены, регулярные при ζ —» z. В аналогичной формуле
для Γ(ζ")Φζ(ζ, ζ) фигурирует, конечно, левая размерность Δζ.
Первичные поля имеют особенно простые трансформационные свойства при
конформных преобразованиях (4.6). Из соотношений (4.12), (4.13)
и (4.58) получаем
δε$ι{ζ,ζ) = ε(ζ)3ζΦζ(ζ,ζ) + Δζε'(ζ)Φι(*,2),
δεΦι (ζ, ζ) = ε(ζ) а^Фг {ζ, ζ) + Δζ t (ζ) Φζ (ζ, ζ),
где штрих обозначает производную. Эти выражения означают, что
поле Φζ преобразуется по правилу
*^={%Т'{%Т'ф«л w-ад
при всех конформных подстановках (4.5) (а не только проективных,
как в формуле (4.39)).
Если с Φ О, то поля Г и Г не являются первичными, как видно из
соотношения (4.44). Выражение (4.48) для вариации δεΤ
соответствует, как можно проверить, следующему закону преобразования Τ при
конечных подстановках (4.5):
П*) = (§ )2Г(0 + ±{ζ, z}, (4.61)
где {ζ, z} обозначает производную Шварца (см. [3]):
{ζ>ζ}- w^LtwJ · (4·62)
Согласованность (4.61) обеспечивается следующим непосредственно
проверяемым тождеством:
{и/, г> = (||)2iw, C> + iC, «>, (4.63)

44 Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля
где w (z) = w (£(#))· Отметим, что для проективных
преобразований (4.25) (и только для них) производная Шварца обращается в нуль.
В отличие от преобразования (4.39), закон преобразования (4.60)
первичных полей не следует понимать буквально как правило
преобразования корреляционных функций. В частности, из
соотношения (4.60) не следует замкнутых уравнений для корреляционных
функций
(*iSzi>*i)—*in(zn>*n))> (4.64)
подобных (4.23). Причина состоит в том, что конформное
преобразование (4.5) (отличное от проективного) не может быть регулярно
на всей римановой сфере. Поэтому вариация корреляционной
функции (4.64) при преобразовании (4.6а) не сводится только к
вариациям (4.59) полей, а выражается через другую корреляционную
функцию со «вставками», описывающими «деформацию вакуума» при
преобразовании (4.6а). Точный смысл сказанного выражается
конформными тождествами Уорда (см. [45]), примеры которых мы сейчас
получим.
Рассмотрим корреляционную функцию
(ηζ)Φ1ίζ1,ζ1)..ΛΝίζΝ,ζΝ)), (4.65)
где Φι —любые первичные поля с размерностями (Δ;, Δ;), которая
является однозначной аналитической функцией относительно ζ с
полюсами в точках %ъ ...,zN, и удовлетворяет асимптотическому
условию (4.32). Вычеты в полюсах определяются сингулярными членами
операторных разложений (4.58). Поэтому можно написать
(Γ(0Φι(2ι,2ι)...Φλγ(%,%)> =
N
= Σ[(^_^)2 + ζΓ^^](Φΐ(%^ΐ)'-ΦΝ(%^Ν))- (4.66)
Правую часть равенства (4.66) можно рассматривать как
результат вариации (4.59) полей Φ в выражении (4.64) при
преобразовании (4.6а) с ε{ζ) ~ (ζ — z)"1; «вставка» Τ {ζ) в левой части —
«деформация вакуума» этим сингулярным при ζ = ζ преобразованием.
Отметим, что «проективные тождества Уорда» (4.33) для первичных
полей являются простым следствием соотношений (4.66) и (4.32).
Соотношение (4.66) выражает QV + 1) -точечную функцию (4.65)
через N-точечную функцию (4.64). Можно, конечно, вывести и
более общие соотношения для корреляторов с несколькими «вставками»
Г. Учитывая операторное разложение (4.45) и рассуждая аналогично

Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля 45
χ
предыдущему примеру, получим
(Γ(0Γ(ζι)...Γ(ζΜ)Φι(«ι,21)...ΦΛΓ(ζΝ,ζΛΓ)> =
Ν л м
χ(Γ(ζ1)...Γ(ζΜ)Φ1(ζ1,ζ1)...ΦΝ(%,%)> +
Μ
...Γ(ζΜ)Φ1(ζ1,ζ1)...ΦΝ(ζΝ,%)). (4.67)
Последовательно применяя это соотношение, можно явным образом
выразить любой коррелятор в левой части равенства (4.67) через
коррелятор (4.64). Можно показать, что результат такого вычисления
не зависит от последовательности, в которой применяется
«редукционное соотношение» (4.67). Другими словами, разложения (4.45)
и (4.58) согласованы с требованием ассоциативности операторной
алгебры (см. гл. 3). В следующих главах мы вернемся к вопросу об
ассоциативности алгебры операторных разложений в более общем
контексте.
Кроме первичных полей Фг, пространство s4 содержит, конечно,
все поля, которые можно получить из Фг последовательным
применением операторов Ln, Ln, n > О, т. е. поля вида
L_niL_ni.. .L_nNL_mi.. 1_тм Фг, (4.68)
где щ >О, т{ > 0. Можно считать, что в выражении (4.68) щ ^п2 ^...
... ^ nN и т1 ^ т2 ^ ... ^ τηΝ, так как остальные случаи приводятся
к этому с помощью перестановочных соотношений (4.50). Поля (4.68)
называются «конформными потомками» (или просто «потомками»)
первичного поля Фг, а пространство [Фг] с Μ', натянутое на
независимые поля вида (4.68), — «конформным классом» поля Фг. Поле (4.68)
имеет размерности (Δ, Δ) = (Δζ + L, Δζ + L), где натуральные числа
Ν _ Ν
1=^П;И1=^тг называются (соответственно правым и левым)
ΐ=1 ϊ=1
уровнями «потомка» (4.68). Ввиду коммутативности операторов Ln
и Ln пространство [Фг]] можно рассматривать как прямое
произведение
[ΦΖ] = [ΔΖ]®[ΔΖ], (4.69)
где подпространство [Δζ] ([Δζ]) порождено применением операторов
Ln (Ln), n< 0, к «старшему вектору» Фг. Каждое из подпространств

46 Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля
[Аг] и [Аг] в соотношении (4.69) разлагается в сумму подпространств,
отвечающих заданным уровням, например
00
[Δζ] =0[Δζ,Ι], L0[AUL] = (ΔΖ+Ι)[ΔΖ,Ι]. (4.70)
L=0
Потомки значительно сложнее, чем первичные поля, преобразуются
при конформных подстановках (4.5). Очевидно, однако, что
вариация δεΑι любого поля Лг е [Фг] линейно выражается через поля из
того же конформного класса: 5еАе. [Фг] (причем если А{ е [ΔΖ,Ι],
1+1
то δεΑι е 0 [Аг,М]). Поэтому каждый конформный класс
обрами
зует базис представления VirxVir. Вопрос о приводимости этого
представления подробно обсуждается в гл. 6; здесь мы укажем
только, что при заданном значении центрального заряда с существует
только дискретный набор таких значений Δ (или Δ), что
представление Vir(c) χ Vir(c) с базисом (4.68) приводимо; в остальных случаях
пространство, натянутое на все векторы вида (4.68), соответствует
неприводимому представлению этой алгебры. В случаях упомянутых
дискретных значений неприводимое представление можно получить
подходящей факторизацией этого пространства по некоторому
инвариантному подпространству (см. гл. 6). В дальнейшем «конформными
классами» [Фг] во всех случаях называются именно неприводимые
представления. Разложение пространства j4 на базисные
пространства неприводимых представлений VirxVir имеет, таким образом,
вид
^ = 0[ΦΖ]. (4.71)
ι
Первичные поля можно рассматривать как фундаментальные в
следующем смысле. Любая корреляционная функция теории
выражается через корреляционные функции первичных полей с помощью
линейных дифференциальных операторов. Чтобы увидеть, как
возникают эти соотношения, рассмотрим определение (4.14) операторов
Ln, или, что эквивалентно, соотношение
L_nA(*,f) = <Ь ^(С-2)-п+1Г(СМ(«,Ю. (4.72)
J
Для корреляционной функции (L_nA(z, z)X) где X имеет вид (2.4),
интеграл (4.72) можно вычислить как сумму вычетов подынтегральной

Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля 47
функции в точках ζ = %ъ ζ2,..., ζΝ, т. е.
\L_nA{z, ζ)Αγ{Ζγ, %])...А^\%н, ζΝ)) =
N г
= "ΣΦ ^ίίζ-ζ)1~η(Τ(ζ)Α(.ζ,ζ)Α1(ζ1,ζ1)...ΑΝ(ζΝ,ζΝ)) =
i=lJ
Q
Ν 00
i=l fc=0
• · •^k-iA-ii.Zi, Ζι)...ΑΝ{ζΝ, z^)}, (4.73)
где c£a) — биномиальные коэффициенты,
00
α + χν = Σ^α)χ\ (4.74)
fc=0
В частности, если все поля Аъ ..., ΑΝ первичные, то выражение (4.73)
примет вид
{L_nA(z,z)$i(.z1,z1)...<i>N(.zN,zN)) =
N
= Σ[ (ζ-ζ)"'' ~ (ζ.-ζ)"-1 5*] (^(ζ,ζ)Φι(ζι,Ζι)-..Φν(%>%)>· (4-75)
.=1 ι ^ ι ι
Каждый конформный класс [Ф] содержит бесконечно много
конформных полей, т.е. полей, удовлетворяющих условиям (4.26);
разумеется, их размерности отличаются от размерностей (Δ, Δ) поля [Ф]
лишь целыми положительными добавками. Поскольку явное
выделение конформных полей полезно во многих вычислениях, приведем
здесь выражения для таких полей, соответствующих низшим уровням
L = 2,3 (уровень L = 1 не содержит, конечно, конформных полей):
1 = 2, Ф(-2) = (^-2-2(2^+ΐ)£-ι)φ» (Δ + 2> *), (4.76а)
1 = 3, Ф(-3) = (L_3-^L_lL.2+ (δ + 1)1(δ + 2)Ι3-1)Φ-
(Δ + 3,Δ), (4.766)
где справа указаны размерности этих полей.
Сами поля Г и Г являются потомками единичного оператора /:
Τ = L_2I, T = L_2I. (4.77)
Конформный класс [I] имеет и другие отличительные особенности.
Поскольку единичный оператор удовлетворяет уравнениям
W = 1_λ1 = О, (4.78)

48 Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля
многие из полей, перечисленных в (4.68), в [/] обращаются в нуль
(это простейший пример упомянутой выше факторизации
пространства (4.68) по инвариантному подпространству, которое в данном
случае порождено векторами (4.78)). Базис в [/] можно составить из
полей вида (4.68), щ ^ 2, ml-^ 2. В [/] есть два подпространства, которые
мы обозначим [0] и [0] в соответствии с соотношением (4.69);
подпространство [0] составлено из полей вида
L_niL_n2...L_nNI, 2 ^ пг 5Ξ п2 ^ ... ^ πΝ, (4.79)
а подпространство [0] аналогичным образом строится с помощью
операторов L_n. Очевидно, [0] содержит все те поля, которые можно
получить «слияниями» правых компонент поля Т. Каждое из
подпространств [0] и [0] (как и сам конформный класс [/]) представляет
собой замкнутую ассоциативную операторную алгебру. Очевидно,
все поля в подпространстве [0] подчиняются уравнению (4.43) и
приводят, следовательно, к бесконечной серии (зависимых) интегралов
движения. Некоторые из этих полей, соответствующие низшим
уровням, часто используются в дальнейшем, поэтому мы введем для
них специальные обозначения. Простейшее из них (если не считать
производных Г) — конформное поле
Т4= [l22-|l_4]j; (4.80)
оно имеет размерности (4, 0) и, следовательно, спин 4. Это поле —
первый из опущенных в соотношении (4.45) регулярных членов
ПОП*) = ... + ^П*) + т4(г) + о(С-*), (4.81)
где 0(£-*)—>0 при £—>*. Следовательно, Г4 можно рассматривать
как (регуляризованный) квадрат Г. Точнее говоря,
Τ4=:Τ2:-^32ΖΤ, (4.82)
где символ :: хорошо определен для «аналитических» (т. е.
удовлетворяющих условию (4.43)) взаимно локальных полей
: АВ : (*) = φ £(ζ-ζ)-ιΑ{ζ)Βίζ). (4.83)
2πί
Аналогично формуле (4.14) можно ввести операторы Λπ, η е Ζ,
соотношение
00
ΤΛίζ)Α(.ζ,ζ) = J] ίζ-ζ)η+3ΑηΑ(.ζ,ζ), (4.84)

Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля 49
причем простое вычисление показывает, что
+ 00
Ап = Σ : LkLn-k : +5χπ^π, (4.85)
П=-оо
где :: обозначает обычное нормальное упорядочение (операторы Lm
с большими m ставятся справа), а
x2fc = (1-fc2), x2fc_! = (l + fc)(2-k). (4.86)
Приведем следующие перестановочные соотношения:
Ь 9
[Лт, Л„] = (Зт - п)Ат+п + ^πι{πιζ - l)Lm+n, (4.87)
где
Ъ = 22±5£ (4>88)
Следующий уровень в пространстве [0], на котором появляются
новые поля (отличные от производных Τ и Г4), L = 6. Здесь
пространство конформных полей двумерно; базисные векторы можно выбрать
в виде
гб(1) = (L-2 " |L-3 - lfL-4L-2 - |Ь-б)^ (4.89а)
Гб(2) = | (-|^3 + 4I-4i-2 + уЬ-б)^· (4-896)
Поле Г6(2) появляется в следующих за (4.81) членах этого операторного
разложения
П*Ж0) = ... + ^a^r(0) + |azr4(0) +
+ §^7(0) + ^Г4(0) + *2Г6(2)(0) + 0(ζ3), (4.90)
где многоточие обозначает члены, выписанные в формулах (4.45)
и (4.81). Следовательно, Г6(2) —это, с точностью до полных
производных, составное поле вида : (dzT)2:. Поле Г6(1) появляется в разложении
Τ(ζ)Γ4(0) = ^Τ(0) +
+ ^г4(0) + ^ajr4(0) + |а2г4(0) + г6(1)(О) + о(«). (4.91)
В заключение этой главы отметим, что вывод большинства общих
соотношений конформной теории поля, данный выше, использует
условие положительности. Если отказаться от этого требования,

50 Глава 4. Тензор напряжений в конформной теории поля
то ни соотношение (4.71) ни даже (4.45) нельзя вывести из общих
принципов. Тем не менее, мы предположим, что в неунитарной
теории тоже имеет место операторное разложение в виде (4.45) и
возможна развитая здесь классификация полей по представлениям [Фг]
алгебры Вирасоро, причем размерности всех полей Фг вещественны.
В действительности это предположение можно оправдать только тем,
что нам неизвестны физически интересные системы, в которых они
не выполнены. Исключения представляют условия положительности
постоянной с и размерностей Аг, Аг, полученные выше для унитарной
теории; ниже мы увидим, что существует много интересных
неунитарных моделей с с < 0, появление же отрицательных размерностей
вообще, по-видимому, типично для неунитарных теорий.

Глава 5
Конформный бутстрап
Требование конформной инвариантности накладывает весьма
сильные ограничения на структуру алгебры локальных полей. Именно,
операторные разложения должны быть согласованы с
представлением конформной алгебры в пространстве полей, т. е. правая и
левая части соотношений типа (2.12) должны обладать одинаковыми
трансформационными свойствами при конформных
преобразованиях. Рассмотрим эти ограничения.
В соответствии с разложением пространства полей j4 на
неприводимые представления Vir xVir операторное разложение первичных
конформных полей (ввиду указанной выше фундаментальной роли
первичных полей достаточно рассматривать только такие
операторные разложения) Фх(2,2)Ф2(0, 0) можно записать в виде
Φ!(*,*)Φ2(0, Ο) =Υρ\2ζ*-^-^-^-Ά*%9 (5.1)
ι
где поле Фг принадлежит [Фг] и содержит вклады первичного поля
Фг(0, 0) и всех его конформных потомков:
Фг = фг (0, 0) + /3ι*Ι_ιΦζ (0, 0) + Д1яГ_1Фг (0,0) +... (5.2)
Для определенности мы предполагаем, что вектор Фг содержит
первичное поле Ф[(0, 0) с коэффициентом 1, выделяя общий множитель
Сг12 в разложении (5.1). Как будет видно ниже, требования
конформной симметрии приводят к системе линейных ограничений на вектор
ΨΣ, которые, при фиксированной таким образом нормировке, в
общем случае однозначно определяют коэффициенты при всех
потомках. В то же время, поскольку конформная алгебра действует
независимо в каждом подпространстве [Фг], постоянные С112 этими
требованиями не фиксируются, и для их определения следует
привлекать какие-то другие динамические принципы. Таким принципом
может служить упомянутое в гл. 2 требование ассоциативности
операторной алгебры. Использование этого требования как основного
динамического принципа, определяющего набор размерностей
основных полей и структурные константы в конформно инвариантной тео-

52
Глава 5. Конформный бутстрап
рии поля, было предложено А. М. Поляковым в работе [31] и носит
название программы конформного бутстрапа. Фактически оно
выражается в требовании перекрестной симметрии четырехточечных
функций (причем в конформно инвариантном случае достаточно
ограничиться корреляционными функциями первичных полей) и сводится
к системе (в общем случае бесконечной) нелинейных ограничений на
структурные константы Сг12 и размерности первичных полей (Аг, Аг),
т. е. уравнений конформного бутстрапа. При выводе этих уравнений
мы немедленно сталкиваемся с векторами Фг в разложении (5.1),
поэтому необходимо более детально исследовать структуру этих
векторов.
Заметим прежде всего, что благодаря коммутативности «правой»
и «левой» алгебр пространство [Фг] можно рассматривать как
тензорное произведение (4.69) пространств [Аг] и [А{], в которых
действуют Vir и Vir соответственно, причем само первичное поле формально
представляется в виде
Φζξ|Δζ,Δζ) = |Δζ)®|Δ,), (5.3)
где \Αι) и \Αι) — старшие векторы представлений [Δζ] и [А{],
Ln\Al)=Ln\Al)=0 при п > 0,
Ι0|ΔΖ)=ΔΖ|ΔΖ), ΐο|Δί)=Δζ|Δζ>.
Во избежание недоразумений подчеркнем еще раз, что
соотношение (5.3) носит формальный характер и имеет смысл только при
анализе одного конформного класса.
Поскольку линейные ограничения, связанные с Vir и Vir,
действуют одинаково и независимо в [Δζ] и [Δ?] соответственно, мы будем
рассматривать их решение только для «правого» пространства [Δζ];
ясно, что если существует единственное решение
|4%>к = Σ#2№)* ' ^...Ь-fcjAz>, (5.5)
то вектор Фг является разложимым:
Φζξ|Φζ) = |ΦΔι>λ®|Φ2ι)ι, (5.6)
где |Φδ,)ι — соответствующее решение «левых» уравнений
|4%>я = ^if^-V^-J^} (5.7)

Глава 5. Конформный бутстрап
53
(напомним, что Ψζ зависит не только от конформного класса [Фг], но
и от полей Фх и Ф2 в разложении (5.1), поэтому коэффициенты β
снабжены соответствующими индексами). Отметим появление только ζ
(соответственно ζ) в разложении |Φδζ)κΙ*δζ)ι· В соотношении (5.5)
символ (к) = (кг ^ к2 ^ ... ^ kN) означает упорядоченный набор
положительных целых чисел, причем суммирование идет также по числу
N элементов в таком наборе.
Для вывода искомых линейных уравнений рассмотрим действие
оператора Lk на произведение (5.1):
г
Ι*(Φι(*,Ι)Φ2(0,0)) = 2^ Ф ΠΟ£*+1(Φι(*,*)Φ2(0,0))ίΙ£ (5.8)
J
с
причем контур С охватывает против часовой стрелки точки 0 и ζ
в комплексной плоскости. Интеграл сводится к интегралу по двум
маленьким окружностям вокруг этих точек, и мы получаем
Ι*(Φι(*,5)Φ2(0,0)) =
= (^+1^ + (Α: + 1)^Δ1)φ1(Ζ,ζ)Φ2(0,0) + Φ1(^ζ)^Φ2(0,0). (5.9)
Отметим здесь, что соотношения операторной алгебры (2.12)
означают, что сами поля А(х) можно рассматривать как линейные
операторы в j4, восстанавливая таким образом традиционную операторную
интерпретацию квантовых полей. При этом равенство (5.9)
эквивалентно следующим коммутационным соотношениям для первичного
конформного поля ΦΎ(ζ,ζ):
Ф2 (*,*): [Ι*,Φι(*,*)] = (zfc+1^ + (fc + l)zfcA^1(z,C). (5.10)
Если к = 0 или к> 0, то Lk во втором члене правой части
соотношения (5.9) дает соответственно Δ2 или 0. Подставляя теперь вместо
Φ!(ζ,ζ)Φ2(0,0) разложение (5.1), в каждом классе [Фг] получаем
Lk\A)=(Zk+1^- + ik + l)zkA1)\A), k>0,
(5.11)
Ι0|Δ) = (ζ^+Δ1+Δ2)|Δ>.
Здесь и дальше ΔξΔ;. Это и есть конформные ограничения на Фг.
Если разложить его по уровням:
00
|ΨΔ) = Σ*ΊΔ,η), (5.12)
71=0

54
Глава 5. Конформный бутстрап
то эти соотношения приобретают вид
Lk\A,n + k} = (A + kA1-A2 + n)\A,n), к>0. (5.13)
Из этих уравнений только уравнения для к = 1ик = 2 являются
независимыми, остальные следуют из них в силу соотношений алгебры
Вирасоро (4.50). Уравнения (5.13) носят рекуррентный характер,
позволяя вычислять |ΦΔ) последовательно уровень за уровнем. При этом
характеристики полей и всей рассматриваемой конформной теории
поля появляются в уравнениях только через размерности входящих
в разложение полей ΔξΔ;, Аг и А2, а также через значение
центрального заряда с (соответственно в пространстве «левой» алгебры
фигурируют параметры с, Аь Аъ А2). В принципе, в общем случае
(исключение составляют случаи, когда параметры Δ; ис
удовлетворяют определенным соотношениям, см. ниже) эти уравнения дают
возможность однозначно найти все коэффициенты /3^ в
разложении (5.6), т. е. полностью вычислить Ψζ. Так, на первом и втором
уровнях имеются состояния
ΙΔ, 0) = |А>,
|A,l> = j8if)L_1|A>, (5.14)
|Δ,2> = (#f υΙ2_1 + ^2(2) Ι_2)|Δ),
и уравнения (5.13) имеют вид
12
ЩД)^ /7л.-1-Л-_Л--1--ПЯ
12
'2(2ΔΖ + 1) 3 λίβι^Λ = ίίΑι + Α1-Α2 + 1)β\^ (5.15)
бАг 4Аг + § J у βι{™ J у Αι + 2Δι - Δ2
откуда следует, что
Ш) _ Аг+А^Аа
Р\2 - 2Аг
ΛΖ,(ΐ,ΐ) _ (Δ1+Δ1-Δ2)(ΔΙ+Δ1-Δ2+1) 3 „Ш) f ft.
р12 _ 4Аг(2Аг + 1) 2(2Аг+1)р12 ' ^>-L°J
Ц2) _ fA1+A2 Аг(Аг-1) ЗС^-А,)2^ if с 9Аг л
Pi2 -^ 2 _1"2(2А2+1) 2(2А2 + 1) J/V г 2 2A,+lJ'
Ясно, что все коэффициенты β{2 являются рациональными
функциями параметров Аг, А1} А2 и с. Обратим внимание на полюс при
А = 0 во всех коэффициентах и полюс в коэффициентах второго
уровня /З-^ и β\2 ■> связанный с обращением в нуль определителя
матрицы в уравнениях (5.15) и появляющийся, когда Аг и с удовлетворяют

Глава 5. Конформный бутстрап
55
соотношению
(2ΔΖ + 1)с + 2ΔΖ (8ΔΖ - 5) = 0. (5.17)
Эти особенности есть простейшие проявления упоминавшейся выше
неоднозначности решения конформных ограничений на |Фг). При
таких особых соотношениях между сиАг решения либо нет вовсе, либо
оно неоднозначно, если выполнены определенные соотношения
между Αι и размерностями полей Аг и Δ2. Так, при выполнении
условия (5.17) система (5.15) имеет решения, если
Аг+А2 ΔΖ(ΔΖ-1) 3(Δ!-Δ2)2
2 + 2(2ΔΖ + 1) 2(2ΔΖ + 1) U' L^1C5J
Отмеченное явление связано с так называемым вырождением
конформного класса [Фг]. Смысл этого явления будет подробно
рассмотрен в следующей главе; здесь мы сошлемся на общую формулу (6.14)
описывающей соотношение между Δζ и с, при котором
неоднозначность в решении появляется на уровне N. Рассматриваемые как
функции от Δζ, коэффициенты β в разложении (5.5) будут, начиная с
уровня Ν, иметь полюсы при
Az = Amn(c), (5.19)
где пит — любая такая пара натуральных чисел, что пт = N, а Атп (с)
дается формулой (6.14). Точно так же, обращая это соотношение, мы
видим, что, как функции центрального заряда, эти коэффициенты
имеют полюсы при
c = cmn(Az), (5.20)
где
cmn(A) = 13-6ial + a2J,
2 л _ 2A + N-1 + [(2Δ + Ν - I)2 - (т2 - 1)(п2 - 1)]1/2
а+(А) — п2-1 '
причем теперь η > 1. Если выполняется одно из этих соотношений
Каца (см. [107]), например Δζ = Ашл(с), то система линейных
уравнений (5.13) становится вырожденной на уровне N и для существования
ее решения (в этом случае не единственного) необходимо наложить
определенные соотношения на параметры, обобщающие
соотношение (5.18). Мы приведем здесь эти соотношения, поскольку они
понадобятся в дальнейшем. Фактически эти соотношения суть проявление
особенностей операторной алгебры для вырожденных конформных
полей, описанных в следующей главе. Это просто ограничения на
размерности полей Фх и Ф2> связанные с возможностью появления в их

56
Глава 5. Конформный бутстрап
операторном разложении вырожденного поля Ф(т,П)»
αι±α2 = ψ, (5.21)
где параметры ах и а2 связаны с размерностями Ах и А2
соответственно формулой (6.22),
apq = «+Р + OL-q; (5.22)
здесь а± определяется формулой (6.6), а целые числа ρ и q пробегают
следующий ряд значений:
Р = 1 — 771, 3 — 771, ...,771 — 1,
1 Q 1 (5·23)
q = 1 — π, 3 — η,..., η — 1.
Возвращаясь к требованию ассоциативности операторной
алгебры, рассмотрим четырехточечную функцию первичных конформных
полей (4.37)
(Φι(*ι, %)Ф20г2,22)ФзОз> 23)Φ4(*4> 24)>· (5.24)
Требования перекрестной симметрии, необходимые для
формулировки условий ассоциативности, записываются как следующие
соотношения для функции G^(x, χ) в (4.37) (см. [45])
G^Qc, х) = Gg(l -x, 1 -30 = x"2A3x"2^3G^(l/x, 1/x). (5.25)
Пользуясь в выражении (5.24) разложениями (5.1) для пар
операторов Ф3Ф4 и ФхФг, получим, учитывая, что двухточечные функции
обращаются в нуль для полей с разными размерностями,
GjJOr, х) = ^€ζ12^4(Ψ^|Ψζ12>χΔ'-Δι-Δ2χ^-^-Α2, (5.26)
ζ
где, например, |Фг12) — вектор вида (5.6). Вследствие разложимого
характера векторов |Фг) скалярное произведение в соотношении (5.26)
имеет факторизованный вид
^Δ,-Δ^Δ^Δ,-Δ^ (ф34|ф12) = р^ д^ Д.|х)^(с, £Ь А;|х), (5.27)
где функция
^(с,Аг,А;|х)= J] x^k^^f^^m-(l\LK/...Lk[L_ki...L_kN\l) (5.28)
№),№')
зависит от с, Аг и четырех «правых» размерностей полей Аь ί=1,2,3,4,
входящих в выражение (5.24). Эта функция носит универсальный
характер в том смысле, что полностью определяется этими
параметрами и не зависит от других характеристик рассматриваемой
конформной теории поля и входящих в выражение (5.24) полей. Ее удобно

Глава 5. Конформный бутстрап
57
изображать как диаграмму следующего вида:
Δι Δ3
Pic, Δζ, At\x) = У^~^ ^5·29)
4Δ.
4
Удобно также изображать величину (5.27) диаграммой такого же вида
1 3 Δι Δο Δι Δ
ж
1 ^3 ^1 ^3
Α^/ \^_Δι_/ (5.30)
2 4 Δ2 Δ4 Δ2 Δ4
Функцию (5.28) принято называть конформным блоком (см. [45]),
так как она является простейшим конформно-инвариантным
элементом при построении четырехточечной функции (5.24):
1 3
Gl24ix,x)=Xc[2Cl34 ^-L^
В этих обозначениях условие ассоциативности, т. е. уравнения
конформного бутстрапа, можно выразить следующим графическим
равенством:
/ ι ^12^34 ^ ^ ~~ 2^1 ^13^24
(5.31)
В последующих главах будут явно построены примеры решений
этих уравнений, содержащие как конечные, так и бесконечные суммы
по конформным классам I.
Из сказанного ясно, что конформный блок (5.29) играет
чрезвычайно важную роль в программе конформного бутстрапа. К
сожалению, замкнутое выражение, поддающееся аналитическому
исследованию, для этой функции удается построить только в
исключительных случаях (некоторые из них разобраны в последующих главах);
см. [45]. Поэтому желательно разработать какие-нибудь эффективные
методы ее вычисления при произвольных значениях параметров.

58 Глава 5. Конформный бутстрап
В принципе, эту функцию можно вычислять по формуле (5.28),
находя, как уже говорилось выше, коэффициенты β уровень за уровнем
как решение системы линейных уравнений (5.13). В результате
функция ^(с, Аг, At\x) получается в виде разложения по степеням х:
00
J4c, Аь AM = xAl~A'-A2 Σ FN(c, Au A0xN. (5.32)
N=0
Используя значения (5.16), нетрудно получить (в принятой нами
нормировке F0 = 1) соотношения
(Аг+А2-А1)(Аг+А3-А4)
2Аг
(Аг+А2-А1)(Аг+А2-А1 + 1)(Аг+А3-А4)(Аг+А3-А4 + 1)
4ΔΖ(2ΔΖ + 1) + (5.33)
/^А^Аз ΔΖ(ΔΖ-1) ЗСА^Аз)2^ f А3+А4 ■ ΔΖ(ΔΖ-1) 3(Δ3-Δ4)2 Λ
I 2 2(2ΔΖ+1) 2(2ΔΖ+1) ) \ 2 2(2ΔΖ+1) 2(2ΔΖ+1) J
■ 2Δ/(8Δζ-~5) *
2ΔΖ+1
С повышением номера уровня трудоемкость таких вычислений
увеличивается, поскольку размерность уровня в конформном классе
быстро возрастает. Поэтому мы опишем здесь другой подход, основанный
на анализе аналитических свойств конформного блока как функции
входящих в него параметров; см. [153]. Это дает возможность
вывести точные рекуррентные соотношения для этой функции, которые,
в частности, дают очень эффективный способ вычисления рядов
типа (5.32).
Из свойств уравнения (5.13) для вектора |Фг> и определяющей
формулы (5.28) вытекают следующие общие свойства коэффициентов FN
в разложении (5.32).
1. Все коэффициенты FN(c, А, А;) являются рациональными
функциями параметров с, А и Ai9 i = 1, 2, 3,4:
FN(c,A,A,)= Qn(cA) (5.34)
с некоторыми многочленами PN и QN.
2. Знаменатель QN(c,A) не зависит от размерностей «внешних»
полей Δί3 так что все коэффициенты FN фактически являются
многочленами по этим размерностям. Из уравнения (5.13) следует, что если
рассматривать их как многочлены от «симметризованных» и «анти-
симметризованных» размерностей Δ12 = (Аг + Δ2)/2, δ12 = Α1 — Δ2,
Δ34 = (Δ3 + Δ4)/2, δ34 = Δ3 — Δ4, то они имеют по переменным Δ12
F2 =

Глава 5. Конформный бутстрап
59
и Δ34 максимальную степень 2[Ν/2], а по переменным <512 и δ34 —
степень N.
3. Знаменатель QN(c,A) является делителем детерминанта Каца
для уровня N; см. [107]. Это означает, что FN как функция от Δ (или
как функция от с) имеет в общем случае простые полюсы (которые
в специальных случаях могут вырождаться в двойные полюсы и т. д.)
при А = Атп(с) (соответственно при с = стп(А), где стп определено
соотношением (5.20)) для всех mn^N. В формуле (5.28) эти простые
полюсы возникают в результате компенсации одного из двух простых
полюсов в коэффициентах β и нуля первого порядка, появляющегося
при этих значениях Δ в матричном элементе в правой части.
Наличие полюсов у конформного блока &(с, Аь At \х) при Аг = Атп,
как уже отмечалось выше, связано с вырождением конформного
класса [Фг], т.е. с появлением среди конформных потомков поля Фг
другого первичного поля на уровне тп, иными словами выделением
из [Фг] инвариантного подкласса с первичным полем размерности
Атп = Атп + тп. Именно поля этого подкласса ответственны за
образование полюса; поэтому ясно, что вычет функции &{с,АьА{\х)
в этом полюсе пропорционален конформному блоку, отвечающему
этому подклассу, т. е.
res J?(c, Аь At\x) = Rmn(c, Af)^(c, Amn, At\x), (5.35)
ИЛИ
res J?(c, Ab At\x) = R7mn(A, Af)^(cmn, Δ + mn, Af|x), (5.36)
где Rmn{c, At) и Я'тп{с9 At) отличаются лишь заменой с = с(А) при
помощи соотношения (5.20) и умножением на якобиан этой
подстановки
Rmn (с, Δ,) = R'mn (Amn (с), Δ,) ^^. (5.37)
Зависимость множителей Rmn(.c, At) от размерностей At может
быть немедленно выяснена, если вспомнить, что вычеты в
коэффициентах β в соотношении (5.28), а значит, и в рассматриваемом
блоке обращаются в 0 при выполнении любого из соотношений (5.21).
Следовательно, коэффициенты Rmn должны содержать множитель
ΡπιηίΑ,Αί) = Υ\[α1 + α2-ψ^α1-α2-ψ)χ
р,я.
х [а3 + а4-^)(а3-а4--??-), (5.38)

60
Глава 5. Конформный бутстрап
где произведение берется по значениям, указанным в формуле (5.23).
Нетрудно убедиться, что это произведение является многочленом по
размерностям At и его степени по переменным Δ12, Δ34, δ12 и δ3Λ
совпадают с указанными выше степенями числителя в соотношении
(5.34) при N = тп. Это означает, что множитель (5.28) исчерпывает
всю зависимость Rmn от At и можно написать
Rmn(c, Δ,·) = Атп{с)Ртп{су Δ,·), (5.39)
где множители Атп{с) зависят только от с.
Нам неизвестен вывод явной формулы для этих коэффициентов;
в некоторых частных случаях эти коэффициенты найдены в
работе [153], где построен также эффективный алгоритм для их
последовательного вычисления по уровням. Такие вычисления были проделаны
вплоть до весьма высоких уровней; все эти результаты находятся
в согласии со следующей явной формулой:
Атп(с) = lY\au\ (5.40)
Kl
где aki определяются из соотношения (5.22). Произведение берется
по всем целочисленным парам —т<к<т и —п<1<п, кроме пары
значений к = 1 = 0 (на это указывает штрих у знака произведения).
Таким образом, вычеты в полюсах конформного блока полностью
установлены, и можно записать следующее соотношение:
&{с,АьА{\х) =/(А,А^х)+2^^^^(стп,А + тп,Аг|х), (5.41)
т,п
где функция / соответствует пределу конформного блока при с—> оо.
Фактически нетрудно убедиться, что в этом пределе в конформном
блоке (5.28) из всего конформного класса [Фг] выживает только вклад
пространственных производных первичного поля Φζ (τ. е. полей
вида (1_1)/сФг), а вклады других конформных полей пропорциональны
отрицательным степеням с (см. [153]). Поэтому при с = оо в
формуле (5.27) мы можем воспользоваться выражением (4.31); это
позволяет выразить / через гипергеометрическую функцию:
/(A, At\x) = xA-Ai-A*2F1(A + A2-A1,A + A3-A4, 2Δ, χ). (5.42)
Следует обратить внимание на то, что значения промежуточной
размерности Δ + тп у функции &, появляющиеся в правой части
соотношения (5.41), всегда на натуральное число тп больше, чем эта
размерность у функции & в левой части. Поэтому последовательные
итерации этого соотношения сходятся при достаточно малых х. В этом

Глава 5. Конформный бутстрап
61
смысле равенство (5.41) можно считать рекуррентным соотношением
для конформного блока. В частности, такое итерирование дает
последовательно коэффициенты FN в разложении (5.32).
Аналогичное рекуррентное соотношение можно получить,
суммируя полюсы конформного блока & по Δ (вместо полюсов по с
в формуле (5.41)). Это соотношение нельзя записать непосредственно
в виде (5.41), поскольку асимптотическое поведение функции & при
Δ —> оо носит более сложный характер. Эта асимптотика была найдена
в работе [16]; & можно записать в виде
с—1 с—1 а л с—1
^(с,А,А;|х) = (16ς)Δ"^(χ)ϊτ-Δι"Δ2(1-χ)^"Δ3"Δ4Χ
х ^)^"4(Δι+Δ2+Δ3+Δ4)#(с, Δ, Af|q), (5.43)
причем функция Η просто ведет себя в этом пределе:
Н(с,А,А(|х) = 1 + OQ/A), (5.44)
и поэтому она может быть использована для построения
рекуррентного соотношения, которое имеет теперь вид
Н(с, A, Af|q) = l + X|(16q)m"§^^H(c,Amn + mn,Ai|q). (5.45)
τη,η
Появившаяся в формуле (5.43) переменная q связана с χ
соотношением
q = ein\ τ = iK0—x)/K{x), (5.46)
где К(х) — полный эллиптический интеграл первого рода
КМ = \
at
J
о
[t(l-t)d-xt)]1/2
(5.47)
Обратно,
χ = -0ί(ς)/0ί(ς), (5.48)
где #2 и #3 — стандартные эллиптические тэта-константы,
ыч)=Σ<ζ(η+1/2)2> #з(<?)=Σ<ζη2. (5·49)
neZ neZ
В заключение стоит затронуть важный и практически
неисследованный вопрос об аналитических свойствах конформного блока
по переменной х. Все известные примеры, когда эта функция
может быть явно найдена (см. [15,45,74]), согласуются со следующей

62
Глава 5. Конформный бутстрап
гипотезой о ее аналитических свойствах: конформный блок имеет
особенности только в трех точках 0, 1 и оо комплексной плоскости х,
где он имеет точки ветвления, в общем случае трансцендентного
характера. Таким образом, & является однозначной аналитической
функцией на универсальном накрытии сферы Римана с выколотыми
точками 0, 1 и оо. Заметим здесь, что отображение (5.46) как раз дает
универсальное накрытие этого многообразия верхней
полуплоскостью переменной τ.
В этой связи интересно, что итерирование рекуррентного
соотношения (5.45) непосредственно ведет к разложению конформного
блока по степеням q, которое сходится (если верны описанные выше
свойства) во всей области аналитичности функции &'. Ряд (5.32),
определяемый соотношением (5.41), сходится в значительно более
узкой области \х\ < 1. Поэтому q-разложения могут оказаться более
полезными при исследовании конформного блока общего вида.

Глава 6
Вырожденные представления алгебры
Вирасоро
В гл. 4 было описано разложение пространства j4 на конформные
классы [Фг]; каждый конформный класс вполне характеризуется
двумя числами (Аг, Аг) —размерностями поля Фг. Поскольку алгебра
генераторов конформных преобразований является прямым
произведением Vir χ Vir, пространство [Фг] также распадается в прямое
произведение (4.69), где [Аг] и [Аг] —представления алгебр Vir и Vir
соответственно; очевидно, каждое из этих подпространств целиком
характеризуется одним параметром, Аг и Аг соответственно. Далее мы,
как правило, явно рассматриваем только представления [А] «правой»
алгебры (4.50), подразумевая, что представления [А] алгебры Vir
обладают такими же свойствами. Напомним, что пространство [А]
содержит вектор |А):
LJA) = 0 для п > 0, L0|A}=A|A), (6.1)
который соответствует самому первичному полю ΦΔ, а также векторы
вида
L_niL_n2...L_jA>, 0 ^ пг ^ ... ^ nN. (6.2)
Представления такой структуры называются представлениями со
старшим весом (см. [2]), при этом |А) — старший вектор, а А —
старший вес. Представления со старшим весом алгебры Vir подробно
исследованы в математической литературе (см. [36, 37, 107]);
перечислим некоторые свойства этих представлений, используемые
в дальнейшем.
Пространство, натянутое на все векторы вида (6.2), не всегда
отвечает неприводимому представлению алгебры Vir. Поэтому мы
обозначим через Уд линейную оболочку всех векторов (6.2), с тем чтобы
сохранить обозначение [А] для неприводимого представления.
Пространство Уд называется модулем Верма.
Очевидно, всякий модуль Верма является базисом
представления Vir. Это представление приводимо, если Уд содержит вектор

64 Глава 6. Вырожденные представления алгебры Вирасоро
|Δ + L) е Уд, удовлетворяющий уравнениям
LJA + L) = 0 для гг > 0, L0IA + L> = (Δ + Ι)|Δ + Ι), (6.3)
где L — некоторое натуральное число; такой вектор называется нуль-
вектором. Действительно, подпространство Уд+1 с Уд, порождаемое
применением операторов Ln, п<0, к |Δ + Ι), само является базисом
некоторого представления Vir. Верно и обратное (модуль Верма Уд,
не содержащий нуль-векторов, реализует неприводимое
представление алгебры Вирасоро); в этом случае мы полагаем [Δ] = УА. Если
модуль Верма содержит нуль-вектор (6.3), то можно получить
неприводимое представление, факторизуя УА по подмодулю УА+Ь, т. е.
полагая
|Δ + Ι> = 0; (6.4)
этим условием уничтожаются также все «потомки» нуль-вектора
|Δ + Ι). Если имеется несколько нуль-векторов, следует приравнять
к нулю каждый. В результате возникает неприводимое представление
Уд = Уа/^a+lI мы называем такое представление вырожденным, а
число L — уровнем вырождения. Мы будем называть также
«вырожденными» конформные классы (4.69), содержащие вырожденные
представления [Δ] (или [Δ]), и соответствующие первичные поля ΦΔ.
Представление УА вырожденно, если параметр Δ принимает
значения из некоторого дискретного набора (зависящего от величины с).
Простейший пример вырождения — нулевая размерность Δ = 0; при
этом нуль-вектор
1_!|0> = 0 (6.5)
находится на уровне L = 1. Поэтому единичный оператор / с
размерностями (Δ, Δ) = (0, 0) всегда является вырожденным полем;
уравнения (4.78) как раз выражают этот факт. Точно так же можно
интерпретировать уравнение (4.43), которому подчиняется любое первичное
поле Φ с Δ = 0. Приведем несколько менее тривиальных примеров
вырождения. При этом удобно ввести величины
л/1-с±л/25-с 1 гаа\
а± = -= , α+α_ = -1, (6.6)
и
А0 = ~1аа+ + а_)2 = С-^. (6.7)
1. Поле Φ доопределенное соотношением (4.76а), является нуль-
вектором, если
b2#e>=I2(l_2-5S|TSli1)*=(4A + f-5|fT)# = 0, (6.8)

Глава 6. Вырожденные представления алгебры Вирасоро 65
т. е. если
8Δ2 + (с - 5)Δ + |с = 0. (6.9)
Действительно, Ф(2) (как и всякое конформное поле) удовлетворяет
уравнению 1_1Ф(2) =0; отсюда и из условия (6.8) в силу
коммутационных соотношений (4.50) следует выполнение всех уравнений (6.3).
Квадратное уравнение (6.9) имеет два корня
Δ = Δα2) = Δ0 + \ (α+ + 2α_)2, (6.10а)
Δ = Δ(2ί1) = Δ0 + |(2α+ + α_)2. (6.106)
Следовательно, при этих значениях Δ первичное поле ΦΔ
удовлетворяет уравнению
фл' = (L"2" 2ef+I)l2-i)Фд = °· (6-Щ
2. Аналогичным образом легко проверить, что если Δ принимает
любое из двух значений
Δα3)=Δο + 7(α+ + 3α-)2,
\ (6.12)
Δ(3,ΐ)=Δο + 4(3α+ + α-)2'
то первичное поле ΦΔ вырождено с L = 3, причем нуль-вектор
определяется выражением (4.766):
*i"3) = (i-з - ZT2L-iL-2 + (δ+ΪΗδ+2) l-0 фД = °· (6·13^
Приведенные примеры исчерпывают, как нетрудно проверить
явным вычислением, все случаи вырождения с L ^ 3. Все значения Δ,
отвечающие вырождению представления [Δ], перечисляются
формулой
А(т,п) = Δο + 4 (ma+ + па-02> (6·14)
где η и т — любые натуральные числа, причем соответствующий
нуль-вектор находится на уровне
L = тп. (6.15)
Формулы (6.14) и (6.15) были открыты Кацем (см. [107]);
доказательство дано Б. Л. Фейгиным и Д. Б. Фуксом [36]. Мы называем
значения (6.14) спектром Каца для алгебры Вирасоро.

66 Глава 6. Вырожденные представления алгебры Вирасоро
Временно игнорируя существование «левой» подалгебры Vir и
вообще опуская зависимость полей от ζ, обозначим через Ф(„эт)(г)
вырожденное первичное поле с размерностью (6.14). Поля Φ(ΠίΓη)
обладают следующим важным свойством. Любая корреляционная функция
вида
(Φ(π,ιπ)(2)Φι(2ι)...Φν(%)), С6·16)
где Фъ ..., ΦΝ — произвольные первичные поля, удовлетворяет
линейному дифференциальному уравнению в частных производных
относительно ζ, %ъ%2,...,% максимальный порядок производных равен
L = nm. Очевидный пример — уравнение вида (4.43) (точнее говоря,
такое же уравнение относительно ζ), которому удовлетворяет поле
Ф(1 д) с Δ = Δ(1 д) = 0. Приведем несколько нетривиальных примеров,
из которых ясны вид и происхождение этих дифференциальных
уравнений.
1. Поле Φ (ΐ,2) удовлетворяет уравнению (6.11), т.е.
((L-^~2(2A + 1)L-i)^2)^(%)-^n(%))- (6.17)
Вспоминая, что L_x = dz, и пользуясь выражением (4.75) для
вычисления корреляционной функции с L_2&o.,2)> получим
J з ii.yr A* +^_А11Х
1 2(2Δα2) +1) dz2 L·^ L (s - zd2 z-z{ dzt J J A
x (Φ(ι,2)(«)Φι(2ι)...Φν(«ν)> = 0, (6.18)
где Af — «правая» размерность поля Φ;. Разумеется, корреляционные
функции с полем Фрд) подчиняются таким же дифференциальным
уравнениям (6.18) с заменой Φ(ΐί2) —>Φ(2,ΐ)·
2. Поле Ф(1,з) подчинено уравнению (6.13). Корреляционные
функции с полями Ь_2Ф(1,з) и ^-3^(1,3) вычисляются по правилу (4.75).
Следовательно, уравнение (6.13) приводит к дифференциальному
уравнению третьего порядка
{
а3
(д(1)3) +1) dz3
Γ2Δ(ΐ,3)-Δί , Δ(ΐ,3) д , 2Δ; д
ί=ι
. . L (z-Zi)3 (z-zj2 dzt "·" (z-Zj)2 dz ^ z-zt dzdzt\]
χ (ΦαΛ(«)Φ1(«1)...ΦΝ(%)> = 0. (6.19)
Такое же уравнение с Ф(зд) вместо Δ(13) справедливо для
функции (6.16) с Ф( } = Ф(зд).

Глава 6. Вырожденные представления алгебры Вирасоро 67
Из приведенных примеров должен быть ясен способ получения
дифференциальных уравнений в общем случае, если известны
выражения для нуль-векторов.
Используя эти дифференциальные уравнения, можно вывести
другое важное свойство вырожденных полей — специальные правила
отбора для операторных разложений с участием вырожденных полей.
Рассмотрим операторное разложение
Φ(ι,2)(*)Φδ(*ι)^ (6.20)
Δ'
где ΦΔ— произвольное первичное поле с размерностью Δ; в
формуле (6.20) мы снова пренебрегли зависимостью от ζ. Разложение (6.20)
должно быть совместимо с дифференциальным уравнением (6.18).
Подставляя разложение (6.20) в уравнение (6.18) и приравнивая к
нулю самый сингулярный при ζ —> ζλ член в правой части, получим
соотношение
2(2Δ(^+1)-Δ + Χ = 0- * = Δ'-Δ(ΐ,2)-Δ. (6.21)
Следовательно, операторное разложение (6.20) может содержать
только такие первичные поля ΦΔ/, размерности Δ' которых
удовлетворяют квадратному уравнению (6.21). Решение этого уравнения
выглядит очень просто, если ввести следующую параметризацию
размерностей:
Δ(α) = Δ0 + |α2 (6.22)
и положить Δ = Δ(α). Тогда два решения уравнения (6.21) есть
Δ7 = А(а-а_) и Δ7 = А(а + а_). (6.23)
Если обозначить через Ф(а) первичное поле с (правой)
размерностью (6.22), то полученный результат можно представить как
«правило слияния»:
φ(1,2)Φ(α) = [φ(α-α_)] + [φ(α+α_)]· (6.24)
Это равенство — сокращенная запись операторного разложения (6.20),
где опущены все коэффициенты, а [Ф] обозначает вклад всех полей из
данного конформного класса. Ниже мы часто пользуемся такой
сокращенной записью. Аналогично соотношение (6.24) нетрудно получить
«правило слияния»
ф(2Д)Ф(а) = [ф(а-а+)] + [ф(а+а+)]· (6.25)

68 Глава 6. Вырожденные представления алгебры Вирасоро
Укажем некоторые простые следствия из «правил слияния» (6.24),
(6.25). В формуле (6.24) положим а = а+ + 2а_, т.е. Ф(а) = Φ (1,2)·
Учитывая соотношение (6.14), получим
Ф(1,2)Ф(2Д) = [ф(1Д)] + [ф(1,3)]> (6.26)
т. е. «слияние» двух вырожденных полей Φ(ΐ^) приводит снова к
вырожденным полям. Рассмотрим произведение трех полей Φ(ΐ52)Φ(ΐ,2)Φ(α)·
Применяя дважды «правило слияния» (6.24), найдем
Φ(1,2)Φ(1,2)Φ(α) = [φ(α-2α_)] + [φ(α)] + №(a+2a.)]· С6·27)
С другой стороны, можно воспользоваться разложением (6.26) для
первых двух сомножителей этого произведения. Поэтому требование
ассоциативности операторной алгебры (см. гл. 2) диктует следующее
«правило слияния»:
ф(1,3)ф(а) = [ф(а-2а_)] + [ф(а)] + [ф(а+2а_)]« (6-28)
Нетрудно проверить, что именно такое «правило слияния» диктуется
дифференциальным уравнением (6.19). Вообще, продолжая
аналогичные рассуждения, можно найти «правило слияния» для произвольных
вырожденных полей Ф(п?т), обобщающее (6.24), (6.25) и (6.28):
Ф(т,гг)ф(а) — 2^1 Z-l ^(«+(2Z-n+l)a_+(2fc-m+l)ct+)]^ (6.29)
z=o fc=o
Сумма в соотношении (6.29) включает ровно пт членов, в
соответствии с тем, что функция (6.16) удовлетворяет дифференциальному
уравнению порядка пт.
Выведем теперь правило слияния для двух вырожденных полей
ф(.т19пОф(т29п2у Подставляя (т, ή) = (тъ пг) и а = т2а+ + п2а_ в
соотношение (6.29), получим
т1-1п1—1
Φ/w „лФ(
-m1+2l+l,n2-n1+2k+l) L (6.30)
{πΐϊ,η^ {т2,п2)
1=0 fc=0
где Ф(т?П) обозначает первичное поле с размерностью А(тгг),
определяемой выражением (6.14), вне зависимости от того, являются
ли т и η натуральными числами. Если η ^ 0 или т ^ 0, то А(т п) не
принадлежит спектру Каца, а поле Ф(Ш,П) невырожденно. Поэтому
на первый взгляд может показаться, что «слияние» (6.30)
содержит (при пг > п2 или т1 > m2) вклады невырожденных
конформных классов. Напомним, однако, что при сокращенной записи
вида (6.29), (6.30) опущены числовые коэффициенты (структурные

Глава 6. Вырожденные представления алгебры Вирасоро 69
константы), сопровождающие вклад каждого конформного класса.
Некоторые коэффициенты могут обращаться в нуль, при этом вклады
соответствующих конформных классов выпадают. Нетрудно понять,
что в соотношении (6.30) обязательно выпадают все члены [Ф^г)]
с к ^ 0 или I ^ 0. Действительно, поскольку Ф(П2?Ш2) тоже
вырожденное поле, разложение (6.30) должно удовлетворять «правилу
отбора» (6.29) с (т, п) = (т2, п2) и а = т1а+ + п1а_. Следовательно,
разложение (6.30) имеет в действительности следующий
симметричный относительно замены (тъ щ) <—> (т2, п2) вид:
lo fco
г=о к=о
где
т0 = Irri! - т2| + 1, п0 = \пг - п2\ +1,
Z0 = minim!, т2) -1, fc0 = тт(пь п2) -1;
все конформные классы в правой части равенства (6.31) вырожденны.
Ввиду соотношения (6.31) естественно попытаться построить
пространство полей j4 конформной теории поля как сумму (4.71), в
которой каждый конформный класс [Фг] является вырожденным
представлением как алгебры Vir, так и алгебры Vir, т. е. Аг и Аг
принадлежат спектру Каца (6.14) для всех I. Из соотношений (6.6) видно, что
если с ^ 25, то спектр (6.14) не ограничен снизу, а при 1 < с < 25
размерности (6.14), вообще говоря, комплексны. Поэтому, чтобы
обеспечить выполнение условий, принятых в гл. 4, мы предполагаем далее,
что
с ^ 1. (6.32)
В этой главе мы не будем принимать во внимание условие
положительности (см. гл.2), так что ограничение (4.54) не предполагается.
Правую и левую размерности Аг и Аг вырожденных первичных
полей Фг нельзя, конечно, выбирать независимо. Спин Sz = Аг -Аг
локального поля Фг должен быть целым или полуцелым. Если Аг = А(гг т),
Аг =A(^m) и (η,πϊ) Φ (η,πι), это условие, вообще говоря, не
выполняется. Поэтому простейший способ удовлетворить этому
требованию— включить в j4 только бесспиновые вырожденные
первичные поля с Аг =Аг. В дальнейшем, в гл.7, мы увидим, что в
действительности при специальных значениях с существуют замкнутые
операторные алгебры, содержащие вырожденные первичные поля
с ненулевыми спинами. Здесь же мы построим модель конформной
теории поля с с^ 1, содержащую только бесспиновые поля.

70 Глава 6. Вырожденные представления алгебры Вирасоро
Пусть теперь Φ(ΠίΓη) обозначает вырожденное первичное поле с
размерностями (Δ(π?m), Δ(π m)). Рассмотрим пространство
00
^D = Θ [Ф(т,п)]· (6.33)
m,n=l
Чтобы это пространство стало пространством локальных полей
конформной теории, необходимо построить алгебру операторных
разложений со следующей структурой:
*^Λ,&,ί)*ο^,,(ο,ο)=ΣΣ€Ζη%+Ζχ
Z=0 fc=0
Χ (Ζζ)Δ^ο+2ϊ,π0+2«-Δ(;ηι,ηι)-Δ(πΐ2,η2) [ф(то+2ио+2к)(0, 0) + ...], (6.34)
где №(kyi) + ...] обозначает вклад всех полей из конформного
класса [Ф(ад], т.е. ряд вида (5.2). Числовые постоянные С («структурные
константы») следует подобрать таким образом, чтобы обеспечить
выполнение условия ассоциативности, т.е. уравнений (5.31).
Исследование уравнений (5.31) требует вычисления
«конформных блоков» (5.28). В рассматриваемом случае вырожденных полей
эти функции можно найти как подходящие решения обыкновенных
дифференциальных уравнений. Действительно, четырехточечная
функция (6.16) с N = 3 представляется в виде (4.37) с функцией
G(x,x) = G^n)1(x,x). (6.35)
Дифференциальное уравнение в частных производных для
функции (6.16) сводится поэтому к обыкновенному дифференциальному
уравнению относительно χ порядка тп для функции (6.35).
Например, для G^2)1 и G^l d χ из соотношения (6.18) следуют уравнения
Г 3 d2 1-2х d
l2(.2A + l)dx2 x(l-x)dx
-^o^-f-(^]G(w(x^) = 0' (6-36a)
ΓΙ d3 l-2x d2 (А-2Аг Δ-2Δ2 2 + Δ + 2ΑΛ d
lA + ldx3+ xa-x)dx2 + V x2 (1-х)2 x(l-x) Jdx
/-2ΔΔ! 2ΔΔ2 ΔΑ(1-2χ)ΛΊ _2з г -л л т о^
-l-^-(I^^+ х2(1-х)2 J№,iC*»*) = 0» (6.366)
где Я = Δ + Δχ + Δ2 - Δ3, а Δ обозначает Δ(12) в уравнении (6.36а)
и Δ(13) в уравнении (6.366). Разумеется, такие же уравнения, с
очевидной подстановкой Δ = А(2д) или Δ = А(3д), справедливы для G« d ι

Глава 6. Вырожденные представления алгебры Вирасоро 71
и Gif-n r Уравнения (6.36) —дифференциальные уравнения типа
Фукса с тремя регулярными особыми точками х = 0,1, оо; см. [21]. К
этому же классу относятся все обыкновенные дифференциальные
уравнения порядка тп для функций (6.35). Такие уравнения порядка тп
имеют тп линейно независимых решений с асимптотическим
поведением
СдМ = х%/уМ (6.37)
при χ —► 0, где к = О,1,..., η - 1, I = О,1,..., т — 1; fk г (х) — регулярные
при χ —> 0 функции; значения показателей /3fc z соответствуют
разложению (6.29), т. е.
fly = Ajy - Δ(αΟ - Δ(πΐ)Π), (6.38)
где Δ^ j = Δ (α! + (2k — m + 1)α+ + (2Ζ — η + 1)α_), a α! определяется
уравнением Δ1 = Δ(α1). Очевидно, функции (6.36) представляют
собой конформные блоки
?Ζ:% ΚιΜ=*ftj/«w· (6-39)
Например, уравнение (6.36а), решения которого выражаются через
гипергеометрическую функцию, позволяет найти
&tX (Δ/(-) Ι*) = χβι (1 - *) Α*(α, b, с, х),
λ λ (6·4°)
ΚΐΧ (д/(+) Ι*) = ^1_C+A (I - χ)β2ρ(α +1 - с, b +1 - с, 2 - с, χ),
где Δ(_) = Δ(α! - α_); Δ(+) = Δ^ + α_),
βλ = Δ(αχ - α_) - Δ(α^ - Δ(12) = ^ - 2α- (αι ~ α-)>
β2 = Δ(α2-α_)-Δ(α2)-Δ(12) = ^ - ^α_(α2-α_),
с = 1 — Δ(αχ + α_) + (ctj — α_) = 1 — αΎα_,
2α = 1 — α_ (αχ + α2 + α3),
2b = 1 —α_(α! + α2 —α3).
Здесь параметры аь ί=1,2, 3, определяются соотношением Δ^Δ^).
В.С.Доценко и В.А.Фатеев (см. работу [74]), используя
представление Б. Л. Фейгина и Д. Б. Фукса (см. [36]), построили решения
уравнения (6.366) и других уравнений, определяющих конформные
блоки (6.39); решения выражаются через многократные контурные
интегралы. Это дает возможность построить явным образом
перекрестно-симметричные четырехточечные функции, содержащие
только вырожденные поля, и вычислить значения структурных констант

72 Глава 6. Вырожденные представления алгебры Вирасоро
^ТптМп т γ обеспечивающие ассоциативность операторных
разложений (6.34); см. [74].
Покажем, как решаются условия ассоциативности (5.25), на
примере четырехточечной функции
(ФааФ&и^зФспа^Фспз.шз))· (6·42)
В действительности исследование только этих функций позволяет, как
мы увидим ниже, определить все структурные константы в
разложениях (6.34). Согласно соотношениям (6.34) и (6.31), четырехточечные
функции (6.42) несколькими различными способами выражаются
через конформные блоки, скажем
Σ^Οι^Γ^+ν) ^(n^mi+v) I ^(п2?т2)(пз,т3)Гд . ч|
^ {1,2) Хп1,т1)^{п2,т2)Хп3,т3)\^ {ΙΆ^,τη^ ^(η^+ν) \х J \
v=±l
— Y^ (rdn2,m2+v) r(n2,m2+v) I ^път{ЦпЪ9тъ) (д . ч|2 „ .
" Zj L(l,2),(n2,m2)L(n1,m1),(n3Jm3) ' Г(1,2)(п2,т2) ^(n2,m2+v) lxJ | > ^°·^
v=±l
где, например, ^^^ Ξ^α£1> Δ* = Δ("^)> а 1^(*)12-сокра-
щенная запись произведения & {χ) & (χ). Левая часть равенства (6.43)
возникает при разложении произведения Фс^Ф^^) в выражении
(6.42) по формуле (6.34); правая часть — результат такого же
разложения произведения Ф(1?2)Ф(п2,т2)· При получении соотношения (6.43)
мы считали, что поля Ф(п?т) нормированы условием (4.56), т. е.
(Фси^Фс^т,)) = 5(П1,„2)5(тьт2). (6.44)
При такой нормировке
C(n1,m1)(n2,m2) = 5(nbn2)<5(mi,m2), (6.45)
кроме того, при этом структурные константы С(П1)т1)(П2)П12)(ПЗ)П1з) ξ
Ξ ^Тп'тМп т ) симметричны по своим индексам, так как совпадают
с нормировочными коэффициентами трехточечных функций
(ф(п1,т1)Ф(п2,т2)ф(пз,т3)) ~ ^^т^п^Кп^т^, (6.46)
где в правой части опущен стандартный степенной множитель (см.
(4.36)). Конформные блоки в формуле (6.43) даются
выражениями (6.40). Пользуясь правилами аналитического продолжения
гипергеометрической функции (см. [21]), нетрудно показать, что
уравнение (6.43) выполняется, если структурные константы С в равен-

Глава 6. Вырожденные представления алгебры Вирасоро 73
стве (6.34) удовлетворяют соотношениям
(1,2),^!^!) (п2,т2),(пз,т3) (1,2),^!^!) (п2,т2)Ап3,т3)
Г2(2-с)Г(с-а)Г(с-Ь)Г(а)Г(Ь)
Г2(с)Г(1-а)Г(1-Ь)Г(а + 1-с)Г(Ь + 1-с)
r(n2,m2-i) r(n2,m2-i) Г(с-а)Г(с-Ь)Г(1-с)Г(1-с + а + Ь) ... .
^агхСп^тО^СпьтОХпз^з)' г(с)Г(с - а - Ь)Г(а - с + 1)Г(Ь - с +1)' ^ J
где
с = 1 + nj-mjp,
2а = 1 + ηΎ + п2 + п3 - (т! + т2 + т3)р, (6.48)
2Ь = 1 + пг + п2 — п3 - (та + т2 - т3)р
и мы использовали обозначение
2 13-с-д/(1-с)(25-с)
Ρ = «^ = ~^2 * (6'49)
Хотя система алгебраических уравнений (6.47) кажется
переопределенной, она допускает совместное решение, которое можно
построить рекуррентным образом. Более того, получаемые таким способом
структурные константы C(n m )(n m )(n m ) автоматически
оказываются симметричными по своим индексам (что заранее совсем не
очевидно). Общие выражения для этих структурных констант довольно
громоздки; их можно найти в статье [74], где они были впервые
получены (другим способом). Мы приведем только несколько частных
случаев:
О
_ Г V
~ 1га-
y(2-2p)y(n-mp) -ι 1/2
(l,2)(n,m)(n,m+l) |_г(1 ~ ρ)γΟ- +П - (1 + m)p) J '
_ Г(2-2р) Г γ\ρ) -ι 1/2 r(n + (i-m)p)
4l,3)(n,m)(n,m) - г(2р) Lr(3p-l)J Г(1 + /I - (1 + m)p)' ^ J
2р-1 г r(2-3p)r(n-mp) 11/2
4l,3)(n,m)0i,m+2) ~ (m + 1)р _ „ [ r(1 _ p)r(l + n _ ((m + 2)p) J '
где введено обозначение
γ(χ) = Γ(χ)/Γ(1 -χ). (6.51)
По видимому, выбор структурных констант С в соответствии
с уравнениями (6.47) обеспечивает ассоциативность всей
операторной алгебры (6.34). Хотя строгое доказательство этого утверждения
нам неизвестно, в статье [74] имеется ряд очень нетривиальных
проверок.

74 Глава 6. Вырожденные представления алгебры Вирасоро
Операторная алгебра вырожденных полей (6.33), (6.34)
обладает очевидной (Ζ2 χ Ζ2)-симметрией. Действительно, каждому полю
Ф(т п) можно приписать две «четности»:
Р+Ф(п,т) = (-)Π_1Φ(π,πφ Ρ-*Μ = (-)т_1Ф(п,т), (6.52)
причем операторная алгебра (6.34) инвариантна относительно этих
операций. Соответственно, алгебра (6.33) содержит Р+ (Р_)-четную
подалгебру, состоящую из полей Ф(П?Ш), η е 2Ζ +1 (m e 2Z +1).
Существуют также две подалгебры
00 00
•< = 0[Ф(пД)]> ^fc = 0№(l,m)]. (6.53)
п=1 т=1
Операторная алгебра (6.33) (как и любая из указанных выше
подалгебр) содержит бесконечный набор конформных классов. В
следующей главе мы покажем, что если параметр (6.49) принимает
рациональные значения, то пространство (6.33) содержит подалгебру,
состоящую из конечного набора конформных классов и обладающую
рядом замечательных свойств. Соответствующие модели
конформной теории поля называются «минимальными моделями».

Глава 7
Минимальные модели
Если величины а+ и а_, определенные соотношением (6.6),
рационально независимы, то спектр Каца (6.6) всюду плотным образом
покрывает интервал (Δ0, °°). Наоборот, если параметр (6.49)
принимает рациональные значения, т. е.
«+ = -у/Цр, «- = λ/ρΑΪ> (7.1)
где ρ и q — взаимно простые натуральные числа, то этот спектр имеет
дискретный вид:
_ (пр-тд)2-(р-д)2
Это выражение обладает следующими симметриями:
Δ(ρ+/π,ς+η) = Δ(πι,η)» (7.3а)
A(p-m,q-rt) = Δ0η,η)· (7.36)
Это означает, что каждое пространство У(т>П) = УА(тп) содержит в
действительности не один, а бесконечно много нуль-векторов.
Если τη < ρ, η < q, то из соотношения (7.36) вытекает, что кроме
нуль-вектора |Δ + L) с L = пт в У(т>П) имеется другой нуль-вектор
|Δ + L') с V = (р - m)(q - ή). Нуль-векторы |Δ + L) и |Δ + L')
независимы в том смысле, что |Δ + L') не лежит в подмодуле ΨΑ+ι с УА,
порождаемом нуль-вектором |Δ + Ι), и наоборот; см. [36]. Более того,
из результатов работы [36] следует, что остальные нуль-векторы,
существование которых диктуется соотношением (7.3а), являются
«потомками» нуль-векторов |Δ + Ι) или |Δ + ί/). Другими словами,
если Δ = A(m>n), т<ρ, η<q, то факторпространство
V(m'n) = Va+l®Va+l' (7'4)
неприводимо как представление алгебры Вирасоро.
Существование двух независимых нуль-векторов приводит к
дальнейшим ограничениям на структуру операторной алгебры.
Действительно, если τη<ρ, η<q, то из соотношения (7.36) следует, что
®(p-m,q-n) 4>(m,n)' \.'-Э)

76
Глава 7. Минимальные модели
В общем случае отнюдь не все члены разложения (6.31) удовлетворяет
этому условию. Элементарно проверяется, что условие (7.5) диктует
следующую структуру операторных разложений (6.31), щ <р, щ< q,
i = l,2:
h к,
ф(т1,п1)ф(т2,п2) =2-|2-|[ф(т0+2г,п0+2к)-'> ^'®
1=0 к=0
где т0 = \т1-т2\ + 1г п0 = \п1-п2\ + 1 и
L = min(m7· — 1, ρ — т,· -1), к-, = min(n7· — 1, о — п.- — 1). (7.7)
i=l,2 i=l,2
Из этих формул, в частности, видно, что если т^кр, fy < q, то все
первичные поля Ф(тзП), появляющиеся в правой части равенства (7.6),
также принадлежат этому множеству, т. е. т < ρ, η < q. Следовательно,
пространство
р-1 q-1
^(р/д) = |00[ф(т,п)]> (7.8)
т=1п=1
содержащее конечный набор конформных классов, образует
замкнутую алгебру относительно операторных разложений. Это можно
увидеть также из уравнений (6.47), определяющих структурные
константы. Вследствие отождествления (7.5) формально каждое
слагаемое входит в сумму (7.8) дважды (в действительности
подразумевается, что пространство M{p/q) содержит только (р — l)(q — 1)/2
независимых конформных классов); множитель 1/2 в формуле (7.8)
введен, чтобы учесть это обстоятельство. Операторная алгебра (7.8)
называется минимальной моделью *Jt(p/q). Очевидно, перестановка
ρ <—> q приводит к той же самой модели, так что в дальнейшем мы
считаем, что p<q, 1<р, 1 < q.
Условия ассоциативности операторной алгебры M{p/q)
проверяются, по существу так же, как это делалось в предыдущей главе для
общей алгебры вырожденных полей. В действительности
структурные константы С{тъп1){т2,п2){тг,пг) Для минимальных моделей M^plq)
можно получить из тех же уравнений (6.47), если положить
P=p/q. (7.9)
Следует подчеркнуть, однако, следующее обстоятельство. Операторная
алгебра, построенная в гл. 6, содержала только бесспиновые
первичные поля Ф(Ш,Л) с А(т п) = А(т п). При иррациональных значениях ρ
такой состав пространства j4o диктуется требованием локальности
полей Ф(т?П). Для любых рациональных чисел р, определенных
соотношением (7.9), существует, конечно, ассоциативная алгебра вида (7.8),

Глава 7. Минимальные модели
77
составленная только из бесспиновых полей Ф(т?П), которая возникает
как подалгебра в j4o. В то же время, в минимальных моделях, как
правило, можно построить локальные первичные поля с
ненулевыми спинами; соответственно, существует другое пространство
взаимно локальных полей (с тем же спектром размерностей), которое
тоже является ассоциативной операторной алгеброй. В принципе, такие
решения условий локальности и ассоциативности можно
рассматривать как новые модели теории поля. Однако есть все основания
полагать, что такие модели тождественны как динамические системы,
а отличаются только выбором системы «наблюдаемых». В
дальнейшем мы рассматриваем такие модели как различные «локальные
сечения» (см. конец гл. 3) одной и той же теории поля, и термин
«минимальная модель ^(p/q)», если не оговорено противное, понимается
в этом широком смысле.
Первичные поля, входящие в Mijplq), удобно организовать в
прямоугольную таблицу размера (р - 1) χ (q - 1), сопоставляя каждой
клетке поле Ф(т?П), 1^т^р-1, l^n^q-Ι (очевидно, две клетки,
отличающиеся преобразованием (7.5), отвечают одному и тому же
полю). Несколько примеров таких таблиц показано на рис.3, 4 и 6,
где в ячейках помещены размерности (7.2) соответствующих полей.
Значение центрального заряда с для модели *M{p/q) определяется
формулой
cHp/q) = l-^^. (7.10)
Рассмотрим подробнее модель ^(2/5), которая является, по-
видимому, простейшей нетривиальной минимальной моделью.
Пространство ^(2/5) содержит только два конформных класса [J] и [φ],
где бесспиновое первичное поле
Ψ = φ(ΐ,2) = Ф(1,з) (7.11)
имеет размерности Δ = Δ = —1/5. Структура операторной алгебры
определяется соотношением
φ(ζ,ζ)φ(Ρ,0) = {ζζ)2'5[Ι + ...] + (zz)1/5C[</?(0, 0) + ...], (7.12)
где структурную константу С = Ca2)a2)(lj3) = C(lj3)a3)a3) легко
получить из выражений (6.50) (см. [59]):
j ГЧ1/5) r^ll^
Ъ 5 Г(4/5)Г(3/5) L 2 J * υΛό)
Эта модель была исследована Карди (см. [59]), который
предположил, что модель Μ (2/5) описывает критическую точку,
соответствующую сингулярности Ли и Янга. Сингулярность Ли и Янга (см. [149])

78
Глава 7. Минимальные модели
появляется, например, в модели Изинга с Τ > Тс при некотором
чисто мнимом значении магнитного поля Η = ih как точка сгущения
нулей статсуммы. В термодинамическом пределе эти нули,
расположенные вдоль линии h > hc(T), сгущаются вблизи hc(T) с плотностью
pc^Qi — hc)a. Фишер (см. [81]) показал, что точка h = hc является
критической (т.е. корреляционный радиус расходится при /ι—>/ic), а
соответствующий класс универсальности можно описать
гамильтонианом Гинзбурга—Ландау
Ж= ^\{3μφΫ + ι{Κ-Κ€)φ + ιλφ3^ά2χ (7.14)
с мнимой константой связи /Я, причем показатель σ выражается
через аномальную размерность поля φ. Карди показал, что операторная
алгебра (7.12) в качественном отношении совпадает с той, которую
можно ожидать в теории (7.14), а размерность Δ = —1/5 поля (7.11)
хорошо согласуется с результатами ε (= 6 -D) -разложения (см. [64,81])
и численными оценками. Чисто мнимая величина константы (7.13)
связана при этом с мнимой константой связи в формуле (7.14).
Модель <М(2/5) отвечает значению
22
с = -у (7.15)
центрального заряда. При этом значении с конформный класс [J]
единичного оператора / = Фцд) = Φ(ΐ,4) содержит (точнее говоря, не
содержит), кроме стандартного нуль-вектора (4.78), независимый нуль-
вектор на уровне 4, определяемый формулой (4.80). Это означает, что
в модели <М(2/5) выполняются следующие уравнения:
Г4(г) = Г4(Ю = 0. (7.16)
В известном смысле их можно рассматривать как «уравнения
движения»; в них заключены все свойства модели ^#(2/5). Действительно,
рассмотрим операторное разложение (4.84) с произвольным
первичным полем А = ΦΔ. Сингулярные члены этого разложения, как следует
из соотношения (4.85), имеют вид
Γ4(*)ΦΔ(0, 0) = Δ(Δ + 1/5)*"4Фд(0, 0) +2(Δ+ 1/5)^"3а,Фд(0, 0) +
+ 1Ш*~2э2Фд(0' 0) + 2AZ~2(L"2 " 2(2^+1)ΐ2-0ΦΑ^ °) +
+ (2д+ш1+вг"Ч3ФлС0, о) + ^*-4*i-»(o, о) +
+ ^^Ч-3,(0,0), (7.17)

Глава 7. Минимальные модели
79
где поля Фд } и Фд J определены формулами (4.76). Если
выполняются уравнения (7.16), из соотношения (7.17) сразу следует, что
возможные первичные поля ΦΔ имеют размерности Δ = 0 или Δ = —1/5,
что совпадает со спектром модели ^(2/5). Кроме того, если Δ = 0,
т. е. ΦΔ = J, то правая часть равенства (7.17) обращается в нуль в силу
соотношений (4.78) и (7.16), а если Δ = —1/5, т. е. ΦΔ = φ, то из
соотношения (7.17) следует, что
<рС-2) = ^(-з) = 0# (7.18)
Это означает, что поле φ «дважды вырожденно» с нуль-векторами на
уровнях 2 и 3. Дифференциальные уравнения (6.18) и (6.19) также
можно получить непосредственно из уравнений (7.16).
Такая ситуация является общей для минимальных моделей. В
каждой минимальной модели *M{p/q) представление [0],
соответствующее единичному оператору, «дважды вырожденно», причем второй
(кроме Ь_г1) нуль-вектор находится на уровне (р — l)(q — 1). Это
легко увидеть из соотношения (7.5): / = Φ(ΐ?ΐ) = Φ(ρ_ι?ς_ΐ). Другими
словами, существуют «потомки» единичного оператора — поля T^p_lA_1-)
и Г^.^.ц с размерностями ((р - l)(q - 1), 0) и (0, (р - l)(q - 1)),
удовлетворяющие уравнениям
Поля Г(р_! q_D и Γζρ_ΐΛ_!) можно рассматривать как «составленные»
из полей Г и Г соответственно, а (7.19) — как «уравнения движения»
модели M{jplq). Аналогично уравнениям (7.17) уравнения (7.19)
выделяют весь спектр размерностей (7.2) cl^m^p — Ι,Ι^π^ς — Ι,τ. е.
пространство (7.8), и приводят к дифференциальным уравнениям для
корреляционных функций.
1/2
0
1/16
1/16
0
1/2
Рис. 3. Мъ
Рассмотрим еще один важный пример — модель ^(3/4) с
значением
с=\. (7.20)
В этой модели имеются поля Г(2,з) и ^(2,3) с размерностями (6,0)
и (0,6), удовлетворяющие уравнениям (7.19). Их можно выразить

80
Глава 7. Минимальные модели
через поля Г6(1) и Г6(2), определенные соотношениями (4.89а)—(4.896)
„ _T(D 1029^(2) ^ _γ0) 1029 ^т(2) f л
J(2,3) - 1в ~360~J6 > 1(2,3)~1в ~3б0~ 6 · V'Zi)
Соответствующие значения аномальных размерностей приведены
на рис. 3. Отметим прежде всего поле Φ(2,ΐ) = Фц,з) с размерностью
Δ(12) = 1/2. Условие локальности допускает существование ферми-
полей ч/)и^с размерностями (1/2, 0) и (0,1/2) соответственно; поле
•ф 0/0 порождает представление У(12) ® Уцд) (Уо-,ΐ) ®^α,2)) алгебры
Vir xVir. Согласно соотношению (4.43) эти поля должны подчиняться
уравнениям
д^ф = 0, θζψ = 0, (7.22)
т. е. 'φ =φ(ζ), φ) =-0(ζ). Операторные разложения
^(*Ж0) = £[/ + reg], (7.23а)
фШ(0) = ±[1 + ге$], (7.236)
яК*Ж0) = ί [>(0, 0) +...] (7.23в)
следуют из общих соотношений (7.6), (7.7); в формулах (7.23а), (7.236)
квадратные скобки обозначают вклад конформного класса [J] (reg —
слагаемые, регулярные при ^Д^0),агв формуле (7.23в)
—первичное бозонное поле с размерностями (1/2,1/2), порождающее
представление У(12) ® V(i,2)· При нормировке полей я/j, я/>, принятой в
разложениях (7.23), имеем гр+ = ίψ> ψ =—iip,s+ = e. Поля я/j, ψ, ε
взаимно локальны, а пространство
j4vv = [Ι] θ ВД Θ ВД Θ [ε] (7.24)
образует замкнутую ассоциативную операторную алгебру.
Из уравнений (7.22), (7.23) видно, что поля ψ и ψ являются в
действительности «правой» и «левой» компонентами свободного
безмассового ферми-поля. Это поле описывается действием
Hff = \\ Ь1>д*ф + $д%$] d2x, (7.25)
а компоненты тензора напряжений в этой теории просто связаны с ψ
и ψ:
где :: обозначает стандартное виково упорядочение свободных полей.
Нетрудно проверить, что формула (7.26) удовлетворяет операторным

Глава 7. Минимальные модели
81
разложениям (4.45), (4.46) со значением с = 1/2. Поле ίε равно,
конечно, :гргр:.
Рассмотрим теперь первичное поле Φ(2,ΐ) = Φ(2,2) — σ Β ~^(3/4).
Локальное поле σ имеет размерность (1/16,1/16). В то же время поля
ψ и ψ не могут быть локальными относительно σ; из (7.6) следуют
операторные разложения
00
αΚ*)σ(0,0) = Σ(2θη-1/2α_ησ(0,0),
Г (7.27)
%1>(Юа(.0,0) = £|(2θη-1/2α_ησ(0,0),
гг=0
которые служат определением операторов ап, ап, neZ. Видно, что
ψ и -0 почти локальны относительно σ с показателем γ(ψ,σ) = 1/2
(см. гл.2). Однако σ локально относительно ε. Нетрудно проверить,
что пространство
^ш = Ш θ [σ] Θ [ε] (7.28)
взаимно локальных полей образует замкнутую ассоциативную
операторную алгебру, причем
σ(ζ,Ι)σ(0,0) = (ζζ)"1/8 [/ + ·.·] + ±(*Ю3/81>(0,0) + ...], (7.29а)
ε(*,ζ)σ(0,0) = |(ζζ)"1/2[σ(0,0)+ ...], (7.296)
ε(2,ζ)β(0,0) = (ζζ)_1[/+...], (7.29в)
где множители 1/2 в формуле (7.296) и втором члене в формуле (7.29а)
легко получить из общей формулы (6.50): <С(1 ди.гза.з) =1/2.
Поле α0σ очевидно, имеет те же размерности (1/16,1/16),
однако оно не может совпадать с σ; локальное поле μ = (1 — ί)α0σ, как
следует из разложений (7.27), только почти локально относительно σ
с показателем γ{σ, μ) = 1/2. Оператор α0 в разложениях (7.27) не дает
ничего нового: μ = (1 + ΐ)α0σ. Поле μ обладает такими же свойствами
локальности относительно гр, как и поле σ. Операторы а0, а0
действуют на дублет полей (σ, μ) как (2 χ 2)-матрицы
'J' (7.30)
Поле μ локально относительно ε, а пространство
З'ш = [Л Θ [μ] Θ [ε] (7.31)
изоморфно пространству (7.28) как операторная алгебра.

82
Глава 7. Минимальные модели
Таким образом, ^#(3/4) описывает критическую точку модели
Изинга; см. [125]. Поля σ и μ идентифицируются с полями параметра
порядка и параметра беспорядка (а изоморфизм между
пространствами (7.31) и (7.28) отражает симметрию Крамерса—Ванье; см. [125],
а также [111]), а ε — с локальной плотностью энергии.
Формулировка модели Изинга как теории свободных фермионов (7.25) хорошо
известна; см [33,111,125]. Отметим, что пространства (7.24), (7.28)
и (7.31) являются подалгебрами («локальными представлениями»)
более широкой операторной алгебры, содержащей почти локальные
поля
•**т = Ш © [σ] θ [μ] Θ [ε] Θ ВД Θ ВД. (7.32)
Чтобы характеризовать эту алгебру, кроме формул (7.23), (7.27) и
(7.29) следует указать еще соотношение
σ(ζ,ζ)μ(0,0) = (2ζΓ1/2[ιΚ0) + ...] + (2ζ)"1/2 №(0) + ···]· (7.33)
Вычисление корреляционных функций модели ^#(3/4) на основе
дифференциальных уравнений (7.19) можно найти в работах [45,54].
Отметим еще раз характерное свойство поля Φ (1,3) — Φ(2,ΐ) Β
модели ^(3/4): операторное разложение произведения Ф(1зз)Ф(1,з)
содержит только представителей конформного класса [/]. Поле с этим
свойством есть в любой минимальной модели. Действительно, в модели
Л{$1ц) поле Q = Φ(ΐ,ς_ΐ) = Φ(ρ-ι,ΐ) имеет, согласно соотношению (7.6),
операторные разложения следующего вида:
QQ=IH. (7.34)
Следовательно, подпространство [Л Θ [Φ] с Jl{$lq) само образует
замкнутую операторную алгебру. Размерность поля Φ равна
(p-2)(q-2)
5 = Δας_υ = ^ · (7.35)
Если одно из чисел ρ или q четно, то эта величина имеет целое или
полуцелое значение; в такой модели M{jplq) можно построить
локальные поля Ф5 и Ф5 с размерностями (s, 0) и (0, s), подчиняющиеся,
аналогично тождествам (7.22), уравнениям
дЕф5 = о, а2Ф5 = о. (7.36)
Поля Φ5(ζ) и ФДЮ, вместе с Г (ζ) и Τ (ζ), можно рассматривать
как генераторы некоторой симметрии, которой обладает такая
минимальная модель. Алгебра генераторов этой симметрии не является,
вообще говоря, алгеброй Ли, хотя и включает алгебру Vir xVir как
подалгебру. Пространство ^(p/q), pqe 2Z, классифицируется по
представлениям этой более широкой алгебры. Алгебра «токов» Ф5/2> Фб/2>

Глава 7. Минимальные модели
83
появляющаяся в пространстве ^(4/7), рассмотрена в работе [152].
Смысл таких симметрии в более общем случае еще предстоит понять.
Ниже мы рассмотрим еще несколько примеров.
До сих пор мы практически не привлекали условие
положительности (см. гл. 2 и 4). Большинство минимальных моделей M{jplq)
заведомо не удовлетворяют этому условию. Это видно хотя бы из
того, что спектр (7.2) многих минимальных моделей (в
частности модели ^(2/5), рассмотренной выше) содержит отрицательные
размерности; кроме того, структурные константы M(jplq),
получаемые из соотношения (6.47), вообще говоря, комплексны. Можно
проверить, что «главная серия» минимальных моделей M{jplp +1),
ρ = 3,4, 5,..., свободна от этих недостатков. Однако выполнения
этих условий — положительности размерностей и вещественности
структурных констант — далеко не достаточно, чтобы обеспечить
унитарность теории.
Фридан, Чу и Шенкер (см. [92]) исследовали вопрос о
положительности метрики (4.40) в конформной теории. Если первичные
поля нормированы условием (4.56), то необходимо проверить
положительную определенность метрики (4.40) для потомков этих полей.
Так как конформный класс [Фдд] разлагается в прямое произведение
[Δ] ® [Δ], можно исследовать эту метрику в пространствах [Δ] и [Δ]
по отдельности. Метрика (4.40) в [Δ] имеет «блочно-диагональный»
вид в соответствии с разложением (4.69), где каждое из
подпространств [Δ, L] натянуто на векторы вида
L-niL-n2 · · -L-nN |Δ>, Щ ^ п2 ^ ... ^ ηΝ, (7.37а)
n1 + n2 + ... + nN =L, (7.376)
так что размерность подпространства [Δ, L] равна P(L) —числу
разбиений на сумму натуратьных чисел (7.376). Для выполнения
условия положительности необходимо, чтобы ни одно из подпространств
[Δ, L] не содержало состояний отрицательной нормы. Определитель
метрики (4.40), взятый по подпространству [Δ, L], был найден Ка-
цем в работе [107] (доказательство дано Б. Л. Фейгиным и Д. Б. Фуксом
в работе [36]); с точностью до общего множителя этот определитель
равен
Π (Α-ΑΜ)ρ«-™\ (7.38)
τη,η^Ι
где A(mn)(c) — спектр Каца (6.14).
Используя формулу (7.38), Фридан, Чу и Шенкер в работе [92]
получили следующий замечательный результат.

84
Глава 7. Минимальные модели
1. Представление [Δ] унитарно (т. е. не содержит состояний
отрицательной нормы), если
с ^ 1, Δ > 0. (7.39)
2. При с < 1 рассмотрим дискретный ряд значений с
Ср = 1~р(р + 1)' Р = 3>4>5,..., (7.40)
а при с = ср —следующий конечный набор значений Δ:
((p + l)m-pn)2-l
Л(т,п)- 4р(р + 1) ' С7/Щ
где 1 ^т^ρ — 1, l^n^p. Если с не совпадает с каким-либо из ср из
формулы (7.40) или если с = ср, но Δ не принадлежит набору (7.41),
представление [Δ] с с < 1 содержит состояния отрицательной нормы
и не может быть унитарным. Доказательство этой теоремы Фридана,
Чу и Шенкера можно найти в работах [91,92]. В последующих
работах на основе явной конструкции представлений (7.40), (7.41),
предложенной Годдаром, Кентом и Оливом в работе [99], было доказано,
что все представления [Δ(πιη)] с размерностью Δ^ п), определенной
формулой (7.41), и с с из формулы (7.40) унитарны. Таким образом,
представления [Δ] с параметрами (7.40), (7.41) исчерпывают все
унитарные представления алгебры Вирасоро с с< 1.
Значения (7.40) и (7.41) центрального заряда и размерностей
соответствуют «главной серии» минимальных моделей Л{р1ц) с q = р +1,
ρ ^ 3. В действительности утверждений приведенной выше теоремы
еще не достаточно для доказательства унитарности теорий поля
•42 (ρ/ρ + 1); необходимо еще обеспечить положительность норм
самих первичных полей Ф(Ш5п)· Очевидно, этой положительности
всегда можно добиться подходящей нормировкой полей при условии,
что все структурные константы С;™3'"3;, п )3 1 ^ т1 ^ ρ — 1,1 ^ пг ^ р,
в соотношении (6.34) вещественны. Вещественность всех
структурных констант в моделях Μ(ρ /ρ +1) доказана в работе [74]; она легко
выводится из явного вида этих констант (см. [74]) или из
уравнений (6.47) в случае ρ =р/р +1. Мы будем называть набор M{jplp +1),
р = 3,4,..., «унитарной серией» минимальных моделей и введем
для них специальное обозначение ^(р) =M{jplp + 1). Очевидно,
что из двух рассмотренных выше примеров модель ~^(3/4) = Л(3)
принадлежит унитарной серии, а ^#(2/5) —нет. Продолжим теперь
рассмотрение примеров минимальных моделей, сосредоточив
внимание на унитарной серии.

Глава 7. Минимальные модели
85
Спектр размерностей модели ^#(4) = ^(4/5), соответствующей
значению
с = 7/10, (7.42)
показан на рис. 4. Отметим прежде всего поле Фцд) — *(зд) с
размерностью 3/2. Как уже объяснялось выше, при этих условиях можно
построить локальные ферми-поля S(z) и S(z), удовлетворяющие
уравнениям (7.36) и имеющие размерности (3/2,0) и (0,3/2)
соответственно. Операторное разложение произведения S(z)S(0) содержит,
согласно соотношению (7.6), только вклад конформного класса [/], поэтому
соответствующие сингулярные члены легко выписать в явном виде:
S(z)S(0) = Л + § Г(0) + reg, (7.43а)
T(20S(0) = -pSCO) + £ a,S(0) + reg, (7.436)
где с = 7/10; коэффициент 2с/3 в первом члене в формуле (7.43а) —
результат соответствующей нормировки поля S; (7.436) — просто
частный вид соотношения (4.58). Такие же разложения выполняются
для полей S(z) и Г (ζ)· Легко доказать, что операторная алгебра,
определяемая соотношениями (7.43) и (7.45), ассоциативна при любом
значении параметра с.
3/2
7/16
0
3/5
3/80
1/10
1/10
3/80
3/5
0
7/16
3/2
Рис. 4. Жл,
Соответствующая симметрия называется суперконформной. Ее
можно рассматривать как симметрию (2 + 2)-мерного
суперпространства с координатами (ζ, ζ) = (ζ, θ; ζ, θ), где θ и θ антиком-
мутативны. Суперконформная группа — это множество подстановок
{ζ, θ) —»{ζ'{ζ, θ), θ'{ζ, θ)), конформно преобразующих «контактную
форму»
dz' + θ' άθ' = ρ{ζ,θ){άζ + θάθ), (7.44)
и то же самое для ζ, θ. Бесконечно малые преобразования с этим
свойством имеют вид
ζ —> ζ + ε(ζ) -ω(ζ)θ,
1 , (7.45)

86
Глава 7. Минимальные модели
где ω (ζ)— нечетная (т.е. антикоммутативная) бесконечно малая
функция, а штрих — производная. Операторы
Г Г
δε = ώ ε{ζ)Τ{ζ)άζ, δω = Φ co{z)S(z) dz (7.46)
J J
представляют генераторы преобразований (7.43) в суперконформной
теории поля и образуют так называемую алгебру Невье—Шварца—
Рамона. Двумерная суперконформная теория поля исследована в ряде
работ [47,77,93]; мы вернемся к ней в другой части данного обзора.
Сейчас отметим только, что ввиду соотношений (7.43) модель Μ (4)
обладает суперконформной симметрией.
Рассмотрим поля Ф1/10 = Ф(12) = Ф(3)3) и Ф(з55) = Фц,3) = Ф(з,2)»
имеющие размерности Δ(12) = 1/10 и Δ(13) = 3/5. Отметим, что 3/5 =
= 1/10 + 1/2, поэтому на самом деле можно построить четыре
локальных первичных поля
Φ — Ф(1/10Д/10)> * — Ф (3/5,1/10) >
Φ — Ф (3/5,3/5) > * = $(1/10,3/5)»
(7.47)
причем поля Φ и Φ фермионные. «Суперток» S(z) локален
относительно всех этих полей, поскольку из соотношения (7.6) следует,
например, что
S(*)$(0,0) = ^«"1[Ф(0,0) + ...], (7.48а)
SCzO*(0,0) = -7=2Γ2[Φ(0,0)+ ...]. (7.486)
ν5
Здесь множитель 1/-/5 введен для того, чтобы обеспечить
стандартную нормировку полей: (Ф, Ф) = 1, (Ф, Ф) = 1 и т. д. (напомним, что
поле S нормировано условием (7.43а), т. е. (S, S) = (7/15). Все поля (7.47)
взаимно локальны; соответствующая операторная алгебра
описывается сокращенными уравнениями
ФФ = [I] + [ф], фф = [/] + [ф], фф = [/] + [ф],
_ _ _ (7.49)
ФФ = [ф] + [S], ФФ = [Ф] + [S], ФФ = [Ф] + [X],
где X — первичное поле с размерностями (3/2,3/2), т. е., по существу,
произведение SS. В суперконформной теории поля (см. [47, 77,93])
поля (7.47) составляют супермультиплет, а пространство {Ф}^ =
= [Φ] Θ [Φ] Θ [Φ] Θ [Φ] является базисом неприводимого
представления алгебры Невье—Шварца (точнее говоря, прямого произведения

Глава 7. Минимальные модели
87
«правой» и «левой» алгебр Невье—Шварца); это же относится к
пространству {I}Ns = ίΠ θ [S] Θ [S] Θ [Χ]. Операторная алгебра
^ns = Uhs © Wns (7.50)
есть одно из возможных «локальных представлений» модели ^f(4).
Некоторые корреляционные функции полей (7.47) приведены в
работах [93,129].
Поля σ = Ф(2,2) и σ = Ф(2Д) имеют размерности (3/80,3/80) и
(7,16, 7/16). Эти поля почти локальны относительно S и S с
показателем γ = 1/2. Это видно из операторных разложений (8.6), например
00
5(ζ)σ(0,0) = 2*-3/2+"S_na(0,0), (7.51)
n=0
которые служат определением операторов Sn (и аналогично Sn). На
самом деле Sn — образующие алгебры Рамона (см. [136]), а
конформные семейства [σ] и [σ] являются неприводимыми представлениями
этой алгебры. Поля σ и σ взаимно локальны, а операторные
разложения их произведений имеют вид
σσ = [/] + [Χ], σσ = [Φ] + [Φ],
(7.52)
σσ = [Ι] + [Φ] + [Φ] + [Χ].
Соотношение (7.51) во многом аналогично (7.27). В частности, из него
также следует, что имеются «дуальные» поля μ и μ с теми же
размерностями (3/80,3/80) и (7/16, 7/16), которые почти локальны
относительно σ, σ с показателем 1/2. Каждое из пространств
^тш = [Л ® [σ] θ [σ] Θ [Φ] Θ [Φ] Θ [Χ], (7.53а)
j5fJM = [J] e [μ] e [μ] Θ [Φ] Θ [Φ] Θ [Χ] (7.536)
содержит только взаимно локальные поля и образует замкнутую
операторную алгебру (эти алгебры изоморфны друг другу). Симметрия
между пространствами (7.53а) и (7.536) аналогична симметрии Кра-
мерса—Ванье в критической модели Изинга ~#(3).
Фридан, Чу и Шенкер в работе [93] (основываясь на результатах
работ [65, 129]) предположили, что модель ^(4) описывает три-
критическое поведение статистических систем с изинговской
симметрией. Трикритическая точка может быть реализована, например,
в одноосном ферромагнетике со спином 1; модельный решеточный
гамильтониан можно выбрать в виде
Η = Σ £ Σ σχσχ+β + 1ισ1
г2
X
e=(m,ri)
σχ = 0, ±1. (7.54)

88
Глава 7. Минимальные модели
Рис.5
На рис. 5 схематически показана фазовая диаграмма такой модели.
Линия отделяет фазу со спонтанной намагниченностью I от
неупорядоченной фазы П. Сплошной участок соответствует переходу
второго рода с изинговским критическим поведением, а пунктирный —
переходу первого рода. Точка Г также является критической и
характеризуется собственными «трикритическими» показателями. С точки
зрения ренормализационной группы трикритическому поведению
соответствует в пространстве S взаимодействий с изинговской
симметрией Ζ2: σ —> — σ специальная неподвижная точка, имеющая
«неустойчивое многообразие» размерности 2. Согласно работе [93]
поля σ и σ модели ^#(4) представляют локальные параметры
порядка: σ, σ —> —σ, —σ при преобразовании симметрии Ζ2, а поля Φ
и Φ соответствуют Ζ2-симметричному неустойчивому многообразию
и описывают «термические» показатели трикритической точки.
3
7/5
2/5
0
13/8
21/40
1/40
1/8
2/3
1/15
1/15
2/3
1/8
1/40
21/40
13/8
0
2/5
7/5
3
Рис. 6. JC{$)
На рис. 6 показана таблица полей унитарной модели ЛС{5). Здесь
имеется поле Ф3 = Φ(ΐ,5) = Ф(зд) с размерностью Δ = 3, и можно
построить локальные бозонные «токи» W{z) и W(z), имеющие размерности
(3,0) и (0,3) соответственно. Эти поля также порождают некую
«высшую» симметрию модели ^(5) — «W-алгебру»; см. [79,152].

Глава 7. Минимальные модели
89
Здесь мы только укажем, что аналогично соотношениям (4.14), (4.15)
можно ввести операторы Wn, Wn, neZ, действующие в «четном»
2
подпространстве ^(even) сЛГ(5); ^(even) =00 [Ф(т,п)]; поля это-
т—1 п=1,3,5
го подпространства можно классифицировать по представлениям
«W-алгебры»:
№, Wm] = 3^T(n2-4)(n2-l)n5n+m + b2(n-m)An+m +
+ (n-m)[-^(n + m + 2)(n + m + 3)-|(n + 2)(m + 2)]Lm; (7-55)
[Ln,Wm] = (.2n-m)Wn+m,
где с = 4/5, а операторы Λη определены формулой (4.85).
Например, кроме бесспинового первичного поля ε = Φ(2,ΐ) = Ф(з,4) ((Δ, Δ) =
= (2/5,2/5)) можно построить также первичные поля W^s, W^s,
W^W^e с размерностями (7/5,2/5), (2/5, 7/5) и (7/5, 7/5)
соответственно. Последнее из них совпадает с бесспиновым первичным
полем Ф(зд) = Ф(2,4) е^(5)еп)· Сумма [2/5] Θ [7/5] двух неприводимых
представлений Vir является в рассматриваемом случае
неприводимым представлением W-алгебры. Поля «нечетного» подпространства
2
•^(5) =θθ [ф(т,п)]
т=\ п=2,4
почти локальны (с показателем γ = 1/2) относительно «токов» W
и W; это непосредственно следует из соотношения (7.6). В -MnL
также действует «W-алгебра», т.е. операторы VV^, Wk, fceZ + 1/2,
с теми же перестановочными соотношениями (7.55). Так, каждое из
подпространств [1/40]w = [1/40] 0 [21/40] и [l/8]w = [1/8] θ [13/8]
представляет собой неприводимое представление W-алгебры, причем
|21/40) = W_1/211/40) и |13/8) = W_3/2|l/8) (можно показать, что
W_1/2|l/8) = 0).
Для понимания симметрии и классификации полей модели Μ (5)
важно отметить существование первичного поля с размерностью
Δ(13) = А(з,з) = 2/3. Можно показать, что в теории ^(5) можно
построить почти локальные поля гр и гр+ (а также гр, гр ) с
размерностями (2/3, 0) (и (0,2/3)), т. е. с дробными спинами 2/3 (см. гл. 2),
удовлетворяющие, согласно соотношению (4.43), уравнениям
д*Ф = М>+ = 0, д2<ф = дг<ф+ = 0, (7.56)

90
Глава 7. Минимальные модели
т.е. ίφ=ίφ{ζ), ψ+ =ψ+(ζ); ψ=ψ(ζ), ψ =%1> (ζ). Поля ψίζ) и я/>+(г)
порождают замкнутую ассоциативную операторную алгебру [0] Θ
Θ [2/3]2 Θ [3], структура которой определяется операторными
разложениями
iK*iW*2) = (%-*2Г2/3[^+(*2) + ..-L (7.57а)
^(%)^+(*2) = (%-^2)-4/3[/ + |(%-^2)2Γ(^) + ...]. (7.576)
Мы называем ее «алгеброй парафермионных токов» Ψ3· «Левые» па-
рафермионные токи ψ (ζ) и я/; (г) порождают такую же алгебру, так
что в ^(5) действует алгебра Ф3 х Ф3. Алгебра Ф3 — частный
случай «алгебр парафермионных токов» ΨΝ, введенных в работе [35], где
также подробно обсуждается классификация полей модели М{Ъ) по
соответствующим неприводимым представлениям. Здесь мы отметим
только, что, как следствие симметрии Ф3 х фз> операторная алгебра
^(5) обладает инвариантностью относительно дискретной группы
Ζ3 (точнее, относительно Ζ3χΖ3, где Ζ3 —дуальная группа, см. ниже).
Например, бесспиновое первичное поле Ф(2?3) = ф(з?з) в
действительности представляет собой в М{Ъ) «дублет» взаимно локальных
полей σ и σ+ с одинаковыми размерностями (1/15,1/15), причем эти
поля отвечают неприводимым представлениям Ζ3, τ. е.
преобразования
Ωπ: σ -> ωπσ, σ+ -> ω~ησ+ (7.58)
являются симметрией операторной алгебры (здесь Ω — образующая
группы Ζ3: Ω3 =Ε, а ω = εχρ(2πί/3)); последняя описывается
сокращенными формулами
σσ = [σ+] + [Σ+], С7'59)
где X = W(z)W(jz) = Φ(1,5); ε = Φ(2,ΐ) и ε' — Ф(зд) —«Ζ3-нейтральные»
бесспиновые первичные поля с размерностями (3,3), (2/5,2/5) и
(7/5,7/5) соответственно, а Σ+ = \l)(z)%l)(z) — «заряженное» поле с
размерностями (2/3,2/3). Операторные разложения
ψσ+ = [μ], ψσ+ = [μ+] (7.60)
определяют взаимно локальные поля μ и μ+, имеющие те же
размерности (1/15,1/15), что σ и σ+, и, очевидно, почти локальные
относительно этих полей с γ{μ, σ) = γ(μ+, σ+) = —у(μ, σ+) = γ"(μ+, σ) = 2/3.
Поля μ и μ+ порождают замкнутую операторную алгебру с такой же

Глава 7. Минимальные модели
91
структурой (7.59), инвариантную относительно действия «дуальной»
группы Z3>
Ωπ: μ -> ωπμ, μ+ -> ω"πμ+, (7.61)
где Ω3=Ε.
В. С.Доценко в работе [73] показал, что модель ^(5)
описывает критическую точку трехпозиционной модели Поттса
(называемой еще Ζ3 -моделью Изинга). При этом поля σ и <т+
описывают параметр порядка в этой модели, а ε интерпретируется как
локальная плотность энергии. Поля μ и μ+ — «параметры
беспорядка» (см. [85]); симметрия операторной алгебры М{Ъ) относительно
замены σ, σ+ —> μ, μ+ отражает симметрию Крамерса—Ванье
трехпозиционной модели Поттса; см. [17,85].
5
23/8
4/3
3/8
0
22/7
85/56
10/21
1/56
1/7
12/7
33/56
1/21
5/56
5/7
5/7
5/56
1/21
33/56
12/7
1/7
1/56
10/21
85/56
22/7
0
3/8
4/3
23/8
5
Рис. 7. ^#(6)
В качестве последнего примера рассмотрим модель ^(6).
Соответствующая «таблица полей», показанная на рис.7, содержит
первичное поле размерности Δ(3)ΐ) = Δ(36) =4/3. Аналогично
предыдущему примеру в ^(6) можно построить почти локальные поля
ip(z) и ι/>+(ζ) (.ψ(ζ), Ψ СЮ) с размерностями (4/3,0) ((0,4/3)). Эти
поля порождают «алгебру парафермионных токов спина 4/3» Фд,
которая также обсуждается подробнее в [13,35]. Симметрия модели
относительно алгебры Ф3 x *з ДиктУет инвариантность операторной
алгебры ^#(6) относительно Z3 x Z3, причем поле Ф(3,з) — Ф(з,4) на
рис.7 описывает в действительности дублет взаимно локальных
«полей порядка» σ, σ+ и дублет соответствующих «полей беспорядка»
μ, μ+, почти локальных относительно σ, σ+ (γ"(μ, σ) = γ(μ+, σ+) =
= —γ{μ,σ+) = —γ·(μ+, σ) = 1/3). Все эти поля имеют размерности
(Δ(33),Δ(33) = (1/21,1/21). В работах [13,92] показано, что модель
Μ (6) описывает трикритическую точку Ζ3 модели Изинга. При этом
поля σ, σ+, определенные выше, а также поля σ, σ+ с размерностями
(10/21,10/21) описывают флуктуации «параметра порядка» в три-
критической точке. Поля ε и ε с размерностями (1/7,1/7) и (5/7,5/7)

92
Глава 7. Минимальные модели
соответственно являются синглетами относительно Z3x Z3; эти
размерности связаны с «термическими» показателями трикритической
точки.
Все операторные алгебры Л($), ρ = 3,4,5,..., выдерживают, как
это следует из соотношения (7.6), Ζ2-преобразование
*0п,п) -> (-)т+1Ф(т,п) При р ЧеТНОМ,
,, (7.62)
*Ы,п) -> (-)" ф(т,п) при ρ нечетном
(одна из 72-симметрий (6.52) операторной алгебры «вырожденных
полей» (6.34) нарушается в М{р~) вследствие отождествления (7.5)).
Укажем в связи с этим, что все модели ~М{р), ρ = 4,5,..., можно
интерпретировать как мультикритические точки статистических систем
со скалярным параметром порядка ψ и «изинговской» симметрией
φ^—φ. Действительно, Хьюз в работе [103] показал, что аномальные
размерности полей в моделях Mijp) согласуются с показателями,
описывающими «антиферромагнитные» критические точки точно
решаемых «моделей RSOS», открытых Эндрюсом, Бэкстером и Форрестером
(см. [41]), которые имеют как раз указанную выше интерпретацию
(см. [103]). Общие «η-критические» точки можно описать в терминах
гамильтониана типа Гинзбурга—Ландау, включающего слагаемые
ip2k с к>2, т.е.
Н =
J ■■ fc=i ■
d2x, (7.63)
где φ (χ)—локальный параметр порядка. Грубо говоря, «гг-критичес-
кое» поведение отвечает исчезновению 2гг - 1 первых производных
по φ в соотношениях (7.62), т.е. соответствующий класс
универсальности представляется эффективным гамильтонианом
Η = \[\^^2 + ^2η]ά2χ (7·64)
с подходящим образом подобранной константой Я (точная величина
Я, как и выбор «контрчленов» φ21ί, к<п,в соотношении (7.63),
обеспечивающий существование конформно-инвариантного решения
теории поля с действием (7.63), зависит от способа регуляризации
этого выражения). В работах [9,61] показано, что структура
операторной алгебры в М{тр) в точности соответствует той, которую можно
ожидать для конформно-инвариантного решения теории поля (7.62)
с η=р — 1. Если вМ{р) положить φ = Φ(2,2) и рекуррентно определить

Глава 7. Минимальные модели
93
«составные» поля : ук: как самые сингулярные при χ —> 0 члены
операторных разложений φ{χ): ^fc_1(0):, остающиеся после естественных
вычитаний (см. [9]), то мы получим
(7.65)
• 4>к := *(fc+i,k+i)> fc = 0,1, 2,..., ρ - 2,
: ^p-2+fc .= ф(к+и)^ fc = 1, 2, 3,..., ρ -2,
и
: (/>2^-3 :~ θμθμ(/>. (7.66)
Последнее соотношение выражает уравнение движения для теории
поля (7.63) с п = р — 1. При этом симметрия (7.61) в точности
соответствует инвариантности (7.62) относительно замены φ^—φ.

Глава 8
Конформная теория критической модели
Ашкина—Теллера
В предыдущей главе был построен набор точно решаемых моделей
конформной теории поля, связанных с вырожденными
представлениями алгебры Вирасоро. Фактически была дана полная классификация
по значениям центрального заряда с и по спектру размерностей
теорий со значением с < 1, удовлетворяющих условию положительности.
Величина с может принимать дискретный ряд значений (7.40).
При ρ —> оо в этой дискретной серии число первичных полей
увеличивается, а значения центрального заряда сгущаются к точке с = 1.
Представляет интерес исследование возможных конформных теорий
с этим значением центрального заряда: в дальнейшем мы увидим, что
этим значением характеризуются критические точки многих
двумерных статистических систем.
Представления конформной алгебры с с = 1 унитаризуемы при
всех значениях размерности первичного поля Δ > 0:
представления приводимы при Δ = η2/Λ с целым значением п. В отличие от
случая со значением с < 1, полной классификации теорий со
значением с = 1 не достигнуто. Здесь имеется, однако, как мы увидим ниже, по
крайней мере однопараметрическое семейство конформных теорий,
в которых спектр размерностей непрерывно меняется с изменением
параметра.
Исходным пунктом для последующего анализа является то
обстоятельство, что конформная алгебра со значением с = 1 появляется
в универсальной обертывающей алгебре для алгебры
сохраняющихся токов спина 1. Такая абелева алгебра токов является частным
случаем алгебр Каца—Муди, т.е. алгебр токов, ассоциированных
с конечномерными алгебрами Ли; см. [19]. Токи 1{ζ) и Τ(ζ) являются
первичными полями размерности (1, 0) и (0,1) соответственно, и их
операторная алгебра основана на следующих разложениях:
J(g)J(g/) = 2(g^g02+reg (8.1)

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 95
и аналогично, с заменой ζ—»ζ, для тока I. Раскладывая ток 1(ζ) в ряд
Лорана вокруг точки ζ = 0 и определяя операторы 1п,
/(*) = Σΐηζ~η-\ (8.2)
neZ
приходим обычным образом к следующей алгебре для операторов 1п:
UnJrrJ = ~2^m+n- (8-3)
То, что алгебра (8.3) представляет собой алгебру Гейзенберга,
неудивительно. В действительности рассматриваемая алгебра токов есть
операторная алгебра для свободного безмассового
конформно-инвариантного скалярного поля φ (ζ, ζ). На лагранжевом языке эта теория
описывается действием
Α[ψ] = 1 Πθμψγά2χ. (8.4)
Поле ψ {ζ, ζ) удовлетворяет уравнению движения
dzdzip(z,z) = 0, (8.5)
а токи I иТ связаны с ним простыми соотношениями
Ι(ζ) = ίθζφ(ζ, ζ), Τ(ζ) = ίθζφ(ζ,ζ)·
Отметим, что в разложении (8.2) оператор
С
не меняется при непрерывных деформациях контура С и отвечает
сохраняющемуся заряду теории. Мы будем называть его правым
зарядом (разумеется, аналогичным образом из поля Τ строится левый
заряд) скалярного поля φ, протекающим через контур С.
Представление старшего веса алгебры (8.1) строится стандартным
образом. Главный вектор Vp представления характеризуется
значением заряда ρ и удовлетворяет соотношениям
hVp=pVp, Щ=0 при/θθ. (8.8)
Соответствующее поле, отвечающее значениям ρ и ρ правого и
левого зарядов, может быть выражено через поле ψ (ζ, ζ):
VP9p(z,z) =: εχνν2ιρφ{ζ)-2ιρφ(ζ)ν.. (8.9)
(8.6)
(8.7)

96 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
Здесь φ (ζ) и φ (ζ) — соответственно голоморфная и антиголоморфная
части свободного поля φ (ζ, ζ),
φ{ζ,ζ) = φ{ζ) + φ(ζ), (8.10)
которые нормированы следующим поведением при ζ^>ζ'\
у(*М*0 = -|log(2-*0, у(*Ж*0 = -|log(*-s'). (8.11)
В соотношении (8.9) символ :: обозначает обычное нормальное
упорядочение в алгебре Гейзенберга (8.3).
Конформный тензор энергии-импульса теории строится из тока
1{ζ) по формуле Шугавары—Соммерфильда (см. [116,140])
T(z)=:I2(z) :, (8.12)
где выражение в правой части обозначает просто следующий член
в операторном разложении (8.1), т. е.
Γ(ζ) = lim [/(ζ+ <?)/(*) - 2^5] . (8.13)
Пользуясь соотношениями (8.1) и условием ассоциативности
операторной алгебры, нетрудно проверить, что определенное таким
образом поле действительно является тензором энергии-импульса,
т.е. удовлетворяет операторному разложению (4.45) со
значением с = 1, и что относительно такого тензора энергии-импульса ток
1{ζ) является первичным полем размерности 1. Действительно,
рассмотрим, например, разложение
г
Д*Ж0) = 2^7 Φ IWie)I(0)±de, (8.14)
J
(0)
где интегрирование идет по маленькому контуру, окружающему
точку ε = 0, против часовой стрелки. Деформируем теперь контур
интегрирования таким образом, чтобы увести его как можно дальше от
точек Ои^с тем чтобы можно было воспользоваться операторным
разложением в произведении Ι(ζ)Ι(0). При этом необходимо учесть
сингулярность при ε —> ζ, вычет в которой полностью определяется
соотношением (8.1). Получим
/(0)
г
2z2
ds
/(*Ж0) = ±ί+<\> =^-J(«)/(0)/(e). (8.15)
J
(со)
2πίε
Вычисляя сингулярные при ζ —> 0 члены, получим
ВДГ(0) = ψ +reg = ψ - !ψ +reg, (8.16)

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 97
т. е. выражение такого вида, что и (4.85) при Δ = 1. Аналогичным
образом вычисляется операторное разложение ГО)Г(О). Нетрудно
показать также, что поля с определенными зарядами Vpp также
являются первичными полями с размерностями (р2,р2). Важным
обстоятельством является то, что для общих значений заряда ρ токовый
модуль Верма, построенный над главным вектором Vp p, совпадает с
конформным модулем. Исключение составляет случай ρ = η/2 с целым п,
при котором конформный модуль вырожден, а в токовом модуле Вер-
ма появляются дополнительные состояния, являющиеся первичными
конформными полями.
Согласно соотношению (8.12) генераторы алгебры Вирасоро Ln
могут быть представлены через операторы 1п:
Ln=^IkIn-k при η /О,
Τ ^ С8.17)
fc>0
В частности, для любого первичного поля V имеем
dzV = 2J0/-iV. (8.18)
Это означает, что все поля (8.9), обладающие определенным правым
зарядом р, удовлетворяют следующим уравнениям движения:
dzVp = 2p:I_1Vp:. (8.19)
Все эти соотношения позволяют однозначно фиксировать все
корреляционные функции полей конформным полем размерности Vpp из
соотношения (8.9). Поле I(z), будучи, конформным полем
размерности 1, имеет следующее асимптотическое поведение:
7 (ζ) ~ \ при ζ -> оо. (8.20)
Поэтому для корреляционной функции
G(xl9 ...,хп) = (^^^(χι,Χι)...^^)^,^)) (8.21)
можно написать следующие тождества Уорда:
η
(i(z)V(Pbpi)(x1,x1)...y(Pn5pn)(xn,xn)> = 2^:G(x1, ...,xn). (8.22)
i=l l
Условие (8.20) означает, что функция G отлична от нуля, только если
ΣΡί = ΣΡί = 0· Из уравнений движения (8.19) получаем следующий

98 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
набор дифференциальных уравнений на функции G:
ΣΖΡίΡΐ
^^GO^, ...,хп), (8.23)
ϊΦί ι J
позволяющих, совместно с аналогичными уравнениями для
производных функций G по переменным хь вычислить сами эти функции G
с точностью до общего числового множителя:
С(хъ ..., хп) = А{ръ ..., ρη) Υ\(Χί -xj)2p^(xt-Xj)2^. (8.24)
Из сказанного выше можно заключить, что поля с определенными
значениями правого и левого зарядов Vpp (ввиду соотношения (8.9)
естественно называть эти поля «экспонентами от свободного бозон-
ного поля») образуют замкнутую операторную алгебру, причем
благодаря сохранению зарядов /0 и Г0 в операторное разложение
v<fc Α) (ζ> ^Ρζ,Ρύ С°.« = «**S4>A [V(p1+p2>p-1+p-2, (0,0) +...] (8.25)
входит только одно первичное поле. Другими словами, структурные
константы отличны от нуля, только если удовлетворяется требование
сохранения заряда, и при нормировке полей Vp^ условиями (4.57) они
равны просто
Г(Р1+Р2>Р1+Р2) — (Г - - __— 1 f ft 9£ϊ
(Ρι>Ρι)(Ρ2,Ρ2) ~~ ^(Ρι-Ρι)(Ρ2.Ρ2)(-Ρι-Ρ2.-Ρι-Ρ2) — * VP-avj
Отметим, что этими значениями структурных констант уравнения
конформного бутстрапа (5.31) тривиально удовлетворяются при
любых значениях зарядов (р, р), входящих в алгебру полей. В частности,
отлична от нуля только двухточечная функция вида
^2 _ о=г2
(Vip>p) (χ, χ) V(_p,_p) (0, 0) = х~2Р х~2Р . (8.27)
Таким образом, операторная алгебра, образуемая экспонентами
от свободных полей (8.9), удовлетворяет условию ассоциативности
при любых значениях зарядов рир. Требование положительности
ограничивает значения правого и левого зарядов вещественными
числами. Понятно, что полное пространство полей, отвечающее всем
вещественным значениям рир, слишком велико: в частности,
большинство полей в этом пространстве нелокальны относительно друг
друга. Поля У(Рър) и V(P2,p2) взаимно локальны, если
ΡιΡ2 ~ Р1Р2 е Ζ/2. (8.28)
Ясно также, что подпространство в этом пространстве, отвечающее
любой решетке в вещественном двумерном пространстве зарядов ρ

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 99
и р, также образует замкнутую операторную алгебру. Требование
взаимной локальности всех полей из некоторой решетки накладывает
определенное ограничение на выбор решетки. Нетрудно убедиться,
что такая решетка должна иметь вид р+р = β+πι, ρ — р = β_η с
целыми m, n и вещественными образующими /3+ и /3_, причем
произведение β+β- должно быть целым или полуцелым числом. Максимальной
взаимно локальной решетке отвечает произведение
/3+/3_ = 1/2. (8.29)
Такая решетка является максимальной в том смысле, что к
соответствующей подалгебре нельзя добавить больше ни одного поля
вида (8.9), которое было бы локально относительно остальных полей
решетки. При этом подалгебра содержит поля со спином 1/2.
Такой решетке отвечает следующий дискретный спектр правых
и левых зарядов:
Рт,п = β+™ + β-П, Рт}П = β+m - β_Π (8.30)
с целыми или полуцелыми тип. Такое квантование спектра зарядов
имеет интересную интерпретацию на языке свободного скалярного
поля φ. В соответствии с соотношением (8.6) имеем
άφ = -ι{Ιάζ + Ίάζ). (8.31)
Поэтому полное приращение поля ψ при обходе по замкнутому
контуру С составляет
Ααφ = 2π(ρ + ρ), (8.32)
где ρ и ρ — правый и левый заряды, текущие через контур С. Для
спектра (8.30) имеем
р + р = β+m, р-р = β-П, m,neZ, (8.33)
так, что возможные приращения поля ψ являются целыми кратными
величины 2π/3+. Это означает, что поле φ можно интерпретировать
как угловую переменную, определенную с точностью до целого
кратного этой величины:
φ (я, ζ) ~ ψ {ζ, ζ) + 2ητηβ+. (8.34)
Интересно отметить следующее замечательное свойство
дуальности рассматриваемой конструкции. Благодаря голоморфности и
антиголоморфности токов I и Τ дифференциал άχ{ζ, ζ) = —i(Idz — Tdz),
сопряженный к дифференциалу (8.31), тоже замкнут, и поэтому он
определяет дуальное скалярное поле χ (ζ, ζ), которое также
удовлетворяет уравнению (8.5) и является безмассовым свободным полем.

100 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
Разумеется, это поле нелокально относительно исходного
скалярного поля φ. При обходе замкнутого контура С вместо (8.32) имеем
Асх = 2пт{р — р) с целым т. Следовательно, дуальное поле χ тоже
можно интерпретировать как фазовое:
Χ (*, ζ)~χ (ζ, ζ) + 2πβ_η. (8.35)
Такая интерпретация полей ψ и χ согласуется с экспоненциальным
представлением дискретной подалгебры, отвечающей
рассматриваемой решетке:
vm,n = νφ+τη+β_η,β+τη-β_η) =: ννρ2ί{β-τηφ + β+ηχ):. (8.36)
В этой формуле πι, η е Ζ. Эти поля обладают следующим спектром
конформных размерностей:
(Атп, Атп) = αβ+πι + /3_n)2, Q8+m - /3_п)2), т,пе Ζ/2. (8.37)
Соответственно, спин поля
smn = 2mn (8.38)
является полуцелым, если т и η — оба полуцелые числа, и целым
в остальных случаях. Это согласуется с правилами операторной
алгебры, которые условно можно записать в виде
ν ην η ^ ν , т п , п . (8.39)
vm1,n1vm2,n2 vm1+m2,n1+n2' vy>.*Jsj
Поле У0,о совпадает с единичным оператором (чтобы не смешивать
этот оператор с оператором тока J, в этой главе мы будем обозначать
его символом 1).
В алгебре полей (8.36) имеются четыре первичных поля со спином
±1/2:
Ф1 = ^-1/2,-1/2* Φί = ^1/2,1/2* (g 40л
Φ2 = Vl/2,-1/2> *2 = ^-1/2,1/2·
Ниже мы увидим, что эти спинорные поля совпадают с
фундаментальными фермионными полями безмассовой модели Тирринга; см. [142].
Эта модель описывает взаимодействующее двухкомпонентное
комплексное фермионное поле ι/>(ζ, ζ) = 0фъ я/>2), которое в лагранжевой
формулировке описывается следующим действием:
Α[ψ,ψ+] = \
(ψ+3ζψ1+ψ+3ζιΡ2-§ψ+'φ1'φ+ιΡ2)(12χ, (8.41)
где g — константа четырехфермионного взаимодействия. В этой
теории имеется сохраняющийся ток j, j (см. [106]):
j=:Vi^ib J='^2^2· (8-42)

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 101
(здесь :: обозначает надлежащим образом определенное
произведение полей в одной точке), а фермионные поля удовлетворяют
уравнениям движения
δζ*Ψι = S -№i-, ^ζΦι = S •J/02·· (8-43)
Чтобы установить связь между полями (8.39) и фермионами модели
Тирринга, рассмотрим операторные разложения для спинорных
полей (8.40):
Ψ^ (я, я) Ψ ι (0,0) = ζ 2 z 2 χ
χ[ΐ+ίβ++β-)ζΐίθ)-φ+-β_)ζΤ(θ)+...ι roααλ
(ο.44 J
-l-^-ч s~ ~ч ίβ+~β-)2 Φ++β-)2
Φ^(£,£)Φ2(0, 0) = Ζ 2 ζ 2 χ
χ[ΐ-φ+-β^ζΐ(θ)+φ++β_)ζηο)+...].
Под произведением в соотношениях (8.42) мы будем понимать
следующие пределы (см. [106])
φ++β-)2 f
j = Ηπι(εε) 2 ч/if (e, ε)*Ψι(Ρ, 0),
(8.45)
Q8++JB-)2 ,
.+ /
j = lim(ee) 2 я/,+(е, e)^i(0, 0),
где черта над знаком предела соответствует усреднению по направле-
Φ++β-)2
ниям вектора раздвижки £, а выделение множителя {εε) 2
отвечает бесконечной перенормировке произведения полей в одной точке.
При этом
Я*) = Q8+ + J8J/(*), /(Ю = Q8+ + j8JJ(*)· (8.46)
Сравнивая уравнения движения (8.43) и (8.19), получим
^=Ый)Г· 0-=[щтЫ1/2· ®ю
Формула (8.24) дает корреляционные функции любого числа ферми-
онных полей модели Тирринга; см. [115].
Двумерная модель Ашкина—Теллера (см. [42]) описывает две
модели Изинга, связанные между собой локальным четырехспиновым
взаимодействием. Гамильтониан можно записать в виде
Я = ^[^5^ +К244 + Ls\s[si2sj2\, (8·48)
(hj)
причем изинговские спины s\ = ±1 и sl2 = ±1 размещены в узлах
плоской квадратной решетки и суммирование идет по всем парам
ближайших соседей. Если константа четырехспинового взаимодействия

102 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
L обращается в нуль, модель распадается на две
невзаимодействующие модели Изинга со связями между соседними спинами Κλ и К2
соответственно. Ниже будет рассматриваться случай, когда обе модели
Изинга находятся при одинаковой температуре Кг=К2. Такая система
называется изотропной моделью Ашкина—Теллера и обладает явной
74-симметрией. Именно, можно ввести другие спиновые переменные
по формулам
Si=^f> ϊ=Λ^-> (8·49)
при этом система инвариантна по отношению к глобальным Z4-npe-
образованиям
5 -> exp(ink/2)s, s+ -> exp(-i7ik/2)s+, k = 0,1, 2, 3. (8.50)
Более удобной является следующая параметризация больцмановских
весов, отвечающих каждому ребру решетки:
1 + Г л (Si S\ + S2579) + Y25i s' S2S'
Wis, s') = 1 + 2yi + y2 - (8·51)
Преобразование дуальности для этой системы позволяет перейти
к дуальным переменным μΎ и μ2 (параметрам беспорядка для
спиновых переменных sx и s2; см. [111]). При этом система оказывается
самодуальной на линии
2п+Г2 = 1· (8-52)
Отметим, что на этой линии модель с гамильтонианом (8.48) самоду-
альна не только как (Z2 х 22)-система (т. е. при переходе к μΎ и μ2),
но и как Z4-CHCTeMa: соответствующий параметр беспорядка тоже
является Ζ4-οιηηομ. Ему мы сопоставим переменные μ и μ+,
принимающие те же значения, что и s, s+ в формулах (8.49). Следует
подчеркнуть, что переменные беспорядка μ и μ+ отнюдь не связаны с μΎ
и μ2 локальными соотношениями, подобными (8.49); связь носит
более сложный нелокальный характер.
Фазовая структура изотропной модели Ашкина—Теллера весьма
богата и довольно хорошо изучена; см. [72]. Для нас
существенно, что отрезок линии (8.52) между точками (уь у2) = (1/3,1/3)
и (уь γ2) = (1/2, 0) отвечает линии фазовых переходов второго
рода, вдоль которой критические показатели непрерывно меняются;
см. [ПО]. Критическую линию принято параметризовать
величиной у:
cos0uy/4) = 2{1-γ2Υ (8-53)

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 103
причем на рассматриваемом отрезке 0<у <4/3. В пространстве
взаимодействий этой линии отвечает линия неподвижных точек ренор-
мализационной группы. В конформно-инвариантных теориях поля,
отвечавших этим неподвижным точкам, имеется скалярный оператор
с размерностью (1,1), обеспечивающий смещение вдоль этой линии.
Сингулярности в направлении, поперечном к линии фазовых
переходов, определяются энергетическим оператором ε, имеющим
размерность (Δε, Δβ), где
1_
2(2-у)'
Δ, = τττ^^, (8.54)
которая меняется от 1/4 в точке у = 0, отвечающей четырехпозици-
онной модели Поттса (см. [112]), до величины 3/4 при у = 4/3.
Отметим, что у = 1 — это именно та точка, где система распадается на две
невзаимодействующие модели Изинга. При этом, как и должно быть,
Δβ = 1/2.
Кроме модели Ашкина—Теллера упомянутая линия неподвижных
точек в пространстве взаимодействий контролирует критическое
поведение еще ряда статистических систем. К ним относятся точно
решаемая восьмивершинная модель Бакстера (см. [5]), где также
имеется линия фазовых переходов второго рода, на которой
восьмивершинная модель сводится к шестивершинной модели льда. Спектр
трансфер-матрицы модели льда связан со спектром гамильтониана
анизотропной цепочки Гейзенберга — так называемой XXZ-модели;
см. [5]. Таким образом, эта линия неподвижных точек описывает
инфракрасное поведение (т. е. поведение корреляционных функций
на больших расстояниях) в последних двух моделях.
Из спиновых переменных sx и s2 и соответствующих дуальных
переменных μΎ и μ2 можно стандартным образом составить
решеточные фермионы xj)1 и i/j2· Как установлено в работах Каданова
и др. [ПО], на рассматриваемой линии фазовых переходов
критические корреляции непрерывных спинорных полей, отвечающих
этим решеточным фермионам, описываются безмассовой моделью
Тирринга (8.41). Поэтому описанная выше конформная теория с
центральным зарядом с = 1 применима для описания критической линии
модели Ашкина—Теллера. В частности, упомянутому выше оператору
размерности (1,1) отвечает в этой теории скалярное поле Ι{ζ)Ί(ζ),
составленное из токов (8.6), а энергетическому оператору ε
сопоставляется поле У0д + Уо,-ъ следующим образом связанное с фермионами
модели Тирринга:
£ = ^2 + ^1 (8.55)

104 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
и отвечающее непрерывному пределу решеточного выражения s^ +
+ s2s'2, гДе s и s' — спины в соседних узлах решетки. Сравнивая
размерность этого оператора Δ^ = β2 (где β_ определяется формулой
(8.47)) с формулой (8.54), можно найти связь между параметром
критической линии модели Ашкина—Теллера и параметрами модели
Тирринга
У = ^Т- (8-56)
Рассматриваемому участку отвечает интервал —1/3 < g < 1/5:
разумеется, при g = 0 мы имеем теорию с двумя свободными безмассовыми
фермионами, т. е. две критические модели Изинга. Отметим еще, что
решеточному оператору 5Х52 (а также μχμ2) отвечает комбинация
полей V0,i/2 и ^b,-i/2 размерности ]8?/4. Это согласуется с тем, что такие
операторы нелокальны относительно фермионов Тирринга и меняют
знак при их обходе. То же касается полей вида ε1μ2 и 52μι, которые
могут быть скомбинированы из операторов V±1/20 размерности /3+/4.
Формула (8.24) позволяет построить корреляционные функции всех
этих полей.
В дальнейшем очень важным будет то, что токи / и /являются
билинейными комбинациями фермионных полей, т. е. возникают в
операторном разложении локальных произведений вида 5152μ1μ2.
Поэтому токи меняют знак при обходе любого из спиновых полей $ъ s2, μλ
и μ2. С точки зрения конформной теории поля эти операторы можно
интерпретировать как рамоновские состояния для тока свободного
скалярного поля I (8.6). Ниже будет построено пространство рамо-
новских состояний для тока J, и мы увидим, что основное состояние
в этом секторе имеет конформную размерность 1/16. То, что
размерности спиновых полей s1hs2b модели Ашкина—Теллера не меняются
при движении вдоль линии фазовых переходов и равны (1/16,1/16),
было установлено в работах [ПО].
Абелев ток / не меняется при обходе полей (8.9), и поэтому
такие поля обладают определенными значениями зарядов. Рассмотрим
теперь рамоновские состояния для тока 1{ζ), т.е. поля, при обходе
вокруг которых ток меняет знак. Помещая такое поле в точку ζ = 0,
запишем
/(2) = Σ/π-ι/2«"π"1/2· (8-57)
neZ
Операторы /π_ι/2 удовлетворяют коммутационным соотношениям
IXn-i/2> 4+1/2] — 2 ^т+п. (8.58)

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 105
Стандартным образом строятся представления старшего веса для
алгебры (8.58). Главный вектор, который мы будем называть рамонов-
ским вакуумом и обозначать σ0, выделяется следующими
свойствами:
^1/2^о = ^з/2^о = h/2°o = ... = 0. (8.59)
Пространство, образуемое действием операторов /fc_1/2 с к ^ 0 на ра-
моновский вакуум (токовый модуль Верма), представляет собой
пространство рамоновских состояний тока I(z).
Построенный по формуле (8.13) конформный тензор энергии-
импульса имеет в рамоновском секторе вид
Γ(2θ = Χ|ιη*-"-2,
i-„ = ^]/fc-i/2/n-fc+i/2, η φ 0, (8.60)
neZ
L0 = 1/16 + 2 У; I-k+i/2h-i/2·
к>0
В частности, последнее выражение в сочетании с соотношениями
(8.59) означает, что рамоновский вакуум σ0 является первичным
конформным полем и его размерность равна 1/16. В дальнейшем
мы будем сопоставлять это поле непрерывному пределу спиновых
операторов модели Ашкина—Теллера.
Интересно, что в отличие от однозначных состояний типа (8.9),
где в общем случае (исключение составляет случай ρ = п/2 с целым п)
токовый модуль совпадает с конформным, токовый модуль,
построенный на рамоновском вакууме (8.59), приводим относительно
конформной алгебры. Например, оператор
σι = 2Ι_1/2σ0, (8.61)
как нетрудно проверить, тоже является конформным первичным
полем с размерностью 9/16. Далее, первичным является также поле
σ2 = |α-3/2-4ί1/2)σ0, (8.62)
и оно имеет размерность 25/16. Полностью исследовать конформное
содержание рамоновского пространства нетрудно. Назовем
номером уровня в этом пространстве собственное значение оператора
L0 —1/16 и построим характер токового модуля, т. е. сумму вида
XRit) = t1/ie ^ tnN(n), (8.63)
ne(Z/2)+

106 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
где N(n)—размерность пространства рамоновских состояний на
уровне п. Легко понять, что
00
Й.Ю = t1'16 П(1 -1»"»/*)-1. (8.64)
fc=l
Выделяя характеры неприводимых представлений конформной
алгебры (а все эти представления даются конформным модулем Верма,
поскольку ни одно из рамоновских состояний не имеет размерности,
отвечающей приводимому конформному представление), получим
00 , 00
Е^о"с llii-t^^-lJ 16 · (a65)
fc=l fc=0
Таким образом, первичные конформные поля появляются в
токовом модуле на уровнях с номером п(п + 1)/4, η = 0,1, 2,..., причем
конформно-инвариантное подпространство на каждом таком уровне
одномерно. Это значит, что имеется серия первичных полей аъ к > О,
с размерностями (2к +1)2/16. В дальнейшем нам понадобятся
следующие операторные разложения, вытекающие из соотношений (8.60)
и (8.61):
/(*)σ0(0) = ^"1/2σ1(0) + Ο(^1/2),
Г (8.66)
/(*)*!«>) = ^-3/2σ0(0) + 2^-1/2θ,σ0(0) + Ο(^1/2).
Здесь использовано равенство
1-Ύσ0 =/21/2сг0. (8.67)
Ясно, что произведение двух рамоновских полей σ0(χ1)σ0(<Χ2)
является однозначным оператором, т.е. 1{ζ) не меняется при
одновременном обходе точек хг и х2 в комплексной плоскости. Поэтому это
произведение может быть разложено по состояниям с определенным
значением заряда:
σ0(χ)ο-0(0) =ΣχΡ2-1/*(γρ(0) + ...). (8.68)
ρ
В соотношении (8.68) не выписана бесконечная сумма полей,
обладающих тем же зарядом р, что и первичное поле Ур, и входящих
в соответствующее ему представление алгебры токов (8.1), т. е.
токовых потомков. Как уже отмечалось выше, дли общих значений ρ это
пространство совпадает с конформным модулем Верма. Поэтому эти
состояния являются конформными потомками оператора Vp, вклад

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 107
которых, как показано в гл. 5, полностью фиксируется требованиями
конформной симметрии.
Ниже мы рассмотрим «токовый блок» для четырех основных рамо-
новских полей σ0, τ. е. функцию
G4(Xi) = (σ0(Χι)σ-0(χ2) Ι σ0(χ3)σο(*4)>> (8·69)
Ρ
где ί = 1, 2, 3,4 и в разложении произведения σ0(χι)σ"ο(χ2) выделены
состояния с зарядом ρ (соответственно конформной размерностью
А=р2):
σο(Χι)σ0(χ2) = (х1-х2)А~1/8 :ехр(2ф(/>(х2)): +... (8.70)
Сказанное выше означает, что эта функция есть конформный блок,
определенный в гл. 5. Как обычно при рассмотрении блока, мы
интересуемся только вкладом правой алгебры токов или правой
конформной алгебры, поэтому во всех выражениях опущена зависимость от
переменных х{. Оказывается, дополнительная симметрия теории
относительно алгебры токов (8.1) позволяет явно найти этот
конформный блок.
Рассмотрим функцию
Γ4(2,*ί) = (/(^)σ·0(Χι)σ0(χ2) Ι σ0{χ3)σ0{χΑ)). (8.71)
ρ
Согласно разложениям (8.66) при ζ —> xt имеем
r(2f,xi) = 0((2f-jcir1/2).
Кроме того, при £—> оо асимптотически Г(я,х{) = 0(1/ζ2) (см. (8.20)).
Эти условия однозначно определяют зависимость корреляционной
функции (8.71) от ζ:
TA{z,xi)=y~1A{xi), (8.72)
где
y2 = (z-x1)(z- х2) {ζ - хъ) {ζ - х4). (8.73)
Здесь уместно отметить, что выражение (8.72) представляет собой
единственный голоморфный дифференциал на римановой
поверхности эллиптической кривой (8.73).
Условие блока (8.70) позволяет связать величину А{х{) с
корреляционной функцией G(x^). Именно,
Г dz
CU?rr4(2f,Jcf)=pG4(Jci), (8.74)
j
с
2πί

108 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
где контур интегрирования С охватывает в комплексной плоскости
точки х1их2. Это приводит к соотношению
А{х{)Ж{х{) = 2nipG4(Xi), (8.75)
где
Г dz
Х{хд = Φ — (8.76)
J У
с
есть полный эллиптический интеграл первого рода. Он выражается
через приведенный интеграл
ι
К{х) = \ [t(l-t)(l-*t)r1/2dt (8.77)
о
следующим образом:
Ж{хд = 4[х31хл2Г1/2К{х), (8.78)
где используются обозначения хц = Xi~Xj и введен проективный
инвариант четырех точек х^
χ=ΤΊΓ· (8·79)
Применяя операторные разложения (8.66), например при £—>х2>
получим
A&i) = τ [^21^23^24]1/2(°O(^ΐ)σ"ι(Χ2) I ^(^з^оО^))· (8·80)
z ρ
Аналогичным образом, используя условие блока для функции
(/(2?)σ0(Χι)σ0(:τ2) | σ0(χ3)^ο(^4)> = У_1(|г| + С(х£)) (8.81)
с некоторыми неопределенными функциями В{х{) и С(х^), получим
2ίπρ(σ0(χ1)σ1(χ2) Ι σ0(χ3)σ0(χ4)) = \^(хд + 2В(хд — )ЯГ(х{).
(8.82)
Снова «сливая» ток 1{ζ) с точкой х2, находим неопределенные
функции

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 109
Все это вместе приводит к следующему дифференциальному
уравнению для блока G4(Xi):
^3/ЧХг)-^-2КХ21Х2зХ2л)т^1/2ШСл{хО] =
= -4π2ρ2{χ21χ23χ2Λ)-7/8βΛίχί). (8.84)
Разумеется, такое же уравнение получается при замене точки х2
любой другой точкой хг. Поэтому
G4(*i) = РМЫх), &л0с0 = Y\x~1/8JT1/2ixO, (8.85)
причем g(x) удовлетворяет уравнению
dg _ n2p2g(x)
дх ~ 4хО—х)К(.хУ l°'OOJ
Это уравнение легко интегрируется:
gQc) = ехр(шр2т), (8.87)
где
τ = ίΚ'(χ)/Κ(χ), К'(χ) = K(l - χ), (8.88)
есть отношение периодов для эллиптической кривой (8.73). Приводя
блок (8.85) к стандартному виду хг = 0, х2 = х, х3 = 1 и х4 = <*>, получим
£ίπρ2τ
G^Xi) = [xa-xWWHxr (8'89)
Отметим, что это выражение было также найдено путем прямого
решения уравнений (5.13) в пространстве представления алгебры Вира-
соро с с = 1 в работе [15].
Появление величин, связанных с эллиптической кривой (8.73),
в приведенных выше вычислениях не случайно. Граничные условия,
наложенные на токи 1{ζ) и Τ(ζ) при обходе точек, где расположены
рамоновские поля σ0, означают, что скалярное поле φ фактически
определено на двукратно накрывающей плоскость ζ римановой
поверхности кривой (8.73). Точки хъхъхъ и х4 являются точками
ветвления этого накрытия: понятно, что на токи I и I наложено
дополнительное условие — они антисимметричны по отношению к
замене листов римановой поверхности.
Вообще, рассмотрение конформной теории поля на римановых
поверхностях весьма естественно; см. [90,124]. При таком
рассмотрении основным объектом, заменяющим набор корреляционных функ-

110 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
ций при обычном анализе на бесконечной плоскости, является
статистическая сумма; см. [90]. Статистическая сумма Ζ двумерной
квантовой теории поля на поверхности (которую мы будем считать
компактной и ориентируемой) определяется топологией, т. е. в данном
случае родом поверхности g, и метрикой £аь(£), где ξ — некоторая
система координат на поверхности. Изменение статистической суммы
при бесконечно малой вариации метрики 5gab задает другой важный
объект — среднее значение тензора энергии-импульса (Τα6(ξ)>:
47i<51ogZ[gab] =
d4(Tab)5gab^. (8.90)
Инвариантность статистической суммы при действии группы
диффеоморфизмов поверхности на метрику обеспечивается сохранением
тензора энергии-импульса
(VaTab> = 0, (8.91)
где Va — ковариантная производная относительно метрики gab.
Преобразованиям Вейля метрики gab —»gab(l + δφ) отвечает след тензора
энергии-импульса
4n5\ogZ = -
δφ{Τώξώ)^ά2ξ. (8.92)
Как показал А. М. Поляков в работе [132], в конформно-инвариантной
теории на поверхности с внутренней кривизной, в отличие от
плоского случая, след тензора энергии-импульса в нуль не обращается.
Вместо этого имеет место соотношение
Tabgah = -£Д, (8.93)
где R — скалярная кривизна метрики gab. Это явление носит название
конформной аномалии. Соотношение (8.93) определяет
трансформационные свойства статистической суммы при вейлевских
преобразованиях метрики
Z[e^gab^)] = Z[gab(C)]e^[^], (8.94)
где AL [χ, g] —действие Лиувилля для поля χ в метрике gab,
AdX,g\ = ί d4y/g[lgahdaxdbx + xRg], (8.95)
a Rg — скалярная кривизна метрики gab.
Именно конформная аномалия ответственна за появление
аномального закона преобразования тензора энергии-импульса (4.61)

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 111
при конформных заменах координат. Подчеркнем, что «физический»
тензор (8.90) обладает, разумеется, обычными тензорными
трансформационными свойствами. Конформный тензор энергии-импульса,
рассматриваемый в конформной теории поля и обладающий
аномальным законом преобразования, отличается от него на «тензор
Лиувилля», определяющийся зависимостью статистической суммы
от действия Лиувилля. Эта величина не имеет тензорного характера:
в локальной изотермической системе координат, где метрический
тензор имеет вид gab(£) = 5аъ^^\ zz~ и ^-компоненты «тензора
Лиувилля» можно записать в виде
TL = ^ζφ)2-232ζφ), TL = ±{{3-ζφ)2-232-φ), (8.96)
а след совпадает с полным следом (8.93). Этот тензор ковариантно
сохраняется в каждой изотермической системе координат, а при
конформных преобразованиях, связывающих две такие системы,
преобразуется аномально:
TLMdw2 + ^{z,w}dw2 = TL{z)dz2. (8.97)
Таким образом, конформный тензор
^conf = Tphys ~ TL (8.98)
не имеет следа и преобразуется в соответствии с формулой (4.61). Мы
видим, что числовой коэффициент с в формулах (8.93) и (8.94)
совпадает с величиной центрального заряда в алгебре конформных
преобразований теории поля.
Таким образом, изменение статистической суммы при вейлевских
преобразованиях метрики имеет простой и легко контролируемый
вид, так что по существу статистическая сумма зависит только от
класса конформной эквивалентности поверхности, т.е. от модулей
римановой поверхности.
Конформный тензор энергии-импульса на римановой
поверхности имеет следующий точный смысл; см. [90]. Рассмотрим
координатную окрестность на поверхности с локальной координатой ζ
и выберем на поверхности такую метрику, совместимую с
комплексной структурой, которая в рассматриваемой окрестности имеет вид
ds2 = dz dz. В любой метрике, удовлетворяющей этим условиям,
вариация статистической суммы при бесконечно малой вариации
метрики \dz\2 —> \dz + μ{ζ, ζ) dz\2, описываемой дифференциалом Бельтрами
μ(ζ, ζ) dz/dz (т. е. (-1,1)-формой на поверхности), определяется фор-

112 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
мулои
5\ogZ= | ^ρ<:τ(*))μ(*,Ι) (8.99)
при условии, что носитель μ{ζ, ζ) расположен в рассматриваемой
окрестности. Нетрудно проверить, что соотношение (8.94)
эквивалентно аномальному закону преобразования для среднего значения
конформного тензора энергии-импульса (Τ{ζ)).
Дифференциалы Бельтрами связаны с вариациями комплексной
структуры римановой поверхности. Точнее говоря, линейное
пространство классов дифференциалов Бельтрами по отношению к
эквивалентности μ(ζ, ζ) ~ μ(ζ, ζ) + д%е(%, ζ), где ε (ζ, ζ) — глобальное
векторное поле на поверхности, совпадает с голоморфным касательным
пространством к пространству модулей римановых поверхностей
заданного рода. Для нас важно, что если риманова поверхность задана
как разветвленное в точках хь ί = 1, 2,..., π, накрытие комплексной
плоскости (точнее сферы Римана), то модули можно задавать
расположением точек х{ с точностью до проективных преобразований
(разумеется, при фиксированной топологии «склейки» листов
римановой поверхности). При этом изменению комплексной структуры
поверхности, связанному со смещением одной из точек ветвления
х{^>х{ + 5хь сопоставляется класс дифференциалов Бельтрами с
представителем μδχ., являющимся распределением с точечным носителем
в точке ветвления х{. Этот дифференциал Бельтрами может быть
записан в виде μδχ. = д^е5х[%)9 где εδχ.{ζ)— мероморфное
векторное поле, локально определенное в окрестности точки ветвления;
порядок его полюса в точке ветвления определяется порядком точки
ветвления. Важно, что независимо от порядка ветвления в
координате разветвленной проекции на сферу ζ (разумеется, эта координата
не является локальной униформизующей в точке ветвления) это поле
постоянно в окрестности точки ветвления εδχ\χ{) = δχ{. Поэтому из
соотношения (8.99) в этом случае следует, что
SlogZ = ί Τ{ζ)εδΧί{ζ)^ = δχ, Ι Τϋζ)^. (8.100)
с с
Контур С охватывает точку ветвления на римановой поверхности:
например, для корневой точки ветвления он дважды обходит х{
против часовой стрелки. Подчеркнем еще раз, что в силу аномального
закона (4.61) выражение (8.100) относится к вариации
статистической суммы в метрике, имеющей вид \dz\2 в координате ζ проекции
на сферу.

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 113
В рассматриваемом нами случае эллиптической кривой (8.73)
с дополнительной симметрией I —>—I при у —> —у тензор энергии-
импульса является однозначной функцией на плоскости ζ. При этом
соотношение (8.100) имеет вид
с
δ logZ = 2δχ{ ψ Τ (ζ) ψ-., (8.101)
2πί'
с
где С' охватывает х{ один раз. Это соотношение следует сравнить
с формулой (4.12) для вариации корреляционных функций при
изменении положения одного из входящих операторов. Мы заключаем,
что зависимость блока (8.89) от координат xi такая же, как у
квадратного корня статистической суммы свободного скалярного поля
на эллиптической кривой (т. е. на комплексном торе) с
упомянутыми выше граничными условиями на ток (т.е. антисимметричность
при автоморфизме у —> —у и выделение определенного заряда,
протекающего через замкнутый контур на торе). Квадратный корень
соответствует тому, что выше поле рассматривается лишь на одном
из листов римановой поверхности. Ограничение, накладываемое
на величину заряда, протекающего через замкнутый контур на
поверхности, или, что эквивалентно, на конформный класс состояний,
входящих в операторное разложение в этом канале, означает, что мы
фактически имеет дело с «тороидальным» конформным блоком.
Рассуждения, аналогичные использованным выше, позволяют
вычислить блок GQq), i = 1, 2,..., 2g + 2, связанный с корреляционной
функцией произвольного четного числа 2g + 2 основных рамоновских
полей σ0:
G2g+2(x0 = (ο"ο(^ι)σο(^2)···^ο(^+2)>· (8.102)
Рассматривая поведение корреляционной функции Г2^+2 (ζ, хд =
= (/(^)σ0(χι)...σ"0(^+2)) при г—*jcf и £—> оо^ мы видим, что как
функция переменной ζ величина r2g+2(z>x0dz представляет собой
голоморфный дифференциал на римановой поверхности
гиперэллиптической кривой рода g:
2g+2
у2= Π(*-*ί>· (8·103)
ί=1
Таким образом, в общем случае многоточечного блока мы имеем
дело с гиперэллиптической римановой поверхностью. Чтобы
фиксировать условие блока, мы выберем набор из g непересекающихся
циклов Аа, а = 1, 2, ...,g, в комплексной плоскости, как изображено на

114 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
рис. 8. Этот набор составляет половину канонического базиса циклов
на римановой поверхности кривой (8.103). Вторую половину
составляют g таких циклов Ва, что индексы пересечений циклов Аа и Ва
равны
Аа оАъ = Ва оВъ = 0, АаоВъ = -ВъоАа = 5аЪ. (8.104)
Для дальнейшего будет удобно фиксировать также определенный
набор В-циклов, например, как показано на рис. 8.
Рис.8
Мы будем считать, что в двухточечных каналах, содержащих
пары операторов σ0{χ2^-\)σ0{χ20, к = 1,2,..., g +1, протекают соответ-
ственно заряды рк (из сохранения тока следует, что Σ Рк = 0> так чт0
fc=l
всего имеется g независимых зарядов ра, а = 1, 2,..., g), таким
образом G2g+2 (хд является многоточечным блоком, отвечающим
диаграмме на рис. 9. Это означает, что
Φ r2g+2(Xχΰ dz = 2πΨα&28+2(χΰ> α = 1,2,..., g. (8.105)
На римановой поверхности рода g имеется g линейно
независимых голоморфных дифференциалов. В базисе дифференциалов va dz,
а = 1,2, ...,g, нормированном относительно выбранной системы
А-циклов
&vbdz = 2πίδώ, (8.106)
J
Α.

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 115
*1
Рис.9
X2g+1
X2g+2
условие (8.105) полностью фиксирует дифференциал r2g+2dz:
r2g+2 О, xO = G2g+2 (x{) ^ pava (s).
(8.107)
α=1
Голоморфные дифференциалы на гиперэллиптической кривой (8.103)
имеют вид
С л АД*) Ί 0
να(ζ) = —^-, a = l,2,...,g,
где Ra(z) — многочлены по ζ степени g-1:
s
(8.108)
Raiz) = Yizb-\K-1)ba.
(8.109)
j=l
Здесь iCab (Xj) — матрица полных гиперэллиптических интегралов по
А-циклам,
КаъШ = Φ
j
А,
У
(8.110)

116 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
Аналогичные рассуждения для корреляционной функции,
содержащей рамоновское поле σλ в точке хъ приводят к соотношению
(Ι{.ζ)σ1(χι)σ0ίχ2)...σ0{χ2ξ+2)) ^
(σ1(χ1)σο^)...σ00^)> = 2^α(*)+ ω(*,*1), (8111)
а—\
где ω{ζ,χλ)άζ— это абелев дифференциал второго рода на
кривой (8.103) с единственным полюсом второго порядка в точке ζ = хг
и нулевыми периодами по всем А-циклам:
<Ь ω(ζ,χι)άζ = 0, a = l,2,...,g. (8.112)
J
А,
Его можно записать, например, в виде
*<*. *J = Ш Ьк - £*·« {о4ш] (8Л13)
а=1 J
К
с некоторой константой С{х^), которая будет в дальнейшем
фиксирована соотношениями операторной алгебры (8.66). Из этих
соотношений при ζ —> Χι получаем
{σ^χΟσο^.,.σο^^)) = 2^2g+2a a 1 G2g+2(xj),
α=1 Π(*ι-*,)1/2
)=2 (8.114)
C(xi){a1(x1)a0(x2)...a0(x2g+2)) = ^ ]~[ (хг -XjYl2G2g+2{Xi).
Эти выражения приводят, как и в эллиптическом случае g = 1, к
дифференциальному уравнению для функции G2g+2 (*;):
g
Ob2g+2(.Xi) _ Va,b=l
dXt ~~ |_ 2^2
Π(χι-χ,)
J=2
2g+2 * г
- 4 Σ ^ - 2 Σ*■<*> f a^ko G^+2(Xi)· (8Л15)
j=2 a=l J J
Такие же уравнения справедливы, конечно, и для производных
функции G2g+2(.x[) п0 координатам других точек Xj. Поэтому эта функция

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 117
имеет вид
2g+2
<V2(*i) = g(*i) Π (χί -xjr1/sew<**'\ (8.116)
где величина W{xbpa) содержит в себе всю зависимость блока G2g+2
от зарядов ра и удовлетворяет уравнению
2g+2 g 2
f£ = Π bt-Xjr1 (TtPaRa&j)) · (8.П7)
Функция g(X[) с точностью до не зависящей от х{ константы
определяется системой дифференциальных уравнений
^ = -^)Е^^4(Иш- (8·118)
а=\ J
А,
Нетрудно найти решение последней системы уравнений явно:
g(Xi) = detf1/2K, (8.119)
где К — матрица полных гиперэллиптических интегралов (8.110).
Действительно,
дКаЬ _ 1 ъ_!
dxt 2 '
dz ,11 s*"1-*?"1
= £*ί Φ 7 ^ΓΎ^ + ί Φ 7 ГТТ d«. (8.120)
(z-Xi)y(z) 2 Τ (z-JCf)y(z)
Αι Αι
Поэтому
^logdetf = tr^|| =
a=l J a,b=l J
Явное вычисление показывает, что последний член в правой части
равенства (8.121) обращается в нуль.
Из уравнения (8.117) видно, что величина W(xb pa) является
квадратичной формой по зарядам ра:
g
ШХи Ра) = Σ PaPbWabtXi). (8.122)
a,b=l
Заметим, что эта величина является, по существу, классическим
действием свободного поля φ (ζ, ζ) на гиперэллиптической поверхности

118 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
(точнее, половиной этого действия, отвечающей одному из листов
римановой поверхности) с граничными условиями, определяемыми
фиксированными значениями зарядов ра. Действительно,
классическое действие пропорционально второй степени зарядов, и в пределе,
когда заряды велики, все эффекты квантовых флуктуации поля
становятся малыми по сравнению с этим классическим действием. В этой
связи уравнения (8.117) можно интерпретировать, в соответствии
с соотношением (8.100), следующим образом:
1 J
где «классический» тензор энергии-импульса Гс1 определяется просто
классическим пределом операторного соотношения (8.12):
Td(.z) = lfa), (8.124)
причем классический ток /cl(z) определяется значениями зарядов ра:
g
id(*)=SPaVa(*)· (8·125)
α=1
Таким образом, чтобы получить величину W(_xi} pa),
удовлетворяющую уравнениям (8.117), нам достаточно вычислить действие для
классического скалярного поля. Мы рассмотрим действие скалярного
поля φ на общей поверхности рода g:
Α[φ] = ± ί §α\ξ)3Μξ)^ψίξ)\ί^ξ)<ί2ξ. (8.126)
Это действие не меняется при вейлевских преобразованиях метрики
gab, так что теория может быть сформулирована на римановой
поверхности: в локальных координатах ζ, ζ это действие имеет вид
Α[φ] = θζψθΈψ^^Γ· (8-127)
Минимум действия достигается на гармонических функциях,
удовлетворяющих уравнению (8.5). Нетривиальных однозначных решений
на компактной поверхности не существует: мы будем рассматривать
неоднозначные решения, для которых допускается приращение
поля φ на вещественную константу при обходе нетривиальных циклов
на поверхности. Решение однозначно определяется заданием
граничных условий:
Δα„ Ψ = Ψ α, Δβ„ φ = ϋα, α = 1,2,..., g, (8.128)

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 119
где φα и ϋα — вещественные числа, а ΔΛ φα и Δβ φα означают
приращения поля φ при обходе вдоль циклов некоторого канонического
базиса с индексами пересечений (8.104).
Гармонической функции ψ по формуле (8.6) отвечают на
поверхности голоморфный и антиголоморфный дифференциалы —
компоненты классического тока. Выбор базиса голоморфных
дифференциалов να, а = 1, 2,..., g, нормированных условием (8.106) по А-циклам,
позволяет сопоставить решению φ набор правых и левых зарядов,
текущих через А-циклы:
g g
JclC*) = YtPaVaW, /d(*) = ΣΡανα®. (8·129)
α=1 α=1
Легко связать эти заряды с граничными условиями (8.128):
g
Ψ а = (Ра+Ра)> #а = ^^abPb + *abPb)> d = l92,...,g. (8.130)
Ь=1
Здесь таЬ — матрица периодов нормированных голоморфных
дифференциалов va:
2ттаЪ = сЬ vb(*) ds. (8.131)
J
ва
Классическое действие (8.127) зависит от граничных условий
(8.128), а также от модулей римановой поверхности и выбора
канонического базиса циклов, т. е. является функцией на пространстве
Тейхмюллера отмеченных римановых поверхностей Tg. Используя
соотношение
/·
vavbdzAdz= (2πί)2(τα&-τώ), (8.132)
можно вычислить классическое действие
g
Al(4>a> #J = "2πί ^ PaPb^ab " ТаЬ). (8.133)
а,Ь=1
Мы выберем компоненты матрицы периодов таЪ в качестве системы
координат на Tg (при g > 2 эта система координат является
переполненной; это обстоятельство не влияет на ход приведенных здесь
рассуждений). Полный дифференциал классического действия имеет вид
g g
dAcl = -2πί ^ {paPb^ab-papbdTab)+^{P^a-Qad^a), (8.134)
a,b=l a=l

120 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
где
Ра = -2т^(таЬрь-таЬръХ
ь (8.135)
Qa = -2ni(pa-pa), a = l,2,...,g.
Ясно, что классический тензор энергии-импульса (8.124) связан с
вариацией классического действия по модулям при фиксированных
граничных условиях φα и ΰα. Если вместо этого держать
фиксированными величины зарядов ра и ра, то тот же тензор энергии-импульса
определяет вариацию при изменении модулей для другой
величины— свободной энергии Wd, связанной с классическим действием
преобразованием Лежандра
g
ШРа, Pa) = -Αά{φα, #α) -Σ^αΟα- (8-136)
α=1
При этом
g
dWd = 2πί ^ {papb dzab - papb dzab + 2zabpa dpb - 2таЬра dpb),
a,b=\
(8.137)
или
g
Wcl = 2πί ^ (PaPb^ab - PaPb^ab)- (8.138)
a,b=l
Для случая гиперэллиптической кривой (8.103)
дифференциальные уравнения (8.123) описывают вариацию по модулям для
свободной энергии на одном из листов римановой поверхности кривой,
которая составляет в данном случае половину полной классической
свободной энергии (см. (8.100) и (8.101)). Отделяя голоморфную
часть, приходим к выводу, что решением дифференциальных
уравнений (8.117) является функция
g
W(xd = in J] рарътаЪ. (8.139)
a,b=l
Таким образом, многоточечный блок G2g+2(xi) можно записать в виде
G2g+20i) = ^2g+2(*i) exp |^^papbTabJ,
2g+2 a' (8-140)
*2g+2(.x0 = Y\(Xi-XjT1/8det-1/2K.

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 121
Входящий в это выражение определитель матрицы полных
гиперэллиптических интегралов может быть выражен через нулевые
значения тэта-функций кривой (8.103) (тэта-константы); см. [24]. Тэта-
I 5J I
функция рода g с характеристикой [е] = L где δ и ε — вещественные
I о I
g-мерные векторы, является целой функцией g-мерного
комплексного вектора и и строится по матрице периодов (8.131) следующим
образом:
0[е](и I τ) = 2 [ίπ(ΓΠ + δ)Ττ(ίη + δ) + 2πί(Γη + δ)Γ(ΐί + ε)]. (8.141)
В случае гиперэллиптической кривой каждому несингулярному
четному полупериоду, т. е. такой полуцелой (имеющей компоненты 0 или
1/2) характеристике [е], что 0[е](О | τ) Φ 0, отвечает определенное
разбиение множества точек xi,i = l,2,...,2g + 2, на две
непересекающиеся равные группы (xf, χί2,..., xt χ) и (jc;· , Xj,..., Xj ). Для каждой
такой характеристики выполняется соотношение (см. [24,143]):
8+1
detK = 6>2[е](0 I т)У\{хь-хиГ1/2СХь-ХьГ1/2. (8.142)
к<1
Поэтому
«+1 g+1
= θ_1[β](ο ι т)]~[^-^)1/8Ц,-^)1/8 Π(^_ΧΛ)1/8· (8143)
к<1 k,l=l
Входящее в эту формулу произведение можно представить как
вакуумное среднее экспонент от свободного поля, если сопоставить
каждой точке из одной группы оператор : expi ^(_xik) J :, а из другой —
оператор : ехр( — τψ(χ$ ) · (где φ(χ) — голоморфная часть
свободного скалярного поля, нормированная условием (8.11)) и записать
/s+1
&2g+2ixd = (Π : exp(|^(xifc)) : : ехр(-^Ц·)) Λβ^ΜΟ) | τ).
4=1 '
(8.144)
Отметим, что при таком выборе базиса циклов, как на рис.8,
нулевой характеристике е = 0 отвечает разбиение (.хъх3,х5, ...,X2g+\),
\Х2, Х/[, Хв> ···) x2g+l)·

122 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
Вернемся к скалярному полю на общей римановой поверхности
и рассмотрим теперь случай квантового поля. Классическое действие
заменяется теперь на эффективное действие — логарифм
статистической суммы, определяемой функциональным интегралом
exp(-Aeff((/>a,#a)) =
&φ ехр(-А|>]) (8.145)
J
4>а#а
по полям φ с граничными условиями (8.128) и действием (8.126).
Ясно, что
Aeff (φα, ϋα) = Αά(φα, #a) +A0, (8.146)
где A0 = Aeff (0, 0) определяется функциональным интегралом по
однозначным полям на поверхности. Эта величина связана обычным
образом с регуляризованным детерминантом оператора Лапласа на
поверхности и, в отличие от классической части, содержит
конформную аномалию (см. [132])
exp(-A0) = det-1/2(-^aaga4)
Свободную энергию (8.136) в квантовом случае можно определить
при помощи преобразования
exp(W(p,p)) =
f Г 8 ~\\
fa exp [- \Aeii(<pa, #а) +X|^aQa J J · (8147)
Такое определение не отличается от классического определения,
основанного на преобразовании Лежандра, поскольку зависимость от
граничных условий для свободного поля является гауссовой. Из
равенства (8.147), однако, следует соотношение
ехр(-А0) =
exp(W(p, -ρ)) Π dPa> (8·148)
α=1
позволяющее вычислять детерминант оператора Лапласа (8.146) как
интеграл по зарядам, если величина W известна. Поскольку
Wip, ρ) = Wd(p, ρ) + W(0, 0), (8.149)
где Wd определяется формулой (8.138), а W(0,0) — квантовая
поправка к классической свободной энергии, получаем
ехр(-А0) = def 1/2(τ - τ) exp(W(0, 0)). (8.150)

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 123
Отметим, что свободная энергия при нулевых зарядах, так же
как и классическая свободная энергия (8.138), является
вещественной частью голоморфной на Tg функции (с точностью до
конформной аномалии). Эта голоморфная функция может быть определена
следующим образом. Рассмотрим корреляционную функцию двух
токов на римановой поверхности (/(*)/(У))· Из-за
трансформационных свойств тока при конформных преобразованиях выражение
(I(z)I(z'))dzdzf представляет собой билокальный голоморфный
дифференциал на поверхности с единственным полюсом второго
порядка при ζ = ζ', структура которого диктуется операторным
разложением (8.1). На римановой поверхности существует единственный
симметричный дифференциал такого типа ω (ζ, ζ'}, нормированный
нулевыми периодами относительно заданной системы А-циклов
Α ω(ζ,ζ') = О, а = 1, 2,..., g, (8.151)
J
имеет следующее поведение при ζ —»ζ' в некоторой локальной
системе координат:
ii^ = 2(^+<r°(z')>+0(z-z')· <8·152>
Величина (Г0(г)> обладает трансформационными свойствами
конформного тензора энергии-импульса с константой с = 1 и является
средним значением тензора энергии-импульса для статистической
суммы exp W(0, 0). Аналитические свойства W(0, 0) вытекают из
аналитичности всех условий, фиксирующих (Г0(г)>. Эти свойства
согласуются с выводами работы А. А. Белавина и В. Г. Книжника [46] о
структуре аналитической аномалии в эффективном действии теории бо-
зонной струны. Именно такая описанная выше конструкция была
осуществлена при построении статистической суммы на
гиперэллиптической кривой. При этом мы по существу воспользовались
свойством ассоциативности операторной алгебры, для того чтобы дважды
последовательно объединять операторы тока с рамоновским полем,
вместо того чтобы строить вначале из двух токов тензор энергии-
импульса по формуле (8.152) и затем получать дифференциальные
уравнения в соответствии с соотношением (8.100). Такой подход дает
значительные технические упрощения, поскольку построенная
непосредственно корреляционная функция {Ι(ζ)Ι(ζ')σ0(хх)...σ0(*2g+2))
имеет довольно сложный вид на гиперэллиптической римановой
поверхности и содержит много информации, ненужной для наших
целей.

124 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
Применение формулы (8.148) к выражению (8.140) для
многоточечного блока рамоновских полей дает возможность найти
статистическую сумму свободного скалярного поля с рамоновскими
граничными условиями в точках хь ί = 1, 2,..., 2g + 2:
det"1/2A = det"1/2(T - T)|J?2g+2(*i)l2> (8.153)
где ^2g+2^xd задается формулой (8.144). Отметим, что это же
выражение определяет вклад в полную статистическую сумму
скалярного поля на гиперэллиптической поверхности (8.103) мод, меняющих
знак при замене листов у^>—у. В полной статистической сумме
следовало бы еще учесть вклад симметричных при этом автоморфизме
мод. Для таких симметричных полей, однако, точки ветвления xt не
являются сингулярными, поэтому вклад таких мод вообще не зависит
от положения этих точек в комплексной плоскости. Следовательно,
формула (8.153) справедлива также и для полной статистической
суммы скалярного поля на кривой (8.103). Напомним в заключение, что
статистическая сумма зависит от выбора метрики внутри заданного
класса конформной эквивалентности. Все приведенные выше
рассуждения, в частности заключение о независимости вклада четных мод
от положения точек хь относятся к метрике \dz\2, где ζ — это
координата в комплексной плоскости.
Теперь, когда вычислены конформные блоки (8.89) для
четырехточечных корреляционных функций и (8.140) для многоточечных,
мы можем построить корреляционные функции для спиновых
полей модели Ашкина—Теллера, удовлетворяющие требованиям
ассоциативности операторной алгебры, т. е. уравнениям конформного
бутстрапа (5.31). При этом рамоновские поля <т0 могут
относиться к различным физическим спиновым полям теории. Среди них
непрерывные поля, отвечающие спиновым переменным 5Х и s2 в
гамильтониане (8.48), а также соответствующие дуальные поля μΎ и μ2,
отвечающие параметрам беспорядка. Как уже говорилось выше, при
рассмотрении модели Ашкина—Теллера как 24-системы спиновым
переменным (8.49) сопоставляются новые параметры 74-беспорядка
μ и μ+.
Рассмотрим вначале четырехточечные корреляционные функции.
При их построении мы будем исходить из следующих соображений.
1. Дуальность и симметрии: корреляционные функции,
отличающиеся заменой sx <—> μχ, s2 <—> μ2 (а также, разумеется, sx <—> s2,
μ1 <—> μ2)> совпадают. В 74-переменных совпадают корреляционные
функции, отличающиеся заменой s <—> μ, s+ <—> μ+, Имеется также
74-зарядовая симметрия s<—> s+, μ<—>μ+.

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 125
2. Свойства локальности: пары операторов s1s1, s^, 5χμ2 и 52μι
взаимно локальны: нетрудно понять, что это означает, что в
соответствующие операторные разложения могут входить только поля с
целыми спинами. Поля 5Х и μ1? а также s2 и μ2 нелокальны друг
относительно друга и меняют знак при взаимном обходе в комплексной
плоскости. Это означает, в частности, что состояние 51(χ)μ1(0)
состоит из операторов с полуцелыми спинами. Несколько более сложные
свойства локальности у Z4-noneft 5 и μ. При обходе одного из таких
полей вокруг другого у корреляционной функции появляется
множитель ехр(±1'тг/4) в зависимости от направления обхода. Такие правила
означают, в частности, что поле ί/j, возникающее в результате
«слияния» полей 5 и μ, не является локальным относительно самого
себя и обладает, следовательно, дробным спином, т. е. является пара-
фермионом. Появление парафермионов при рассмотрении
параметров беспорядка в Z^-системах очень естественно; см. [35,85].
3. Операторное содержание: в операторных разложениях пар
спиновых полей появляются поля, составляющие пространство
состояний модели Тирринга, локальных относительно операторов тока, т. е.
поля (8.36). Исключение составляет парафермионное состояние 5μ,
которое будет рассмотрено отдельно. При этом в разложениях полей
s1(x)s1(0) (а также пар, связанных с этой соотношениями симметрии
из п. 1) появляется единичный оператор, а также энергетический
оператор ε с размерностью Αε = β\ Ведущими членами в разложениях
полей sxs2 и s^2 являются скалярные поля Уо,=ы/2 и ^=ы/2,о
соответственно.
4. Перекрестная симметрия: например, для четырехточечной
корреляционной функции
G(x,x) = (siO, oo)5l(l, l)s!(x, x)si(0,0)) (8.154)
(в дальнейшем мы будем опускать аргументы у операторов в
четырехточечных корреляционных функциях и писать просто (5151s1s1), имея
в виду такое же их расположение, как и в соотношении (8.154)) в силу
перекрестной симметрии должны выполняться соотношения
G(l - χ, 1 - χ) = G(x, χ),
°(^ϊΆ) = №-xXl-x)]1,4Gtx,x).
Мы будем рассматривать также функции
Ri(x,x) = (s1s2s2«i>.
R2(x, Χ) = (51515252>, (8.156)
R3(x,x) = (s^zSiSa).

126 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
Разумеется, все это одна и та же корреляционная функция, но
записанная в различных переменных. Это обстоятельство выражается
соотношениями
RjCl-x, 1-х) = Я2(х,х), R3(l-x, 1-х) = R3(x,x),
[(Ι-χ,Ι-χΟΓ1^^,^) = Я3(х,х), (8.157)
[(ι-^ι-^]"1/4λ2(^γϊ,=γϊ) =Ы*,х).
Функции, содержащие взаимно локальные дуальные поля
Η^χ,χ) = (51μ2μ25ι>,
Н2(х,х) = (5151μ2μ2>, (8.158)
Н3(х,х) = <5ιμ2διμ2),
связаны соотношениями, аналогичными (8.157). Наконец, можно
рассмотреть корреляционную функцию, содержащую взаимно
нелокальные поля, например sx и μΐ3
Г"!(Χ, Χ) = (SiMiMiSj),
Γ2(χ>χ) = {$1μ181μ1), (8.159)
Γ3(χ,χ) = (5151μ1μ1>.
Для выписанных величин справедливы соотношения перекрестной
симметрии
Г"! (1-х, 1-х) = Г3(х,х), Г2(1-х, 1-х) = -Г2(х,х),
[(Ι-χ,Ι-χ)]-1/^^^-, =§j) = Г2(х,х), (8.160)
[α-^1-^]"1/4Γ3(ίΓΪ,^Γϊ) =Г3(х,х).
Обратим внимание на знак минус, появившийся в одном из
соотношений (8.160) и связанный с фермионным характером состояний
в канале s^.
5. Зависимость конформного блока (8.99) от внешней
размерности Δ имеет простой экспоненциальный вид. Поэтому
операторные разложения пар рамоновских операторов под знаком
вакуумного среднего приводят к выражениям вида (например, для
функции (8.155))
G(x,x) = &л{х)&л(х)^АЛ^1· (8-161)
i
Здесь А{ = Cf 16Ai+Ai, a Q — структурные константы, входящие в
разложение s1(x)51(0) по полям размерности (Af, Δ^). Кроме того, введе-

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 127
но обозначение
q = ein\ (8.162)
6. Статистическая сумма свободного скалярного поля на
плоскости с рамоновскими граничными условиями в точках хъ х2, Хз и хл
определяется формулой (8.153) и имеет при g = 1 вид
detT1/2A = (т-т)-1/2|[х(1-х)]1/803_1(д)|2, (8.163)
где функция 03(q) определена формулой (5.49) в гл.5. Это
выражение заведомо (по построению) удовлетворяет всем требованиям
перекрестной симметрии. Те же свойства будут автоматически
выполнены, если определить статистическую сумму скалярного поля с теми
же граничными условиями в рамоновских точках, но учесть при этом
фазовый характер поля (8.29), проявляющийся в дискретном спектре
полей модели Тирринга. Это означает, что при вычислении
функционального интеграла по полям с рамоновскими граничными
условиями следует учитывать неоднозначные конфигурации, меняющиеся на
целые кратные 2πβ+ при обходе нетривиальных замкнутых циклов
на римановой поверхности эллиптической кривой (8.73). Такая
поверхность представляет собой комплексный тор, который может быть
представлен как комплексная плоскость переменной ξ, связанной с ζ
соотношением
dt - т2
[t(l-t)d-xt)]1/2'
ζ = sir ξ, (8.164)
факторизованная по решетке, задаваемой образующими 1 и τ.
Заметим, что рамоновские граничные условия на токи 1{ζ) и Ί(ζ)
накладывают определенные свойства симметрии на токи в ξ-плоскости.
Именно, /(ξ) и Τ(ζ) должны быть симметричны при замене
соответственно ξ —> —ξ и ξ—>-ξ. Единственный голоморфный
дифференциал (8.72) на эллиптической кривой, имеющий в координатах ξ
вид /(ξ) = const, автоматически удовлетворяет этому условию. Здесь
уместно еще указать, имея в виду аналогии с содержанием
следующей главы, что на языке эллиптической кривой преобразованиям
перекрестной симметрии соответствуют модулярные преобразования
переменной τ.
Наличие ненулевых приращений поля при обходе замкнутых
циклов приводит к появлению дополнительных вкладов в эффективное
действие (см. (8.146)). Выберем систему базисных циклов Λ и β на

128 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
эллиптической кривой и найдем статистическую сумму
Zr = Σ Zmn- (8-165)
m,neZ
где Zmn содержит вклад полей с граничными условиями (8.128),
причем
φα = 2πβ+η, ϋα = 2πβ+τη (8.166)
(в данном случае g = 1 и индекс а пробегает только одно значение
а = 1). Величину классического действия для приращений φα и ϋα
легко вычислить, используя соотношения (8.133) и (8.130):
л гъ а о о л · г>2 (ητ-Γ7ΐ)(Γ72-ητ) гп лг-л
Αθίί(2π/3+η, 2πβ+πι) = ιπβ+- 3= · (8.167)
Здесь учтено, что классическое действие поля на плоскости Ζ
составляет половину классического действия на всей эллиптической
кривой. Получим
Zmn = (τ - τΓ1/2|Λ,ΜΙ2 exp(i<("T-f_(y-"?)). (8.168)
Имея в виду, что мы должны получить статистические суммы,
которые воспроизводили бы корреляционные функции (8.154) и (8.156),
содержащие только поля 5Х и s2 такие, что среди промежуточных
размерностей содержатся лишь величины, отвечающие целым т в
спектре (8.37), мы ограничимся при суммировании в соотношении (8.167)
только четными значениями тип. Очевидно, это не нарушает
полной перекрестной симметрии статистической суммы. Итак,
свойствами (8.155) обладает функция
G(x,x) = Σ ζ™· (8169)
m,ne2Z
Выполняя по формуле Пуассона суммирование по числам т,
отвечающим обходам по циклу В в используемом нами базисе, получим
G(x, х) = 1^40012 Σ qil3+n+p-m)2qil3+n~P-mY' (8.170)
m,neZ
Эта функция удовлетворяет всем условиям, наложенным выше на
величину (8.155). Сравнивая это выражение с формулой (8.161), мы
приходим к следующим выводам: 1) спектр размерностей первичных
полей, появляющихся в разложении произведения 51(x)s1(0), состоит из
части спектра (8.37), отвечающей целым значениям тип; 2)
константы А{ в формуле (8.161), связанные со структурными константами
операторной алгебры рамоновских полей, все равны 1. Отметим в этом

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 129
месте, что наличие положительной метрики в пространстве
состояний модели Ашкина—Теллера требует, чтобы коэффициенты At в
разложении этой функции, а также функций G(x,χ), R\{x,x), Ηλ{χ,χ)
и Гх(х, х) (определенных в (8.155), (8.156), (8.158) и (8.159)
соответственно) были вещественными положительными числами.
Рассмотрим теперь функцию
R2ix,x)= Σ i-)n/2Zmn. (8.171)
m,ne.2Z
Ясно, что после преобразования Пуассона по т мы получим
R2ix,x) = \&4(х)\2 Σ (-)η4φ+η+β_πι)^φ+η-β_τη)\ (8>172)
m,neZ
Эта функция содержит тот же спектр размерностей, что и G(x, х),
но некоторые из коэффициентов At являются теперь
отрицательными. Преобразования кроссинг-симметрии (х, х) —> (1 — х, 1 — 5с)
и (х, х) —»(х/(х - 1),х/(х — 1)) (им отвечают соответственно
модулярные преобразования (τ, τ) —»(—1/τ, —Ι/τ) и (τ, τ) —> (τ +1, τ +1))
приводят к соотношениям
Ri(jc,x) = |^40012 Σ q(^"+^(m+1/2))2q(^n^-(m+1/2))2, (8.173)
ΓΠ,ΠΕΖ
R3(x,x) = IJ^OOI2 Σ (-)nq(^n+^(m+1/2))2q(^n^-(m+1/2))2. (8.174)
πι,η^Ζ
Как и должно быть, эти каналы содержат скалярное поле с
размерностью (/3^/4, /3^/4), сопоставляемое оператору 5Х52. Отметим также
положительность коэффициентов At в соотношении (8.173).
Рассмотрим теперь статистические суммы с участием нечетных
«чисел обмотки» тип. Понятно, что с точностью до модулярных
преобразований решетки периодов, определяющей комплексный тор,
т.е. с точностью до преобразований перекрестной симметрии,
существует только одна такая функция. Это значит, что если записать
перекрестно-симметричное выражение
/ J Zmn = /^ ^2m,2n+^2m,2n+l+^2m+l,2n+^2m+l,2n+l)i (8.175)
m,neZ m,ne.Z
то последние три члена в правой части этого разложения
представляют собой различные каналы одной и той же корреляционной
функции. Например, функцию
H1tx,x)= J] Ζ2πΐ)2η+1 (8.176)
m,ne2Z

130 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
имеет вид
Нг{х9х) = |^4WI2 Σ q(^(n+1/2)+^m)2q(^(n+1/2)-^-m)2. (8.177)
m,neZ
Как и ожидалось, эта функция содержит скалярный оператор
размерности (/3+/4, /3+/4). В других перекрестных каналах эта
корреляционная функция имеет вид
Н2(х,х) = \&4(х)\2 Σ (-)mq^n+p-m)2q^n-p-m)\ (8.178)
m,neZ
Η3ίΧ}Χ) = ί\&4ω\2 Σ (-)™4ίβ+ίη+1/2)+β_τη)>ζφ+ίη+1/2)-β_τη)\ (g 179)
m,neZ
Наконец, корреляционная функция с участием нелокальных
спиновых полей (8.159) строится при помощи сочетания нечетных «чисел
обмотки» и знакового множителя (—)fc для четных «чисел обмотки»
2/с (где к — целое число). Таким образом получается набор функций,
связанных соотношениями (8.160) и содержащих фермионы модели
Тирринга в операторных разложениях s^:
Т1{Х,Х) = \&Л{Х)\2 ^ 4ίβ+η+β_τη-)^φ+η-β_πιγ} (8180)
m,neZ+l/2
Г2(Х,Х) =i|J?4(jt)|2 ^ (_)m-nq(0+n+0_m)y0+n-iLm)2} (g ш)
m,neZ+l/2
Г3(х,х) = i|Jf4(*)l2 Σ (-)m-nq(^n+^-m)2q(^"-^m)2. (8.182)
Полученные выражения для четырехточечных корреляционных
функций обладают рядом интересных свойств. Во первых, следует
обратить внимание на удивительную симметрию корреляционных
функций модели Ашкина—Теллера на критической линии по
отношению к замене /3+ <—> /3_. Так, корреляционные функции (8.154) и (8.159)
вообще не меняются при такой замене, а в четырехточечных
функциях (8.156) и (8.158) такая замена отвечает замене s2 <—>ДОг или ϊ1<^>μ1.
Эта симметрия не является явной симметрией гамильтониана модели
Ашкина—Теллера и проявляется только на линии фазовых переходов.
Преобразованию /3+ <—> β_ отвечает замена g —> —g для константы
связи модели Тирринга. При этом переменная у преобразуется по
формуле

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 131
Параметры микроскопического гамильтониана (8.48) связаны более
сложными соотношениями, следующими из формулы (8.53). Таким
образом, если две точки на критической линии связаны
соотношением (8.183), то корреляционные функции в одной из них можно,
с точностью до общего множителя, получить из корреляционных
функций в другой. Это позволяет рассматривать корреляционные
функции только для одной из таких точек.
Свойства спектра размерностей модели Ашкина—Теллера (8.37)
зависят от соизмеримости чисел /3+ и β_. При иррациональных
значениях отношения β+/β_, что соответствует также иррациональным
значениям g и у, спектры правых и левых размерностей полей (8.36)
заполняют интервал (0, оо) всюду плотно. В то же время спектр
масштабных размерностей является дискретным:
dmn = Атп + Атп = 2βΙτη2 + 2βΙη2, т,пе Ζ/2. (8.184)
Это явление связано с появлением полей с произвольно большими
спинами.
В случае, когда отношение β+/β- рационально,
β+/β- = Р/р', (8-185)
где ρ и р/ — взаимно простые целые числа, спектр размерностей
становится дискретным и в спектре каждой из размерностей, правых
и левых, имеется конечное число «основных» размерностей, а все
остальные отличаются от них на целые числа. При этом бесконечные
двойные суммы, появляющиеся в выражениях для четырехточечных
функций, выражаются через конечное число «блоков», суммирующих
вклады первичных полей, размерности которых отличаются на целые
числа. Например, при выполнении соотношения (8.185) перекрестно-
симметричная функция (8.154) имеет вид
^—, {р'т+рп)2 {р'т-рп)2
G(x,x) = |J?400l 2^ <? 2рр/ Ч 2рр/ (8.186)
m,neZ
и выражается через блоки (см. [150])
q~^, (8.187)
(Mfc+A)
Я.
fceZ
где
Μ = 2рр', (8.188)

132 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
а Я = 0,1, 2,..., Μ — 1, причем, очевидно, Βλ{%) = ΒΜ_λ^). При этом
функция (8.186) представляется следующим образом:
М-1
G(x, χ) = Σ βλΦΒμλ® > (8.189)
я=о
где μ = πι0ρ' + η0ρ (mod 2)M, a m0 и п0—такие целые числа, что
т0р' — п0р = 1. Все блоки Bx{q), а также блоки, появляющиеся при
разложении других корреляционных функций, являются
алгебраическими функциями переменной х.
Рассмотрим несколько примеров. В простейшем случае β+/β_ = 1
в выражении для функции G(x, χ) появляются блоки
fceZ
(8.190)
fceZ
Через эти функции мы можем выразить величины
G(x,x) = B0(q)B0(q) +B1(q)B1(q),
Γ^χ,χ) = Βο^Β^φ+Β^Βοίφ,
г2(х,х) = -i(B0(q)3i(q)+Bi(q)flo®),
r3ix,x) = B0(q)B0(q)-B1(q)B1(q).
(8.191)
Можно проверить, что эти выражения совпадают с критическими
корреляционными функциями модели Изинга; см. [122]. Нетрудно
также убедиться, что остальные функции (8.156) и (8.158) в этом
случае распадаются на произведения парных корреляций. Отметим, что
в рассматриваемом случае, когда модель состоит из двух
невзаимодействующих моделей Изинга, корреляционные функции полей SiS2,
очевидно, равны просто квадратам соответствующих многоточечных
функций модели Изинга:
(s1(x1)52(xi)...s1(xn)52(xn)> = ({s(x1)...s(xn)))2. (8.192)
С другой стороны, оператору 5xs2 в критической точке сопоставляется
поле У0д + Уо,-ъ имеющее в данном случае размерность 1/8.
Используя представление (8.36) для полей Vmn через свободное скалярное
поле φ, приходим к соотношению
(<5(jci)...sCx„)»2 = (: cos ^Д : ... : cos l-^d :>, (8.193)

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 133
где выражение в правой части может быть вычислено по
формуле (8.24).
Другими интересными точками являются точка β+ = 1/2, β_ = 1,
отвечающая фазовому переходу Костерлица—Таулесса (см. [119]),
и дуальная ей в смысле симметрии (8.183) точка β+ = 1, β_ = \/2,
соответствующая случаю, когда модель Ашкина—Теллера превращается
в четырехпозиционную модель Поттса.
В первом случае оператор sis2 имеет размерность (1/4,1/4).
Четырехточечные функции, содержащие поля s1ns2, приводятся к виду
г( -л 1 + (**)1/4+[(1-х)(1-х)]1/4
UlX}X) 2[*3с(1-х)(1-х)]1/8 '
R , -ν 1 + (χχ)1/4-[(1-χ)(1-χ)]1/4
11 ' } 2[хЗс(1-х)(1-х)]1/8
Остальные функции с участием полей sx и s2 получаются из Rj (χ, χ)
преобразованиями перекрестной симметрии. Выражения (8.194)
показывают, что в рассматриваемой точке поля Sj и s2 могут быть
следующим образом представлены экспонентами от свободного
безмассового бозонного поля f(z, z) (которое предполагается нормированным
теми же соотношениями (8.11), что и поле ψ):
г- f(z,Z) /7Г . /(Ζ, Ζ)
s1 = V2:cos—2—'-у s2 = v2:sm—τ—"
Подчеркнем, что поле f(z,z) не совпадает с полем φ, используемым
в этой главе для представления спиновых полей как рамоновских
состояний. Это видно хотя бы из того, что операторы sx и s2 локальны
относительно токов dzf и d%f и имеют относительно них
определенные заряды. Поля, отвечающие параметрам беспорядка μ1 и μ2 в этой
точке, не представляются простым образом через поле f{z, z), и
корреляционные функции с участием этих полей выглядят более сложно.
Так, например
Υλ{χ, χ) = Fi(x)F2(x) +F2(x)F1(x), (8.195)
где блоки Fj(x) и F2(x) имеют вид
ΣΙ
q
F2(x) = ^4<»ХУ
(8n+l)2
16
(8n+3)2
(8.196)
16
neZ

134 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
Эти величины можно записать как алгебраические функции
переменной х:
Отметим, что фермион Тирринга, появляющийся в этой
корреляционной функции, имеет размерность (1/16,1/16).
Величина Ηλ (χ, χ) в этой точке интересна тем, что благодаря
симметрии (8.183) она определяет корреляционные функции полей sx и s2
в четырехпозиционной модели Поттса. Она также представляется
через блоки (8.197):
Нг{х, х) = F1(x)F1(x)+F2(x)F2(x). (8.198)
При описании модели Ашкина—Теллера как 24-системы более
пригодным может оказаться другое представление корреляционных
функций спиновых полей, в котором корреляции Ζ4-οιηηοβ (8.49)
выглядят более естественно и которое удобно для построения
корреляционных функций с участием дуальных полей μ и μ+,
отвечающих параметрам 24-беспорядка. Как уже говорилось выше, в таких
функциях в разложениях операторных пар типа $μ появляются поля
с дробными спинами (парафермионы). Поэтому такое представление
мы будем называть «парафермионным».
Рассмотрим, например, четырехточечную функцию {ss+ss+).
Согласно соотношениям (8.170) и (8.172)—(8.179) запишем
(ss+ss+) = \P4M\2 Σ [q(2^m+^-n)2q(^m-^-n)2 +
m,neZ
+ gQB+ (2m+l)+/3_(n+1/2))2=Q8+ (2m+l)-j8_ (n+1/2))2 Ί _
= I^WI2S?№+^J/2)2^+MJ/2)2· (8-199)
№,0
В последней сумме подразумевается суммирование по парам целых
чисел к и I одинаковой четности. Это обстоятельство можно учесть,
сделав подстановку к = т + п, 1 = т — п и суммируя независимо по
парам целых чисел тип. Таким образом получим
(55+55+> = |<^40OI2 Σ [д(Г1т+Г2п)2д(Г2т-Г1п)2]5 (8.200)
m,neZ
где
Υι=β+ + β-/2, γ2 = β+- β-/2. (8.201)

(8.202)
Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 135
Такие же вычисления в других каналах приводят к соотношениям
(ss+s+s) = \&л(х)\2 Σ (-)m+"[q(rim+r2n)2q(r2m-rin)2]}
m,neZ
(sss+s+) = |^40)|2 ^ [q(^m+r2")2q(r2m-ri")2].
m,neZ+l/2
Аналогично
(SSSS) = \&4(X)\2 ^ [q(nm+Y2nY^Y2m-YlnY^ (8.203)
m,neZ+l/2
Корреляционная функция с участием полей μ и μ+ представляется
в виде
(5μμ+5+> = \&4(х)\2 Σ [qri(m+i/2)+r2n)2qr2(m+i/2)-rin)2] (8>204)
m,neZ
и соответствует включению в канал 5μ «парафермиона» с правой и
левой размерностями (у^/4, γ\/4) и, следовательно, со спином 1/4. Как
уже указывалось, такое дробное значение спина согласуется со
свойствами относительной локальности полей s и μ. Разумеется, такого
парафермионного состояния нет в спектре (8.37).
Простейшими «рациональными» случаями для выписанных
выше парафермионных корреляционных функций являются γλ = 1,
γ2 = 0, что вновь отвечает точке Костерлица—Таулесса, а также случай
γλ = 2/УЗ, γ2 = 1/а/З, при котором β+/β- = 3/2. В первом случае для
корреляций, содержащих дуальные поля, получится
<зд^)=[*(1-*Х1-Зё)]1/8- (8.205)
Такие корреляции указывают на то, что поля μ и μ+ тоже
представляются при помощи свободного поля f{z, ζ), использованного для
представления спиновых полей sx и s2 в точке Костерлица—Таулесса.
Точнее, если
f{z,z)=F{z)+F{z) (8.206)
есть разложение поля / на голоморфную и антиголоморфную части и
h(z, ζ) = F{z) - F(z) (8.207)
— соответствующее дуальное поле, то корреляционные функции
полей 5, 5+, μ и μ+ можно вычислять, используя представления
s =: ехр( i-z ) :, s+ =: ехр( -i-z J :,
v y v y (8.208)
μ =: expii^J :> М+ =: ехР(-12 J:·

136 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
Случаю β+/β- =3/2 отвечает значение размерности
энергетического оператора Αε = 1/3. В этом случае корреляционные функции
выражаются через блоки следующего вида:
Ро = ^4ωΣ<ζ3*2, Pi = ^4(*)Σ<ζ
fceZ fceZ
Q0 = ^ωΣί3№+1/2)25 Qi = ^μΣ<ϊ
Например,
(8.209)
fceZ fceZ
(ss+ss+) = Р0(х)Р0(*)+2Р1(дг)Р1(х),
(sss+s+) = Q0(x)Qo(x) + 2Q1(x)Q1(x).
(8.210)
Видно, что в канале, содержащем операторы ss, появляется скалярное
поле размерности (1/12,1/12). Перекрестно-симметричная
четырехточечная корреляционная функция
I 2 I2
d-)kq^^\ (8.211)
I fcGZ I
приводится к особенно простому виду
(5555) = [jcjc(l -х)(1 -х)Г1/24. (8.212)
Содержащая поля μ и μ+ четырехточечная функция в этой точке
критической линии тоже выражается через блоки (8.209):
(5μμ+5+> = 2P1(x)Q1(x)+P0WQ0(x). (8.213)
Здесь в канале 5μ содержится парафермион размерности (0, 3/4); его
правая размерность равна 0, и поэтому соответствующее поле
зависит только от ζ. В рассматриваемой точке модель представляет собой
частный пример теории, обладающей дополнительными симметрия-
ми, генерируемыми сохраняющимися парафермионными токами.
Многоточечные корреляционные функции спинов в модели
Ашкина—Теллера на критической линии строятся совершенно аналогично.
Например, полностью перекрестно-симметричная корреляционная
функция 2g + 2 спиновых полей получается при суммировании всех
конфигураций скалярного поля, имеющих четные «числа обмотки» по
всем нетривиальным циклам на гиперэллиптической кривой (8.103)
рода g. При этом квантовая часть эффективного действия
определяется формулой (8.153), а классическое действие, отвечающее заданным
«числам обмотки» та и па, относительно заданной канонической

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 137
системы А и В-циклов (например, как на рис. 7), определяется
формулой
Aeii(m, η) = ίπβΙ(η - тт)(т - т)_1(тт - η), (8.214)
где тип обозначают g-мерные целочисленные векторы, а τ — это
(g χ g)-матрица периодов (8.131) гиперэллиптической кривой
относительно выбранного базиса циклов. Суммирование вкладов в
статистическую сумму всех четных «чисел обмотки» приводит к
выражению
-1/2
det-i/z(T-if)|JV2(*i)r©
О О
о о
(г).
(8.215)
Здесь г — симметричная матрица размерности 1g x 2g следующей
блочной структуры (Гц, i, j = 1,2, — это g x g матрицы):
г =
rll r12
r21 r22,
-2(τ-τ)
гЛ-ι
τ(τ-τ)_1 + (τ-τ)_1τ
τ(τ-τ)_1 + (τ-τ)~ν
-2τ(τ-τ)_1τ
(8.216)
а 2#-мерная тэта-функция с характеристиками Θ, которые удобно
задавать четырьмя g-мерными вещественными векторами δ1} <52, ελ
и ε2, определяется следующим образом:
Θ
<5ι δ2
ε1 ε2
(r)= J] ехР1я[(т + 51)гг11(т + 5) + (гг + 52)гг22(п + 52) +
+ 2(ΓΠ + δ1)ΤΓ12(η + δ2) + 2ε[(Γη + δ1) + 2^(η + δ2)]. (8.217)
Как и в случае четырехточечных функций, переход к более
удобному представлению, отвечающему разложению корреляционной
функции по многоточечным блокам (8.143), осуществляется
преобразованием Пуассона «по В-циклам». Появляющийся при таком
преобразовании определитель матрицы (τ — τ) сокращается с определителем
в формуле (8.215), и мы приходим к выражению
со следующей блочной матрицей t:
О О
О О
(t)
(8.218)
t =
ίβΐίτ-τ) |(τ + τ)
\^(τ + τ) β2Λτ-τ)
(8.219)

138 Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера
Такая корреляционная функция содержит во всех парных (т. е.
содержащих пары спиновых полей) каналах спектр размерностей (8.37)
с целыми тип. Эта функция отвечает многоточечным
корреляционным функциям одинаковых спиновых полей 5Х (или 52), т. е. средним
вида
^2g+2^XbXi) = \5lC*l> xl)---slix2g+2> X2g+2)l - (8.220)
Поучительно проследить, каким образом это выражение
сводится к многоточечной корреляционной функции спинов модели Изинга
в случае /3+ = /3_. В этом случае
G2g+2^xbxd = Ι^2£+2(*ϊ)Ι2 Σ ехр/я[(т + п)гт(т + п)-
m,ne.W
-(т-п)Тт(т-п)] = |^+2(xf) |2 Σ β
δ
(2τ)θ
(2τ). (8.221)
Здесь мы используем g-мерные тэта-функции (8.141). Суммирование
в формуле (8.221) идет по всем 28 полуцелым (т. е. имеющим
компоненты 0 или 1/2) g-мерным характеристикам δ. Поскольку особенно
простой вид имеют квадраты спиновых корреляционных функций
модели Изинга (см. (8.193)), мы возведем уравнение (8.221) во вторую
степень и воспользуемся следующей формулой удвоения матрицы
периодов (см. [24]):
θ
(2τ)0
δ'
0
(2τ) = 2-^(-)4(δ'+ε)θ:
δ + δ'
ε
(τ).
(8.222)
В этой формуле 4(<5 ο ε) = 4 Σ δαεα — целое число, а суммирование
α=1
распространено на все 28 полуцелых характеристик ε. После
суммирования по характеристикам δ' получаем следующую сумму по всем
2£-мерным характеристикам е (фактически в сумме появляются
только несингулярные четные характеристики):
G22g+2{xbxd = 2-^28+2(х{)\л^в2[еКт)в2[еКт). (8.223)
е
В соответствии с формулой (8.144) для любой несингулярной четной
характеристики можно написать
/8+1 ■ ■ \
4+2^i) = (Π : ^(^(V) : : ехр(т1^(хА^) :)θ~2№(τ).
(8.224)

Глава 8. Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера 139
Как и в соотношении (8.144), здесь (xti, ...,xt +i), (х^,..., Xj +ι)
—разбиение точек хь отвечающее характеристике е. Таким образом,
суммирование по разбиениям в (8.223) отвечает представлению функции
Glg+2{xbXi) в виде (8.193).
Аналогичным образом могут быть представлены остальные
многоточечные корреляционные функции, содержащие различные
спиновые поля s1ns2 модели Ашкина—Теллера, а также функции,
содержащие дуальные переменные μλ и μ2. Не ставя себе задачей получить
в явном виде полное описание таких функций, отметим, что все они
задаются выражениями вида
r2g+2
δι
δ2
(.Xi,xd = \^2g+2iXi)\2e
δι
δ2
4
ω
(8.225)
с полуцелыми характеристиками 5Ъ δ2, ελ и ε2. В частности,
корреляционным функциям, содержащим только спиновые поля модели Ашки-
Ui О
на—Теллера Бг и s2, сопоставляются функции вида G2g+2
О ε2
{Χι, Χ ι) ·
Такие корреляционные функции не меняются при одновременной
замене sx <—> s2 и отличны от нуля только при четном числе полей
каждого вида. С учетом этих свойств при заданных положениях
2g + 2 точек х{ имеется ровно 22g различных функций (включая
функцию (8.220)), которым однозначно соответствуют полуцелые
характеристики ελ и ε2.
Спиновые корреляционные функции модели Ашкина—Теллера
оказались тесно связанными с теорией свободного скалярного поля
на римановой поверхности гиперэллиптической кривой.
Рассмотрение скалярного поля на более сложных алгебраических кривых
с автоморфизмами, реализованных как N-листные разветвленные
накрытия сферы, приводит к другим интересным конформным
теориям с явной симметрией ΖΝ. Отметим еще, что конформная теория,
содержащая рамоновские состояния набора свободных бозонных
полей, возникает при компактификации теории струны на орбифолдах.

Глава 9
Конформная теория на торе. Модулярный
бутстрап
Одна из важнейших трудностей, с которыми приходится
сталкиваться при реализации программы конформного бутстрапа,
сформулированной в гл. 5, это отсутствие в общем случае явных и удобных
для анализа выражений для четырехточечного конформного блока.
В связи с этим уравнения конформного бутстрапа, выражающие
требование ассоциативности алгебры локальных полей, в общем случае
не могут быть выписаны в замкнутом виде.
Как показал Карди в работе [60], существует другой подход к этой
проблеме, основанный на рассмотрении конформной теории поля на
торе и исследовании свойств ее статистической суммы Ζ (τ) как
функции модулярного отношения тора τ (характеризующего класс
конформной эквивалентности для одномерных комплексных торов).
Так же как в случае четырехточечной корреляционной
функции, где выделение определенного канала (т.е. пары операторов)
и проектирование соответствующего состояния на определенный
конформный класс приводит к понятию конформного блока, при
вычислении статистической суммы теории на торе можно выделить
определенный канал и определить «тороидальный блок»,
соответствующий суммированию вкладов всех состояний из данного
конформного класса, «протекающих» в этом выделенном канале. Канал
выделяется выбором некоторого канонического рассечения тора, т. е.
некоторого канонического базиса циклов А и В; см. (8.104). Тогда
цикл А фиксирует определенный базис в пространстве состояний
теории, а цикл В отвечает «временному» направлению. Топология
тора сводится к периодическим граничным условиям по
«времени». Такая интерпретация мотивирована, разумеется, гамильтоновой
картиной в квантовой теории поля, или, в рамках статистической
механики, аппаратом трансфер-матрицы. Периодические граничные
условия времени означают на этом языке, что статистическая сумма
определяется следом оператора эволюции по пространству состояний
j2fA, отвечающему контуру А. Разумеется, базис циклов А и В может

Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап 141
быть выбран многими различными способами; эти способы выбора
могут быть связаны модулярными преобразованиями переменной τ.
Конечно, статистическая сумма не должна зависеть от такого
выбора, несмотря на то что сам тор, на котором мы рассматриваем
конформную теорию поля, выглядит, вообще говоря, по-разному из
различных базисов. Это накладывает нетривиальные ограничения
на спектр собственных значений оператора эволюции. Такой подход
естественно называть модулярным бутстрапом.
Пространство состояний j4a может быть разложено на
неприводимые представления алгебры Вирасоро [φβ с размерностями (Аг, Аг).
Как и в случае рассмотренного в гл. 5 разложения четырехточечной
функции, вклад каждого конформного класса [φβ в статистическую
сумму Ζ (τ) представляется в виде χΑι {q)%Al (q)> где
q = e2inT (9.1)
(следует обратить внимание на отличие этого обозначения от (5.46)),
а χΑ[ (q) представляет собой просто характер представления алгебры
Вирасоро со старшим весом Δ, т. е. след по пространству
неприводимого представления правой алгебры
ХаМ^ = ЯГ" tr (qL°) = qA-*YdiN)qN, (9.2)
[«] Ν
где d(N)—размерность этого пространства на уровне N. Причины
появления множителя q~c/24 в определении характера (9.2) станут
ясны позднее.
Неприводимые представления алгебры Вирасоро изучены очень
подробно в работах [36,37]. В частности, для характеров (9.2)
имеются явные формулы при всех значениях параметров с и Δ; см. [57,137].
Это одна из причин, по которым модулярный подход к проблеме
конформного бутстрапа оказывается очень эффективным.
Полная статистическая сумма на торе выражается в виде суммы по
набору первичных полей в пространстве j4a :
ζω = 2>дд*д(<2)*доа (9.з)
Δ,Δ
где Л/дд — неотрицательные целые числа, обозначающие кратности,
с которыми в пространство j4a входит первичные поля размерности
(Δ,Δ). Таким образом, второе преимущество модулярного подхода
состоит в том, что, в отличие от представлений (5.31) для четырех-

142 Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап
точечной корреляционной функции, выражение (9.3) не содержит
структурных констант теории и полностью определяется спектром
первичных полей. Требование положительной целочисленности
величин ΝΔд тоже сильно ограничивает решения уравнений
модулярного бутстрапа (см. ниже). В этой связи следует оговориться, что
эти выводы основаны на представлениях гамильтонова
формализма и поэтому, строго говоря, обязаны быть справедливыми только
в конформных теориях, где выполнено условие положительности.
Так, в неунитаризуемых теориях кратности могут и не быть
положительными целыми числами; см. [148].
В принципе, идея модулярного бутстрапа может быть обобщена
для любой римановой поверхности с нетривиальной топологией;
см. [86, 90]. Как указывалось в гл. 8, двумерная конформная теория
поля корректно определена в каждой координатной окрестности;
склейка окрестностей приводит к теории, определенной глобально на
римановой поверхности. В частности, статистическая сумма обладает
свойством модулярной инвариантности. Конкретная реализация
такой программы для рода g > 1 сталкивается, однако, с чрезвычайными
трудностями. Во-первых, явный вид блоков неизвестен; по-видимому,
они имеют весьма сложную структуру. Дополнительная трудность
создается конформной аномалией, описанной в предыдущей главе.
Для конкретных вычислений необходимо фиксировать метрику на
римановой поверхности. В случае тора эта последняя проблема
решается просто, поскольку на торе существует единственная, с точностью
до общего масштаба, всюду плоская метрика, инвариантная
относительно модулярных преобразований.
Еще ранее (см. [102,139]) группа модулярных преобразований
тора и других римановых поверхностей появилась в теории струн, где
требование модулярной инвариантности петлевых амплитуд играет
важную роль при исследовании унитарности и конечности теории.
Комплексный тор может быть представлен как комплексная
плоскость, факторизованная по решетке, задаваемой двумя образующими
ω1 и ω2; иначе говоря, отождествляются все точки комплексной
плоскости, отличающиеся на число вида ω1πι + ω2η с целыми т
и п. Пара комплексных чисел ωλ и ω2 (периодов тора) задает класс
конформной эквивалентности комплексного тора. Фактически две
решетки отвечают конформно эквивалентным торам, если они
отличаются друг от друга поворотом и растяжением. Этой свободой можно
воспользоваться, чтобы привести эту пару к виду (1, τ), где τ = ω2/ω1;
без потери общности можно считать, что 1тт > 0. Любая другая
пара комплексных чисел (ω'ρ ω'2), связанная с (ωχ, ω2) линейным

Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап 143
преобразованием вида
/л/Л In h Л /ль Л
(9.4)
где а,Ъ,с и d — целые числа, удовлетворяющие соотношению ad —
— Ъс = 1, определяет ту же самую решетку в комплексной плоскости,
т. е. тот же комплексный тор. Преобразования (9.4) образуют группу
относительно матричного умножения, которая называется
модулярной группой SL(2, Ζ).
Полная модулярная группа может быть построена из
произведений двух элементов
Τ = η , Ь S=\ л J. (9.5)
Эти элементы следующим образом действуют на модулярное
отношение τ: Ττ = τ +1, St = —Ι/τ. Отметим, что пару образующих (ω1} ω2)
можно рассматривать как некоторую каноническую систему циклов
на торе (система циклов Л, В на торе является канонической, если
индексы пересечений равны АоА = ВоВ = 0, А о В = 1). При этом можно
считать, что модулярная группа действует на эти циклы. Так,
преобразование Τ оставляет цикл А без изменений, а к циклу В добавляет
один обход в направлении A; S меняет местами циклы А и В. Таким
образом, элементы модулярной группы отвечают различным заменам
канонического базиса циклов на торе.
Рассматриваемый в этой главе подход основан на анализе
трансформационных свойств статистической суммы при модулярных
преобразованиях. В микроскопической теории статистическая сумма
определяется как нормировочный фактор в функции распределения
ρ~β-βΗίφ\ (9.6)
т. е. как следующая сумма по набору конфигураций
«фундаментальных» полей φ (χ):
~~|е-'нМ. (9.7)
(ν)
ζ = Σ
В выражениях (9.6) и (9.7) множитель Η [φ] представляет собой
некоторую локальную функцию от конфигураций полей φ. Для системы
на торе запись (9.7) сама по себе еще не фиксирует статистическую
сумму Ζ; следует определить еще граничные условия, накладываемые
на фундаментальные поля. Как правило, рассматривается ситуация

144 Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап
с периодическими граничными условиями. Если, однако, Η [φ]
обладает глобальной группой симметрии G, т.е. H[G(p] =Η[φ], то
правомерно рассмотрение системы с нетривиальными граничными
условиями, когда при продолжении по циклам АиВ поля φ (χ) испытывают
А В
преобразования φ -^ξΑψ> Ψ ~^8βΨ> gA> Sb g G. Обозначим
статистическую сумму с такими граничными условиями Zg g . Ясно, что Zee (е —
единичный элемент группы G) является модулярным инвариантом.
С другой стороны, каждая из статсумм Zg g может быть представлена
в виде (9.3). Таким образом, дляZee коэффициенты ΝΔд и параметры
Δ, Δ должны подбираться таким образом, чтобы обеспечить
модулярную инвариантность этого выражения. Для этого достаточно, чтобы
выполнялись соотношения
Ζ66ίτ) = Ζ66(τ +1), Ζβ6(τ) = Ζββ(-1/τ). (9.8)
Это и есть основные уравнения модулярного бутстрапа,
накладывающие ограничения на спектр размерностей (Δ, Δ) конформной теории
и целые неотрицательные (в унитарном случае) числа ЛГДд,
отвечающие кратностям, с которыми входят в спектр первичные состояния
с данной размерностью.
Здесь уместно сделать следующее замечание. Как известно,
часто одна и та же статистическая система может быть представлена
как распределение вида (9.6) несколькими различными способами,
содержащими суммирования по различным наборам
фундаментальных полей. Как правило, эти наборы нелокальны друг
относительно друга. Примером может служить преобразование дуальности
(см. [17,85,125]) или знаменитый результат Колмэна об
эквивалентности модели Тирринга и теории sin-Гордон. Другой широко известный
пример — представление двумерной модели Изинга свободными май-
орановскими фермионами. Существенно, что статистическая сумма
Zee в одном представлении может не соответствовать статсумме
с периодическими граничными условиями в другом, а
представлять собой линейную комбинацию «подкрученных» статсумм ZgAygB.
Таким образом, в этих условиях существует некоторая линейная
комбинация из Zg g , также удовлетворяющая условиям модулярной
инвариантности (9.8). По-видимому, существование нескольких
решений уравнений модулярного бутстрапа с одним и тем же спектром
размерностей свидетельствует о возможности нескольких различных
представлений вида (9.6) (с различными наборами фундаментальных
полей) для рассматриваемой статистической системы.
Обратимся к выводу соотношений (9.3) и (9.2) и построению
функций #Δ(ς). Рассмотрим бесконечный цилиндр, возникающий

Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап 145
в результате факторизации комплексной плоскости переменной ξ =
= ξι + ίξ2 относительно эквивалентности ξ ~ ξ + 1. В конформно-
инвариантной теории поля на этом цилиндре из компонент тензора
энергии-импульса Г (ξ) и Г (ξ) можно построить операторы
1 1
Рп = -ШтЮе-2^, Рп = -Штфе-2Ы^, η е Ζ, (9.9)
о о
2π
действующие в пространстве состояний & теории с
периодическими граничными условиями по «пространственной» координате ξ1.
В частности, величины
Н = Р0 + Р0, Р = Р0-Р0 (9.Ю)
соответствуют гамильтониану, генерирующему трансляции вдоль
мнимой оси («временного» направления ξ2), и оператору импульса,
транслирующему вдоль ξΎ.
Тор с образующими (1, τ) можно получить из рассматриваемого
цилиндра, отождествляя точки, отличающиеся сдвигом ξ—>ξ + τ.
Статистическая сумма на торе в евклидовой теории поля дается
следующим следом:
2 — |-re-H-ImT+iP-R£T _ ^ΐ6ίτΡ0-ίτΡ0 (9.11)
по пространству 0>.
Разумеется, в конформно-инвариантной теории на цилиндре или
торе локальные операторные соотношения (4.45) или (4.46) для
компонент тензора энергии-импульса остаются справедливыми. Отсюда
получаем следующие коммутационные соотношения для
операторов (9.9):
[Pm,Pn] = 2п{т-п)Рт+п + {2п)2^тъ5т+п,
[Рт, Рп] = 2я(т - п)Рт+п + {2п)2г^т35т+п.
Поэтому операторы Lm, Lm, meZ, связанные с Рт и Рт
соотношениями
2nLm = Рт, 2к1т = Рт, тф 0,
( с \ С- с Л — (9.13)
2π(L0- 24J = Ро, 2π[L0- 24J = P0,
удовлетворяют соотношениям алгебры Вирасоро (4.50).
Пространство & классифицируется по неприводимым представлениям Vir xVir,

146 Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап
так же как и пространство локальных полей j4 . При этом спектр
гамильтониана 2πΗ отличается от спектра масштабных размерностей
сдвигом на величину с/12.
Происхождение этой поправки связано с конформной аномалией.
Конформное преобразование 2 = ехр(-2тп£) отображает
рассматриваемый цилиндр на плоскость ζ с выколотой точкой ζ = 0. Теория поля
на цилиндре ничем не отличалась бы от теории на плоскости, если
бы не конформная аномалия, описывающая остаточную зависимость
от метрики пространства. Геометрически бесконечная плоскость без
начала координат совпадает с цилиндром с внутренней метрикой
β4πξ2άξ1άξ2. Отличие этой метрики от метрики однородного
цилиндра άξ1 άξ2 приводит к появлению действия Лиувилля и,
следовательно, к добавочным вкладам в вакуумные напряжения. Поправочные
члены являются классическими числами и дают сдвиг в спектре
гамильтониана, не меняя структуры пространства состояний.
Пространство & совпадает с пространством локальных полей
j4 . В частности, в унитарной теории наинизшему собственному
значению гамильтониана отвечает единичный оператор 1^j4. Это
состояние имеет энергию —с/24п или, для цилиндра с длиной
окружности L, энергию —c/24nL. Таким образом, конформная
инвариантность в унитарной теории полностью фиксирует величину поправки
к энергии основного состояния, связанную с эффектами конечного
объема (эффект Казимира); см. [48]. Учет этой поправки в
формуле (9.11) приводит к выражению
Z=(qq)-c/24tr(qLoqz;o)e (9.14)
Характер (9.2) неприводимого представления алгебры Вирасоро
размерности Δ является, с точностью до множителя qA~c^24,
производящей функцией для числа состояний на уровне N. Если
представление не является вырожденным, то пространство совпадает с модулем
Верма Уд, и это число есть просто число представлений N суммой
натуральных чисел, т. е.
дА-с/24
*Δ(ς) = -тг · (9.15)
na-<?fc)
fc=l
Если Δ принадлежит спектру Каца (6.14), то пространство
неприводимого представления получается факторизацией модуля Верма по
содержащимся в нем подмодулям. Обозначим через #ш?п(<?) характер
представления, отвечающего вырожденной размерности Ат п из
соотношения (6.14). Простейшим является случай, когда величины а±,

Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап 147
η
А
L + + + + + + + + +
к + + + + + + + + +
l· + + + Ат,п + + + + +
L + + + + + + + + +
к + + + + + + + + +
I 1 1 1 1 1 1 1 1 |_>. m
Рис. 10
определенные формулой (6.6), несоизмеримы. При этом
вырожденный модуль всегда содержит только один нуль-вектор с размерностью
Атп = Атп + тп и соответствующий подмодуль неприводим.
Характер неприводимого представления получается вычитанием характера
подмодуля
1 —птп
Xm,niq) = <2А-"С/24^ · (9.16)
Πα-я*)
fc=l
Более сложен для анализа случай, когда модуль Верма содержит
более одного нуль-вектора. Это происходит в том и только в том
случае, если отношение чисел а± рационально, т. е. величина
центрального заряда принимает значения (7.10), причем в каждом
вырожденном модуле появляется сразу бесконечное количество нуль-векторов.
В связи с тем, что обозначение q уже использовано в этой главе, здесь
мы будем обозначать пару взаимно простых чисел ρ и q, появившихся
в формуле (7.1), через ρ и р', причем из-за симметрии ρ <—>q в (7.10),
всегда можно считать, что р<р'. При заданном значении
центрального заряда набор вырожденных представлений удобно описывать с
помощью прямоугольной таблицы, сопоставляя каждой точке с
целочисленными координатами т>0 и η>0 представление [Атп] (рис. 10).
Точкам другого квадранта этой таблицы, т < 0, η > 0, тоже можно
придать смысл, так как подстановка таких значений т и η в форму-

148 Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап
лу Каца (6.14) дает значения размерностей подмодулей вырожденных
модулей А_т п = Атп. Поэтому этим точкам можно сопоставить такие
подмодули, причем подмодуль, содержащийся в вырожденном
модуле, отражением относительно оси т = 0. В случае рациональных
значений α+/α_ = —p'lp благодаря симметрии (7.3) спектра Каца
таблица, разбивается на прямоугольные клетки размера ρ χ ρ', как
показано на рис. 11, причем клетки, отличающиеся «диагональной»
трансляцией тп^>т + кр, η —> η + кр/ с целым к, эквивалентны, т. е.
содержат одинаковый спектр размерностей. В частности, внутренняя часть
ближайшей к началу координат клетки 0 < η ^ р7, 0 < m ^ р,
совпадает с таблицей размерностей минимальных теорий, описанных в гл. 7.
Мы будем называть эту клетку главной таблицей вырожденных
модулей. Таблица на рис. 11 обладает также симметрией, порождаемой
симметрией спектра Каца по отношению к замене т^> —πι, η —> —п.
Совместно с диагональными сдвигами это порождает симметрию при
инверсиях относительно любой точки вида (кр,кр'), IcgZ.
Благодаря этим симметриям все модули таблицы содержатся в приведенной
полосе η > 0, 0 < m ^ ρ (при этом размерности главной таблицы
представлены дважды). Любой вырожденный модуль может быть
приведен к виду η = кр' + 5, т = г, где к — неотрицательное целое число,
а0<г^р, 0<s^p'.
Инвариантность относительно диагональных трансляций
означает, в частности, что все подмодули вырожденных модулей,
содержащиеся в нижней половине таблицы на рис. 11, сами являются
вырожденными. Приведенные положения всех регулярных (см. ниже)
подмодулей данного модуля можно получить, отражая соответствующую
точку, а также эквивалентные ей относительно указанных выше
симметрии точки в верхней половине таблицы рис. 11, в нижнюю
половину и сдвигая образы в приведенную полосу диагональными
трансляциями. Рассмотрим, например, точки вида (т, ή) = (ρ, кр'), к > 0.
Находим, что соответствующий модуль содержит подмодули,
сопоставляемые точкам вида (р, (к + 2Ζ)ρΟ с целыми I > 0. С другой
стороны, каждый модуль, отвечающий данному значению I > 0, содержит
все модули с V > I. Модули такого типа имеют структуру матрешки,
т. е. представляют собой последовательность вложенных друг в друга
подмодулей: У(рЛр>) э У(р?№+2)ро э У(Рхк+4)Ю D ··· Поэтому для
вычисления характера соответствующего неприводимого представления
достаточно вычесть из характера модуля (9.5) характер максимального
подмодуля. Такую же структуру имеют все модули, отвечающие
точкам, лежащим на разделяющих клетки пунктирных линиях на рис. 11
(см. [36,37]), т.е. приведенным точкам вида (г,/срО или (р,s), k>0,

Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап 149
η
Δ2,1 Δ2,2 Δ2,3 + + + + + +
Δ1,1 Δ1,2 Δ1,3 + + + + + +
Η 1 1 h
-ι—* m
Δ1,1 Δ1,2 Δ1,3 + + + + + +
Δ2,1 Δ2,2 Δ2,3 + + + + + +
Рис. 11
0<r^p,0<s^p'. Для характеров получим
ψ'-rp')2 №
а 4рр' — η лрр'
(крр'-rp')2 (крр'+гр')2
Х(г,кр')(0) =
где введена функция
Up-pp'Y- (.sp+pp1)2
q Лрр' — q 4pp'
η О?)
v(q) = q1/24f\a-qk).
fc=l
(9.17)
(9.18)
Другую структуру имеют модули УА, отвечающие внутренним точкам
в клетках. Анализ показывает (см. [36,37]), что во всех этих случаях
имеется два различных подмодуля Уд/ и УА». Соответствующие нуль-
векторы являются регулярными в том смысле, что их размерности

150 Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап
описываются формулой Каца. Все остальные нуль-векторы из УА
лежат в пересечении Уд/ ПУД//, которое снова имеет вид объединения
двух подмодулей Уд/ Θ Уд//, причем такие нуль-векторы являются
сингулярными, т. е. соответствующие размерности не принадлежат
спектру Каца. Их появление связано как раз с явлением пересечения
подмодулей; сингулярные подмодули исчезают при любом сколь угодно
малом изменении параметров с и Δ. Подмодули Уд/ и Уд// вновь
пересекаются по объединению двух, теперь уже регулярных для модуля
Уд, подмодулей и т. д. Благодаря такой структуре, характер
неприводимого представления комбинируется следующим образом:
п-с/24
*A(q) = ^ (qA-qAi-qA"+qA>+q^ -...)· (919)
na-<2fc)
к=1
Рассмотрим модуль У(г^5), 0 < г < р, 0 < 5 < р', отвечающий
внутренней точке из главной таблицы. Этот модуль называется верхним,
поскольку он не содержится в качестве подмодуля ни в одном другом
вырожденном модуле (верхними являются также модули, лежащие на
границе главной таблицы). Нетрудно проверить, что все регулярные
нуль-векторы этого модуля могут быть сопоставлены набору точек
(г, 2kp'—s), IcgZ. Анализ регулярных нуль-векторов первых двух
подмодулей, отвечающих точкам (г, 2р' — s) и {p — r^p' + s), приводит
к набору нуль-векторов, описываемых точками (г, 2кр' + s), к е Z,
кфО. Эти нуль-векторы являются сингулярными для модуля У^у
Описанная выше структура этого модуля позволяет найти все члены
ряда (9.19):
(sp-rp')2
*<") ^ = ^Щ- Σ (qk2pp'+Hsp-rp,) ~ qeW+Kv+rt+r*). (9.20)
fceZ
Эта формула была получена в работе [137]. Характеры остальных
модулей, отвечающих внутренним точкам в следующих клетках
приведенной полосы, получаются аналогичным образом; см. [57]. Часть
членов в бесконечных суммах выпадает:
(sp-rp')2
ZC^W?) = £т5- Σ {qk2^+k^-^-qk2PP'+k^P'^). (9.21)
fceZ
fc#-fi,-l]
Важной особенностью представлений главной таблицы (9.20),
отличающей их от всех остальных характеров, является то, что их
совокупность образует конечномерное представление модулярной

Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап 151
группы. Использование формулы суммирования Пуассона приводит
к следующему преобразованию этого набора характеров под
действием элемента S модулярной группы:
*™{ГЧ) = Ш Σ (-)^+1sin^sin^,(r,,soW. (9.22)
0<r'<p
0<s'<p'
Под действием элемента Г, очевидно,
W* +1) = β2ίπ(Δ(Γ'5)~^*θν)ω. (9.23)
Размерность этого представления равна (р - 1)(р' - 1)/2 и совпадает
с числом первичных полей в модели ^#(р/рО.
Тот факт, что характеры образуют конечномерное представление
SL(2, Ζ), означает, что все они являются линейно независимыми
решениями модулярно инвариантного линейного дифференциального
уравнения порядка (р — 1)(р' —1)/2. Мы покажем, что эти
дифференциальные уравнения является следствиями «вакуумных» тождеств Уо-
рда на торе, связанных с существованием в моделях ^(р/рО в
конформном классе единичного оператора второго нуль-вектора (кроме
!_!/). Такие тождества Уорда для корреляционных функций на
бесконечной плоскости уже рассматривались в гл. 7.
Рассмотрим простейший случай теории <М(2/5) на торе с
образующими (1, τ) в комплексной плоскости ξ. В силу трансляционной
инвариантности тора корреляционная функция (Г(ξ)) = (Г) не
зависит от ξ. С другой стороны, согласно соотношению (9.11) имеет
dZ_
J
о
™»й = ш· »·*>
где Ζ — статистическая сумма теории на торе. Аналогичным образом
±{Ζ{Τ))=Ζ
(Τ(ξ)Γ(ξ,)>||. (9.25)
о
Корреляционная функция (Γ(ξ)Τ(ξΟ) должна быть двоякопериодиче-
ской функцией разности аргументов ξ — ξ' с единственной
особенностью при ξ = ξ', главная часть в которой диктуется структурой
операторного разложения (4.25). Поэтому в общем виде можно записать
(Γ(ξ)Γ(ξΟ) =
= -^(^)4ΐ°δ^ι(ξ~ξ,)"2(:Γ)(^)2ΐθ^ι(ξ"ξ,) + ί/' (9·26)

152 Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап
υ = (2ίπ)2Ζ~1^. (9.28)
где U — не зависящая от ξ — ξ' величина, а функция Ό1 (ξ)
определяется формулой
0α(ξ) = 2(_)ηβΐπτ0ι+1/2)2+2ίπξ! (9>27)
пе.Ъ
Сингулярные эллиптические функции в первом и втором членах
в формуле (9.26) подобраны таким образом, чтобы обеспечить
правильную главную часть особенности при ξ = ξ'; кроме того, интеграл
от этих функций от 0 до 1 (по Α-циклу) обращается в нуль.
Сравнение (9.26) с уравнениями (9.25) и (9.24) позволяет выразить U через
производные от статсуммы Ζ:
.2^-l^Z
Сближая аргументы ξ и ξ7 в корреляционной функции (9.26) и
вычитая сингулярные члены, можно получить вакуумное среднее для
оператора Γ4(ξ), определенного формулой (4.80). Несложное вычисление
приводит к соотношению
(2π)-^τ)=[(4)2+_ι.|^__£.(^_^(|:))]Ζ;(9.29)
где #р *&"' и #^у) —соответственно первая, третья и пятая
производные по ξ функции (9.27) при ξ = 0. В теории ^(2/5) оператор Γ4(ξ)
обращается в 0 (см. (7.16)). Это дает дифференциальное уравнение
второго порядка на статсумму Ζ. Чтобы записать это уравнение в явно
модулярно инвариантном виде, введем функцию
2πίΡ(τ) = 24η"1^, (9.30)
где η (τ) — функция Дедекинда (9.18). При модулярных
преобразованиях имеем
Ρ(τ + 1)=Ρ(τ), Ρ(-1/τ) = τ2Ρ(τ) + |^. (9.31)
Модулярной формой веса к называется регулярная при q = 0 функция
Gk(q), обладающая следующими трансформационными свойствами
при модулярных преобразованиях (9.5); см. [22]:
Gfc(T + l) = Gfc(T), Gfc(-1/T) = ткСк{т). (9.32)
Из свойств (9.31) следует, что дифференциальный оператор
а*=<4-пр (9-зз)
действует из пространства модулярных форм веса к в пространство
модулярных форм веса к + 2. Отметим, что пространство модулярных

Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап 153
форм может быть порождено как кольцо многочленов от
алгебраически независимых форм Q и R веса 4 и 6 соответственно; см. [22]:
Q = -P2- 12д2Р, R = -3d4Q. (9.34)
Эти функции, так же как и Ρ (τ), выбраны таким образом, что их
разложения по степеням q начинаются с 1. Отметим следующие
полезные соотношения:
- AW °° 7
= -±^ = 1-2лУ^-
1 fc=i
ъ гК\2 з #?° ν-« fcV
*=Mt) -^^γ = 1+240Στ4' (9·35)
1 г fc=l Ч
R=i6^L63_^--9-er-74#rJ ]=1-504Ζ,Τ^·
В этих обозначениях после подстановки значения с из формулы (7.15)
уравнение (9.29) принимает следующий модулярно инвариантный
вид:
(^о-зМо)^(2/5)=0. (9.36)
Это уравнение имеет два линейно независимых решения,
обладающих при q —»О поведением Ζ ~ q11/60 и Ζ ~ q_1/60, что согласуется со
значениями размерностей Δ = 0 и Δ = —1/5 в модели ^(2/5). Как
и следовало ожидать, решение этого уравнения представляет собой
комбинацию характеров %1Х и χ12 теории ^(2/5).
В других минимальных моделях возникают дифференциальные
уравнения более высокого порядка. Например, в моделях ^(3/4)
и ^#(2/7) вакуумный модуль Верма содержит второй нуль-вектор
на шестом уровне. Уравнениями движения можно считать условия
обращения в нуль этих нуль-векторов:
Г(23) = γ9*Τ- 132θζ : TdJ : +225 : (dzT)2 : +64 : Τ3 := 0 (9.37)
в модели ~#(3/4) с центральным зарядом с = 1/2 и
габ) = YdtT- Ydz : (TdJ) : + γ : (θζΓ)2 : +49 : Γ3 := 0 (9.38)
в модели ^(2/7), имеющей центральный заряд с = —68/7. При
выводе соответствующих уравнений для статистической суммы
необходимо рассматривать корреляционные функции (Γ(ξ)Γ(ξ/)Τ(ξ//))
на торе. Вычисления, аналогичные приведенным выше, приводит

154 Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап
к уравнениям
(длд2д0 - щ^д0 + ^^RjZ(3/4) = О,
(9.39)
[д4д2д0 -252.Qdo+ (^)3RJZ(2/7) = 0·
Нетрудно проверить, что соответствующие характеристические
уравнения имеют решения, отвечающие спектрам размерностей этих
минимальных теорий: (0,1/2,1/16) и (0, —2/7, —3/7) соответственно.
Разумеется, статистические суммы Ζ(ρ/Ρ') моделей ^(р/рО
удовлетворяют таким же дифференциальным уравнениям по
переменной q. Общее решение представляется в виде (9.3) с произвольными
коэффициентами NAд. Ограничения на эти коэффициенты
накладывает требование модулярной инвариантности статистической суммы.
В рассматриваемом в этой главе подходе это требование играет ту
же роль, что и требование ассоциативности операторной алгебры
в описанном в гл.5 методе конформного бутстрапа. В случае
унитарных теорий, как уже отмечалось выше, величины NAд должны
быть неотрицательными целыми числами. Кроме того, естественное
требование единственности вакуумного состояния диктует значение
N00 = 1. Эти дополнительные условия сильно ограничивают набор
возможных решений уравнения модулярного бутстрапа (9.8) и дают,
по-видимому, возможность в ряде случаев дать полную
классификацию; см. [57].
Здесь мы рассмотрим решения уравнения модулярного бутстрапа
для случая минимальных теорий (см. [60]) и ограничимся
унитарной серией Mv, где требование неотрицательной целочисленности
коэффициентов ΝΑд обоснованно. Минимальные модели обладают
конечным спектром размерностей первичных полей, поэтому
уравнения модулярного бутстрапа представляют собой конечную систе-
ρίρ-1) ρ(ρ-1) ,г _
му линейных уравнении на —~— χ —~— величин А/дд. С
учетом трансформационных свойств характеров (9.22) и (9.23)
уравнения модулярного бутстрапа (9.8) принимают вид
N(r', s', f', Г) = j^^ J] N(r' 5> f> ^ х
s,s,r,r
X Sin ^ Sin ^ Sin ^ Sin ^5-(_)(^)(г'+50+(г+Ю(Г+Г) (Q 4Q)
ρ ρ ρ+1 ρ+1 ν '
N(r, s,r,s) = e2iniA^-A^N(r, s, r, s), (9.41)
где введено обозначение N(r,s,r,s) = ΝΑ Δ. В этих формулах
пары целых чисел r,s и r,s принимают значения l^s^r^p — 1,

Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап 155
l^J^f^p — 1. Эти ограничения учитывают то обстоятельство, что
в главной таблице каждая размерность появляется дважды.
Условие (9.41) означает, что N(r, s, r, s) отлично от нуля лишь в том случае,
если A(r s) — Δ(Ρ5) G Ζ, τ. е. если соответствующее первичное поле
имеет целый спин. Только состояния с целым спином вносят вклад
в модулярно инвариантную статистическую сумму.
Простейший способ удовлетворить этому условию состоит в том,
чтобы использовать только скалярные состояния с размерностями
(Δ(Γs),Δ(Ρ5)), l^s^r^p-1. Действительно, нетрудно проверить,
что решение N(r,s,r,s) = 5rr5sl удовлетворяет уравнению (9.40).
Соответствующая модулярно инвариантная статистическая сумма
имеет вид
ζ= Σ ХмШмШ- (9-42)
Каждое скалярное первичное состояние входит в эту сумму с
кратностью 1. Естественно считать, что такое решение соответствует
построенной в гл.6 операторной алгебре скалярных вырожденных
полей, ограниченной для случая минимальных теорий.
Выражение (9.42) должно описывать статистические суммы мультикрити-
ческих Ζ2 -симметричных систем со скалярным параметром порядка
φ и гамильтонианами (7.63), причем граничные условия следует
выбирать периодическими для поля φ{χ). Это соответствует тому,
что поле φ = Φ(2,2) локально относительно всех состояний,
входящих в разложение (9.42). Выражение (9.42) является единственным
модулярным инвариантом, удовлетворяющим условиям
неотрицательности и целочисленности коэффициентов ΝΑд и Ν00 = 1 при
ρ ^4; см. [60].
Если ρ ^ 5, то спектр размерностей унитарной серии
предоставляет другие возможности построения первичных полей с целым
спином. Как видно из таблицы размерностей модели М^, приведенной
на рис. 6 можно сконструировать поля со спином 3 типа (3, 0) и (0,3)
(в гл. 7 они получили названия W и W), а также состояния (2/5, 7/5)
и (7/5, 2/5) со спином 1. Содержащая эти состояния модулярно
инвариантная унитарная статистическая сумма с единственным вакуумом
может быть записана в виде (см. [60]):
^ = (*о + *з)(Жо + #з) +
+ (*2/5 + ХЦЪ) (jf 2/5 + ХЦЪ) + 2*1/15*1/15 + 2*2/3*2/3, (9-43)
где для сокращения использованы обозначения *δ=*δ(<?)> Χα=Χα(Φ-
Входящие в соотношение (9.43) состояния можно идентифицировать

156 Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап
с полями критической трехпозиционной модели Поттса. При этом
состояние (1/15,1/15) следует отождествлять с полями σ и σ+,
упоминавшимися в гл. 7; поле (2/3, 2/3) также являете заряженным по
группе симметрии Ζ3 трехпозиционной модели Поттса. Это
согласуется с тем, что в формуле (9.43) эти состояния появляются с
кратностью 2. Отметим, что часть размерностей, содержащихся в таблице
на рис.6, вовсе не появляется в выражении (9.43). Если
интерпретировать его как статистическую сумму трехпозиционной модели
Поттса с периодическими граничными условиями для спиновых полей σ
и σ+, то это обстоятельство означает, что выпавшие «нечетные»
состояния нелокальны относительно спиновых полей. Отметим, что их
локальность относительно σ и <т+ противоречила бы операторной
алгебре, поскольку, как отмечалось в гл. 7, все нечетные поля являются
рамоновскими состояниями для сохраняющихся токов W и W,
которые локальны относительно σ. Выражения (9.42) и (9.43)
исчерпывают возможные модулярные инварианты, удовлетворяющие условиям
унитарности в Лъ\ см. [60].
Аналогичным образом, в модели М^ (рис. 7) возможны поля (5,0),
(0, 5), (22/7,1/7), (1/7, 22/7), (12/7, 5/7) и (5/7,12/7) с ненулевыми
целыми спинами. Эти состояния входят в модулярно инвариантную
статсумму
ζ = Izs + χ0\2 + \χ22/7+Χι/?\2 +
+ IZi2/7 + Z5/7l2 + 2|Z4/3|2 + 2|Zlo/2il2 + 2|^1/21|2. (9.44)
Скалярные поля размерности (1/21,1/21), (10/21,10/21) и (4/3,4/3)
входят в эту статсумму с весом 2 в соответствии с отмечавшейся в гл. 7
заряженностью этих полей по группе симметрии Ζ3.
Наличие решений уравнений модулярного бутстрапа, содержащих
состояния с ненулевым спином, является общим для всех моделей
•^р> Ρ > 4. В работах [57, 97,104,150,155] была найдена
«дополнительная» (в отличие от «основной» серии (9.42)) серия решений
уравнений модулярного бутстрапа при всех ρ > 4. Вид статсуммы для
дополнительной серии зависит от числа ρ ( mod 4). При ρ = 1 (mod 4)
имеем л
Ζ=ϊΣ Σ 1*(г,5) + *(р-г,5)12> (9.45)
Г SE2Z+1
где суммирование идет по набору значений l^s^r^p — 1 с
указанным под знаком суммы ограничением. При ρ = 2 (mod 4) решение
имеет тот же вид с заменой ролей переменных г и s:
Ζ=\Σ Σ Ι^5) + ^(γ,ρ+ι-5)Ι2. (9.46)
s r£2Z+l

Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап 157
К этим двум случаям относятся решения (9.43) и (9.44), выписанные
выше для моделей Мъ и М^. Для ρ = 4к + 3 имеем (см. [150])
Ζ = Σ Σ Ι*0νϋΙ2+ Σ (X(rAX(rj>+i-s) + X(rj>+i-s)X(rj)> (9·47)
r se2Z+l lsCr;S2k+l
2^(se2Z)^2fc
а для р = 4к получаем
Ζ = Σ Σ Ι^(^)Ι2+ Σ (Х(гАХ(р-гА + Х(р-гаХ(га)· (9Л8)
s re2Z+l 1^5^2fc
2^(re2Z)^2fc-2
Кроме этих бесконечных серий найдены также «исключительные»
решения при ρ = 11, 12,17,18, 29 и 30. Эти решения имеют вид
(см. [57])
10
ζ(ρ = 11) = 2Σ\Χα,3)+Χσ,3)\2+\Χί4,3)+Χ(.8,5)\2+\Χ(5,3)+Χαι,3)\2
s=l
12
Ζ(ρ = 12) = 2^\Xir^+Xir,n\2+\XirA)+Xir^\2MX{r^+Xo-,ii)\2
r=l
16
Zip = 17) = 2 \xa,s)+xa?,s)\2+
s=l
+ IZ(5,5)+Z(13,s)|2 + IZ(7,5)+Z(ll,S)|2 + IZ(9,5)|2 +
+ [(Z(3,S)+Z(15,5))Z(9,s)+Z(9,S)(Z(3,5)+2r(15,5))]J
18
Zip = 18) = Σ \X(r,i)+Xir,i7)\2+ (9-49)
r=l
+ \X(r,5)+Xir,13)\2 + \Xtr,7)+X(.r,ll)\2 + \X{r,9)\2 +
+ [(/(r,3)+^(r,15))^(r,9)+^(r,9)(F(r,3)+F(r,15))]»
28
Z(p = 29) = Σ I^a5)+Z(ll,s)+Z(193s)+Z(29,5)|2 +
s=l
+ \X(J,s) +Z(13,s) +X(.17,s) +Z(23,s) \2>
30
Z(P = 30) = Σ IZ(r,l)+Z(r,ll)+Z(r,19)+Z(r,29)|2 +
r=l
,23)1 ·
В работе [57] было проведено глубокое исследование
уравнений (9.40) и (9.41) и найдены все независимые модулярные инва-

158 Глава 9. Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап
рианты, построенные из характеров неприводимых представлении
главной таблицы. На основании этих результатов авторы этой
работы приводят аргументы, показывающие, что серии (9.42), (9.45)—
(9.48) и исключительные решения (9.49) исчерпывают все решения
уравнений модулярного бутстрапа со свойствами неотрицательности
и целочисленности коэффициентов ΝΔд и Ν00 = 1. В этой работе
также указана интересная связь этих решений с простыми алгебрами
Ли серий A, D и Е. В работе [150] изучаются модулярные инварианты
для теорий с центральным зарядом (7.10), содержащие характеры
неприводимых представлений, лежащих вне главной таблицы на
рис.11. В работе [71] найдены модулярно инвариантные статсуммы
для модели 0(п) и Q-позиционной модели Поттса с произвольными
нецелыми п, Q, — 2^h^2h2^Q^4. Соответствующие конформные
теории неунитарны (за исключением целых η или Q), и разложение
найденных статистических сумм по характерам включает нецелые
коэффициенты ΝΔд как положительного, так и отрицательного знака.

Литература
1. Ахиезер Η. Элементы теории эллиптических функций. Л.: ОГИЗ, 1948.
2. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Наука, 1972-1978.
3. Бейтмен Г., ЭрдейиА. Высшие трансцендентные функции. М.: Мир, 1974.
4. Боголюбов К, Ширков Д. Введение в теорию квантованных полей. М.:
Наука, 1984.
5. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. М.: Мир,
1985.
6. Гелъфанд И. М., Фукс Д. Б. Когомологии алгебры Ли векторных полей на
окружности // Функц. анализ и его прил. 1968. Т. 2. С. 92—93.
7. Грибов В. К, МигдалА.А. Сильная связь в задаче о полюсе Померанчу-
ка // ЖЭТФ. 1968. Т. 55. С. 1498.
8. Грин М., Шварц Д., Виттен Э. Теория суперструн. М.: Мир, 1990.
9. Замолодчиков А. Б. Конформная симметрия и мультикритические точки
в двумерной квантовой теории поля // ЯФ. 1986. Т. 44. Р. 821.
10. Замолодчиков А. Б. О «необратимости» потока ренормализационной
группы в двумерной теории поля // Письма в ЖЭТФ. 1986. Т. 43. С. 565—
567.
11. Замолодчиков А. Б., Фатеев В. А. Операторная алгебра и
корреляционные функции в двумерной SU(2) x SU(2) модели Весса—Зумино // ЯФ.
1986. Т. 43. Р. 1031—1044.
12. Замолодчиков А. Б., Фатеев В. А. Поля беспорядка в двумерной
конформной квантовой теории поля и расширенная N = 2 суперсимметрия. //
ЖЭТФ. 1986. V. 90. Р. 1553—1566.
13. Замолодчиков А. Б., Фатеев В. А. Представления алгебры «параферми-
онных токов» спина 4/3 в двумерной конформной теории поля.
Минимальные модели и трикритическая Z3-модель Поттса // ТМФ. 1987. Т. 71.
С. 163—178.
14. Замолодчиков А. Б. Ренормализационная группа и теория возмущений
вблизи критических точек в двумерной теории поля // ЯФ. 1987. Т. 46.
С. 1819—1831.
15. Замолодчиков Ал. Б. Двумерная конформная симметрия и критическая
корреляционная функция четырех спинов в модели Ашкина-Теллера //
ЖЭТФ. 1986. Т. 90. С. 1808—1818.
16. Замолодчиков Ал. Б. Конформная симметрия в двумерном пространстве:
о рекуррентном представлении конформного блока // ТМФ. 1987. Т. 73.
С. 103—ПО.
17. Замолодчиков Ал. Б. Преобразования Крамерса-Ванье для систем с Zn
симметрией // ЖЭТФ. 1978. Т. 75. С. 341—345.
18. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1984.

160
Литература
19. Кац В. Бесконечномерные алгебры Ли. М.: Мир, 1993.
20. Книжник В. Г. Многопетлевые амплитуды в теории квантовых струн и
комплексная геометрия // УФН. 1989. Т. 159. С. 401.
21. КратцерА., Франц В. Трансцендентные функции. М.: ИЛ, 1963.
22. Ленг С. Введение в теорию модулярных форм. М.: Мир, 1979.
23. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980.
24. Мамфорд Д. Лекции о тета-функциях. М.: Мир, 1988.
25. Мигдал А. А. Диаграммная техника вблизи точки Кюри и фазовый
переход второго рода в Бозе жидкости // ЖЭТФ. 1968. Т. 55.1964.
26. Новиков С. П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории
Морса // УМН. 1982. V. 37. С. 3^9.
27. Паташинский А. 3., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазовых
переходов. М.: Наука, 1981.
28. Поляков А. М. Свойства далеких и близких корреляций в критической
области // ЖЭТФ. 1969. V. 57. Р. 271.
29. Поляков A.M. Микроскопическое описание критических явлений //
ЖЭТФ. 1970. V. 59. С. 542.
30. Поляков А. М. Конформная симметрия критических флуктуации //
Письма в ЖЭТФ. 1970. V. 12. Р. 538.
31. Поляков А. М. Негаммильтонов подход к конформной квантовой теории
поля // ЖЭТФ. 1974. V. 66. Р. 23^2.
32. Саймон Б. Модель Ρ(ψ)2 евклидовой квантовой теории поля. М.: Мир,
1976.
33. Сато М., Джимбо М., Шива Т. Голономные квантовые поля. М.: Мир,
1983.
34. Стритер Р., ВайтманА. РСТ, спин и статистика и все такое. М.: Наука,
1966.
35. Фатеев В. Α., Замолодчиков А. Б. Парафермионные токи в двумерной
конформной квантовой теории поля и самодуальные критические
точки в Ζ(п)-симметричных статистических системах // ЖЭТФ. 1985. Т. 89.
С. 380—399.
36. Фейгин Б. Л., Фукс Д. Б. Кососимметрические инвариантные
дифференциальные операторы на прямой и модули Верма над алгеброй Вирасо-
ро // Функц. анализ и его прил. 1982. Т. 16. С. 47—63.
37. Фейгин Б. Л., Фукс Д. Б. Модули Верма над алгеброй Вирасоро // Функц.
анализ и его прил. 1983. Т. 17. Р. 91—92.
38. Affleck I. Exact Critical Exponents for Quantum Spin Chains, Nonlinear Sigma
Models at Θ = π and the Quantum Hall Effect // Nucl. Phys. 1986. В 265.
P. 409.
39. Alcaraz F. C, Koberle R. Duality and the phases of Z(N) spin systems // J.
Phys. 1980. A13. L153.
40. Alvarez-Gaume L., Moore G. W., Nelson P. C, Vafa C, BostJ. B. Bosonization in
arbitrary genus // Phys. Lett. 1986. В178. P. 41^7.

Литература
161
41. Andrews G.E., Baxter R.J., Forrester P.J. Eight vertex SOS model and
generalized Rogers-Ramanujan type identities // J. Stat. Phys. 1984. V. 35.
P. 193—266.
42. Ashkin J., Teller E. Statistics of Two-Dimensional Lattices with Four
Components // Phys. Rev. 1943. V. 64. P. 178—184.
43. Atick J. J., Sen A. Correlation functions of spin operators on a torus // Nucl.
Phys. 1987. В 286. P. 189.
44. Baxter R. J. Hard hexagons: exact solution // J. Phys. A. 1980. V. 13. P. L61—
L70.
45. Belavin Α.Α., Polyakov A.M., Zamolodchikov A.B. Infinite conformal
symmetry in two-dimensional quantum field theory // Nucl. Phys. 1984. В 241.
P. 333—380.
46. Belavin A. A., Knizhnik V. G. Algebraic geometry and the geometry of quantum
strings // Phys. Lett. 1986. В168. P. 201—206.
47. Bershadsky M.A., Knizhnik V. G., Teitelman M. G. Superconformal Symmetry
in Two-Dimensions // Phys. Lett. 1985. В151. P. 31—36.
48. Blote H. W., Cardy J.L., Nightingale M.P. Conformal invariance, the central
charge, and universal finite size amplitudes at criticality // Phys. Rev. Lett.
1986. V. 56. P. 742.
49. BostJ. В., Nelson P. C. Spin 1/2 bosonization on compact surfaces // Phys. Rev.
Lett. 1986. V. 57. P. 795.
50. Boucher W., Friedan D., Kent A. Determinant Formulae and Unitarity for the
N = 2 Superconformal Algebras in Two-Dimensions or Exact Results on String
Compactification // Phys. Lett. 1986. В172. P. 316.
51. Bowcock P., Goddard P. Virasoro algebras with central charge с < 1 // Nucl.
Phys. 1987. В 285. P. 651.
52. Burkhardt T. W., Guim I. Finite-size scaling of the quantum Ising chain with
periodic, free, and antiperiodic boundary conditions // J. Phys. 1985. A18.
P. L33—L38.
53. Burkhardt T.W., Cardy J.L. Surface critical behaviour and local operators
with boundary-induced critical profiles // J. Phys. 1987. A 20. P. L233—L238.
54. Burkhardt T. W., Guim I. Universal scaling form of the correlation length in
ising strips with periodic, free, fixed, and mixed boundary conditions // Phys.
Rev. 1987. В 35. P. 1799—1806.
55. Candelas P., Horowitz G. Г., Strominger A., Witten E. Vacuum Configurations
for Superstrings // Nucl. Phys. 1985. В 258. P. 46—74.
56. Cappelli A. Modular invariant partition functions of superconformal
theories // Phys. Lett. 1987. В185. P. 82—88.
57. Cappelli Α., Itzykson C, Zuber J. B. Modular Invariant Partition Functions in
Two-Dimensions // Nucl. Phys. 1987. В 280. P. 445^65.
58. Cardy J. L. Conformal Invariance and Surface Critical Behavior // Nucl. Phys.
1984. В 240. P. 514—532.
59. Cardy J. L. Conformal invariance and the Yang-Lee edge singularity in two-
dimensions // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54. P. 1354—1356.

162
Литература
60. Cardy J. L. Operator content of two-dimensional conformally invariant
theories // Nucl. Phys. 1986. В 270. P. 186—204.
61. Cardy J. L. Conformal invariance // Phase Transitions and Critical
Phenomena / Eds. С Domb, J. Lebowitz. Academic Press, 1987. V. 11. P. 55—127.
62. Christe P., Flume R. The four point correlations of all primary operators of the
d — 2 conformally invariant SU(2) sigma model with Wess—Zumino term //
Nucl. Phys. 1987. В 282. P. 466.
63. Cohn J., Friedan D., Qiu Z.-a., Shenker S.H. Covariant quantization of
supersymmetric string theories: The spinor field of the Ramond-Neveu-
Schwarz model // Nucl. Phys. 1986. В 278. P. 577.
64. de Alcantara Bonfim O. F, Kirkham J. E., McKane A. J. Critical exponents for
the percolation problem and the Yang-Lee edge singularity // J. Phys. 1981.
A14. P. 2391.
65. Den Nijs M. Extended scaling relations for the chiral and cubic crossover
exponents // J. Phys. A. 1984. V. 17. L295—L300.
66. Dixon L. J., Harvey J. Α., Vafa G, Witten E. Strings on Orbifolds // Nucl. Phys.
1985. В 261. P. 678—686.
67. Dixon L.J., Friedan D., Martinec E.J., Shenker S.H. The Conformal Field
Theory of Orbifolds // Nucl. Phys. 1987. В 282. P. 13—73.
68. Di Vecchia P., Musto R., Nicodemi F, Pettorino R. The anomaly term in the
N = 2 supersymmetric gauge theory // Nucl. Phys. 1985. В 252. P. 635.
69. Di Vecchia P., Petersen J.L., Zheng KB. N = 2 Extended superconformal
theories in two-dimensions // Phys. Lett. 1985. В162. P. 327.
70. Di Vecchia P., Petersen J. L., Yu M., Zheng Η. Β. Explicit construction of unitary
representations of the N = 2 superconformal algebra // Phys. Lett. 1986.
В174. P. 280.
71. di Francesco P., Saleur H., Zuber J.B. Relations between the Coulomb gas
picture and conformal invariance of two-dimensional critical models // J.
Stat. Phys. 1987. V. 49. P. 57—79.
72. Ditzian R. V, Banavar J. R., Grest G. S., KadanoffL. P. Phase diagram for the
Ashkin-Teller model in three dimensions // Phys. Rev. 1980. В 22. P. 2542—
2553.
73. Dotsenko V S. Critical Behavior and Associated Conformal Algebra of the Z(3)
Potts Model // Nucl. Phys. 1984. В 235. P. 54—74.
74. Dotsenko VS., Fateev V.A. Conformal algebra and multipoint correlation
functions in 2D statistical models // Nucl. Phys. 1984. В 240. P. 312.
75. Duplantier B. Polymer Network of fixed topology: renormalization, exact
critical exponent gamma in two dimensions, and d = 4 - e // Phys. Rev. Lett.
1986. V. 57. P. 941—944.
76. Duplantier B. Exact critical exponents for two-dimensional dense polymers //
J. Phys. A. 1986. V. 19. L1009—L1014.
77. Eichenherr H. Minimal operator algebras in superconformal quantum field
theory // Phys. Lett. 1985. В151. P. 26.
78. Fateev V Α., Zamolodchikov A. B. unpublished.

Литература
163
79. Fateev V. A, Zamolodchikov Α. Β. Conformal Quantum Field Theory Models in
Two-Dimensions Having Z(3) Symmetry // NucL Phys. 1987. В 280. P. 644—
660.
80. Ferrara S., Gatto E., Grillo Α., Parisi G. General consequences of conformal
algebra // Scale and Conformal Symmetry in Hadron Physics / Ed. R. Gatto.
New York: Wiley, 1973.
81. Fisher Μ. E. Yang-Lee Edge Singularity and φ3 Field Theory // Phys. Rev. Lett.
1978. V. 40. P. 1610—1613.
82. Forrester P. J., Andrews G.E. Height probabilities in solid-on-solid models. I-
II // J. Phys. A. 1986. V. 19. P. L923.
83. Fortuin С Μ., Kasteleyn P. W. On the Random cluster model. 1: Introduction
and relation to other models // Physica. 1972. V. 57. P. 536—564.
84. Fradkin E. S., Palchik Μ. Y. Introduction to conformal field theory / Lecture
given at Int. School on Problems of Elementary Particle Physics, Sochi, 1974.
85. Fradkin E.H., Kadanoff LP Disorder variables and parafermions in two-
dimensional statistical mechanics // Nucl. Phys. 1980. В170. P. 1—15.
86. Friedan D. A new formulation of string theory // Phys. Scripta. 1987. Τ15.
P. 78.
87. Friedan D., Martinec E. J., Shenker S. H. Conformal Invariance, Supersymme-
try and String Theory // Nucl. Phys. 1986. В 271. P. 93.
88. Friedan D., Shenker S. Unified String Theories / Eds. M. Green, D. Gross.
Singapore: World Scientific, 1986.
89. Friedan D., Shenker S.H. The Integrable Analytic Geometry of Quantum
String // Phys. Lett. 1986. В175. P. 287.
90. Friedan D., Shenker S.H. The Analytic Geometry of Two-Dimensional
Conformal Field Theory // Nucl. Phys. 1987. В 281. P. 509.
91. Friedan D., Shenker S. H., Qiu Z.-a. Details of the nonunitarity proof for
highest weight representations of the virasoro algebra // Commun. Math.
Phys. 1986. V. 107. P. 535.
92. Friedan D., Qiu Z.-a., Shenker S. H. Conformal Invariance, Unitarity and Two-
Dimensional Critical Exponents // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 1575—1578.
93. Friedan D., Qiu Z.-a., Shenker S.H. Superconformal Invariance in Two-
Dimensions and the Tricritical Ising Model // Phys. Lett. 1985. В151. P. 37—
43.
94. Fubini S. Hanson A. J., Jackiw R. New approach to field theory // Phys. Rev.
1973. D 7.1732—1760.
95. Fubini S., Veneziano G. Algebraic treatment of subsidiary conditions in dual
resonance models // Annals Phys. 1971. V. 63. P. 12—27.
96. Gepner D., Witten E. String Theory on Group Manifolds // Nucl. Phys. 1986.
В 278. P. 493.
97. Gepner D. On the Spectrum of 2D Conformal Field Theories // Nucl. Phys.
1987. В 287. P.lll.
98. Gepner D. New Conformal Field Theories Associated with Lie Algebras and
their Partition Functions // Nucl. Phys. 1987. В 290. P. 10.

164
Литература
99. Goddard P., Kent Α., Olive D. I. Virasoro Algebras and Coset Space Models //
Phys. Lett. 1985. В152. P. 88.
100. Goddard P., Kent Α., Olive D.L Unitary Representations of the Virasoro and
Supervirasoro Algebras // Commun. Math. Phys. 1986. V. 103. P. 105—119.
101. Green M. В., Schwarz J. К Superstring Interactions // Nucl. Phys. 1983. В 218.
P. 43—88.
102. Gross D. J., Harvey J. Α., Martinec E. J., Rohm R. The heterotic string // Phys.
Rev. Lett. 1985. V. 54. P. 502—505.
103. Huse D.A. Exact exponents for infinitely many new multicritical points //
Phys. Rev. 1984. В 30. P. 3908—3915.
104. Itzykson G, Zuber J. B. Two-Dimensional Conformal Invariant Theories on a
Torus // Nucl. Phys. 1986. В 275. P. 580.
105. Jimbo M., Miwa Г., Okado M. Solvable lattice models with broken Z(N)
symmetry and hecke's indefinite modular forms // Nucl. Phys. 1986. В 275.
P. 517.
106. Johnson K. Solution of the equations for the Green's functions of a two-
dimensional relativistic field theory // Nuovo Cim. 1997. V. 20. P. 773—790.
107. Kac V. G. Contravariant form for infinite-dimensional lie algebras and super-
algebras // Lecture Notes in Physics. 1978. V. 94. P. 441^45.
108. Kac V. G., Wakimoto M. Unitarizable highest weight representations of the
Virasoro, Neveu—Schwarz and Ramond algebras // Conformal groups
and related symmetries: physical results and mathematical background
(Clausthal—Zellerfeld, 1985). Berlin: Springer, 1986. (Lecture Notes in Phys.;
V. 261). P. 345—371.
109. KadanoffL.P. Critical behavior, universality and scaling // Proc. Int. School
Phys. New York; London: Cousre L.I., Acad. Press, 1971.
110. KadanoffL. P. Multicritical behavior at the Kosterlitz-Thouless critical point //
Ann. Phys. 1979. V. 120. P. 39—71.
111. Kadanoff LP, Ceva H. Determination of an opeator algebra for the two-
dimensional Ising model // Phys. Rev. 1971. B3. P. 3918—3938.
112. Kadanoff L.P, Brown A. C. Correlation functions on the critical lines of the
Baxter and Ashkin-Teller models // Ann. Phys. 1979. V. 121. P. 318—342.
113. Kadanoff L P. Operator algebra and the determination of critical indices //
Phys. Rev. Lett. 1969. V. 23. P. 1430—1433.
114. Kastor D. Modular invariance in superconformal models // Nucl. Phys. 1987.
В 280. P. 304.
115. Klaiber B. Analyticity with respect to the coupling constant in certain two-
dimensional field theoretic models // Helv. Phys. Acta. 1964. V. 37. P. 554—
562.
116. Knizhnik V. G., Zamolodchikov A. B. Current algebra and Wess-Zumino model
in two dimensions // Nucl. Phys. 1984. В 247. P. 83—103.
117. Knizhnik V. G. Analytic fields on Riemanian surfaces // Phys. Lett. 1986. В180.
P. 247.

Литература
165
118. Koba Ζ. Nielsen Η. Β. Reaction amplitude for η mesons: A Generalization
of the Veneziano-Bardakci-Ruegg-Virasora model // Nucl. Phys. 1969. В10.
P. 633—655.
119. Kosterlitz J. M., Thouless D. J. Ordering, metastability and phase transitions in
two- dimensional systems // J. Phys. 1973. С 6. P. 1181—1203.
120. Kuniba A.,Akutsu Y, Wadati M. Exactly solvable IRF models. I—V // J. Phys.
Soc. Japan. 1986. V. 55. P. 1092.
121. Ludwig A. W. W., Cardy J.L., Perturbative Evaluation of the Conformal
Anomaly at New Critical Points with Applications to Random Systems //
Nucl. Phys. 1987. В 285. P. 687—718.
122. Luther Α., Peschel I. Calculation of critical exponents in two-dimensions from
quantum field theory in one-dimension // Phys. Rev. 1975. В12. P. 3908—
3917.
123. Mandehtam S. Dual — Resonance Models // Phys. Rept. 1974. V. 13. P. 259.
124. Martinec E. J. Conformal Field Theory on a (Super) Riemann Surface // Nucl.
Phys. 1987. В 281. P. 157.
125. McCoy В., Wu T.T. The Two-Dimensional Ising Model. Harvard University
Press, 1973.
126. Moore G. W., Nelson P. C, Polchinski J. Strings and Supermoduli // Phys. Lett.
1986. В169. P. 47.
127. Nam S.-K. The Kac formula for the N = 1 and the N = 2 superconformal
algebras // Phys. Lett. 1986. В172. P. 323.
128. Neveu A. Schwarz J. H. Factorizable dual model of pions // Nucl. Phys. 1971.
B31. P. 86—112.
129. Nienhuis B. Exact critical point and critical exponents of O(n) models in two-
dimensions // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 49. P. 1062.
130. Nienhuis B. Critical behavior of two-dimensional spin models and charge
asymmetry in the Coulomb gas // J. Stat. Phys. 1984. V. 34. P. 731—761.
131. Ninomiya M., YamagishiK. Nonlocal SU(3) current algebra // Phys. Lett. 1987.
В183. P. 323.
132. PolyakovA. M. Quantum geometry of bosonic strings // Phys. Lett. 1981. B103.
P. 207—210.
133. Polyakov A.M., Wiegmann P.B. Goldstone Fields in Two-Dimensions with
Multivalued Actions // Phys. Lett. 1984. В141. P. 223—228.
134. Polyakov A. M. Fine Structure of Strings // Nucl. Phys. 1986. В 268. P. 406—
412.
135. Potts R.B. Some generalized order - disorder transformations // Proc.
Cambridge Phil. Soc. 1952. V.48. P. 106—109.
136. Ramond P. Dual Theory for Free Fermions // Phys. Rev. 1971. D 3. P. 2415—
2418.
137. Rocha-Charidi A. Vacuum vector representations of the virasoro algebra //
Vertex Operators in Mathematics and Physics / Eds. J. Lepowsky, S. Mandel-
stam, I. Singer. New York: Springer-Verlag, 1985. P. 451-^73.
138. Schwarz J. H. Superstring Theory // Phys. Rept. 1982. V. 89. P. 223—322.

166
Литература
139. Shapiro J. A. Loop graph in the dual tube model // Phys. Rev. 1972. D5.
P. 1945—1948.
140. Sommerfield С M. Currents as dynamical variables // Phys. Rev. 1968. V. 176.
P. 2019—2025.
141. Sugawara H. A Field theory of currents // Phys. Rev. 1968. V. 170. P. 1659—
1662.
142. Thirring W. E. A soluble relativistic field theory // Ann. Phys. 1958. V. 3. P. 91—
112.
143. Thomae J. Beitrag zur Bestimmung von v(0,0,..., 0) durch die Klassen-
moduln algebraischer Funktionen // Crelle's Jour. 1870. V. 71.
144. Todorov I. T. Infinite Lie algebras in two-dimensional conformal field theory.
Preprint SISSA-2/85/EP.
145. Todorov I. Т., Mintchev M. C, Petkova V. B. Conformal invariance in quantum
field theory. Classe di scienze (Pisa): Scuola normale superiore, 1978.
146. Wtison K. G. Nonlagrangian models of current algebra // Phys. Rev. 1969.
V.179. P.1499—1512.
147. Witten E. Nonabelian bosonization in two dimensions // Commun. Math.
Phys. 1984. V. 92. P. 455-472.
148. Wtison K. G., Kogut J. B. The Renormalization group and the epsilon
expansion // Phys. Rept. 1974. V. 12. P. 75—200.
149. Yang C.-K, Lee T.D. Statistical theory of equations of state and phase
transitions. I: Theory of condensation // Phys. Rev. 1952. V. 87. P. 404—409,
410^19.
150. Yang S.-K. Modular invariant partition function of the Ashkin-Teller model
on the critical line and N = 2 superconformal invariance // Nucl. Phys. 1987.
В 285. P. 183.
151. Yang S.-K., Zheng KB. Superconformal invariance in the two-dimensional
Ashkin-Teller model // Nucl. Phys. 1987. В 285. P. 410.
152. Zamolodchikov A.B. Infinite Additional Symmetries in Two-Dimensional
Conformal Quantum Field Theory // Theor. Math. Phys. 1985. V. 65. P. 1205—
1213.
153. Zamolodchikov Al. B. Conformal symmetry in two-dimensions: An explicit
recurrence formula for the conformal partial wave amplitude // Commun.
Math. Phys. 1984. V. 96. P. 419^22.
154. Zamolodchikov A. B. Conformal scalar field on the hyperelliptic curve and
critical Ashkin-Teller multipoint correlation functions // Nucl. Phys. 1987.
В 285. P. 481—503.
155. Zuber J.B. Conformal invariant theories on a torus and their modular
invariance // Proceedings of Symposium on Topological and Geometrical
Methods in Field Theory, Espoo, Finland, Jun 8-14,1986.

Александр Борисович Замолодчиков
Алексей Борисович Замолодчиков
КОНФОРМНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ И КРИТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
В ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
Подписано в печать 5.06.2009 г. Формат 60 χ 90 Vie- Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 10,5. Тираж 800 экз. Заказ №
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-74-83
Отпечатано с готовых диапозитивов в ООО «Типография „САРМА"»
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-72-85. E-mail: biblio@mccme.ru