Основы автоматического регулирования и управления - Морозов В.В., Майборода Л.А., Каргу Л.И., Литвинов А.П.

Автор: Морозов В.В. Майборода Л.А. Каргу Л.И. Литвинов А.П.
Теги: инженерное дело техника в целом автоматика теория автоматического управления
Год: 1974
Похожие
Теория автоматического управления и регулирования
Основы автоматического управления
Теория автоматического управления. Часть 1. Теория линейных систем автоматического управления
Текст
                    
ФдЦВЫ

. : 1Ш ' . d
I i H  d
основы
АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
И УПРАВЛЕНИЯ
Допущено Министерст-
вом высшего и среднего
специального образова-
ния СССР в качестве
учебного пособия для
студентов неэлектротех-
нических специальностей
высших технических учеб-
ных заведений
Под редакцией В. М. Пономарева
и А. П. Литвинова
МОСКВА
«ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1974
6Ф6.5
0-75
УДК 62—52/53
Каргу Л. И., Литвинов А. П., Майборода Л. А., Моро-
зов В. В., Нелепин Р. А., Полонская Л. В., Понома-
рев В. М., Федоров С. М., Юсупов Р. М.
Основы автоматического регулирования и управления.
0-75 Под ред. Пономарева В. М. и Литвинова А. П. Учебн.
пособие для неэлектротехн. специальностей вузов. М.,
«Высшая школа», 1974
439 с. с илл.
На обороте титул, л. автл Каргу Л. И., Литвинов А. П., Май-
борода Л. А. и др.
В книге изложены основы теории автоматического регулирования и уп-
равления. Она содержит сведения по методам анализа и синтеза линейных
и нелинейных систем автоматического управления как при детерминирован-
ных, так и при случайных воздействиях. Все основные положения теории
иллюстрированы примерами. Подробно рассмотрены частотные методы расче-
та непрерывных и дискретных систем управления, основанные на использова-
нии логарифмических частотных характеристик.
Большое внимание в книге уделено новым направлениям в теории регу-
лирования и управления —• вопросам чувствительности, оптимизации и адап-
тации автоматических систем.
Книга предназначена для использования в качестве учебного пособия сту-
дентами неэлектротехнических специальностей высших технических учебных
заведений. Она может быть полезна также для аспирантов и инженеров, за-
нимающихся разработкой и эксплуатацией различного рода автоматических
устройств.
Рецензенты:
Кафедра автоматики и телемеханики Ленинградского электротехнического
института им. В. И. Ульянова (Ленина).
Чл.-корр. АН СССР Е. П. Попов.
л 30311—522	6Ф6.5
0 001(01)—74 123—74
(6) Издательство «Высшая школа», 1974
ПРЕДИСЛОВИЕ
Широкое внедрение автоматики и средств автоматизации в раз-
личные отрасли техники вызвало появление новых элементов авто-
матических систем и новых принципов построения автоматических
систем в целом. В настоящее время интенсивно разрабатываются но-
вые, высоконадежные устройства и узлы автоматических систем,
базирующиеся на полупроводниковых, магнитных, пневматических
и других бесконтактных элементах. Большое внимание уделяется раз-
работке микроэлементов автоматических систем, обладающих сверх-
малыми габаритами и обеспечивающих высокие надежность и быстро-
действие, а также высокую технологичность производства автома-
та ческих устройств.
Разработанные в последние годы новейшие типы автоматических
систем — экстремальные, самонастраивающиеся и самоорганизую-
щиеся, вместе с широким внедрением вычислительной техники в
сферу контроля, регулирования и управления резко расширили круг
практических приложений автоматики. Без преувеличения можно
утверждать, что возможности современной автоматики поистине без-
граничны. Подтверждением этих слов могут служить созданные в на-
шей стране заводы-автоматы, атомные электростанции, управляемые
космические корабли-спутники и многие другие весьма совершенные
автоматические устройства и системы.
Одной из основных отличительных особенностей автоматики как
научной дисциплины является выявление и практическое использо-
вание общих закономерностей, имеющихся в работе автоматических
систем самой различной физической природы — механических, пнев-
матических, гидравлических, электрических, электронных и т. д.
В результате знание основ автоматики нужно инженерно-техничес-
ким работникам подавляющего большинства специальностей.
Работа любых автоматических систем, от простейших до самых
Ложных, базируется на одних и тех же основных принципах. Четкое
3
понимание сущности этих принципов и знание основ автоматики яв-
ляются совершенно необходимыми для правильного усвоения прин-
ципа действия, особенностей функционирования и эксплуатации
автоматических устройств в любой отрасли народного хозяйства.
Целью настоящей работы является ознакомление читателя с ос-
новными идеями и методами построения и расчета автоматических
систем.
В гл. 1 изложены основные принципы автоматического регулиро-
вания и управления и вопросы классификации систем автоматичес-
кого управления.
Гл. 2, 3 и 4 содержат материал по математическому описанию про-
цессов регулирования и управления в обыкновенных линейных сис-
темах.
В гл. 5 рассмотрены методы исследования устойчивости и качества
обыкновенных линейных систем управления. Вопросы синтеза таких
систем выделены в гл. 6.
Гл. 7 посвящена теории импульсных и цифровых систем регули-
рования и управления в линейном приближении.
В гл. 8 изложены основные методы исследования нелинейных
систем управления.
Гл. 9 содержит сведения по методам анализа и синтеза систем
автоматического управления при случайных воздействиях.
В целом материал первых девяти глав книги охватывает доста-
точно сложившуюся в методическом отношении часть курса «Теория
автоматического управления», входящую в учебные программы боль-
шинства высших технических учебных заведений. Особенностью
изложения является сознательный акцент на частотных методах ис-
следования динамики, завоевавших в последние годы большую попу-
лярность.
Три последние главы книги (гл. 10—12) посвящены сравнительно
новым вопросам оптимизации, чувствительности и адаптации систем
автоматического управления. Включение этого материала позволяет
ознакомить учащегося с современной проблематикой теории управ-
ления и подготовить его к чтению периодической литературы по изу-
чаемому курсу.
Для понимания основного содержания книги необходимо знание
высшей математики, теоретической механики и электротехники в
объеме курсов, изучаемых в высших технических учебных заведе-
ниях.
Применяемый в книге математический аппарат не выходит за
рамки втузовского курса высшей математики. Для читателей, не
знакомых с преобразованием Лапласа, краткие сведения по опера-
ционному исчислению приведены в § 4.2.
В соответствии с действующими учебными планами изучение
курса «Теория автоматического управления» сопровождается прак-
тическими занятиями и лабораторными работами. Лицам, желающим
использовать настоящую книгу для самостоятельного ознакомления
с предметом, авторы настоятельно рекомендуют проработку каждой
главы сопровождать решением примеров и задач [3, 11,38,46, 49].
4
работа по написанию книги распределялась между авторами сле-
дующим образом: гл. 1 и 3 написаны А. П. Литвиновым, гл. 2 — сов-
местно А. П. Литвиновым (§ 2.14-2.5) и Л. И. Каргу (§ 2.64-2.9),
гЛ. 4, 5 и 6— Л. В. Полонской и С. М. Федоровым, гл. 7 — В. В. Мо-
розовым, гл. 8 — Р. А. Нелепиным, гл. 9 и 11 —Л. А. Майборо-
дОй и В. М. Пономаревым, гл. 10 и 12 — Р. М. Юсуповым.
Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность
чл.-корр. АН СССР Е. П. Попову и коллективу кафедры автоматики
и телемеханики Ленинградского электротехнического института
им. В. И. Ульянова (Ленина) за ценные замечания, во многом спо-
собствовавшие улучшению качества книги.
Все замечания и пожелания по книге просьба направлять в изда-
тельство «Высшая школа» по адресу: Москва, К-51, Неглинная ул,
29/14.
ГЛАВА 1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
И УПРАВЛЕНИЯ
§1.1. АВТОМАТИЗАЦИЯ
И МЕХАНИЗАЦИЯ
Устройство, агрегат, машина и вообще какая-нибудь система
называются автоматическими, если они выполняют свои основные
функции без непосредственного участия человека. Автоматические
устройства иногда для краткости называются просто автоматами.
Внедрение автоматически действующих устройств в тот или иной
процесс (производственный процесс, процесс управления оружием
и др.) называется автоматизацией.
Понятие автоматизации тесно связано с понятием механизации.
Сущность механизации заключается во внедрении машин в произ-
водственные и иные операции, связанные с затратами тяжелого фи-
зического труда человека. Механизация освобождает человека от
выполнения тяжелой физической работы, сохраняя за ним функции
управления работой машин и функции контроля за результатами
этой работы.
При автоматизации функции управления и контроля также пере-
даются машинам. За человеком остаются лишь функции наладки,
настройки и общего наблюдения за работой машин.
Механизация представляет собой одну из технических предпосы-
лок автоматизации: если какой-либо процесс автоматизирован, то
обычно он, как правило, и механизирован (настолько, насколько
это технически и экономически целесообразно).
В современной технике автоматические устройства получили ис-
ключительно широкое распространение. Объясняется это тем, что
на определенном этапе развития техники для человека становится за-
труднительно или даже совсем невозможно быстро, точно и эффек-
тивно управлять работой созданных им машин. Физиологические
возможности человека как управляющей системы ограничивают
пути дальнейшего совершенствования технических устройств.
В этих условиях эффективное использование производственных и дру-
гих агрегатов, а также разработка новых высокопроизводительных
установок становятся возможными лишь при передаче функций уп-
равления машинам. Кроме того, некоторые процессы в промышлен-
ности, на транспорте и в военном деле сопровождаются опасными для
человека воздействиями химического, теплового, радиационного и
другого характера и уже поэтому не могут управляться вручную.
6
Автоматизация таких процессов позволяет практически осуществлять
целый ряд производств, средств сообщения, связи, нападения и за-
щиты, которые без нее вообще были бы невозможны. Примером могут
служить некоторые химические заводы, атомные электростанции
и различные транспортные средства (локомотивы, самолеты, корабли,
подводные лодки), снабженные двигателями, работающими на ядер-
ном горючем.
Огромные успехи нашей страны в деле освоения космоса также
неразрывно связаны с разработкой весьма совершенных автомати-
ческих устройств, управляющих без участия человека полетом ра-
кет-носителей, спутников и космических кораблей.
Осуществление функций управления и контроля всегда связано с
необходимостью выполнения целого ряда операций логического и
вычислительного характера, принадлежащих к сфере умственной
деятельности человека. Передавая решение указанных операций
техническим устройствам, автоматизация тем самым облегчает ум-
ственный труд человека, освобождая его мозг для решения других,
более важных и сложных задач.
Направление, связанное с автоматизацией процессов умственной
деятельности человека, в настоящее время интенсивно разрабатывает-
ся. Достигнуты определенные успехи в автоматизации процессов
всякого рода вычислений и процессов, связанных с учетом и планиро-
ванием в народном хозяйстве. Автоматизировать можно процессы
перевода с одного языка на другой, постановки диагноза заболевания,
распознавания каких-либо геометрических образов. Поддаются ав-
томатизации процессы, связанные с управлением боевыми действиями
войск, народным хозяйством и т. д.
Народнохозяйственное значение автоматизации трудно переоце-
нить. Автоматизация представляет собой высшую ступень развития
машинного производства и позволяет добиться резкого увеличения
производительности труда при одновременном улучшении качества
производимой продукции. Вопросам электрификации, механизации
и автоматизации народного хозяйства Партия и Правительство по-
стоянно уделяли самое большое внимание на всех этапах хозяйствен-
ного строительства в нашей стране. Решающая роль автоматизации
в деле построения материально-технической базы коммунизма неод-
нократно подчеркивалась в решениях пленумов и съездов КПСС.
В социалистическом обществе автоматизация имеет не только эко-
номическое, но и большое социальное значение. При автоматизации
коренным образом меняется характер труда, повышается культурно-
технический уровень обслуживающего персонала и создаются реаль-
ные условия для стирания граней между умственным и физическим
трудом.
В связи с появлением и развитием автоматических устройств
возникла и новая отрасль науки и техники, занимающаяся их изу-
чением,— автоматика.
Автоматика представляет собой прикладную научную дисципли-
ну, изучающую принципы построения и методы расчета автоматичес-
ких систем (автоматической системой называется совокупность тех-
7
нических устройств, выполняющих свои основные функции без не*
посредственного участия человека). Автоматика включает в себя
теорию технических средств (элементов) автоматики и теорию авто-
матического управления.
Теория элементов автоматики занимается изучением принципов
построения и методов расчета элементов автоматических систем (дат-
чиков, усилителей, двигателей и т. д.). Предметом теории автомати-
ческого управления является изучение автоматических систем
в целом.
Теория элементов автоматики и теория автоматического управ-
ления тесно связаны друг с другом единством целей и применяемых
методов исследования. Нельзя правильно разобраться в принципе
действия современных автоматических устройств и систем, не обла-
дая познаниями в области технических средств автоматики. Точно
так же нельзя грамотно спроектировать и рассчитать какой-либо
элемент автоматической системы, не зная основных особенностей ее
работы.
В настоящей книге изложены основы теории автоматического уп-
равления. Теория элементов автоматики излагается в специальных
курсах [36, 53, 71, 29].
§ 1.2.	КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
РАЗВИТИЯ АВТОМАТИКИ
Идея создания машин, которые работали бы «сами собой», без
участия человека, возникла очень давно. Появление первых авто-
матически действующих устройств преследовало развлекательные или
религиозные цели. Практического значения автоматы древности и
средневековья не имели, ибо они не могли конкурировать с дешевым
трудом рабов и крепостных крестьян.
Первые автоматические устройства промышленного назначения
появились в связи с изобретением и развитием техники паровых
машин и турбин. Широкое промышленное применение паровых машин
стало возможным, по сути дела, лишь после оснащения их такими
автоматическими устройствами, как автоматический парораспреде-
лительный механизм, регулятор уровня воды в котле, регулятор ско-
рости вращения выходного вала машины и т. д. Изобретение первого
в мире промышленного регулятора относится к 1765 г. и принадлежит
знаменитому русскому механику И. И. Ползунову. Этим регулятором
был регулятор питания котла разработанной им паровой машины,
автоматически поддерживавший заданное значение уровня воды в
котле независимо от интенсивности отбора пара. Предложенный
И. И. Ползуновым в этом регуляторе принцип регулирования по от-
клонению до настоящего времени остается одним из основных прин-
ципов построения самых разнообразных автоматических устройств.
Автоматические устройства для поддержания заданного режима
работы паровых машин и турбин долгое время представляли собой ос-
новную группу автоматических устройств промышленного назна-
чения.
8
Начиная со второй половины XIX в., большую роль в развитии
автоматики стали играть потребности зарождавшейся промышленной
электротехники: производство, распределение и использование элек-
троэнергии без разработки соответствующих автоматических устройств
было практически невозможно. Вместе с тем применение электричества
чрезвычайно расширило возможности построения сложных автомати-
ческих приборов. Электрические автоматические устройства начинают
проникать буквально во все отрасли техники. Одним из первых элек-
трических автоматов был электромагнитный регулятор скорости вра-
щения паровой машины, разработанный в 1854 г. выдающимся рус-
ским механиком и электротехником К. И. Константиновым.
Проектирование первых автоматических устройств велось эмпи-
рическим и полуэмпирическим путем и сопровождалось многочислен-
ными неудачами. Основы научного подхода к проектированию авто-
матических регуляторов были заложены знаменитым русским ученым
и инженером И. А. Вышнеградским, работа которого «Об общей тео-
рии регуляторов», изданная в 1876 г., положила начало теории авто-
матического управления и регулирования. Однако и после появления
основополагающих работ И. А. Вышнеградского развитие теории и
практики автоматически действующих устройств в механике, тепло-
технике, электротехнике и других областях техники продолжитель-
ное время протекало независимо друг от друга.
Четкое понимание того обстоятельства, что работа любых автома-
тических устройств, независимо от их физической природы, основана
на общих принципах и может быть рассмотрена с единых позиций,
пришло значительно позднее — в 40-х гг. настоящего столетия.
К этому же времени относится и окончательное формирование авто-
матики в самостоятельную научную дисциплину.
В настоящее время автоматика располагает огромным арсеналом
средств и методов, позволяющих автоматизировать самые сложные
процессы в промышленности, транспорте и военном деле. Для сов-
ременной автоматики характерна тенденция перехода от частичной
автоматизации, автоматизации отдельных процессов и операций, к
комплексной, полной автоматизации промышленных предприятий,
транспорта и боевой техники.
В развитии автоматики как науки выдающуюся роль сыграли
труды отечественных ученых. Великие русские математики А. М. Ля-
пунов и П. Л. Чебышев, знаменитый ученый и инженер Н. Е. Жуков-
ский, основоположник теории автоматического регулирования
И. А. Вышнеградский своими работами заложили фундамент строй-
ной математической теории процессов, происходящих в автоматичес-
ких устройствах, и намного опередили развитие зарубежной научно-
технической мысли.
В развитии автоматики особенно велики заслуги советских уче-
ных. В становлении и формировании советской школы в теории авто-
матического управления большую роль сыграли труды А. А. Андро-
нова, В. С. Кулебакина, А. Н. Колмогорова, И. Н. Вознесенского,
Ь. В. Булгакова, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, А. В. Михай-
Л0Ва- Значительный вклад в развитие современной науки об управ-
9
лении внесли Б. Н. Петров, Е. П. Попов, Г. С. Поспелов, В. В. Со-
лодовников, В. С. Пугачев, Л. С. Гольдфарб, А. А. Красовский,
А. И. Лурье, А. С. Шаталов, А. В. Солодов, А. А. Фельдбаум,
Я. 3. Цыпкин, А. Г. Ивахненко и многие другие советские ученые
и исследователи.
§ 1.3.	КЛАССИФИКАЦИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ ПО НАЗНАЧЕНИЮ
В современной технике используется громадное число разнооб-
разных автоматических устройств и систем, отличающихся друг от
друга физической природой, принципом действия, схемными и кон-
структивными решениями и т. д. Все эти устройства и системы, как
правило, предназначены для решения лишь нескольких основных
задач автоматизации, к которым относятся: сигнализация; контроль;
блокировка и защита; пуск и остановка; управление.
Системы автоматической сигнализации предназначены для изве-
щения обслуживающего персонала о состоянии той или иной техни-
ческой установки или о протекании того или иного процесса.
Системы автоматического контроля осуществляют без участия
человека контроль различных параметров и величин, характери-
зующих работу какого-либо технического агрегата, установки или
протекание какого-либо процесса.
Системы автоматической блокировки и защиты служат для предот-
вращения возможности возникновения аварийных ситуаций в тех-
нических агрегатах и устройствах. В том случае, когда какая-либо
величина, характеризующая поведение защищаемого агрегата, до-
стигает своего критического (по тем или иным соображениям) значе-
ния, система автоматической блокировки и защиты без участия че-
ловека оказывает воздействие на защищаемый агрегат, частично или
полностью прекращая его работу.
Системы автоматического пуска и остановки обеспечивают вклю-
чение, остановку (а иногда и реверс) различных двигателей и приводов
по заранее заданной программе.
Системы автоматического управления предназначены для управ-
ления работой тех или иных технических агрегатов или протеканием
каких-либо процессов без непосредственного участия человека.
Важнейшими (и наиболее сложными) среди перечисленных авто-
матических систем являются системы автоматического управле-
ния.
Управлением в широком смысле слова называется организация
какого-либо процесса, обеспечивающая достижение поставленной
цели. Управляемым процессом может быть, например, процесс дви-
жения транспорта (наземного, водного или воздушного). Цель управ-
ления в этом случае может заключаться в достижении заданного ко-
нечного пункта маршрута в определенное время при наименьшей
затрате энергоресурсов. Управляемым процессом может быть также
процесс производства какого-либо продукта или изделия. Цель управ-
ления в этом случае обычно заключается в создании изделия с задан-
10
нЫми характеристиками и свойствами при минимальной его себесто-
имости и т. д.
Управляемые процессы, равно как и цели управления, могут быть
весьма разнообразными. Это влечет за собой, как следствие, громадное
разнообразие систем автоматического управления, которые класси-
фицируются по различным признакам.
В зависимости от назначения все системы автоматического управ-
ления могут быть разбиты на системы автоматического регулирова-
ния и кибернетические системы.
Системы автоматического регулирования автоматически решают
задачу регулирования работы тех или иных технических агрегатов.
Кибернетические системы предназначены для решения задач,
существенно более сложных, чем задача автоматического регулиро-
вания. К таким задачам относятся: экстремальное регулирование,
самонастройка и самоорганизация каких-либо систем, обеспечение
оптимального функционирования технических устройств при меняю-
щихся внешних условиях, выбор наилучших режимов работы си-
стем управления и др.
Прикладная инженерная дисциплина, изучающая принципы пост-
роения и методы расчета систем автоматического управления, назы-
вается теорией автоматического управления.
Системы автоматического регулирования представляют собой
частный случай систем автоматического управления, а изучающая
их наука — теория автоматического регулирования — является од-
ним из разделов теории автоматического управления.
Появление кибернетических систем существенно расширило воз-
можности современной автоматики. Однако теория и практика таких
систем только начинают развиваться. В настоящее время практически
наиболее важным и многочисленным представителем систем автома-
тического управления в технике остаются системы автоматического
регулирования. По этой причине первые главы книги посвящены ос-
новам теории автоматического регулирования. Теория кибернетичес-
ких систем управления рассмотрена в гл. 11 и 12.
§ 1.4.	ПОНЯТИЕ ОБ АВТОМАТИЧЕСКОМ
РЕГУЛИРОВАНИИ
Автоматическим регулированием называется изменение какой-
либо физической величины по требуемому закону без непосредствен-
ного участия человека. Физическая величина, подлежащая регули-
рованию, называется обычно регулируемой величиной, а технический
агрегат, в котором осуществляется автоматическое регулирование,—
регулируемым объектом.
Автоматическое регулирование является частным случаем авто-
матического управления. Управляемым процессом в этом случае яв-
ляется процесс изменения регулируемой величины во времени (или
в функции какой-либо другой величины). Цель управления заклю-
чается в обеспечении требуемого закона изменения регулируемой
ьеличины. Этот закон может быть различным. Во многих технических
11
задачах требуется, например, поддерживать регулируемую величину
на заданном постоянном уровне. В более сложных случаях требуется
изменять регулируемую величину во времени (или в функции какой-
либо другой величины) по наперед заданному закону. Наконец, часто
требуемый закон изменения регулируемой величины может быть за-
ранее неизвестен (представляет собой случайную функцию времени).
Обозначим через y(f) функцию, описывающую изменение во вре-
мени регулируемой величины, и пусть g(t) — функция, характери-
зующая требуемый закон ее изменения. Тогда основная задача авто-
матического регулирования сводится к обеспечению равенства
{/(/) = g(t)	(1.1)
во все моменты времени работы системы с заданной степенью точ-
ности. Функция g(t) в дальнейшем будет называться задающим воз-
действием.
В реальных объектах регулирования всегда существуют причины,
отклоняющие регулируемую величину от требуемого закона изме-
нения. Эти причины называются возму-
Рис. 1.1. Общая схема
объекта регулирования
щающими воздействиями (возмущениями)
и обозначаются Д(0, /2(0» ••• • Среди всех
возмущающих воздействий обычно можно
выделить одно или несколько, наиболее
сильно влияющих на регулируемую вели-»
чину. Такие возмущающие воздействия
называются основными, а все осталь-
ные — второстепенными. Для борьбы с
возмущениями объект регулирования ОР
обычно снабжается регулирующим органом
РО, воздействуя на который (вручную
или автоматически) можно изменять регулируемую величину, ком-
пенсируя нежелательные ее изменения, обусловленные влиянием
возмущений. Воздействие на регулирующий орган называется
регулирующим воздействием и далее обозначается буквой |i.
Все сказанное позволяет изобразить общую схему любого объекта
регулирования в виде, показанном на рис. 1.1. На этом рисунке ус-
ловно показаны три возмущения, действующие на объект регулиро-
вания. В общем случае число возмущений может быть любым.
Некоторые примеры конкретных объектов регулирования различ-
ной физической природы приведены на рис. 1.2.
Пример 1.1. На рис. 1.2, а изображен резервуар, питающийся сжатым
воздухом от компрессора и снабженный выпускным трубопроводом, через кото-
рый давление внутри резервуара дросселируется в окружающую среду. Таким
резервуаром может быть, например, герметизированный отсек летательных аппа-
ратов (околоземных и космических), предназначенный для размещения прибо-
ров или живых существ. Часто возникает необходимость в том, чтобы давление
Р внутри отсека поддерживалось на заданном неизменном уровне Р°. В этом
случае давление является регулируемой величиной. Требуемый закон измене-
ния регулируемой величины g (/) = Р° = const. Можно указать несколько при-
чин (возмущающих воздействий), приводящих к отклонению давления Р от за-
данного значения Р°. Прежде всего к ним относятся изменения производитель-
12
а)
гд
r2
От компрес -
5) сора
ти компрессора (например, вследствие изменения скорости вращения его
Н°иводного двигателя) и режима работы других потребителей сжатого воздуха
ПРпневмосистеме, питаемой от компрессора. Оба эти возмущения приводят к из-
менению весового расхода воздуха на входе в отсек G, а следовательно, и дав-
ления внутри отсека. В том случае, когда герметизированный отсек размещен
на летательном аппарате, при изменении высоты полета изменяется давление
окпужающей (наружной) среды Рн, что ведет к изменению весового расхода
воздуха на выпуске 62 и, как следствие, — к изменению давления внутри
отсека Рассмотренные причины являются основными возмущающими воздей-
ствиями. К второстепенным возмущениям могут быть отнесены изменения па-
раметров сжатого воздуха, температуры ок-
ружающей среды, интенсивности газообмена
живых существ, размещенных в отсеке, и т.д.
Для борьбы с вредным влиянием возму-
щающих воздействий герметизированный от-
сек должен быть снабжен регулирующим ор-
ганом. На рис. 1.2, а им является заслонка
(или вентиль) в выходном трубопроводе.
Перемещая эту заслонку (вручную или авто-
матически), можно изменять давление в от-
секе, компенсируя нежелательные отклоне-
ния давления Р от заданного значения Р°,
обусловленные влиянием перечисленных вы-
ше возмущений. Перемещение заслонки яв-
ляется регулирующим воздействием. Если,
например, по каким-либо причинам давление
в отсеке Р стало больше значения Р°, заслон-
ку следует переместить вверх; при умень-
шении давления в отсеке ниже значения Р°
заслонка должна перемещаться вниз.
Пример 1.2. В тепловом двигателе ТД
(дизельном, карбюраторном, турбореактив-
ном), схематически изображенном на рис.
1.2, б, регулируемой величиной являемся
скорость вращения выходного вала Q. В
большинстве случаев требуется, чтобы она
была постоянна и равна заданному значение
Q0. Основными возмущениями здесь являются
От насоса

изменения момента нагрузки М на валу дви-
гателя и производительности топливного на-
соса, подающего топливо в камеры сгорания
двигателя. К второстепенным возмущениям
могут быть отнесены изменения параметров
внешней среды, параметров топлива, условий
смазки двигателя и т. д. Регулирующим ор-
Рис. 1.2. Примеры объектов
регулирования.
а — герметизированный отсек; б —
тепловой двигатель (ТД); в —
электрический генератор постоян-
ного тока
ганом в этом примере может служить заслонка,
размещенная в магистрали слива. Перемещение этой заслонки является регу-
лирующим воздействием. При перемещении заслонки вверх скорбеть двигателя
уменьшается, при перемещении вниз — увеличивается.
Пример 1.3 На рис. 1.2, в изображена схема электрического генератора
постоянного тока с независимым возбуждением. Обмотка возбуждения генера-
тора подключена к сети постоянного тока с неизменным напряжением ис. Якорь
генератора вращается с угловой скоростью Q от какого-либо приводного двига-
теля (на рисунке не показан). Регулируемой величиной является напряжение
на зажимах генератора и. Для нормальной работы большинства потребителей
электроэнергии требуется, чтобы это напряжение было постоянным и равнялось
заданной величине и°. Основными возмущениями, отклоняющими напряжение и
SL1 значения и°, являются изменения скорости вращения приводного двигателя
и тока нагрузки генератора i (вследствие подключения или отключения ка-
их-либо потребителей электроэнергии, т. е. изменения сопротивления нагрузки
нератора /?н). К второстепенным возмущениям могут быть отнесены изменения
13
температуры, влажности и давления окружающей среды, сопротивления щеточ-
но-коллекторного узла (вследствие износа щеток, загрязнения коллектора и
т. д.); напряжения, приложенного к обмотке возбуждения, и т. д. Регулирую-
щим органом в данном примере служит реостат в цепи обмотки возбуждения ге-
нератора. Перемещение движка этого реостата является регулирующим воздей-
ствием. При перемещении движка вверх напряжение на зажимах генератора
увеличивается, при перемещении вниз — уменьшается.
Нетрудно убедиться в том, что все рассмотренные примеры объектов регу-
лирования представляют собой частный случай схемы, показанной на рис. 1.1.
В каждом конкретном случае меняется только физическая природа регулируе-
мой величины у, регулирующего воздействия ц и возмущающих воздействий
fb /2, Ь...
Устройство, автоматически решающее задачу регулирования в
данном объекте, называется автоматическим регулятором. Объект
регулирования и автоматический регулятор в совокупности образуют
систему автоматического регулирования (САР).
Любой регулятор предназначен для создания регулирующего воз-
действия на объект регулирования, обеспечивающего (с той или иной
степенью точности) изменение регулируемой величины y(t) по тре-
буемому закону g(t). Несмотря на громадное разнообразие исполь-
зуемых в современной технике регуляторов, все они строятся на базе
одного из двух основных принципов регулирования: по возмущению
(по внешнему воздействию) и по отклонению (по ошибке).
§ 1.5.	ПРИНЦИП РЕГУЛИРОВАНИЯ
ПО ВОЗМУЩЕНИЮ
Этот принцип был предложен французским ученым Понселе и
впервые реализован на практике во второй половине XIX в. извест-
ным русским электротехником В. Н. Чиколевым в разработанных им
регуляторах силы света дуговых ламп. Принцип регулирования по
возмущающему воздействию часто называется также принципом ком-
пенсации возмущений.
Основной причиной, отклоняющей регулируемую величину от
требуемого закона ее изменения, являются всякого рода возмущающие
воздействия. В связи с этим естественно возникает следующая идея:
для компенсации вредного влияния какого-либо возмущения измерить
это возмущение и в зависимости от результатов измерения осущест-
вить регулирующее воздействие на объект, обеспечивающее измене-
ние регулируемой величины по требуемому закону. Если, например,
возмущающее воздействие вызвало увеличение регулируемой вели-
чины, то регулятор должен создать регулирующее воздействие, на-
правленное на уменьшение регулируемой величины. Наоборот, если
рассматриваемое возмущение привело к уменьшению регулируемой
величины, регулирующее воздействие должно ее увеличить.
Рассмотренная идея и составляет содержание принципа регулиро-
вания по возмущению. Для его технической реализации в состав ав-
томатического регулятора, очевидно, должны входить устройства,
позволяющие измерять возмущающее воздействие, и устройства,
предназначенные для создания регулирующего воздействия на объект
регулирования (например — для перемещения регулирующего ор-
14
гана). Первые будем называть далее чувствительными элементами
(ЧЭ)У а вторые — исполнительными элементами (ИЭ) регулятора.
Между чувствительным и исполнительным элементами могут быть
включены промежуточные элементы (ПЭ), предназначенные для уси-
ления выходного сигнала чувствительного элемента по мощности,
осуществления необходимых преобразований этого сигнала и т. д.
В простейших случаях регулирующее воздействие может создаваться
непосредственно чувствительным элементом и тогда исполнительный
и промежуточные элементы в составе регулятора отсутствуют.
Общая схема САР, реализующей принцип регулирования по воз-
мущению, показана на рис. 1.3, а (регулирование осуществляется
по возмущению Д). Чувствительный, исполнительный и промежуточ-
ные элементы (ЧЭ, ИЭ и ПЭ) в совокупности образуют автоматический
регулятор АР.
Рис. 1.3. Функциональная схема системы автома-
тического регулирования, работающей по возмущению
Схема, показанная на рис. 1.3, а, представляет собой пример так
называемой функциональной схемы САР, показывающей, из каких
элементов состоит система регулирования и как эти элементы соеди-
нены между собой. При этом под элементом подразумевается кон-
структивно обособленная часть САР, выполняющая определенные
самостоятельные функции. На функциональных схемах элементы
изображаются в виде прямоугольников, а их входные и выходные ве-
личины — в виде прямых линий со стрелками, указывающими на-
правление передачи воздействий. Функциональные схемы автомати-
ческих систем широко используются в теории регулирования и управ-
ления наряду с принципиальными и конструктивными схемами, от-
личаясь от последних значительно большей общностью.
На рис. 1.3, б показана зависимость регулируемой величины у
от возмущения Д в установившемся режиме при отсутствии остальных
возмущающих воздействий (через gQ обозначено требуемое значение
регулируемой величины). Как видно, правильно сконструированный
регулятор обеспечивает независимость (инвариантность) регулируе-
мой величины от возмущающего воздействия Д.
Пример 1.4. Исторически одним из первых (и немногих) примеров широко-
го применения рассматриваемого принципа регулирования в технике явились
генераторы постоянного тока со смешанным возбуждением, снабженные компа-
ундной (последовательной) обмоткой возбуждения КО (рис. 1.4, а). В генерато-
рах с независимым возбуждением при увеличении тока нагрузки i напряжение
на зажимах генератора уменьшается (кривая 1 па рис. 1.4, б). Поэтому требуе-
15
мое значение напряжения генераторам0 может быть достигнуто 'в генераторе
без регулятора только при единственном значении тока нагрузки i = i°.
В генераторах смешанного возбуждения компаундная обмотка играет роль
простейшего регулятора, работающего по возмущению. Эта обмотка включается
таким образом, чтобы создаваемый ею магнитный поток совпадал по направле-
нию с постоянным магнитным потоком обмотки независимого возбуждения ОВ.
Поток, создаваемый обмоткой КО, зависит от тока нагрузки генератора I.
В результате общий поток возбуждения машины при увеличении тока нагрузки
увеличивается, а при уменьшении — уменьшается. Так как напряжение на за-
жимах генератора при постоянной скорости вращения якоря пропорционально
Рис. 1.4. Схема компаундирования генератора по-
стоянного тока
общему потоку возбуждения машины, то при правильном выборе числа витков,
диаметра провода и сопротивления обмотки КО в рассматриваемой схеме удает-
ся обеспечить инвариантность напряжения и от тока нагрузки i (кривая 2 на
рис. 1.4, б). Обе кривые, приведенные на рис. 1.4, б, относятся к установивше-
муся режиму работы генератора, который возникает после затухания переход-
ных процессов. Зависимость выходной величины какого-либо элемента автома-
тики от входной для установившегося режима работы обычно называется стати-
ческой характеристикой этого элемента. Поэтому кривые 1 и 2 на рис. 1.4, б
представляют собой статические характеристики электрических генераторов
с независимым и смешанным возбуждением.
В рассмотренном примере компаундная обмотка выполняет функцию чув-
ствительного элемента регулятора, реагирующего на изменения возмущения I.
Исполнительный и промежуточный элементы отсутствуют. Регулирующим воз-
действием является поток возбуждения, создаваемый обмоткой КО. Рассмотрен-
ный простейший регулятор обеспечивает инвариантность напряжения и только
по отношению к току нагрузки i. На все остальные возмущения (изменения ско-
рости вращения якоря генератора, внешних условий и т. д.) он не реагирует.
Вредное влияние этих возмущений на регулируемую величину никак не ком-
пенсируется.
Пример 1.5. На рис. 1.5, а, показано, как можно реализовать указанный
принцип применительно к задаче регулирования давления воздуха внутри
герметизированного отсека.
Одним из основных возмущений для герметизированного отсека является
изменение давления окружающей среды Рн. Зависимость давления в отсеке Р
от величины Рн (в установившемся режиме) характеризуется кривой 1 на
рис. 1.5, б (все остальные возмущающие воздействия предполагаются постоян-
ными). Йз рисунка следует, что в отсеке без регулятора требуемое значение
давления Р° имеет место при единственном значении давления внешней среды
рв. При Рн=#Рн Давление в отсеке будет отличаться от требуемого значения Р°.
Регулятор, схема которого показана на рис. 1.5, а, позволяет обеспечить неза-
висимость регулируемой величины Р от давления Рн. Для измерения возмущаю-
щего воздействия Рн в нем использован измеритель давления, состоящий из
сильфона 1, внутри которого размещена пружина 2. Сильфон представляет со-
бой тонкостенную герметически запаянную пустотелую металлическую коробку
цилиндрической формы с гофрированными стенками, воздух из которой выкачан
до технического вакуума. Деформация сильфона в осевом направлении в пер-
16
приближении пропорциональна величине давления Рп. Пружина 2 служит
В°я увеличения упругости сильфона. С днищем сильфона жестко связана ре-
агирующая заслонка в выходном трубопроводе (промежуточные и исполни-
тельный элементы в регуляторе отсутствуют).
Рассмотрим кратко работу САР. Пусть изображенное на рис. 1.5, а положе-
ние сильфона соответствует номинальному режиму работы отсека, когда Р = Р°
все возмущающие воздействия постоянны. Предположим, что давление Рн
возросло. При отсутствии регулятора это привело бы к уменьшению расхода
воздуха на выпуске 62 и увеличению давления в отсеке. При наличии регулятора
увеличение давления Рп приведет к сжатию сильфона и перемещению регулирую-
щей заслонки вверх. В результате расход 62 возрастет и давление в отсеке со-
хранит прежнее значение Р° (если регулятор правильно рассчитан). При сниже-
нии давления Рн сильфон расширяется и регулирующая заслонка перемещается
вниз, уменьшая расход воздуха на выпуске О2. Зависимость давления в отсеке Р
Рис. 1.5. Простейший регулятор давления, рабо-
тающий по возмущению
от величины Рн для объекта, снабженного регулятором, характеризуется кри-
вой 2 на рис. 1.5, б. Рассмотренный регулятор обеспечивает инвариантность
давления Р только по отношению к давлению окружающей среды Рн. На другие
возмущающие воздействия этот регулятор никак не реагирует.
Приведенные простейшие примеры позволяют заметить основные
недостатки САР, работающих по возмущению.
1. В САР, работающих по возмущению, инвариантность регули-
руемой величины обеспечивается лишь по отношению к тому возму-
щающему воздействию, которое измеряется чувствительным элемен-
том регулятора (Д на рис? 1.3, а). В качестве этого возмущения всегда
выбирается одно из основных возмущений. Наличие большого чис-
ла других, не контролируемых регулятором, возмущающих воздей-
ствий (/2, /3 на рис. 1.3, а) приводит обычно к тому, что регулируемая
величина значительно отличается от требуемого закона ее измене-
ния, т. е. задача регулирования (1.1) не выполняется. Попытка со-
здания отдельного регулятора по каждому возмущающему воздействию
приводит к резкому усложнению САР. Кроме того, далеко не каждое
возмущающее воздействие может быть измерено.
2. Инвариантность по отношению к возмущению, измеряемому
чувствительным элементом регулятора, в рассматриваемых САР обес-
печивается только при условии строгого соответствия параметров
регулятора и объекта их расчетным значениям. Изменение пара-
метров регулятора или объекта (вследствие старения, влияния внеш-
них условий и т. д.) приводит в таких системах к отклонению регули-
руемой величины от требуемого значения. Например, если в системе,
показанной на рис. 1.4, а, увеличится сопротивление обмотки воз
17
буждения ОВ (вследствие увеличения температуры окружающей
среды или по иным причинам), то при неизменном напряжении сети
ис это приведет к уменьшению тока возбуждения 1В. В результате
общий поток возбуждения машины уменьшится и регулятор будет
поддерживать на зажимах генератора напряжение, меньшее требуе-
мого значения и0.
Оба отмеченных недостатка САР, работающих по возмущению,
обусловлены тем обстоятельством, что в таких системах истинное
значение регулируемой величины у никак не измеряется и не контро-
лируется (это наглядно видно на рис. 1.3, а). Регулирующее воздей-
ствие от регулируемой величины у не зависит. Система, как говорят,
имеет разомкнутый цикл передачи воздействий (от возмущения —
к регулируемой величине), т. е. работает по разомкнутому циклу.
Итак, техническая реали-
ПЭ
К управляемому
объекту
Рис. 1.6. Функциональная схема автома-
тической системы, работающей по разом-
кнутому циклу
зация принципа компенсации
возмущений приводит к сис-
темам, работающим по ра-
зомкнутому циклу. Из-за
отмеченных выше весьма
серьезных недостатков сис-
темы, работающие по разом-
кнутому циклу (разомкнутые системы), для решения задач авто-
матического регулирования в настоящее время самостоятельно
почти не применяются. Обычно они используются только в качест-
ве составной части более сложных, так называемых комбинированных,
САР.
Несомненным достоинством разомкнутых систем является их
простота. Поэтому такие системы широко применяются для решения
задач автоматизации, более простых, нежели автоматическое регули-
рование (автоматическая сигнализация, контроль, блокировка и
защита, пуск и остановка и т. д.). В частности, к автоматическим сис-
темам, работающим по разомкнутому циклу, относятся широко рас-
пространенные в технике всякого рода пневмо- и гидроэлектроклапаны,
которые по получении определенного электрического сигнала откры-
вают или закрывают проход топлива, воздуха или парогаза к тем или
иным агрегатам. По разомкнутому циклу работают автоматические
станочные линии, все торговые автоматы и многие другие устройства.
Общая схема автоматической системы, работающей по разомкнутому
циклу, показана на рис. 1.6, где источником воздействия ИВ может
быть изменение внешних условий, человек или автоматическое уст-
ройство.
§ 1.6. ПРИНЦИП РЕГУЛИРОВАНИЯ
ПО ОТКЛОНЕНИЮ (ПО ОШИБКЕ)
Этот принцип построения автоматических регуляторов предло-
жен и впервые осуществлен на практике в 1765 г. знаменитым русским
механиком И. И. Ползуновым в регуляторе уровня воды в котле
изобретенной им паровой машины. Несколько позже (и независимо
18
оТ Ползунова) этот принцип использовал английский механик Дж.
Уатт при разработке центробежного регулятора скорости вращения
выходного вала паровой машины. В связи с этим принцип регулиро-
вания по отклонению часто называется принципом Ползунова—Уатта.
Основная задача любой САР состоит в выполнении равенства (1.1)
с той или иной степенью точности. Чем точнее соблюдается равенство
(1.1), тем лучше САР. Поэтому естественно качество работы САР ха-
рактеризовать разностью
х(0 = ^(0-1/(0	(1.2)
между требуемым законом изменения регулируемой величины g(t) и
действительным законом ее изменения y(t). Функция x(t) определяет
ошибку работы САР: чем меньше х, тем лучше система. При идеаль-
ной работе САР
х(/) = 0	(1.3)
для всех моментов времени. Для реальных систем ошибка (1.2) от-
лична от нуля и речь может идти лишь об уменьшении ее до допусти-
мых пределов.
В том случае, когда требуемым законом изменения регулируемой
величины является постоянное значение g(t) = gQ— const, для оцен-
ки качества работы САР иногда используют так называемое откло-
нение
=	(1.4)
Ясно, что при этом отклонение и ошибка отличаются только знаком.
При более сложных законах изменения задающего воздействия
отклонение (1.4), как разность между текущими значениями регули-
руемой величины и некоторым ее постоянным значением g\ уже не
может служить мерой качества работы САР.
Идея, лежащая в основе принципа регулирования по ошибке,
весьма проста. Состоит она в том, что тем или иным путем определяет-
ся ошибка САР (1.2) и в зависимости от величины и знака этой ошиб-
ки осуществляется регулирующее воздействие на объект регулиро-
вания, сводящее ошибку к нулю, т. е. обеспечивающее изменение
регулируемой величины по требуемому закону. При х > 0 регули-
рующее воздействие должно увеличивать регулируемую величину
У, а при х < 0 — уменьшать. При х = 0 регулируемая величина рав-
на требуемому значению, и регулирующий орган должен быть не-
подвижен.
В общем случае для определения сигнала ошибки х используются
три элемента: задающий, чувствительный и сравнивающий.
Задающий элемент служит для формирования воздействия g(t),
характеризующего требуемый закон изменения регулируемой вели-
чины. В том случае, когда g(t) = gQ= const, задающий элемент по
конструкции весьма несложен и представляет собой просто орган
кастройки САР, позволяющий при помощи одной и той же системы
п°Ддерживать различные постоянные значения регулируемой вели-
чины. Чувствительный элемент предназначен для измерения дей-
19
ствительных значений регулируемой величины y(f). Сравнивающий
элемент представляет собой простейшее вычислительное устройство,
определяющее сигнал ошибки в соответствии с формулой (1.2).
При конкретном выполнении САР, работающих по ошибке, задающий,
сравнивающий и чувствительный элементы часто конструктивно
объединяются.
Все сказанное резюмирует функциональная схема САР, работаю-
щая по ошибке (рис. 1,7 а). В этой схеме регулируемая величина у
измеряется чувствительным элементом ЧЭ и подается на вход сравни-
вающего элемента СЭ. На другой вход сравнивающего элемента посту-
пает задающее воздействие g, выработанное в задающем элементе
Рис. 1.7. Функциональная схема систе-
мы автоматического регулирования, ра-
ботающей по ошибке
ЗЭ. На выходе сравнивающего элемента образуется сигнал ошибки
(1.2), характеризующий от-
личие истинного закона из-
менения y(f) от требуемого
g(t), После преобразования
в промежуточных элементах
ПЭ сигнал ошибки посту-
пает на исполнительный эле-
мент ИЭ, перемещающий ре-
гулирующий орган РО таким
образом, чтобы свести сигнал
ошибки к нулю (или к допу-
стимой величине), т. е. обес-
печить выполнение равенства
(1.1). Чувствительный, про-
межуточные и исполнитель-
ный элементы в совокуп-
ности образуют автоматиче-
ский регулятор АР*.
Промежуточные элементы
регулятора включают в себя устройства для преобразования фи-
зической природы сигнала ошибки (модуляторы, демодуляторы и
др.), устройства для усиления сигнала ошибки по мощности (усили-
тели) и так называемые корректирующие устройства, осуществляю-
щие функциональные преобразования сигнала ошибки (дифференци-
рование, интегрирование и др.) и предназначенные для придания
системе регулирования требуемых свойств. В простейших случаях
промежуточные и исполнительный элементы могут отсутствовать.
На рис. 1.7, б схема, показанная на рис. 1.7, а, изображена
более крупными блоками. Этот рисунок наглядно показывает, что
САР, работающая по ошибке, состоит из соединенных между собой
автоматического регулятора АР и объекта регулирования ОР.
На вход регулятора поступают задающее воздействие g и регулируе-
мая величина у. Выходной величиной регулятора является регули-
рующее воздействие р, приложенное к регулирующему органу. Зада-
ющее воздействие g и возмущения Д, /2, /з» ••• приложены к системе
^Иногда в состав регулятора включают также и задающий элемент.
20
регулирования извне и поэтому часто объединяются термином внеш-
ние воздействия, хотя «отношение» системы регулирования к ним
совершенно разное: задающее воздействие должно воспроизводиться
на выходе САР, тогда как вредное влияние возмущений Д, ...
должно системой регулирования ликвидироваться.
В отличие от регулирования по возмущению, при регулировании
по ошибке ни одно их возмущающих воздействий не измеряется.
Рассмотрим некоторые примеры САР, работающих по ошибке.
Пример 1.6.На рис. 1.8, а показана схема САР давления, предназначен-
ной для поддержания постоянного давления Р » Р° в герметизированном отсе-
ке. Чувствительный элемент регулятора представляет собой сильфонный изме-
Рис. 1.8. Простейшая система автоматического
регулирования давления:
а — правильное подсоединение регулятора к объекту;
б — неправильное
ритель давления (сильфон 1 и пружина 2), помещенный в камеру 3, давление
внутри которой равно давлению Р в отсеке. Сильфон кинематически связан с
регулирующим органом, вследствие чего перемещение регулирующей заслонки 4
оказывается зависящим от давления в отсеке.
Рассмотрим установившийся режим работы САР, характеризуемый по-
стоянством всех возмущающих воздействий. При этом давление в отсеке являет-
ся постоянным, а заслонка 4 занимает вполне определенное положение, так как
усилие, действующее па сильфон за счет давления газов в камере 3, уравнове-
шено усилием пружины. Предположим, что изображенное на рис. 1.8, а поло-
жение сильфона 1 и заслонки 4 соответствует тому случаю, когда давление в от-
секе равно требуемому значению Р°. Пусть теперь по каким-либо причинам дав*
ление в отсеке возросло. При этом возрастет давление и в камере 5, сильфон
сожмется и переместит заслонку 4 вверх. В результате увеличится расход воз-
духа на выпуске 62, что приведет к уменьшению давления в отсеке. Совершенно
аналогично при уменьшении давления ниже значения Р° сильфон растягивается
и перемещает заслонку 4 вниз, уменьшая расход 62.
Таким образом, при любых изменениях давления в отсеке рассматривамый
регулятор стремится ликвидировать их и удержать регулируемую величину Р
около требуемого значения Р°, переставляя соответствующим образом регули-
рующий орган.
Регулятор, показанный на рис. 1.8, б, при увеличении давления перемещает
регулирующую заслонку вниз, а при уменьшении — вверх, усиливая тем самым
возникшие по каким-либо причинам отклонения давления в отсеке от требуемого
значения Р . Естественно, что такой регулятор является неработоспособным и
не может быть использован на практике.
В рассмотренном простейшем случае регулятор не содержит задающего,
ромежуточных и исполнительного элементов. Сравнивающий элемент в явном
1Де также отсутствует. Возникает вопрос — как же здесь производится опре-
деление сигнала ошибки
*(f)=po_р(/),	(1.5)
21
необходимое для работы любой САР, реализующей рассматриваемый принцип
регулирования? Обозначим буквой р, координату заслонки 4, отсчитываемую от
того положения, в котором выпускной трубопровод полностью перекрыт. Так
как заслонка связана с сильфоном, то величина р зависит от давления в отсеке
Р. В номинальном режиме работы САР координата регулирующего органа име-
ет вполне определенное значение р° (см. рис. 1.8, а). Для произвольного значе-
ния давления Р (в пределах упругих деформаций сильфона) в установившемся
режиме
р = р° — k(P — Р°),	(1.6)
где k — некоторый постоянный положительный коэффициент, зависящий от
свойств сильфона и пружины.
Обозначим через Др, — р, — р°, ДР = Р — PQ отклонения величин р и
Р от их значений р,0 и Р° в номинальном режиме работы САР. Тогда уравнение
(1.6) можно переписать так:
Др = —6ДР.	(1.7)
Учитывая, что ДР = —х, окончательно получим
Др, = kx.	(1.8)
Из уравнения (1.8) следует, что в рассматриваемой САР сигнал ошибки х
пропорционален отклонению регулирующей заслонки 4 от ее положения в но-
минальном режиме работы.
Таким образом, выходная величина чувствительного элемента (деформация
сильфона 1) в данном примере пропорциональна самой регулируемой величине
(давлению Р в отсеке). Сравнивающий элемент в явном виде отсутствует, тем
не менее, сигнал ошибки может быть определен — он оказывается пропорцио-
нальным отклонению выходной величины чувствительного элемента от ее зна-
чения в номинальном режиме работы САР. Такой принцип определения сигнала
ошибки широко используется в САР, предназначенных для поддержания по-
стоянного значения регулируемой величины.
Зависимость регулирующего воздействия от сигнала ошибки без
учета инерционности регулятора в теории автоматического регулиро-
вания называется законом регулирования. Уравнение (1.8) представ-
ляет собой пример простейшего закона регулирования, при котором
регулирующее воздействие пропорционально сигналу ошибки. Такой
закон регулирования называется пропорциональным законом регули-
рования.
Пример 1.7. На рис. 1.9, а изображена схема САР, предназначенной для
поддержания заданного значения Q0 скорости вращения Q выходного вала теп-
лового двигателя ТД. Чувствительным элементом, измеряющим регулируемую
величину Q, здесь является центробежный измеритель скорости вращения, со-
стоящий из платформы 1, грузиков 5, противодействующей пружины 3 и выход-
ного штока 4. Грузики неподвижно закреплены на Г-образных коромыслах 2,
шарнирно подвешенных на платформе /, скорость вращения которой равна ско-
рости вращения выходного вала двигателя. Центробежная сила грузиков (при-
веденная к оси штока 4) зависит от скорости вращения Q и при каждом значении
скорости вращения уравновешивается силой пружины 5, так что шток 4 зани-
мает вполне определенное положение. Таким образом, по величине перемеще-
ния штока 4 можно судить о величине скорости вращения вала двигателя Q.
При помощи рычага 9 шток 4 связан с регулирующей заслонкой 10 в канале
перепуска топлива.
Предположим, что изображенное на рис. 1.9, а положение подвижных час-
тей САР соответствует номинальному режиму работы системы, когда Q = Й° и
все возмущающие воздействия постоянны. В этом режиме центробежная сила
грузиков (приведенная к оси штока 4) уравновешена силой пружины 5, и шток 4
22
связанная с ним заслонка 10 неподвижны. Если теперь скорость вращения Q
по каким-либо причинам возрастет, то увеличится центробежная сила грузиков
5 Они разойдутся, и коромысла 2, повернувшись на шарнирах, переместят
шток 4 вниз, сжимая пружину 3. При этом регулирующая заслонка 10 пере-
местится вверх, увеличив перепуск топлива на слив. В результате количество
топлива, подаваемого к двигателю, уменьшится, что приведет к снижению ско-
рости вращения Q. Аналогично при уменьшении скорости вращения Q ниже
требуемого значения Q0 регулятор переместит заслонку 10 вниз, увеличив пода-
чу топлива к двигателю. Таким образом, при любых возмущающих воздействиях
рассматриваемая САР автоматически поддерживает скорость вращения вблизи
требуемого значения Й°. На рис. 1.9, б показана часть САР при неправильном
подсоединении регулятора к объекту регулирования. В этом случае при уве-
личении скорости вращения подача топ.
уменьшении — уменьшается. В резуль-
тате задача регулирования выполнена
быть не может.
САР, показанная на рис. 1.9, а,
представляет собой частный случай
системы, схема которой приведена на
рис. 1.7, а. Промежуточные и исполни-
тельный элементы отсутствуют. Срав-
нивающего элемента в явном виде тоже
нет. Если, по-прежнему, обозначить
через ц координату регулирующей
заслонки 10, то можно показать, что
для малых отклонений величины Q от
значения Q0 в установившемся режиме
остается справедливым уравнение (1.8),
где теперь х = Q° — Q, а коэффициент
k определяется свойствами центробеж-
ного измерителя скорости. Так как
координаты точек А и В жестко связа-
ны между собой, то для САР, изобра-
женной на рис. 1.9, а, можно считать,
что сигналом ошибки х является (с оп-
ределенным коэффициентом пропорцио-
нальности) перемещение выходного
штока 4 центробежного измерителя,
отсчитываемое от положения этого
штока в номинальном режиме работы
САР. При таком подходе центробеж-
ный измеритель скорости может рас-
к двигателю увеличивается, а при
Рис. 1.9. Система автоматического
регулирования скорости вращения
выходного вала теплового дви-
гателя:
а — правильное подсоединение регулятора
к объекту; б — неправильное
сматриваться как совокупность конст-
руктивно объединенных чувствительного и сравнивающего элементов.
Задающим элементом в системе является устройство, состоящее из рейки 6
и шестеренки 8 и позволяющее при помощи рукоятки настройки 7 перемещать
нижнюю опору пружины 3. Работу задающего элемента нетрудно понять, если
вспомнить, что установившийся режим работы САР возможен лишь в том слу-
чае, когда центробежная сила грузиков 5 (приведенная к оси штока 4) уравнове-
шена силой пружины 3. При перемещении нижней опоры пружины сила пружи-
ны изменяется, в результате чего равновесие системы становится возможным
Уже при другом значении центробежной силы грузиков, т. е. при другом значе-
нии скорости вращения Q. При перемещении нижней опоры пружины вверх
(ем. рис. 1.9, а) величина Q0 увеличивается, при перемещении вниз — умень-
шается. Благодаря наличию задающего элемента одна и та же САР может
п°ДДерживать различные значения Q0 скорости вращения выходного вала дви-
гателя.
Разумеется, принцип регулирования по ошибке применим к регу-
лированию величин любой физической природы, а не только давления
скорости вращения.
23
Пример 1.8. На рис. 1.10, а показана система автоматического регулиро-
вания электрической величины — напряжения на зажимах генератора постоян-
ного тока с независимым возбуждением. Чувствительным элементом регулятора
является электромагнит с пружиной. Обмотка электромагнита 2 подключена
к регулируемому напряжению и. Сердечник 1 электромагнита несет на себе
движок реостата, включенного в цепь обмотки возбуждения (движок изолиро-
ван от сердечника). Нижняя опора противодействующей пружины 3 может
перемещаться при помощи винта 4. Обозначим через и0 значение напряжения,
которое необходимо поддерживать на зажимах генератора. Пусть, далее, изоб-
раженное на рис. 1.10, а положение подвижных частей САР соответствует
номинальному режиму работы системы, когда и — uQ и все возмущающие воз-
действия постоянны. В этом режиме работы электромагнитная сила, втягиваю-
щая сердечник 1 в обмотку 2, уравновешена силой пружины и сердечник 1
неподвижен. Если теперь по каким-либо причинам напряжение и увеличится,
то возрастет ток в обмотке 2 и,
как следствие,— тяговое усилие
электромагнита. Равновесие сил,
действующих на сердечник элек-
тромагнита, будет нарушено, и
сердечник переместится вверх,
растягивая пружину 3. При этом
увеличится сопротивление цепи
обмотки возбуждения, ток воз-
буждения 1в уменьшится, что
приведет к снижению напряже-
ния на зажимах генератора.
Аналогично, при уменьшении на-
пряжения и ниже заданного зна-
чения и0 сердечник 1 перемеща-
ется вниз и ток возбуждения ге-
нератора увеличивается. Таким
образом, при любых возмущаю-
щих воздействиях рассматривае-
мая САР стремится удержать
напряжение генератора и около
заданного значения и0. На рис.
1.10, б для сравнения показана
часть САР при неправильном
Рис. 1.10. Система автоматического регу-
лирования напряжения генератора посто-
янного тока:
а — правильное подсоединение регулятора к объ-
екту; б — неправильное
подключении регулятора к объ-
екту. В этой системе при воз-
растании и ток возбуждения /в увеличивается, а при уменьшении — снижа-
ется. Система оказывается неработоспособной.
Как и все системы, реализующие принцип регулирования по ошибке,
САР напряжения представляет собой частный случай схемы, изображенной
на рис. 1.7, а. Промежуточные и исполнительный элементы здесь, как и в
предыдущих примерах, отсутствуют. Если обозначить через р, координату
движка реостата в цепи обмотки возбуждения (см. рис. 1.10, а), то при опре-
деленных допущениях для рассматриваемой системы по-прежнему сохраняет
силу уравнение (1.8), только теперь х = и?— и, а коэффициент k определяется
свойствами электромагнита и пружины. Таким образом, в системе, показанной
на рис. 1.10, а, сигнал ошибки х представляет собой физически перемещение
сердечника электромагнита /, если за начало отсчета этого перемещения при-
нять положение сердечника в номинальном режиме работы САР.
Задающим элементом САР может служить винт 4. При перемещении нижней
опоры пружины вверх (см. рис. 1.10, а) величина uQ уменьшается, при пере-
мещении вниз — увеличивается. Разумеется, настройку САР на то или иное
значение и0 можно изменять, варьируя не только усилие пружины, но и тя-
говое усилие электромагнита. Для этого, например, в цепь обмотки электромаг-
нита можно включить потенциометр П. При перемещении движка этого по-
тенциометра вверх величина и0 будет уменьшаться, при перемещении вниз —
увеличиваться. Таким образом, в электрических и электромеханических САР
24
ястройка системы на то или иное значение регулируемой величины может
производиться не только механическими, но и чисто электрическими сред-
ствами.
Выше рассмотрены САР трех совершенно различных по своей фи-
зической природе величин: давления, скорости вращения и электри-
ческого напряжения. Все эти системы предназначены для поддер-
жания постоянного значения регулируемой величины. Принципиаль-
ные схемы рассмотренных САР резко отличаются друг от друга. Тем
не менее, в структуре и поведении этих систем имеется много общего.
Эта общность обусловлена тем, что все рассмотренные САР реализуют
принцип регулирования по ошибке.
г Основным преимуществом САР, работающих по ошибке, перед
САР, реализующими принцип регулирования по возмущению, являет-
ся их способность выполнять задачу регулирования при любом числе
возмущающих воздействий. Объясняется это тем, что в САР, работаю-
щих по ошибке, ни одно возмущение не измеряется; работа системы
не связана ни с каким конкретным возмущением. Вместо возмуще-
ний в таких системах непрерывно измеряется ошибка (1.2), характе-
ризующая соответствие действительного закона изменения регулируе-
мой величины требуемому. В том случае, когда ошибка х#=0, т. е.
когда регулируемая величина меняется по закону, отличному от тре-
буемого, регулятор создает регулирующее воздействие на объект ре-
гулирования, уменьшающее ошибку х до нуля (или до допустимой
величины). При этом система совершенно «не интересуется» тем, какие
причины, какие конкретно возмущающие воздействия вызвали откло-
нение регулируемой величины от требуемого закона изменения. Си-
стема регистрирует сам факт появления ошибки (какими бы причина-
ми эта ошибка не была вызвана) и предпринимает меры для ее ликви-
дации. Для примера сравним САР давления, схемы которых показа-
ны на рис. 1.5, а и 1.8, а. Предположим, что по тем или иным при-
чинам изменилась (например, увеличилась) производительность ком-
прессора, питающего сжатым воздухом герметизированный отсек.
Регулятор, показанный на рис. 1.5, а, на изменение производи-
тельности компрессора никак не реагирует. Поэтому регулирующая
заслонка останется в прежнем положении, а давление воздуха
в отсеке повысится и станет больше требуемого. Иная картина
будет в случае системы, показанной на рис. 1.8, а. Здесь увеличение
давления в отсеке, вызванное увеличением производительности ком-
прессора, будет воспринято сильфоном /, который сожмется и пере-
местит регулирующую заслонку вверх, стремясь сохранить преж-
нее значение давления.
Вторым преимуществом САР, работающих по ошибке, является
отсутствие жестких требований к стабильности характеристик эле-
ментов регулятора и объекта. Объясняется это тем, что изменение па-
раметров регулятора или объекта приводит к появлению ошибки,
которая немедленно обнаруживается системой и ликвидируется соот-
ветствующим перемещением регулирующего органа. Пусть, напри-
в системе, изображенной на рис. 1.10, а, по каким-либо причинам
Увеличилось сопротивление обмотки возбуждения. Вызванное этим
25
уменьшение напряжения на клеммах генератора приведет к снижению
тяговой силы электромагнита. В результате пружина 3 переместит
сердечник 1 и связанный с ним движок реостата в цепи обмотки воз-
буждения вниз, стремясь восстановить прежнее значение напряжения
на зажимах генератора.
Следует иметь в виду, что отмеченное преимущество САР, рабо-
тающих по ошибке, не относится к чувствительному, сравнивающему
и задающему элементам регулятора, принимающим участие в выяв-
лении сигнала ошибки х. К стабильности характеристик этих эле-
ментов предъявляются весьма жесткие требования, так как точность
работы САР прежде всего обусловливается той точностью, с которой
измеряется сигнал ошибки.
Таким образом, САР, работающие по ошибке, лишены основных
недостатков САР, работающих по возмущению. Это обстоятельство
явилось причиной того, что в настоящее время принцип регулирова-
ния по ошибке (по отклонению) является основным принципом построе-
ния автоматических регуляторов в самых различных областях тех-
ники.
Преимущества САР, работающих по ошибке, объясняются тем,
что эти системы представляют собой системы с обратной связью. Под
обратной связью вообще понимают подачу сигнала с выхода какого-
либо устройства на его вход. В том случае, когда сигнал обратной
связи складывается с входным сигналом, обратная связь называется
положительной, если вычитается — отрицательной. Для систем ре-
гулирования входным сигналом является задающее воздействие g,
выходным — регулируемая величина у. Обратная связь в САР за-
ключается в том, что регулируемая величина у измеряется чувстви-
тельным элементом и подается на вход сравнивающего элемента. Так
как сигнал у вычитается из сигнала g (см. рис. 1.7, а), то САР, рабо-
тающие по ошибке, представляют собой системы с отрицательной
обратной связью.
Характерной особенностью систем с отрицательной обратной
связью является то, что эти системы работают от сигнала ошибки:
возникновение ошибки обязательно приводит к появлению факторов,
вызывающих ее уменьшение или полную ликвидацию.
Наличие обратной связи в САР, работающих по ошибке, приводит
к образованию замкнутого контура передачи воздействий (см.
рис. 1.7, б). Регулятор действует на объект; объект в свою очередь
воздействует на регулятор. В связи с этим САР, реализующие прин-
цип регулирования по ошибке (как и вообще все системы с обратной
связью) часто называются системами, работающими по замкнутому
циклу, или просто замкнутыми системами.
Системы с обратной связью (замкнутые системы) в силу уже при-
веденных выше преимуществ исключительно широко распространены
в технике. При этом область применения таких систем не ограничи-
вается только задачами автоматического регулирования. По замк-
нутому циклу работают многие измерительные и счетно-решающие
устройства, разнообразные усилители с обратными связями и др.
26
Весьма широко различные системы с обратными связями представ-
еНы в живой природе. Например, для нормальной жизнедеятельно-
сти человеческого организма многие физико-химические параметры
/температура тела, давление крови, процент содержания сахара в кро-
ви и т. д.) должны иметь строго определенные постоянные значения.
Стабилизация этих параметров относительно требуемых значений в
разнообразных условиях жизни человека осуществляется автомати-
чески (без сознательного участия человека) при помощи систем с об-
ратными связями, входящих в состав вегетативной нервной
системы.
Понятие обратной связи приносит большую пользу при рассмот-
рении вопросов взаимодействия человека с техническими устройства-
ми. Можно показать, что процесс ручного регулирования любой фи-
зической величины может быть условно представлен в виде схемы,
показанной на рис. 1.7, а, где в простейшем случае человек-оператор
выполняет функции задающего и сравнивающего элементов. Напри-
мер, процесс ручного регулирования напряжения генератора посто-
янного тока (см. рис. 1.2, в) обычно протекает следующим образом.
Подсоединив к зажимам генератора вольтметр (чувствительный эле-
мент), оператор по прибору визуально определяет действительное
значение напряжения и и сравнивает его с требуемым напряжением
и°. В том случае, когда u=/=uQ (т. е. когда имеется ошибка х^О),
оператор вручную перемещает движок реостата в цепи обмотки воз-
буждения, стремясь вернуть напряжение и к значению uQ и тем самым
ликвидировать ошибку. Описанный процесс представляет собой ти-
пичный процесс с обратной связью. Обратная связь здесь осуществ-
ляется при помощи зрительного аппарата и вольтметра, измеряющего
напряжение генератора. Этот пример наглядно показывает роль об-
ратной связи: если разорвать цепь обратной связи (завязать операто-
ру глаза или отсоединить вольтметр от генератора), то регулирование
станет невозможным.
Из приведенных примеров видно, что принцип обратной связи яв-
ляется одним из основных принципов регулирования и управления как
в технике, так и в живых организмах.
В то же время системам с обратной связью (и, в частности, САР, ра-
ботающим по ошибке) присущи и некоторые недостатки. Прежде
всего сам принцип регулирования по ошибке внутренне противоречив.
Так как регулирующее воздействие, направленное на ликвидацию
ошибки х, появляется только при х=#0, то, следовательно, прежде
чем ликвидировать ошибку, необходимо допустить ее возникновение.
Кроме того (как станет ясно из дальнейшего), замкнутые системы по
своей природе склонны к колебаниям. Поэтому расчет таких систем
существенно сложнее и труднее, чем расчет систем, работающих по
разомкнутому циклу.
Оба отмеченных недостатка САР, работающих по ошибке, отсут-
ствуют у систем, работающих по возмущению. В то же время, как
Уже указывалось, системы, работающие по ошибке, лишены основных
недостатков систем, работающих по возмущению. Поэтому, естест-
Венно, возникла идея: использовав оба основных принципа регулиро-
27
вания в одной системе, попытаться создать САР, по возможности ли-
шенную недостатков, присущих как тому, так и другому принципам
регулирования, взятым по отдельности.
Системы, в которых одновременно используется как регулиро-
вание по ошибке, так и регулирование по возмущению, называются
системами комбинированного регулирования. Такие системы
(рис. 1. 11, а) обычно представляют собой сочетание двух систем,
одна из которых работает по разомкнутому, а вторая— по замкнутому
циклу. Система, работающая по разомкнутому циклу, обеспечивает
инвариантность регулируемой величины по отношению к одному из
основных возмущений (Д на рис. 1.11, а), наиболее сильно влияющему
на регулируемую величину. Система, работающая по замкнутому
Рис. 1.11. Функциональная схема комбинирован-
ной системы автоматического регулирования с ре-
гулированием по возмущающему (а) и по зада-
ющему (б) воздействиям
циклу, ликвидирует вредное влияние всех других возмущающих
воздействий. Промежуточные и исполнительный элементы у обеих
систем обычно являются общими. В ряде случаев для преобразо-
вания сигнала, пропорционального возмущению, могут использо-
ваться самостоятельные промежуточные элементы.
Примером системы комбинированного регулирования может слу-
жить система, показанная на рис. 1.10, а, если в ней генератор снаб-
дить последовательной обмоткой возбуждения.
Системы комбинированного регулирования представляют собой
один из наиболее совершенных типов САР. Они широко используются
при повышенных требованиях, предъявляемых к точности работы
САР. Разумеется, для применения комбинированных САР хотя бы
одно из основных возмущающих воздействий должно поддаваться
измерению.
28
В тех случаях, когда требуемый закон изменения регулируемой ве-
личины g(t) представляет собой достаточно сложную функцию време-
ни, часто используются комбинированные САР, в которых регулиро-
вание по разомкнутому циклу осуществляется не по возмущающему,
а по задающему воздействию (рис. 1.11, б). Здесь термин «регули-
рование по возмущению» к системе, работающей по разомкнутому
циклу, уже неприменим и надо говорить о регулировании по задаю-
щему воздействию. Цель этого регулирования состоит в том, чтобы
заставить (возможно точнее) регулируемую величину у изменяться по
закону g(t). Вредное влияние возмущающих воздействий в системе,
показанной на рис. 1.11, б, компенсируется системой, работающей по
замкнутому циклу.
Большую роль в развитии теории и практики систем комбиниро-
ванного регулирования и управления сыграли работы советских уче-
ных Г. В. Щипанова, В. С. Кулебакина, Б. Н. Петрова, А. Г. Ивах-
ненко и др.
§ 1.7. СИСТЕМЫ ПРЯМОГО И НЕПРЯМОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Большое разнообразие используемых в технике САР повлекло
за собой разработку различных направлений для их классификации.
Ранее было показано, что в зависимости от принципа действия все
САР могут быть разбиты на три группы: системы, работающие по ра-
зомкнутому циклу, системы, работающие по замкнутому циклу, и
комбинированные системы. Наиболее широко в настоящее время при-
меняются САР, работающие по замкнутому циклу. Этим системам
в дальнейшем и будет уделено основное внимание.
В зависимости от наличия дополнительных источников энергии
все замкнутые САР делятся на системы прямого и непрямого регули-
рования.
Системами прямого регулирования называются системы, в кото-
рых регулирующий орган перемещается непосредственно чувствитель-
ным элементом системы. Дополнительные источники энергии в таких
системах отсутствуют; вся энергия, необходимая для перемещения
регулирующего органа, доставляется чувствительным элементом.
Примерами систем прямого регулирования могут служить САР дав-
ления (см. рис. 1.8, а), скорости вращения (см. рис. 1.9, а) и напря-
жения (см. рис. 1.10, о).
Несомненным достоинством систем прямого регулирования яв-
ляется их простота: промежуточные и исполнительный элементы (см.
Рис. 1.7) в таких системах отсутствуют. В то же время точность работы
систем прямого регулирования сравнительно невелика, а область их
применения ограничивается объектами регулирования небольшой
МО1Дности, в которых для перемещения регулирующего органа не
требуется значительных усилий. Объясняется это тем, что точность
Работы чувствительных элементов (как и вообще любых измеритель-
ных устройств) резко снижается, если с их выхода снимается сколь-
ко-нибудь значительная мощность.
2»
Системами непрямого регулирования называются системы, в сос-
тав которых входят устройства, позволяющие усилить сигнал ошибки
по мощности. Такими устройствами являются либо специальные уси-
лители (пневматические, гидравлические, электрические, электронные
и др.), либо исполнительные элементы, либо те и другие вместе. На-
Рис. 1.12. Системы непрямого регули-
рования скорости вращения выходного
вала теплового двигателя (а) и нап-
ряжения электрического генератора
постоянного тока (б)
личие усиления по мощно-
сти — основной отличительный
признак систем непрямого ре-
гулирования. Сам эффект уси-
ления сигнала по мощности до-
стигается за счет специально
вводимых в состав САР допол-
нительных источников энер-
гии, питающих усилительные
и исполнительные элементы сис-
темы. В результате сигнал ошиб-
ки лишь управляет передачей
энергии от дополнительных ис-
точников энергии к регулирую-
щему органу. Поэтому системы
непрямого регулирования поз-
воляют использовать высоко-
точные маломощные чувстви-
тельные элементы для управле-
ния работой объектов большой
мощности. Понятно, что точ-
ность регулирования при этом
резко возрастает. Несмотря на
усложнение САР (по сравнению
с системами прямого регулиро-
вания), выигрыш в точности
получается настолько значи-
тельным, что большинство сов-
ременных САР представляют со-
бой системы непрямого регули-
рования.
В качестве примера на рис.
1.12 показаны упрощенные схе-
мы систем непрямого регули-
рования скорости вращения и
напряжения. Принцип действия
этих систем ничем не отличается
от принципа действия соответ-
ствующих систем прямого регу-
лирования (см. рис. 1.9, а и 1.10, а). Разница состоит лишь в том, что
в системах, показанных на рис. 1.12, сигнал ошибки усиливается по
мощности.
Пример 1.9. В системе регулирования скорости (рис. 1.12, а) усилите-
лем мощности является гидравлический двигатель с золотниковым управ-
30
пением, состоящий из золотника / и силового гидроцилиндра //. Поршни
олотн и нового устройства при помощи рычага АВ связаны с выходным штоком
центробежного измерителя скорости. Поршень гидроцилиндра при помощи
оычага СД связан с регулирующей заслонкой.
Р Система настраивается таким образом, чтобы в номинальном режиме ра-
боты, когда Q = Q0 (и, следовательно, ошибка х = Q0— Q = 0), поршни зо-
лотникового устройства перекрывали отверстия в корпусе золотника (этот
оея<им работы изображен на рис. 1.12, а). В результате рабочая жидкость в
гидроцилинДР не поступает; поршень гидроцилиндра и регулирующая заслон-
ка неподвижны.
При возникновении в системе (по любым причинам) отличной от нуля
ошибки х выходной шток центробежного измерителя скорости и связанные с
ним поршни золотника смещаются относительно положения, показанного на
рисунке. Перемещение поршней золотникового устройства приводит к поступ-
лению рабочей жидкости в силовой гидроцилиндр и, следовательно, к пере-
мещению поршня гидроцилиндра и связанной с ним регулирующей заслонки.
При х < 0 поршни золотника смещаются вверх, рабочая жидкость поступает
з верхнюю полость гидроцилиндра и регулирующая заслонка поднимается,
увеличивая перепуск топлива. При х > 0 поршни золотника смещаются вниз,
жидкость поступает в нижнюю полость гидроцилиндра, в результате чего ре-
гулирующая заслонка опускается, увеличивая подачу топлива в двигатель.
Так как поршни золотника кинематически связаны со штоком центробежного
измерителя скорости, то их смещение вверх или вниз относительно положе-
ния, изображенного на рисунке, будет, очевидно, пропорционально ошибке
х. С другой стороны, скорость (а не величина) перемещения поршня силового
гидроцилиндра // пропорциональна перемещению поршней золотника. Поэ-
тому вместо уравнения (1.8), имевшего место в системе прямого регулирования,
для рассматриваемой системы координата регулирующего органа |Л связана
с сигналом ошибки соотношением
d\i.ldt = kx,	(1.9)
в котором коэффициент пропорциональности k определяется свойствами изме-
рителя скорости и гидродвигателя. Уравнение (1.9) является примером так
называемого интегрального закона регулирования, при котором регулирующее
воздействие
t
Др. = k J х (t) dt
о
оказывается пропорциональным интегралу от сигнала ошибки по времени.
Благодаря наличию дополнительного источника энергии (насоса, подающего
рабочую жидкость к гидроцилиндру) усилие и мощность, развиваемые на вы-
ходном штоке гидроцилиндра, могут быть весьма значительны. При этом вся
энергия, необходимая для перемещения регулирующего органа, доставляется
дополнительным источником энергии — насосом. Чувствительный элемент
регулятора — центробежный измеритель скорости, перемещая поршни золот-
никового устройства, только управляет поступлением рабочей жидкости в
полости^ гидроцилиндра. Так как мощность, необходимая для перемещения
поршней золотника, весьма мала (по сравнению с мощностью, необходимой для
перемещения регулирующей заслонки), то в системе непрямого регулирования
может быть использован маломощный прецизионный центробежный измеритель
скорости, позволяющий значительно увеличить точность измерения сигнала
ошибки (а следовательно, и точное!ь работы всей системы в целом).
ример 1. Ю. В системе регулирования напряжения (рис. 1.12, б) усиле-
6vwn° мощн°сти обеспечивается усилителем У и двигателем с независимым воз-
митЛе11ИеМ Усилитель может быть электронным, полупроводниковым, маг-
1м, электромашинным и др. На вход усилителя подается напряжение
их ®спомогательного потенциометра ВП. Выходное напряжение усилителя
ту или УПЗеТ Н3 двигатель Д, который через редуктор Р может поворачивать (в
тора ИНУЮ СТ°РОНУ) движок реостата /? в цепи обмотки возбуждения генера-
31
Вспомогательный потенциометр имеет отвод от средней точки. Система
настраивается таким образом, что в номинальном режиме работы, когда и = uQ,
напряжение, снимаемое с потенциометра В/7, равно нулю (это положение
сердечника электромагнита изображено на рисунке). В результате потенциометр
ВП преобразует в электрический сигнал отклонение координаты сердечника
электромагнита от ее значения в номинальном режиме работы системы. Сле-
довательно, напряжение их, поступающее с потенциометра ВП на вход усили-
теля У, пропорционально сигналу ошибки х = и0— и. А так как выходное
напряжение усилителя пропорционально сигналу на его входе, то напряжение
цд, приложенное к якорю двигателя, будет пропорционально сигналу ошибки х:
(1.10)
где ki—коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств электромаг-
нита, вспомогательного потенциометра и усилителя.
В установившемся режиме скорость вращения электродвигателя с неза
висимым возбуждением пропорциональна напряжению, приложенному к его
якорю:
dy-l dt — k2uA.
Здесь |Л — координата движка реостата /?; k2— коэффициент пропорциональ-
ности, зависящий от технических характеристик двигателя и редуктора.
Объединив последние два уравнения и обозначив kik2 = k, получим
уравнение (1.9).
Таким образом, в системе, изображенной на рис. 1.12, б, так же как и в
системе, показанной на рис. 1.12, а, в установившемся режиме скорость пе-
ремещения регулирующего органа пропорциональна величине ошибки. Это
означает, что при отклонении (по любым причинам) регулируемой величины и
от требуемого значения и0 двигатель Д будет перемещать движок реостата R
в сторону ликвидации ошибки х (на рис. 1.12, б при х > 0 движок реостата
Д должен смещаться влево, а при х < 0 — вправо). При этом скорость пере-
мещения движка будет тем выше, чем больше ошибка х по абсолютной величине.
Описанный процесс регулирования закончится тогда, когда двигатель Д оста-
новится. Если пренебречь трением в подвижных элементах системы и моментом
нагрузки на валу двигателя, то условие остановки двигателя может быть запи-
сано в виде ид= 0, или, с учетом уравнения (1.10) — в виде х — 0. Следова-
тельно, в рассмотренной системе непрямого регулирования напряжения воз-
можно единственное положение равновесия, соответствующее х = 0, т. е.
и = и0.
Применение непрямого регулирования напряжения позволяет значитель-
но увеличить точность регулирования за счет использования прецизионного
потенциометра ВП с очень малым моментом трения между его движком и об-
моткой. Момент трения между движком и обмоткой реостата /?, который для
мощных генераторов весьма значителен, в системе непрямого регулирования
преодолевается уже не электромагнитом (как это имеет место в системе, изо-
браженной на рис. 1.10, а), а двигателем Д за счет энергии дополнительных
источников питания.
§ 1.8. СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ, СИСТЕМЫ
ПРОГРАММНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ И СЛЕДЯЩИЕ
СИСТЕМЫ
В зависимости от требуемого закона g(t) изменения регулируемой
величины y(f) (см. § 1.4) все САР принято делить на системы стаби-
лизации, программного регулирования и следящие.
Системы стабилизации. Предназначены для поддержания пос-
тоянного значения регулируемой величины y(t). В этих системах за-
дающее воздействие g(t) £°= const. Примерами могут служить
32
рассмотренные ранее системы стабилизации давления (см. рис. 1.8, а),
скорости вращения (см. рис. 1.9, а и 1.12, а) и напряжения (см.
рис. 1.10, а и 1.12, б). Ввиду„ чрезвычайной простоты требуемого за-
кона изменения регулируемой величины в общей схеме систем ста-
билизации (см. рис. 1.7) задающий элемент ЗЭ в явном виде отсут-
ствует. Он представляет собой просто элемент настройки, позволяю-
щий изменять (в определенных пределах) постоянное значение g°,
относительно которого стабилизируется регулируемая величина (ру-
коятка 7 на рис. 1.9, а, винт 4 или потенциометр П на рис. 1.10, а
и т. д.).
При рассмотрении систем стабилизации часто за начало отсчета
величины g принимают значение g° и считают, что задающее воздей-
ствие в системе равно нулю. Основной задачей систем стабилизации
является борьба с вредным влиянием возмущений, стремящихся
отклонить регулируемую величину от требуемого значения gQ.
Пример 1.11. Рассмотрим систему стабилизации скорости вращения электри-
ческого двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 1.13).
Объектом регулирования здесь является двигатель постоянного тока Д; регулиру-
емой величиной — скорость вращения его выходного вала Q. Требуемый закон из-
менения регулируемой величины зависит от особенностей управляемого объекта УО.
Чаще всего требуется, чтобы скорость вращения двигателя была постоянной:
=Q°=const. Основными причинами, отклоняющими скорость вращения двигателя
от заданного значения Q°, являются изменения момента нагрузки на валу двига-
теля М и напряжения источников питания. Из-за наличия возмущений скорость
вращения отдельно взятого двигателя может значительно отличаться от требуемой
величины й°, и для поддержания (с требуемой точностью) равенства Q=Qo при-
ходится прибегать к автоматическому регулированию.
В состав САР (см. рис. 1.13) помимо двигателя входят тахогенератор ТГ,
потенциометр П и усилитель У, в совокупности образующие автоматический
регулятор величины Q. Тахогенератор предназначен для измерения скорости
вращения двигателя. Он является чувствительным элементом САР и пред-
ставляет собой миниатюрный генератор постоянного тока с возбуждением от
постоянных магнитов, якорь которого жестко связан с выходным валом дви-
гателя. Выходное напряжение тахогенератора пропорционально скорости вра-
щения его якоря: и?? = Q, где /гтг — коэффициент пропорциональности,
называемый обычно крутизной тахогенератора. Потенциометр П выполняет
функции задающего устройства САР. Снимаемое с него напряжение и3 являет-
ся задающим воздействием и поступает на вход системы. Усилитель У пред-
назначен для усиления по мощности напряжения
и — и3 — Мур = и3 /sTrQ.	(1.11)
При регулировании скорости вращения маломощных двигателей и двига-
телей средней мощности обычно используются магнитные усилители, усили-
тели на полупроводниковых триодах, работающих в ключевом режиме, или
полупроводниково-магнитные усилители. В случае двигателей большой мощ-
ности в качестве оконечного каскада усиления применяются электромашинные
усилители, а предварительное усиление напряжения и производится полупро-
водниковыми, магнитными или полупроводниково-магнитными усилителями.
В правильно спроектированной САР напряжение на входе усилителя дол-
жно быть мало: и « 0. Подставив сюда выражение (1.11), получим
Q и3//гТг •
Таким образом, в рассматриваемой САР скорость вращения выходного вала
двигателя пропорциональна напряжению, снимаемому с потенциометра П.
Если движок потенциометра зафиксирован, то напряжение и3 постоянно.
2—493
33
При этом (в установившемся режиме) постоянное значение будет иметь и ско-
рость вращения двигателя Q. Величина напряжения и3 рассчитывается та-
ким образом, чтобы при отсутствии возмущающих воздействий скорость вра-
щения двигателя равнялась бы заданному значению Q0. Этот расчет может быть
проведен на основании простых физических соображений. В установившемся
режиме, когда инерционностью всех элементов САР можно пренебречь, для
рассматриваемой системы справедливо следующее уравнение:
•	(1.12)
Здесь ky— коэффициент усиления усилителя по напряжению; /гд — коэф-
фициент передачи двигателя; /гм— крутизна механических характеристик дви-
гателя; и — напряжение на входе усилителя.
Для номинального режима работы уравнение (1.12) перепишется так:
Qo =	_ /гмЛ4° t
где Л4°— номинальное значение нагрузочного момента.
Рис. 1.13. Система автоматического регулиро-
вания скорости вращения электродвигателя
постоянного тока
Отсюда легко найти напряжение на входе усилителя
uO = (Qo + feMMo)/(W>	(1.13)
при котором скорость вращения Q = Q0. Учитывая уравнение (1.11), которое
для номинального режима работы САР имеет вид
м° = и3 — и Jr = и3 — feTrQ°,
окончательно получим, что искомое значение задающего напряжения
и3 = и°3 = и» + feTr2° = [(1 + fey Vtp) а° + feMM«]/(feyfeA).
Теперь выражение (1.11) можно записать следующим образом:
и ==	Wyp —— и® *4“ k-ppX,	(1.14)
где х — Q0— Q — ошибка САР.
Отсюда следует, что при увеличении (по любым причинам) скорости вра-
щения двигателя (Q > Q0) напряжение и на входе усилителя уменьшается
(и < uQ). В результате уменьшается напряжение ил на якоре двигателя (ид<
< и®, где ид — напряжение на якоре двигателя в номинальном режиме ра-
боты САР), что приводит к уменьшению величины Q. Аналогично при умень-
шении (по любым причинам) скорости вращения двигателя ниже номинальной
САР увеличивает напряжение ид, стремясь восстановить прежнее значение
регулируемой величины.
34
Органом наётройки в САР (см. рис. 1.13) является потенциометр /7. При пере-
мещении его движка будет изменяться напряжение иэ и, как следствие,— ве-
личина Q0, около которой САР стабилизирует скорость вращения электродви-
гателя.
Системы программного регулирования. Предназначены для изме-
нения регулируемой величины y(t) по известному закону в функции
времени или какой-либо другой величины. В таких системах задаю-
щее воздействие представляет собой заранее известную функцию
времени
g(t) = gQ«)	(1.15)
или какой-либо другой величины г
g==g°(z)	(1.16)
и часто называется программой регулирования. Программы вида
(1.15) называются временными, а программы вида (1.16)—парамет-
рическими. Параметрические программы могут зависеть не только
от одной, но и от нескольких величин — г,, г2, г3, ... . В этом случае
задающее воздействие является известной функцией нескольких
переменных:
£ = £°(2г гг г8,...).
Параметрические программы широко используются в металлоре-
жущих станках с программным управлением, предназначенных для
обработки деталей сложного профиля (гребных винтов, лопаток тур-
бин и др.). В таких станках управление движением инструмента
(резца, сверла, фрезы) производится при помощи одной или несколь-
ких систем автоматического регулирования, программа работы кото-
рых задается в зависимости от координат заготовки обрабатываемой
детали.
Еще одним примером системы программного регулирования с
параметрической программой может служить система регулирования
давления в герметизированной кабине
современного самолета. Регулирование
давления в кабине необходимо для нор-
мальной жизнедеятельности экипажа
в высотных полетах и осуществляется
автоматически при помощи системы ре-
гулирования, работающей по замкнуто-
му циклу. Так как закон изменения
атмосферного давления Р в зависимо-
сти от высоты Н хорошо изучен (кри-
вая 1 на рис. 1.14), то при создании
регуляторов давления герметизирован-
ных кабин используется принцип прог-
раммного регулирования. Программа
изменения давления в кабине задается в
Функции высоты полета и обычно имеет
вид кривой 2 на рис. 1. 14. До высот
2*	35
Рис. 1.14. Изменение атмосфер-
ного давления в зависимости от
высоты (кривая 1) и програм-
ма регулирования давления в
герметизированной кабине вы-
сотного самолета (кривая 2)
порядка 2 км давление в кабине не регулируется и равно атмосфер-
ному, в диапазоне высот от 2 до 8 км давление в кабине поддержи-
вается постоянным и равным примерно 600 мм рт. ст., а на высотах
более 8 км по соображениям прочности кабины поддерживается по-
стоянная разность между давлением в кабине и в атмосфере.
Примером временной программы регулирования является про-
грамма изменения скорости вращения мощного теплового или элек-
трического двигателя при его пуске (рис. 1.15). Плавный закон нарас-
тания скорости позволяет избежать опасных пе-
регрузок и значительно увеличивает долговеч-
ность двигателя.
Приведенные примеры показывают, что с
задачей программного регулирования в тех-
нике приходится сталкиваться очень часто.
Принципиально эта задача решается так же,
как и задача стабилизации — при помощи сис-
тем автоматического регулирования, работаю-
щих по замкнутому циклу (см. рис. 1.7). Основ-
ное отличие систем программного регулирова-
ния от систем стабилизации заключается в
Рис. 1.15. Типовая
программа разгона
мощного двигателя
том, что в системах программного регулирования главной задачей
является воспроизведение программы регулирования с заданной
точностью. При сложных программах и высоких требованиях, предъ-
являемых к точности их воспроизведения, эта задача исключительно
сложна. Кроме того, системы программного регулирования, как и
системы стабилизации, должны решать задачу подавления вредного
влияния возмущений, отклоняющих регулируемую величину от тре-
буемого закона ее изменения.
Конструктивно системы
программного регулирова-
ния отличаются от систем
стабилизации наличием
задающих элементов, су-
щественно более сложных,
нежели органы настройки
систем стабилизации. В
общем случае (рис. 1.16, а)
задающий элемент содер-
жит датчик ДНП незави-
симой переменной z, в функ-
УВП
Рис. 1.16. Функциональная схема задающего
элемента системы программного регулирова-
ния (а) и простейшее устройство для задания
временной программы (б)
ции которой задается прог-
рамма регулирования g0; функциональный преобразователь Ф/7,
предназначенный для реализации заданной функциональной зависи-
мости; промежуточные элементы ПЭ, служащие для усиления и пре-
образования выходного сигнала функционального преобразователя;
исполнительный элемент ИЭ, непосредственно воздействующий на
орган настройки ОН системы регулирования. В простейшем случае
промежуточные элементы и исполнительный элемент могут отсут-
ствовать, как это имеет место, например, в устройстве для задания
36
временной программы регулирования, изображенном на рис. 1.16, б.
Здесь датчиком независимой переменной t является часовой механизм
у/И, в качестве которого может быть использован электродвигатель
со стабилизированной скоростью вращения и редуктором, а функцио-
нальный преобразователь выполнен в виде кулачкового привода /(/7,
непосредственно перемещающего орган настройки САР. Профиль
кулачка выбирается таким образом, чтобы обеспечить воспроизве-
дение требуемой программы (1.15).
Кулачковые функциональные преобразователи обеспечивают вос-
произведение заданной функциональной зависимости с относитель-
ной погрешностью не менее 0,14-0,5% При более высоких требова-
ниях, предъявляемых к точности задания программы регулирования
(что характерно, например, для металлорежущих станков с програм-
мным управлением), в задающих элементах применяются электрические
функциональные преобразователи. Ввиду того, что в большинстве САР
орган настройки представляет собой элемент с механическим
перемещением, задающие элементы с электрическими функцио-
нальными преобразователями обязательно содержат промежуточные
и исполнительный элементы. Наиболее высокую точность задания
программы обеспечивают функциональные преобразователи дискрет-
ного типа, в которых исходная функциональная зависимость записы-
вается в виде кода на перфоленте, киноленте или магнитной ленте,
перемещаемой лентопротяжным механизмом мимо считывающих го-
ловок контактного, оптического или магнитного типа. Во многих
функциональных преобразователях дискретного типа используется
и дискретный привод органа настройки в виде шаговых двигателей,
цифровых следящих систем и др. [17, 30, 35].
В общей схеме задающего элемента (см. рис. 1.16, а) все элементы,
кроме органа настройки, можно объединить названием «устройство
выработки программы» УВП. При таком подходе любая система прог-
раммного регулирования может рассматриваться как совокупность
системы стабилизации и устройства выработки программы. В част-
ности, снабдив системы стабилизации, показанные на рис. 1.9, 1.10,
1.12 и 1.13, устройством выработки программы, состоящим из часового
механизма и кулачкового привода, их можно превратить в системы
программного регулирования. При соответствующем выборе профиля
кулачка системы регулирования скорости вращения- (см. рис. 1.9,
1.12, а и 1.13) могут быть использованы для реализации программы,
изображенной на рис. 1.15.
Следящие системы. Предназначены для изменения регулируемой
величины y(t) по закону, который заранее неизвестен. В таких сис-
темах задающее воздействие g(t) представляет собой случайную функ-
цию времени.
В зависимости от физической природы выходной (регулируемой)
величины различают следящие системы воспроизведения угла, ско-
рости вращения, момента и электрических величин (напряжения и
тока).
Во всех перечисленных случаях входная величина следящей
системы может быть любой — как электрической, так и неэлектри-
37
ческой. Чаще всего воздействие g(t) на входе следящей системы пред-
ставляет собой электрическое напряжение или угол поворота.
Следящие системы воспроизведения у г-
л а. Предназначены для поворота некоторой оси, называемой испол-
нительной, или выходной, осью, по закону, определяемому другой —
командной, или входной, осью.
Обозначим через !%(/) = g(t) угол поворота командной оси и &2(0 =
=rr y(t) — угол поворота исполнительной оси. Тогда основная задача
следящей системы сводится к поддержанию равенства
=	(1.17)
с заданной точностью. Необходимость решения такой задачи возни-
кает при дистанционном измерении различных электрических и не-
электрических величин, при управлении различными механизмами и
процессами, при управлении на расстоянии движущимися объекта-
ми и т. д. В простейших случаях соотношение (1.17) может быть реа-
лизовано при помощи различного рода механических передач либо
потенциометрических или сельсинных систем дистанционной пере-
дачи угла [6]. Следящие системы применяются тогда, когда для по-
ворота исполнительной оси требуется значительная мощность, либо
когда требования к точности обеспечения равенства (1.17) весьма
высоки (порядка нескольких угловых минут).
По принципу действия следящие системы воспроизведения угла
(как и все другие типы следящих систем) ничем не отличаются от
рассмотренных ранее систем стабилизации и программного регулиро-
вания и представляют собой замкнутые системы, реализующие прин-
цип регулирования по ошибке. Поэтому общая схема любой следя-
щей системы может быть сведена к схеме, показанной на рис. 1.7.
Несущественные отличия вызваны тем, что роль задающего элемента
в следящих системах играет какое-либо другое устройство (автома-
тическое или неавтоматическое) или человек-оператор, а регулируе-
мый объект в явном виде отсутствует (в следящих системах воспроиз-
ведения угла им можно считать выходную ось системы). В системах
воспроизведения угла и скорости вращения основным возмущением
является момент нагрузки М на исполнительной оси. Для увеличения
точности работы все следящие системы содержат усилитель и выпол-
няются по схеме непрямого регулирования.
В следящих системах воспроизведения угла уголф2 поворота ис-
полнительной оси часто отдельно не измеряется, а используются так
называемые датчики угла рассогласования ДР, непосредственно
формирующие сигнал, пропорциональный углу рассогласования
(1.18)
играющему роль сигнала ошибки. В силу больших возможностей
всякого рода преобразований электрических величин выходной сигнал
датчиков рассогласования чаще всего представляет собой электри-
ческое напряжение
u=kdb	(1.19)
(напряжение рассогласования).
38
Пример 1.12. Сделанные замечания позволяют изобразить упрощенную
схему следящей системы воспроизведения угла в виде, показанном на
пне. 1.17, а, где ДР — датчик рассогласования, У — усилитель, Д — двига-
р — редуктор, У О — управляемый объект. Упрощение состоит в том, что
на рисунке не показаны корректирующие устройства, обязательно вводимые
в состав любой следящей системы для улучшения ее свойств (см. гл. 6). В схеме
принято, что датчик рассогласования ДР имеет электрический выход и сигнал
рассогласования усиливается электрическими средствами. Двигатель Д сле-
дящей системы может быть электрическим, гидравлическим и пневматическим.
При использовании гидравлических и пневматических двигателей редуктор Р
оказывается, как правило, ненужным и может быть исключен из схемы сле-
дящей системы. Устройства, служащие для преобразования напряжения ил
в механическую величину, непосредственно управляющую работой пневмо-
Рис. 1.17. Упрощенная схема следящей системы воспроизведения угла (а)
и датчики рассогласования с электрическим выходом: механический (б),
потенциометрический (в) и сельсинный (г)
или гидродвигателя, на рис. 1.17, а условно включены в состав самого двигате-
ля. Двигатель является весьма ответственным элементом следящих систем. Его
характеристики (в частности, максимальные скорости и ускорения выходного
вала или штока) во многом определяют класс функций	которые могут
быть воспроизведены следящей системой с заданной точностью.
Возможные схемы датчиков угла рассогласования с электрическим выхо-
дом приведены на рис. 1.17, б, в, г и в силу своей простоты не требуют поясне-
ний (МД — механический дифференциал). Заметим только, что выходное на-
пряжение сельсинной пары (сельсин-датчик СД, сельсин-трансформатор СТ),
работающей в трансформаторном режиме (см. рис. 1.17, г), представляет собой
напряжение переменного тока, амплитуда которого пропорциональна (в из-
вестных пределах) углу рассогласования 0, а фаза изменяется на 180° при из-
менении знака угла рассогласования. Выходной сигнал датчиков угла рассо-
гласования может быть постоянного или переменного тока в зависимости от
типа датчика угла ДУ (см. рис. 1.17, б) и от того, постоянным или переменным
напряжением питаются обмотки потенциометров /71 и /72 (см. рис. 1.17, в),
предпочтительно использовать датчики угла рассогласования с выходом на пе-
ременном токе, так как при этом можно применять стабильные и хорошо отра-
ботанные усилители переменного тока. Датчики рассогласования с выходом на
постоянном токе используются лишь в системах большой мощности, где они
Работают совместно с электромашинпыми или релейными усилителями и дви-
ателями постоянного тока.
39
Принцип действия следящей системы, показанной на рис. 1.17, а, нетрудно
понять, обратившись к формуле (1.19). Из нее следует, что при выполнении
равенства (1.17) и — 0 и ил = 0, и двигатель Д неподвижен. Если по любым
причинам (поворот командной оси, изменение момента нагрузки на исполни-
тельный оси и др.) возникнет рассогласование (&#= 0), то двигатель Д придет
в движение и будет поворачивать выходную ось, стремясь свести угол рассо-
гласования & к нулю.
Следящие системы воспроизведения ско-
рости вращения. Предназначены для изменения скорости
вращения выходной оси по закону, определяемому входным сигна-
лом. Примером может служить система, изображенная на рис. 1.13,
если в ней закон перемещения движка потенциометра П (закон изме-
нения напряжения и3) заранее неизвестен. Ранее было показано,
что в такой системе
П(/) = db2/dt« Мз(0,	(1.20)
где'&г—угол поворота выходной оси системы и ki= 1/&тг.
Равенство (1.20) показывает, что скорость вращения выходной
оси копирует в масштабе ki закон изменения входного сигнала u3(t).
Из него следует, что

(1.21)
Рис. 1.18. Функциональная схема интегри-
рующего привода
Этот результат говорит
о том, что схема, показан-
ная на рис. 1.13, может
быть использована для
интегрирования входного
напряжения и3. Для этого
на выходной оси системы
следует поместить датчик
угла ДУ (рис. 1.18). Выходное напряжение датчика
и2 (/) ж kxkd J и3 (/) dt,	(1.22)
где kd— крутизна датчика угла с учетом редуктора.
Следящая система воспроизведения скорости вращения, исполь-
зуемая в режиме интегрирования входного сигнала, называется ин-
тегрирующим приводом. Современные интегрирующие приводы для
уменьшения дрейфа нуля обьщно выполняются на базе датчиков, уси-
лителей и двигателей переменного тока и осуществляют операцию
интегрирования с высокой точностью.
Следящие системы воспроизведения мо-
мента. Предназначены для автоматического уравновешивания од-
ного — возмущающего — момента другим моментом, развиваемым
двигателем следящей системы. Они широко применяются в различных
системах, содержащих гироскопические устройства.
Пример 1.13. На рис. 1.19 изображена упрощенная схема одноосного ги-
ростабилизатора, предназначенного для поддержания неизменной угловой ори-
ентации некоторой оси, называемой осью стабилизации. Если а — угол по-
ворота оси стабилизации и а0— его требуемое значение, то задача гиростабили-
40
затора сводится к реализации равенства а = а0 с заданной точностью. Как
обычно, для решения этой задачи применяется замкнутая система регулиро-
вания, состоящая из гироскопа Г, датчика угла ДУ, усилителя У, двигателя Д
я редуктора Р. Своеобразие рассматриваемой следящей системы заключается
в том, что в качестве чувствительного элемента в ней используется гироскоп,
установленный в кардановом подвесе (роль внутренней рамки подвеса играет
кожух гиромотора), ось наружной рамки которого совмещена с осью стабили-
зации. При возникновении возмущающего момента М на оси стабилизации
(от небаланса, сил трения и
внутренней рамки на угол Р.
и после усиления и преобра-
зования поступает на двига-
тель, который создает момент
Л1Л, противоположный по зна-
ку внешнему моменту М. Свой-
ства гироскопа таковы, что
скорость поворота внутренней
рамки dpIdt пропорциональна
результирующему моменту на
оси стабилизации (М — Л4Д).
Поэтому процесс нарастания
момента двигателя будет про-
должаться до тех пор, пока он
не скомпенсирует возмущаю-
щий момент. При изменении
момента М момент двигателя
будет следить за ним. При
др.) гироскоп поворачивается относительно оси
Этот угол поворота измеряется датчиком угла
Рис. 1.19. Одноосный гироскопический ста-
билизатор
этом угловое положение оси
стабилизации с определенной точностью сохраняется неизменным, так как
результирующий момент на оси стабилизации М — Мд« 0.
Рис. 1.20. Усилитель
с глубокой отрица-
тельной обратной
связью
Следящие системы воспроизведения элек-
трических величин. Предназначены для изменения не-
которой электрической величины (напряжения, тока, частоты и др.)
по закону, определяемому другой электри-
ческой величиной. Примером такой системы
может служить усилитель с глубокой отри-
цательной обратной связью (рис. 1.20). Ос-
новным элементом здесь является усилитель
У с большим коэффициентом усиления по
напряжению ky и нечетным, числом каска-
дов, инвертирующих знак или фазу вход-
ного сигнала. На входе усилителя нап-
ряжение и =	— и2 представляет собой
разность между входным и выходным и2
напряжениями системы. Так как в установившемся режиме и2 = kyu,
то и = ui— kyu, откуда
и = ^/(1 + ky)& 0,
если коэффициент усиления ky достаточно велик. Таким образом, в
рассмотренной схеме при больших ky напряжение u2(t) « т. е.
выходное напряжение следит за входным. Точность слежения тем
выше, чем больше коэффициент усиления ky. Из дальнейшего (см.
5), однако, станет ясно, что безгранично увеличивать коэффициент
Усиления усилителя без принятия специальных мер нельзя.
41
§ 1.9. СТАТИЧЕСКИЕ И АСТАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
В § 1.6 отмечалось, что качество работы САР характеризуется
ошибкой (1.2). Предел, к которому стремится ошибка с течением
времени, называется установившейся ошибкой САР:
*уС7 = limx(Z).	(1.23)
f-*OO
В том случае, когда все внешние воздействия (задающее и возму-
щающие) с течением времени стремятся к постоянным значениям,
установившаяся ошибка (1.23) называется статической. Ограничим-
ся случаем, когда статическая ошибка
Хст ~ %g 4“	^1, + • • •.	(1*24)
где хс,9 — ошибка работы сравнивающего элемента; xg— статическая
ошибка воспроизведения задающего воздействия; xfi— статическая
ошибка, обусловленная возмущением /\; х,2—статическая ошибка,
обусловленная возмущением /2, и т. Д- Формула (1.24) спра-
ведлива для так называемых линейных систем (см. § 1.14), для кото-
рых верен принцип суперпозиции (наложения).
САР называется статической (или обладающей статизмом) по
отношению к данному внешнему воздействию, если составляющая ста-
тической ошибки (1.24), обусловленная этим воздействием, отлична
от нуля. Например, при х^=/= О САР является статической по задаю-
щему воздействию g\ при Xft=/= 0 — по возмущению Д и т. д.
САР называется астатической (или обладающей астатизмом) по
отношению к какому-либо внешнему воздействию, если составляющая
статической ошибки (1.24), обусловленная этим воздействием, равна
нулю. Так, при х = О САР является астатической по задающему
воздействию, при Х|? =0 — по возмущению /2 и т. Д-
Приведенные определения показывают, что понятия статизма и
астатизма связаны с рассмотрением установившегося режима САР
и всегда относятся к тому или иному конкретному внешнему воздей-
ствию. При этом часто для упрощения все другие внешние воздействия
(кроме рассматриваемого) условно полагают равными нулю.
Покажем, например, что система прямого регулирования давле-
ния (см. рис. 1.8, а) является статической по отношению к изменению
наружного давления Рн. В номинальном режиме Р = Р°, Рп= Рн°,
= |i° и Др. = 0. Пусть теперь наружное давление увеличилось:
Рн— Рн00 > Рн°. Рост наружного давления приведет к возрастанию
регулируемой величины Р, т. е. к появлению ошибки х < 0. Для
ликвидации этой ошибки регулятор должен поднять регулирующую
заслонку, изменив координату р. регулирующего органа. Но из урав-
нения (1.8) следует, что Др. =/= 0 только при х =/= 0. Иными словами,
в рассматриваемой САР при отклонении давления Рн регулирующий
орган может занять новое положение (необходимое для компенсации
вредного влияния изменения наружного давления) только при ошибке
регулирования, не равной нулю, т. е. при Р =^= Р°. Следовательно,
-система прямого регулирования давления обладает статизмом по
42
Рис. 1.21. Зависимость регули-
руемой величины от возмущаю-
щего воздействия в установив-
шемся режиме:
1 — объект без регулятора, 2 — стати-
ческая САР, 3 — астатическая САР
отношению к изменениям наружного давления. Аналогично доказы-
вается статизм этой системы по отношению к изменениям весового
расхода воздуха на входе в резервуар Gi и на выходе из него С2. Точ-
но так же доказывается, что система прямого регулирования скорости
(см. рис. 1.9, а) является статической по отношению к изменениям
момента нагрузки на валу двигателя и производительности топлив-
ного насоса; система прямого регулирования напряжения генератора
(см. рис. 1.10, а) имеет отличную от нуля статическую ошибку при
изменениях тока нагрузки или скорости вращения якоря генератора;
система стабилизации скорости вращения электродвигателя (см.
рис. 1.13) обладает статизмом относительно момента нагрузки на
выходной оси и т. д.
Общим для всех перечисленных САР является использование в
них пропорционального закона регулирования (1.8), который и обус-
ловливает их статизм по отношению к
упомянутым выше возмущениям. Фи-
зическая сущность возникновения
статической ошибки при регулиро-
вании по закону (1.8) предельно
проста: для компенсации вредного
влияния возмущений необходимо
изменить положение регулирующего
органа, что возможно лишь при
х=/=0*. В результате каждому значе-
нию возмущения f соответствует свое
значение статической ошибки xf (за-
висимость 2 на рис. 1.21).
Не следует думать, что из-за на-
личия статической ошибки статиче-
ские САР не пригодны для практи-
ческого применения. В правильно
рассчитанной системе статическая
весьма малой и уж во всяком случае значительно меньшей, чем в объ-
екте регулирования без регулятора (зависимость 1 на рис. 1.21).
Кроме того, вопросы точности работы в установившемся режиме да-
леко не исчерпывают всей проблематики теории и практики регули-
рования.
Не менее важны вопросы поведения САР в динамике, в неустано-
вившихся режимах. Достаточно заметить, что так называемые неус-
тойчивые объекты регулирования (см. гл. 5) вообще не могут работать
без автоматических регуляторов.
Приведенный анализ причин появления статической ошибки поз-
воляет сделать вывод о том, что для ликвидации статической ошибки
следует изменить закон регулирования, отказавшись от пропорцио-
нальной зависимости между регулирующим воздействием и ошибкой.
ошибка может быть
* Эти рассуждения справедливы при отсутствии в составе регулятора и
объекта так называемых интегрирующих звеньев (см. § 2.9), что выполняется
Для всех перечисленных выше САР.
43
Для получения астатизма требуется, очевидно, такая связь между
Др. и х, при которой отклонение Ду. могло бы быть не равным нулю
при х = 0. Пример такой зависимости дает интегральный закон регу-
лирования (1.9). Действительно, пусть, например, в системе (см.
рис. 1.12, б) изменился ток нагрузки генератора l Это приведет к
появлению ошибки х = и0— и =/= 0, в результате чего к двигателю Д
будет приложено напряжение определенной полярности, и дви-
гатель будет перемещать движок реостата R. Этот процесс регулиро-
вания закончится тогда, когда двигатель Д остановится, что возможно
лишь при их — 0, т. е. при и = и°. Следовательно, при изменениях
тока нагрузки i в определенных пределах система регулирования обес-
печивает неизменное значение и° регулируемой величины и (если нет
других возмущений), что и свидетельствует об отсутствии статической
ошибки. Точно так же доказывается астатизм этой системы отно-
сительно изменения скорости вращения якоря генератора. Однако
по отношению к моменту М на валу двигателя Д система (см.
рис. 1.12, б) является статической. Объясняется это тем, что момент
М должен быть скомпенсирован моментом двигателя Д, для чего на-
пряжение ид должно быть отлично от нуля, что в свою очередь во-
МОЖНО ТОЛЬКО при X =0: 0.
В том случае, когда САР обладает астатизмом относительно неко-
торого возмущения /, зависимость регулируемой величины от этого
возмущения характеризуется прямой 3 (см. рис. 1.21). Однако не
следует думать, что астатические системы вообще не имеют статичес-
кой ошибки. Даже в нереальном случае астатизма по всем внешним
воздействиям из формулы (1.24) видно, что хст= хс.э =# 0. Тем не ме-
нее за счет отсутствия одной или нескольких составляющих в фор-
муле (1.24) статическая ошибка астатических систем меньше, чем ста-
тических. Поэтому при повышенных требованиях, предъявляемых
к точности, предпочтение обычно отдается астатическим системам.
В системах стабилизации стремятся обеспечить (когда это возможно)
астатизм по одному из основных возмущений. В системах програм-
много регулирования и особенно в следящих системах астатизм обес-
печивается в первую очередь по отношению к задающему воздействию.
При этом в теории следящих систем часто говорят об астатизме вооб-
ще (без указания внешнего воздействия), подразумевая под ним аста-
тизм относительно задающего воздействия g(f). Читателю предостав-
ляется возможность доказать, что следящая система, схема которой
показана на рис. 1.17, а, является астатической по задающему воздей-
ствию и статической по моменту нагрузки М на выходной оси.
§ 1.10. ОДНОКОНТУРНЫЕ И МНОГОКОНТУРНЫЕ
СИСТЕМЫ
Любая замкнутая система регулирования (см. рис. 1.7) имеет
хотя бы одну обратную связь, при помощи которой сигнал, харак-
теризующий действительное значение регулируемой величины, по-
дается на вход сравнивающего элемента. Эта обратная связь назы-
вается главной обратной связью.
44
САР, имеющие только одну (главную) обратную связь, называются
одноконтурными. В таких системах воздействие, приложенное к
какому-либо элементу, может обойти систему и вернуться в исходную
точку по одному пути обхода. Примером одноконтурных систем яв-
ляются САР, показанные на рис. 1.8, а\ 1.9, а\ 1.10,а и 1.12,а.
Современные системы регулирования, помимо главной обратной
связи, мсгут иметь одну или несколько дополнительных, или мест-
ных, обратных связей. Обычно эти обратные связи используются в
корректирующих, усилительных или исполнительных элементах САР
для придания им требуемых свойств.
САР, содержащие одну или несколько местных обратных связей,
называются многоконтурными. В этих системах воздействие, прило-
женное к тому или иному элементу, может обойти систему и вернуться
в исходную точку по нескольким путям обхода.
Рис. 1.22. Система непрямого регулиро-
вания скорости вращения теплового дви-
гателя с жесткой дополнительной обрат-
ной связью
Пример 1.14. Рассмотрим систему непрямого регулирования скорости
вращения теплового двигателя ТД с местной обратной связью, охватывающей
гидравлический двигатель (рис.
1.22). Принцип действия этой си-
стемы тот же, что и системы, по-
казанной на рис. 1.12, а. Отли-
чие состоит в том, что шарнир
О, относительно которого пово-
рачивается рычаг АВ, теперь зак-
реплен не неподвижно, а связан
со штоком силового гидроцилинд-
ра. В результате в системе имеет
место дополнительный замкнутый
контур передачи воздействий «зо-
лотник-гидроцилиндр»:	переме-
щение штока золотника приво-
дит к перемещению штока гид-
роцилиндра, и наоборот.
Пусть, например, скорость
вращения двигателя увеличилась
(Q > Q0). Тогда выходной шток
центробежного измерителя ско-
рости опустится (относительно
положения, изображенного на
рис. 1.22), и рычаг А В повернется
вокруг точки О против часовой
стрелки (при неподвижном порш-
не гидроцилиндра шарнир О иг-
рает роль неподвижной опоры).
При этом поршни золотника по-
днимутся, а поршень гидроцилин-
Дра опустится, увеличив перепуск
топлива на слив.
В системе без обратной связи (см. рис. 1.12, а) поршень гидроцилиндра
Двигался таким образом, что в установившемся режиме скорость его переме-
щения была пропорциональна величине смещения поршней золотника. Поэ-
тому регулирующий орган системы перемещался до тех пор, пока регулируемая
величина Q не возвращалась к требуемому значению.
В рассматриваемой системе поршень гидроцилиндра, опускаясь, повора-
чивает рычаг АВ по часовой стрелке относительно точки А, что вызывает пере-
мещение поршней золотника вниз, к своему исходному положению. Поэтому
Движение поршня гидроцилиндра продолжается лишь до тех пор, пока поршни
45
золотника не перекроют каналы подвода рабочей жидкости в полость гидроци-
линдра. В результате первоначальному смещению золотника будет пропор-
циональна не скорость, а перемещение регулирующей заслонки, причем коэф-
фициент пропорциональности будет зависеть от соотношения плеч рычага АВ.
Из сказанного следует, что в системе непрямого регулирования с местной
обратной связью реализуется пропорциональный закон регулирования (1.8)
вместо интегрального закона (1.9), имевшего место в системе без обратной связи.
Вследствие этого система из астатической превращается в статическую, что яв-
ляется недостатком местной обратной связи рассмотренного типа. Тем не менее,
такие обратные связи применяются в практике регулирования, так как позво-
ляют существенно улучшить поведение САР в неустановившихся, переход-
ных режимах. Физически это можно по-
яснить следующим образом. В системе без
обратной связи (см. рис. 1.12, а) поршень
гидроцилиндра останавливается лишь тог-
да, когда поршни золотника возвраща-
ются в исходное положение, перекрывая
доступ рабочей жидкости в полость гид-
роцилиндра. Последнее (если пренебречь
трением, люфтами и др.) имеет место при
Q = Q0. Следовательно, в системе без до-
полнительной обратной связи гидродвига-
тель останавливается только при достиже-
нии регулируемой величиной требуемого
значения. Такое «выключение» гидродвига-
теля является запоздалым, так как из-за
инерционности элементов системы регу-
лируемая величина неизбежно «проско-
чит» требуемое значение Q0, в результате
чего в системе могут возникнуть слабоза-
тухающие или даже расходящиеся коле-
бания скорости двигателя. Для ликвида-
ции этих колебаний гидродвигатель, оче-
видно, следует останавливать несколько
раньше момента достижения требуемой
скорости вращения, что и осуществляется
при помощи местной обратной связи.
Дополнительная обратная связь (см.
рис. 1.22), работающая как в установив-
г» 1 оо	шихся, так и в переходных режимах, на-
Рис. 1.23 Гидравлический дви- зывается жесткойу
гатель с гибкой обратной связью Еще одна схема дополнительной об.
ратной связи показана на рис. 1.23.
Здесь точка О подвешена на пружине / и соединена со штоком гидроцилиндра
при помощи заполненного маслом цилиндра 2, в котором находится поршень
с калиброванными отверстиями 3. жестко связанный со штоком гидроцилин-
дра. Пружина / и цилиндр 2 с поршнем 3 в совокупности образуют так назы-
ваемое изодромное устройство.
При изменении скорости вращения теплового двигателя ТД рычаг АВ по-
ворачивается вокруг точки О, перемещая поршни золотника вверх или вниз.
При перемещении поршня гидроцилиндра вначале цилиндр 2 и поршень 3
двигаются как одно целое, в результате чего рычаг АВ поворачивается вокруг
точки А, осуществляя обратную связь на поршни золотника и одновременно
сжимая или растягивая пружину / В дальнейшем за счет перетекания жид-
кости в цилиндре 2 через отверстия в поршне 3 пружина / возвращает рычаг
АВ в то положение, которое он занимал до начала движения поршня гидроци-
линдра. Поэтому обратная связь, показанная на рис. 1.23, действует только
в переходных, неустановившихся режимах работы САР и называется гибкой.
Применение гибкой обратной связи в САР скорости вращения позволяет улуч-
шить ее динамические свойства при одновременном сохранении астатизма сис-
темы.
46
§ 1.11. ОДНОМЕРНЫЕ И МНОГОМЕРНЫЕ
СИСТЕМЫ
В зависимости от числа регулируемых величин САР принято
подразделять на одномерные и многомерные.
Одномерными называются системы с одной регулируемой величи
ной. Примеры таких систем рассмотрены ранее.
Системы с несколькими регулируемыми величинами называются
многомерными. Многомерные САР используются для управления
многомерными объектами регулирования, нормальное функциониро-
вание которых требует изменения по заданному закону не менее чем
двух физических величин. Например, в генераторах переменного
тока требуется регулировать величину напряжения и его частоту;
в паровых машинах — скорость вращения выходного вала и давление
пара в котле; в турбореактивных двигателях — скорость вращения
и температуру выхлопных газов и т. д.
Многомерные объекты управления имеют
несколько регулирующих органов, для
перемещения каждого из которых ис-
пользуется одна или несколько одномер-
ных систем регулирования. При этом в
многомерных объектах число регулирую-
щих органов обычно не превосходит
числа регулируемых величин.
Пример 1.15. Рассмотрим управление поле-
том баллистической ракеты [4, 25, 26, 73].
Боевые баллистические ракеты предназначе-
ны для доставки обычного или термоядерного
боевого заряда из точки старта в точку цели.
Баллистические ракеты применяются в основном
для стрельбы по неподвижным наземным целям.
Это позволяет наводить ракету на цель путем
задания жесткой программной траектории, про-
ходящей через цель. В качестве программной
выбирается траектория, достаточно удобная с
точки зрения управления и близкая к оптималь-
Рис. 1.25. Связанная (а),
программная (б) и
путевая (в) системы ко-
ординат
Рис. 1.24. Программная траекто-
рия полета баллистической раке-
ты:
С — точка старта; К — точка выклю-
чения двигательной установки; Ц —
цель
47
ной траектории, соответствующей наименьшему расходу топлива при заданных
значениях дальности и веса боевого заряда. Типичная программная траектория
баллистической ракеты изображена на рис. 1.24 и состоит из активного участ-
ка С/<, на котором работают маршевые двигатели ракеты, и пассивного участка
КД, в начале которого двигательная установка выключается и на котором ра-
кета летят как свободно брошенное тело.
Траектория движения ракеты обычно рассматривается в стартовой сис-
теме координат ocxcyczc, начало координат которой ос совмещается с точкой
старта; ось осхс направлена в сторону цели по касательной к дуге большого
круга, соединяющей точку старта и точку цели; ось осус направлена верти-
кально вверх, а ось осгс перпендикулярна плоскости осхсус и расположена
таким образом, чтобы рассматриваемая система была правой* (на рис. 1.24
ось oczc перпендикулярна плоскости чертежа и направлена на читателя). Плос-
кость осхсус называется плоскостью стрельбы.
С баллистической ракетой жестко связывается система координат oxiyizi
(рис. 1.25, а), начало которой помещается в центре масс ракеты о, ось oxi на-
правлена по продольной оси ракеты, а ось оу\ расположена таким образом, чтобы
на старте плоскость ох±у\ совпадала с плоскостью стрельбы. Ось oz\ перпенди-
кулярна плоскости ох\у\ (на рис. 1.25, а она направлена на читателя). Система
координат ox\y\Z\ называется связанной системой. Плоскости ох\у\ и ох& яв-
ляются плоскостями симметрии ракеты. Часто считают, что связанные оси
ох\, oyi и ozi совпадают с главными центральными осями инерции ракеты.
Угловое положение связанной системы координат (т. е. ракеты) относи-
тельно стартовой определяется тремя углами Эйлера: ф, ср (рис. 1.26, а).
Угол & называется углом тангажа и представляет собой угол между продоль-
ной осью ракеты и горизонтальной плоскостью в точке старта. Угол ф называет-
ся углом рыскания и представляет собой угол между продольной осью ракеты
плоскостью ozxcyc. Угол (р называется углом вращения (крена) и представляет
собой угол между осью оу± и плоскостью oQxQyz. Он характеризует угол пово-
рота ракеты относительно продольной оси.
Программное положение ракеты задается при помощи программной сис-
темы координат on^ii!/n^n (рис. 1.25, б), начало которой оп совпадает с програм-
мным положением центра масс ракеты; ось опхп характеризует программное
положение продольной оси ракеты; ось опг/п перпендикулярна оси опхп и рас-
положена в плоскости стрельбы; ось onzn перпендикулярна плоскости опхпуп.
Угловое положение программной системы координат относительно старто-
вой определяется программными значениями угла тангажа &п, угла рыскания фп
и угла вращения (рп. В большинстве случаев фп==(Рп=:= 0. Что же касается прог-
раммного значения угла тангажа ракеты, то он отличен от нуля. Объясняется
это тем, что по конструктивным соображениям наиболее удобен вертикальный
старт баллистической ракеты [&п (0) = 90°], тогда как наибольшая даль-
ность полета имеет место тогда, когда в момент выключения двигателя /к угол
тангажа г%(/к) « 45°. Это заставляет предусматривать в процессе полета по
программной траектории разворот продольной оси ракеты от значения $п(0)
до значения (/к).
Отклонения угловых координат ракеты от их программных значений в
дальнейшем будем обозначать через Д&= 0— &п, Дф = ф— фп, Дер = ср — <рп.
Рассмотрим еще путевую систему координат oxyz, связанную с вектором
путевой скорости ракеты V, характеризующим скорость перемещения центра
масс ракеты относительно стартовой системы координат. Начало координат
этой системы помещается в центре масс ракеты, ось ох направляется по векто-
ру V, ось оу перпендикулярна оси ох и расположена в плоскости, параллельной
плоскости стрельбы, а ось ог перпендикулярна плоскости оху (рис. 1.25, в).
Угловое положение путевой системы координат относительно стартовой опре-
деляется углом наклона траектории 0 и курсовым углом (рис. 1.26, б), а от-
носительно связанной — углом атаки а и углом скольжения (3 (рис. 1.26, в).
Для программной траектории (3 = Рп= 0.
* Все вводимые далее в рассмотрение прямоугольные системы координат
также предполагаются правыми.
48
Существует много возмущений, откло-
няющих движение ракеты от программного
7порывы ветра, флюктуации тяги двига-
тельной установки, отклонение конструк-
тивных параметров ракеты от расчетных
значений и др.). Для возвращения ракеты
на программную траекторию необходимо
иметь возможность изменять равнодей-
ствующую сил, приложенных к ракете.
Основными силами, действующей
на ракету при полете на активном уча-
стке траектории, являются сила веса G,
аэродинамическая сила R и сила тяги Р
(см. рис. 1.25, а). Равнодействующую при-
ложенных к ракете сил удобно изменять,
варьируя величину и направление вектора
тяги Р. Для этой цели современные бал-
листические ракеты снабжаются специаль-
ными регулирующими (управляющими) ор-
ганами. Вектор тяги приближенно можно
считать направленным по продольной оси
ракеты oxi (см. рис. 1.25, а). В связи с
этим изменение направления тяги двига-
теля возможно лишь за счет поворота
корпуса ракеты относительно связанной
оси oyi или ozi. Этот поворот может быть
осуществлен за счет создания моментов
относительно указанных осей. Такие мо-
менты, называемые управляющими, и соз-
даются при помощи регулирующих орга-
нов ракеты, в качестве которых могут
быть использованы аэродинамические или
газовые рули и поворотные камеры сгора-
ния основных или специальных рулевых
двигателей ракеты. Для создания момен-
тов относительно осей связанной систе-
мы координат чаще всего предусматри-
вают четыре газовых руля или четыре по-
воротные камеры сгорания. В качестве
примера на рис. 1.27 условно изображены
четыре камеры сгорания, размещенные в
торце ракеты. Камеры 1 и 3 расположены
в плоскости oxiyi и могут поворачиваться
относительно оси, параллельной оси оу±.
Камеры 2 и 4 расположены в плоскости
0X121 и могут поворачиваться относительно
оси, параллельной оси ozi. При одновре-
менном отклонении камер сгорания 1 и 3
на один и тот же угол создается момент
относительно связанной оси oyi, Точ-
но так же при одновременном отклонении
камер сгорания 2 и 4 на угол да создает-
ся момент относительно связанной
сси ozi. При отклонении камер сгорания
и 3 или 2 и 4 на одинаковые углы
в противоположные стороны возникает мо-
мент Мхх относительно продольной оси ра-
кеты. Так как камеры сгорания располо-
жены на сравнительно небольшом расстоя-
нии от продольной оси ракеты, то, для
’того чтобы увеличить момент однов-
Рис. 1.26. Взаимная угловая
ориентация различных систем
координат:
а — связанной и стартовой; б — путе-
вой и стартовой; в — связанной и пу-
тевой
Рис. 1.27. Управляющие ор-
ганы ракеты
49
ременно отклоняют все четыре камеры сгорания на один и тот же угол таким
образом, что в каждой паре (/, 3 и 2, 4) управляющие органы отклоняются
в противоположные стороны.
Управляющие моменты зависят от величины тяги поворотных камер, рас-
стояния между камерами и центром масс (для Myt и Mzt) или продольной осью
ракеты (для /Их,) и угла отклонения камер сгорания (от их положения,
показанного на рис. 1.27, при котором управляющие моменты равны нулю).
Если углы отклонения поворотных камер невелики (что обычно имеет место),
то приближенно можно считать, что управляющие моменты пропорциональны
углам отклонения управляющих органов:
Мх, =<Л<	(1-25)
Му> =<8Ф;	U-26)
^г,=<8».	С-27)
изображение баллисти-
ческой ракеты как объ-
екта регулирования
Здесь коэффициенты пропорциональности	вследствие из-
менения тяги двигателей с высотой и изменения положения центра масс ра-
кеты из-за выгорания топлива представляют собой функции времени.
Управляющие органы типа поворотных камер
сгорания позволяют менять направление вектора
тяги двигательной установки ракеты. В ракетах с
жидкостными реактивными двигателями можно ме-
нять и величину тяги, управляя работой турбона-
сосного агрегата (ТНА), подающего компоненты
топлива (горючее и окислитель) в камеры сгорания.
В большинстве случаев управление работой турбо-
насосного агрегата производится при помощи по-
ворота некоторого валика. Угол поворота этого
валика, отсчитываемый от его значения в номи-
нальном режиме работы (в котором величина тяги
равна программному значению) будем обозначать
через бс.
В общем случае можно считать, что баллисти-
ческая ракета БР имеет пять управляющих орга-
нов (/, 2, 3, 4 и ТНА), что условно и изображено
на рис. 1.28, где через 6i, б2, бз и 64 обозначены уг-
лы отклонения соответствующих поворотных камер
или газовых рулей (при создании момента МУ1
выполняется равенство 61= 63= бф ; при создании
момента Мгх— б2= 64= б& и т. д.).
Регулируемыми величинами у баллистической ракеты являются три угло-
вые координаты (&, ф,ср) и три координаты (хс, ус, zc), характеризующие поло-
жение центра масс. Это говорит о том, что она представляет собой частный слу-
чай! многомерного объекта регулирования. Собственное движение большинства
баллистических ракет является неустойчивым, поэтому полет ракеты по прог-
раммной траектории возможен только при помощи автоматического регулиро-
вания величин &, ф, <р, хс, ус, гс.
Приближенно можно считать, что траектория ракеты на пассивном участке
определяется параметрами ее движения в конце активного участка траектории.
Это позволяет автоматически управлять полетом ракеты только на активном
участке и считать целью управления достижение заданных значений парамет-
ров движения ракеты в момент t = tK выключения двигательной установки.
При таком подходе величину tK также можно отнести к числу регулируемых
величин (см. рис. 1.28).
Регулятор, автоматически обеспечивающий движение ракеты по программ-
ной траектории на активном участке полета, называется системой управления
баллистической ракеты. Она представляет собой сложный комплекс приборов
и устройств, автоматически управляющих движением ракеты и работой двига-
50
ельной установки. Совместно с ракетой и двигателем система управления
образует весьма сложную динамическую систему, движение которой опреде-
ляется большим количеством одновременно протекающих и самых различных
по своей физической природе процессов.
В ракетах большой дальности чаще всего используются так называемые
автономные системы управления, в которых вся информация, необходимая для
управления движением ракеты, вырабатывается бортовыми приборами. Обычно
а)
6}
Рис. 1.29. Функциональные схемы систем ре-
гулирования угла тангажа (а), рыскания (б) и
вращения (в) баллистической ракеты
автономная система управления полетом баллистических ракет состоит из не-
скольких автоматических регуляторов, каждый из которых решает некоторые
частные задачи управления. Основными из них являются регулятор углового
Движения ракеты (сокращенно — автомат угловой стабилизации), регулятор
Движения центра масс (или автомат стабилизации движения центра масс) и
51
регулятор момента выключения двигательной установки (или автомат управ-
ления дальностью полета).
Автомат управления дальностью предназначен для выключения двига-
тельной установки ракеты в момент времени t = /к, соответствующий требуемой
дальности полета. Он представляет собой систему, работающую по разомкну-
тому циклу и выдающую разовую команду на выключение двигателя.
Автоматы стабилизации углового движения и движения центра масс из-за
большого числа возмущений, действующих на ракету, строятся на базе принци-
па регулирования по отклонению. Применяемый в ракетной технике термин
«автомат стабилизации» не совсем удачен, так как на самом деле речь идет не
о стабилизации, а о программном регулировании параметров движения ракеты.
Плоскость
Рис. 1.30. Упрощенная схема
гирогоризонта баллистической
ракеты
Рис. 1.31. Упрощенная схема
гировертиканта баллистической
ракеты
Автомат угловой стабилизации совместно с ракетой образует замкнутую
многомерную систему регулирования, предназначенную для изменения угло-
вых координат ракеты по программному закону: ft = ftn(Z), Ф = 0, ср = 0. Он
состоит из трех одномерных регуляторов, каждый из которых обеспечивает
программное изменение одной угловой координаты. Эти регуляторы представ-
ляют собой отдельные каналы автомата угловой стабилизации и называются
каналами тангажа, рыскания и вращения.
Функциональные схемы систем регулирования угловых координат ракеты
показаны на рис. 1.29 и представляют собой частный случай общей функцио-
нальной схемы системы регулирования, работающей по отклонению (см.
рис. 1.7). В качестве чувствительных элементов используются гироскопические
измерители углов Иь ,	, И<? . Обычно для этой цели применяются два трехсте-
пенных гироскопа, определенным образом устанавливаемые на ракете БР и
называемые гирогоризонтом и гировертикантом. Ориентация этих приборов
относительно связанных осей ракеты в момент старта показана на рис. 1.30 и
1.31 [73].
Гирогоризонт (рис. 1.30) устанавливается на ракете таким образом, чтобы
при старте ракеты вектор кинетического момента гироскопа Г был параллелен
52
плоскости стрельбы, плоскость наружной рамки гироскопа перпендикулярна
плоскости стрельбы, а оси внутренней и наружной рамок параллельны осям
осУс и °czc стартовой системы координат. С гироскопом связывается потенцио-
метрический датчик угла ДУ, движок которого жестко закреплен на оси наруж-
ной рамки гироскопа, а основание размещено на подвижном диске, который по-
ворачивается от кулачка К, приводимого во вращение двигателем Д со стаби-
лизированной скоростью вращения. Профиль кулачка выбирается таким, чтобы
угол поворота основания датчика угла в определенном масштабе воспроизводил
требуемый закон изменения угла тангажа во времени &п(/). Двигатель Д и
кулачок К образуют программный механизм тангажа (ПМ на рис. 1.29, а).
После старта вектор кинетического момента и плоскость наружной рамки
сохраняют неизменными свое положение в пространстве, вследствие чего при
колебаниях ракеты относительно связанной оси oz± основание датчика угла пе-
ремещается относительно движка. В результате с датчика угла снимается напря-
жение пропорциональное отклонению АО- угла тангажа & от программного
значения $п-
Аналогично работает и гировертикант (см. ряс. 1.31). В отличие от гиро-
горизонта он имеет два датчика угла, с одного из которых снимается напряже-
ние иу, пропорциональное углу рыскания, а с другого — напряжение
пропорциональное углу вращения ракеты. Движок первого датчика жестко
связан с осью наружной рамки гироскопа, а основание — с корпусом ракеты.
У потенциометрического датчика угла вращения движок закреплен на оси внут-
ренней рамки (ею является кожух гиромотора), а основание жестко связано с
наружной рамкой гироскопа.
Сигналы с датчиков углов поступают на усилители-преобразователи УП
(см. рис. 1.29), в которых усиливаются по мощности и преобразуются. С выхода
усилителей-преобразователей управляющие сигналы Оф, о<р (обычно ими яв-
ляются электрические напряжения или токи) подаются на рулевые приводы
РП, поворачивающие управляющие органы ракеты таким образом, чтобы соз-
даваемый ими момент стремился ликвидировать возникшие по тем или иным
причинам отклонения угловых координат ракеты от программных значений.
Поворот управляющих органов ракеты требует значительных усилий, по-
этому для их привода широко применяются электрогидравлические устройства.
Чтобы обеспечить пропорциональность угла отклонения управляющих органов
входному сигналу (Гф или о<р, рулевые приводы, как правило, выполняются
в виде замкнутых систем, содержащих сравнивающий элемент СЭ, усилитель
мощности УМ, двигатель того или иного типа (обычно называемый рулевой ма-
шинкой РМ) и датчик обратной связи ДОС (рис. 1.32, а). Замкнутый рулевой
привод представляет собой разновидность следящей системы, осуществляющей
слежение угла отклонения управляющих органов б за входным сигналом о.
В качестве примера на рис. 1.32,6 показана одна из возможных схем электро-
гидравлического рулевого привода. Привод состоит из усилителя мощности
УМ, электромагнитного преобразователя ЭМП, силового гидроцилиндра 5,
поступательное перемещение поршня которого преобразуется в угол поворота
вала 6, связанного с управляющими органами ракеты, и потенциометра обратной
связи П, выходное напряжение которого мо.с, пропорциональное углу д откло-
нения управляющих органов, вычитается из напряжения иа, поступающего на
вход привода с усилителя-преобразователя автомата угловой стабилизации.
Рабочая жидкость подается в гидроцилиндр шестеренчатым насосом 4 по двум
трубопроводам, в каждом из которых предусмотрен канал для слива рабочей
жидкости, перекрываемый заслонкой 3.
Электромагнитный преобразователь состоит из ярма, на котором разме-
щены две включенные последовательно поляризующие обмотки, подключенные
к источнику постоянного напряжения, и якоря 1, несущего на себе обмотку
управления, на которую подается выходной сигнал усилителя мощности.
С якорем жестко связано подвешенное на пружинах коромысло 2, соединенное
с дросселирующими заслонками 3,	*
Схема работает следующим образом. При ио.с^иа на выходе усилителя мощ-
ности появляется ток ia =/= 0, направление которого зависит от знака ошибки
«а — ио.с. Создаваемое этим током в обмотке управления магнитное поле взаи-
модействует с полем поляризующих обмоток, что вызывает поворот якоря 1 и
53
связанного с ним коромысла 2 относительно оси, перпендикулярной плоскости
чертежа, на угол, величина которого пропорциональна (в определенных пре-
делах) величине тока fa, а знак зависит от направления этого тока. При повороте
коромысла одна из дросселирующих заслонок 3 опускается, а вторая — под-
нимается. Это приводит к тому, что в одном из питающих трубопроводов дав-
Рис. 1.32. Функциональная схема ру-
левого привода (а) и упрощенная схе-
ма рулевого привода электрогидрав-
лического типа (б)
ление возрастает, а в другом —
уменьшается. В результате поршень
гидроцилиндра приходит в движение
и поворачивает вал 6, а с ним и уп-
равляющие органы ракеты. С валом
6 связан движок потенциометра об
ратной связи П. Поэтому поворот
управляющих органов ракеты будет
продолжаться до тех пор, пока на-
пряжение wo.< не уравновесит вход-
ное напряжение из (при wo.c= из
ток fa — 0 и подвижные части при-
вода занимают изображенное на ри-
сунке положение, в котором заслон-
ки 3 одинаково перекрывают слив-
ные отверстия, и поршень гидроци-
линдра неподвижен). Так как
3 Wo.с = бо.сб (&о.с — коэффициент
пропорциональности), то из равен-
ства Wo.с— из следует, что в рас-
смотренной схеме угол поворота
управляющих органов пропорцио-
нален входному сигналу w0.
Автомат угловой стабилизации
даже при идеально точной его ра-
боте не может обеспечить полет ра-
кеты по программной траектории
при наличии возмущений, так как
его чувствительные элементы не ре-
агируют на перемещение центра
масс ракеты. Поэтому при повы-
шенных требованиях, предъявляе-
мых к точности стрельбы, в состав
системы управления вводится, кро-
ме автомата угловой стабилизации,
автомат стабилизации движения
центра масс.
Автомат стабилизации движе-
ния центра масс совместно с ракетой
образует замкнутую многомерную
систему регулирования, предназна-
ченную для изменения координат
центра масс ракеты по програм-
мному закону: хс = xc.n(f)» Ус =
= ^c.n(f), гс= zc.n(t) = 0, так как
программная траектория лежит в
плоскости стрельбы. Для опреде-
ления координат центра масс в ав-
тономных системах используется
инерциальный принцип, основанный
на измерении составляющих полного
ускорения ракеты по осям стартовой системы координат при помощи аксе-
лерометров с последующим двукратным интегрированием их выходных сигна-
лов (рис. 1.33). Интегрирование показаний акселерометров А может быть осу-
ществлено при помощи пассивных электрических цепей, операционных усили-
телей постоянного тока, интегрирующих приводов и др. В большинстве
54
случаев интегратор ускорения, ИУ конструктивно и схемно объединяется с
акселерометром в одном устройстве, называемом интегрирующим акселеро-
метром ИА, а интегратор скорости ИС чаще всего выполняется в виде само-
стоятельного устройства.
В общем случае для стабилизации движения центра масс ракеты необхо-
димы три акселерометра, оси чувствительности которых стабилизируются в
требуемом направлении при помощи гироскопических устройств. Требования
к точности работы акселерометров предъявляются очень высокие (предельная
относительная погрешность порядка 0,01 4- 0,001%). Поэтому обычно оси чув-
ствительности акселерометров стабилизируют не по стартовым, а по програм-
мным осям ракеты. Объясняется это тем, что направление программной оси
опхп близко к направлению век-
тора полного ускорения движе-
ния центра масс, вследствие чего
проекции полного ускорения на
программные оси опуп и опгп
оказываются сравнительно не-
Рис. 1.33. Функциональная схема изме-
рения одной из координат движения
центра масс ракеты
большими по величине и могут
быть измерены достаточно точно
при помощи простых по конст-
рукции и весьма компактных
маятниковых акселерометров.
Что же касается проекции пол-
ного ускорения ракеты на программную ось onxn (или направление, близкое к
ней), то она измеряется гироскопическими устройствами типа тяжелого гиро-
скопа, обладающими высокой точностью при больших пределах измерения.
Любые акселерометры используют в качестве чувствительного элемента
некоторую массу, которая перемещается относительно основания при движении
последнего с ускорением. Силы тяготения приложены как к массе, так и к ос-
нованию акселерометра и не могут вызвать их относительного перемещения
при движении в поле тяготения. Поэтому при помощи акселерометров может
быть измерено не истинное, а только так называемое кажущееся ускорение
центра масс ракеты, обусловленное силами негравитационного характера. Од-
но- двукратное интегрирование кажущегося ускорения дает кажущиеся скорость
и координату. Использование кажущихся ускорений, скоростей и координат
вместо истинных приводит к появлению методической ошибки, имеющей срав-
нительно небольшую величину. Существование этой ошибки оправдывается зна-
чительным упрощением системы управления, которое дает применение кажущих-
ся параметров движения вместо истинных.
Обозначим через х, у, г отклонения центра масс ракеты о от программного
положения оп вдоль осей программной системы координат. Тогда задача авто-
мата стабилизации движения центра масс будет заключаться в выполнении ра-
венств х = 0, г/ = 0, г = 0 с требуемой степенью точности. Любое из отклоне-
ний х, у, z можно ликвидировать за счет составляющей силы тяги, направленной
в сторону уменьшения отклонения (рис. 1.34). Так как вектор тяги жестко свя-
зан с корпусом ракеты, то создание такой составляющей возможно только по-
средством поворота ракеты относительно соответствующей связанной оси.
Отсюда следует, что работа автомата стабилизации движения центра масс за-
висит от работы автомата угловой стабилизации и оба эти автомата должны рас-
сматриваться совместно.
Для ракет с жидкостными реактивными двигателями автомат стабилизации
движения центра масс состоит из трех одномерных регуляторов, каждый из
которых обеспечивает программное изменение одной из координат центра масс
ракеты. Эти регуляторы называются каналами нормальной стабилизации,
боковой стабилизации и стабилизации скорости.
Канал нормальной стабилизации вместе с каналом тангажа автомата уг-
ловой стабилизации ликвидирует отклонения движения центра масс ракеты
от программного в направлении программной оси опг/п (которое достаточно близ-
ко к направлению нормали к программной траектории вследствие малости
программного угла атаки), т. е. с требуемой степенью точности обеспечивает
выполнение равенства у == 0. Чувствительным элементом канала нормальной
55
в)
Хс
стабилизации является интегрирующий акселерометр ИАу (рис. 1.35, я), ось
чувствительности которого ориентирована по оси опуп программной системы
координат и поворачивается вместе с ней (например, от программного механиз-
ма ПМ канала тангажа) в процессе движения ракеты по
программной траектории. Выходной сигнал акселеро-
метра о-, пропорциональный проекции кажущейся
скорости ракеты на его ось чувствительности, поступает
на вход интегратору .скорости ИС, в котором происхо-
дит интегрирование «сигнала <г и формирование управ-
ляющего сигнала оу для канала нормальной стабилиза-
ции (обычно сигнал оу зависит как от самого отклонения
у, так и от скорости его изменения у). Управляющий сиг-
нал Оу подается на рулевые приводы, отклоняющие управ-
ляющие органы 2 и 4 ракеты таким образом, чтобы лик-
видировать отклонение у.
Канал нормальной стабилизации и канал тангажа
в совокупности образуют систему управления нормаль-
ным движением ракеты, под которым понимается дви-
жение ракеты в плоскости, параллельной плоскости
стрельбы.
Канал боковой стабилизации вместе с каналом ры-
скания автомата угловой стабилизации ликвидирует от-
клонения центра масс ракеты от плоскости стрельбы,
т. е. с требуемой степенью точности обеспечивает выпол-
нение равенства z — 0. Его функциональная схема (рис.
Рис. 1.34. Ликви-
дация отклонения
центра масс раке-
ты от программно-
го положения:
а ракета отклони-
лась от программно-
го положения в на-
правлении оси оп zn.
б — за счет отклоне-
ния управляющих
органов 2—4 возник
управляющий момент
МУх; в —- под дейст-
вием момента /ИУ1
ракета повернулась
вокруг связанной оси
оу\, вследствие чего
возникла составляю-
щая Pz силы тяги,
вызывающая движе-
ние центра масс ра-
кеты к программной
траектории
• Рис. 1.35. Упрощенные функциональные схемы
систем управления нормальным (а) и боковым (6}
движениями баллистической ракеты
56
1 35, б) отличаается от схемы канала нормальной стабилизации лишь тем, что
ось чувствительности акселерометра ИАг стабилизируется по направлению
программной оси OnZn.
г Канал боковой стабилизации и канал рыскания в совокупности образуют
систему управления боковым движением ракеты, под которым понимается
движение ракеты в плоскости, параллельной плоскости опл-пгп.
Смысл разделения полного движения ракеты на нормальное и боковое сос-
тоит в том, что при достаточно качественной стабилизации ракеты по углу вра-
щения нормальное и боковое движения могут рассматриваться независимо друг
от друга.
Теоретические исследования и экспериментальные пуски баллистических
ракет показывают, что отклонение х в конце активного участка полета мало вли-
яет на точность стрельбы по сравнению с отклонением величины скорости ра-
кеты V от ее программного значения Уп. Поэтому для баллистических ракет а
жидкостными реактивными
двигателями вместо програм-
много регулирования коорди-
наты хс центра масс обычно
предусматривают программное
регулирование кажущейся
скорости ракеты. Эту задачу
решает регулятор кажущейся
скорости, представляющий
собой третий канал автомата
стабилизации движения цент-
Рис. 1.36. Функциональная схема регуля-
тора кажущейся скорости ракеты
ра масс. Чувствительным
элементом регулятора явля-
ется измеритель кажущейся
скорости ИКС в виде тяжелого
гироскопа (рис. 1.36). Ось чувствительности измерителя обычно стабилизирует-
ся в плоскости стрельбы по некоторому направлению 6, близкому к направ-
лению вектора программной скорости ракеты БР в конце активного участка
полета. В результате с потенциометрического (или иного) датчика угла изме-
рителя скорости снимается напряжение пропорциональное отклонению
проекции Ув кажущейся скорости на ось чувствительности тяжелого гиро-
скопа от ее программного значения УВп, задаваемого программным механи-
змом ПМ посредством разворота основания потенциометра. После преобразо-
вания и усиления в усилителе-преобразователе УП это напряжение поступа-
ет на привод регулятора скорости ПРС, изменяющий режим работы турбона-
сосного агрегата (а вместе с ним и двигателя ракеты) таким образом, чтобы
обеспечить с требуемой точностью выполнение равенства Ув = УВп. Если двига-
тельная установка ракеты состоит из нескольких жидкостно-реактивных
двигателей ЖРД, то каждый из них снабжается регулятором скорости опи-
санного типа.
Ранее рассмотрены основные регуляторы, входящие в состав системы уп-
равления полетом баллистической ракеты. Кроме них, в состав бортовой аппара-
туры ракеты входит большое число разнообразных автоматических устройств
и систем, выполняющих функции, не связанные непосредственно с задачей уп-
равления движением (устройства энергоснабжения, коммутационная аппара-
тура и др.).
Приведенный пример показывает, что многомерные системы ре-
гулирования существенно сложнее одномерных систем. Однако во
многих практически важных случаях исследования многомерных
систем удается свести к изолированному рассмотрению одномерных
систем, входящих в их состав. Поэтому первые главы книги посвяще-
ны рассмотрению более простого для понимания одномерного случая.
По своей структуре все многомерные системы являются много-
контурными.
57
§ 1.12. НЕПРЕРЫВНЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
Рис. 1.37. Услов-
ное изображение
модулятора
Понятие о квантовании сигналов. Работа любой системы регу-
лирования сопровождается передачей сигналов от одного элемента
системы к другому и преобразованием этих сигналов элементами
САР.
Передача сигналов осуществляется при помощи модуляции, под
которой понимают изменение какого-либо параметра переносчика
сообщений по закону передаваемого сигнала. Ус-
тройство, осуществляющее модуляцию, называет-
ся модулятором. Обычно (рис. 1.37) модулятор
М имеет два входа, на один из которых подается
подлежащий модуляции сигнал хь а на другой—
так называемый «опорный», или «несущий», сиг-
нал хн, играющий роль переносчика информации,
содержащейся в сигнале хР Выходной сигнал мо-
дулятора (результат модуляции)
х2 = к2(хг *н)	(1.28)
представляет собой функцию входных сигналов, вид которой за-
висит от типа модулятора.
В зависимости от характера несущего сигнала хн и функции
(1.28) различают непрерывную и дискретную модуляции. Модуляция
называется непрерывной, когда несущий сигнал хн(0 непрерывен
во времени и функция (1.28) непрерывна по обоим своим аргументам.
Дискретная модуляция имеет место в том случае, когда сигнал хн(/)
представляет собой дискретную функцию времени и (или) функция
(1.28) дискретна по аргументу хг.
Системы с непрерывной модуляцией называются непрерывными
системами регулирования. Они состоят из непрерывных элементов,
в которых при непрерывном изменении входного сигнала непрерывно
изменяется выходной сигнал. Примерами таких систем могут служить
системы, показанные на рис. 1.8 4- 1.10, 1.12, 1.22 и 1.23.
В непрерывных системах в качестве несущего сигнала использует-
ся либо постоянный, либо гармонически изменяющийся сигнал хн(/).
Применительно к САР с электрическим сигналом эти два варианта
соответствуют так называемым системам постоянного и переменного
тока. В системах переменного тока
хн (/) = A sin (о/ + ср).	(1.29)
где А — амплитуда; со — круговая частота; <р — начальная фаза
опорного сигнала.
Любой из трех параметров (А, со, ср) может быть использован для
передачи информации о входном сигнале модулятора хР В том случае,
когда амплитуда колебаний А = A(xJ является функцией входного
сигнала, имеет место так называемая амплитудная модуляция. При
со = 0)(Xi) и ф — ф(хО говорят соответственно о частотной и фазовой
модуляции.
58
В практике регулирования из систем переменного тока наиболь-
шее распространение получили системы с амплитудной модуляцией,
которые часто называют системами, работающими на несущей час-
тоте. В таких системах зависимость (1.28) имеет простейший вид
х2(0 = (0 *н(0 == xi A sin W 4" ?)•	(1.30)
Выходной сигнал модулятора представляет собой гармонические
колебания частоты со, амплитуда которых пропорциональна вход-
ному сигналу а фаза изменяется на 180° при изменении знака вход-
ного сигнала (рис. 1.38). Примерами модуляторов такого типа могут
служить потенциометрические датчики,
обмотка которых питается переменным
синусоидальным напряжением; сельсинные
датчики угла рассогласования; магнитные
усилители с выходом на переменном токе
и др. Примерами систем, работающих на
несущей частоте, являются следящая си-
стема, приведенная на рис. 1.17, а (если
в ней используется датчик рассогласова-
ния с выходом на переменном токе), и ин-
тегрирующий привод, схема которого
изображена на рис. 1.18 [если напряже-
ние и3 представляет собой амплитудно-
модулированный сигнал (1.30) и в схеме
используются усилитель, двигатель и та-
хогенератор переменного тока].
Преимуществом систем переменного
тока с амплитудной модуляцией по срав-
нению с системами постоянного тока явля-
ется значительно большая стабильность их
работы, обусловленная отсутствием дрей-
фа нуля у усилителей переменных токов
и напряжений. Кроме того, в маломощ-
Рис. 1.38. Входной (а)
и выходной (б) сигналы
амплитудного модуля-
тора непрерывного дей-
ствия
них системах переменного тока возможно применение хорошо за-
рекомендовавших себя двухфазных асинхронных двигателей с по-
лым ротором, имеющих малый вес и габариты и высокую надежность.
Точность непрерывного способа передачи и преобразования сиг-
налов зависит от точности работы элементов непрерывного действия,
входящих в состав САР, и в лучших случаях характеризуется вели-
чиной предельной относительной погрешности 0,1 ч- 0,5%. Кроме
того, наличие неизбежных помех, роль которых возрастает с увели-
чением расстояния передачи, может внести существенные искажения
в передаваемый сигнал. По этим причинам точность и помехозащи-
щенность непрерывных САР сравнительно невысоки.
Системы с дискретной модуляцией называются дискретными си-
стемами регулирования. Они содержат хотя бы один дискретный эле-
мент ДЭ, выходная величина которого изменяется дискретно при не-
прерывном изменении входного сигнала. Таким элементом является
59
дискретный модулятор, преобразующий непрерывную входную ве-
личину Xi в дискретную х2 (рис. 1.39).
Процесс преобразования непрерывной величины в дискретную
называется квантованием (дроблением). Существует три основных
вида квантования: по уровню, по времени, по уровню и по времени.
Квантование по уровню соответствует фиксации
дискретных уровней сигнала в произвольные мо-
менты времени (рис. 1.40, а). Квантование по
времени соответствует фиксации дискретных мо-

х2
Рис. 1.39. Услов-
ное изображение
дискретного эле-
мента
Рис. 1.40. Кван-
тование непрерыв-
ного сигнала по
уровню (а), по
времени (б), по
уровню и по вре-
мени (в)
на х2 такого
х2(0 =
ментов времени, в которые уровни сигнала могут
принимать произвольные значения (рис. 1.40, б).
При квантовании по уровню и по времени не-
прерывный сигнал заменяется дискретными уров-
нями, ближайшими к значениям непрерывного
сигнала в дискретные моменты времени (рис.
1.40, в).
В результате квантования по уровню непре-
рывная функция времени xt(0 заменяется сту-
пенчатой функцией. Квантование по времени при-
водит к замене входного сигнала xf(/) так называ-
емой решетчатой функцией
ТО если	л = 0 1,2,...;
0, если t =# /гТ0,
(1.31)
где TQ—шаг квантования по времени или пе-
риод дискретности.
При этом существенно, что ординаты решетча-
той функции (1.31) точно равны входному сигна-
лу в дискретные моменты времени t — nTQ. При
квантовании по уровню и по времени входной
сигнал Xi(t) также заменяется решетчатой фун-
кцией, только в отличие от предыдущего случая
ординаты этой функции представляют собой
значения Xi(nT0), округленные до ближайшего
целого числа шагов квантования по уровню 6.
В зависимости от характера квантования
входного сигнала все дискретные элементы могут
быть разбиты на релейные, импульсные и релейно-
импульсные, или цифровые.
Релейным элементом РЭ называется устрой-
ство, осуществляющее квантование входного сиг-
нала по уровню (рис. 1.41, а). Выходная величи-
элемента может принимать лишь фиксирован-
ные значения, равные целому числу шагов квантования по уровню б
(рис. 1.41, б). Примерами релейных элементов могут служить всякого
рода реле (механические, электрические, гидравлические, пневмати-
ческие и др.), в которых выходная величина изменяется скачком при
60
достижении входным сигналом определенных значений. Так, в обыч-
ном электромагнитном реле Р (рис. 1.41, в) при любом законе изме-
нения входного тока ток на выходе i2 может иметь лишь два значе-
ния: 0 и 6 = u/R (рис. 1.41, г).


Рис. 1.41. Релейные элементы систем регулирова-
ния:
а — условное изображение; б — статическая характеристика
релейного элемента общего вида; в — электромагнитное
реле; г — зависимость выходного сигнала электромагнитного
реле от входного в установившемся режиме
Импульсным элементом ИЭ называется устройство, осуществ-
ляющее квантование входного сигнала по времени (рис. 1.42, а).
Выходная величина импульсного элемента представляет собой после-
довательность импульсов, модулированных входным сигналом. В
зависимости от входного сигнала может изменяться любой из пара-
метров немодулированной импульсной последовательности хи: ам-
плитуда А, период повторения TQ (или частота повторения 2л/То),
длительность импульса уТ0 (0 < 7	1 —скважность, равная отно-
шению длительности импульса к периоду повторения) и др.
(рис. 1.42, б). Соответственно различают амплитудно-импульсную
модуляцию (АИМ), когда А = A(%i), широтно-импульсную модуля-
цию (ШИМ), когда у = у(х^ при TQ-= const, частотно-импульсную
модуляцию (ЧИМ), когда <о0= со0(Х1) и т. д.
Рассмотрим только АИМ, при которой амплитуда импульсов на
выходе импульсного элемента является функцией входного сигнала.
Чаще всего А = kuxb где ku— коэффициент пропорциональности.
При ku= 1 амплитуда выходных импульсов равна значениям вход-
ного сигнала в дискретные моменты времени t = пТ0 (рис. 1.42, в).
Простейшим примером импульсного элемента с АИМ является пе-
риодически замыкаемый и размыкаемый контакт электрической цепи.
Им может быть контакт электромагнитного реле Р, обмотка которого
питается периодически изменяющимся напряжением ап (рис. 1.42, г).
В таком импульсном элементе в период замыкания контакта выходная
величина а2 изменяется по закону входной величины (рис. 1.42, д).
61
В этом случае говорят об амплитудно-импульсной модуляции первого
рода (АИМ-1).
Импульсный элемент, показанный на рис. 1.42, е, состоит из по-
тенциометра 1 с движком 2 и падающей дужки 4, подвешенной на
пружине <3. Дужка совершает возвратно-поступательное движение
Q) --------
—*- из —•-
—-    3^2
5)
Рис. 1.42. Импульсные элементы систем регулирования:
а —• условное изображение; б — немодулированная последова-
тельность импульсов, в — выходной сигнал импульсного элемен-
та при амплитудно-импульсной модуляции и 1; г —простей-
ший импульсный элемент; д — входной и выходной сигналы
простейшего импульсного элемента; е — импульсный элемент о
падающей дужкой; ж — входной и выходной сигналы импульс-
ного элемента с падающей дужкой
под действием толкателя 5 и эксцентрика 6 (вращающегося с пос-
тоянной скоростью Q) и периодически прижимает движок 2 к обмотке
потенциометра 1. В результате выходное напряжение схемы и2 пред-
ставляет собой последовательность прямоугольных импульсов
62
постоянной длительности, следующих с периодом То — 2n/Q
(рис. 1-42, ж). Амплитуда каждого импульса (в отличие от предыду-
щего случая) постоянна и пропорциональна (на рис. 1.42, ж — рав-
на) отклонению s движка 2 от средней точки обмотки. Амплитудно-
импульсная модуляция такого вида называется модуляцией второго
рода (АИМ-2).
Импульсный элемент, показанный на рис. 1.42, е, часто исполь-
зуется в промышленных системах регулирования. При этом движок
2 потенциометра связывается обычно с измерителем регулируемого
параметра или сигнала ошибки (например, со стрелкой гальваномет-
ра). Применение потенциометра с падающей дужкой позволяет рез-
ко увеличить точность измерения за счет ликвидации трения движка
об обмотку потенциометра.
Релейно-импульсным элементом РИЭ называется устройство, осу-
ществляющее квантование входного сигнала по уровню и по времени
(рис. 1.43, а). Его можно получить (рис. 1.43, б), соединив последо-
вательно импульсный (ИЭ) и релейный
(РЭ) элементы (например, подав выход-
ное напряжение и2 схемы, показанной
на рис. 1.42, е, на вход трехпозицион-
ного поляризованного реле). В боль-
шинстве случаев релейно-импульсные
элементы осуществляют импульсно-кодо-
вую модуляцию входного сигнала, при ко-
торой результат квантования входного сиг-
нала %! представляется в виде того или
иного кода (т. е. набора символов). Коди-
рование непрерывных сигналов позволяет
существенно повысить точность и помехо-
защищенность передачи ифнормации. Осо-
бенно большими возможностями в этом
направлении обладают так называемые цифровые коды [17], простей-
шим из которых является двоичный, или бинарный, код, использую-
щий для представления различных чисел лишь два символа — «О» и
«1». Двоичный код чрезвычайно широко используется в технике.
Это объясняется прежде всего тем, что для воспроизведения двои-
чных символов «О» и «1» требуются утройства с двумя различными
устойчивыми состояниями, которые весьма просто могут быть реа-
лизованы при помощи всякого рода реле, электронных спусковых
схем и др. Кроме того, значительным преимуществом двоичного ко-
да является чрезвычайная простота выполнения арифметических
действий над числами, заданными в двоичной системе счисле-
ния.
Устройства, преобразующие непрерывные величины в цифровой
код, в импульсной и цифровой технике называются преобразовате-
лями непрерывных (или аналоговых) величин в дискретные, или пре-
образователями «аналог — код». Примерами могут служить преоб-
разователи угла поворота вала в код и напряжения в код, описание
которых приводится в специальной литературе [16, 171.
а)
5)
х2
xf
Рис. 1.43. Релейно-
импульсные элементы
систем регулирования:
а — условное изображение;
б — эквивалентная схема
63
Релейные системы. Система автоматического регулирования,
содержащая хотя бы один релейный элемент, называется релейной
системой.
Пример 1.16. На рис. 1.44, а изображена схема релейной следящей
системы воспроизведения угла. В ней используется потенциометрический дат-
чик угла рассогласования, выходное напряжение и которого поступает на об-
мотку трехпозиционного поляризованного реле Р. Это реле своим контактом
управляет подачей напряжения на обмотки силовых реле Pi и Р2, через контак-
ты которых питается якорная обмотка исполнительного двигателя Д.
В изображенном на рисунке
состоянии системы &i= &2, м = О»
все реле обесточены и двигатель
неподвижен. При появлении угла
рассогласования &, большем по
модулю некоторой величины &н,
которой соответствует напряже-
ние и, равное напряжению сра-
батывания реле Р, поляризован-
ное реле срабатывает и перебра-
сывает свой контакт вверх или
вниз (в зависимости от знака угла
рассогласования), подавая напря-
жение на обмотку одного из сило-
вых реле. Срабатывание силового
реле приводит к подаче на якорь
двигателя напряжения такой по-
лярности, при которой двигатель
через редуктор поворачивает ис-
полнительную ось в сторону
уменьшения угла рассогласова-
ния &.
о)
+ 0
-0
а)
Рис. 1.44. Релейная следящая система
воспроизведения угла:
а — схема; б — идеализированная зависимость
скорости вращения исполнительной оси от угла
рассогласования
Релейным элементом здесь
является поляризованное реле
Р в сочетании с силовыми реле
Pi и Р2. Наличие этого элемента
приводит к тому, что идеализи-
рованная зависимость скорости
вращения исполнительной оси Q2
от угла рассогласования & в установившемся режиме приобретает вид кривой/,
показанной на рис. 1.44, б*. По этой причине в релейной системе все углы рас-
согласования |6 | > &н отрабатываются с одной и той же скоростью в отличие
от следящей системы без релейного элемента (см. рис. 1.17, а), в которой ско-
рость отработки пропорциональна величине угла рассогласования (кривая 2
на рис. 1.44, б). Объясняется это тем, что в релейной системе после срабатыва-
ния любого из силовых реле к якорю двигателя прикладывается все напря-
жение сети, вызывая его вращение с максимально возможной скоростью.
Пример 1.17. Рассмотрим систему угловой стабилизации космического
аппарата относительно одной оси [23, 40, 54].
Среди многочисленных проблем, возникших в связи с освоением космоса,
важное место занимает проблема управления движением космического аппара-
та, решение которой необходимо для успешного выполнения возлагаемых на
кссуический аппарат задач и возвращения его на Землю. Управление движением
космического аппарата (искусственного спутника Земли, автоматической меж-
планетной станции, обитаемого космического корабля и др.) включает в себя
управление движением его центра масс и движением вокруг центра масс.
Для постановки и проведения научных экспериментов в космосе требуется
вполне определенная ориентация одной или двух осей, жестко связанных с
космическим аппаратом, в инерциальном пространстве. Например, антенна
* Зависимость Q2(&) построена без учета гистерезиса реле.
64
Рис. 1.45. Система
координат, связан-
ная с космическим
аппаратом
связного приемопередатчика космического аппарата должна быть направ-
лена на командную радиостанцию; оптическая ось фотоаппарата — на фотогра-
фируемый объект; солнечные батареи — на Солнце и т. д. Для удовлетворения
этим требованиям необходимо, чтобы движение космического аппарата вокруг
его центра масс было управляемым. Система, автоматически решающая задачу
управления угловыми движениями космического аппарата, называется систе-
мой угловой ориентации и стабилизации.
Свяжем с космическим аппаратом систему координат oxiyizi, начало кото-
рой поместим в центре масс о космического аппарата, ось oxi направим по про-
дольной оси (для аппаратов несферической формы), а оси oyi и ozi разместим в
диаметральной плоскости (рис. 1.45). Тогда угловое положение космического
аппарата относительно некоторой базовой прямо-
угольной системы координат может быть охарактери-
зовано тремя углами Эйлера &, ф, <р, которые образуют
оси связанной системы координат с осями базовой
системы. Как и ранее (см. пример 1.15), эти углы бу-
дем называть углами тангажа, рыскания и вращения.
Задача системы управления угловыми движениями
космического аппарата заключается в изменении углов
ф, ф по требуемому закону.
Возмущающими воздействиями для космического
аппарата являются моменты, создаваемые гравита-
ционным, электрическим и магнитным полями, уда-
рами метеоритных частиц, световым давлением сол-
нечных лучей, а также моменты, возникающие при
перемещении подвижных частей аппаратуры и членов
экипажа внутри космического аппарата.
Для решения задач угловой ориентации и стабилизации космические аппа-
раты снабжаются управляющими органами, создающими управляющие момен-
ты относительно соответствующих осей аппарата. К ним относятся газовые реак-
тивные сопла, двигатели-маховики, моментные магнитоприводы и пр. Для кос-
мических аппаратов с небольшим сроком жизни (несколько суток) чаще всего
Рис. 1.46. Газовые реактивные сопла
для создания момента относительно свя-
занной оси oxi космического аппарата
используются управляющие орга-
ны в виде реактивных сопел,
питаемых сжатым газом из сфе-
рического резервуара, размещен-
ного на борту космического ап-
парата.
Обычно для создания уп-
равляющего момента относитель-
но какой-либо связанной оси
(например oxi) предусматривают
два газовых реактивных сопла
(ГРС-1 и Г PC-2), жестко связан-
ных с корпусом космического
аппарата и размещенных па его
периферии (рис. 1.46). Сжатый
газ подводится к соплам из бал-
лона 1 через редукционный кла-
пан 2 и электропневмоклапаны
ЭПК-1 и ЭПК-2. При подаче на-
пряжения на обмотку 3 электро-
пневмоклапана шток клапана
перемещается влево, преодолевая
действие пружины, и открывает
доступ газа в сопло. Знак возни-
кающего управляющего момента
зависит от того, на какой из
электропневмоклапанов подано
напряжение.
Функциональная схема сис-
3-493
65
темы угловой стабилизации космического аппарата относительно одной из
связанных осей (оси oxi) содержит чувствительный элемент И<? (измеритель уг-
ла), усилитель-преобразователь У/7, два электропневмоклапана ЭПК-1 и ЭПК-2
и космический аппарат КА в качестве объекта регулирования (рис. 1.47, а),
В том случае, когда угол ф не равен заданному значению ф3, на выходе чув-
ствительного элемента появляется напряжение и<р, знак которого зависит
от знака отклонения Аф = ф—- фэ. При решении задачи ориентации одной из
осей космического атьпарата на Солнце или другое светило в качестве чувстви-
тельных элементов систем угловой стабилизации часто используются опти-
ческие датчики угла, для которых зависимость выходного напряжения и? от
угла Аф имеет вид, показанный на рис. 1.47, б. Напряжение усиливается
Рис. 1.47. Система угловой стабилизации кос-
мического аппарата относительно одной оси:
а — функциональная схема; б — зависимость выходного
напряжения от угла рассогласования для оптического
измерителя угла; в —’идеализированная зависимость уп-
равляющего момента от угла рассогласования
и преобразуется в усилителе-преобразователе У/7, который в зависимости от
знака требуемого управляющего момента подает напряжение на один из
электропневмоклапанов. Электропневмоклапан включает соответствующее
сопло, что приводит к возникновению управляющего момента, стремящегося
уменьшить отклонение Аф (рис.1.47, в).
Рассмотренная система относится к числу релейных систем регулирования.
Релейными элементами здесь являются оптический датчик угла и электропневмо-
клапаны совместно с газовыми реактивными соплами. Для уменьшения веса и
габаритов усилитель-преобразователь в этой системе также выполняется на
базе релейных элементов.
Преимуществами релейных систем по сравнению с системами непрерывного
действия являются высокое быстродействие, компактность, малый вес и габа-
риты. Благодаря этим преимуществам релейные системы получили широкое
распространение в бортовой аппаратуре искусственных спутников Земли и
космических кораблей, для которых вопросы уменьшения веса и габаритов
имеют жизненно важное значение.
Импульсные системы. Система автоматического регулирования,
содержащая хотя бы один импульсный элемент, называется импуль-
сной системой.
66
Пример 1.18. На рис. 1.48 изображена схема импульсной системы ста-
билизации температуры в некотором объекте О, которым может быть жилое
омешение, приборный отсек летательного аппарата, герметизированная каби-
а самолета и др. Объект охлаждается (или нагревается) струей газа, интенсив-
ность поступления которого регулируется специальной заслонкой, приводимой
вращение двигателем Д через редуктор. Чувствительным элементом регу-
лятора является терморезистор Т, включенный в одно из плеч мостовой схемы.
Мост настраивается таким образом, что его выходное напряжение и пропорцио-
нально (в известных пределах) отклонению температуры 0 от требуемого зна-
чения О®. Это напряжение преобразуется в амплитудно-модулированную по-
следовательность импульсов при помощи гальванометра Г и потенциометра П
с падающей дужкой ПД и после усилителя У поступает на двигатель Д, кото-
рый через редуктор пово-
рачивает регулирующую
заслонку, уменьшая ошиб-
ку х = о°— 6.
Импульсным элементом
в системе является снаб-
женный падающей дужкой
потенциометр, движок ко-
торого жестко связан со
стрелкой гальванометра,
измеряющего сигнал ошиб-
ки. Смысл введения им-
пульсного элемента в дан-
ном случае состоит в увели-
чении точности измерения
сигнала ошибки путем лик-
видации сил трения между
движком потенциометра П
и его обмоткой.
Вследствие значитель-
ной инерционности тепло-
вых процессов при правиль-
ном выборе периода пов-
торения импульсов То (т. е.
скорости вращения Q эк-
сцентрика, см. рис. 1.42, е)
Рио. 1.48. Импульсная система стабилиза-
ции температуры
прерывистый характер напряжения на якоре дви
гателя не оказывает существенного влияния на поведение системы.
Импульсные системы регулирования широко применяются в ра-
диолокационных установках, предназначенных для обнаружения
различных объектов (кораблей, самолетов, ракет и др.) и определе-
ния их координат. Использование импульсного радиоизлучения
позволяет увеличить дальность обнаружения и резко сократить габа-
риты и вес радиолокационной аппаратуры, что особенно важно для
бортовых радиолокационных систем космических аппаратов, самоле-
тов и ракет.
Пример 1.19. Рассмотрим систему автоматического определения даль-
ности до обнаруженного объекта (цели), применяемую в радиолокационных
станциях импульсного типа< Такая система часто называется импульсным ра-
диодальномером.
Принцип радиолокационного измерения дальности основан на определении
промежутка времени т между посылкой зондирующего импульса передатчиком
станции и приходом эхо-импульса, отраженного от цели. Очевидно, что т =
== 2/?/с, где с — скорость распространения электромагнитного излучения,
R — дальность до цели. Отсюда следует, что определение дальности может быть
сведено к измерению промежутка времени т, на который отраженный от цели
3!
67
радиоимпульс запаздывает относительно импульса, излученного передатчиком.
Одним из основных элементов современных импульсных радиодальномеров
является так называемый блок регулируемого запаздывания БРЗ (рис. 1.49, а),
выходной сигнал которого rz2 запаздывает относительно входного сигнала
(рис. 1.49, б) на время т3, пропорциональное управляющему сигналу и: u2(t) —
= U1(t__т3), где т3 = к3и (к3 — коэффициент пропорциональности). В качестве
таких блоков чаще всего используются специальные электронные схемы (фан-
тастроны, санатроны и др.). В отдельных
нические системы, в которых управляющий
сигнал и подается на электрический при-
вод, поворачивающий валик фазовращате-
ля. Выходной сигнал фазовращателя по-
ступает на схему формирования импуль-
сов.
Если обеспечить (с той или иной сте-
пенью точности) выполнение равенства
т3 = т, то управляющий сигнал блока ре-
гулируемого запаздывания и = 2/?/(к3с) бу-
дет служить количественной характери-
стикой дальности до цели с коэффициен-
том пропорциональности 2/(к3с). Поэтому
импульсные радиодальномеры представля-
ют собой своеобразные следящие системы,
обеспечивающие слежение величины т3 за
величиной т. Чтобы определить сигнал
ошибки т—т3, в них применяются спе-
циальные схемы, называемые временными
различителями, или временными дискри-
минаторами. В общем случае (рис.
1.50, а) временной различитель содержит
две схемы совпадения — CCi и СС2, схему
формирования стробирующих импульсов
СФСИ и интегратор И. Схемы совпадения
представляют собой электронные устрой-
ства с двумя входами, сигнал на выхо-
случаях применяются электромеха-
5)
U2
0-
си2
0-1
t
Рис. 1.50. Функциональная
схема временного различителя
(а) и временные диаграммы,
характеризующие его работу
(б)

t
СЦ
де которых появляется только при нали-
Рис. 1.49. Блок регулируемого за-
паздывания (а) и временные диаг-
раммы, характеризующие его ра-
боту (б)
68
обоих входных сигналов. Схема формирования стробирующих импульсов
ппедназначена для создания двух вспомогательных импульсов СИг и СИ2 (рис.
1 50 б) одинаковой амплитуды и длительности, симметрично расположенных
относительно переднего фронта выходного импульса u2(t) блока регулируе-
мого запаздывания. В качестве интегратора выходных сигналов схем совпа-
дения в простейших случаях используется конденсатор, заряжаемый выходны
ми импульсами схемы совпадения CCi и разряжаемый выходными импульсами
схемы совпадения СС2.
При поступлении отраженного от цели эхо-импульса схемы совпадения
формируют импульсы, длительности которых равны промежуткам времени
одновременного существования эхо-импульса и каждого из стробов СИ\ и СИ2
(см. рис. 1.50, б). Амплитуды выходных импульсов схем совпадения одина-
ковы, поэтому разность площадей этих импульсов (выход интегратора) харак-
теризует ошибку т—т3.
Упрощенная функциональная схема радиолокационной системы измерения
дальности показана на рис. 1.51. Она содержит, кроме известных уже блока
регулируемого запаздывания
БРЗ и временного различи-
теля ВР, антенну с антенным
переключателем АП, передат-
чик ПР, приемник П, селек-
тор дальности СД и синхрони-
затор С.
Синхронизатор предназна-
чен для выработки управ-
ляющих импульсов ui с пери-
одом следования То. Эти им-
Рис. 1,51. Упрощенная функциональная
схема радиолокационной системы опреде-
ления дальности
пульсы запускают передатчик,
создающий зондирующие им-
пульсы с тем же периодом TQ,
и поступают на вход блока
регулируемого запаздывания.
Антенный переключатель служит для поочередного подключения антенны
радиолокатора то к передатчику (для излучения зондирующего импульса), то
к приемнику (для приема отраженного импульса). Селектор дальности пропус-
кает с выхода приемника только сигнал, отраженный от нужного объекта. Этот
эхо-импульс проходит на вход временного различителя, где сравнивается его
временное положение т (относительно излученного импульса) с временным поло-
жением стробирующих импульсов т3. При т#= т3 на вход блока регулируемого
запаздывания подается сигнал и, стремящийся ликвидировать ошибку т—т3<
Важной особенностью импульсной модуляции является возмож-
ность передачи нескольких сообщений по одному каналу связи. Эта
возможность реализуется за счет так называемого временного раз-
деления каналов, при котором промежутки времени между импуль-
сами, соответствующими одному сообщению, используются для
передачи других сообщений. Отмеченная особенность импульсной моду-
ляции позволяет применять один импульсный регулятор для управ-
ления работой нескольких однотипных объектов регулирования.
Такие системы регулирования условно называются многоканальны-
ми, или многоточечными, системами [30].
Релейно-импульсные системы. Системы автоматического регу-
лирования, содержащие хотя бы один релейно-импульсный элемент,
называются релейно-импульсными системами. Наиболее перспектив-
ными среди них являются цифровые САР, в которых выходная вели-
чина релейно-импульсного элемента представляется в виде двоичного
или иного кода. Цифровые системы обязательно содержат либо прос-
69
тейшие цифровые вычислительные устройства (ЦВУ), либо цифровые
вычислительные машины (ЦВМ). Использование в цифровых САР
средств цифровой вычислительной техники существенно повышает
точность и помехозащищенность обработки информации. В результате
во многих случаях цифровые системы имеют значительные преимуще-
ства перед другими типами систем.
Пример 1.20. На рис. 1.52 изображена функциональная схема цифровой
системы регулировайия скорости вращения электрического двигателя Д.
В этой системе для измерения скорости вращения Q используется импульсный
датчик скорости ИДС, выходной сигнал которого представляет собой последо-
&
Рис. 1.52. Функциональная схема цифровой системы ре-
гулирования скорости
вательность импульсов одинаковой амплитуды и длительности. Частота сле-
дования этих импульсов пропорциональна измеряемой скорости: —
— &iQ (&i— коэффициент пропорциональности). Обычно импульсный датчик
скорости состоит из частотного тахогенератора и формирующего устройства.
Частотный тахогенератор вырабатывает напряжение, частота которого пропор-
циональна скорости вращения его ротора Q, а формирующее устройство пре-
образует это напряжение в последовательность импульсов частоты f$. Простей-
шим частотным тахогенератором является обычный синхронный генератор.
Значительно чаще применяются индуктивные, трансформаторные и фотоэлек-
трические частотные тахогенераторы [9].
Импульсы с датчика скорости поступают на счетчик импульсов СИ, кото-
рый периодически подсчитывает число импульсов за фиксированный промежу-
ток времени То, определяемый задатчиком времени измерения ЗВИ. Последний,
как правило, состоит из кварцевого генератора импульсов стабильной частоты
и счетчика этих импульсов. Объем счетчика ЗВИ выбирается таким образом, что-
бы импульс переполнения на его выходе возникал спустя промежуток времени
Tq после начала счета. Этот импульс используется для возвращения в исходное
состояние счетчика СИ и преобразователя кода в напряжение ПКИ, после чего
процесс счета импульсов повторяется. В результате в каждом цикле работы на
выходе счетчика СИ образуется число
“а==/а ?о = kd --
пропорциональное скорости вращения двигателя и выраженное обычно в двоич-
ном коде (^= kiTo— коэффициент пропорциональности).
Требуемое значение скорости формируется в задающем элементе ЗЭ также
в виде двоичного числа и3. Числа uq и и3 сравниваются в цифровом сравниваю-
щем устройстве ЦСУ, на выходе которого образуется число и*= а3— uv,
характеризующее ошибку работы САР. Это число преобразуется в непрерывную
величину — напряжение и — и затем поступает на усилительно-преобразова-
тельное устройство У ПУ. В результате скорость двигателя Д изменяется таким
образом, чтобы свести ошибку и к минимуму.
70
Основным преимуществом цифровой системы регулирования скорости по
сравнению с аналогичной системой непрерывного действия (см. рис. 1.13) яв-
ляется значительно большая точность. Относительная погрешность стабили-
зации скорости при помощи непрерывных систем регулирования обычно сос-
тавляет несколько процентов и в лучшем случае может быть уменьшена до
Од 4-0,2%. В цифровых системах стабилизации скорости удается получить
относительную погрешность регулирования 0,01 4- 0,001 % [9, 30].
Резкое увеличение точности цифровых систем стабилизации скорости по
сравнению с непрерывными системами объясняется прежде всего более высокой
точностью импульсных датчиков скорости, выполненных на базе частотных та-
хогенераторов, по сравнению с обычными тахогенераторами постоянного и пе-
ременного тока. Существенный выигрыш в точности дает также цифровая фор-
ма задания требуемого значения скорости Q в виде числа и3 и вычисление сиг-
нала ошибки и* в цифровой форме.
Рис. 1.53. Упрощенная функциональная схема цифровой
следящей системы
Пример 1.21. При решении некоторых технических задач возникает
необходимость в передаче на расстояние угловых перемещений с весьма малой
статической погрешностью. *
Статическая точность следящих систем воспроизведения угла (см.
рис. 1.17, а) во многом зависит от типа применяемого датчика рассогласования.
Использование сельсинных датчиков угла рассогласования позволяет получить
погрешность передачи угла порядка ±204-30 угл. мин. Применение потенцио-
метрических датчиков с потенциометрами специального типа (пленочными, мно-
гооборотными и др.) дает возможность уменьшить погрешность до ±10 угл.мин.
В том случае, когда в качестве датчика угла рассогласования используются
прецизионные вращающиеся трансформаторы [6], статическая погрешность
следящей системы может быть уменьшена до ±34-5 угл. мин. Дальнейшее уве-
личение точности следящих систем непрерывного действия осложняется труд-
ностями технологического характера.
Одним из перспективных способов повышения точности передачи угла яв-
ляется применение цифровых следящих систем (ЦСС).
Упрощенная функциональная схема ЦСС изображена на рис. 1.53. Кроме
уже известных усилителя У, двигателя Д и редуктора Р она содержит преобра-
зователь угла в код УК, цифровое сравнивающее устройство ЦСУ и преобразо-
ватель кода в напряжение ПКН.
Входной сигнал ЦСС и± представляет собой двоично-кодированный сигнал,
характеризующий (с определенным коэффициентом пропорциональности) тре-
буемое значение угла поворота &2 выходной оси следящей системы. Он поступает
от цифровой вычислительной машины или какого-либо цифрового вычислитель-
ного устройства.
Действительное значение угла $2 измеряется при помощи преобразователя
УК, преобразующего угол поворота выходной оси в напряжение и2, представ-
ленное двоичным кодом. Обычно преобразователи угла в код работают по мето-
ду считывания и имеют кодовую шкалу, угол поворота которой пропорционален
измеряемому углу, и набор неподвижных чувствительных элементов. Формиро-
вание кода на выходе такого преобразователя осуществляется опросом
чувствительных элементов, состояния которых зависят от их положения относи-
тельно кодовой шкалы. Информация с кодовой шкалы может сниматься различ-
ными способами: фотоэлектрическим, индуктивным, емкостным и электромеха-
71
ническим. В соответствии с этим различают фотоэлектрические, индуктивные,
емкостные и электромеханические преобразователи угла в код [17]. Коды их
и и2 сравниваются в ЦСУ, которое определяет код сигнала ошибки и* — их— и2.
Сигнал рассогласования и* после преобразования в непрерывную величину и
и усиления поступает на двигатель, поворачивающий выходную ось следящей
системы таким образом, чтобы уменьшить величину ошибки слежения.
Существенное увеличение точности отработки угла в ЦСС (по сравнению со
следящими системами непрерывного действия) прежде всего обусловлено высо-
кой точностью измерения угла поворота выходной оси при помощи преобра-
зователя угла в код. Нетрудно показать, что относительная погрешность такого
измерения определяется величиной 2’^, где N — число разрядов выходного кода
и2 преобразователя. Освоенные промышленностью шестнадцатиразрядные пре-
образователи позволяют ^измерять угол с погрешностью порядка ±10 угл. сек.
Сигнал рассогласования их— и2 в цифровом сравнивающем устройстве вычис-
ляется практически без ошибки.
Рассмотренные примеры иллюстрируют возможности повышения
точности работы САР за счет применения простейших средств циф-
ровой вычислительной техники. Переход к цифровым методам управ-
ления сопровождается также резким уменьшением веса и габаритов
аппаратуры управления при одновременном увеличении ее надеж-
ности и помехозащищенности. Это объясняется возможностью ис-
пользования в цифровых блоках регуляторов методов и средств микро-
электроники (пленочные схемы, интегральные схемы и др.).
Современный уровень вычислительной техники позволяет при-
менять для целей управления не только сравнительно простые циф-
ровые вычислительные устройства, но и сложные цифровые вычисли-
тельные машины, обладающие весьма широкими вычислительными и
логически ми возможностями.
Цифровые машины, используемые для управления, отличаются
от машин, применяемых для производства вычислений в стационар-
ных условиях, целым рядом особенностей. Прежде всего управляющие
машины снабжаются развитой сетью входных и выходных устройств,
автоматически осуществляющих ввод данных в цифровую машину и
вывод из нее управляющей информации. Кроме того, управляющие
машины должны работать в реальном масштабе времени, выдавая
сигналы «в темпе» с управляемым процессом. Наконец, к надежности
управляющих машин предъявляются повышенные требования, так
как «сбои» в их работе могут привести к катастрофическим послед-
сзвиям.
Перечисленные особенности послужили причиной выделения циф-
ровых машин, применяемых для управления реальными объектами,
в самостоятельный класс устройств цифровой вычислительной тех-
ники — класс цифровых управляющих машин (ЦУМ).
Сложность и высокая стоимость ЦУМ делают их использование
экономически целесообразным только в случае управления работой
сравнительно сложных объектов регулирования, примерами которых
могут служить доменные печи, прокатные станы, установки для пере-
гонки нефти, баллистические ракеты, космические аппараты и др.
В результате ЦУМ являются основным техническим средством ком-
плексной автоматизации в промышленности, на транспорте и в воен-
ном деле. В комплексно-автоматизированных системах управления
72
на ЦУМ возлагается решение большого числа задач с разделением
по времени управляющих функций. При этом машина выполняет
функции многоканального регулятора, обслуживающего последо-
рательно во времени большое количество «элементарных» подсистем
регулирования, образующих в совокупности комплексно-автомати-
зированную систему управления.
Пример 1.22. Рассмотрим цифровую комплексно-автоматизированную
систему управления полетом баллистической ракеты БР (рис. 1.54) [4]. Элек-
тронным «мозгом» такой системы является бортовая цифровая управляющая
Рис. 1.54. Упрощенная функциональная схема цифровой системы уп-
равления полетом баллистической ракеты
машина БЦМ, получающая информацию от трех измерителей углов
И<? ) и трех измерителей линейных ускорений в виде обычных или интегрирую-
щих акселерометров (Лх, А2) (см. пример 1.15). Эта информация предва-
рительно поступает на блок преобразователей БП, где преобразуется в цифро-
вую форму и по сигналам управляющего устройства БЦМ вводится в машину.
В запоминающем устройстве БЦМ хранятся программные законы изменения
каждой из линейных и угловых координат ракеты, а также алгоритмы (правила)
обработки информации по каждому из каналов угловой стабилизации и стаби-
лизации движения центра масс. Машина сравнивает действительное значение
каждой из координат с ее программным значением для текущего момента вре-
мени, определяет сигнал ошибки и вычисляет управляющее воздействие после-
довательно для всех каналов системы управления. Сформированные БЦМ
управляющие сигналы в выходном устройстве ВУ преобразуются в непрерыв-
ную величину и после усиления и преобразования в УПУ поступают на руле-
вые приводы РП управляющих органов самой ракеты (/, 2, 3, 4) и привод регу-
лятора скорости ПРС ее двигательной установки ДУ, вызывая такое их откло-
нение, которое в конечном итоге обеспечивает движение ракеты по заданной
траектории с требуемой точностью.
Накопленный к настоящему времени опыт разработки и эксплуатации циф-
ровых систем управления полетом баллистических ракет показывает, что при-
менение БЦМ позволяет существенно увеличить точность и надежность работы
системы управления при одновременном резком снижении ее весовых и габарит-
ных характеристик.
73
§ 1.13. КЛАССИФИКАЦИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ
РЕГУЛЯТОРОВ. ПОНЯТИЕ О ЗАКОНАХ
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Подобно системам автоматического регулирования в целом, авто-
матические регуляторы могут классифицироваться по различным
признакам.
В зависимости от характера регулируемой величины различают
регуляторы давления, скорости вращения, напряжения, температуры
и т. д.
В зависимости от используемого принципа регулирования все
регуляторы делятся на регуляторы, работающие по отклонению
(ошибке), регуляторы, работающие по возмущению, и комбинирован-
ные регуляторы (см. § 1.5 и 1.6).
Взяв за основу классификации наличие дополнительных источни-
ков энергии, можно выделить регуляторы прямого и непрямого дей-
ствия (см. § 1.7). При этом в зависимости от рода используемой энер-
гии различают электрические, гидравлические, пневматические, элек-
тромеханические, электропневматические, электрогидравлические и
другие регуляторы.
К достоинствам электрических регуляторов относятся компакт-
ность, малый вес и габариты, возможность применения в схемах ре-
гуляторов стандартных электро- и радиоэлементов, широкие возмож-
ности по усилению и преобразованию сигналов, возможность управ-
ления на больших расстояниях при помощи передачи сигналов по
проводным и радиотехническим линиям связи. Основным недостатком
электрических регуляторов является громоздкость и сложность ис-
полнительных элементов электрического типа в тех случаях, когда
требуется получение большого крутящего момента при малых ско-
ростях вращения и высоком быстродействии. Для монтажа, наладки
и обслуживания электрических и особенно электронных регуляторов
требуется персонал довольно высокой квалификации. Стоимость элек-
трических регуляторов, как правило, выше стоимости пневматических
и гидравлических регуляторов аналогичного типа, особенно при
исполнении регулирующей аппаратуры во взрывопожаробезопас-
ном варианте.
Важнейшим достоинством гидравлических регуляторов является
высокая надежность работы и хорошие динамические свойства гид-
равлических исполнительных двигателей, развивающих значительные
усилия и моменты при высоком быстродействии. В случае применения
в качестве рабочей жидкости минеральных масел недостатком гидрав-
лических систем является пожароопасность, а в случае использо-
вания воды — возможность быстрого износа элементов аппаратуры
от коррозии.
Достоинством пневматических регуляторов по сравнению с гид-
равлическими является взрывопожаробезопасность, а также отсут-
ствие сливных трубопроводов, упрощающее систему. К их недостат-
кам следует отнести сжимаемость воздуха, вносящую дополнительные
погрешности в работу системы регулирования.	*
74
Из сказанного ясно, что нельзя отдать общего предпочтения тому
или иному виду вспомогательной энергии — каждый из них может
быть плох или хорош в тех или иных конкретных условиях. Электри-
ческие, гидравлические и пневматические регуляторы в технике ав-
томатизации существуют и развиваются параллельно. Наибольшей
гибкостью обладают системы смешанного типа, в которых обычно
измерительная часть выполняется электрической, а исполнительный
элемент выбирается гидравлического или пневматического типа. При-
мером может служить электрогидравлическая следящая система,
показанная на рис. 1.32.
В зависимости от наличия дополнительных обратных связей раз-
личают регуляторы без местных обратных связей (см. рис. 1.9, а\
1.10, я; 1.12) и с дополнительными обратными связями (см. рис. 1.22
и 1.23).
В зависимости от числа регулируемых величин все регуляторы
могут быть подразделены на одномерные и многомерные (см. § 1.11).
Приняв за основу классификации характер модуляции, исполь-
зуемой при передаче сигналов от одного элемента регулятора к дру-
гому, из всего многообразия современных регуляторов можно выде-
лить непрерывные, релейные, импульсные и цифровые регуляторы
(см. § 1.12).
Как видно, автоматические регуляторы классифицируются по
тем же основным направлениям, что и системы автоматического ре-
гулирования в целом.
С позиций теории автоматического управления наибольшую поль-
зу приносит классификация регуляторов в зависимости от реали-
зуемого в них закона регулирования. Рассмотрим этот вопрос подроб-
нее применительно к одномерным регуляторам непрерывного действия,
работающим по отклонению. В § 1.6 показано, что к основным зада-
чам таких регуляторов относится определение ошибки (1.2) и форми-
рование регулирующего воздействия рь, обеспечивающего выполнение
равенства (1.3) с определенной степенью точности (см. рис. 1.7).
В связи с этим одной из основных характеристик регуляторов, рабо-
тающих по отклонению, естественно считать уравнение, связывающее
регулирующее воздействие рь с ошибкой х. В большинстве реальных
регуляторов связь величин и х достаточно сложна и описывается
дифференциальным уравнением высокого порядка (как правило,
нелинейным). Для целей сравнительного анализа и классификации
обычно уравнения регуляторов упрощают, пренебрегая инерцион-
ностью элементов, образующих автоматический регулятор.
Законом регулирования называется зависимость между входной
и выходной величинами регулятора, составленная без учета инерцион-
ности его элементов. Этот термин применяется не только к системам
регулирования, но и к следящим системам, системам ориентации, сис-
темам управления и т. д. В последних случаях закон регулирования
называется законом управления,
В простейших случаях регулирующее воздействие зависит только
от ошибки х:
[А = Р-(Х).
(1.32)
75
Если функция (1.32) является линейной, то
|Л = рь° +
где i-l0— постоянная величина; k — коэффициент пропорциональнос-
ти.
Обозначив Дрь — р. — рь°, получим, что
- kx.	(1.33)
Закон регулирования, характеризуемый уравнением (1.33), назы-
вается пропорциональным законом регулирования. Регуляторы,
в которых используется такой закон регулирования, называются
пропорциональными регуляторами, или П-регуляторами. Примерами
систем, в которых используется пропорциональный закон регулиро-
вания, могут служить системы, изображенные на рис. 1.8, а\ 1.9, а\
1.10, а\ 1.13 и 1.22.
Основным достоинством П-регуляторов является их чрезвычайная
простота. Промежуточные элементы таких регуляторов (см. рис. 1.7,а)
не содержат корректирующих устройств и выполняют только функции
усиления сигнала ошибки по мощности и преобразования физической
природы этого сигнала. К сожалению, точность регулирования,
обеспечиваемая П-регуляторами, сравнительно невысока, особенно
для объектов, обладающих плохими динамическими свойствами. Во
многих случаях применение пропорционального закона регулиро-
вания приводит к возникновению статической ошибки (см. § 1.9).
Уравнение (1.32) характеризует лишь один из возможных под-
ходов к построению автоматических регуляторов. Второй подход
заключается в том, что в зависимость от сигнала ошибки ставится
не величина регулирующего воздействия, а скорость его изменения
р. d^ldt\
р, = !л1(х).	(1.34)
Если зависимость (1.34) является линейной, то
р. = kx,	(1.35)
откуда
t
Д|х = k J xdt.	(1.36)
о
Закон регулирования (1.36) называется интегральным законом
регулирования, а соответствующий регулятор — интегральным ре-
гулятором, или И-регулятором. Практически зависимость (1.36) ре-
ализуется при помощи введения в состав регулятора устройств, осу-
ществляющих интегрирование входного сигнала. Во многих случаях
такими устройствами являются исполнительные двигатели автома-
тических систем (см. рис. 1.12).
Интегральные регуляторы применяются в целях увеличения точ-
ности работы САР в установившихся режимах (см. § 1.9). Однако t
76
поведение систем регулирования с И-регуляторами в неустановивших-
ся режимах, как правило, оказывается неудовлетворительным и,
во всяком случае, худшим, чем в системах, использующих пропор-
циональный закон регулирования. Причины этого выявляются при
сопоставлении соотношений (1.33) и (1.36). В рамках принятой идеа-
лизации (при пренебрежении инерционностью элементов регулятора)
в П-регуляторе с уравнением (1.33) регулирующее воздействие мгно-
венно изменяется при изменении ошибки х. Это означает, что при по-
явлении ошибки П-регулятор тотчас принимает меры для ее ликви-
дации. Иная картина имеет место в И-регуляторе. Например, при
х = х°=- const из уравнения (1.36) следует, что
Др, = kxQt.
Это значит, что пройдет определенный промежуток времени, преж-
де чем регулирующий орган отклонится на величину, достаточную
для ликвидации появившейся ошибки. Такое «отставание» процесса
изменения регулирующего воздействия от процесса изменения ошиб-
ки х может привести (и в реальных системах часто приводит) к воз-
никновению слабо затухающих или даже расходящихся колебаний
регулируемой величины относительно ее требуемого значения.
Отмеченный недостаток И-регуляторов легко устранить объединив
уравнения (1.33) и (1.36), т. е. сконструировав регулятор таким
образом, чтобы
t
Д|х = fe J "xdt + kYx,	(1.37)
о
где ki— коэффициент пропорциональности.
Закон регулирования (1.37) называется пропорционально-инте-
гральным законом регулирования, а соответствующий регулятор —
пропорционально-интегральным регулятором, или ПИ-регулятором.
Благодаря наличию интегральной составляющей в правой части урав-
нения (1.37) ПИ-регуляторы не имеют статической ошибки. Хорошее
поведение САР с ПИ-регуляторами в неустановившихся режимах
(в динамике) обеспечивается (при правильном расчете регулятора)
за счет пропорциональной составляющей kpc закона регулирования.
Отмеченные особенности позволили широко использовать ПИ-регу-
ляторы в системах регулирования общепромышленного назначения.
Продифференцировав уравнение (1.37) по времени, получим, что
[х = kx +	(1.38)
Из сопоставления (1.38) с (1.35) видно, что улучшение динамиче-
ских свойств САР с ПИ-регуляторами (по сравнению с системами,
использующими интегральный закон регулирования) достигается при
помощи введения в закон регулирования составляющей, пропорцио-
нальной производной х = dxldt от сигнала ошибки по времени, или
(короче говоря) при помощи введения производной в закон регулиро-
77
вания. Этот вывод оказывается справедливым не только для И-регу-
ляторов, но и для регуляторов других типов.
Введение производной в закон регулирования является мощным
средством улучшения поведения САР в неустановившихся режимах.
В частности, с целью улучшения динамики САР производная от ошиб-
ки часто вводится в пропорциональный закон регулирования. В ре-
зультате получается пропорционально-дифференциальный закон ре-
гулирования
= kx + k-^x.	(1.39)
Регуляторы с законом регулирования (1.39) сокращенно назы-
ваются ПД-регуляторами. Они реагируют не только на саму ошиб-
ку х, но и на тенденцию ее изменения. Например, в том случае, ког-
да ошибка х возрастает, х > 0 и регулирующее воздействие в ПД-
регуляторе оказывается больше, чем в П-регуляторе (коэффициенты
k. ki считаем положительными). Наоборот, при уменьшении ошибки
х < 0 и величина Д|а в ПД-регуляторе будет меньше, чем в П-регу-
ляторе. Такой характер работы ПД-регулятора способствует демп-
фированию (гашению) колебаний, возникающих в САР вследствие
инерционности отдельных элементов системы. Более того, ПД-ре-
гулятор вступает в действие уже тогда, когда х = 0, но имеется воз-
никшая вследствие тех или иных возмущений скорость изменения
ошибки (х =£= 0).
На практике производная вводится в закон регулирования при
помощи специальных дифференцирующих устройств, выходная ве-
личина которых пропорциональна производной от входной величины.
Примерами таких устройств могут служить пассивные дифференци-
рующие электрические цепи, тахогенераторы, операционные усилители
и др. (см. § 2.9).
Регулирование только по производной от сигнала ошибки, т. е.
использование закона регулирования Дрь = kx, является нецелесооб-
разным хотя бы потому, что регулятор с таким законом регулирования
совершенно не реагирует на постоянные ошибки сколь угодно боль-
шой величины (при х == const значение Др = 0).
Кроме ПИ- и ПД-регуляторов, в практике регулирования часто
применяются ПИД-регуляторы с пропорционально-интегрально-диф-
ференциальным законом регулирования
t
Др, = kx 4- k.x. + k2 J xdt,	(1.40)
о
в котором член, пропорциональный интегралу от ошибки, обеспечи-
вает требуемую точность работы САР в установившихся режимах, а
член, пропорциональный скорости изменения ошибки, предназначен
для улучшения динамических свойств САР.
Рассмотренные выше законы регулирования (1.33), (1.36), (1.37),
(1.39) и (1.40) относятся к числу простейших. В более сложных слу-
78
яХ в закон регулирования может быть введено несколько интегра-
Чов от сигнала ошибки. Производные могут вводиться не только пер-
вого, но также второго и более высоких порядков, и не только от
сигнала ошибки, но и от регулируемой величины или каких-либо
промежуточных координат системы. В регуляторах, реализующих
комбинированный принцип регулирования, закон регулирования
содержит члены, зависящие от измеряемого возмущения его произ-
водных и интегралов и т. д.
Устройства, служащие для введения производных и интегралов
в закон регулирования, представляют собой частный случай коррек-
тирующих устройств САР. Теория этих устройств и вопросы их
расчета подробно рассматриваются в гл. 6.
Уравнения (1.33), (1.36), (1.37), (1.39) и (1.40) являются линей-
ными относительно входящих в них переменных Др. и к. В связи с
этим соответствующие законы регулирования называются также
линейными.
В технике регулирования, наряду с линейными, применяются и
нелинейные законы регулирования. Простейшими примерами таких
законов могут служить соотношения (1.32) и (1.34), если фигурирую-
щие в них функции р(х) и р^х) отличны от линейных.
Среди нелинейных законов регулирования наиболее распростра-
нены релейные законы. Например, приняв в уравнении (1.32)
, v f — Ртах. если х<0;
ti(x) = 1	л
I Рпух- если х>0,
где ртах > 0 — максимальное значение регулирующего воздействия ,
получим так называемый двухпозиционный релейный закон регулиро-
вания. При
Р'шах» если х <с яп,
р(х) =
0 , если — хн<х<хн;
|лгаах, если х>хн.
где хн—величина, характеризующая зону нечувствительности ре-
гулятора, соотношение (1.32) определяет трехпозиционный релей-
ный закон регулирования и т. д.
Применение релейных законов регулирования во многих случаях
дает возможность решать задачу автоматического регулирования
той или иной физической величины весьма простыми техническими
средствами, при малом весе и габаритах регулирующей аппаратуры
и высоком ее быстродействии. Во многих случаях использование нели-
нейных законов регулирования и управления позволяет добиться
таких результатов, которые принципиально не могут быть достигнуты
при помощи линейных регуляторов (см. гл. 8). Поэтому направление,
связанное с разработкой и применением нелинейных законов управ-
ления, в настоящее время интенсивно развивается.
79
§ 1.14. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
И УПРАВЛЕНИЯ
Как и любые технические устройства, системы автоматического
регулирования и управления в первую очередь должны удовлетво-
рять целому ряду требований общетехнического характера, к ко-
торым относятся надежность, помехозащищенность, удобство экс-
плуатации, технологичность конструкции, минимальная стоимость,
заданные вес и габариты и др.
Кроме общетехнических требований, к системам регулирования и
управления предъявляется еще и целый ряд других требований,
связанных со спецификой задач, решаемых такими системами. Среди
них основное место занимают требования по точности регулирования
и управления. Применительно к САР требования по точности регла-
ментируют величину ошибки (1.2), которая при любых (оговоренных
в задании на проектирование) условиях работы системы не должна
превосходить заданной величины.
Как всякие динамические системы, системы регулирования могут
работать в двух основных режимах: установившемся* и неустановив-
шемся. Неустановившийся режим работы САР часто называется
переходным, или динамическим, режимом. Он может быть вызван либо
изменением внешних воздействий, либо изменением параметров САР,
либо совместным действием обоих этих факторов. Здесь и далее под
параметрами системы понимаются такие данные регулятора и объекта
регулирования, как передаточные числа, коэффициенты усиления,
постоянные времени, моменты инерции, коэффициенты жесткости
пружин, емкости, индуктивности и сопротивления электрических
цепей и т. д.
Таким образом, в общем случае ошибка САР
х(/) = хуст(/) + Хп(0,	(1.41)
где ХуСт(0 и xn(f) — ошибки САР в установившемся и переходном
режимах соответственно.
Формула (1.41) показывает, что требования, предъявляемые к
точности работы САР, могут быть разбиты на требования по точности
в установившихся режимах, ограничивающие ошибку хуст, и требо-
вания по точности в переходных режимах (требования к динамике
САР), накладывающие ограничения на ошибку хп.
Возмущения, действующие на систему регулирования, обычно
представляют собой непрерывные функции времени, закон изменения
которых трудно предугадать. В системах программного регулирования
и в следящих системах, кроме того, изменяется во времени и задающее
воздействие. Поэтому основным режимом работы любой САР является
неустановившийся, переходный режим. Отсюда следует, что ограни-
чиваться рассмотрением только установившихся режимов работы
* Установившийся режим при постоянных внешних воздействиях часто
называют статическим режимом работы САР.
80
оматических систем (как это делалось в предыдущих параграфах
аВТи рассмотрении принципа действия отдельных систем регулиро-
н^ния) нельзя. При исследовании систем регулирования следует рас-
сматривать совместно поведение САР как в установившихся, так и
Св переходных режимах. Очевидно, что поведение САР как в статике,
так и в динамике существенным образом зависит от того, каким обра-
зом изменяются во времени внешние воздействия, приложенные к
системе. Здесь возникает трудность принципиального характера,
которая заключается в том, что реальные законы изменения внешних
воздействий заранее, как правило, неизвестны*, т. е. представляют
собой случайные функции времени. Чтобы обойти эту трудность, при
исследовании САР часто ориентируются на так называемые типовые
законы изменения внешних воздействий, в качестве которых прини-
мают либо наиболее вероятные, либо наиболее неблагоприятные за-
коны изменения задающего и возмущающего воздействий.
Весьма часто в качестве типовых принимают полиномиальные воз-
действия:
(1.42)
(1.43)
g (0 = -^-1- 1(0;
•	п\
/г I
где п = 0, 1, 2, ... — натуральное число; gn и fn— постоянные ве-
личины;
1 I 1. если t > 0
— так называемая единичная ступенчатая функция.
При п = 0 соотношения (1.42) и* (1.43) определяют
типовые воздействия:
(1.44)
ступенчатые
при п = 1 — типовые
скоростью:
g(O = goKO;
/(О = /о НО;
воздействия, изменяющиеся с
(1.45)
(1.46)
постоянной
при п = 2 — типовые
ускорением:
g(t) = gj\(ty,
воздействия, меняющиеся с
(1.47)
(1.48)
постоянным
^(0 = te/2)/2l(Z);
/ (/) = (Л/2) 1 (/)
(1.49)
(1.50)
и т. д.
Воздействию (1.45) физически соответствует, например, процесс
перенастройки системы автоматической стабилизации на новое зна-
* Это не относится к закону изменения задающего воздействия в системах
автоматической стабилизации и программного регулирования.
81
чение регулируемой величины, внезапный поворот командной оси
следящей системы на постоянный угол и т. д. (рис. 1.55, а). Воз-
действие (1.46) характеризует скачкообразное увеличение или умень-
шение момента нагрузки в системах регулирования скорости враще-
ния, мгновенное подключение или отключение группы потребителей
энергии в системах регулирования напряжения электрогенераторов
и т. д.
Воздействия (1.47) и (1.49) часто используются при исследовании
следящих систем воспроизведения угла и физически соответствуют
вращению командной оси с постоянной скоростью gt или с постоянным
ускорением g2 (рис. 1.55, б, в).
Рис. 1.55. Типовые законы изменения задаю-
щего воздействия
Кроме полиномиальных, часто применяются гармонические ти-
повые воздействия:
£(0 = gmaxSinC®^ + <рр • 1(0;	(1.51)
7(0 = /шахsin (<о/ + <ff) • 1(0-	(1.52)
которые достаточно полно характеризуют физику работы САР, функ-
ционирующих в условиях качки, сильных вибраций и т. д. (рис.
1.55, г). В формулах (1.51) и (1.52) gmax, /тах — амплитуды гармони-
ческих сигналов; (dz — их круговые частоты; cpg, ф/— начальные
фазовые сдвиги.
Далее показано, что гармонические воздействия позволяют весь-
ма полно вскрыть основные свойства САР. Вследствие этого воздей-
ствия (1.51) и (1.52) широко применяются и для систем, работающих
в условиях непериодических воздействий.
82
Момент приложения внешнего воздействия к системе в теории ав-
томатического регулирования обычно принимается за нуль отсчета
времени. При таком подходе все внешние воздействия для отрицатель-
ных моментов времени t считаются равными нулю. Чтобы подчеркнуть
это обстоятельство, в аналитические выражения для внешних воздей-
ствий в качестве множителя вводят единичную ступенчатую функцию
(1.44).
В некоторых случаях в качестве типовых воздействий выбираются
воздействия:
g{t) = g^{t)-,
где так называемая единичная дельта-функция
( 0, если /#=0;
— | оо, если t — 0
обладает тем свойством, что
«о
J S(t)dt = 1.
— 00
(1.53)
(154)
(1.55)
(1.56)
Дельта-функция представляет собой математическую идеализацию
импульса бесконечно малой длительности, имеющего конечную пло-
щадь, равную единице, и относится к числу функций специального
класса, называемых обобщенными [48]..
Воздействия вида (1.53) и (1.54) хорошо отвечают физике работы
систем, функционирующих в условиях импульсных возмущений.
Графическое изображение таких воздействий затруднительно. На
основании соотношения (1.56) «площади» импульсов (1.53) и (1.54)
определяются следующими формулами:
J g(t)dt =g° J 8(/)Л =
—СО	—00
00	00
J f(t)dt =f° j 8(/)dZ =/».
— 00	—00
Поэтому воздействия (1.53) и (1.54) удобно графически изображать
стрелками, длины которых в принятом масштабе характеризуют ве-
личины g° и /° (рис. 1.55, д).
Выше перечислены лишь простейшие из возможных типовых воз-
действий. В отдельных случаях эти воздействия могут иметь весьма
сложную форму, определяемую экспериментальным путем.
Каким бы ни было выбранное типовое воздействие, оно всегда вы-
зывает в САР некоторый переходный процесс. Если этот процесс
затухает, то после его окончания система приходит в установившееся
состояние.
83
В гл. 5 и 9 показано, что вопросы оценки точности работы САР в
установившихся режимах решаются сравнительно просто как при
типовых, так и при случайных воздействиях.
Наиболее трудной задачей является изучение поведения САР в
неустановившихся режимах, в динамике. Объясняется это тем, что
современные системы регулирования представляют собой весьма
сложные динамические системы со многими степенями свободы. Для
упрощения исследование динамики САР обычно разбивают на иссле-
дование устойчивости и исследование качества переходных про-
цессов.
Системы регулирования, работающие по отклонению, вследствие
самого принципа их действия, благодаря которому часть энергии с
их выхода передается на вход, склонны к колебаниям. При неудачном
выборе структуры или параметров регулятора обратная связь может
превратиться из средства подавления колебаний и уменьшения ошиб-
ки в средство генерации колебаний и увеличения ошибки.
Для удовлетворительной работы САР прежде всего необходимо,
чтобы возникающие по тем или иным причинам начальные отклонения
регулируемой величины от требуемого закона ее изменения с течением
времени стремились к нулю. Системы регулирования, обладающие
этим свойством, называются устойчивыми системами. В устойчивых
системах переходные процессы с течением времени затухают. Неус-
тойчивые системы характеризуются расходящимся переходным про-
цессом и для практического применения в подавляющем большинстве
случаев непригодны.
Из сказанного ясно, что любая САР прежде всего должна быть
исследована на устойчивость. При этом устойчивость системы должна
быть обеспечена с некоторым запасом, предусматривающим возмож-
ные изменения параметров системы в процессе ее эксплуата-
ции.
Выполнение требований по устойчивости гарантирует лишь факт
затухания переходных процессов с течением времени. Время затуха-
ния и форма переходных процессов при этом могут быть любыми. По-
этому устойчивость является необходимым, но далеко не достаточным
условием практической пригодности САР. Кроме устойчивости любая
система регулирования должна обладать еще требуемым качеством
работы.
Качество САР характеризует ее поведение в неустановившихся
режимах. Достаточно полное представление о качестве САР можно
получить, располагая кривой изменения во времени регулируемой
величины y(t) или ошибки x(t) при тех или иных типовых воздейст-
виях. В общем случае ввиду сложности современных систем регулиро-
вания теоретическое построение процессов y(t) или x(f) требует доста-
точно трудоемких вычислений. В связи с этим при исследовании
качества САР обычно широко используются различные критерии
качества, представляющие собой числовые характеристики, зависящие
от структуры и параметров системы. При таком подходе система ре-
гулирования считается обладающей требуемым качеством работы,
если критерии качества лежат в заданных пределах. Сами критерии
84
качества могут быть весьма разнообразными, причем их выбор зави-
сит от конкретных условий работы САР (см. гл. 5)
Исследование устойчивости и качества САР должно производиться
в тесной связи с исследованием ее поведения в установившихся режи-
мах. Во многих случаях мероприятия, направленные на уменьшение
установившейся ошибки САР, приводят к резкому ухудшению ди-
намических свойств САР, и наоборот.
Из сказанного выше следует, что основными проблемами теории
автоматического регулирования являются: а) проблема точности ра-
боты САР в установившихся режимах, б) проблема устойчивости,
в) проблема качества.
Всестороннее изучение этих проблем и разработка на основе этого
изучения инженерных методов анализа и синтеза САР являются
важнейшими задачами теории регулирования. При этом под анализом
понимается исследование готовой САР с целью определения ее свой-
ств и путей их улучшения, а под синтезом — проектирование САР,
удовлетворяющей поставленным требованиям.
Наиболее сложной и наиболее важной для практики является
задача синтеза систем автоматического регулирования. Обычно ее
решение содержит следующие этапы.
1.	Изучение объекта регулирования, условий его работы и основ-
ных возмущений.
2.	Формулировка требований, предъявляемых к САР.
3.	Выбор принципа регулирования и первоначальной схемы ре-
гулятора.
4.	Выбор элементов регулятора с учетом требований, предъявля-
емых к их мощности и надежности, а также эксплуатационных тре-
бований.
5.	Выбор и расчет элементов регулятора и их параметров на ос-
нове требований, предъявляемых к статическим и динамическим свой-
ствам системы.
6.	Экспериментальное исследование САР и ее отдельных частей
в лабораторных условиях и внесение коррективов в первоначальную
схему регулятора.
7.	Изготовление и монтаж САР.
8.	Наладка САР в реальных условиях ее работы.
9.	Опытная эксплуатация САР.
Обычно улучшение свойств системы регулирования достигается
ценой усложнения схемы регулятора. В связи с этим проектирование
САР сводится к нахождению разумного компромисса между стремле-
нием получить возможно более высокое качество работы и стремлением
решить эту задачу наиболее простыми средствами.
При проектировании САР в равной степени используются как тео-
ретические, так и экспериментальные методы исследования. Приме-
нение теоретических методов анализа и синтеза требует предваритель-
ного математического описания САР. Систему уравнений, описываю-
щих работу системы регулирования, часто называют математичес-
кой моделью САР.
85
Обычно математическое описание САР приводит к системе диффе-
ренциальных, интегральных, дифференциально-разностных или раз-
ностных уравнений.
В зависимости от характера математической модели все системы
регулирования и управления принято делить на обыкновенные ли-
нейные, особые линейные и нелинейные.
Обыкновенными линейными (или линейными стационарными) на-
зываются САР, работа которых с достаточной степенью точности мо-
жет быть описана системой обыкновенных линейных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами.
Особыми линейными называются САР, математическое описание
которых приводит к системе линейных уравнений, отличных от обык-
новенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. К ним относятся линейные системы с переменными
параметрами (или линейные нестационарные системы), описываемые
обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с пе-
ременными во времени коэффициентами; линейные системы с рас-
пределенными параметрами, описываемые линейными дифференци-
альными уравнениями в частных производных; линейные системы с
запаздыванием, математической моделью которых является система
линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргумен-
том, и линейные импульсные системы, математическое описание
работы которых дает систему линейных разностных уравнений.
Нелинейными называются САР, работа которых описывается не-
линейными уравнениями того или иного вида (дифференциальными,
интегральными, разностными и др.).
Классификация САР в зависимости от характера описывающих
их уравнений в значительной степени условна. Одна и та же система
регулирования может быть описана как линейными, так и нелиней-
ными уравнениями в зависимости от допущений, принятых при сос-
тавлении уравнений САР, и целей исследования.
Исследование линейных систем существенно проще, чем нелиней-
ных, так как для них справедлив принцип наложения (суперпозиции),
согласно которому*реакция линейной системы на любую комбинацию
внешних воздействий равна сумме реакций на каждое из этих воздей-
ствий, взятое по отдельности. Принцип наложения позволяет создать
общую теорию линейных систем, описываемых линейными дифферен-
циальными и разностными уравнениями любого порядка.
Для нелинейных систем принцип суперпозиции несправедлив, и
общая теория нелинейных САР отсутствует. Поэтому в тех случаях,
когда это возможно, при математическом описании работы САР пре-
небрегают различного рода нелинейностями, стараясь получить
математическую модель в виде системы линейных уравнений. Сделать
это удается далеко не всегда. Конечным критерием правильности допу-
щений, принятых при математическом описании САР, является прак-
тика. Если результаты экспериментального исследования САР,
спроектированной на основании той или иной математической мо-
дели, дают существенные расхождения с теорией, то это обычно свиде-
тельствует о некорректности допущений, принятых при математи-
86
ipckom описании CAP. Очень часто причиной расхождения результатов
ЧкСперимента с теорией является влияние различных нелинейных
' факторов, не учтенных при составлении математической модели
системы.
Сложность современных систем регулирования имеет своим след-
ствием и сложность их математических моделей, представляющих
собой в большинстве случаев системы дифференциальных и иных урав-
нений достаточно высокого порядка. Поэтому теория автоматического
регулирования, являющаяся прикладной инженерной дисциплиной,
вынуждена, тем не менее, использовать весьма сложный математи-
ческий аппарат. Возникающие при исследовании САР трудности ма-
тематического характера приводят к тому, что результаты теорети-
ческого изучения работы систем регулирования (как в плане анализа,
так и в плане синтеза) имеют достаточно приближенный характер.
Для уточнения результатов и окончательного выбора параметров
систем регулирования необходимо привлечение средств вычислитель-
ной техники (вычислительных машин непрерывного действия и уни-
версальных цифровых вычислительных машин) с последующей оконча-
тельной доводкой и настройкой регуляторов в реальных условиях.
В настоящее время теория автоматического регулирования пред-
ставляет собой достаточно развитую и в значительной степени сло-
жившуюся дисциплину, обеспечивающую решение большинства за-
дач, связанных с анализом и синтезом систем регулирования. Однако
практика автоматизации ставит перед теорией автоматического ре-
гулирования новые и все более сложные задачи, и поэтому перспек-
тивы ее дальнейшего развития несомненны.
Теория автоматического регулирования сыграла большую роль
в становлении и развитии теории автоматического управления. Ав-
томатическое регулирование представляет собой наиболее совершен-
ный вид автоматики в период частичной автоматизации, когда тех-
нические средства автоматики осуществляют лишь простые функции
управления, связанные с сигнализацией, контролем, блокировкой,
защитой и отработкой решений, принятых человеком-оператором
в виде задающих воздействий (настроек, программ регулирования
и т. д.).
В настоящее время на смену частичной приходит комплексная
автоматизация, при которой кроме простых функций управления ав-
томатизируются и более сложные, связанные с самой выработкой за-
дающих воздействий и программ регулирования. При частичной ав-
томатизации сложные автоматические системы обычно состоят из
отдельных систем регулирования, взаимная координация работы
которых осуществляется человеком. При комплексной автоматиза-
ции возникает необходимость в автоматической координации действий
отдельных систем регулирования и, следовательно, в создании слож-
ных взаимосвязанных систем автоматического управления.
В основе построения комплексно автоматизированных систем уп-
равления лежит так называемый иерархический принцип, который
заключается в том, что сложные системы управления образуются из
ряда ступеней. На первой ступени автоматизируются сравнительно
87
простые локальные процессы управления; на второй — процессы
управления, имеющие более сложный и общий характер, и т. д. При
таком подходе теория автоматического регулирования является ос-
новой построения первой ступени, а теория автоматического управ-
ления — основой построения всей иерархической лестницы процессов
управления, необходимых для комплексной автоматизации сложных
объектов. В результате теорию автоматического управления можно
рассматривать как обобщение и дальнейшее развитие теории автома-
тического регулирования, требующее, в частности, широкого исполь-
зования понятия информации [50], которое в теории регулирования
играет сравнительно небольшую роль.
ГЛАВА 2
ДИНАМИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
И СИСТЕМ
§ 2.1. ЭЛЕМЕНТЫ
И ЗВЕНЬЯ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
В гл. 1 было показано, что любая система автоматического регу-
лирования и управления может рассматриваться в виде совокупности
отдельных связанных между собой элементов автоматики (чувстви-
тельных, промежуточных и исполнительных), взаимодействующих
друг с другом и с объектом регулирования или управления (см.
рис. 1.7 и 1.11). Разбиение системы автоматического управления на
элементы позволяет ввести понятие функциональной схемы автомати-
ческой системы, приносящее большую пользу при рассмотрении прин-
ципа действия и аппаратурного состава систем управления и регули-
рования.
Для количественного исследования процессов, происходящих при
автоматическом управлении, прежде всего необходимы уравнения,
описывающие работу системы автоматического управления (САУ).
Ввиду сложности современных САУ эти уравнения естественно полу-
чать, разбивая систему управления на сравнительно простые части
и составляя уравнения для каждой из таких частей по отдельности.
При таком подходе расчленение САУ на элементы часто не приносит
пользы для математического описания работы системы управления.
Объясняется это прежде всего тем, что уравнения многих современ-
ных элементов автоматики достаточно громоздки. Кроме того, раз-
личные элементы автоматики часто описываются однотипными урав-
нениями.
Для математического описания работы САУ удобно разбивать их
не на элементы автоматики, а на динамические звенья. Динамичес-
ким звеном называется часть системы управления, описываемая диффе-
ренциальным (или иным) уравнением определенного вида. Приведен-
ное определение является достаточно общим. Под него подходит, в
частности, любой элемент автоматики, совокупность таких элементов
и даже вся система автоматического управления в целом. Существен-
но, что в отличие от элемента автоматики, динамическое звено от-
нюдь не обязательно является конструктивно или схемно оформлен-
ным устройством. Например, часто в качестве динамических звеньев
рассматриваются отдельные части элементов автоматики и объектов
управления (обмотки возбуждения электрических генераторов, якор-
ные обмотки электродвигателей, отдельные каскады усилителей и
89
f
Рис. 2.1. Условное изоб-
ражение динамического
звена
т. д.). В отдельных случаях динамические звенья могут вообще не
иметь физического смысла, характеризуя лишь математические за-
висимости, имеющие место между некоторыми величинами автома-
тической системы.
Состояние любого динамического звена может быть охарактеризо-
вано совокупностью соответствующих физических величин — обоб-
щенных координат. Для электрических звеньев обобщенными коор-
динатами могут служить напряжения, токи и их производные; для
механических — перемещения, скорости, ускорения и т. д.
Чтобы охарактеризовать состояние ди-
намического звена, обычно выбирают одну
обобщенную координату на входе звена и
одну — на выходе и называют их соот-
ветственно входной и выходной величи-
нами звена. В дальнейшем входную вели-
чину будем обозначать через xlt а выход-
ную— х2 (рис. 2.1). В общем случае обе
эти величины представляют собой функ-
ции времени.
Многие звенья автоматических устройств обладают свойством на-
правленного действия (однонаправленности), т. е. передают воздей-
ствие только в одном направлении — от входа к выходу. В таких
звеньях при изменении входной величины х{ изменяется и выходная
величина х2> изменения же выходной величины звена никак не сказы-
ваются на входной величине. Свойство однонаправленности практи-
чески реализуется за счет усиления входного сигнала звена по мощ-
ности. Пассивные звенья (рычаг, редуктор, пассивные электрические
цепи и др.) свойством направленного действия не обладают.
В общем случае, кроме входной величины, на выходную величину
звена могут оказывать влияние и некоторые другие факторы (напри-
мер, возмущающие воздействия). На рис. 2.1 показано одно такое
воздействие / (их может быть и несколько). Так, выходное напря-
жение и генератора постоянного тока (см. рис. 1.2, в) зависит не толь-
ко от координаты движка реостата в цепи обмотки возбуждения, но
также и от скорости вращения якоря Q, тока нагрузки i и напряже-
ния un, приложенного к обмотке возбуждения.
Зависимость выходной величины звена от входной в установив-
шемся режиме называется статической характеристикой звена.
Статическая характеристика обычно изображается графически в
плоскости координат xi9 х2 и может быть получена эксперименталь-
ным либо расчетным путем. Экспериментально статическая характе-
ристика снимается следующим образом. Входной величине придают
постоянное значение xt= Xf°. Выждав время, необходимое для зату-
хания* переходного процесса, определяют при помощи соответствую-
щего измерительного прибора установившееся значение выходной
* Если переходный процесс в звене не затухает, экспериментальное сня-
тие статической характеристики невозможно и само понятие статической ха-
рактеристики теряет физический смысл.
90
величины х2= *2 и получают первую точку статической характерис-
тики (xi°, х2°). Повторив эти измерения для различных значений ве-
личины %i° и соединив полученные точки плавной кривой, находят
статическую характеристику звена (рис. 2.2, а). По этой характе-
ристике для каждого значения входной величины звена можно
определить соответствующее установившееся значение выходной ко-
ординаты х2. В том случае, когда выходная величина звена, кроме
входной величины, зависит еще и от некото-
рой величины /, звено характеризуется семей-
ством статических характеристик, построенных
для различных постоянных значений f = f°
(рис. 2.2, б).
Для аналитического определения статичес-
кой характеристики следует составить урав-
нения, описывающие работу звена в устано-
вившемся режиме. Разрешив эти уравнения
относительно величин xt и х2, получим урав-
нения статической характеристики в явном,
неявном и параметрическом виде соответствен-
но:
х2 = х2(х1);	(2.1)
? (*ь *г) = 0;	(2.2)
х} = кг(а), = к2(а)-	(2.3)
В уравнениях (2.2)	(2.3) величина а
обозначает параметр, а ср — некоторую функ-
цию своих аргументов.
Обычно статические характеристики элемен-
тов и звеньев автоматики нелинейны. Линей-
ные статические характеристики (рис. 2.2, в)
встречаются редко. Однако в инженерной прак-
тике часто нелинейные характеристики приб-
лиженно заменяются линейными (см. рис. 2.3).
Статическая характеристика (или семейство
статических характеристик) полностью харак-
теризует поведение динамического звена в уста-
новивши хс я режимах.
Ранее отмечалось (см. § 1.14), что системы
управления и регулирования чаще всего работают в неустановивших-
ся режимах. Поэтому важной задачей является изучение поведения
динамических звеньев в переходных режимах.
Для теоретического исследования динамических свойств звеньев
прежде всего необходимо составить уравнения, описывающие их
поведение при изменяющихся внешних воздействиях, т. е. выразить
в математической форме соотношения, связывающие обобщенные ко-
ординаты на входе и выходе звена в неустановившихся процессах.
В большинстве случаев рассмотрение переходных режимов динамичес-
Рис. 2.2. Статичес-
кие характеристики
динамических звень-
ев:
а — построение статиче-
ской характеристики по
экспериментальным дан-
ным; б — семейство ста-
тических характеристик
звена для различных
значений величины f;
в — линейная статиче-
ская характеристика
91
ких звеньев приводит к дифференциальным уравнениям того или
иного вида. В результате физическая задача определения выходной
величины звена при изменяющемся входном сигнале сводится к ма-
тематической задаче отыскания решения дифференциального урав-
нения, описывающего работу звена.
Примерный порядок составления дифференциального уравнения
звена заключается в следующем:
1)	определяют входную и выходную величины звена и устанав-
ливают дополнительные факторы, от которых зависит выходная ве-
личина;
2)	выбирают начало отсчета и положительные направления отс-
чета всех входящих в рассмотрение переменных;
3)	вводят те или иные упрощающие предположения (допущения);
4)	используют основные законы той отрасли науки и техники^
к которой относится исследуемое звено: законы Кирхгофа — для
электрических звеньев; законы Ньютона — для звеньев механичес-
кой природы, законы сохранения энергии и вещества—для гидрав-
лических и пневматических звеньев и др.
Дифференциальные уравнения звеньев автоматики чрезвычайно
разнообразны. Для звеньев непрерывного действия с сосредоточен-
ными параметрами общее уравнение имеет следующий вид (обозна-
чения соответствуют рис. 2.1):
F у Х2 , Х2 , ••• , ^2>	» *^1	» ••• »	^1» /	> /	» • ••
...,/л) = 0.	(2.4)
Здесь и, m, q — натуральные числа, определяющие наивысший поря-
док входящих в уравнение производных от выходной величины звена
х2 и внешних воздействий xt и /; F — некоторая функция от своих
(и + т + q + 3)-х аргументов х{2\ ..., х2,	...» f{Q} > ...» /•
На практике в большинстве случаев т < п и q <п. Число п
называется порядком дифференциального уравнения (2.4). При п =
= 1 имеем дифференциальное уравнение первого порядка:
f(x2, х2)	/)=0;	(2.5)
при п — 2 — второго порядка:
F ( х2, х2) х2, хг, хъ f, = 0	(2.6)
И т. д.
Неизвестной функцией в уравнении (2,4) является выходная ве-
личина звена х2. Для решения уравнения (2.4) должны быть заданы
величины Xi и / как функции времени и начальные условия. Конкрет-
ные формы, которые может принимать уравнение, описывающее ди-
намику работы звена, станут ясными после прочтения последующих
глав книги.
92
Уравнение статической характеристики представляет собой част-
ный случай дифференциального уравнения (2.4). На самом деле,
положив в нем х{= const, f = const и x2= const, получим уравнение
F(0, О,..., О, х2, О, О,..., О, О, 0.О, /) = 0,	(2.7)
определяющее статическую характеристику в неявном виде.
§ 2.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
В том случае, когда в уравнении (2.4) функция F представляет
собой нелинейную функцию своих аргументов, динамика работы звена
описывается нелинейным дифференциальным уравнением, а само
звено называется нелинейным динамическим звеном. Если же описание
динамики работы звена приводит к линейному дифференциальному
уравнению [функция F в уравнении (2.4) линейно зависит от своих
аргументов], то звено называется линейным динамическим звеном.
Заметим, что линейность статической характеристики звена, во-
обще говоря, не дает основания отнести его к разряду линейных, ибо
встречаются случаи, когда нелинейные свойства звена проявляются
только в неустановившихся режимах.
Исследование нелинейных дифференциальных уравнений сущест-
венно труднее и сложнее, чем линейных. Поэтому в тех случаях,
когда это возможно, всегда стремятся линеаризовать нели-
нейное дифференциальное уравнение, т. е. заменить его приближенно
некоторым линейным дифференциальным уравнением, решение кото-
рого достаточно близко к решению исходного нелинейного уравнения.
Простейший способ линеаризации основан на разложении нели-
нейной функции в ряд Тэйлора с последующим отбрасыванием нели-
нейных членов разложения. Рассмотрим этот способ применительно
к уравнению (2.5), имеющему первый порядок. Все изложенное будет
справедливо и для уравнений более высокого порядка.
Линеаризация нелинейного уравнения всегда производится отно-
сительно некоторого, заранее выбранного, режима работы динами-
ческого звена. Чаще всего в качестве режима, принимаемого при лине-
аризации за исходный, выбирается установившийся режим, харак-
теризуемый постоянством всех обобщенных координат. Применитель-
но к уравнению (2.5) уравнения исходного режима математически
могут быть записаны так:
Хх = X?; / = /°; Х2 = 4.	(2.8)
Здесь х\, fQ, Х2 — постоянные величины, связанные между собой
уравнением
F (0, х°2, xt = 0.	(2.9)
Выбрав исходный режим, для линеаризации уравнения (2.5)
поступают следующим образом.
93
где
1. Представляют все входящие в рассмотрение координаты в виде
х( — х? + Дхг;	(2.10)
*2 — х2 + Д*2>	(2-11)
f = 7° + Д7.	(2.12)
ДХ] = X] — х?;	(2.13)
Дх2 = х2 — хг;	(2.14)
А7 = 7-7°	(2.15)
В уравнениях (2.13) ~ (2.15) Дхь Дх2 и Д/ — отклонения соот-
ветствующих координат от их значений (2.8), принятых за исходные
при линеаризации. Соотношения (2.10)	(2.12) позволяют вместо
полных значений координат хь х2, / оперировать их отклонениями
(или приращениями) Дхь Дх2, Д/.
2. Левую часть уравнения (2.5) разлагают в ряд Тэйлора отно-
сительно точки с координатами (0, х2°, хД /°), соответствующей ис-
ходному режиму. В результате уравнение (2.5) переписывается в
виде
f(o х®, х®, /°) + (dF/dx2)°Ax2 4-(dF/dx2)°Ax24-
+ (dF/dxJ0 \х, + (dFIdf)0 А/ + Q (Дх2, Дх2, Дх>. \f) = 0. - (2.16)
В соответствии с правилом разложения функции нескольких пере-
менных в ряд Тэйлора частные производные, входящие в левую часть
уравнения (2.16), вычисляются в точке, соответствующей режиму,
принятому за исходный при линеаризации, так что, например,
(dF/dx^ означает частную производную от функции F(x2, х2, хь f)
по переменной х2, в которую после вычисления подставлены значения
х2= 0, х2= х2, *1= *Д f = /°. Так как в исходном режиме все коор-
динаты постоянны, то все фигурирующие в уравнении (2.16) частные
производные представляют собой просто некоторые числа, зависящие
от выбора исходного режима (т. е. от чисел хД f°, х2°). Символом Q
в уравнении (2.16) обозначен остаточный член разложения, содер-
жащий вторую и более высокие степени отклонений Дхь Дх2, Д/ и
их произведения, умноженные на соответствующие частные произ-
водные. Функция Q (Дх2, Дх2, Дх|, Д/) обладает тем свойством, что
Q(0, 0, 0, 0) = 0.	(2.17)
3. Отклонения Дх2, Дхр Д/ координат от их исходных значений
считают малыми («гипотеза малых отклонений») и на этом основании
в левой части уравнения (2.16) пренебрегают членами, содержащи-
ми вторую и более высокие степени отклонений и их произведения
94
членами более высокого порядка малости по сравнению с чле-
нами, содержащими отклонения в первой степени, т. е. полагают
ф(дх2, Дх2< Д/)«0.	•	(2.18)
Учитывая, кроме того, соотношение (2.9), окончательно получа-
ют уравнение
(dF/dx2 )°Дх2 + (dF/dx2)° Дх2 + (dF/dx^ Ьхг + (dF/d/)° Д/=0. (2.19)
Это уравнение есть линейное дифференциальное уравнение с по-
стоянными коэффициентами. Оно представляет собой результат ли-
неаризации нелинейного уравнения (2.5) относительно исходного ре-
жима (2.8).
Из изложенного следует, что необходимым условием линеариза-
ции является разложимость функции F, фигурирующей в левой части
нелинейного дифференциального уравнения, в ряд Тэйлора в окрестности
точки с координатами, соответствующими режиму, выбранному при
линеаризации за исходный. Если такое разложение невозможно (на-
пример, функция F недифференцируема по какой-либо из координат),
то рассмотренный метод линеаризации не имеет силы, и исходное не-
линейное уравнение даже приближенно не может быть заменено ли-
нейным. В этом случае говорят, что динамическое звено, описываемое
таким уравнением, является существенно нелинейным, т. е. нелинеари-
зуемым. Деление динамических звеньев на линеаризуемые и нелинеа-
ризуемые связано со способом линеаризации, основанным на разло-
жении нелинейной функции в ряд Тэйлора. В главе 8 будут рассмот-
рены методы, позволяющие осуществить линеаризацию и существенно
нелинейных уравнений (методы гармонической линеаризации).
Основным допущением, которое позволяет перейти от нелинейного
уравнения (2.5) к линейному уравнению (2.19), является допущение
о малости отклонений всех входящих в рассмотрение координат от их
значений, принятых при линеаризации за исходные. Поэтому линеари-
зованное уравнение (2.19) дает возможность исследовать лишь малые
отклонения величин, характеризующих работу динамического звена,
от исходного 'режима. Однако и такое рассмотрение в ряде случаев
очень полезно.
Запись линейного дифференциального уравнения в форме (2.19)
является довольно громоздкой и неудобной для практического приме-
нения. В автоматике при записи линейных уравнений принято выход-
ную величину звена (или ее отклонение) и ее производные записывать
в левой части уравнения, а все остальные члены переносить в правую
часть. В такой форме записи уравнение (2.19) примет следующий вид:
с0Дх2 -I- сА&х2 = bgAXi + г0Д/,	(2.20)
где
с0 = (dFIdxrf-, Ci = (dF/dxJ>-, bQ = — (dF/dx^, rQ = — (dF/df)°.
(2.21)
95
С целью сокращения выкладок в теории автоматического управле-
ния широко используется символический метод записи линейных диф-
ференциальных уравнений, в основе которого лежит условное (симво-
лическое) обозначение производных и интеграла:
dkxldtk = pkx (k = 1, 2,	3, ...);	(2.22)
Jrd/=(l/p)x.	(2.23)
Здесь
p = d/dt	(2.24)
— так называемый символ дифференцирования. Его не следует путать
с комплексной переменной, фигурирующей в преобразовании Лапласа
(см. § 4.2), которую иногда также обозначают буквой р. В отличие
от преобразования Лапласа (и родственных ему операционных мето-
дов) символический метод, сокращая и унифицируя запись дифферен-
циальных уравнений и их систем, не содержит никаких приемов,
облегчающих их решение.
При использовании символических обозначений уравнение (2.20)
записывается следующим образом:
С0рДх2 + £1^*2 =	+ год/-	(2.25)
Уравнение (2.25) часто переписывают в виде
(сор -4- cj Дх2 =	+ гоАЛ	(2.26)
чисто формально отрывая символ дифференцирования р от обозначе-
ния дифференцируемой функции.
Если обозначить
С(Р) = cop + cf,	(2.27)
&(р) = 60;	(2.28)
Г (р) = Го,	(2.29)
то уравнение (2.26) запишется еще более компактно:
с (р) Дх2 = b (р)	+ г (р) kf.	(2.30)
Уравнения (2.26) и (2.30) следует рассматривать просто как удобную
сокращенную запись уравнения (2.20). Никакого другого смысла
они не имеют. Полиномы (2.27)4-(2.29), входящие в уравнение (2.30),
называются символическими полиномами. Пользуясь преобразова-
нием Лапласа, нетрудно доказать, что символические полиномы можно
складывать и перемножать по правилам действий с обычными поли-
номами. Это обстоятельство в ряде случаев позволяет значительно
упростить и облегчить преобразования систем дифференциальных
уравнений (например, «свертывание» системы дифференциальных
уравнений в одно уравнение — см. гл. 3).
В дальнейшем дифференциальные уравнения линейных звеньев
систем управления будут записываться преимущественно в форме
96
(2.30). При этом часто оказывается удобным разделить все члены диф-
ференциального уравнения на коэффициент при выходной координате
звена (или ее отклонении)*. Так, поделив все члены уравнения (2.26)
на коэффициент получим уравнение
(Тр -t 1) Дх, = kkxy + kfkf.	(2.31)
Здесь
Г = с0/Ср k = 60/ct; kf = г0/сР ‘	(2.32)
Поскольку соединять знаками сложения, вычитания и равенства
можно лишь величины одинаковой размерности, все члены уравнения
(2.31) имеют размерность величины Дх2. Учитывая, что [р] = Мсек,
нетрудно получить соотношения для размерностей коэффициентов
уравнения (2.31):
[Т] = сек\ [k] = [XaJ/LxJ; [kf] = [x2]/[f].	(2.33)
Коэффициент T называется постоянной времени звена, описывае-
мого уравнением (2.31), а величины k и kf — коэффициентами переда-
чи звена по входной величине и по возмущению.
Уравнение (2.31) называется линейным дифференциальным уравне-
нием первого порядка в стандартной форме записи. Аналогично к
стандартному виду преобразуются и уравнения более высоких по-
рядков.
Рассмотрим снова какой-либо установившийся режим работы зве-
на, характеризующийся постоянством координат xif f и х2. Уравне-
ния (2.13)4-(2.15) показывают, что отклонения координат от исход-
ных значений в таком режиме также будут постоянны. Отсюда следует,
что рДх2 = 0 и линеаризованное уравнение (2.31) для установивше-
гося режима упрощается:
Дх2 = -Ь kf&f.	(2.34)
Положим, кроме того что Д/ = 0, т е. f = /° = const. Тогда
Дх2 = £ДхР	(2.35)
Это уравнение является линейным. Полные значения переменных
xif х2 в рассматриваемом режиме связаны нелинейной зависимостью:
F (О *2,	/°) = 0.	(2.36)
Сопоставление уравнений (2.36) и (2.35) позволяет дать простую
геометрическую интерпретацию процессу линеаризации. На самом
деле, уравнение (2.36) в плоскости координат xif х2 определяет стати-
ческую характеристику звена, соответствующую значению [ == /°.
Эта характеристика может, например, иметь вид кривой, изображен-
ной на рис. 2.3. Выбор режима (2.8), принимаемого за исходный при
* Если этот коэффициент равен нулю, деление производится на первый,
отличный от нуля, коэффициент при самой младшей производной от выходной
величины.
4—493	97
линеаризации, на этой характеристике соответствует выбору точки Ot
с координатами (х°, х°). Переход от полных значений координат к
их приращениям в плоскости хь х2 геометрически означает перенос
начала координат из точки О в точку Ор В координатах Дхь Дх2
уравнение (2.35) представляет собой уравнение прямой, проходящей
через начало координат Oi и имеющей угловой коэффициент
k = bQ/Cl = — (dF/dx^ : (dF/dx2)°.	(2.37)
Соотношение (2.37) определяет производную функции х2 = x2(Xi),
заданной в неявной форме уравнением (2.36). Поэтому окончательно
k = (dx2/dx^ — dx2/dxi I _*o.	(2.38)
Рис. 2.3. К пояснению
геометрического смысла
линеаризации
Таким образом, геометрический смысл
линеаризации применительно к установив-
шимся режимам состоит в том, что реальная
статическая характеристика звена заменяется
касательной к ней, проведенной в точке Ov
соответствующей режиму, выбранному за
исходный при линеаризации. В том случае,
когда касательную к статической характе-
ристике в точке О± провести нельзя (харак-
теристика в этой точке имеет излом, разрыв,
неоднозначность и т. д.), линеаризация отно-
сительно выбранного исходного режима не-
возможна. Поэтому часто уже по виду ста-
тической характеристики звена удается су-
дить о возможности или невозможности
линеаризации описывающего его дифферен-
циального уравнения.
Рис. 2.3 наглядно показывает, что чем меньше отклонение величи-
ны Xi от исходного значения х®, тем ближе расположена касательная
к статической характеристике звена и тем точнее, следовательно, ли-
неаризация.
Коэффициент k в уравнении (2.35) может быть определен графо-
аналитически при помощи соотношения
£ = mtg<?,	(2.39)
где т — коэффициент, учитывающий масштабы, принятые по осям
координат; ср — угол, составленный касательной к статической ха-
рактеристике звена в точке Oi с осью абсцисс.
Наличие второго члена в правой части уравнения (2.34) ничего
принципиально нового не вносит и свидетельствует лишь о том, что
в установившемся режиме отклонение Дх2 выходной величины звена
от исходного значения в общем случае определяется отклонением не
только входной величины Дхь но и дополнительного воздействия
А/ (например, какого-либо возмущения).
98
Аналогично может быть проиллюстрирован процесс перехода от
нелинейного дифференциального уравнения (2.5) к линейному уравне-
нию (2.19). Суть перехода заключается здесь в приближенной замене
многомерной поверхности, определяемой уравнением (2.5), касатель-
ной к ней многомерной плоскостью, задаваемой уравнением (2.19).
В силу громоздкости и малой наглядности геометрических построений
в многомерном пространстве такой подход не приносит практической
пользы и подробно здесь не рассматривается.
Из сопоставления уравнений (2.5) и (2.19) видно, что результат
линеаризации (2.19) может быть написан сразу, так как левая часть
линеаризованного уравнения представляет собой сумму произведений
частных производных функции F по каждому из ее аргументов на от-
клонения этих аргументов от исходных значений.
Этот результат, полученный на примере дифференциального урав-
нения первого порядка, сохраняет силу для уравнений произвольного
порядка. В частности, для уравнения (2.6) линеаризованное уравне-
ние запишется в виде
(dF/дХъУ Дх2 + (dF/d х2)° Дх2 + (dF/dx2)°Ax2 + (dF/dx^ Д -к
4- (dF/dx^ \х, -k (dFIdf^kf -к (dF/df)* bf = 0.	(2.40)
Уравнение (2.40) можно записать в форме (2,30), если обозначить
с(Р) = W* -к с& +-с2;	(2.41)
&(р) = &ор + ^;	(2.42)
г(р) = гор +	(2.43)
где
с0 = (dF!dx2)*\ с. = (dF!dx^\
с2 = (dF/dx2)Q\ bQ== —- (dF/dxJ*-, bx = — (dFldx^\ • (2.44)
r0 = — (dF!dfy>\ = — (dF/df)0.
Здесь символические полиномы b (p) и г (p) имеют первую степень
относительно р. Ранее отмечалось, что признаком стандартной формы
записи дифференциальных уравнений является равенство единице
первых отличных от нуля коэффициентов при младших степенях р
во всех участвующих; в рассмотрении символических полиномах.
Пусть, например, с2 =/= 0,	=/= 0 и г{ =/= 0. Тогда результат линеари-
зации уравнения (2.6) может быть записан следующим образом:
(с0р2 -к с{р -к с2) Дх2 = [(&0/^i) Р + П Д%1 + ri [(rjrj р 4- 1] Д/.
Поделив обе части последнего уравнения на коэффициент с2,
будем иметь
iW2 = A/^p+ 1\дХ1+_^ро.р+ 1W (2.45)
\ С*2	Сд	/	^2 \	\ ^*1	/
4*
99
Предположим дополнительно, что с0с2>0. Тогда уравнение (2.45)
можно представить в виде
(TV + 21Тр + 1) Дх2 = k(xp+ 1) Дх, + kf {tfp + 1) Д/.	(2.46)
Здесь
Т — \fcjc2 ; $ = ct/(2 К с0с2); k = bxlc2\ т = bjb^, kf — rjc2\
V = rjrlt
причем нетрудно показать, что
= М =	= ИМЛ [kf] = [x2]/[f].
Уравнение (2.45) представляет собой один из примеров стандарт-
ной формы записи линейного дифференциального уравнения второго
порядка. Как и для уравнения первого порядка, коэффициенты Т,
т и ту, имеющие размерность времени, называются постоянными вре-
мени звена, а величины k и kf — коэффициентами передачи звена.
При пользовании стандартной формой записи удобно считать все
постоянные времени и коэффициенты передачи звена неотрицательны-
ми числами. Поэтому, например, в том случае, когда при вычислениях
по формулам (2.44) окажется, что >0, Ci> 0, с2 <0, b0 > 0,
61 >0, г0 < 0, Г1 > 0, уравнение (2.40) следует записывать так:
(Т2р2 + 2%Тр — 1)Дх2 =	+ l)Axt + k^—^p + 1)Д/,
где коэффициенты
т = V^CO/|с21; 5= с/(2 /с0|с2| ); k^b^c^, t = bjb£
kf = п/|с2|; V = lrol/ri
являются положительными.
Для уравнения (2.4) произвольного порядка результат линеари-
зации имеет следующий вид:
v / dF \° л	। v ! dF V L l^-&> 1 Лл2	+ L1 дх{m~k' 1 k=0 '	'	k=0 ' ' +s (Х«У4'“'я=о /2=0 '	' Обозначив Ck = (dF/dx^n-k))°, k = 0, 1,2, bk = — (dF/dx^)0, k = 0, 1,2, rk = — (dFldf^Y, k = 0, 1, 2	Nx^~k} + (2.47) ..., n;	(2.48) ..., m-,	(2.49) ,..., q,	(2.50)
100
уравнение (2.47) можно записать так:
(СоРп 4- qp""1 + • • • 4- c„_iP 4- с„) Дх2 = (Ь^ 4- Ьхрт~1 +...
-----F 6/n-iP + bm) Дхх + (Грр? + 1\рч~1 4---1- rq..ip 4- rq) kf. (2.51)
Уравнение (2.51) после введения символических полиномов
с(р) = СоР" + ciP"-1 -1---+ с„;	. (2.52)
b (Р) =	4- biP^ 4- • •  4- bm-,	(2.53)
Г (Р) = ГоР7 4- fiP’-1 + • • • 4- rq	(2.54)
приводится к уравнению (2.30). Рассмотренные ранее линейные урав-
нения 1 и 2-го порядков являются частным случаем уравнения (2.51)
при п — 1,2 и т — q = п — 1. Это позволяет считать уравнение
(2.51) общим уравнением обыкновенного линейного звена при наличии
одного возмущающего воздействия. В правой части уравнения (2.51)
фигурируют внешние воздействия Дх( и Д/, умноженные на соответст-
вующие символические многочлены. Поэтому по аналогии в том слу-
чае, когда на звено действует несколько возмущений Д, f2, ... , fa,
общее уравнение звена можно записать следующим образом:
с (р) Дх2 = Ь (р) Д«! + £ (р) kfk.	(2,55)
fe=l
Здесь
rk(p) ^rkopQk + rklp4k *4------* = 1, 2,... (V— (2.56)
некоторые многочлены степени qh относительно символа дифференту
рования р.
Если возмущения отсутствуют или не учитываются, то общее урав-
нение линейного звена будет таким:
с (р) Дх2 = b (р) Дхь	(2,57)
или, в развернутом виде,
(Сорп 4- ciPn~l 4- • • • 4- с„) Дх2 = (6оРт 4- biPm-1 4- • • • 4- bm) Дх,. (2,58)
Запишем последнее уравнение в стандартной форме. Пусть, на-
пример, сп = сп_! = ... = сп_,+1 = 0, сп_,#= 0, п — целое неот-
рицательное число. Пусть, далее, Ьт =£ 0. Тогда уравнение (2.58) мо-
жет быть переписано так:
(Сдр" “ ’ 4- с$п ~ ~1 4-----у c„_v) р’ Дх2 =
= Ьт \.(bjbm)p™ 4- {Ьг/Ьт) р^-1 4- • • • 4- 1] ДХ1.
101
Разделив правую и левую части этого уравнения на коэффициент
сп_„ получим
(Сор"~’ + Cjf - ’ -1 + • • • +1 )р’ Дх2 = Ь (В^рт + Вхрт~Ч-  •	• н- 1)ДХр (2.59)
Здесь	
Ct =	, i = 0, 1, 2, ..., п — v;	(2.60)
Bi = bi/bm, i — 0, 1, 2,..., m;	(2.61)
kv = bmicn_y.	(2.62)
Очевидно, что	
[Сг] = секп~',~‘\	(2.63)
[BJ = сект~1\	(2.64)
[ k-t ] = [х2]/[х!] сек? ,	(2.65)
В том случае, когда входная и выходная величины звена имеют
одинаковую размерность,
[&J = \!сек\	(2.66)
Величина k.t в уравнении (2.59) называется коэффициентом пере-
дачи звена. Для выяснения его физического смысла будем считать
входное воздействие постоянным: ДХ1 = Ах? = const. Тогда в правой
части уравнения (2.59) все производные будут равны нулю и оно за-
пишется в следующем виде:
(Сор"-’ + ч-------------1- 1) р’ Дх2 = k, Дх?.	(2.67)
Ограничимся рассмотрением установившегося режима работы зве-
на. С математической точки зрения такой режим представляет собой
частное решение Д%2уст дифференциального уравнения (2.67). Так
как характеристическое уравнение звена
CQsn + Cxsn^ +•••+ Q-v-i sv+1 н- sv = О
(s — комплексная переменная) имеет v-кратный корень s = 0, то
Август ==	-f- av>
где а0, аь ..., av — некоторые числа. Поэтому
PVAX2 уст =	!’ а Р1^Х2 уст = 0	= v + 1 v + 2,..., и.
Отсюда следует, что установившийся режим работы звена описы-
вается уравнением
pvAx2ycT	(2.68)
102
из которого
k, = р’Дх2уст/Дх°.	(2.69)
Таким образом, для звена, описываемого уравнением (2.59),
коэффициент передачи /г, равен отношению v-й производной от уста-
новившегося значения выходной величины к входному постоянному
сигналу. При v = О
== Ах2 уст^ ДХ|	[/?0] — [x2J/[x,Jj
при v = 1
= рДх2 уСТ/Дхь [&J = [xJ/QxJ сек)-,
при v = 2
k2 = р2Дх2уст/Дх?. [А2] = [x2]/([XiJ сек*)
и т. д. Часто при v = 0 коэффициент kQ обозначают просто буквой k.
Для сокращенной записи уравнения (2.59) целесообразно ввести
следующие обозначения:
C„_v(p) = Сорп- +	1 + •.. + 1;	(2,70)
В (р) = BQpm + Вгрт~* 4- • • • + L	(2,71)
Тогда уравнение (2*59) запишется так:
v (р) pv Д%2 = Д-Ч*	(2®72)
Многочлены (2.70) и (2.71), фигурирующие в стандартной форме
записи дифференциального уравнения звена, обладают тем свойством,
что
C„_v(0) = B(0) = 1.	(2,73)
В дальнейшем для сокращения записи будем опускать символ при-
ращения Д перед обозначениями входных и выходных величин звена
и возмущающих воздействий. При этом не следует забывать, что в тех
случаях, когда линейное уравнение получается в результате линеари-
зации какого-либо нелинейного соотношения, входящие в него пере-
менные обязательно представляют собой отклонения соответствую-
щих координат от их значений, принятых за исходные при линеари-
зации.
§ 2.3. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ
ЗВЕНЬЕВ
Рассмотрим динамическое звено (см. рис. 2.1), работа которого
описывается линейным дифференциальным уравнением
с (р) х2 = b (р) X, + г (р) /,	(2.74)
103
где
С (р) = соря + с1Ря-‘ + • • • + с„;	(2.75)
b (р) =	+ • • • 4- Ьт\	(2.76)
г(р) =	+	. 4- rq.	(2.77)
В уравнениях (2.75)-?(2.77) сг, bit rt — вещественные числа; п, т,
q — целые неотрицательные числа и т п, q п.
Уравнение (2.74) исчерпывающе характеризует динамические свой-
ства звена, так как позволяет найти реакцию звена x2(t) на любые
входные сигналы х$) и возмущения f (t). Для этого должны быть
заданы законы изменения внешних воздействий xf и f как функции
времени и начальные условия
х2(0) = х20 Х2 (о) = %2о .... Х2п} (0) = х£\	(2.78)
характеризующие состояние динамического звена в момент t = 0
приложения внешних воздействий. Если при t == 0 звено находилось
в покое, то
«2 (0) = Х2 (0) = • • • = хГ’ (0) = 0.	(2.79)
Обычно начальные условия (2.79) называются нулевыми начальными
условиями.
Для описания динамических свойств линейных звеньев в теории
автоматического управления, кроме дифференциальных уравнений,
широко используются передаточные функции, временные и частотные
характеристики, выгодно отличающиеся от дифференциальных урав-
нений значительно большей наглядностью и (для частотных и вре-
менных характеристик) возможностью экспериментального опреде-
ления.
Передаточной функцией звена по какому-либо внешнему воздейст-
ствию называется отношение преобразования Лапласа (см. § 4.2)
выходной величины звена к преобразованию Лапласа рассматривае-
мого внешнего воздействия. При этом все другие внешние воздействия
полагаются равными нулю, а преобразования Лапласа выходной ве-
личины и внешнего воздействия вычисляются при нулевых начальных
значениях самих функций и их производных.
Из приведенного определения следует, что для любого звена с одной
выходной величиной число передаточных функций равно числу внеш-
них воздействий. В частности, для звена, изображенного на рис. 2.1,
можно ввести передаточную функцию по входной величине
W{s) = X2(s)/X^s)	(2.80)
и передаточную функцию по возмущению
Wf(s) = X2(s)!F^	(2.81)
104
В уравнениях (2.80) и (2.81) з— комплексная переменная, а
Х2 (з) = L {хг (0) = J х2 (/) е"*( dt;
и
Хг(8) — L { xx(t)} =Jx1(0e-M/;
О
F(s) = £(/(/)} = J/(Z)e-'d/
о
(2.82)
(2.83)
(2.84)
— преобразования Лапласа (изображения)* соответствующих функ-
ций времени (оригиналов).
Применительно к уравнению (2.74) при вычислении изображений
(2.82)ч-(2.84) следует считать выполненными следующие соотно-
шения:
х2(0) = хН0)= ... =4п)(0) = 0; 1
,	t ч	}	(2.00}
хх (0) = х, (0) = • • • = xf"0 (0) = 0; J
f (0) = /' (0) = •. • =	(0) = 0.	(2.86)
Часто передаточная функция (2.80) называется основной переда-
точной функцией или просто передаточной функцией звена.
Соотношения (2.80) и (2.81) представляют собой определения соот-
ветствующих передаточных функций звена. Использовать их для не-
посредственного вычисления передаточных функций явно нецелесо-
образно.
Покажем, что передаточные функции звена весьма просто могут
быть найдены, если известно дифференциальное уравнение звена.
Для этого преобразуем уравнение (2.74) по Лапласу. Учитывая теоре-
му линейности, получим
соЬ{р"х2(О} + ... + cnL (х2(0) = baL {р"1 Xi (/)} + ... +bmL {хг(/)| 4-
+ r0L{p4f(f)} + ...+r9L{f(t)}.	(2.87)
По теореме об изображении производной
L{pkx2(t)\ = s*X2(s), Z> = 0, 1, 2, ..., и;
L {pk (/)) =	(s), k = 0. 1, 2, ..., т\
L{pk f (t)\ — sk F (s)\	1,2.....q,
* Для обозначения изображений в настоящей книге используются те же
буквы, что и для оригиналов, только не строчные, а прописные.
105
так как выполнены соотношения (2.85) и (2.86). Поэтому урав-
нение (2.87) приводится к виду
c0s«X2(s)+ ... +cnX2(s) = &os'”X1(s) + - + &mX1(s) +
4- ros<>F(s) + ... 4- rQF(s)
или к виду
c (s) Х2 (s) = b (s) X, (s) 4- r (s) F (s),	(2.88)
где
c(s) -= c(P)|p==$ = cosn 4- CjS"-1 4- ... 4-c„_ts 4-c„;	(2.89)
b (s) = b (p) |p_ = b0 sm 4- bx s'"”1 4-... 4- bm_i s 4- fem;	(2.90)
r(s) “ф)^ = r0«9 + г,*9'1 + - + r9.1s + rQ. (2.91)
Несмотря на формальное сходство, уравнения (2.74) и (2.88) резко
отличаются друг от друга. Уравнение (2.74) представляет собой диф-
ференциальное уравнение n-го порядка относительно неизвестной
функции времени х2(/), тогда как уравнение (2.88) является алгебраи-
ческим уравнением первой степени относительно неизвестного изобра-
жения X2(s)*.
Соотношение (2.88) называется уравнением динамического звена
относительно изображений при нулевых начальных значениях. Оно
легко может быть получено из дифференциального уравнения звена
(2.74) путем формальной замены символа дифференцирования р комп-
лексной переменной s и функций времени х2(/), xi(0, f (0 — их изоб-
ражениями X2(s), X!(s),F(s). Разрешив уравнение (2.88) относительно
изображения выходной величины звена, получим
X2(s) - [b(s)/c(s)]X}(s) + [r(s)/c(s)]F(s).	(2.92)
При F(s)r=0 из (2.92) следует, что передаточная функция звена
w (S) =	=.. _^5.СТ. +	.	(2.93)
* (s) cQsn -I- c1S«-’ + ... -I- cn
Положив в соотношении (2.92) X4(s) = 0, найдем передаточную
функцию звена по возмущению
Wt =	^- + ^^ + -+4	(2.94)
c(s) c.sn	4- ... +cn	V 7
Формулы (2.93) и (2.94) показывают, что для определения переда-
точной функции звена по какому-либо внешнему воздействию необхо-
димо:
а)	записать дифференциальное уравнение звена в символической
форме;
б)	разделить формально символический многочлен, стоящий в
правой части дифференциального уравнения звена множителем перед
* Для решения уравнения (2.74) функции xi(t) и /(/) должны быть за-
даны, поэтому их изображения Xi(s) и F(s) считаются известными.
106
интересующим нас внешним воздействием, на символический много-
член, фигурирующий в левой части дифференциального уравнения
звена;
в)	в полученном результате заменить символ дифференцирования
р комплексной переменной s.
Например, для звена, описываемого дифференциальным уравне-
нием (2.31), передаточная функция
W(s) = kl(\ + Ts),
а передаточная функция по возмущению
rz(S)=Ml + Ts).
Для звена, описываемого уравнением (2.72),
W (s) =	. =	+	+ ... + )
сп_^ s” (Cosn-’ + C1sn-’'-1 + ... + 1)
Функция (2.95) называется передаточной функцией звена в стан-
дартной форме записи.
При выводе формул (2.93) и (2.94) конкретный вид функций x^t)
и f (t) не оговаривался. Отсюда следует, что передаточная функция
линейного звена по какому-либо внешнему воздействию не зависит от
закона изменения этого воздействия и определяется только свойствами
самого звена.
Соотношения (2.93) и (2.94) показывают, что передаточные функ-
ции обыкновенных линейных звеньев являются дробно-рациональны-
ми функциями комплексной переменной $, числитель и знаменатель
которых представляют собой многочлены относительно s с вещест-
венными коэффициентами, зависящими от параметров звена. Как
правило, у передаточных функций звеньев степень числителя не пре-
восходит степени знаменателя (m и, q < и). Чаще всего степень
числителя меньше степени знаменателя (т < и, q < п) и передаточ-
ные функции являются правильными дробно-рациональными функ-
циями S.
Сопоставив формулы (2.93) и (2.94), нетрудно убедиться в том,
что все передаточные функции какого-либо конкретного звена имеют
один и тот же знаменатель.
Многочлен (2.89), фигурирующий в знаменателе передаточных
функций звена, называется ^характеристическим полиномом этого
звена, а уравнение
c(s) = 0	(2.96)
— характеристическим уравнением звена. Для звена, описываемого
дифференциальным уравнением n-го порядка, характеристическое
уравнение представляет собой алгебраическое уравнение n-й степени
и имеет п корней: s2, ... , sn*, среди которых могут быть как вещест-
венные, так и комплексно-сопряженные.
* Если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
107
Корни многочлена, стоящего в знаменателе передаточной функции,
называются полюсами этой передаточной функции; корни многочлена,
стоящего в числителе передаточной функции, —нулями этой переда-
точной функции.
Из алгебры известно, что многочлены с ($) и b ($) могут быть пред-
ставлены в следующем виде:
c(s) = CO(S —st)(s — s2). ..(s — s„);
(2. У *)
6(s) ==Z>0(s— S?)(s— Si)	S®),
где s® , s®.. s°—корни многочлена b(s).
Поэтому передаточная функция (2.93)
= , (2.98)
со ($	§1) (s s2) ... (s sn)
откуда следует, что задание нулей и полюсов определяет передаточ-
ную функцию звена с точностью до постоянного множителя
В том случае, когда вещественные части всех полюсов передаточ-
ной функции отрицательны, т. е.
Resft<0, /г =1,2, ..., и,	(2.99)
звено называется устойчивым, В устойчивых звеньях переходная со-
ставляющая выходной величины с течением времени затухает (см.
гл. 5).
Ранее показано, что по дифференциальному уравнению звена его
передаточные функции определяются весьма просто. Покажем, что так
же просто можно получить дифференциальное уравнение звена по
известным передаточным функциям.
Пусть, например, на звено действует единственное возмущение /
и известны основная передаточная функция звена (2.93) и передаточ-
ная функция звена по возмущению (2.94). Тогда на основании соотно-
шения (2.92) можно найти изображение выходной величины звена
X2(s) = U/(s)X1(s)+ Wf(s)F(s),	(2.100)
Умножив обе части соотношения (2.100) на характеристический
полином звена с (s), получим уравнение (2.88). Поэтому для нахожде-
ния дифференциального уравнения звена достаточно в уравнении
(2.88) заменить комплексную переменную s символом дифференциро-
вания р и изображения X2(s), A\(s), F (s) — оригиналами x2(f), x^t),
f (t). В результате будем иметь уравнение (2.74).
Обратимся вновь к соотношению (2.100) и запишем его следующим
образом:
X2(s) = X2Xi(s) + X2/(s).	(2.101)
Здесь
= (з)ВД	(2.102)
108
— составляющая изображения выходной величины звена, обуслов-
ленная входной величиной;
X2f(s)~Wf(s)F(s)	(2.103)
— составляющая изображения выходной величины звена, обусловлен-
ная возмущающим воздействием.
Формулы (2.102) и (2.103) удобно изображать графически так, как
это показано на рис. 2.4, а, б, где выходная величина каждого из пря-
моугольников представляет собой результат произведения входной
величины на передаточную функцию, записанную внутри прямоуголь-
ника. Условимся элемент суммирования обозначать графически в виде
Рис. 2.4. Структурная схема динамического звена для слу-
чая одного входного и одного возмущающего воздействий:
а, б — графическое изображение отдельных составляющих преобразо-
вания Лапласа выходной величины звена; в, г — графическое изобра-
жение сложения и вычитания двух переменных; д — структурная схема
звена
перечеркнутого кружка (рис. 2.4, в). Этот же символ в случае необхо-
димости используется и для обозначения операции вычитания, только
тогда сектор, соответствующий вычитаемому, изображается зачернен-
ным (рис. 2.4, г).
После введения упомянутых выше графических обозначений основ-
ное уравнение звена (2.100) может быть изображено в виде, показан-
ном на рис. 2.4, д. Этот рисунок представляет собой так называемую
структурную схему динамического звена.
Структурной схемой системы автоматического управления, эле-
мента автоматики или какого-либо другого устройства называется
схема, показывающая, из каких звеньев состоит это устройство и как
эти звенья соединены между собой. С принципиальной точки зрения
структурная схема представляет собой просто графическое изображе-
ние уравнений, связывающих преобразования Лапласа входных
и выходных переменных. Благодаря своей наглядности структурные
схемы широко применяются в теории автоматического управления.
Часто на структурных схемах входными и выходными величинами
звеньев условно считают не изображения, а сами функции — ориги-
налы (см. рис. 2.4, д). Это позволяет в случае необходимости приво-
дить непосредственно на структурных схемах графики изменения во
времени входных и выходных величин звеньев. При этом не следует
забывать, что соотношения вида (2.102) и (2.103), лежащие в основе
109
построения структурных схем, справедливы только для изображений
и не верны для оригиналов.
Выше подробно рассмотрен случай, когда к звену приложено два
внешних воздействия. Все полученные результаты легко обобщаются
и на случай большего числа внешних воздействий.
Пусть, например, к звену приложены возмущения ••• , fu
(рис. 2.5, а), и работа звена описывается дифференциальным уравне-
нием (2.55). Преобразовав это уравнение по Лапласу при нулевых
Рис. 2.5. Звено с несколькими возмущения-
ми (а) и его структурная схема (б)
начальных значениях функций х^/), х2(0, А(0, ••• , h (0 и их произ-
водных соответствующего порядка, получим, что
Х2 (s) = F (s) Xt (s) + S (s) Fk (s).	(2.104)
где
— %2	— rk — Гло	+ -• + rkqk
kS Fk(s) c (s) cQsn 4-c1sn“1 + ... +c„
— передаточная функция звена по возмущению fh.
Как видно, и в этом случае изображение выходной величины звена
представляет собой сумму произведений изображений внешних воз-
действий на соответствующие передаточные функции (рис. 2.5, б),
что является следствием справедливого для линейных звеньев прин-
ципа суперпозиции (наложения).
§ 2.4. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ОСНОВНЫХ
СОЕДИНЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ
Существует три основных типа соединений динамических звеньев:
последовательное, параллельное, встречно-параллельное (или соеди-
нение с обратной связью).
Последовательным называется такое соединение двух или несколь-
ких звеньев, при котором выходная величина предыдущего звена яв-
ляется входной величиной для последующего (рис. 2.6, а). Если вхо-
дящие в соединение звенья являются звеньями направленногодейст-
110
вия, то для схемы, изображенной на рис. 2.6, а, справедлива следую-
щая система равенств:
Fft(s) = Xft+1(s)/Xft(s), k = 1, 2,
Отсюда следует, что
N
П W (s) =	^V+l (s) __ ^\v-H (S)
11 к	' хГФ '	' x;V_! (s) ’ “кт® Xj(S) ‘
Рис. 2.6. Последовательное соединение
звеньев (а) и его эквивалентная струк-
турная схема (б)
Таким образом, изображения выходной и входной величин рас-
сматриваемого соединения связаны соотношением
XN+i(s) = W{s)X1(s)t	(2.106)
в котором
П Wk(s).	(2.107)
Полученный результат говорит о том, что последовательное соедине-
ние звеньев направленного действия в смысле прохождения сигнала
эквивалентно одному звену, переда-
точная функция которого (2.107) рав-
на произведению передаточных фун-
кций последовательно соединенных
звеньев. Это означает, что схемы, по-
казанные на рис. 2.6, а и 2.6, б, при
одинаковом входном сигнале бу-
дут иметь один и тот же выходной
сигнал Хм+1 (/).
Параллельным называется такое
соединение двух или нескольких
звеньев, при котором входная вели-
чина у всех звеньев одна и та же, а
выходные величины складываются
(рис. 2.7, а). Пусть x^t) означает
входную, а х2(0 — выходную вели-
чину параллельного соединения
звеньев, и пусть xih(t) есть выходная
величина £-го звена с передаточ-
о)
Рис. 2.7. Параллельное соеди-
нение звеньев (а) и его эквива-
лентная структурная схема (б)
111
ной функцией Ц^($). Тогда по определению параллельного соединения
N
Х2 (0 = X Xlk (0>
£==>)
где N — число звеньев, входящих в соединение.
Преобразовав последнее соотношение по Лапласу, получим, что
N
Х2 (s) = S Xlk (s)*
fe=i
Так как
то окончательно
X2(s) = Г(5)ХД5),	(2.108)
где
№($)=£ ИЗД.	(2-109)
k=]
Отсюда следует, что параллельное соединение звеньев направлен-
ного действия в смысле прохождения сигнала эквивалентно одному
звену, передаточная функция которого (2.109) равна сумме переда-
точных функций параллельно соединенных звеньев (рис. 2.7, б).
Встречно-параллельным называется такое соединение двух звеньев,
при котором выходная величина одного звена подается обратно на его
вход через другое звено (рис. 2.8, а и 2.9, а). Встречно-параллельное
X2(S)
Рис. 2.8. Звено, охваченное положительной обратной
связью (а) и его эквивалентная структурная схема (б)
соединение часто называется соединением с обратной связью. При этом
звено, стоящее в прямой цепи [звено с передаточной функцией U7t(s) 1
называется звеном, охватываемым обратной связью, а звено, стоящее
в цепи обратной связи [звено с передаточной функцией I^2(s)l — зве-
ном обратной связи. Выходная величина звена обратной связи хо.с(0
может складываться со входной величиной x^t) встречно-параллельно-
го соединения или вычитаться из нее. В первом случае имеет место
положительная (см. рис. 2.8, а), а во втором — отрицательная (см.
рис. 2.9, а) обратная связь. При положительной обратной связи на
вход звена, охватываемого обратной связью, поступает сигнал х (/) =
= x^t) + хо.е(0; при отрицательной обратной связи — сигнал х (/)=
= %1(/)	Хо.с(0-
112
Предположим, что оба входящих в соединение звена обладают свой-
ством направленного действия. Найдем соотношение, связывающее
изображения выходной х2 и входной величин встречно-параллель-
ного соединения звеньев.
1 ' f+W,(5)W2(S)
X2(S)
Рис. 2.9. Звено» охваченное отрицательной обратной
связью (а), и его эквивалентная структурная схема (б)
Изображение выходной величины
X2(s) = IF1(s)X(s).
Для положительной обратной связи (см. рис. 2.8, а)
X(s) = X1(s)+X0.c(s).
Так как
X0.c(s) = №2(s)X2(s),
то
X(s) = X1(s) + IF2(s) X2(s)
и
X2 (s) = W. (s) X (s) = Wt (s) X, (8) + W t (s)	(s) X2 (8).
°ТСЮДа X2 (8) = {IF, (s)/[ 1 - IF, (S) IF2 (8)1} X, (8),
или
X2(s) = ir(s)X1(s),	(2.110}
где
Г (s) = W. (s)/[l - W. (s) W2 (s)J.	(2.111)
Следовательно, звено направленного действия с передаточной
функцией U^i(s), охваченное положительной обратной связью через
Рис. 2.10. Звено, охваченное единичной отрицательной
обратной связью (а), и его эквивалентная структурная
схема (б)
звено направленного действия с передаточной функцией №2($), в смыс-
ле прохождения сигнала эквивалентно одному звену, передаточная
функция которого (2.111) равна передаточной функции звена, охва-
тываемого обратной связью, деленной на единицу минус произведе-
на
ние передаточных функций звеньев, входящих в соединение
(рис. 2.8, б).
При помощи аналогичных рассуждений нетрудно показать, что
соотношение (2.110) остается справедливым и для случая отрицатель-
ной обратной связи (рис. 2.9, б), если в нем
Г (s) = Гх(5)/[1 + W^s) r2(s)].	(2.112)
Важным частным случаем является единичная отрицательная
обратная связь (рис. 2.10), когда U72(s) = 1 и
Г(5)-Гх(5)/[1+ FJs)].	(2.113)
Соотношения (2.107), (2.109), (2.111)ч-(2.113) широко применя-
ются в теории регулирования и управления и часто используются в
дальнейшем.
§ 2.5. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ
ЗВЕНЬЕВ
Временной характеристикой звена по какому-либо внешнему
воздействию называется закон изменения выходной величины звена
х2 в функции времени при изменении внешнего воздействия по опре-
деленному закону и при условии, что до приложения внешнего воз-
действия звено находилось в покое.
Временные характеристики звена прежде всего зависят от внеш-
него воздействия, для которого они определяются. Можно рассматри-
вать эти характеристики по входной величине по возмущению Д
и т. д. Обычно в линейных звеньях при определении временных харак-
теристик по какому-либо внешнему воздействию все другие внешние
воздействия полагаются равными нулю.
Здесь будут рассмотрены временные характеристики только по
входной величине xlf которые часто называются просто временны-
Рис. 2.11. К определению переходной
функции (а) и функции веса звена (6)
ми характеристиками звена.
Для конкретного внешне-
го воздействия (в нашем слу-
чае Xi) временные характери-
стики зависят от свойств зве-
на и от принятого закона из-
менения внешнего воздейст-
вия. Чаще всего при получе-
нии временных характеристик
считают, что внешнее воздей-
ствие изменяется по закону
дельта-функции (1.55), либо
по закону единичной ступен-
чатой функции (1.44). Вре-
менные характеристики звена
при этих законах изменения
внешних воздействий получи-
114
ли специальные названия функции веса и переходной . функции
звена.
Переходной функцией звена h (t) называется реакция звена на вход-
ной сигнал Xi(t) = 1 (/) при условии, что до приложения входного-
воздействия звено находилось в покое (рис. 2.11, а).
Переходная функция может быть определена экспериментально
или вычислена теоретически. Если работа звена описывается диффе-
ренциальным уравнением (2.74), то для теоретического определения
переходной функции необходимо найти решение дифференциального
уравнения
при нулевых начальных условиях
й(О) = й'(О) = ... = hw (0) = 0.
Воспользовавшись преобразованием Лапласа, получим, что изоб-
ражение переходной функции
H(s) = W(s)/s,
так как L {!(/)} = 1/s. Отсюда следует, что
=	(2.114)
т. е. что переходная функция представляет собой обратное преобразо-
вание Лапласа от передаточной функции звена, деленной на s.
В общем случае передаточная функция звена определяется форму-
лой (2.93) при т п. Поэтому изображение
Н(s) =	+ ^4- ... + ^
S (СоSn -j- Ci+ ... +сл)
является правильной рациональной дробью относительно s и для на-
хождения соответствующего ему оригинала можно воспользоваться
теоремой разложения (см. § 4.2). При п > 3 для получения функ-
ции h (t) целесообразно использовать математические машины непре-
рывного действия или цифровые вычислительные машины.
Результаты вычисления переходной функции обычно представля-
ются в виде графика, построенного в координатах (/, Л). Конкретные
очертания функции h (/) (монотонная, колебательная и др.) зависят
от свойств звена и могут быть весьма разнообразными (см. § 2.9).
Начальное (при t -> 0+) и конечное (при t -> оо) значения пере-
ходной функции в случае необходимости можно найти, не вычисляя
саму функцию h (t). По теореме о начальном значении
h (0 +) = lim sH (s) = lim W (s).
115-
Подставив сюда формулу (2.93), получим, что
Л(0+) =
О , если т < и;
если т = и;
(2.115)
оо , если m>n.
Следовательно, в том случае, когда передаточная функция звена
W (s) представляет собой правильную рациональную дробь, началь-
ное значение переходной функции обязательно равно нулю.
По теореме о конечном значении
Л(оо) = lim sH(s) = lim W (s).
s->0	s->0
В том случае, когда у функции (2.93) коэффициент bm^0, вы-
числения по этой формуле дают:
С"*0’	(2.116)
( оо , если сп — О,
где k — коэффициент передачи звена.
Так как здесь рассматриваются линейные звенья, то при нееди-
ничном скачке входной величины x^t) = х? 1 (/) выходная величина
звена будет изменяться по закону x2(t) = x^hit), где х? == const.
Функцией веса (или импульсной переходной функцией) звена w (t)
называется его реакция на входной сигнал x^t) =6 (/) при условии,
что до приложения входного воздействия звено находилось в покое
(рис. 2.11,6).
Функция веса может быть найдена теоретически или эксперимен-
тально. Для экспериментального определения функции веса осцил-
лографируют процесс изменения выходной величины звена при вход-
ном воздействии в виде реального импульса произвольной формы с
единичной площадью. Возникающая при этом методическая погреш-
ность будет тем меньше, чем меньше длительность входного импульса
по сравнению с временем затухания переходных процессов в иссле-
дуемом звене.
Для теоретического вычисления функции веса звена, работа кото-
рого описывается уравнением (2.74), необходимо решить дифферен-
циальное уравнение
с(р)ш(0 = b(p)S(t)
при нулевых начальных условиях
w (0) = w' (0) = ... = ш(п> (0) = 0.
Преобразовав это уравнение по Лапласу, получим
L (te>(0) - Г (з),
так как L {3 (/)) = 1. Отсюда
w(t) = L-1 {№(«)}•	(2.117)
116
Таким образом, функция веса звена представляет собой обратное
преобразование Лапласа от передаточной функции звена. Если функ-
ция W ($) является правильной рациональной дробью, то практиче-
ские расчеты при помощи формулы (2.117) могут быть выполнены по
теореме разложения. При п > 3 вычисления целесообразно произво-
дить на вычислительных машинах (особенно в том случае, когда тре-
буется найти семейство функций веса для серии значений одного или
нескольких варьируемых параметров звена).
Начальное и конечное значения функции веса могут быть опреде-
лены по следующим формулам:
w (0 +) = lim sW (s);
S->oo
ш(оо) = limsIT (s).
s->0
Для передаточной функции (2.93) расчет по этим формулам дает:

ау(О +) =
		о ,	если	т<	Сп— 1;
			если	т -	= п— 1;
		00 ,	если	т'.	> п — 1;
(	)	>	если	сп	¥=0;
t			если	сп	— cn-i ¥= 0:
оо			если	Сп	= сп-1 ~
В последнем соотношении принято, что у функции W (s) коэффи-
циент Ьт 0.
Функция веса обычно строится графически в координатах (/, ш).
Характер графика w (t) может быть самым разнообразным и зависит
от свойств звена (см. § 2.9).
В том случае, когда на вход линейного звена поступает неединич-
ная дельта-функция xx(f) =	(О, где х°х = const, реакция звена на
этот сигнал может быть подсчитана по формуле x2(t) = x^w (t).
Найдем связь между переходной функцией и функцией веса зве-
на. По теореме об изображении производной
L{h'(t)\ =sH(s) — h(O+) = W(s)~ Л(0+),
откуда
W(s) = L{h'(t)}+h(O +).
Переход от изображений к оригиналам дает искомую зависимость
w(t) = dh(t)/dt + h(Q+)b(t).	(2.118)
Если передаточная функция звена является правильной рацио-
нальной дробью, то h (0+) = 0 и выражение (2.118) принимает более
простой вид:
’ w(t)^dh(t)/dt.
117
Вследствие наличия однозначной связи между функциями h (/) и
w (/) в конкретных расчетах обычно используется только одна из этих
характеристик. В большинстве случаев предпочтение отдается пере-
ходной функции звена, так как ее экспериментальное определение
проще, нежели функции веса.
Переходная функция и функция веса не менее полно характери-
зуют динамические свойства звена, чем дифференциальное уравнение
и передаточные функции. В частности, располагая функциями w (t) и
h (/), можно найти реакцию звена на входной сигнал x^t), изменяю-
щийся по любому закону, при помощи соотношений, называемых ин-
тегралами Дюамеля\
t
х2(/) = j* W ('с) (t — т) dx\
6
t
х2 (/) = xi (0) h (t) + J h (t) x' (t — t) dz.
о
К преимуществам временных характеристик перед передаточными
функциями и дифференциальными уравнениями можно отнести воз-
можность их экспериментального определения и значительно боль-
шую наглядность. Основным недостатком является сложность соотно-
шений, выражающих переходную функцию и функцию веса последо-
вательного и встречно-параллельного соединения звеньев через вре-
менные характеристики звеньев, входящих в соединение. Кроме того,
теоретическое вычисление временных характеристик для звеньев,
описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка,
достаточно трудоемко.
§ 2.6.	ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ
ЗВЕНЬЕВ
Временными характеристиками удобно пользоваться при опреде-
лении характера переходного процесса в системах автоматического
регулирования. Однако в реальных системах очень часто входной
сигнал изменяется по гармоническому закону заданной амплитуды
и частоты. При исследовании САР ставится задача нахождения пара-
метров колебаний на выходе системы по известным параметрам коле-
баний на входе. Решение этой задачи с помощью временных характе-
ристик представляет определенные трудности. Рассматриваемый ниже
частотный метод позволяет получить реакцию звена (системы) на лю-
бой периодический сигнал.
Допустим, что сигнал, поступающий на вход звена с передаточ-
ной функцией W ($), изменяется по гармоническому закону
xt (/) = Ar sin (со/ + фх);	(2.119)
где At — амплитуда входного сигнала; со— круговая частота
(0 < со < оо); ф! — начальная фаза входного сигнала.
118
Требуется определить выходной сигнал звена в установившемся
режиме.
Используя линейное дифференциальное уравнение (2.57) и выра-
жение (2.119), запишем
с (Р) х2 (0 = b (р) Аг sin (со/ + cpL).	(2.120)
При нулевых начальных условиях решение этого уравнения в
форме преобразования Лапласа будет иметь вид
X2(s) = U7(s)(cocoscp1 + s • sin<px)/(s2 + (о2).	(2.121)
Если передаточная функция (2.93) является правильной дробью
(n>m), то и X2(s)— также правильная дробь. Поэтому по теореме
разложения
п+2
^2(S) = S—>	(2-122)
^S~Sk
где Bk — коэффициенты разложения; sh — корни уравнения
с (s) (s2 + о>2) = 0. Решение (2.122) справедливо при отсутствии в
характеристическом уравнении кратных корней.
Коэффициенты разложения Bh могут быть найдены по формуле
Sft = lim(s — зй)Л2(з), k = 1, 2, ..., п, п +1, п + 2.
Определим коэффициенты Вп+1 и Вп+2, приняв, что з„+1 “ + /со,
s„+2 = — /со. Тогда
B„+i = Hm(s —/©) X2(s).
Подставив в это выражение'формулу (2-121), будем иметь
в,1+1 =	(/'«)(cos ср, + / sin <h)/(2j).
Так как / = е7 ”/2, то
Bn+l =	е7 ^-^/2.
Выражение для
Г(/(0)=Г(з)|5=/щ
можно представить в показательной форме:
й7(/со) = |Г(/(о)|е7аг8'Г(7ш).
Окончательно получим
Вп+1 = ДI W (/со) | е7 [ar® w <7“>+'Р‘-’'/21 / 2.
Выполнив аналогичные вычисления, можно убедиться в том, что
Вп+2 = Bn+i, т. е. коэффициент Вп+2 является комплексно-сопряжен-
ным коэффициенту Bn+i,
Переход от изображений к оригиналам позволяет записать выра-
119
жение (2,122) в виде
х2 (0 = S Bk е* 1 (/) + (В„+1	+ Вп+2 е-/<о9 • 1 (0. (2.123)
ki=\
Первое слагаемое выражения (2.123) характеризует переходный
процесс, второе — установившийся. В устойчивых звеньях переход-
ный процесс с течением времени затухает (Res^<0), поэтому
lim х2п (/) = lim J] Bk eSk* = 0.
/—►СО	/-* 00	,	.
R=i
Учитывая, что Вп+2 = Вп+1 искомую составляющую установивше-
гося процесса представим в виде
х2уст (/) = 2Re Вп+1 е/ш/.
Подставив в это выражение значение коэффициента Вп+Ь получим:
*2Уст (0 = AI w О) Isin + аг£ w (J®) + Til- (2.124)
Из (2.124) видно, что в итоге на выходе линейного звена уста-
навливаются гармонические колебания той же частоты со, амплитуда
которых
Л2 = Лг| U7 (/со)|,	(2.125)
а начальная фаза
Ф2 = Ф1 + агё w (№)•	(2.126)
Таким образом, А2 и ср2 зависят от частоты входного сигнала со.
При прохождении гармонического сигнала через устойчивое линей-
Рис. 2.12. Входной и выходной
гармонические сигналы линейного
звена
ное звено изменяется его амплитуда
и начальная фаза. Для неустойчивого
звена приведенные выкладки теряют
физический смысл. Входной и выход-
ной сигналы звена показаны на рис.
2.12, из которого видно, что на выхо-
де звена сигнал смещен по фазе (при-
нято ф! = 0) и имеет другую ампли-
туду. Искаженный вид начального
участка выходного сигнала объясня-
ется влиянием переходного процесса.
Формулы (2.125) и (2.126) показывают, что для определения уста-
новившейся реакции звена с передаточной функцией W ($) на гармо-
нический входной сигнал достаточно знать комплексную функцию
IT (/w) вещественного переменного ю. Функция
Г(/(о) =
&o(/o>)OT + fel(/<Q)'n-1 + ... + fegl
Со (/")" + «I (/<o)n_1 + ... + Сп
(2.127)
получающаяся при замене в передаточной функции s на
/«> (0 <; w <. оо) называется частотной передаточной функцией зве-
на и может быть представлена в нескольких видах. Так, например,
Ц7 (/«>)= Л (<о) е/ф (ш),	(2.128)
120
где
кроме того,
где
А ((о) = | W (До) |; ф (со) = arg W (](d)',
W (j(D) = U (co) + jV (co),
U ((d) = Re W (j(D)\ V ((d) = Im W (/co).
(2.129)
Функция A (co) называется амплитудной частотной характерис-
тикой (а.ч.х.), а функция гр (со) — фазовой частотной характерис-
тикой (ф.ч.х.) звена. Функции (7 (со) и V (со) называются вещественной
и мнимой частотными характеристиками звена.
Для каждого фиксированного значения со = сог
частотная передаточная функция на плоскости
(U, jV) может быть изображена вектором A ((Di),
отклоненным от положительного направления оси
абсцисс на угол ф (cof). Годограф этого вектора при
изменении частоты от 0 до 4- оо называется ампли-
тудно-фазовой частотной характеристикой
(а.ф.х.) звена.
Из выражения (2.125) видно, что модуль век-
тора W (]'<») равен отношению амплитуд выходно-
го (2.124) и входного (2.119) сигналов. Угол от-
клонения вектора от вещественной оси может быть
найден из формулы (2.126): гр = ср2 — <Pi. А.ф.х.
строится по точкам при задании различных значе-
ний частоты в диапазоне от 0 до +оо.
Рис. 2.13. Ампли-
тудно-фазовая ча-
стотная характе-
ристика звена
На рис. 2.13 представлена одна из возможных форм а.ф.х. линей-
ного звена. Зеркальное отображение этой характеристики в верхней
полуплоскости объясняется тем, что замена в передаточной функции
—|—со на —со дает сопряженные комплексные числа. Указанная на этом
рисунке штриховой линией часть а.ф.х. не имеет физического смысла,
однако в некоторых случаях она представляет теоретический интерес.
Построению частотных характеристик А (со), гр (со), U (со) и V (со)
должен предшествовать подготовительный этап некоторых преобра-
зований. Представив частотную передаточную функцию (2.127) в
виде
W (j(D) = [U4 ((D) + / Гч ((D)]/[U3 ((D) + / V3 (ю)]
где U4 и U3 — вещественные части числителя и знаменателя; Гч и
V3 — мнимые части числителя и знаменателя, можно записать
А(<о) = | W (»I = /	+ Ич) / (^ + ^ );	(2-130)
ф ((О) = arg (U4 + / V4) - arg (U3 + / V3).	(2.131)
Чтобы определить U (co) и V (со), достаточно числитель и знамена-
тель функции (2.127) умножить на комплексное выражение, сопряжен-
ное знаменателю:
W (М) = (С/, + / V4) (U3 - / v3)Z( t/2 + v2a) .
121
Из этого выражения получим
f/(co) = (t/4t/3 + V4va)/(U23 +V*);	(2.132)
V^) = (U3V4-U4V3)/(U23 + V23 ).	(2.133)
Амплитудная, фазовая, вещественная и мнимая частотные харак-
теристики, построенные по точкам, представлены на рис. 2.14, а, б
и 2.15, а, б.
Рис. 2.14. Амплитудная
(а) и фазовая (б) частот-
ные характеристики звена
Рис. 2.15. Вещест-
венная (а) и мнимая
(б) частотные харак-
теристики звена
При практических расчетах предпочтительнее пользоваться вы-
ражениями (2.130) и (2.131), а не (2.132) и (2.133), поскольку первые
значительно проще и имеют вполне определенный физический смысл.
Кроме того, характеристики А (о>) и ф (со) могут быть получены экспе-
риментально [10, 13].
§ 2.7.	ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСНОВНЫХ
СОЕДИНЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ
Определим частотные характеристики основных соединений звень-
ев (последовательного, параллельного и встречно-параллельного),
передаточные функции которых найдены в § 2.4.
Используя выражение (2.107), определяющее передаточную функ-
цию N последовательно соединенных звеньев, запишем
Г (/«)) = П «ММ	(2.134}
Ь=1
Следовательно, а.ф.х. последовательно соединенных звеньев равна
произведению а.ф.х. отдельных звеньев.
Так как
Г (/со) = А(со)е/Ф<ш);
Wk (/со) = Ak (со) е/ф*<ш). k = 1, 2.TV,
122
то
Л(®)е/Ф<ш> = П 4(®)е/ф*(“,),
6=1
или
/ 2	N
A(<a)eWa} = ek='	ПЛИ®)-
k=\
Таким образом, при последовательном соединении звеньев их
а.ч.х. перемножаются, а ф.ч.х. складываются:
Л(®)=П4(®);	(2.135)
&=1
Ф(®) =	(2.136)
k=]
При параллельном соединении звеньев
£=]
поэтому а.ф.х. параллельно соединенных звеньев
№(>)=£ Fft(/<o)	(2.137)
£=]
представляет собой сумму а.ф.х. отдельных звеньев. При этом ве-
щественная и мнимая частотные характеристики запишутся так:
{/(«)= S^(®);
k=\
v(®) = S^(®)-
/г=1
Имея эти зависимости, всегда можно найти
А (®) = /{/г(®)4-V2(®);
ф (ш) = arg (U +1V).
Частотные характеристки встречно-параллельного соединения
звеньев удобно рассмотреть на примере частного случая — соедине-
ния с единичной обратной связью (см. рис. 2.10). Допустим, что из-
вестны все частотные характеристики звена с передаточной функцией
ITi(s), охваченного единичной отрицательной обратной связью. Тре-
123
буется найти частотные характеристики всего соединения с переда-
точной функцией W (s). Подставив в выражение (2.113) значение
s = получим а.ф.х. всего соединения, выраженную через а.ф.х.
звена W\(/<d):
W (/©) =	(/©)/[ 1 +	(/©)].	(2.138)
Выражение (2.138) можно представить в виде
Г(/®) = /7(«>)е/0(ш),	(2.139)
где И (о>) и 0 (<о) — амплитудная и фазовая характеристики соедине-
ния.
Поскольку величина IF^/'®) известна, то для каждого фиксирован-
ного значения ш из рис. 2.16 можно определить:
Н (<»!) = ОБ/ДБ = I (/©,) I /11 + W, (/X) I;
0 (®r) = arg Wr (J&J — arg [ 1 + ITj (J&J].
Рис. 2.16. К определению ча-
стотных характеристик звена
с единичной отрицательной
обратной связью
Проделав аналогичные вычисления
для нескольких значений о>, можно
получить искомые характеристики Н (о>)
и 6 (о>).
Иногда эту же задачу удобнее ре-
шать при помощи так называемых но-
мограмм для замыкания. Существуют
различные виды номограмм, однако на-
иболее широко применяются номограм-
мы для определения характеристик Н (со)
и 0 (<d) по а.ф.х. IT^/co).
Характеристику (2.138) можно пред-
ставить следующим образом:
W (М) = (Ux + / V\)/( 1 + (Д Ч- / 1\),	(2.140)
откуда
/7(ш) = VU]//(l+(7i)2+^.
Переписав это выражение в виде
+(/t)2+vq
и выполнив ряд алгебраических преобразований, получим
{t/T + [№/(№ — I)]}2 + V, = №/(№ — I)2.	(2.141)
Выражение (2.141) при Н — const представляет собой уравнение
окружности, центр которой на комплексной плоскости имеет коорди-
наты (—С, /0), а радиус равен причем
С = Н2/(Н2 — 1); R = Я/(№ — 1).
124
Зависимости С = f (Н) и 7? = f (Н) представлены на рис. 2.17 и
2.18.
Уравнение (2.141) определяет геометрическое место точек на плос-
кости ([7b jVi) а.ф.х. звена IFi(j’u)), охваченного обратной связью.
Для этих точек амплитудная характеристика всего соединения Н (со).
Рис. 2.17. Зависи-
мость С = [(H)
Рис. 2.18. Зависи-
мость R — [(H)
имеет постоянную величину. Задавая различные значения //, полу-
чим семейство окружностей, приведенное на рис. 2.19. Нанеся на этот
же рисунок известную характеристику IT^/co), определим Н (со).
Таким образом, рассмотрен-
ная номограмма позволяет
найти амплитудную харак-
теристику замкнутой системы
Н (со) по а.ф.х. разомкнутой
системы 1Г1(/о)).
Рассмотрим номограмму,
определяющую фазовую ха-
рактеристику замкнутой сис-
темы 6 (о>) = arg W (/со) по
а.ф.х. разомкнутой системы
Fi(/co). Умножим числитель
и знаменатель а.ф.х. (2.140)
на выражение (1 +	—/Vi).
Представим ее следующим
образом:
Vi
СЛ + И2 + V?
W (/«>) =	‘ -г- ,----------------.
(1 + Utf + V* (1 +	+ vj
(2.142)
Отсюда следует, что
tg0 = Л\ = V1/(C71 + и} + Vi).
(2.143)
Из выражения (2.143) после алгебраических преобразований най-
дем
(Ut + 1/2)2 + [Vx - 1/(2Л\)]2 = (Ni + 1) / (42V* ).
125
При Ni = const данное уравнение является уравнением окруж-
ности, центр которой имеет координаты (—1/2, /72/Vi), а радиус опре-
деляется выражением R = у4 N2[ + \/2Ni. Эта окружность представ-
ляет собой геометрическое место точек на плоскости ([Д; jVi) а.ф. х.
разомкнутой системы W\(/u)), для которых tg 0 = const. Прямой
подстановкой можно убедиться в том, что точки ([Д = 1, Vi = 0) и
(Ui = 0, Vi = 0) удовлетворяют уравнению окружности при лю-
бом N. Следовательно, все окружности, описываемые этим уравне-
нием, проходят через начало координат и точку Ui = —1 (рис. 2.20).
Рис. 2.20. Номог-
рамма для опре-
деления 6 (со)
Рис. 2.21. Зависимость
f(0)
На рис. 2.21 представлена зависимость N{ = tg 9. Как видно из
этого рисунка, каждому значению Л/\ соответствует два значения 9,
из которых одно положительное, а второе — отрицательное; их сумма
всегда равна +180°. Если рис. 2.20 дополнить а.ф.х. l^i(jo)), то без
всяких расчетов можно определить ф.ч.х.:
9 (<«) = arg (/(d)-arg [1 + ГД»].	(2.144)
Получим вещественную и мнимую частотные характеристики зам-
кнутой системы. Из формулы (2.142) следует, что
£/(©) = ((/? + (/, + V?)/ [(1	-I- И?];	(2.145)
V(<o) = V1/[(l + СА)8 + У1]-	(2-146)
Перепишем выражение (2.145) в виде
UU2t+ 2UUt + U + UV2t — U\ — Ut — I/? = 0,
откуда
126
[2U____1 12
------- , получим
2 (t7	1) J
и.
2(L/—1) j
+ V =----------•
1	4(Z7—I)2
(2.147}
Следовательно, уравнение линии U — const на плоскости а. ф. x.
разомкнутой системы представляет собой окружность с центром в
точке (С, /0) и радиусом R, причем
С = — (2U — \)/[2 (U — 1)]\ R = l/[2(t/-l)].
Зависимость С (U) представлена на рис. 2.22. Семейство окруж-
ностей для различных значений U изображено на рис. 2.23, из кото-
рого видно, что все окружности имеют общую точку (—1, /0).
Рис. 2.22. Зависи-
мость С = f(U)
Рис. 2.23. Номограмма для опреде-
ления (7(g))
Из выражения (2.146) можно получить мнимую частотную харак-
теристику замкнутой системы. Для этого перепишем его в виде
(1 +uy+v2i — vf/v = o.
Дополнив правую и левую части ра-
венства слагаемым 1/(4V2), будем иметь
+ I)2 + [1Л— 1/(2V)]2 = 1/(2V)2. (2.148)
Уравнение (2.148) представляет собой
также уравнение окружности, центр ко-
торой находится в точке [—1, /7(21/)], а
радиус равен 1/(2V). Задавая различные
значения V, получим семейство окружнос-
тей (рис. 2.24), имеющих общую точку
(-1, /0).
Рассмотрим соединение с неединичной
обратной связью с передаточной функцией
(2.112). Умножив числитель и знаменатель
Рис. 2.24. Номограмма
для определения мнимой
частотной характеристики
соединения с единичной
обратной связью
127
этой функции на IT2(s), получим
г ($) = —1------------------------!?!.№) .	(2.149)
W2(s)	1 + «7, (s) IF, (S)	v
Таким образом, соединение с неединичной обратной связью
(рис. 2.25) эквивалентно последовательному соединению двух звеньев,
Рис. 2.25. Эквивалентная схема соединения
звеньев с неединичной обратной связью
одно из которых [с передаточной функцией 1/IT2(s)] не имеет обратной
связи, а второе представляет собой рассмотренное выше соединение
с единичной обратной связью.
§ 2.8.	ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ
Частотные методы исследования линейных систем автоматического
регулирования существенно упростились после того, как для построе-
ния графиков частотных характеристик были введены логарифмиче-
ские шкалы. Частотные характеристики, построенные в логарифми-
ческих шкалах, называются логарифмическими частотными характе-
ристиками. Логарифмические шкалы по одной или обеим осям могут
использоваться при построении любых частотных характеристик.
Чаще всего строятся характеристики А (ш), ф (ш) и W (ju), называе-
мые соответственно логарифмической амплитудной характеристикой
(л.а.х.), логарифмической фазовой характеристикой (л.ф.х.) и ло-
гарифмической амплитудно-фазовой характеристикой (л.а.ф.х.).
При построении логарифмических характеристик на шкале час-
тот вместо со откладывается 1g о>. Единицами измерения логарифми-
ческих координат являются декада (дек) и децибел (56)*. Декадой
называется интервал частот, соответствующий изменению частоты в
10 раз. На логарифмической шкале декада изображается отрезком
единичной длины, так как 1g 10<п—lg ю = 1. Поэтому относительно
величины 1g о логарифмическая шкала является равномерной, а от-
носительно частоты w — неравномерной (рис. 2.26).
-2	-/ О 1	2 tgv, дек
0,01	0,1 I 10	100 (л), сек-1
Децибел используется при вве-
дении логарифмической шкалы по
оси ординат а.ч.х., которая, как
известно, показывает, во сколько
Рис. 2.26. Логарифмическая шкала
раз амплитуда выходного сигнала
больше или меньше амплитуды
* Логарифм — величина безразмерная и указанные «единицы измерения»
вводятся условно для удобства.
128
входного сигнала. Усилением в децибелах называется величина
L (о>) = 20 1g А (со). Усилению соответствуют положительные де-
цибелы, а ослаблению — отрицательные. В натуральном масштабе
1 дб соответствует усилению в 1,12 раза, т. е. 20 1g 1,12 « 1. Кроме
того, А = 10L/20 . Таким образом, получается, что 1 дб = 1/20 дек.
Смысл введения по шкале частот декады, а по оси усиления децибела
заключается в том, чтобы при изменении со от 0 до 4-оо усиление
(ослабление) по амплитуде изменялось в заметных пределах (усиле-
ние в 1 млн. раз соответствует всего лишь 6 дек). Ниже приводится
соотношение между величинами А и L:
А 0,1	0,2 1 1,12 /Г 2 10 100
L —20 —14 0 1	3	6 20	40
Чтобы получить л.а.х., необходимо взять функцию L (со) =
= 20 1g А (со) и построить ее график, используя логарифмическую
шкалу частот. Аналитическое выражение л.а.х. можно представить
в виде
1 СТ ш	1сг ш
L(10g ) - 20 lg А (10 g ).	(2.150)
При построении л.ф.х. логарифми-
ческая шкала применяется только по
оси частот, а по оси ординат исполь-
зуется натуральный масштаб. Для прак-
тических расчетов оказывается удобным
при изображении л.а.х. и л.ф.х. исполь-
зовать одну и ту же ось частот, сов-
местив точку — 180° оси ординат л.ф.х.
с точкой 0 дб оси ординат л.а.х. (рис.
2.27).
Введение логарифмических частот-
Ф° L,86
-270 - 20
а), сек~1
-180 —1—нн-н----1—н-ьн-----
0 2 4 6 810 20 40 60 80
-90 - -20
+90
ных характеристик позволяет получить
ряд преимуществ. Одно из этих пре-
имуществ заложено в свойстве логариф-
Рис. 2.27. Оси координат
л. а. х. и л. ф. х.
мов: логарифм произведения несколь-
ких величин равен сумме логарифмов этих величин. Это свойство
в значительной степени упрощает построение результирующих ча-
стотных характеристик последовательно соединенных звеньев. В са-
мом деле, прологарифмировав выражение (2.135), получим уравнение
1еД(ш) = 1§П4(Ч
6=1
(2.151)
которое в соответствии с упомянутым свойством логарифмов может
быть представлено следующим образом:
lgX((0)= S 1g (ш).	(2.152)
fe=l
5-493
129
Следовательно,
N
L(u>)= S Lft(<o).
fe=l
(2.153)
Это равенство объясняет смысл введения логарифмической шкалы
по оси ординат а.ч.х.
Из выражения (2.136) следует, что введение логарифмической шка-
лы по оси ординат фазовой характеристики излишне, поскольку фа-
зовая характеристика последовательно соединенных звеньев равна
сумме фазовых характеристик отдельных звеньев.
Так как логарифм алгебраической суммы функций не равен сумме
логарифмов этих функций, то для параллельно соединенных звеньев
и звеньев с обратными связями переход к логарифмическим характе-
ристикам преимуществ не дает.
Рис. 2.28. Амплитудные
характеристики для звена
с передаточной функцией
W(s) = ksv
Рис. 2.29. Л. а. х. для звена с пе-
редаточной функцией W(s) = ksv
Применение логарифмических шкал существенно уменьшает кру-
тизну амплитудных характеристик звеньев. Поэтому результирующая
л.а.х. последовательно соединенных звеньев может быть легко по-
строена как асимптотическая кривая к ломаной линии, состоящей из
отрезков прямых, представляющих собой л.а.х. отдельных звеньев.
В большинстве случаев при построении л.а.х. нет необходимости
производить какие-либо расчеты. В качестве примера построим л.а.х.
для звена с передаточной функцией
W (s) = ks* (v = О, 1,...).
А. ч. х. этого звена
л(<о) = |лц/Г|ш7|=л«д
На рис. 2.28 приведены зависимости А (о>) при различных зна-
чениях v и k = 1, которые могут быть построены только по точкам.
Л.а.х. может быть представлена следующим образом:
L (о>) = 201g k + 20v 1g co.
130
Это уравнение представляет собой уравнение пучка прямых, про-
ходящих через одну точку с координатами ю = 1 и L = 20 1g £(£<1)
с наклоном к оси частот +20 v дб/дек (рис. 2.29). Любая из этих
прямых может быть очень легко построена, если определить так
называемую частоту среза а>ср . Частотой среза называется частота,
при которой L (о)ср ) = 0, т. е. л.а.х. пересекает ось частот. Для рас-
сматриваемого примера о)ср =
Сравнивая построение а.ч.х. и л.а.х.. можно убедиться в преиму-
ществе логарифмических шкал. Действительно, задавая различные
значения v или k, легко определить wcp(v, k) и, отложив на шкале
частот вычисленное значение юср, провести прямую через две точ-
ки: (1; 201g k) и (а)ср; 0).
Кривизна фазовых характеристик при переходе к логарифмиче-
ским шкалам увеличивается. Поэтому л.ф.х. приходится строить по
точкам. Однако этот недостаток в некоторой степени удается устра-
нить путем использования специальных шаблонов [55].
Одно из, преимуществ логарифмических шкал заключается в том,
что по оси частот масштаб автоматически падает с увеличением часто-
ты. Это позволяет на одном графике охватить весь интересующий ис-
следователя диапазон частот с детальной проработкой характера час-
тотных характеристик в области низких частот, так как чаще всего
именно эти частоты представляют наибольший интерес.
Рассмотренные преимущества сделали метод логарифмических час-
тотных характеристик одним из основных методов анализа и синтеза
линейных систем автоматического управления (см. гл. 5 и 6).
$ 2.9. ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Типовыми динамическими звеньями называются звенья, описывае-
мые дифференциальным уравнением не выше второго порядка.
Такие звенья классифицируются в зависимости от вида левой и пра-
вой частей их дифференциального уравнения. Все типовые звенья
можно разделить на три группы: позиционные, интегрирующие и диф-
ференцирующие. Каждая из групп в свою очередь содержит не-
сколько типовых звеньев.
Тип динамического звена, соответствующего реальному устрой-
ству, зависит от принятых допущений и выбора входной и выходной
величин этого устройства. Одно и то же устройство в зависимости от
степени его идеализации может быть отнесено к различным типам ди-
намических звеньев.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике типовые
динамические звенья и определим для каждого из них основные ха-
рактеристики: дифференциальное уравнение; передаточную функцию;
переходную функцию; функцию веса; амплитудно-фазовую, ампли-
тудную, фазовую и логарифмические частотные характеристики.
Названия и вид дифференциальных уравнений типовых звеньев при-
ведены в табл. 2.1.
5*
131
Типовые динамические звенья
Таблица 2.1
№ п/п 1	Группа	Тип звена	Вид дифференциального уравнения
1	Позицион- ные	Безынерционное	
2		Апериодическое 1-го порядка	(Тр+1)х2 = kXi
3		Апериодическое 2-го порядка	(ТВ 9р2+%Тр+Г) x2=kxt (1<С<оо)
4		Колебательное	(T2p2+2STp+l) x2=kxt (0<5<1)
5		Консервативное	(Т2р2+1)х2=^
6	Интегриру- ющие	Идеальное интегрирую- щее	k х2 =	%! Р
7		Интегрирующее с за- медлением	(Тр+ 1)х2 =— х, Р
8		Изодромное	рХ2 = (fe+*!P) *1
9	Дифферен- цирую-	Идеальное дифферен- цирующее	x2=kpxA
10	щие	Д ифференци рующее с замедлением	(Tp+l)x2=kpx1
В последовательности, указанной в табл. 2.1, определим основные
характеристики типовых звеньев.
Позиционные звенья (см. табл. 2.1, п. 14-5). Позиционными
звеньями называются такие звенья, для которых в установившемся
режиме характерна линейная зависимость между входной и выходной
величинами. Эти звенья описываются линейным дифференциальным
уравнением вида
с(р)х2 = kx14	(2.154)
где с (р) — многочлен не выше второго порядка [с (0) = 1]; k — ко-
эффициент передачи звена.
При постоянном входном сигнале выходная величина устойчивых
позиционных звеньев с течением времени также стремится к постоян-
ному значению.
Безынерционное (идеальное) звено (см. табл.
2.1, п. 1). Безынерционным называется звено, которое как в
132
установившемся, так и в переходном режимах описывается уравне-
нием вида
х2 = kxv	(2.155)
В действительности безынерционных звеньев нет. Обычно в САР
идеальными считают звенья, инерционность которых значительно
Таблица 2.2
133
Продолжение табл. 2.2
с			
Тип звена £	Пример	Переходная функция	Функция веса
Интегриру'
ющее с
с замед-
лением
8
Изодром-
ное
10
Идеальное
диффе-
рейди-
рую-
щее
t
Дифферен-
цирую-
щее с за-
медлени-
ем
меньше инерционности других звеньев. Чаще всего это различные
датчики или предварительные усилители.
Примером безынерционного звена может служить потенциометри-
ческий датчик, преобразующий механическое перемещение ползунка
Дх в электрическую величину и, пропорциональную этому перемеще-
нию (табл. 2.2, п. 1).
134
Передаточная функция звена
Г ($) = £.	(2.156)
Переходная функция и функция веса соответствуют выражениям
h (t) = k- 1(0;	(2.157)
Таблица 2.3
Частотные характеристики типовых звеньев
Характеристики
Тип звена
амплитудно-
фазовая
амплитудная и фазовая
логарифмические
амплитудная и
фазовая
Безынер-
ционное
Апериоди-
ческое
1-го по-
рядка
Апериоди-
ческое
2-го по-
рядка
1
135
Продолжение табл. 2.3
		Характеристики
с	Тип звена	амплитудно-	t	логарифмические
I № п.		фазовая	амплитудная и фазовая	амплитудная и фазовая
6
Идеальное
интегри-
рующее
7 Интегри-
рующее
с замед-
лением
Изодром-
ное
Идеальное
диффе-
ренциру-
ющее
10
Дифферен-
цирую-
щее с за-
медле-
нием
9
Частотные
образом:
w(t) = kb(t).	(2.158?
характеристики могут быть представлены следующим
W (/О)) = k\
Л((о) = |Г(/о))|=А;
(2.159)
(2.160)
136
ф(«>) = arg& = 0;
L(w) = 201g k.
(2.161)
(2.162)
Временные и частотные характеристики безынерционного звена
(и всех последующих звеньев) представлены в табл. 2.2 и 2.3.
Апериодическое звено 1-го порядка (см.
табл. 2.1, п. 2). Апериодическим звеном 1-го порядка называется лю-
бое устройство, описываемое дифференциальным уравнением вида
(Тр+ l)x2 = ^xv	(2.163)
где Т — постоянная времени. Примером такого r
звена может служить цепочка типа RC, где 0—СЗ	|---0
/? — резистор, С — емкость (см. табл. 2.2, п.2). и —И и is)
Эквивалентная схема цепочки RC представ- ’ Cs U 2
лена на рис. 2.30. Ее передаточная функция а----------—*	<г>
W (s) = U2(s)/U i(s).	Рис. 2.30. Эквива-
_	лентная схема цепоч-
Поставив в это выражение операторные	ки #с
эквиваленты, получим
или
IT(s) =
№)
R+U(Cs) ’
W(s) = k/(Ts + 1),
(2.164)
где k = 1; Т — RC.
Имея выражение для передаточной функции (2.164), определим
переходную характеристику с помощью обратного преобразования
Лапласа:
h(t) = L~l {k/[s(Ts+ 1)]).
Очевидно, что
поэтому
k
s (Ts +1)
1
s+ l/т
Л(/) = й(1-е-'/7')- КО-
(2.165)
Теоретически такой переходный процесс длится бесконечно долго.
Практически для этого звена под временем переходного процесса
понимается наименьший промежуток
времени /п (рис. 2.31), по истечении
которого выполняется неравенство
k — h(/)< А,
где Д — наперед заданное положи-
тельное число [обычно Д = (0,01 -т-
-4-0,05) 6].
Рис. 2.31. Переходная функ-
ция апериодического звена
137
Дифференцированием выражения (2.165) определим функцию веса
апериодического звена 1-го порядка:
«’(0=4е //Гф)-	(2.166)
Из частотной передаточной функции	
W (j«) =zk/(l + jTw)	(2.167)
получим	
А (о>) = Л/|1 +	(2.168)
ф (ад) = — arctg wT;	(2.169)
(/(ад) = fc/[l + (шТ)2];	(2.170)
у(ю) = —m>/[i + (шТ)2].	(2.171)
Используя два последних выражения, найдем амплитудно-фазовую
характеристику в виде явного уравнения
(U — k/2)* + V* = k*/4.	(2.172)
Из этой характеристики (см. табл. 2.3, п. 2) видно, что звено тем
хуже пропускает синусоидальные колебания, чем выше их частота.
Амплитуда выходного сигнала при возрастании частоты входного сиг-
нала уменьшается, а фазовый сдвиг — увеличивается.
Л.а.х. апериодического звена
L(w) = 20	+ (о>7’)2].	(2.173)
При w < 1/Т
L («>)« La (ш) = 201g k,
а при w 1/T
L(<d) » £„(«>) = 201g(^/w7).
Характеристики LH(w) и Lb(<d) называются низкочастотной и вы-
сокочастотной асимптотами л.а.х. Заметим, что при w = 1/Т зна-
чение £н(ш) = ^в(ш) — 20 1g k. Частота, на которой эти характерис-
тики сопрягаются, называется сопрягающей частотой. Ломаная ли-
ния с уравнением
(Lh(<d), если <d^1/T;
La(w) = (£„(«>), если 1/Т,
называется асимптотической л.а.х. апериодического звена 1-го по-
рядка. Если построить реальную л.а.х. по точкам, то можно убедить-
ся в том, что максимальное отличие реальной л.а.х. от асимптотиче-
ской имеет место на сопрягающей частоте. Однако это отличие
невелико (меньше 3 дб), поэтому практически можно считать, что
реальная и асимптотическая л.а.х. совпадают, и ограничиваться
построением только последней характеристики.
138
Фазовая логарифмическая характеристика
ф (ю) = — arctg а)Т	(2.174)
строится по точкам. При этом удобно пользоваться таблицами тан-
генса или специальными шаблонами.
Апериодическое звено 2-го порядка (см.
табл. 2.1, п.З). Устройство любой физической природы, поведение
которого описывается дифференциальным уравнением вида
(7V + 21Тр + 1) х2 = kxlt	(2.175)
где $ — коэффициент относительного демпфирования (1 < ; < оо);
Т — постоянная времени, называется апериодическим звеном 2-го
порядка.
Передаточная функция этого звена
W (s) = 6/(T2s2 + 2lTs + 1).	(2.176)
Разложим знаменатель этой функции на два сомножителя:
W (s) = k/[(7\s + l)(T2s + 1)]	(2.177)
где 7\ = —l/sb Т2 = —l/s2 ($i, s2 — корни характеристического
уравнения T2s2 + 2; Ts + 1 = 0).
Следовательно, апериодическое звено 2-го порядка при 1
эквивалентно последовательному соединению двух апериодических
звеньев 1-го порядка.
Примером апериодического звена 2-го порядка может служить
электрический двигатель с независимым возбуждением, управляемый
по цепи якоря. Входной величиной для него является напряжение и,
подключенное на якорную обмотку, а выходной — угловая скорость
вращения якоря Q. Входной величиной этого звена может быть также
момент нагрузки на валу якоря М (см. табл. 2.2, п.З).
Уравнение движения якоря двигателя имеет вид
JdQ/dt^M,— М>
где J — момент инерции всех вращающихся частей, приведенный к
валу двигателя; МД — вращающий момент двигателя, зависящий от
тока I, протекающего по обмотке якоря:
=
Здесь см — конструктивная постоянная.
В свою очередь ток i и напряжение и связаны между собой уравне-
нием
и = Ldildt 4- Rl + ceQ,
где L и R — индуктивность и активное сопротивление якорной цепи;
се — конструктивная постоянная.
139
Используя приведенные соотношения, получим дифференциальное
уравнение движения рассматриваемого звена
(JLp2 + JRp + cMce)Q = сми — (Lp + R) M.
Если считать, что М. = 0, то это уравнение можно записать сле-
дующим образом:
J мр2 + Тмр + 1)0= kau
где Тя = L/R — электромагнитная постоянная времени якорной
цепи; Тм = JR/(c^c^ — электромеханическая постоянная времени
двигателя; = \/се — коэффициент передачи двигателя.
Используя выражение (2.177), определим переходную функцию
данного звена:
h (/) = kl> {l/[s (7\s + 1) (T2s + 1)]).	(2.178)
Рассмотрим вначале случай, когда 7\>Т2(£>1). Дробь, при-
веденную в скобках выражения (2.178). можно представить так:
1= J____________Л .	1	Т2 .	1
s (7\s + 1) (T2s + 1)	$ Т\ — Т2 s — S] Tj — Т2 s — s2
Выполнив обратное преобразование Лапласа, получим
h(t) = k(l-~1(0. (2.179)
\	J 1 — 1 2	1 1 — 1 2	/
При 5 — 1 (т. е. при 7\ — Т2 = Т)
h(t) = Z>[1— (1 + //T)e-'/rb 1(0.	(2.180)
Функции веса при Т1>7’2 (т. е. при £>1) соответствует выра-
жение
(0 = т k у- ( е" '/г* - е~t/Tt). 1 (0,	(2.181)
а при Ti = T2~T (т. е, при 1) — выражение
и>(/) = (6/Т)/е~'/7.	(2.182)
Подставив s = Joi в (2.176) и (2.177), получим два выражения
для частотной передаточной функции этого звена:
F (/«>) = й/[ 1 — (о>Т)а + ffiTv];	(2.183)
№ (/«>) = М( 1 + m (1 -1- /шТг)].	(2.184)
140
Используя их, найдем
А (ш) = k!V[ 1 — (<оТ)2]2 + 4£27’2а>2;	(2.185)
А (ш) = k /(/1 + (w7\)2 У i + (wT2)2 ).	(2.186)
Фазовая частотная характеристика апериодического звена 2-го
порядка в зависимости от w может быть выражена следующим обра-
зом:
гр(о)) =
— arctg
2ЕТа>
1 — (Т<о)2
при 0<^
— к — arctg
26Т(о
1 — (Т<о)2
1
при — а,<с°°.
(2.187)
Для построения асимптотической л.а.х. звена (см. табл. 2.3, п.З)
следует вычислить сопрягающие частоты \П\ и 1/Т2 и величину
20 1g k. После этого необходимо провести вертикальные прямые через
сопрягающие частоты и построить низкочастотную асимптоту л.а.х.—
прямую с наклоном 0 дб!дек, отстоящую от оси частот на расстоянии
20 1g k. Затем на первой сопрягающей частоте ее нужно «сломать»
на —20 дб/дек, а на второй — еще на —20 дб/дек. Таким образом,
результирующая л. а. х. звена
L((o)^L]((o) + L2((o),	(2.188)
где Li(o>), L2(m) — логарифмические амплитудные характеристики
двух последовательно соединенных звеньев [см. (2.186)].
Логарифмическая фазовая характеристика отличается от фазовой
частотной характеристики только логарифмической шкалой оси частот.
Колебательное звено (см. табл. 2.1, п. 4). Звено лю-
бой физической природы, описываемое дифференциальным уравне-
нием вида
(T2p2 + 2tTp + \)x2 = kxv
(2.189)
при 0 < $ < 1 называется колебательным звеном.
В качестве примера колебательного звена можно привести трех-
степенной гироскоп в кардановом подвесе (см. табл. 2.2, п.4). Трех-
степенные гироскопы широко применяются при измерении угловых
отклонений различных подвижных объектов. Уравнения движения
такого гироскопа имеют следующий вид:
Ла + рюс — Н р = М\
Н а = 0, t
(2.190)
где А, В — моменты инерции гироскопа относительно наружной
и внутренней осей подвеса; а, |3 — углы отклонения гироскопа отно-
сительно наружной и внутренней осей подвеса; ji — коэффициент
сил вязкого трения в опорах подвеса; Н — кинетический момент ги-
141
роскопа; М — момент внешних сил, действующих относительно на-
ружной оси.
Входной величиной в данном случае является момент М, а выход-
ными величинами следует считать углы отклонения гироскопа относи-
тельно наружной и внутренней осей подвеса, т. е. углы а и Р. В этом
примере ограничимся рассмотрением одной выходной величины —
угла а.
Из системы уравнений (2.190) найдем характеристическое уравне-
ние звена
T2s2 + 24Ts + 1 = 0,	(2.191)
'r'z АВ t А В |л
где	Т2 =---------:	$ = —1—  -------—.....
и2 4- #3	/дв / р + Н2
Если допустить, что вязкое трение по оси внутренней рамки от-
сутствует, то передаточная функция по наружной оси гироскопа
IF (s) = k/(T2s2 + 2'kTs + 1),	(2.192)
где k — BIH2.
Моменты вязкого трения ря, как правило, очень малы, а кинети-
ческий момент гироскопа велик, поэтому для рассмотренного примера
0 < 6 < 1, и выражение (2.292) соответствует передаточной функ-
ции колебательного звена.
Характеристическое уравнение (2.191) имеет комплексные корни с
отрицательной вещественной частью:
s12 — — <1>05 ± /со0 1 — £2,	(2.193)
где <в0 = I/?1-
Выражение переходной функции колебательного звена находится
аналогично выражению переходной функции апериодического звена
2-го порядка. Разложив передаточную функцию (2.192) на простые
дроби и выполнив обратное преобразование Лапласа (с учетом значе-
ний корней Si и s2). получим
h(t)=k 1— 
/1
— foot
е
sin (Ы 4- фА) -1(0.	(2,194)
1
где
w==«>oy 1—$2; ipA = arctg(/l —?2/$).
Продифференцировав выражение (2.194), определим функцию веса
w (0 = k («>о/«>) е ",5/ sin at • 1 (0.
(2.195)
Переходный процесс рассматриваемого звена носит характер за-
тухающих по экспоненте колебаний. Практически важно определить
время затухания переходного процесса ta — начальный промежуток
времени, по истечении которого выполняется неравенство
|й(0 -ЛустКА.
где Д — наперед заданное положительное число.
142
В данном случае Луст = k, а Д = (0,014-0,05) k. Более грубо можно
считать, что переходный процесс закончился тогда, когда затухли
«зажимающие» его экспоненты.
Иногда полезно знать максимальное отклонение переходной функ-
ции Лтах или величину перерегулирования ст (рис. 2.32). Эти характе-
ристики можно вычислить по формулам:
(2.196)
° “ (^тах ЛуСТ)/ЙуСТ = 6	1
Как видно, величина перерегули-
рования зависит только от коэффи-
циента демпфирования Н.
Для 0 < £ < 1 частотная пере-
даточная функция имеет вид
W (/(о) = k![ 1 — (о)Т)2+/2еТо)]. (2.198)
Амплитудная и фазовая частот-
ные характеристики определяются
из формулы (2.198) и могут быть
представлены следующим образом:
(2.197)
Рис. 2.32. Переходная функция
колебательного звена
А (и) = k!V[ 1 — (шТ)2]2 4- 4£27’2<о2;	(2.199)
— arctg
Ф (о) =
2ЕТа>
1 — (О)Т)2
при
,	2£Т(О	1
— я—arctg -——— при — <й)< ос,
1 — (wT)2 г
(2.200)
Исследование показывает, что на частоте
®шах — У 1	2£2 <С Од
при £<0,707 функция Л(о>) имеет максимум:
Л(<Отах)=^(2£/1-£а).
Частота wmax называется резонансной частотой звена.
Выражение для логарифмической амплитудной характеристики
имеет вид
L (<о) = 201g (k! ИП — (Гм)2]2 Ч-4£27’2«>2).	(2.201)
При построении л. а. х. это выражение удобнее рассматривать в
виде суммы
L (ш) = La (<о) + AL (со).	(2.202)
143
где La(io)— асимптотическая л. а. х.;Д£(ш)— поправка к асимптоти-
ческой л. а. х. При этом
AL(w)=
201g—		.... —20lg& при 0<^(о< МТ\
К[1— (<оТ)2]2 + 4^720,2
=	(2.203)
201g ....... k ------------- 201g -А- при ш > 1/Т.
V [1 — (и>Т) 2]2 + 4&TW	' >
Из этих формул видно, что AL зависит только от £ и шТ. При опре-
деленных параметрах реальная л.а.х. колебательного звена может
существенно отличаться от асимптотической. Максимальное значение
ДА достигается при и = МТ.
Для построения логарифмической фазовой характеристики иногда
пользуются приближенными формулами:
ф(б))« — 2|Т(о при ©Т<0,4;	(2.204)
ф (со)« — it f 2|/(®Т) при <йТ > 2,5.	(2.205)
Подсчет по этим формулам дает ошибку не более 2°.
Консервативное звено (см. табл. 2.1, п. 5). Звено
любой физической природы, работа которого описывается уравнением
(Тар2 + 1) х2 = kxit
(2.206)
называется консервативным звеном.
Любое колебательное звено можно считать консервативным, если
в нем отсутствует элемент, поглощающий энергию колебаний (5 = 0).
Примером консервативного звена может быть колебательный контур
LC при отсутствии в нем активного сопротивления (см. табл. 2.2, п.5).
Ближе всего уравнению консервативного звена (2.206) соответствует
гравитационно стабилизированный искусственный спутник Земли,
поскольку его либрационные колебания относительно текущей вер-
тикали из-за практического отсутствия сопротивления в условиях кос-
мического пространства могут длиться в течение нескольких недель.
Все характеристики консервативного звена можно получить из
характеристик колебательного звена при £	0. Так, из выражения
(2.192) определим передаточную функцию
W (s) = k/(TW + 1),	(2.207)
а из (2.194) и (2.195) — временные характеристики:
h (t) = k (1 — cos <o0Z) • 1 (/);	(2.208)
w (/) = sin a>0Z • 1 (/).	(2.209)
Частотная передаточная функция
UZ (/(0) = k![ 1 — (coT)2 ]	(2.210)
144
позволяет найти амплитудную, фазовую и частотные характеристики:
А (о) = | W (»| = k/\ 1 — (соТ)21;	(2.211)
[	0, если 0<<а)	1/7";
Ф((о)=	,/гг	(2.212)
[—тг, если 1/Т^(о<оо.	'	'
Асимптотическая л.а.х. консервативного звена не отличается от
аналогичной характеристики колебательного звена, а реальная л.а.х.
на частоте 0=1/7" обращается в бесконечность. Фазовая частотная
характеристика при этой же частоте имеет скачок —180°.
Интегрирующие звенья (см. табл. 2.1, п. 6-4-8). Интегрирующими
называются звенья, работа которых описывается дифференциальным
уравнением вида:
с (р) х2 = (kip) хъ	(2.213)
где с (р) — любой полином, удовлетворяющий условию с (0) = 1.
В интегрирующих звеньях в установившемся режиме имеет место
линейная зависимость между входной величиной и производной вы-
ходной величины или, другими словами, выходная величина пропор-
циональна интегралу по времени от входной величины. В системах
автоматического регулирования такие звенья используются для повы-
шения порядка астатизма (см. гл. 6).
Идеальное интегрирующее звено (см. табл. 2.1,
п. 6). Любое устройство, описываемое дифференциальным уравнением
вида
Х2 = —ХЬ	(2.214)
Р
называется идеальным интегрирующим звеном.
Типичным интегрирующим звеном является операционный уси-
литель (см. табл. 2.2, п. 6). Его работа приближенно описывается
уравнением
Это равенство тем точнее, чем больше коэффициент усиления k7.
Передаточная функция идеального интегрирующего звена имеет
вид
W(s) = k/s,	(2.215)
а временные характеристики определяются соотношениями:
h(t) =kt • 1 (/);	(2.216)
w(t) — k • I (t).	(2.217)
Частотная передаточная функция
№(/«) = — jk/a.	(2.218)
145
Амплитудная, фазовая и логарифмическая частотные характерис-
тики запишутся соответственно так:
Л(<о)==^/<о;	(2.219)
ф (w) = — ir/2;	(2.220)
L (<о) = 201g (&/<о).	(2.221)
Зависимости, построенные по этим выражениям, приведены в
табл. 2.3, п. 6.
Интегрирующее звено с замедлением
(см. табл. 2.1, п.7). Звено любой физической природы, описываемое
дифференциальным уравнением
(7р+l)x2 = (/e/p)Xj	(2.222)
называется интегрирующим звеном с замедлением. Примером такого
звена может служить гидравлический демпфер (см. табл. 2.2, п.7),
если не пренебрегать массой поршня.
Из уравнения (2.222) определим передаточную функцию
F(s) = Ms(Ts-i-1)],	(2.223)
которая позволяет найти
= (Д l)} = fe [/-Т(1-е-"г)] • 1((). (2.224)
Функция веса данного звена
w(t) = h'(t) = k(\ — e~t/T) • 1(0-	(2.225)
Частотные характеристики могут быть представлены следующими
выражениями:
W (» = М/<о (1 + /Тео)];	(2.226)
A (to) = £/[<о /1 + (соТ)2];	(2.227)
ф (со) = — п/2 — arctg <х>7\	(2.228)
Из выражения (2.228) следует, что интегрирующее звено с замед-
лением на всех частотах вносит отрицательный фазовый сдвиг.
Логарифмическая амплитудная характеристика соответствует вы-
ражению
L (со) = 201g {kl [© И1 +(<оТ)2| •	(2.229)
Для этого звена максимальное отличие реальной л.а.х. от асимпто-
тической не превышает 3 дб, поэтому реальная л.а.х. обычно не строит-
ся. Логарифмическая фазовая характеристика приведена в табл. 2.3,
п. 7.
Изодромное звено (см. табл. 2.1, п.8). Изодромным зве-
ном называется звено, описываемое дифференциальным уравнением
146
вида
рх2 = (k + ktp)
(2.230)
где k, ki — передаточные коэффициенты.
Примером такого звена является демпфер с пружиной (табл. 2.2,
п. 8), входной величиной которого является сила F, приложенная к
штоку поршня, а выходной — перемещение Дх. Выходная величина
изменяется в соответствии с уравнением
Дх = — + — f Fdt,
с р- J
где с — жесткость пружины; р. — коэффициент вязкого трения.
Передаточная функция такого звена
№(s) = (£/s)(Ts+1).	(2.231)
где Т — k-Jk.
Временные характеристики звена определяются выражениями:
h (/) = (kt + ki) • 1 (t)-,	(2.232)
w(t) = k- \(t) + kib(t).	(2.233)
Частотная передаточная функция имеет вид
W (/©) = k (1 +	(2.234)
Логарифмическая амплитудная характеристика изодромного звена
строится в соответствии с выражением
L (®) = 201g (k | 1 + /соТ | / (о).	(2.235)
Фазовая характеристика этого звена приведена в табл. 2.3, п.8.
Дифференцирующие звенья (см. табл. 2.1, п.9 и 10). Дифференци-
рующими называются такие звенья, у которых в установившемся
режиме выходная величина пропорциональна производной по времени
от входной величины.
Идеальное дифференцирующее звено
(см. табл. 2.1, п.9). Звено любой физической природы, описываемое
дифференциальным уравнением вида
х2 = kpx-i,	(2.236)
называется идеальным дифференцирующим звеном.
Примером такого звена может служить двухстепенной дифферен-
цирующий гироскоп, предназначенный для измерения угловых ско-
ростей подвижных объектов. Если пренебречь инерционностью гиро-
скопа, а также силами вязкого трения, действующими относительно
оси прецессии, то уравнение его движения можно представить следую-
Щиим образом:
= НрЪ,
где с — жесткость пружины, связывающей ось прецессии гироскопа
с корпусом прибора; (3 — угол отклонения гироскопа относительно
147
оси прецессии (выходная величина); Н — кинетический момент;
О — угол отклонения объекта (входная величина).
Из этого выражения следует, что угол Р пропорционален угловой
скорости 4.
В принятой выше последовательности запишем временные и час-
тотные характеристики этого типового звена с передаточной функцией
W (s) - ks\
A (co) — /гео; ф (co) = + ^/2; L (co) = 20 1g &co. J ( •	)
Из выражения (2.237) следует, что на всех частотах идеальные
дифференцирующие звенья вносят положительный фазовый сдвиг.
В силу этого свойства идеальные дифференцирующие звенья широко
применяются как составные элементы корректирующих устройств
систем автоматического регулирования.
Дифференцирующее звено с замедлением
(см. табл. 2.1, п.10). Звено, описываемое дифференциальным уравне-
нием вида
(Тр 4- 1)х2 = крхъ
называется дифференцирующим звеном с замедлением. Примером
дифференцирующего звена с замедлением является электрическая
цепь типа RC (см. табл. 2.2, п.10). При отсутствии начального за-
ряда конденсатора можно записать уравнение
Ri + -i- J i dt = ult
в котором за выходную величину следует принять RI = и2. Тогда
при нулевых начальных условиях его решение в форме преобразова-
ния Лапласа будет иметь вид
u2(s) = [Ts/(Ts + 1)] ^(s),
где Т = RC — постоянная времени цепи RC.
Передаточная функция этого звена
W(s) = Ts/(Ts+ 1).
Временные характеристики дифференцирующего звена с замедле-
нием можно представить следующим образом:
А(0=-уе-//Г1(0;
^(0 = 7-S(0-^e-</ri(n.
Частотные характеристики рассматриваемого типового звена на-
ходятся из частотной передаточной функции
W (/со) = /Ъ)/(1 + /Тео)
148
и имеют вид
А (со) = few / V1 + (Тео)2; ф (со) = ге/2 — arctg со/.
Как видно из графиков частотных характеристик (табл. 2.3, п.10),
такие звенья хорошо пропускают высокие частоты и плохо — низкие.
Вследствие этого последовательное включение дифференцирующих
звеньев с замедлением обычно приводит к резкому возрастанию уров-
ня высокочастотных помех. Логарифмические частотные характерис-
тики звена представлены в табл. 2.3.
ГЛАВА 3
СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ
И УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ
§ 3.1. СОСТАВЛЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ
Для теоретического исследования систем регулирования и управ-
ления прежде всего следует составить уравнения, описывающие их
работу. Этими уравнениями обычно являются дифференциальные
уравнения того или иного вида. В настоящей главе ограничимся
изучением только обыкновенных линейных систем, поведение которых
описывается обыкновенными линейными дифференциальными уравне-
ниями с постоянными коэффициентами.
Все реальные элементы автоматических систем в большей или мень-
шей степени нелинейны. Описание реальных элементов и систем ли-
нейными дифференциальными уравнениями возможно только в ре-
зультате линеаризации нелинейных уравнений (см. § 2.2) и всегда
достаточно приближенно. Однако во многих практически важных
случаях точность, даваемая линейным описанием, вполне достаточна.
Так как линейные уравнения появляются в результате линеаризации,
то уравнения «линейных» элементов и систем всегда представляют со-
бой уравнения, составленные в отклонениях от какого-либо исходно-
го режима работы элемента или системы. Это обстоятельство следует
иметь в виду при пользовании линейными уравнениями.
Чтобы получить дифференциальные уравнения, САР обычно раз-
бивают на звенья и составляют дифференциальное уравнение для
каждого звена в отдельности. Дифференциальные уравнения звеньев
САР, рассматриваемые совместно, в совокупности образуют систему
дифференциальных уравнений, описывающую работу САР.
Разбивать САР на звенья можно различным образом. Желательно
разбивать САР на типовые звенья направленного действия, уравне-
ния которых известны (см. гл. 2). Часто в качестве динамических
звеньев выбирают просто элементы САР. Далее, исключая проме-
жуточные величины, систему дифференциальных уравнений звеньев
«сворачивают» в одно уравнение высокого порядка, содержащее ка-
кую-либо одну величину и все внешние воздействия (задающее и воз-
мущающие). Обычно дифференциальное уравнение САР составляют
либо для регулируемой величины у (/), либо для ошибки х (/).
Рассмотрим САР скорости вращения двигателя (см. рис. 1.13).
Чтобы составить уравнения этой системы, разобьем ее на четыре зве-
на: сравнивающий элемент, усилитель, двигатель и тахогенератор
(табл. 3.1.)
150
Таблица 3.1
Динамические звенья САР скорости вращения и их входные
и выходные величины
Звено	1 Входные величины звена	1 Выходные величины звена
Сравнивающий элемент	М3, WTr	и
Усилитель	и	ил
Двигатель	«Д- М	Q
Тахогенератор	У	цтг
В рассматриваемом случае сравнивающий элемент в явном виде
отсутствует — он реализуется за счет встречного включения напря-
жений и3 и итг. Если усилитель САР выполнен по сложной схеме (на-
пример, представляет собой сочетание полупроводникового, магнит-
ного и электромашинного усилителей), его целесообразно в свою
очередь разбить на несколько звеньев (здесь этот случай не рассмат-
ривается).
Учитывая возможные нелинейности в двигателе, тахогенераторе и
усилителе, рассмотрим номинальный установившийся режим работы
САР, в котором u3=uj, Q =Q°, М=М°, и = и0, итг= и?г, ил = и
составим уравнения звеньев в отклонениях Ди3 = и3—Д2 = 2 — 2°,
ДМ=Л1—Л4°, Ди=и—и0, Дитг = иТг—и?г, Дид == ид—ид от этого
установившегося режима.
Уравнение сравнивающего элемента в отклонениях запишется так:
Ди = Ди3 — Дитг.	(3.1)
Для системы стабилизации скорости вращения и3 = и3 = const и
Ди3 = 0, т. е. Ди = —Дитг.
Уравнение усилителя зависит от его схемы. Будем считать для
определенности, что усилитель достаточно точно описывается уравне-
нием апериодического звена второго порядка:
(Т\р 4-1) (Т2р + 1) Дид — ky	(3.2)
где 7\, Т2— постоянные времени усилителя (например, постоянные
времени предварительного и оконечного каскадов усиления); ky —
коэффициент усиления усилителя по напряжению.
Уравнение двигателя постоянного тока при учете момента нагруз-
ки на валу двигателя имеет вид (см. стр. 140):
(ТяТмр* + Тмр + 1)ДЙ = £дДид-МПР + 1)ДМ.	(3.3)
151
Здесь Тя, Тм — электромагнитная и электромеханическая постоян-
ные времени двигателя, вычисленные с учетом параметров оконечного
каскада усилителя; £д — коэффициент передачи двигателя; kM — кру-
тизна механических характеристик двигателя.
Уравнение тахогенератора в отклонениях записывается следую-
щим образом:
Дитг = /?тгД£2,	(3.4)
где kTr — крутизна тахогенератора.
Уравнения (3.1)~-(3.4) в совокупности образуют систему диффе-
ренциальных уравнений, описывающую поведение САР скорости вра-
щения как в установившихся, так и в неустановившихся режимах.
Эта система содержит четыре уравнения и четыре неизвестные функ-
ции времени: Ди, Дитг, Дия, AQ. Для решения полученной системы
уравнений должны быть заданы внешние воздействия Ди3 и ДЛ4 (как
функции времени) и начальные условия.
Характерно, что ни одно из уравнений (3.1)-=-(3.4) не может быть
решено по отдельности — все они обязательно должны рассматри-
ваться совместно. Это является математическим отображением того,
что в САР все звенья взаимодействуют между собой, образуя в сово-
купности замкнутый контур передачи воздействий.
«Свернем» полученную систему дифференциальных уравнений в
одно уравнение, содержащее регулируемую величину AQ. Свертыва-
ние удобно начинать с уравнения того звена, для которого интересую-
щая нас величина AQ является выходной. Таким звеном в данном
случае будет двигатель с уравнением (3.3). Чтобы исключить из этого
уравнения величину Дид, умножим обе части уравнения (3.3) на вы-
ражение (Т\р + 1)-(Т2р + 1) и учтем уравнение (3.2). Тогда получим
(Т1Р + 1) (ТгР + 1)(ТяТмр2 + 7> + 1)ДЙ =
= ky кл&и — kM(T\p + ЩТаР 4- 1) (7*яр + 1) ДЛ1.
Подставив сюда уравнения (3.1) и (3.4) , окончательно будем иметь
[(ЛР 4- 1) (Т2р + 1) (Тя Тм р2 + Тмр 4- 1) + К] ДП =
= £у/?д Ди3 — £м (7\р 4- 1)(Т2р4- 1)(Тяр+ 1)ДЛ4,	(3.5)
где /С = kykjjkTr.
Как видно, получено обыкновенное линейное дифференциальное
уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Ана-
логично выполняется свертывание системы уравнений (3.1)ч-(3.4)
относительно любой другой переменной. При этом легко могут быть
получены следующие дифференциальные уравнения САР:
относительно напряжения на входе усилителя
КЛр 4- 1) (7\р 4- 1) (Гя Тм р2 4- Тмр + I) + К] Ли =
= (ЛР + 1) (Ttf + 1) (Тя Тм р* + Тмр + 1) Ди3 4-
+ *тгМЛР4- 1)(Т2р+1)(Тяр4- DAM;	(3.6)
152
относительно напряжения на якоре двигателя
[(TlP 4- 1) (Т2р + 1) (Тя Тмр* + Тыр+1) + К] Д«д =
= ку(ТяТмр2 + Тыр + 1) Ди3 -{-kykirku (Тяр 1) ДМ; (3.7)
относительно напряжения тахогенератора
[(Тхр 4- 1) (Т* 4- 1) (Тя Тм р* 4- Тмр 4- 1) 4- К] Дитг =
= КД«3-^ГМЛР+ 1)(ЛР+ 1ИЛР4- 1)ДМ.	(3.8)
Решение любого из уравнений (3.5) 4- (3.8) позволяет определить,
как будет меняться соответствующая координата CAP (AQ, Ди, Дид,
Дитг) во времени при заданных внешних воздействиях Ди3(/) и ДМ(0
и заданных начальных условиях.
При внимательном рассмотрении уравнений (3.5)-Ь(3.8) нетрудно
обнаружить, что в их левой части фигурирует один и тот же много-
член:
а(р) = (Лр4- 1)(Т2р4- \)(ТяТыр* + Тыр+ 1) 4- К =
= «оР4 4- 04Р3 4- а# 4- аар 4- а4,	(3.9)
где
Оо = Т1Т2ТЯТМ; а1 = Тм[7’17’24_71я(7'14-7’ 2)];
а2 = Г17’24-Тм(Т14-7,24-7’я); а3 = Т14-7,24-7’м;
а4 = 1 4- К.
Многочлен а (р) после замены р на комплексное число s называется
характеристическим полиномом замкнутой системы, а уравнение
a (s) = 0 — характеристическим уравнением замкнутой системы.
Таким образом, относительно какой бы координаты не составля-
лось дифференциальное уравнение САР, в левой части уравнения
всегда будет один и тот же символический многочлен а (р). Изменять-
ся будут лишь символические многочлены при внешних воздействиях
в правой части уравнения.
При работе рассматриваемой САР в режиме стабилизации скорос-
ти Ди3 = о, и уравнения (3.5)ч-(3.8) упрощаются, так как первые
члены в правых частях обращаются в нуль. Например, уравнение
(3.5) в этом случае принимает следующий вид:
КЛр 4- 1) (Т2р 4- 1) (Тя Ты р* 4- тм р 4- 1) 4- К] ДО =
= -МЛр + 1)(ЛР4- 1)(Тяр4- 1)АМ.	(3.10)
Уравнения установившихся режимов работы САР получаются из
Уравнений (3.5)4-(3.8) в качестве частного случая. Например, чтобы
определить уравнения установившегося режима при постоянных внеш-
них воздействиях, следует положить в этих уравнениях р = 0, так
как в этом режиме все переменные, характеризующие работу САР,
153
постоянны и производные от них обращаются в нуль. В частности,
положив р = 0 в уравнении (3.10), получим
AQ = — А>мДМ/(1+ К).
Рассмотрим кратко уравнения следящей системы (см. рис. 1.17, а).
Ее целесообразно разбить на три звена: датчик рассогласования, уси-
литель и двигатель с редуктором.
Датчик рассогласования описывается уравнением
и=М.	(3.11)
где и — выходное напряжение датчика рассогласования; kg — кру-
тизна датчика рассогласования и
& =	&2	(3.12)
— ошибка следящей системы.
Уравнение усилителя примем в виде
(Тур И- 1) Мд = kyii,	(3.13)
где Ту, ky — постоянная времени и коэффициент усиления усилителя;
Мд — напряжение на якорной обмотке двигателя.
Уравнение двигателя вместе с редуктором в первом приближении
может быть записано так:
(Тмр + 1) р»2 = &д kv ил — kM kp М.	(3.14)
Здесь Ти и — постоянная времени и коэффициент передачи
двигателя; kM — крутизна линеаризованных механических характе-
ристик двигателя; &р— коэффициент передачи редуктора; М—мо-
мент нагрузки на исполнительной оси следящей системы.
Уравнения (3.11)4-(3.14) образуют систему дифференциальных
уравнений, описывающую поведение следящей системы в установив-
шихся и переходных режимах. Выполнив «свертывание» этой системы
относительно координат ф2, Ф и ид, нетрудно получить следующие
уравнения:
[(ТУР + 1) (Тмр + 1) Р + Кх] &2 = К,- ku kp (Тур 1) М-, (3.15)
[(ТуР -ь 1) (Тмр + 1) р + /<х] & = (Тур + 1) (Тмр + 1) х
х Р&! + Мр(ТуР+1)М;	(3.16)
[(Тур + 1)(Тмр + 1)р + Ki]u = kd(TуР + 1)(Тмр + 1) х
X P^ + kdkpkM(TyP+ 1)Л4;	(3.17)
[(ТуР + 1)(Тмр + 1)р + Мд = kdky{Twp 1) х
X р&! + kdkykpkwM.	(3.18)
В этих уравнениях Ki = k^yk^kp. Как видно из (3.15)--(3.18), при
тех допущениях, при которых справедливы уравнения (3.13) и (3.14),
следящая система (см. рис. 1.17, а) описывается дифференциальным
154
уравнением третьего порядка. Характеристический полином этой си-
стемы
a (s) = (Tys + 1) (TMs + 1) s -b Ki = a0s3 + tj^s2 4- a2s + as, (3.19)
где Q-o = ГуТм", Qj — Ту TM; ci% — 1; Я3 — Ai-
Положив в уравнении (3.16) 6ч = 6, = const, М = 0 и р = О,
получим уравнение 6=0, свидетельствующее об астатизме следя-
щей системы относительно задающего воздействия64. При М = М°=
= const, 61 = 0 и р = 0 уравнение (3.16) приводится к виду
<\1	К0 «у Лд
Это выражение определяет так называемую моментную ошибку
следящей системы и свидетельствует о том, что относительно момента
нагрузки на исполнительной оси рассматриваемая следящая система
является статической.
$ 3.2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
внутри которых записы-
Рис. 3.1. Графическое изображение урав-
нений звеньев системы регулирования
скорости вращения электродвигателя.
а — сравнивающего элемента; б — усилителя; в
двигателя; г — тахогенератора
В большинстве случаев значительно быстрее, проще и нагляднее
уравнения САР составлять не по уравнениям звеньев (см. § 3.1), а
по так называемой структурной схеме САР при помощи аппарата пе-
редаточных функций САР.
Структурная схема САР показывает, из каких звеньев состоит САР
и как они соединены между собой. На структурных схемах звенья
условно изображаются прямоугольниками,
ваются их передаточные фун-
кции. Соединения между
звеньями выполняются пря-
мыми линиями со стрелками,
указывающими направление
передачи воздействий. Внеш-
ние воздействия показывают-
ся также стрелками. При та-
ком начертании структурная
схема САР представляет со-
бой графическое изображение
системы дифференциальных
уравнений, описывающих ра-
боту САР. Графическое изоб-
ражение уравнений звеньев
предпочтительнее обычной ма-
тематической записи этих
Уравнений, так как позволяет
весьма просто и по единооб-
разным правилам производить
«свертывание» этих уравне-
155
ний в одно уравнение при помощи формул (2.107), (2.109), (2.111)
и (2.112) для вычисления передаточных функций основных соедине-
ний звеньев.
На рис. 3.1 в качестве примера изображены уравнения звеньев
САР скорости вращения электрического двигателя. На рис. 3.2 по-
казаны структурные схемы этой САР (рис. 3.2, а) и следящей системы
воспроизведения угла (рис. 3.2, б).
Рис. 3.2. Структурные схемы системы регулирования скорости
вращения электродвигателя (а) и следящей системы воспроизве-
дения угла (б)
В общем случае дифференциальные уравнения звеньев для любой
САР могут быть разбиты на две группы, одна из которых описывает
работу регулятора, а вторая — объекта регулирования. Так, для
рассмотренной САР скорости вращения объект регулирования описы-
вается уравнением (3.3), а регулятор — уравнениями (3.1), (3.2) и
(3.4). Поэтому структурная схема любой САР обычно может быть
приведена к виду, показанному на рис. 3.3, а, где Fper(s) и IFo6(s) —
передаточные функции регулятора и объекта регулирования соответ-
ственно. На этом рисунке для упрощения показано лишь одно возму-
щающее воздействие /, приложенное к объекту регулирования. Пере-
даточная функция объекта по этому возмущению обозначена Wf(s)
(рис. 3.3, б). В общем случае число возмущающих воздействий может
быть любым.
При принятом на рис. 3.3 начертании структурной схемы чувст-
вительный элемент САР условно отнесен к объекту регулирования,
и выходной величиной САР считается выходная величина чувстви-
тельного элемента. В этом нетрудно убедиться, сопоставив рис. 1.7, а
и рис. 3.3.
156
Передаточные функции Fpcr(s), №o6(s) и Wf(s) легко находятся по
структурной схеме САР. Так, для САР скорости вращения (см.
рис. 3.2, а)
№per (S) = М( 1 + T\s) (1 + T2s)l;	(3.20}
№об («) = kj{ 1 + TMs + Тя TM s2);	(3.21)
Wf (s) = - k„ kM (1+ T,s)/( 1 + Tus + Тя Tu s2)	(3.22}
(при определении передаточной функции Fo6 (s) тахогенератор условно
включен в состав объекта регулирования).
Рис. 3.3. Структурные схемы САР:
а — общая; б — развернутая
В общем случае каждая из передаточных функций ITper(s), U7o6(s)
и Wf(s) представляет собой некоторую рациональную дробь (отноше-
ние двух многочленов) относительно комплексной переменной s:
^рег («) = брег (S)/Cper («Х	(3-23)
lFo6(s) = ^6(s)/co6(S);	(3.24}
U7/(s) = 6/(s)/co6(s)	(3.25)
где 6per(s), 6o6(s), 6/(s), cper(s), co6(s) — некоторые многочлены от комп-
лексной переменной s.
Передаточная функция разомкнутой системы W (s). Пред-
ставляет собой отношение преобразования Лапласа регулируемой
величины к преобразованию Лапласа сигнала ошибки при нулевых
начальных значениях функций у (t) и х (t) и их производных:
F(s) = y(s)/X(s),	(3.26)
где Y (S) = L {у (/)}, X (s) = L (x (/)).
157
Происхождение названия этой передаточной функции станет по-
нятным, если учесть, что при размыкании цепи главной обратной свя-
зи (место размыкания указано волнистой чертой на рис. 3.3) вход-
ным сигналом САР является ошибка х (I).
Так как для структурной схемы, приведенной на рис. 3.3, [у] =
= [g] = [х], то из формулы (3.26) следует, что передаточная функция
разомкнутой системы является безразмерной величиной: [W ($)] = 1.
Передаточная функция W ($) легко вычисляется по структурной схеме
САР (все возмущающие воздействия при этом считаются равными
нулю). Так, на рис. 3.3 разомкнутая САР состоит из двух последова-
тельно включенных звеньев — регулятора и объекта. Поэтому
w (S) = IFper (S) №о6 (8) = 6рег (з) &о6 (s)/(cper (s) соб (s)J.	(3.27)
Для САР скорости вращения (см. рис. 3.2, а)
IF(s) = K/[(l +T1S)(1 +T2s)(l -г Tus + T3TMs2)],	(3.28)
где
/С = &y /гтг.	(3.29)
Для следящей системы (см. рис 3.2, б)
W (s) = М«(1 + Tys)(\ + 7»),	(3.30)
где
/<! =/?aZ!yMP-	(3-31)
В общем случае передаточная функция разомкнутой системы пред
ставляет собой рациональную дробь:
Г (s) = & (s)/c (s) = (b0 sm + bx sm~x + ... 4- &m)/(c0 s" +
4-c1s"-1 + ...+c„).	(3.32)
Здесь b (s) = 6рег(5)^об(5). c (s) = cper(s)co6(s) — некоторые много-
члены с вещественными коэффициентами 6г и ct, зависящими от пара-
метров звеньев САР. В реальных САР всегда т < п и коэффициент
Ьт #= 0. Многочлен с (s) называется характеристическим полиномом
разомкнутой системы , а уравнение
c(s) = 0	(3.33)
представляет собой характеристическое уравнение разомкнутой САР.
Возможен случай, когда один или несколько младших коэффициен-
тов многочлена с (s) равны нулю: сп = cn-1 = ... = сп_,+1 = 0 (v =
= 0, 1, 2, ... ; сп_, =# 0). При этом
W (s) = (bosm + bt sm~l + ... + bm)/(cosn -1- Cj s'1’1 + ... + c„_ s') . (3.34)
Передаточную функцию разомкнутой системы обычно записывают
в стандартной форме, при которой многочлены в числителе и знамена-
теле W ($) имеют свободные члены, равные единице [см. (2.95)].
158
Для передаточной функции (3.34) стандартная форма записи имеет
вид
где
причем
Г(8) = (/G/sW0(s),
W (s\ = B{s} =	^os'” + Bism~1 + - + l
°' ' C (s) Co sn-’+ Cl s"-v-1 + ... 4-
(3.35)
(3.36)
Bi = bi/bmi f = 0, 1,2, ..., m;
Ct = Cilcn_^ i = 0, 1, 2, ... , n —v.
Величина v в формуле (3.35) называется порядком астатизма САР
относительно задающего воздействия g (/), а параметр
=	(3.37)
называется коэффициентом усиления разомкнутой системы (при
v = 0 примем /(о — Ю- Размерность коэффициента усиления 1/<J =
— \/сек\ Физически он представляет собой отношение установивше-
гося значения v-й производной регулируемой величины к постоянной
ошибке л° (см. стр. 103):
К, = (р»Усг/Л	(3.38)
На практике чаще всего встречается случай v = 0 (статические
САР), когда
(3.39)
(3.40)
w (S) = К	1
Cos« + C1s'I-i + ... + l
(примером может служить САР скорости вращения электродвигателя)
и случай v = 1 (САР с астатизмом первого порядка), когда
s CoS"-1-!-CiS"-2 + ... + 1
(примером может служить следящая система воспроизведения угла).
Коэффициенты усиления разомкнутой системы для САР скорости
вращения и следящей системы определяются формулами (3.29) и (3.31).
Для статических систем [/(] = 1, а для систем с астатизмом первого
порядка [/<\] = Мсек.
Основная передаточная функция замкнутой системы (главный опе-
ратор САР) Ф (s). Представляет собой отношение преобразования
Лапласа регулируемой величины к преобразованию Лапласа задаю-
щего воздействия при нулевых начальных значениях функций у (t) и
g (/) и их соответствующих производных:
Ф (s) = Y (s)/G(s)
где G(s) = L{g(t)}.
При вычислении главного оператора возмущающие воздействия
не учитываются. Когда возмущений нет, общая структурная схема
(3.41)
159
САР (см. рис. 3.3) может быть приведена к
рис. 3.4. Поэтому для нахождения главного
пользоваться соотношением (2.112), положив
Г2(з) = 1:
Ф (s) = 1Г(з)/[1 + Г(з)].
виду, показанному на
оператора можно вос-
в нем Wi(s) = W (з),
(3.42)
Учитывая формулу (3.32), можно выражение (3.42) преобразовать
к следующему виду:
Ф (s) = b (s)/a (s) = (&0sm + bx sm~l + ... + bm)/(a0 sn +
+ o1s"-1 + ... + а„).	(3.43)
Рис. 3.4. Структурная
схема САР при отсутст-
вии возмущающих воз-
действий
Таким образом, главный оператор (3.41)
легко вычисляется, если известна передаточ-
ная функция разомкнутой системы (3.32). Он
представляет собой рациональную дробь, в
числителе которой стоит многочлен b (s), фи-
гурирующий в числителе передаточной фун-
кции разомкнутой системы, а в знаменате-
ле — характеристический многочлен замкну-
той системы
a(s) = b(s) + c(s) = aosn + о^з"-1 + ... 4-a^s + ап, (3.44)
равный сумме многочленов, фигурирующих в числителе и знаменате-
ле передаточной функции разомкнутой системы.
Воспользовавшись формулами (3.28) и (3.30), на основании соот-
ношения (3.43) нетрудно записать главный оператор для САР скорости
вращения
ф (S) = _Д£тг£)_  ------------------*------------------ (3.45)
ДС/Э (S) К + (1 + T\s) (1 + T2s) (1 + TMs + Тя Ты S2)	’
и для следящей системы
ф (S) = ±1^1 = ----------*1----------.	(3.46)
®i(s)	+ s(l + Tys) (I + TMs)	'
Здесь At7Tr(s) = ЦАмТг(/)}, Af/3(s) = L{Aw3(/)}, 02(s) = L{&2(0} и
Э^з) = L (& i(/)}. Заметим, что выражения (3.45) и (3.46) можно полу-
чить и непосредственно из уравнений (3.8) и (3.15).
Передаточная функция замкнутой системы по возмущению Ф/з).
Представляет собой отношение изображения по Лапласу регулируе-
мой величины к изображению возмущения при нулевых начальных
значениях функций у (/) и f (t) и их соответствующих производных:
ф/(з) = Г(з)/Г(з),	(3.47)
где F (з) = L{f (/)}.
При вычислении передаточной функции (3.47) задающее воздей-
ствие g (/) и все другие возмущающие воздействия (если они есть)
не учитываются. В результате общая структурная схема САР (см.
160
рис. 3.3, б) приводится к виду, показанному на рис. 3.5, а, где обве-
денная штриховой линией часть может быть в соответствии с форму-
лой (2.111) при IT^s) х= 1 и W2(s) = —W (s) заменена одним звеном
с передаточной функцией 1/11 + W ($)]. Поэтому (рис. 3.5, б)
Ф/(®) - !Fz(s)/[l + W (s)].
(3.48)
Из рис. 3.3, б следует, что передаточная функция объекта регули-
рования по возмущению Wf(s) представляет собой просто передаточ-
ную функцию разомкнутой системы по возмущающему воздействию /.
При такой трактовке Wf(s)
на основании выражения
(3.48) можно сформулиро-
вать следующую общую
рекомендацию. Для опре-
деления передаточной фун-
кции САР по некоторому
возмущению /, приложен-
ному в любой точке сис-
темы, следует найти пере-
Рис. 3.5. Структурная схема САР для
вычисления передаточной функции зам-
кнутой системы по возмущению:
а — исходная; б — преобразованная
даточную функцию разом-
кнутой системы по этому
возмущению и разделить
ее на передаточную функ-
цию разомкнутой системы
(3.26), увеличенную на еди-
ницу. Размыкание САР, как обычно, производится в цепи главной об-
ратной связи.
Пользуясь формулами (3.25) и (3.32) и учитывая, что с (s) =
= сРег(5)Соб($), выражение (3.48) нетрудно привести к следующему
виду:
Ф, (s) = г (s)/a (s) = (го s" + r1s‘>-1 + ... + rq)/(a0 sn +
4-ajS"-1 + ... + a„),
(3.49)
где многочлен r (s) = fty(s)cper(s).
Обычно q < n, t. e. передаточная функция CAP по возмущению,
как и главный оператор, представляет собой правильную рациональ-
ную дробь. Знаменатели у передаточных функций (3.43) и (3. 49)
одинаковы, что характерно для всех передаточных функций замкну-
той системы.
Для САР скорости вращения и для следящей системы основным
возмущающим воздействием является изменение момента нагрузки.
Воспользовавшись формулами (3.22), (3.28) и (3.48), для САР скорости
вращения получим
ф /м х_ At/Tr (s) __________kM feTr (1 -f- 7*1$) (1 T2s) (1 + T9s)	,3
ДМ (s)	(1 4- T1S) (1 + T2s) (1 + Tus + T„Tus^ + K’ { '
где
ДЛ4 (s) =
6—493
161
Для следящей системы (см. рис. 3.2, б), разомкнув цепь обратной
связи, найдем
ГДз) = -kuk9/[s(l + TMs)].	(3.51)
Воспользовавшись соотношениями (3.30) и (3.48), будем иметь
ф (S) - ва(5) -_______*м<гР(1 +TyS)	(3.52)
Z(1 + s(l + 7’ys)(l + TMs) ’	'	'
где М (s) = L{M (/)}.
Формулы (3.50) и (3.52) могут быть получены и непосредственно
из уравнений (3.8) и (3.15).
Если на САР действуют несколько возмущений (fit fz, ..., fn ), то
для каждого из этих возмущений передаточная функция САР
Y (s) Wf. (s) Гь (s)
М=ЧГПТЙ = 7й'	....<V. <3.53)
Здесь Fh(s) = £{Д(/)}; WfK(s) — передаточная функция разомкну-
той системы относительно возмущения fh\ rh(s) — многочлен относи-
тельно s, степень которого не превосходит п.
Если передаточные функции Ф($) и ФД$) известны, то разыскание
дифференциального уравнения САР относительно регулируемой ве-
личины не представляет труда. На самом деле, из соотношения (3.41)
вытекает уравнение САР в изображениях при отсутствии возмущаю-
щих воздействий:
V ($) = Ф (s) G (s).
Из соотношения (3.47) получается уравнение САР в изображениях
при отсутствии задающего воздействия:
r(s) = Oz(s)F(s).
Так как система линейна, то при одновременном наличии задаю-
щего и возмущающего воздействий по принципу наложения
у (8) = ф (8) G (s) + Ф, (s) F (з) = G (s) + F (з),
a (s)	a (s)
откуда
a (s) Y (s) = b (s) G (s) + г (s) F (s).
Следовательно, дифференциальное уравнение САР имеет вид
а (р) y(t) = b (р) g (/) + г (р) f (/)	(3.54)
или
(аорл + ^р"’1 -|- ... + an)y(t) = (boprn + blpm~1 + ... 4- bm)g(t) +
+ (r0P? + 'iP?_1+ -	(3.55)
Для случая нескольких возмущений (Д, /2. •••»fN) по принципу
наложения
у (8) = ф (s) G (8) + S Ф/й (8) Fk(s),	(3.56)
162
откуда	N
a (s) У (s) = b (s) G(s) -4- £ rk (s) Fk (s).
£=l
ЧТО Приводит к дифференциальному уравнению
N
а (р) у (/) = b (р) g (t) + S rk (р) fk (t).	(3.57)
Воспользовавшись этой методикой, для САР скорости вращения
при помощи передаточных функций (3.45) и (3.50) получим, естест-
венно, дифференциальное уравнение (3.8) относительно напряжения
Дитг. Уравнение САР относительно регулируемой величины ДО [см.
(3.5)1 можно найти, разделив все члены уравнения (3.8) на крутизну
тахогенератора так как Дм^/Арр ДО*
Положив в формуле (3.57) у = g — х, нетрудно получить общее
дифференциальное уравнение САР относительно ошибки:
N
а (р) х (/) = с (р) g (t) — £ rk (р) tk	(358)
/г=1
Это уравнение может быть получено и непосредственно по струк-
турной схеме САР, если вычислить предварительно передаточные
функции замкнутой системы, связывающие сигнал ошибки х с каждым
из внешних воздействий —g, fu f2, ... , /w. К ним относятся переда-
точная функция системы для ошибки
фх(в) = X(s)/G(s)	(3.59)
и передаточные функции замкнутой системы для ошибки по возму-
щениям
Ф* (s) = X(s)/Fft(s), k =1,2.......N.
k
В этих формулах X(s) = L {х(/)). Нетрудно показать, что
ф (S) =-----!---= -£13. =	+ с1<2+.--- +сп	(з go)
Л	l+№(s) a (s)	aosn +aisn~ + .. +ап
ф* (s) = —Ф. (s), А =1,2...........N.	(3.61)
'k	1 k
6*
ГЛАВА 4
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
КРИВОЙ ПРОЦЕССА
РЕГУЛИРОВАНИЯ
В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
§ 4.1. ОСНОВНЫЕ
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИИ
ДИНАМИКИ ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ
Основным режимом работы любой системы автоматического управ-
ления является динамический режим, которому при анализе и синтезе
САУ уделяется главное внимание (см. § 1.14).
Для описания поведения систем автоматического управления часто
используются дифференциальные уравнения. Реальные САУ являют-
ся обычно нестационарными и нелинейными системами, однако для
облегчения задач анализа большой класс подобных систем может в
первом приближении рассматриваться как стационарный и линей-
ный (см. § 2.2). В этом случае поведение САУ можно описывать ли-
нейными дифференциальными и интегральными уравнениями с по-
стоянными коэффициентами (см. гл. 3).
Решение линейных дифференциальных уравнений дает полную
картину поведения системы для заданных начальных условий, иными
словами, это решение определяет как статический, так и динамиче-
ский процессы. Поэтому важно ознакомиться с основными методами
решения линейных дифференциальных уравнений.
В настоящее время разработано большое число методов решения
уравнений динамики САУ, как аналитических, так и графо-аналити-
ческих. Из них наибольшее практическое распространение получили
следующие: классический метод; операционные методы, использую-
щие преобразования Лапласа, Лапласа — Карсона и Фурье, и ме-
тоды, основанные на применении аналоговых и цифровых вычис-
лительных машин.
Каждый из перечисленных методов обладает известными достоин-
ствами и недостатками, ограничивающими область его практической,
применимости.
Уравнения динамики САУ представляют собой уравнения равно-
весия моментов либо сил, причем в правой части уравнений стоят
члены, характеризующие возмущающие и задающие воздействия, при-
ложенные к системе, а в левой — члены, характеризующие реакцию
системы на эти возмущения.
В реальных системах внешние воздействия являются обычно не-
прерывными однозначными функциями времени, часто носящими слу-
чайный характер.
Для упрощения анализа реальные внешние воздействия заменяют-
ся более простыми функциями, точно так же как реальные элементы
164
системы заменяются идеализированными элементами с линейными
характеристиками. Функции, применяемые взамен реальных внеш-
них воздействий, называются типовыми воздействиями (см. § 1.14) и
относятся к классу так называемых «функций с ограниченной вариа-
цией»*.
Если приложенное к реальной САУ воздействие представляет
собой более сложную функцию времени, чем перечисленные в § 1.14,
то часто удается заменить ее суммой указанных типовых функций и
воспользоваться принципом наложения.
Если приложеннное к реальной САУ воздействие представляет
собой не детерминированную (определенную), а случайную функцию
времени, то поведение системы исследуется при помощи особого ма-
тематического аппарата (см. гл. 9).
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (3.57), описы-
вающее движение линеаризованной САУ. Запишем его в общем виде
для регулируемой величины у (0 при наличии задающего воздей-
ствия g (0 и возмущающих воздействий
N
a(p)y(t) = b(p)g(t)+ S rk(p)fk(t).	(4.1)
Z?=J
В некоторых случаях бывает удобно определять не кривую у (0,
а ошибку х (0. При этом левая часть уравнения (4.1) полностью со-
храняет свой вид, правая же будет другой [см. (3.58)].
Для определения как у (0, так и х (0 необходимо решать уравне-
ния движения системы.
Остановимся вначале кратко на методе интегрирования обыкно-
венных дифференциальных уравнений. Решение этих уравнений мож-
но получить либо разделением переменных с последующим интегри-
рованием уравнения, либо суммированием двух решений — частного
и общего. Второй метод решения для уравнений типа (4.1) более удо-
бен. При использовании его предполагается, что решение состоит из
двух слагаемых, причем первое слагаемое определяется общим реше-
нием уравнения (4.1) без правой части и называется переходной
составляющей yn(t). второе слагаемое определяется частным реше-
нием уравнения (4.1) с правой частью и называется вынужденной.
или установившейся, составляющей yyCT(tY
У(О=Уп(С-ЬУуст(а	(4.2)
Общее решение однородного уравнения ищется в виде
Уп(О = Се^.	(4.3)
Дифференцируя выражение (4.3) столько раз, каков порядок
Дифференциального уравнения а (р)у (0 = 0, и подставляя в это
* Функция с ограниченной вариацией может обладать только точками
Разрыва первого рода, имеет конечное число максимумов и минимумов в
любом конечном интервале.
165
уравнение величину уп и ее производные, после сокращения на общий
множитель Cest получаем
aosn + ajs"'1 4-... + an_ts + ап = 0.
(4-4)
Алгебраическое уравнение (4.4) называется характеристическим.
Его корни s2, ... , sn определяют характер переходного процесса
в системе. Число корней равно степени алгебраического уравнения.
Переходная составляющая при отсутствии кратных корней мо-
жет быть записана в виде
£/п (0 — Ci eSit + С2 е*2* + • •• + Сп ,
(4.5)
где Ci, С2, ... , Сп — произвольные постоянные интегрирования, опре-
деляемые из начальных условий процесса:
У(0) = Ро> !/(0) = Уо. - . У(П-1) (0) - ^1-1>
(4.6)
Начальные условия накладываются на основании физических со-
ображений или находятся из уравнения (4.1).
Дифференцируя уравнение (4.5)повремени (и—1) раз и используя
начальные условия, получают п алгебраических уравнений с п неиз-
вестными постоянными интегрирования Ci, С2, ... , Сп. Решение этой
системы уравнений позволяет определить искомые постоянные инте-
грирования.
Общее решение соответствует отсутствию внешних воздействий.
При этом система совершает свободное движение. Начальное ее поло-
жение определяется заданными начальными условиями.
Частное решение или установившаяся составляющая #уст(0 ищется
обычно для	Оно определяется правой частью уравнения (4.1)
и соответствует некоторому статическому режиму, имеющему место
в системе после затухания переходной составляющей у (/).
Если к САУ приложено несколько внешних воздействий, то уста-
новившаяся составляющая z/yCT(/) состоит из суммы слагаемых по чис-
лу членов правой части уравнения (4.1). Каждое слагаемое составляю-
щей г/уст(/) находится для каждого задающего или возмущающего
воздействий независимо от других. Так, для определения составляю-
щей z/ycT(0 на основании выражения (4.1) можно записать
а(р)У<!) = b(p)g(t)\
a(p)y^) = rt (р)/1(0;
a(p)t/(0 = r2(p)/2(0;
(4.7)
a(p)y(t) = rN (p)
Полное решение (4.2) описывает процесс регулирования или управ-
ления в САУ.
1С6
, i 2 ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ
9 ' ' ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИВОЙ ПРОЦЕССА
РЕГУЛИРОВАНИЯ
решение линейных дифференциальных уравнений может быть
упрощено при использовании методов, в основу которых положено
преобразование функций вещественной переменной в функции комп-
лексной переменной. При этом преобразовываются не только различ-
ные функции воздействий, являющиеся функциями времени, но и
математические действия (например дифференцирование и интегриро-
вание). Методы функционального преобразования позволяют интегро-
дифференциальные уравнения заменять алгебраическими уравнения-
ми, решение которых значительно проще.
Практическое применение нашли методы преобразования Лапласа,
Карсона — Хевисайда и Фурье. Последние два метода могут рассмат-
риваться как частные случаи преобразования Лапласа.
Преобразование Лапласа. Это преобразование является функ-
циональным и служит для преобразования определенного класса
функций вещественной переменной в функции комплексной переменной.
Критерием для преобразуемости функции времени служит ее опре-
деленность, непрерывность и однозначность для всей области t >- О,
где t — действительная переменная, и выполнение неравенства
J	оо,	(4.8)
где / (t) — функция, подлежащая преобразованию; ст — некоторое
положительное число.
Если указанные выше условия выполняются, то говорят, что
функция f (t) преобразуема по Лапласу.
Переход от функции вещественной переменной к функции комп-
лексной переменной называется прямым преобразованием Лапласа
(L-преобразованием).
Прямое преобразование Лапласа описывается уравнением
(4.9)
F(s) =	f{t)^‘dt,
6
где s — комплексная переменная, действительная часть которой боль-
ше величины ст, фигурирующей в формуле (4.8): Re s > ст.
Обычно пределы интегрирования определяются границами процес-
са регулирования, которые могут быть установлены практически
либо теоретически. Нижний предел соответствует значению интеграла
при t = 0+, т. е. сразу после t — 0.
В выражении (4.9) функция f (/) называется оригиналом, функция
^ («), полученная в результате преобразования, — изображением.
Обратный переход от изображения к оригиналу может быть осуществ-
лен путем решения интегрального уравнения, так называемого обрат-
167
ного преобразования Лапласа*.
c+i<»
f (I) = J F (s) e* ds-, t > 0,	(4.10)
C—fl»
где с > ст; s = с + jw, с и <о — вещественные переменные.
Выражение (4.10) обычно при аналитическом определении / (/)
по изображению F (s) не используется, применяемые для этой цели
способы будут указаны далее.
Интегральные уравнения (4.9) и (4.10) принято записывать сокра-
щенно в виде
F(s) =£[/(/)], или F (s) Ф/(Oil	(4И)
f (t) = L-1 [F (s), или f (0 Ф F (s). J
Выражение (4.9) позволяет выразить функции времени в форме
изображений. В табл. 4.1 приведены изображения для наиболее часто
Таблица 4.1
Таблица преобразований Лапласа и Карсона—Хевисайда
Оригинал	Изображение Лапласа	Изображение Карсона- Хевисайда
1(0	1 S	1
8(0	1	S
Л. ко	А S	A
е~ <1(0		1	s
	s-J-a	s+a
М(0		1	1
	S2	s
<"•1(0	п!	n!
	sn+i	sn
sin X/-1(/)	X	Xs
	s2+X2	s2+k2
cos X/ • 1 (/)	s	s2
	s2+X2	s2+X2
sin X/-1(/)	X	Xs
	(s+7)2+k2	(s+7)2+X2
e“^cos X/ • 1 (/)		Д (s+t)
	(s+7)a+X2	(s+7)2+X2
(t—a)	e_“F(s)	е-“М0
168
применяемых в теории регулирования функций времени. Более пол-
нее таблицы имеются в [18, 49].
Преобразование Карсона — Хевисайда основано на использова-
нии следующих интегральных уравнений:
<р (s) = s j f (0 e~st di;	(4.12)
С-h/00
f(f) = -77- f ^-etsds.	(4.13)
12k J s
C—j<X>
Сравнение выражений (4.9), (4.10) и (4.12), (4.13) указывает на
тесную связь, существующую между этими функциональными преобра-
зованиями. Переход от преобразования Лапласа к преобразованию
Карсона — Хевисайда возможен при дополнительном умножении
L [f (/)! на величину $:
Ф($) = $F($).	(4.14)
Операторный (символический) метод Хевисайда был разработан
для упрощения решений интегро-дифференциальных уравнений
и предложен автором без каких-либо доказательств и обоснований.
Однако этот метод нашел широкое практическое применение, как в
области электротехники, радиотехники, так и в регулировании. Позд-
нее было показано, что этот метод имеет органическую связь с преоб-
разованием Лапласа и может быть теоретически обоснован.
Удобство преобразования Карсона — Хевисайда заключается в
том, что изображение постоянной величины А, согласно (4.12), равно
самой постоянной величине. Это обстоятельство приводит к тому,
что при решении практических задач оригинал и его изображение
имеют одинаковую размерность. Кроме того, во многих случаях
преобразование Карсона — Хевисайда сливается с операторной за-
писью дифференциальных уравнений при нулевых начальных усло-
виях.
Использование преобразования Лапласа при решении интегро-диф-
ференциальных уравнений, описывающих динамику САУ, невозмож-
но без знания его основных свойств.
Теоремы приводятся без доказательств [Л. 18].
Теорема 1. О преобразовании суммы функций.
Если функции f (t), fi(t) и f2(f) преобразуемы по Лапласу, имеют
своими изображениями F (s), F^s) и F2(s) соответственно и а представля-
ет собой постоянную или переменную величину, не зависящую от t
или s, то имеют место равенства:
L[af(t)]=aF(s)-	(4.15)
L[f1^±f2^]==FAs)±F2(s).	(4.16)
Эта теорема выражает свойство линейности преобразований Ла-
пласа.
169
Теорема 2. Дифференцирование в области вещественной пере-
менной.
Если функция f (/) и ее производная df (t)/dt преобразуемы по Ла-
пласу и если / (0 имеет своим изображением F (s), то
L [df (t)/dt] = sF (s) — f (0 +).	(4.17)
Формулировка теоремы 2 предусматривает возможность скачка
функции в начале отсчета. Слагаемое f (0+)* представляет собой
значение функции, принимаемое в начале отсчета (t = 0) при прибли-
жении со стороны положительных значений независимой переменной
(справа).
Теорему о дифференцировании в области вещественной перемен-
ной можно распространить на производные высших порядков. При
этом можно записать:
L[f' (O] = sF(s)-f(O);
L[/"(0] = s2F(s)-sH0)-/'(0);
где
fw (/) = dk f (t)/dtk и fm (0 = / (/).
При нулевых начальных значениях выражения (4.18) упрощаются:
L[fw(t)]=snF(s),	(4.19)
т. е. операция дифференцирования оригинала заменяется для изобра-
жения умножением на комплексную величину $.
Учитывая соотношение (4.14), можно получить выражения для
преобразования Карсона — Хевисайда, аналогичные выражениям
(4.18):
f(O===sq>(s)-sf(O);
/(п) (/) Ф s" <Р (s) - s'1 /0 - ... -	(0).
(4.20)
При нулевых начальных значениях
(/)=== S" ф (в).
Теорема 3. Интегрирование в области вещественной переменной.
Если функция f (/) преобразуема по Лапласу и имеет своим изобра-
жением F ($), то ее интеграл
t
$ f (t) dt — j f(t)dt + f{-"
(0 +)
(4.21)
О
* Обычно для удобства записи знак « + » после нуля опускается.
170
также преобразуем по Лапласу, и имеет место равенство
L \f(t)dt = F(s)/s+f
_0
(0+) - [ J W-J,_D+
При нулевых начальных значениях
J f(t)dt^=F(s)/s,
(-l) (0 +)/з.
(4.22)
где
(4.23)
т. е. интегрирование по времени оригинала соответствует делению
изображения на комплексную величину з.
Теорема 4. О конечном значении оригинала.
Для преобразования Лапласа
lim sF (s) = lim f(t).
S—>0
(4.24)
Для преобразования Карсона — Хевисайда
lim ср (s) — lim f (/).	(4.25)
s-*0	t-*-00
Эта теорема используется для определения установившегося зна-
чения f (t) по F (s), при этом нет необходимости полностью выполнять
обратное преобразование Лапласа от F (s).
Следует иметь в виду, что эта теорема неприменима к определению
временных функций, у которых sF (s) имеет корни, располагающиеся
на мнимой оси.
Теорема 5. О начальном значении оригинала.
Для преобразования Лапласа
lim sF (s) = lim f (/).	(4.26)
S—>00	/->0
Для преобразования Карсона — Хевисайда
lim <р (s) = lim f(t).	(4.27)
S-*oo	/->0
Эта теорема используется для определения начального значения
/ (0 при t = 0+, при этом нет необходимости доводить до конца обрат-
ное преобразование Лапласа от F (s).
Теорема 6. Изменение масштаба.
Если функция f (/) преобразуема по Лапласу, имеет своим изобра-
жением функцию F (s) и а представляет собой положительную постоян-
ную или некоторую положительную переменную, не зависящую от t
или s, то
L[f(t/a)] = aF(s).	(4.28)
Теорема 7. Смещение в вещественной области (теорема запазды-
вания,) .
171
Если функция f (/) преобразуема по Лапласу, имеет изображение
F ($) и а представляет собой неотрицательное вещественное число, то
L [f (t — а)] = e~as F (s)
(4.29)
при f (t—a) = 0 для t < a.
Из этой теоремы следует, что смещение по оси времени в вещест-
венной области соответствует в комплексной области умножению на
экспоненциальную функцию.
Теорема 8. Умножение в комплексной области.
Если функции f2(f) преобразуемы по Лапласу и имеют своими
изображениями соответственно функции F^s), F2(s), то

= Fi (s) F2(s),
(4.30)
где т — переменная интегрирования.
Действие, выражаемое интегралом в левой части равенства (4.30),
называется свертыванием в вещественной области (интеграл свертки),
а относительно функций и f2(t) говорят, что они свертываются.
Из этой теоремы следует, что свертывание в вещественной области соот-
ветствует умножению в комплексной области.
Теорема 8 еще раз иллюстрирует целесообразность применения
метода Лапласа. Используя прямое преобразование Лапласа, можно
от сложной операции (свертывания) в вещественной области перейти
к более простой (операции умножения) в комплексной области.
Эта теорема является также практически важной в случае отыска-
ния оригинала решения, если известно изображение. Действительно,
если изображение Y(s) представляет собой произведение
Y(s) =O(s)G(s),
(4.31)
где G(s) — изображение функции времени g (/), подаваемой на вход
системы; Ф (s) — передаточная функция некоторой системы, то Y(s)
представляет собой изображение выходной величины.
Если известна реакция системы на 6-функцию, то связь передаточ-
ной функции системы с функцией веса устанавливается выражением
Ф ($) = [ Ф (/) e~st dt.
В этом случае можно воспользоваться теоремой 8 и по интегралу
свертки определить функцию времени на выходе системы
y(t) =	— t)dt.
(4.32)
Если g (t — x) =/= 0 для x > t, то граница верхнего предела инте-
грала (4.32) может быть расширена до бесконечности и формула при-
172
обретает вид
00
у(0 = J <p(t)g(/—
о
(4.33)
Преобразования Фурье. Эти преобразования являются функцио-
нальными, так как они преобразовывают некоторую функцию пере-
менного t в совершенно иную функцию переменного ш, и наоборот.
Преобразования Фурье имеют вид:
-1-00
F(/<o) = J	dt-,	(4.34)
4-00
Z(O = v- f F(/(o)e'wd(o.
2тс J
—co
(4.35)
Интегральное уравнение (4.34) называется прямым, а уравнение
(4.35) — обратным преобразованием Фурье. Сокращенная форма за-
писи этих уравнений
(4.36)
Г’1 [F(/®)] = /(/)•	(4.37)
Интеграл Фурье (прямое преобразование Фурье) позволяет раз-
ложить непериодическую функцию f (/), обладающую свойством аб-
солютной интегрируемости в заданных пределах, в бесконечный ряд
гармоник, образующих непрерывный спектр частот в интервале от
—оо до +оо с бесконечно малым интервалом частот между смежными
гармониками (т. е. в пределе Дю ->0).
Метод преобразования Фурье непригоден при ненулевых началь-
ных (или граничных) условиях. Этот метод может применяться лишь
тогда, когда искомые функции имеют изображение Фурье, т. е. для
абсолютно интегрируемых функций времени, удовлетворяющих не-
равенству
f|/(OI^<oo.	(4.38)
— 00
Наиболее часто встречающимися в теории регулирования функ-
циями являются единичная ступенчатая функция (1.44) и произведе-
ние синусоидальной функции на единичную функцию (1.51). Преоб-
разование Фурье неприменимо ни к одной из этих функций, так как
нэ удовлетворяется условие (4.38).
Указанные недостатки ограничивают использование метода пре-
образования Фурье.
Чтобы применить интеграл Фурье, необходимо выбрать функцию,
Достаточно близкую к исследуемой, например, к ступенчатой функ-
ции при конечных значениях /, но в то же время удовлетворяющую
Условию (4.38). Такую функцию можно получить, умножив ступен-
173
чатую функцию на е~гГ, где с — достаточно малая положительная
величина. Вновь полученная вспомогательная функция
= /(/)е’^ где с>0.	(4.39)
Устремляя с к нулю и делая предельный переход, можно от вспо-
могательной функции fi{t) перейти к основной f (/). Кроме того, если
ограничиться функциями f (/), тождественно равными нулю при t < О,
то для большого класса функций будет справедливо условие (4.38) и
можно найти частотный спектр функции, используя выражение (4.34).
Вместо F (jw) введем новое обозначение F (с, /ю), так как эта величина
теперь зависит и от с:
F (с, /®) = [/(/) e~et е"/и/ dt = f f (!) е"(с+/ш)' dt,
О	о
Положив с + /со = st находим
F(s) = J f(t)e~s,dt.
Эта формула совпадает с прямым преобразованием Лапласа (4.9).
Отсюда следует, что преобразование Фурье можно рассматривать
как частный случай преобразования Лапласа.
Изложенные выше методы преобразований позволяют сделать сле-
дующие заключения:
1)	интегро-дифференциальные уравнения заменяются алгебраи-
ческими уравнениями;
2)	отпадает операция определения постоянных интегрирования,
так как начальные условия учитываются с самого начала при нахож-
дении изображения искомой величины;
3)	операция определения корней характеристического уравнения
полностью сохраняется.
Наиболее удобным для решения практических задач является ме-
тод преобразования Лапласа. В несколько измененной форме он мо-
жет быть применен к исследованию дискретных САУ (см. гл. 7).
Рассмотрим использование метода преобразований Лапласа для
решения дифференциального уравнения вида
a(p)y(t) = b(p)g(t).	(4.40>
Преобразуем это дифференциальное уравнение, используя прямое
преобразование Лапласа (4.9) и теоремы 1 и 2. В результате получим
алгебраическое уравнение, записанное для изображений:
а ($) Y (s) — A (s) = b (s) G ($),	(4.41)
где A(s)—сумма всех членов, содержащих начальные условия.
Отсюда находится изображение искомой функции
Y (s) = [b (s) G (s) + A (s)]/a ($).	(4.42)
174
При нулевых начальных условиях выражения (4.41) и (4.42) упро-
щаются:
a (з) У (s) = b (s) G (з);	(4.43)
У (з) = b (s) G (з)/а (з).	(4.44)
Зная изображение искомой функции У(з), можно найти ориги-
нал «/(0. например, по таблицам изображений.
Если изображение искомой величины представляет собой рацио-
нальную алгебраическую дробь, то ее стараются записать в виде сум-
мы простых дробей с постоянными коэффициентами. Обратное преоб-
разование для каждой из этих простых дробей может быть получено
из таблиц, а окончательное выражение оригинала представлено как
сумма отдельных найденных значений. Для определения оригинала
можно также воспользоваться теоремой разложения.
Если изображение Лапласа представляет собой рациональную
алгебраическую дробь вида
У (s) = &(s) = b»s'" +	+ • • • +	(4л5у
a (s) aQsn 4- axsn~x 4- • • • 4- an
где b(s), a(s) — полиномы относительно s; b0, blt ... , bm-, a0, ah ...
..., an — постоянные вещественные коэффициенты, причем tn < п, и
характеристическое уравнение а(з) = 0 не содержит нулевых и крат-
ных корней, то в этом случае оригинал
у (t) = £ Qfct. / > 0	(4.46)
*=. а'^
где sft — корни характеристического уравнения а(з) = 0;
a' (sft) = [da (s)/ds]s=Sk.
Если знаменатель изображения Лапласа (4.45) имеет один нуле-
вой корень, то
У (s) =	,	(4Д7)
saA(s) s (s—s2) (s — s3) ... (s — s„)
При этом оригинал определяется по формуле
0(О==Г±<±1	е^ =
Lei's)Js-o ft=2[sai («) Js=Sft
=	-I- V	es^ / > 0.	(4.48)
Если знаменатель изображения Лапласа (4.45) имеет два нулевых
корня, то
У (s) = b (з)/[з2а2(з)].
(4.49)
175
Выражение (4.49) в этом случае может
следующей суммы простых дробей:
быть представлено в виде
где
Далее при переходе к оригиналу используется таблица изобра-
жений.
§ 4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕССА
РЕГУЛИРОВАНИЯ ПУТЕМ МОДЕЛИРОВАНИЯ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
В последнее время в связи с развитием вычислительной техники
для исследования систем автоматического управления широко исполь-
зуются вычислительные машины непрерывного и дискретного действия.
Для изучения переходных процессов линейных систем наибольшее
применение находят вычислительные машины непрерывного (ана-
логового) действия, использующие метод математического моделиро-
вания, который базируется на идентичности уравнений, описывающих
процессы в оригинале и в модели. Оригиналом при математическом
моделировании служит математическое описание процессов управле-
ния и регулирования, происходящих в исследуемой системе. Анало-
говые вычислительные машины, воспроизводящие заданные матема-
тические соотношения, являются в этом случае математической
моделью.
Математическое моделирование особенно целесообразно приме-
нять при исследованиях систем, описываемых дифференциальными
уравнениями сравнительно высокого порядка, а также при учете влия-
ния действия нелинейностей, переменных параметров и т. д.
К наиболее распространенным типам электронных вычислитель-
ных машин непрерывного действия относятся ИПТ-5, МПТ-9, МПТ-11,
«Электрон», МН-1, МН-2, МН-7, МНМ, МН-17 и др. Эти машины по-
строены на базе операционных усилителей, выполняющих операции
интегрирования, суммирования и умножения на постоянный множи-
тель.
Реализация дифференциальных уравнений на аналоговой вычис-
лительной машине производится обычно либо в соответствии со струк-
турной схемой исследуемой системы, либо при помощи так называе-
мого способа понижения порядка производной.
Первый метод (структурного моделирования) заключается в том,
что модель воспроизводит структурную схему исследуемой системы.
В качестве примера рассмотрим принцип моделирования простейшей
следящей системы (рис. 4.1, а). Операционный усилитель 1 (рис. 4.1, б)
осуществляет операцию алгебраического суммирования и реализует
176
апериодическое звено первого порядка с постоянной времени 7у;
операционный усилитель 2 моделирует апериодическое звено первого
порядка с постоянной времени Тм; усилитель 3 является идеальным
интегрирующим звеном. Таким образом, модель повторяет структуру
оригинала. Это оказывается удобным, когда нужно исследовать пове-
дение не только какой-либо одной координаты системы (например,
регулируемой величины), но и промежуточных координат, а также
при учете нелинейностей (см. гл. 8).
Рис. 4.1 Моделирование следящей системы воспроиз-
ведения угла:
а — структурная схема; б — схема структурного моделирования;
в — схема моделирования методом понижения порядка производной
Второй метод основывается на том, что исходное уравнение систе-
мы (см. рис. 4.1, а)
(аор3 4- ахр2 + а2р + а3) у = a3g,	(4.51)
где
а0 = 7’уТм; а1 = 7’у + Тм; а2 = Г, а3 = /С,
разрешается относительно старшей производной:
Р3У = — g — — р2У — — РУ---------—У-	(4.52)
Уравнение (4.52) реализуется при помощи схемы, приведенной на
рис. 4.1, в, если на входе первого операционного усилителя, работаю-
щего в режиме интегратора и сумматора, сложить с учетом знаков
и масштабов все члены, входящие в правую часть выражения (4.52).
177
Следует заметить, что при моделировании по первому и второму
методам приходится иметь дело с так называемыми машинными пе-
ременными. Например, поведение регулируемой величины у в моде-
ли отображает машинная переменная у' = пцу, где mi — масштаб-
ный коэффициент и т. п.
Для моделирования нелинейностей или переменных коэффициен-
тов используют специальные нелинейные блоки и блоки переменных
коэффициентов.
Аналоговые вычислительные машины позволяют моделировать всю
систему в целом или ее отдельные части. Например, при помощи вы-
числительной машины может быть создана модель объекта управле-
ния (самолета, ракеты, турбины и т. д.), а регулятор взят реальным.
В результате получается замкнутая система автоматического регули-
рования, переходные процессы которой могут быть исследованы еще
до того, как будет построен сам объект.
ГЛАВА 5
УСТОЙЧИВОСТЬ И КАЧЕСТВО
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 5.1. ПОНЯТИЕ
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
линейных систем
Всякая система автоматического управления должна быть прежде
всего работоспособной, т. е. должна нормально функционировать и
быть нечувствительной к посторонним возмущениям различного рода
(помехам, шумам и т. д.). Работоспособность системы выявляется на
основании одной из основных динамических характеристик системы
управления — ее устойчивости (или неустойчивости). Для выполне-
ния любых практических задач управления система должна быть ус-
тойчивой. Устойчивость — свойство системы возвращаться в исходный
или близкий к нему установившийся режим после выхода из него в
результате какого-либо воздействия. Неустойчивая работа может воз-
никнуть во всякой САУ с обратной связью, в этом случае система не
может выполнять задачи управления. Неустойчивая система не воз-
вращается к состоянию равновесия, из которого она по тем или иным
причинам вышла, а непрерывно удаляется от него или совершает около
него недопустимо большие колебания.
Более точно понятие устойчивости может быть сформулировано
следующим образом. Линейная система автоматического управления
называется устойчивой, если ее функция веса ф (/) остается ограни-
ченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных
возмущениях. Физически возможная линейная САУ устойчива, если
lim
7 ->оо
JI <Р (О I & < с,
о
(5.1)
где с — некоторая конечная величина.
Из определения следует, что об устойчивости системы можно су-
дить по решению линеаризованного дифференциального уравнения
замкнутой системы (3.57).
Решение уравнения (3.57) можно записать в виде
У(0 = Уп(0 + Ууст(0,	(5.2>
причем общее решение однородного дифференциального уравнения
а(р)г/(/) = О	(5.3)
определяет переходный процесс системы, т. е. переходную составляю-
щую #п(0- Установившаяся составляющая //уст(/) находится как част-
ное решение неоднородного уравнения (3.57).
179
Система автоматического регулирования или управления называ-
ется устойчивой, если переходная составляющая с течением времени
затухает, т. е.
limt/n(0 = 0.	(5.4)
/—►00
Ехли с течением времени переходный процесс расходится, т. е.
lim^n(/)=oo,	(5.5)
/-*00
то система называется неустойчивой.
Системы, в которых переходный процесс с течением времени не
расходится и не затухает, называются находящимися на границе
устойчивости.
Для нормальной работы любой линейной САУ необходимо выполне-
ние условия устойчивости (5.4). Чтобы исследовать устойчивость
САУ, оказывается, нет необходимости находить общее решение одно-
родного дифференциального уравнения (5.3), так как оно зависит от
вида корней характеристического уравнения САУ.
Обозначим через 52» s3, ... , sn корни характеристического урав-
нения
a^sn + axsn^ Н----+ ап - 0.	(5.6)
Предположим, что все корни простые (это допущение не влияет
на общность полученных результатов). Тогда переходный процесс
п	i
!/n(O = S CkeSkt,	(5.7)
k~\
где Сь С2, С3,..., Сп — произвольные постоянные. Следовательно,
п	i
limу(t) = £ C^lime	(5.8)
/-►00	,	/—►00
Корни характеристического уравнения могут быть либо вещест-
венными, либо комплексными сопряженными. Для вещественных кор-
ней sh = ah, для комплексно-сопряженных корней sk, h+i =
(ah = ReSfc — вещественная часть корней,	— мнимая часть
корней). Вещественные корни будем считать частным случаем комп-
лексных (при = 0), тогда [33]:
О,
если
ал<0;
lime5** =
не существует
либо равен 1
(при В/, = 0), если = 0;
если «*>0.
(5-9)
Из (5.8) и (5.9) следует необходимое и достаточное условие устой-
чивости линейных систем. Для того чтобы линейная САУ была устой-
1ЗД
а необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех кор-
'ней характеристического уравнения САУ (5.6) были отрицатель-
ны, т> е‘
Resft<0, 6=1,2........п.	(5.10)
Иными словами, все корни характеристического уравнения САУ
должны располагаться в левой полуплоскости на плоскости корней
(рис. 5.1, а).
Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных
корней находятся на мнимой оси (о* = 0), а все остальные корни рас-
положены в левой полуплоскости, САУ находится на границе устой-
чивости. Различают апериодическую и колебательную границы устой-
чивости.
Рис. 5.1. Расположение корней
характеристического уравнения
САУ:
а — устойчивая система; б — неустойчивая
система
Рис. 5.2. Расположение кор-
ней характеристического урав-
нения САУ, находящейся на
границе устойчивости:
а — апериодической; б — колеба-
тельной
Система находится на апериодической границе устойчивости,
если в характеристическом уравнении (5.6) имеется хотя бы один
нулевой корень. На плоскости корней он располагается в начале
координат (рис. 5.2, а). Один нулевой корень может появиться в
уравнении (5.6) лишь при равенстве нулю свободного члена (ап =0).
При этом однородное уравнение системы (5.3) может быть представ-
лено в виде
(aQpn^ + Н----------Н алИ) ру (/) - 0.	(5.11)
Таким образом, система оказывается устойчивой не относительно
регулируемой величины у (/), а относительно скорости ее изменения
РУ (/). Сама же регулируемая величина может принимать произволь-
ные значения. Система к ней безразлична (нейтральна), поэтому такие
системы часто называются нейтрально устойчивыми.
Система находится на колебательной границе устойчивости, если
в характеристическом уравнении (5.6) имеется хотя бы одна пара
чисто мнимых корней (рис. 5.2, б). В системе при этом устанавлива-
ются незатухающие гармонические колебания.
Рассмотренные условия устойчивости относятся к линейным САУ,
т- к системам, описываемым линейными дифференциальными урав-
нениями с постоянными коэффициентами.
181
Прямой путь определения устойчивости системы состоит в отыс-
кании корней характеристического уравнения. Однако этот путь
оказывается весьма трудоемким, особенно, если степень характерис-
тического уравнения п 3. Поэтому очень важно знать признаки,
по которым можно судить об устойчивости САУ без непосредственного
определения корней соответствующего характеристического уравне-
ния. Эти признаки называются критериями устойчивости.
Простейшим необходимым (но недостаточным) критерием устой-
чивости является критерий, согласно которому необходимо, чтобы
все коэффициенты характеристического уравнения (5.6) были од-
ного знака, например, положительными. Для доказательства пред-
ставим характеристический полином в виде
a(s) = а0(s — «О (s — s2)(з — з3)... (з — з„).
В устойчивой системе все корни имеют отрицательные веществен-
ные части. Пусть, например, зх — —аъ з2 3 = —а2 ± /(32 •••, sn —
= — ал. Тогда
а (s) = а0 (з + а,) (з + а2 — /р2) (s + а2 + /М ••• (« + %) =
= а0 (з 4- оц) (з2 -|- 2а2з + а2 + р!) ••• (s + %)	(5.12)
Из (5.12) следует, что характеристический полином устойчивой
САУ может быть представлен в виде произведения многочленов первой
и второй степени, имеющих только положительные коэффициенты.
При перемножении этих многочленов получается многочлен (харак-
теристический полином), имеющий также только положительные ко-
эффициенты. Нетрудно видеть, что для систем, описываемых дифферен-
циальными уравнениями первого и второго порядков, необходимый
критерий устойчивости одновременно является и достаточным.
Для исследования более сложных систем применяются другие крите-
рии устойчивости. Впервые задача отыскания критериев устойчивос-
ти была поставлена Максвеллом в 1868 г.
§ 5.2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
РАУСА — ГУРВИЦА
Критерий устойчивости Рауса — Гурвица относится к алгебраиче-
ским критериям устойчивости, накладывающим ограничения на коэф-
фициенты характеристического уравнения. Профессор математики
Кембриджского университета Раус в 1875 г. сформулировал условия
устойчивости в виде таблицы. Швейцарский математик Гурвиц опуб-
ликовал в 1895 г. критерий устойчивости в виде системы определите-
лей. Оба эти критерия приводят к одним и тем же алгебраическим
неравенствам и отличаются только способом их получения. Поэтому
часто указанные критерии объединяют, называя критерием Рауса—
Гурвица. Рассмотрим этот критерий в форме Гурвица.
Если характеристическое уравнение системы имеет вид уравне-
ния (5.6), причем aQ > 0, то для устойчивости линейной САУ необ-
182
ходимо и достаточно, чтобы были положительными п определителей
Гурвица —ki, Л2. Дз» ••• , Дп- Определители Гурвица представляют
собой диагональные определители квадратной матрицы n-го порядка:
аг	а3	а3... О	О
а0	а2	а4... О	О
О	а,	а3... О	О
(5.13)
ООО а„_2 а„
составленной из коэффициентов уравнения (5.6), так что
Д1 = at-,
Д2 —
«1 «з
ао а2
®3
О0 ^2 ^4
0 а} а3
ь„ = \г\.
Легко убедиться в том, что Дп = anAn_i. Поэтому последний опре-
делитель Гурвица Дп вычислять не нужно, а условие Дп > 0 выпол-
няется при ап > 0 и Дп_! > 0.
Условия, при которых система находится на границе устойчивости,
можно получить, приравнивая нулю последний определитель Гурвица
при положительности всех остальных определителей. При этом Дп =
= апДп-1 = 0, или ап = 0 и Дп_! = 0. Условие ап = 0 соответствует
апериодической границе устойчивости, а условие An_j = 0 — коле-
бательной границе.
Для характеристических уравнений высоких степеней порядок
определителей возрастает, и практическое вычисление их становится
сложным. Критерий устойчивости Рауса — Гурвица рационально при-
менять для уравнений не выше четвертой-пятой степени. В этих слу-
чаях условия устойчивости имеют следующий вид.
Уравнения первой и второй степеней. Для уравнений первой и
второй степеней необходимый критерий устойчивости, заключающий-
ся в требовании положительности всех коэффициентов уравнения,
является и достаточным критерием. Следовательно, условие устойчи-
вости состоит в следующем:
а0>0; ^>0; а2>0.	(5.14)
Уравнение третьей степени. Оно имеет вид-
а0$3 + а1($2 + а2$ + а8 = 0.
183
Для этого уравнения имеем
д2 —
а0 >0; Дх = at > 0;
«1 а3
а0 а2 -а№~а<Аз'
- а^а2 — а0а3 > 0;
а3 а3 0
(5.15)
Д3 = а0 а2 0 = а3Д2 > 0, т. е. а3 >0.
О at а3
Следовательно, в этом случае требуется не только положительность
всех коэффициентов характеристического уравнения, но и соблюде-
ние условия Д2 >• 0:
а0 > 0; atZ>0; а2>0; а3>0;
а1а2>а0а3.
(5.16)
Уравнение четвертой степени. Оно имеет вид
а0& 4- а3$3 + a2s2 + а3з а4 = 0.
Аналогично можно получить условия устойчивости в виде требова-
ния положительности всех коэффициентов характеристического урав-
нения и Д3 > 0:
а0 > 0;	> 0; а2>0; а3>0; а4>0;
а1а2а3 > аоа> + a4«i.
(5.17)
При исследованиях более сложных систем можно пользоваться
условиями устойчивости Льенара и Шипара, которые в 1914 г. пока-
зали, что при положительности коэффициентов характеристического
уравнения число условий устойчивости может быть снижено наполо-
вину. При этом для устойчивости системы необходимо и достаточно,
чтобы были положительными все коэффициенты характеристического
уравнения и определители Гурвица Дп_!, Дп_3, Дп_5, ....
Пример 5.1. Исследуем устойчивость простейшей следящей системы, в
которую входит инерционный усилитель с постоянной времени Ту и исполни-
тельный двигатель с постоянной времени Тм; все остальные элементы системы
можно считать безынерционными (см. рис. 3.2, 6).
В этом случае передаточная функция разомкнутой системы
r(s) = ^/[s(l+TMs)(l+Tys)],
а передаточная функция замкнутой системы
Ф (s) =	+ (Тм + Ту) + $ + /<].
Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:
а0$3 + Я1$2 + «2s + аз = 0,
где б?о — ТМТу; аг — Тм 4- Ту\ а2 — 1:	— Ki*
184
Условие устойчивости (5.16) после простых преобразований можно записать
следующим образом:
Кг < 1/Тм + 1/Ту.
Система будет находиться на колебательной
границе устойчивости при критическом значении
общего коэффициента усиления
К1кр = 1/Тм + 1/Гу.
Область устойчивости исследуемой системы
в плоскости параметров Ki и Ту построена
на рис. 5.3. Штриховка направлена внутрь об-
ласти устойчивости. Видно, что увеличение
постоянных времени Ту и Тм сужает область
устойчивости, уменьшая верхнее значение кри-
тического коэффициента усиления К1кр.
О	Ту
Рис. 5.3. Область устойчи-
вости
§ 5.3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА
Критерий устойчивости был предложен советским ученым А. В. Ми-
хайловым в 1936 г. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой
системы по виду кривой Михайлова, представляющей собой годограф
вектора
a (Jco) = а0	(/со)"-1 + • • • +ап	(5.18)
при изменении со от 0 до оо.
Годограф а (/со) представляет собой характеристический полином
замкнутой системы а (з) при подстановке з = /со.
Выделив в правой части (5.18) вещественную и мнимую составляю-
щие, можно записать
а (/со) = X (со) + jY (со),
где
X (со) = ап — а„_2со2 + а„_4со4--; 1
Y (со) = a„-ico - а^со1 + ап_^------J	1У)
Кривая Михайлова строится в плоскости (X, jY) по точкам в соот-
ветствии с выражением (5.19). Критерий Михайлова формулируется
таким образом: для устойчивости линейной САУ необходимо и доста-
точно, чтобы вектор a (ju) при изменении и от 0 до оо повернулся на
угол фа = ил/2 против часовой стрелки, где п — степень
характеристического уравнения исследуемой системы. Следовательно,
кривая Михайлова для устойчивых САУ последовательно проходит
число квадрантов, равное порядку дифференциального уравнения
САУ.
Для доказательства критерия представим характеристический по-
лином в виде
a (s) = а0 (s — Sj) (з — з2)... (з — з„),	(5.20)
где зь з2, ... , зп — корни характеристического уравнения.
185
Кривая Михайлова может быть описана уравнением
а(» = а0(/(о —sJO —s2)...(/(o—s„).	(5.21)
Результирующий угол поворота вектора а (/со) при изменении со
от 0 до оо обозначим через
% = “Ф1 + Ф2 Н---+ Фп.	(5.22)
где гр2, ... , 'Фп— составляющие угла поворота вектора а (/со),
определяемые сомножителями (/«о — sf).
Нетрудно видеть, что каждый сомножитель соответствует повороту
радиус-вектора при изменении ш от Одо оо на угол 4 л/2 в случае
Рис. 5.4. Кривые Михай-
лова для устойчивых САУ
Рис. 5.5. Границы устойчивости:
а — апериодическая; б — колебатель*
ная
вещественных корней и повороту на угол ±(л/2+у) для комплексного
корня, где у = arctg (|3/а). Паре комплексных корней соответствуют
два сомножителя, поворачивающие радиус-вектор на угол ±л. Поло-
жительные повороты (против часовой стрелки) имеют место при отри-
цательной вещественной части корня.
Таким образом, если характеристическое уравнение замкнутой
системы будет иметь /3 корней с положительной вещественной частью,
то каковы бы ни были эти корни (вещественные или комплексные),
им будет соответствовать сумма углов поворотов, равная —-/3л/2.
Всем остальным (п —13) корням характеристического уравнения,
имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать
сумма углов поворотов, равная (и —
Следовательно, результирующий угол поворота вектора а (/<d) при
изменении ш от 0 до оо [см. (5.22)1
фа = (и — /3) к/2 — /3тг/2 = итс/2 — /Зтс.	(5.23)
Для устойчивой системы все корни характеристического уравнения
должны иметь отрицательные вещественные части (/3 = 0). При этом
фа = mr/2.	(5.24)
Итак, для устойчивой системы кривая Михайлова должна прохо-
дить последовательно п квадрантов (рис. 5.4). Кривая Михайлова
всегда начинается с точки, расположенной на вещественной положи-
186
тельной полуоси [при со = 0 а (/0) = ап]. При со -> оо а (/<о) -> оо,
причем при четном п кривая уходит в бесконечность вдоль веществен-
ной оси X, а при нечетном п — вдоль оси У.
Если система находится на апериодической границе устойчивости,
то свободный член характеристического полинома ап = 0, и кривая
Михайлова идет из начала координат (рис. 5.5, а). При колебатель-
ной границе устойчивости кривая Михайлова проходит через начало
координат (рис. 5.5, б). Кривая Михайлова, соответствующая неустой-
чивой системе, показана на рис. 5.6.
Рис. 5.7. Структурная схема системы ста-
билизации углового движения баллисти-
ческой ракеты
Рис. 5.6. Кри-
вая Михайло-
ва для неус-
тойчивой САУ
Пример 5.2. Исследуем устойчивость системы угловой стабилизации
статически неустойчивой баллистической ракеты (см. пример 1.15), структур-
ная схема которой показана на рис. 5.7. Здесь приняты следующие обозначения:
ki и k2— коэффициенты передачи автомата стабилизации: kn, Ti и Т2— коэф-
фициент передачи и постоянные времени рулевого привода; kQ^ и Toq — коэф-
фициент передачи и постоянная времени объекта управления (ракеты) [4].
Передаточная функция разомкнутой системы
IP (s) = /еоб/еп + ад/[(- 1 + Т2^) (1 + 7\s) (1 + T8s)] .
Характеристический полином замкнутой системы
a (s) =	+ 7^ (7\ + Т2)	+ ( Гоб ~ s2 +
+ (&2^П^об --	- ^2) S + kiknk(rt- 1
или
« (/<>) =	- т2^ (Л + Т2) /<0» - (т2б - Т\Тг) <08 +
+ (^2^П^об---	- ^2) /W + ^1&п^об - 1 •
Для построения кривой Михайлова выделим вещественную и мнимую части:
а (/ш) = X (<о) +/У (оз),
где X (<о) =	- ( Гоб - ЛЛ) «>2 + *.Моб - 1:
у (<о) = - Т2й (7\ + Т2) <о8 + (fe2fenfeo6 - Т, - Т2) <о,
^зададимся следующими числовыми значениями: kt= 1.2; й2= 0,6 сек; k„ —
1;	0,1 сек\ Т2~ 0,05 сек\ k0^ = 1; ТОб == 1 сек.
187
Изменяя со от 0 до оо, построим кривую Михайлова (рис. 5.8). Ее вид соот-
ветствует устойчивой системе.
Области устойчивости систем автоматического управления. При
проектировании систем автоматического управления сравнительно
часто требуется определить влияние каких-либо варьируемых пара-
метров на устойчивость. В этом случае строят область устойчивости
системы в пространстве этих варьируемых параметров. Область
Рис. 5.8. Кривая
Михайлова к при-
меру 5.2
Рис. 5.9. Область устойчивости к
примеру 5.2
устойчивости определяется совокупностью значений параметров си-
стемы, при которых система устойчива. Все пространство вне области
устойчивости называется областью неустойчивости. Точки ее соот-
ветствуют значениям параметров, при которых система неустойчива.
Если система в пространстве всех своих параметров не имеет области
устойчивости, то подобная система автоматического управления назы-
вается структурно неустойчивой.Чтобы сделать структурно неустой-
чивую систему устойчивой, необходимо изменить ее структуру, сде-
лать же ее устойчивой только за счет изменения параметров невоз-
можно. Если число варьируемых параметров САУ равно и, то в общем
случае построение областей устойчивости ведется в n-мерном про-
странстве. Однако для решения практических задач п обычно не пре-
вышает трех. Так, в случае двух варьируемых параметров (А и В)
область устойчивости изображается на плоскости этих параметров
(рис. 5.9). На рисунке линией изображена граница устойчивости, от-
деляющая область устойчивых систем от неустойчивых. Вдоль гра-
ницы устойчивости наносится штриховка, которая обращена в сторо-
ну области устойчивости. Область устойчивости может быть как замк-
нутой, так и незамкнутой.
При трех варьируемых параметрах (Л, В и С) построение области
устойчивости ведется в трехмерном пространстве, по координатным
осям откладываются варьируемые параметры. Граница устойчивости
при этом представляет собой трехмерную поверхность. При практи-
ческих расчетах эта поверхность преобразуется в гиперплоскость*
* Гиперповерхностью называется геометрический объект, имеющий число
измерений на единицу меньше, чем число измерений рассматриваемого про-
странства.
188
путем сечения ее плоскостями при фиксированных значениях одного
из трех параметров.
Построение границы устойчивости осуществляется с помощью
критериев устойчивости.
Критерий Михайлова широко применяется для построения облас-
тей устойчивости в плоскости двух изменяемых параметров А и В,
если они входят в коэффициенты характеристического уравнения
системы линейно или в виде произведения АВ. Колебательной грани-
це устойчивости соответствует прохождение кривой Михайлова через
начало координат, т. е. a (ju) = 0. Это требование может быть удов-
летворено определенным выбором значений параметров Л и В. Урав-
нение кривой Михайлова при этом распадается на два уравнения:
Х(й), Л, В) == 0; 1
К (со, Л, В) = 0, J
(5.25)
причем здесь со дает значение чисто мнимого корня, т. е. частоту неза-
тухающих колебаний системы. Выражения (5.25) являются парамет-
рическими уравнениями границы устойчивости. Следует заметить,
что такой подход к выделению областей устойчивости был предложен
в 1940 г. А. А. Соколовым и затем в 1948 г. Ю. И. Неймарком и назван
методом D-разбиения. Область устойчивости определяется правилом
штриховки, которое состоит в том, что при увеличении ш штриховка
наносится с левой стороны, если определитель
дХ/дА дХ/дВ
дУ/дА дУ/дВ
(5.26)
и штриховка наносится справа, если этот определитель отрицателен.
При этом штриховка оказывается обращенной внутрь области устой-
чивости.
В качестве примера рассмотрим выделение области устойчивости
в плоскости двух варьируемых параметров Л = k2knko6 и В =
для системы стабилизации движения баллистической ракеты (см.
рис. 5.7).
Уравнения, определяющие колебательную границу устойчивости,
имеют вид
X (со, А, В) = ТобТ^гй4 — (71б — 1\Т2№ + (В — 1) = 0;
Y (<о. А, В) = - Т2^ (7\ + Т2) со3 + (А - 7\ - Т2) со = 0,
откуда
в - 1 + (т* - тхт2у - Tk т\т^,
А =(7’14-Тг)(Т2об + <о2).
Изменяя о) от 0 до оо, строим по полученным уравнениям в плос-
кости Л, В границу D-разбиения (см. рис. 5.9). Уравнение, опреде-
ляющее апериодическую границу устойчивости, находится путем
189
приравнивания нулю свободного члена характеристического уравне-
ния, т. е. В = 1.
Для выявления направления штриховки найдем знак определи-
теля А:
дХ1дА дХ/дВ 0 1
Л = дУ/дА dY/дВ = а 0 ==—“•
Так как определитель отрицателен, то штриховка наносится с пра-
вой стороны при увеличении со от 0 до оо (см. рис. 5.9). Полученная
область устойчивости является замкнутой.
§ 5.4. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА
В 1932 г. американский ученый Найквист предложил критерий
для исследования устойчивости усилителей с обратной связью.
В 1938 г. А. В. Михайлов обобщил его на системы автоматического
управления. Критерий Найквиста основан на рассмотрении а.ф.х.
(см. § 2.6) разомкнутой системы, по виду которой судят об устойчи-
вости соответствующей замкнутой системы. А.ф.х. разомкнутой си-
стемы может быть получена как аналитически, так и эксперименталь-
но. Это обстоятельство выгодно отличает критерий Найквиста от ра-
нее изложенных.
Рассмотрим функцию
г, (s) = 1 + W (3) =	= a°sn + ai<~1	,	(5.27)
с (s) cQsn + CiS"”1 + • ” + Сп
где W (s) = b (s)/c (s) — передаточная функция разомкнутой системы.
Рациональная дробь (5.27) содержит в числителе характеристиче-
ский полином замкнутой системы а ($), а в знаменателе — характе-
ристический полином разомкнутой системы c(s). Положим s = /а),
тогда
W t (/со) = 1 + W (/со) = a (ja).	(5.28)
При изменении со от 0 до оо угол поворота вектора 11^ (/со)
ф = фа—фс,	(5.29)
где ф = arg W{ (/со); фа = arg a (ja)-, фс = arg с (/со).
Известно, что в устойчивой системе фа = ил/2 [см. (5.24)]. Угол фс
можно определить из более общего выражения (5.23), т. е.
фс = пте/2 — /к.
Итак
ф = фа —фс = пте/2 —итс/2 + /те = /те.	(5.30)
Следовательно, для устойчивой системы вектор W^jw) при изме-
нении со от 0 до оо повернется на угол /л в положительном направле-
нии — против часовой стрелки. Так как функция W (jv) отличается
190
оТ функции на —1 (рис. 5.10), то для устойчивой замкнутой
системы вектор W (/«) при изменении ад от 0 до оо повернется на угол
относительно точки (—1, / 0). Иными словами, а.ф.х. разомкнутой
системы должна охватывать Z/2 раз точку (—1, / 0). Если а.ф.х. строит-
ся для диапазона изменения <о от —оо до +оо, то угол охвата точки
р-1, / 0) увеличивается вдвое, т. е.
ф = 2/1г.	(5.31)
На основании изложенного критерий устойчивости Найквиста
может быть сформулирован следующим образом. Замкнутая САУ
a) JV
Рис. 5.10. К построению
а. ф. х. разомкнутой сис-
темы
Рис. 5.11. Годографы устойчивой
замкнутой системы:
а — разомкнутая система неустойчива
(/“!); б — разомкнутая система устойчи-
ва (/«0)
устойчива, если при изменении от 0 до оо а.ф.х. разомкнутой си-
стемы [годограф W (/со)] охватывает 1/2 раз точку (—1, / 0) в положи-
тельном направлении, где I — число корней характеристического
уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.
Если разомкнутая система устойчива (/ = 0), то для устойчивости
замкнутой системы нужно, чтобы а.ф.х. разомкнутой системы не ох-
ватывала точку (—1, / 0). На рис. 5.11 показан вид годографов W (]&)>
соответствующих устойчивой замкнутой системе.
Некоторые особенности применения критерия Найквиста появля-
ются при исследовании устойчивости систем, нейтральных в разомк-
нутом состоянии, т. е. имеющих нулевые корни, а также систем, на-
ходящихся в разомкнутом состоянии на колебательной границе устой-
чивости, т. е. имеющих чисто мнимые корни.
Например, если с ($) имеет один нулевой корень, то годограф
разомкнутой системы W (ju) при а) 0 обращается в бесконечность
(рис. 5.12, а). В этом случае для сохранения формулировки критерия,
справедливой для устойчивых в разомкнутом состоянии систем, вклю-
чают нулевой корень в левую полуплоскость, огибая его справа ок-
ружностью бесконечно малого радиуса р -> 0 (рис. 5.12, б). При этом
годограф W (/о), уходящий при о -> 0 в бесконечность, дополняется
частью окружности бесконечно большого радиуса, которая проводит-
ся по часовой стрелке от положительной вещественной полуоси, т. е.
на угол п/2 (см. рис. 5.12, а).
При нескольких нулевых корнях, т. е. при более высоком по-
рядке астатизма системы, угол дополнения а.ф.х. окружностью
191
бесконечно большого радиуса составляет (рис. 5.13)
Флоп 3=2 v1T/2,	(5.32)
где v — порядок астатизма (число нулевых корней характеристи-
ческого уравнения разомкнутой системы) [33].
Аналогичные дополнения а.ф.х. дугами окружности бесконечно
большого радиуса приходится производить и при наличии чисто мни-
мых корней в характеристическом уравнении разомкнутой системы,
Рис. 5.12. Годограф сис-
темы, имеющей в разом-
кнутом состоянии один ну-
левой корень (а) и отнесе-
ние нулевого корня к ле-
вой полуплоскости (б)
Рис. 5.13. А. ф. х. нейтральных разомкну-
тых систем, дополненных дугами бесконеч-
ного радиуса:
а — система с астатизмом второго порядка; б — сис-
тема с астатизмом третьего порядка
так как в этих случаях а.ф.х. также имеют разрывы непрерывности.
Дополнение производится полуокружностью бесконечно большого
радиуса по часовой стрелке, начиная от той ветви а.ф.х. (имеющей
разрыв непрерывности), которая соответствует меньшим частотам.
Например, если W (s) = b (s)/[(l + 7V)c"(s)], то W (/ш) =
= b (/о>)/1(1 — Т2о)2)с"(/«>)], и а.ф.х. имеет разрыв непрерывности при
w -> 1/Т, так как при этом mod W (/<») -> оо, a arg W (/о>) делает
скачок на 180° (рис. 5.14).
Широкое распространение критерий Найквиста получил при суж-
дении об устойчивости по логарифмическим частотным характеристи-
кам (см. § 2.8). Возможность такого суждения вытекает из того, что
а.ф.х. разомкнутой системы
(/<о) = Л (со) е/ф <w>	(5.33)
полностью определяется парой характеристик А (о) и ф (ш), или (что
то же) L ((d) = 20 1g А (оз) и ф ((d). Точкам пересечения годографа
W (ju) с отрезком отрицательной вещественной полуоси (—оо, —1)
соответствуют точки, для которых L ((d) *= 20 1g | W (Ju) | > 0 и
ф (со) = arg W (Ju) = —л, —Зя, —5л, ... . Точки л.ф.х. ф ((d), для
которых L ((d)	0 и в которых она пересекает при увеличении о)
прямые—л,—Зл, —5л, ... снизу вверх, условимся называть отри-
цательными переходами, а сверху вниз — положительными перехода-
ми л.ф.х. (рис. 5.15). Тогда критерий устойчивости может быть сфор-
192
мутирован следующим образом. САУ устойчива, если разность меж-
ди положительными и отрицательными переходами л.ф.х. равна
1/2 где I — число корней характеристического уравнения разомкнутой
системы, лежащих в правой полуплоскости.
Рис. 5.14. А. ф. х. разомкнутой системы, имею-
щей пару мнимых корней:
а — замкнутая система устойчива; б — замкнутая система
неустойчива
Для частного случая, когда / = 0 (система устойчива или нейт-
ральна в разомкнутом состоянии), получается, что система устойчива,
если разность между положительными и отрицательными переходами
равна нулю.
При анализе многоконтурных
систем для оценки устойчиво-
сти замкнутой системы на прак-
тике иногда оказывается удобнее
рассматривать не функцию W(/<»),
а обратную ей функцию
IIF (/ш))’1. Это может быть це-
лесообразно, например, когда
из-за наличия местных обрат-
ных связей знаменатель пере-
даточной функции разомкнутой
системы W (s) не разлагается на
простые сомножители, а числи-
тель представляет собой число
Рис. 5.15. Определение устойчивости
по логарифмическим частотным харак-
теристикам:
а — замкнутая система устойчива (/=0); б —
замкнутая система неустойчива (/=0)
или состоит из простых сомножителей и имеет более низкий поря-
док. В этом случае инверсная (обратная) передаточная функция
(s)p оказывается значительно проще для анализа, чем выраже-
ние W ($).
Кривая, описываемая концом вектора [W (/ш)]’1 при изменении
частоты от +оо до —оо, называется обратной (инверсной) а.ф.х.
Инверсная а.ф.х. строится по выражению обратной частотной пере-
даточной функции.
При использовании инверсной а.ф.х. формулировка критерия
Найквиста изменяется. Для случая устойчивой в разомкнутом состоя-
7-493
193
нии системы, когда все полюсы функции W ($) и все нули функции
HF (s)l'1 расположены в левой полуплоскости, критерий Найквиста
формулируется следующим образом: для устойчивости замкнутой
системы необходимо и достаточно, чтобы обратная а.ф.х. охваты-
вала точку с координатами (—1, / 0) при изменении частоты от—оо
до 4-оо.
§ 5.5.	КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА
Устойчивость САУ — необходимое, но далеко не достаточное усло-
вие ее практической пригодности. Качество САУ определяется прежде
всего точностью управления, так как любая система независимо от
своего назначения и конструкции должна осуществлять управление
каким-либо объектом или процессом с определенной точностью. Та-
ким образом, качество управления в конечном счете зависит от мгно-
венных величин ошибки х (/), равных разности между заданным g (I)
и фактическим у (f) значениями регулируемой величины:
*(t)=g(t)—y(t).	(5.34}
Ошибка САУ в свою очередь определяется характером изменения
входного и возмущающего воздействий. Обычно входное воздействие
g (/) и возмущения f (/) представляют собой случайные функции вре-
мени, которые могут быть заданы лишь вероятностными характерис-
тиками. Поэтому оценка качества управления по мгновенным значе-
ниям ошибки х (f) не используется.
При случайном характере входного и возмущающего воздействий
применяются вероятностные оценки ошибки х (/). Вероятностные
критерии качества систем автоматического управления рассматрива-
ются в гл. 9. Однако вероятностный подход к проблеме качества САУ
не является единственным. В теории автоматического управления
широко используются методы, позволяющие оценивать качество си-
стем по их поведению в типовых режимах, когда случайные по своей
природе воздействия аппроксимируются заданными (типовыми) функ-
циями времени. Оценка качества САУ ведется по так называемым
критериям, или показателям, качества.
В достаточно общем случае критерии качества т] t представляют
собой функционалы от разности (5.34), т. е. функционалы от ошибки:
== Pt (£ (0 - У (01 = Pi [* (0L * = 1, 2. 3,..., /и,	(5.35)
где Fi —функционалы, соответствующие принятому критерию качест-
ва (например, оценка точности по установившейся ошибке, средне-
квадратичной ошибке и т. п.); т — число рассматриваемых критериев
качества.
Все критерии качества можно условно разделить на четыре груп-
пы: критерии точности, запаса устойчивости, быстродействия и ком-
бинированные критерии.
Критерии точности используют для оценки величины ошибок,
возникающих в различных типовых установившихся режимах и в
194
яях когда входное g (t) и возмущающее f (t) воздействия пред-
сЛУЧ яют собой плавные, медленно меняющиеся функции времени.
с7аВЛмбппее важным и распространенным типовым режимам относятся
Ккие (рис. 5.16), при которых g (t) = g0] (t) и f (t) = f0\ (/), где
так__ COI-jst и fo — const. Кроме того, для следящих систем важны ре-
имы когда g (0 = й и g (О = ei(2/2 (гдеЙ j = const и = const—
Ответственно скорость и ускорение изменения входного воздействия)
с°о г ф _ [о] (/), а также синусоидальный режим вида g (/) =
/.х / Ипптаппрм ТОЧНО-
== £maxSin <ngt. Критерием точно-
сти служит значение ошибки в
установившемся режиме ХуСТ.
У Критерии запаса устойчиво-
сти определяют отдаленность
системы от границы устойчиво-
сти. В настоящее время исполь-
зуются два подхода для оценки
качества систем по этому крите-
g(t)
9О'Ш)
t
9(i)
g(t)

о
о
t
t
0
рию.
Один подход основан на рас-
смотрении переходных процессов
системы, в частности, переход-
ной, или весовой, функции^рас-
положении полюсов и нулей пе-
0
t
Рис. 5.16. Типовые законы измене-
ния входного и возмущающего воз-
действий
редаточной функции замкнутой
системы и т. п. При этом кри-
териями запаса устойчивости
служат величина перерегулирования и число колебаний переходного
процесса, его затухание и колебательность.
Второй подход основан на изучении частотных и резонансных
свойств системы, а также поведения ее частотных характеристик. В ка-
честве критериев запаса устойчивости используют запасы устойчивос-
ти по амплитуде и фазе, показатели колебательности и др.
ОГа эти подхода (временной и частотный) используются также
при оценке быстродействия системы. Критерием быстродействия в
первом случае может служить время затухания переходного процесса
системы, а во втором — полоса пропускания а.ч.х. замкнутой си-
стемы .
Иногда временные критерии качества процесса управления назы-
вают прямыми в том смысле, что при помощи их оценивается непо-
средственно процесс управления, возникающий при том или ином
(чаще ступенчатом) типовом воздействии. Частотные критерии каче-
ства называют при этом косвенными, поскольку оценка процесса уп-
равления производится по отображению этого процесса из области
времени t в область частоты <о.
Строгая связь между частотными и временными критериями ка-
чества в общем виде может быть получена только для простейших
систем, описываемых дифференциальными уравнениями второго по-
рядка. Однако во многих случаях при оценке качества можно огра-
ничиться лишь частотными критериями. Обычно вычисления в час-
7*
195
тотной области проще вычислений во временной области. Это обстоя-
тельство делает частотные критерии эффективным средством оценки
качества процессов управления.
К комбинированным критериям качества относятся обобщенные
критерии, характеризующие одновременно точность, запас устойчи-
вости и быстродействие (интегральные оценки и др.).
К важнейшим показателям качества САУ могут быть также от-
несены показатели стоимости системы, экономической эффективности
управления, расхода энергии, надежности, чувствительности систе-
мы к вариациям ее параметров и др. Однако в настоящее время в тео-
рии автоматического управления не существует достаточно строгих
и общих оценок большинства из отмеченных показателей. Некоторые
сведения о чувствительности САУ к вариациям параметров приведены
в гл. 10.
§ 5.6. ТОЧНОСТЬ ПРИ ТИПОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Точность работы САУ в установившихся режимах оценивается
по величине установившейся ошибки
хуст = limx(/)	(5.36)
/-►со
при типовых входных и возмущающих воздействиях. Чем меньше эта
ошибка, тем выше качество САУ.
Величина ошибки может быть определена из дифференциального
уравнения САУ, составленного относительно ошибки, которое в сим-
волической форме записи имеет вид
а (р) x(t) = с (р) g (/) - f rk (р) fk (0.	(5.37)
/2=1
Для установившегося режима члены с производными в дифферен-
циальном уравнении обращаются в нуль. Следовательно, если в урав-
нении (5.37) оператор p=dldt принять равным нулю, то будет полу-
чено уравнение установившегося режима.
Установившаяся ошибка может быть определена по известным
передаточным функциям системы. Преобразуя выражение (5.37) по
Лапласу при нулевых начальных условиях, запишем изображение
ошибки
X (s) = Фх (s) G (s) - S Ф, (3)	(3),	(5.38)
/2=1
где Фх (s) = с (s)/a (s) = 1/[ 1 + U7 (s)] — передаточная функция замк-
нутой системы по ошибке; <Dfk (s) = rk (s)/a(s) = Wfk ($)/[! + W (s)] —
передаточная функция замкнутой системы по возмущению.
Установившаяся ошибка находится при помощи теоремы о конеч-
ном значении (см. § 4.2)
xVCT = lim sX (s).	(5.39)
s->0
196
Подставляя в формулу (5.39) выражение (5.38), получим
Хуст ' %g
(5.40)
.. Г G (s) 1
гпР % = lim з ———— — составляющая установившейся
где я s-0 U + № (s)J
ошибки
от
*/
воспроизведения входного воздействия g(t);
N Wf (s)
= lim s У -—— Fk (s) — составляющая установившейся
S-0 Л=, I + * (s)
ошибки
САУ от действия возмущений.
Рассмотрим определение ошибок при типовых воздействиях.
Постоянное ступенчатое воздействие g(t)=go4t), где go=con st.
Примем для простоты, что на систему, кроме того, действует одно воз-
мущающее воздействие	где /0=const. Установившаяся
ошибка, возникающая при этих воздействиях, называется статиче-
СКОП
На основании (5.39) и (5.40) имеем
ХуСТ
— lim з
Г go/S 1
[1 + IF (S) J
-I- lim s
(5.41)
Первое слагаемое отлично от нуля только в статических системах,
где W (О) = К представляет собой общий коэффициент усиления ра-
зомкнутой системы. В этом случае первое слагаемое (5.41) можно
представить в виде
^ст = М1 + W)]==MI + *)•	(5.42)
При настройках статических систем первую составляющую ошиб-
ки всегда можно устранить путем использования неединичной обрат-
ной связи или масштабирования входного сигнала. Эта составляющая
равна нулю также в системах автоматической стабилизации, для кото-
рых g (0 = 0, и в системах, астатических по отношению к входному
воздействию, так как при этом W (0) = оо.
Для системы, статической по отношению к возмущению f (0, вто-
рое слагаемое (5.41)
х/ст= ^(0)^(1+Ю.	(5.43)
Здесь IF/0) представляет собой отношение установившейся ошиб-
ки к постоянному возмущению (коэффициент статизма) в системе с
разомкнутой цепью управления. Эта же величина, деленная на (1 + К),
соответствует коэффициенту статизма в замкнутой системе управле-
ния. Таким образом, величина (1 + Л) показывает эффективность уп-
равления с точки зрения уменьшения установившейся ошибки.
Если система оказывается астатической по отношению к входному
сигналу [W (0) = оо], то это еще не означает, что астатизм системы
сохраняется и по отношению к возмущению.
Рассмотренные составляющие ошибок могут быть отнесены к ме-
тодическим ошибкам, в отличие от ошибок инструментальных, при-
сущих, например, чувствительным элементам САУ.
197
Воздействие в виде линейной функции g (t) = Q j(/) (где£2! = const)
и f (/) : /01 (0- Этот режим применяется главным образом в следящих
системах. Он соответствует движению командной оси следящей си-
стемы с постоянной скоростью Используя преобразование Лапла-
са, в этом случае получим G (s) = Qt/s2, F (s) = /0/s. Из общего выра-
жения для установившейся ошибки (5.39) запишем
..	Г Q./s* 1	..	Г Wf(s)fQ/s 1
xVCT = Inns —------- ч- lims ------------ = х„с 4 лч (5.44)
yc s-o [!+№($) J	s-o [! + №($) J	s f
Второе слагаемое (5.44) по-прежнему представляет собой стати-
ческую ошибку при условии, что действует постоянное возмущающее
воздействие.
Первое слагаемое (5.44) имеет смысл только для систем с астатиз-
мом первого порядка по отношению к входному воздействию, т. е.
в том случае, когда передаточная функция разомкнутой системы мо-
жет быть записана в виде
W {s\ = +
' sC (s) s (Cos^1 4- Cisn-' 4- ... 4- Cn_2s + 1)
Эта составляющая установившейся ошибки называется скорост-
ной. Она равна отношению скорости входного воздействия Qi к до-
бротности системы по скорости Кь
xgc =	(5.45)
Качество системы считается тем выше, чем выше добротность си-
стемы. В статических системах xgc = оо, при астатизме выше первого
порядка xgC = 0.
Воздействие в виде квадратичной функции g (/) = где =
= const. Возмущение f (/) = const, как и в предыдущих типовых
режимах. Этот режим имеет смысл только для следящих систем и
систем программного управления, обладающих астатизмом выше пер-
вого порядка. Он соответствует движению командной оси следящей
системы с постоянным ускорением в! = const.
Аналогично изложенному выше установившаяся ошибка в этом
режиме
г	ei/s3 । г Wf(s)fQ/s
хуст - hm s + r (s)J + hm s |^ + r(s)J - *gy +	(5.46)
Второе слагаемое (5.46), как и ранее, дает статическую ошибку.
Первое слагаемое (5.46) имеет смысл только при астатизме второго
порядка, когда передаточная функция разомкнутой системы может
быть представлена в виде
W (s) - К*В (s} =	(В(^ + В1^'1 + * ‘ ‘ + B^s +
U s2 С (s)	(C0.s"-2 + ... -bC^s-Fi)
Первая составляющая установившейся ошибки в (5.46) называется
ошибкой от ускорения'.
%gy =	(5.47)
198
Качество системы считается тем выше, чем больше добротность
системы по ускорению К2.
Гармоническое (синусоидальное) воздействие g (t) = gmax sin v>g t.
Возмущающие воздействия в этом режиме могут оставаться постоян-
ными или меняться. Такой режим широко применяется для оценки
динамической точности САУ.
Рассмотрим ошибку только от входного воздействия g\
X(s) = G(s)/[l + №(s)].	(5.48)
Очевидно, что в установившемся режиме ошибка будет также
меняться по гармоническому закону с той же частотой wg. Амплитуд-
ное (максимальное) значение ошибки может быть определено из (5.48)
при подстановке s — ja>g (см. § 2.6):
^max ~ gmax/l 1 + ^(/CDg)|.	(5.49)
Обычно g*max > xmax, поэтому модуль знаменателя (5.49) можно
считать значительно большим единицы и
•^max Smax/|	| “ Smax^	(5.50)
где A (o)g) — значение а.ч.х. разомкнутой системы на частоте o)g.
Из (5.50) легко вытекает требование к а.ч.х. разомкнутой систе-
мы, при котором обеспечивается нужная точность управления:
(®g) Smad %тах
или
201g A (cog) = L (cog) >
Выражение (5.52) ограничивает
местоположение л.а.х. требованиями
по точности (рис. 5.17).
Медленно меняющиеся воздейст-
вия произвольной формы. Если вне-
шние воздействия f (t) или g (/) имеют
произвольную, но достаточно плавную
форму, т. е. после начала приложе-
ния воздействия существенное значе-
ние имеет лишь конечное число т
производных
(5.51)
Рис. 5.17. Ограничение к место-
положению л. а. х., связанное о
требованием по точности управ-
ления
df_	d™L	dg d2g	dmg
dt dt2 dtm	dt	dt2	dtm
(5.53)
то составляющие установившихся ошибок от действия f (t) или g (/)
могут быть определены следующим образом.
Разложим соответствующую передаточную функцию замкнутой
системы по ошибке в ряд по возрастающим степеням s:
Ф/(5)=4’ = “7Г=:'То + 'Г18 + -^-52+ -J-s3 н---	(5.54)
Г	Cl \Sj	х!	о!
199
или
®-<s) - V =	=^+’-s + fsI + fs> + '' - (5-55>
Этот ряд сходится при малых значениях s, т. е. при достаточно
больших величинах /, что соответствует установившемуся режиму.
Учитывая предположение (5.53), получаем выражение для установив-
шейся ошибки при произвольном плавном (за исключением начальной
точки) возмущающем воздействии f (t):
=	+	+ f +	+	(5.56)
где величины у0» уi, у 2, ••• , 7m называются коэффициентами ошибок.
Они определяются согласно обычному правилу разложения в ряд
Тейлора по формулам:
ЙФ? (s)
Аналогично находится установившаяся ошибка от произвольного
плавного входного воздействия g (t):
+	- Э' (5-58)
то=ф;^)
s=0
dsrn
• (5.57)
s=0
атФ? (s)
; =-------------
где коэффициенты ошибок имеют значения
_ d”$x (s)
m dsm
Ъ = ФЛ(5)
v _<*Ф.г(«)
11
s=0
. (5.59)
s=0
При определении коэффициентов ошибок можно не использовать
формулы (5.57) и (5.59), а производить деление многочленов в выра-
жениях (5.54) и (5.55).
В качестве примера рассмотрим коэффициенты ошибок простей-
шей следящей системы, имеющей инерционный усилитель с постоян-
ной времени Ту и исполнительный двигатель с постоянной времени
Тм (см. пример 5.1). Передаточная функция замкнутой системы по
ошибке
ф (S) = — =	=	?м?у*3 +	+ ГУ>s2 + s .
x(S)~~ G ~ a(s) ”” TMTys3 + (TM + Ty) s2 + s +	’
Производя деление многочлена числителя с (s) на многочлен зна-
менателя а ($), получаем ряд
ox(s)==±s+p+Zi
_2 I-M.+.Zk +
-тгр’ + И-Л-
, — S3 + • • • .
Ki Ki /
200
установившаяся ошибка системы
___„/м , „	। Y2 . d2g 7з d3g
хуст log ( ) Ti dt 2| d/a 3) dt3 + • • • •
Из сравнения последних двух выражений находим значения коэф-
фициентов ошибок:
Ъ = 0; Т1 - 1//Сх; 12 = 2[(Тм + Ту)Д1-1]/^;....
Все коэффициенты ошибок уменьшаются с увеличением общего
коэффициента усиления системы (ее добротности) К». Если входное
воздействие имеет вид
т0 установившаяся ошибка системы
Хуст =	1(ТМ + Ту) — 1 ].
Л1	Л1
При g (/) = g0 = const имеем хуст = 0.
§ 5.7.	ОЦЕНКА ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ
И БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ПО КРИВОЙ ПРОЦЕССА
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Оценка качества САУ по виду кривой переходного процесса про-
изводится при помощи так называемых прямых показателей качест-
ва — перерегулирования, допусти-
мого числа колебаний и времени
переходного процесса. Обычно рас-
сматривается переходный процесс,
возникающий в системе при воздей-
ствии единичной ступенчатой функ-
ции, т. е. переходная функция
замкнутой системы.
Рис. 5.18. Переходная функция
САУ
Запас устойчивости системы, под
которым понимают степень удале-
кия САУ от колебательной Грани-
на*1 устойчивости, характеризует
перерегулирование (рис. 5.18)
0 (^тах ^устУ^уст’	(5.60)
где ^тах — максимальное значение переходной функции; Луст — уста-
новившееся значение переходной функции. Перерегулирование выра-
жается обычно в процентах.
Для большинства систем запас устойчивости считается достаточ-
ном, если а (10—30)%. Однако в некоторых САУ допускается пере-
РегУлирование большее, например, до 70%, а в ряде случаев перере-
гУлирование вообще должно отсутствовать.
201
Иногда дополнительно к величине перерегулирования ст задается
допустимое число колебаний переходной функции относительно уста-
новившегося значения. В некоторых системах колебания могут со-
вершенно не допускаться, а в иных число допустимых колебаний мо-
жет составлять 2—3.
Время переходного процесса tn определяет быстродействие системы.
Под ним понимают промежуток времени, по истечении которого вы-
полняется неравенство
|Л(0 —Луст|<А,	(5.61)
где А — наперед заданное положительное число. Обычно принимают
А = (0,01—0,05) йуст, т. е. переходный процесс в САУ считают закон-
чившимся, когда h (I) отличается от своего установившегося значения
не более, чем на 1—5%.
Оценки качества САУ по кривой переходного процесса обладают
большой наглядностью. Они позволяют легко сформировать область
допустимых процессов (см. рис. 5.18). Если бы существовали способы
определения перечисленных выше прямых показателей качества без,
необходимости решения соответствующих дифференциальных уравне-'
ний, то для детерминированных воздействий проблему оценки качест-
ва систем можно было бы считать решенной. Однако таких способов
не существует. В связи с этим особое значение приобрели различные
приближенные и косвенные методы оценки качества процессов управ-
ления, не требующие построения кривой переходного процесса.
§ 5.8.	ОЦЕНКА ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ
И БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ПО РАСПОЛОЖЕНИЮ
КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Диаграмма Вышнеградского. Вид корней характеристического
уравнения определяет характер переходной составляющей процесса
управления (см. § 5.1). Следовательно, корни уравнения могут яв-
ляться мерой качества процесса управления. Впервые оценка каче-
ства системы по расположению корней была применена И. А. Вышне-
градским в 1876 г. при исследовании системы регулирования, описы-
ваемой дифференциальным уравнением третьего порядка.
Рассмотрим характеристическое уравнение третьей степени
aos3 + ats2 4- a2s + а3 = 0.	(5.62)
После деления на а3 и введения новой переменной q = s у' aja3
оно может быть представлено в виде
q3 + Aq2 + Bq + 1 = 0,	(5.63)
где А = aJ^/~ с^а3, B~a2/yf aoal —параметры Вышнеградского.
На плоскости параметров А и В строится гипербола Вышнеград-
ского АВ = 1, являющаяся колебательной границей устойчивости
(рис. 5.19). Область устойчивости была разбита И. А. Вышнеград-
202
ским на три подобласти. В подобластях / и // один корень — вещест-
венный и два корня — комплексных сопряженных, причем в подоб-
ласти / ближе к мнимой оси лежит пара комплексных корней, а в
подобласти // — вещественный корень. Подобласти /// соответству-
ют три вещественных корня.
В точке С (см. рис. 5.19), где А = 3 и В = 3, характеристическое
уравнение (5.63) принимает вид
(q + 1)з = о.	(5.64)
В этой точке все три корня равны, т. е. qx = q2 = q3 = —1 или •--=
= S2 = s3 = — / a3/aQ.
В подобласти / переходные процессы имеют колебательный харак-
ние. 5.19. Диаграмма Вышне-
градского
тер, в подобласти // — монотонный, а в
подобласти /// — апериодический.
Степень устойчивости, затухание и
колебательность. Среди корневых оценок
наиболее простой и распространенной
является оценка процесса по расстоя-
Рис. 5.20. К определению сте-
пени устойчивости:
а — апериодическая степень устой-
чивости; б — колебательная сте-
пень устойчивости
нию в плоскости корней от мнимой оси до ближайшего к ней кор-
ня (рис. 5.20). Это расстояние, называемое степенью устойчивости,
было предложено в 1946 г. Я. 3. Цыпкиным и П. В. Бромбергом.
Степень устойчивости называется апериодической, если ближай-
ший к мнимой оси корень — вещественный (рис. 5.20, а). Она называ-
ется колебательной, если ближайший к мнимой оси корень — комп-
лексный (рис. 5.20, б). Если степень устойчивости апериодическая,
то в переходном процессе доминирующее значение будет иметь экспо-
нента, характеризуемая этим корнем. Быстрота затухания переход-
ного процесса будет определяться этой экспонентой из известного
соотношения
tn « 3/tq.	(5.65)
Если степень устойчивости — колебательная, то в общих чертах
переходный процесс характеризуется затухающей синусоидой, оги-
бающая которой имеет уравнение
у = Се" *	(5.66)
2U3
и оценка времени переходного процесса может также вестись по соот-
ношению (5.65). Поэтому степень устойчивости т] по сути дела явля-
ется мерой быстроты затухания процесса и термин «степень устойчи-
вости» было бы правильнее заменить термином «степень быстродейст-
вия».
Степень устойчивости можно вычислить без нахождения корней
характеристического уравнения. При этом в процессе вычисления
можно выделить два этапа: составление смещенного уравнения и при-
менение критерия устойчивости к смещенному уравнению.
Пусть задано характеристическое уравнение замкнутой системы
управления:
a(s) = aQsn -ь а^1 + • • • + an^s + ап = 0.	(5.67)
Сдвинем мнимую ось влево так, чтобы она прошла через первый
ближайший к ней корень. Для этого произведем подстановку s =
= z —г] и получим так называемое смещенное уравнение:
aQ(z — Ч)п 4" ai (x-Tiy1"1 + • • • + ап = 0.
Раскрывая скобки и группируя подобные члены, запишем
aQzn + A.z^ + A2zn~* +...+4 = 0,
где
д	1 Г dn~ka (s) I
k	(Л —Л)| [ dsn'k JSs^’
(5.68)
(5.69)
(5.70)
к сме-
каком
Чтобы вычислить степень устойчивости, остается применить
щенному уравнению критерий устойчивости и определить, при
значении q получается граница устойчивости. Следует помнить,
что апериодической границе устойчивости соответствует равенство
нулю свободного члена, колебательной границе устойчивости — пред-
последнего определителя Гурвица или прохождение кривой Михайло-
ва через начало координат. Для этой же цели можно применять и
критерий Найквиста — прохождение а.ф.х. через точку (—1, /0)
соответствует колебательной границе устойчивости.
В тех случаях, когда ближайшей к мнимой оси является пара
комплексных корней	= —а ± /₽, оценка запаса устойчивости
может вестись по величине затухания (•. Предполагается, что пере-
ходный процесс достаточно точно описывается выражением
х (/) = Се" а< sin (р/4-0)	(5.71)
причем для некоторого времени t — ti амплитуда процесса
х(/1) = Се“в<*.	(5.72)
Тогда через один период Т = 2к/р амплитуда процесса
к (/, 4- Г) = Се-1 ('*+2я/3> = х е“2то/3.	(5.73)
204
Затуханием за период называется величина
£ = Х (б)	* (G + Т) __ J _ £—2™/?	/г _
х(/1)	•	v '
При 5 = 0 затухание колебаний отсутствует, т. е. САУ находится
на колебательной границе устойчивости. Чем больше 5, тем интенсив-
нее затухают колебания и тем больше, следовательно, запас устой-
чивости САУ. При 5 = 90—98% колебания затухают практически
за один период.
Склонность системы к колебаниям может оцениваться также по
величине колебательности р, под которой понимают отношение мни-
мой и вещественной частей комплексного корня:
[Л = р/а.	(5.75)
Подставив (5.75) в (5.74), получим соотношение
£=1— е-2^	(5.76)
или
и = 2я/1п-^-р	(5.77)
Отсюда следует, что затухание 5 и колебательность р связаны од-
нозначной зависимостью, и чем меньше р, тем больше 5 и запас устой-
чивости САУ. Затуханию колебаний за один пе-
риод, т. е. 5 = 0,98, соответствует колебательность
Р= 1,57.
Для удовлетворения требований, предъявляе-
мых к САУ как по быстродействию, так и по за-
пасу устойчивости, все корни характеристического
уравнения замкнутой системы должны располагать-
ся внутри области, показанной на рис. 5.21.
Корневые методы дают возможность лишь при-
ближенно оценивать качество САУ, поскольку при
ласть распределе-
ния корней из
условий требуемо-
го быстродействия
т) и требуемого
запаса устойчиво-
сти р
таком подходе не учитывается правая часть урав-
нения (нули передаточной функции) замкнутой
системы. При наличии нулей решающее влияние
степени устойчивости на длительность переходного
процесса теряет силу. Нули передаточной функции
замкнутой системы обычно способствуют перере-
гулированию.
Для уменьшения амплитуд собственных колебаний в переходном
процессе нули передаточной функции замкнутой системы рекоменду-
ется располагать вблизи области расположения полюсов, т. е. корней
характеристического уравнения замкнутой системы.
Ж)5
§ 5.9.	ОЦЕНКА ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ
И БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ПО ЧАСТОТНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЯМ КАЧЕСТВА
Частотные показатели качества иногда называют также косвен-
ными показателями, поскольку они не связаны непосредственно с
видом переходного процесса. Качество системы определяется по час-
тотным характеристикам замкнутой или разомкнутой системы. Боль-
шим достоинством частотных показателей качества является возмож-
ность использования для оценки качества замкнутой системы экспе-
риментально снятых частотных характеристик всей разомкнутой
системы или ее отдельных звеньев.
Оценка запаса устойчивости и быстродействия по а.ч.х. замк-
нутой системы [33] Частотную передаточную функцию замкнутой
системы можно привести к виду
Ф (У(0) = н (<о) е/0 “°’.	(5.78)
где
а. ч. х. замкнутой системы;
9 (о = arg Ф (/со) = arg
б» (/“)'” + bi +  + ьт
a0 + a, U®)"-1 + ... +an
(5.80)
ф. ч. x. замкнутой системы (см. § 2.6)
Возможные очертания а.ч.х. замкнутой системы показаны на
рис. 5.22. Для большинства САУ характеристика Н (и>) имеет резо-
нансный пик //тах- В ряде случаев
//(оз) не имеет пика и является невозра-
стающей функцией частоты. Для САУ,
находящихся на колебательной границе
устойчивости, характеристика Н (<d) тер-
пит разрыв. Таким образом, для того
чтобы САУ была достаточно удалена от
границы устойчивости, величина пика
а.ч.х. //тах должна быть ограничена
сверху. Чем больше величина //тах>
тем меньше запас устойчивости САУ,
т. е. величина пика а.ч.х. замкнутой
системы может служить количественной
Рис.' 5.22. Возможные очерта
ния амплитудной частотной
характеристики замкнутой си-
стемы
оценкой запаса устойчивости.
При исследованиях САУ запас устойчивости принято оценивать
по величине так называемого показателя колебательности М, под
которым понимают наибольшее значение отношения // (со)/// (0), т. е.
М. = sup [// (со)/// (0)].
0<о>< оо
(5.81)
206
В том случае, когда характеристика Н (со) имеет пик /7тах> Н (0),
показатель колебательности
M =	(5.82)
Если же характеристика Н (о) является невозрастающей функцией
частоты, то наибольшее значение функция Н (со) имеет при со ----- 0 и
М = tf(0)/tf(0) - 1.	(5.83)
На колебательной границе устойчивости
М — оо.	(5.84)
Для статических САУ начальная ордината Н (0) = | Ф (0) | ~
= /(/(1 + Ю, а для астатических — Н (0) =- | Ф (0) | == 1. С учетом
этого для астатических САУ показатель колебательности определяет-
ся [вместо (5.81) и (5.82)] формулами:
М = sup //(<«),	(5.85)
0<О)< 00
или
М = Нта*.	(5.86)
Обычно запас устойчивости САУ считается достаточным, если по-
казатель колебательности М лежит в пределах
1,1<М<1,8.	(5.87)
Численные значения допустимой величины М получены на основа-
нии опыта и анализа систем, описываемых дифференциальным урав-
нением второго порядка. В последнем случае легко устанавливается
связь между частотными показателями качества и показателями ка-
чества переходного процесса.
Если САУ описывается дифференциальным уравнением второго
порядка, то передаточная функция замкнутой системы всегда может
быть приведена к передаточной функции колебательного звена:
ф ($) = а20 / (S2 + 25 (00S + <о* )	(5.88)
где о)0 — частота собственных
колебаний (при отсутствии
затухания); i — коэффициент
затухания. На рис. 5.23, а,
приведены зависимости пере-
регулирования а и показателя
колебательности Л4 от коэф-
фициента затухания В [27]. На
рис. 5.23, б для этого же слу-
чая дается зависимость пере-
регулирования а от показате-
ля колебательности Л4.
Если а.ч.х. САУ незави-
симо от сложности этой си-
Рис. 5.23. Характеристики систем вто-
рого порядка:
а •— зависимость количественных характеристик
запаса устойчивости от величины затухания; б —
связь между перерегулированием и показателем
колебательности
207
стемы близка к а.ч.х. колебательного звена, то и переходные процессы
в системе будут близки к переходным процессам колебательного звена.
Эта гипотеза позволяет оценивать качество процессов управления по
виду а. ч.х. замкнутой системы, в частности, по значению показателя
колебательности М. Однако в некоторых случаях а.ч.х. может иметь
несколько резонансных пиков и значительно отличаться от характе-
ристики колебательного звена.
Мерой быстродействия САУ может служить полоса пропускания
До) системы, определяемая по виду а.ч.х. (см. рис. 5.22). Чем шире
полоса пропускания, тем выше быстродействие системы. Показателю
Рис. 5.24. Определение запаса устойчивости
по модулю Нт и по фазе у ср
колебательности М > 1 соответствует резонансная частота u)max, ко-
торая приблизительно соответствует частоте колебаний замкнутой
системы в переходном процессе. При этом время достижения первэго
перерегулирования
^tnax я/(0тах.	(5.89)
При условии, что переходный процесс заканчивается за 1—2 ко-
лебания (что соответствует достаточно большим запасам устойчивос-
ти), пользуются следующей приближенной зависимостью для оценки
времени затухания переходного процесса
/п «(1 4- 2)2rc/comax.	(5.90)
Оценка запаса устойчивости и быстродействия по а.ф.х. ра-
зомкнутой системы [33]. Запас устойчивости замкнутой системы
определяется степенью удаления а.ф.х. разомкнутой системы W (j<d)
от точки (—1, /0). Прохождение а.ф.х. через эту точку соответствует
нахождению САУ на колебательной границе устойчивости. Удаление
а.ф.х. от точки (—1, /0) соответствует повышению запаса устойчивости.
Рассмотрим количественные оценки степени удаления а.ф.х. W (/со)
от точки (—1, /0). Удаленность а.ф.х. можно характеризовать при
помощи двух положительных чисел Нт и уср, называемых запасами
устойчивости САУ по амплитуде (по модулю), и по фазе (рис. 5.24, а).
Из рисунка следует, что
Нт} = mod 201g А (%) | ф (Ия ) = _ 18оо;	(5.91)
208
Нт2 = mod 201g A (coj | ф (= _ 180O;	(5.92)
Tcp= 180° 4-ф(<оср)|Л(а>ср) = 1 .	(5.93)
Запас устойчивости по амплитуде Нт показывает, на какую вели-
чину должен измениться модуль а.ф.х. разомкнутой системы на час-
тоте, при которой фазовая характеристика достигает значения —180Q
[т. е. ф (<*> ) = arg W (ju)u) = —180°], для того чтобы замкнутая САУ
оказалась на колебательной границе устойчивости.
Запас устойчивости по фазе уср показывает, на какую величину
должно увеличиться отставание по фазе в разомкнутой системе на
частоте, при которой а.ч.х. равняется единице [т. е. А (о)ср) = 1], для
того чтобы замкнутая САУ оказалась на колебательной границе
устойчивости.
Оценки запаса устойчивости по Нт и уср просты, удобны и нагляд-
ны. Ими легко пользоваться также в тех случаях, когда рассматри-
ваются логарифмические частотные характеристики разомкнутой си-
стемы (рис. 5.24, б).
Достаточными запасами устойчивости считаются значения
Нт> 6 - 12 дб; 7ср>30°.	(5.94)
Для оценки степени удаленности а.ф.х. разомкнутой системы от
точки (—1; /0) может применяться показатель колебательности М.
Покажем, что величину М легко определить по а.ф.х. разомкнутой
системы. Полагая W (jin) = U + /V, получим, что частотная переда-
точная функция замкнутой системы
ф (/СО) = W (До)/[1 + W (/со)] = (U + /V)/(l + U + /V), (5.95)
откуда а. ч. х. замкнутой системы
Н (со) = У(С/2 +V2)/l(l +U)2 + V2].	(5.96)
При Н (oj) = Н — const формула (5.96) определяет в неявном
виде некоторую функциональную зависимость между U и V (см. § 2.7).
Геометрически на плоскости (С/, /V) эта зависимость сводится к кри-
вой, представляющей собой геометрическое место всевозможных зна-
чений U и V, при которых а.ч.х. замкнутой системы имеет постоянное
значение Н. Для каждого значения Н формула (5.96) определяет свою
кривую на плоскости ((7, /V). Найдем уравнение семейства кривых
— const, для чего возведем обе части равенства (5.96) в квадрат и
несколько преобразуем его:
U2 + 2 ——— U + V2 =---
Н*—\	Н2-1
(5.97)
После добавления к левой и правой частям уравнения величины
'(Н2—I)2, уравнение (5.97) приводится к виду
(U + С)2 + V2 = /?2,
(5.98)
209
где
С = Н2/(Н2 — 1), R = Н/(Н2 — 1).
Уравнение (5.98) есть уравнение окружности с радиусом R и цент-
ром —С (рис. 5.25). При Н — 1 значение С = R = оо и окружность
Н = const вырождается в прямую, параллельную оси ординат и про-
ходящую слева от нее на расстоянии 0,5. Окружности, соответствую-
щие значениям Н > 1, расположены слева, а окружности, соответст-
вующие значениям Н < 1, — справа от прямой Н — 1. При Н -> оо
окружность вырождается в точку, совпадающую с точкой (—1, /0).
Рис. 5.25. Семейство окружно-
стей Н — const и а. ф. х. разом-
кнутой системы
Рис. 5.26. Запретная
зона для а. ф. х. разом-
кнутой системы при за-
данном значении пока-
зателя колебательности
Л4
По семейству окружностей Н = const и а.ф.х. разомкнутой системы
нетрудно построить а.ч.х. Н ((d) замкнутой системы. Для каждого
значения частоты о) на а.ф.х. W амплитудная характеристика
Н ((о) равна индексу той окружности Н = const, которая проходит
через точку а.ф.х., соответствующую рассматриваемому значению
Наибольшее значение Ятах а.ч.х. Н ((d) равно индексу той окруж-
ности Н = const, которой касается а.ф.х. разомкнутой системы. Для
случая, изображенного на рис. 5.25, //тах= 3,0. Резонансная частота
<Dmax равна значению (D, при котором а.ф.х. касается окружности Н =
= Ятах. По значению ЯП1ах легко определяется показатель колебатель-
ности М [см. (5.81), (5.82), (5.85), (5.86)1. Так, для астатических си-
стем, имеющих резонансный пик, М = Нтак, т. е. показатель колеба-
тельности равен индексу той линии Н = const, которой касается а.ф.х.
В связи с этим для астатических систем линии И — const часто услов-
но называют линиями постоянныхзначений показателя колебательнос-
ти М и оцифровку этих линий дают прямо в значениях М. Цля аста-
тических систем величина показателя колебательности не превосходит
заданного значения М, если а.ф.х. разомкнутой системы не заходит
внутрь запретной зоны, представляющей собой круг радиуса R =
=•--= М/(М2—1) с центром в точке С = М2/(М2—1) на отрицательной ве-
210
шественной полуоси (рис. 5.26). Запретная зона окружает точку (—U
/0) и обеспечивает получение необходимого запаса устойчивости.
Показатель колебательности М может быть определен и в случае
использования логарифмических частотных характеристик. Для этого*
предварительно рассмотрим условия, которым должны удовлетворять
отдельно амплитудная A (u>) = \W (ju) | и фазовая ф (ю) = arg W
частотные характеристики, для того чтобы а.ф.х. разомкнутой систе-
мы не заходила внутрь запретной зоны. На окружности (см. рис. 5.26)
возьмем произвольную точку В и проведем в нее вектор. Из треуголь-
ника OBD для этого вектора найдем связь между модулем А и запасом^
по фазе у:
cos 7 - (Д2 + С2 — R2)/2AC.	(5.99).
Так как
с2 --! № Y-I м Г = м’ = с.
\ М2 — 1 /	\ Л42 — 1 ) М2 — 1
то
у = arccos [(Д2 + С)/2АС].	(5.100)
Эта зависимость существует только для значений модулей
(см. рис. 5.26)
М/(М + 1) < А < М/(М - 1).	(5.101)
Максимальный запас по фазе 7 будет, когда вектор ОВ касается*
окружности М = const и треугольник 0BD является прямоугольным..
Тогда А = VC2 — R2 = УС и
1	/М2—1
Tmax = arccos---= arccos -------= arcsm — =
|тах	ус	М
1
= arctg .....-.- .
/Л12 -1
(5.102):
По выражению (5.100) можно
построить графики у-кривых, даю-
щие связь у = f (Д) для различных
значений М = const, а следова-
тельно, и С = const. При построе-
нии у-кривых (рис. 5.27) модуль А
откладывается обычно в децибелах.
у-кривые позволяют построить
запретную зону заданного показа-
теля колебательности М для л.ф.х.
по имеющейся л.а.х. (рис. 5.28, а).
Строится требуемое значение за-
паса по фазе для каждого значе-
ния модуля, лежащего в пределах
(5.101). При сложной форме л.а.х.
может появиться несколько запрет-
Рис. 5.27. 7—кривые
211
H£ix зон для л.ф.х. (рис. 5.28, б). Этот случай соответствует а.ч.х.
замкнутой системы с несколькими резонансными пиками.
По у-кривым можно также построить запретную зону заданного
показателя колебательности М для л.а.х. по имеющейся фазовой ха-
Рис. 5.28. Запретные зоны М = const для л. ф. х.
рактеристике (рис. 5.29). Здесь строится требуемое значение модуля
для каждого значения запаса по фазе, лежащего в пределах 0 —утах.
Построение запретной зоны М = const для л.а.х. оказывается пред-
почтительнее более распространенного построения соответствующей
запретной зоны для л.ф.х., например, в
тех случаях, когда решается задача оп-
ределения максимально допустимого зна-
чения общего коэффициента усиления
Рис. 5.30. Запретная зона
для а.ф.х. разомкнутой си-
стемы при заданном значе-
нии показателя колебатель-
ности /?
Рис. 5.29. Запретные зоны М =
= const для л.а.х.
разомкнутой системы при обеспечении требуемого запаса устойчиво-
сти Л1.
Вместо оценки запаса устойчивости по показателю колебатель-
ности М в последнее время все большее распространение получает
оценка по так называемому показателю колебательности R. Пока-
затель колебательности R также характеризует степень удаления
а.ф.х. разомкнутой системы от точки (—1, /0). Запас устойчивости
в этом случае оценивается по величине наименьшего радиуса окруж-
ности с центром в точке с координатами (—1, /0), касающейся а.ф.х.
разомкнутой системы (рис. 5.30). Установлено, что приемлемым запа-
сам устойчивости соответствуют значения R « 0,44-0,8. Значения
R ^0,8 соответствуют довольно большим запасам устойчивости, при
2i2
оторых перерегулирования весьма малы или полностью отсутствуют.
Меньшие значения 7? ж 0,4 являются вполне удовлетворительными
для большинства САУ. Максимальный запас по фазе (рис. 5.30)
Ir max = arccos \ — R\	(5.103)
При помощи у г-кривых (по аналогии с у-кривыми) запретные зоны
r = const могут быть построены для л.ф.х. по имеющейся л.а.х. или
для л.а.х. по имеющейся л.ф.х. Из треугольника
OBD по теореме косинусов
cos ь = (А2 + 1 - 7?2)/2А.	(5.104)
Зависимость (5.104) существует только для -60
модулей, лежащих в пределах
1 _ 7?<А< 1 +R.	(5.105)
Графики yr — f (А) для различных значений
R = const построены на рис. 5.31. Запретные
зоны 7? = const для логарифмических характе-
ристик приведены на рис. 5.32.
Оценка быстродействия по частотным хара-
ктеристикам разомкнутой системы базируется
на определении полосы пропускания. Чем боль- Рио. 5.31. у г -кривые
ше полоса пропускания, тем выше быстродейст-
вие. При этом используется приближенное соотношение между ча-
стотой среза <1)ср разомкнутой системы [на частоте среза А (и>ср) =
= 1 и L (шср) — 0] и резонансной частотой замкнутой системы wmax и
формулы (5.89), (5.90).
Рио. 5.32. Запретная зона R = const для л.ф.х. (а) и
для л.а.х. (б)
Если переходный процесс в системе заканчивается за 1-2 колеба-
ния, то время его затухания
/п«(1 4-2) 2я/(оср,	(5.106)
ГДе (1)ср ^тах*
Таким образом,
Действия системы.
частота среза шср может служить мерой
быстро-
213
Наглядной и простой мерой быстродействия системы является
также частота (см. рис. 5.17), при которой входное воздействие
вида g (/) = gmaxsin воспроизводится системой с амплитудой ошиб-
ки не более хтах.
§ 5.10. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА
Интегральные оценки качества являются комбинированными кри-
териями — они оценивают в совокупности запас устойчивости, быстро-
действие и установившуюся ошибку. Интегральные оценки основаны
на разработанных условных интегральных показателях, характери-
Рис. 5.33. Простейшие интегральные оценки качества
зующих достаточно просто отклонение переходного процесса реальной
системы от идеального. Под идеальным обычно понимают или ступен-
чатый процесс, протекающий мгновенно без перерегулирования, или
процесс, протекающий по экспоненте с заданными параметрами.
Простейшей интегральной оценкой может служить показатель
со
где х (/) — отклонение регулируемой (управляемой) величины от но-
вого заданного значения, то есть ошибка системы.
Показатель Ц представляет собой алгебраическую сумму площа-
дей под кривой переходного процесса (рис. 5.33, а). Чем меньше /и
тем быстрее затухает переходный процесс и тем меньше величина от-
клонения, т. е. тем выше качество системы. Однако это справедливо-
только для систем с апериодическими переходными процессами без
перерегулирования, когда не меняется знак отклонения х (/).
Качество систем с колебательными переходными процессами ха-
рактеризуется квадратичной интегральной оценкой '
/2 = J х2 (/) dt,
о
предложенной для САУ А. А. Красовским.
Рассмотрим один из возможных способов вычисления интеграла 1%
при скачкообразном внешнем воздействии. Если изображение регул и-
214
руемой величины у (/) представляет собой дробно-рациональную функ-
цию
у (з) = bo-^ + fr! s">-«+ ... + frm	1
ай s" + Qi s'1-1 + ... -J- a„	s
И
x(t) =y(t) — t/(oo) = y(t)— (bm/an)
__отклонение регулируемой величины от нового установившегося
состояния, то при m<n интеграл
оо	пг
/2 = (* х2 dt	—	У
J 2а* Д	<?п
О	/г=Э
где
ап	а п-2	ап-ь	& п-в
о	а„_!	-ап_3	ап_5	...
д __	®п-2	”•
о	о	— a„_!	а„_3	...
0	0 О 0 а,
Дй (k = tn, т — 1,	, 2, 1, 0) — определители, получающиеся
путем замены в определителе Д (т —k + 1)-го столбца столбцом
(ап_1ЯпО...О)' (штрих — знак транспонирования), а коэффициенты Вт,
Bm_i, ... вычисляются по формулам:
Вт = Ьт\ — Ьт— 1	2Ьт Ьт-2,
..., Bk = bk 2&Л+1 6^-1~Ь26л+2 bk-2 “Ь ••• + 2 ( l)fe bm Ь21г_т\Bo = .
Показатель /2 тем меньше, чем быстрее затухает переходный про-
цесс и чем меньше отклонение (рис. 5.33, б). Однако и квадратичная
оценка не всегда является удачной, так как при такой оценке качества
сильно колебательный процесс с большим перерегулированием может
оказаться лучшим, чем монотонный. Квадратичная оценка, по сути
дела, не учитывает близость системы к колебательной границе устой-
чивости. .
Чтобы исключить сильную колебательность, нужно наложить
ограничение не только на величину отклонения, но и на скорость
отклонения х (/). Это дает так называемую улучшенную квадратич-
ную оценку, предложенную А. А. Фельдбаумом:

[л2 (0 -|- T2x\t)] dt,
где Т — некоторая постоянная времени.
215
Минимум показателя /3 означает, что получен переходный процесс,
близкий к экспоненте с постоянной Т. Действительно,
оо	оо
73= J [х2(/) + Т2х2(о] dt= J [х(0 + Тх(0]2^-
О	о
°0	00 г	-12	00
— 2Т J x(t)x(t)dt = С |х (/) + Т х (/)] dt — Tx2(t) I.
0	0	о
Так как х(оо) = 0, то, обозначая х(0) = х0, получаем
°0 Г	*12
/3 — J ^х (/) -J- Т х (/) j dt Т Xq t
о
Интеграл имеет минимум, если обращается в нуль подынтеграль-
ная функция, т. е. показатель /3 минимален, если х (/) удовлетворяет
уравнению
Т х + х = 0.
При этом процесс имеет вид экспоненты, определяемой уравнением
x(t) — хое~1/т
т. е. в этом случае идеализированным переходным процессом служит
не ступенчатая функция, а экспонента, к которой и должен стремить-
ся реальный переходный процесс (рис. 5.33, в). Такую оценку целе-
сообразно применять, когда можно указать значение постоянной вре*
мени Т «оптимальной» экспоненты.
Интегральные оценки используют при выборе оптимального зна-
чения какого-либо варьируемого параметра системы, обеспечивающего
минимум такой оценки.
Определение интегральных оценок не требует решения дифферен-
циальных уравнений. Например, оценки /2 могут вычисляться по фор-
мулам Релея, Мак-Лэннона или Красовского [27].
Для более полной оценки качества переходных процессов инте-
гральным методом нужно пользоваться старшими квадратичными
интегральными оценками
Ik = J (х2 (0 + Т\ х2 (0 + ... + T2k [ x<ft> (О]2} dt.
О
Недостатком интегральных оценок является отсутствие наглядного
соответствия между значениями показателей I и характеристиками
переходных процессов. Трудность применения интегральных оценок
для определения качества САУ состоит также в относительной слож-
ности выражений, связывающих их с параметрами системы.
ГЛАВА 6
СПОСОБЫ УЛУЧШЕНИЯ
ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ
И МЕТОДЫ СИНТЕЗА
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 6.1. ПОВЫШЕНИЕ
ТОЧНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ
Задача повышения точности работы САУ — одна из центральных
в теории автоматического управления. Она может быть решена за
счет увеличения общего коэффициента усиления разомкнутой системы,
повышения порядка астатизма, компенсации возмущений путем при-
менения методов теории инвариантности и др.
Увеличение общего коэффициента усиления. Увеличение точности
за счет повышения общего коэффициента усиления — наиболее рас-
пространенный и простой метод. Значения установившихся ошибок
обратно пропорциональны общему коэффициенту усиления (см. § 5.6).
Так, в статической системе ошибка от изменения входного воздейст-
вия
^ст = Ml + Ю,	(6-1)
в системе с астатизмом первого порядка
xgc =	(6.2)
в системе с астатизмом второго порядка
xgy = ei^2	(6.3)
и т. д. Поэтому увеличение общего коэффициента усиления непо-
средственно ведет к снижению установившихся ошибок. Однако от
коэффициента усиления зависит не только точность, но и запас
устойчивости. При увеличении коэффициента усиления система
обычно приближается к колебательной границе устойчивости. По-
этому при повышении точности по этому способу одновременно необ-
ходимо обеспечивать требуемый запас устойчивости системы.
Увеличение порядка астатизма. Повышение точности САУ уве-
личением порядка астатизма основывается главным образом на
введении в систему дополнительных интегрирующих или изодромных
Устройств. Последовательное включение интегрирующих устройств
с передаточной функцией
r„(s) = Vs	(6.4)
в канал усиления системы непосредственно приводит к повышению
ворядка астатизма и, следовательно, к снижению установившихся
217
ошибок. Однако при этом снижается запас устойчивости системы или
вообще система оказывается неустойчивой.
Повышение порядка астатизма с целью увеличения точности без
неблагоприятного влияния на устойчивость может быть достигнуто
включением изодромных устройств, представляющих собой совокуп-
Рис. 6.1. Структурные схемы сле-
дящей системы:
а —исходная; б —с интегрирующим уст-
ройством; в — с изодром ным устройством
этой исходной системы равны
ность двух параллельно включен-
ных звеньев — идеального интегри- г
рующего и безынерционного. Пе-
редаточная функция изодромного
устройства
^из ($) = kn/s + kx = ku (1 + ти s)/s,
(6.5)
где ти = ki/kn — постоянная вре-
мени изодромного устройства.
Сравнить рассмотренные спосо-
бы повышения порядка астатизма
можно на примере следящей систе-
мы, передаточная функция которой
соответствует астатизму первого
порядка и имеет вид (рис. 6.1, а)
r(s) = Ms(l+TMs)(l+Tys)].
(6.6)
Коэффициенты ошибки для
(см. § 5.6):
При введении интегрирующего устройства (рис. 6.1, б) передаточ-
ная функция разомкнутой системы приобретает вид
W' (S) =---------------------, (6.8)
s (1 + TMs) (1 + TyS) s s2 (1 + TMs) (1 + TyS) V ’
Где /(2 = KAI Мсек2] — общий коэффициент усиления по ускорению.
Передаточная функция (6.8) соответствует уже системе с астатиз-
мом второго порядка. Передаточная функция замкнутой системы по
ошибке
1	[TyTMs2 + (Ty + TM)s + l]s2
х “ 1 + IF' (s) Ту Тм s4 + (Ту -Ь Тм) s3 + $2 + К2 ’
Коэффициенты ошибки легко получаются разложением выраже-
218
(6.9) в ряд путем деления многочлена числителя на многочлен
знаменателя:
То = 71=0; т2-2/К2; Тз = 6(Ту + Тм)/К2.	(6.10)
Так каку1 — 0, то скоростная ошибка обращается в нуль. Однако
оказывается, что полученная система вообще является неработоспо-
собной, так как не выполняется необходимое условие устойчивости.
В характеристическом уравнении отсутствует коэффициент при пер-
вой степени s. Действительно, характеристическое уравнение имеет
вид
aQ s'* + аА s3 ч- а2 s2 + а4 = 0	(6.11)
где
а3 = 0; а0 == Ту Тм; =Ту + Тм; а2 = 1; а4 = К2.
(1 Н-ти $) =
S
При введении изодромного устройства (рис. 6.1, в) передаточная
функция разомкнутой системы
W" (3) -------------------
s (1 + TMs) (1 + Tys)
=-----ХИ» +ти5)— (К к k )
s20 + TmsKI + Tys)
Передаточная функция замкнутой системы по ошибке
1	[ТуТм5г +(Ty + TM)s+Ц5‘
(*) - ] + W" (S) ~ Ту Тм s4 + (Ту + Тм) s3 + s* + /<2 ти s + К, ’
Коэффициенты ошибки имеют вид
70 = 71=°’ Тг = 2/Х2; Тз = 6 (Tv + Тм — ха)/Кг.
(6.12)
(6.13)
(6.14)
Сравнение (6.14) с (6.10) показывает, что применение изодромного
устройства снижает коэффициент у3, что благоприятно сказывается
на точности системы. Однако главное состоит в том, что в этом случае
систему можно сделать устойчивой. Характеристическое уравнение
замкнутой системы запишется следующим образом:
а0 s4 + «х s3 + а2 s2 + a3s Ч- а4 = 0,	(6.15)
где
ао = ТуТм:, а^Ту-\-Тм; —1’*
«з —	^4 = ^2*
При этом условие устойчивости имеет вид
ти(Ту 4-Тм)-(Ту+ тм)2
К п 11 1 	... 	'— ' ' '
(6.16)
219
При больших значениях ти условие устойчивости (6.16) почти
не будет отличаться от условия устойчивости исходной системы
(см. рис. 6.1, а)
Ki< 1/Ту + 1/Тм.	(6.17)
Компенсация возмущений. Одним из наиболее эффективных
средств повышения точности работы САУ является компенсация воз-
мущений, основанная на применении способов теории инвариантности.
Системы, в которых достигнута компенсация возмущений, называв
ются инвариантными. САУ инвариантна по отношению к возмущаю.
Рис. 6.2. Структурная схема системы комбинирован-
ного управления
щему воздействию, если после завершения переходного процесса ре-
гулируемая (или управляемая) величина и ошибка системы не зависят
от этого возмущения. САУ, например следящая система, может быть
инвариантной и по отношению к входному задающему воздействию,
если после завершения переходного процесса ошибка системы не бу-
дет зависеть от этого воздействия. Таким образом, в инвариантных
системах устраняется установившаяся составляющая ошибки. Су-
ществует также понятие инвариантности системы по отношению к ка-
кому-либо возмущению с точностью до е, при этом установившаяся
составляющая ошибки полностью не устраняется.
Впервые на возможность создания инвариантной системы регули-
рования указал советский ученый Г. В. Щипанов. В разработке тео-
рии инвариантности большая роль принадлежит В. С. Кулебакину
и Б. Н. Петрову.
Основной способ построения инвариантных систем состоит в при-
менении комбинированного управления, когда наряду с управлением
по отклонению (ошибке) (см. § 1.5) производится управление по воз-
мущению (см. § 1.6). При комбинированном управлении осуществля-
ется регулирование по замкнутому и разомкнутому циклам. В сле-
дящих системах широко используется также управление по вход-
ному задающему воздействию, так как в этом случае оно является
главным «возмущением».
Рассмотрим общий случай, когда дополнительно к управлению по
отклонению х используется управление по задающему (входному)
воздействию g (/) и управление по возмущению f (/) (рис. 6.2).
220
Изображение регулируемой величины
!Ft (s) IF2 (s) W, (s) [1 + 1* (S) 1
у (s) =	, _	G (*)+
1 + IF! (s) IF2 (s) IF3 (s)
IF3(s)1F4(s) [1 - IF2(s)
--------------!=------------------— F (S).
1 + IFi (S) 1F2 (s) IF3 (s)	V >
Изображение ошибки
v/м 1-^(s)IF2(S)IF3(S)
' '	1 + IF, (s) IF2 (s) IF3 (s) ° (S)
M) IF4 (s) [ 1 - IF, (s) 1
-----------------1----------------=L F (s).
1 + IF, (s) IF, (s) IF, (s)
(6.18}
(6.19)
Из выражения (6.19) можно найти условия абсолютной инвариант-
ности САУ, когда первое и второе слагаемое этого выражения обра-
щаются в нуль:
q>g(s)= l/[r2(s)r3(s)];	(6.20)
ФДя) = Г4($)/Г2($).	(6.21)
Выполнение условия (6.20) позволяет устранить составляющую
ошибки, вызванную изменением задающего воздействия, а выполне-
ние условия (6.21) — составляющую ошибки от действия возмущения.
Реализация условия (6.20) связана с необходимостью формирова-
ния оператора cpg(s) в виде
cpg(s) = d0 + V + т2$2 + ^з$3 + ...,	(6.22)
где dQ = 0 для всех астатических и большинства статических систем;
\ — коэффициенты, имеющие размерность времени.
Таким образом, для получения полной (абсолютной) инвариант-
ности в САУ необходимо вводить сигналы, пропорциональные первой
и высшим производным от задающего воздействия. В реальных си-
стемах можно точно получить лишь первую производную, все после-
дующие производные могут быть получены лишь приближенно. Это
приводит к достижению не полной (абсолютной), а частичной инва-
риантности, Однако и частичная инвариантность является весьма
благоприятной в смысле повышения точности САУ. Так, например,
введением одной первой производной от входного воздействия в си-
стеме с астатизмом первого порядка можно добиться равенства нулю
скоростной ошибки, т. е. повысить порядок астатизма на единицу.
При этом прежние условия устойчивости сохраняются. Следователь-
но, применение комбинированного управления повышает точность
и не влияет на устойчивость.
221
Для реализации условия (6.21) часто не требуется получение чис-
тых высших производных от f (/), так как в общем случае
d0 + T]S 4- ф’2 4-
Ф/ S 1 + TlS + T22s* + ..
(6.23)
•где d0 =# 0.
’ Недостаток такого метода компенсации действия возмущений со-
стоит в том, что для его применения
Рис. 6.3. Структурная схема косвен-
ного метода измерения возмущений
нужно иметь возможность изме-
рения возмущений. Во многих
случаях непосредственное изме-
рение возмущений или затруд-
нительно, или практически не-
возможно. При этом может ока-
зать помощь косвенный метод из-
мерения возмущений (рис. 6.3).
Этот метод заключается в опре-
делении разности двух сигналов,
например и х2, между кото-
f (/). Согласно схеме, приведенной
рыми находится звено с возму-
щением f (/). Покажем, что раз-
ностный сигнал и = щ — и2
является функцией возмущения
на рис. 6.3,
U (s) = [Т, (s) - W. (s) W2 (s) Т2 (s)] X, (s) — W7 (s)	(s) F ($), (6.24)
откуда следует, что и (/) будет зависеть только от / (/) при выполне-
нии условия
^(5)= W.(S) W,(S) T2(s).	(6.25)
Если передаточная функция второго звена измерительной связи
42(s) = -k„/W2(s),	(6.?6)
то
U(s) = k„F(s).	(6.27)
или
u(t) = £„/(/)•	(6.28)
Таким образом, измеренный сигнал и (/) оказывается пропорцио-
нальным возмущению f (/).
Повышение точности САУ может быть достигнуто также особым
построением структурной схемы системы, при котором образуется так
называемая условная обратная связь (рис. 6.4). Входной сигнал g (/)
проходит по двум каналам 4r1(s) и ^(s). Передаточная функция
замкнутой системы по возмущению f (/) может быть определена из
выражения	1
Y (s) = Ф, (s) F (s) =----------------F (s).	(6.29)
Z v/ 1 + uz, (s) Уг (s) ЧГ3 (s)
.222
ередаточная функция по входному воздействию, т. е. главный опе-
aqnrop, из выРажения
Р‘ __ ф , . Q (s) =	(S)	(S) ^2 (») + ^2 (s)	(s) Wt(s) (s) G
Y(s)-	(	{ 1	1 + U7! (s) W2 (s) >F3 (s)
Если параметры системы выбрать из условия
Т2(з) = ¥1(з) ^(3)^(3),
(s).
(6.30)
(6.31).
Рис. 6.4. Структурная схема системы с условной
обратной связью
то изображение регулируемой величины
Y ($) = Ф (s) G (s) =	(s)	(s) W2 (s) G (s).	(6.32>
Соотношения (6.29) и (6.32) показывают, что вид передаточных
функций Ф/(«) и Ф (s) можно устанавливать независимо друг от друга,
что является важным достоинством рассматриваемой системы.
Для возмущения f (/) система оказывается замкнутой [см. (6.29)], а для
входного сигнала g (/) — разомкнутой [см. (6.32)1. Этим и объясняет-
ся термин условная обратная связь.
При учете возмущения
Y ($) = Ф (s) G (s) - Ф7 (s) F (s) =	(s) Wг (s) W2 (s) G (s) -
---------------------F (з).	(6.33)
1 + Г1 (s) 1Г2 (.?) »Г3 (s)
Выбирая коэффициент передачи ^(s) по модулю достаточно боль-
шим, можно значительно уменьшить влияние возмущения f (/) на ре-
гулируемую величину у (/), не затронув при этом передаточную функ-
цию Ф (s), связывающую у (/) с g (t).
§ 6.2. ПОВЫШЕНИЕ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ
И БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Повышение запаса устойчивости достигается рациональным вы-
бором параметров системы и введением в нее специальных устройств,,
называемых корректирующими. Корректирующие устройства пред-
ставляют собой динамические звенья с определенными передаточными
Функциями.
223.
Требуемое быстродействие получается путем соответствующего
выбора основных элементов системы (усилителей, исполнительных
механизмов и т. п.) и применения нужных корректирующих устройств-
Корректирующие устройства, включаемые в систему, производят
такое перераспределение нулей и полюсов передаточных функций
разомкнутой и замкнутой систем, при котором САУ удовлетворяет
не только критерию устойчивости, но и критериям качества в смысле
требуемого запаса устойчивости и быстродействия. Графическая ин-
терпретация действия корректирую-
щих устройств показана на рис. 6.5,
на котором изображена а.ф.х. неу-
стойчивой (нескорректированной)
системы и а.ф.х., достаточно удален-
Рис. 6.6. Структурные
схемы систем с тремя
основными корректиру-
ющими устройствами
Рис. 6.5. А.ф.х. нескор-
ректированной (сплош-
ная линия) и скорректи-
рованной (штриховая
линия) САУ
ная отточки (—1, / 0).и соответствующая скорректированной системе,
т. е. системе с введенными корректирующими устройствами.
Задачу достижения требуемых качественных показателей можно
наглядно трактовать как задачу коррекции (деформации) а.ф.х.
разомкнутой системы в нужном направлении.
Обычно задача повышения запаса устойчивости и достижения тре-
буемого быстродействия тесно связана с задачей повышения точности
(см. § 6.1).
Корректирующие устройства САУ делятся на три основных типа:
последовательные (рис. 6.6, а), параллельные (рис. 6.6, б) и дополни-
тельные обратные связи (рис. 6.6, в),
В линейных системах для корректирующего устройства одного
типа всегда можно подобрать эквивалентное устройство другого типа,
т. е. использование в системе того или другого корректирующего уст-
ройства дает возможность получать полностью подобные в динамиче-
ском отношении системы. Поэтому принятие какого-либо конкрет-
ного типа корректирующих устройств диктуется удобством техниче-
ской реализации или учетом влияния нелинейных факторов (см. гл. 8).
Переход от одного типа корректирующего устройства к эквива-
лентному другому типу легко производится при помощи формул пе-
224
счета, которые получаются приравниванием передаточных функций
разомкнутых цепей для схем, приведенных на рис. 6.6, а, б, в:
W (s) Гп.к.у (s) = W' (з) + Гп.с (s) = т-± ДДс(5) (6-34)
где U7'(s) — передаточная функция части САУ; №п.к.у(8) — передаточ-
ная функция последовательного корректирующего устройства;
де/ ($) — передаточная функция параллельной связи; iro.c(s) — пере-
даточная функция дополнительной обратной связи (знак «+» соответ-
ствует отрицательной, а знак «—» — положительной связи*).
Из (6.34) следует, что
1	W' (s) + IF с (s)
п/	v 7 П.с у / ,
п.к.уИ 1 + UZ' (S) Й7О с (s)	U7'(s)
«7 М-И'/йЮ	11-	(S) Й7О с (S)
W^n.cC5)	(s)[№n.K.y(S)	1]	1 + Ц7'(s) U70 с (s) ’
И7 -	1 ~ Гп.к.у (5)	. .	^.c(s)
°'с	V' (в) П7П.К у (S)	W'2 (S) + V (в) Гп,с (8) •
(6.35)
Корректирующие устройства могут составляться из различных
по своей физической сущности элементов — электрических, механи-
ческих, гидравлических и т. д.
Последовательные корре-
ктирующие устройства. Наи-
более широко распростране-
ны пассивные электрические
последовательные корректи-
рующие устройства, предста-
вляющие собой звенья из 7?-,
С- и L-элементов, не содер-
жащие дополнительных источ-
ников электродвижущих сил.
Рассмотрение основных звень-
ев начнем с замедляющего, или
пассивного интегрирующего,
звена (рис. 6.7,а). Передаточ-
ная функция звена легко мо-
жет быть получена как отно-
шение полных сопротивлений
выходной цепи Z2(s) и вход-
ной Z^s):
Рис. 6.7. Замедляющее или пассивное
интегрирующее звено:
а — электрическая схема; б — частотные и пе-
реходная характеристики; в — механический
аналог
^п.к.у (3)
z2 (s) = Ri + 1/sC
(S)	+ ^2 + l/sC
—, (6.36)
1 + (R1 + Ri) Cs
* В дальнейшем рассматриваются только отрицательные связи.Положи-
тельные обратные связи применяются в САУ сравнительно редко.
8—493	225
или окончательно
где
^n.K.y(s)=(l +«)/(! +Ts),
(6.37)
т = R2C', Т = (^ + Т?2)С; 7>т.
На рис. 6.7, б приведены частотные и переходная характеристики
этого звена, а на рис. 6.7, в — его механический аналог. Название
«замедляющее звено» еле-
дует из вида переходной
характеристики. Для меха-
нического аналога в каче-
стве входной величины ис-
пользуется перемещение
х1( а выходной — переме-
щение х2. Формулы (6.36)
и (6.37) оказываются спра-
ведливыми, если емкость
конденсатора С заменить
на коэффициент скорост-
ного сопротивления демп-
фера s0, а электрические
сопротивления 7?, и А?2 —
на величины, обратные
Рис. 6.8. Форсирующее или пассивное диф-
ференцирующее звено:
а — электрическая схема; б — частотные и переход-
ная характеристики; в — механический аналог
жесткостям пружин щ и с2.
Электрическая схема
форсирующего, или пассивного дифференцирующего, звена приведена
на рис. 6.8, а. Передаточная функция звена
^П.к.у(5)
^2 6s)
Zi ($)
#2
*1
1 4“ RiCs
/?2 О + fliCs)
4“	4“ RiR^Cs
(6.38)
/?2 4"
или
где
^п.к.у(5) = (ГЛ)(14-^)/(14-Т5),
т =/?ХС; Т = R&C/tR, + /?2); *>Т.
(6.39)
Частотные и переходная характеристики показаны на рис. 6.8, б-
Название «форсирующее звено» связано с видом переходного процес-
са, который форсируется в своей начальной части. Механическое фор-
сирующее звено (рис. 6.8, в) можно получить, если воспользоваться
указанными выше аналогиями.
Интегро-дифференцирующге звено (рис. 6.9, а) является резуль-
татом комбинации двух рассмотренных звеньев. Его передаточная
функция
IW	_ ^2 (S) _ ______^2 4~ 1 /$ ^2___
П К У ( ' ZX (S)	, р ,	1
14-^As	2 sC2
(6.40)
226
или
rw /м — (1 + TiS) (1 4- ^S)
nK<yW (1 + T1S)(14-T2S)
(6.41)
т1 —	T2 — /?2^2» T % — ^1^2»
T\ + T2 = Tj 4“ (1 -f- R1/R2) T2*
На рис. 6.9, бив приведены частотные и переходная характерис-
тики этого звена и его механический аналог.
Рис. 6.9. Интегро-дифференцирующее звено:
а — электрическая схема; б — частотные и переходная характе-
ристики; в — механический аналог
Параллельные корректирующие устройства. Параллельно основ-
ному сигналу чаще всего включаются интегрирующие или дифферен-
цирующие звенья (рис. 6.10). Интегрирующие звенья образуют при
этом изодромные устройства, применяемые для увеличения точности
САУ в установившихся режимах (см. § 6.1). Дифференцирующие
звенья вводят для повышения запаса устойчивости и точности.
В качестве примера на рис. 6.11 показана схема получения (до-
полнительно к сигналу рассогласования) сигнала, пропорционального
рис. 6.10. Схемы вклю-
чения интегрирующих и
Дифференцирующих зве-
ньев
8^
Рио. 6.11. Пример параллель-
ного корректирующего устрой-
ства
227
первой производной от ошибки. Первый сигнал вырабатывается срав-
нением напряжений от датчиков углов 9)^ и <2*2, второй—сравнением
напряжений тахогенераторов Т1\ и ТГ2. Если обозначить через kl
и k? коэффициенты передачи датчиков углов, а через &тг1 и &тг2
коэффициенты передачи тахогенераторов, то при ki = k2 и &тг1 = &тга
получим
W(s) =k + k.rs = k(l +ts),
(6.42)
Рис. 6.12. Охват безы-
нерционного звена от-
рицательной обратной
связью:
а — жесткой; б — гибкой
где Т = kjk.
Дополнительные обратные связи. Допол-
нительные обратные связи могут быть жест-
кими и гибкими. Жесткая обратная связь
действует все время, гибкая — не действует
при отсутствии скорости изменения выход-
ной координаты охватываемого звена. В цепи
жесткой обратной связи стоит позиционное
звено, а в цепи гибкой — дифференцирующее
звено (см. § 2.9). Интегрирующие звенья
в цепь дополнительной обратной связи обы-
чно не ставят.
В качестве примера рассмотрим охват же-
сткой и гибкой обратной связью безынерци-
онного звена (рис. 6.12).
В первом случае (рис. 6.12, а) имеем
W)- , + t-tcJ'(. + 7-0.lS) = -rTjx7 (М3)
где
t = Т0,с; Т = Т0.с/(1 + k'k0,c)\ х>Т.
Таким образом, в результате охвата звена жесткой обратной
связью общий коэффициент передачи уменьшился. В динамическом
отношении такое введение обратной связи эквивалентно включению
в систему форсирующего звена.
Во втором случае (рис. 6.12, б) получаем
W7 (гЛ _	1
14-fe'^0.cs/(l + T0.cs)	+
(6.44)
где
т = Т0>с; Т = 7О.С + kr kQ,c\ ^<Т.	(6.45)
Здесь общий коэффициент передачи остался прежним. В динами-
ческом отношении введение этой обратной связи эквивалентно вклю-
чению в систему последовательного замедляющего корректирующего
звена. Примеры САР с жесткой и гибкой дополнительными обратными
связями приведены в § 1.10.
228
§ 6.3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Задача синтеза САУ заключается в определении и реализации та-
ких динамических и статических характеристик, которые при задан-
ных ограничениях наилучшим образом удовлетворяют поставленным
требованиям. Иными словами, под синтезом понимают процесс проек-
тирования САУ, включающий отыскание оптимальной структуры
системы и ее характеристик, обеспечивающих достижение требуемых
показателей качества наиболее простыми средствами.
В такой достаточно общей постановке проблема синтеза находится
еще в стадии решения. Поэтому остановимся лишь на некоторых от-
дельных вопросах синтеза, получивших наибольшее развитие к на-
стоящему времени. К ним можно отнести вопросы синтеза оптималь-
ных динамических характеристик системы, параметров системы за-
данной структуры и корректирующих устройств системы по заданным
качественным показателям.
Синтез оптимальных динамических характеристик системы в
большинстве случаев сводится к решению вариационной задачи, обес-
печивающей в соответствии с принятым критерием оптимизации наи-
лучшее управление или теоретический минимум ошибки управления
(см. гл. 11).
Синтез параметров системы заданной структуры и синтез коррек-
тирующих устройств можно рассматривать как инженерную задачу,
сводящуюся к такому построению САУ, при котором обеспечивается
выполнение технических требований, предъявляемых к ней. Подразу-
мевается, что из многих возможных решений окончательно выбира-
ется одно, лучшее с точки зрения существующих конкретных условий
и требований к габаритам, весу, простоте устройства, надежности и
т. п. Поскольку такой синтез подразумевает перебор нескольких ре-
шений, то иногда его называют методом проб и ошибок.
При инженерном синтезе САУ стремятся обеспечить в первую
очередь требуемую точность и приемлемый характер переходных
процессов.
Требуемая точность достигается соответствующим выбором общего
коэффициента усиления системы и, в случае необходимости, приме-
нением корректирующих средств, повышающих точность системы
(см. § 6.1). При этом точность оценивается по величине ошибок в
типовых режимах (см. § 5.6).
Большие трудности возникают при обеспечении приемлемых пере-
ходных процессов. Это объясняется значительным числом варьиру-
емых параметров и многозначностью расчета. Поэтому существую-
щие инженерные методы синтеза часто ограничиваются решением
;1ищь этой части задачи. Применение современных средств вычисли-
тельной техники снимает указанные трудности. В связи с этим разви-
Ваются методы решения задачи синтеза не приближенными методами,
а путем направленного перебора решений исходной системы диффе-
ренциальных уравнений при вариации интересующих параметров
229
корректирующих устройств. Разработка таких методов синтеза свЯч
зана с поиском алгоритмов, которые бы обеспечивали наискорейцщ^
образом определение самых выгодных параметров настройки системы.
§ 6.4. СИНТЕЗ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ
ЗАДАННОЙ СТРУКТУРЫ
В системах регулирования и управления обычно задается объект
управления. Если, кроме того, заданы структура регулятора и кор.
ректирующих средств, то задача синтеза сужается до выбора пара,
метров регулятора и корректирующих средств, исходя из поставлен-
ных требований. При этом для выбора параметров САУ широко ис-
пользуются косвенные связи, установленные между характеристи-
ками распределения корней (степень устойчивости, затухание, коле-
бательность и т. п.) и переходными характеристиками САУ, а также
непосредственные связи, существующие между нулями и полюсами
и переходными характеристиками.
Рассмотрим наиболее распространенные методы выбора парамет-
ров систем заданной структуры.
Использование характеристик распределения корней. Параметры
выбираются так, чтобы характеристики распределения корней были
не ниже заданных. Для этой цели методом £>-разбиения в простран-
стве выбираемых параметров строятся поверхности равных степеней
устойчивости, равных затуханий и т. п. После разбиения простран-
ства параметров указанными поверхностями на ряд областей находят-
ся значения параметров, удовлетворяющие поставленным требова-
ниям и условиям технической реализации. Метод не вызывает боль-
ших трудностей при выборе малого числа варьируемых параметров
(не более двух, в крайнем случае — трех).
Возможен и иной подход, основанный на построении траектории
корней характеристического уравнения замкнутой системы. Этот
метод предусматривает построение картины перемещения нулей и
полюсов передаточной функции замкнутой системы в зависимости
от изменения параметров. Параметры при этом варьируются так,
чтобы установилось требуемое распределение полюсов и нулей.
Рассмотрим кратко сущность этого метода для простейшего слу-
чая, когда варьируемым параметром является общий коэффициент,
усиления разомкнутой системы Д. Оценим его влияние на корни ха-
рактеристического уравнения замкнутой системы.
Передаточная функция разомкнутой системы
= % stn В1 4- • • ♦ + 1)	/g 4g\
C(s)	c0s«4-C1S«-i-b... + l ’
где n>/n.
Характеристическое уравнение замкнутой системы
C(s) +ДВ($) = 0,	(6.47)
или
C(s)/K + B(s) = 0,
(6.48)
230
Из формулы (6.47) следует, что при К 0 корни характеристи-
чного уравнения замкнутой системы стремятся к корням характе-
Чистического уравнения разомкнутой системы , т. е. к корням уравне-
Р я с (s) — 0 или, иными словами, к полюсам функции W (s).
н Из выражения (6.48) следует, что при К -*• оо корни характерис-
тического уравнения замкнутой системы стремятся к корням уравне-
ния В (s) — 0, т. е. к нулям функции IT (s). Так как в реальных си-
сТемах п > т (см. (6.46)], то при К -> оо число (и — т) корней поли-
нома С (s) 4- К.В (s) будут переходить в бесконечность. Если В ($) =
1, т. е. т = 0, то все корни уравнения (6.47) при К. -> оо уходят
в бесконечность.
Можно установить и другие правила изменения корней в зависи-
мости от изменения параметров системы. Графически довольно просто
определяются корни, находящиеся на вещественной оси плоскости
корней.
Так, например, из (6.47) следует, что
К =—C(s)/B(s).	(6.49)
Полагая в (6.49) s = —о (а—положительное число), строят
годограф
К = С(—а)/В( —а).	(6.50)
По виду годографа находят все значения вещественных корней при
выбранном значении К. По этому же годографу определяют число
комплексных корней и значения К, при которых вещественные корни
переходят в комплексные.
Траектории комплексных корней при изменении К также находят
по (6.49), но при этом вводят подстановку s = —а 4- /0, где а и (3 —
вещественные положительные числа. Тогда
К = _ с (-а 4- Jp)/fi (4- /Р) = и' (а, Р) 4- jV' (а, р). (6.51)
- Так как К является вещественной величиной, то И'(а. р) = 0
и
я = £/'(«, р).	(6.52)
Решение уравнения Р”(о, ₽) = 0 позволяет найти зависимость
Р = f (а), являющуюся годографом корней с различными значениями
нарьируемого параметра К. Уравнение (6.52) дает возможность раз-
метить этот годограф значениями К. Аналогично могут быть построе-
ны траектории (годографы) корней при изменении другого варьируе-
мого параметра.
Для упрощения построений применяют специальные масштабные
Фигурные линейки (спирули) или используют ЦВМ.
Метод стандартных коэффициентов. Таблицы с набором нормиро-
ванных передаточных функций со стандартными коэффициентами и
гРафиками соответствующих переходных характеристик позволяют в
некоторых случаях весьма просто и с малой затратой времени выби-
рать параметры САУ [49].
231
Метод стандартных коэффициентов заключается в том, что ддя
принятой структурной схемы системы составляется передаточная
функция и ее коэффициенты «подгоняются» к стандартному виду.
§ 6.5.	СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
При синтезе корректирующих устройств исходят из того, что
объект регулирования (неизменяемая часть системы) задан, а синтезу
подлежат корректирующие устройства или регулятор (изменяемая
часть системы). Для решения задачи в такой постановке весьма эф-'
фективными оказываются частотные методы синтеза, использующие
обыкновенные и особенно логарифмические частотные характеристики
(л.ч.х.).
В общих чертах синтез корректирующих устройств методом л.ч.х.
заключается в следующем. Отправными данными служат л.а.х. ис-
ходной нескорректированной системы L и требования, предъявляемые
к процессу управления или регулирования. На основе этих требова-
ний строится так называемая желаемая л.а.х. £ж. Разность Аж — L
дает необходимую л.а.х. последовательного корректирующего устрой-
ства £п.к.у. По виду л.а.х. £п.к.у обычно без особых трудностей опреде-
ляется структура и параметры последовательного корректирующего
устройства.
Если коррекция динамических свойств САУ осуществляется до-
полнительной обратной связью или прямой параллельной связью,
то расчет несколько усложняется. При расчете могут быть использо-
ваны формулы пересчета последовательного корректирующего устрой-
ства в эквивалентную дополнительную обратную связь либо прямую
параллельную связь [см. (6.35)].
Иногда синтез САУ заканчивается поверочным расчетом и построе-
нием переходного процесса.
Таким образом, синтез корректирующих устройств САУ можно
считать состоящим из пяти этапов', построения л.ч.х. исходной не-
скорректированной системы; построения желаемых л.ч.х.; определе-
ния вида и параметров корректирующих устройств; технической реа-
лизации корректирующих устройств и поверочного расчета системы
с построением переходного процесса.
Существует несколько подходов к частотным методам синтеза,
различающихся построением желаемых характеристик.
Для минимально-фазовых и некоторых неминимально-фазовых
систем ограничиваются построением лишь одной логарифмической,
амплитудной характеристики. Рассмотрим некоторые общие рекомен-
дации по формированию желаемой л.а.х.
1.	Вид низкочастотной области л.а.х. (рис. 6.13) определяет глав-
ным образом точность работы САУ. Среднечастотная область, приле-
гающая к частоте среза со ср, определяет в основном запас устойчивос-
ти, т. е. качество переходных процессов. Высокочастотная область
лишь незначительно влияет на качество процессов управления.
2.	Желаемая л.а.х. в возможно большом интервале частот долж-
на совпадать с л.а.х. исходной нескорректированной системы.
232
— 20v дб/дек, где v — порядок
астатизма системы. Желае-
L'
Шб/дек
20tgKt
О
(О
Рис. 6.13. Общий вид желаемой л.а.х
Высокочастот-
ная область
0) = /
Низкочастотная Среднечастот-
область ( ноя область
протиБИОМ случае реализация корректирующих устройств может
® пественно усложниться, особенно если требуется увеличить частоту
СУ а и значительно повысить коэффициент усиления на высоких
частотах.
3	в низкочастотной области наклон желаемой л.а.х. должен со-
ставлять *	.	.
мая л.а.х. на частоте со =
_ 1 Мсек имеет ординату
20 1g К. , где /С — общий
коэффи ци ент усиления
разомкнутой системы.
Если задана допусти-
мая ошибка хтах при гар-
моническом входном во-
здействии g (/) ~gmax Sin (0 gt9
то желаемая л.а.х. должна
располагаться выше конт-
рольной точки Дк, имею-
щей на частоте cog ордина-
ту (см. § 5.6)

201g (gmax^max)*	(6.53)
Если задана допустимая ошибка хтах и оговорены только макси-
мальная скорость Q 1тах и максимальное ускорение е1тах входного воз-
действия, то может быть подобрано эквивалентное гармоническое
входное воздействие, у которого амплитуды скорости и ускорения
равны максимальным заданным значениям, т. е.
g (0 = gmax ®g cos = Qlmax COS <SSgt\
g(t) = — gmax “g sin wgt = — elmax sin Wgt,
(6.54)
откуда
elmax^imax> gmax max I ei max*	(6.55)
В этом случае ордината контрольной точки Дк
20 1g (^Imax / eimax Xmax)*	(6.56)
При задании Q lmax, eimax может быть получена так называемая
запретная зона для низкочастотной части л.а.х. Для этого нужно
построить семейство контрольных точек, у которых амплитуда ско-
рости по-прежнему равна максимальному значению, а амплитуда
Ускорения меньше максимального и, наоборот, когда амплитуда уско-
рения равна максимальному значению, а амплитуда скорости — мень-
ше. Семейство этих точек образует две прямые с наклонами —20 дб/дек
и — 40 дб/дек, пересекающиеся на частоте со g (рис. 6.14). При стремле-
нии совместить первые две асимптоты желаемой л.а.х. с границами
запретной зоны следует помнить, что действительная (не асимптоти-
233
ческая) желаемая л.а.х. проходит в точке излома на 3 дб ниже. По.,
этому для предотвращения захода желаемой л.а.х. в запретную зону
ее следует приподнять над контрольной точкой на 3 дб = 20 lgi/~J
При этом
Рис. 6.14. Запретная зона для низкочастотной
части л.а.х.
4.	В районе частоты среза со ср наклон желаемой л.а.х. выбирается
равным —20 дб/дек, что позволяет обычно обеспечить необходимый
запас устойчивости. Чем больше протяженность участка с наклоном
—20 дб/дек, тем больше запас устой-
чивости, т. е. выше качество пере-
ходного процесса.
Рассмотрим, каким образом свя-
зана протяженность этого участка с
показателями колебательности М и
R (см. § 5.9).
В области средних частот желае-
мой л.а.х. (рис. 6.15) соответствует
передаточная функция
W(s) =К2(1 -W)/[$2(H-7s)],
Рис. 6.15. Вид л.а.х. и л.ф.х.	(6,58)
в среднечастотной области	,, г
где К2 = соо.
Фазовая характеристика в этой области частот имеет вид
ф (со) — — 180° + arctg cot — arctg шТ,	(6.59
Запас по фазе у (со) = ф (со) + 180Q, т. е.
у (со) — arctg сот — arctg соТ = arctg ~	.	(6.60)
где h = х/Т — протяженность участка л.а.х. с наклоном —20 дб/дек.
234
Наибольший требуемый запас по фазе при оценке запаса устой-
чивости по показателю колебательности М (см. § 5.9)
Ттах = arcsin -J- = arctg - 1	.	(6.61)
Он должен иметь место на частоте (см. рис. 6.15)
<ах = 1/Т/Г.	(6.62)
Подставляя (6.62) в (6.60), получим
Tmax = arctg [ {h - 1 )/2 Vh\.	(6.63)
Приравнивая выражения (6.61) и (6.63), найдем наименьшую про-
тяженность участка h, необходимую для получения требуемого пока-
зателя колебательности М:
h = (M+ 1)/(Л4 — 1).	(6.64)
Так как на частоте со max модуль A (®max) = М/-/^ М2—1, то
шср = М®°гаах//М*-1;	(6.65)
(0^2 = /h Wcp/ow .	(6.66)
Следовательно,
= УМ/(М - 1);	(6 67)
ш0Т = <оот//г = ]/М(М — 1)/(М 4- 1).
Отсюда видно, что для получения заданного показателя колеба-
тельности М необходимо иметь:
т > шГ1 ум/(м — 1);	(6.68)
т < (ОГ1 /М (Л4 — 1) 1(М + 1).	(6.69)
Если запас устойчивости оценивать по показателю колебательнос-
ти R, то аналогично можно найти расчетные соотношения в виде
Л=(1+Я)/(1-Я);	(6.70)
Т > V1 + ^;	(6.71)
Я)//Г+Я-	(6.72)
При показателе колебательности R = 0,7 имеем h =
== (I + 0,7)/(1 — 0,7) = 5,3.
Соотношения (6.69) и (6.72) изменятся, если учесть малые постоян-
ные времени, расположенные в области высоких частот. В этих слу-
235
чаях вместо передаточной функции (6.58) рассматривается функция
W (s) --------+л------------- ,	(6.731
' ' s2 (1 + Ts) (1+ 7» ...	'
а вместо (6.69) и (6.72) следует пользоваться формулами:
T + Tt + ... <©Г'УЛ1(М — 1)/(Л1 + 1);	(6.74)
Т + Л + • • • < <о5"‘( 1 — /?)//1 4- R.	(6.75)
Если система содержит колебательное звено, т. е.
W (s) =---------° + т5)------5— •	(6.76)
7 s2 (1 + Ts) (1 + 2&\s + Tf s2)	’
причем l/7\ > co о , то в сумму постоянных времени выражений (6.74)
и (6.75) должна быть включена величина 2ЧТ{. Кроме того, необходи-
мо проверить, не возникает ли вблизи частоты coi « 1/7\, где имеет
место резонансный пик л.а.х., вторая запретная зона для фазовой
характеристики системы и не заходит ли фазовая характеристика в
эту зону. Если
L (1/7\) < 20 lg [М/(М -t- 1)],	(6.77)
или
L(l/7\)<201g(l—/?),	(6.78)
то такая запретная зона отсутствует.
Быстродействие САУ во всех этих случаях легко оценивается по
значению частоты среза (см. § 5.9):
/п # (1 ~ 2) 2тс/а>ср.	(6.79)
Более полную количественную связь между показателями качест-
ва САУ и параметрами желаемой л.а.х. можно установить при помощи
диаграмм В. В. Солодовникова [51, 561 и Честната — Майера [27].
§ 6.6. СИНТЕЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ
КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
При синтезе последовательных корректирующих устройств разли-
чают три способа коррекции, соответствующие трем основным последо-
вательным корректирующим звеньям: замедляющему, форсирующему
и интегро-дифференцирующему (см. § 6.2).
Рассмотрим особенности коррекции на примере синтеза простей-
шей следящей системы (см. пример 5.1), имеющей в разомкнутом со-
стоянии передаточную функцию
W (s) = Kj[s (1 + Tys) (1 + TMs)].	(6.80)
Если требования к быстродействию не очень высоки, то запретная
зона по точности для л.а.х. располагается в области сравнительно
236
зКих частот (<0g — мало). В этом случае взаимное расположение
я1хОдной L и желаемой £ж л.а.х. показано на рис. 6.16, а. Разностная
И а х. Lti.K.y = —L соответствует л.а.х. замедляющего последова-
тельного звена (см. рис. 6.7), имеющего передаточную функцию
lFn.K.y<5)==(1+TS)/<1 + ?s)’ <6’81)
где
В результате коррекции замедля-
ющим (пассивным интегрирующим)
звеном всегда деформируется низко-
частотная часть л.а.х. L. При этом
происходит уменьшение усиления на
низких частотах, иными словами,
амплитудное подавление на низких
частотах. Таким образом, здесь осу-
ществляется амплитудная коррекция
САУ*.
Разностная л.а.х. £п.к.у =	—
— L соответствует интегро-дифферен-
цирующему звену, если значение
частоты (0g увеличивается (рис. 6.16,
б). Передаточная функция интегро-
дифференцирующего звена
Рис. 6.16. Взаимное располо-
жение исходной л.а.х. L и же-
лаемой л.а.х. /,ж при:
а — замедляющем корректирующем зве-
не; б — интегро-дифференцирующем
звене; в — форсирующем звене
Я?п. к.у (S) = (1 + V) (1 + V)/[( 1 + l\s) (1 + T2s)]	(6.82)
где
J1 — 1 __ max J
ei max
gl max t
Xmax
, T 1 1) .
2 У <o0 /VI -J- 1
В этом случае в результате коррекции деформируется среднечас-
тотная часть л.а.х. и происходит амплитудное подавление на средних
частотах, т. е. имеет место также амплитудная коррекция.
* Изменение фазовой характеристики не является принципиальным
237
При еще большем увеличении (рис. 6.16, в) разностная/л.а.х.
Ьп.к.у= —7. соответствует последовательному включении^ форсив
рующего (пассивного дифференцирующего) звена с передаточной
функцией
<ыз>
где т = VM/(Af — 1); (Т + Ту) < а>Г’ /М(М- 1)/ (М + 1);
Юр = У 1.41е1шах/хгаах, и дополнительного усилителя с коэффициентом
усиления
ky = т/Т.
(6.84)
При такой коррекции также происходит деформация л.а.х. L,
на этот раз в среднечастотной и высокочастотной областях. Однако
главный положительный эффект связан здесь
Рис. 6.17. Схема зве-
на с бесконечной по-
лосой пропускания
с деформацией фазовой характеристики, ко-
торая получает дополнительный положитель-
ный сдвиг в среднечастотной области, опре-
деляющей в основном запас устойчивости
замкнутой системы. Поэтому здесь можно
говорить о фазовой коррекции САУ путем со-
здания фазового опережения на средних ча-
стотах.
В чистом виде фазовая коррекция возмо-
жна при введении отрицательных фазовых
сдвигов и создании фазового отставания, до-
стигаемого за счет звена с бесконечной по-
лосой пропускания (рис. 6.17).
Передаточная функция этого звена
^п.к.у(5) = (!-«)/(! +TS),	(6.85)
где т — Т — RC.
Легко видеть, что
Лп. к. у (“) = V 1 +	1 + Т2(02 = 1,	(6.86)
т. е. и, у ((0) О,
фп. н.уН = — 2 arctg шТ,
(6.87)
т. е. это последовательное корректирующее звено не искажает ампли-
тудную характеристику и вносит дополнительный отрицательный
фазовый сдвиг. Фазовую коррекцию при помощи такого звена приме-
няют в том случае, когда система содержит слабо демпфированные ко-
лебательные звенья.
238
, 67. СИНТЕЗ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ
СВЯЗЕЙ
Синтез дополнительных обратных связей также может вестись на
основе рассмотрения взаимного расположения исходной л.а.х. L и
делаемой л.й.х. Дж.
Искомую л.а.х. обратной связи можно определить путем неслож-
ных графических построений.
1.	Из л.а.х. исходной системы L вычитается желаемая л.а.х. L.M,
т е. находится л.а.х.
Lj = L — LM = 201g | 1 •+- ITO.C (;<o) W' (/ш) |,	(6.88)
соответствующая знаменателю частотной передаточной функции
скорректированной системы
^с.к (/<*>) = W (Ж 1 + W' (/«>) U7O1C (/ш)],	(6.89)
где IV" (/со)— частотная передаточная функция части системы, охва-
тываемой дополнительной обратной связью; F0.c(/®) — частотная
передаточная функция дополнительной обратной связи.
2.	По виду л.а.х. Lj строится л.а.х. знаменателя передаточной
функции (6.89) без единицы:
L2 = 201g|lFo.c(/a)ir(/«>)l.	(6.90)
В диапазоне частот, где справедливо условие
£Ла))==201е|1 + Го.с(/(о)Г'(/«))|>11 дб (6.91)
л.а.х. и л.а.х. L2 совпадают между собой с точностью до 3 дб, т. е.
переход от л.а.х. к л.а.х. L2 для указанного диапазона частот не тре-
бует каких-либо построений. В тех интервалах частот, где условие
(6.91) не выполняется, переход может быть осуществлен при помощи
таблицы преобразований л.а.х. (табл. 6.1), охватывающей наиболее
часто встречающиеся разновидности л.а.х. L{ ниже уровня 11 <36.
Следует обращать внимание на то, чтобы разностная л.а.х. не
располагалась (хотя бы и частично) ниже оси абсцисс (в области отри-
цательных децибел) при со -> 0 или -> оо.
По виду построенной л.а.х. L2 в большинстве случаев удается оце-
нить устойчивость внутреннего замкнутого контура, образованного
Дополнительной обратной связью. В некоторых сомнительных случаях
приходится прибегать к построению фазовой характеристики, соответ-
ствующей л.а.х. L2.
3.	Определяется искомая л.а.х. Lo.c = 20 1g | №0.с(/(о)| как раз-
ность
^о.с ~ ^2 L ,
где L' = 201g | W' (/<*>) |.
По виду искомой л.а.х. определяется передаточная функция цепи
Дополнительной обратной связи и формируется схема обратной связи.
239
Таблица 6.1
Таблица переходов от л.а.х. вида 20lg/l+w(j(A))l^jj.a,x.
вида 20lglW(jte)l
L,05

L,d5
10
I 5
-+20d6/fe>
—И.55^/дек
20 Lgll+WLicp)
+ ЧОдй/дёк/**
оУ
1/сек
>5
10
|5- -+20д8/дек
20LglVti(j<i>)\
,'05»гЩ’
TtT
1/сек
v0
оУ
-5
-10
L,d5
v0
1/сек
10
15-
-ДгГ
75 20Lglw(j(jp)
15~+20д5/дек
О)
i/га^о 2ш0
1/сек.
15
Ш 10
120Ьд\1^\л/(^\
। IJ I I
_+20 05/де к
1105-
-5
-10
L,05
20
TV 10
5
L,d5
15
V 105
L,d8
vQ
~йГТ
1/сек
15
10
5-


20tglil^(jv)
^20д5/деТ~
Ч1ь. у_____'
Ц..Т/сёк.
‘2Olg H W(jd))l

1/сек_
2005/дек
zzjTr^j-trt
(О
1/сек.
1,352 _20lglW(J<o)__________
| |-|j||ll--------
'/5
10
5
I^SBEUE
Л5
-но
Т/сёк
ы0
15
Ю
5
20t5|W(j<D)|
в)
2й>о
^OdO/jOcK
-2005/дек
1/сек

T°J
,J?5i
|20
15
10
5
1^В'
^aa5/0ei<ffggl 1
_^Z7^p+W(»|
20is|w(ja))|pZZZ
20а5/деГ^а5
-5
-10
“о
j/сек
^1У

{^.качестве примера, иллюстрирующего приведенную методику,
ссМотрим систему, коррекция которой осуществлялась замедляющим
/ассиввдм интегрирующим) последовательным корректирующим зве-
ом (см. § 6.6). На рис. 6.18 приведены характеристика исходной си-
стемы L й>желаемая л.а.х. Ьж. 1
Там >ке показана характери-
стика Li = L — LM и от нее
при помощи табл. 6.1 осущест-
влен переход к характеристике
Вид этой характеристики
свидетельствует об устойчивости
внутреннего контура, образован-
ного дополнительной обратной
связью.
Искомая л.а.х.Ао.п = —
-~-L\ получена в предположе-
нии, что дополнительная обрат-
ная связь охватывает безынер-
ционный усилитель, т. е. ^(/со) = k[. По виду л.а.х. Ao.ci можно
определить частотную передаточную функцию цепи обратной связи
^о.с 1 (/«>) = k0.c 1 М 1 + То.с I /<*>),
ГДе kOtC f = 1/^0.с
Эта обратная связь легко может быть реализована включением
дифференцирующей /?С-цепочки. Если обратная связь охватывает
инерционный усилитель, т. е.
то ^о.с2 = ^2 — ^2 (на рис. 6.18 эти построения не указаны). Тогда
Й^О.С 2(/<*>) = k0,c 2 /СО ( 1 + То. с /<о)/( 1 + То.с 2 М
ГДе ^о.с2	1/с0о.С2» То.<2	Т, TOiC = Ту.
При коррекции системы дополнительной обратной связью, выпол-
ненной по первому или второму вариантам, происходит «деформация»
исходной л.а.х. L в низкочастотной области, т. е. осуществляется
амплитудная коррекция в области низких частот. Возможны и другие
виды коррекции: амплитудная и фазовая — в области средних частот.
Эти случаи имеют место, когда взаимное расположение желаемой
л.а.х. и исходной л.а.х. L подобно расположению, приведенному
на рис. 6.16, бив.
ГЛАВА 7
ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 7.1. СТРУКТУРНЫЕ
СХЕМЫ ДИСКРЕТНЫХ
СИСТЕМ
К дискретным системам относятся релейные, импульсные и циф-
ровые системы автоматического управления и регулирования
(см. § 1.12).
Релейные системы являются существенно нелинейными и иссле-
дуются методами, излагаемыми в гл. 8. В связи с этим далее термин
«дискретные автоматические системы» (ДАС) относится только к им-
пульсным и цифровым системам управления, рассматриваемым в ли-
нейном приближении.
Общим для импульсных и цифровых систем является наличие
эффекта квантования сигналов по времени. Импульсная.и цифровая
системы регулирования отличаются от непрерывных систем наличием
в канале управления импульсного элемента (ИЭ), преобразующего
непрерывную величину в последовательность импульсов той или иной
формы.
Любая дискретная система может рассматриваться в виде сово-
купности импульсного элемента и некоторой непрерывной части,
объединяющей все элементы и устройства непрерывного действия.
В реальных импульсных системах регулирования ИЭ обычно вклю-
чается в цепь сигнала ошибки (см. рис. 1.48). Поэтому в большинстве
случаев функциональная схема замкнутой импульсной системы с од-
ним импульсным элементом ИЭ и непрерывной частью НЧ может
быть приведена к виду, представленному на рис. 7.1.
В реальных цифровых системах управления цифровая управляю-
щая машина (ЦУМ) может выполнять функции задающего, сравниваю-
щего и корректирующего устройств в различных вариантах примене-
ния [60].
В наиболее общем варианте при исследовании динамики цифро-
вых систем ЦУМ заменяется эквивалентной схемой, показанной на
Рис. 7.1. Функциональная схема
замкнутой импульсной системы
рис. 7.2, а, где импульсный эле-
мент ИЭ символизирует дискрет-
ный характер входных сигналов
машины; дискретный фильтр ДФ
имитирует процесс выработки
управляющих сигналов (процесс
изменения закона модуляции
импульсов, поступающих на его
вход); релейный элемент РЭ с
242
Рис. 7.2. Эквивалентные схемы ЦУМ
ног^тупенчатой релейной характеристикой (см. рис. 1.41, б) учи-
М 1вает^ эффект квантования выходных сигналов ЦУМ по уровню;
^страпо^ятор Э отображает процесс преобразования дискретных зна-
чений управляющего сигнала в непрерывный сигнал.
Присущий цифровым системам эффект квантования по уровню
делает их существенно нелинейными и резко усложняет их исследо-
вание. Так как обычно число
разрядов кода ЦУМ для пред-
ставления переменных, опреде-
ляемое точностью их задания в
системе, является большим, т.е.
шаг квантования по уровню
значений переменных является
малым при большом числе
уровней квантования (см. рис.
1.41, б), то эффект квантования сигналов по уровню может не учи-
тываться. Для многих цифровых систем число разрядов ЦУМ
определяется не задачами управления, а другими задачами — рас-
четными, информационно-логическими и пр. Поэтому основные свой-
ства цифровых систем определяются эффектом квантования по време-
ни, при этом эффект
квантования по уровню
вызывает лишь побочные
явления, которые в ли-
нейном приближении
могут не учитываться.
При таком подходе экви-
валентная схема ЦУМ
будет иметь вид, пока-
занный на рис. 7.2, б.
Функциональная схе-
ма цифровой системы
для наиболее общего	Рис. 7.3. Функциональные схемы замкнутых
случая, когда на ЦУМ	цифровых систем
возлагаются функции
задающего, сравниваю-
щего и корректирующего устройств, представлена на рис. 7.3, а.
Как видно, при пренебрежении эффектом квантования по уровню
Цифровые системы сводятся к импульсным. Характерной особен-
ностью импульсных систем, эквивалентных цифровым, является на-
личие дискретных фильтров и экстраполяторов. Эквивалентность
импульсных и цифровых систем и особенности цифровых систем на-
рядно видны в случае, когда ЦУМ выполняет лишь функцию коррек-
тирующего устройства (рис. 7.3, б). Функциональная схема импульс-
ной системы (см. рис. 7.1) может быть получена из схемы, показанной
на рис. 7.3, б, путем исключения дискретного фильтра и экстраполя-
Количественное изучение свойств дискретных систем управления
'требует перехода от функциональных схем к структурным. Методика
243
такого перехода при исследовании ДАС аналогична методике, приме-
няемой в непрерывных системах (см. гл. 3), однако следует учитывать
структурные особенности специфичных для дискретных сш^гем эле-
ментов (импульсных элементов, дискретных фильтров и эцСпраполя-
торов).
Импульсные элементы. Рассмотрим лишь наиболее распространен-
ный импульсный элемент, осуществляющий амплитудно-импульсную
Рис 7.4. Пояснение принципа работы ИЭ
модуляцию второго рода (см. § 1.12). Пусть в соответствии с рис. 7.1
х обозначает входную, а е — выходную переменные элемента
(рис. 7.4, а). Обозначим через w$(t) функцию, характеризующую
форму выходных импульсов. Физически она представляет собой пер-
вый импульс, возникающий на выходе импульсного элемента при
х (/) = 1 (/) или при любом входном сигнале, удовлетворяющем усло-
вию х (0) = 1.
Форма импульсов может быть самой разнообразной — прямо-
угольной, треугольной, экспоненциальной, колокольной и т. д. В лю-
бом случае
^ф(/) = 0	(7.1)
для t < 0 и t >уТ0 (рис. 7.4, б). Здесь То — период повторения им-
пульсного элемента, у —скважность и yTQ — длительность импуль-
сов (0 <у < 1).
244
функция формы шфЦ) позволяет весьма просто написать аналити-
ческое выражение для выходной величины импульсного элемента.
14а самом деле, при произвольном входном сигнале х (/) выходная
веЛичина импульсного элемента для моментов времени
vT0</<(v+ 1)Т0, v = 0,1,2,...	(7.2)
описывается уравнением
е (0 = (/) = х (vT0) (t - vT0)	(7.3)
(рис. 7.4, в). Здесь через ео(0, ^1(0, ••• обозначены импульсы, возни-
кающие на выходе импульсного элемента в моменты времени t = 0,
Го, ... . Из формулы (7.1) следует, что (/) = 0 для t < и
/>(v+y)7V Поэтому выходная величина импульсного элемента
для произвольного момента времени t
СО	00
е (0= X (О = X X т даф (t - vT0).	(7.4)
v=0	v=0
Нетрудно заметить, что в правой части соотношения (7.4) фигури-
рует не функция х (0, а только ее дискретные значения х (yTQ). Это
свидетельствует о том, что импульсный элемент рассматриваемого
типа реагирует не на весь входной сигнал, а только на его значения
в дискретные моменты времени t = О, То, 2Т0> ••• • Иными словами,
импульсный элемент выделяет из входного сигнала х (/) только его
дискретные значения х (0), х (То), * (2Т0)> ••• • Информация о поведе-
нии сигнала х (/) в промежутках между моментами времени t = vT0
после прохождения этого сигнала через импульсный элемент теряет-
ся. В частности, выходная величина е (/) импульсного элемента будет
одной и той же для самых различных сигналов х (/), если значения
этих сигналов в моменты времени t = vT^ одинаковы.
Назовем идеальным импульсным элементом такой элемент, для
которого функция формы представляет собой единичную б-функцию
(1.55): йУф(О =б (0- Условимся графически изображать такой импульс-
ный элемент в виде ключа (рис. 7.4, г). Выходная величина идеального
импульсного элемента представляет собой последовательность моду-
лированных по «площади» 6-функций (рис. 7.4, д):
00
*1(0 = X x(vT0)8(/-vT0).	(7.5)
v=0
Реального физического смысла идеальный импульсный элемент
не имеет и представляет собой просто полезную математическую абст-
ракцию.
Введем еще понятие формирующего элемента, которым будем на-
зывать динамическое звено с передаточной функцией
№ф(s) = L (®ф(/)} = Кф (/) Г* dt,	(7.6)
245
Т а б л и ц?а 7 1
246
Название импульса
График функции
Передаточная функция
формирующего элемента
£йНусоидальный
и»ф (О = sin^ 1 W +
+ sin-£r »-уТ9) Ift-iTo)
Vo
1 +
Синусоидальный единичной
скважности
анф (/) = sin 1 (t) •+
' о
sin-^-- (Г — то) 1 (Г — То)
* о
тс2	1 Н~ е r°s
m2	ТС2
0	s2 + ~г
т20
Рис. 7.5. Последовательное
соединение идеального им-
пульсного и формирующего
элементов
равной преобразованию Лапласа от функции пуф(/), описывающей
форму импульса на выходе импульсного элемента (табл. 7.1).
Рассмотрим теперь последовательное соединение идеального им-
пульсного и формирующего элементов (рис. 7.5). При таком соедине-
нии на вход звена с передаточной функцией (7.6) поступает последо-
вательность модулированных б -функций
(7.5). Из формулы (7.6) следует, что фун-
кция йУф(/) представляет собой функцию
веса формирующего элемента, т. е. ре-
акцию формирующего элемента на еди-
ничную 6-функцию б (0 (см. §2.5). Так
как звено с передаточной функцией (7.6)
является линейным, то его реакция на
сигнал х (vTq)8 (/ — vT0) будет опреде-
ляться соотношением х (уТ0) ауф(/—vT0).
Поэтому для выходной величины схемы, изображенной на рис. 7.5,
оказывается справедливой формула (7.4).
Из приведенных рассуждений следует, что реальный импульсный
элемент, осуществляющий амплитудно-импульсную модуляцию вто-
рого рода, может быть заменен эквивалентной ему в смысле прохож-
дения сигнала структурной схемой, состоящей из последовательного
соединения идеального импульсного и формирующего элементов. Такая
замена впервые была предложена советским ученым Я. 3. Цыпкиным.
Она приносит большую пользу при исследовании дискретных систем.
Заменив в системе, показанной на рис. 7.1, импульсный элемент
его эквивалентной структурной схемой, получим эквивалентную
структурную схему замкнутой импульсной системы с одним импульс-
ным элементом, изображенную на рис. 7.6, а, где №н($) обозначает
передаточную функцию непрерывной части (возмущающие воздейст-
247
вия на этом рисунке для упрощения не показаны). Формирующий’
элемент и непрерывная часть в совокупности образуют так называе-
мую приведенную непрерывную часть ПНЧ, передаточная функция
которой (рис. 7.6, б)
Г(5) = Гф(з)1Гн(5).	(7.7)
К структурной схеме, показанной на рис. 7.6, б , может быть
приведено большое число конкретных систем импульсного регулиро-
вания и управления. Например, в импульсной системе регулирования
Рис. 7.6. Эквивалентные структурные схемы
замкнутой импульсной системы
температуры (см. рис. 1.48) используется импульсный элемент с пря-
моугольными импульсами скважности у (см. рис. 1.42, ж), переда-
точная функция формирующего элемента которого приведена в
табл. 7.1. Если пренебречь инерционностью усилителя и двигателя и
считать, что динамика объекта регулирования достаточно точно опи-
сывается уравнением апериодического звена первого порядка, то для
рассматриваемой системы передаточная функция непрерывной части
^(s)=Ms(l + Ts)],	(7.8)
где Ki — коэффициент передачи непрерывной части, представляю-
щий собой произведение коэффициентов передачи мостовой измери-
тельной схемы, гальванометра, потенциометра, усилителя, двигателя,
Рис 7.7. Эквивалентная структурная схема
импульсной системы регулирования темпе-
ратуры
редуктора и объекта регулирования; Т — постоянная времени объек-
та регулирования. Поэтому эквивалентная структурная схема им-
пульсной системы регулирования температуры принимает вид, по-
казанный на рис. 7.7, где g означает отклонение координаты движка
задающего потенциометра мостовой схемы от некоторого исходного
положения, у — отклонение температуры в отсеке от значения, при-
248
поступающего с потенцио-
г0 за исходное при линеаризации уравнений объекта регули-
нЯТания, а е — отклонение напряжения,
Ре?ра П на вход усилителя У.
М В цифровых автоматических системах (см. рис. 7.3) импульсный
пемент лишь символизирует дискретный характер входных импуль-
Э в цифровой управляющей машины или устройства, поэтому форма
С°о выходных импульсов во многих практических случаях не имеет
рачения, и, следовательно, с расчетной точки зрения удобно его
Зредставить в виде идеального импульсного элемента.
Рис. 7.8. Эквивалентные структурные схемы ди-
скретного фильтра (а) и цифровой автоматической
системы (б)
Дискретные фильтры. На вход дискретного фильтра ДФ (см.
рис. 7.2, 7.3) поступает последовательность модулированных 6-функ-
ций. В соответствии с алгоритмом управления дискретный фильтр
изменяет закон модуляции последовательности входных идеальных
импульсов, не меняя дискретной природы сигналов. Поэтому выход-
ная переменная дискретного фильтра представляется также последо-
вательностью 6-функций, что позволяет представить дискретный
фильтр в виде эквивалентной структурной схемы, состоящей из не-
которого непрерывного звена с передаточной функцией D (s), на вы-
ходе которого установлен идеальный импульсный элемент ИИЭ2,
работающий синхронно и синфазно с входным идеальным импульс-
ным элементом ИИЭ1 (рис. 7.8, а). Для этой схемы предполагается,
что время, затрачиваемое дискретным фильтром на производство вы-
числений, мало в сравнении с периодом дискретности TQ.
Экстраполяторы. Экстраполятор предназначен для преобразова-
ния выходного сигнала дискретного фильтра в непрерывную величи-
ну, поступающую на вход непрерывной части системы. Возможные
способы экстраполяции весьма разнообразны и сводятся к построе-
нию некоторой непрерывной функции времени (обычно многочлена),
значения которой для t = О, То, 2Т0, ... достаточно близки к значе-
ниям сигнала, вырабатываемого цифровой машиной (при принятой
идеализации — к значениям «площадей» 6-функций на выходе дискрет-
ного фильтра).
249
Простейший способ экстраполяции заключается в запоминании
каждого значения дискретного сигнала на весь период дискретности
TQ. Такое запоминание может быть реализовано путем преобразования
идеальных (мгновенных) импульсов на выходе дискретного фильтра
в импульсы единичной скважности, длительность которых равна
периоду повторения. В этом частном (но наиболее часто встречающем-
ся) случае экстраполирующее устройство представляет собой форми-
рующий элемент и может быть охарактеризовано передаточной функ-
цией (7.6). В большинстве современных цифровых систем выходные
данные цифровой машины преобразуются в последовательность пря-
моугольных импульсов единичной скважности (фиксируются на весь
период дискретности). При этом передаточная функция формирующего
устройства, эквивалентного экстраполятору (см. табл. 7.1),
Гф(5)=1Г0(5) = (1-е-г”У«.	(7.9)
Экстраполятор с передаточной функцией (7.9) часто называется
экстраполятором нулевого порядка.
Рис. 7.9. Эквивалентные структурные схемы цифровой систе-
мы регулирования скорости вращения электрического дви-
гателя (а) и цифровой следящей системы (б)
Все сказанное позволяет представить эквивалентную структурную
схему цифровой автоматической системы в виде, показанном на
рис. 7.8, б. Еще раз подчеркнем, что эта схема не учитывает эффект
квантования входных сигналов по уровню. Кроме того, в ней не учте-
но время, затрачиваемое цифровой машиной на обработку поступаю-
щей информации. Как и в импульсных системах (см. рис. 7.6), на
рис. 7.8, б формирующий элемент и непрерывная часть могут быть
объединены в приведенную непрерывную часть с передаточной функ-
цией (7.7).
К структурной схеме, показанной на рис. 7.8, б, могут быть све-
дены многие конкретные цифровые системы регулирования и управ-
ления. В качестве примера показаны эквивалентные структурные
схемы цифровой системы регулирования скорости вращения электри-
ческого двигателя (см. рис. 1.52 и 7.9, а) и цифровой следящей систе-
мы (см. рис. 1.53 и 7.9, б). В обеих системах используется простейший
250
кОн экстраполяции, которому соответствует передаточная функция
3(7 9). Так как цифровое вычислительное устройство в каждой из этих
истем используется только для вычисления сигнала ошибки, то
р (s) = 1 и дискретный фильтр на эквивалентных структурных схе-
мах отсутствует. Что же касается уравнений (и соответствующих им
^редаточных функций) непрерывных частей, то они подробно рассмот-
рены в гл. 3 и не требуют пояснений. Заметим только, что (в отличие
от непрерывного случая) коэффициент передачи непрерывной части
на рис. 7.9 включает в себя коэффициенты передачи цифровых пре-
образователей (ИРС на рис. 1.52 и УК на рис. 1.53), цифрового срав-
нивающего устройства и преобразователя кода в напряжение.
Рис. 7.10. Эквивалентные структурные схемы одного
контура цифровой системы угловой стабилизации
На рис. 7.10, а изображена эквивалентная структурная схема
одного контура цифровой системы стабилизации угла тангажа жест-
кой статически нейтральной баллистической ракеты. Предполагается,
что цифровая управляющая машина (БЦМ на рис. 1.54) выполняет
функции корректирующего устройства. В этом случае
«^(5) = W(l+7’s)],	(7.10)
где Кг — коэффициент передачи непрерывной части; Т — постоян-
ная времени, характеризующая инерционность привода (41.
Если коррекция динамических свойств системы осуществляется
с помощью непрерывных устройств, то D (s) = 1 и структурная схема
Цифрового контура угловой стабилизации приобретает вид, показан-
ный на рис. 7.10, б, где
WH (s) = Кг (1 + w)/(s2 (1 + Ts)}.	(7.11)
Здесь т — постоянная времени непрерывного корректирующего
Устройства, характеризующая интенсивность введения производной
в закон регулирования. В этом случае ЦУМ или цифровое управляю-
щее устройство выполняет функции сравнивающего устройства.
В некоторых случаях исследование дискретной автоматической
системы можно приближенно свести к исследованию эквивалентной
непрерывной системы, в которой совокупность импульсного элемента
251
и экстраполятора заменяется непрерывным звеном с передаточной
функцией №н.э($) и сумматором, на который помимо основного сигнала
поступает помеха от эффекта квантования по времени входного си г.
Рис. 7.11. Структурная схема не.
прерывной системы, эквивалентной
дискретной системе
нала (рис. 7.11). Такое представление возможно в случаях, когда
частота квантования по времени в системе 2л/То велика по сравнению
с частотой входного сигнала.
§ 7.2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
При расчете ДАС весьма полная аналогия с непрерывными систе-
мами возникает в том случае, когда импульсный элемент и экстрапо-
лятор могут быть представлены эквивалентными непрерывными звень-
ями (см. рис. 7.11). Это возможно, если период дискретности То мал
по сравнению с основными постоянными времени непрерывной части
системы или частота квантования по времени (для случая многокон-
турных систем, систем с ЦВМ) значительно больше частоты основных
сигналов. При этом передаточные функции и частотные характерис-
тики ДАС совпадают с передаточными функциями и частотными ха-
рактеристиками эквивалентных непрерывных систем, что позволяет
рассчитывать и исследовать ДАС с позиций непрерывных систем.
Если же указанные ограничения не выполняются, то при исследо-
вании и расчете ДАС необходимо учитывать эффект квантования по
времени сигналов и наличие в них импульсных элементов, дискрет-
ных фильтров и экстраполяторов.
В ДАС все величины, характеризующие ее состояние, рассматри-
ваются в дискретные моменты времени t = уТ0, т. е. анализируются
решетчатые функции времени (см. § 1.12). В некоторых случаях при-
ходится анализировать поведение системы в моменты
t = ^TQ+^T^ где 0<е<1.
Решетчатые функции являются функциями дискретного аргумента
и обозначаются f (у, е), так что
/(у,е) = ЦуТ0 + еТ0).	(7.12)
В дальнейшем в основном рассматриваются решетчатые функции
вида f (у, 0) = f (v).
Если интервал дискретности То задан, то по функции f (t) решет-
чатая функция (7.12) определяется однозначно. Обратное положение
несправедливо.
Для изучения поведения решетчатых функций методы дифферен-
циального и интегрального исчисления непригодны. «Дискретными
252
ялогами» производных и интегралов обычных функций для ^щетчатых функций являются конечные разности и суммы (табл. 7.2).	Таблица 7.2 Переход к решетчатым функциям	
Функция непрерывного аргумента	Решетчатая функция
fit) 0 t < оо	/(v) = /(vT0) v = 0, 1, 2, ...
dkf (t)/dtk k= 1. 2, ...	Д*/ (v) k= 1, 2, ..
j / (/) di 0	n—J f (*) v=0
Например, дискретным аналогом первой производной является
прямая разность первого порядка
A/(v) = /(v+ 1)-/0)	(7.13)
или обратная разность первого порядка
V/(v) = /(v)-/(v-l).	(7.14)
В связи с этим для теоретического исследования дискретных си-
стем используют не дифференциальные, а разностные уравнения,
связывающие решетчатую функцию и ее разности различных поряд-
ков.
Ограничимся исследованием линейных дискретных систем, пове-
дение которых описывается линейными разностными уравнениями
типа
a^ly (v) + а. Д'’1«/ (v) + • • • -I- aty (v) = / (v).	(7.15)
Учитывая, что
A*(/M = A[AA’WJ,	(7.16)
по индукции получаем
k
(v) = S (- 0я С” у (v + k - п),	(7.17)
<г=0
где С* — число сочетаний из k элементов по п.
Воспользовавшись этим соотношением, разностное уравнение (7.15)
можно представить в виде
^(v + /) + M(v + ^-l)+ ••• +^i/(v)=/(v),	(7.18)
253
где
&i = s {-\)l-natc\2 / = 0,1.2.......I. (7.19)
гг=0
Это уравнение называется разностным уравнением /-го порядка
(при 0 и 0).
В дискретных системах разностные соотношения характеризуют
зависимости между входными и выходными переменными ЦУМ или
устройств, импульсных элементов и экстраполяторов.
Для теоретического исследования ДАС необходимо составить раз-
ностные уравнения звеньев, составляющих систему, в том числе и
непрерывной части. Это значит, что, хотя на выходе непрерывной
части системы сигнал непрерывен, он будет рассматриваться только
в моменть? квантования входного сигнала импульсным элементом.
Разностные уравнения звеньев ДАС, рассматриваемые совместно,
в совокупности образуют систему разностных уравнений, описываю-
щих работу ДАС.
Чтобы определить процесс регулирования, необходимо решите
систему разностных уравнений (или одно разностное уравнение высо-
кого порядка, в которое «свертывается» эта система), описывающих
работу ДАС.
Решение разностных уравнений и их систем известными из мате-
матики классическими методами сопряжено со значительными вычис-
лительными трудностями. Поэтому для ДАС, как и для непрерывных
систем, широкое распространение получили операторные методы.
Среди этих методов в ДАС чаще всего используется метод г-преобра-
зования, так как получаемые в нем соотношения между изображения-
ми входной и выходной величин по своей структуре аналогичны соот-
ношениям для непрерывных систем при использовании преобразова-
ния Лапласа. Это позволяет применять для исследования и расчета
ДАС развитые для непрерывных систем эффективные частотные ме-
тоды.
Функция комплексного переменного F (z), называемая z-преобра-
зованием решетчатой функции f (v), определяется равенством
Г(г) =£/(*)*" ’	(7.20)
v=0
и обозначается Z{/(v)}.
Так как на входе импульсного элемента сигнал представляет собой
функцию непрерывного аргумента f (/), то иногда используют запись
F(z) = Z(F(s)),	(7.21)
где
F(s)= J/(/)e-'= £{/(/))-
о
преобразование Лапласа функции /(/).
254
Если ряд (7.20) сходится, то F (г) Является изображением ориги-
нала /0)-	.	_ „ о
Изображения некоторых функции времени приведены в табл. 7.3
и 7.4.
Таблица 7.3
^-преобразования простых функций
Оригинал f(f)	Изображение F(s)	Изображение F(z)
ко	1 s	г z — 1
t	1		 (2-1)2
e~ai	1 Ha	2 z — е~аГ°
sin ₽/	p s2 + ₽2	г sin p To г2 — 2г sin pT0 4- 1
cos ₽/	s2 + ₽2	г2 — г cos p To г2 — 2z cos pT0 4- 1 Таблица 7.4
г-преобразования сложных функций
Оригинал f (/)	Изображение Z (0}
2 Oifi (o i=»l	2 чр1® /==1
f (t — и) при т > 0	г"1 F (z, 1 — т/Т0) при 0 < т < To г-/и р ПрИ T __	— целое)
ex/ f (0	exr0 p (	L—\ exr" )
tm f (t) при m > 0 (целое)	,_,vn dmF(esT‘) 1 V f	dsm	|г=е^о
255
Приведем без доказательства некоторые свойства и правила пре„
образования изображений [15, 56, 58, 60, 65].
1.	Изображение суммы решетчатых функций:
/<0
и=0
f (г)
2 — 1
(7.22)
2.	Изображение свертки двух решетчатых функций /\(v), /2(v):
Ф /1(О/2(*-о1 = Л(г)-Г2(г).	(7.23)
Ь=о
3.	Начальное значение оригинала:
f(0) = lim-^Lf(z).	(7.24)
г->оо Z
4.	Конечное значение оригинала:
/(oo) = lim/(v)= lim F (г).	(7.25)
v-oo	Z-+1 z
5.	Связь преобразования Лапласа и г-преобразования:
F(S) = Top(z,e)e-r»6S
о
de
sT(
г=е 1
(7.26)
Функция комплексного переменного г, произведение которой на
z-преобразование входного сигнала звена или системы дает г-преобра-
зование выходной величины, называется передаточной функцией зве-
на или системы. Следовательно, передаточная функция представляет
собой отношение z-преобразований выходной и входной величин при
нулевых начальных условиях.
Чтобы найти передаточные функции ДАС, как и в случае непре-
рывных систем, необходимо первоначально определить передаточную
функцию разомкнутой системы.
Структурная схема разомкнутой ДАС показана на рис. 7.12. Пе-
редаточная функция
Г(2) = У(г)/Х(г),	(7.27)
где Y (г), X (z) — изображения функций времени у (t), х (/).
Рассмотрим первоначально простейший случай, когда D (г) = П
В этом случае последовательно соединены идеальный импульсный
элемент, экстраполятор и непрерывная часть системы. Экстраполятор
и непрерывная часть в совокупности образуют приведенную непре-
рывную часть, передаточная функция которой определяется выраже-
нием (7.7).
Для экстраполятора нулевого порядка
w (5) = (1 — е"sTa) rH (s)/s.	(7.28)
266
функцией веса приведенной непрерывной части системы является
оригинал изображения (7.28):
=	(7.29)
С учетом (7.21)
tt7(z) = Z|ffi)n.H.4(0} =Z{W(s)].	(7.30)
Таким образом, чтобы найти передаточную функцию W (г), необ-
ходимо определить z-преобразование передаточной функции приве-
денной непрерывной части.
Из формулы (7.28) следует, что
W7(s) = IFt(e- sr’M(s). •	(7.31)
где IV', (е" sr“) = 1 - е" s2\ W2 (s) = Wtt (s)/s.
Известно 1601, что для отыскания г-преобразования функции вре-
мени, заданной преобразованием Лапласа в такой форме, следует
пользоваться выражением
Z {№($)} = lFjz)Z{№2(s)b	(7.32)
Поэтому
г (г) = Z {Г2 ($)} = Z 1.	(7.33)
г	г ( s J
Z-преобразование Z {№„ (s)/s) находится путем разложения рацио-
нальной дроби Wtt(s)/s на простые, с дальнейшим использованием таб-
лиц г-преобразований.
В качестве примера определим передаточную функцию разомк-
нутой импульсной системы регулирования температуры (см. рис. 1.48
и 7.7), для которой
№„(«)/« = /<,/(s2 ( 1 -4- Ts)l.
Разложим это выражение на простые дроби:
s2(l-+-rs)	‘[s2 s 1 + Ts.
Тогда из табл. 7.2 и формулы (7.32) имеем:
К 1 [ Т"г — Тг 4- Тг 1
1 г [(и — I)2 z — 1 г —• d J
к (Т - То) & - (Т 4- d? 4- dT0) z - dT
1	za — (d 4- 1) г 4- d
гДе d = e“" то/т
9—493
257
Для цифровых систем управления £)(z)=j£l. В этом слуиаА
(рис. 7.12)	W(z) = D(z)Z{W(s)},	(7.3^
так как ЦУМ или цифровое устройство, осуществляя модуляцию Пвч
следовательности входных 6 -функций, не изменяет дискретной прц^
роды сигналов.
xt- М ^а:2| 1е	В любой момент воем*
Л(5)	wH(s) ни t = vTo цум илР ме.
фровое устройство в соот.
Рис. 7.12 Структурная схема разомк- ветствии С алгоритмом ра^
нутой ДАС	боты определяет и выдает
на выход числовую вели-
чину, получаемую в общем
случае по значениям входного и выходного сигналов в данный и пред,
шествующие моменты времени:
М*) = S агх^ —z) — S pj%2(v — 1),	(7.35)
1=0	<=1
где I — целое положительное число.
В соответствии с табл. 7.4 и правилами преобразования
жений передаточная функция дискретного фильтра
D (г) =	— Ро + Pt2"1 + • • • + Р;2~г
X (2) “о,+ “12”1 + • • • + aiZ~f
Умножив числитель и знаменатель на г1, получим
T)(z\ _. fl»2* + Pi2*-1 + • • • + Р;
«о2' + “i2*"1 + •••+“/
изобра-
жав)
(7.37)
В качестве примера рассмотрим случай, когда БЦМ (см.
рис. 1.54) реализует функцию корректирующего устройства (см.
рис. 7.10, а) с алгоритмом:
х2 = d^A (v) + d2v§& (v) = dx69 (v) + d2 [89 (v) — 89 (v — 1)] =
= a089 (v) -(- ax89 (v — 1),
где a0 = dt + d2, ax = — d2.
Для этого случая
D (z) = z/(aoz + ax).
Учитывая, что
(г - 1)2
4. т
г-1 + 0
Т(г— 1) 1
г — е J '
в соответствии с формулой (7.33) можно определить W (г).
Передаточную функцию замкнутой ДАС (главный оператор), как
и непрерывной системы, можно определить, если известна W(V"
258
цапример, (см. рис. 7.8,6)
Ф (г) = У (г)Ю (г) = W (z)/[ 1 + W (?)].	(7.38)
Знаменатель передаточной функции замкнутой ДАС называется
_ характеристическим полиномом.
ее Передаточная функция ДКУ по возмущению
Ф, (г) = У (z)/F9 (г) = 1/[ 1 + W (2)],	(7.39)
где
F9(z) = Z {Wf(s) F (s)}.
При одновременном действии задающего и возмущающего воздей-
ствий (см. рис. 7.3, а), как и для непрерывных систем, имеем:
Г(г) = Ф(2)0(2) + Фдг)Дв(2).	(7.40)
Обычно изображения входных сигналов и передаточные функции
представляют собой дробно-рациональные функции г.
§ 7.3.	УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Дискретная автоматическая система устойчива, если переходные
процессы в ней затухают с течением времени.
По аналогии с непрерывными системами выражение для реакции
ДАС на произвольный входной сигнал g (t) может быть представлено
в виде суммы переходной и установившейся составляющих: ,
У (*) = Уа (*) + Ууст (Д-	(7.41)
Значения выходной величины ДАС у (/) в дискретных точках
/ — vT0 оси времени могут быть найдены по формуле (7.38) при по-
мощи обратного г-преобразования:
?(у)=2’НФ(2)С(г)|.	(7.42)
С математической точки зрения определение устойчивости сводит-
ся к выполнению равенства
lim уп (v) = 0.	(7.43)
Как уже отмечалось, изображения и передаточные функции пред-
ставляют собой обычно дробно-рациональные функции относительно
г> т. е. могут быть представлены в виде
Ф(2) = 6(z)/a(z),	(7.44)
G (г) = Я (z)/Q (г).	(7.45)
В том случае, если полюсы функций гФ„ 2ф,,.... гФп| и zQ(, Zq,, ,.,Zaq
пР°стые, не равные нулю и не совпадающие друг с другом, пере-
ходная составляющая реакции ДАС может быть представлена в вцде
т b ( z~ \
У"(V) = , а’ ( гфг) °(2фг) г*г"’	(7‘46)
Как видно, переходная составляющая реакции зависит не только
от динамических свойств системы (полюсов гф.), но также и от хара^
тера входного сигнала.	1
Из выражения (7.46) следует, что условие устойчивости (7.43)
справедливо при выполнении неравенств
|гф. | < 1, i = 1, 2,..., т.
(7.47)
Иными словами, для устойчивости необходимо, чтобы все корни
характеристического полинома замкнутой системы (полюсы переда-
точной функции замкнутой системы)
а (г) = аогт +	4- • • • + ат
(7.48)
Рис. 7.13. К пояснению
«скрытой» неустойчиво-
сти в дискретных си-
стемах
были расположены внутри окружности еди-
ничного радиуса с центром в начале коор-
динат плоскости г.
Таким образом, исследование устойчи-
вости ДАС сводится к изучению располо-
жения корней характеристического поли-
нома относительно единичной окружности.
В связи с этим на дискретные системы мо-
гут быть распространены все критерии
устойчивости непрерывных систем.
Так как ДАС реагирует не на сигнал g (/), а лишь на сигнал g (v)
(из-за наличия импульсного элемента), то условие устойчивости (7.47)
гарантирует затухание или незатухание переходной составляющей
реакции только в эти дискретные моменты времени. Поэтому возмож-
ны случаи «скрытой» неустойчивости, когда у (v) затухает, а у (/) не
затухает или расходится (рис. 7.13). Следовательно, для ДАС необхо-
дима дополнительная проверка устойчивости на вычислительных ма*
шинах (например, путем моделирования на ЦВМ).
Наиболее широко для ДАС применяются критерии, использующие
частотные характеристики разомкнутых систем, что, как уже отме-
чалось, связано с введением для исследования дискретных систем
аппарата г-преобразования.
Для получения частотной характеристики необходимо в выражении
для передаточной функции сделать подстановку z = е/ЪГ<>. Это значит,
что рассматривается установившаяся составляющая реакции ДАС на
входной сигнал g (/), значения которого в моменты времени t = vTo
образуют так называемую гармоническую решетчатую функцию:
g (v) = A sin (<dvT0 + ср),
(7.49)
где А — амплитуда; о — круговая частота; ср — начальная фаза гар-
монической последовательности (7.49).
260
Заметим, что понятия амплитуды, частоты и фазы в применении
гармоническим решетчатым функциям носят в известной мере услов-
К 1Й характер, так как в общем случае последовательность (7.49) пред-
ъявляет собой непериодическую функцию v. Решетчатая функция
/7 49) будет периодической функцией v лишь в частном случае, когда
цастота а кратна частоте квантования по времени:
®0 = 2ir/T0.	(7.50)
0з (7.50) следует, что частотные характеристики ДАС являются
периодическими функциями частоты со с периодом 2л/Т0.
Более удобно для получения частотных характеристик и, в част-
ности, логарифмических характеристик использовать псевдочастоту.
Обычно для этой цели применяется так называемое ^-преобразование,
при помощи которого окружность единичного радиуса отображается
на мнимую ось плоскости комплексной переменной w. Для преобра-
зования вводится подстановка
z = (1 + w)/(\ — w)	(7.51)
или соответственно
w = (г — 1) /(г + 1).	(7.52)
При этом
= ] tg	(7.53)
е'шГ" + j	2
где I = tg(o)T0/2)—относительная псевдочастота.
Как видно, периодичность частотных характеристик ДАС при
переходе к псевдочастоте исчезает, так как при —^п/Т0
а комплексная величина w изменяется по мнимой оси от —/оо до +/оо.
Поэтому для передаточной функции с оу-преобразованием можно ис-
пользовать обычные критерии устойчивости, справедливые для не-
прерывных систем, так как
Ф(®) = Ф(г)|г=0+а,)/(1_ш).	(7.54)
Из соотношения (7.53) следует, что
ф(е'"Г°)^ Ф(/Х).
т- е. при одинаковых масштабах по осям частот характеристики сов-
падают. В этой формуле замена w на чисто мнимое число /X формально
аналогична замене s на /о, вводимой при построении частотных ха-
рактеристик непрерывных систем.
В ряде случаев при построении частотных характеристик удобно
использовать абсолютную псевдочастоту
К = 2Х/Т0 = (2/Т0) tg (о)Т./2)	(7,55)
2Ы
так как для низких частот (со<2/7,0) Отсюда следует. Что
X = Т0Х/2,
при этом частотные характеристики, построенные в функции абсолют,
ной псевдочастоты, практически сливаются с частотными характерна
тиками, построенными в функции обычной круговой частоты
У	Аналогично могут быть построены частотные
J характеристики разомкнутых ДАС, что позер.
(i)T0^ о дяет определять условия устойчивости замкну.
1 I	U тых систем, пользуясь частотным критерием (как
м	и для непрерывных систем).
/кт0	Исследуем устойчивость для простейшей
2х импульсной системы с экстраполятором нуле-
| вого порядка при IJ7H(s) — k/s (рис. 7.6, а).
В этом случае передаточная функция разомк-
Рис. 7.14. Амплитуд- нутой импульсной системы
но-фазовая характе-
ристика простейшей	_.	, , . кт
импульсной системы	Ц7 (г) —- /(---Z ~
Как видно, разомкнутая импульсная система нейтральна. Условие
устойчивости замкнутой ДАС сводится к условию неохвата а.ф.х.
W (е/иГо), показанной на рис. 7.14, точки с координатами (—1, /0):
/<Т0/2<1.
Коэффициент усиления К и период дискретности То для обеспече-
ния устойчивости замкнутой системы должны удовлетворять указан-
ному условию.
Для ДАС с более сложными непрерывными частями частотные ха-
рактеристики при использовании псевдочастоты строятся с меньшими
вычислительными трудностями.
§ 7.4. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РАБОТЫ ДИСКРЕТНЫХ
СИСТЕМ
Устойчивость является необходимым, но далеко недостаточным
условием применимости дискретных систем. Качество работы ДАС
определяется точностью регулирования. Так как прямое вычисление
ошибки регулирования для ДАС затруднительно (вследствие особен-
ностей, вызванных квантованием по уровню, времени и запаздыва-
нием), то качество работы ДАС приближенно оценивают по некоторым
ее свойствам, проявляющимся при различных типовых воздействиях’
Для ДАС качество работы оценивают по запасу устойчивости замк-
нутой системы и точности воспроизведения заданного воздействия в
установившихся режимах.
Запас устойчивости ДАС можно оценивать по виду кривой пере-
ходного процесса при некотором типовом входном воздействии или
по величине показателя колебательности (см. гл. 5).
262
1W= {1’
рри оценке запаса устойчивости по виду кривой переходного
процесса задают входной сигнал либо в виде единичного скачка
если v •< 0;
если v >> 0,
либо в виде единичного импульса
* . v 11, если v = 0;
ои (v) = {
(0, если v=H=0.
Так как
Z (1 (v)) = г/(г — 1); Z(5„(v)) = l
то реакции ДАС могут быть вычислены по передаточной функции
замкнутой системы (7 38).
Переходная функция ДАС
Л(>) = Z-‘ |Ф (г) z/(2— 1)}.	(7.56)
а функция веса
/i„(v) ^г-‘{Ф(г)).	(7.57)
При использовании переходной функции запас устойчивости чис-
ленно оценивается перерегулированием
0 _ .ELtyJniax--М°°) Ю0%.
h (оо)
Допустимое значение перерегулирования определяется конкретным
назначением системы (см. гл. 5).
Для примера оценим запас устойчивости рассмотренной в § 7.3
импульсной системы, для которой
W (z) = KTq/(z —
Так как
Ф (г) = W (z)/[ 1 -h W (z)| = КТ.ККТ. + г - 1),
то
h(^) = Z^ {KTQ/(KTQ 4- z - 1)}.
Пользуясь таблицами обратного г-преобразования [60], можно
поручить
A(v)=l-(l-tfT0)v,
Чт° легко позволяет определить перерегулирование либо параметры
системы для заданного перерегулирования.
Для более сложных ДАС получить явную связь оценки запаса
Устойчивости и параметров системы весьма трудно, поэтому значи-
ельно удобнее запас устойчивости оценивать по показателю колеба-
2ЬЗ
тельности (см. гл. 5). Методика оценки запаса устойчивости ДАС аКа
логична рассмотренной для непрерывных систем.
Точность работы ДАС оценивается по величине ошибки регулир0
вания в установившихся режимах для типовых входных воздействий'
Ошибка регулирования
Изображение ошибки
X (2) = G (2) - Y (2) = G (2) - Ф (2) G (2) = G (2)/[ 1 + W (2)]. (7.58)
Установившееся значение ошибки может быть найдено из (7.25)'
2_____________________________ 1	1
xVCT = lim----------------G (z).	(7.5g\
yCT	z 1 + № (z) v	v
Анализ этого выражения для типовых входных воздействий позво-
ляет оценить точность работы системы.
Обратимся к рассматривавшейся в данном параграфе системе,
положив g (/) = Q /, где Q — максимальная скорость изменения
задающего воздействия. В этом случае
G (z) = £2Toz/(z — I)2;
р г—1	1
хуст-ит г • 1 ।
Z — 1
QToz _ Q
(г-1)2 ~ к *
Следовательно, коэффициент усиления непрерывной части системы
К должен быть задан из соотношения
А Жуст*
Совместное рассмотрение оценок по запасу устойчивости и по точ-
ности работы системы позволяет предъявлять требования к ее пара-
метрам.
ГЛАВА 8
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
S 8.1. ЗАДАЧИ
НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ.
ТИПИЧНЫЕ
НЕЛИНЕЙНОСТИ
Задачи теории нелинейных систем. Все технические системы, как
правило, нелинейны. Однако первый этап изучения реальных систем
состоит в исследовании их линейных математических моделей, кото-
рые являются наиболее простыми из возможных.
Теория линейных систем, базирующаяся на линеаризованных урав-
нениях движения, является достаточно хорошо разработанной От-
раслью науки. Применение этой теории к анализу и синтезу систем
носит двоякий характер. Во-первых, имеется возможность совершенно
строго анализировать методами линейной теории устойчивость <в ма-
лом» (при малых колебаниях) широкого класса реальных систем бла-
годаря теоремам Ляпунова об устойчивости по первому приближению
(см. § 8.2). Во-вторых, часто допускают, что отклонения характерис-
тик системы от линейных малы и на основе этого применяют методы
линейной теории для исследования поведения систем не только «в ма-
лом», но и «в большом». Полученные при таком допущении результа-
ты могут быть подтверждены или опровергнуты практикой в зависи-
мости от того, насколько значительно влияние отброшенных нелиней-
ностей. Для детального и всестороннего изучения реальных систем
линейные математические модели часто являются слишком упрощен-
ными и грубыми, требуется рассмотрение нелинейных моделей.
Теория нелинейных автоматических систем, базирующаяся на
нелинейных уравнениях движения, представляет собой значительно
более широкую отрасль науки, нежели теория линейных систем.
Вместе с тем, вследствие трудности исследования нелинейных моделей,
теория нелинейных систем разработана не столь полно, хотя и здесь
Достигнуты фундаментальные результаты.
Одна из проблем нелинейной теории состоит в анализе динамиче-
ского поведения нелинейных систем. Иными словами, первая задача
Нелинейной теории — учесть наличие в уравнениях движения тех
нелинейностей, которые присущи определенным звеньям реальной
системы в силу их природы; выяснить, как эти нелинейности влияют
ни работу системы; найти пути компенсации вредного влияния и спо-
собы использования положительного влияния этих нелинейностей.
Другая проблема нелинейной теории состоит в синтезе таких не-
линейных систем, которые наилучшим образом отвечали бы предъяв-
исмым к ним требованиям. Иначе говоря, вторая задача теории не-
инейных автоматических систем — выяснить, какие нелинейности
265
должны быть специально введены в реальную систему, для того чтобы
эта система была оптимальной с определенной точки зрения.
Вторая из указанных задач исторически возникла более поздно
нежели первая. Она непосредственно связана с построением адаптивных
и оптимальных систем, с синтезом нелинейных законов управления
и Др.
При построении нелинейных моделей автоматических систем обычно
выделяют несколько, например одно или два, звеньев системы с не-
линейными уравнениями, считая при этом уравнения остальных
звеньев линейными. Таким образом учитываются наиболее «сильно
Рис. 8.1. Типичные нелинейности:
а — гистерезисная петля люфта; б — мертвая зона; в — мертвая зона
при кусочно-линейной аппроксимации; г — нелинейность типа насыще-
ния; д — нелинейность типа насыщения при кусочно-линейной аппрок-
симации; е — релейная характеристика с мертвой зоной; ж — идеаль-
ная релейная характеристика; з — релейная характеристика с зоной не-
однозначности; и — характеристика с мертвой зоной и насыщением;
к — релейная характеристика с мертвой зоной и зонами неоднознач-
ности
266
^раженные» нелинейности. Если движение остальных звеньев си-
темы действительно достаточно точно описывается решениями ли-
нейных уравнений, то при таком способе исследования можно полу-
чить результаты, хорошо согласующиеся с опытными данными. Во
всяком случае, такая нелинейная модель более полно отражает свой-
ства реальной системы, нежели линейная модель, и поэтому позволяет
получить существенную дополнительную информацию о поведении
системы.
Типичные нелинейности. Изучение реальных характеристик авто-
матических устройств позволяет выделить типичные нелинейности,
которые встречаются наиболее часто.
Одной из таких нелинейностей является гистерезисная петля люф-
та. Пусть Xi и х2— углы поворота ведущей и ведомой шестерней.
При изменении Xi величина х2 остается постоянной, пока не будет вы-
бран зазор (люфт) в зацеплении. Процессу выборки люфта соответст-
вует один из горизонтальных отрезков характеристики (рис. 8.1, а),
для которых х2 = const, а движению с выбранным люфтом — один
из наклонных отрезков.
Ясно, что при вращении ведомой шестерни в одном направлении
(например, при возрастании х2) люфт выбран в одну сторону, а при
вращении в противоположном направлении — в другую. Поэтому при
возрастании х2 изображающая точка движется по прямой АВ, а при
убывании — по прямой CD, т. е.
х2 = k (хг — Ь) при
х2 = k (х, + Ь) при
dx2/dt>0-, |
dx2/dt < 0, j
(8.1)
где b — половина ширины люфта; k — коэффициент пропорцио-
нальности.
Горизонтальные отрезки между прямыми АВ и CD описываются
уравнениями
х2 = const при — kb < х2 — kxx <Z kb.	(8.2)
В целом характеристика люфта, изображенная на рис. 8.1, а,
будет описываться уравнениями (8.1) и (8.2). Такая нелинейная ха-
рактеристика имеет место при наличии люфта в сочленении рычагов,
тяг и т. п.
Типичной нелинейностью в устройствах автоматического управле-
ния является мертвая зона (рис. 8.1, б), определяемая таким интерва-
лом изменения входной координаты нелинейного звена, для которого
выходная координата равна нулю.
Мертвая зона имеется у характеристик большинства исполнитель-
ных элементов; при этом Xj — управляющий сигнал, х2 — скорость
изменения координаты исполнительного элемента. Например, скорость
гидравлического поршневого сервомотора равна нулю (х2 = 0), пока
перепад давлений в полостях не достигает определенной величины
Ui = ±6). Наличие мертвой зоны у сервомотора объясняется силами
трения между поршнем сервомотора и стенками его цилиндра, силами
сУхого трения в регулирующем органе, соединенном с сервомотором,
и в передаточном механизме между сервомотором и регулирующим
267
органом. Кроме того, мертвая зона может быть следствием протечек
рабочей жидкости между поршнем и цилиндром сервомотора.
У гидравлических сервомоторов с золотниковым управлением
мертвая зона может быть, в дополнение к сказанному выше, еще и
следствием наличия перекрышей в окнах золотника. При наличии
перекрышей золотник должен сместиться на некоторую величину,
чтобы произошло открытие его окон, и лишь после этого рабочая жид’
кость поступает в сервомотор и начинается движение поршня серво-
мотора. Перекрыши в окнах золотника делаются для того, чтобы
устранить протечки рабочей жидкости при среднем положении зо-
лотника, которые, накапливаясь, могут вызвать смещение сервомото-
ра и, следовательно, ненужную перестановку регулирующего кла-
пана.
В электромеханических системах между контактами управляющего
реле (электрозолотыика) обычно имеются зазоры; золотник должен
пройти некоторое расстояние, прежде чем замкнется контакт и вклю-
чится исполнительный двигатель. Наличие зазоров между контактами
электрозолотника также приводит к появлению мертвой зоны на ха-
рактеристике исполнительного двигателя.
При кусочно-линейной аппроксимации нелинейная характеристи-
ка с мертвой зоной (рис. 8.1, в) может быть описана уравнениями:
х2 =
kxx — kb при
kxi + kb при
О при
Ь\
хх
I *11 < Ь.
(8.3)
Для большинства усилительных и исполнительных элементов
автоматики характерна нелинейность типа насыщения, или ограни-
чения мощности (рис. 8.1, г).
У гидравлических сервомоторов с золотниковым управлением эта
нелинейность имеет место, если ход золотника больше длины его окон:
после того как окна полностью откроются, перемещение золотника х^
уже не меняет количества жидкости, поступающей в единицу времени
под поршень сервомотора, и скорость сервомотора остается постоян-
ной (х2 = с). Если сервомеханизм представляет собой гидравличе-
ский сервомотор, управляемый струйной трубкой, то уже при малом
ее ходе происходит полное открытие одного из приемных сопел и за-
крытие другого, так что дальнейшее перемещение трубки не меняет
открытия сопел и, следовательно, не меняет скорости сервомотора.
Нелинейность типа насыщения характерна также для электронных,
магнитных и других усилителей, мощность которых всегда ограничена.
При кусочно-линейной аппроксимации (рис. 8.1, д) характеристика с
насыщением описывается уравнениями:
' кх^ при
«2 =
при
при
|*1| <6;
«1 — Ъ.
(8.4)
С
—с
268
Для электромеханических элементов автоматики типичны релей-
ь1е характеристики. Релейной характеристикой называется характе-
пистика х2 = f (xj), представляющая собой такую зависимость между
входной Xi и выходной х2 координатами, при которой непрерывно-
му изменению Xj соответствует скачкообразное изменение х2, проис-
ходящее при определенных значениях хь а между этими значениями
координата х2 остается постоянной.
Симметричная релейная характеристика с мертвой зоной
(рис. 8.1, е), описывающая работу трехпозиционного реле, соответст-
вует уравнениям:
х2 =
с при xt > b\
О при —b < Xi < b;
(8.5)
—с при х < — Ь.
Пренебрегая мертвой зоной, если она мала, получим идеальную
релейную характеристику (рис. 8.1, ж), описываемую уравнениями:
х2 =
с при xt > 0;
0 при xt = 0;
(8.6)
—с при Xi < 0.
Релейную характеристику с зоной неоднозначности (рис. 8.1, з)
имеет двухпозиционное реле.
Часто встречаются комбинации указанных выше нелинейностей.
Например, для гидравлического поршневого сервомотора типична
характеристика с мертвой зоной и насыщением (рис. 8.1, и), для трех-
позиционного электромагнитного реле — релейная характеристика с
мертвой зоной и зонами неоднозначности (рис. 8.1, к).
Кроме указанных, устройства автоматики могут иметь самые раз-
нообразные нелинейные характеристики.
§ 8.2. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Основные определения. В основе методов расчета устойчивости
нелинейных систем лежит теория устойчивости движения, основан-
ная А. М. Ляпуновым.
'Рассмотрим определение устойчивости движения, данное А.М. Ля-
пуновым. Пусть движение САУ описывается системой п дифференци-
альных уравнений первого порядка
dxk/dt = Xk(Xi, х2, ..., х„) (k = 1, 2, ..., п)
(8.7)
[Де xk {k = 1,2...n) — переменные, характеризующие поведение
системы; Х1 %21 ... ( Хп
— нелинейные функции своих аргументов.
Будем полагать, что в уравнениях (8.7) отсчет значений перемен-
^Ых xk ведется от значений этих переменных в исследуемом на устой'
ив°сть движении, где они равны нулю. Это исследуемое на устойчи-
269
вость движение называется невозмущенным движением (в частном слу.
чае невозмущенное движение будет просто состоянием равновесия).
При указанном отсчете переменных уравнения (8.7) принято называть'
уравнениями возмущенного движения (по другой терминологии -*
уравнениями переходного процесса).
Невозмущенное движение описывается частным решением системы
(8.7)
, х, — 0. х2 = 0, ..., х„ = 0,	(8.8)
соответствующим нулевым начальным условиям (так называемое оче-
видное решение).
Если при t = t0 хотя бы часть переменных xh имеет отличные от
нуля значения
х1 —- х01, х2 = х02, ... хл = хОп,	(8.9)
в теории устойчивости называемые возмущениями, то соответствующее
этим возмущениям частное решение системы (8.7)
*i-=*i(0	*2=Ч(0.......*„ = *„(0	(8.10)
будет описывать движение, называемое возмущенным движением.
Определение. Невозмущенное движение, описываемое реше-
нием (8.8), называется устойчивым по Ляпунову относительно пере-
менных xk, если для любого заданного положительного числа е, как бы
мало оно ни было, можно подобрать положительное число 6 такое,
чтобы при возмущениях, удовлетворяющих неравенствам
I *01 I < I *02 I I *0л I	(8.11)
соответствующее этим возмущениям решение (8.10) для любого t^> t0
удовлетворяло бы неравенствам
М)|<8. |х2(01<8. ..., |л„(/)| <е.	(8.12)
Если дополнительно соблюдаются равенства
lim хй (/)=0 (Л =1,2......п),	(8.13)
то невозмущенное движение называется устойчивым по Ляпунову
асимптотически. Если же для какого-нибудь положительного в назван-
ного числа б не существует, невозмущенное движение называется по
Ляпунову неустойчивым.
Эти определения не меняются, если имеется в виду частный случай
невозмущенного движения — состояние равновесия.
Иными словами, невозмущенное движение будет устойчивым;,
если при достаточно малом начальном отклонении любое возмущен-
ное (отклоненное) движение будет достаточно близким к невозмущеН-
ному (неотклоненному). Примером устойчивого по Ляпунову дви-
жения может служить скатывание шарика по желобу, примером
неустойчивого движения — скатывание того же шарика по ребру
пирамиды (рис. 8.2).
270
Рис. 8.2. Устой-
чивое (а) и неу-
стойчивое (б) дви-
жения шарика
Неустойчивые по Ляпунову движения и состояния равновесия
мОгут получаться лишь при рассмотрении математических моделей,
всегда идеализированных (шарик, движущийся по ребру пирамиды - -
абсолютно круглый, однородный по структуре и т. д.), физически же
осуЩествимы только устойчивые по Ляпунову движения и состояния
равновесия. Поэтому, если требуется, чтобы данный установившийся
режим в системе фактически существовал, он должен быть рассчитан
как устойчивый по Ляпунову.
Может оказаться, что при малых начальных отклонениях возму-
щенные движения будут приближаться к невозмущенному, а при боль-
ших начальных отклонениях — удаляться от не-
го; в таком случае невозможно отыскать число 6,
превосходящее некоторую величину, при котором
выполнялись бы неравенства (8.11) и (8.12) для
любого заданного положительного числа е.
Наибольшее положительное число 6, при кото-
ром невозмущенное движение остается устойчивым
по Ляпунову, ограничивает некоторую область на-
чальных отклонений |хОь| <6 (k = 1, 2, ... , п) —
область сходимости возмущенных движений к не-
возмущенному. Если число 6, ограничивающее об-
ласть сходимости, сколь угодно мало, невозмущен-
ное движение называют устойчивым в малом, если
это число достаточно велико — устойчивым в боль-
шом (или устойчивым в некоторой области). Нако-
нец, если невозмущенное движение асимптотически
устойчиво по Ляпунову и область сходимости не-
ограничена, то невозмущенное движение называют
устойчивым в целом.
Метод первого приближения. Допустим, что
функции Xk (xn х2, ... , хп) (k = 1, 2, ... , п), явля-
ющиеся правыми частями уравнений возмущенного движения (8.7),
могут быть разложены в степенные ряды, сходящиеся при достаточно
малых значениях переменных х2, ... , хп. При сделанном предпо-
ложении эти функции можно линеаризовать, разложив в степенные
ряды и учтя в полученных выражениях лишь линейные члены.
По формуле Маклорена для функций нескольких переменных име-
ем:
xk (хи х2, ..., х„) = Xk (0, .... 0) + (дХк1дх^ Xi + (дХк/дх2)0 х2 + ...
... + (дХк/дхп)охп + Rk(xlt х2, ..., х„) (k = 1, 2, ..., п). (8.14)
Здесь /?&(*!, х2, ... , хп) — нелинейные члены выше первой степени
относительно xh\ индекс 0 указывает на то, что после дифференцирова-
ния в выражениях для частных производных следует положить xt =
х2 = ... = хп = 0, вследствие чего все эти производные будут по-
стоянными коэффициентами. Поскольку значения (8.8) — решения
системы (8.7), справедливы равенства
Хл(0, 0, ...,0)=0 (6 = 1,2, ...,п).	(8.15)
271
С учетом равенств (8.15) из уравнений (8.7) и (8.14) получаем
dxk/dt = akl хА + ak2 х2 + ... + akn хп + Rk (хъ х2, ... хп)
(4=1,2,	, м),	(8.16)
где
= Wdx^, ak2 = (dXk/dx2)0, ..., akn = (5ХЛ/5хЛ)0.
При достаточно малых xh величина /?ft(xb х2, ... , хп) будет малой
порядка высшего, чем xh(k =1, 2, ... , и). Отбросив в уравнениях
(8.16) нелинейные члены высших порядков малости, получим систему
п линейных дифференциальных уравнений
dxk/dt = akl xi + ak2 x2 + ... + akn xn (k = 1, 2.n),	(8.17)
называемых уравнениями первого приближения.
Имеют место следующие теоремы Ляпунова, называемые теорема-
ми об устойчивости по первому приближению.
Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения си-
стемы уравнений первого приближения имеют отрицательные вещест-
венные части, то невозмущгнное движение нелинейной системы асимп-
тотически устойчиво в малом, каковы бы ни были члены, откидывае-
мые при составлении уравнений первого приближения.
Теорема 2. Если в числе корней характеристического уравне-
ния системы уравнений первого приближения имеется хотя бы один с
положительной вещественной частью, то невозмущенное движение
нелинейной системы неустойчиво, каковы бы ни были члены, откиды-
ваемые при составлении уравнений первого приближения.
Теорема 3. Если характеристическое уравнение системы
уравнений первого приближения, не имея корней с положительней ве-
щественной частью, имеет корни, вещественные части которых рав-
ны нулю, то нельзя решать вопрос об устойчивости невозмущенного
движения нелинейной системы, не учитывая откидываемых при состав-
лении уравнений первого приближения нелинейных членов.
Доказательство этих теорем выходит за пределы данной книги.
Случаи, когда среди корней характеристического уравнения имеют-
ся корни с равной нулю вещественной частью, называются критиче-
скими. В критических случаях невозмущенное движение может быть
устойчивым или неустойчивым в зависимости от правых частей ис-
ходных нелинейных уравнений.
Метод анализа устойчивости нелинейных систем, называемый
методом первого приближения, состоит в следующем. Сначала лине-
аризуют уравнения движения всех звеньев системы указанным выше
способом. Затем определяют знаки вещественных частей корней
характеристического уравнения линейной системы. По этим знакам на
основе приведенных выше теорем Ляпунова судят об устойчивости
исходной нелинейной системы.
Пример 8.1. Пусть уравнения нелинейной системы имеют вид
dxyjdt ~	— Зх2 + х? И
,	(8-18)
dx2/dt — Xi + х2 — х% . J
272
Откинув нелинейные члены xf, х^, получим линеаризованную систему,
характеристическое уравнение которой
2— s — 3
1	1-S =°
имеет корни с положительными вещественными частями. Следовательно, состоя-
ние равновесия xi= х2= 0 системы (8.18) по Ляпунову неустойчиво.
Значение теорем Ляпунова об устойчивости по первому прибли-
жению заключается в том, что они дают строгое обоснование примене-
нию линеаризованных уравнений для суждения об устойчивости.
Тем самым сложная задача анализа решений нелинейных диффе-
ренциальных уравнений в вопросах устойчивости в большинстве слу-
чаев сводится к сравнительно простой алгебраической задаче опреде-
ления знаков корней характеристического уравнения, решаемой с
помощью критериев устойчивости линейных систем (см. гл. 5).
Названные теоремы Ляпунова указывают также, что в критиче-
ских случаях использование линеаризованных уравнений для сужде-
ния об устойчивости нелинейной системы может привести к ошибке.
В таких случаях анализ устойчивости сильно усложняется. Однако
критические случаи представляют интерес лишь в специальных зада-
чах, когда по какой-либо причине нельзя изменить коэффициенты
уравнений движения так, чтобы все корни характеристического урав-
нения располагались в плоскости корней слева от мнимой оси.
Метод первого приближения позволяет установить устойчивость
невозмущенного движения нелинейной системы только в малом, при
этом остается открытым вопрос об устойчивости в большом. Нелиней-
ная система, устойчивая в малом, может оказаться в большом как
устойчивой, так и неустойчивой.
Прямой метод Ляпунова. Представим себе некоторую функцию
координат системы V (xit х2, ... , хп), непрерывную и однозначную в
рассматриваемой области вместе со своими частными производными
первого порядка и обращающуюся в нуль, когда все координаты xh
равны нулю:
V(0, 0, ... , 0)=0.
Функцию V, равную нулю только при = х2 = ... = хп = 0, а
при всех других значениях xh в данной области имеющую один и тот
же знак, будем называть знакоопределенной в этой области.
Функцию V, обращающуюся в нуль не только при = х2 = ...
... = хп = 0, но также и при каких-нибудь других значениях перемен-
ных xh в данной области, а при всех остальных значениях xh сохраняю-
щую постоянный знак, будем называть знакопостоянной в данной об-
ласти.
Рассмотрим структуру знакоопределенных функций. Возьмем для
простоты п = 2. Задав постоянное значение знакоопределенной
Функции, получим уравнение V (xif х2) = С. Можно считать, что оно
определяет в неявном виде зависимость xt от х2. Так как V (0, 0) = 0,
то график этой зависимости при достаточно малом С представится на
плоскости х19 х2 замкнутой кривой, окружающей начало координат
273
(рис. 8.3). Если задать ряд значений V = С\, V = С2, ... , то получим
ряд замкнутых кривых — линий уровня функции V, причем если
О < Ci < С2, то кривая V (хь х2) — Ct = 0 будет лежать внутри
кривой V (хь х2) — С2 = 0.
Пусть теперь п > 2 — произвольное целое число. Подобно случаю
и = 2 можно считать, что уравнения
V (Хх, Х2, ••• »
(8.19)
определяют при достаточно малых
стве прямоугольных координат хь
значениях С в и-мерном простран-
х2,	, хп замкнутые поверхности,
Рис. 8.3. Линии уро-
вня знакоопределен-
ной функции двух
переменных
Рис. 8.4. К опре-
делению произ-
водной по напра-
влению Х1
окружающие начало координат xt == х2 = ... = хп = 0, причем по-
верхности, которым соответствует большее значение постоянной С,
содержат внутри себя поверхности с меньшим значением этой по-
стоянной.
Заметим, что требование достаточной малости С в этих рассужде-
ниях можно отбросить, если потребовать, чтобы знакоопределенная
функция V не только обращалась в нуль в начале координат, но и
непрерывно возрастала по модулю при увеличении xh(k = 1, 2, ... , и).
Полагая, что координаты xlf х2, ... , хп — функции времени, яв-
ляющиеся решением уравнений возмущенного движения, вычислим
производную от функции V по времени, дифференцируя ее как слож-
ную функцию:
у =	= dV dx* I dv dx* I I dV dx* (8 20)
dt dxY dt dx2 dt	dxn dt
Выясним смысл этой производной. Возьмем сначала п = 2. Тогда
V можно считать функцией точки на плоскости хь х2. Напомним, что
производная такой функции по заданному направлению равна сумме
произведений производных по направлениям взаимно перпендикуляр-
ных осей на косинусы углов между этими осями и заданным направле-
нием. Выберем за оси касательную т к линии уровня функции V и
нормаль п к этой линии, направленную в сторону возрастания V
(рис. 8.4). Тогда производная по направлению xt
дУ дУ /-	\ , дУ (- \
— = — COS (n, xt + —COS (т, Xj .
дхх дп
274
Последний член равен нулю, так как в направлении линии уровня V ==
const. Аналогично для направления х2 находим
ЗУ
Зх2
ЗУ /- к
=-----cos (п, х2).
дп
Следовательно, в случае п = 2, согласно формуле (8.20), имеем
V =	[cos — + cos (п хг) —1 •	(8.21)
Зд L	dt	dt J
Рассмотрим теперь плоскость хь х2 с другой точки зрения. Во вре-
мя движения системы ее координаты xit х2 изменяются, принимая
в каждый момент времени определенные значения. Если переменные
xit х2 считать координатами точки на плоскости, то движению систе-
мы будет соответствовать перемещение этой точки по плоскости. При
изменении времени / такая точка, называемая изображающей точкой,
опишет некоторую траекторию, которой соответствует радиус-вектор
/Гили его проекции х{ и х2 на координатные оси. Множители dxjdt
и dxjdt в выражении (8.21) являются производными от этих проекций
по времени, но производная проекции вектора по времени равна
соответствующей проекции производной вектора, т. е., если dRIdt =
== и — вектор скорости изображающей точки, то
dxjdt = и ; dxjdt = и .
Тогда из формулы (8.20) получаем
.у Г /-	\ .	/- \i dV
V = — и cos {п xJ + и cos (п, х2) = —
дп I 1	2	J дп
где ип — проекция вектора скорости изображающей точки на нормаль
к линии уровня функции V. Поскольку указанная нормаль направле-
на в сторону возрастания V, всегда имеем dV/dn > 0 и, следовательно,
знак V совпадает со знаком ип.
Если п — произвольное положительное целое число, то приведен-
ные .рассуждения не изменятся, только усложнятся выкладки, произ-
водимые для л >3 с помощью понятий многомерной геометрии. По-
прежнему получим	_
dV/dxk = f (xb х2, .... хп) cos (п, xk);
dxJdt = ur , k = 1, 2, ..., n,
где иХк — проекция вектора скорости изображающей точки на ось xh.
Подставив последние выражения в формулу (8.20), будем иметь
V = f (хъ х2, ..., х„) [ uXi cos (п, хг) + uX) cos (п, х2) + ...
... 4- иХп cos (п, х„)] = / (х> х2.х„) ип,	(8.22)
где функция f (xi, х2, ... , хп) > 0, если нормаль к поверхности V (хь
*2, ... , хп) = С направлена в сторону возрастания V,
275
Таким образом, знак производной от функции V по времени совпадает
со знаком проекции скорости изображающей точки на нормаль к по-
верхности V = С.
Для определения знака производной V в конкретной задаче не-
обходимо в выражении (8.20) все множители dxh/dt заменить их значе-
ниями из уравнений возмущенного движения (8.7), тогда
дУ
дхх
дУ
дх2
дУ v
(8.23)
Заметим, что, согласно выражениям (8.15) и (8.23), при Xi = х2 = ... =
= хп = 0 обязательно V = 0. Будем полагать также, что V, как функ-
ция координат системы, непрерывна и однозначна. В частности, она
может быть одной из вышеуказанных функций — знакоопределенной
или знакопостоянной.
Теперь легко доказать следующие теоремы Ляпунова*.
Теорема I. Если дифференциальные уравнения возмущенного
движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V,
производная которой V в силу этих уравнений была бы или знако-
постоянной функцией противоположного с V знака, или тождественно
равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.
Если при этом V представляет знакоопределенную функцию про-
тивоположного с V знака, то невозмущенное движение устойчиво
асимптотически.
Доказательство. Пусть такая функция V найдена, т. е.
в пространстве прямоугольных координат хь х2, ... , хп построены
поверхности, определяемые уравнениями (8.19). Не нарушая общнос-
ти, можно считать, что V — знакоопределенная положительная функ-
ция (в противном случае возьмем функцию —V). Тогда по условиям
теоремы V < 0 и вследствие (8.22) имеем ип 0. Последнее озна-
чает, что изображающая точка либо движется к началу координат,
пересекая поверхности V = С в направлении убывающих значений С
(при ип < 0), либо остается на какой-нибудь поверхности V = 0 (при
ип=О), но не может двигаться в направлении возрастающих значений С.
Для любого положительного числа е всегда можно подобрать поло-
жительное число 6 так, чтобы область |х&|<6 размещалась внутри
одной из замкнутых поверхностей V = С, а последняя, в свою очередь,
лежала внутри области |х&| < е (k = 1,2,..., п). Тогда изображаю-
щая точка, расположенная в начале своего движения в области |	<
<6, никогда не достигнет границ области \xk\ < е, что и означает
устойчивость невозмущенного движения. Если при этом V — функ-
ция знакоопределенная, то она, а следовательно и ип, обращается в
нуль только в начале координат, где = х2 = ... = хп = 0, что
означает асимптотическую устойчивость невозмущенного движения.
* А. М. Ляпунов сформулировал и доказал эти теоремы для более общего
случая, когда время в явном виде входит в правые части уравнений возму-
щенного движения.
276
Теорема доказана.
Для п = 2 приведенное доказательство иллюстрирует рис. 8.5, а.
функции V, удовлетворяющие условиям теоремы I, принято назы-
вать функциями Ляпунова,
Теорема II. Если дифференциальные уравнения возмущенного
движения таковы, что возможно найти функцию V, производная кото-
рой V в силУ этих уравнений была бы знакоопределенной функцией,
знак которой при некоторых значениях xh, численно сколь угодно ма-
Рис’ 8.5. К доказательству первой (а) и второй (б)
теорем прямого метода Ляпунова
лых, совпадал бы со знаком V, то невозмущенное движение неустой-
чиво.
Доказательство этой теоремы, аналогичное доказательству пре-
дыдущей, предоставляется сделать читателю. Для п = 2 это доказа-
тельство иллюстрируется на плоскости (рис. 8.5, б).
Итак, чтобы доказать устойчивость движения, достаточно найти
функцию V, удовлетворяющую условиям теоремы I — функцию Ля-
пунова. В этом и состоит прямой метод Ляпунова.
Заметим, что в конкретных задачах приходится применять различ-
ные приемы для построения функций Ляпунова.
Пример 8.2. Пусть система уравнений возмущенного движения имеет
вид:
dx^dt = — xt —tx2 + х2 (*! 4- х2)
dx2ldt = Xi — Xi (xx 4- x2).
Требуется определить, устойчиво ли невозмущенное движение, которому
соответствует нулевое решение xi= х2= 0.
Возьмем знакоопределенную положительную функцию V ~ xf 4- х2 и
По формуле (8.23) вычислим ее производную
V = —	.
Функция V будет знакопостоянной отрицательной. Согласно теореме I невоз-
мУШенное движение устойчиво.
Прямой метод Ляпунова дает возможность строго исследовать
Устойчивость сложных нелинейных систем, дифференциальные урав~
277
нения движения которых нельзя проинтегрировать в квадратура*
притом систем со многими степенями свободы, уравнения движения
которых имеют высокий порядок.
Главное значение прямого метода Ляпунова для теории автоматичен
ского регулирования и управления состоит в том, что он позволяет
решать задачу об устойчивости не только в малом, но и в большом/
В самом деле, из изложенного выше следует, что если функция Ляг1у/
нова определена не только при малых, но и при достаточно больших,'
по модулю значениях переменных х2, ... , хп, то тем самым доказана
устойчивость невозмущенного движения при указанных значениях
переменных.
При решении задачи об устойчивости часто бывает важно найти
наибольшие по модулю значения переменных, при которых невозму-
щенное движение еще остается устойчивым (границу устойчивости}’
Определение такой границы устойчивости с помощью прямого метода
Ляпунова весьма сложно, а в большинстве случаев невозможно. В са-
мом деле, построив какую-нибудь функцию Ляпунова и получив с ее
помощью область сходимости процессов к состоянию равновесия, на-
пример, |xft| < A (k = 1,2, ... , и), нельзя быть уверенным в том, что
определена граница устойчивости. Может оказаться, что если бы мы;
сумели подобрать в данной задаче другую функцию Ляпунова, то
определили бы с ее помощью более широкую область устойчивости,
например |xk\ < В (k = 1, 2, ... , п), где В > А, Тогда условия
| х&| < А будут достаточными для устойчивости в большом, но не будут
необходимыми, ибо при ]	> А, но (xh\ < В также будет иметь
место устойчивость.
Прямой метод Ляпунова получил развитие в работах Н. Г. Четае-
ва, Н. Н. Красовского, В. И. Зубова, А. И. Лурье, А. М. Летова и др.
(см. библиографию в конце книги). В частности, в работах этих уче-
ных указаны способы построения функций Ляпунова, дающих доста-
точно широкие области устойчивости для важных классов нелиней-
ных систем.
Задача об абсолютной устойчивости. Частотный метод
В. М. Попова. Рассмотрим систему, описываемую уравнениями вида
хг = — W (р) х2, х2 = F (хД	(8.24)
где W (р) = В (р)/С (р);
С (р) = Сор" + Сг р“~' + ... + С^р + Сл;
В(р) = BQpm + Bipm^+ ... 4- Вт^р + Вт т<п, p = d/dt.
Пусть нелинейная функция F (х4) является однозначной непрерыв-
ной функцией, удовлетворяющей неравенствам
О < F (хг)/х1 х	(8.25)
где х — вещественное число. Условия (8.25) означают, что функция
F (%0 не выходит за пределы секторов, образованных осью и прямой
х2 = х%1 (рис. 8.6).
278
Состояние равновесия хх = х2 = xt — ... =0 системы, описывае-
й уравнениями (8.24), называется абсолютно устойчивым, если:
п° состояние равновесия асимптотически устойчиво по Ляпунову;
J область сходимости процессов к состоянию равновесия неограниче-
7а т. е* состояние равновесия устойчиво в целом; 3) условия 1 и 2
выполняются для всех функций F (х^, удовлетворяющих неравенст-
вам (8.25).
Последнее условие делает критерии абсолютной устойчивости при-
годными для суждения об устойчивости систем, нелинейные Характе-
ристики которых точно неизвестны
на изготовление элементов, изме-
нения характеристик элементов в
процессе эксплуатации и т. п.
Для решения задачи об абсо-
лютной устойчивости может быть
применен прямой метод Ляпунова.
Однако применительно к системам
с одной нелинейностью более удоб-
ным методом является частотный
метод, предложенный румынским
ученым В. М. Поповым.
Допустим, что уравнение
C(s) = 0 имеет все корни с отрица-
ввиду технологических допусков
Рис. 8.6. Функция, удовлетворяю-
щая условиям (8.25)
тельными вещественными частями,
т. е. линейная часть системы устойчива. Пусть W (ja) = U (со) +
+ /V(co) — а.ф.х. линейной части системы.
Критерий устойчивости В. М. Попова может быть сформулирован
следующим образом.
Состояние равновесия системы (8.24) с устойчивой линейной частью
абсолютно устойчиво, если можно подобрать такое конечное вещест-
венное число q, чтобы при всех со >> 0 соблюдалось неравенство
U (со) — дю V (со) + 1 /х > 0.	(8.26)
Приведенный критерий допускает простую графическую интер-
претацию, если ввести частотную характеристику W* (/со) =□= U* (со) 4-
+ /V*((d), положив
(У* (со) = U ((d); V* (со) = соИ (со).	(8.27)
Частотная характеристика 1Г*(/со) получается из частотной ха-
рактеристики W (fo) умножением каждой ординаты V (со) на соответ-
ствующее значение со.
С учетом формул (8.27) неравенство (8.26) запишется в виде
(У* (со) — qIZ* ((d) ч- 1 /х > 0.	(8.28)
Проведем в плоскости [У*. V* через точку (— 1/х, 0) прямую,
011исываемую уравнением
УУ* — qV*-r 1/х = 0.	(8.29)
279
Рис. 8.7. Частотная характеристика при вы-
полнении (а) и невыполнении (б) критерия
В. М. Попова
Из сравнения выражений (8.28) и (8.29) следует, что неравенство
(8.28) будет выполнено, если (/*(©) > U* при V*(©) — V* либо
Г*(®) >• V* при (7*(®) = U*, где U*, V* — значения, выбираемые
на прямой (8.29). Отсюда следует такая формулировка критерия ус-
тойчивости В. М. Попова:
состояние равновесия си-
стемы (8.24) абсолютно
устойчиво, если через точ-
ку (—1/х, 0) плоскости
возможно провести
прямую с таким угловым
коэффициентом q, чтобы
весь годограф лежал
справа от этой прямой.
На рис. 8.7, а показан
случай, когда этот крите-
рий выполняется и, следовательно, состояние равновесия абсолютно
устойчиво. На рис. 8.7, б изображен случай, когда названный крите-
рий не позволяет гарантировать абсолютную устойчивость.
§ 8.3. РЕЛЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Элемент, имеющий релейную характеристику, называется релей-
ным элементом. Система, имеющая один или несколько релейных эле-
ментов, характеристики всех остальных звеньев которой линейны,
называется релейной системой.
Примерами реальных систем, для которых хорошими математиче-
скими моделями служат релейные системы, являются следящая си-
стема (см. рис. 1.44) и система управления газовыми реактивными
Рис. 8.8. Принципиальная схема си-
стемы непрямого регулирования давле-
ния с электрическим сервомотором и
жесткой обратной связью:
1 — емкость с газом под давлением; 2 — мем-
брана; 3 — установочная пружина; 4 — непо-
движные контакты электрозолотника; 5 —
исполнительный двигатель; 6 — регулирующий
клапан; 7 — пружина обратной связи
соплами космического аппа-
рата (см. рис. 1.47).
На рис. 8.8 изображена
схема системы стабилизации
давления, в которой испол-
нительным элементом служит
реверсивный электродвига-
тель постоянного тока, а уси-
лительным элементом — так
называемый электрозолотник.
При равенстве регулируемого
давления заданному значе-
нию, устанавливаемому посре-
дством изменения натяжения
установочной пружины, кон-
такты электрозолотника ра-
зомкнуты и система находит-
ся в равновесии. При откло-
нении регулируемого давле-
ния от установленного значе-
280
электрозолотник включает питание одной из обмоток электродви-
НИгеля, и последний, вращаясь, перемещает регулирующий клапан,
одновременно выключая электрозолотник через пружину обратной
сВЯуравнение объекта этой системы — емкости с газом под давлени-
ем _может быть записано в виде
Tady!dt = ^-f(t\
(8.30)
где ?а — постоянная Времени емкости (сек); у — регулируемая ве-
личина; [А — регулирующее воздействие; f (t) — возмущающее воз-
действие (нагрузка на объект, определяемая расходом газа из ем-
кости).
Координата электрозолотника а является функцией регулируемой
величины у, измеряемой чувствительным элементом, и регулирующего
воздействия рь, подаваемого через обратную связь регулятора; поэто-
му, пренебрегая силами инерции и трения, можно написать
° = КУ +
(8.31)
где К и k2 — некоторые коэффициенты усиления.
Исполнительный двигатель вращается с постоянной по величине
скоростью, поэтому его уравнение можно записать в виде
гр dp _______
1 при
0 при
—1 при
а < — Ь;
—b <Z° <.Ь;
(8.32)
где Тд — постоянная времени двигателя (сек); Ь — половина ширины
его мертвой зоны.
Рассмотренная система с уравнениями (8.30)—(8.32) является
релейной системой.
Типичными примерами релейных систем являются системы с двух-
позиционными регуляторами, имеющие релейный элемент с характе-
ристикой, показанной на рис. 8.1, з (например, регуляторы темпера-
туры с биметаллической пластинкой), и системы с вибрационными ре-
гуляторами напряжения судовых и самолетных электрогенераторов.
Построение переходного процесса в релейной системе методом
припасовывания. Рассмотрим способ построения переходных процес-
сов в релейных системах. В качестве примера воспользуемся систе-
мой с уравнениями (8.30)—(8.32).
Изучая свободные колебания системы, положим f (t) — 0, считая
отличными от нуля начальные условия. Пренебрежем мертвой зоной
исполнительного двигателя ввиду ее малости, положив Ь = 0. Заме-
тим также, что при ki >* 0 условие а < 0 равносильно условию
У + k2^lki < 0, а условие а > 0 —условию у + k2^lki>Q. С учетом
сделанных замечаний система уравнений (8.30)—(8.32) запишется в
виде
281
Tady!di = p.;
т Ф- _____
д dt
1 при
О при
—1 при
У +	<	U;
у 4-	=	0;
у + kp> 0,
(8.33)
где введено обозначение k2k~l — k.
При у +	> 0 будет справедливо одно уравнение двигателя,
при у Ар. <z 0 — другое, что следует учесть при построении кривой
переходного процесса.
Интегрируя уравнение двигателя, имеем
Р = (1/Тя) t 4- С, при у 4- /гр < 0;	(8.34а)
Р = — (1/Тд) t 4- С; при у 4- &р > 0,	(8.346)
где Ci, С] — произвольные постоянные, определяемые начальными
условиями. Подставляя значения р из (8.34а), (8.346) в уравнение
объекта и интегрируя последнее, получаем
t2 + ~ * + С2 при r/4-брСО; (8.35aj
22 а 1 д	2 а
У =-----„„V I2 +	1 + с’ при у 4- /гр > 0	(8.356)
22 а 1 д	1 а
где С2,	— новые произвольные постоянные.
Уравнения (8.34а)—(8.356) и есть уравнения переходного процес-
са. При изменении знака суммы у + kp происходит переключение зо-
лотника, скорость двигателя меняет знак. Этому соответствует пере-
ход от уравнений (8.34а), (8.35а) к уравнениям (8.346), (8.356) или
обратно.
Начальное движение системы определяется знаком суммы у + kp,
заданным начальными условиями. Пусть, например, при t =0 имеем
У (0) = Уо < 0, у, (0) = 0, у (0) = 0, т. е. у (0) + Ар. (0) < 0. Тогда
движение описывается уравнениями (8.34а), (8.35а) или, если опреде-
лить из этих уравнений произвольные постоянные по заданным на-
чальным условиям, уравнениями
р = -7- у = —7-т........./2 + Уо-	(8-36)
2 д	22 а 2 д
Это движение продолжается до тех пор, пока не изменится знак сум-
мы у + kp. Из уравнений (8.36) имеем
y + ^ = —±—t* + y0 + ^-t.	(8.37)
22 а 2 д	2 д
В некоторый момент времени t = получим у 4- kp = 0, тогда
произойдет смена уравнений движения. Значение Ц найдем согласно
выражению (8.37) из алгебраического уравнения
—!— f + у	=0.	(8.38)
2ТаТл ' Уо Гд 1
282
Из двух значени® являющихся решениями уравнения (8.38), вы-
берем то, которое подходит по физическому смыслу (оно должно быть
положительным). После этого по формулам (8.36) определяем вели-
чины У и р- в конце первого этапа переходного процесса, соответствую-
щего неравенству у -I- ky. < 0:
1	,	1 я .
Hi “z- Л» Ух — т + Уо-
1 д	а ‘ д
Теперь переходный процесс будет описываться уравнениями
(8.346), (8.356), соответствующими значению у + ky. > 0, в которых
следует определить произвольные постоянные. На этом втором этапе
переходного процесса удобно снова вести отсчет времени от нуля.
Начальные значения функции у (t) и р. (t) для второго этапа пере-
ходного процесса будут равны, ввиду непрерывности этих функций,
их конечным значениям на первом этапе переходного процесса. По-
этому для второго этапа процесса начальными условиями будут:
у (0) = Уь Iх (0) == Hi- Подставляя их в уравнения (8.346), (8.356)
и полагая t = 0, находим значения произвольных постоянных:
= р-ь G = У1- Следовательно, для второго этапа переходного
процесса уравнения (8.346), (8.356) запишутся так:
н =	г/ = —/2+	<8-39)
* д	а 1 д	1 а
Из выражений (8.39) находим
У + ky. =----т-т...+(-£---------y-V + j/i 4-^.
а 1 д	\ 1 а 1 л /
Приравнивая последнее выражение нулю, можно найти значение
t = t2, при котором вновь произойдет переключение золотника. Тогда
по формулам (8.39) получим значения р и у в конце второго этапа пе-
реходного процесса:
1*2 =---A" G + р.р у2 ------1	t2 4- ft.
1 д	а 1 д	1 а
Эти значения будут начальными условиями для третьего этапа
переходного процесса, на котором движение снова будет описываться
теми же уравнениями, что и на первом этапе, но с другими значениями
произвольных постоянных Ci и С2, и т. д.
Построим график переходного процесса (рис. 8.9). На этом графике
Удобно откладывать значения функций у (/) и —kp (/), так как при
условии у = —Арь, когда пересекаются две кривые, происходит пере-
ключение золотника и смена уравнений. На участке 0 — 1 координата
У> согласно формуле (8.36), изменяется по параболе, осью симметрии
которой служит ось ординат, причем вершина параболы обращена
вниз, так как ТаТ\12 > 0. Координата и на этом участке возрастает
прямой линии, следовательно —kp убывает также по прямой.
В момент t = имеем yt = — kpi\ далее у меняется по параболе (8.39),
°сь симметрии которой параллельна оси ординат, а вершина обра-
283
щена вверх, так как —Тл7\/2 < 0. Координата р-, согласно выра^е
нию (8.39), на участке 1—2 убывает, значит, переменная —kp возрас^
тает. Проделанное построение показывает, что отклонения у и р По*
степенно уменьшаются; следовательно, система устойчива.
Аналогично может быть построен переходный процесс и в других
релейных системах.
В рассмотренном примере нелинейная характеристика (релейная
характеристика двигателя) состоит из двух отрезков прямых. Поэто-
му система нелинейных уравнений распадается на две линейные си-
стемы, каждая из которых справедлива в определенной области зна-
чений переменных. Если нелинейная характеристика системы состав-
лена из отрезков прямых, то система называется кусочно-линейной.
Движение кусочно-линейной системы может быть описано решениями
ряда последовательно сменяющих друг друга систем линейных диф-
ференциальных уравнений. При этом конечные значения перемен-
ных предыдущего участка принимаются за начальные значения пере-
менных последующего участка. Такой метод построения переходных
процессов в нелинейных системах называют методом припасовывания,
так как он предполагает определение постоянных интегрирования ис-
ходя из согласования (припасовывания) значений переменных на гра-
нице соседних участков. Построив методом припасовывания кривую
переходного процесса и проанализировав ее, можно определить усло-
вия устойчивости системы, а также оценить качество переходного про-
цесса.
Метод припасовывания применяется для построения переходных
процессов как в релейных, так и в других, более сложных, кусочно-
линейных системах. Недостатком метода является его громоздкость.
Скользящие режимы в релейных системах автоматического регу-
лирования. Выше при построении переходного процесса предполага-
лось, что каждые две соседние точки пересечения прямой —kp (/), ко-
торую будем называть прямой двигателя, с кривой у (t) — параболой
объекта — лежат по разные стороны от вершины параболы. Если
прямая двигателя располагается достаточно круто по отношению к оси
времени, то после некоторого числа колебаний (а может быть, и и
начале процесса) может оказаться, что две соседние точки пересе-
284
Рис. 8.10. К пояснению условий возникно
вения скользящего режима
ения этой прямой с параболой объекта будут лежать по одну сторону
\ вершины параболы. Такой случай изображен на рис. 8.10, гдеточки
д й В лежат по одну сторону от вершины параболы — точки С.
3 Из графика переходного процесса нетрудно видеть, что если кри-
вая У (0 располагается на графике выше прямой двигателя, то знак
суммы у + kp положителен, и наоборот, если парабола объекта рас-
положена ниже прямой —kp (/), знак данной суммы обязательно от-
рицателен. Положительному знаку суммы у + kp согласно уравне-
ниям (8.33) соответствует
отрицательная скорость
двигателя, и наоборот, если
У + kp < 0, то dyJdt > 0.
Между точками А и В
парабола объекта проходит
выше прямой двигателя,
здесь у + kp > 0, скорость
двигателя отрицательна.
Как будет происходить
движение после встречи
кривых в точке В, для ко-
торой у + kp = 0? В этой
точке возникают особые,
вытекающие из расположе-
ния кривых, условия, ко-
торых нет в предыдущих
точках пересечения А, Ви
др.
Допустим, что скорость двигателя в точке В изменится и станет
положительной, т. е. прямая двигателя пойдет в направлении BD.
Но тогда сразу же после момента переключения парабола объекта
опять пойдет выше прямой двигателя, т. е. будет у + kp > 0, и, сле-
довательно, как и на участке ЛВ, скорость двигателя должна быть
отрицательной, а значит, прямая двигателя должна идти в направле-
нии линии BE.
Допустим теперь, что прямая двигателя после точки В идет в на-
правлении линии BE, т. е. скорость двигателя отрицательна. Но тогда
сразу же после момента прохождения точки В парабола объекта рас-
полагается ниже прямой двигателя, т. е. получаем у 4- kp < 0, и,
следовательно, скорость двигателя должна стать положительной, а
прямая двигателя должна пойти в направлении линии BD.
Стоит только предположить движение в направлении BD (ниже
параболы объекта), как возникают условия, при которых движение
Должно совершаться в направлении BE. Наоборот, как только мы до-
пускаем движение в направлении BE (выше параболы объекта), так
возникают условия, при которых движение может совершаться только
в направлении BD. Поэтому кривая —kp (/) после точки В не может
идти ни выше, ни ниже кривой у (/), она может только совпадать с
эт°й кривой:
-МО =0(0-
(8.40)
285
Уравнение (8.40) можно получить, если принять, что скорое?
двигателя с бесконечно большой частотой меняет знак, при этом сред
няя скорость d^ldi = 0.
Согласно уравнению (8.40), кривая двигателя «следит» за кривой
объекта, «скользит» по ней, поэтому такой режим работы релейных
систем автоматического регулирования называется скользящим
жимом.
Если увеличивать угловой коэффициент прямой АЕ (см. рис. 8.10)
то точка В будет приближаться к точке Лив пределе сольется с ней*
В последнем случае скользящий режим будет начинаться сразу от
точки А. При соответствующих условиях переходный процесс целиком
с самого начала, может протекать в скользящем режиме.
В данной точке графика переходного процесса скользящий режим
возникает, если прямая двигателя идет круче кривой объекта, т. е.
условие возникновения скользящего режима имеет вид
I d (— kp)/di | > dyldt
и определяется как параметрами системы, так и начальными усло-
виями.
Объединяя уравнение (8.40), представляющее собой уравнение дви-
гателя после точки В, с уравнением объекта, имеем
Tady/dt = — уIk,
откуда
У = Се-'ЛГ.,
где С = у (0) при t — 0, т. е. С = у Таким образом, движение ре-
лейной системы в скользящем режиме описывается решением линейного
дифференциального уравнения.
Чтобы разобраться в причинах возникновения скользящего режи-
ма, заменим в рассматриваемой задаче идеальную релейную характе-
ристику реальной характеристикой с мертвой зоной и гистерезисными
петлями (рис. 8.11).
Рассмотрим, как может изменяться скорость двигателя под воздей-
ствием входной координаты элемента а.
Значение отклонения золотника а соглас-
но (8.31) определяется значениями регули-
руемой величины у и воздействия обратной
связи |х. Допустим, что за счет изменения
у координата золотника достигла значе-
ния, соответствующего абсциссе точки а на
рис. 8.11. Тогда двигатель (см. рис. 8.8)
включится и обратная связь будет стре-
миться возвратить золотник в среднее по-
ложение. Если это действие обратной связи
будет достаточно эффективным, то коорди-
ната золотника уменьшится настолько, что
станет меньше абсциссы точки d на рис-
Рис. 8.11. Направление
обхода по релейной харак-
теристике при движении,
служащем аналогом сколь-
зящего режима
286
я 11, и в момент прохождения точки d двигатель остановится. Одно-
еменно с остановкой двигателя воздействие обратной связи пере-
₽^анет изменяться, и, если отклонение у по-прежнему нарастает в
с же сторону, координата золотника а снова увеличится, достигнув
бсниссы точки а, двигатель снова включится в ту же сторону. Но
включение двигателя опять приведет в действие обратную связь, стре-
мятУюся снова уменьшить отклонение золотника, и т. д.
Таким образом будет происходить обход по петле abed релейной
характеристики, сопровождающийся частыми включениями и вы-
ключениями двигателя. Это движение реальной системы будет анало-
гОм скользящего режима в системе с идеальной характеристикой, но
при наличии мертвой зоны и гистерезиса координата и следит за коор-
динатой у не точно, а с некоторым отставанием. При этом сумма у + Ы
равна не нулю, а некоторой величине, определяемой абсциссами то-
чек а и d на рис. 8.11. Если ширину гистерезисной петли устремить
к нулю, то в пределе получим скользящий режим для идеализиро-
ванной системы, в котором включения и выключения сервомотора
происходят мгновенно и с бесконечно большой частотой.
Из сказанного выше следует, что скользящие режимы характерны
для релейных систем, у которых релейный элемент охвачен обратной
связью. Чем эффективнее действие обратной связи, т. е. чем больше
коэффициент обратной связи k2, тем круче расположена на графике
переходного процесса прямая двигателя и тем вероятнее возникнове-
ние скользящего режима.
Итак, скользящие режимы являются идеализацией реальных дви-
жений особого вида; они возникают ввиду наличия разрывов непре-
рывности у идеализированных нелинейных характеристик.
§ 8.4. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОЦЕССОВ НА ФАЗОВОЙ
ПЛОСКОСТИ
Пусть система описывается дифференциальным уравнением вида
d2 Xi . dxy ,	I dX\	\	/о л
—ЛГ-+а1—7- +«2^1 = ^ —,	8.41
dt2	dt	\ dt	J
гДе alf a2 — постоянные коэффициенты; F — некоторая нелинейная
Функция. Обозначая dxjdt = х2» вместо уравнения (8.41) получим си-
стему уравнений
(8.42)
(8.43)
dx ]	dx2 г? /	\
= х2;	—j- = F (хъ х2) — atx2 — a2xt.
dt	dt
Разделим второе уравнение (8.42) на первое, тогда
dx2 F (х,, х2) — Д1Х2 — atxi
dxt	х2
Решение уравнения (8.43), образованного из уравнения (8.41),
Удет служить решением и для исходного уравнения (8.41). Но в урав-
ении (8.43) исключено время t; его решение представит зависимость
287
между текущими значениями координаты Xj и производной от Эт »
координаты по времени х2. Вид общего интеграла уравнения (8Л1?
будет зависеть от конкретного вида функции F (х1( х2). В общем сЛу
чае этот интеграл можно записать так:
/(хь х2, С)=0,	(8.44)
где / — некоторая функция; С — постоянная интегрирования.
Уравнению (8.44) соответствует семейство кривых на плоскости
xlf *2 — интегральных кривых уравнения (8.43). Эти кривые, как у>Ке
отмечалось при рассмотрении прямого метода Ляпунова, будут слу-
жить траекториями движения изображающей точки на плоскости
xit х2. Такие траектории принято называть фазовыми траекториями
а плоскость, на которую они наносятся, — фазовой плоскостью, или
плоскостью состояний (фаза — величина, характеризующая состоя-
ние колеблющейся системы в данное мгновение; каждая точка рас-
сматриваемой плоскости соответствует определенному состоянию си-
стемы, в связи с чем эта плоскость и называется фазовой).
В равновесном, статическом режиме имеем dxjdt = dx2/dt == О,
или, согласно выражениям (8.42),
*2 = 0, F (хь х2) — агх2 — а2хг = 0,	(8.45)
т. е. числитель и знаменатель правой части уравнения (8.43) обраща-
ются в нули. При этом величина dx2ldxi, определяющая направление
касательной к фазовым траекториям, становится неопределенной.
Точки фазовой плоскости, в которых dx2ldxi = 0/0, называются осо-
быми точками. В рассматриваемом случае координаты особых точек
определяются решением системы (8.45). В частном случае система
(8.45) может иметь решение
*1 = 0, к2 = 0;	(8.46)
в более общем случае, например, решение
а < *1 < Ь\ х2 = 0.	(8.47)
Таким образом, статические режимы изображаются особыми точ-
ками, располагающимися обычно у начала координат фазовой плос-
~	изолированная особая точка с координатами
(8.46), она называется точкой покоя. Если
имеется множество особых точек с координа-
тами (8.47), определяющими на фазовой пло-
скости некоторый отрезок, то последний на-
зывается отрезком покоя.
Рассмотрим, как движется по фазовым тра-
екториям изображающая точка. При х2 О
координата возрастает, при х2 < 0 — убы-
вает. Следовательно, при расположении ко-
ординатных осей, принятом на рис. 8.12,
изображающая точка будет двигаться, вра-
щаясь вокруг начала координат фазовой пло-
кости. Если имеется
Рис. 8.12. Вид фазо-
вой траектории на
плоскости
288
й п0 часовой стрелке. При х2 = 0 фазовые траектории пересека-
сК°ось *1 под прямым углом, так как в этих точках координата xt
5еет экстремум.
и Характер фазовых траектории определяется видом исходного урав-
1Ия, начальное положение изображающей точки на фазовой плос-
Иости ’определяется начальными условиями (при / = 0 имеем =
К %?, *2	*2)- Фазовая плоскость с траекториями в целом соответ-
^вуе’т общему решению системы и характеризует совокупность всех
возможных движений, та или иная фазовая траектория в отдельности
соответствует частному решению и характеризует данное конкретное
движение.
Построив фазовые траектории, всегда можно проследить, как дви-
жется по ним изображающая точка относительно точки или отрезка
покоя. Если изображающая точка с течением времени неограниченно
удаляется от точки покоя, соответствующее равновесное состояние
неустойчиво. Наоборот, если изображающая точка, независимо от
ее начального положения, двигаясь по фазовым траекториям, прихо-
дит к точке покоя, состояние равновесия устойчиво.
Итак, совокупность фазовых траекторий на плоскости определяет
все возможные движения системы и служит наглядным изображением
ее динамических свойств. Поэтому фазовую плоскость с нанесенными
на нее траекториями называют фазовым портретом системы.
Система второго порядка (8.42) имеет две независимые перемен-
ные — Xi и х2. Поэтому фазовый портрет системы (8.42) изображается
на плоскости, имеющей две координатные оси. Если система диффе-
ренциальных уравнений имеет третий порядок, то фазовые траектории
размещаются в трехмерном фазовом пространстве. В случае системы
уравнений n-го порядка фазовое пространство имеет п измерений.
Геометрические построения в пространстве значительно менее на-
глядны, нежели геометрические построения на плоскости. Поэтому
наибольшее практическое применение имеют методы построения фа-
зовых траекторий на плоскости, когда система имеет второй порядок.
Тем не менее, понятие фазового пространства, или пространства со-
стояний, является фундаментальным для теории нелинейных систем
при любом порядке исходных уравнений.
Фазовые траектории линейной системы второго порядка. Типы
особых точек. Пусть система описывается линейным дифферен-
циальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициен-
тами
(fiXi/dt* + ai dxjdt -Ь а2х, = 0е	(8.48)
Обозначая, как и выше,
dx^/dt = х2)	(8.49)
113 уравнения (8.48) имеем
dx2/dt = ——^1*2-	(8.50)
Оделив уравнение (8.50) на (8.49), получим
dx2/dxi = — (a2*i	+ П1%2)/х2.	(8.51)
0-493	289
(8.52)
Согласно выражению (8.51), на фазовой плоскости xlt х2
точка покоя с координатами хх — 0, х2 == 0.
Сделаем в уравнении (8.51) замену переменных
х2 == гхг.
Дифференцируя выражение (8.52) имеем
dx2/dxi = z + хг dz/dx^
Подставляя выражения (8.52) и (8.53) в (8.51), получаем уравнение
с разделяющимися переменными:
zdzHz2 4- arz + а2) = — dxjx^	(8.54)
Разлагая знаменатель левой части на множители, находим
zdz/[(z — sj (z — s2)] = — dXj/%!,	(8.55)
где s1 и s? — корни характеристического уравнения
s2 + axs + a2 = 0.	(8.56}
В общем интеграле уравнения (8.55) заменим z на x2/xit тогда полу-
чим уравнение семейства фазовых траекторий, вид которых будет за-
висеть от типа корней st и s2.
1. Пусть корни чисто мнимые: «1 = /со, s2 = —fa. Тогда переход-
ный процесс изображается синусоидой (рис. 8.13, а), амплитуда и
начальная фаза которой определяются начальными условиями. Урав-
нение (8.55) принимает вид
zdzl(z2 4- со2) = — dxr/xv	(8.57)
Интегрируя это уравнение, находим
-j- In (z2 -+- (О2) = — In Xi + С.	(8.58)
Обозначая С = In (со Ci) и учитывая выражение (8.52), из уравнения
(8.58) получаем уравнение семейства эллипсов
х2 / (соСО2 + Х| / С| = 1	(8.59)
с полуосями co Ci и Cf. Следовательно, фазовые траектории представ-
ляют собой семейство замкнутых кривых, вложенных одна в другую
(рис.8.13,6). Особая точка типа начала координат фазового портрета,изо-
браженного на рис. 8.13, &
Рис. 8.13. Периодический процесс (а) и
фазовые траектории центра (б)
называется центром,
2. Пусть St и s2 — ком-
плексные с отрицательны-
ми вещественными частя-
ми. В таком случае пере-
ходный процесс будет зату-
хающим колебательным
(рис. 8.14, а). Если у#е
имеется график этого пр0'
290
т0 фазовую траекторию можно построить и не прибегая к инте-
цеСпо’ваНию уравнений. В рассматриваемом случае для этого достаточно
ГРЯ°Ь с графика процесса соответствующие друг другу значения
сНи х2 e dxjdt = tg а, где а — угол наклона касательной к кривой.
На участке О А функция x^f} возрастает, здесь х2 > 0. Этому соот-
Рио. 8.14. Затухающий колебательный процесс (а) и
фазовая траектория устойчивого фокуса (б)
ветствует участок О'А' фазовой траектории на рис. 8.14, б. В точке А
координата Xi достигает максимума, здесь производная х2 =- dxjdt
обращается в нуль, и т. п. Как видим, затухающему колебательному
процессу соответствует фазовая траектория в виде спирали, «наматы-
вающейся» на начало координат. Особая точка, на которую «наматы-
ваются» спиралями все расположенные в ее окрестности траектории,
называется устойчивым фокусом.
а)
х,
о
Рис. 8.15. Расходящийся колебательный
процесс (а) и фазовая траектория неустой-
чивого фокуса (б)
3. Пусть корни уравнения (8.56) — комплексные с положительны-
ми вещественными частями. Тогда процесс x^t) будет колебательным
Расходящимся, фазовая траектория будет иметь вид спирали, «раз-
рывающейся» от начала координат (рис. 8.15). Особая точка, соот-
Рствующая этому случаю, называется неустойчивым фокусом.
4. Пусть корни уравнения (8.56) — вещественные отрицатель-
ные. в этом СЛуЧае процесс Xi(Z) будет монотонным (кривая 1 на
РИс- 8.16, а), с перерегулированием (кривая 2) или промежуточной
Ф()рмы (кривая 5). Монотонному процессу на фазовой плоскости соот-
ветствует траектория, вливающаяся в начало координат, при движе-
Ии вдоль которой х{ все время уменьшается (кривая 1' на рис. 8.16,6).
Процессу с перерегулированием соответствует вливающаяся в нача
координат траектория, при движении вдоль которой меняет з/10
(кривая 2'). Процессу промежуточной формы соответствует траец^
рия, при движении вдоль которой знака не меняет, но х2 меня°'
знак (кривая 3'). Во всех случаях функция x^t) лишь в пределе, гцГ
+ оо, обращается в нуль, поэтому и изображающая точка попа*
------------„-----------_ 4 _ । _	точка такого
t = + оо. Особая
дает в начало координат лишь при
па называется устойчивым узлом.
Рис. 8.16. Апериодические затухаю-
щие процессы (a) it фазовые тра-
ектории устойчивого узла (б)
Рис. 8.17. Апериодические расходя-
щиеся процессы (а) и фазовые тра.
ектории неустойчивого узла (б)
5. Если корни уравнения (8.56) — вещественные положительные,
то переходный процесс будет апериодическим расходящимся
(рис. 8.17, а). Этому процессу соответствует фазовая траектория, вы-
Рис. 8.18. Фазовые траекто-
рии седла
ходящая из начала координат и уда-
ляющаяся в бесконечность (рис. 8.17, б).
Начало координат фазовой плоскости
представляет здесь особую точку, на-
зываемую неустойчивым узлом.
6. Пусть, наконец, уравнение (8.56)
имеет вещественные корни разных зна-
ков. В этом случае особая точка назы-
вается седлом; в нее входят две и из
нее выходят две траектории, остальные
траектории с ней не касаются (рис. 8.18).
Пусть теперь исходная система урав-
нений имеет вид
dxjdt = апхг + ак2х2 + Р (*ь *2);
dx2ldt = а21хг +	+ Q Ui, х2),
(8.60)
где aih — постоянные коэффициенты; Р, Q — члены, обращающиеся
в начале координат в нуль по крайней мере как бесконечно малые
второго порядка. Пусть s2 — корни характеристического уравне-
ния линейной системы, получаемой из (8.60) при Р = Q = 0, т. е*
корни уравнения
s2 — (Ли + М s + (ап а22 — а12 а21) - 0,
(8.60
292
причем
будем полагать выполненным неравенство
^22-------------------^12 ^21 =Н= О*
французский математик А. Пуанкаре показал, что нелинейная
тема (8.60) имеет особую точку Xi = х2 == 0 одного из рассмотрен-
ие вЫше типов: 1) устойчивый фокус (если Si и s2 — комплексные с
HbI ииательными вещественными частями); 2) неустойчивый фокус
°ТР и Si и s2 — комплексные с положительными вещественными частя-
иГ 3) устойчивый узел (если Sj и s2— вещественные отрицательные);
4) неустойчивый узел (если Si и s2 — вещественные положительные);
J седло (если $i и s2 — вещественные разных знаков); 6) если Sj и
' чисто мнимые, то возможен центр или фокус в зависимости от
вида функций Р и Q. В каждом случае фазовые траектории системы
(8.60) в малой окрестности особой точки аналогичны соответствующим
траекториям линейной системы.
Фазовые траектории нелинейных систем. Предельные циклы. Фа-
зовые траектории нелинейных систем могут быть получены путем при-
ближенного интегрирования дифференциальных уравнений, с по-
мощью электронной моделирующей установки и т. п. Если Р и Q —
кусочно-линейные функции, то система (8.60) представляет собой
ряд подсистем линейных дифференциальных уравнений, каждая из
которых справедлива в определенной области qt плоскости хь х2.
В каждой области qt фазовые траектории могут быть определены как
часть траекторий соответствующей линейной системы; сшиванием
траекторий, принадлежащих отдельным областям qb находятся тра-
ектории на всей плоскости хь х2.
Для линейных систем факт сходимости процессов к состоянию рав-
новесия не зависит от начальных условий. В нелинейных системах
возможны более сложные случаи, когда переходные процессы сходят-
ся к состоянию равновесия при одних и расходятся при других на-
чальных отклонениях.
Пример 8.3. Рассмотрим релейную систему, изученную в предыдущем
параграфе, но предположим теперь, что объект регулирования неустойчив.
Тогда уравнения движения вместо (8.33) запишутся в виде
Tady/dt + ру = р,
dy.
I при у + ftp < 0;
0 при у +	= 0;
(8.62)
— 1 при у + kp > 0,
где
Р = const. В данном случае удобно ввести новую переменную
Xi = У + fy*
18.63)
отроить фазовый портрет в координатах xlf х2 = dx^dt. Подставляя значения
1й	найденные из выражения (8.63), в первое уравнение (8.62) и диф-
^оренцируя результат, получим
_ d2x, dXi ,	dp
Та —1 + р — = (1 + fcp) — •
а dt2 v dt	dt
293
Подставляя в последнее уравнение значения d^/dt из второго уравнения систа
(8.62), имеем	темЬ1
т т d*X1 _l т dX1 -f 1 + Р* при Xj < 0;
а д d/2 +Р д dt |_(1 + pfe) при Х1 > 0	(8.64)
Учитывая, что dx^/dt =х2, т. е. d2Xi/dt2 — dx2/dt, из уравнений (8.64) получаем
1 + pfe — Тдрх2
--------------- при хх < 0;
ТаТл.х2
dx2
dXi
(8.65)
dx2
dxy	ТаТдХ2
Уравнения (8.65) представляют собой дифференциальные уравнения фазовых
траекторий. Первое из них после разделения переменных запишется в виде
x2dx2 р t
7---7 = ZT” dXi при Xi < 0,
и х2 * а
1 4" рб 4"	п
---------------- при хх > 0.
(8.66)
где
G=(l+pfe) T~l p-i.
Уравнение (8.66) можно записать так:
/	1	\	р
1 + G------- ldx2 = — — dxL.
\ x2 — G]	Та
Последнее уравнение может быть сразу проинтегрировано:
(8.67)
р
х2 4- G In (х2 — G) = — — хг Сх при хх < 0.
*а
Аналогично для второго уравнения (8.65) найдем
(8.68)
р
х2 — G in (х2 4- G) = — — хх 4- С2 при хх > 0.
"а
Произвольные постоянные Ci и С2 в уравнениях фазовых траекторий
и (8.69) можно выразить обычным способом через начальные условия
Тогда эти уравнения запишутся так:
о	1	х2  G	р у	«V
*2 — х2 4- G	In	———	= — — (хх	— х^)	при хх < 0;
х2 и 1 а
(8.69)
(8.68)
Хр х2.
(8.70)
о	4“ G Р /	о\	л
х2 — х2 — 6 In -Q—— = — — (хх — xj при Xi > 0.
х2 4" u 1 а
(8.71)
Сравним уравнения (8.70) и (8.71). Если в первом из них поменять знаки
у переменных xi и х2, то получим точно такое же уравнение, как и (8.71). Это
свидетельствует о том, что фазовые траектории на плоскости xi, х2 симметричны
относительно начала координат.
Рассмотрим, например, характер фазовых траекторий при xi > 0. Согласно
выражениям (8.65), (8.67) для xi > 0 имеем
dx2ldxy =— (р/Та) [(<3 + х2)/х2].	(8.72)
Выше сделано предположение, что р < 0. Будем полагать также, чт0
1 +р/г > 0. Тогда G = (1 4- ркуГ"1 р < 0, р Т~ах < о. Еслих24-б=0, то,
294
io выражению (8.72), имеем dx2/dx\— 0, т. е. х2= —G “ const > 0 при
сог'паС1 Х1 > 0. Если х2 > О и х2 < — G, то, согласно (8.72), имеем dx2ldxi < О,
лк>бом во3растанием xi координата х2 убывает. Для х2> 0 и х2>— G, наоборот,
т. с с ^о, т. е. при увеличении xi координата х2 также увеличивается. Далее,
ак х2== dxildt, то при х2= 0 координата xi достигает максимума. Рассуж-
так кпоДобным образом, нетрудно проследить
вазовых траекторий в полуплоскости лч > 0.
угон полуплоскости эти траектории распо-
6 ДяРются симметрично (рис. 8.19, а).
ла‘' рассмотрим условия перехода изображаю-
.. точки из полуплоскости п< 0 в полупло-
mClcTb Xi >0 или обратно. Подставляя в продиф-
^прниированное равенство (8.63) значения dyjdt
^уравнений (8.62), получаем
х2 == dyldt И- /г/Тд при	< 0;
х2 = dyldt — kITji при	> 0.
f псдовательно, при xi= 0 изображающая точка
совершает скачок по направлению к началу ко-
ординат величиной
Дх2 = 2Ь/Тд.	(8.73)
см
Рис. 8.19. Фазовые траек-
тории (а) и изображение
на фазовой плоскости пере-
ходного процесса (б) для
релейной системы с неус-
тойчивым объектом
Один из возможных переходных процессов
показан на рис. 8.19, б.
Рассмотрим, будет ли состояние равновесия
системы х2= 0 устойчивым, и если да, то
при какой величине начальных отклонений.
Пусть изображающая точка в начальный мо-
мент времени имеет координаты хх= 0, х2~ х2.
Если, обойдя по фазовым траекториям вокруг
начала координат, изображающая точка опять
приобретет координаты xi = 0. х2 = х2, т. е. фа-
зовая траектория, составленная из кусков кривых
разных семейств, будет замкнутой, то в системе бу-
дет иметь место периодическое движение. Но для
эюго достаточно, чтобы | х21 = х2 (см- Рис- 8.19, б), так как фазовые траек-
тории симметричны относительно начала координат. Условием сходимости фа-
зовых траекторий к точке покоя будет служить неравенство | х2 | < х2 усло-
вием расходимости — неравенство х2[ > х2.
Чтобы изучить зависимость | х21 от х2 , рассмотрим зависимость | х21
01 х2 и 1*11 от |хг|- Зависимость |х2| от х2 найдем, подставив в уравнение
(8.71) значения х® = 0, xi=0, х2 =х2 =— I х2 I; при учете G = —|G| по-
лучим
| С | — хи,
|4|+^ + ^п10|-+|х1| =0.
(8.74)
Из выражения (8.74) следует, что | х21 монотонно возрастает G ростом х2 ,
пРИчем | х21 > х2 График зависимости |х2| от х2> согласно уравнению (8.74),
изображен на рис. 8.20, а. Зависимость
№73) будет
|^| = |х’|-2*/Тд.	(8.75)
I х2 | от |х2| согласно выражению
295
Это — прямая линия, изображенная на рис. 8.20, б. Уравнения (8.74) и (3 >
совместно позволяют определить зависимость |х|| от х®. Имея графики, и
браженные на рис. 8.20, а, б, удобно определить эту зависимость графичеСк°
Для этого достаточно из ординат кривой, представленной на рис. 8.20, « ?и*
честь отрезок 2k/Тл. Тогда получим кривую, показанную на рис. 8.20, в и пр?1'
ставляющую собой график функции |х|| = [(х^). ^та последняя кривая Обя*
зательно будет пересекать биссектрису координатного угла. Так как уравнен/
биссектрисы имеет вид	Ие
то в точке пересечения f(x 2) = и, следова.
тельно, на фазовой плоскости имеется замк.
нутая траектория. Значение соответству.
ющее точке пересечения, обозначим через
*2- Если х® <х2> то Т0ГДа» как это следует из
расположения кривых на рис. 8.20,
< х®’ т- е- фазовые траектории сходятся
к точке покоя. Если x2>*2» то» согласно
рис. 8.20, в, имеем |^| >х2’ т- е- фазовые
траектории расходятся в бесконечность.
Следовательно, в рассматриваемой системе
состояние равновесия устойчиво лишь для
отклонений х2 < *2 (ПРИ = 0)- Установ-
ленный таким образом окончательный вид
фазового портрета изображен на рис. 8.21.
Конкретное значение координаты х2 можно
найти, решив численно уравнения (8.74) и
(8.75).
Заметим, что построив график, представ-
ленный на рис. 8.20, в, мы нашли преобра-
зование согласно фазовым траекториям точек
полупрямой Х1= 0, х2>0, расположенной на
фазовой плоскости, в соответствующие им то-
чки полупрямой xi= 0, х2< 0, или, как го-
ворят, выполнили точечное преобразование
полупрямой xi= 0, х2> 0 в полупрямую Х1=
= 0, х2< 0. Поэтому метод, примененный в
рассмотренной задаче для определения возмо-
жных движений систем, носит название ме-
тода точечных преобразований (точечных
отображений.)
I *2,; в) “ | хг| от х2	Если переходный процесс сходится
к состоянию равновесия при малых от-
клонениях от этого состояния и расходится в бесконечность
при больших отклонениях, то границей между областями сходимости
и расходимости процесса на фазовой плоскости обычно служит замк-
нутая траектория, соответствующая периодическому процессу
(рис. 8.22, а). Такую изолированную замкнутую траекторию А. Пуан-
каре назвал предельным циклом. При сколь угодно малом начальном
отклонении от этой траектории изображающая точка уходит либо к
началу координат, либо в бесконечность. Поэтому периодическое ДвИ'
жение в данном случае неустойчиво, а соответствующий ему на фазо-
296
.. плоскости предельный цикл носит название неустойчивого пре-
Ильного цикла.
"рассмотренная выше система (8.62) представляет собой конкретный
мер системы с неустойчивым предельным циклом (см. рис. 8.21).
В нелинейных системах возможны и устойчивые предельные
1кльц на которые фазовые траектории асимптотически «наматывают-
изнутри и снаружи (рис. 8.22, б). В этом случае сколь угодно
СдПому отклонению от периодического движения соответствует движе-
ние, сколь угодно близко к нему приближающееся, т. е. периодиче-
ское движение является устойчивым движением. На фазовом портре-
Рис. 8.21. Фазовый портрет
релейной системы, устойчи-
вой для малых и неустойчи-
вой для больших отклонений
Рис. 8.22. Колебательные процессы
и фазовые портреты в случае неус-
тойчивого (а) и устойчивого (б)
предельных циклов
те, изображенном на рис. 8.22, б, состояние равновесия системы =
= х2 = О неустойчиво. Все движения системы, независимо от величи-
ны начальных отклонений, заканчиваются стационарными колеба-
ниями вполне определенного характера (конкретный пример системы
с устойчивыми стационарными колебаниями рассмотрен в следующем
параграфе).
В нелинейных системах возможны случаи, когда одновременно
имеется несколько предельных циклов, устойчивых и неустойчивых.
Предельные циклы, так же как и отрезки.покоя, являются приме-
рами особых линий на фазовой плоскости.
Автоколебания. В реальных системах автоматического управле-
НИя наблюдаются периодические движения, называемые автоколеба-
ниями и обладающие следующими особенностями.
Первым признаком того, что данное незатухающее колебание от-
веится к автоколебаниям, является отсутствие периодического внеш-
ег° воздействия: автоколебания являются собственными колебания-
и системы. Но незатухающие колебания без наличия внешней
сриодической силы может совершать и консервативная система, в
нет пополнения и потерь энергии. Автоколебания отличны от
Си°боДных колебаний консервативных систем и возникают только в
Стемах существенно неконсервативных, к которым и относятся си-
297
стемы автоматического регулирования. Автоколебания поддеру
ются за счет равенства потерь энергии за колебательный цикл прищо^
энергии от неколебательного источника. Таким источником энер^
в системах автоматического регулирования служит регулируемы-
объект или усилитель. При этом система, совершающая колебатель
ное движение, сама управляет притоком энергии от этого источника
Далее, если форма и частота вынужденных колебаний существенно
зависят от формы и частоты внешнего периодического воздействия
то форма и частота автоколебаний, происходящих всегда при отсутст’
вии внешнего периодического воздействия, определяются свойствами
самой системы. Свободные колебания консервативной системы так>ке
происходят при отсутствии внешнего периодического воздействия
но амплитуда и частота таких колебаний, вообще говоря, определяют’
ся начальными условиями. Например, идеальный маятник будет ко-
лебаться с тем большей амплитудой, чем больше начальное отклоне-
ние маятника. В отличие от этого форма и частота автоколебаний не
зависят от начальных условий. Автоколебания, устанавливающиеся
в данной системе после окончания переходных процессов, имеют впол-
не определенные форму и частоту, которые могут быть изменены лишь
изменением параметров системы, т. е. коэффициентов уравнений дви-
жения.
Наконец, характерной особенностью автоколебаний является то
обстоятельство, что они обычно не исчезают при достаточно малых
изменениях начальных условий и параметров системы. Точнее, если
автоколебания существуют, то они существуют для целой области
начальных отклонений. И если автоколебания возникают при каких-то
определенных значениях параметров системы, то они возникают и
при других, близких к ним, значениях параметров, несколько меняясь
при этом по форме и частоте.
Каковы математические модели автоколебательных процессов?
Периодические решения линейных систем не годятся для описа-
ния автоколебаний. Действительно, линейная система без внешнего
периодического воздействия имеет периодическое решение при нали-
чии чисто мнимых корней характеристического уравнения. Но ампли-
туда такого периодического решения зависит от начальных условий
и, кроме того, при малом изменении одного из параметров корни пе-
рестают быть чисто мнимыми и периодическое решение исчезает.
На математический аппарат, адекватный автоколебательным про-
цессам, указал А. А. Андронов. Автоколебания являются периода1#'
ским движением, изображаемым на фазовой плоскости устойчивым
предельным циклом (см. рис. 8.22, б). Устойчивый предельный цикл
отражает характерные особенности автоколебаний: наличие стацио-
нарных колебаний без периодической внешней силы, независимость
формы и частоты этих колебаний от начальных условий, устойчивость
периодического решения по отношению к достаточно малому измене-
нию начальных условий и параметров системы.
Для теории автоматического регулирования изучение автоколеба-
ний весьма существенно, так как в большинстве своем системы автома-
тического регулирования в равной степени могут работать и как ей'
298
Mbi стабилизации, и как автоколебательные системы: они являю!ся
с>с1Чно потенциально автоколебательными системами. Часто конструк-
оам и наладчикам приходится затрачивать много времени и труда,
Т°обы устранить автоколебания. Но иногда, наоборот, автоколебатель-
q1 режимы являются нормальными режимами работы системы, если
нь позволяют условия автоматизируемого процесса.
ЭТ Замечания о применении метода фазовой плоскости к исследова-
нелинейных систем автоматического управления. Как было
Сказано выше, динамический процесс в нелинейной системе может
^blTb сходящимся к положению равновесия или расходящимся в за-
висимости не только от значений параметров системы, но и от величи-
ны начальных условий. Поэтому исследовать динамику нелинейных
систем автоматического регулирования на фазовой плоскости значи-
тельно удобнее, чем с помощью построения графиков процессов во
времени. Построив фазовый портрет, можно сразу видеть, как ведет
себя система при различных начальных условиях. В этой нагляднос-
ти заключается основное достоинство метода исследования нелиней-
ных систем, связанного с построением фазовых траекторий.
Другое достоинство данного метода заключается в возможности
получения достаточно полного решения. Рассмотрев фазовое простран-
ство той или иной системы, можно получить представление о всех
возможных движениях системы и об условиях, при которых эти дви-
жения могут существовать.
Наконец, важной положительной стороной этого метода является
возможность получения достаточно точных результатов.
Однако, как отмечалось, исследовать нелинейные системы с по-
мощью построения фазового портрета удобно лишь в случае системы
второго порядка, когда фазовые траектории размещаются на плоскос-
ти. В случае более высокого порядка уравнений движения, когда фа-
зовые траектории могут быть построены лишь в некотором простран-
стве, трудности исследования возрастают, и в связи с этим дан-
ный метод становится значительно менее эффективным.
§ 8.5. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ
ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Сложность и громоздкость точных методов расчета нелинейных
систем ограничивают возможности их применения. Поэтому большое
практическое значение имеют приближенные методы, позволяющие
рассчитывать нелинейные системы любого порядка.
Наибольшее обоснование и распространение получили прибли-
женные методы определения периодических режимов в нелинейных
системах.
Определение периодических режимов в САУ представляет сущест-
вснный интерес. Если система имеет устойчивые стационарные колеба-
Пия, а состояния равновесия ее неустойчивы, то такая система обыч-
110 является неудовлетворительной с точки зрения практики. При ее
Расчете важно найти условия отсутствия периодических движений.
Другой стороны, в некоторых системах (например, в системах с виб-
299
рационными регуляторами) периодические режимы являются non
мальными рабочими режимами. В таком случае при расчете системы
важно определить параметры периодических режимов.
В большинстве своем приближенные методы отыскания периодиче.
ских решений нелинейных систем основаны на допущении о том, что
искомое решение имеет синусоидальную (или близкую к ней) форму
Строго говоря, в нелинейных системах периодические движения всег-
да несинусоидальны, но они часто близки к синусоидальным. Послед,
нее объясняется следующим обстоятельством.
Пусть система имеет нелинейное звено с уравнением
= Р Ui) .	(8.76) °
где F — некоторая нелинейная функция, а уравнения движения всех
остальных звеньев линейны. Объединяя все линейные звенья в одну
общую часть, имеем уравнение движения линейной части
С (р) х} + В (р) х2 = О,
(8.77)
где
С (р) = Сор« -Ь Сг 4- ... + С„_, р + С„;
В (р) — Ворт + В, рт~' + ... + Вт_х р 4 Вт;
р = d/dt т<п
Структурная схема системы изображена на рис. 8.23.
Предположим, что на вход линейной
Рис. 8.23. Структурная
схема систем с нелинейным
звеном
части системы подается некоторое несину-
соидальное периодическое воздействие. Это
воздействие может быть разложено в три-
гонометрический ряд Фурье. Обычно линей-
ная часть системы служит фильтром высо-
кочастотных колебаний — амплитуды выс-
ших гармоник входного сигнала при про-
хождении через линейную часть уменьша-
ются во много раз, вследствие чего выс-
шими гармониками можно пренебречь, ос-
тавив лишь первую гармонику, т. е. синусоиду. В каждом конкрет-
ном случае это свойство системы может быть проверено по а.ф.х.
линейной части: если длины векторов а.ф.х. в области высоких ча-
стот малы, то линейная часть системы служит фильтром колебаний
с этими частотами. Чем интенсивнее отфильтровываются высшие гар-
моники, тем более будет оправдано допущение о синусоидальной
форме периодического движения на выходе линейной части системы-
Указанное свойство автоматических систем и является физическим
основанием для применения приближенных методов расчета периоди-
ческих движений в этих системах, как движений синусоидальных.
Гармоническая линеаризация. Из числа различных приближен-
ных методов расчета нелинейных систем наибольшее распространение
получил метод гармонической линеаризации нелинейностей.
Пусть требуется определить периодические решения системы
(8.76), (8.77). На основе высказанных выше соображений допускаем,
300
искомое периодическое движение на выходе линейной части си-
^емы может быть достаточно хорошо описано синусоидой
с	х± = asin^t,	(8.78)
е а и со — неизвестные пока амплитуда и частота.
Г Величины а и со можно было бы искать из условия обращения
/равнений движения в тождества при подстановке в них решения
/8 78). Но так как периодические решения нелинейных систем лишь
Приближенно можно считать синусоидальными, то тождества из урав-
нений движения при подстановке в них приближенного решения
/§ 78) никогда не получится. Прежде чем осуществить такую подста-
новку, необходимо как-то упростить нелинейное уравнение.
Если на вход нелинейного звена с уравнением (8.76) подается пе-
риодическое воздействие, то, очевидно, и выходная координата этого
звена будет некоторой периодической функцией времени с тем же пе-
риодом. Следовательно, если существует периодическое решение х^/),
то и функция x2(f) = F [х^/)] также будет периодической с периодом
Т = 2 л/со, определяемым частотой со предполагаемого решения (8.78)
(если амплитуда колебаний входной величины xt не выходит за пре-
делы мертвой зоны нелинейной характеристики, то выходная величи-
на х2 будет тождественно равна нулю; этот случай опускаем, так как
он сводится к рассмотрению обычной разомкнутой линейной системы).
Разложим периодическую функцию F [х1(/)1 в ряд Фурье:
х2 = F [Xj (/)] = а0/2 + c^cos ю/ -|- a2cos2to/ + ... + artcosnco/ + ...
... + sin со/ + b2 sin 2со/ + ... + &rtsinnco/ + ... ,	(8.79)
в котором коэффициенты вычисляются по известным формулам:
т	т
ak = J F [%! (/)] cos kat dt\ bk = -у J F[x{ (/)] sin kut dt,
о	о
k = 0, 1, 2, ..., n ... .
Если первый член разложения (8.79) отличен от нуля, то колеба-
ния величины х2 несимметричны относительно оси времени. Это будет
иметь место при несимметричной нелинейной характеристике F (х^,
а также при наличии постоянного внешнего воздействия, приложен-
ного к системе. Полагая, что нелинейная характеристика симметрич-
на и внешнее воздействие отсутствует, имеем а0/2 = 0.
Высшие гармоники ряда (8.79) с частотами 2со, ... , псо, ... отбро-
сим на основании того, что, по допущению, они плохо пропускаются
^инейной частью системы и поэтому мало влияют на выходную коор-
динату линейной части, т. е. на искомое решение (8.78). В результате
вместо выражения (8.79), подставляя в формулы для и fej значение
xi согласно (8.78) и значение Т = 2л/со, будем иметь
2тс/ш
о
sin to/) sin ю/ dt sin ю/ +
X cos со/ dt cos to/.
2тс/ц>
о
sin ю/) x
301
Последнее уравнение можно упростить, перейдя в выражециЯх
для коэффициентов ряда Фурье к новой независимой переменной
ср = со/; при этом изменяются верхние пределы интегрирования
вместо t — 2л/оз они становятся равными <р = со/ = 2л; в результате
получаем
«2 = a [q (a) sin со/ +• qx (a) cos со/)],
где введены обозначения
q (а) = —С F (a sin ср) sin ср d ср;
7Ш J
о
qx (а) — —— V F (a sin <р) cos <р d ср.
ла J
о
(8.80)
(8.81)
ела гармонической линеари-
зации идеальной релейной
характеристики
Определим вид уравнения звена (приближенно заменяющего не-
линейное звено), на вход которого поступает воздействие (8.78), а
на выходе возникает установившийся сигнал (8.80). Простейшим об-
разом это можно сделать так. Из формулы (8.78) имеем
dx-Jdt = ae> cos со/.	(8.82)
Подставляя в выражение (8.80) значения cosco/ и sin со / из равенств
(8.78), (8.81), получаем
Хг = q (а) х, + [qi (a)/a>] (dx^dt).	(8.83)
В итоге уравнение нелинейного
звена (8.76) приняло вид линейного
уравнения (8.83). Проделанная опе-
рация перехода от нелинейного ура-
внения к линейному называется гар-
монической линеаризацией, а коэффи-
циенты q (a), qt(a) — коэффициента-
ми гармонической линеаризации.
Характерной особенностью урав-
нения (8.83) гармонически линеаризо-
ванной функции является зависимость
коэффициентов этого уравнения от
неизвестных амплитуды и частоты
искомого периодического решения.
Вычислить интегралы (8.81) для
конкретно заданной функции F (Xi)
несложно. Для типовых нелинейных характеристик значения коэф-
фициентов q (а) и qt(a) определены (табл. 8.1). В частности, для
идеальной релейной характеристики (рис. 8.24) имеем
q (а)	<7х(а) = 0,	(8.84)
па
302
Таблица 8.1
Коэффициенты гармонической линеаризации типовых нелинейностей
характеристики	Вид нелинейной характеристики		Q (а)	Qt <а>
	 Идеальная релейная характе ристика	хг	Гс		4с яа	0
	0			
Релейная характе- ристика с гистере- зисной петлей	х2		Л.1Л--4- па г	а2 при а > д	4сЬ па2 при а > b
	г- । ।	1 с 1 V		
	1 0 1 1 1	1 X, 1 b		
Релейная
характе-
ристика
с мертвой
зоной
1/1 _ 21
п а г а2
при а > b
О
Характери- стика с мертвой зоной	х2	S\Q		0 — -AL (arcsin -L- 4- 7г \	а	0
	0	<ь>	X,	+ 4 V.-.n а Г	«2 у при а > b	
Ха ракте- Ристика с насыще- нием		0	X0	|С	20	/	b 	 arcsin — 4- u	\	а	0
				+ 4	- 4-1 fl!	F	q2 J при а > b	
		д	xf		
Наименование
нелинейной
характеристики
Вид нелинейной
характеристики
Гистерезис-
ная петля
при а > b
Релейная
характе
ристика
с опере-
жающей
петлей
при а > b
4сЬ
п а2
при а >6
где с — значение х2 согласно релейной характеристике при > 0.
Следовательно, гармонически линеаризованное уравнение в данном
случае будет
х2 = [4с/(яа)]	(8.85)
Из рис. 8.24 следует, что при гармонической линеаризации релейной
характеристики ломаная ABDE заменяется прямой линией FG, на-
правленной под таким углом, чтобы эта прямая приближенно заменя-
ла тот участок ломаной, который охватывается колебаниями сданной
амплитудой а. Аналогичный геометрический смысл имеет гармони-
ческая линеаризация и других нелинейностей.
Частотная характеристика гармонически линеаризованного звена.
Пользуясь формулой синуса суммы двух углов, выражение (8.80)
перепишем так:
х2 = a]/ q2(a) 4- q2 (a) sin [со/ 4 arctg 1.	(8.86)
L	J
Напомним, что а.ф.х. элемента или звена представляет собой комплекс-
ное число, модуль которого равен отношению амплитуды установив-
шихся колебаний на выходе к амплитуде установившихся колебаний
на входе, а аргумент — сдвигу фаз между колебаниями на выходе и
на входе (см. § 2.6). В соответствии с этим определением по формулам
(8.86), (8.78) находим выражение а.ф.х. нелинейного элемента (8.76)
для случая, когда на выходе его учитывается только первая гармоника:
_____________ .	<71 (а)
J(a) = ]/q2(a) +	(а) е/агс 8 « (fl> = д(а) +	(а).	(8.87)
304
о данном частном случае эта характеристика не зависит от часто-
Поэтому иногда ее называют амплитудной характеристикой
монически линеаризованного звена.
^Определение амплитуды и частоты периодического решения. Итак,
нелинейной системы (8.76), (8.77) выполнен переход к гармониче-
°т ланеаризованной системе (8.77), (8.83), в которой коэффициенты
^висят от неизвестных амплитуды а и частоты со предполагаемого
запйодического решения (8.78). Если найдем значения а и со, то тем
Пямым определим решение (8.78). Для определения а и со применяют
различные способы.
" Первый способ. При фиксированных значениях а и со,
соответствующих какому-то периодическому решению, система (8.77),
/8.83) представляет собой однородную линейную систему с постоян-
ными коэффициентами. Такая система будет иметь периодическое ре-
шение тогда и только тогда, когда она находится на границе устойчи-
вости, т. е. когда среди корней ее характеристического уравнения
имеются чисто мнимые.
Подставляя значение х2 из выражения (8.83) в уравнение (8.77),
получаем
С (р) + В (р) Гр (а) +
L	ш
(8.88)
Отсюда характеристическое уравнение гармонически линеаризован-
ной системы:
С (s) + В (s) Гр (а) + si = 0.	(8.89)
Если можно подобрать такие положительные вещественные числа
а = аПУ со = со п> чтобы уравнение (8.89) имело чисто мнимые корни,
то периодическое решение (8.78) существует; если таких чисел подо-
брать нельзя — система не имеет периодических решений. Может
оказаться, что имеется несколько значений ап, соп, при которых урав-
нение (8.89) имеет мнимые корни; это будет означать, что система
(8.77), (8.83) имеет несколько периодических решений вида (8.78).
Подставляя в уравнение (8.89) значение s = /со, получаем поли-
ном с комплексными коэффициентами
С (/со) + В (/со) [q (а) + jq. (а)] = 0,	(8.90)
в котором разделяем вещественную и мнимую части:
Х(а, + jY (а, (о) = 0.	(8.91)
Комплексная величина равна нулю, если отдельно равны нулю ее
вещественная и мнимая части. Таким путем получаем систему из
Двух уравнений:
Х(ау со) = 0; Y (а, ш) = 0,	(8.92)
Позволяющую определить (если решения существуют) две неизвест-
Ые — амплитуду а и частоту со периодического решения (8.78).
305
Второй способ. В сложных случаях рассматриваемую за-
дачу удобнее решать графически. Запишем уравнение (8.90) в виде
В №)/С (/со) = - l/[q (а) + iq, (а)].	(8.93)
Левая часть уравнения (8.93) при 0 < со < оо определяет а.ф.х. ли-
нейной части системы (кривая 1 на рис. 8.25, а). Правая часть при
0 < а < оо задает в комплексной плоскости другую кривую (кривая
2). Построив эти кривые с отметками значении частоты на первой из
них и значений амплитуды — на второй, в точке их пересечения (ес-
ли она существует) определим значения а = ап, со = соп-
Третий способ. Вы-
.у 5)	\	ражение (8.91) при значениях
0 < со < о° и любом фиксиро-
Рис. 8.25. Определение амплитуды
частота периодического решения:
а —с помощью частотных характеристик; (
с помощью кривой Михайлова
ванном а представляет собой
уравнение кривой Михайлова
/И (а, /со) = X (а, со) 4- jY (а. со).
При прохождении кривой Ми-
хайлова через начало координат
имеем X (а, со) = 0, Y (а, со) =
и =0; при этом , согласно (8.92),
_со = со п — частота периодическо-
v го решения. Следовательно, ну-
жно задаваться рядом значений
амплитуды а и строить для ка-
ждого из них кривую Михайлова, пока не получим кривую, прохо-
дящую через начало координат. Амплитуда, при которой построена
эта последняя кривая, даст значение а = ап, а частота со = соп опре-
делится в точке пересечения кривой с началом координат. Для со-
кращения вычислений целесообразно воспользоваться интерполяцией
(см. рис. 8.25, б), производимой по формулам
(ап —CLi)l((h —d\) = АО/АВ\ ((оп — (dJ/((d2 — (dJ = СО/CD,
где аь а2 — значения амплитуд, при которых кривые Михайлова про-
ходят вблизи начала координат; со i, со2 — снятые с графика значения
частот на этих кривых вблизи начала координат. Измеряя длины от-
резков ДО, АВ и др. на рисунке, из последних формул находим ап,
СОп-
Найденные периодические решения гармонически линеаризован-
ной системы будут приближенно представлять собой периодические
решения исходной нелинейной системы.
Приближенная оценка устойчивости периодических решений.
Только устойчивые периодические решения нелинейных систем могут
описывать реально существующие периодические движения. Пусть
при а = ап гармонически линеаризованная система имеет периодиче-
ское решение. Дадим амплитуде малое приращение Да > 0. Если
при ап + Да амплитуда колебаний уменьшается, а при ап — Да —
увеличивается, то колебания сходятся к периодическому движению и
308
Рис. 8.26. К оп-
ределению ус-
тойчивости пе-
риодического
режима гармо-
нически линеа-
ризованной си-
стемы
следовательно, последнее устойчиво. Но для этого требуется, чтобы
при ап + Да коэффициенты системы становились такими, что система
удовлетворяла бы какому-либо критерию устойчивости линейных
систем, а при ап — /\а — не удовлетворяла ему. Если, наоборот,
при ап 4- Да гармонически линеаризованная система удовлетворяет
критерию устойчивости , а при ап — Да — не удовлетворяет, то, рас-
суждая аналогично, приходим к выводу о неустойчивости периодиче-
ского решения. Воспользуемся, например, критерием Михайлова.
Пусть при а = ап кривая Михайлова проходит через начало коорди-
нат. Допустим, что при ап + Да она охватывает
начало координат (кривая 1 на рис. 8.26, а), а при
ап — Да проходит ниже (кривая 2). Тогда, согласно
критерию устойчивости Михайлова, в первом слу-
чае система устойчива, т. е. колебания в ней зату-
хают, во втором случае —неустойчива, т. е. ампли-
туда колебаний возрастает; в обоих случаях пере-
ходный процесс сходится к периодическому дви-
жению с амплитудой ап, значит, это движение ус-
тойчиво. Если, наоборот, при уменьшении ампли-
туды кривая Михайлова охватывает начало коор-
динат (рис. 8.26, б), а при увеличении — не
охватывает, то периодическое решение неустойчиво.
Условия применимости метода. Рассматривае-
мый метод применим, если искомое периодическое
решение близко к синусоидальному, т. е. если мо-
жно пренебречь высшими гармониками разложе-
ния периодического решения в тригонометрический
ряд.
В работе [43] указываются следующие условия
применимости метода для определения симметри-
чного периодического режима в системе (8.76),
(8.77):
1)	характеристическое уравнение линейной части С ($) = 0 не
должно иметь чисто мнимых корней и корней с положительной вещест-
венной частью (наличие нулевых корней допускается);
2)	должно выполняться так называемое обобщенное свойство филь-
тра:
\B(jk^/C(jka))\^\B(]^/C(j^\, k = 2, 3, ... ;
3)	функции q (а) и q^a) вблизи искомого периодического режима
должны изменяться достаточно плавно.
Пример 8.4. Рассмотрим релейную систему автоматического регули-
рования с инерционным исполнительным двигателем, структурная схема которой
представлена на рис. 8.27, а уравнения движения имеют вид:
Tady/dt +ру (р > 0); |
T^d^ldt* + ТкЩ<и = - а; /	(8’94)
307
a = F (у) =
с при у > 0;
0 при у = 0;
— с при у < 0.
(8.94)
Здесь в левой части уравнения двигателя имеется член	отражающий
действие сил инерции. Уравнения безынерционного чувствительного элемента
и электрозолотника (реле) объединены в одно нелинейное уравнение.
Допустим, что колебания регулируемой величины у имеют форму, близкую
к синусоидальной, так как линейная часть системы — двигатель с объектом —
служит фильтром высокочастотных колебаний.
Гармоническая линеаризация идеальной релейной характеристики сог-
ласно формуле (8.83) дает
ст = [4с/(ка)] у,	(8.95)
Рис. 8.28. Кривые Михай-
лова гармонически линеа-
ризованной системы
Рис. 8.27. Структурная схема нели-
нейной системы:
1 — объект регулирования; 2 — чувстви-
тельный элемент и реле; 3 — электродви-
гатель
Уравнение (8.95) и первые два уравнения (8.94) образуют систему, характерис*
тическое уравнение которой
т2ятаз> + (ТаТм + Т2Д1 р) s2 + ?Тл2з + q (а) = 0.	(8.96)
Подставляя s = ju, имеем
X (а, <о) + /Т (со) = 0,	(8.97)
где
X (а, Ш) = q (а) - (Тд2Та + рТ^) Y (<о) = РТд2а> - Т2дТа^.
Приравнивая нулю мнимую часть уравнения (8.97), получаем частоту
“п= + V 9Тл21(ТаТ^ .
Подставляя это значение частоты в вещественную часть и приравнивая послед-
нюю нулю, находим амплитуду
*сТаТ1
Оп * (ТмТа + ?Т2Д) РТЛ2 ’
Кривая Михайлова имеет в данном случае вид, показанный на рис. 8.28
(кривая 1). При увеличении амплитуды коэффициент q(a) уменьшается, слеДО'
вательно, уменьшается вещественная часть Х(а, со), а мнимая часть не изменяе
ся, поэтому кривая Михайлова сдвигается влево (кривая 2 на рис. 8.28). Пр
308
ньшении амплитуды, наоборот, кривая Михайлова сдвигается вправо и не
Укатывает начало координат (кривая 3). Таким образом, система имеет устой-
°xDOe периодическое движение.
Приближенная оценка устойчивости состояния равновесия. Син-
те3 корректирующих элементов. Если характеристическое уравнение
гармонически линеаризованной системы имеет пару чисто мнимых
корней, то, как установлено, исходная нелинейная система имеет пе-
риодическое решение, приближенно описываемое синусоидой. Если
названное характеристическое уравнение чисто мнимых корней не
имеет, исходная система не имеет таких периодических решений.
Естественно предположить, что при тех значениях параметров (коэф-
фициентов), при которых характеристическое уравнение гармониче-
ски линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными ве-
щественными частями, но пара корней расположена в плоскости
корней близко к мнимой оси, в системе вместо периодического движе-
ния. приближенно описываемого синусоидой, будет близкое к нему
медленно затухающее колебательное движение. Таким образом, если
в системе нет других, существенно несинусоидальных периодических
движений, условия устойчивости состояния равновесия исходной не-
линейной системы могут быть приближенно определены как условия,
при которых гармонически линеаризованная система удовлетворяет
одному из критериев устойчивости линейных систем.
Зная приближенные условия существования периодических дви-
жений и условия устойчивости состояния равновесия, можно синте-
зировать корректирующие элементы с целью подавления автоколе-
баний.
Пусть в системе (8.77), (8.83) имеется устойчивое периодическое
движение. Разомкнутая на выходе нелинейного элемента система (см.
рис. 8.23) имеет логарифмические частотные характеристики
где
In А (<о) = In Лл.ч (<о) + -Г. In [q2 (а) + q\ (а)];
Ф (°>) = Фл.ч (°>) + arctg [<h (a)!q (а)],
(8.98)
4.ч = I В (iw)/c (/<о) I; <рл.ч (w) = arg [В (/«))].
Характеристики последовательного корректирующего элемента
определяются равенствами:
!п Лк ((о) = In Лж (<о) — In Лл.ч (®)--------------In р2 (а) + q* (а) ];
Фк(<") = Фж (®) — Фл.ч (®) — arctg	,
(8.99)
г^е ^ж(<о), Фж(<о) — желаемые частотные характеристики, выбирае-
Mble по частотному критерию устойчивости (см. гл. 5) так, чтобы со-
стояние равновесия системы было устойчивым. По характеристикам
^kGo), фк(со) подбирается корректирующий элемент.
309
Для синтеза корректирующих элементов могут быть использо£а
и другие критерии устойчивости, в частности, критерий В. М Поп*1111
(см. § 8.2).	Пова
Пример 8.5. Стабилизируем состояние равновесия системы, рассмотп
ной в примере 8.4. Для характеристического уравнения (8.96) предпоследи С
определитель Гурвица	ДНий
^2 —	р) Р^д2 Т^Та4с/тш.	(8.100)
Из выражения (8.100) видно, что при любых значениях положительных пап
метров Та, ТД1, Тда, р, с всегда можно выбрать величину амплитуды а сто/
малой, чтобы было Д2= 0. Следовательно, система (8.94) без корректирующиЬ
элементов является принципиально автоколебательной. Для стабилизаций
системы введем дополнительную жесткую обратную связь. Тогда уравнения
движения вместо (8.94) запишутся так:
Tadyldt + рг/ = р. (р > 0);
T2ald^/dt‘‘ + TMdv./dt	=	-	0:
{с	при	>	0;
0	при	хх	=	0:
— с	при	хх	<	0,
*1 = У + *О.С н.
(8.101)
где ko.c— коэффициент, подлежащий определению из условия устойчивости
состояния равновесия у = р, = xi= о = 0. Гармоническая линеаризация не-
линейного элемента системы (8.101) дает
а = q (а) хх, где q (а) = 4с/(ла), 0 < q (а) < оо.
Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы запишется
в виде
ТаТ2л^ + (ТаТЛ2 + pT2nt) s« + (Тд2р + feo c Taq) s + q (1 + fe0<c p) = 0.
Условия устойчивости по Гурвицу имеют вид
ао =	> Ф ai = ТаТдз "I" Р^д! > 0*	= (? (1 4- &0<ср) > 0;
^2 == ^1^2-	> 0,
где
д2 = (ТаТм + рТ2,) Тд2р + (Г2ТД2ЛО.С - TaT2J q. (8.102)
Рассмотрим коэффициент при q в выражении (8.102):
19 = Т^о.с -7аГ2Д).	(8.103)
Если коэффициент feo.c выбрать таким, чтобы выполнялось неравенство 19< 0»
то тогда за счет выбора достаточно большого q всегда можно обратить Д2 в нуль,
характеристическое уравнение будет иметь мнимые корни, а система — перио
дическое решение. Если же коэффициент /?о.с в выражении (8.103) выбрать тзi *
чтобы удовлетворялось неравенство 0, то при любом значении q поЛУч^ь1
Д2> 0. Следовательно, условие устойчивости состояния равновесия систем
(8.101) запишется в виде
lq > 0, или /го с >	•
310
Различные формы уравнения гармонически линеаризованного звена. Пусть
Г де и выходе звена, уравнение которого нужно определить, заданы сигналы
на в*0Д/о 8о). Допустим, что это звено описывается уравнением
(8-78)’ v
Т dx2/dt 4- х2 = kxlf
(8.104)
коэффициенты и /г подлежат определению. Подставляя в уравнение (8.104)
рачения и из (8.78) и (8.80), получаем равенство
Т q («) da) cos 4" а(Л sin 4- <7 (я) а sin + Qi (a) ci cos ю/ = ka sin <oZ,
(8.105)
оторое должно быть тождественным относительно t. Приравнивая коэффициенты
при cos о>/ n 'sinwr в обеих частях равенства (8.105), находим
Т = — <?, (а)/|<?(а) U)J; 4 = | qs (а) +	(а) | lq (а).	(8.106)
Следовательно уравнение (8.83) можно заменить уравнением (8.104) с коэф-
фициентами (8.106). Можно ввести и другие формы уравнений. Как видим, при
л (а) =/= 0 задача определения уравнения звена, установившиеся сигналы на входе
и выходе которого заданы выражениями (8.78), (8.80), решается неоднозначно.
Но так как гармонические сигналы на входе и выходе звеньев с уравнениями (8.83),
(8.104) совпадают, то и частотные характеристики их будут совпадать.
Подчеркнем, что результат определения периодического решения любым из
рассмотренных выше способот не зависит от выбора формы уравнения гармониче-
ски линеаризованного звена Действительно, для определения величин ап, о>п
любым из указанных способов можно считать исходным уравнение (8.90), в
квадратных скобках которого стоит выражение а.ф.х. гармонически линеаризован-
ного звена, не зависящее от выбора формы уравнения этого звена. Однако при
исследовании устойчивости состояния равновесия в случае Qi(a) =# 0 при замене
уравнения (8.83) уравнением (8.104) изменятся и уравнения гармонически лине-
аризованной системы в целом, в связи с чем может измениться и результат
исследования [63]. Возникающей в данном случае неопределенности можно избе-
жать, применяя частотные методы анализа.
Изложенный метод разработан Е. П. Поповым и другими совет-
скими учеными на основе идей Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова.
Достоинством метода является его простота. Он позволяет исследовать
нелинейные системы любого порядка и часто используется инженера-
ми при расчетах нелинейных систем. Однако использование метода
возможно лишь при выполнении определенных условий, в противном
случае можно получить неверный результат. Строгое обоснование
применимости метода и оценка его погрешностей представляют слож-
ную проблему.
§ 8.6. МЕТОД СЕЧЕНИЙ ПРОСТРАНСТВА
ПАРАМЕТРОВ
Приближенные методы исследования нелинейных систем нужда,
ются в обосновании их применимости к конкретным случаям и в оцен-
ке погрешностей, для чего в качестве эталонов удобно использовать
результаты точных методов. Точные аналитические методы исследо-
вания нелинейных систем высокого порядка обычно являются весьма
громоздкими. Но в ряде случаев нелинейные системы высокого по-
рядка можно исследовать точными аналитическими методами так же
полно и просто, как это делается при исследовании систем второго
порядка с помощью фазовой плоскости. Эту возможность предостав-
ляет метод сечений пространства параметров, сущность которого
состоит в следующем.
Пусть исходной системой служит некоторая нелинейная система
n-го порядка, имеющая линейную часть и ряд нелинейностей. Часть
коэффициентов уравнений этой системы, заданных буквенно, будем
считать параметрами, которые могут принимать множество значений
и образуют многомерное пространство параметров. Конечная цель
исследования нелинейной системы состоит в том, чтобы в пространстве
параметров определить границы между областями определенного ди-
намического поведения системы (областями устойчивости, автоколе-
баний и т. п.), называемые бифуркационными поверхностями.
Поскольку определить точно бифуркационные поверхности в це-
лом невозможно, проведем в пространстве параметров ряд сечений
(например, плоскостей) и будем искать часть бифуркационных по-
верхностей, принадлежащую сечениям. Оказывается, данные сече-
ния можно выбрать так, чтобы для принадлежащих им значений па-
раметров исходная система линейной заменой переменных приводилась
к совокупности подсистем низкого порядка. Тем самым сложная про-
блема исследования исходной нелинейной системы n-го порядка в
условиях сечений сводится к легко выполнимой задаче исследования
названных подсистем низких порядков (это будет показано ниже).
Благодаря этому в плоскостях сечений можно построить все бифур-
кационные кривые, которые будут представлять собой пересечения
бифуркационных поверхностей с проведенными сечениями. Если
сечений построено много, то полученные бифуркационные кривые будут
достаточно хорошо характеризовать искомые бифуркационные по-
верхности в целом. Кроме того, для принадлежащих сечениям значе-
ний параметров можно получить полное представление о картине
движения в n-мерном фазовом пространстве. Результаты, получаемые
по сечениям, могут быть распространены на их окрестности [37].
Данный метод применим к конкретной системе, если в пространстве
ее параметров существуют сечения, обладающие требуемыми свойст-
вами. Установлено, что такие сечения существуют в пространствах
параметров ряда типовых классов автоматических систем, но, конечно,
их можно построить не для всякой системы.
В областях между сечениями система должна исследоваться дру-
гими методами.
312
Применение метода для исследования одного класса систем управ-
ления. Пусть исходные уравнения имеют вид
dxjdt = апх} + а12х2 4- ... 4- а1п хп 4-
dx2ldt = a2lXy + а22х2 + ... + а2пхп + b2f (а);
dxn/dt = ап1Ху + ап2х2 + ... + аппхп 4- bnf (а)-
(8.107)
а — с±ху 4- с2х2 + ••• 4- Спхп.
где Xi, *2>.--- , хп — координаты регулируемой системы; а — управ-
ляющий сигнал; aki, bh, ck — постоянные коэффициенты; f (а) — неко-
торая нелинейная функция. К уравнениям такого вида приводятся
многие конкретные системы. Решая систему (8.107) относительно любой
из переменных xkt получаем
rft = -[Bft(p)M(p)]/(3), k			= 1,2	n,	(8.108)	
где p = dldt.	an —p	^12	••• «!«’	
A(p) =	«21	a22	P	-	«2„	(8.109)
	«П1	апг	••• ^nn P	
а определитель Bk(p) получается из определителя А(р) при замене
k-го столбца столбцом, составленным из коэффициентов Ь2, ... , Ьп.
Пусть sb s2, ... , sn — простые корни характеристического уравнения
A (s) = 0. Разложим на простейшие дроби правильную дробь:
4-	4- ... +	,	(8.110)
А (р) Р— Si р — s2	р — sn
где Л\, N2, ...» Nn — постоянные коэффициенты. Для определения
умножим обе части равенства (8.110) на (р— sf):
Bh (р) /	ч AT I /	ч Г	I	^7-1
-777- (Р — St) — Ni + (p — st) —1- 4- ... 4-4-
А(р)	Lp—«1	Р— si-t
И---------Г~ ... -Г ---- .	111/
Р si+i	Р S/:J
Полагая р = sh в правой части равенства (8.111) получаем Nif в ле-
вой— неопределенность 0/0, так как /Щ) = 0. Раскрывая неопреде-
ленность по правилу Лопиталя, находим
^=7777 A'(Si) = J-A(p)\	.	(8.112)
A (s{)	dp | p=st
Согласно выражениям (8.108), (8.110), (8.112), имеем
х _ V	_/_(а)_ А = 12.............. (8>113)
k ^A'(Si) p-Si'
313
Обозначим
/(0)/(р—Si) = гг, I = 1, 2....п.	(8.Ц4)
По формулам (8.113), (8.114) определяются уравнения линейного
преобразования
п
= - Zt' /г=1'2’- п	(8’115)
(=1
приводящего систему (8.107) к виду
dzjdt = Sf + f (s)> * = 1» 2, ... , n;
где
n
° = S liZj,
1=1
n
/2=1
(8.116)
(8.117)
Выражение для or в системе (8.116) и выражения (8.117) для коэф-
фициентов у, получаются подстановкой значений из (8.115) в урав-
нение для а исходной системы (8.107).
Преобразование (8.115) обратимо, если по заданным xh из него
можно определить zz. Для этого должен быть отличен от нуля опреде-
литель
		Bl (sl)		 Bl (S2)		gi (sn)	
	4'(si)	А' ($2/	A’ (s„)	
=		. . . .		(8.118)
		 ВП ($1)		Bn ($2)		Bn (sn)	
	A' (Si)	A' (s2)	A' (sn)	
Если D' Ф 0, преобразование (8.115) называется обра/тшжь/ж,
или неособым. При этом каждой точке фазового пространства системы
(8.107) соответствует определенная точка фазового пространства си-
стемы (8.116), и наоборот, каждой точке фазового пространства си-
стемы (8.116) — определенная точка фазового пространства системы
(8.107). В таком случае системы (8.107), (8.116) взаимозаменяемы при
исследовании, выводы о динамическом поведении одной из них спра-
ведливы для другой. Будем полагать числа akb bk такими, что преобра-
зование (8.115) — неособое, и называть систему (8.116) эквивалентной
системой*.
* Неравенство 0 имеет место тогда и только тогда, когда: а) корни $1
простые; б) отличен от нуля определитель |в, АВ, ... Ап~1, В|, составленный
с помощью матриц
_	/ аи ai2 • • • а1п \ _	/	\
А =	.............. ; В =	:
\ ап1 аП2 • • • апп /	\ Ьп /
314
пусть в уравнениях (8.107) коэффициенты ch (k — 1,
пяются параметрами и образуют n-мерное пространство
^\йциенты ам> bi — заданные числа. Составим систему п
л-ебраических уравнений с п неизвестными ct:
2, ... , п)
Сп, а ко-
линейных
CiB, (sO 4- с2В2 (sj 4-... + спВп (sj =
CiBi (s2) 4- с2В2 (з2) 4- ... 4- спВп (s2) = R2;
<\ВХ (s„) + с2В2 (s„) 4-... 4- спВп (s„) = Rn,
левые части которых представляют собой числители выражений (8.117).
Чтобы система (8.119) имела только вещественные решения, постоян-
ные Rt будем считать вещественными при st вещественных и комплекс-
ными сопряженными при sit si+i комплексных сопряженных; в осталь-
ном эти постоянные будем считать произвольными. Система (8.119)
при любых Rt имеет определенное решение относительно сг, если от-
личен от нуля ее определитель:
	Вх (Sj	B2 (si)	Bn&)
d2 =	Bi (S2)	(S2)	Bn(s2)
	Bi (Sn)	B2(s„)	(Sn)
(8.120)
Возвращаясь к определителю (8.118), вынесем из его столбцов мно-
жители (—1)[Д'(st)]-1. тогда
(-1)"
П A' (st)
1=1
Bl (sl) B2 (sl)	Bi (s2) B2 ($2)	B^) ... B2(sn)
Bn&)	Bn(s2)	- Bn(sn)
В последнем определителе заменим строки столбцами, от чего его ве-
личина не изменится, тогда получим
^ = (-1)"^ /ПДШ	(8-121)
I z=l
Так как Л'($г)=0=О, из выражения (8.121) следует, что определитель
отличен от нуля, если отличен от нуля определитель D19 и наобо-
Р°т- Следовательно, система (8.119) имеет решение, если преобразова-
НИе (8.115) — неособое, каковы бы ни были числа
Выберем постоянные следующим образом:
= 0 при I = 1.....р — 1, р -н 1;, q — 1, q 4- 1, ... , и, (8.122)
315
оставляя Rp и Rq произвольными. Тогда система (8.119) запишется тац.
сА (sx) + с2В2(sj + ... + спВп (sj = 0;
CiB. (sp) + с2В2 (sp) + ... + спВп (sp) = Rp,
С1Вг (sq) + c2B2(sq) + ... + cnBn (sq) = Rq,
(8.123)
cA («„) + c2B2 (s„) + ... + cnBn (sn) = 0
и будет определять значения п величин как линейные функции двух
произвольных постоянных — Rp и Rq. Если решения системы (8.119)
при произвольных Ri (f = 1, 2, ... , п) заполняют все точки п-мерного
пространства Сп, то решения системы (8.123) вырезают в этом простран-
стве двумерную плоскость — сечение пространства Сп.
Для значений сь являющихся решениями системы (8.123), уравнения
(8.116), согласно выражениям (8.122), (8.123), (8.117), принимают вид
dZi/dt = SiZi 4- f (cj),
i=1.....p-'' P-4-1.	<7 —1. <7 + 1,... n; (8
dZp/dt = spZp+dzq/dt = sqzq 4- /(a),
° = Ip ZP + T<? z4-
Система (8.124) содержит независимую подсистему второго порядка
с переменными zp, zqy а, которая может быть исследована методом фа-
зовой плоскости. После определения из названной подсистемы харак-
тера зависимости a (/) остальные уравнения (8.124) для zt при i =/= р,
i q решим как линейные неоднородные первого порядка с задан-
ным воздействием f [a (/)]; получим
zk (/) = zk (0) eV +eV J /[o(/)]e"s*w dt.	(8.125)
0
k = 1, .... p — 1, p + 1, ... , q— 1, q 4- 1, ... n.
Исследовав систему (8.124), с помощью преобразования (8.115)
перенесем результат на систему (8.107), рассматриваемую в условиях
сечения (8.123).
Сечение, в условиях которого исследование исходной системы п-го
порядка сводится изложенным способом к рассмотрению ряда урав*
нений не выше второго порядка, назовем вскрывающим сечением вто-
рого рода. Сечение, для которого ур 0, yq =/= 0, остальные = 0,
обозначим G2(p’ q} .
Пусть уравнение A (s) = 0 имеет I вещественных и п — I = tn
комплексных корней. Выбирая в качестве корней sp и sqi для которых
Rp Ф 0 и Rq^= 0, любые два из I вещественных, получим число раз-
личных сечений, равное числу сочетаний из / элементов по два, т. е.
0,5 /(/ — 1). Выбирая в качестве названных корней любую пару комп-
316
cHbIx сопряженных, получим еще 0,5 т различных сечений. В ито-
леКв пространстве построим 0,5 [/ (Z—1) + т] различных сечений
каждое из которых будет плоскостью. Если п = I = 3, то в
остранстве	получим три сечения в виде трех плоскостей,
ПРоходящих через начало координат.
ПР Полагая в уравнениях (8.119) одну или три из величин Rt отлич-
яыми от нуля, остальные равными нулю, определим сечения первого
я третьего рода.
Подчеркнем, что в условиях рассматриваемых сечений исходная
система сохраняет свой порядок и размерность фазового простран-
ства равными п.
Значения параметров ск, принадлежащие сечению G2p,q), опреде-
ляются решением системы (8.123)
ck = Дл (/?р, Rq)/D2i k = 1. 2, ..., /г,	(8.126)
где определитель D2 представлен формулой (8.120), а определитель
получается из D2 заменой &-го столбца столбцом свободных членов
0, ... , 0, Rtpi 0, ..., Rq, 0,... , 0.
Бифуркационные значения параметров ск в плоскостях сечений
определяются следующим образом. Так как bk заданы, то и
^(£=1, 2, ... , п) в уравнениях (8.124) заданы. Параметрами в них
служат ур, yqi определяемые через параметры ch формулами (8.117).
В результате исследования системы (8.124) в плоскости ур, у будут
построены соответствующие бифуркационные кривые (ур и у q могут
быть комплексными сопряженными, тогда выделим из них веществен-
ную и мнимую части и примем их за параметры). Обозначим значе-
ния ур, yq на бифуркационной кривой через ур, yq.
Если вещественные части корней sk (k=£ р, k=fc q) отрицательны,
т. е.
Res^<0, k = 1, ..., р — 1, р + 1, ..., q — 1, q + 1, ..., /г, (8.127)
то, согласно формуле (8.125), переменные zk(t) ведут себя подобно
переменной а (/) — они стремятся к нулю, если а (/) стремится к ну-
лю, или стремятся к периодическим функциям, если а (/) — функция
периодическая. Поэтому динамическое поведение системы (8.107) в
сечении G2p'q} подобно динамическому поведению названной выше под-
системы второго порядка. В связи с этим, полагая согласно выраже-
ниям (8.123), (8.117) Rp= R*p = -y>(sp), Rq = Rq = -y>(sj и
подставляя значения Rp, RqB формулу (8.126), получаем бифуркацион-
ные значения параметров ck = ck для системы (8.107).
Заметим, что в условиях сечения G2p'q} система (8.107) зависит не от
а только от двух произвольных параметров (остальные определя-
ются через эти два). Поэтому полученные бифуркационные кривые
Для каждого сечения G2p,q} могут быть построены в виде наглядных
графиков на плоскости чертежа; при этом координатами могут слу-
жить любые два параметра из ct (i — 1,2,..., n).
317
Для типовых нелинейностей система (8.124) уже исследована
1371. В этих случаях применение метода сводится к пересчету резудь^
татов исследования системы (8.124) на вскрывающие сечения системы
(8.107).
Аналогично метод применяется в других случаях, когда парамет-
рами служат не коэффициенты ck, а другие коэффициенты уравнений
(8.107), или когда исходные уравнения отличаются от уравнений
(8.107).
В конкретной задаче может оказаться, что на ряд параметров си-
стемы уже наложены ограничения, так что мы заведомо находимся в
пространстве параметров в некоторой области, через которую прохо-
дит недостаточное число вскрывающих сечений. Поэтому к задачам
анализа систем частного вида метод не всегда применим. Но в зада-
чах синтеза заведомо имеется возможность выбрать коэффициенты
так, чтобы попасть на эти сечения.
Применение метода для синтеза нелинейных корректирующих
устройств. Пусть уравнения системы имеют вид
А(р)у = — 6|л; р[х = /(а); а = Д(р)у —го(1,	(8.128)
где
Д (р) = р"-1 + alp"’2 + ... + ап_2 р + ап_1, 1
А(Р) = со + ciP + — + сп-2Рп~г (Р = J
у — управляемая величина; — управляющее воздействие; а —
управляющий сигнал; — коэффициенты уравнения объекта, q —
коэффициенты закона управления; г0 — коэффициент жесткой обрат-
ной связи.
Структурная схема системы (8.128) изображена на рис. 8.29, а.
Функция f (а) описывает естественные нелинейности, присущие
исполнительному устройству. Чтобы компенсировать вредное влия-
ние этих нелинейностей и улучшить динамические свойства системы,
введем в закон управления корректирующие нелинейности. Для это-
Рис. 8.29. Структурные схемы:
а — исходной системы; б — системы с нелинейной коррек-
цией
318
включим в схему следующие нелинейные элементы (рис. 8.29, б):
______в цепь местной обратной связи, НЭ2 — в цепь главной обрат-
'й связи, НЭ3 — для преобразования управляющего сигнала в це-
Ном- Тогда уравнения системы примут вид
Л (р)	рр = /(а);
® = /з (/г [з. А (р) у] — fl (’, r0 I*)},
(8.130)
где /1- /г, /з — пока неизвестные нелинейные функции.
Воспользуемся преобразованием
(8.131)
Преобразование (8.131) является частным случаем преобразова-
ния (8.115); оно будет неособым, если b =/= 0 и корни s, (i = 1, 2, ...
..., п—1) уравнения A (s) = 0 простые и отличны от нуля. Это пре-
образование приводит систему (8.128) к виду
dzk!dt — skzlt 4- f (а), & = 1, 2, ..., n—!;•
dzn/dt = f (a)-, o=Yilixb
z=i
где
(8.132)
‘“''2......"-1: ------------------r-
si ™ \si)	an-l
Систему (8.130) преобразование (8.131) приводит к виду
dzk/dt = skzk -4- f (a), £=1,2,... n — 1; dzn/dt = /(a);
/ n	\	1
(8.133)
° = /з /г °-
n — fi (°. r0 z„)
(8.134)
где
I™ = — bc<Jan-i	(8-135)
aYi (i = 1, ... , n—1) — те же, что в уравнениях (8.132).
Пусть at (i = 1, 2, ... , п—1), b — заданные числа, ct (i = 0,
1, ... , п—2), r0 — параметры, образующие n-мерное пространство Сп.
Сравнения вскрывающего сечения С$?,л) можно получить, приравняв
319
нулю величины уf при i=£q, i=/=r. Для сечения G(2Q'n) получим
с0 4~ ~Ь C2S^ 4~ ••• + cn-2s” 2 = 0;
Q + cAsq~i +	+ ••• 4- сп_2 =0;
2	л—2	(8Л36)
Со 4- C\Sq+i + C2Sq+\ + ••• 4” Сп-2 sa_j_j = Ф
С0 4" ClSn-l + c2S2_j 4- ... 4-	= 0.
Число неизвестных ct (i = 0, 1, ... , n—2) в однородной системе алгеб-
раических уравнений (8.136) на единицу превышает число уравнений,
поэтому система имеет решение, определяемое с точностью до произ-
вольной постоянной. На параметр г0 уравнения (8.136) не накладыва-
ют ограничений, его следует считать независимой произвольной по-
стоянной. В итоге значения параметров q (i = 0, 1, ... , п —2), г0
для сечения G2,n} определяются как линейные функции двух произ-
вольных постоянных, т. е. сечение 62(<7,г) представляет собой плоскость
размерности два. Эта плоскость в пространстве Сп проходит через ось
г0, так как значения г0 Для нее произвольны.
Пусть I — число вещественных корней уравнения A (s) = 0. Вы-
бирая в качестве корня sqt которому соответствует значение у 0,
любой из I вещественных корней, в пространстве Сп определим / раз-
личных сечений Можно построить также сечения G2,r} при
г =/= п.
Для системы (8.128) в условиях сечения G^'^ переменная а, со-
гласно выражениям (8.132), (8.133), (8.136), определяется из системы
dzq/dt = sqzq+f(z)\ dzn/dt=f^}\ ° = lqZq + lnzn. (8.137)
После определения* ст (/), zq(t), zn(t) остальные переменные zt можно
найти из линейных неоднородных уравнений первого порядка по фор-
мулам (8.125). Результат исследования системы (8.132) согласно пре-
образованию (8.131) переносится на систему (8.128).
Для системы (8.130) в условиях сечения G{2,n} в соответствии с вы-
ражениями (8.133)—(8.136) переменная ст определяется из системы
dzddt = saza 4- f (a); dzJdt = f (a);	]
*	"	i	(8.138)
° = ft U2 k zq 4- zn) — Л (a, r0 zn) | J
а переменные zt (i =/= q, i n), как и ранее, — из неоднородных урав-
нений первого порядка.
Динамическое поведение системы (8.130) в условиях сечения G2,n)
при Re st < 0 (i У= q, i =/= п) определяется, как отмечалось выше,
поведением системы (8.138), поэтому осуществим выбор характеристик
корректирующих нелинейностей при исследовании этой последней
системы. Таким путем задача синтеза корректирующих нелинейнос-
тей для системы n-го порядка сводится в основном к аналогичной за-
320
аче для системы второго порядка, которая может быть эффективно
^ещена с помощью фазовой плоскости.
Р Подчеркнем, что уравнения (8.136) определяют вскрывающее се-
чеНие б?’”’ и для системы (8.128), и для системы (8.130), при одина-
ковых значениях коэффициентов обеих систем. Это обстоятельство
позволяет, сопоставляя результаты рассмотрения обеих систем, не-
посредственно наблюдать эффект введения нелинейностей в закон
управления.
Пример 8.6. Рассмотрим систему, описываемую уравнениями
d2y/dt2 + 3dy/dt + 2у = - р; dyjdt = Д
5 = ft (°);	= JfC1dyl<U — r0(x.
(8.139)
Рис. 8.30. Нелинейные характеристики системы
(8.139)
Предположим, что нелинейная характеристика сервомотора fi(£) имеет мертвую
зону (рис. 8.30, а), а нелинейная характеристика усилителя f2(o) задана в виде
гистерезисной петли элемента с сухим трением или люфтом (рис. 8.30, б). Ха-
рактеристика, показанная на рис. 8.30, а, описывается уравнениями
dv.!dt = kl(l— MssignS) при |£|>М2;1	(8 140)
d^/dt = 0 при |^|<Л1Л2.	/
Характеристика f2(o), изображенная на рис. 8.30, б, может быть описана урав-
нениями
£ = /г2<у — /г2ае sign (dk/dt) при dk/dt =#= 0;
£ = const при | £ — /г2ст | < fe2ae
(8.141)
Здесь fei, k2, hi, Ое — положительные постоянные коэффициенты. Объединяя
нелинейности fi(£) и f2(o) в одну, им эквивалентную, получаем
=	[f2 (Q)l =/(Q).
При учете последнего выражения система (8.139) запишется так:
d2y/dt2 4- 3dy/dt -f 2y = — p.; d^/dt = f (<s)\ j
, .	}	(8.142)
° = СоУ + cxdy/dt — ryp,	J
т. e. будет представлять собой частный случай системы (8.128). С помощью пре-
образования (8.131) система (8.142) приводится к эквивалентному виду (8.132).
Чтобы написать эквивалентную систему, определим корни уравнения
11—493
321
A (s) = s2 J- 3s + 2 = 0.
Найдем
5!= —2; s2 = — 1.	(8.143)
Для определения выражений коэффициентов вычислим Л' (s$), получим
A" (s) = 2s 4- 3; A' (sx) = — 1; Д'(s2) = 1.	(8.144)
Согласно найденным значениям (8.143), (8,144) и о учетом равенств 6=1,
an~i = 2, п = 3 выражения (8.133) запишутся так:
1 1
— Go-Mi; 12 = ^0—^; Тз=~ —	—	(8.145)
Эквивалентная система с учетом значений (8.143) при п = 3 будет иметь вид
dz^/dt = — 2zlA~f (<*); dz2ldt =— z2 -f- f (o); ’
dz.Jdt = / (a);	=	(8.146)
' = 1	t
Для сокращения выкладок допустим, что коэффициенты уравнений нели-
нейных характеристик Д(£), /2(а) заданы численно и имеют значения
fei = 2; k2 = 5; й1 = 0,2; ae=0,l.	(8.147)
При этом условии система (8.139) будет иметь только три буквенных коэффици-
ента — Со, Ci, го, которые будем считать параметрами. Допустим, что эти пара-
метры положительны.
Построим в пространстве параметров со, ci, го сечения G^q,rVi при ^=1 и
q === 2. Уравнения этих сечений имеют вид (8.136). При q — 1, т. е. для сечения
система (8.136) с учетом значений (8.143) запишется в виде одного урав-
нения
е0_ С1 = 0.	(8.148)
При # = 2, т. е. для сечения 6^2,3), аналогично получим уравнение
е0 —2С]=0.	(8.149)
Уравнения (8.148) и (8.149) определяют сечения	в пространстве
Со, ci, го в виде плоскостей, проходящих через ось го. Ввиду сделанного пред-
положения о том, что параметры с0, ci, го положительны, рассмотрим сечения
лишь в первом квадранте пространства параметров.
В условиях сечений согласно уравнениям (8.148), (8.149) один из парамет
ров выражается через другой, так что исходная система зависит уже не от трех,
а только от двух независимых параметров.
С учетом выражений (8.145) и (8.148) для сечения G^1,3) система (8.146)
принимает вид
dzjdt = — 2zx 4- f (о), dz2/dt = — z2 + f (a); 1
dz3ldt = f (a); o = slzl/2—(д1/2 4-'’о) г3. J
Аналогично для сечения G^2,3) эквивалентная система (8.146) запишется так:
dzjdt = — 2zt + j (ст); dz2/dt = — z2+f (*): dz3/dt = / (a); )
? (o.101/
a^e1Zz— (c,+r0)z3.	J
322
Той уравнения системы (8.150) — уравнения для zi, z3 и а — образуют незави-
имую п°ДсистемУ ВТ°РОГО порядка, из которой можно определить <?(/). Харак-
Ср изменения во времени переменной о передается и переменной z2,
тогласно второму уравнению (8.150), имеющему при s2< 0 затухающую с те-
чением времени собственную составляющую своего общего решения. Результат
исследования системы (8.150) при выполнении условия (8.148) с помощью нео-
собого преобразования вида (8.131) перенесем на исходную систему (8.139).
Таким образом, для значений параметров, принадлежащих сечению G^1,3) ,
исследование исходной системы третьего порядка (8.139) сводится в основном к
исследованию системы второго порядка.
Для значений параметров, принадлежащих сечению G!|2’3), исследование
системы (8.139) также сводится в основном к исследованию системы второго
Рис. 8.31. Области устойчивости в целом и
автоколебаний:
а —в сечении G^’3); б —в сечении G^*3)
порядка указанного вида, но уже с другими значениями коэффициентов. Для
сечения G^2,3) система второго порядка, определяющая решение о(/), состав-
ляется из второго, третьего и четвертого уравнений (8.151).
Указанная система второго порядка при буквенных значениях всех ее
коэффициентов исследована в работе [37], где в пространстве ее параметров
определена бифуркационная поверхность, служащая границей между областью
устойчивости в целом состояния равновесия и областью существования авто-
колебаний (в последней области на фазовой плоскости имеется два предельных
цикла — неустойчивый внутри устойчивого). Остается воспользоваться этими
результатами, подставив в них новые обозначения и соответствующие числен-
ные значения некоторых коэффициентов. Выполнив эту несложную процедуру,
с помощью формул (8.126) определим бифуркационные значения параметров
со, ci, го в плоскостях сечений G^1,3\	Для системы (8.139).
Так как в данном случае пространство параметров трехмерно, сечения-
плоскости можно построить в аксонометрической проекции. Каждое сече-
ние можно изобразить также на отдельном рисунке в координатах с0, го либо
ci, го (такое представление будет изображением проекций сечений на коорди-
натные плоскости).
Сечения G^1,3) и G^2,3) в координатах ci, го с нанесенными на них границами
области устойчивости в целом состояний равновесия изображены на рис. 8.31,
где заштрихованы области существования автоколебаний. В области существо-
вания автоколебаний в фазовом пространстве имеется поверхность, охватываю-
щая начало координат, и вне ее— устойчивый предельный цикл; если в началь-
ный момент изображающая точка расположена внутри области, ограниченной
этой поверхностью, она стремится к состоянию равновесия, если вне— к пре
Дельному циклу.
Для расширения области устойчивости применим нелинейную коррекцию.
Из анализа системы второго порядка на фазовой плоскости следует, что для
И*	323
подавления автоколебаний нужно изменить ход фазовых траекторий при боль,
ших отклонениях. Наиболее просто этого можно достигнуть, подвергнув нели-
нейному преобразованию весь управляющий сигнал путем применения элемента,
с характеристикой типа насыщения. В таком случае исходные уравнения вместо
(8.139) примут вид
d*y)dt* + 3dyldi + 2y = -^ dp/dt^fafy 6 = f2(o);
о = G); С = сьу 4- c^dyldt — гоц.
Корректирующая нелинейность /3 (С) описывается уравнениями:
(8.152)
Рис. 8.32. Корректирую-
щая нелинейность
о = С при | С |	/г2 4- ое ;
сг = (/г2 4- ст£ ) sign С ири | С | > h2 4-
(8.153)
и изображена на рис. 8.32.Уравнениям (8.152)
соответствует структурная схема, показанная
на рис. 8.33. Эта схема преставляет собой
пример рассмотренной ранее схемы (см. рис.
8.29, б), когда из трех указанных нелинейных
корректирующих элементов применяется
только один — НЭ3.
Объединяя все нелинейности системы
(8.152) в одну, получаем
d^dt = fr {/2[/3 (C)]) = F (С).
Система (8.152) при учете выражения (8.154) запишется так:
dty/dt2 4- 3dy!dt 4- 2«/ = — н’»	? (С) ; 1
£ = сог/ 4- c^dyldt — r0fi.	J
(8.154)
(8.155)
Но система (8.155) отличается от системы (8.142) только нелинейной характе-
ристикой (замена обозначения о на С несущественна). Поэтому в пространстве
параметров Со, ci, Го системы (8.155) построим точно такие же сечения ,
Рис. 8.33. Структурная схема системы с нелиней-
ной коррекцией
G.p,3), как и для системы (8.139). В условиях этих сечений анализ системы (8.155)
сводится в основной части к анализу системы второго порядка, отличной от рас-
сматривавшихся выше только нелинейной характеристикой: вместо характеристи-
ки До) теперь будет характеристика F(C), получаемая последовательным соеди-
нением характеристик Д(£), /2(а)» /з(С). Такая система исследована в работе [37],
где в пространстве ее параметров определены бифуркационные поверхности.
Используя эти результаты, выбираем численное значение коэффициента h2
уравнений (8.153) из условия расширения области устойчивости в целом сис-
темы (8.152) по сравнению с системой (8.139):
h2 = 0,205.
(8.156)
324
При значениях коэффициентов (8.147), (8.156) область устойчивости в целом
остояпий равновесия системы (8.152) в плоскостях сечений б^1,3) и <^2’3) имеет
д показанный на рис. 8.34. Для сравнения здесь же штриховой линией пока-
чана старая граница области устойчивости, которая была до введения коррек-
тирУ10Щей нелинейности.
Рис. 8.34. Расширение области устойчивости
в целом за счет введения нелинейной
коррекции:
о —в сечении Ga^1’^^’, б — в сечении G^'^
Аналогично решаются вопросы синтеза корректирующих нелиней-
ностей из условия улучшения качества переходных процессов.
Итак, используя вскрывающие сечения, можно осуществлять
синтез нелинейных корректирующих устройств для нелинейных си-
стем высокого порядка аналитически точными методами, имея дело с
исследованием систем не выше второго порядка, т. е. в конечном счете
применяя результаты, полученные с помощю фазовой плоскости.
Метод сечений получил также применение для исследования
и синтеза оптимальных и самонастраивающихся систем.
§ 8.7. СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ
САУ, в которой путем переключений изменяются связи между
элементами в зависимости от ее состояния, называется системой с
переменной структурой. Структурная схема такой системы меняется
в течение переходного процесса таким образом, чтобы обеспечить
качественное выполнение задач управления.
Рис. 8.35. Структурные схемы:
а — системы (8.157), (8.158) с постоянной структурой; б —системы
(8.157), (8.161) с переменной структурой
325
Изменение структурной схемы приводит к изменению вида урав-
нений движения, описывающих переходный процесс. В связи с этим
даже если на отдельных участках переходный процесс описывается
решениями линейных дифференциальных уравнений, в целом уравне-
ния движения системы будут нелинейными.
Рассмотрим линейную модель системы с нейтральным объектом и
регулятором непрямого действия без обратной связи (рис. 8.35, а).
Уравнения движения системы имеют вид
Та dy/dt = Тд dp/dt = х;	(8.157)
х== — ky,	(8.158)
где у — регулируемая величина; у, — регулирующее воздействие;
х — сигнал ошибки; Та, Тд, k — постоянные коэффициенты.
Из системы (8.157), (8.158) имеем уравнение относительно у:
Та Тл d2y/dt2 + ky = 0.	(8.159)
Характеристическое уравнение Та Тл s2 4- k = 0 имеет чисто мни-
мые корни:
Sj 2 = ±/(о; (о = ^(ТдТд)"1.	(8.160)
Полагая у = хь dyldt = х2, получаем фазовые траектории в виде
эллипсов (см. § 8.4), описываемых уравнением
Рис. 8.36. Фазовые траекто-
рии:
а — особой точки типа центра
Лри (о>1; б — при 0X1; в — при
<д)>1 на части фазовой плоскости:
г — при со<1 на части фазовой
плоскости; д — системы с перемен-
ной структурой
xl/(<oC1)2 + x?/C?= 1,
где Ci — произвольная постоян-
ная. При Xi = 0 на оси х2 фазо-
вой плоскости траектории согласно
уравнению (8.59) отсекают отрезки
х2 = ±соС1, при х2 = 0 — отрезки
Xi = ±СР Поэтому при (О > 1
фазовый портрет имеет вид, пока-
занный на рис. 8.36, а, при со < 1 —
изображенный на рис. 8.36, б.
В любом случае в системе имеются
незатухающие колебания.
Заметим, что в квадрантах I и
III фазовой плоскости, представ-
ленной на рис. 8.36, а, в квадран-
тах II и IV плоскости, представ-
ленной на рис. 8.36, б, изобража-
ющая точка, двигаясь по фазовым
траекториям, несколько прибли-
жается к точке покоя. Используем
это свойство для синтеза устойчи-
вой системы с переменной структу-
рой, в которой может быть как
326
w >* 1, так и co < 1, в зависимости от ее состояния. Взяв от ка-
ждого фазового портрета нужную часть (рис. 8.36, в, г) и со-
ставляя эти части вместе, получим фазовый портрет с устойчивым
состоянием равновесия (рис. 8.36, д). Смена траекторий с со > 1
траекториями с со < 1 осуществляется при переходе через коорди-
натные оси, причем в точках перехода все координаты системы из-
меняются непрерывно.
В квадрантах I и III, очевидно, всегда xtx2 > О, в квадрантах
II и IV, наоборот, xtx2 < 0. Но xt = у, х2 = dyldt = т. е.
знак произведения xtx2 совпадает со знаком произведения рьу. В связи
с этим фазовый портрет, приведенный на рис. 8.36, д, будет иметь
место в системе, в которой сигнал ошибки вместо уравнения (8.158)
описывается уравнением
—	k±y при |iy > 0;
—	k2y при |iy < 0.
(8.161)
Структурная схема системы может быть представлена в виде, по-
казанном на рис. 8.35, б. Блок изменения структуры БИС получает
сигналы у-, у и вырабатывает сигнал sign ру = ±1, в зависимости от
которого осуществляются переключения в соответствии с соотноше-
ниями (8.161). При этом величины со = coi>l и = <о2 < 1 соглас-
но формуле (8.160) определяются соотношениями
«>1 = У^Та Т^> 1; ш2 = Vk^Ta 7\)-i< 1.
Эти соотношения эквивалентны условиям
К>ТаТ^ k2<TaT\.	(8.162)
Таким образом, если выполняются условия (8.162), то система
(8.157), (8.161) имеет устойчивое состояние равновесия*.
Рассмотренный пример показывает, что система с переменной
структурой может обладать новыми свойствами, которых не имеет ни
одна из составляющих ее структур. Из двух неустойчивых структур
получена структура, устойчивая в целом. Это достигнуто тем, что
каждая из составляющих структур использована не полностью, ис-
пользована лишь часть ее, обладающая положительными свойствами.
На использовании положительных свойств составляющих структур,
проявляющихся при определенном динамическом состоянии системы,
и основано построение автоматических систем с переменной струк-
турой.
Чтобы рассмотреть характерные особенности процессов в системах
с переменной структурой, заменим в системе (8.157),(8.158) нейтраль-
* При практической реализации из-за влияния малых параметров корни
будут комплексными с малыми по абсолютной величине (отрицательными или
положительными) вещественными частями, при этом характер фазовых траек-
торий (см. рис. 8.36, д) сохранится.
327
ный объект неустойчивым; тогда уравнения движения запишутся в
виде
Tady/dt + рг/ = (р < 0); |
Гд d^/dt = х; х = — ky. /
(8.163)
Из системы (8.163) имеем следующее уравнение для регулируемой
величины у:
Та Гд d2y/dt2 н- р Тд dy/dt + ky = 0.	(8.164)
Характеристическое уравнение
Та7\$24-рТд$ + 6 = 0	(8.165)
имеет корни
sU2 = I р I / (2ТО) ± |/р2/(47^ ) - ШаЛ) •	(8.166)
Согласно выражению (8.166) при условии
p2/(4Tfl)—£/7\<0	(8.167)
корни slt $2 будут комплексными с положительными вещественными
частями; в таком случае (см. § 8.4) система имеет на фазовой плоскос-
ти Xi = у, х2 = dy/dt особую точку типа неустойчивого фокуса
(рис. 8.37, а).
При условии
Рис. 8.37. Фазовые траектории:
а — неустойчивого фокуса; б — седла; в —
неустойчивого фокуса на части фазовой
плоскости; г — седла на части фазовой
плоскости; д — системы с переменной
структурой
р2/(4Та)-^/Тд>0 (8.168)
корни $i, $2 будут вещественны-
ми разных знаков, на фазовой
плоскости будут траектории ти-
па седла (рис. 8.37, б).
Во втором случае среди трае-
кторий будет одна, по которой
изображающая точка попадает
в начало координат. Найдем ее
уравнение. Решение уравнения
(8.164) с учетом у = запи-
шется так:
Х1 =C1es,z + C,eSlt ,	(8.169)
где Cit Cz — произвольные по-
стоянные, причем в данном слу-
чае «1 >0, s2 < 0. Дифферен-
цируя выражение (8.169), имеем
х2 — dxi/dt — sl С, е^-НгСге8'1-
(8.170)
Если Ci — 0, то Xi(Z) -> 0,
х2(/) ->- 0 при t -> + оо. При
328
£* = 0 из выражений (8.169), (8.170) имеем
x2==s2x} (s2<0).	(8.171)
Это и будет уравнение траектории, вливающейся в начало координат.
Используя только часть от каждого из двух рассмотренных фазовых
портретов, разрежем каждый из них вдоль оси х2 и вдоль прямой MN
с уравнением
х2 = тх{ (т<0).	(8.172)
Из двух полученных таким образом листов фазовой плоскости
(рис. 8.37, в, г) составим полный фазовый портрет системы с перемен-
ной структурой (рис. 8.37, д). Прямая MN должна быть проведена
так, чтобы фазовая траектория седла, вливающаяся в начало коорди-
нат, сохранилась на окончательном фазовом портрете; для этого долж-
но быть \т\ < |s2 |.
При переходе изображающей точки через ось х2 на фазовом портре-
те (см. рис. 8.37, д) координаты системы изменяются непрерывно.
Через прямую MN изображающая точка вообще не может перейти,
так как фазовые траектории в окрестности этой прямой направлены
навстречу друг другу. Следовательно, попав на прямую MN, изобра-
жающая точка уже не может ее покинуть — она остается на этой
прямой. При этом в системе возникает скользящий режим (см. § 8.2),
когда в ней происходят с бесконечно большой частотой переключения
с одной структуры на другую, а изображающая точка движется по
прямой MN. Подставив в уравнение (8.172) этой прямой значения
xi = У, *2 “ dy/dt, получим дифференциальное уравнение движения
системы в скользящем режиме
dyldt — my,	(8.173)
решение которого
{/(0=i/(0)e^ (т<0).	(8.174)
Найдем закон управления, обеспечивающий переключения вдоль
прямой MN и оси х2. Согласно уравнению (8.172) в области / (см.
рис. 8.37, в), выше прямой MN, имеем х2 > тхь т. е. х2 — тх£>0\
в этой области также Xi > 0; следовательно, здесь
«1 (х > — mxj > 0.	(8.175)
В области /// (см. рис. 8.37, в), ниже прямой MN, х2<.тх{1 т. е.
х2—тх{ < 0; здесь также xt< 0, поэтому вновь выполняется неравен-
ство (8.175). Далее, в области II (см. рис. 8.37, а), выше прямой MN,
имеем х2 > тхъ т. е. х2 — тх{ > 0, при этом Xi <Z 0, т. е.
хг (х2 — mxj < 0.	(8.176)
Наконец, в области IV (см. рис. 8.37, г) х2 — mxt <0, %!> 0, и вновь
выполнено неравенство (8.176). Подставив в выражения (8.175),
329
(8.176) значение х2 = dy/dt = (pi —ру)/Та из первого уравнения
(8.163) и значение Xj = у, получим	*
sign хг (х2 — mxj = sign [|х — (р + пгТа) г/].	(8.177)
С учетом выражений (8.175)-—(8.177) получаем закон управления для
устойчивой системы переменной структуры, уравнения которой вместо
(8.163) запишутся в виде
Та dy/dt + ру = р-
7\ dpJdt = х;
(р<0);
х ( —Ь1У при — (p + mTa)y]>0\
I — k2y при у [|л — (р + тТа) у] < 0.
(8.178)
Здесь при k = ki должны иметь место фазовые траектории фокуса,
для чего должно выполняться неравенство (8.167); следовательно,
значение ki определяется неравенством
^>р2Тд/4Та.	(8.179)
При k == k2 должны существовать траектории седла, поэтому из вы-
ражения (8.168) находим
^2<Р2Л/4Та.	(8.180)
си-
Рис. 8.38. Структурная схема
стемы (8.178)
которую попадает изображающая
При выполнении условий
(8.179), (8.180) система с пере-
менной структурой (8.178) будет
иметь устойчивое в целом состо-
яние равновесия (х = у = 0).
Структурная схема системы по-
казана на рис. 8.38.
Таким образом, из двух не-
устойчивых структур вновь син-
тезирована структура, устойчи-
вая в целом. Особенность этой
структуры состоит в том, что в
ней используется некоторая пря-
мая на фазовой плоскости, на
точка с окрестных траекторий,
затем изображающая точка движется по этой прямой к на-
чалу координат в скользящем режиме. Такое построение фазового
пространства характерно и для систем с переменной структурой,
описываемых дифференциальными уравнениями n-го порядка.
В n-мерном фазовом пространстве таких систем вместо прямой будет
гиперплоскость размерности п—1; все фазовые траектории попадают
на эту гиперплоскость, затем изображающая точка в скользящем
режиме движется по гиперплоскости к началу координат.
Применение переменной структуры позволяет использовать срав-
нительно простые технические средства для построения устойчивой
системы с неплохим качеством процессов [19].
ГЛАВА 9
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ
автоматического управления при
СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
$ 9.1. СЛУЧАЙНЫЕ
ВОЗМУЩЕНИЯ и их
ХАРАКТЕРИСТИКИ
Ранее поведение САУ исследовалось при определенных, заданных
ро времени задающих и возмущающих воздействиях. Однако во мно-
гих практически важных случаях воздействия являются случайными
величинами или функциями.
Случайной называется любая величина, принимающая в результа-
те опыта одно из множества возможных значений, точную величину
которых в каждом конкретном случае невозможно предсказать. Слу-
чайной функцией называется функция, значения которой при каждом
фиксированном значении аргумента представляют собой случайные
величины.
В результате опыта случайная функция (величина) может прини-
мать одну из возможных форм (числовых значений), называемых ее
реализациями. Простейшие слу-
чайные функции, встречающи-
еся в практике исследования
САУ, зависят от одного аргу-
мента — времени — и называ-
ются случайными, или стохасти-
ческими случайными, процесса-
ми.
Для исследования точности
САУ необходимо иметь инфор-
мацию о случайных возмуще-
ниях.
Простейшими случайными
воздействиями являются:
а)	случайная величина f —
~cV, где с— некоторая постоян-
ная, V — случайная величина
(рис. 9.1, а);
б)	элементарная случайная
функция f (0 = Уф (0, где V—
случайная величина, ф (/) —
Детерминированная функция
времени (называемая координат-
ной функцией) (рис. 9.1, б, в);
в)	сумма элементарных слу-
чайных функций
Рис. 9.1. Реализации элементарных
случайных функций
331
т
S Vi-ЫО.
Z=1
Непрерывная случайная величина V может принимать все значе-
ния в каком-либо заданном интервале [а, 6]. Исчерпывающими харак-
теристиками таких величин являются законы распределения [функ-
ция распределения F (V) и плотность распределения р (V) вероятнос-
тей]. Функция распределения F (V) определяет вероятность Р того,
что случайная величина примет значение а Vo < V, т. е. F (V) =з
= Р [а < Vo < И. Функцию р (V) = dF (V)/dV называют плот-
ностью распределения вероятностей случайной величины V, или ее
дифференциальным законом распределения.
Знание закона распределения плотности вероятностей р (V) слу-
чайной величины позволяет вычислить ряд ее числовых характерис-
тик, часто используемых в исследованиях. К ним относятся:
а)	вероятность того, что случайная величина примет значение,
лежащее в интервале (V_, V+):
P[V.<V<V+]=- f p(V)dV;
к.
б)	начальные моменты &-го порядка:
=	= ^Vkp(V)dV, /г = 1, 2,	;
— ОО
в)	центральные моменты
Й» = Л1[у*] = J Vkp(y)dV, k = 1,2.......
—ОО
Первый начальный момент
mv = V = Af [V] = J° Vp(V) dV
— ОО
определяет среднее значение (математическое ожидание), вокруг ко-
торого группируются возможные реализации случайной величины
Если математическое значение случайной величины равно нулю, то
она является центрированной и обозначается через V. Поэтому пер-
вый центральный момент равен нулю.
Второй центральный момент
м|й2]= J (V-mv)'2p(V)dV=MJV2]-(mv)2
— 00
определяется через второй и первый начальные моменты и называется
дисперсией случайной величины. Дисперсия случайной величины V
332
бозначается через D [V] и представляет собой меру рассеивания реа-
лизаций случайной величины относительно ее математического ожи-
дания ту. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной вели-
чины. В качестве характеристики рассеивания удобнее пользоваться
реличиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной
реличины. Поэтому обычно вводят среднеквадратичное отклонение
(с.к.о.) случайной величины
Если случайная величина подчинена нормальному распределению
с плотностью вероятности
то параметр ov характеризует форму кривой распределения. Принято
считать, что все реализации случайной величины при этом практиче-
ски укладываются на участке 3ov с одной и другой стороны от центра
рассеивания (математического ожидания). Поэтому с.к.о. зу можно
приближенно считать равным 1/3 максимального отклонения случай-
ной величины от ее среднего значения. Рассмотренные числовые ха-
рактеристики случайных величин с нормальным законом распределе-
ния позволяют решать многие практические задачи.
Для системы случайных величин V2, ... , Viy ... , Vm, кроме
математических ожиданий М [VJ и дисперсий D [VJ, вводят в рас-
смотрение характеристику взаимосвязи этих величин — момент ко-
вариации
или корреляционный момент
rtj = [Уг] ° О-
Последний характеризует взаимосвязь двух нормированных случай-
ных величин VJa IVJ и VjlaWj}. Числовое значение корреляцион-
ного момента случайных величин находится в диапазоне [—1, +1].
Если случайные величины Vt и Vj независимы, то rif = 0. При нали-
чии функциональной связи между случайными величинами Vt и Vf
корреляционный момент — ±1. Если для системы случайных ве-
личин Vlt V2, ... , Vm корреляционный момент = 0 при изменении
индексов i и j от 1 до т, то говорят, что случайные величины этой
системы являются некоррелированными.
Аналогично рассматривают характеристики случайных функций.
В отличие от числовых характеристик случайных величин характе-
ристики случайных функций представляют собой в общем случае
функции времени или каких-либо других переменных.
Математическим ожиданием случайной функции f (t) называется
неслучайная функция тДО, которая при каждом значении аргумента
333
t равна математическому ожиданию соответствующего значения слу-
чайной функции:
mf (/) = М [/(/)].
Математическое ожидание есть функция, вблизи которой группи-
руются конкретные реализации случайной функции / (/). На рис. 9.2
и 9.3 сплошными линиями показаны реализации случайных функций
Л(0 и /г(0> штриховыми — их математические ожидания.
Рис. 9. 2. Реализации случайной Рис. 9.3. Реализации случайной
функции fi(/)	функции А2(0
Дисперсией случайной функции f (/) называется неслучайная функ-
ция £)/(/), значение которой для каждого момента времени t равно
дисперсии соответствующего значения случайной функции:
Df (0 = D [/ (/)] = М ([/ (0 - tnf (/)]*} = М [/* (/)] .
где / (0 — центрированное значение случайной функции /(/).
С.к.о. случайной функции
0/(0 =«[/(01=ГМ.
Рассмотренные характеристики недостаточно полно описывают
случайные функции. Так, для случайных функций Д(/) и /2(0» реали-
зации которых изображены на рис. 9.2 и 9.3, математические ожида-
ния и дисперсии примерно одинаковы, однако характер этих функций
различен. Для реализаций случайной функции Д(/) характерно плав-
ное изменение (см. рис. 9.2). Если, например, в точке 4 случайная
функция приняла значение, заметно превышающее ее математическое
ожидание, то и в точке t2 она также примет значение, большее сред-
него, т. е. для этой случайной функции характерна ярко выраженная
зависимость между ее значениями при различных значениях аргу-
мента
В противоположность функции Д(/) реализации случайной функ-
ции /2(0 (рис. 9.3) имеют резко колебательный характер, т. е. для нее
характерно резкое затухание взаимосвязи между отдельными значе-
ниями по мере увеличения расстояния по времени t между ними.
334
Чтобы охарактеризовать степень зависимости между значениями
случайной функции, относящимися к различным моментам времени,
вводят корреляционную функцию /2). Она является неслучай-
ной функцией двух аргументов (( и /2 и определяется как математиче-
ское ожидание произведения центрированных значений функции / (t)
в моменты времени tt и t2:
Kf(tx, Q=A1[./(Q/(G)].	(9.1)
Если tx = t2 = t, то
Kf(t, O = m[?(oJ=Dz(O.	(9.2)
В качестве основных характеристик случайной функции обычно
рассматривают ее математическое ожидание и корреляционную функ-
цию [необходимость в дисперсии, как отдельной характеристике слу-
чайной функции, отпадает в связи с соотношением (9.2)]. Эти характе-
ристики используют для исследования линейных и нелинейных си-
стем в рамках так называемой корреляционной теории.
Различают стационарные и нестационарные случайные функции.
Для нестационарных случайных функций характерна зависимость ее
вероятностных характеристик от времени. Это означает, что математи-
ческое ожидание и дисперсия нестационарной случайной функции
меняются во времени, а корреляционная функция определяется выра-
жением (9.1) и зависит от и t2.
Стационарной называется такая случайная функция, для которой
все вероятностные характеристики не зависят от аргумента, а опре-
деляются только сдвигом аргумента. Применительно к корреляцион-
ной функции это определение означает, что для стационарной случай-
ной функции
Kf (tx, Q = Kf (t2 -tx) ~ Kf (x)	(9.3)
где x = t2—tx. Из записанного условия стационарности случайной
функции следует, что дисперсия ее является величиной постоянной,
так как
£>[/] = Kf(t, t) = Kf (X) |т=!) = Const.
Математическое ожидание стационарной случайной функции при-
нято считать постоянным (в частности, равным нулю). Рассматривая
только центрированные значения случайной функции f (/), можно
не накладывать специальных условий на ее математическое ожидание.
Приводимой к стационарной, по В. С. Пугачеву [45], называют
нестационарную функцию, для которой частное f	является
стационарной случайной функцией.
Отметим некоторые свойства случайных функций.
1.	Корреляционная функция является симметричной функцией
своих аргументов и /2:
335
Для стационарной случайной функции это свойство является свой-
ством четности:
=	(9.4)
2.	Математическое ожидание произведения случайной функции
f (/) на неслучайную функцию ф (г) равно произведению неслучайной
функции ф (0 на математическое ожидание случайной функции f(t)-
м [/ (О Ф(О] = Ф [/(/)].
3.	Корреляционная функция произведения случайной функции
f (/) на неслучайную функцию ф (/) равна произведению корреля-
ционной функции t2) на ф (ti) ф (t2).
4.	Математическое ожидание случайной функции, полученной в
результате линейного преобразования (интегрирования, дифферен-
цирования и т. д.) случайной функции / (t), определяется данным ли-
нейным преобразованием математического ожидания функции
например,
М [df (t)/dt] = dM [f (t)]/dt = dmf (t)!dt\
M
j Ф CO f (’) dx
0
t	t
J ф (т) M [f (t)] dz = J ф (t) mf (t) dx и т. д.
о	0
5.	Для определения корреляционной функции случайной функ-
ции, полученной в результате линейного преобразования заданной
случайной функции f (/), необходимо поочередно применить заданное
линейное преобразование к корреляционной функции t2) по
аргументам и /2, например,
[do d о 1 д*
— нч] = «Л к,
^2
J (^1> ^2)	^2
И Т. Д.
При рассмотрении двух и более случайных функций помимо рас-
смотренных статистических характеристик вводят понятия взаимной
корреляционной и ковариационной функций, определяемых следующи-
ми выражениями:
КМ2(/Ъ /2) = /и [д (/х)(*2) ];
гМ2(/ъ /2) = Kfif,(G,	af. W]-
Равенство нулю функций Kf,f2 и j2 означает отсутствие связи меж-
ду случайными функциями Д и /2.
В качестве характеристики стационарных случайных функций
часто применяют спектральную плотность Sffo), представляющую
336
собой прямое преобразование Фурье (см. § 4.2) корреляционной функ-
ции:
Sz(<o)= j\(T)e-/mtfc.	(9.5)
—оо
С учетом свойства (9.4) выражение (9.5) можно записать в виде
Sz (со) = 2 J К/ СО cos (от dx.	(9.6)
о
Из выражений (9.5) и (9.6) следует, что спектральная плотность
полностью определяется корреляционной функцией. Например, если
Kf(x) = р2е—а|х|,	(9.7)
ТО
5Дш) = 2₽2 j е~а 1 х' cos «к d-t = 2о$2 / («2 + а2).	(9.8)
О
По заданной спектральной плотности можно найти корреляцион-
ную функцию при помощи обратного преобразования Фурье
К, (X) = -L f S, (ш) е/шх d<o.	(9.9)
2тс J
— 00
Из соотношения (9.9) при т = 0 вытекает важная формула для оп-
ределения дисперсии стационарной случайной функции по заданной
спектральной плотности
00
D[/] = -L fs/(«))d0>.	(9.10)
2л J
—00
Случайную функцию / (/) можно представить в виде суммы элемен-
тарных случайных функций:
Z4	т
f(t)= Емои,
Z=1
где ^t(t) — координатные функции; Vt — некоррелированные слу-
чайные величины с нормальным законом распределения.
Такое представление называется каноническим разложением слу-
чайной функции. Статистические характеристики случайных величин
Vi и координатные функции ф^(/) находят так, чтобы корреляцион-
ные функции случайной функции и ее канонического разложения
совпадали:
т
*2) = SD[Vd<MQ<M/2).
f	Z=1
337
В практике исследования стационарных или приводимых к стацио-
нарным случайных функций часто используется спектральное ка-
ноническое разложение:
?(*)= S cos + ^гг-1 sin <ог/],
1=1
или
7 (0 = S [Угг cos i(o0/ + Угг-i sin iш0/],	(9.11)
1=1
где Vb V2, ... , V2m+i — случайные величины с заданными законами
распределения; <о0, <ог — заданные числа.
Для стационарных случайных процессов используется и неканони-
ческое разложение
1 (О = cos -Н ^2sin	(9-12)
где IZ2 — некоррелированные между собой и с величиной со центри-
рованные случайные величины с нормальным законом распределения
[67], удовлетворяющие условию D [I/J = D [V21 = 1- Закон распре-
деления случайной величины со определяется из условия равенства
корреляционных функций случайного процесса и его представления
(9.12). Корреляционная функция неканонического представления
(^1, ^2) — М lcos 03 (^2 — ^i)] = М [cos ок].
f
Равенство Kfa) = М [cosсот] служит основой для определения
закона распределения случайной величины со.
§ 9.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Возмущения, действующие на любую САУ, являются в общем
случае случайными функциями времени. Вследствие этого задача
исследования точности САУ состоит в определении вероятностных
характеристик выходных величин системы по вероятностным характе-
ристикам входных случайных сигналов и заданным характеристикам
системы. Если на вход замкнутой системы с функцией веса
Ф (/) = L~l [Ф($)} подан случайный сигнал g (/) при нулевых началь-
ных условиях, то (см. § 2.5) реакция этой системы
t
У W = J Ф СО g (t — ’) dx.	(9.13)
О
Будем считать известными статистические характеристики воздейст-
вия g (/): математическое ожидание mg(t) и корреляционную функцию
Kg(ti, t2). Предположим, что можно получить статистические характе-
ристики выходной координаты у (/): математическое ожидание
ту(0 и корреляционную функцию Ky(ti, /2). Достаточно ли этих харак-
338
еристик выходной координаты для оценки точности САУ? Для от-
вета на этот вопрос рассмотрим следующий пример. Пусть к некото-
ой системе предъявлено следующее требование по точности: макси-
мальное отклонение выходной координаты от среднего значения Az/max
в момент t = Т окончания работы системы не должно превышать не-
которой величины: Д#тах(Т) а- Зная максимально возможное зна-
чение величины Дг/ (Т) и предполагая, что эта величина подчинена
нормальному закону распределения, можно сформулировать ограниче-
ния на с.к.о. и дисперсию:
а[Лу(Т)]^а/3\ D[Ay(T)] <а2/9.
Если любое из этих условий выполняется, то система удовлетворя-
ет поставленным к ней требованиям. Так как по корреляционной
функции можно найти дисперсию координаты в любой момент времени,
то, определив корреляционную функцию, можно судить о точности
системы.
Сказанное справедливо только при нормальном распределении
случайных сигналов. Если случайные воздействия не подчинены нор-
мальному распределению, то для анализа точности системы необхо-
димо задать закон распределения выходных координат системы
или знать центральные моменты высшего порядка случайной функции
при текущих значениях аргумента.
Взяв математическое ожидание от левой и правой частей равенства
(9.13), получим выражение для математического ожидания выходной
координаты системы
г
my(t) = J ср (т) tng (т) dx.
о
(9.14)
Корреляционная функция реакции системы является математиче-
ским ожиданием произведения центрированных значений реакции
системы в различные моменты времени ti и /2‘
t2) = M
tl	t2
f Ф W g Vi — x) J Ф (tJ g (t2 — dxj =
0	0
fl t2
= J f	(9.15)
0 6
Для стационарного входного сигнала
Ку (Л, t2) = J J Ф (X) ф (Ъ) /се (t2 -t, + X - Tj d4 dX. (9.16)
0	0
Дисперсия реакции системы в момент времени t
Dy (t) = Ку (t, t) = j I ф (X) ф (Ъ) Kg (X - to dtx dX. (9.17)
839
Из выражений (9.15) и (9.16) следует, что на выходе стационарной
линейной системы при стационарном входном воздействии стацио-
нарный случайный процесс будет иметь место только в установившем-
ся режиме (при t -> оо), когда
D, (°°) = J J ф (X) <р (tj) Kg ft — dX dxt = const. (9.18)
о 0
Корреляционная функция реакции САУ в установившемся режиме
СО = J J Ф (х) Ф Сч) Kg ft + х — Tj) dk dx1. (9.19)
0	0
Чтобы оценить точность САУ в установившемся режиме, нет не-
обходимости вычислять корреляционную функцию системы по
формуле (9.19). Достаточно лишь найти дисперсию по формуле (9.18),
что связано с определением двух интегралов во временной области и
не всегда удобно. Поэтому, если функция веса и корреляционная
функция стационарного входного воздействия имеют преобразование
Фурье, дисперсию вычисляют в частотной области. Проводя преобра-
зование Фурье над левой и правой частями выражения (9.19) и учиты-
вая, что
j Ку (т) e"/tox dz = Sy (со); J ср (т) е“"/шх dr =
— ОО	—00
f Kgft)e-iandx = Sgft>),
— 00
найдем спектральную плотность стационарного выходного сигнала
Sy(<o)=|0(/<Sg(<o).
(9.20)
Зная спектральную плотность выходного сигнала Sy(<o), можно по
формуле (9.9) определить корреляционную функцию выходного сиг-
нала и по формуле (9.10) —дисперсию реакции системы.
Подставив выражение (9.20) в (9.10), получим
00
Dy=4- f	(9-21)
— 00
При действии на входе системы двух некоррелированных случай»
ных сигналов [задающего воздействия g ft) и помехи f (/)] спект-
ральная плотность реакции системы
Sy (ш) = | Ф (/«о) |2 [Sff (ш) + Sz (w)].	(9.22)
340
Дисперсию можно вычислить аналитически, если частотную пере-
даточную функцию Ф(/(о) и спектральную плотность Sg(co) предста-
вить в виде дробно-рациональных функций:
Ф (/0)) = b (/<*>); Sg (<о) = с (&)/d (<о),
где a, b, с, d — полиномы от аргумента /<о.
Квадрат модуля частотной передаточной функции
|Ф (/<°) I2 = Ф (Л°) Ф (— /<*>) = Ф (/<*>) Ф (Л°) = b (jv) b (/<о)/[а (/<*>) а (/<*>)]
(черта сверху — знак комплексно-сопряженной величины).
Знаменатель и числитель спектральной плотности также можно
разложить на произведение множителей, комплексно-сопряженных
друг с другом:
с (о>) = q (/<*)) q (/ад); d (<о) = dr dr
С учетом приведенных замечаний
I ф (/«>) I2 s («>) = м/(й)С1^)-. ПМКМ.
е а (/<о) dj (/<о) а di (;-ш) *
Обозначив
G (/«>) = b(jw) q (/io); Н (/«>) = a (/w) dx (jw),
получим
f = Dv = — С
2к J Н (/<о) н
(9.23)
В формуле (9.23) удобно перейти к переменной $ = /<о:
+/« __________
у___	1 Г G (s) G (s) ds
№ J H (s) fT(sj
—/co
n—I	n
где G (s) = £ ck sk; H (s) = £ dk sk.
k=3	k=0
Нули H (s) должны быть при этом расположены в левой полу-
плоскости.
Не излагая общий метод вычисления интеграла (9.24), приведем
окончательный результат в виде табл. 9.1, содержащей значения ин-
тегралов /, выраженных в явном виде через коэффициенты с0>	•••
••• , dQi d^ ... , dn для значений п от 1 до 4.
341
Интегралы типа (9.24)
2tZod]
9	9
-F c^d2
2dQdid2
cl dodi 4- dQd3 (cl — 2c0c2 ) 4- Cq d2d3
2 d0d3 (d]d2 — dQd3)
mQ 4-
Таблица 9.1
— сз(^о^1^2 —	^з) ~Ь ( c2 — 2С1^з ^dodid^ 4“
4- ( c\ — 2c0c2 ) d0d3d4;
mi =	(~ ^1^4 4- d2d3) d^\
m2 — 2dgd4 (—	— d^d^ 4* djd2d3).
Пример 9.1. Определим дисперсию установившейся реакции следящей
системы (рис. 3.2, б), если передаточная функция системы
Ф ($) = /<i/[TyTMs3 4- (Ту 4- Тм) $2 4- $ + /<1],
(9.25)
а спектральная плотность входного случайного сигнала g (/) =	(/)
Sg (а)) = 2ар2/(о>2 + а2).
(9.26)
Следуя рассмотренной выше методике определения интеграла (9.24), вы-
числим дисперсию выходной координаты системы. Для этого:
а) представим спектральную плотность в виде
б) определим функцию G ($) и параметры с^:
G ($) = с0 = У 2а; с1 = с2 = с3 = 0;
в) определим функцию Н ($) и параметры d^:
Н (s) = [TyTMs3 4- (Ту 4- Тм) $2 4. s 4. Kl] (s 4. ау,
d0 = Кга; d^K^ a; d2 = 1 4- (Ту 4- Тм) а;
d3 — Ту 4* Тм 4* ТуТ 1Ла; d^ — ТуТм;
342
г) выпишем из табл. 9.1 выражение для интеграла при С! = с2 = с3 = 0:
со (—	4- d2d3)
( — <Мз — did4 4- did2d3)
________________^2(Ту + Тм) [1 + Д (Ту + Тм) + а2ТуТм]_____________
" (Ту + Тм + ТуТма) [Кг+а + Д2 (Ту + Тм) - K^TyTJ - (Ki4-a)2TyTM ‘
(9.27)
В табл. 9.2 приведены числовые значения дисперсии D[y] и с.к.о n[z/] в
зависимости от параметра а входного сигнала при Ту=Тм= 0,1 сек; Ki= 101/сек;
|3 == 0,1 град.
Таблица 9.2
а, 1/сек	1	3	5	7	9	11
D [«/], град2	0,0200	0,0224	0,0400	0,0190	0,0170	0,0150
град	0,141	0,150	0,200	0,138	0,131	0,122
Из табл. 9.2 следует, что с уменьшением корреляционной связи между
различными значениями входного сигнала с.к.о. выходного сигнала сначала
увеличивается, а затем уменьшается.
Пример 9.2. Пусть на входе следящей системы с передаточной функцией
(9.25) действует входной сигнал g(t) со спектральной плотностью (9.26) и поме-
ха /(/) со спектральной плотностью N2. Определим дисперсию установившейся
ошибки следящей системы в отработке угла, заданного входным сигналом g(t).
Передаточная функция следящей системы по ошибке
Фх(5) = 1-Ф(5).	(9.28)
При отсутствии корреляционной связи между входным сигналом и помехой
спектральная плотность ошибки
Sx (ш) = | Фх (/о) р Sg (о)) 4-1Ф (/о)) |2 Sf (о».	(9.29)
Как видно, спектральная плотность ошибки состоит из двух компонент. Пер-
вая соответствует входному сигналу, вторая — помехе.
Дисперсия ошибки
ОО
1 г
D[x] = —\ Sx(^)d(n.	(9.30)
ZTC J
—co
Используя выражения (9.29) и (9.30), получим
1 ? 1 °°
О[Х] = — |ФЖ (ju)ps?(o>)d<o + — | |®(ja>)psz(<o)d«>.	(9.31)
—co	—co
Легко видеть, что
Ф, (5) = [TyTMs* + (Ту 4- тм) s2 4- s]/[TyTMs3 + (Ту 4- Тм) $2 4- $ 4- ^]. (9.32)
Определим дисперсию реакции системы с передаточной функцией (9.32)
при действии на ее входе сигнала со спектральной плотностью (9.26), т. е. пер-
вое слагаемое выражения (9.31).
343
Следуя рассмотренной выше методике, получаем
G (s) = /25 р [TyTMs3 + (Ту + Т„) s3 + s];
Н (s) = (s + a) (ТуТ^ + (Ту + Тм) s’ + s + KJ;
Со 0*	— / 2// pi Cg = / 2л Р * (Ту 4- Тм) *, Сд= 2о 3 • Ту Тм \
= ТуТм; d3 = аТуТм 4- Ту 4- Ти; d? = а(Ту Ти) 4- I;
di = a -f- Ki‘, =
Поэтому
/ = m0/m2,
где
тй = d0 { сз (dxd2 — d0d3) + ( <?2 — 2схс3) dtdt + cf d3d4) ;
/и 2 = 2d3d4	dfldg — d^d4 4~ djd3d3).
После подстановки выражений для коэффициентов сг и d; получим
mo = 2a^TyTMd0 [(а3 + 1) (Ту + Тм) +
+ (ту + Т1 + О (Л. + а) - (К,а- 1) аТуТи]-,
m2 = 2d07’yTM {(Ту + Тм) (Ki + а + а3ТуТм + а3 (Ту + Тм - КхТуТы)] -
-ТуТм(1^+а- ТуТма3));
«Р2 [(а2 + 1) (Ту + Тм) + (Г* + Т* + 1) (Кх + а)-(Кха- 1) аТуТм|
1 ~ (Ту + Ты) [Kt + а + а3ТуТм + а3 (Ту + Тм - КхТуТм)[ -	"
ТуТм (Кх И- d ТуТмп3) .	(9.33)
В табл. 9.3 приведены значения дисперсии реакции системы и с. к. о. в ус-
тановившемся режиме при следующих значениях параметров системы: Ту«
= Тм= 0,1 сек\ Ki= 10 \!сек\ Р = 0,1 град.
Таблица 9.3
a, 1/сек	1	3	5	7	9	11
D [z/], град2	0,0542	0,1600	0,2500	0,3210	0,3700	0,4040
0 {//], град	0,233	0,400	0,500	0,566	0,609	0,636
Из табл. 9.3 следует, что с. к. о. возрастает с уменьшением корреляционной
связи между значениями входного сигнала. Найдем теперь дисперсию выходного
сигнала следящей системы, передаточная функция которой имеет вид (9.25),
а на входе действует «белый шум» со спектральной плотностью /V2. Следуя рас-
смотренной выше методике определения интеграла (9.24), определим второе
слагаемое выражения (9.31). Будем иметь:
G (s)/H ($) = К^/[ТуТм8* 4- $2 (Ту 4- Тм) 4- s 4- КЛ
d0 = Ki, di = l; d2 = Ty4-TM;
= TyT/ = Cq d^/l^do (d\d^	d^d^) J.
344
После подстановки выражений для коэффициентов с0, d0, d1, d2 и d3 получим
/ = KtJV2 (Ту + Тм)/[2 (Ту + Тм- КхТуТм)].	(9.34)
Суммируя выражения (9.33) и (9.34), найдем
DW=_______^_(Ту + Ты}____
1 2(Ту+Гм-К1ТуТм) +
а?2 [ (а2 + 1) (Ту + Тм) + (Т* + Т* + 1) (Kt + а) - (Кха - 1) аТуТм]
(Ту + ты) |Л, + а + а»ТуТм + а2 (Ту + Ты - KiTyTM)] - ТуТм (Кх +
+ а— ТуТма2) .	(9.35)
Выражение (9.35) позволяет при заданных числовых значениях параметров
системы и входных сигналов вычислить дисперсию ошибки следящей системы в
установившемся режиме.
В переходном процессе дисперсия выходного сигнала не является постоянной
и для ее определения необходимо использовать методы статистического иссле-
дования автоматических систем во временной области с использованием соот-
ношений (9.13), (9.16) или (9.17).
Выражения (9.16) и (9.17) являются достаточно громоздкими в вычислитель-
ном отношении для систем, описываемых дифференциальными уравнениями
высокого порядка. Они значительно упрощаются при воздействии на САУ слу-
чайного процесса в виде «белого шума», для которого 5«-(со) = So= const;
KgW = Sod(T).
С учетом этого выражения (9.16) и (9.17) можно записать в виде
Л > *2) = f ? (^' J ? (ti) s0 a (t2 — h + — ^i)	=
= | ? (X) <р (/2 —	-j. X) s0 d\\	(9.36)
t	t	t
Dy [Z] = f <p (X) dX f <p (T1) So 5 (X — -с,) drt = So f <p2 (X) dX. (9.37)
0	0	0
Из выражения (9.37) следует, что дисперсия выходного сигнала САУ при
воздействии на нее «белого шума» определяется достаточно просто.
Пример 9.3. Определим дисперсию выходной координаты САУ, описанной
дифференциальным уравнением первого порядка
У + сцу = g (0>	(9.38)
на входе которой приложена помеха типа «белого шума» с корреляционной функ-
цией /V2d(/—т).
Так как функция веса системы, описанной уравнением (9.38),
<р (t) = e~°‘f,
ТО, используя выражение (9.37) для дисперсии выходного сигнала, получим
t	*	№
Dy (t) = № | ( e-a‘x)a dX = № j e-2a,x dX =	(1 — e-2a,x ).	(9.39)
Из выражения (9.39) следует, что дисперсия рассматриваемой системы в
переходном процессе изменяется от 0 до установившегося значения N2/2a\ по
экспоненте.
345
Приведенное значение дисперсии выходного сигнала в установившемся
режиме легко получить, используя преобразования в частотной области.
Пример 9.4. Определим дисперсию выходной координаты САУ, описан-
ной дифференциальным уравнением второго порядка
у+ 3^4-2г/= £(/),	(9.40)
на входе которого приложена помеха типа «белого шума» с корреляционной
функцией №д(/ — т).
Функция веса системы
ср (/) = e~z — е~2<	(9.41)
Подставляя выражение (9.41) в соотношение (9.37), получим
Dy (С) = № Г ( е-х — е-2Х )2 Л =	(1 + 8е"3/ — бе"2' — 3e’«*). (9.42)
и	12
Из выражения (9.42) следует, что значение дисперсии рассматриваемой
системы в установившемся режиме равно №/12. Дисперсия выходного сигнала
в переходном процессе изменяется от 0 до №/12.
Рассмотренные методы анализа точности САУ, на входе которых
действуют стационарные случайные сигналы, и решенные иллюстра-
тивные примеры указывают на сравнительную простоту задач статис-
тического анализа линейных стационарных систем в установившемся
режиме и в переходном процессе.
Однако если дифференциальные уравнения, описывающие работу
САУ, будут выше второго порядка, то без применения цифровых или
аналоговых вычислительных машин определение дисперсии выходных
координат систем в переходном процессе будет значительно затрудне-
но из-за громоздкости аналитического вычисления как функции веса,
так и интеграла от квадрата функции веса.
В практике исследования САУ под действием случайных возмуще-
ний часто встречаются случаи, когда помехи или сигналы представля-
ют собой случайные величины или элементарные случайные функции.
Так, пусть случайное воздействие представлено в виде суммы элемен-
тарных случайных функций:
т
f(t)= SMi(0-	(9.43)
Подставляя выражение (9.43) в интеграл свертки (9.13), получим
t	tn	mt
y(t) J <Р w 2 Vi ф/(Г—	= S Vi j Ф W Ф« (* — *)	(9.44)
0	Ы	i«l 0
откуда
tn	t
M ly (/)] = S M [V*J f <p (т) ф, (t - T) dt;	(9.45)
/«=!	0
tn	г о о 1 1	1
Dv(t) = S M [^г C'J J ср(х)ф4(/ — J (р(-с)фД? — T)dx; (9.46)
i, /—1	о	о
346
КМг) = s м	J Ф(х)фг(/ — t)dt J q>(-c)<|>y(f—T)dx. (9.47)
/, /=1	0	0
Если случайные величины некоррелированы между собой, то
т	Г t	*12
D,(t) = £Р[^)] pm^-^dx ;
*==i	L о
КУ(А 2	<p(t)<h (t — t) dt J cp (t) <Ьг (t — t) dt.
1=1 о	0
(9.48)
(9.49)
Интегралы в выражениях (9.45) — (9.49) представляют собой реак-
ции системы с функцией веса <р (/) на входные сигналы (/).
Введем обозначение
t
ЧА*) = j —t) dt.
о
Тогда выражения (9.45), (9.48) и (9.49) можно переписать так:
tn
м [</(/)] = s WiHiW;
1=1
tn
Dy[t]=
1=1
m
KA^tz) =SDlV<]T)j(^1)vi<(/2).
1=1
Функции t] i(t) можно вычислить аналитическим способом или с
помощью вычислительных машин.
Если возмущение представляет собой случайную величину, т. е.
координатная функция ф (/) = 1, то реакция САУ
y(0 = V jq>(T)l(/-x)dx=V/i(O,
О
где h (0 — переходная функция системы.
В рассматриваемом случае статистические характеристики выход-
ной координаты системы рассчитываются по наиболее простым соот-
ношениям:
М [у (01 = M[V]h (/); Dy (t) = D [V] й2 (/);
t2) = D[V]h(tx)h(t2).
Из сказанного следует, что задача исследования статистических
характеристик выходных координат линейных систем, подверженных
воздействию случайных возмущений, для которых заданы канониче-
347
ские разложения вида (9.11), достаточно проста. Очевидно, что исполь-
зование неканонических разложений (9.12) при анализе линейных
систем нецелесообразно при аналитических решениях, так как здесь
возмущающее воздействие является нелинейной функцией случайных
величин.
§ 9.3. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Постановка задачи исследования точности нелинейных систем,
находящихся под действием случайных воздействий, не отличается
по форме от постановки задачи исследования точности линейных ста-
ционарных систем (см. § 9.2). Пусть САУ, функционирующая в про-
межутке времени О t Т, описывается системой нелинейных диф-
ференциальных уравнений:
dxjdt = X} (хг, х2, •••, А» /г» ••• /т)> 1 /д 5Q4
xt (0) = xiQi 0 t Г, i = 1, 2, ... , п. J
Здесь Хъ Х2> ••• , Хп — заданные функции времени, фазовых коорди-
нат и возмущений; х2, ... , хп — фазовые координаты системы;
/ь /г» ••• , fm — случайные возмущения с заданными статистическими
характеристиками.
Как и ранее, в рамках корреляционной теории для определения
точности работы САУ будем использовать два первых момента фазо-
вых координат системы.
Методы статистического анализа точности нелинейных САУ чаще
всего связывают с приближенными методами вычислений, основанны-
ми на методах математической статистики. Применение аппарата ма-
тематической статистики в задачах статистического анализа нелиней-
ных систем основано на анализе случайных выборок. Элементами этих
выборок будем рассматривать возможные исходы эксперимента, про-
изведенного при данной реализации случайных воздействий. Приме-
нительно к задаче анализа под экспериментом будем понимать инте-
грирование дифференциальных уравнений (9.50) при заданных реа-
лизациях случайных воздействий.
Предположим, что построена выборка из N реализаций случайных
воздействий
(0, /Г (0..../Г (0, I = 1. 2, ..., т (9.51)
и путем интегрирования уравнений (9.50) с использованием аналого-
вых, цифровых или комбинированных (цифро-аналоговых) вычисли-
тельных машин для каждой из реализаций (9.51) получены решения
%.(/), i = 1, 2, ... , п. Это позволит сформировать выборку реше-
ний дифференциальных уравнений (9.50) в виде
(/), г>2) (/).5CZ(/V)	(0,... ,1 = 1 2,..., п. (9.52)
Так как выборка (9.51) является случайной, то и выборка (9.52)
является случайной. Из элементов (9.52) для заданного момента вре-
348
мени t = ti скомпонуем выборку, например, для координаты —
z(1), z<2)...zw	(9.53)
й рассмотрим некоторые статистики выборки (9.53):
выборочное среднее значение
1	N
2	= ^-2 z(0;	(9.54)
i=i
выборочную дисперсию
(9.55)
1=1
Если законы распределения элементов выборки (9.53) одинаковы,
а сами элементы выборки являются независимыми случайными вели-
чинами (эти допущения в данном случае выполняются), то можно за-
писать известные в математической статистике соотношения:
м [г] = Иг;	(9.56)
о2 [z] = М [(z - |хг)2] = а2М	(9.57)
где рг, az — математическое ожидание и с.к.о. случайной величины z
соответственно.
Аналогичные формулы можно записать для выборочной дисперсии:
М [;•] = о*;	(9.58)
м[(;.)г]=±1 + (Л'-|>,+.2	(9.59)
/ J /V JV(N—1)	*	v '
O2[;2] = _LL	(9.60)
L J N V N — 1 z /
Формулы (9.56) и (9.58) означают, что выборочное среднее и вы-
борочная дисперсия являются несмещенными оценками для математи-
ческого ожидания и дисперсии случайной величины z с математиче-
ским ожиданием pz, дисперсией в2 и четвертым центральным момен-
том |14. Если случайная величина z распределена по нормальному за-
кону, то р-4 = и формулы (9.59) и (9.60) примут вид
М [WT = (N + W — 1);	(9.61)
о2 [о3] = 2«1/(7V — 1).	(9.62)
Дисперсию выборочного среднего z и выборочную дисперсию а2
можно вычислить по формулам (9.57) и (9.60).
349
Эти выражения можно использовать для нахождения объема вьь
борки (9.52), необходимой для вычисления рассматриваемых характе-
ристик с заданной точностью. В связи с тем, что точные числовые зна-
чения &z и р-4 не определены заранее, в формулы для дисперсий первых
двух статистик выборки необходимо подставить числовые значения
этих статистик. Тогда при нормальном распределении элементов вы-
борки (9.53)
а2И=Л; а2 [ а2] = 2 (a2)2/(JV — 1).	(9.63)
Процесс статистического анализа, использующий в своей основе
теорию выборочного метода математической статистики и предпола-
гающей построение выборки (9.52), называют методом статистиче-
ских испытаний. Этот метод часто используют в задачах статистиче-
ского анализа точности нелинейных систем.
Используя выборку (9.52), можно вычислить оценки математиче-
ских ожиданий, дисперсий и корреляционных функций фазовых ко-
ординат системы
S (П;
г 1	Z=‘ N п	0-64)
Метод статистических испытаний может быть с успехом применен
и для анализа нелинейных систем, в которых возмущения представля-
ют собой случайные величины:
/1(0 = V1; f2(0 = V2;...; /m(0 = Vm.
В этом случае уравнения (9.50) примут вид
dXi/dt = Хг (xt, х2,... хп, t, Vt, V2,..., Vm),l'
хг(О) = хго, 0</<T, i = 1 2,..., n. j (У,Ь '
Построив выборку случайных величин
И”,	i=l,2.....tn '	(9.66)
и проинтегрировав уравнения (9.65) для каждого из ее элементов, по-
лучим выборку решений уравнения (9.65) вида (9.52). Статистические
характеристики решений Xt(f} , i = 1, 2, ... , п в рассматриваемом
случае вычисляются, как и ранее, по формулам (9.64).
Если возмущения Д(0 представляют собой случайные функции,
то использование канонических или неканонических разложений для их
моделирования позволяет свести задачу анализа нелинейной системы
уравнений (9.50) к задаче анализа системы нелинейных дифферен-
циальных уравнений (9.65), что в практических случаях часто упро-
щает рассматриваемую задачу.
Выборки случайных воздействий (9.51) и (9.66) должны иметь
статистические характеристики, близкие к статистическим характе-
350
ристикам самих возмущений. Это является непременным условием
применения метода статистических испытаний к задачам анализа
нелинейных систем уравнений. Построение выборки случайных вели-
чин (9.66) является в значительной мере более простой задачей, чем
построение выборки случайных функций (9.51). Этим объясняется
широкое применение методов канонических и неканонических пред-
ставлений случайных возмущений в задачах статистического анализа
САУ» описанных нелинейными дифференциальными уравнениями
(9.50).
Говоря о применении метода статистических испытаний в задачах
статистического анализа нелинейных систем, следует рассматривать
вопрос о сходимости вычисляемых статистик к реальным статистиче-
ским характеристикам и точности определения выборочных средних и
выборочной ковариационной матрицы. В табл. 9.4 приведены значе-
ния числа элементов выборки (9.66) в функции числа е, характери-
зующего диапазон погрешности вычисления математического ожида-
ния величины
6№= (2 —нЖ
при заданной вероятности Р = 0,99 выполнения неравенства
Число элементов выборки
Таблица 9.4
8	0,01	0,05	0,10	0,20
Vi	100000	4000	1000	250
	10000	400	200	25
При этом число Aft получено из неравенства Чебышева, а число
N2 — с использованием предельной теоремы Ляпунова [67]. Нера-
венство Чебышева
P[B/v <е]< l/9eW
дает весьма грубую оценку величины 6 n- Оценка, полученная с ис-
пользованием предельной теоремы Ляпунова _____
2 Зе/ А//2
P[8A/<e]«<D(3e/jv72) /Г J е-х^х
о
Дает более точную оценку погрешности 6 N.
В табл. 9.5 приведены числовые значения объема выборки (9.51)
Для нормального распределения ее элементов, рассчитанные с исполь-
351
зованием соотношений
е = За [г]/аг; е = 3а[аг]/а2
и формул (9.57), (9.62).
Таблица 9.5
Объем выборки
£	0,01	0,05	0,10	0,20
	300	60	30	15
	424	86	44	23
Приведенные в табл. 9.4 и 9.5 числовые значения W позволяют
ориентировочно определить необходимое число интегрирований нели-
нейных дифференциальных уравнений для получения статистических
характеристик их решений с заданной точностью.
В процессе анализа нелинейных систем методом статистических^
испытаний можно найти и закон распределения плотности вероятнос-
тей выходных координат САУ или центральные моменты выше второ-
го, третьего, четвертого порядков и т. д. Знание моментов третьей и
четвертой степени позволяет сделать оценку близости закона распре-
деления выходных координат к нормальному распределению плот-
ности вероятностей. Если окажется, что
мн* — рг)3]/<4<е;	[^ — 3(°2) ]/(°2) <£.
то можно предполагать нормальность распределения выходной коор-
динаты.
Для вычисления статистических характеристик решений системы
дифференциальных уравнений (9.65) можно применять и ряд других
методов, например, методы Б. Г. Доступова [22], В. И. Чернецкого
167] и др. Эти методы основаны на априорном задании структуры функ-
ций Xi(t, V2, ••• > Еп), статистические характеристики которых опре-
деляются. Рассмотрим метод Б. Г. Доступова, позволяющий найти
математическое ожидание и дисперсию функции х (/, V), рассеивание
которой определяется одной случайной величиной V с заданным зако-
ном распределения плотности вероятностей [22].
Представим функцию х (t, V) рядом Маклорена по переменной V-
При этом будем предполагать, что членом (q + 1)-го порядка в этом
разложении можно пренебречь. Тогда получим
х(Л Ю = х0+ S	(9-67)
где х0 = х (/, V = 0) — значение функции х (t, V) 'при V — 0;
(dkx/dVk)0 = дкх (/, V)/dVk — значение /г-й частной производной функ-
ции х (i, V), вычисленной при V — 0.
352
Пусть для некоторых реализаций случайной величины
^(О, ^(2),(9.68)
р, [Числены числовые значения функции
Х(1)’Х(2).W	(9.69)
Тогда для l-й реализации случайной величины V из (9.68) можно
записать выражение (9.67) в виде
««, >'<„) -+ s 4г (тН 1/« 	<9-701
Умножив правую и левую части выражения (9.70) на постоянный
коэффициент at и определив сумму по i от правой и левой частей ра-
венства (9.70), получим
N	N	q	N
S «,х(„ = х, £ + £ -L1^-] £	(9.71)
tel	(=1	fe=l	0 1=1
Определив математическое ожидание от правой и левой частей
равенства (9.67), найдем
м [х (/, V)] = *0 + £ V М [Р].	(9.72)
~ «I \ OV / 0
k=\
Из сравнения выражений (9.71) и (9.72) видно, что при выполнении
N
условий S о,/ = 1
N
=	А>=12.....q.	(9.73)
t=a>l
Математическое ожидание функции х (t9 V)
N
М [х (/, V)] = 2	(t, V(/)).	(9.74)
tel
Условия (9.73) являются условиями для выбора весовых коэффи-
циентов at и реализаций (9.68) случайной величины V.
По аналогии в методе Б. Г. Доступова вычисляются высшие мо-
менты решений х (t, У):
М [ х’ (t, V)] = atx;0 (Л v > 1.	(9.75)
(=1
12-493
353
При произвольном q систему уравнений (9.73) разрешить не удает-
ся. Поэтому рассмотрим ее решения при фиксированном q. При
9 = 3
N	N
£а, = 1; S«iV(O=0;
Z=l	t==s|
N	N
/=)	/»l
Если случайная величина является центрированной с симметрич-
ным законом распределения плотности вероятностей, то
/V
(жэ)
£ ч nw = 4
(ва|
При этом, очевидно, реализации случайной величины должны
быть симметричными относительно математического ожидания слу-
чайной величины. Кроме того, пусть весовые коэффициенты равны
между собой. Тогда решение рассматриваемой системы можно полу-
чить при N == 2 в виде
“i - 1/2; I/,,; =	|/<2) = —
При N = 4 решение получается только в случае задания одной из
реализаций. Например, при 1/<з) = 0,5 оу получим
V(D = — 1,33в0 У(2) = — 0,5av;
^3) = 0^v ^) = 133а,.
Обычно при использовании метода Доступова принимается мини-
мальное число реализаций, поэтому полученный при N = 2 результат
можно считать решением рассматриваемой задачи.
Аналогично решается задача статистического анализа нелинейных
систем при действии на систему большого числа случайных величин
V2, ••• , Предположим, что последние некоррелированы. Тогда
решение нелинейных уравнений (9.65) будет определяться всей сово-
купностью случайных факторов:
х(/) = х(/, Vit V2.....Vm).	(9.76)
Построим, как и ранее, ряд Маклорена для функции (9.76)
q	т tn т
x{t, ю = х0 + У — У У... У (------------—-------1 Vr.Vr.... vr .
° 1 ZJ fe! .4J XJ LX Iqv dV . t ,dVrJa * ’ rk
ft=l 4=1 4=1	-,=l	*	"	*
(9.77)
где x0 = x(t, 0, 0, 0.... 0).
Индекс «0» у частных производных по-прежнему означает, что
они вычисляются в точке (/, 0, 0, ... , 0). Переходя в выражении (9.77)
354
от случайных величин к их математическим ожиданиям, получим
V)] = х0 +
q tn т	tn
+ Stt S S - S	...М (9J8>
k=}	r,=l r,=l	rft=l	r' rk/0
Как и ранее, сформируем выборку реализаций случайных ве-
дичин
^(1)' ^(2)» •••»	(ЛГ)’ 1“	2.....т	(9.79)
и подставим их в соотношение (9.77). При этом
q т т т
fc==J	г1=1 Г2^|	г&=| \	1	Л /0
х Vri(Z)^8(0...V^(0.	(9.80)
Суммируя правую и левую части выражения (9.80) по индексу I
с весовыми коэффициентами аг получаем
N	/V
У, = хо у +
/«=!	I—1
q	т tn	N
+ S i S - S L ) I <> - \ w(9.81)
k=*l r1=i rk^\ \ X	Л / 0
Если
E «I = 1; S </>... vr (I) a, = M [Vr, ... Vr J, (9.82)
K	k
1=1	Z=l
то из равенства выражений (9.78) и (9.81) получим
М [х (Л V)]	£ a^(O (t V'i (о.....Ут <«)•	(9.83)
Решение системы уравнений (9.82) позволяет построить выборку
(9.79) и найти весовые коэффициенты af при фиксированном q. Рас-
смотрим предложенные Б. Г. Доступовым решения системы (9.82)
при q = 2. Пусть выборка (9.79) при q = 2 задана табл. 9.6.
12!
355
Значения выборки
Таблица 9>6в
l	Реализация случайных величин V	'*''*'*					
	I	2	3	....	tn — 1	tn
1	Vt	0	0	. . .	0	0
2	0	V,	0	. . .	0	0
	• • • •		. . .	. . .	....	....
m—1	0	0	0	. . .	r tn-1	0
tn	0	0	0	. . .	0	Vm
m-H	V,	и2	Из	. . .	r m-i	Vm
/n-f-2	-И,	-и2	-И8	• • .	—- K 77Z-1	-Vm
В этом случае N = т + 2,уравнения (9.82) имеют вид
N
S ч = 1;
1=1
N
=0, /=1, 2,
/=1
N
S <0 V* <0 = 0, j k = 1, 2................tn-,
ic=1
Л/
j —	2,, tn,
1=1
или
N
S аг = 1;	(9.84)
1=1
“I" am+i 331 0^ / ==» 1, 2, ««a, m\	(9.85)
355
“m+i + am+a = °.	(9.86)
(Я/ + am+i +• am+2) M [V/] I = 1. 2, ... m.	(9.87)
Суммируя все tn уравнений (9.85) и принимая во внимание урав-
нение (9.84), получаем
S - 0^+) — (rn + 1)аш+? = О,
(«=|
откуда
(т + 1) amJr2 = (m — 1) am+( + 1.	(9.88)
Из системы уравнений (9.88) и (9.86) определяем
am+i = -	am+s> - l/(2m).	(9.89)
Тогда на основании уравнений (9.85) и соотношений (9.89) на-
ходим
а, = Мт / = 1 2,... т.	(9.90)
Для нормального закона распределения случайных величин из
уравнения (9.87) с учетом (9.89) и (9.90) получаем
—	(9.91)
Итак, характеристики выборки (9.79) и весовые коэффициенты
определены.
Найдем теперь математическое ожидание и дисперсию функции г.
m4-2	/ tn
М И « S = -L £	+
"	т \	2
/»|	\(с=>1
m-f-2	/ т
D [х] » £ ae^0 — (М | х])2 = J- I х*0 +
=1	\
№	- х2 \
+	..<п?+|> | I хП2
(9.92)
(9.93)
где tn — число случайных факторов.
Формулы (9.92), (9.93) позволяют вычислить математическое ожи-
дание, дисперсию и второй начальный момент решений нелинейных
уравнений.
В рассмотренной схеме метода Доступова 122] выражение (9.91)
определяет величину реализации случайной величины. При tn > 10
реализация случайной величины (для нормального закона распреде-
ления) будет находиться вне диапазона реального изменения случай-
ной величины. Этого можно избежать, если в схему планирования
Доступова, приведенную в табл. 9.6, ввести (т -4- 3)-ю строку, содер-
867
жащую нулевое значение реализаций случайных величин*. Тогда си.
стема уравнений (9.82) примет вид
S ai = 1;
«у + am+i —	“ 0;
ат+1 ат+2 ~ 0’
(9.94)
(а; +ат+1 + ат+г) V/ — Л1 [V/].
Одно из решений системы уравнений (9.94) запишется так:
yj = |/ Л4 [!/•] ; ау = 1, j = 1; 2, ..., /и;
am+i ~	1/2; ат+2 ~ 1/2, ат+з — 1	/и.
При этом формулы (9.92) и (9.93) принимают вид
Mix] « S М<о = S	1)х(ш+3);
1=1	(=1
т+3	т	2	2
DW« S	4, +
(9.95)
Формулы (9.95) можно использовать при произвольной размер-
ности вектора случайных величин V.
Предложено авторами совместно с В. И. Котовичем.
ГЛАВА 10
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
§ 10.1. ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ
В предыдущих главах при изложении вопросов анализа и синтеза
САУ предполагалось, что значения параметров объекта и регулятора
совпадают со значениями, принятыми при проектировании системы.
Но из-за целого ряда причин (старения, влияния температуры, радиа-
ции и других внешних воздействий, неточности при изготовлении и
т. д.) действительные значения параметров всегда отличаются от рас-
четных. Естественно, что это приводит к изменению критерия (пока-
зателя) качества работы системы, а следовательно, и к необходимости
изучения влияния отклонения параметров на свойства САУ Этот во-
прос является предметом изучения теории чувствительности — но-
вого направления в автоматике и технической кибернетике.
Под чувствительностью будем понимать свойство системы изме-
нять свои выходные характеристики (показатели качества) при откло-
нении тех или иных параметров от своих номинальных (расчетных)
значений. Количественно это свойство САУ оценивается с помощью
функций чувствительности.
Рассмотрим линейную стационарную систему первого порядка с
передаточной функцией
Ф($) =/</(1 + Ts).	(10.1)
Переходная функция системы
/г(/) = /С(1 — е-//г).	(10.2)
Допустим, что А и Т — расчетные значения коэффициента уси-
ления и постоянной времени, а ДА и ДТ — отклонения этих парамет-
ров от расчетных значений. При отклонениях параметров передаточ-
ная функция
Ф(з, ДА, ДТ) = (А 4- ДА)/[ 1	± &T)s],	(10.3)
Ей соответствует переходная функция
h (t, М, ДТ) = (/< + Д7О (1 _ е“ '/(Г+ДГ>).	<Ю.4)
Представим функцию h(t, &К, ДТ) как сумму двух слагаемых:
й(/, Д/(, ДТ) =/г(/) 4-Д/г(/)	(10.5)
359
где ДЛ (/) — составляющая реакции системы, обусловленная отклоне-
ниями ДК и Д7\
Слагаемое h (/) является основной составляющей реакции, ДЛ (t)_
дополнительной составляющей.
Функцию (10.5) разложим в ряд Тейлора:
Л(/, Д/<, ДТ) = й(С + —
Д/(+
АД =0
ДГ=0
+	АТ + R(t, &К. АТ),	(10.6)
дкТ дд«о
дт =*о
где R (t &К, ДТ) — член, содержащий произведения и степени выше
первой величин ДЛ, ДТ.
Частные производные
(0 = dh/дЛК |ЛК = 0; р,7. = dh/dbT\^ =0	(10.7)
АГ «О	ДГ =0
в теории чувствительности называются функциями чувствительности
первого порядка.
Иногда в рассмотрение вводят частные производные второго и
более высоких порядков. Тогда вторые производные называют функ-
циями чувствительности второго порядка и т. д.
Для системы с передаточной функцией (10.3) на основании (10.4)
можно получить
= 1—1
’ 7	(10.8)
— KtlT^)Q~tn. (	'
При малых отклонениях Д/( и ДГ
h (t, ДД, ДТ) = К (1 — е"'/г) + (1 — е"'/г) Д/< — (Kt/Г1} e~tfTbT,
(10.9)
откуда
ДЛ (0 = (1 - е~'/г) дя — (/С//Т2) е~'/Г Д Т. (10.10)
Функции чувствительности цд (I) и |л7- (/) могут быть определены
не только при ступенчатом, но и при любом воздействии g (t). Если
у (0 — реакция системы (10.1) на воздействие g (t), то вместо (10.6)
получаем
y(t, ЛК, ДТ) = y(f) + Д{/(0 = y(t) + ик (0 ДК +
+	+ R(t, ЛК ДТ)	(10.11)
где
«к (0 = дУ/д^к »о ’ ит = дУ/д&т\ы< = о —
А/ =0	ДГ =0
соответствующие функции чувствительности.
360
В теории чувствительности величина у (/) называется основным,
— дополнительным движением,
J функция чувствительности и (/) == ду (/)/дДа|Да в0, где Да —
вариация некоторого параметра а, может быть определена через функ-
цию чувствительности у- (/) = dh (t)/d^a | да==0 на основании извест-
ного соотношения, связывающего у (t) с переходной функцией
(см. § 2.5):
y(t) = й(/)£(0) +	—
о
Дифференцируя по Да обе части этого выражения, получаем
t
Если
v(t) = <Ъ(/)/дДа|да=0,
где w (/) — весовая функция, то
t
и (/) = J v d*'
По аналогии с рассмотренными выше функциями чувствительности
временных характеристик вводятся функции чувствительности час-
тотных характеристик.
Система с передаточной функцией (10.1) имеет амплитудную и
фазовую характеристики
Н (со) = к/у 1 + W; 9 (со) = — arctg 0>Т,
которым соответствуют функции чувствительности
дН
д&К
/1 + 7V
-5-1	=0;
дДЛ дк==о
1дт =о
дН =_________________
дг=о (1+<№)3/г
дО	__ о»
дДТ д/< =а о 1 + (о2?2
дт =о
При этом для частотных характеристик системы справедливы при-
ближенные представления
Н «о, ДК, ДТ) = — «	- + -. -А*.
у 1 4- W У1 + Т2<02	(1 + TW) 12
6 (<о, Д/<, ДТ) = — arctg сот-.
1 — (О2Т2
Обычно результаты дифференцирования по Да и а, где а — пара-
метр, совпадают. Поэтому в дальнейшем будем пользоваться произ-
$61
водной по самому параметру а. Кроме того, при частных производных
будем опускать индексы, обозначающие равенство нулю вариаций
параметров.
Для показателей качества, выражающихся числовыми величина-
ми, вводят коэффициенты чувствительности. Рассмотрим, например,
для системы с передаточной функцией (10.1) квадратичную оценку
/2 = ?К-й(0]2^ = №
(10.12)
Для нее имеют место коэффициенты чувствительности
д!г/дК = КТ; д12/дТ = №/2.	(10.13)
Коэффициенты чувствительности (10.13) связаны с временными
функциями чувствительности соотношениями
^=2 J [/<-/:(/)] [1-^(0] dt;
^-^-2 1[К— h(t)][>.T(t)dt,
(10.14)
получаемыми в результате дифференцирования по параметрам левой
части выражения (10.12).
Математический аппарат теории чувствительности наиболее глу-
боко разработан для случая линейного приближения характеристик
и показателей качества САУ, когда:
у (t, я, ф- Дар .... am ф- Дат) « у (t, аи ... , а,„)ф- ^1//5аг)Даг;
(=1
Н (ш, сс3 ф- Да3,..., ат ф- Дат) « Н (w, aJ(..., aj ф-
6 (<о, а, ф- Да,„................... ф- Дат) w 9 (<о, ..................ат) ф-
(10.15)
Л(«1 + Д®!,..., ат Ф-Дат)« /2(av ..., ат) ф-
При решении ряда задач, кроме введенных выше функций и коэф-
фициентов чувствительности, рассматривают также логарифмические
функции и коэффициенты вида
и* (f) = д In у (t)/d In a
362
л полулогарифмические функции и коэффициенты вида
и** (/) = dy(t)/d\n а.
В теории чувствительности разработаны специальные приемы оп-
ределения точных значений функций и коэффициентов чувствитель-
ности.
§ 10.2.	ФУНКЦИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК И СПОСОБЫ
ИХ ПОЛУЧЕНИЯ
Пусть работа САУ описывается нелинейными дифференциальными
уравнениями вида
dxjdt = Xi (х1(..., х„, t, аь ..., ат)	(10.16)
с начальными условиями
xf (/0) = xi0, i = l,2..п.	(10.17)
(см. гл. 8). Предположим, что функции Xt являются непрерывно диф-
ференцируемыми по своим аргументам. При этом правые и левые час-
ти уравнений (10.16) можно дифференцировать по параметрам а1(
......ат. В частности, продифференцировав по ад и воспользовав-
шись соотношением
д / dxf \   d / dxi \  dutk
dak \ dt /	dt \ dak / dt
получим
i=l, 2, , n; k = \,2,, tn. (10.18)
dt s=, dxs dak
Уравнения (10.18) называются уравнениями чувствительности.
Обычно начальные условия (10.17) не зависят от параметров аь ...
..., ат. Вследствие этого начальные условия для уравнений чувствитель-
ности оказываются нулевыми. Но на практике могут встретиться слу-
чаи, когда начальные условия (10.17) определяются параметрами си-
стемы [47]. При этом начальные условия для уравнений чувствитель-
ности определяются соотношениями
и1к (/0) = dxiold<ik, i = l,2,..., n; k — 1, 2.m. (10.19)
Для линейной системы, описываемой уравнениями
п
+	2,...,п	(Ю.20)
S=1
363
имеем следующие уравнения чувствительности:
п	п
- S +2-^7^	(Ю.21)
sa=3	$=з1
Если же система описывается одним дифференциальным уравне-
нием (3.55) то получаем
(л) t	(л—П	,	$а (п)
а9 uk +- atuk + • • • +• ап_. и* 4- anuk = - —S. у -
_ _^21_ уя-1 _ ^°л-1 у' _ dfln + db0 ип) _ . . dbm
о'сц,	do* ^ak	&ak
(10.22)
Из рассмотрения уравнений (10.18), (10.21) и (10.22) видно, что
их правые части зависят от решения исходных уравнений (10.16),
(10.20) и (3.55). Поэтому уравнения чувствительности необходимо
решать совместно с уравнениями исходной системы. При этом все
уравнения интегрируются при номинальных (неварьированных) зна-
чениях параметров систем.
Получим уравнения чувствительности для системы (10.1), опи-
сываемой дифференциальным уравнением
Т (dy/dt) + у = Kg (О-
В соответствии с (10.22) имеем
T(duK/dt) + ик = g(t)\
Т (duT/dt) 4- ит = — dy/dt.
В рассмотренных случаях функции чувствительности являются
непрерывными функциями времени. В работе [47] показано, что для
многих реальных систем, называемых разрывными (релейные, им-
пульсные и др.) функции чувствительности имеют разрывы первого
рода.
Разрывные системы на различных интервалах времени описываются
различными системами дифференциальных уравнений:
dXi/dt — Xjq (Xj ..., хп> t, а*, ..., &m),
«=1,2......n; <7=1,2,....	(10.23)
Переход от одной системы уравнений (10.23) к другой осуществля-
ется в моменты времени tq, называемые моментами переключения.
Эти моменты находятся из условий переключения
rq (х...х„, tq, ах..am) = 0,	(10.24)
причем функции rq являются непрерывно дифференцируемыми по сво-
им аргументам.
364
Для разрывных систем функции чувствительности на каждом из
интервалов находятся как решения дифференциальных уравнений
S=1
Переход от одного уравнения (10.25) к другому осуществляется
с учетом разрывов:
Д «i*	= ui!t (tq + 0) — uik (^ — 0) = — (tq) dtq!da.k, (10.26)
где	AXJ(Z?) = X.(/f + 0)-Xf(^-0);
dtq dak	" &q (tq)	drq (tq) /S dxj ^ft(Zg~°)+ fe, = Л drq ^q)	drq 2	^-‘”+ s,.r
= —	" drq (tq)	drq (tq) _ 3	1 dak " drq (tq)	drq (tq) dxj
Доказательство приведенных соотношений можно найти в работах
[47, 241. Для наглядности рассмотрим пример простейшей разрывной
системы.
Пример 10.1. Пусть релейная система описывается уравнением
dy/dt = ft sign у + с;
причем
у (0) — yQ > 0; с = const.
Составим уравнения чувствительности по параметру ft, т. е. для функции
и (t) = dy/dK. Моменты переключения определяются из соотношений у (/^) = 0.
На первом интервале (0 < t <
//(/) = (ft + c)Z + //0,
откуда
ti = — Уо1(К + С).
Из выражения для следует, что переключение возможно лишь при выпол-
нении условий
с < 0; I с I > ft.
На втором интервале (/r < t < f2)
»(()=(-/( + «)(,
365
откуда видно, что /2->оо, т. е. функция у (?) только один раз пересекает ось
абсцисс. При этом уравнения чувствительности на интервалах времени 0 i <
и t > tr соответственно имеют вид
du/dt — i, ы0 = 0;
du/dt = — 1, и (ti 4- 0) =
Соотношения (10.26) в данном случае дают следующие равенства:
dtx/dK = —	/ (К 4- с) = — щ / (—• К 4- с),
откуда
«Г = (с— К) и\ / (с 4- Ю,
и
4^= — 2Ки} !(с + К).
Для рассматриваемого примера нетрудно получить выражения для функ»
ций чувствительности.
В интервале 0 t < h
и (/) = t,
откуда с учетом выражения для
«7 = « (^ — 0) = — yQ/(K 4- с).
При этом
и* = (К-с) ^/(Л + 02.
В результате
{t	при 0 t < tL,
(К — с)у0/(К + с)2 при t > /j
В общем случае функции чувствительности можно определять с
помощью уравнений чувствительности путем интегрирования послед-
них совместно с уравнениями исходной системы на цифровых или
аналоговых вычислительных машинах.
При использовании аналоговых машин целесообразно разрабаты-
вать раздельно структурные схемы для моделирования уравнений ис-
ходной системы и уравнений чувствительности. Это позволяет иногда
существенно упростить аппаратурную реализацию моделей исходной
системы и моделей чувствительности, особенно при исследовании
чувствительности линейных систем. В теории чувствительности в свя-
зи с этим возникло даже отдельное направление, в основе которого
лежат структурные методы и метод графов чувствительности. Основ-
ные положения этого направления изложены в работах [14, 471.
366
§ 10.3. ФУНКЦИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК И СПОСОБЫ
ИХ ПОЛУЧЕНИЯ
Если параметры входят в коэффициенты передаточной функции
линейно, то
(10.27)
Ц7 ($) = b = bl (s) +	($)
с ($) Ci (s) 4- afc2 (s)
где Ms)> b2(s\ q (s), c2(s) — полиномы, коэффициенты которых от
a не зависят.
При этом а.ч.х. и ф.ч.х. запишутся следующим образом:
(со) 4- а^А? ((d) 4" 2агД3 ((d)
А% (w) 4- ofal (<о) 4- 2а}Ав ((*>)
ф (со, af) = arctg	_ arctg	,
fen (“) + “Al (“)	«и (ш) + агс21 (<o)
А (о), aj =
(10.28)
(10,29)
где
Al (co) = bh (co) + 612 (<o); Al (<«) = 6|i (co) + 622;
(co) = Re bk (jw)-, bk2 (w) = Im bk (jw)-,
Л8 (ш) = bn (w) 621 (<o) 4- 612 (<o) 622 (w);
Л4 (<») = Cj| (o>) + C12 (<®)> Аб (w) = С21 (<») + C22(w)i
cftl (a>) = Re ck (jw); ck2 (co) = Im ck
Лв(со) = cu(<o)c21(<o)+c12(<o)c22(co); ^=1,2.
В результате дифференцирования соотношений (10.28) и
по параметру at с учетом зависимостей (10.30) получим
П2 К (Л1 (СО) - Л2 (со) Al (со)) + Л3 (со) - Л2 (со) Лв (со)];
6аг А(а>) | с (/<») |2
(10.31)
дф (“О __ fen (ц>) —	(<i>) &12 (ш)	с22 (<д) £ц (а>) —- e2i (м) С}2 (<о)
6аг	| Ь (/о>) I2	I С (/to) I2
(10.30)
(10.29)
(10.32)
Пример 10.2. Пусть W(s) ~ Ts/(\ 4- Ts), где 7= /?С.
Требуется определить функции чувствительности а. ч. х. и ф. ч. х. по па-
раметру R. В этом случае
bk (s) = 0; b2 (s) = Cs:
= ^12 = 0» ^21 =
Сц = 1; Ci2 == c2i ==
Л3 = Ав = 0;
Ci (s) = g2 (s) = b2 (s) = Csi
^22 =
C22
A? (a)) = 0; A} (a>) = C2 a»2;
А| (ш) = С2»2; А (<>) = Тш / /1 + Г2 а>2,
I Ь (/<о) I2 = Т3 Ш2; |с(/а>)|2= 1 + Л w«.
367
Поэтому
дА (со)	С со	д<\> (со)	См
dR = (1 + Т2 ш2)”/а ' dR = — 1 + Л ®2 ‘
Рассмотрим получение функций чувствительности в случае, когда
а.ч.х. и ф.ч.х. представлены как сложные функции. Пусть передаточ-
ная функция системы имеет вид (3. 43), где коэффициенты ak (k = о
1, 2, ... , п) и bh (k = 0, 1, ... , m) зависят от параметров. Тогда
Н (со) =77 [ю, а0(аг),... ,а„(аг)Д(а{)...., Маг)]:1
9 (ш) = 0 [со. а0 (аг).ап (а{), Ьо (аг),..., Ьт (аг)]. )	(10<33>
В соответствии с правилами дифференцирования сложных функций
п	т
дН (со) dat	k=0	дН (со) dak	. _^*_+ у да} 6=0		дН (co)	dbk . d^i ’	(10.34)
	п			tn			
дО (со) <?аг	= s k=0	дО (®) dak	^ak 1 • -т-£- + да i	s fe=0	дО (о>) ,	dbk . 5аг	(10.35)
Сомножители дН ((л)/дак, дН (co)/5&ft, дб ((й)/дак и <Э0 (a>)/dbh опре-
деляются только структурой (значениями т и п) передаточной функ-
ции и величинами коэффициентов ah и bh. Выражения для этих сомно-
жителей являются универсальными и могут быть составлены заранее
следующим образом.
Для системы с передаточной функцией (3.43)
|/ с2 (<0) + £>2 (<о)
г, / .	. В М С (ш) — А (<») D (<о)
0 (w) = arctg ————----------------------——— ,
'	А (®) С (<о) + В (®) D (<о)
(10.36) (
где
А (ш) = Re b (/со) ~ bm — Ьт_2^ + &т.4со4---------;
В (w) = Im b (/со) = bm_^ — &m_3co3 + Ьт_ъч>*-------;
С (w) = Re а (/со) = ап — ав_2ш2 + ая_4<»4----;
D («) = Im а (/со) = an_x<» — а„_3<«8 4- а„_5ш5---.
В соответствии с соотношениями (10.36) легко получить
Л±2
(— 1) 2 ю* С (ю) Н3 ((d) | b (j®) |”2, если k — четное;
Ж
(— 1)	(w) Н3 ((d) | b (Ju) |2, если k — нечетное;
(10.37)
дН (со)
368
дН (<>)
дЬ/г
д9 (о>)
k
(— I)2 шМ (ш) Н (<о) I b (jm) |-2,
fe-1
(— 1) 2	((d) Н (ю) | b (/(d) |”2,
k
(— I)2 (dW((d)D((d)|6(/(d)|“2,
АН-1
(-- 1)	(Dft//2 ((D) С ((D) | Ь (]<в) |”2,
если k — четное;
если k — нечетное;
если k — четное;
если k — нечетное;
дд (о>)
/?+2
(—1)	((d) | b (/(d) |~2, если k — четное;
(— 1)	юМ (о)) | Ъ I"2, если k — нечетное.
По этим формулам составлены табл. 10.1 и 10.2 для типовых пере-
даточных функций.
Сомножители	и db^Jdat определяются зависимостью коэф-
фициентов передаточной функции от параметров системы. Величины
этих сомножителей для каждой конкретной системы находятся от-
дельно. •
В инженерной практике широко используются экспериментальные
способы снятия частотных характеристик объектов и САУ. Анало-
гичные способы можно использовать для получения функций чувстви-
тельности а.ч.х. и ф.ч.х. Рассмотрим один из них.
При нулевых начальных условиях изображения выходного и вход-
ного сигналов линейной стационарной системы связаны зависимостью
У($) = Ф($)С($).
Поэтому изображение функции чувствительности
	(/(8) = [0Ф(5)/0а]О(з).	(10.38)
Для частотной передаточной функции справедливо соотношение
Отсюда	Ф (/<о) =/7 (<о) е/е (ш).	(10.39) 0Ф (»/0а = Нх («) еА (ш).	(10.40)
Дифференцируя выражение (10.39) по а, получаем
дф (»/da = V(дН («>)/ ’а)2 + /72 (ю) [09 (<»)/0а]2 е'[9	(10.41)
где	9» = arctg дд(и>)/да . v 9	ьд[пНМ/да
369
Чувствительность амплитудных характеристик простейших САУ
Таблица 10.1
ф(«)	дН	дН	дН	dH даг
	db„	да0	dbi	
^0 S 4" <2о	1	_ а0Я(ю)	—	—
	/<->2 +	“2 + ао		
bjS -f~ Ьо		bn		_ а»Н(а)				—
s Н" а9	У"(<О2 + Об)( &1<->2 + 6q)	“2 + «о	V(“2 + Oo)( 6f<02 + &o)	
bis -Ь	^0			Gj со2/7(о>)
		(а0—ш2)2 + а|<о2		(а0—<*>2)2 -b ofc2
s2 + QjS -1- aQ	V Цао—“2)2+«1“>2]( *)“а+Ьо)		[(a«—<“2)2 + ai “2]( 6f“2+6o)	
со
Чувствительность фазовых характеристик простейших САУ
Таблица \0 .2
Ф(8)	dO db0	36 <^0	30 3bi	36 даг
s -|- а0	0	<JL> “2 + al	—	—
-f- bQ	bjM	(1)	ubp	—
s 4" ао	*i“2 + b0	“2 + flfl	b2^2 + *0	
bi$ -|~ b0	b^	flxO)		g>(q0 — to2)
S2 -j-	CIq	bfr>2 + bl	(a0 — ш2)2 + a\u>2	b2i<^2 + bl	(<20 — o>2)2+aj<o2
Сравнивая соотношения (10.40) и (10.41), находим
Н, (ш) = ]/ [дН (ш)/3а)2 + № (ш) [30 (ш)/3а]2 ;1	(10 .
0х(<о) = 0(<о) + 02(ш).	J	’ I
Из зависимостей (10.42) определяем искомые функции чувствитель-
дН (w)/3a = cos 02 (<о);	1	,} 0
30 (о>)/3а = Н1(о>) sin 02 (ш)/Я(«>). J	1
Рис. 10.1 Установка для экспериментального определения
функций чувствительности частотных характеристик:
НГ — низкочастотный генератор; ИС — исходная система (или ее модель);
М Ч — модель чувствительности; Б — блок определения амплитудной и фа-
зовой частотных характеристик; СКВ — синусно-косинусный вычислитель;
МУ — множительное устройство
Таким образом, чтобы найти функции чувствительности а.ч.х. и
ф.ч.х., необходимо определить амплитудную //(со) и фазовую 0 (со)
характеристики исходной системы и амплитудную /Л (со) и фазовую
0i((o) характеристики модели чувствительности.
Структурная схема экспериментальной установки для снятия функ-
ций чувствительности частотных характеристик приведена на рис. 10.1.
§ 10.4. ФУНКЦИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ НУЛЕЙ
И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
И СПОСОБЫ ИХ ПОЛУЧЕНИЯ
Пули и полюсы являются корнями полиномов числителя и знаме-
нателя передаточной функции (см. § 2.3). Рассмотрим полином
D (s) = aosn + a1sn~i + • • • + an_xs + an.
Подставив в это выражение вместо s любой из корней, например si,
получим тождество
aos? + flis" *+••• + an-ist + s О’
Пусть все корни являются вещественными. Представим левую часть
тождества в виде
£>[«1(а), «о(а)> а1(а)..ял(а)1 = °
872
и продифференцируем последнее соотношение по а:
п
дР . dSj । yi дР . dak __ g
dst da	dak da *
fc»=0
отсюда
Так как
то
dsi/da — —( £
\ ь dak
V=o K
п
дР V и
— = 2j kan-kSl 
OS; “
ftxsl
дР n~k
“7	— st J
dak
dSj
da
Если среди корней имеются комплексные, например
s* = ft» + /Ч; sM = (** — /Ч
где vft — вещественные числа, то справедливо тождество
£>i (н*,	°о, «1> •••, ап) + /^>2(И*.	а0, аь ..., ап) = 0,
ИЛИ
Di [р-й («).	(я), а0 (а), а( (а),..., ап (а)] = Re D (|ift + /vft) = 0;
^2 IP'A («). «о (“).«! (я) -• ап(я)] = ImD(|ift + jvft) = o.
Дифференцируя последние соотношения по параметру а, получаем
алгебраическую систему
dDp . d^k )	. d^k ___V4 dDp e daj p = \ 2
da dvk da	da i da
ы
из которой нетрудно найти величины, характеризующие чувствитель-
ность комплексных корней:
dpk/da =* Дл1/Д; dv^/da = Дй2/Д(
373
где
А-
A^i =
dDt .
dp-*
дР.
dDt
дРх daj
daj da '
дР2 .
ду-k
, dD,
Алг =
дР2
d'>h
п
д>ц
i=0
п
dPj Vi дР2	daj . дР2 Vi
dpk dat	da d\^k
i—0
п
S г
" dat
(=0
п '
дРг
а“‘
>2 dat .
da
. dai
da
)
§ 10.5. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ К АНАЛИЗУ И СИНТЕЗУ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Функции чувствительности позволяют оценить влияние отклоне-
ний параметров объекта и регулятора на качество работы САУ. Для
этой цели может использоваться выражение (10.15), из которого сле-
дует, что дополнительное движение
Дг/(0 = 2и;ЮД«г.	(10.44}
В детерминированной постановке соотношение (10.44) позволяет
вычислить в каждый момент времени фактическое значение дополни-
тельного движения при известных вариациях параметров Ааь ...
..., Adm- Если отсутствуют сведения о знаках вариаций Ааь то целесо-
образно оценить максимально возможное значение дополнительного
движения
т
|Д</(01 = 2 1М0Д*г|.
4 = 1
(10.45)
В статистическом плане, используя зависимость (10.44), можно
получить выражение для вероятностных характеристик дополнитель-
ного движения. В частности, для дисперсии дополнительного движе-
ния при отсутствии корреляции между случайными параметрами
о,!, ... , drn получим
т
OUW)]=S uJWZWi],	(10.46)
4=1	1
где D [AaJ — дисперсия случайной величины Aaf.
В случае нормального распределения вариаций Ааь ..., Аам
можно определить вероятность того, что переменная y(t) в момент вре-
мени t находится в допустимых пределах #*, у**:
** у\ 1 Г гтч Г //** — М [у]
Р (У <У <У *, t) = — J Ф -—................—
2 |	[ ]/2P[y]
t/* —M[t/]
(10.47)
374
где Ф (z) — интеграл вероятности вида
ф(г) =_1_ С е-'! dt.
V* 3
Соотношения, аналогичные (10.44) — (10.47), могут быть получе-
ны и для частотных характеристик, а также для числовых оценок ка-
чества САУ.
При синтезе САУ функции чувствительности используются двояко.
Во-первых, при синтезе опти-
мальных систем численными ме-
тодами функции чувствительно-
сти являются составляющими
градиента функционала оптими-
зации. Применение способов по-
лучения функций чувствитель-
ности, разработанных в теории
чувствительности, существенно
повышает эффективность методов
оптимизации (см. гл. 11).
Во-вторых, функции чувст-
вительности используются для
оценки нечувствительности (гру-
бости или параметрической ин-
вариантности) проектируемых
систем. При этом можно ставить
задачу синтеза так, чтобы систе-
ма была полностью или частично
нечувствительной к неконтроли-
руемым вариациям параметров
системы в определенных пре-
делах.
Известно, что требования,
предъявляемые к качеству си-
стемы, могут быть обеспечены
при различных структурах системы. Каждая структура обеспечивает
различную чувствительность выбранного критерия качества к измене-
ниям параметров объекта, являющегося обычно наименее стабильным
звеном системы. Поэтому необходимо выбирать такую физически ре-
ализуемую структуру, которая обеспечивала бы как заданные дина-
мические свойства, так и минимально возможную или требуемую
чу вствител ь ность.
Проиллюстрируем приведенное утверждение на примере сравнения
функций чувствительности системы с заданной передаточной функ-
цией Фо($), реализованной с помощью трех структурных схем: с после-
довательным корректирующим звеном №п.к.у($) (рис. 10.2, а), с парал-
лельной связью lFn.c(s) (рис. 10.2, б) и с дополнительной обратной
связью l^o.c(s) (рис. 10.2, в).
375
Для этих структур передаточные функции и функции чувствитель-
ности имеют следующий вид:
Ф0(а) ,	;
1 + ^п.к.у (S)	(S)
S1 (S) = =----------------------!-------
5 In IF (s)	1 +Й7п.к.у (s) UZ(S) J
^n.c (S) +	(S)	
1 + iFn.c (s) + W (s) ’
d In Фо (s) ________________W (s)_______________(
d In W (s) ~ [1 + 1ГП.С (s)+ W (s)l [IFn.c (s)+lF (s)]'
фо(5) = F(s)/[1 + r0.c(s) F(s)];|
S3(s)= l/[l + r0.c(s)r(s)].
(10.48)
(10.49)
(10.50)
Для сравнения чувствительности рассматриваемых структурных
схем можно использовать выражения, получающиеся из соотношений
(10.48) — (10.50):
$2 (s) = S, (s) {[ 1 - Фо (s)]/Ф0 (5)) W (5); 1
S3(s) = (s) Фо(«)/([ 1 - Фо($)] W ($)]. }	(1и,51>
Требования уменьшения чувствительности могут быть учтены при
синтезе, если в системе имеются избыточные элементы. Об избыточных
элементах можно говорить тогда, когда система условий или уравнений,
которые используются для решения задачи синтеза, является переоп-
ределенной (число неизвестных превышает число уравнений). Обычно
параметрами избыточных элементов приходится задаваться, иногда
даже совершенно произвольно. Этой неопределенности можно избе-
жать, если имеющуюся избыточность использовать для удовлетворения
требованиям нечувствительности.
Рассмотрим, например, задачу выбора корректирующих устройств
с передаточными функциями W^s) и IF2(s) для системы, структурная
схема которой изображена на рис. 10.2, г, по заданной (желаемой) пе-
редаточной функции Фо($) замкнутой системы.
Для данной системы
ф0 (s) = Wi (s) W (s)/[ 1 +	(s) Wz (s) W (s)].	(10.52)
Для определения двух неизвестных 1Г4(з) и W2(s) имеем одно урав-
нение (10.52). Чтобы однозначно выбрать передаточные функции кор-
ректирующих устройств, необходимо иметь еще одно уравнение. В ка-
честве такого уравнения можно использовать соотношение, связываю-
щее желаемую чувствительность S0(s) с характеристиками системы:
S0(s) = <Э1пФ0($)/31п F(s) = 1/[Ц- ИЗД W2(s) F(s)]. (10.53)
Решая уравнения (10.52) и (10.53), получаем
Fi(s) = Ф0(5)/[Г(з)$0(5)]; Г2(з) = [1 -50(5)]/Ф0(5).	(10.54)
376
Выше был рассмотрен случай, когда в процессе синтеза определялся
вид передаточных функций корректирующих устройств. Оказывается,
цто избыточность имеет место и при выборе параметров корректирую-
щих звеньев с заданной передаточной функцией. При этом возможны
пВа варианта. В первом — задается вид передаточной функции и
необходимо так выбрать ее коэффициенты, чтобы удовлетворить опре-
деленным динамическим требованиям. Во втором — задается вид пере-
даточной функции и известны ее коэффициенты, требуется реализо-
вать эту передаточную функцию.
1. Пусть / = /(аь ..., ат> kit ..., kt) — показатель качества, за-
висящий от т параметров объекта аь ..., ат и I параметров регуля-
тора kb ...» kt. Передаточная функция регулятора задана. Требуется
параметры регулятора выбрать такими, чтобы при изменении пара-
метров объекта в определенных пределах т. е. при
I = 1. 2,..., т.
величина показателя качества / находилась в заданных пределах, в
частности, оставалась равной заданной величине /0:
/	4	^1» ••• */) == '(Г
Представим показатель качества в виде
т
7 “Ь ••• , Д^тп> ^1» ••• ’	4+
(=1
где = (д7/даг)да.в0, откуда в силу независимости вариаций Да£:
Л) = 70;	1
=	* = 1,2,... i
Соотношения (10.55) представляют собой (т + 1) в общем случае
нелинейное алгебраическое уравнение относительно I искомых пара-
метров регулятора. Для существования решений системы (10.75)
необходимо, чтобы
/>т + 1.
Это означает, что регулятор должен иметь не менее (т + 1)-го
настраиваемого параметра.
Пример 10.3. Рассмотрим задачу выбора параметров корректирующего
устройства системы регулирования скорости вращения электродвигателя, струк-
турная схема которой представлена на рис. 3.2, а.
При пренебрежении постоянной времени Тя и наименьшей из постоянных
времени усилителя (например, Т2) передаточная функция
few kn
ф (s)  ____________—Д. __________________
Л Тм $а + (7\ 4- Тм) S 4- 1 + ky кл kTr
377
При 0 < $ / У1 + ky /гд feTr 1 /у 2 показатель колебательности
/гд fey feTr -f- 1
М =-------z 1 \	,	(10.56)
2£/fe;i + feyfeTr-^	'
[33], где
г = (Л + тм)/(2 /лл,) .
Допустим, что неконтролируемым параметром является коэффициент fe4. За
счет вариаций Д/гд этого параметра показатель колебательности получает прира-
щение
ДЛ1 = ukjL Айд,
где
= (<ЭЛ1/<Э*д)лл =0
Л	д
В соответствии с изложенной выше методикой найдем такие значения на-
страиваемых параметров fei= feyfeTr и 7\, чтобы обеспечить, во-первых, заданное
значение показателя колебательности в диапазоне 1 < М < 1,8 и, во-вторых,
выполнение условия
ДМ = 0	(10.57)
Найдем вначале выражение для ДМ. Для этого определим функцию чувстви-
тельности
_ ( дМ \ 27\TMfey 27\ Тм feA fex — Tj —
\	/Л%=° т.+ти
Из условия (10.57) с учетом (10.58) получаем
2Ti Тм Mi - 7^- Г* = 0.	(10.59)
Таким образом, для определения и 7\ имеем уравнения (10.56) и (10.59).
Уравнение (10.56) запишем в виде
(Л + Т'м) /4Т, Т„ k, - (Г, + Ты)*
Нетрудно показать, что уравнения (10.59) и (10.60) совместны только при
М = 1 [для этого достаточно подставить выражение для 2TiTMkaki из урав-
нения (10.59) в (10.60)]. Поэтому для выбора параметров fei и Т\ может быть ис-
пользовано любое из уравнений (10.59) и (10.60).
Воспользуемся, например, уравнением (10.59). Преобразуем его к виду
Т2-2ТМЛЛ Г, fe, +Т2=О.
Это уравнение в плоскости параметров 7\ и fei определяет некоторую
кривую второго порядка, каждой точке которой в I квадранте соответствуют
допустимые значения искомых параметров Т\ и fei.
Можно показать, что при М == 1 рассматриваемая система является нечув-
ствительной (грубой) и к вариациям параметра Тм. Действительно, равенство
ДМ — ит &Ти = 0
м
приводит к уравнению (10.59), что, как уже было показано, соответствует ус-
ловию грубости при М == 1.
378
Пример 10.4. Рассмотрим задачу выбора параметров последователь-
нее корректирующего устройства с передаточной функцией
W2 ОО = ^/(1 4- Ts)
для стабилизации объекта с передаточной функцией
Г1 ($) =	(1 + TS)/S2.
Задача стабилизации заключается в обеспечении заданного запаса устойчиво-
сти по фазе
7сР = arctg тшср— arctg Т<оср.	(10.61)
Пусть имеется неконтролируемая вариация постоянной времени объекта т.
Тогда вариация запаса устойчивости по фазе
устойчивости по фазе
дч

Для частоты среза
\ U(Ucp
<оСр имеем [33]
<ocp = /кЦТ,
где K = ^ik2,
(10.62)
откуда
ЮСр
1 + “ср
Из условия Д?ср = ° получаем
зт(1+л <
Мер —
д»ср/дч = VK/(Tz) / 2;
1 / т	Т
2
,2	1 + Л ш2
’ср	~ ср
Ат
Из уравнений (10.61) и (10.63) при заданном ?Ср
могут быть определены параметры озср и 7\, после
чего на основании (10.62) вычислены значения k2.
2. Рассмотрим выбор параметров коррек-
тирующих цепей по заданной передаточной
функции. Обычно (см. гл. 6) передаточные
функции корректирующих устройств синтези-
руются исходя из требований, предъявляемых
к устойчивости и качеству процесса регули-
рования. Техническая реализация полученной
(10.63)
Рис. 10.3. Электричес-
кая схема корректирую-
щей цепи
в процессе синтеза передаточной функции
корректирующего устройства является неоднозначной даже в том
случае, когда по виду передаточной функции выбрана конкретная схе-
ма устройства. Последнее объясняется тем, что в системе уравнений,
связывающих неизвестные параметры схемы корректирующего
устройства с заданными коэффициентами передаточной функции,
число неизвестных часто превышает число уравнений. Неоднознач-
ность можно устранить заданием дополнительных требований к чув-
ствительности динамических характеристик корректирующего ус-
тройства.
Пример 10.5. Рассмотрим расчет параметров дифференцирующей це-
почки (рис. 10.3) с передаточной функцией
U7(s)==fe(14-Ts)/(1 + Ts),
379
где
__________Rbx___________
R1 + Квх + RflHX + R3
т=№4Л)С;
у R1R2 4~ (Ri 4~ RJ (Rbx 4- #вых 4~ Rs)
Ri 4- Rbx 4" Явых 4- Rj
Пусть величины RBX и RBblx заданы из условия сопряжения с предыдущим
и последующим каскадами. Тогда задача сводится к определению величин
Ri, R%, Rs и С по заданным значениям k, т и Т. Имеется одна лишняя степень
свободы. Используем ее для ограничения чувствительности, например, фазовой
характеристики ф(со) дифференцирующего контура на определенной частоте.
Для упрощения вычислений рассмотрим только чувствительность фазовой
характеристики по отношению к малым вариациям емкости С. Соответствующая
функция чувствительности
4 (“) = di (“)	+ Ri) - Ъ (<о) С-1,
где
dx ((d) = <d/(1 4- t2(d2); d2 (Ш) = T(D/(1 + 7V)
Пусть параметры дифференцирующей цепи необходимо выбрать такими,
чтобы на частоте со = coi значение функции чувствительности было равно
q. Тогда для определения значений Ri, R2, R3 и С получаем следующую алге-
браическую систему:
R1 4- R3 = [Rbx— (Rbx 4" Rbhx)]
(Ri4-R2)C = t;
R1R2C 4- (R1 4- R2) (Rbx 4- Rbhx 4- R3) C - (Ri 4- R3) T = (RBX + RBbIX) T:
(Ri 4" R2) Cdi (cdi) — Cvj = dg (oi)
Решая эту систему при заданных k, RBX, RBbix> т, T, q и coi, можно опреде-
лить значения Ri, R2, R3 и С.
ГЛАВА И
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
§ 11.1. ПОСТАНОВКА
ЗАДАЧИ
ОПТИМИЗАЦИИ
Проектируемая система управления должна удовлетворять вполне
определенным техническим требованиям. Обычно технические требо-
вания задаются в виде предельно допустимых значений тех или иных
характеристик, например, погрешность системы, вероятность отказа,
расход энергии на управление не должны превышать заданных пре-
дельных значений. Такой способ задания технических требований пре-
доставляет проектировщику известную свободу действий, так как в
рамках этих требований нужный результат может быть получен раз-
личными способами. Однако развитие техники сопровождается повы-
шением требований, предъявляемых к системам управления, и это
обстоятельство делает все более актуальной задачу выявления способов
создания систем управления, обладающих наилучшими в каком-либо
отношении характеристиками, т. е. систем, оптимальных в опреде-
ленном смысле. В качестве критерия оптимальности может быть при-
нята любая характеристика, задаваемая в технических требованиях.
Так, можно проектировать системы, оптимальные по точности, расходу
энергии на управление, надежности и т. д. При этом система, опти-
мальная по какому-либо одному критерию, должна удовлетворять
всем остальным техническим требованиям. Поэтому оптимизацию
системы управления следует рассматривать как реализацию наилуч-
ших показателей по выбранному критерию при заданных ограниче-
ниях на остальные характеристики системы.
Умение создавать оптимальные системы управления позволяет
на каждом уровне развития техники наиболее успешно решать постав-
ленные задачи. В тех же случаях, когда создание оптимальной систе-
мы управления по каким-либо соображениям нецелесообразно, она
служит эталоном для сравнительной оценки возможных реализаций.
Проектирование системы управления складывается из двух эта-
пов: выбора способа преобразования информации о состоянии управ-
ляемого объекта в управляющие воздействия (алгоритма или закона
управления) и разработки аппаратуры, получающей эту информацию
и преобразующей ее в управляющие воздействия. Поэтому и оптими-
зация системы управления складывается из оптимизации алгоритма
управления и оптимизации аппаратурного решения. Такое распре-
деление вполне естественно, поскольку каждая из этих двух задач от-
личается присущими ей характерными особенностями. При выборе
381
алгоритма управления можно использовать математическую модель
управляемого процесса, что позволяет применять в процессе проекти-
рования аналитический аппарат и современные вычислительные ма-
шины. Задача выбора аппаратурной реализации все еще в значитель-
ной степени остается инженерной задачей, в процессе решения которой
вычислительные машины могут быть использованы в основном для
расчета схем и сравнительной оценки различных конструктивных ре-
шений. И если возможность оптимизации алгоритма управления опре-
деляется уровнем развития теории управления, то возможность опти-
мального конструктивного решения в большой степени зависит от
опыта и уровня подготовки инженера-проектировщика и технологи-
ческих возможностей производства. В данной главе рассматривается
лишь задача оптимизации алгоритма управления.
Для оптимизации алгоритма управления необходимо в качестве
исходной информации иметь математическую модель управляемой
системы. Основой такой модели служат уравнения, отражающие вза-
имовлияние независимых переменных, определяющих текущее сос-
тояние управляемого объекта (параметров состояния), в качестве
которых могут быть выбраны рассогласования между заданными и
текущими значениями фазовых координат системы xlt ...» хп, управ-
ляющих воздействий ult ..., ип, внешних возмущающих воздействий
А(0, •••, /Л(0 и внутренних помех e^t), ... , e^(t). Чаще всего управ-
ляемый процесс можно описать системой обыкновенных дифференци-
альных уравнений вида
dxt/dt = Xt [xlt ..., х„,	..u„,	(11.1)
co случайными начальными условиями xz(0) = xiQ, i = 1, ..., n.
Правые части уравнений (11.1) представляют собой в общем случае
нелинейные функции своих аргументов. Достаточно часто управляемый
процесс с приемлемой точностью можно описать линейными дифферен-
циальными уравнениями:
dxildt = atl (t) х, + ... + ain (t) xn + bt (/) ut + ft (/), i = 1, .... n (11.2)
где коэффициенты в некоторых уравнениях могут быть равны
нулю.
Алгоритм управления определяется характером преобразования
параметров состояния xif ..., хпв управляющие воздействия щ, ..., ип.
Каждый из параметров состояния измеряется чувствительными эле-
ментами со случайной погрешностью e^t). Поэтому преобразованию
подвергаются не сами параметры состояния ..., хп, а их измеренные
значения e^t), ..., хп+ en(t). Набор функционалов, определяю-
щих вид преобразования измеренных фазовых координат в управляю-
щие воздействия, называется законом управления. В общем случае
закон управления можно записать следующим образом:
иг = мДж, + eJO, ..., %„ + (?„(/), /] t = 1.п.
Наиболее простым по структуре и, следовательно, по характеру
преобразования информации является линейный закон управления
"г = ^1(01*1 + (/)] + ... +(/)[%„ +(01, i = l, О1-3)
382
Поскольку параметры состояния объекта хь хп являются слу-
чайными функциями времени, то в качестве критерия оптимальности
/ обычно выбирается математическое ожидание некоторого функцио-
нала Go, определяемого в момент окончания процесса управления Г=Т:
f = M[G0(xx, их, Т].	(11.4)
При оптимизации системы по точности функционал Go может пред-
ставлять собой или квадратичную функцию фазовых координат сис-
темы в момент окончания процесса управления
Со-^^(П + .., + ^х2„(Т).
или интеграл от квадратичной функции фазовых координат
г
где gi9 g2, gn— весовые коэффициенты или функции.
При оптимизации системы по расходу энергии на управление кри-
терий оптимальности / зависит только от управляющих воздействий
^1, ип.
Ограничения в системе управления накладываются как на случай-
ные, так и на детерминированные величины. Ограничения первого
типа в общем случае имеют вид
J= М [GI (хг, ..., хп„ ult ..., ип, 0)] О,
(Н.5)
j = 1,	, т\
I = 1..г; 0<^ <...</,
или
Jf = max М [О} (xt, ..., xrt, их, ..., ип, /)] < 0.
0<7<Г
Ко второму типу относятся ограничения на параметры системыг
например, на передаточные числа закона управления (11.3):
k!>q<kM<kPr
(Н.6)
V A
где kpq, kpq — заданные наименьшее и наибольшее значения пере-
даточных чисел.
Оптимизация алгоритма управления, таким образом, сводится к
отысканию вида нелинейных, в общем случае, функционалов
£i(0, ••, *п + МО, 0, при котором для процесса управления,
описываемого системой уравнений (11.1), выполняются ограничения
(11.5) и (11.6) и достигает экстремального значения функционал (11.4).
В такой общей постановке задача не может быть решена известными
методами.
383
§ 11.2. СИНТЕЗ СИСТЕМ. ОПТИМАЛЬНЫХ
ПО КРИТЕРИЮ МИНИМУМА
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЙ ошибки
При проектировании одноконтурных систем за критерий оптималь-
ности можно принять величину с.к.о. (см. гл. 9). Как показал Винер
[51], в этом случае из условия оптимальности можно найти выражение
для весовой функции замкнутой системы ф(/).
Предположим, что на вход одноконтурной системы поступает зада-
ющий сигнал g(t) с наложенной на него помехой /(0, так что входной
сигнал
Рис. 11.1. Структурная схема
САУ к задаче минимизации
среднеквадратичной ошибки
(рис. 11.1). Будем считать, что сигналы
g(t) и f(t) представляют собой центриро-
ванные случайные стационарные функ-
ции времени с известными корреляцион-
ными и взаимно корреляционными функ-
циями. Рассмотрим случай, когда си-
стема должна осуществлять линейное
преобразование сигнала g(t) в требуе-
мый сигнал на выходе у0(/). В резуль-
тате действия помехи выходной сигнал
y(t) содержит случайную ошибку е(/):
У (0 = Уа (0 + е (0.	(11.7)
Требуется найти весовую функцию системы ф(0, удовлетворяющую
условию физической осуществимости [ф(0 — 0 при t < 0] и обеспе-
чивающую минимум среднего квадрата ошибки е2 в установившемся
режиме. Согласно формуле (11.7) ошибка е(0 = y(t) — y0(f). Среднее
значение квадрата ошибки
/ = 72 = А4[е2(0],
Учитывая, что
4/(0 = j Ф(0Я'(^—0^	(II-8)
и ф (/) = 0 при t <. 0, запишем выражение для ошибки системы:
ОО
е(0= j ф(0/(/—4/о(0-
—00
(11.9)
Пределы интегрирования, равные +«>, подчеркивают, что систе-
ма функционирует на бесконечно большом отрезке времени, и в ней
наступил установившийся режим.
Возведя в квадрат правую и левую части выражения (11.9), полу-
чим
384
co
ea (0 ”= y20 (0 — 2t/0 (0 J Ф (?) s' (t — x) tb +
-----------------------------------00
(11.10)
— 00
Найдем математические ожидания левой и правой частей уравне-
ния (11.10), считая, что функции y0(f) являются центрированными
С1ационарными случайными функциями и учитывая, что
M[y0(t)g'(t- т)]= KyoS. (t);
M[g'(t—t)g'(t-b)] = Kg, (х-0).
(И.И)
Выражение для среднего квадрата ошибки с учетом соотношений
(11.11) примет вид
=	J <р(т)^, (-.)d,+
+ i	J <Р(Э) Kg. 0 — &)d&.	(11.12)
--ОЭ	-00
Уравнение (1 1.12) показывает, что средний квадрат ошибки зави-
сит только от корреляционных функций Л7.(0» ^Ci/<>gr(O» Kg'(O- Поэ-
тому искомая функция веса ср(/) при рассматриваемых условиях так-
же зависит только от указанных корреляционных функций. Это оз-
начает, что если имеются две совокупности функций {(/0(/)}, {#'(0}
с корреляционными функциями Л₽о(0» Kg'(O>	и известна
функция <р(0, дающая минимум среднего квадрата ошибки 1 для ка-
ких-либо двух функций y0(t), g'(f) из этих совокупностей, то функция
'I (/) обеспечивает минимум величины / для любых двух функций, вхо-
"!щих в рассматриваемые совокупности.
Пример 11.1. Пусть входной сигнал имеет корреляционную функцию
а корреляционная функция помехи
К/ (h,
Рассмотрим задачу идеального дифференцирования функции g(Z), когда
Л== dg(t)ldt. Предположив, что помеха и входной сигнал’ некоррелированы
1ежду собой, будем иметь
М [у0 (М Уо М =	&)];
М[уе (/,) g’ (/2)] = Л1 [$(/,) g(/2)] ;
М [gz (/») g' (/,)] = М [g (/,) g (У] + M [f ft) / ft)].
*/, 14—493
385
Так как
м [ g (/х) g (/2)] = &Kg (tt, t^/dt, dt2,
M [ g (<x) g (<2)] = dKg (*1. hyidtx,
то
M [t/o (<i) Уо ('2)] = 2a [1 - 2a (/x - /2)2] e~° (/>—6)*;
M [g' (/x) g' (/,)] = e-a	+ №8 (/j - Z2);
M [yo (t2) g’ (Л)] = 2a (G - /.,) e“a .
Введя обозначение т = /х— t2, получим
/\’„о (т) = 2a [1 — 2at2] e""2; '
Ks. (-r) = e~ux2 + № 8 (t);
W = 2«e—”.
(11.13)
Отсюда следует, что в рассматриваемом примере соотношения (11.11) прини-
мают следующий вид:
(°) = 2^
7W W =	2;
= е”6’ (Т“Х)2 + №Ъ (т — X).
(П-14)
Найдем необходимые и достаточные условия минимума функцио- s
нала (11.12), т. е. условия для определения оптимальной функции
веса.
Предположим, что решение поставленной задачи существует.
Обозначим через <ро(О оптимальную функцию веса системы. Введем
функцию
Ф (0 == Фо (0 + 7ФТ (О,	(11.15)
где 7 — параметр; <р7 (/) — произвольная функция [в вариационном
исчислении функцию уср7 (/) называют вариацией функции ср(/)].
Параметром 7 можно варьировать, чтобы проверить, будет ли
функция фо(О обеспечивать минимальные значения критерия (11.12).
При подстановке формулы (11.15) в правую часть выражения
(11.12) средний квадрат ошибки становится функцией параметра
у : / = Z(y). Если сро(О является искомым решением, то при у = 0
средний квадрат ошибки будет минимален, т. е. будет равна нулю
производная функции 7(у) по параметру у. Приравнивая эту произ-
водную нулю при у — 0, получим необходимое условие, которому дол-
жна удовлетворять искомая функция веса фо(О-
Г	(11Л6)
386
Нетрудно показать, что это условие является и достаточным для
того, чтобы с.к.о. системы имела минимальное значение.
С учетом условия физической осуществимости уравнение (11.16)
принимает следующий вид:
(11-17)
б
Это уравнение представляет собой линейное интегральное урав-
нение Фредгольма первого рода (интегральным называется всякое
уравнение, содержащее искомую функцию
под знаком интеграла). Правая часть урав-
нения является сверткой корреляционной
функции входного сигнала с весовой
функцией системы сро(0- Физически это
означает, что минимальной с.к.о. обладает
линейная система, преобразующая входной
сигнал Kg'(t) в выходной сигнал
(рис. 11.2).
ГТт ^дг
-%
Рис. 11.2. Структурная схе-
ма, поясняющая физиче-
ский смысл оптимальной
функции веса
Решение интегрального уравнения (11.17) можно производить во
временной и частотной областях.
Рассмотрим один из приближенных методов решения интеграль-
ного уравнения путем замены его системой линейных алгебраичес-
ких уравнений. Пусть интервал, на котором практически затухает
Рис. 11.3. Кусочно-постоянная функция веса
функция веса, равен 10, Т]. Разобьем промежуток времени [0, Т] на
A j интервалов и будем искать весовую функцию <р(/) в классе кусочно-
постоянных функций (рис. 11.3).
Так как функция веса <р(/) определена значениями Л\ параметров
%-, то уравнению (11.17) можно удовлетворить только при N±
значениях /2, ... , переменной t. При этом уравнение (11.17)
заменяется системой алгебраических уравнений:
z/+i
J‘ Kg,	(/;), / = 1, 2, , Л\. (11.18)
’/.>И
387
Если число интервалов достаточно велико и все интервалы
(fz+1 — достаточно малы, то система линейных алгебраических урав-
нений (11.18) позволяет определить значений дд- весовой функции
Ф, близкой к оптимальной функции ф0.
Пример 11.2. Подставив полученные в примере 11.1 соотношения (11.14)
в уравнение (11.17), найдем
2at = f <ро (т) [	(/~т)г + /V26 (t — т)] dz = N2 <р0 (/) -f-
б
4-	I* То Ь) (/“')8 di.
б
Выбрав достаточно малый интервал А/—/г-+1— и положив = /’А/ полу-
чим систему (11.18) в следующем виде:
Л’1
А/ • е~ау2Л/2 = <р,- Д- —— V v- е~а Л/2,	/ = 1, 2, ... , А\
N2	Л/2
/=1
Решение этой системы уравнений не представляет значительных трудностей.
При большом УУ1 его можно получить с использованием ЦВМ.
Если на входе системы действует сигнал §*'(/), являющийся «белым
шумом», т. е. = N2S(t), то решение интегрального уравнения
(П-17) можно определить из условия
00
® = J (Го V .) d. = № (Ро (/),
О
откуда
(po(0 = (l/№)K(/og. (/).	(11.19)
т. е. оптимальная функция веса в этом случае пропорциональна взаим-
но корреляционной функции входа и идеального выхода системы.
Условие (11.19) можно использовать и в случае произвольного вход-
ного сигнала если предварительно построить для него фильтр,
обеспечивающий преобразование данного сигнала в «белый шум».
Теоретическое обоснование такого подхода можно найти в книге [11-
Для определения минимальной с.к.о. подставим соотношение (11.17)
в выражение (11.12). При этом получим
/min =	(0) - Ф0 (Т)	(х) dv.	(11.20)
6
Определив оптимальную функцию веса ф0(£) и подставив ее в выра-
жение (11.20), найдем наименьшее числовое значение с.к.о., достижи-
мое в классе линейных систем.
Зная функцию веса ср0(/) можно определить оптимальную переда-
точную функцию системы Ф0(До) при помощи преобразования Фурье
(см. § 4.2).
388
$ 11.3. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ЗАКОНА
УПРАВЛЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА
ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
И ПРИНЦИПА МАКСИМУМА
Рассмотренная в § 11.2 задача синтеза оптимальной функции веса
решена при полной свободе выбора структуры и параметров системы.
При синтезе оптимальных САУ объект управления обычно задан. Тог-
да воспользоваться рассмотренной методикой в общем случае не пред-
ставляется возможным. Пусть объект управления описывается сис-
темой нелинейных дифференциальных уравнений вида
dxi/dt = Xi (xt. х2, ..., хп, t. и);
Kt(t0) = Kt0\ 0<4<Т, /=1,2.....................
(11.21)
где хъ х2, ..., хп— фазовые координаты системы (параметры состоя-
ния); и — управляющее воздействие; Хь Хг, ..., Хп — заданные детер-
минированные функции своих аргументов.
Рассмотрим задачу синтеза управляющего воздействия для объек-
та (11.21) из условия минимизации критерия качества
I = j Qo (*г Ъ, .... t, u)dt + R [x, (T), x2 (T).x„ (T), T], (11.22)
где Qo и R — заданные функции фазовых координат, определяющие
точность, расход энергии или другие показатели качества управ-
ления.
Для решения задачи можно воспользоваться методом динамичео
кого программирования, предложенным Р. Веллманом [7] для широ-
кого круга систем, будущее состояние которых определяется их сос-
тоянием в настоящем. Метод динамического программирования ба-
зируется на принципе оптимальности, который можно сформулиро-
вать в следующей форме: оптимальное управление не зависит от
«предыстории» системы и определяется лишь ее состоянием в рассмат-
риваемый момент времени.
Рассмотрим оптимальную траекторию в фазовом пространстве
координат х1( х2, ..., хя (рис. 11.4), соединяющую точки A(t = 0)
и B(t = Т). Минимальное значение крите-
рия (11.22), соответствующее оптимальной ч4((=о)
траектории АВ, обозначим через Q(x10t X.
х^, ...» хл0, 4=0). По принципу опта- X. х (t,
мальности участок траектории от любой	(t’)
точки C(t > /0) ДО конечной точки В также	ГХ.
является оптимальной траекторией. При	X.
этом часть критерия оптимальности (11.22),	\
которая соответствует участку СВ и отре-	\
зку времени от t до Т, должна иметь мини-	B(t=r)b
мально возможное значение. Обозначим ,, ,	„
11г»Л	II А	Г	Л'П» Т1ПГ7
„	нис. ил. иптимальная
это значение через QlXi(/), • ••» ял(/), траектория в пространстве
Л.
фазовых координат
13—493
389
В окрестности точки С выберем точку D, такую, что время, соот.
ветствующее ей, t'= t + Д/, где Д/ — бесконечно малый промежуток
времени.
Для участка траектории DB, отвечающего интервалу времени
U', 7], можно найти минимальное значение функционала (11.22):
Q[xi (/'). х2 (Л, ••• • х„ (7), И = Q [%! (t 4- ДО х2 (/ 4- ДО, ..., хп (t 4-
4- ДО, t 4- ДО.
Согласно принципу оптимальности условие для определения оп-
тимального управления и (0 можно записать в виде
{т
[ Qo *2, - х„, S «(01& 4-
J
+ R[X1(T) x2(T), ... x„(T), T]|
или
T
Q(x„ x2,	0 = min f Qol*i, *2.....x„, т, u (t)] dt. (11.23)
“ <x) о
так как функция 7? в явной форме не зависит от управления.
В соответствии с введенными выше участками траектории CD и
DB интеграл в выражении (11.23) вычислим по частям.
Обозначив
<2(хг, 0 i£[l, и]) = Q(x11 х2...хп, 0*.
получим
{г
С Qo(xi т> f£[l, n])dx +
у
г	)
4-	J* Qo(*b Ю1»	(11.24)
tr	J
При достаточно малом Д/ первый интеграл в выражении (11.24)
можно представить в виде
<20 (/), t, и (0, i £ [ 1, Д/ 4- Qi (ДО.
где Qy (А/) — величина высшего порядка малости по сравнению с ДЛ
С учетом этого выражение (11.24) примет вид (в интеграле заменим
переменную интегрирования т = v):
Q (xt, t, i С [1, n]) = min Qo [xf (/), t, и
1 C11, л]] Д/ 4“
T
4- f Qo[*»(v), “(v), 'СП, "11 dv
+ Q, (Д0.
(11.25)
* Символ [1, n] означает, что переменная i принимает значения 1
n.
2
390
Так как первое слагаемое правой части выражения (11.25) зависит
дигпь от значения u(t), а второе определяется и значениями u(v) в ин-
тервале изменения переменной интегрирования, то выражение (11.25)
можно записать в виде
Q(xt t. Z£[l n]) = min Юо(^	[1, и]) Д/4-
«(Л |
г	)
+ min f «00 v M]j dvl 4- Q) (Д/).	(11.26)
« (*) /	I
Второе слагаемое в правой части выражения (11.26) есть
Q [х< И,	1С (1 «Й ’ поэтому
<2(хг, Л ^(1. nl) = min (Q0(xt, >, и, i £ [1. п|)Дг 4-
и (Л
+ Q [*< (П. < < € (1. nJ]) + Q, (ДО- (11.27)
Разложим функции xt (/ -I- Д/) в ряд Тейлора в окрестности точ-
ки /. Тогда получим
(/') = *< (Z + Д') = «г (О 4- МО& 4-Q2(A/>. ( = 1.2,	(11.28)
где (?2(Д0 — величина высшего порядка малости относительно вели-
чины Д/.
Так как х{= Хг(*1, .... х„, t, и) в соответствии с уравнениями
(11.21), то
МН = М0 + A((xt, Z. uj£[l. nJ)А/ +<22(Д0.	(И.29)
Подставим последнее выражение в функцию <2[хг (/'), t', t£[l n]j
и разложим ее в бесконечно малой окрестности точки t в ряд Тей-
лора. При этом получим
Qki(z'). t'. f С Г1. «11	4-ДО, z-t-ДО /£[1, nj] =(2[хг(0 4-
-l- Xt (t|, t. u. Z£[l n]) Д/ 4- Q2(Д/) ' 4-Д/J =Q[*i(Z), Z, Z^(l n]| 4-
4- V	t, и,/&1. л|)Дг +-^-A/ + Q3(A/),	(11.30)
dXj	dt
<=i
I где Q3(A0 — величина высшего порядка малости по сравнению с ДЛ
Формула (11.30) справедлива только в том случае, если существуют
частные производные функции Q по переменным хг (i = 1, 2, п)и t.
Подставляя выражение (11.30) в уравнение (11.27), получаем
! Q(<i. f, n]) = min {Q0(Xi. t, u, |1, n|) Д/ 4- Q(xt, t i|1 nJ) 4-
u (t}
4- V (xb t, u,i^\ 1. n]) Д/ +- А/I 4- Q4 (Д/),
13 *
391
где Q4 (Д/) — величина высшего порядка малости по сравнению с Д/.
После преобразований будем иметь
---— = min (q0 (xh t, и, i £ [ 1, nl) +
dt и (/> I
+ У ^-(хЛЛ/С[1-н])А((хуД,«,/е[1. «]) +^-.
Устремив Д/ к нулю, получим функциональное уравнение Веллмана
—= min |qo (х{, t, и, i£[l, п] +
dt «I
+ У	u,j£[l. «])!.	(11.31)
(=1	'
так как величина Q4(A/)/A/ в пределе равна нулю.
Уравнение (11.31) является дифференциальным уравнением в част-
ных производных. Граничное условие для функции Q получим при
i = Т:
Q[xt(T), t — T, i^[l,n]] =/?k(T). Т, f£ll, ч]].
Если R = 0, то граничное условие принимает вид
Q[xJT), ^ = Т, i С11, »]]=0.	(11.32)
Уравнение (11.31) представляет собой необходимое и достаточное
условие оптимальности. Основным ограничением для него является
требование непрерывности и гладкости оптимальной функции
Q(xt, х2, ..., х„, t).
Если дифференциальные уравнения (11.21) являются линейными:
I (пз3)
*i (t0 = 0) = xi0 i = 1, 2, ..., n, .
где atj, bt—заданные функции времени; ft(t) — возмущения, то
функциональное уравнение (11.31) запишется в виде
392
Если правая часть уравнения (11.31) непрерывна по управлению
и и на управление не наложено никаких ограничений, то для отыс-
кания минимума выражения в квадратных скобках можно приравнять
нулю частную производную. Это дает
<*? .	о
dxt ди
(11.35)
откуда можно получить соотношение для структуры оптимального
управления:
и = и (xv х2, ..., хя, t, dQ/dx^ ..., dQ/dxn). (11.36)
Подстановка соотношения (11.36) в уравнение (11.31) исключает
из него управление и и позволяет получить нелинейное дифференци-
альное уравнение в частных производных для определения функции
Q(xt, х2..... хп, t).
Трудности решения уравнений в частных производных общеизвест-
ны, поэтому не всегда удается отыскать аналитическую зависимость
Q(%i, х2, •••,	0 в функции фазовых координат хь х2, ..., хп и вре-
мени. Однако если решение уравнения в частных производных удает-
ся найти, то однозначно определяются частные производные dQJdxb
а, значит, и структура алгоритма управления
и = и (хь х2, ..., хл, /).	(11.37)
Пример 11.3. Для объекта с дифференциальным уравнением
х = ах 4- Ьи	(11.38)
найдем оптимальное управление, минимизирующее критерий качества
т
/ = [х2 (0 + 7 и2 (01 d/, W 7 числовой параметр.
Используем функциональное уравнение (11.34):
— dQJdt = min [х24- 7м2 4- (dQ/dx) (ах 4- Ьи)].	(11.39)
и
Так как выражение в квадратных скобках непрерывно относительно а, то из
условия (11.35) получим, что
27а 4* (dQ/дх) Ь = 0
или
« = -(^/27) • (dQ/dx).
(11.40)
Подставляя формулу (11.40) в уравнение (11.39), получаем уравнение в част-
ных производных:
dQ 2 , / b dQ \2 dQ ( b dQ
—	= х2 + 7 — —“ • -г— 4- ах 4- 6 —
dt	\	2] дх / дх \	27 дх
или
dQ 2 , dQ Ь* / dQ \2
— "77“ = х2 4- ах —- — —- — .
dt	дх 47 \ дх J
dQ
дх
(11 41)
393
Решение уравнения (11.41) можно найти, если предположить» что
Q(x, f) = k(t)x*.
Так как
dQ/dx = 2k (0 х; dQ /dt = k (/) х2,
то
[ k + 1 + 2ka — (&а/7) fea ] х2 = О,
откуда следует дифференциальное уравнение для определения неизвестной функ-
ции k (/):
fe + 2/га— (62/7) fe2 = — 1.	(11.42)
Уравнение 11.42) является дифференциальным уравнением Рикатти с гранич-
ным условием
fe(D = 0,	(1143)
вытекающим из соотношения (11.32).
Введя новую переменную т = Т — t, получим
dk/dt = 2ak — (62/?) k2 -f- 1; k (0) = 0.	(1144)
Найдя решение уравнения (11.44) в виде /г(т), а значит, и k(T— t) = k(t)t
можно определить искомое оптимальное управление:
w = — (b/f)k(t)x
Пример 11 4. Найдем оптимальное управление для объекта с дифферен-
циальным уравнением (11.38) из условия минимизации критерия качества
1
/ = j х- (t)dt,
если на управление наложено ограничение | и |	м°.
Используя функциональное уравнение (11.34), получаем
dQ Г dQ 1
— —- = min х2 4- —• (ах + 6м)	(11.45)
dt и \_ дх	J
Так как выражение в квадратных скобках является линейной функцией
управления, то его минимум обеспечивается при
и = — и ° sign (b dQ/dx).
Подставляя это выражение в уравнение (11.45), находим
(11.46)
dQ 2| dQ
----= х2 4- ах	
dt--dx
или
dQ	dQ	I	dQ I
—— = x‘ + ax —— — b —— .
dt	dx	|	dx |
(11.47)
Уравнение (11.47) является нелинейным уравнением в частных производ-
ных. Поэтому задача определения оптимального управления усложняется.
Пример 11.5. Определим оптимальные параметры управления
м = /?х, \k(t)\^k"
394
для процесса, описанного дифференциальным уравнением (11.38), из условия
минимизации критерия качества
т
I = У х» (/) dt.
о
Очевидно в этом случае будем иметь
dQ Г dQ	1
—	= х2 +	+ bkx) ; k = — kQ sign (bx dQ/dx).
поэтому
и = — kQx sign (bx dQ/dx) = — k° | x | sign (b dQ/dx).
Как видно, оптимальное управление получено в классе с переменной струк-
турой (см. § 8.7). Задача определения функции Q(x, t) в этом случае является
достаточно сложной.
Рассмотренные примеры синтеза оптимального управления для
объекта с дифференциальным уравнением первого порядка показы-
вают, что с использованием метода динамического программирования
можно определить класс функций, к которым относится оптимальное
управление, но не всегда просто найти параметры оптимального уп-
равления.
Для объектов, описываемых сложными нелинейными дифферен-
циальными уравнениями (11.21), задача синтеза оптимального управ-
ления с использованием метода динамического программирования
оказывается практически неразрешимой.
Коротко остановимся на необходимых условиях оптимальности,
которые дает принцип максимума [41].
Если дополнить уравнения (11.21) уравнениями
%0 Хо = Qo(Xb ^2, ••• ’	^) = Qo С*Т» ^2, ••• » Хп> ^)»
и ввести в рассмотрение функции
•^0»	^2, ••• ♦ хп> ^и+1 ~	*0 Qo, %2» ••• *	^/г+1	1»
Фо = — Ь Ф1> Ф2, - > ФЛ, ФЛ+1,
где = —dQJdxb i = 1, 2,	, п + 1, а также учесть соотношение
тах(—|л) = —min |х, то функциональное уравнение (11.31) формаль-
но можно записать в форме принципа максимума
max Н (х0, хь ..., хЛ+1, ф0, фь ..., фп+1 и) = 0,	(11.48)
«(О
где //= 2 Хгфг — так называемый гамильтониан.
z=o
Условие (11.48) представляет собой необходимое условие опти-
мальности в принципе максимума.
395
Дифференциальные уравнения для определения функций имеют
вид
dtyt/dt = — dH/dxt I = 1, 2 ... п + 1.	(11.49)
Исходная система уравнений определяется аналогично:
dxt/dt =—дН/д$г, * = 0,1,.... п -ь 1.	(11.50)
Итак, условие (11.48) совместно с дифференциальными уравнени-
ями (11.49) и (11.50) позволяет принципиально поставить задачу
об отыскании оптимального управления. Необходимые и достаточные
условия оптимальности принимают вид:
max j — Q0(xv х2, ... хп> хп+1, и) +
£ Aj (xv х2, ..., x„, х„+1 и) + ф„+11 = 0;
(11.51)
d^-Zdi = —dH/dxi I = 1, 2, ..., п\ 1
= — ^1дхл^ Фо = — 1; I
dxt/dt = Xt(xlt х2, ... хп+1, и);
^xn+,/d/ — 1; Xf (t0) = Xj0, I — 1 2, ..., tv,
xn+i (<o) ~ 0*
(11.52)
(11.53)
Систему уравнений (11.52) необходимо дополнить начальными
условиями
Мо) = Фю. <= 1, 2, .... л.
Определив из условий (11.51) выражение для управления и и под-
ставив его в уравнения (11.52) и (11.53), можно найти систему диффе-
ренциальных уравнений для отыскания функций фД/), i — 1, 2, ..., п.
Для линейной системы (11.33) при ft(t) = 0 система уравнений
(11.51) и (11.52) примет вид
п
А_ = _ув/(ф/ + А: (t0) = К, <=1.2............п. (11.54)
dt	^xi
/=1
Условие оптимальности (11.51) при этом можно записать следую-
щим образом:
max — Q0(x1,x2, ... ,хя+1.
=0.
(11.55)
Если удастся найти решение фДхь х2, ..., хп+1) совместной системы
уравнений (11.51)—(11.53) или (11.54), (11.55), то задачу синтеза оп-
396
тимального управления можно считать решенной. Однако этот путь
наталкивается на серьезные трудности. Так, из системы уравнений
(11.54) следует, что при устойчивом объекте уравнения для функций
Ф1, Фг> Фя дают неустойчивые решения. Кроме того, при заданных
функциях ф!, ф2» •••, Фл достаточно сложной является задача опреде-
ления зависимостей между функциями 4^ и что необходимо для
синтеза управления в форме обратной связи. Поэтому принцип мак-
симума в большей степени приспособлен для отыскания программных
оптимальных управлений в функции времени, нежели для решения
задач синтеза оптимального закона управления.
§ 11.4. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ
ОПТИМИЗАЦИИ
Допущением, которое справедливо для достаточно широкого кру-
га практических задач и позволяет построить методы синтеза алгорит-
мов управления, является ограничение искомых законов управления
такими, характер которых полностью определяется конечным числом,
неизвестных параметров. Типичным примером является линейный за-
кон управления (11.3) полностью определяемый значениями переда-
точных чисел kpqt p,q == 1, ..., и. Нелинейные законы управления дос-
таточно хорошо могут быть заданы, например, коэффициентами раз-
ложений нелинейных выражений в степенные ряды.
Пусть искомый закон управления определяется набором из s па-
раметров ku ..., ks. Так, для линейного закона управления (11.3)
^1= &и, k2= ki2t ...»	= &2i, •••» knn и s п2. В этом случае
искомый закон управления представляется в виде набора выражений,
зависящих от фазовых координат х{, ..., хп, помех ^(/), ..., en(t) и>
неизвестных параметров kit ..., ks. Подставляя эти выражения в урав-
нения (11.1), получаем
dxjdt-ХДх^ Л (/)............fn(ty ex(t). ..., en(t).
К....ks Л; M0) = *i(h *=1, ..., n. (11.56)
В силу непрерывной зависимости от параметров решение системы
11.56) может быть представлено в виде
xi (0 *1 1^ю> ••• ’	^1 (0* ••• ’ fп (0*	(0* ••• » (0 ^1* •••» П
I = 1, ..., и.	(11.57)
После подстановки решения (11.57) в выражения для критерия оп-
тимальности (11.4) и ограничений (11.5) задача оптимизации закона
управления сводится к отысканию значений неизвестных kit ..., ks>
при которых достигает экстремума критерий оптимальности
1 = ЦК.....ks> ту	(11.58)
и выполняются ограничения
ks (,)<0 /=1........т;	/ = 1,	(11.59)
K<kp<K»	(П-60)
397
Сформулированная таким образом задача является задачей отыс-
кания условного экстремума функции s переменных.
Если условия (11.59) и (11.60) определяют замкнутую область в
s-мерном пространстве, a I(kit ..., ks, Т) является непрерывной функ-
цией, то в силу теоремы Вейерштрасса функция / обладает наиболь-
шим и наименьшим значениями, которые достигаются либо внутри
•области, определяемой условиями (11.59) и (11.60), либо на ее границе.
В первом случае экстремум функции / достигается или в стационарной
точке, в которой все первые производные dHdkiy ..., dlldks одновре-
менно обращаются в нуль:
dl/dkp = 0, р = 1, ..., s,
или в точке, где одна или несколько производных терпят разрыв.
Функция / может быть многоэкстремальной, т. е. иметь несколько
локальных максимумов и минимумов. Поэтому при отыскании мини-
мума (максимума) функции / следует найти все точки локальных ми-
нимумов (максимумов) и выбрать из них точку, соответствующую гло-
бальному минимуму (максимуму). Необходимое условие локального
минимума имеет вид
•а необходимое условие локального
максимума записывается в виде
дЧ
dkLdkY
дЧ	дЧ
; dkldk] dkA dk^
дЧ	дЧ
dk2dk{ dk2dk2
дЧ	дЧ	дЧ
dk{ dki	dkt <^2	dkt dk3
дЧ	дЧ	дЧ
dk2 dkx	dk2 dk2	dk2 dk3
дЧ	д'Ч	дЧ
dk3 dk} dk3 dk2 dk3 dk3
Типичными для большинства технических задач являются случаи,
когда экстремум достигается в стационарной точке или на границе
области, определяемой ограничениями (11.5) и (11.6). Для сведения
второго случая к первому можно использовать функции нагружения
(штрафные функции). Суть этого приема заключается в построении
такой функции, экстремум которой достигается лйшь при выполнении
ограничений. Пусть, например, критерий оптимальности / оценивает
точность управления, а ограничения заданы условиями
—	P=l,
398
Тогда вместо минимума критерия / отыскивается минимум некото-
рого нового функционала, например,
/* = 1 + С,(^ - k\ У + ... + Cs(k}
где cif ..., cs—весовые коэффициенты.
Недостаток этого метода заключается в том, что в зависимости от
вида функционала /* и выбора весовых коэффициентов можно полу-
чить различные решения задачи оптимизации, не совпадающие в об-
щем случае с решением исходной задачи. Положительной чертой ме-
тода является наглядность отыскания нужного решения, так как дос-
таточно проверить стационарные точки функционала /*.
Строгое решение сформулированной задачи может быть найдено
с помощью методов нелинейного программирования, так как задача
отыскания экстремума нелинейной функции многих переменных (11.58)
при ограничениях (11.59) и (11.60) есть задача нелинейного програм-
мирования. Решение задачи нелинейного программирования обладает
характерным свойством, сформулированным в теореме Куна—Таккера
162]. Пусть для определенности нужно найти минимум критерия оп-
тимальности (11.58). Рассмотрим наряду с функционалом / обобщен-
ную функцию Лагранжа
h=i+ %	i^(kp-kp). (Ибо
/, Z=1	P=l	£»=l
По условию теоремы Куна—Таккера, для того чтобы при некоторых
значениях kp = kp, р = 1, ..., s критерий / принимал минимальное зна-
чение при ограничениях (11.59), (11.60), необходимо существование
таких множителей Лагранжа
> °-	= Р-р > 0 И V„ = Vo > 0. что
............ks, Xu, ... Xm,. н- ••• IS S. - s) <
<//(&!,.. ,ks, ^1, •••• L, IS - IS vi. - s)<
^(^1- ••• • ks< 41......Knr IS» ••• • IS S’ ••• s)
для всех kp, удовлетворяющих ограничениям (11.60) и условиям
Хд>-0, [Ар>-0,	vp>-0,	/=1,..., пт, I = 1, ... г; р—\....s.
Это означает, что решение задачи нелинейного программирования
..., ks и множители Лагранжа k/z, образуют седловую точку
функции Лагранжа. Таким образом, искомое решение задачи миними-
зации критерия / при ограничениях (11.59) и (11.60) должно в силу
399
теоремы Куна—Таккера удовлетворять условию седловой точки>
которое может быть записано в виде системы уравнений:
'H/dkp = 0. р=1,
'кндН1д\ц = 0, / = 1, ... т\ /=1 ... ,г;
^рдН/д^р = 0, р = 1.......$;
дЯ/гЬр = 0. р = 1.......s.
Найти оптимальные значения коэффициентов закона управления
непосредственно из условий седловой точки (11.62) можно лишь в не-
которых задачах, так как в общем случае частные производные в
левых частях уравнений являются нелинейными функциями от
kit ..., ks. Это обстоятельство не позволяет получить выражения для
искомых коэффициентов в аналитической форме и заставляет пользо-
ваться численными методами оптимизации. В задачах оптимизации
алгоритмов управления оказался весьма удобным метод последова-
тельной оптимизации, сводящий общую задачу нелинейного програм-
мирования к последовательности более простых задач.
Идея этого метода заключается в замене исходной задачи нели-
нейного программирования последовательностью задач квадратич-
ного программирования, методика решения которых разработана
наиболее подробно. Это объясняется тем, что при решении задач квад-
ратичного программирования можно использовать методы линейного
программирования, в частности, симплексный метод, широко исполь-
зуемый при решении экономических задач и задач исследования опе-
раций.
Пусть заданы некоторые исходные значения оптимизируемых коэф-
фициентов Л{0), ..., ksQ\ Тогда в окрестности этих значений критерий
оптимальности / можно заменить приближенным выражением
(11.63)
и использовать приближенные выражения для ограничений:

(11.64)
•С (О = М G<°> (tr) + J ]<0) (kp - k?
B=l
400
(верхний индекс «(0)» означает, что соответствующая функция вычис-
ляется при исходных значениях оптимизируемых коэффициентов).
Ограничения на коэффициенты сохраняются в прежнем виде:
kp — ^<0; kp—kp^G, р=1,	(11.65)
Задача отыскания экстремума квадратичной функции (11.63) при
линейных ограничениях (11.64) и (11.65) есть задача квадратичного
программирования. Решая ее одним из известных способов, получают
первое приближение k\{\ ..., k{si} искомых коэффициентов. После этого
записывают новые приближенные выражения для критерия оптималь-
ности и ограничений и, решая задачу квадратичного программирова-
ния, находят второе приближение k\2), ..., k{2} . Процесс продолжается
до тех пор, пока результаты двух последних приближений не будут
отличаться на пренебрежимо малую величину.
При линейных функциях Gf рассмотренный процесс последователь-
ной оптимизации непосредственно следует из применения метода
Ньютона для решения системы нелинейных уравнений (11.62), опре-
деляющих седловую точку функции Лагранжа. Поэтому, строго гово-
ря, сходимость последовательных приближений гарантируется лишь
при достаточной близости начального приближения к искомому опти-
мальному решению. Однако при решении практических задач весьма
быстрая сходимость обеспечивается и при нарушении этого условия.
Чтобы получить приближенные выражения для критерия оптималь-
ности и ограничиваемых функций на i-м шаге последовательной опти-
мизации, необходимо иметь их значения при найденных на предыдущем
шаге коэффициентах ..., и значения математических ожи-
(dGQ (Г) \(‘-D	/ d2 б0 (Т) \('-П
Дании частных производных —2—-----------------2—-
\ dkp J	\ dkp dkq j
} p g _ i, . . s. Поскольку функционалы Go, и Gh j =
\ dfep /
1,	... , m зависят от параметров состояния ..., хп и управляющих
воздействий ..., ил, то
п	п
= у . _^_+ V	p=i........s; (Ц.66)
dkD	dxt dkD	du j	dkp
и /=1	p i=i
dGj __y dGJ
~dk^ ~dx~
r	I_1
n
±L+y_^L._^_,/=l....,/n;p =
dkp	dui dkp J
1....s; (11.67)
d2 Gj
dkp dk4
d2 Go	dXj
dXf dxk	dkp
dkq
n
d2 Go	dxj	dtik
dxt duk	dkp	dkp
I, fc=l
n
। yi d2 Go du t dxk । y* d2 Go duj duk
dutdxk dkp dkq	du i dudkp dkq
у dG0 d2 Xj у dG0 d2 u( n o = I
dxt ' dkp dkp	dut ' dkp dkp ’
s. (11.68)
n
401
Сходимость метода незначительно изменяется, а сложность вычис-
лений заметно уменьшается, если в правой части выражения (11.68)
отбросить члены, содержащие вторые производные —
dkpdkg '
д*и{	4
dkp dkq
Тогда для решения
таточно
ведения
задачи квадратичного программирования дос-
производные
dxi du^
dkp dkq
dxi	duf
и их ПрОИЗ-
dkp	dkq
du t	duk
тг2- • -г— . Для отыскания
„	.	г	dkQ
производных необходимо решить систему уравнений чувстви-
иметь частные
dxj . dxk
dkp dkq
частных 1 а
тельности (см. гл. 10):
п
d / dxf \ _ у» dXf	dxk i dXj
dt \ dkp ) dxk	dkp dkp
/г=1
i = 1. .... n\ p = 1.....s (11.69)
и вычислить производные от управляющих воздействий:
duj _ у duf	dxk
dkp	dxk	dkp
&=1
i = 1...........n; p — 1. ... s.
Система уравнений для произведений частных производных имеет
вид
п
dXj . dxk	dXk dxj
dkp dkq	dkp dkq
I. & == 1, .... n\ p, q = 1, ... s.
Как видно из формул (11.63), (11.64), (11.66)—(11.68), в приближен-
ные выражения для критерия оптимальности / и ограничиваемых функ-
ционалов Jz(/Z) входят только математические ожидания функций чув-
ствительности и их произведений. Для отыскания этих математичес-
ких ожиданий в каждый момент времени можно воспользоваться сис-
темой дифференциальных уравнений для моментов. Этот путь приводит
к необходимости решения достаточно громоздкой системы дифферен-
циальных уравнений. Поэтому часто более удобно отыскивать нужные
величины, многократно решая уравнения чувствительности (11.69)
совместно с уравнениями управляемого процесса (11.1) при различных
реализациях входящих в эти уравнения случайных функций, т. е.
использовать метод статистических испытаний. Для сокращения объ-
ема вычислений при выборе реализаций целесообразно воспользоваться
каким-либо из приближенных методов, описанных в гл. 9, например
методом Б. Г. Доступова [22]. Найденные-для моментов времени t ==
= tif t = t2, ...» t = tT, t = T значения математических ожиданий
функций чувствительности и их произведений используются при
отыскании решения задачи квадратичного программирования.
402
Введем для краткости следующие обозначения:
М [Go (7)] = Go (7);	М [G, (/z)] = ЗД);
М [3G0 (T)/dkp] = dG0(T)/dkp; M [dG, (tt)/dkp] = dG^ldk,,
M [d* Go (T)/dkp dkg] = d*G0(T)/dkpclkq.
Подставляя выражения (11.66), (11.67) и (11.68) в (11.63) и (11.64>
и используя условия (11.65), получаем для первого шага последова-
тельной оптимизации следующую задачу квадратичного программиро-
вания:
найти экстремум квадратичного критерия оптимальности
/(|) = [GJ7)],0> +	(kp-k™\ +
р=1 р
+4- S
D, </=1
при линейных ограничениях
J'," V,) = [МЗГ + S [Т“’ (*.	<0;
0=»1	Р
j = 1...m; I = 1, ..., г; kp — kp <0, kp — Ар<0, р = 1,
Сформулированную задачу можно решать различными методами.
Одним из наиболее наглядных является метод Била, представляющий
собой обобщение симплексного метода линейного программирования
[62].
§ 11.5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КВАДРАТИЧНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Для использования большинства алгоритмов квадратичного прог-
раммирования удобно привести задачу к такому виду, когда все ис-
комые переменные положительны, а все ограничения типа неравенств
записаны в виде равенств. Первое требование в общем случае удовлет-
воряется путем перехода к новым переменным lp = kp—kp, р=1,...
..., s. Вводя для коэффициентов, полученных на Z-м шаге (Z =1, 2,...)
последовательной оптимизации, обозначения
г(,) -- 1 RMnl(,)
W 2 L dkpdkg J
= - [ад)Г° , ^=1. .... тх Г-,
apk =	, k = I, ..., tn X г.
403
преобразуем сформулированную в § 11.4 задачу квадратичного про-
граммирования для Z-го шага к такой:
найти экстремум квадратичной функции
+ i; й<——4-
р=|
+ s	р.-'П	«и.?»)
р, 4=1
при линейных ограничениях:
S С’ря-'Г’М'-" ‘=1.......«О (11.71)
Р=1
lp<kp—K ®=1./р>0, р=1........s. (11.72)
Чтобы превратить неравенства (11.71) и (11.72) в равенства, вве-
дем дополнительные переменные ls+v ls+2,... . ls+mKr, ls+m<-r+i, •••
••• » Is+tnXr+S'
Тогда ограничения (11.71) и (11.72) примут вид:
£	+	=	6=1......тхг; (11.73)
4,= 1
lp + ls+mxr+p -kp-kp, P=l.... s, (11.74)
1п > 0, п = 1, ..., т х г 4- 2s.
Будем считать для определенности, что критерий оптимальности
/(/) должен принимать минимальное значение. Для отыскания решения
полученной задачи выбираем в качестве исходной точки некоторое
базисное решение. В рассматриваемом случае базисным называется
решение системы уравнений (11.73), (11.74), в котором не более
т х г + $ переменных положительны, а остальные переменные равны
нулю. Пусть положительны в базисном решении первые (т X г + s)
переменных. Тогда, решая относительно этих переменных, которые
будем называть зависимыми, систему уравнений (11.73), (11.74), мож-
но выразить зависимые переменные через оставшиеся s переменных
(будем называть их независимыми), принимающих нулевые значения
в базисной точке. Обозначим независимые переменные через г:
D = /('—о
1	mxr+s+i »
(11.75)
/G—D
с	mxr-4-s-f-s
404
Используя найденную связь между зависимыми и независимыми
переменными и опуская временно верхние индексы, представим зави-
симые переменные как функции только независимых переменных:
lg = dgo -Ь S dghzn, g=K...,mxr + s. (11.76)
n=l
С учетом выражений (11.75), (11.76) критерий (11.70) можно
представить так:
~ (^00 4" ^01	••• + ^05 %s) * 1
+ (С10 Си zr 4- ... + zs) z± +	(! !,77)
4~ (£$о Ь" “И ••• 4* c$s zs) zs,
где cih = chi, i, h — 0, 1, ..., s.
При такой записи любое выражение в скобках при zp равно _1_х
л/(О	о	u х
х—___, а в исходной точке, соответствующей выбранному базисному
решению, /и-о = с00. Процедура перехода от базисного решения к
решению, соответствующему минимуму критерия /(/) на данном шаге
оптимизации, состоит в последовательном уменьшении /(*>. Действи-
тельно, если какая-либо из производных dl^!dzp отрицательна, то
увеличение соответствующей независимой переменной zp приводит
к уменьшению /W. Остальные переменные при этом можно оставить
равными нулю. При возрастании переменной zp изменяются значения
зависимых переменных и производной dl^ldzp. Поэтому переменную
zp можно увеличивать до момента, когда обращается в нуль либо ка-
кая-нибудь из зависимых переменных, либо производная dl^/dzp.
Если при возрастании zp раньше обращается в нуль какая-нибудь из
зависимых переменных, то ее полагают независимой и переходят к
новой системе независимых переменных, в которой место zp занимает^
прежняя зависимая переменная, обратившаяся в нуль. Если раньше*
обращается в нуль производная dl^ldzp, то вводят новую пеограничен-
1	<9/(0
ную по знаку переменную = _ . _— , называемую своооднои,
2 dzp
и переходят к новой системе независимых переменных, в которой мес-
то zp занимает свободная переменная, которую можно изменять при лю-
бом знаке производной dl^ldv^ Для новой системы независимых пере-
менных получают выражение для критерия	аналогичное по
форме выражению (11.77), и вновь повторяют описанную процедуру
уменьшения /(/). Доказано, что оптимальная точка достигается за
конечное число шагов.
Значения dsh и chh вычисляемые на каждом шаге решения задачи
квадратичного программирования, удобно свести в основные и проме-
жуточные таблицы. Первые содержат значения коэффициентов на
данном, например &-м шаге (табл. 11.1), вторые — промежуточные
405
Таблица 11,1
Основная таблица #-го шага оптимизации
		Переменные z		
Переменные 1 и z	1	z<*>		7(V s
/1	л(/г) “10			
^/nXr+2s	umXr-\-2s, 0	AV utnXr-\-2s, 1		umxr+2s, s
1 z[k>	AV с00 AV с10	c01 c(*) C11		
AV	AV cs0	c(*) Csl		AV css
Таблица 11.2
Промежуточная таблица #-го шага оптимизации
	Переменные z			
Переменные Z и z	1			г(А-М) s
/1	j(A’+D “19			^s + 1)
^mXr-\-2s	umXr^-2s, 0	mXr-\-2s, 1		j(*+n umXr+‘2s, s
1	7(/г) c00			
Z<">	7(A:) c10			
	TOO cs0			css
значения коэффициентов (табл. 11.2). Кроме коэффициентов выраже-
ний (11.76) и (11.77) в верхнюю часть таблиц включены соотношения
вида I zh, где zh— ограниченная по знаку переменная, не входящая
в базис, т. е. обращающаяся в нуль в базисном решении.
Промежуточная таблица (см. табл. 11.2) отличается тем, что в
верхней части она содержит коэффициенты dgh новой точки, а в ниж-
ней — промежуточные коэффициенты chi.
Будем называть столбцы таблиц /-столбцами, если соответствующая
переменная zh ограничена по знаку, и ^-столбцами, если место zh за-
нимает свободная переменная.
Правила перехода от одной таблицы к другой формулируются сле-
дующим образом.
406
1.	Рассмотрим первую строку нижней части основной таблицы
k-vo шага без первого элемента. Если элементы этой строки, стоящие
на пересечении с ^-столбцами, равны нулю, и элементы, стоящие на
пересечении с /-столбцами, неотрицательны, то данная таблица соот-
ветствует оптимальной точке. Если элемент, стоящий на пересечении
первой строки и некоторого ^-столбца, отличен от нуля, то этот столбец
следует выбрать в качестве заменяющего. Если же таковых нет (или
ц-столбцы вообще отсутствуют) и при этом элемент, стоящий на пере-
сечении первой строки и некоторого /-столбца, отрицателен, то этот
столбец следует выбрать в качестве заменяющего.
Пусть c{okp — элемент, стоящий на пересечении первой строки
и заменяющего столбца. Последний определяет новую заменяющую
переменную zpk).
2.	Разделим модуль выбранного в предыдущем пункте элемента
Сор} на соответствующий диагональный элемент cpkp нижней части таб-
лицы, если Cpkp>0, и разделим на модули соответствующих элементов
dgp заменяющего столбца те элементы первого столбца верхней части
таблицы dgo\ для которых dgP имеют тот же знак, что и с(ор\
Строка, реализующая минимум отношений dgo/\dgP\ и
является заменяющей. Элемент, стоящий на пересечении заменяющей
строки и заменяющего столбца dgP или срр\ называется опорным
элементом. Если заменяющая строка принадлежит верхней части таб-
лицы, то в промежуточной таблице на место переменной zpk\ которой
соответствует заменяющий столбец,' ставится переменная, которой
соответствует заменяющая строка. Если заменяющая строка принад-
лежит нижней части таблицы, то zpk} заменяется свободной пере-
менной Vj.
3.	Чтобы получить элементы столбца промежуточной таблицы,
соответствующего заменяющему, следует разделить элементы заме-
няющего столбца на опорный элемент.
4.	Чтобы найти остальные столбцы промежуточной таблицы, сле-
дует из элементов соответствующих столбцов исходной таблицы вы-
честь элементы полученного по предыдущему правилу столбца этой
таблицы, умноженные на элемент, стоящий на пересечении дан-
ного столбца и заменяющей строки. Так же строится верхняя часть ос-
новной таблицы (k + 1)-го шага.
5.	Второй заменяющей строкой является та строка, которая пере-
секается с заменяющим столбцом по главной диагонали нижней части
таблицы. В основной таблице строка, соответствующая второй заме-
няющей, получается путем деления каждого элемента второй заменяю-
щей строки промежуточной таблицы на опорный элемент. Вместо пе-
ременной, которой соответствует вторая заменяющая строка, ставится
переменная, которой соответствует заменяющий столбец промежуточ-
ной таблицы.
Если первая заменяющая строка лежит в нижней части таблицы,
то вторая заменяющая строка совпадает с первой.
407
6.	Чтобы получить одну из оставшихся строк, например h-ю
основной таблицы, (k + 1)-го шага, следует из соответствующей строки
промежуточной таблицы вычесть уже вычисленную вторую заменяю-
щую строку основной таблицы, умноженную на элемент исходной
таблицы, стоящий на пересечении первой заменяющей строки и h-ro
столбца.
Рассмотренные правила определяют алгоритм квадратичного прог-
раммирования, который может быть реализован на ЦВМ.
Пример 11.6. Минимизировать критерий оптимальности
/ « _ 6Zi + 2Zf — 2ZxZ2 + 2l22
при ограничениях
Zt + Z2 2;	> 0; Z2 > 0.
Вводим вспомогательную переменную Z3 и обращаем неравенство в равенство:
Zi + Z2 + Z3 = 2; Zi 0j Z2 > O', Z3 0
В качестве базисного решения на первом шаге примем lL = zp =0; Z2 == zp =
= 0. Тогда можно записать
/3 = 2—/! — /,= 2 — Z](1) - г<’> . / = (0—З/j + 0/2) . 1 + (_3 4-2Zj —/г)/j +
+ (0 - h + 2/г) 1г = (О — 3z<” + 0 • г'1’) • 1 4 (- 3 4 2г['> - г<'>) г'1» +
+ (0-г(<» + 2г<1>) гр.
Таблица 11.3
Переменные Z, г	1	(!") Zj	( И") 12
^1	0	1	0
^2	0	0	1
1з	2	—1	— 1
1	0	—3	0
(*1(1)) h	—3	ш	—1
(	0	—1	2
Составляем основную таблицу для первого шага (табл. 11.3). По первому
правилу в качестве заменяющего следует выбрать столбец Zi(zp), т. е. умень-
шать функционал будем за счет увеличения Zi = zp. Сравнивая по второму'
правилу отношения |— 3|/2 и 2/|—1|, видим, что первое отношение меньше.
Это означает, что при увеличении Zi= zp вначале обращается в нуль произ-
водная д!/dh (или dZ/dzp), а потом уже переменная /з. Следовательно, заменяю-
щей строкой является вторая строка нижней части таблицы. Поэтому нужно
1 д!
ввести свободную переменную oi=	и ПРИ пеРех°Де к промежуточной
таблице заменить в столбце независимую переменную zP на свободную пере-
менную U1. Опорный элемент находится на пересечении второго столбца и вто-
рой строки нижней части таблицы и отмечен рамкой.
408
Таблица 11,4
Переменные 1, v, г	1	(42>) fl	(42>) 1г
h	3/2	1/2	1/2
h	0	0	1
Z3	1/2	-1/2	—3/2
1	—9/2	—3/2	—3/2
("1") '>	0	1	0
	-3/2	— 1/2	3/2
По третьему и четвертому правилам получаем промежуточную таблицу
первого шага (табл. 11.4). Вторая заменяющая строка по пятому правилу сов*
падает с первой. Используя пятое и шестое правила, находим строки нижней
части основной таблицы второго шага (табл. 11.5). Переменная Zi(zP) в нижней
части промежуточной таблицы заменяется на щ.
Таблица 11.5
Переменные /, о, г	1	(42)) fl	(42))
	3/2	1/2	-1/2
^2	0	0	1
	1/2	-1/2	—3/2
1	-9/2	0	—3/2
(г1(2>) *1	0	1/2	0
( 42>) h	—3/2	0	3/2
На втором шаге в качестве заменяющего столбца по первому правилу сле-
|—3/2|	1/2
дует выбрать столбец /2(г^). Сравнивая отношения----——и  -------——,мож-
□/2 I — 3/2 |
но убедиться, что второе меньше. Это означает, что при увеличении вна-
д! / д/ \
чале обращается в нуль переменная /з, а затем уже производная	—— —I ,
ol2 у у
Заменяющей является третья строка верхней части таблицы, следовательно,
переменную 1з в дальнейшем следует считать независимой. Используя правила,
строим промежуточную таблицу второго (табл. 11.6) и основную таблицу третьего
шага (табл. 11.7) (переход к переменным гп г2 опускаем). Поскольку в последней
15—493
409
Таблица Ц g
Переменные v	1	Vi	z;,
h	5/3	1/3	—1/3
h	1/3	-1/3	—2/3
k	0	0	1
1	—5	1/2	1
01	0	1/2	0
/2	—1	-1/2	—1
таблице элемент, стоящий на пересечении первой строки нижней части таб-
лицы со столбцом г>1, не равен нулю, то этот столбец и следует выбрать в качестве -
г	Р/3|	5/3
заменяющего. Сравнивая отношенияи	, убеждаемся, что первое
2/3 I 1/3 |
меньше и выбираем в качестве заменяющей вторую строку нижней части таб-
лицы. Построив промежуточную таблицу третьего (табл. 11.8) и основную таб-
лицу четвертого шага (табл. 11.9), убеждаемся, что последняя таблица по пер-
вому правилу соответствует оптимальной точке. Минимальное значение Z «
= 11/2 достигается в точке /1= 3/2, Z2= 1/2, /з= 0, т. е. на ограничении.
Таблица 11.7
Переменные i, v	1	Vi	I*
G	5/3	1/3	-1/3
^2	1/3	-1/3	—2/3
	0	0	1
1	— 16/3	1/3	2/3
01	1/3	2/3	1/3
l3	2/3	1/3	2/3
Решение задач методом Била налагает на приращения оптимизи-
руемых переменных требование положительности (11.72). При реше-
нии задач оптимизируемые параметры в зависимости от выбора на-
410
Таблица 11.8
Переменные Z, v	1		ii
	3/2	1/2	-1/2
^2	1/2	— 1/2	1/2
	0	0	1
1	-11/2	1/2	1/2
01	0	1	0
1з	1/2	1/2	1/2
Таблица 11.9
Переменные Z, о	1		h
h	3/2	1/2	-1/2
/2	1/2	-1/2	1/2
13	0	0	1
1	— 11/2	0	1/2
02	0	3/2	0
h	1/2	0	1/2
чального приближения могут как увеличиваться, так и уменьшаться.
Во втором случае приращение параметров на каждом шаге оптимизации
отрицательно, и, следовательно, исследуемый функционал не может
быть уменьшен при использовании метода Била.
Для устранения этого недостатка можно воспользоваться неслож-
ным дополнительным алгоритмом, позволяющим применять метод
Била в случае как положительных, так и отрицательных приращений
оптимизируемых параметров.
Критерий оптимальности (11.77) представляет собой сумму свобод-
ного, линейных и квадратичных членов. Линейные члены имеют вид
cQszs, квадратичные — cls zt zs. Если один из параметров, например
zs, при оптимизации уменьшается, т. е. его приращение отрицательно,
достаточно в исходном функционале / изменить знак перед коэффи-
циентом при соответствующем zs и в дальнейшем рассматривать поло-
жительные изменения этого параметра. При переходе к следующей
точке необходимо учесть знак « —»:
/(1) =
15*
411
Пример 11.7. Оптимизируем с.к.о. (9.34) следящей системы, рассмотрен*
ной в примере 9,2, принимая N = 1 град-сек, Тл= 0,5 сек и вводя ограничения-
0,01 сек<Ту< 5 сек; 0,1 Мсек <	10 Мсек.
На i-м шаге оптимизации функционал (9.34) может быть представлен в квад-
ратичной форме:
где
ДК = Kt — К{‘} ; ДТ = Ту -	.
Введем обозначения
Д/С — /р 1 — С()0»	“ ^2>
dUdli^c^ дЧ/Щд^с^.
За исходные значения примем
Ki — 2 Мсек* у == 2,5 сек.
Считаем, что отклонения коэффициентов при минимизации функционала
должны быть положительными, т. е. Zi> 8 Мсек; 12> 2,5 сек или, в соответ-
ствии с (11.74), Zi+/з= 8; /2+/4= 2,5.
По общим правилам, изложенным выше, составляем исходную табл. 11.10.
Все коэффициенты первой строки нижней части таблицы положительны. Сле-
довательно, данная таблица соответствует оптимальной точке. Это означает,
что за счет увеличения коэффициентов Лл. и Ту уменьшить функционал нельзя.
Таблица 11.10
Переменные I	1	h	Z2
li	0	1	0
	0	0	1
^3	8	—1	0
h	2,5	0	—1
1	12	36	4
Zi	36	90	12
/2	4	12	0
Изменим знаки коэффициентов при Zi и /2, т« е- знаки второго и третьего
столбцов, а также второй и третьей строк нижней части таблицы. При этом
необходимо изменить ограничения:
1г > 1,9 Мсек* > 2,49 сек
или, учитывая дополнительные переменные Z3 и Z4,
Zi + Z3 = 1,9; Z2 + = 2,49.
412
Получим основную таблицу первого шага (табл. 11.11). Промежуточной для
первого шага является табл. 11.12, основной для второго шага —табл. 11.13.
Таблица 11.11
Переменные 1	1	к	z2
h	0	1	0
	0	0	1
^3	1.9	—1	0
/4	2,49	0	—1
1	12	—36	— 4
11	-36	90	— 12
h	—4	-12	0
			Таблица 11.12
Переменные Z, v	1		z2
h	0,4	0,011	—0,133
/2	0	0	1
/3	1,5	—0,011	0,133
/4	2,49	0	—1
1	—2,4	—0,4	0,8
11	0	1	0
h	0,8	0,133	—1,6
Таблица 11.13
Переменные Z, v	1	Vi	z2
11	0,4	0,011	—0,133
/2	0	0	1
lb	1,5	—0,011	0,133
k	2,49	0	— 1
1	—2,4	0	0,8
01	0	0,011	0
/2	0,8	0	-1,6
413
Таблица 11.14
Переменные /	1		z3
/1	0	1	0
	0	0	0
h	8,4	— 1	0
h	2,5	0	—1
1	4,8	9	0,64
11	9	11,25	1,2
	0,64	1,2	—0,128
Таблица 11.15
Переменные Z, v	1	V,	z2
h	0,8	0,088	-0,1066
I*	0	0	1
/3	0,7	—0,088	0,1066
h	2,49	0	— 1
1	—2,4	—0,8	0,32
/1	0	1	0
/2	0,32	0,1066	-0,256
Таблица 11.16
Переменные/» &	1	Vi	4
h	0,8	0,088	—0,1066
/2	0	0	1
/3	0,7	—0,088	0,1066
Ц	2,49	0	— 1
1	—2,4	0	0,32
	0	0,088	0
h	0,32	0	—0,256
414
Таблица 11.17
Переменные 1	1		/2
	0	1	0
Zg	0	0	1
h	9,2	—1	0
k	2,5	0	—1
1	1,2	2,25	0,04
G	2,25	1,406	0,075
^2	0,04	0,075	—0,012
			Таблица 11.18
Переменные i	1	/в	4
h	0,7	-1	0
	0	0	1
^3	0	1	0
h	2,49	0	1
I	-0,3749	2,25	—0,04
/1	— 1,2656	-1,406	0,075
^2	0,0125	—0,075	—0,012
			Таблица 11.19
Переменные t	1		4
/1	0,7	—1	0
It	0	0	1
l3	0	1	0
l*	2,49	0	-1
1	— 1,261	1,2656	0,0125
/3	1,2656	1,406	—0,075
Z2	0,0125	—0,075	—0,012
			Таблица 11. 20
Переменные I	I	zt	h
h.	0	1	0
/2	0	0	1
^3	9,9	-1	0
h	2,5	0	-1
1	0,10435	1,088	3,02-IO*4
h	1,088	0,473	3,156-Ю-з
h	3,02-10-4	3,156-10“3	-9,99- IO"6
415
Таблица 11.21
Переменные 1	1		14
11	0	1	0
^2	2,49	0	— 1
	9,9	— 1	0
ц	0	0	1
1	0,1036	1,088	3,02-10-4
/1	1,08	0,473	3,156-Ю"3
/2	—5,51 • IO"4	—3,156-10~4	9,99-10“б
Таблица 11.22
Переменные 1	1		/4
к	0	1	0
/2	2,49	0	— 1
^8	0	1	0
/4	0	0	1
1	0,1022	1,081	5,5-10-4
/1	1,081	0,473	3,156-IO"8
h	5,5-IO’4	3,156-Ю-3	9,99-10“б
В табл. 11.14—11.22 приведены выполненные на ЦВМ вычисления (таб-
лицы изменения знаков коэффициентов не показаны).
Оптимизация пооисходит за четыре шага. Исходные данные:
Кр = 2 1/сгк! гр = 2,5 сек-, /<°> = 12 град2.
Первый шаг оптимизации:
/(<» = 1,61/СгК;	2,5 сек; /(1) =4,8 град?
Второй шаг:
кр = 0,8 Чсек; Т™ = 2,5 сек; /(2) = 1,2 град2.
Третий шаг:
кр = 0,1 1/^к;	Тр = 2,5 сек;	/(3) = 0,10435 град2.
Четвертый шаг:
лр = 0,1 Чсек;	7р = 0,01 сек;	Iw =0,100098 град2.
Приведенный пример достаточно хорошо иллюстрирует метод последова-
тельной оптимизации.
ГЛАВА 12
САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ
СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
§ 12.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
И КЛАССИФИКАЦИЯ
САМОНАСТРАИВАЮ-
ЩИХСЯ СИСТЕМ
Самонастраивающимися называются САУ, в которых параметры и
структура управляющего устройства, а возможно, и управляющие
воздействия автоматически изменяются на основе текущей информации
для осуществления требуемого (обычно оптимального) управления
объектом при начальной неопределенности сведений о процессе и ус-
ловиях работы.
Необходимость в разработке самонастраивающихся систем выз-
вана следующим. Для синтеза систем управления, кроме заданных
требований к качеству процесса, необходимо иметь информацию об
объекте, о возмущениях, действующих на объект, и о начальном сос-
тоянии объекта. Для многих современных объектов управления полу-
чение этой информации либо совсем невозможно, либо связано с зат-
ратой больших материальных средств и значительного времени.
К таким объектам необходимо отнести многие сложные производствен-
ные комплексы, летательные аппараты и т. д. Далее, если система
была синтезирована при наличии всей необходимой информации, то
в процессе ее заводского изготовления неизбежны отклонения от
проекта. Эти отклонения могут возрасти при транспортировке и хра-
нении вследствие естественного старения элементов системы. В про-
цессе эксплуатации могут возникать постепенные или мгновенные от-
казы отдельных элементов или узлов системы управления. Таким
образом, в принципе трудно заранее знать характеристики реального
объекта до момента их определения.
Известно, что качество процесса управления определяется не толь-
ко свойствами объекта и регулятора, но и возмущениями, действую-
щими на систему. Во многих случаях проектировщики системы не
знают, какие именно возмущающие воздействия будут прикладывать-
ся к объекту и регулятору в условиях эксплуатации.
В связи с указанным естественно потребовать, чтобы система в
процессе эксплуатации сама автоматически получала и использовала
для выработки требуемых управляющих воздействий недостающую
информацию. При этом система приобретает новое качество — каче-
ство самонастройки (самоприспособления или адаптации).
Теория самонастраивающихся систем — это новая область теории
управления. Еще не установлена твердо терминология и не сущест-
вует строгой классификации этих систем. Самонастраивающиеся сис-
417
темы обеспечивают поддержание экстремального или заданного зна-
чения определенного показателя качества. По способу получения ин-
формации о текущем значении показателя качества самонастраивающие-
ся системы принято подразделять на поисковые (экстремальные) и бес-
поисковые (аналитические).
В поисковых системах экстремум показателя качества находится
в результате поиска во времени в пространстве входных координат
объекта (управляющих воздействий).
В беспоисковых системах наилучшее управление обычно находит-
Рис. 12.1 Общая схема самонастраивающейся системы
ся в результате использования аналитических зависимостей, связы-
вающих желаемое значение показателя качества с параметрами уп-
равления.
В общем случае работа самонастраивающейся системы характери-
зуется тремя этапами:
1)	получением информации о текущем состоянии процесса управ-
ления (о характеристиках объекта, внешних воздействий или об
отклонении от оптимального режима) — идентификацией;
2)	обработкой этой информации и нахождением величин управляю-
щих воздействий (настройки, параметров, структуры);
3)	реализацией полученных управляющих воздействий.
На рис. 12.1 изображена общая схема самонастраивающейся сис-
темы. Трем этапам процесса самонастройки соответствуют специаль-
ные блоки — анализатор Л, синтезатор С и исполнительное устройст-
во ИУ. На рисунке приняты следующие обозначения: у — выходной
сигнал системы; g— входной сигнал; f — помеха, gb g2—коррек-
тирующие воздействия контура самонастройки; g3— пробные сигналы;
?i, ?2— сигналы для получения информации о разомкнутом контуре
основной системы; Р — регулятор; О — объект; ОС—звено обратной
связи.
Анализатор представляет собой устройство для определения
динамических характеристик системы и, возможно, входных сигналов
g, f. Он может использоваться для определения динамических харак-
теристик как всей замкнутой системы, так и только объекта регулиро-
418
вания. В первом случае на анализатор должны поступать сигналы
со входа (z4) и выхода (у) системы. Во втором случае используются сиг-
налы на входе (z2) и выходе (у) объекта. Кроме того, этот блок может
производить оценки помех и полезного сигнала g.
Синтезатор — это устройство, предназначенное для определения
на основе заданного критерия самонастройки требуемых настроек,
параметров или структуры регулятора.
Исполнительное устройство контура самонастройки воздействует
на изменяемую часть регулятора либо путем перестройки его парамет-
ров (сигнал g2), либо путем выработки дополнительного задаю-
щего сигнала git В случае необходимости исполнительное устройство
вырабатывает пробные сигналы g^ для организации поисковых коле-
баний системы в целях упрощения процесса идентификации. Для орга-
низации поисковых колебаний могут быть использованы также сиг-
налы gi и g2.
§ 12.2. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Назначением экстремальной системы, является автоматическое
отыскание регулирующих (управляющих) воздействий, соответствую-
щих оптимальному (экстремальному) значению показателя качества
при неконтролируемом изме-
нении характеристик систе-
мы и внешних условий, влияю-
щих на положение экстре-
мальной точки показателя
качества.
В экстремальной системе
соответствующая перестройка
входных воздействий прои-
зводится путем анализа ре-
зультатов пробных движений
(колебаний), в процессе ко-
торых изучается тенденция
изменения показателя каче-
ства системы. Можно гово-
Рис. 12.2. Общая схема экстремаль-
ной системы
О — объект; ЧЭ — чувствительный элемент;
УФ — устройство формирования показателя
качества; ИЭ — исполнительный элемент;
УАП — устройство автоматического поиска
экстремума; ЭР — экстремальный регулятор
рить, что в экстремальной
системе существует своеобразная обратная связь по показателю ка-
чества. На рис. 12.2 представлена принципиальная схема экстремаль-
ной системы. Особенностью ее является наличие устройства
автоматического поиска экстремума УАП, которое производит анализ
показателя качества / и через исполнительный элемент ИЭ подает
на вход объекта управляющее воздействие |х, такое, чтобы характерис-
тика /(рь) получила экстремальное значение /0.
В экстремальной системе устройство поиска экстремума выполняет
роль анализатора и синтезатора.
Экстремальный регулятор целесообразно использовать только
тогда, когда функция /(ц), характеризующая показатель качества,
является «плавающей» (рис. 12.3), т. е. как сама величина /0, так и
419
соответствующее ей значение |х0 существенно меняются неконтролируе-
мым образом.
Обычно показатель качества зависит от нескольких регулирующих
воздействий, т. е. I =	..., р.л). В точке экстремума
д!/д^ = 0; d//d|i2 = 0; ...; д!/дрп = 0
Рис. 12.3. Экстремальные характеристики
ИЛИ
п
grad/ =	=0’
— <=1
где qt— базисные векторы.
Таким образом, экстремальная система должна обеспечить движе-
ние рабочей точки по поверхности 1 в пространстве р^, ..., |хл до точ-
ки, где grad / = 0. Для осуществления такого движения необходимо,
Рис. 12.4. Синхронное детектирование
во-первых, определить градиент и, во-вторых, в соответствии со зна-
чением градиента организовать движение к точке экстремума.
Первая задача — определение градиента — может решаться несколь-
кими способами, наиболее распространенными из которых являются
способы синхронного детектирования, непосредственного измерения
производной и запоминания и удержания экстремума.
Способ синхронного детектирования основан на том (рис. 12.4),
что для ориентации рабочей точки относительно экстремума показа-
420
теля качества к основным медленно меняющимся входным сигналам
Н» •••Ан’п добавляются малые гармонические (обычно периодические)
составляющие. Синхронные детекторы СДЬ СДп выполняют опе-
рацию умножения функции Z(|4*,	|хл*) на соответствующие гар-
монические составляющие и операцию усреднения во времени этих
произведений. В результате на выходах синхронных детекторов по-
лучаются величины, пропорциональные с точностью до малых высших
порядков составляющим градиента dl/dplt..., dlldpn в точке (у*,... ,уД
Действительно, разложим функцию I в окрестности точки ...,
ул* в ряд Тейлора:
п
/(lh. Р-л) =	(\.) + S(-r4*a*sin<M +
\	/	j \ Фу I /
п
+ — У (———У* aft a, sin	sin ш,/ + ....	(12.1)
2 \ /
k, 1=1
После умножения выражения (12.1) на sin<ozl и усреднения полу'
чим
“z
, р.’) sin aZ-^-Ysinw^sin wtt +
п
1	/ d2 / \* 1 • —..........................
H------У	-----------1	sin sin <ozf sin <oz/ + ... ,	(12.2)
2 " \ /
k, 1=1
Если учесть, что при медленном изменении р.’ справедливы со-
отношения: sin Wit = 0;
----—:---------- ( 1/2 при
sin W,t Sin <Okt — I
| 0 при
i = k‘,
i k,
то выражение (12.2) можно привести к виду
U{ = -у-	at + Ди/(
(12.3)
где Ди, — погрешность, имеющая больший, чем первое слагаемое,
порядок малости.
В результате на выходах синхронных детекторов получаются
сигналы
и, « и, (d//d|x(-)*/2, i = 1, 2, ..., п.	(12.4)
Способ непосредственного измерения производной предполагает диф-
ференцирование функции I по времени. Для производной, dlldt имеем
421
Допустим, что имеется возможность задавать поочередно вели-
чины р.^. При этом
dlldt = pkdl/dpk; k = 1, 2,..., и,	(12.6)
откуда определяются искомые составляющие градиента.
В соответствии со способом запоминания и удержания экстремума
система совершает поисковые колебания в районе экстремума. При
достижении экстремума в запоминающем устройстве регулятора фик-
сируется экстремальное значение показателя качества /0. Сигнал, про-
порциональный величине градиента, определяется по разности за-
помненного и текущего значений функции /. Данный способ непосред-
ственно применим только в случае одного воздействия р.. Для много-
мерных систем способ может быть применен в комбинации с другими
способами, например, с синхронным детектированием.
Рассмотрим вкратце вторую задачу поиска — организацию дви-
жения к точке экстремума. В настоящее время известно значительное
число методов для реализации этой задачи. Наиболее широко исполь-
зуются следующие методы: поочередного изменения переменных (ме-
тод Гаусса—Зайделя), градиента и наискорейшего спуска.
Метод Гаусса—Зайделя заключается в поочередном изменении пе-
ременных ..., |*я и определении частных экстремумов вида
dl!d^k = Q	(12.7)
при условии, что остальные переменные р4, ..., p^-i, ^+1, ..., р.Л яв-
ляются постоянными. Сначала устанавливается исходная (начальная)
точка поиска. Затем все переменные р.2, •••» фиксируются, а пере-
менная р^ варьируется до тех пор, пока не будет выполнено условие
dildpi= 0. В этой точке величина рч = р.1о фиксируется и начинает
изменяться переменная р.2 до обращения в нуль производной dl/dp2
и т. д. После нахождения точки, в которой dildpn=O снова начинает
изменяться р.ь и весь цикл повторяется заново до тех пор, пока не будет
найдена точка экстремума. Метод поочередного изменения переменных
иллюстрируется на рис. 12.5 ломаной линией /, состоящей из взаимно
перпендикулярных прямолинейных участков. На рисунке представ-
лены сечения функции двух переменных /(р*!, р^)-
В методе градиента происходит одновременное изменение всех
координат так, что изображающая точка движется по поверхности
I = Лн» Нг) в направлении, близком к мгновенному направлению
вектора градиента. Движение может осуществляться непрерывно или
дискретно.
В случае непрерывного движения в простейшем случае исполь-
зуются следующие законы изменения переменных р.ь ..., р.л:
= kdlldy4, i = 1, 2, ..., и,	(12.8)
где k — коэффициент пропорциональности (k > 0 при поиске макси-
мума и k < 0 — при поиске минимума).
422
В ^лучае дискретного движения переменные	после изме-
рения градиента изменяются на следующие величины:
Др,. = kdlldph i = 1, 2, ..., и.
(12.9)
На рис., 12.5 траектория движения по методу градиента изображе-
на кривой 2. Траектория нормальна к поверхностям равных значений
/(p-i, ..., р^) = const. Непрерывный процесс поиска по методу гради-
ента является устойчивым, т. е. приводит систему к экстремуму при
любой исходной точке поиска.
В соответствии с методом
наискорейшего спуска, который
является по существу обобще-
нием метода поочередного изме-
нения переменных и метода
градиента, движение происхо-
дит в направлении вектора гра-
диента до тех пор, пока не обра-
тится в нуль частная производ-
ная функции I по этому напра-
влению. Затем снова определяет-
ся градиент и движение про-
исходит вдоль нового вектора
градиента до обращения в нуль
производной от / по этому на-
правлению и т. д. до тех пор,
пока не будет достигнута точка
экстремума. На рис. 12.5 трае- Рис- 12-5- Методы поиска экстремума
ктория метода наискорейшего
спуска отмечена цифрой 3.
Градиентный метод и метод наискорейшего спуска обеспечивают
быстрейшее достижение точки экстремума, причем в отношении бы-
стродействия метод наискорейшего спуска предпочтительнее исполь-
зовать при больших отклонениях изображающей точки от точки эк-
стремума. При малых отклонениях с учетом требований, предъявля-
емых к точности, целесообразно применять метод градиента.
Во многих задачах характеристика /(|ль ..., |лЛ) является много-
экстремальной. Указанные выше методы в общем случае не обеспе-
чивают нахождение глобального экстремума. Наиболее универсальным
для многоэкстремальных характеристик является метод сканирования
(слепого поиска или перебора). Но ввиду своей неэкономичности
(по времени) для многомерных задач сканирование неприменимо.
В настоящее время разрабатываются многочисленные алгоритмы и
схемы случайного поиска, комбинации случайного поиска и поиска
с измерением градиента и т. д.
На рис. 12.6 представлена одна из возможных классификаций эк-
стремальных систем.
Экстремальные системы классифицируют по способам нахождения
градиента и методам организации движения к точке экстремума.
423
Кроме того, при классификации рассматривают также такие признаки,
как число показателей экстремума (одно- и многоэкстрема^ьные)*
число регулирующих воздействий (с одним и несколькими регулирую-
щими воздействиями), способ управления исполнительными Элемента-
Экстремальные системы
Признаки к л а с с и ф и к а ции																	
Способ поиска градиента				Метод организации движения к экстремуму				Количест- во экстре - мумов		Число регулиру- ющих воз- действий		Режим определе- ния гра- диента		i Способ ’ преобразо- вания и передачи информа - ции		Способ формиро - вания экстре - мальной характв - ристики	
| Синхронное детектирование |	Непосредственное измерение производное _	Запоминание и удержание экстремума	_	| Слепой поиск (сканирование) |	| Метод Гаусса - Зайделя	|	|	Гоадиентный метод	|	\Memod, наискорейшего спуска |	|	Случайный поиск	|	Однозкстремальная	Многозкстремальная	Одноканальная	Многоканальная	Без внешних поисковых коле- баний ^(автоколебательная)	С внешними генераторами поисковых колебаний	Непрерывная	Дискретная (шаговая)	Естественная характеристика	Искусственная характеристика
Рис. 12.6. Классификация экстремальных систем
ми (с непрерывной и дискретной отработкой отклонения от точки эк-
стремума), использование генератора внешних колебаний (автоколеба-
тельные и системы с внешним генератором поисковых колебаний) и т. д.
В окрестности точки экстремума нелинейные характеристики объ-
ектов экстремального управления имеют вид параболы. Эти характе-
ристики могут быть естественными или могут формироваться искус-
ственно.
Рис. 12.7. Экстремальные характе-
ристики системы регулирования
давления
Пример 12.1. Рассмотрим си-
стему экстремального регулирова-
ния давления после компрессора
турбореактивного двигателя [27].
На рис. 12.7 изображена зависи-
мость относительного давления по-
сле компрессора Р от расхода то-
плива G при различных числах А4
(отношение скорости полета к скоро-
сти звука). Из рисунка видно, что
давление Р имеет максимум по рас-
ходу топлива. Положение максиму-
ма меняется в зависимости от числа
М.
Для регулирования давления
может быть использована непрерыв-
ная одномерная система экстремаль-
424
ного регулирования с синхронным детектированием и гармоническим пои-
сковый сигналом (рис. 12.8). Поисковые колебания a sin (oZ вместе с рабочей
составляющей вводятся на вход исполнительного устройства ИУ, регулирую-
щего поДачу топлива в двигатель Д. Сигнал, пропорциональный давлению по-
сле компрессора, с датчика давления ДД подается через усилитель У и по-
лосовой фильтр ПФ на синхронный детектор (множительное устройство) СД.
Рис. 12.8. Экстремальная система регулирования
давления
На другой вход синхронного детектора поступает поисковая гармоническая со-
ставляющая sin <oZ. Фильтр низких частот ФНЧ выделяет рабочую составляю-
щую сигнала, которая подается на управляющее устройство УУ.
$ 12.3. БЕСПОИСКОВЫЕ
САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ
Беспоисковые системы представляют собой наиболее многочислен-
ный класс самонастраивающихся систем. Основное их назначение за-
ключается в поддержании оптимальных или заданных динамических
свойств САУ при непредвиденных изменениях параметров объекта
или входных воздействий.
На рис. 12.9 приведена одна из возможных классификаций беспоис-
ковых самонастраивающихся систем. В основу классификации поло-
жен ряд признаков, определяемых назначением, целью, динамическими
и статическими особенностями системы.
По функциональному назначению беспоисковые самонастраиваю-
щиеся системы разделены на системы стабилизации, следящие системы
и системы программного регулирования. По существу это связано с
тем, что любая обычная система, которая принадлежит к одному из
указанных трех типов, при определенных условиях (неопределенность
характеристик объекта) может проектироваться как самонастраиваю-
щаяся. Целевое назначение определяется критерием качества, поло-
женным в основу работы системы.
В самонастраивающихся системах может быть использован любой
из применяемых в теории регулирования критериев качества (устой-
чивость, точность, инвариантность и т. д.). В частности, в процессе
самонастройки параметры регулятора могут автоматически перестраи-
ваться с целью обеспечения заданного запаса устойчивости при некон-
тролируемых изменениях параметров объекта.
, В соответствии с критерием инвариантности параметры регуля-
тора настраиваются для непрерывного удовлетворения условиям ин-
вариантности, которые могут нарушаться вследствие изменения ха-
рактеристик объекта.
425
По характеру используемой для самонастройки информации/бес-
поисковые системы можно разделить на системы с настройкой ^о ха-
рактеристикам объекта и по входному сигналу. Системы с самонастрой-
кой по характеристикам объекта применяются в случаях// когда
целью самонастройки является удовлетворение заданному критерию
при изменении характеристик объекта. Системы с самонастройкой
по входному сигналу используются в тех случаях, когда целью само-
настройки является обеспечение максимальной точности при изменении
Беспоисковые самонастраивающиеся системы
Признаки классификации
Функцио -
на ль ное
назначение
Целевое
назначение
Источник
информа -
ции для
самонаст-
ройки
Число
настра-
иваемых
пара -
метров
Режим
получения
информа-
ции
Способ
пре о б -
рисова-
ния ипе
редачи
информа-
ции—
Способ
форми-
рования
анализа
руемого
сигнала
Вид
она ли -
зируе-
мых
кара к те
ристин
Способ
иденти-
фикации
5
£
в
rt
Рис. 12.9. Классификация беспоисковых самонастраивающихся систем

характеристик входного сигнала. В первом случае сначала определяют-
ся текущие динамические характеристики объекта, во втором случае—
характеристики входного сигнала.
По количеству настраиваемых параметров беспоисковые системы
делятся на однопараметрические (одномерные) и многопараметриче-
ские (многомерные).
Информация о динамических характеристиках объекта в самона-
страивающихся системах получается в результате обработки входных
и выходных сигналов объекта. При этом могут быть использованы сиг-
налы, которые имеют место в режиме нормального функционирования
системы, или же сигналы, которые возникают в системе при возбуж*
дении ее специальными пробными воздействиями.
По способу преобразования и передачи сигналов беспоисковые само-
настраивающиеся системы делятся на непрерывные и дискретные.
По способу формирования сигнала, который анализируется на
первом этапе процесса самонастройки, выделяют системы с моделью
и без модели. В системах без модели выходные координаты объекта
непосредственно или же через устройство формирования показателя
426
качества подаются в анализатор. В системах с моделью выходные
координаты объекта О предварительно сравниваются с выходными сиг-
налам^модели М (рис. 12.10). При этом целью самонастройки является
поддержание динамических процес-
сов в основном контуре системы до-
статочно близкими к процессам, про-
текающим в модели.
Для получения информации о ха-
рактеристиках объекта в беспоиско-
вых самонастраивающихся системах
могут анализироваться как времен-
ные, так и частотные характеристи-
ки.
Рис. 12.10. Формирование сигна-
ла рассогласования в системе с
моделью
§ 12.4. ИДЕНТИФИКАЦИЯ В БЕСПОИСКОВЫХ
САМОНАСТРАИВАЮЩИХСЯ СИСТЕМАХ
Одной из основных проблем, возникающих при построении бес-
поисковых самонастраивающихся систем, является выбор и реализа-
ция метода определения динамических характеристик объекта или
системы, т. е. проблема идентификации.
В процессе идентификации динамические характеристики объекта
находятся при помощи той или иной модели (математической или фи-
зической).
В общем случае процесс идентификации осуществляется по сле-
дующей схеме. Входной сигнал объекта подается на вход модели.
Выходные сигналы объекта и модели сравниваются. По результатам
сравнения формируется сигнал, в соответствии с которым структура
или параметры модели изменяются с целью приближения выходного
сигнала модели к выходному сигналу объекта.
Реальные объекты управления обычно описываются сложными
уравнениями. Модели, используемые при идентификации, характери-
зуются более простыми уравнениями. Модель отождествляется объек-
ту при достаточно близких (в смысле заданного критерия) выходных
сигналах. Таким образом, идентификация есть определение объекта
в заданном классе объектов по результатам анализа входного и выход-
ного сигналов. Класс объектов задается выбором модели.
Классификация методов идентификации производится в соответ-
ствии с приведенным выше определением. В основу классификации
кладутся три основных элемента определения: тип входного сигнала,
вид критерия близости выходных сигналов модели и объекта и клас-
сы моделей.
Идентификация может производиться в условиях нормального
функционирования, т. е. при естественных входных воздействиях (пас-
сивная идентификация), и при подаче на вход системы или объекта
специальных пробных сигналов (активная идентификация). Первый
случай предпочтительнее с точки зрения эксплуатации объекта, так
как не нарушается нормальный режим работы объекта и отсутствуют
потери энергии, обусловленные переходными процессами за счет проб-
427
ных воздействий. Во втором случае уменьшается время и увеличивает-
ся точность идентификации. В качестве пробных обычно применяются
воздействия типа импульсных и ступенчатых функций, гармонических
сигналов, специальных случайных сигналов и т. д. Удачный выбор
типа пробного сигнала существенно улучшает процесс идентификации.
Для идентификации могут применяться различные критерии. В
зависимости от вида входных сигналов и наличия случайных помех
они могут быть детерминированными (неслучайными) и случайными.
Среди детерминированных критериев следует отметить минимак-
сные и интегральные критерии. Пусть y(t) — выходной сигнал объ-
екта, г/м(/) — выходной сигнал модели. Разность этих сигналов
® (0 = г/(0—г/м(0-
Допустим, что идентифицируется параметр К (например, коэффи-
циент усиления). Интервал наблюдения процесса обозначим через (/,
t + Т). Тогда минимаксный критерий имеет вид
/=min max | е (т) |.
К те [/, /-НГ]
Наиболее широко применяются интегральные критерии вида
т
/= min С F [е (/)] dt
к о
(F—квадратичная или выпуклая функция), в частности
т
1= min С e2(/)d/.
* oJ
При случайных входных воздействиях, а также при наличии шумов
и помех в качестве критерия чаще всего используется минимум сред-
него квадрата ошибки
min М [е2 (/)].
к
Классификация по типу моделей является более многочисленной,
чем классификация по входным воздействиям и критериям. Это объяс-
няется многообразием математического описания объектов управ-
ления. Модели могут описываться линейными и нелинейными диффе-
ренциальными уравнениями, которые в свою очередь могут быть
стационарными или нестационарными, непрерывными или дискрет-
ными и т. д. Кроме дифференциальных уравнений, модели задаются
в виде передаточных функций, частотных характеристик, весовых функ-
ций и т. д. Иногда для идентификации достаточно простейших моделей,
задаваемых, например, коэффициентом усиления, относительным
коэффициентом затухания, показателем колебательности, собственной
частотой колебаний, ошибкой в установившемся режиме, частотными
характеристиками или весовыми функциями в одной или нескольких
точках и т. д.
428
Вопросы, связанные с обоснованием выбора типа модели, состав-
ляют самостоятельное, чрезвычайно важное направление кибернети-
ки и теории систем. Модель является объектом изучения теории мо-
делирования, устанавливающей законы подобия (соответствия) модели
и оригинала, правила операций над моделями и пути реализации мо-
делей в технических системах.
Методы идентификации объекта существенно зависят от априор-
ной информации об объекте, а также от уровня помех, искажающих
результаты измерения.
При решении проблемы идентификации целесообразно рассмотреть
возможность применения методов и средств, используемых для иссле-
дования характеристик обычных автоматических систем. В настоящее
время техника лабораторного определения динамических характерис-
тик объектов и систем автоматического управления развивается весьма
успешно. Существующие методы экспериментального определения
динамических характеристик можно разбить на три группы: а) ме-
тоды, использующие переходные процессы (временные методы); б) час-
тотные методы; в) статистические методы.
Однако условия определения динамических характеристик основ-
ного контура или объекта в самонастраивающейся системе обычно су-
щественно отличаются от условий экспериментирования над автомати-
ческой системой в лабораторных условиях. В последнем случае время
исследования строго не лимитировано, допустимо применение довольно
сложной аппаратуры для генерирования пробных сигналов и изме-
рения реакции автоматической системы на эти сигналы.
Кроме того, при лабораторных исследованиях автоматических
систем отсутствуют помехи, мешающие измерению реакции системы
на пробные сигналы. В самонастраивающейся системе параметры основ-
ного контура, как правило, непрерывно изменяются во времени, по-
этому промежуток времени измерения должен быть достаточно мал, ина-
че применение самонастройки потеряет смысл. При этом приходится
учитывать и противоречие между точностью определения динамиче-
ских характеристик и временем измерений: чем точнее требуется опре-
делить характеристики процесса, тем длительнее надо его наблюдать.
Если в системе управления не используется быстродействующая ЦВМ,
на которую можно возложить вычисления, необходимые для осуще-
ствления заданного алгоритма самонастройки, то, как правило, це-
лесообразно применять наиболее простые алгоритмы самонастройки,
не требующие сложной аппаратурной реализации.
При работе самонастраивающейся системы может быть получен
и использован различный объем информации об управляемом про-
цессе — полный или частичный. Полный объем информации дают ха-
рактеристики, позволяющие определить переходные и установившиеся
процессы в системе при любых начальных условиях и внешних воз-
действиях (переходная функция, импульсная переходная функция,
передаточная функция, дифференциальные уравнения и др.).
Полную информацию об управляемом процессе можно получить
не всегда. В одних случаях это связано с принципиальными затруд-
нениями, в других — с невозможностью чрезмерного усложнения аппа-
4?9
ратуры для определения динамических характеристик. Часто в этом
нет необходимости, так как наличие информации об одном или не-
скольких показателях процесса (частичная информация) дает возмож-
ность построить достаточно совершенную самонастраивающуюся сис-
тему управления. В этих случаях используются упрощенные модели.
Наличие существенных нестационарностей или нелинейностей зна-
чительно усложняет рассматриваемую задачу. В настоящее время от-
сутствуют достаточно хорошо разработанные инженерные методы оп-
ределения динамических характеристик этих систем в целях самона-
стройки.
Практически все исследования, посвященные нестационарным сис-
темам, предполагают медленность изменения параметров во времени.
Последнее допущение сводится к требованию неизменности характе-
ристик (параметров) системы на интервалах наблюдения.
Выше уже отмечалось, что между точностью и быстродействием ана-
лизатора динамических характеристик существует определенное про-
тиворечие. В случае нестационарных систем приходится при этом
учитывать еще третий фактор — переменность во времени параметров.
Очевидно, что с увеличением интервала наблюдения будет нарушаться
условие квазистационарности параметров на рассматриваемом интер-
вале, т. е. будет ухудшаться достоверность получаемых результатов.
Достоверность результатов повышается, если на интервалах наблю-
дения процесса параметры системы достаточно точно описываются
определенными функциями времени (линейными, квадратическими,
гармоническими и т. д.). В общем случае допустима аппроксимация
этих параметров конечными суммами ортогональных функций.
Если для описания динамических свойств линейных систем можно
использовать целый ряд характеристик, то нелинейные системы можно
описать пока лишь одними дифференциальными уравнениями.
Довольно просто определяются характеристики многих нелиней-
ных систем, работающих в режиме автоколебаний. Благодаря нали-
чию фильтрующих элементов автоколебательные режимы, как прави-
ло, характеризуются ярко выраженной первой гармоникой asinQ/.
В качестве динамических характеристик системы при этом могут рас-
сматриваться амплитуда а и частота Q первой гармоники автоколеба-
ний. В случае автоколебательных режимов амплитуда а, как правило,
значительно меньше, а частота Q значительно больше, чем значения
аналогичных параметров колебательных процессов в линейных сис-
темах. Если основной контур самонастраивающейся системы допус-
кает ту или иную линеаризацию нелинейных элементов, то для опре-
деления его динамических характеристик также могут быть исполь-
зованы методы, применяемые к линейным системам.
На практике анализируемые сигналы, как правило, искажаются
помехами. В зависимости от уровня и частотного спектра помех и
полезного сигнала, а также от качества работы фильтров возможны
два подхода к анализу сигналов, характеризующих реальные процес-
сы управления. В случае, когда частотные спектры полезного сигнала
и помех существенно разнесены, имеется возможность качественно
отфильтровать анализируемый сигнал. При этом для определения
430
динамических характеристик системы или объекта можно использо-
вать методы, не учитывающие помехи в анализируемом сигнале. Ана-
логично можно подходить к анализу сигналов в самонастраивающихся
системах, если уровень помех в последних значительно ниже уровня
полезного сигнала, при условии, что анализируемый сигнал не под-
вергается операциям, усиливающим помехи .(дифференцирование
и др.).
В большинстве других случаев необходимо применять методы,
учитывающие наличие помех в анализируемых сигналах. Наиболее
распространен из них метод наименьших квадратов. Перед другими
методами сглаживания метод наименьших квадратов имеет существен-
ные преимущества: во-первых, он приводит к сравнительно простому
математическому аппарату определения параметров анализируемой
функции; во-вторых, имеет довольно веское теоретическое обоснова-
ние с вероятностной точки зрения. Из других методов, которые находят
или могут найти применение в самонастраивающихся системах, сле-
дует отметить методы оптимальной фильтрации Винера—Колмогорова,
статистических решений [61], стохастической аппроксимации [66],
оптимальных фильтров Калмана [72] и т. д.
Наличие помех и конечность времени наблюдения часто являются
определяющими при выборе типа самонастраивающейся системы и
оценке ее качественных показателей. Обычно методы измерения свя-
заны с наблюдением (точнее накоплением) сигналов в течение опре-
деленного времени. Накопление состоит в усреднении сигналов, полу-
ченных при наличии помех. При увеличении времени накопления точ-
ность измерения параметров возрастает, но одновременно происходит
старение данных, вызванное изменением значений измеряемых пара-
метров.
§ 12.5.	ОСОБЕННОСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ
САМОНАСТРАИВАЮЩИХСЯ СИСТЕМ
Простейшим классом самонастраивающихся систем являются эк-
стремальные системы. Методы исследования этих систем можно раз-
делить на две группы: для исследования движения к окрестности эк-
стремума и для исследования периодических режимов вблизи экст-
ремума.
Первая группа методов позволяет синтезировать управляющие
воздействия для устойчивого и высококачественного движения к
точке экстремума показателя качества. Методы базируются на идеях
различных видов поиска экстремума (градиентных, наискорейшего
спуска и т. д.).
Вторая группа методов позволяет изучить установившееся перио-
дическое движение около точки экстремума (так называемое «рыска-
ние»). Для исследования этого движения может применяться метод
гармонического баланса.
Беспоисковые самонастраивающиеся системы отличаются от экст-
ремальных и обычных систем наличием дополнительного контура
самонастройки. В зависимости от количества перестраиваемых пара-
431
метров таких контуров может быть несколько. Перестройка парамет-
ров обычно производится в зависимости от переменных основного
контура системы. В результате самонастраивающаяся система являет-
ся принципиально нелинейной.
Необходимость самонастройки чаще всего вызывается нестацио-
нарностью характеристик объекта регулирования. Во многих случаях
реализация алгоритмов самонастройки осуществляется с помощью
ЦВМ.
Таким образом, беспоисковые самонастраивающиеся системы в
общем случае являются многоконтурными нестационарными нелиней-
ными дискретными системами. Так как перестраиваемые в процессе
самонастройки параметры становятся дополнительными переменными,
то порядок самонастраивающейся системы превосходит порядок ос-
новного контура.
Указанные особенности должны учитываться при анализе и син-
тезе самонастраивающихся систем. С позиций теории автоматического
управления основными показателями работоспособности самонастраи-
вающихся систем являются устойчивость и качество процесса управ-
ления, которые обеспечиваются свойствами двух контуров — основ-
ного и самонастройки.
Известно, что показатели устойчивости и качества (запас по фазе,
запас по амплитуде, степень устойчивости и т. д.) зависят от харак-
теристик объекта и внешних воздействий. В связи с этим можно гово-
рить о частных показателях устойчивости и качества, определяемых
при фиксированных характеристиках объекта, регулятора и внешних
воздействий, и обобщенных показателях устойчивости и качества^
определяемых границами изменения частных показателей при изме-
нении в определенных диапазонах характеристик объекта, регулятора
и внешних воздействий.
Контур самонастройки обеспечивает поддержание заданных зна-
чений обобщенных показателей устойчивости и качества работы ос-
новного контура.
В настоящее время проектирование самонастраивающихся систем
осуществляется, как правило, по следующей схеме. Вначале произ-
водится синтез регулятора основного контура по частным показате-
лям устойчивости и качества работы в соответствии с методами, изло-
женными в предыдущих главах книги. Затем синтезируются алгорит-
мы работы контура самонастройки.
Последовательность и метод синтеза контура самонастройки оп-
ределяются типом самонастраивающейся системы.
В системах с самонастройкой по динамическим характеристикам
объекта процесс синтеза включает: а) выбор метода и разработку ал-
горитмов идентификации объекта; б) разработку алгоритмов получения
управляющих сигналов контура самонастройки; в) выбор перестраи-
ваемых параметров и разработку корректирующего фильтра для изме-
нения характеристик основного контура по управляющим сигналам
контур а самонастройки.
В системах с эталонной моделью перестройка параметров обычно
осуществляется при сближении (в определенном смысле) выходных
432
переменных основного контура и модели. Поэтому в работе этих сис-
тем этап идентификации отсутствует. Настройка параметров осуществ-
ляется в процессе минимизации той или иной функции от разности
выходного сигнала объекта и эталонной модели. Для минимизации
применяются методы, аналогичные описанным в § 12.2.
В системах с настройкой по входному сигналу процесс синтеза сос-
тоит из тех же трех этапов, только в отличие от систем с настройкой
по характеристикам объекта, на первом этапе производится выбор и
разработка алгоритмов оценки входного сигнала.
При синтезе всех типов самонастраивающихся систем необходимо
выбирать перестраиваемые параметры основного контура. Эффек-
тивность того или иного параметра для целей перестройки можно
оценить с помощью функций или коэффициентов чувствительности
показателя качества системы (см. гл. 10). Так как значения настраи-
ваемых параметров являются выходными переменными контура самона-
стройки, то к процессу их регулирования предъявляются, как обычно,
требования устойчивости и качества. Эти требования реализуются с
помощью корректирующих устройств, включаемых в контур самона-
стройки.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Андреев Н. И. Корреляционная теория статистически оптималь-
ных систем. «Наука», 1966.
2.	АндроновА. А., ВиттА. А. [и др.]. Теория колебаний. Физ-
матгиз, 1959.
3.	Анисимов В. И., Вавилов А. А. [и др.]. Сборник примеров и
задач по линейной теории автоматического регулирования. Под ред. Фате-
ев а А. В. Госэнергоиздат, 1959.
4.	Аренс В. Д.,. Ф е д о р о в С. М. [и др.]. Динамика систем управ-
ления ракет с бортовыми цифровыми вычислительными машинами. Под ред.
ХитрикаМ. С. и Федорова С. М. «Машиностроение», 1972.
5.	А т а н с М., Ф а л б П. Оптимальное управление. Пер. с англ. под.
ред. Топчеева Ю. И. «Машиностроение», 1968.
6.	Ахметжанов А. А. Системы передачи угла повышенной точности.
«Энергия», 1966.
7.	Веллман Р. Динамическое программирование. Пер. с англ, под
ред. Воробьева Н. Н. ИЛ, 1960.
8.	БесекерскийВ. А., ПоповЕ. П. Теория систем автоматичес-
кого регулирования. «Наука», 1972.
9.	Богорад Г. 3., Киблицкий В. А. Цифровые регуляторы
и измерители скорости. «Энергия», 1966.
10.	Вавилов А. А., Солодовников А. И. Экспериментальное
определение частотных характеристик автоматических систем. Госэнергоиз-
дат, 1963.
11.	В а с и л ь е в Д. В., Митрофанов Б. А. [и др.]. Проектиро-
вание и расчет следящих систем. «Судостроение», 1964.
12.	В е н т ц е л ь Е. С. Теория вероятностей. Гостехиздат, 1958.
13.	Власов-Власюк О. Б. Экспериментальные методы в автома-
тике. «Машиностроение», 1969.
14.	В о р о н о в А. А. Основы теории автоматического управления.
Ч. 1. Линейные системы регулирования одной величины. «Энергия», 1965.
15.	В о р о н о в А. А. Основы теории автоматического управления.
Ч. 2. Специальные линейные и нелинейные системы автоматического регулиро-
вания одной величины. «Энергия», 1966.
433
16.	Вычислительная техника (справочник под ред. Хаски Г. Д. и
К о р н а Г. А.). Пер. с англ, под ред. Ш и л е й к о А. В. Т. 1. Аналоговые
вычислительные устройства. Т. 2. Цифровые вычислительные машины. «Энер-
гия», 1964.
17.	Г и т и с Э. И. Преобразователи информации для электронных циф-
ровых вычислительных устройств. Госэнергоиздат, 1970.
18.	Д и т к и н В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразо-
вания и операционное исчисление. Справочная математическая библиотека.
Под общей ред. Люстерника Л. А. и Ямпольского А Р. Физ-
матгиз, 1961.
19.	Емельянове. В. Системы автоматического управления с пере-
менной структурой. «Наука», 1967.
20.	Зубов В. И Теория оптимального управления. «Судостроение»,
1966.
21.	И в а х н е н к о А. Г. Электроавтоматика. Гостехиздат УССР, 1957.
22.	Казаков И. Е., Доступов В. Г. Статистическая динамика
нелинейных систем. Физматгиз, 1962.
23.	К а р г у Л. И. Системы угловой стабилизации космических аппаратов.
«Машиностроение», 1973.
24.	К о з л о в Ю. М., Юсупов Р. М. Беспоисковые самонастраиваю-
щиеся системы. «Наука», 1969.
25.	Колесников К. С. Жидкостная ракета как объект регулирова-
ния. «Машиностроение», 1969.
26.	Кочетков В. Т., Пономарев В. М. [и др.]. Теория систем
телеуправления и самонаведения ракет. «Наука», 1964.
27.	Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и
технической кибернетики. Госэнергоиздат, 1962.
28.	Красовский Н. Н. Теория управления движением. «Наука»,
1968.
29.	Крассов И. М. Гидравлические элементы в системах управления.
«Машиностроение», 1967.
30.	К р у г Е. К., А л е к с а н д р и д и Т. М. [и др:]. Цифровые регу-
ляторы. «Энергия», 1964.
31.	Куропаткин П В. Теория автоматического управления. Под
ред. Васильева Д. В. «Высшая школа», 1973.
32.	Л е т о в А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. Физ-
матгиз. 1962.
33.	Литвинова. П., М о р ж а к о в С. П. [и др.]. Основы автома-
тики. Под ред. БесекерскогоВ. А. «Машиностроение», 1967.
34.	М а л и н о в с к и й Б. Н. Цифровые управляющие машины и ав-
томатизация производства. Машгиз, 1963.
35.	М е л к о з е р о в П. С. Приводы в системах автоматического управ-
ления. «Энергия», 1966.
36.	М и л о в з о р о в В. П. Электромагнитная техника. «Энергия», 1966.
37.	Н е л е п и н Р. А. Точные аналитические методы в теории нелиней-
ных автоматических систем. «Судостроение», 1967.
38.	О л е й н и к о в В. А., Зотов Н. С. [и др.]. Сборник задач и
примеров по теории автоматического управления. Под ред. Фатеева А. В.
«Высшая школа», 1969.
39.	Основы автоматического управления. Под ред. Пугачева В. С.
Физматгиз, 1963.
40.	П о н о м а р е в В. М. Теория управления движением космических
аппаратов. «Наука», 1965.
41.	П о н т р я г и н Л. С., Болтянский В. Г. [и др.]. Математи-
ческая теория оптимальных процессов. Физматгиз, 1961.
42.	П о п о в Е. П. Динамика систем автоматического регулирования.
Гостехиздат, 1954.
43.	П о п о в Е. П., П а л ь т о в И. П. Приближенные методы иссле-
дования нелинейных автоматических систем, Физматгиз, 1960.
44.	П о п о в Е. П. Автоматическое регулирование и управление. Физ-
матгиз, 1962.
434
45.	Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к
задачам автоматического управления. Физматгиз, 1960.
46.	Расчет автоматических систем Под ред. Фатеева А. В «Высшая
школа», 1973.
47.	Розенвассер Е. Н., Юсупов Р. М. Чувствительность си-
стем автоматического управления. «Энергия», 1969.
48.	СаперштейнН. Д. Сапожников Р А |и др.] Процессы
автоматического управления и обобщенное дифференцирование «Высшая школа»,
49.	Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления.
Под ред. Бесекерского В. А. «Наука», 1972.
50.	С о л о д о в А. В. Теория информации и ее применение к задачам
автоматического управления и контроля. «Наука», 1967.
51.	Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных си-
стем автоматического управления. Физматгиз, 1960.
52.	Современные методы проектирования систем автоматического управле-
ния. Под ред. Петрова Б. Н., Солодовникова В. В. и Тол-
чеева Ю. И. «Машиностроение», 1967.
53.	С о т с к о в Б. С. Основы расчета и проектирования электромехани-
ческих элементов автоматических и телемеханических устройств. «Энергия»,
1965.
54.	Справочник по космонавтике. Под ред. Кондратьева Н. Я. и
Одинцова В. А. Воениздат, 1966.
55.	Теория автоматического регулирования. Кн. 1. Математическое описа-
ние, анализ устойчивости и качества систем автоматического регулирования.
Серия «Техническая кибернетика» под общей ред. Солодовникова В. В.
«Машиностроение», 1967.
56.	Теория автоматического регулирования. Кн. 2. Анализ и синтез линей-
ных непрерывных и дискретных систем автоматического регулирования. Серия
«Техническая кибернетика» под общей ред. Солодовникова В. В.
«Машиностроение», 1967.
57.	Теория автоматического управления. Под общей ред. Н е т у ш и -
ла А. В. Ч. 1. и 2. «Высшая школа», 1968, 1972.
58.	Ту Ю. Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управле-
ния. Пер. с англ, под ред. Солодовникова В. В. «Машиностроение»,
1964.
59.	Ф а т е е в А. В. Основы линейной теории автоматического регулиро-
вания. Госэнергоиздат, 1954.
60.	Ф е д о р о в С. М., Литвинов А. П Автоматические системы
с цифровыми управляющими машинами (теория и проектирование). «Энергия»,
1965.
61.	Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических
систем. Физматгиз, 1963.
62.	Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. Пер. с
англ, под ред. Акилова Г. П. «Мир», 1967.
63.	X л ы п а л о Е. И. Нелинейные системы автоматического регулиро-
вания. «Энергия»г 1967.
64.	X о д о р о в Т. Я. Цифровые управляющие машины. «Машинострое-
ние», 1964.
65.	Ц ы п к и н Я. 3. Теория линейных импульсных систем. Физматгиз,
1963.
66.	Ц ы п к и н Я. 3. Адаптация и обучение в автоматических системах.
«Наука», 1968.
67.	Ч е р н е ц к и й В. И. Анализ точности нелинейных систем управле-
ния. «Машиностроение», 1968.
68.	Шаталов А. С. Преобразования сигналов автоматического управ-
ления. «Энергия», 1965.
69.	Ш е в я к о в А. А. Автоматика авиационных и ракетных силовых
установок. «Машиностроение», 1965.
435
70.	Ю с у п о в Р. М. Получение информации об управляемом процессе
в самонастраивающихся системах. «Энергия», 1966.
71.	Юревич Е. И. Электромагнитные устройства автоматики. «Энер-
гия», 1964.
72.	Ю р е в и ч Е. И. Теория автоматического управления. «Энергия»,
1969.
73.	Я г о д к и н В. В., Хлебников Г. А. Гироприборы баллисти-
ческих ракет. Воениздат, 1967.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ,........................................................  3
Глава 1. Общие сведения о системах автоматического регулирования
и управления ........................................................ 6
§ 1.1.	Автоматизация и механизация ............................. 6
§ 1.2.	Краткий исторический очерк развития автоматики . .	8
§ 1.3.	Классификация автоматических систем по назначению	10
§ 1.4.	Понятие об автоматическом регулировании ....	11
§ 1.5.	Принцип регулирования по возмущению..................... 14
§ 1.6.	Принцип регулирования по отклонению (по ошибке)	18
§ 1.7.	Системы прямого и непрямого регулирования ...	29
§ 1.8.	Системы стабилизации, системы программного регулиро-
вания и следящие системы ..................................... 32
§	1.9.	Статические и астатические системы.................... 42
§	1.10.	Одноконтурные	и многоконтурные системы ....	44
§	1.11.	Одномерные и	многомерные системы..................... 47
§	1.12.	Непрерывные и	дискретные системы...................... 58
§ 1.13.	Классификация автоматических регуляторов. Понятие о
законах регулирования ........................................ 74
§ 1.14	Основные задачи теории автоматического регулирования
и управления ................................... ...	80
Глава 2. Динамические характеристики линейных элементов и систем 89
§ 2.1.	Элементы и звенья систем автоматического управления .	89
§ 2.2.	Линеаризация нелинейных уравнений динамических звеньев	93
§ 2.3.	Передаточные функции линейных звеньев................. ЮЗ
§ 2.4.	Передаточные функции основных соединений линейных
звеньев ..................................................... 110
§ 2.5.	Временные характеристики линейных звеньев . . .	114
§ 2.6.	Частотные характеристики линейных звеньев ....	118
§ 2.7.	Частотные характеристики основных соединений звеньев	122
§ 2.8.	Логарифмические частотные характеристики линейных
звеньев ..................................................... 128
§ 2.9.	Типовые динамические звенья и их характеристики . .	131
Глава 3. Структурные схемы и уравнения линейных систем . . .	150
§ 3.1.	Составление дифференциальных уравнений линейных систем 150
§ 3.2.	Передаточные функции линейных систем................... 155
Глава 4. Методы определения кривой процесса регулирования в линей-
ных системах ...................................................... 164
§ 4.1.	Основные способы решения уравнений динамики линейных
систем ...................................................... 164
§ 4.2.	Применение операционных методов для определения кри-
вой процесса регулирования................................... 167
437
§ 4.3.	Определение процесса регулирования путем моделирования
систем автоматического управления .	....	176
Глава 5. Устойчивость и качество линейных систем................... 179
§ 5.1.	Понятие об устойчивости линейных систем , . , ,	179
§ 5.2.	Критерий устойчивости Рауса—Гурвица................... 182
§ 5.3.	Критерий устойчивости Михайлова ..................... •	185
§ 5.4.	Критерий устойчивости Найквиста....................... 190
§ 5.5.	Критерии качества .................................... 194
§ 5.6.	Точность при типовых воздействиях..................... 196
§ 5.7.	Оценка запаса устойчивости и быстродействия по кривой
процесса регулирования ....	....	201
§ 5.8.	Оценка запаса устойчивости и быстродействия по располо-
жению корней характеристического уравнения	202
§ 5.9.	Оценка запаса устойчивости и быстродействия по частотным
показателям качества ...	....	206
§ 5.10.	Интегральные оценки качества ........................ 214
Г л а в а 6. Способы улучшения процесса регулирования и методы син-
теза линейных систем	217
§ 6.1.	Повышение точности линейных систем.................... 217
§ 6.2.	Повышение запаса устойчивости и быстродействия линей-
ных систем ...	  ...	223
§ 6.3.	Постановка задачи синтеза линейных систем ....	229
§ 6.4.	Синтез параметров систем заданной структуры . . .	230
§ 6.5.	Синтез корректирующих устройств ...................... 232
§ 6.6.	Синтез последовательных корректирующих устройств ,	236
§ 6.7.	Синтез дополнительных обратных связей . . . . ,	239
Глава 7.	Дискретные системы	.........., ,	242
§ 7.1.	Структурные схемы дискретных систем ......	242
§ 7.2.	Передаточные функции дискретных систем . . , , .	252
§ 7.3.	Устойчивость дискретных систем	. . » »	,	259
§ 7.4.	Опенка качества работы дискретных систем ....	262
Глава 8. Нелинейные системы......................................	265
§ 8.1.	Задачи нелинейной теории. Типичные нелинейности , »	265
§ 8.2.	Устойчивость нелинейных систем...................  .	269
§ 8.3.	Релейные системы . .	.	.....................	280
§ 8.4.	Изображение процессов на фазовой плоскости . . » ,	287
§ 8.5.	Метод гармонической линеаризации . . , , . .	299
§ 8.6.	Метод сечений пространства параметров ......	312
§ 8.7.	Системы с переменной структурой ...................... 325
Глава 9. Исследование систем автоматического управления при слу-
чайных воздействиях ...	........ 331
§ 9.1.	Случайные возмущения	и их характеристики	....	331
§ 9.2.	Исследование точности	линейных систем .	♦ . . .	338
§ 9.3.	Исследование точности	нелинейных систем	....	348
Глава 10. Чувствительность систем автоматического управления 359
§ 10.1.	Основные понятия .................................... 353
§ 10.2.	Функции чувствительности временных характеристик и
способы их получения .	...	......... 363
438
§ 10.3.	Функции чувствительности частотных характеристик и
способы их получения ....................................... 367
§ 10.4.	Функции чувствительности нулей и полюсов передаточных
функций и способы их получения.............................. 372
§ 10.5.	Применение функций чувствительности к анализу и син-
тезу систем автоматического управления ....	374
Глава 11. Синтез оптимальных систем автоматического управления 381
§ 11.1.	Постановка задачи оптимизации ...................... 381
§ 11.2.	Синтез систем, оптимальных по критерию минимума сред-
неквадратичной ошибки ...................................... 384
§ 11.3.	Синтез оптимального закона управления с использованием
метода динамического программирования и принципа мак-
симума ..................................................... 389
§ 11.4.	Метод последовательной оптимизации ................. 397
§ 11.5.	Решение задачи квадратичного программирования . .	403
Глава 12. Самонастраивающиеся системы автоматического управления 417
§ 12.1.	Определение и классификация самонастраивающихся
систем	..................................... 417
§ 12.2.	Экстремальные системы .............................. 419
§ 12.3.	Беспоисковые самонастраивающиеся системы . . .	425
§ 12.4.	Идентификация в беспоисковых самонастраивающихся
системах ................................................... 427
§ 12.5.	Особенности исследования самонастраивающихся систем 431
Литература	........................ 433
ЛЕОНИД ИВАНОВИЧ КАРГУ,
АНАТОЛИЙ ПАВЛОВИЧ ЛИТВИНОВ,
ЛЕОНИД АЛЕКСАНДРОВИЧ МАЙБОРОДА,
ВЛАДИМИР ВЛАДИМИРОВИЧ МОРОЗОВ,
РОНАЛЬД АПОЛЛОНОВИЧ НЕЛЕПИН,
ЛЮДМИЛА ВЛАДИМИРОВНА ПОЛОНСКАЯ,
ВАЛЕНТИН МИХАЙЛОВИЧ ПОНОМАРЕВ,
СТЕПАН МИХАЙЛОВИЧ ФЕДОРОВ,
РАФАЭЛЬ МИДХАТОВИЧ ЮСУПОВ
ОСНОВЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ
Редактор С. М. О в од о в а (
Художник В. 3. Казакевич
Художественный редактор •
Н. К. Гуторов
Технический редактор
Г. Г, Киселева
Корректор Г, А. Ч ечетки на'
Т—00340. Сдано в набор 13/VI—73 г. Подл,
к печати 22/1—74 г. Формат 60X90’/ie. Бум.
тип. № 3. Объем 27,5 печ. л. Уч.-изд. л. 27,59.
Изд. №	СТД—138. Тираж 40 000 экз. Це-
на 1 р. 01 к. Зак. 493.
План выпуска литературы издательства
«Высшая школа» (вузы и техникумы) на ,
1974 г. Позиция № 123
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14.
Издательство «Высшая школа»
Ярославский полиграфкомбинат «Союзполи-
графпрома» при Государственном комитете '!
Совета Министров СССР по делам изда-
тельств, полиграфии и книжной торговли.
Ярославль, ул. Свободы, 97,