Автор: Мордкович А.  

Теги: алгебра  

ISBN: 978-5-94113-359-8

Год: 2011

Текст
                    А. Г. МОРДКОВИЧ	Алгебра • 1 кисәк • ДӘРЕСЛЕК


и b y = ⅛ ⅛ II и Абсциссалар күчәре (у ≈0) III IV X <0 х> О У<0 у<0
Ике кисәктә 1 кисәк Гомуми белем бирү учреждениеләре өчен ДӨРЕСЛЕК Россия Федерациясе Мәгариф һәм фән министрлыгы тарафыннан тәкъдим ителгән
УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я721 М79 Мордкович А. Г. М79 Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 15-е изд., стер.— М. : Мнемозина, 2011. — 160 с. : ил. ISBN978-5-346-01746-2 Мордкович А. Г. М79 Алгебра. 7 нче сыйныф. Ике кисәктән. 1 нче кисәк. Гомуми белем бирү учреждениеләре өчен д-лек / А. Г. Морд¬ кович.— Русчадан Р.С.Вафина тәрж,.— ҖЧҖ «Татарстан Республикасы «ХӘТЕР» нәшрияты», 2011.— 160 б. : ил. ISBN978-5-94113-359-8 Дәреслекнең төп үзенчәлеге — аның проблемалы һәм үстерешле укы¬ ту принципларына нигезләнгән булуында. Китап хикәяләү стилендә, бар¬ лык укычылар өчен җиңел һәм аңлаешлы телдә язылган. УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я721 Учебное издание Мордкович Александр Григорьевич АЛГЕБРА 7 класс В двух частях Часть 1 УЧЕБНИК для учащихся общеобразовательных учреждений (Перевод с русского на татарский язык) Редакторы Ф.Ш.Шакурова Корректоры Э.Ш.Рахматуллина Компьютерда битләргә салучысы В.М.Садыйкова Оригинал макеттан басарга кул куелды 05.10.2010. Форматы 60x90 1∕ιβ. Офсет кәгазе. «Школьная» гарнитурасы. Офсет басма. Басма табагы 10. Тиражы 2540 д. Заказ Р-1582. 420111. Казан, Тельман ур., 5. Хатлар өчен: 420014. Казан, Кремль, а/я 54. Тел. (843)264-67-96. «Татмедиа» ААҖ филиалы — «Идел-ПРЕСС» полиграфия-нәшрият комплексы. 420066. Казан, Декабристлар урамы, 2. © «Мнемозина», 2011 ISBN978-5-346-01746-2 (ч.1) © Оформление. «Мнемозина», 2011 ISBN978-5-346-01745-5 (общ.) Все права защищены ISBN978-5-94113-359-8 © Татарстан Республикасы «ХӘТЕР» нәшрияты, 2011
УКЫТУЧЫ ӨЧЕН КЕРЕШ СҮЗ «Мнемозина» нәшрияты тарафыннан гомуми белем бирү мәктәбенең 7 нче сыйныфында алгебра курсын укыту өчен чыгарыла торган укыту- методик комплект* составына түбәндәге китаплар керә: Программы. Математика. 5—6 классы. Алгебра. 7—9 классы. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы / авт.-сост. И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович; А.Г.Мордкович. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник; А.Г.Мордкович, Л.А.Александрова, Т.Н.Мишустина, Е.Е.Тульчинская. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник; А.Г.Мордкович. Алгебра. 7 класс. Методическое пособие для учителя; Л.А.Александрова. Алгебра. 7 класс. Контрольные работы / Под ред. А.Г.Мордковича; Л.А.Александрова. Алгебра. 7 класс. Самостоятельные работы / Под ред. А.Г.Мордковича; Е.Е.Тульчинская. Алгебра. 7 класс. Блицопрос; В.В.Шеломовский. Электронное сопровождение курса «Алгебра-7» / Под ред. А.Г.Мордковича. 7 нче сыйныфта алгебра курсын өйрәнү өчен укучыларда ике китап: дәреслек һәм мәсьәләләр җыентыгы булырга тиеш. В.В.Шеломовский төзегән заманча мультимедиа чарасы (компьютер дискы) укучылар өчен дә, укытучылыр өчен дә яхшы ярдәмче булачак. Сезнең кулыгызда әлеге комплектның беренче китабы** — дәреслек. Автор аны укытучылар да, укучылар да, ата-аналар да укырлар дип ышанып кала, чөнки ул һәркем аңларлык җиңел телдә, математиканың коры лексикасына хас булмаган үзгәрәк сөйләм элементларын да кулланып язылды. Шул ук вакытта фикер йөртүләрнең төп этаплары ае¬ рып алып, укучының игътибарын шунда юнәлтеп күрсәтелде. Мәсәлән, барлык текстлы мәсьәләләрнең дә диярлек чишелешләре өч этапка бүлеп бирелде: математик модель төзү; төзелгән модель буенча эш; мәсьәләнең соравына җавап. Математика дәресләрендә укытучы гадәти сөйләм теле (аралашу теле, әдәби хикәяләү теле) белән фәнни — математикада кабул ител¬ гән законнарга нигезләнгән коры, катгый, кыска һәм төгәл телне бергә кушып сөйли. Бу дәреслек тә нәкъ менә шулай, күбесенчә уку һәм аңлау өчен язылды. Дәреслеккә таянып, укытучы нәрсәне укучыларга дәрестә сөйләргә, нәрсәне истә калдыру өчен, ә нәрсәне өйдә генә укып чыгу (бәлки, алдагы * УМК турында тулырак мәгълүматны www.mnemozina.ru һәм www.ziimag. narod.ru сайтларыннан табарга мөмкин. ** Дәреслек һәм мәсьәләләр җыентыгы гына татар теленә тәрҗемә ител¬ де (ред.). 3
дәрестә әңгәмә формасында гына аңлашу) өчен тәкъдим итәргә кирәген бик яхшы төшенәчәк. Мөмкин булган һәр урында автор проблемалы укыту идеяләренә тугры калырга тырышты. Проблема (киңрәк мәгънәдә) — ул без бүген хәл итә алмаган һәм иртәгә дә хәл итә алмый торган әйбер; ул безне байтак вакытлар газаплый, акрынлап без аны чишүгә якынаябыз, хәтта моны сизәбез дә; һәм, ниһаять, аны тулысынча хәл итеп, без чын-чынлап рухи күтәренкелек тоябыз. Дәреслек өстендә эшләгәндә, автор проблемалы укытуга нәкъ менә шулай (локаль түгел, ә глобаль) аңлап якын килде. Мисалларны күпләп китереп була, әмма игътибарлы укучы (һәм, билгеле инде, математика укытучысы) моны үзе күрәчәк һәм аңлаячак. Бары тик иң гади төшенчәләр генә әзер килеш бирелә, калганнары исә акрынлап, төзәтмәләр һәм өстәмәләр белән кертелә, кайберләре, аларга төгәл билгеләмә бирү өчен иң уңайлы мизгел килеп җиткәнче, интуиция дәрәҗәсендә генә кабул ителә. Шундый төшенчәләрдән, мәсәлән, функцияне күрсәтергә мөмкин, авторның тирәнтен инануы буенча, аны башта ук кертергә кирәкми, ул «өлгереп җитәргә» тиеш. Һич югында, бу дәреслектә функциянең төгәл билгеләмәсе юк, ул алгебра¬ ның 9 нчы сыйныф курсында биреләчәк. Дәреслек өстендә эшләгәндә, автор үзенең төп бурычы — матема¬ тик фактларны санап чыгу түгел, ә укучыларны фән эчендә үстерү икән¬ леген яхшы аңлап эш итте. Башка сүзләр белән әйткәндә, курста өстенлек мәгълүмат күплегенә түгел, ә аның үстерү сәләтенә бирелде. Дәреслектә үстерешле укытуның Л.В.Занков тарафыннан билгеләнгән барлык принциплары да гамәлдә: югары авырлык дәрәҗәсендә укыту; программа темаларын шактый кызу үтү; теоретик белемнәрнең әйдәп баручы роле; укыту процессын бәяләү (укучы материалны өйрәнү ба¬ рышында үзенең акыллылана баруын күрергә тиеш); барлык укучыларны да үстерү (билгеле,аларның шәхси мөмкинлекләрен исәпкә алып). Һәр бүлек «Төп нәтиҗәләр» дигән бүлекчә белән тәмамлана. Бу — үзенә күрә казанышлар күргәзмәсе, йомгак ясау, укучының үз-үзенә бәясе. Укыту процессын уңышлы итү өчен бу бик мөһим дип саныйбыз. Автор
Китап белән эшләргә өйрәнегез Дәреслекнең һәр битендә диярлек тамга-символлар бар. Бу символларны кертүнең максаты — укучыларга уку ма¬ териалын үзләштерергә һәм ныгытырга ярдәм итүдән; укытучы¬ ларга — укучыларында өйрәнелә торган материал буйлап тиз ориентлашу күнекмәләре тәрбияләүдә, ата-аналарга балаларның белемнәрен дөрес контрольдә тотуда булышудан гыйбарәт. Редакциядән (В — мисал чишелешенең тәмамлануы («җавап» сүзе булмаган очрак) 5
1 БҮЛЕК МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ § 1. Санлы һәм алгебраик аңлатмалар § 2. Нәрсә ул математика теле §3. Нәрсә ул математик модель §4. Бер үзгәрешле сызыкча тигезләмә § 5. Координатлар турысы § 1 . САНЛЫ ҺӘМ АЛГЕБРАИК АҢЛАТМАЛАР Кечерәк сыйныфларда сез бөтен һәм вакланмалы сан¬ нар белән эш итәргә өйрәндегез, тигезләмәләр чиштегез, гео¬ метрик фигуралар, координаталар турысы, координаталар яссы¬ лыгы белән таныштыгыз. Болар барысы да «Математика» дигән дәресләрдә өйрәнелде. Чынбарлыкта исә фәннең математика дигән гаять әһәмиятле өлкәсе үзе дә бик күп мөстәкыйль өлеш¬ ләргә: алгебра, геометрия, ихтималлылык теориясе, математик анализ, математик логика, математик статистика, уеннар теориясе һәм башка фәннәргә бүленә. Ьәр бүлекнең үз өйрәнү объектлары, чынбарлыкны танып белүдә үз алымнары бар. Хәзер без алгебра фәнен өйрәнергә керешәбез. Ул кешегә төрле исәпләүләр ясау мөмкинлеге белән бергә бу исәпләүләрне тизрәк, уңайлырак юллар белән эшләргә өйрәтә. Алгебра алым¬ нарын куллана белүче кешенең моны белмәүчегә караганда өстенлеге бар: ул тизрәк исәпли, тормыш хәлләрендә үзен җиңелрәк хис итә, карарларны төгәлрәк кабул итә, яхшырак фикерли. Безнең бурыч — сезгә алгебраик алымнарны үзләш¬ терүдә ярдәм итү, сезнең бурыч — өйрәнүгә каршы тормау, кыенлыкларны җиңә-җиңә безнең белән бергә атлау. Чынлыкта исә сез кечерәк сыйныфларда тылсымлы алгебра дөньясының тәрәзәсен инде ачкан идегез, чөнки алгебра беренче чиратта санлы һәм алгебраик аңлатмаларны өйрәнә. 6
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ санлы аңлатма алгебраик аңлатма Исегезгә төшерәбез, саннардан һәм арифметик гамәлләр тамгаларыннан төзелгән теләсә нинди язылыш санлы аңлатма дип атала (билгеле инде, ниндидер мәгънә салынганы, мәсәлән, 3 + 5-7 — санлы аңлатма, ә 3 + : — санлы аңлатма түгел, ә символларның мәгънәсез җыелмасы була). Кайбер сәбәпләр буенча (алары турында без алдарак сөй¬ ләшербез) еш кына конкрет саннар урынына хәрефләр (күбесенчә латин алфавитыннан) кул¬ ланыла, бу очракта алгебраик аңлатма килеп чыга. Бу аңлатмалар бик зур да булырга мөмкиннәр. Алгебра исә, төрле кагыйдәләр, законнар, үзлекләр, формулалар кулланып, аларны гадиләштерергә өйрәтә. 1 нче мисал. Санлы аңлатманың кыйммәтен табыгыз: (2,73+4,81 + 3,27-2,81) 25-37 0,4 2 14i 5 15 J Чишү. Хәзер без кайбер нәрсәләрне искә төшерербез, һәм сез үзегезнең шактый ук алгебраик фактлар белүегезне күрерсез. Барыннан да элек исәпләүләрне ничек итеп эшләү планы булдырырга кирәк. Уңайлык өчен яңа билгеләүләр кертәбез. Бирелгән вакланмалы аңлатманың санаучысын — А, ә ваклау¬ чысын В хәрефе белән билгеләрбез: A = (2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81) : 14 \ 15/ В = 25 • 37 • 0,4. 2 5 А аңлатмасында бүленүчене — С, ә бүлүчене D хәрефе белән билгелибез. Ул вакытта безнең эш планы мондыйрак булыр: 1) С аңлатмасының с кыйммәтен табабыз; 2) D аңлатмасының d кыйммәтен табабыз; 3) с ны d га бүлеп, А аңлатмасының a кыйммәтен табабыз; 4) В аңлатмасының Ъ кыйммәтен табабыз; 5) a ны Ъ га бүлеп, бирелгән санлы аңлатманың кыйммәтен табабыз. Шулай итеп, исәпләү планы инде бар (ә бит план — эшнең яртысы!), хәзер аны гамәлгә ашырасы калды.
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ 1) С = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Билгеле инде, «турыдан гына ярырга» да мөмкин: 2,73 + 4,81, аннан чыккан санга 3,27 не кушабыз, аннары 2,81 не алабыз. Әмма культуралы кеше болай исәпләми. Ул кушуның урын алыштыру һәм оештыру законнарын исенә төшерә (хәер, аңа аларны искә тө¬ шерәсе дә юк, алар аның башында) һәм болай итеп исәпли: (2,73 + 3,27) + (4,81 - 2,81) = 6 + 2 = 8. Шулай итеп, с = 8. 2 14 2) D = - - —. Биредә безгә гади вакланмалар белән ничек 5 15 эшлисен искә төшеререгә кирәк. Башта вакланмаларны уртак ваклаучыга китерәләр. 5 һәм 15 саннарының иң кечкенә уртак 2 кабатлысы 15 саны һәм ул уртак ваклаучы була да. — вак- 22-36. , , ланмасы өчен: - = = —. Аннан соң табабыз: 5 5-3 15 2 14 _ 6 14 _ 6 - 14 _ 8 5 15 15 15 15 15' g Димәк, d = . 15 3) с ны d га бүләбез: 8 : 1 = 8∙f--] = -θl≤ = -15. V 15 J V 8 ) 8 Димәк, a = -15. 4) В = 25-37-0,4. Тагын «турыдан ярырга» мөмкин: ягъни 25-37 не исәпләргә, килеп чыккан санны 0,4 кә тапкырларга. Әмма уйлый белгән кеше (ә культуралы кеше һәрчак уйлый), тапкырлауның урын алыштыру һәм оештыру законнарын файдаланып, болай исәпли: 25-37-0,4 = (25 • 0,4)-37 = 10 • 37 = 370. Димәк, b = 370. 5) а санаучысын b ваклаучысына бүләсе калды. Табабыз: 15 3 ~370 = ~74 (санаучыны да’ ваклаучыны да 5 кә бүлдек, ягъни вакланманы кыскарттык). 3 Җавап: . ’ r7 Л 8
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ Ә хәзер бергәләп анализ ясыйк, мисалны чишү барышында безгә математикадан нинди белешмәләрне искә төшерергә (һәм кулланырга да!) туры килгән икән. 1. Арифметик гамәлләр тәртибе. 2. Кушуның урын алыштыру законы: a + Ъ = Ъ + а. 3. Тапкырлауның урын алыштыру законы: ab = Ьа. 4. Кушуның оештыру законы: a + b + с = (а + Ъ) + с = a + (Ъ + с). 5. Тапкырлауның оештыру законы: abc = (ab)c = a(bc). 6. Гади вакланма, унарлы вакланма, тискәре сан төшенчәләре. 7. Унарлы вакланмалар белән арифметик гамәлләр. 8. Гади вакланмалар белән арифметик гамәлләр. 9. Гади вакланманың төп үзлеге: = (вакланманың Ь Ьс санаучысын да, ваклаучысын да нульгә тигез булмаган бер үк санга тапкырлаудан яки бер үк санга бүлүдән вакланманың . „ , 2 6 кыйммәте үзгәрми). Бу үзлек безгә - вакланмасын — рәвешкә 2 5 2 * * * * * * * * * * * * 15 китерергә мөмкинлек бирде (- вакланмасының санаучысын һәм Ә ваклаучысын бер үк 3 санына тапкырладык). Шул ук үзлекне кулланып, вакланмасын кыскарттык (вакланмасының санаучысын да, ваклаучысын да бер үк 5 санына бүлдек). 10. Уңай һәм тискәре саннар белән эшләү кагыйдәләре. Сез боларның барысын да инде беләсез, әмма алар — ал¬ гебраик фактлар. Шулай итеп, сез инде кечерәк сыйныфларда алгебра белән бераз танышкансыз. Төп кыенлык, сез аны 1 нче мисалдан күрдегез инде, мондый фактларның шактый күп булуында. Ьәм аларны белү генә түгел, «тиешле вакытта тиешле урында» куллана белү дә кирәк икән. Менә шуларны өйрәнербез дә инде. 9
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ санлы аңлатманың кыйммәте үзгәрешле алгебраик аңлатманың кыйммәте Нәм соңгысы (1 нче мисал буенча). Санлы аңлатманы гадиләштергәннән соң килеп чыккан 3 сан (безнең мисалда -— булды) санлы аңлатма¬ ның кыйммәте дип атала. Әгәр инде алгебраик аңлатма бирелгән икән, алгебраик аңлатманың кыйммәте турында сөй¬ ләргә мөмкин, тик бу аңа кергән хәрефләрнең конкрет кыйммәтләре өчен генә була. Мәсәлән, a + Ъ алгебраик аңлатмасы a = 5, Ъ = 7 булган¬ да 12 кыйммәтенә ия (чөнки a + Ь = 5 + 7= 12); a = -16, Ь = -14 булганда -30 кыйммәтенә ия (a + Ь = -16 + (-14) = -16 - 14 = -30). a2 - ЗЬ алгебраик аңлатмасы (хәтерлисезме a2 нәрсә икәнен: ул a ∙ a) a = -2, Ъ = 0,4 булганда (-2)2 — 3 • 0,4 рәвешле санлы аңлатмага әверелә, аны гадиләште¬ реп табабыз: 4 - 1,2 = 2,8. Ул a2 - ЗЬ алгебраик аңлатмасының a = -2, Ь = 0,4 булгандагы кыйммәте 2,8 дигән сүз. Алгебраик аңлатма составына кергән хәрефләргә төрле санлы кыйммәтләр биреп булганга күрә (ягъни хәрефләрнең кыйм¬ мәтләрен үзгәртеп була), бу хәрефләр үзгәрешләр дип атала. o a + 2ab + Ь . 2 нче мисал. -— — алгебраик аңлатмасының кыим- 3 3 мәтләрен a) a = 1, Ь = 2; б) a = 3,7, Ь = -1,7; в) a = -, Ъ = - 5 5 булганда табарга. Чишү. а) Гамәлләр тәртибен үти барып табабыз: 1) a2 + 2ab + b2 = I2 + 2 • 1 ■ 2 + 22 = 1 + 4 + 4 = 9; 2)а + Ь = 1 + 2 = 3; 3) a - b = 1 - 2 = -1; 4) (a + b) (a - Ь) = 3 • (-1) = -3; a2 + 2ab + b2 _ 9 _ $ (α + i>)(α - Ь) -3 10
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ б) Нәкъ шулай, гамәлләр тәртибен үтәп, бер-бер артлы та¬ бабыз: 1) a2 + 2ab + Ъ2 = 3,72 + 2∙3,7 • (-1,7) + (-l,7)2 = = 13,69 - 12,58 + 2,89 = 4; 2) a + Ъ = 3,7 + (-1,7) = 2; 3) a - Ь = 3,7 - (-1,7) = 5,4; 4) (а + Ь) (а - Ь) = 2-5,4 = 10,8; д2 + 2ab + b2 = 4 = 4-10 = 40 = 10 5) (α + b)(α-b) 10,8 10,8 10 108 27 (~^ санаучыны һәм ваклаучыны 4 кә бүлдек, ягъни ваклан¬ маны кыскарттык). в) Яңадан, гамәлләр тәртибен үтәп, бер-бер артлы исәплибез: 1) a2 + 2ab + b2 = f≡T + 2-^- ≡ + ∖5√ 5 5 \5 = A + lθ + A = 3θ. 25 25 25 25’ 2)а + &=1+1=1; 3)a-b = ∣- ∣ =0; 6 4) (а + Ь) (а - Ь) = - • 0 =0. э Ә нулъгә бүләргә ярамый! Бу очракта (шуңа охшаш очракларда да!) бу ни дигән сүз соң? Ә бу 3 , 3 , _ _ a = -, Ь = - булганда, бирелгән алгебраик аңлат- 5 5 маның мәгънәсе юк дигән сүз. Шундый терминология кулланыла: хәрефләр (үзгәрешлеләр) конкрет кыйммәтләр алганда алгебраик аңлатманың санлы кыйммәте булса, үзгәрешләрнең күрсәтелгән кыйммәтләрен мөмкин табылган дип йөртәләр; әгәр инде хәрефләр (үзгә¬ решлеләр) конкрет кыйммәтләр алганда алгебраик аңлат- 11
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ үзгәрешлеләрнең мөмкин табылган кыйммәтләре үзгәрешлеләрнең мөмкин булмаган кыйммәтләре маның мәгънәсе булмаса, үзгәрешлеләрнең бу кыйммәтләре мөмкин булмаган кыйммәтләр була. Әйтик, 2 нче мисалда a = 1 һәм b = 2, a = 3,7 һәм Ь = -1,7 — мөмкин табылган кыйммәтләр, z, 3 К u 3 ә a - - һәм Ь == кыйммәтләре мөмкин табыл- 5 5 маганнар була (төгәлрәк әйтсәк, кыйммәтләренең беренче ике пары — мөмкин табылганнар, өчен¬ че пар — мөмкин табылмаган кыйммәтләр). Гомумән, 2 нче мисалда a һәм Ь үзгәрешле- ләренең a + Ь = 0, яисә a - Ь = 0 була торган кыйммәтләре мөмкин табылмаган кыйммәтләр була. Мәсәлән, a = 7, Ъ — -7 яки a - 28,3, Ъ = 28,3 — мөмкин кыйммәтләр түгел, чөнки беренче очракта a + Ъ = 0, икенчесендә a - Ь = 0. Ике очракта да бу мисалның ваклаучысы нульгә әйләнә, һәм, кабатлап әйтәбез, нульгә бүләргә ярамый. Хәзер әлеге мисалның үзгә¬ решләре өчен үзегез дә мөмкин табылган яисә мөмкин бул¬ маган кыйммәтләр парларын уйлап таба алырсыз. Уйлап карагыз! 1 нче искәрмә. 2в) мисалын чынлыкта без начар (культу¬ расыз) чиштек, чөнки артык, кирәксез исәпләүләр ясарга 3 3 туры килде. Башта ук a = - һәм Ь = - булганда ваклау- 5 5 чының нульгә әверелгәнен күрергә һәм аңлатманың мәгънәсе юк дип әйтергә мөмкин иде. Тик нәрсә кирәген белгән кеше генә шул әйберне күрә белә. Алгебра менә шуны өйрәтә дә. 2 нче ИСКӘрМӘ. Әгәр без 2 нче мисалны соңрак эшләсәк, r, a + Ь күпкә уңаилырак итеп чишәр идек. Без аңлатманы a - Ь рәвешенә китереп, гадиләштерә алыр идек, ә аннары исәпләү α2 + 2ab + b2 a + Ь дә җиңеләер иде. Ә менә ни өчен -——— — = икән- (a + b)(a - b) a - Ь леген без әле әйтә алмыйбыз. Бу сорауга без соңрак (§ 35) җавап табарбыз. 12
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ §2 . НӘРСӘ УЛ МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ Математика телендә күп кенә расламалар гадәти тел- дәгегә караганда аңлаешлырак һәм кыскарак. Мәсәлән, гадәти телдә болай диләр: «Кушылучыларның урынын алыштырудан сумма үзгәрми». Моны ишеткән математик болай яза (яки әйтә): a + b = b + а. Ул әйтелгән расламаны математика теленә күчерә, ә бу телдә төрле саннар, хәрефләр (үзгәрешлеләр), арифметик гамәл там¬ галары, башка символлар кулланыла, а + Ъ = b + а язылышы куллану өчен уңайлы һәм аңлаешлы да. Икенче мисалны алыйк. Гадәти телдә әйтәләр: «Ваклаучы¬ лары бер үк булган гади вакланмаларны кушу өчен, аларның санаучыларын кушарга, ә ваклаучыны үзгәрешсез калдырырга кирәк». Математик үз теленә «синхрон» тәрҗемә ясый: a + с _ а + с b b Ь~‘ Ә менә кире тәрҗемәгә бер мисал. Математика телендә та¬ рату законы язылган: а(Ъ + с) = аЪ + ас. Гадәти телгә тәрҗемә итеп, озын бер җөмлә табабыз: «а са¬ нын Ь һәм с саннарының суммасына тапкырлау өчен, а санын бер-бер артлы һәр кушылучыга тапкырларга һәм килеп чык¬ кан тапкырчыгышларны кушарга кирәк». Нәр телдә язма һәм телдән сөйләм бар. Алдарак без мате¬ матик телнең язма теле турында сөйләдек. Ә телдән сөйләм — ул махсус терминнар («кушылучы», «тигезләмә», «тигезсезлек», «график», «координата» һ. б.) куллану һәм сүзләр белән аңла¬ тылган төрле математик расламалар дигән сүз. Яңа телне үзләштерү өчен, аның хәрефлә¬ рен, иҗекләр, сүзләр, җөмләләр, кагыйдәләрен, грамматикасын өйрәнергә кирәк. Бу бик үк күңелле эш түгел, бер утыруда укый да, сөйли дә барсак, кызыклырак булыр иде. Тик алай була алмый, түземлелекне җыйнап, төп нигезләренә төшенергә кирәк. Шулай өйрәнгәндә генә сезнең математика теле турын¬ дагы күзаллауларыгыз акрынлап киңәя барыр. 13
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ § 3. НӘРСӘ УЛ МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ Күз алдыгызга китереп карагыз әле: мәктәптә дүрт җиденче сыйныф бар ди. 7А да — 15 кыз һәм 13 малай, 7Б да — 12 кыз һәм 12 малай, в 7В да — 9 кыз һәм 18 малай, 7Г да 20 кыз һәм 10 малай укый. Әгәр һәр сыйныфта ничә бала укый дигән сорау куелса, безгә 4 тапкыр бер үк кушу гамәлен эшләргә кирәк булачак: 7А да 15 + 13 = 28 укучы; 7Б да 12 + 12 = 24 укучы; 7В да 9 + 18 = 27 укучы; 7Г да 20 + 10 = 30 укучы. Математика телен кулланып, бу дүрт төрле ситуацияне дә берләштерергә мөмкин: сыйныф¬ та а кыз Ь малай укый, барлык укучылар саны а + Ъ була. Бирелгән реаль ситуациянең ма¬ тематик моделе әнә шундый. Аерым алганда, алгебра төрле реаль ситуацияләрне математика телендә математик модель рәвешендә сурәтләү белән шөгыльләнә, аннан соң исә реаль хәлләр белән түгел, ә менә шушы модельләр белән эш итә һәм бу вакытта үзендәге төрле кагыйдәләр, үзлекләр һәм законнарны куллана. Түбәндәге таблицада төрле реаль хәлләр һәм аларның математик модельләре бирелә; биредә а — сыйныфтагы кыз¬ лар саны, Ь — шул ук сыйныфтагы малайлар саны. математик модель Реаль ситуация Математик модель 1 Сыйныфта кызлар һәм ма¬ лайлар саны тигез (7Б да кебек) Кызлар малайлардан 2 гә артык (7А да кебек) a - Ь = 2 яки a = Ь + 2 яки a - 2 = Ь 14
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ Таблицаның дәвамы Реаль ситуация Математик модель 3 [Сызлар малайлардан 9 га 1зрак (7В да кебек) 4 Кызлар малайлардан 2 тап¬ дыр күбрәк (7Г да кебек) Кызлар малайлардан 2 тап¬ кыр азрак (7В да кебек) 6 Әгәр сыйныфка тагын бер ■сыз һәм өч малай килсә, сызлар һәм малайлар саны гигез була (7А да кебек) 7 Әгәр сыйныфтан өч кыз <итсә, малайлар кызлардан J тапкыр арта (7В да кебек) b - а = 9 яки b = а + 9 яки a = b - 9 а a = 2b яки b = — 2 b a = — 2 яки b = 2α a ÷ 1 = b + 3 b = 3(a - 3) Әлеге таблицаны төзегәндә, без реаль ситуацияләрдән аның математик моделенә таба юнәлдек. Шулай ук кире юнәлештә дә хәрәкәт итә белергә, ягъни бирелгән математик модель бу¬ енча реаль ситуацияне сүзләр белән аңлата белергә дә кирәк. Мәсәлән, a - 5 = b + 5 дигән математик модель (безнең табли¬ цадагы кебек тамгаланыш булганда) нәрсәне аңлата? Бу мо¬ дель сыйныфтан 5 кыз китсә һәм 5 малай килсә, сыйныфта малайлар һәм кызлар саны тигезләшә дигәнне аңлата (7Г сый¬ ныфына туры килә). Сездә, бәлки, шундый сорау тугандыр: реаль ситуациянең математик моделе, кыска язылышын исәпләмәгәндә, безгә нәрсә бирә соң? Бу сорауга җавап бирү өчен, түбәндәге мәсьәләне чишәбез. 15
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ 1 нче мисал. Сыйныфта кызлар малайлардан икеләтә артыграк. Әгәр бу сыйныфтан өч кыз китсә һәм өч малай килсә, кызлар малайлардан 4 кә артыграк була. Бу сыйныф¬ та ничә укучы укый? Чишү. Сыйныфта малайлар саны х булсын, ул вакытта кызлар саны 2х булыр. Әгәр өч кыз китсә, (2х — 3) кыз кала. Әгәр өч малай килсә, малайлар (х + 3) була. Шарт буенча кыз¬ лар малайлардан 4 кә артык булып кала; математика телендә ул (2х - 3) - (х + 3) = 4 дип языла. Бу тигезләмә — мәсьәләнең математик моделе. Тигезләмә чи¬ шүнең үзебез белгән кагыйдәләре буенча бер-бер артлы табабыз: 2x-3-χ-3 = 4 (җәяләрне ачтык); х - 6 = 4 (тиңдәш кушылучыларны берләштердек); х = 6 + 4; х = 10. Хәзер без мәсьәләнең соравына җавап бирә алабыз. Сый¬ ныфта 10 малай, димәк, 20 кыз (исегездәме, шарт буенча алар 2 тапкыр артыграк) укый. Җавап: сыйныфта барысы 30 укучы. Сез сиздегез микән, чишү барышында фикерләүләр төгәл өч этапка бүленде. Әйдәгез бергәләп карап үтик. Беренче этапта, х үзгәрешлесен кертеп һәм мәсьәлә текстын математика теленә күчереп, без (2х - 3) - (х + 3) = 4 тигезләмәсе рәвешендәге ма¬ тематик модель төзедек. Икенче этапта, 5-6 нчы сыйныфлардагы мате¬ матика курсыннан белгәннәребезне кулланып, бу тигезләмәне чиштек: х = 10. Бу этапта без кызлар турында да, малайлар турында да уйламадык, ә «саф» математика белән шөгыльләндек, бары тик математик модель белән генә эшләдек. Өченче этапта, мәсьәләнең соравына җавап бирү өчен, та¬ былган чишелешне кулландык. Бу этапта без тагын кызлар¬ га, малайларга, безгә кирәкле сыйныфка әйләнеп кайттык. Йомгак ясыйбыз. Мәсьәләне чишү барышында төгәл өч этап аерып күрсәтелә. 16
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ Беренче этап. Математик модель төзү. Икенче этап. Математик модель белән эшләү. Өченче этап. Мәсьәләнең соравына җавап бирү. Гадәттә, математика реаль чынбарлыкта әнә шулай кулла¬ ныла. Әлеге мисалдан соң сорауны кабатлыйбыз: математик модельләр һәм алар белән эшли белү кирәкме? Кирәк! Билгеле инде, модель катлаулырак булган саен, аның белән эшләү өчен шулкадәр күбрәк фактлар, кагыйдәләр, үзлекләр кулланырга туры килә. Әлеге фактларны, кагыйдә һәм үзлекләрне өйрәнергә кирәк, һәм без мәктәптә алгебра фәнен уку барышында моның белән шөгыльләнербез. Математик модельләр бары тик алгебраик кына (18 нче биттәге таблицадагы кебек үзгәрешле кергән тигезлекләр яки 1 нче мисалдагы тигезләмә рәвешендә) түгел. Математик модельнең тагын бер төре белән танышу өчен 6 нчы сыйныф¬ ның математика курсыннан бер мәсьәләне карарбыз (сезгә моңарчы таныш булган мәсьәләне махсус алабыз). 2 нче мисал. Әгәр тәүлек буе һава температурасын үлчәп торсалар һәм үлчәү нәтиҗәләре буенча түбәндәге табли¬ цаны төзесәләр, һава температурасы графигын төзергә: Тәүлекнең вакыты, сәг. 0 2 4 6 8 10 11 14 16 18 22 24 Температура, °C 5 0 0 -3 -4 -2 0 6 8 5 3 3 Чишү. Турыпочмаклы координаталар системасын төзибез. Горизонталь күчәр (абсциссалар күчәре) буйлап — вакытның кыйммәтләрен, ә вертикаль күчәр (ординаталар) буйлап тем¬ пература кыйммәтләрен салабыз. Координаталар яссылыгында координаталары таблицадагы тиңдәш саннар булган нокталар¬ ны билгелибез. Барысы 12 нокта килеп чыга (рәс. 1). Аларны өзлексез сызык белән тоташтырып, температураның мөмкин саналган бер графигын табабыз (рәс. 2). (И Төзелгән график температураның вакытка бәйлелеген су¬ рәтләгән математик модель була. Бу графикны анализлаган¬ да, тәүлек дәвамында һава температурасының ничек үзгәрүен сүзләр белән аңлатырга мөмкин. Төнлә 0 сәгатьтән иртәнге сигезгә кадәр салкыная бара (5° тан —4° ка кадәр). Аннан 17
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ соң, кояш чыккач, җылына башлаган күрәсең, сәгать 11 дә температура инде 0° ка кадәр күтәрелгән. 16 сәгатькә кадәр җылынган, әйтергә кирәк, 16 сәгатьтә иң җылы һава күзәтел¬ гән (8°). Ә аннан караңгы төшә башлаган, температура да акрын¬ лап түбәнәеп, 22 сәгатьтә 3° ка кадәр төшкән. Температура графигына карап, иң түбән температураның нинди булганын 18
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ сүзле модель алгебраик модель график модель (иртәнге 8 дә -4°), иң югарысының нинди булганын (16 сә¬ гатьтә 8°), температура кайчан кызурак, кайчан акрынрак үзгәргән, ә кайчан бөтенләй үзгәрмәгәнен (төнлә 2 дән 4 кә һәм кичен 22 дән 24 сәгатькә кадәр) якынча билгеләргә мөмкин. Карап үтелгән математик модель гра¬ фик модель үрнәге булып тора. Шулай итеп, безгә реаль ситуацияләрне сүзләр ярдәмендә (сүзле модель), алгебраик (ал¬ гебраик модель) график юл белән (график модель) сурәтләүне өйрәнергә кирәк. Болардан тыш ре¬ аль ситуацияләрнең геометрик модельләре дә була — алар геометрия курсында өйрәнеләләр. Хәер, график модельләрне кайвакыт геометрик дип тә йөртәләр, ә «алгебраик модель» урыны¬ на «аналитик модель» терминын да куллана¬ лар. Болар барысы да математик модельләрнең Математик модельләрнең теләсә кайсы төрләре белән иркен эшли белер өчен, аларның берсеннән икенчесенә күчәргә өйрә¬ нергә кирәк. Әйтик, алдарак 1 нче мисалда без сүзле модельдән аналитик модельгә күчтек. 2 нче мисалда сүзле (дөресрәге, таблицалы) модельдән график модельгә күчтек, шунлыктан бу ситуациянең сүзле, тагын да эчтәлекле тасвирламасына әйләнеп кайта алдык. Мондый күчешләрне өйрәнербез әле. төрләре. § 4. БЕР ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ Реаль ситуацияләрнең математик модельләре арасын¬ да иң гади һәм шул ук вакытта бик әһәмиятле төрләрнең бер¬ се — бер үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәләр. Сез алар белән 5-6 тигезләмәнең тамыры нчы сыйныф математика курсыннан таныш инде. Сызыкча тигезләмәгә мисаллар китерик: Зх = 12, 5у - 10 = 0, 2a + 7 = 0 һ.б. Сызыкча тигез¬ ләмәләрне чишү — үзгәрешленең тигезләмәне дөрес санлы тигезлеккә әверелдерә торган бар¬ лык кыйммәтләрен табу дигән сүз. Үзгәрешленең шундый һәр кыйммәтен тигезләмәнең тамыры 19
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ бер узгәрешлеле сызыкча дип атыйлар. Әйтик, Зх = 12 тигезләмәсенең тамыры х = 4, чөнки 3 • 4 = 12 — дөрес тигез¬ лек һәм шул ук вакытта башка тамырлар юк; 5у — 10 = 0 тигезләмәсенең тамыры у = 2, чөнки 5 • 2 —10 = 0 — дөрес тигезлек һәм башка тамыр¬ лар юк; 2a + 7 = 0 тигезләмәсе a = -3,5, чөнки 2 • (-3,5) + 7 = 0 — дөрес тигезлек һәм башка тигезләмә коэффициент гезләмәне тамырлар юк. Гомумән, бер х үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә дип ax + Ъ = 0 рәвешендәге ти- атыйлар, биредә а һәм Ъ — теләсә нинди саннар (коэффициентлар). Әгәр a = 0 һәм 5 = 0, ягъни тигезләмә 0 • х + 0 = 0 рәвешендә булса, тигезләмәнең тамыры бу¬ лып теләсә нинди сан тора ала (чиксез күп тамырлар). Әгәр a = 0 һәм b ≠ 0, ягъни тигезләмә 0 • х + Ъ = 0 рәвешендә икән, бер генә сан да бу тигезләмәне канәгатьләндерми; бу очракта тигезләмәнең тамырлары юк диләр. Иң еш очрый торган a ≠ 0 очрагын тикшерик. Болай фи¬ кер йөртәбез: 1J ах + Ъ = 0, димәк, ах = -Ъ (чөнки (-b) + 5 = 0); чынлык¬ та 5 кушылучысын капма-каршы тамгасы белән тигезләмәнең сул ягыннан уң ягына чыгардык; 2) ах = —5, ягъни а һәм х саннары тапкырчыгышы —5 га тигез; ә бу вакытта х тапкырлаучысы -5 тапкырчыгышын икенче тапкырлаучыга бүлеп табылган өлешкә тигез. Ди¬ мәк, х = (-5): а. Бүлү тамгасы урынына вакланма сызыгын Ь да кулланырга мөмкин: х = —. а Чынлыкта без сызыкча тигезләмәне чишү өчен эш-гамәлләр- нең билгеле бер программасын, адымнар тәртибен эшләдек — математикада мондый очракларда алгоритм термины кулла¬ ныла. ах + 5 = 0 сызыкча тигезләмәсен (a ≠ 0) чишү алгоритмы 1. Тигезләмәне ах = -5 рәвешенә китерергә. 2. Тигезләмәнең тамырын х = (-5) : а яки х = — рәве¬ шендә язарга. a k , 20
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ Ә инде тигезләмә катлаулырак төрдә язылса нишләргә, мәсәлән: 2х - 2 = 10 - х? Болай фикер йөртәбез. Ике аңлатма аларның аермалары нульгә тигез булганда һәм бары тик шул вакытта гына тигез булалар: (2х - 2) - (10 - х) = 0. 5-6 нчы сыйныф математи¬ ка курсыннан билгеле булган җәяләрне ачу һәм охшаш буын¬ нарны берләштерү кагыйдәләрен кулланабыз: 2х - 2 - 10 + х = 0; Зх - 12 = 0; Зх = 12; х = 4. Мондый тигезләмәләрне сез инде 5-6 нчы сыйныф матема¬ тика курсында чишкән идегез. Фикерләүләрне, тагын бер фай¬ далы алгоритм итеп гомумиләштерәбез. ах + b = ex + d тигезләмәсен (α ≠ с) чишү алымнары 1. Тигезләмәнең уң яктагы барлык буыннарын капма- каршы тамгалары белән сул якка чыгарырга. 2. Сул якта охшаш буыннарны берләштерергә, нәтиҗәдә kx + т = 0 (биредә ⅛≠0) рәвешендәге тигезләмә табыла. 3. Тигезләмәне kx = -пг рәвешенә китерергә һәм аның та¬ мырын язып куярга: = —. Алдагы параграфның 1 нче мисалында табылган тигезләмә нәкъ менә шулай чишелгән иде. . 2,75 1 1 нче мисал. - +- = - — тигезләмәсен чишәргә. 3 8 6 4 Чишү. Беренче ысул. Алгоритмнан файдаланабыз: 21
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ 1 1 9 л —у + - = 0; 6 8 6У 9. 8’ 1 9. 8’ 27 „3 у = —, яки у = 6—. Икенче ысул. Алгоритмга керешкәнче, тигезләмәнең ике ягын да 24 кә — барлык вакланмаларның да иң кечкенә уртак ваклаучысына тапкырлыйбыз. Бу очракта A = В булса, 24А = 24В һәм киресенчә булганнан чыгабыз. Табабыз: o√2 , 7А o√5 П 24\-у + - = 24 -у ; кЗ 8) ∣k6 4/ о λ 7 ( t∖∖ 1 24 • - \у + 24 • - = 24 •- \у - 24 • З/ 8 t б/ 4 Җ а в a 16у + 21 = 20у - 6. Ә аннан соң алгоритмны файдаланабыз: 16z∕ + 21 — 20г/ + 6 = 0; -4у + 27 = 0; ⅜ = 27; 27 „3 у = —, яки у = 6—. 4 4 нче мисал. = тигезләмәсен чишәргә. 5 2 Чишү. Пропорциянең төп үзлеген (пропорциянең кырый буыннары тапкырчыгышы урта буыннары тапкырчыгышына тигез була) кулланып табабыз: 2(3z - 4) = 5(2г + 1). 22
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ Моннан соңгы чишелешне аңлатып тормасак та була: 6г - 8 - 10z - 5 = 0; -4z - 13 = 0; -4z = 13; 13 „1 2 = , ЯКИ 2 = -3 — . 4 4 Җавап: z = ^^θ~∙ 3 нче мисал. Берничә китап сатып алганнар һәм алар- ны китап шкафының берничә шүрлегенә урнаштырырга ты- рышканар. Башта һәр шүрлеккә 20 шәр китап куйганнар. Нәтиҗәдә ике шүрлек буш калган, ә калганнары 20 шәрдән тулган. Аннан соң шүрлекләргә 15 әр китап куярга булган¬ нар. Бу очрак уңышлы чыккан: барлык шүрлекләр дә тулган (15 әрдән). Ничә китап сатып алганнар? Беренче этап. Математик модель төзү. Китап шкафында шүрлекләр санын х дип билгелик. Нәр шүрлеккә 20 шәр китап куйганда (х - 2) шүрлек тулы бул¬ ган. Димәк, сатып алынган китаплар саны 20(х - 2) форму¬ ласы белән белдерелә. Аннан соң, һәр шүрлеккә 15 әр китап куйганда, барлык х шүрлек тә тулы булган. Димәк, китаплар санының һәр ике аңлатмасын тигезлисе генә кала: 20(x - 2) = 15х. Бу тигезләмә — мәсьәләнең математик моделе. Икенче этап. Төзелгән математик модель белән эшләү. Тигезләмәне чишәбез: 20(х - 2) - 15х = 0; 20х - 40 - 15х = 0; 5х - 40 = 0; 5х = 40; х = 8. Өченче этап. Мәсьәләнең соравына җавап бирү. Без китап шкафында 8 шүрлек булуын ачыкладык. Са¬ тып алынган барлык китаплар бу шүрлекләргә 15 әрдән сыеп беткән. Димәк, барлыгы 15 • 8 = 120 китап сатып алынган. Җавап: 120 китап сатып алынган. 23
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ § 5. КООРДИНАТАЛАР ТУРЫСЫ 3 нче параграф ахырында без математик модельләрнең бер төреннән икенчесенә иркен күчә белүнең, уңайлырак модельне сайлауның кирәклеге турында сөйләдек. Бу уңайдан 5-6 нчы сыйныфлар математика курсыннан таныш булган график модельне — координаталар турысын искә төшерү фай¬ далы булыр. координаталар турысы ноктаның координатасы Башлангыч ноктасы О (исәп башлангычы), масштабы (берәмлек кисемтәсе, ягъни озынлыгы 1 гә тигез дип алынган кисемтә) һәм уңай юнәлеше билгеле булган I турысын координаталар турысы яки координаталар күчәре дип атыйлар (рәс. 3); шулай ук «х күчәре» («у күчәре», «г күчәре» һ.б.) атамасы да кулланыла. Ь.әр санга координаталар турысының бердән¬ бер ноктасы туры килә. Мәсәлән, 3,5 санына М ноктасы (рәс. 4) туры килә, чөнки ул исәп башлангычыннан, ягъни О ноктасыннан 3,5 га тигез (бирелгән масштабта) ераклыкта урнашкан һәм О нок¬ тасыннан бирелгән (уңай) юнәлештә салынган. -4 санына (рәс. 4) — О ноктасыннан 4 кә тигез булган ераклыкта һәм О ноктасыннан тискәре юнәлештә, ягъни бирелгән юнәлешнең капма-каршысы буйлап салынган Р ноктасы туры килә. Кире мәсьәләнең чишелеше турында да әйтергә мөмкин. Мәсәлән, О ноктасыннан уңай (бирелгән) юнәлештә 5,4 ерак¬ лыгында урнашкан К ноктасы 5,4 санына, ә О ноктасын¬ Рәс. 4 24
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ нан тискәре юнәлештә 2,1 ераклыгында урнашкан N ноктасы -2,1 санына туры килә (рәс. 4). Күрсәтелгән саннарны тиңдәш нокталарның координатала- ры дип атыйлар. Әйтик, 4 нче рәсемдәге К ноктасының коорди- натасы — 5,4; Р ноктасының координатасы -4; М ноктасының координатасы -3,5; N ноктасының координатасы -2,1; О нок¬ тасының координатасы О (нуль) була. Образлырак итеп әйтсәк, координаталар турысы — күп кеше яши торган йорт, анда яшәүче кешеләр — нокталар, ә нокталарның координатлары — бу кешеләр яшәгән фатирларның номерлары. Координаталар турысы нәрсә өчен кирәк? Ни өчен ноктаны — сан, ә санны нокта белән билгели¬ ләр? Моның берәр файдасы бармы соң? Әйе, бар. Мәсәлән, координаталар турысында ике нокта: а координаталы А ноктасы һәм Ъ координаталы В ноктасы бирелгән булсын (гадәттә, мондый очракларда A(d), B(b) дип кыскарак язалар). А һәм В нокталар арасындагы р ераклыгын табарга кирәк ди. Геометрик үлчәүләр үткәрү урынына әзер р (А, В) = ∣ α — &| формуласыннан файдалану да җитә икән (р — «ро» — грек алфавиты хәрефе; р (A, В) урынына АВ дип язарга мөмкин). Шулай итеп, 4 нче рәсемдә: KM = ∣5,4 - 3,5∣ = ∣1,9∣ = 1,9; PM ≈ |-4 - 3,5∣ = ∣-7,5∣ = 7,5; PN = |-4 - (-2,1)1 = |-4 + 2,1∣ = ∣-1,9∣ = 1,9. Фикер йөртүләр барышында, кыскалыкка, төгәллеккә ирешү өчен, математиклар «координаталар турысында коор¬ динатасы а булган А ноктасы» дигән озын җөмлә урынына кыска гына итеп «а ноктасы» дияргә һәм сызымда бу нокта¬ ны аның координатасы белән күрсәтергә килешкәннәр. 5 нче рәсемдә -4; -2,1; 0; 1; 3,5; 5,4 нокталары билгеләнгән коор¬ динаталар турысы сурәтләнгән. 25
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ Координаталар турысы безгә алгебра теленнән геометрия теленә һәм, киресенчә, иркен күчү мөмкинлеге бирә. Әйтик, а саны Ь саныннан кечерәк булсын. Алгебра телендә моны a < Ь дип язалар; геометрия телендә исә а ноктасы координа¬ талар турысында Ь ноктасыннан сулдарак урнашкан дигәнне аңлата. Тагын бер тапкыр кабатлыйбыз: алгебра теле дә, гео¬ метрия теле дә — без сезнең белән өйрәнә торган математи¬ ка теленең бүлекләре. Математика теленең координаталар турысы белән бәйләнгән тагын берничә элементы белән танышып үтик. 1. Әйтик, координаталар турысында а ноктасы билгеләнгән ди. Турыда а ноктасыннан уңдарак урнашкан барлык нокта¬ ларны карыйк һәм координаталар турысының аларга тиңдәш ягын штрих белән билгеләрбез (рәс. 6). Бу нокталар (саннар) күплеген ачык нур дип атыйлар һәм (a; + ∞) дип билгелиләр, биредә +∞ тамгасы «плюс чиксезлек» дип укыла; күплек х > а тигезсезлеге (х нурының теләсә кайсы ноктасын аңлата) белән характерлана. Игътибар итегез; а ноктасы ачык нурда ятмый. Әгәр инде бу ноктаны ачык нурга өстәргә кирәк булса, х ≥ а яки [a; +∞) дип язалар (а ал¬ дына түгәрәк җәя түгел, квадрат җәя куялар), ә сызымда мондый ноктаны 6 нчы рәсемдәге кебек буялмаган түгәрәк белән түгел, буялган түгәрәк белән билгелиләр (рәс. 7). Ә инде (a; +∞) нокталар күплеген ачык нур дип атасалар, [a; +∞) өчен нур атамасын куллана¬ лар («ачык» сүзе кирәкми). 2. Координаталар турысында Ь ноктасы билгеләнгән булсын. Турыда Ъ ноктасыннан сулдарак урнашкан барлык нокталар¬ ны карыйбыз һәм координаталар турысының тиңдәшле өлешен штрихлыйбыз (рәс. 8). Бу нокталар (саннар) күплеген дә ачык нур дип атыйлар һәм (-∞j Ь) дип билгелиләр, биредә -∞ тамгасы «минус чиксезлек» дип укыла. Тагын бер тапкыр игътибар итегез, Ь нок¬ тасы ачык нурда ятмый. Әгәр бу ноктаны ачык нурга кушарга теләсәк, х ≤ Ь яки (-°°; Ь] дип язабыз һәм сызымда Ь ноктасын буяп күрсәтәбез (рәс. 9); (-∞J ⅛] өчен дә нур ата¬ масын кулланабыз. Рәс. 6 а х Рәс. 7 Ь х ∖∖∖∖∖∖∖∖∖vq ⅛ Рәс. 8 Ь х ∖w∖∖∖∖∖∖∖^ Рәс. 9 26
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ а о х o--< ► Рәс. 10 Рәс. 11 а Ъ х ⅜∖∖∖∖∖∖⅛ ⅛ Рәс. 12 a Ь х Рәс. 13 Рәс. 14 a Ь х о—⅜ ► Рәс. 15 НУР ачык нур интервал кисемтә ярыминтервал санлы аралык 3. Координаталар турысында а һәм Ъ нок¬ талары билгеләнгән һәм a < Ь булсын ди (ягъ¬ ни а ноктасы турыда Ъ дан сулдарак урнаш¬ кан). Хәзер а ноктасыннан уңдарак, әмма Ъ ноктасыннан сулдарак яткан барлык нокта¬ ларны карыйбыз; координаталар турысының әлеге өлешен штрихлыйбыз (рәс. 10). Бу нокта¬ лар (саннар) күплеген интервал дип атыйлар һәм (а; Ъ) дип билгелиләр. Ул катгый икеле тигезсезлек a < х < Ь белән тамгалана (биредә х — интервалның теләсә кайсы ноктасы). Игътибар итегез: (а; Ь) интервалы — ул (-∞j Ъ) һәм (a; +∞) ачык нурларының ки¬ селеше (уртак өлеше). Моны 11 нче рәсемдә ачык күрәбез. Әгәр (а; Ь) интервалына аның очларын, ягъни а һәм Ь нокталарын өстәсәк, [а; Ь] ки¬ семтәсе килеп чыга (рәс. 12), ул a ≤ х ≤ Ъ катгый булмаган икеле тигезләмәсе белән тамгалана. Игътибарлы булыгыз, кисемтәне билгеләгәндә, ин¬ тервал билгеләнешендәге кебек түгәрәк җәяләр түгел, ә квадрат җәяләр кулланыла; сызымда а һәм Ъ нокталары интервалда¬ гы кебек ачык төстәге түгәрәкләр белән түгел, караңгы түгә¬ рәкләр белән билгеләнә. [a; fe] кисемтәсе (-∞j Ь] һәм [a; +∞) нурларының киселеше (уртак өлеше) — бу 13 нче рәсемдә ачык күренә. Әгәр (а; Ь) интервалына аның бер генә очын — а ноктасын гына (рәс. 14) яки Ь ноктасын гына (рәс. 15) кушсак нәрсә килеп чыгар икән? Ярым- интервал килеп чыга, беренче очракта аны [а; Ь) дип, икенче очракта (a; fe] дип билгелиләр һәм ул беренче очракта a ≤ х < Ь, икенчесендә а < х ≤ Ь икеле тигезсезлекләре белән тамгалана. Шулай итеп, без математика теленең биш яңа атамасын керттек: нур, ачык нур, интервал, кисемтә, ярыминтервал. Аларның гомуми атама¬ сы да бар: санлы аралыклар. Координаталар турысы үзе дә санлы аралык булып санала; аңа карата (-∞j +∞) билгеләнешен кулланалар. 27
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ Санлы аралыкларның гомуми таблицасы Геометрик Билгеләнеше Санлы аралыкның Аналитик модель исеме модель (a; +∞) ачык нур X > а а х 4umnιmιιmmnm >∣ [a; +∞) НУР х > а Ъ х wwwwww^ (-00; Ь) ачык нур X < Ь Ъ х ∖∖∖∖∖∖∖∖∖∖∖∖‰ (~∞i Ь] нур х ≤ Ь a Ь х (а; Ь) интервал а < х < Ь a Ь х X∖Λ∖∖∖lk, [а; 6] кисемтә a ≤ х ≤ Ь а Ь х X∖∖∖∖∖∖X w [а; Ь) ярыминтервал a ≤ х < Ь а Ь х — ⅛>∙≡⅛ ► (а; 6] ярыминтервал а < х ≤ Ь
2 БҮЛЕК СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ § 6. Координаталар яссылыгы § 7. Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә һәм аның графигы § 8. Сызыкча функция һәм аның графигы § 9. у = кх сызыкча функциясе §10. Сызыкча функцияләр графикларының үзара урнашуы § 6. КООРДИНАТАЛАР ЯССЫЛЫГЫ Координаталар турысында нокталар — бу «урамда яшәүчеләр» теркәлгән, һәр ноктаның үзенең «йорт номе¬ ры» — аның координатасы бар. Әгәр инде нокта яссылыкта дип бирелсә, аны «теркәү» өчен «йорт номерын» гына түгел, «фатир номерын» да күрсәтергә кирәк. Моның ничек эшлән¬ гәнен искә төшерик. турыпочмаклы координаталар системасы координаталар яссылыгы координаталар башлангычы координата почмаклары Ике координата турысын үзара перпендикуляр итеп үткәрәбез һәм ике турының да исәп башлан¬ гычы итеп аларның кисешү ноктасын (О) билге¬ либез. Шуның белән яссылыкта турыпочмаклы координаталар системасы бирелә (рәс. 16), ул гадәти яссылыкны координаталар яссылыгына әйләндерә. О ноктасын координаталар башлангы¬ чы дип, координаталар турыларын (х күчәре һәм у күчәре) — координата күчәрләре, ә координата күчәрләре белән ясалган турыпочмакларны коор¬ дината почмаклары дип атыйлар. Координата почмакларын 16 нчы рәсемдә күрсәтелгәнчә ну- мерлыйлар. Ә хәзер 17 нче рәсемне карыйк. Анда турыпоч¬ маклы координаталар системасы сурәтләнгән һәм М ноктасы билгеләнгән. М ноктасы аша у күчәренә параллель итеп туры үткәрәбез. Бу туры х күчәрен 29
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ абсцисса ордината рәсемдәге ниндидер ноктада кисеп уза, бу ноктаның х күчә¬ рендә координатасы бар (17 нче рәсемдәге нокта өчен бу координата — 1,5 кә тигез) һәм аны М нок¬ тасының абсциссасы дип атыйлар. Хәзер М нок- тасы аша х күчәренә параллель итеп туры уздыра¬ быз. Туры у күчәрен ниндидер ноктада кисеп уза, бу ноктаның у күчәрендә координатасы бар (17 нче нокта өчен бу координата 2 гә тигез) һәм ул М нок¬ тасының ординатасы дип атала. Кыскача болай дип язалар: М(х; у) (17 нче рәсемдәге нокта өчен М(-1,5; 2)). Абсциссны — беренче, ә ординатаны икенче урында язалар. Әгәр кирәк булса, 1 нче искәрмә. Гадәттә, М ноктасының координаталарын табу өчен, координата күчәрләренә параллель итеп М ноктасы аша турылар түгел, бу турыларның М ноктасыннан алып коорди- наталар күчәрләренә кадәрге кисемтәләрен төзиләр (рәс. 18). 2 нче искәрмә. Үткән параграфта без санлы аралыкларның төрле билгеләнешләрен керткән идек. Аерым алганда, (3; 5) язылышы белән координаталар турысында очлары 3 һәм 5 нокталарында булган интервалны билгеләргә килешкән идек. Ә бу параграфта исә саннар парын без ноктаның координата- лары дип кабул иттек; мәсәлән, (3; 5) — координаталар яссы¬ лыгында абсциссасы 3 һәм ординатасы 5 булган нокта. Сим¬ волик язылышта кайсысы турында сүз барганын (интервалмы, әллә ноктаның координаталарымы?) ничек дөрес билгеләргә соң? Гадәттә, моны контекст буенча ачык аңлап була. 30
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ абсцисса күчәре ордината күчәре Алда әйтелгән атамалардан файдаланып, гори¬ зонталь координата турысын — абсциссалар күчәре яки х күчәре дип, ә вертикаль координата күчәрен ординаталар күчәре яки у күчәре дип атыйлар. Яссылыкта турыпочмаклы координаталар система¬ сын бирү өчен х һәм у билгеләмәләрен кулланалар (16 нчы рәсемне кара) һәм еш кына хОу координата¬ лар системасы бирелгән диләр. Шулай ук башка төрле билгеләнешләр дә очрый, мәсәлән, 19 нчы рәсемдә tθs координаталар системасы бирелгән. хОу координаталар системасында бирелгән М ноктасының координаталарын табу алгоритмы 1. М ноктасы аша у күчәренә параллель туры уздырырга һәм бу туры белән х күчәренең кисешү ноктасын табар¬ га — бу М ноктасының абсциссасы була. 2. М ноктасы аша х күчәренә параллель туры уздырырга һәм бу туры белән у күчәренең кисешү ноктасын табар¬ га — бу М ноктасының ординатасы була. 17 нче рәсемдә М ноктасының координаталарын табу өчен без нәкъ менә шулай эшләдек. Әгәр M1(χ∙, у) ноктасы беренче координата почмагында ятса, х > 0 һәм у > 0; әгәр М2(х; у) икенче координата почмагында ятса, х < 0, у > 0; әгәр М3(х; у) өченче коорди¬ ната почмагында ятса, х < 0, у < 0; әгәр Mi(χ∙, у) дүртенче координата почмагында ятса, х > 0, у < 0 була (рәс. 20). Әгәр нокта координата күчәрләренең берсендә ятса, аның координаталары нинди булыр? Әйтик, А ноктасы х күчәрендә, ә В ноктасы у күчәрендә ята ди (рәс. 21). А ноктасы аша у күчәренә параллель туры үткәреп, аның х күчәре белән кисе¬ шү ноктасын табуның мәгънәсе юк, чөнки мондый кисешү нок¬ тасы инде бар — бу А ноктасы, аның координатасы (абсцисса¬ сы) 3 кә тигез. Шулай ук А ноктасы аша х күчәренә параллель туры үткәрү дә кирәкми: х күчәре үзе у күчәрен координатасы (ординатасы) 0 булган О ноктасында кисеп уза. Нәтиҗәдә А ноктасы өчен А(3; 0) икәнен табабыз. Нәкъ шулай фикерләп В(0; -1,5) ны билгелибез. Ә О ноктасы өчен О (0; 0). 31
2 . СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ Гомумән, х күчәрендәге теләсә кайсы нокта (0; у) ә у кү¬ чәрендәге теләсә кайсы нокта (0; у) координаталарына ия. Шулай итеп, координаталар яссылыгында ятучы ноктаның координаталарын ничек табарга кирәклеген тикшердек. Ә ки¬ ре мәсьәләне, координаталары бирелгәндә ноктаны табу мәсь¬ әләсен ничек чишәргә? Алгоритмын төзү өчен, ике ярдәмче, әмма шул ук вакытта бик мөһим фикерләүне карап үтик. Беренче фикерләү. хОу координаталар систе¬ масында у күчәренә параллель һәм х күчәрен 4 координаталы (абсциссалы) ноктада кисеп узучы I турысы үткәрелгән булсын (рәс. 22). Бу туры өстендә ятучы теләсә кайсы ноктаның абсциссасы 4 була. Мәсәлән, M1, M2, М3 нок¬ талары өчен M1(4j 3), М2(4; 6), М3(4; -2). Башкача әйтсәк, I турысындагы теләсә нинди М ноктасының абсциссы х = 4 шартын канә¬ гатьләндерә. Әгәр бу туры өстендә ятмый тор¬ ган ноктаны алсак, аның абсциссасы 4 кә ти¬ гез булмый. Бу очракта х = 4 — I турысының тигезләмәсе яки I турысы (һәм бары ул гына) х = 4 тигезләмәсен канәгатьләндерә, диләр. 23 нче рәсемдә х = -4 (Z1 турысы), х = -1 (Z2 турысы), х = 3,5 (Z3 турысы) тигезләмәләрен канәгатьләндерүче турылар сурәт¬ ләнгән. Ә х = 0 тигезләмәсен нинди туры канәгатьләндерә? Уйлап таптыгызмы? у күчәре. 32
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ Икенче фикерләү. Әйтик, хОу координаталар система¬ сында х күчәренә параллель һәм у күчәрен 3 координата- лы (ординаталы) ноктада кисеп үтүче I турысы бирелгән ди (рәс. 24). Бу туры өстендә ятучы теләсә кайсы нокта¬ ның ординатасы 3 була. Мәсәлән, Λf1, M2, М3 нокталары M1(0∙, 3), М2(4; 3), М3(-2; 3). Башкача әйткәндә, I ту¬ рысындагы теләсә кайсы ноктаның ординатасы у = 3 шартын канәгатьләндерә. Әгәр бу туры өстендә ятмау¬ чы ноктаны карасак, аның ординатасы 3 кә тигез бул¬ мас. Бу очракта у = 3 — I турысының тигезләмәсе яки I турысы (һәм ул гына) у = 3 тигезләмәсен канә¬ гатьләндерә, диләр. 25 нче рәсемдә у = -4 (Z1 турысы), у = -1 (l2 турысы), у = 3,5 (Z3 турысы) тигезләмәләрен канәгатьләндерүче турылар сурәт¬ ләнгән. Ә у = 0 тигезләмәсен нинди туры канәгатьләндерә? Уйлап таптыгызмы? х күчәре. игътибар итегез Математиклар кыскалык өчен «х = 4 тигезләмә¬ сен канәгатьләндерүче туры» диясе урынга «х — 4 турысы» гына диләр. Шулай ук «у = 3 тигез¬ ләмәсен канәгатьләндерүче туры» урынына «у = 3 турысы» диләр. Без дә нәкъ шулай атарбыз. Хәзер 17 нче рәсемгә әйләнеп кайтыйк. Игъти- бар итегез: анда сурәтләнгән М (-1,5; 2), ноктасы — х = -1,5 һәм у = 2 турыларының кисешү ноктасы ул. Хәзер ноктаны бирел¬ гән координаталары буенча төзү алгоритмы аңлашыла төшәр. 33
СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ xθy турыпочмаклы координаталар системасында М(а; Ъ) ноктасын төзү алгоритмы 1. х = α турысын төзергә. 2. у = b турысын төзергә. 3. Төзелгән турыларның кисешү ноктасын табарга — бу М(а; Ъ) ноктасы була да инде. Рәс. 26 Мисал. хОу координаталар системасында А(1; 3), б(-2; 1), С(4; 0), 0(0; -3) нокталарын төзергә. Чишү. А ноктасы х = 1 һәм у = 3 турыларының кисешү ноктасы була (рәс. 26). В ноктасы х = -2 һәм у = 1 турыларының кисешү ноктасы була (рәс. 26). С ноктасы — х күчәрендә, ә D ноктасы у кү¬ чәрендә ята (рәс. 26). Беренче тапкыр турыпочмаклы координаталар системасын фран¬ цуз философы Рене Декарт (1596- 1650) геометрик мәсьәләләрне алге¬ браик алымнар белән чишү һәм, киресенчә, алгебраик модельләрне геометриклары белән алыштыру өчен актив куллана башлый. Шуңа күрә кайвакыт «Декарт координа¬ талар системасы», «Декарт коорди- наталары» дип тә әйтәләр. § 7. ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕМЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ ҺӘМ АНЫҢ ГРАФИГЫ 1 нче бүлектә реаль ситуациянең математик моделе булып бер үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә яки үзгәртүләрдән соң сызыкчага әверелә торган тигезләмә хезмәт итүен күргән идек. Ә хәзер реаль ситуацияне карыйк. Аралары 500 км булган А һәм В шәһәрләреннән даими тиз¬ лекле ике поезд чыга. Беренче поездның икенчесеннән 2 сәг кә алдарак чыгуы билгеле. Икенче поезд чыгып 3 сәг үткәннән соң, алар очрашалар. Поездларның тизлекләре нинди? 34
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ 500 км Мәсьәләнең математик моделен төзик. Беренче поездның тизлеге х км/сәг, икенчесенең у км/сәг бул¬ сын. Беренчесе 5 сәг юлда була һәм 5х км юл үтә. Икенчесе юлда 3 сәг була һәм Зу км юл үтә. Алар С ноктасында очрашалар, 27 нче рәсемдә ситуациянең геометрик моделе бирелгән. Алгебраик телдә ул болай языла: 5х + Зу = 500 яки 5х + Зу - 500 = 0. Мондый математик модельне ике, х һәм у үгәрешлеле сызык¬ ча тигезләмә дип атыйлар. Гомумән, ах + by + с = 0 — х һәм у ике үзгәрешлеле (яки х һәм у ике билгесезле) сызыкча тигезләмә, биредә а, Ъ, с — саннар (коэффициентлар). ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә 5х + Зу = 500 тигезләмәсенә әйләнеп кайтыйк. Әгәр х = 40, у = 100 булса, 5 • 40 + 3 • 100 = 500 — дөрес тигезлек килеп чыгуын күрәбез. Димәк, мәсьәләнең җавабы болай булырга мөмкин: бе¬ ренче поездның тизлеге 40 км/сәг, икенчесенең тизлеге 100 км/сәг. х = 40, у = 100 саннарының парын 5х + Зу = 500 тигезләмәсенең чишеле¬ ше дип атыйлар. Шулай ук кыйммәтләр пары (40; 100) 5х + Зу = 500 тигезләмәсен канәгать¬ ләндерә дип тә әйтәләр. Табылган чишелеш бердәнбер түгел. Чынлап та, х = 64, у = 60 варианты да булырга мөмкин, чөнки 5-64 + 3 • 60 = = 500 — дөрес тигезлек. Тагын х = 70, у = 50 (чөнки 5 ■ 70 + + 3 • 50 = 500 — дөрес тигезлек). ax + by + с = 0 тигезләмәсенең чишелеше ■ Ә инде х = 80, у = 60 саннарының пары тигезләмәнең чишелеше була алмый, чөнки бу кыйммәтләрне куйганда дөрес тигезлек килеп чыкмый: 5∙80 + 3∙60 ≠ 500. Гомумән, ах + by + с = 0 тигезләмәсенең чи¬ шелеше дип бу тигезләмәне канәгатьләндерә, ягъни ах + by + с = 0 тигезлеген дөрес санлы тигезлеккә әверелдерә торган барлык саннар пар¬ ларын (х; у) атыйлар. 35
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ Искәрмә. Тагын бер тапкыр мәсьәләгә караган 5х + Зу = 500 тигезләмәсен карыйк. Чиксез күп чишелешләр арасында, мәсәлән, х = 100, у = 0 (чынлап та, 5-100 + 3-0 = 500 — дөрес санлы тигезлек); х = 118, у = -30 (чөнки 5-118 + + З-(-ЗО) = 500 — дөрес санлы тигезлек) бар. Әмма бу парлар тигезләмәнең чишелешләре булсалар да, бирелгән мәсьәләнең чишелешләре була алмыйлар, чөнки поездның тизлеге нульгә тигез була алмый (ул чагында поезд тук¬ талып торырга тиеш), ә инде тискәре сан булуы бөтенләй мөмкин түгел. 1 нче мисал. Ике үзгәрешлеле х + у - 3 = 0 сызыкча тигезләмәсенең чишелешләрен хОу координаталар яссылы¬ гының нокталары рәвешендә сурәтләргә. Чишү. Бирелгән тигезләмәнең берничә чишелешен, ягъ¬ ни тигезләмәне канәгатьләндерә торган берничә саннар парын сайлый алабыз: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (-2; 5). Координаталар яссылыгында (хОу) А(3; 0), В(2; 1), С(1; 2), £>(0; 3), Е(-2; 5) нокталарын төзибез (рәс. 28). Игътибар итегез: барлык биш нокта да бер үк I турысында ята, аны үткәрәбез. Бу очракта I турысы х + у - 3 = 0 тигезләмәсенең графи¬ гы яки I турысы х + у - 3 ≈ 0 (яки х + у = 3) тигезләмәсенең геометрик моделе, диләр. Шулай итеп, әгәр (х; у) саннар пары х + у - 3 = 0 тигезлә¬ мәсен канәгатьләндерсә, М(х; у) ноктасы I турысында ята; әгәр М(х; у) ноктасы I турысында ятса, (х; у) пары х + у - 3 = 0 36
СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ тигезләмәсенең чишелеше була. Мәсәлән, Р(6; -3) ноктасы I ту¬ рысында ята (рәс. 28) һәм (6; -3) пары — х + у — 3 = 0 тигез¬ ләмәсенең чишелеше була. Нәтиҗәләр ясыйбыз: Сүзләр ярдәмендә ясалган модель Алгебраик модель Геометрик модель Ике санның сум¬ масы 3 кә тигез х + у = з (ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә) 28 нче рәсемдәге 1 ту¬ рысы (ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәнең графигы) Ә гомумән алганда ах + by + с = 0 сызыкча тигезләмәсенең графигы нинди була? Конкрет очракларны карап үтик. 1) a = 0, b = 0, с = 0. Бу очракта тигезләмә 0 • х + 0 • у + + 0 = 0 рәвешен ала, ягъни х, у ның теләсә нинди кыйм¬ мәтләре өчен 0 = 0. Димәк, теләсә нинди (х; у) саннар пары тигезләмәнең чишелеше була, ә тигезләмәнең графигы — бөтен координаталар яссылыгы. 2) a = 0, b = 0, с ≠ 0 булсын. Ул вакытта тигезләмә 0∙x + 0∙y + c = 0 яки с = 0 рәвешен ала. Бу х, у ның бер генә кыйммәте өчен дә үтәлә алмый, ягъни тигезләмәнең чишелешләре була алмый. 3) a = 0, b ≠ 0 булсын. Тигезләмә бу очракта 0 • х + by + + с = 0 рәвешен ала, ягъни у = Графигы булып х кү¬ чәренә параллель туры хезмәт итә, бу турыда 6 нчы пара¬ графта сөйләнде. 4) a ≠ 0, b = 0. Ул очракта тигезләмә ах + O∙y + c = O рә¬ вешен ала, ягъни х = Графигы булып у күчәренә парал- а лель үткәрелгән туры хезмәт итә, бу турыда да 6 нчы пара¬ графта сөйләнде. 5) a ≠ 0, b ≠ 0. Бу очракта график — координата күчәренең берсенә дә параллель булмаган туры (1 нче мисалдагы кебек). Гомумән, түбәндәге теорема үтәлә. I Сызыкча ах + by + с = 0 тигезләмәсенең ки¬ мендә бер коэффициенты нульгә тигез булмаса, тигезләмәнең графигы булып туры сызык тора. 37
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ 2 нче мисал. Зх - 2г/ + 6 = 0 тигезләмәсенең графигын төзергә. Чишү. Бирелгән тигезләмәгә бер¬ ничә чишелеш сайлап алыйк: 1) (0; 3); чынлап та, х — 0, у = 3 булганда, 3∙0-2∙3 + 6 = 0 — дөрес ти¬ гезлек (без Зх - 2у + 6 = 0 тигезләмәсенә х = 0, у = 3 кыйммәтләрен куйдык); 2) (-2; 0), чыннан да, әгәр х = -2, у = 0 булса, 3∙(-2) - 2∙0 + 6 = 0 — дөрес тигезлек; 3) (2; 6); әгәр х = 2, у = 6 булса, 3∙2~2∙6 + 6 = 0 — дөрес тигезлек; 4) (4; 9); әгәр х = 4, у = 9 булса, 3∙4-2∙9 + 6 = 0 — дөрес тигезлек. хОу координаталар яссылыгында (0; 3), Рәс- 29 (-2; 0), (2; 6), (4; 9) нокталарын таба¬ быз. Алар бер туры өстендә яталар, аны үткәрәбез (рәс. 29). Әлеге туры Зх - 2у + 6 = 0 тигезләмәсенең графигы була. <И 2 нче мисал дөрес чишелде, әмма бер дә рациональ булма¬ ды. Ни өченме? Әйдәгез фикер йөртәбез. игътибар итеге} 1. Без инде беләбез, Зх - 2у + 6 = 0 сызык¬ ча тигезләмәсенең графигы туры сызык була (бу беренче теоремада раслана). Туры үткәрү өчен аның ике ноктасын күрсәтү дә җитә. Ике нокта аша туры һәм бары берне генә үткәрергә мөм¬ кин — геометрия шулай өйрәтә. Шуңа күрә алда төзелгән дүрт нокта кирәгеннән артык киткән. (0; 3) һәм (-2; 0) нокталарын төзү һәм алар аша линейка ярдәмендә туры үткәрү җитә иде. 2. Бу тигезләмәнең чишелешләрен без сайлап алдык, ягъни уйлап таптык. Уйлап табу һәрвакыт ниндидер бер кагыйдә буенча эшләүгә караганда кыенрак. Биредә дә ниндидер кагыйдә буенча эшләп булмый микән? Була, әлбәттә. Мәсәлән, болай. Үзгәрешле х ка билгеле бер кыйммәт бирик, мәсәлән, х = 0 (гадәттә x1 = 0 дип язалар). Аны Зх - 2у + 6 = 0 тигезләмәсенә куеп табабыз: 3∙0-2ι∕ + 6 = 0 яки -2у + 6 = 0. Бу тигезләмәдән табабыз: у = 3 (гадәттә y1 = 3 дип язалар). 38
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ Димәк, х = 0 булса, у = 3; (0; 3) пары — бу тигезләмәнең чи¬ шелеше. Үзгәрешле х ка тагын бер кыйммәт, мәсәлән, х = -2 не бирәбез (х2 = -2 дип язалар). Бу кыйммәтне Зх - 2у + 6 = 0 тигезләмәсенә куябыз: 3∙(-2) - 2у + 6 = 0, ягъни -2у = 0. Бу тигезләмәдән у = 0 не табабыз: у = 0 (у2 = 0 дип язалар). Димәк, х = -2 булса, у = 0; (-2; 0) пары — тигезләмәнең чи¬ шелеше. Менә хәзер без ах + by + с = 0 сызыкча тигезләмәсенең (биредә, исегезгә төшерәбез, а, Ь, с — теләсә нинди саннар, тик a ≠ 0, b ≠ 0) графигын төзү алгоритмын формалашты¬ рып әйтә алабыз. ах + by + с = 0 тигезләмәсенең графигын төзү алгоритмы (биредә a ≠ 0, b ≠ 0) 1. Үзгәрешле х ка билгеле бер кыйммәт бирергә, х = хх; αx1 + + &£/ + с = 0 тигезләмәсеннән тиңдәшле у = yl кыйммәтен табарга. 2. Үзгәрешле х ка икенче кыйммәт бирергә: х = х2; ax2 + by + + с = 0 тигезләмәсеннән тиңдәшле у = у2 кыйммәтен та¬ барга. 3. хОу координаталар яссылыгында (x1j z∕1), (х2; y2) нокта¬ ларын төзергә. 4. Бу ике нокта аша туры үткәрергә — ул ах + by + с = 0 тигезләмәсенең графигы булыр. Искәрмә. Күпчелек очракта алгоритмның беренче адымында х = 0 кыйммәтен сайлыйлар. Икенче адым кайвакыт үзгәрте¬ лә: у = 0 дип алалар да х ның тиңдәшле кыйммәтен табалар. 3 нче мисал. 4х + Зу - 12 = 0 тигезләмәсенең графи¬ гын төзергә. Чишү. Алгоритм буенча эшлибез (искәрмәне дә исәпкә алабыз). 1) Әйтик, х = 0 дип алып, аны 4х + Зу - 12 = 0 тигезлә¬ мәсенә куябыз: 4 • 0 + Зу - 12 = 0, Зу - 12 = 0, у = 4. 2) Шулай ук у = 0 дип алабыз һәм бу кыйммәтне 4х + + Зу - 12 = 0 тигезләмәсенә куябыз: 4∙x + 3∙0-12 = 0, 4х - 12 = 0, х = 3. 39
СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ 3) xθy координаталар яссылыгында ике нокта төзибез: (0; 4) — ул алгоритмның бе¬ ренче адымында табылды һәм (3; 0) — икен¬ че адымда табылды. 4) (0; 4) һәм (3; 0) нокталары аша туры үткәрәбез. Эзләнгән график шушы була (рәс. 30). <■] 4 нче мисал. Галиев һәм Сәлимов үзләренең бакчаларында алмагачлар утырт¬ каннар. Сәлимов Галиевкә караганда 2,5 тапкыр күбрәк агач утырткан. Икенче елда алар, яңа үсентеләр утыртып, алмагачларның санын арттырганнар. Галиевнең агачлары саны узган елдагыдан 3 тапкыр, ә Сәлимовның 2 тапкыр ар¬ тып киткән. Нәтиҗәдә аларның барлык агачлары саны 16 бул¬ ган. Беренче елда алар ничәшәр алмагач утыртканнар? Чишү. Беренче этап. Математик модель төзү. Әйтик, беренче елда Галиев х алмагач, ә Сәлимов у алма¬ гач утырткан булсын. Мәсьәләнең шарты буенча у = 2,5х. Бу очракта тигезләмәнең ике ягын да 2 гә тапкырлау отышлы була: 2у = 5х. Бу тигезләмәне түбәндәгечә язабыз: 5х - 2у = 0. (1) Икенче елда Галиев үз бакчасындагы алмагачлар санын 3 тапкыр арттыра, димәк, аның агачлары хәзер Зх була. Сәлимов исә алмагачлар санын 2 тапкыр арттыра, ягъни аның инде 2у алмагачы була. Шарт буенча икесенең бергә алмагач¬ лары 16 га җитә, ягъни Зх + 2у = 16. Бу тигезләмәне үзгәртеп күчереп язабыз: Зх + 2у - 16 = 0. (2) Мәсьәләнең математик моделе әзер, ул ике үзгәрешлеле ике сызыкча тигезләмәдән — (1) һәм (2) тигезләмәләреннән тора. Гадәттә, мондый очракларда тигезләмәләрне берсе асты¬ на икенчесен язалар һәм махсус символ — фигуралы җәя һәм тигезләмәләр системасы дигән махсус термин кулланалар: 5х - 2у = 0, (3) Зх + 2у - 16 = 0. 40
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ Икенче этап. Төзелгән модель белән эш. Безне кызыксындырган (х; у) саннар па¬ ры (1) тигезләмәне дә, (2) тигезләмәне дә канәгатьләндерергә, ягъни без эзләгән (х; у) ноктасы (1) туры өстендә дә, (2) туры өстендә дә ятарга тиеш. Нәрсә эшләргә? Җавап ачык: (1) турыны, аннан соң (2) турыны төзергә һәм бу турыларның кисешү ноктасын табар¬ га кирәк. 1) 5х - 2у = 0 тигезләмәсенең графигын төзибез. Әгәр х = 0 булса, у = 0; әгәр х = 2 булса, у = 5 була. (0; 0) һәм (2; 5) ноктала¬ ры аша Z1 турысын үткәрәбез (рәс. 31). 2) Зх + 2у - 16 = 0 тигезләмәсенең гра¬ фигын төзибез. Әгәр х = 0 булса, у = 8; әгәр х = 2 булса, у = 5 була. (0; 8) һәм (2; 5) нокталары аша l2 турысын үткәрәбез (рәс. 31). 3) l1 һәм l2 турылары (2; 5) ноктасында кисешәләр, ягъни х = 2, у = 5. Өченче этап. Мәсьәләнең, соравына җавап. Беренче елда Галиевнең һәм Сәлимовның ничәшәр алмагач утыртуын, ягъни х һәм у ничәгә тигез икәнен белергә кирәк иде. Бу сорауга җавап инде табылды: х = 2, у = 5. Җавап: беренче елда Галиев — 2 алмагач, Сәлимов 5 ал¬ магач утырткан. Күргәнегезчә, без сезнең белән юкка гына ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәләрнең графикларын төзергә өйрәнмәгәнбез икән. Бу безгә бер математик модельдән (алгебраик мо¬ дель (3)) икенче математик модельгә (геометрик модель — 31 нче рәсемдәге координаталар яссылыгында ике туры) күчәр¬ гә һәм мәсьәләне ахыргача чишеп бетерергә мөмкинлек бирде. алдарак белерсез Геометрик модельгә күчмичә генә, турыдан- туры (3) моделе белән эшләп буламы? Була, тик без бу турыда 3 нче бүлектә сөйләшербез. Анда, яңа белемнәребезне кулланып, кабаттан (3) модельгә әйләнеп кайтачакбыз. 41
СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ 2 . § 8. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ ҺӘМ АНЫҢ ГРАФИГЫ ах + by + с = 0 тигезләмәсенең графигын төзү ал¬ горитмы (без 7 нче параграфта формалаштырдык) бик ачык һәм төгәл булса да, математикларга бик ошап бетми. Тигезлә¬ мәне ни өчен ике тапкыр у үзгәрешлесенә карата чишәргә кирәк, диләр алар: башта axl + by + с = 0 һәм аннан соң ax2 + by + с — 0 чишелә. Исәпләүләрне җиңелрәк һәм, иң мөһи¬ ме, тизрәк үтәү өчен у ны ах + by + с = 0 тигезләмәсеннән чы¬ гып күрсәтү җиңелрәк булмасмы? Әйдәгез тикшереп карыйк. Башта Зх - 2у + 6 = 0, ягъни 2у = Зх + 6 тигезләмәсен тикшерербез (7 нче параграфтан 2 нче мисал). 1 1 Тигезләмәнең ике ягын да - гә тапкырлап табабыз: - • 2у = 1 3 = — (Зх + 6), ягъни у = — х + 3. Хәер, тигезләмәнең ике өлешен 2 2 2 гә буынлап бүлсәк тә, шушы ук нәтиҗәне алган булыр идек. Гадәттә мондый очракларда тигезләмәнең ике ягын да бер үк сан¬ га буынлап тапкырлау түгел, ә буынлап бүлү турында сөйлиләр. 3 Шулай итеп, у = -х + 3. 2 х ка конкрет кыйммәтләр биреп, у ның тиңдәш кыйммәт¬ ләрен исәпләү авыр түгел. Мәсәлән, х = 0 булганда у = 3; х — -2 булганда — у = 0; х = 2 булганда у = 6; х = 4 бул¬ ганда у = 9 килеп чыга. Күргәнегезчә, (0; 3), (-2; 0), (2; 6) һәм (4; 9) нокталары бик җиңел һәм тиз табылды. Нәкъ шундый юл белән 5х - 2у = 0 (7 нче параграфтан 4 нче мисал) тигезләмәсен дә 2у = 5х һәм аннан соң у = 2,5х рәвешенә үзгәртеп була; бу тигезләмәне канәгатьләндерә тор¬ ган (0; 0) һәм (2; 5) нокталарын табу кыен түгел. Ниһаять, шул ук мисалдагы Зх + 2у - 16 = 0 тигезләмәсен 2у = 16 - Зх з һәм аннан соң у = 8 - -х рәвешенә үзгәртергә мөмкин. Бу тигезләмәдән аны ук канәгатьләндерә торган (0; 8) һәм (2; 5) нокталарын табарга була. Хәзер әлеге рәвеш үзгәртүләрне гомуми төстә карап үтәбез. 42
СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ ах + by + с = 0 тигезләмәсендә а һәм b коэффициентларының икесенең дә нульгә тигез очрагын без 7 нче параграфта тик¬ шергән идек. Шунда ук a ≠ 0, b = 0 очрагында тигезләмә гра¬ фигының у күчәренә параллель туры икәнен билгеләп үттек. Хәзер b ≠ 0 очрагын карыйбыз. ах + by + с = 0 by = -ах - с; (1) Биредә = k, -- = т дип билгеләсәк: b Ъ у = kx + т. Шулай итеп, ике үзгәрешлеле (х һәм у) сы¬ зыкча тигезләмәсен (1), b ≠ 0 булганда: игътибар итегез у — kx + т (2) рәвешенә китерергә мөмкин, биредә k, т — сан¬ нар (коэффициентлар). Бу — сызыкча тигезләмәнең аерым очрагы. Үзгәрешле х ның нәрсәгә тигез икәнен белгәннән соң, у = kx + т кагыйдәсе буенча у ның кыйммәтен һәрвакыт табарга мөмкин. Тигезләмәне (2) сызыкча функция дип атыйбыз. (2) тигезләмә ярдәмендә, х ның конкрет кыйммәтен күр¬ сәтеп, у ның тиңдәшле кыйммәтен исәпләү бик җиңел. Әйтик, мәсәлән, у = 2х + 3 ди. Ул чагында: әгәр х = 0 булса, у — 3; әгәр х = 1 булса, у = 5; әгәр х = -1 булса, у = 1; әгәр х = 3 булса, у = 9 һ.б. Гадәттә нәтиҗәләрне таблица рәвешендә язалар: Таблицаның икенче юлындагы у ның кыйммәтләрен у = 2х + 3 сызыкча функциясенең х = 0, х = 1, х = -1, х = 3 нокталарындагы тиңдәшле кыйммәтләре диләр. 43
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ бәйсез үзгәрешле (аргумент) бәйле үзгәрешле сызыкча функция сызыкча функциянең графигы Чишү. (1) тигезләмәсендә х һәм у үзгәрешлеләре ти¬ гез көчле, ә (2) тигезләмәсендә алай түгел. Без аларның берсенә — х үзгәрешлесенә генә кон¬ крет кыйммәтләр бирәбез, ә у үзгәрешлесенең кыйммәте х ның сайлап алынган шушы кыйм¬ мәтенә бәйле. Шуңа күрә, гадәттә, х — бәйсез үзгәрешле (яки аргумент), у — бәйле үзгәрешле, диләр. 7 нче параграфтагы 1 нче теореманың аерым очрагы булган теорема болай әйтелә: ∣y = kx + m сызыкча функциясе¬ нең графигы туры сызык була. 1 нче мисал, у = 2х + 3 сызыкча функ¬ циясенең графигын төзергә. Таблица төзибез: х 0 1 </ | 3 | 5 хОу координаталар яссылыгында (0; 3) һәм (1; 5) ноктала- 'өзибез һәм алар аша туры үткәрәбез. Ул у = 2х + 3 сы- I функциясенең графигы була (рәс. 32). (Д ш кенә реаль хәлләрне сызыкча функциядән гыйбарәт н математик модельләр рәвешендә сурәтләргә мөмкин. тлар китерик. Рәс. 32 Беренче ситуация. Складта 500 т күмер булган. Көн саен 30 ар т күмер китерә баш¬ лаганнар. Складта 2, 4, 10 көннән соң күпме күмер булыр? Складтагы күмер у (тонналарда) х көн узганнан соң у = 500 + ЗОх формуласы белән исәпләнер. Шулай итеп, у = ЗОх + 500 сы¬ зыкча функциясе ситуациянең математик моделе була. Хәзер исәпләүләр кыен түгел: х = 2 булганда, у = 560 (у = ЗОх + 500 тигезләмәсенә х ны куеп, у = 560 ны табабыз); х = 4 булганда, у = 620; х = 10 булганда, у = 800. 44
СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ 2. I Икенче ситуация. Складта 500 т күмер булган. Көн саен 30 ар т күмерне алып китә башлыйлар. Складта 2, 4, 10 көн¬ нән соң күпме күмер булыр? Биредә ситуациянең математик моделе булып у — 500 - ЗОх сызыкча функциясе тора. Шушы модель ярдәмендә мәсьәләнең соравына җавап бирү кыен түгел: әгәр х = 2 булса, у = 440 (у = 500 - ЗОх тигезләмәсенә х = 2 не куеп, у = 440 ны табабыз); әгәр х = 4 булса, у = 380; әгәр х = 10 булса, у = 200. Өченче ситуация. Турист А пунктыннан В пунктына кадәр автобуста 15 км юл уза, ә аннан соң 4 км/сәг тизлек белән шул ук юнәлештә җәяү китә. Турист, җәяү китеп, 2 сәг тән, 4 сәг тән, 6 сәг тән соң А пунктыннан нинди ераклыкта тора? Әлеге ситуациянең математик моделе булып у = 15 + 4х сызыкча функциясе тора, биредә х — җәяү барылган вакыт (сәгатьләрдә), у — А пунктыннан ераклык (километрларда). Бу модель ярдәмендә мәсьәләнең соравына җавап бирәбез: әгәр х = 2 булса, у = 23 (у = 15 + 4х тигезләмәсенә х = 2 не куеп, у = 23 не таптык); әгәр х = 4 булса, у = 31; әгәр х = 6 булса, у = 39. Димәк, бер карап үткән һәр ситуациядә ма¬ тематик модель булып сызыкча функция хезмәт итә. Тик (игътибар!), җентекләбрәк якын килсәк, төзелгән өч математик модель дә бик үк төгәл түгел, үзгәрешлегә мәсьәләнең мәгънәсеннән чы¬ гып куелган чикләмәләр аларда исәпкә алын¬ мый. Ә бит беренче ситуациядә х үзгәрешлесе бары тик 1, 2, 3, ... кыйммәтләрен генә алырга мөмкин, чөнки х — көннәр саны. Димәк, беренче ситуациянең төгәл күрсәтелгән матема¬ тик моделе болай күрсәтелә: у = 500 + ЗОх, биредә х — натураль сан. Икенче ситуациядә у ≥ 0 шартын өстәргә кирәк. Биредә бе¬ ренче ситуациядәге кебек үк көннәр санын аңлаткан х бәйсез үзгәрешлесе 1, 2, 3, ..., 16 кыйммәтләрен генә алырга мөмкин. Чынлап та, х = 16 булганда, у = 500 - ЗОх формуласы буенча табабыз: у = 500 - 30-16 = 20. Димәк, 17 нче көнне склад¬ тан 30 т күмер алып чыгып булмаячак, чөнки бу көнгә анда игътибар итегез 45
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ бары 20 т гына күмер кала, һәм бу эшне туктатырга туры киләчәк. Шунлыктан икенче ситуациянең төгәл математик мо¬ деле мондый була: у = 500 - ЗОх, у > 0 яки у = 500 - ЗОх, биредә х = 1, 2, 3, ..., 16. Өченче ситуациядә бәйсез үзгәрешле теоретик яктан тис¬ кәре булмаган теләсә нинди кыйммәт алырга мөмкин (х = 0, х = 2, х = 3,5 Һ.6.), әмма чынлыкта турист алсыз-ялсыз бер үк тизлек белән бара алмый. Димәк, безгә дә х ка карата чын¬ барлыкка туры килерлек чикләмәләр куярга кирәк, мәсәлән, 0 ≤ х ≤ 6 (ягъни турист 6 сәгатьтән артык бармый). Исегезгә төшерик: катгый булмаган ике- ► ле о ≤ x ≤ 6 тигезләмәсенең геометрик мо¬ деле булып координаталар турысындагы [0; 6] кисемтәсе хезмәт итә. Димәк, өченче ситуациянең төгәл математик моделе болай языла: у = 15 + 4х, биредә х [0; 6] кисемтәсенә керә. «х X күплегенә керә» дигән фраза урынына х ∈ X дип язу кабул ителгән (ул «х элементы X күплегенә керә» дип укы¬ ла, ∈ — нәрсәгәдер керү тамгасы). Күреп торасыз, сезнең ма¬ тематика теле белән танышуыгыз һаман дәвам итә. Натураль саннар күплеген гадәттә N хәрефе белән тамгалыйлар.Димәк, «х — натураль сан» дигән аңлатма урынына х ∈ N язмасын да кулланып була икән. Әгәр у = kx + т сызыкча функциясен х ның барлык кыйм¬ мәтләре өчен дә түгел, ә ниндидер X саны күплегенә керүче кыйммәтләре өчен генә тикшерергә кирәк булса, болай язалар: у = kx + т, х ∈ X. Ә хәзер алда тикшерелгән ситуацияләрнең тагын да төгәл¬ рәк математик модельләрен язабыз. Беренче ситуация: у = 500 + ЗОх, х ∈ N. Икенче ситуация: у = 500 - ЗОх, х ∈ {1, 2, 3, ..., 16}. Өченче ситуация: у = 15 + 4x, х ∈ [0; 6]. 2 нче мисал. Сызыкча функциянең графигын төзергә: а) у = -2x + 1, х ∈ [-3; 2]; б) у = -2x + 1, х ∈ (-3; 2). Чишү, а) Сызыкча у = -2x + 1 функциясе өчен таблица төзибез: х I -3 2 У | 7 | -3 46
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ xθy координаталар яссылыгында (—3; 7) һәм (2; -3) нок¬ таларын төзибез һәм алар аша туры үткәрәбез. Бу туры — у = -2x + 1 тигезләмәсенең графигы. Аннан соң төзелгән нокталарны тоташтыручы кисемтәне аерып алабыз (рәс. 34). Әлеге кисемтә у = -2x + 1 (х ∈ [-3; 2]) сызыкча функциясенең графигы була. Гадәттә болай диләр: без [-3; 2] кисемтәсендә у = —2x + 1 сызыкча функциясенең графигын төзедек. б) Бу мисал алдагысыннан ни белән аерыла? Сызыкча функ¬ ция шул ук (у = -2x + 1), димәк, аның да графигы шул ук туры була. Тик игътибарлы булыгыз! Бу очракта х ∈ (-3; 2), ягъни х = -3 һәм х = 2 кыйммәтләре тикшерелми, алар (-3; 2) интервалына кермиләр. Координаталар турысында интервал очларын ничек билгеләгән идек әле? Әйе, буялмаган түгә¬ рәкләр белән (рәс. 37), бу турыда 5 нче параграфта әйтелде. Шулай ук (-3; 7) һәм (2; -3) нокталарын да буялмаган түгә¬ рәкләр белән билгеләргә кирәк булачак. Бу безгә у = -2x + 1 турысының түгәрәкләр белән билгеләнгән нокталары арасында¬ гы өлеше (ягъни нокталары) генә алына дигәнне күрсәтә. Кай¬ бер очракларда буялмаган түгәрәкләр түгел, ә уклар белән дә билгелиләр (рәс. 35). Ничек билгеләү мөһим түгел, нәрсә ту¬ рында сүз барганны аңлау мөһимрәк. (Д 47
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ 3 нче мисал. Сызыкча у = -х +4 w 2 функциясенең [0; 6] кисемтәсендәге иң зур һәм иң кечкенә кыйммәтләрен таба¬ быз. Чишү, у = ±х + 4 сызыкча функ- циясе өчен таблица төзибез: X 0 6 У 4 7 хОу координата лар яссылыгында (0; 4) һәм (6; 7) нокталарын төзибез һәм алар аша туры үткәрәбез, бу туры у = -х + 4 функциясенең графигы була (рәс. 38). функциянең иң зур кыйммәте функциянең иң кечкенә кыйммәте Безгә бу сызыкча функцияне тулысынча түгел, ә [0; 6] кисемтәсендә, ягъни х ∈ [0; 6] өчен генә карарга кирәк. Графикның шуңа тиң¬ дәшле кисемтәсе сызымда аерып күрсәтелгән. Шуны искәртәбез: бүленеп алынган өлештәге нокталарның иң зур ординатасы 7 гә тигез һәм ул [0; 6]кисемтәсендә у = -х +4 сызыкча функ¬ циясенең иң зур кыйммәте була. Гадәттә z∕max = 7 язылышын кулланалар. 38 нче рәсемдә турының билгеләнгән өлешенә керүче нокталарның иң кечкенә ординатасы 4 кә тигез — һәм ул у = -х +4 сызыкча функция- 2 сенең [0; 6] кисемтәсендәге иң кечкенә кыйммәте була. Гадәттә ymin = 4 язылышын кулланалар. Җавап: ymax = 7, ymin = 4. 4 нче мисал, у = -1,5х + 3,5 сызыкча функциясе өчен: a) [1; 5] кисемтәсендә; б) (1; 5) интервалында; в) [1; 5) ярыминтервалында; г) [0; +∞) нурында; д) (-оо; 3] нурында ‰ax һәм ‰in ны табарга. 48
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ Чишү, у = —1,5х + 3,5 сызыкча функциясе өчен табли¬ ца төзибез: х 1 5 ι∕2-4 хОу координаталар яссылыгында (1; 2) һәм (5; -4) нок¬ таларын төзибез һәм алар аша туры үткәрәбез (рәс. 39-43). Төзелгән турыда [1; 5] кисемтәсендә (рәс. 39), (1; 5) ин¬ тервалында (рәс. 40), [1; 5) ярыминтервалында (рәс. 41), [0; +∞) нурында (рәс. 42), (-оо; 3] нурында (рәс. 43) х ның кыйммәтләренә туры килгән өлешләрне аерып алабыз. Рәс. 41 Рәс. 42 49
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ a) 39 нчы рәсем ярдәмендә z∕max = 2 (сызыкча функция бу кыйммәткә х — 1 булганда ирешә), ә (∕rnin = -4 (сызыкча функ¬ ция бу кыйммәткә х = 5 булганда ирешә) икәнен билгеләү кыен түгел. б) Алдагы очрактан аермалы буларак, кисемтәнең ике очы да, ә аларда иң зур һәм иң кечкенә кыйммәтләргә ирешелде, тикшерүдән төшеп кала (рәс. 40). Графикның калган ноктала¬ ры арасында иң зур ординатасы булган нокта да, иң кечкенә ординатасы булган нокта да юк. Димәк, бирелгән сызык¬ ча функциянең бирелгән интервалда иң зур һәм иң кечкенә кыйммәтләре юк. в) 41 нче рәсем ярдәмендә табабыз: ymax = 2 (беренче очрак¬ тагы кебек), ә сызыкча функциянең иң кечкенә кыйммәте юк (икенче очрактагы кебек). г) Утах = 3,5 (бу кыйммәткә сызыкча функция х = 0 бул¬ ганда ирешә), ә yπlin булмый (рәс. 42). д) Ушш = (бУ кыйммәткә сызыкча функция х = 3 бул¬ ганда ирешә), ә ymax булмый (рәс. 43). 5 нче мисал, ι∕ = 2x-6 сызыкча функциясенең гра¬ фигын төзергә. График ярдәмендә түбәндәге сорауларга җавап бирергә: а) х ның нинди кыйммәте өчен у = 0; б) х ның нинди кыйммәтләре өчен у > 0; в) х ның нинди кыйммәтләре өчен у < 0? 50
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ Чишү, у = 2х - 6 сызыкча функциясе өчен таблица төзибез: X 0 3 У -6 0 (0; -6) һәм (3; 0) нокталары аша туры сызыкча у = 2х - 6 функциясенең графигын үткәрәбез (рәс. 44). а) х = 3 булганда, у = 0. График х күчәрен х = 3 нок¬ тасында кисеп үтә, һәм бу ноктаның ординатасы у = 0 була. б) х > 3 булганда, у > 0. Чынлап та, х > 3 булганда, турының тиңдәшле өлеше х күчәреннән өстә урнаша, димәк, турының тиңдәшле нокталарының ординаталары уңай була. в) у < 0 булганда х < 3. Чынлап та, х < 3 булганда, турының тиңдәшле өлеше х күчәреннән аста урнаша, димәк, турының тиңдәшле нокталарының ординаталары тискәре була. <И Игътибар итегез, бу мисалда без график яр- ⅛ дәмендә чиштек: В a) 2х - 6 = 0 тигезләмәсен (х = 3); р б) 2х - 6 > 0 тигезләмәсен (х > 3); в) 2х - 6 < 0 тигезләмәсен (х < 3). Искәрмә. Сөйләшкәндә, без еш кына бер үк объектны төрлечә атыйбыз, мәсәлән, «йорт», «бина», «корылма», «коттедж», «сарай», «барак», «өй» һ.б. Математика телендә дә шулай дияргә мөмкин. Әйтик, ике үзгәрешлеле у = k× + т (биредә к, т — конкрет саннар) тигезлеген сызыкча функция дип тә, х һәм у ике үзгәрешлеле (яки х һәм у ике билгесезле) сызыкча тигезләмә дип тә, формула дип тә, х һәм у ны бәйли торган нисбәт дип тә, х һәм у арасындагы бәйлелек дип тә атарга мөмкин. Иң мөһиме — барлык очракларда да сүзнең у = кх + т математик моделе турында барганын аңларга кирәк. үсү киму 45, а рәсемендә сурәтләнгән сызыкча функ¬ ция графигын тикшерик. Әгәр бу график буй¬ лап сулдан уңга таба хәрәкәт итсәк, график нокталарының ординаталары һаман саен арта бара, без «тауга күтәреләбез» шикелле. Матема¬ тиклар бу очракларда үсү атамасын кулланалар һәм, әгәр k > 0 булса, у ≈ kx + т сызыкча функциясе үсә, диләр. 51
Хәзер 45, б рәсемендә сурәтләнгән сызыкча функция гра¬ фигын карыйк. Бу график буенча сулдан уңга таба юнәлсәк, график нокталарының ординаталары һаман саен кечерәя бара, без дә «таудан төшәбез» кебек. Мондый очракларда математик¬ лар кимү атамасын кулланалар һәм болай диләр: әгәр k < 0 булса, у = kx + т сызыкча функциясе кими. § 9. у = кх СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯСЕ Сызыкча у = kx + т функциясен тикшергәндә, т = 0 булган очрак аерым карала, ул чагында сызыкча функция у = kx рәвешен ала. ∣y = kx сызыкча функциясенең графигы коорди- наталар башлангычы аша үтүче туры була. Исбатлау. Ике этапка бүлеп исбатлыйбыз. 1. у = kx — сызыкча функциянең аерым очрагы, ә сы¬ зыкча функциянең графигы туры була (2 нче теорема буен¬ ча); аны I дип билгелибез. 2. х = 0, у = 0 пары у = kx тигезләмәсен канәгатьләндерә, шуңа күрә (0; 0) ноктасы у = kx тигезләмәсенең графигында, ягъни I турысында ята. Димәк, I турысы координаталар башлангычы аша үтә. Тео¬ рема исбат ителде. у = kx аналитик моделеннән геометрик модельгә генә түгел, геометрик модельдән аналитигына да күчә белергә кирәк. 52
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ Мәсәлән, хОу координаталар яссылыгында сурәтләнгән (рәс. 46) турыны карап үтик. Ул сызыкча у = kx функциясенең гра¬ фигы булып тора, бары k коэффициентының кыйммәтен генә у табарга кирәк. Биредә k = — булганлыктан, турыдагы теләсә кайсы ноктаны алырга һәм аның ординатасының абсциссасы¬ на чагыштырмасын табарга кирәк. Туры Р(3; 6) ноктасы аша θ үтә, ә бу нокта өчен - = 2. Димәк, k = 2, ә шунлыктан би- О релгән туры сызык у = 2х сызыкча функциясенең графигы булып тора. Сызыкча у = kx функциясенең графигы гадәттә болай тө¬ зелә: (1; fe) ноктасы алына (әгәр х = 1 булса, у = kx тигез¬ легеннән у = k икәнлеге табыла) һәм шушы нокта белән коор¬ динаталар башлангычы аша туры үткәрелә. Хәер, кирәк бул¬ ганда, (1; ⅛) ноктасын уңайлырак булган башка ноктага да алыштырырга мөмкин. 47 нче рәсемдә у = х (∕1 турысы), у = 2х 1 (Z2 турысы), у = -х (Z3 турысы; биредә 1;- 3 \ ноктасын алу бик ■’з/ үк уңышлы түгел, без (3; 1) ноктасын алабыз), у = -2x (Z4 ту¬ рысы) сызыкча функциясенең графиклары сурәтләнгән. Игътибар итегез: төзелгән туры белән х күчәренең уңай юнәлеше арасындагы почмак k коэффициентына бәйләнгән (бу почмакны х күчәреннән сәгать теленә каршы юнәлешкә таба 53
СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ "~~A^'Σ к исәплиләр). Әгәр k > 0 булса, почмак кысынкы ■ (47 нче рәсемдә Z1, l2, l3 турылары шулай ур- ≡ нашкан); әгәр k < 0 булса, бу почмак җәенке *⅛> ’ (47 нче рәсемдә сурәтләнгән Z4 турысы). Ә инде k > 0 икән, k зуррак булган саен, почмак та зуррак ПОЧМаКЧЗ коэффициент була. Мәсәлән 47 нче рәсемдә Z, турысы өчен k = - 3 Z1 турысы өчен k = 1, Z2 турысы өчен k = 2; k коэффициенты арткан саен, туры белән абсциссалар күчәренең уңай юнәлеше арасындагы почмак та арта бара. Шуңа күрә у = kx язылышын¬ да k коэффициентын почмакча коэффициент дип атыйлар. 48 нче рәсемдә у = 2х - 4 һәм у = 2х + 6 сызыкча функ¬ цияләренең графиклары сурәтләнгән. Алар икесе дә у = 2х сызыкча функциясе графигына параллель, тик беренче туры (у = 2х - 4) у = 2х турысын 4 масштаб берәмлегенә аска, ә икенчесе (у = 2х + 6) у = 2х турысын 6 масштаб берәмлегенә өскә таба күчерү юлы белән табыла. Гомуми нәтиҗәне түбәндәге теорема рәвешендә ясарга мөмкин. ∣y = kx + m сызыкча функциясенең графигы бу¬ лып торган туры у = kx сызыкча функциясе графигы булып торган турыга параллель. Шуның нәтиҗәсендә у = kx + т сызыкча функциясе язы¬ лышындагы k коэффициентын да почмак коэффициент дип йөртәләр. Әгәр k > 0 булса, у = kx + т турысы х күчәренең уңай юнәлеше белән кысынкы почмак (рәс. 45, а), ә k < 0 булса, җәенке почмак (рәс. 45, б) ясый. § 10. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯЛӘР ГРАФИКЛАРЫНЫҢ ҮЗАРА УРНАШУЫ Тагын бер тапкыр 48 нче рәсемдә сурәтләнгән у = 2х - 4 һәм у = 2х + 6 сызыкча функцияләре графикларына әйләнеп кайтыйк. Без инде бу ике турының у = 2х турысы¬ на параллель икәнен билгеләп үттек (§ 9), димәк, алар үзара да параллель була. Параллельлек билгесе булып почмакча коэффициентларның тигезлеге тора (барлык өч туры өчен дә 54
СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ k = 2). Әгәр дә почмакча коэффициентлар төрле булса, мәсәлән, у — 2х, һәм у = Зх + 1 сызыкча функцияләрендәге кебек, аларның графиклары булып торучы турылар параллель булмый һәм, билгеле инде, үзара туры да килмиләр. Димәк, әлеге туры¬ лар кисешәләр. Ә гомумән алганда, түбәндәге теорема дөрес була. Теорема 5. Ике сызыкча функция у = k1x + ml һәм у = fe2x ÷ т2 бирелгән булсын. Бирелгән сы¬ зыкча функцияләрнең графиклары булып то¬ ручы турылар: 1) әгәр kl = fe2, m1 ≠ т2 булса, параллель; 2) әгәр kl = k2, ml = т2 булса, үзара туры киләләр; 3) әгәр kl ≠ k2 булса кисешәләр. 1 нче мисал. Турыларның кисешү ноктасын табарга: а) у = 2х - 3 һәм у = 2 - б) у = -Зх + 1 һәм у = -Зх + 5. Ч и ш ү. а) у = 2х - 3 сызыкча функциясе өчен табабыз: х 0 2 У -з 1 49 нчы рәсемдә у = 2х - 3 сызыкча функциясенең графигы булып торучы l1 турысы (0; —3) һәм (2; 1) нокталары аша үткәрелгән. o 1 у = 2 - -х сызыкча функциясе өчен табабыз: Рэс. 49 49 нчы рәсемдә у торучы l2 турысы (0; = 2 - -х функциясенең графигы булып 2) һәм (2; 1) нокталары аша үткәрелгән. ll һәм l2 турылары (2; 1) ноктасында кисешәләр. 55
2. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ б) z∕ = -Зх + 1 һәм у — -Зх + 5 сызыкча функцияләренең почмакча коэффициентлары бер үк (k = -3), димәк, у = -Зх + 1 һәм у = -Зх + 5 турылары параллель була, ягъни аларның кисешү нокталары юк. (Д 2 нче мисал, у = 4х + 7 һәм у = -2х + 7 турыларының кисешү нокталарын табарга. Чишү. Биредә сызымнан башка да җавап бирергә була. Болай фикер йөртәбез. Беренчедән, турыларның почмакча коэф¬ фициентлары төрле (⅛1 = 4, k2 — -2), димәк, турылар бер нок¬ тада кисешәләр. Икенчедән, турыларның һәр икесе (0; 7) ноктасы аша үтә (сез zn1 = т2 = 7 икәненә игътибар иттегезме?). Димәк, (0; 7) эзләнелгән кисешү ноктасы була. Гомумән, у = k1x + т һәм у = k2x + т, (биредә ⅛1 ≠ fe2) ту¬ рылары (0; т) ноктасында кисешәләр. 2 нче бүлекне төгәлләгәндә, математика теленең үзенчәлекле билгесенә игътибар итәрбез: күп кенә сүзтезмәләрдә (фразалар¬ да) алгебра һәм геометрия телләренең (алар бердәм математика теленең состав өлешләре) элементлары бер үк вакытта очрый¬ лар. Әйтик, без болай дибез: 3 ноктасы, х = 2 турысы, у = -5 турысы, у = 2х + 3 турысы, [3; 7] кисемтәсе, [-2; +∞) нуры һ.б. Ә 10 нчы параграфта алгебра һәм геометрия телләрен бер үк төшенчәне бирүдә ничек иркен итеп куллану мөмкинлеген күрдек, моны түбәндәге таблицада да күрергә була. Сызыкча функцияләр Алгебраик шарт Геометрик нәтиҗә у = k1x + m1 у = k2x + т2 1) fe1 = k2, m1 ≠ т2 2) ⅛1 = fe2, m1 = т2 3) k1 ≠ k2 1) т = fe1x + ml һәм у = k2x + т2 турылары параллель 2) у = ⅛1x + m1 һәм у = k2x + т2 турылары тәңгәл киләләр 3) у = ⅛1x + τn1 һәм у = k2x + т2 турылары кисешәләр 56
2 . СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ ТӨП НӘТИҖӘЛӘР Без математика теленең сүз запасын түбәндәге ата¬ малар белән баеттык: яссылыкта турыпочмаклы координаталар системасы (Декарт координаталар системасы); координаталар яссылыгы, координата почмаклары, координаталар башлангычы; абсцисса, ордината, абсциссалар күчәре, ординаталар күчәре; ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә (ах + by + с = 0); ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәне чишү; бәйсез үзгәрешле (аргумент); бәйле үзгәрешле; сызыкча функция (у = kx + т); почмакча коэффициент (у = kx + т сызыкча функция¬ се өчен). Без түбәндәге билгеләнешләрне керттек: хОу (яссылыктагы турыпочмаклы координаталар сис¬ темасы өчен); M(χ∙, у) (координаталар яссылыгында М ноктасының координаталарын белү өчен); J∕max, ymin (сызыкча функциянең бирелгән санлы ара¬ лыктагы иң зур һәм иң кечкенә кыйммәтләре өчен). Сез өч яңа математик модель белән таныштыгыз: у — kχ∙, у — kx + т; ах + by + с — 0. Сез түбәндәгеләрне белдегез: х = а тигезләмәсенең графигы булып ординаталар күчәренә параллель һәм абсциссалар күчәрендәге а ноктасы аша үтүче туры тора; аерым алганда, х = 0 — ординаталар күчәренең тигезләмәсе; у = b тигезләмәсенең графигы булып абсциссалар күчәренә параллель һәм ординаталар күчәрендәге b ноктасы аша үтүче туры тора; аерым алганда, у = 0 — абсциссалар күчәре тигезләмәсе; 57
2 . I СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ у = kx сызыкча функциясенең графигы булып коорди- наталар башлангычы аша туры тора; у = kx + т сызыкча функциясенең графигы туры сы¬ зык була; ах + Ъу + с = 0 сызыкча тигезләмәсенең графигы булып, a, Ъ коэффициентларының кимендә берсе нульгә тигез булмаган очракта, туры сызык тора. Без түбәндәге алгоритмнарны өйрәндек: хОу турыпочмаклы координаталар системасында бирелгән М ноктасының координаталарын табу алго¬ ритмы; хОу турыпочмаклы координаталар системасында М(а; Ъ) ноктасын төзү алгоритмы; сызыкча ах + by + с = 0 тигезләмәсенең графигын төзү алгоритмы.
ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ 3 БҮЛЕК §11 . Төп төшенчәләр §12 . Алыштырып кую юлы §13 . Алгебраик кушу юлы §14 . Реаль ситуацияләрнең математик модельләре буларак, ике үзгәрешлеле ике тигезләмә системалары §11 . ТӨП ТӨШЕНЧӘЛӘР 7 нче параграфта без ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә төшенчәсен керттек: ax + by + с = 0 тигезлеген шу¬ лай дип атыйлар, биредә a,b,c — конкрет саннар, ә х, у — үзгәрешлеләр (билгесезләр). Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәләргә мисаллар: 2x - Зу + 1 = 0; х + у - 3 = 0; 8 - St + 4 = 0 (биредә үзгәрешлеләр башкача: s һәм t дип билгеләнгән, ләкин бу мөһим түгел). Шул ук 7 нче параграфта без ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәне чишү төшенчәсен дә керттек: тигезләмәне канә¬ гатьләндерә, ягъни үзгәрешлеләр кергән ах + by + с = 0 тигез¬ леген дөрес санлы тигезлеккә әверелдерә торган теләсә нин¬ ди саннар парын (х; у) шулай дип атыйлар. Беренче урын¬ да һәрвакыт х үзгәрешлесенең кыйммәтен, икенче урында у үзгәрешлесенең кыйммәтен язалар. Мисаллар китерик: 1. (2; 3) — 5х + Зу - 19 = 0 тигезлегенең чишелеше. Чын¬ нан да, 5∙2 + 3∙3-19 = 0 — дөрес санлы тигезлек. 2. (-4; 2) — Зх - у + 14 = 0 тигезләмәсенең чишелеше. Чыннан да, 3 • (-4) - 2 + 14 = 0 — дөрес санлы тигезлек. 59
3. ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ 3. θ' ^ q — -0,4х + Зу + 7 =0 тигезләмәсенең чишеле- ∖ θ∕ ( 7''1 ше, чөнки -0,4 • 0 + 3 • -- + 7 = 0 — дөрес санлы тигезлек. ∖ θ) 4. (1; 2) — 2х - Зу + 1 = 0 тигезләмәсенең чишелеше була алмый. Чынлыкта 2∙l-3∙2 + l = 0 — дөрес булмаган ти¬ гезлек (-3 = 0 килеп чыга). 8 нче параграфта без ах + by + с = 0 рәвешле математик модельне һәрвакыт тагын да гадирәге у = kx + т белән алыш¬ тырып булганны күрдек. Мәсәлән, Зх - 4у + 12 = 0 тигезләмә- 3 . о сен у = —х + 3 рәвешенә кертергә мөмкин. 4 Сызыкча тигезләмәнең (ах + by + с = 0) графигы, a, b коэффициентларының берсе генә булса да нульгә тигез булма¬ ган очракта (а = 0, b = 0 очрагын без бу бүлектә тикшермибез) туры сызык була (7 нче параграфны кара). Бу турыдагы теләсә кайсы ноктаның координаталары ах + by + с = 0 тигезләмәсен канәгатьләндерәләр, ягъни тигезләмәнең чишелеше була¬ лар. ах + by + с = 0 тигезләмәсенең ничә чишелеше бар соң? ах + by + с = 0 тигезләмәсенең графигы булып торучы туры¬ да ничә нокта булса, нәкъ шуның кадәр, ягъни чиксез күп. Күп кенә реаль ситуацияләр, математика теленә күчергәннән соң, ике үзгәрешлеле ике сызыкча тигезләмәдән торучы матема¬ тик модель рәвешендә язылалар. Мондый хәл белән без 7 нче параграфта Галиев һәм Сәлимов утырткан алмагачлар турын¬ дагы мәсьәләдә очраштык. Математик модель 5х - 2у = 0 һәм Зх + 2у - 16 = 0 тигезләмәләреннән торды, ә безне исә (х; у) кыйммәтләре парының ике тигезләмәне дә бер үк вакытта канәгатьләндерә торганы кызыксындыра. Мондый очракларда математик модель ике тигезләмәдән тора димиләр, ә матема¬ тик модель тигезләмәләр системасыннан гыйбарәт, диләр. Гомумән, әгәр ике х һәм у — үзгәрешлеле ике сызыкча тигезләмә: α1x + b1y + c1 = 0 һәм a2x + b2y + с2 = 0 бирелгән булса, һәм бер үк вакытта ике тигезләмәне дә канәгатьләндерә торган (х; у) кыйммәтләр парларын табарга кирәк булса, бирелгән тигезләмәләр системасы турында сүз алып баралар. Системаның тигезләмәләрен берсе астына икенчесен язалар һәм махсус символ — фигуралы җәя белән берләштерәләр: 60
ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ тигезләмәләр системасы системаның чишелеше a1x + bly + c1 =0, a2χ + Ь2У + с2 = °. (1) Бер үк вакытта системаның һәм беренче, һәм икенче тигезләмәсенең чишелеше булып торган (х; у) кыйммәтләр пары системаның чишелеше дип атала. Системаны чишү — аның барлык чишелеш¬ ләрен табу яисә аларның юклыгын билгеләү дигән сүз. Хәзер без сызыкча тигезләмәләр системасы белән алда да очраштык дип әйтә алабыз: 7 нче параграфта бакчачылар турындагы мәсьәләнең математик моделе шундый иде: (5х - 2у = 0, (2) ∣3x + 2у - 16 = 0 (биредә х <≡N,y ≡N). Аның чишелеше (2; 5) пары иде, ягъни х = 2, у = 5. Яңа мисаллар карап үтәрбез. 1 нче мисал. Тигезләмәләр системасын чишәргә: [х + 2у - 5 = 0, [2х + 4у + 3 = 0. Чишү, x + 2ι∕-5 = 0 тигезләмәсенең графигы туры сызык була. Үзгәрешле х һәм у ның бу тигезләмәне канәгатьлән¬ дерә торган ике пар кыйммәтен табабыз. Әгәр у = 0 булса, х + 2у - 5 = 0 тигезләмәсеннән х = 5 не табабыз. Әгәр х = 0 булса, х + 2у - 5 = 0 тигезләмәсеннән у = 2,5 не табабыз. Шулай итеп ике нокта таптык: (5; 0) һәм (0; 2,5). хОу коор- динаталар яссылыгында бу ике нокта аша үтүче турыны төзи¬ без — 50 нче рәсемдә lx турысы. 2х +4г/ + 3 =0 тигезләмәсенең графигы да туры була. Үзгә¬ решле (х, у) ның бу тигезләмәне канәгатьләндерә торган ике пар кыйммәтен табабыз. Әгәр у = 0 булса, 2х + 4у + 3 = 0 тигезләмәсеннән х = -1,5 не табабыз. Әгәр х = 2,5 бул¬ са, 2х + 4у + 3 = 0 тигезләмәсеннән: 5 + 4у + 3 = 0 һәм у ≈ -2. Димәк, ике нокта: (-1,5; 0) һәм (2,5; -2) не таптык. 61
∙∙..⅛. ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ xθy координаталар яссылыгында бу ике нокта аша үтүче туры төзибез — 50 нче рәсемдә l2 турысы. Z1 и l2 турылары параллель. Мондый геометрик факт бирелгән тигезләмәләр системасы өчен нәрсәне аңлата соң? Әйе, система¬ ның чишелешләре юк (чөнки бер үк вакытта ике тигезләмәне дә канәгатьләндерүче нокталар, ягъни бер үк вакытта Z1 турысында да, Z2 турысында да ятучы нокталар юк). Җавап: системаның чишелешләре юк. 2 нче мисал. Суммалары 39 га, ә аермалары 11 гә тигез булган ике санны табарга. Чишү. Әгәр эзләнелгән саннарны х, у дип алсак, х + у — 39 һәм х — у = 11 була, һәм бу тигезлекләр бер үк вакытта үтәлергә тиеш: f х + г/ = 39, [х - У = 11- Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә системасын таптык. х һәм у ның ничәгә тигез икәнен уйлап табарга мөмкин, х = 25, у = 14. Тик, беренчедән, «уйлап табу алымы»н чын¬ барлыкта һәрвакытта да кулланып булмый. Ә икенчедән, баш¬ ка чишелеш юк дип тә кистереп әйтеп булмый, бәлки, без ахыргача «уйлап табып бетермәгәнбездер»? х + у = 39 һәм х - у = 11 тигезләмәләренең графикларын төзергә мөмкин, беренче мисалдан аермалы буларак, алар па¬ раллель түгел — бер ноктада кисешәләр. Бу ноктаны без инде беләбез: (25; 14); димәк, әлеге пар без эзләгәнгә туры килә һәм системаның бердәнбер чишеле¬ ше була. Җавап: 25 һәм 14. 1 нче һәм 2 нче мисаллар¬ да без сызыкча тигезләмәләрне чишүнең график юлын куллан¬ дык. 7 нче параграфта бакчачы¬ лар һәм аларның алмагачлары турындагы мәсьәләне дә шушы ук алым белән чишкән идек. 62
ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ тигезләмәләрне чишүнең график юлы Чиш Кызганычка каршы, график юл, «уйлап табу» юлы кебек үк, иң ышанычлысы түгел: мәсәлән, турылар кисешкән ноктаның координаталарын сызымда җиңел генә билгеләп булмый. 3 нче мисал. Тигезләмәләр системасын чишәргә: J Зх — у — 5 = 0, (g) [2х + у - 7 = 0. Системадагы тигезләмәләрнең графикларын төзибез. Биредә ике тигезләмәне дә сызыкча функция рәве¬ шенә үзгәртү уңайлырак. Беренче тигез¬ ләмәдән — у = Зх - 5, ә икенчесеннән у = 7 - 2х килеп чыга. Бер үк координаталар системасында y = 3x-5(51 нче рәсемдә Z1 турысы) һәм у = 7 - 2х (52 нче рәсемдә l2 турысы) сы¬ зыкча функцияләренең графикларын төзи¬ без. Алар А ноктасында кисешәләр һәм аның координаталары бирелгән системаның бердәнбер чишелеше була. Ә менә А нокта¬ сының абсциссасын һәм ординатасын төп- төгәл итеп 51 нче рәсемнән билгеләп булмый (А ноктасы билгеле бер шакмак эчендә «эленеп тора» кебек). Соңрак без бу ми¬ салга әйләнеп кайтырбыз әле. Тик шулай да сызыкча тигезләмәләр системасын чишүнең график юлы зур әһә¬ мияткә ия. Аның ярдәмендә түбәндәге мөһим нәтиҗәләр ясала: (1) системасының ике тигезләмәсенең дә графиклары — турылар; бу турылар кисешергә мөмкин, әмма бары бер ноктада гына — бу (1) системасының бердәнбер чишелеше бар дигән сүз (шушы параграфта каралган (2), (4), (5) системаларда шу¬ лай булды; бу турылар параллель булырга мөмкин — бу системаның чи¬ шелеше юк дигән сүз ((3) системасы шундый иде); 63
3. ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ чишелешсез система аныксыз система бу турылар бер-берсе өстендә ятарга мөмкин — бу системаның чишелешләре чиксез күп дигән сүз (система аныксыз дип тә әйтәләр). Шулай итеп, без яңа математик модель (1) — ике үзгәрешлеле ике сызыкча тигезләмә систе¬ масы белән таныштык. Безнең максат — аны чишәргә өйрәнү. «Уйлап табу» алымы ышаныч¬ сыз, график юлы да һәрчак коткара дип әйтеп булмый. Димәк, безгә мондый системаларны чишүнең ышанычлы алгебраик юлларын яки алымнарын та¬ барга кирәк. Алдагы параграфларда сүз шул турыда барыр. §12. АЛЫШТЫРЫП КУЮ юлы Тагын бер тапкыр 11 нче параграфтагы (2) системага кайтыйк: )5х - 2у = 0, [Зх + 2у - 16 = 0. Без аны 7 нче параграфта график юл белән чиштек һәм х = 2, у = 5 нең бу системасының бердәнбер чишелеше икәнен беләбез. Ә хәзер шушы ук системаны икенче юл белән чи¬ шеп карарбыз. Беренче тигезләмәне 2у = 5х рәвешенә китерәбез, ягъни у — 2,5х. Икенче тигезләмәне 2у = 16 - Зх рәвешенә китерәбез һәм у = 8 - 1,5х (2у = 16 - Зх тигезләмәсенең барлык коэф¬ фициентларын да 2 гә бүләбез). Хәзер системаны болай язар¬ га мөмкин: f у = 2,5х, | у = 8 - 1,5х. Безне х ның 2,5x = 8 - 1,5х булгандагы кыйммәте кы¬ зыксындыра. Бу тигезләмәдән табабыз: 2,5x + 1,5х = 8; 4х = 8; х = 2. Әгәр х = 2 булса, у = 2,5х тигезләмәсеннән у = 5 не таба¬ быз. Шулай итеп, (2; 5) — системаның чишелеше (без моны тапкан идек инде). 64
ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ алыштырып кую юлы Әлеге фикер йөртүләр 7 нче параграфтагы фикерләүләрдән ни белән аерыла соң? Биредә бернинди графиклар төзеп торасы булмады, бар¬ лык эш алгебра телендә барды. Без ничек фикер йөрттек? Без беренче тигезләмәдән у ны х аша күрсәттек һәм у = 2,5х ны таптык. Аннан соң икенче тигез¬ ләмәдә у урынына 2,5х аңлатмасын куйдык һәм 2,5x — 8 - 1,5х килеп чыкты. Бу тигезләмәне х ка карата чиштек һәм х = 2 булды. Иң соңыннан у = 2,5х формуласы буенча у ның тиңдәшле кыйммәтен таптык. Ьәм менә нәрсә мөһим: икен¬ че тигезләмәдә у ны х аша күрсәтү бөтенләй мәҗбүри түгел, бирелгән Зх + 2у - 16 = 0 тигезләмәсендә у урынына 2,5х ны да куярга мөмкин иде. Карагыз: Зх + 2∙2,5x - 16 = 0; Зх + 5х = 16; 8х = 16; х = 2. Фикер йөртүләрнең мондый алымы алыштырып кую юлы дип атала. Ул билгеле бер адымнар эзлеклелегеннән, ягъни ниндидер алгоритмнан гыйбарәт. Ике үзгәрешлеле ике тигезләмә системасын алыштырып кую юлы белән чишү алгоритмы 1. Системаның беренче тигезләмәсеннән у ны х аша күрсәтергә. 2. Беренче адымда табылган аңлатманы системаның икенче тигезләмәсендә у урынына куярга. 3. Икенче адымда табылган тигезләмәне х ка карата чишәргә. 4. х ның өченче адымда табылган кыйммәтен беренче адымда у ны х аша күрсәткән аңлатмага куярга. 5. Җавапны (х; у) кыйммәтләр пары рәвешендә язарга, өченче һәм дүртенче адымнарда табылган саннар алына. 1 нче мисал. Тигезләмәләр системасын чишәргә: ∫ Зх - у - 5 = 0, ∣2x + у - 7 = 0. Чишү. 1) Системаның беренче тигезләмәсеннән табабыз: у = Зх - 5. 65
3. || ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ 2) Табылган аңлатманы системаның икенче тигезләмәсендә у урынына куябыз: 2х + (Зх - 5) - 7 =0. 3) Табылган тигезләмәне чишәбез: 2х + Зх - 5 - 7 =0; 5х - 12 = 0; 5х = 12; 12 х = —. 5 4) х ның табылган кыйммәтен у = Зх - 5 формуласына куя¬ быз: o 12 _ 36 c 36 - 25 11 5 5 5 5 12 _ 11 5) х ——, у —— пары — бирелгән системаның бердәнбер чишелеше. Җавап: ү). Ә ә Сез бу системаны таныдыгызмы? Без аның белән үткән параграфта очрашкан идек ((5) система), аны график юл бе¬ лән чишәргә тырышып карадык, әмма төгәл җавап ала алма¬ ган идек. Аның каравы алыштырып кую юлы ярдәм итте. Ул тагын да катлаулырак тигезләмәләр системаларында да еш кулланыла; мондый системалар белән без югары сыйныф¬ ларда танышырбыз. Бу алым, бәлки, һәрвакыт иң файдалы- сы да түгелдер (һәрчак җиңел генә булмый), әмма җитәрлек дәрәҗәдә ышанычлы санала. Алыштырып кую юлы сурәтләнгән биш адымлы алгоритм¬ га әйләнеп кайтыйк. Сезгә ни өчен у ны нәкъ менә беренче тигезләмәдән х аша күрсәтергә һәм икенчесенә куярга, нигә икенче тигезләмәдән беренчесенә куймаска дигән сорау тума¬ дымы? Ьәм, гомумән, ни өчен әле у ны х аша күрсәттек, ни өчен х ны у аша түгел, ни өчен шундый тигезсезлек биредә? Җавап: бернинди сәбәп тә юк. Ничек эшләсәгез дә ярый, тик арада иң гади вариантларын сайлап алырга тырышыгыз. 2 нче мисал. Тигезләмәләр системасын чишәргә: ∫ 5х - Зу + 8 — 0, [х + 12у = 11. 66
ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ Чишү. 1) Икенче тигезләмәдән х ны у аша күрсәтәбез: х = 11 - 12z∕. 2) Табылган аңлатманы системаның беренче тигезләмәсенә х урынына куябыз: 5(11 - 12z∕) - Зу + 8 = 0. 3) Табылган тигезләмәне чишәбез: 55 - 60 у - Зу + 8 = 0; 63 - 63у = 0; 63у = 63; У = 1- 4) у ның табылган кыйммәтен х = 11 - 12у формуласы¬ на куябыз: х = 11 - 12 ∙1 = -1. 5) х = -1, у = 1 пары— бирелгән системаның бердәнбер чишелеше. Җавап: (-1; 1). §13. АЛГЕБРАИК КУШУ ЮЛЫ Без еш кына элегрәк хәл ителгән гамәлләргә кире кайтабыз, мәсәлән, бу ситуациягә башка күзлектән чыгып ка¬ рау кирәк була. Менә хәзер дә 12 нче параграфтагы 1 нче мисалга кайтырбыз, анда түбәндәге тигезләмәләр системасы каралган иде: Зх - у - 5 = 0, 2х + у - 7 = 0. Бу системаны без ничек чиштек? Беренче тигезләмәдән у ны таптык һәм икенче тигезләмәгә куйдык, ул бер билгесез- ле (х) тигезләмәгә әйләнде, ягъни бу вакытлыча у үзгәрешлесен тикшерүдән калдырып тордык. Әмма у ны тикшерүдән төшереп игътибар итегез калдырудан гадирәк юл да бар: системаның тигезләмәләрен кушарга мөмкин (тигезләмәләрне кушу — аерым-аерым тигезләмәләрнең сул якла¬ ры суммасын, уң яклары суммасын төзү һәм та¬ былган суммаларны тигезләп кую дигән сүз). 67
ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ I Зх - у - 5 = 0, +1 [2х + у - 7 = 0; (Зх - у - 5) + (2х + у - 7) = 0 + 0; 5х - 12 = 0; 12 х = —. 5 Аннан соң х ның табылган кыйммәтен системаның теләсә кайсы тигезләмәсенә, мәсәлән, беренчесенә куярга һәм у ны табарга мөмкин: 3.12-jz-5 = 0; 5 y Чишү. Шуңа охшаш фикер йөртүләрне тагын берничә сызыкча тигезләмә системалары өчен кулланып карыйк. 1 нче мисал. Тигезләмәләр системасын чишәргә: ∫ 2x + Зу = 1, [5х + Зу = 7. 1) Икенче тигезләмәне беренчесеннән алабыз: (2x + Зу = 1, ~∣5x + Зу = 7; (2х + Зу) - (5х + Зу) = 1 - 7; 2х + Зу - 5х - Зу = -6; -Зх = -6; х = 2. 2) Табылган х = 2 кыйммәтен бирелгән системаның берен¬ че тигезләмәсенә, ягъни 2x + Зу = 1 тигезләмәсенә куябыз: 2∙2 + Зу ≈ 1; Зу = 1 - 4; Зу = -3; У = -i∙ 68
ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ 3) х = 2, у = -1 пары — бирелгән системаның чишелеше. Җавап: (2; -1). 2 иче мисал. Тигезләмәләр системасын чишәргә: f Зх - 4z∕ = 5, [2х + Зу ≈ 7. Чишү. Биредә тигезләмәләрне кушу яки алу ярдәмендә генә ике тигезләмәдән дә х үзгәрешлесен яки у үзгәрешлесен төшереп калдыру мөмкин түгел. Хәзерлек этабы кирәк була¬ чак. Башта беренче тигезләмәнең барлык буыннарын да 3 кә, ә икенче тигезләмәнең барлык буыннарын 4 кә тапкырлый¬ быз. Табабыз: 9х - 12у = 15, 8х + 12j∕ = 28. Хәзер тигезләмәләрне кушарга да була — моның белән у үз- 43 гәрешлесен төшереп калдырабыз: 17х = 43, ягъни х = —. Бирелгән системаның икенче, ягъни 2х + Зу = 7 тигез¬ ләмәсенә х ның табылган кыйммәтен куябыз: о 43 o _ o „ 86 o 119-86 „ 33 11 2 + Зу = 7; Зу = 7 ; Зу = ; Зу = —; у - —. 17 У У 17 y 17 y 17 У 17 Җавап: 43.11A 17’ 17/ Табылган чишелешнең кыска язылышы: Зх - 4у = 5 2х + Зу = 7 3 4 3(3x - 4j∕) + 4(2х + Зу) = 5 • 3 + ' Аннан соң табабыз: 17х = 43, х = һ.б. алгебраик кушу юлы Биредә вертикаль сызыкның уң ягына өстә¬ мә тапкырлаучылар языла, алар ярдәмендә систе¬ маның ике тигезләмәсендә дә у үзгәрешлесе ал¬ дындагы коэффициентларның абсолют зурлыкла¬ рын тигезләү мөмкин булды. Бу параграфта тикшергән алымны алгебраик кушу юлы дип йөртәләр. 69
3 ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ §14. РЕАЛЬ СИТУАЦИЯЛӘРНЕҢ МАТЕМАТИК МОДЕЛЬЛӘРЕ БУЛАРАК, ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ Дөресен әйткәндә, бу параграфта сез әллә ни зур яңалык тапмаячаксыз. Сез инде беләсез, реаль ситуация ике үзгәрешлеле ике сызыкча тигезләмә системасыннан гыйбарәт булган математик модель рәвешендә математика телендә сурәтләнә ала. 7 нче параграфта бакчачылар Галиев һәм Сәлимовлар мәсьәләсендә шулай булды. 11 нче па¬ раграфтагы 2 нче мисалда да шулай кабатланды. Шуңа күрә параграф исеменә туры килүче теоре¬ тик аңлатма шуның белән тәмам дияргә була. Ә менә практик, ягъни гамәли яктан караганда, яңа ситуацияләрне тикшерү файдалы булачак. Шуның белән шөгыльләник. Мисал. Дүшәмбе көнне җиденче сыйныфта мәктәпкә бер кыз һәм биш малай килми калган. Шуның белән сыйныфта¬ гы кызлар саны малайлар саныннан ике тапкыр күбрәк бул¬ ган. Сишәмбе көнне бер малай һәм тугыз кыз килми калган. Бу очракта малайлар саны кызлар саныннан 1,5 тапкыр күбрәк булган. Чәршәмбе көнне дәресләргә барлык балалар да килгән. Җиденче сыйныфта чәршәмбе көн ничә укучы дәресләрдә кат¬ нашкан? Чишү. Беренче этап. Математик модель төзү. Җиденче сыйныфта х — кызлар саны, у — малайлар саны булсын. Дүшәмбе көнне (х - 1) кыз, (у - 5) малай килгән. Кызлар бу көнне ике тапкыр күбрәк булган, ягъни х - 1 = 2(у - 5). Сишәмбе көнне (х - 9) кыз, (у - 1) малай килгән. Бу көнне малайлар 1,5 тапкыр күбрәк булган, ягъни у - 1 = l,5(x - 9). Ситуациянең математик моделе төзелде: ∣x-l = 2(ι∕-5), [ у - 1 = 1, 5(х - 9). 70
з. || ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ Икенче этап. Төзелгән модель белән эшләү. Башта системаның һәр тигезләмәсен гадиләштерәбез. Беренче тигезләмә өчен: х - 1 = 2(у - 5); х - 1 = 2у - 10; х - 2у + 9 = 0. Икенче тигезләмә өчен: у - 1 = l,5(x - 9); 2(y - 1) = 3(х - 9) (тигезләмәнең ике ягын да икегә тапкырладык); 2у - 2 = Зх - 27; Зх - 2у - 25 = 0. Шулай итеп, ике үзгәрешлеле ике сызыкча тигезләмә систе¬ масын төзедек: ∫ х - 2у + 9 = 0, [Зх - 2у - 25 = 0 (карала торган системаның үзгәртелгән математик моделе). Өйрәнү максатында бу системаны ике төрле юл белән чишәбез. Беренче юл. Алыштырып кую юлын кулланабыз. Системаның беренче тигезләмәсеннән табабыз: х = 2у - 9. Бу нәтиҗәне икенче тигезләмәгә х урынына куябыз. Табабыз: 3(2z∕ - 9) - 2у - 25 = 0; 4у = 52; У = 13. х = 2у - 9 булганлыктан, х = 2-13 — 9 = 17. Шулай итеп, х = 17, у = 13 — системаның чишелеше. Икенче юл. Алгебраик кушу юлын кулланабыз: ∫ х - 2у + 9 = 0, [Зх - 2у - 25 = 0; (х - 2у + 9) - (Зх - 2ι∕ - 25) = 0 - 0; х - 2у + 9 - Зх + 2у + 25 = 0; -2х + 34 = 0; х = 17. 71
ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ Системаның беренче тигезләмәсенә, ягъни х - 2у + 9 = 0 тигезләмәсенә х ның табылган кыйммәтен куябыз: 17 - 2у + 9 = 0; У = 13. Шулай итеп, х = 17, у = 13 — системаның чишелеше. Икенче этапны төгәлләдек (табылган системаны хәтта ике юл белән чиштек). Өченче этап. Мәсьәләнең соравына җавап. «Барлык укучылар да килгәннән соң, җиденче сыйныфта ничә укучы булган?»— дип соралган иде, х = 17 һәм у = 13, ягъни сыйныфта 17 кыз һәм 13 малай булганлыктан, сыйныфта барысы 17 + 13 = 30 бала укый дип нәтиҗә ясыйбыз. Җавап. 30 укучы. Искәрмә. Конкрет тигезләмәләр системасын чишү өчен, бу очракта иң урынлы дип саналган юлны да, үзегезгә ныграк ошаган юлны да сайлап алырга мөмкин (ягъни сез график юлны, алыштырып кую юлын яки ал¬ гебраик кушу юлын файдалана аласыз — барысы да сезнең карамакта). Бу мәсьәләдә төзелгән системаны без ике төрле юл белән чиштек — әлеге ике юлны кабатлау өчен дә, аларны бер-берсе белән чагыштыру өчен дә файдалы булыр. ТӨП НӘТИҖӘЛӘР Бу бүлектә без яңа математик төшенчәләр белән таныштык: ике үзгәрешлеле ике сызыкча тигезләмә системасы; тигезләмәләр системасын чишү; тигезләмәләрнең чишелешсез системасы, аныксыз системасы. Сез яңа математик модель — ике үзгәрешлеле ике сызыкча тигезләмә системасы белән таныштыгыз: a1x + b1y + c1 = 0, α2x + b2y + с2 = 0. Без сезнең белән сызыкча тигезләмә системаларын чишүнең өч алымын: график юл, алыштырып кую юлы, алгебраик кушу юлын тикшердек. 72
4 БҮЛЕК НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ §15 . Нәрсә ул натураль күрсәткечле дәрәҗә §16 . Төп дәрәҗәләр таблицасы §17 . Натураль күрсәткечле дәрәҗәнең үзлекләре §18 . Бер үк күрсәткечле дәрәҗәләрне тапкырлау һәм бүлү §19 . Нуль күрсәткечле дәрәҗә §15 . НӘРСӘ УЛ НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ Без сезнең белән өйрәнергә тиешле математика теленең бер үзенчәлеге булып аның мөмкин кадәр кыскалыкка — кыска язылышларга омтылуы тора. Математик a + a + a + a + a дип язмаячак, ул 5a дип яза; a + a + a + a + a + a + a + + a + a + a (биредә 10 кушылучы) дип язмый, ә Юа дип язачак, Д + Д + ••• + Д урынына па дип яза. п кушылучы Шуның кебек үк, математик 2 • 2 • 2 • 2 • 2 дип тә язмая¬ чак, ул махсус уйлап табылган кыска 25 язылышын кулла¬ на. Шундый ук бертөрле җиде тапкырлаучы 3∙3∙3∙3∙3∙3∙3 урынына да З7 диячәк. Билгеле, кирәк дип табылганда, кире юнәлештә дә хәрәкәт итеп була, мәсәлән, кыска 26 язылышын озынрак 2 • 2 • 2 • 2 ■ 2 • 2 язылышы белән алыштыралар. Яңа билгеләнеш килеп чыга икән, яңа атамалар да барлык¬ ка килә. Боларның барысын да (билгеләнешләрне дә, атамалар¬ ны да) яңа билгеләмә үз урынына куя. Гадәттә, яңа атаманың, яңа сүзнең, яңа билгеләнешнең асылын аңлатучы җөмләне билгеләмә дип йөртәләр. Билгеләмәләр тик торганда гына уй¬ лап табылмый, алар кирәге чыккан вакытта барлыкка килә. 73
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ дәрәҗә дәрәҗә нигезе дәрәҗә күрсәткече Билгеләмә 1. Ьәрберсе а санына тигез булган бертөрле п тапкырлаучының тапкырчы¬ гышы ап, биредә п = 2, 3, 4, 5, п дип ка¬ бул ителгән. Монда ап аңлатмасын — дәрәҗә, а санын — дәрәҗә нигезе, п санын дәрәҗә күрсәткече дип атыйлар. Тагын бер тапкыр искәртәбез, дәрәҗә күр¬ сәткече натураль сан (югары сыйныфларда бу чикләмә алыначак); гадәттә кыскарак итеп әйтелә, натураль күрсәткеч. Бу параграфның һәм, гомумән, бу бүлекнең исемен билгели. Шулай итеп, а ■ а ■ а ■ ... ■ a = an∙, п тапкырлаучы ап — натураль күрсәткечле дәрәҗә; а — дәрәҗә нигезе; п — дәрәҗә күрсәткече. < > ап язылышын «а ның п нчы дәрәҗәсе» дип укыйлар. Ис¬ кәрмә булып а2, ул «а ның квадраты» дип укыла («а ның икен¬ че дәрәҗәсе» дип укырга да мөмкин) һәм а3 тора, анысын «а ның кубы» дип укыйлар («а ның өченче дәрәҗәсе» дип уку мөмкин булса да). 1 нче мисал. 5• 5• 5• 5• 5• 5 тапкырчыгышын дәрәҗә рә¬ вешендә язарга һәм тиңдәшле атамаларны кулланырга. Чишү. Ьәрберсе 5 кә тигез булган алты бертөрле тапкыр¬ лаучының тапкырчыгышы бирелгәнлектән, язабыз: 5∙5∙5∙5∙5∙5=^ 56 — дәрәҗә; 5 — дәрәҗә нигезе; 6 — дәрәҗә күрсәткече. 74
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ 2 нче мисал. (-2)4 исәпләргә. Чишү. (-2)4 = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = 16. Җавап: 16. 3 нче мисал. Исәпләргә: - . у О ) „ (2}3 2 2 2 2-2-2 8 γ<3j 333 3-33 27 Җавап: —. Сез ничек уйлыйсыз, 1 нче билгеләмә пара¬ графның исеменә тулысынча туры килә микән? Параграф «Нәрсә ул натураль күрсәткечле дәрә¬ җә» дип атала, ягъни күрсәткеч сыйфатын¬ да теләсә нинди натураль сан торырга мөмкин. Ә 1 нче билгеләмәдә теләсә нинди натураль сан алынганмы соң? Сез бу сорауга ничек дип җавап бирәсез? Сорауга бергәләп җавап бирәбез: без ап дәрә¬ җәсе, биредә п = 2, 3, 4, ..., турында сөйләдек, ә менә п = 1 булган очракны күздән ычкындырдык. Бу югалтуны яңа билгеләмә ярдәмендә төзәтәбез. Билгеләмә 2. а санының 1 күрсәткечле дәрәҗәсе дип бу санның үзен атыйлар: 4 нче мисал, а һәм п ның бирелгән кыйммәтләре өчен ап дәрәҗәсенең кыйммәтләрен исәпләргә. а) а = 2,5, п = 2; д) a = -1, п = 5; б) 1 а = -, 3 п = 4; е) а = 0, п = 1; в) а = -5, п = 1; ж) а = 0, п = 12; г) a = -1, п = 4; з) a = 1, п = 17. Чишү, a) an = 2,52 = 2,5 -2,5 = 6,25; 75
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ б) an = Г 1Y - 1 1 1 1-1111-1. Ы 3 3 3 3 3 3 3 3 81’ в) an = (-5/ = -5; г) an = (-1)4 = (-1) • (-1) • (-1) • (-1) = 1; д) arl = (-1)5 = (-1) • (-1) • (-1) • (-1) • (-1) = -1; е) an = О1 = 0; ж) an = О12 = 0 ■ 0 ... • 0 = 0; з) an = I17 = 1 -1 .... 1 = 1. 17 тапкырлаучы дәрәҗәгә күтәрү ап дәрәҗәсен табу гамәлен дәрәҗәгә күтәрү дип атыйлар. 4 нче мисалда без дәрәҗәгә күтә¬ рүнең сигез очрагын карадык. 5 нче мисал. Исәпләргә: 71 ∙ 32∙(-2)3. Чишү. 1) 71 = 7; 2) З2 = 3 -3 = 9; 3) (-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8; 4) 7 ∙9 ∙(-8) = -504. Җавап: -504. Тикшерелгән материалларда без берничә тапкыр тискәре саннарны дәрәҗәгә күтәрдек. Сез шундый закончалыкны сиз- игъшибар итегез дегез микән: әгәр тискәре сан җөп дәрәҗәгә күтәрелсә, уңай сан килеп чыга, ә инде тискәре сан так дәрәҗәгә күтәрелсә, тискәре сан килеп чыга? Моның ни өчен шулай икәнен аңлатып ка¬ рагыз. § 16. ТӨП ДӘРӘҖӘЛӘР ТАБЛИЦАСЫ Сез тапкырлау таблицасын беләсез, аңа теләсә кай¬ сы берурынлы ике санның тапкырчыгышлары (3-5, 4-7 һ.б.) кертелгән һәм исәпләүләр барышында сез һәрвакыт бу таблицадан файдаланасыз. Эш өчен берурынлы гади саннар¬ ның дәрәҗәләре таблицасы да файдалы (мең эчендә). Аны төзибез. 76
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ 21 = 2 З1 = 3 51 = 5 71 = 7 22 = 4 З2 = 9 52 = 25 72 = 49 23 = 8 З3 = 27 53 = 125 73 = 343 24 = 16 З4 = 81 54 = 625 25 = 32 З5 = 243 26 = 64 З6 = 729 27 = 128 28 = 256 29 = 512 210 = 1024 Бу таблица ярдәмендә төзелмә саннарның да дәрәҗәләрен табарга мөмкин (шуңа күрә таблицага мондый дәрәҗәләрне кертмиләр). Мәсәлән, 93 = 9.9.9 = (3∙3)(3∙3)(3∙3) = 3∙3∙3∙3∙3∙3 = З6 = 729. 1 иче мисал. 2n = 128, 3fe = 243 икәне билгеле. Кайсы зуррак: п мы яки k мы? Чишү. Таблица буенча табабыз: 128 = 27, димәк, п = 7. Шулай ук таблицадан 243 = З5 икәнен табабыз, димәк, k = 5. 7 > 5 булганлыктан п > k. Җавап: п > k. Дәрәҗәләр таблицасын төзү җиңел булган әле тагын өч сан бар, биредә исәпләүләрнең кирәге юк, һәм нәтиҗә дә ал¬ дан билгеле. Болар 1, 0, -1, һәм бу нигезләр өчен дәрәҗәләр таблицасы түбәндәгечә була: Iя = 1, теләсә нинди п өчен; 0я = 0, теләсә нинди п өчен; әгәр п — җөп сан булса (п = 2, 4, 6, 8, ...), (-Dn = 1; әгәр п — так сан булса (п = 1, 3, 5, 7, ...), (-l)n = £1. Әгәр җөп сан формуласын п = 2k һәм так сан формула¬ сын п = 2k - 1 куллансак, болай яза алабыз: (-l)2k = 1; (-l)2k^1 = -l. Ә хәзер дәрәҗә нигезе сыйфатында 10 санын алыйк: Ю1 = 10, Ю2 = 100, 103 = 1000. 77
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ Игътибар итегез, күрсәткеч ничә булса, 1 циф¬ ры артыннан шул сандагы нульләр язарга кирәк. Гомумән, ιon = 1 goo111p. п нуль Мәсәлән, Ю6 - 1000 000; 100 000 = Ю5. 2 нче мисал. Аңлатманың кыйммәтен табарга: α17 + Ь18 + с19 (10c)4 α18-b37+c1 +(α + 3)4 a = —1, 5 = 0, с = 1 булганда. Чишү. 14 α17 + ⅛l8 + с19 = (-1)17 + 018 + I19 = -1 + 0 + 1 0 = _ а18 - Ь37 + c1 (-1)18 - 037 +Γ~ 1-0 + 1 ~ 2~ ’ 2) (10c)4 = (1° ∙ 1∕ = 1°4 = Ю 000 = 625. (α + 3)4 (-l + 3)4 24 16 3) 0 + 625 = 625. Җавап: 625. Параграф ахырында тагын бер тапкыр кабатлыйбыз, ма¬ тематиклар һәрвакыт язылышларның кыскалыгына, фи¬ керләрнең ачыклыгына омтылалар. Шуңа күрә, яңа төшенчә кертелгән саен, алар аның үзлекләрен өйрәнергә керешәләр, ә аннан соң бу үзлекләрне тормышта кулланалар. Натураль күрсәткечле дәрәҗәнең төрле үзлекләре турында алдагы пара¬ графта сөйләшербез. Ә хәзер бераз алга китеп булса да әйтеп үтәбез: әгәр шундый үзлекләрнең берсе турында белгән бул¬ сак, 93 аңлатмасын без алда күрсәтелгән кебек исәпләмәгән бу¬ лыр идек. Болай гына язар идек: 93 = (З2)3 = 3β = 729. алдарак белерсез Күргәнегезчә, ике тапкыр кыскарак. Ә мо¬ ның ни өчен шулай икәнен 17 нче параграф¬ та белербез. 78
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ §17. НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘНЕҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ Математик расламаларның күбрәк өлеше өч этап¬ тан торган юл уза. Беренче этапта кеше күп кенә конкрет очрак¬ ларда бер үк закончалыкны күреп ала. Икенче этапта ул үзе күргән закончалык¬ ны гомуми рәвештә формалаштырырга тырыша, ягъни бу закончалык карап үтелгән очракларда гына түгел, шуңа охшаган барлык очракларда да дөрес була дип фикер йөртә. Өченче этапта ул гомуми рәвештә (гипотетик) формула- лаштырылган закончалык чынлап та дөрес икәнен исбатлар¬ га тырыша. Нинди дә булса расланманы исбатлау — аның ни өчен дөрес икәнен аңлату ул (ышандырырлык итеп аңлату, «бу дөрес, чөнки ул дөрес» дип түгел). Исбатлау барышында инде билгеле булган фактларга гына таянырга мөмкин. Әйдәгез, бергәләп шул өч этапны узарга тырышыйк, дәрә¬ җәләрнең математикларга яхшы таныш булган үзлекләрен мөстәкыйль рәвештә ачарга, формалаштырырга һәм исбатлар¬ га тырышып карыйк. Беренче ачыш 1 иче мисал. Исәпләргә: a) 23 ∙ 2s; б) 31 • З4. Чишү, а) Табабыз: 23 • 25 = (2 • 2 • 2) • (2 • 2 • 2 • 2 • 2) = = 2 2 2 • 2 ■ 2 • 2 ■ 2 ■ 2 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2. 3 тапкырлаучы 5 тапкырлаучы 8 тапкырлаучы Барысы 8 бер үк төрле тапкырлаучы бар һәм аларның һәр¬ берсе 2 гә тигез, ягъни 28. Таблица буенча (§16) бу 256 ны бирә. б) Табабыз: 31∙34 = 3∙(3∙3∙3∙3) = 3 1 тапкырлаучы 3 ■ 3 ■ 3 ■ 3 = З5 = 243. 4 тапкырлаучы Җавап: а) 256; б) 243. 79
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ Мисалны чишү барышында без түбәндәгеләрне искәрттек: 23 ∙ 25 = 28, ягъни 23 ∙ 25 = 23 + 5; 31 ∙ 34 = З5, ягъни 31 ∙ 34 = 31 + 4. Биредә закончалык күзәтелә: тапкырлана торган дәрәҗә¬ ләрнең нигезләре бертөрле булганда, күрсәткечләр кушылалар. Беренче этап тәмам. Икенче этапта без үзебез өчен: ап ■ ak = an + k дигән гомуми закончалык ачтык дигән фараз ясыйк. Теорема 1. Теләсә нинди а саны һәм теләсә нинди нату¬ раль п һәм k өчен an ■ ah = an + ft тигезлеге дөрес. Гадәттә, теорема «әгәр ... булса (шарт), ... була (нәтиҗә)» формасында әйтелә. Мәсәлән, 1 нче теореманы түбәндәгечә формалаштырырга мөмкин (дөресрәге, шулай әйтү төгәлрәк тә була әле): Әгәр a — теләсә нинди сан һәм п, k натураль саннар булса, an∙ak = an + k тигезлеге дөрес була. Өченче этапта безнең фаразыбызның дөрес икәнен исбат¬ ларга, ягъни 1 нче теореманы исбатларга кирәк. Без дә моны эшләрбез — исбатлау түбәндәрәк бирелә. Аны укып чыгыгыз һәм аңларга тырышыгыз (исбатлауда натураль күрсәткечле дәрәҗәнең билгеләмәсе өч тапкыр кулланыла), аңлавы кыен¬ рак бирелсә, укып кына чыгыгыз. Исбатлау. 1) an = a ■ a ■ ... ■ a ; п тапкырлаучы 2) ak = a ■ a ■... ■ a; k тапкырлаучы 3) an ∙ ak = (a ∙ a ∙... ∙ α) ∙ (a ∙ a ■... ■ a) = п тапкырлаучы k тапкырлаучы = a ■ a ■... ■ a ■ a ■ a ■... ■ a = a ■ a ■... ■ a ■ a ■ a ■... ■ a = an + k. п тапкырлаучы k тапкырлаучы n+Λ тапкырлаучы Теорема исбатланды. Шулай итеп беренче ачышны ясадык. Дәвам итәбез. 80
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ Икенче ачыш 2 нче мисал. Исәпләргә: a) 26 : 24; б) 38 : З5. Чишү, а) Өлешне вакланма рәвешендә язабыз: 2»:2<- ^.(2-2.2.2).2.2 .2.2.2s.4 24 (2 • 2 • 2 ■ 2) я , (3 • 3 ■ 3 • 3 ■ 3) ■ 3 • 3 • 3 б) 3 :3 1 (⅞.3.3.3.3) =3∙3∙3 = 3≡ = 27. Җавап: а) 4; б) 27. Чишү барышында без түбәндәгеләрне искәрттек: 26 : 24 = 22, ягъни 26 : 24 = 26 ^ 4; З8 : З5 = З3, ягъни З8 : З5 = З8 ’ 5. Шундый закончалык күзәтелә: бүлүченең һәм бүленүченең нигезләре тигез, бүленүченең күрсәткече бүлүченең күрсәтке¬ ченнән зуррак булган вакытта бүленүченең күрсәткеченнән бүлүченең күрсәткече алына. Беренче этап тәмам. Икенче этапта an : ak = an ~ k (п > k булганда) гомуми за¬ кончалыгын ачтык дип фараз ясыйбыз. I Теләсә нинди a ≠ 0 һәм п > k тигезсезлеге үтәлгән теләсә нинди п һәм k натураль саннары өчен an : ak = an ~ к тигезлеге үтәлә. Сез хәзер «әгәр ... булса, ... була» кебек грамматик язылыш¬ тан файдаланып, 2 нче теореманы башкача формалаштыра ала¬ сызмы? Бу теоремада шартны һәм нәтиҗәне күрә беләсезме? Үзегез өчен шушы сорауларга җавап бирегез (ә безнең җавап теореманы исбатлаганнан соң китерелә). Исбатлау, an ~ k ■ ак тапкырчыгышыннан карыйбыз. Без инде беләбез: нигезләре бертөрле булган дәрәҗәләрне тапкыр¬ лаганда, күрсәткечләр кушылалар (бу турыда 1 нче теоремада сөйләнде), п - k һәм k күрсәткечләрен кушып, (п - ⅛) + k = п ны табабыз. Шулай итеп, an~k ∙ak — ап, ә бу an : ak = an~ k дигән сүз. Тео¬ рема исбатланды. Ә хәзер 2 нче теореманы башкача әйтәбез: Әгәр a ≠ 0 һәм п, k — п > k тигезсезлеге үтәлгән натураль саннар булса, an : ak = an ~ к тигезлеге дөрес була. 81
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ Теореманың шарты: a ≠ 0; п, k — натураль саннар, п > k. Теореманың нәтиҗәсе: an : ak = ап ' А. Икенче ачышны да ясадык. Дәвам итәбез. Өченче ачыш Знче мисал. Исәпләргә: а) (25)1 2; б) (З2)3. Чишү, а) Табабыз: (25)2 = 2® • 2® = 25 + 5 = 210 = 1024 (§16 тан кара). б) Табабыз: (З2)3 = 32 ∙ 32 ∙ 32 = 32 + 2 + 2 = З6 = 729 (§16 тан кара). Җавап: а) 1024; б) 729. Мисалны чишү барышында искәрттек: (25)2 = 210, ягъни (2®)2 = 2®’2; (З2)3 = З6, ягъни (З2)3 = З2'3. Закончалык күзәтелә: ике очракта да, дәрәҗәне дәрәҗәгә күтәргәндә, күрсәткечләр тапкырлана. Беренче этап тәмам. Икенче этапта (an)k = an'k дигән гомуми закончалыкны ач¬ тык дип фаразлыйбыз. I Теләсә нинди а саны һәм теләсә нинди п һәм k натураль саннары өчен (an)k = ank тигезлеге дөрес була. Теореманы исбатлау (өченче этап) параграфның иң ахы¬ рында бирелер (хәзергә 1 нче һәм 2 нче теоремаларны ис¬ батлау белән чикләнербез). Теләгегез булса, аны мөстәкыйль рәвештә (яки укытучы ярдәме белән) исбатлап карагыз. Без сезнең белән өч ачыш ясадык һәм алар өч җитди теоремага алып килде. Бу теоремаларны гамәлдә өч кагыйдә рәвешендә әйтү уңайрак һәм истә калдыру да уңайлы булачак. 1 нче кагыйдә. Бер үк нигезле дәрәҗәләрне тапкырлаганда, күрсәткечләр кушылалар. 2 нче кагыйдә. Бер үк нигезле дәрәҗәләрне бүлгәндә, бүлүченең күрсәткеченнән бүлүченең күрсәткече алына. 3 нче кагыйдә. Дәрәҗәне дәрәҗәгә күтәргәндә, күрсәткечләр тапкырлана. 82
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ Бу өч кагыйдәне 1, 2, 3 нче теоремаларның әйтелеше белән чагыштырыгыз. Аерманы сиздегезме? Теоремаларда барысы да үз урынында, барысы да төгәл, ә кагыйдәләрдә фикернең җиңеллеге сизелә, шуңа күрә алар җиңелрәк истә кала һәм кабул ителәләр; кагыйдәләр афоризмнарга охшаганрак. Бу ма¬ тематика теленең тагын бер үзенчәлеге: җитди һәм тулысын- ча эшкәртелгән формулировкалар белән беррәттән кыска һәм афоризмнарны хәтерләткән кагыйдәләр дә кулланыла. (23 • 24)5 4 нче мисал. Исәпләргә i ⅞-. (2 • 28) Чишү. 1) 23 ∙ 24 = 23 + 4 = 27 (1 нче кагыйдә); 2) (27)5 = 27'5 = 235 ( 3 нче кагыйдә); 3) 2 ∙ 28 = 21 + 8 = 29 (1 нче кагыйдә); 4) (29)3 = 29 3 = 227 (3 нче кагыйдә); 5) 235 : 227 = 235 ^ 27 = 28 (2 нче кагыйдә); 6) 28 = 256 (§ 16 тан кара). Җавап: 256. Тәҗрибәле сүз остасы, тыңлаучылар өчен гаять озын һәм катлаулы чыгышыннан соң, доклад ахырында, һичшиксез, иң мөһим, иң төп сорауларны тагын бер аерып күрсәтә. Без дә катлаулы һәм киеренке эш башкардык, хәзер, әйдәгез, иң төп өлешне аерып алабыз. Иң мөһиме — өч формула: an ∙ ak = an + к; an∙.ak = an~ к, биредә п > ⅛, a ≠ 0; (an)k = ank. Аларны уңнан сулга таба да, сулдан уңга таба да кулланыр¬ га мөмкин. Мәсәлән, 23 ∙ 25 = 28; 28 = 24 + 4 = 24 ■ 24; 22 + " = 22 • 2" = 4 • 2"; 37 : З1 = З6; З6 = З10 “ 4 3n 4 (53)4 = 512; 512 = (56)2 = (52)6 = (54)3 = (53)4. 83
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ Искәрмә. Без бер үк нигезле дәрәҗәләрне бары тик тапкырлау һәм бүлү турында гына сөйләдек. Ә менә аларны кушу һәм алу турында берни дә билгеле түгел. Яңа кагыйдәләр уйлап табарга тырышмагыз. Мәсәлән, 24 + 23 суммасын 27 белән алыштырырга ярамый; чынлап та, исәпләп карагыз: 24 = 16; 23 = 8; 16 + 8 =24, әмма бу һич кенә дә 27, ягъни 27= 128 түгел, 35-34 аермасын З* 1 2 белән алыштырырга ярамый, үзегез исәпләгез: 35 = 243,∙ 34 = 81; 243 - 81 = 162, ә бу инде 3’, ягъни 3’ = 3 түгел. Игъти¬ барлы булыгыз! Ә хәзер, алдарак вәгъдә иткәнлектән, 3 нче теореманы ис¬ батлыйбыз. (α ) = a a -... a = k тапкырлаучы = (α ∙ a ∙... ■ a) (a ■ a ■... ∙ a) ∙... ∙ (a ∙ a ∙... ∙ a) = Һәрберсендә n тапкырлаучы булган k төркем = a a ... ■ a ■ a ■ a ■■ a ■ a ■ a ... ■ a = ank. nk тапкырлаучы § 1 8 . БЕР ҮК КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘЛӘРНЕ ТАПКЫРЛАУ ҺӘМ БҮЛҮ Узган параграфта без бер үк нигезле дәрәҗәләрне тапкырлау һәм бүлүне тикшердек. Нигезләре төрле булган дәрәҗәләрне дә, әгәр ал арның күрсәткечләре бер үк булса, тапкырларга һәм бүләргә мөмкин икән. 1 нче мисал. Исәпләргә 24 ∙ 54. Чишү. Билгеле булганча, 16 нчы параграфтагы таблица буенча 24 = 16, 54 = 625 икәнен белергә һәм 16 ны 625 кә тап¬ кырларга мөмкин. Әмма башкача эшләү күпкә отышлырак: 24 • 54 = (2 • 2 - 2 • 2) • (5 • 5 • 5 • 5) = = (2 • 5) • (2 • 5) • (2 • 5) • (2 • 5) = (2 ∙ 5)4 = 104 = 1ОООО. (И Чишү барышында без санлы тигезлек таптык: 24 ∙ 54 = (2 ∙ 5)4. Нәкъ шундый юл белән a⅛3 = (afe)3 икәнен исбатларга мөмкин. 84
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ Чынлап та, a3b3 = (а ■ a ∙ a) ∙ (b ∙ b ∙ b) = ab∙ ab∙ ab = (ab)3. Гомумән алганда, anbn = (ab)n тигезлеге урынлы. Кызыксынуы көчлерәк булганнарга бу расламаның «сүзсез» исбатланышын китерәбез. Аңа «тавыш» бирергә һәм аңлатырга тырышыгыз: „ ,_ a ■ a ■ ... ∙ a ■ b ■ Ъ •... ■ b . , , a ∙b = “———“ -— ■ = a ■ a ∙ ... ∙ a ∙ b ∙ b ∙ ... ∙ b = п тапкырлаучы п тапкырлаучы (αb) ∙ (αfe) •... • (аһ) = (ай)". п тапкырлаучы 126 2 нче мисал. Исәпләргә: — 46 Чишү. Исәпләүләрне турыдан-туры — башта 126 нең кыйммәтен, аннан соң 46 кыйммәтен исәпләп, беренче санны икенчесенә бүлеп эшләргә була. Әмма болай фикерләү отыш¬ лырак: 12® _ 12 • 12 • 12 ■ 12 • 12 • 12 _ 12 12 12 12 12 12 ^4θ^^ 4.4.4.4.44 4 4 4 4 4 4 = f—1 = 36 = 729. <В V 4 ) 126 fi2Y Чишү барышында без —θ- = — санлы тигезлеген алдык. Нәкъ шул ук юл белән — - b3 1mm ⅛- икәнен исбат¬ ларга мөмкин. Гомуми очракта әгәр b ≠ 0 булса. Шулай итеп, Бу ике формуланы сулдан уңга таба да, уңнан сулга таба да кулланалар. Аларны дәрәҗәләр белән гамәлләрнең кагыйдәләре рәвешендә формалаштырырга да мөмкин, ул чагында 17 нче параграфтагы өч кагыйдәгә тагын икәү өстәлә: 85
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ 4 нче кагыйдә. Бер үк күрсәткечле дәрәҗәләрне тап¬ кырлау өчен, нигезләрне тапкырлап, дәрәҗә күрсәткечен үзгәрешсез калдыру җитә. 5 нче кагыйдә. Бер үк күрсәткечле дәрәҗәләрне бүлү өчен, бер нигезне икенчесенә бүлеп,дәрәҗә күрсәткечен үзгәрешсез калдыру җитә. j'22a⅛4j [ 3 J ' f22α⅛4Y _ (22α⅛4)5 .c, [ 3 J З5 3 нче мисал. Аңлатманы гадиләштерергә: Чишү. Табабыз: нче кагыйдә); алга таба: (22α3ft4)5 = (22)5(α3)5(ft4)5 (4 нче кагыйдә). Тик (22)5 = 210 = 1024; (a3)5 = a15; (ft4)5 = ft20 (3 нче кагыйдә). Димәк, (22α3ft4)5 = 1024α15ft2° була. З5 = 243 булганлыктан, ( 22α⅛4Y = 1024a15⅛2° и I 3 J 243 Йомгаклап, бер кисәтү. Без инде беләбез: нигезләр тигез булса: күрсәткечләр тигез булса: an∙ak = an + k, an ∙.ah = an~k {n> ft); an∙bn = (aft)", an : bn = (α .- ft)" (b ≠ 0). Әгәр дә тапкырлау һәм бүлү төрле нигезле һәм төрле күрсәткечле дәрәҗәләр белән башкарыла икән, игътибарлы булыгыз. Әйтик, 35 ∙ 24 не «турыдан-туры» исәпләргә, башта З5, аннары 24 кыйммәтләрен табып, тапкырлауны эшләргә мөмкин. Ләкин болай да исәпләп була: 3 • З4 • 24 = 3 • (3 ∙ 2)4 = 3 ∙ 64. 86
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ § 19. НУЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ Узган параграфларда без сезнең белән теләсә нин¬ ди натураль күрсәткечле дәрәҗәнең кыйммәтен исәпләргә өйрәндек. Мәсәлән: 0,21 = 0,2; З2 = 3 • 3 = 9; 43 = 4 • 4 • 4 = 64; I4 = 1 • 1 • 1 • 1 = 1; (-2)5 = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) ■ (-2) = -32; 06 = 0∙0∙0∙0∙0∙0 = 0 һ.б. нуль күрсәткечле дәрәҗә Әлеге α0 Алга таба сез әле дәрәҗә күрсәткеченең ба¬ ры тик натураль сан гына булмавын белерсез. Тик әле бу югарырак сыйныфларда ачыкланыр, ә хәзер без бу юнәлештә кечкенә генә адым ясыйбыз: нуль күрсәткечле дәрәҗә төшенчәсен кертербез, ягъни математикада а° символына нинди мәгънә бирелүен ачыкларбыз. Ә бит бу символ үзеннән-үзе күзгә ташлана. Карагыз: 2®:23 = 25^3 = 22, З8:3 = 38 ^ 1 = З7. Ни өчен 54:54 = 54^4 = 5° дип язмаска? Моңа кадәр бар да әйбәт барды: а3 — а са¬ нын өч тапкыр үз-үзенә тапкырлау, а10 — а са¬ нын ун тапкыр үз-үзенә тапкырлау дигән сүз, а1 — бу бары тик а иде. Ә нәрсә соң ул а°? Чынлап та, а санын үз-үзенә 0 тапкыр тапкыр¬ лап булмый бит! өчен гадәти кагыйдәләр үтәлүе, мәсәлән, а3 • а° аңлатмасын исәпләгәндә күрсәткечләрнең кушылуы: а3 • а° = = a3 + 0 булуы кирәк тоела. Тик 3 + 0=3. Нәрсә килеп чыга соң? a3 ■ a0 = а3 килеп чыга. Димәк, a0 = a3 : a3 = 1 (бу очрак¬ та табигый чикләмә, a ≠ 0 икәнен кертергә кирәк). Шулай фикер йөртү түбәндәге билгеләмәгә китереп җиткерә. Билгеләмә. Әгәр a ≠ 0 булса, a0 = 1 була. Мәсәлән, 5,70 = 1; (-3)0 = 1; (2n)0 = 1 һ.б. Тик шунысын онытмагыз: математикада 0° символының мәгънәсе юк дип кабул ителгән. 87
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ ТӨП НӘТИҖӘЛӘР Биредә без сезнең белән 15-19 нчы параграфлар¬ да өйрәнгән төп билгеләмәләр, үзлекләр, теоремалар, формула¬ лар, кагыйдәләр тупланды. Алар барысы да коры математика телендә, аңлатмаларсыз язылган, чөнки аңлатмалар күрсәтелгән параграфларда китерелде. α1 = а; й ■ й , ... ∙ U у п тапкырлаучы a0 = 1, биредә a ≠ 0; ln = 1; 0" = 0; (-l)2n = lj (-l)2n^1 = -1; 10n = 100...0; п нуль an∙ak = ап + к; an + k + m = an ∙ ak • ат; an : ak = αn^i, биредә п > k; (an)k = ank∙, anbn = (ab)n∙, (abc)n = anbncn∙, , биредә b ≠ 0. Бу формулаларны белү — теләсә нинди ал¬ гебраик аңлатмалар белән уңышлы эшләү ачкы¬ чы. Әлеге эшкә без акрынлап, алдагы параграф¬ тан башлап керешәбез.
5 БҮЛЕК БЕРБУЫННАР. БЕРБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ГАМӘЛЛӘР § 20. Бербуын төшенчәсе. Бербуынның стандарт рәвеше § 21. Бербуыннарны кушу һәм алу §22 . Бербуыннарны тапкырлау. Бербуынны натураль дәрәҗәгә күтәрү §23 . Бербуынны бербуынга бүлү §20 . БЕРБУЫН ТӨШЕНЧӘСЕ. БЕРБУЫННЫҢ СТАНДАРТ РӘВЕШЕ Билгеләмә. Натураль күрсәткечле дәрәҗәгә күтә¬ релгән саннар һәм үзгәрешлеләрнең тапкырчыгышын тәшкил иткән алгебраик аңлатма бербуын дип атала. Бербуыннарга мисал: 1 / 2 \ 2ab; -a2xy3∙, (-2)xy2 • - x3ab4∙, l,7anbn (n ∈ N). О V о √ Аерым алганда, барлык саннар, теләсә нинди үзгәрешлеләр, үзгәрешлеләрнең дәрәҗәләре бербуыннарга керә. Мәсәлән, бер¬ буыннар: 0; 2; -0,6; х; a; Ъ; х2; a3; bn (n ∈ N). Хәзер бербуын булмаган алгебраик аңлатмаларга мисал¬ лар китерәбез: a + b; 2x2 - 3/ + 5; у. 89
≡J БЕРБУЫННАР. БЕРБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ГАМӘЛЛӘР n „ 2ab Ә сез ничек уйлыйсыз, —— бербуынмы, әллә О түгелме? Формасы белән ул бербуыннарга кертел- мәгән зыгы 2ab ^3^^ α2 , — аңлатмасына охшаган һәм вакланма сы- белән язылган. Ә шулай да — бербуын: О 2 , = -ab. 3 α 3 Менә тагын капма-каршылы ике мисал: — һәм —. Сез ничек 3 a уйлыйсыз, боларның кайсы бербуын, ә кайсы юк? Ә хәзер тик- fl 1 шерегез: — — бербуын, аны -а рәвешендә язарга мөмкин; з 3 з - исә бербуын түгел. Математикада атамаларны дөрес кулла¬ нырга кирәк. 2 3α∙ -a2bc бербуынын тикшерик. Бу аңлатмага карап, мате- О матик, гадәттә, болай фикер йөртә: «Тапкырлаучыларның уры¬ нын алыштырудан тапкырчыгыш үзгәрми, бу аңлатманы уңай- лырак рәвешкә китерик әле: 9 А 3 • — I ∙ (a ∙ a2)bc. Ул чагында мин 2a⅛c ны табам, ә бу язылыш беренчесеннән кыскарак булуы белән генә дә матуррак. Шуның өстенә анда әле беренче язылыштагы таркаулык та юк: беренче тапкырлау¬ чы — сан, икенчесе — а үзгәрешлесе, аннан соң тагын сан, аннан шул ук а үзгәрешлесе, тик инде квадратта Һ.6.». Тәртипкә, кыскалык Һәм төгәллеккә омтылучы математик чынлап та бербуынны стандарт рәвешкә китерде. Гомумән, бербуынны, стандарт рәвешкә китерү өчен: 1) барлык санлы тапкырлаучыларны тапкырлап чыгарга һәм тапкырчыгышны беренче урынга куярга; 2) нигезләре бер үк хәрефле дәрәҗәләрне тапкырлап чы¬ гарга; 3) нигезләре башка хәрефле дәрәҗәләрне тапкырлап чы¬ гарга кирәк һ.б. 90
5 БЕРБУЫННАР. БЕРБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ГАМӘЛЛӘР бербуын бербуынның стандарт рәвеше бербуынның коэффициенты Стандарт рәвештә язылган бербуынның сан¬ лы тапкырлаучысы бербуынның коэффициен¬ ты дип атала. Теләсә кайсы бербуынны стандарт рәвешкә китерергә мөмкин. Мисал. Бербуынны стандарт рәвешкә ките¬ рергә һәм бербуынның коэффициентын атарга: a) 3x2yz ∙ (-2)xy2z5; б) 4ab2c ∙ ~ с; в) -2ax2y3zn • | ax5yz∙, г) 3α⅛ Tδ^' Чишү, a) 3x2yz ■ (-2)xy2z5 = 3 ∙ (-2)x2xyy2zz5 = -6x3y3z6. Бербуынның коэффициенты -6 га тигез. б) 4ab2c • ~ с = 4 • ~ ab2(c • с) = 1 ∙ ab2c2 = ab2c2. Бербуынның коэффициенты 1 гә тигез, гадәттә мондый ко¬ эффициентны язмыйлар, әмма күздә тоталар. в) -2ax2y3zn • | ax5yz = (-2) ∙ ∣ aax2x5y3yznz = -a2x7y4zn + 1. Бербуынның коэффициенты -1 гә тигез. г) Ә бусы «бәләкәй провокация» булып чыкты: бербуынны стандарт рәвешкә китерәсе юк, ул болай да стандарт рәвештә язылган: — ab. Бербуынның коэффициенты 0,3 кә тигез. ® §21. БЕРБУЫННАРНЫ КУШУ ҺӘМ АЛУ Бу бүлектә без сезнең өчен яңа математик объект¬ лар — бербуыннарны өйрәнәбез. Образлы итеп әйтсәк, әгәр саннар, үзгәрешлеләр һәм үзгәрешлеләрнең дәрәҗәләре мате¬ матика теле өчен хәрефләр булып исәпләнсә, бербуыннар — иҗекләр дигән сүз. Бала вакытта укырга өйрәнгәндә, башта хәрефләрне танырга, аннан соң гына язылган сүзне тулысы бе¬ лән әйтә башладыгыз; хәрефләр, иҗекләр, сүзләр, җөмләләр — 91
5. БЕРБУЫННАР. БЕРБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ГАМӘЛЛӘР телне өйрәнү этаплары ул. Һәм монда инде сезгә бербуыннар¬ ны аерым өйрәнү ошыймы, әллә юкмы — бу мөһим түгел, бер¬ ни эшләр хәл юк — әгәр математика телен иркен үзләштерергә телибез икән, аларны ныклап өйрәнмәү мөмкин түгел. 20 нче параграфта без бербуын һәм бербуынның стандарт рәвеше төшенчәләрен керттек. Димәк, бербуыннар белән эш итәргә өйрәнергә, мәсәлән, алар белән арифметик гамәлләр үтәргә өйрәнергә кирәк. Тик башта ук бары стандарт рәвешкә китерелгән бербуыннар белән генә эш итү турында килешик. ⅜ Билгеләмә. Һәрберсе ике бербуынга да бер үк дәрәҗәдә кергән (ягъни дәрәҗә күрсәткечләре тигез булган) бер үк үзгәрешлеләрдән торучы ике бербуынны охшаш бербуыннар дип атыйлар. Охшаш бербуыннарга мисаллар: охшаш 2a һәм 5α, 3ab2c һәм --ab2c, хп һәм 5х". Күргәнегезчә, охшаш бербуыннар бер-берсеннән бары тик коэффициентлары белән генә аерылалар (хәтта коэффициент¬ лар тигез дә булырга мөмкин, мәсәлән, lab һәм lab — охшаш бербуыннар). Ә менә охшаш булмаган буыннарга мисаллар: 5a һәм 3α2, 2х һәм ly, 3a2b2 һәм 6a2b. «Охшаш» гадәти сөйләмдә кулланыла торган «ошаганнар» сүзе белән мәгънәдәш. Чынлап та, 5a2b һәм 23a2b бербуынна¬ ры бер-берсенә ошаганнар (охшаш бербуыннар). яңа үзгәрешле кертү алымы Ике охшаш бербуынның суммасы: 5a2b + + 23a2b ны карыйк. Яңа үзгәрешле кертү алы¬ мын кулланабыз: a2b = с дип алабыз. Ул вакыт¬ та 5a2b + 23a2b суммасын 5c + 23с дип язарга мөмкин. Бу сумма 28с га тигез. Димәк, 5a2b + + 23a2b = 28a2b. Бу рәвешүзгәртүнең мәгънәсе нидә соң? Мәгъ¬ нәсе шул, 5a2b + 23a2b = 28a2b тигезлеге үзгә- решлеләрнең теләсә нинди кыйммәтләрен куйган¬ да да дөрес була. Охшаш бербуыннарны кушуны башкарып чыктык; бу бик җиңел булып чыкты: коэффициентларны кушу, ә хәрефле 92
БЕРБУЫННАР. БЕРБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ГАМӘЛЛӘР өлешне үзгәрешсез калдыру җитә икән. Охшаш бербуыннарны алу да шулай ук эшләнә. Мәсәлән, 7abc3 - 9abc3 = (7 - 9)abc3 = -2abc3. Ә бербуыннар охшаш булмаса нишләргә, аларны кушар¬ га, алырга ярыймы? Юк шул, хәзергә ярамый! Без бу сорау¬ га соңрак, 6 нчы бүлектә әйләнеп кайтырбыз. Хәзер бербуыннарны кушу һәм алу алгоритмын формалаш¬ тырып карарбыз (гадәттә, «кушу» атамасын гына калдыралар, ә минус тамгасын коэффициентка карап кулланалар). Бербуыннарны кушу алгоритмы 1. Бербуыннарны стандарт рәвешкә китерергә. 2. Барлык бербуыннарның да охшаш булуына ышанырга, әгәр алар охшаш түгел икән, алгоритм алга таба дәвам итми. 3. Охшаш бербуыннарның коэффициентлары суммасын та¬ барга. 4. Җавапны язарга: өченче адымда табылган коэффициент белән бирелгәннәргә охшаш бербуын. 1 нче мисал. Аңлатманы гадиләштерергә: 2a1 2b - 7α∙0,55α + ЗЬ ■ 2a ∙ (-0,5a). Чишү. Сүз бербуыннарны кушу турында бара, димәк, алгоритм нигезендә эшлибез. 1) Беренче бербуын инде стандарт рәвештә. Икенче бербуын өчен эшлибез: 7a ■ O,5ba = -(7 • 0,5) ∙ (a ∙ a)b = -3,5a⅛ — бу стандарт рәвеш. Өченче бербуынны стандарт рәвешкә китерәбез: 3b ∙ 2a ∙ (-0,5a) = 3 • 2 • (-0,5) ∙ (a ∙ d)b = -3a2b. 2) Өч бербуын: 2a2b, -3,5a2b, -3a2b ны тап¬ тык. Алар охшаш, шуңа күрә алар белән эшне дәвам итәргә, ягъни алгоритмның өченче ады¬ мына күчәргә була. 3) Табылган өч бербуынның коэффициентла¬ ры: 2 - 3,5 - 3 = -4,5. 4) Җавап язабыз: -4,5a⅛. 93
5. БЕРБУЫННАР. БЕРБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ГАМӘЛЛӘР 2 нче мисал. 27ab2 бербуынын бербуыннар суммасы рәвешендә язарга. Чишү. Бу очракта, алдарак тикшерелгән мисаллардан аер¬ малы буларак, чишелеш бердәнбер түгел. (Ә тормышта сезгә барлык очракларда да бердәнбер карар кабул итәргә туры киләме? Кайвакыт берничә чишелеш була, ә кайчак берсе дә булмый.) Болай язарга мөмкин: 27ab2 = 2Oab2 + 7ab2, һәм бу дөрес булачак. Болай итеп язсак: 27ab2 = 15ab2 + 12ab2, бусы да дөрес. Ә менә болай: 27ab2 = ab2 + 26ab2 һәм хәтта болай: 27ab2 = 100αfc2 - 73αfe2 язып, дөрес чишелеш табабыз. Тагын бик күп чишелешләрне күрсәтергә мөмкин. Иң мөһиме, кушылучы охшаш бербуын¬ нарның коэффициентлар суммасы 27 гә тигез булырга тиеш. Тагын шунысы бар: ике бербуын суммасы төзү мәҗбүри түгел (шартта бу турыда әйтелмәгән). Димәк, мәсәлән, мондый чишелеш бар дип тә әйтергә була: 27ab2 = 2Oab2 + 4αfe2 + 3ab2. Яки мондый: 27ab2 = 2ab2 + 8ab2 + 22ab2 - 5ab2. Хәзер үзегез 2 нче мисалның берничә чишелешен уйлап карагыз. Без «Бербуыннарны кушу һәм алу» тема¬ сын өйрәнүне төгәллибез. Ә сез нидер әйтелеп бетмәгәнне, мөгаен, сизәсездер. Моннан соң әллә нинди бербуыннар белән эшләргә туры киләчәк, бәлки алар арасында охшаш булмаганнар да табылыр? Әгәр реаль ситуациянең матема¬ тик моделен төзегәндә охшаш булмаган бербу¬ ыннар суммасы рәвешендәге аңлатма килеп чыкса, мәсәлән, 2ab + 3a - 5b кебек? Математиклар бу хәлдән чыгу юлын тап¬ каннар, андый сумманы күпбуын дип атаганнар, ягъни яңа төшенчә керткәннәр һәм күпбуыннар белән гамәлләр эшләргә өйрәнгәннәр. Тик бу хакта сүз әле алда, 6 нчы бүлектә. Бу параграфның ахырында конкрет мәсьәләне карап үтәрбез, аны чишү барышында бербуыннарны кушарга туры киләчәк. 94
БЕРБУЫННАР. БЕРБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ГАМӘЛЛӘР Ул безгә тагын бер тапкыр математикада бернәрсәнең дә юкка гына өйрәнелмәвен, анда нәрсә өйрәнелсә, шуның тормышта кулланылуын күрсәтә. Знче мисал. Турист А пунктыннан В пунктына кадәр 2 сәг җәяү бара, В да тизлеге җәяүле турист тизлегеннән 4 тапкыр артык булган катерга утыра һәм анда С пунк¬ тына кадәр 1,5 сәг бара. С да тизлеге катер тизлегеннән 2 тапкыр артык булган автобуска утыра һәм аның белән D пунктына кадәр бара. Әгәр А дан D га кадәр ераклык 120 км булса, турист автобуста нинди тизлек белән барган? Чишү. Беренче этап. Математика моделен төзү. х км/ч — җәяүленең тизлеге булсын. Ул 2 сәг тә 2х км уза. Шарт буенча, катерның тизлеге 4х км/сәг 1,5 сәг тә катер 4х • 1,5 км, ягъни 6х км юл үтә. Шарт буенча, автобусның тизлеге 2 • 4х км/сәг, ягъни 8х км/сәг. Автобус 2 сәг тә 8х • 2 км, ягъни 16х км юл үтә. А дан D га кадәр барлык юл 2х + 6х + 16х ка тигез, шарт буенча, ул 120 км. Шулай итеп, 2х + 6х + 16х = 120. Бу — мәсьәләнең математик моделе. Икенче этап. Төзелгән модель белән эш. 2х, 6х, 16х бербуыннарын кушып 24х ны табабыз. Димәк, 24х = 120, моннан х = 5. Өченче этап. Мәсьәләнең соравына җавап. Без х дип җәяүленең тизлеген билгеләдек, ул 5 км/сәг кә тигез. Катерның тизлеге аннан 4 тапкыр артык, ягъни 20 км/сәг, ә автобус тизлеге 2 тапкыр артык, ягъни 40 км/сәг. Җавап: автобусның тизлеге 40 км/сәг. § 22. БЕРБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУ. БЕРБУЫННЫ НАТУРАЛЬ ДӘРӘҖӘГӘ КҮТӘРҮ Без 21 нче параграфта бербуыннарны кушу һәм алуны тикшердек. Бу операцияләрне бары охшаш бербуыннар белән генә эшләп була икән. Ә бербуыннарны тапкырлау ничегрәк эшләнер? Бик гади итеп: әгәр ике бербуын арасына тапкырлау 95
5. БЕРБУЫННАР. БЕРБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ГАМӘЛЛӘР билгесе куйсак, тагын бербуын килеп чыга; аны бары стандарт рәвештә генә китерәсе кала (без моны 20 нче параграфтагы мисалда инде эшләгән идек). Бербуынны дәрәҗәгә күтәрү дә артык кыенлык тудырмый. Бу вакытта дәрәҗәләр белән гамәлләр эшләү кагыйдәләре куланыла (18 нче параграфтагы 3 нче мисалда без бербуынны дәрәҗәгә күтәрдек инде). 1 нче мисал. Өч бербуынның тапкырчыгышын табарга: 2a2bc5, -α3cx3 һәм a2b. 4 Чишү. (2α⅛c5)∙ [∣α3cx3] ∙(a2b) = ∣2 ∙ ∣ j(α2α3α2) (b∙b) (c5c)x3 = l,5αWx3. <≡ 2 нче мисал. Аңлатманы гадиләштерергә: (-2a2bc3)5 (ягъни бербуын рәвешендә күрсәтергә). Чишү, (-2a⅛c3)5 = -25(a2)⅛5(c3)5 = -32a10b5c15. Беренчедән, без тапкырчыгышны дәрәҗәгә күтәргәндә һәр тапкырлаучыны шушы дәрәҗәгә күтәрергә кирәк дигәннән чыктык. Шуңа күрә 25(a2)5b5(c3)5 килеп чыкты. Икенчедән, (-2)5 = -25 тән файдаландык. Өченчедән, дәрәҗәне дәрәҗәгә күтәргәндә, күрсәткечләр тапкырлана дигәннән файдаландык. Шуңа күрә (a2)5 урыны¬ на — a10, ә (с3)5 урынына с15 дип яздык. Знче мисал. 36a2b4c5 бербуынын бербуыннар суммасы рәвешендә күрсәтергә. Чишү. Биредә, 21 нче параграфтан 2 нче мисалдагы ке¬ бек, чишелеш бердәнбер түгел. Менә берничә вариант: 36a2b4c5 = (18α2) • (2Ь4с5); 36a2b4c5 = (36αbc) ∙ (ab3c4); 36α⅛4c5 = (-3b4)(-12α2c5)j 36a⅛4c5 = (2а2) • (ЗЬс) ∙ (6∂3c4). <≡ Хәзер үзегез 3 нче мисалның берничә чишелешен уйлап табыгыз. 4 нче мисал. Бирелгән А бербуынын Вп рәвешендә күр¬ сәтергә (биредә В — бербуын): a) A = 32α5, п = 5; г) A = -27α⅛9, п = 3; 96
5. БЕРБУЫННАР. БЕРБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ГАМӘЛЛӘР б) A = a3b6, п = 3; д) A = 16α8∂5, п = 4. в) A = 49α⅛4c6, п = 2; Чишү. a) 32α5 = 25α5 = (2a)5. Димәк, A = В5, биредә В = 2a. б) a3b6 = a3(b2)3 — (ab2)3. Димәк, A = В3, биредә В = ab2. в) 49a2∂4c6 = 72a2(b2)2(c3)2 = (lab2c3)2 булганлыктан, А = В2, биредә В = lab2c3. г) -27a3∂9 = (-3)3a3(b3)3 = (-3ab3)3 булганлыктан, А = В3, биредә В = -Зад3. д) 16a8∂5 бербуыны белән бернәрсә дә килеп чыкмый. Ни өчен? Уйлап карыйк. Әгәр b5 тапкырлаучысы булмаса, мәсьәлә җиңел чишелер иде: 16a8 = 24(a2)4 = (2a2)4; әгәр ∂s урынына, мәсәлән, Ь12 тапкырлаучысы булса, без мисалны болай чишәр идек: 16a8∂12 = 24(a2)4(∂3)4 = (2a⅛3)4. Әмма b5 тапкырлаучысын (∂k)4 (биредә k — натураль сан) рәвешендә күрсәтеп булмый; бу тапкырлаучы «бөтен эшне бо¬ зып тора». Димәк, 16a8∂5 бербуынын B4 (В — ниндидер бер¬ буын) рәвешендә язып булмый. <■] Бу мисал математикада һәр мәсьәләнең чишелеше бар дип әйтергә ярамаганны күрсәтә (тормыштагы кебек үк). Хәер, әгәр математикка чишелеше юклыгы ачык күренеп торган мәсьәлә бирсәләр, ул «Бу мәсьәлә төгәл куелмаган» дия- чәк. Төгәл куелмаган мәсьәләне тәкъдим итүче гафу үтенергә тиеш. Менә автор да 4д) мисалы өчен гафу үтенә. Тик мисалның барыбер бераз файдасы булды. игътибар итегез Сүзне төгәл куелган һәм төгәл куелмаган мәсьәләләр турында башлаганбыз икән, тагын берничә шундый мисал китерик, ә сез ни өчен мәсьәләнең төгәл куелган яки төгәл куелмаган икәнен аңларга тырышыгыз. Төгәл куелган мәсьәләләр: 1. Гадиләштерергә: 2ab2 ∙ (3ai>)3. 2. Гадиләштерергә: lab + 8ab + ab. о тл" 2,7 + 3,8 3. Исәпләргә —. 97
5. БЕРБУЫННАР. БЕРБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ГАМӘЛЛӘР 4. 13α4h5 бербуынын бербуыннар суммасы рәвешендә күр¬ сәтергә. 5. 48x3j∕5z бербуынын бербуыннар тапкырчыгышы рәве¬ шендә күрсәтергә. 6. A = 25α4 бербуынын ниндидер В бербуыны квадраты рәвешендә күрсәтергә. Төгәл куелмаган мәсьәләләр: 1. Бербуыннарны кушарга: 3afe2, 5ab2 и 7a2b. n тл 2,7 + 3’8 2. Исәпләргә: —-—-—• 6 — 6 3. Әгәр A = -25a4 булса, А бербуынын ниндидер В бер¬ буынының квадраты рәвешендә күрсәтергә. 4. у = -Зх + 1 һәм у = —Зх + 5 турыларының кисешү нок¬ тасын табарга (§10, 16) мисалы). §23. БЕРБУЫННЫ БЕРБУЫНГА БҮЛҮ Без инде бербуынның нәрсә икәнен белдек; бербуын¬ нарны ничек итеп кушарга, алырга, тапкырларга һәм хәтта дәрәҗәгә күтәрергә кирәклеге турында сөйләштек. Әмма тагын бер арифметик гамәл — бүлү — тапкырлауның кире гамәле бар бит әле. Бербуынны бербуынга бүлү гамәле һәрвакыт үтәлә, өлештә бербуын килеп чыга дип ышанып әйтә алабыз¬ мы? Шул турыда сөйләшик. 1 нче мисал. Арифметик гамәлләрнең үзлекләренә тая¬ нып, бербуыннарны бүлүне эшләп карыйк: а) 10a : 2; в) 36a⅛5 : (4ab2); д) 4x3 : (2ху); 4 б) 18ab : (За); г) 7jx3y1z : (-2x3y2z)j е) a2 : a5. Чишү, а) Ике санның тапкырчыгышын өчен¬ че санга бүлү өчен, тапкырлаучыларның берсен бу тапкырлаучыга бүлеп, килеп чыккан өлешне икенче тапкырлаучыга тапкырларга мөмкин ди¬ гәннән файдаланабыз. (Искә төшердегезме? Мә¬ сәлән, (12 • 4): 3 = (12 : 3) • 4 = 4 • 4 = 16.) Табабыз: 10a : 2 = (10 : 2) ∙ a = 5a. 98
5. ∣∣ БЕРБУЫННАР. БЕРБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ГАМӘЛЛӘР б) а) мисалындагы кебек фикерләп табабыз: 18ab : (За) = (18 : 3) ∙ (a : d)b = 6 ∙ 1 ∙ b = 6b. в) 36α⅛5 : (4afe2) = (36 : 4) ∙ (a3 : a) ∙ (bs: fe2) = 9a3^1 ∙ b5^2 = 9a2b3. Кайвакыт бүлү тамгасы (:) урынына вакланма сызыгын куллану уңайрак. Бу очракта в) мисалын чишү болай языла: 36a⅛5 = 36 а3 ⅛5 4aft2 4 a b2 г) Биредә чишелешнең катнаш язылышын, ягъни бүлү там¬ гасын да, вакланма сызыгын да кулланабыз: 4 „ 9 z „ 4 , , (4 , n,'∣ x3y2z -1xVz : (-2x∙√⅛) - [j :(-2)) -7pj- 4 . √. £ . г = 2 = 2 7-2 x3 y2 z 7 7' Барысы да дөрес, әмма математиклар әйткәнчә, рациональ эшләнмәде, чөнки башта ук x3y2z : x?y2z = 1 икәне ачык иде (аңлатма үз-үзенә бүленә иде). игътибар итегез д)4х3:(2ху) = 4х8 2ху ∣--∙-= 2x2∙- = -• 2 х у УУ Бу бербуын түгел, димәк, 4x3 не 2xy ка бүләргә ярамый (өлештә бербуын килеп чык¬ мый дигән мәгънәдә). е) Бу мәсьәлә дә үтәлә алмый, чөнки без хәзергә нигезләре бер үк булганда кечерәк күрсәткечле дәрәҗәне зуррак күрсәт¬ кечле дәрәҗәгә бүлә белмибез. (Д Без карап узган алты мисалның дүртесе төгәл куелган, ә икесе (соңгылары) төгәл куелмаган (бу атаманы 22 нче пара¬ графта керттек) иде. Хәзер чишелгән мисалларны анализлыйк һәм бербуынны бербуынга, өлештә дә бербуын килеп чыгарлык итеп, кайчан бүләргә яраганын ачыкларга тырышыйк. Билгеле, ике бербуын да (бүленүче дә, бүлүче дә) нульгә тигез булмаган коэффициентлар белән стандарт рәвештә язылса (бу турыда без әле 21 нче параграфта ук сөйләштек), уңайрак була. Беренче күзәтү. Бүлүчедә бүленүчедә булмаган үзгәрешлеләр булмаска тиеш (шул сәбәпле без 1д) мисалында «абындык». 99
5. БЕРБУЫННАР. БЕРБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ГАМӘЛЛӘР Икенче күзәтү. Әгәр бүлүчедә дә, бүленүчедә дә бер үк үзгәрешле булып, бүленүчедә ул п нчы дәрәҗәгә, ә бүлүчедә k нчы дәрәҗәгә күтәрелгән икән, k саны п саныннан зур булыр¬ га тиеш түгел (шуңа күрә 1е) мисалында «абындык»). Өченче күзәтү. Бүленүченең һәм бүлүченең коэффициентла¬ ры теләсә нинди булырга мөмкиннәр (чөнки без нульгә бүлүдән башка теләсә нинди саннарны бер-берсенә бүлә беләбез). игътибар итегез Димәк, сезгә бербуынны бербуынга бүлүне тәкъдим итәләр икән, башта мәсьәләнең төгәл куелышына ышаныгыз, күрсәтелгән күзәтүләрне үткәреп, барысы да дөрес икәнен белегез. Мәсь¬ әлә төгәл куелган очракта аны 1 нче мисал үр¬ нәгендә чишегез. 2 нче мисал. Гадиләштерегез: 48aib5cβd : (36αfe3c6). Чишү. 1) Ике бербуын да (бүленүче һәм бүлүче) стандарт рәвештә язылган. 2) Бүленүчедә — a, b, с, d үзгәрешлеләре, бүлүчедә а, Ъ, с үзгәрешлеләр бар. Бүлүчедә артык үзгәрешлеләр юк. 3) Бүлүчедә дәрәҗәләр бүленүчедәге бер исемдәге үзгәреш¬ леләр дәрәҗәсеннән зуррак түгел. Нәтиҗә: Мәсьәлә төгәл куелган, аны чишәбез. Табабыз: 48a4⅛5c6d 36aft3c6 48 а4 36 а ^j∙^∙d = --a3∙b2∙ld = -a3b2d. b3 cβ 3 3 алдарак белерсең Сез сизәсезме, бу параграфта да, 21 нче па¬ раграфтагы кебек, әйтеп бетермәү бар. Бербуын бербуынга бүленмәсә, нәрсә эшләргә кирәк соң? Мондый хәлләр булмый калмаячак бит? Шуңа күрә математикада яңа объект — алгебраик вак¬ ланма кертелгән. Исегезгә төшерегез, гади вак¬ ланмалар натураль саннар күплегендә бүлүнең һәрвакытта да үтәлеп бетмәвеннән килеп чыккан иде: мәсәлән, 14 саны 7 гә бүленә, ә 13 исә 7 гә бүленми. Икенче очракта, 13 не 7 гә бүлү _ 13 мәҗбүри булганда җавап ничек языла? Ул гади вакланма, — рәвешендә язылды. Алгебраик вакланма безгә алдарак, 1д) ми- 2x^ салында очраган иде: —- аңлатмасы табылды. Билгеле инде, У 100
БЕРБУЫННАР. БЕРБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ГАМӘЛЛӘР математиклар бу яңа объектлар — алгебраик вакланмалар белән эш итәргә өйрәнгәннәр. Без аларны 8 нче сыйныфның алгебра курсында өйрәнербез, ә 35 нче параграфта аларны та¬ гын бер очратабыз әле. ТӨП НӘТИҖӘЛӘР Бу бүлектә өйрәнелгән иң мөһим нәрсәләрне санап чы¬ габыз, ә сез анда язылганнарның барысын да беләсезме, башка кешегә моны аңлатып бирә аласызмы икән, тикшереп карагыз. Шулай итеп, сез 5 нче параграфта өйрәнергә тиешле иң мөһим белемнәр: бербуын төшенчәсе; бербуынны стандарт рәвештә язу; бербуынның коэффициенты төшенчәсе; охшаш бербуыннар төшенчәсе; кайсы бербуыннарны кушарга (алырга) мөмкин, нин- диләрен мөмкин түгел; охшаш бербуыннарны ничек кушарга (алырга) мөмкин; ничек итеп бербуынны охшаш бербуыннар суммасы рәвешендә күрсәтергә; бербуыннарны ничек тапкырларга; бербуынны ничек натураль дәрәҗәгә күтәрергә; кайсы очракта бер бербуынны икенчесенә бүләргә мөмкин, һәм аны ничек эшләргә.
6 БҮЛЕК КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР § 24. Төп төшенчәләр § 25. Күпбуыннарны кушу һәм алу §26. Күпбуынны бербуынга тапкырлау §27. Күпбуынны күпбуынга тапкырлау § 28. Кыскача тапкырлау формулалары § 29. Күпбуынны бербуынга бүлү § 24. ТӨП ТӨШЕНЧӘЛӘР 5 нче бүлектә без теләсә нинди бербуыннарны кушу һәм алуның мөмкин түгеллеген, охшаш бербуыннарны гына кушарга яраганын карап үттек; шулай ук реаль мәсьәләнең охшаш булмаган бербуыннар суммасыннан торучы матема¬ тик модельгә китерү мөмкинлеген дә билгеләдек. Математи¬ када шундый суммаларны өйрәнү өчен күпбуын төшенчәсе кертелгән. Билгеләмә. Бербуыннар суммасын күпбуын дип атыйлар. Күпбуыннарга мисаллар: 2a + b; 5a2b - 3ab2 - 3ab2 + 7с; x5 + x4 + х2 - 2. Билгеле, күпбуын булмаган алгебраик аңлатмалар да була. 2 Мәсәлән, 2х2 + 5u - У У Күпбуынны төзегән кушылучылар (бербуыннар) күпбуынның буыннары дип атала: алар икәү икән — икебуын бирелгән (мәсәлән, 2a + b — икебуын), әгәр өч буын икән — өчбуын бирелгән, диләр (мәсәлән, 5α2 - 2cb2 + 7с — өчбуын). Бу җә- 102
КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР күпбуын күпбуынның буыннары икебуын өчбуын һәттән караганда, «бербуын» атамасы һәм, гадәт¬ тә, аның — күпбуынның аерым очрагы дип ата¬ луы, аңлашыла төшә. Искәрмә. Сөйләүләргә караганда, Африкада «бер», «ике», «өч», «күп» дип санаучы кабилә бар икән. Күп¬ буыннарга карата безнең атамалар да шул кабиләнең терминологиясен хәтерләтә: бербуын, икебуын, өчбуын, күпбуын (гадәттә, «дүртбуын» дип тә, «бишбуын» дип тә әйтмиләр). Хәзер җитди төшенчәне кабул итәргә әзерләник. Күпбуын бирелгән булсын: 2ab2 ■ 3a2b - 5a - 7a + 3b2 - ∣ a2b3 ∙ 6α - 2b2. О Моның күпбуын булуына шик юк (чөнки бербуыннар сум¬ масы язылган), тик менә сезгә бу язылыш ошыймы? Юктыр, мөгаен. Ни өчен? Беренчедән, 2ab1 ∙ 3a2b бербуыны стандарт рәвештә язылма¬ ган, ә безнең белүебезчә, стандарт рәвеш — бербуынның иң уңай¬ лы язылышы. Аны стандарт рәвешкә китереп, 6α'⅛3 ны язабыз. Нәкъ шулай ук итеп күпбуынның тагын бер буыны, -∣a⅛3 о 6a ны стандарт рәвешкә китерәбез: -2a3b3. Хәзер бирелгән күпбуынның язылышы матуррак төс алды: 6a353 - 5a - 7a + 3b2 - 2a3b3 - 2b2. Икенчедән, кушылучыларның урынын алыштырудан сум¬ ма үзгәрми, охшаш бербуыннарны рәттән язарга һәм аннан кушарга мөмкин. Табабыз: (6a⅛3 - 2a⅛3) + (-5a - 7a) + (3b2 - 2b2) = 4a⅜3 - 12a + b2. Дөрес, гадәттә, күпбуында охшаш буыннарның урыннарын алыштырмыйлар, бертөрле итеп аларның астына сызалар һәм аннан кушалар: 6a⅛3 - 5a - 7a + 3b2 - 2a3b3 - 262 = 4a3b3 - 12a + b2. Бу эшне охшаш буыннарны берләштерү дип атыйлар. 103
6 КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР Әгәр күпбуында барлык буыннар стандарт рәвешкә ките¬ релгән һәм охшаш буыннар берләштерелгән булса, күпбуын стандарт рәвешкә китерелгән (яки стандарт рәвештә языл¬ ган), диләр. Хәзер сез 4a3b3 - 12a + b2 язылышының башлангыч язы¬ лыштан: 2ab2 ■ 3a2b - 5a - 7a + 3b2 - - a2b3 ∙ 6α - 2b2 ни өчен 3 өстенрәк икәнен аңлыйсыздыр инде? охшаш буыннарны берләштерү күпбуынның стандарт рәвеше Эш шунда ки: беренче язылыш — күпбуынның стандарт рәвеше түгел, ә 4a3b3 - 12a + b2 — стан¬ дарт рәвеше. Теләсә кайсы күпбуынны стандарт рәвешкә китерергә мөмкин. Киләчәктә эшне һәрвакыт шуннан башларга килешик, күпбуыннар белән гамәлләр эшләү өчен шулай уңайрак. Гадәттә, күпбуынны р яки Р хәрефе белән билгелиләр — грек сүз polys («күпле», «күп¬ санлы»; математикада күпбуыннарны әле по¬ линомнар дип тә атыйлар) шул хәрефтән баш¬ лана. Билгеләнешкә шулай ук күпбуын буыннарын төзүче үзгәрешлеләрне дә кертәләр. Мәсәлән, 2x2 - 5х + 3 күпбуынын р(х) дип билгелиләр һәм «пэ икс» дип укыйлар; 2x2 + Зху - yi күпбуынын р(х; у) дип билгелиләр һәм «пэ икс, игрек» дип укыйлар һ.б. Мисал. Күпбуын бирелгән: р(х; у) = 2x ■ 3xy2 - 7x3 ∙ 2x - 3x4 + 2z∕4 + 5x2z∕2 - 2xy ∙ 4y1. а) аны стандарт рәвештә язарга; б) исәпләргә: р(1; 2); р(-1; 1); р(0; 1). Чишү. a) 2x ∙ 3xy2 - 7x3 ∙ 2x - 3x4 + 2y4 + 5x2y2 - 2xy • 4у2 = = 6x2y2 - 14x4 - 3x4 + 2yi + 5x2y2 - 8xy3 = = llx2y2 - 17x4 + 2ι∕4 - 8xy3 — күпбуынның стандарт рәвеше. б) р(1; 2) язылышы х = 1, у = 2 булганда р(х; у) күпбуы¬ нының кыйммәтен табарга кирәк дигәнне аңлата. Исәпләүләрне стандарт рәвештә язылган p(χ∙, у) = llx2y2 - 17х4 + 2y4 - 8xy3 күпбуыны өчен эшләрбез. 104
КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР Табабыз: р(1; 2) = 11 ∙ I2 • 22 - 17 ∙ I4 + 2 ∙ 24 - 8 • 1 ∙ 23 = = 44 - 17 + 32 - 64 = -5. Шулай итеп, р(1; 2) = -5. Шул ук юл белән р(-1; 1) = 11 ∙ (-l)2 ∙ I2 - 17 ∙ (-l)4 + 2 ∙ I4 - 8 • (-1) ∙ I3 = = 11 - 17 + 2 + 8 = 4, ягъни р(—1; 1) = 4. Ниһаять, р(0; 1) = 11 ∙ 02 ∙ I2 - 17 ∙ 04 + 2 ∙ I4 - 8 • 0 ∙ I3 = = 0- 0 + 2- 0 = 2. Шулай итеп, р(0; 1) = 2. ® § 25. КҮПБУЫННАРНЫ КУШУ ҺӘМ АЛУ Узган параграфта без күпбуын һәм күпбуынның стандарт рәвеше төшенчәләрен керттек. Сез хәзер, мөгаен, яңа төшенчә кертелүгә үк, аның белән эшли белергә кирәклеген аңлый башлагансыздыр. Аерым алганда, күпбуыннар белән арифметик операцияләр эшләргә өйрәнербез. Кушу һәм алудан башлыйбыз. Болар бик гади операцияләр: берничә күпбуынны кушу өчен, аларны җәяләргә алып, җәя¬ ләр арасына «+» тамгасын куеп язалар, җәяләрне ачалар һәм охшаш буыннарны берләштерәләр. Бер күпбуыннан икенчесен алганда, аларны шулай ук җәяләр эченә алалар һәм киметүче алдына «-» тамгасын куялар, җәяләрне ачалар һәм охшаш бу¬ ыннарны берләштерәләр. 1 иче мисал. Күпбуыннарны кушарга: a) p1(c) = 2x2 + Зх - 8, p2(x) = 5х + 2; б) p1(a∙, b) = a2 + 2ab - b2, р2(а; b) = 2α3 - a2 + 3ab - b2 + 5, р3(а; b) = a2 - ab - b2 - 4. Чишү, а) Күпбуыннарның суммасын р(х) дип билгелибез. Ул чагында: p(x) = p1(x)+p2(x) = = (2x2 + Зх - 8) + (5x + 2) = 2x2 + Зх - 8 + 5х + 2 = = 2x2 + (Зх + 5x) + (-8 + 2) = 2х2 + 8х - 6. 105
θ. КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР б) Күпбуыннар суммасын р(а; Ъ) дип билгелибез. Ул чагында р(а; b) = pl(a∙, b) + р2(а; b) + p3(a-, Ь) = = (α2 + 2ab - b2) + (2α3 - α2 + ЗаЬ - b2 + 5) + (a2 - ab - b2 - 4) = = a2 + 2ab - b2 + 2a3 - a2 + 3ab - b2 + 5 + a2 - ab - b2 - 4 = = a2 + 4ah - 3i>2 + 2a3 + 1. ® 2 нче мисал. Күпбуыннарның аермасын табарга: p1(x', у) = х3 + у3 + 2х + Зу + 5 һәм р2(х; у) = х3 - у3 - 5х + Зу - 7. Чишү. Күпбуыннарның аермасын р(х; у) дип билгелибез. Ул чагында: р(х; у) = pl(χ∙, у) - р2(х; у) = = (х3 + у3 + 2х + Зу + 5) - (х3 - у3 - 5х + Зу - 7) = ==x3 +y3 + 2х + 3у +5 -_х3 + y3 + 5x-Зу + 7 = 2y3 + 7x +12. ® 1 Игътибар итегез: х3 - х3 = 0 һәм Зу - Зу = 0. к Шуңа күрә х3 бербуыны һәм Зу бербуыны ике В күпбуыннан да «юкка чыкты». Мондый очраклар- игътибар V да х3 һәм -х3, Зу һәм -Зу үзара бетерештеләр, диләр (дөрес, укучылар бу очракта «кыскарыш¬ тылар» дип әйтергә яраталар, әмма алай дию дөрес түгел: математикада «кыскарту» атамасын вакланмаларга карата кул- лану кабул ителгән. Мәсәлән, — вакланмасын кыскартырга з мөмкин, һәм бу очракта - табыла). 4 Шунысын искәртик: күпбуыннарны кушу һәм алу бер үк кагыйдә буенча үтәлә, ягъни кушу һәм алу операцияләрен ае¬ рып күрсәтүнең кирәге юк, димәк, «күпбуыннарны кушу» һәм «күпбуыннарны алу» дигән ике атаманы куллануның да зарур¬ лыгы юк. Алар урынына күпбуыннарның алгебраик суммасы терминын кулланырга мөмкин. Өч күпбуын — P1(x), p2(x) һәм p3(x) ның алгебраик суммаларына берничә мисал карагыз: Pι(x) + P2(χ) + P3(χ)5 Pι(χ) - P2(x) + P3(χ)! Pι(χ) - P2(χ) - P3(χ)! P2(χ) - P3(x) + Pι(χ)∙ 106
θ. КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР Хәзер без, бу параграфта сөйләнгәннәргә йомгак ясап, күп¬ буыннарның алгебраик суммасын төзү кагыйдәсен әйтә алабыз. Кагыйдә 1. Берничә күпбуынның алгебраик суммасын стандарт рәвештәге күпбуын рәвешендә язу өчен җәяләрне ачарга һәм охшаш буыннарны берләштерергә кирәк. Әгәр җәя алдында « + » тамгасы торса, җәяләрне ачканда, кушылучылар алдындагы тамгаларны үзгәрешсез кал¬ дырырга кирәк. Әгәр инде җәя алдында «-» тамгасы торса, җәяләрне ачкан вакытта, кушылучыларның җәя эчендәге тамгаларын капма-каршысына үзгәртергә кирәк: «+» не «—» ка, «—» ны «+» кә. Ә хәзер 1 һәм 2 нче мисалларга әйләнеп кайтыгыз һәм аларның чишелешен әлеге кагыйдәгә нигезләнеп аңлатыгыз (үзегез өчен генә булса да). Булдымы? Знче мисал. Өч күпбуын бирелгән: p1(x) = 2x2 + х - 3; p2(x) = x2 ~ Зх + 1; p3(x) = 5x2 - 2х - 8. Алгебраик сумманы табарга: P(x) = Pι(x) + P2(χ) “ P3(χ)∙ Чишү. p(x) = (2x2 + х - 3) + (х2 - Зх + 1) - (5x2 - 2х - 8) = = 2x2 +x-3+x2-3x + 1- 5x2 + 2x + 8 = -2x2 + 6. ® § 26. КҮПБУЫННЫ БЕРБУЫНГА ТАПКЫРЛАУ Сез, мөгаен, инде искәрткәнсездер, әлегә кадәр 6 нчы бүлек нәкъ 5 нче бүлекнең планы буенча төзелде. Ике бүлектә дә башта төп төшенчәләр кертелде: 5 нче бүлектә болар — бер¬ буын, бербуынның стандарт рәвеше, бербуынның коэффициен¬ ты; 6 нчы бүлектә — күпбуын, күпбуынның стандарт рәвеше. Аннан соң 5 нче бүлектә без бербуыннарны кушу һәм алу¬ ны тикшердек; 6 нчы бүлектә шулай ук күпбуыннарны кушу һәм алу каралды. 5 нче бүлектә аннан соң нәрсә иде? Аннан соң бербуыннарны тапкырлау турында сөйләш¬ тек. Димәк, шуңа охшатып, хәзер безгә күпбуын¬ нарны тапкырлау турында сөйләшергә кирәк. Тик 107
SJ КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР биредә ашыгырга ярамый: башта (бу параграфта) күпбуынны бербуынга (яки бербуынны күпбуынга, барыбер) тапкырлауны тикшерик, ә аннан соң (моннан соңгы параграфта) — теләсә нинди күпбуыннарны тапкырлау каралыр. Түбән сыйныфларда саннарны тапкырлауны да шулай акрынлап өйрәндегез: башта күбурынлы санны берурынлы санга тапкырладыгыз һәм шун¬ нан соң гына күбурынлы санны күбурынлыга тапкырладыгыз. Эшкә керешәбез. Күпбуынны бербуынга тапкырлаганда, тапкырлауның тарату законы кулланыла: (a + b)c = ас + Ьс. 1 нче мисал. Тапкырлауны эшләргә: (2a2 - 3ab) ■ (-5a). Чишү. Яңа үзгәрешләр кертәбез: х = 2a2, у = -3ab, z = -5a. Ул чагында бирелгән тапкырчыгыш (x+y)z рәвешендә язы¬ ла һәм тарату законы буенча xz + уг ка тигез. Хәзер элекке үзгәрешләргә күчәбез: xz + yz = 2a2 ∙ (-5a) + (-3ah) ∙ (-5a). Хәзер безгә бербуыннар тапкырчыгышын гына табасы кала. Исәплибез: -10a3 + 15a⅛. Чишүнең кыска язылышын үтибез (киләчәктә дә, яңа бил¬ гесезләр кертеп тормыйча, шулай язабыз): (2a2 - ЗаЪ) ■ (-5a) - 2a2 ∙ (-5a) + (-3at>) ∙ (-5a) = = -10a3 + 15a2b. (Д Хәзер без күпбуынны бербуынга тапкырлауның тиңдәшле кагыйдәсен әйтә алабыз. Кагыйдә 2. Күпбуынны бербуынга тапкыр¬ лау өчен, күпбуынның һәр буынын бу бер¬ буынга тапкырларга һәм табылган тапкыр чыгышларны кушарга кирәк. Бербуынны күпбуынга тапкырлаганда да шушы ук кагый¬ дә үз көчендә кала: -5α(2α2 - 3ab) = (-5a) ∙ 2a2 + (-5a) ∙ (-3ah) = -10a3 + 15a2b (без 1 нче мисалны алдык, әмма тапкырлаучыларның урын¬ нарын алыштырдык). 2 ынга а) нче мисал. Бирелгән күпбуынны күпбуынның бербу- тапкырчыгышы рәвешендә язарга: 2x2y + 4х; б) x2 + 3z∕2. 108
6 КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР Чишү, a) 2x2y = 2х ■ ху, ә 4х = 2х • 2 икәнен искәртик. Димәк, 2x2y + 4х = ху • 2х + 2 • 2х = (ху + 2) • 2х. б) а) мисалында безгә 2x2y + 4х күпбуынының һәр буыны составында бертөрле кисәкне (бер үк тапкырлаучы), 2х ны ае¬ рып чыгарырга мөмкин булды. Икенче очракта мондый уртак өлеш юк. Димәк, x2 + 3⅛∕2 күпбуынын күпбуынның бербуынга тапкырчыгышы рәвешендә язып булмый. (■] Чынлыкта исә x2 + Зу2 күпбуынын тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтергә мөмкин. Мәсәлән, х2 + 3ι∕2 = (2x2 + бу2) • 0,5 яки болай: x2 + Зу2 = (х2 + 3y2) • 1 — санның күпбуынга тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтеп була, тик бу ясалма рәвешүзгәртү, бик нык кирәк булмаганда кул¬ ланылмый. Кыскасы, бирелгән күпбуынны бербуынның күпбуынга тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтү таләбе математикада шактый еш очрый, шуңа күрә бу процедурага уртак тапкырлаучыны җәя тышына чыгару дигән махсус исем бирелгән. Уртак тапкырлаучыны җәя тышына чыгарырга дигән бирем төгәл куелган (2а мисалындагы кебек) һәм бик үк төгәл куелмаган (26 мисалы) булырга мөмкин. Киләсе па¬ раграфта без бу сорауны махсус карыйбыз. Параграф ахырында мәсьәләләр чишәрбез. Алар реаль ситуацияләрнең математик модельләре белән эшләгәндә күпбуыннарның алгебраик суммасын төзергә дә, күпбуынны бербуынга тапкырларга да туры килгәнен күрсәтә. Шулай бул¬ гач, бу операцияләрне без юкка гына өйрәнмибез икән. 3 нче мисал. А, В һәм С пунктлары шоссе буйлап 52 нче рәсемдә күрсәтелгәнчә урнашканнар. А һәм В арасын¬ дагы ераклык 16 км га тигез. В дан С га таба җәяүле юлга чыга. Аннан соң 2 сәг узгач, А дан С га таба тизлеге җәяүле тизлегеннән 6 км/сәг кә артыграк булган велосипедчы кузгала. В 16 км А Рәс. 52 109
6 КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР Юлга чыгып 4 сәг барганнан соң, ул җәяүлене С пунктында куып җитә. В һәм С арасындагы ераклык нәрсәгә тигез? Чишү. Беренче этап. Математик модель төзү. Әйтик, х км/сәг — җәяүленең тизлеге булсын, ул вакытта (х + 6) км/сәг — велосипедчының тизлеге. А һәм С арасын велосипедчы 4 сәг тә үтә, димәк, бу ара 4(х + 6) км формуласы белән табыла. Димәк, АС = 4(х + 6). В һәм С арасын җәяүле 6 сәг тә үтә (ул велосипедчыдан 2 сәг элек кузгалган иде), димәк, бу ара 6х формуласы белән табыла. Димәк, ВС = 6х. Ә хәзер 52 нче рәсемгә игътибар итегез: АС - ВС = АВ. Ягъ¬ ни АС — ВС = 16. Бу — мәсьәләнең математик моделен төзү өчен нигез. Исегезгә төшерегез, АС = 4(х + 6), ВС = 6х; димәк, 4(х + 6) - 6х = 16. Икенче этап. Төзелгән модель белән эшләү. Тигезләмәне чишү өчен, беренчедән, 4 бербуынын х + 6 ике- буынына тапкырларга кирәк, 4х + 24 не табабыз. Икенчедән, 4х + 24 икебуыныннан 6х ны алырга кирәк: 4х + 24 - 6х = 24 - 2х. Бу рәвешүзгәртүләрдән соң тигезләмә гадирәк рәвешкә килә: 24 - 2х = 16. Моннан соң: -2х = 16 - 24; -2х = -8; х = 4. Өченче этап. Мәсьәләнең соравына җавап. Без х = 4 не таптык, димәк, җәяүленең тизлеге 4 км/сәг. Әммә безгә моны түгел, ә В дан С га кадәр ераклыкны та¬ барга кирәк. Без ВС = 6х дигән идек, димәк, ВС = 6 • 4 = 24. Җавап: В белән С арасы 24 км. 4 нче мисал. Көймә елганың агымы уңаена 3 сәг. 12 минут, ә аннан соң агымга каршы 1,5 сәг йөзә. Әгәр елганың агым тизлеге 2 км/сәг, ә көймәнең барысы 41 км юл үткәне билгеле булса, аның үз тизлеген (ягъни акмый торган судагы тизлеген) табарга. 110
≡J КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР Чишү. Беренче этап. Математик модель төзү. х км/сәг — көймәнең үз тизлеге булсын, ул чагында көймә агым уңаена (х + 2) км/сәг тизлек (агым булыша), ә агымга каршы (х - 2) км/сәг тизлек (агым каршылык күрсәтә) белән йөзә. Агым уңаена көймә 3 сәг 12 минут йөзә. Тизлек сәгатькә километр итеп бирелгәнлектән, бу вакытны сәгатьләрдә күрсә- 12 1 тергә кирәк: 12 мин = — сәг = - сәг = 0,2 сәг. Димәк, 3 сәг 12 мин= 3,2 сәг. Шушы вакыт эчендә көймә (х + 2) км/сәг тизлек белән 3,2(x + 2) км юл үтә. Агымга каршы көймә 1,5 сәг йөзә. Бу вакыт эчендә ул (х - 2) км/сәг тизлек белән l,5(x — 2) км юл үтә. Шарт буенча, аның барлык үткән юлы 41 км га тигез, бу юл агым уңаена һәм агымга каршы барган юллардан тора: 3,2(x + 2) + l,5(x - 2) = 41. Бу тигезләмә — мәсьәләнең математик моделе. Икенче этап. Математик модель белән эшләү. Ьәрвакыттагы кебек, бу этапта модельне — тигезләмәне ничек чишү турында гына уйлыйбыз, аның кайдан килеп чы¬ гуы безне кызыксындырмый. Тигезләмәнең сул ягында 3,2 бербуынын — х + 2 икебуы- нына, 1,5 бербуынын х — 2 икебуынына тапкырлыйбыз, ә ан¬ нан соң килеп чыккан күпбуыннарны (икебуыннарны) куша¬ быз: 3,2х + 6,4 + 1,5х - 3 = 41; 4,7х + 3,4 = 41; 4,7х = 41 - 3,4; 4,7х = 37,6; 37,6 e х = , ягъни х = 8. 4,7 Өченче этап. Мәсьәләнең, соравына җавап. Көймәнең үз тизлеге, ягъни х ның ничәгә тигез икәнлеге соралган иде. Бу сорауга җавап алынды да: х = 8. Җавап: көймәнең үз тизлеге 8 км/сәг. 111
6 КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР § 27. КҮПБУЫННЫ КҮПБУЫНГА ТАПКЫРЛАУ Күпбуынны бербуынга тапкырлау кагыйдәсен үз¬ ләштергәннән соң, икенче адымны ясау — теләсә нинди ике күпбуынны тапкырлау кагыйдәсен табу кыен түгел. Башта иң гади (бербуыннардан соң) күпбуыннарны, дөресрәге, a + Ь һәм с + d икебуыннарын тапкырлауны тикшерик. Шулай итеп, (а + Ъ) (с + d) тапкырчыгышында җәяләрне ачарга кирәк. Яңа т = с + d үзгәрешлесен кертеп табабыз: (a + b) (с + d) = (a + b)m = ат + Ьт. Баштагы үзгәрешлеләргә күчәбез: am + bm = a(c + d) + Ъ(с + d) = ас + ad + be + bd. Шулай итеп, (a + b)(c + d) = ас + ad + be + bd. Шундый ук юл белән табарга мөмкин: (a + b + c)(x + у) = ах + ay + bx + by + сх + су. (Моны үзегез дә эшләп карагыз.) Икебуынны икебуынга тапкырлаган кебек, беренче күпбуынның һәр буынын икенче күпбуынның һәр буынына чиратлап тапкырлап чыгарга һәм табылган тапкырчыгышларны кушарга кирәк. Кагыйдә 3. Күпбуынны күпбуынга тап¬ кырлау өчен, бер күпбуынның һәр буынын икенче күпбуынның һәр буынына чиратлап тапкырлап чыгарга һәм табылган тапкыр¬ чыгышларны кушарга кирәк. Күпбуыннарны тапкырлау нәтиҗәсендә һәрвакыт күпбуын табыла, аны стандарт рәвешкә китерәсе генә кала. Мисал. Күпбуыннарны тапкырларга: p1(x) = 2x2 - 5x + 1 һәм p2(x) = Зх - 4. Чишү. p1(x) ∙ p2(x) = (2x2 - 5x + l)(3x - 4) = = 2x2 • Зх + 2x2 • (-4) + (-5x) • Зх + + (-5x) • (-4) + 1 • Зх + 1 • (-4) = = 6x3 - 8x2 - 15x2 + 20x + Зх - 4 = 6x3 - 23x2 + 23х - 4. (И 112
КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР Җәяләрне ачудан соң килеп чыккан бербуын¬ нарның коэффициентлары тамгасына аеруча игъ¬ тибар итәргә кирәк: әгәр бер күпбуында — т буын, ә икенчесендә п буын бар икән, тапкыр¬ чыгышта (охшаш буыннарны берләштергәнче) тп буын булырга тиеш; әгәр аларның саны тп түгел икән, сез нәрсәнедер югалткансыз, тикшереп карагыз. Әйтик, алдагы мисалда без өчбуынны икебуынга тапкырладык, алты кушылучының суммасы килеп чыкты (ә охшаш буыннар¬ ны берләштергәннән соң дүрт кушылучы калды). § 28. КЫСКАЧА ТАПКЫРЛАУ ФОРМУЛАЛАРЫ Шундый берничә очрак бар, аларда бер күпбуынны икенчесенә тапкырлау кыска, җиңел истә калдыра торган нә¬ тиҗәгә китерә. Бу очракларда бер күпбуынны икенчесенә тап¬ кырлап торуга караганда әзер нәтиҗәдән файдалану күпкә уңайрак була. Әлеге очракларны карап үтик. 1. Сумманың квадраты һәм аерманың квадраты Икебуын a + Ъ ны үз-үзенә тапкырлыйбыз, (а + Ъ) (а + Ъ) тапкырчыгышында, ягъни (a + b)2 аңлатмасында җәя¬ ләрне ачабыз: (a + bf = (α + b)(a + b) = a∙a + a∙b + b∙a + b∙b = = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. Шул ук юл белән табабыз: (a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2. Димәк, (α + b)2 = a2 + 2ab + 62; (а — 6)2 = a2 — 2ab + b2. (1) (2) Гадәти телдә (1) формуланы болай укыйлар: ике аңлатма суммасының квадраты аларның квадратлары суммасы плюс икеләтелгэн тапкырчыгышына тигез. 113
6 КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР сумманың квадраты аерманың квадраты (2) формуласын болай укыйлар: ике аңлатма аермасының квадраты аларның квадратлары суммасы минус икеләтелгән тапкырчыгышы¬ на тигез. Бу формулаларга махсус исемнәр бирелгән: (1) формуласы — сумманың квадраты, ә (2) фор¬ муласы — аерманың квадраты. 1 нче мисал. Аңлатмада җәяләрне ачарга: а) (Зх + 2)2; б) (5α2 - 4Ь3)2. Чишү, a) (1) формуланы кулланабыз: a ролендә — Зх, ә b ролендә — 2 саны. Табабыз: (Зх + 2)2 = (3x)2 + 2 • Зх • 2 + 22 = 9x2 + 12х + 4. б) (2) формуланы кулланабыз, биредә a ролендә — 5a2, ә b ролендә — 4fe3. Табабыз: (5α2 - 4fea)2 = (5a2 )2 - 2 ∙ 5a2 ∙ 4fe3 + (4fe3)2 = 25α4 - 40a⅛3 + 16fe6.<B Сумма яки аерманың квадраты формулаларын кулланган¬ да истә тотыгыз: (-a - b)2 = (a + b)2; (b - df = (a - b)2. Бу (-a)2 = a2 булганлыктан шулай килеп чыга. (1) һәм (2) формулаларына кайбер математик фокуслар да нигезләнгән, алар исәпләүләрне телдән эшләү мөмкинлеге бирәләр. Мәсәлән, 1, 2, 8 һәм 9 га беткән саннарны телдән диярлек квадратка күтәрергә мөмкин. Менә карагыз: 712 = (70 + I)2 = 702 + 2 • 70 • 1 + I2 = 4900 + 140 + 1 = 5041; 912 = (90 + I)2 = 902 + 2 • 90 • 1 + I2 = 8100 + 180 + 1 = 8281; 692 = (70 - I)2 = 702 - 2 • 70 • 1 + I2 = 4900 - 140 + 1 = 4761; 1022 = (100 + 2)2 = 1002 + 2 • 100 • 2 + 22 = = 10000 + 400 + 4 = 10404; 482 = (50 - 2)2 = 502 - 2 • 50 • 2 + 22 = 2500 - 200 + 4 = 2304. игътибар итегез Шулай да иң кызыклы фокус 5 цифрына тәмамланган саннарны квадратка күтәрү белән бәйләнгән. Моның өчен 852 аңлатмасын исәпләп карыйк. 852 = (80 + 5)2 = 802 + 2 • 80 • 5 + 52 = = 80(80 + 10) + 25 = 80 • 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225. 114
SJ КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР 852 кыйммәтен исәпләү өчен 8 не 9 га тапкырлап, табылган нәтиҗәнең уң ягына 25 не язып кую җиткәнен күрдек. Башка очракларда да шулай эшләнә. Мәсәлән, 352 = 1225 (3 • 4 = 12, һәм бу санның уң ягына 25 не язып куйдык); 652 = 4225; 1252 = 15625 (12 • 13 = 156, һәм бу санның уң ягына 25 языла). Әлеге фактны исбатлап карыйк. Әйтик, а саны 5 цифрына тәмамлана ди. Бу a = 10b + 5 дигән сүз, биредә Ъ — а саныннан соңгы 5 цифрын алып ташлаган сан (мәсәлән, 125 = 10-12 + 5; биредә Ъ = 12). Ул чагында a2 = (10b + 5)2 = 100b2 + 100b + 25 = 100b (b + 1) + 25. Биредә Ь санын b +1 гә тапкырларга, ул тапкырчыгышны 100 гә тапкырларга һәм аннан соң 25 не кушарга кирәк икәне күренә. Бу исә b(b + 1) санының уң ягына 25 не язып куюга тиң. Мәсәлән, 1252 санын исәпләү өчен, 12 не 13 кә тапкырлап 156 ны табабыз; уңга 25 не өстәп язабыз, 15625 килеп чыга. Рәс. 53 Беренче карашка күңелсез тоелган (1) һәм (2) формулалары белән бәйләнгән кызыклы очраклар турында сөйләшәбез икән, бу сөйләшүне тагын бер геометрик фикерләүгә дә юнәлтик әле. Әйтик, а һәм Ь — уңай саннар ди. Ягы а + Ъ булган квадратның ике почмагыннан яклары тиңдәшле рәвештә а һәм Ь га тигез булган квадратлар кисеп алыйк (рәс. 53). Ягы а + Ъ булган квадратның мәйданы (a + b)2 була. Бу квадратны без дүрт өлеш¬ кә бүлдек: ягы а булган квадрат (аның b b мәйданы а2 ка тигез), ягы Ь булган ква¬ драт (аның мәйданы — b2), яклары а һәм а Ь булган ике турыпочмаклык (шундый һәр a турыпочмаклыкның мәйданы аЪ га тигез). Димәк, (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab, ягъни (1) фор¬ муланы таптык. 2. Квадратлар аермасы a + Ъ икебуынын a - Ь икебуынына тапкырлыйк: (α + b) (a - b) = a2 - ab + ba - b2 = a2 - Ь2. Шулай итеп, (а + Ъ)(а - Ь) =a2 - b2Tj (3) 115
6 КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР квадратлар аермасы ланы уңнан Математикада теләсә кайсы тигезләмәне сул¬ дан уңга таба да (ягъни тигезләмәнең сул ягы аның уң ягы белән алыштырыла), уңнан сулга таба да (ягъни тигезләмәнең уң ягы аның сул ягы белән алыштырыла) кулланалар. Әгәр (3) фор¬ муланы сулдан уңга таба куллансак, ул (a + b) (a - Ъ) тапкырчыгышын әзер α2 - b2 нәтиҗәсенә алыштыруга мөмкинлек бирә. Шушы ук форму- сулга да кулланырга мөмкин, биредә ул a2 - b2 квадратлар аермасы урынына (a + b) (a - b) тапкырчыгышын кую мөмкинлеген бирә. Математикада (3) формуласына ква¬ дратлар аермасы дигән махсус атама бирелгән. калдырыгыз Искәрмә. «Квадратлар аермасы» һәм «аерманың ква¬ драты» атамаларын бутамагыз. Квадратлар аерма¬ сы — ул а2 - b2, димәк, сүз (3) формуласы турында бара; аерманың квадраты — ул (а - b)2, димәк, сүз (2) формула турында бара. Гадәти телдә (3) формуланы «уңнан сулга» таба укыйлар: ике аңлатманың квадратлар аермасы бу аңлатмалар суммасы белән аларның аерма¬ сы тапкырчыгышына тигез. 2 нче мисал. Тапкырлауны эшләргә: (Зх - 2y) (Зх + 2у). Чишү. (Зх - 2y) (Зх + 2y) = (3x)2 - (2y)2 = 9x2 - 4y2. ® 3 нче мисал. 16x4 - 9 икебуынын икебуыннар тапкыр¬ чыгышы рәвешендә күрсәтергә. Чишү. 16x4 = (4x2)2, 9 = З2 икәнен табабыз, димәк, бирел¬ гән икебуын — квадратлар аермасы, ягъни аңа карата (3) фор¬ муланы уңнан сулга укып кулланырга була. Табабыз: 16x4 - 9 = (4x2)2 - 32 = (4x2 + 3) (4x2 - 3). (1 (3) формула, (1) һәм (2) формулалар кебек үк, тиз исәпләү өчен кулланыла. Карагыз: 79 • 81 = (80 - 1) (80 + 1) = 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399; 42 • 38 = (40 + 2) (40 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596. 116
КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР Квадратлар аермасы турындагы сөйләшүне кызыклы гео¬ метрик фикерләү белән тәмамлыйбыз. Әйтик, а һәм Ь — уңай саннар һәм a > Ь булсын. Яклары a + Ъ һәм a - Ъ булган ту¬ рыпочмаклыкны тикшерәбез (рәс. 54). Аның мәйданы (а + Ъ) (а - Ъ) га тигез. Аннан яклары Ъ һәм a - Ь булган турыпочмак¬ лык кисеп алабыз һәм, 55 нче рәсемдәге кебек, калган өлешкә тоташтырып куябыз. Килеп чыккан фигураның мәйданы элек- ft a Ь a-b a-Ь ! | a Ь a - Ь Рәс. 54 кечә кала, ягъни (а + Ь) (а - Ь) га тигез. Тик бу фигураны башкача да төзергә мөмкин: ягы а булган квадраттан ягы Ь га тигез булган квадрат кисеп алына (бу 55 нче рәсемдә күренә). Димәк, яңа фигураның мәйданы a2 — b2 була. Шулай итеп, (а + Ь) (а - Ь) = а2 - Ъ2, ягъни (3) формуланы таптык. 3. Кублар аермасы һәм кублар суммасы a - Ь икебуынын a2 + ab + b2 өчбуынына тапкырлыйбыз: (a-b)(a2 + ab + b∣2) = a∙a2 + a∙ab + a∙ti2-b∙a2-b∙ab- - b ∙ ti2 = a3 + a2b + at? - a2b - ab? - b3 = a3 - Ь3. Шулай ук итеп табабыз: (a + b) (a2 - ab + b2) = a3 + b3 (моны үзегез тикшерегез). Шулай итеп, кублар аермасы кублар суммасы (α - ft)(α2 + ab + Ъ2) = а3 - Ь3; (a + ft)(a2 - ab + Ь2) = а3 + Ь3. (4) (5) (4) формуланы гадәттә — кублар аермасы, (5) формуланы кублар суммасы дип йөртәләр (уң ягына карап). (4) һәм (5) формулаларны гадәти телгә күче¬ рик. Моны эшләгәнгә кадәр a2 + ab + b2 аңлат- 117
КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР сумманың (аерманың) тулы квадраты сумманың (аерманың) тулы булмаган квадраты масының a2 + 2ab + ⅛2 аңлатмасына охшаш икәнен искәртик, соңгысы (1) формулада катна¬ ша һәм (α + b)2 ны бирә; a2 - ab + b2 аңлатмасы a2 - 2ab + b2 ка охшаш һәм соңгысы (2) форму¬ лада (a — b)2 ны бирә. Бу аңлатмалар парларын телдән сөйләгәндә бер-берсеннән аеру өчен a2 + 2ab + b2 һәм a2 - 2ab + b2 аңлатмаларының һәркайсын тулы квадрат (сумманың яки аерманың) дип атыйлар, ә a2 + ab + b2 һәм a2 — ab + b2 аңлатмаларының һәркайсын тулы булмаган квадрат (сумманың яки аерманың) диләр. Шунлыктан (4) һәм (5) формулаларының гадәти телгә «уңнан сулга» укылган тәрҗемәләре болай укыла: ике аңлатманың кублары аермасы бу аңлат¬ маларның аермасы белән алар суммасының тулы булмаган квадраты тапкырчыгышына тигез; ике аңлатманың кублары суммасы бу аңлат¬ маларның суммасы белән алар аермасының тулы булмаган квадраты тапкырчыгышына тигез. 4 нче мисал. Тапкырлауны эшләргә: (2х - 1) (4x2 + 2x + 1). Чишү. Беренче тапкырлаучы 2х һәм 1 бербуыннарының аермасы, ә икенче тапкырлаучы алар суммасының тулы бул¬ маган квадраты икәне билгеле, шуңа күрә (4) формуланы кул¬ ланырга мөмкин. Табабыз: (2х - 1) (4x2 + 2x + 1) = (2x)3 - I3 = 8x3 - 1. (■] 5 нче мисал. 27α6 + 8b3 икебуынын күпбуыннар тапкыр¬ чыгышы рәвешендә күрсәтергә. Чишү. 27a6 = (За2)3 һәм 8i>3 = (2fe)3. Димәк, бирелгән ике- буын — кублар аермасы, шуңа күрә аңа (5) формуланы уңнан сулга таба кулланырга мөмкин: 27a6 + 8∂3 = (За2)3 + (2ft)3 = (За2 + 2b) ((За2)2 - За2 ∙ 2b + (2d)2) = = (За2 + 2b) (9a4 - 6a¾ + 4d2). (Д 118
КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР игътибар итегең Йомгаклап, тагын бер кат ассызыклыйбыз, бу параграфта өйрәнелгән барлык (1)—(5) формула¬ лар сулдан уңга таба да, уңнан сулга таба да кул¬ ланылалар, тик беренче очракта (сулдан уңга) — (1)—(5) кыскача тапкырлау формулалары, ә икен- че очракта (уңнан сулга) (1)—(5) тапкырлаучыларга таркату формулалары, диләр. §29. КҮПБУЫННЫ БЕРБУЫНГА БҮЛҮ Яңадан, 26 нчы параграф башындагы кебек, 5 һәм 6 нчы бүлекләрнең төзелү планнарын чагыштырыйк. Сез инде искәрткәнсездер, бу планнар бертөрле үк диярлек, узган пара¬ граф кына (кыскача тапкырлау формулаларына багышланган) тулысы белән туры килүне бозды, шулай ук 5 нче бүлектә бербуынны дәрәҗәгә күтәрү каралган булса, 6 нчы бүлектә күпбуынны дәрәҗәгә күтәрү турында сүз булмады, бары икебуынны квадратка күтәрү очрагы гына булды. Бербуыннарны тапкырлаудан соң 5 нче бүлектә сүз бербуынны бербуынга бүлү турында барган иде. Хәзер менә 6 нчы бүлектә дә шуңа охшаш гамәл — күпбуынны бербуынга бүлү турында сөйләшербез. Аның нигезендә сумманы санга бүлүнең түбәндәге үзлеге ята: (a + b + с) : т = (а : т) + (Ь : т) + (с : т). Бу исә күпбуынны бербуынга бүлү кагыйдәсен шундук әйтергә мөмкинлек бирә. Кагыйдә 4. Күпбуынны бербуынга бүлү өчен, күпбуынның һәр буынын бу бербуынга бүләргә һәм нәтиҗәләрне кушарга кирәк. 23 нче параграфта без билгеләгән идек, бербуынны бер¬ буынга һәр очракта да бүлеп булмый; бүлү үтәлерлек булсын өчен берничә шартның үтәлүе кирәк — мисаллар чишкәндә ал арны искә төшерегез (яки 23 нче параграфны карагыз). Әгәр бербуынны (иң гади күпбуынны) бербуынга бүлү мәсьәләсе кайвакыт төгәл куелмаган булса, күпбуынны бербуынга бүлү турында әйтеп торасы да юк. Мондый бүлү бик сирәк кенә төгәл үтәлә. 119
6. КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР 1 нче мисал. 2a2b + 4αh2 күпбуынын 2а бербуынына бү¬ ләргә. Чишү. (2a2b + 4ab2) : 2a = (2a2b : 2d) + (4αb2 : 2d) = — + — = 2а 2а = l.^-.b + ---bi = l-a∙b + 2∙l∙b2 = ab + 2b2. ® 2 a 2 a Биредә без 23 нче параграфта сөйләнелгән язылыш алымын кулландык. Ә менә икенче алым (үзегезгә кайсы күбрәк ошаганга карап, икесен дә кулланырга мөмкин): 2a2b + 4ab2 күпбуынының һәр буынында нәкъ 2а бүлүчесенә тигез булган тапкырлаучыны аерып алабыз. Табабыз: 2a2b + 4ab2 = 2a∙ db + 2a∙ 2Ь2. Хәзер бу сумманы 2a(ab + 2b2) тапкырчыгышы рәвешендә язарга була. Әгәр бу тапкырчыгышны 2а га (бер тапкырлаучыга) бүлсәк, өлештә ab + 2b2 (икенче тапкырлаучы) килеп чыгасы ачык күренә. 2 нче мисал. 6x3 — 24x2 ны 6x2 ка бүләргә. Чишү. Беренче ысул. (6x3 - 24x2) : 6x2 = (6x3 : 6x2) - (24x2 : 6x2) = 6x3 24х2 6 х3 24 х2 1 . л . = —≡∙ - —V- = - ■ - — ; = 1 • х - 4 • 1 = х - 4. 6x2 6x2 6 х2 6 х2 Икенче ысул. 6x3 - 24x2 = 6x2 • х - 6x2 • 4 = 6x2(x - 4). Димәк, 6x3 - 24х2 ны 6x2 ка бүлүдән соң өлеш х - 4 кә тигез була. 3 нче мисал. 8α3 + 6α26 - b ны 2α2 ка бүләргә. Чишү. 8α3 + 6α2∂ - b = 2а2 ■ 4a + 2a2 ■ ЗЬ - Ь. Бирелгән күпбуынның өченче буынында (-b буыны турында сүз бара) 2a2 тапкырлаучысын аерып алып булмый, шунлыктан бүлү үтәлә алмый. Бу мәсьәлә төгәл куелмаган. Чынлыкта без, 120
КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР нәкъ 23 нче параграф ахырындагы кебек, алгебраик ваклан- 8α3 + 6a2b - b мага га килдек. 2a2 Шулай итеп, күпбуынны бербуынга бүлү һәрвакытта да үтәлми, үтәлгән очракта да тырышлык таләп ителә. Күпбуынны күпбуынга бүлү тагын да авыррак (тагын да сирәк үтәлә торган) операция, без әлегә аны эшли алмыйбыз. ТӨП НӘТИҖӘЛӘР Бу бүлектә без түбәндәге төшенчәләрне өйрәндек: күпбуын, аерым алганда, икебуын, өчбуын; күпбуынның охшаш буыннарын берләштерү, буыннарның үзара бетерешүе; күпбуынның стандарт рәвеше; күпбуынның алгебраик суммасы. Без түбәндәге кагыйдәләрне өйрәндек: күпбуынның алгебраик суммаларын төзү кагыйдәсе; күпбуынны бербуынга тапкырлау кагыйдәсе; күпбуынны күпбуынга тапкырлау кагыйдәсе; күпбуынны бербуынга бүлү кагыйдәсе. Без түбәндәге формулаларны өйрәндек: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a + b) (a - b) = a2 - b2 (a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - bi (а + Ь) (a2 - ab + b2) = a3 + b' (сумманың квадраты); (аерманың квадраты); (квадратлар аермасы); (кублар аермасы); (кублар суммасы).
БҮЛЕК КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ §30 . Нәрсә ул күпбуыннарны тапкырлаучыларга таркату һәм ул ни өчен кирәк §31 . Уртак тапкырлаучыны җәя алдына чыгару §32 . Группалау ысулы §33 . Күпбуыннарны тапкырлаучыларга кыскача тапкырлау формулаларын кулланып таркату §34 . Күпбуыннарны тапкырлаучыларга төрле алымнарны кулланып таркату §35 . Алгебраик вакланмаларны кыскарту §36 . Бердәйлекләр § 30. НӘРСӘ УЛ КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ ҺӘМ УЛ НИ ӨЧЕН КИРӘК Башта үзебезгә таныш булган операцияне эшлик: 2х - 3 күпбуынын х + 2 күпбуынына тапкырлыйк. (2x -3)(x + 2) = 2x∙x + 2x∙2-3∙x-3∙2 = = 2x2 + 4х — Зх - 6 = 2x2 + х - 6. Шулай итеп, (2х - 3) (х + 2) = 2х2 + х - 6. күпбуынны тапкырлаучы¬ ларга таркату Бу тигезләмәне икенче төрле, ике якның урыннарын алыштырып та язарга мөмкин: 2x2 + х - 6 = (2х - 3) (х + 2). Мондый язылыш 2x2 + х - 6 күпбуыны га¬ дирәк 2х - 3 һәм х + 2 тапкырлаучыларның тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтелгән дигәнне аңлата. Гадәттә, мондый очракларда күпбуын тапкырлаучыларга таркатылган, диләр. 122
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ Дөресен әйткәндә, «күпбуынны тапкырлаучыларга таркату» дигән сүз безгә инде таныш, без аны 6 нчы бүлектә берничә тапкыр кулландык, тик анда бу мәсьәләне (күпбуыннарны тапкырлаучыларга тапкырлау мәсьәләсе) соңрак җентекләп тикшерербез дигән идек. Хәзер бу вакыт җитте. Тик элек бу эшнең — күпбуынны тапкырлаучыларга таркатуның файдалы гамәл икәнлегенә ышаныйк (югыйсә нигә өйрәнеп торырга?). Күз алдына китерик әле, безгә 2х - 3 = 0 тигезләмәсен чишәргә кирәк ди. Сез моны бик җиңел башкарасыз: 2х = 3, х — 1,5. Аннан соң х + 2 = 0 тигезләмәсен чишәргә кирәк булсын. Монысын да җиңел үтисез: х = -2. Ә менә хәзер 2х2 + х - 6 = 0 тигезләмәсен тәкъдим иттеләр ди. Икенче төрле әйткәндә, х нинди кыйммәтләр алганда 2x2 + х - 6 өчбуынын нульгә әйләнгәнен белергә кирәк, х ның бу кыйммәтләре тигезләмәнең тамырлары дип атала. Мондый тигезләмәләр чишүнең махсус үз кагыйдәсе дә бар, тик әле сез аны белми¬ сез. Нишләргә? 2x2 + х - 6 күпбуынын тапкырлаучыларга таркатуны алда- рак карап үткән идек: 2x2 + х - 6 = (2x - 3)(х + 2). Ул чагын¬ да бирелгән тигезләмәне башкача язабыз: (2x - 3)(х + 2) = 0. Хәзер түбәндәге, безгә инде билгеле булган факттан файда¬ ланабыз: әгәр ике тапкырлаучының тапкырчыгышы нульгә ти¬ гез булса, тапкырлаучыларның берсе нульгә тигез. Димәк, йә 2х - 3 = 0, йә х + 2 = 0. Мәсьәлә ике гади тигезләмәне чишүгә кайтып калды. 2х - 3 = 0 тигезләмәсеннән х = 1,5 килеп чыга, х + 2 = 0 тигезләмәсеннән х = -2. Тигезләмә чишелде, аның ике тамыры бар: 1,5 һәм -2. Димәк, күпбуынны тапкырлаучыларга таркату безгә тигез¬ ләмәләр чишкәндә кирәк булачак икән. Икенче ситуацияне карыйк. Санлы 532 - 472 612 - 392 аңлатмасының кыйммәтен табарга кирәк ди. Билгеле, «турыдан ярып» исәп¬ ләргә дә мөмкин, әмма ике тапкыр квадратлар аермасы фор¬ муласын кулланып исәпләү кулайрак булыр: 532 - 472 = (53 - 47)(53 + 47) = 6 1 00 612 - 392 (61 - 39)(61 + 39) 22 100 A = A 22 if 123
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ Тапкырлаучыларга таркату вакланманы кыскартырга мөм¬ кинлек бирде. Соңрак без моны алгебраик вакланмалар белән гамәлләр эшләгәндә югары бәяләячәкбез. Шулай итеп, күпбуыннарны тапкырлаучы¬ ларга таркату тигезләмәләр чишү өчен, санлы һәм алгебраик аңлатмаларны үзгәртү өчен кул¬ ланыла икән. Ул башка очракларда да кулла¬ ныла, әйтик, түбәндә авыр, әмма кызыклы ми¬ сал каралып үтәчәк, анда нәкъ менә тапкырла¬ учыларга таркату уңышка илтә. Мисал. Теләсә нинди натураль п саны өчен n3 + Зп2 + 2п аңлатмасы 6 га калдыксыз бүленә икәнен исбатларга. Чишү, p(n) = n3 + Зп2 + 2п булсын. Әгәр п = 1 булса, p(l) = 1 + 3 + 2 = 6. Димәк, р(1) 6 га калдыксыз бүленә. Әгәр п = 2 булса, p(2) = 23 + 3∙22 + 2∙2 = 8 + 12 + 4 = 24. Димәк, р(2) дә 6 га калдыксыз бүленә. Әгәр п = 3 булса, р(3) = З3 + 3 • З2 + 2 • 3 = 27 + 27 + 6 = 60. Шунлыктан р(3) тә 6 га калдыксыз бүленә. Сез инде аңлый торгансыздыр, барлык натураль саннарны куеп исәпләп чыгу мөмкин хәл түгел. Нишләргә? Ярдәмгә ал¬ гебраик ысуллар килә. Язабыз: n3 + 3n2 + 2n = n(n + 1) (п + 2). Чынлап та, n(n + 1) = п2 + п, ә инде (n2 + п) (п + 2) = n3 + 2n2 + n2 + 2n = n3 + 3n2 + 2п. Димәк, p(n) = n(n + 1) (п + 2), ягъни р(п) рәттән килүче өч натураль санның — п, п + 1, п + 2 нең тапкырчыгышы икән. Ләкин мондый өч санның берсе һичшиксез 3 кә бүленә, димәк, аларның тапкырчыгы¬ шы да 3 кә бүленәчәк. Моннан тыш бу саннарның кимендә берсе җөп сан була, ягъни 2 гә бүленә, димәк, тапкырчыгыш та 2 гә бүленәчәк. Шулай итеп, р(п) 2 гә дә, 3 кә дә бүленә, димәк, 6 га да бүленә. 124
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ сорау җавап Ничек шәп дип уйлыйсыздыр, шулай бит? Әмма n3 + 3n2 + 2n = n(n + l)(n + 2) икәнен кай¬ дан белергә? Җавап та ачык: күпбуыннарны тапкырлаучыларга таркату ысулларын өйрәнергә кирәк. Хәзер шуңа күчәбез дә: бу бүлектәге һәр параграфта без күпбуыннарны тапкырлаучылар¬ га таркатуның теге яки бу алымын өйрәнербез. §31 . УРТАК ТАПКЫРЛАУЧЫНЫ ҖӘЯ АЛДЫНА ЧЫГАРУ Бу параграф материалын өйрәнә башлаганчы, 26 нчы параграфка әйләнеп кайтыйк әле. Сез анда күпбуынны күпбуын уртак тапкыр¬ лаучыны җәя алдына чыгару белән бербуын тапкырчыгышы рәвешендә күрсә¬ тергә дигән мисал чишкән идегез. Әгәр мондый тапкырчыгышны төзү мөмкин икән, гадәттә, күпбуын тапкырлаучыларга уртак тапкырлау¬ чыны җәя алдына чыгару (җәя тышына чыга¬ ру дип тә әйтелә )ярдәмендә таркатылган, диләр. Берничә мисал карап үтик. 1 нче мисал. Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатырга: а) 2х + бу; в) 4α3 + 6а2; д) 5α4 - 10α3 + 15a5. б) a3 + a2; г) 12afe4 - 18a⅛3q Чишү, а) 2х + бу = 2(x + Зу). Җәя алдына күпбуын буын¬ нары коэффициентларының уртак бүлүчесен чыгардык. б) a3 + a2 = a2(a + 1). Әгәр бер үк үзгәрешле күпбуынның барлык буыннарына да керсә, аны шулар арасындагы иң кеч¬ кенә дәрәҗәдә җәя алдына чыгарырга мөмкин (ягъни арада иң кечкенә күрсәткечне сайлыйлар). в) Биредә а) һәм б) мисалларын чишкәндәге алымнарны кулланабыз: коэффициентлар өчен уртак бүлүчене табабыз (безнең очракта 2 саны), үзгәрешлеләр өчен — арада иң кеч¬ кенә дәрәҗәне (безнең очракта a2). Табабыз: 4a3 + 6a2 = 2a2 ∙ 2a + 2a2 • 3 = 2a∖2a + 3). г) Гадәттә, бөтен санлы коэффициентлар өчен уртак бүлүчене түгел, ә иң зур уртак бүлүчене табарга тырыша¬ лар. 12 һәм 18 коэффициентлары өчен бу — 6 саны. Шуны искәртик: a үзгәрешлесе күпбуынның ике буынына да керә, 125
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ иң кечкенә күрсәткече 1 гә тигез. Үзгәрешле b да күпбуынның ике буынына да керә, ә иң кечкенә күрсәткече 3 кә тигез. Ниһаять, с үзгәрешлесе бары тик икенче буынга гына керә һәм беренче буынга керми, димәк, бу үзгәрешлене җәя алды¬ на чыгарып булмый. Нәтиҗәдә табабыз: 12αb4 - 18α⅛3c = 6afe3 ∙ 2b - 6afe3 ∙ 3ac = 6ab3(2b - Зас). д) 5a4 - 10a3 + 15a5 = 5a3(a - 2 + За2). <S Бу мисалда без моннан алдагы алгоритмны кулландык. Берничә бербуынның уртак тапкырлаучысын эзләү алгоритмы 1. Күпбуынга кергән барлык бербуыннар коэффициентлары¬ ның иң зур уртак бүлүчесен табарга — ул иң зур санлы тапкырлаучы була (бу бары тик бөтен санлы коэффици¬ ентларга гына карый). 2. Күпбуынның һәр буынына кергән үзгәрешлеләрне табар¬ га һәм аларның һәрберсе өчен араларындагы иң кечкенә дәрәҗә күрсәткечен сайлап алырга. 3. Беренче адымда табылган коэффициент белән икенче адым¬ да тапкан дәрәҗәләрнең тапкырчыгышы уртак тапкырлау¬ чы була, һәм аны җәя алдына чыгарырга мөмкин. Искәрмә 1. Күп кенә очракларда уртак тапкырлаучы сый¬ фатында җәя алдына вакланмалы тапкырлаучыны да чыга¬ рырга мөмкин. Мәсәлән: 2,4x + 7,2y = 2,4(x + Зу); 3 6,l9 3, , „ . -а —Ъ + -с = -(a - 2Ь + Зс). 7 7 7 7 Искәрмә 2. Шунысын аңлагыз: алгоритмның 1 нче һәм 2 нче адымнары төрле статуска ия, ягъни тигез көчле тү¬ гел. Реаль мәсьәләләрдә коэффициентлар беркайчан да бөтен саннар булмый (мәсьәләләр җыентыкларын төзүче авторлар тырышлыгы белән мәсьәләне чишү кызыклырак булсын өчен генә шулай сайлана). Шуңа күрә 1 нче адым күзгә ташлана торган язылышлар өчен генә булса, 2 нче адымда исә алгоритмның бөтен асылы ята. 126
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ 2 иче мисал. Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз: -x4y3 - 2x3y2 + 5x2. Чишү. Төзелгән алгоритмнан файдаланабыз. 1) -1, -2 һәм 5 коэффициентларының уртак бүлүчесе 1 гә тигез. 2) х үзгәрешлесе күпбуынның барлык буын¬ нарына да 4, 3, 2 күрсәткечләре белән керә; димәк, җәя тышына х2 ны чыгарырга мөмкин. у үзгәрешлесе күпбуынның барлык буыннарына да керми; димәк, аны җәя тышына чыгарырга ярамый. 3) Нәтиҗә: җәя алдына х2 ны чыгарырга мөмкин. Дөрес, бу очракта -х2 ны чыгару отышлырак. Табабыз: -x4y3 - 2x3y2 + 5x2 = -x2(x2y3 + 2xy2 - 5). 3 иче мисал. 5a4 — 10α3 + 15α5 күпбуынын: а) 5а3; б) 25α2 бербуынына бүлү мөмкинме? Булса, бүлүне эшләргә. Чишү, а) 1д) мисалында без тапкан идек: 5α4 - 10α3 + 15α5 = 5α3(α - 2 + За2). Димәк, бирелгән күпбуынны 5α3 ка бүләргә мөмкин, бу ва¬ кытта өлеш a - 2 + За2 була. б) 5а4 - Юа3 + 15а5 = 25a2f-a2 - -а + -а3 <5 5 5 Димәк, бирелгән күпбуынны 25а2 ка бүләргә мөмкин, кал- 1 2 2 , 3 з , ® дыкта -a —а + -а була. 5 5 5 Моңа охшаган мисалларны без 29 нчы па¬ раграфта караган идек, аларны хәзер тагын бер кат, тик инде уртак тапкырлаучыны җәя тышы¬ на чыгару күзлегеннән чыгып кабатлап укыгыз. Күпбуынны уртак тапкырлаучыны җәя ты¬ шына чыгару ярдәмендә тапкырлаучыларга тар¬ кату без 26 һәм 29 нчы параграфта өйрәнгән операцияләр, күпбуынны бербуынга тапкырлау һәм бүлү белән тыгыз бәйләнгән. Ә хәзер уртак тапкырлаучыны җәя тышына чыгару турын¬ дагы белемнәребезне бераз киңәйтик. Шунысы бар, кайвакыт алгебраик аңлатмада уртак тапкырлаучы сыйфатында бербу¬ ын түгел, ә берничә бербуынның суммасы бирелергә мөмкин. 127
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ 4 нче мисал. Тапкырлаучыларга таркатырга: 2x(x - 2) + 5(х — 2)2. Чишү, у = х - 2 дигән яңа үзгәрешле кертәбез. Табабыз: 2x(x - 2) + 5(x - 2)2 = 2xy + 5г/2. Үзгәрешле у ны җәя тышына чыгарырга мөмкин: 2ху + 5г/2 = = y(2x + 5г/). Ә хәзер алдагы язылышка кайтабыз: г/(2х + 5г/) = (х - 2)(2x + 5(х - 2)) = = (х - 2)(2x + 5х - 10) = (х - 2)(7x - 10). Мондый очракларда, бераз тәҗрибә туплаганнан соң, яңа үзгәрешле кертеп тормаска да, түбәндәге язылышны кулла¬ нырга да була: 2x(x - 2) + 5(x - 2)2 = (х - 2)(2x + 5(х - 2)) = = (х - 2)(2x + 5х - 10) = (х - 2)(7x - 10). <В § 32. ГРУППАЛАУ ЫСУЛЫ Группалау ысулының мәгънәсен аңлау өчен түбәндәге мисалны карап үтик. 1 нче мисал. Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатырга: 2a2 + 6α + ab + ЗЬ. Чишү. Беренче ике буынны — бер группага, ә соңгы ике буынны икенче группага берләштерәбез: (2α2 + 6a) + (аһ + 35). Беренче группада 2a ны, ә икенче группада Ь ны җәя ты¬ шына чыгарып булганын күрәбез, димәк, 2a(a + 3) + Ъ(а + 3). Хәзер уртак (a + 3) тапкырлаучысы «пәйда булды», аны җәя тышына чыгарырга мөмкин. Нәтиҗәдә табабыз (a + 3) (2a + b). Беренче мисалны чишү процессы аңлатмалар белән арала¬ шып барганлыктан, чишүне тагын бер тапкыр аңлатмаларсыз язабыз: 2a2 + 6a + ab + 3b = (2a2 + 6a) + (ab + ЗЬ) = = 2a(a + 3) + b(a + 3) — (a + 3) (2a + Ь). я 2a2 + 6a + ab + ЗЬ күпбуынын группаларга берләштерүне төрле алымнар белән эшләргә була. Тик шунысын истә тотарга кирәк, ниндидер группалау шуннан соңгы таркатулар өчен уңайлы бу¬ лырга да, уңайсыз булырга да мөмкин. Тәҗрибә үткәрәбез. Бер 128
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ группага бирелгән күпбуынның беренче һәм өченче буыннарын берләштерик, ә икенчесенә — икенче һәм дүртенче буыннарны: 2а2 + 6а + ab + 3b = (2a2 + ab) + (6α + 3i>) = = а(2а + &) + 3(2а + Ь) = (2а + Ъ) (а + 3). Тапкырлаучыларга тарката алдык, димәк, группалау уңай¬ лы булып чыкты. Хәзер бер группага беренче һәм дүртенче буыннарны, икен¬ чесенә икенче һәм өченче буыннарны берләштерик: 2α2 + 6α + ab + 3b = (2a2 + 3b) + (6α + ab) = (2α2 + 3b) + a(6 + Ь). Болай группалау бер дә уңышлы булмады. Йомгаклар ясыйк. Күпбуынның буыннарын 7Σ~ |к үзебез теләгәнчә группалый алабыз. Кайвакыт /Ч∕⅜1 ⅜ шундый уңышлы группалау килеп чыга, һәр S⅛⅛l∕ ⅛ группада уртак тапкырлаучыларны җәя тышы- __V__ F на чыгарганнан соң, җәяләрдә бер үк күпбуын кала һәм аның үзен дә уртак тапкырлаучы ке- группалау бек җәя тышына чыгаралар. Андый очракта ысулы күпбуынны тапкырлаучыларга таркату группа¬ лау ысулы белән эшләнде, диләр. 2 иче м и с а л. хг/ - 6 + Зх - 2г/ күпбуынын тапкырлау¬ чыларга таркатырга. Чишү. Группалауның беренче ысулы: ху - 6 + Зх - 2y = (ху - 6) + (Зх - 2у). Группалау уңышсыз килеп чыкты. Группалауның икенче ысулы: ху - 6 + Зх - 2у = (ху + Зх) + (-6 - 2у) = = х(у + 3) - 2(ι∕ + 3) = (у + 3) (х - 2). Группалауның өченче ысулы: ху - 6 + Зх - 2у = (ху - 2у) + (-6 + Зх) = = у(х - 2) + 3(х - 2) = (х - 2) (у + 3). Җавап: ху - 6 + Зх - 2у = (х - 2) (у + 3). Күргәнегезчә, группалау беренче тапкырдан ук уңышлы килеп чыкмады. Әгәр группалау уңыш¬ сыз булса, аны дәвам итмәгез, икенче ысулны эзләгез. Тәҗрибә туплау нәтиҗәсендә сез уңышлы группалау ысулын тизрәк табарга өйрәнерсез. 129
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ 3 нче мисал. Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатырга: ah2 — 2ab + 3α + 2b2 -4b +6. Чишү. Өч группа төзибез: беренчесенә — беренче һәм дүртенче буыннарны, икенчесенә — икенче һәм бишенче, өченчесенә өченче һәм алтынчы буыннарны кертәбез: ab2 - 2ab + За + 2b2 - 4fe + 6 = (ab2 + 2b2) + (-2ab - 4b) + + (За + 6) = b2(a + 2)- 2b(a + 2) + 3(a + 2). Өч төркемдә дә уртак (а + 2) тапкырлаучысы булып чык¬ ты, аны җәя тышына чыгарабыз. Табыла: (а + 2) (b2 -2b + 3). Җавап: ab2 - 2ab + 3α + 2b2 - 4b + 6 = (a + 2) (b2 - 2b + 3). Кайвакыт үзегезне тикшереп карау файдалы, ягъни табыл¬ ган тапкырчыгышта күпбуыннарны тапкырлау операциясен эшләргә (җәяләрне ачарга) һәм, нәтиҗәдә бирелгән күпбуын чыгамы-юкмы икәненә ышанырга кирәк. Әгәр килеп чыкмаса? Ул чагында ялгышны тапкырлаучыларга таркатудан эзлиләр. 4 нче мисал. Күпбуыннарны тапкырлаучыларга тарка¬ тырга: х2 - 7х + 12. Чишү. Мөгаен, сез бу мисалның группалау ысулына нин¬ ди катнашы бар дип уйлыйсыздыр, монда нәрсәне группалар¬ га соң? Дөрес уйлыйсыз, шулай да биредә бәләкәй генә фокус эшләп карарга мөмкин: әгәр -7х кушылучысын -Зх - 4х сум¬ масы рәвешендә күрсәтсәк, бирелгән күпбуындагы кебек өч кушылучы түгел, ә дүрт кушылучының суммасы килеп чыга. Бу дүрт кушылучыны ике группага тарката алабыз: х? - 7х + 12 = х2 - Зх - 4х + 12 = (x2 - Зх) + (~4х + 12) = = х(х - 3) - 4(х - 3) = (х - 3) (х - 4). <И 5 нче мисал. Тигезләмәне чишәргә: a) х2 - 7х + 12 = 0; б) x3 - 2x2 + Зх - 6 = 0. Чишү, а) х2 - 7х + 12 өчбуынын 4 нче мисалдагы кебек тапкырлаучыларга таркатабыз: х2 - 7х + 12 = (х - 3) (х - 4). Хәзер бирелгән тигезләмәне (х - 3) (х — 4) = 0 рәвешендә язарга мөмкин. Беренче тигезләмәнең ике тамыры бар: х = 3, х = 4. б) х3 - 2x2 + Зх - 6 күпбуынын тапкырлаучыларга тарка¬ табыз: х3 - 2x2 + Зх - 6 = (x3 - 2x2) + (Зх - 6) = x2(x - 2) + + 3(х - 2) = (х - 2) (х2 + 3). 130
7 . КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ Бирелгән тигезләмәне үзгәртеп язабыз: (х - 2) (х2 + 3) = 0. Тапкырчыгыш нульгә тигез булганлыктан, тапкырлаучыларның берсе нульгә тигез. Әмма х2 + 3 икебуыны х ның теләсә нин¬ ди кыйммәтләре өчен дә уңай сан була, ягъни нульгә әйләнә алмый. Димәк, бары тик х - 2 = 0 тигезлеге генә үтәлә ала, моннан х = 2. Җавап: а) 3, 4; б) 2. § 33. КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА КЫСКАЧА ТАПКЫРЛАУ ФОРМУЛАЛАРЫН КУЛЛАНЫП ТАРКАТУ 28 нче параграфта без биш кыскача тапкырлау фор¬ муласын таптык. Шунда ук бу формулаларның һәркайсын күпбуынны күпбуынга кыскача тапкырлау өчен дә (форму¬ лалардан 28 нче параграфта язылган рәвештә файдаланган- да), күпбуынны тапкырлаучыларга таркату өчен дә түбәндәгечә язганда) кулланып була, дип билгеләдек: α2 - fe2 = (а - 6) (а + Ь); а3 - Ь3 = (а - Ь) (а2 + аЬ + Ь2); а3 + Ь2 = (а + Ь) (а2 - аЬ + Ь2); a2 + 2ab + Ь2 = (а + Ь)2; a2 - 2ab + b2 = (a - Ь)2. (аларны (1) (2) (3) (4) (5) Бу формулаларның беренчесен квадратлар аермасын (сан¬ нарның, бербуыннарның, күпбуыннарның — барыбер) тәшкил иткән аңлатмага карата кулланырга мөмкин, икенчесен һәм өченчесен — кублар аермасын (суммасын) тәшкил итүче аңлатмаларга; соңгы ике формуланы тулы квадратны, ягъ¬ ни ике аңлатманың квадратлары һәм шул ук аңлатмаларның икеләтелгән тапкырчыгышын тәшкил итүче өчбуынга кара¬ та кулланалар. 1 нче мисал. Тапкырлаучыларга таркатырга: a) 64х2 - 9; в) (2x - I)2 - 25; б) х6 - 4a4; г) (a + 3)2 - (b - 2)2. 131
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ Чишү. Барлык дүрт мисалда да (1) формуланы (квадрат¬ лар аермасын) кулланабыз: a) 64x2 - 9 = (8x)2 - 32 = (8х - 3) (8х + 3); б) х6 - 4α4 = (х3)2 - (2a2)2 = (x3 - 2a2) (x3 + 2a2); в) (2x - 1)2 - 25 = (2x - 1)2 - 52 = ((2x - 1)- 5) ((2x - 1) + 5) = = (2x - 6) (2x + 4) = 2(x - 3) ∙ 2(x + 2) = 4(x - 3) (х + 2). Биредә, квадратлар аермасы формуласыннан тыш, без 2х - 6 һәм 2х + 4 икебуыннары өчен уртак тапкырлаучыны җәя тышына чыгару алымын да кулландык. г) (a + 3)2 - (& - 2)2 = ((a + 3) - (b - 2)) ((a + 3) + (b - 2)) = = (а + 3 - b + 2) (a + 3 + b - 2) = (a - b + 5) (a + b + 1). 2 нче мисал. Тапкырлаучыларга таркатырга: а) 125a3 - 8Ь3; б) a6 + 27&3; в) x6 - a6. Чишү. Биредә (2) һәм (3) формулалар (кублар суммасы һәм аермасы) буенча эшлибез. а) 125a3 - 8i>3 = (5a)3 - (2fe)3 = (5a - 2b) ((5a)2 + 5a ∙ 2b+ (2b)2) = = (5a - 2b) (25a2 + 10afe + 4b2). б) a6 + 27∂3 = (a2)3 + (3b)3 = (a2 + 3b) ((a2)2 - a2 ∙ 3b + (3b)2) = = (a2 + 3b) (a4 - 3a2b + 9b4). в) Беренче ысул: x6 - a6 = (x2)3 - (a2)3 = (x2 - a2X(x2)2 + x2 ∙ a2 + (a2)2) = = (x - a) (x + a) (x4 + x2a2 + a4). Икенче ысул: x6 - a6 = (x3)2 - (a3)2 = (x3 - a3) (x3 + a3) = (x - a) (x2 + xa + + a2) (x + a) (x2 - xa + a2). “ Искәрмә. 2в) мисалында чишүнең бер ысулында шун¬ дый таркату табылды: (х - а) (х + а) (х4 + x2a2 + а4), ә икенче ысулында икенче төрле таркату: (х - а) (х + а) (х2 + ха + а2) (х2 - ха + а2). Чынлыкта бу бер үк әйбер: алдагы параграфта без: x4 + x2a2 + а4 күпбуыныннан (x2 + ха + a2) (х2 - ха + а2) тапкырчыгышына ничек күчәргә кирәген күрсәтербез. Хәер, сез моңа хәзер үзегез дә ышана аласыз. Мо¬ ның өчен ×i + ×2a2 + a4 = (x2 + ха + a2) (х2 - ха + а2) тигезлегенең уң ягында җәяләрне ачу җитә (эшләп карагыз). игътибар итегез 132
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ 3 нче мисал. Тапкырлаучыларга таркатырга: a) a2 — 4ab + 4Ь2; в) 4x4 - 12x2y + 9у2; б) х4 + 2x2 + 1; г) 25α2 + 10αb + 4b2. Чишү. Бу мисалларда өчбуыннар бирелгән, аларны тапкыр¬ лаучыларга таркату өчен, әгәр өчбуын чынлап та тулы квадрат икәненә ышансак, (4) һәм (5) формулаларны кулланабыз. a) a2 - 4ab + 4b2 = a2 + (2b)2 - 2 ∙ a ∙ 2b = (a - 2b)2. Өчбуында бербуыннар а һәм 2b ньщ квадратлары сумма¬ сы һәм бу бербуыннарның икеләтелгән тапкырчыгышы бар. Димәк, ул тулы квадрат, төгәлрәге, аерманың квадраты. б) х4 + 2x2 + 1 = (x2)2 + I2 + 2 ∙ x2 • 1 = (x2 + I)2; в) 4x4 - 12x2y + 9y2 = (2x2)2 + (3<∕)2 - 2 ∙ 2x2 ∙ 3y = (2x2 - Зг/)2; г) 25α2 + 10αb + 4b2 = (5a)2 + (2fc>)2 + 5a ∙ 2b. 10ab бербуыннар 5a һәм 2b ның икеләтелгән тапкырчыгы¬ шы булмаганлыктан, бирелгән өчбуын тулы квадрат була ал¬ мый. Аны (4) яки (5) формула ярдәмендә тапкырлаучыларга тар¬ ката алмыйбыз. игътибар итегез Тагын бер тапкыр ассызыклыйбыз: әгәр (4) яки (5) формуланы кулланырга телисез икән, би¬ релгән өчбуынның тулы квадрат булуына инаны¬ гыз. Шулай булмаганда, (4) һәм (5) формулала¬ рын кулланырга ярамый — Зг) мисалында нәкъ шул очрак иде. § 34. КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТӨРЛЕ АЛЫМНАР КУЛЛАНЫП ТАРКАТУ Математикада мисалны бер генә алымны кулланып чишү очрагы бик сирәк була, ешрак катнаш мисаллар очрый, алар- да башта бер, аннары икенче һ.б. ысуллар кулланыла. Мон¬ дый мисалларны ансат кына чишү өчен ысулларны белү генә җитми, аларны ниндидер эзлеклелектә куллана белү дә кирәк. Башкача әйткәндә, биредә белем генә түгел, тәҗрибә дә сорала. Бу параграфта без менә шундый катнаш мисалларны карар¬ быз. 133
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ 1 нче мисал. Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатырга: 36α6b3 - 96α4b4 + 64α2b5. Чишү. 1) Башта уртак тапкырлаучыны җәя тышына чы¬ гару белән шөгыльләнербез. 36, 96, 64 коэффициентларын ка¬ рыйк. Алар барысы да 4 кә бүленә, һәм ул — иң зур уртак бүлүче, аны җәя тышына чыгарабыз. Күпбуынның барлык буыннарына да а керә (беренчедә a6, икенчедә a4, өченчедә a2), шуңа җәя тышына а2 ны чыгарыйк. Шулай ук барлык бу¬ ыннарга да b үзгәрешлесе керә (беренчегә b3, икенчегә b4, өченчедә b5) — җәя тышына b3 чыгарыла. Шулай итеп, җәя тышына 4a2b3 ны чыгарырга мөмкин. Ул вакытта табабыз: 36a6b3 - 96a4b4 + 64a2b5 = 4a⅛3(9a4 - 24a⅛ + 16b2). 2) 9a4 - 24a2b + 16b2 өчбуынын карыйк. Аның тулы ква¬ драт түгелме икәнен ачыклыйбыз. Табабыз: 9a4 - 24a⅛ + 16b2 = (3a2)2 + (4b)2 - 2 ∙ 3a2 ∙ 4Ь. Тулы квадратның барлык шартлары үтәлә, димәк: 9a4 - 24a⅛ + 16b2 = (3a2 - 4b)2. 3) Ике ысулны берләштереп (уртак тапкырлаучыны җәя тышына чыгару һәм кыскача тапкырлау формуласын кулла¬ ну), соңгы нәтиҗәне алабыз: 36a6b3 - 96a4b4 + 64a2b5 = 4a⅛3(3a2 - 4b)2. <В 2 нче мисал. Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатырга: a2 - c2 + b2 + 2ab. Чишү. 1) Башта группалау ысулын кулланырга тыры¬ шырбыз. Әлегә кадәр дүрт кушылучыны без группаларга пар¬ лап бүлгән идек (§ 32). Монда да шулай эшләргә тырышабыз: a2 - c2 + b2 + 2ab = (a2 - c2) + (b2 + 2ab) = = (a - с) (a + с) + b(b + 2a). Болай группалау уңышсыз булды, уртак тапкырлаучы юк. Башкача эшләп карыйк: a2 - c2 + b2 + 2ab = (a2 + b2) + (-c2 + 2ab) — монысы да уңышсыз тәмамланды. 134
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ Өченче тапкыр группалыйбыз: a2 - c2 + b2 + 2ab = (a2 + 2ab) + (-c2 + b2) = = a(a + 2Ь) + (Ь - с) (Ь + с) — биредә дә уртак тапкырлаучы юк. Тик барыбер бу мисалда группалау ысулы эшләргә тиеш. Кушылучыларны парлап кына төркемләргә дигән күрсәтмә юк бит, аны болай да эшләргә мөмкин: a2 - c2 + b2 + 2ab = (a2 + 2ab + b2) - c2 = (a + b)2 - с2. Хәзер сез бу күпбуынның структурасын ачык күрәсез — квадратлар аермасы. 2 ) Табылган аңлатмага карата квадратлар аермасы форму¬ ласын кулланабыз: (a + b)2 - c2 = ((a + b) - с) ((α + b) + с) — (a + b - с) (a + Ь + с). Шулай итеп, ике алымны (группалау һәм кыскача тапкыр¬ лау формулаларын — сумманың квадраты һәм квадратлар аер¬ масы) берләштереп, без соңгы нәтиҗәне таптык: a2 - c2 + b2 + 2ab — (a + b - с) (a + b + с). ⅛ 3 нче мисал, x4 + 4y4 икебуынын тапкырлаучыларга таркатырга. Чишү. Бирелгән икебуынның структурасын анализлыйбыз. Нәрсә ул х4? Ул (х2)2. Ә 4z∕4 нәрсә? Ул (2z∕2)2. Димәк, квадратлар суммасы бар: (х2)2 + (2y2)2. Гадәттә, ике аңлатманың (саннар, бербуыннар, күпбуыннар) квадратлары суммасын күреп, мате¬ матик бу аңлатмаларның икеләтелгән тапкырчыгышын эзли башлый — тулы квадрат алырга тырыша. Бу очракта мон¬ дый икеләтелгән тапкырчыгыш 2 ∙ x2 ∙ 2y2, ягъни 4x2y2 була. Тик мисалда ул юк. Нәрсә эшләргә соң? Бирелгән күпбуынга үзебезгә кирәкле буынны кушыйк, әмма, берни дә үзгәрмәс өчен, шундук алып та куйыйк: (x2)2 + (2j∕2)2 + 4x2y2 - 4x2y2. Бу беренче өч буынны тулы квадрат килеп чыгарлык итеп группалау мөмкинлеген бирде. Шуннан соңгы чишелеш 2 нче мисалдагы план буенча бара. Мисалның тулы чишелешен аңлатуларсыз гына китерәбез: х4 + 4y4 = (x2)2 + (2i∕2)2 = ((x2)2 + (2y2)2 + 4x2y2) - 4x2y2 = = (x2 + 2y2j2 - (2xy)2 = (x2 + 2y2 - 2xy) (x2 + 2y2 + 2ху). ■ 135
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ тулы квадрат аерып чыгару алымы Чишү игътибар итегез Бу мисалда без беренче тапкыр тулы квадрат аерып чыгару алымын кулландык. Ул безгә киләчәктә дә, аерым алганда, алдагы мисалны чишүдә дә файдалы булачак. 4 иче мисал. Өчбуынны тапкырлаучылар¬ га таркатырга: x4 + x2α2 + a4. Тулы квадрат аерып чыгару алымын кулланабыз. Моның өчен x2a2 ны 2x2a2 - x2a2 рәвешендә язабыз. Табабыз: х4 + x2a2 + a4 = x4 + 2x2a2 - x2a2 + a4 = (x4 + 2x2a2 + a4) - x2a2 = = (x2 + a2)2 - (xa)2 = (x2 + a2 - ха) (x2 + а2 + ха). Ф Ә хәзер 33 нче параграфтагы искәрмәгә әйләнеп кайты¬ гыз әле (2 нче мисалдан соң). Күргәнегезчә, вәгъдәне үтәдек. 5 нче мисал. Өчбуынны тапкырлаучыларга таркатырга: n3 + 3n2 + 2п. Чишү. Башта п ны җәя тышына чыгару мөмкинлегеннән файдаланабыз: n(n2 + Зп + 2). Хәзер п2 + Зп + 2 өчбуынына карата группалау ысулын кулланабыз, тик алдан Зп ны 2п + п рәвешендә язабыз: n2 + Зп + 2 = n2 + 2n + п + 2 = (n2 + 2п) + (п + 2) ■= = n(n + 2) + (п + 2) = (п + 2) (п + 1). Шулай итеп, n3 + 3n2 + 2n = n(n + 1) (п + 2). ® Бу таркату инде 30 нчы параграфта файда¬ ланылган иде. Дөрес, анда ул бернинди нигез¬ ләүләрсез эшләнде, аның каравы хәзер барысы да үз урынына басты. 6 нчы мисал. Исәпләргә: 38,82 + 83 • 15,4 - 44,22. Чишү. Бер-бер артлы группалау, кыскача тапкырлау фор¬ мулаларын, уртак тапкырлаучыны җәя тышына чыгару ысул¬ ларын кулланабыз. Алгебраик алымнарның мондый кушыл¬ масы арифметик исәпләүләрне җиңел һәм нәфис итеп үткәрү мөмкинлеген бирә: 38,82 + 83 • 15,4 - 44,22 = 83 • 15,4 - (44,22 - 38,82) = = 83 • 15,4 - (44,2 - 38,8) (44,2 + 38,8) = 83 • 15,4 - 5,4 • 83 = = 83 • (15,4 - 5,4) = 83 • 10 = 830. ® 136
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ Бу параграфны тәмамлап, 7 нче бүлекнең башына әйләнеп кайтыйк. 30 нчы параграфта без тапкырлаучыларга тарка¬ ту — тигезләмә чишү алымнарының берсе, дигән идек. Ал¬ дагы мисалда шушы алымны файдаланырбыз. Башта шунысын билгеләп үтик. Математикада һәм аңа якын фәннәрдә ах2 + Ъх + с = 0 рәвешендәге тигезләмәләр еш очрый, биредә а, Ъ, с — үзгәрешлеләр түгел, ә саннар. Мәсәлән, 2x2 - Зх + 2 = 0, х2 + 4х - 8,5 = 0 һ.б. Аларны ква¬ драт тигезләмәләр дип атыйлар, һәм без 8 нче сыйныфта аларны махсус өйрәнәчәкбез. Тик кайбер квадрат тигезләмәләрне без инде хәзер үк чишә алабыз. Бер квадрат тигезләмәне алда- рак (§32) чиштек, хәзер тагын берне һәм хәтта ике юл белән чишеп карарбыз (дөрес, гадәттә болай чишмиләр, ә квадрат ти¬ гезләмәләр чишү өчен махсус формулалардан файдаланалар — тик аларны сез әле белмисез). 7 нче мисал. Тигезләмәне чишәргә х2 — 6х + 5 = 0. Чишү. Беренче ысул. -6х ны -х - 5х суммасы рәвешендә күр¬ сәтәбез һәм аннан соң группалау ысулын кулланабыз: x2-6x + 5 = x2-x-5x + 5 = (x2-x) + (-5x + 5) = = x(x - 1) - 5(x - 1) = (х - 1) (х - 5). Ул чагында тигезләмә (х - 1) (х - 5) = 0 рәвешен ала, ан¬ нан табабыз: х = 1, яки х = 5. Икенче ысул. Тулы квадрат аерып чыгару алымын кул¬ ланабыз, моның өчен 5 кушылучысын 9-4 рәвешендә яза¬ быз. Табабыз: х2 - 6х + 5 = х2 - 6x + 9 - 4 = (х2 - 6х + 9) - 4 = = (х - 3)2 - 22 = (х - 3 - 2) (х - 3 + 2) = (х - 5) (х - 1). Яңадан (х - 1) (х - 5) = 0 тигезләмәсенә кайтып төштек. Аның тамырлары 1 һәм 5 иде. Җавап: 1, 5. §35. АЛГЕБРАИК ВАКЛАНМАЛАРНЫ КЫСКАРТУ Математикада яңа төшенчә сирәк кенә «юктан бар була». Ул үзенең объектив кирәклеген дәлилләгәннән соң гына барлыкка килә. Нәкъ менә шулай итеп математикада тискәре саннар һәм гади вакланмалар барлыкка килгәннәр. 137
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ «Алгебраик вакланма» дигән яңа төшенчәне кертү өчен билгеләр бездә инде бар. Әйдәгез, 23 нче параграфка әйләнеп кайтыйк. Бербуынны бербуынга бүлгәндә, без берничә мисал караган идек. Шуларның икесен аерып алыйк. 1. 36α3∂5 бербуынын 4ab2 бербуынына бүләргә (1в) миса¬ лын кара). Без аны болай чиштек. 36α⅛5 : 4ab2 язылышы урынына вак- 36a⅛5 . . n , A ланма сызыгы кулландык: τ- (чөнки А : В һәм — — бер үк 4ab В мәгънәгә ия). Болай язу безгә 36 : 4, a3 : a, b5 : b2 язылышлары урынына да вакланма сызыгы куллану мөмкинлеге бирде, һәм мисалның чишелеше ачыграк аңлашыла төште: 36a⅛5 _ 36 a3 bs 2 3 Л • * л ⅛Z CJ∕ U • 4ab 4 a b2 2. 4x3 бербуынын 2ху бербуынына бүләргә (§23, 1д) ми¬ салны кара). Шул ук үрнәк буенча эшләп таптык: л з . o 4x3 4 х2 1 о 2 1 2x2 4x : 2xy = = - . — . — - 2х . _ = . 2ху 2 х у УУ 23 нче параграфта без 4x3 бербуынын 2ху бербуынына өлештә дә бербуын калырлык итеп бүлә алмыйбыз, дидек. Ә бит математик модельләрдә бер-берсенә бүленә торган гына түгел, теләсә нинди бербуыннар катнашкан операцияләр керергә мөмкин. Шуңа күрә математиклар алгебраик вакланма дип 2х2 йөртелүче яңа төшенчә керткәннәр. Аерым алганда, , У алгебраик вакланма. O⅛X ^lk Хәзер 29 нчы параграфка әйләнеп кайтыйк. ≡ Анда күпбуынны бербуынга бүлү операциясен ∖S и тикшергәннән соң, аның да һәрвакыт үтәлмәвен төшерегез р билгеләдек. Мәсәлән, 29 нчы параграфтагы 2 нче мисалда сүз 6x3 - 24x2 икебуынын 6x2 бербуыны¬ на бүлү турында барды. Бу операция үтәлә торган булды, һәм нәтиҗәдә без х - 4 икебуынын таптык. Димәк, 6x3 - 24х2 6x2 = х - 4 138
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ Башка сүзләр белән әйткәндә, — 24x рәвешендәге алгеб- 6x2 раик аңлатманы гадирәге белән, х - 4 күпбуыны белән алыш¬ тыра алдык. Шул ук вакытта 29 нчы параграфтагы 3 нче мисалда о 3 l л 2l l с о 2 л 8d^i ÷ 6<√∂ “ Ь 8a + 6αro - Ь күпбуынын 2а ка бүлә алмадык, ягъни 3 2а аңлатмасын аннан гадирәге белән алыштыра алмадык һәм аны алгебраик вакланма рәвешендә калдырырга туры килде. Күпбуынны күпбуынга бүлү операциясенә килсәк, бары шуны гына әйтә алабыз: бер күпбуын икенчесенә икенче күп¬ буын беренчесенең берәр тапкырлаучысы булган очракта гына бүленеп бетә. Мәсәлән, х3 - 1 = (х - 1) (х2 + х + 1). Димәк, x3 - 1 не x2 + х + 1 гә бүләргә була, х - 1 килеп чыга; x3 - 1 не х - 1 гә бүләргә мөмкин, өлештә x2 + х + 1 була. Алгебраик вакланма дип Р һәм Q күпбуын- нарының чагыштырмасын атыйлар. Ьәм — язы¬ лышын кулланалар, биредә Р — алгебраик вак¬ ланманың санаучысы, Q — ваклаучысы. алгебраик Алгебраик вакланмаларга мисаллар: вакланма 2x2 8a3 + 6a2b - Ь х + у У ’ 2a2 х - у' Кайвакыт алгебраик вакланманы күпбуын белән алышты¬ рырга мөмкин. Мәсәлән, без алдарак билгеләгәнчә, 6x3 - 24x2 =х - 4 6x2 (6x3 - 24х2 күпбуынын 6x2 ка бүләргә мөмкин булды, өлештә х - 4 калды); без шулай ук билгеләдек: Тик болар — чагыштырмача сирәк очраклар. Хәер, гади вакланмаларны өйрәнгәндә, шуңа охшаш хәлләр „24 , сезгә очраган иде инде. Мәсәлән, — вакланмасын бөтен 4 саны _ 40 6 , _ белән алыштырырга мөмкин, ә — вакланмасын — бөтен 5 саны , „ 32 8 , белән. Ә менә — вакланмасын бөтен сан белән алыштырып 139
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ булмый, шулай да бу вакланманы, санаучысын да, ваклаучы¬ сын да аларның уртак тапкырлаучысы 8 гә бүлеп, кыскартыр- га була: — = -. Нәкъ шулай ук алгебраик вакланмаларны да, санаучысын да, ваклаучысын да бер үк вакытта аларның уртак тапкырлаучысына бүлеп кыскартырга мөмкин. Ә моның өчен вакланманың санаучысын да, ваклаучысын да тапкыр¬ лаучыларга таркатырга кирәк. Биредә безгә моңарчы бу бүлектә өйрәнгән белемнәребез кирәк булачак. М исал. Алгебраик вакланманы кыскартырга: . 12x3y4 ' _ a2 + 2a⅛ + b2 . х2 - ху a, 8x2√, ’ °, (a + b)(a - b)' В) х4 - ху3' Чишү, a) 12x3y4 һәм 8x2y5 бербуыннарының уртак тапкыр¬ лаучысын табабыз; бу — 4x2y4. Ул вакытта: 12x3∕ = 4х=У • Зх; 8x2y5 = 4x2y4 • 2у. Димәк, θ 12x3j∕4 _ 4x2y4 • Зх _ Зх 8x2i∕5 4x2j∕4 • 2у 2у Бирелгән алгебраик вакланманың санаучысын да, ваклау¬ чысын да уртак тапкырлаучы 4x2y4 нә кыскарттык. Бу мисалның чишелешен башкача да язып була: 12x3y4 = 12 ? . / = 8 1 = Зх 8x2j∕5 8 х2 j∕5 2 Х у 2у‘ б) Вакланманы кыскарту өчен, аның санаучысын һәм вак¬ лаучысын тапкырлаучыларга таркатабыз: a2 + 2ab + b2 _ (α + b)2 _ (α + b)(a + b) _ a + b (a + b)(a - b) (a + b)(a - b) (a + b)(a - b) a - b (вакланманы уртак тапкырлаучы a + b га кыс- ОШХ, '¾ карттык). Ә хәзер 1 нче параграфтагы 2 нче искәрмәгә иска кайтыйк. Күрәсезме, анда биргән вәгъдәбезне, төшерегез 1 ниһаять, үти алдык. в) χ2 ~ ху = χ(χ - у) = χ(χ - у) = 1 х4 - xy3 x(x3 - у3) х(х - j∕)(x2 + ху + у2) х2 + ху + у2' (вакланманы санаучы белән ваклаучының уртак тапкырлау¬ чысына, ягъни х(х - у) ка кыскарттык). (Й 140
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ Димәк, алгебраик вакланманы кыскарту өчен, иң элек аның санаучысын да, ваклаучысын да тапкырлаучыларга таркатырга кирәк (әгәр алар тәңгәл килмәсәләр). Сезнең бу яңа эштәге (алгеб¬ раик вакланмаларны кыскарту) уңышларыгыз бу бүлекнең материалын ни дәрәҗәдә әйбәт үзләш¬ терүегезгә бәйләнгән. бердәй тигез аңлатмалар бердәй рәвешүзгәртү § 36. БЕРДӘЙЛЕКЛӘР Бу параграфта без тагын бер алгебраик атама белән танышырбыз. Мәсәлән, без беләбез: а2 - Ъ2 = (a - b) (a + Ь), х2 - 4х + 4 = (х - 2)2, (α + Ь)с = ас + Ъс. Язылган тигезләмәләр алар составына кергән алдарак белерсез үзгәрешлеләрнең теләсә өчен дә дөрес. Алгебрада бердәйлекләр дип атыйлар, сул якларын үзара бердәй нинди кыйммәтләре андый тигезлекләрне Бердәйлекнең уң һәм тигез (яки гади генә бердәй) аңлатмалар дип атыйлар. Мәсәлән, а2 - Ъ2 һәм (а - Ь) (а + Ь) — бердәй тигез аңлатмалар. Бер аңлатманы аңа бердәй тигез аңлатма белән алыштыру бердәй рәвешүзгәртү дип атала. Без 4—7 нче бүлекләрдә өйрәнгән барлык нәрсә: дәрәҗәләр, бербуыннар, күпбуыннар белән гамәлләр — болар барысы да бердәй рәвешүзгәр- түне өйрәнү иде. Математикада еш кына шулай була, нинди¬ дер атама инде кулланылып килә һәм кинәт, яңа ситуациядә ул бик үк ярашып бетми, ачыклаулар таләп итә. Бу «бердәйлек» атамасына да кагыла. Күпбуыннар белән эшләү өчен алда бирелгән билгеләмә абсолют төгәл. Ә менә алгебраик вакланмалар белән эшләү өчен бу атамага бе¬ раз төзәтмәләр кертергә туры килә. 141
КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ ——алгебраик вакланмасын карыйк. Аны санау¬ чының һәм ваклаучының уртак тапкырлаучысы х - 1 гә кыс¬ картырга мөмкин. Шул рәвешле, x<x~1> = (1) (х - 2)(x - 1) х - 2 ,∙ ’ тигезлеге бар. Бу тигезлек бердәйлек була аламы? Алдарак бу атама¬ ны керткәндә, без, бердәйлек — үзгәрешлеләрнең теләсә нин¬ ди кыйммәтләре өчен дә дөрес булган тигезлек ул, дидек. Тик (1) тигезлек турында моны әйтеп булмый, ул х = 1 һәм х = 2 булганда мәгънәсен югалта, ягъни х үзгәрешлесенең теләсә нинди кыйммәтләре өчен дә дөрес була алмый. Күрсәтелгән кыйммәтләр (1) тигезлеккә кергән аңлатмалар өчен мөмкин та¬ былган кыйммәтләр түгел. Әгәр инде х үзгәрешлесенең мөмкин табылган кыйммәтләре белән генә чикләнәбез икән, мондый теләсә нинди кыйммәтләр өчен (1) тигезлеге дөрес була. Шундый ситуацияләрне истә тотып, математиклар бердәйлек төшенчәсен төгәлрәк билгеләгәннәр. бердәйлек Билгеләмә. Бердәйлек — үз составына кер¬ гән үзгәрешлеләрнең мөмкин табылган теләсә нинди кыйммәтләре өчен дә дөрес тигезләмә ул. Бу җәһәттән (1) тигезләмә — бердәйлек. «Бер¬ дәйлек» төшенчәсенә кертеләсе төзәтмә менә шул иде. ТӨП НӘТИҖӘЛӘР Бу бүлектә без математика теленең яңа (сезнең өчен) төшенчәләрен керттек: күпбуынны тапкырлаучыларга таркату; алгебраик вакланма, алгебраик вакланманы кыскарту; бердәйлек, бердәй тигез аңлатмалар, аңлатманы бер¬ дәй рәвешүзгәртү. Сез күпбуынны тапкырлаучыларга таркатуның тү¬ бәндәге алымнары белән таныштыгыз: уртак тапкырлаучыны җәя тышына чыгару; группалау; кыскача тапкырлау формулаларын куллану; тулы квадрат аерып чыгару.
8 БҮЛЕК у = ×2 ФУНКЦИЯСЕ § 37. у = x2 функциясе һәм аның графигы § 38. Тигезләмәләрне график юл белән чишү §39. Математикада у = f(x) язылышы нәрсәне аңлата §37. у = xi ФУНКЦИЯСЕ һем АНЫҢ графигы Икенче бүлектә без «сызыкча функция» атамасын керткән идек һәм аны у = kx + m рәвешендәге ике үзгәрешлеле (х, у) тигезләмәгә карата кулландык. Дөрес, бу тигезләмәдәге (мате¬ матик модельдәге) х, у үзгәрешлеләре тигез хокуклы булып саналмый: х — бәйсез үзгәрешле (аргумент), аңа без теләсә нинди, бернигә дә бәйләнмәгән кыйммәтләр бирдек; у — бәйле үзгәрешле, чөнки аның кыйммәтләре х үзгәрешлесенә нинди кыйммәтләр сайлаганга бәйле. Тик бу вакытта табигый сорау туа: ә менә шундый ук пландагы, әмма у үзгәрешлесе х аша у = kx + m формуласы белән түгел, нинди дә булса башка юл белән күрсәтелә торган математик модельләр очрамый микән? к Җавап ачык: очрый, билгеле. Әгәр, мәсәлән, х — λ квадратның ягы, ә у — аның мәйданы икән, у = х2 ■ була. Әгәр х — кубның ягы, ә у — аның күләме г икән, у = х3. Әгәр х — турыпочмаклыкның бер ягы, аның мәйданы 100 см2, ә у — икенче ягы икән, Шуңа күрә бу табигый күренеш, у = х2 моделен дә, з 100 у = х моделен дә, у = моделен дә, х һәм башка бик күп мо¬ дельләрне өйрәнергә туры киләчәк, ә аларның структурала¬ ры шул ук: тигезләмәнең сул ягында — у үзгәрешлесе, ә уң ягында х үзгәрешлесе кергән нинди дә булса аңлатма. Мондый модельләр өчен «сызыкча» сүзен төшереп калдырып, «функция» сүзен саклыйлар. 143
у = x2 ФУНКЦИЯСЕ Искәрмә. Без математикада яңа төшенчәләр, яңа атамалар белән эшнең ничек торганын инде берничә тапкыр искә ал¬ дык. Еш кына шулай була: яңа төшенчә кертелә, аның белән эшлиләр, ә соңрак, математиканы тагын да ныграк өйрәнү барышында, әлеге төшенчәне ачыкларга, үстерергә кирәклеген сизә башлыйлар. «Бердәйлек» төшенчәсе белән нәкъ шу¬ лай булды. «Функция» төшенчәсе белән дә шул ук хәл. Без әле аңа бик озак ияләшербез, тәҗрибә тупларбыз, бу төшенчә белән эшләрбез, шуннан соң гына аның төгәл билгеләне¬ шенә килеп җитәрбез (бу 9 нчы сыйныфта булачак). Бу параграфта без у = х2 функциясен карарбыз һәм аның графигын төзербез. Бәйсез х үзгәрешлесенә берничә конкрет кыйммәт бирәбез һәм бәйле у үзгәрешлесенең тиңдәшле кыйммәтен исәплибез (у — х2 формуласы буенча): әгәр х = 0 булса, у = 02 = 0; әгәр х = 1 булса, у = I2 = 1; әгәр х = 2 булса, у = 22 = 4; әгәр х = 3 булса, у = З2 = 9; әгәр х = -1 булса, у = (-l)2 = 1; әгәр х = -2 булса, у = (-2)2 = 4; әгәр х = -3 булса, у = (-3)2 = 9. Кыскача әйткәндә, без шундый таблицаны төзедек: X 0 1 2 3 -1 -2 -3 У 0 1 4 9 1 4 9 хОу координаталар яссылыгында (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (-1; 1), (-2; 4), (-3; 9) нокталарын төзибез (рәс. 56, а). Әлеге нокталар ниндидер сызыкта яталар, аны сызабыз (рәс. 56, б). Бу сызыкны парабола дип атыйлар. Билгеле инде, х аргументына мөмкин булган барлык кыйммәтләрне биреп, у үзгәрешлесенең тиңдәш кыйммәтләрен исәпләсәк һәм табылган (х; у) нокталарын төзесәк, идеаль чи¬ шелеш табылыр иде. Ул чагында график абсолют төгәл, камил булыр иде. Тик бу хәлнең булуы мөмкин түгел, чөнки мондый нокталар чиксез күп. Шуңа күрә математиклар чикләнгән сан¬ дагы нокталар күплеген алалар, аларны координаталар яссылы¬ гында төзиләр һәм бу нокталар арасында нинди сызык ятуын 144
у = x2 ФУНКЦИЯСЕ парабола карыйлар. Әгәр бу сызыкның контурлары җитәрлек дәрәҗәдә аңлаешлы икән (әйтик, 7 нче параграфтагы 1 нче мисалдагы кебек), бу сызыкны үткәрәләр. Ялгышырга мөмкин түгелме? Шунсыз булмый. Шуңа күрә, хаталардан качу мөмкинлекләре булсын өчен, математиканы тагын да тирәнрәк өйрәнәләр. Ә хәзер 56,6 рәсемгә карап, параболаның геометрик үзлек¬ ләрен сурәтләргә тырышыйк. Беренчедән, параболаның симметрияле икәнен билгелибез. Чынлап та, әгәр х күчәреннән юга¬ рырак аңа параллель итеп теләсә нинди туры үткәрсәк, бу туры параболаны у күчәреннән ти¬ гез ераклыкта, әмма аның төрле якларында ур¬ нашкан ике ноктада кисеп уза (рәс. 57). Ә бит 56, а рәсемендә тамгаланган (1; 1) һәм (-1; 1); (2; 4) һәм (-2; 4); (3; 9) һәм (-3; 9) нокталары турында да шуны ук әйтергә мөмкин. Моны у күчәре у = х2 параболасының симметрия күчәре яисә парабола у күчәренә карата сим¬ метрияле дип әйтәләр. Икенчедән, симметрия күчәре параболаны ике өлешкә бүлә, бу өлешләрне, гадәттә, пара¬ боланың тармаклары диләр. Өченчедән, параболаның аерым ноктасы бар, анда ике тар¬ мак килеп тоташа һәм ул параболаның симметрия күчәрендә ята — бу (0; 0) ноктасы. Аның үзенчәлекләрен исәпкә алып, аны махсус атама белән — параболаның түбәсе дип атыйлар. параболаның симметрия күчәре параболаның тармаклары параболаның түбәсе 145
8. у = x2 ФУНКЦИЯСЕ Дүртенчедән, параболаның бер тармагы түбәдә икенче тар¬ мак белән кушылганда, салмак күчеш күзәтелә, парабола сын¬ мый, абсциссалар күчәренә «сыена» кебек. Гадәттә, парабола абсциссалар күчәренә орына, диләр. Хәзер 56,6 рәсеменә карап, у = х2 функциясенең кайбер үзлекләрен сурәтләргә тырышыйк. Беренчедән, у = 0 булганда, х = 0, у > 0 һәм х < 0 бул¬ ганда, х > 0. Икенчедән, ymin = 0, ә ymax булмый. Өченчедән, у = х2 функциясе (-∞j 0] нурында кими — х ның бу кыйммәтләрендә парабола буенча сулдан уңга таба хәрәкәт¬ ләнеп, без «таудан төшәбез». Ә инде у = х2 функциясе [0; +∞) нурында үсә — х ның бу кыйммәтләрендә парабола буенча сул¬ дан уңга хәрәкәтләнеп, без «тауга күтәреләбез». 1 нче мисал, у = х2 функциясенең иң зур һәм иң кеч¬ кенә кыйммәтләрен табарга: a) [1; 3] кисемтәсендә; б) [-3; -1,5] кисемтәсендә; в) [-3; 2] кисемтәсендә. Чишү, а) у = х2 параболасын төзибез һәм аның х үзгә- решлесенең [1; 3] кисемтәсендәге кыйммәтләренә тиңдәш бул¬ ган өлешен аерып алабыз (рәс. 58). Графикның аерып алынган өлеше өчен yrnin = 1 (х = 1 булганда), ymax = 9 (х = 3 булганда). б) у = х2 параболасын төзибез һәм анда х үзгәрешлесенең [-3; -1,5] кисемтәсендәге кыйммәтләренә тиңдәш булган өлешен 146
у = x2 ФУНКЦИЯСЕ аерып алабыз (рәс. 59). Графикның аерып алынган өлеше өчен ymin = 2,25 (х = -1,5 булганда), ymax = 9 (х = -3 булганда). в) у = х2 параболасын төзибез һәм анда х үзгәрешлесенең [-3; 2] кисемтәсендәге кыйммәтләренә тиңдәш булган өлешен аерып алабыз (рәс. 60). Графикның аерып алынган өлеше өчен ‰in = 0 (х = 0 булганда), ymax = 9 (х = -3 булганда). Киңәш, у = х2 функциясенең графигын һәр мисалда нокта¬ лар буенча төзеп тормас өчен, каты кәгазьдән параболаның шаблонын ясагыз. Аның ярдәмендә параболаны бик тиз генә төзеп куя аласыз. Искәрмә. Сезгә парабола шаблоны ясауны тәкъдим итеп, без у =×2 функциясен сызыкча у = k× + т функциясе белән беркадәр тигезлибез. Сызыкча функциянең графигы — туры сызык һәм аны сурәтләү өчен кулланыла торган линейка бу графикның шаблоны булып тора да инде. Хәзер менә сез у = кх + т функциясе графигының да шаблонын бул¬ дырдыгыз. 2 иче мисал, у = х2 параболасы белән у = х + 2 туры¬ сының кисешү сызыкларын табыгыз. Чишү. Бер үк координаталар системасында у = х2 пара¬ боласын һәм у = х + 2 турысын төзибез (рәс. 61). Алар А һәм В нокталарында кисешәләр, һәм бу нокталарның координа- таларын сызымда билгеләү һич тә кыен түгел: А ноктасы өчен х = -1, у = 1, ә В ноктасы өчен х = 2, у = 4. Җавап: у = х2 параболасы һәм у = х + 2 турысы ике нок¬ тада: А(-1; 1) һәм В(2; 4) нокталарында кисешәләр. 147
у = # ФУНКЦИЯСЕ Мөһим искәрмә. Без сезнең белән әлегә кадәр сызым буенча кыю гына нәтиҗәләр чыгарып килдек. Әмма матема¬ тиклар сызымнарга бик үк ышанып җитми. 61 нче рәсемдә парабола белән турының кисешү нокталарын билгеләп, ма¬ тематик гадәттә үз-үзен тикшерә: чынлап та (-1; 1) нок¬ тасы параболада да, турыда да ята микән; (2; 4) нокта¬ сы параболада яткан кебек, турыда да ята микән? Моның өчен А һәм В нокталарының координаталарын турының һәм параболаның тигезләмәләренә куеп исәпләргә һәм ике очракта да дөрес тигезлек килеп чыкканына ышанырга кирәк. 2 нче мисалда ике очракта да дөрес тигезлекләр ки¬ леп чыга. Мондый тикшерүләрне сызымның дөреслеге бе¬ раз шикләндергән очракта эшлиләр. Знче мисал, у = -х2 функциясенең графигын төзергә. Чишү, у = х2 һәм у — -х2 функцияләрен чагыштыра¬ быз. Аргументның кыйммәте бер үк, мәсәлән, х = а булган¬ да, беренче функция а2, икенче функция -а2 кыйммәтен ала. Димәк, беренче функциянең графигында (a; а2) ноктасы, ә икенче функция графигында (a; -а2) ноктасы була. Бу нок¬ талар хОу координаталар яссылыгында абсцисслар күчәренә карата симметрияле урнашканнар (рәс. 63). Димәк, у = -х2 148
у = ×2 ФУНКЦИЯСЕ салар күчәренә карата симметрияле була (рәс. 64). Шул ук түбәле һәм шул ук симметрия күчәрле парабола, тик парабо¬ ла түбәләре өскә түгел, аска таба юнәлгән. Йомгаклап, параболаның үзенчәлекле бер үзлеген билгеләп үтик. Әгәр у = х2 параболасын өслекне чагылдыручы экран дип исәпләсәк, (0; - | ноктасында яктылык чыганагы урнаш- \ 4 ) тырсак, парабола-экраннан чагылган нурлар параллель якты¬ лык бәйләме хасил итәләр (рәс. 62). [ 0; - | ноктасын парабо- ланың фокусы дип атыйлар. Бу идея автомобильләрдә кулла¬ ныла: фараның чагылдыручы өслеге парабола формасында, ә лампочканы фокуска урнаштыралар — шунлыктан фарадан яктылык шактый ук еракка тарала. § 38. ТИГЕЗЛӘМӘЛӘРНЕ ГРАФИК ЮЛ БЕЛӘН ЧИШҮ Функцияләрнең графиклары турындагы белемнәре¬ безгә йомгак ясап карыйк. Без сезнең белән түбәндәге функ¬ цияләрнең графикларын төзергә өйрәндек: у = Ъ (х күчәренә параллель туры); у = kx (координаталар башлангычы аша үтүче туры); у = kx + т (туры); у = х2, у = -х2 (парабола). Бу графикларны белү безгә кирәк чагында аналитик мо¬ дельне геометрик модельгә (графикка) алыштыру мөмкинлеге бирә, мәсәлән, у = х2 моделе урынына (х һәм у үзгәрешлеләре кергән тигезлек) координаталар яссылыгындагы парабола¬ ны тикшерергә мөмкин. Аерым алганда, кайвакыт ул тигез¬ ләмәләр чишү өчен файдалы да. Моның ничек эшләнүен берничә мисалда карап үтәрбез. 1 нче мисал, х2 = х + 2 тигезләмәсен чишәргә. Чишү, у = х2 һәм у = х + 2 функцияләрен тикшерә¬ без; аларның графикларын төзибез һәм бу графикларның кисешү нокталарын табабыз. Без бу мәсьәләне чишкән идек инде (37 нче параграфтагы 2 нче мисал һәм аңа тиңдәшле 149
у = x2 ФУНКЦИЯСЕ 61 нче рәс.). у = x2 параболасы һәм у = х + 2 турысы А(-1; 1) һәм В(2; 4) нокталарында кисешәләр. Ә ничек итеп х2 = х + 2 тигезләмәсенең тамырларын, ягъни х ның х2 һәм х + 2 аңлатмалары бер үк санлы кыйммәт ала торган кыйммәтләрен табарга? Бик гади итеп, бу кыйммәтләр табылды бит инде: x1 = -1, х2 = 2. Болар — графикларыбыз кисешкән А һәм В нокталарының абсциссалары. Җавап: x1 = -1, х2 = 2. Чынлыкта без түбәндәге алгоритмнан файдаландык: 1. Тикшерү өчен y = x2,y = x + 2 функцияләрен керттек (башка тигезләмә өчен, әлбәттә, икенче төрле функцияләр булачак). 2. Бер үк координаталар яссылыгында у = х2, у = х + 2 функцияләренең графикларын төзедек. 3. Графикларның кисешү нокталарын таптык. 4. Кисешү нокталарының абсциссаларын тап¬ тык — болар тигезләмәләрнең тамырлары булды. 2 нче мисал, x2-x + 4 = 0 тигезләмәсен чишәргә. Чишү. Биредә саналган алгоритмга тагын бер адым өс¬ тәргә (әзерлек адымы) туры киләчәк: тигезләмәне алгоритм эшләнгән рәвешкә туры китереп язарга кирәк. Бу язылыш х2 = х - 4 рәвешендә. Хәзер алгоритм¬ га туры китереп барасы гына калды. 1) Ике функция кертәбез: у = х2, У = х - 4. 2) Бер үк координаталар күчәрендә у = х2 һәм у = х - 4 функцияләренең графикларын төзибез (рәс. 65). 3) Төзелгән парабола белән туры¬ ның кисешү нокталары юк. Сез ничек уйлыйсыз, әлеге геомет¬ рик факт безгә бирелгән алгебра¬ ик мәсьәлә (бирелгән тигезләмә) өчен нәрсәне аңлата икән? Аңладыгызмы? Ә хәзер үзегезнең фаразны җавапта язылган җөмлә белән чагыштырыгыз. Җавап: тигезләмәнең тамырла¬ ры юк. 150
у = χ2 ФУНКЦИЯСЕ Искәрмә. 34 нче параграфта без инде a×z + bx + c = O, (биредә а, Ь, с — саннар, a ≠ 0) рәвешендәге квадрат тигезләмәләр дип аталучы тигезләмәләр була дип сөйләгән идек. Аларның тамырларын исәпләп табу мах¬ сус формулалар буенча башкарыла. Шулай булса да квадрат тигезләмәләрне без чиштек инде. Мәсәлән, 34 нче параграфта без х2 - 6х + 5 = 0 квадрат ти¬ гезләмәсен тапкырлаучыларга таркату алымы белән чиштек. Ә әлеге параграфта без тагын ике квадрат тигезләмәне график юл белән чиштек. Болар — х2 - х - 2 = 0 тигезләмәсе (1 нче мисалны кара; дөрес, анда тигезләмә башкача, х2 = х + 2 рәвешендә язылган иде, тик бу барыбыр шул ук дигән сүз) һәм х2 - х + 4 = 0 тигезләмәсе (2 нче мисал). § 39. МАТЕМАТИКАДА у = f(×) ЯЗЫЛЫШЫ НӘРСӘНЕ АҢЛАТА Нинди дә булса реаль процессны (хәлне) өйрәнгәндә, гадәттә, бу процесста катнашучы ике зурлыкка игътибар итәләр (катлаулырак процессларда ике генә түгел, ә өч, дүрт һ.б. зур¬ лык катнаша, тик без хәзергә андый процессларны тикшер¬ мибез): аларның берсе бернәрсәгә дә бәйләнмичә үзлегеннән диярлек үзгәрә (андый үзгәрешлене ешрак х хәрефе белән билгелиләр), ә икенче зурлык х үзгәрешлесенең сайлап алынган кыйммәтләренә бәйле рәвештә кыйммәтләр ала (мондый бәйле үзгәрешлене ешрак у дип билгелиләр). Реаль процессның ма¬ тематик моделе булып у ның х ка бәйлелеген, ягъни х һәм у үзгәрешлеләре арасындагы бәйлелекне күрсәтүче язылыш тора. Тагын бер кат исегезгә төшерәбез, хәзер без түбәндәге ма¬ тематик модельләрне өйрәндек: у = b, у = kx, у = kx + т, у = х2, у = -х2. Бу математик модельләр арасын¬ да уртаклык бармы? Бар! Аларның структурасы бертөрле: у = f(x). Бу язылышны шулай аңларга кирәк: х үзгәрешлесе кергән /(х) аңлатмасы бар, һәм без аның ярдәмендә у үзгәрешлесенең кыйммәтләрен табабыз. Математикларның у = /(х) язылышына өстенлек бирүе очраклы түгел. Әйтик, мәсәлән, f(x) = х2 булсын, ягъни сүз 151
8. у = x2 ФУНКЦИЯСЕ у = x2 функциясе турында бара. Хәзер безгә аргументның берничә кыйммәтен һәм функциянең тиңдәшле кыйммәтләрен аерып күрсәтергә кирәк ди. Әлегә кадәр без болай яздык: әгәр х = 1 булса, у = I2 = 1 була; әгәр х = -3 булса, у = (-3)2 = 9 була. Ә инде f(x) == х2 тамгаланышын кулланабыз икән, язылыш уңайлырак төс ала: /(1) = I2 = 1; /(-3) = (-3)2 = 9. Шулай итеп, без математика теленең тагын бер фрагменты (кисәге) белән таныштык: «х = 2 ноктасында у = х2 функция¬ сенең кыйммәте 4 кә тигез була» диясе урынга «әгәр ∕(x) = х2 булса, f(2) = 4» дип языла. Ә менә кирегә күчерү мисалы. Әгәр /(х) = х2 булса, f(~3) = 9. Икенче төрле әйтсәк, х = -3 ноктасында у = х2 функциясенең кыйммәте 9 га тигез. 1 нче мисал, у = f(x) функциясе бирелгән, биредә /(х) — х3. Исәпләргә: a) /(1); д) /(a - 1); б) /(-4); е) /(Зх); в) /(а); ж) /(-х). г) /(2a); Чишү. Барлык очракларда да эшләү планы бер үк: /(х) аңлатмасына х урынына аргументның ж,әя эчендә күрсәтелгән кыйммәтен куярга һәм тиңдәшле исәпләүләрне, үзгәрешләрне үтәргә кирәк. a) /(1) = I3 = 1; б) /(-4) = (-4)3 = -64; в) f(a) = а3; г) f(2a) = (2α)3 = 8а3; д) f(α - 1) = (a - I)3; е) /(Зх) = (Зх)3 = 27х3; Ж) f(-x) = (-x)3 = -х3. (Я Искәрмә. Билгеле инде, f хәрефе урынына башка хәрефне куярга мөмкин: (нигездә, латин алфавитыннан алына): g(x), h(x), s(x) һ.б. 2 нче мисал. Ике функция бирелгән: у = /(х), биредә /(х) = х2 һәм у = g(x), биредә g(x) = х3. Исбатларга: 152
θ . I у = x2 ФУНКЦИЯСЕ f(x) = a) ∕(-χ) = /(х); 9 б) g(-χ) = -g(χ). Чишү, a) f(x) = x2 булганлыктан, ∕(-χ) = (-χ)2 = x2 була. Шулай итеп, f{x) — x2, f(-x) = х2, димәк, f(-x) = f(x). б) g(x) = х3 булганлыктан, g(-x) = (-χ)3 = -х3. Шулай итеп, g(x) = х3, g(-x) = -х3, ягъни g(-x) = -g(x). 'β у = f(x) рәвешендәге математик модель куллану бик күп очракларда уңайлы, аерым алганда, реаль процесс бәйсез үзгә- решленең төрле үзгәрү аралыкларында төрле формулалар белән сурәтләнгән очракта. Знче мисал, у = f(x) функциясе бирелгән, биредә 2х, х < 0 булганда; х2, х ≥ 0 булганда. а) исәпләргә: /(-5), /(-2), /(1,5), /(4), /(0). б) у = /(х) функциясенең графигын төзергә. Чишү, а) Нәрсә ул /(-5)? Бу бирелгән функциянең х = -5 ноктасындагы кыйммәте. Ләкин функция бер аңлатма белән түгел, ә ике: 2х һәм х2 аңлатмалары белән бирелгән. Алардан ничек файдаланырга? Бу аргументның сайлап алынган кыйм¬ мәтенә бәйле. Без х = -5 не сайладык, ә -5 саны х < 0 ти¬ гезсезлеген канәгатьләндерә; бу очракта функция беренче юлда урнашкан аңлатма белән бирелә, ягъни ∕(x) = 2х. Ул чагын¬ да /(-5) = 2 • (-5) = -10. Шундый ук юл белән /(-2) не исәплибез: әгәр х = -2 бул¬ са, х < 0, димәк, ∕(x) = 2х, ягъни /(-2) = 2 • (-2) = -4. /(1,5) не исәплибез, ягъни у = /(х) функциясенең х = 1,5 ноктасындагы кыйммәтен эзлибез. Бу кыйммәт х ≥ 0 шар¬ тын канәгатьләндерә, һәм, димәк, функция икенче юлда тору¬ чы аңлатма, ягъни ∕(x) = х2 белән бирелә. Шуңа күрә /(1,5) = = 1,52 = 2,25. Нәкъ шулай итеп /(4) не табабыз: әгәр х = 4 булса, х ≥ 0 һәм, димәк, /(х) = х2, ягъни /(4) = 42 = 16. /(0) не исәплисе калды, х = 0 кыйммәте х > 0 шартын канәгатьләндерә, димәк, ∕(x) = х2, ягъни /(0) = 02 = 0. б) Без у = 2х һәм у = х2 функцияләренең графикларын төзи беләбез (рәс. 66 һәм 67). Бирелгән у = /(х) функциясе х < 0 булганда, у = 2х функциясенә туры килә — 66 нчы рәсемдә графикның бу өлеше аерып алынган. Бирелгән функ¬ ция у = f(x) х ≥ 0 булганда, г/ = х2 функциясенә туры килә — 153
у = x2 ФУНКЦИЯСЕ 67 нче рәсемдә графикның бу өлеше бүленеп күрсәтелгән. Хәзер без бүленеп алынган ике өлешне бер үк координаталар системасында сурәтләсәк, у ≈ f(x) функциясенең соралган гра¬ фигын табабыз (рәс. 68). (И Билгеле, математиклар мондый графиклар¬ ны болай озак төземиләр. Гадәттә барысы да бер үк координаталар системасында бергә үк эшләнә. Тик, билгеле инде, у = 2х турысы тулысынча түгел, ә х < 0, ягъни (-∞j 0) аралыгында бул¬ ганда алына. Парабола да тулысы белән түгел, ә кисәкле х ≥ 0, ягъни [0; +∞) аралыгында булганда алына. функция Менә шулай, «кисәкләп» тулы график төзелә дә. Шуңа күрә 3 нче мисалдагы кебек функцияләрне кисәкле функцияләр дип атыйлар. 154
у = χ2 ФУНКЦИЯСЕ 4 нче мисал, у = /(х) функциясе бирелгән, биредә: f(x) = х + 2, х2, 4, -4 ≤ х ≤ -1 булганда; -1 < х ≤ 0 булганда; 0 < х ≤ 4 булганда. а) Исәпләргә: /(-4), /(-2), /(-0,5), ДО), /(1), /(5); б) у = /(х) функциясенең графигын төзергә. Чишү, а) х = -4 кыйммәте -4 ≤ х ≤ -1 шартын канәгать¬ ләндерә, ә бу очракта /(х) = х + 2. Шуңа күрә /(-4) = -4 + 2 = -2. х = —2 кыйммәте -4 ≤ х ≤ -1 шартын канәгатьләндерә, ә бу очракта f(x) = х + 2. Димәк, /(-2) = -2 + 2 = 0. х = -0,5 кыйммәте -1 < х ≤ 0 шартын канәгатьләндерә, бу очракта f(x) = х2. Димәк, /(-0,5) = (-0,5)2 = 0,25. х = 0 кыйммәте -1 < х ≤ 0 шартын канәгатьләндерә, бу очракта ∕(x) = х2. Димәк, /(0) = 02 = 0. х = 1 кыйммәте 0 < х ≤ 4 шартын канәгатьләндерә, ә бу очракта /(х) = 4; аерым алганда /(1) = 4. х = 5 кыйммәте бирелгән шартларның берсен дә канәгать¬ ләндерми: беренчесен -4 ≤ х ≤ -1 дә, икенчесен -1 < х ≤ 0 дә, өченчесен 0 < х ≤ 4 дә. Шуңа күрә /(5) не без исәпли алмый¬ быз, бу мәсьәлә төгәл куелмаган. графикны уку функциянең билгеләнү өлкәсе б) у = /(х) функциясенең графигын «кисәкләп» төзибез. 69 нчы рәсемдә у = х + 2 функциясенең, биредә х ∈ [-4; -1], графигы сурәтләнгән. 70 нче рәсемдә у = х2 функциясенең, биредә х ∈ (-1; 0], графигы, 71 нче рәсемдә у = 4 функциясенең, биредә х ∈ (0; 4], графигы бирелгән. Ниһаять, 72 нче рәсемдә барлык «кисәкләр» бербөтен бу¬ лып кушылганнар: у = /(х) функциянең графигы төзелгән. (Н Менә шулай, таныш графиклар буенча, коор- динаталар яссылыгында графикларны «кисәкләп» төзергә мөмкин. 72 нче рәсемдә төзелгән график ярдәмендә у = /(х) функ¬ циясенең кайбер үзлекләрен тасвирлыйк — мондый тасвирлау¬ ны, гадәттә, графикны, уку дип йөртәләр. Графикны уку — геометрик модельдән (график модельдән) сөйләмле модельгә (функциянең үзлекләрен сурәтләү) үзенчәлекле күчү ул. Ә гра- 155
у =×2 ФУНКЦИЯСЕ фикны төзү — аналитик модельдән (ул 4 нче мисалның шар¬ тында күрсәтелгән) геометрик модельгә күчү. Шулай итеп, у = /(х) функциясенең графигын укуга ке¬ решәбез (72 рәс. кара). 1. Бәйсез үзгәрешле х -4 тән 4 кә кадәр барлык кыйм-' мәтләрен «йөреп чыга». Башкача әйтсәк, х ның [-4; 4] кисем¬ тәсендәге һәр кыйммәте өчен /(х) функциясенең кыйммәтен исәпләп чыгарырга мөмкин. [-4; 4] — функциянең билгеләнү өлкәсе, диләр. Ни өчен 4 нче мисалны чишкәндә без /(5) не табу мөмкин түгел дидек? Чөнки х = 5 кыйммәте функциянең билгеләнү өлкәсендә ятмый. 2. z∕min = -2 (бу кыйммәтенә функция х = -4 булганда ире¬ шә); z∕max = 4 (бу кыйммәткә функция (0; 4] ярыминтервалының теләсә кайсы ноктасында ирешә). 3. х = -2 һәм х = 0 булганда, у = 0 була, бу нокталарда у = /(х) функциясенең графигы х күчәрен кисеп уза. 4. Әгәр х ∈ (-2; 0) яки х ∈ (0; 4] икән, у > 0 була, бу аралыкларда у = f(x) функциясенең графигы х күчәреннән өстә урнаша. 5. Әгәр х ∈ [-4; -2) икән, у < 0 була; бу аралыкта у = f(x) функциясенең графигы х күчәреннән аста урнаша. 6. Функция [-4; -1] кисемтәсендә үсә, [-1; о] кисемтәсендә кими һәм (0; 4] ярыминтервалында даими (үсми дә, кимеми Без сезнең белән функцияләрнең яңа үзлек¬ ләрен өйрәнә барган саен, графикны уку процес¬ сы тагын да тулырак, эчтәлеклерәк һәм кызык- лырак була барачак. Шундый яңа үзлекләрнең берсен тикшерик, 4 нче мисалда китерелгән функциянең графи¬ гы өч тармактан (өч «кисәктән») тора. Беренче һәм икенче тармаклар (у = х + 2 турысының ки¬ семтәсе һәм параболаның бер өлеше) уңышлы «кушылганнар»: кисемтә (-1; 1) ноктасында тәмамлана, ә парабола участогы шул ук нокта¬ да башланып китә. Ә менә икенче һәм өченче тармакларның «кушылуы» бик үк уңышлы тү¬ гел: өченче тармак (горизонталь туры «кисәге») дә) кала. өзлексез функция өзелү ноктасы 156
у = x2 ФУНКЦИЯСЕ (0; 0) ноктасында түгел, ә (0; 4) нокта¬ сында башланып китә. Математиклар моны: «у = /(х) функциясе х = 0 булган¬ да (яки х = 0 ноктасында) өзелә», диләр. Әгәр функциянең өзелү нокталары бул- маса, аны өзлексез функция диләр. Әйтик, без сезнең белән узган параграф¬ ларда танышкан барлык функцияләр дә (у = Ь, у = kx, у = kx + т, у = х2, у = -х2) — өзлексез функцияләр. x3 — 2х2 5 нче мисал, у = —-—— функ- X Δ циясе бирелгән. Аның графигын төзергә һәм укырга. Чишү. Күргәнегезчә, биредә функция шактый ук катлау¬ лы аңлатма белән бирелгән. Әмма математика — бердәм һәм төзек фән, аның бүлекләре бер-берсе белән тыгыз бәйләнгән. х3 - 2х2 7 нче бүлектә өйрәнгәннәребезне файдаланып, _ 2 алге¬ браик вакланмасын кыскартабыз. Табабыз: , х3 - 2x2 x2(x - 2) 2 7(х) = о = Х • х - 2 х - 2 ,z ч о _ x3 - 2x2 2 Шулай итеп, чыннан да f(x) = х . Дөрес, — = х X Zl бердәйлегенең х ≠ 2 булганда гына үтәлгәнен онытмаска кирәк. x3 — 2х2 Димәк, без, мәсьәләне үзгәртеп: у = функциясе уры- х - 2 нына у = х2 функциясен, биредә х ≠ 2, тикшерә алабыз. хОу координаталар яссылыгында у = х2 параболасын төзи¬ без. Аны х = 2 турысы (2; 4) ноктасында кисеп уза. Тик шарт буенча, х ≠ 2, димәк, параболаның (2; 4) ноктасын без тикшерүгә кертмибез, шуңа күрә сызымда аны ачык төстәге түгәрәк белән билгелибез. Шулай итеп, функциянең графигы төзелде — бу (2; 4) ноктасы «тишеп алынган» у = х2 парабо¬ ласы (рәс. 73). у = f(χ) функциясенең үзлекләрен санауга, ягъни аның гра¬ фигын укуга керешәбез. 157
8. I у = x2 ФУНКЦИЯСЕ 1. Бәйсез х үзгәрешлесе х = 2 кыйммәтеннән башка теләсә нинди кыйммәт ала. Димәк, функциянең билгеләнү өлкәсе ике ачык нурдан ((-∞j 2) һәм (2; +∞)) тора. 2. //min = о (х = 0 булганда ирешелә), ymax булмый. 3. Функция х = 2 булганда (х = 2 ноктасында) өзелә; (-∞5 2) һәм (2; +∞) аралыкларында өзлексез. 4. х = 0 булганда, у = 0. 5. х ∈ (-∞5 0), х ∈ (0; 2) һәм х ∈ (2; +∞) булганда, у > 0. 6. Функция (-∞∙, 0] нурында кими, [0; 2) ярыминтерва- лында һәм (2; +∞) ачык нурында үсә. ® ТӨП НӘТИҖӘЛӘР Математика телендә үзебезнең сүзлек запасын түбән¬ дәге атамалар белән баеттык: парабола, параболаның күчәре (симметрия күчәре), параболаның тармаклары, параболаның түбәсе; өзлексез функция, функциянең өзелүе; кисәкле функция; функциянең билгеләнү өлкәсе; графикны уку. Без ике математик модель белән таныштык; ∕∕ = x2, У = f(χ)∙ Без түбәндәге нәтиҗәгә килдек: у = х2 функциясенең графигы парабола була. Без ∕(x) = g(x) рәвешендәге тигезләмәне график юл белән чишү алгоритмын эшләдек. Ниһаять, сез кисәкле функцияләрнең графикларын төзү белән таныштыгыз.
ЭЧТӘЛЕК Укытучы өчен кереш сүз 3 1 бүлек. МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ § 1. Санлы һәм алгебраик аңлатмалар 6 § 2. Нәрсә ул математика теле 13 § 3. Нәрсә ул математик модель 14 § 4. Бер үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә 19 § 5. Координаталар турысы 24 2 бүлек. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ § 6. Координаталар яссылыгы 29 § 7. Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә һәм аның графигы 34 § 8. Сызыкча функция һәм аның графигы 42 § 9. у = kx сызыкча функциясе 52 § 10. Сызыкча функцияләр графикларының үзара урнашуы 54 Төп нәтиҗәләр 57 3 бүлек. ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ §11. Төп төшенчәләр 59 § 12. Алыштырып кую юлы 64 § 13. Алгебраик кушу юлы 67 § 14. Реаль ситуацияләрнең математик модельләре буларак, ике үзгәрешлеле ике сызыкча тигезләмә системасы 70 Төп нәтиҗәләр 72 4 бүлек. НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ §15 . Нәрсә ул натураль күрсәткечле дәрәҗә 73 §16 . Төп дәрәҗәләр таблицасы 76 §17 . Натураль күрсәткечле дәрәҗәнең үзлекләре 79 §18 . Бер үк күрсәткечле дәрәҗәләрне тапкырлау һәм бүлү 84 § 19. Нуль күрсәткечле дәрәҗә 87 Төп нәтиҗәләр 88 159
5 бүлек. БЕРБУЫННАР. БЕРБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ГАМӘЛЛӘР § 20. Бербуын төшенчәсе. Бербуынның стандарт рәвеше 89 §21 . Бербуыннарны кушу һәм алу 91 §22 . Бербуыннарны тапкырлау. Бербуынны натураль дәрәҗәгә күтәрү 95 § 23. Бербуынны бербуынга бүлү 98 Төп нәтиҗәләр 101 6 бүлек. КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР §24 . Төп төшенчәләр 102 §25 . Күпбуыннарны кушу һәм алу 105 § 26. Күпбуынны бербуынга тапкырлау 107 § 27. Күпбуынны күпбуынга тапкырлау 112 §28 . Кыскача тапкырлау формулалары 113 §29 . Күпбуынны бербуынга бүлү 119 Төп нәтиҗәләр 121 7 бүлек. КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ § 30. Нәрсә ул күпбуыннарны тапкырлаучыларга таркату һәм ул ни өчен кирәк 122 §31. Уртак тапкырлаучыны җәя алдына чыгару 125 §32. Группалау ысулы 128 §33. Күпбуыннарны тапкырлаучыларга кыскача тапкырлау формулаларын кулланып таркату 131 § 34. Күпбуыннарны тапкырлаучыларга төрле алымнар кулланып таркату 133 § 35. Алгебраик вакланмаларны кыскарту 137 § 36. Бердәйлекләр 141 Төп нәтиҗәләр 142 8 бүлек, у = х2 ФУНКЦИЯСЕ §37 . у = х2 функциясе һәм аның графигы 143 §38 . Тигезләмәләрне график юл белән чишү 149 §39 . Математикада у = f(x) язылышы нәрсәне аңлата 151 Төп нәтиҗәләр 158