Текст
2 кисәк
Ике кисәктә
2 кисәк
Гомуми белем бирү
учреждениеләре өчен
ЖЫЕИТЫГЫ
А. Г. Мордкович редакциясендә
Россия Федерациясе
Мәгариф һәм фән министрлыгы
тарафыннан тәкъдим ителгән
УДК 373.167.1:512
ББК 22.141я721
А47
Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся об¬
щеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.] ;
под ред. А. Г. Мордковича.— 15-е изд., стер.— М.: Мнемо¬
зина, 2011.-270 с.: ил.
Дәреслеккә РФА (№2-10106-5215/1433, 25.10.2006)
һәм РАО (№ 01-186/5/7д, 19.07.2006) тарафыннан уңай бәя бирелгән.
Авторлары:
А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина,
Е. Е. Тульчинская
Алгебра. 7 сыйныф. Ике кисәктә. 2 кисәк. Гомуми бе-
А47 лем бирү учреждениеләре өчен мәсьәләләр ж,ыентыгы /
[А. Г. Мордкович Һ.6.] ; Русчадан Р.С.Вафина тәрж,.— «Та¬
тарстан Республикасы «ХӘТЕР» нәшрияты» ҖЧҖ, 2011.—
270 б.: рәс. б-н.
ISBN 978-5-94113-360-4
Мәсьәләләр җыентыгында күнегүләр кыенлаша баручы дүрт
дәрәҗәгә бүлеп, системалаштырып төзелде.
УДК 373.167.1:512
ББК 22.141я721
ISBN 978-5-346-01416-4 (ч. 2)
ISBN 978-5-346-01414-0 (общ.)
ISBN 978-5-94113-360-4
© «Мнемозина», 2011
© Оформление. «Мнемозина», 2011
Все права защищены
© Татарстан Республикасы
«ХӘТЕР» нәшрияты, 2011
УКЫТУЧЫ ӨЧЕН КЕРЕШ СҮЗ
«Мнемозина» нәшрияты тарафыннан гомуми белем бирү мәктәбе¬
нең 7 нче сыйныфында алгебра курсын укыту өчен чыгарыла торган
укыту-методик комплект* составына түбәндәге китаплар керә:
Программы. Математика. 5—6 классы. Алгебра. 7—9 классы. Ал¬
гебра и начала математического анализа. 10—11 классы / авт.-сост.
И. И .Зубарева, А- Г. Мордкович;
А.Г.Мордкович. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник;
А.Г.Мордкович,Л.А.Александрова, Т.Н.Мишустина, Е.Е.Тульчинская.
Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник;
А.Г.Мордкович. Алгебра. 7 класс. Методическое пособие для учи¬
теля;
Л.А.Александрова. Алгебра. 7 класс. Контрольные работы / под
ред. А.Г.Мордковича;
Л.А.Александрова. Алгебра. 7 класс. Самостоятельные работы / под
ред. А.Г.Мордковича;
Е.Е.Тульчинская. Алгебра. 7 класс. Блицопрос;
В.В.Шеломовский. Электронное сопровождение курса «Алгебра-7» /
под ред. А.Г.Мордковича.
Тагын бер тапкыр исегезгә төшерәбез, татар теленә 7 сыйныф
өчен дәреслек һәм мәсьәләләр җыентыгы гына тәрҗемә ителде.
Сезнең кулыгызда комплектның икенче китабы — мәсьәләләр
җыентыгы. Мәсьәләләр җыентыгын аерым китап итеп чыгару автор¬
ларга бик зур күләмдәге күнегүләр системасын төзү мөмкинлеген
бирде. Ул укытучыны, башка чыганакларны җәлеп итмичә дә, сыйныф
һәм өй биремнәре өчен материал белән тәэмин итә.
Барлык параграфларда («Йомгаклау» бүлегеннән тыш) күнегүләр
икешәр блокка аерылган. Беренчесендә (сызыкка кадәр) база
дәрәҗәсендә: телдән (яртылаш телдән) һәм уртача кыенлыкта¬
гы (аларның номерлары алдына о тамгасы куелды) биремнәр;
икенчесендә уртачадан югары һәм югары кыенлыктагы (• тамгасы
белән билгеләнде) биремнәр тупланды. Икенче, өченче һәм дүртенче
дәрәҗәдәге мәсьәләләрнең күбесенә җаваплар бирелде. Дүртенче
дәрәҗә күнегүләрне чишү алымнары укытучы өчен ярдәмлектә карала.
* УМК турында тулырак мәгълүматны www.mnemozina.ru һәм www.ziimag.
narod.ru сайтларыннан табарга мөмкин.
3
Һәр номерда биремнәр саны бердәй: йә бер, йә ике (а) һәм б)),
йә дүрт (а), б), в), г)). Алар шушы номер эчендә бер типта, шуңа күрә
дәрестә а) һәм б) биремнәрен, ә өйдә в) һәм г) биремнәрен эшләргә
тәкъдим итәбез.
Һәр бүлек «Өй контроль эше» (ике вариантта) белән тәмамлана.
Безнең уйлавыбызча, бу эшне укучылар теманы өйрәнү барышында
эшли барырга һәм, әзер булгач, укытучыга тапшырырга тиеш.
Барлык күнегүләрне дә чишәргә тырышмаска кирәк. Алар исәпсез
күп һәм, укытучыга сайлау мөмкинлеге биреп, без моны махсус
эшләдек. Классның әзерлегенә һәм укытучының шәхси методик ка¬
рашларына таянып иҗади эшләү өчен мөмкинлекләр зур.
Укытучы игътибарына тагын бер мәгълүмат: мәсьәләләр җыен¬
тыгында Кушымта — «Бирелгәннәрне статистик эшкәртү алымнары»
урнаштырылды (авторы — П. В. Семенов). Ул сигез пункттан тора,
һәрберсендә зур булмаган теоретик белешмә һәм мисаллар бирелә.
Кушымтаның һәр пунктында беренче 5-8 мисал математик статисти¬
ка белән бәйләнгән,ә соңгы икесе — иң гади комбинаторика яки иң
гади ихтималлылыкны табуга карый.
Авторлар фикеренчә, укучылар (һәм укытучылар) өчен өр-яңа уку
материалын мәктәп математика курсының төп юнәлешеннән аерырга
ярамый. Шул сәбәпле, Кушымтада 70% тан артык мәсьәлә дәреслек
һәм мәсьәләләр җыентыгының 1-8 нче бүлекләрендә өйрәнелгән ма¬
териалга (үзгәрешлеләр, тигезләмәләр, сызыкча функцияләр, натураль
күрсәткечле дәрәҗәләр, бербуыннар, күпбуыннар) таянып төзелгән.
Шуның белән Кушымтаның 1 нче пункты мәсьәләләрен чишү бил¬
геле бер дәрәҗәдә 1 нче бүлек материалын беркетергә, ныгытырга
ярдәм итәчәк һ.б. Мәсьәләләр блокларын беркадәр эреләндерергә
мөмкин: мәсәлән, Кушымтаның беренче ике бүлегенә дәреслек һәм
мәсьәләләр җыентыгының 1 һәм 2 нче бүлекләрен өйрәнгәннән соң
керешергә була. Тик мондый берләштерүләрдә чикне онытырга яра¬
мый: без Кушымтага барлык 1-8 нче бүлекләрне өйрәнгәч кенә күчүне
катгый рәвештә киңәш итмибез.
Авторлар
1
БҮЛЕК
МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ.
МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ
§ 1 . САНЛЫ ҺӘМ АЛГЕБРАИК
АҢЛАТМАЛАР
Аңлатманы «сумма» һәм «аерма» терминнарын кулланып
укыгыз һәм аның кыйммәтен табыгыз:
1.1. а) 3,5 + 4,5; в) -3,5 + 4,5;
б) 3,5 + (-4,5); г) -3,5 + (-4,5).
1.2. а) 3,5 - 4,5; в) -3,5 - 4,5;
б) 3,5 - (-4,5); г) -3,5 - (-4,5).
1.3. Санлы аңлатманы языгыз һәм аның кыйммәтен табыгыз:
а) 15 һәм 7,5 саннарының суммасы;
б) 36,6 һәм 5^ саннарының аермасы;
3
в) 13,7 һәм 3,5 саннарының тапкырчыгышы;
2 1
г) 7 - санын 2- санына бүлүдән чыккан өлеш.
3 3
Аңлатманы «тапкырчыгыш» һәм «өлеш» терминнарын
кулланып укыгыз һәм аның кыйммәтен табыгыз:
1.4. а) 1,5 • 3; б) -1,5 • 3; в) 1,5 • (-3); г) -1,5 • (-3).
1.5. а) 1,5:3; б) -1,5:3; в) 1,5 : (-3); г) -1,5 : (-3).
Аңлатманы «сумма», «аерма», «тапкырчыгыш» һәм «өлеш»
терминнарын кулланып укыгыз һәм аның кыйммәтен та¬
быгыз:
01.6.
a)(2→3i]∙,
I 2 3J
6)2- + 3--6;
2 3
в)2--6 + 3^;
2 3
r)2-2 + 3-∙3.
2 3
5
Санлы аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
01.8. а) 7 : 2- + 4 : 1^; в) 8-4^: 3-;
3 3 7 7 8
б) fl2-— 6—1 : 7—; г) 21 ■ θ _ fill _ 11 : 4θ.
I 5 5J 4 3 7 12 3) 4
01.9. а) (0,018 + 0,982) : (8 • 0,5 - 0,8);
б) (0,008 + 0,992) : (5 • 0,6 - 1,4).
Санлы аңлатманы языгыз һәм аның кыйммәтен табыгыз:
1
ol.l0. а) 3$ саны белән 2,5 һәм 16 саннарының тапкырчы¬
гышы суммасы;
1 4
б) 2- һәм 2— саннарының тапкырчыгышы белән 2,4
( ә
санының аермасы;
в) 2,4 һәм 5,6 саннары суммасы белән аларның аерма¬
сы тапкырчыгышы;
6 25
г) 1 — һәм — саннарының аермасын аларның зурра-
1У оо
гына бүлүдән чыккан өлеш.
ol.ll. а) 2~ саны белән 2,4 һәм 15 саннарының тапкыр-
О
чыгышы суммасы;
2 9
б) 2— һәм 1— саннарының тапкырчыгышы белән 1,25
Zj□ 1 О
санының аермасы;
в) 3,8 һәм 5,2 саннары суммасы белән аларның аерма¬
сы тапкырчыгышы;
8 1
г) 4 — һәм 1 - саннарының аермасын аларның зурра¬
гына бүлүдән чыккан өлеш.
6
1.12. Кыйммәте 7 гә тигез булган санлы аңлатманы түбәндәге
гамәлләрне кулланып төзегез:
а) бер генә гамәл; в) алу һәм бүлү;
б) кушу һәм тапкырлау; г) кушу һәм алу.
1.13. Кыйммәте -2,5 булган санлы аңлатманы түбәндәге га¬
мәлләрне кулланып төзегез:
а) бер генә гамәл; в) алу һәм тапкырлау;
б) кушу һәм бүлү; г) кушу һәм алу.
1.14. Гамәлләрнең нинди үзлекләренә нигезләнеп, исәпләү¬
ләрне эшләмичә генә бу тигезлекләр дөрес дип әйтергә
мөмкин:
а) 247 + 35 = 35 + 247;
б) 96 • 18 = 18 • 96;
в) 14 + (21 + 971) = (14 + 21) + 971;
г) 13 • (4 + 18) = 13 • 4 + 13 • 18?
Иң рациональ юл белән исәпләгез:
12 11 2 3
1.15. a) - + 2- + 1- + 1-; b)3-∙2-∙5∙75
d О di о о (
/ 3 2 lλ 7 2 2 2 А
б) + - • 14; г) 12— + 24— — 16— : 2.
Ц4 7 2j I 9 3 15;
1.16. а) 4,16 + 2,5 + 6,04 + 3,5;
б) 7,3 + 1,6 - 0,3 - 0,6;
в) -1,06 + 0,04 - 7,04 + 2,16;
г) 18,9 - 6,8 - 5,2 + 4,1.
01.17. а) 7,8 • 6,3 + 7,8 • 13,7; в) 17,96 • 0,1 - 0,1 • 81,96;
б) 42,4 ∙f -2,4-у; г) б| • 4,8 + 67 • 5,2.
4 4 5 5
01.18. Табыгыз:
а) а сәгатьтәге секундлар санын;
б) х тәүлектәге минутлар санын;
в) тизлек х км/сәг булса, аны минутка метрларда;
г) тизлек и м/с булса, аны сәгатькә километрларда.
1.19. Аңлатманың кыйммәтен табагыз:
а) әгәр х = -3,5 булса, Зх ның;
б) әгәр х = —3∙j булса, х + 3 нең;
О
в) әгәр у = -0,3 булса, -5у ның;
г) әгәр у = 3,5 булса, у - 5 нең.
7
Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
1.20. а) с = 3, d = -2 булганда, 8c + 12d ның;
б) и = 6, и = -2 булганда, и - 3υ ның;
в) z = -5,5, t = -4 булганда, 8z - lit ның;
2
г) р = - — , q = 0,5 булганда, 5p - 4q ның.
Ә
1.21. 5х - Зу ның, биредә:
а) х = 7, у = 4; в) х = 12∣, у = э|;
б) х = 6,5, у = 2,1; г) х = 18, у = 7,4.
, 6α + 7Ь -
01.22. ның, биредә:
3α - 4b
a) a = 20, b = 12; в) a = 10,8, b = 6;
б) а = 2,4, b = 0,8; г) а = 12, ft = 5,6.
о 1.23. Аңлатманың рәвешен үзгәртегез һәм кыйммәтен табыгыз:
a) 2a + 2ft, биредә a = -4,1, ft = 4,05;
б) 2,5a - 7,5a + 1, биредә a = 0,1;
в) 5x - 5у, биредә х = -6,2, у = -6,02;
г) 2-fe-4 + l-fe, биредә ft = j.
3 3 *
Аңлатманы гадиләштерегез һәм кыйммәтен табыгыз:
ol.24. a) -6a + 7ft + За - 4ft, биредә a = 3,2, ft = 4,2;
б) l,5x - 9y - (у + l,5x), биредә х = 0,781, у = 0,9;
2 5
в) 14a - 12ft - a - ft, биредә a = -, ft = - — ;
г) 0,7y - (0,2x - 0,3<∕) + 0,2x, биредә х = 3,245, у = -0,14.
2
ol.25. a) 3(2x + у) - 4(2г/ - х), биредә х = 0,2, у = - —;
□
б) 7( 7Х ~ - 4( 2Х ~ 8y}, биредә x “ I’ У = 15
в) 2(4a - 0,5ft) - (За - 7ft), биредә a = -0,4, ft = —;
3
г) -б( а - ^∙ft)
6 )
( 1 \ о
+ 4^ 0,75а - биредә а = -1, b = —.
ol.26. Турыпочмаклыкның яклары озынлыклары а см һәм
ft см, периметры — Р см, мәйданы S см2 булсын ди.
Таблицаны тутырыгыз:
8
а
1
2
4
1,2
0,8
ь
1
3,5
2
1
3
2
9
Р
14
3,6
Ю |
S
12
7
3
0,48
ol.27. a + b = 10, с = 7 икәне билгеле. Табыгыз:
. . , o ,, a + b a + b + с 7(α + ft) + 2c
a) a + Ь + 2с; б) с; в) ; г) — .
2 2 Зс -1
1.28. a) a - Ь = 12 булса, b - а нәрсәгә тигез?
б) = 3 булса, нәрсәгә тигез?
в) с - d = 0 булса, d - с нәрсәгә тигез?
с d
г) — = 0,3 булса, — нәрсәгә тигез?
ol.29. a2 — b2 һәм (a - b)(a + Ь) аңлатмаларының кыйммәтләрен
чагыштырыгыз, биредә:
а) a = 17, Ь = 13; в) a = -13, Ь = -5;
б) a = -15, Ь = 12; г) a = 5, Ь = —4.
a2 — b2
ol.30. һәм a + Ь
a - Ь
быгыз, биредә:
а) a = 1, Ь = 2;
б) а = 3, b = 1;
аңлатмаларының кыйммәтләрен та-
в) a = 1,4, b = 1;
г) a = -3, 5 = 1.
01.31. 7 π г аңлатмасының кыйммәтен исәпләгез, биредә:
(х + у)(х - у)
а) х = 2, у = 3; в) х = -2, у = 0;
3 1
б) х = -, у = -; г) х = 1,3, у = -0,5.
Z о
ol.32. x2 - 2xy + у2 һәм (х - у)2 аңлатмаларының кыйммәтләрен
чагыштырыгыз, биредә:
а) х = 8, у = 3; в) х = -10, у = -2,6;
б) х = 7,6, у = -1,4; г) х = -1,5, у = 3.
9
ol.33. <∣ ~ ft һәм a ~ b аңлатмаларының кыйммәтләрен
чагыштырыгыз, биредә:
a) a = -13, Ь = 12; в) a = -3,5, Ь = -2,5;
б) a = 2,4, Ь = 2,3; г) a = 7,4, b = -3,6.
Үзгәрешлеләрнең нинди кыйммәтләре өчен аңлатманың
мәгънәсе бар?
1.34.
а)
х2 + 5;
б)
3
а
в)
7y2 + 8;
г)
—?
56
1.35.
12
а - 6
25
47 + с?
с + 13 '
а)
х + З’
б)
а + 2
в)
9 + <Г
г)
1.36.
Z
б)
t
в)
т
—— ?
36 - 6л ‘
а)
5z - 15’
45t - 90’
9т - 81 ’
г)
1.37. т вакланмасының кыйммәте 0 гә тигез. — ваклан-
о a
масы турында нәрсә әйтергә мөмкин?
1.38. Кыйммәте - кә тигез булган санлы аңлатманы түбәндәге
гамәлләрне кулланып төзегез:
а) бер генә гамәл; в) тапкырлау һәм бүлү;
б) кушу һәм алу; г) кушу һәм тапкырлау.
1.39. Кыйммәте -3∣ гә тигез булган санлы аңлатманы түбәндәге
гамәлләрне кулланып төзегез:
а) бер генә гамәл; в) бүлү һәм тапкырлау;
б) кушу һәм бүлү; г) кушу һәм тапкырлау.
1.40. 18 һәм 12 саннары бирелә. Аңлатманы языгыз һәм
кыйммәтен табыгыз:
а) бу саннарның зуррагы белән аларның квадратлары
аермасы тапкырчыгышын;
б) бу саннарның кечерәген аларның ярымсуммасына
бүлүдән чыккан өлеш;
в) бу саннарның зуррагы белән зуррагын кечерәгенә
бүлүдән чыккан өлешнең суммасы;
г) бу саннарның тапкырчыгышы белән аларның өлеш¬
ләре аермасы.
10
1.41. 7,2 һәм 6,4 саннары бирелгән. Аңлатманы языгыз һәм
кыйммәтен исәпләгез:
а) бу саннарның зуррагы белән аларның ярымаерма-
лары тапкырчыгышы;
б) бу саннарның кечерәген аларның квадратлары аер¬
масына бүлүдән чыккан өлеш;
в) бу саннарның зуррагы белән зуррагын кечерәгенә
бүлүдән чыккан өлешнең суммасы;
г) зуррак санны кечерәгенә бүлүдән чыккан өлеш.
1.42. Санлы аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
( 7 17^ 1
я) 8— -2— -2,7-4- : 0,65;
а} 12 36) 3
/11 1Qλ «
б) ⅛ + ⅛∙m4-15 °>5625=
ь) [615-4«P4’5-2i:0’52;
/ Q 1 Oλ∖ Q
г) - + 1- 1,32---0,1625.
i, у22 33) 13
1.43. Вакланманың кыйммәте нульгә тигез икәнне исбатлагыз:
∣2 - : 2 - 1,β]∙0,4 + 0,3 [1,24-1 1 ∣-2,5 - 1 : 1
у 10 ) V 25J 6 3
а) 3,15 : 22,5 ’ 1,4 : 0,1 - 2
1.44. Бу вакланманың мәгънәсе юк икәнне исбатлагыз:
3,5 • 1,24 4,2 : 2 -1
a АЗ V б) 1 5 f 11V
10 + 1,6:-0,4-0,4 - + -∙0,8∙---
<5 ) 9 9 t 6 3)
• 1.45. 7-6 +24:3-2 аңлатмасында җәяләрне аның кыйммәте:
а) иң кечкенә; б) иң зур
булырлык итеп куегыз.
• 1.46. Кыйммәте 100 гә тигез булган санлы аңлатманы санап
кителгән цифрларны кулланып һәм аларның урнашу
тәртибен үзгәртмичә генә төзегез:
a) 1, 2, 3, 4, 5; в) биш бишлек;
б) биш берлек; г) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• 1.47. Язылышларында бары тик дүрт дүртле кулланып, аң¬
латмалар төзегез, аларның кыйммәтләре 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 10 га тигез булсын.
11
§ 2. НӘРСӘ УЛ МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ
Математика телендә языгыз:
2.1. a) а Һәм Ь саннарының суммасын;
б) с Һәм d саннарының аермасын;
в) х һәм у саннарының тапкырчыгышын;
г) t санын у санына бүлүдән чыккан өлешне.
2.2. а) г һәм х саннарының ярымсуммасын;
б) р һәм q саннарының ярымаермасын;
в) х санының квадратын;
г) у санының кубын.
2.3. а) х саны белән а һәм Ь саннарының тапкырчыгышы
суммасын;
б) у саны белән а санын Ь санына бүлүдән чыккан
өлешнең аермасын;
в) а саны беләң Ь һәм с саннары суммасының тапкыр¬
чыгышын;
г) z санын х һәм у саннары аермасына бүлүдән чык¬
кан өлешне.
2.4. а) т һәм п саннарының өчләтелгән суммасын;
б) р һәм q саннарының икеләтелгән аермасын;
в) х һәм у саннарының ярымсуммасы белән г санының
аермасын;
г) р санын а һәм Ь саннарының ярымаермасына бүлүдән
чыккан өлешне.
2.5. a) а һәм Ь саннары суммасының квадратын;
б) х һәм у саннары аермасының кубын;
в) t һәм w саннарының квадратлары аермасын;
г) с һәм d саннарының кублары суммасын.
2.6. а) т һәм п саннары суммасының аларның тапкырчы¬
гышына чагыштырмасы;
б) с һәм d саннары аермасының аларның икеләтелгән
суммасына чагыштырмасы;
в) т һәм п саннарының квадратлары суммасы белән
аларның тапкырчыгышы чагыштырмасы;
г) р һәм q саннарының кублары аермасы белән аларның
икеләтелгән суммасы чагыштырмасы.
Математика терминнарын кулланып, аңлатманы укыгыз:
. Р
2.7. а) х + 2; б) с - d; в) 8z; г)
12
2.8. a) α2 + Ь2;
б) х2 - у2;
в) z3 + t3;
г) m3 - п3
2.9. a) (s + р)2;
б) (и - υ)2∙,
в)
(Р + q)3∙,
г) (/ - q)3.
2.10. а)
a — Ь
б) ~2~',
в)
χy
ч х + У
2(x~y),
г)
ху
2.11. Раслауларны
математика
телендә языгыз:
а) кушылучыларның урынын алыштырудан сумма үзгәрми;
б) тапкырлаучыларның урынын алыштырудан тапкыр¬
чыгыш үзгәрми;
в) санга ике санның суммасын кушу өчен, башта аңа
беренче кушылучыны, ә аннан соң бу суммага икен¬
че кушылучыны кушарга мөмкин;
г) санга ике санның аермасын кушу өчен, башта аңа
кимүчене кушарга, ә аннан соң бу суммадан киметү¬
чене алырга мөмкин.
Түбәндәге раслауларны математика теленнән гадәти
телгә күчерегез:
2.12. a) a + (Ь + с) = (а + Ь) + с; в) a + 0 = а;
6) a - (b + с) = a - b - с; г) а • 1 = а.
2.13. а) а • 0 = 0; в) j = а;
б) — =0, биредә a ≠ 0; г) α∙i = 1, биредә a ≠ 0.
а а
Бирелгән раслауны һәм сорауларга җавапларны мате¬
матика телендә языгыз:
2.14. Турыпочмаклыкның периметры Р аның а һәм Ь якла¬
рының икеләтелгән суммасына тигез.
а) Турыпочмаклыкның ярымпериметры р нәрсәгә тигез?
б) Турыпочмаклыкның ярымпериметры һәм бер ягын
белгән очракта, икенче ягын ничек табарга?
в) Турыпочмаклыкның периметрын һәм бер ягын белгән
очракта, аның икенче ягын ничек табарга?
г) Ягы а булган квадратның периметры нәрсәгә тигез?
2.15. Турыпочмаклыкның мәйданы S аның а һәм Ь яклары
тапкырчыгышына тигез.
а) Аның мәйданын һәм бер ягын белгән очракта, икенче
ягын ничек табарга?
б) Квадратның ягы билгеле булса, мәйданын ничек та¬
барга?
13
2.16. Хәрәкәт тизлеге v ераклыкның s хәрәкәт вакытына t ча¬
гыштырмасына тигез.
а) Җисемнең тизлеген һәм хәрәкәт вакытын белгән
очракта, ераклыкны ничек табарга?
б) Җисемнең тизлеген һәм үткән юлын белгән очракта,
хәрәкәт вакытын ничек табарга?
2.17. Математика телендә языгыз:
а) ягы а булган кубның күләме V нәрсәгә тигез;
б) ягы а булган кубның өслек мәйданы S нәрсәгә тигез;
в) турыпочмаклы параллелепипедның үлчәмнәре а, Ь, с га
тигез булса, күләме V нәрсәгә тигез;
г) турыпочмаклы параллелепипедның үлчәмнәре а, Ь, с га
тигез булса, өслек мәйданы S нәрсәгә тигез.
Аңлатмаларны математик терминнар кулланып укыгыз:
2.18. а) 3(х + у)* 2; б) 2(а + Ь)3; в) 2(р - у)2; г) 3(2 - г)3.
2.19. а) ⅛¾ б) ^-+-^; в) + ; г) ⅛-~gΓ.
2 2 3 4
Раслауны математика телендә языгыз:
2.20. а) Сумманы санга тапкырлау өчен, бу санга һәр кушы¬
лучыны тапкырларга һәм нәтиҗәләрне кушарга мөмкин;
б) санны ике санның аермасына тапкырлау өчен, бу
санны кимүчегә һәм киметүчегә тапкырларга, ә ан¬
нан соң беренче тапкырчыгыштан икенчесен алыр¬
га мөмкин;
в) саннан ике санның суммасын алу өчен, бу саннан бе¬
ренче кушылучыны алырга, ә аннан соң бу аерма¬
дан икенче кушылучыны алырга мөмкин;
г) саннан ике санның аермасын алу өчен, бу саннан
кимүчене алырга, ә аннан соң бу аермага киметүчене
кушарга мөмкин.
2.21. а) Вакланманың санаучысын да, ваклаучысын да нульгә
тигез булмаган бер үк санга тапкырлаудан аның зур¬
лыгы үзгәрми;
б) вакланманың санаучысын да, ваклаучысын да нульгә
тигез булмаган бер үк санга бүлүдән аның зурлыгы
үзгәрми;
14
в) вакланманы ваклаучыга тапкырлау өчен, аларның
санаучыларын һәм ваклаучыларын үзара тапкырлар¬
га, бу тапкырчыгышларның беренчесен — тапкыр¬
чыгышның санаучысы, ә икенчесен ваклаучысы итеп
язарга кирәк;
г) бер вакланманы икенчесенә бүлү өчен, бүленүчене
бүлүченең кире санына тапкырларга кирәк.
2.22. а) а һәм b чагыштырмасы х һәм у саннарының чагыш¬
тырмасына тигез;
б) х һәм 4 саннары суммасының у санына чагыштыр¬
масы 3 нең 5 кә чагыштырмасына тигез;
в) с һәм d саннары аермасының аларның суммасына
чагыштырмасы белән d санының с саны квадраты¬
на чагыштырмасы тигез була;
г) х һәм у саннары аермасы белән у санының нисбәте
х саны белән х һәм у саннарының суммасы нисбәте
шикелле үк.
2.23. a) а санының р% ын тәшкил итүче b санын табу өчен,
а санын р га тапкырларга һәм килеп чыккан тап¬
кырчыгышны 100 гә бүләргә кирәк;
б) р% ы b га тигез булган а санын табу өчен, b санын 100 гә
тапкырларга һәм тапкырчыгышны р га бүләргә кирәк;
в) дөрес пропорциядә кырый буыннар тапкырчыгышы
урта буыннар тапкырчыгышына тигез була;
г) әгәр дөрес пропорциядә урта буыннарның яки кы¬
рый буыннарның урыннарын алыштырсак, табылган
пропорцияләр дә дөрес була.
§ 3. НӘРСӘ УЛ МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ
Сөйләмле модельдән математик модельгә күчегез:
3.1. а) х һәм у саннарының тапкырчыгышы 9 га тигез;
б) а санын Ъ санына бүлүдән чыккан өлеш 2 гә тигез;
в) Ъ һәм с саннары тигез;
г) 2р һәм 3q саннары тигез.
3.2. a) а саны b саныннан 18 гә зуррак;
б) b саны с саныннан 39 га кечерәк;
в) х саны у саныннан 6 тапкыр зуррак;
г) а саны b саныннан 29 тапкыр кечерәк.
15
3.3. a) a һәм b саннарының суммасы 43 кә тигез;
б) т һәм п саннарының аермасы 214 кә тигез;
в) а һәм Ь саннарының суммасы аларның тапкырчы¬
гышыннан 6 га кечерәк;
г) р һәм q саннарының аермасы аларның өлешеннән
17 гә зуррак.
3.4. а, Ъ, с, d саннары өчен:
а) беренче ике санның суммасы дүртенче һәм өченче
саннар аермасына тигез;
б) беренче һәм дүртенче саннарның аермасы икенче һәм
өченче саннар суммасына тигез;
в) беренче сан калган өчесенең суммасына тигез;
г) беренче ике санның суммасы соңгы икесенең икелә-
телгән аермасына тигез.
Ситуациянең график моделен сурәтләгез:
3.5. а) Координаталар турысында а ноктасы Ь ноктасыннан
сулдарак урнашкан;
б) координаталар турысында а ноктасы Ъ ноктасыннан
уңдарак урнашкан.
Математика телендә а һәм Ь нокталары арасындагы
ераклыкны языгыз.
3.6. а) Координаталар турысында А(а) ноктасы һәм В(а + 3),
C(α - 1), D(a + п) нокталары бирелгән;
б) координаталар турысында B(b) ноктасы һәм В нок¬
тасыннан 5 кә тигез булган ераклыкта X ноктасы
бирелгән;
в) 0(0) ноктасыннан Т ноктасына кадәр ераклык т бе¬
рәмлек кисемтәсенә тигез;
г) А(а) ноктасыннан В ноктасына кадәр ераклык г бе¬
рәмлек кисемтәсенә тигез.
Бирелгән ситуациянең математик моделен төзегез:
3.7. Беренче эшче бирелгән эшне t сәг тә, ә икенче эшче шул
ук эшне υ сәг тә үти, әмма беренче эшче икенчесенә
караганда 3 сәг артыграк эшли.
3.8. Өч килограмм алманың бәясе ике килограмм груша¬
ныкы кебек. 1 кг алманың х сум, ә 1 кг грушаның
у сум торганы билгеле.
3.9. Бер стакан мандарин согы а сум, ә виноград согы Ь сум
тора. 5 стакан виноград согының 6 стакан мандарин
согы кадәр торуы билгеле.
16
3.10. Беренче вагонда х т йөк, икенчесендә у т йөк бар.
4
Әгәр беренче вагоннан 5 - т йөкне бушатып, икенчесенә
1 5
14 т т йөк өстәсәләр, ике вагонның йөкләре тигезләшә,
ә
3.11. Беренче сан х ка тигез, икенчесе аннан 1,5 тапкыр зур¬
рак. Әгәр беренче санга 3,7 не кушып, икенчесеннән
5,36 ны алсалар, бер үк сан килеп чыга.
3.12. Беренче сан г ка тигез, ә икенчесе аннан 6 га зуррак, шул
r 1 1
ук вакытта беренче санның — е икенчесенең — енә тигез,
о 4
3.13. Төзелештә һәрберсендә а кеше эшли торган 5 брига¬
да һәм һәрберсендә Ь кеше булган 3 бригада эшли һәм
шул ук вакытта төзелештә т кеше эшли.
3.14. Беренче сан с га тигез, икенчесе беренчесеннән 1,4 тап¬
кыр зуррак. Әгәр икенче саннан 5,2 не алып, беренчесенә
4,8 не кушсалар, бер үк нәтиҗә килеп чыга.
3.15. Беренче букетта d роза, ә икенчесендә беренчесеннән
4 тапкыр артыграк. Беренчесенә 15 роза, ә икенчесенә
3 роза өстәгәннән соң, букетларда розалар саны тигезләшә.
3.16. Беренче сан х ка тигез, икенчесе аннан 2,5 кә зуррак.
1 1
Беренче санның § е икенчесенең — енә тигез.
3.17. Маратның х маркасы, ә Азатның у маркасы бар. Әгәр
Марат Азатка 8 маркасын бирсә, Азатның маркалары
аныкыннан 2 тапкыр күбрәк була.
3.18. Автомобиль шоссе буйлап х км һәм басу юлы буйлап
у км юл үтә, юлның зуррак өлеше шосседа үтелә.
а) Автомобиль шоссе һәм басу юлы буйлап барысы ничә
километр юл үтә?
б) Ул шосседан басу юлына караганда ничә км арты¬
грак юл үтә?
в) Басу юлы шоссе юлына караганда ничә тапкыр кыс¬
карак?
г) Әгәр автомобиль шоссе буйлап 40 км/сәг; и км/сәг;
60 км/сәг һәм басу юлыннан 30 км/сәг тизлек белән
барса, барлык юлны нинди вакытта узар?
17
3.19. Автомобиль шәһәр эчендә х км/сәг тизлек белән 1 сәг
һәм автотрассада у км/сәг тизлек белән 2 сәг юл уза.
а) Автомобиль шәһәрдә ничә километр юл үтә?
б) Автотрассада ул ничә километр юл үтә?
в) Автомобиль шәһәрдә һәм автотрассада барысы ничә
километр юл үтә?
г) Ул автотрассада шәһәрдәгегә караганда ничә кило¬
метрга артыграк юл үтә?
3.20. Җәяүленең тизлеге и км/сәг, ә велосипедчының b км/сәг кә
артыграк.
а) Велосипедчының тизлеге нинди?
б) Җәяүле 2 сәгатьтә, 45 минутта, 1 сәг 20 минутта
нинди юл үтәр?
в) Велосипедчы t сәгатьтә, т минутта күпме юл үтә?
г) Велосипедчы t сәгатьтә үткән юлны җәяүле нинди
вакыт эчендә үтәр?
3.21. Иркә итәк тегү өчен п м тукыма, ә кофта өчен 1,5 тап¬
кыр артыгракны сатып алган.
а) Иркә кофта өчен ничә метр тукыма алган?
б) Ул кофта өчен итәклеккә караганда ничә метр артыг¬
рак тукыма алган?
в) Иркә барысы ничә метр тукыма алган?
г) Әгәр 1 м тукыманың бәясе х сум булса, Иркә бар¬
лык тукыма өчен күпме акча тоткан?
3.22. Карлыганны шикәрләп кую өчен, карлыганны һәм
шикәрне масса буенча 2 : 3 нисбәтендә алалар. Бер
өлешнең массасын х кг дип алып, языгыз:
а) карлыганның массасы нәрсәгә тигез;
б) шикәрнең массасы нинди;
в) барысы ничә килограмм шикәрләнгән карлыган булыр;
г) шикәр карлыганнан ничә килограммга азрак кирәк
булыр?
3.23. А һәм В пунктларыннан бер үк вакытта бер-берсенә
каршы ι>1 км/сәг тизлек белән велосипедчы һәм тизлеге
р2 км/сәг булган мотоциклчы чыгалар һәм t сәгатьтән
соң очрашалар.
а) Велосипедчы белән мотоциклчының якынаю тизлеге
нәрсәгә тигез?
б) А һәм В арасындагы ераклык нәрсәгә тигез?
в) Очрашуга кадәр һәр юлчы ничә километр юл үткән?
г) Очрашуга кадәр мотоциклчы велосипедчыга караган¬
да ничә км артыграк юл үткән?
18
3.24. А пунктыннан бер үк вакытта капма-каршы юнәлешләрдә
υ1 км/сәг тизлек белән автомобиль һәм υ2 км/сәг тиз¬
лек белән автобус кузгала.
а) Автомобильнең автобустан ерагаю тизлеге нәрсәгә тигез?
б) t сәгатьтән соң аларның арасы күпме булыр?
в) Һәр юлчы А пунктыннан нинди ераклыкта булыр?
г) Автомобиль автобуска караганда А пунктыннан күп¬
мегә ераграк китәр?
3.25. А пунктыннан бер үк вакытта бер үк юнәлештә җиңел
һәм йөк машиналары чыга, аларның тизлекләре тиң¬
дәшле рәвештә х км/сәг һәм у км/сәг.
а) Җиңел машинаның йөк машинасыннан ерагаю тиз¬
леге нинди?
б) t сәгатьтән соң аларның арасы нинди булыр?
3.26. А пунктыннан велосипедчы чыга. Аның белән бер үк
вакытта, А пунктыннан велосипедчы барган юнәлештә
30 км ераклыктагы В пунктыннан х км/сәг тизлек
белән җәяүле кузгала. Велосипедчының җәяүлене t сә¬
гатьтән соң куып җитүе билгеле.
а) Бу вакыт эчендә җәяүле нинди юл уза?
б) Бу вакыт эчендә велосипедчы нинди юл уза?
в) Велосипедчының тизлеге нәрсәгә тигез?
г) Куып җиткәннән соң 15 минут үткәч, велосипедчы
җәяүледән ничә километрга ерагаер?
3.27. Бер килограммы х сумнан 6 кг лы карбыз һәм кило¬
сы у сумнан 4 кг лы кавын сатып алалар.
а) Карбыз өчен ничә сум түләгәннәр?
б) Кавын өчен ничә сум түләгәннәр?
в) Барысы бергә ничә сум түләгәннәр?
г) Кавын өчен карбызга караганда ничә сум артыграк
түләгәннәр?
ιφi'Λ
3.28. Ике бригада урып-җыюда эшли. Беренче бригада
5 гектардан гектарына х ц уңыш җыеп ала, ә икенчесе
6 гектардан, һәр гектардан 10 ц га азрак уңыш җыя.
а) Икенче бригада 1 гектардан ничә центнер уңыш ала?
б) Беренче бригада барысы ничә центнер уңыш ала?
в) Икенче бригада барысы ничә центнер уңыш ала?
г) Ике бригада барысы ничә центнер уңыш ала?
19
3.29. Теплоход ике пристань арасын агым уңаена 3 сәгатьтә,
агымга каршы 3,5 сәгатьтә уза. Теплоходның үз тиз¬
леге и км/сәг, ә агым тизлеге х км/сәг.
а) Теплоход агым уңаена күпме юл үтә?
б) Теплоход агымга каршы күпме юл үтә?
в) Теплоходның агым уңаена һәм агымга каршы үткән
юлларын чагыштырыгыз. Чагыштыру нәтиҗәсен ма¬
тематик модель рәвешендә языгыз.
г) Теплоходның агым уңаена һәм агымга каршы үткән
юлларын чагыштырыгыз. Чагыштыру нәтиҗәсен ма¬
тематик модель рәвешендә языгыз.
Бирелгән математик модель буенча мәсьәлә уйлап табыгыз:
3.30. а) х - у; б) a = 2b; в) 3c = 2d; г) f>m = lln.
3.31. a) a + 7 = b; в) a - b = 3;
6) α + 2 = ft + 8; r) a - 3 = b + 1.
3.32. Бирелгән математик модель буенча мәсьәлә уйлап табыгыз:
Зп - 4
а) с = 5d + 2; в) т = —-—;
б) 7(x + 1) = у; г) 2(x - 1) = 3(y + 1).
Математик модельләүнең өч этабын аерып күрсәтеп,
мәсьәләне чишегез:
оЗ.ЗЗ. Бер йортта фатирлар икенче йорттагыдан 86 га арты¬
грак. Әгәр бу ике йортта 792 фатир булса, һәр йортта
ничә фатир бар?
o3.34. Кинотеатрның ике залында 460 урын бар. Әгәр зур зал¬
дагы урыннар кече залдагыдан 3 тапкыр артык булса,
анда ничә урын бар?
o3.35. Торак йортта барысы 215 фатир. Әгәр өч бүлмәле
фатирлар ике бүл мәл ел әрдән 10 га кимрәк һәм бер
бүлмәлеләрдән 5 кә артыграк булса, йортта бер бүлмәле
фатирлар ничәү?
оЗ.Зб. Ике китап шүрлегендә барысы 48 китап бар. Беренче
шүрлектә икенчедәгедән 2 тапкыр артык китап булса,
анда ничә китап бар?
o3.37. Ике көн эчендә оста һәм аның шәкерте 312 деталь
ясыйлар. Останың бер көндә шәкертеннән 3 тапкыр
күбрәк деталь ясавы билгеле булса, аларның һәркайсы
бер көндә ничә деталь ясый?
20
o3.38. Ике станокта 346 деталь эшләнгән, беренчесендә икен¬
чесеннән 10 га кимрәк деталь ясаганнар. Һәр станок¬
та ничә деталь ясаганнар?
o3.39. Ике участоктан 39,6 т уңыш җыеп алалар. Икенче учас¬
токтан беренчесенә караганда 1,2 тапкыр артыграк
уңыш алынса, һәр участоктан күпмешәр уңыш алганнар?
o3.40. Әнисе белән кызына 35 яшь. Кызы әнисеннән 25 яшькә
яшьрәк булса, аңа ничә яшь?
Тәкъдим ителгән ситуацияне математика телендә сурәт¬
ләгез:
3.41. a) а һәм Ь саннарының суммасы аларның тапкырчы¬
гышыннан 7 тапкыр зуррак;
б) х санын у санына бүлгәннән соң, өлештә 3 һәм кал¬
дыкта 1 була;
в) с һәм d саннарының аермасы аларның өлешеннән
өч тапкыр кечерәк;
г) а санын Ь санына бүлеп, өлештә 12 һәм калдыкта
5 табыла.
3.42. а) Икеурынлы саны а дистәдән һәм Ь берәмлектән
тора;
б) өчурынлы М саны а йөздән, Ь дистәдән һәм с берәм¬
лектән тора;
в) дүртурынлы сан а меңнән һәм Ь дистәдән тора;
г) өчурынлы сан k йөздән һәм т берәмлектән тора.
Математик модельләрнең өч этабын аерып күрсәтеп,
мәсьәләне чишегез:
3.43. Ике бакча участогында 84 алмагач үсә. Әгәр беренче
участоктан икенчесенә бер алмагачны күчереп утырт¬
салар, икенче участокта беренчедә калганнан өч тапкыр
артык алмагач була. Һәр участокта ничә алмагач?
3.44. Останың хезмәт җитештерүчәнлеге шәкертенә кара¬
ганда бер сәгатьтә 12 детальгә артыграк. Оста 2 сәг,
ә шәкерте 5 сәг эшли. Түбәндәге очракларда оста бер
сәгатькә ничә деталь ясаган:
а) оста һәм шәкерт детальләрне бертигез ясаганнар;
б) оста һәм шәкерт бергәләп 80 деталь ясаганнар;
в) оста шәкертенә караганда 9 детальгә күбрәк ясаган;
г) оста шәкертенә караганда ике тапкыр күбрәк деталь
ясаган?
21
3.45. Пристаньнан 22 км/сәг тизлек белән теплоход чыга, ә 3 сә¬
гатьтән соң икенче пристаньнан аңа каршы 26 км/сәг
тизлек белән икенче теплоход кузгала. Пристаньнар ара¬
сы 306 км. Очрашуга кадәр һәр теплоход юлда ничә
сәгать булганнар?
3.46. Шәһәрләр арасын мотоциклчы 2 сәгатьтә, ә велосипедчы
5 сәгатьтә уза. Велосипедчының тизлеге мотоциклчы
тизлегеннән 18 км/сәг кә кимрәк. Велосипедчы белән
мотоциклчының тизлекләрен һәм шәһәрләр арасында¬
гы ераклыкны табыгыз.
3.47. Ситуациянең аналитик моделе буенча координаталар
турысында аның график моделен сурәтләгез:
а) |х| = 3;
б) |х| = 1,5;
в) |х| =0;
г) |х| = Ь, биредә b > 0.
§ 4. БЕР ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ СЫЗЫКЧА
ТИГЕЗЛӘМӘ
Тигезләмәне чишегез:
4.1.
а)
Зх = 6; б) -х = -5;
3
в)
-2х = 12; г) -х = 9.
7
4.2.
а)
4х + 20 = 0;
в)
5х - 15 = 0;
б)
ьэ |со
Н
1
о
II
р
г)
|х + 4 = 0.
5
о4.3.
а)
7х + 9 = 100;
в)
1 1 1
-х = —;
2 3 6
ав<
б)
26х - 0,8 = 7;
г)
17,5х - 0,5 = 34,5.
о4.4.
а)
9 + 13х = 35 + 26х;
в)
0,81x - 71 = l,llx + 1;
б)
7 2
-х + 3 = -х + 5;
9 3
г)
1 j 1 „
—у - 4 = — у - 5.
з»
о4.5.
а)
Их - 4х = 14;
в)
9х + 4х = -26;
б)
20х - 13х - 12х = 6;
г)
Их + 7х - 24х = 42.
22
. ,. . 5 7 17 1 . 1 7 11 ol
04.6. a) -x x н x = —; в) -х н х - —х = 2-;
9 4 18 4 9 18 27 2
б) —х - 0,82 = -х- 1,37; г) 0,07 - 3⅜x = 0,26 -
6 8 9
о4.7. а) 4(х + 3) = 5(х - 2);
б) —2(x - 5) + 3(x - 4) = 4x + 1;
в) 3(x - 1) = 2(х + 2);
г) 3(x - 5) - 2(x + 4) = -5x + 1.
х.
. o х х + 4 _ 1. ч х - 7 _ 9.
о4.8. а) — 1; в) — 4;
□ о
Ях 2х - 3 _ к. х Зх + 1 _ о
б) — 5, г) — 8.
х + 7 2x + 3. . x + 3~3x-2
6) — = г) — —
o4.10. a) 3(8x - 6) = 4(6х - 4,5);
б) 3(5x - 7) = 5(3х + 4);
в)
6 2х +
= 5(2,4х + 0,2);
г) 2(9х + 3) = 3(1 + 6х).
o4.ll. а) Үзгәрешленең нинди кыйммәте өчен Зх - 2 аңлатма¬
сының кыйммәте 10 га тигез?
б) Үзгәрешленең нинди кыйммәте өчен 4y - 1 аңлат¬
масының кыйммәте Зу + 5 кә тигез?
o4.12. а) Үзгәрешленең нинди кыйммәте өчен 5fe аңлатмасының
кыйммәте 4fe + 12 дән 2 тапкыр кимрәк?
б) Үзгәрешленең нинди кыйммәте өчен р + 3 аңлатма¬
сының кыйммәте 7р - 33 тән 4 тапкыр зуррак?
Мәсьәләне математик модельләрнең өч этабын аерып
күрсәтеп чишегез:
o4.13. Өч шүрлектә 75 китап бар. Беренче шүрлектә икенчегә
караганда 2 тапкыр артыграк китап, ә өченчедә берен¬
чегә караганда 5 кә кимрәк китап бар. Бәр шүрлектә
ничә китап бар?
23
o4.14. Өч цехта 310 кеше эшли. Беренче цехта икенчесенә
караганда 1,5 тапкыр артыграк һәм өченчегә караган¬
да 110 га азрак кеше исәпләнә. Һәр цехта ничә эшче?
o4.15. ABC өчпочмагының периметры 44 см га тигез. АВ ягы
ВС ягыннан ике тапкыр кыска һәм АС ягыннан 4 см га
ким. Өчпочмакның барлык якларын табыгыз.
o4.16. Мәктәптә 900 укучы бар. Башлангыч сыйныфларда юга¬
ры сыйныфлардан 3 тапкыр артыграк һәм урта сый¬
ныфлардан ике тапкыр кимрәк бала булса, башлангыч,
урта һәм югары сыйныфларда ничә бала укый?
o4.17. Кыяр тозлау өчен тозлык әзерләгәндә, тоз белән суны
2: 16 нисбәтендә алалар. 360 г тозлык әзерләү өчен
ничә грамм тоз кирәк?
o4.18. Тимер рудасында тимер һәм башка катнашмалар 7 : 2
нисбәтендә. 189 т рудадан ничә тонна тимер чыга?
o4.19. Персикларның бәясе абрикослардан 20 сумга артык.
Компот әзерләү өчен 3 кг персик һәм 5 кг абрикос ала¬
лар. Барысы өчен бергә 620 сум түләнсә, җиләкләрне
нинди бәядән алганнар?
o4.20. Аралары 350 км булган А һәм В пунктларыннан бер үк
вакытта кара-каршы ике автомобиль чыга һәм 2 сәгать
20 минуттан соң очрашалар. Әгәр берсенең тизлеге
икенчесеннән 30 км/сәг кә зуррак булса, һәр автомо¬
биль нинди тизлек белән хәрәкәт иткән?
o4.21. Бәрәңге алуда ике бригада эшли. Беренче бригада 5 сәг
тә икенчесе 7 сәг тә җыйган кадәр бәрәңге җыя. Әгәр
беренче бригада 1 сәг тә икенчесеннән 16 ц га арты¬
грак бәрәңге җыйган булса, ул ничә ц бәрәңге җыйган?
o4.22. Бер кәрҗиндә икенчесенә караганда 3 тапкыр артыграк
кыяр бар. Әгәр аннан 15 кыярны алып, икенчесенә 25
кыярны өстәсәләр, ике кәрҗиндә кыярлар тигезләшә.
Башта һәр кәрҗиндә ничәшәр кг кыяр булган?
4.23. Укучы китапның - сен укыганнан соң, аның тагын
5
240 бит укыйсы кала. Китапта ничә бит?
4.24. Спортчы дистанциянең — ен үткәннән соң аның тагын
8
3125 м йөгерәсе кала. Дистанция нинди озынлыкта?
24
4.25. Ике моторның массасы 52 кг. Берсенең массасы икен-
чесенең массасыннан 2- тапкыр артык. Һәр моторның
массасын табыгыз
4.26. Поезд беренче аралыкны 2 сәг тә, икенчесен 3 сәг тә
узган. Шул вакыт эчендә ул 330 км юл уза. Әгәр икен¬
че аралыкта поездның тизлеге беренчедән 10 км/сәг кә
зуррак булса, поездның һәр аралыктагы тизлеген табы¬
гыз.
Мәсьәләне математик модельләрнең өч этабын аерып
күрсәтеп чишегез:
4.27. 1 м3 борыс бәясе 1 м3 идән тактасы бәясеннән 400 сумга
кимрәк. Төзелеш өчен 4 м3 борыс һәм 5 м3 идән так¬
тасы сатып алалар. Әгәр идән такталары өчен борыска
караганда 7000 сум артыграк түләсәләр, һәр төр
материалның 1 м3 ничә сум тора?
4.28. Яңа күчергеч машина 1 мин эчендә икесенә караганда
10 биткә артыграк күчереп баса. Аның белән 4 мин та
ике машина 7 мин эшләгәннән 16 га артыграк бит кү¬
чергәннәр. Яңа машина 1 мин эчендә ничә бит күчерә?
4.29. А пунктыннан автобус чыга. Ярты сәгатьтән соң А пун¬
ктыннан 6 км ераклыктагы В пунктыннан автомобиль
чыга һәм 45 мин тан соң автобусны куып җитә. Әгәр
автомобильнең тизлеге автобус тизлегеннән 40 км/сәг
кә зуррак булса, автомобиль А дан нинди ераклыкта
автобусны куып җитәр? (Ике очракны карагыз.)
4.30. Катер күл буйлап 2 сәг һәм елга агымына каршы 3 сәг
эчендә агым уңаена 3 сәг 24 мин та үткән кадәр юл
үтә. Елганың агым тизлеге 3 км/сәг булса, катерның
үз тизлеген табыгыз.
4.31. Велосипедчы бистәдән станциягә кадәр араны башта
30 мин басу юлы буйлап, ә аннан 40 мин шоссе буй¬
лап үтә. Әгәр бистәдән станциягә кадәр ара 12 км, ә
велосипедчының шоссе юлдагы тизлеге басу юлында-
гыдан 4 км/сәг кә зуррак булса, ул шоссе буйлап нин¬
ди тизлек белән барган?
25
4.32. Өч санның суммасы 496 га тигез. Икенче сан берен¬
чесенең — е кадәр, ә беренче сан өченчедән 2 - тапкыр
15 5
кечерәк. Һәр санны табыгыз.
4.33. Беренче сан икенчесеннән 2,5 тапкыр зуррак. Әгәр бе¬
ренче санга 1,5 не, ә икенчесенә 8,4 не кушсак, бер үк
нәтиҗәләр алына. Бу саннарны табыгыз.
4.34. Кибеткә алмалар һәм бананнар китергәннәр. Барлык
алмаларның яртысын һәм бананнарның - сен саткан-
3
нан соң, алмалар бананнардан 70 кг га азрак калган.
Әгәр кибеткә китерелгән алмалар массасы бананнар¬
дан 3 тапкыр артып китсә, һәр төр җимеш ничәшәр
кг китерелгән?
4.35. Туристлар өч көнлек походка чыга. Беренче көнне алар
г 7 1
барлык юлның — сен, икенче көнне калган юлның - ен,
һәм өченче көнне соңгы 25 км ны уза. Туристлар мар¬
шруты нинди озынлыкта?
4.36. Кирпеч заводы өч төзелешкә кирпеч җибәрә. Эш кө¬
ненең башында беренче төзелешкә — складтагы бар-
1
лык кирпечнең - ен, икенче төзелешкә калдыкның
5
i ен җибәрәләр. Төшке аштан соң өченче төзелешкә
120 төргәк кирпеч җибәрәләр, ул завод складындагы
3 тя
кирпечнең - ен тәшкил итә. Иртән завод складында
4
ничә төргәк кирпеч булган?
Бирелгән математик моделе буенча мәсьәлә уйлагыз
һәм аны чишегез:
4.37. а) х + (х - 5) = 15; в) х + (х + 9) = 31;
б) х + Зх = 20; г) 7х - х = 12.
4.38. а) Зх - 6 = х + 4;
б) х + (х - 20) + Зх = 180;
в) 5х - 22 = 2х + 14;
г) х + (х + 24) = 5х.
26
4.39. a)
4(x + 3) + 5(x
- 3) = 105;
6)
3(x + 20) - 4x
= 10;
в)
2x + 3(x + 10)
= 380;
г)
5(x + 2)- 6(x
- 2) = 5.
Борынгы мәсьәләләрне чишегез:
•4.40. Борынгы грек математигы Пифагордан укучыларының
санын сорагач, ул болай дип җавап биргән, диләр:
«Минем укучыларымның яртысы математика өйрәнә,
чиреге табигатьне өйрәнә, җиденче өлеше сүзсез генә
фикер йөртә, калган өлешен өч кыз тәшкил итә»,— ди
ул. Пифогорның ничә укучысы булган?
•4.41. Эшчеләр белән төзелгән килешү нигезендә аларга һәр
эшләгән көн өчен 48 әр франк түләнә, ә тулы көн
эшләмәсә, алардан 12 шәр франк чигерелә. 30 эш
көненнән соң эшчеләргә бер тиен дә тиеш булмаганы
ачыклана. Чынлыкта бу вакыт эчендә алар ничә көн
эшләгән?
•4.42. Кемдер укытучыдан сораган: «Әйтче, синең сыйныфыңда
ничә укучы бар? Мин дә үз улымны сиңа укырга
бирмәкче булган идем». Укытучы болай ди: «Әгәр та¬
гын үземдә булган кадәре, аннан шуның яртысы һәм
дүртенче өлеше, шулай ук синең улың килсә, миндә
100 укучы булачак». Укытучының ничә укучысы бар?
•4.43. Диңгездә кораб йөзә һәм анда 120 кеше — ирләр һәм
хатын-кызлар бар. Алар барысы 120 гривна акча тү¬
ләгәннәр — ир кеше 4 алтын, хатын-кыз 3 алтын
түләгән. Әгәр 1 гривна 10 тиенгә, ә 1 алтын 3 тиенгә
тигез булса, корабта ничә ир-ат һәм хатын-кыз булган?
§ 5. КООРДИНАТАЛАР ТУРЫСЫ
5.1. 1 нче рәсемдә сурәтләнгән нокталарның координатала-
рын языгыз.
М В N DA PC Q
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ►
О 1 x
Рәс. 1
27
5.2. а) Нокталарны координаталар турысында сурәтләгез:
A(5), B(-3), С(-8), Л(-1,5);
M(6), N(-l), P(2,5), 0(0);
Q(-3,5), B(-5), S(2), Z(4,5);
E(-7), F(9), K(3,5), L(-0,5).
б) Нокталар арасындагы ераклыкны табыгыз:
Р һәм В, D һәм Р, А һәм Q, В һәм N;
D һәм А, В һәм С, N һәм Q, М һәм D;
М һәм N, R һәм Q, А һәм С, Р һәм Q;
М һәм Q, N һәм Р, А һәм Р, В һәм D.
5.3. Координаталар турысында A(-3), В(5) нокталары бирел¬
гән; М — АВ кисемтәсенең уртасы. Табыгыз:
а) А һәм В нокталары арасындагы ераклыкны;
б) А һәм М нокталары арасындагы ераклыкны;
в) В һәм М нокталары арасындагы ераклыкны;
г) М ноктасының координатасын.
5.4. «с саны d саныннан зуррак». Бу раслауны күчерегез:
а) алгебра теленә (тигезсезлек тамгасы ярдәмендә);
б) геометрия теленә (координаталар турысы ярдәмендә).
5.5. «х саны у саныннан кечерәк». Бу раслауны күчерегез:
а) алгебра теленә (тигезсезлек тамгасы ярдәмендә);
б) геометрия теленә (координаталар турысы ярдәмендә).
5.6. «а саны b саныннан зуррак, ләкин с саныннан кечерәк».
Күчерегез:
а) алгебра теленә (тигезсезлек тамгасы ярдәмендә);
б) геометрия теленә (координаталар турысы ярдәмендә).
Координаталар турысында санлы аралык төзегез, аның
билгеләнешен атагыз, тигезсезлек тамгаларын кулланып,
аралыкның аналитик моделен языгыз:
5.7. а) (3; +∞)j б) (-∞j -5); в) (-2; +∞)j г) (-°°; 0).
5.8. a) [1; +°о); б) (-∞j 4]; в) (-оо; -2]; г) [-1;+∞).
5.9. а) (3; 5); б) [-5; 1]; в) [4; 6]; г) (0; 1).
5.10. а) [6; 8); б) (-2; 4]; в) [-3; -1); г) (5; 7].
Санлы аралыкның геометрик моделе бирелгән. Бу сан¬
лы аралыкны билгеләгез, тамгалагыз, аналитик моде¬
лен языгыз:
28
Санлы аралыкның билгеләнеше буенча аны тамгалагыз,
геометрик һәм аналитик модельләрне языгыз:
5.15. а) Башы 5 ноктасындагы ачык нур;
б) башы -2 ноктасындагы нур;
в) башы 1 ноктасында һәм ахыры 3 ноктасындагы ин¬
тервал;
г) башы 6 ноктасында һәм ахыры 10 ноктасында бул¬
ган ярыминтервал (ике очракны тикшерегез).
5.16. а) Башы -2 ноктасында һәм ахыры 0 ноктасында бул¬
ган кисемтә;
б) ахыры 7 ноктасында булган ачык нур;
в) башы 4 ноктасында һәм ахыры 9 ноктасында булган
ярыминтервал (9 ноктасы ярыминтервалга керми);
г) ахыры 12 ноктасында булган ачык нур.
Бирелгән аналитик моделе буенча тиңдәшле санлы ара¬
лыкны атагыз; аның билгеләнешен языгыз, геометрик
моделен төзегез:
5.17. а) х > 3; б) х ≥ 3; в) х < 3; г) х ≤ 3.
5.18. а) 2 < х < 4; б) 3 ≤ х < 5; в) 0 ≤ х ≤ 7; г) 5 < х ≤ 8.
5.19. а) х ≥ 2; б) -5 < х < -2; в) х < 0; г) 4 ≤ х < 8.
29
5.20. a) 1 ≤ x ≤ 3; б) 6 < x ≤ 7; в) х ≤ 1; г) -6 < х < -2.
5.21. Сан (-8; 4) аралыгына керәме:
а) -6; б) -8; в) 0; г) 4?
5.22. Сан (2; 6] аралыгына керәме:
а) -4; б) 2; в) 6; г) 5?
5.23. Сан [3; 7) аралыгына керәме:
а) 3; б) 5; в) 7; г) 6,5?
5.24. Сан (3; +∞) аралыгына керәме:
а) 6; б) 125; в) 10 365; г) 3?
5.25. Сан (-°°; 12) аралыгына керәме:
а) -8; б) -250; в) 0; г) 12?
5.26. Сан [8; 12] аралыгына керәме:
1 3
а) 15; б) 8-; в) 12-; г) 25?
О I
5.27. 4, 3,5, -1, 0, -10, -9, 1, 3, -12 саннарының кайсылары
бу аралыкка керә:
а) [3; 5]; б) (-8; 0); в) (-12; -9); г) (1; +∞)7
5.28. 0, 5, 7, -8, -2, 9, 12 саннарының кайсылары бу ара¬
лыкка керә:
а) [4; 7); б) [5; +∞)j в) [-8; +∞)j г) (5; 9]?
5.29. Бу аралыкка керә торган өч уңай һәм өч тискәре бөтен
булмаган саннар уйлагыз:
а) (-6; 8); б) [-10; 15]; в) [-3; 6]; г) (-10; 4).
5.30. Бу аралыкка керә торган бөтен сан бармы:
а) (0; 1); б) [3,5; 4); в) [2; 3); г) (7,5; 8]?
5.31. Бу аралыкка ничә бөтен сан керә:
а) [5; 7]; б) (-3; -1); в) (0; 6]; г) [-7; 2)?
5.32. Бу аралыкка ничә натураль сан керә:
а) [-2; 1]; б) [о; ; в) (0; 1); г) [-5; 4]?
5.33. Бу аралыкка кергән иң зур санны күрсәтегез:
а) [-15;-11]; б) [5; 7); в) [5; 7]; г) (-∞j 8,2].
5.34. Бу аралыкка керә торган иң кечкенә санны күрсәтегез:
а) [5; 7); б) (0; +∞)5 в) (9,3; 12); г) [5,1; +∞).
30
5.35. 4,98 саны (-∞j 5) аралыгына керәме? Бу аралыкка
кергән һәм 4,98 дән зуррак булган ике санны күрсәтегез.
(a - r; a + г) аралыгын, ягъни интервалын (биредә
г — уңай сан) а ноктасының тирәлеге, ә г санын
тирәлекнең радиусы дип атыйлар.
5.36. а ноктасының г радиуслы тирәлеген күрсәтегез:
a) a = 0, г = 3; в) a = 4, г = 4;
б) a = 1, г = 4; г) а = -3, г = 5.
Бирелгән интервал нинди ноктаның тирәлеге булып тора
һәм бу тирәлекнең радиусы нәрсәгә тигез:
5.37. а) (3; 7); б) (-4; 4); в) (2; 10); г) (-7; -1).
5.38. а) (2; 5); б) (1,98; 2,02); в) (-11; -2); г) (⅛ yj.
5.39. Координаталар турысы ярдәмендә a > Ь булса, -а < -Ь
була дигән раслауны нигезләгез. Түбәндәге очракларны
тикшерегез:
a) а һәм Ь — уңай саннар;
б) а һәм Ь — тискәре саннар;
в) а — уңай сан, Ь — тискәре сан;
г) а = 0, Ь — тискәре сан.
•5.40. Λf(l,5) ноктасы бирелгән. Әгәр NL = 10,5 булса,
MN = 2ML булырлык L һәм N нокталарының коор-
динаталарын табыгыз. Мәсьәләнең ничә чишелеше бар?
• 5.41. ∙K^(-1) ноктасы бирелгән. РМ = 8 һәм КР = ЗКМ булыр¬
лык Р һәм М нокталарының координаталарын табыгыз.
5.42. а) Координаталар турысының 0(0) ноктасыннан ерак¬
лыклары өч берәмлек кисемтәсеннән кечерәк булган
нокталары күплеген сурәтләгез.
б) Координаталар турысының А(а) ноктасыннан ерак¬
лыклары ике берәмлек кисемтәсеннән зуррак булган
нокталары күплеген сурәтләгез.
в) Координаталар турысының 0(0) ноктасыннан ерак¬
лыклары өч берәмлек кисемтәсеннән зуррак булган
нокталары күплеген сурәтләгез.
г) Координаталар турысының А(а) ноктасыннан ерак¬
лыклары өч берәмлек кисемтәсеннән кечерәк булган
нокталары күплеген сурәтләгез.
31
ӨЙ КОНТРОЛЬ ЭШЕ №1
1 нче вариант
1. Иң уңайлы юл белән исәпләгез:
0,15-348,4 + 151,6-0,15.
2. Ачыклагыз, аңлатманың мәгънәсе бармы, әгәр булса, аның
кыйммәте нульгә тигез булмыймы:
2- : - - 15,4 • 0,18
3 9
3. Әгәр х — 38,5 һәм 12,36 саннарының ярымсуммасы, ә
у — 24,39 һәм 16,2 саннарының өчләтелгән аермасы бул¬
са, х + у аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
4. Әгәр бер сан белән 12,3 санының ярымсуммасы 1,5 саны
белән бу санның ярымсуммасыннан 3 кә зуррак булса, бу
санны табыгыз.
5. Мәсьәләне математик модельләүнең өч этабын аерып күр¬
сәтеп чишегез.
Математика кабинетындагы өч шкафта геометрик фигура¬
ларның модельләре ята. Икенче шкафта өченчесенә кара¬
ганда 4 модельгә күбрәк һәм беренчесенә караганда 15 мо¬
дельгә азрак. Әгәр кабинетта барысы 50 модель булса, һәр
шкафта ничә модель бар?
6. Математик моделе түбәндә күрсәтелгән мәсьәлә уйлап та¬
быгыз һәм аны чишегез:
5х + 4(х + 20) = 620.
7. Тигезләмәне чишегез:
Зх - 4 + 5х - 7 _ 4х + 5
9 6 18 '
8. р нинди кыйммәтләр алганда, р(х + 4) - (5 — р) =16
тигезләмәсенең тамыры 2 гә тигез була?
9. Әгәр A(-l), В(8) булса, АВ кисемтәсен өч тигез кисәккә
бүлүче нокталарның координаталарын языгыз.
10. M(2,3) ноктасыннан 4,5 берәмлек кисемтә ераклыгында яту¬
чы нокталарның координаталарын табыгыз.
32
2 нче вариант
1. Иң уңайлы юл белән исәпләгез:
0,32 ∙ 235,7 + 264,3 ∙ 0,32.
2. Ачыклагыз, аңлатманың мәгънәсе бармы, әгәр булса, аның
кыйммәте нульгә тигез булмыймы?
18,6 • 0,24 + 3- —
9 38
7:7--( 5— ■ 3 - 12 — ^ : 2,75
2 1 15 30)
3. Әгәр a — 68,56 һәм 25,3 саннарының ярымаермасы, ә Ъ —
2,405 һәм 3,41 саннарының икеләтелгән суммасы булса,
a - b аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
4. Әгәр бер сан һәм 14,6 санының ярымаермасы белән 3,8 саны
һәм бу санның ярымсуммасы суммасы 5 кә тигез булса,
бу санны табыгыз.
5. Мәсьәләне математик модельләүнең өч этабын аерып күр¬
сәтеп чишегез.
Җиденче сыйныф укучылары шәһәргә экскурсиягә өч ав¬
тобуска утырып баралар. Өченче автобуста беренчегә ка¬
раганда 5 кешегә азрак һәм икенче автобуска караганда
4 кешегә артыграк укучы бара. Әгәр экскурсиягә барлыгы
67 укучы барса, һәр автобуска ничә укучы утырган?
6. Математик моделе түбәндә күрсәтелгән мәсьәлә уйлап та¬
быгыз һәм аны чишегез:
5х - 4(х - 20) = 160.
7. Тигезләмәне чишегез:
Зх - 5 + 2x + 1 _ 2х - 3
7 14 2 ’
8. а нинди кыйммәтләр алганда, x(6 - a) + α(x + 2) = 26 ти¬
гезләмәсенең тамыры 4 кә тигез була?
9. Әгәр M(-5), А(11) булса, MN кисемтәсен дүрт тигез кисәккә
бүлүче нокталарның координаталарын языгыз.
10. A(-l,7) ноктасыннан 3,2 берәмлек кисемтә ераклыгында
ятучы нокталарның координаталарын табыгыз.
2
БҮЛЕК
СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ
§ 6. КООРДИНАТАЛАР ЯССЫЛЫГЫ
6.1. Ноктаның абсциссасын һәм ординатасын әйтегез:
а) М(2; 4); в) Р(12; -4);
б) М-3; 6); г) Q(-3; -0,5).
Төзүләрсез генә җавап бирегез, нокта кайсы координа-
талар почмагында урнашкан:
6.2. a) М(2; 4), N(-3; 6), Р(12; -4), Q(-3; -0,5);
б) Х(-14; -5), У(-7; 38), К(1; 0), L(0; -4);
в) А(-23; 6), В(13; 16), С(19; -25), Z>^2; -|j;
> 2‰, 7.Γ 11’ 12j ’ 21’ 43Γ 31’ 16/
6.3. Түбәндәге шарт үтәлсен өчен, * символын нинди дә булса
сан белән алыштырыгыз:
а)А(5; *) ноктасы беренче координата почмагында ята;
б) В(*; 3) ноктасы икенче координата почмагында ята;
в) С(*; -7) ноктасы өченче координата почмагында ята;
г) £>(12; *) ноктасы дүртенче координата почмагында ята.
Төзүләрсез генә җавап бирегез, нокта, хОу координаталар
яссылыгының кайсы координата почмагында урнашкан:
6.4. а) А(а; 10), а > 0 булса; в) С(-с; 5), с > 0 булса;
б) В(17; b), b < 0 булса; г) D(-8; d), d < 0 булса.
6.5. а) Р(х; у), х > 0, у > 0 булса;
б) Q(x; у), х > 0, у < 0 булса;
в) Л(х; у), х < 0, у > 0 булса;
г) S(x; у), х < 0, у < 0 булса.
34
6.6. Бирелгән нокта координаталар яссылыгының кайсы ко¬
ордината почмагында ята:
а) М(а; Ь), а < 0, Ь < 0 булса;
б) N(-a; -b), a > 0, Ь < 0 булса;
в) К(а; -b), a < 0, Ь > 0 булса;
г) L(-a; b), a > 0, Ъ > 0 булса?
6.7. 2 нче рәсемдә сурәтләнгән нокталарның координатала-
рын табыгыз:
а) А, С, М, S; в) Р, Ү, В, F;
б) R, D, К, Q; г) Е, N, X, Z.
һәр төркемне нинди билге берләштерә?
6.8. 3 нче рәсемдәге нокталарның координаталарын табыгыз:
a) A, В, К, Р, L, R; б) С, D, М, N, Q, S.
Бу нокталарны нинди уртак график билге берләштерә?
Әлеге уртак билге нокталарның координаталарын яз¬
ганда ничек күрсәтелә?
в) Абсциссасы нульгә тигез; ординатасы нульгә тигез
булган барлык нокталар кайда урнаша?
г) х күчәрендә; у күчәрендә яткан нокталар күплегенең
аналитик моделен төзегез.
6.9. 4 нче рәсемдә сурәтләнгән нокталарның координатала¬
рын табыгыз.
Һәр төркемдәге нокталарның координаталары язылы¬
шында нинди уртаклык бар?
Координаталар яссылыгында абсциссалары бер үк бул¬
ган барлык нокталар ничек урнашкан?
у күчәренә параллель турының аналитик моделен төзегез.
35
Рәс. 5
6.10. 5 нче рәсемдә сурәтләнгән нокталарның координатала-
рын табыгыз.
Һәр төркемдәге нокталарның координаталары язылы¬
шында нинди уртаклык бар?
Координаталар яссылыгында ординаталары бер үк бул¬
ган барлык нокталар ничек урнашкан?
х күчәренә параллель турының аналитик моделен төзегез.
Тигезләмәне канәгатьләндерә торган туры төзегез:
6.11. а) х = 3; б) у = 3; в) у = 1; г) х = 8.
6.12. а) х = -2; б) у = -4; в) у = -5; г) х = -1.
6.13. а) х = 0,5; б) у = -1,5; в) у = 3,5; г) х = -6,5.
6.14. Тигезләмәне нинди туры канәгатьләндерә:
а) х = 0; б) у = 0?
6.15. Координаталар яссылыгында абсциссалары түбәндәгечә
булган барлык нокталар ничек урнашкан:
а) 5; б) -7; в) 9; г) -1?
6.16. Координаталар яссылыгында ординаталары түбәндәгечә
булган барлык нокталар ничек урнашкан:
а) -3; б) 8; в) -12; г) 4?
хОу координаталар яссылыгында тигезләмәне канәгать¬
ләндерә торган туры төзегез:
6.17. а) 2х = 4; б) -х + 4 = 0; в) -Зх = 9; г) 2х - 6 = 0.
36
6.18. а) у + 3 = 0; б) -бу =12; в) 5 - у = 0; г) 1у = 0.
6.19. хОу координаталар яссылыгында бирелгән ноктага ко-
ординаталар башлангычына карата симметрияле нокта¬
ны табыгыз:
а) А(5; 7); б) В(0; 8); в) 0(7; -1); г) Z>(-3; 0).
6.20. хОу координаталар яссылыгында бирелгән ноктага у кү¬
чәренә карата симметрияле ноктаны табыгыз:
а) М(-2; 8); б) L(-5; 0); в) S(-9; -3); г) R(0; -4).
6.21. хОу координаталар яссылыгында бирелгән ноктага х кү¬
чәренә карата симметрияле ноктаны табыгыз:
а) Е(6; 0); б) Р(-2; 1); в) F(0; -4); г) Q(3; -5).
6.22. Түбәндәге нокталар аша үтүче туры төзегез:
а) А(2; 7), В(3; 4); в) М(0; -2), N(8; 0);
б) С(-1; 5), 7)(6; -4); г) Р(-3; -4), Q(-7; -1).
6.23. Очларының координаталары буенча кисемтә төзегез:
a) L(-4; 3), АГ(0,5; 2); в) В(5; 3,5), S(2; 3);
б) Е(2; 7), М(-1; 6); г) Х(7; 1), Ү(-4; -6).
6.24. Түбәләренең координаталары буенча геометрик фигура
төзегез:
а) А(-4; 3), В(2; -1), С(-1; -1);
б) К(-2; 3), L(3; 3), М(3; -2), N(-2; -2);
в) К(3; -4), В(-2; 0), С(0; 5);
г) Р(0; 4), £(5; 0), G(0; -4), Н(-5; 0).
6.25. ВК кисемтәсенә х күчәренә карата симметрияле кисемтә
төзегез, биредә:
a) В(-6; 2), Х(-1; 1); в) В(-4; 0), Х(1; -4);
б) В(5; 1), X(2; -3); г) В(0; 6), К(6; -2).
6.26. DM кисемтәсенә у күчәренә карата симметрияле кисемтә
төзегез, биредә:
а) £>(4; 2), М(1; 6); в) D(-5; -3), М(1; -2);
б) О(-3; 0), М(0; -3); г) £>(-4; 4), М(2; -2).
6.27. СН кисемтәсенә координаталар башына карата симме¬
трияле кисемтә төзегез:
а) С(-7; -2), Н(-2; -7); в) С(2; 3), Н(-3; -2);
б) 0(5; 0), Н(2; -4); г) С(0; -3), Н(-3; 1).
37
o6.28. 6 нчы рәсемне файдаланып табыгыз:
а) сурәтләнгән дүртпочмакның түбәләре координаталарын;
б) дүртпочмак яклары координата күчәрләрен кисеп
үткән нокталарның координаталарын;
в) сурәтләнгән дүртпочмактан 4 берәмлеккә өстәрәк ур¬
нашкан дүртпочмакның түбәләре координаталарын;
г) сурәтләнгән дүртпочмактан 3 берәмлеккә сулдарак ур¬
нашкан дүртпочмакның түбәләре координаталарын.
6.29. АВ турысына:
а) х күчәренә карата, биредә А(4; 1), В(-1; -4);
б) z∕ күчәренә карата, биредә А(0; 3), В(-3; 0);
в) х күчәренә карата, биредә А(-2; 0), В(0; 6);
г) у күчәренә карата, биредә А(-6; -3), В(4; 2) сим¬
метрияле туры төзегез.
6.30. Төзегез:
a) ΔABC, биредә А(6; 0), В(2; -3), С(3; 2);
б) ΔA1B1C1, ΔABC га х күчәренә карата симметрияле;
в) ΔA2B2C2, ЛАВС га у күчәренә карата симметрияле;
г) ΔA3B3C3, ААВС га координаталар башына карата сим¬
метрияле.
6.31. ABCD квадратының өч түбәсе: А(1; 1), В(1; 3), 0(3; 3)
бирелгән. D ноктасының координаталарын табыгыз һәм
тагын өч квадрат төзегез: аларның берсе — бирелгәннән
биш берәмлеккә астарак, икенчесе — бирелгәннән ике
берәмлеккә уңдарак, өченчесе бирелгәннән өч берәмлеккә
астарак һәм биш берәмлеккә сулдарак урнашкан. Өченче
A3B3C3D3 квадратының координаталарын әйтегез.
6.32. 7 нче рәсемдә сурәтләнгән цифр¬
ларны нинди координаталы нок¬
талар ярдәмендә төзергә мөмкин:
a) 1 цифрын; в) 5 цифрын;
б) 3 цифрын; г) 8 цифрын.
6.33. ABCD квадратының А(3; 1) һәм
В(3; -4) түбәләре координата-
лары бирелгән. С һәм D түбә¬
ләренең координаталарын табы¬
гыз. Мәсьәләнең ничә чишеле¬
ше бар?
38
6.34. ABCD квадратының капма-каршы ике түбәсенең коор-
динаталары бирелгән: А(2; -2) һәм С(-2; 2). Калган ике
түбәнең координаталарын табыгыз. Мәсьәләнең ничә
чишелеше бар?
6.35. ABCD квадратының ягы 6 га, ә А түбәсенең координа-
талары (-2; 3) кә тигез. Әгәр квадратның АВ ягы ор¬
динаталар күчәренә параллель һәм координаталар башы
квадратның эчендә ятса, калган түбәләрнең координа¬
таларын табыгыз.
6.36. Ягы 8 булган квадратның үзәге координаталар башын¬
да урнашкан, ә яклары координата күчәрләренә парал¬
лель. Квадрат түбәләренең координаталарын билгеләгез.
Координаталар яссылыгында бирелгән координаталары
буенча нокталар төзегез һәм аларны бер-бер артлы кисем¬
тәләр белән тоташтырыгыз. Нинди фигура килеп чыга?
•6.37. а) 1(—1; 5), 2(-3; 5), 3(-3; 9), 4(-2; 10), 5(3; 10), 6(3; 4),
7(0; 1), 3(3; 1), 9(3; -1), 10(-3; -1), 11(-3; 1), 12(1; 5),
13(1; 8), 14(—1; 8);
б) 1(0; 7), 2(-1; 0), 3(0; 0), 4(0; 2), 5(2; 2), 6(2; 0),
7(3; 0), 3(3; -2), 9(2; -2), 10(2; -4), 11(0; -4), 12(0; -2),
13(—3; -2), 14(—3; 0), 15(-2; 7).
•6.38. а) 1(4; 2), 2(4; 4), 3(3; 5), 4(-1: 5), 5(-2; 4), 6(-2; -5),
7(-1; -6), 3(3; -6), 9(4; -5), 10(4; -1), 11(3; 0),
12(0; 0), 13(0; 3), 14(2; 3), 15(2; 2), 16(2; -2), 17(2;
-4), 13(0; -4), 19(0; -2);
б) 1(-1; 3), 2(—3; 3), 3(-3; 5), 4(-2; 6), 5(2; 6), 6(3; 5),
7(3; 2), 3(-1; -5), 9(-3; -5), 10(1; 2), 11(1; 4), 12(-1; 4).
39
•6.39. a) /(8; 2), 2(11; 2), 3(8; 9), 4(4; 10), 5(2; 9), 6(-l; 13),
7(-8; 10), 8(-9; 9), 9(-S∙, 7), 10(-12; 7), 11(-11; 10),
12(-15; 12), 13(-19; 11), 14(-15; 9), 15(-14; 3), 16(-7; 5),
17(-5; -3), 18(-(r, -6), 19(-2∙, -6), 20(-3; -4), 21(-3; 3),
22(4; 3), 23(5; -3), 24(3; -5), 25(3; -6), 26(7; -6),
27(6; -5), 23(8; 7);
6) 1(0; -7), 2(3; 2), 3(6; 2), 4(7; 5), 5(7; 10), 6(6; 16),
7(9; 16), 8(5; 18), 9(2; 11), 10(1; 13), ll(-9; 11),
12(-10; 11), 13(—9; 7), 14(-8; 7), 15(-9; 5), 16(-4; 1),
17(-2; 2), 18(-2; -10), 19(4; -10).
•6.40. a) 1(—3; 5), 2(-3; 3), 3(-l; 3,5), 4(-2,5; 2), 5(-8,5; 2),
6(-1; 0), 7(0; 0), 8(-3; -4), 9(-l; -6,5), 10(-2,5; -7),
11(0; -7), 12(-1; -3), 13(1; -2,5), 14(3; -2,5), 15(3; -3),
16(7; -3), 17(8; -5), 18(8; -3), 19(4; -1), 20(0; 2),
21(0; 3), 22(4; 3,5), 23(0; 4,5), 24(-l; 3,5);
6 ) 1(5; 5,5), 2(2,5; 8,5), 3(1; 8), 4(0,5; 5), 5(1,5; 3,5),
6(0,5; 4), 7(—2; 3,5), 8(-4,5; 1), 9(-5; 0,5), 10(-5,5; -5),
ll(-3,5; -1,5), 12(-4; -3,5), 13(-2,5, -2), 14(-2; -3,5),
15(-2,5: -3,5), 16(-0,5; -8,5), 17(—1; -10), 18(1,5; -10),
19(-0,5; -8,5), 20(-0,5: -0,5), 21(3; 2,5), 22(2; 5,5),
23(2,5; 6,5).
§ 7. ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘ
ҺӘМ АНЫҢ ГРАФИГЫ
7.1. Бирелгән ике үзгәрешлеле тигезләмә сызыкча буламы:
а) 5х + Зу + 7 =0; в) 12c - 176 -3 = 0;
б) 6α - 46 - 1 = 0; г) 451 + 4s + 19 = 0?
7.2. Ни өчен бирелгән тигезләмәнең ике үзгәрешлеле сы¬
зыкча тигезләмә була алмавын аңлатыгыз:
a) 3x2 + 5t∕ - 1 = 0; б) 8x - 7y2 + 2 = 0.
7.3. Бирелгән ике үзгәрешлеле тигезләмә сызыкча буламы:
a) ≡ + у - 5 = 0; в) + 4 = 0;
б) + у - 5 = 0; г) ху + 3 = 0?
40
7.4. Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәнең (ах + by +с = 0)
a, b һәм с коэффициентларын атагыз:
а) х - у + 4 = 0; в) х - 1 - 2у = 0;
б) х - 2у = 0; г) У Х- = 1.
О
7.5. Бирелгән саннар пары 5х + 2у - 12 = 0 тигезләмәсенең
чишелеше буламы:
а) (3; 2); б) (1; 3,5); в) (12; 5); г) (4; -4)?
о7.6. Бирелгән саннар пары 7α-5b-3 = 0 тигезләмәсенең
чишелеше буламы:
а) (2; 8); б) f 1; -1; в) (15; 1); г) (8; 10,6)?
v 5√
7.7. а) (6; 2), (0; 20), (4; 8), (6; 5) саннар парларының кай¬
сысы Зх + у = 20 тигезләмәсенең чишелеше була?
б) (2; 0), (1; 1), (2,5; 2,5), (7; 8) саннар парларының
кайсысы 5х - у = 10 тигезләмәсенең чишелеше була?
7.8. Чишелеше түбәндәге саннар пары булган ике үзгәрешлеле
сызыкча тигезләмә төзегез:
а) (2; 3); б) (-6; -5); в) (6; -5); г) (-7; 0).
7.9. Төзүләрсез генә җавап бирегез, М(5; 7), N(0; 3,5), К(7; 0),
L(2; 3) нокталарының кайсылары х + 2у - 7 =0 тигез¬
ләмәсенең графигында ята?
Бирелгән сызыкча тигезләмәләрнең һәркайсында, х ның
бирелгән кыйммәтенә туры килүче у ның кыйммәтен
табыгыз:
7.10. а) Зх + 2у - 6 = 0, х = 0 булганда;
б) 5х - 7у - 14 = 0, х = 0 булганда;
в) 15x + 25ι∕ + 75 = 0, х = 0 булганда;
г) 81х - 15у + 225 = 0, х = 0 булганда.
o7.ll. а) 8х + бу - 11 = 0, х = 1 булганда;
б) Их - 13г/ + 16 = 0, х = -5 булганда;
в) 19x - lly - 24 = 0, х = 3 булганда;
г) Зх + 2у + 30 = 0, х = -8 булганда.
o7.12. a) 6x + 2y - 1 = 0, х = -0,1 булганда;
1
б) 7х - у - 4 = 0, х = -2~ булганда;
в) Зх + 5у - 10 = 0, х = 0,5 булганда;
2
г) 9х - 2у - 3 = 0, х = 8- булганда.
41
7.13. Бирелгән сызыкча тигезләмәләрнең һәркайсында у ның
бирелгән кыйммәтенә туры килүче х ның кыйммәтен
табыгыз:
а) 6х + 12</ - 42 = 0, у = 0 булганда;
б) 17х - 5у + 85 = 0, у = 0 булганда;
в) 8х - ЗБу = 96, у = 0 булганда;
г) 16х + 54у = 64, у = 0 булганда.
Бирелгән сызыкча тигезләмәләрнең һәркайсында, у ның
бирелгән кыйммәтенә туры килүче х ның кыйммәтен
табыгыз:
o7.14. а) 4х + 7у - 12 = 0, у = -4 булганда;
б) 23х - 9у + 5 = 0, у = -2 булганда;
в) 5х — Зу - 11 = 0, у = 3 булганда;
г) 2х + 4у + 9 = 0, у = 1 булганда.
1
o7.15. а) 6х + Зу - 2 = 0, у = 3- булганда;
б) 3,5x - 5у — 1 = 0, у = 0,5 булганда;
в) 4х - 2у + 11 = 0, у = -1,5 булганда;
2
г) 8х + 5у - 3 = 0, у = 4- булганда.
o7.16. a)7x-3y-12 = 0 тигезләмәсе белән бирелгән туры¬
дагы ниндидер ноктаның абсциссасы 3 кә тигез. Бу
ноктаның ординатасын табыгыз.
б) Их+21у—31=0 тигезләмәсе белән бирелгән ту¬
рыдагы ниндидер ноктаның ординатасы 2 гә тигез.
Бу ноктаның ординатасын табыгыз.
хОу координаталар яссылыгында тигезләмәнең графи¬
гын төзегез:
o7.17. а) х + у - 4 = 0; в) -х — у + 6 = 0;
б) 2х - у + 5 = 0; г) х + 2у - 3 = 0.
o7.18. а) 5х + Зу - 15 = 0; в) 6х + Зу + 18 = 0;
б) 7х - 4у + 28 = 0; г) 8х - Зу - 24 = 0.
o7.19. tθs координаталар яссылыгында тигезләмәнең графи¬
гын төзегез:
a) 7t + 9s + 63 = 0; в) 51 - 2s = 10;
б) 31 - 4s = 12; г) 41 + 9s + 36 = 0.
o7.20. а) 5х + Ну =8 һәм 10х - 7у= 74 турыларының А(6; -2)
ноктасында кисешүен исбатлагыз.
б) 12х - 7у = 2 һәм 4х - 5у = 6 турыларының В(-1; -2)
ноктасында кисешүен исбатлагыз.
42
o7.21. Турыларның кисешү нокталарының координаталарын
табыгыз:
а) х - у = -1 һәм 2х + у = 4; б) 4х + Зу = 6 һәм 2х + Зу = 0.
Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә бирелгән. Аннан
файдаланып, һәр үзгәрешлене икенчесе аша күрсәтегез:
o7.22.
a) a + b = 24;
в) т - п = 48;
г) с + 5d = 30.
б)
7х - у = 56;
o7.23.
а)
За + 8b = 24;
в) 12m - Зп = 48;
б)
6c + 5d = 30;
г) 7х - 8у = 56.
o7.24.
а)
3t - 2z + 6 = 0;
в) llu + 2v + 22 = 0;
б)
7s + 9t — 63 — 0;
г) 25г - 4и> — 100 = 0.
7.25. х+Зу-20 =0 тигезләмәсенең чишелешләре арасыннан:
а) ике бертөрле саннан;
б) берсе икенчесеннән 2 тапкыр зуррак булган саннар¬
дан торучы саннар парын табыгыз.
7.26. Әгәр түбәндәге саннар пары ах + 5у - 40 =0 тигезлә¬
мәсенең чишелеше булса, а коэффициентының кыйм¬
мәтен табыгыз:
а) (3; 2); б) (9; -1); в)(|;о\ г) (-2; 2,4).
у о √
7.27. Әгәр түбәндәге саннар пары 6x + by — 35 = 0 тигезлә¬
мәсенең чишелеше булса, b коэффициентының кыйм¬
мәтен табыгыз:
а) (0; 1); б) (3; 8,5); в)||;11|; г) (-5;-13).
к о /
7.28. Әгәр түбәндәге саннар пары
мәсенең чишелеше булса, с
мәтен табыгыз:
8х + Зу - с = 0 тигезлә-
коэффициентының кыйм-
а) (2; -1); б)
( 9
в) 0,125; --
Ч з
г) (0; 0).
7.29. Бирелгән саннар пары т нинди кыйммәт алганда
тх + 4у - 12т = 0 тигезләмәсенең чишелеше була:
а) (0; 3);
в) (12; 0);
r) I-1; зЧ?
k 4)
б) Г2; -|;
Ч 2
43
Мәсьәләне, математик моделен төзү өчен ике үзгәреш¬
ле зурлык кулланып һәм тиңдәшле сызыкча тигезлә¬
мәләрнең графикларын төзеп чишегез:
7.30. Саннарның суммасы 5 кә, ә аермасы 1 гә тигез. Бу сан¬
нарны табыгыз.
7.31. Саннарның суммасы 7 гә тигез. Әгәр бер санны ике
тапкыр арттырып, икенчесен үзгәрешсез калдырсак, бу
саннарның суммасы 8 була. Баштагы саннарны табыгыз.
7.32. Ике санның аермасы 1 гә тигез. Әгәр беренче санны
үзгәрешсез калдырып, икенчесен 3 тапкыр арттырсак,
бу саннарның суммасы 9 була. Бирелгән саннарны та¬
быгыз.
7.33. Ике санның аермасы 3 кә тигез. Әгәр кимүче киме¬
түчедән 4 тапкыр зуррак булса, бу саннарны табыгыз.
7.34. Шахмат турнирында 10 укучы катнаша. Малайлар кыз¬
лардан 1,5 тапкыр күбрәк була. Турнирда ничә малай
һәм кыз катнаша?
7.35. Математикадан өстәмә дәресләргә йөрүче кызлар саны
малайлардан 3 тапкыр күбрәк. Әгәр малайлар кызлар¬
дан 6 кешегә азрак булса, өстәмә дәресләргә ничә кыз
һәм ничә малай килгән?
Координаталар яссылыгында ах + by + с = 0 тигез¬
ләмәсе белән бирелгән туры төзегез, a, Ь һәм с коэф¬
фициентларының кыйммәтләре түбәндәгечә:
7.36.
a) a = 2, b = 1, с = -3;
б) a = -1, Ь = 3, с = 0;
в) a = 1, Ь = -2, с = 4;
г) a = 3, b = -1, с = 0.
7.37.
a) a = 0, Ь = 2, с = -6;
в) a = 0, Ь = -2, с = -4;
б) a = -1, Ь = 0, с = -2;
г) a = 5, Ь = 0, с = -5.
7.38.
a) a = с = 0, Ь = 0,2;
б) a = ⅛ , Ь = с = 0.
О
7.39.
ах + by + с = 0 турысы
a, Ь, с коэффициентлары нин-
ди кыйммәтләр алганда:
а) х күчәренә параллель
була;
б) у күчәренә параллель
була;
в) координаталар башы аша үтә;
г) х күчәре, у күчәре белән туры килә?
44
§ 8. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ ҺӘМ
АНЫҢ ГРАФИГЫ
Сызыкча у = kx + т функциясенең коэффициентла¬
рын атагыз:
8.1. а) у = 2х + 3;
б) у = х - 6;
в) у = 19x - 15;
г) у = -х + 11.
8.2. а) у = 0,7х + 9,1;
6) У = \х +
3 Ә
в) у = -5,7х - 3,5;
г) у = -∙∣x - ^∙.
i, 9 3
8.3. а) у = 2,5 - х;
б) у = -| + |х;
Тигезләмәне у = kx
китерегез һәм k, т
„ , . 15x-7
8.4. а) у = ;
Cl
в) у = 0,2х;
г) у = ⅜ + 1,6.
о
+ т сызыкча функциясе рәвешенә
коэффициентларын аерып языгыз:
19x-ll
в) </ - 5 ,
„ 8* + 3.
б) !∕= 4 ;
9х + 7
Г) <7= 5 •
, 5 - Зх
8.5. а) у = ;
4
12 + 7x
в) У - 5 ,
6 + х
б) <∕= 3 ;
-16 - 4х
г) У- 8 •
Тигезләмә сызыкча
функцияне бирәме?
8.6. а) у = х2 + 5;
б) у = | + 2;
В) У = f + 2;
г) у = (х - 5)2.
х + 3
8.7. а) У = , 5
О
6 - 4х
в) У - 8 .
2 1
6) *-s→
2
r> i,'x + 3∙
Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәне у = kx + т сы¬
зыкча функциясе рәвешенә китерегез һәм k, т коэф¬
фициентларын аерып языгыз:
8.8. а) 12х - у = -17;
б) у - 19х = 5;
в) у — 36х = -40;
г) 15х + у = 53.
45
8.9. а) х - у = 9;
б) у - 7х = 11;
в) у - х = 15;
г) 35х - у = 8.
o8.10. а) 8х + Зу = 24;
в) Зх + 4(/ = 12;
б) 5х - 2у = 10;
г) 7х - 5у = 35.
o8.ll. а) 5х + бу = 0;
в) 15x - 12j∕ = 0;
б) 7х - 9у = 11;
г) 2х + Зу = 57.
o8.12. а) 19х + у - 5 = 0;
в) у - 7х - 11 = 0;
б) 7х - 5у + 3 = 11;
г) Зх + 4г/ + 1 = 57.
o8.13. a) = 1;
7
II
1 ю
н
2х - у „
, 6х + и
б) —~ = -2;
О
г) —= 3.
o8.14. Аргументның бирелгән
кыйммәте өчен сызыкча функ-
циянең кыйммәтен табыгыз:
а) у = 5х + 6, х = -1;
в) у = 12x + 1, х = 3;
б) у = 7х - 8, х = 0;
г) у = 9х - 7, х = -2.
o8.15. Әгәр аргументның кыйммәте түбәндәгечә булса,
у = 0,5х - 4 сызыкча функциясенең кыйммәтен табыгыз:
а) 6; б) 3,2; в) -7; г) -8,9.
o8.16. Аргумент нинди кыйммәт алганда, у = 5х - 3,5 сызык¬
ча функциясе түбәндәге кыйммәтләрне ала:
а) 11,5; б) 0; в) -3,5; г) -6,5.
8.17. Таблицаны тутырыгыз һәм
фигын төзегез:
сызыкча функциянең
гра-
а) у = 5х + 6,
х 0 -1
в) у = 2х + 6,
х| 0
У
-2 .
х 0 2
б) у = 2x - 1,
г) у = Зх - 4,
х 0
У
3
Тиңдәшле координаталар системасындагы сызыкча
функциянең графигын төзегез:
8.18. а) у = х + 2; б) у = х - 3; в) у = х + 5; г) у = х - 1.
8.19. а) у = 4х - 6; б) у = 5х + 7; в) у = Зх - 3; г) у = 2x +1.
8.20. а) у = -х + 2; б) у = -х - 3; в) у = -х + 1; г) у = -х - 8.
8.21. а) у = -Зх + 2; в) у = -7х + 3;
б) у = -4х + 1; г) у = -5х + 2.
46
o8.22.
а)
у = 0,4х + 2;
в)
у = 0,2х - 4;
б)
у = -2,5х - 3;
г)
у = —1,5х + 8.
o8.23.
а)
У = ⅛x - 1;
» 3
в)
у = -х + 5;
» 2
б)
J∕ = -∣x + l!
г)
II
1
W ∣tθ
н
1
to
o8.24.
а)
у = —х +
У 4 4
в)
y = *χ-±∙,
y 6 3
б)
3 2
y 10 5
г)
4≡
II
1
оо | to
Я
+
ω∣÷*
o8.25.
а)
s = 1,5г + 0,5;
в) s = -4,5г - 2,5;
б)
s = —3,5г + 4,5;
г) s = 2,5г - 3,5.
o8.26.
а)
s = —t - 1; б) и =
——4
-1; в) s = — - 2; г) u = --t + 1.
o8.27. Сызыкча функцияләр графикларының кисешү ноктасы
координаталарын табыгыз:
а) у = х + 4 һәм у = 2х;
б) у = -2х + 3 һәм у = 2х - 5;
в) у = — х һәм у = Зх - 4;
г) у = Зх + 2 һәм у = -0,5х — 5.
8.28. Сызыкча у = х + 4 функциясенең графигын төзегез.
Табыгыз:
а) графикның координата күчәрләре белән кисешү нок¬
талары координаталарын;
б) х ның -2; -1; 1 гә тигез кыйммәтләренә тиңдәш
булган у ның кыйммәтен;
в) у ның 1; -2; 7 гә тигез кыйммәтләренә тиңдәш бул¬
ган х ның кыйммәтен;
г) бирелгән сызыкча функциянең үсүен яки кимүен
ачыклагыз.
8.29. Сызыкча у = -4х + 8 функциясенең графигын төзегез.
Табыгыз:
а) графикның координата күчәрләре белән кисешү нок¬
талары координаталарын;
б) х ның 0; 1; 2; 3 кә тигез кыйммәтләренә тиңдәш
булган у ның кыйммәтен;
в) у ның 0; 4; 8 гә тигез кыйммәтләренә тиңдәш бул¬
ган х ның кыйммәтен;
г) бирелгән сызыкча функциянең үсүен яки кимүен
ачыклагыз.
47
c>8.30. у = 2x - 4 функциясенең графигын төзегез.
а) Графикның абсциссалар күчәре белән кисешү нокта¬
сы координаталарын табыгыз.
б) Графикның абсциссалар күчәреннән өстәге өлешен
аерып билгеләгез. Бу өлешкә у ның нинди тамгалы
кыйммәтләре туры килә? 2х - 4 аңлатмасы бу очрак¬
та нинди кыйммәтләр ала?
в) Графикның аерып билгеләнгән өлешенә х ның нин¬
ди кыйммәтләре туры килә?
г) х нинди кыйммәтләр алганда у < 0 тигезсезлеге үтәлә?
б), в), г) пунктларында ясалган нәтиҗәләрне тигез¬
сезлекләр рәвешендә языгыз.
o8.31. у = -0,5х + 2 функциясенең графигын һәм у = 4 ту¬
рысын төзегез.
а) Турыларның кисешү нокталары координаталарын
табыгыз.
б) у = -0,5х + 2 функциясе графигының у = 4 туры¬
сыннан астарак яткан өлешен аерып алыгыз. Гра¬
фикның бу өлешенә у ның нинди кыйммәтләре
туры килә? -0,5х + 2 аңлатмасы бу вакытта нинди
кыйммәтләр ала?
в) Сызыкча функциянең аерып алынган өлешенә х ның
нинди кыйммәтләре туры килә?
г) -0,5х + 2 > 4 тигезсезлеге х ның кыйммәтләре нинди
булганда үтәлә?
o8.32. у = -Зх + 6 функциясенең графигын төзегез.
а) Төзелгән график ярдәмендә -Зх + 6 = 0 тигезләмәсен
чишегез.
б) Графикның у > 0 шартына туры килгән өлешен аерып
алыгыз. Бу өлешкә аргументның нинди кыйммәтләре
туры килә?
в) График ярдәмендә -Зх + 6 > 0 тигезсезлеген чишегез.
г) -Зх + 6 < 0 тигезсезлеген чишегез.
o8.33. у = 2х - 6 функциясенең графигын төзегез.
а) Төзелгән график ярдәмендә 2х - 6 = 0 тигезләмәсен
чишегез.
б) Графикның у < 0 шартына туры килгән өлешен аерып
алыгыз. Аргумент нинди кыйммәтләр алганда, функ¬
ция тискәре кыйммәтләр ала?
в) График ярдәмендә 2x - 6 ≤ 0 тигезсезлеген чишегез.
г) 2х — 6 ≥ 0 тигезсезлеген чишегез.
48
o8.34. Сызыкча у = Зх - 6 функциясенең графигын төзегез
һәм аның ярдәмендә тигезсезлекне чишегез:
а) Зх - 6 > 0; в) Зх - 6 < 0;
б) Зх - 6 ≤ 0; г) Зх - 6 ≥ 0.
o8.35. Сызыкча у = 4х + 4 функциясенең графигын төзегез
һәм аның ярдәмендә тигезсезлекне чишегез:
а) 4х + 4 > 0; в) 4х + 4 < 0;
б) 4x + 4 ≤ 0; г) 4x + 4 ≥ 0.
08.З6. Сызыкча у = -х — 2 функциясенең графигын төзегез
һәм аның ярдәмендә тигезсезлекне чишегез:
а) -х - 2 > 0; в) -х - 2 < 0;
б) -х - 2 ≤ 0; г) -х - 2 ≥ 0.
o8.37. Сызыкча у = -2х + 4 функциясенең графигын төзегез
һәм аның ярдәмендә тигезсезлекне чишегез:
а) -2х + 4 > 0; в) -2х + 4 < 0;
б) -2x + 4 ≤ 0; г) -2x + 4 ≥ 0.
Сызыкча у = 2х + 3 функциясенең графигын төзегез
һәм аның х күчәренең бирелгән аралыгына туры килгән
өлешен аерып билгеләгез:
8.38. а) [0; 1]; б) [-2; 2]; в) [1; 3]; г) [-1; 1].
8.39. а) (-оо; 1); б) (-2; +«>); в) (-°о; -2); г) (0; +∞).
8.40. а) (-оо; 1]; б) [-2; +°о]; в) (-оо; -2]; г) [0; +∞).
8.41. а) (-2; 0); б) (-2; -1); в) (-1; 1); г) (-1; 3).
Сызыкча у = -Зх + 1 функциясенең графигын төзегез
һәм аның х күчәренең бирелгән аралыгына туры килгән
өлешен аерып билгеләгез:
8.42. a) [1; 2); б) (-2; -1]; в) [0; 1); г) (-1; 0].
8.43. а) (-оо; 0]; б) (2; +∞)j в) (-∞ι 0); г) [1; +∞).
8.44. а) [0; 2]; б) (1; 3); в) [-1; 1); г) (-2; 1].
Сызыкча функциянең бирелгән аралыктагы иң зур һәм
иң кечкенә кыйммәтләрен табыгыз:
o8.45. а) у = х + 3, [-2; -1]; в) у = х + 3, [-3; -1];
б) у = -х + 5, [-1; 4]; г) у = -х + 5, [2; 5].
o8.46. а) у = 4x - 1, [-1; 2]; в) у = Зх - 2, [-1; 1];
б) у = -2х + 5, [0; 4]; г) у = -5х + 7, [0; 2].
49
o8.47. Сызыкча у = Зх - 9 функциясенең графигын төзегез
һәм аның ярдәмендә табыгыз:
а) графикның абсциссалар күчәре белән кисешү нокта¬
сы координаталарын;
б) аргументның у < 0 тигезсезлеге үтәлгәндә алган бар¬
лык кыйммәтләрен;
в) Зх - 9 > 0 тигезләмәсенең чишелешен;
г) х ның у > -9 тигезсезлеге үтәлгәндә алган кыйммәт¬
ләрен.
o8.48. Сызыкча у = -2х + 6 функциясенең графигын төзегез
һәм аның ярдәмендә табыгыз:
а) графикның абсциссалар күчәре белән кисешү нокта¬
сы координаталарын;
б) аргументның у > 0 тигезсезлеге үтәлгәндә алган бар¬
лык кыйммәтләрен;
в) -2х + 6 < 0 тигезләмәсенең чишелешен;
г) х ның у > 6 тигезсезлеге үтәлгәндә алган кыйммәт¬
ләрен.
o8.49. Сызыкча у = х + 5 функциясенең графигын төзегез һәм
аның ярдәмендә табыгыз:
а) графикның координаталар күчәрләре белән кисешү
нокталары координаталарын;
б) аргументның у < 0 тигезсезлеге үтәлгәндә алган бар¬
лык кыйммәтләрен;
в) х күчәренең 0 ≤ у ≤ 5 тигезсезлеге үтәлә торган
кисемтәсен;
г) сызыкча функциянең [-4; 1] кисемтәсендәге иң зур
һәм иң кечкенә кыйммәтләрен.
o8.50. Сызыкча у = -Зх + 6 функциясенең графигын төзегез
һәм аның ярдәмендә табыгыз:
а) графикның координаталар күчәрләре белән кисешү
нокталары координаталарын;
б) х күчәренең -3 ≤ у ≤ 0 тигезсезлеге үтәлә торган
кисемтәсен;
в) аргументның у > 0 тигезсезлеге үтәлгәндә алган бар¬
лык кыйммәтләрен;
г) сызыкча функциянең [-1; 2] кисемтәсендәге иң зур
һәм иң кечкенә кыйммәтләрен.
50
8.51. Сызыкча функция графигының координаталар күчәрләре
белән кисешү нокталары координаталарын табыгыз:
а) у = 7,5х + 45; в) у = 3,4х - 27,2;
б) у = 2,6х - 7,8; г) у = 18,1х + 36,2.
8.52. Ачыклагыз, сызыкча у = 3,2х - 5 функциясенең гра¬
фигы бу нокта аша үтәме:
а) А(3; 4,6); б) В(1,2; 0); в) 0(7,5; 4); г) 0(2,2; 2,04).
8.53. Сызыкча функциянең бирелгән аралыктагы иң зур һәм
иң кечкенә кыйммәтләрен табыгыз:
а) у = 0,5х + 3, [2; 3); в) у = 2,5x - 4, (1; 2];
б) у = -0,5x + 1, [-2; +°о); г) у = 2,5x - 4, (-∞j 0].
8.54. Сызыкча функциянең бирелгән аралыктагы иң зур һәм
иң кечкенә кыйммәтләрен табыгыз:
а) у -|х + 2, [-4; 4]; в) у = -θx - 1, (-оо; 6];
б) у =|х + 2, [0; +оо); г) у = -θx - 1, (-3; 3).
8.55. а) Сызыкча у = Зх - 12 функциянең графигында абсцис¬
сасы ординатасына тигез булган ноктаны табыгыз.
б) Сызыкча у = 5х + 4 функциянең графигында абсцис¬
сасы ординатасына тигез булган ноктаны табыгыз.
8.56. а) Сызыкча у = 2х + 9 функциясе графигында абсцисса
белән ордината капма-каршы сан булган ноктаны та¬
быгыз.
б) Сызыкча у = -Зх + 8 функциясе графигында абсцисса
белән ордината капма-каршы сан булган ноктаны та¬
быгыз.
8.57. а) Сызыкча y = x + 15 функциясе графигында абсциссасы
ординатадан 2 тапкыр кечерәк булган ноктаны табыгыз.
б) Сызыкча z∕ = 2χ-35 функциясе графигында абсциссасы
ординатадан 3 тапкыр зуррак булган ноктаны табыгыз.
8.58. Сызыкча у = -5х + т функциясенең түбәндәге нокта
аша узуы билгеле булса, т ның кыйммәтен табыгыз:
а) А(1; 2); б) А7(О,5; 4); в) А(-7; 8); г) Р(1,2; -3).
8.59.
Сызыкча у = Ах + 4 функциясенең түбәндәге нокта
аша узуы билгеле булса, k ның кыйммәтен табыгыз:
а) С(3; 5); 6)D⅛1
в) Е(-6; -8); г) -8
51
8.60. A — сызыкча у = 2x - 3 функциясенең [0; 2] кисемтә¬
сендәге иң зур кыйммәте, ә В — сызыкча у = 0,5х - 4
функциясенең шул ук кисемтәдәге иң зур кыйммәте бул¬
сын. Кайсы зуррак: А мы, В мы? График сурәтен ясагыз.
8.61. С — сызыкча у = х - 4 функциясенең [0; +∞), нурындагы
иң кечкенә кыйммәте, ә D — сызыкча у = 4 - х функ¬
циясенең (-оо; 1] нурындагы иң кечкенә кыйммәте бул¬
сын. Кайсы зуррак: С мы, D мы? График сурәтен ясагыз.
8.62. Әгәр у = kx + т сызыкча функциясе түбәндәге почмак¬
лар аша үтсә, k һәм т коэффициентларының тамгала¬
рын билгеләгез:
а) хОу яссылыгының беренче, икенче һәм өченче ко¬
ордината почмаклары аша;
б) хОу яссылыгының беренче, икенче һәм дүртенче ко¬
ордината почмаклары аша;
в) хОу яссылыгының беренче, өченче һәм дүртенче ко¬
ордината почмаклары аша;
г) хОу яссылыгының икенче, өченче һәм дүртенче ко¬
ордината почмаклары аша.
8.63. Түбәндәге очракта у = kx + т сызыкча функцияләренең
кисешү графигы ничек урнашыр:
a) k > 0, т = 0; в) k = 0, т ≠ 0;
б) k < 0, т = 0; г) k = 0, т = 0?
8.64. Сызыкча у = 9х — 28 һәм у = 13х + 12 функцияләренең
кисешү ноктасы аша:
а) абсциссалар күчәренә; б) ординаталар күчәренә,
параллель узучы турының тигезләмәсен төзегез.
8.65. Сызыкча у = 2х + 4 функциясенең графигын төзеп,
тигезсезлекне чишегез:
а) 2х + 4 > 0; в) 2х + 4 < 0;
б) 2х + 4 < 4; г) 2х + 4 > 2.
8.66. Сызыкча у = 3 - х функциясенең графигын төзеп,
тигезсезлекне чишегез:
а) 3 - ∣x ≤ 0;
б) 3 - jx ≥ -1;
в) 3 - | х > 0;
г) 3 - ∣x ≤ 4.
52
§ 9. у = кх СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯСЕ
Сызыкча функциянең графигын төзегез:
9.1.
а) у = 2х; б) у = -Зх; в) у = -6х;
г) у = х.
9.2.
3
a) s = 0,5t; б) 8 = ~t; в) s = —l,2t;
λ t
Г) 8 =
о9.3.
у һәм х үзгәрешлеләре арасындагы бәйлелек у = kx
формуласы белән бирелгән. Әгәр түбәндәге шарт үтәлсә,
k коэффициентының кыйммәтен табыгыз һәм функ¬
циянең үсүен яки кимүен ачыклагыз:
а) х = 3 булганда, у = 12; в) х = -9 булганда, у = 45;
б) х = 5 булганда, у = -25; г) х = -11 булганда, у = -99.
9.4. Түбәндәге нокта у = kx функциясенең графигы өстендә
ятса, бу функциянең графигын төзегез:
а) М(12; 48); в) М(3; -18);
б) М(-16; 32); г) М(-14; -21).
9.5. АВ турысы координаталар башы һәм В(-21; 84) нок¬
тасы аша үтә. АВ турысы кайсы сызыкча функциянең
графигы булып тора:
а) у = -21х + 84; б) у = -4х + 4; в) у = -4х; г) у = 4х?
о9.6. Функциянең графигы tθs координаталар яссылыгын¬
да координаталар башы һәм түбәндәге нокта аша үтә.
Аны s = kt формуласы белән күрсәтегез:
а) А(5; 7); б) В(-2; -8); в) С(9; -3); г) Л(-4; 12).
9.7. А(0; 0), В(2; -4), С(5; 3), В(-4; 8) нокталарының кай¬
сысы у = -2х сызыкча функциясенең графигында ята?
о9.8. Сызыкча у = 0,4х функциясенең графигын төзегез. Гра¬
фик буенча табыгыз:
а) х ның 0; 5; 10; -5 кыйммәтенә туры килүче у ның
кыйммәтен;
б) у ның 0; 2; 4; -2 кыйммәте туры килгән х ның
кыйммәтен;
в) 0,4х > 0 тигезсезлегенең чишелешләрен;
г) —2 ≤ 0,4x ≤ 0 тигезсезлегенең чишелешләрен.
53
o9.9. Сызыкча у = -2,5x функциясенең графигын төзегез.
График буенча табыгыз:
а) х ның 0; 2; -2 кыйммәтенә туры килүче у ның
кыйммәтен;
б) у ның 0; 5; -5 кыйммәте туры килгән х ның кыйм¬
мәтен;
в) -2,5x ≥ 0 тигезсезлегенең чишелешләрен;
г) 0 < -2,5х < 2 тигезсезлегенең чишелешләрен.
Сызыкча функциянең иң зур һәм иң кечкенә кыйммәт¬
ләрен табыгыз:
9.10. а) у = Зх, [0; 1] кисемтәсендә;
б) у = Зх, [1; +∞) нурында;
в) у = Зх, (—°°; -1] нурында;
г) у = Зх, [-1; 1] кисемтәсендә.
9.11. а) у = -2х, [-2; 2) ярыминтервалында;
б) у = -2х, [0; +∞) нурында;
в) у = -2x, (-∞j 1] нурында;
г) у = -2х, (-1; 0] ярыминтервалында.
o9.12. а) у = 0,4x, х ∈ [0; 5]; в) у = 0,4x, х ∈ (-∞j 0];
б) у = 0,4х, х ∈ [-5; +°°); г) у = 0,4x, х ∈ (-5; 5).
3 3
o9.13. a) z∕ = --χ, х ∈ [-4; 4]; в) у = --х, х ∈ [-4; +°°);
3 3
б) ι∕ = -~х, х ∈ (0; +°°); г) у = — — х, х ∈ (0; 4].
o9.14. Графигы түбәндәге рәсемдә сурәтләнгән сызыкча функ¬
цияне формула белән языгыз:
а) 8 рәс.; б) 9 рәс.; в) 10 рәс.; г) 11 рәс.
Рәс. 9
54
9.15. у = kx + т сызыкча функциясенең графигы түбәндәге
рәсемдә сурәтләнсә, ⅛ һәм т коэффициентларының там¬
галарын билгеләгез:
а) 12 рәс.; б) 13 рәс.; в)14 рәс.; г) 15 рәс.
55
Рәс. 16
а) у = 2х, у = 2х -
б) у = Зх, у = 2х -
9.16. 16 нчы рәсемдә у = Зх, у = -Зх,
у = х + 3 функцияләренең гра¬
фиклары сурәтләнгән. Кайсы
формуланың кайсы график¬
ка туры килүен билгеләгез.
9.17. Күрсәтелгән турыларның ки¬
сешү ноктасын табарга дигән
биремнең мәгънәсе бармы?
Әгәр биремнең мәгънәсе бул¬
са, аны үтәгез.
3; в) у = 5 — х, у = -х;
1; г) у = 4, у = х + 3.
Күрсәтелгән рәсемдә графигы урнашкан у = kx + т ту¬
рысының тигезләмәсен төзегез:
9.18. а) 17 рәс.; б) 18 рәс.; в) 19 рәс.; г) 20 рәс.
56
9.19.а) рәс. 21;
б) рәс. 22; в) рәс. 23; г) рәс. 24
Рәс. 23
Рәс. 24
§10. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯЛӘР
ГРАФИКЛАРЫНЫҢ ҮЗАРА УРНАШУЫ
10.1. Төзүләрсез генә сызыкча функцияләр графикларының
үзара ничек урнашуын билгеләгез:
а) у = 2х һәм у = 2х - 4;
б) у = х + 3 һәм у = 2x - 1;
в) у = 4х + 6 һәм у = 4х + 6;
г) у = 12х - 4 һәм у = -х + 1.
57
Төзүләрсез генә сызыкча функцияләр графикларының
үзара ничек урнашуын билгеләгез:
10.2. а) у = 0,5х + 8 һәм у = х + 8;
3
б) у = — х - 2 һәм у = 7х - 4;
в) у = 5х + 8 һәм у = х - 2;
з
г) у = 105х - 11 Һәм у = -х + 15.
О
14
10.3. а) у = — х - 5 һәм у = 7x + 3;
б) у = 6х + - һәм у = 7 + 6х;
12 8 , 15 4
, y 16 10 y 20 5
„ 8 1 , 8 1
г) У = Һәм у = -Х + -.
Бирелгән сызыкча функцияләрнең графиклары парал¬
лель булырлык итеп * символы урынына сан куегыз:
10.4. а) у = 8х + 12 һәм у = *х - 3;
б) у = *х - 4 һәм у = 5 + 6х;
в) у = *х + 6 һәм у = 12 - 7х;
г) у = 4x - 1 Һәм у = *х + 11.
10.5. а) у = *х + 5 һәм у = *х + 7;
б) у = 45х - 9 һәм у = 45х + *;
в) у = -*х - 3 һәм у = *х + 1;
г) у = 1,3х + 21 һәм у = 1,3х - *.
Бирелгән сызыкча функцияләрнең графиклары кисе¬
шерлек итеп * символы урынына сан куегыз:
10.6. а) у = 6x + 1 һәм у = *х - 3; в) у = 7х + 8 һәм у = *х - 4;
б) у = *х + 5 һәм у = 9x - 1; г) у = *х - 15 һәм у = Зх + 2.
10.7. а) у = 2х + * һәм у = х - *; в) у = Зх - * һәм у = -х - *;
б) у = *х - 1 һәм у = *х + 3; г) у = *х + 17 һәм у = *х + 9.
Бирелгән сызыкча функцияләрнең графиклары тәңгәл
килерлек итеп * символы урынына сан куегыз; кайсы
очракларда бу биремнең мәгънәсе булмавын ачыклагыз:
58
10.8. а) у = *x + 5 һәм у = х + 7; в) у = 6x - 3 һәм у = *x - 3;
б) у = *х + 8 һәм у = 5х + 8; г) у = 7х - 9 һәм у = *х - 8.
10.9. а) у = 8х + * һәм у = 7х + 8;
б) у = 4,5х - * һәм у = 4,5х — *;
в) у = 0,35x - * һәм у = 0,35x - *;
г) у = 2х + * һәм у = 2х + *.
Бирелгән турыларның кисешү нокталары координатала-
рын табыгыз; әгәр бу мөмкин булмаса, ни өчен икәнен
аңлатыгыз:
оЮ.10. а) у = 2х + 3 һәм у = Зх + 2;
б) у = -15х - 14 һәм у = -15х + 8;
в) у = 7х + 4 һәм у = -х + 4;
г) у = 7х + 6 һәм у = 7х + 9.
olO.ll. а) у = 15х + 17 һәм у = 15х + 17;
б) у = -Зх + 4 һәм у - 2x - 1;
в) у = 13х - 8 һәм у = 13х - 8;
г) у = -5х + 3 һәм у = х - 3.
ol0.12. а) у = х + 5 һәм у = х + 7;
б) у = 1,5х + 4 һәм у = 1,5х + 4;
в) у = -2х + 8 һәм у = 8;
г) у = 79х һәм у = 75х.
оЮ.13. Графикларны төземичә генә турыларның кисешү нок¬
тасы координаталарын табыгыз:
а) у = х + 5 һәм у = 1,5х + 4;
б) у = 75x - 1 һәм у = 78х;
в) у = -2х + 8 һәм у = х - 7;
г) у = -49х һәм у = -42х + 3.
10.14. Графигы бирелгән сызыкча функция графигына парал¬
лель булган у = kx функциясенең формуласын языгыз:
а) у = 4х - 3; в) у = |х + 2;
б) у = -Зх + 1; г) у = -0,5х - 4.
оЮ.15. Графигы түбәндәге турыга параллель булган у = kx сы¬
зыкча функциясенең формуласын языгыз:
а) х + у - 3 = 0; в) 2х - у + 4 = 0;
б) 2х - Зу - 12 = 0; г) -х + 2у + 6 = 0.
59
10.16. Графигы түбәндәге сызыкча функция графигына па¬
раллель һәм бирелгән М ноктасы аша узучы сызыкча
функцияне табыгыз:
а) у = Зх, М(0; -2); в) у = -5х, М(0; 3);
б) у = -2,5x, М(2; 1); г) у = 1,5х, М(-4; -3).
10.17. Графигы бирелгән турыга параллель һәм N ноктасы
аша узучы сызыкча функцияне табыгыз:
а) х + у - 1 = О, МО; -2);
б) -4x + 2y + 1 = 0, Ml; 4);
в) х - у + 3 = 0, N(0; 1);
г) -9х - Зу + 2 = О, М-2; 1).
10.18. Үсә баручы ике сызыкча функция у = ⅛1x + ml һәм
у = k2x + т2 бирелгән. Сызыкча функцияләрнең гра¬
фиклары параллель булырлык итеп fep k2, т , т2 коэф¬
фициентларын сайлагыз.
10.19. Кими баручы ике сызыкча функция у = k1x + m1 һәм
у = k2x + т2 бирелгән. Сызыкча функцияләрнең гра¬
фиклары тәңгәл килерлек итеп ⅛ , k2, т , т2 коэффи¬
циентларын сайлап алыгыз.
• 10.20. Ике сызыкча функция у = kλx + τn1 һәм у — k2x + т2
бирелгән. Сызыкча функцияләрнең графиклары кисе¬
шерлек һәм ике функция дә:
а) үсә баручы; б) кимү баручы
булырлык итеп fe1, ⅛2, ml, т2 коэффициентларын сайлагыз.
• 10.21. Сызыкча у = 2х - 3 һәм у = Зх - 7 функцияләренең
графикларын төзеп, бирелгән тигезләмәне яки тигезсез¬
лекне чишегез:
а) 2х - 3 = Зх - 7; в) 2х - 3 < Зх - 7;
б) 2х - 3 > Зх - 7; г) 2х - 3 ≥ Зх - 7.
• 10.22. Сызыкча у = kx + т һәм у = ах + b функцияләренең
графиклары хОу координаталар яссылыгының өченче
координата почмагында ятучы ноктада кисешәләр.
Әгәр у = kx + т турысының икенче координата поч¬
магыннан узмавы һәм у = ах + b турысының коор¬
динаталар башы аша узуы билгеле булса, k, т, a, b
коэффициентларының тамгаларын билгеләгез.
60
• 10.23. Сызыкча у = kx + т һәм у = ах + Ъ функцияләренең
графиклары хОу координаталар яссылыгының икенче
координата почмагында ятучы ноктада кисешәләр. Әгәр
у = kx + т турысының өченче координата почмагы аша
узмавы һәм у = ах + b турысының беренче координата
почмагыннан узуы һәм абсциссалар күчәренә параллель
түгеллеге билгеле булса, k, т, a, b коэффициентларның
тамгаларын билгеләгез.
ӨЙ КОНТРОЛЬ ЭШЕ №2
1 нче вариант
1. А(4; 5) һәм С(-2; -1) нокталары — ABCD квадратының
капма-каршы түбәләре. Калган түбәләрнең координатала-
рын һәм ВС ягын урталай бүлүче ноктаның координатасын
табыгыз.
2. MN турысы (биредә М(2; 4) һәм N(5; -2)) координата күчәр¬
ләре кисеп үткән нокталарның координаталарын табыгыз.
3. Сызыкча у = 2х + т функциясенең графигы А(-1; 5) нок¬
тасы аша үтә, бу функцияне табыгыз.
4. у = -2х + 3 сызыкча функциясенең графигын төзегез һәм
аның ярдәмендә -2х + 3 ≥ 1 тигезләмәсен чишегез.
5. Сызыкча у = 1,2х - 5,7 функциясе графигының координата
күчәрләре белән кисешү нокталары координаталарын табыгыз.
6.
1 о
Сызыкча у = —х + 2— функциясе графигында абсциссасы һәм
2 4
ординатасы капма-каршы саннар булган ноктаны табыгыз.
7. Графигы координаталар башы һәм М(-2,5; 4) ноктасы
аша үткән сызыкча функциянең формуласын языгыз. Бу
графикның Зх - 2у - 16 = 0 турысы белән кисешү нокта¬
сын табыгыз.
8. Сызыкча у = -2х + 4 һәм у = Зх - 4 функциясе
графикларының кисешү ноктасын табыгыз.
9. Сызыкча у = kχx + Ь} һәм у = k2x + b2 функцияләренең
графиклары беренче координата почмагында кисешерлек,
функцияләрнең берсе — үсә баручы, икенчесе кимү баручы
булырлык итеп fe1, ⅛2, b1, b2 коэффициентларын сайлагыз.
61
2 нче вариант
1. В(-4; 2) һәм В(2; -4) нокталары — ABCD квадратының
капма-каршы түбәләре. Калган түбәләрнең координатала-
рын һәм AD ягын урталай бүлүче ноктаның координатасын
табыгыз.
2. FE турысы (биредә В(3; 4) һәм Е(-6; -5) координата күчәр¬
ләре кисеп үткән нокталарның координаталарын табыгыз.
3. Сызыкча у = kx - 3 функциясенең графигы М(2; -9) нок¬
тасы аша үтә, бу функцияне табыгыз.
4. у = 0,5х - 2 сызыкча функциясенең графигын төзегез һәм
аның ярдәмендә 0,5х - 2 < -3 тигезләмәсен чишегез.
5. Сызыкча у = -2,4х + 7,2 функциясе графигының коорди¬
ната күчәрләре белән кисешү нокталары координаталарын
табыгыз.
3 1
6. Сызыкча у = --x+3- функциясе графигында абсциссасы
һәм ординатасы бер үк саннар булган ноктаны табыгыз.
7. Графигы координаталар башы һәм М(3; -4,5) ноктасы
аша үткән сызыкча функциянең формуласын языгыз. Бу
графикның х — 2у + 4 = 0 турысы белән кисешү ноктасын
табыгыз.
8. Сызыкча у = 5x + 1 һәм у = -Зх + 4 функциясе график¬
ларының кисешү ноктасын табыгыз.
9. Сызыкча у = ⅛1x + b1 һәм у = k2x + b2 функцияләренең
графиклары икенче координата почмагында кисешерлек,
функцияләрнең икесе дә кими баручы булырлык итеп
fe1, ⅛,, bi, b,, коэффициентларын сайлагыз.
3
БҮЛЕК
ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА
ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАЛАРЫ
§11. ТӨП ТӨШЕНЧӘЛӘР
11.1. (1; 1) саннар пары ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмәнең
чишелеше була аламы:
а) 7х + Зу = 10; в) 6x + 8y = 1;
б) 6х - 2у = 4; г) 15х — 12у = 3?
11.2. Сызыкча Зх - 2у = 5 тигезләмәсенә берничә чишелеш сай¬
лап алыгыз.
11.3. Чишелеше күрсәтелгән саннар пары булырлык итеп ике
үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә төзегез:
а) (2; 5); б) (-3; 1); в) (-7; -2); г) (-4; 5).
11.4. х + у = 15 тигезләмәсен канәгатьләндерә торган барлык
натураль саннар парларын табыгыз.
11.5. (60; 30) саннар пары тигезләмәләр системасының чи¬
шелеше буламы:
(4x-7t∕ = 30, I3x + 5y = 33θ,
a |4х - 5у = 90; ∣6x-8y = 1107
11.6. Кайсы саннар пары
∣2x + 11у = 15,
110х - 11у = 9
тигезләмәләр системасының чишелеше була:
а) (3; -1); б) (-9; 3); в) (2; 1); г) (1; 2)?
11.7. Бирелгән саннар пары
14х - Зу = 7,
∣5x + 2<∕ = 26
тигезләмәләр системасының чишелеше буламы:
a) (1; 2); б) (-2; -5); в) (4; 3); г) (0; 1)?
63
11.8. (12; 15) саннар парының тигезләмәләр системасының
чишелеше булуын дәлилләгез:
1х + у = 27,
а) [2х - 4у = -36;
б)
2х - у = 9,
4у = 5х.
11.9. Ике үзгәрешлеле ике сызыкча тигезләмә х - у = 2 һәм
х + у = 8 бирелгән.
Шартны канәгатьләндерә торган саннар парын табыгыз:
а) беренче тигезләмәнең чишелеше була, әмма икен¬
чесенең чишелеше булмый;
б) икенче тигезләмәнең чишелеше була, әмма беренче¬
сенең чишелеше булмый;
в) ике тигезләмәнең дә чишелеше була;
г) ике тигезләмәнең дә чишелеше булмый.
Тигезләмәләр системасын график юл белән чишегез:
oll.lO. a) I
У = х,
у = Зх - 4;
в) j
У = 5х,
у = -2х + 7;
б) 1
У = -Зх,
у = 3 - 4х;
г)
• Г 1/5
1 и
II II
¾ ⅛
oil.11. а) ।
у = х -1,
х + Зу = 9;
в)
у = -2х,
х - 2у = 0;
б) 1
3x-2y = 12,
х + 2у = -4;
г)
х - Зу = 8,
2х - Зу = 10.
011.12. a)
2х + у = 1,
2х + у = 3;
в)
1 о
у = —х + 2,
y 3
х + Зу = 3;
б)
2 1
у = -х - 1,
5
4х - Юу = 10;
г)
х - Зу = 2,
2х - бу = 4.
011.13. a)
х + у = -5,
Зх - у = -7;
в)
(х - 2y = 1,
[у - х = 1;
б)
lx-2y = 7,
[Зх + 2у = 5;
г)
lx + y = -2,
\2х -у = -4.
64
oil.14. Системаның чишелеше бирелгән саннар пары булыр¬
лык итеп нинди дә булса ике үзгәрешлеле ике сызык¬
ча тигезләмә системасы төзегез:
а) (0; 6); б) (-3; -4); в) (-1; 2); г) (5; -7).
11.15. Тигезләмәләр системасын график юл белән чишегез:
I5x - 2y = 9, l-2x + Зу = 2,
а) |7х + 2у = 3; 6 ∣2x - 5у = -10.
11.16. Һәр бирелгән тигезләмәгә килеп чыккан системаның
бердәнбер чишелеше булырлык итеп икенче тигезләмә
сайлап языгыз:
а) Зх - 2у = 8; в) -Зх - 7у = 2;
б) -5x + 4y = 1; г) 5х + бу = 9.
11.17. Һәр бирелгән тигезләмәгә килеп чыккан системаның
чишелеше чиксез күп булырлык итеп икенче тигезләмә
сайлап языгыз:
а) 8х + у = 5; в) 7х + 8у = 4;
б) Зх - 2y = 1; г) х - у = 3.
11.18. Һәр бирелгән тигезләмәгә килеп чыккан системаның
чишелеше булмаслык итеп икенче тигезләмә сайлап
языгыз:
а) 7х - 5у = 3; в) 45x - 31ι∕ = 13;
б) 6х + 11у = 8; г) 54x - 23</ = 40.
11.19. ах + 8у = 20 тигезләмәсендә бу тигезләмәнең чише¬
леше бирелгән саннар пары булырлык итеп а коэф-
фициентынның кыйммәтен табыгыз:
а) (2; 1); б) (-3; -2).
(х + ау = 35,
• 11.20. а) Тигезләмәләр системасы бирелгән: ( +2 -27
(5; 6) саннар пары аның чишелеше булып тора.
а һәм Ь ның кыйммәтләрен табыгыз.
,4 m _ lax - Зу = 7,
б) Тигезләмәләр системасы бирелгән: _ gg
(10; 5) саннар пары аның чишелеше булып тора.
а һәм Ь ның кыйммәтләрен табыгыз.
• 11.21. График юл белән чишегез
lax + Зу = 11,
∣5x + 2y = 12-
Биредә бу системадагы беренче тигезләмәнең х = 5 һәм
у = -3 булганда дөрес тигезлеккә әйләнүе билгеле.
65
§12. АЛЫШТЫРЫП КУЮ юлы
012.1. Тигезләмәләр системасын чишегез:
[у = 9x + 5, \у = -8х - 15,
’ [у = —6х - 25; ’ \у = 5х + 24;
у = 13х - 7, \у - -Их + 9,
б) у = 23х - 6; Г) \у = -21х + 11.
Тигезләмәләр системасын
чишегез:
алыштырып кую юлы белән
012.2. а) |
У = 1 - 7х,
4х - у = 32;
в) ι
у = х + 1,
5х + 2у = 16;
«1
х = у + 2,
Зх - 2у = 9;
г) |
х = 2у - 3,
Зх + 2у = 7.
012.3. а)
х = 4у,
х + 5у = 99;
в) ]
\У = 6х,
∣4x + y = 150;
б) j
\у = -4х,
[х - у = 10;
г) '
|х = -5у,
[х - 4у = -18.
012.4. а)
|х = Юу,
∣2x + Зу = 46;
в)
lx = -0,5у,
|-6х - 2у = 9;
б)
fy = -2,5x,
∣5x + 4у = 75;
г)
ly = 1,5х,
|2у + 5х = 64.
Бирелгән тигезләмәдә бер үзгәрешлене икенчесе аша
күрсәтегез:
012.5. а) 2х + у = 4;
б) х + бу = 9;
в) 3α + Ь = 12;
г) с + 8d = 15.
012.6. а) 6х - у = 18;
в) 18m -а = 3;
б) -a - 5Ь = 20;
г) —р - 9у = 4.
012.7. a) 3s - 2t = 8;
в) 9г - 13s = 17;
б) 12 + 4у = 11;
г) 5u + 7υ = 21.
66
Тигезләмәләр системасын алыштырып кую юлы белән
чишегез:
012.8. а)
б)
15х - Зу = 14,
[2х + у = 10;
[χ + 5у = 35,
[Зх + 2у = 27;
(7x-2y = 15,
в) [2х + у = 9;
[ х + Зу = 2,
г) [2х + Зу = 7.
[2х - у = 2,
012.9. a) ∣3χ _ 2y = з;
|5у - х = 6,
6) [Зх - 4у = 4;
[Зх + 4у = 55,
в) [7x-y = 56;
∫4y - х = 11,
г) [бу - 2х = 13.
Турыларның кисешү нокталары координаталарын та¬
быгыз:
ol2.10. а) у = 10х + 30 һәм у = -12х + 272;
б) у = -18х + 25 һәм у = 15х + 14;
в) у = 15х - 21 һәм у = 7х - 77;
г) у = -7х - 19 һәм у = 14x - 1.
012.11. а) у — 5х һәм 4х + у = 180;
б) х - 2у = 5 һәм 2х + у = 9;
в) у = -1,4х һәм х - у = 18;
г) х - Юу = 1 һәм 2х + Зу = 48.
Математик моделен төзү өчен ике үзгәрешле кулланып
мәсьәләне чишегез:
012.12. Җиденче сыйныфта кызлар малайларга караганда 1,3 тап¬
кыр күбрәк. Әгәр кызлар саны малайлардан 12 кешегә
артык булса, җиденче сыйныфта барысы ничә укучы?
012.13. Ике санның суммасы 77 гә тигез. Әгәр бер санның - се
4 3
икенчесенең — ен тәшкил итсә, бу саннарны табыгыз.
12.14. Тигезләмәләр системасын чишегез:
14х -Зу = 12,
a [Зх + 4у = 34;
f-5x + 2y = 20,
[2х - 5у = -8;
∫2x - Зу = 12,
[Зх + 2у = 5;
∣5x-4y = 5,
, [2х - Зу = 9.
67
12.15.
12.16.
12.17.
12.18.
12.19.
Тигезләмәләр системасын чишегез:
а)
X X
1 1
ω сл
«с чг
II II
м .h~1
в)
4х - Зу = 7,
5х + 2у = 26;
Зх + 4у = 0,
Зх - Зу = 0,
б)
2x + Зу = 1;
г)
Зу - 5x = -1.
а)
4х - 7у = 33,
2х + Зу = 25;
в)
5х - 2у = 48,
2х + Зу = 23;
6)
5у - 6х = 2,
8x - Зу = 1;
г)
4х - Зу = -1,
Юх -4y = 1.
6х + Зу = 1,
4х - Зу = -2,
а)
2х - Зу = 33;
в)
Зх + 2у = -13;
5x + Gy = 4,
Зх - 7у = 1,
б)
Зх + Зу - 1;
г)
2х + Зу = 16.
4(х - у) = -2,
3(х + у) = 6,
а)
Зх - 7 у = -2,5 - 2(x + у}-,
в)
6 + 5(х - у) = 8х - 2у;
2(х + у) = 8,
5(х - у) = 10,
б)
14 - 3(х - у) = 5у - х;
г)
Зх - 7у = 20 - (х + Зу).
2 - Зх = 2(1- у),
∖2x-3(2y + l) = 15,
а)
4(х + у) = х - 1,5;
в)
[3(x + 1) + Зу = 2у - 2;
6х + 3 = 8х - 3(2г/ - 4),
∖ J
4у + 20 = 2(3x - 4z∕) - 4,
б)
2(2х - Зу) - 4х = 2у - 8;
г) ]
16 - (5x + 2у) = Зх - 2у.
12.20.
a)
б)
x и o
- + - = 3,
2 3
X + y = 1.
3 2 3’
в)
£ _ У = _4
3 2
х у n
— + - = -2;
2 4
XU-
- + - = 5,
3 2
5x-llz∕ = 1;
г)
4x + 7y = 1,
£ + У = _1
5 6 2'
68
12.21. a)
6y - 5x - 1 = О,
Ξ≤ + E±l = 10j
3 2
Зх + 2y + х-Зу =
5 6
2х + 7 у + 43 = О;
б)
х + 2у Зх - у
5 3
2х - Зу = -1;
7х - Юу = 5,
4x + 1 5x - Зу _ q
— о
3 4
12.22. Тигезләмәләр системасын чишегез:
5x - 3 + 9y _ 2x + Зу - 2
~~3 2~
х - Зу _ 2х - Зу ι
2 3 ’
2х - у + 2х + у _ 3
6 9
х + У _ X- У _ 4.
3 4
х + 3 - 5у _ Зх - 4у + 3
^2 3
6 + Зх - у _ 12х - у.
-3 4 ’
х + У+х-у=5
8 * 6
χ + y х-у -.л
4 5
Математик моделен төзү өчен ике үзгәрешле кулланып
мәсьәләне чишегез:
12.23. Беренче сан икенчесенең 25% ын тәшкил итә. Аларның
суммасы 52,5 булса, бу ике санны табыгыз.
12.24. Беренче сан икенчесенең 87% ына тигез. Әгәр икенче сан
беренчесеннән 3,9 га зуррак булса, бу саннарны табыгыз.
12.25. Беренче сан икенчесенең 124% ына тигез. Аларның сум¬
масы 112 булса, бу ике санны табыгыз.
69
12.26. Ике үзгәрешлеле ике сызыкча тигезләмәнең графикла¬
ры кисешкән ноктаның абсциссасын табыгыз:
а) 4х - Зу = 12 һәм Зх + 4у = -24;
б) 5х + 2у = 20 һәм 2х - 5у = 10;
в) 2х - Зу = 12 һәм Зх + 2у = 6;
г) 5х - Зу = 5 һәм 2х + 7у = 4.
12.27. Бирелгән нокталар аша үтә торган турының тигезләмәсен
төзегез:
а) А(5; 0); В(0; 2); в) Е(7; 0); В(0; -1);
б) С(-6; 0); В(0; 4); г) L(-2; 0); К(0; -4).
12.28. Сызыкча функциянең рәсемдә сурәтләнгән графигы
буенча аналитик моделен төзегез:
а) 25 рәс; б) 26 рәс; в) 27 рәс; г) 28 рәс.
12.29. Координаталар башы һәм у = 9х - 28, у = 13х + 12
турыларының кисешү ноктасы аша үтүче турының
тигезләмәсен төзегез.
§ 13. АЛГЕБРАИК КУШУ ЮЛЫ
Тигезләмәләр системасын алгебраик кушу юлы белән
чишегез:
013.1. а)
б)
[х - у = 5,
[х + у = 7;
[ х + у = 9,
[-х + у ≈ -3;
в)
12х + у = 11,
∣3x - у = 9;
х - Зу = 4,
-х + у = -8.
70
ol3.2. a)
б)
ol3.3. a)
б)
ol3.4. a)
б)
ol3.5. a]
б
013.6. a
(
ol3.7.
ol3.8.
2x + ll<∕ = 15,
Юх - Uy = 9;
∣9y + 13x = 35,
∖29y - 13x = 3;
lx + у = 7,
∣x - Зу = -5;
I4x - у = 3,
jx - у = 6;
4х - 7у = 30,
4х - 5у = 90;
[—5х + 7у = 6,
∣2x + 7у = 76;
(х - Зу - 5,
[Зх + 2у = 4;
∫3x + У = 1’
|2х - 5у = -22;
|х + у = 4,
∣4x-5y = 7;
lx-y = 6,
э) |5х - 2у = -3;
|40х + Зу = -10,
а) |20х-7у = -5;
∫5x + 2y = 1,
б) (15х + 3у = 3;
13х + 7 у = 46,
а) | 4х - Зу = 12;
1-Зх + 4у = 24,
∣5x + Зу = -40;
lx - бу = 17,
в) |5х + бу = 13;
19х - 7у = 19,
г) |-9х - 4у = 25.
в)
г)
у - х = 9,
7 у - х = -3;
5х + у = 6,
⅛χ + у = -Ю.
I3x-6y = 12,
В) ∣3x + 5y = 100;
1-Зх + 5у = -11,
Г) ∣8x + 5у = 11.
в)
2х - Зу = 9,
х + 2у = 1;
15х + у = 24,
г) |7х + 4у = 18.
|х - у = -3,
в) ∣2x + 7y = 3;
19х + 4у = -2,
Г) х + у = -8.
I3x + 8y = 13,
в) |5х - 16у = 7;
llθx + 15y = -45,
г) ∣2x-3y = 33.
15х + Зу = 20,
В) ∖2x-4y = 21;
|-5х + Зу = —15,
г) ∣2x + 7y = 47.
71
ol3.9. a)
б)
∫4x + 5г/ = 1,
∣5x + Ту = 5;
∣3x - 5y = 25,
∣4x - 3y = 37;
7х + 5г/ = -5,
5x + Зу = 1;
4х - Зг/ = 12,
Зх - 4г/ = 30.
Тигезләмәләр системасын чишегез:
13.10. а)
∫4x + 15г/ = -42,
|-6х + 25г/ = -32;
в)
∫12x - 35г/ = 25,
|-8х - 15г/ = -55;
б)
|9х + 8г/ = -53,
15х + 12г/ = -27;
г)
[25х-24г/ = -21,
Юх - 9г/ = 3.
13.11. а)
-х - -г/ = 1,
2 3y
6х - 5у = 3;
в)
√ ь--
II II
7h a>
гч| co Оф
1 1
X X
-ч| ∙⅛< τf | ю
б)
,-l do¬
ll II
~si ⅛
гЧ | Ю (М
+ 1
н н
гч ∣ co co | ю
г) •
1 1
7x + ТУ = -1»
5 4
2х - Зу = -54.
У + 1 1
Зх + 10 1
13.12. а)
Зх - 4 2’
_5х + г/ _
б)
У + 1 12’
5х + у 4
Зх + 11
9х + 2у 5 '
Бирелгән нокталар аша үтүче турының тигезләмәсен
төзегез:
• 13.13. а) А(2; 3); В(-1; 4); в) М(-3; -1); N(2; 5);
б) С(-6; 7); D(4; 3); г) Р(6; 2); Q(-l; -3).
• 13.14. Сызыкча функциянең рәсемдә сурәтләнгән графигы
буенча аналитик моделен төзегез:
а) 29 рәс; б) 30 рәс; в) 31 рәс; г) 32 рәс.
• 13.15. Сызыкча функцияләр системасының рәсемдә бирелгән
геометрик иллюстрациясе буенча аналитик моделен
төзегез:
а) 33 рәс; б) 34 рәс; в) 35 рәс; г) 36 рәс.
72
73
• 13.16. р ның кыйммәте нинди булганда,
а) у = рх; б) у = рх + 1
функциянең графигы 6х - у = 13 һәм 5х + у = 20 ту¬
рылары кисешкән нокта аша үтәр?
•13.17. а һәм b нинди кыйммәтләр алганда, бирелгән тигезләмәләр
системасының чишелеше булып:
[ ах + by = 36,
а) I
[ ах - by = 8 (2; -1) саннар пары тора;
lax + by = 2α,
б)
[ax - by = 16 (-1; 2) саннар пары тора;
ах + by = 4,
В) ах - by = -24 (1; —2) саннар пары тора;
ах + by = 18,
Г) ах - by = а + 2 (-2; 1) саннар пары тора?
13.18. а һәм b нинди кыйммәтләр алганда, бирелгән тигезләмәләр
системасының чишелеше булып:
(a - 10)x + by = 2b,
a) ах - (b + 4)y = 2a - 20 (1; 1) саннар пары тора;
(a + l)x - by = 2b,
6) ах + (b + 1)у = 5а (“4; -6) саннар пары тора?
74
§ 14. РЕАЛЬ СИТУАЦИЯЛӘРНЕҢ
МАТЕМАТИК МОДЕЛЬЛӘРЕ БУЛАРАК,
ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА
ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАСЫ
014.1. Ике пунктның арасы елга юлы буйлап 80 км. Бу ара¬
ны көймә агым уңаена 4 сәг тә, ә агымга каршы 5 сәг
тә үтә. Көймәнең үз тизлеген һәм елганың агым тиз¬
леген табыгыз.
014.2. Ике җәяүле аралары 38 км булган М һәм N пунктла¬
рыннан бер үк вакытта каршы чыгалар. Алар ара¬
сындагы ераклык 4 сәг тән соң 2 км кала, ә тагын
3 сәг тән соң, беренче җәяүледән N пунктына кадәрге
ара икенчесеннән М га кадәрге арадан 7 км га кимрәк
кала. Җәяүлеләрнең тизлеген табыгыз.
ol4.3. Аралары 30 км булган А һәм В пунктларыннан бер үк
вакытта бер-берсенә каршы ике җәяүле чыга һәм 3 сәг
20 мин тан соң очрашалар. Әгәр беренчесе икенчесеннән
2 сәг кә алдарак чыкса, очрашу икенчесе юлга чыгып
2,5 сәг үткәч булыр иде. Җәяүлеләрнең тизлекләрен
табыгыз.
014.4. Катер 4 сәг эчендә агым уңаена агымга каршы 6 сәг
барганнан 10 км га азрак юл үтә. Әгәр сал бу елгада
15 сәг үткән араны катер күлдә 2 сәг тә үтсә, катерның
үз тизлеген табыгыз.
014.5. Теплоход 5 сәг эчендә агымга каршы 120 км һәм агым
уңаена 6 сәг тә 180 км юл уза. Елганың агым тизле¬
ген һәм теплоходның үз тизлеген табыгыз.
014.6. Елга агымы уңаена көймә 3 сәг 20 мин та 30 км, ә
агымга каршы 4 сәг тә 28 км юл үтә. Көймә 1,5 сәг
тә күл буйлап нинди араны узар?
014.7. Ике санның өчләтелгән аермасы аларның суммасыннан
6 га зуррак, ә аларның икеләтелгән аермасы аларның
суммасыннан 9 га зуррак икәне билгеле булса, бу сан¬
нарны табыгыз.
014.8.
Әгәр вакланманың санаучысын 2 гә тапкырласак, вак¬
лаучысыннан 2 не алсак, 2 кала. Әгәр санаучыдан 4 не
1
алып, ваклаучыны 4 кә тапкырласак, — килеп чыга.
Бу вакланманы табыгыз.
75
ol4.9. Әгәр вакланманың санаучысына да, ваклаучысына да
берәрне кушсак, - килеп чыга, ә инде икесеннән дә
берәрне алсак, — табыла. Бу вакланманы табыгыз.
О
ol4.10. Ике тракторчы бергәләп 678 га җир сөргәннәр. Берен¬
че тракторчы 8 көн, ә икенчесе 11 көн эшләгән. Әгәр
беренче тракторчы Һәр 3 көндә икенчесе һәр 4 көндә
эшләгәннән 22 гектарга азрак сөргән булса, һәр трак¬
торчы ничә га җир сөргән?
ol4.ll. Ике бригада бәрәңге алуда эшләгән. Беренче көнне бе¬
ренче бригада 2 сәг, ә икенчесе 3 сәг эшләп, 23 ц бәрәңге
чүпләгәннәр. Икенче көнне беренче бригада 3 сәгатьтә
икенчесе 2 сәгатьтә җыйганнан 2 центнерга артыграк
бәрәңге җыйган. Һәр бригада 1 сәгатьтә ничә центнер
бәрәңге җыйган?
014.12. Йөк күтәрүчәнлеге төрле булган ике машинада ашлык
ташыганнар. Беренче көнне бер машина 4 рейс, икенче¬
се 3 рейс ясап, 27 т ашлык чыгаралар. Икенче көнне
икенче машина 4 рейска беренчесе 3 рейска ташыган¬
нан 11 тоннага артыграк ашлык ташыган. Һәр маши¬
на бер рейска ничә тонна ашлык ташыган?
014.13. Карьердан руда ташу өчен биш һәм өч тонналы үз¬
бушаткычлар җибәрелгән. 1 рейска биш тонналы үз¬
бушаткычлар өч тонналылардан 18 тоннага артыграк
руда ташый. Эш көне эчендә биш тонналылар 4 рейс,
ә өч тонналылар 6 рейс ясый, һәм барысы бергә 192
тонна руда ташыйлар. Һәр төр үзбушаткычлар ничәшәр
булган?
014.14. Базардан 84 кг слива һәм чия сатып алалар, сливалар
чиядән 3 ящикка азрак алына. Әгәр бер ящикта сли¬
ва 8 кг, ә чия 10 кг булса, ничәшәр ящик слива һәм
чия сатып алганнар?
014.15. Ике эшче 162 деталь әзерли. Беренчесе 8 көн, икенче¬
се 15 көн эшли. Әгәр беренче эшче 5 көндә икенчесе
7 көндә әзерләгәннән 3 детальгә артыграк эшләсә, һәр
эшче ничәшәр деталь эшләгән?
76
014.16. Ике шүрлектә 110 китап бар. Әгәр икенче шүрлектән
китапларның яртысын беренчесенә күчерсәләр, берен¬
че шүрлектә икенчесендә калганнан 4 тапкыр артыграк
китап була. Һәр шүрлектә ничә китап бар?
014.17. Укучылар өчен футбол һәм волейбол туплары сатып
алалар, волейбол туплары футболныкыннан 5 тапкыр
күбрәк алына. Икенче елда яңа туплар алына, нәтиҗәдә
футбол туплары элек булганнан 6 тапкыр, ә волейбол
туплары 4 тапкыр артып китә, ә барысы 52 туп була.
Беренче елда ничә туп алганнар?
014.18. Икеурынлы санның цифрлары суммасы 14 кә тигез.
Әгәр цифрларның урыннарын алыштырсалар, килеп
чыккан икеурынлы сан баштагысыннан 18 гә кечерәк
була. Башта нинди сан булган?
014.19. Бер сан икенчесеннән 140 ка зуррак; зуррак санның
60% ы кечерәгенең 70% ыннан 64 кә зуррак. Бу сан¬
нарны табыгыз.
ol4.20. а санының 30 % ы b санының 25% ыннан 20 гә зур¬
рак, ә b санының 30% ы а санының 20% ыннан 8 гә
зуррак, а һәм b саннарын табыгыз.
014.21. Ике санның арифметик уртасы 32,5 кә тигез. Әгәр
берсенең 30% ы икенчесенең 25% ыннан 0,25 кә зур¬
рак булса, бу саннарны табыгыз.
014.22. Ике санның ярымаермасы 14,9 га тигез. Әгәр беренче
санның 24% ы икенчесеннән 0,6 га кечерәк булса, бу
саннарны табыгыз.
ol4.23. А шәһәреннән В шәһәренә кадәр диңгез юлы шоссе
юлыннан 60 км га кыскарак. Теплоход А дан В га кадәр
юлны 5 сәгатьтә, автомобиль 3 сәгатьтә үтә. Теплоходның
тизлеге автомобиль тизлегенең 40% ын тәшкил итсә,
теплоходның һәм автомобильнең тизлекләрен табыгыз.
014.24. Туристлар башта теплоходта 2 сәг, аннан соңгы пунктка
кадәр 5 сәг җәяү баралар. Алар җәяү барганга караган¬
да өч тапкыр артыграк араны теплоходта үтә. Теплоход
тизлегенең туристлар тизлегеннән 26 км/сәг кә зуррак
икәне билгеле булса, туристларның һәм теплоходның
тизлекләрен табыгыз. Барлык юлны җәяү үтү өчен ту¬
ристларга күпме вакыт кирәк булыр иде?
77
14.25. Таулы урында велосипедта спортчы башта таудан төшәргә,
аннан менәргә, ә аннан соң соң кире юнәлештә хәрәкәт
итәргә тиеш була. Велосипедчы барганда — таудан
түбәнгә 20 мин, тауга менүгә 45 мин, кайтканда — тау¬
дан төшүгә 25 мин, тауга менүгә 35 минут вакыт са¬
рыф итә. Әгәр бер юнәлештәге юлның озынлыгы 17 км
булса, велосипедчының тауга менү һәм төшү тизлекләре
нинди?
14.26. Туристлар базасыннан диңгезгә кадәр юл башта тауга
күтәрелә, аннан түбәнгә төшә. Базадан диңгезгә барган¬
да — туристлар тауга менүгә 45 мин, төшүгә 40 мин,
кайтканда — тауга менүгә 1 сәг 15 мин, төшүгә 24 мин
вакыт сарыф итәләр. Әгәр бер якка юлның озынлыгы
6,4 км булса, юлның һәр участогы нинди озынлыкта
булган?
14.27. Озынлыгы 100 см булган әйләнә буйлап ике нокта ти¬
гез хәрәкәт итә. Алар капма-каршы юнәлештә хәрәкәт
итеп, һәр 4 с саен, һәм бер үк юнәлештә хәрәкәт итеп,
һәр 20 с саен очрашалар. Бу нокталарның тизлекләрен
табыгыз.
14.28. Буратино акча тартмасына биш һәм ике сумлык вак ак¬
чалар белән 59 сум акча сала. Күпмедер вакыт дәвамында
ул шундый ук акчалар салуын дәвам итә. Акча тартмасын
ачып, ул элек салганга караганда биш сумлыкларның
2 тапкыр, ә ике сумлыкларның 3 тапкыр артканын
күрә, шул ук вакытта биш сумлы акчалар ике сумлы-
лардан 2 сумга ким булып чыга. Башта тартмада һәр
төрле ничә акча булган?
14.29. Кибеткә физика һәм математика дәреслекләре китерелә.
Математика дәреслекләренең 50 % ын һәм физика дә-
реслекләренең 20 % ын сатканнан соң, ә алар барысы
390 китап булып чыга, математика дәреслекләре фи¬
зика дәреслекләреннән 3 тапкыр артык кала. Кибеткә
ничә математика һәм физика дәреслеге китерелгән?
14.30. Ике санның арифметик уртасы 185 кә тигез. Бер сан¬
ны икенчесенә бүлгәннән соң, өлештә 2 һәм калдыкта
40 саннары килеп чыга. Бу саннарны табыгыз.
78
14.31. Икеурынлы санның цифрлары суммасы 11 гә тигез. Бу
санны аның цифрлары аермасына бүлгәч, өлештә 24
һәм калдыкта 2 саннары килеп чыга. Бирелгән санны
табыгыз.
• 14.32. Икеурынлы санны аның цифрлары суммасына бүлгәч,
өлештә 6 һәм калдыкта 3 саннары килеп чыга. Ә инде
аны 2 гә арткан цифрлар суммасына бүлгәч, өлештә
5 һәм калдыкта 5 чыга. Бирелгән санны табыгыз.
• 14.33. Ике фрезерчы, берсе 5 көн, ә икенчесе 8 көн эшләп,
280 деталь әзерлиләр. Аннан соң, яңа фреза (борау) кул¬
лану аркасында беренчесе хезмәт җитештерүчәнлеген
62,5 %ка, ә икенчесе 50% ка күтәрә, һәм инде 4 көн
бергә эшләп, алар 276 деталь әзерлиләр. Әгәр алар
элеккечә, берсе 5 көн, ә икенчесе 8 көн эшләсә, бары¬
сы ничә деталь әзерләрләр иде?
• 14.34. Ике сорт металл эретмәсенең берсендә 5%, икенчесендә
10 % никель бар. Аларны бергә кушып эретеп, 8% никеле
булган эретмә алалар. Әгәр икенче эретмә беренчесеннән
4 т га артыграк алынса, һәртөрле эретмәне ничәшәр тон¬
на кушып эретәләр?
• 14.35. Составында 5% һәм 40 % никеле булган ике сорт ко¬
рыч ватыклары бар. Кушып эреткәч 30 % никеле бул¬
ган 140 т корыч алу өчен, һәр сорт корычны күпмешәр
тонна алырга кирәк?
• 14.36. Бер килограммы 30 сумнан күпмедер алма һәм ки¬
лограммы 38 сумнан күпмедер груша сатып алалар.
Алынган җимешләр бөтен саннар (кг) белән исәпләнә.
Барысы бергә 400 сум түләсәләр, барлыгы күпме җимеш
сатып алынган?
• 14.37. Аралары 580 км булган ике пункттан бер-берсенә
каршы ике поезд чыга. Очрашуга кадәр беренче поезд
юлда 4 сәг, икенчесе 3 сәг була, икесе дә даими тиз¬
лек белән тукталышсыз хәрәкәт итәләр. Поездларның
тизлекләре бөтен саннарда исәпләнсә, 10 га тапкырлы
һәм 50 км/сәг тән зуррак булса, аларны табыгыз.
• 14.38. Нинди икеурынлы сан түбәндәге үзлеккә ия: әгәр аның
цифрлары арасына 0 цифрын урнаштырсалар, бу сан
6 тапкыр арта?
79
ӨЙ КОНТРОЛЬ ЭШЕ №3
1 нче вариант
1. Сызыкча 4х - 2у = 3 тигезләмәсенә х һәм у үзгәрешлеләре
төрле тамгалы булган өч чишелеш сайлап алыгыз.
2. Тигезләмәләр системасын график юл белән чишегез:
х + Зу = 4,
2х - у = 1.
3. 2 - 4х + 5у = 0 тигезләмәсендә һәр үзгәрешлене икенчесе
аша күрсәтегез.
4. Тигезләмәләр системасын алыштырып кую юлы белән чишегез:
х — 3</ = 4,
2х + у - 15.
5. (-1; -2) саннар пары бирелгән тигезләмәнең чишелеше икәне
билгеле булса, а һәм b коэффициентларын табыгыз:
5x + ау = -1,
Ьх - 4 у = 5?
6. Тигезләмәләр системасын алгебраик кушу юлы белән чишегез:
0,2x + 0,3y = 1,2,
0,5х - 0,6г/ = 0,3.
7. А(-2; 3) Һәм В(2; 6) нокталары аша үтүче турының тигез¬
ләмәсен төзегез.
8. Тигезләмәләр системасын чишегез:
Зх - 2 = _£
4у + 3 15’
5х ~ У = 1
Зу - 2
9. Ике сорт корыч ватыгының берсендә 10%, икенчесендә 30%
никель бар. Кушып эреткәннән соң 25 % никельле 200 т
корыч алу өчен, һәр сорт корычны ничәшәр тонна алырга
кирәк?
80
2 нче вариант
1. Сызыкча Зх + 4у = 2 тигезләмәсенә х һәм у үзгәрешлеләре
төрле тамгалы булган өч чишелеш сайлап алыгыз.
2. Тигезләмәләр системасын график юл белән чишегез:
Зх + у = 2,
х - 2у = 3.
3. Зх + 2у - 5 = 0 тигезләмәсендә һәр үзгәрешлене икенчесе
аша күрсәтегез.
4. Тигезләмәләр системасын алыштырып кую юлы белән чишегез:
Зх + у = 1,
х + 2у = 7.
5. (2; 1) саннар пары бирелгән тигезләмәнең чишелеше икәне
билгеле булса, а һәм Ъ коэффициентларын табыгыз:
ах - 4у = 2,
2x + by = 9.
6. Тигезләмәләр системасын алгебраик кушу юлы белән чишегез:
0,3x + 0,5у = 2,6,
0,lx - 0,2ι∕ = -0,6.
7. М(1; 5) һәм N(-2; 11) нокталары аша үтүче турының тигез¬
ләмәсен төзегез.
8. Тигезләмәләр системасын чишегез:
4х - 5
5х + 2у
3 - 2x = 1.
1 + 4у 5
9. В саны А санының 24% ын тәшкил итә һәм А санының
16 % ын тәшкил итүче С саныннан 7 гә зуррак. В санын
табыгыз.
81
БҮЛЕК
НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ
ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ
§15. НӘРСӘ УЛ НАТУРАЛЬ
КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ
Тапкырчыгышны дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез, дәрәҗә¬
нең нигезен һәм күрсәткечен атагыз:
15.1. а) 3 • 3 • 3 •
б) 7 • 7 • 7 •
3;
7-7-7;
в) 0,5 • 0,5;
г) 8,4 • 8,4 • 8,4 • 8,4 ■ 8,4.
15.2. а) х • х • х •
х ■ х • х • X
■ х; в) z ∙ z ∙ z ∙ z • г ∙ z;
б) у • у ■ у •
у ■ У,
г) q ∙ q ■ q∙
15.3. а) (-4) • (-4)
• (-4) • (-4) •
(-4);
c, ( 2} ( 2) f 2W 2^
б) lw≡hf
в) (-2,5) ∙ (-2,5) ∙ (-2,5);
15.4. a) (-c) ∙ (-c) ∙ (-c) • (-с);
б) (-d) ■ (-d) ■ (-d)∙,
в) (-r) ∙ (-r) • (-r) ∙ (-r) • (-г);
Г) (-s) ∙ (-s) • (-8) ∙ (-s) • (-8) • (-8).
15.5. a) (αb) ∙ (afe) ∙ (ab) ■ (ab);
б) (~pq) ■ (~pq) ■ (-pq);
в) (тп) • (тп) ■ (тп) ■ (тп) ■ (тп);
г) (-χy) ■ (-χy) ■ (-χy) ■ (-χy) ■ (-χy) ∙ (-χy).
15.6. а) (с - d) • (с - d) • (с - d);
б) (z + t) ■ (2 + t);
в) (р - q) • (р - у) • (р - q) ■ (р - q)',
г) (х + у) ■ (х + у) • (х + у) • (х + у) • (х + у) ■ (х + у).
82
Аңлатманы дәрәҗәләр тапкырчыгышы рәвешендә күр¬
сәтегез, һәр дәрәҗәнең нигезен һәм күрсәткечен атагыз:
15.7. а) 13 • 13 • 13 • 13 • 13 • 5 • 5 • 5;
б)
в) (-0,45) • (-0,45) • 7 • 7 • 7;
г) 1.1.1-0,1 0,1.
9 9 9
15.8. а) 5 • 7 • 5 • 7 • 5 • 7;
б) (-0,3) | -(-0,3)
Ә ә
в) 7,95 • 13 • 13 • 7,95 • 13;
r)f-2∣l∙ 17,8-17,8 ∙f-2∣Yf-2∣l
∖θ∕ ∖ θ J \ θ √
Бер үк тапкырлаучылар тапкырчыгышы
рәвешендә
языгыз:
15.9. а) х8; б) (-2а)4;
15.10. a) (4рд)2;
Исәпләгез:
15.11. a) 2n, п = 1, 4, 5;
Z X П
б) -1 , п = 2, 3, 6;
Ч 2)
в) (-у)12; г) (ЗЬ)6.
( 5rλs
в) (z - х)3; г) — .
∖6αJ
b)(1L п = 2, 3, 5;
Чз)
г) (-5)", п = 1, 2, 3.
15.12. a) α3, а = -2, 0, 3;
б) b∖ b = -3, 1, 1;
О
15.13. Бирелгән санны ниндидер
в) с5, с = -1, 0,2, 10;
г) d6, d = -1, -1, 3.
санның квадраты рәвешендә
күрсәтегез:
4 25
а) 16; б) в) 0,81; г) —.
15.14 . Бирелгән санны ниндидер санның кубы рәвешендә күр¬
сәтегез:
а) 125; б) ⅛ в) -0,216; г) -|1|.
64 512
15.15 . Дәрәҗәнең кыйммәтен исәпләгез:
а) нигез 3 кә тигез, күрсәткеч 5 кә тигез;
б) нигез -0,5 кә тигез, күрсәткеч 4 кә тигез;
\ 3 o
в) нигез —— кә тигез, күрсәткеч 3 кә тигез;
г) нигез 1 гә тигез, күрсәткеч 2 гә тигез.
83
15.16 . Математика телендә языгыз:
а) ягы а га тигез булган квадратның мәйданы S нәрсәгә
тигез;
б) кабыргасы а га тигез булган кубның күләме V нәрсәгә
тигез.
15.17 . а) Ягы озынлыгы бирелгән квадратның мәйданын исәп¬
ләгез:
3 см, 7 дм, 1,5 см, дм.
4
б) Кабырга озынлыгы бирелгән кубның күләмен исәпләгез:
з
10 м, 4 м, 0,6 м, — м.
7
15.18. а) Мәйданы бирелгән квадратның ягын исәпләгез:
16 см2, 0,25 дм2, 100 мм2, — м2.
’9
б) Күләме бирелгән кубның кабыргасын исәпләгез:
27 мм3, 0,125 см3, 64 дм3, —м3.
015.19. а) Кубның кырының мәйданы 25 см2. Кубның күләмен
табыгыз.
б) Кубның күләме 27 м3. Аның кыры мәйданын табыгыз.
Исәпләгез:
015.20. а) 3 ∙ (-4)2; б) (-2)5 - 3; в) 8l ∙ 71; г) (-0,5)2 ∙ (-2)2.
015.21. а) [-1 1-; б) 34∙f--l ; в) 1: f-i'∣ ; r)f∣l∙l^∙
3 I з; I 3) {5J 3
015.22. а) θ¾ б) ⅛ в) * ; r) -¾.
40 (0,3)2 ’ (-0,l)3 ’ (0,4)2
( ιλ2 ( lλ3 ( 2V ( 1 λ2
015.23. а) 2^ ; б) -3- ; в) -1- ; г) 5- .
5; V Л) \ 3) V 47
Тапкырчыгышны дәрәҗә рәвешендә языгыз, һәр дәрә¬
җәнең нигезен һәм күрсәткечен атагыз:
15.24. a) 6-6...6:
т тапкырлаучы
б) (-7)∙(-7) ... (-7);
п тапкырлаучы
в) а а ... а;
k тапкырлаучы
г) Ь Ь ... Ь.
т тапкьфлаучы
84
15.25. a) (xy)(xy) ... (xy);
п тапкырлаучы
б) (-cd)∙(-cd) ... (-cd);
т тапкырлаучы
в) (т - п) ∙ (т - n)... (т - п);
k тапкырлаучы
г) (t + υ)∙(t + и) ... (t + υ).
п тапкырлаучы
15.26. Аңлатманы гадиләштерегез:
а) с с ... с ■ d d ... d;
k тапкырлаучы п тапкырлаучы
б) (-α)-(-а) ... (-а) ∙ b b ... ft;
п тапкырлаучы k тапкырлаучы
в) (α - ft) ∙ (α - ft)... (а - ft) ■ (х - z);
т тапкырлаучы
Г) (Р - <?) ■ (р - q)∙ (X - у) ••• (х - p)∙
т тапкырлаучы
15.27. а) Математика телендә языгыз: әгәр кубның кабыргасы
а булса, аның тулы өслеге мәйданы S нәрсәгә тигез?
б) Кабыргасы 7 см га тигез булган кубның тулы өслеге
мәйданын исәпләгез.
15.28. а) Кубның өслек мәйданы 384 дм2. Кубның кабырга¬
сын һәм күләмен исәпләгез.
б) Кубның күләме 125 см3. Кубның кабыргасын һәм
өслек мәйданын исәпләгез.
15.29. Квадрат рәвешле бүлмәнең биеклеге 3 м, идән мәйданы
9 м2, тәрәзә мәйданы 1,5 м2, ишек мәйданы 1,8 м2. Әгәр
бер төргәк обой 7,2 м2 мәйданны ябыштырырга җитсә,
бу бүлмәне обойлау өчен ничә төргәк обой кирәк?
15.30. Квадрат рәвешле бүлмәнең һәр стена озынлыгы 4 м
булса һәм 1 м2 мәйданны буяу өчен 200 г буяу тотыл¬
са, бу бүлмәнең идәнен буяу өчен ничә кг буяу кирәк?
15.31. Кабыргасы 40 см лы куб
тутыру өчен ничә литр су
Исәпләгез:
15.32. а) 3 ∙ 24 + 2 • З4;
б) 7 • З2 + 3 • 72;
15.33. a) 7 • Ю3 - 8 • Ю2;
( -∣λ2
15.34. a) i∣ • 27 + (0,l)4 • 5000;
формасындагы аквариумны
кирәк?
в) 5 ■ З3 + 3 • 52;
г) 7 ∙ 52 + 5 ∙ 72.
б) 92 • 3 + 100 ■ (0,l)2.
6)100 : 52 - - • 128.
∖8 J
85
fo2Y ( 2?
15.35. a) 2- - 1- ;
∖ О J ∖ θ √
1 _ о_ . -24 24 ,. -2 52 . -2) 3 . 14 24
15.36. а) ; б) 2 ; в) -— г) -τ —5-.
3 9 23 4 5 22 З3 (-3)2
15.37. Аңлатмаларның кыйммәтләрен чагыштырыгыз:
a) 32∙31 һәм 32+1; в) 24-25 һәм 24+5;
б) 42∙42 һәм 42+2; г) 52∙53 һәм 52+3.
§16. ТӨП ДӘРӘҖӘЛӘР ТАБЛИЦАСЫ
16.1. Дәрәҗәләр таблицасын тутырыгыз:
п
1
2
3
4
5
6
3"
5"
7“
Исәпләгез:
;ь
16.2.
а) I5; 6) (-1)6;
в) (-1)3;
г) I7.
16.3.
а) 0101; 6)l15∙02j
в) (-1)5 • Iе;
г) I7 ∙ (-l)4 ∙ 03 ∙ I9.
16.4.
a) (-1)10 + 012 + I45;
б) (-l)6+ (-l)7 - 08;
в) 012 + 141
г) 0502 - I14
+ (-D11;
+ I13 + (-1)2.
16.5.
a) (-l)4 + (-l)3 + (-1)2
б) (-l)7 + I8 + 015 + I19
в) (-l)2-(-l)3-(-l)4-
г) (-1)12 + 0l - I24 + 03
+ (-1);
+ (-1)4;
- (-D6;
- (-D5.
16.6.
а) Ю3; б) Ю4;
в) Ю5;
г) Ю7.
16.7. 10 санының дәрәҗәсе рәвешендә языгыз:
а) 1000000000; 6)10; в) 1000000; г)юо...О.
п нуль
Бирелгән санны гади саннарның дәрәҗәләре тапкыр¬
чыгышы рәвешендә языгыз:
016.8. а) 288; б) 432; в) 600; г) 784.
016.9. а) 3969; 6) 64 800; в) 21600; г) 19360.
86
16.10. а) Квадратлары 1, 9, 64, 121 гә тигез булган саннарны
әйтегез.
б) Квадратлары 0,04, 1,44, ∣∣∙, 2~ гә тигез булган сан¬
нарны әйтегез.
в) Дүртенче дәрәҗәләре 1, 16, 81, 625 кә тигез булган
саннарны әйтегез.
г) Дүртенче дәрәҗәләре 0,0001, 0,0016, га ти-
81 625
гез булган саннарны әйтегез.
16.11. а) Кублары 1, -8, 125, -343 кә тигез булган саннарны
әйтегез.
б) Кублары 0,027, -0,216, ^∙, кә тигез булган
саннарны әйтегез.
в) Бишенче дәрәҗәләре -1, -32, 243, 100000 гә тигез
булган саннарны әйтегез.
г) Бишенче дәрәҗәләре 0,03125, -0,00243, 7^-, -7∙^ га
32 32
тигез булган саннарны әйтегез.
Исәпләгез:
Г 1Ү
16.12. а) (-2)5; б) (-3)4; в) (-0,5)3; г) -- .
016.13. a) (-2,5)2 + 152. в) (-0,5)3 + (-0,4)2;
Күп нокталар урынына тиешле тигезсезлек тамгасын
куегыз:
16.14. a) а2 ... 0; б) -а2 ... 0; в) (х + 5)2 ... 0; г) -3(x - 7)2 ... 0.
16.15. а) х2 + у2 ... 0; в) 5(α2 + ъ2) ... 0;
б) (α + 51)2 + (b2 - IS)2 0. г) _94(х + уу 0
16.16. Берурынлы гади саннарның дәрәҗәләре таблицасын
кулланып, b ны табыгыз:
a) b3 = 216; б) fe5 = -32; в) b7 = 128; r)i>3 = -343.
16.17. Берурынлы гади саннарның дәрәҗәләре таблицасын
кулланып, т ны табыгыз:
a) 2m = 512; б) 5m = 625; в) 7m = 343; г) 3m = 729.
16.18. х ны табыгыз:
а) х4 = 16; б) х2 = 25; в) х4 = 81; г) х6 = 64.
87
ol6.19. x ны табыгыз:
a) 2x3 = -250; б) 2x4 = 162; в) 5x5 = 160; г) Зх6 = 192.
16.20. Разрядлы кушылучылар суммасы рәвешендә бирелгән
санны языгыз:
а) 3 • Ю5
+
4 • Ю4 +
7 ∙ 103 + 2 ∙ 102 + 8 ■ 10 + 4;
б) 8 • Ю6
+
9 ∙ 103 +
5;
в) 1 ■ Ю4
+
1 ■ Ю2 +
1;
г) 3 • Ю5
+
5 • Ю3 +
4 • Ю2 + 8.
16.21. Разрядлы кушылучылар рәвешендә языгыз:
а) 17285; 6)213149; в) 1495643; г) 75003400.
16.22. Аңлатмаларның кыйммәтләрен табыгыз:
a) a2, (-a)2, -a2, α=l,α = -l,α = 0, α = 10 булганда;
б) c2 + (-c)3 + с4, с = 1, с = 0, с = 10, с = -1 булганда;
в) b4, (-b)5, -b5, b = 1, b = 0, b = -1, b = 10 булганда;
г) di - d2 + d + 1, d = -1, d = 0, d = 1, d = 10 булганда.
16.23. Кайсы сан зуррак:
a) (-17,2)2 яки (-17,2)3;
-Y∙
5y∣ ’
в) (-0,3)3 яки (-0,3)6;
,( if ( if
г) — яки .
I 5J 5)
16.24. Исәпләүләрсез генә саннарны үсә бару тәртибендә ур¬
наштырыгыз:
a) (-0,4)3, (-l,5)2, ф , (-7)3;
С 1 λ3 ( oλ3
б) -1∣ , (-l,8)2, , (-2,1)2;
( 2?
в) (-l,5)2, (0,8)3, (-l,l)2, -- ;
\ θ /
( чА3 (
г) -≤ , -± , 0,32, (-l,2)2.
∖ 4J k 5√
16.25. п + k ны исәпләгез:
а) 2" = 1024; 3* = 81; б) 7" = 49; 5* = 625.
16.26. х ны табыгыз:
a) 22x = 128; б) 3x^3 = 243; в)52 = 125; г) 22 3x = 256.
88
§17. НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ
ДӘРӘҖӘНЕҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ
Тапкырчыгышны дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез:
17.1.
а) х2 • х3; б) у6 ■ у4; в) z5 ∙ z12; г) ti0 ■ t24.
17.2.
a) ai • а; б) Ь ■ Ь6; в) c7 • с; г) dn ■ d.
17.3.
a) s3 ∙ s5 ■ s8; в) г4 • г12 • г51;
б) т13 ∙ т8 • т; г) n4 ∙ п ∙ п10.
17.4.
a) u15 • и23 • и • и7; в) υs ∙ v9 ∙ υ4 • и;
б) г4 ■ г12 • г51; г) q13 ∙ q8 ∙ q7 ∙ q21.
17.5.
a) (α - Ь)3 ■ (а - Ь)2; в) (q + г)15 ∙ (q + г)8;
б) (с + d)7 ■ (с + d)8; г) (т - n)5 • (т - п)4.
17.6.
a) (αx)5 • (ах)7 ■ (ах); в) (cd)8 ■ (cd)8 ■ (cd);
б) (~by)2 ■ (-by)3 ■ (-by)7; г) (~p<7)13 ∙ (-pq) ■ (pq)6.
17.7.
х25 аңлатмасын бирелгән бер дәрәҗә белән шул ук нигез¬
ле икенче дәрәҗә тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтегез:
а) х7; б) х9; в) х; г) х24.
Тигезлек үтәлсен өчен * символын г нигезле дәрәҗә
белән алыштырыгыз:
17.8.
θj уЗ . * = ∕∙11j β) j∙1θ . * . f18 = y43j
б) * • г14 = г15; г) * • г21 • г11 = г40.
017.9.
a) fl3 . * . r3 , 5∣c — ^26. в) * . у! e * φ ^.9 , ^.13 —_ ^48∙
б) г44 • * • г • * = г51; г) г • г14 • * • г20 • * = г72.
17.10.
Исәпләгез:
a) 25 • 24; б) 33 • З2; в) 72 • 7; г) 9 ∙ 92.
17.11.
Нигезе 2 булган дәрәҗә рәвешендә языгыз:
а) 4 ■ 2; б) 32 8; в) 64 • 512; г) 16 • 32.
17.12.
Нигезе 5 булган дәрәҗә рәвешендә языгыз:
а) 5 ■ 25; б) 53 • 625; в) 54 • 125; г) 59 ■ 3125.
17.13.
а санының тамгасын билгеләгез:
a) a = (-13)9 ■ (-13)8; в) a = (-28)2 • (-28)«;
б) a = (-17)17 ■ (—17)71; г) a = (-43)41 ∙ (-43)14.
89
ol7.14. Тигезләмәне чишегез:
a) х ∙ 73 = 75; в) 4β ∙ х = 48;
б) 122 • х = 12s; г) х ∙ 56 = 59.
Өлешне дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез:
17.15. a) х7 : х4; б) у16 : г/12; в) zιs : z; г) τn28 : zn27.
17.16. a) α12 : а10 : а; в) с3 : с : с;
б) b45 : Ь15 : Ь29; г) d43 : d,4 : d5.
17.17. a) (a - b)3 : (a - b)2∙,
б) (г + г)13 : (z + r)8 : (z + г)3;
в) (с + d)8 : (с + d)i∙,
г) (т - п)42 : (т — га)12 : (т - n)29.
Исәпләгез:
17.18. a) Ю13 : Ю8;
б) 1217 : 121в;
в) (—324)3 : (-324)2;
г) (0,751)27 : (0,751)26.
78
17-19. а)
0,6
0,65
Тигезлек үтәлсен өчен,
белән алыштырыгыз:
17.21. а) х5 : * = х3;
б) х18 : * = х11;
* символын х нигезле дәрәҗә
в)
г)
х49 : * = х13;
* : х5 = х".
017.22.
а) * : х10 : * = х40;
б) х44 • * ■ х : * = х51;
в)
:45 : * : х15 ■ * = х
г) * : * : х = х73.
017.23. Тигезсезлек үтәлсен өчен, натураль п саны нинди бу¬
лырга тиеш:
a) 128π : 12856 = 12842; в) 395" : 395 = 3959;
б) 2163 : 216n = 216; г) 5484 : 548n = 5483.
017.24. Тигезләмәне чишегез:
а) х : 25 = 23; б) 3β : х = З4; в) х : 52 = 5; г) 77 : х = 74.
90
Исәпләгез:
017.25.
a)
73 у12
714
б)
1015∙ 10
ю19
. 15 1513
В) 1512
4312
Г) 436 ∙435 '
017.26.
а)
(о,з)3 • (о.з)12
(о,з)13 ;
в)
(0,09)5 ■ (0,09)4
(0,09)7
16
б)
7
' 8
15
г)
7
8
1
3
3
7
8
р
1
3
2
017.27. Дәрәҗәләрне тапкырлау һәм бүлү кагыйдәләрен кулла¬
нып, аңлатмаларны гадиләштерегез:
-V ≈5∙*8 .
у7 • у9
б) J ;
4 C12 ∙ с10
. d18∙ d12
Г) d" •
tx) х3 ’
в) c21 ,
17.28.
х нигезле дәрәҗә рәвешендә
а) (х3)2; б) (х5)6;
языгыз:
в) (х7)12;
г) (х10)13.
17.29.
240 санын нигезе түбәндәгечә булган дәрәҗә рәвешендә
языгыз:
а) 28; б) 210; в) 220; г) 24.
17.30.
Күрсәткече
а) ти18;
Исәпләгез:
3 булган дәрәҗә
б) га48;
рәвешендә
в) а54;
языгыз:
г) б21.
17.31.
017.32.
a) (7ψl
2∙(2∙)∖
б) (З3)2;
(з5)2
в) (4г)3:
(s')' 5'.
г) (22)5.
47 • 16
a) 2,8 ,
4 56 ∙125
б) 33 9 ,
_ 311∙27
) 522 ’
25∙ 8
Г) (4’)‘ •
166
017.33.
а) 254 ;
б) 9б ,
в)
Г) 4'.54'
17.34. Тигезлек үтәлсен өчен, * символын тиешле аңлатма
белән алыштырыгыз:
a) (*)5 = а30; б) (z,)3 = 212; в) (*)7 = fe14; г) (p12), = р24.
017.35. Аңлатманы гадиләштерегез:
a) (α3)β • а4; б) ft5 ∙ (b3)4; в) c6 • (с2)3; г) (d8)4 ■ d23.
91
17.36. Дәрәҗәләрне тапкырлау һәм бүлү кагыйдәләрен кулла¬
нып, аңлатманы гадиләштерегез:
3 5 . „6 rl3 L12 , 13
. a - a: а . . b • о : о
λ8 . λ14 , В' l20 г 4 . l3 ’
а ∙а : a о • о : о
z3 ∙ z17 ?43 ∙ q2. х т™ ∙ m4 . τn63 • т5'
zιy q** т т
17.37. х2 = у икәне билгеле. Аңлатма нәрсәгә тигез:
а) х6; б) х12; в) х20; г) х40?
Аңлатманы гадиләштерегез:
17.38. a) (x5)4 • (х6)7; в) (z13)3 ∙ (z5)9;
б) (у8)2 ■ (у12)3; г) (f25)2 ∙ (t10)4.
17.39. a) (z5)6 : z7; б) (р3)4 : р10; в) (и14)3 : и20; г) (g8)9 : g70.
17.40. a) ⅛
г) (-b3)6n.
17.41. Дәрәҗәгә күтәрегез:
а) (х3)"; б) (-а4)2";
.1Н
в) (у")5;
17.42. Тигезләмәне чишегез:
= -243;
§18. БЕР ҮК КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘЛӘРНЕ
ТАПКЫРЛАУ ҺӘМ БҮЛҮ
Аңлатманы
сәтегез:
дәрәҗәләр
тапкырчыгышы
рәвешендә күр-
18.1.
а) (2а)4;
б) (3i>)5;
в) (6п)3;
г) (8n)2.
18.2.
а) (-2р)3;
б) (-5g)4;
в) (-7с)2;
г) (-3d)5.
18.3.
а) (тп)6;
б) (аЬ)4;
в) (pg)3;
г) (cd)10.
92
18.4.
а) (-ас)17;
б) (-ат)8;
в) (-rs)3;
г) (-xy)12.
18.5.
а) (ху3)2;
б) (a2bc3)i∙,
в) (p3cd6)18;
г) (a5υ4t7)9.
018.6.
а) (Зр2г®)5;
Аңлатманы
сәтегез:
б) (6а5Ьх3)3; в) (10a2bδ)4j
тапкырчыгышның дәрәҗәсе
г) (4r5g8p9)2
рәвешендә күр-
18.7.
a) 36а2;
б) 49Ь2;
в) 81с2;
г) 64d2.
18.8.
a) α2b2c2∙,
б) x3y3z3∙,
в) min3ss∙,
г) p12g12r12.
18.9.
a) 16x4i/4z4;
Аңлатманы
б) 125c3d3z3∙,
2 күрсәткечле
в) 81zn⅛⅛2j г) 32r5s⅛5∙
дәрәҗә рәвешендә языгыз:
018.10. а) а2Ь10;
б) х8г/12;
в) x2j/4z24;
r) p8q10z30.
018.11. а) х4г/6;
б) 16ςr18r34j
в) 81c8d16f28;
г) 121τn12n16r54
18.12. Аңлатманың кыйммәтен иң рациональ юл белән табыгыз:
a) 23 ∙ 53; в) 0,66 • 5е;
Вакланманы дәрәҗәгә күтәрегез:
дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез:
18.16. Вакланманы
. 3 ,, т3 . 79 х ci
а) — ; б) — ; в) _; г) — .
58 8 Ц9 16
18.17. Бергә тигез булмаган күрсәткечле дәрәҗә рәвешендә
языгыз:
а) Ьах3; б) 25а4; в) 32х10г/5; г) 16α¾12.
93
Аңлатманың кыйммәтен иң рациональ юл белән табыгыз:
018.18. a) 85 ■ 0,125s;
б) 4β • 0,25е;
в) 5“ • 0,44;
г) (1,25)7 ∙ 87.
Аңлатманың кыйммәтен
18.20.
28∙38
a) -6f-
б)
35∙45
123
иң рациональ
7“ . 9n
≡) 63ю ;
юл белән табыгыз:
28∙8s
г) IF"
18.21.
. 163 ∙33
а) т—
482
б)
ю12
26 ∙ 56 ’
, 516∙3lβ
в) -hF~
. 12“
Г 35∙45'
18.22. Чагыштырыгыз:
a) (10x)5 һәм 10x5, биредә х > 0;
( V 7
б) — Һәм ½-, биредә х > 0;
у 2 ) 2
в) (6x)9 һәм 6x9, биредә х < 0;
/ \5 5
г) — һәм —, биредә х < 0.
\ 3 / 3
18.23. Тигезләмәне чишегез:
a) Зх3 = 24; в) 5x5 = -1215;
б) (Зх)3 = -27; г) (5x)5 = 100000.
• 18.24. Тигезләмәне чишегез:
(2x)s (2x)3 • 2 _
а) — о.
, (4x)3 ∙ 8x4
(5x)7 ■ (5хГ - 25 =
, (25x2)4 ■ 125x2
94
§19. НУЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ
19.1. Табыгыз: 1-1 , биредә
a) k = 3; б) k = 0;
19.2. Табыгыз: α5, биредә
a) a = 1; б) a = 0;
в) k = 1;
в) а = -2;
г) k = 5.
г) а = 10.
Аңлатмаларның кыйммәтләрен чагыштырыгыз:
19.4. а) -23 һәм -2°;
в) (-2)3 һәм (-2)°;
г) 50 һәм 54.
в) -fi'j һәм (-2)°;
г) -55 һәм -50.
ol9.5. Исәпләгез:
а) 35 + 44 + 8°;
19.6. Гамәлләрне эшләгез:
а) a12 ■ a5 : a17;
б) c9 : (c5 ∙ с4);
в) 30 ∙ 25 - 152;
г) (1,5)3 + 44+ 15°.
в) bi3 : b5 : Ь8;
г) d15 ∙ d4 : d19.
019.7. Аңлатманы гадиләштерегез:
ч a2 ■ a5 : a6 .
a7 ■ a8 : a14 ’
v a7 ■ a9 : a4 .
alβ : a6 ■ a2 ’
⅛12⅛n : (⅛3)5
> (b5 )4 b4 : (b3 )8 ’
(⅛4)3(⅛3)3 ■ ⅛19
Г) b19b : (b4)5
19.8. Аңлатманы гадиләштерегез:
а) (a - b)1° ■ (a - b) : (a - b)11;
/ ∖5 z ∖3 z ∖
6) £ . £^ :(£ ;
12 J < 2 J V2J
в) (⅛ + ∕)4 : (k + l)3 ■ (⅛ + ∕)2 : (⅛ + I)3;
r) (-p9)14 ∙ (-p<7)13 : (~pq)27.
95
Исәпләгез:
в) 1,54: (-l,5)3 ∙ (-1,5)°: 1,5;
19.10. a)
1,62 - (3,8)° ∙ 16 ∙ 0,4 + 0,42 #
1,88 - 0,22
б) ∣-(12≡)3-^ + 43∙O,15
1,22 -1,82
В 1,2° • 0,6 - l,80 • 0,96 ’
г) ((-8)0)5 - б2 ■ i - 52 • 0,2.
19.11. Аңлатмаларның кыйммәтләрен чагыштырыгыз:
<< -÷÷i)'
6> (∣y ■ ⅛y h≡ (ι∙5+1)’;
г) (∣)' . (-1,5). һәм (I - j∫.
• 19.12. Тигезлек x нинди кыйммәтләр алганда дөрес була:
a) 2x = 1; б) 5x~3 = 1; в) =1; г) = 1?
96
ей КОНТРОЛЬ ЭШЕ №4
1 нче вариант
1. Аңлатманың кыйммәтен табыгыз һәм җавапны унарлы вак¬
ланма рәвешендә языгыз:
2
I ∙ о,53
-Ү
9 J
2. Исәпләгез:
3. 8000 санын гади саннарның дәрәҗәләре тапкырчыгышы
рәвешендә күрсәтегез.
4. Саннарны үсә бару тәртибендә урнаштырыгыз: (-1,5)3; (—0,5)2;
2
; 1,23.
-f -
1з
5. Тапкырчыгышның дәрәҗәсе рәвешендә күрсәтегез: 36α6fe12.
6. Иң рациональ юл белән исәпләгез:
42 ■ (-12)3 • 9
32 ■ (-34)
7. Тигезләмәне чишегез:
X2 ∙ X3 ∙ (X3)3 _
х5 • (х2)4
8. Тигезлек үтәлсен өчен, * символы урынына а нигезле дәрәҗә
куегыз:
α8 ∙ (-g2)4 • * = Д12.
α5
9. Тигезлек х ның нинди кыйммәте өчен дөрес була: 33x 4 = 243?
97
2 нче вариант
1. Аңлатманың кыйммәтен табыгыз һәм җавапны унарлы вак¬
ланма рәвешендә языгыз:
• 1,82
2. Исәпләгез:
12
25
3. 50625 санын гади саннарның дәрәҗәләре тапкырчыгышы
рәвешендә күрсәтегез.
4. Саннарны үсә бару тәртибендә урнаштырыгыз: (-2,4)3!
5. Тапкырчыгышның дәрәҗәсе рәвешендә күрсәтегез: 27τn9n6.
6. Иң рациональ юл белән исәпләгез:
(-3)2 ■ 153 • (-25)
54 • З6
7. Тигезләмәне чишегез:
(х$ )2 ∙ х7
——- = 25.
X2 • (х2)3 • X4
8. Тигезлек үтәлсен өчен, * символы урынына х нигезле дәрәҗә
куегыз:
(-b2)3 ∙ b2 ∙ bi
9. Тигезлек х ның нинди кыйммәт өчен дөрес була: 24 ^5x = 512?
5
БҮЛЕК
БЕРБУЫННАР. БЕРБУЫННАР
БЕЛӘН АРИФМЕТИК ГАМӘЛЛӘР
§20. БЕРБУЫН ТӨШЕНЧӘСЕ.
БЕРБУЫННЫҢ СТАНДАРТ РӘВЕШЕ
Ачыклагыз, бирелгән аңлатма бербуын буламы, әгәр бул¬
са, аның коэффициентын һәм хәрефле элешен күрсәтегез:
20.1. а) Зху;
20.2. а) 0;
б) i a2bc3∙,
2
б) у,
в) -0,3c5d9j
в) -0,6;
г) (-2)3unznwn
г) 2".
20.3. а) х - у;
6)⅛
4<74
в) 2(c2 + d2)∙,
. c3 + d3
г) "з—3? •
c3 - d3
qr
20.4. а) ;
13d
6cd
б) —;
11
в) -12τn3n25
. 18m3
Г) 19.* •
20.5. а, Ь, с үзгәрешлеләрен кулланып языгыз:
а) коэффициентлары нульгә тигез булмаган теләсә нин¬
ди ике бербуын;
б) коэффициентлары 1 гә тигез булган төрле ике буын;
в) коэффициентлары бер үк, хәрефле өлешләре төрле
булган ике бербуын;
г) хәрефле өлешләре бер үк булган төрле ике бербуын.
20.6. р һәм q үзгәрешлеләрен кулланып языгыз:
а) хәрефле өлешләре бер үк булган төрле өч бербуын;
б) коэффициентлары бер үк булган төрле өч бербуын.
20.7. Бербуынның кыйммәтен табыгыз:
a) 7x3, биредә х = 0, х = 1, х = -1;
б) 0,04cd2, биредә с = 15, d = -2;
в) 9y2, биредә у = 2, у = -2, у = 10;
з
г) биредә р = 1, q = 2.
О
99
Аңлатманы стандарт рәвешле бербуынга китерегез, аның
коэффициентын һәм хәрефле өлешен күрсәтегез:
20.8. a) 3τn* 4 • т; в) 42y5 ∙ ys ■ yl2∙t
б) 5х • 10у2; г) -7z3 ∙ 4f8 9.
20.9. a) 7a • 35 • 4с; в) 8u4 ■ 4ι>3 • (-2шв);
б) 15g ∙ 2p2 ■ 4г5; г) с12 • 2d18 ∙ s10.
o20.10. Тигезлекнең сул ягын стандарт рәвештәге бербуынга
китерегез һәм килеп чыккан тигезләмәне чишегез:
а) 2х ■ Зх2 = 6; в) х ■ 5x ∙ lχ = -1;
б) 2х • 5х = 10; г) 0,5x2 ■ (-2x2) = -1.
o20.ll. а) Турыпочмаклыкның яклары 3 : 4 нисбәтендә. Әгәр
аның мәйданы 48 см2 булса, яклар озынлыкларын
табыгыз.
К
б) Турыпочмаклыкның киңлеге озынлыгының у ен
тәшкил итә. Әгәр аның мәйданы 35 дм2 булса, яклар
озынлыкларын табыгыз.
20.12. Бербуынның кыйммәтен табыгыз:
a) a2b10cd2, биредә a = 0,2, b = -1, с = 15, d = -2;
4
б) -s3t4r6, биредә s = 1, t = 2, г = -1.
Бербуынны стандарт рәвешкә китерегез, аның коэффи¬
циентын һәм хәрефле өлешен табыгыз:
20.13. a) 13α • 2Ь ■ 4Ь • 8а;
б) 52pq2 ■ (-4)2qpq∙,
20.14. a) 0,45α2bc5 l-α7i>βcj
9
в) 14c3 ∙ (-5)cd2 • 3d;
г) 24xY(-2)2(-χ)Vy)3.
в) 0,4b3xiy ~bx3y7;
б) -6p4n3Mn2p2∣!
г) -3a2b4∣-→⅛4
I 9
20.15. а) 17x"y8z3 ∙ 2xy5z4∙,
в) 12p3q2r10^~pr5q6
б) -2x3c5d8f-∣cβdx
г)
-99amsntn
1 „ λι
оо )
100
20.16. Бербуыннарны стандарт рәвешкә китерегез һәм хәрефле
өлешләре бертөрле булганнарын күрсәтегез:
a) 3αb ∙ 4а2; 2,5b2 ∙ 5а3; l,2α2 ∙ 55; 7a2b ■ 12аЬ;
б) 8pq ■ Зр2; l,4p2 • 15рд; 0,7 ∙ 12р3; 4,3p2 ■ 3g;
в) 0,125st2 ■ 8t2; 0,25t4 ∙ 4s; 2,5t ∙ 8st5; 0,2st ∙ 14t3;
r) 15mn3 ∙ 2m2; 4m3 ∙ 3n2; 7,8n3 ∙ 5m2; 2m2n ∙ 6,4n2.
20.17. Турыпочмаклы параллелепипедның озынлыгы киңле¬
геннән 2 тапкыр зуррак, ә биеклеге киңлегеннән 4 тап¬
кыр зуррак. Әгәр параллелепипедның күләме 1000 см3
булса, аның үлчәмнәрен табыгыз.
20.18. Турыпочмаклы параллелепипедның озынлыгы киңле-
5
геннән 2 тапкыр зуррак, ә биеклеге озынлыкның — енә
тигез. Әгәр параллелепипедның күләме 640 м3 булса,
аның үлчәмнәрен табыгыз.
20.19. Турыпочмаклы параллелепипедның үлчәмнәре 2:3:4
нисбәтендә, ә күләме 648 дм3 га тигез. Параллелепипедның
үлчәмнәрен табыгыз.
§ 21. БЕРБУЫННАРНЫ КУШУ ҺӘМ АЛУ
Ачыклагыз, бирелгән бербуыннар охшаш булалармы:
21.1. а) За һәм 4а;
б) 19x2 һәм 35х2;
21.2. a) 3a2b3c һәм 4a2b3c,
б) 6x2 һәм 15х5;
21.3. a) 7α2 һәм За3;
б) - x3u4z һәм — x3y4z,∙
’ 7 10
в) 3g3 һәм Зу3;
г) тп һәм 5m".
в) 17,8c3d6 һәм 3,01c12d4;
Ч 11
г) — r3s2t5 һәм rsS2t5.
’ 13 18
в) -0,2m2n4p8 һәм -0,38m2p8n4j
г) ∣y2z һәм iyz2.
21.4. * символы урынына бирелгән бербуын белән охшаш
һәм коэффициенты аныкыннан 3 тапкыр зуррак бер¬
буын языгыз:
a) l,7x2y6 һәм *; в) c3d12z5 һәм *;
б) * һәм 3,6a2b2c9j г) -m2n8p14 һәм *.
3
101
21.5. Бирелгән бербуыннар арасыннан охшашларын табыгыз:
а) Зх2у; 7x2y, Юху2; 0,25x2yj
б) 12a2b2; 5a2b2; l,2a2b3∙, 2,04a2b2∙,
в) 9c5b12; 0,lc5d12; c5d12; c3d7∙,
г) — m7n70∙, i m11n15j — τn11n15.
2 7 8
21.6.
Бербуыннарны стандарт рәвешкә китерегез һәм 7m9 бер¬
буыны белән охшаш булганнарын күрсәтегез:
a) т ∙ m2 • т3 ■ 8 • т; в) 36m3 • т • 2 • т ■ 0,1 • т4;
12 1
б) — т • т3 ■ mi∙, г) - m13 • т7 ■ 0,5.
1 о 2
Гамәлләрне эшләгез:
21.7.
а) Зх + 5х; в) бу + 7у;
б) Зр + 5р + р; г) 7q + 9g + 4q.
21.8.
a) 1,2c + 1,2с; в) 3,5d + 8,4d;
1 , 1 .13
б) -т + -т; г) -п + —п.
2 4 5 10
21.9.
a) 13x2 + 20х2; в) 2,lz3 + 3,05z3;
+ φ∣g*.
21.10.
a) l,7d4 - 0,7d4; в) m4 - т4-,
б) 7p8 - Зр8 - 2р8; г) 12x8 - x8 - Зх8.
21.11.
а) 20у - 12у - у - 2у; в) 30x2 - 15x2 - 7х2;
2“2 “2 X 3 21 1 21.
б) — г) -a2b—a2b.
3 3 4 4
021.12.
a) 5x2y + 6х2у; в) 3,5b2d3 - 8,4b2d3j
б) -c3d + -c3d∙, г) l-m3n4 + 3 — m3n4.
2 2 8 16
* символы урынына дөрес тигезлек килеп чыгарлык
итеп бербуын куеп языгыз:
21.13.
a) 5α2b3 + * = 13а2Ь3; в) 7,4pq - * = 4pq;
б) -12x3 - * = -24х3; г) * + 0,5τn2ra = l,7m2n.
21.14.
a) -18α⅛7 - * = 0; b)0-* = 2,4х3уз;
б) * + 6st4 = -l,2si4; г) 13xyz - * = 18,3xyz.
102
21.15. a) 6cd2 бербуынын берничә юл белән бербуыннар сум¬
масы рәвешендә күрсәтегез.
б) 49x3y2 бербуынын берничә юл белән бербуыннар сум¬
масы рәвешендә күрсәтегез.
Аңлатманы гадиләштерегез:
o21.16. а) 5х ■ 2у + Зх • бу + 2х • 7у;
б) 3z∕2x + 6x ∙ 3y ∙ 2y + 2уху,
в) -llab + a • 8 ∙ b + 5аЬ;
г) ab2 + 9abb + 3bab + abb.
o21.17. a) 3a2b + 7a ■ 9ba + 106 ∙ За2(-1);
б) x2y2 • 7 + 19х • 2хуу - 9х • Зуху,
в) az3 + 7az3 - 6z ∙ 2az2 - 5аг3;
г) m8n4 + 2m3 ■ 3m5n4- 7∕n8n4.
Тигезләмәне чишегез:
o21.18. a) 0,5x + 0,4х = 9; в) х - — х = -;
18 3
б) iχ + -х - —х = 5; г) 20х - 13х - 12х = 0,6.
3 4 12
o21.19. a) 0,71x - 13 = 9 - 0,39х; в) 8х - 1,79 = 4,61 - 8х;
б) 1,2 + — х = — х + 0,78; г) — х + 1,3 = 0,53 + -х.
’ ’ 10 15 7 12 8
o21.20. a) 2x3 + Зх3 = 40; в) 7x3 - 5x3 = -54;
б) 9x2 - 6x2 = 192; a) x8 + 7x8 = -8.
o21.21. Билгесез санның өчтән икесе белән ярты суммасы бу
санның үзеннән 7 гә зуррак. Бу санны табыгыз.
o21.22. Билгесез санның дүрттән бере белән алтыдан бере сум¬
масы аның яртысыннан 5 кә кечерәк. Бу санны табы¬
гыз.
o21.23. Беренче сан икенчесеннән 1,5 тапкыр зуррак. Икелә-
телгән беренче сан икенчесенең өчтән береннән 24 кә
зуррак. Бу саннарны табыгыз.
o21.24. Банкка акча кертүче күпмедер акчасын еллык 10 %
исәбеннән салган. Бер елдан соң ул банктан 600 сум
алган, ә аның счётында беренче кертемнең яртысы
кадәр акчасы калган. Икенче ел ахырында аның счё¬
тында күпме акча булыр?
103
o21.25. Практик эш үтәү өчен укучы өч квадрат ала. Беренче
квадратның ягы өченчесенең ягыннан 2 тапкыр кече¬
рәк, ә икенчесенең ягы өченче квадрат ягының
тигез. Квадратларның мәйданнары суммасы 61
са, һәрберсенең ягы озынлыгын табыгыз.
2
— сенә
О
см* 2 бул-
021.26. Укучы 3 куб ясаган. Беренче кубның кабыргасы икен¬
чесенең кабыргасыннан 3 тапкыр зуррак, ә өченчесенең
кабыргасы беренче куб кабыргасының енә тигез. Бе¬
ренче кубның күләме өченчесенең күләменнән 296 см3
га кимрәк булса, һәр кубның кабыргасын табыгыз.
Гамәлләрне эшләгез:
21.27. a) 4262c3d2 + 54b2c3d4 + 48b2c3d2 + 12b2c3d2;
б) l,8m3n4z8 + 3,2∕n3n4z8 + l,05m⅛4z8.
21.28. a) -a2b2c" + -a2b2c" + -a2b2cn∙,
2 3 8
б) 3,09xnι∕nzn + -xnynzn + 0,01xnι∕nzn + ^χnynzn∙
21.29. a) -l,4α3 - (-0,09α3) + (-l,5a3) + 2a3;
б) 3,9x4 + (-2,7x4) - (-0,8x4) + (-2x4).
б) _£_(_2£Ъ£ + (_рЗ
5 V 3 ) 4 V 60 J
Аңлатманы гадиләштерегез:
21.31. а) Зх • 2у + 5х • 2у + 6х • 2у;
б) l,2a2b + 3,2aba + 6,8aab + 8,8feaa;
в) ^χy2χ + →yχy + ^χy2χ∙,
Δ о О
г) l-∕nn3rβ + -^-n2r5nr8zn + — mr1n2rn.
5 10 20
21.32. а) 21xyx2y3x - 8x2y2xyxy - 2xy3x3y - 3x4y3y∙,
б) 5zn<7n - 3z"1g"z - ς"-1zgz"^1.
104
21.33. Аңлатманы гадиләштерегез:
13 15
a) -abca + -b(-d∖ca acba н (-fe)aca;
2 4 ' ’ 12 24' '
3 ( 2 ( 1A
б) 3nmk ■ 4n —пт • 2- ∙ nk + — n2m • -4- ∖k.
’ 8 V 3j 9 V 2)
21.34. a) 16x2z∕4 һәм 13x2ι∕4 бербуыннары аермасына 23x2ι∕4 һәм
10x2z∕4 бербуыннары суммасын кушыгыз.
б) 43a3fe2 һәм -27a3b2 суммасына 34a3b2 һәм 20a3fe2 бер¬
буыннары суммасын кушыгыз.
21.35. а) 2,38n4p һәм -l,48ra4p бербуыннар суммасыннан 4,72nip
һәм -l,28n4p бербуыннары аермасын алыгыз.
б) 2,57fe3n4 һәм -l,43A3n4 аермасыннан -8,39⅛3n4 һәм
5,39⅛3n4 суммасын алыгыз.
21.36. Бирелгән аңлатмада * символы урынына дөрес тигезлек
килеп чыгарлык итеп «+» һәм «-» тамгаларын куегыз:
а) 25a⅛4 = 3a254 * 5a¾4 * 7a2b4 * 10а264;
б) 43x3j∕9 = 50x3ι∕9 * 7х3у9;
в) 79c8d1° = 85c8d1° * 10c8d1° * 4c8d10;
г) 99pnqnz" = 100p"q"z" * 10pnqnzn * 15pnq"z" * 4pnqnzn.
21.37. Ниндидер санны 15% ка киметкәннәр, килеп чыккан
санны 10% ка арттырганнар. Нәтиҗәдә беренче саннан
13 кә кимрәк сан килеп чыккан. Беренче санны табыгыз.
21.38. Уйланылган санны 12% ка арттырганнар, ә аннан соң
нәтиҗәне 24% ка киметкәннәр. Табылган сан уйланыл-
ганнан 186 га кимрәк булып чыккан. Уйланылган сан¬
ны табыгыз.
21.39. Турыпочмаклы параллелепипедның озынлыгы киңлеген¬
нән 3 тапкыр зуррак һәм биеклегеннән 2 тапкыр ким¬
рәк. Әгәр параллелепипедның өслек мәйданы 864 см2
булса, аның үлчәмнәрен табыгыз.
21.40. Турыпочмаклы параллелепипедның киңлеге биеклегеннән
4
2 тапкыр кимрәк һәм озынлыгының — енә тигез.
Ә
Параллелепипедның өслек мәйданы 736 м2 булса, аның
үлчәмнәрен табыгыз.
21.41. Турыпочмаклы параллелепипедның үлчәмнәре 2:3:5
нисбәтендә, ә өслек мәйданы 62 дм2 га тигез. Паралле¬
лепипедның үлчәмнәрен табыгыз.
105
§ 22. БЕРБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУ.
БЕРБУЫННЫ НАТУРАЛЬ
ДӘРӘҖӘГӘ КҮТӘРҮ
Бирелгән бербуыннарның тапкырчыгышын табыгыз:
22.1.
а) 2х ■ Зу;
б) 7а ■ 5Ь;
в) 31с • 3d;
г) 152 ∙ 3t.
22.2.
a) 7a ∙ 2Ь ■ Зс;
б) 10x2 ■ 2y2 ■ Зг3;
в) 10τn ∙ 5n ∙ 2q∙,
г) 17p2 ∙ 2q2 ■ 0,5s3.
o22.3.
a) 7x2 ■ 5x2 • 6х3;
в) 71x2z∕328 ■ 2xyz∙,
б) - а2 • ' b3 • с4;
2 3 6
г) 54c2d2f3 ∙ cd3f.
o22.4.
a) ~5a2b ■ (~6аЬ2);
б) 41c2d ∙ (-4cd);
в) -17x3p ∙ (-2x2i/2);
г) -13zτι2n2p3 ∙ (-2znn2p).
o22.5.
a) 0,2c2d ∙ 5,4c3d3-,
в) -b3 ■ 0,5b2;
б) 8x2 • | у];
г) 21 m2p3 ■ 5 i тр.
o22.6.
a) 0,6x2y3z ■ 0,8xy2zt
в) 0,75d3∙ (-0,ld4);
б) 61 n2q • 7 nq3∙,
. 3 2 40 2
г) ~^x y' τιxy ∙
o22.7.
a) 5,lp3g4 • (-2р^8);
в) -7,81abc3 ■ 2ab2c∙,
б) -2,5z3 ∙ I fz4 I;
V 5 )
г) (-∣1xι∕2∙(-0,4xV).
Бербуынны күрсәтелгән
дәрәҗәгә күтәрегез:
22.8.
a) (За2с)2;
в) (-0,2c3d)4j
б) f-∙⅛2l ;
\ 0 /
Г 1 V
г) —abc .
1 2 )
22.9.
a) (-6х3р3)0;
б) -(-5а3х2)3;
в) (-10x2z/4)5;
г) -(-2αx3y2)4.
106
22.10. Бирелгән бербуынны бербуыннар тапкырчыгышы рә¬
вешендә күрсәтегез:
a) 56x2i/3z8;
в) 0,21c9d14/43;
б) 102m2n3p4∙,
г) | r7s9t12.
22.11. -24x6y9 бербуынын түбәндәге тапкырчыгышлар рәве¬
шендә күрсәтегез:
а) ике бербуын;
б) өч бербуын;
в) дүрт бербуын;
г) биш бербуын.
22.12. * символын дөрес тигезлек килеп чыгарлык бербуын
белән алыштырыгыз:
а) * ∙ 3b2 = 9b3;
б) 8α2b4 ∙ * = -8aib6∙,
в) -4α3b4 ■ * = 16а7Ь9;
г) -17α8b12 • * = -34a9b13.
22.13. Бербуынны күрсәтелгән дәрәҗәгә күтәрегез:
a) 6x3yβ, квадратка;
б) -2ab3, дүртенче дәрәҗәгә;
в) -m3n, бишенче дәрәҗәгә;
г) -3a2bc3, кубка.
22.14. Бирелгән бербуынны ниндидер бербуынның квадраты
рәвешендә языгыз:
a) 81a4; б) 36b6;
в) 144с12; г) 169d4.
22.15. Бирелгән бербуынны ниндидер бербуынның кубы рәве¬
шендә языгыз:
Q
a) 0,008b6; б) 0,027b9; в) 0,001i/24; г) aβ.
£1 (
Аңлатманы гадиләштерегез:
22.16. а) 20а3 ■ (5a)2;
б) -0,4x5 • (2х3)4;
в) (-c3)2 • 12с6;
г) (4ac2)3 ∙ 0,5a3c.
22.17. а) (3x6z∕3)4 ∙ | ~⅛*l∕2k
\ 81 )
б) f∣χ2y3l - (-эх4)2;
\ о )
в) (За2)2 • (-6а3);
г) f→vY(2x6y)4.
\ О )
22.18. а) (0,2b6)3 ∙ 5Ь;
9 ( 1 V
б) — p7 • -1-р4 ;
’ 16f 1 3F )
в) (2ab)4 ■ (-7а7Ь);
( 1 V
г) 3-a2 81а5
7 1 3 )
107
Аңлатманы гадиләштерегез:
3 11
22.19. a) ■ ^ab2c3 ■ -ас2; б) - x5yiz3 ■ (-8xy3z)∙,
Ә о о
в) 3,5xz3 •
• (-5x2); г) 2cd3 ■
(-2c2d2).
22.20. а) аЬ ■ (-α2b) ■ (-ab2)∙, в) тп ■ (-m2n3) ∙ (-msni)∙,
б) x2y ■ ху ■ (-x2y2y, г) (-p⅛4) ∙ (~pq) ■ (~2p2q2).
22.21. а) 1 —cd ∕-6c3d2j ; в) — mnsp9 ■ m10n3p2
6 V 7 ) 23 к 57 p
б) ~l-α2b3c7 • [-1—αb7c8∖ г)- — xyz ■ (-2-x2y3zβ].
4 V 15 у 14 к 5 )
22.22. a) (0,2a3b4)4; в) (-0,3b8c7d6)2;
Г 1 V Г 1 ?
б) 1⅛528 ; Г) -→3X3y3 .
\ о J \ У J
22.23. а) (-0,5a2b3c9)2; в) (-2asb5c9)s∙,
б) (0,06zn2n3p)2j г) (-0,4x2j∕3z8)3.
22.24. a) (-a2b3c5)05 в) (-1,6/п3га2р9)2;
/ 1 λ4 С Q А2
б) [-1^P2<7228∣ ; Г) [ -2∣r9s15t12J .
22.25. Бирелгән А бербуынын Bn рәвешендә языгыз, биредә
В — ниндидер бербуын:
а) А = 81a⅛8c12, п = 2; в) А = 125x3t∕9z27, п = 3;
б) А = 256x4t∕12z24, п = 4; г) А = 144a⅛,0c18, п = 2.
22.26. Бирелгән С бербуынын Dn рәвешендә языгыз, биредә
D — ниндидер бербуын:
а) С = 216c9b12∕27, п = 3;
б) С = 243x10y25z40, п = 5;
в) С = 1024p2⅛100r1000, п = 10;
г) С = 256a3βb216c1296, п = 4.
22.27. А бербуынын ниндидер В бербуынының кубы рәвешендә
күрсәтеп буламы:
а) A = 7a9; в) A = 81b1°c27j
б) A = 27b4; г) A = -64x9y817
108
22.28. С бербуынын ниндидер D бербуынының кубы рәвешендә
күрсәтеп буламы:
а) С = 25а10; б) С = -36d4; в) С = 8с8; г) С = 16fe7?
Аңлатманы гадиләштерегез:
22.29.
a) (10α2y)2 • (Зау2)3;
б) f-⅛3) ∙(⅜5Λ
∖4 Zj у
в) -(3xβy2)3 • (-х2у)4;
г) (-5αfeβ)4 ■ (0,3α⅛)4.
22.30. a) (-4α⅛4)2 • 0,25Ь7;
б) f-∣рИ -(-27ру5);
22.31. a) (-4,5a⅛2y)2 ■ (-2aby)∙,
б) (-3bc3d)3 ∙ |-⅛cd∖
в) (0,4α2bc)2 ■ (-l,5αb3c4)j
∕1 λ3
г) I—τn4nl ∙ (-32zn4n).
в) (-0,8p3x2z)2 ∙ (~2,5px3z4);
( 1 V
r) -3⅛ ∙81α7.
Ц 3 )
fl V
22.32. a) (-6α3x2)2 ∙ I ~^°2χ2 ;
λ4
6) (-3zn3n2)5 ∙ --mni ;
∖ о /
•22.33. Тигезләмәне чишегез:
a) (5x2)3 ∙ (2x3)5 = 22 ∙ IO3;
<1 V MV
6)(9x4)2∙ ∣x≡ = 4 ;
M ) 14 4)
( 1 ∖2
B) -⅛4 ■ (-3α5c3)2;
в) (3x3)4 ∙ (4x5)3 = -722;
r) (8x5)2 ∙ I — x4 1 = [ —
∖5 / ∖ 5,
•22.34. Дөрес тигезлек килеп чыгарлык итеп * символлары
урынына бербуыннар куеп языгыз:
a) (*)2 . _ 4α3j,2cs. в) . (*)3 = 8c4d13n3!
б) (*)з . (*)2 = -27р3х4у2; г) (*)5 ∙ (*)2 = 81b13n5Z4.
§23. БЕРБУЫННЫ БЕРБУЫНГА БҮЛҮ
Бербуынны бербуынга бүлегез:
23.1. a) α3 : а2; б) х8 : х3; в) у20 : у18;
г) z54 : z5°
23.2. a) lχ : 3; б) -у : —;
3 5 11
™Ь:
15
Г_26
[ 45?
„ 5
в) yα :
109
23.3.
a) -8х : (-4х); б) Зс
: с; в) 7a : (-а); г) -96 : (-b).
23.4.
а)6х3:х2; б)-27</2:(-
9y2)∙, b)-15z8:z8; г)-90p4: (-5p).
23.5.
а) -19a : (-19a);
б) -456 : (-156);
в) -100cd : (20cd);
г) 18ch∕ : (6dy).
23.6.
а) 16abc : (8a);
б) 24pqr : (-4pq);
в) -42cdτn : (12с);
г) -99xyz : (-9x).
23.7.
а) 4,8axy : (1,6ху);
б) (-0,88a6c) : (1,16);
в) -0,81p<js : (О,ОО9р<7);
г) 6,5xz : (-l,3z).
o23.8.
а) 18a12 : (6a4);
б) 2461° : (6610);
в) 12a7y4 : (6а2у3);
г) 665x3 : (363x2).
o23.9.
а) 44a3b2c6 : (11а26с5);
б) 198x4y4z2 : (2x4<∕3z)5
в) 144∕n8n9fe4 : (∖2m2n7k)∙,
г) 258p⅛4r17 : (3p6g2r15).
o23.10.
Тәкъдим ителгән биремнәрнең кайсысының мәгънәсе
бар, ә кайсысының мәгънәсе юк:
a) 8c3 ны 4c10 нә бүләргә;
б) 12ab га -5ab һәм 8ab ны кушарга;
в) 15α3 ка 2a2 ны кушарга;
г) 4с10 сен 8c3 ка бүләргә?
o23.ll. 24α364c6 бербуынын түбәндәге бербуынга бүләргә ярыймы:
a) ~2abcd∙, б) 18a2b2c2∙, в) 12а36; г) 3α3b5c47
o23.12. Дөрес тигезлек килеп чыгарлык итеп * символын бер¬
буын белән алыштырыгыз:
a) 30x5yβz7 : * = 5x3i/2ze; в) * : (p3m2q7) = р8ти4д9;
б) * : (5a⅛4c10) = 15a5b7c21∙, г) d2n3z1° : * = dn2zi.
Аңлатманы гадиләштерегез:
23.13. а) (5a262)3 : (5a6)2;
б) (10x3<∕3)4 : (2х4у3)2;
23.14. а) (2τn2n2)4 : (4mn)2∙,
б) 55p⅛4 : (5рд)°;
(2cy3)2 ∙ 16c5y
23.15. а) 1 У > У-, в)
(4с У)
(9a3b4)3
б) , ∖2 ; г)
(3a⅛) ∙27a⅛9
в) (49z10f14) : (lzt)0∙,
г) (-x2ι∕3z)4 : (xyz).
в) (-χ2<∕3z4)5 : (-xz∕z)β!
г) (-5ac3d)3 : (5cd)2.
(3x2c3)2∙27x15c4
(3x2c)5
(4a⅛3)2 ■ (-a⅛)3
(-2a⅛2)3
110
23.16. a)
(-4xV)3∙(-5xV)∖
(-10xV)°
-2a3x5V* ∙ (-9a3x5
(-6α5x9)
a∖ 1 L
’ (4α3x4)3∙(-2αx2)5
23.18. a)
(3α⅛3)4 ∙(2α⅛2)°
(6a⅛2)5
(10a6x5f
б) .
(5a9x3)4∙(2a9x6)°
•23.19. Тигезләмәне чишегез:
(7x)1* ∙ (49x)2 ∙ 7
а) = әо;
’ (7x2)3 ∙ (343x)4
(3x)9 ■ (9x4 )3 ■ x2
(3x3)5 (27x)3
ӨЙ КОНТРОЛЬ ЭШЕ №5
1 нче вариант
( 2 ।
1. 0,5afe2 ∙ (-3a2b) ∙ I --a7 *b5c∖ бербуынын стандарт рәвешкә ките¬
регез.
2. l⅛m3n2Z4 бербуыны бирелгән. Аның белән суммада m3n2li
бербуынын бирүче бербуынны языгыз.
3. -4,5a4Z>c3 бербуынын түбәндәге бербуыннар суммасы рәвешендә
күрсәтегез:
а) тамгалары бертөрле коэффициентлы;
б) тамгалары төрле коэффициентлы.
5 3 1
4. Тигезләмәне чишегез: -x9 - — x9 ~ l^^χ9 =
5. Аңлатманы гадиләштерегез:
(2 V ( 1 V
- -x2u2 • -2 —ху3 .
13 ) I 4 y )
6. * символын тигезлек үтәлерлек бербуын белән алыштырыгыз:
* ∙ ±m4n = -m6ni.
5
111
7. Ниндидер бербуынның квадраты яки кубы рәвешендә күр¬
сәтегез:
a) 2∣χ<ι∕⅛85 б) 0,027zn9 *n6.
8. Әгәр х = -3, у = | булса, (3x<∕)3
кыйммәтен табыгыз.
(1 ү
±xt∕2
y )
аңлатмасының
9. Аңлатманы гадиләштерегез:
(l,2x2z5)2 ■ (2x4z)3
0,6xz8
2 нче вариант
1. (-l,5x2j∕) ∙ 4xι∕3∙∣' -2±xsyβz j бербуынын стандарт рәвешкә ки¬
терегез.
з
2. - у x2y3z2 бербуыны бирелгән. Аның белән суммада x2y3z2 бер¬
буынын бирүче бербуынны языгыз.
3. 5,3α⅛2c бербуынын түбәндәге бербуыннар суммасы рәвешендә
күрсәтегез:
а) тамгалары бертөрле коэффициентлы;
б) тамгалары төрле коэффициентлы.
4. Тигезләмәне чишегез:
2,05x6 - 3,07xβ + l,03x6 = 0,01.
5. Аңлатманы гадиләштерегез:
/ ∖2 / \3
-[jxVJ ∙∣-2∣xz∕3J.
6. * символын тигезлек үтәлерлек бербуын белән алыштырыгыз:
½ab2 ■ * = 4a*b5.
4
7. Ниндидер бербуынның квадраты яки кубы рәвешендә күр¬
сәтегез:
a) 3⅛aβd4c8ι б) 0,008u15υ3.
8. Әгәр a = ∙^, b = -2 булса, ^∣∙a2b | ■ (4ab3)2 аңлатмасының
кыйммәтен табыгыз.
ft . (l,3a<b2)s
9. Аңлатманы гадиләштерегез ———————.
(-2,baby ■ i>aib
112
БҮЛЕК
КҮПБУЫННАР.
КҮПБУЫННАР БЕЛӘН
АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР
§ 24. ТӨП ТӨШЕНЧӘЛӘР
Бирелгән аңлатмаларның кайсылары күпбуын икәнен
ачыклагыз:
24.1. a) 3α + 4b; в) 5(5x2 - 12г/2);
б) 5x2 - 3</2; г) (а + l)(i> - 2).
24.2. a) 5x2 - 6x2 + —; в) + 12z2 - ;
х 4 5
6)⅛ г) 0,3p2 + 13p - 1.
4а6
24.3. a) Зх2 + 5у + -; в) 9x3 - 4y2 - 5;
с
б)
с^_
4 5 7 9’
. 10 2 5 11
24.4. Бербуыннар бирелгән: 5а; -4ab; 8а2; 12а; -2,5аЬ; -а2.
Алардан төзегез:
а) охшаш буыннары булмаган күпбуын;
б) охшаш буыннары булган күпбуын;
в) барлык бирелгән бербуыннардан файдаланып, һәр-
кайсында охшаш буыннары булмаган ике күпбуын;
г) күпбуын булмаган аңлатмалар.
24.5. Бербуыннар бирелгән: 0,5х2у; ~ху2; 12ху; -Зх2у; -0,2ху;
4xy2. Алардан төзегез:
а) охшаш буыннары булмаган күпбуын;
б) охшаш буыннары булган күпбуын;
в) барлык бирелгән бербуыннардан файдаланып, һәр-
кайсында охшаш буыннары булмаган ике күпбуын;
г) күпбуын булмаган аңлатмалар.
113
Күпбуынны стандарт рәвешкә китерегез:
24.6. a) 5x2 - Зх2 - х2; в) l,2c5 + 2,8c5 - 4с5;
б) 7y3 + y3 + 12у3; г) ∣d" - ∣d" + ld".
о 6
24.7. a) 5x2 - 3xy - 2xy + х2;
б) 3t2 - 5t2 - lit - 3t2 + 5t + 11;
в) 7a2b — 5a2b + ab2 + 2ab2;
г) z3 + 2z2 + z3 - 4z - z2.
24.8. a) 4b2 + a2 + 6αt> - llb2 - бай;
б) 3α2x + 3αx2 + 5α3 - 3ax2 - 8a2x - 10а3;
в) 9x3 - 8xy - 6y2 - 9x3 - ху;
г) m4 - 3m3n + n2m2 - m2n2.
o24.9. а) тттт - пппп;
б) 3s ∙ 2r ÷ 2rs + 4г ■ 8s;
в) pqpq - qpqp∙,
г) 12m ∙ 2n - 3m ∙ 4n - 7m • 8п.
o24.10. а) 4p3 ∙ 2p + Зр2 ■ 4p + 2p2 ∙ 2p2 - 2p3 ■ 4;
2 1 1
б) х • -х + -х + 0,8х - х ■ -х - х;
3 4 6
в) у • 2у - Зу - у2 - 5 + 2уу - у • 5 + у . 7у2;
г) — аа + —а - 0,6aa + a 0,1a.
6 3
o24.ll. а) 2х • 4у - Зх ■ 2у - 0,2х • 5у + у • 5х - 5ху + 8ху;
б) хрхх - р Зрх - р ■ 4x3 + 7pxp∙,
в) 15r3s - 5rsr2 - 3srrr + 2r2sr∙,
г) 7xax + а ■ 2ax + х ∙ 9xa - 8axa.
024.12.
Күпбуынны стандарт рәвешкә китерегез һәм үзгәрешленең
дәрәҗәләре кими бару тәртибендә языгыз:
а) 15p + 18p2 + 4 - 12p + Зр2 - р4;
б) l,4x2 - 4,lx3 + х - 3,1 + х + 1,3х3;
. 1 3 2 3 2 7 2
в) -а + -а —a + a;
4 5 4 8 3
г) 0,2p4 - 3,5<∕ - l,2y4 — 1 + 3,5z∕.
114
o24.13. Күпбуынны стандарт рәвешкә китерегез һәм аның
кыйммәтен табыгыз:
a) a3b + a* * 2b - 3αfe2 + 2a2b + 2ab2, a = -1, b = 2 булганда;
11 5 3
б) -х —y2 + 0,3x - х + -у2 , х = 5, у = - булганда;
в) mi - 3m3n + m2n2 - m3n - ⅛m2n2, т= ", п = ~ булганда;
Δ о
г) 6p2ρ - 5pρ2 + 5p3 + 2pql - 8p3 - 3p2q, р = -2, q = 0,5 булганда.
o24.14. Күпбуын бирелгән: p(x) = 7x3 - х + 2x2 - 5x3 + х2 - х - 3.
a) р(х) күпбуынын стандарт рәвешкә китерегез.
б) Исәпләгез: p(l), p(-l), р(2), Р - .
\ 2 )
o24.15. Күпбуын бирелгән: p(y) = Qyi + 3y2 - 2y3 - у - 8y4 - Зу2 + 2.
a) р(у) күпбуынын стандарт рәвешкә китерегез.
б) Исәпләгез p(l), р(—1), p(2), p(^j∙
024.16. Күпбуынны стандарт рәвешкә китерегез һәм, үзгәрешле
нинди кыйммәт алганда, аның кыйммәте 1 икәнен ачык¬
лагыз:
а) х3 + 2x2 + 7х + 8х - х3 - х2 - х2;
б) 0,5y3 + 2,7j∕2 + 3,5y + 6,5p - 0,5z∕3 - 2y2 - 0,7р2;
в) 3z4 - z2 + 4z + z + z2 - 2z4 - z4 + 8;
г) 6p3 - p2 + 4p3 + p2 - 10p3 - Зр + 19.
o24.17. a) 3a + 11 күпбуыны бирелгән, a = 5х + 4 дип алып, яңа
күпбуын төзегез һәм аны стандарт рәвешкә китерегез.
б) 14 - 8a күпбуыны бирелгән, a = 3x2 - 4х + 2 дип алып,
яңа күпбуын төзегез һәм аны стандарт рәгешкә ки¬
терегез.
24.18. Күпбуынны стандарт рәвешкә китерегез:
а) с ■
- с - 0, lcδ - c3 + сс2 ■ 2c2 — с ■
2
1
—с + ссс;
8
1 1 „ _ 1 1 2 1
б) -тт - т ■ -тт + 0,5m + тт ■ -т —т + -т;
9 2 8 3 2
в) aba + аа - a ∙ 2ab + bab - 2ba ■ 2b - За 2b2 - aa;
г) у ■ 2yy - у ■ 5xy + х • Зху - ху • бу + х • 12ху - у3.
115
24.19. Күпбуынны стандарт рәвешкә китерегез һәм үзгәрешленең
дәрәҗәләре кими бару тәртибендә языгыз:
a) 12т ■ 0,2m2 + 3,5т • 2т - 27 + 4,5zn2 ∙ 0,2m - 15m;
б) 3,6⅛ ∙ 5⅛3 - 0,4⅛2 ∙ 7fe + 1,4⅛3 - 10⅛2 ■ 2k + 15fe ∙ 0,5ft2;
в) 9α3 ∙ 0,За - 12а ∙ 0,4α2 + 7α ∙ 0,2α3 + 1,7а2 • (-За) - 13а ■ 0,5а;
г) 0,5ft ∙ 4ft2 - 5ft ■ 0,3ft - 3ft2 ■ (-0,2ft) + 14ft2 ■ 0,5 - 25ft ∙ 0,3ft2.
24.20. Күпбуын бирелгән: р(а; ft) = 2α2 - 3aft + ft2 - aft - a2,
a) p(a; ft) күпбуынын стандарт рәвешкә китерегез.
б) Исәпләгез: р(1; 2), р(1; -1), р(2; 2), р(-1; 2).
24.21. Күпбуын бирелгән: p(a; ft) = a3 + 5a2ft + 2afe2 + ft3 + aft2 - 2a2ft.
a) р(а; ft) күпбуынын стандарт рәвешкә китерегез.
б) Исәпләгез: р(1; 1), р(-1; 1), р(1; -2), р(-1; -2).
24.22. р(х) күпбуынын стандарт рәвешкә китерегез һәм үзгә¬
решленең нинди кыйммәтләре өчен p(x) ≈ 1 икәнен
ачыклагыз:
a) 0,6x3 + 7,2x2 + 0,4x - 5x2 + 0,4x3 - 2,2x2 - 0,4х;
б) Зх4 - х2 + Зх + х + х2 - 2x4 - 4x + 1;
в) 4,6x3 - х2 + 4,4x3 + 0,2x + x2 + 1,7х - х3 - 1,9х;
г) 2x3 + 3x2 - O,lx - 4x2 - l,8x3 + O,lx + 2x2 - 0,2x3 - 3.
24.23. * символы урынына килеп чыккан стандарт рәвешле күп¬
буында a үзгәрешлесе булмаслык итеп бербуын куегыз:
а) 5a - 13 + 8a - 7a + 25 + *;
б) 7ft - 15 + 10a - 2a + 13 -
в) 12a - 23 + 2a - За + ft + *;
г) 8a2 - 7a2 - 4 + *.
24.24. * символы урынына килеп чыккан стандарт рәвешле
күпбуында a2 ка охшаш буыннар булмаслык итеп бер¬
буын куегыз:
а) a2+ 2a2- b2-3c + *;
б) 3ax2 - 5x3 + 4a2 + 8x2a - 5 + lla2 + *;
в) 2x2 + Зах - 9a2 + 8x2 - 5ax + 8a2 + *;
г) 2y2 - 5ay + a2 + 7y2 + Зау - 5a2 + *.
24.25. а) Күпбуын бирелгән: р(х; у) = 7х + 4г/ - 11.
у = Зх2 - 2х + 5 дип алып, р(х; у) ны х үзгәрешлесеннән
торган күпбуын итеп үзгәртегез һәм аны стандарт
рәвешкә китерегез.
б) Күпбуын бирелгән: p(a; ft) = 13a + 6й - 7.
ft = 4 - а2 + За дип алып, р(а; ft) ны а үзгәрешлесеннән
торган күпбуын итеп үзгәртегез һәм аны стандарт
рәвешкә китерегез.
116
24.26. x = За + 12, у = 13 - a, z = 5 + 4а булсын. Аңлатма төзегез
һәм аны стандарт рәвешле күпбуын итеп үзгәртегез:
а) х + у + z; в) у - х + z;
б) х - у + z∖ г) г — х — у.
24.27. а = 3x2 + 4x + 8, b = 1,2 - 2x2 - 7х, с = 12,5x2 -
- 3,5х + 21,8 булсын. Аңлатма төзегез һәм аны стандарт
рәвешле күпбуын итеп үзгәртегез:
a) a + Ъ + с; б) а - Ъ + с; в) Ь - а - с; г) с - Ъ - а.
•24.28. k = 5a3 + 4a2b + 8ab2 - 24d3, l = 7a3- 13a2b - 4ab2 + + 17d3,
т = -12α3 + 9a2b - 4ab2 + 15d3 булсын. Аңлатма төзегез
һәм аны стандарт рәвешле күпбуын итеп үзгәртегез:
a) k + I + τn∙, б) I + k - т; в) т - I - k; г) I — k + т.
§ 25. КҮПБУЫННАРНЫ КУШУ ҺӘМ АЛУ
o25.1. p(a) = p1(a) + p2(a) ны табыгыз:
а) p1(a) = 2a + 5; p2(a) = 3a - 7;
б) p1(a) = 7 - 2a; p2(a) = -1- 5a;
в) p1(a) = За - 4; p2(a) = 11 - За;
г) p1(a) = -4- За; p2(a) = 7 - 8а.
o25.2. p(x) = p1(x) + p2(x) ны табыгыз:
а) p1(x) = 2x3 + 5; p2(x) = Зх3 + 7;
б) p1(x) = 4x5 + 2x + 1; p2(x) = х5 + х - 2;
в) p1(x) = 6x2 - 4; p2(x) = 5x2 — 10;
г) p1(x) = х11 + xβ - 3; p2(x) = 2x11 + 3xβ + 1.
o25.3. p(a; b) = рг(а; d) + р2(а; Ь) ны табыгыз:
а) p1(a! b) = а + 3d; р2(а; Ь) = За - 3d;
б) р/а; d) = 8a3 + 3a2d — 5ad2 + d3;
р2(а; d) = 18a3 - 3a2d - 5ad2 + 2d3;
в) р,(а; d) = a2 - 5ad - 3d2; р2(а; d) = a2 + d2;
г) pja; d) = 10a4 - 7a3d - a2d2 + 6;
р2(а; d) = 17a4 - 10a3d + a2d2 + 3.
o25.4. р(у) = p1(p) - p2(y) ны табыгыз:
а) p1(p) = 2y3 + 8у - И; p2(p) = Зу3 - бу + 3;
б) P1(y) = 4y4 + 4y2 - 13; p2(y) = 4y4 - 4y2 + 13;
в) P1(y) = У3 - У + 7; p2(y) = у3 + 5у + 11;
г) Pj(y) = 15 - 7у2; p2(y) = у3 - у2 - 15.
117
°25.5. p(C; cf) = p (c. _ p2(c. 6∕) ны табыгыз:
a) pχ(c∙, d) = 3c2 + d; p2(c; d) = 2c2 - 3d;
6) pl(c∙, d) = 5c4 + 3c2d; p2(c; d) = 2c2 + 3c2d + d2;
в) p1(c∙, d) = 12c2d - 3cd2 + 4; p2(c∙, d) = Gc2d - 5cd2 + 2c;
r) pl(c∙, d) = c2 + 2cd + d2; p2(c; d) = 5c2 - 6cd - 7d2.
Тигезләмәне чишегез:
°25.6. a) (5x - 3) + (7x - 4) = 8 - (15 - Их);
б) (4x + 3)- (Юх + И) = 7 + (13 - 4х);
в) (7 - Юх) - (8 - 8х) + (Юх + 6) = -8;
г) (2х + 3) + (Зх + 4) + (5х + 5) = 12 - 7х.
o25.7. а) - у - ( - у - l,2δl = 0,55; в) -х - (-х - 2,4 ] = - 0,4;
4 ∖6 J 8 Vθ 7
б) ∣χ - (0,25x - 3) = 1,2; г) lχ - (2,5х - 3) = 1,8.
o25.8. Турист юлда 4 сәг була. Беренче сәгатьтә ул х км, ә
һәр алдагы сәгатьтә элек үткәненнән 0,5 км га кимрәк
юл үтә. Туристның үткән юлын табыгыз:
а) өченче сәгатьтә; в) беренче ике сәгатьтә;
б) соңгы өч сәгатьтә; г) барлык вакыт эчендә.
25.9. Өч күпбуын бирелгән: p1(α) = 2a3 + 3α2 - a + 1,
p2(α) = 4a4 + 6a3 - 2a2 + 2a, p3(a) = 2a5 + 3a4 - a3 + a2.
Табыгыз:
а) p(a) = p1(a) + p2(a) + p3(a);
б) p(a) = p1(a) - p2(a) + p3(a);
в) p(a) = pl(a) + p2(a) - p3(a);
г) p(a) = p1(a) - p2(a) - p3(a).
25.10. Өч күпбуын бирелгән: p1(xj у) = 27x3 - 21x2y + 9xι∕2 - у3,
р2(х; у) = 20x3 - 15x2y + 4xι∕2 - Зу3,
р3(х; У) = lθ*3 + 12x2ι∕ - 5xy2 + у3.
Табыгыз:
а) р(х; у) = рДх; у) + р2(х; у) + p3(x< уҮ>
б) р(х; у) = рДх; у) - р2(х; у) + Р3(х; У)>
в) р(х; у) = p1(χ∙, у) + р2(х; у) - р3(х; у);
г) р(х; у) = рДх; у) - р2(х; у) ~ Р3(х; у)-
118
25.11. Тигезләмәне чишегез:
a) 2x2 - (2x2 - 5x) - (4x - 2) = 5;
б) (у3 + у) + (3 - бу) - (4 - 5у) = -2;
в) (х2 - 7х - 11) - (5x2 - 13х - 18) = 16 - 4х2;
г) (у2 - 5y5 - 19) - (5y2 - бу5 - 9) = 22 - 4y2.
25.12. Икенче баганага күпбуын язарга кирәк, аның беренче
баганадагы күпбуын белән суммасы өченче баганадагы
күпбуынны бирергә тиеш:
а) 5x + 6
9x + 7
б) a3 + 2a2b + b3
a3 + 2a2b + b3
в) m2 + 2mn + n2
m2 - 2mn + n2
г) 2c2d + 3cd2 - 8
0
• 25.13. Аңлатманы стандарт рәвешле күпбуын итеп үзгәртегез:
a) 6α2 - (2 - (l,56a - (a2 + 0,36a)) + (5,5a2 + 1,2a - 1));
б) (a2 + 2x2) - (5a2 - l,2ax + (2,8x2 - (l,5a2 - 0,5ax + 1,8х2)));
в) 12,5x2 + y2 - (8x2 - 5y2 - (-10x2 + (5,5x2 - бу2)));
г) (у3 + 3z2) - (у3 - 6az + (2y3 - (3z2 + 4az - l,2y3))).
§ 26. КҮПБУЫННЫ БЕРБУЫНГА
ТАПКЫРЛАУ
Аңлатманы стандарт рәвештәге күпбуын итеп үзгәртегез:
26.1. а) 2x(x2 + 5х + 3); в) 3y(y3 - Зу - 4);
б) -2xy(x2 + 2ху - у2); г) -5mn(m3 + 3wι2n - n3).
26.2. а) x2y2(x + у); в) -c3d4(c2 - d3);
б) -p5g8(p3 + 3pq - q4); г) r7s12(r1° + 2rs - s5).
26.3. а) Зх(х + у) - Зх2; в) 5c(c2 - d2) - 5с3;
б) 7a(a - b) — 7a2; г) 10m(m5 + nβ) - 10m6.
o26.4. а) 3x(x - 5) - 5х(х + 3); в) 2a(a - b) + 2b(a + Ь);
б) 2у(х - у) + у(3у - 2х); г) 3p(8c + 1) - 8c(3p - 5).
o26.5. Аңлатманы гадиләштерегез һәм кыйммәтен табыгыз:
а) 5x(2x - 3) - 2,5x(4x - 2), х = -0,01 булганда;
1
б) 12(2 - р) + 29р - 9(р +1), Р = булганда;
в) 5a(a2 - 4a) - 4a(a2 - 5a), a = -3 булганда;
4
г) 3(3d -1)+ 7(2d + 1), d = 2— булганда.
119
Тигезләмәне чишегез:
o26.6. a) 3(x -1)- 2(3 - 7x) = 2(x - 2);
б) 10(1 - 2x) = 5(2x -3)- 3(llx - 5);
в)
г)
2(х + 3) - 3(2 - 7х) =
5(3x - 2) = 3(x + 1) -
2(х - 2);
2(х + 2).
o26.7.
а)
2x + 1 =
5
, 11 - Зх
” 4 ■
1.
^ 2’
б)
7х - 3 _ 5x + 1.
Зх + 7
6х + 4
6 2 ’
Г) 5
5
o26.8.
а)
o 2х - 1 Зх - 19
. o 2х + 3 х - 6
θ∙A* •
5 5
3 3
б)
8х - 3 Зх + 1 _ о>
, х + 14
6x + 1 _ q
7 10
Г) 5
7
o26.9. a) 6x(x + 2)- 0,5(12x2 - 7x) - 31 = 0;
б) 2x3 - x(x2 -6)- 3(2x - 1) - 30 = 0;
в) 12x(x -8)- 4x(3x - 5) = 10 - 26х;
г) 8(x2 - 5) - 5x(x + 2) + 10(х + 4) = 0.
Мәсьәләне математик модельләүнең өч этабын аерып
күрсәтеп чишегез:
o26.10. А пунктыннан В пунктына 12 км/сәг тизлек белән ве¬
лосипедчы чыга, ә ярты сәгатьтән соң аның артыннан
чыккан велосипедчы, сәгатькә 14 км юл үтеп, В пунк¬
тына беренчесе белән бергә килеп җитә. А һәм В ара¬
сын табыгыз.
o26.ll. Көймә 6 сәг елганың агымы уңаена, ә аннан соң 4 сәг
агымга каршы йөзә. Елганың агым тизлеге 3 км/сәг,
ә көймә барысы 126 км юл үткән була, көймәнең үз
тизлеген табыгыз.
o26.12. Авылдан станциягә кадәр велосипедчы 10 км/сәг тизлек
белән бара, ә кайтканда 15 км/сәг тизлек белән кайта
һәм вакытны 1 сәгатькә кимрәк сарыф итә. Авылдан
станциягә кадәр араны табыгыз.
o26.13. Катер агым уңаена 4 сәг һәм агымга каршы 3 сәг
йөзеп, барысы 93 км юл үтә. Әгәр елганың агым тиз¬
леге 2 км/сәг булса, катерның үз тизлеген табыгыз.
120
Гамәлләрне эшләгез:
r>z>-∙j 4, i a + 2 2 4 - За
26.14 . a) 14α + 25α ;
’ 7 5
6)3*2∙^ + 5⅛∙*⅛
0,1 0,5
в) 24ft3 ∙ &2 + b ~ 1 + 26fe2 ■ d'i ~3fe2 +4;
6 13
. o 13α3 - 12α2 +5 _ 2 4α2 + 12α - 1
г) 8а 9а
„„ _ _ . 1 o 2 α2 - За + 1 „ a3 - 3α2 + a , i o 3 , 2
26.15 . a) 18α 2a + a- 3a3 + a ;
9 0,4
6) 12x ∙ Щ - 27y ∙ 2-g^ - y(y + 1);
в) 33c3. £±1 _ юс ∙ c' ~ 5c' + c + c< _ 3
11 5
r) 28p2 ■ p2 +θ5^-- - 3p ∙ p3 +θ^2 ~P + 2P' + W - 2P2∙
26.16 . a = 3x2 + 4x - 8, b = 2x2 - 7x + 12, c = 5x2 + 3x - 27
булсын. Түбәндәге шарт буенча аңлатма төзегез һәм аны
х үзгәрешлесенең дәрәҗәләре кимү тәртибендә язылган
стандарт рәвештәге күпбуын итеп үзгәртегез:
a) 2a + Зс - 4Ь;
б) 7ax - 12xb + 15хс - 13;
в) 72xa - 4Ь + Зхс + 4;
г) 0,lx2α + 0,5xc - 0,6x3b - 17.
• 26.17. х = За2 + 4; у = 12а - 13; z = a2 - a + 1; k = 5а3;
I = 12а2; т = 4а булсын. Түбәндәге шарт буенча аң¬
латма төзегез һәм аны а үзгәрешлесенең дәрәҗәләре
кимү тәртибендә язылган стандарт рәвештәге күпбуын
итеп үзгәртегез:
а) 2х + ky — lz', в) kx + ly — τnz∖
б) 1х - Зту; г) тх - lz + 4fex - 14.
26.18. x(3x + 2) - x2(x + 3) + (х3 - 2х + 9) аңлатмасының х
үзгәрешлесе теләсә нинди кыйммәтләр алганда да бер
үк кыйммәт алуын исбатлагыз.
26.19. 6х(х - 3) - 9(x2 - 2х + 4) аңлатмасының х үзгәрешлесе
теләсә нинди кыйммәтләр алганда да тискәре кыйммәт
алуын исбатлагыз.
Тигезләмәне чишегез:
121
26.20.
a)
2x - 3 + 7x - 13 + 5- 2x
3 6 2
,x x - 2 2x - 5 4x - 1
б) + +
5 4 20
= 4-х;
в)
5х - 4
3
Зх - 2
6
= Зх - 2;
+ 2x ~ 1
2
г)
3 - 5х Зх - 5 6х + 7
1 1
5 3 15
= 2x + 1.
26.21. a) 2x + x(3 - (х + 1)) = х(2 - х) + 12;
б) x2(5x + 3) - 6x(x2 - 4) = Зх(8 + х);
в) х(12 - х) - 5 = 4х - х(10 - (3 - х));
г) х(4х - 11) - 7x(x - 1) = -2x(x + 2) + 1.
Мәсьәләне математик модельләүнең өч этабын аерып
күрсәтеп чишегез:
26.22. Аралары 17 км булган А пунктыннан В пунктына
4 км/сәг тизлек белән җәяүле чыга. 15 мин тан соң
В дан А га таба 12 км/сәг тизлек белән велосипедчы
чыга. Очрашуга кадәр җәяүле һәм велосипедчы нин¬
ди юл үтәләр?
26.23. 110 км ераклыктагы АВ арасын турист өч көндә үтә.
Икенче көнне ул беренче көнгә караганда 5 км га ким¬
3
ике көндә узганның — е
рәк, ә өченче көнне беренче
кадәр юл уза. Турист һәр көнне ничә километр үткән?
26.24. Аралары 2400 км булган 2 аэропорттан бер үк вакытта
бер-берсенә каршы ике самолет чыга. 30 минуттан соң
аларның арасы 1400 км кала. Әгәр бер самолетның
тизлеге икенчесенең тизлегеннән 1,5 тапкыр зуррак
булса, самолетларның тизлекләрен табыгыз.
26.25. Аралары 10 км булган А һәм В пунктларыннан бер үк
вакытта капма-каршы юнәлешләрдә велосипедчы һәм
җиңел машина юлга чыга. 24 минуттан соң аларның
арасы 40 км була. Әгәр велосипедчының тизлеге ма¬
шина тизлегеннән 4 тапкыр ким икәне билгеле булса,
аны табыгыз.
26.26. Бер фермер икенчесенә караганда көненә 2,5 гектарга
122
күбрәк җирдән бәрәңге җыя һәм, 8 көн эшләп, икенче
фермер 10 көн эшләгәннән 2 гектарга артыграк җирдән
бәрәңге ала. Һәр фермер көненә ничә гектардан бәрәңге
алган?
26.27. Оста үз өйрәнчегенә караганда сәгатенә 8 детальгә ар¬
тыграк ясый. Өйрәнчек 6 сәг, ә оста 8 сәг эшләп, ба¬
рысы 232 деталь ясыйлар. Өйрәнчек бер сәгатьтә ничә
деталь ясый?
26.28. Өч бистәдә 6000 кеше яши. Икенче бистәдә беренчесенә
караганда ике тапкыр күбрәк кеше, ә өченчесендә
икенчесенә караганда 400 гә кимрәк кеше яши. Һәр
бистәдә ничә кеше яши?
26.29. Заводның икенче цехында беренчесенә караганда 1,5
тапкыр кимрәк, ә өченчегә караганда 200 гә артыграк
эшче эшли. Беренче һәм өченче цехлардагы эшчеләр
саны 800 гә тигез. Икенче цехта ничә эшче эшли?
26.30. Турыпочмаклыкның буе иңеннән 8 см га озынрак.
Әгәр турыпочмаклыкның иңен 2 тапкыр зурайтып,
буен 4 см га кечерәйтсәләр, мәйданы 25 см2 га арта.
Турыпочмаклыкның якларын табыгыз.
o26.31. Турыпочмаклы параллелепипедның иңе һәм буе бер үк,
ә биеклеге буеннан 6 см га озынрак. Әгәр буен 2 тап¬
кыр зурайтып, биеклеген 3 см га кечерәйтеп, ә иңен
үзгәрешсез калдырсалар, параллелепипедның күләме
64 см3 га арта. Бирелгән параллелепипедның үлчәмнәрен
табыгыз.
o26.32. Аралары 2 км булган А һәм В пунктларыннан бер үк
вакытта бер үк юнәлештә җәяүле һәм велосипедчы юлга
чыга. 48 минуттан соң велосипедчы җәяүлене 10 км
артта калдыра. Алар арасындагы ераклыкның зурая ба¬
руы билгеле булса, 2 сәгатьтән соң бу ара нинди булыр?
o26.33. Аралары 1 км булган А һәм В пунктларыннан бер үк
вакытта бер үк юнәлештә җәяүле һәм велосипедчы
юлга чыга. 45 минуттан соң велосипедчы җәяүлене 7
км артта калдыра. Алар арасындагы ераклыкның зу¬
рая баруы билгеле булса, 1,5 сәгатьтән соң бу ара нин¬
ди булыр?
123
§27. КҮПБУЫННЫ КҮПБУЫНГА
ТАПКЫРЛАУ
27.1.
Аңлатманы стандарт рәвештәге күпбуынга үзгәртегез:
а) (х + 1)(х + 2);
б) (a - 3)(a + 8);
в) (Ъ + 10)(b - 4);
г) (у - 5)fy - 9).
27.2.
а) (х - 5)(9 - х);
б) (-8 - a)(b + 2);
в) (у - 10)(-y + 6);
г) (-7 - b)(a - 4).
27.3.
а) (2a + 4)(5a + 6);
б) (7b - 3)(8b + 4);
в) (8с + 12)(3c - 1);
г) (15d + 27)(-5d - 9).
27.4.
а) (m2+ п)(т + п);
б) (2x2 - 1)(х + 3);
в) (3y2 + 5)(у - 6);
г) (7c2 - 1)(с - 3).
27.5.
а) (3a + 5)(3a -6) + 30;
б) (8 - у)(8 + у) - (у2 + 4);
в) х(х - 3) + (х + 1)(х + 4);
г) (с + 2)с - (с + 3)(с - 3).
o27.6.
а) 0,3a(4a2 - 3)(2a2 + 5);
б) l,5x(3x2 - 5)(2x2 + 3);
в) 3p(2p + 4) ∙ 2p(2p - 3);
г) -0,5y(4 - 2y2)(y2 + 3).
o27.7.
а) (3m3 + 5)(3m2 - 10);
б) (4n5 - l)(2n3+ 3);
в) (5fe4 + 2)(6⅛2 - 1);
г) (6p8 - 4)(2p2 + 5).
o27.8.
а) (a + 2)(a2 - a - 3);
б) (т - п + l)(m + п);
в) (5b - l)(b2 - 5b + 1);
г) (с - 2d)(c + 2d - 1).
o27.9.
а) (х2 - ху + y2)(x + у);
б) (a + x)(a2 + ах + х2);
в) (n2 + пр + p2)(n - р);
г) (c2 - cd + d2)(c - d).
o27.10. a) (2a + 3b)(4α2 - βab + 9Ь2);
б) (5 - 2a + α2)(4α2 - За - 1);
в) (5x - 2y)(25x2 + 10xy + 4г/2);
г) (m2 - т + 2)(3m2 + т - 2).
o27.ll. Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
a) (a - l)(α - 2) - (а - 5)(а + 3), a = -8 булганда;
б) (a - 3)(α + 4) - (a + 2)(α + 5), a = булганда;
О
в) (α - 7)(α + 4) - (a + 3)(a - 10), a = -0,15 булганда;
г) (a + 2)(a + 5) - (a + 3)(a + 4), a = -0,4 булганда.
124
Тигезләмәне чишегез:
o27.12. a) 12x2 - (4x - 3)(3x + 1) = -2;
б) (х + l)(x + 2) - (х + 3)(x + 4) = 0;
в) 10x2 - (2x - 3)(5x - 1) = 31;
г) (х - 2)(x - 3) - (х + 2)(x - 5) = 0.
o27.13. a) (3x + 5)(4x - 1) = (6x - 3)(2x + 7);
б) (5х - 1)(2 - х) = (х - 3)(2 - 5х);
в) (5x + l)(2x - 3) = (10x - 3)(x + 1);
г) (7x - 1)(х + 5) = (3 + 7x)(x + 3).
Мәсьәләне математик модельләүнең өч этабын аерып
күрсәтеп чишегез:
o27.14. Турыпочмаклыкның буе иңеннән 20 м га озынрак. Әгәр
аның буен 10 см га кечерәйтеп, иңен 6 м га зурайт¬
салар, мәйданы 12 м2 га артачак. Турыпочмаклыкның
якларын табыгыз.
o27.15. Рәттән килүче дүрт натураль сан бирелгән. Ике зуррак
сан тапкырчыгышы белән ике кечерәге тапкырчыгышы
аермасы 58 гә тигез. Бу саннарны табыгыз.
o27.16. Турыпочмаклыкның периметры 60 см га тигез. Әгәр
аның буен 10 см га озынайтып, иңен 6 см га кыскарт¬
салар, мәйданы 32 см2 га кими. Турыпочмаклыкның
мәйданын табыгыз.
o27.17. Рәттән килүче өч натураль сан бирелгән. Иң кечке¬
нәсенең квадраты калган икесенең тапкырчыгышын¬
нан 65 кә кечерәк булса, бу саннарны табыгыз.
Аңлатманы стандарт рәвештәге күпбуынга үзгәртегез:
27.18. a) α(3α2 - 4)(3α2 + 4); в) a2(2a + 3)(2α - 3);
б) (a - 5)(a + 5)(a2 + 25); г) (a2 + 16)(a - 4)(a + 4).
27.19. а) (3,5jp - l,2⅛)(3,5p + l,2fe);
б) (l,7s + 0,3⅛2)(0,3t2 - 1,7s);
в) (2,4τn2 - 0,8n2)(0,8n2 + 2,4т2);
г) (l,3x3 - l,8y2)(l,8y2 + l,3x3).
27.20. а) (а2 + а - l)(a2 - a + 1);
б) (m2 + 2m - l)(m2 - 2m + 1);
в) (2x2 + 3x + 2)(-2x2 + Зх - 2);
г) (b3 + 5b + 3)(-fe3 - 5Ь + 3).
125
27.21. Аңлатманың тапкырчыгышын стандарт рәвештәге күп¬
буын итеп үзгәртегез:
a) (т - l)(τn3 + τn2 + т + 1);
б) (2 - s)(16 + 8s + 4s2 + 2s3 + s4);
в) (х + y)(x3 - x2y + xy2 - у3);
г) (a + 3)(81 - 27α + 9α2 - 3α3+ α4).
27.22. Тигезләмәне чишегез:
a) (х + 4)(х - 3) + (х - 5)(х + 4) — 0;
б) (х2 - 3)(х + 2) + (х2 + 3)(х - 2) = 4;
в) (х - 4)(х + 3) + (х - 2)(х + 3) = 0;
г) (x2 - l)(x - 4) + (x2 + 1)(х + 4) = 6.
27.23. Ике турыпочмаклыкның параметрлары 122 шәр см.
Беренче турыпочмаклыкның буе икенчесенең буен¬
нан 5 см га озынрак, ә икенчесенең мәйданы бе¬
ренчесенең мәйданыннан 120 см2 га зуррак. Һәр
турыпочмаклыкның мәйданын табыгыз.
27.24. Турыпочмаклыкның периметры 240 см. Әгәр аның буен
14 см га киметеп, иңен 10 см га зурайтсалар, мәйданы
4 см2 артачак. Турыпочмаклыкның якларын табыгыз.
27.25. Өч сан бирелгән, аларның һәркайсы үзеннән алда
килгәненнән 3 кә зуррак. Әгәр кечерәк һәм зуррак
саннарның тапкырчыгышы зуррак һәм уртадагы сан¬
нар тапкырчыгышыннан 54 кә кимрәк икәне билгеле
булса, бу саннарны табыгыз.
27.26. Өч сан бирелгән, аларның һәркайсы үзеннән алда кил¬
гәненнән 12 гә зуррак. Әгәр ике кечерәк сан тапкыр¬
чыгышы ике зуррак сан тапкырчыгышыннан 432 гә
кимрәк булса, бу саннарны табыгыз.
27.27. Дүрт сан бирелгән: икенчесе беренчесеннән 3 кә зур¬
рак, ә дүртенчесе беренче һәм икенче саннар суммасы¬
на тигез. Әгәр беренче һәм икенче саннар тапкырчы¬
гышы өченче сан квадраты белән дүртенче сан аерма¬
сыннан 74,2 гә кечерәк булса, бу саннарны табыгыз.
§ 28. КЫСКАЧА ТАПКЫРЛАУ ФОРМУЛАЛАРЫ
Икебуынның квадратын стандарт рәвештәге күпбуынга
үзгәртегез:
28.1. a) (a + х)2; б) (& - у)2; в) (с + d)2; г) (т - п)2.
28.2. а) (х + I)2; б) (у - 2)2; в) (а - 5)2; г) (с + 8)2.
126
28.3. a) (7 - a)2; 6) (9 + b)2;
в) (4 + п)2;
r)(12-p)2.
28.4. a) (-x + I)2; 6) (-z -
3)2;
в) (-n + 8)2;
г) (-
-т - 10)2
28.5. a) (2a + I)2; 6) (3c -
28.6. a) (8x + 3г/)2;
6) (6m - 4n)2;
28.7. a) (-3α + 5x)2;
6) (-6г/ - 2г)2;
28.8. a) (0,2x - O,5a)2;
6) — m + 3n ;
U )
28.9. a) (x2 + I)2;
6) (y2 - 6)2;
28.10. a) (α2 + 3x)2;
6) (b2 - 5г/)2;
28.11. a) (c2 + d2)2∙,
6) (τn2 - n3)2;
o28.12. a) (α3 + 3b)2;
6) (4x2 - 3c)2;
o28.13. a) ( 2 —a - 1 — b] ;
1 3 14 J
6) [θ,9x + 1⅛⅛1 ;
f 27 i, J
2)2; в) (6x - 3)2;
в) (9p - 2q)2;
γ) (10z + 3Z)2.
в) (-Зиг + 4n)2;
r) (-12z - 3t)2∙
. (r iY
b) 6α — ;
I θj
r) (10c + 0,1г/)2.
в) (q2 + 8)2;
r) (p2 - 10)2.
в) (r2 + 4s)2;
r) (m2 - 6n)2.
в) (г2 + i3)2;
r) (p2 - q2)2.
в) (5τn2 + За2)2;
r) (6∕j2 - 8g3)2.
Г 1 Y
в) ∣^-1,2x - 4∣ι∕ j ;
С 2 Y
г) -2,3a + 1^-b .
1, 23 )
Г) (7г/ + 6)2.
(a ± b)2
формуласын
кулланып исәпләгез:
28.14. a) 792;
б) 392;
в) 592;
г) 692.
28.15. a) 212;
б) 312;
в) 612;
г) 912.
28.16. a) 422;
6) 622;
в) 822;
г) 322.
28.17. a) 982;
6) 282;
в) 882;
г) 582.
o28.18. a) f 12—
1 12 J
<M I t-
I
io
<N
∖2
>
в) f7-Y;
1 14j
г)
'-13—У.
< 13J
o28.19. a) [ 12—^
I 13/
2 ( 13λ2
; 6) 14— ;
1 15j
в) f39⅛
1 40)
г)
'15^2.
< 16j
127
Тиешле кыскача тапкырлау формуласын кулланып,
гамәлләрне эшләгез:
28.20. a) (a - b)(a + Ь); в) (т - п)(т + п);
б) (с - d)(c + d); г) (р - q)(p + q).
28.21. а) (х - l)(x + 1); в) (с - 2)(с + 2);
б) (9 - α)(9 + а); г) (12 - Z)(12 + t).
28.22. а) (3fe - 1)(36 + 1); в) (10m - 4)(10m + 4);
б) (6х - 2)(6x + 2); г) (8a - l)(8a + 1).
28.23. а) (4a - 6)(6 + 4a); в) (46 + 1)(1 - 46);
б) (х + 7)(7 - х); г) (5m + 2)(2 - 5m).
28.24. а) (3x - 5j∕)(3x + 5y)∙, в) (13с - lld)(13c + lid);
б) (7a - 86)(7a + 86); г) (8m - 9n)(8m + 9π).
o28.25. а) (5x - 2y2)(5x + 2г/2); в) (10p3 - 79)(10p3 + 7q);
б) (2с - 3a2)(3a2 + 2с); г) (8d + 6c3)(6c3 - 8d).
028.26. а) (4x2 - 2y2)(4x2 + 2г/2);
б) (10a3 + 562)(10a3 - 562);
в) (3n4 - m4)(3n4 + т4);
г) (10m8 + 8ra8)(10m8 - 8n8).
(a + 6)(a - 6) = a2 - 62 формуласын кулланып исәпләгез:
28.27. а) 69
71;
б) 31 • 29; в) 89 • 91; г) 99 • 101.
28.28. а) 58
62;
б) 82 ■ 78; в) 42 • 38; г) 18 ■ 22.
o28.29. а) 0,49
• 0,51;
в) 0,67 • 0,73;
б) 0,78
■ 0,82;
г) 1,21 ■ 1,19.
o28.30. а) 101
6)10 § 9,6; в)99§100§; г)7§-8,2
5 3 3 5
Тиешле кыскача тапкырлау формуласын кулланып,
гамәлләрне эшләгез:
28.31. а) (х - l)(x2 + х + 1); в) (х - 2)(x2 + 2х + 4);
б) (х + 3)(x2 - Зх + 9); г) (х + 4)(x2 - 4х + 16).
28.32. а) (5m + 3n)(25m2 - 15тп + 9п2);
б) (2a - 3x)(4a2 + 6ax + 9х2);
в) (Зх + 4ι∕)(9x2 - 12хг/ + 16г/2);
г) (4х - 5г/)(16х2 + 20хг/ + 25г/2).
128
Аңлатманы стандарт
28.33. a) 3(x - у)2-,
б) -c(3α + с)2;
o28.34. а) а2 + (За - 6)2;
б) 9p2 - (д - Зр)2;
o28.35. a) (α - 4)2 + а(а + 8);
б) (х - 7)х + (х + З)2;
рәвештәге күпбуынга үзгәртегез:
в) -6(5αι - п)2;
г) 6(1 + 2b)2.
в) (5с + 7d)2 - 70cd;
г) (8m - n)2 - 64т2.
в) (у - 5)2 - (у - 2);
г) b(b + 4) - (b + 2)2.
o28.36. а) (За - 6)(3α + Ь) + Ь2;
б) 9x2 - (у + 4x)(y - 4х);
в) (5с - 6d)(5c + 6d) - 25с2;
г) (7m - 10n)(7τn + 10n) - 100n2.
o28.37. a) 2(a - 2)(а + 2); в) 5c(c + 3)(с - 3);
б) x(x + 4)(х - 4); г) 7d2(d - l)(d + 1).
o28.38. а) (а - с)(а + с) - (а - 2с)2;
б) (х - 4)(х + 4) - (х + 8)(х - 8);
в) (36 - 1)(36 +1)-(6- 5)(6 + 5);
г) (т + 3n)2 + (т + 3n)(m - Зи).
o28.39. а) (6 - 5)(6 + 5)(62 + 25); в) (а - 2)(a + 2)(a2 + 4);
б) (3 - j∕)(3 + р)(9 + у2); г) (c2 - l)(c2 + l)(c4 + 1).
o28.40. Исбатлагыз:
(2a - 6)(2a + 6) + (6- c)(6 + с) + (с - 2a)(c + 2a) = 0.
Аңлатманы гадиләштерегез һәм кыйммәтен табыгыз:
o28.41. а) (a + 3)2 - (a - 2)(a + 2), a = -3,5 булганда;
б) (х - 3)2 - (х + 3)(х - 3), х = -0,1 булганда;
в) (т + 3)2 - (т - 9)(∕n + 9), т = -0,5 булганда;
г) (с + 2)2 - (с + 4)(с - 4), с = - булганда.
o28.42. а) (5a - 10)2 - (3a - 8)2 + 132a, a = -6 булганда;
б) (Зр - 8)2 + (4p + 6)2 + 100р, р = -2 булганда;
в) (56 - З)2 + (126 - 4)2 - 46, 6 = -1 булганда;
2
г) (13 - 5wι)2 - (12 - 4τn)2+ 4т, т = -- булганда.
О
o28.43. Тигезләмәне чишегез:
а) 8x(l + 2x) - (4x + 3)(4x - 3) = 2х;
б) х - 3x(l - 12х) = 11 - (5 - 6x)(6x + 5);
в) (6x - l)(6x + 1) - 4x(9x + 2) = -1;
г) (8 - 9х)х = -40 + (6 - 3x)(6 + Зх).
129
Тигезләмәне чишегез:
o28.44. a) (х - 6)2 - х(х + 8) = 2;
б) 9x(x + 6) - (3x + 1)2 = 1;
в) x(x - 1) - (х - 5)2 = 2;
г) 16x(2 - х) + (4x - 5)2= 1.
o28.45. a) 9x2 - 1 - (Зх - 2)2 = 0;
б) х + (5x + 2)2 = 25(1 + х2);
в) (2x - 3)2 - 2x(4 + 2х) = 11;
г) (4x - 3)(3 + 4x) - 2x(8x - 1) = 0.
028.46. а) (х - l)(x + 1) = 2(x - З)2 - х2;
б) (2x + 3)2 - 4(x - l)(x + 1) = 49;
в) 3(x + 5)2 - 4x2= (2 - х)(2 + х);
г) (Зх + I)2 - (Зх - 2)(2 + Зх) = 17.
o28.47. a) (х - l)(x2 + х + 1) = 0; в) (х - 2)(x2 + 2х + 4) = 0;
б) (х + 2)(x2 - 2х + 4) = 7; г) (х + l)(x2 - х + 1) = -7.
o28.48. Турыпочмаклы параллелепипедның буе иңеннән 5 см га
озынрак һәм биеклегеннән 5 см га кыскарак. Әгәр
параллелепипедның өслек мәйданы 244 см2 булса, аның
үлчәмнәрен табыгыз.
o28.49. Турыпочмаклы параллелепипедның буе иңеннән 3 см
га озынрак һәм биеклегеннән 3 см га кыскарак. Әгәр
параллелепипедның өслек мәйданы 198 см2 булса, аның
үлчәмнәрен табыгыз.
Аңлатманы стандарт
28.50. a) (10x2 - Зхг/3)2;
б) (8p3 + 5p⅛)2!
28.51. a) (20x3z + 0,03z2)2;
б) ^ra3 + 4τnra2 ) ;
28.52. a) (xn - 23)(x"+ 23);
б) (α2n + b")(α2" - &");
рәвештәге күпбуынга үзгәртегез
в) (0,6h3 - 5Ь2с4)2;
г) (3z7 + 0,5z302∙
в) (0,15fe4ra3 - Юга4)2;
( 1 V
г) 6α2 - —ab .
I з )
в) (c" - d3")(cn + </3л);
г) (αn + 1 - bn^1)(a,,+1 + bn~x).
28.53. a) (3x2 - 2)(9x4 + 6x2 + 4);
б) (5x2 + 3)(25x4 - 15x2 + 9);
в) (8b2 + 3)(64i>4 - 2452 + 9);
г) (7a2 - l)(49a4 + 7a2 + 1).
28.54. а) (х - 2)2(x + 2)2;
в) (raι — 6)2(∕ra + 6)2;
б) (у - 4)2(<∕ + 4);
г) (га - 7)2(7 + га).
130
28.55. a) (x - y)(x + <∕)(x2 + у2)-,
б) (За - b)(3a + b)(9α2 + b2);
в) (ps + q)(p3 - <7)(p6 + q2);
г) (s4 + r4)(s - r)(s + r)(s2 + г2).
28.56. a) (3x2 + 4)2 + (3x2 - 4)2 - 2(3x2 + 4)(3x2 - 4);
б) P(P ~ 2c)(p + 2с) - (р - c)(p2 + рс + с2);
в) (4a3 + 5)2+ (4a3 - I)2 + 2(4a3 + 5)(4a3 - 1);
г) m(2m - I)2 - 2(m + l)(τn2 - т + 1).
28.57. а) (a - i>)(a + ∂)(a2 + b2)(a4 + 64)(a8 + Ь8);
б) х32 - (х - l)(x + l)(x2 + l)(x4 + l)(x8 + l)(xlβ + 1).
Тигезлек үтәлерлек итеп, * символларын бербуыннар
белән алыштырыгыз:
28.58. а) (6a5 + *)2 = * + * + 25х2;
б) (10m5 + *)2 = * + * + 36тп4п6;
в) (* - 4x7)2 = 25x4p2 - * + *;
г) (8a3 - *)2 = * - * + 49a⅛6.
28.59. а) (* + 4d4)2 = * + 24c2d5 + *;
б) (* - 8a4)2 = 81aβfe2 - * + *;
в) (4p⅛2 + *)2 = * + * + 0,01<78;
г) (8<74Z3 - *)2 = * - * + 0,16t4.
28.60. а) (* + *)2 = * + 70b3c + 49с2;
б) (* - *)2 = 81х2 - * + 100х4у6;
в) (* + *)2 = * + 70x3p2 + *;
г) (* - *)2 = * - 48c5d3 + *.
28.61. а) (* - 15a)(* + *) = 4c2 - *;
б) (* + *)(* - 11c) = 81a2 - *;
г) (* - *)(* + 0,4ra2) = 100τnβ - *.
28.62. а) (* - 10z2)(* + *) = 0,49xβ - *;
16
б) (* + *)(7p6 -*) = *- — ү4;
в) (l∣x7 - *j (* + *) = * - 64y4z10;
r) (* - *)2 = * - 60a4x2 + *.
131
28.63. Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
4
а) 125 - (5 - 3x)(25 + 15x + 9x2), х = —— булганда;
О
б) 25-(2- 3α)(4 + 6a + 9a2), a = ~ булганда;
О
в) 127 + (5c - 3)(25c2 ÷ 15c + 9), с = -1- булганда;
5
2
г) 64-(4- 3a)(16 + 12a + 9a2), a = -- булганда,
о
•28.64. Санлы аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а) (2 - 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) - 21в;
б) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + l)(2lβ + 1) - 232.
•28.65. Тигезлекне исбатлагыз:
(32 + 22)(34 + 24)(38 + 28)(316 + 216) - 0,2(3≡2 - 232).
§29. КҮПБУЫННЫ БЕРБУЫНГА БҮЛҮ
Күпбуынны бербуынга бүлүне эшләгез:
29.1. а) (12a + 8) : 4;
б) (54d + 36) : (-18);
в) (44y + 22) : 11;
г) (-15 - 5y) : (-5).
29.2. а) (a - ab) : a;
б) (х - ху) : (-х);
в) (-τn - тп) : т;
г) (-c + cd) : (-с).
29.3. а) (a2 + 3ab) : а;
б) (zn3 - m2n) : т2;
в) (c2 - 2cd) : с;
г) (p4 - p3q) : р3.
o29.4. a) (4a∂2 + 3aft) : (ab);
б) (l,2cd3 - 0,7cd) : (cd);
в) (-3,5wι2n - 0,2mn) : (тп);
r) [-∣χy+ ∣χ3^):
o29.5. а) (4х + 12г/ - 16) : (-4);
б) (3x2<∕ - 4xy2) : (5x1/);
в) (2ab + 6a252 - 4Ь2) : (-25);
г) (-a553 + 3aβ52) : (4a452).
o29.6. Алгебраик аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а) (18a4 - 27a3) : (9a2) - 10a3: (5a), a = -8 булганда;
б) (36x2p - 4xy2): (4ху) + у, х=-^; У = 0,2745 булганда.
132
o29.7. Бирелгән күпбуын бүленә торган өч бербуын уйлагыз:
a) 5x2 - 6x4 + 48x6 - 12х3;
б) 14x6 - 28x + 7x5 + 84x4 - 56х8;
в) 15α2b3 + 25a4b2 - 30a⅛3 - 75а4һ7;
г) 45τn6n2 + 30m3n5 + 60τn4n3 - 90τn4ns.
o29.8. Биремнең мәгънәсе барлыгын ачыклагыз: 2x3z∕2 +
+3x2y - 5x4j∕4 күпбуынын А бербуынына бүләргә, биредә:
a) A = хуг; б) A = x2y2∙, в) А = ху, г) А = -x2y.
29.9. Вакланманың санаучысын ваклаучысына буынлап бү¬
легез:
, 12a8Z>6 + 60a6⅛8 .
, 4aibs
132n3p2 - 44n2p3 + 110n2p4
ч 15a7x9 - 45a9x7.
' 5a6x6
г) 108⅛4n2 - 144⅛3n3 - 180⅛2n4
, 36kn
29.10. Биремнең мәгънәсе барлыгын яки юклыгын ачыкла¬
гыз, булса, аны үтәгез:
a) (7α2 + 10a3fe) : а4; в) (27a3 - 81b3) : (9a3b3);
б) (4x2 - 3x) : (-Х2); г) (42x3t∕ - 63хг/3 + 14x<∕) : (7xι∕).
29.11. Бирелгән күпбуын бүленә торган һәм охшаш булмаган
ике бербуынны языгыз:
а) 13⅛3Z4 + 21A4Zβ - 2k2l8 + 32⅛9Z5s
б) 18p6g3 + 27p2qi - 63p⅛5 - 72p9q7∙,
в) 16c6d4 + 24c5d8 + 32ΛZ7 - 48с2с?3;
г) 36x6ι∕5 - 48x4y8 + 84x9i∕3 - 144x3y4.
29.12. Бирелгән күпбуын бүленә торган һәм охшаш булмаган
биш бербуынны языгыз:
а) 4h4c5 - b4c4 + 13Ь2с6;
б) 12x3y4 - 16x2y3 + 24х2у2;
в) 5z5τn7 - 25г8ти + 40z12zn2;
г) 3,2⅛2Z4 - 1,4A3Z4 + 4,3feZ6.
133
29.13. Бербуыннар арасыннан 12x2y3z - 3xy2z2 + 4xy2z3 күпбуыны
бүленә торганнарын сайлап языгыз:
a) x2yz; 3x2y2z∙, ху; xyzi∙, х3;
б) xy2z; 6xy4z∙, 5z; бхуг; 20ху;
в) у2; 3; 142xi/z; 15х; 24z2;
г) 4ху2; у2г; 8; 7xyz; 2xy2z.
Тигезлек үтәлерлек итеп * символларын бербуыннар
белән алыштырыгыз:
.nn 1 λ a 15α b - * + 20a⅛3 _ ,
•29.14. а) 5 = * - 7αb + *;
5a⅛
- 24a3x4 r7 2 о з
б) - 7α2 - 8ах ;
*
в)
* - 100a2⅛4 + 75a⅛s
25ab3
= 3a2 — * + *;
г)
57c4d3 - 38c3d2
*
= 3cd2 - *.
опчк ∖ 42a2x4 - 21a3x3 + 72a4x2 1 „ 2
29.15. а) = * - * + 12a х;
*
б) *—- +63a"χ5 = 2a5x3 - 3a6x2 + 4,5α"~3x∙,
*
. 30⅛3p3 -175⅛2p4 - * o,2 _ i. 2
в) - - = 3⅛2 - * - 14р2;
45r10ri3 + 54rn+2d7 - *
г) ⅜oc а + о4с d = + + 3 6c„d, _ 2ctdi
*
• 29.16. Ачыклагыз, бирелгән күпбуыннарның кайсысы
30a4b3 - 12a2b4 күпбуынын ниндидер бербуынга бүлүдән
чыккан өлеш булырга мөмкин. Әгәр бүлүче булса, аны
табыгыз:
a) 3a3 - l,2ab; 30a4b - 12аЬ2;
б) 5b3 - 2ft4; 15a2b - 4b;
в) 30a3b2 - 12ab; 6a3b2 - 3ab3;
г) 15a4∂3 - 6a2fe4; 3a2 - 1,25.
134
•29.17. Ачыклагыз, бирелгән күпбуыннарның кайсысы
42x5y4 + 56x4y2 күпбуынын ниндидер бербуынга бүлүдән
чыккан өлеш булырга мөмкин. Әгәр бүлүче булса, аны
табыгыз:
a) 21x4ι∕3 + 18x3i/6; 5,25xy3 + 7у6; 6x4y3 + 8х3у;
б) 6x3y3 + 8x2j∕β5 42ху + 56г/2; 21x2y3 + 28хг/;
в) 42x2y + 56х; 21x3z∕3 + 28x3i/; 4,2x4t∕2 + 5,6х3;
r) 5,25xy3 + 14хг/в; 10,5x2j∕3 + 14ху; 6x3z∕ + 8x2.
ӨЙ КОНТРОЛЬ ЭШЕ №6
1 нче вариант
1. Күпбуынны стандарт рәвешкә китерегез, аның дәрәҗәсен
һәм ирекле буынын күрсәтегез:
4х • -х3 - 3,5x2 • 6 + -х2 ■ 3x3 - x2(-2x) + 2 • (-1,5).
2 5
2. 2α2 + 45 - 12 аңлатмасында b үзгәрешлесен 2α2 - 4a + 1 күп¬
буыны белән алыштырыгыз һәм килеп чыккан күпбуынны
стандарт рәвешкә китерегез.
3. l^^a + 2~a - 15 + 2,4a - * күпбуынында * символы урыны-
Z о
на аңлатмада үзгәрешле булмаслык итеп бербуын куегыз.
4. Бирелгән: p1(a) = a2 - 3a3 + 1,2, p2(a) = 3a3 - 2,4a2 - а. Күпбуын
төзегез:
а) p(a) = p1(a) + 2рг(а); б) p(a) = 3p1(a) - p2(a).
5. Үзгәрешле нинди кыйммәтләр алганда, тигезлек дөрес була:
6x2y(2xι∕ - 1) + 3x(2xy - 5) = 2x(Qx2y2 - 5) - 25?
6. Кыскача тапкырлау формуласын кулланып исәпләгез:
а) 992; б) 2022.
7. Тигезләмәне чишегез:
(2x - l)(2x + 1) - 4(x + 5)2 = 19.
8. Кыскача тапкырлау формуласын кулланып, (2x + 3)(4x2 -
- 6х + 9) аңлатмасын гадиләштерегез һәм, х = 0,25 булганда,
аның кыйммәтен табыгыз.
9. (5m - 2)(5m + 2)- (5m - 4)2 - 40m аңлатмасының кыйммәте
үзгәрешленең кыйммәтенә бәйле түгеллеген исбатлагыз.
135
2 нче вариант
1. Күпбуынны стандарт рәвешкә китерегез, аның дәрәҗәсен
һәм ирекле буынын күрсәтегез:
5α2 ∙ l,5α4 - — а ■ 6α2 + a3 ■ (-4α2) - а2 ■ (-a2) - 12 ■ (-3).
3
2. 3x3 + 2у + 4 аңлатмасында у үзгәрешлесен Зх3 + х - 5 күпбуыны
белән алыштырыгыз һәм килеп чыккан күпбуынны стандарт
рәвешкә китерегез.
3. 4х - 1,5х + 7 + 1 —х + * күпбуынында * символы урынына
аңлатмада үзгәрешле булмаслык итеп бербуын куегыз.
4. Бирелгән: p1(d) = 12d4 - 10d2 + 7, p2(b) = l,4d3 - 5d4 + b + 1,2.
Күпбуын төзегез:
а) p(b) = 2p1(d) + p2(b)∙, б) p(b) = pγ(b) - 3p2(d).
5. Үзгәрешле нинди кыйммәтләр алганда, тигезлек дөрес була:
3a(5ad3 - 3) + 5a2d2(3d - 2a) = 15a(2ad3 - 1) + 18?
6. Кыскача тапкырлау формуласын кулланып исәпләгез:
а) 892; б) 1022.
7. Тигезләмәне чишегез:
(Зх + 2)(3x - 2) - 32 = 9(x - 2)2.
8. Кыскача тапкырлау формуласын кулланып, (2 - 3a)(4 + 6a + 9a2)
аңлатмасын гадиләштерегез һәм, а = — булганда, аның
кыйммәтен табыгыз.
9. (3d + 2)2 + (7 + 3d)(7 - 3d) - 12d аңлатмасының кыйммәте
үзгәрешленең кыйммәтенә бәйле түгеллеген исбатлагыз.
БҮЛЕК
КҮПБУЫННАРНЫ
ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ
§ 30. НӘРСӘ УЛ КҮПБУЫННАРНЫ
ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ
ҺӘМ УЛ НИ ӨЧЕН КИРӘК
Тигезләмәне чишегез:
30.1. а) х(х + 2) = 0;
б) (х + 1)(х + 4) = 0;
30.2. a) m(m + l)(τn + 2) = 0;
б) n∖n - 3)(n - 8) = 0;
в) z(z - 1,6) = 0;
г) (*/ + 2)(z∕ - 6) = 0.
в) p(p + 13)(p - 17) = 0;
г) q3(q - 21)(q - 105) = 0.
o30.3. a) (2x + 3)(3x - 6) = 0;
б) (9<∕ + 18)(12y - 4)(36z∕ - 72) = 0;
в) (4a - 8)(6α - 10) = 0;
г) (4t - 1)(8Y - 3)(12f - 17) = 0.
o30.4. р(х) күпбуынын күпбуын һәм бербуын тапкырчыгышы
рәвешендә күрсәтегез:
a) p(x) = 2x2 + х; в) p(x) = Зх3 - 12х;
б) p(x) = 6x3 - Зх2 + Зх; г) p(x) = 5x4 + 5x3 - 10x2.
o30.5. р(х) күпбуынын күпбуын һәм бербуын тапкырчыгышы
рәвешендә күрсәтегез һәм х нинди кыйммәтләр алган¬
да р(х) = 0 тигезлеге үтәлгәнен табыгыз:
a) p(x) = 5x2 - 10х; в) p(x) = 7x2 + 21х;
б) р(х) = х2 + 6х3; г) p(x) = 4x4 - х3.
оЗО.б. Тигезләмәне чишегез:
а) х2 — х = 0;
б) 2x2 + 4х = 0;
в) Зх2 — 7х = 0;
г) х2 = 4х.
137
30.7. a2 - b2 = (α - b)(a + b) формуласыннан файдаланып, р(х)
күпбуынын ике күпбуын тапкырчыгышы рәвешендә
күрсәтегез:
а) р(х) = х2 - 4;
б) р(х) = 9 - 4х2;
в) р(х) = х2 - 9;
г) p(x) = 4 - 9x2.
o30.8. р(х) күпбуынын тапкырлаучыларга таркатыгыз һәм х
нинди нинди кыйммәтләр алганда р(х) = 0 тигезлеге
үтәлгәнен табыгыз:
а) р(х) = х2 - 1;
б) р(х) = х2 - 0,64;
в) р(х) = х2 - 49;
г) р(х) = х2 - — .
o30.9. Тигезләмәне чишегез:
а) х2 - 16 = 0;
б) у2 - 25 = 0;
в) z2 - 36 = 0;
г) t2 - 100 = 0.
оЗО.Ю. Иң уңайлы юл белән исәпләгез:
а) 1,8 • 0,6 + 1,8 • 0,4;
в) 3,6 • 1,3 - 0,3 • 3,6;
б) 1,52 - 1,5 • 11,5;
г) 1,3 • 8,7 + 1,32.
o30.ll. a) 532 - 432;
( 1V ( 1?
б) 6- - 5± ;
1 3J 1 3j
в) 1082 - 982;
( ιΛ2 ( 1V
г) 7-Ь - 3- •
2) ∣l 2)
Тигезләмәнең графигын төзегез:
o30.12. а) х(х - у) = 0;
б) (х - 4)(</ + 3) = 0;
в) у(х + у) = 0;
г) (х + 1)(р - 2) = 0.
o30.13. a) (2x - у)(х + у) = 0;
б) (х + 2y)(x + у - 1) = 0;
в) (х - p)(3x + у) = 0;
г) (х - 3p)(x - у + 2) = 0.
Тигезләмәне чишегез:
30.14. а) (х - l)2(x + 2) = 0;
б) (х2 - 1)(х - 3) = 0;
в) (х - 4)2(x - 3) = 0;
г) (x2 - 4)(x + 1) = 0.
30.15. a) x(x - 2)(x2 + 1) = 0;
б) (х + 6)(x3 - 8) = 0;
в) x(x2 + 4)(х + 4) = 0;
г) (х - 5)(x3 + 1) = 0.
30.16. a) 0,25α2 -9 = 0;
б) 0,04i>2 -4 = 0;
в) 4x2 - 1,44 = 0;
г) 0,25z∕2 - 25 = 0.
138
30.17. Иң уңайлы юл белән чишегез:
910 3242 - 362 ,
а) 1372 - 1232 ’ В) 1440 ’
„ 13,2 9,8 + 13,2 2,2 . 4,5 • 3,1 - 4,5 • 2,1
б) — 1 i —; г) — - -.
24 0,1
•30.18. Тигезләмәнең графигын төзегез:
a) 2x2 + ху = 0; в) у2 - Зху = 0;
б) ху - 5у = 0; г) 4х + ху = 0.
§31. УРТАК ТАПКЫРЛАУЧЫНЫ
ҖӘЯ АЛДЫНА ЧЫГАРУ
31.1. Бирелгән бербуыннарның һәрберсе бүленә торган
өчбуынны языгыз:
a) 2τn2, 2т, 4; в) 15αb2, 25ab, 30а2Ь;
б) 4х, 16х, 8ху; г) 56xyz, 42x2z, 14y2z.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
31.2.
а) Зх + Зу; б) 5α -
5b; в) 7a + 7у;
г) 8х - 8а.
31.3.
а) Зх + бу; б) 5α -
15b; в) 7a + 14у;
г) 8х - 32а.
31.4.
а) 8х + 12у;
б) 15α - 25b;
в) 21а + 28у;
г) 24x - 32а.
31.5.
a) 2,4х + 7,2у;
б) l,8α - 2,4b;
в) 0,01а + 0,03у;
г) l,25x - 1,75а.
o31.6.
a) ⅜x + ±у; б) ^α -
3 3 9
16 ,. . 18 „ , 12
2ТЬ’ * 25 + 35
o31.7.
a) 3∣x + 3⅛y5
Ә 10
б) 4∣α-l⅛5.
o31.8.
a) 3b2 - ЗЬ;
б) a4 + 2a2∙,
в) 4c2 - 12с5;
г) 8d4 - 32d2.
o31.9.
а) х3 - Зх2 - х;
б) 2т& - 4пг3 + 6т;
в) y5 - 2y4 + у2;
г) 9p4 - 18p2 - 27р.
o31.10.
a) ab - а2Ь;
б) ~P2q2 - pq;
в) x2y - ху2;
г) m3n2 - n3m2.
139
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
o31.ll. a) 2z5g2 - 4z⅛ + 6z2q3; в) 7α4b3 - 14a3b4 + 21a2b5;
б) xy3 + 5x2y2 - 3x2y, г) 8x3y3 + 88x2<∕3 - 16x3p4.
o31.12. а) 15x3ι∕2 + 10x2ι∕ - 20x2y3∙,
б) 12a2b4 - 36a2b + 44abc;
в) 195c⅛5 - 91c5p6 * * + 221c3p10∙,
г) 42a4b - 48a3b2 - 78a2b3.
31.13. а) 3x(a + Ь) + у(а + Ь); в) 5p(r - s) + 6q(r - з);
б) m(x - у) - (х - у); г) (с + 2) - d(c + 2).
31.14. а) 15c(a + b) + 8(b + а); в) n(2a + 1) + raι(l + 2а);
б) 4а(х + у) — 9b(y + х); г) llp(c + 8d) - 9(8d + с).
31.15. а) а(Ъ - с) + 3(с - Ь); в) 6(m - п) + s(ra - т);
б) 4(p - q) - a(q - р); г) 7z(x - у) - 5(у - х).
o31.16. а) (х - у)2 - a(x - у); в) (т + n)2 + 9d(raι + га);
б) 5(a + 3)3 - (а + 3); г) (p2 - 6) - 4(p2 - 6)2.
Тигезләмәне чишегез:
o31.17. а) x2 - Зх = 0; в) у2 - 5у = 0;
б) a2 + 10a = 0; г) b2 + 20b = 0.
o31.18. а) 0,45p2 + 18р = 0; в) 9m2 + 0,27m = 0;
б) -4<j2 + 3q = 0; г) -7x2 + 2х = 0.
o31.19. а) х3 + 2x2 = 0; в) x3 - Зх2 = 0;
б) (х - 6)2 + 2х(х - 6) = 0; г) (х + 4)2 - Зх(х + 4) = 0.
o31.20. Иң уңайлы юл белән исәпләгез:
а) 1542 + 154 • 46; в) 1672 - 167 • 67;
б) 0,23 + 0,22 0,8; г) 0,93 - 0,81 ■ 2,9.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
31.21. а) 4c(4c -1)- 3(4c - I)2;
б) (a + 2)3 - 4a(a + 2);
в) 8m(m -3)- 3(m - З)2;
г) (a - 4)3 + 8a(a - 4).
31.22. а) a(2a - b)(a + b) - 3a(a + b)2∙,
б) m(3raι + ra2)(m — п) + тп(т — га)2;
в) 5x2(3x - 8) + 10x(3x - 8)2;
г) 6d2(2d - 5)2 - 12d2(2d - 5)(d + 5).
140
31.23. Иң уңайлы юл белән исәпләгез:
a) 0,7562 - 0,241 ■ 0,756 - 0,415 • 0,756;
б) 0,252 • 2,4 + 0,25 ∙ 2,42 - 0,25 • 2,4 ■ 0,65;
в) 2,49 ■ 1,63 - 2,12 • 1,63 + 1,632;
г) 0,16 6,41 • 1,25 - 0,16 1,252 - 0,162 • 1,25.
o. .1,9 3,8 + 1,9 1,2 . 1,7∙1,6 + 1,72
, 0,22 + 0,2 1,7 ’ 3,4 • 8,7 - 3,4 5,4
.25.25 ,57 78
б) 3 7 3 7 . г) 9 15 15 9
fj2V _ .2 2’ f12V _ 12 1
V 7j 7'7 I 5J 5 ' 15
31.25. Бирелгән аңлатманың кыйммәте:
a) 176 + 17s нең 18 гә; в) 428 + 427 нең 43 кә;
б) З17 + З15 нең 30 га; г) 223 + 220 нең 72 гә
кабатлы икәнен исбатлагыз.
•31.26. Бирелгән аңлатманың кыйммәте:
a) 87 - 218 нең 28 гә; в) 97 + З12 нең 90 га;
б) 106 + 57 нең 23 кә; г) 64 - 28 нең 13 кә
кабатлы икәнен исбатлагыз.
•31.27. Тигезләмәнең графигын төзегез:
a) 2x2 + Зху + 6х = 0; в) 2xy - Зу2 - бу = 0;
б) x2y + ху2 = 0; г) 2x2y - ху2 = 0.
•31.28. у = р2 - 2рх сызыкча функциясенең графигы р ның
кыйммәтләре нинди булганда бу нокта аша уза:
a) (1; 0); б)Г-|;о]; в) (-1; 0); г) (2,5; 0)?
§32. ГРУППАЛАУ ЫСУЛЫ
32.1. Бирелгән аңлатмаларның уртак тапкырлаучысын җәя
алдына чыгарыгыз һәм бер үк икебуыннары булганна¬
рын парлап языгыз:
а) 2х - х2, -3αx + 2x2, 2ax2 - 3α2x, 4xy - 2x2y,
б) ab - 3b2, a2 - 3ab, 5 + Юх, а + 2ах;
в) n2 — пт, 6a2 - 9ab, тп - n2, 2ab - 3b2∙,
г) 4х - 8, х2 - 2х, -5 - 15m, 21mn + 7п.
141
32.2. Бирелгән аңлатмаларның уртак тапкырлаучысын җәя
алдына чыгарганнан соң, җәя эчендә бер үк икебуын-
нары булганнарын парлап языгыз:
a) 2by - bz, 4αx - az, 2ay - az, 4bx - bz;
б) 6αx - 3x, -2a + 1, 3by - 3y, с - cb;
в) α3 - 2a2, 4ab - 2a2b, 5ac2 - Юас, За - 6;
г) 3mn2 - 6τn2n, abn - 2abm, a2x3 - 9a2x, 9x2 - х4.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
o32.3. а) За + 3 + па + п;
б) бтх - 2т + 9х - 3;
в) ах + Зх + 4а + 12;
г) 2тх - 3m + 4х - 6.
o32.4.
а) 7kn - 6⅛ - 14п + 12;
б) 7x + 7a - 5ax - 5a2;
в) 9m2 - 9mn - 5m + 5п;
г) be + Зас - 2ab - 6a2.
o32.5.
а) 5y2 + у + у3 + 5;
б) у3 - 4 + 2у - 2у2;
в) z3 + 21 + Зг + 7г2;
г) z - 3z2 + z3 - 3.
032.6.
а) 7c2 - с - с3 + 7;
б) х3 + 28 - 14x2 - 2х;
в) х3 - 6 + 2х - Зх2;
г) 2b3 - 6 - 4fe2 + ЗЬ.
o32.7. a) 16ab2 + 5b2c + Юс3 + 32ас2;
б) 20n2 - 35а - 14ап + 50п;
в) 18a2 + 21ab + 14ас + 215с;
г) 2x2yz — 15yz — 3xz2 + Юху2.
o32.8. Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а) ax — 2a - Зх + 6, әгәр a = 1,5; х = 3,5;
б) 2a + b + 2a2 + ab, әгәр а = -1; b = 998;
в) 7by + 4b - 14y - 8, әгәр у = b =
г) 5ab - 7b + 5a2 - 7a, әгәр a = 3,7; b = -3,7.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
32.9. а) 40a3bc + 21bc - 56ac2 - 15a2b2∙,
б) 16xj∕2 - 5y2z - Юг3 + 32xz2;
в) 30x2 + 10с - 25сх - 12х;
г) 18x2z - 10kxy + 20k2y - 36kxz.
32.10. а) ax2 - ay - bx2 + су + by - cx2∙,
б) xy2 - by2 - ах + ab + у2 - а;
в) ах + bx + ex + ay + by + су;
г) ab - a2b2 + a3b3 - с + abc - ca2b2.
142
32.11. 2la2b - 4b-12α + 7ab2 аңлатмасының кыйммәтен табыгыз:
a) α = -—; 5 = 2;
О
б) а = 4; b = |;
в) α = 1-; 5 = 0,5;
7
г) β - ft - 3.
О
32.12. Тигезләмәне чишегез:
a) Xs + 2x2 + Зх + 6 = 0; в) х3 + Зх2 + 5х + 15 = 0;
б) x4 + x3 - 8х - 8 = 0;
г) х4 - Зх3 - х + 3 = 0.
хОу координаталар күчәрендә тигезләмәнең графигын
төзегез:
•32.13. а) ху + 2 - 2у - х = 0;
б) 4 + ху + 2(х + у) = 0.
•32.14. а) у2 - 4у + ху - 4х = 0; в) х2 + Зх - ху - Зу = 0;
б) 2x2 - 4х - ху + 2у = 0; г) -у2 + 2у - Зху + 6х = 0.
Иң уңайлы юл белән исәпләгез:
32.15. а) 2,7 6,2 - 9,3 ■ 1,2 + 6,2 ■ 9,3 - 1,2 ■ 2,7;
б) 125 • 48 - 31 • 82 - 31 • 43 + 125 ■ 83;
в) 14,9 • 1,25 + 0,75 1,1 + 14,9 0,75 + 1,1 • 1,25;
г) 3 — 4— + 4,2 • - + 3— • 2 — + 2,8 •
’ 3 5 3 3 5 3
32.16. а) 109 • 9,17 - 5,37 • 72 - 37 • 9,17 + 1,2 • 72;
б) 19,9 • 18 - 19,9 16 + 30,1 • 18 - 30,1 • 16;
в) 15,5 • 20,8 + 15,5 • 9,2 - 3,5 • 20,8 - 3,5 ■ 9,2;
г) 77,3 • 13 + 8 • 37,3 - 77,3 ■ 8 - 13 ■ 37,3.
Күпбуынның бер буынын охшаш кушылучылар сумма¬
сы итеп алып, тапкырлаучыларга таркатыгыз:
•32.17. а) х2 + 6х + 8;
б) х2 - 8х + 15;
в) х2 + Зх + 2;
г) х2 - 5х + 6.
• 32.18. а) a2 - 7а + 6;
б) b2 + 95 - 10;
в) у2 - Юу + 24;
г) z2 - 18z - 40.
•32.19. а) a2 + 8ab - 952;
б) a2 + 16ab + 5 552;
Тигезләмәне чишегез:
в) х2 + 4ху - 12у2;
г) х2 + 16xy + 39y2.
•32.20. а) х2 - Зх + 2 = 0;
б) х2 + 8х + 15 = 0;
в) х2 - 6х + 8 = 0;
г) х2 - Зх - 4 = 0.
•32.21. а) 2x2 - 5х + 2 = 0;
б) Зх2 + 10х + 3 = 0;
в) 4x2 + 5х - 6 = 0;
г) Зх2 - х - 2 = 0.
143
•32.22. р ның кыйммәтләре нинди булганда, бирелгән саннар
пары p2x + ру + 8 = 0 тигезләмәсенең чишелеше була:
a) (1; -6); б) (-1; 2)?
•32.23. р ның кыйммәтләре нинди булганда, у = р2 - 2рх сы¬
зыкча функциянең графигы бирелгән нокта аша үтә:
a) (1; 3); б) (-2; 5)?
§ 33. КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА
КЫСКАЧА ТАПКЫРЛАУ ФОРМУЛАЛАРЫН
КУЛЛАНЫП ТАРКАТУ
33.1. Аңлатманы бербуынның квадраты рәвешендә күрсәтегез:
a) 4z2, 9ft4, 25m2, 64р2;
б) 16α2b4, 81x6y4, 49s2Z8, 25/?2f°;
в) — p2sit2, -min12, -a2bl2, — x4y8z16-,
25 16 49 81 y
г) 0,01α4b8, 0,04x6yβ, 0,49fe8Z1°, l,21mβn4.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
33.2. а) х2 - 196; б) 169 - тп2; в) у2 - 144; г) 225 - n2.
33.3. a) 4 - 36а2; в) 400 - 121с2;
б) 49Ь2 - 100; г) 144d2 - 225.
33.4.
a) a2 — 9Ь2; б) 16d2 — с2; в) т2 - 64п2;
г) WO?2 - р2.
33.5.
a) 49x2 - 121а2;
б) 64p2 - 81g2;
в) 9τn2 - 16п2;
г) 144y2 - 25r2.
оЗЗ.б.
o33.7.
0ЗЗ.8.
o33.9.
o33.10.
a) x2y2 - 1; б) 25 - 36p2c2∙, в) 4 - c2d2∙,
a) c2d2 - т2; в) 16y2z2 - 9а2п2;
б) a2x2 - 0,25г/2; г) x2y2 - 0,25p2q2.
a) 144α4 - 625с2; в) 169x8 - 400у16;
б) 25p1° - |<712; r)4fe16-^d4.
Тигезләмәне чишегез:
а) х2 - 49 = 0; в) z2 - 625 = 0;
б) у2 - 100 = 0; г) t2 - 1 = 0.
a) 4x2 - 1 = 0; в) 36a2 - 25 = 0;
б) 25y2 - 49 = 0; г) 144z2 -1 = 0.
г) 49x2ι∕2 - 400.
144
33.11. Бербуыннарның суммасын һәм аермаларының тулы
булмаган квадратын языгыз:
a) а һәм Ь; б) т2 һәм 2п2; в) 2с һәм 3d; г) Зр һәм 4g2.
33.12. Бербуыннарның суммасын һәм аермаларының тулы
булмаган квадратын языгыз:
a) k һәм I; б) 5α2 һәм Ь2; в) Зр һәм 2т; г) 4s һәм З/2.
33.13. Аңлатмаларны бербуынның кубы рәвешендә күрсәтегез:
a) a3b3, x6y9, 8m3n9, 125fe9t27;
1 9 27 18 1 12 125 24
б) —р9, s , т , α ;
64 125 343 216
в) 0,064α⅛3, 0,125x9y3, 0,216m3n18, 0,008р9д12;
г) 125x3<∕∙⅛9, 216a1⅛36c24, 8m6n3p12, 0,343⅛9Z18p15.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
33.14. a) a3+8; б) b3 - 27; в) с3 - 64; г) d3 + 125.
33.15. а) 216 - т3; б) 1000 + т3; в) 729 + р3; г) 343 - q3.
o33.16. a) 64a3 + 1; в) 512b3 - 125;
б) 27d3 - 8; г) 216c3 + 1000.
o33.17. a) a3b3 - 1; б) 8 + c3d3; в) m3n3 - 27; г) p3q3 + 64.
o33.18. a) 8a3 + Ь3; в) 216x3 - у3;
б) 64a3 - 125с3; г) 27x3 + 343Z3.
Аңлатманы икебуынның квадраты рәвешендә күрсәтегез:
33.19. а) a2 - 2ab + Ь2; в) z2 + 2zt + t2;
б) х2 + 2ху + у2; г) m2 - 2mn + п2.
33.20. а) т2 + 4т + 4; в) 1 - 2Ь + Ь2;
б) a2 - 12a + 36; г) 81 + 18у + у2.
o33.21. а) 4g2 - 12у + 9; в) 9m2 + 24m + 16;
б) 9p2+ 48р + 64; г) 9a2 - 30a + 25.
o33.22. а) p2 + 10pg + 25g2; в) x2 - 14хр + 49у2;
б) 225x2 - ЗОхр + у2; г) 64t2 - 1б£г + z2.
o33.23. а) 9x2 + 24xz∕ + 16у2; в) 4m2 - 28mn + 49п2;
б) 2,25a2 - 9ab + 9Z?2; г) 0,25x2 + 3xy + 9y2.
o33.24. Аңлатманы икебуынның квадраты рәвешендә күрсәтегез
һәм аның тамгасын билгеләгез:
а) a2 - 10a + 25; в) 49 + 14a + a2;
б) -a2 - 4a - 4; г) -a2 + 12a - 36.
145
Иң уңайлы юл белән исәпләгез:
o33.25. a) 342 + 2 • 34 • 36 + 362;
б) 272 - 2 • 27 • 13 + 132;
в) 982 - 2 • 98 • 8 + 82;
г) 76,42 + 13,62 + 2 • 76,4 ■ 13,6.
o33.26. a) 25 72 - 1432;
б) 73,62 - 26,42;
o33.27. Тигезләмәне чишегез:
а) х2 - 24х + 144 = 0;
б) 25x2 + 60х + 36 = 0;
в) 1652 - 652;
г) 72,52 - 47,52.
в) х2 + 32х + 256 = 0;
г) 9x2 - 42х + 49 = 0.
o33.28. Тигезләмәнең графигын төзегез:
a) х2 - 9 = 0; в) у2 - 16 = 0;
б) х4 - 16 = 0; г) 16<∕4 - 81 = 0.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
33.29. а) (х + I)2 - 25;
в) (г + Ю)2 - 36;
г) (t - 7)2 - 100.
б) (у - 2)2 - 4;
33.30.
а) 49 - (т - З)2;
б) 400 - (а + 9)2;
в) 625 - (п + 12)2;
г) 121 - (b - 13)2.
33.31.
а) (у + 2)2 - 4</2;
б) 100α2 - (5α + 9)2;
в) (t - 7)2 - 9t2;
г) 12152 - (75 - З)2.
33.32.
a) (a + 4)2 - (Ь + 2)2;
б) (х - 5)2 - (у + 8)2;
в) (т + 10)2 - (п - 12)2;
г) (с - I)2 - (d - 23)2.
33.33.
a) (3x + I)2 - (4x + З)2;
б) (бу - 7)2 - (9у + 4)2;
Тигезләмәне чишегез:
1 2 1
в) (15z + 4)2 - (3z - 2)2;
г) (13t - 9)2 - (8t - 7)2.
9 , 81
33.34.
a> iβ°2 - 25 = °’
б) ±(,--21.0;
’ 49 121
в) —с — = 0;
’ 16 100
„ 36 ,2 64
г) d = 0.
’ 1225 441
33.35.
a) (2x - 5)2 - 36 = 0;
б) (5z - 3)2 - 9z2 = 0;
в) (4 - lit/)2 -1 = 0;
г) (4t - 3)2 - 25⅛2 = 0.
33.36. a) (a + I)2 - (2a + З)2 = 0;
б) (5c + 8)2 - (с - Ю)2 = 0;
в) (35 - 2)2 - (b + I)2 = 0;
г) (7d - 13)2 - (9d - 25)2 = 0.
146
Тигезләмәнең графигын төзегез:
•33.37. а) х2 - у2 = 0;
б) х2 = 4у2;
в) у2 = 9х2;
г) 16x2 - 25y2 = 0.
•33.38. а) (х + I)2 - у2 = 0; в) x2 - (у - 2)2 = 0;
б) (х - З)2 - (у + 2)2 = 0; г) (х + 4)2 - (у - I)2 = 0.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
1 з 8,3
33.39. a) -α3 - — Ь;
О Δ 1
125 з 216 з
в) -^x τ⅛y;
64 3 729 ,3
б) с3 + d3∙,
’ 343 1000
1 з 125 з
г) -—т + п .
’ 729 216
33.40. a) α6 - 8;
б) -χβ +1;
о
в) 27 + Ь9;
г) -тт - У6-
64
33.41. a) x3y3 - с3;
б) znβn3 + р12;
в) а3 + 7п3п9;
г) q3 - cl5drs.
33.42. a) lα9 - 69;
8
в) — х3 + у6;
125 y
б) —а3 + —х’;
27 64
. 64 з 343 β
г) т3 п6.
729 1000
33.43. a) (2c + I)3 - 64;
б) p3 + (Зр - 4)3;
в) 8 - (3 - Л)3;
г) (5a + 4)3 - a3.
33.44. а) (66 + 8)3 - 12563; в) 8x3 - (5x - З)3;
б) 1000p3 + (3<7 - 2р)3; г) (3x + 2ι∕)3 + 729y3.
33.45. а) —а2 - 2ab + — b2;
16 9
в) b3 + a2b4 + -а4;
4
б) — a6b2 + aib4 + — a2b6∙, г) 0,01x4 + y2 - 0,2x2y.
7 25 36
33.46. Исбатлагыз:
a) 513 - 263 25 кә бүленә;
б) 433 + 173 60 кә бүленә;
в) 543 - 143 40 кә бүленә;
г) 383 + 373 75 кә бүленә.
147
Иң уңайлы юл белән исәпләгез:
33.47. а)
532 + 222 - 472 - 162 .
1092 - 2 1 09 61 + 612
652 - 2 • 65 ■ 59 + 592 ’
792 + 732 - 492 - 552
б)
593 - 413 __ ,1
+ 59-41;
18
г) 6-7-!÷ 523 - 67 - 52.
119
33.48. a) ^97344533 + 97 ∙ 53' : (152,52 - 27,52);
б) (36,52 - 27,52): j^7'^333 - 57 • Зз1;
( r7Q'i _ 41 3 А
+ 79 ■ 41 : (133,52 - 58,52k
V 38 J V
г) (94,52 - 30,52): f 693 + 29' - 69 • 2э].
v 7 I 98
Тигезлек үтәлерлек итеп * символларын бербуыннар
белән алыштырыгыз:
33.49. a) a2 + * + b2 = (а + Ь)2;
б) b2 + 20b + * = (b + Ю)2;
в) * - 56α + 49 = (4α - 7)2;
г) * - 12с + * = (Зс - 2)2.
33.50. a) b2 - 20b + * = (* - Ю)2;
б) * - 42pςr + 49<72 = (Зр - *)2;
в) 25α2 + * + -b2 = f* + ⅛'f∙
4 I 2 ) ’
г) 0,01fe2+ * + 100c2= (0,lfe + *)2.
33.51. a) * + 56ab + 49ft2 = (4а + *)2;
б) 225x2 - * + 64t∕2 = (15х - *)2;
в) * + 96xy + 36y2 = (8х + *)2;
г) 100α2 + * + 49b2 = (10α + *)2.
33.52. a) m2 + 40m + * = (* + 20)2;
б) * - 70pq + * = (7р - *)2;
в) * + 42ac + 49c2= (* + *)2;
г) 25z2 -* + * = (*- 8f)2∙
148
•33.53. Тигезләмәнең графигын төзегез:
а) (х + 2y)2 - (2х - у)2 = 0;
б) (2х - у + З)2 - (х - 2y - З)2 = 0;
в) (3x + 2y)2 - (2x + Зу)2 = 0;
г) (3x + 2y - 6)2 - (х + у - I)2 = 0.
§ 34. КҮПБУЫННАРНЫ
ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТӨРЛЕ
АЛЫМНАР КУЛЛАНЫП ТАРКАТУ
34.1.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
a) 5x2 - 5; б) 1862 - 2с2; в) 3α2 - 12; г) 10x2 - 10ι∕2
o34.2.
а) х3 - 81х;
б) Зу3 - ЗООу;
в) 64α - а3;
г) 263 - 2886.
o34.3.
a) c3 - 0,25с;
б) 50zn3 - 2п2т;
в) 0,04s - sa2∙,
г) 48p⅛ - 75y3. ,,
o34.4.
λ 16 2 3
a) ^P2q - q3;
в) c3 - cd2;
оо
34.5.
б) 2-a3b - —;
9 4
a) 5α2 + 10α6 + 562;
б) 2x2 + 4х + 2;
г) ⅛-3±m3n.
9 16
в) 3m2 + 3n2- бтп;
г) 8n2 - 16п + 8.
o34.6.
a) -3x2 + 12х- 12;
б) -2a3 + 20a2b - 50аЬ2;
в) -5p2 - 10pq - 5q2;
г) -36z3 - 24z2 - 4z.
o34.7.
a) ai — 16; б) b8 - с8;
в) y8 - 1; г) х4 - z4.
o34.8.
a) 4τn3 - 4п3;
б) 13α3 + 1363;
в) 15c3 + 15d3;
г) 21s3 - 21i3.
o34.9.
a) 6x5y - 24ху3;
б) 0,lx4y - 2,7ху4;
в) 0,3y2 - 2,7у6;
г) 3α4b2 + 24α65.
o34.10.
а) (пг + З)3 - 8;
б) (с - I)3 + 27;
в) (a - 12)3 - 125;
г) (6 + 4)3 + 64.
o34.ll.
a) (x2 + I)2 - 4х2;
б) (y2 + 2y)2 - 1;
в) 81 - (с2 + 6с)2;
г) 16τn2 - (т- п)2.
149
034.12.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
a) (a2 + 2ab + b2) - с2; в) 16 - (х2 - 2ху + г/2);
б) 1 - т2 - 2тп - п2; г) 4 - p2 - 2pq - q2.
034.13.
а) х2 - 2xc + c2- d2∖
б) a2 + 2a - b2 + 1;
в) c2 - d2 + 6с + 9;
г) r2 - s2 - 10s - 25.
034.14.
а) х2 + 2ху - т2 + у2;
б) c2 - a2 + 2ab - Ь2;
в) т2 - п2 - 8т + 16;
г) 9 - p2 + q2 - 6q.
034.15.
а) х3 - x2y - ху2 + у3;
б) c2 + 2c- d2 + 2d;
в) a3 + a2b - ab2 - Ь3;
г) m2 ~ 2п - т - 4n2.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
•34.16. a) x2(x- 3) - 2х(х- 3) + х - 3;
б) (1 - α)2 - 4a(l - a)2 + 4a2(l - а)2.
•34.17 a) a3 + 8b3 + a2 - 2ab + 4Ь2; б) 8c3 - d3 + 4c2 + 2cd + d2.
•34.18. а) х3 + 8y3 + х2 + 4ху + 4у2; б) 8p3 - q3 + 4p2 - 4pq + q2.
•34.19. а) d3- a2-2a + 8;
б) b3 - 6b2 - 6b + 1.
•34.20. Тигезләмәнең графигын төзегез:
а) ху2 = 4х;
в) ух2 + 9у - 0;
б) х2 + 4х - ху - 2у + 4 = 0; г) х2 + ху - 2у - 4 = 0.
Күпбуынны тапкырлаучыларга икебуынның тулы квад¬
ратын аерып алу юлы белән таркатыгыз:
34.21. а) х2 - 10х + 24;
б) yi - 14y2 + 40;
в) b4 + 4b2 - 5;
г) a2 - 6a + 5.
34.22. а) 4a2 - 12ab + 5Ь2;
б) 9c2 - 24cd + 7d2;
в) 25a2 - 20ab - 12b2;
г) 9zn2 - 30τn⅛ + 16⅛2.
Күпбуынның бер буынын охшаш кушылучылар суммасы
рәвешендә күрсәтеп, аны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
34.23. а) a2 + 7a + 10;
б) x4 + 7x2 + 12;
в) b2 - ЗЬ - 4;
г) yi - ξ>y2 + 4.
34.24. а) х2 + 5xy + 6г/2;
б) 4m2 - 5тп + п2;
Тигезләмәне чишегез:
в) P2 - pq~ 2q2;
г) a2 + 7ab + 6b2.
34.25. а) х3 - х = 0;
б) 16ι∕ — ι∕3 = 0;
в) с3 + с2 = 0;
г) d3 + d = 0.
150
•34.26. a) x3 + x2 - 4x - 4 = 0; в) 9z + 9 - z3 - z2 = 0;
б) y3 + 2y2 - 4г/ - 8 = 0; г) p3 - р2 - 4р + 4 = 0.
•34.27. Тигезләмәнең графигын төзегез:
a) x2 - 6xy + 8y2 = 0; в) x2 + ху - 2y2 = 0;
б) 2x2 + 5xy + 2y2 = 0; г) Зх2 - Юхг/ + Зг/2 = 0.
•34.28. x1 + x2 = 7, x1x2 = 2 булсын. Исәпләгез:
a) x1x2 + x12x25 в) x12 + x22∙,
б) x12 + x1x2 + х2; г) x13 + х3.
•34.29. x1+ x2= 5, x1x2 = -3 булсын. Исәпләгез:
a)x14+x24j 6)(x1-x2)25 в) x13x22 + x12x23J г) x⅛4 + x4x2.
§35. АЛГЕБРАИК ВАКЛАНМАЛАРНЫ
КЫСКАРТУ
35.1.
Бирелгән бербуыннар өчен уртак бүлүче
a) 3α2b3, 12α⅛2j в) 6x2y, 9j/s;
б) 15b12c2, 25b3c4; г) p5g2, 12p2g5.
табыгыз:
Вакланманы кыскартыгыз:
35.2.
I/4 ™10
a) 7≡∙5 б) 8 ; в) ;
у z -т
г)
—п
^^∙
o35.3.
„8.4, „20 15 4 „8 „12^19„5
v z τ tv -т п r a х z
a' ~≠3,,, ’ 0-' wl9„21„6 ’ „40^31 6 ’
zt w т п г -a х z
г)
-b100y5z
~b101y3zi
o35.4.
4 -3a2b 7xiy 4 -2 led4
30p2q3
a -9α3 ’ 6)-49x/; В) 14cd≡5
г)
48p3q3 •
o35.5.
15a(p - q) 2b(m + п)
a) 20b(p - д)’ В) 6bc(m + п)’
8a⅛3(a + ∂) 44c3d8(c-d)
б) 20ab2(a + bγ 100c5d4 (с - d)'
o35.6.
5(x - у) - 2(m-n)^
15(y - x), a(n - т)'
150a⅛3 (z - t) 13x3j∕4z5 (с - d)
300ab5 (Z - г) ’ 26xj∕5z7 (d - с) ’
151
Вакланманы кыскартыгыз:
o35.7.
a)
2а(х + у)
8a(x + y)(x-y),
в)
3(a - δ)(a + b)
6(a + &)(а - &)’
б)
(α - l)(α2 + а + 1)
а2 + а + 1
; г)
3(п2 + п + 1)
(л - l)(n2 + п + 1)
o35.8.
а)
о- a
1 1
КЭ №
в)
16(χ - у)2.
48 (р - х)2 ’
б)
12α⅛5(p - q)2
36a⅛(g - р)2 ’
г)
49xy(c - d)2
7x2(d-c↑ '
o35.9.
а)
(* + 5)3
(х + 5)2 ’
в)
(у - «Г
(У - «Г ’
б)
c(z -15)3
8c(z - 15)4 ’
г)
3a(⅛-2)
6(b - 2)2 ‘
o35.10.
а)
6a + 6b zrv .
XZ - 3yz
s2 + S
г)
Зе3 + 3cd2
7a + 7b, .
х2 - 3xy ,
Е 5s + 5 ’
6dc2 + 6d3
o35.ll.
а)
8х - 8у
9y-9x, б)
та + а
λ Зт - Gn
г)
2p-4g
-тс - с9
12n-6zn,
16g - 8p'
o35.12.
а)
-ах - Ьх
τns - 3m2
ay + by ’
в)
2m7 - 6zn4 ’
б)
4x2y - 4x3
3nβ + 2n4
12x2j∕2 - 12xj∕3 ’
г)
15n8 + 10n6'
o35.13.
а)
x2 - ху
та2 - m2a
х у - хуг
в)
т2 - та ’
б)
pqi - cqi
2ndi - 4pdi
cq3 - pq3 ’
г)
3nd3 - Gpd3 '
o35.14.
а)
4a2 - 9b2
8 + Зе
36-j∕2
г)
100 - 49d2
2а - ЗЬ ’
9c2 - 64
’ в) 6-у ’
7d + 10
o35.15.
а)
*2-9. fu
Зх + 9’ б)
у2 - 144
■ в) 4 ^ d2 •
г)
c2 - 5с
12у - у2
’ > 3d+ 6’
25 - с2'
152
o35.16. a)
15α⅛2 - 15α2
в)
17a⅛ + 17 а4 с
51a2b2 - 51a4c2 ’
45α⅛ + 45α3 ’
б)
18a⅛ - 72a⅛
г)
36a3b2c - 36a3b3
48ab2 - 24a2b2 ’
48ab5 - 48abV '
o35.17. a)
a3 - 8
в)
х3 + 1
β2 ÷ 2a ÷ 4
х2 - х + 1 ’
б)
1 - 5y + 25ι∕2
г)
4∕2 + 2t ÷ 1
125ι∕3 + 1 ’
8t3 + 1 ’
o35.18. a)
(χ + <∕)2
в)
(гаг - и)2
„2 „2 ,
x - У
т - п
(d + 2)2
6pq - 18р
4d2 + 14d ’
1)
⅛-3)2 ,
o35.19. a)
a2 + 2ab + b2
X - У
a + b
в)
х2 - 2ху + у2 ’
6)
(p - ¢)2
m2 + 2mn + п2
P2 ~ 2pq + q2'
г)
(т + га)2
o35.20. a)
l-2p
с2 - 18с + 81
1 - 4p + 4p2 ’
в)
с - 9
6)
9 - 6x + x2
г)
5 - 2raι
x - 3 ’
4raι2 - 20raι + 25’
o35.21. a)
x2 - 4x + 4 _
в)
4 - 4х
3x - 6 ’
х2 - 2х + 1’
a2 + 2a + 1
3q2 + 24g
o)
-a2 - a
г)
q2 + 16g + 64 ’
o35.22. a)
2 2
У - X
b2 - 49
В )
49 - 145 + b2 ’
x - 2xy + у ’
6)
16c2 - 1
г)
4ra2 - 4raraι + m2
16c2 -8c + Γ
3x2 - 6xy + 3y2
4n2 - zn2
40c2 - 10d2
o35.23. a)
в)
6x - 6y ’
20c2 + 20cd + 5d'
6)
m2 + 6mn + 9ra2
г)
4ra2 - 4га + 1
4τn2 + 12mn ’
2га - 4га2
153
o35.24.
Вакланманы кыскартыгыз:
(α2 -b2)2 P2 - 2pq + q2
а) a2+2ab + b2', В) (Q2 - р2)2 ’
7x2y2 - 14xy3 + 7yi
б) xi - 2x2y2 + yi
mi - 2m2n2 + ni
Г 6m3n + 12m2n2 + 6n3m'
035.25. а)
8t3 + 125. b2 - 4 16z2 - 9
б) 4⅛2 - 25 ’ В b3-8' Г) 27 - 64z3'
o35.26. а)
3qp2 - 27q
27q - P3q !
Зтп2 - 2т
8mni + тп ’
б)
X6 - у6
χ3 + у3’
/ + y3
∕-ι∙
Алгебраик вакланманы кыскартыгыз һәм аның кыйм¬
мәтен табыгыз:
o35.27.
а)
б)
6j2 ~ 2α c% 4- 4с
, а = -108 булганда; в) ———, с = 24 булганда;
6 - За 12 + Зс
3∂2 + 9∂ х2 — 9
—2—— , Ь = 3,1 булганда; г) , х = 3 булганда.
х 4~ 6
o35.28. а) ——— — , х = 94 булганда;
х2 + 12х + 36
_ z2 - 82 + 16 _ _
б) -2—77— > 2 = -16 булганда;
2—16
у2 - 14у + 49
в) ^y^7 ’ = булганда;
t2 - lθθ
г) -5 , t = -8 булганда.
’ t2 + 20t + 100 ’ У
035.29. а)
40х2 - 5ху
У2 - 8ху ’
х = 2, у = 10 булганда;
б)
21α2 - 12a⅛
2052 - 35ab ,
а = 10, Ь = -3 булганда;
в)
15c2 - 10cd
8d2 - 12cd ,
с = -6, d = 4 булганда;
. 25z2 - 20zt „ . o я
г) ≡ , 2 = -3, t = -2 булганда.
16t2 - 20zi
154
o35.30. Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
х α3 + 27 „
a> —Γ'∖- о ’ a = 15 булганда;
d — od + 9
б) ¾<-12c4+48,
4 b2 + 2b + 4 t 1
в) ⅜3 _8— ’ fe = з булганда;
d2 - 5d + 25
г) 2^+ 250 ’ d = ^4*5 булганда-
Вакланманы кыскартыгыз:
35.31. а)
270a1⅛V
140τn25n1°1r64
810a⅛12c ’
в)
42m14n202r61 ’
132x5y10z11
540p12g4V4
б)
144x6y5z22 ’
г)
36jp⅛54Z55 -
35.32. а)
32β4⅛5c - 2a4b3c3
в)
6a⅛4c4 - 9a⅛3c5
a⅛4c3 - 4a W ’
54a⅛c7 - 24ab3c5 ’
б)
x"y2" + 1 +xn+1y2"
2x" + 2y"-1 +3x"+1y"
x2n+2y" -x2V+2 ’
г)
9xn-1y"+3 -4xπ+y+1 •
35.33. а)
32a⅛ - 80a⅛2 + 50α⅛3
в)
18β⅛2 - 30a⅛3
20afc3 - 16a⅛2
75a⅛5 - 90a⅛4 + 27a4fr
б)
18a⅛2 + 36ab4
г)
10a⅛8 + 60a4b6 + 90β⅛"
96a⅛5 + 96a⅛3 + 24a⅛,
45β⅛ + 15a⅛3
o . 4a⅛c3 - 4a⅛2c2 + ab3c
35.34. а) —; ; ;
26a3c - 13a2b
40x2y6z4 + 8x4y3z4
б) 2x5y4z + 20x3y7z + 50xy1°z,
36x2y - 12xt∕3
В) 27x4yz - 18x3y3z + 3x2y5z',
6aibicl1 + 24aibic1di + 24a4⅛4c3d8
Г 6a⅛3csd4 + 3a⅛3c9
18x5 - 72x3y2 135a⅛3 + 180a⅛4 + 60а65
ЗЭ-ЗЭ. а) 12χ3y2 _ 48χy + 48χjz4; В) 225a⅛-100a⅛3 5
72a⅛c3 - 96a4⅛c2 + 32a⅛c . 150x5y2z - 24x3y6z
16a⅛2c3 - 36ab2c5 ’ 40xy5z2 - 200x2y3z2 + 250x3yz2 ‘
155
Вакланманы кыскартыгыз:
х3" - xny2"
•35.36. a) 3χ3n + 6χ2nyn + 3χny2n ;
a3-⅛-÷ι _ 4a"-⅛"÷1
°) 4a"b"~1 - 4a2nb"1 + a3nbn 1 ’
2fl"*1 - 4a2"+1 + 2a3"tl
В) 4a3" - 4an
54xy3nz" - 72x"+1y2"zn + 24x2"'1ynz"
r) 12x2" + 2∕⅛+1-27x2j∕3"^1z"+1
35.37. a)
a2 - ab - be - c2
b2 - a2 + 2ac - c2 ’
в)
ax2 - 2x2 - ay2 + 2y2
ах + ау - 2х - 2у ’
2xy - 3 + 3x - 2y
6) 9 + 121/ + 4/ ’
2 2
х - у
35∙38∙ а) 3x - 2x2 + 3y- 2ху ’
х2 - yz + XZ - у2
6) x2 + yz - XZ - у2 ’
Зху - 2х - Зу + 2
х2 - 2x + 1
в)
„2 Л2
a - с
a2 + ас - ах - сх
12z2 - 9rz + 4nz - Згп
Г 20z2 + Згп - 15rz - 4nz '
35.39. Исәпләгез:
а)
275 + 274
98 + 97 + 99 ’
811 - 810 - 89
415 _ 4u _ 4i3 >
167 - 166
г)
923 + 922 + 921
б)
81° - 89 + 8s ’
2714 - 2713 ‘
35.40.
473 + ЗЗ3
273 - 133
а)
472 - 47 • 33 + ЗЗ2 ’
в)
272 + 27 13 + 132 ’
233 - 113
873 + 433
б)
232 + 23 11 +II2’
г)
872 - 87 • 43 + 432 ’
35.41.
482 - 2 ■ 48 • 18 + 182
в)
732 - 2 73 23 + 232
а)
482 - 182
262 - 242
852 - 172
482 - 122
б)
852 - 2 • 85 ■ 17 + 172 ’
г)
892 + 2 • 89 • 31 + 312'
156
35.42. Алгебраик аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
pz + qz + р + q
a) pt + qt + p + q ’p = 2’5’ q = °’5’ z = 25’ t = 12 бУлганДа!
с - d + c2 — d2
6) ; 5—— л, с = 8, d — -2 булганда;
с - d + c2 - 2cd + d2 ,y
т - п + тх - пх 1 1
в) ——; , x= У = -, τn=1256, n=4516 булганда;
' т - п + ту - пу 2 3
a + b + a2 - Ь2
г) »———-т , a = 3, Ь = 5 булганда.
a - b + a2 - 2ab + Ь2
§ 36. БЕРДӘЙЛЕКЛӘР
Бирелгән тигезлекләрнең бердәйлек була алуын ачык¬
лагыз:
36.1. a) a + b = Ь + а; в) ab = Ьа;
б) (а + Ь) + с = a + (b + с); г) (ab)c = a(bc).
36.2. a) a(b + с) = ab + ас;
б) а + 0 = а;
в) a • 1 = а;
г) a + (-a) = 0.
36.3. a) а ■ (-b) = -аЪ;
б) a - b = а + (-Ь);
в) (-a)(-b) = ab;
г) a ∙ 0 = 0.
Гамәлләрнең нинди үзлекләре бу аңлатмалар бердәй ти¬
гез дип әйтергә мөмкинлек бирә:
36.4. a) a + 7Ь һәм 7Ь + а;
б) (х + 4) + у һәм х + (4 + у);
в) т • 7п һәм 7nm∙,
г) 5(c + d) + 3 һәм 5с + 5d + 3?
36.5. а) 2c ∙ 4 һәм 8с;
б) (р - p)q һәм 0;
в) 4t + 8sr һәм 8rs + 4t;
г) (а + Ь) ■ 2 һәм 2а + 25?
Бердәйлекне исбатлагыз:
36.6. а) х - у = -(у - х);
б) (т - п)2 = (п - т)2;
в) 2a - 3b = -(35 - 2a);
г) (Зе - 4d)2 = (4d - 3c)2.
36.7. a) 10α - (-(5α + 20)) = 5(3α + 4);
б) -(-7x) - (6 + 5х) = 2(х - 3);
в) 12y - (25 - (бу - 11)) = 18(ι∕ - 2);
г) 36 - (~(9c - 15)) = 3(3с + 7).
157
Бердәйлекне исбатлагыз:
36.8. a) a2 + 7a + 10 = (a + 2)(a + 5);
б) (b - 8)(i> + 3) = b2 - 5b - 24;
в) x2 - 9х + 20 = (х - 4)(х - 5);
г) (с - 4)(c + 7) = с2 + Зе - 28.
o36.9. a) (α - 4)(а + 2) + 4 = (а + 1)(а - 3) - 1;
б) 16 - (х + 3)(x + 2) = 4 - (6 + x)(x - 1);
в) (у - 3)(у + 7) - 13 = (у + 8)(z∕ - 4) - 2;
г) (з - ll)(z + 10) + 10 = (z - 5)(z + 4) - 80.
o36.10. а) (а + fe)2+ (а - b)2 = 2(a2+ b2)∙,
б) (а + b)2 - (а - b)2 = 4ab∙,
в) a2+ b2= (а + b)2 - 2аЬ;
г) (а + b)2 - 2b(a + b) = a2 - b2.
36.11. Әгәр А = 2x - 1, В — Зх + 1 һәм С = 5х булса, А + В - С
аңлатмасы С - В - А аңлатмасына бердәй тигез икәнен
исбатлагыз.
36.12. Ачыклагыз, бирелгән тигезлек бердәйлек буламы, әгәр
булса, үзгәрешлеләрнең мөмкин табылган кыйммәтләрен
күрсәтегез:
3x5 - 24х2 _ х2 + 2х + 4.
б) 6x5 - 12x4 2х2
2a3 - 12α2 + 18a _ a - 3
В) 4a4 - 36a2 2a2+6a'
a6b2 - 27a3⅛2 = a3 + 3a2 + 9a
Г) 2a3b3 - 6a⅛3 2b
36.13. Бердәйлекне исбатлагыз:
. 27 - m3 _ 9 - т2 ,
т2 + Зт + 9 3 + т
х2 + 2xy + 4j∕2 _ 2у - х
б) х3 - 8y3 х2 - 4x + 4y2
5 - р _ р2 - 5р + 25 .
р2 - 25 р3 + 125 ’
. 9a2 + 6ab + b2 _ 27a3 + b3
Г) За + b 9a2 - 3ab + b2 '
158
36.14. Бердәйлекне исбатлагыз:
a) (х + y)(x - у) + (у + а)(у - а) = (х - а)(х + а);
б) (х + α)(x + Ь) = х2 + (a + b)x + ab;
в) (α - b)(α + b) - (a - c)(α + с) - (с - b)(c + Ь) = 0;
г) (т — α)(τn - b) = m2 — (a + b)m + ab.
36.15. Исбатлагыз, әгәр a + Ь = 9 булса,
(a + l)(b + 1) - (a - 1)(⅛ - 1) = 18 була.
36.16. Исбатлагыз,
(Ь + с - 2a)(c - b) + (с + a - 2b)(a - с) - (a + b - 2c)(a - Ъ)
аңлатмасы нульгә бердәй тигез.
Бердәйлекне исбатлагыз:
36.17. а) (2a - b)(2a + &) + (&- c)(b + с) + (с - 2a)(c + 2a) = 0;
б) (Зх + у)2 - (Зх - y)2= (3xι∕ + I)2 - (3xz∕ - I)2;
в) (х - 3y)(x + 3z∕) + (Зг/ - c)(3y + с) + (с - х)(с + х) = 0;
г) (a - b)(a + b)((a - b)2 + (a + b)2) = 2(a4 * - bi).
36.18. а) (a - 1)3 - 4(a - 1) = (a - l)(a + l)(a - 3);
6) (x2 + 1)2 - 4x2= (x - l)2(x + I)2;
в) (a + 1)3 - (a + 1) = a(a + l)(a + 2);
r) 4fe2c2 - (b2 + c2- a2)2 =
= (a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)(b + c - a).
36.19. a) χ3 + y3 - xy = (x - yy∙, 6) g3 ~ 8 + 2a = (a + 2)2.
x + у a - 2
ӨЙ КОНТРОЛЬ ЭШЕ №7
1 нче вариант
1. Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
16ax2 - 4a2x.
2. Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
9x2 - 10a3 + 6ax - 15ax2.
3. Әгәр a = -1⅛> b = —1 ⅛ булса, 6a2 + 3ab2 - 4ab - 2b3
о Z
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
4. Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а) 0,04x2 - 9z/2;
б) 4a2b6 + 20ab3c + 25с2;
159
1 2 1
в) -x2 - —ху + —у2.
’ 9 15 y 25y
5. Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
(2α - ft)3 - (2a + ft)3.
6. Иң уңайлы юл белән исәпләгез: 1122 - 622.
7. 813 + 153 аңлатмасының кыйммәте 96 га кабатлы икәнен
исбатлагыз.
8. Вакланманы кыскартыгыз:
x2 - y2 . 2a4b3 + 8a3⅛4 + 8α2b5
j У3 - х3 ’ ' 5a2b2 + 10ab3
9. Бердәйлекне исбатлагыз:
α(ft + c)2 + ft(c + α)2 + c(a + ft)2 - 4αfec = (α + ft)(ft + c)(c + a).
2 нче вариант
1. Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
15τn2n - 5n2m.
2. Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
20a3 - 6ft2 - 24aft + 5a2ft.
3. Әгәр х = -j, у = булса, 2x2 - 4xy2 + Зху - бу3
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
4. Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а) 16x4 - 0,09a2;
б) 4a6ft2 — 20a3ftc2 + 25с4;
в) — a2 + -aft + -b2.
'16 6 9
5. Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
(х - 2y)3 + (х + 2y)3.
6. Иң уңайлы юл белән исәпләгез: 1282 - 782.
7. 1083 - 73 аңлатмасының кыйммәте 101 гә кабатлы икәнен
исбатлагыз.
8. Вакланманы кыскартыгыз:
a3 + b3 . 3a3⅛2 - 18a2b3 + 27a⅛4
a' b2 - a2 ’ 6a3b - 18a2b2
9. Бердәйлекне исбатлагыз:
(ft - c)(ft + c)2 + (с - a)(c + a)2 + (a - ft)(α + ft)2 =
= -(a - ft)(ft - c)(c - a).
160
БҮЛЕК
у = x2 ФУНКЦИЯСЕ
§ 37. у=x2 ФУНКЦИЯСЕ
ҺӘМ АНЫҢ ГРАФИГЫ
у = х2 функциясенең аргументның бирелгән кыйммәтенә
тиңдәш кыйммәтен табыгыз:
37.1. a) 1; б) 3; в) 2; г) 0.
37.2. a) 6)-2∣5 в)-з|; г) 1,6.
37.3. Аргументның у = х2 функциясенең бирелгән кыйммәтенә
тиңдәш кыйммәтен табыгыз:
а) 4; б) 6,25; в) 0; г) 2,25.
у = -х2 функциясенең аргументның бирелгән кыйммә¬
тенә тиңдәш кыйммәтен табыгыз:
37.4. а) -3; б) 0; в) -1; г) 4.
37.5. а)-|; б)з|; в)г) 2,5.
2 4 3
37.6. Аргументның у = -х2 функциясенең бирелгән кыйммә¬
тенә тиңдәш кыйммәтен табыгыз:
а)-9; б)-у; в) 0; г)-1.
4
Төзүләрсез генә җавап бирегез, бирелгән нокта у = х2
функциясенең графигында ятамы:
37.7. а) А(2; 4); б) 8(3; 6); в) С(4; 8); г) D(-3; 9).
37.8. а) 8(0,5; 0,25); в) £(1,5; 3);
б) 8(1,2; 2,4); г) £(-2,5; 6,25).
fl 1') (2 4) ( 5 25) ( 11 121)
37∙9∙ a) κ(-2, б) p[~-, -J; r)M⅛~j.
161
Төзүләрсез генә җавап бирегез, бирелгән нокта у = -х2
функциясенең графигында ятамы:
37.10. a) А(-1; -1); б) В(-2; 4); в) С(4; -16); г) В(-3; -6).
37.11. а) К1-|j; в) Е(1,5; -3);
( 7 49
6)tf -⅛-⅛b г)М(1,6; 2,56).
\ 1о 1ОУ)
37.12. у = х2 функциясенең графигын төзегез. График буен¬
ча табыгыз:
а) функциянең х = -2, х = 2 булгандагы кыйммәтләрен;
б) аргументның у = 4 булгандагы кыйммәтләрен;
в) у < 4, у > 4 булганда, х ның кыйммәтләрен;
г) 0 < х < 2 булганда, у ның кыйммәтләрен.
37.13. у = —х2 функциясенең графигын төзегез. График буен¬
ча табыгыз:
а) функциянең х = -1, х = 1 булгандагы кыйммәтләрен;
б) аргументның у = -1 булгандагы кыйммәтләрен;
в) у < -1, у > -1 булганда, х ның кыйммәтләрен;
г) -1 < х < 0 булганда, у ның кыйммәтләрен.
у = х2 функциясе графигының бүленеп алынган өлешен¬
нән файдаланып, функциянең иң зур һәм иң кечкенә
кыйммәтләрен табыгыз һәм җавап бирегез, бүленеп алынган
өлеш абсциссалар күчәренең нинди аралыгына туры килә:
162
37.15. а) Рәс. 41; б) рәс. 42; в) рәс. 43; г) рәс. 44.
у = -x2 функциясе графигының бүленеп алынган өле¬
шеннән файдаланып, функциянең иң зур һәм иң кеч¬
кенә кыйммәтләрен табыгыз һәм җавап бирегез, бүленеп
алынган өлеш абсциссалар күчәренең нинди аралыгына
туры килә:
37.16. а) Рәс. 45; б) рәс. 46; в) рәс. 47; г) рәс. 48.
37.17. а) Рәс. 49; б) рәс. 50; в) рәс. 51; г) рәс. 52.
163
Бирелгән кисемтәдә у = х2 функциясенең иң зур һәм
иң кечкенә кыйммәтләрен табыгыз:
37.18. a) [1; 2]; б) [-2; -1]; в) [0; 1]; г) [-3; 0].
37.19. а) [-1; 1]; б) [-2; 3]; в) [-3; 2]; г) [-1; 3].
37.20. Төзүләрсез генә у = х2 функциясенең бирелгән кисемтә¬
дәге иң кечкенә кыйммәтләрен табыгыз:
а) [-1,5; 0,3]; б)
О
—; 1,257 ; в)
15 '
32 ' 7
101’ 19
45. 23
49’ 31
164
Рәс. 48
Бирелгән кисемтәдә у = -χ2 функциясенең иң зур һәм
иң кечкенә кыйммәтләрен табыгыз:
37.21. а) [-1; 0]; б) [0; 2]; в) [-2; 0]; г) [2; 3].
37.22. а) [-2; 2]; б) [-2; 1]; в) [-3; 2]; г) [-1; 3].
37.23. Төзүләрсез генә у = -χ2 функциясенең бирелгән кисемтә
дәге иң зур кыйммәтләрен табыгыз:
а) [-2,3; 1,62]; б)
13. 29
27’ 51
в)
-lθ5 41,1
11
г) -3,4; —
16
165
37.24. Бирелгән нурда у = x2 функциясенең иң кечкенә кыйм¬
мәтен табыгыз:
а) [-3; +оо); б) (-∞j -2]; в) (-∞j 1]; г) [1; +∞).
37.25. Бирелгән нурда у = -х2 функциясенең иң зур кыйм¬
мәтен табыгыз:
а) (-0°; 0]; б) (-∞j 3]; в) [2; +∞)5 г) (-∞∙, -3].
o37.26. у = х2 функциясенең графигын төзегез. График буенча
табыгыз:
а) аргумент -4; 0; 2 гә тигез булганда, функциянең
кыйммәтләрен;
б) функциянең кыйммәте 1; 0; 9 га тигез булганда,
аргументның кыйммәтләрен;
в) функциянең [-1; 2] кисемтәсендә иң зур һәм иң
кечкенә кыйммәтләрен;
г) аргументның 1 < у < 9 булгандагы кыйммәтләрен.
o37.27. у = -х2 функциясенең графигын төзегез. График буен¬
ча табыгыз:
а) аргумент -3; 0; 1 гә тигез булганда, функциянең
кыйммәтләрен;
б) функциянең кыйммәте -16; -4; 0 га тигез булган¬
да, аргументның кыйммәтләрен;
в) функциянең [-3; 2] кисемтәсендә иң зур һәм иң
кечкенә кыйммәтләрен;
г) аргументның -4 ≤ у ≤ -1 булгандагы кыйммәтләрен.
166
Парабола белән турының
o37.28. а) у = х2 һәм у = 1;
б) у = -х2 һәм у = -9;
o37.29. а) у = х2 һәм у = 2х;
б) у = -х2 һәм у = -Зх;
o37.30. а) у = х2 һәм у = х + 2;
б) у = -х2 һәм у = -х - 6;
o37.31. а) у = х2 һәм у = -2х + 3;
б) у = -х2 һәм у = х + 5;
кисешү нокталарын табыгыз
в) у = х2 һәм у = 4;
г) у = -х2 һәм у = 0.
в) у = х2 һәм у = -х;
г) у = -х2 һәм у = х.
в) у = х2 һәм у = -х + 6;
г) у = -х2 һәм у = х - 2.
в) у = -х2 һәм у = 2х - 3;
г) у = х2 һәм у = х - 3.
37.32.
Бирелгән аралыктагы у = х2 функциянең
төзегез:
графигын
г) [-2; -1].
а) (1; 3); б) [-2; 2];
в) (0; 2);
37.33.
а) (-оо; 1]; б) [2; +оо);
в) (-1; +оо);
г) (-оо; 0).
37.34.
а) [0; 1); б) (-1; 3];
Бирелгән аралыктагы у =
төзегез:
в) (0; 3];
-х2 функциянең
г)[1; 2).
графигын
37.35.
а) [-3; 0]; б) [0; +∞)j
в) (1; 3);
r)(-∞5-l).
37.36.
а) (-2; 1); б) (-2; 3];
Бирелгән аралыктагы у = х
иң кечкенә кыйммәтләрен
в) [-1; +оо);
2 функциясенең
табыгыз:
г) [-3; 1].
иң зур һәм
37.37.
а) [-2; 0,5]; б) [-1,5; 0];
в) [-2,5; 1,5];
г) [-3; 2,3].
37.38.
а) [0,5; +оо);
б)
- ∞∙ -
γ ; в) [-0,3; +оо); г)
1
— ∞∙ —
5
Бирелгән аралыктагы у = -х2 функциясенең иң зур
һәм иң кечкенә кыйммәтләрен табыгыз:
37.39. а) -2; | ;
37.40. а) [-2,5; +°°);
б) (-0,7; 3]; в) [-1,5; 0];
Г 2
в)[1,2;+оо); г) I ^∞! -3 •
37.41. А — у = х2 функциясенең [—2; 1] кисемтәсендә иң
кечкенә кыйммәте, ә В — шул ук функциянең [-3; —1]
кисемтәсендә иң зур кыйммәте булсын. Кайсы зуррак:
А мы, әллә В мы? График сурәтен ясагыз.
167
37.42. С — у = x2 функциясенең [1; 2] кисемтәсендә иң зур
кыйммәте, ә D — у = 2х + 3 функциясенең [-1; 1]
кисемтәсендә иң кечкенә кыйммәте булсын. Кайсы зур¬
рак: С мы, әллә D мы? График сурәтен ясагыз.
37.43. М — у = -х2 функциясенең [-1; 3] кисемтәсендә иң
зур кыйммәте, ә N — у = х функциясенең шул ук
кисемтәдә иң кечкенә кыйммәте булсын. Кайсы зур¬
рак: М мы, әллә N мы? График сурәтен ясагыз.
37.44. L — у = х2 функциясенең [-2; -1] кисемтәсендә иң
кечкенә кыйммәте, ә N — шул ук функциянең [1; 2]
кисемтәсендә иң кечкенә кыйммәте булсын. Кайсы зур¬
рак: L мы, әллә N мы? График сурәтен ясагыз.
37.45. Р — у = х2 функциясенең (-∞j 3] нурында иң кечкенә
кыйммәте, ә Q — шул ук функциянең (—°°; 2] нурын¬
да иң кечкенә кыйммәте булсын. Кайсы зуррак: Р мы,
әллә Q мы? График сурәтен ясагыз.
37.46. А — у = х2 функциясенең (-1; 2] ярыминтервалында иң
зур кыйммәте, ә В — у = х + 2 функциясенең [3; +∞)
нурында иң кечкенә кыйммәте булсын. Кайсы зуррак:
А мы, әллә В мы? График сурәтен ясагыз.
37.47. А — у ≈ х2 функциясенең [-3; 2) ярыминтервалын¬
да иң зур кыйммәте, ә В — у = Зх функциясенең
[-1; +∞) нурында иң кечкенә кыйммәте булсын. Кай¬
сы зуррак: А мы, әллә В мы?
37.48. R — у = x2 функциясенең [-4; 4] кисемтәсендә иң кеч¬
кенә кыйммәте, ә 8 — у = -х2 функциясенең [-17; 10]
кисемтәсендә иң зур кыйммәте булсын. Төзүләрсез генә
R һәм S ны чагыштырыгыз.
37.49. Парабола белән турының кисешү нокталарын табыгыз:
а) у = х2 һәм у = -2x - 1;
б) у = -х2 һәм у = 2x + 1;
в) у = х2 һәм у = 4х - 4;
г) у = -х2 һәм у = -4х + 4
37.50. у = х2 функциясенең графигы ярдәмендә билгеләгез,
х ның нинди кыйммәтләрендә бу тигезсезлек үтәлә:
а) х2 < 1; б) х2 ≥ 1; в) x2 ≤ 9; г) х2 > 9.
168
37.51. у = -х2 функциясенең графигы ярдәмендә билгеләгез,
х ның нинди кыйммәтләрендә бу тигезсезлек үтәлә:
а) —x2 ≤ -4; б) -х2 > -9; в) -x2 ≥ -4; г) -х2 < -9.
37.52. у = х2 функциясенең графигы ярдәмендә билгеләгез,
х ның нинди кыйммәтләрендә бу тигезсезлек үтәлә:
a) 1 < х2 < 4; б) 4 ≤ x2 ≤ 9.
Функциянең графигын төзегез:
≡or,=o х 2x2 _. х2 - 9 . х2 . х2 - 4
•37.53. а) у = —; б)!/ = —в) </ = - — ; г)у = ——.
X X О X X -г c∣
х 2x2-8x + 4 x3 + 6x2 + 9x
•37.54. а) у = 7—; б) у -—-
i, х-2 ’ i, x2 + 3x
eer χ x3 + 3x2 -x3+x2
•37.55. а)
•37.56. а) у - . ^*.,,↑*∖v б) у - . χ,,7,to',v
’ y (х - 1)(х + 1) ’ i, (х - 2)(х + 2)
§ 38. ТИГЕЗЛӘМӘЛӘРНЕ
ГРАФИК ЮЛ БЕЛӘН ЧИШҮ
o38.1. Бер үк координаталар системасында бирелгән функ¬
цияләрнең графикларын төзегез һәм аларның кисешү
нокталары координаталарын табыгыз:
а) у = х + 3 һәм у = 2x + 1; в) у = -х һәм у = Зх - 4;
б) у = х2 һәм у = 9; г) у = -х2 һәм у = -2х.
Тигезләмәне график юл белән чишегез:
o38.2. a) x2= 1; б) x2= 4; в) x2= 0; г) x2= -1.
o38.3. a) x2= 2х; б) x2= -Зх; в) -x2 = 2х; г) -x2 = Зх.
o38.4. а) х2 = х + 6; б) -х2 = х - 2; в) х2 = х + 2; г) -х2 = х - 6.
o38.5. а) х2 = 2х + 3; в) x2 = -2х + 3;
б) -х2 = -Зх + 2; г) -х2 = 2х - 3.
169
38.6. a) у = -x + 4 функциясе графигында абсциссасы ор¬
динатасына тигез булган ноктаны табыгыз.
б) у = х2 функциясе графигында абсциссасы ордината¬
сына тигез булган ноктаны табыгыз.
38.7. а) у = 2х - 4 функциясе графигында ординатасы аб¬
сциссасыннан 8 гә кимрәк булган ноктаны табыгыз.
б) у = х2 функциясе графигында абсциссасы белән орди¬
натасы капма-каршы саннар булган ноктаны табыгыз.
•38.8. а) у = -х2 функциясе графигында ординатасы абсцис¬
сасыннан 6 га кимрәк булган ноктаны табыгыз.
б) у = -х2 функциясе графигында абсциссасы ордина¬
тасыннан 2 гә зуррак булган ноктаны табыгыз.
Тигезләмәне график
юл белән чишегез:
38.9.
а) х2 + 2х - 3 = 0;
в) х2 + 4х + 3 = 0;
б) х2 - 4х = -3;
г) х2 — X = 6.
38.10.
a) х2 + х + 2 = 0;
в) х2 - х + 6 = 0;
б) х2 - х + 4 = 0;
г) х2 + х + 8 = 0.
38.11.
a) x2 - 2x + 1 = 0;
в) х2 + 2x + 1 = 0;
б) х2 + 4х + 4 = 0;
г) х2 - 4х + 4 = 0.
Тигезләмәнең ничә
тамыры барын билгеләгез:
38.12.
н
to
II
tsi∣W
н
в) х2 =
б) х2 = -х - 3;
г) х2 = -Зх + 1.
38.13.
а) -х2 = 4 - х;
Н
∙<i<∣co
II
сч
н
1
'й'
б) 2 х2;
г) 4х + 2 = -х2.
Тигезләмәне график юл белән чишегез:
•38.14. a) ⅛ = -х2;
х3
в)
χ2 = Зх^_.
х7 ’
-v*2 — Л
б) -—= х2;
х - 2
г)
γ∙2 — Л
- = -х2.
х + 2
∙γ∙3 -y∙2
A4Q 1К — 9ү 4- 4∙
χ3 - 3χ2 = х + 6;
х - 3
“oo.io. aι λ
’ х - 1
в)
_x^i =
’ х + 2
г)
-4χ2 +χ3 = 2х - 8
х + 4
170
•38.16. р нинди кыйммәтләр
ры була:
алганда, тигезләмәнең
бер тамы-
fl)
2x3 + 6x2
2х + 6
= р;
в)
9x2 - Зх3
Зх - 9
б)
х4 - 4x3
х2 - 4х
= р;
х4 - 2x3
х2 - 2х
= Р?
§ 39. МАТЕМАТИКАДА у = f(x) ЯЗЫЛЫШЫ
НӘРСӘНЕ АҢЛАТА
o39.1. у = f(x} функциясе бирелгән, биредә f(x) = 8х. Табыгыз:
a) /(0), /(-2), Λl), ∕[i] ;
б) f(a), f(-a), ∕(2α), ∕f-∣α]5
\ 4 у
в) /(& + 2), /(1 - b), f(3b - 8), f [ 7 - |];
\ о √
г) Яс) + 3, f(-3c) - 1, -/(с - 3), -Яс) + 1.
o39.2. y = f(x) функциясе бирелгән, биредә f(x) = 5х + 6. Табыгыз:
a)rf∣l Я-3), Я0.5), /б{|;
б) ftp), Я-2р), /[|р], -Я5р);
в) fta + 1), Я5 - a), fta) - 6, ∕[⅛] - 3;
г) fta - 3) + 1, fta + 4)-2, ftl - 2a), ~∕[⅛1) •
o39.3. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә f(x) = -Зх + 2.
Табыгыз:
а)Я0), ¢-1] ;
б) Я-х). ~f(x), f(2x), f(x - 2);
в) Ях2), (Ях))2. Λχ - 1)2, (Я-х2) - I)2;
Г) Я-х3), Я2х3), Я2х)3, (Я2х))3.
171
o39.4. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә ∕(x) = х2. Табыгыз:
a)∕(-6), -/(6),/(0), ∕(4∣h
б) /(За), ∕[-⅜α], -f(a), 2f(a)-,
в) ∕(x + 2), /(5 - х), ∕(2x + 3), ∕(3x - 1);
г) ∕(x) - 1» ∕(-2x) + 1, 2/(х) + 3, -/(-х) + 3.
o39.5. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә ∕(x) = -х2. Табыгыз:
a)/(-10), -/(10)-1, /(8) + 1, /(6) + /(8):
б) /(-a), -f(a), ∕(5a), -5/(a);
в) f(b - 1), ∕(b2 - 1), f(b - 1)2, ∕(fe2) - 1;
r)∕(-x3), ∕(2x3), ∕(2x)3, -2∕(x3).
o39.6. у = /(х) функциясе бирелгән, биредә ∕(x) = х2. Табыгыз:
a)∕(-5), /(7) + 1, /(5)-4, /(7)-/(5):
б) ∕(2x + 5), ∕(2x) + 5, 2∕(x) + 5, 2/(х + 5);
b)∕(x2), ∕(x2-2), ∕(x2)-2, /((х-2)2);
r)∕(-χ3), 3∕(x3), ∕(3x3), (-/(Зх))3.
o39.7. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә ∕(x) = 1,6х + 3,5.
х нинди кыйммәтләр алганда бу тигезлек үтәлә:
a) /(х) = -4,5; в) /(х) = 0,3;
б) /(х - 1) = 0,6х; г) /(х + 2) = 8,3х?
o39.8. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә ∕(x) = х2. х нин¬
ди кыйммәтләр алганда бу тигезлек үтәлә:
a) /(х) = 144; в) /(х) = 100;
б) /(х) = -10х; г) /(х) = 8х?
o39.9. у = /(х) функциясе бирелгән, биредә ∕(x) = х2. х нин¬
ди кыйммәтләр алганда бу тигезлек үтәлә:
а) /(х - 2) = 64; в) ∕(x + 1) = 81;
б) ∕(2x) = 49; г) /(-Зх) = 121?
o39.10. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә ∕(x) = х2. х нинди
кыйммәтләр алганда бу тигезлек үтәлә:
a) ∕(x - 9) = /(х + 5); в) ∕(x - 1) = /(х - 7);
б) ∕(2x - 7) = ∕(2x + 3); г) /(1 + Зх) = /(Зх + 5)?
172
o39.ll. у = Дх) функциясе бирелгән, биредә:
. Γ3χ-2, х <-3 булганда;
f(χ) = √
' ' [-2x + 5, х ≥ -3 булганда.
Исәпләгез:
a) /(1); б) Д-3); в) /(-4);
г) ДО).
o39.12. у = /(х) функциясе бирелгән, биредә:
/(*) = {
х + 5,7, х <-1,3 булганда;
-5, х > -1,3 булганда.
Исәпләгез:
а) Д-5); б) Л-20); в) ДО);
г) Д1.273).
o39.13. у = Дх) функциясе бирелгән, биредә:
/(*) = {
х2, x<-4,5 булганда;
-4х + 7, х ≥ -4,5 булганда.
Исәпләгез:
а) Д-5); б) Д-4);
в) ДЗ);
г) Д-4,5).
Функциянең графигын төзегез:
o39.14.
а)у = '
1, -4 ≤ х ≤-l булганда;
2х + 3, -1 < х ≤ 1 булганда;
б)у = -
0, -5 ≤ х ≤ -2 булганда;
х + 2, -2<x≤2 булганда.
o39.15.
а) у = •
-х +1, -2 ≤ х ≤ 1 булганда;
х- 1, l<x≤4 булганда;
б) у =
х+3, -4≤x≤0 булганда;
-х + 3, 0 < х ≤ 4 булганда.
039.16.
а) у =
—1, -4≤x<-l булганда;
-х2, -1 ≤ х ≤ 2 булганда;
б)у =
х2, -2 ≤ х ≤ 3 булганда;
9, 3<x≤5 булганда.
173
o39.17.
Функциянең графигын төзегез:
[х2, -3 ≤ х ≤ 0 булганда;
a) 7 = 1 л -
[х, 0 < х ≤ 4 булганда;
6) у =
-х, -4 ≤ х < 0 булганда;
—х2, 0 ≤ х ≤ 2 булганда.
039.18.
а)у =
х + 3, -3 ≤ х ≤ -1 булганда;
х2, -1 < х ≤ 2 булганда;
б)у =
-х2, -3 ≤ х ≤ 0 булганда;
2 - 2х, 0 < х ≤ 3 булганда.
o39.19.
а) у =
-х2, -1 ≤ х ≤ 2 булганда;
2x-8, 2<x≤5 булганда;
б) У =
х2, -3 ≤ х < 2 булганда;
6 - х, 2≤x≤7 булганда.
o39.20.
39.17 а) биремендәге функцияләр өчен табыгыз:
а) аргументның кыйммәтләре -1; 0; 2; 4 кә тигез бул¬
ганда, функциянең кыйммәтләрен;
б) функциянең кыйммәтләре 0; 1; 4 кә тигез булса,
аргументның кыйммәтләрен;
в) [-1; 2] кисемтәсендә функциянең иң зур һәм иң
кечкенә кыйммәтләрен;
г) функциянең үсү һәм кимү аралыкларын.
o39.21. 39.18 а) биремендәге функцияләр өчен табыгыз:
а) билгеләнү өлкәсен;
б) иң зур һәм иң кечкенә кыйммәтләрне;
в) кимү һәм үсү аралыкларын;
г) өзелү нокталарын.
o39.22. 39.19 а) биремендәге функцияләр өчен табыгыз:
а) билгеләнү өлкәсен;
б) функциянең кыйммәтләре өлкәсен;
в) кимү һәм үсү аралыкларын;
г) аргументның функция кыйммәтләре нульгә, нульдән
зур, нульдән кечкенә булгандагы кыйммәтләрен.
174
39.23. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә f(x) = х2. Табыгыз:
a) f(-12) - 44, Д9) ~ 1, /(7) - ДЗ), ДЗ) + Д4);
б) f(a + Ъ), f(a) + Ъ, f(b) - a, f(a) + f(b);
в) f(ab), af(b), -bf(a), ∕[∣j;
г) Дх -1) + Дх + 1), Дх + 2) - Дх), " I f<x + 2).
f(x - 1) f(x) - 4
39.24. у = Дх) функциясе бирелгән, биредә:
Дх) =
х2, -4 ≤ х ≤ 1 булганда;
2x, 1 < х ≤ 5 булганда.
Тәкъдим ителгән биремнең мәгънәсе барлыгын ачыкла¬
гыз, әгәр булса, аны үтәгез:
а) Д-4) не исәпләгез; в) Д-4,5) не исәпләгез;
б) Д1) не исәпләгез; г) Д4,9) ны исәпләгез.
39.25. у = Дх) — функция дияргә мөмкинме, биредә:
a) f (х) =
х2,
2х,
-4 ≤ х ≤ 0 булганда;
х ≥1 булганда;
б) /(х) =
х + 2, х<0 булганда;
х2, х ≥ 1 булганда?
39.26. у = Дх) функциясе бирелгән, биредә:
Лх) =
-х + 3,4, х<-2 булганда;
-2x+5, -2≤x≤3,5 булганда;
х2, x>3,5 булганда.
Исәпләгез:
а) Д-З); б) Д-2); в) ДЗ); г) Д4).
39.27. у = Дх) функциясе бирелгән, биредә:
/(х) =
2 - х, -4< х ≤ - 2 булганда;
х2, -2 ≤ х ≤ 2 булганда;
0,5x + 3, 2<x≤4 булганда.
а) Д~4), Д-2), Д1), Д4) не исәпләгез.
б) у = Дх) функциясенең графигын төзегез.
в) Әгәр Дх) = 1, Дх) = 0, Дх) = 5, Дх) = 6 булса, график
ярдәмендә аргументның кыйммәтләрен табыгыз.
175
39.28. у = ∕r(x) функциясе бирелгән, биредә:
Лх) =
х + 2, х <-1 булганда;
х2, -1 ≤ х ≤ 2 булганда;
х + 2, х > 2 булганда.
a) /(0), f(-2), f(2), f(3) не исәпләгез.
б) у = /(х) функциясенең графигын төзегез.
в) Әгәр ∕(x) = 1, /(х) = 0, ∕(x) = 4, ∕(x) = -1 булса, график
ярдәмендә аргументның кыйммәтләрен табыгыз.
Функциянең графикларын төзегез:
х2, -2 ≤ х ≤ -1 булганда;
39.29. а) у =
х, -1< х ≤ 1 булганда;
-х2, 1 < х ≤ 2 булганда.
-1, -4≤x≤-l булганда;
б) у =
2х, -1 < х ≤ 0 булганда;
-х2, 0 < х ≤ 3 булганда.
х + 2, -4≤x≤-2 булганда;
39.30. а) у =
0, -2 < х ≤ 0 булганда;
х2, 0 < х ≤ 3 булганда.
j+2, -6≤x≤-2 булганда;
б) у =
х2, -2 < х ≤ 1 булганда;
3 - 2х, 1 < х ≤ 5 булганда.
Бирелгән функциянең графигын кулланып, билгеләгез:
а) у = /(х) функциясенең билгеләнү өлкәсен;
б) функциянең иң зур һәм иң кечкенә кыйммәтләрен;
в) функция өзлексез буламы; булмаса, аның нинди нок¬
таларда өзелгәнен;
г) аргумент нинди кыйммәтләр алганда, функциянең
кыйммәте нульгә тигез, нульдән зур, нульдән кечерәк;
д) функция кайда үсә, кайда кими.
Графигы түбәндәге рәсемдә күрсәтелгән функция өчен
әлеге сорауларга җавап бирегез:
39.31. а) Рәс. 53; б) рәс. 54; в) рәс. 55; г) рәс. 56.
176
39.32. а) Рәс. 57; б) рәс. 58; в) рәс. 59; г) рәс. 60.
39.33. а) Рәс. 61; б) рәс. 62; в) рәс. 63; г) рәс. 64.
39.34. а) Рәс. 65; б) рәс. 66; в) рәс. 67; г) рәс. 68.
•39.35. Түбәндәге рәсемдә күрсәтелгән графигы буенча өлешчә
(кисәкле) функцияне аналитик рәвештә языгыз:
а) рәс. 53; б) рәс. 54; в) рәс. 55; г) рәс. 56.
Түбәндәге рәсемдә күрсәтелгән графигы буенча өлешчә
(кисәкле) функцияне аналитик рәвештә языгыз:
•39.36. а) Рәс. 57; б) рәс. 58; в) рәс. 59; г) рәс. 60.
177
Рәс. 57
Рәс. 58
Рәс. 60
Рәс. 62
178
179
•39.37. а) Рәс. 61; б) рәс. 62; в) рәс. 63; г) рәс. 64.
•39.38. а) Рәс. 65; б) рәс. 66; в) рәс. 67; г) рәс. 68.
39.39. у — f(x) функциясе бирелгән, биредә:
f(x) =
-x2, -2 ≤ х ≤ 0 булганда;
0, 0 < х ≤ 3 булганда.
а) Исәпләгез: /(-2), /(0), /(2), /(-1), /(3);
б) у = f(x) функциясенең графигын төзегез;
в) төзелгән графигы буенча у = /(х) функциясенең
үзлекләрен сурәтләгез.
39.40. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә:
/(х) =
х2, -2 ≤ х ≤ 0 булганда;
■ 4х, 0 <x ≤ 1 булганда;
4, 1< х < 3 булганда.
а) Исәпләгез: /(-1), /(2), ftl), /(1,5), /(-2);
б) у = /(х) функциясенең графигын төзегез;
в) төзелгән графигы буенча у = /(х) функциясенең
үзлекләрен сурәтләгез.
39.41. у = /(х) функциясе бирелгән, биредә:
/(х) =
-1, -3≤x≤-l булганда;
-χ2, 1 < х ≤ 1 булганда;
х, 1 < х ≤ 6 булганда.
а) Исәпләгез: f(-2), /(4), /(-1), Д1), /(5);
б) у = /(х) функциясенең графигын төзегез;
в) төзелгән графигы буенча у = /(х) функциясенең
үзлекләрен сурәтләгез.
39.42. у = /(х) функциясе бирелгән, биредә:
f{x> =
х + 2, х < — 1 булганда;
х2, -1 ≤ х ≤ 2 булганда;
х + 2, х>2 булганда.
а) Исәпләгез: /(-3), /(2), /(0), /(-1), Λ∣p
б) у = /(х) функциясенең графигын төзегез;
в) төзелгән графигы буенча у = /(х) функциясенең
үзлекләрен сурәтләгез.
180
•39.43. b нинди кыйммәтләр алганда, f(x) = b тигезләмәсенең,
биредә:
/(х) =
х + 6, х ≤ -2 булганда;
х2, -2 < х ≤ 3 булганда,
а) бер тамыры бар; в) өч тамыры бар;
б) ике тамыры бар; г) тамырлары юк?
•39.44. b нинди кыйммәтләр алганда, f(x) = b тигезләмәсенең,
биредә:
x9+ 3, х ≤ -1 булганда;
/(х) =
х2, —1 < х ≤ 2 булганда,
а) бер тамыры бар; в) өч тамыры бар;
б) ике тамыры бар; г) тамырлары юк?
•39.45. b нинди кыйммәтләр алганда, f(x) = b тигезләмәсенең,
биредә:
. -2х-2, х ≤-1 булганда;
∕(X) 2
-х, -1 < х ≤ 2 булганда,
а) бер тамыры бар; в) өч тамыры бар;
б) ике тамыры бар; г) тамырлары юк?
•39.46. b нинди кыйммәтләр алганда,
биредә:
∕(x) = Ь тигезләмәсенең,
f(x) =
х2, х ≤ 1 булганда;
-2, х>1 булганда,
а) бер тамыры бар;
б) ике тамыры бар
в) чиксез күп тамыры бар;
г) тамырлары юк?
•39.47. Тигезләмәне график юл белән чишегез:
a) Дх) =1; б) f(x) = 4; в) /(х) = 9; г) /(х) = 0,
fθ,5x + 5, -10 ≤ х ≤-2 булганда;
биредә ∕(x) = ∣χ2j -2<χ≤3 булганда.
•39.48. Тигезләмәне график юл белән чишегез:
a) f(x) = -1; б) Дх) = -4; в) f(x) = 2; г) Дх) = 0,
биредә Дх) =
-х2, -2 ≤ х ≤ 1 булганда;
Зх -7, 1 < х ≤ 3 булганда.
181
ӨЙ КОНТРОЛЬ ЭШЕ №8
1 нче вариант
1. Төзүләрсез генә җавап бирегез: бирелгән нокта у = х2
функциясенең графигында ятамы, әллә у = -х2 функция¬
се графигындамы:
а) А(2; 4); б) В(-7; -49); в) С(5; -25); г) D(-4; 16)?
2. у = х2 функциясенең графигын төзегез, аның ярдәмендә
бирелгән аралыкта функциясенең иң зур һәм иң кечкенә
кыйммәтләрен табыгыз:
а) [-2; 3]; б) (-3; 1]; в) (-∞j -1].
3. у = х2 функциясенең [-1; 3] кисемтәсендәге иң кечкенә
кыйммәте белән у = -х2 функциясенең [-3; 1] кисемтәсендәге
иң зур кыйммәтен чагыштырыгыз.
4. у = -х2 һәм у = -4 функцияләре графикларының кисешү
нокталарын табыгыз.
5. Тигезләмәне график юл белән чишегез: х2 = 2х + 3.
6. у = х2 функциясе графигында ордината абсциссадан ике
тапкыр зуррак булган ноктаны табыгыз.
7. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә f(x) = 15х + 8. Табыгыз:
a) f(x - 2); б) f{x2)∙, в) f(-x); г) f(x2 + 4).
{5x — 4, х <1 булганда;
х2, х ≥ 1 булганда.
x±caιuισιco.
а) /(1); б) /(5,5); в) /(-10); г) /(0).
9. у = f(x) функциясенең графигын төзегез, биредә:
/(х) =
-1, -4≤x<-l булганда;
-х2, -l≤x≤2 булганда;
-2 - х, 2 < х ≤ 5 булганда.
Төзелгән график буенча билгеләгез:
а) у = /(х) функциясенең билгеләнү өлкәсен;
б) функциянең иң зур һәм иң кечкенә кыйммәтләрен;
в) функциянең өзлексезлеген;
г) аргумент нинди кыйммәтләр алганда, функция нульгә
тигез, нульдән зур, нульдән кечкенә икәнен;
д) функциянең кайда үсүен, кайда кимүен.
10. Функциянең графигын төзегез: у = ^χ2 ~ χ3 .
х - 2
182
2 нче вариант
1. Төзүләрсез генә җавап бирегез: бирелгән нокта у = х2
функциясенең графигында ятамы, әллә у = -х2 функция¬
се графигындамы:
а) А(-2; -4); б) В(-3; 9); в) С(6; -36); г) В(4; 16)?
2. у = —х2 функциясенең графигын төзегез, аның ярдәмендә
бирелгән аралыкта функциясенең иң зур һәм иң кечкенә
кыйммәтләрен табыгыз:
а) [-3; 1]; б) [-2; 2); в) (-<»; -1).
3. у = х2 функциясенең [-2; 1] кисемтәсендәге иң кечкенә
кыйммәте белән у = -х2 функциясенең [-1; 2] кисемтәсендәге
иң зур кыйммәтен чагыштырыгыз.
4. у = х2 һәм у = 9 функцияләре графикларының кисешү
нокталарын табыгыз.
5. Тигезләмәне график юл белән чишегез: -х2 = х - 2.
6. у — -х2 функциясе графигында координаталары капма-
каршы саннар булган ноктаны табыгыз.
7. у = /(х) функциясе бирелгән, биредә: f(x) = 12х - 5. Табыгыз:
a) f(x + 1); б) /(х2); в) /(-х); г) f(x2 - 3).
8.
у = f(x) функциясе бирелгән: f(x) =
-х2, х < 2 булганда;
3x-10, x≥2 булганда.
Исәпләгез: a) f(2); б) /(—1,5); в) Д4); г) /(0).
9. у = f(x) функциясенең графигын төзегез, биредә:
f(x) =
2 -х, —3 ≤ х < —1 булганда;
х2, -1 ≤ х ≤ 2 булганда;
4, 2 < х ≤ 8 булганда.
Төзелгән график буенча билгеләгез:
а) у = /(х) функциясенең билгеләнү өлкәсен;
б) функциянең иң зур һәм иң кечкенә кыйммәтләрен;
в) функциянең өзлексезлеген;
г) аргумент нинди кыйммәтләр алганда, функция нульгә
тигез, нульдән зур, нульдән кечкенә икәнен;
д) функциянең кайда үсүен, кайда кимүен.
4- χθ
Функциянең графигын төзегез: у =
х + 4
10.
183
БҮЛЕК
ЙОМГАКЛАУ
I. ФУНКЦИЯЛӘР ҺӘМ ГРАФИКЛАР
1. а) Координаталар яссылыгында Р(-1; 2) ноктасын бил¬
геләгез. Ординаталар күчәренә карата бу ноктага сим¬
метрияле ноктаны табыгыз.
б) Координаталар яссылыгында К(3; -1) ноктасын бил¬
геләгез. Абсциссалар күчәренә карата бу ноктага симме¬
трияле ноктаны табыгыз.
2. а) Координаталар яссылыгында А(-3; 3) ноктасын һәм х = -2
турысын билгеләгез. Төзелгән турыга карата бу ноктага
симметрияле ноктаны табыгыз.
б) Координаталар яссылыгында С(4; -2) ноктасын һәм у = 1
турысын билгеләгез. Төзелгән турыга карата бу нокта¬
га симметрияле ноктаны табыгыз.
3. а) А(-1; 4) һәм В(-1; 8) нокталары бирелгән. Бу ике нокта
өчен симметрия күчәре булган турыны табыгыз. С(-2; 5)
ноктасын билгеләгез һәм табылган турыга карата бу
ноктага симметрияле ноктаны табыгыз. Тагын бер пар
симметрияле нокталарны күрсәтегез.
б) К"(1; 5) һәм L(-3; 5) нокталары бирелгән. Бу ике нокта
өчен симметрия күчәре булган турыны табыгыз. Р(3; 7)
ноктасын билгеләгез һәм табылган турыга карата бу
ноктага симметрияле ноктаны табыгыз. Тагын бер пар
симметрияле нокталарны күрсәтегез.
4. а) С(2; 4) һәм D(l; 5) нокталары бирелгән. Абсциссалар кү¬
чәренә карата CD турысына симметрияле турыны табыгыз.
б) Е(-1; 4) һәм F(2∙, -2) нокталары бирелгән. Ординаталар
күчәренә карата EF турысына симметрияле турыны та¬
быгыз.
184
5. Функция у = kx + т формуласы белән бирелгән, k һәм т
коэффициентларының кыйммәтләрен атагыз һәм бирелгән
функциянең графигын сурәтләп әйтегез:
а) у = -2х + 3; в) у = -5;
б) у = 4х; г) у = 0.
6. Функциянең графигын төземичә генә, туры һәм у күчәре
кисешү ноктасының координаталарын әйтегез:
з
а) у = х - 4; в) у = --х;
б) У = 3;
г) у = 0,5х + р.
7. Функциянең графигын төземичә генә, бу функциянең үсә
яки кимү баруын билгеләгез:
а) у = в) у = -10х;
б) у = -х + 1; г) у = 0,1х - 4.
Түбәндәге шартка нигезләнеп, у = kx + т функциясенең
графигын схема рәвешендә күрсәтегез:
8. a) k > 0, т < 0; в) k > 0, т > 0;
б) k < 0, т > 0; г) k < 0, т < 0.
9. a) k < 0, т = 0; в) k > 0, т = 0;
б) k = 0, т < 0; г) k = 0, т > 0.
10. у = х - 6 функциясенең графигын төзегез. Графиктан та¬
быгыз:
а) аргументның кыйммәте -2; 0; 3 булса, функциянең
кыйммәтен;
б) функциянең кыйммәте -1; 0; 2 булса, аргументның
кыйммәтен;
в) аргументның у > 0, у < 0 булгандагы кыйммәтләрен;
г) функциянең [1; 3] кисемтәсендә иң зур һәм иң кечкенә
кыйммәтләрен.
11- У = -х + 1 функциясенең графигын төзегез. Графиктан
табыгыз:
а) аргументның кыйммәте -3; 0; 2 булса, функциянең
кыйммәтен;
б) функциянең кыйммәте -2; 0; 1 булса, аргументның
кыйммәтен;
в) аргументның у > 0, у < 0 булгандагы кыйммәтләрен;
г) функциянең [-2; 1] кисемтәсендә иң зур һәм иң кечкенә
кыйммәтләрен.
185
12. у = 2x - 2 функциясенең графигын төзегез. График яр¬
дәмендә табыгыз:
а) турының х һәм у күчәрләре белән кисешү нокталары
координатал арын;
б) аргументның у > 0, у < 0 булгандагы кыйммәтләрен;
в) х ның -1 ≤ х ≤ 2 тигезсезлеген канәгатьләндерүче
кыйммәтләренә тиңдәш булган у ның кыйммәтләрен;
г) Z∕min ~ -1, ‰ax = θ булганда, х ның нинди аралыкта булуын.
13. у = -0,5х + 2 функциясенең графигын төзегез. График¬
тан табыгыз:
а) турының х һәм у күчәрләре белән кисешү нокталары
координаталарын;
б) аргументның у > 0, у < 0 булгандагы кыйммәтләрен;
в) х ның -2 < х < 2 тигезсезлеген канәгатьләндерүче
кыйммәтләренә тиңдәш булган у ның кыйммәтләрен;
г) ym.π = -1, ι∕max = 4 булганда, х ның нинди аралыкта булуын.
14. Турының х һәм у күчәрләре белән кисешү нокталары ко¬
ординаталарын табыгыз:
а) у = -θx + 1;
б) у = 1,2х - 6;
В) у = ∙JX + 6;
г) у = -1,6х - 8.
15. А ноктасы бирелгән сызыкча функциянең графигында ятамы:
а) у = 0,6х + 30, А(-25; 15);
б) у = -1,8х - 5,4, А(3; 0);
в) у = 1,5х - 9, А(9; 4,5);
г) у = -0,75x + 3, А(4; 0).
16. Сызыкча функциянең иң зур һәм иң кечкенә кыйммәтләрен
табыгыз:
а) у = -Зх ның [-2; 1] кисемтәсендә;
б) у = 2,5х - 2 ның (-∞j 2] кисемтәсендә;
в) у = 1,5х ның [-2; +∞) кисемтәсендә;
г) у = -х + 4 ның [-1; 3] кисемтәсендә.
186
17. Турыларның кисешү ноктасын график һәм аналитик юл¬
лар белән табыгыз:
а) у = Зх - 4 һәм у = х;
б) у = х - 3 һәм у = -х + 1;
О
в) у = -2х һәм у = 0,5x + 5;
г) у = -5х - 2 һәм у = х + 4.
18. Графигы түбәндәге нокта аша үтүче у = kx функциясен
формула белән күрсәтегез:
а) М(-20; 60); в) 7С(45; 15);
б) М17; -51); г) Ц-65; -13).
19. Түбәндәге функцияләрнең графиклары үзара ничек урна¬
шалар:
а) у = 23х - 7 һәм у = 7 - 23х;
б) у = 8,9х + 0,9 һәм у = 8,9х;
в) у = Зх + 5 һәм у = 5;
г) у = 0,75x - 0,125 һәм у =
20. Графигы у = kx функциясенең графигына параллель һәм
В ноктасы аша үтүче сызыкча функцияне языгыз, биредә:
а) у = 4х, В(0; -5);
6)y = -∣, В(-16; -2);
в) у = -0,4х, В(0; 7);
r)y= В(—12; 1).
Бу функциянең графигын төзегез.
21. у = Зх + 6 функциясенең графигын төзегез. График
ярдәмендә тигезләмәне чишегез:
а) Зх + 6 > 0; в) Зх + 6 ≤ 0;
б) Зх + 6 ≤ 3; г) Зх + 6 > -3.
22. Тигезләмәне график юл кулланып чишегез:
а) 4х + 8 < 0; в) 2х - 10 ≥ 0;
б) -Зх - 7 ≤ 2; г) -х + 6 > 4.
23. Тигезләмәнең графигын төзегез:
а) 2х + у - 4 = 0; в) -х - у + 1 = 0;
б) -х - 2у + 6 = 0; г) Зх + 4у - 12 - 0.
187
Тигезләмәләр системасын
график юл белән чишегез:
Зх + бу = 0,
0,5х - 2у = 0,
24. а)
в)
[2х - у - 5 = 0;
х - у - 3 = 0;
-х - 2у + 4 = 0,
х - Зу + 6 = 0,
б)
г) •
2х - у - 3 = 0;
-2х + у + 3 = 0.
8х - 12у - 12 = 0,
4,5х - бу + 12 = 0,
25. а)
в)
-2х + Зу + 12 = 0;
4у - Зх + 20 = 0;
0,2x - 0,5j∕ + 3 = 0,
-0,6x + 1,4</ + 15,6 = 0,
б)<
г)
1
2,5у - х - 15 = 0;
х - 2 —у - 21 = 0.
3
26. ах + by + с = 0 тигезләмәсенең графигы а, Ь, с ның
кыйммәтләре нинди булганда:
а) координат ал ар башлангычы аша үтә;
б) х күчәренә параллель урнаша;
в) у күчәренә параллель урнаша;
г) координата күчәрләренә тәңгәл килә?
27. у = х2 функциясенең графигын төзегез. График ярдәмендә
билгеләгез:
а) аргументның кыйммәтләре -1; 0,5; 2,5 булганда, функ¬
циянең кыйммәтләрен;
б) функциянең кыйммәтләре 4; 0; 9 булса, аргументның
кыйммәтләрен;
в) функциянең [-2; -1] кисемтәсендә иң зур һәм иң кеч¬
кенә кыйммәтләрен;
г) х ның у < 4 булгандагы кыйммәтләре.
28. у = -х2 функциясенең графигын төзегез. График ярдәмендә
билгеләгез:
а) аргументның кыйммәтләре -3; 1,5; 2 булганда, функ¬
циянең кыйммәтләрен;
б) функциянең кыйммәтләре -1; 0; -9 булса, аргументның
кыйммәтләрен;
в) функциянең [-1; 2] кисемтәсендә иң зур һәм иң кеч¬
кенә кыйммәтләрен;
г) х ның у ≤ -9 булгандагы кыйммәтләре.
188
29. у = x2 функциясенең графигын төзегез. График ярдәмендә
билгеләгез:
а) әгәр х ≥ 1 булса, функциянең кыйммәтләрен;
б) әгәр 1 < у < 4 булса, аргументның кыйммәтләрен;
в) функциянең иң кечкенә кыйммәтен;
г) функциянең үсү һәм кимү аралыкларын.
30. у = -х2 функциясенең графигын төзегез. График ярдәмендә
билгеләгез:
а) әгәр х < -2 булса, функциянең кыйммәтләрен;
б) әгәр -9 ≤ у < -4 булса, функциянең кыйммәтләрен;
в) функциянең иң зур кыйммәтен;
г) функциянең үсү һәм кимү аралыкларын.
31. у = х2 функциясенең иң зур һәм иң кечкенә кыйммәтләрен
табыгыз:
а) [0; 2] кисемтәсендә; в) (-∞j -2] нурында;
б) (-1,2; 3] ярыминтервалында; г) [-1; +∞) нурында.
32. у = -х2 функциясенең иң зур һәм иң кечкенә кыйммәтләрен
табыгыз:
а) [-2; 1] кисемтәсендә; в) (0,3; 3] ярыминтервалында;
б) (-3; 1) интервалында; г) (-∞j -1] нурында.
Тигезләмәне график юл белән чишегез:
33. а) х2 = 9; б) -х2 = 2х; в) х2 = -Зх; г) -х2 = 2.
34. а) -х2 = х - 6; в) х2 = Зх + 4;
б) х2 = 2x - 1; г) -х2 = 4х + 4.
35. Тигезсезлекне график юл белән чишегез:
а) х2 > 4; в) -x2 ≥ -9;
б) -х2 ≥ х - 2; г) х2 < 2 + х.
36. у = f(x) функциясенең графигын төзегез, биредә:
/(х) =
х2, -3 ≤ х ≤ 0 булганда,
Зх, 0 < х ≤ 3 булганда.
График ярдәмендә табыгыз:
а) Л-1), Д1), /(2);
б) /(х) = 0, f(x) = 4, /(х) = -6 булганда х ның кыйммәтләрен;
в) функциянең билгеләнү өлкәсен;
г) функциянең кыйммәтләре күплеген.
189
37. у = f(x) функциясенең графигын төзегез, биредә:
_ -х2, -2 ≤ х ≤ 0 булганда,
2х, 0 < х ≤ 2 булганда.
График ярдәмендә табыгыз:
а) /(-1), /(0), /(2);
б) f(x) = 0, f(x) = -4, f(x) = 1 булганда х ның кыйммәтләрен;
в) функциянең билгеләнү өлкәсен;
г) функциянең кыйммәтләре күплеген.
38. у = /(х) функциясенең графигын төзегез, биредә:
_ J-2x~3, -4≤x≤0 булганда,
[х2, 0 < х ≤ 3 булганда,
график ярдәмендә табыгыз:
а) функциянең билгеләнү өлкәсен;
б) функциянең кыйммәтләре күплеген;
в) функция өзелгән урында х ның кыйммәтләрен;
г) функциянең үсү һәм кимү аралыкларын.
39. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә ∕(x) = 4x - 1. Табыгыз:
а) /(-3), /(0), /(0,5), /(£];
б) /(a), ∕(-2a), /(a - 2), f(a) - 2;
в) ∕(i2), f(t2 - 1), ∕((t - I)2), ∕(t2) - 1;
г) /(х + 3), ∕(2x - 1), /(1 - 2x)2, /(х - х2).
40. у = /(х) функциясе бирелгән, биредә /(х) = 2х + 3. Табыгыз:
а) /(-2), /(-0,5), /(0), /(1,5);
б) ∕(~jp), ∕[∣∣, /(0,5 + р), /(р) + 0,5;
в) ∕(y2), f(y2 + 2), ∕((<∕ + 2)2), ∕(p2) + 2;
г) ∕(x - 4), /(1 - х), ∕(2x2) - 4, ∕[ ∣x3 - 1].
41. у = /(х) функциясе бирелгән, биредә ∕(x) = х2. Табыгыз:
а) /(-5), /(-1,4), /(0), /(2,3);
б) f(a), f(~a), -f(a), -f{-a)∙,
в) f(t - 3), ∕(i) - 3, f(t - З)2, -/(30;
г) /(-х), /(5 - х), ∕[ + 1, ∕(x2 + 1).
190
42. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә f(x) = —х2. Табыгыз:
а) Л-8), /(-1,7), /(1), /(2,1);
б) ∕(-p), -∕(p), f(2p), -/(-2р);
в) f(z + 4), f(z) + 4, ∕(z2 + 4), ∕(z + 4)3;
г) f(~x), /(3 - х), /(1 - 0,5x), ∕(x2) + 3.
43. а) у = f(x) һәм у = g(x) функцияләре бирелгән, биредә
∕(x) = 2x - 5, g(x) = -Зх + 4. х нинди кыйммәтләр ал¬
ганда ∕(x - 1) = g(x +1) тигезлеге үтәлә?
б) у = /(х) һәм у = Л(х) функцияләре бирелгән, биредә
∕(x) = -4x - 1, һ(х) = 2х + 9. х нинди кыйммәтләр ал¬
ганда /(х + 2) = һ(х - 3) тигезлеге үтәлә?
44. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә ∕(x) = х2. х нинди
кыйммәтләр алганда тигезлек үтәлә:
a) ∕(x + 1) = /(х - 2);
б) /(х - 4) = /(х) - 4?
45. у - f(x) һәм у = g(x) функциясе бирелгән, биредә ∕(x) = -х2,
g(x) = Зх - 10. х ның нинди кыйммәтләре өчен тигезлек
үтәлә:
a) ∕(x + 2) = g(x + 2); б) /(1 - х) = g[1 ~x' ]?
\ о J
46. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә:
„ „ х + 6, х ≤-2 булганда,
/(х) =
х2, -2 < х ≤ 2 булганда,
у = f(x) функциясенең графигын төзегез һәм билгеләгез,
р ның кыйммәтләре нинди булганда /(х) = р тигезләмәсенең:
а) ике тамыры була; в) өч тамыры була;
б) бер тамыры була; г) тамырлары булмый.
47. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә:
I-2х — 4, х < -1 булганда,
/(*) = 2 1<^ «
-х2, -1 ≤ х ≤ 3 булганда,
у = /(х) функциясенең графигын төзегез һәм билгеләгез,
р ның кыйммәтләре нинди булганда /(х) = р тигезләмәсенең:
а) ике тамыры була; в) өч тамыры була;
б) бер тамыры була; г) тамырлары булмый.
191
II. СЫЗЫКЧА ТИГЕЗЛӘМӘЛӘР
ҺӘМ ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАЛАРЫ
Тигезләмәне чишегез:
48. a) -Зх - 1 = 0; в) 5х - 2 = 0;
б) 2х + 7 = 5; г) 9 - 4x = 1.
49. а) Зх - х + 5х = 2,1; в) 6х - 10х + х = 0,3;
б) х + l,2x - 3,6х = -7; г) 0,7x + 0,8х - х = 2.
50. а) Зу - 11 = 1 - 2у; в) у + 4 = 2у - 5;
б) 2(y + 2) = -3(y - 1); г) 7(у - 3) = -2(у + 3).
51. a) 4(x - 5) - (7x + 9) = 1;
б) 2х - 3(4 - х) = 5 - (х - 1);
в) 8(3 - 2х) - (х - 2) = 9;
г) 5х - 6(2х + 7) = 13 - (х + 1).
52. a)∣x + 2^|х - = -1|;
б) 0,4(3x - 0,5) = l,5x + 0,2(x + 1);
b)-[2x + -]- -х = 2;
'5⅛4 3) 5
г) 0,3(6x + 1,5) = 2,7x - 0,6(x - 2).
53. a) 2x--.l = 5x-±l в)3у + 8 _ 1 - 4у
3 5 6 7
б) Зх + 5 _ х = 2 . г) 4y - 5-z + 4 = -2-
15 3 9’ 3 12 8’
54. a) 4[2x - 11 - (х + 1) = 7| х +
к 4 ) к 7 J
б) 5(0,4ι∕ - 0,3) + 0,5(3 - 4ι∕) = 0;
в) б[-х - 1"∣ + (-2x - 3) = 2(x - 3);
г) 0,2(15y + 4)- 0,6(5y + 1) = 0,2.
55. Бер сан икенчесеннән 14 кә зур, ә аларның суммасы 58 гә
тигез. Бу саннарны табыгыз.
56. Ике санның суммасы 72 гә тигез, ә аларның берсе икен¬
чесеннән 3 тапкыр зуррак. Бу саннарны табыгыз.
192
57. Бер сан икенчесеннән 7 тапкыр зуррак, ә аларның аер¬
масы 78 гә тигез. Бу саннарны табыгыз.
58. Ике санның чагыштырмасы 2 : 3 кә, ә аларның суммасы
135 кә тигез. Бу саннарны табыгыз.
59. Ике санның чагыштырмасы 7:4 кә тигез. Әгәр аларның бер¬
се икенчесеннән 48 гә зуррак булса, бу саннарны табыгыз.
60. Өч санның чагыштырмасы 5:4:3 кә, ә суммалары 84 кә
тигез. Бу саннарны табыгыз.
61. Ике сан 5:3 нисбәтендә. Әгәр беренче санга 1 не кушып,
ә икенчесен 25 тән алсалар, бертөрле нәтиҗәләр чыга. Бу
саннарны табыгыз.
62. Өчпочмакның бер ягы икенче ягыннан 2 тапкыр һәм
өченчесеннән 2 см га кечерәк. Өчпочмакның периметры
31 см булса, аның якларын табыгыз.
63. Өчпочмакның бер почмагы икенчесеннән 3 тапкыр кечерәк
һәм өченчесеннән 20° ка зуррак. Өчпочмакның почмакла¬
рын табыгыз.
з
64. ABC өчпочмагының АВ ягы ВС ягының — енә тигез, ә
АС ягы ВС ягыннан 2 см га озынрак. Өчпочмакның пе¬
риметры 24 см га тигез булса, якларын табыгыз.
65. Өчпочмакның почмаклары 2:3:4 чагыштырмасында бул¬
са, аларны табыгыз.
66. Балалар спорт комплексында укучылар спортның өч төре:
йөзү, теннис һәм көрәш белән шөгыльләнәләр. Йөзү белән
тенниска караганда 2 тапкыр күбрәк һәм көрәшкә кара¬
ганда 9 га артыграк укучы шөгыльләнә. Әгәр спорт ком¬
плексына барысы бергә 119 укучы йөрсә, спортның һәр
төре белән ничә бала шөгыльләнә?
67. Югары сыйныфларда укучы 33 кыз фитнес-клубка йөри.
Тренажер залында шейпингка караганда 5 кә кимрәк,
һәм аквааэробикага караганда 2 тапкыр күбрәк кыз шө¬
гыльләнә. Һәр секциягә ничә кыз йөри?
68. Моторлы көймә 2 сәг эчендә елга агымы уңаена агымга
каршы 3 сәг тә үткән кадәр юл үтә. Елганың агым тиз¬
леге 3 км/сәг булса, көймәнең үз тизлеген табыгыз.
193
69. А һәм В пунктларыннан бер үк вакытта ике велосипедчы
юлга чыга һәм 40 минуттан соң алар очрашалар. Берсенең
тизлеге икенчесенең тизлегеннән 3 км/сәг кә артыграк.
А һәм В пунктлары арасы 18 км булса, велосипедчыларның
тизлекләрен табыгыз.
70. Оста 2 сәг эчендә, аның өйрәнчеге 6 сәг тә ясаган кадәр
деталь ясый. Әгәр оста бер сәгать эчендә өйрәнчеге
ясаганнан 12 гә артыграк деталь ясаса, аның хезмәт
җитештерүчәнлеген табыгыз.
71. Суммалары 81 гә тигез булган рәттән килүче өч так сан¬
ны әйтегез.
72. Аралары 350 км булган А һәм В шәһәрләреннән бер үк
вакытта бер-берсенә каршы ике мотоциклчы юлга чыга.
Юлга чыгып 3 сәг үткәннән соң, очрашуга кадәр 20 км ба¬
расылары кала. Бер мотоциклчының тизлеге икенчесеннән
10 км/сәг кә кечерәк булса, аларның тизлекләрен табыгыз.
73. Бер кисәк электр үткәргече икенчесеннән 54 м га озын¬
рак. Бәр кисәктән 12 шәр метр кисеп алганнан соң, икен-
се кисәк беренчесеннән 4 тапкыр кыскарак булып калган.
Бәр кисәктә ничә метр үткәргеч булган?
74. Станциянең запас юлларында бертөрле вагоннарның ике
составы тора. Бер составта икенчесенә караганда 12 гә
артыграк вагон була. Бәр составтан 6 шар вагонны алып
киткәннән соң, бер составта икенчесеннән 3 тапкыр артыг¬
рак вагон кала. Башта һәр составта ничә вагон булган?
75. Кәрҗиндә ящикларга караганда 2 тапкыр азрак йөзем
була. Кәрҗингә 2 кг өстәгәч, анда йөзем ящиктагыдан
0,5 кг га артып китә. Кәрҗиндә башта ничә кг йөзем
булган?
76. Беренче көнне кибеттә бәрәңгенең 30 % ы сатыла. Икенче
көнне — калган бәрәңгенең 40 % ы, өченче көнге соңгы
84 кг бәрәңге сатыла. Кибеттә барысы ничә кг бәрәңге
булган?
77. А һәм В пунктлары арасы 40 км. В пунктыннан А га
велосипедчы, ә А дан аңа каршы автомобиль юлга чыга.
Очрашуга кадәр автомобиль велосипедчыга караганда
4 тапкыр артык юл үтә. Алар А дан нинди ераклыкта
очрашалар?
194
78. А пунктыннан В пунктына 60 км/сәг тизлек белән мо¬
тоциклчы юлга чыга. 30 минуттан соң В дан аңа каршы
50 км/сәг тизлек белән икенче мотоциклчы чыга. А белән
В арасы 162 км булса, икенче мотоциклчы беренчесе белән
очрашканчы күпме вакыт үтәр?
79. Катер агым уңаена 5 сәг, аннан соң агымга каршы 3 сәг
йөзә. Елганың агым тизлеге 3 км/сәг, һәм барысы 126 км
юл үтелгән булса, катерның үз тизлеген табыгыз.
80. М пунктыннан А пунктына автобус чыга. Ярты сәгатьтән
соң N нан М га тизлеге автобусныкыннан 18 км/сәг кә
артыграк булган җиңел машина кузгала. Юлга чыгып
1 сәг 20 мин үткәч, автобуска караганда 3 км га артыграк
юл үтеп, ул автобусны очрата. М һәм N арасы күпмегә
тигез?
81. Аралары 340 км булган ике пункттан бер үк вакытта
бер-берсенә каршы ике поезд чыга. Хәрәкәт башланып
2 сәг үткәннән соң, очрашканга кадәр аларның 30 км
юл үтәселәре кала. Бер поездның тизлеге икенчесенең
тизлегеннән 5 км/сәг кә зуррак булса, поездларның тиз¬
лекләрен табыгыз.
82. А пристаненнан сал кузгалып китә. Аның белән бер үк
вакытта В пристаненнан А га таба агымга каршы моторлы
көймә юлга чыга. А һәм В пристаньнары арасы 16 км, һәм
көймә белән сал 2 сәгатьтән соң очрашсалар, көймәнең үз
тизлеген табыгыз.
83. А пристаненнан агым уңаена үз тизлеге 12 км/сәг бул¬
ган көймә кузгалып китә, ә 1 сәгатьтән соң агымга кар¬
шы үз тизлеге 18 км/сәг булган катер юлга чыга. Әгәр
көймә кузгалганнан соң 3 сәг үткәч, аның белән катер
арасы 75 км булса, елганың агым тизлеген табыгыз.
84. Өч уйлап табучы үз хезмәтләре өчен 141000 сум премия
1
алалар, икенчесе — беренчесе алганның 33 т % ын һәм
О
1
тагын 6000 сум, ә өченчесе икенчесе алганның 33 3 % ын
һәм тагын 3000 сум акча ала. һәрберсе ничә сум премия
алган?
195
85. Тигезләмәләр системасын алыштырып кую юлы белән чишегез:
[х = 2у - 3, [2х - 5у = 21,
а) в) •
Зх + 4у = 1; [у = Зх + 1;
[8х - у = 5, (х - 5у = 4,
б) г)
-9х + 2у = 4; [Зх - 8у = -2.
86. Тигезләмәләр системасын
алгебраик кушу юлы белән чи¬
шегез:
а)
5х - у = 4,
-2х + у = 5;
в)
х + 4у = -7,
х - 9у = 6;
Зх + 5у = 10,
Зх - 7у = 4;
Зх - 4у = -5,
6x + 4y = -1.
Тигезләмәләр системасын чишегез:
87.
а)
Зх - 2у = 12,
х + 2у = -4;
б)
Зх - у = 4,
2х + Зу = 21;
88.
а)
5х + Зу = -12,
-2х + 4у = 10;
б)
9х + 8у = 21,
6х + 4у = 13;
89.
а)
2х - у = 3,
6х - Зу = 9;
б)
2,1 ,
-х + - у = -1,
3 3
2,1 1
-х + - у = 1;
,5 5
х - У = 3,
-х - 4у = 7;
4х + Зу = 10,
х - 2у = -3.
-6х - 7у = 8,
4х + Зу = -2;
Зу - 4х = -6,
5х - 9у = -10.
2х + 5у = 10,
4х + Юу = 15;
90. Бертөрле тукыманың 3 метры һәм икенче төрлесенең
6 метры өчен 900 сум түләгәннәр. Әгәр беренче тукыманың
9 метры икенчесенең 12 м кадәр торса, һәр төр тукыманың 1 метры
күпме тора?
196
91. 2 кг конфет һәм 3 кг печенье өчен 480 сум түләгәннәр.
Әгәр 1,5 кг конфет 4 кг печеньедан 15 сумга арзанрак
булса, 1 кг конфет һәм 1 кг печенье күпме тора?
92. Аралары 360 км булган А һәм В пунктларыннан бер үк
вакытта бер-берсенә каршы ике автомобиль юлга чыга
һәм 2 сәг 15 мин тан соң очрашалар. Әгәр беренче авто¬
мобиль икенчесеннән 24 минутка алдарак чыккан булса,
алар икенче автомобиль юлга чыкканнан соң 2 сәг үткәч
очрашырлар иде. Һәр машинаның тизлеген табыгыз.
93. Аралары 30 км булган А һәм В пунктларыннан бер үк ва¬
кытта бер-берсенә каршы ике җәяүле чыга һәм алар 3 сәг
45 мин тан соң очрашалар. Әгәр беренчесе икенчесеннән
2 сәг кә алданрак чыкса, очрашу икенчесе чыгып 2,5 сәг
үткәч булыр иде. Җәя үлеләрнең тизлекләрен табыгыз.
94. Теплоход агымга каршы 96 км ны 4 сәг тә, ә агым уңаена
90 км ны 3 сәг тә йөзеп үтә. Теплоходның үз тизлеген
табыгыз.
95. Агым уңаена катер 28 км ны 1 сәг 20 мин, ә агымга кар¬
шы 24 км ны 1,5 сәг эчендә үтә. Елга агымының тизле¬
ген табыгыз.
96. Туристлар лагере урнашкан яр буеннан төнлә сал ычкы¬
нып китә. 6,5 сәг үткәч, иртән, туристлар моторлы көймә
белән аны куып китәләр һәм 1,5 сәг тән соң үзләреннән
0,5 км алдарак барган салны күрәләр. Әгәр кире кайткан¬
да 20 км араны шушы ук көймәдә 2,5 сәг тә узсалар, ту¬
ристлар салны нинди тизлек белән куып җиткәннәр?
97. Кассада биш сумлык һәм ике сумлык 136 вак акча белән
барысы 428 сум акча булган. Кассада һәр төр вак акча
ничәшәр булган?
98. Туристлык маршрутларына хезмәт күрсәтүче автобус паркын¬
да 44 әр пассажир урынлы «Икарус» маркалы һәм 52 шәр
пассажир урынлы «Мерседес» маркалы автобуслар бар.
Автобус паркында барысы 15 автобус һәм алар бер үк ва-
кытты 724 пассажирга хезмәт күрсәтә ала. Автопаркта һәр
төр маркалы автобуслар ничәшәр?
99. Ике бидонда 70 л сөт бар. Әгәр беренче бидоннан икен¬
чесенә андагы 12,5% сөтне агызсалар, ике бидондагы сөтләр
тигезләшә, һәр бидонда ничә литр сөт бар?
197
100. Ике сорттагы корыч ватыкларында никель катнашмасы
5 % һәм 40 % тәшкил итә. Никель катнашмасы 30% бул¬
ган 140 т корыч алу өчен һәр сорттан ничәшәр тонна ко¬
рыч алырга кирәк?
101. Ике эшче бергәләп 1020 деталь ясаган. Беренчесе 15 көн,
икенчесе 14 көн эшләгән. Әгәр беренче эшче 3 көн эчендә
икенчесе 2 көндә ясаганнан 60 ка артыграк деталь ясаса,
һәр эшче бер көндә ничә деталь ясый?
102. Икеурынлы санны аның цифрлары суммасына бүлгәч,
өлештә 7, калдыкта 3 килеп чыга. Сандагы цифрларның
урыннарын алыштыргач, баштагысыннан 36 га кечерәк сан
табыла. Баштагы санны табыгыз.
103. Ике санның аермасы 52 гә тигез. Беренче санны икенчесенә
бүлгәч, өлештә 3, калдыкта 4 килеп чыга. Бу саннарны
табыгыз.
104. Бирелгән икеурынлы санның цифрлары суммасы 7 гә ти¬
гез. Һәр цифрга 2 не кушкач, икеләтелгән бирелгән сан¬
нан 3 кә кечерәк сан килеп чыга. Нинди сан бирелгән?
105. Турыпочмаклыкның һәр ягын 2 см га зурайткач, аның
мәйданы 16 см2 га арткан. Әгәр турыпочмаклыкның
яклары бөтен саннар (сантиметрларда) булса, бирелгән
турыпочмаклыкның якларын табыгыз.
106. Тизйөрешле поезд 5 сәг тә пассажир поезды 6 сәг тә бар¬
ганнан 40 км га артыграк юл үтә. Аларның тизлекләре,
тиңдәшле рәвештә vl һәм v2 саннары, 10 га бүленәләр, ике¬
се дә 100 дән кечерәк һәм 50 дән зуррак. Бу тизлекләрне
табыгыз.
III. АЛГЕБРАИК РӘВЕШҮЗГӘРТҮЛӘР
Исәпләгез:
107. a) З4 + 28; б) (-1)10 - 52; в) З3 - 17°; г) 103 - 210.
108. a) (-2)β - 5,90 - З2 • 3; в) 7,80 + ((-2)2)3 - 53 : 5;
б) 7,40 + (-22)3 - 55 : 53; г) З13 : (33)3 - (-23)2 + 4,7°.
109. а) 43 ∙f>2i
85
б)
94 ∙ 23’
В) 27° . г) Ю3 ∙ (22)5
92 . (34)3 ’ 53 . 82
198
110. a)
136■26
265
111. a)
253∙142i
49∙106 ’
711∙911.
6) (635)2 ’
122 ∙ 353
282 154'
28∙3
(64)2
в)
363∙152i
184∙103'
4 126
Г) 35∙4≡∙
224 ∙ 33
Г) 62∙1212'
112. a)
2∙320-5-319i
99
6) (3∙ 220 + 7 ∙219)∙52.
(13 84)2
. 108 - 67- 108 ∙66
b) 5 -.—;
2163-364
γ) (315 + 313)∙29
’ (314 +312) 1024'
113. Натураль күрсәткечле
a) 625; 6) 196;
дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез:
в) 81; г) 64.
114. 256 санын:
а) натураль санның квадраты;
б) натураль санның дүртенче дәрәҗәсе рәвешендә күрсәтегез.
115. 729 санын:
а) натураль санның кубы;
б) натураль санның квадраты рәвешендә күрсәтегез.
116. а) 100 санын ике натураль санның квадратлары тапкыр¬
чыгышы рәвешендә күрсәтегез.
б) 216 санын ике натураль санның кублары тапкырчыгы¬
шы рәвешендә күрсәтегез.
Аңлатманы гадиләштерегез:
117. a) a3b5 ■ a4b7∙, в) m9n2 • п&т3;
б) cid1 ∙ c8d3; г) p2q7 ■ p3q6.
118. a) (z2)4; б) (а6)2; в) (х6)6; г) (d3)3.
119. a) (α3)2 • а5; б) (d4)3 ∙ d2; в) (∕β)2 ∙ f4; г) (x4)4 • х3.
120. a) (x3y2)2 ■ у5 ■ х4; в) (⅛5)3∕7 ■ ⅛4 ∙ (Z2)8;
б) s5(t4)3 ∙ (s4)ei2; г) a3bi ■ (b2)7α4.
121. a) (2x2)3 • (2х3)5;
б) (25z∕4)3 : (-5у5)2;
(α3)β ∙ α2
122. а) -- ,т-;
a • а
(α⅛)3 • «'.
' ab2 ’
в) (3z∕3)4 • (—Зг/4)2;
г) (16x2)4 : (8x)5.
. (⅛6)4 : ⅛.
В) &15 ■ Ь8 ’
abs
Г (αf>)3 : (a2b)'
199
123. Аңлатманы стандарт рәвештәге бербуын итеп үзгәртегез
һәм аның коэффициенты k ны языгыз:
a) 12x3<∕ ■ (-6x2) • 0,5хг/2;
б) 0,4p4g7 : (-3∣p3gl • (—Зр</3)2;
V ә )
в) ~mn5 ■ 4n1n ■ 1|/п2;
г) -3α5b3 ■ 2abi : (-2α2fe)3.
Тигезләмәне чишегез:
124. а) х5 = 32; б) -2x3 = 250; в) х3 = 216; г) 5x5 = -160.
125. а) х2 = 1; б) Зх4 = 48; в) xβ = 64; г) 2x4 = 162.
126. a) (2x)7 = 128; в) (Зх)5 = 32;
б) (5x)4 = 81; г) (6x)2 = 144.
127. а) х3 + 1 = 0; в) х5 - 20 = 12;
б) Зх5 + 100 = 4; г) (Зх)3 - 25 = 100.
128. a) 2х = 128; б) 5x^4 = 125; в) 3х = 243; г) 6x+1 = 216.
129. a) 73x = 343; в) 25x = 1024;
б) 32x^1 = 27; г) 53x+4 = 625.
130. а) (х + 3)3 = 1; в) (х - I)5 = 32;
б) (2x - 5)5 = -243; г) (5x + 4)7 = -1.
131. а) (х + I)8 = 256; в) (х - 2)6 = 729;
б) (Зх - 5)4 = 81; г) (7x - 2)4 = 625.
132. Турыпочмаклыкның яклары 4 : 5 нисбәтендә, ә аның мәй¬
даны 180 см2. Турыпочмаклыкның якларын табыгыз.
133. Турыпочмаклы параллелепипедның үлчәмнәре 3:4:6
нисбәтендә, ә аның күләме 576 см3 ка тигез. Парал¬
лелепипедның үлчәмнәрен табыгыз.
134. Күпбуынны стандарт рәвешкә китерегез:
а) х2 - 2x + 4 - 2x2 - Зх - 9 + х;
б) 5c2d - cd2 + d3 - 2cd2 + c2d - d3;
в) 12 + Зх2 - 2х - х - 1 - 4x2 - 7;
г) p3 + pq + pq2 - q3 - p3 - q3 - pq2.
200
135. Аңлатманы гадиләштерегез:
a) (m2 - 5m + 1)- (m2 - 4);
б) -3b(a - 2b) + 2a(3a — b);
в) -(9 + n2) — (6n + n2 - 10);
г) <∕(5x - у) + 4x(x - Зу).
136. Тапкырчыгышны стандарт рәвештәге күпбуынга үзгәртегез:
a) (9 - α)(8 + a);
в) (15 - ft)(ft - 1);
б) (2b - 3c)(2c + ЗЬ);
г) (4a - 5c)(-a + Зс).
Кыскача тапкырлау формулалары ярдәмендә аңлатманы
стандарт рәвештәге күпбуынга үзгәртегез:
137. а) (а + 2)2; б) (3b - I)2; в) (х - 8)2; г) (1 + 4</)2.
138. а) (4m + 5п)2;
б) (2z - зо2;
в) (9p - 7g)2;
г) (8г + lls)2.
139. а) (Зх - l)(3x + 1);
б) (13m - lln)(13m + Ип);
в) (10p + 7q)(7q - 10р);
г) (4 - 5y)(5y + 4).
140. а) (х + 3)(x2 - Зх + 9);
б) (2a - 3b)(4α2 + 6ab + 9fe2);
в) (х + l)(x2 - х + 1);
г) (7y2 - 1)(49<∕4 + 7y2 + 1).
Аңлатманы гадиләштерегез:
141. a) (1 - a)(2 + b) - (2 + α)(l - Ь);
б) (2a - b)(a + b)-(a + 2b)(a - &);
в) (3 - m)(8 + п) + (т - 4)(n + 6);
г) (9m - 2n)(2m + n) - (6m + ri)(3m - 2п).
142. a) (5 - x)(5 + х) + (х - З)2;
б) b2(a + b) + (2a - b)(4a2 + 2ab + Ь2);
в) (3α + b)2 - (a + b)(a - Ь);
г) (у + 3)(z∕2 - Зу + 9) - y{y2 - 2).
143. Бердәйлекне исбатлагыз:
a) (х - 5)2 - (х - 7)(х - 3) = 4;
б) (х + 3)(х - 3) - (х - 9)(x + 1) = 8х;
в) (х - ll)(x - 1) - (х + 6)2 = -25;
г) (х + l)(x - 4) - (х - 2)(х + 2) = -Зх.
201
Тигезләмәне чишегез:
144. a) (х + l)(x + 2) - (х + 3)(х + 4) = 0;
б) 10x2 - (2x - 3)(5x - 1) = 31;
в) (х - 2)(х - 3) - (х + 1)(х - 4) = 0;
г) 12x2 - (4x - 3)(3x + 1) = -2.
145. a) 9x2 - 1 - (Зх - 2)2 = 0;
б) (2x - 3)2 - 2x(4 + 2х) = 11;
в) х + (5x + 2)2 = 25(1 + х2);
г) (4x - 3)(3 + 4x) - 2x(8x - 1) = 0.
146. a) (2x + 3)(4x2 - 6х + 9) = 0;
б) (х - l)(x2 + х + 1) = -9;
в) (Зх - l)(9x2 + Зх + 1) = 0;
г) (х + 2)(x2 - 2х + 4) = 7.
Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
147. a) 15a - 25b; б) 3α2 + ab;
в) 28c + 21fe; г) 4√c2 - 2с.
148. a) 12a2b + ЗаЬ2;
б) 2a3 - a2b + 2а;
в) 5cd3 - 15c3d;
г) 5b2c2 + 10c3 - 5bc.
149. a) 3(α + Ь) - а(а + Ь);
б) (х - y)2 + 2у(х - у);
в) m(m — п) + 2п(т — п);
г) 3q(p + q)-(p + q)2.
150. a) 2x - 2y + х2 - ху;
б) 4иг2 - 8т - тп + 2п;
в) a2 + ab - 7a - 7Ь;
г) 6pq + 3<72 + 2p + q.
151. а) х2 - 121; б) 49m2 - 4;
в) 169 - р2; г) 64 - 25n2.
152. а) х4 - 16; б) 144z∕2 - г6;
в) 81 - q4; г) 225m2 - п4.
153. a) 8x2 - 2у2;
б) 16x3 - ху2;
в) 3x2 - 27z2;
г) y3z - 25yz3.
154. а) х2 - у2 + 2х + 2у;
б) p2 + pq2 - q2 - p2q;
в) За - 3b — а2 + Ь2;
г) m3 — n2 - nm2 + т2.
155. а) х3 - 27; б) 8α3 + 1; в)
а3 + 125; г) 1 - 27y3.
156. a) (х - 4)2 - 9х2;
б) (2х - у)2 - (х + Зг/)2;
в) 144 - (а + 9)2;
г) (z + I)2 - (2z - З)2.
202
157. a) 16 - 8p + p2;
6) 25x2 + 20xg + 4г/2;
158. a) 5p2 - 30pq + 45g2;
6) x3z + 4x2z2 + 4xz3;
159. a) x2 - 5x + 6;
6) t2 + 6i + 5;
Тигезләмәне чишегез:
160. a) x2 - 144 = 0;
6) 100 - 81x2 = 0;
161. a) x3 - 36x = 0;
6) 12x5 - 3x3 = 0;
162. a) y2 - 6y + 9 = 0;
6) 4i2 + 28£ + 49 = 0;
163. a) x3 + 16x2 + 64x = 0;
6) 8y4 - 40ι∕3 + 50г/2 = 0;
164. a) x4 - 81 = 0;
6) 256x5 - x = 0;
165. a) (x - 1)2 - 9 = 0;
6) 81 - (г/ + 1)2 = 0;
166. a) (x + 3)2 - 4x2 = 0;
6) 16x2 - (x - 5)2 = 0;
167. a) x2 + 3x + 2 = 0;
6) x2 - 4x - 5 = 0;
168. Бердәйлекне исбатлагыз:
a)
6)
в)
г)
в) 36g2 + 12g + 1;
г) m2 - 14τnn + 49n2.
в) 2c2 + 20cd + 50d2;
г) 3m2n - 6mn + Зп.
в) z2 - 62 + 8;
г) у2 + 9г/ + 8.
в) 196 - у2 = 0;
г) 225г/2 - 64 = 0.
в) 49x3 - х = 0;
г) 2x4 - 32x2 = 0.
в) 49 + 14х + х2 = 0;
г) 36z2 - 12z + 1 = 0.
в) 81x4 - 18x3 + х2 = 0;
г) 27Z3 + 36i2 + 12* = О,
в) х8 - 256 = 0;
г) 625x6 - х2 = 0.
в) (х + 2)2 - 36 = 0;
г) 100 - (г/ - 7)2 = 0.
в) (х - 2)2 - 9x2 = 0;
г) 25x2 - (х + 4)2 = 0.
в) х2 - 7х + 12 = 0;
г) х2 + 5х - 6 = 0.
*L∑-θl + 4α = (а + 4)2;
а - 4
(3fe - l)(3b + 1) - 273bb∖∖1 = ЗЬ;
<±A^-5e = (с-5)2;
с + 5
8c∕3 — 27 /9 j . q∖2 г»rj
~2d - 3 ~ (2d + 3) ^ ^6d∙
203
169. Бердәйлекне исбатлагыз:
a) a3 + b3 + 3ab(a + b) = (α + b)3;
б) a3 - b3 - 3ab(a - b) = (a - b)3.
Кыскача тапкырлау формулаларын кулланып исәпләгез:
170. а) 69 • 71; в) 89 • 91;
б) 42 • 38; г) 58 • 62.
171. а) 912; б) 592; в) 822; г) 682.
172. Иң уңайлы ысул
белән исәпләгез:
910
_ 2742 - 342 ч 532 - 272
14 400
а)
1372- 1232’
u, 960
’ °’ 792 - 512 ’
г)
3242 - 362'
Вакланманы кыскартыгыз:
173. а)
16a2b3c .
β4 8mn3p
21x5yz6
г)
15p2g3r3
12a3b2c4 ’
24m2n3p'∙
3 ’ D 14χ4^2z6
5p2g2r
174. а)
a2 + а
a3 + а2 ’
6)⅛⅛
Р + 2pq
. 8т - 8п
; в) ;
9п - 9т
г)
3x3 + Зху2
6yx2 + бу3
175. а)
a2 + 4a + 4 .
a + 2
в)
⅛2 - 8⅛ + 16 .
⅛ - 4
б)
3n - т
9n2 - 6nm + т2
г)
Р ~2д
p2 - 4pq + 4q2
176. а)
⅛2- 25.
b + 5 ’
g.. 2т - 3
4/л2 - 9 '
4 t2- 36
; в) ;
6 + t
г)
5⅛ - 21
25⅛2 - 4Z2
177. а)
4p2 - 2p + 1
в)
9 + 12z + 16z2
8p3 + l ’
27 - 64z3 ’
б)
27a3+ 8.
2 + 3d
г)
5 + 2т
125 + 8τn3'
178. а)
9х2 - 6x + 1.
9х2 - 1 ’
в)
4m2 - 9n2
9n2 - 12тп + 4т2 ’
б)
16a2 - 25⅛2 .
16a2 + 40ab + 25Ь2 ’
36t2+ 12st + s2
s2 - 36t2
204
179. а)
25х2 - 20хг/ + 4у2 .
Юху - 4у2
в)
18ab2 - ЗЬ3
36a2 - 12ab + b2 ’
б)
8s3 - 27г3
г)
9fc2 + 27kl
12s3 + 18s2t + 27 st2 ’
k3 + 27Z3
180. а)
16a2 - 8ab + b2 _
64α3 - b3
в)
125x3 - у3
25х2 - Юху + у2 ’
б)
8p3+ 27g3
4p2 + 12jp<7 + 9</2 ’
г)
27 n3 + 64т3
9n2 + 24mn + 16т2
181. а)
р - t + 2pt - 2t2
в)
а - b + 4ab - 4Ь2
р - t + pt - t2 ’
а - b + ab - b2
б)
12т + 8п - Зтп2 - 2тп .
г)
24k + 16Z + 6⅛2 + 4kl
Зтп2 + 2тп - Зт - 2п ’
6k2 + 4kl + 6k + 41
182. а)
р - t + 2pt - 2t2 .
1 + 4t + 4t2
в)
a2 - 2ab + b2
а - b - ab + b2
б)
vvt 3 -∣
т — 1
г)
6k + 51 + 6k2 + 5kl
4тп2 + Зтп - 4т - Зп ’
k3+l
183. a)
2m - 2n + Зтп - Зп2
16т + 54mn3
в)
а - b + 4α⅛ - 4&2
48αi>3 + 3ab + 24ab2
б)
8x2 + 10xι∕
4х2 + 5ху - 4х - 5у
г)
„з . „2
Р +Р
3p2 + 4pq + Зр + 4т/ '
184. а)
а + 2 + ab + 2Ь .
b2 + 2b + 1 ’
в)
2х - 2у + х2 - ху '
х2 - у2
б)
c2 - 9 - 3d - cd .
г)
4a2 - b2 + 2a2b - ab2
c2 - 9
4a2 - 4ab + b2
185. а)
x2 - 49
в)
(х - I)2 - 144.
16 - (х - З)2 ’
х2 - 121 ’
б)
81 - Збг + 4г2.
г)
25 - (5x - I)2
(2г - З)2 - 36 ’
36 - 60x + 25x2 ‘
205
Функциянең графигын төзегез:
186. а) у =
х2 - 2х.
2 - х ’
в) У =
х2 + Зх .
X
б) у =
х2 - 9.
х + 3 ’
г)У =
х2 - 16
4 - х '
187. а) у =
х3 - 9х
в) У =
25х - х3 .
(3 - х)(3 + х)’
х2 + 5х
б)у =
8x2 - 32.
х2 - 4 ’
г) У =
Зх2 + 6х
-х2 - 2х
188. а) у =
(-x3)2 .
-х4 ’
в) У =
х3 + Зх2 .
х + 3
б) у =
х4 - х2 .
г) У =
х4 + 2x3
х2 - 1 ’
-2х - х2 '
КУШЫМТА
БИРЕЛГӘННӘРНЕ
СТАТИСТИК ЭШКӘРТҮ ЭЛЕМЕНТЛАРЫ
1. Бирелгәннәр һәм бирелгәннәр рәтләре*
П.1. Тигезләмәләрне телдән чишегез:
1) 2х = -4;
2) 4х = 25 - х;
3) 17 + х = 8;
4) 3(х + 2) - 2 = х;
5) 3 - х = 4 - (1 - Зх);
6)
7)
8)
9)
Ю)
16 - х = 2x + 1;
-4х — 8 = 0;
12х - 11 = -ll(x + 1);
1 - х = 6 — 2х;
-2 - (3 - х) = -7.
а) Барлык тигезләмәләрнең тамырларын бер юлга бер¬
бер артлы өтер аша языгыз. (Үз җавабыгызны мәсь¬
әләләр җыентыгындагы җавап белән чагыштырыгыз.)
б) Юлга барысы ничә сан язылды?
в) Язылган саннарның иң зурысы белән иң кечкенә¬
сенең аермасын табыгыз.
г) Нинди сан иң еш очрый?
Шулай итеп, бер рәткә барлык бирелгәннәр — 1)-10) тигез¬
ләмәләрнең тамырлары язылды. Бирелгәннәр рәте килеп чыкты.
Сез а) пунктында бирелгәннәр рәтенең күләмен таптыгыз. Барлык
бирелгәннәрнең санын шулай атыйлар.
в) пунктында исәпләп табылган аерманы бирелгәннәр рәтенең
колачы дип атыйлар. Колач кечерәк булган саен, бирелгәннәр коор-
динаталар турысында «оешыбрак» урнаша башлыйлар. Киресенчә, зур
колач кайбер бирелгәннәрнең бер-берсеннән шактый ук аерылып то¬
руын күрсәтә.
г) пунктында сез бирелгәннәр рәтенең модасын таптыгыз. Бу иң
«модадагы» нәтиҗә, ул бирелгәннәр рәтендә еш очрый.
д) 5 саны барысы ничә тапкыр очрады?
е) Рәтнең модасы барысы ничә тапкыр очрады?
ж) 0 гә тигез булган саннар бирелгәннәр рәте күләменең
нинди өлешен тәшкил итә?
з) 0 гә тигез булган бирелгәннәрнең процентлы өлеше
нинди?
и) Тискәре саннарның процентлы өлеше нинди?
к) Так саннарның процентлы өлеше нинди?
л) Уңай булмаган саннарның процентлы өлеше нинди?
м) Моданың процентлы өлеше нинди?
*Бу пунктның күпчелек мисаллары «Математика теле. Математик мо¬
дель» бүлеге материалына таянып төзелде.
207
П.2. Координаталар турысында A(-4), B(-3), C(-2), D(-l), E(2)
нокталарын билгеләгез.
а) Күрсәтелгән саннар парлары арасындагы ераклыклар¬
ны исәпләп, таблицаны тутырыгыз:
Нокталар
А.В
А.С
A.D
А.Е
В.С
B.D
В.Е
C.D
С.Е
D.E
Ераклык
б) Бу нокталар арасындагы ераклыклардан төзелгән
рәтнең күләме нинди?
в) Бу рәтнең колачы нинди?
г) Бирелгәннәр рәтенең модасын һәм аның процентлы
өлешен табыгыз.
д) Ераклыкларның төрле кыйммәтләрен үсә бару тәр¬
тибендә санап чыгыгыз.
е) Таблицаны тутырыгыз:
Ераклыкларның төрле кыйммәтләре
Ераклык ничә тапкыр очрады
ж) 2 гә тигез булган ераклыкның процентлы өлеше нинди?
з) Соңгы таблицага туры китереп, түгәрәк (процентлы)
диаграмма төзегез.
Түбәндәге аралыкларның һәрберсендә яткан икеурынлы
натураль саннарның санын табыгыз: [11; 17], [0; 12],
(-∞! 16], [0; 10), (-∞5 14), (92; +∞), [12; 19), (0; 13],
(13; 20], (-∞5 26]. Табылган нәтиҗәләрне бер юлга өтер
аша тезеп языгыз.
П.З. а) Нинди рәт табылды? (Башка биремнәрне үтәгәнгә ка¬
дәр үз җавабыгызны китапның җавабы белән чагышты¬
рыгыз.)
б) Бирелгәннәр рәтендә иң зур санны күрсәтегез,
в) Рәтнең колачы нәрсәгә тигез?
г) Бирелгәннәр рәтенең күләмен табыгыз.
П.4. а) Таблицаны тутырыгыз:
Төрле нәтиҗәләр үсә бару
тәртибендә
Нәтиҗә ничә тапкыр очрады
б) 0 гә тигез булган нәтиҗәнең процентлы өлеше нинди?
в) Рәтнең модасын һәм аның процентлы өлешен табыгыз,
г) Таблицага тиңдәшле түгәрәк (процентлы) диаграмма
төзегез.
208
Алдагы мәсьәләләрне чишәр алдыннан сез инде 5 нче һәм 6 нчы
сыйныфларда очраткан тапкырлау кагыйдәсен языйк.
Әгәр беренче китаптагы А предметны, п ысул белән, ә аннан соң
икенче типтагы В предметын т ысул белән сайлап алып бул¬
са, предметларның (А, В) парларын пт ысул белән сайлап алыр¬
га мөмкин.
Мәсәлән, сул кесәдә 7 вак акча, ә уң кесәдә 9 вак акча ятса,
аларның берсен уң кесәдән, икенчесен сул кесәдән сайлап алуның
7 • 9 = 63 мөмкинлеге бар.
П.5. Укытучыга контроль эшнең ике варианты өчен түбән¬
дәге мисаллар арасыннан берәрне сайлап алырга кирәк
(төрле вариантларда төрле тигезләмәләр булырга тиеш):
х + (х - 5) = 15; 8х - х = 21;
2 - 7(х + 2) = 6(х - 2); 5(х + 2) - 6(х - 2) = 5.
3(2 - х) - 1 = 5 - 7х;
а) Мондый сайлауның ничә ысулы бар?
б) Ике вариантта да тигезләмәнең тамыры 0 гә тигез
булмасын өчен, ничә төрле сайлау ысулы бар?
в) Бер вариантта гына булса да тигезләмәнең тамыры
0 булсын өчен ничә төрле сайлау ысулы бар?
г) Контроль эшне өч вариантта үткәрү өчен төрле тигез¬
ләмәләр сайлап алуның ничә ысулы бар?
П.6. ах + by аңлатмасында а һәм b урынына 1, 2, ..., 8, 9 сан¬
нарының берсен куярга кирәк. Үзгәрешле х һәм у
кергән барысы ничә аңлатма килеп чыгарга мөмкин?
Алар арасында:
a) b 7 гә яки 9 га тигез;
б) a b дан ике тапкыр зур;
в) а җөп, ә b так булган
аңлатмалар ничә?
П.7. Бабайның ике улы һәм бер кызы бар. Улларының һәр-
кайсында — ул һәм кыз, ә кызында — ике ул. Бабайның
һәр кыз оныгында — ике ул, ә һәр ул оныгында — ике
кыз.
а) Бу гаиләнең шәҗәрә агачын төзегез.
б) Бабайның барысы ничә оныгы бар?
в) Бабайның барысы ничә оныкчыгы (тураны) бар?
г) Аның токымында барысы ничә кеше бар?
209
2. Тәртипкә салынган биремнәр рәте.
Бүленеш таблицалары *
Әгәр нинди дә булса үлчәнештә бирелгәннәр бик күп булса, алар-
ны тәртипкә салу яхшырак. Мәсәлән, йөзләгән телефон номерын һәм
аларның ияләрен рәттән язсаң, кирәклесен тиз генә таба да алмыйсың.
Ә инде бу номерларны абонентларның фамилиясе яки исеменең баш
хәрефләре буенча тезсәң — бөтенләй башка әйбер. Ул чагында һәр
хәрефкә якынча 7-8 номер туры киләчәк, һәм кирәклесен сайлап алу
күпкә җиңеләячәк.
Бирелгәннәрне статистик эшкәртү, кагыйдә буларак, аларны нинди
дә булса уйланган тәртипкә салудан башлана: алфавит, санлы кыйм¬
мәтләре буенча, таблица, баганалы яисә түгәрәк диаграмма, төрле
вариантларның агачы рәвешендә һ.б. тезү кулланыла. Бу бирелгәннәрне
иң гади тәртипкә салудан башларбыз.
№6.37 а) күнегүендә (39 нчы бит) координаталар яссылыгында
14 нокта билгеләргә кирәк. Бу нокталарның абсциссаларыннан тору¬
чы бирелгәннәр рәте мондый:
-1, -3, -3, -2, 3, 3, 0, 3, 3, -3, -3, 1, 1, -1.
Аны абсциссалары үсә бару тәртибендә тәртипкә салырга була.
Төгәлрәге, башта абсциссалары иң кечкенә -3 кыйммәтен алганнар
языла. Алар дүртәү. Алардан уңдарак абсциссасы аннан зуррак бул¬
ган -2 саны килә. Аннан соң -1 гә тигез булган ике абсцисса һәм
шулай дәвам итә:
-3, -3, -3, -3, -2, -1, -1, 0, 1, 1, 3, 3, 3, 3.
Тәртипкә салынган бирелгәннәр рәте барлыкка килде. Анда¬
гы бирелгәннәр үзләре үзгәрмәде, ә бары тик баштагы рәт белән ча¬
гыштырганда урыннары гына үзгәрде. Без башлангыч бирелгәннәрне
«буйлары буенча» урнаштырдык дияргә мөмкин.
П.8. а) № 6.37 б) мисалында (39 нчы бит) күрсәтелгән нок¬
таларның ординаталарын бер-бер артлы языгыз. (Җа¬
вапны шушы китап җавабы белән чагыштырыгыз.)
б) Табылган бирелгәннәр рәтенең күләме һәм колачы
нинди?
в) Тәртипкә салынган бирелгәннәр рәтен төзегез.
г) Бирелгәннәр рәтенең модасы нинди? Ул ничә тапкыр
очрады?
д) -4 саны ничә тапкыр очрады?
е) -2 саны ничә тапкыр очрады?
ж) 2 саны ничә тапкыр очрады?
з) 7 саны ничә тапкыр очрады?
* Бу пунктның күпчелек мисаллары «Сызыкча функция» бүлеге материа¬
лына таянып төзелде.
210
№ П.8 в) мисалында О, О, О, О, О дип язу урынына 0 саны 5 тап¬
кыр очрый дип әйтергә мөмкин. Башка саннарны да шулай язарга
була. Җыелган мәгълүматны таблицага языгыз:
Нәтиҗә (нокталарның ординаталары)
-4
-2
0
2
7
Бирелгәннәр рәтендә ничә тапкыр очрый
2
4
5
2
2
Бирелгәннәрнең бүленеше таблицасы килеп чыкты.
Тәртипкә салынган рәтне белгәндә, бүленеш таблицасын төзү кыен
түгел: бер үк санның кабатланулары урынына бу кабатланышларның
саны языла. Киресе дә дөрес: бүленеш таблицасы билгеле булса,
тәртипкә салынган рәтне яңадан торгызу җиңел. Мәсәлән, нинди дә
булса үлчәнешнең бүленеш таблицасы бирелгән булсын:
Үлчәү нәтиҗәсе
-3
-1
5
7
8
Бирелгәннәр рәтендә ничә тапкыр очрый
3
4
2
1
5
Аннан түбәндәге тәртипкә салынган рәт табыла:
-3, -3, -3, -1, -1, -1, -1, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 8, 8.
П.9. Түбәндәге тигезләмәләрнең сул якларын ах + by + с
рәвешенә китереп языгыз.
1)
Зх - 4 у + 5 = 0;
8) 5 - l,5(ι∕ - 2х) = 0;
2)
0,5(4x + 1) - у = 0;
9) 2(x + 2у) -21=0;
3)
у - х = 0;
10) -(2y - Зх) + 1 = 0;
1)
х = 0;
11) 5 - 3(у - х) = 0;
5)
У = 0;
12) -(х - у) + 1 = 0;
6)
7)
5у - 4 = 0;
3(x + 2у) -8 = 0;
13) 0,5(3<∕ - 2х) + 5 = 0.
а) х үзгәрешлесе алдында торучы коэффициентлардан
торган бирелгәннәр рәтен языгыз.
б) Табылган бирелгәннәр рәтенең күләмен һәм колачын
табыгыз.
в) Тәртипкә салынган бирелгәннәр рәтен языгыз.
г) Мода нәрсәгә тигез? Ул бирелгәннәр рәтендә ничә
тапкыр очрады?
д) -1 саны, 0 саны, 1 саны, 2 саны ничә тапкыр очрады?
е) Табылганнарның бүленеш таблицасын төзегез.
ж) Бүленеш таблицасының икенче юлындагы барлык
саннарны кушыгыз. Ни өчен җавапның бирелгәннәр
рәте күләме белән тәңгәл килүен аңлатыгыз.
з) Нинди дә булса бүленеш таблицасының икенче
юлында 0 саны торырга мөмкинме?
211
Алгебра фәненнән контроль эштә 7 «Б» сыйныфы уку¬
чылары түбәндәге билгеләр алдылар:
№
Укучы
Билге
№
Укучы
Билге
№
Укучы
Билге
1
Сәлим Ә.
3
10
Ренат К.
4
19
Рәдиф С.
4
2
Әнисә А.
5
11
Рәсимә К.
3
20
Марат С.
5
3
Алсу Ф.
4
12
Илнур М.
2
21
Ришат Т.
3
1
Наил Б.
Ю
13
Гөлнур К.
Ю
22
Сәйдәш В.
4
5
Галия В.
3
14
Гомәр Л.
5
23
Мансур Ф.
5
6
Диләрә Г.
4
15
Тәслимә Л.
4
24
Самат Й.
4
7
Булат Д.
2
16
Әдилә М.
5
25
Сания Н.
3
8
Камил Д.
5
17
Сәлимә Н.
4
9
Илшат Ә.
4
18
Фәния X.
2
П.10. а) «Бишле», «дүртле», «өчле» һәм «икеле» билгеләренең
санын табыгыз.
б) Билгеләрнең бүленеш таблицасын «ю» билгесен дә
кертеп төзегез («ю» — юк, контроль эштә катнашма¬
ган»).
в) Бәр билгенең процентлы өлешен табыгыз.
г) Контроль эш билгеләре бүленешенең түгәрәк ди¬
аграммасын ясагыз.
П.11. а) Малайлар алган билгеләрнең бүленеш таблицасын
төзегез.
б) Малайлар алган билгеләр бүленешенең түгәрәк диа¬
граммасын ясагыз.
в) Кызлар алган билгеләрнең бүленеш таблицасын төзе¬
гез.
г) Кызлар алган билгеләр бүленешенең түгәрәк диа¬
граммасын ясагыз.
№ П.10 а) мисалын чишкәндә болай эшләү уңай. Башта, икенче
юлны тутырмыйча гына, билгеләрнең бүленеше таблицасын төзибез:
«Ю»
«2»
«3»
«4»
«5»
Аннан соң сыйныф исемлеге буйлап, һәр билгене чираттан бил¬
геләп барабыз: таблицаның тиешле шакмагына кыек таяк / куябыз.
Исемлектә бишенче торган Галия В. билгесен язганнан соң, таблица
мондый була:
212
♦ Ю»
«2»
«3»
«4»
«5»
/
п
/
/
Ә менә унынчы торган Ренат К. дан соңгы арадаш нәтиҗә:
«ю»
«2»
«3»
«4»
«5»
/
/
и
пп
п
Барлык 25 билгене исәпкә алганнан соңгы таблица:
«ю»
«2»
«3»
«4»
«5»
и
///
нн-
нн- пп
нн- /
Анда һәр бишенче таяк аннан алдагы дүрт таякны аркылы сыза.
Борынгылар әнә шулай санаганнар да. Хәзер икенче юлда таяклар
урынына бу таякчыкларның санын язып куябыз:
Нәтиҗә (контроль эш билгесе)
«Ю»
«2»
«3»
«4»
«5»
Ничә тапкыр очрады
2
3
5
9
6
Ун спортчы биеклеккә, озынлыкка, уңга һәм сулга
сикерүдә ярышканнар. Алар менә нинди урыннарны ал¬
ганнар:
Биеклеккә
Озынлыкка
Уңга
Сулга
Сумма
Илгиз
5
3
8
2
Илдус
9
8
3
7
Илфар
8
9
7
3
Илһам
1
4
5
8
Илшат
3
2
2
10
Илсур
7
7
4
9
Илгизәр
4
1
9
4
Илфат
10
10
1
5
Ирек
2
5
10
1
Ильяс
6
6
6
6
П.12. а) Ь.әр сикерешченең алган урыннары суммасын исәп¬
ләгез.
б) Кайсы сикерешче җиңгән (иң кечкенә урыннар сум¬
масын җыйган)?
в) Кайсы спортчы иң соңгы булып калган (иң зур урын¬
нар суммасын җыйган)?
г) Урыннар суммасыннан торучы бирелгәннәр рәтенең
күләме һәм колачы нинди?
213
II. 13. а) Ничә сикерешче урыннар суммасында 27 не җыйган?
б) Ничә сикерешче урыннар суммасында 18 не җыйган?
в) Урыннар суммасының бүленеш таблицасын төзегез,
г) Урыннар суммасы бүленешенең түгәрәк диаграмма¬
сын төзегез.
Шулай итеп, без бирелгәннәрне статистик эшкәртүнең башлан¬
гыч төшенчәләре белән таныштык. Бирелгәннәр тормышта һәрвакыт
диярлек нинди дә булса үлчәү нәтиҗәләре булып тора. Сез йә кешенең
буен яки авырлыгын үлчисез, йә электр счетчигы күрсәткечләрен язып
барасыз, йә йөз метрлыкка йөгерү нәтиҗәләрен теркисез һ.б. Нинди¬
дер үлчәнешнең бирелгәннәре рәте күләме дип әйтәсе урынга, кыс¬
картып, үлчәнеш күләме диләр. Шулай ук үлчәнешнең бирелгәннәре
рәте колачы яки модасы урынына да үлчәнеш колачы яки үлчәнеш
модасы дию кабул ителгән.
Сызыкча функциянең k һәм т коэффициентлары уры¬
нына -2, —1, 0, 1, 2 саннарын кулланып, у = kx + т
функциясенең төрле формулаларын төзегез.
П.14. а) Барысы ничә төрле формула төзергә мөмкин?
б) Табылган ничә формулада k коэффициенты тискәре
сан?
в) Бу формулаларның ничәсендә т коэффициенты тис¬
кәре сан түгел?
г) Бу формулаларның ничәсендә k һәм т коэффициент¬
ларының тамгалары төрле?
П.15. Бу функцияләр графикларының ничәсе:
а) координаталар башы аша үтә;
б) А(1; 0) ноктасы аша үтә;
в) В(0; 1) ноктасы аша үтә;
г) у = 5 - х функциясе графигына параллель була?
3. Санлы булмаган бирелгәннәр рәтләре*
Менә 1930 елдан башлап футбол буенча дөнья чемпионатлары фи¬
налистлары (җиңүчеләре түгел) исемлеге: Аргентина, Чехословакия,
Венгрия, Бразилия, Венгрия, Швеция, Чехословакия, ГФР (Германия
Федератив Республикасы — 1949 елдан 1990 елга кадәр Германиянең
Көнбатыш өлеше шулай аталды), Италия, Нидерландия, Нидерландия,
ГФР, ГФР, Аргентина, Италия, Бразилия, Германия, Франция. Бу исем¬
лек (рәт) 18 бирелгәннән тора: 2009 елга кадәр шул санда футбол бу¬
* Бу пунктның күпчелек мисаллары «Ике үзгәрешлеле ике сызыкча
тигезләмә системалары» бүлеге материалына таянып төзелде.
214
енча дөнья чемпионатлары уза. Димәк, бирелгәннәр күләме 18 гә ти¬
гез. Бүленеш таблицасын да төзергә мөмкин. Анда Венгрия, Швеция
һәм Франция — берәр тапкыр, Германия командасы (рәтнең мода¬
сы) — дүрт тапкыр, ә калганнар барысы да икешәр тапкыр очрага¬
нын билгеләп куела. Түгәрәк диаграмма да төзергә була.
Статистикада мондый очракларда санлы түгел, ә номинатив
бирелгәннәр рәте барлыкка килде, диләр: без бирелгәннәрне саннар
белән түгел, ә исемнәр, атамалар, номинацияләр * белән «үлчәдек».
П.16. Дүрт туры l,m,p,q тигезләмәләр белән бирелгән: у = 3
(Z турысы), х - у = 0 (т турысы), х + у = 1 (р турысы),
х = -2 (q турысы).
а) Түбәндәге нокталар яткан турыларның атамаларын
бер-бер артлы языгыз:
А(1; 1),В(-3; 3),С(6; -5), D(33; 3),Е(-3; 4),F(-2;-22),
G(l; 0), Н(0; 1), J(-2; 0), tf(0,5; 0,5).
б) А, В, ..., К нокталарының l,m,p,q турылары буенча
бүленеш таблицасын тутырыгыз:
Туры
1
т
Р
<1
Турыда нинди нокта¬
лар ята
Турыда ничә нокта ята
в) Үлчәнеш күләмен табыгыз (ягъни нокталарның го¬
муми санын).
г) Моданы, ягъни барысыннан да ешрак очраган турыны
табыгыз. Ул ничә тапкыр очрады?
д) Моданың процентлы өлешен табыгыз.
П.17.
Биш нокта бирелгән: А(2; 1), В(-1; 1), С(0; 4), £)(-2; 0),
Е(0; 0).
а) Түбәндәге турылар үткән нокталар атамаларын бер¬
бер артлы языгыз:
1) х + у = 3; 6) х - у + 4 = 0;
2) х - у - 1 = 0; 7) х = 2;
3) 4х + у = 4; 8) х + 2 = 0;
4) х + у + 2 = 0; 9) у +- v = 0;
5) у - 6 = Зх; 10) 10x = 13у.
* Номинация (лат. nominatio — исем, атама) сүзе сезгә төрле конкурс¬
лар буенча билгеледер. Аларда бүләкләүләр, кагыйдә буларак, билгеле бер
юнәлешләрдә була, һәм аларның һәрберсе үз исеме белән атала. Мәсәлән, «Иң
җитез», «Иң булдыклы» һ.б.
215
б) Турыларның нокталар буенча бүленеш таблицасын
тутырыгыз:
Нокта
А
В
С
D
Е
Нокта аша нинди туры¬
лар үтә
Нокта аша ничә туры үтә
в) Үлчәнеш күләмен табыгыз.
г) Кайсы нокта аша иң аз сандагы туры үтә?
д) Кайсы нокталар аша иң күп сандагы туры үтә?
Игътибар итегез, П.17 мисалында А ноктасы аша да, D аша да
иң күп сандагы турылар үтә (3 әр). Димәк, ике мода бар дигән сүз.
Мондый бүленешләрне еш кына бимодаль диләр. Би алкушымчасы
күп очракларда икеләтелгән (мәсәлән, бицепс — ике башлы мускул)
дигәнне аңлата.
Сез 6 нчы сыйныфта танышкан ихтималлылыкны санау кагыйдәсен
искә төшерик.
Очраклы хәлнең ихтималлылыгы вакланма була, аның ваклаучы¬
сын ихтималый хәлләрнең барлык тигез ихтималлы мөмкинлекләр
саны, ә санаучысын шушы хәл була торган мөмкинлекләр саны
тәшкил итә.
П.18. Әйтелгән кагыйдәдә һәр сүзне бу сүздәге хәрефләр саны
белән алыштырыгыз (кабатланган хәрефләр санала, ты¬
ныш билгеләре саналмый).
а) Нинди саннар рәте барлыкка килде?
б) Бу рәттә 1 саны ничә тапкыр кабатланды?
в) Бу рәтнең модасы нинди сан?
г) Хәрефләр санының бүленеш таблицасын тутырыгыз:
П.19. а) Алда әйтелгән кагыйдәдә һәр сүзне бу сүзнең берен¬
че хәрефе белән алыштырыгыз. Нинди бирелгәннәр
(хәрефләр) рәте барлыкка килде?
б) Бу рәттә «и» хәрефе ничә тапкыр очрады?
в) Алфавит буенча тәртипкә салынган бирелгәннәр рәтен
төзегез.
216
г) Беренче хәрефләрнең бүленеше таблицасын төзегез:
Сүзнең беренче хәрефе
а
ә
б
в
и
м
0
с
т
X
ш
Ничә сүз бу хәрефтән
башлана
П.20. Бервакыт эссе җәй көнендә, диңгез буендагы N шәһә¬
ренең ял паркында «Боз һәм ялкын» фирмасының
«Туңдырмалар» киоскы тирәсендә шундый исәпләүләр
ясаганнар:
Туңдырма сорты
Ничә данә сатылган
№ 1
16
№ 2
10
№ 3
20
№ 4
32
№ 5
38
№ 6
21
№ 7
17
№ 8
7
№ 9
4
№ 10
3
№ 11
13
№ 12
5
№ 13
5
№ 14
7
№ 15
2
а) Үлчәнеш күләмен табыгыз, ягъни барысы ничә туң¬
дырма сатылганын исәпләгез.
б) №11-15 кыйммәтле сортларның процентлы өлеше нинди?
в) №1—5 кыйммәтле сортларның процентлы өлеше нинди?
г) Үлчәнеш модасының процентлы өлешен табыгыз.
П.21. (П.20. мисалының дәвамы.) Шул ук көнне шул ук фир¬
маның икенче киоскында да сатылган туңдырмалар¬
ның гомуми саны бүленешен исәпләгәннәр. Әмма нәти¬
217
җәләрне процентлар белән биргәннәр. Менә нәрсә ки¬
леп чыккан:
Туңдырманың сорты
Күпме сатылган, %
№ 1
12
№ 2
5
№ 3
7
№ 4
15
№ 5
14
№ 6
15
№ 7
8
№ 8
3
№ 9
2
№ 10
2
№ 11
7
№ 12
2
№ 13
3
№ 14
4
№ 15
1
а) Иң кыйммәтле № 15 сорты ничә данә сатылган?
б) Арзанлы № 1-5 сортлары ничә данә сатылган?
в) Ике киоскта сатылганнар буенча иң популяр өч
сортның процентлы өлешен билгеләгез.
г) Фирма 50 киоск өчен 10 000 данә туңдырмадан тор¬
ган партиягә заказ бирә. № 5 туңдырмасын якынча
ничә данә сорату дөресрәк булыр?
Тигезләмә системалары бирелгән:
[Зх - бу + 5 = 0,
[2у = х - 7;
у = 6х + 7,
= 2х;
3
х + 5у - 7 = 0,
у = х + 7;
4x + 1,5у = 16,
8х
. = 5-τ
∫9x - 2у + 11 = 0,
[у = х - 11.
218
П.22. Бирелгән системалар арасыннан очраклы рәвештә берсен
сайлап алалар. Сайлап алынган системаның:
а) чишелешләре булмаган;
б) чиксез күп чишелешләре булган;
в) кимендә бер чишелеше булган;
г) бердәнбер чишелеше булган
очракның ихтималлылыгы нинди?
П.23. Контроль эшнең № 1 варианты өчен бирелгән система¬
ларның берсен, № 2 вариант өчен калганнарның берсен
очраклы сайлап алалар.
а) Шундый сайлауның барысы ничә варианты бар?
б) Ничә очракта № 2 вариантындагы системаның чише¬
лешләре булмый?
в) Ничә очракта сайлап алынган ике системаның да ки¬
мендә бер чишелеше була?
г) Ничә очракта сайлап алынган ике системаның да
бердәнбер чишелеше була?
4. Бүленеш таблицаларын бирелгәннәрне
тәртипкә салмыйча төзү*
Мәсьәләләр җыентыгының 82 нче битен ачыгыз һәм
№15.1-15.6 мәсьәләләренең шартларын карагыз. Алар
бер типта: һәрберсенең җавабы (A)t рәвешендә, биредә
А — ниндидер санлы яки хәрефле аңлатма, ә k — нату¬
раль сан, дәрәҗә күрсәткече, П.24 һәм П.25 мисаллар¬
да сүз бу күрсәткечләрнең бүленеше турында барачак.
∏.24. a) k ның иң кечкенә кыйммәтен табыгыз.
б) k ның иң зур кыйммәтен табыгыз.
в) № 15.1-15.6 (а)-г) пунктлары) мисалларда дәрәҗә
күрсәткеченең үлчәнеш колачы нинди?
г) Бу мисалларда дәрәҗә күрсәткече үлчәнешенең күлә¬
ме нинди?
П.24 тә дәрәҗә күрсәткечләренең бүленеш таблицасы түбәндәгечә:
⅛ — дәрәҗә күрсәткече
2
3
4
5
6
7
8
k ничә тапкыр очрады
* Бу пунктның күпчелек мисаллары «Натураль күрсәткечле дәрәҗә һәм
аның үзлекләре» бүлеге материалына таянып төзелде.
219
Буш шакмакларны ничек тутырырга? Барлык бирелгәннәр рәтен
язып чыгарга, ягъни бу мисаллардагы барлык дәрәҗә күрсәткечләрен
язарга мөмкин. Аннан соң бирелгәннәрне тәртипкә салырга һәм
бүленеш таблицасын тутырырга була. Тик таблицаны бирелгәннәрнең
тулы рәтен язып чыкмыйча да тутырырга мөмкин. Моның өчен
өстәмә урта юл кертәбез. Анда арадаш нәтиҗәләрне язып барабыз.
№15.1 а) ның җавабы З4, ягъни ⅛ = 4. Икенче юлда дүртле асты¬
на таякчык куябыз:
k — дәрәҗә күрсәткече
2
3
4
5
6
7
8
k ничә тапкыр очрады
/
№ 15.1 б), в), г) җаваплары: 76; 0,52; 8,45, ягъни k = 6, k = 2, k = 5.
Икенче юлда алтылы, икеле һәм бишле астына таякчыклар куябыз.
Ахыргача тутырылып бетмәгән арадаш таблица мондый була:
k — дәрәҗә күрсәткече
2
3
4
5
6
7
8
k ничә тапкыр очрады
/
/
/
/
П.25. а) Таблицага №15.2 нең нәтиҗәләрен кертегез. Үз җа¬
вабыгызны тикшерегез!
б) Таблицага № 15.3 нең нәтиҗәләрен кертегез. Үз җа¬
вабыгызны тикшерегез!
в) Таблицага № 15.1-15.6 ның барлык нәтиҗәләрен
кертегез.
г) k күрсәткеченең барысы ничә тапкыр очраганын са¬
нау өчен өченче юл кертегез.
Җавабыгызны тикшерегез! Без төзегән бүленеш таблицасында 3,
4, 5 һәм 6 саннары бертигез санда (5 әр тапкыр) очрады. Бу тигез
диярлек бүленеш. Мондый бүленеш очрагында мода турында сөйләү
урынсыз диярлек: бирелгәннәр барысы да диярлек бертөрлерәк то¬
рышта. Искәртеп үтәбез, 7 саны язылган багананы алып ташларга
кирәк, чөнки 7 күрсәткече бер тапкыр да очрамады.
П.26. № 18.1-18.6 мисалларында барлык аңлатмалар (А)* рә¬
вешендә, биредә А — хәрефле аңлатма, ә k — дәрәҗә
күрсәткече.
a) k ның иң кечкенә кыйммәтен табыгыз.
б) k ның иң зур кыйммәтен табыгыз.
в) Үлчәнеш колачы нинди?
г) Үлчәнеш күләме нинди?
д) Бу үлчәнешнең бирелгәннәренә 17 саны керәме? Ничә
тапкыр?
220
е) Бу үлчәнешнең бирелгәннәренә 7 саны керәме? Ничә
тапкыр?
ж) № 18.1-18.6 мисалларының шарты буенча дәрәҗә күр¬
сәткечләре k бүленеше таблицасын төзегез.
з) Бу мисалларның шартларында ничә төрле күрсәткеч
k очрады?
П.27.
Интернет-кибеттә № 1-6 яңа
компьютер уеннары сата
башлаганнар. Сату нәтиҗә¬
ләре буенча бер атнадан ки¬
бет сайтында диаграмма ур¬
наштырыла (рәс. 69).
а) № 5 уенының процентлы
өлеше нинди?
б) 1% сатуга ничә уен керә?
в) Бу атнада барысы ничә
уен сатылган?
г) Сатылган уеннар санының
бүленешләр таблицасын
тутырыгыз:
!!! Сатуларның хиты — №4 уен,
102 данә сатылган!!!
Рәс. 69
Уенның номеры
1
2
3
4
5
6
Барысы: уен
Сатылган уеннар саны
Барысы: данә
П.28. Мисаллар китерегез:
а) сату күрсәткечләре бер үк булган ике уен;
б) суммар сатылулары барлык сатылуларның яртысын¬
нан артыгын тәшкил иткән ике уен;
в) суммар сатылулары 40 % булган ике уен;
г) суммар сатылулары 40 % тан артык, әмма 50 % тан
ким булган дүрт уен.
Микрорайонның барлык мәктәпләрендә «Натураль күр¬
сәткечле дәрәҗә һәм аның үзлекләре» темасы буенча
тикшерү:
Билге
«2»
«3»
«4»
«5»
Барысы: 4 билге
Билгене алучылар про¬
центы (укучыларның
гомуми саныннан)
10%
20%
40%
25%
Барысы: 95 %
221
П.29. а) Бу контроль эшне ничә процент укучы эшләгән?
б) Микрорайондагы 7 нче сыйныф укучыларының го¬
муми санын табыгыз.
в) Мәктәпләрдәге 7 нче сыйныф укучылары санының
1% ын ничә укучы тәшкил итә?
г) Барысы ничә укучы «4» яки «5» билгеләре алган?
П.30. а) П.29 мисалы нәтиҗәләренең бүленеш таблицасын ту¬
тырыгыз:
Билге
«ю»
«2»
«3»
«4»
«5»
Барысы: 5 билге
Билгене алган укучылар
саны
Барысы:
б) Бу үлчәнешнең колачы нинди?
в) Үлчәнешнең модасын күрсәтегез.
г) а) пункты таблицасы буенча түгәрәк диаграмма тө¬
зегез.
∏.31. ап • а25 • а" = а36 тигезлегендә п һәм k натураль күр¬
сәткечләре урынына тигезлекне бердәйлеккә әверел¬
дерерлек саннар куярга кирәк.
а) Шундый ничә алыштыру ысулы бар?
б) Ничә очракта п < k тигезсезлеге дөрес?
в) Ничә очракта п һәм k үзара тигез түгел?
г) Ничә очракта k : п нисбәте бөтен сан була?
П.32. Түбәндәге тигезлекләр арасында дөресләре белән бергә
дөрес булмаганнары да очрарга мөмкин:
(α5 : α2)3 = a9, (ft3)2 = ft5, (x3 ∙ x4)5 = x35,
(α5 : a : a2)2 = a4, (t2)s : t = t9.
№ 1 карточкага тигезлекләрнең берсен, ә № 2 карточка¬
га калган тигезлекләрнең берсен язалар.
а) Ике тигезлек сайлауның мондый ничә ысулы бар?
б) Ничә очракта ике карточкада да дөрес тигезлекләр
булыр?
в) Ничә очракта ике карточкада да дөрес булмаган ти¬
гезлекләр булыр?
г) Ничә очракта ике карточкада да дәрәҗәләрнең нигез¬
ләре бер үк булыр?
222
5. Нәтиҗәнең ешлыгы.
Ешлыкларның бүленеш таблицасы
Китапның 99 нчы битен ачыгыз. №20.1 мисалны яз¬
ганда кулланылган барлык цифрларны (номерны да
кертеп) язабыз: 2, 0, 1, 3, 1, 2, 2, 3, 0, 3, 5, 9, 2, 3. 14
бирелгәннән торучы санлы рәт табылды. 9 барыннан да
сирәгрәк — 1 тапкыр очрады. Әгәр 1 не 14 кә бүлсәк,
бу рәттә 9 нәтиҗәсенең ешлыгы килеп чыгар.
Натиҗә ничә тапкыр очрый
Нәтиҗәнең ешлыгы = —
Бирелгәннәр рәтенең күләме
П.ЗЗ. а) 2, 0, 1, 3, 1, 2, 2, 3, 0, 3, 5, 9, 2, 3 рәте ечен тәртипкә
салынган бирелгәннәр рәте төзегез.
б) Бу рәтнең колачын һәм күләмен табыгыз.
в) 0 нәтиҗәсенең ешлыгына тигез булган вакланманы
языгыз. 5 нәтиҗәсенең ешлыгына тигез булган вак¬
ланманы языгыз.
г) Ешлыгы иң зур булган нәтиҗәләрне әйтегез.
П.34. а) Бүленеш таблицасын тутырыгыз:
Нәтиҗә
0
1
2
3
5
9
Барысы:
Ничә тапкыр очрады
Барысы:
б) а) пунктындагы таблицага астан тагын бер юл өстә¬
гез. Аны «Нәтиҗәнең ешлыгы» дип атагыз. Ьәр нә¬
тиҗәнең ешлыгын исәпләгез һәм бу саннарны табли¬
цага языгыз.
в) Таблицаның өченче юлындагы барлык вакланмалар¬
ның суммасын исәпләгез (б) пунктын карагыз), нәти¬
җәне иң соңгы шакмакка языгыз.
г) Нинди дә булса нәтиҗәнең ешлыгы нульгә тигез бу¬
ла аламы?
П.35. №20.6 мисалының язылышында кулланылган барлык
татар хәрефләрен санагыз (кабатлауларны исәпкә алыр¬
га һәм пунктларны билгеләүче хәрефләрне дә кертеп)
Хәрефнең ешлыгын табыгыз:
а) «б»; б) «ө»; в) «к»; г) «ә».
* Бу пунктның күпчелек мисаллары «Бербуыннар. Бербуыннар белән
гамәлләр» бүлеге материалына таянып төзелде.
223
Әгәр а үзгәрешлесе -1,0, 1 яки 2 кыйммәтләрен, ә Ь үз-
гәрешлесе 0, 1 яки 2 кыйммәтләрен алса, 2α2∙b3 бер¬
буынының кыйммәтен табарга кирәк.
П.36. а) Ничә төрле (а, Ь) пары өчен исәпләргә кирәк?
б) Нәтиҗәләр арасында ничә тискәре сан бар?
в) Нәтиҗәләр арасында ничә нуль булыр?
г) 0 нәтиҗәсенең ешлыгы нинди?
П.37. а) Таблицаны тутырыгыз:
а
-1
-1
-1
0
0
0
1
1
1
2
2
2
ь
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
2аг ■ Ь3
б) 2α2 • Ь3:
2α2 ∙ b3 ның кыйммәте
0
2
8
16
64
Барысы: 5
Ничә тапкыр очрады
Сумма:
в) 2a2∙b3 бербуыны кыйммәтләре ешлыгының бүленеш
таблицасын тутырыгыз:
2α2 • Ь3 ның кыйммәте
0
2
8
16
64
Барысы: 5
Кыйммәтнең ешлыгы
Сумма:
П.38. Бирелгән саналышта бирелгән хәрефнең ешлыгын табы¬
гыз:
а) «Бер, ике, өч, әнә теге якка күч», «к» хәрефе.
б) «Әке, пәке, кыек сәке, чәүкә, чыпчык, син кал, бу
чык!», «ч» хәрефе.
в) «Авалак, түбәләк, безнең авыл түгәрәк, балалары
күбәләк», «а» хәрефе.
г) «Әнә тора чыпчык, монда торма — тиз чык!», «т»
хәрефе.
П.39. Бербуыннарны стандарт рәвешкә китерегез, аннан соң
санлы коэффициентларын язып чыгыгыз:
(-ab)3 ■ (-∂)4, 3x ∙ 4xy, (2b)4 ∙ 0,75c, (-2dn)2,
(-pg)5 ∙ (-p)3, (-a)2009, 2ab ■ 6c, (-0,25x) ∙ (2x)2,
(5c)2 ∙ 0,48d, l,5x2 ∙ (2x)3, (0,5p2)2 ∙ 4ι∕4, (6p)2 ∙ ip
3
224
а) Коэффициентларның тәртипкә салынган санлы рәтен
төзегез.
б) Коэффициентларның бүленеш таблицасын төзегез,
в) Табылган бүленешнең мода ешлыгы нинди?
г) Ешлыклар бүленеше таблицасын төзегез.
П.40. а) Күрсәткечләр п, k, т сыйфатында 1, 2, 3, 4, 5 сан¬
нарын куеп, ничә төрле xn∙yt∙ zm рәвешле бербуын
алырга мөмкин?
б) Һәр өч күрсәткеч тә так сан булган ничә бербуын ки¬
леп чыгар?
в) Һәр өч күрсәткеч төрле таклыкта булган ничә бер¬
буын килеп чыгар?
г) Алар арасында икенче бербуынның квадраты рәве¬
шендәге ничә бербуын булыр?
∙∏.41. *х4 + (их2)2 + (Ох)4 аңлатмасында *, ■, 0 символлары
урынына 2 гә яки 3 кә тигез булган санны тапкырлау¬
чы куегыз.
а) Барлык тапкырлаучылар да 2 гә тигез булган очрак¬
тагы нәтиҗәне языгыз. Бербуынны стандарт рәвешкә
китерегез.
б) Үрнәк буенча таблицаны тутырыгыз:
*
■
0
*х4 + (■ х2)2 + (Ох)4 нә кую
Бербуынның стандарт
рәвеше
2
2
2
2x4 + (2x2)2 + (2x)4
22x4
2
2
3
2
3
2
2
3
3
3
2
2
3
2
3
3
3
2
3
3
3
в) Барысы ничә төрле бербуын килеп чыгар?
г) Коэффициентлары 4 кә кабатлы ничә бербуын килеп
чыгар?
225
6. Процентлы ешлыклар.
Ешлыкларның процентлардагы бүленеше таблицасы
Ниндидер үлчәнешнең 19 бирелгәне b,n,a,c,a,b,b,c,n,c,d,k,b,c,d,
k, с, т, а арасында с нәтиҗәсе 5 тапкыр очрады. Димәк, нәтиҗәнең
5
ешлыгы — кә тигез. Бу — дөрес нәтиҗә, әмма аның белән эшләве
һәрчак уңай түгел.
Мәсәлән, бер генә калькуляторда да моны гамәлгә куеп булмый.
Шунлыктан унарлы вакланмалар белән ешрак эшләргә тырышалар.
5 5
Мәсәлән, — = 0,263157894..., яки — ≈ 0,263 (киләчәктә без меңенче
өлешләргә, ягъни өтердән соң өченче санга кадәр төгәллек белән
канәгатьләнербез). Статистикада, кагыйдә буларак, унарлы вакланма¬
ны йөзгә тапкырлыйлар, ягъни процентларга күчерәләр. Бу очракта
нәтиҗә барлык нәтиҗәләрнең 26,3 % ын алып тора дибез. Шулай ук
26,3 % — ул с нәтиҗәсенең процентлы ешлыгы яки процентларда¬
гы ешлыгы, диләр.
Процентлы ешлык = (Ешлык ■ 100) %
Чынлыкта без процентлы ешлык белән алдарак инде очрашкан
идек (Кушымтаның 1 һәм 2 нче пунктлары), тик аны процентлы
өлеш дип атадык. Дөрес, анда җаваплар һәрвакыт бөтен сандагы про¬
центларга тигез иде, әмма чынбарлыкта андый яхшы җаваплар сирәк
очрый.
Ниндидер үлчәнешнең нәтиҗәләре түбәндәгечә бүленгән:
Нәтиҗә
-3
-1
2
4
7
Ничә тапкыр очрады
2
6
4
3
2
П.42. а) Үлчәнешнең күләмен һәм колачын табыгыз.
б) Үлчәнешнең модасын табыгыз. Үлчәнештә ул ничә
тапкыр очрады?
в) Моданың ешлыгын табыгыз һәм аны гади вакланма
рәвешендә күрсәтегез.
г) Мода ешлыгын унарлы вакланмада, процентларда
күрсәтегез.
П.43.
а) 7 нәтиҗәсенең ешлыгын табыгыз. Анда гади вак¬
ланма, унарлы вакланма, процентлар рәвешендә күр¬
сәтегез.
* Бу пунктның күпчелек
гамәлләр» бүлеге материалына
мисаллары «Күпбуыннар. Күпбуыннар
таянып төзелде.
белән
226
б) Калган нәтиҗәләрнең процентлы ешлыгын табыгыз.
в) Процентлардагы ешлык бүленеше таблицасын туты¬
рыгыз:
Нәтиҗә
-3
-1
2
4
7
Ешлык, %
г) Ешлыкларның гомуми санының 20 % тан кимрәге
тәшкил иткән нәтиҗәләрне санап чыгыгыз.
Күпбуыннарның ху + zt, (a - &)(1 - с), у + xy2, (ах + l)bx,
ах2 + Ъх + с, (х + l)(x + 2), pqrs, d + е + f, ах + by + d,
ху, xy(u + υ), xiy3z2tw, (х + у)ху һәрберсендә үзгәрешлеләр
санын телдән билгеләгез. Нәтиҗәләрне бер рәткә язы¬
гыз.
П.44. а) Кайсы нәтиҗә иң сирәк очрады? Ничә тапкыр?
б) Бу рәтнең күләме нинди?
в) Бирелгән күпбуыннарда үзгәрешлеләр саны бүлене¬
шенең таблицасын төзегез.
П.45. а) Иң сирәк очраган нәтиҗәнең процентлы ешлыгын
табыгыз.
б) Үлчәнеш модасының процентлы ешлыгын табыгыз.
в) Барлык нәтиҗәләрнең процентлы ешлыклары бүле¬
неше таблицасын төзегез.
г) Тиңдәшле түгәрәк диаграмма төзегез.
Игътибар итегез: ешлыклар таблицасының икенче юлында
(П.45, а) сумма 100,1%. Беренче карашка бик сәер кебек. Башта
барлык бирелгәннәрнең санын (100 %) без аерым кушылучыларга
бүлеп чыктык. Аннан соң бу кушылучыларны куштык. Ьәм баш¬
тагы саннан зуррак сан килеп чыкты?! Бу гади аңлатыла. Мәсәлән,
П.44 һәм П.45 мисалларда «1» нәтиҗәсенең ешлыгы — гә тигез,
13
Ә ~ = 0,0769230769230769230... ≈ 0,077. Димәк, 7,7 % җавабы
якынча сан, без төгәл кыйммәтне бик азга арттырдык. Башка еш-
2
лыкларда да аз гына арттырулар бар: — = 0,153846153846... ≈ 0,154,
яки 15,4%. Барлык нәтиҗәләрне кушканда, бу бәләкәй хаталар
җыела бара һәм җавапта 100,1 % килеп чыга. Шулай итеп, истә
калдырыйк: процентлы ешлыклар өчен җаваплар төгәл булмаска, ә
якынча булырга да мөмкиннәр.
227
Футбол буенча 2008 елгы Европа чемпионаты йомгакла¬
рына карап, www.ftb.ru сайтында Россиянең иң яхшы
футболчысын билгеләделәр. 7000 кеше тавыш бирде.
Тавыш бирү нәтиҗәләре таблицага теркәлде:
Уенчы
Яклап тавыш бирүләр
саны, %
Анюков
3,8
Аршавин
31,8
Жирков
Зырянов
4,9
Колодин
8,4
Павлюченко
Семак
6,6
Семшов
1,3
П.46. а) Тавыш бирүчеләр санының 0,1 % ы ничә кеше?
б) «Зенит» уенчылары (Анюков, Аршавин, Зырянов)
өчен тавыш бирү нәтиҗәсе (% ларда) нинди?
в) Жирков һәм Павлюченко өчен бер үк төрле тавыш би¬
релгән. Алар ничәгә (% ларда) тигез?
г) Жирков һәм Павлюченко өчен барысы ничә кеше та¬
выш биргән?
П.47. а) Аршавин өчен ничә кеше тавыш биргән?
б) Әлеге конкурсның беренче өчлеге өчен ничә кеше та¬
выш биргән?
в) Ьөҗүмчеләр өчен (Аршавин, Павлюченко) сакчылар¬
га (Анюков, Жирков, Колодин) караганда ничә кеше
артыграк тавыш биргән?
г) Тавыш бирүчеләр санының бүленеш таблицасын туты¬
рыгыз:
Уенчы
Яклап тавыш бирүләр
саны, %
Анюков
Аршавин
Жирков
Зырянов
Колодин
Павлюченко
Семак
Семшов
228
Исегезгә төшерәбез, бербуын составына кергән үзгәрешлеләрнең
дәрәҗә күрсәткечләре суммасы бербуынның дәрәҗәсе дип атала. Мәсә¬
лән, xy2z3 — 6 нчы дәрәҗәле бербуын; 1 + 2 + 3 = 6, ә -9α7∂5(c2)2 —
16 нчы дәрәҗәле бербуын: 7 + 5 + 2 • 2 = 16.
Күпбуыннарны стандарт
1) х2 + 2j∕3(l + Зху);
2) (8a3 + fe)(l + 0,5a)a3;
3) b(d2 - 3)2(c∕2 + 1);
4) (a - 12fe4)(a - 0,5fc>4);
Ьәр күпбуында иң зур
сызыгыз.
рәвешкә китерегез:
5) 24x(x2 + 2)(2 + 0,25х2);
6) (8x2z∕ + z)(t - 0,125г2);
7) (1 - 3c)(l + с)(1 - 2с).
дәрәҗәле бербуынның астына
П.48. а) Асларына сызылган бербуыннарның дәрәҗәләрен бер¬
бер артлы языгыз.
б) а) пунктында табылган дәрәҗәләрнең бүленеш таб¬
лицасын төзегез.
в) Процентлы ешлыкларның бүленеш таблицасын төзе¬
гез.
П.49. а) Асларына сызылган бербуыннарның коэффициентла¬
рын бер-бер артлы языгыз.
б) а) пунктында табылган коэффицентларның бүленеш
таблицасын төзегез.
в) Процентлы ешлыкларның бүленеш таблицасын тө¬
зегез.
г) Процентлы ешлыклар бүленешенең түгәрәк диаграм¬
масын төзегез.
Беренче күпбуынны 2a + 1 яки а2 - 2а күпбуыннары
арасыннан ирекле сайлап алалар. Икенче күпбуынны
2a - a2, 3 - 2a яки 1 - a2 күпбуыннары арасыннан ирек¬
ле сайлыйлар.
П.50. Сайлап алынган күпбуыннар суммасының дәрәҗәсе:
а) 3 тән кечерәк; в) 2 гә тигез;
б) 2 дән зуррак; г) нульгә тигез
булу ихтималын табыгыз.
П.51. Сайлап алынган күпбуыннар тапкырчыгышының дәрә¬
җәсе:
а) 5 тән кечерәк; в) 3 кә тигез;
б) 1 дән кечерәк; г) 4 кә тигез
булу ихтималын табыгыз.
229
7. Бирелгәннәрне группалау
Егерме 7 нче сыйныф укучысының һәркайсы укытучы
тәкъдим иткән исемлектән бишәр тигезләмәне дөрес
чишкән. Һәр тигезләмәнең үзара тигез булмаган икешәр
тамыры бар. «Җиденчеләр» барлык җавапларны җый¬
ганнар һәм ал арның бүленеш таблицасын төзегәннәр.
Тигезләмәнең
тамыры
-9
-6
-5
-2
-1
0
3
5
7
8
Барысы: 10
Ешлыгы, %
3,5
13
4
9,5
14
?
12,5
9
6
8
Сумма: 100
П.52. а) Үлчәнешнең күләмен табыгыз.
б) Нинди тамгалар ешрак очрый: уңаймы, әллә тискә¬
реме?
в) 0 тамырының процентлы ешлыгы нинди?
г) бу үлчәнештә аның модасы ничә тапкыр очрый?
П.53. а) Иң сирәк саналучы тамыр ничә тапкыр очрый?
б) Модульләре буенча тигез булган тамырларны табы¬
гыз. Алар ничә тапкыр очрады?
в) Модуле буенча өчтән кечерәк тамырлар ничә тапкыр
очрады?
г) Ешлыклар бүленеше таблицасын тамырлар саны бү¬
ленеше таблицасына күчерегез.
П.52 һәм П.53 мисалларындагы йөз тигезләмәнең ике йөз җавабы
арасында бары 10 төрле сан булып чыкты. Бу бик сирәк очрак: мөгаен,
бу тигезләмәләрнең күбесе бертөрлерәк булгандыр. Әгәр дә инде 10
укучы ирекле рәвештә теләсә нинди 10 сан язса, төрле җавапларның
саны берничә дистә булуы ихтимал. Ул вакытта бүленеш таблицасы
берничә дистә (мәсәлән) 70 баганадан торырга тиеш. Һичсүзсез, мон¬
дый үлчәмдәге таблица эшләү өчен бик тә уңайсыз.
Әгәр үлчәнешнең төрле нәтиҗәләре артык күп булса, аларны груп¬
паларга берләштерәләр һәм моннан соң яңа нәтиҗә булып аның кай¬
сы группага керүе санала. Болай эшләгәндә нәтиҗәләр (группалар) аз¬
рак була, ә һәр яңа нәтиҗәнең күләме зурая.
Таблицада исә беренче юлдагы берничә багананың саннарын бергә
җыялар, ә икенче юл саннарын кушалар. Мәсәлән, П.52 һәм П.53 ми¬
салларындагы
* Бу пунктның күпчелек мисаллары «Күпбуынны тапкырлаучыга тарка¬
ту» бүлеге материалына таянып төзелде.
230
Тигезләмәнең
тамыры
-9
-6
-5
-2
-1
0
3
5
7
9
Барысы: 10
Ничә тапкыр
очрады
7
26
8
19
28
41
25
18
12
16
Сумма: 200
таблицасын болай үзгәртергә мөмкин:
Тигезләмәләр¬
нең тамырлары
-10 нан
-5 кә
-5 тән
0 гә
0 дән 5 кә
5 тән
10 га
Барысы: 4
Ничә тапкыр
очрады
7+26 = 33
8+19 +
+ 28 =55
41 + 25 = 66
18 + 12 +
+ 16 = 46
Сумма: 200
Тик «... нан ... га кадәр»нең нәрсә икәнен төгәл билгеләп куяр¬
га кирәк. Еш кына аралыкның сул ягын («... нан ...») кертеп, ә уң
(«... га ...») ягын кертмичә язалар.
Күпбуыннарда рәттән очраган (кабатлауларны кертеп)
барлык үзгәрешлеләрне бер-бер артлы язалар:
1) п + abx + су, 5) ⅛x(x + Ь);
2) axyz + k - с; 6) ma(x + y)xz;
3) п + с; 7) у + хг.
4) сп - 2у;
П.54. а) Нинди нәтиҗә барыннан да сирәк очрады? Ничә тап¬
кыр?
б) Бу рәтнең күләме нинди?
в) Бу күпбуыннардагы үзгәрешлеләрнең бүленеш табли¬
цасын төзегез.
П.55. а) Латин алфавитының беренче төркеме хәрефләре (а дан
j ка) ничә тапкыр очрады?
б) Латин алфавитының икенче төркеме хәрефләре (⅛ дан
s ка) ничә тапкыр очрады?
в) Үзгәрешлеләрнең группалар буенча бүленеше табли¬
цасын тутырыгыз:
Үзгәрешлеләр группасы
Беренче
(а. Ъ j)
Икенче
(⅛, 1, т,.... s)
Өченче
(i, и z)
Барысы: 3
Хәрефләр ничә тапкыр
очрады
Сумма: 30
г) Ешлыкларның группалар буенча бүленеше таблицасын
тутырыгыз:
Үзгәрешләр группасы
Беренче
(α,5, ..., у)
Икенче
(k, 1, т, .... s)
Өченче
(t, и,..., z)
Барысы: 3
Ешлык, %
Сумма:
231
П.55 мисалы таблицалары П.54 мисалы таблицасы нигезендә
төзелделәр. Киресенчә күчү була алмый. Чынлап та, әгәр а дан k га
кадәр үзгәрешлеләр 30 ның 9 ында очраган икән, әйтик, аерым
Ъ үзгәрешлесе турында төгәл мәгълүмат алу мөмкин түгел.
Төрле бирелгәннәрне группалау очрагында
мәгълүматның төгәллеге кими!
Әдәбият, татар теле һәм математика конкурсларында «А»
командасы (Алсу, Алинә, Азат), «Б» командасы (Бәрия,
Булат, Бари) һәм «В» командасы (Венера, Вәсилә, Вил¬
дан) катнаша. Ьәр конкурс өчен 1 дән 9 га кадәр очко
җыю мөмкин була. Менә йомгаклау нәтиҗәләре:
Алсу
Алинә
Азат
Бәрия
Булат
Бари
Венера
Вәсилә
Вилдан
Әдәбият
6
4
3
2
8
7
5
9
1
Татар
теле
1
8
4
9
5
6
2
3
7
Матема¬
тика
7
5
9
4
8
2
1
6
3
П.56. а) Ьәр катнашучы җыйган очколар суммасын табыгыз
һәм таблицаны тутырыгыз:
Алсу
Алинә
Азат
Бәрия
Булат
Бари
Венера
Вәсилә
Вилдан
Очколар
саны
б) Укучыларның кайсысы җиңүче булган (иң күп очко
җыйган)? Кем икенче? «Йомшак звено»?
в) Ьәр укучы барлык конкурслар өчен нинди иң күп
очко җыярга мөмкин булган?
г) Җиңүченең нәтиҗәсе нинди (мөмкин булган иң күп
очколар саныннан процентларда)?
П.57. а) Ьәр команда җыйган очколарны группалагыз һәм
таблицаны тутырыгыз:
А командасы
Б командасы
В командасы
Очколар
суммасы
б) Кайсы команда җиңгән?
в) Бер конкурста һәр команда нинди иң күп очко
җыярга мөмкин булган?
г) Җиңүче команданың нәтиҗәсе нинди (мөмкин бул¬
ган иң күп очколар саныннан процентларда)?
232
П.58. а) кызлар һәм малайлар җыйган очколарны аерым-
аерым группалагыз. Таблицаны тутырыгыз:
Кызлар
Малайлар
Очколар саны
б) Ьәр кыз уртача ничә очко җыйган?
в) Нәр малай уртача ничә очко җыйган?
г) Кайсылары уңышлырак эшләгән: кызлармы, малай¬
лармы?
П.59. Күпбуыннарны 9x-xb2, 25-y2, x2-rlx, z3t~⅛zt, ху + у2,
d3 - d, klm2 - klm, ab + a + b + 1, a2b2 - a2 - b2 + 1, x2y + ху2,
(d2 -9)(16- и2), х2 - ху беренче дәрәҗәдә күпбуыннарның
тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтегез.
а) Ьәр таркатуның тапкырлаучылар санын табыгыз. Бу
бирелгәннәрнең рәтен төзегез.
б) Тапкырлаучылар санының бүленеш таблицасын тө¬
зегез:
Тапкырлаучылар саны
2
3
4
Ничә тапкыр очрады
в) Таблицаны тутырыгыз:
Тапкырлаучылар саны
2
3
4
Ешлык, %
г) Процентлы ешлыклар бүленешенең түгәрәк диаграм¬
масын төзегез.
Вакланманың санаучысын a2 - 1, a2 + a, a3 - а күпбуын¬
нары арасыннан сайлыйлар. Ваклаучыны а-1, а + 1
күпбуыннарыннан сайлыйлар.
П.60. а) Вакланма төзүнең ничә варианты бар?
б) Санаучысы a3-a булган барлык вакланмаларны язы¬
гыз.
в) Табылган вакланмаларның кайсылары кыскармый?
г) Ничә очракта кыскартулардан соң икенче дәрәҗә
күпбуын килеп чыга?
233
П.61. Вакланманы кыскартканнан соң:
а) күпбуын;
б) өченче дәрәҗә күпбуын;
в) икенче дәрәҗә күпбуын;
г) беренче дәрәҗә күпбуын
килеп чыгу ихтималы нинди?
8. Бирелгәннәрне группалау (дәвамы)*
у = х2 функциясе кыйммәтләренең таблицасын төзегез:
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
У
П.62. а) у = х2 функциясенең ничә кыйммәте 0 дән 50 гә
кадәр чикләрдә ята? (Аралыкның сул очы 0 кертелә,
ә уң очы 50 — юк.)
б) у = х2 функциясенең кыйммәтләре бүленешенең груп-
паланган таблицасын тутырыгыз:
Аралык
0 дән 50 гә
50 дән 100 гә
у — х2 функциясе кыйммәтләре саны
в) у = х2 функциясе кыйммәтләренең ешлыклары бүле¬
неше таблицасын языгыз:
Аралык
0 дән 50 гә
50 дән 100 гә
у = х2 функциясе кыйммәтләре ешлыгы, %
П.63. а) 25 тән 50 гә кадәр арада ничә кыйммәт ята?
б) у = х2 функциясенең кыйммәтләре бүленешенең груп-
паланган таблицасын тутырыгыз:
Аралык
0 дән 25 кә
25 тән 50 гә
50 дән 75 кә
75 тән 100 гә
у = х2 функция¬
се кыйммәтләре
саны
в) у = х2 функциясенең кыйммәтләре бүленешенең груп-
паланган таблицасын тутырыгыз:
Аралык
0 дән 25 кә
25 тән 50 гә
50 дән 75 кә
75 тән 100 гә
у = хг функциясе кыйм¬
мәтләре ешлыгы, %
г) Ешлыклар бүленешенең түгәрәк диаграммасын төзегез.
* Бу пунктның күпчелек мисаллары «у = х2 функциясе һәм аның графи¬
гы» бүлеге материалына таянып төзелде.
234
П.64. а) Квадратлары 200 дән кечерәк булган барлык тискәре
булмаган бөтен саннарның санын табыгыз.
б) Квадратлары 400 дән кечерәк, ләкин 200 дән зур¬
рак булган барлык натураль саннарның санын та¬
быгыз.
в) Бөтен саннарның квадратлары таблицасын кулла¬
нып, у = х2 функциясе (х = 0, 1, 2, ..., 28, 29) кыйм¬
мәтләренең бүленеш таблицасын тутырыгыз.
Аралык
0 дән
200 гә
200 дән
400 гә
400 дән
600 гә
600 дән
800 гә
800 дән
1000 гә
у = х2 функциясе
кыйммәтләре саны
г) Процентлы ешлыклар бүленеше таблицасын төзегез.
П.65. а) у = х2, х = 0,1, 2 28, 29 функциясе кыйммәтләренең
бүленеш таблицасын тутырыгыз:
Аралык
0 дән 300 гә
300 дән 600 га
600 дән 1000 гә
у = х2 функциясе
кыйммәтләре саны
б) Бу таблицаны процентлы ешлыклар бүленеше табли¬
цасына күчерегез.
в) Процентлы ешлыклар бүленешенең түгәрәк диаграм¬
масын төзегез.
г) 0 дән 1000 гә кадәр аралыкны һәрберсенә бу функ¬
циянең 10 ар кыйммәте кергән өч аралыкка бүлегез.
П.66. Түбәләре А(-2; 0), В(-2; 4), С(2; 4), D(2; 0) нокталарын¬
да булган турыпочмаклык төзегез.
а) Бу турыпочмаклыкка ике координатасы да бөтен сан¬
нар булган ничә нокта керә (чикләрне дә кертеп)?
б) у = х2 функциясе графигының бу турыпочмаклыкка
кергән өлешен сурәтләгез.
в) а) пунктыннан ничә нокта графиктан астарак ята;
графикта ята; графиктан өстә ята? Нокталар бүлене¬
ше таблицасын төзегез:
Ноктаның торышы
Графиктан аста
Графикта
Графиктан
өстә
Нокталар саны
235
o∏.67. K(-3; 0), L(-3; 9), М(3; 9), N(3; 0) нокталарында
түбәләре булган турыпочмаклык һәм у = х2 функция¬
се графигының бу турыпочмаклыкка кергән өлешен
төзегез. Координаталары бөтен саннар булган ничә нок¬
та турыпочмаклыкка (чикләрен кертеп) керә һәм гра¬
фиктан аста ята; графикта; аннан өстә ята? П.66 да
күрсәтелгән үрнәк буенча таблица төзегез.
Тугыз катлы йорт подъездының һәр катында берәр бер
бүлмәле, берәр өч бүлмәле һәм икешәр ике бүлмәле фа¬
тирлар бар. Таблицада декабрь ае өчен электр энергия¬
се чыгымнары турында белешмә китерелә.
Фатир номеры
кВт/сәг
Фатир номеры
кВт/сәг
Фатир номеры
кВт/сәг
1
385
13
406
25
357
2
124
14
112
26
143
3
230
15
220
27
210
4
130
16
110
28
168
5
304
17
290
29
420
6
168
18
98
30
152
7
256
19
215
31
263
8
130
20
150
32
87
9
410
21
340
33
440
10
205
22
136
34
264
11
307
23
276
35
233
12
160
24
67
36
172
П.68. а) Электр энергиясе чыгымнарының ничә төрле күрсәт¬
кече бирелгән?
б) Энергия тотылышы буенча фикер йөртсәк, нинди но¬
мерлар өч бүлмәле фатирларныкы?
в) Ничә фатирда энергия 100 кВт/сәг тән кимрәк то¬
тылган?
г) Ничә фатирда энергия 400 кВт/сәг тән күбрәк тотыл¬
ган?
П.69. а) Электр энергиясе чыгымы бүленешенең группалан-
ган таблицасын тутырыгыз:
Электр энергиясе
чыгымы, кВт/сәг
0 дән
100 гә
100 дән
200 гә
200 дән
300 гә
300 дән
400 гә
400 дән
500 гә
Фатирлар саны
236
б) Аны процентлы ешлыклар бүленеше таблицасына
күчерегез, түгәрәк диаграммасын сызыгыз.
в) Электр энергиясе чыгымы бүленешенең башкача
группаланган таблицасын тутырыгыз:
Электр энергиясе
чыгымы, кВт/сәг
0 дән 150 гә
150 дән 300 гә
300 дән 450 гә
Фатирлар саны
г) в) пункты таблицасын процентлы ешлыклар бүленеше
таблицасына күчерегез, түгәрәк диаграммасын сызы¬
гыз.
[* х ≤ 0 булганда,
П.70. /(х) = ’
■, х > 0 булганда
функциясендә * һәм ■ символлары урынына х2 ны, йә
булмаса -х2 ны куярга мөмкин.
а) Шундый юл белән ничә төрле f(x) функциясе бире¬
лергә мөмкин?
б) у = /(х) функцияләре графикларын сызыгыз.
в) Ничә у = f(x) функциясе графигында абсциссалар кү¬
чәреннән астарак ятучы нокталар бар?
г) Ничә у = f(x) функциясе графигы координаталар ба¬
шына карата симметрияле?
[*. х ≤ 0 булганда,
П.71. f(x) =
■, х > 0 булганда
функциясендә * һәм ■ символлары урынына х2 ны, йә
булмаса х ны куярга мөмкин.
а) у = f(x) функциясе барлык х лар өчен билгеләнгән;
б) /(0) = 1;
в) Λl) = 1;
г) Л-2) < 0
булуның ихтималлыгы нинди?
ҖАВАПЛАР
1 БҮЛЕК
§ 1 1.6. a) 35; б) 22,5; в) 18|; г) 15. 1.7. a) ⅛ б) -1; в) 15;
О 1 Ә
г) 13,5. 1.8. а) 6; б) 0,8; в) 7; г) 1|. 1.9. a) ⅛ б) |. 1.10. а) 431;
о 1О о о
6)3,6; в)-25,6; г) 0,5. 1.11. а) 38|; б) 2; в) -12,6; г) 2,4. 1.17. а) 156;
О
б) 30; в) -6,4; г) 62. 1.18. а) 3600а; б) 1440х; в) 16 |х; г) 3,6а.
О
1.22. а) 1|; б) 5; в) 12|; г) 8^. 1.23. а)-0,1; б) 0,5; в)-0,9; г)-1.
1.24. а) 3; б) -9; в) 13; г) -0,14. 1.25. а) 4; б) -14,5; в) 0; г) 2. 1.27. а) 24;
б) -2; в) 8,5; г) 4,2. 1.30. а) 3; б) 4; в) 2,4; г) -2. 1.31. а), б), в), г) 2.
1.33. а) -25; б) 0,1; в) -1; г) 11. 1.40. а) ±3240; б) 0,8; в) 19,5;
г) 214,5 яки 215∣. 1.41. а) ±2,88; б) ±|£; в) 8,325; г) 44,955.
о 1 <
1.42. а) 9^; б) 2,32; в) 5—» г) 2,24. 1.45. Бирем. а) Аңлатманың
о 15
иң кечкенә кыйммәте 20 гә тигез; б) аңлатманың иң зур
кыйммәте 210 га тигез.
§ 3 3.33. 353 фатир, 439 фатир. 3.34. 345 урын. 3.35. 65 фа¬
тир. 3.36. 32 китап. 3.37. 39 деталь, 117 деталь. 3.38. 168 деталь,
178 деталь. 3.39. 18 т, 21,6 т. 3.40. 5 яшь. 3.43. 22 алмагач, 62 ал¬
магач. 3.44. а) 20 деталь; б) 20 деталь; в) 17 деталь; г) 15 деталь.
3.45. 8 сәг, 5 сәг. 3.46. 12 км/сәг, 30 км/сәг, 60 км.
§ 4 4.3. а) 13; б) 0,3; в) 1; г) 2. 4.4. а) -2; б) 18; в) -240; г) -12.
4 .5. а) 2; б) -1,2; в) -2; г) -7. 4.6. а) 1; б) 2,64; в) 27; г) -0,09.
4 .7. а) 22; б) -1; в) 7; г) 4. 4.8. а) 1; б) -6; в) 1; г) 5. 4.9. а) 7 f; б) 26;
з
в) 3 —; г) -25. 4.10. а), в) х — теләсә нинди сан; б), г) тамырлары юк.
4.11. а) х = 4; б) у = 6. 4.12. а) 2; б) 5. 4.13. 32 китап, 16 китап, 27 китап.
4.14. 75 кеше, 50 кеше, 185 кеше. 4.15. 10 см, 20 см,
14 см. 4.16. 270 бала, 540 бала, 90 бала. 4.17. 40 г.
238
4.18. 147 τ. 4.19. 90 сум, 70 сум. 4.20. 60 км/сэг, 90 км/ч. 4.21. 280
ц. 4.22. 60 данә, 20 данә. 4.23. 400 бит. 4.24. 5000 м. 4.25. 14 кг,
38 кг. 4.26. 60 км/сэг, 70 км/сэг. 4.27. 5000 сум, 5400 сум. 4.28.18 бит.
4.29. 60 км яки 90 км. 4.30. 12 км/сэг. 4.31. 12 км/сэг. 4.32. 120, 64,
312. 4.33. 11,5 һәм 4,6. 4.34. 180 кг, 60 кг. 4.35. 55 км. 4.36. 300 төр¬
гәк. 4.40. 28 укучы. 4.41. 6 көн. 4.42. 36 укучы. 4.43. 40 ир-ат,
80 хатын-кыз.
§ 5 5.36. а) (-3; 3); б) (-3; 5); в) 0; 8); г) (-8; 2). 5.37. а) а = 5;
г = 2; б) а = 0, г = 4; в) a = 6, г = 4; г) a = -4, г = 3. 5.38. а) а = 3,5,
г = 1,5; б) a = 2, г = 0,02; в) a = -6,5, г — 4,5; г) a = 2, г =
5.40. L1(12), N/22,5); L2(-9), ΛΓ2(-19,5)j L3(5), ЛГ3(-5,5); L4(-2),
ΛΓ4(8,5). 5.41. P1(ll), М/3); P2(-7), M2(l); P3(-13), М3(-5); P4(5),
M4(-3).
2 БҮЛЕК
§ 6 6.33. СД-2; -4), D1(-2∙, 1) и С2(8; -4), Z»2(8; 1) — ике чи¬
шелеше. 6.34. В(-2; -2), D(2; 2) — бер чишелеше. 6.35. В(-2;
-3), С(4; -3), £)(4; 3). 6.37. а) Цифр 2; б) цифр 4. 6.38. а) Цифр 6;
б) цифр 7. 6.39. а) Дөя; б) страус. 6.40. а) Чабышчы; б) торна.
§ 7 7.6. а) Юк; б) әйе; в) юк; г) әйе. 7.9. N һәм К. 7.11. а) у = 0,5;
б) у = -3; в) у = 3; г) у = -3. 7.12. а) у = 0,8; б) у = -19; в) у = 1,7;
г)у = 35,5. 7.14. а) х = 10; б) х = -1; в) х = 4; г) х = -1,5. 7.15. a) х = -14;
О
б) х = 1; в) х = -3,5; г) х = -27.16. а) у = 3; б) х = -1. 7.21. а) (1; 2);
б) (3; -2). 7.22. б) у = 7х - 56, х = |у + 8; г) с = -5d + 30,
d = -|с + 6. 7.23. a) a = 8 - 2 b = 3 - ja; б) с = 5 - jd,
с( = 6-1|с;в)т = 4+ ± п, п = 4т - 16; r)x = 8+ lyi∕, у = ^χ-7.
7.24.а)«= |z-l,z=l,5f + 3;6)s = 9- jt, t=7- |s; в)и = -γυ- 2,
υ = ~5,5u - 114; r)r = -^u> + 4, w = r~ 25. 7.25. а) (5; 5); б) (8; 4),
( γ! γl 7.26. а) 10; б) 5; в) 120; г) -14. 7.27. а) 35; б) 2; в) 3; г) -5.
239
7.28. a) 13; б) 12; в) -1; г) 0. 7.29. а) 1; б) 0,2; в) теләсә нинди сан;
г) 1. 7.30. 3 һәм 2. 7.31. 1 һәм 6. 7.32. 3 һәм 2. 7.33. 4 һәм 1. 7.34. 6 ма¬
лай, 4 кыз. 7.35. 12 укучы. 7.39. а) а = 0, b ≠ 0, с ≠ 0; б) b — 0,
a ≠ 0, с ≠ 0; в) с = 0, a ≠ 0, b ≠ 0; г) х күчәре белән: a = 0, с = 0,
b ≠ 0; у күчәре белән: b = 0, с = 0, a ≠ 0.
§ 8 8.10. а) у = 8 - 2 | х; б) у = 2,5х - 5; в) у = 3 - ^х;
г) у = 1|х - 7. 8.11. а) у = -|х; б) у = |х - 1|; в) у = 1|х;
г) у = 19 - | х. 8.12. а) у = -19х + 5; б) у = 1,4х - 1,6; в) у = 7х + 11;
г) у = 14 - 0,75x. 8.13. а) у = 2 - х; б) у = 2х + 6; в) у = х + 5;
г)у = 6 - 6х. 8.14. а) у = 1; б)у = -8; в) у = 37; г) у = -25. 8.15. а) у = -1;
б) у = -2,4; в) у = -7,5; г) у = -8,45. 8.16. а) х = 3; б) х = 0,7; в) х = 0;
г)х = -0,6. 8.27. а) (4; 8); б) (2; -1); в) (1; -1); г) (-2; -4). 8.31. г) х < -4.
8.32. в) х < 2; г) х > 2. 8.33. в) х ≤ 3; г) х ≥ 3. 8.45. a) 1; 2; б) 1; 6;
в) 0; 2; г) 0; 3. 8.46. а) -5; 7; б) -3; 5; в) -5; 1; г) -3; 7. 8.47. а) (3; 0);
б) х < 3; в) х > 3; г) х > 0. 8.48. а) (3; 0); б) х < 3; в) х > 3; г) х < 0.
8.49. а) (-5; 0), (0; 5); б) х < -5; в) [-5; 0]; г) 1; 6. 8.50. а) (2; 0), (0; 6);
б) 2 ≤ х ≤ 3; в) х < 2; г) 0; 9. 8.51. а) (0; 45) һәм (-6; 0); б) (0; -7,8)
һәм (3; 0); в) (0; -27,2) һәм (8; 0); г) (0; 36,2) һәм (-2; 0). 8.52. а),
б), в) Юк; г) әйе. 8.53. а) 4; иң зур кыйммәте юк; б) иң кечкенә
кыйммәте юк; 2; в) иң кечкенә кыйммәте юк; 1; г) иң кечкенә
кыйммәте юк; -4. 8.54. a) 1; 3; б) 2; иң зур кыйммәте юк;
в) -3; иң зур кыйммәте юк; г) иң кечкенә һәм иң зур кыйм¬
мәте юк. 8.55. а) (6; 6); б) (-1; -1). 8.56. а) (-3; 3); б) (4; -4).
8.57. а) (15; 30); б) (21; 7). 8.58. а) т = 7; б) т = 6,5; в) т = -27;
г) т = 3. 8.59. a) k = ∣5 б) k = -6; в) k = 2; г) k = -36. 8.60. А> В.
8.61. D > С. 8.62. a) k > 0, т > 0; б) k < 0, т > 0; в) k > 0, т < 0;
г) k < 0, т < 0. 8.64. а) у = -118; б) х = -10. 8.65. а) х > -2; б) х < 0;
в) х < -2; г) х > -1. 8.66. a) х ≥ 6; б) х < 8; в) х ≤ 6; г) х ≥ 2.
§ 9 9.3. a) k = 4, функция үсә; б) k = -5, функция кими;
в) k = -5, функция кими; г) k = 9, функция үсә. 9.6. a) s = l,4t;
б) s = 4i; в) s = г) s = -34. 9.14. а) у = 2х;
б) у = -х; в) у = 0,2х; г) у = -Зх. 9.18. а) у = х + 3; б) у = 2x - 1;
в) у = -х + 2; г) у = -0,5х - 2. 9.19. у = 0,5х + 2; б) у = -2х - 4;
в) у = |х - 4; г) у = -1,5х + 2.
240
§10 10.10. a) (1; 5); в) (0; 4). 10.11. б) (1; 1); г) (1; -2). 10.12. в) (0; 8);
г) (0; 0). 10.13. а) (2; 7); б)
-2б1;
I 3 )
в) (5; -2); г)
Г--; 211
lk 7 )
9 1
10.15. а) у = -х; б) у = хх; в) у = 2х; г) у = ⅛x. 10.16. а) у = Зх - 2;
б) у = -2,5х + 6; в) у = -5х + 3; г) у = 1,5х + 3. 10.17. а) у = -х - 2;
б) у = 2х + 2; в) у = х + 1; г) у = -Зх - 5. 10.21. а) х = 4; б) х < 4;
в) х > 4; г) х ≤ 4. 10.22. а > О, b = 0, k > 0, т < 0. 10.23. а < О, Ь > 0,
⅛ ≤ 0, zn ≥ 0.
3 БҮЛЕК
§11 11.10. а) (2; 2); б) (3;-9); в) (1; 5); г) (4;-1). 11.11. а) (3; 2);
б) (2; -3); в) (0; 0); г) (2; -2). 11.12. а), в) чишелеше юк; б),
г) чиксез күп чишелешле. 11.13. а) (-3; -2); б) (3; -2); в) (-3; -2);
г) (-2; 0). 11.15. а) (1; 2); б) (5; 4). 11.19. а) 6; б) -12. 11.20. а) а =
5; b = 3; б) а = 2,2; b = -4,8. 11.21. (2; 1).
§12 12.1. а) (-2; -13); б) (-0,1; -8,3); в) (-3; 9); г) (0,2; 6,8).
12.2 . а) (3; -20); б) (5; 3); в) (2; 3); г) (1; 2). 12.3. а) (44; 11); б) (2; -8);
в) (15; 90); г) (-10; 2). 12.4. а) (20; 2); б) (-15; 37,5); в) (-4,5; 9);
г) (8; 12). 12.5. а) у = 4 - 2х, х = 2 - 0,5</; г) с = 15 - Sd, d = 1|
12.6 . а) у = 6х - 18, х = ^у + 3; г) р = —9б/ - 4, q = ~jjP ~ ξ∙
12.7 . a) s = ∣t + 2∣, t = 1,5s - 4; б) г = 11 - ∣y, q = 21 - 1|а;
b)γ=1⅛s+1∣, s = Д г - 1 A; г) и = 4,2 - l,4ι>, υ = 3 - | и.
12.8 . а) (4; 2); б) (5; 6); в) (3; 3); г) (5; -1). 12.9. а) (1; 0); б) (4; 2);
в) (9; 7); г) (7; 4,5). 12.10. а) (11; 140); б) [ -; 1э); в) (-7; -126);
V з √
г) |-|; -13 j. 12.11. а) (20; 100); б) (4,6; -0,2); в) (7,5; -10,5);
г) (21; 2). 12.12. 92 укучы. 12.13. 42 һәм 35. 12.14. а) (6; 4); б) (-4; 0);
в) (3; -2); г) (-3; -5). 12.15. а) (-3,5; -3); б) (-4; 3); в) (4; 3); г) (5; 3).
241
12.16. a) (10; 1); б) (0,5; 1); в) (10; 1); г) (0,5; 1). 12.17. а) (6; -7);
б) (2; -1); в) (-3; -2); г) (5; 2). 12.18. а), в) чиксез күп чише¬
лешле; б), г) чишелеше юк. 12.19. а) I ——; б) (-1,5; 1);
6 4)
в) (-0,6; -3,2); г) (2; -1). 12.20. а) (10; -6); б) (9; 4); в) (-6; 4);
г) (-5; 3). 12.21. а) (13; 11); б) (4; 3); в) (3; -7); г) (5; 3). 12.22. а) (0; 0);
б) (6; 6); в) (1; 0); г) (20; 20). 12.23. 10,5 и 42. 12.24. 26,1
и 30. 12.25. 62 и 50. 12.26. а) -0,96; б) 4⅛ в) 3⅛ г) l-⅛.
Zy 1о 41
9 1
12.27. а) у = -0,4х + 2; б) у = f х + 4; в) у = ⅜ х - 1; г) у = -2х - 4.
О <
£ о
12.28. а) у = ⅛x + 5; б) у = -2х + 4; в) у = ~⅜x + 3; г) у = Зх - 3.
о 4
12.29. у = 11,8х.
§13 13.1. а) (6; 1); б) (6; 3); в) (4; 3); г) (10; 2). 13.2. а) (2; 1);
б) (2; 1); в) (5; -2); г) (-1; -4). 13.3. а) (4; 3); б) (-1; -7); в) (-11; -2);
г) (4; -14). 13.4. а) (60; 30); б) (10; 8); в) (20; 8); г) (2; -1).
13.5. а) (2; -1); б) (-1; 4); в) (3; -1); г) (6; -6). 13.6. а) (3; 1); б) (-5; -11);
в) (-2; 1); г) (6; -14). 13.7. а) (-0,25; 0); б) (3; 0,5); в) (0,2; 0); г) (6; -7).
13.8. а) (6; 4); б) (-8; 0); в) (5,5; -2,5); г) (6; 5). 13.9. а) (-6; 5);
б) (10; 1); в) (5; -8); г) (-6; -12). 13.10. а) (-3; -2); б) (35; -46);
в) (5; 1); г) (17,4; 19). 13.11. а) (8; 9); б) (30; 5); в) (20; 3); г) (-15; 8).
13.12. а) (4; 3); б) (-3; 11). 13.13. а) у = -∣x + ⅛ б) у = -0,4х + 4,6;
О О
в) у=1,2х + 2,6; г) y = ∣x - ⅛ 13.14. а) у = 5х-20; б) у = -|х -
в)у = 3,5x +10,5;r)y = ½x + ¾L 13.15. а) \У = ~4* " 4,
У 7 7 ∖y = 4χ + 4;
г „ „ Г Ч = — х - 1,
б) [y ~ -2x + 7, в) \у - 4, г) з 13.16.а)р=|;
[у = 0,5х + 2; [у = -1,5х + 1; у = -х + 3
y 3
4
б) р = 13.17. a)α=ll, Ъ = -14; б) а = -4; Ь = -6; в) а = -10; b = -7;
г) а = -4; Ъ = 10. 13.18. а) а = 13; b = 3; б) а = -0,8; b = 0,2.
242
§14 14.1. 18 км/ч и 2 км/ч. 14.2. 5 км/ч, 4 км/ч. 14.3. 3,75
км/ч, 5,25 км/ч. 14.4. 15 км/ч. 14.5. 27 км/ч, 3 км/ч. 14.6. 12 км.
14.7. -9; -6. 14.8. 14.9. |. 14.10. 38 га, 34 га. 14.11. 4 ц, 5 ц.
14.12. 3 т, 5 т. 14.13. 6 үзбушаткыч, 4 үзбушаткыч. 14.14. 3 ящик,
6 ящик. 14.15. 72 деталь, 90 деталь. 14.16. 66 китап, 44 китап.
14.17. 12 туп. 14.18. 86. 14.19. 340; 200. 14.20. 200; 160.
14.21.30; 35. 14.22.40; 10,2.14.23. 24 км/сэг, 60 км/сэг. 14.24.4 км/сэг,
30 км/сэг, 20 сэг. 14.25. 12 км/сэг, 24 км/сэг. 14.26. 2,4 км, 4 км.
14.27. 15 см/с, 10 см/с. 14.28. 7 тәңкә, 12 тәңкә. 14.29. 720 дә¬
реслек, 150 дәреслек. 14.30. 260 һәм 110. 14.31. 74. 14.32. 75.
14.33. 435 деталь. 14.34. 40 т, 60 т. 14.35. 40 т, 100 т. 14.36. 12 кг.
14.37. 70 км/сәг, 100 км/сәг яки 100 км/сәг, 60 км/сәг. 14.38. 18.
4 БҮЛЕК
§15 15.15. а) 243; б) 0,0625; в) -|1; г) 1||. 15.19. а) 125 см3;
б) 9 м2. 15.20. а) 48; б) -96; в) 56; г) 1. 15.21. а) 0,75; б) -24; в) -27;
г) 0,6. 15.22. а) 0,00004; б) 20; в) -1000; г) 10. 15.23. a) 4§|;
б)-37Л; в)78Т; г)27й‘ 15∙26∙a) ckdn’ 6)(-a)nbt-, в) (х - г)(а - Ь)т;
г) (р - q)2(x - y)m. 15.27. б) 294 см2. 15.28. а) 8 дм, 512 дм3; б) 5 см,
150 см2. 15.29. 5 төргәк. 15.30. 3,2 кг. 15.31. 64 л. 15.32. а), б), в) 210;
5 1
г) 420. 15.33. а) 6200; б) 244. 15.34. a) θ5 б) 2. 15.35. а) 14$;
q 13 7 7
6)2⅞. 15.36. а)-71; б) -б|; b)-2⅛5 γ)-1⅛.
§ 16 16.8. а) 25-32; б) 24 З3; в) 23∙3∙52j г) 24∙72. 16.9. а) 72-34;
б) 25∙34 52; в) 25∙33∙52! г) 24∙5112. 16.13. а) 8,5; б) ⅛ в) 0,035;
г) 7‰. 16.19. а) -5; б) ±3; в) 2; г) ±2. 16.26. а) 3,5; б) 8; в) 6; г) -2.
§ 17 17.14. а) 49; б) 12; в) 16; г) 125. 17.20. а) 1|; б) 12 g;
в) 46 ⅛ г) -1|. 17.23. а) 96; б) 2; в) 10; г) 1. 17.24. а) 256; б) 9;
1о о
243
в) 125; г) 343. 17.25. а) 7; б) 1000; в) 225; г) 43. 17.26. а) 0,09;
б) в) 0,0081; г) ⅛. 17.27. а) х10; б) у11; в) с; г) dli. 17.32. а) 8;
б) 243; в) 625; г) 4. 17.33. а) 5; б) 9; в) 4; г) 16. 17.35. а) а22; б) ft17;
в) с12; г) d55. 17.36. а) а; б) zq; в) Ь; г) ms. 17.38. а) х62; б) у52; в) z84;
г) Z90. 17.39. a) z23; б) р2; в) и22; г) q2. 17.40. а) х4; б) у; в) с2; г) d9.
17.41. а) х3"; б) а8л; в) у5л; г) bιs". 17.42. а) 5; б) -3; в) -1; г) 2.
§18 18.6. a) 243p10r40! б) 216α15fe3x9j в) 10000a8ft20; г) 16r1⅛1⅛18.
18.10. a) (aft5)2; б) (х4у6)2; в) (xy2z12)2; г) (p4y5r27)2. 18.11. а) (х2у3)2;
б) (4ςr9r17)2j в) (9c4d8f14)2j г) (llτnβn8r27)2. 18.12. а) 1000; б) 1; в) 729;
г) 8. 18.18. а) 1; б) 1; в) 16; г) 10000000. 18.19. а) б) 1; в) 64;
г) 16. 18.20. а) 36; б) 144; в) 63; г) 16. 18.21. а) 48; б) 100; в) 15;
г) 12. 18.23. а) 2; б) -1; в) -3; г) 2. 18.24. а) -3; б) 4.
§19 19.5. а) 500; б) в) -193; г) 260,375. 19.7. а) 1; б) ft8; в) 1;
г) ft2. 19.8. а), б), в), г) 1. 19.9. а), б), в) -1; г) |. 19.10. а) -2; б) 3,9;
в) 5; г) -10. 19.12. а) 0; б) 3; в) 0; г) -5.
5 БҮЛЕК
§ 20 20.10. а) 1; б) ±1; в)-1; г) ±1.20.11. а) 6см, 8 см; б) 7 дм, 5 дм.
20.12. а) 2,4; б) 7∣. 20.13. а) 832a2ft2j б) 400p⅛4j в) -210с4с/3;
О
г) 64x13y11. 20.14. а) 0,5a9ft7ce; б) 2р6л5; в) ^ft4x7y8; г) ∣ a5ft8.
20.15. а) 34xn+1y13z7j б) x4c11da∙, в) p4q8rιs∙, г) 3am+nsn+*in+m. 20.17. 10 см,
5 см, 20 см. 20.18. 8 м, 4 м, 20 м. 20.19. 6 дм, 9 дм, 12 дм.
§ 21 21.12. а) 11х2у; б) c3d; в) ll,9fe2d3; г) 4γ^ m3n4. 21.16. а) 42ху;
б) 41у2х; в) 2аЬ; г) 14aft2. 21.17. а) 36a2ft; б) 18х2у2; в) -9az3; г) 0.
21.18. а) 10; б) 10; в) 1,2; г) -0,12. 21.19. а) 20; б) 1,8; в) 0,4; г) 1,68.
21.20. а) 2; б) ±8; в) -3; г) чишелеше юк. 21.21. 42. 21.22. 60. 21.23. 13,5
һәм 9. 21.24. 550 сум. 21.25. 3 см, 4 см, 6 см. 21.26.6см, 2 см, 8 см.
21.27. а) 156ft2c3d2; б) 6,05τn3re4z8. 21.28. а) ∣∣a2ft2nnj б) 3,25x"y"z".
244
21.29 . a) -0,81a3; 6) 0. 21.30. a) -⅛ 6) £. 21.31. a) 28xy; 6) 20a2b;
ли ә
в) x2y2∙, r) 2,45∕nn3r8. 21.32. a) 8х4г/4; 6) xnqn∙ 21.33. a) -∣∣ a2bc;
6) 10n2mfe. 21.34. a) 36x2y4; 6) 30α⅛2. 21.35. a) -5,ln4/>; 6) 7k3n4.
21.37. 200. 21.38. 1250. 21.39. 12 cm, 4 cm, 24cm. 21.40.10m,8 m, 16 m.
21.41. 2 дм, 3 дм, 5 дм.
§ 22 22.3. a) 210x7; 6) ^a2b3c4∙, в) 142x3y4z9; r) 54c3dsf4.
22. 4. a) 30α3∂35 6) -164c3d2j в) 34x5y3; r) 26τn3n4p4. 22.5. a) l,08c5d4;
6) —l,5x2i/; b) -0,5fe5; r) 12τn3p4. 22.6. a) 0,48x3ι∕5z2j 6) 46n⅛4j
в) -0,075d7; r) -⅛x3j∕3. 22.7. a) -10,2p4<712j 6) -l,5z7; в) -15,62α2b3c4j
г) 0,3x3y5. 22.8. a) 9a4c2; 6) ⅛x⅛8l в) 0,0016c12d4; г) -⅛aW.
o 1 oZ
22. 9. а) 1; б) 125a9x6; в) -100000x1V°j г) -16a4x12i∕8. 22.16. а) 500a5;
б) -6,4х17; в) 12с12; г) 32a6c7. 22.17. а) -х25у14; б) 24х14г/9; в) -54a7;
9
г) 2x2βι∕7. 22.18. а) 0,04Ь19; б) ⅛р7; в) -112a1155j г) 3000a11.
22.19. а) a⅛4cβj б) -x6y7z4∙, в) 61,25x4z5j г) 2c4d7. 22.20. а) a4b4∙,
б) -х5и4; в) m11n105 г) ~p3q7. 22.21. а) -c4d3∙, б) ⅛ a3b10c15; в) - ⅞ mnπuρn∙,
О о
г) ⅛x3y4z7. 22.22. а) 0,0016a1⅛lβj б) f|x8y15z24; в) 0,09blβc14d12j г) 1.
22.23. а) 0,25a4b6c18; б) 0,0036m4a6p2; в) 256aβ4fe40c725 г) -0,064x6y9z24.
22.24. а) 1; б) Щ p3qiz32∖ в) 2,56τn6n4p18j г) r18s30f24. 22.25. а) А =
= (9а3Ь4с6)2; б) А = (4xy3zβ)4∙, в) А = (5xy3z9)3j г) А = (12a3fe5c9)2.
22.26. а) С = (6c3b4f9)35 б) С = (3x2p5z8)5; в) С = (2p2Q10r100)10j
г) С = (4a9b54c324)4. 22.29. а) 2700а7у8; б) -2х3у19; в) -27х26у10;
r) ^∣a28i>28. 22.30. а) 4a6bls; б) -27pqs; в) -0,24a5fe5c6; г) -0,5∕nlβn4.
22.31. а) -40,5a7ft5ι∕35 б) b5c10d4∙, в) -l,6p7x7zβ5 г) -3000a13.
22.32. а) -|а12х10; б) -Зпг19и28; в) ±a14ci4∙, г) ^a14fe8. 22.33. а) 1;
б) ±1; в) -1; г) ±1.
245
§ 23 23.8. а) За8; б) 4; в) 2a5y, г) 2b2x. 23.9. a) 4abc; б) 99yz;
в) 12m6n2k3∙, г) 86p2q2r2. 23.10. а) Юк; б) әйе; в) юк; г) әйе.
23.11. а) Юк; б) әйе; в) әйе; г) юк. 23.13. a) 5a4b4; б) 2500х4у6;
в) 49г10/14; г) x7y11z3. 23.14. а) т6п6; б) 55р3у4; в) -x4y9z14;
г) -5a3c7d. 23.15. а) су4; б) ЗаЬ; в) х®с5; г) 2a3b3. 23.16. а) -1600х10у17;
б) 1296a18x30. 23.17. а) ах5; б) a2b3. 23.18. а) 7⅛bz5 б) 1600x22.
23.19. а) 2; б) -2.
6 БҮЛЕК
§ 24 24.9. а) m4 - п4; б) 40rs; в) 0; г) -44τnn. 24.10. а) 12p4 + 4р3;
б) 0,5x2 + 0,05х; в) 7y3 + Зу2 - 8у - 5; г) ∣a2 + |а. 24.11. а) 9ху;
б) 4p2x - Зрх3; в) 9r3s∙, г) 16ax2 - 6a2x. 24.12. а) -p4 + 21p2 + Зр + 4;
б) -2,8x3 + l,4x2 + 2х - 3,1; в) -⅛a2 - ⅛ а + j; г) -у4 - 1. 24.13. а) 8;
zjU LZι о
7 7 21
б) в) ⅛ г) 31,5. 24∙14∙ б) 0; 0; 21; -3. 24.15. б) 0; 6; 0; ⅛.
о 4о 1О
24.16. а) ⅛ б) 0,1; в) -1,4; г) 6. 24.17. а) 15х + 23; б) -24x2 + 32х - 2.
24.18. а) l,9c5 + | с2; б) -∣ m3 - | т2 + т; в) -a2b - 15аЬ2;
г) y3 - llxy2 + 15x2y. 24.19. а) 3,3m3 + 7m2 - 15т - 27; б) 18fe4 - 13,9fe3;
в) 4,la4 - 9,9a3 - 6,5a2; г) -4,9b3 + 5,5b2. 24.20. б) -3; 6; -8; 13.
24.21. б) 8; 0; -1; -27. 24.22. а) 1; б) 0; в) 0,5; г) ±2. 24.25. а) 12x2 - х + 9;
б) -6a2 + 31a + 17. 24.26. а) 6a + 30; б) 8a + 4; в) 6; г) 2a - 20.
24.27. а) 13,5x2 - 6,5х + 31; б) 17,5x2 + 7,5х + 28,6; в) -17,5x2 -
- 7,5х - 28,6; г) 11,5x2 - 0,5х + 12,6. 24.28. а) 8Ь3; б) 24a3 - 18a2b +
+ 8ab2 - 22b3; в) -24a3 + 18a2b - 8ab2 + 22b3; г) -10a3 - 8a2b -
- 16ab2 + 56b3.
§ 25 25.1. а) 5a - 2; б) 6 - 7a; в) 7; г) 3 - Ila. 25.2. а) 5x3 + 12;
б) 5x5 + Зх - 1; в) Их2 - 14; г) 3x11 + 4x6 - 2. 25.3. а) 4a; б) 26a3 -
- 10ab2 + ЗЬ3; в) 2a2 - 5ab - 2Ь2; г) 27a4 - 17a3b + 9. 25.4. а) -у3 +
+ 14у - 14; б) 8y2 - 26; в) -бу - 4; г) 30 - бу2 - у3. 25.5. а) c2 + 4d;
б) 5c4 - 2c2 - d2; в) 6c2d + 2cd2 - 2с + 4; г) -4c2 + 8cd + 8d2. 25.6. а) 0;
б) -14; в) -11; г) 0. 25.7. а) 8,4; б) -3,6; в) -67,2; г) 0,6. 25.8. а) х - 1;
б) Зх - 3; в) 2х - 0,5; г) 4х - 3. 25.9. а) 2as + 7a4 + 7a3 + 2a2 + а + 1;
246
6) 2α5 - ai - 5α3 + 6α2 - За + 1; в) -2α5 + a4 + 9α3 + а + 1; б) -2αs -
- 7ai - За3 + 4α2 - За + 1. 25.10. a) 57x3 - 30x2y + 8xy2 - 3y3∙,
б) 17x3 + Зу3; в) 37x3 - 54x2y + 18xz∕2 - 5у3; г) -3x3 - 24x2y +
+ Юху2 + у3. 25.11. а) 3; б) -1; в) 1,5; г) 2. 25.13. a) -O,5a2 - 1;
б) -2,5α2 + 0,7αx + х2; в) 0; г) -3,2y3 + 6z2 + 10az.
§ 26 26.4. a) -2x2 - ЗОх; б) у2; в) 2α2 + 2Ь2; г) Зр + 40с. 26.5. а) 0,1;
б) 17; в) -27; г) 54. 26.6.а)|; б)-⅛5 в) г) ⅛. 26.7. а) 2;
б) в) 3; г) 1. 26.8. а) -2; б) 3; в) -1; г) 1. 26.9. а) 2; б) 3; в) -0,2;
4
г) 0. 26.10. 42 км. 26.11. 12 км/сэг. 26.12. 30 км. 26.13. 13 км/сэг.
26.14. a) -15α3 + 22a2 + 4a; б) 220⅛4 - 150/г2; в) 6fe5- 2fe4- 4fe3+ 8Ь2;
г) 140a4 - 600a3 + 30a2 + 100a. 26.15. а) -2a4 + 6a3 - 2a2; б) 2x2 +
+ 2y2 - 4ху - у; в) 2c4 + 13c3 - 2c2 - Зс; г) 12p4 + 60p3 - 12p2.
26.16. а) 13x2 + 45х - 145; б) 72x3 + 157x2 - 605х - 13; в) 231x3 +
+ 289x2 - 629х - 44; г) -l,2x5 + 4,5x4 - 4,3x3 + 0,7x2 -
- 13,5х - 17. 26.17. а) 48a4 - 53a3 - 6a2 + 8; б) 36a4 - 96a2 + 156a;
в) 15a5 + 160a3 - 152a2 - 4a; г) 60a5 - 12a4 + 104a3 - 12a2 + 16a - 14.
26.20. а) 2; б) 3; в) 1; г) -1. 26.21. а) 6; б) 0; в) г) чишелеше юк.
26.22. 12 км, 5 км. 26.23. 41 км, 36 км, 33 км. 26.24. 800 км/сэг,
1200 км/сэг. 26.25. 15 км/сэг. 26.26. 9 га, 11,5 га. 26.27. 12 деталь.
26.28. 1280 кеше, 2560 кеше, 2160 кеше. 26.29. 400 кеше.
26.30. 5 см, 13 см. 26.31. 4 см, 4 см, 10 см. 26.32. 22 км.
26.33. 13 км.
§ 27 27.6. а) 2,4a5 + 4,2a3 - 4,5a; б) 9x5 - l,5x3 - 22,5х; в) 24p4 +
+ 12p3 - 72р2; г) у5 + у3 - бу. 27.7. а) 9zn5 - 30m3 + 15т2 - 50;
б) 8n8 + 12n5 - 2n3 - 3; в) 30⅛β - 5fe4 + 12⅛2 - 2; г) 12p10 + 30p8 -
- 8p2 - 20. 27.8. а) а3 + а2 - 5а - 6; б) m2 - п2 + т + и; в) Ъ3 - 26fe2 +
+ 106 - 1; г) c2 - 4d2 - с + 2d. 27.9. а) х3 + у3; б) a3 + 2a2x + 2ax2 + х3;
в) п3-р3; г) c3 - 2c2d + 2cd2 - d3. 27.10. а) 8a3 + 2763; б) 4a4 - lla3 +
+ 25а2 - 13а - 5; в) 125x3 - 8у3; г) 3mi - 2m3 + 3m2 +
+ 4тп - 4. 27.11. а) 25; б) -21; в) 1,4; г) -2. 27.12. а) -1; б) -2,5; в) 2;
г) 8. 27.13. а) ||; б) |; в) 0; г) 1,4. 27.14. 12 м, 32 м. 27.15. 13, 14,
15, 16. 27.16. 221 см2. 27.17. 21, 22, 23. 27.18. а) 9a5 - 16a; б) a4 - 625;
в) 4a4 - 9a2; г) a4 - 256. 27.19. а) 12,25p2 - 1,44/г2; б) 0,09f4 - 2,89s2;
247
в) 5,76m4 - 0,64га4; г) l,69x6 - 3,24y4. 27.20. a) α4 - a2 + 2a - 1;
б) mi — 4m2 + 4m — 1; в) -4x4 + х2 — 4; г) -b6 - 10ft4 - 25ft2 + 9.
27.21. a) m4 - 1; б) 32 - s5; в) х4 - у4; г) а5 + 243. 27.22. а) ±2; б) 2;
в) ±3; г) -1. 27.23. 720 см2, 840 см2. 27.24. 76 см, 44 см. 27.25. 12,
15, 18. 27.26. 6; 18; 30. 27.27. 1,2; 4,2; 9,2; 5,4.
§ 28 28.12. a) a6 + 6a3ft + 9ft2; г) 36p4 - 96p⅛3 + 64g6. 28.13. а) 5∣a2 -
- 5aft + 1 ψgtft2; б) 0,81x2 + 2⅜xy + 2±~у2; в) l,44x2 + Юху +
i «7М О I Cl У
+ 171|у2; г) 5,29a2 - 5aft + l⅛ft2∙ 28.18. а) 146γ∣j! б) 53 ⅛
в) 52⅛ г) 175⅛. 28.1,. а) 167⅛ 6) 221⅛ в) 1598⅛
г) 250 2∣θ. 28.25. а) 25x2 - 4у4; б) 4c2 - 9a4; в) 100pfi - 49у2; г) 36c6 - 64d2.
28.26. а) 16x4 - 4у4; б) 100a6 - 25ft4; в) 9ra8 - т8; г) 100т16 - 64га16.
28. 29. а) 0,2499; б) 0,6396; в) 0,4891; г) 1,4399. 28.30. а) 99
б) 99 Ц; в) 99991; г) 63 Ц. 28.34. а) 4a2 - 6aft + ft2; б) -q2 + 6pq-,
в) 25c2 + 49d2; г) 16mra + га2. 28.35. а) 2a2 + 16; б) 2x2 - х + 9;
в)у2 - 11у + 27; г) -4. 28.36. а) 9a2; б) 25x2 - у2; в) -36с/2; г) 49т2 -
- 200га2. 28.37. а) 2a2 - 8; б) х3 - 16х; в) 5c3 - 45с; г) 7di - 7d2.
28.38. а) 4ac - 5с2; б) 48; в) 8ft2 + 24; г) 2m2 + бтга. 28.39. а) ft4 - 625;
б) 81 - у4; в) a4 - 16; г) c8 - 1. 28.41. а) -8; б) 18,6; в) 87; г) 21.
28.42. а) 132; б) 0; в) 324; г) 49. 28.43. а) -1,5; б) 7; в) 0; г) -0,5.
28.44. а) 1,7; 6)⅛ в) 3; г) 3. 28.45. а) б) 1; в) -0,1; г) 4,5.
Zj4 1 Zj
28. 46. а) 1^; б) 3; в) -2∣∣5 г) 2. 28.47. а) 1; б) -1; в) 2; г) -2.
28.48. 7 см, 2 см, 12 см. 28.49. 6 см, 3 см, 9 см. 28.50. а) 100x4 -
- 60x3y3 + 9х2у6; б) 64p6 + 80p5y + 25р4у2; в) 0,36ft6 - 6ft5c4 + 25ft4c8;
г) 9г14 + 3z10t + 0,25z6⅛2. 28.51. а) 400x6z6 + l,2x3z3 + 0,0009г4;
б) Цга6 + Зтга5 + 16т2га4; в) 0,0225fe8ra6 - 3⅛4ra7 + 100га8; г) 36a4 -
— 4a3ft + ∣a2ft2. 28.52. а) х2л — 64; б) a4" — ft2"; в) c2" — de"; г) a2"+2 —
- fe2"~2. 28.53. а) 27x6 - 8; б) 125x6 + 27; в) 512fe6 + 27; г) 343a6 - 1.
248
28. 54. a) x4 - 8x2 + 16; б) y3 - 4z∕2 - 16г/ + 64; в) m4 - 72m2 - 1296;
г) n3 - 7n2 - 49п + 343. 28.55. а) х4 - у4; б) 81α4 - Ь4; в) р12 - q4∙,
г) s8 - г8. 28.56. а) 64; б) с3 - 4рс2; в) 36; г) 2m3 - 4m2 + т - 2.
28.57. a) αlβ - 616; б) 1. 28.63. а) -64; б) 16; в) -116; г) -8. 28.64. а) -1;
б)-1.
§ 29 29.4. а) 46 + 3; 6)1,2d2 -0,7; в) -3,5m -0,2; г)-∣ + ⅛x2.
с* о
29.5. а) х + 3z∕ - 4; б) 0,6х - 0,8у; в) -а - 3a2b + 26; г) ⅜a2 - ⅜ab.
29.6. а) 24; б) -1. 29.8. а), б) Нет; в), г) да. 29.9. a) 3a3b + 15а63;
б) 6n2p - 2np2 + 5пр3; в) Зах3 - 9а3х; г) 3⅛3n - 4⅛2ra2 - 5⅛ra3.
29.10. а), б), в) төгәл булмаган бирем; г) 6x2 - 9г/2 + 2.
7 БҮЛЕК
§ 30 30.3. а) -1,5; 2; б) -2; |; 2; в) 2; |; г) |; |; Ц.
30.4. a) x(2x + 1); б) 3x(2x2 - х + 1); в) 3x(x2 - 4); г) 5x2(x2 + х - 2).
1 1 7
30.5. а) 0; 2; б) 0; -|; в) 0; -3; г) 0; 30.6. а) 0; 1; б) 0; -2; в) 0; ⅛!
О 4 о
г) 0; 4. 30.8. а) ±1; б) ±0,8; в) ±7; г) ±|. 30.9. а) ±4; б) ±5; в) ±6;
г) ±10. 30.10. а) 1,8; б) -15; в) 3,6; г) 13. 30.11. а) 960; б) 111;
в) 2060; г) 44. 30.14. а) 1; -2; б) ±1; 3; в) 3; 4; г) -1; ±2. 30.15. а) 0; 2;
б) -6; 2; в) 0; -4; г) 5; -1. 30.16. а) ±6; б) ±10; в) ±0,6; г) ±10.
30.17. а) 0,25; б) 6,6; в) 72; г) 45.
§31 31.6. a) ∣(x + 4г/); б) ∣(α + |б); в) ∣∣∣a + |г/);
г) 7 (|Х " 4 4 31∙7' а) А (48Х - 47у); б) 14 (4a ^ fe)- 31∙8∙ а) 3fc<fe ~ 1);
r)8d2(d2 - 4). 31.9. а) x(x2 - Зх - 1); г) 9p(p3 - 2р - 3). 31.10. а) ab(l - а);
г) m2n2(m - и). 31.11. а) 2z2q(z3q - 2z + 3q2); б) xy(y2 - 5ху - Зх);
в) 7a263(a2 - 2ab + 362); г) 8x2y3(x + 11 - 2ху). 31.12. а) 5x2y(3xy +
+ 2 - 4г/2); г) 6a26(7a2 - 8ab - 1362). 31.15. а) (6 - c)(a - 3);
г) (х - y)(7z + 5). 31.16. а) (х - у)(х - у - а); б) (а + 3)(5a2 + 30а + 44);
в) (т + n)(m + п + 9<Z); г) (p2 - 6)(25 - 4p2). 31.17. а) 0; 3; б) 0; -10;
в) -0,03; 0; г) 0; |. 31.18. а) -40; 0; б) 0; в) -0,03; 0; г) 0; |.
249
31.19. a) -2; 0; б) 2; 6; в) 0; 3; г) -4; 2. 31.20. а) 30800; б) 0,04;
в) 16 700; г) -1,62. 31.21. а) (4с - 1)(3 - 8с); б) (а + 2)(a2 + 4);
в) (т - 3)(5τn + 9); г) (а - 4)(α2 + 16). 31.22. a) ~a(a + b)(a + 45);
б) m2(m - n)(3 + п); в) 5x(3x - 8)(7x - 16); г) -90d2(2d - 5).
31.23. а) 0,0756; б) 1,2; в) 3,26; г) 1. 31.24. а) 25; б) -|; в) 0,5; г)
31.28. а) 0; 2; б) -1; 0; в) 0; -2; г) 0; 5.
§ 32 32.3. a) (α + 1)(3 + п); б) (Зх - l)(2τn + 3); в) (а + 3)(х + 4);
г) (2x - 3)(τn + 2). 32.4. a) (7n - 6)(fe - 2); б) (х + а)(7 - 5а);
в) (т - n)(9m - 5); г) (b + 3α)(c - 2a). 32.5. а) (5 + y)(y2 + 1);
б) (у - 2)(z∕2 + 2); в) (г + 7)(z2 + 3); г) (z - 3)(z2 + 1). 32.6. а) (1 + c2)(7 - с);
б) (х2 - 2)(х - 14); в) (х - 3)(x2 + 2); г) (b - 2)(2b2 + 3). 32.7. a) (52 +
+ 2c2)(16a + 5с); б) (2n + 5)(10n - 7a); в) (2a + 35)(9a + 7с);
г) (xz + 5y)(2xi∕ - 3z). 32.8. а) -2,25; б) 0; в) -9; г) 0. 32.9. а) (5a25 -
- 7c)(8ac - ЗЬ); б) (у2 + 2z2)(16x - 5z); в) (5x - 2)(6x - 5с); г) 2(х -
- 2⅛)(9xz - 5yk). 32.10. а) (x2 - y)(a - b - с); б) (у2 - a)(x - b + 1);
9
в) (х + y)(a + b + с); г) (ab - c)(a2b2 - ab + 1). 32.11. а) -8 jj? б) 0; в) 0;
г) -18. 32.12. а) -2; б) -1; 2; в) -3; г) 1; 3. 32.15. а) 60; б) 12500;
в) 32; г) 28. 32.16. а) 360; б) 100; в) 360; г) 200. 32.17. а) (х + 2)(х + 4);
б) (х - 3)(х - 5); в) (х + 1)(х + 2); г) (х - 2)(х - 3). 32.18. а) (a - 1)(а - 6);
б) (b -l)(b + 10); в) (у - 6)(г/ - 4); г) (z + 2)(z - 20). 32.19. а) (а + 95)×
х(а - Ь); б) (а + 115)(a + 55); в) (х - 2y)(x + бу); г) (х + 3y)(x + 13<∕).
32.20. а) 1; 2; б) -5; -3; в) 2; 4; г) -1; 4. 32.21. а) |; 2; б) -3; -1;
2 3
в) -2; |; г) -|; 1. 32.22. а) р = 2, р = 4; б)р = -2; р = 4. 32.23. а)р = 3;
р = -1; б) р = 1; р = -5.
§ 33 33.6. а) (ху - l)(x<∕ + 1); г) (7xy - 20)(7x<∕ + 20). 33.7. а) (cd -
- m)(cd + т); г) (ху - 0,5pq)(xy + 0,5p<j). 33.8. а) (12a2 - 25c)(12a2 +
+ 25с); г) ∣258 - ⅛^258 + ∣d2∣. 33.9. а) ±7; б) ±10; в) ±25; г) ±1.
33.10. а) ±|; б) ±|; в) ±|; г) ±⅛. 33.16. а) (4a + l)(16a2 - 4a + 1);
в) (85 - 5)(6452 + 405 + 25). 33.17. а) (a5 - l)(a252 + а5 + 1); г) (pq +
+ 4)(p⅛2 - ⅛pq + 16). 33.18. a) (2a + 5)(4a2 - 2а5 + 52); г) (Зх +
250
+ 7t)(9x2 - 2kt + 49t2). 33.21. a) (2y - З)2; в) (3m + 4)2. 33.22. а) (р + 5g)2;
г) (8t - z)2. 33.23. a) (3x + 4у)2; г) (0,5x + 3y)2. 33.24. a) (α - 5)2 ≥ 0;
б) -(а + 2)2 ≤ 0; в) (7 + a)2 ≥ 0; г) -(а - 6)2 ≤ 0. 33.25. а) 4900;
б) 196; в) 8100; г) 8100. 33.26. а) 45 600; б) 4720; в) 23000; г) 3000.
33.27. а) 12; б) -1,2; в) -16; г) 33.29. а) (х - 4)(х + 6); б) у(у - 4);
О
в) (z + 4)(z + 16); г) (t - 17)(f + 3). 33.30. а) (10 - τn)(4 + тп);
б) (11 - α)(29 + а); в) (13 - n)(37 + и); г) (24 - b)(b - 2).
33.31 . а) (2 - у)(2 + Зу); б) 3(5α - 9)(5a + 3); в) (-2t - 7)(4Z - 7);
г) 3(45 + 3)(65 - 1). 33.32. а) (а - b + 2)(a + b + 6); б) (х - у - 13)(x +
+ у + 3); в) (т - п + 22)(m + п - 2); г) (с - d + 22)(c + d - 24).
33.33 . а) -(x + 2)(7x + 4); б) -3(3y + ll)(5y - 1); в) 12(2z + 1)х
x(9z + 1); г) (5i - 2)(21f - 16). 33.34. а) ±|; б) ±⅛ в) ±|; г) ±⅛∙
Ә 11 О *'
33.35 . а) -0,5; 5,5; б) |; |; в) г) -3; |. 33.36. а) -|; -2; б)
1. I 5-
3’ в) 2’
г -> 6∙ δ> (lc + ⅛rf)(⅛c
_ 18cd + M-rf≈),
35 100 /
в) IF ^ 7y)(β4χ2 + 28ХУ + 49y2J’ 33'40∙ Я) (“2 ^ 2)(a< + 2“2 + 4);
г) -(1 + y2V⅛ - ly2 + y4l 33.41. а) (ху - c)(x2y2 + хус + с2);
в) (a + znn3)(a2 + amn3 + zn2nβ). 33.42. а) (0,5a2 - 53)(0,25a4 + 0,5a253 + 5е);
г) (-m - -n2](-m2 + -mn2 + — n4L 33.43. а) (2c - 3)(4c2 +
\9 10 Д 81 45 100 /
+ 12с + 21); б) 4(p - l)(7p2 - 20р + 16); в) (k - l)(k2 - 8⅛ + 19);
г) 4(a + l)(31a2 + 44a + 16). 33.44. а) (5 + 8)(9152 + 1365 + 64);
б) (8p + 3g)(124p2 - 42pg + 9у2); в) 9(1 - x)(13x2 - 12х + 3); г) (Зх +
+ ll)(9x2 - 15xy + 67y2). 33.45. а) [∣a - ∣5j ; б) [∣a35 + ∣a53j ;
в)
0'+И;
г) (0,lx2 - у)2. 33.47. а) 23; б) 10000; в) |; г) 225.
О
33.48. а) 1; б) 1; в) 1; г) 5.
251
§ 34 34.2. a) x(x - 9)(x + 9); г) 2b(b - 12)(6 + 12). 34.3. a) c(c -
- 0,5)(c + 0,5); г) 3y(4p - 5<∕)(4p + 5g). 34.4. a) P ~ +
г) mn(-n2 - -wιVi∏2 + -m). 34.5. a) 5(a + b)2; 6) 2(x + l)2;
∖3 4 ∕∖3 4 /
в) 3(m - n)2; r) 8(n - 1)2. 34.6. a) -3(x - 2)2; 6) -2a(a - 5b)2; в) -5(p + q)2;
r) -4z(3z + 1)2. 34.7. a) (a - 2)(a + 2)(a2 + 4); r) (x - z)(x + z)(x2 + z2).
34.8. a) 4(m - n)(τn2 + mn + n2); в) 15(c + d)(c2 - cd + d2).
34.9. a) 6xy(x2 - 2y)(x2 + 2y); 6) 0,lxy(x - 3y)(x2 + 3xy + 9y2);
в) 0,3y2(l - 3y2)(l + Зу2); r) 3α62(α + 2b)(a2 - 2ab + 462). 34.10. a) (m +
+ l)(∕n2 + 8m + 19); 6) (c + 2)(c2 - 5c + 13); в) (α - 17)(α2 - 19α + 109);
г) (b + 8)(62 + 46 + 16). 34.11. a) (x - l)2(x + I)2; 6) (y + l)2(y2 + 2y - 1);
в) (c + 3)2(9 - c2 - 6c); r) (3m + n)(5m — n). 34.12. a) (α + 6 + c)(a +
+ 6 - c); 6) (1 - m - n)(l + m + n); в) (4 - x + у)(4 + x - у); г) (2 - р -
- q)(2 + p + q). 34.13. а) (x — с - d)(x - с + d); б) (а + 1 - 6)(a + 1 + 6);
в) (с + 3 - d)(c + 3 + d); г) (г - s - 5)(r + s + 5). 34.14. а) (х + у -
- т)(х + у + пг); б) (с - a + 6)(c + а - 6); в) (т - п - 4)(zn + п - 4);
г) (3 - q - p)(3 - q + р). 34.15. а) (х - y)2(x + у); б) (с + d)(c - d + 2);
в) (a + 6)2(a - 6); г) (т + 2n)(m - 2n - 1). 34.16. а) (х - 3)(x - I)2;
б) (1 - a)2(l - 2a)2. 34.17. а) (а2 - 2ab + 462)(a + 26 + 1); б) (4c2 +
+ 2cd + d2)(2c - d + 1). 34.18. а) (х + 2y)(x2 - 2xy + 4y2 + х + 2у);
б) (2p - q)(4p2 + 2pq + q2 + 2p - q). 34.19. а) (a + 2)(a2 - За + 4);
6)(6 + 1)(62 - 76 + 1). 34.21. а) (х - 4)(х - 6); б) (у2 - 10)(y - 2)(у + 2);
в) (6 - 1)(6 + 1)(62 + 5); г) (а - 5)(a - 1). 34.22. а) (2a - 5b)(2a - Ь);
б) (Зс - 7d)(3c — d); в) (5a - 66)(5a + 26); г) (Зт - 8k)(3m - 2k).
34.23. а) (а + 2)(a + 5); б) (x2 + 3)(x2 + 4); в) (6 + 1)(6 - 4); г) (у -
- l)(y + l)(y - 2)(у + 2). 34.24. а) (х + 2y)(x + Зу); б) (т - n)(⅛m - п);
в) (р + q)(p - 2q); г) (а + 6)(a + 66). 34.25. а) 0; ±1; б) 0; ±4; в) 0; -1;
г) 0. 34.26. а) -1; ±2; б) ±2; в) -1; ±3; г) 1; ±2. 34.28. а) 14; б) 47;
в) 45; г) 301. 34.29. а) 943; б) 37; в) 45; г) 279.
§ 35 35.3. а) zW9; б) ^17; в) a3β1χl2z> r) ⅛2s∙ 35.4. а)
в)~¥; rl⅛∙ 35∙5∙a> й; б) в) ⅛ г) ≡∙ 35∙6∙aH5
6> -⅛= В>-~а = Г> ⅛∙ 35∙7∙ a> 4(⅛ б) a - 1; В) 1; Г) А*
252
35.8. a) 1; б) в) г) ⅛ 35.9. a) х + 5; б) 8(g j 15); в) (у - 8)2;
r> √⅛ 35,0 *» ?= 6> i∙ ∙> f∙ p> ⅛∙ ∙> “t; 6>
B|-A; r)-∣. 35.11.)-*; 6)-^; в) ⅛ г) ⅛. 35.13. .)li 6)-«;
в) -a; r) ⅜L 35.14. a) 2a + 3fe; 6) τ7⅛ в) 6 + у, г) 10 - 7d. 35.15.
о ОС — о
, х - 3. у + 12. .2 - d' . с ., . ab - 1. ,. 3α(α + 2).
а) —; б) в) —; г) . 35.16. а) б)
В) —т; г) -3“* ч- 35.17. а) a - 2; б) r-½5 в) х + 1;
’ 3(ft - ас) ’ 4ft(ft + с) ’ 5y + 1
г) τ5-¼. 35.18. а) ≡⅛ б) ½⅛½∙, в) г) -⅛. 35.19. а) а + ft;
2t + l х - у 7d т + п q - 3
б) 1; в) ; г) 1. 35.20. а) , 1πб) х - 3; в) с - 9; г)
х - у 1 - 2р
35.21. а) б) в) ; г) -¾. 35.22. а)
’ 3 a ,l-x'g+8
б)
4с +1 . b + 7 ч
в) ГГ
2п - т ,, ч χ ~ У .
. 35.23. а) ——-^-∙, б)
2л + 771 2(х + у)
7Л + 3∏
4тп
2(2c - d). ч 1 - 2л
2с + d ’ 2л ’
7υ2 1
35.24. а) (a - ft)2; б) z v в) -—½
(X + У)2 (Р + У)
(тл - л)2
, бтп
35.25. а)
1 + с fi. 4⅜2 - 10⅜ + 25. . b + 2 .
1 + с + c2 ’ 2t - 5 В b2 + 2ft + 4 ’
м 4z÷3 _ 3(p÷3) . 2(2л - 1)
' 16г2 + 12z + 9‘ 35'26 } Р2 + Зр + 9 б) У ’ , л(4л2 - 2л + 1)
г) . 35.27. а) 36; б) 93; в) 8; г) 0. 35.28. а) 0,01; б) |; в) -11; г) -9.
У - 1
35.29. а) -1; б) 2; в) ⅛ г) 35.30. а) 18; б) 3; в) -0,6; г) 1.
О о
33∙3'∙ °> «⅛»1⅛⅛1-> ⅛ 33∙33∙ ■>
61 7if⅛i ∙> -2J⅛‰' -> 7w7⅛∙ 35 33 a> 2τ1
253
б)
35 . . 2a 2b3(b2 + За2)
4α(2b2 + а2)’ В b(3a - 55)’ Г) За
35.34. а)
bc(2ac - Ь)'
13а ’
б)
4хг3 . 4 .
y(x2 + 5г/3)’ В) xz(3x - у2)’ П
-2-Ь(С< +22Λ 35.35. a) ⅛±¾);
ac2 2y2(x - 2у)
2a(2a2 - Зс) . 352(3a + 25). 3x2y(5x + 2y2) хп - у" .
, bc2(2a2 + Зс)’ j 5а2(За - 2b)' П 5z(5x - 2y2) ' d, 3(х" + у")’
b2(an + 2). a(a- - 1). 2y(2x" - Зу") _ а + с .
a(a" - 2) ’ 2(an + 1)’ xz(2x" + 3t∕n) ' ’ Ь + а - с’
х - 1 . . Зу - 2 . х - у х + у + г . а - с
б) о—Г?: в)х-у;г) —г. 35.38. а) -—f-; б) - ; в) -—
2у + 3 a , х - 1 z3-2x , х + у - г а - х
г) + п. 35.3». а) б) ⅛ в) 10; г) 94,5. 35.40. а) 80; б) 12;
5z - п 117 19 , , ,
в) 14; г) 130. 35.41. а) ⅛ б) |; в) 25; г) ⅛ 35.42. а) 2; б) ⅛
X х 4j XX
в) |; г) -4.
О
§ 36 36.12. а), б) х ≠ 0, х ≠ 2; в) a ≠ 0, a ≠ ±3; г) a ≠ 0, a ≠ 3, b ≠ 0.
8 БҮЛЕК
§ 37 37.28. а) (-1; 1), (1; 1); б) (-3; -9), (3; -9); в) (-2; 4), (2; 4);
г) (0; 0). 37.29. а) (0; 0) и (2; 4); б) (0; 0) и (3; -9); в) (0; 0) и (-1; 1);
г) (0; 0) и (-1; -1). 37.30. а) (2; 4) и (-1; 1); б) (3; -9) и (-2; -4);
в) (-3; 9) и (2; 4); г) (-2; -4) и (1; -1). 37.31. а) (-3; 9) и (1; 1);
б) кисешү нокталары юк; в) (-3; -9) и (1; -1); г) кисешү нок¬
талары юк. 37.37. а) у . = 0, у = 4; б) у . = 0, у = 2,25;
в) у = 0, у = 6,25; г) у = 0, у . = 9. 37.38. а), б), в),
7 i7mιn 7 z, max 7 7 7 ∙7 min 7 ∙j наиб 77 77 77
г) у . = 0, у булмый. 37.39. а) у . = -4, у = 0; б) у . = -9,
7 ∙7mιn 7 czmax ∙j 7 ^7mιn 7 *7max 7 7 i7mιn 7
у = 0; в) у . = -2,25, у = 0; г) и = 1, у =0. 37.40. а), б), в),
r) ynιin булмый, ymaχ = 0. 37.41. В > А. 37.42. С > D. 37.43. М > N.
37.44. L = N. 37.45. Р = Q. 37.46. В > А. 37.47. А > В. 37.48. R = S.
37.49. а) (1; 1); б) (-1; -1); в) (2; 4); г) (2; -4). 37.50. а) -1 < х < 1;
б) х ≤ -1, х ≥ 1; в) -3 ≤ х ≤ 3; г) х < -3, х > 3. 37.51. а) х ≤ -2, х ≥ 2;
б) -3 < х < 3; в) -2 ≤ х ≤ 2; г) х < -3, х > 3. 37.52. а) -2 < х < -1
иКх<2;б)-3<х<-2и2<х<3.
254
§ 38 38.1. a) (2; 5); б) (-3; 9) и (3; 9); в) (1; -1); г) (0; 0) и (2; -4).
38.2. а) ±1; б) ±2; в) 0; г) тамырлары юк. 38.3. а) 0; 2; б) -3; 0; в) -2; 0;
г) 0; -3. 38.4. а) 3; -2; б) -2; 1; в) -1; 2; г) -3; 2. 38.5. а) -1; 3; б) 1; 2;
в) -3; 1; г) -3; 1. 38.6. а) (2; 2); б) (0; 0); (1; 1). 38.7. а) (-4; -12);
б) (-1; 1). 38.8. а) (-3; -9) и (2; -4); б) (-2; -4) и (1; -1). 38.9. а) -3; 1;
б) 1; 3; в) -3; -1; г) -2; 3. 38.10. а), б), в), г) тамырлары юк. 38.11. а) 1;
б)-2; в)-1; г) 2. 38.12. а), г) ике тамыр; б), в) тамыры юк. 38.13. а) Та¬
мыры юк; б), в), г) ике тамыр. 38.14. а) —2; б) -1; в) 3; г) 1. 38.15. а)
-3; б) 1; в) -2; г) 2. 38.16. а) р = 0 и р = 9; б) р = 16; в) р = 0, р = -9;
г) Р = 4.
§ 39 39.1. в) л 7 - -1 = 56 - Ь; г) Д-Зс) -1 = -24с - 1. 39.2. в) f(a +
\ 8 /
+ 1) = 5α + 11, Да) - 6 = 5а; г) f(a - 3) + 1 = 5а - 8,
39.3. в) Дх2) = -Зх2 + 2, Д(х - I)2) = -3(x - I)2 + 2, (Дх))2 = (-3x + 2)2,
(Д-х2) - I)2 = (3x2 + I)2; г) Д-х3) = Зх3 + 2, Д2х3) = -6x3 + 2, Д2х)3 =
= -24x3 + 2, (Д2х))3 = (2 - 6x)3. 39.4. г) Дх) - 1 = x2 - 1, Д-2х) + 1 =
= 4x2 + 1, 2Дх) + 3 = 2x2 + 3, -Д-х) + 3 = -х2 + 3. 39.5. г) Д-х3) =
= -х6, Д2х3) = -4x6, Д(2х)3) = -64x6, -2Дх3) = 2x6. 39.6. г) xe, 3xβ,
9x6, -729x6. 39.7. а) -5; б) -1,9; в) -2; г) 1. 39.8. а) ±12; б) 0; -10;
в) ±10; г) 0; 8. 39.9. а) -6; 10; б) ±|; в) -10; 8; г) ±11. 39.10. а) 2;
б) 1; в) 4; г) -1. 39.11. а) 3; б) 11; в) -14; г) 5. 39.12. а) 0,7; б) -19,3;
в) -5; г) -5. 39.13. а) 25; б) 23; в) -5; г) 25. 39.23. Дх - 1) + Дх + 1) =
= 2x2 + 2, Дх + 2) - Дх) = 4x + 4, ~ ⅞* + ¾ = ≡-±-∣.
' ' ’ ’ Дх - 1) х - 1 Дх) - 4 х - 2
39.43. а) Ь < 0; 4 < Ь ≤ 9; б) b = 0; b = 4; в) 0 < b < 4; г) b > 9.
39.44. а) Ъ < 0 и 1 < b ≤ 4; б) b = 0; b = 1; в) 0 < b < 1; г) b > 4.
39.45. а) Ь>0; -4 ≤ b ≤ -1; б) — 1 < b ≤ 0; в) Ь ның андый кыйммәтләре
юк; г) b < -4. 39.46. a) b > 1; b = 0; б) 0 < b ≤ 1; в) Ь = -2; г) -2 < b <
0; Ь < -2. 39.47. а) -8; ±1; б) ±2; в) 3; г) -10; 0. 39.48. а) ±1; 2; б) -2;
в) 3; г) 0; 2∣.
О
9 БҮЛЕК
14. а) (0; 1), (3; 0); б) (0; -6), (5; 0); в) (0; 6), (-8; 0); г) (0; -8),
(-5; 0). 17. а) (2; 2); б) (3; -2); в) (-2; 4); г) (-1; 3). 18. а) у = -Зх;
г) у = 0,2х. 20. а) у = 4х - 5; г) у = ^х + 4. 21. а) х > -2; г) х > -3.
255
22. a) x < -2; r)x<2. 23. а) -2); 6) [-3; +oo]; в) [5; +∞]j г) (-co; 2).
24. a) (2; -1); 6) (2; 1); в) (4; 1); г) (3; 3). 25. a), в) чишелеше юк;
б), г) чиксез күп чишелешле. 33. а) ±3; б) 0; -2; в) 0; -3; г) чи¬
шелеше юк. 34. а) -3; 2; б) 1; в) -1; 4; г) -2. 35. а) (-о°; 2) һәм
(2; +°°); б) [-2; 1]; в) [-3; 3]; г) (-1; 2). 39. г) f(x + 3) = 4х + 11,
f(2x - 1) = 8x - 5, f(l - 2x)2 = 16x2 + 16х + 3, f(x - x2) = -(2x - I)2.
40. г) f(x - 4) = 2x - 5, f(l - х) = 5 - 2x, ∕(2x2) - 4 = 4x2 - 1,
z⅛χ3 " 1) = χ3 + 1∙ 41∙ r> Λ-χ) = χ2> Л5 - χ) = (5 - X)2, /(f) + 1 =
= + 1, f(x2 + 1) = (х2 + I)2. 42. в) f(z + 4) = —(z + 4)2, f(z) + 4 =
= -z2 + 4, ∕,(z2 + 4) = -(z2 + 4)2, ∕(z + 4)2 = -(z + 4)4. 43. а) х = 1,6;
б) х = -2. 44. а) х = 0,5; б) х = 2,5. 45. а) х = 0, х = -7; б) х = -4.
46. а) р = 0, р = 4; б) р < 0; в) 0 < р < 4; г) р > 4.
47. а) р = 0 и -2 < р < -1; б) р > Ои-9 < р < -2; в) -1 < р < 0;
г) р < -9. 48. а) -1; б) -1; в) 0,4; г) 2. 49. а) 0,3; б) 17,5;
3
в) -0,1; г) 4. 50. а) 2,4; б) в) 9; г) |. 51. а) -10;
б) 3; в) 1; г) -9. 52. а) -0,5; б) -0,8; в) 4; г) -2,5.
5 10
53. а) -9,4; б) —; в) ——; г) -2,5. 54. а), в) чишелеше юк; б), г) чик-
6 9
сез күп чишелешле. 55. 22; 36. 56. 18; 54. 57. 13; 91. 58. 54; 81. 59.
112; 64. 60. 35; 28; 21. 61. 15; 9. 62. 7 см, 14 см, 10 см. 63. 40°, 120°,
20°. 64. 8 см, 6 см, 10 см. 65. 40°, 60°, 80°. 66. 22 бала, 44 бала,
53 бала. 67. 7 кыз, 12 кыз, 14 кыз. 68. 15 км/сэг. 69. 12 км/сэг,
15 км/сэг. 70. 1 сэг кэ 18 деталь. 71. 25, 27, 9. 72. 50 км/сэг, 60
км/сэг. 73. 30 м, 84 м. 74. 12 вагон, 24 вагон. 5. 1,5 кг. 76. 200 кг.
77. 32 км. 78. 1 ч 12 мин. 79. 15 км/сэг. 80. 157 км. 81. 75 км/сэг,
80 км/сэг. 82. 8 км/сэг. 83. 3 км/сэг. 84. 90 000 сум, 36 000
сум, 15000 сум. 85. а) (-1; 1); б) (2; 11); в) (-2; -5); г) (-6; -2).
86. а) (3; И); б) (|; |); в) (-3; -1); г) (-|; |). 87. а) (2; -3); б) (3; 5);
в) (1; -2); г) (1; 2). 88. а) (-3; 1); б) (|; |); в) (1; -2); г) (4; ^).
256
89. а), г) чиксез күп чишелешле; б), в) чишелеше юк.
90. 120 сум, 90 сум. 91. 60 сум, 150 сум. 92. 100 км/сәг, 60 км/сәг.
93. 3 км/сәг, 5 км/сәг. 94. 27 км/сәг. 95. 2,5 км/сәг. 96. 13 км/сәг.
97. Биш сумлык 52 тәңкә, ике сумлык 84 тәңкә. 98. 7 автобус,
8 автобус. 99. 40 л, 30 л. 100. 40 т, 100 т. 101. 40 деталь, 30 де¬
таль. 102. 73. 103. 76 һәм 24. 104. 25. 105. 1 см һәм 5 см, яки
2 см һәм 4 см, яки 3 см һәм 3 см. 106. 60 км/сәг, 80 км/сәг.
107. а) 337; б) -24; в) 26; г) -24. 108. а) 36; б) -88; в) 40; г) 18.
109. а) 2; б) 6; в) 9; г) 16. 110. а) 26; б) 63; в) 1; г) 12.
111. a) -i-; б) в) -Ц г) 12. 112. а) 3; б) |; в) 3; г)
16 45 12 8 2
119. а) а11; б) d'4; в) /16; г) х17. 120. а) х10!/9; б) s29t14; в) ⅛lβZ23j г) α7b19.
121. а) 256х21; б) 625у2; в) 729i/20; г) 2x3. 122. a) 1; б) а6Ь; в) 1; г) Ь.
123. а) -36х6у3; б) ⅛p3q12', в) т6п6; г) 3b4. 124. а) 2; б) -5; в) 6; г) -2.
О
125. а) ±1; б) ±2; в) ±2; г) ±3. 126. а) 1; б) ±|; в) |; г) ±2. 127. а) -1;
э о
б) -2; в) 2; г) 128. а) 7; б) 7; в) 5; г) 2. 129. а) 1; б) 2; в) 2; г) 0.
О
130. а) -2; б) 1; в) 3; г) -1. 131. а) -3; 1; б) |; |; в) -1; 5; г) 1;
132. a) 6 см, 8 см, 12 см. 133. 6 см, 8 см, 12 см. 135. а) 5 - 5m;
б) 6a2 - 5ab + 6Ь2; в) 1 - 6n - 2пг; г) 4x2 - 7ху - у2. 136. а) 72 + а - а2;
б) 6b2 - 5bc — 6с2; в) -b2 + 16b - 15; г) -4α2 + Пас — 15с2.141. a) ЗЬ — За;
б) а2 + Ь2; в) -2т - п; г) 14mn. 142. а) 34 - 6х; б) 8α3 + Ь2а; в) 8a2 +
+ 6ab + 2b2∙, г) 2у + 27. 144. а) -2,5; б) 2; в) 5; г) -1. 145. а)
б) -0,1; в) 1; г) 4,5. 146. а) б) -2; в) |; г) -1. 150. а) (х - у)(2 + х);
б) (т - 2)(4m - п); в) (a + b)(a - 7); г) (2p + g)(3g + 1). 152. а) (х -
- 2)(x + 2)(x2 + 4); г) (15m - n2)(15m + n2). 153. а) 2(2x - y)(2x + у);
б) x(4x - z∕)(4x + у); в) 3(x - 3z)(x + За); г) yz(y - 5z)(y + 5z).
154. а) (х + у)(х - у + 2); б) (р - q)(p + q- pq); в) (a - b)(3 - а - Ь);
г) (т - n)(m + п + m2). 156. а) -8(x + 2)(x - 1); б) (х - 4)(3x + 2y)∙,
в) (3 - a)(21 + а); г) (4 - z)(3z - 2). 158. а) 5(p - 3g)2; б) xz(x + 2г)2;
в) 2(c + 5d)2; г) 3n(m - I)2. 159. а) (х - 2)(х - 3); б) (t + 5)(Z + 1);
в) (2 - 4)(з - 2); г) (у + 8)(y + 1). 160. а) ±12; б) ±1|; в) ±14; г) ±⅛.
*7 J. Ә
257
161. a) 0; ±6; б) 0; ±0,5; в) 0; ±|; г) 0; ±4. 162. а) 3; б) -3,5; в) -7;
г) 163. а) 0; -8; б) 0; 2,5; в) 0; г) 0; 164. а) ±3; б) 0; ±4;
о 9 3
в) ±2; г) 0; ±5. 165. а) -2; 4; б) -10; 8; в) -8; 4; г) -3; 17. 166. а) -1;
3; б) 1; в) -1; |; г) 1. 167. а) -2; -1; б) -1; 5; в) 3; 4;
3 3 3
г) -1; 6. 170. а) 4899; б) 1596; в) 8099; г) 3596. 171. а) 8281;
б) 3481; в) 6724; г) 4624. 172. а) б) 77; в) г) ⅛. 173. а) 7⅛
4 ( do dαc
δ> 3⅛= В> Г| 3^' ,М- “> а' 61 р’ в> -1; Г> ⅞∙ a> “ + 2;
6> ≡⅛ в> k - 4∙ r> 7⅛∙ 176 a> b - 5∙ 61 S⅛ в», " 6;
r> M⅛∙ ,77'a> ⅛TΓ δ>βo≈ - 6a + 4∙ 3⅛ г» 2S - 10m + 4m2'
178. а) — -; б) 2m + 3n
, Зх + 1 ’ 2т - Зп
,x 3b2 . 2s - 3t. .
б) в) ; г)
ba - b 3s
4p2 - 6pq + 9⅞2. 2
б) 2p ÷ 3q ' D)
181. а) 1 + 2f; б) 4
1 + t т - 1
,x m2 + т + 1. а - Ъ.
б) 4/п + Зп ’ В) 1-b’
2x . 4 а - Ь
> х - 1’ Б 3αb(l + 4Ь)’ 1
, 2 + х ч 2a + b + ab
” х ÷ / Г) 2а - (, ■
х 4 + 5х
. х 4a - 5b. χ 6f + s . ,o χ 5x - 2y
• В) 4« ÷ 5√ Г) ≈ - 6√ ,7,'a> 2, ’
— . 180. а) 4a ~ & ;
fe2 - 3kl + 9Z2 16α2 + 4αb + b2
5x2 + 5xι∕ + у2 х 9n2 - 12τnn + 16т2
» г)
5х - у Зи + 4тп
в) l,^4b г) 182. а)
1 + b k + 1 1 + 2t
. 6⅛ + 51 18, . т - п .
k2 - ⅛ + 1 ' 2т(4 - 6п + 9п2)’
’) . 184. a) τ~tγ5 б) c ^ 3 ~ d;
3p + 4q 1 + b с-3
.ос \ х + 7. ,χ 2t - 9. х х - 13.
185. а) -; б) в) —;
’ х + 1 2t + 3 х - 11
258
КУШЫМТА
1 ∏.1. a) -2, 5, -9, -2, 0, 5, -2, О, 5, -2; б) 10; в) 14; г) -2;
д) 3; е) 4; ж) биштән берен; з) 20 %; и) 50 %; к) 60 %; л) 70 %;
м) 40 %.
П.2, а)
Нокталар
А, В
А, С
A, D
A, Е
В,С
В, D
В,Е
C,D
С,Е
D, Е
Ераклык
1
2
3
6
1
2
5
1
4
3
б) 10; в) 5; г) 1, 30 %; д) 1, 2, 3, 4, 5, 6;
Ераклыкларның төрле кыйммәтләре
1
2
3
4
5
6
Ераклык ничә тапкыр очрады
3
2
2
1
1
1
ж) 20 %.
П.З. а) 7, 3, 7, 0, 4, 7, 7, 4, 7, 17; б) 17; в) 17; г) 10.
Төрле нәтиҗәләр үсә бару
тәртибендә
0
3
4
7
17
Нәтиҗә ничә тапкыр очрады
1
1
2
5
1
б) 10 %; в) 7, 50 %. П.5, а) 20; б) 6; в) 18; г) 60. П.6. 81; а) 18; б) 4;
в) 20. П.7, б) 6; в) 12; г) 21.
2 П.8, а) 7, О, 0, 2, 2, О, 0, -2, -2, -4, -4, -2, -2, 0, 7; б) 15,
11; в) -4, -4, -2, -2, -2, -2, О, О, О, О, 0, 2, 2, 7, 7; г) 0, 5; д) 2;
е) 4; ж) 2; з) 2. П.9, а) 3, 2, -1, 1, О, О, 3, 3, 2, 3, 3, -1, -1; б) 13,
4; в) -1, -1, -1, О, О, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3; г) 3, 5; д) 3, 2, 1, 2;
Үлчәү нәтиҗәсе (х алдындагы коэффициент)
-1
0
1
2
3
Ничә тапкыр очрады
3
2
1
2
5
ж) табылган 13 суммасы — барлык бирелгән үлчәнешләрнең
саны; з) юк. П.10. а) 6, 9, 5, 3;
Үлчәү нәтиҗәсе (к/э өчен билге)
«Ю»
«2»
«3»
«4»
«5»
Ничә тапкыр очрады
2
3
5
9
6
в) «ю» — 8 %; «2» — 12 %; «3» — 20 %; «4» — 36 %; «5» — 24 %.
П.11. а)
Үлчәү нәтиҗәсе
(малайларның билгеләре)
«Ю»
«2»
«3»
«4»
«5»
Ничә тапкыр очрады
1
2
2
5
4
Үлчәү нәтиҗәсе (кызларның билгеләре)
«Ю»
«2»
«3»
«4»
«5»
Ничә тапкыр очрады
1
1
3
4
2
259
Сумма
Сумма
Илгиз
18
Илсур
27
Илдус
27
Илгизәр
18
Илфар
27
Илфат
26
Илһам
18
Ирек
18
Илшат
17
Ильяс
24
б) Илшат; в) алар өчәү: Илдус, Илфар, Илсур; г) 10, 10. П.13.
П.13. а) Өч; б) дүрт;
Үлчәү нәтиҗәсе (урыннар суммасы)
17
18
24
26
27
Ничә тапкыр очрады
1
4
1
1
3
П.14. а) 25; б) 10; в) 15; г) 8.
П.15. а) 5; б) 5; в) 5; г) 5.
3 П.16. а) т, I, р, I, р, q, р, р, q, р;
Туры
1
т
Р
9
Турыда нинди нокталар ята
B,D
А
C,E,G, Н,К
F,J
Турыда ничә нокта ята
2
1
5
2
в) 10; г) р, 5; д) 50 %.
∏.17. a) A, A, С, D, D, С, A, D, В, Е;
Нокта
А
В
С
D
Е
Нокта аша нинди турылар үтә
1), 2), 7)
9)
3), 6)
4), 5), 8)
Ю)
Нокта аша ничә туры үтә
3
1
2
3
1
в) 10; г) В һәм Е; д) А һәм D.
П.18. а) 7, 6, 13, 8, 4, 4, 11, 9, 9, 6, 5, 9, 12, 4, 1, 10, 4, 3, 4, 6,
12, 4, 6, 3; б) 1; в) 4;
Хәрефләр саны —
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Ничә сүз W хәрефтән тора
1
2
6
1
4
1
1
3
1
1
2
1
П.19. а) о, х, и, в, б, а, в, и, х, б, т, и, м, с, ә, с, ш, х, б, т,
м, с, т, и; б) 4; в) а, ә, б, б, б, и, и, и, и, м, м, о, с, с, с, т,
т, т, х, х, х, ш;
Сүзнең беренче хәрефе
а
ә
б
В
и
м
о
С
т
X
ш
Ничә сүз бу хәрефтән башлана
1
6
2
1
1
3
2
3
6
1
3
260
Π.20. a) 200; б) 16 %; в) 58 %; г) 17 % . П.21, а) 2; б) 106; в) 44,75 %;
г) 1400 дэн 1900 данәгә. П.22, а) 0,4; б) 0,2; в) 0,6; г) 0,4. П.23, а) 20;
б) 8; в) 6; г) 2.
4 П.24, а) 2; б) 8; в) 6; г) 24.
П.25. а)
⅛ — дәрәҗә күрсәткече
2
3
1
5
6
7
8
⅛ ничә тапкыр очрады
/
/
/
//
//
/
k — дәрәҗә күрсәткече
2
3
4
5
6
7
8
k ничә тапкыр очрады
и
и
//
///
//
/
k — дәрәҗә күрсәткече
2
3
4
5
6
7
8
k ничә тапкыр очрады
III
ин
НН
/
⅛ — дәрәҗә күрсәткече
2
3
4
5
6
8
⅛ ничә тапкыр очрады
///
##
##
W
W
/
k барысы ничә тапкыр очрады
3
5
5
5
5
1
П.26, а) 2; б) 18; в) 16; г) 24; д) әйе, 1 тапкыр; е) юк;
k — дәрәҗә күрсәткече
2
3
1
5
6
8
9
10
12
17
18
k барысы ничә тапкыр
очрады
4
5
5
3
1
1
1
1
1
1
1
з) 11. П.27, а) 4 %; б) 3; в) 300;
Уенның номеры
1
2
3
4
5
6
Барысы: 6 уен
Сатылган уеннар саны
33
69
33
102
12
51
Барысы: 300 данә
П.28, а) № 1 һәм № 3; б) № 2 һәм № 4 яки № 4 һәм № 6; в) № 2
һәм № 6; г) № 1, 2, 3, 5.
П.29, а) 5 %; б) 400; в) 4; г) 260.
Билге
«ю»
«2»
«3»
«4»
«5»
Барысы: 5 билге
Билгене алган
укучылар саны
20
40
80
160
100
Барысы: 400 бала
б) үлчәнешнең колачы билгеләнмәгән: «5» тән «ю» ны алып
булмый; в) 4, 160.
П.31. а) 10; б) 5; в) 10; г) 1. П.32. а) 20; б) 12; в) 0; г) 2.
5 П.ЗЗ. а) 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 9; б) 9; 14;
в) ∣, 1p г) 2 һәм 3.
261
П.34, а), б),
в)
Нәтиҗә
0
1
2
3
5
9
Барысы: 6
Ничә тапкыр очрады
2
2
4
4
1
1
Сумма: 14
Нәтиҗәнең ешлыгы
1
7
1
7
2
7
2
7
1
14
1
14
Сумма: 1
г) Юк, чөнки вакланманың санаучысы нульдән зур.
П.35. a)1j3! 6)1∣g! B)1jg! Г) JL.
П.36. а) 12; б) 0; в) 6; г) 0,5.
а
-1
-1
1
0
0
0
1
1
1
2
2
2
ь
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
2аг ■ b3
0
2
16
0
0
0
0
2
16
0
8
64
2a2 ∙ b3 ның кыйммәте
0
2
8
16
64
Барысы: 5
Ничә тапкыр очрады
6
2
1
2
1
Сумма: 12
2a2 ∙ b3 ның кыйммәте
0
2
8
16
64
Барысы: 5
Кыйммәтнең ешлыгы
1
2
1
6
1
12
1
6
1
12
Сумма: 1
π∙38.a)⅛6) A; b)⅛jγ) ⅛
∏.39. a) -1, -1, -1, 1, 1, 4, 12, 12, 12, 12, 12, 12;
-1
1
4
12
Барысы: 4 кыйммәт
3
2
1
6
Сумма: 12
йә җөп була; г) 8. П.41. а) 22х4; б) соңгы баганада бербуыннар ки¬
леп чыга: 22x4, 87x4, 27x4, 92x4, 23x4, 88x4, 28x4, 93х4; в) 8; г) 3.
6 П.42. а) 17, 10; б) -1, 6; в) г) 0,353, 35,3 %. ∏.43. a) ⅛,
0,118, 11,8 %; б) «-3» — 11,8 %, «-1» — 35,3 %, «2» — 23,5 %;
«4» — 17,6 %;
262
Нәтиҗә
-3
-1
2
4
7
Ешлык, %
11,8
35,3
23,5
17,6
11,8
г) -з, 4, 7.
∏.44
в)
. а) 1; 1; б) 13;
Үзгәрешлеләр саны
1
2
3
4
5
Барысы: 5 кыйммәт
Ничә тапкыр очрады
1
3
3
4
2
Сумма: 12
П.45
. а) 7,7 %; б) 30,8 %
Үзгәрешлеләр саны
1
2
3
4
5
Барысы: 5 кыйммәт
Ешлык, %
7,7
23,1
23,1
30,8
15,4
Сумма: = 100 %
П.46, а) 7; б) 40,5 %; в) 21,6 %; г) 3024.
П.47, а) 2226; б) 5250; в) 1372;
Уенчы
Аню¬
ков
Арша¬
вин
Жир¬
ков
Зыря¬
нов
Коло¬
дин
Павлю¬
ченко
Семак
Сем¬
шов
Яклап тавыш
бирүчеләр
266
2226
1512
343
5884
1512
462
91
Бербуынның дәрәҗәсе
3
5
7
8
Барысы: 4 кыйммәт
Ничә тапкыр очрады
1
3
2
1
Сумма: 7
Бербуынның дәрәҗәсе
3
5
7
8
Барысы: 4 кыйммәт
Ешлык, %
14,3
42,9
28,6
14,3
Сумма: 100,1 ≈ 100
. а) 6, 4, 1, 6, 6, -1, 6;
Коэффициент
-1
1
4
6
Барысы: 4 кыйммәт
Ничә тапкыр очрады
1
1
1
4
Сумма: 7
Коэффициент
-1
1
4
6
Барысы: 4 кыйммәт
Ешлык, %
14,3
14,3
14,3
57,1
Сумма: 100
П.48, а) 5, 7, 7, 8, 5, 5, 3;
б)
в)
П.49
б)
в)
П.50, а) 1; б) 0; в) 0,5; г) ∣∙ П.51, а) 1; б) 0; в) 0,5; г)
7 П.52, а) 200; б) тискәре; в) 20,5 %; г) 41.
П.53, а) 7; б) 26; в) 88;
Тигезләмәнең тамыры
-9
-6
-5
-2
-1
0
3
5
7
8
Барысы:10
Ничә тапкыр очрады
7
26
8
19
28
41
25
18
12
16
Сумма: 200
263
∏.54. a) m, 1 раз; б) 30;
Үзгәрешлеле
а
ь
С
⅛
т
п
X
У
2
Барысы: 9
Ничә тапкыр очрады
3
2
4
2
1
3
7
5
3
Сумма: 30
∏.55. а) 9; б) 6;
Үзгәреш леләр
группасы
Беренче
(а, Ь,..., i, /)
Икенче
(⅛, 1, т,..., з)
Өченче
(¢, и, ..., z)
Барысы: 3
Хәрефләр ничә
тапкыр очрады
9
6
15
Сумма: 30
Үзгәрешлеләр
группасы
Беренче
(а, Ь, ..., i, j)
Икенче
(⅛, 1, т, ..., s)
Өченче
(t, и,...»z)
Барысы: 3
Ешлык, %
30
20
50
Сумма: 100
Уенчы
Алсу
Алинә
Азат
Бәрия
Булат
Бари
Венера
Вәсилә
Вилдан
Сумма
14
17
16
15
21
15
8
18
11
б) Булат, Вәсилә, Венера; в) 27; г) 77,8 %.
Команда
А
Б
В
Очколар саны
47
51
37
б) Б; в) 24; г) 70,8 %.
Кызлар
Малайлар
Очколар саны
72
63
б) -g" = 14,4; в) -j- = 15,75; г) малайлар.
П.59, а) 3, 2, 2, 4, 2, 3, 4, 2, 4, 3, 4, 2;
Тапкырлаучылар саны
2
3
4
Ничә тапкыр очрады
5
3
4
Тапкырлаучылар саны
2
3
4
Ешлык, %
41,7
25
33,3
_ . _ . „ -λ a3 - a а3 - а. . a2 + a. . o
П.60, а) 6; б) τ-r, vτγ, в) р г) 2.
П.61, а) |; б) 0; в) г) 0,5.
264
8 ∏.62. a) 8;
Аралык
0 дән 50 гэ
5 тән 100 гэ
у = х2 функциясе кыйммәтләре саны
8
2
Аралык
0 дән 50 гэ
5 тән 100 гә
у = х2 функциясе кыйммәтләре ешлы¬
гы, %
80
20
∏.63. a) 3;
Аралык
0 дән
25 кә
25 тән
50 гә
50 дән
75 кә
75 тән
100 гә
y=x2 функциясе кыйммәтләре саны
5
3
1
1
Аралык
0 дән
25 кә
25 тән
50 гә
50 дән
75 кә
75 тән
100 гә
у = х2 функциясе кыйммәтләре
ешлыгы, %
50
30
10
10
∏.64. a) 15; 6) 5;
Аралык
0 дән
200 гә
200 дән
400 гә
400 дән
600 гә
600 дән
800 гә
800 дән
1000 гә
у = х2 функциясе
кыйммәтләре саны
15
5
5
4
1
Аралык
0 дән
200 гә
200 дән
400 гә
400 дән
600 гә
600 дән
800 гә
800 дән
1000 гә
у = х2 функциясе
кыйммәтәре
ешлыгы, %
50
16,7
16,7
13,3
3,3
Аралык
0 дән
300 гә
300 дән
600 гә
600 дән
1000 гә
у = х2 функциясе кыйммәтләре
саны
18
7
5
Аралык
0 дән
300 гә
300 дән
600 гә
600 дән
1000 гә
у = х2 функциясе кыйммәтләре
ешлыгы, %
60
23,3
16,7
г) Мәсәлән, 0 дән 99 га, 99 дан 399 га, 399 дан 1000 гэ.
265
∏.66. a) 25;
Ноктаның торышы
Графиктан аста
Графикта
Графиктан өстә
Нокта саны
10
5
10
Ноктаның торышы
Графиктан аста
Графикта
Графиктан өстә
Нокталар саны
28
7
35
∏.68. a) 36; 6) 1, 5, 9, 13 29, 33; 4n + 1; в) 3; г) 4.
Электр энер¬
гиясе чыгымы,
кВт/сәг
0 дән
100 гә
100 дән
200 гә
200 дән
300 гә
300 дән
400 гә
400 дән
500 гә
Фатирлар саны
3
13
11
5
4
Электр энер¬
гиясе чыгымы,
кВт/сәг
0 дән
100 гә
100 дән
200 гә
200 дән
300 гә
300 дән
400 гә
400 дән
500 гә
Ешлык, %
8,3
36,1
30,6
13,9
11,1
Электр энер¬
гиясе чыгымы,
кВт/сәг
0 дән 150 гә
150 дән 300 гә
300 дән 450 гә
Фатирлар саны
10
17
9
Электр энер¬
гиясе чыгымы,
кВт/сәг
0 дән 150 гә
150 дән 300 гә
300 дән 450 гә
Ешлык, %
27,8
47,2
25
Π.70. a) 4; в) 3; г) 2. ∏.71. а) 1; б) 0; в) 1; г) 0,5.
БЕЛЕШМӘ МАТЕРИАЛ
30 га кадәрле саннарның квадратлары таблицасы
Дистәләр
Берәмлекләр
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
1
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
2
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
Берурынлы саннарның кайбер дәрәҗәләре таблицасы
Нигез
Күрсәткеч
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
3
9
27
81
243
729
5
25
125
625
3125
6
36
216
1296
7
49
343
Натураль күрсәткечле дәрәҗәнең үзлекләре
an∙am = an+n
an∙.am = an~m, п> т
(an)m = anm
(ab)n = anb"
Й)" - F
Кыскама тапкырлау формулалары
a2 - b2 = (a - b)(a + Ь)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 — a2 - 2ab + b2
a3 + b3 = (a + i>)(α2 - ab + b2)
a3 -b3 = (a- i>)(a2 + ab + b2)
267
Сызыкча функция
у = х2 һәм у = -х2 функцияләре
268
ЭЧТӘЛЕК
Укытучы өчен кереш сүз 3
1 бүлек. МАТЕМАТИКА ТЕЛЕ. МАТЕМАТИК МОДЕЛЬ
§ 1. Санлы һәм алгебраик аңлатмалар 5
§ 2. Нәрсә ул математика теле 12
§ 3. Нәрсә ул математик модель 15
§ 4. Бер үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә 22
§ 5. Координаталар турысы 27
Өй контроль эше № 1 32
2 бүлек. СЫЗЫКЧА ФУНКЦИЯ
§ 6. Координаталар яссылыгы 34
§ 7. Ике үзгәрешлеле сызыкча тигезләмә
һәм аның графигы 40
§ 8. Сызыкча функция һәм аның графигы 45
§ 9. у = kx сызыкча функциясе 53
§ 10. Сызыкча функцияләр графикларының
үзара урнашуы 57
Өй контроль эше №2 61
3 бүлек. ИКЕ ҮЗГӘРЕШЛЕЛЕ ИКЕ СЫЗЫКЧА
ТИГЕЗЛӘМӘ СИСТЕМАЛАРЫ
§11 . Төп төшенчәләр 63
§12 . Алыштырып кую юлы 66
§13 . Алгебраик кушу юлы 70
§14 . Реаль ситуацияләрнең математик модельләре буларак,
ике үзгәрешлеле ике сызыкча тигезләмә системасы 75
Өй контроль эше № 3 80
269
4 бүлек. НАТУРАЛЬ КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ
ҺӘМ АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ
§15 . Нәрсә ул натураль күрсәткечле дәрәҗә 82
§16 . Төп дәрәҗәләр таблицасы 86
§17 . Натураль күрсәткечле дәрәҗәнең үзлекләре 89
§18 . Бер үк күрсәткечле дәрәҗәләрне тапкырлау һәм бүлү .... 92
§19 . Нуль күрсәткечле дәрәҗә 95
Өй контроль эше №4 97
5 бүлек. БЕРБУЫННАР. БЕРБУЫННАР БЕЛӘН АРИФМЕТИК ГАМӘЛЛӘР
§20 . Бербуын төшенчәсе. Бербуынның стандарт рәвеше 99
§21 . Бербуыннарны кушу һәм алу 101
§22 . Бербуыннарны тапкырлау. Бербуынны натураль
дәрәҗәгә күтәрү 106
§23 . Бербуынны бербуынга бүлү 109
Өй контроль эше №5 111
6 бүлек. КҮПБУЫННАР. КҮПБУЫННАР БЕЛӘН
АРИФМЕТИК ОПЕРАЦИЯЛӘР
§24 . Төп төшенчәләр 113
§25 . Күпбуыннарны кушу һәм алу 117
§26 . Күпбуынны бербуынга тапкырлау 119
§27 . Күпбуынны күпбуынга тапкырлау 124
§28 . Кыскача тапкырлау формулалары 126
§29 . Күпбуынны бербуынга бүлү 132
Өй контроль эше №6 135
7 бүлек. КҮПБУЫННАРНЫ ТАПКЫРЛАУЧЫЛАРГА ТАРКАТУ
§30 . Нәрсә ул күпбуыннарны тапкырлаучыларга таркату
һәм ул ни өчен кирәк 137
§31 . Уртак тапкырлаучыны җәя алдына чыгару 139
§32 . Группалау ысулы 141
§33 . Күпбуыннарны тапкырлаучыларга кыскача
тапкырлау формулаларын кулланып таркату 144
§34 . Күпбуыннарны тапкырлаучыларга
төрле алымнар кулланып таркату 149
270
§35 . Алгебраик вакланмаларны кыскарту 151
§36 . Бердәйлекләр 157
Өй контроль эше №7 159
8 бүлек, у = х2 ФУНКЦИЯСЕ
§37 . у = х2 функциясе һәм аның графигы 161
§38 . Тигезләмәләрне график юл белән чишү 169
§39 . Математикада у = f (х) язылышы нәрсәне аңлата 171
Өй контроль эше №8 182
9 бүлек. ЙОМГАКЛАУ 184
Кушымта 207
Җаваплар 238
Белешмә материал 267
Учебное издание
Мордкович Александр Григорьевич,
Александрова Лидия Александровна,
Мишустина Татьяна Николаевна и др.
АЛГЕБРА
7 класс
В двух частях
Часть 2
ЗАДАЧНИК
для учащихся общеобразовательных учреждений
(перевод с русского на татарский язык)
Редакторы Ф.Ш.Шэкүрова
Корректоры Э.Ш.Рэхмэтуллина
Компьютерда битләргә салучысы В.М.Садыйкова
Оригинал макеттан басарга кул куелды 10.11.2010.
Форматы 60x90 1∕ιβ. Офсет кәгазе. «Школьная» гарнитурасы.
Офсет басма. Басма табагы 17,0. Тиражы 2540 д.
Заказ Р-1775.
420111. Казан, Тельман ур., 5.
Хатлар өчен: 420014. Казан, Кремль, а/я 54.
Тел. (843)264-67-96.
«Татмедиа» ААҖ филиалы —
«Идел-ПРЕСС» полиграфия-нәшрият комплексы.
420066. Казан, Декабристлар урамы, 2.
■■■
ISBN 978-5-346-01416-4
ISBN 978-5-94113-360-4
f∣l r ∣ ∣P∣^
2 кисек
ҖЫЕНТЫГЫ