/
Текст
Алгебра МӘСЬӘЛӘЛӘР ЖЫЕНТЫГЫ
Гомуми белем учреждениеләренең
7—11 сыйныфларында алгебра курсын
өйрәнүнең яңа концепциясен
эшләгәне һәм гамәлгә
керткәне өчен укыту-методик
комплектлар авторлары
(җитәкчесе — А.Г. Мордкович)
Россия Федерациясе Президентының
2001 ел ечен мәгариф өлкәсендәге
премиясе белән бүләкләнә
Ике кисәктә
2 КИСӘК
Гомуми белем бирү учреждениеләре өчен
МӘСЬӘЛӘЛӘР
ҖЫЕНТЫГЫ
АТ.Мордкович редакциясендә
Россия Федерациясе
Мәгариф һәм фән министрлыгы
тарафыннан тәкъдим ителгән
УДК 373.167.1:512
ББК 22.141я721
М79
Мордкович А.Г.
М79 Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся
общеобразовательных организаций / [А. Г. Мордкович.
Л. А. Александрова. Т. Н. Мишустина и др.] ; под ред.
А. Г. Мордковича. — 17-е изд.» стер. — М. : Мнемозина,
2014. — 223 с.: ил.
ISBN 978 5-346 03030-0
Мордкович А. Г.
М79 Алгебра. 9 нчы сыйныф. Ике кисәктән. 2 иче кисәк. Гомуми
белем бирү учреждениеләре эчен д-лек / А. Г. Мордкович. —
Русчадан Р.С.Вафинатәрҗ. — ҖЧҖ «Татарстан Республикасы
«ХӘТЕР» нәшрияты». 2014. — 2236.; ил.
ISBN 978 5 94113-444-1
Мәсьәләләр җыентыгының теп үзенчәлеге - кыенлаша бару
дәрәҗәсенә каран җентекләп тезелгән күнегүләр системасы.
Бу җыентыкның һәм дәреслекнең параграфлары бер үк нсемдәбара.
Дәреслек һәм мәсьәләләр җыентыгы Россия мәктәпләрендә зур
эксперименталь сынау узды.
УДК 373.167.1:512
ББК 22.141л721
ISBN 978-5-346-03030-0 (ч. 2}
ISBN 978-5-346-O3O28-7 (общ.)
ISBN 978-5-94118-444-1
© «Мнемоэнна». 1999
© «Мнемоэнна», 2013. үзгәртүләр белән
© «Мнемозина». 2014
© Бизәлеше. «Мнемозина», 2014
Барлык хокуклар саклана
© Татарчага тәрокемә. Татарстан
Республикасы «ХӘТЕР» нәшрияты. 2014
КЕРЕШ
Кадерле тугызынчы сыйныф укучылары!
Сезнең кулыгыздагы мәсьәләләр җыентыгы - 9 сыйныфта
алгебра өйрәнү өчен төзелгән комплектның икенче кисәге, берен*
чесе - дәреслек. Ике өлеш тә бер-берсеннән аерылгысыз:
- курсны, мәсьәләләр җыентыгыннан мәсьәләләр чишмичә,
дәреслектән генә файдаланып өйрәнеп булмый;
- курсны, дәреслекне укымыйча, мәсьәләләр чишеп кенә дә
өйрәнеп булмый.
Барлык параграфларда күнегүләр ике блокка бүлеп бирелгән.
Беренчесенә - сызыкка кадәр - ике база дәрәҗәсендә: телдән
(ярымтелдәв) һәм уртача кыеклык дәрәҗәсендәге (мондый
биремнәрнең сул ягына «О» тамгасы куелган)биремнәр кертелгән.
Икенче блокка - сызыктан соң - уртачадан югары һәм аеруча катла¬
улы (мондый биремнәрнең сул ягына • тамгасы куелган) биремнәр
тупланган. Икенче, өченче, дүртенче дәрәҗә биремнәрнең күбесенә
мәсьәләләр җыентыгының ахырында җаваплар бирелгән.
Исегездә тотыгыз: мәсьәләләр җыентыгының теге яки бу пара¬
графындагы мисалларны чишәр алдыннан дәреслекне ачыгыз һәм
алар турында сөйләнгән параграф материалын укып чыгыгыз. Ә иң
яхшысы - дәреслекне үз яныгызда тотыгыз, берәр кыенлык килеп
чыккан саен, аңа карап алырсыз. Математика өйрәнүнең шуннан
да яхшырак юлын әле берәү дә уйлап тапмаган.
Сезгә уңышлар телибез!
3
УКЫТУЧЫ ӨЧЕН КЕРЕШ СҮЗ
Һәр номердагы биремнәр сан ы унификацияләнгән: йәбер, йә ике
(а) һәм б)), йә дүрт (а), б), в), г)). Алар барысы да бер номер эчендә
бер типта, шуңа күрә класста а) һәм б) биремнәрен эшләргә, ә өйгә
в) һәм г) биремнәрен биреп җибәрергә киңәш итәбез.
Һәр бүлек ике варианттагы «Өй контроль эше* (ике вариантта)
белән тәмамлана. Укучылар аны әлеге теманы өйрәнү барышында
эшли барырлар һәм, әзер булгач, укытучыга тикшерергә бирерләр
дип уйлыйбыз.
Укучылар белән барлык күнегүләрне дә чишәргә тырышу
кирәкми. Аларның саны артык күп. Без моны укытучының сайлап
алу мөмкинлеге булсын өчен махсус шулай эшләдек. Сайлап алу
классның әзерлегенә һәм укытучының үз методик карашларына
бәйләнгән, шунлыктан беркадәр иҗатка да урын кала.
Мәсьәләләр җыентыгының соңгы бүлеге ~ «Йомгаклау» -
күләме буенча бик зур. Ул җиде пункттан тора: санлы аңлатмалар,
алгебраик аңлатмалар, функцияләр һәм графиклар, тигезләмәләр
һәм тигезләмә системалары, тигезсезлекләр, текстлы мәсьәләләр,
прогрессияләр. Аның максаты — 5-9 сыйныфларның арифметика
һәм алгебра курсын тулысы белән кабатлап чыгу, укучыларны
йомгаклау аттестациясенә әзерләү. Бу бүлекнең һәр пункты ике
өлештән тора (математика буенча бердәм дәүләт имтиханы структу¬
расы идеясе кулланыла): беренче өлеш (сызыкка кадәр) - тәкъдим
ителгән дүрт җаваптан сайлап алу биремнәре; икенче өлеш -
җавап сайлап алынмый торган биремнәр.
Авторлар
4
КАБАТЛАУГА МӘСЬӘЛӘЛӘР
2.
Аңлатманы гадиләштерегез:
1 - Ы2
■)
б)
я)
б)
1 ж ж a
X1
Зс + 2
с2 - 4с + 4 с - 2
в)
г)
4c ( c*
6c - 6 3c * 3 2c2 -2
5с
2шл 2m
m2 + n3 m2 - n1 m
1
_ I
х
d - 5 1
5
X + у X - у
3
5
— л
3a(16 - 3a) 3(1 < 2a)
* 2 3a
9а2 - 4
2-9a
3a+ 2
V* * < _ I
У3 + 8 у + 2‘
3.
»)
б)
x2 - y2 3y .
3xy ~ ■'*
x2 - 49
1(кч/
x2 - IQx + 25 . 2x - 10.
3x + 12
12ra + 27*
х2 - 16’
4* + 9
t2 - 21 + 4
5.
a - Ь
a
х - У
2с + 14
5d
б)
аһ
m
n2 - mn
л
m2 - mn
тп
61 д1 ~ 25 1 . a ~f 3
a + 3 a2 + 5a a2 - 3a'
6. Функциянең графигын төзегез һәм аның төп үзлекләрен
телдән санап чыгыгыз:
а) У = 2х; в) у = -х;
б) у = -0,5х + 2; г) у = х - 4.
5
7.
Функциянең графигын төзегез;
а) у = х'\
б) у « (х + 1)г;
В) у = X3 - 1;
г) у = (х - l)z + 1.
8. а) у = -хг;
б) у = -(х - 2)8;
в) у = -х3 + 4;
г) у = -<х - 2)2 + 4.
9. а) у = х2 - 4х + 3;
б) у = -х1 - 4х;
10. а) у = 2х8;
б) у = 2(х - I)8;
в) у = х8 + 2х;
г) у » -х8 - 2х + 3.
в) у - -2х' + 2;
г) у - -2Х2 + 4х + 1.
11. а) у = |х|;
в) у - |х| - 3;
6)а/ = -|х + 3|;
г) у = |х + 2| - 1.
12. а) у = ‘
б) У =
13. а) у = Vx;
б) У = Vx + 4;
14. а) у = 4-х;
б) У = -V1 - х;
в) У = “у + 2;
в) у = 4х - 2;
г) у = -4х.
в) у = 4~х - 1;
г) у = -4-х + 2.
Тигезләмәне график
15. а) х2 - 3 = -|х| + 3;
б) х£ - 3 = |х - 3|;
16. а) 1- = 2 - 2х;
х - 1
б)-^ = х + 1;
юл белән чишегез:
в) (х - 2)8 = |х + 4|;
г) х8 + 4х - |х| - 4.
в) —Ц- = 2х;
± + 1
г) —+ 2 ж X.
х - 2
6
17. Тигезләмәләр системасын график юл белән чишегез:
*1
| у « х2 + 2х,
I х - у + 6 = 0;
]у-хг = 4х - 5,
|2х + у = 5;
б)
X2 - 4х а у - 3,
-X + у = -1;
г)
I у + 1 = —X2 - 4х,
| у — X = 3.
Тигезсезлекне график юл белән чишегез:
18. а) х2 - 1 < 0; в) 4 - х2 > 0;
б) (х + I)2 > 4; г) х* - 2х < 3.
1». а) — > 1; б) —2— > 1; в) —<2; г) - - 1 > 0.
х х +1 х - 1 х
20. а) 7х - 2 > 0; в) 1 - 4х < 0;
б) V» - 2 > 0,5х - 1; г) Jx + 3 < 3 - х.
Тигезләмәне чишегез:
21. а) х2 - 14х + 24 = 0; в) х2 + 5х - 66 = 0;
б) -х2 + 17х + 45 = 0; г) -х’ - 20х - 91 = 0.
22. а) 2х2 + Зх + 1 = 0; в) Зх2 + 5х - 2 = 0;
б) бх2 - 8х + 3 = 0; г) 14х* - 5х - 1 = 0.
23. а) (А2 - 5)2 - (2А + З)2 = 0;
б) (Зх - 1М2х - 2) = (х - 4J2 + 7;
в) (d2 - 13)2 - (d - 77)2 = 0;
г) 2х - (х + I)2 = Зх2 - 5.
24.
10
х2 - 2х
1 + 2х,
х - 2 ’
* + 1 = «2
х - 2 ? - 4х 1 4
6} 2 1 _ 12 .
х2 - Зх х + 3 х8 - 9х ’
1 _ 10 - д 3.
х х2 - 5х 5 - х *
25. а) х4 - 17х2 + 16 = 0;
б) х® - 9хэ + 8 - 0;
26. а) хэ - 4х2 + Зх = 0;
б) хэ - 16х = 0;
в) 9г4 - 40х2 + 16 = 0;
г) х® - 7Х3 - 8 - 0.
в) х3 + 6х2 + 9х = 0;
г) Xя + х2 - 2х = 0.
7
27. Тигезләмәне чишегез:
а) х3 - 2х3 + х - 2 = 0; в) 2х* + х3 - 8х - 4 = 0;
б) xs - 2хг - 5х + 6 = 0; г) х3 + 8х2 + 5х - 50 = 0.
Тигезләмәләр системасын чишегез:
|Ьх - Эи = 14,
28. а) '
|2х + у = 10;
|4х -Ту = 30,
|4х - 5у = 90;
[За +4Ь = 55,
в> 17а-5 = 5б;
|-2а + 35 = 18,
|3а + 2b = -1.
29. a) 41 + * '•
2х + 2.5м • 5;
4х - Зу = 12,
б) 4
И '*4
30. Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
a) xs - 17х + 60;
б> Зх2 + 35х - 38;
в) 2х2 - 297х + 295;
г) х2 + 26х + 105.
31. Вакланманы кыскартыгыз:
Зх2 - Ю.г + 3
f хг -9 '
б) KL+ х -_А,
Ж* + X
32. Исәпләгез:
. 2хг - 9х + 4
•’ И-1в ■
. 2х2 + 5х - 3
Г х2 — 9 *
r , 1652 - 1242
' V 164 ‘
. 145.52 - 96.52
17 V 193.52 - 31,52 ’
33. Тапкырлаучыны тамыр тамгасы астыннан чыгарыгыз:
a) J12; б) 7б4а3;
в) 7494; г) 7»г2.
34. Тапкырлаучыны тамыр тамгасы астына кертегез:
а) 2^5; в) 7^;
б) by/з, Ь < 0 булганда; г) -аТз, А > 0 булганда.
35. Аңлатманы гадиләштерегез:
а> 2^125 + 2^20 - 2780; в) 5712 - 2^48 + 2727;
б) у/9а - 725а - 73ба; г) 0,175/п - ^0,45т + 2780т
Аңлатманы гадиләштерегез:
Зв. .) Д“- 2)‘ ♦ J(7r - з)\
s)|ji2-4)* -г|г-Х-
37.
">
А > 0, һ < 0 булганда;
б)
A < 0, b > 0 булганда.
bya2 о V b
38. а) (2 + 7б)(з/2 - 2>/з);
б) (-/2а - 7з*)(72а + 73б);
39. а) 1 ■ у а - 3 - >U;
_ 4 3^<i — О
б) Vtf -» 2 _ 3 .
•Jed + d -Jed + с
40. а) (х 2 - у 2) : (х ‘ - у ');
б) (с 2 d 2) • (d - с)’2;
в) (2^5 - 7з)(7з + 3^5);
г) (с + у/<1)[сг - c^Jd + d)
. 1 - д д 4- 4ч/д/| 4 4Ь.
U> 4-Ja + Sjb 3 - 3ja '
. х2 + X-J2 ( х _ \[2 \
11 X2 + 2 ! Г - ^2 х + J2 /
в) (к - 1) 2 • (к 1 - Г1);
г) (А 1 - Ъ ’) : (Ь 3 - А 3).
Түбендәге мәсьәләләрне чишегез (математик модельләш
терүнең өч этабын аерып күрсәтегез):
41. А шәһәреннән В шәһәренә велосипедчы юлга чыга. Аннан
соң 44 мин узгач, тизлеге аныкыннан 30 км/сәг кә зуррак
булган мотоциклчы чыга. Юлга чыгып 36 мин үткәннән
соң, ул, велосипедчыны узып китеп, аннан 7 км ераклыкта
була. Велосипедчының тизлеген табыгыз.
42. А һәм В пунктлары арасын йөк машинасы 3 сәг тә узарга
тиеш була. Беренче 2 сәг не ул билгеләнгән тизлек белән
бара, ә аннан соң тизлеген 10 км/сәг кә арттыра һәм соңгы
пунктка вакытыннан 12 мин ка алданрак килеп җитә. Йөк
машинасының баштагы тизлеген табыгыз.
43. Бер күлмәк һәм өч сарафан тегү өчен - 9 м, ә шундый ук
өч күлмәк һәм биш сарафан тегү өчен 19 М тукыма кирәк.
Бер күлмәк һәм бер сарафан тегү өчен күпме тукыма кирәк?
9
44. Велосипедчы билгеле бер тизлек белен 15 км һем бу
тизлектән 3 км/сег кә кимрек тизлек белен 6 км юл үте.
Барлык юлга ул 1,5 сәг сарыф ите. Велосипедчының юлның
һәр участогындагы тизлеген табыгыз.
45. Яңа двигательләрне сынаганда, беренче двигательнең -
320 г, ә икенчесенең 270 г ягулык тотуы ачыклана. Беренче
двигатель бер сәгатькә икенчесеннән 2 г га кимрәк ягулык
тота һәм аннан 5 сәг кә озаграк сынала, һәр двигательнең
бер сәгатьтә күпме ягулык тотуын билгеләгез.
46. 30 т йөкне йөк күтәрүчәнлеге билгеле булган машинада та¬
шырга уйлаганнар. Ләкин йөк күтәрүчәнлеге 2 т га артыграк
булган икенче машинада ташу мөмкинлеге табылган һәм
шунлыктан йөкне ташып бетерү өчен алда уйланганнан
4 кә кимрәк рейс ясалган. Йөкне ничә рейс ясап ташып
бетергәннәр?
47. Поселоктагы ике мәктәптә 1500 укучы укый. Бер елдан соң
укучылар саны беренче мәктәптә 10% ка, ә икенчесендә
20% ка арта һәм ике мәктәптәге укучылар саны 1720 була.
Башта һәр мәктәптә ничә укучы укыган?
48. Аралары 120 км булган А һәм В шәһәрләреннән бер үк
вакытта ике велосипедчы юлга чыга. Берсенең тизлеге
икенчесенең тизлегеннән 3 км/сәг кә артыграк була һәм
шунлыктан ул А шәһәренә 2 сәг кә алданрак килеп җитә.
Һәр велосипедчының тизлеген табыгыз.
49. Ике турист А һәм В пунктларыннан бер-берсенә каршы
юлга чыга. А һәм В пунктларының арасы 50 км. Очраш¬
каннан соң туристлар юлларын шул ук тизлек белән дәвам
итәләр. Беренчесе В пунктына икенчесе А га килгәннән 50
мин ка иртәрәк килеп җитә, һәркайсының нинди тизлек
белән барганын табыгыз.
50. Турыпочмаклы өчпочмакның периметры - 84 см га, ә
гипотенузасы 37 см га тигез. Бу өчпочмакның мәйданын
табыгыз.
10
1
БҮЛЕК
ТИГЕЗСЕЗЛЕКЛӘР ҺӘМ
ТИГЕЗСЕЗЛЕК СИСТЕМАЛАРЫ
$1. СЫЗЫКЧА ҺӘМ КВАДРАТ ТИГЕЗСЕЗЛЕКЛӘР
1.1. Бирелгән А саны бирелгән тигезсезлек не н чишелеше була¬
мы?
а) 2х-5>9; А--1.А-3;
б) 2 - бх < -10; А = -2, А = 4;
в) 7 - Зх < 13; А = -15, А = 4;
г) 4х + 5 > 17; А = -2, А = 5?
Тигезсезлекне чишегез:
01.2. а) 4А - 11 < А + 13; в) Sb + 3 < 9Ь - 2;
б) 6 - 4с > 7 + 6с; г) 3 - 2х < 12 - 5х.
1.3. а) 5 < 0; ,) iil > Ц11:
6)ф + 1з^<0;
* Ә • □
01.4. а) А(А - 2)-А2 > 5 - ЗА;
б) у(5у - 4) - + 4) > 96;
в) 3х(3х - 1) - Эх2 < 2х + 6;
г) 7с(с + 2) - с(7с - 1) < 3.
01.5. а) х2 - 6х - 7 > О;
б) —х2 — 2х + 8 > 0;
01.6. а) 4х2 + 4х - 3 > 0;
б) 12х2 + х - 1 < О;
01.7. а) Зх2 + х + 2 > 0;
б) -Зх2 + 2х - 1 > 0;
в) -Xs + 6х - 5 < О;
г) х2 + 2х - 48 < 0.
в) 6х2 - 7х - 20 < 0;
г) 15х2 - 29х - 2 > О
в) 5х" - 2х + 1 < 0;
г) -7х2 + 5х - 2 < О
11
01.8. Тигезсезлекне чишегез:
а) 4х2 - 12х 4- 9 > 0;
б) 25х2 + 40х 4- 16 < 0;
в) 16г3 - 40х 4- 25 > 0;
г) 9х3 4- 12х 4- 4 < 0.
х ның нинди кыйммәтләрендә аңлатманың мәгънәсе бар?
01.9. a) V12x-6; б) ^9 - 2х; в) ^Зх 4- 4,5; г) Дз 5х?
fix) аңлатмасының билгеләнү ел кәсен табыгыз:
01.10. а) 73х2 4- 28х 4- 9;
б) ^5х - х2 4-6;
01.11. а) . 1 ; б) 7(3 4- х)’1
У4 - 2х
01.12. а) . 1
7х2 - 18х + 77
б) 7(Юх2 -11Х-6)-1;
01.13. а) . 1
7~в2 - а + 2
б) 7(-ft3 4- 35 4- 4) ';
01.14. а) 7<3 " + 7);
I 1 ■
' VU -4ИЗр ♦ 5)'
в) ^2хг 4-7х-9;
г) ^21 ~ 4х - х2.
в) , — ; г) 7<2х - 6)1.
V-X — ә
/х2 + 9х - 36
г) 7(12хг +13Х-4) 1.
I 7 ,
В) V 14 - 2са -Зс’
г) 7(-Зра 4- 10р - 3) 1.
в) 7(1 4- 4М9 + 0;
г) I ~5
л 7(2г - 1R-Z - 3)
01.15. р параметрының нинди кыйммәтләрендә Зх2 - 2рх - р4¬
4-6 = 0 квадрат тигезләмәсенең:
а) төрле ике тамыры бар;
б) бер тамыры бар;
в) тамырлары юк;
г) кимендә бер тамыры бар?
01.16. Бирелгән тигезсезлекләр тигезкөчле буламы:
а) х-2>0их2-4>0;
б) 2х 4- 1 < -5 и х2 + 8х + 15 < 0;
в) х < 3 и х2 - Зх < 0;
г) Зх - 2 > 10 и х2 - 14х 4- 40 < 0.
12
Тигезсезлекне чишегез:
01.17. а) |х| < 5;
б) I х - 2 I < 3;
01.18. a) 14х| > 6;
б) I x - 11 > 8;
01.19. a) |1 -x|>2;
6) 1-2 - х I < 4;
в) 17x| < 21;
r) x + 31 < 4.
B) lx| > 3;
r) |x + 4 I >5.
в) |3-x| >3;
г) I -5 - х I < 7.
Тигезсезлекне чишегез:
1.20. a) 2x2 + x < 2;
в) хг - 4x + 2 > 0;
б) 3 - Xs < х;
г) х + 1 > х2.
1.21. а)
х —1 хг + х - 4 0,5х2 + 1
+ .— > ■;
2 4 3
б)
х2 4 Зх х - 1 , 3 - 2х
В> 8 4 2 '
ч х* + I о 7х - 3
г' “ГГ ~
1.22. a) 14х + 31 > 5; в) I3 - 2х I > 9;
б)6-|3х+1| >0; г) 4 - |3 + 2х| < 0.
• 1.23. р параметрының нинди кыйммәтләрендә (р + 4JX2 + 2рх + 2 = 0
квадрат тигезләмәсенең;
а) бер тамыры бар; б) ике тамыры бар;
в) кимендә бер тамыры бар?
•1.24. (х + 2)(р - х) 10 тигезсезлегенең чишелешләре күплегендә:
а) дүрт бетен сан; б) ике натураль сан:
в) ике бәген сан; г) бер бөтен сан булсын өчен,
р параметрының кыйммәте нинди бөтен сан булырга тиеш?
•1.26. (7 - хҢр - х) < 0 тигезсезлегенең чишелешләре күплегендә:
а) өч натураль сан булсын;
б) бер генә бөтен сан да булмасын өчен,
р параметрының кыйммәте нинди натураль сан булырга тиеш?
13
• 1.26. (г - 8)(р + х) < О тигезсезлегенең чишелешләре күплегендә:
а) ув бөтен сан;
б) ике тискәре бөтен сан;
в) дүрт уңай булмаган бөтен сан;
г) бары тик уңай бөтен саннар гына булсын өчен,
р параметрының кыйммәте нинди натураль сан булырга тиеш?
§2. РАЦИОНАЛЬ ТИГЕЗСЕЗЛЕКЛӘР
Тигезсезлекне чишегез:
02.1. а) (х + 2)(х + 3) > 0;
6) (х + 3)(х - 0,5) < 0;
в) I х - |j(x + 4) > 0;
Г) <0.
( 9 II 3/
02.2. a) t(t - 1) < 0;
б) r| с - i |(г - 12) > 0;
! 4 j
в) t(t + 3) > 0;
г) #(/+ 8Х< - 1,2) < 0.
02.3. а) х1 - х > 0;
в) х2 - Зх > 0;
б) 2х + х2 < 0;
г) 5х + х2 < 0.
02.4. а) х2 - 4 > 0;
в) х1 - 25 > 0;
б) х(х‘ - 9) < 0;
г) х(х2 - 64) < 0.
02.5. а) А2 > 225; б)£х’<0; в)Ь! < 16; г) |с2 > 1.
02.6. а) (х + 2Хх + 4Хх - I) > 0;
б) (х - ЗХ5х - 6Хх + 6) < 0;
в) (х - 2)(х + ЗМх +1) < 0;
г) (х + 5Х4х + 1)(х - 3) > 0.
02.7. а) (х - 4)(3х2 + х) > 0;
б) (2х + 3)(х2 - 1) < 0;
в) (х + 5Х2х2 - х) > 0;
г) (4х - 1Хх* - 4) < 0.
14
Тигезсезлекне чишегез:
02.8. а) (2 - х)(3х + 1)(2х - 3) > 0;
б) (2х + 3)( 1 - 2х)(х - 1) < 0;
в) (Зх - 2Их - 4)(3 - 2х) < 0;
г) (х + 7)(4х + 3X5 - 2х) > 0.
_ х(х - 2) „
02.9. а) ——— > 0;
х + 3
х(х + 1)
” .-9 >0;
х2 + бх .
5) ,-s 4
г) г - <0.
х2 + 7х
Зх-2
02.10. а) > 3;
2х “ 3
t 7х'4 ,
в) п > 1;
х + 2
г ♦ 3
ч Тх-5 „
г . к < 7‘
х + 5
02.11, а) х2 + 4х+ 3 < 0;
б) 8 - 2х ? х2;
в) -х2 - 10 < 7х;
г) х2 - бх + 5 > 0-
02.12. а) х2 + бх + 9 > 0;
б) -4х2 + 20х > 25;
в) 49х2+ 14х + 1 « 0;
г) -х2 + 8х > 16.
02.13. а)4х2 + х + 1 > 0;
б) 7х2 + 3 < 2х;
в) Зх2 + 4 < х;
г) 5х2 + бх + 13 > 0.
02.14. а)-2х2 + х-3 < 0;
б)-4х2 + х- 1 >0;
в) -бх2 4- 5х - 8 > 0;
г) -Зх2 + 4х - 5 4 0.
2.15. а) (2 - 3х)(3х + 2>(5 + Зх)(2х - 3) > 0;
б) (2х + 1>(1 - 2х)(х - 1X2 - Зх) > 0;
в) (Зх - 2)(5 - х)(х + 1 )(2 - х) < 0;
г) (2х + 5)(4х + 3X7 - 2х)(х - 3) < 0.
хг - 4
2.16. а) -г— > 0;
хг - 9
х2 - 169
В х* - 100 < *
Х(х2-16)
х2 - 49
« .>-9 ‘
г) ( > 0.
х(х2 - 144)
15
Тигезсезлекне чишегез:
2.17. а)х’-64х>0;
б) х3 < 2х;
2.18. a) (jf ~ 1)(3* ' 2) > 0;
5- 2х
в) х3 > х;
г) х3 - 10х < 0.
(х + 1Кх + 2Мх + 3)
(2х - 1)(х + 4)(3 - х) *
t (2х 4 ЗҢ2х г 1)
“ (x-lMx-4)
^0;
7 -х
г) „ Л
(Зх - 2М2х + 1Хх - 4)
0
0
2.19. а) х + - < 6; в)х + - < -4;
х х
б) х + - > 3; г) х - - > 2.
X X
2.20. а) (х - 1)(х2 - Зх + 8) < 0;
б) (х + 5)(хг + х + 6)? 0;
в) (х - 7)(-хг - Зх - 18) > 0;
г) (х + 1,2Хх2 + 5х + 14) < 0.
2.21. а) х2(х 9) > 0; в) х2(х + 3) > 0;
б) (х + 2)2(х + 4) С 0; г) (х - l^x - 5) < 0.
2.22. а) (х - 1)2(х2 + 4х - 12) < 0;
б) (х + 2Хх3 - 6х - 16) > 0;
в) (х + 3)2(хг - 10х + 21) > 0;
г) (х - 1)(х2 - 7х + 6) > 0.
2.23. а) (ха + 4х + 4)(6х - х2 + 7) < 0;
б) (х + 3)а(3х - 2 - х2) > 0;
в) (х2 6х + 9)(6 - 5х - х2) > 0;
г) (х - 4)3(7х - х2 - 10) < 0.
2.24.
х2 - 5х + е
ft х2 - 12х + 35
> 0;
В)
х2 - 2х 4 3
х2 4 9х 4 8
<0,
х2 - 4х 4 12 _
б) —5—i— < 0:
9 - xz
х2 4 7х 4 12
25-х2
> о.
16
Тигезсезлекне чишегез:
■> ’ 2=
1 - хг
В> х1 + 2х - 8 > ~1,
Зх’ + х - 16
б) Р-г * 1;
. х2 + Зх + 10 „
Г х2 - 9 < ^'
хг - 14х ♦ 49
2.26. а) . г < 0;
5хг - 15х
„ Зх2 + 12х п
В) х2 + 10х + 25 '' °*
16 - 9х2
Эх2 + 6х + 1
б) 4х2 - 4х + 1 >0-
25 - х2 < °
2.27. а) (хг + х + 2)(х - 4) < 0;
б) (2х2 - 5х + 2)(хг - х + 1) > 0;
в) (х + 8)(х2 + 2х + 5) > 0;
г) (Зх" + 10х + 3)(х2 + Зх + 4) < 0.
„ х* + х + 1 л
2.28. а) — • 0;
* +1
6 - х
в) —7 > 0;
’ х2 + 2х + 5
9 - 4х2 „
. Зх2 - 2х + 1
Б) 7 с 0;
2х2 + х + 1
г) з со.
5jH - х
X2 + ха + X
2.29. а) 9х2 _ 25 0.
Г4 + х1 т 1
В> 2 . , < 0,
xi - 4х - 5
Ск
М
Cd
1
и и
4 ~
30 И
1
•—
л
о
х4 - 2х2 - 8 „
г) — < 0.
х’ » ж ► 1
2.30. х ның нинди кыйммәтләрендә аңлатманың мәгънәсе бар?
2х*4
} Il х2 + 8х - 48 ’
1 х2 + 7х + 10
•» . «-Х •
114 - х2 + 5х
б) 1' х + 2
1 1 Х ~ 3 9
г) 1 х2 + 5х - 24
2.31. Аңлатманың билгеләнү өлкәсен табыгыз:
х2 - 9 .
8) Ч х2 -5х+б’
2 - х - х2
в) х2 - 4 *
2z2 - 5х + 2
бҢ 5х - 6 - х2 '
Зх2 + 10х + 3
rf V х2 + 8х +15
17
Тигезсезлекне читегез:
I 2
2-32-’ГГ1*77з
’ х-2 Х-2 2
х - 4 _ х~з
’ х-3 х -4
jgx3 - х - 12) 0;
2.33. а) (16 - хгХх2 + 4Хх2 + х +
X + 1 х - 1 х2 - 1
в) (х* + 12х + 35)(2х + ЮХх2 + 14х + 49>> °*«
г) 4 - -3_ + —Зл— < 4.
5 - х х2 - 25
2.34. Тигезсезлекнең, бетен санлы чишелешләрең күрсәтегез.
а) -4хй + 15х + 4 > 0;
в) 2xz - 7х + 3 < 0;
б) 2* +/ < 0;
г) >0
22 - 4х ‘
2.35. y=f(x) аңлатмасы бирелгән, биредә /(х) =< х(х — 2)3(х+
+ 1)г(х + 5). Түбәндәге шартлар өчен үэгәрешленең
кыйммәтләрен табыгыз:
a) fix) > 0; в) ftx) I 0;
б)/(х)<0; г)/(х)<0.
(х*2)\х 1М2х *■ 31
2.36. у=Дх) аңлатмасы бирелгән, биредә/(X) xji/,' һ *
Түбәндәге шартлар өчен үЗГ?решленең кыйммәтләрен та¬
быгыз:
а) /(х) > 0; в) f(x) > 0;
б) Лг)<0; г)/(х)< 0.
•2.37. х’(х + 2Ңр - X) 10 тигезсезлегенеН чишелешләре күплегендә:
а) ике бөтен сан; б) дүрт бөтенсан;
в) өч бөтен сан; г) биш бөтен сан булсын өчев,
р параметрының кыйммәте нинди бөтен сан булырга тиеш?
18
§3. КҮПЛЕКЛӘР ҺӘМ АЛАР БЕЛӘН ГАМӘЛЛӘР
3.1. Күплек сүзләр ярдәмендә бирелгән. Элементларын санап
чыгып, бу күплекне күрсәтегез:
а) 5 тән зуррак цифрлар;
б) -7 дән зуррак булган бетен тискәре саннар;
в) рус алфавитының соңгы дүрт хәрефе;
г) М. Ю. Лермонтовның туган һәм үлгән елларындагы
торле цифрлар.
3.2. Күплек элементларын санап чыгу юлы белән бирелгән.
Аның нинди дә булса сүзләр белән бирелешен күрсәтегез;
а) {0, 2, 4, 6, 8}; в) {3, 6, 9 27, 30};
б) {2, 3, 5, 7); г) {А. В, С, D X, Ү, Z\.
03.3. Бирелгән күплекне санлы аралык рәвешендә языгыз:
а) {х | -13 - Зх I 0};
в) (х| хг - 1 < 0};
г) х
(? - 6X4 10Мх * 2) > 0
(х2 + 1К4 - х)
3.4. Бу язылыш дөресме:
а) -5 € А; б) -5 € И;
в) V2 € Q; г) 2,(45) € Q?
03.5. Бирелгән күплекнең бер генә саннан (элементтан) торуын
исбатлагыз һәм бу санны табыгыз:
а){х|х11<0}; в){х| 41V* < о};
б) {х | х’ + 18х < -81}; г){х|х3 + 16 < 8х}.
03.6. Бу язылыш дөресме:
а) 0,7 € {х|х* - 1 < 0);
б) -7 € (х|х3 + 16х < -64};
в) -0,999 € 1х|
1 * *
г) 1,001 € X
** -*» ♦ * < о1?
4 - х |
19
3.8.
күплеге бирелгән. Аның ике саннан торган
03.7. a) х(х2 + 19) + 6 — (2х + 3)(3х + 2) - х2 тигезләмәсен
чишегез.
б) Тигезләмәнең тамырларын үсә бару тәртибендә санап
чыгып, языгыз тамырлар күплеген М.
в) М күплеге элементларының мамкин булган барлык
санап чыгу юлларын языгыз.
г) М күплеге элементларын ничә төрле итеп санап чыгып
була?
-8,1; -72; -—
7
барлык аскүплекләрен санап чыгыгыз, бу саннар:
а) төрле тамгалы;
б) уңай;
в) рациональ;
г) араларында иррациональ сан бар.
3.9. А • {к, л, w} күплеге бирелгән. Аның барлык аскүплекләрен
санап чыгыгыз, алар:
а) бер элементтан тора;
б) ике элементтан тора;
в) икедән артык элементтан тора;
г) араларында рус Һәм латин алфавитлары хәрефләре
булган элементлардан тора.
3.10. Өч күплек бирелгән: A = {1, 2, 3 37}, В = {2, 4, б, 8,...},
С - {4, 8, 12, 16,.... 36}. Бу язылыш дөресме:
а)АсВ; б)ВсС; в)СсА; г)СсВ?
3.11. Саннар турысында түбәндәге аралыкларны күрсәтегез:
A = (-V2; 1), В = [0; 1.9), С = -1Л
Бу язылыш дөресме:
а) А С В; в) С С. А;
б) ВсС; г)АсС?
03.12. А һәм В күплекләренең A r\ В киселешен табыгыз:
а) А — барлык 10 га тапкырлы натураль саннар күплеге,
В = {1,2,3, ..., 41};
б) А — барлык бөтен так саннар күплеге,
В = {0, 3,6,9, ...,21};
в) А={-11, -10, -9 -1, 0, 1,..., 9},В — 10 га тапкырлы
бөтен саннар күплеге;
г) А — җөп саннар күплеге, В — гади саннар күплеге.
20
Савлы аралыклар бирелгән: А • (0; 1), В - [-0,5; 0,9],
С ■ [-1; 1], D ■ (0,1; 1,1], Саннар турысында күрсәтегез:
03.13. а)Ап В; б)Вг\С; з)Аг\Вг\Т); r)AnBnCnD.
03.14. а) А о В; 6)A^jD; в) В D; rJAuB^CvjD.
03.15. Күплекләр бирелгән: A- {A,b,c,d}, B“{c,d,e,/},C“{c,e,g, k}.
Бу күплекне табыгыз:;
а) (A nB) n С; в) (А и В) n С;
б) (А п В) и С-, г) (А и В) и С.
3.16. а) Кублары ечурынлы саннар булган барлык натураль
саннарны табыгыз;
б) шундый өчурынлы саннар күплеге М вы саннар кими
бару тәртибендә языгыз;
в) М күплеге элементларының соңгы цифрлары күплеге
А ны саннар үсә бару тәртибендә языгыз;
г) М күплеге саннарының үзара тигез булмаган икевче
цифрларын ничә төрле юл белән санап чыгарга мөмкин?
3.17, Бирелгән күплекне санлы аралык рәвешендә языгыз:
а) (х | 3(х + 1)-хг> 5}; б) {х| 18(xJ + 1) < -85х}.
•3.18. «* € (4, Д, 9}» язылышында * һәм Д тамгалары урынына
3 тән кечерәк булган теләсә нинди цифрларны куярга
мөмкин. Төрле расламалар килеп чыгачак: 0 € {4, 0, 9],
1 € {4, 2, 9} һ.б.
а) Беренче урында 2 цифры торган ничә раслама килеп
чыгачак?
б) Д урынында уңай цифр торган ничә раслама килеп
чыгачак?
в) Барысы ничә раслама килеп чыгачак?
г) Дөрес расламалар барлык расламаларның нинди
өлешен тәшкил итә?
•3.19. а, Ь, с, d — пар-пар төрле саннар. «*| | {D, с, d|» язылы¬
шында * һәм Д урынына А һәм Ь саннарын, ә | | урынына
е яки £ тамгасын куярга мөмкин. Төрле расламалар килеп
чыгачак.
а) Ъ саны кермәгән ничә раслама килеп чыгачак?
б) £ тамгасы кулланылган ничә раслама килеп чыгачак?
в) Барысы ничә раслама килеп чыгачак?
г) А саны белән башланган ялгыш расламалар барлык
расламаларның нинди өлешен тәшкил итә?
21
3.20. Өч санлы аралык бирелгән:
А = (7,7; 11), В = [^97; V167], С= (V101; 18].
Күплекләрне табыгыз:
а) (A В) п С; в) (А и В) п С;
б) (A п В) и С; г) (А и В) и С,
Мәсьәләләрне Эйлер түгәрәкләрен (диаграммаларын) кулла¬
нып чишегез:
3.21. А күплеге — 99 элементтан, В күплеге — 199 элементтан,
в А пВ күплеге 73 элементтан тора. Ничә элемент: а) А
күплегенә керә, әмма В күплегенә керми; б) В күплегенә
керә, әмма А күплегенә керми; в)АиВ күплегенә керә?
3.22. Мәктәп спартакиадасында 9 сыйныфтагы 25 укучының
Һәркайсы Йә йөгерү, йә биеклеккә сикерү буенча норма¬
тивны үтәгән. Ике нормативны да 7 укучы үтәгән, ә 11
укучы йогерү нормативын үтәгән, ләкин биеклеккә сикерү
нормативын үтәмәгән. Ничә укучы: а) йөгерү; б) биеклеккә
сикерү; в) йөгерүне үтәмичә генә, биеклеккә сикерү норма¬
тивын үтәгән?
• 3.23. Төзелеш планы буенча 1500 мг мәйданлы участок үзара
кисешүче ике турыпочмаклыктан тора, аларның
киселешендә гараж төзү каралган. Беренче турыпоч¬
маклыкның. мәйданы 900 м2, ә икенчесенең — 700 мг.
Бу мәйданнарны табыгыз: а) гараж өчен билгеләнгән
участокның; б) беренче участокның гараждан тыш өлешен;
в) икенче участокның гараждан тыш өлешен; г) барлык
төзелешнең гараждан тыш өлешен.
•3.24. Әдәбият дәресендә укытучы 9 сыйныфтагы 40 укучының А,
В, С китапларын укыганын тикшерергә була. Шундыйрак
нәтиҗә күзәтелелә: А китабын — 25 укучы, В китабын — 22
укучы, С китабын 22 укучы укыган; А һәм В китапларының
берсен — 33 укучы, А һәм С китапларының берсен — 32 уку¬
чы, В һәм С китапларының берсен 31 укучы укыган. Барлык
өч китапны да 10 укучы укыган. Ничә укучы: а) бары бер
генә китапны; б) нәкъ ике китапны укыган; в) бер китапны
да укымаган?
•3.25. 9 сыйныфтагы һәр укучы кышкы каникул вакытында нәкъ
ике тапкыр театрда була һәм А, В яки С спектакльләренең
берсен карый. А, В, С спектакльләрен тиңдәшле рәвештә 25,
12 һәм 23 укучы карый. Сыйныфта ничә укучы бар?
22
§4. РАЦИОНАЛЬ ТИГЕЗСЕЗЛЕКЛӘР СИСТЕМАЛАРЫ
4.1. 5 саны тигезсезлекләр системасының чишелеше булырмы:
[4х-3<2х + 10, [10 - 6х < 8х - 40,
а) |7-2х>х + 11; В) [4х-1>5х-3;
12х + 5<7х-8, (8 + х < Зх + 2,
б> |12-х>Зх-11; Г) [19 - 2х > х + 3?
4.2. а) -2; 0; 5; 6 саннарының кайсысы тигезсезлекләр система¬
сының чишелеше була:
[Зх - 22 < О.
|2х-1 >3?
б)-3; 1,5; 4,8 саннарының кайсысы тигезсезлекләр система¬
сының чишелеше була:
4х-7 < 0,
Зх + 2 > 5?
Тигезсезлекләр системасын чишегез:
4.3.
(х >5,
а) ,
|х > 7;
|х > 3.
а) .
[х < I:
х < 8,
х>12.
г)
х < 0,
х > 4.
04.5. а>
6)
17//<42.
[2у < 4;
|18-Зу < 0.
[4у >12;
[8р < 48,
[-31/ < 12;
|7х-14>0,
Г1 |2х>8.
[7 - 2t > 0,
‘ b ° |51 - 20 < 0;
12* - 8 < 0,
в* |2t -3>0;
'21 + 4<0,
[4 - 3* > 0;
5i - 1 > 0,
31 - б > 0.
04.7. а)
|0,4х-1<0,
|2.3х>4.б;
l,5t + 4,5 < 0,
б)
О,3х > 4,
0,2х + 1 < 6;
-z - 10 < 0,
б
23
Тигезсезлекләр системасын чишегез:
(5х-7 >-14+Зх,
04.8. а) 1 4х + 5 > 29 + 2х;
(Зх + 3<2х + 1,
б) |Зх-2<4х + 2;
|2х - 4 > 0,
04.9. а) |хг _ 7х +12 < 0;
|5х - 10 > 15,
6) [х* + х - 6 0;
|7хг - х + 3 < 0,
04.10. •) |2х + 3>7;
(-Зх2 + 2х -1 < 0,
\бх > з(х +1) -1;
[Зх* *х*2 >0.
04.11. а) |х2 < д.
в)
г)
1-12х <Зх + 1,
2 - 6х > 4 + 4х;
4х + 2 > 5х + 3,
2-Зх <7-2х.
13х-1<0,
В) |х2 - Зх + 2 > 0;
13х -10 > 5х - 5,
Г) |х2 + 5х + б < 0.
|5х2 -2х + 1 С 0.
в) |2(х + 3)-(х -8) < 4;
1-2х* + Зх - 2 < 0,
г) |-3(бх - 1) - 2х < х.
2х2 + 5х + 10 > 0,
х* > 14;
|-7х2 + 5х - 2 > 0.
6> |х2 < 25;
|-5х* >х-1 >0,
Г) (х2 >81.
04.12. а)
я
2х -1 > 0,
в)
|бх - 10 > 35;
б)
(X + &Хх - 1) > 0
я
10х - 1 < 0;
г)
(х - 2Мх + 3) q
20х > 20.
04.13. а)
х2 - 16 > 0,
х2 - 7х + 12 > 0;
б)
9х2 -1 < 0,
х2 - Эх + 2 > 0;
04.14. ■)
х2 - 5х + 4 > 0,
2хг - 5х + 2 С 0;
х2 - 6х + 8 < 0.
В) х2 - 36 > 0;
49х2 - 1 < 0,
Г' х2+5х + 6>0.
|х2 - 9х + 14 > 0
И> lx1 -7х-8 < 0;
х2 - 8х + 15 > 0
6) Хг - 6х + 8 > 0;
г)
х2 + 4х + 3 < 0,
2х2 + 5х < 0.
24
Икеле тигезсезлекне чишегез:
04.16. а) -2 < Зх < 6;
б)-1< — < 1;
0
в) 6 < -6х < 12;
г) 0< j < 2.
04.16. а) 3 < х + 1 < 8;
б) -3 < 2х + 1 < 3;
в) -4 < х - 5 < 1;
г) -8 < Зх + 4 < 1.
04.17. а) -2 < 1 - 2х < 2;
в)-5 < 3 - 4х < 3;
6-2х
б)-14 4 <0;
г)-3 < < 1.
04.18. х ның нинди кыйммәтләрендә;
а) 3 - 5х икебуынының кыйммәте (-6; 6) интервалында ята;
2х + 1 Л
б) — вяклянмясыттың кыйммәте [-4; 0] кмсрмтасянда ятя?
04.19. а) 0 < 1 + 4х <17 икеле тигезсезлеген чишегез Һәм аның
чишелеше булган иң кечкенә һәм иң зур бөтен саннарны
күрсәтегез;
б) 0 < 1 — 5х < 13 икеле тигезсезлеген чишегез һәм аның
чишелеше булган иң кечкенә һәм иң зур бөтен саннарны
күрсәтегез.
04.20. Аңлатманың билгеләнү өлкәсен табыгыз:
а) 712 - Зх + -Jx + 2; в) -JlSx - 30 + 7^ - х;
б) 715-Зх + 74+х; г) 7бх-18 + 7771.
Тигезсезлекләр системасын чишегез:
|7х + 3 > 5(х - 4) +1,
4‘21‘ а> [4х + 1 <. 43 - 3(7 + x)t
(3(х + 8) >4(7-х),
6) |(х + 2Хх - 5) > (х + 3)(х - 4);
|5(х + 1) - х > 2х + 2,
В) |4(х + 1)-2 < 2(2х + 1)-х;
|(х + 2)(х - 6) < (х + 2Мх + 1) + 4,
Г) |2(6х-1) > 7(2х - 4).
25
Тигезсезлекләр системасын чишегез:
4.22.
а)
3 4
1-- >0;
в
4
х -4
5
6)
- 1
2
1
г)
2
3
х - 2 . х - 3
3
4.23.
а)
2
3 4
0,5х - 4;
в)
5х + 7 Зх Их-7
4 ‘ 12 ’
1Z±E>£-1;
3 6
6
1-Зх
2
4.24.
4.25.
2х -1
б)
а)
б)
а)
х-8
0 3 2
2 - 2х > 0,5 + 0,5х;
х-2
Зх + 2
2х -3
3-5»
Зх * I
Зх - 4 1
5-х 2
X2 > 16;
1
Г)
8х +1
3
5х - 2
3
4х + 9
2 3
2х + 13 х +
3
2
в)
г|
Зх - 2
3-х
4х - 5
х + 3
Зх -1
2х ♦ 5
>3;
3 - 2х
х2 < 25;
1
2
б)
4л2 < 4»,
2х + 5
>
1 - 6х
2х + Б
4л2 >81
3
2
4.26. а)
(х + 2ХХ - 1)
2х '
х2 - 7х + 12 > О;
б)
х2 - 10х + 9 < О,
<х + ЗМх ~ 2>
2х
х2 - 4х + 3 < О,
<х + 2Ңх + 4) 0
5х
х2 - 12х + 20 < О,
<х-ЗМх + 1) 0
Зх
24
•4.27. Тигезсезлекләр системасын чишегез:
б)
2х*+18х-4 9
х* + 9х + 8
8 , „
х • — < 6;
х
х - 4 х - 3
х -3 х - 4’
х2 - х2 <-х-1
2х + 3
1 , 2 3_
х + I х + 3х + 2'
±-£—— э 0,
9х2 - 25
1 + 2 с 1 -2х
х + 1 х - 1 хг - 1
Аңлатманың билгеләнү өлкәсен табыгыз:
4.28. a) 7(х-3)(х-5) + 7(1-х)(7-х);
, Зх + 2
5-х ‘
l ’ 4 - х
>7-2ж’
в) V(x-2Xx-3) + 7(5 - x)(6 - x);
/ 4x + 1 . I 2x ♦ 1
r4—^— •
4.29. a) jx* ~ 16 + V7x-x’;
б) 7x2 -3x + 2 + j9-x2;
4.30. a) 7(2x-5)(x + 4);
6) "5) ' "Vх + 4;
r) 7X* + 8x + 7 + 725-x2.
Зх -I- 2.
V x - 5 ’
J3x + 2
7x - 5
4.31. Тигезсезлекләр системасының чишелеше булып торган
аралыкның уртасын табыгыз:
Ях -13 х - 1 7
4 4 ~8
Й 2 > - | 3~2х
4 3 ’
3 t Зх - 1 2 -х 0
5 10 5 ~ ’
1 > + 0,5(х + 3).
27
4.32. а) Тигезсезлекләр системасын канәгатьләндерә торган иң
кечкенә бөтеа санны табыгыз:
3 3 7— _1_ 1 7 1 я —
— ( X X + 1 4 + ОХ
+ < ,
10 2 2
7(3х - 5) + 4(17 - х) > 18 - ^*"6).
' ’ ' 2
б) Тигезсезлекләр системасын канәгатьләндерә торган иң
кечкенә һәм иң зур бөтен саннарны табыгыз:
- - 3* ~ 1 с 2 ~х _ * + 1 . j
3 ’ 8 12 * 2
Х>5£Д4_ЗХ^_1Ь
10 5
4.33. Тигезсезлекләр системасының чишелеше булган барлык
бөтен саннарны табыгыз:
а)
0,2* > -1,
-- > 1;
3
1 - 0,5х > 0,
< _]
5
б)
-—- С
4 5
х х + 4
>
3 7
Тигезсезлекләр системасын чишегез:
|х - 11 < 2,
(х-4|>5.
|х + 5| < 3.
В) |х -1| > 4;
||х - 5| < 3,
б) ||х - 4| > 2;
|1х - 3| < 5,
г) ||х + 2| > 1.
4.35. а)
|2х + 4| < 6,
3 - 2х > -1;
б)
Xs < 25,
|2х + 1| > 3;
1|3х + 1| < 10,
В) |4х + 3 < 11;
Г) ||5х-1| <29.
22
Тигезсезлекне чишегез:
4.36 а) (х - 1)>/хг - бх + 6 < 0;
б) (х + 3)7(х + 4)(2 -7) > 0;
в) Vxz + Зх + 4 • (х - 2) > 0;
г) (5 - х)^(х - 1Мх +■ 5) ? 0.
4.37. а) * 10 ? 0;
V? -16
4.38. р параметрының нинди кыйммәтләрендә тигезсезлекләр
системасының чишелешләре була; чишелешләре булмый:
fx < 3, fx < 7, fx < 5, Г*<Р,
а) |« > Р, в,|х>р; Г|Х>2?
4.39.
р параметрының нинди кыйммәтләрендә
х > 3.
х > Р тигеЗСе3‘
лекләр системасының чишелеше түбәндәге аралык була:
а)(5;+°°); б) [3;-ьоо); н)(3;+оо); г)[2;+оо).
•4.40. р параметрының нинди кыйммәтләрендә (р - 2)х2 -
- (р - 4)х 4- (Зр - 2) > 0 тигезсезлегенең
а) чишелешләре булмый;
б) х ның теләсә кайсы кыйммәтләрендә утала?
Өй контроль эше № 1
1 нча вариант
1. М күплеге 11 гә бүлгәндә калдыкта 7 не бирүче икеурынлы
саннардан тора. М күплеген аның барлык элементларын
санап чыгу юлы белан бирегез.
2. М = {1, 4, 9, 16, 25, ...,81} күплегенең нинди дә булса сүзле
бирелешен мисалга китерегез.
3. А = [1; 5), В = [4; 6] һәм С = (-3; 2] күплекләре ачен
(А и В) n С күплеген табыгыз.
29
4. Тигезсезлекне чишегез:
2х + 4| < 7.
5. 7$** + 2х - 3 аңлатмасының билгеләнү елкәсен табыгыз.
6. Тигезсезлекне чишегез:
хг + 2,5х - 18 > ,
1,5х - 6 > '
7. у = /(х), аңлатмасы бирелгән, биредә
_ (Зх - 1)г(2х ч-3)(5 - х)
х(х-1)
Үзгәрешленең /(х) > 0 булгандагы кыйммәтләрен табыгыз.
8. Тигезсезлекләр системасын чишегез:
2ха + 5х - 7 > 0,
9. Икеле тигезсезлекнең чишелеше булып торучы кисемтәнең
озынлыгын табыгыз:
4
Кисемтәнең уртасын күрсәтегез.
10. Тигезсезлекләр системасын канәгатьләндерә торган барлык
бетен саннарны табыгыз:
2х -11 19 -2х ~
~4 —* **•
Зх ► 1,6 1. . х
—— ’ 5<х“1) + 8-
2 нче вариант
1. М күплеге пг + 10 рәвешендә, биредә л — натураль сан,
язып була торган барлык икеурынлы саннардан тора. JW
күплеген аның барлык элементларын санап чыгу юлы белән
бирегез.
30
2. М = {10, 19, 28, 37, 46, .... 91} күплегенең нинди дә булса
сүзле бирелешен мисалга китерегез.
3. А = [1; 4), В = [2; 5] һәм С = (3; 7] күплекләре өчен
(Лп BJ'jC күплеген табыгыз.
4. Тигезсезлекне чишегез:
|4 - Зх| > 6.
5. - 15х2 - 1 аңлатмасының билгеләнү өлкәсен табыгыз.
6. Тигезсезлекне чишегез:
хг - 4,5х - 3 1
5 - 2,5х
7. у = /(х), анлатмасы бирелгән, биредә
(2х - 3)2(3х + 1)(х - 3)
fix) г;—~
*11 - *>
Үзгәрешленең /(х) < 0 булгандагы кыйммәтләрен
табыгыз.
8. Тигезсезлекләр системасын чишегез:
Зха — 7х —10 С 0,
2х 1
2-Зх
> 3.
9. Икеле тигезсезлекнең чишелеше булып торучы кисемтәнең
озынлыгын табыгыз:
2 <
4х - 7
< 4.
Кисемтәнең уртасын күрсәтегез.
10. Тигезсезлекләр системасын канәгатьләндерә торган барлык
бөтен саннарны табыгыз:
2
. х т 5
I -
8
х -1 2х + 3 х „ х + 5
I - < 2 -
3 6 2
4 - х _ х + 1
4 < оХ — ,
2 4
БҮЛЕК
ТИГЕЗЛӘМӘЛӘР
СИСТЕМАЛАРЫ
§5. ТӨП ТӨШЕНЧӘЛӘР
5.1. (3; 1) саннар пары тигезләмәнең чишелеше буламы:
а) Зх + у = 10; в) 5х’ - у = 134;
б) хг-2у=1; г)-+2 = -5у?
5.2. Түбәндәге саннар парларының кайсылары 2х2 - у2 = 1
тигезләмәсенең чишелеше була:
а) (1;1); в)(=;4];
б) (2; 77); г) (J3; ^5)?
05.3. Координаталар яссылыгында А һәм В нокталары арасын¬
дагы ераклыкны табыгыз:
а) А(1; 1), В(4; 5); в) А(-1; -2), В(3; 1);
б) А(-5; 0), В(0; 12); г) А(0; 6), В( 8; -9).
Тигезләмәнең графигын тезегез:
5.4.
а) 2х + Зу = 6;
б) 4х - 5у = 20;
в) 6х - у = 12;
г) 7х + 2у = 14
5.5.
а) 2у - х2 = 0;
б) 3 -у = 0;
X
в)у+ =0;
0
Г) - - £ = 0.
х 4
5.6.
а) х2 + у2 = 25;
б) хг + у2 = 9;
в) х2 + уг = 4;
г) х2 + у1 = 1.
32
5.7. Әйләнә үзәгенең координаталарын һәм аның радиусын
табыгыз:
а) (х + I)2 + (у - З)2 = 25;
б) (х + 5)2 + (у + 7)г = 1;
в) (х- 10)г + (у + I)2- 16;
г) (х-4)2 + (у 5)г = 144.
Тигезләмәнең графигын тезегез:
5.8. а) (х + 2)2 + (у + 1 )г = 16;
б) (х - 3)г + (у + 5)г = 25;
в) (х - 4)г + (у - I)2 = 9;
г) (х+ 1)г + (j/-3)2 = 4.
5.9. а) х2 + (у - 3)г - 36; в) х2 + (у + 6)г = 4;
б) (х + 2)2 + уг = 9; г) (х - 4)2 + у2 = 25.
5.10. Үзәге 0(0; 0) ноктасында булган һәм радиусы түбәндә
бирелгән әйләнәнең тигезләмәсен языгыз:
а)5; б>73; в)|: г>1.
O5.ll. Әйләнәнең тигезләмәсен языгыз:
а) үзәгеЛ(1; 2) ноктасында һәм радиусы 3 ка тигез;
б) үзәге В(-3; 8) ноктасында һәм радиусы 11 гә тигез;
в) үзәге С(0; -10) ноктасында һәм радиусы 7 гә тигез;
г) үзәге Р(-5; -2) ноктасында һәм радиусы 4 кә тигез.
33
34
05.13. а) 5 нче рәсемдә; б) 6 нчы рәсемдә; в) 7 нче рәсемдә;
г) 8 нче рәсемдә сурәтләнгән әйләнәнең тигезләмәсен
төзегез.
05.14. а) 9 нчы рәсемдә; б) 10 нчы рәсемдә; в) 11 нче рәсемдә;
г) 12 нче рәсемдә сурәтләнгән әйләнәнең тигезләмәсен төзегез.
05.15. Тигезләмәнең чишелешләрен табыгыз:
а) (х + 2)2 + (у - З)2 = 0;
б) V2x - 1 + |2у + 3| = 0;
в) (Зх - 4)2 + у1 = 0;
г) х/х + у]у - 1 + \г - 2| = 0.
35
5.16. (2; 3) саннар пары тигезләмәләр системасының чишелеше
буламы:
5.17.
|х» + ys=13, lx2+3j/ = 13,
■) „ _ в)
12х + у = 7; I у + х = 1;
х2 + у = 5. I х2 + у2 = 4,
л\ г) 1
Зх -1 = р; ' |5х - 2у = 4?
[х2 + у2 = 1,
Түбәндәге кайсы саннар пары - „ _ . тигезләмәләр
| у — АХ — 1
системасының чишелеше булыр:
а>(0;1); б)(-1;-1); з)(1;0); г)(1;1)?
Тигезләмәләр системасын график юл белән чишегез:
05.18.
й) |хг+у = 4;
I х2 + у = 3.
®) ’ , п
,х - у + 1 = 0;
в)
\х2-у = 3,
|JZ = 6;
(х2 - у = 4,
Г,'|2х + !< = -1.
05.19.
а)
3
У = —►
х
у + X = -2;
в)
8
V * —.
■
х = 2- у;
|ху = 4,
С) |2х-у = 2;
I ху = 6,
Г) (Зх - 2у - 0.
05.20.
Тигезләмәләр системасының ничә чишелеше бар:
|х2 + у2 = 1, [х2 + у2 =4,
а) [y = x; B>|j,-x»-2:
[у = 2х - 1, 1(х+ 2)2 + (г/- 2)2 = 1,
б) Һх-1)г+(у + 2)г =9; Г) |У = ./7Т1?
36
05.21. Тигезләмәләр системасын график юл белән чишегез:
(х + 1)г + (у + 2)г = 4,
V = О.
1(х -3)г + (у + 1)я = 9.
I». 1:
jx - 1,
” |(х - l)z + (у + 2)г =9;
(х + 2)2 + (у - 2)г = 16,
х = 2.
Әйләнәнең, тигезләмәсен төзегез:
05.22. а)2х-3у>6;
в) 12 - Зх - 2у < 0;
б)у<2х2;
г) х2 - 2у > 0.
05.23. а) ху > 0;
■)ху <0;
б) ху С 1;
г)ху > 2.
05.24. а) (х - 2)г + (у + З)2 < 4; в) (х + 3)г + (у + I)2 < 25;
б) (х + 4)2 + (у - 2)2 > 9; г) (х - З)2 + (у 4)!> 16.
05.25. Әйләнәнең тигезләмәсен төзегез:
а) үзәге (-5; 2) ноктасында һәм у күчәренә орына;
б) үзәге (12; 5) ноктасында һәм координаталар башы аша уза;
в) үзәге (-4; -6) ноктасында һәм х күчәренә орына;
г) үзәге (2; 1) ноктасында һәм (-4; -7) ноктасы аша уза.
05.26. Әгәр:
а) А(-4; 7), В(6; -3); б) А( 1; -6), В(7; 0)
булса, диаметры АВ кисемтәсе булган әйләнәнең тигезлә¬
мәсен төзегез.
05.27. Әйләнәнең тигезләмәсен төзегез:
а) үзәге х күчәрендә. (-4; 4) һәм (-2; 0) нокталары аша уза;
б) үзәге у күчәрендә, (8; 0) һәм (-6; 2) нокталары аша уза.
Тигезләмәнең графигын төзегез:
5.28. а) (Зх + у + 9Ц5х + у - 5) = 0;
б) (ху — 4)(х + 2у>= 0;
в) (4х + Зу - 12М2х - 9у + 18) = 0;
г) (х - 5yR2y - х2) = 0.
•5.29. а) х2 + у2 + 8х = 0; в) х2 + у2 - Юу = 0;
б) х2 + У2- бх + 2у -6; г)хг+ у2 = 6у - 4х - 4.
37
•5.30.
•5.31.
•5.32.
•5.33.
5.34.
5.35.
5.36.
•5.37.
Тигезләмәнең бетен сан чишелешләрен табыгыз:
а) 2х - Зу = 7;
в) 5х + Зу = 13;
б) 2х + Зу = 1;
г) 4у-5х=19.
а) 9хг — 4у2 = 5;
б) хг-9уг = 7.
а)ху = 2х + у;
6) 2х2 + ху-у‘ = 5.
Үзенең цифрлары суммасыннан 6 тапкыр зуррак булга
икеурынлы санны табыгыз.
Тигезләмәләр системасын график юл белән чишегез:
у - х2 = 0
у = У»;
|(х + 1>* +(у-1)г =9,
|у +1 = х;
х2 + у2 = 4,
у = О,5х2 + 2;
г’
(х-1)2 +(у + 4)2 =16
х + у = 1.
У = 14
х2 + у = 2;
|ia - у 3 - 2х.
|У 1* ♦ М <:
х2 + уг = 1,
у = и -1:
•*1
е»
н п
- '
* W
* п
"н э.
р параметрының нинди кыйммәтендә (1; 2) саннар пары
бирелгән тигезләмәләр системасының чишелеше булыр:
р2х + у = 2,
х2 + у2 = р + 3;
ргх + 2ру = 5,
(х + 1)2 + (у-1)а = 2р + 3?
р параметрының нинди кыйммәтендә тигезләмәләр система¬
сының бер чишелеше булыр:
(р - х2 = 4, (у - рх + 3 = 0,
а) |у + рх = 4; 6) U = (х - 1)г - 3?
38
•5.38. р параметрыиын, нинди кыйммәтендә
х2 + уг = 4,
тигезләмәләр системасының:
У-= р
а) ӨЧ чишелеше; б) бер чишелеше булыр?
•5.39. Тигезләмәләр системасын график юл белән чишегез:
1хг + у < 0, |у - Vx > 0,
'* [р - 2х > 0; |х - 2у > 0.
§6. ТИГЕЗЛӘМӘЛӘР СИСТЕМАЛАРЫН ЧИШҮ АЛЫМНАРЫ
Тигезләмәләр системасын алыштырып кую юлы белән
чишегез:
1у = Х-1,
О6Л. а) [х, _ 2у = 2б;
|х + у = 6;
в)
[х = у + 3,
|у» 2х = 9;
^=ха.
06.2.
ху = -2,
X + у = 1:
|х + Зу = 11,
** |2х + у2 = 14;
б)
5х2 + 2у = -3,
х -у = 5;
г)
х 4- у = 8,
ху = 12.
Об.З.
f у2 - ху = 12,
|3у — х = 10;
2ха -ху = 33,
4х-у = 17;
|2х2 -у2 = 32,
б) \2x-y = 8;
Г)|Х2’У2=24’
N - х = -7.
06.4.
а)
[х2 + ху - уг = 11,
|х-2у = 1;
■)
х2 + ху - х - у = 2,
х - у = 2;
[ху + уг + х - Зу = 15,
|х + у = 5;
х1 + у2 + Зху = -1,
х + 2у = 0.
39
Об.5. Тигезләмәләр системасын алыштырып кую юлы белән чишегез:
а)
1 1 5
х у 6
2у - х = 1:
в)
1 11
— ““
у х 3
х ~ 2у = 2:
&>
5 12 4
+ - я 2.
* *У У
х - у - 3 =0;
4 12 3
—■ — —_ + —
х ху у
X - у = 1.
Тигезләмәләр системасын алгебраик кушу юлы белән
06.6.
06.7.
06.8.
чишегез:
а + b — 3,
(2а + ЗЬ = 3.
а)‘
а - Ь = 1;
в)
2а - ЗЬ = 9;
а + 2Ь = 5,
За + 5Ь = 8,
-a + 7Ь = 13;
г)
-За + Ь = -2.
а)
40/п + Зл = -10,
в)
5лг + 2п = 1,
20т - 7п = -5;
15/п + Зп = 3;
Зт 4- 2п = 0,5,
4т + 7п = 11,
0> (2т + 5л = 4;
°
5гп - 2п = 3.
\хг + у2 = 61,
(х2 - у2 = 11;
(х2 -Зу2 = 22,
а)
(х2 + Зу2 = 28;
2хг - у2 = 41,
X2 - 2у2 = 14,
6)
[2х3 + у2 = 59;
Г)
х3 + 2у3 = 18.
06.9. Тигезләмәләр системасын үзгәрешлеләрне алыштыру юлы
белән чишегез:
JxV+xjZ.2, s i + |i|' ■ 14,
*’ |2хч,.3j ” » >»1
5х + 3у«13;
|3(х - у) - 2(х - у)2 = -2, 14(х + у)2 - 7(х + у) - 15,
12лг + 7у = -5; |5х - 2у = 1.
40
Об. 10. Тигезләмәләр системасын үзгәрешлеләрне алыштыру юлы
белән чишегез:
| ху(х + у) = 6,
|ху +(* + //) = 5;
в 3(х - у)2 + 2(х + 2у)2 = 5,
2(х + 2у) - х + у = 1;
]5(х + у) + 4ху = 32,
|ху(х + у) = 12;
|2(х + у)2 +3(х + 2у) = 5,
|3(х + 2у) - 2х -2у = 5.
06.11
Тигезләмәләр системасын төрле юллар белән чишегез:
1х + у = 6, 1х - у = 2,
а1 (х2 -у2 = 12; В’ |х2-у2=8;
1х - у = 1, 1х + у = 5,
б) (х2 + / = 5; г) |х2 + у2 = 17.
06.12. а)
б)
| х2 - у2 =3,
|х4 - у4 =15;
|х2 - 2/ = 1,
|х« + 3/ = 129;
|2х2 - Зу2 = 15,
В' |х4 - у4 = 80;
\х2 + у2 = 10,
” |х4 + у4 = 82.
Тигезләмәләр системасын чишегез:
6.13. а)
б)
1ха - у2 = 9,
|ху = 20;
ху = 2,
9х2 +у2 = 13;
6.14. а)
б)
1х3 - 2у = 3,
|х2У = 27;
1х2 + у = 10.
|х4 + х2у = 90;
|х2 + у2 = 20,
’* Ixj, = 8;
|2х2 - у2 = 34
г> jxy = 20.
lx + у1 =2,
В) ]2у2 + х2 = 3;
jx2 + у4 =5,
Г) (ху2 = 2.
41
в.1Х а)
б)
Тигезләмәләр системасын чишегез:
j хг + у2 + х + у = 2, (х* + у1 - 5х + у = 2,
|2х2 - у3 + 2х - у = 4; В> |5у2 + 5хг + х + Ьу = 36;
(х2 + у2 - 2х + Зу = 31, (Зх2 + у2 + Зх + у = 18,
[х2 + у* _ 2х - у = 15; Г> [х2 - у2 + х - у = 6.
fiifi «1 |(х^)г-(х^)-8 = 0,
|(х + у)2 + (х - у) - 10 = 0;
б)
х у 10
* " •
у х 3
х - у = 6;
2х + у + (х - 2у)2 = 3,
х2 - 4ху + 4уг = 9 - 3(2х + у);
г)
х у 17
— + ' = ,
У х 4
х + у = 10,
6.17
а)
| х3 -Зх-2у = 4,
|х2 + х-Зу = 18;
[х2 + 2х + Зу = 3,
В) |х2 + х + 2у = 4;
ху + х = 56,
б>
г)
13х-ху = 10,
I у + ху = 6.
6.18.
а)
х + у = -2,
х2 + 2ху + у2 = 1 -
ху,
(х3 - бху + 9у2 = х - у,
]х-3у = -1;
(2х - у = 3,
б) ^4х2 - 4ху + у2 = 2х + Зу;
|х + 2у = 2,
|х2 + 4у + 4у2 - 2у + 4х.
6.19.
|ху - 2х * Зу ■ 6,
а> |2ху-3х + 5у = 11;
6>
уг + Зх - у = 1,
у2 + 6х - 2у = 1;
(х3 + Зх - 4у = 20,
" |х2 - 2х + у =-5;
fx + ху + у = 5,
Г> jху - 2х - 2у + 4 = 0.
42
6.20.
Тигезләмәләр системасын чишегез;
(х - 2)(у - 3) = 1,
1—= Ь
а)
а • 2 . в)
■ I:
у-З
у-З
|(х + 1)(у - 3) = 4;
(х-3)(у-2) = 3,
(х + 3)(у - 1) = 8,
б)
У - 2 _ г)
— о.
143 _ 2
х-3
у-1
6.21.
а) |(х + 2у)2 + (у-2х)г =90,
|(х4-2у) + (у-2х) = 12;
■)
х + у + — = 9,
У
(* + у)д = 20.
У
х 1
х + у + — = 15,
У
(х + у)х _ 56
У
Г)
1-1
* У
» 2.
•6.22.
(х + у)2 + 2х = 35 - 2у,
(х-у)2 -2у = 3-2х;
12(х + у)2 + х = 2,5 - у,
6(х - у)2 + х = 0,125 + у.
<6.23.
а)
6 4 1
х8 - ху уг - ху 6 ’
7 3 6.
х2 - ху у2 - ху 5 ’
—‘ 5— Л - о.
х + у — I 2х - у + 3 2
—1— 4 1 4 I - 0.
х + у-1 2х ~ у + 3 5
•6.24.
Түбәндәге нокталар аша узучы әйләнәнең тигезләмәсен
тезегез:
а) А(3; 13), В(-7; -11), С(10; 6);
б) А(7; -7), В(-2; -4), С(6; 0).
43
§ 7. РЕАЛЬ ХӘЛЛӘРНЕҢ МАТЕМАТИК
МОДЕЛЬЛӘРЕ БУЛАРАК ТИГЕЗЛӘМӘ
СИСТЕМАЛАРЫ
07.1. Аралары 700 км булган ике шәһәрдән бер үк вакытта бер-
берсенә каршы ике поезд чыга һәм 5 сәг тән соң очрашалар.
Әгәр икенче поезд беренчесеннән 7 сәг кә иртәрәк кузгалса,
алар беренче поезд юлга чыкканнан соң 2 сәг үткәч
очрашалар. Һәр поездның тизлеген табыгыз.
07.2. Ике пункт арасы елга буйлап 14 км. Көймә бу араны
агым уңаена 2 сәг тә, ә агымга каршы 2 сәг 48 мин та үтә.
Көймәнең уз тизлеген һәм елганың агым тизлеген табыгыз.
07.3. Моторлы көймә елга агымына каршы - 10 км, ә агым
уңаена 9 км араны үтә һәм моның өчен агым уңаена -
45 мин, ә агымга каршы 1 сәг 15 мин вакыт сарыф итә.
Көймәнең үз тизлеген һәм елганың агым тизлеген табыгыз.
07.4. Ике санның суммасы - 12 гә, ә тапкырчыгышы 35 кә тигез.
Бу саннарны табыгыз.
07.6. Ике санның суммасы - 46 га, ә тапкырчыгышлары 1130 га
тигез. Бу саннарны табыгыз.
07.6. Ике натураль санның аермасы - 24 кә, ә аларның тапкыр¬
чыгышы 481 гә тигез. Бу саннарны табыгыз.
07.7. Ике натураль санның аермасы 16 га тигез, ә тапкыр¬
чыгышлары аларның квадратлары суммасыннан 553 кә
кимрәк. Бу саннарны табыгыз.
07.8. Ике натураль санның суммасы 50 гә тигез, ә тапкыр¬
чыгышлары аларның квадратлары аермасыннан 11 гә
кимрәк. Бу саннарны табыгыз.
07.9. Кайсы икеурынлы сан үзенен цифрлары суммасыннан
4 тапкыр һәм цифрлары тапкырчыгышыннан 3 тапкыр
зуррак?
07.10. Икеурынлы санның цифрлары суммасы 12 гә тигез. Әгәр
бу санга 36 ны кушсак, шул ук цифрлар кире тәртиптә
язылган сан табыла. Бирелгән санны табыгыз.
44
O7.ll. Гади вакланманың санаучысына һәм ваклаучысына 1 әр не
кушкач, вакланма -гә тигез була, ә бирелгән вакланманың
санаучысы һәм ваклаучысы квадратларын кушкач, 146
килеп чыга. Бу вакланманы табыгыз.
07.12. Турыпочмакның диагонале 10 см га, ә периметры 28 см га
тигез. Турыпочмакның якларын табыгыз.
07.13. Турыпочмаклы өчпочмакның катетлары суммасы 49 см
га, ә гипотенузасы 41 см га тигез. Өчпочмакның мәйданын
табыгыз.
07.14. Турыпочмаклы өчпочмакның катетлары аермасы 23 дм га,
ә гипотенузасы 37 дм га тигез. Өчпочмакның периметрын
табыгыз.
07.15. Турыпочмаклы өчпочмакның мәйданы 210 см2 га, ги¬
потенузасы 37 см га тигез. Бу өчпочмакның периметрын
табыгыз.
07.16. Турист А шәһәреннән В шәһәренә елга буйлап 7 сәг эчендә
көймәдә барып кайта. Әгәр туристның агымга каршы 2 км
йөзгән вакыты агым уңаена 5 км йөзгән вакытка тигез
һәм шәһәрләр арасы 20 км булса, елганың агым тизлеген
табыгыз.
07.17. Аралары 24 км булган ике бистә арасын беренче җәяүле
икенчесеннән 2 сәг кә тизрәк уза. Әгәр беренче җәяүленең
тизлеге 2 км/сәг кә, ә икенчесенең тизлеге 1 км/саг кә артса
да, беренчесе барлык юлын икенчесеннән 2 сәг кә тизрәк
уза. Җәяүлеләрнең баштагы тизлекләрен табыгыз.
07.18. Тамаша залларының берсендә 350 урын, ә икенчесендә 480
урын бар. Икенче залда беренчесеннән 5 рәткә кимрәк, тик
һәр рәткә беренче залдагыдан 10 ар урын артыграк куелган,
һәр залның бер рәтендә ничә урын куелган?
07.19. Кинотеатрның кызыл залында 320 урын, а зәңгәрендә
360 урын бар. Кызыл залда 2 рәткә артыграк, әмма аның
һәр рәтендә зәңгәр залдагыдан 4 әр урын кимрәк куелган.
Кинотеатрның һәр залында ничә рәт бар?
45
07.20. Көллияттә математикадан язма имтихан үткәрү өчен 400
бит кәгазь әзерләнә. Тик алдагы фәннәрдән имтиханнарда 20
кеше төшеп калганлыктан, һәр абитуриентка уйланганнан 1
биткә артыграк кәгазь бирәләр. Математикадан имтиханга
ничә кеше кертелгән?
07.21. Бергә эшләп, ике комбайн бер эшне 6 сәг тә тәмамлый
ала. Аерым гына эшләгәндә, беренче комбайн бу эшне
икенчесеннән 5 сәг кә адданрак бетерә. Беренче комбайн
бу эшне үзе генә ничә сәгатьтә эшләп бетерә ала?
07.22. Бергә эшләп, ике бригада эшне 8 сәг тә тәмамлый ала.
Аерым эшләгәндә, беренче бригада бу эшне икенчесеннән
12 сәг кә тизрәк эшләп бетерә. Беренче бригада бу эшне үзе
генә нинди вакыт эчендә тәмамлый ала?
07.23. Бер үк вакыт эшләп, ике экскаватор ниндидер эшне 3 сәг
45 мин та тәмамлый ала. Аерым эшләгәндә, бер экскаватор
бу эшне икенчесеннән 4 сәг кә тизрәк эшләп бетерә. Шушы
ук эшне һәр экскаватор үзе генә ничә сәгатьтә башкара ала?
07.24. Ике кран, бергә эшләп, чанны 1 сәг эчендә тутыралар.
Беренче кран, аерым гына эшләгәндә, икенче кранга
караганда ике тапкыр күбрәк вакыт сарыф итә. Чанны һәр
кран аерым гына нинди вакытта тутырып бетерә?
07.25. Күләме 54 мэ булган аквариум ике кран ярдәмендә
тутырыла. Бу эштә беренче кран 3 сәг, ә икенчесе 2 сәг
эшли. Әгәр беренче кран 1 м3 ны икенчесеннән 1 мин ка
акрынрак тутырса, аның эшләү тизлеге нинди?
07.26. Бергә эшләп, ике тракторчы басуны 48 сәг та сөреп бетерә.
Әгәр басуның яртысын - берсе, ә икенче яртысын икенчесе
сөрсә, бу эш 100 сәг тә тәмамланыр иде. Аерым эшләп, бу
басуны һәр тракторчы ничә сәгатьтә сөреп бетерә ала?
07.27. Бергә эшләп, ике эшче бер эшне 2 саг та тәмамлый ала.
Әгәр эшнең 40% ын - беренче эшче, ә калганын икенчесе
эшләп бетерсә, моның өчен 4 car вакыт кирәк булыр иде.
Әгәр эшчеләрнең хезмәт җитештерүчәнлекләре төрле булса,
һәр эшче бу эшне үзе генә ничә сәгатьтә эшләп бетерер?
46
7.28. Икеурынлы санның цифрларының квадратлары суммасы
13 кә тигез. Бу саннан 9 ны алгач, шул ук цифрларны кире
тәртиптә язган сан килеп чыга. Баштагы санны табыгыз.
7.29. Уйланылган икеурынлы санны аның берәмлекләре цифры¬
на тапкырлагач - 376 саны, ә шул саннан шул цифрларны
кире тәртиптә куеп язган икеурынлы санны алгач, 45 килеп
чыга. Нинди сан уйланылган?
7.30. Тапкырчыгышлары 720 гә тигез булган ике натураль сан
уйланылган. Беренче санны икенчесенә бүлгәндә, өлештә
3 һәм калдыкта да 3 була. Нинди саннар уйланган?
7.31. Аермалары 7 гә тигез булган ике натураль санны тапкырла¬
ганда хата җибәрелә: тапкырчыгыштагы йөзләр цифры 4 кә
артыграк килеп чыга. Табылган (хаталы) тапкырчыгышны
кечерәк тапкырлаучыга бүлгәндә, өлештә 52 һәм калдыкта
26 табыла. Башта нинди саннар алынган?
7.32. Икеурынлы санны аның цифрлары суммасына бүлгәннән
соң, өлештә 7 һәм калдыкта 6 килеп чыга. Шул ук санны
аның цифрлары тапкырчыгышына бүлгәч, өлештә - 3, ә
калдыкта баштагы санның цифрлары суммасына тигез
булган сан табыла. Баштагы санны табыгыз.
7.33. Бер колеялы 10 км озынлыктагы тимер юл участогында
рельслар (ике полоса) салырга кирәк. Рельслар 25 м Һәм
12,5 м озынлыкта. Әгәр 25 м лы барлык рельсларны
салсалар, китерелгән 12,5 м лы рельсларның яртысы кирәк
булачак. Әгәр 12,5 м лы барлык рельсларны салсалар,
2
25 м лылар санының - сен өстәп салырга туры килә.
Рельсларның гомуми саны нинди булган?
7.34. Велосипедчы һәр минут саен мотоциклчыдан 600 м га
кимрәк юл үтә һәм шунлыктан 120 км озынлыктагы
юлга ул аңа караганда 3 сәг кә артыграк вакыт сарыф
итә. Велосипедчының һәм мотоциклчының тизлекләрен
табыгыз.
7.35. А һәм В пунктларыннан бер-берсенә каршы ике төрле
модельдәге автомобильләр юлга чыга, ә беренче модель А
дан 15 с ка иртәрәк кузгала. 60 м га тигез булган АВ арасын
47
үтеп, аларның һәрберсе кире борыла һәм старт урынына
кире кайта. Әгәр алар арасындагы беренче очрашу беренче
модель кузгалып киткәннән башлап - 21 с, ә икенчесе 45 с
узганнан соң булса, һәр автомобильнең тизлеген табыгыз.
7.36. А пунктыннан бер үк юнәлештә ике чаңгычы чыга,
икенче чаңгычы беренчесеннән 6 мин соңрак старт ала
һәм аны старттан 3 км үткәч узып китә. 5 км билгесенә
җиткәч, икенче чаңгычы кире борыла һәм старттан 4,6 км
ераклыкта беренчесе белән очраша. Чаңгычыларның тиз¬
лекләрен табыгыз.
•7.37. А пунктыңнан 70 км ераклыктагы В пунктына таба вело¬
сипедчы, ә күпмедер вакыттан соң 50 км/сәг тизлек белән
мотоциклчы юлга чыга. Мотоциклчы велосипедчыны
А пунктыннан 20 км ераклыкта куып җитә. В га килеп
җитеп 36 мин үткәч, мотоциклчы кире борыла һәм
велосипедчыны, ул юлга чыгып 3 car 20 мин узганнан соң,
кабат очрата. Велосипедчының тизлеген табыгыз.
•7.38. А һәм В пунктларыннан бер-берсенә каршы ике жәяүле юлга
чыга, һәрберсе үзенең даими тизлеге белән тукталышларсыз
тиешле пунктларына барып җитәләр Һәм шунда ук кире
борылалар. Алар икенче тапкыр очрашканда, беренчесенең
икенчесене караганда 4 км га артыграк юл үткәне
ачыклана. Икенче очрашудан соң беренчесе - А га бер
сәгать узгач, икенчесе В га 2,5 сәг узгач килеп җитәләр.
Җәяүлеләрнең тизлекләрен табыгыз.
•7.39. Ике поезд А һәм В пунктларыннан кара-каршы җибәрелә.
Әгәр А дан чыгучы поезд 2 сәг кә алданрак кузгалса, алар
юлның уртасында очрашачаклар. Әгәр икесе берьюлы
чыксалар, 3 сәг 45 мин тан соң очрашачаклар. Әгәр бер
поездның тизлеге икенчесенең тизлегеннән 40 км/сәг кә
зуррак булса, бу поездларның тизлеген һәм А белән В
арасындагы ераклыкны табыгыз.
•7.40. Озынлыгы 60 метр булган әйләнә буйлап бер үк юнәлештә
ике нокта хәрәкәт итә. Аларның берсе тулы әйләнешне
48
икенчесеннән 5 с ка тизрәк ясый. Шул ук вакытта Һәр 1 мин
саен нокталарның тәңгәл килүе күзәтелә. Нокталарның
хәрәкәт тизлеген табыгыз.
♦7.41. Турист елга буйлап көймәдә 90 км һәм җәяү 10 км юл үтә.
Җәяүле юлга елга юлына караганда 4 сәг кимрәк вакыт
кирәк була. Әгәр турист җәяүләп елга буйлап йөзгән
кадәр вакытта барса, ә елга буйлап җәяү барган вакытта
йөзсә, тиңдәшле ераклыклар тигез булыр иде. Ул нинди
вакыт буена җәяү барган һәм нинди вакыт буена елгада
йөзгән?
♦7.42.
А пристаненнан бер үк вакытта агым уңаена катер һәм сал
юлга чыга. Катер 96 км араны йөзеп кире борыла һәм А га
14 сәг тән соң әйләнеп кайта. Катерның агым уңаена барган
тизлеге агымга каршы тизлегеннән 1 - тапкыр артыграк.
Ул кире кайтканда салны А дан нинди ераклыкта очраткан?
7.43. Ике машинистка кулъязма текстны 6 сәг тә җыеп бетерә.
Әгәр башта беренче машинистка кулъязманың яртысын,
ә аннан соң икенчесе калганын эшләсә, бу эшкә 12,5 сәг
кирәк булыр иде. һәр машинистка бу эшне үзе генә нинди
вакыт эчендә эшләп бетерә ала?
7.44. Слесарьлар бригадасы ниндидер эшне өйрәнчекләр брига¬
дасына караганда 15 сәг кә тизрәк эшләп бетерә ала. Әгәр
өйрәнчекләр бригадасы эшнең бер өлешен 18 сәг эшлән,
аннан соң эшне слесарьлар бригадасы 6 сәг дәвам итсә,
барлык эшнең 60 % ы гына үтәлер иде. Өйрәнчекләр
бригадасы үзе генә бу эшне нинди вакыт эчендә эшләп
бетерә ала?
7.45. Оста үзенең өйрәнчеге белән бергә детальне 2 сәг 24 мин
та эшкәртә. Әгәр оста үзе генә 2 сәг, ә өйрәнчеге 1 сәг
2 - . .
эшләсәләр, эшнең - е генә үтәлер иде. Оста һәм өйрәнчек
бу эшне аерым-аерым нинди вакытта эшләп бетерә ала?
49
7.46. Ике бригада бергә эшләп, 18 көндә шоссе юлының бер
участогын төзәтеп бетерергә тиешләр. Чынлыкта исә башта
беренче бригада эшли башлый, ә эшне икенчесе төгәлли.
Икенче бригада беренчесеннән ике танкыр кызурак эшли.
Нәтиҗәдә юл төзәтү 40 көнгә сузыла, ә беренче бригада
үзенең эш вакытында эшнең - сен эшләп бетерә. Һәр
бригада бу участокны үзе генә нинди вакытта төзәтеп
бетерер иде?
•7.47. Бассейнга төрле киселешле ике торба тоташтырылган.
Берсе суны бертөрле тигез тизлек белән тутыра, ә икенчесе
чыгара, беренчесе аша бассейн кире агызганга караганда
2 сәг кә озаграк тутырыла. Бассейн - е кадәр тутырылган
мизгелдә ике торбаны да эшләтә башлыйлар, һәм 8 сәг тән
соң бассейн бушап кала. Аерым эшләгәндә, беренче торба
бассейнны ничә сәгатьтә тутыра, ә икенчесе ничә сәгатьтә
бушата ала?
•7.48. Туры почмакның ике ягы буйлап түбәсенә таба ике җисем
хәрәкәт итә. Башлангыч мизгелдә А җисеме түбәдән - 60 м,
ә В җисеме 80 м ераклыкта булалар. 3 с тан соң А белән В
арасы - 70 м га, ә тагын 2 С тан соң 50 м га тигез була, һәр
җисемнең тизлеген табыгыз.
•7 .49. 2006 елның гыйнварында банкка күпмедер акча салына.
2006 елның ахырына кертем проценты 2000 сум тәшкил
итә. 2007 елның гыйнварында үз счетына 18 000 сум
өстәп, акча салучы банкка 2007 елның декабренда счетны
ябарга килә һәм 44000 сум акча ала. Башта ничә сум акча
салынган була һәм банк елына ничә процент өсти?
•7.50. Абыйсының акчасы энесенекена караганда ике тапкыр
күбрәк. Алар үз акчаларын төрле банкларга салалар,
ә энесе абыйсы салган банкка караганда елына 5 % ка
артыграк өстәлә торган банкны эзләп таба. Бер ел үткәч, үз
счетларыннан абыйсы — 4600 сум, ә энесе 2400 сум акча
ала. Әгәр туганнар башта ук үз банкларын алмашсалар,
аларның барысы ничә сум акчасы булыр иде?
S0
•7.51. Әгәр бер предприятиенең кереме үзгәрешсез калып,
икенчесенең кереме 4 тапкыр артса, бу ике предприятиенең
суммар кереме өч тапкыр арта. Икенчесенең кереме
үзгәрешсез калган очракта, суммар керемнәре 4 тапкыр
артсын өчен, беренчесенең керемен ничә тапкыр арттырырга
кирәк?
•7.52. Сәүдә фирмасы ниндидер товарның ике партиясен ала. Әгәр
барлык товарны 1 килограммын 80 сумнан сатсалар, сату¬
дан килгән акча беренче партияне алда әйтелгән бәядән,
ә икенче партияне аннан 25 % ка артыграк бәядән сатуга
караганда 15 % ка кимрәк булыр иде. Товарның беренче
партиясе бу ике партия товарның гомуми микъдарында
нинди өлешне (масса буенча) алып тора?
7.53. 40 % лы тоз эремәсен 10 % лысы белән катыштырып, тоз
концентрациясе 21,25 % булган эремә алалар. Моның өчен
ничәшәр грамм эремә алына?
•7.54. Тозның судагы ике төрле эремәсе бар, беренчесе 40 % лы,
икенчесе 60 % лы. Аларны Һәм тагын 5 Л суны кушып,
20 % лы эремә алалар. Әгәр 5 Л су урынына 5 л 80 % лы
тоз эремәсе алынса, 70 % лы эремә табылыр иде. 40 % лы
Һәм 60 % лы эремәләр нинди микъдарда алынган?
•7.55. Өч эретмә бар. Беренчесенең массасы 5 кг, икеичесенеке
3 кг, һәм аларның һәрберсендә 30 % бакыр бар. Әгәр берен¬
че эретмәне өченчесе белән эретсәләр, 56 % бакыры булган
эретмә табыла. Әгәр икенче эретмәне өченчесе белән эретсәләр,
бакыры 60 % булган эретмә килеп чыга. Өч эретмәне бергә
эреткәндә, бакыр нинди процентны алып торыр?
Өй контроль аш« № 2
1 нче вариант
1. (3; 4) саннар пары бу тигезләмәнең тамыры буламы:
Xs + (у - 8)2 = 25?
2. Тигезләмәнең графигын төзегез:
(х - 2)2 + (у + I)2 = 9.
51
3. График юл белән чишегез:
I ~ у ~ 3»
а) тигезләмәләр системасын j
lx* у = 3:
fx2 - у < 3,
б) тигезсезлекләр системасын ■
[х + у < 3.
4. Тигезләмәләр системасын алыштырып кую юлы белән чишегез:
х2 - Зу2 = 4,
X + у = 6.
5. Тигезләмәләр системасын алгебраик кушу юлы белән чишегез:
[х2 -2у2 = -4,
|х2 + 2у2 = 12.
6. Тигезләмәләр системасын үзгәрешлеләрне алыштыру юлы
белән чишегез:
|(ху)г + 3</ = 45,
1- 2ху = 3.
7. Тигезләмәләр системасын чишегез:
|(х + 2 у)2 -2(х-2у) = 11,
|5(х + 2у) + х-2у = -18.
8. Тигезләмәләр системасын график юл белән чишегез:
(х + 1)а +(у-2}3 = 9,
|х + 1|-у = 1.
9. Ике таш салучы билгеле бер эшне 12 сәг тә үтәгәннәр. Әгәр
беренче ташчы бу эшнең яртысын үтәп, аннан соң калганын
икенчесе эшләп бетерсә, бу эш эчен 25 сәг кирәк булачак, һәр
ташчы бу эшне үзе генә нинди вакыт эчендә эшләп бетерә алыр
иде?
10. Математик моделе түбәндәге тигезләмәләр системасы булган
мәсьәлә уйлап табыгыз:
5х + Зу = 380,
380 380 м 1
~— — = о —.
х у 6
52
2 мче вариант
1. (-2; 3) саннар пары бу тигезләмәнең тамыры буламы:
(х - I)2 + уг = 18?
2. Тигезләмәнең графигын төзегез:
(х + I)2 + (у - 2)2 = 16.
3. График юл белән чишегез:
а) тигезләмәләр системасын
[х2 + у = 3,
| v ■ + 3 0
б) тигезсезлекләр системасын
X2 + у < 3,
у - х + 3 > 0.
4. Тигезләмәләр системасын алыштырып кую юлы белән чишегез:
|2х2 - у2 = 14,
|3х + 2у = 5.
5. Тигезләмәләр системасын алгебраик кушу юлы белән чишегез:
13х2 + у2 = 7,
(х2 + 2у2 = 9.
6. Тигезләмәләр системасын үзгәрешлеләрне алыштыру юлы
белән чишегез:
(ху>2 - Зху = 18.
4х + у = 1.
7. Тигезләмәләр системасын чишегез:
(х + у? -З(х-Зу) = 22,
4(х + у) + х - Зу = 21.
8. Тигезләмәләр системасын график юл белән чишегез:
(х-2)2 +(у + 1)г = 25,
- 2| - у = 6.
53
9. Ике слесарь билгеле бер эшне үтәгәннәр. 45 мин бергә
эшләгәннән соң, беренче слесарь башка эшкә күчерелгән,
ә икенчесе калган эшне 2 сәг 15 мив та эшләп бетергән.
Әгәр барлык эшне аерым гына үтәү өчен икенче эшчегә
беренчесеннән 1 сәг кә артыграк вакыт кирәк булса, Һәркайсы
аны нинди вакыт эчендә эшләп бетерер иде?
10. Математик моделе түбәндәге тигезләмәләр системасы булган
мәсьәлә уйлап табыгыз:
6х + 5р » 780,
600 600 _ О1
х у 2
БҮЛЕК
САНЛЫ
ФУНКЦИЯЛӘР
§8. САНЛЫ ФУНКЦИЯНЕҢ БИЛГЕЛӘМӘСЕ.
ФУНКЦИЯНЕҢ БИЛГӘЛӘНҮ ӨЛКӘСЕ,
КЫЙММӘТЛӘРЕ ӨЛКӘСЕ
Функциянең билгеләнү елкәсен табыгыз*:
8.1. а) у = х2; б) У =
/— 1 1
7х; в) у = г) у = -<=
х Vx
8.2. а)у = х2 + 8;
в)у = х’-1;
4х - 1
б) У ж »
8х + 3
0 У ~ 7 -
2х
8.3. а) у = ;
х +1
. Зх -4
в> у ’
х + 4
_ бх + 3
У 2ха + 0,5’
О
Г, !/ * Чг2 + 2 Ч-
ЗХ + 2,3
8.4. а) у - * „;
х - 7
«»■ 4..Г
v 10
в> у ~ 8 ;
О + X
6
Г>" " 8,5jk
8.5. .>
б) Г 1 Ь , ■
' in . If
, 1 - 5х
(3-*/
2х + 1
8.6. а) У ’ t :
х(х + 1)
м 3 + х2
10х2
7 х(7 х)
8 - Зх
г) У * , •
х'(6 + х)
* Мондый биремнәрдә функциянең табигый билгеләнү елкәсен табу турында
сүа бара.
55
Функциянең билгеләнү өлкәсен табыгыз:
в'б) 7' “* * <«-1Мх.1>’
6) , . ;
(х + бОХ2х + 7)
в) У =
г) У =
08.8.
а) У =
х2 -4х -3,
? - 5х + 4
- . х + 3
°' ' 2х2 -Эх+ 7
г) У
х
(х + 12Ибх-3>*
19х - 12
—
(5х - 4ХХ - 13)
х - 1
х2 + 2х + з'
2х* - 5х + 2
" . •
Зх’ - х + 10
о8.9. а) у = -Jx -3;
б> у = 7П “х;
08.10. а) у = /хг + 13;
б) У = Vх2 + х* 5
o8.ll. а) У = jx* -9;
б) У = 77-х1;
в) у = Vх + 4;
г) у = 72 - х.
в) у = 7х2 + 24;
г) у » 72х® + X2.
в) у = 7х2 - 144;
г) у = 720-х2.
08.12.
в) у = 7х2 -5х;
г) У - ft - Р.
08.13. а) у = 7х2 - 6х + 5;
б) у = 7~х2 + Зх + 4;
в) У = 7х2 - бх + 6;
г) у = 7*2 + х + х2.
08.14
а) у = U=;
^х-2
б) у = х
у/хг - бх + 8
в) У =
0 У =
5 t
үх * 3 ’
х1
Тх2 - 8х + 15
56
Функциянең билгеләнү елкәсен табыгыз:
08.15. а) у • Зх7(Зх-5) *;
б) у = -2x7(х2 -~Й* - 12) 1;
в) у = -7(20 - 5х) 1;
г> у = —7(-х2 +7х-12>‘.
4
08.16. а) у — —^=-
-jx + 2
в) У •
^я ♦ I
Jju'
б)У «
74х + 6,
7зх + 4
75-Зх
г) У =
у 4ж » 8
08.17. а) у =
j а* ♦ 2
/Зж ♦«
б) У - ,1-—
V 2х ♦ I
в) У =
2х + 1
\I , ■ з ;
. ■ 5 - Зх
г'уч—а
Билгеләнү елкәсе күрсәтелгән функцияне уйлап табыгыз:
08.18. а)(-со;+оо); б)(0; +»); в) (-=«; 0); г) (-10; +»).
08.19. а)(1;3); б)[-1;б]; в) |0; 3]; г)[-5;-2].
08.20. Түбәндәге шарт үтәлә торган у ■ f(x) функциясенә мисал
китерегез:
а) D(f) = E(f);
б) D(f) с E(f);
■ »£{/) С
г) D(/) С £(Л и Е(/) <Z D(f).
08.21. Түбәндәге шарт үтәлә торган нинди дә булса у = f(x)
функциясенең графигын сызыгыз:
а) D(ft = [-2;4],
б) D(f) = (-5; 3),
в) £>(П = (О; 7),
г) £ЧЛ = [-4; 0],
Е(Л = (-3;3);
Е(П«[2; 6);
£(Л = [-1;б];
£(/)-[!; 4).
08.22. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә
«х) =
2 - . -
—, х < -1 булганда;
х
х - 1, -1 < х < 3 булганда,
57
а) ZXfl ны күрсәтегез;
б) /(-1), /(0), /(3), /<7) не исәпләгез;
в) функциянең графигын тезегез;
г) E(f) ны табыгыз.
о8.23. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә
—х < 0 булганда;
х
-Зх® +6х-4, 0Сх<2 булганда.
а) D(f) ны күрсәтегез;
б) ft-3), ft-1), /(0), ft 2), ft5) не исәпләгез;
в) функциянең графигын төзегез;
г) Е(f) ны табыгыз.
08.24. у = ftx) функциясенең графигын төзегез дигән бирем бу
функция өчен төгәл куелганмы:
а> - Jx* -2 < х < 1 булганда;
|х + 1, 0<х<3 булганда;
8.26.
6>Г(х) =
в)Г(Х) -
Г)
/(х) =
Ух, 0 < х < 4 булганда;
х®, х > 4 булганда;
х®, -2 С х «S 0 булганда;
х + 1, 1 < х < 3 булганда;
/х, 0 < х < 4 булганда;
г»
—, х > 4 булганда?
Функциянең билгеләнү өлкәсен табыгыз:
.. u ж ★ 1 з
’ (хг -9МХ» +х-2>* Г| У " (х + 5Мх’- 5х -6)'
а| V =
V8x - 2
х‘ - х + 2’
В) у
77+2
3 - 2х + хг ’
б) У =
\хг - Зх - 4,
16 - х« 1
г) У =
1 - 4ха '
58
Функциянең билгеләнү өлкәсен табыгыз;
8.27.
а) У =
б) У =
3-2х ,
75х + 2’
4х + 5 .
^2-4х’
в) У =
г) У =
4 - Зх
—
V* + 3
1 + х
I
7 4 - х
8.28.
а) У = -Jr ’(* + 4);
в) У =
б) у = V(3x + 2)дГ*;
г)у = у1~х(2х - 3) *.
8.28.
•> У •
б) У =
. 72х + 6
в) у = . ;
Vie - х2
. d2x2 -50
г) У - ~ - ■
2х — 3
8.30.
П) У
, 7х2 - 36
«) у = —=;
7хг - х - 2
7х2 - 6х 4 5
^25 - х2
7-г2 -4
•jH - г - х*
7 х2 + 7х-8
Г) У = -
?9 - х2
8.31.
а) У
= 77х 1 .
х2 - х -2*
в) У “ 2 - .
х - 5х + 4
Б)у
= /Зх + 7
V х + 2
г)
| х - 2
У*\'5-2х‘
8.32.
а) У
в)
б) У -
'Зх + 1
7х - 4*
г)
/2х + 1
У = г
N х - 3
,/Зх + 1
У ~ • ■
77х - 4
•8.33.
Билгеләнү өлкәсе түбәндә күрсәтелгән функцияне аналитик
юл белән (формуласын) бирегез (вариант уйлан табыгыз):
а) [1; 5] u [7; 9];
б) [2; 3)о [6; 10];
в) (-2; -1)и(1; 2);
г) (-5;-2)и[1;4].
59
8.34.
y-f(x) функциясе бирелгән, биредә
х, х < 0 булганда;
f(x) » х2, 0 < х < 2 булганда;
4,2 < х < 4 булганда,
а) D(f) ны күрсәтегез;
б) Д-2), ДО). /(2), /(4), /(8) не исәпләгез;
в) функциянең графигын төзегез;
г) Е( f) ны табыгыз.
8.35. у “ f(x) функциясе бирелгән, биредә
/(х) =
2хг - 4х + 1, ж < 2 булганда;
-3(х - З)2 +1, 2 < х < 3 булганда.
а) 1X0 ны күрсәтегез;
б) /(0), /(2), /(3), Д4), /(5) не исәпләгез;
в) функциянең графигын төзегез;
г) E(f) ны табыгыз.
•8.36. у - Дх) функциясе бирелгән, биредә
/(х) =
х ♦ 1,-3 < х < 0булганда;
хг - 4х + 1, 0 < х < 2 булганда;
2 о <
х > 2 булганда,
X
а) D( f) ны күрсәтегез;
б) Д-5), Д-2), ДО), Д2), Д4) не исәпләгез;
в) функциянең графигын төзегез;
г) E(f) ны табыгыз.
•8.37. у ■ Vх - 3 + 1/3 - X + х функциясенең графигын төзегез.
•8.38. у = (-1У • х, х € N функциясенең графигын төзегез.
§9. ФУНКЦИЯНЕ БИРҮ ЮЛЛАРЫ
Түбәндәге рәсемдә сурәтләнгән фигура ниндидер функция¬
нең график рәвештә бирелеше була аламы:
9.1. а) 13 нче рәсемдә; в) 15 иче рәсемдә;
б) 14 нче рәсемдә; г) 16 нчы рәсемдә?
60
9.2. а) 17 нче рәсемдә; в) 19 нчы рәсемдә;
б) 18 нче рәсемдә; г) 20 нче рәсемдә?
41
Түбәндәге рәсемдә сурәтләнгән фигура ниндидер функциянен
графигы була аламы? Әгәр булса, 19-32 нче рәсемнәрдә
турылар, параболалар (яки парабола тармаклары) һәм
гиперболалар сурәтләнгәнен исәпкә алып, бу функцияне
аналитик бирегез (берәр вариант уйлап табыгыз):
09.3. а) 21 нче рәсемдә; б) 22 нче рәсемдә;
в) 23 нче рәсемдә; г) 24 нче рәсемдә?
09.4. а) 25 нче рәсемдә; в) 27 нче рәсемдә;
б) 26 нчы рәсемдә; г) 28 нче рәсемдә?
09,5, а) 29 нчы рәсемдә; в) 31 нче рәсемдә;
б) 30 нчы рәсемдә; г) 32 нче рәсемдә?
62
63
64
09.6. Графигы а) 33 нче рәсемдә; б) 34 нче рәсемдә; в) 35 нче
рәсемдә; г) 36 нчы рәсемдә сурәтләнгән функцияне ана¬
литик бирегез (берәр вариант уйлап табыгыз),
09.7. Функция a=90f формуласы белән бирелгән, биредә з —
юл (км) һәм t — вакыт (сәг).
а) я(1), я(2,5), я(4) не табыгыз;
б) я=1800 км булганда, t ны табыгыз;
в) t =15 мин булганда, я ны табыгыз;
г) 8 = 450 м булганда, t ны (мин) табыгыз.
з
09.8. Функция t = — формуласы белән бирелгән, биредә з — юл
(км) һәм t — вакыт (сәг).
а) t(36), f(2,7), t( 144) не табыгыз;
б) t =4,5 сәг булганда, 8 ны табыгыз;
в) s=150 м булганда, t ны табыгыз;
г) t = 45 с булганда, 8 ны (м) табыгыз.
09.9. Тигезләмәне график юл белән чишегез:
а) -х2 + 4 = (х - 2)2;
б) х + 1 = (х - 1)’;
в) х2-4 = -(х + 2)2;
г) х2 - 3 = 7^-1*
45
9.10. Тигезләмәне график юл белән чишегез:
а) |х| = (х - I)8 - 1; в) |х| = -(х + 2)2 + 2;
б) 7х + 3 = -1 - х; г) -Jx -1 = 3 - х.
9.11. Функция з = 2г2 + 4t формуласы белән бирелгән, биредә з —
юл (км) һәм t — вакыт (сәг).
а) з(1), з(2,5), з(4) не табыгыз;
б) 8=240 км булганда, t ны табыгыз;
в) t =45 мин булганда, з ны табыгыз;
г) з = 645 м булганда, t ны (мин) табыгыз.
9.12. Функция V = - Sh формуласы белән бирелгән, биредә V —
пирамиданың күләме (м3), S — аның нигез мәйданы (м2),
Л — пирамиданың биеклеге (м).
а) һәр үзгәрешлене калган икесе аша күрсәтегез;
б) з = 2 м2, һ = 140 см булганда V ның кыйммәтен табыгыз;
в) V=45 дм3, Л = 0,4 м булганда S ның кыйммәтен табыгыз;
г) V = 5 м3, S = 2500 см2 булганда Л ның кыйммәтен табыгыз.
9.13. Графигы а) 37 нче рәсемдә; б) 38 нче рәсемдә; в) 39 нчы
рәсемдә; г) 40 нчы рәсемдә сурәтләнгән функцияне у = ах2 +
+Ьх + с формуласы белән бирегез.
66
9.14. у - f(x) функциясе барлык натураль саннар күплегендә
түбәндәге кагыйдә буенча бирелгән: һәрбер х санына шул
х саныннан квадрат тамырның бетен өлеше туры килә.
Табыгыз:
a)ftl); б)А8); в)/(15); г)/(22).
9.15. у « f(x) функциясе барлык бөтен саннар күплегендә түбән¬
дәге кагыйдә буенча бирелгән: һәрбер х санына шул х саны
квадратының берәмлекләр цифры туры килә. Табыгыз:
а)/(73); 6)/(—6); в) fl-З); г)/(12).
9.16. у = f(x) функциясе барлык бөтен саннар күплегендә
түбәндәге кагыйдә буенча бирелгән: һәрбер х санына шул
х саны квадратының берәмлекләр цифры туры килә. Бу
функциянең кыйммәтләре күплеген табыгыз:
•9.17. Графигы а) 41 нче рәсемдә; б) 42 нче рәсемдә сурәтләнгән
функцияне аналитик бирегез (берәр вариант уйлап та¬
быгыз).
•9.18. Функциянең графигын төзегез:
а) у - [JT], X € [0; 6]; б) у = [х]. х е (-6; 0).
•9.19.
Функциянең графигын төзегез:
б)у=[7ж1
67
у'
5
4
У
— fix)
3
2
И
/
-
4
Z —
1
О
1
J X
Р»с. 42
§10. ФУНКЦИЯЛӘРНЕҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ
Санлы тигезсезлекләр үзлекләрен кулланып, бирелгән
функциянең үсә баручы икәнен исбатлагыз:
10.1. а) у = 5х;
в)у = 2х- 3;
6)j/ = 2x +3;
г) У = т + 4-
10.2. а){/ = х’;
в)у = х*+ 1;
б)р = 2х»;
оЮ.З. ь)у = х*. х>0;
■>у= х>0;
а
б)у= —, х<0;
х
г) у = -Зх2, х С 0.
Санлы тигезсезлекләр үзлекләрен кулланып, бирелгән
функциянең кими баручы икәнен исбатлагыз:
10.4. a)v = -5jc:
в)у = -7х+ 1;
б) у = 5 - 2х;
г)У = 4-
о
68
10.5. a) j/" -х*; б)у = -3х*; в) «/=-—: г) {/ = -*’ + 7.
ә
010.6. а) у = х2, х < 0; в)и=—, х > 0;
х
б)у = -2х2, х > 0; г)у= —, х<0.
Бирелгән функциянең астан чикләнгән, өстән чикләнгән
чикләнгән булуын билгеләгез:
10.7. а) у = 7х + 2;
б) у « -Зх +1, х < 0;
в) у = 4х + 1, х > 0;
г) у = -2х + 5, 0<х< 5.
10.8. а)у = х3;
б) у = х > 0;
х
в) у= Jx;
г) у= |х|, -4<х<8.
О10.9. а) у = -х*+ 4х - 5, х > 0;
б) у = хг - 4х + 1, х < 0;
в) у = 2ха - 6х + 3, х > 0;
г) у = -Зх3 + 6х + 2, х<0.
010.10. Функциянең чикләнгән булуын исбатлагыз:
а)у = ^15-х2; б)у = -у16-х4.
Функциянең иң кечкенә һәм иң зур кыйммәтләрен табыгыз:
10.11. а) у = 2х + 3, х С [0; 1]; в)у = -4х + 1, х €(-<»; 0];
б)у = -2х’, х€ [-1; II; г)</= |х2, х€(0;2].
10.12. у = Jx:
а)х€[0;+°о); б)хе[0;3]; в)хб[1;4]; г)х€(0; 2] булганда.
10.13.
а) */ = у]х - 4;
б) ip3- /х;
в) у = + 2;
г) у = 4 - -/х.
Функциянең графигын төзегез һәм укыгыз:
010.14. У =
—, х < 0 булганда;
х
^/х, х > 0 булганда.
69
010.15. у _ I4 ~2х2’ “1 < « < 1 булганда;
|х +1, 1 < х < 3 булганда.
010.16. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә
fi. ( _ |2х* ♦ 4х + 2, -2 < х < 0 булганда;
]х +1, х > 0 булганда,
а) Д-З); ДО); Д5) не табыгыз;
б) у * Дх) функциясенең графигын төзегез;
в) функциянең үзлекләрен санап чыгыгыз.
010.17. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә
/*(х) =
х -1, -2 < х < 0 булганда;
2х* + 4х -1, х > 0 булганда,
а) табыгыз: Д-2); ДО); Д5);
б) у = Дх) функциясенең графигын төзегез;
в) функциянең үзлекләрен санап чыгыгыз.
Функциянең үсә баручы икәнен исбатлагыз:
10.18. а)р = х*4-3х;
в) у = 2х* 4- х;
6) у = х* 4- Зх, х > 0;
г) у = 2х* 4- х, х > 0.
S
•10.19. а)у = х>-8;
х + 3
«х 3 - 2х 4
б)у = , х< 1;
1 - X
. * + 3 ,
в) у= , х > 1;
1 - х
* б ~ 4х
г) р = х < 2.
10.20. Функциянең кими баручы икәнен исбатлагыз:
а) у = -х3 - 2х; в) у = х4 - 5х, х < 0;
б) р-хв-0,5х, х < 0; г)у--3х‘-х.
Функциянең иң кечкенә һәм иң зур кыйммәтләрен табыгыз:
10.21. а)у = х*4-4х-3;
6) р =-4х* - 12х 4- 1;
10.22. а)р = |х| + 3, х €(-5; 1];
б>р = -|4х| +1, х€ (-6; 2];
в) у = Эх* 4- 6х - 5;
г) р = -х*4-8х-12.
в) р = -|2х|-1, х€(-1; 1);
г) р = 1*1 + 3, х€[-5; 1).
10.23. Бирелгән функцияне у = Дх + I) 4- т рәвешенә китерегез,
аның үзлекләрен санал чыгыгыз һәм графигын төзегез:
а) У =
X + 3
х - 1
х + 4.
х + 2 ’
В) У
70
• 10.24.
б) у = ттг: г> у = Т—1
Бирелгән функцияне у = f{x + I) + т рәвешенә китерегез,
аның үзлекләрен санап чыгыгыз һәм графигын төзегез:
х > 4
a)j/ =
„ 6 - Зх
м. .
«4 2 - Зх
б)у = — ,
v 2 + х
• 10.25. Функцияне чикләнгәнлеккә тикшерегез:
а) у =
у!х2 - 6х + 8;
в) У =
- х2 - 2х;
б) У =
г) у =
-1
4хг - 6х + 8
V3 - х’ - 2х
Функциянең графигын төзегез һәм укыгыз:
10.26.
10.27. у ■
2, -3 < х < 1 булганда;
у[х, 1 < х < 4 булганда;
(х - 5)2 + 1, 4 < х < 6 булганда.
—, х < 0 булганда;
-х2 + 2х + 2,0<х<2 булганда;
х, 2 < х<4булганда.
• 10.28. у = f(x) функциясенең монотонлык аралыкларын табып,
/(а) һәм f(b) ны чагыштырыгыз, биредә:
а) /(х) = 3,7ха - 7,4х - 9, а = 2,9, b = 3,1;
б) ftx) =-4,1х2 - 16,4х + 3, а =-1,8, һ =-1,3;
в) /(х) = 1,9х2 + 5,7х + 4, а - -5,2, b = -2,2;
г) /(х) = -3,3х2 + 3,3х, а - 0,55, b = 0,53.
§11. ҖӨП ҺӘМ ТАК ФУНКЦИЯЛӘР
Бирелгән күплек симметрик буламы:
11.1. а) [—3; 3]; б) (-<*>; +°°); в)[-4; 1]; г)(0; +°о)?
11.2. а) [-6; 2); б)(-°°;4); в)(-12;12]; г) (-<*>; 0)?
011.3. Функция җөп икәнен исбатлагыз:
а) у = Зх2 + х4; b)i/ = 2x8-x’;
б) у = 4х® - х2; г) у = 5х2 + х10.
71
011.4. Функция так икәнен исбатлагыз:
а)у * х’(2х-х3); в) у = х(5 -х2);
х* +1 ч Зх
011.5. у = х2 + х функциясенең җөп тә, так та түгел икәнен исбатлагыз.
Функцияне җөплеккә тикшерегез:
11.6. а) у = х3; 6)j/ = x’; b)j/ = x“; г)р = ха.
011.7. a)j/ = |x|, х€[-1;1]; в)у = IXI, хё[-2;2);
б) у = х% х € [-3; 3); г) у = X1, х € [-4; 4].
Рас. 43
Рас. 44
Рас. 45
Рас. 46
72
011.8. Функцияне җөплеккә тикшерегез:
а) у = 2х3, х € [-2; 2); в) у = -х2, х € +°°);
б) у = -х2, х € [-1; 0]; г) у = 2х3, х 6 [-3; 3).
Графигы түбәндәге рәсемнәрдә сурәтләнгән функцияне
җөплеккә тикшерегез:
11.9. а) 43 нче рәсемдә; в) 45 нче рәсемдә;
б) 44 нче рәсемдә; г) 46 нчы рәсемдә.
11.10. а) 47 нче рәсемдә; в) 49 нчы рәсемдә;
б) 48 нче рәсемдә; г) 50 нче рәсемдә.
73
11Л1. Рәсемдә у = /(х) функциясе графигының тармагы төзелгән.
Түбәндәгеләр билгеле булса, бу функциянең графигын
тулысымча төзегез:
а) у = /(х) — җөп функция (51 нче рәсемдә);
б) у = fix) — так функция (52 нче рәсемдә);
в) у = fix) — так функция (53 нче рәсемдә);
г) у = fix) — җөп функция (54 нче рәсемдә).
011.12. а) у = Дх)функциясенеңҗөпһәмх>Обулгяндаүсәбаручы
икәне билгеле. Функциянең х < 0 булганда монотонлыгы
характерын билгеләгез.
б) у = fix) функциясенең җөп һәм х > Обул ганда кими баручы
икәне билгеле. Функциянең х < 0 булганда монотонлыгы
характерын билгеләгез.
74
в) у = f(x) функциясенең так һәм х > 0 булганда үсә баручы
икәне билгеле. Функциянең х < 0 булганда монотонлыгы
характерын билгеләгез.
г) у = f(x) функциясенең так һәм х > 0 булганда кими бару¬
чы икәне билгеле. Функциянең х < О булганда монотонлыгы
характерын билгеләгез.
011.13. у - f(x) функциясенең җөп һәм х > 0 булганда өстән
чикләнгән икәнлеге билгеле. Функцияне х < 0 булганда:
а) өстән чикләнгән; б) астан чикләнгән дип әйтеп буламы?
011.14. у = f(x) функциясенең так һәм х > 0 булганда астан
чикләнгән икәнлеге билгеле. Функцияне х < 0 булганда:
а) өстән чикләнгән; б) астан чикләнгән дип әйтеп буламы?
011.15. у = f(x) функциясенең так һәм х > 0 булганда өстән
чикләнгән икәнлеге билгеле. Функцияне х < 0 булганда:
а) өстән чикләнгән; б) астан чикләнгән дип әйтеп буламы?
011.16. у = f(x) функциясенең җөп һәм х > 0 булганда астан
чикләнгән икәнлеге билгеле. Функцияне х < 0 булганда:
а) өстән чикләнгән; б) астан чикләнгән дип әйтеа буламы?
у = f(x) функциясенең графигын төзегез һәм аны җөплеккә
тикшерегез:
011.17. =
011.18. =
3 + х, х < 0 булганда;
3 - х, х > 0 булганда.
12 + х, х < 0 булганда;
-2 - х,х > 0 булганда.
011.19. -
ха,х < 0 булганда;
-X® , X > 0 булганда.
11.20. Функцияне җөплеккә тикшерегез:
а)у = Vх + *5
в)у= Vх - 5;
б)У =
х - 2 .
х2 -1’
г)У =
х + 2
х2 - 1б’
75
11.21. Функцияне җеплеккә тикшерегез:
а) у = 4х - 2х* + 6x4 в) у = Jx;
— х -2 ъ. Xs+ 8
б) у=р—_
11.22. у = f(x) функциясен, биредә /(х) = 4х* - х* + 2х* - х + 5,
җеп һәм так функцияләр суммасы рәвешендә күрсәтегез.
Функциянең графигын төзегез һәм укыгыз:
11.23. у =
2х + 4, -2 < х < -1 булганда:
2хг, -1 < х < 1 булганда;
-2х + 4, 1 < х < 2 булганда.
11.24. у =
1, -2 < X < -1 булганда;
2х2 - 1, -1 < х < 1 булганда;
1,1 < х < 2 булганда.
11.25. У =
2, х < -1 булганда;
-2х’ - 1, -1 < х С 1 булганда;
-2. х > 1 булганда.
11.26. у = fix) һәм у = g(x) функцияләре барлык реаль саннар
күплегендә билгеләнә. Биредә у = һ(х) функциясе җөп яки
так буламы:
а) й(х) = fix) • gfix), у = fix) — җөп функция, у = g(x) — так
функция;
б) Л(х) = fix) - g(x), у ~ fix) һәм у = g(x) — җөп функцияләр;
в) Л(х) = fix) + g(x), у = flx) һәм у = g(x) — так функцияләр;
г) Л(х) = fix)-(fix), у - fix) һәм у = gfx) — так функцияләр?
11.27. у = f(х ) функциясе бирелгән, биредә
/<х> =
3 + хг, х > 0 булганда;
Л(х), х < 0 булганда.
һ(х) ны y = f(x) функциясе җөп булырлык итеп бирегез.
11.28. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә
fix}
4 + Зх*, х > 0 булганда;
Л(х>, х < 0 булганда.
һ(х) ны у = f(x) функциясе так булырлык итеп бирегез.
76
11.29. y = f(x) функциясе бирелгән, биредә
,, 3 - 2х2, х > 0 булганда;
... „ -
һ(х), х < 0 булганда.
һ(х) ны у = f(x) функциясе:
а) җөп; б) так булырлык итеп бирегез.
11.30. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә
Их) =
11 + х2. х < 0 булганда;
|й(х), х > 0 булганда.
Әгәр мөмкин булса, һ(х)ныу = f(х) функциясе:
а) җөп; б) так булырлык итеп бирегез.
Функцияне җөплеккә тикшерегез һәм аныц графигын
төзегез:
• 11.31. а) у = х2 + 2 |х| - 1;
б) у = А;
И
• 11.32. а)р = -х|х|;
2х3
б) у = тп-;
в) у = -х2 - 3 |х| +4;
г) у = -А-
•11.33. а) у
б) У
- 4;
• 11.34. а) у
б) у = \1л - ха + 1;
в) у - 2х |х|;
§12. у = Xя (п е N) ФУНКЦИЯЛӘРЕ,
АЛАРНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ ҺӘМ ГРАФИКЛАРЫ
12.1. Функциянең графигын төзегез:
а) у = х3; в)у = (х-1)1;
б) у = -Xs; г) у = -х3 + 1.
77
012.2, у = f(x) функциясенең, биредә f(x) = (x 4- 2)J - 1, графигын
төзегез. График ярдәмендә табыгыз:
а) Л-1), Я-З). ДО);
б) f(x) - -9 тигезләмәсенең тамырын;
в) fix) < 0 тигезсезлегенең чишелешен;
г) [-3; 0] кисемтәсендә функциянең иң зур һәм иң кечкенә
кыйммәтләрен.
012.3. у = f(x) функциясенең, биредә Дх) = -(х - 1)’ + 2, графигын
төзегез. График ярдәмендә табыгыз:
а) ДО), Л-1), ЯЗ);
б) fix) = -6 тигезләмәсенең тамырын;
в) fix) < 1 тигезсезлегенең чишелешен;
г) аргументның функция өскә кабарынкы һәм аска
кабарынкы булгандагы кыйммәтләрен.
012.4. Бу очракта А ноктасы у = f(x) функциясе графигында
ятамы:
а) Ях) = хэ - 4, Д(6; 212);
б) f(x) = -(х + 6)’, А( 8; -8);
в) f(x) = (х - 2У + 200, Ai 8; 800);
г) fix) = —(х + 7)э + 25, А(-2; 100)?
012.5. Графикны төземичә генә, функциянең иң кечкенә һәм иң
зур кыйммәтләрен табыгыз:
а) у = х3 - 3, х [-1; 2];
б) у = -(х + 4)8, х [-4; 10];
в) у - (х - 2)* + 5, х [-1; 2);
г) у =-(х - 3)а - 1, х [-4; 8].
012.6. Функцияне монотонлыкка тикшерегез:
а) у = (х + 2)э; в) у - х3 - 10;
б) у = —(х — 4)э+ 1; г) у = -(х+I)1-3.
Функциянең графигын төзегез һәм укыгыз:
12.7.
а) у = х”;
б)у=-х10; в)у = х8;
г)у = х’2.
12.8.
а)у = -ха;
б)у = ха; в)у = х4;
г)у = -ха
012.9.
Функциянең графигын төзегез:
а) у = (х+2)4; в)у = х6 + 1;
б) у = -(х-1)&; г)у = -хт-1.
012.10. а)у = -(х + 2)3 - 1;
б) у = (х — 1)в + 0,5;
в) у =(х - З)5-2;
г) у = -(х + 4)4 + 1.
78
012.11. у = г* функциясенең иң кечкенә һәм иң зур кыйммәтләрен
табыгыз:
а) [-1; 1] кисемтәсендә; в) (-2; 2] ярыминтервалында;
б) +оо | нурында; г) (-«>; 3] нурында.
012.12. у = х5функциясенең иң кечкенә һәм иң зур кыйммәтләрен
табыгыз:
а)[-1; 1] кисемтәсендә; в) (1; 3] ярыминтервалында;
б) (-°°; 0] нурында;
г) [-1; +оо) нурында.
012.13. Функцияләр графикларының кисешү нокталарын табы-
гыз:
а) у = х и j/=
б) у = х5 и у = -1;
в) у = х4 и у = -2х2;
г) у-х’ и у - у[х.
Тигезләмәне график юл белән чишегез:
012.14. а)хв=
X
б)х* =
X
в) х4 = 1;
г) х’ = х.
012.15. а)х1 = 4х;
. 3 1.
в)х3= :
X
б) (х + 1)*=1-2х;
г) хЧ2 = х + 4.
012.16. Тигезсезлекне график юл белән чишегез:
а) х3 < 1; б) х3 > х; в) х3 > -8; г) х3 < х.
Тигезләмәләр системасының чишелешләре санын билгеләгез:
У = х8,
012.17. а) | ,
’ |у = х + 1;
У = хв,
В) у =-3 + 2х;
«1»-л
’ у = 5-3х;
IU = х7,
Г) у = -х + 4.
012.18. а) 2
1«/ = 4 - х2;
= хь,
6) |у = -2 + О,5х2;
1 у = Xе,
и) |р-2 Зх2;
г) 1’ = Х‘-
|у = Х* -в.
79
012.19. Функциянең графигын төзегез һәм укыгыз:
а) У =
х*, х < 0 булганда;
^х,х > 0 булганда;
б) У "
в)У =
х. булганда х < 0;
х',булганда х > 0;
х®,булганда х < 1;
—, булганда х > 1;
х
-2 - х, -1 < х ■■ 2 булганда.
012.20. у — х* дәрәҗәле функциясе графигының бирел ген нокта
аша үтүе билгеле булса, п нәрсәгә тигез?
а) (2;256); в)(3;243);
б) (-2;-128); г)(-4; 256)?
012.21. Графигының бирелгән нокта аша үтүе билгеле булса,
У ~ х" дәрәҗәле функциясен җөплеккә һәм чикләнгәнлеккә
тикшерегез:
а)(-1;1); б)(-1;-1); в)(1; 1); г)(1;-1).
12.22. Р — у (х + 2)s функциясенен |-3; —1] кисемтәсендәге
иң зур кыйммәте, ә Q — у = jx функциясенең (0; +°°)
нурындагы иң кечкенә кыйммәте булсын. Кайсы зуррак:
Р мы, Q мы? График сурәтен ясагыз.
12.23. К — у = хав1 функциясенең 1-°°; 0] нурындагы иң
зур кыйммәте, ә L — у = х1002 функциясенең [-5; 5]
кисемтәсендәге иң кечкенә кыйммәте булсын. Төзүләрне
эшләмичә генә, кайсының (К мы, L мы) зуррак икәнен
әйтегез.
12.24. Тйгеаләмаләр системасының чишелешләре санын билгеләгез:
У = х\
У = |х| - 2;
во
г • »
м * 1 -14
12.25.
Тигезсезлекне график юл белән чишегез:
а) x*<Jx’, в)х3>[х|-2;
б) х*<5-4х; г)-х4</х+1.
12.26.
Функциянең графигын төзегез һәм укыгыз:
а) y = -(x+l)3; в)у = х3-1;
б) у = (х-1)3 +20: г)у = -(х+3)3+2.
12.27.
х|, х < 0 булганда;
х1, 0 < х < 1 булганда;
—, х > 1 булганда.
х
12.28.
!1, -3 < х < -1 булганда;
у = х®, -1 < х < 1 булганда;
|Х,х>1 булганда.
12.29.
12.30.
—. х < -1 булганда;
х
х11, -1 < х < 1 булганда;
(х - I)4 + 1, 1 < х < 3 булганда.
, х < 0 булганда;
х
х12,0 < х < 1 булганда;
1, х > 1 булганда.
12.31.
Функцияне җөплеккә тикшерегез һәм аның графигын
төзегез:
х‘ X*
а) У = —: в) у -
1 х
б) !/-~; Г)у = х’|х|.
1*1
12.32. а) у = (|х| - 2)3;
б>у = —(|х| + 1)а.
*12.33. Тигезләмәнең тамырлары юк икәнен исбатлагыз:
а) х* + х='+1=0; в)х' + хг-2х + 3 = 0;
б) х* - х + 3 = 0; г) х* - ^х -1 = 0.
• 12.34. y = f(x) функциясе бирелгән, биредә fix) = хт. Исбатлагыз:
/(2х) 4|| = (/(x))J.
• 12.35. y = f(x) функциясе бирелгән, биредә /(х) = — х*. Исбатлагыз:
f(4x) •/(-*! = (<(х))г.
■х *)
• 12.36. у “ f( х ) функциясе бирелгән, биредә fix) = xw. Исбатлагыз:
fix2) f(xl) = /(x).
• 12.37. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә f{x) = -Xs. Исбатлагыз:
(/(х))’ :/[-1хН = /(2х5).
I 2 )
§13. у = х " (л 6 N) ФУНКЦИЯЛӘРЕ,
АЛАРНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ ҺӘМ ГРАФИКЛАРЫ
013.1. А Һәм В нокталарының кайсы у = /(х)функциясе графигын¬
да ята:
а) Дх) = х 4, д| 16 1, в|-2;-1;
\ 2 < 1 8 I
б) Дх)=х\ 4(0; 0), В(-1;-1);
В)/(х) = хЛ a(./2;-1 в[-;64 I
I ’ Н I Ң J
г)Дх) = х7, А(-1; 1). В(1;-1)?
13.2. Функциянең графигын тезегез һәм укыгыз:
а) У =-у; б)у = х *; в)у = х*; г) у = -д-.
82
В’ У (х - 2)
г) у = х1 + 4.
и) у = Г - 2;
(х-ЭГ
г)у = (х + 4) г- 1.
Функциянең графигын төзегез Һем укыгыз;
013.3. а) у = (х + 3)-*:
б) у = ~~ - 1:
X*
013.4. а) у = -—— + 1;
I» + 1)
б)у = (х-2) $ + 3;
013.5. у = (х- 2)'2функциясенең, графигын төзегез. Функциянең
кимү һәм үсү аралыкларын табыгыз. Горизонталь Һәм
вертикаль асимптоталар тигезләмәләрен төзегез.
013.6. у = х’’ - 1 функциясенең графигын төзегез. Функциянең
кыйммәтләре өлкәсен табыгыз. Горизонталь һәм вертикаль
асимптоталар тигезләмәләрен төзегез.
013.7. у = х"'функциясенең иң кечкенә һәм иң зур кыйммәтләрен
табыгыз:
1
а)
1 кисемтәсендә;
I
б)(-и>; -2] нурында;
в) (-3; -1]ярыминтервалында;
г) [3; +<») нурында.
2
013.8- у = х * функциясенең иң кечкенә һәм иң зур кыйммәтләрен
табыгыз:
а) [-2: -1] кисемтәсендә;
ярым интервалында;
б) -оо; нурында;
г) [2; +со) нурында.
013.9. Функцияләр графикларының кисешү нокталарын табыгыз;
а) у = х и у = -j; в) у = X 7 и у = -х;
б) у = х*иу = -2; г)у = -у и у = |х|.
013.10. Тигезләмәне график юл белән чишегез:
а)х’ = х; 6) ~ =хг; в) = х; г)х"=./х.
Ж X
83
013.11. Тигезләмәләр системасының чишелешләре санын билгеләгез:
У = х4 - 1;
У = х 7,
У = 4Х-
Функциянең графигын тезегез һәм укыгыз:
013.12. у =
013.13.
013.14. у =
х ,х < 0 булганда;
2х2,х > 0 булганда.
|х|, х < 1 булганда;
х'3, х > 1 булганда.
-2(х + I)2 + 2, -2 < х < 0 булганда;
х’12, х > 0 булганда.
013.15. у = х " дәрәҗәле функциясе графигының бирелгән нокта аша
үтүе билгеле булса, л нәрсәгә тигез?
( 1 ) I I
а) 2; — ; в) 7; L
1 256 J 343 J
б) 1-2;-^Л г) [ —; 6261?
I, 32 ) I 5 j
013.16. Графигының бирелгән нокта аша үтүе билгеле булса, у = х*"
дәрәҗәле функциясен җеплеккә Һәм чикләнгәнлеккә
тикшерегез:
а) (-1; 1); в) (1; 1);
б) (-1;-1); г)(1;-1).
13.17. Р— у - — 1 функциясенең [-1; 1] кисемтәсендәге
(х + 2)
ид зур кыйммәте, a Q — у * х* функциясенед [-1; 1]
кисемтәсендәге ид кечкенә кыйммәте булсын. Кайсы
зуррак: Р мы, Q мы? График сурәтен ясагыз.
84
13.18. Тигезләмәләр системасының чишелешләре санын билгеләгез:
а)
б)
у =
у = 4 - х*;
у = х3 + 3.
I
у ж
013.19. у = (х + 2) 3-1 функциясенең графигын төземичә генә
күрсәтегез:
а) функциянең билгеләнү өлкәсен һәм кыйммәтләре
өлкәсен;
б) функциянең монотоялык аралыкларын һәм даими
тамгалы аралыкларын;
в) асимптоталар тигезләмәләрен;
г) функция графигының симметрия үзәге координаталарын.
13.20. у-(х - 1)‘г - 2 функциясенең графигын төземичә генә
күрсәтегез:
а) функциянең билгеләнү өлкәсен һәм кыйммәтләре
өлкәсен;
б) функциянең монотонлык аралыкларын һәм даими
тамгалы аралыкларын;
в) асимптоталар тигезләмәләрен;
г) функция графигының симметрия күчәре тигезләмәсен.
13.21. Функциянең графигын төзегез һәм укыгыз:
а)у =
-1. х < -1 булганда;
№. -1 < х < 1 булганда;
—-р х >1 булганда;
х х < -1 булганда;
-х1, -1 < х < 1 булганда;
х\ х > 1 булганда.
13.22. Тигезсезлекне график юл белән чишегез:
а) х'2>2х-1; в)х2С2х-1;
б) х3<\/х; г)х'3>1/х.
• 13.23. у = Лх)һәм у = g[x) функцияләре бирелгән,
биредә f(x)» хь, g(x) = х'10.
(/(2x))J
32
= 32(g^x))’1 икәнлеген исбатлагыз.
85
• 13.24. у a f(x) һәм у = g(x) функцияләре бирелгән, биредә
/(х) = х~3, g(x) = х4. (/(х2))2 = (g(x))3 икәнлеген исбатлагыз.
• 13.25.
у = /(х) һәм у = g(x) функцияләре бирелгән, биредә
ftx) = xa,g(x) = x 4.
16
/(х2)
икәнлеген исбатлагыз.
§14. у - <£, ФУНКЦИЯСЕ, АНЫҢ ҮЗЛЕКЛӘРЕ
ҺӘМ ГРАФИГЫ
14.1. Исәпләгез:
a) </б4; б) </-125; в) </216; г) </-343.
Тапкырлаучыны радикал тамгасыннан чыгарыгыз:
014.2. а) </б 3:
014.3. а) </54;
б) </-125 2;
б) </-432;
в) </27 5;
в) </56;
г) </-64 7.
г) </-375.
014.4. а) </27х;
б) </-16а;
в) </250у;
г) </-3435.
014.5. а) </125х4;
б) </-128х7;
в) </81а5;
г) </-512а8.
Тапкырлаучыны радикал тамгасына кертегез:
014.6. а) 2</3;
014.7. а) а</х;
б) -3</2 ;
б) а2</а;
в) 5</2; _
в) 2x11 а2 ;
г) -4</з.
г) Xs Vx2.
014.8. Аңлатманы гадиләштерегез;
а) </а*;
б) </-27bs;
в) </8<Рй12;
г) </-64ав6ас4.
Вакланманың ваклаучысында иррациональлектән котылыгыз:
014.9. a) ; б) /
</? <'4
о14.ю.а)-^: 6» “ :
<Гв Ои*
4*
• 1
th
•
Гамәлләрне эшләгез:
014.11. а) 2</а - 3</а;
в) 8</ft + 5</b;
б) </six + </24х;
г) </250 у2 - </54 у2.
014.12. а) </54 ■ 5 • </100;
•) (/5® • JL
V 49 Ү7
6) (</36 - </4) ■ </б;
г) (</5 + </1б) • </25.
86
014.13. Тигезләмәне чишегез:
а) Ух « 5; в) Ух =-10;
б) </2х - 1 = 1; г) V4 “ 2х = 4¬
14.14. Бирелгән нокта у • i/x функциясе графигында ятамы:
а)Д(8; 2);
..1 8 ■ 2 1.
■><1 з !•
б)В(-27; 3);
014.15. Функциянең графигын төзегез, даими тамгалы аралыкла¬
рын табыгыз:
а) у = i/x - 1;
б) р« i/x + 2;
»)у= ifx +2;
г) у = i/x - 1.
014.16. Бирелгән аралыкта у = i/x функциясенең иң зур һәм иң
кечкенә кыйммәтләрен табыгыз:
а)[1;8); б)(-8; 0]; в)[-27;б4]; г)(0,125; +00).
014.17. Тигезләмәве график юл белән чишегез:
a) i/x »10-х;
б) Vx =|х|.
014.18. Функцияне җеплеккә тикшерегез:
а)у=хг i/x;
б)у=х i/x +х4 + 2.
014.19. Функциямен графигын төзегез һәм укыгыз:
-2х, х < 0 булганда; Ух, х < 1 булганда;
а)У = зГ . а < б^= 1 .
Ух, х > 0 булганда; х > 1 булганда.
t
14.20. Тигезләмәләр системасының чишелешләре санын билгеләгез:
а)
хг + у = 4.
у = V' - 1:
б)
ху = 2,
у = (/* ♦ 2.
14.21. Функциянец графигын төзегез һәм укыгыз:
а) у • i/x - 3 + 2; в) у = i/x + 2;
б) у • -i/x; г) у = -i/x - 4.
14.22. f(x) = р тигезләмәсен чишегез:
a) f(x) = i/x - 1, р » 2; б) /(х) « -i/x ♦ 2. р = 3.
«7
14.23. Тигезләмәне чишегез:
а) Ух* + Ух = б; б) 2%1х* - Ух + 2 = 0.
14.24. Тигезсезлекне чишегез:
а) \/х > 1; в) Vx < -2;
б) </х > 2 - х; г) Vx < -х - 2.
•14.25. Функциянең графигын тезегез һәм укыгыз:
Vx, х < -1 булганда;
У-
хв, -1 < х < 1 булганда;
Ух, х > 1 булганда.
•14.26. у « f(x) функцнянец графигын тезегез, биредә
Г(х) =
2(х + 4)2, -6 < х < -2 булганда;
-X*, -2 < х < 0 булганда;
Ух, 0 < х < 8 булганда.
р параметрының нинди кыйммәтендә /(х) « р тигезлә¬
мәсенең:
а) ике тамыры; в) дүрт тамыры була;
б) өч тамыры; г) тамырлары булмый?
•14.27. Тигезләмәнең графигын төзегез:
а) (Vx + у)(х3 - у) = 0;
б) (2^х - р)(х2 + у2 - 4) = 0;
в) (Ух + 1 - у)(ху - 4) « 0;
г) (х 2 + у)(2р + Vx) = 0.
•14.28. Тигезсезлекләр системасын график юл белән чишегез:
а)
х + у > 2,
у - Ух > 0;
ху + 1 > 0,
У - Ух < 0.
88
Өй контроль эше Ns 3
1 нче вариант
3
1- у = —— функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
у/х* + 4х - 12
2. Әгәр D(f) (5; 7) икәне билгеле булса, аналитик бирелгән
у = f(x) функциясен уйлап табыгыз.
3. у = /(х)функциясе барлык икеурынлы натураль саннар
күплегендә X түбәндәге кагыйдә буенча бирелгән: X тагы һәр¬
бер х санына шул х саныннан квадрат тамырның бөтен өлеше
туры килә. Бирелгән функциянең кыйммәтләр күплеген
табыгыз.
4. Санлы тигезсезлекләр үзлекләрен кулланып, у = Зх3 + 4х + 5,
х € [0; +оо) функциясен монотонлыкка тикшерегез.
к п ... я « 12х - 1,х < 0 булгаида;
5. u=f(x )функциясебирелгән, биредә ■'< ' , „ „
|Л(х). х > 0 булганда.
Әгәр y=f(х) функциясенең җөп икәнлеге билгеле булса, һ(х)
функциясен бирегез.
6. х 2 = 4х + 3 тигезләмәсенең тамырлар санын билгеләгез.
7. [-1,4] кисемтәсендә у = (х + 2)4 2 функциясенең иң кечкенә
һәм иң зур кыйммәтләрен табыгыз.
8. График юл белән чишегез:
а) х 5= у/х тигезләмәсен;
б) у]х - 2 > 1 тигезсезлеген.
9. у = f(x) һәм у = g(x) функцияләре бирелгән, биредә /(х) = х’2,
£(х) = х4.
/(х2) 4 V I 2 I
икәнлеген исбатлагыз.
10. y=f(x) функциясе бирелгән, биредә
fix) =
||х|, х < 2 булганда;
[ -(х - З)2 + 3, х > 2 булганда.
а) у = f(x) функциясенең графигын төзегез;
б) /(х) = р тигезләмәсенең тамырлары санын күрсәтегез,
биредә р — теләсә нинди реаль сан.
89
2 нч« а«ри«нт
1. у = I = функциясенең билгеләнү елкәсентабыгыз.
V-x* + 5х + 24
2. Әгәр D(f) = [1; 3] икәне билгеле булса, аналитик бирелгән
y=f(x) функциясен уйлап табыгыз.
3. y-f(x) функциясе барлык натураль саннар күплегендә
түбәндәге кагыйдә буенча бирелгән: һәрбер х санына шул х
саны кубы язылышындагы берәмлекләре саны туры килә.
Бирелгән функциянең кыйммәтләр күплеген табыгыз.
4. Санлы тигезсезлекләр үзлекләрен кулланып, у = -х* - х3 + 8,
х е (0; +оо) функциясен монотонлыкка тикшерегез.
5. уш/(х) функциясе бирелгән, биредә
Л(х), х < 0 булганда;
(х - 1) - 1, х > 0 булганда.
Әгәр y=f(х) функциясенен так икәнлеге билгеле булса. һ(х)
функциясен бирегез.
6. х * = 2 - Зх тигезләмәсенең тамырлар санын билгеләгез.
7. [2; 3] кисемтәсендә у = (1 - х)’ + 3 функциясенең ин кечкенә
һәм иң зур кыйммәтләрен табыгыз.
8. График юл белән чишегез:
а) х4 = Vx тигезләмәсен;
б) ^/х + 2 < 1 тигезсезлеген.
9. у - /(х), у = g(x) функцияләре бирелгән, биредә /(х) = х*,
£(х) = х
х < 0 булганда, тигезсезлекнең үтәлүен исбатлагыз:
+ 2(^х)) ‘ = 0.
10. у = f(x) функциясе бирелгән, биредә
,, „ (х + 4)2 + 2, х < -3 булганда;
f(.X) = . I о -
х|, х > -3 булганда.
а) У = f(x) функциясенең графигын тезегез;
б) /(х) - р тигезләмәсенең тамырлары санын күрсәтегез,
биредә р — теләсә нинди реаль сан.
4
БҮЛЕК
ПРОГРЕССИЯЛӘР
§15. САНЛЫ ЭЗЛЕКЛЕЛЕКЛӘР
Бирелгән функциянең санлы эзлеклелек була алуын
билгеләгез:
15.1. а) у = 2х - 1, х € (0; +<»); в) у = 2х - 1, х Е Z;
б) у • 2х - 1, х € Q; г) у = 2х - 1, х € АГ.
_ 2х + 1 2х — 1
15.2. а) у х € (0;+ос); в) у = -ү—х € Z;
* X 4 1
2х -1 _ 2х + 1
б) у = ——7, х е Q; г р = . х е N.
X* + 1 X
15.3. Түбәндәге мәсьәләнең математик моделен төзегез. Боэ
сөңгесе минутка 5 тамчы тизлеге белән эри. Боз эри
башлаганнан алып 1 мин, 2 мин, 3 мин, 17 мин һ.б.
үткәннән соң, җиргә ничә тамчы төшәр? Бу математик
модель санлы эзлеклелек буламы?
15.4. Түбәндәге тиңдәшлекнең эзлеклелек була алу-алмавын
ачыклагыз. Әгәр булса, эзлеклелекнең п нчы буыны
формуласын төзегез һәм аның беренче биш буынын
табыгыз:
а) һәр натураль санга аның квадраты туры килә;
б) һәр натураль санга аның кубы туры килә;
в) һәр натураль санга 7 саны туры килә;
г) һәр натураль санга аның кире саны туры килә.
15.5. Түбәндәгечә бирелгән эзлеклелекләргә мисал китерегез:
а) п нчы буыны формуласы белән;
б) сүзләр белән;
в) рекуррент юл белән.
91
15.6. Биткә кабатлы булган барлык натураль саннарның
үсә баручы эзлеклелегеиең берничә башлангыч буынын
табыгыз. Аның алтынчы, тугызынчы, егерме беренче, п
нчы буыннарын күрсәтегез.
15.7. Җидегә кабатлы булган барлык натураль саннарның
үсә баручы эзлеклелегеиең берничә башлангыч буынын
табыгыз. Авың сигезенче, унынчы, утыз җиденче, п нчы
буыннарын күрсәтегез.
15.8. (а„) ның барлык натураль саннар кубларының үсү баручы
ээлеклелеге икәне билгеле. dtl а2, аг, at, Д,ны табыгыз.
15.9. (с„) ның 2 санының барлык натураль дәрәҗәләренең
үсү баручы ззлеклелеге икәне билгеле. C(l С2, сг, С„ ны
табыгыз.
15.10. (у„) эзлеклелегеиең түбәндәге буынын атагыз:
а) Уян Уя. У„+в. Уг» буыныннан соң килә;
б) у91, Увз», Уя-t. Уя» буыныннан алда килә.
15.11. (а„) эзлеклелегеиең түбәндәге буыннар арасында урнашкан
барлык буыннарын атагыз:
а) аш һам
б) ^1002 ҺдМ <2
в) а„, з һәм а.,
г) а, _ я һәм а„ +».
Эзлеклелекнең бирелгән п нчы буын формуласы буенча
беренче бит буынын исәпләгез:
15.12. а) а. = 4л + 1;
6) сй - -7п + 3;
в) Ь„ = бл + 2;
г) = Зл 7»
015.13. а)а„= ——;
' п + 5
. 3
в)с„- ;
2л * 4
б) d, = —.
3 - 4п
. -з
’><••• 4.-1-
015.14. а) х„ ж в2 + 1;
в) z„ = -ва + 5;
6) уй = -в1 - Ю;
г) ■ п1 - 15.
92
Эзлеклелекнең бирелгән беренче биш буыны буенча п нчы
буын формуласын төзегез:
015.15. a) 1, 2, 3, 4, 5, ...;
6)-2, -1, 0, 1, 2, ...;
в) 6, 7, 8, 9, 10, ...;
г) —1, -2,-3, -4,-5
015.16. a) 1, 3, 5, 7, 9,
б) 3, 6, 9, 12, 15, ...;
в) 4, 6, 8, 10, 12,
г) 4, 8, 12, 16, 20, ....
015.17. a) 1, 4, 9, 16, 25,
6)4, 9, 16, 25, 36. ...;
в) 2, 5, 10, 17, 26,
г) 1, 8, 27, 64, 125, ....
015.18. Түбәндә бирелгәннәр буенча А санының (р„) эзлеклелеге
буыны булуын исбатлагыз:
а) Ул = “т-. А = в) уя = 3(и + 2) , А ~ .
л + 1 & ••
б) и„ = 2Э" ", А = 128; г)р, =(л - 2)’-1, Л = 342.
015.19. Бирелгән В саны (у„) эзлеклелегенең буыны буламы?
Әгәр булса, эзлеклелекнең тиңдәшле буынының номерын
күрсәтегез:
а) у„ = -п5 + 3, В = -240;
б) У„ = "г \ 4д + 4&, в - 1,8;
п + 25
в) Ул - пг + 15л + 16, В = -40;
г) У„ = Ш ’ В = 243.
Рекуррент юл белән бирелгән (х,) эзлеклелегенең беренче
алты буынын языгыз:
015.20. а) Х| = 1, х, = -х„. | + 5 (л = 2, 3, 4, ...);
б) xf = -5, х„ = х„. ( + 10 (л = 2, 3, 4, ...);
в) X) = 1, х. = 2 + х, , (л = 2, 3, 4,
г) X) = -3, хл=-х, ! -2 (л = 2, 3, 4,...).
015.21. а)Х)= 1, х„ = л>х,_> (л = 2, 3, 4,
б) х1 = -3,х„ (л = 2, 3, 4, ...);
в) X) = -512, х, = 0,5-хл. | (л = 2, 3, 4, ...);
г) х,= 1, х,= х„.>: 0,1 (п = 2, 3, 4,.,.).
015.22. (у,) эзлеклелегенең үсә баручы булуын исбатлагыз:
а) у„ = Зл ■+ 4;
б) у„ = 5лг - 3;
в) у„ = 7л - 2;
г) уя = 4л‘-1.
П
015.23. (у.) ззлеклелегенең кими баручы булуын исбатлагыз:
а) у, = -2п - 3; в) у„ = 4 - 5л;
б> у„ = -Зл* + 4; г) у„ = -п3 + 8.
15.24. Барлык гади саннар квадратларының үсә баручы эзлекле-
легенең беренче җиде буынын языгыз.
15.25. Эзлеклелекнең бирелгән п нчы буын формуласы буенча
беренче биш буынын исәпләгез:
а) х„ = (-2)"; в) Ьл = 2 (-3)" *;
б) сп = (-1)"‘ * - (-1У; г) d„ = (-2)" + (-2)" - *.
15.26. Эзлеклелек п нчы буын формуласы белән бирелгән. Аның
җөп номерлы беренче еч буынын исәпләгез:
а) У. = (-1Г + <-2У * *; в) г. - <-2у - (-2Г *'}
б) х. = (-2У ♦1 - (-2У г) и>. = <-1)'41 - (-2у.
15.27. Эзлеклелек п нчы буын формуласы белән бирелгән. Аның
так номерлы беренче еч буынын исәпләгез:
а) У, = (- 1У + 2"; в) г„ = (-2)" + 4п;
б) X, = (-2У + 16; г) W. = (-1Г - 1.
Эзлеклелекнец бирелгән беренче биш буыны буенча п нчы
буынның нинди дә булса формуласын тезегез:
15.28. a) 1, 1. \
3 5 7 9
■) I
1 1 1 J_
* 4* 9' Ю* 25’
.12 3 4 5 1 1 1__1 1
2* 3’ 4’ 5’ б’ Г1 1 2’ 2 3* 3 4’ 4 5’ 5б’ “ ‘
15.29. а)
2 4 6 8 10
2* »’ 8’ 11’ 14
, 1 3 5 7 9
7 /г’ 2’ 2J2’ 4* 4J2'
2 4_ 8 16 32
*’ 5* 10’ 15’ 20’ 25’
94
15.30. (х„) эзлеклелегендә х( = -3, х2 = -2, һәм өченчесеннән
башлап һәр буын үзеннән алдагы ике буынның икеләтелгән
суммасына тигез. Бу эзлеклелекнең беренче алты буынын
языгыз. Эзлеклелекнең рекуррент бирелешен төзегез.
Эзлеклелекне рекуррент юл белән бирегез:
15.31. а) 2, 2, 2, 2, 2, ...;
б) 2, 4, 6, 8, 10, ...;
15.32. а) 2, 6, 18, 54, 162, ...;
б) 1, 8, 15, 22, 29, ...;
в) 9, 7, 5, 3, 1, ...;
г) 5, -5, 5, -5, 5, -5
.1111 I
в) - , ...;
2 4 8 16 32
г) 3, -9, 27, -81, 243, ....
15.33. V3 санының а) киме белән алынган; б) артыгы белән
алынган унарлы якынчалыклары эзлеклелегенең беренче
дүрт буынын языгыз.
15.34. Сүзләр белән бирелгән эзлеклелекнең беренче җиде буыны
суммасын табыгыз: эзлеклелектә п нчы буын — бетен
өлеше нульгә тигез, ә өтердән соң рәттән п берәмлек торган
унарлы вакланмага тигез.
15.35.
х. =
a + 1
Зп + 2
эзлеклелегенең түбәндәге буынының номерын
күрсәтегез:
5 14 6 8
aii* б*Л: в> Гз;
15.36. Эзлеклелек ал = (2п - 1МЗл + 2) формуласы белән бирелгән.
Түбәндәге сан эзлеклелекнең, буыны буламы:
а) 0; б) 24; в) 153; г) -2?
15.37. Эзлеклелек рекуррент юл белән бирелгән. Аның аналитик
бирелешенә күчегез, ягъни аның л нчы буыны формуласын
табыгыз:
а) хх = 3, х, = х„., + 5 (п = 2, 3, 4, ...);
б) X] = 2, х, = Зх,.) (п = 2, 3, 4, ...);
в) X) = 11, х, = х,. 1 - 4 (п = 2, 3, 4, ...);
r)xt=3, х, = (п = 2, 3, 4, ...).
95
15.38. Эзлеклелекнең графигын төзегез:
а) уп = —: в) Уп = п2 - 4;
1 - . Зп
Г7Т' Г”-* 2¬
15.39. (х,) эзлеклелегенең кайсыдыр номерыннан башлап, барлык
буыннары да бирелгән А саныннан зуррак. Бу иң кечкенә
номерны табыгыз;
а) х„ = 2п - 5, А = 10; в) х„ = п2 - 27, А = -2;
б) х„ = Зя *, А = 30; г) х„ = 2“ \А = 1,5.
15.40. (х„) эзлеклелегенең кайсыдыр номерыннан башлап, барлык
буыннары да бирелгән А саныннан кечерәк. Бу иң кечкенә
номерны табыгыз:
а) х„ = 3 - 2п, А = -9; в) х„ = 2 - Зп2, А = -25;
б) х„ = З4 я, А = 0,5; г) х„ = 2s ", А=0,75.
15.41. Эзлеклелекнең үсә баруың исбатлагыз:
а) 0..1-±; ж>г..1- *;
2п 2
. «-1. . . 5"
б) fr„= ; r)d. •—
п п + 1
15.42, Эзлеклелекнең кими баруын исбатлагыз:
а>о.-±; в)сП = 1 + ^
6)5. = r)d, =
п 3
§ 16. АРИФМЕТИК ПРОГРЕССИЯ
Түбәндәге эзлеклелекнең арифметик прогрессия булу-
булмавын ачыклагыз:
16.1. а) 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...; в) 13, 10, 7, 4, 1, -2, ...;
6) 5, 5, 5, 5, 5, 5, г) 3, 1, 3, 1, 3, 1
16.2. а) -7, -5, -3, -1, 1,...; в) 1, 1, 1, 1, 1,
2 3 4 5
б) 3, 0, -3, -6, -8,г) 2, 7, 12,17, 27,....
96
16.3. Арифметик прогрессиянең беренче буынын һәм аермасын
табыгыз:
а) 3, -1, -5, -9,...: в)0,7, 0,9, 1.1, 1,3,...;
б) 7, 4, 1, -2, ...; г)-1, -0,9, -0.8, -0.7,....
16.4. Бирелгәннәр буенча арифметик прогрессиянен беренче
алты буынын языгыз:
а) Я] = 3, d = 7; в) at = -21, d = 3;
б) a, = 10, d = -2.5; г) a. = -17,5, d = -0,5.
Түбәндәгечә бирелгән арифметик прогрессияне (а„)
языгыз:
16.5. а) a, = -2, d = 4, п = 5; в) а,= 2, d = 3, п = 6;
б)а( = 1, d = -D,l, л = 7; г)а,= -6, d = 1.5. п = 4.
016.6. a) Oj = у. d = п = 5;
б) ах = 13, d = -у[ъ, п - 4;
в) а1=7,5, d = 0,5, n = 4;
г) а. = -1,7, d = -0.15. n = 5.
016.7. Арифметик прогрессиянең аермасын һәм унынчы буынын
табыгыз:
а) 1,3, 5, 7,...;
б) J5, 6 + 12 + /б, 18 + /б, ...;
в) 100, 90, 80, 70,...;
г) 3, 3 - ^2, 3 - 2^2. 3 - 3^2, ....
016.8. Үсә баручы эзлеклелек 5 кә бүлгәндә 3 калдык бирә
торган барлык натураль саннардан тора. Аның арифметик
прогрессия булу-булмавын ачыклагыз. Әгәр булса,
прогрессиянең беренче буынын һәм аермасын күрсәтегез.
016.9. Үсә баручы эзлеклелек 11 гә кабатлы барлык натураль
саннардан тора. Аның арифметик прогрессия булуын
исбатлагыз; прогрессиянең беренче буынын һәм аермасын
күрсәтегез.
97
016.10. Үсә баручы эзлеклелек 3 санының барлык натураль
дәрәҗәләреннән тора, Аның арифметик прогрессия булу-
булмавын ачыклагыз. Әгәр булса, прогрессиянең беренче
буынын һәм аермасын күрсәтегез.
016.11, л ич ы буыны формуласы белән бирелгән (х,) эзлеклелегенең
арифметик прогрессия булу-булмавын ачыклагыз. Әгәр
булса, прогрессиянең беренче буынын һәм аермасын
күрсәтегез,
а) x„=3n+l; э)г„=л2;
б) х, = 3-2"; г) х„ = 4л - 3.
016.12, (а„) эзлеклелегенең арифметик прогрессия булуын исбат¬
лагыз һәм прогрессиянең беренче буынын табыгыз;
а) а„=2л + 1; в)а,= -Зл + 1;
б) а„~ 0,5л - 4; г)ал=-|п-1.
016.13. (а,) арифметик прогрессиясенең п нчы буыны формуласы
буенча й| һәм d ны табыгыз:
а) а„=Зл-2; в) а„ = -0,1л + 3;
б) о„=-1-2; г)а„=5-2л.
0
Арифметик прогрессиянең п нчы буыны формуласын
төзегез:
016.14. а) 2. 5, 8, 11, ...; в) 7, 5, 3, 1, ...;
6)0.5, 1,5, 2,5. 3,5, г) -1, -11, -1-, -1-, ....
7 7 7
016.15. а) 4. -2, -8, -14. -20, ...;
б) -0,7, -0,5, -0.3, -0,1, 0,1,...;
в) -7, -2, 3, 8, 13.
г) -2^5, -^5. 0, J5, 2^5
016.16. (о„) арифметик прогрессия бирелгән. Исәпләгез:
а) ав, а, = 4, d = 3 булганда;
б) ois, Oj = -15, d = -5 булганда;
в) a)I( 0j = -12, d = 2 булганда;
г) a5, а, = 101, d = - булганда.
016.17. (ал) арифметик прогрессиясенең аермасын табыгыз:
а) а]=12. ае=40; в)п!=-8, аи=-28;
б) ае=-30, а1в=30; г)ап = 4,6, ам« 54,6.
98
016.18. (а„) арифметик прогрессиясенең беренче буынын табыгыз:
а) a7=9, d = 2: в)а2«=-71, d =-3;
б) a37 = -69, d = -2,5; г) а14 = -б/б, d = -/б.
016.19. а) 29 саны 9.11,13,... арифметик прогрессиясенең буыны
булып тора. Бу буынның номерын табыгыз.
б) 43 саны 3, 7, 11, ... арифметик прогрессиясенең буыны
булып тора. Бу буынның номерын табыгыз.
016.20. Тикшерегез:
а) 4,5 саны ... арифметик прогрессиянең буыны булырмы;
б) 43,5 саны... арифметик прогрессиянең буыны булырмы.
016.21. Тикшерегез:
а) 41 саны ... арифметик прогрессиянең буыны булырмы,
биредә а, = -7, d = 4;
б) -33 саны ... арифметик прогрессиянең буыны булырмы,
биредә в| = at= 3, d = -6.
016.22. a) 15 һәм 23 саннары арасына шундый сан куегыз, бу өч
сан арифметик прогрессиянең рәттән килүче өч буыны
булсын.
б) 16 һәм 28 саннары арасына шундый сан куегыз, бу өч
сан арифметик прогрессиянең рәттән килүче өч буыны
булсын.
016.23. Түбәндә (а„) арифметик прогрессиясе бирелгән. (а„) ны
табыгыз:
а) а,- 1, d = 2, п = 11;
б) a, = -li, d = -3,75, л = 21;
2
V 2 J 3 „
в) a, - -, d - -, п - 17;
3 4
r)ai=0,2,d= *, л = 13.
3
016.24. Түбәндә (а„) арифметик прогрессиясе бирелгән, (а,) ны
табыгыз:
а) d = 2, п = 15, ап = -10;
б) d = 1. n = 7,a, = ioi;
4 2
в) d =-0,6, л = 17, a. = 9,5;
г) d = -0,3, л = 15, a„ = -2,94.
99
016.25. Түбендә (а„) чикле арифметик прогрессиясе бирелгән, d
ны табыгыз:
а) aj = 3, а„ = 39, п = 11;
б) а, - -0,2, а„ = -18,4, п = 15;
в) о, = 5 ж а„ = 1 п = 36;
г) at = 3,6, а„ = 0, п = 37.
016.26. Түбәндә (а„) чикле арифметик прогрессиясе бирелгән, п
ны табыгыз:
2 „
а) в1=1,4 = а„ = 67;
б) в1 = 0, </ = 0,5, а„ = 5;
в) а, = -6,4 = а„ = 10
г) а, = -4,5, d = 5,5, а„ - 100.
016.27. b саны бирелгән (ал) арифметик прогрессиясенең буыны
буламы? Әгәр булса, бу буынның номерын күрсәтегез:
а) а! = 5, d = 0,3, 6 = 21,2;
б) а, = 3, 4 = -0,35, 6 = 0,65;
в) а1 = —7, d = 5,1, 6 = 44;
г) а,= 0,13, d = 0,02, 6 = -0,01.
016.28. (а„) арифметик прогрессиясенең кайсыдыр номерыннан
башлап, барлык буыннары да бирелгән А саныннан
кечерәк. Бу иң кечкенә номерны табыгыз:
а) 2, 1,9, 1,8, 1,7 А = 0;
б) 15,9, 15,5, 15,1 А = 0,9;
а)110, 100, 90, .... А=15;
г)-1, -1,75, -2,5,..., А =-16,3.
016.29. (ал) арифметик прогрессиясенең кайсыдыр номерыннан
башлап, барлык буыннары да бирелгән А саныннан зуррак.
Бу иң кечкенә номерны табыгыз:
а) а, = -12, 4 = 3, А= 141;
б) Д1 = 4, 4 = 2,2, А = 14,7;
в) а, = -4,5, 4 = 5,5, А = 0;
г) а) = 14,5, 4 = 0,7, А = 22,9.
016.30. Үсә баручы арифметик прогрессиянең беренче һәм бишенче
буыннары суммасы 14 кә, ә икенче һәм дүртенче буыннары
тапкырчыгышы 45 кә тигез. Бу прогрессиянең алтынчы
буынын табыгыз.
100
016.31. Арифметик прогрессиянең икенче һәм бишенче буын¬
нары суммасы 18 га, а икенче һәм өченче буыннары
тапкырчыгышы 21 га тигез. Бу прогрессиянең еченче
буыны уңай сан булса, аның беренче биш буынын языгыз.
016.32. Дүрт сан арифметик прогрессиянең раттан килүче буын¬
нары булып тора. Беренче өч санның суммасы -21 га,
соңгы өч санның суммасы -6 га тигез. Бу саннарны
табыгыз.
016.33. Әгәр (а„) чикле арифметик прогрессиясесенең беренче һәм
соңгы буыннары билгеле булса, аның буыннары суммасын
Sn ны табыгыз:
а) Л|- 1,0,0 = 86;
б) U| = 41, а» = -16;
в) 0] *■ ”13, fljo -5;
г) at = 17, а2б = 31.
016.34. Түбәндә бирелгәннәр буенча (а„) арифметик прогрессиясенең
беренче илле буыны суммасын табыгыз:
а) о, = 2, а» ~ 147;
б) О1 = 0,5, ам = -97,5;
в) И| = -10, ви> - 137;
г) at = -1,7, ам • -8,1.
016.35. Түбәңдә бирелгәннәр буенча (а.) арифметик прогрессиясенең
беренче йөз буыны суммасын табыгыз:
а) а( = -12, d = 2;
б) 0! = 1,5,4» 0,5;
в) а( ■ 73, d = -1;
г) Of «-7,3, d = -l,l.
016.36. Түбәңдә бирелгәннәр буенча (а„) арифметик прогрессиясенең
беренче п буыны суммасын табыгыз:
а) a, = -3, d = 1,5, В = 16;
б) o,= 121, d»-3,l, в = 25;
в) ai = -2,5, d = -0,5, п = 40;
г) о, = 4,5, d = 0,4, п = 100.
016.37. п нчы буыны формуласы буенча (а„) арифметик про¬
грессиясенең беренче утыз буыны суммасын табыгыз:
а) ал = 4п + 3; в) а„ = -2п + 8;
б) а„ = 0,5в - 3; г) ап • -2,5в - 6.
016.38. (а„) арифметик прогрессиясе өчен таблицаны тутырыгыз:
«♦
а
IB.
л
s.
7
4
13
2
2
80
56
26
11
2
87
801
21
7
105
101
016.39. Әгер а, = 10, а|0 = 19 булса, арифметик прогрессиянең (а„)
беренче ун буыны суммасын табыгыз.
16.40—16.42 номерларда арифметик прогрессия (а,) бирелгәв.
016.40. a) аи + а13 булганда, а12 не табыгыз;
б) 0|9 « 5 булганда, а|в + а2о не табыгыз;
в) alt + ахч - -2 булганда, а16 ны табыгыз;
г) а7 = 4 булганда, at + а, не табыгыз.
016.41, а)а, + а20 = 64 булганда, а2+ а19 ны табыгыз;
б) аэ + ар = -40 булганда, ах + д19 не табыгыз;
в) аг + а16 = 25 булганда, а( + а|в ны табыгыз;
г) Д| + а3, = -10 булганда, aiq + <Zi6 ны табыгыз.
016.42. a) а9 + аи = 44 һәм а18 + а21 = 104 икене билгеле булса,
аю + аго не табыгыз.
б) а14 + а1в= -20 һем а2, + а31 = 40 икене билгеле булса, а15
+ а1П ны табыгыз.
016.43. х, 2х-1, 5х саннары арифметик прогрессиянең рәттән
килүче буыннары булсын өчен, х ның кыйммәтләре нинди
булырга тиеш?
016.44. 2у+5, у, Зу-8 саннары арифметик прогрессиянең рәттән
килүче буыннары булсын өчен, у ның кыйммәтләре нинди
булырга тиеш?
016.45. а) 7 гә кабатлы барлык икеурынлы саннар суммасын
табыгыз.
б) 5 кә бүлгәндә 2 калдык кала торган барлык икеурынлы
саннар суммасын табыгыз.
016.46. а) 8 гә кабатлы барлык өчурынлы саннар суммасын табы¬
гыз.
б) 12 гә бүлгәндә 5 калдык кала торган барлык өчурынлы
саннар суммасын табыгыз.
16.47. (а„) арифметик прогрессиясенең п нчы буыны формуласы
буенча а, һәм d ны табыгыз:
„ Зл -2
в) а„= —-—;
□
/7п - 5
г) ал г—
V#
102
16.48. Арифметик прогрессиянең (а„) п нчы буыны формуласын
тезегез:
а) а6=1б, а„ =29; в) а? = 20, ais = 40;
б) а» = -30, в|, = -45; г)л6 = 0,2, Д1в = _7,б.
16.49. Арифметик прогрессиянең (а,) сигезенче буынын һәм
аермасын табыгыз:
а) = 8, 01 =-2; в) а, =-7, а? = ~1;
б) а7 = 4, а, =-4; г) ав = -0,9, а? “ -0,7.
16.60. a) -8 һәм -35 саннары арасына шундый ике сан куегыз,
бу саннар арифметик прогрессиянең рәттән килүче дүрт
буыны булсын. Бу прогрессиянең аермасын табыгыз.
б) -6 һам —15 саннары ярасына шундый ике сан куегыз,
бу дүрт сан арифметик прогрессиянең раттән килүче
буыннары булсын. Бу прогрессиянең аермасын табыгыз.
16.51. Түбәндә чикле арифметик прогрессия (а„) бирелгән.
а„ ны табыгыз:
а) at=-j2, d = 1 +■ -J2, n = 7;
б) a, = 3-/5, d=2/5, n = 15;
n = 12;
n = 9-
прогрессия (я„) бирелгән.
a[He табыгыз:
./з - 1 —
а) d = ——-, п = 24, a„ = 10/3 - 4;
б) d = I + q, п = 28, a„ = 28 + 27<?;
B)d= у, n = 21, a„= 2/3 +5;
r) d = 1 - 31, n — 22, a„ = I.
B)at=9^3 -2, d = 2- -J3,
5./3-Г , .2-2
—• d
• 16.52. Түбәндә чикле арифметик
16.53.
Түбәндә чикле арифметик прогрессия
d ны табыгыз:
. 2 J3 + 3 2^3-3 , q
а) a, = j—. а„ -—, п = 18;
б) a, = 3-7m, а„ = m - 5, п = 9;
в) а, = /5 - 1, а„ = 0, п =6;
г) а, = 13-8р. а„ = 2р + 3, п=11.
(a„) бирелгән.
103
16.54. Түбәндә чикле арифметик прогрессия (о„) бирелгән.
п ны табыгыз:
а) а,= 5,/3, </=1-^3, а„ = 6 -/3;
б) а, - 5 - /2, d= 2/2 - 1, а„ - 13^2 - 2;
в) в1-5- /б, d = 2-/5, ал = 13-б/5;
. bJS-7 , Л-2 ,
r)Oi*—;—. d- —-—, ая«1.
л а
16.55. b саны бирелгән арифметик прогрессиянең (а„) буыны
буламы? Әгәр булса, бу буынның номерын күрсәтегез:
а) а„ = 13 - 0,4л, 6 = 4,6;
б) а„ = Зп-5,7, 6 = 69,4;
в) ал = 5п - 104, 6 = 21;
г) а„ = 21,3- 1,7п, 6 = 4,3.
• 16.56. Арифметик прогрессиянең (ап) кайсыдыр номерыннан
башлап, барлык буыннары да бирелгән А саныннан
кечерәк. Бу иң кечкенә номерны табыгыз:
а) а„= 12-Зл, А = -41;
б) йл= 3^3 - п]3, А = -7;
в) а„= 117- 5,5л, А = 10;
г) а„ = 15^2 - п(/2 - 1), А = -1.
• 16.57. Арифметик прогрессиянең (а„) кайсыдыр номерыннан
башлап, барлык буыннары да бирелгән А саныннан зуррак.
Бу иң кечкенә номерны табыгыз:
а) а„ - 7п- 121, А = J3;
б) а„ = л/2 - 4/2, А = 21;
в) ая = 5п- 17,7, А = 2 + з/5;
г) ая = я(/5-1) - з/б, А=5.
16.58. Арифметик прогрессия ап = 6п - 306 формуласы
белән бирелгән. Нинди иң кечкенә номердан башлап,
прогрессиянең барлык буыннары:
а) -12 дән зуррак;
б) уңай кыйммәтле;
в) [300; +СЮ) нурында яталар;
г) (-6; +оо) ачык нурында яталар?
104
• 16.59. а) 7 гә бүленә һәм 13 кә бүленми торган барлык ечурынлы
саннар суммасын табыгыз.
б) 7 гә дә, 13 кә дә бүленми торган барлык өчурынлы саннар
суммасын табыгыз.
16.60. Бетен саннардан торучы арифметик прогрессиянең тугы¬
зынчы буынын икенче буынга бүлгәндә, өлеш 5 кә тигез,
ә унөченче буынны алтынчы буынга бүлгәндә, елеш 2 гә,
калдык 5 кә тигез була. Прогрессиянең беренче буынын
һәм аермасын табыгыз.
16.61. Дүртурынлы санның цифрлары суммасы 16 га тигез. Әгәр
бу сан цифрларының арифметик прогрессия төзегәне һәм
берәмлекләр цифрының йөзләр цифрыннан 4 кә зуррак
икәне билгеле булса, бу санны табыгыз.
16.62. -100 һәм -78 саннары арифметик прогрессиянең тиңдәшле
рәвештә җиденче һәм тугызынчы буыннары булып тора.
Бу прогрессиянең унбишенче буынын һәм беренче егерме
буыны суммасын табыгыз.
16.63. Төз ату буенча ярышларда спортчы 25 атыштан торган
сериядә һәр тидерә алмау өчен штраф очколары ала: беренче
тидермәү өчен — бер штраф очко, шуннан соңгы һәрбер
ялгыш өчен — алдагысыннан 0,5 кә зуррак очко. 7 штраф
очко җыйган спортчы ничә тапкыр мишеньгә тидергән?
16.64. Авыру түбәндәге схема буенча дару эчә: беренче көнне ул
5 тамчы дару, ә шуннан соңгы һәр көнне аннан алдагы
көндәгедәй 5 тамчыга артыграк дару кабул итә. Шулай
эчеп 40 тамчыга җиткәннән соң, ул 3 көн дәвамында көнгә
40 ар тамчы эчә һәм, аннан соң, көн саен 5 кә киметә
барып, иң соңгы көнне 5 тамчы дару эчә. Әгәр бер дару
шешәсендә 20 мл (200 тамчы) дару булса, бу авыруга ничә
шешә дару сатып алырга кирәк?
16.65. Әкәм-төкәм агачның төбеннән башлап, өскә таба үрмәли.
Беренче минутта ул 30 см га күтәрелә, а шуннан соңгы һәр
минутта алдагысыннан 5 см га артыграк үрмәли. Әкәм-
төкәм 5,25 м лы агач башына күпме вакыт эчендә менеп
җитәр?
105
16.66. Альпинистлар беренче көнне 1400 м га, а аннан соңгы
һәр көнне алдагы көннән 100 м га кимрәк биеклеккә
күтәреләләр. Алар 5000 м биеклеккә ничә көндә менеп
җитәрләр?
16.67. Өч сан билгеле бер тәртиптә арифметик прогрессия
төзиләр. Әгәр кырый буыннарның өчләтелгән суммасы
234 кә тигез булса, уртадагы санны табыгыз.
• 16.63. х ның нинди кыйммәтләрендә бирелгән саннар күрсәтелгән
тәртиптә чикле арифметик прогрессия төзиләр:
а)х-4, ^х-3, х-6; б)4х + 6, ^5-4х, -х-1.
•16.69. Әгәр - саннары бирелгән тәртиптә чикле арифметик
0 Р С
прогрессия төзесәләр, түбәндәге тигезлекнең дөрес икәнен
исбатлагыз:
a) ab + Ъс + ас = Зас; б) - + - = 2.
с а
1 1 I
•16.70. Әгәр ‘ „ саннары бирелгән тәртиптә чикле
арифметик прогрессия төзесәләр, аг, Ь2, сг саннарының да
чикле арифметик прогрессия төзүен исбатлагыз.
§17. ГЕОМЕТРИК ПРОГРЕССИЯ
17.1. Бирелгән (б,) геометрик прогрессиясенең беренче алты
буыны суммасын табыгыз:
а) Ь, = -1, q - 3; в) = -1, д = -3;
б) Ь, = -2, д = г) б, « 20, д - 6.
17.2. 3 санының натураль күрсәткечле барлык дәрәҗәләренең
үсә баручы эзлеклелеге бирелгән. Бу эзлеклелек геометрик
прогрессия буламы? Әгәр булса, аның ваклаучысы ничәгә
тигез?
17.3. 10 санының тискәре бөтен күрсәткечле барлык дәрәҗә¬
ләренең кими баручы эзлеклелеге бирелгән. Бу эзлеклелек
геометрик прогрессия буламы? Әгәр булса, аның вак¬
лаучысы ничәгә тигез?
106
Түбендәге эзлеклелекләрнең кайсылары геометрик
прогрессия була?
17.4. а) 3, 9, 27, 81, 243,
6)3, 6, 9, 12, 15,...;
Г> Л.
017.5. а) х„ - в)х.-|.Зя;
б)х„ = 4л + 3; г)х„ = 125-5".
Түбенде китерелгән геометрик прогрессияләрнеи кайсы
лары үсә баручы, кайсылары — кими баручы?
17.6. а) 3, 9, 27,...; в)4,1,
• ■ - - 4
Ji 2 Ji
6)-2, 8,-32,...; DV’I’ “F””
017.7. a)b( = 2, q =
<5> Ьх • -J2, g«
в) b, = -3, q = -5;
. . _ гт 3
г) bi «5/3, д я -j
017.8. Геометрик прогрессиянең ваклаучысын табыгыз:
а) 2, /2, 1,
в) 3“, 3“ З1*, ...;
зТз Л зЛ .
°' 3’1 8 ’
г) 1^.6/5.2175
7
17.9. (Ь„) геометрик прогрессиясенең күрсәтелгән буыннары8
Ь, һәм q аша языгыз:
а)Ь#; б)Ь(1; в) Ь„; г) bto.
017.10. (Ь„) эзлеклелеге — геометрик прогрессия. Табыгыз.
а) (Ь4) не, b, = 128, q • булганда;
б) Ь5не, Ь| = 270, q = - булганда;
1. q • Jb булганда;
о ’
г) be ны bt ■ 625, q - — булганда.
О
в) Ьв не, Ь,
107
017.11. (b„) геометрик прогрессиясенең күрсәтелгән буынын
бирелгән шартлар буенча табыгыз:
a)ft,=-2, д = -1Ь ft4=?
6> Ь. = J6, q = /2; ft5 = ?
в) bt = 3, q = -0,75; ft4 = ?
г) b, = 5/б. q = (Vb) ba = ?
017.12. Түбәндәге шартлар буенча бирелгән (ft.) геометрик
прогрессиясе өчен ft, һәм q не табыгыз:
а) Ь? = 8, Ь3 = -32;
3 3
в) ъг = -. Ь3 -
г 4
б) Ь4 = 1, ft„ =
г) Ьь = 6, Ьа = 3.
Геометрик прогрессиянең п нчы буыны формуласын чыгарыгыз:
17.13. а)Ь, = 3. fl = 2;
в) ft, = 2,5, fl = -0,2;
6)ft. = -2,5, fl= -L;
72
г) ft, = З/З, fl = 3*.
017.14. a) 8. 4,2, ...;
в) 4, 1, 1, ...;
4
4 16 64
г) J 2, 2, 2/2, ....
017.15. (Ь„) геометрик прогрессиясенең п нчы буыны формуласы
буенча Ь, һәм q не табыгыз:
017.10. а) 18 һәм 2 саннары арасына шундый уңай сан куегыз,
бу саннар геометрик прогрессиянең рәттән килүче өч
буыны булсын.
6) 16 һәм 64 саннары арасына шундый тискәре сан куегыз,
бу саннар геометрик прогрессиянең рәттән килүче өч
буыны булсын.
108
017.17. В саны бирелгән (5Я) геометрик прогрессиясенең буыны
буламы? Әгәр булса, бу буынның номерын күрсәтегез:
а) бл В = ^;
б) Ьп = 0,002 (7б)П \ В = 0,25;
в) һ = -3’~\ В = 63;
9
г) Ь„ = £ 0.5s"4 \ В -
017.18. (Ь„) чикле геометрик прогрессиясе бирелгән. Түбәндәгеләр
буенча геометрик прогрессиянең Ь„ ваклаучысын табыгыз:
а) 5> = 1, q = 3, п ■ 10; в) bt = 8, q = п = 5;
2
б) b. = q = п = 6; г) Ь, = 2,5, д = 1,5, п = 5.
2 3
017.19.
(t>„) геометрик прогрессиясенең ваклаучысын табыгыз:
а) 51 = 7, 5« = 448;
в)5, = 35, Ьл = —;
49
6) 5,= -72, Ьл= 16;
017.20.
а) 51 = 5, 5» = 1280;
б) 51= ЮО, 5.= 41
2»
в) bt = 2,b, = 1458;
г) 6, « 72; Ьа = 2.
017.21.
Түбәндә (5,) чикле арифметик прогрессиясе бирелгән, п
ны табыгыз:
. . 1 1 . 1
■) 5. = ч = 5„ = —;
3 3 729
б) 5, = 256, q = 5. = 2;
в) 5, - 2,5, q = ' 5Я = 4 10*;
5
г) 5. « , q = -7, 5„ « -2401.
343
109
017.22. (6„) геометрик прогрессиясенең беренче буынын һәм q
ваклаучысын табыгыз, биредә:
а) Ь7 = 192. = 48 (g > 0); в) 63 = з|, be « -Ц;
б) Ь2 = 24. Ьь = 81; г) Ь3 = 12, Ьь = 48 (q < 0).
017.23. 1 һәм ~ саннары арасына шундый ике уңай сан куегыз,
П
бу саннар геометрик прогрессиянең рәттән килүче дүрт
буыны булсын.
017.24. Ягы 32 см булган төзек өчпочмак эченә бер-бер артлы
өчпочмаклар камала; һәр өчпочмакның түбәләре аннан
алдагы өчпочмак якларының урталары булып тора. Бу
өчпочмаклар периметрларының геометрик прогрессия
төзүен исбатлагыз. Табылган геометрик прогрессиянең
п нчы буыны формуласын языгыз.
017.25. Түбәндәге шартлар буенча бирелгән (5„) геометрик про¬
грессиянең беренче дүрт буыны суммасын табыгыз:
а) 6, = 1, q = 2; в) bt - 1, 9 = -J
0
б) 6, = 3,д = 4; г) 6, = 4, д = -\
2
017.26. Түбәндәге шартлар буенча бирелгән (t»„) геометрик про¬
грессиянең беренче алты буыны суммасын табыгыз:
а) 6, = 18, д = -; в)6,=-12, 9 =—I
3 2
2 п;
б) 6, = 15, 9 = -; г) 6, =-9, 9» V3¬
3
017.27. (6„) геометрик прогрессия өчен 5„ ны табыгыз:
а) 6, = б, 9 = 2, п = 6;
б) 6, =-1,д = -1.5, л = 8;
в) 6, = —4, 9 - "• п = 13;
г) 6, = 4.5, 9 = 1, п = 8.
110
017.28. Геометрик прогрессиянец беренче биш буыны суммасын
табыгыз:
. , » » .
а) 3, 6, 12,в) -3, --
б) -1, 2, -4, г) V2, 3^2, 9^2, ....
017.29. (Ьл) геометрик прогрессия өчев Ss ны табыгыз:
а) Ь, = 160, = 320; в) b3 = 1, b& = 1 (д > 0);
б) Ь7 = 8, b9 = 16 (q < 0); г) *4 = 3/3, &7 = 27.
017.30. (бя) геометрик прогрессия өчен таблицаны тутырыгыз.
б.
Ч
и “
*.
3.
15
3
21¬
3
3
18
26
11
2
6
2*’
32
/3
Л
4(з + 7з)
1
3
6
б
81
25
169
13
5
4
2х/б
1
&
1
3
017.31. а) Ь2 = 4, bt = 16. q һәм &« не табыгыз (Ь3 > 0);
б) б6 = 12, Ь7 = 3. q һам бв не табыгыз (Ье < 0);
в) b2i = 7, Ь27 = 21. q һәм бм не табыгыз (Ь20 < 0);
г) &„ = 15, Ь6 = 5. q һәм 5тне табыгыз (б7 > 0).
111
017.32. Үзгәрешле t ның нинди кыйммәтләрендә t, At, 8 санна¬
ры геометрик прогрессиянең эзлекле килүче буыннары
була?
017.33. Үзгәрешле у нык нинди кыйммәтләрендә -81, 3{/, -1 сан¬
нары геометрнк прогрессиянең эзлекле килүче буыннары
була?
017.34. Үзгәрешле х нык нинди кыйммәтләрендә х - 1, >/Зх, бх
саннары геометрик прогрессиянең эзлекле килүче буын¬
нары була?
017.35. Клиент банктан 5 елга еллык 20% белән 50000 евро кредит
ала. Кредит түләү шартлары түбәндәгечә булса, бу срок
ахырында ул банкка ничә сум акча кайтарып бирәчәк:
а) процентларны банкка ел саен түләргә кирәк;
б) кредит процентлары белән бергә тулысынча срок ахы¬
рында түләнеп бетә.
17.36. Геометрик прогрессия п нчы буын формуласы белән
бирелгән. Аның беренче буынын һәм ваклаучысын табы¬
гыз:
в)5 =Л;
б)б=-^-; г) й = -1.2"*1,
(-б)" 1 " 7
17.37. Нинди иң кечкенә номердан башлап, геометрик про¬
грессиянең (6.)барлык буыннары А саныннан зуррак була:
а) б„ = 4-3' *,А = 324;
б) Ьп = 3,5 (xM)"’2, А = 14;
в) Ь, = 2*5’*А = 1250;
г) Ь„ = - (7з)"+3, А = 32,4?
5
112
17.38. Геометрик прогрессиянең бирелгән А саныннан кечерәк
булган барлык буыннарының номерларын күрсәтегез:
а) 1, 3, 9. 27 А = 729;
б) 3, 1,5,0,75 А= —;
32
в) 243, 81,27, ...,А =
Н1
г) 16, 8ч/2, 8 А= 1.
17.39. Чикле геометрик прогрессиядә аның беренче буыны t>i,
ваклаучысы q һәм барлык буыннары суммасы S„ күрсәтелгән.
Прогрессиянең буыннары санын табыгыз:
а) = 5, q = 3, S„ - 200;
б) bt = -1, q = —, S = -1—;
2 64
B)&t = 3, q = 2, S„ - 189;
1 _ „13
r)6, = 3, q = S = 4—.
3 2i
17.40. a) ) Үсә баручы геометрик прогрессия (&„) бирелгән. Әгәр
= >/з, Ь9 = 81 >/3 булса, бу прогрессиянең ваклаучысын
һәм беренче өч буынын табыгыз.
б) Кими баручы геометрик прогрессия (fe„) бирелгән. Әгәр
bt = 375, b3 = 15 булса, бу прогрессиянең ваклаучысын
һәм беренче өч буынын табыгыз.
17.41. а) Тамгалары чиратлашып баручы геометрик прогрессия
(Ь„) бирелгән. Әгәр « 5, Ьг = 80 булса, бу прогрессиянең
ваклаучысын һәм беренче биш буыны суммасын
табыгыз.
б) Тамгалары чиратлашып баручы геометрик прогрессия
(t>n) бирелгән. Әгәр = 1, = 8 булса, бу прогрессиянең
ваклаучысын һәм беренче җиде буыны суммасын
табыгыз.
17.42. Үсә баручы геометрик прогрессиянең беренче буыны 4 кә,
ә өченче һәм бишенче буыннар суммасы 80 га тигез. Әгәр
прогрессия үсә баручы булса, q һәм һ10 ны табыгыз.
17.43. 1 һәм 81 саннары арасына шундый өч сан куегыз, бу саннар
барысы бергә геометрик прогрессия төзесеннәр.
17.44. Геометрик прогрессиянең икенче һәм өченче буыннары
аермасы 18 гө, ә аларның суммасы 54 кә тигез. Про¬
грессиянең беренче буынын һәм ваклаучысын билгеләгез.
ИЗ
17.45. Беренче өч буыны суммасы 14 кә< ә соңгы өч буыны
суммасы 112 га тигез булган һәм алты буыннан торган
чикле геометрик прогрессия төзегез.
17.46. Турыпочмаклы параллелепипедның буе, иңе Һәм биеклеге
геометрик прогрессия төзиләр. Параллелепипедның
күләме 216 мэ, ә барлык кабыргалары суммасы 104 м га
тигез. Параллелепипедның үлчәмнәрен табыгыз.
17.47. (Ь„) геометрик прогрессиясенең беренче алты буыны
квадратлары суммасын табыгыз:
a) fe, = 3, q = /2;
в) Ь, = 9j3, q = U:
г) Ц = 712, q =(ЛГ.
Суммаларны табыгыз:
17.48. a) 1 + 2 + 22 + ... + 2‘; ■> - + Л + - +4;
3 З2 з
бИ ■ i * ? ‘ + 7°': г) 1 - з + зг - з» +•... - 3’.
17.49. а) 1 + х + х2 + ... + х100; в) х2 - х4 + х* - ... - х20;
б) х + х’ + хь + ... + х”;
+ 7о> **°-
• 17.50. Буыннар саны җөп булган чикле геометрик прогрессиядә
җөп урыннарда торган буыннар суммасының так урын¬
нарда торган буыннар суммасына чагыштырмасы про¬
грессия ваклаучысына тигез икәнен исбатлагыз.
17.51. Тере организмга эләккән бактерия, 20 нче минут ахырына
2 бактериягә бүленә, аларның һәркайсы шуннан соңгы 20
минут ахырына тагын 2 гә бүленә һәм шулай дәвам итә. Тәүлек
ахырына организмда ничә бактерия барлыкка килүен табыгыз.
17.52. Бервакыт бай бер ай буена һәр көнне 100 әр мен сум акча
китерергә тиешле кеше белән үзенчә бик отышлы килешү
төзегән: моның өчен бай аңа айның беренче көнендә 1 тиен,
114
икенчесендә — 2 тиен, өченчесендә - 4 тиен, дүртенчесендә
8 тиен һ.б. биреп барырга тиеш булган. Бай ничә сум алган
һәм ничә сум биргән? Бу килешүдә кем откан?
•17.53. Өч сан чикле геометрик прогрессия төзи. Әгәр соңгы санны
16 га киметсәләр, чикле арифметик прогрессия килеп
чыга. Беренче сан 9 га тигеә булса, калган ике санны
табыгыз.
• 17.54. Чикле арифметик прогрессияне төзүче өч санның суммасы
24 кә тигез. Икенче санны 1 гә, ә соңгы санны 14 кә
зурайтсалар, чикле геометрик прогрессия килеп чыга. Бу
саннарны табыгыз.
• 17.55. Геометрик прогрессиянең беренче өч буыны суммасы
91 гә тигез. Бу саннарга тиңдәшле рәвештә 25, 27 һәм 1
не кушсалар, ниндидер арифметик прогрессиянең рәттән
килүче өч буыны килеп чыга. Әгәр баштагы геометрик
прогрессиядәге җиденче буынның 1000 нән кечерәк икәне
билгеле булса, аны табыгыз.
• 17.56. Суммалары 31 гә тигез булган өч санны ниндидер геомет¬
рик прогрессиянең рәттән килүче өч буыны яки ниндидер
арифметик прогрессиянең беренче, икенче, җиденче
буыннары дип карап була. Бу саннарны табыгыз.
• 17.57. Биржада дүшәмбе кич «Яңарыш» банкы акцияләренең
бәясе ничәдер процентка күтәрелә, ә сишәмбе акцияләр
бәясе шул процентка кими. Нәтиҗәдә сишәмбе кич
акцияләр бәясе үзенең дүшәмбе иртән булган бәясенең
99% ын тәшкил итә. Дүшәмбе һәм сишәмбе көннәрендә
акцияләр котировкасы ничә процентка үзгәргән?
• 17.58. Ниндидер товар бәясен өч тапкыр бер үк процентка күтәрү
нәтиҗәсендә, товарның бәясе үзенең беренче бәясеннән
72,8% ка артып китә. Товар бөясе ничәшәр процентка
артып барган?
115
Өй контроль эше № 4
1 иче вариант
1. fa санының унарлы якынчалыклары эзлеклелегеиең берек¬
че дүрт буынын языгыз:
а) киме белен алынганы буенча;
б) артыгы белән алынганы буенча.
„ 20
2. и - —— эзлеклелегеиең графигын төзегез.
*" п + 2
3. Үсә баручы эзлеклелек, 5 кә бүлгәндә, 1 калдык бирүче барлык
натураль саннардан тора. Аның арифметик прогрессия булу
булмавын ачыклагыз. Әгәр булса, прогрессиянең береиче
буынын Һәм аермасын күрсәтегез.
4. Әгәр а3 - 64, а10 = 22 булса, (а„) арифметик прогрессиясенең
п нчы буыны формуласын төзегез.
5. 4 нче биремдә бирелгән прогрессиянең барлык уңай буыннары
суммасын табыгыз.
6. &J, Ь*2, .... bj. ...эзлеклелеге геометрик прогрессия төзесә,
bi, Ь2, ..., Ь„, ... эзлеклелегеиең дә шулай ук геометрик
прогрессия төзүен исбатлагыз.
'•» 1
7. (6J геометрик прогрессиясе бирелгән. Әгәр q - ' ' Ьь = —
булса, bi не табыгыз. 3 v'3
8.
л/2 J2 >/2
2’4* Я ’
... геометрик прогрессиясенең беренче биш
буыны суммасын табыгыз.
9. Геометрик прогрессиянең бишенче буыны дүртенче бу¬
ыныннан 168 гә зуррак, ә өченче һәм дүртенче буыннары
суммасы _28 гә тигез. Прогрессиянең беренче буынын һәм
ваклаучысын табыгыз.
10, Цифрлары геометрик прогрессия төзи торган өчурынлы
санны табыгыз. Әгәр бу саннан 792 не алсак, шул ук цифрлар
белән, тик кире тәртиптә язылган сан табыла. Әгәр йөзләр
цифрыннан 4 не алып, калган цифрларны үзгәрешсез
калдырсак, цифрлары арифметик прогрессия төзи торган
сан килеп чыга.
114
2 нче вариант
1. санының унарлы якынчалыклары эзлеклелегенен беренче
дүрт буынын языгыз:
а) киме белен алынганы буенча;
б) артыгы белен алынганы буенча.
2 — п
2. Уп = эзлеклелегенең графигын тезегез.
3
3. Үсә баручы эзлеклелек 7 ге кабатлы барлык натураль
саннардан тора. Аның арифметик прогрессия булу-булмавын
ачыклагыз. Әгәр булса, прогрессиянең беренче буынын һәм
аермасын күрсәтегез.
4. Әгәр ак«40, а16« -22 булса, (а„) арифметик прогрессиясенең
п нчы буыны формуласын тезегез.
5. 4 нче биремдә бирелгән прогрессиянең барлык тискәре
буыннары суммасын табыгыз,
6. Ъг, Ь„. ... эзлеклелеге геометрик прогрессия теэесә,
б’, ftj, ...» b3, ... эзлеклелегенең дә шулай ук геометрик
прогрессия тезүен исбатлагыз.
7.
Чикле (б,) геометрик прогрессиясе бирелгән. Әгәр д в
4
бв = — булса, Ь, не табыгыз.
О 1
1
з’
8. >/3, -1, ~р> ... геометрик прогрессиясенең беренче биш
V3
буыны суммасын табыгыз.
9. Геометрик прогрессиянең дүртенче буыны икенче буыныннан
24 кә зуррак, ә икенче һәм өченче буыннары суммасы 6 га
тигез. Прогрессиянең беренче буынын һәм ваклаучысын
табыгыз.
10. Цифрлары арифметик прогрессия төзи торган өчурынлы
санны табыгыз. Әгәр бу саннан 792 не алсак, шул ук цифрлар
белән, тик кире тәртиптә язылган сан табыла. Әгәр дистәләр
цифрыннан 2 не алып, калган цифрларны үзгәрешсез
калдырсак, цифрлары геометрик прогрессия төзи торган сан
килеп чыга.
5
БҮЛЕК
КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА ҺӘМ
ИХТИМАЛЛЫЛЫК
ТЕОРИЯСЕ ЭЛЕМЕНТЛАРЫ
§18. КОМБИНАТОРИКА МӘСЬӘЛӘЛӘРЕ
018.1. Барлык:
а) икеурынлы саннарның;
б) төрле цифрлардан торучы икеурынлы саннарның;
в) цифрлары суммасы 16 дан зур булган икеурынлы
саннарның;
г) цифрлары тапкырчыгышы 2 дән ким булган икеурынлы
саннарның санын табыгыз.
018.2. 4,6, 7 цифрларыннан цифрлары кабатланмый торган төрле
өчурынлы саннар төзиләр.
а) Иң зур санны табыгыз.
б) Икенче цифры 7 гә тигез булган иң кечкенә санны та¬
быгыз.
в) 7 цифрына тәмамланган ничә сан төзеп була?
г) Барысы ничә сан төзеп була?
018.3. О, 1, 4, 8, 9 цифрларыннан икеурынлы саннар төзиләр
(цифрлар кабатланырга мөмкин).
а) Иң зур санын табыгыз.
б) 9 га кабатлы булган иң кечкенә санны табыгыз.
в) Ничә җөп сан төзергә мөмкин?
г) 8 гә кабатлы булган барлык саннарны әйтеп чыгыгыз.
018.4. Иртәнге аш өчен ак. кара һәм арыш ипие телемнәренә сыр
яки казылык куярга мөмкин. Бутербродны чәй, сөт яки
кефир кабып ашарга була.
а) Мөмкин булган иртәнге аш вариантлары агачын ясагыз.
б) Ничә очракта сөт сайлап алына?
в) Кайсы ихтималрак: арыш ипие алынуымы, сырлы бу¬
тербродмы?
г) Әгәр сырны кара ипигә куймасалар, ә казылык белән
кефир бергә ашалмаса, вариантлар агачы ничек үзгәрер?
118
018.5. Савытта кул белен тотып аера алмаслык биш ак һәм дүрт
кара шар ята. Бер үк вакытта ике шар алына. Әгәр шарлар
төрле төстә булса, аларны кырыйга алып куялар, бер ук
төстә булсалар — кире савытка салалар. Бу операция ике
тапкыр кабатлана.
а) Мөмкин табылган вариантлар агачын ясагыз.
б) Ничә очракта савытта тугыз шар кала?
в) Ничә очракта савытта биштән артык булмаган шар кала?
г) Шартта операцияләр санын еч дип үзгәрткәндә, мөмкин
булган вариантлар агачын ясагыз.
О18.в. Коридорда өч лампочка бар.
а) Барлык лампочкалар да янмаган очракны да кертеп,
коридорны яктыртуның ничә ысулы бар?
б) Әгәр 1 нче һәм 2 нче лампочкаларның бер үк вакытта
януы яки янмавы билгеле булса, яктыртуның ничә ысу¬
лы бар?
в) Әгәр 3 нче лампочка янганда, 2 нче лампочканың янмавы
билгеле булса, яктыртуның ничә ысулы бар?
г) Күпчелек лампочкалар янганда, коридорны яктыртуның
ничә ысулы бар?
018.7. Берничә ил үзләренең дәүләт байраклары өчен бер үк
киңлектәге һәм төрле — ак, зәңгәр, кызыл, яшел төсләрдәге
вертикаль полосалар белән бүленгән турыпочмаклык
сайлап ала. һәр илнең — үз байрагы. Барысы ничә ил:
а) мондый байрак сайлый ала;
б) беренчесе ак полоса булган байрак сайлый ала;
в) өченчесе яшел полоса булмаган байрак сайлый ала;
г) рәттән зәңгәр һәм кызыл полосалары булган байрак
сайлый ала?
018.8. Буйый торган китапта үзара кисешми торган өчпочмак,
квадрат һәм түгәрәк ясалган, һәр фигураны — салават
күперенең бер төсенә һәм төрле фигураларны төрле
төсләргә буярга кирәк.
а) Буяуның ничә ысулы бар?
б) Түгәрәк кызгылт булган ысуллар ничә?
в) Өчпочмак кызыл булмаган ысуллар ничә?
г) Салкын төсләргә буяу ысуллары ничә?
11?
018.9. Координат ал ар яссылыгында абсциссалары һәм ордината¬
лары -3, -1, 1, 2, 7 саннарының берсенә тигез булган
барлык нокталар билгеләнгән (кабатлаулар мөмкин).
а) Барысы ничә нокта бар?
б) Ничә нокта ординаталар күчәреннән сулдарак?
в) Ничә нокта абсциссалар күчәреннән өстәрәк?
г) Ничә нокта үзәге координаталар башында, ә радиусы 5
булган түгәрәк эчендә?
018.10. х = 2Л3Ь& икәне билгеле, биредә а, Ь, с — (О, 1, 2, 3)
күплегендәге саннар (тәңгәл килүләр мөмкин).
а) х санының иң кечкенә һәм иң зур кыйммәтен табыгыз.
б) Шундый ничә сан төзергә мөмкин?
в) Алар арасында ничә җөп сан бар?
г) Алар арасында нуль белән беткән ничә сан бар?
Исәпләгез:
018.11, а) 7!: 6) 8!; в) 6! — 51; г) *'
.101. 11! . .511 , 14!
018.12. а) 6), б) 5) в1, ») 49Г г> 7! 3! 4Г
018.13. 11! бу санга бүленәме:
а) 64; 6)25; в) 81; г) 49?
018.14. Вакланманы кыскартыгыз:
п! л!
а; (п - 1)!’ 2! ■ (л - 2)1*
(2> ч- 1)!. (4т - 1)!
(2k - 1)!’ Г’ (4m - 3)1’
018.15. Тигезләмәне натураль саннарда чишегез:
а) л! = 7(л — 1)!; в) (k — 10)! = 77(й — 11)1;
б) (т + 17)! = 420(т + 15)!; г) (Зх)! = 504(Зх — 3)1.
018.16. Өйгә кунаклар — A, В, С, D килә. Түгәрәк өстәл артында
биш төрле урындык тезелгән.
а) Кунакларны утыртуның ничә юлы бар?
б) Әгәр хуҗаның урыны билгеле булса, утыртуның ничә
юлы бар?
120
в) С кунагын А кунагы янына утырту кирәклеге билгеле
булса, утыртуның ничә юлы бар?
г) А кунагын D кунагы янына утыртырга ярамавы билгеле
булса, кунаклар утыртуның ничә юлы бар?
18.17. 0, 2, 8, 9 цифрларыннан терле өчурынлы саннар төзиләр
(цифрлар кабатланырга мөмкин).
а) Ик кечкенә санны табыгыз.
б) 250 дән кечерәк барлык саннарны күрсәтегез.
в) 900 дән зуррак барлык так саннарны күрсәтегез.
г) 40 ка кабатлы барлык саннарны күрсәтегез.
18.18. Портфель төбендә кул белән тотып аерылмый торган ике
гади Һәм өч төсле карандаш бар. Укучы ал арны берәмләп
тартып ала. Ана төсле карандашлар кирәк, һәм алынган
гади карандашны ул кире портфель төбенә сала, ә төслесен
өстәлдә калдыра. Шундый операция өч талкыр кабатлана.
а) Мөмкин вариантлар агачын ясагыз.
б) Ничә очракта барлык алынган карандашлар гади була?
в) Ничә очракта барлык алынган карандашлар төсле була?
г) Ничә очракта алынган карандашлар арасында төслеләр
гадиләрдән күбрәк була?
• 18.19. Таблицада дүрт телеканалда яңалыклар чыгарылышы
турында мәгълүмат җыйналган.
1 нче
чыгарылыш
2 нче
чыгарылыш һ.б.
1 нче канал
(федераль)
6-00
9-00 һәм
Һәр 3 сәг саен
2 нче канал
(федераль)
8-00
11-00 һәм
һәр 3 сәг саен
3 нче кан&п
(төбәк)
6-00
10-00 һәм
һәр 4 сәг саен
4 нче канал
(шәһәр)
9-30
11-30 һәм
Һәр 2 сәг саен
Сез бер яңалыклар чыгарылышын карарга телисез. Түбән¬
дәге вакыт эчендә мөмкин вариантлар агачын ясагыз:
а) 6-00- 11-45; в) 15-00 - 19-45;
б) 12-00- 15-45; г) 18-00 - 23-45.
121
• 18.20. Укытучы контроль эш өчен сызыкча тигезсезлекләр чишү¬
гә дүрт мәсьәлә, биш текстлы мәсьәлә (икесе хәрәкәткә
һәм өчесе эшкә) һәм квадрат тигезләмәләр чишүгә алты
мәсьәлә (ике мәсьәләдә дискриминант тискәре) әзерләгән.
Контроль эштә күрсәтелгән һәр темага берәр мәсьәлә
булырга тиеш. Гомуми санын табыгыз:
а) контроль эшнең барлык вариантларының;
б) хәрәкәт мәсьәләсе кергән вариантларның;
в) квадрат тигезләмәнең кимендә бер тамыры булган вари¬
антларның;
г) эшкә карата мәсьәлә белән тамырлары булмаган квадрат
тигезләмә бер үк вакытта очрамый торган вариантларның.
18.21. Контроль эштә үтәлгән һәр биш темага караган 5 мәсьәлә
булачак. Һәр тема буенча укытучы унар мәсьәлә сайлаган.
Контроль эш нәкъ шулердан сайлап алыначак, һәр тема
буенча укучы сигез мәсьәләне чишә белә, ә икесен чишә
белми. Табыгыз:
а) контроль эш вариантларынын гомуми санын;
б) укучы барлык биш мәсьәләне дә чишә белгән вариантлар
санын;
в) укучы бер мәсьәләне дә чишә алмый торган вариантлар
санын;
г) укучы беренчесеннән башка барлык мәсьәләләрне дә
чишә торган вариантлар саяын.
• 18.22. х = 2“3*5Г икәне билгеле, а, Ь, с — {0, 1, 2, 3) күплеге
саннары,
а) х санының иң кечкенә һәм иң зур кыйммәтләрен табыгыз.
б) Барысы ничә шундый сан төзеп була?
в) Алар арасында ничә так сан бар?
г) Алар арасында 12 гә кабатлы ничә сан бар?
18.23. а) (0; 0), (2; 0), (3; 2) нокталары өчпочмакның түбәләре
булып тора. Бу түбәләрне А, В, С хәрефләре белән ничә
төрле итеп билгеләп була?
б) (0; 0), (0; 4), (3; 0), (3; 7) нокталары — трапеция түбәләре.
Бу түбәләрне К, L, М. N хәрефләре белән ничә төрле итеп
тамгалап була?
122
в) (1; -3), (0; 0), (0; 4), (3; 0), (3; 7) нокталары — кабарын¬
кы бишпочмакның түбәләре. Бу түбәләрне Р, R. S, Т, Q
хәрефләре белән ничә төрле итеп тамгалап була?
г) Ничә очракта в) биремендә PR — якларнын берсе булачак?
18.24. Волейбол командасында алты кеше уйный, ә мәйданчыкта
аларны урнаштыру өчен алты позиция (номер) бар.
а) Мәйданчыкта команда ничә төрле юл белән урнаша ала?
б) Капитан туп бирүче булганда, команда ничә юл белән
урнаша ала?
в) Капитан туп бирүче булмаган ничә урнашу юлы бар?
г) Капитан туп бирүче яки уенны башлаучы булган ничә
урнашу юлы бар?
•18.25. Аңлатманы гадиләштерегез:
(п + 2)1(пг - 9).
(п + 4)! *
1 п’ - п .
°' (л - 2)! (л + 1)!’
25т* - тг ( 1 ) 1.
в) (5т + 1)! [ 5 • (5т - 2)! J ’
(ЗЛ + 3)! *!.(* + 3)1(3fe + 1)
Г) (3*)! • *г + 5* + 6 ’
§19. СТАТИСТИКА: МӘГЪЛҮМАТ ДИЗАЙНЫ
19.1. Түбәндәге үлчәнешләрдә бирелгәннәрнең гомуми рәтен
күрсәтегез:
а) олы кешенең авырлыгы (кг);
б) рус телендә сүз озынлыгы (сүздәге хәрефләр саны);
в) көндәлек газетада битләр саны;
г) көндәлектә агымдагы билгеләр.
19.2. Түбәндәге үлчәнешләрдә бирелгәннәрнең гомуми рәтен
күрсәтегез:
а) 9 нчы сыйныф малайлары арасында биеклеккә сикерү
нәтиҗәләре (5 см га кадәр төгәллек белән);
б) шәһәр фатирында аш бүлмәсе мәйданы (м2);
в) шәһәр фатирында түшәм биеклеге (дм);
г) мәктәп аттестатында рус теле, татар теле, математика
буенча билгеләр суммасы.
123
019.3. Сатучы үзе саткан һәр карбызның авырлыгын язып барган
(0,5 кг төгәллек белән). Шундый саннар килеп чыккан:
8
5
6,5
7
9,5
10
11
8,5
8
6
7
8
9
10,5
11
6
7
8,5
9
10
8
12
11
10,5
7
7
6,5
10
8
9
5
8
11
10,5
8
8,5
7
8
10
9
6
8
7
10
11
8
12
7
8
10
7
6
9
11
8
8
6
10
12
8
а) Ул ничә карбыз саткан?
б) Карбыз авырлыгы үлчәүдә бирелгәннәр гомуми рәте
нинди?
в) Бу үлчәүдән иң кечкенә һәм ин, зур варианталарны
күрсәтегез.
г) 5, 8, 12 варианталарының кабатланышлары ничә?
д) Бирелгәннәрнең гомуми рәтендә бу үлчәү вариантасы
булмаган санны күрсәтегез.
019.4. Тугызынчы сыйныф укучыларының буйларын (см) үлчәү
нәтиҗәләре таблицасы бирелгән:
162
168
157
176
185
160
162
158
181
179
164
176
177
180
181
179
175
180
176
165
168
164
179
163
160
176
162
178
164
190
181
178
168
165
176
178
185
179
180
168
160
176
175
177
176
165
164
177
175
181
а) Укучыларның буйларын үлчәүдә бирелгәннәр рәте нинди?
б) Үлчәүләрнең иң кечкенә һәм иң зур вариантларын
күрсәтегез.
в) 168 һәм 179 варианталарының кабатланышы нинди?
г) Бирелгәннәрнең гомуми рәтендә бу үлчәү вариантасы
булмаган санны күрсәтегез.
019.5. Азык-төлек кибетендә бәяләрне бәя категорияләренә
бүләләр. Шундый бүленеш килеп чыккан (чик бәя
югарырак категориягә кертелә):
Бәя,суы
0 20
20-50
50-100
100—150
150—200
> 200
Бәя күрс. саны
31
52
47
38
19
13
а) Бәя күрсәткечләре бүленешенең үлчәү күләмен, ягъни
санын табыгыз.
б) *100 дән алып 150сумга кадәр» вариантасының ешлыгы
нинди ?
в) *200 сумнан зур яки тигез» вариантасының процентлар¬
дагы ешлыгы юлларын өстәгез.
г) Таблицага варианталар ешлыгы һәм аларның процент¬
лардагы ешлыгы юлларын өстәгез.
124
019.6. Махсуслашкан спорт кибетендә 50 төрдәге велосипед
сатыла. Алар бәяләре буенча бүленгәннәр (чик бәя
югарырак категориягә кертелә):
Бәя. мең сум
3 кә кадәр
3-6
6-9
9-12
12-15
>15
Төрләр саны
3
8
19
?
11
2
а) Велосипедларның ничә төре 9 дан 12 мең сумга кадәр
тора?
б) Бик кыйммәт велосипедларның (> 15 мең сум) ешлыгы
нинди?
в) Чагыштырмача арзан (<6 мең сум) велосипедларның
процентлардагы ешлыгы нинди?
г) Бу үлчәүләрдә моданың процентлардагы ешлыгы нинди?
019.7. Бирелгәннәр бүленешенең ирекле таблицасында буш
урыннар калган. Ал арны тутырыгыз.
Варианта
Сумма
№ 1
№2
№3
№4
Кабатланыш
5
Ешлык
0,45
0,1
Ешлык, %
25
20
019.8. Бирелгәннәрнең кабатлану күппочмагы буенча билгеләгез
(55 нче рәсем):
Рәс. 55
125
а) үлчәү варианталары санын;
б) үлчәү күләмен;
в) үлчәү модасын;
г) үлчәү варианталарының иң кечкенә процентлы ешлыгын.
019.9. Тугызынчы сыйныфтагы 25 укучыдан көненә уртача ничә
сәгать телевизор каравы турында сораганнар. Менә нәрсә
килеп чыккан:
ТВ. бер көнгә
0
1
2
3
4
Укучылар саны
1
9
10
4
1
а) Колачны, б) моданы, в) уртача кыйммәтне билгеләгез.
Процентлардагы ешлык күппочмагын төзегез; анда а) — в)
биремнәрендә табылган саннарны күрсәтегез.
19.10. Үлчәү нәтиҗәсе булып икенең натураль дәрәҗәсенең соңгы
цифры тора (2П санының).
а) Бу үлчәүдә бирелгәннәрнең гомуми рәтен языгыз.
б) п = 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11 өчен бирелгәннәр рәтен төзегез.
в) п = 12, 13, 15, 17, 18, 20, 21 өчен бирелгәннәр рәтен
языгыз.
г) б) һәм в) биремнәрендә табылган нәтиҗәләр арасында
8 вариантасының кабатланышы нинди?
19.11. 30 абитуриент 4 керү имтиханында шундый баллар (имти¬
ханда *2», «3», *4», *5» билгеләре) суммасын җыя:
20; 19; 12; 13; 16; 17; 17; 14; 16; 20; 14; 19; 20; 20; 16; 13;
19; 14; 18; 17; 12; 14; 12; 17; 18; 17; 20; 17; 16; 17.
а) Бирелгәннәрнең гомуми рәтен төзегез.
б) Үлчәүнең так урыннарда торгая саннар рәтен языгыз.
в) б)пунктында 13,14,15 варианталарының кабатланышы
нинди?
г) б)пунктындагы үлчәүләрнең төркемләнгән рәтен языгыз.
• 19.12. Техник контроль бүлеге килограммлап төрелгән шикәр
массасын тикшерә. Шундый саннар килеп чыга (төргәкнең
массасы исәпкә алына):
1030
1020
1050
1070
1030
1020
990
1050
1040
1080
1040
1090
1000
1010
1020
1030
1050
1070
1050
1040
1010
1030
1050
1090
1010
1050
980
1000
1040
1070
1040
1090
1000
1050
1040
1020
1040
1080
1060
1110
1010
1030
1090
1100
990
1000
980
1060
1040
1050
126
а) Үлчәү күләме нәрсәгә тигез?
б) Зур булмаган җитмәүчелек очрагы (1020 яки 1030 г)
ничәү булган?
в) Шактый ук артыклык очрагы (1070 г нан артык) ничә?
г) Норманың (1040яки 1050г)проценттагы ешлыгы нинди?
• 19.13. Ниндидер үлчәү саннары бүленеше таблицасында буш
урыннар калган. Аларны тутырыгыз.
Варианта
Сумма
№1
№2
№3
Ns 4
№5
№6
Кабатланыш
291
113
Ешлык
0,122
0,193
Ешлык, %
29.1
20.2
7,9
19.14. Бирелгәннәрнең кабатланышлары күппочмагы буенча
(56 нчы рәсем):
а) үлчәү күләмен билгеләгез;
б) үлчәү модасын һәм аның ешлыгын табыгыз;
в) ешлыклар таблицасын төзегез;
г) процентлардагы ешлык күппочмагын ясагыз.
127
19.15. Норма буенча деталь 431 г булырга тиеш. 2000 детальне
тикшерү нәтиҗәләре түбәндәгечә:
Авырлык, г
427
428
429
430
431
432
433
434
435
Детальләр саны
40
80
220
360
610
430
200
40
20
а) Үлчәү модасы нәрсәгә тигез?
б) Ахырлыгы пландагыдан ике граммнан артыкка аерым¬
ланган детальләр саны ничә процент?
в) Ешлыклар бүленеш таблицасын тезегез.
г) Ешлыклар күппочмагын тезегез. Уңайлык ечен барлык
варианталардан 431 не алыгыз.
19.16. Тугызынчы сыйныф укучысы беренче яртыеллыкны еч
фәннән «бишлеләр», сигез фәннән «дүртлеләр», биш фәнне
«өчлеләр» белән тәмамлый.
а) Укучының яртыеллык билгеләренең уртача кыйммәтен
табыгыз.
б) Әгәр физкультурадан «бишле» урынына «өчле* булган
булса» уртача кыйммәт нинди булыр иде?
в) Әгәр математика һәм әдәбияттан «дүртле» урынына
«бишле» ала алса, билгеләрнең уртача кыйммәте нинди
булыр иде?
г) Уртача билгесе «дүртле* дән зуррак булсын өчен, аңа иң
киме ничә фәннән билгеләрен 1 баллга күтәрергә кирәк?
• 19.17. • Статистика» темасын өйрәнгән дәрестән соң тактада
таблица:
Варианта
4
7
Кабатланыш
5
2
3
һәм «Уртача кыйммәт =■= 10» дигән җавап кала.
а) Таблицада буш шакмакны тутырыгыз.
б) Бүленешнең колачын һәм модасын күрсәтегез,
в) Әгәр барлык варианталар бөтен саннар булса, уртача
кыйммәт 15 була аламы?
г) Әгәр җавапта уртача кыйммәт х саны булса, таблицадагы
буш урынны тутырыгыз.
•19.16. «Статистика» темасын өйрәнгән дәрестән соң тактада
таблица:
Варианта
4
7
11
Кабатланыш
5
2
һәм «Уртача кыйммәт _ 10» дигән җавап кала,
а) Таблицада буш шакмакны тутырыгыз.
128
б) Бүленешнең колачын һәм модасын күрсәтегез.
в) Уртача кыйммәт 5 кә тигез булырлык итеп, буш урынны
тутырып буламы?
г) Уртача кыйммәт урынында 5 кә иң якын булган нинди
сан торырга мөмкин?
• 19.19. Кабатланышлар бүленеше таблицасы бирелгән:
Варианта
0
1
3
5
6
Кабатланыш
19
2
Зх — 1
5
4х — 9
а) Уртача кыйммәтне х аша күрсәтегез.
б) Уртача кыйммәтнең х ка бәйлелеге графигы нинди бу¬
лыр?
в) Әгәр мода 0 булса, х нинди бөтен сан булыр?
г) Бүленеш модасы өчкә тигез була аламы?
•19.20. Кабатланышлар бүленеше таблицасы бирелгән:
Варианта
0
1
3
5
6
Кабатланыш
10
2х
Зх — 1
5
х + 5
а) Уртача кыйммәтне х аша күрсәтегез.
б) Уртача кыйммәтнең х ка бәйлелеге графигы нинди бу¬
лыр?
в) Әгәр мода 0 булса, х нинди бөтен сан булырга мәмкин?
г) Бүленеш модасы бергә тигез була аламы?
§ 20. ИҢ ГАДИ ИХТИМАЛЛЫЛЫК МӘСЬӘЛӘЛӘРЕ
О20.1. 4, б, 7 цифрларыннан очраклы төстә цифрлары кабат¬
ланмый торган өчурынлы сан төзиләр. Түбәндәге очракның
ихтималлылыгы нинди:
а) шундый барлык саннарның иң зурысы;
б) икенче цифры 7 булган сан;
в) 6 га беткән сан;
г) 5 кә кабатлы сан?
О20.2. Монетаны 3 тапкыр ыргыталар. Түбәндәге очракның
ихтималлылыгы нинди:
а) соңгысында «иләк» төшә;
б) «күн» бер тапкыр да төшми;
в) «күн» төшүләр саны «иләк» төшүләр саныннан ике тап¬
кыр зуррак;
г) беренче ике ыргытуда нәтиҗә бер үк төрле.
129
О20.3. Очраклы төстә икеурынлы сан сайлап алалар. Түбәндәге
очракның ихтималлылыгы нинди:
а) сан нульгө бетә;
б) бер үк төрле цифрлардан тора;
в) 27 дән зур һәм 46 дан кечкенә;
г) башка бөтен санныц кубы түгел.
020.4. Дүрт кандидат бар; Владимир Владимирович, Василий
Всеволодович, Вадим Владимирович һәм Владимир
Венедиктович. Алар арасыннан очраклы төстә икесен
сайлыйлар. Бу очракның ихтималлылыгы нинди:
а) Владимир Венедиктович сайлана;
б) бер кандидатмын әтисен аның үзен атаган кебек үк
атыйлар;
в) бер үк исемле кандидатлар сайлана;
г) әтиләренең исеме бер үк булганнар сайлана.
020.5. Очраклы төстә икеурынлы сан сайлап алалар. Бу очракның
ихтималлылыгы нинди;
а) санның цифрлары 8 дән зурракка аерыла;
б) цифрлары 7 дән зурракка аерыла?
в) цифрларының урынын алыштыргач, баштагыдан кече¬
рәк сан килеп чыга:
г) ул 72 гә караганда 27 гә якынрак.
О20.6. Сызыкча у = ах + 152 функциясе бирелешендә а ко¬
эффициенты урынына {-10, -3, О, 1, 2} күплегеннән
бер сан кулланыла. Графикның түбәндәге очрагының
ихтималлылыгы нинди?
а) ординаталар күчәрен кисми;
б) абсциссалар күчәрен кисми;
в) абсциссалар күчәрен (-50; 0) ноктасыннан сулдарак кисә;
г) координаталарның дүртенче чиреген кисми.
О20.7. 2x2 таблицасының һәр шакмагына • + » яки «0* куялар.
Бу очракның ихтималлылыгы нинди:
а) бары бер генә ♦+» куела;
б) нәкъ ике *0» куела;
в) түбәнге сул шакмакта <+• тора;
г) югарыгы сул һәм түбәнге уң шакмакларда төрле тамга¬
лар тора.
130
О20.8.100 арасыннан 37 нокта кызыл тәскЗ, ә калганнарның. 23 е
ЗӘҢГәр төскә буялган. Очраклы сайлап алган ноктаның:
а) зәңгәр; в) кызыл яки зәнгәр;
б) кызыл түгел; г) буялмаган
булу ИХтималы нинди?
20.9. Уен кубигын бер ташлауда:
а) дүртле;
б) җеп санлы очколар;
в) дүрттән зуррак очколар;
г) ечкә кабатлы булмаган очколар төшү ихтималы нинди?
020.10. Домино шакмакларыннан берсен сазлап алалар.
а) аның дубль булмау;
б) анда өчле булмау;
в) очколары тапкырчыгышы 29 дан кечерәк булу;
г) очколарының 1 дән зурракка аерылу ихтималын табыгыз.
020.11. Очраклы төстә хг + 4х — 21 < 0 тигезсезлегенең бер чи¬
шелешен сайлап алалар. Аның түбэНДеге тигезсезлекнең
чишелеше булу ихтималы нинди;
а) - 8 « ж « 1; в) > 0;
б) хг — 4х — 21 < О; г) хг Ч 6?
020.12. ABCD турыпочмаклыгында CD Һәм AD якларының тиң¬
дәшле К һәм L урталарын, шулай ук АЛ Һәм ВС якларында
AM ; MB =1:3 һәм BN : NC -1:2 үтелә торган М Һәм
N нокталарын билгелиләр. Турыпочмаклыкта очраклы
төстә нокта билгелиләр. Бу ноктаяын:
а) KCN өчпочмагында;
б) MBN өчпочмагында;
в) АМС өчпочмагының тышында;
г) MNKL дүртпочмагында яту ихтималы нинди?
•20.13. 0, 1, 4, 8. 9 цифрларыннан очраклЫ төстә икеурынлы
саннар төзиләр (цифрлар кабатлана аЛа)-
а) шундый барлык саннарның иң кечк₽ыасе!
б) җөп сан;
в) 9 га кабатлы сан;
г) 50 дән 20 гә азракка аерылган сан килеп чыгу ихтималы
нинди?
131
020.14. Монетаны дүрт тапкыр ыргыталар.
а) дүрт тапкырында да бер үк нәтиҗә;
б) беренче өч ыргытуда «иләк»;
в) сонгы ыргытуда «күн»;
г) «күн» һәм «иләк»ләр саны тигез булу ихтималы нинди?
•20.15. х2 + Ьх + 15 = 0 квадрат тигезләмәсенә b коэффициенты
урынына 2 дән 11 гә кадәрге ниндидер натураль сан
куялар. Килеп чыккан квадрат тигезләмәнең
а) ике төрле тамыры булу;
б) тамырлары булмау;
в) кимендә бер тискәре тамыры булу;
г) кимендә бер уңай тамыры булу ихтималы нинди?
•20.16. хг + у2 - R2 әйләнә тигезләмәсенә R радиусы урынына
1 дән 20 гә кадәрге натураль сан куялар.
а) (1; 0) ноктасының бу әйләнәдә яту;
б) (0; -1) ноктасының бу әйләнә белән чикләнгән түгәрәк
эчендә яту;
в) (1; 3) ноктасының бу әйләнә белән чикләнгән түгәрәк
тышында яту;
г) әйләнәнең у = -7123 турысын кисмәү ихтималы нинди?
k , ...
020.17. У= — гипербола тигезләмәсенә k коэффициенты урынына
{-5, -2, 1, 3, 4} күплегеннән ниндидер сан куялар. Бу
гиперболаның:
а) координаталар башы аша үтү;
б) у “ х турысын кисү;
в) (-5; 0,4) ноктасы аша үтү;
г) х'- + у2 - 1 әйләнәсен кисмәү ихтималы нинди?
020.18. Тузлар арасыннан бер-бер артлы ике карта тартып алалар.
а) ике карта да — кара төстәгеләр;
б) икенче карта — пики тузы;
в) беренче карта — кызыл тестә;
г) сайланганнар арасында буби тузы булу ихтималы нинди?
132
•20.19. Уен кубигын ике тапкыр ыргыталар:
а) иң киме бер берәмлек төшү;
б) төшкән саннар суммасы 3 тән зур булмау;
в) төшкән саннар суммасы 11 дән кечерәк булу;
г) төшкән саннар тапкырчыгышы 27 дән ким булу ихти¬
малы нинди?
•20.20. [100; 200J аралыгыннан очраклы төстә натураль сан сайлап
алалар. Бу санның:
а) нульгә бетмәү; -
б) цифрлары арасында кимендә бер икегә зуррак цифр булу;
в) башка санның квадраты булмау;
г) цифрлары суммасы 17 дән ким булу ихтималы нинди?
020.21. Очраклы төстә |х — 4| < 5 тигезсезлегенең бер чишелешен
сайлыйлар. Аның түбәндәге тигезсезлекнең чишелеше
булу ихтималы нинди?
а) |х| < 1; в) 4 < |х| < 5;
б) |х|>2; г)|х + 4|<5?
020.22. Турыпочмаклы ABC өчпочмагында АС катеты 6 га, ә ВС
катеты 8 гә тигез. С түбәсеннән СН биеклеген һәм CM
медианасын үткәрәләр. Өчпочмакта очраклы төстә нокта
билгелиләр. Бу ноктаның:
&)АСМ өчпочмагында;
б) АСН өчпочмагында;
в) СНМ өчпочмагында;
г) ABC өчпочмагы эченә камалган әйләнәдә яту ихтималы
нинди?
§21. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬ БИРЕЛМӘЛӘР ҺӘМ
ВАКЫЙГАЛАРНЫҢ ИХТИМАЛЛЫЛЫГЫ
021.1. а) Беренче 17 натураль сан арасында дүрткә кабатлы ничә
сан бар?
б) Беренче 17 натураль сан арасында дүрткә кабатлы саннар
ешлыгы нинди?
в) Беренче л натураль сан арасында дүрткә кабатлы саннар
күренү таблицасын тутырыгыз (134 нче бит).
г) п зурая барганда, ихтималлылыгы ешлык нинди санга
якыная?
133
Л
17
18
19
20
27
28
29
30
40
во
80
100
1 дая п га
кадер саннар
арасында
4 ка кабатлы
саннар саны
Ешлык
021.2. Предприятиенең тикшерү бүлеге алып барган күпьеллык
статистика буенча, биредә чыгарылган 1000 данә детальнең
уртача 4 се брак була.
а) 4000 детальдән торучы партиядә;
б) 7500 детальдән торучы партиядә;
в) 11250 детальдән торучы партиядә;
г) 300 детальдән торучы партиядә
уртача ничә браклы деталь булырга мемкин?
021.3. Университетның кабул итү комиссиясе мәгълүматлары
буенча, математикадан язма имтиханда барлык мәсьәлә¬
ләрне дә чишүчеләр саны даими диярлек һәм якынча
1,5 % ны тәшкил итә.
а) Узган ел 405 абитуриент булган. Барлык мәсьәләләрне
дә чишүчеләр санын бәяләгез.
б) Ике ел элек 467 абитуриент булган. Барлык мәсьәләләрне
дә дәрес чишүче ничә кеше булырга мемкин?
в) Быел 534 гариза теркәлгән. Барлык мәсьәләләрне дә
чишүчеләр санын бәяләгез.
г) Өч ел элек барлык мәсьәләләрне дә 5 абитуриент дөрес
чишкән. Якынча ничә абитуриент булган?
021.4. Азык-төлек супермаркетында көндәлек сатулар статисти¬
касы буенча, 100 сумнан кимрәк булган чеклар проценты
шактый тотрыклы һәм 9 % тан (шимбә) 11 % ка (сишәмбе)
кадәр арада тирбәлә.
а) Сишәмбе көнне супермаркетта 124 7 сатып алучы булган.
100 сумнан кимрәк сатып алулар санын бәяләгез.
б) Шимбә көн 2357 сатып алучы булган. 100 сумнан кимрәк
булмаган суммага сатып алулар санын бәяләгез.
в) Бер атна эчендә 9785 чек сугылган. 100 сумнан кимрәк
суммалы чеклар саны нинди булырга мөмкин?
г) Бер ай эчендә 100 сумнан кимрәк суммага 4017 чек
сугылган. Бер айда ничә сатып алучы булырга мөмкин?
134
021.5. Тимер юл вокзалында шәһәр яны поездларына үтү өчен
турникетлар куелган. Көнлелек сатылган билетларның
якынча 38 % 2 нче зонага һәм 17 % ы 3 нче зонага туры
килә.
а) Дүшәмбе көнне 2 нче зонага кадәр 12 153 билет сатылган.
Бу көнне сатылган билетлар санын бәяләгез.
б) Дүшәмбе көнне 3 нче зонага кадәр сатылган билетлар
санын бәяләгез.
в) Сишәмбе көнне 3 нче зонага кадәр 6057 билет сатылган.
2 нче зонага кадәр якынча ничә билет сатылган?
г) Бу ике көндә сатылган билетлар санын бәяләгез.
21.6. а) Беренче 17 натураль сан арасында 4 цифрына бетә торган
ничә сан бар?
б) Беренче 17 натураль сан арасында 4 цифрына беткән
саннарның ешлыгы нинди?
в) Беренче п натураль сан арасында 4 цифрына беткән
саннар күренү таблицасын тутырыгыз.
л
17
27
57
77
100
125
150
173
200
1000
4 цифрына бетә
торган саннар саны
Ешлык
г) п арту белән ешлык нинди санга якыная?
•21.7. а) Беренче 17 натураль сан арасында 4 цифрына башлана
торган ничә сан бар?
б) Беренче 17 натураль сан арасында 4 цифрына башланган
саннарның ешлыгы нинди?
в) Беренче п натураль сан арасында 4 цифрына башланган
саннар күренү таблицасын тутырыгыз.
Я
—
17
57
100
400
500
1000
4000
5000
10000
4 цифрына бетә
торган саннар
савы
Ешлык
г) Биредә статистик тотрыклылык күзәтеләме? п арту
белән ешлык нинди чикләрдә үзгәрә?
135
□21.8. Бердәм дәүләт имтиханнарындагы (БДИ) биремнәрне үтәү
статистикасы буенча, А7 номерлы биремне чишүчеләр
барлык укучыларның — 73 % ын, ә аны дөрес чишүчеләр
64 % ын тәшкил иткән.
а) БДИда 700 мең тирәсе кеше катнашкан. Шуларның
ничәсе А7 биремен чишеп карамаган?
б) А7 биремен якынча ничә кеше дөрес чишкән?
в) Идел буе федераль округында БДИда 113686 кеше кат¬
нашкан һәм аны үтәү проценты илнең уртача процентын¬
нан 2 гә артык булган. Бу округта А7 биремен якынча
ничә кеше эшләгән?
г) Үзәк федераль округта бу биремне 76121 кеше дөрес
үтәгән һәм үтәү проценты илнең уртача күрсәткеченнән 1
гә ким булган. Бу округта БДИда ничә кеше катнашкан?
•21.9. а) Уен кубигын ыргытыл карагыз; нәтиҗәләрне (билгеле
сандагы очколар санын) таблицага языгыз.
Ыргытулар
сан»
Очколар саны
1
2
3
4
5
6
20
40
60
80
100
б) Шушы ук тәҗрибәне ике талкыр кабатлагыз һәм табли¬
цаны тутырыгыз:
Ыргытулар
САЯМ
Тепгү проценты
берләр
икслар
ечлар
дүртләр
бишләр
алтылар
100
200
300
в) Үз нәтиҗәгезне сыйныфташл арыгызныкы белән берләш¬
терегез; 1000 ыргытуда берлек төшүнең процентлардагы
ешлыгы нинди санга якыная?
г) Ыргытулар саны арту белән һәр нариантаның процент¬
лардагы ешлыгы нинди санга якыная?
136
•21.10. а) Төрле төстәге ике уен кубигын ыргытып карагыз; нәти¬
җәләрне (кирәкле очколар суммасы төшкән ыргытулар
санын) таблицага языгыз:
Ыргытулар
саны
Очколар суммасы
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
20
40
50
б) Шул ук тәҗрибәне тагын өч тапкыр кабатлагыз һәм
таблицаны тутырыгыз:
Ыргытулар
саны
Очколар суммасы
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
100
200
в) Үз нәтиҗәгезне сыйныфташларыгызныкы белән
берләш-терегез һәм 1000 ыргытуда сумма төшүнең про¬
центлардагы ешлыгы таблицасын тутырыгыз:
Ыргытулар
саны
Очколар суммасы
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1000
г) Ыргытулар саны арту белән 7 очколы сумма төшүнең
процентлардагы ешлыгы нинди санга якыная?
137
Өй контроль эше Ns 5
1 нче вариант
1. Акча янчыгында 1 сум, 2 сум һәм 5 сумлы куп кенә вак
акчалар (монеталар) бар. Очраклы теста бер-бер артлы өч
монета алалар. Сумма 6 сумнан кимрәк булган вариантларны
санагыз.
2. Менюда 5 төрле бөккән һәм 6 төрле эчемлек бар. Әгәр бер
төрле бөккәннең ике төрле эчемлек белән туры килмәве
билгеле булса, иртәнге ашка ничә юл белән бөккән һәм
эчемлек санлап була?
3. Төрле төстәге ике уен кубигын ыргыталар. Ничә очракта
төшкән очколар 2 дән кимрәккә аерылалар?
4. Очраклы сайлап алынган икеурынлы санның 13 кә бүленү
ихтималы нинди?
б. 3x6 үлчәмле шоколадның 1x1 бүлемтеген сайлап алалар.
Кырыйда, әмма почмакта булмаган бүлемтекне сайлау
ихтималы нинди?
6. Бирелгәннәр рәтен төркемләгез һәм рәт модасыннан 4 тән
артыкка аерылган нәтиҗәләр процентын табыгыз:
10, 5, 10, 0, 3, 5, 4, 5, 5, 9, 4, 6, 0, 4, 3, 1, 10, 5, 4, 1.
7. Эзлекле ун үлчәү нәтиҗәсенең арифметик уртасы 26,5 кә
тигез. Әгәр нәтиҗәләр аермасы -3 кә тигез булган арифметик
прогрессия төзесәләр, соңгы нәтиҗәне табыгыз.
2 нчә вариант
1. Акча янчыгында 1 сум, 2 сум һәм 5 сумлы күп кенә вак
акчалар (монеталар) бар. Очраклы төстә бер-бер артлы
өч монета алалар. Сумма 8 сумнан артыграк булган
вариантларны санагыз.
2. Менюда 6 төрле бөккән һәм 5 төрле эчемлек бар. Иртәнге
ашка ничә юл белән ике төрле бөккән һәм ике төрле эчемлек
сайлап була?
3. Төрле төстәге ике уен кубигын ыргыталар. Ничә очракта
төшкән очколар 3 тән артыгракка аерылалар?
138
4. Очраклы сайлап алынган икеурынлы санның 15 тән зуррак
булу ихтималы нинди?
5. 4x5 үлчәмле шоколадның 1x1 бүлемтеген сайлап алалар.
Кырыйда, әмма почмакта булмаган бүлемтекне сайлау
ихтималы нинди?
6. Бирелгәннәр рәтен төркемләгез һәм рәт модасыннан 2 дән
кимрәккә аерылган нәтиҗәләр процентын табыгыз:
10. 9, 10, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 9, 6, 8, 4, 3, 1, 6, 3, 4, 1.
7. Эзлекле ун үлчәү нәтиҗәсенең арифметик уртасы -2 гә
тигез. Әгәр нәтиҗәләр аермасы 2 гә тигез булган арифметик
прогрессия төзесәләр, сигезенче нәтиҗәне табыгыз.
ЙОМГАКЛАУ
Санлы аңлатмалар
1. 213 65 тапкырчыгышы кайсы саннарга бүленә:
1) 26; 2) 142; 3) 45; 4) 39?
2. 23* + 23-26 аңлатмасының кыйммәте кайсы саннарга бүленми:
1) 23; 2) 7; 3) 9; 4) 49?
3. 1083 — 872 аңлатмасының кыйммәте кайсы саннарга бүленә:
1) 70; 2) 91; 3) 95; 4) 143.
4. Исәпләгез: 1| + 2— (1,15 - 1,23 : 0,6).
6 12
O4J1; 2)-5; З)--1-; 4)311.
5. Исәпләгез: (1,68 : 1,6 - 2,1) • (-1|)
*> 2) .11; 3) -31;
«• -«$.
6. Исәпләгез: 1 ./-11} + 6,3 : 6.
9 \ 2/
1)0; 2)-1; 3)2,55;
4) -0,45.
7. Исәпләгез: 0,5 • 0,6 - 2- : (-11)*.
9 \ 3/
1)1,55; 2)-1,23;
3) -0,95;
4) 1,75.
8. Исәпләгез: 0,3 ' 2,4 * 0,?
1,5’ - 0,92
2,4
«
1) 0,6; 2)
3) 2;
«4
„ u 1.7’ - 0.8’
9. Исәпләгез: т-——————•
0,18 - 1,5 0,18
1)-2,5; 2)-25;
31
28 ’
м .11.
140
10. Исәпләгез: (71б)3 - 51“ - З2 - З*4 - 2 : 2 3.
1) 4б|;
2) 47|;
3) 56;
4) 62—.
36
11.
Исәпләгез:
З1: 3 1 - (V125)’
- 5 • 5 3 +
(Via)0
» -21ff
3) 28;
4) 2—.
25
12.
Исәпләгез:
2Т • (2*Г* : (2 э)3.
1) 512;
2> Si?
3) 64;
4) 8.
13.
Исәпләгез:
(5 3)г : 53 - (53)4.
1)0,2;
2) 0,04;
3) 3125;
4) 0,125.
14.
Исәпләгез:
Зь •
27’ '
11 вТ:
2) 243’
3) 27;
4) -81.
15.
Исәпләгез:
2’ 83
4 * ‘
512’
2) 32;
3) 256;
4) Һ'
16.
Исәпләгез:
■Г ■ 5»
10s ’
1) 100;
2) 0,02;
3) 20;
4) 0,2.
17.
Исәпләгез:
15*
В’ 5“
1)
2)
3) 0,6;
4)0,2.
18. Ике торак пункт арасы 1,7 - Ю4 м. Бу араны километрларда
языгыз.
1) 17 км; 2) 170 км; 3) 1700 км; 4) 0,17 км.
19. Күпләп сату базасында продуктнын массасы 4 500 000 кг. Бу
массаны тонналарда күрсәтегез һәм табылган санны стандарт
рәвештә языгыз:
1) 45 • Ю2 т; 3)0,45 Ю4 т;
2) 45 • 103 т; 4)4,5 10’т.
141
20- Ике торак пункт арасы картада 1,25 х 10г мм. Бу араны
метрларда күрсәтегез.
1) 1,25 м; 3) 1,25-10'м;
2) 1,25 10 2 м; 4) 1,25 • 10 м.
21. Участокның мәйданы 632 м2. Бу мәйданны гектарларда
күрсәтегез һәм табылган санны стандарт рәвештә языгыз:
1) 0,632 10 1 га;
3) 63,2 • 10‘3 га;
2) 6,32 10 2 га;
4) 6,32 Ю2 га.
лл „ 4-1 iji )’
7512
22. Исәпләгез: ———
77
>/8 ‘
1) -9; 2) -7;
3) -19; 4) 3.
23. Исәпләгез: |-|,ча1
85
+ V6 15 • >/40.
1) 61; 2) 59;
3) 77; 4) 43.
24. 7183 саны нинди рәттән килүче натураль саннар арасында
урнаша:
1) 14 һәм 15; 3) 13 һәм 14;
2) 7182 һәм 7184; 4) 12 һәм 15?
25. 107з саны нинди рәттән килүче натураль саннар арасында
урнаша:
1) 17 һәм 18; 3) 16 һәм 18;
2) 10 һәм 11; 4) 7299 һәм 7301?
26. Координаталар турысында (рас. 57) А, В, D нокталары
билгеләнгән. С (4711) ноктасы кайда урнашырга тиеш:
1) А дан сулдарак; 3) В һәм D арасында
2) А һәм В арасында; 4) D дан уңдарак.
27. Координаталар турысында (рәс. 58) К, М, N нокталары
билгеләнгән. Р (3-Т|5) ноктасы кайда урнашырга тиеш:
1) К дан сулдарак; 3) М һәм N арасында;
2) К һәм М арасында; 4) N нан уңдарак.
142
28. iJb; з7Т; б73; 2711 саннарын үсә бару тәртибендә урнаш¬
тырыгыз.
1) б73; 37?; 475; 2711; 3) 377 ; 475; бТЗ; 2711;
2) 2711; 37?; б73; 475; 4) 2ТГГ; зТ7; 475; б7з.
29. 773; 872; 477; б7б саннарын кими бару тәртибендә урнаш
тырыгыз.
1) 477; б7б; 773; 872; 3) б7б; ?73; 872; 477;
2) 872; тТЗ; б7б; <7?; 4) б7б; 872; 773; 477.
30. Исәпләгез: 1-б7эГ ■ 4 — .
V 25
31. Исәпләгез: ./5^ (о,27ю) .
1 16
32. Исәпләгез: 71132 - 112* 1 + (77 + б)(7г - б).
33. Исәпләгез: ^244' ~ 240 —
(7а - 4)(Л ♦ 4)
34. Исәпләгез: З7б4 - (-0,2710) .
35. Исәпләгез: (~з7о>2) + 0,57216.
36. Исәпләгез: (ә 72) + (-27з) .
37. Исәпләгез: (27б) - (772) .
38. 7? - 724 • 77 + 724 аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
39. у 6 - 275 ■ у 6 + 275 аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
40. 7(5 - 723 )2 + 7(4 - 723)’ аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
41. у(б - 741) + ү(? - 741) аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
42. у9 + 475 - 75 аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
43. 7в - 27? - 7? аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
143
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Алгәбрәик аңлатмалар
Кинетик энергия E= формуласы буенча исәпләнә. Бу
формуладан тизлек v табуны күрсәтегез.
3)и=^:
*’ v "
Тигез тизләнешле хәрәкәттә тизләнеш а= t формуласы
буенча исәпләнә. Бу формуладан башлангыч тизлек о0 табуны
күрсәтегез.
1) Vt> = at - о;
2) о, « j
a,
Аңлатманы
1) a3;
Аңлатманы
1)0;
Аңлатманы
1) 2а »;
Аңлатманы
1> ft
и s.
Аңлатмалы
3) Ц» i>- at;
4) ue = w +
at.
a' a
гадиләштерегез: ^oya-~*
2) а »; 3) а4;
(а*)’в'13
гадиләштерегез: ү^3уЬа—•
2) а»; 3) а'4;
(2а)8 4а г
гадиләштерегез: —
2) 2а •; 3) 8а »;
ЗЬ ' (9b2)3
гадиләштерегез: (
2) 27bu;
3) 9б*°;
4)
4)
4)
a
a 8
2e‘
4) 27i>8.
гадиләштерегез: (3xj/)8 • (3x ly)2 : (9xaj/4).
2)|xV’; 3)|*Y: 4) |x-V.
Аңлатманы i
1) ;
' 343ml^M
гадиләштерегез: (7m 8ns) : (7m4n4)1 - (49m ‘л14)'1.
7ms
-• •
49m». 7 .
144
9. Аңлатманы гадиләштерегез: (2д —•
1) 816*; 2) 81а1гЬ*; 3) ’*&*; 4)126’.
_ _ . (Юх'у ’)*
10. Аңлатманы гадиләштерегез: 16у, (25x-yV~
и’ Л *’ n, X*U*. 10
11 21 251/’ 3> 25 ’ 4) х*у'»'
11.
^**7 аңлатмасының кыйммәтен табыгыз, биредә х =
1
—■
о
IX
1) -J: 2)9;
3) -9;
4) 1.
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз, биредә у = 1
1
2
I 2 я 8
M-ljp 2>-38’ 3> 27’ 4) ~27’
13.
—-—- аңлатмасының кыйммәтен табыгыз, биредә а = 0,05.
15 - бв
1)-1,7; 2)-0,2;
3) -2;
4) 1,7.
со| го
14. —15х аңлатмасының кыйммәтен табыгыз, биредә х = -
64 — Ух*
п 4; 2> -°’5! 3> °-5: 4> -I-
О 7
15. — „?Вац‘ $4 аңлатмасының кыйммәтен табыгыз, биредә а = -0,4.
64-йо
1)-1,5; 2)0,15; 3)1,5; 4)1.05.
16.
36 - у2 , ж _ 3
, „ у аңлатмасының кыйммәтен табыгыз, биредә у =
у* — 1£у + <50 4
1) Ji 2) 3) -J: 4) 2.
9- в д¬
17. ‘—— яңлжгмясынын кыйммәтен табыгыз, биредә с=-3,5.
с 4 4 - с
1)-7,5; 2)-3,9; 3)-0,5; 4)-3,1.
145
18.
A+J» _ Л + 4
n‘ - 8 8 ■
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз, биредә п =
1
4
2)-lj; 3)-J; 4)-|.
4 4 9 <
19. х2 - 4х - 45 квадрат өчбуынын тапкырлаучыларга таркатыгыз.
1) (х + 9Мх - 5); 3) (х - 9)(х - 5);
2) (х - 9)(х + 5); 4) (х + 9)(х + 5).
20. -х2 + 2х + 24 квадрат өчбуынын тапкырлаучыларга таркатыгыз.
1) (х + 6Хх - 4); 3) -(х + 6Мх - 4);
2) (х - 6Хх + 4); 4) -(х - 6)(х + 4).
21. Зх2 + 13х - 10 квадрат өчбуынын тапкырлаучыларга таркатыгыз.
1) 3(х - 2)(х + 5); 3) (Зх - 2)(х + 5);
2) (х Ц(х + &>; 4) (Зх + 2Rx - 5).
■ о f
22. -4x* + 5х + 6 квадрат өчбуынын тапкырлаучыларга таркатыгыз.
1) -4(х + ЗХх + 2); 3) (4х - ЗХх + 2);
2) (х - 2)(х + 5); 4) (2 - х)(4х + 3).
\ 4/
23. Аңлатманы гадиләштерегез: -J12a + 7 18а - 7147a.
1) -2972a; 2) -73а; 3) -37а; 4) -Т87а.
24. Аңлатманы гадиләштерегез: 780х - 7180х + 7245х.
1) 7145х; 2) 297бх; 3) б7бх; 4) з7бх.
25.
. „„ я
—уу- квддрат өчбуынын тапкырлаучыларга таркатыгыз, биредә
a - ~\!б.
26.
250_
x*7io
квадрат өчбуынын тапкырлаучыларга таркатыгыз, биредә
а — 710.
27.
11я * _ !_
4z2V
катыгыз, биредә х =
квадрат өчбуынын тапкырлаучыларга тар-
1 1
! У=^
по 2п + Злг 9т - 2п л
28. — -т ■ квадрат өчбуынын тапкырлаучыларга
Ьтп Ут п
е. 2 1
таркатыгыз, биредә т = :. п = -•
146
29. 2хг - 8х - 7 аңлатмасының иң кечкенә кыйммәтен табыгыз.
30.
-Зхг - Вх + 5 аңлатмасының иң зур кыйммәтен табыгыз.
31.
„ 2х - 2 * - 2
Аңлатманы гадиләштерегез: — - -
32.
Аңлатманы гадиләштерегез: д , j □
33.
Юх 5 .. , _ , _ _ ,
— — + т 4 аңлатмасының кыйммәтен табыгыз, биредә X = 1.
34.
—+ 12°— аңлатмасының кыйммәтен табыгыз, биредә а = -5.
1 — a а — 49
35.
хг - р2 Зр __ _ , _ . _
—т аңлатмасының кыйммәтен табыгыз, биредә X = 1,
Зху х - у * ’ ’
У = -1,5.
36.
С1 - 49 . 2с + 14 . _
» аңлатмасының кыимметен табыгыз, биредә
JUCCZ CMJ
с = 0Д
37.
— !■ алгебраик вакланмасының кыйммәтен табыгыз, биредә1 =0,2.
38.
- - алгебраик вакланмасының кыйммәтен табыгыз, биредә — = -.
У х 5
39.
X - Зу с , - __ __ в _ ,
—-— = о икәнлеге билгеле булганда, - ны табыгыз.
40.
2* ♦ ы _ „ , _ _ с £ .
х = -2 икәнлеге билгеле булганда, ны табыгыз.
41.
п ның алгебраик вакланмасын бөтен сан итә торган
ничә натураль кыйммәте бар?
42. п ның — алгебраик вакланмасын бөтен сан итә торган
ничә натураль кыйммәте бар?
43. п ның — — алгебраик вакланмасын натураль сан ите
П
торган ничә натураль кыйммәте бар?
44. п ның ■ алгебраик вакланмасын натураль сан ите
п
торган ничә натураль кыйммәте бар?
/1м + 1 m-lt 2m . ,
45. I : аңлатмасының кыйммәтен табыгыз,
\m-l т + 1/ эт - 5
биредә i.
147
Afi i b b \ a2 + 2ab + b2 r ,
4b. —• аңлатмасының кыйммәтен табы-
\a - b a + bl 2b
гыз, биредә a = -0,2, b = 0,3.
47.
I 3 +
ГЫЗ,
биредә x =
- 6>/x + 9) аңлатмасының кыйммәтен табы-
4
81’
48.
биредә х = 2,56.
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз,
х - 4
Функцияләр һәм графиклар
1. Графигы туры сызык булган функцияне күрсәтегез.
1) у = ^5 2) у = х2 - 1; 3) у = 2х; 4) у - х3.
2. Графигы туры сызык булмый торган функцияне күрсәтегез.
г ♦ 2
1) у - 2х - 8; 2) у = ——. 3) у = х2 + 2; 4) у = 8х.
О
3. Түбәндәге тигезләмәләрнең кайсысы туры тигезләмәсе була?
1) ху + 9 = 0; 3) у + х2 - 9 = 0;
2) 2х + Зу - 9 = 0; 4) х2 + у2 - 9 = 0.
4. Графигы 59 нчы рәсемдә сурәтләнгән сызыкча функциянең
формуласын языгыз.
1) у = х + 3; 2)у=|; 3) у = Зх; 4) у = -Зх.
5. Графигы 60 нчы рәсемдә сурәтләнгән сызыкча функциянең
формуласын языгыз.
1) у =-2х; 2)у=|х; 3) у = 2х - 1; 4) у = -±х.
148
6. Графигы 61 нче рәсемдә сурәтләнгән сызыкча функциянен
формуласын языгыз. ■
1)у=2х-1; 2)у=2х; 3) у = j х - 1; 4) у = 1 - 2х.
7. Графигы координаталар башы аша 62 нче рәсемдә сурәтләнгән
функция графигына параллель үтә торган сызыкча функциянең
формуласын языгыз. 1
1) у = Зх; 2) у = 3 — х; 3) у = -Зх; 4) у = ~д х.
8. Графигы (0: —5) ноктасы аша 63 нче рәсемдә сурәтләнгән
функция графигына параллель үтә торган сызыкча функциянең
формуласын языгыз.
1) у = 0,5х - 5; 3) у = 2х - 5;
2) у = -0,5х - 5; 4) у = -5.
9. у - 37. у = 2х + 11 турыларының кисешү ноктасы абсциссасын
табыгыз.
1) 24; 2) 13; 3) -13; 4) 37.
149
10. у = -21х + 84, у = 19х - 76 турыларының кисешү ноктасы
координаталарын табыгыз.
1) (4; 0); 2) (-4; О); 3) (0; 4); 4) (-4; 4).
11. у = 0,6х - 4 функциясенең графигында ятучы ноктаны
күрсәтегез.
1) А(-10;14); 3) С(-10;-6);
2) В(-10; 6); 4) £>(-10; -10).
12. у = -0,2х + 5 функциясенең графигында ятмаучы ноктаны
күрсәтегез.
3) С(12; 7,4);
2) В(10; 3); 4)D(12;2,6).
13. Координаталар башы һәм (20; 4) ноктасы аша үтә торган
турының тигезләмәсен төзегез.
1) у = 0,2х; 3) у = -0,2х;
2) у = 5х; 4) у = 4х + 20.
14. (0; -3) һәм (3; 0) нокталары аша үтә торган турының
тигезләмәсен төзегез.
1) у = Зх - 3; 3) у = 3 - х;
2) у = х - 3; 4) у = Зх.
15. у = 4х - 3 функциясе графигына параллель һәм (0; 77) ноктасы
аша үтә торган турының тигезләмәсен төзегез.
1) у = 4х - 77; 3) у = 77х;
2) у = 4х + 77; 4) у = х + 77.
16. у = 0,Зх функциясе графигына параллель һәм (1; -0,7) ноктасы
аша үтә торган турының тигезләмәсен төзегез.
1) у = 0,Зх - 1; 3) у = 0,Зх - 0,7;
2) у = 0,Зх +1; 4) у = 0,Зх - 0,4.
17. Графигы парабола булган функцияне күрсәтегез.
1) у = 2х + 5; 3)у= —
X т <3
2) у = х« - 4; 4) у = 5 - Зх2.
18. Графигы парабола булмаган функцияне күрсәтегез.
1) у =-х2 + 1; 3) у = 2х+1;
2) у = (х + I)3; 4) у = £.
19. Графигы 64 нче рәсемдә сурәтләнгән квадрат функцияне
аналитик языгыз.
1) у = 2хг; 3) у = (х + 2)’;
2) у = х2 + 2; 4) у = (х - 2)2.
150
20. Графигы 65 нче рәсемдә сурәтләнгән квадрат функцияне
аналитик языгыз.
1) у = х1 + 1; 3) у = -хг + 1;
2) у = -(х+1)г; 4)р = -(х-1)г.
21. Графигы 66 нчы рәсемдә сурәтләнгән квадрат функцияне
аналитик языгыз.
1) у = 0.5(х - 2)2 - 1; 3) у = 0,5(х - I)2 - 2;
2) у = {х + 2)2 -15 4) у = 0.5(х + 2)2 - 1.
22. Графигы 67 нче рәсемдә сурәтләнгән квадрат функцияне
аналитик языгыз.
1) у = -х’ + 3; 3)у = -(х + 1)’ + 3;
2) у = -2(х - I)2 + 3; 4) у = —2(х + I)2 + 3.
м
7
■
у
V
/
1 -
X
J
г
1
7
1
1
J-
151
у
1
о
г
—'
а-
б
У.
>
2
X
-if
-У'
Р»с. 68
23. 68 нче (а—г) рәсемнән файдаланып, у = хг + 4х - 5
функциясенең графигын күрсәтегез.
24. 69 нчы (а—г) рәсемнән файдаланып, у = -х1 + 6х - 7
функциясенең графигын күрсәтегез.
152
Pec.
25. Графигы 70 нче рәсемдә сурәтләнгән квадрат функцияне
аналитик языгыз.
1) у = 2х2 + 8х + 17; 3) у = х2 + 8х + 17;
2) у = х2 - 8х + 15; 4) у = х2 - 8х + 17.
26. Графигы 71 нче рәсемдә сурәтләнгән квадрат функцияне
аналитик языгыз.
1) у = -х2 + 2х + 3; 3) у = ■ х1 - 4х + 7;
2) у = -х2 - 4х - 1; 4) у - -х2 + 4х - 1.
153
27. у *■ х2 - 2х + 3 функциясенең [-2; —1] кисемтәсендәге иң
кечкенә кыйммәтен табыгыз.
1)0; 2)1; 3)6; 4)11.
28. у = -х2 - 4х +• 5 функциясенең [-1; 0] кисемтәсендәге иң зур
кыйммәтен табыгыз.
1) 5; 2) 9; 3) 8; 4) -2.
29. у = 2х2 - 4х + 1 функциясенең [-1; 2] кисемтәсендәге иң
кечкенә кыйммәтен табыгыз.
1)1; 2)-1; 3)7; 4)0.
30. у = -Зх2 + 12х - 8 функциясенең [0, 4] кисемтәсендәге иң зур
кыйммәтен табыгыз.
1) 1; 2) 2; 3) 4; 4) -8.
31. у = 2х2 + Зх - 2 функциясенең иң кечкенә кыйммәтен табыгыз.
1)-0,75; 2)-0,875; 3)-3,125; 4)0.
32. у = -5х2 + бх - 1 функциясенең иң зур кыйммәтен табыгыз.
1) -6,4; 2) 1,7; 3) -0,6; 4) 0,8.
33. у = х2 - Зх + 4 функциясенең үсә бару аралыгын күрсәтегез.
1) [0; +°о); 3) [-1,5; +<»);
2) (1,5;+°°); 4) [3; +«>).
34. у - 2Х2 + 9х - 5 функциясенең кими бару аралыгын күрсәтегез.
1) 0]; 3) (-оо; -2,25];
2) (-со;-4,5]; 4) (-°°; 2,25].
36. у = -х2 + бх + 7 функциясенең үсә бару аралыгын күрсәтегез.
1) (-°°; 3]; 2) [3; +оо); 3) (-«>; -3]; 4) [-3; +оо).
154
36. у = -Зх8 - 6х - 4 функциясенең кими бару аралыгын күрсә¬
тегез.
!)(-<»;-1]; 2) [-1; +сс); 3)[1;+°°); 4) (-оо; 1].
37. у = Зх2 - 10г + 3 функциясенең нульләре кайсы аралыкта
икәнен күрсәтегез.
_ 8 ю\
3) 15- з<
1 Ю
3’ 3
38. у = -4х8 + 13х + 12 функциясенең нульләре кайсы аралыкта
икәнен күрсәтегез.
39. х ның нинди кыйммәтләрендә у = х2 - 7х - 8 функциясе уңай
булмаган кыйммәтләр ала?
1) [8;+оо); 3) (-оо; -1] u [8;+оо);
2) [-1;8]; 4) (-°°;-1) u (8;+оо).
40. х ның нинди кыйммәтләрендә у = -х2 + 8х + 20 функциясе
уңай булмаган кыйммәтләр ала?
1) (-оо; -2] и [10; +°о); 3> (-°о;-2];
2) [2; 10]; 4) ( -°о; -10] и [2; +оо),
41. х ның нинди кыйммәтләрендә у = х2 + 8х + 16 функциясе
уңай кыйммәтләр ала?
1) (-°°; +°°); 3)(-оо;-4)и(-4;+оо);
2) х ның андый кыйммәтләре юк; 4) [0; +°°).
42. х ның нинди кыйммәтләрендә у = х2 - 18х + 81 функциясе
уңай булмаган кыйммәтләр ала?
1) +°°); 3) 9;
2) х ның андый кыйммәтләре юк; 4) (-°°; 9) и (9; +°°).
43. х ның нинди кыйммәтләрендә у = х2 + Зх + 10 функциясе
уңай булмаган кыйммәтләр ала?
1) +°°): 3) [-5; -2];
2) х ның андый кыйммәтләре юк; 4)(-°°;5] о [-2; +°°).
44. х ның нинди кыйммәтләрендә у = -х2 + 6х - 16 функциясе
уңай кыйммәтләр ала?
1> (-оо;+оо); 3) (0,5; 5,5);
2) х ның андый кыйммәтләре юк; 4)(-оо;0,5)и(5,5;+о°).
155
45. 72 нче рәсемдә у = ах2 + Ьх + с функциясе графигы бирелгән.
а, Ь, с коэффициентларының тамгаларын билгеләгез.
1) а > 0, Ь > 0» с > 0; 3) а > 0, Ь < 0, с > 0;
2) а > 0» Ь > 0, с < 0; 4) а > 0, Ь < 0, с < 0.
46. 73 нче рәсемдә у = ахг + Ьх + с функциясе графигы бирелгән.
а, Ь, с коэффициентларының тамгаларын билгеләгез.
1) а < 0, Ь > 0, с < 0; 3) а < 0, Ь > 0. с > 0;
2) а < 0, Ь < 0, с < 0; 4) а < 0, Ь < 0, с > 0.
47. 74 нче рәсемдә у = ах1 + Ьх + с функциясе графигы бирелгән.
а, Ь, с коэффициентларының тамгаларын билгеләгез.
1) а > 0, Ь > 0, с > 0; 3) а > 0, Ь < 0, с -» 0;
2) а > 0, Ь > 0, с < 0; 4) а > 0, Ь < 0, с < 0.
И
о
х
154
48. 75 нче рәсемдә у = axs + bx + с функциясе графигы бирелгән.
а, Ь, с коэффициентларының, тамгаларын билгеләгез.
1) а < 0, Ь > 0, с < 0; 3) а < 0, Ь > 0, с > 0;
2) а < 0, Ь < 0, с < 0; 4) а < 0, Ь < 0, с > 0.
49. Графигы гипербола булган функцияне күрсәтегез.
1) У = •: 2) у = f: 3) Р = у; 4) у = х’.
50. Графигы гипербола булган тигезләмәне күрсәтегез.
1) хг + 2у=1; 3) ху + 2 = 0;
2) Зх + у = -2; 4) хг + уг = 1.
51. Графигы гипербола булмаган функцияне күрсәтегез.
1)У=7ТГ 2)у=^-1; 3)у = х’; 4) у =
52. Функция у = — формуласы белән бирелгән. Әгәр функция
графигының (-0.3; -2.1) ноктасы аша үтүе билгеле булса, k
коэффициентының кыйммәтен билгеләгез.
1)6,3; 2)7; 3)0,63; 4)
53. Функция у = ——— формуласы белән бирелгән. Әгәр функция
графигының (-8; 2,4) ноктасы аша үтүе билгеле булса, һ
коэффициентының кыйммәтен билгеләгез.
1)-9,6; 2)-0,6; 3)28,8; 4)-15,2.
54. Функция у = - - 27 формуласы белән бирелгән. Әгәр функ¬
ция графигының (6; -87) ноктасы аша үтүе билгеле булса, Л
коэффициентының кыйммәтен билгеләгез.
1)-19; 2)-10; 3)-684; 4)-360.
55. Функция у = g + 24 формуласы белән бирелгән. Әгәр
функция графигының (-9; -б) ноктасы аша үтүе билгеле
булса, к коэффициентының кыйммәтен билгеләгез.
1) 450; 2) 2; 3) -450; 4) б.
150 . . -
56. у = функциясе графигында ятучы нокталарны билгеләгез,
биредә Al*; -175),В(-15>/2; 5V2),C(10^5; 3>/5),д[-1|; 80 ].
1) А, В;
2) А, С;
3) В, D;
4) С, D.
157
57. у = функциясе графигында ятучы нокталарны
билгеләгез, биредә А(-6; -9), В(6; 13,5), С(18; -27), £>(29,5;
-648),
1)А, В, С; 2)А, С, D; 3) В, С, D; 4) А, В, D.
58. у = —— + 54 функциясе графигында ятмаучы ноктаны
билгеләгез.
1) А(6; 22); 2) С(-12; 70); 3) Л(48; 58); 4) В(4,8; 14).
144 . .
59. у = * * й - 84 функциясе графигында ятучы нокталарны
билгеләгез, биредә А(-11; 60), В(13; -76), С(-3; 12);
D( 6,5; -180).
1) A, В; 2) В, С; 3) С, 1>; 4) В, D.
g
60. у = . функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) (-“; 4); 3) (-то; +<»);
2) (—°°; 4) и (4; +<»); 4) (4; +«>).
2
61. у = х + з + 1 функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) -3) м (-3; +<»); 3) (-<»; +<»);
2) (-3; +°°); 4) (-<»; 1) и (1; +<»).
62. у = 2(х + 9)1 2 функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) (-9; +°о); 3) (-оо; 0) и (0; +°°);
2) -9) v (-9; +°°); 4) (-<»; +оо).
63. у = -3(х - 5) 1 - 7 функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) (-оо; 7) U (7; +0О); 3) (-«>; +«);
2) (5; +оо); 4) (-оо; 5) и (5; +«о).
64. у = | + 2 функциясенең кыйммәтләре күплеген табыгыз.
1) (-ОО; +оо); 3) (-оо; Q) о (0; +00);
2) (-оо; 2) и (2; +»); 4) (2; +<«).
65. у - 2х-1 функциясенең кыйммәтләре күплегең табыгыз.
1) (-оо; +со); 3) (0; +°о);
2) (-оо; 0) с; (0; +»); 4) (-«; -2) и (-2; +<»).
з
66. у = Функциясенең кыйммәтләре күплеген табыгыз.
1) ( ао; 0) u (0; +со); 3) ( °°; -2) о (-2; +<»);
2) (-оо; +00); 4) (1,5; +оо).
158
67. у = у _ ~ 6 функциясенең кыйммәтләре күплеген табыгыз.
1) (-co; +OQ); 3) (-ОО; Q) u (6; +Р0);
2) (-<»; 8) чУ (8; +оо); 4) (-<»; -6) u (-6; +«>).
68. у = (х - 2) 1 + 8 функциясенең кыйммәтләре күплеген табыгыз.
1) (-оо; 2) и (2; +»>; 3) (8; + оо);
2) (-оо; 8) и (8; +оо); 4) (-co; + оо).
69. 76 нчы рәсемдә сурәтләнгән гиперболаның тигезләмәсен
күрсәтегез.
1) ху = 1; 2) у = (х - 2) 3) ху = 2; 4) ху = 4.
70. 77 нче рәсемдә сурәтләнгән гиперболаның тигезләмәсен
күрсәтегез.
1) ху + 3 = 0; 3) ху - 3 = 0;
2) ху - 1 = 0; 4) у = х 5 + 3.
71. 78 нче рәсемдә сурәтләнгән гиперболаның тигезләмәсен
күрсәтегез.
П»- 3)у= | +1;
2 2
2>у=7Т1; 4>^=гҺ’
72. 79 нчы рәсемдә сурәтләнгән гиперболаның тигезләмәсен
күрсәтегез.
1) У = т4г- 3) у = 4 - 2;
_ 4 . .. 4
2) у=-7Т2’ 4)*=-—•
159
73. 80 нче рәсемдә сурәтләнгән гиперболаның тигезләмәсен
күрсәтегез.
1) у = | - 2; 3) у = * - 2;
2) 1/ = -ТТ2; 4>^= ® +2¬
74. 81 нче рәсемдә сурәтләнгән гиперболаның тигезләмәсен
күрсәтегез.
3 . 3
1) у - г + 1; 2) у = г +1»
160
i
0
-►
-1
X
Vi
i
3
-2
О
X
Р»с. 82 Pec. 83
3)p«-f+l; 4)y=f+l.
75. 82 нче рәсемдә сурәтләнгән гиперболаның тигезләмәсен
күрсәтегез.
2 _ - 2
1Н=___3; 3)у= — -1;
9 . 2
2)и=—Ц-1; 4)у=—Ц-+3.
' v х - 3 ' ° х + 1
76. 83 нче рәсемдә сурәтләнгән гиперболаныа тигезләмәсен
күрсәтегез.
3”=-ТТ2 *
2)У=-тЪ+3; 4>*=-тҺ+3'
5 .
77. у - ~ функциясенең кимү аралыкларын күрсәтегез.
1) (-оо; +0О); 3) (-4; +00);
2) (-оо; -4); 4) (-оо; -4) и (-4; + оо).
7
78. у = — г функциясенең үсү аралыкларын күрсәтегез.
1)(-0О;1); 3) (-оо; 1) (1; +оо);
2Ц1;+оо); 4)(-оо;+со).
79. у - 3(х - 2) ’функциясенең кимү аралыкларын күрсәтегез.
1) (-оо; 2); 3) (-оо; 2) u (2; +оо);
2) (—оо; +00); 4) (2; +оо).
161
Рас. ад
162
80. у = -(х + 5) 1 функциясенең үсү аралыкларын күрсәтегез.
1) (_оо; +оо); 3) (-оо; -5);
2) (-5; +°о); 4) (-«>; -5) u (-5; +«=).
6
81. у = функциясенең [-8; -3] кисемтәсендәге иң кечкенә
кыйммәтен табыгыз.
1)-6; 2)-0.6; 3) —1,2; 4)-1.
10
82. у = функциясенең [-4,5; -2,5] кисемтәсендәге иң зур
кыйммәтен табыгыз.
1) 5; 2) 20; 3) 4; 4) 25.
83. у = х 1 - 3 функциясенең [2; 4] кисемтәсендәге иң кечкенә
кыйммәтен табыгыз.
1)-3; 2)-5: 3)-2,5; 4)-2,75.
84. у *■ (х + 4) 1 функциясенең [8; 10] кисемтәсендәге иң зур
кыйммәтен табыгыз.
1) 0,25; 2) 3) Д; 4) -14.
85. у = бх 1 - 0,5 функциясенең [-4; -0,25] кисемтәсендәге иң зур
кыйммәтен табыгыз.
1) -24,5; 2) 23,5; 3) -0,5; 4) -2.
86. Функциянең аналитик һәм график бирелешләре (рәс. 84, а-г)
арасындагы тиңдәшлекне билгеләгез.
1)у = х»; 2) у = х2; 3) у = /х; 4) у = </х.
87. Функциянең аналитик һәм график бирелешләре {рәс. 85, а-г)
арасындагы тиңдәшлекне билгеләгез.
1) у = Vx - 2; 3) у = 2 - /х;
2) у = Vx - 2; 4) у = Vx + 2.
143
88. Графигы 86 нчы рәсемдә сурәтләнгән квадрат функцияне
аналитик языгыз.
1) у = >1х - 1 + 2; 3) у = 2 - -Jx + 1;
2) у = Vx + 1 +2; 4) у = Jr + 2 - 1.
89. Графигы 87 нче рәсемдә сурәтләнгән квадрат функцияне
аналитик языгыз.
1) у = Jx - 2 +3; 3) у = 3 - Jx • 2;
2) у = JT+ 2 + 3; 4) у = -ух + 3 + 2.
90. Графигы 88 нче рәсемдә сурәтләнгән квадрат функцияне
аналитик языгыз.
1) У = |х| - 2; 3) у = |х + 2|;
2) У = |х - 2[; 4) у = 2 - |х|.
91. Графигы 89 нчы рәсемдә сурәтләнгән квадрат функцияне
аналитик языгыз.
1) у = |х + 3|; 3) у = |х| - 3;
2) у = |х| + 3; 4) у = |х - 3|.
92. 90 нчы рәсемдә y—f(x) функциясенең графигы сурәтләнгән,
х ның нинди кыйммәтләрендә f(x) > 0 тигезсезлеге үтәлә?
1) (-2; 2); 2) (6; 7]; 3) (-2; 2) о (6; + 4) (6; +<»)•
164
93. 91 нче рәсемдә y=f(x) функциясенең графигы сурәтланган.
* ның нинди кыйммәтләрендә /(г) < 0 тигезсезлеге үтелә?
1) (-3; 1] u |5; 7); 3) (-3; 0];
2> (-3;-1] о [3; 6]; 4) [-3; 1] с» [5; 7].
94. 91 нче рәсемдә y=f(x) функциясенең графигы сурәтләнгән.
х ның нинди кыйммәтләрендә функция үсә?
1) [-1; 1] һәм [6; 7); 3) [1; 5];
2) [-1;3]; 4) [-1; 3] һәм [6; 7].
165
95. 91 нче рәсемдә y=f(x) функциясенең графигы сурәтләнгән.
х ның нинди кыйммәтләрендә функция кими?
1) [-3; -1] һәм [3; 6]; 3) (-3; 1] һәм [5; 7);
2) (-3; -1] һәм 15; 7]; 4) (-3; -1] һәм [5; 6].
96. 91 нче рәсемдә y=f(x) функциясенең графигы сурәтләнгән.
Функциянең нульләрен күрсәтегез.
1)-3;1;5;7; 2) 1; 5; 3)-3; 7; 4)-2; 1; 5.
97. 91 нче рәсемдә y=f(x) функциясенең графигы сурәтләнгән.
р ның нинди кыйммәтләрендә /(х) = р тигезләмәсенең бер
тамыры була?
1) р = 4; 2) р = ±4; 3) р = -1; 4) р = -1, р = ±4.
98. 92 нче рәсемдә у—((х) функциясенең графигы сурәтләнгән.
Бирелгән функциянең ничә нуле бар?
1)1} 2)2; 3)3; 4)4.
99. 92 иче рәсемдә y=f(X) функциясенең графигы сурәтләнгән, р ның
нинди кыйммәтләрендә /)х) = р тшезләмәсенең бер тамыры була?
1) р = 3; 2) р = — 1; 3) р = 2, р =-1; 4) р =-1, р = 3.
100. 92 нче рәсемдә y=f(x) функциясенең графигы сурәтләнгән.
f(x) = 1 тигезләмәсенең ничә чишелеше бар?
1)1; 2)2; 3)3; 4)4.
101. 92 нче рәсемдә y=f(x) функциясенең графигы сурәтләнгән,
/(х) = 0,3 тигезләмәсенең ничә чишелеше бар?
1)1; 2)2; 3)3; 4)4.
102. 93 нче (а-г) рәсемнән файдаланып, җөп функциянең
графигын күрсәтегез.
1) п; 2) б; 3) в; 4) 2.
166
167
103. 94 нче (а-г) рәсемнән файдаланып, җеп функциянең
графигын күрсәтегез.
1) о; 2) б; 3) в; 4) г.
104. Җеп функцияне күрсәтегез.
2
1) У = хэ + pJ 3) у = хг - 2х + 5;
2) у = -х3 + |; 4) у = х4 - 22.
105. Так функцияне күрсәтегез.
1) у = х3 + Зх + 1; 3) у = х3 +
2) У = х’ - р: 4) у = х4 4- х.
106. Графигы координаталар башына карата симметрияле функ¬
цияне күрсәтегез.
1> у = х3 + Зх; 3) у = х’ + 5;
2) у = х4 - р? 4) у = Зхг + 2.
107. Графигы Оу күчәренә карата симметрияле функцияне
күрсәтегез.
1) У = Ух’ - 4; 3) у = р-р!*
2) У = Vx; 41 у —
108. Графигы куб парабола булган функцияне күрсәтегез.
1) у = tfx: 2) у = х1 - 3; 3) у = х4; 4) у = р.
109. Графигы 95 нче рәсемдә сурәтләнгән куб параболаны ана¬
литик языгыз.
1>у = ха; 3)у = (х-2)а;
2) у = ха + 2; 4) у = (х + I)3 - 2.
110. Графигы 96 нчы рәсемдә сурәтләнгән функцияне аналитик
языгыз.
1) у = (х - I)3 - 2; 3) у = -(х + 1)а - 2;
2) у = (х 4-I)2 - 2; 4) у =-(х - 2)3 - 1.
111. у = х"2 функциясенең билгеләнү әлкәсеи табыгыз.
1) (-0°;+СО); 3) (-0О; 0) U (0; +“);
2) (0; +“); 4) (-оо; 0).
168
112. у = (х - I)'2 функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) (-«>; 0) и (0; +<»); 3) (1; +<=<=);
2) +»)» 4) (-<»; 1) u (1;+°°).
113. у = (х + I)’2 ~ 2 функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) (-°°; +°°); 3) (-1; +=о);
2) (-00; -1) <-> (-1; +°°); 4) (-2; +«).
114. у = -х 2 + 4 функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) (0; +<»); 3) (-оо; +оо);
2) (-»; 4); 4) (-°с; 0) и (0; +<=<=).
115. у = х4 - 5 функциясенең кыйммәтләре күплеген табыгыз.
1) [-5; +°о>; 2) (0; +<»); 3) (-<»; +<»); 4) (-5; +»).
116. у = (х- 1)* + 3 функциясенең кыйммәтләре күплеген табыгыз.
1) [1; +<»); 2) (3; +«>); 3) (3; +«•); 4) (-<»; +«>).
169
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
у = -(х 4- I)4 функциясенең кыйммәтләре күплеген табыгыз.
1) (-оо; -1]; 2) (-00; +ОО); 3) (-оо; 0]; 4) (-ОО; 0).
у - -(х - I)4 + 8 функциясенең кыйммәтләре күплеген табыгыз.
1) (-оо; 1]; 2) (-оо; 8]; 3) [8; 4-оо); 4) (-оо; +оо).
6
у = ——функциясенең үсү аралыкларын күрсәтегез.
1) (1; +ОО); 3) (-ОО; +СО);
2) (—°°; 1) о (1; 4-00); 4) (-оо; 1).
у = -4(х — 3) * функциясенең үсү аралыкларын күрсәтегез.
1) (3; +оо); ЗН-оо; 3);
2) (-оо; 4-00); 4) (-оо; 3) U (3; 4-00).
у = (х 4- I)4 функциясенең үсү аралыкларын күрсәтегез.
1) (-оо; +ОО); 2) (-1; 4-00); 3) (-оо; Ц; 4) (-1; 4-оо).
у - -(х - 2)4 функциясенең үсү аралыкларын күрсәтегез.
1) (-«>; 2];
5
У “ {I + 4)2
1) (-оо; -4);
2) [2; 4-00); 3) (-оо; +оо); 4) (-оо; 0].
функциясенең кимү аралыкларын күрсәтегез.
2) (-4; 4-оо); 3) (-оо; 0); 4) (-оо; +«•).
124. у = 2(х 4- 2) 2функциясенең кимү аралыкларын күрсәтегез.
1) (-о°; -2); 3) (—ОО; ч-оо);
2) (—2; 4-00); 4) (-оо; -2) U (-2; 4-оо).
125. у = (х - 4)4 4- 1 функциясенең кимү аралыкларын күрсәтегез.
1)(-оо;+оо); 2) [4; +оо); 3) (-оо; 4]; 4) [1; 4-00).
126. у = -(х 4- З)4 — 2 функциясенең кимү аралыкларын күрсәтегез.
1) (-оо; 2]; 2) (-co; +ОО); 3) (-оо; -3]; 4) [-3; 4-00).
127. Барлык саннар турысында үсә торган функцияне күрсәтегез.
1) у = х2 + Зх; 3) у = -X •;
2) у = (х - З)3; 4) у = х4 - 3.
128. Барлык саннар турысында кими торгам функцияне күрсәтегез.
1) У - -Л/х; 3) у = х •;
2) у = -Vx; 4) у = —х4.
129. у = 7х һәм у = -5х 4- 21 функцияләренең кисешү ноктасы
абсциссасын табыгыз.
130. у = 9х — 4 һәм у = 4х 4- 9 функцияләренең кисешү ноктасы
абсциссасын табыгыз.
131. у - -8х 4-Ц Һәм у • -2х - 7 функцияләренең кисешү ноктасы
ординатасын табыгыз.
170
132. у = 21х һәм у = х - 6 функцияләренең кисешү ноктасы
ординатасын табыгыз.
133. у = 15х + 4 һәм у = 11х - 8 функцияләренең кисешү
ноктасы координаталарын табыгыз- Җавапта табылган
координаталарның суммасын күрсәтегез.
134. у = 8х - 11 һәм у = -бх + 7 функцияләренең кисешү ноктасы
координаталарын табыгыз. Җавапта ~ аңлатмасының
кыйммәтен күрсәтегез.
135. Әгәр ах 4- бу = 4 турысының (2; 1) ноктасы аша үтүе билгеле
булса, а параметрының кыйммәтен табыгыз.
136. Әгәр -4х + by = -2 турысының (3; 8) ноктасы аша үтүе
билгеле булса, b параметрының кыйммәтен табыгыз.
137. Әгәр 2х - 5у + С ~ 0 турысының (2; -1) ноктасы аша үтүе
билгеле булса, с параметрының кыйммәтен табыгыз.
138. Әгәр ах + by = 12 турысының (2; 4) Һәм (-3; 0) нокталары аша
үтүе билгеле булса, а һәм b параметрларының кыйммәтен
табыгыз. Җавапта а+Ь аңлатмасының кыйммәтен күрсәтегез.
139. Әгәр ах + by = -18 турысының (0; -6) һәм (-20; 4) нокталары
аша үтүе билгеле булса, а һем b параметрларының кыйммәтен
табыгыз. Җавапта ab аңлатмасының кыйммәтен күрсәтегез.
140. Әгәр ах + by + с = 0 турысының координаталар башы һәм
(2; -6) ноктасы аша үтүе билгеле булса. . чагыштырмасының
кыйммәтен табыгыз.
141. Әгәр ах + by + с = 0 турысының абсциссалар күчәренә
параллель һәм (3; 4) ноктасы аша үтүе билгеле булса, -
чагыштырмасының кыйммәтен табыгыз.
142. Әгәр ах + by 4- с = 0 турысының ординаталар күчәренә
параллель һәм (-5; 1) ноктасы аша үтүе билгеле булса,
чагыштырмасының кыйммәтен табыгыз.
143. Әгәр ах + by + с = 0 турысының (-4; 1) һәм (3; 2) нокталары
аша үтүе билгеле булса, үзара гади бөтен a, Ь һәм с
параметрларының суммасын табыгыз.
144. у = х2 - бх + 5 функциясенең ин кечкенә кыйммәтен табыгыз.
145. у -бх2 - 24х + 19 функциясенең нн кечкенә кыйммәтен табыгыз.
171
146. у - х2 4- 4х - 1 функциясенең ин кечкенә кыйммәтен табыгыз.
147. у = 6хг + ЗОх + 25 функциясенең иң кечкенә кыйммәтен табыгыз.
148. у = -Юх2 + ЗОх - 23 функциясенең иң зур кыйммәтен табыгыз.
149. у = -бх2 - 16х + 11 функциясенең иң зур кыйммәтен табыгыз.
150. у = V1T - х* функциясенең иң зур кыйммәтен табыгыз.
151. у = 7о>25 - Зх2 функциясенең иң зур кыйммәтен табыгыз.
152. у = 5 4- 3s/x функциясенең иң кечкенә кыйммәтен табыгыз.
153. у = 'Jx2 + 49 функциясенең иң кечкенә кыйммәтен табыгыз.
154. у = 1 - Vx функциясенең иң кечкенә кыйммәтен табыгыз.
155. у 72х’ + 1,44 функциясенең иң кетенә кыйммәтен табыгыз.
156. у = чхг - 6х + 10 функциясенең иң кечкенә кыйммәт» табыгыз.
157. у - \/2хг + 4х + 6 функциясенең иң кечкенә кыйммәтен табыгыз.
158. у = У-х2 + 6х - 5 функциясенең иң зур кыйммәтен табыгыз.
159. у = -J-x2 - 4х + 5 функциясенең иң зур кыйммәтен табыгыз.
160. у=11-\х2 - 4х + 3 функциясенең иң зур кыйммәтен табыгыз.
161. у-17+*Ух3 + 5х + 6 функциясен» иң кетенә кыйммәтен табыгыз.
162. Ь параметрының х = 2 турысы у - Зх2 4- Ьх 4- 7 параболасының
симметрия күчәре булгандагы кыйммәтен табыгыз.
163. Ь параметрының х = -2 турысы у = -Ьх2 + Ьх 4- 3 параболасының
симметрия күчәре булгандагы кыйммәтен табыгыз.
164. а параметрының х = -4 турысы у = ах2 + 12х - 5 параболасының
симметрия күчәре булгандагы кыйммәтен табыгыз.
165. а параметрының х = 3 турысы у - ах2 + 18х - 4 параболасының
симметрия күчәре булгандагы кыйммәтен табыгыз.
166. р ның (биредә р = -) нинди кыйммәтендә у = ах2 + 4х 4- с
параболасы түбәсе булып (-1; 8) ноктасы тора?
167. р нын (биредә р - — )нинди кыйммәтендә у = ах2 4- бх 4- с
параболасы түбәсе булып (1; 6) ноктасы тора?
168. q ның (биредә q = нинди кыйммәтендә у = -2х2 4- Ьх 4- с
параболасы түбәсе булып (3: 6) ноктасы тора?
172
169. q ның (биредә q = нинди кыйммәтендә у = 4х2 + Ьх + с
параболасы түбәсе булып (-1; -16) ноктасы тора?
170. с ның нинди кыйммәтендә у = 2х2 + 16х + с функциясенең
иң кечкенә кыйммәте 23 гә тигез?
171. с ның нинди кыйммәтендә у = -Зх2 + ЗОх + с функциясенең
иң зур кыйммәте 27 гә тигез?
172. у = 23 - |х - 9| функциясенең иң зур кыйммәтен күрсәтегез.
173. у = [х 4- 111 - 78 функциясенең иң кечкенә кыйммәтен күрсәтегез.
174. 97 нче рәсемдә y=f(x) функциясе графигының бер кисәге
сурәтләнгән. Әгәр у = Дх) функциясе җөп булса, Д-7) не табыгыз.
175. 97 нче рәсемдә y=f(x) функциясе графигының бер кисәге
сурәтләнгән. Әгәр у - Дх) функциясе так булса, Д-5) не табыгыз.
176. 98 нче рәсемдә y=f(x) функциясе графигының бер кисәге
сурәтләнгән. Әгәр у = Дх) функциясе җөп булса, /(3) не табыгыз.
177. 98 нче рәсемдә y=f(x) функциясе графигының бер кисәге
сурәтләнгән. Әгәр у = Дх) функциясе так булса, Д6) не табыгыз.
178. у = функциясенең иң кечкенә кыйммәтен табыгыз.
179. у = 1 ; г функциясенең иң кечкенә кыйммәтен табыгыз.
9 * «
180. у = хе ФУНК1*иясенең кечкенә кыйммәтен табыгыз.
181.
у--з-
4
’J'x2 + 4
функциясенең иң кечкенә кыйммәтен табыгыз.
173
182. у = xi , ? функциясенең иң зур кыйммәтен табыгыз.
9
183. у = 2 + . „ функциясенең иң зур кыйммәтен табыгыз.
X т «J
184. у = : 14 функциясенең иң зур кыйммәтен табыгыз.
■Jr + 49
185. у = 3 +
12
Jx2 + 36
функциясенең иң зур кыйммәтен табыгыз.
Тигезләмәләр һем тигезләмә системалары
1. 3(4х - 1) - 7(2х + 4) = х - 0,5 тигезләмәсенең тамыры
урнашкан аралыкны күрсәтегез.
1)(-11;-9); 2) (7; 9); 3) (-2; 0); 4)(-1;0).
2. 5(2х - 3) - (8х — 7) = 11 - 2х тигезләмәсенең тамыры
урнашкан аралыкны күрсәтегез.
1) (8; 9); 2) (0; 2); 3) (3,5; 5); 4) (5; 6).
2х + 15 _ х - 3 , „
4. х - ,,, + 2 тигезләмәсенең тамыры урнашкан ара¬
О I
лыкны күрсәтегез.
1)(-13;-11); 2) (-8;-5>; 3) (-5;-3); 4)(-1;0).
. Зх + 1 2 - х ,
4. —-— = —-— - 1 тигезләмәсенең тамыры урнашкан ара¬
лыкны күрсәтегез.
1) (—15; —9); 2) (-3;-2); 3) (2; -1); 4) (-1; 1).
5. Төрле ике реаль тамыры булган тигезләмәне күрсәтегез.
1) х2 - 8х + 19 = 0; 3) х3 + 5х - 3 = 0;
2) х2 - 8х + 16 = 0; 4) х2 + 5х + 8 = 0.
6. Тискәре ике тамыры булган тигезләмәне күрсәтегез.
1) Зх2 + 10х + 6 = 0; 3) Зх2 + 10х + 9 = 0;
2) Зх2 - 10х + 6 = 0; 4) Зх2 - 10х - 6 = 0.
7. Реаль тамырлары булмаган тигезләмәне күрсәтегез.
1) -4х2 + 7х - 1 = 0; 3) -4х2 - 4х - 1 = 0;
2) -4х2 + Зх - 1 = 0; 4) -4х2 + 6х + 1 = 0.
8. 12х2 + 17х - 14 = 0 тигезләмәсенең иң зур тамырын табыгыз.
7 _ _ 7
1) 2; 2) 3) -2; 4) g.
174
9. -42х* + 71х - 30 = О тигезләмәсенең иң әур тамырын табыгыз.
1) ё’ 2) "Г 3) '6- 4) 7'
10. 20г2 + 31х + 12 = 0 тигезләмәсенең иң кечкенә тамырын табыгыз.
1)-0,8; 2)-0,75; 3)-1,6; 4)-1,5.
11. -24х2 4- 38х — 15 = 0 тигезләмәсенең иң кечкенә тамырын
табыгыз.
1) |; 2) 3) 4) |.
12. 6хг + 13х + 6 = 0 тигезләмәсенең тамырлары урнашкан
аралыкны күрсәтегез.
1) (-2,5; -1); 2) [-0,8; 0]; 3) (0,5; 2); 4) [-1,5; -0,5].
13. -25хг + 5х + 2 = 0 тигезләмәсенең тамырлары урнашкан
аралыкны күрсәтегез.
1) (-1; 0); 2) (0; 1]; 3) [-0,4; 0,2]; 4) (-0,4; 0.6).
14. 75х -3=2 тигезләмәсенең тамыры урнашкан аралыкны
күрсәтегез.
1)[0;1]; 2)(1;2); 3) (4; 6); 4) [2; 3].
15. 74 - Зх = 5 тигезләмәсенең тамыры урнашкан яралыкны
күрсәтегез.
1)<-1;0); 2) (-4;-2); 3) (-8;-6); 4) (0;+«>).
16. 7х2 - 24 = 5 тигезләмәсенең тамырлары урнашкан аралыкны
күрсәтегез.
1) (-8; 8); 2) (5; +<»); 3) (-оо; -5); 4) (-6; 6).
17. ух’ - 20 = 4 тигезләмәсенең тамырлары урнашкан аралыкны
күрсәтегез.
1) (-4; 4); 2) (4; +«>); 3) (-«>; -4); 4) (-7; 7).
18. 7х2 - 2х - 20 = 2 тигезләмәсенең тамырлары урнашкан
аралыкны күрсәтегез.
1) (5; +оо); 2) (-5; 7); 3) (0; 5); 4) (-оо: 0).
19. Ух2 + 8х + 24 = 3 тигезләмәсенең тамырлары урнашкан
аралыкны күрсәтегез.
1)(-4; 0); 2) (-8;-4); 3)(-6;-2); 4) тамырлары юк.
175
* 8
20. , +• - = 2 тигезләмәсенең тамырлары урнашкан аралыкны
күрсәтегез.
1) (-°°; -0,5); 2) (-1.5; 3); 3) (2; +оо); 4) (-0,5; 2).
б 1 . _
21. — =5 тигезләмәсенең тамырлары урнашкан аралыкны
күрсәтегез.
1) (0,5; +оо); 2) (-°°;-1); 3) (-1; 0,5); 4) (-1,5; 1,5).
22. (х - 3f = 16 тигезләмәсе тамырларының модульләре аермасын табыгыз.
23. Эх2 + 12х = 5 тигезләмәсе тамырларының модульләре аермасын
табыгыз.
иг - 25 л
24. Тигезләмәне чишегез: f = 0.
6(/ - nU
— ~ - 16 „
25. Тигезләмәне чишегез: -= rs = 0.
26. Тигезләмәне чишегез: * * * * * * * * * х '1 * 12 = 0.
2х - 8
27. Тигезләмәне чишегез: - = 0.
5х + 10
♦ X - 6 -
28. Тигезләмәне чишегез: т.—— = 0.
х’ - 4
29. Тигезләмәне чишегез: —~,5—/ = 0.
хг - 1
. хг + 5х - 6 Л
30. Тигезләмәне чишегез: —5—т т = 0.
хг + 2х - 3
г,, ~ ха - Зх 4- 2 л
31. Тигезләмәне чишегез: —=— - = 0.
хг - 4х + а
32. Тигезләмәне чишегез: - 5 + —-1-— + - _24— = 0.
х-3 х + 3 х2 - 9
33. Тигезләмәне чишегез: т + ——- = ——-
х - 2 xz - 4 х + 2
34. Тигезләмәне чишегез: —+ — 2х — = -2.
2х Зх + 2
35. Тигезләмәне чишегез: ** „ = 2.
бх 4х - 3
36. Тигезләмәне чишегез: (2х + 3)V3x - 12 = 0.
176
37. Тигезләмәне чишегез: 78 - 4x(3x - 7) =0.
38. (4x + 18)7x* + 9x + 20 = 0 тигезләмәсенең тамырлары
суммасын табыгыз.
39. (2х - 6)7—х2 + 2х = 0 тигезләмәсенең тамырлары суммасын
табыгыз.
401 (х2 + х - 12)7772 = 0 тигезләмәсенең тамырлары суммасын
табыгыз.
41. (х2 - 36)74”х = 0 тигезләмәсенең тамырлары суммасын табыгыз.
42. (х2 - 2х - 15) 7з - х = 0 тигезләмәсенең тамырлары тапкырчы¬
гышын табыгыз.
43. (х2 - 9)7х + 1 =0 тигезләмәсенең тамырлары тапкырчыгышын
табыгыз.
44. (2х2 - 7х + 3)ч — = 0 тигезләмәсенең ничә тамыры бар?
1 о X
45. (2х! + 5х + 2) J— * = 0 тигезләмәсен чишегез. Җавапта
тигезләмәнең тамырлары суммасын күрсәтегез.
46. Тигезләмәне чишегез
47. Тигезләмәне чишегез
48. Тигезләмәне чишегез
49. Тигезләмәне чишегез
50. Тигезләмәне чишегез
51. Тигезләмәне чишегез
52. Тигезләмәне чишегез
53. Тигезләмәне чишегез
54. Тигезләмәне чишегез
55. Тигезләмәне чишегез
5х - 2Й _
/ , = и.
7-xJ + 5х + б
, °2 1 15 =0.
vx’ + 5х + 6
♦х’ - 25х + в л
L = 0¬
71 - х
*-х I j х ә- 4 _ Q
73х - 4
•J23 ~ х = х — 3.
710 - х 1 х - 4.
721 - 10х = 1 - х.
728 - Зх = 6 - х.
Т4хг + 5х ■~б = 4х + 3.
7-8х2 - 5х + 7 = 1 - 2х
177
56. Тигезләмәне чишегез: v20x2 - 17х + 26 = 5х - 4.
57. Тигезләмәне чишегез: V-x2 - 23х + 21 = 1 - Зх.
58. Тигезләмәне чишегез: х - 5-Ух -6=0.
59. Тигезләмәне чишегез: х - 6 Vx -7 = 0.
60. Тигезләмәне чишегез: 4х ‘ + х + 4 = 0.
61. Тигезләмәне чишегез: Әх'1 + х - 6 = 0.
62. х - 5 + бх*1 • 0 тигезләмәсенең иң зур тамырын табыгыз.
63. х + 7 + 10х 1 = 0 тигезләмәсенең иң кечкенә тамырын табыгыз.
64. 4х4 + Зх2 -1 = 0 тигезләмәсе тамырларының модульләре
аермасын табыгыз.
65. 4х‘ - Збх2 -9 = 0 тигезләмәсе тамырларының модульләре
аермасын табыгыз.
66.
67.
68.
l*i “ У11 + [х i у | аңлатмасының кыйммәтен табыгыз, биредә
(ж>; Jh)> (хг; Уч) саннар парлары түбәндәге тигезләмәләр
(ху = 63,
системасының тамырлары булып тора: i , .
Iх + у — 16.
11.2 „ , .
1*1 ~ хг| + П—I—I аңлатмасының кыйммәтен табыгыз, биредә
Irt — и I
(*i5 Jh), (xt; уг) саннар парлары түбәндәге тигезләмәләр
системасының тамырлары булып тора:
ху « -91.
х + у = -6.
7х • т1 аңлатмасының кыйммәтен табыгыз, биредә (хн у,),
th
(хг; уг) саннар парлары түбәндәге тигезләмәләр системасының
, \хи ■ -80,
тамырлары булып тора: J "
[х - у = -21.
69. — + аңлатмасының кыйммәтен табыгыз, биредә (xt; j/(),
У| th
(x2; yt) саннар парлары түбәндәге тигезләмәләр системасының
[хр = 60,
тамырлары булып тора:
[х - у = -11.
70. xtpt + хгуг аңлатмасының кыйммәтен табыгыз, биредә
(*15 У1), (х,; уг) саннар парлары түбәндәге тигезләмәләр
, (х1 + ху = 6,
системасының тамырлары булып тора:
7х - ху = 2.
178
71. XiJ/i + хгуг аңлатмасының кыйммәтен табыгыз, биредә (xt; у,),
(хг; Уг) саннар парлары түбәндәге тигезләмәләр системасының
- У2 = 7,
тамырлары булып тора; j +
72. Тигезләмәләр системасының ничә чишелеше булуын билгеләгез:
1хг + 4х = у - 2,
|х + у + 2 = 0.
73. Тигезләмәләр системасының ничә чишелеше булуын билгеләгез:
[хг + у = 2х + 2,
(у - 3 = 0.
74. Тигезләмәләр системасының ничә чишелеше булуын билгеләгез:
Jx2 + у* = 16,
[х - у + 4 =0.
75. Тигезләмәләр системасының ничә чишелеше булуын билгеләгез:
(х2 + у1 = 16,
|ху +4=0.
76. Тигезләмәләр системасының ничә чишелеше булуын билгеләгез:
(х2 + у2 = 25,
(х2 - у = -5.
77. Тигезләмәләр системасының ничә чишелеше булуын билгеләгез:
(ха + {у - 1)’ = 25,
[х2 + у = 4.
78. Тигезләмәләр системасын чишегез:
79. Тигезләмәләр системасын чишегез:
80. Тигезләмәләр системасын чишегез:
х2у2 - бху = -5,
Зх + Зу = 10.
2х2у2 - 5ху = -2,
х - у = -1.
х - Зу = 1.
179
81. Тигезләмәләр системасын чишегез:
х + = -6.
У х
2х + 7у = 6.
— - - - 5.
82. Тигезләмәләр системасын чишегез:
X - у X + у
1 1 6 e 3
х - у х + у
—° А- - 2.
83. Тигезләмәләр системасын читегез:
2х + у х - у
—1— + —— = 26.
2х + у х - у
84. Тигезләмәләр системасын чишегез:
у]х + Зу + 2х = -1,
•Jx + Зу - Зх = 9.
4 - бу = -13,
85. Тигезләмәләр системасын чишегез:
- у
Г 1 + 5у = 13.
ух - у
86. Әгәр (х; у) саннар парлары түбәндәге тигезләмәләр
системасының чишелеше булса, ах + 5 у = 0 булганда а ның
|х2 + у2 = 41,
бөтен кыйммәтен табыгыз: i Л -
1х + 2у = 3.
87. Әгәр (х; у) саннар парлары түбәндәге тигезләмәләр систе*
масының чишелеше булса, ах + у = 6 булганда а ның бөтен
& - 1хг - уг = 32,
кыйммәтен табыгыз: . ’
|2х - у = 11.
88. а ның нинди кыйммәтендә түбәндәге тигезләмәләр
|х2 + у2 = 16,
системасының өч чишелеше була: ,
11*1 - у = а
89. а ның нинди кыйммәтендә түбәндәге тигезләмәләр
, _ |хг + уг = 9,
системасының бер чишелеше була:
||*| + У = о
180
Тигеэсезлеклер һем тиресезлек системалары
1. Тигезсезлекне чишегез: 9х - 4 < Юх 4- 3.
1) х < -7; 2) х > 7; 3) х > -7; 4) х < 7.
2. Тигезсезлекне чишегез: 12х + 7>9х-11.
1) х < -6; 2) х > -6; 3) х > 6; 4) х < 6.
3. Тигезсезлекнең чишелешләре күплеген табыгыз:
0,3 + 0,2х > 0,6х - 4,1.
1) [11;+°°); 2) (-со; 11]; 3) (-оо; П); 4) (-<»; 1,1].
4. Тигезсезлекнең чишелешләре күплеген табыгыз:
2,2х - 0,1 < 1,8х 4- 2,9.
1) (-оо; 7,5]; 3) (7,5; 4-оо);
2) (-оо; 0,75); 4) (-оо; 7,5).
„ „ 4.1^32
б. Тигезсезлекне чишегез: ух + g э — + -х.
1) х < -0,5; 2) х С 2; 3) х < 0,5; 4) х < -2.
в. Тигезсезлекнең чишелешләре күплеген табыгыз:
1_з, .
6 8 12 4
1)|з * '! 2)(1,5;+оо); :<| \ 4) (-1,6;-t-oo).
~ гтч 11 • 5г 8х - 2
7. Тигезсезлекне чишегез: >
12 15
1) х < -9; 2) х > 9; 3) х < 9; 4) х > -9.
„ „ 15 • - 7х - 9
8. Тигезсезлекне чишегез: <
20 32
1) х С-15; 2) х >-15; 3) х > 15; 4) х С 15.
9. Тигезсезлекне чишегез: |2х - 4| > 1.
1) х < 1,5 һәм х > 2,5; 3) х > 2,5;
2) 1,5 < х < 2,5; 4) х > 1,5.
10. Тигезсезлекне чишегез: |5 - х| > 4.
1) -1 < х < 1; 3) х < 1 һәм х > 9;
2) х < 1; 4) 1 < х < 9.
11. Тигезсезлекне чишегез: х! - 7х 4- 12 < 0.
1) 3 < х < 4; 3) -4 < х < -3;
2) х -4 һәм х > -3; 4) х < 3 һәм х > 4.
12. Тигезсезлекне чишегез: -х’ 4- 11х - 30 < 0.
1) 5 < х < 6; 3) -6 < х < 5;
2) х < 5 һәм х > 6; 4) х < -в һәм х > 5.
181
13. Тигезсезлекне чишегез: 7х
2 - 9х + 2 < 0.
1) Х< | һәм х > 1;
2) | < х < 1;
3) х < | һем х > 2;
4) у < х < 2,
14. Тигезсезлекне чишегез: -2
1) 1 < х < 3,5;
2) х < 2 һәм х > 7;
15. Тигезсеалекыеа чишелешләр
1) (-°°; +°°);
2) (-«•; 1)47(1; +«>);
16. Тигезсезлекнең чишелешләре
1) (-°°; +®°);
х1 + 9х - 7 < 0.
3) 2 < х < 7;
4) х < 1 һәм х > 3,5.
е күплеген табыгыз: -х2 +■ 2х - 1 < 0.
3) 1;
4) 0.
! күплеген табыгыз: 4х* + 4х + 1 < 0.
3) -0,5;
2) (-оо; -0.5) u (-0,5; +<»); 4) 0.
17. Тигезсезлекне чишегез: 4х
2 > 9х.
1) х < 0 һәм х > 2,25;
2) 0 < х < 2,25;
3) х > 2,25;
4) х < -1,5 һәм х > 1,5.
18. Тигезсезлекне чишегез: 4х
< 5х2.
1) х > 0,8;
2) х < 0,8;
19. Тигезсезлекне чишегез: хг
1) х < 11;
2) -11 < х < 11;
20. Тигезсезлекне чишегез: х2
1) х > 14;
2) х < -14 һәм х > 14;
21. Тигезсезлекне чишегез: (х
1) х < 3 һәм 2 < х < 4;
2) х < -3 һәм i < х < 2;
22. Тигезсезлекнең чишелешл
3) 0 < х < 0,8;
4) х < 0 һәм х > 0,8.
< 121.
3) -11 < х < 11;
4) х < -11 һәм х > 11.
> 196.
3) -14 < х < 14;
4) х < -14 һәм х > 14.
- 2)(х + 3)(8х - 2) < 0.
3) х < -2 һәм - < х < 3;
4
4) -3 < х < 0,25 һәм х > 2.
аре күплеген табыгыз:
(Зх - 1 )(х + 4)(х - 6) > 0.
1) -4; - [ и [6; +оо);
» 3 J
3) [-6; -4) и |
2) [-4; 3] u [6; +оф);
4)(--4)u (1; б).
23. Тигезсезлекне чишегез: х(.
1) -7 < х < 0 һәм х > 0,5;
2) х < -7 һам 0 < х < 0,5:
г + 7КЗ - 6х) 0.
3) х < -7 һәм 0 < х < 2;
4J -7 < х < 0,5.
182
24. Тигезсезлекне чишегез: (2х - 1)(4 - 12х)(х + 9) < 0.
1) х < -9 һәм | < х < 1; 3) -9 < х < 2 һәм х > 3;
2) < х < 1 һәм х > 9; 4) -9 < х < - һәм х > 0,5.
с. 6 3
25. Тигезсезлекнең чишелешләре күплеген табыгыз:
х(х + 5)(2 - 6х)(2х - 4) < 0.
1) (-оо; -5] 0; | | v [2; +«>);
2) [-5; 0]и ||; 2|
3) [-5; 0] \j [2; 3];
4) (-оо; -5] v [0; 2] V [3; +<»).
26. Тигезсезлекне чишегез:
-54 „
х’ - 49 ** °*
1) -7 < х < 7;
2) -7< х < 7;
3) х < -7 һәм х > 7;
4) х > 7.
27. Тигезсезлекне чишегез:
х* ♦ 9 _
7 < °-
4х2 - 1
1) -0,5 < х < 0,5;
3) -3 < х < -0,5 һәм 0,5 < х < 3;
2) х < -0,5 һәм х > 0,5; 4) -2 < х < 2.
28. Тигезсезлекне чишегез:
- 10 .п
1 - 100х2 °-
1) -10 < х < 10;
3) -0,1 < х < 0.1;
2) х < —10 һәм х > 10;
4) х < -0,1 һәм х > 0,1.
29. Тигезсезлекне чишегез:
16 - х2 Л
х2 + 4 > °’
1) -4 < х < 4;
2) х < -4 һәм х > 4;
3) -4 < х < 4;
4) -4 < х < 2 һәм 2 < х < 4.
30. Тигезсезлекнең чишелешләре күплеген табыгыз: х , 7*Л*2 > 0.
J J ♦ 15
1) (-5; 3] и [4; +«>;
3) (-оо; -5) о (3; 4);
2) (-5; 3)и(4; +»>;
4) -5) u (4; +°о).
31. Тигезсезлекнең чишелешләре күплеген табыгыз: t 8х i 5
1Ц-оо; -5)и(-3; 7];
2) (-оо; -5] [-3; 7];
3) (-5; -3);
4) (-5; -3) и (7; +оо).
183
3) (-«>; -4) kJ
1) (-«; -4) v
32. Тигезсезлекнең чишелешләре күплеген табыгыз: тг-* ^5—j < 0.
4
2) (-4; -|) u (1; +«>); 4) (-4; -1) u (|; +оо].
33. Тигезсезлекнең чишелешләре күплеген табыгыз: х^Зх + 3) > 0.
1) (-1,5;0); 3) (-1,5;+«>);
2) (—°°; -1,5) (0; +«•); 4) (-1,5; 0) и (0; +<*>).
34. Тигезсезлекнең чишелешләре күплеген табыгыз: (х + 3)4х — 2) < 0.
1> (-оо; 2>; 3) (~°°;-3) u (-3; 2);
2) (-3; 2); 4) (-°°; -3) и (2; +«>).
35. Тигезсезлекнең чишелешләре күплеген табыгыз: (5х + 3X4 - х)х? < 0.
1) (-«>; 0,6) kJ (0; 4); 3) (-<»; -0,6) kJ (4; +оо);
2) (-0,6; 0) и (4; +<*>); 4) (-0,6; 0) u (0; 4).
Зв. Тигезсезлекне чишегез: (Зх + 5X1 - х)(х + I)2 < 0.
1) <х<1; 3) -|<х<-1 һәм х > 1;
2) х < ~х» х ? 1 һәм х = -1; 4) х < “ һәм -1 < х < 1.
3 d
37. Тигезсезлекне чишегез: х _ 2 0.
1) х = 0 һәм х > 2; 3) х > 2;
2) х > 2; 4) х < 0 һәм х > 2.
__ _ х + 2 . „
38. Тигезсезлекне чишегез: > 0.
1) -2 € х < 4 һәм х > 4; 3) -2 < х < 4;
2) х < -2 һәм х > 4; 4) х > -2.
™ х3 - 2х + 1 „
39. Тигезсезлекне чишегез: ~< 0.
1) 0 < х < 1; 3) х < 0 һәм х = 1;
2) х < 0; 4) х < 0 һәм х > 1.
_ х з _ л
40. Тигезсезлекне чишегез: + g 0.
1) х < -3 һәм -3 < х С 3; 3) х < 3;
2) -3 < х < 3; 4) х < -3 һәм х > 3.
184
41. Тигезсезлекне чишегез:
х!_-7х+_6<0
х - 1
1) х < 6;
3) 1 <х < 6;
2) х < 1 һәм 1 < х < 6;
4) х > 6.
42. Тигезсезлекне чишегез:
*
о
1 5R
А
р
1) х > -1;
3)х < -1 һәм х > 6;
2) -1 < х < 6;
4) -1 < х < 6 һәм х > 6.
- т - 2 п
40. 1И1АүШГСНШ TUUfaUlMO» %?
1) (-4; 2) v (2; +«>);
3) (-4; +ОО);
2) (-4; 2);
4) (-ОО; -4) v (2; +оо).
X ♦ 4 _
44. 1И1>!Л»ыгети«гц '1МШи1ГС>и.Ч<?рг К.үШМ?1Ш 1ДЦЫ1 ъм. 2 Q V.
X ■ > 0
1) (-«; -2);
2) (-«; -4) и (-2; +«>);
45. Тигезсезлекне чишегез:
3) (-2; +оо);
4) (-оо; -4) м (-4; -2).
хг - 4 . _
х2 + 7х + 15 ■* °’
1) -2 < х < 2;
3) х < 2;
2) х < -2 һәм х > 2;
4) чишелеше юк.
46. Тигезсезлекне чишегез:
** + * + 6 > л
х2 - 9х W*
1)0 < х < 9;
3) х < -3 һәм х > 3;
2) х < 0 һәм х > 9;
4) чишелеше юк.
47. Тигезсезлекне чишегез:
х2 + 2х + 5 л
5х - х2 и’
1) 0 < х < 5;
3) х < 0 һәм х > 5;
2) чишелеше юк;
4) х > 5.
48. Тигезсезлекне чишегез:
“ 1 -> л
-х2 + 4х - 5 w-
1) -1 < х < 1;
3) чишелеше юк;
2) х < -1 һәм х > 1;
4) х < 1.
49. Үзгәрешленең нинди кыйммәтләреңдә J56x + 7 аңлатмасының
мәгънәсе бар?
1) (-8; +оо);
3) [-8; +оо);
2) 1 +°°);
\ о /
4> [41 +~)-
185
50. Үзгәрешленең нинди кыйммәтләрендә , - аңлатмасының
мәгънәсе бар?
1) (0,4; +оо);
2) [2,5; +оо);
У5х - 2
3) [0,4; +°о);
4) (2,5; +OO).
51. Үзгәрешленең нинди кыйммәтләрендә ^(3 - 7х) * аңлат¬
масының мәгънәсе бар?
1» (|i ♦-):
2) П
\ 3/
3.
4 > (-оо; -
\ 7J
52. Үзгәрешленең нинди кыйммәтләрендә -jx2 + 6х аңлатмасының
мәгънәсе бар?
1) (-оо; -6) U (0; +оо);
2) [-6; 0];
3) (-°0; -6] и [0; +оо);
4) (-6; 0).
53. Үзгәрешленең нинди кыйммәтләрендә 2 г-, аңлатмасының
V X ~ ОО
мәгънәсе бар?
1) (-оо; -6) V (6; +оо);
2) (-6; 6);
3) (-оо; -6] U [6; +О0);
4) (-6; 2] v (6; +оо).
54. у = + 1 функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) х > -5; 2) х « -5; 3) х > -0,2; 4) х > -0,2.
55. у - 1 функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
ж - 3
1) х > 2.5; 2) х > 0,4; 3) х > 2,5; 4) х > 0,4.
56. у - 7(1 ~ 1®х) ' Функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) х < 0,1; 2) х > 0,1; 3) х < 10; 4) х > 10.
57. у - 'Jx2 - 49 функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) [7; +°°); 3) [-7; 7];
2) (-оо; -7) и (7; +оо); 4) (-оо; -7) u [7; +«).
58. у = у(** ~ 16®) ' функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) (-оо; -13) w (13; +°о); 3) (-13; 13);
2) (13;+°°); 4) (—оо; -13] и [13; +оо).
59. у = 7225 - х2 функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) (-оо;-15] v [15;+оо); 3) [-15; 15];
2) (-15; 15); 4) (-оо; 15].
164
вО. у = <(196 - х2) * функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) (-14; 14);
2) [-14; 14];
3) (-оо; -14) v (14; 4-0°);
4) (-оо; 14).
61. у = 7х* - бх - 7 функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) (-О0; -1) u (7; 4-оо);
2) [-1; 7];
3) (-оо; -7] и [1; +ОО);
4) (-оо; -1] V [7; +0°).
62. у « ^(х* + 5х + 4) ’ функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) (-о°; -4) V» (-1; 4-ОО); 3) (-ОО; 1) v (4; +0О);
2) (-4; -1); 4) (-«>; -4J и [-1; 4-оо).
63. у « 78 4- 2х - х2 функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) (-оо; -2] и [4; +оо); 3) [-2; 4];
2) (-оо; -4] и [2; 4-оо); 4) (-2; 4).
64. у ■ 7(12 - х - х2) 1 функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) (-3; 4); 3) (-оо; -4) u (з; +оо);
2) (-4; 3]; 4) (-4; 3).
65. Тигезсезлекләр системасын
1вх - 96 С 0.
10 - 5х < 0.
чишегез:
1) 2 < X < 6; 2) х < 6; 3) х > 2; 4) х < 2.
66. Тигезсезлекләр системасын чишегез:
14х - 70 > 0,
9 - Зх < 0.
1) х < 3; 2) 3 < х < 5; 3) х > 5;
4) чишелеше юк.
67. Тигезсезлекләр системасын чишегез:
15х + 60 < 0,
-42 - бх > 0.
1) -7 < х < -4; 2) х < -4; 3) чишелеше юк; 4) х < "7.
68. Тигезсезлекләр системасын чишегез:
(-28 - 4х < 0.
|5х + 35 < 0.
1) х < -7; 2) х > -7; 3) х - -7; 4) чишелеше юк-
69. Тигезсезлекләр системасын чишегез:
-2 < Зх + 1 < 7,
х + 23 > 5х - 1.
1) -1 < х < 2 һәм х > 6; 3) х < 6;
2) -1 < х < 2; 4) чишелеше юк.
70. Тигезсезлекләр системасын чишегез:
1-3 < 2х - 7 < 3,
|бх - 13 < х + 17.
1) 2 < х < 5; 3) х < 6;
2) х < 2 һәм 5 < х < 6; 4) чишелеше юк.
И < 5х - 4 < 26.
71. Тигезсезлекләр системасын чишегез: 1
[х + 21 > 7х + 3.
1) 1 < х < 6: 2) х < 3; 3) 1 < х < 3; 4) 3 < х С 6.
_ (-4 < 7х + 3 < 31,
72. Тигезсезлекләр системасын чишегез: {
(х - 13 < 2х - 13.
1)-1 < х < 0; 2) 0 С х < 4; 3)-1 < х < 4; 4) х > 0.
73. Тигезсезлекләр системасын чишегез:
ха - х ~ 56 < 0,
х + 4 > О.
1) -4 < х < 8;
2) -7 < х < 4 һәм х > 8;
3) х < -7 Һәм -4 < х < 8;
4) 4 < х < 7.
74. Тигезсезлекләр системасын чишегез: ,
[х2 - 2х - 63 > О.
1) х < -7 һәм 9 С х < 10; 3> 9 С х < 10;
2) -7 < х < 9 һәм х > 10; 4) х С -7.
75. Тигезсезлекләр системасын чишегез:
1) х < у: 3) -8 < X
2) х < -8; 4) х > 5.
76. Тигезсезлекләр системасын чишегез:
1) х < -11 һәм -9 < х < 5; 3) -9 £ х £ 5;
2) х > -11; 4) чишелеше юк.
77. у = -г функциясенең билгеләнү ел кәсен табыгыз.
1) [-!;+<»); 3) (-оо;-1] u (2; +оо);
2) (-<»: 2) и (2; +оо); 4) [-1; 2) и (2; +оо).
|х2 + Зх - 40 > 0,
11 Зх > -9.
< һәм х > 5;
х2 + 4х - 45 < 0.
186
78. у = * 1 функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
>lx -2
1) 1-1; 2);
2) (2; +оо);
3) (-оо; -1] u (2; 4-00);
4) [-1; 2) u (2; +оо).
I» H . , , ...
79. у = —j функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) (-°°; -1] u (2; +оо);
2) [-1; 2);
3) (2; +оо);
4) [-1; 2) kJ (2; 4-оо).
80.
У =
х 4 1
77^2
функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
-1] о (2; +оо);
2)[-1; 2);
3) [-1; 2) v (2; +«>);
4) (2; +ео).
!т‘ - 9 . -
81. у = х + функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1)1-3; -1)и[3; +оо);
3) -3] и [3; +°°);
2) [-3; -1) и (-1; 3]; 4) (-оо; -3] u (-1; 3].
82. у = , -- 3 3' функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) [-4; 3) и (3; 4]; 3) [-4; 3) u [4; 4-оо);
2) (-оо; -4] u (3; 4]; 4) (-оо; -4] и [4; +оо).
j—i 9
83. у = ——функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) [-3; 3] u (4; +оо); 3) [3; 4) u (4; +оо);
2) (-оо; -3] u (3; 4);
4) (-оо; -3] и [3; 4) (4; 4-ОО).
84.
У =
1) [3; +СО);
функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
3) [-3; 1) u (1; 3];
2) [-3; 1) и [3; 4-оо); 4) (-оо; -3] и (1; +оо),
85. у = -2* ~ £ - функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) (-оо; -5) и [5; +оо); 3) (-оо; -5] и (2; 5];
2) [-5; -2) u (-2; 5]; 4) [-5; -2) u [5; +«>).
189
86. у = ' ‘ функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
Vjt - 3
1) [-5; 5]; 3) (3; 5];
2) [-6; 3) v (3; 5]; 4) [5; +оо).
87. у = -—— функциясенең билгеләнү өлкәсен табыгыз.
1) [-3; +оо); 3) (-4; -3] U (4; +оо);
2) [-3; 4) u (4; +оо); 4) (-<ю; -4) u [3; 4) м (4; +о0).
88. Тигезсезлекнең чишелешләре күплеген табыгыз: > 0.
1) (2; +°°); 3) (-1,5; 2);
2) (-оо; -1,5] и (2; +оо); 4) [-1,5; 2) «и (2; +<»),
89. Тигезсезлекнең чишелешләре күплеген табыгыз: . > 0.
1) (1,5; +оо); 3)[-2;1,5);
2) (-оо; -2] U (1,5; +00); 4) [-2; 1,5) v (1,5; +«>).
90. Тигезсезлекне канәгатьләндерә торган иң кечкенә бөтен
- х ә 9 «
санны табыгыз: —,—г > 0.
г ♦ 1
91. Тигезсезлекне канәгатьләндерә торган иң зур бөтен санны
, 17 . -
табыгыз: т . < 0.
92. Тигезсезлекне канәгатьләндерә торган иң зур бөтен санны
_ Зх - 11 . _
табыгыз: xz + 3 < 0.
93. Тигезсезлекне канәгатьләндерә торган иң кечкенә бөтен
санны табыгыз: < 0.
* Т Q
94. -5 < 2х + 11 < 1 тигезсезлегенең чишелеше булып торучы
аралыкның озынлыгын табыгыз.
95. -3 < 4х - 9 < 3 тигезсезлегенең чишелеше булып торучы
аралыкның озынлыгын табыгыз.
96. -2 < 7 - Зх < 4 тигезсезлегенең чишелешенә ничә бөтен сан
керә?
190
97. -4 6 - 5х < 1 тигезсезлегенең чишелешенә ничә бөтен сан
керә?
98. |х + 3| < 2 тигезсезлегенең чишелешенә ничә бөтен сан керә?
99. |х - 2| < 3 тигезсезлегенең чишелешенә ничә бөтен сан керә?
100. |3 - 5х| < 7 тигезсезлегенең чишелеше булып торучы кисемтә
уртасының координатасын табыгыз.
101. |5 - 2х| < 9 тигезсезлегенең чишелеше булып торучы кисемтә
уртасының координатасын табыгыз.
102. х2 - х - 30 < 0 тигезсезлеген ничә бөтен сан канәгатьләндерә?
103. X2 - 11х - 12 > 0 тигезсезлеген ничә бөтен сан канәгатьлән¬
дерми?
104. 9х2 - 5х — 4 < 0 тигезсезлеген ничә бөтен сан канәгатьлән¬
дерә?
105. -4х* + 5х + 9 < 0 тигезсезлеген ничә бөтен сан канәгатьләндерми?
106. ~ +~j < 0 тигезсезлеген ничә бөтен сан канәгатьләндерә?
1U7. ~~ > 0 тигезсезлеген ничә бөтен сан канәгатьләндерә?
3 — 9х
108. < 0 тигезсезлегенең чишелешенә кермәүче иң зур
бөтен санны күрсәтегез.
109. б _ 2Х ° тигезсезлегенең чишелешенә кермәүче иң кечкенә
бөтен санны күрсәтегез.
110
111.
> 0,
х + 3 тигезсезлегенең чишелешенә кермәүче иң зур
2х + 6 < 11.
бөтен санны ) /рсэтегез.
< 0,
Зх - 12 тигезсезлекләр системасының чишелешенә
9х + 6 > 4
керүче иң кечкенә бөтен санны күрсәтегез.
1?1
112. ' < 0 тигезсезлегенең чишелешендә ничә бетен сан бар?
— о
113. Ү_ xlf* > 0 тигезсезлегенең чишелешендә ничә бөтен сан бар?
114. п ның нинди кыйммәтләрендә хг + (п - 2)х - (п - 5) = 0
квадрат тигезләмәсенең ике тамыры бар?
115. п ның нинди кыйммәтләрендә х2 - (п + 1)х - (п - 2) = 0
квадрат тигезләмәсенең тамырлары булмый?
Тигезл»м9лер яки тигезләме системалары
тезүгә мәсьәләләр
1. Реклама компаниясендә товарга сорау 4 тапкыр арткан.
Товарга сорау ничә процентка арткан?
1) 400%; 2)25%; 3) 300%; 4)75%.
2. Сезонлы арзанайтып сату вакытында товар бәясе 4 тапкыр
кимегән. Товарның бәясе ничә процентка кимегән?
1) 400%; 2) 25%; 3) 300%; 4) 75%.
3. Инфляциягә бәйле рәвештә товар бәясе 150% ка арткан.
Товарның бәясе ничә тапкыр арткан?
1) 1,5 тапкыр; 2) 2,5 тапкыр; 3) 2 тапкыр; 4)150тапкыр.
4. Товар бәясен башта 10% ка, ә аннан соң тагын 20% ка
төшергәннәр. Товар бәясе барысы ничә процентка төшерелгән?
1)30%; 2)72%; 3)18%; 4)70%.
5. Товар бәясен башта 50% ка күтәргәннәр, ә аннан соң 20% ка
төшергәннәр. Товар бәясе барысы ничә тапкыр үзгәргән?
1) 0,2 тапкыр; 2) 0,3 тапкыр; 3) 1,2 тапкыр; 4) g тапкыр.
6. Товар бәясен башта 10% ка төшергәннәр, ә аннан соң 10% ка
күтәргәннәр. Товар бәясе ничек үзгәргән?
1) Вәя үзгәрешсез калган;
2) 0.1% ка кыйммәтләнгән;
3) 0,01% ка арзанайган;
4) 1% ка арзанайган.
7. Товар бәясен 20% ка төшергәннәр. Элекке бәясе кадәр булсын
өчен товар бәясен ничә процентка күтәрергә кирәк?
1W
8. Беренче көндә туристлар барлык юлның 30% ын, икенче көндә
беренче көндә үткәннең 120% ын, ә өченче көндә калган 34 км
юлны үткәннәр. Барлык юл ничә километр булган?
9. Рудада 72% тимер бар. 360 т рудадан ничә тонна тимер чыгар?
10. Күлмәк костюмнан 80% ка арзанрак, ә костюм чалбардан
100% ка кыйммәтрәк. Күлмәк чалбардан ничә процентка
арзанрак?
11. Сөт өсте сөтнең 20% ын, ә атлан май сөт өстенең 25% ын
тәшкил итә. 180 г атлан май алу өчен ничә литр сөт тотыла?
(1 л сөт нең массасы 1 кг га тигез).
12. 180 г суга 20 г тоз өстиләр. Табылган эремәнең тозлылык
процентын табыгыз.
13. 30% лы күкерт кислотасы эремәсенә 60 г су өстиләр һәм 10%
лы эремә табалар. Баштагы эремәнең массасын табыгыз.
14. 36% лы 3 л тоз эремәсенә, 24% лы эремә табу өчен, күпме су
салырга кирәк?
15. Бер эретмәдә 55% цинк, ә икенче эретмәдә 70% цинк бар.
Аларны кабат кушып эреткәннән соң 60% цинклы 750 г яца
эретмә табыла. Беренче эретмәдә ничә грамм цинк булган?
16. Тоз кислотасының 15% лы Һәм 7 % лы эремәләрен катнаш¬
тырганнан соң 10% лы 480 г эремә табыла. 7% лы эремәнең
массасын табыгыз.
17. Ел ахырында банк кертем суммасына 9% өсти. Банкка 30000
сум акча салучы кеше 2 елдан соң нинди суммада акча алачак?
18. Ел ахырында банк кертем суммасына 4% өсти. Банкка 25000
сум акча салучы кеше 3 елдан соң нинди суммада акча алачак?
19. Тегү остаханәсе барысы 2600 балалар спорт костюмы, курт¬
ка һәм комбинезон тегә. Комбинезоннар курткалардан 220
гә азрак, ә спорт костюмнар курткалардан 2 тапкыр күбрәк
тегелгән. Ничә спорт костюмы тегелгән?
20. Районны яшелләндерү вакытында 6780 төп агач утыртылган.
Шулардан юкәләр өрәңгеләрдән 2 тапкыр артыграк, ә каштан¬
нар юкәләрдән 1200 гә кимрәк булган. Районны яшелләндерү
барышында ничә юкә утыртылган?
21. А пунктынан В пунктына 12 км/сәг тизлек белән моторлы
көймә чыга. Аннан соң 4 сәг узгач, аның артыннан тизлеге
14 км/сәг булган икенче моторлы көймә чыга. Әгәр көймәләр
1W
В пунктына бер үк вакытта килеп җитсәләр, А һәм В пункт¬
лары арасын табыгыз.
22. Катер А һәм В пунктлары арасын елганың агымы уңаена
4 сәг 30 мин та, ә кире кайтканда 6 сәг 13 мин та үзган. Әгәр
елганың агым тизлеге 2,4 км/сәг булса, А һәм В пунктлары
арасын табыгыз.
23. Турыпочмаклыкның буе иңеннән 3 тапкыр озынрак. Әгәр
аның иңен 2 см га зурайтсалар, турыпочмаклыкның мәйданы
126 смг га арта. Турыпочмаклыкның периметрын табыгыз.
24. Турыпочмаклы өчпочмакның бер катеты икенчесеннән 17 см
га кечерәк. Әгәр гипотенузасы 25 см булса, бу ечпочмакның
мәйданын табыгыз.
25. Бассейн бер торба аша 4 сәг тә, ә икенчесе аша 6 сәг тә ту¬
тырыла. Әгәр ике торба бергә ачылса, бассейн ничә сәгатьтә
тулыр?
26. Ике эшче, бергә эшләп, заказны 3 сәг 36 мин та үтиләр. Үзе
генә эшләгәндә беренче эшче бу заказны 6 сәг тә үти ала.
Икенче эшче үзе генә эшләп, бу заказны нинди вакытта үти
ала?
27. 2,5 м йон тукыма һәм 4 м киҗе-мамык тукыма өчен 2120 сум
түлиләр. Сезон ахырында йон тукымага бәя 20% ка тешә, ә
киҗе мамык тукымага 10% ка арта, һәм әлеге товарның бәясе
1882 сум булып кала, һәр төрле тукыманың баштагы бәясен
табыгыз,
28. 8 футболка һәм 10 спорт майкасы өчен 4560 сум түлиләр.
Бәяләрне төшереп сату барышында футболкаларның бәясе 25%
ка, ә майкаларның бәясе 10% ка төшә, һәм шундый товарның
бәясе 3780 сум кала. Һәр төр товарның баштагы бәясен табыгыз.
29. Аралары 500 км булган ике шәһәрдән бер үк вакытта ике
поезд чыга һәм 4 сәг тән соң очрашалар. Әгәр икенче поезд
беренчесенә караганда 50 мин ка ал дан рак чыкса, алар беренче
поезд чыгып 3 сәг 36 мин үткәч очрашырлар иде. Һәр поездның
тизлеген табыгыз.
30. Катер елга агымы уңаена 80 км һәм агымга каршы 40 км ны б
сәг 30 мин та, ә агым уңаена 40 км һәм агымга каршы 80 км
ны 7 сәг тә үтә ала. Катерның үз тизлеген һәм елганың агым
тизлеген табыгыз.
194
31. Әгәр бирелгән турыпочмаклыкның озынлыгын 8 см га, ә
киңлеген 6 см га зурайтсалар, турыпочмаклыкмын мәйданы
632 см2 га арта. Әгәр инде озынлыгын 6 см га, е киңлеген
8 см га зурайтсалар, аның мәйданы 164 см2 га арта. Бу
турыпочмаклыкның периметрын табыгыз.
32. Пассажир поездының тизлеге товар поезды тизлегенә кара¬
ганда 20 км/сәг кә зуррак, шунлыктан ул 700 км араны товар
поездыннан 4 сәг кә тизрәк уза. Товар поездынын тизлеген
табыгыз.
33. 36 км араны беренче чаңгычы икенчесенә караганда 0.5 сәг
кә тизрәк уза. Әгәр бер чаңгычының тизлеге икенчесенең
тизлегеннән 1 км/сәг кә зуррак булса, һәр чаңгычының тиз¬
леген табыгыз.
34. Ике пристань арасындагы 105 км араны катер агым уңаена
агымга каршы барганга караганда 2 сәг кә тизрәк уза. Әгәр
катерның үз тизлеге 18 км/сәг булса, елганың агым тизлеген
табыгыз.
35. Бергә эшләп, ике бригада ниндидер эшне 6 көндә тәмамлый.
Үзе генә эшләгәндә, беренче бригада бу эшне икенчесенә ка¬
раганда 5 көнгә тизрәк тәмамлый. Икенче бригада бу эшне
үзе генә ничә көндә бетерә ала?
36. Ике күчереп басу машинасы, бергә эшләп, ниндидер эшне
12 мин та бетерә ала. Әгәр беренче машина гына эшләсә, бар¬
лык эшне икенче машина гына эшләгәннән 10 мин ка тизрәк
тәмамлый. Икенче күчереп басу машинасы барлык эшне ничә
минутта бетерә ала?
37. Беренче асфальт салгыч бирелгән эшне икенчесенә караганда
15 көнгә тизрәк тәмамлый ала. Беренчесе 10 көн эшләгәннән
соң, аны икенчесе алыштыра һәм эшне 30 көннән соң төгәлли.
Бергә эшләп, ике асфальт салгыч барлык эшне ничә көндә
тәмамлый ала?
38. Бер экскаватор чокырны икенчесенә караганда 10 сәг кә
тизрәк казып бетерә. Беренчесе 10 сәг эшләгәннән соң. аны
икенчесе алыштыра һәм эшне 15 сәг тән соң тәмамлый. Бергә
эшләсәләр, ике экскаватор бу чокырны ничә сәгатьтә казып
бетерә алалар?
195
Арифметик һем геометрик прогрессияләр
1. Арифметик прогрессия булып торучы санлы эзлеклелекне
күрсәтегез.
1) 2; 3; 5; 8; ... 3) 2; 4; 8; 16; ...
2) 2; -2; -6; -10; ... 4) 2; -1; 10; -7; 18; ...
2. Геометрик прогрессия булып торучы санлы эзлеклелекне
күрсәтегез.
1) 2; 3; 5; 8; ... 3) 16; 8; 4; 2; ...
2) 2; -2; -6; -10; ... 4) 2; -1; 10; -7; 18; ...
3. (а„) арифметик прогрессиясенең беренче өч буынын күрсәтегез,
биредә d| = 0,5, d = 1,5.
1) 0,5; 1,5; 2,5; 3) 0,5; 0,75; 1,125;
2) 0,5;-1;-2,5; 4) 0,5; 2; 3,5.
4. (а„) арифметик прогрессиясенең беренче дүрт буынын күрсә¬
тегез, биредә Qi = -3, d » -2.3.
1) -3; -2,6; -4,9; -7,2; 3) -3; -5,3; -7,6; -9,9;
2) -3; -0,7; 1,6; 3,9; 4) -3; 6,9; -15,87; 36,501.
5. (&„) геометрик прогрессиясенең беренче биш буынын
күрсәтегез, биредә Ь, = 0.3, q = 2.
1) 0,3; 0,6; 0,12; 0,24; 0,48;
2) 0,3; 0,6; 1,2; 2,4; 4,8;
3) 0,3; 0,9; 0,27; 0,81; 0,243;
4) 0,3; 0,15; 0,075; 0,0375; 0,01875
6. (b„) геометрик прогрессиясенең беренче дүрт буынын
күрсәтегез, биредә bj
= 27,g = -i.
д
1) 27; -9; 3; -1;
3) 27; 2б|; 2б|; 26;
3 3
2) 27; -9; -3; -1;
4) 27; 9; 3; 1.
2 1
7. (о„) эзлеклелеге — арифметик прогрессия. Әгәр а( = ■=. d = -¬
о d
булса, as не табыгыз.
1)3; 2)-1|; 3)-3; 4>-2
8. (а„) эзлеклелеге — арифметик прогрессия. Әгәр а, = -1. d = |
а? не табыгыз.
1)2|; 2)-з{; 3)5|; 4)7.
196
9. (t>„) эзлеклелеге — арифметик прогрессия. Эгер = -3, q = |
булса, не табыгыз.
1)0,375; 2)-0,5; 3) 4) £•
10. (бл) эзлеклелеге — арифметик прогрессия. Эгер 5t = 72, q _ -72
булса, bt не табыгыз.
1) 272; 2) -8; 3) 872: 4) -472.
11. -24; -21; -18; ... арифметик прогрессиясенең җиденче
буынын табыгыз.
1) -б; 2)-42; 3)-3; 4)3.
12. 12; 8; 4;... арифметик прогрессиясенең уникенче буынын табыгыз.
1) 36; 2) -32; 3) 56; 4) -36.
13. 6; 3; 1,5; ... геометрик прогрессиясенең алтынчы буынын
табыгыз.
1) Д; 2) 0,6; 3) 192; 4) 60.
14. -10; 20; -40: ... геометрик прогрессиясенең җиденче буынын
табыгыз.
1) 1280; 2) г"; 3)-Л; 4)-640.
й4 32
15. (ал) арифметик прогрессиясенең аермасын табыгыз, биредә
а, « 21, а8 - 49.
1)4; 2)10; 3)-4; 4)3,5.
16. (а„) арифметик прогрессиясенец аермасын табыгыз, биредә
п, = 18, Дю * 18.
1)0; 2)4; 3)-4; 4)3,6.
17. (Ь„) геометрик прогрессиясенең ваклаучысын табыгыз, биредә
б, = -4, б, = *.
1) J; 2) |; 3)-2; 4) .1.
18. (бл) геометрик прогрессиясенең ваклаучысын табыгыз, биредә
5, = 2, б5 = 162.
1) 3; 2) -3; 3) ±3; 4) ±9.
19. (а„) арифметик прогрессиясенең беренче буынын табыгыз,
биредә а|3 = 5,1, d = -0,3.
1)1,5; 2)1,2; 3)9; 4)8,7.
20. (а„) арифметик прогрессиясенең беренче буынын табыгыз,
биредә а)Я - -9,6, d = 0,8.
1)4; 2)-23,2; 3)-24; 4)4,8.
197
21. (б„) эзлеклелеге — геометрик прогрессия. Әгәр b$ = 512, q - 2
булса, b) не табыгыз.
1) 0,5; 2) 0,25; 3) 4; 4) 2.
22. (б,) эзлеклелеге — геометрик прогрессия. Әгәр б?= Ь< = ~
булса, Ь, не табыгыз. 3
»2,»! ”-т; 4>т
23. (а/) арифметик прогрессиянең беренче 26 буыны суммасын
табыгыз, биредә = -4, d = 3.
1)871; 2)1080; 3) 837,5; 4) 1037,5.
24. (а,) арифметик прогрессиянең беренче 25 буыны суммасын
табыгыз, биредә а, = 18, d = -2.
1)-175; 2) 1075; 3) 1050; 4)-150.
25. Чикле геометрик прогрессиянең беренче биш буыны суммасын
табыгыз, биредә Ь- = 6, д = 3.
1) 726; 2) 729; 3) 240; 4) 243.
26. Чикле геометрик прогрессиянең беренче дүрт буыны суммасын
табыгыз, биредә b} = д *■
1) 2)0,52; 3)-0,52; 4)
27. (а„) арифметик прогрессия сигезенче буынын табыгыз, биредә
а-. + ав = 0,18.
1) 0,36; 2) 0,18; 3) 0,09; 4) 0,9.
28. (а„) арифметик прогрессия унтугызынчы буынын табыгыз,
биредә а,. + а24 =
"> -I- 21 1= 3» 4 -> -1-
29. (а„) арифметик прогрессиянең д4 + д6ны табыгыз, биредә «2 +
+ аА = -20,1.
1)-10,5; 2)-10,05; 3)-20,1; 4)-40,2.
30. (а„) арифметик прогрессия а& + д|3 ны табыгыз, биредә
_ _ 3
аю + ~
2)|; 3)|; 4)Д.
198
31. (а„) арифметик прогрессияне бирүче формуланы күрсәтегез.
1) а„ = п у! 3) а„ = 21 - Зп;
2) а„ = п2 + 2; 4) ап = 3 2" ’.
32. (&„) геометрик прогрессияне бирүче формуланы күрсәтегез.
1) Ьп = - — 3) Ьа = 6л + 4;
2) Ь„ = Зп2; 4) Ь„ = 3 ■ 2” *.
33. (а„) арифметик прогрессия а„ = -0,5п + 5 п нчы буын
формуласы белән бирелгән. а14 — а5 не табыгыз.
1) 0,5; 2) -9,5; 3) -4,5; 4) -2,7.
34. (а„) арифметик прогрессия а„ = 3п - 4,2 п нчы буын формуласы
белән бирелгән. а( • а#не табыгыз.
1) 21.6; 2) 2,16; 3) -2,64; 4) -23,76.
35. а, - -О.Зп + 6 эзлеклелеге бирелгән. Аның -12,3 кә тигез
булган буынының номерын күрсәтегез.
1)21; 2)91; 3)61; 4)43.
36. Ь„ = 2 ■ 5’*2 эзлеклелеге бирелгән. Аның 1250 гә тигез булган
буынының номерын күрсәтегез.
1)4; 2)2; 3)1; 4)6.
37. Әгдра3 = -2,а9= 19булса, арифметик прогрессиянең аермасын
табыгыз.
38. Әгәр as = 9, Д|в = -24 булса, арифметик прогрессиянең (а„)
аермасын табыгыз.
39. Әгәр « 43, = 21 булса, арифметик прогрессиянең (а„)
беренче буынын табыгыз.
40. Әгәр aj = 36, Ou = 64 булса, арифметик прогрессиянең (а„)
беренче буынын табыгыз.
41. Әгәр б4 = —. б10 = 400 булса, үсә баручы геометрик
. .. ..
прогрессиянең (о„) ваклаучысын табыгыз.
3
42. Әгәр = 3, Ь? = — булса, кими баручы геометрик
прогрессиянең (д„) ваклаучысын табыгыз.
43. Әгәр Ь3 = 5, bi = 405 булса, тамгалары чиратлашып баручы
геометрик прогрессиянең (Ь,) ваклаучысын табыгыз.
1W
44. Әгер ап = 15 булса, тамгалары чиратлашып баручы геометрик
прогрессиянең —1; -0,5; 0; ваклаучысын табыгыз.
45. Әгәр ап = -4 булса, арифметик прогрессиянең 2; —; 2. ...
бирелгән буынының номерын табыгыз. 3 3
46. Әгәр Ьп = 972 булса, арифметик прогрессиянең 4; 12; 36; ...
бирелгән буынының номерын табыгыз
47. Әгәр Ь„ = —булса, геометрик прогрессиянең 20; 4; 0,8; ...
625
бирелгән буынының номерын табыгыз.
48. Нинди номердан башлап, бирелгән -14; -11,5; -9;... арифметик
прогрессиясенең барлык буыннары да уңай икәнен билгеләгез.
49. Нинди номердан башлап, бирелгән 28; 26,5; 25; ... арифметик
прогрессиясенең барлык буыннары да тискәре икәнен
билгеләгез.
50. Нинди номердан башлап, бирелгән -32; —25,6; —18,2; ...
арифметик прогрессиясенең барлык буыннары да тискәре түгел
икәнен билгеләгез.
51. Нинди номердан башлап, бирелгән 15; 12,5; 10; ... арифметик
прогрессиясенең барлык буыннары да уңай түгел икәнен
билгеләгез.
52. Нинди номердан башлап, бирелгән -5; -1; 3; ... арифметик
прогрессиясенең барлык буыннары да а„ > 27 тигезсезлеген
канәгатьләндерә икәнен билгеләгез.
53. Нинди номердан башлап, бирелгән 3; 7; 11; ... арифметик
прогрессиясенең барлык буыннары да ал > 55 тигезсезлеген
канәгатьләндерә икәнен билгеләгез.
54. Нинди номердан башлап, бирелгән 2; 0,5; -1; ...арифметик
прогрессиясенең барлык буыннары да а„ < -13 тигезсезлеген
канәгатьләндерә икәнен билгеләгез.
55. Нинди номердан башлап, бирелгән 16; 13; 10; ...арифметик
прогрессиясенең барлык буыннары да ап < -8 тигезсезлеген
канәгатьләндерә икәнен билгеләгез.
56. Әгәр а5 + ав = 16, at - а2 = 4 = 6, q = 3, S„ = 726 булса,
геометрик прогрессиянең (Ь„) буыннар санын табыгыз.
57. Әгәр Ь, = 128, 3 2’ = 4 булса, геометрик прогрессиянең
буыннар санын табыгыз.
58. Әгәр аа ~ as"2 булса, арифметик прогрессиянең (а„) аермасын
табыгыз.
200
59. Әгәр ab ■+ ag = 16, a7 - аг = 4 булса, арифметик прогрессиянең
(a„) беренче буынын табыгыз.
60. Әгәр аь + аь = -4, at + а10 » -18 булса, арифметик прогрессиянең
(а„) аермасын табыгыз.
61. Әгәр аь + = 15, а2 а1г = 56 булса, үсә баручы арифметик
прогрессиянең (а„) аермасын табыгыз.
62. Әгәр а7 + аг = 5, а> • а, = -36 булса, кими баручы арифметик
прогрессиянең (и„) беренче буынын табыгыз.
63. t ның Зг + 2, 2t + 5, 15f ■+ 1 саннары арифметик прогрессиянең
рәттән килүче өч буыны була торган кыйммәтен табыгыз.
64. t ның 3f - 4, 5t, 4t + 10 саннары арифметик прогрессиянең
рәттән килүче өч буыны була торган кыйммәтен табыгыз.
65. Әгәр оэ = 10. ai2 = 37, п = 21 булса, арифметик прогрессиянең
(о,) беренче п буыны суммасын табыгыз.
66. Әгәр ag = 8, О]ь = -27, п = 10 булса, арифметик прогрессиянең
(а„) беренче п буыны суммасын табыгыз.
67. 12 гә кабатлы барлык икеурынлы саннар суммасын табыгыз.
68. 18 гә кабатлы барлык икеурынлы саннар суммасын табыгыз.
69. 8 гә бүлгәндә 3 калдык бирә торган барлык икеурынлы саннар
суммасын табыгыз.
70. 6 га бүлгәндә 4 калдык бирә торган барлык икеурынлы саннар
суммасын табыгыз.
71. Арифметик прогрессиянең егерме биш буыны суммасы 525 кә
тигез. Әгәр прогрессиянең беренче буыны -51 гә тигез булса,
прогрессиянең аермасын табыгыз.
72. Арифметик прогрессиянең уналты буыны суммасы 432 гә
тигез. Әгәр прогрессия аермасының -2 гә тигез икәне билгеле
булса, прогрессиянең беренче буынын табыгыз.
73. 7 һәм 448 саннары арасына шундый бер уңай сан куегыз,
геометрик прогрессиянең рәттән килүче өч буыны килеп
чыксын.
74. һәм ~ , саннары арасына шундый бер тискәре сан куегыз,
201
геометрик прогрессиянең рәттән килүче өч буыны килеп
чыксын.
75. р ның р - 3, лЛр» р + 2 саннары геометрик прогрессиянең
рәттән килүче өч буыны була торган кыйммәтен табыгыз,
76. р ның р — 5, Ji р. р + 4 саннары геометрик прогрессиянең
рәттән килүче өч буыны була торган кыйммәтен табыгыз.
77. Турыпочмаклык эченә ромб камыйлар, аның түбәләре
турыпочмаклык якларының урталары булып тора. Килеп
чыккан ромб эченә шундый ук юл белән турыпочмаклык
камыйлар, аның эченә — ромб, һәм шулай дәвам итәләр. Килеп
чыккан фигураларның мәйданнары геометрик прогрессия
төзегәнен исбатлагыз. Бу прогрессиянең ваклаучысын
табыгыз.
78. Клиент банкка ел ярым срокка квартал саен 3% өстәлү шарты
белән 30 000 акча сала. Срокның ахырында ул нинди суммада
акча алачак?
79. Өч сан геометрик прогрессия төзиләр. Аларның беренчесенә
25 не кушып һәм икенчесен үзгәрешсез калдырып, өченчесен
3 кә бүлгәннән соң, арифметик прогрессиянең өч саны килеп
чыга. Әгәр икенче сан 60 ка тигез булса, бу саннарны табыгыз.
80. Өч сан арифметик прогрессия төзиләр. Аларның беренчесен
икегә тапкырлап һәм икенчесен үзгәрешсез калдырып,
өченчесен 6 га арттырганнан соң, арифметик прогрессиянең
рәттән килүче өч буыны килеп чыга. Әгәр икенче сан
беренчесеннән 4 тапкыр зуррак булса, бу саннарны табыгыз.
ҖАВАПЛАР
КАБАТЛАУГА МӘСЬӘЛӘЛӘР
1. а) 9—; б) 2,32. 2. а) ~2хг; /■ 3. а) 3; б) 2. 7. а) 17,8; б) 87; а) -21;
6
г) 20,75. 8. а) б) 1; в) 11; г) 0,78. 9. а) ах(х + 3), б) 5х2у (Зху+
4 2*
+ 2 - 4у3); в) a’b (5 - 65); г) 13с»р‘ (15с’ - 1с2р + 17р5). 10. а) (а + б)
(х + с); б) (а + Ь)(у + 4); в) (т - л)(9т - 5); г) (b2 + 2с’)(16а+5с).
12. а) 60; б) 12 500; в) 360; г) 100. 13. а) (т - 7)(т + 7);
6} 2(ос- 3)(ас + 3); в) (8р - 9g)(8p + 9q); г) 10х*(х - 1)(х + 1).
14. а) (с - 4X<J + 4с + 16); б) (5о2 - 2Ь)3; в) 5 (a + Ь)2; г) 15(а + ЬЦаг - ab + &).
15. а) (х - уПх + у); б) (d - 5Xd - 11); в) (т - 2п - 1)(т + 2л); г) (л+
+ ЗХ" + 13). 1в. а) б) -а; в) -1; г) -у. 17. а) —. 6) 1 + 5у;
7 4
1 2 (х -1)8
г) 18. а) б) 10. 19. а) 2—
2(6 - с) „ тг + пп + пг
„ —. 20. а) — т, б) ; :;
6(с! - 1) к - 2Н -* -*
с-7
• 6> »>
. 13с
г)
21. а)
• •> -L; ■>
1
За + 2
2(4х + у)
хг-у2 ’
г)
У3 + 8
а2 +Ь2
т’ ♦ п"
р) £±2 22.
3t а
6
б) —1—. 23. a) -1; б) ——
a + b 9 - а'
24. а) (4; 2); б) (9; 7); в) (60; 30); г) (-3; 4).
25. а) Чи тел ешла ре юк; б) I х; — X - 4 |, биредә х - теласа нинди сан.
\ 3 /
26. а) 3; б) 8,5; в) 0; г) - 27. а) 2%/3; б) За-Уба; в) 7d;r) 2^2|z|.
135
29. a) 6^5; б) -8>/а; в) 8^3; г) 7,sV5m. 30. a) 1; 6) 0. 31. a) -2a;
б) a2 - b2. 32. a) 2Vs; б) 2a - 3b; в) 27 - V15; г) с’ + dVd. 33. a) —=r.
6(2 - Ja)
6) + ,H>/a + 2</b); r) —34. a) -
■Jed (4c + Jd) 12 x - -J2 ХУ
длс . i 1 , i •*** 1= ОЧС ОЛ 1 *
6) > в) — — I r) — 35. 2,25. 3K. a) -1,
c2d3(d-c) kHl-k) a2+ab+b2 2
203
б) 1, |{ в) -2, г) 37. а) 4. -2, -1 ± 73; б) ±7^2;
□ Л Л I
в) 9, 10; г) 1, -1. 38. а) (х - 5)(х - 12); б) (х - 1)(3х + 38);
. ... _ _ . Жх-1 5х-4
в) (х - 1)(2х - 295); г) (х + 5)(х + 21). 39. а) ; б) ;
х + 3 х
в) ——г) - -. 40. а) -1,5; б) 2; в) -5, 4; г) -3.41. 15 км/сэг.
42. 'Set 4м/сэг. 4§. 3 м, 2 м. 44. 1!) км/саг, 12 км/сэг. 45. 16 г/саг,
18 г/саг. 46. 6 рейс. 47. 800 укучы, 700 укучы. 48, 15 км/саг,
12 км/сэг. 49. 30 км/сэг, 20 км/сэг. 50. 30 км/саг.
1 БҮЛЕК
§ 1 1.3. а) а < -16; б) b > 15-; в) х < г) у > -1. 1.4. а)
- - - 3 13 “
а > 5; б) у < -4; в) х > -1-; г) с < 7. 1.5. а) х < -1, х > 7; б) -4 < х
5 5
. . . 3 1 , 1
< 2; в) х < 1, х > 5; г) -8 < х < 6. 1.6. а) х < “Х> х > “• 6) ~ < х <
Z 2 й
7’ .) -11 < х < 2-; г) х <
“О 6
I
15
х > 2. 1.7. а) , г) -«> < X < +О0; б) ,
... ... . _ .... 4 .
в) Чишелешләре юк. 1.8. а) х < 1,5, х > 1,5; б) —; в) -со < х < +°°;
5
г) Чишелешләре юк. 1.9.
х < 2,6. 1.10. а) х < -9; х >
а) х > 1; б) х < 4,5; в) х > -1,5;
-j? б) -1 < I <6; в)х< -4,5; х >
г)
1;
г) -7 < х < 3. 1.11. а) х < 2; 6) х > -3; в) х < -5; г) х > 3.
1.12. а) х < 7, х > 11; б) х < -0,4, х > 1,5; в) х < -12, х > 3;
1.13. а) -2 < а < 1; б) -1 < b < 4; в) -3,5 < с < 2;
1 . .2 _
г) X < у < 3. 1.14. а) -7 С X < 3; б) у < -1-, у > 4; в) t < -9, t > -4;
I 3
г) “3 < г < 2 а) р < -6, р > 3; б) р - -6, р = 3; в) -6 < р < 3;
г) р < -6, р > 3. 1.16. а) — г) Юк. 1.17. а) -5 < х < 5; б) —1 4 х < 5; в)
-3 < х < 3; г) -7 < х < 1. 1.18. а) х < -1,5, х > 1,5; б) х < -7, х > 9;
в) х < -18, х > 18; г) х < -9, х > 1. 1.19. а) х < -1, х > 3; б) -6 С х < 2;
, „ - . - I - «Тт -1 + 717
в) х < 0, х > 6; г) -12 < х < 2. 1.20. а) < X < ———;
4 4
жч 1-*13 . -1 + V13 s .1-75 lev’s
б х< , х> ; в)х<2 <2, х?2+ Y2; г) — < х <
2 2 2 2
204
1.21. а) х < -11, х > 2; б) х < -5, х > 3; в) -10 < х < 1; г) х < -8, х > -2.
1. „ 1 .2 . _ „ „ „ . _ _ _ _ _
1.22. а) х < -2, х > б) -2— < х < 1-; в)х < -3, х > б; г) х < -3,5, х >0,5.
1.23. а) -4, -2, 4; б) р < -4, -4 < р < -2, р > 4 булганда;
в) р < -2, р > 4 булганда. 1.24. а) р = 1 яки р = -5; б) р = 2;
в) р = -1 яки р = -3; г) р = -2. 1.25. а) р = 3 яки р = 11; б) р = 6,
7 яки 8. 1.26. а) р = 1; б) р = 2; в) р = 3; г) Чишелешләре юк.
§ 2 2.1. а)х< -3, х>-2;б)-3<х<0,5;в)х< -4, х > 1; г) 1 < х < ±
2.2. а) 0 < t < 1; б) 0 < t < 1 t > 12; в) t < -3, t > 0; г) t С -8. О < t < 1,2.
- 4
2.3. а) х < 0, х > 1; б) -2 < х < 0; в) х < 0, х > 3; г) -5 < х < 0.
2.4. а) х < -2, х > 2; б) х < -3, 0 < х < 3; в) х < -5, х > 5; г) х < -8, 0 < 8.
2.5. а) а < -15, а > 15; б) Чишелешләре юк; в) -4 < b < 4;
г) с < -2, с > 2. 2.6. а) -4 < х < -2; х > 1; б) х < 6, I- < х < 3;
в) х < -3, -1 < х < 2; г) -5 < х < х > 3. 2.7. а) < х < 0, х > 4;
1 4 1 ° 1
б) х < -1—, -1 < х < 1; в) -5 < х < 0, х > —J г) х < -2, - < х < 2.
' 2 2 4
1,1 1, .12 1
2.8. а) х < 1 ~ < х < 2; б) х > 1, -1- * i < п< в) ~ < х < 1-, х > 4;
а л 2 й J 2
3 _ 5 . „ „ _ _ _ _ _ _ _ _
г) х<-7, <х< 2.9.а)-3<х<0,х>2;б)х<-6,0<х<2;в) -1<х<0,х>0;
г) х < -7, 0 < х < 5. 2.10. а) 11 < х < 2-; 6) х < 2; в) х < -2. х > 1: г) х < 5.
2Д2. а) -оо < х < +°°; б) Чишелешләре юк; в) -1; 0 4. 213. а) < х < -к»,
б) Чишелешләре юк; в) Чишелешләре юк; г) -оо < х < +°°.
1 1
< х < 1—; б) х <
2 л *
—2,5, —— < х <
-4 < х < -3, х = О,
1
1
3,
3
2
<х<?
х > 3,5.
< х < 4;
2.14. а) -<х> < х < +°о; б) Чишелешләре юк; в) Чишелешләре юк;
2 2 2 . . -
г) -оо < х < -Н». 2.15. а) -1- < х < -
2 ■ « ’
х > 1; в) -1 < х < -» 2 < х < 5; г) х
2.16. а) х < -3, -2 < х < 2, х > 3; б)
в) -13 < х < -10, 10 < х < 13; г) х < -12, -7 < х < 0, 0 < х < 7, х > 12.
2.17. а) -8 < х < 0, х > 8; б) х < ->/2, 0 < х < 72; в) -1 < х < 0, х > 1;
f— 2
г) х < -V10, 0 < х < 710. 2.18. а) х < -. 1 < х < 2,5; б) х < -1,5,
1 Л ,
-0,5 < х < 1, х > 4; в) х < -4, -3 < х < -2, -1 < х < —. х > 3; г) х < -0,5,
Л
205
I < х < 4, х > 7. 2.19. a) x < 0. 2 < x < 4; 6) 0 < x < 1, x > 2; в) x < -3,
-1 < x < 0; r) -2 < x < 0, x > 4. 2.20. a) x < 1; б) x > -5; в) x < 7;
г) x < -1,2. 2.21. a) x > ft; 6) x < -4, * = -2; в) -3 < x < 0, x > 0;
г) x < 5. 2 22- a) -6 < x < 1, 1 < x < 2; б) x > 8; в) x < 3, x > 7; r) x = 1, x > 6.
2.23. a) x < -2, -2 < x < -1, x > 7; 6) x < -3, 1 С x < 2; в) -6 < x < 1;
r) 2 < x < 4, x > 5. 2.24. a) x < 2, 3 < x < 5, x > 7; б) x < -3, x > 3;
в) -8 < x < -1; r) -5 < x < -4, -3 < x < 5. 2.25. a) -8 < x < -1;
б) -4 < x < -1, 0 < х C 4; в) -4 < x < 2, x > 3,5; г) x < -4, -3 < x < 3,
x > 7. 2.26. a) 0 < x < 3, x = 7; 6) -1— < x < —» ' < x < 11; в) x < -5,
3 2 2 3
-5 < x < -4, x > 0; г) x < -5, х = Д x > 5. 2.27. a) x < 4; б) х <
’ ' 3 2
x > 2; в) x > -8; r) -3 < x < 2.28. a) x < -7; б) x < -1,5, x > 1.5;
О
1 2 .2
в) х < 6; г) 0 < х < 7* 2.29. а) -1- < х < 0, х > 1-; б) -8 < х < 1;
' ° о S
в) -I < х < 5; Г) -2 < х < 2. 2.30. а) -12 < х < -2, х > 4;
б) х < -2, -2 < х < 7; в) х < -5, -2 < х < 6; г) -8 < х < 3, х > 3.
1
2.31. а) х < -3. 2 < х < 3, х > 3; б) ~ < х < 2, 2 < х < 3: в) 1 < х < 2;
£
1 1
г) х < -5, X > 2.32. а) -3 < х < -2, -1 < х < 1; б) х < -1, -- < х < О,
х > 1; в) х < -2, х > 2; г) х < 3, 3,5 < х < 4. 2.33. а) х < -4, х > -3;
б) х < -1, 0 х < 1; в) -7 < х < -5, х > -5; г) -8 < х < -5, О < х < 5.
2.34. а) 0. 1, 2, 3; б) -3, -2, -1, 0; в) 1, 2, 3; г) -1, О, 1, 2, 3, 4, 5.
2.35. а) -5 < х < -1, 0 < х < 2, х > 2; б) х < -5, -1 < х < О; в) -5 < х < -1,
х > 0; г) х < -5, -1 < х < 0, х = 2. 2.36. а) х < -2, -2 < х <
-1 <х<0,х> 1:б) —1— <х< --, 0 <х< 1; в)х < -1-, -— < х < О, х > 1;
2 2 2 22
1 1
г!х = -2, -1- <х< 0<х< 1.2.37. а) -2; 6)1, -4; в| О, -1,-3; г) 2, -5.
2 ‘
§ 3 3.3. а) | -оо; -4|1; б) (-1; 2); в) (-1; 1); г) (-2; 4). 3.5. а) 0; б) -9;
Л I
в) 0; г) 4. 3.6. а) Дврес; б) юк; в) , г) дөрес. 3,7. а) Х| = 0. х} = 2, х3 = 3;
г) 6. 3.12. а) {10, 20. 30, 40}; б) {3, 9, 15, 21}; в) (-10, О); г) {2}. 3.15. а)
{с}; 6) {с, d, е, g, Л); в) (с, е); г) {a, t>, с, d, е, f, g, А}. 3.16. а) 5. 6, 7, 8, 9;
6) М = {729, 512. 343. 216, 125); в) Д = {2, 3, 5, 6. 9}; г) 6. 3.17. а) (1; 2);
„ 21 _ .........
-4,5; -— I. 3.18. а) 3; б) б; в) 9; г) өчтән бер өлеш. 3.19. а) 2; б) 4; в) 8;
206
г) дүрттән бер өлеш. 3.20. а) (7101; 11); б) [VS7; 13]; в) (7101; 7167];
г) (7,7; 13]. 3.21. а) 26; 6} 1Z6; в) 225. 3.23. а) 18; б) 14: в) 7. 3.23. а) 100;
6} 800; в) 600; г) 1400. 3.24. а) 15; б) 12; в) 3. 3.25. 30.
§ 4 4.5. а) у <. 2; 6) у > 6; в) -4 < у <• 6; г) х > 4. 4.6. a) t < 3,5;
б) 1,5 < I < 4; в) t Ч -2; r) t *> 2. 4.7. а) 2 < х < 2,5; б) Чишелешләре
юк; □} 13-j < х < 25; г) 12. 4.8. а) , в) Чишелешләре юк; б) -4 < х <
V
-2; г) -5 < х Ч -I. 4.9. а) 3 < х < 4; б) Чишелешләре юк; в) X < ;
3
. „ 2 . 1. „
г)-3<х<-2,5.4.10.а),в)Чишелешләреюк;б)х> -; г)х> —. 4.11.а)-3<Х<3;
а 1
б) , г) Чишелешләре юк; в) х Ч -4, х > 4. 4.12. а) х > 3; б) -5 Ч х < 0;
в) х > 9; г) 1 Ч х < 2. 4.13. a) х < -4, х > 4; б) -j < X < в)
Чишелешләре юк; г) -у < X < у. 4.14. а) 0,5 Ч х Ч 1; б) X Ч 2, х > 5;
■
н)-1 Ч х< 2, 7 < X Ч 8; г)-2.5 < Х< -1. 4.15. а) < х * 2; б) -6 < х < 6:
■>
и) -2 < х < -1; г) 0 Ч х Ч 8 4.16. а) 2 < х < 7; б) -2 < х Ч 1; в) 1 Ч х Ч 6;
г) -4 < х < -1. 4.17. а) 0,5 Ч х Ч 1.5; б) 3 Ч х Ч 5; н) 0 Ч х < 2;
г) 1,6 < х < 0. 4.18. а) 0,6 < х < 1,8; б) -6,5< -0,5. 4.19. а) 0; 3; б) -2; 0.
4 20 я) |-2; 4]; б) (-4; 5]; в) [2; 4]; г) [3; +«). 4.21. я) -11 < « < 3;
4 .4 14
б) - Ч х < 1; в) -1,5 < х Ч 0; г) -2- Ч х Ч 13. 4.22. а) х < 6; б) - < х <
• 7 4 *>
2 .. .1 3
в) х > 2-; г) 1 < х < 15. 4.23. a) -1 Ч х < 3-; б) х < —. в) 2,1 < х Ч
3 3 5
3,5; г) 4,5 < х < 6,5. 4.24. а) 1,5 < х < 2; б) 1 < х < 1.3; ■) 11 < х < 1^;
4 5
1 1 1 1
г) х > 4. 42Ь а) 4 < х < 5; б) - J < X < д- в) 1- < х < 1±; г) х < -4,5, х > 8,5,
4.26. а) -2 Ч х < 0, 1 < х ч 3, х > 4: б) 2 Ч х Ч 9; в) Чишелешләре юк;
г) 2 Ч х Ч 3. 4.27. я) -8 < х < -1; б) х < -3, -1 < х « 0; в) -1 < х < 1;
г) -I7 < х < -1, х - 0. 4.28. а) (-»; 1)2(7; +<»); б) 3,5 «2(4; 5);
в) [-оо; 2]2[3; 5]2(6; +оо); г) (-00; -2)U(7; +<»). 4.29. а) [4; 7]; б) [-3; 1]2[2; 3];
207
в) (-ео; -1]2[1; 2]2[3; +»); г) [-1; 5]. 4.30. а) (-«>; -4]2[2,5; +<»);
б) [2,5; +»); в) Г-<»; -^2(5; +»); г) (5; +«). 4.31. а) 6) 1
v 8J 40 2
4.32. а) 1; б) б, -2. 4.33. а) -4, -8; б) 1, 2; в) -1, 0, 1, 2; г) 4, 5.
4.34. а) х = -1; б) х = 2, 6 < х < 8; в) -8 < х < -3; г) -1 Ч х < 8.
. _ . . _ _2 _
4.35. а) -5 < х < 1; б) -5 < х < -2, 1 < х < 5; в) -3- < х <• 2;
' ■ • 3
г) -5.6 < х < -1, 1 < х < 6. 4.36. а) х < 1; б) -3 < х Ч 2; в) х > 2;
г) х < -5,1 С х < 5. 4.37. а) -5 < х < -4, х > 4; б) 0 < х < 1; в) х Ч О, 6 < х < 7;
г) -2 < х < 3. 4.38. а) р < 3, р > 3; б) р < 7, р > 7; в) р < 5, р > 5;
т)р > 2,р< 2. 4.39. а)р = 5; б), г)булмый; Ъ)рЧ 3.4.40.а)р < 0; 6)р > 2—.
2 БҮЛЕК
§ 5 5.Я а) 5; б) 13; в) 5; г) 17. 5.11. а) (х - If + (у - 2)а - 9;
б) (х + З)2 + (У - 8)г - 121; в) Xх + (у + 10)’ = 49; г) (х + 5)* + (у + 2)' - 16.
5.12. а) Xх + у2 - 4; б) х2 + у» = 3; в) х2 + уг - 2.25; Г) х* + у2 = i.
5.13. я) (х + 2)х + (у - 2)’ = 1; б) (х - 3)* + (у + 1)х - 4;
в) (х - I)2 + (у - 4)’ = 4; г) (х + 3? + (у + 2* = 1. 5.14. а) х2 + (у + I)2 - 1;
б) (х + З)2 + уг = 9; в) х2 + (у - З)2 = 9; г) (х - 2)2 + у2 = 4. 5.15. а) (-2; 3);
6) (0,5; -1,5): в) 1±;
г) (О; 1; 2). 5.18. а) (-1; 3); б) (1; 2),
(-2; -1); в) (3; 6), (-3; 6); г) (-3; 5), (1; -3). 5.19. а) (1; -3). (-3; 1);
б) (2; 2), (-1; -4); в) (4; -2), (-2; 4); г) (2; 3), (-2; -3). 5.20. а) . б) Ике;
в) еч; г) чишелешләре юк. 5.21. а) (-1; О); б) (1; 1), (1; —5); в) (О; -1),
(6; -1); г) (2; 2). 5.25. а) (х + 5)1 + (у - 2)2 = 25; б) (х - 12)2 + (у + 5)2 - 169;
в) (х + 4)2 + (у + 6)2 = 36; г) (х - 2)х + (у - I)2 - 100.
5.26. а) (х - I)2 + (у - 2)2 = 50; б) (х - З)2 + (у + З)2 = 25.
5.27. а) (х + 7)2 + у2 = 25; б) х2 + (у + 6)2 « 100. 5.30. а) (3* + 2;
2* - 1); б) (2 - ЗА; 2* - 1); в) (3* + 2; 1 - 5*); г) (4k + 1; 5k + 6). k е Z.
5.31. a) (1; 1), (1; -1). (-1; 1), (-1; -1); 6} (4; 1), (4; -1), (-4; 1), (-4; -1).
5.32. a) (0; 0), (3; 3), (-1; 1), (2; 4); 6) (2; 3). (2; -1), (-2; 1). (-2; -3).
5.33. 54 . 5.34. a) (0; 0), (1; 1); 6) (0; 2); в) (2; 1). (-1; -2); г) (1; О).
(5; -4). 5.35. a) (1; 1), (-1; 1); б) (О; -1), (-1; 0), (1; О); в) (0; -3), (-1; -4),
(-2; -3); г) (-3; О), (0; -3), (3; О). 5.36. а) р = 2; б) р = 5. 5.37. а) р = О;
208
б) р = О, р = -4. 5.38. в)Р = -2; б)р = 2. 5.39. а)
I-2 < х < 0. 'х > 4,
1-4 < у < О; |х >2.
§ 6 8.1. а) (-4; -5). (6; 5); б) (4; 2), (9; -3); в) (8; 5). (О; -3); г)
(3; 9), (-2; 4). 6.2. а) (-1: 2). (2; -1); б) (1; -4). (-1.4; -6,4); в) (5; 2),
(-1; 4); г) (2; 6), (6; 2). 6.3. а) (-4; 2). (-1; 3); б) (4; 0), (12; 16); в) (5.5;
». -» Г) ( -»1).
(5; -1). 6.4. а) (-3; -2). (3; 1); б) (-5; 10);
в) (2; 0), (0; -2); г) (2; -1). (-2; 1). 6.5. а) (3; 2). (-0,4; 0,3); б) (4,5; 1.5); в)
(6; 2), (-1; -1,5); г) (4; 3). 6.6. а) (2: 1); б) (1; 2); в) (3; -1); г) (1; I). 6.7.
а) о): б) (-0,5; 1); в) [о]: г)(1;1). 6.8. а) (6; 5), (-6;-5). (6; -5),
(-6; 5); б) (5; 3). (-5; -3), (5; -3), (-5; 3); в) (5; 1), (-5; -1), (5; -I), (-5; 1);
г) (4; 1). (-4; -1). (4; -1). (-4; 1). 6.9. а) (1; 1). (0.5; 2), (2; -1). (0.5; 4);
(-& -$="<•=
6.10. а) (1; 2), (2; 1); б) (1; 0), | -||; Д); в) (1; 3), (3; 1); г) (-1|; 1 |1
(-3; 2). 6.11. а) (4; 2); б) (2; 1), (-1; -2); в) (3; 1); г) (1; 4). (4; 1).
6.12. а) (2: 1), (-2; -1), 12; -1). (-2; 1); б) (3; 2) (-3; -2), (3; -2), (-3; 21;
в) (3; 1), (-3; -1). (3; -1). (-3; 1); г) (-1; -3), (-3; -1), (-1; 3). (-3; 1>,
(1; -3), (1; 3), (3: -1). (3; 1). 6.13. а) (-5; -4), (5; 4); б) (1; 2), (-1; -2);
f2; f_2. _з\ в) (2; 4), (-2; -4). (4; 2). (-4; -2); г) (5; 4), (-5; -4).
V 3 3 /
6.14. а) (-3; 3), (3; 3); б) (3; 1)> (-3: 1); в) (1; 1), (1; -1); г) (2; 1), (2; -1),
(1; -72), (1; 72). 6.15. а) (1; 0), (1; -1), (-2; 0), (-2; -1); б) (3; 4).
(-1; 4); в) (1; 2), (1; -3); г) (2; 0), (2; -1), (-3; 0), (-3; -1).
6.16. а)(-1;-2), (2; 1); б) (9: 3). (-3; -9); в) (1,2; 0,6); г) (8; 2), (2; 8). 6.17.
а) (3; -2), (8; 18); б) (8; 6), (-7; -9); в) (3; 4), (-2; 1); г) (5; 1), (-|; 18 |.
6.18. а) (-3; 1), (1; -3); б)(2.25; 1,5); в) (2; 1); г) (11. 6.19. а) (-3; -2). (1; 2f;
б) 1). [ -1; -Л в) (0; -5), (1; -4); г) (1; 2). (2; 1). 6.20. а) (3; 4>. (1;
2); б) (4; 5), (2; -1); в) (1; 5), (-3; 1); г) (1; 3), (-7; -1). 6.21. а) (-3; 3). (0,6;
4,2); б) I 6 — ; -1 (7;1);в)1з|; ‘ |. (4; 1); г) 1 *; И 6.22. а) (3; 2), (1; 4),
| 9 у I ' 3 3? va Г ' '
209
(-3; —1), (-5;-2); б)
£■ 7\М;
24 24/ I 8
Hl1 1 I, f—; 1), СЖа)(-й;-Җ
в ' 4 О/ U2 з)
(5; 3); б) (2; -3). 6.24. а) (х + 2)‘ + (у - 1)’ » 169; б) (х - 3)’ + (у + 4)1 = 25.
§ 7 7.1. 80 км/сэг, 60 км/сэг. 7.2. в км/сэг, 1 км/сэг, 7.3. 10 км/
сэг, 2 км/сэг. 7.4. 5 һәм 7. 7.5. 29 һәм 17. 7,6. 37 һәм 13. 7.7. 27 һәм 11.
ft
7.8. 31 һәм 19. 7.9. 24. 7.10. 48. 7.11. —- 7.12. 6 см, 8 см. 7.13. 180 м’.
7,14. 84 дм. 7.15. 84 см. 7.16. 3 км/сэг. 7.17. 4 км/сэг, 3 км/сэг.
7.18. 14 урын, 24 урын. 7.19. 20 рәт, 18 рәт. 7.20. 80 кеше. 7.21. 10 сэг.
7.22. 12 сэг. 7.23. 6 сэг, 10 сэг. 7.24. 3 сэг, 1,5 сэг. 7.25. 10 м’/сэг.
7.26. 120 сэг, 80 сэг. 7.27. 5 сэг, 3 сэг. 20 мин. 7.28. 32. 7.29. 94.
7.30. 48 һәм 15. 7.31. 34 һәм 41. 7.32. 83. 7.33. 1400 данә. 7.34. 24 км/сэг,
60 км/сэг. 7.35. 2 м/с, 3 м/с. 7.36. 10 км/сэг, 15 км/сэг. 7.37. 15 км/сэг.
7.38. 4 км/сэг, 3,2 км/сэг. 7.39. 60 км/сэг, 100 км/сэг, 600 км. 7.40. 3 м/с,
4 м/с. 7,41. 2 сэг, 6 сэг. 7.42. 24 км. 7.43. 10 сэг, 15 сэг. 7.44. 45 сэг.
7.45. 4 сэг, 6 сэг. 7.46. 45 көн, 30 көн. 7.47. 8 сэг, 6 сэг.
7.48, в м/с, 8 м/с. 7.49. 20 000 сум, 10%. 7.50. 7100 р. 7.51. 10 тапкыр.
5 „ 2
7.52. —. 7.53. 300 г, 500 г. 7.54. 1 л, 2 л. 7.55. 51 ~ %.
17 3
3 БҮЛЕК
§ 8 8.8. а) (-•»; 1)U (1; 4)U (4; +°°); 6) (-оо; 1)U (1; 3.5)0 (3,5; +оо); в)
(-оо; +оо); г) (-оо; +оо). 8.9. а) [3: +с°); б) (-«J; 11]; в) [-4; +оо); г) (-<®; 2].
8.10. а) —г) (-оо; +00). 8.11. а) (-о°; -3] U [3; +<=©); б) [-71; -Ji];
в) (ос; -12] U [12; +00); г) [-275; 275j. 8.12. а) [0; 2]; б)(-оо; -3] U [3; +<»);
в) (-со; 0] U [5; + «>); г) [-5; 5]. 8.13. а) (-оо; 1] и [5; +°о); б) [-1; 4];
в) (-со; 2) и [3; +СО); г)(-<»; -2) U [1; +°о). 8.14. а) (2; +“); б) (-оо: 2)и (4; +оо);
1—; +ОО '; б) (-00; -1)U(12; +°о);
3 1
в) (-оо; 4); г) (3; 4). 8.16. а) (-2; 2); б) (-
в) (-3; +ОО); г) (-оо; 3)U (5; +«>). 8.15. а)
8.17. а)
; б) (-оо; -2р(-
3
1.
2’
■ОО; -3)U
1
2
и
. 8.22. а) 3]; б) /(-2> 1. /(-1)= 2, /(0)=
-1, ft3)= 2, /(7)булмый; г) (-2; 2]. 8.23. а) (-«; 2]; б) /(-3) * -,
3
210
/(-1)= 1, f(0)« -4, /(2)» -4, Я5)булмый; г) [-4; -1] U (О; +°°).
8.24. а) , 6) Юк; в) , г) әйе. 8.25. а) (-со; -1)U(-1; 8)U(8; + оо);
6) (-<»; -3)U(-3; -2)и(-2; 1)U(1; 3)u(3; +»); в) (-=■; -3)U(-3; -1)U
(-1; 1)U(1; 5)U(5; +PP); r)(-w; -5)U(-5; -1)U(-1; 6)U(6; +«>). 8.28. a)1 J; -к» V.
13 '
6) (-co; -4)U(-4; -1]2(4; +oo); в) [-2; +■=>); r) (-2; -0,5)U(-0,5; 0,5)U
(0.5; 2]. 8.27. a) (-0,4; +oo); 6) (-«>; 0,5); в) (-3; +■=□); г) (-«, 4).
2 _ I .
0 2(0; +ОО); в) (-00; -4)U[0; +=>=);
3 )
г) (-co; 0]. 8.29. a) 1|; +°oj; 5) (-3; -2]2[2; +°o); в) [-3; 4); г) [5; +<»).
8.30. а) (-оо; -6]2[6; + °o); 6) (-5; 1]; в) (-3; -2]; г) [1; 3).
8.28. a) (-co; -4]2(0; +<»>; 6) | -
8.31. а) |Л; г) 2(2; +<»); б) |-2||2(-2; +«); в) (2; 4)U(4; +°o)s
г)[2; 2,5). 8.32. a)(3; +»); 6) | -co; 1 j .’*;+«> } a) (-<»; -0.5]2(3; +oo);
r) (J; *»]. 8.34. a) (-oo; 4]; 6) f(-2)= -2. /(0)= 0, /(2> 4. /(4)= 4.
/(8)булмый; г) (-оо; 4]. 8.35. a) (-«>; 3]; 6) /(0)= 1, Д2)= 1, f(3)= -2.
Д4)булмый, /(5)булмый; г) (-2; +«>). 8.36. a) (-3; +»); б) /(-5)булмый,
/(-2)= -1, flO)= 1, Я2)= -3, /(4) = г) [-3; 1].
2
§ 9 9.3. а) Әйе, у = х + 2; б) әйе. у - 2|х| - 2; в) юк; г) әйе.
У -
-2, х < -2 булганда;
х, -2 < х 8 2булганда; 9-4. а) Әйе, у = х1; б) юк; в) әйе, у = Vx + 4;
2, х > 2 булганда.
г) әйе, у « Ңх + 2)г + 4. 9.5, а) Эне, у « -2х - 2; б) әйе, у - (х + 2)“ - 2; в) әйе,
у = 1,5х + 2; г) әйе, у = -(х - 2)3 + 4. 9.6. а) у = —; б) у = ~^х + 5 + 2;
t
в) у = ~Jx + 2 - 1; г) у = 9.7. а) 90 км, 225 км, 360 км; б) 20 саг; в)
22,5 км; г) 0,3 мин. 9.8. а) 3 сәг, 0,225 сәг, 12 саг. б) 54 км; в) 0,0125 саг;
г) 150 м. 9.9. а) 0, 2; б) 0, 3; в) -2, 0; г) 2. 9.10. а) 3. 0; б) -2; в) -2, -1; г) 2,
9.11,6) 10 саг. в) 4 7 км; г) 9 мин. 9.12. a) S = й = —; б) — м‘; в)
0,3375 м'; Г) 60 м. 9.13. а) у • 2хг - 1; б) у = -Зх3"- бх - 3;®) у = -Зха + 4;
г) у = Зх’ - 12х + 12. 9.14. а) 1; б) 2; в) 3; г) 4. 9.15. а) 9; б) 6; в) 9; г)
4.
211
9.16 Ь'(А>- {О, 1. 4, 5, б, 9).
9.17. a) Лж) ’
4, х < -5 булганда;
(х + З)2. -5 < х < -2 булганда;
х + 3, х > -2 булганда;
б> fix) =
(х + 2)а + 1, -4 «. х < -1 булганда;
2|х|, -1 <хС 1 булганда;
Vx - 1 + 2, х > 1 булганда.
§ 10 10.11. a)yuxa5, y„jr -3; б) уln„ = 0. y_an - 2; в)у-_булмый. р,ш = 1;
г) Ут - 2, уш.„ булмый. 10.12. а) уш„ булмый, у„п = 0; б) = 7з,
Ум, - 0; в) yw = 2, Ум = 1; г) ут, = ^2, У™ булмый. 10.13. а) у^ булмый,
уа.„ = 0; б) = 3, у„|„ булмый; в) булмый, ул,„ = 2; г) у„„ = 4,
Уып булмый. 10.16. а) /'(-3)булмый, f(0)= 2, Д5>= 6. 10.17, а) /(-2)= -3,
Д0)=-1, /(5)-69. 10.21. а) -7, у,„„ булмый; б) уmi„булмый, y^ = 10;
в) </«w= ~6Т у^ не существует; г) j/m,„ булмый, {/„„= 4. 10.22. a) y„ln= 3,
Ут = 8; б) ум булмый, j/ro.,= 1; в) jfMln = -3. y^ = -1; г) умя~ 3. = 8.
2x - 3 ЙХ-2Һ1 1 _
10.23. б) У - „ = x + 2, 10.25- я) , б) Астан
ж - 2 х - 2 г-2 ’
чикләнгән; в) чикләнгән; г) өстән чикләнгән. 10.28. a) f(a)< f(b);
6) , в) /(a)> f(b)i r) f(a)< f(b}.
§ 11 11.6. a) , в) Җөп; б) , г) так. 11.7. а) Җеп; б) , в) җөп та, так
та түгел; г) так. 11.8. а) Так; б) җөп та, так та түгел; в) җөп; г) җөп
та, так та түгел. 11.12. а) Кими; б) үсә; в) үсә; г) ними. 11,13. а) Әйе;
б) юк. 11.14. а) Әйе; б) юк. 11.15. а) Юк; б) әйе. 11.16. а) Юк; б) әйе.
11.20. а) —г) җөп та, так та түгел. 11.21. а) Так; б) , в) җөп та, так та
түгел; г) җөп. 11.22. f(x)= Л(х)+ /2(х), биредә у - ft{x)= 4х* + 2х2 + 5 —
җөп функция, у = -X3 - х — так функция. 11.26. а) , б) , г) Җөа;
в) так. 11.27. Л(х)= 3 + х2. 11.28. А(х)= -Зх2 - 4. 11.29. а) й(х)= 3 - 2х’;
б) А(х>= 2х2 - 3. 11.30. а) А(х)= 1 + ха; б) булмый. 11.31. а) —г) Җөп.
11.32. а) —г) Так. 11.33. я) —г) Җөп. 11.34. а) —г) Җөп.
§12 12.2, а)/(-1)= 0,/(-3)=-2, rtO)= 7; б) х =-4; в) х <-1; г) ym„ = 7,
Ум = -2. 12.3. a) ftO)= 3. Л-1>= Ю, Д3)= -6; б) х = 3; в) х > 2; г) х > 1 бул¬
ганда — өскә кабарынкы, х < 1 булганда — аска кабарынкы. 12,4. а) Әйе;
б>, в) юк; г) әйе. 12.5. а) *5,Ум = -4; б) ут.. = 0, = -2744; в) у^ = 5,
Уют = “22; г) у^ = 342, ум « -126. 12.6. а) Үсә; б) кими; в) үсә; г) кими. 12.11.
а) Ут - 1. у™ = 0; б) булмый, у,.. = Jr! в) у..„ = 64, у~. =■ 0; г) бул-
04
212
мый, ум = 0.12.12. а)р_* 1, y^ =-1; б)уши=О, у^ булмый; в) у„^ = 243,
у„1, булмый; г) уя„ булмый, ут,„ = -1. 12.13. а) (1; 1); б) (-1; -1);
в) (0; 0); г) (0; 0), (1; 1). 12.14. а) -1; б) -1, 1; в) -1, 1; г) 0, 1, -1.
12.15. а) -2, 0, 2; б) 0; в) -1, 1; г) -1. 12.16. а) х < 1; б) -I < х < 0,
х > 1; в) х > -2; г) х < -1; 0 < х <1. 12.17. а) 2; б) 1; в) 0; г) 1. 12.18.
а) 2; б> 1; в) 2; г) 1. 12.20. а) 8; б) 7; в) б; г) 4. 12.21. а) Җеп, астан
чикләнгән; б) так, чикләнмәгән; в) л җөп сан булганда — җеп һәм
астан чикләнгән; п так сан булганда — так һәм чикләнмәгән; г) ялгыш
бирем. 12.22. Р > Q. 12.23. К = L. 12.24. а) , г) 1; б) . в) 2. 12.25. а) 0 <5
х<1;б)х<1;в)х> -1; г) х > 0. 12.31. а) Так; б) җәп; в) так; г) җөп.
§ 13 13.1. а) А ноктасы; б) В ноктасы; в) А һәм В нокталары; г) А
һәм В нокталары бирелгән графикта ятмый. 13.5. х = 2 — вертикаль
асимптота, у = 0 — горизонталь асимптота. 13.6. х = 0 — вертикаль
асимптота, у = -1 — горизонталь асимптота. 13.7. а) ут„ = 16, ymi„ = 1;
5) У— “ Л. У«ь, булмый; в) ут - 1, ут1„булмый; г) у^ = ‘ . у„1п бул-
10 о!
мый. 13.8. а) уи„ S -J-, = -1; б) у*» булмый, = -32; в) ут
булмый, умл= г) уя„ = м. уи,я булмый. 13.9. а) (1; 1), (-1; -1);
6) кисешү нокталары юк; в) кисешү нокталары юк; г) (1; 1), (-1; 1),
13.10. а) , б) , в) 1, -1; г) 1. 13.11. я) 1; б) 4; в) 2; г) 1. 13.15. а) 8; б)
5; в) 3; г) 4. 13.16. а) Җөп. астан чикләнгән; б) так, чикләнмәгән; в) п
җөп сан булганда — җөп һәм астан чикләнгән; п так сан булганда —
так һәм чикләнмәгән; г) ялгыш бирем. 13.17. Р = Q. 13.18. а) 3; б) 4;
в) 4; г) 2. 13.19. a) (-оо: -2)U (-2; +«■). E(f): ( оо; -i)U (-1; +оо);
б) функция билгеләнү өлкәсендә кими, у >0, -2 < х < -1 булганда, у = 0, х=-1,
булганда, у < 0, х < -2 һәм х > -1 булганда; в)х= -2 — вертикаль асимптота,
у = -1 — горизонталь асимптота; г) (-2; -1). 13.20. a) D(f): 1)U
(1; + оо ), £(/): (-2; +00 ); б) х<1 булганда.
функция
булганда һәм
үсә, х > . у
j , Ji '•
х е 11; 1 булганда, у
0
булганда,
булганда; в) х = 1
2 - J2
2
булганда һәм х >
у < 0
=
вертикаль асимптота, у = -2 — горизонталь асимптота; г) х = 1.
13.22. а) х < 0, 0 < х < 1; б) х > 1; в) х > 1; г) 0 < х < 1.
213
§ 14 14.2. а) 2^3; б) -5$/2; в) 3^5; г) -41/7. 14.3. а) 3^2;
б) -6^2; в) 2^7; г) -5$/3. 14.4. а) 3?/х: б) -2^2а; в) 5 ^2 у; г) -7t/b.
14.5. а) 5х </х; б) 4х2 </2х; в) За >3а2; г) -8а2 -Уд2. 14.6. а)
V24; б) >/-54; в) ^250; г) V-192. 14.7. a) Va’x; б) у'а’; в) v8a'xJ;
г) >/х*‘ . 14.8. а) а£; б) -35; в) 2а3Ь1; г) -4а2Ьс3. 14.9. а) * б) ——;
, 7 1_
в) >/25; г) —-— 14.10. а) : б) la; в) -Vx2; г) х • \'х. 14.11.6) 5 у/Зх;
3 а
г) г 3j2yc. 14.12. а) 30; б) 6 - 2^3; в) 1|; г) 5 + 5^3. 14.13. а) 125; б) 1;
в) -1000; г) -30. 14.15. а) (1; +«>) аралыгында у > 0,(-°°; 1) аралы¬
гында у < 0 ; б) (-2; +«>) аралыгында у > 0, (-°°; -2) аралыгында
у < 0 ; в) ( 8; +<»> аралыгында у > 0, (-«>; -8) аралыгында у < 0;
г) (1; +оо) аралыгында у > 0,(-°°; 1) аралыгында у < 0. 14.16. а) 1; 2;
б) р„,„ булмый, ym„ = 0; в) -3, 4; г) yml„ = 0,5, булмый. 14.17. а) 8;
6)0,1. 14.18.а)Так; б)жен. 14.20.а)2;б)2.14.22. а)9;б)-29.14.23.а)8, -27;
. _ 1
6) 8, - 14.24. а) х > 1; 6) х > 1; в) х < -8; г) х < -1. 14.26. а) р - О,
2 < р < 8; 6) О < р < 2; в) , г) р вид андый кыйммәте юк.
4 БҮЛЕК
§ 15 15.13.а)а,= 1 а,= аэ = |, а. = 1, а5 = ±. 6)d, = 2. dj = “.
О 7 II V 1U •>
_ 2 л _ 2 2 . 13 3 1 3
' - 9’ ’ - 13’ * ‘ 17’ B'Cl • 2’ f2= 8’C’= 10’ 4’ * ’ 14’
г) a, = -1. аг = a3 = -A, a4 = ’ * A 15H a) x, = 2,
I 11 ә 19
хг = 5, xa= 10, x<= 17, x„ = 26; 6)y1 = -ll,y2 = -18,y3=-37, p4 = -74, y5 = -135;
в) 2) = 4, z2 = -3, 2» = -22, z„ = -59, zs = -120; r) tv, = -14, u*t = -11,
»’• = 6, wt - 1, w3 = 10. 15.15. a) y„ - п; 6) y„ - n - 3; в)у„ - n + 5; r) y„ - -n.
15.16. a) y, = 2n - 1; 6) = Зп; в)у, - 2n + 2; r) y„ - 4n. 15.17. a) y„ = n2;
5) y„ = (n + I)1; B)pR = n1 + 1; r) y, = n3. 15.19. a) Әйе, n - 3; б) әйе, n = 5;
в) юк; г) әйе, п = 3. 15.20. a) 1, 4, 1, 4, 1, 4; б) -5, 5, 15, 25, 35, 45; в) 1,
3, 5, 7, 9, 11; г) -3, 1, -3, 1, -3, 1. 15.21. a) 1, 2, 6, 24, 120, 720; б) -3, 3,
-3. 3,-3, 3; в)-512, -256,-128, -64,-32, -16; г) 1, 10, 100, 1000, 10 000,
100 000. 15.24. 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289. 15.25. а) -2, 4, -8, 16, -32; б)
2, -2, 2, -2, 2; в) 2, -6, 18, -54, 162; г) -1, 2, -4, 8, -16. 15.26. а) -7, -31,
-127; б) -6, -24, -96; в) 12, 48, 192; г) -5, -17, -65. 15.27. а) 1, 7, 31; б)
14, 8, -16, в) 2, 4, -12; г) -2, -2, -2. 15.28. а) б) ; в) А;
2п - 1 п + 1 и2
214
г) —!—• 15.29. в)(-1Уб) в)(-1Г r)(-iy-j- Л .
л(п + 1) Зл -1 (^2) 5л ,/л(л + 1)
15.30. -3, -2, -10, -24, -68, -184; х„ = 2(х,.г + х„ л > 3.
15.31. а) х, = 2, х„ = х„.,; 6) х, - 2, х„ - х„., + 2; в) х, - 9, х„ - х„ , - 2;
г) х, = б, х„ - -х,.,. 15.32. а) х, = 2, Х„ = Зх„.,; 6) х, = 1, х„ = х„_, + 7;
в> х, = 0,5, х, = 0,5х„.,; г) х, = 3, х„ = -Зх„.,. 15.33. а) 1, 1,7, 1,73, 1,732;
6) 2, 1,8. 1.74, 1,733. 15.34. а)0.7654321. 15.35. а) 4; б) 13; в)булмый; г) 7.
15.36. а) , г) Юк; б) , в) эйе. 15.37. а) 5л - 2; б> 2 • 3" *; в) 15 -
4л; г) г. 15.39. а) 8; 6) 5; в) 6; г) 6. 15.40. а) 7; 6) 5; в) 4; г) 6.
2" ‘
§16 16.6. а) ~, |, * 1; б) 13, 13 - VS, 13 - 2^5, 13 - 3<5;
7 7 7 7
в) 7,5, 8, 8,5. 9; г) -1.7, -1,85. -2, -2,15, -2,3. 16.7. а) 2, 19; б) 6,
54 + ч/б: в) -10. 10; г) -72, 3 - 9^2. 16 8. 3, 5. 16.9. 11. 11. 16.10.
Юк. 16.11. а) 4, 3; б) , в) юк; г) 1, 4. 16.12. а) 2; б) 0.5; в) -3; г)
3
16.13. а) 1. 3: б) -11. —; в) 2,9. -0,1; г) 3, -2. 16.14. а) а„ = Зп - 1;
3 3
б) а„ = л - 0,5; в) а, « 9 - 2л; г) а, = -|л - *. 16.15. а) а, = 10 - Вл;
б) л. = 0,2л - 0,9; в) а„ = 5п - 12; г) а„ = л V» - Зч/б. 16.16. а) 19; б) -85;
в) 20; г) 105. 16.17. а) 7; б) 6; в) -2: г) 2. 16.18. а) 3; б) 21; в) 4; г) 7 ч/б.
16.19. а) 11; 6) 11. 16.20. а) Әйе; б)юк. 16.21. а) Әйе; б) айе. 16.22. а) 19;
6) 22. 16.23. а) 21; б) -76.5; в) 12-; г) 4,2. 16.24. а) 38; б) 9; а) 19,1; г)
3
1,26. 16.25. а) 3,6; 6)-1,3; в) -1; г) 0,1. 16.26. а) 100; б) 11; в>23; г) 20.
8
16.27. а) 55; б) юк; в) 11; г) 7. 16.28. а) 22; б) 39; в) 11; г) 22. 16.29. а) 53;
б) 6; в) 2; г) 14. 16.30. 13. 16.31. -1,3, 7, 11, 15 16.32. -12. -7, -2, 3.
16.33. а) 1275; б) 250; в) 90; г) 600. 16.34. а) 3725; б» -2425; в) 3175;
г) -245. 16.35. а) 8700; б) 2625; в) 2350; г) -6175. 16.36. а) 132; б)
2095; в) -490; г) 2430. 16.37. а) 1950; б) 142,5; в) -690; г) -1342,5.
16.38.
d
а.
п
Л»
7
4
55
13
403
2
2
80
40
1640
56
-3
26
11
451
2
5
87
18
801
9
2
21
7
105
215
16.39. 122,5. 16.40. а) 61: б) 10: в) -1; г) 8. 16.41. а) 64; б) -40; а) 25;
г) -10. 16.42. а) 74; б) 10. 16.43. -1. 16.44. 1 16.45. а) 728; 6) 981,
1 1 (йТЗ-б) 2
16.46. а) 61 376; б) 40 875. 16.47. а) б) -1-;
2 4'3 3
13 ./т - 5 «7
в) г) ж . 16.48. а) а„ = 2л + 5; 6) а, = -1,5л - 16,5;
55 75 V5
в) а„ = 2,5л + 2,5; г) о„ = -0,7л + 3,7. 16.49. а) 3, 5; б) 0, -4; а) -4, 3;
г) -0,8, -0,1. 16.50. a) d - -9; б) d = -3. 16.51. а) 6 + 5>/2; б) 3 + 27Тб;
/— /— — ЗТЗ *15 г¬
в) 20 - 2V3; г) 3 - 73. 16.52. а) f ■; б) 1; в) 5 -873; г) 64/ - 21.
-2-Уз 1 -
16.53. a) -rz-i б) т - 1; н) —-—; г) р - 1. 16.54. а) 7; б) 8; в) 5: г) 6.
1 г 5
16.55. а) 21; б) юк; в) 25; г) 10. 16.56. а) 18; б) 8; в) 20; г) 54. 16.57. а)
18; б) 19; н) 6; г) 10. 16.58. а) 50; б) 52; в) 101; г) 51. 16.59. а) 65 422;
б) 391 454. 16.60. 3, 4. 16.61. 1357. 16.62. -12, -1230. 16.63. 21. 16.64.
Ике шешә. 16.65. 10 мин. 16.66. 4 кен. 16.67 9 боҗра. 16.68. а) 7; б)
§17 17.5. а); в); Г). 17.7. я), б) — үсә баручы. 17.8. а) —; б) в)
2 4 3
г) 3,6. 17.10. а)-16; б) з|; в) 25>/5; г) -1. 17.11. а) 6-; б) 4>/б; в) 1—;
з s 4 ел
г) 17.12. а)-2, -4; б)-8, -0,5; в) 3, 0,5; г) 96, 0,5.17.14. а) \ = 16 * , ;
б) Ь„ = [ ’J ; в) Ь„ = 16 (1 ’ ; г) Ь„ = (72)*. 1715. а) 1. 5; 6) 1,2, 2;
в) ; г) 12. 1, 17.16. а) 6; б) -32. 17.17. а) Булмый; б) л = 10;
2 4 4 2
в) л = 12; г) булмый. 17.18. а) 19 683; б) - 1-. в) 1; г) 12,65625. 17.19.
и) 4; б) -72; в) 1; г) 1 17.20. а) ±2; б) 10.2; в) ±3; г) ±1. 17.21. а) 6;
7 3 6
6) 8; в) 5; г) 8. 17.22. а) 3, 2; 6) 16, 1,5; в) 13. -0.5; г) 3. -2. 17.23. 1,
2
’ 17.24. 96 I 1 . 17.25. а) 15; б) 255; в) 1—; г) 2,5.
4 В К 3 J 27
728 , 2325 63 , г . _ 1261
17.26. а) б) ; в) г) -117(Тз + 1 . 17.27. а 315; б)
•> 81 о 128
216
7з
р> Т’
б) 124
HlSi . 1640 __ . 93
в) "1024* г) Й4" ' 17 28 {|)93;6> “11: в> ”16; г> 121V2. 17.29. а) 620;
б) 7 - 3^2; в) —; г) 13 + 4-/3. 17.31. а) 2, 8; б) -1, -6; в) ->/3, -7^3:
9 2
г 1
5V3. 17.32. -. 17.33. ±3. 17.34. 1,5. 17.35. а) 100 000 евро;
4 _
416 евро. 17.36. а) 1.2, 3; б) 0,3. -0,2; в) 2,5, 0,5; г) 2.
17.37.
а) 6; б) 7; в) 6; г) 6. 17.38. а) п < 6; б) а > 7; в) п i>
И;
г)
б)
п ? 10. 17.39. а) 4; б) 7; в) 6; г) 5. 17.40. a) q = 7з, 6, 7з, Ьг = 3,
= з7з; б) q = 1. Ь, = 375, b2 = -75, 6, = 15. 17.41. a) q = -4, S6 = 1025;
’ 5
g = -2^2, S7 = 585 - 146^2. 17.42. 2, 2048. 17.43. I, -3, 9, -27, 81 яки
1, 3. 9, 27, 81. 17.44. 72, 17.45. 2, 4, 8. 16, 32. 64. 17.46. 2, 6 һәм 18 м.
189 683 364
17.47. a) 567; 6) 46 655; n) 364; r) . 17.48. a) 511; 6) a) —;
II 1024 7*9
x101-l x(xM -1) xz(l-x“) l-x<0
r) -14 762. 17-49. a) —p 6) — в) '1 r) y>.
. (2w-n
17.51. 2 * - 1, 17.52. 3 • 10s 3 ■ 106 сум алып һәм сум биреп. Бай
100
оттырган. 17.53. 21 һәм 49 яки -3 һәм 1. 17.54. 27, 8, -11 яки 3, 8, 13.
17.55. ' 17.56. 1, 5, 25 яки —. —, —. 17.57. 10% ка. 1758. 20% ка.
81 3 3 3
5 БҮЛЕК
§18 18.1. я) 90; б) 81; в) 3; г) 10. 18.2. а) 764; б) 476; в) 2; г) 6.
18.3. а) 99; 6) 18; в) 12; г) 40, 48, 80, 88. 18.4. б) 12; в) сырлы бутерброд
(9 очрак)арыш ипиеннән (6 очрак)ихтималрак; г) 18 ботактан б ны
алырга кирәк. 18.5. 6) 4; в) 1. 18.6. а) 8; б) 4; в) 6; г) 4. 18.7. а) 24;
б) 6; в) 18; г) 12. 18.8. а) 210; б) 30; в) 180; г) 24. 18.9. а) 25; б) 10;
в) 15; г) 16. 18.10. а) 1 һәм 27 000; 6) 64; в) 48; г) 36. 18.11. а) 5040,
б) 40 320; в) 600; г) 24. 18.12. а) 30 240; б) 462; в> 2550; г) 120 120.
18.13. а) Әйе, 6) әйе; в) әйе; г) юк. 18.14. а) л; б) 2k(2k + 1); в) **- :
г) (4т - 1Х4т. - 2). 18.15. а) 7; б) 4; в) 87; г) 3. 18.16. а) 120; б) 24; в) 60;
г) 60. 18.17. а) 200; б) 200. 202. 208, 209, 220, 222, 228, 229; в) 909, 929,
989, 999; г) 200, 280, 800, 880, 920. 18.18. б) 1; в) I; г) 4. 18.20. а) 120;
б) 48; в) 80; г) 96. 18.21. а) 100 000; б) 32 768; в) 32; г) 8192.
18.22. а) 12 һәм 2250; 6) 24; в) 6; г) 8. 18.23. а) 6; 6) 24; в) 120; г) 60.
217
18.24. а) 720; 6) 120; в) 600; г) 240. 18.25. я) •: б) 0; в) тг; г) Э(ЗА + 2).
§ 19 19.3. а) 60; б) б) 0,5 кг төгәллек белән 4 кг нан 25 кг га; в)
5 һәм 12; г) 2, 14 һәм 3; д)5,5. 19.4. а) 140 см дан 210 см га кадэр;
б) 157 һәм 190; в) 4 һәм 4; г) 161. 19.5. а) 200; 6) 0,19; в) 6,5%;
Бәя категориясе, сум
0—20
20-50
50—100
100-150
150-200
> 200
Бая курс.
С8НҺ1
31
52
47
38
19
13
Ешлык
0,155
0,26
0,235
0,19
0.095
0.065
Ешлык, %
15,5
26
23.5
19
9.5
6
19.6. а) 7; б) 0,04; в) 22%; г) 38%.
19.7.
Варианта
Сумма
№ 1
№2
Я?3
№4
Кабатланыш
9
5
2
4
20
Ешлык
0.45
0.25
0,1
0,2
1
Ешлык, %
45
25
10
20
100
19.8. а) 7; 6) 50; в) 5; г) 8%. 19.9. а) 4; 6) 2; в) 1,8 сәг. 19.10. а) 2, 4. 6, 8; б) 4.
8, 2, 8,6,4. 8; в) 6, 2. 8. 2,4,6, 2; г) 4. 19.11. а) 12 дон 20 баллга кадар б) 15;
в)4:г>12,12,12,13, 13, 14, 14, 14, 14, 16, 16.16,16, 17, 17, 17,17, 17, 17,
17, 18, 18, 19, 19, 19. 20, 20. 20, 20, 20.
19.12. а) 50, 6)9; в) 0.16; г) 32%.
19.13.
Варианта
Сумма
№ 1
№ 2
№3
№4
№5
№6
Кабатланыш
291
122
113
202
79
193
1000
Ешлык
0,291
0,122
0,113
0,202
0,079
0,193
1
Ешлык, %
29,1
12,2
11,3
20,2
7,9
19,3
100
19.14. а) 200; 6) 4; 0,27. 19.15. а) Мода 431 гэтигеэ; 6)91 %;
Авырлык, г
427
428
429
430
431
432
433
434
435
Ешлык
2
4
11
18
30,5
21,5
10
2
1
19.16. а)3,875; 6)3,75; в)4; г)3. 19.17. а) 22; б) 18 һәм 4; в)кж; г)
218
19.18. а)36; б)7һәм 11; в)юк; г) 4-5 19.19.а) . в)3,4, 5, б; г)эйе,
х = 7 булганда. 19.20. а) 1 ‘ ; в) 1, 2, 3; г) юк.
ох ♦ IУ
§ 20 20.1. а) 1 б), а) г) 0. 20.2. а) 0,5; б) 0,125; в) 0,375; г) 0,5.
6 3 ....
20.3. а) 0,1; б) 0,1; в) 0,2; г) 44. 20.4. а) 0,5; б) 0,5; в) г) 20.5. а) 1
4а ь о w
б) , . ; в) 0.4; г) 20.6. а) 0; б) 0,2; в) 0.4; г) 0,6. 20.7. а) 0,25; б) 0,375;
I » у
в) , г) 0,5. 20.8. а) 0,23; б) 0,63; в) 0,6; г) 0,4. 20.9. а) б) 0,5; в) -; г) -.
6 3 3
20.10. а) 0.75; б) 0,75; в) г) ’’’ 20.11. а) 0,8; б) 0.6: в) 0,7; г)
14 —" а
1 J5
20.12. а) ., б) 0,125; в) 0,875; г) , 20.13. а) 0,05; б) 0,6; в) 0,2;
0 40
г) 0,25. 20.14. а) 0,125; б) 0,125; в) 0,5; г) 0,375. 20.15. а) 0.4; б)
0.6; в) 0.4; г) 0. 20.16. а) 0,05; б) 1; в) 0,15; г) 0.55. 20.17. а) 0; 6)
0,6; в) 0,2; г) 1. 20.18. a) i) б) 0,25; в) 0,5; г) 0,5. 20.19. а) Н;
О Зо
б) t , в) И; г) Ц. 20.20. а) 0,9; б) 0,91; в) 0,95; г) 0,94. 20.21.
а) 0,2; б) 0,7; в) 0,1; г) 0,2. 20.22. а) 0,5; б) 0,36; в) 0,14; г) Я
6
§ 21 21.1. а) 4; б)
17
18
19
20
27
28
29
30
40
60
80
100
1 дан п
га кадәр
сяннар
я расы идя 4
к а кябвтлы
саннар
САВЫ
4
4
4
5
6
7
7
7
10
15
20
25
Ешлык
0,235
0,222
0,21
0,25
0,222
0,25
0,24
0,23
0,25
0,25
0,25
0,25
г) 0,25. 21.2. а) 16; б) 30; в) 45; г) 1.21.3. а) 6; 6) 7; в) 8; г) 330. 21.4. а) 137; б)
2145; в) 880 нэн 1076 га кадәр; г) 40 000 тирәсе: 36 520 дан 44 630 га кадәр.
21.5. а) 32 000 тирәсе; б) 5440; в) 13 540; г) 67,5 мең тирәсе (67 630).
21.6. а) 2; 6)0,118;
219
..
17
27
57
77
100
125
150
173
200
1000
4 цифрына бетә
торган саннар
саны
2
3
6
8
10
13
15
17
20
100
Ешлык
0,118
0,111
0,105
0,104
0.1
0.104
0,1
0,098
0,1
0,1
г)0,!.21.7.а)1;бНК0в;
17
57
100
400
500
1000
4000
5000
10000
4 цифрына бета
торган саннар
саны
1
11
11
12
111
111
112
1111
1111
Ешлык
0,00
0.19
0,11
0,03
0.222
0.111
0.028
0,1111
0,1111
г) юк; 36 дэи 9 га кадар. 21.8. а) 189 мең; б) 448 мең; в) 75 мең
тирәсе (74 966); г) 121 мең тиресе (120 826). 21.9. г) Якынча 16,7%
лап(16(6) = ^).21.10. г) Якынча 16,7% ка (16,(6) = 100% • Д)
ЙОМГАКЛАУ
Санлы аңлатмалар
30. 77,2. 31. 1,85. 32. -14. 33. -4. 34. 12,08. 35. -2,4. Зв 194 37 302
38. 5. 39. 4. 40. 1. 41. 1. 42. 2. 43. -1.
Алгебраик аңлатмалар
25. -3. 26. 0,25. 27. 45. 28. 0,5. 29. -15. 30. 8. 31. -ОД 32. -0.05
33. -1. 34. 3. 35. -0,5. 36. -3.25. 37. 6. 38. 1,5. 39. 9. 40 -0,25 41. 4.
42. 6. 43. 2. 44. 6. 45. 9. 46. -0,2. 47. 25. 48. -1.8.
Функцияләр Һем графиклар
129 1,75. 130. 2,6. 131. -13. 132. -6,3. 133. -44. 134. -1.8. 135. -1.
13в. 1,25 137. -9. 138. 1. 139. 4.5. 140. 3. 141. -4. 142. 0.2. 143. 5.
144 -4 147. -12.5. 148. 0,5. 149. 23,8. 150. 4. 152. 5. 153. 7. 156. 1.
158. 2. 162 -12. 163. -20. 164, 1,5, 1в5. -3. 16в. 5. 167. -1. 168. 1.
169. -1,5. 170. 9. 171. -48. 178. -6. 179. -4. 180. -0,25. 181. -5. 182. 3.
183. 5. 184. 2. 185. 5.
220
Тигезләмәләр һем тигезлеме системалары
22. 8. 23. 2. 24. -5. 27. -4. 29. -4. 30. -6. 32. 1. 33. 4. 34. -0,4.
35. -1,5. 36. 4. 37. 2. 38. -9. 39. 2. 40. 1. 41. -2. 42. -9. 43. -3.
44. 2. 45. -1,5. 46. 5.6. 48. 0,25. 50. 7. 53. 1. 58. 36. 60. -2. 62. 3. 64. 1.
66. 2,5. 68. -3,5125. 70. -53. 78.
79. ( 2; -1), (1; 3».
I • «•! 1 » j's
— • —;— • 80. (4; 1), (0,25; -0,25). 81. (10; -2), (-1,2; 1,2).
4 2
82. ||; 83. (0,25; 0). 84. I-2: I. 85. (6,5; 2,5). 86. 4.87.1.88.4.89.-3.
V d ' Л I
Тигезсезлекләр һем тигезсезлек системалары
100. 0,6. 103. 14. 106. 9. 109. 3. 111. 5. 112. 5. 114. п < -4, п > 4.
115. -7 < п < 1.
Тигезлемелер яки тигезлеме
системалары тезүгә месьелеләр
7. 25%. 8. 100 км. 9. 259,2 т. 10. 60%. 11. 3.6 л. 12. 10%. 13. 30 г.
14. 1,5 л. 15. 275 г. 16. 300 г. 17. 35 643 сум. 18. 28 121 сум. 60 тиен
19. 1410 спорт костюмы. 20. 3192 юкә агачы. 21. 336 км. 22. 75,6 км.
23. 168 см. 24. 84 см1. 25. 2,4 сәг. 26. 9 сәг. 27. 600 сум, 155 сум.
28. 270 сум, 240 сум. 29. 65 км/сәг, 60 км/сәг. 30. 18 км/сәг,
2 км/сәг. 31. 172 см. 32. 50 км/сәг. 33. 8 км/сәг, 9 км/сәг.
34. 3 км/сәг. 35. 15 көн. 36. 30 мин. 37. 18 көн. 38. 12 сәг.
Арифметик һем геометрик прогрессияләр
37. 3.5. 38. -3. 39. 65. 40. 15. 41. 10. 42. 0.2. 43. -3. 44. 33.
45. 10. 46. 6. 47. 6. 48. п=7 дән башлап. 49. л=20 дән башлап.
50. л=6 дән башлап. 51. п-7 дән башлап. 52. л=9,53 дан башлап. 53. л=15
тән башлап. 54. л=11 дән башлап. 55. л—10 нан башлап. 56. 5. 57. 10.
58. 0,4. 59. 3,6. 60. -2. 61. 0,1. 62. 48. 63. 0,5. 64. 2. 65. 714. 66. 205.
67. 432. 68. 616. 69. 660. 70. 780. 71. 6. 72. 42. 73. 56. 74. - -к 75. 6.
48
76.10. 77. J 78. 35 821,57 сум 79. 15; 60; 240 һәм 80; 60; 45. 80. 6; 24; 42.
ЭЧТӘЛЕК
Кереш сүз 3
Укытучы өчен кереш сүз 4
Кабатлауга мәсьәләләр б
1 бүлек. ТИГЕЗСЕЗЛЕКЛӘР ҺӘМ ТИГЕЗСЕЗЛЕК СИСТЕМАЛАРЫ
§ 1. Сызыкча һәм квадрат тигезсезлекләр 11
§ 2. Рациональ тигезсезлекләр 14
§ 3. Күплекләр һәм алар белен гамәлләр 19
§ 4. Рациональ тигезсезлекләр системалары 23
Өй контроль эше № 1 29
2 бүләк. ТИГЕЗЛӘМӘЛӘР СИСТЕМАЛАРЫ
§ 5. Төп төшенчәләр 32
§ 6. Тигезләмәләр системаларын чишү алымнары 39
§ 7. Реаль хәлләрнең математик модельләре
буларак тигезләмә системалары 44
Өй контроль эше №2 51
3 бүлек. САНЛЫ ФУНКЦИЯЛӘР
§ 8. Санлы функциянең билгеләмәсе. Функциянең билгеләнү
өлкәсе, кыйммәтләре өлкәсе 55
§ 9. Функцияне бирү юллары 60
§ 10. Функцияләрнең үзлекләре 68
§ 11. Җөп һәм так функцияләр 71
§12. у = Х° (п С N) функцияләре, аларның үзлекләре Һәм графиклары 77
§13. у ” х “(he N), функцияләре, аларның үзлекләре һәм графиклары 82
§14. у- у/х функциясе, аның үзлекләре һәм графиклары 86
Өй контроль эше № 3 89
222
4 бүлек. ПРОГРЕССИЯЛӘР
§15, Санлы әзлеклелекләр 91
§ 16. Арифметик прогрессия 96
§17. Геометрик прогрессия . 106
Өй контроль эте № 4 116
5 бүлек. КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА
ҺӘМ ИХТИМАЛЛЫЛЬК ТЕОРИЯСЕ ЭЛЕМЕНТЛАРЫ
§ 18. Комбинаторика мәсьәләләре 118
§ 19. Статистика: мәгълүмат дизайны 123
§ 20. Иң гади ихтимвллылык мәсьәләләре 129
§ 21 > Эксперименталь бирелмәләр
һәм вакыйгаларның ихтималлылыгы 133
Өй контроль эше № 5 138
Йомгаклау . 140
Җаваплар 203
Учебное издание
Мордкович Александр Григорьевич,
Александрова Лидия Александровна,
Мишустина Татьяна Николаевна к др.
АЛГЕБРА
9 класс
В двух частях
Часть 2
ЗАДАЧНИК
для учащихся общеобразовательных организаций
Татарчага русчадан тлрҗемл
Редакторы PC. Вафина
Корректоры ФШ. Гайнатдинова
Компьютерда битка салучысы Э.И. Урахвла
Оригинал макетка басарга кул Куелды 25.07.2014
Форматы 60x90 '/U. Офсет кәгазе №1. <TextBoak> гарнитурасы
Шартлы басма табагы 14. Тиражы 1500 д. Заказ 395
420111. Казан, Тельман ур , 5.
Хатлар вчен: 420014. Казан. Кремль, а/я 54.
Тел. (843)264-67-96.
Отпечатано е полном соответствии с качеством
предоставленного электронного оригинал-макета
в ООО «(Марийское рекламно-издательское полиграфическое предприятие»
424020, г. Йошкар-Ола, ул. Машиностроителей, 8 г.
E-mail: marketing@ninpp.net
Т d\y &29 ^39 •••
а„ = а„ , + d (п^ 2)
ап = а, + (п - l)d
S„ = а, +а2 + ... + а„
2а( + (n - l)d