/
Автор: Тарасов Л.В. Дмитриев В.Г.
Теги: математика естественные науки физика оптика нелинейная оптика издательство физматлит прикладная нелинейная оптика
ISBN: 5-9221-0453-5
Год: 2004
Текст
УДК 5o5:5ol).loz pp Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.343 ь» срри Российского фонда фундаментальных
Д 54 ~~ ** ~~ исследований по проекту 03-02-30013
Дмитриев В. Г., Тарасов Л. В. Прикладная нелинейная
оптика. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 512 с. —
ISBN 5-9221-0453-5.
Изложены основы прикладной нелинейной оптики — генерации второй оп-
оптической гармоники и параметрической генерации света. Рассмотрены вопросы
нелинейной поляризованности диэлектрика и фазового синхронизма; выводы и
решения укороченных уравнений для генерации второй гармоники в различных
приближениях — при отсутствии и наличии волновой расстройки, в приближениях
плоских волн, ограниченных пучков и импульсов, в приближениях заданного поля
и заданной интенсивности лазерного излучения, в геометро-оптическом прибли-
приближении для расходящихся пучков, в том числе с учетом неоднородности кристалла,
тепловых самовоздействий, нестационарных эффектов и др. Рассмотрены процессы
внутрирезонаторной генерации второй гармоники и параметрической генерации
света, а также особенности преобразования частоты в двухосных кристаллах и в
кристаллах с регулярной доменной стуктурой. Изложена краткая история нели-
нелинейной оптики. В Приложении даны таблицы параметров наиболее важных нели-
нелинейных кристаллов и рекомендации по их использованию.
Первое издание вышло в 1982 г. в изд-ве «Радио и связь».
Для ученых, инженеров и разработчиков в области лазерной физики, кванто-
квантовой электроники, нелинейной оптики и оптико-электронного приборостроения, а
также студентов и аспирантов вузов соответствующих специальностей.
Научное издание
ДМИТРИЕВ Валентин Георгиевич
ТАРАСОВ Лев Васильевич
ПРИКЛАДНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
Редактор Д.А. Миртова
Оригинал-макет: О. Б. Широкова
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 22.01.04. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 32. Уч.-изд. л. 36,8.
Тираж 300 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс: (8172) 72-60-72
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0453-5 © физматлит, 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию ..................... 5
Предисловие к первому изданию ...................... 7
Глава I. Нелинейная поляризованность диэлектрика .... 9
1.1. Квадратичная и кубичная нелинейные поляризованности ... 9
1.2. Нелинейные восприимчивости ................... 15
1.3. Нелинейно-оптические явления .................. 19
1.4. Фазовый (волновой) синхронизм ................. 25
Глава П. Генерация второй гармоники .............. 32
2.1. Фазовый синхронизм в случае генерации второй гармоники . 32
2.2. Укороченные уравнения для генерации второй гармоники в
приближении плоских волн. Коэффициенты нелинейной связи 39
2.3. Решение укороченных уравнений при точном соблюдении
условия синхронизма ........................ 49
2.4. Решение укороченных уравнений при наличии волновой рас-
расстройки ................................ 58
2.5. Генерация второй гармоники в расходящемся световом пучке
(геометрооптическое приближение) ................ 77
2.6. Генерация второй гармоники световыми импульсами (квази-
статическое приближение) ..................... 87
2.7. Генерация второй гармоники в пространственно-модулирован-
пространственно-модулированном пучке конечной апертуры ................... 97
2.8. Генерация второй гармоники в сфокусированном гауссовом
пучке (приближение заданного поля основного излучения) . . 112
2.9. Приближение заданной интенсивности основного излучения . 126
Глава III. Генерация второй оптической гармоники (некото-
(некоторые специальные вопросы) ............... 132
3.1. Генерация второй гармоники в линейно-неоднородной среде . 132
3.2. Генерация второй гармоники с учетом тепловых самовоздей-
самовоздействий ................................. 147
3.3. Некоторые специальные факторы, ограничивающие эффек-
эффективность второй гармоники .................... 171
3.4. Генерация второй гармоники в нестационарном режиме .... 180
3.5. Генерация второй гармоники многочастотным лазерным излу-
излучением ................................ 193
3.6. Некоторые замечания общего характера ............. 207
3.7. Оптические схемы внерезонаторной генерации второй гармо-
гармоники ..................................212
Глава IV. Внутрирезонаторная генерация второй гармоники 228
4.1. Введение ............................... 228
4.2. Стационарная внутрирезонаторная генерация второй гармоники 232
4.3. Динамика лазеров с непрерывной накачкой ........... 238
4.4. Оптические схемы твердотельных лазеров с внутрирезонатор-
ной генерацией второй гармоники ................. 254
4.5. Лазер с активно-нелинейной средой ............... 266
4.6. ВРГВГ в лазерах с импульсной накачкой и модуляцией до-
добротности ............................... 272
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Параметрическая генерация света .......... 278
5.1. Введение ............................... 278
5.2. Фазовый синхронизм при трехчастотном параметрическом
взаимодействии. Перестроечные характеристики ........ 283
5.3. Параметрическое усиление ..................... 290
5.4. Параметрическая генерация субгармоники при непрерывной
накачке ................................ 299
5.5. Параметрическая генерация при импульсной накачке ..... 306
5.6. Оптические схемы ПГС ....................... 313
5.7. Некоторые специальные вопросы параметрической генерации
света .................................. 322
Глава VI. Особенности преобразования частоты в двухос-
двухосных нелинейно-оптических кристаллах ....... 333
6.1. Кристаллооптика двухосных кристаллов ............. 333
6.2. Алгоритм вычисления коэффициента эффективной нелиней™
ности для коллинеарного синхронизма с учетом двулучепре-
ломления в двухосных кристаллах ................ 341
6.3. Особенности генерации второй гармоники в двухосных кри-
кристаллах ................................ 348
6.4. Выражения для эффективной нелинейности ГВГ в двухосных
кристаллах на примере кристаллов класса симметрии тт2 . . 356
Глава VII. Преобразование частоты в нелинейно-оптических
кристаллах с регулярной доменной структурой . 366
7.1. Введение ............................... 366
7.2. Основы теории генерации второй гармоники в РДС-кристаллах 371
7.3. Одновременная генерация нескольких гармоник лазерного из-
излучения в кристаллах с регулярной доменной структурой . . 378
7.4. Генерация второй гармоники в кристаллах с регулярной до-
доменной структурой одновременно на двух типах взаимодей-
взаимодействия ................................. 385
7.5. Параметрическая генерация света с кратными частотами
в нелинейно-оптических кристаллах с регулярной доменной
структурой .............................. 392
Приложения
1. История нелинейной оптики .................... 404
П. 1.1. Введение .............................. 405
П. 1.2. Генерация второй оптической гармоники, разностных и сум-
суммарных частот. Нелинейно-оптические материалы ...... 413
П. 1.3. Параметрическая генерация света ............... 435
П. 1.4. Нелинейные самовоздействия света ............... 443
П. 1.5. Вынужденные рассеяния света ................. 448
П. 1.6. Развитие нелинейной оптики в СССР. Научные конференции
и центры. Заключение ...................... 456
2. Нелинейные кристаллы длм генерации гармоник и пара-
параметрической генерации света .................... 460
Список литературы .............................. 477
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Со времени выхода первого издания нашей монографии
«Прикладная нелинейная оптика. Генераторы второй гармоники
и параметрические генераторы света» (изд-во «Радио и связь»,
1982) прошло более 20 лет.
Книга эта была посвящена физике процессов во вне™ и вну™
трирезонаторных генераторах второй гармоники и параметри-
параметрических генераторах света, в ней систематизированно изложены
различные методы расчета таких генераторов с учетом сово-
купности реальных факторов, проявляющихся в эксперименте
(апертурные эффекты, фокусировка, неоднородность, тепловые
самовоздействия, фоторефрактивный эффект и т.д.). По сово-
совокупности рассмотренных в ней вопросов книга и в настоящее
время является уникальной, но на сегодня она — «библиогра-
«библиографическая редкость» и пользоваться ею затруднительно.
Необходимость подготовки второго, переработанного и до-
дополненного издания была продиктована, кроме того, еще двумя
соображениями. Во-первых, за прошедшие 20 лет развитие нели-
нелинейной оптики продолжалось бурными темпами. Появились, в
частности, новые высокоэффективные нелинейные кристаллы
(включая кристаллы с регулярной доменной структурой), но™
вые оптические схемы генерации гармоник и параметрической
генерации света, были развиты новые теоретические подходы
и методы расчета преобразователей частоты. Во-вторых, опыт
преподавания квантовой электроники и нелинейной оптики в
таких ведущих вузах России, как МФТИ, МГИРЭА, МГИЭМ,
МИФИ, МГТУ и др., убедительно показывает, что такого рода
книга совершенно необходима студентам и аспирантам в учеб™
ном процессе, как впрочем и специалистам и исследователям,
работающим в области лазерной физики и нелинейной оптики.
При подготовке второго издания этой книги авторы учли и
тот очевидный факт, что большинство фундаментальных аспек™
тов нелинейной оптики, изложенных в первом издании, сохрани™
ло свою силу и до настоящего времени. По этой причине первые
ПРЕДИСЛОВИЯ
пять глав подверглись лишь небольшой доработке. Вместе с тем,
в книгу добавлены три новые главы: шестая глава — по нелиней-
нелинейной оптике двухосных кристаллов (к которым относятся такие
современные высокоэффективные кристаллы как КТР, LBO и
др.), седьмая глава — по новому перспективному классу нели-
нелинейных кристаллов (так называемых кристаллов с регулярной
доменной структурой) и Приложение 1 по истории нелинейной
оптики. Кардинально переработано и дополнено Приложение 2,
где приведена сводка параметров наиболее употребительных в
настоящее время нелинейных кристаллов. Список литературы
существенно дополнен наиболее значительными статьями, обзо-
обзорами и монографиями, вышедшими за истекшие 20 лет со дня
публикации первого издания.
Авторы надеются, что новое издание будет полезно ученым,
инженерам и разработчикам, специализирующимся в области
лазерной физики, квантовой электроники, нелинейной оптики
и оптико-электронного приборостроения, а также студентам и
аспирантам вузов соответствующих специальностей.
Авторы глубоко признательны руководству Российского
фонда фундаментальных исследований за поддержку в издании
нашей монографии. Авторы также пользуются приятным случа™
ем выразить благодарность директору ФИЗМАТ ЛИТ М.Н. Ан-
Андреевой за благожелательное содействие, а также редактору
Д.А. Миртовой за ее большой труд при подготовке рукописи
к печати.
Москва 2003 г. В. Г. Дмитриеву
Л. В. Тарасов
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Появление лазеров в самом начале 60-х годов дало мощный
импульс развитию нелинейной оптики. Это развитие привело,
в свою очередь, к новым достижениям в лазерной технике, за-
заключающимся в создании высокоэффективных генераторов оп-
оптических гармоник и параметрических генераторов света, позво-
позволяющих существенно расширить диапазон частот генерируемо-
генерируемого когерентного излучения и найти перспективные пути плавной
перестройки частоты.
В книге рассматривается физика процессов, происходящих в
генераторах второй оптической гармоники и параметрических
генераторах света. Она является логическим продолжением мо-
монографии Л.В. Тарасова «Физика процессов в генераторах ко-
когерентного оптического излучения» («Радио и связь», 1981), по-
посвященной физике процессов в лазерах.
Авторы книги стремились дать систематизированное рас-
рассмотрение физики нелинейно-оптических преобразователей час-
частоты, изложить используемые методы расчета, учесть сово-
совокупность различных факторов, реально влияющих на работу
рассматриваемых приборов и устройств. В книге отражены мно-
многие новейшие направления в развитии генераторов второй гар-
гармоники; рассмотрены угловой и диафрагменный апертурные
эффекты, вопросы оптимальной фокусировки пучка основно-
основного излучения, неоднородность двулучепреломления, эффекты,
связанные с тепловыми самовоздействиями, фоторефрактивный
эффект, групповое запаздывание при накачке пикосекундными
импульсами, накачка многочастотным излучением от лазеров
с несинхронизованными и синхронизованными модами и дру-
другие вопросы. Отдельная глава книги посвящена внутрирезона-
торной генерации второй гармоники и, в частности, лазерам
с активно-нелинейными средами. При рассмотрении парамет-
параметрической генерации отдельно выделены случаи непрерывной и
импульсной накачки; учтены некоторые новейшие направления:
ПРЕДИСЛОВИЯ
параметрические генераторы обратной волны, с накачкой пию>
секундными импульсами, с инжекцией излучения по резониру-
резонирующей частоте, с неустойчивым резонатором и др. Рассмотрен
широкий набор используемых на практике оптических схем ге-
генераторов с внерезонаторной и внутрирезонаторной генерацией
гармоники, а также параметрических генераторов света.
В основу анализируемых в книге методов расчета нелинейно-
оптических преобразователей частоты положены соответству-
соответствующие модификации систем укороченных уравнений, впервые
рассмотренных в фундаментальной монографии С.А. Ахмано-
ва и Р.В. Хохлова «Проблемы нелинейной оптики» (изд-во
ВИНИТИ, 1964). Изложены различные подходы и приближе-
ния, проанализированы различные физические модели, аде-
адекватно отражающие реальные ситуации.
Книга предназначается для научных работников и инжене-
инженеров, занятых в области лазерной техники, нелинейной оптики
и смежных областях. Авторы надеются, что она будет полез-
полезна студентам вузов и аспирантам, а также преподавателям при
роазработке соответствующих лекционных курсов.
Авторы признательны С.А. Ахманову и М.Ф. Стельмаху за
поддержку и стимулирование написания книги, глубоко благо-
благодарны Д.Н. Клышко, И.Н. Матвееву, Л.А. Кулевскому, А.З. Гра-
сюку за ценные замечания и пожелания.
1980 год Авторы
ГЛАВА I
НЕЛИНЕЙНАЯ ПОЛЯРМЗОВАННОСТЬ
ДИЭЛЕКТРИКА
1.1. Квадратичная и кубичнам нелинейные
полмрмзованности
Полмризованность диэлектрика. Под действием внеш-
внешнего электрического поля диэлектрик поляризуется. Поле вы™
зывает смещение электронных оболочек атомов относительно
ядер; в результате атомы приобретают электрический диполь™
ный момент. Это есть электронная поляризованность диэлек-
диэлектрика1). Наряду с электронной возможны и другие виды поля-
ризованности, наведенной внешним полем. Так, относительные
смещения положительных и отрицательных ионов под действи-
действием поля приводят к ионной поляризованности. Если в среде име-
имеются постоянные диполи (дипольные молекулы), то может на-
наблюдаться ориентационная (вращательная) поляризованность,
обусловленная поворотом диполей по направлению поля.
Наиболее быстро устанавливается электронная поляризован-
поляризованность; смещение электронной оболочки атома происходит за
время порядка 10"5 —10~6 с. Для установления ионной поля-
поляризованности необходимо большее время, поскольку процесс
смещения более массивных микрообъектов (ионов) является бо-
более инерционным. Ионная поляризованность устанавливается за
время порядка 10"™11 —10"3 с. Еще более медленным является
процесс поворота дипольных молекул; ориентационная поляри-
поляризованность характеризуется временами порядка и выше 10™10 с.
В качестве поляризующего поля будем рассматривать элек-
электрическое поле световой волны^ распространяющейся через ди-
диэлектрик. В большинстве случаев будем пренебрегать ориента-
ционной поляризованностью, и считать, что основную роль в
оптическом диапазоне (точнее, в УФ-, видимой и ближней ИК-
) Мы используем рекомендованный ГОСТ термин «поляризованность»
во избежание терминологической и смысловой путаницы с термином «по-
«поляризация», характеризующим векторные свойства света.
10 НЕЛИНЕЙНАЯ ПОЛЯРИЗОВАННОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКА ГЛ. I
областях спектра) играет электронная поляризованность. При
длинах волн излучения порядка 10 мкм и выше наряду с элек-
электронной становится существенной также и ионная поляризован™
ность.
Вектор полмризованности; материальное уравнение.
Количественно поляризованность диэлектрика описывается век-
тором поляризованности Р, представляющим собой электри-
электрический дипольный момент единицы объема среды, наведен-
наведенный внешним полем. Поляризованность есть «отклик» среды на
внешнее воздействие, т.е. на воздействие внешнего электромаг-
электромагнитного поля (в данном случае поля световой волны) с вектором
электрической напряженности Е.
Соотношение, связывающее РиЕ, относится к так называе-
называемым материальным уравнениям. В линейной оптике рассмат-
рассматривается линейное материальное уравнение
<XikEk (*,* = 1,2,3), A.1.1)
где ctik — компоненты тензора диэлектрической восприимчиво-
восприимчивости среды. Этот тензор симметричен; выбором соответствующей
системы координатных осей он может быть приведен к диаго-
диагональному виду
A.1.2)
Для изотропных сред и кристаллов, относящихся к кубиче-
кубической системе, ац = «22 — <^зз = а. В этом случае соотношение
A.1.1) принимает вид
Р = аЕ. A.1.3)
Случай, когда ац = «22 Ф ^зз5 соответствует одноосным кри™
сталлам (с оптической осью вдоль оси z). Сюда относятся кри-
кристаллы тетрагональной, гексагональной и тригональной систем.
Случай, когда ац ф а,22 ф «зз5 соответствует двухосным кри-
кристаллам (кристаллам ромбической, моноклинной и триклинной
систем). При изучении нелинейных явлений имеют дело как с
одноосными, так и с двухосными кристаллами; например, ши-
широко известный высокоэффективный кристалл КТЮРО4 (KTP)
относится к двухосным кристаллам.
Обратимся к известному выражению для вектора электри-
электрической индукции D:
A.1.4)
1.1 КВАДРАТИЧНАЯ И КУБИЧНАЯ ПОЛЯРИЗОВАННОСТИ 11
Учитывая A.1.1), отсюда получаем
Г)• — W,• -4— 4-7Г \ гм-1 ~Fli — \ (Я-1 -4- Д-Trrv-i \ ~Fli
к к
где 5ik — символ Кронекера Fik = 0, если г ^ к; 5ik = 1, если
г = к). Введя обозначение
Sik + ккоцк = ?ik-> A.1.5)
получим еще одну запись материального уравнения:
A.1.6)
к
где Eik — тензор диэлектрической проницаемости среды.
Квадратичная и кубичнам нелинейные поляризован-
ности. Зависимость диэлектрической восприимчивости среды
от напряженности внешнего постоянного электрического поля
рассматривалась задолго до появления лазеров — в рамках
электрооптических эффектов1). С появлением источников ин-
интенсивного когерентного света (лазеров) начались широкие
исследования нелинейно-оптических эффектов — эффектов,
основанных на зависимости диэлектрической восприимчивости
от напряженности поля световой волны, распространяющейся в
среде.
Учет зависимости тензора восприимчивости от напряженно-
напряженности поля превращает линейное материальное уравнение A.1.1)
в нелинейное:
\. A.1.7)
Таким образом совершается переход от линейной оптики к нели-
нелинейной.
Разложим щк (Е) в ряд по степеням напряженности Е:
агк (Е) = агк + J2xtk3Ej + J^ J2 вгкзтЕ3Ет + ..., A.1.8)
j=l j=l m=l
где aik — линейная восприимчивость (тензор 2™го ранга); Xikj ~
квадратичная нелинейная восприимчивость (тензор 3~го ранга);
^ikjm — кубичная нелинейная восприимчивость (тензор 4-го ран-
ранга) и т.д., т.е. в разложении A.1.8) могут быть учтены также чле-
члены с нелинейными восприимчивостями более высоких порядков.
1) См., например, § 4.4 в [1], а также [4, 5].
12 НЕЛИНЕЙНАЯ ПОЛЯРИЗОВАННОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКА ГЛ. I
Характерные числовые значения восприимчивостей диэлек™
триков г) [6, 14, 15]:
awl,
Х^КГ13-КГИ м/В, A.1.9)
0^ 1(Г23 ^ 1(Г21 м2/В2.
Например, для кристаллов KDP (KH2PO4) X ^ 0,4 • 10^12 м/В,
для КТР (KTiOPO4) X « 2 • 102 м/В; для ниобата лития
(ЫгЧЬОз) X ~ 4 • 10~12 м/В, для ниобата калия (КТЧЬОз) X ~
w 14 • 1СР12 м/В [15]. Учитывая, что напряженность поля лазер™
ного излучения в обычных экспериментах составляет величину
порядка 104 —105 В/см, а в экспериментах в сверхсильных ла-
лазерных полях не превышает 1010 В/см, приходим к выводу, что
члены разложения A.1.8) быстро уменьшаются по мере возрас-
возрастания порядка.
Подставляя A.1.8) в A.1.7), получаем следующее нелинейное
материальное уравнение:
к
+ J2 J2 XikjEkEj + J2J2J2 0tkjmEkEjEm + ... A.1.10)
к j к j m
Здесь
з
P?*" = Ytc*ikEk A.1.11)
к=1
— компоненты вектора линейной поляризованности, а Р?ел —
нелинейной поляризованности. Нелинейная поляризованность
рнел в (]_#]_#]_о) складывается из квадратичной поляризованно™
сти РКБ, кубичной поляризованности Ркуб и т.д., где
з з
k=l j=l
ззз
J2J2J2 ^гкзшЕкЕ3Ет. A.1.13)
k=lj=l m=l
лизуемые в газах резонансные нелинейные восприимчивости нечет-
нечетных порядков оказываются относительно большими.
1.1 КВАДРАТИЧНАЯ И КУБИЧНАЯ ПОЛЯРИЗОВАННОСТИ 18
В литературе иногда используется (ради сокращения записи) условная
векторно-тензорная форма представления соотношений A.1.10)—A.1.13):
Р = а:Е + х:ЕЕ + ^: ЕЕЕ + ..., A.1.10а)
Рл=а:Е, A.1.11а)
РКВ=Х:ЕЕ, A.1.12а)
Ркуб = в : ЕЕЕ. A.1.13а)
Кубично- и квадратично-нелинейные среды. Для кри-
кристаллов, обладающих центром симметрии, а также для жидко-
жидкостей и газов тензор \ равен нулю. Напомним, что при преоб-
разованиях координат компоненты тензора преобразуются как
произведения соответствующих координат. Например, Х122 пре-
преобразуется как произведение жуу, а %223 — к^к yyz. Выполним
операцию инверсии относительно центра симметрии кристалла
ж^^ж, у—Ь — у, z—> — z. В этом случае все компоненты теп™
зора х должны изменить знак (поскольку им соответствуют
произведения нечетного числа координат): Xikj —> — Xikj • Однако
при любом преобразовании координат кристалл должен остать-
ся неизменным. Следовательно, если ^Xikj = Xikjj T0 Xikj = 0.
Итак, в случае центросимметричных кристаллов, жидкостей,
газов квадратичная поляризованность отсутствует вследствие
центральной симметрии. Поэтому нелинейность указанных сред
определяется в первом порядке кубичной восприимчивостью;
такие среды называют кубично-нелинейными. Для изотропных
кубично-нелинейных сред материальное уравнение A.1.10) при-
принимает вид
Р = оЕ + <9Е3 + ... A.1.14)
Если кристалл обладает квадратичной восприимчивостью,
то основной вклад в его нелинейную поляризованность будет
вносить квадратичная поляризованность. Поэтому кристаллы с
квадратичной восприимчивостью относят к квадратично-нели-
квадратично-нелинейным средам. Из 32-х кристаллических классов квадратичной
восприимчивостью обладают 20 классов1) (табл. 1.1).
С точки зрения истории нелинейной оптики следует выде™
лить из этих 20 классов прежде всего класс D2d D2m) в тетра-
тетрагональной системе2); именно на кристаллах этого класса были
получены первые практически важные результаты по преоб-
преобразованию частоты лазерного излучения. Сюда относятся кри-
1) Все эти кристаллы являются пьезоэлектриками. Симметрия пьезоэлек-
пьезоэлектрических кристаллов рассмотрена, например, в [7]. Заметим, что электро-
электрооптический эффект Поккельса наблюдается только в таких кристаллах (т.е.
в кристаллах, где х Ф 0)-
) Приводятся два обозначения кристаллического класса — по Шенфлису
и (в скобках) по международной системе.
14
НЕЛИНЕЙНАЯ ПОЛЯРИЗОВАННОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКА
ГЛ. I
сталлы группы дигидрофосфата калия: KDP — дигидрофосфат
калия (химическая формула: КН2РО4), ADP — дигидрофос-
дигидрофосфат аммония (NH4H2PO4), DKDP — дидейтерофосфат калия
(KD2PO4), DADP — дидейтерофосфат аммония (ND4D2PO4),
KDA — дигидроарсенат калия (KH2ASO4), ADA — дигидро-
арсенат аммония (NH4H2ASO4), RDP — дигидрофосфат руби-
рубидия (Ш3Н2РО4), RDA — дигидроарсенат рубидия (RbH^AsC^),
CD А — дигидроарсенат цезия (CSH2ASO4), DCDA — дидейте-
роарсенат цезия (CSD2ASO4). К этому же кристаллическому
классу относятся кристаллы ИК™диапазона: тиогаллат серебра
(AgGaS2), фосфид цинка-германия (ZnGeP2), а также кристал-
кристаллы мочевины (CO(NH2J) и сульфата бериллия (BeSC>4 • 4Н2О).
Затем следует выделить класс Сзу(Зт) в тригональной системе:
ниобат лития (ЫгЧЬОз) и прустит (Ag3AsSa); класс СбF) в гек-
гексагональной системе (йодат лития — ЫОз); класс C4yDmm)
в тетрагональной системе (ниобат калия-лития: KgL^NbOa)-
Надо отметить также класс O2i/(mm2) в ромбической системе
(двухосные кристаллы): ниобат бария-натрия (E^NaNbsOis),
ниобат калия (КгЧЬОз), пентаборат калия (KB5Og-4H2O — кри-
кристалл КРВ), титанил-фосфат калия (КТЮРО4 — кристалл
КТР), формиат лития (LiCOOH-H^O). К этой же системе отно-
относится класс D2 B22) (кристалл а-йодноватой кислоты ск-НЮз),
см. [15].
Таблица 1.1
Кристаллы
двухосные
Одноосные
Оптически изотропные
Сингонии (системы)
Триклинная
Моноклинная
Ромбическая
Тригональная
Гексагональная
Тетрагональная
Кубическая
Кристаллические классы
(обозначения по Шенфлису)
Ci
Cs, C2
С2у, D2
Сз, Сзу, Оз
Сб, Сет/, Бб, Сз/i, D3/i
С4, C4F, D4, D2d, S4
Т, Td
Волновое уравнение длм среды с нелинейной поля-
ризованностью. Будем исходить из следующей системы урав-
уравнений Максвелла, описывающей электромагнитное поле в нели-
нелинейном диэлектрике:
rot Е = — , rot H = ,
с dt с dt
A.1.15)
dlvD = 0, dlvB = 0,
D = Е + 4тг (Рлин + Рнел), В = Н.
Применяя оператор ротора к первому уравнению из этой систе-
1.2 НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОСПРИИМЧИВОСТИ 15
мы и используя другие уравнения системы, получаем
rot rot E = -1 ^ (Е + 4тгРлин + 4тгРнел).
В результате приходим к волновому уравнению для диэлектрика
с нелинейной поляризованностью:
rot rot Е + 1 — (Е + 4тгРлин) = -— — Рнел. A.1.16)
с2 dt2 v ; с2 o>t2 v у
С учетом A.1.11) перепишем A.1.16) в виде
(rot rot Е)г + 1 ? №* + 4natk)^Ek = -? ^ РГ,
или, иначе,
(rot rot E)i + Ij:ett^t = —gfPr- A-1.17)
/с
В случае изотропной среды уравнение A.1.17) можно предста-
представить в виде
rot rot E + ^ — Е = ^— — Рнел. A.1.18)
с2 dt2 с2 dt2 v ;
1.2. Нелинейные восприимчивости
Временная дисперсим линейной восприимчивости.
Процесс установления поляризованности среды требует неко-
некоторого времени. Следовательно, отклик среды на внешнее воз-
воздействие должен отставать во времени от воздействия. Точнее
говоря, поляризованность среды в данный момент должна опре-
определяться значениями напряженности поля не только в этот же
момент, но и в предшествующие моменты времени. Это означа™
ет, что вместо A.1.1) следует рассматривать соотношение
к О
Иными словами, надо учитывать временную дисперсию диэлек™
трической восприимчивости1).
Учет временной дисперсии приводит к зависимости тензо-
тензора восприимчивости от частоты ш световой волны. Если ис-
использовать в материальном уравнении фурье-компоненты век-
векторов Р и Е, т.е. векторы Р (ш) = J P (t) exp (—ioot) dt и Е (а;) =
) Дисперсия диэлектрической восприимчивости обсуждалась, например,
§ 4.2 в [1]. Подробный анализ распространения электромагнитных волн в
диспергирующих средах дан в [8, 9].
16 НЕЛИНЕЙНАЯ ПОЛЯРИЗОВАННОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКА ГЛ. I
= J E (t) ехр (—icjt) dtj то можно по-прежнему работать с урав™
нением вида A.1.1), применяя в нем зависящие от частоты ком™
поненты сеж (ш) тензора восприимчивости (будем называть их
спектральными составляющими тензора):
_ а), A.2.2)
к
где
aik (ш) = J aik (т) ехр (-го;т) dr. A.2.3)
о
Этот результат получается, если выполнить фурье-преобразова-
ние над правой и левой частями соотношения A.2.1).
Дмсперсим нелинейных восприимчмвостей. Выраже-
Выражение A.1.12) для квадратичной поляризованности заменяется с
учетом дисперсии следующим выражением:
Е Е / / **; Кт)Е* (f т) Ei (* -т1-
=Е Е
к 3 0 0 A>2.4)
Используя (как и в случае линейной поляризованности) фурье-
компоненты векторов поляризованности среды и напряженно-
напряженности поля, можно получить соотношения:
Ifв (ал + ш2) = J^ J2 ЪЫ (^1 + ^2) Ек (шг) Е3
к 3 A.2.5)
ifв (ил - ш2) = J2 J2 ЪЫ (^1 - ) Ек (шг) Е* (ш2),
к J
где
Xikj (ал ± а;2) =
(X) ОО
= / / Xifcj (г', г") ехр [-* (wi ± wa) т' Т га;2т"] dr'dr". A.2.6)
О О
Каждая спектральная составляющая тензора х зависит от двух
частотных аргументов (ал и W2), образующих некоторую ком-
комбинацию (сумму ал + а;2 или разность ал — а^); эта комбинация
определяет частоту волны квадратичной поляризованности. За™
метим, что запись типа Xikj (шг i^) является сокращенной; в
принципе, следовало бы писать так: Xikj (Ш1 =^^25 o;i, о^)-
Спектральные составляющие тензора 0 зависят от трех ча-
частотных аргументов, комбинация которых определяет часто™
ту волны кубичной поляризованности. В качестве примера
1.2
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОСПРИИМЧИВОСТИ
17
приведем соотношение
Соотношения A.2.5) и A.2.7) отражают принципиальное об™
стоятельство: нелинейная поляризованность среды связана с яв-
явлениями взаимодействия световых волн. Волна квадратичной
поляризованности есть результат взаимодействия трех свето-
световых волн; такие взаимодействия называют трехчастотными.
Волна кубичной поляризованности — результат взаимодействия
четырех световых волн (четырехчастотные взаимодействия).
Используя взаимодействия световых волн в нелинейной среде,
можно осуществлять преобразование частоты.
Общие свойства симметрии тензора квадратичной
восприимчивости [8]. Тензор х всегда симметричен относи-
относительно перестановки двух последних индексов:
Xikj = Xijk- A.2.8)
Согласно A.2.8) число независимых компонентов тензора х
не должно превышать 18. В действительности же для многих
структур это число значительно меньше; оно определяется сим™
метрией кристалла. Так, например, в случае кристаллов груп-
группы 42т (дигидрофосфат калия и др.) тензор х имеет лишь два
независимых компонента:
Х123 = Х132 = Х213 = Х2315 Х312 = Х321- A.2.9)
Соотношение A.2.8) позволяет при рассмотрении тензора \ перейти от
системы трех индексов (от индексов г, j, к, каждый из которых принима-
принимает 3 значения) к системе двух индексов (к индексам г, I, где г = 1, 2, 3;
1 = 1, 2, ..., 6): Xijk =: 2с?г/- Двойка в этом равенстве появилась в соответ-
соответствии с международной конвенцией, принятой для упорядочения теорети-
теоретических и экспериментальных данных (см., например, [15, 16]).
Выражение A.1.12) принимает теперь следующий вид:
1 6
2
или в развернутой записи
(г = 1, 2, 3),
A.2.10)
V
F2
F4
Здесь 2dn = Xiii; 2df2 = Х^22; 2di3 = х^зз; 2df4 = Xi23 = Х^зг; 2di5 = хаз =
= Xi3ij 2di6 = Хг12 = Хг21- Вектор F шестимерен; Fi выражается через
EiEi, F2 — через Е2Е2, Ез — через Е3Е3, Fa — через Е2Е3 + Е3Е2, F§ —
через EiE3 + E3E1, F6 — через EiE2 + Е2Ег.
18 НЕЛИНЕЙНАЯ ПОЛЯРИЗОВАННОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКА ГЛ. I
Используя A.2.9), можно представить матрицу du для кристаллов груп-
группы дигидрофоефата калия (группа симметрии 42т)в виде
(О 0 0 (in 0 0 \
О 0 0 0 di4 0 . A.2.11)
0 0 0 0 0 d36 )
Рассматривая различные спектральные составляющие тензо-
тензора X) можно установить дополнительно соотношение симметрии:
Xikj (^1 + ^2) = Xkij [(^1 + ^2) - ^l] • A.2.12)
Оно означает, что тензор х симметричен относительно переста-
перестановки первых двух индексов с одновременным соответствую-
соответствующим изменением комбинации частот, определяющей спектраль-
спектральную составляющую тензора. Соотношение A.2.12) называют
частотно-перестановочным соотношением. При ш\ = иJ = ш
из A.2.12) следует важный результат:
ХгкАМ = ХкгзС2ш ~ ш). A.2.13)
В частотных диапазонах, где временная дисперсия воспри-
восприимчивости выражена достаточно слабо, тензор х оказывается
симметричным относительно перестановок всех трех индексов.
В этом случае имеет место как бы объединение результатов
A.2.8) и A.2.12). В итоге приходим к так называемым соотно-
соотношениям Клейнмана [10]:
Xikj = Xkij = Xjki = Xtjk = Xkji = Xjik- A.2.14)
Общие свойства симметрии тензора кубичной вос-
восприимчивости [8]. Тензор в симметричен относительно пере-
перестановок трех последних индексов:
"ikjm = "ikmj = "ijkm ^^ "ijmk = "imkj = "imjk' (l.z.lOJ
Благодаря этой симметрии число независимых компонентов тен-
тензора в не может превышать 30.
Частотно-перестановочные соотношения для тензора в име-
имеют следующий вид:
OJ\+ Ш2) = Okijm (^1 + ^1 - (^Ш1 + ^2)) j A.2.16a)
^1 + ^2 - Cl7i) = 9kijm (^2 + ^1 ~ ^2) , A.2.166)
Oikjm (^1 + ^1 - ^2) = 0kijm (^2 - CJl + B^1 - Ш2)) , A.2.16в)
SOikjm (^1 + ^1 + ui) = Okijm (^1 + ^1 - 3o;i). A.2.16r)
В диэлектрике со слабо выраженной дисперсией тензор в
симметричен относительно перестановок всех четырех индексов.
Комплексные восприимчивости. Диэлектрическая вос-
восприимчивость диспергирующей среды является комплексной ве-
величиной 1). Исходя из известного соотношения для комплексной
Фактически это следует уже из A.2.3); см. в связи с этим [9].
1.3 НЕЛИНЕЙНО-ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ 19
проницаемости
е = ? + г^, A.2.17)
представим комплексную линейную восприимчивость в виде
6 = a + i^, A.2.18)
ш
где а — удельная проводимость среды. Наличие проводимости
является причиной появления мнимой составляющей в выраже-
выражениях для проницаемости и восприимчивости. Мнимая состав-
составляющая линейной восприимчивости ответственна за однофотон™
ное поглощение света.
В общем случае и нелинейные восприимчивости следует рас-
рассматривать как комплексные величины: \ = X + Иш %, в =
= в + Ит. 0, ... Мнимые составляющие восприимчивостей много
меньше вещественных:
Imu«a, Imx«X, 1т I? <С 6>.
При этом, однако, надо иметь в виду, что
Imx^ OE.
Это означает, что эффекты, связанные с мнимой составляю™
щей линейной восприимчивости, оказываются, вообще говоря,
одного порядка с эффектами, обусловленными вещественной
составляющей квадратичной восприимчивости. То же самое
можно сказать об эффектах, связанных с мнимой составляю-
составляющей квадратичной восприимчивости, и эффектах, связанных с
вещественной составляющей кубичной восприимчивости. Про-
Просматривается общее правило: эффекты, связанные с мнимой
составляющей восприимчивости п-то порядка, оказываются, во™
обще говоря, одного порядка с эффектами, обусловленными ве-
вещественной составляющей восприимчивости (п + 1)-го порядка.
Вещественные составляющие восприимчивостей высших по-
порядков ответственны за эффекты генерации высших оптических
гармоник (см. § 1.4). Мнимые составляющие восприимчивостей
высших порядков ответственны за многофотонное поглощение
света и многофотонные процессы ионизации атомов и диссоци-
диссоциации молекул [11].
1.3. Нелинейно-оптические мвленим
Вектор электрической напряженности полм световой
волны. Будем записывать этот вектор в виде
Е (г, t) = - е {А (г, t) exp [i (out - кг)] + к.с.} , A.3.1)
20 НЕЛИНЕЙНАЯ ПОЛЯРИЗОВАННОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКА ГЛ. I
где е — единичный вектор поляризации световой волны,
A(r,t) — комплексная амплитуда световой волны; к.с. — комп-
комплексно-сопряженное слагаемое.
Существенно, что по сравнению со множителем
ехр [г (ujt — kr)] множитель А (г, t) меняется с изменением
аргументов значительно медленнее. Это означает, что выпол-
выполняются неравенства
д4~«А, f\«A. A.3.2)
dt ш дг к
Функция А (г, t) может рассматриваться как постоянная на
расстояниях 2тт/к = А и на промежутках времени 1/ш. В отдель-
отдельных случаях будем полагать, что А вообще не зависит от време-
времени, а также от поперечных (относительно направления распро-
распространения волны) координат.
Отдельного замечания заслуживает тот факт, что в A.3.1)
имеется комплексно-сопряженное слагаемое^ обеспечивающее
вещественность напряженности поля. Дело в том, что ком-
комплексная форма представления напряженности поля Е =
= еАещ) [г (cot ~~ kr)] допустима в линейной теории, но недопу-
недопустима в нелинейной. В случае линейных уравнений Re Е и Iin E
могут рассматриваться независимо друг от друга. Если же в
уравнениях появляются нелинейные члены типа ?Я, Е^ и т.д.,
то Re E и Im E становятся взаимосвязанными; поэтому в нели-
нелинейной теории надо с самого начала использовать вещественную
напряженность поля (с этим также связано наличие множителя
1/2 в A.3.1)).
Явленим, связанные с вещественной составляющей
квадратичной восприимчивости. Несмотря на свое много™
образие, нелинейно-оптические явления имеют общее проис-
происхождение — они обусловлены нелинейной поляризованностью
среды (вещественными п мнимыми составляющими нелинейных
восприимчивостей) [1, 8, 11].
Предположим, что в квадратично-нелинейный диэлектрик
входит световая волна на частоте ш. Представим напряжен-
напряженность поля волны в виде A.3.1). Подставляя A.3.1) в выраже-
выражение A.1.12а) для квадратичной поляризованности среды (будем
использовать условно-векторную форму представления), полу-
получаем
Ркв = ix-ee{Aexp[i(o;t-kr)]+K.c.}2 =
4
= - х ¦ ее {Л2ехр [г Bw* -2kr)] + А*2ехр [i Bkr - 2ut)] + 2AA*} .
A.3.3)
Первыми двумя слагаемыми в A.3.3) описывается волна поляри-
поляризованности на частоте 2а;, а третье связано с эффектом оптиче-
1.3 НЕЛИНЕЙНО-ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ 21
ского выпрямления. Волна поляризованности на частоте 2ш мо™
жет приводить (при определенных условиях) к переизлучению
на этой же частоте, т.е. к появлению в среде световой волны на
частоте 2ш — второй оптической гармоники.
Теперь внутри диэлектрика будут распространяться уже две
световые волны — на частотах ш и 2ш. Взаимодействие этих волн
может приводить, в принципе, к переизлучению на суммарной
(За;) и разностной (о;) частотах. Чтобы убедиться в этом, рас-
рассмотрим поле, создаваемое двумя волнами на разных частотах
(u)i и )
Е = - {eiAi exp [i (uj\t — kir)] + ^А2 ехр [г (w2t — k2r)] + к.с.} .
A.3.4)
Подставив A.3.4) в A.1.12а), получаем следующее выражение
для квадратичной поляризованности:
ркв __
= - X: {ei^.i exP [i (^i* —kir)] + е2А2 ехр [г (w2t ^k2r)] + к.с.}2 =
= 1 х: {eieiA? ехр [г Bwi*-2kir)] +
+ е2е2А\ ехр [г Boo2t -2k2r)] + к.с.} +
+ - х ' eie2 {АгА2 ехр [г (шг +ш2I-г (kx + k2) r] +
+ Ах А2 ехр [г (шг -uJ)t-i (kx - k2) r] + к.с.} +
± Ъ). A.3.5)
Наряду с волнами поляризованности на частотах 2оо\ и 2oo2l в
выражение A.3.5) входят также волны поляризованности на ча~
стотах {оо\ + о;2) и {ш\ )
pW = I х : еге2 {АгА2 ехр [г (их +uo2)i-i (ki + k2) r] + к.с.} ,
A.3.6а)
pW = \^: eie2 {^i^2 exP [i (их -uJ)t-i (ki - k2) r] + к.с.} .
A.3.66)
Заметим, что фурье-образ вектора Ркв выражается через ча-
частотную составляющую х(ш1 +^2) тензора квадратичной вос-
восприимчивости, а фурье-образ вектора Ркв — через частотную
(
составляющую х (Ш1 )
Легко видеть, таким образом, что квадратично-нелинейная
среда обладает, в принципе, способностью к обогащению спек™
тра частот световых волн, распространяющихся в этой среде.
22
НЕЛИНЕЙНАЯ ПОЛЯРИЗОВАННОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКА
ГЛ. I
Взаимодействие двух волн на основной частоте из может порож™
дать переизлученную волну на частоте 2ш (явление генерации
второй оптической гармоники), а взаимодействие исходной и
переизлученной волн может порождать «вторичные» переизлу-
ченные волны на частоте 2а;, на частоте Аш (генерация чет-
четвертой гармоники), на частоте Зш (генерация третьей гармони-
ки), на частоте из (самовоздействие исходной световой волны);
со
^-
00
со + со = 2ю
2оо — со = со
со +ю 2ю
2ю + со Зю
2ю + 2ш 4ш
Рис. 1.1
см. рис. 1.1. На рисунке отображен двухкаскадный процесс: сна-
сначала взаимодействуют две волны на частоте о;, а затем взаимо™
действуют волна на частоте из и переизлученная волна на часто-
частоте 2из. В принципе, возможно также взаимодействие вторичных
переизлученных волн (третий каскад) и т.д. Такое каскадное вза-
взаимодействие и генерация многих гармоник реализуются либо
в последовательно расположенных однородных кристаллах (по
типу рис. 1.1), либо в кристаллах с регулярной доменной струк™
турой (см. гл. VII).
Явления, связанные с вещественной составляющей
кубичной восприимчивости. Предположим, что исход-
исходная световая волна на частоте из попадает внутрь кубично-
нелинейного диэлектрика. Подставляя A.3.1) в A.1.13а), полу™
чаем выражение для волны кубичной поляризованности среды
= I в : еее {,4 ехр [г (out - kr)] + к.с.}3 =
8
8
= - в: еее {.43 ехр [г Cut -3kr)] + ЗА2А* ехр [г (cot - kr)] + к.с.}.
A.3.7)
Из A.3.7) видно, что в кубично-нелинейной среде, в принци-
принципе, возможно переизлучение на частоте За; (генерация третьей
гармоники) и на частоте из (самовоздействие световой волны).
Взаимодействие этих волн может приводить, в свою очередь, к
переизлучению на дополнительных частотах, причем число та-
таких частот в случае кубичной нелинейности больше, чем в слу™
чае квадратичной нелинейности.
1.3 НЕЛИНЕЙНО-ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ 28
Чтобы найти эти частоты, подставим A.3.4) в A.1.13а). В
результате получим следующее выражение для кубичной поля-
ризованности:
тркуб
1 ч
=- в : {eiAi ехр [г (ooit ~~ kir)] + е2А2 ехр [г (uj2t - k2r)] + к.с.} =
8
= -в : {eieieiА\ехр [г Ccjit ~~ 3kir)] +
8
+ е2е2е2А^ ехр [г Cuj2t — 3k2r)] + к.с.} +
+ - в : {eieie2Al А2 ехр [г Bшг +u2)t-i Bki + k2) r] +
8
| ехр [г (ш\ + 2ш2) t — г (ki + 2k2) r] +
*2 ехр [г Bш\ -uj2)t-i Bki - k2) r] +
| ехр [г Bо;2 — ui)t — i Bk2 - ki) r] +
А^А\ ехр [г {2ш\ — ш\) t — гк\т] +
4-2 ехР [* B^2 — ^2) * — гк^т] + к.с.} +
о
-в : {eieie2AiA\A2ехр [г (cji — ио\ + CJ2) t — ik2r] +
ехр [г (ш\ + Ш2 — ^2) ^ — ikir] + к.с.} . A.3.8)
Можно видеть, что кубичная поляризованность A.3.8) со™
держит волны поляризованности на частотах 3o;i, 3oj2, 2cji + ш2,
ш\ + 2^2, 2cji — uj2i 2ш2 — cji, а также на частотах ш\ и ш2. На
частоте ш\ имеются две волны поляризованности: одной соот-
соответствует комбинация частот 2a;i — ш\, а другой — комбинация
uj\ +6J2 — ш2. Аналогично для частоты ш2: комбинации 2о;2 —
— ш2 и ш\ — оо\ + ш2. Каждая из волн поляризованности может
переизлучать световую волну на соответствующей частоте.
Выражение A.3.8) содержит десять слагаемых (десять векто™
ров поляризованности). Фурье-образ каждого из этих векторов
выражается через соответствующую частотную составляющую
тензора кубичной восприимчивости. Перечислим эти частотные
составляющие в соответствии с порядком следования векторов
поляризованности в A.3.8):
в (ш\ + ш\ + ш\) , в (ш2 + ш2 + ш2) , в (ш\ + u)i
в (uJi + Ш2 + Ш2) , в (Ш\ + UJ\ — Ш2) , 0 (Cd2 + Cd2
в (Ш\ + Ш2
Полагая в A.3.8) ш\ = из и а;2 = За;, приходим к выводу, что
взаимодействие исходной световой волны и третьей гармоники
24
НЕЛИНЕЙНАЯ ПОЛЯРИЗОВАННОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКА
ГЛ. I
в кубичыоыелиыейыой среде может приводить к переизлучению
световых волн на частотах о;, За;, 5а;, 7а;, 9а;.
Нетрудно видеть, что кубично-нелинейная среда обладает
более широкими возможностями обогащения спектра частот
волн, чем квадратично-нелинейная. Это иллюстрирует рис. 1.2.
-—¦¦ ...
©!
2coi
2ю2
©2
~~...
3@!
2о)| +@2
2ш-] ш2
2ш2 -©1
2ш2 +Щ
3©2
ш2
Рис. 1.2
Самовоздействие световой волны. Если в нелинейной
среде происходит переизлучение световой волны на основной ча~
стоте о;, то говорят о явлении самовоздействия световой волны.
Самовоздействие может проявляться в самофокусировке волны,
ее дефокусировке, уводе направления синхронизма в кристал-
кристалле и т.д. Самовоздействие связано с изменением проницаемости
(показателя преломления) среды в результате нелинейной поля™
ризованности, наведенной полем световой волны.
Рассмотрим изотропную кубично-нелинейную среду. Соглас-
Согласно A.3.7) в среде возникает волна нелинейной поляризованности
Рш = - в А3 [ехр (iujt - ikr)
8
к.с] = - в A3 cos (ujt - kr) A.3.9)
4
(полагаем А вещественным). Используя A.1.4), A.1.14), A.3.9)
и соотношения D = D (ш) cos (oot — кг) и Е = А (ш) cos (oot — кг),
находим D {uj) = А + 4тта (о;) А + Зпв (ш + ш — ш) А3. Поскольку
е (и) = D (ш)/А1 то, следовательно,
е(ш) = 1 + 4тга (ш) + Зтг<9 (ш + ш - ш) А2. A.3.10)
Из A.3.10) следует, что при прохождении световой вол™
ны с амплитудой А через кубично-нелинейную среду ди-
1.4 ФАЗОВЫЙ (ВОЛНОВОЙ) СИНХРОНИЗМ 25
электрическая проницаемость среды изменяется на величину
2
( )
Самовоздействия световых волн наиболее характерны для
кубично-нелинейных сред. Однако, как уже отмечалось, са-
самовоздействия могут наблюдаться также и в квадратично-
нелинейных средах за счет переизлучения волны, частота кото-
которой есть разность частот второй гармоники и исходной волны.
1.4. Фазовый (волновой) синхронизм
Для эффективной реализации способности нелинейной ере™
ды переизлучать на определенной частоте (например, на частоте
второй гармоники) необходимо выполнение условия, называемо-
называемого условием волнового или фазового синхронизма.
Предварительные замечания. Световые волны на раз-
разных частотах распространяются в диспергирующей среде с раз-
разными скоростями. Представим упрощенно основную (исходную)
световую волну в виде
Еш = - Аш {ехр [г {oot - kz)] + к.с.} = Аш cos (wt - kz), A.4.1)
а волну второй гармоники — в виде
Е2ш = i А2ш {ехр [г Bа;* - Kz)} + к.с.} = А2ш cos Ba;* - Kz)
A.4.2)
(задача одномерная; обе волны распространяются по оси z
и имеют одинаковую поляризацию). Пусть п(ш) = \Je (ш) и
п Bcj) = y/e Bcj) — показатели преломления среды на соответ-
соответствующих частотах. Скорости распространения основной волны
и второй гармоники равны соответственно
^ A.4.3)
г; , F .
п(ш) к пBш) К
Вследствие дисперсии показателя преломления имеем п (ш) ^
Ф пBш); отсюда следует, что v Ф V. Из A.4.3) видно также, что
благодаря дисперсии не равна нулю разность
К-2к = Ак, A.4.4)
называемая волновой расстройкой.
Интерференционная природа фазового синхронизма;
кривам синхронизма. Пусть в квадратично-нелинейной ере™
де распространяется по оси z со скоростью v световая волна
на частоте ш. Волна будет наводить в среде локальные диполь-
ные моменты; это означает, что с той же скоростью v в среде
будет распространяться волна квадратичной поляризованности
26
НЕЛИНЕЙНАЯ ПОЛЯРИЗОВАННОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКА
ГЛ. I
на частоте 2а;:
Р2ш = ~~ X :
4
(ехР [i Bа;* — 2kz
+ К.С.} =
cos Bout —
A.4.5)
Возникающие при распространении волны поляризованности
локальные диполи переизлучают на частоте 2ш (на частоте вол™
ны поляризованности). Переизлученные в разных точках среды
световые волны распростра-
распространяются вдоль оси z и ин-
интерферируют друг с другом.
Интерференция этих волн мо™
жет, в принципе, привести к
формированию волны второй
гармоники; иными словами,
возможно пространственное
накопление нелинейного эф-
эффекта.
Выберем ось z перпендику-
перпендикулярно к границе квадратично-
нелинейной среды; z = О
р . о соответствует границе среды
(рис. 1.3). Пусть в среде вдоль
оси z распространяется плоская волна квадратичной поляризо-
поляризованности (частота 2а;, скорость v = ш/k) и пусть фаза этой вол-
волны в некоторой точке z1 есть
=2ujt-2kzf.
A.4.6)
Рассматриваемая в точке z фаза переизлученной световой вол-
волны, возникшей в точке z\ будет отличаться от Ф (zf) на величину
К (z — zf). Иначе говоря, рассматриваемая в точке z фаза свето-
световой волны, переизлученной в точке z;, может быть представлена
в виде
if (zf) = 2oot - 2kzf -
= 2oot -
A.4.7)
Результирующая волна второй гармоники, рассматриваемая на
расстоянии z от границы среды, есть результат интерференции
волн, переизлученных в различных точках z' на промежутке от
z1 = 0 до z1 = z:
Е2ш = A J cos (p (zf) dz1 = A J cos Bu)t - Kz + Akzf) dz\
0 ° A.4.8)
где А — некоторый множитель, не зависящий ни от z, ни от Ак.
1.4
ФАЗОВЫЙ (ВОЛНОВОЙ) СИНХРОНИЗМ
27
Введем обозначения:
Тогда
n А Г j A [sin (u + Afe^) — sin /il
Е2ш = — I cos w dw = ^—^— ^ ^ =
ш Afe J Ak
2u)t — Kz = /i, /i + Afcz; = w, dz1 = — .
Ak
/i +
2А . Akz ( . Akz .
= — sin cos a + =
Ak 2 V 2 j
2A . Afc
— sin ^—
Afe 2
cos
Akz
. A.4.9)
Из A.4.9) находим выражение для амплитуды второй гармоники
в точке z:
A2u(z) = ?sm^. A.4.10)
Ak 2
На рис. 1.4 показана (для фиксированного z) зависимость
А^ш от Afc, определяемая соотношением A.4.10), — так назы-
называемая кривая синхронизма. Это есть типичная интерферен-
интерференционная кривая. Наибольший позитивный интерференционный
Рис. 1.4
эффект (наибольшая интенсивность второй гармоники) дости™
гается при выполнении условия
Ak = 0 или, иначе, К = 2к. A.4.11)
Это и есть условие волнового или фазового синхронизма.
Условие фазового синхронизма есть условие равенства нулю
волновой расстройки. Оно эквивалентно в данном случае уело™
вию равенства фазовых скоростей волны второй гармоники и
28
НЕЛИНЕЙНАЯ ПОЛЯРИЗОВАННОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКА
ГЛ. I
волны квадратичной поляризованности. Из проведенного рас-
рассмотрения следует, что условие фазового синхронизма есть не
что иное, как условие, обеспечивающее наиболее благоприятный
эффект интерференции световых волн, переизлученных в раз-
разных точках нелинейной среды.
Длина когерентности. Вернемся к соотношению A.4.10)
и рассмотрим зависимость А2Ш от z при Ак = 0 и при Ак ф
Ф 0. Из A.4.10) следует, что при наличии синхронизма (Ак = 0)
амплитуда второй гармоники линейно растет с расстоянием z,
пройденным излучением в нелинейной среде: А2Ш = Az. При
наличии волновой расстройки (Ак Ф 0) амплитуда второй гар-
гармоники периодически изменяется с расстоянием z. Период из-
изменения составляет
Z = ^r» A.4.12)
иллюстрирует
Рис. 1.5
Ak
Сказанное
рис. 1.5.
Максимальное значение
амплитуды второй гармо-
гармоники достигается на длине
нелинейного кристалла
1КОГ = — . A.4.13)
Длину 1КОГ называют дли-
длиной когерентности. Предпо-
Предположим, что длина кристалла во много раз больше длины коге-
когерентности (последняя может быть самой различной, например,
порядка всего лишь 10 мкм). Используя рис. 1.5, можно сле-
следующим образом описать картину происходящих в нелинейном
кристалле процессов. На первой (а также третьей, пятой и т.д.)
длине когерентности происходит накопление эффекта, энергия
передается от основной волны к волне второй гармоники (про-
(процесс генерации суммарной ча-
частоты: оо + оо —> 2а;). На второй
(а также четвертой, шестой и
т.д.) длине когерентности про-
происходит, напротив, «рассасыва-
«рассасывание» эффекта, энергия пере-
передается от второй гармоники
к основной волне (процесс ге-
генерации разностной частоты:
2ш — ш —>• о;).
На рис. 1.6 приведена экс-
экспериментальная зависимость
интенсивности второй гармоники излучения рубинового лазера
от угла а между направлением распространения излучения
-30 -10 0 10
Рис. 1.6
30 а, град
1.4 ФАЗОВЫЙ (ВОЛНОВОЙ) СИНХРОНИЗМ 29
и перпендикуляром к поверхности тонкой (толщина 0,75 мм)
кварцевой пластинки, играющей роль нелинейного образца (эта
кривая приводится, в частности, в [12]). При варьировании угла
а изменяется длина пути излучения в кварце; в результате на™
блюдаются четкие пульсации интенсивности второй гармоники.
Длина когерентности составляла в данном случае 7 мкм.
Резонанс и биеним в колебательной системе. Отвлечем-
Отвлечемся на время от нелинейно^оптических явлений и обратимся к за-
задаче из теории колебаний. Собственные колебания в некоторой
системе (например, в радиотехническом контуре) описываются,
как известно, уравнением вида
5+^ = 0, A.4.14)
где ш® — частота собственных колебаний. Предположим, что
имеется гармоническая вынуждающая сила на частоте из. Урав™
нение A.4.14) заменяется в этом случае уравнением
—- + ujqS = F cos out. A.4.15)
dt2
Пусть в начальный момент колебания в системе отсутствуют
(s = 0, ds/dt = 0 при t = 0). Как будет изменяться со временем
амплитуда колебаний, описываемых уравнением A.4.15)?
Решение уравнения A.4.15) в рассматриваемом случае может
быть представлено в виде (см., например, [13])
ш + ujq {шо — ш)/2 \ 2 У
При наличии резонанса^ т.е. при
ш = ш®, A.4.17)
получаем
s(t) = — sinu)®t.
Таким образом, амплитуда колебаний линейно растет со вре-
временем:
A(t) = —. A.4.18)
В отсутствие резонанса в случае близких из и ш® соотношение
A.4.16) описывает колебания на частоте (ш® + из)/2 с ампли-
амплитудой, периодически изменяющейся на частоте (ш® —ш)/2 (эф-
(эффект биений):
A(t) = 2Fsm^-^J/2. A.4.19)
Сказанное иллюстрирует рис. 1.7.
Фазовый синхронизм как пространственный резо-
резонанс. Сходство между рисунками 1.7 и 1.5 весьма выразительно.
30
НЕЛИНЕЙНАЯ ПОЛЯРИЗОВАННОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКА
ГЛ. I
Правда, на рис. 1.7 рассматривается время, а на рис. 1.5
пространственная координата. Оказывается, что это сходство
отнюдь не случайно и что
между условием резонанса
A.4.17) и условием фазо-
фазового синхронизма A.4.11)
есть глубокая физическая
аналогия.
Обратимся в связи с этим
к волновому уравнению для
изотропного нелинейного ди-
диэлектрика [см. A.1.18)]:
Рис. 1.7
В линейной среде Рн
A.4.20)
с2 dt2
= 0 и вместо A.4.20) будем иметь
rot rot E+ ±|1е = 0. A.4.21)
Существует аналогия между уравнениями A.4.14) и A.4.21), а
также уравнениями A.4.15) и A.4.20).
Первая пара указанных уравнений описывает собственные
колебательные или волновые процессы, т.е. процессы, происхо-
происходящие в системе, не подвергающейся внешним вынуждающим
воздействиям. Уравнение A.4.14) описывает собственные (сво-
(свободные) колебания в системе на частоте ш®. Уравнение A.4.21)
описывает собственные (свободные) волны в системе. Под по-
последними будем понимать волны, величина волнового вектора
которых определяется лишь частотой из и дисперсионными ха™
рактеристиками среды:
к = из-
A.4.22)
Будем называть такие волновые векторы собственными.
Вторая пара уравнений (A.4.15) и A.4.20)) описывает вы-
вынужденные колебательные и волновые процессы. Роль вынуж™
дающей силы в уравнении A.4.20) играет (^4тг/с2) d2~PHJIfdt2.
Эта «вынуждающая сила» (волна нелинейной поляризованно™
сти) характеризуется вынуждающим волновым вектором; он не
подчиняется соотношению A.4.22). Так, собственный волновой
вектор на частоте 2а; (волновой вектор второй гармоники) есть
К = 2изу/е Bа;) /с, а вынуждающий волновой вектор на этой ча-
частоте (волновой вектор квадратичной поляризованности) есть
к' = 2шл/е{ш) /с.
1.4 ФАЗОВЫЙ (ВОЛНОВОЙ) СИНХРОНИЗМ 31
При совпадении вынуждающей частоты с собственной часто™
той колебательной системы наблюдается резонанс. При совпаде-
совпадении вынуждающего волнового вектора с собственным волновым
вектором (для данной частоты) также наблюдается резонанс.
Точнее говоря, это есть пространственный резонанс. В случае
нарушения обычного (временного) резонанса в системе наблю-
наблюдаются биения, показанные на рис. 1.7. Точно так же при на™
рушении пространственного резонанса имеют место простран-
пространственные биения, показанные на рис. 1.5.
Таким образом, условие фазового синхронизма выступает в
роли условия пространственного резонанса. В общем случае это
условие следует записывать в виде
К = к;, A.4.23)
где К — собственный волновой вектор результирующей переиз-
переизлученной световой волны (например, волны второй гармоники),
ак1- вынуждающий волновой вектор на частоте переизлучен-
переизлученной волны (например, волновой вектор волны квадратичной по-
ляризованности).
Существенно, что вынуждающий волновой вектор к; есть
векторная сумма собственных волновых векторов ki и к2 взаи™
модействующих волн (например, двух волн на частоте си):
k; = ki+k2. A.4.24)
Объединяя A.4.23) и A.4.24), можем записать условие фазового
синхронизма в виде
К = кх+к2. A.4.25)
В случае коллинеарных векторов условие A.4.25) превращается
для генерации второй гармоники в условие A.4.11).
Можно встретить утверждение, что условие синхронизма A.4.25) вы-
выражает закон сохранения импульса фотонов. Легко сообразить, что такое
утверждение некорректно, так как из него следует вывод о том, что при
волновой расстройке упомянутый закон сохранения импульса должен на-
нарушаться. Дело в том, что закону сохранения импульса фотонов соответ-
соответствует равенство A.4.24), не имеющее само по себе никакого отношения к
условию фазового синхронизма. Это равенство всегда выполняется, тогда
как равенство A.4.23), а следовательно и A.4.25), выполняется лишь в от-
отсутствие волновой расстройки.
В заключение материалов этой главы отметим, что в совре-
современной нелинейной оптике обнаружено и детально исследовано
множество разнообразных нелинейно-оптических явлений, по™
мимо тех, что были здесь кратко рассмотрены или будут более
детально изучены в последующих главах книги. Читателей, за-
заинтересованных в получении более широкого (но зато часто и
менее детального) представления об этих явлениях и диэлек-
диэлектрических средах, в которых эти явления проистекают, мы от™
сылаем к монографиям [15—22].
ГЛАВА II
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОМ ГАРМОНИКИ
2.1. Фазовый синхронизм в случае генерации второй
гармоники
Элементы оптики одноосных кристаллов1). Как из™
вестно, распространение света внутри оптически анизотропной
среды имеет особенности. В выбранном направлении в среде рас™
пространяются две линейно-поляризованные волны на одной и
той же частоте с различными скоростями (различными показа-
показателями преломления); векторы поляризации волн взаимно пер™
пендикулярны. С существованием в кристалле двух световых
волн, распространяющихся с разными скоростями, связано яв™
ление двойного лучепреломления. Каждой из волн соответствую
ет своя поверхность значений показателя преломления (индика™
триса показателя преломления), наглядно показывающая, как
зависит от направления волнового вектора показатель прелом-
преломления для данной волны. В одноосных кристаллах одна из
индикатрис показателя преломления есть сфера, а другая —
эллипсоид вращения вокруг оптической оси кристалла. Пер™
вая индикатриса соответствует обыкновенной (ordinary) свето-
световой волне; ее показатель преломления не зависит от направ™
ления волнового вектора. Вторая индикатриса соответствует
необыкновенной (extraordinary) волне; ее показатель преломле™
ния зависит от угла в между направлением волнового вектора
и оптической осью кристалла. Вектор Е обыкновенной волны
перпендикулярен к плоскости угла <9; вектор Е необыкновенной
волны лежит в указанной плоскости.
На рис. 2.1 показаны сечения индикатрис показателя прелом-
преломления плоскостью, проходящей через оптическую ось в отрица™
тельном одноосном кристалле (а) и в положительном одноосном
кристалле (б). Кристалл характеризуется двумя параметрами,
зависящими от частоты, — главными значениями показателя
преломления п0 и пе; смысл этих параметров ясен из рисун-
г) Распространение световых волн в анизотропных средах и, в частности,
в одноосных кристаллах рассмотрено, например, в § 4.3 [1]; см. также [2-4].
2.1
ФАЗОВЫЙ СИНХРОНИЗМ
38
ка. Параметр п0 определяет скорость обыкновенной волны в
любом направлении (v0 = с/п0). Параметр пе определяет ско-
скорость необыкновенной волны в направлении, перпендикулярном
к оптической оси. В направлении оптической оси скорости обеих
Рис. 2.1
волн совпадают. Если пе < п0, то имеем отрицательный одно-
одноосный кристалл, а если пе > п0, то положительный. Поскольку
используемые в нелинейной оптике одноосные кристаллы явля-
являются, как правило, отрицательными, ограничимся рассмотрени-
рассмотрением отрицательных одноосных кристаллов.
Зависимость показателя преломления пе необыкновенной
волны 1) от угла в выводится из уравнения эллипса
п2 п2
Представим это уравнение в виде (см. рис. 2.1 а)
2
COS
2
sin
= 1.
Отсюда находим искомую зависимость
B.1.1)
B.1.2)
Из B.1.2) следует, что скорость необыкновенной волны, распро-
распространяющейся под углом 6^ к оптической оси, равна
с
(в) =
п°@)
ПоПе
\/п20 — (п20 — п2е) cos2 в.
B.1.3)
) Индекс «е» помещен здесь вверху для того, чтобы не спутать рассмат-
рассматриваемый показатель преломления, являющийся функцией от 9, с главным
значением показателя преломления, обозначаемым как пе.
2 В.Г. Дмитриев, Л.В. Тарасов
34
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
в
D
Виды фазового синхронизма длм генерации второй
гармоники в одноосных кристаллах. В области прозрач-
прозрачности диэлектрика дисперсия показателя преломления являет-
является нормальной: с ростом частоты показатель преломления уве-
увеличивается. На рис. 2.2 показаны сечения индикатрис показа-
показателя преломления отрицательного одноосного кристалла для
основной частоты (толстые кривые) и второй гармоники (тонкие
кривые). Из рисунка видно, что
в направлениях О А, ОВ, 0G,
0D, образующих углы вС1 тг +
+ <9С, 2тг ~~ вс и ж ~~ 20CJ соот-
соответственно, с оптической осью,
выполняется равенство показа-
показателей преломления обыкновен-
обыкновенной волны на основной частоте
и необыкновенной волны на ча-
частоте второй гармоники:
п0 (и) =пеBш). B.1.4)
Соотношение B.1.4) может рас-
рассматриваться как условие фа-
фазового синхронизма для генера-
генерации второй гармоники в случае,
когда волновые векторы взаи-
взаимодействующих волн коллинеарны и при этом основная волна
является обыкновенной, а волна второй гармоники — необыкно-
необыкновенной. Для выполнения синхронизма волновые векторы долж-
должны быть ориентированы по одному из направлений (ОА, ОВ,
ОС или 0D). Эти направления называются направлениями син-
синхронизма, а соответствующие углы — узлами синхронизма. В
трехмерном пространстве эти направления являются огибающи-
огибающими конусов синхронизма. В дальнейшем, если не оговорено иное,
мы будем называть углом синхронизма угол между оптической
осью кристалла и направлением ОА, т.е. угол вс.
Приведенный пример соответствует одной из разновидностей
фазового синхронизма. Виды синхронизма делятся на два типа.
При синхронизме первого типа обе волны на основной часто-
частоте имеют одну и ту же линейную поляризацию, а волна на ча-
частоте второй гармоники имеет перпендикулярную поляризацию.
При синхронизме второго типа волны на основной частоте име-
имеют взаимно перпендикулярные поляризации. Если одноосный
кристалл отрицателен, то синхронизм первого типа может быть
реализован в том случае, когда обе волны на основной частоте
являются обыкновенными, а волна второй гармоники — необык-
необыкновенной; это есть случай так называемого оое-синхронизма
или, иначе, оое-взаимодействия. В положительном одноосном
Рис. 2.2
2.1
ФАЗОВЫЙ СИНХРОНИЗМ
35
кристалле синхронизм первого типа может быть реализован, ко™
гда волны на основной частоте являются необыкновенными, а
волна второй гармоники — обыкновенной (еео-взаимодействие).
Синхронизм второго типа в отрицательном кристалле соответ-
соответствует оее-взаимодействию, а в положительном — еоо-взаимо-
действию (табл. 2.1).
Таблица 2.1
Типы
синхронизма
Первый
Второй
Кристаллы
отрицательные
оое
оее
положительные
еео
еоо
Кроме того, следует различать скалярный и векторный син-
синхронизмы. При скалярном синхронизме волновые векторы взаи-
взаимодействующих световых волн коллинеарны, а при векторном
неколлинеарны.
Таким образом, если ограничиться отрицательными одноос-
одноосными кристаллами, то следует рассмотреть четыре вида синхро™
низма: скалярные оое и оее, векторные оое и оее. Приведенный
выше пример соответствовал скалярному оое-синхронизму.
Прежде, чем начать обсуждение различных видов синхро™
низма, заметим, что условие синхронизма накладывается на
волновые векторы (см. A.4.25)). Поэтому надо перейти от по-
поверхностей значений показателя преломления к поверхностям
волновых векторов^ используя известное соотношение к = пш/с.
В дальнейшем будем рассматривать сечения именно поверхнос-
поверхностей волновых векторов.
Скалярный оое-синхронизм. В случае оое-взаимодейст-
вия представим условие синхронизма A.4.25) в виде
k? + i^ = Ke. B.1.5)
Поскольку \к.°\ = Ik^l, то для скалярного (коллинеарного) ва-
варианта данного типа синхронизма соотношение B.1.5) молено
упростить:
2к? = Ке. B.1.6)
Таким образом,
2к°г = Ке. B.1.7)
Переходя от волновых векторов к показателям преломления, по™
лучаем
2п0 (ш) — =п Bш) — ,
с с
что эквивалентно результату B.1.4).
2*
36
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
Используя B.1.2) и вводя обозначения: по\ = no(cj), nO2 =
= п0 Bа;), пе2 = пе Bа;), перепишем B.1.4) в виде
Отсюда получаем
_ ПО2 I По1 — Пе2
По1
B.1.8)
B.1.9)
Угол 6>с называют углом первого синхронизма. Необходимым
и достаточным условием его существования является условие
noi ^ пе2* B.1.10)
Если |9с = 90°, то такой синхронизм называют 90°™ным. Он об™
ладает рядом преимуществ, которые выяснятся в дальнейшем.
Скалярный оое^синхронизм иллюстрирует рис. 2.3 а. На
рисунке приведены сечения поверхностей волновых векторов
Рис. 2.3
к?, 2к^, Ке. Используются обозначения: к0 = noio;/c, Жо =
= пО22ш/с) Ке = пе22шIс (не надо путать Ж"е с Ж6; последний
зависит от угла между выбранным направлением и оптической
осью кристалла Oz). Условие синхронизма B.1.6) выполняет-
выполняется, когда векторы к^ и К6 направлены по прямой О А; угол
между О А и оптической осью кристалла есть угол первого сип-
2.1
ФАЗОВЫЙ СИНХРОНИЗМ
37
хронизма (угол #с )• На рис. 2.3 б" представлен случай 90°™ного
синхронизма.
Скалярный оее-синхронизм. Для оее^взаимодействия
условие фазового синхронизма A.4.35) принимает вид
к°1 + Ц = Ке. B.1.11)
В скалярном варианте синхронизма все векторы коллинеарны;
поэтому перейдем от B.1.11) к скалярному равенству
kl + k% = Ke. B.1.12)
Переходя затем от волновых векторов к показателям преломле™
ния, получаем
п0 (ш) + пе (ш) = 2пе Bш) . B.1.13)
Используя B.1.2) и вводя обозначения: по\ = по(о;), пе\ =
= пе(и)), пО2 = поBш),
пе2 — ^еB<х?), перепишем
B.1.13)
+
+ -
\Jn2o2 - {п2о2 - п2е2) cos2
(
B.1.14)
Соотношение B.1.14) поз-
воляет найти угол 0с •
Скалярный оее-синхро-
оее-синхронизм иллюстрирует рис. 2.4.
На рисунке приведены се-
сечения поверхностей волно™
вых векторов к^, 2к^, к|,
Ке и к;; через к; обозначен
волновой вектор, величина
которого в любом вы-
выбранном направлении рав-
равна сумме величин векторов к^ и к|, рассматриваемых для
данного направления. Используются обозначения: к0 = по\ш/'с,
OQ -\ { ,Л I f* Т\ 1Kb СЛ • ^У ( I 1 / Г* Т\ IKi СЛ • 9/|1 /А1
в ' "&\У*' I ^5 О OZ ?j\JJ I I/. J. 1. g ' "S2i -"bt/ / L^.
Условие скалярного оее-синхронизма выполняется, когда
B)
векторы к^, к| и К6 направлены по прямой О А; угол 19с между
прямой О А и оптической осью кристалла Oz есть угол второ™
го синхронизма. На том же рисунке показано направление О А1
Рис. 2.4
38
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
скалярного оое-синхронизма. Отметим, что всегда
<
B.1.15)
поскольку для отрицательных кристаллов пе < п0.
Векторные синхронизмы. Векторный оое-синхронизм
описывается соотношением B.1.5). Этот синхронизм иллюстри-
рует рис. 2.5 а. На рисунке приведены сечения поверхностей
волновых векторов kf и Щ (эти сечения совпадают), а также
2к^ и Ке. Тонкими стрелками показаны волновые векторы, имею-
имеющие произвольные направления; толстыми стрелками показаны
векторы к?, k^J и К6, удовлетворяющие условию фазового син-
синхронизма B.1.5); все три вектора имеют различные направле-
направления. Направление О В на рисунке есть направление волнового
вектора второй гармоники; будем называть его направлением
Рис. 2.5 а,б
векторного оое-синхронизма. Для сравнения на том же рисун-
рисунке показано направление скалярного оое-синхронизма (прямая
О А).
Подчеркнем, что угол скалярного оое-синхронизма фикси-
фиксирован в данном кристалле для данной частоты, а угол век-
векторного оое-синхронизма всегда больше угла скалярного оое-
синхронизма. Обратимся к рис. 2.5 б. Пусть направление ОВ\
выбрано в качестве направления векторного оое-синхронизма.
Из точки Mi, являющейся точкой пересечения прямой ОВ\ с
сечением поверхности вектора К6, опишем окружность радиуса
|к||. Она пересечет сечение поверхности вектора к^ в точках Р\
и Q\. Эти точки выявят направления соответственно вектора
2.2
УКОРОЧЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
39
В
к^ и вектора ld>; именно так должны быть направлены волно-
вые векторы волн на основной частоте, чтобы волновой вектор
второй гармоники имел вы-
выбранное направление ОВ\.
На том же рисунке пока-
показано еще одно направление
векторного синхронизма —
направление О?»2- В этом
случае направления векто-
векторов к^ и к^ определяются
точками Р2 и Q2-
Векторный оее-синхро-
низм описывается соот-
соотношением B.1.11). Этот
синхронизм иллюстрирует
рис. 2.5 в, где приведены се-
сечения поверхностей волно-
волновых векторов к^, к| и Ке.
Толстыми стрелками пока-
показаны упомянутые векторы,
удовлетворяющие условию
синхронизма B.1.11) для
случая, когда в качестве на-
направления волнового век- С-
тора второй гармоники (направления векторного оее-синхро-
низма) выбрано направление ОВ. Заметим, что угол векторного
оее-синхронизма всегда больше угла скалярного оее-синхрониз-
ма, а следовательно, и угла скалярного оое-синхронизма.
2.2. Укороченные уравнения длм генерации второй
гармоники в приближении плоских волн.
Коэффициенты нелинейной свмзи
Будем рассматривать квадратично-нелинейный диэлектрик.
Подставив A.1.11а) и A.1.12а) в A.1.16), получим волновое урав-
уравнение для рассматриваемого случая:
B.2.1)
где оператор L имеет вид
L = rot rot
1A+4тга:)|1 = rot rot + 1 |^е : . B.2.1a)
dt2
dt2
Попытки решить уравнение B.2.1) в общем виде наталкиваются
на непреодолимые математические трудности. Поэтому прихо™
дится использовать ряд упрощений.
40 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
Упрощения: основное и дополнительные. Основное
упрощение связано с тем, что амплитуда световой волны может
рассматриваться как медленно меняющаяся функция координат
и времени (см. A.3.2)). На основе этого упрощения развит метод
медленно меняющихся амплитуду позволяющий свести волно-
волновое уравнение к системе так называемых укороченных уравнений
для амплитуд взаимодействующих световых волн1).
Наряду с основным используем ряд дополнительных упроще-
упрощений. Во-первых, ограничимся рассмотрением только двух раз™
личных световых волн — на основной частоте w ина частоте
второй гармоники 2а;. Это означает, что не учитывается воз-
возможность генерации волн третьей и прочих гармоник. Такое
упрощение оправдано, поскольку при выполнении условия син-
синхронизма для генерации второй гармоники не удается, как пра-
правило, обеспечить синхронизм также и для других гармоник; к
тому же высшие гармоники обычно попадают в полосы погло-
поглощения. Ограничение двумя световыми волнами (на частотах ш и
2а;) означает также, что рассматривается случай скалярного оое-
синхронизма. Если бы использовались другие виды синхрониз-
синхронизма, то необходимо было бы рассматривать на частоте ш не одну,
а две световые волны (плюс одна волна на частоте 2а;). Волны на
частоте о; отличались бы друг от друга либо направлением вол-
волнового вектора (векторный оое-синхронизм] см. рис. 2.5 а), либо
поляризацией и величиной волнового вектора (скалярный оее-
синхронизм; см. рис. 2.4), либо поляризацией, величиной и на-
направлением волнового вектора (векторный оее™синхронизм; см.
рис. 2.5 в).
Во-вторых, будем рассматривать стационарную одномерную
задачу: две плоские волны со стационарными амплитудами рас-
распространяются в одном направлении (направлении z). Ампли-
Амплитуды волн зависят только от координаты z.
В соответствии с указанными упрощениями представим све-
световое поле в виде суперпозиции поля волны на частоте о; и поля
волны на частоте 2а;:
Е (я, t) = - {ei Ai (z) exp [г (out ~~ kz)] +
+ e2^2 (z) exp [г Bujt - Kz)} + к.с.} , B.2.2)
где
k = - пЫ, К = — nBu>). B.2.3)
с с
Подставляя B.2.2) в A.1.12а) и удерживая только члены с ча-
) Указанный метод был развит в теории нелинейных колебаний [5] и
обобщен Р.В. Хохловым и Н. Бломбергеном на волновые процессы [6]. По-
Подробнее о методе медленно меняющихся амплитуд см. в [7].
2.2 УКОРОЧЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ 41
стотами ш и 2а;, находим
Рнл (*, t) = 1 х : {eieiA? (г) exp [i Bwt) - 2fcz] +
+ 2e1e2A{ (z) A2 (z) exp [iujt -i(K-k)z] + к.с.} B.2.4)
(к этому результату можно прийти также, воспользовавшись со-
соотношением A.3.5); при этом надо положить ш\ = ш и ш2 = 2а;).
Разность К — 2к = Ак называют волновой расстройкой
(см. § 1.4). Будем полагать, что Ак <С fc, Ак <С if.
Представим б = Re е — г . Считаем, что среда является
UJ
слабопоглощающей,
Ime«Ree, B.2.5)
и слабонелинейной^
(X«Rex)«Ref ¦ B.2.6)
Различные факторы, сопровождающие процесс генерации
второй гармоники и влияющие на его эффективность (нелиней-
(нелинейное поглощение, тепловые самовоздействия и т.д.), будут учтены
позднее.
Вывод укороченных уравнений для комплексных ам-
амплитуд -1"). Используя известное соотношение векторного анали-
анализа, представим
rot rot E = grad dlv E - V2E. B.2.7.a)
Будем полагать, что dlv E = О2) и, следовательно,
rot rot E = -V2E, B.2.7.6)
Учитывая, что Е не зависит от поперечных пространственных
координат, получаем отсюда следующее выражение для опера-
L = -— +^— е: . B.2.8)
dz2 с2 at2 K J
С учетом B.2.2) и B.2.8) можно переписать волновое уравнение
B.2.1) в виде
^Е+!^(,:Е) =
dz2 с2 dt2 K J
= - J ^ X : {eiei A? (z) exp [i But - 2kz)] +
+ 2eie2^i (z) A2 (z) exp [iwt -i(K-k)z]+ к.с.} . B.2.9)
«Выну^кдающая сила» в правой части уравнения B.2.9) содер™
т, как и поле Е, четыре слагаемых — две волны на частоте
) Здесь рассмотрена наиболее простая (одномерная) ситуация. Вывод
укороченных уравнений в более общем случае дан в [7, 8].
2) Строго говоря, это справедливо лишь для изотропной среды.
42 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
ш и две волны на частоте 2из. Поскольку левая часть уравнения
B.2.9) линейна по полю, то B.2.9) можно разбить на четыре
уравнения — отдельно для основной и второй гармоник. Выпи-
Выпишем два из них. Первое содержит основную гармонику поляри-
зованности и основную гармонику поля световой волны:
1 ( д2 1 д2
2 \]h? + ^ 0*2
Ч ? X : eie2AJ (*) А2 (*) exp [iwt - i (if - fc) s]. B.2.10)
cz otz
Второе содержит вторую гармонику поляризованности и вторую
гармонику поля световой волны:
2j42 {z) exp [i Bwt -Kz)] =
= —T It X : eieiA? (г) exp [г Bw< - 2b)]. B.2.11)
К этим уравнениям молено добавить еще два — уравнения, со-
соответствующие комплексно-сопряженным слагаемым в правой
части B.2.9).
После выполнения дифференцирования уравнения B.2.10) и
B.2.11) принимают соответственно вид
— i + 2гк —i + к А\ — — А\е : ei exp hoot — ikz) =
dz2 dz c2 /
^ i^2 exp [iujt -i(K-k)z], B.2.12)
^i + if 2^2 - ^! A2e :) e2 exp (i • 2ut - iKz) =
dz c2 /
1 x : eieiAJ exp [i ¦ 2cot - i ¦ 2kz]. B.2.13)
C2
Учитывая медленность изменения амплитуд, будем пола-
полагать, что выполняются неравенства
L « 2k ^ , ^ « 2К^ . B.2.14)
d^2 dz dz2 dz
Исходя из B.2.14), пренебрежем слагаемыми и в урав-
уравнениях для амплитуд. Заметим, что такое пренебрежение вторы-
вторыми пространственными производными, оправданное чисто ма-
математически, вследствие соотношений B.2.14), имеет и чисто
физическую природу — тем самым мы пренебрегаем слабоин-
слабоинтенсивной обратной волной второй гармоники [29].
Кроме того, учтем, что
к2ег = — Кее(ш): еь if2e2 = — Re e Bш) : е2, B.2.15)
2.2 УКОРОЧЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ 48
(Эти соотношения экивалентны соотношениям B.2.3).) Нако-
нец разделим правую и левую части уравнения B.2.12) на
exp (ioot — ikz), а уравнения B.2.13) — на ехр (г • 2wt — iKz). В
результате уравнения B.2.12) и B.2.13) преобразуются к виду
2ik — + г — Аг Im e (ш) •) ег =
dz с2 2 У
х (ш) : еге2А\А2 exp (-гДА; • z), B.2.16)
—- + г — A2 Im e 2w :
dz с2 2 ./
= ^L x BW) : eiei^ exp (iAkz). B.2.17)
C2
Умножив скалярно правую и левую части уравнения B.2.16)
на e\/BikI а уравнения B.2.17) на e2/BiKI получим (с уче-
учетом B.2.3))
+ (ке1
dz \ 2п2(ш) )
х{ш) : GGA (-гДА; • z), B.2.18)
dA2
dz \ 2п2Bш)
= ^т (ке2хBш) : eiei ) А\ ехр (гАк ¦ z). B.2.19)
V п2Bш) )
Введем обозначения х):
? о 9/о ч > BJJ0)
2
2 = 2тгКе2х{2ш):е1е1 . B.2.21)
п2Bш)
, o2 2тгКе2
п2(ш) п2Bш)
Коэффициенты 8\ и 82 называют коэффициентами линейного
поглощения, а ах и о — коэффициентами нелинейной связи.
Итак, получена следующая система укороченных уравнений для
комплексных амплитуд А\ (z) и А2 (z) [7, 8]:
— + ёгАх = -гагА\А2 ехр (-гДА; • z),
—^ + (^2^2 = ^«^2^4? ехр (гДА; • z).
dz
) Напомним, что используется условно-векторная форма записи:
(Im ? : ei)^ = ^ Im ?ij€ij, (x "¦ eie2)^ = У~] У~] Ха
3 3 т
44 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
Эта система уравнений должна быть дополнена граничными
условиями:
Аг (z)\z=0 = Аю, А2 (z)\z=0 = A20. B.2.23)
Смстема укороченных уравнений для вещественных
амплитуд и обобщенной фазы. Перейдем от комплексных
амплитуд А\ (z) и А2 (z) к вещественным амплитудам а\ (z) и
а2 (z) и фазам ip\ (z) и (р2 (z):
Ai,2(z) = |Ai?2(^)|exp[z<pi?2(^)] =aij2exp[i<pij2(^)]. B.2.24)
Подставив B.2.24) в B.2.22) и разделив затем правую и левую
части первого уравнения на exp (i(fi)j а второго — на exp (i(f2)j
получим
—^ + га\-^- + 8\а\ = —ia\a\a2 exp [—г B</?i — (р2 + Ak • z)} ,
dz d^
B.2.25)
, -~л . -л-л -- л^i exp [г B(fi ~~ ip2 + Afc • z)].
dz dz
Величину
2(pi - (p2 + Ak • z = Ф B.2.26)
называют обобщенной фазой. Воспользовавшись соотношением
exp (±гФ) = cos Ф ± г sin Ф, перепишем B.2) в виде
dfti , г • ,тг • (dipi , лТг\
— + oitti + а\а\а2 sin W = ^га\ I ^^ + critt2 cos Ф I •>
uZ \ uZ / /<-) q o'vX
—- + 82a2 — o2o\ sin Ф = —m2 f -^ + (i2 — cos Ф J .
Разделяя вещественную и мнимую части уравнений и учиты-
учитывая при этом, что 2d(f\/dz — d(p2/dz = ЙФ/dz — Afc, получаем
из B.2.27) систему укороченных уравнений для вещественных
амплитуд а\ (z) и а2 (z) и обобщенной фазы Ф (z):
dz '
— + 82а2 - а2а\ sin Ф = 0, B.2.28)
d# л ,
цаг-аг—) cos Ф = 0.
Система уравнений B.2.28) справедлива для скалярного оое-
синхронизма. Как уже отмечалось, при других видах синхро-
синхронизма надо рассматривать на частоте ш не одну, а две световые
волны. Обозначим вещественные амплитуды и фазы этих волн
A) A) B) B)
через а\ , (р\ и а\ ,</?]_; векторы поляризации и волновые век™
A) 1 B) т
торы волн через е^ , ki и е\ , к2, а показатели преломления че-
через ni (oj) и П2 (со). В данном случае вместо двух коэффициентов
2.2 УКОРОЧЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ 45
линейного поглощения и двух коэффициентов нелинейной свя™
зи имеем три коэффициента поглощения и три коэффициента
связи:
2(ni,2(w)J 2 (и Bа;)J
B.2.29)
е2
\т,2\ш)) (пBш)J
B.2.30)
Система укороченных уравнений для вещественных амплитуд и
обобщенной фазы состоит теперь уже не из трех, а из четырех
уравнений [7, 9]:
dz l l l l
da\ J A2) B) B) A) • л _ л
dz ' B.2.31)
da2 , с С1) B) • Л n
dz l l
B) A) A) B) \
——t^—? — -^—— cos Ф = 0.
Обобщенная фаза Ф определяется соотношением
Ф = с^Р + ipf] - (f2 + Ak - z, B.2.32)
где Ак — проекция вектора (К — ki — k2) на ось z.
Конкретизация коэффициентов нелинейной связи. В
соотношения для коэффициентов нелинейной связи B.2.21),
B.2.30) входят выражения вида
ei (x(^) : eie2), ^2 (хB^) • eiei) B.2.33)
для скалярного оое^синхронизма и
е2 (хBш) : e^ef]) B.2.34)
для других синхронизмов; эти выражения называют эффек-
эффективными нелинейностями. Условно-векторная запись х : ее
требует, очевидно, конкретизации. Для простоты ограничимся
скалярным оое-синхронизмом и, следовательно, выражениями
B.2.33). Введем обозначения:
pi (a;) = х (ш) : е1е25 Р2 Bcj) = х (^ш) : eiei- B.2.35)
Переходя от условно-векторной формы представления к обыч-
46
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
ной, перепишем B.2.35) в виде
з з
Рн \^) = /, /, Xijm \W) e\je2m-) [A.2.6b)
j=l m=l
3 3
/ел \ \ л \ "^ /ел \ /ел су О'тЛ
j=l m=l
Распишем B.2.36) подробно (для ж-компоненты вектора pi):
^ly^2y +
B.2.38)
Составляющие векторов pi525 входящие в выражения типа B.2.38),
определяются поляризацией волны (направлением колебаний
вектора электрической напряженности); ненулевые составляю-
составляющие тензора х определяются симметрией данного кристалла,
их абсолютные значения получают, как правило, эксперимен-
экспериментально (в отдельных случаях составляющие тензора х можно
вычислить [10]). Определив составляющие вектора pi, находим
затем конкретный вид одного из искомых выражений:
ei (x : eie2) = eipi = elxpix + eiypiy + eizplz. B.2.39)
Составляющие векторов ei?2 не зависят, очевидно, от выбо-
выбора кристалла; они определяются типом синхронизма. При оое~
синхронизме волна основной частоты
является обыкновенной и, следова-
следовательно, вектор ei перпендикулярен
плоскости главного сечения (плоско-
(плоскости, проходящей через оптическую ось
кристалла z и направление распро™
странения волн). Волна второй гармо-
гармоники является необыкновенной; вектор
в2 лежит в плоскости главного сече-
сечения. Введем направляющие углы в и (р.
Угол в отсчитывается от положитель™
ного направления оси z, а угол (р от
одной из кристаллографических осей,
например от оси х (рис. 2.6; ON — на-
направление распространения волн, М — плоскость главного се-
сечения; двулучепреломлением здесь пренебрегаем и, таким обра-
образом, не учитываем различия направлений волнового и лучевого
векторов необыкновенной волны). Из рисунка видно, что
Рис. 2.6
е2х = -еёё8^> ЁШ #,' % = - mfttos Щ* S = sin ^2-2-40)
Далее необходимо учесть класс симметрии нелинейного кри-
кристалла. Рассмотрим для конкретности класс симметрии
которому относится, в частности, кристалл ниобата лития.
2.2 УКОРОЧЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ 47
Конкретизация коэффициентов нелинейной свмзи на
примере кристалла ниобата лития1). В кристалле ниобата
лития оптическая ось z есть ось симметрии третьего порядка; че-
через нее проходят три плоскости симметрии (под углом 120° друг
к другу), одна из этих плоскостей — плоскость zy. Ненулевые
составляющие тензора х рассматриваемого кристалла (см. [2]):
Xzzzi Xxxz — Xyyzi Xyyy — Xxyx — Xyxxi Xzxx — Xzyy (^.^.41J
Учитывая, что тензор х симметричен по двум последним индек-
сам (например, Xxxz = Xxzx] см. A.2.8)), приходим к заключе-
заключению, что у кристаллов класса Сзг; тензор % имеет в общем слу-
случае одиннадцать ненулевых составляющих; из них лишь четыре
различны по величине (четыре независимых составляющих). Ес-
Если перейти в соответствии с A.2.11) к системе двух индексов, то
ненулевые составляющие тензора квадратичной восприимчиво-
восприимчивости запишутся так:
Таким образом, матрица dij для кристалла ниобата лития (и
других кристаллов класса Оз^) имеет вид
0 0
B.2.43)
В слабодиспергирующих кристаллах, т.е. в случае, когда ча-
частоты ш и 2ш лежат далеко от характеристических полос УФ- и
ИК-поглощения, число ненулевых независимых составляющих
тензора х может уменьшиться, поскольку тензор х становится в
данном случае симметричным относительно перестановок всех
трех индексов (см. A.2.14)). Применительно к классу Сз-у это
означает, что остаются лишь три независимые составляющие:
Xzzzj Xyyy :=: Xxyx :=: Xyxxi Xxxz ^ Xyyz ^ Xzxx ^ Xzyy,
B.2.44)
или при переходе к системе двух индексов
В таблицах обычно указываются для ниобата лития не три,
а четыре составляющие (йзз7 ^155 ^зъ ^22) (см., например, [11]).
Дело в том, что при удвоении частоты неодимовых лазеров
A,06 мкм —>> 0,53 мкм) частота второй гармоники оказывает-
оказывается достаточно близкой к краю полосы УФ-поглощения ниобата
лития, так что условие A.2.14) выполняется лишь приближенно;
в [11] отношение d%\jd\§ приводится равным 0,8—1,1. В дальней-
дальнейшем будем полагать cfei — ^15-
0
0
г
.яя
0
di5
0
dw
0
0
0
0
Конкретизация для кристаллов группы KDP проведена в [7].
48 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
Переходя к определению составляющих вектора pi, будем
использовать соотношения B.2.38) (плюс аналогичные соотно-
соотношения для у-й и z-й составляющих вектора pi), B.2.40) и
B.2.44). С учетом B.2.44) перепишем B.2.38) в виде
Pix = Xxxz (eixe2z + elze2x) - Хууу
Подставляя сюда B.2.40), находим
Pix — Xxxz sin ц> sin в — Хууу cos 2cp cos <9. B.2.46a)
Аналогичным образом получаем выражение для р\у:
Ply = Xxxz (eiye2Z + eize2y) + Хууу (eiye2y — ^ixe2x) •
После подстановки B.2.40) оно принимает вид
Ply — ^Xxxz cos ср sin б + Xi/i/2/ sin 2^? cos 6>. B.2.466)
Наконец, для p\z получаем (с учетом B.2.40))
plz = 0. B.2.46в)
Подставляя затем B.2.46) и B.2.40) в B.2.39), находим для
эффективной нелинейности:
ei (x • eie2) = eipi = Xxxz sin в - Хууу sin 3<p cos в. B.2.47)
Аналогичные выкладки приводят к выражению для
( )
е2 (х • eiei) =е2р2 = X^z sin<9 - Хууу sin3cpcos^. B.2.48)
Таким образом, выражения для ei (x • eie2) и в2 (х '- eiei)
оказываются одинаковыми. В системе двойных индексов они
принимают вид
eipi = С2Р2 = di5 sin^ — d22 sin 3cp cos <9. B.2.49)
Аналогично можно произвести конкретизацию коэффициентов
нелинейной связи для других классов симметрии и разных ти-
типов синхронизма. Результаты для нескольких классов симмет-
симметрии представлены в табл. П.2, см. также [29].
Замечанием о максимизации коэффициентов нелинейной свя-
связи. Выражение B.2.49) подлежит оптимизации по углу с/?; угол в равен
углу синхронизма 9С. Согласно [11] в ниобате лития составляющая ^22 по-
положительна, a di5 отрицательна; поэтому перепишем B.2.49) в виде
= \d\b| sin вс + <i22 sin 3ip cos Qc. B.2.50)
Из B.2.50) следует, что для максимизации коэффициентов нелинейной свя-
связи надо так ориентировать кристалл, чтобы выполнялось условие sin3^ =
= 1 (ср = 30° или (р = 150°); в этом случае второе слагаемое в B.2.50)
максимально. При (р = 0, напротив, указанное слагаемое обращается в нуль,
что можно использовать для определения составляющей d\$.
2.3 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ СИНХРОНИЗМЕ 49
Заметим, что хотя 9 = 9Cj однако оптимизация по 9 все же возможна —
за счет изменения угла синхронизма, например, при изменении температу-
температуры кристалла. Дифференцируя B.2.50) по 9С (при sin3<?> = 1) и приравни-
приравнивая производную нулю, находим значение 9С onTj при котором достигается
максимальный коэффициент связи
вс опт = arctg 4^ • B-2.51)
Из [11] имеем |c?i5 |/с?22 = 2, откуда получаем вс опт = 64°. Однако сле-
следует отметить, что такого рода оптимизация не всегда соответствует ис™
тинно оптимальному режиму. Во многих случаях повышение эффективно-
эффективности гармоники достигается при 90°-ном синхронизме (9С = 90°), который, в
свою очередь, реализуется при достаточно высоких (Т ~ 170° С) темпера-
температурах кристалла. Как мы увидим позднее, 90°-ный синхронизм необходим
для эффективного удвоения частоты расходящегося лазерного луча, а при
температуре Т ~ 170° С исчезает эффект наведенного двулучепреломленим
(«optical damage», см. гл. III).
Сделаем еще одно полезное замечание, касающееся также оптимизации
угла 9. Если угол <р выбран таким образом, что sin3y? = —1, то
21 = \d\s\ sin0c — d22 cos$c. B.2.52)
Из формулы B.2.52) видно, что величина эффективной нелинейности за-
зависит от выбранного квадранта по углу 9С- Так, если 9С выбран в первом
квадранте, то и синус, и косинус угла 9С являются положительными, и в
B.2.52) мы имеем разность двух членов. Если же выбрать 9С в четвер-
четвертом квадранте, где siii(9c < 0, cos(9c > 0, то в B.2.52) появится сумма двух
членов (знак этой суммы роли не играет). В этом случае эффективная нели-
нелинейность окажется выше, чем в случае первого квадранта, в а число раз,
которое может быть ориентировочно оценено соотношением
B.2.53)
Полагая \di&\ ^bpm/V, с?22~2, bpm/V (см. [29]), получаем а = 3; напомним,
что мощность второй гармоники в приближении заданного поля пропор-
пропорциональна а (см. гл. II), так что за счет правильного выбора квадранта
по углу 9 (или, с учетом угла у?, октанта по углам (9, ф) можно получить
выигрыш по мощности второй гармоники почти на порядок.
2.3. Решение укороченных уравнений при точном
соблюдении условим синхронизма
Предположим, что условие синхронизма выполняется точно:
Ак = 0. В этом случае B.2.28) принимает вид (Ф = 2cpi — (^2)
—^ + 8\а\ + а\а\а2 sin Ф = 0,
dz
— + 62аг - а2а\ sin* = 0, B.3.1)
dz
- ^2^~ COS Ф = 0.
B9 /
50 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
Укороченные уравнения в отсутствие дисперсии по-
глощеним. Предположим, что дисперсией поглощения можно
пренебречь. Это означает, что
1те(ш) = line Bа;), B.3.2)
или, иначе,
5г = ё2 = 8. B.3.3)
Такое допущение оправдано для прозрачных слабодиспергирую™
щих диэлектриков. При этом удобно ввести вместо а\ и а2 ам-
амплитуды щ и u2i а вместо переменной z переменную ? [6]:
^1,2 = «1,2 exp (Sz), С = т [1 - exp (Sz)]. B.3.4)
о
Заметим, что и имеет ту же размерность, что и а; ? имеет раз-
размерность длины. При использовании B.3.4) и B.3.3) система
уравнений B.3.1) преобразуется к виду
dui , лТ. гл
+ O\U\U2 Sin W = 0,
di
^ ?n* = 0, B.3.5)
— + BalU2 - a2^) cos Ф = 0.
d^ \ 42 /
Система B.3.5) совпадает с B.3.1), если в последней поло-
положить Si = 52 = 0. Это означает, что как в отсутствие по™
терь, связанных с линейным поглощением, так и при наличии
потерь (при условии, что ё\ = ё2) молено решать одну и ту же
систему укороченных уравнений — систему B.3.5) относительно
щ (?), и2 (?), Ф (^). Если потери отсутствуют, то в полученных
решениях следует положить щ^2 = ai525 С = z- При наличии ^ке
потерь надо произвести в полученных решениях замену B.3.4):
и = aexp(<5z), ? = [1 — exp (—Sz)/S]. Таким образом, при точ™
ном синхронизме и в отсутствие дисперсии поглощения удается
учесть линейные потери, решая укороченные уравнения без по™
терь и затем производя соответствующую замену переменных в
конечном результате.
Заметим, что влияние потерь на процесс генерации второй гармоники
(ГВГ) не ограничивается простым поглощением излучения основной и вто-
второй гармоник в нелинейном диэлектрике, что учитывается введением ко-
коэффициентов Si,2 в укороченные уравнения. Более того, практика показы-
показывает, что вследствие малости этих коэффициентов в области прозрачности
(#1,2 ~ 0, 01 см™1 и менее) потери излучения не превышают нескольких про-
процентов, так что в большинстве случаев влиянием поглощения можно было
бы пренебречь. Однако даже незначительный нагрев кристалла вследствие
поглощения приводит к неоднородному (по поперечному сечению кристал-
кристалла) температурному полю в кристалле, и, следовательно, к неоднородному
поперечному распределению волновой расстройки, а влияние последней на
эффективность ГВГ является, как будет показано ниже, чрезвычайно силь-
сильным. Такой комплексный учет поглощения, приводящий к необходимости
2.3 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ СИНХРОНИЗМЕ 51
совместного решения уравнения теплопроводности и укороченных уравне-
уравнений, проведен в гл. III. Там показано, что коэффициентами поглощения
можно пренебречь в самих укороченных уравнениях, но не в уравнении
теплопроводности.
Умножая первое уравнение в системе B.3.5) на g2u\) a второе
на G\u2l и складывая, получаем
du\ . du2 A
—г + ^1^2—" =0,
dC dC
или, иначе,
^ {(J2u\ + ami) = 0. B.3.6)
Отсюда видно, что при любом ? сумма g2u\ (?) +а\и\ (?) посто-
постоянна. Обозначив эту постоянную через G\U2 ^ запишем
а2и21@+а1и22@=(т1и\ B.3.7)
Постоянную g\U2 можно выразить через значения амплитуд на
границе нелинейной среды (при ? = 0, а следовательно, и при
г = 0):
aiU2 = ai^if @) + а2и\ @). B.3.8)
С помощью B.3.7) исключим щ (?) из B.3.5):
^=?т1(С/2-п|)8тФ,
Л B-3-9)
Отсюда находим:
d*=J^3«L B.3.10)
С?П2 П2 (С/2 — Щ)
С учетом того, что с№ = ^dcos Ф/этФ, перепишем B.3.10) в
виде
cog ф_ B3Л1)
dU2 U2 (U2 — Щ)
Нетрудно убедиться, что уравнение B.3.11) имеет решение
со8Ф= f , B.3.12)
где С — постоянная интегрирования. С учетом B.3.7) перепи-
перепишем B.3.12) следующим образом:
^ B.3.13)
Используя B.3.13), выразим постоянную С через граничные зна-
значения амплитуд и обобщенной фазы:
С = ?* и\ @) и2 @) cos Ф @). B.3.14)
52 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
Собирая полученные результаты, запишем выражения для
первого и второго интегралов системы B.3.5):
- «1 @ + «2 @ = - «1 @) + «2 @) = U2, B.3.15а)
СГ1 G1
щ (?) и2 (С) cos Ф (С) = Щ @) и2 @) cos Ф @). B.3.156)
Фазовый портрет процесса генерации второй гармо-
гармоники при точном соблюдении условия фазового синхро-
синхронизма. Рассмотрим фазовую плоскость в полярных коорди™
натах Щ] Ф; в качестве прямоугольных декартовых координат
здесь выступают u2cos4! и г^втФ.
В точке ? нелинейной среды (на рас™
стоянии z (?) от входной плоскости)
амплитуда второй гармоники есть
и2 @, а обобщенная фаза есть Ф (?).
Этим двум параметрам отвечает
изображающая точка А^ на фазо-
фазовой плоскости (рис. 2.7). По мере
распространения взаимодействую-
взаимодействующих световых волн по нелинейной
О
среде (по мере увеличения ?) изоб™
ражающая точка перемещается
с- по фазовой плоскости, описывая
кривую, называемую фазовой траекторией. В зависимости
от граничных условий (в зависимости от значений и2 @) и
Ф @) на входе среды) изображающая точка описывает ту или
иную траекторию. Совокупность фазовых траекторий образует
фазовый портрет процесса.
На рис. 2.8 показан фазовый портрет процесса генерации
второй гармоники при точном соблюдении синхронизма для по™
лубесконечной нелинейной непоглощающей среды 1) в прибли-
приближении плоских волн. Проанализируем этот фазовый портрет [7].
Предположим, что граничные условия соответствуют точке
О (г^2@) =0); это означает, что на входе нелинейной среды
вторая гармоника отсутствует. Согласно B.3.15а) имеем щ @) =
— U'\Jo\jo2- Из B.3.156) видно, что в рассматриваемом случае
и\ @ и2 (С) cos Ф @ = 0. B.3.16)
Амплитуды щ и и2 вблизи точки О не могут быть равны нулю
(щ @) максимальна; и2 равна нулю только в точке О фазовой
плоскости); поэтому из B.3.16) следует, что фазовая траектория,
) Как уже отмечалось, в непоглощающей среде и = а и ? = z\ будем,
однако, использовать обозначения и и ?.
2.3
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ СИНХРОНИЗМЕ
58
проходящая через точку О, описывается уравнением
cos* (С) =0. B.3.17)
Это есть отрезок прямой А\А2 на рис. 2.8. Заметим, что концам
отрезка (точкам А\ и А2) отвечает предельная ситуация, когда
и2 = U и, следовательно, согласно B.3.15а), щ = 0.
Предположим, что граничные условия соответствуют точке
В: и2 @) = U; Ф = 0 (из B.3.15а) следует, что щ @) = 0). Это
означает, что на входе
нелинейной среды есть
только вторая гармони-
гармоника. Ясно, что и в дан-
данном случае выполняет™
ся соотношение B.3.16).
При ЭТОМ НИ 112 5 ни
cos Ф не могут быть рав™
ны нулю; следовательно,
щ (?) = 0 или с учетом
B.3.15а)
u2(?) = U. B.3.18)
Соотношение B.3.18)
описывает окружность
радиуса [/, проходящую
через точку В.
Таким образом, вы-
выявлены две фазовые
траектории — отрезок прямой и окружность. На рис. 2.8 они
показаны толстыми линиями.
Система B.3.9) допускает стационарное (в пространственном
смысле) решение. Если положить du2/d^ = 0 и d№j'd? = 0, то
получим
Рис. 2.S
0, и2 = Ц=. B.3.19)
v3
На фазовой плоскости этому решению отвечают две точки: и2 =
= fj/л/З, Ф = 0 и щ = ?7/л/3, Ф = тг. На рис. 2.8 они обозначены
как точки С. Их называют фазовыми центрами.
Если на входе нелинейной среды вторая гармоника оказыва-
оказывается в точке G, то она будет оставаться в этой точке и в даль™
нейшем. В этом случае амплитуды щ и г^2, а также фаза Ф
постоянны по длине нелинейной среды х). Из B.3.19) и B.3.15а)
г) Это пространственно стационарные нелинейные волны. Такие волны
характерны для космической газодинамики, а также для гемодинамики
(динамики крови в сосудах). Часто стационарные волны характеризуют™
ся стационарным профилем, распространяющимся в нелинейной среде без
изменения (солитонные волны, или солитоны).
54 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
B.3.20)
следует, что
U2
U\
На рис. 2.8 показаны тонкими линиями фазовые траектории,
обходящие соответствующий центр; они представляют собой за-
мкнутые траектории — см. кривые 1, 2, 3 на рисунке. Этим
фазовым траекториям отвечают пространственные пульсации
как амплитуды и^1 так и амплитуды щ. С увеличением номера
траектории указанные пульсации становятся более глубокими.
Показанные толстыми линиями фазовые траектории на
рис. 2.8 выделяют (разделяют) области фазовой плоскости с
разными центрами. Совокупность таких линий называют сепа-
сепаратрисой (разграничивающей фазовой траекторией). Точки А\
и А2 сепаратрисы называют седловыми точками.
Замечания к фазовому портрету. Пусть щ @) = 0. По
мере распространения по нелинейной среде амплитуда второй
гармоники будет расти, приближаясь к значению U; при этом
изображающая точка будет двигаться по вертикальной прямой
cos Ф (?) =0 от точки О к точке А\ (иначе говоря, изображаю-
изображающая точка будет двигаться по участку ОА\ сепаратрисы). В свя-
зи с этим сделаем три замечания.
Во-первых, движение изображающей точки по участку ОА\
сепаратрисы соответствует наиболее быстрому пространствен-
пространственному накоплению эффекта генерации второй гармоники. В этом
случае ишФ = 1 и, как молено видеть из второго уравне-
уравнения B.3.5), производная du2Jd^ положительна и максимальна.
Дополнительно заметим, что для попадания на участок ОА\ се-
сепаратрисы не обязательно выполнение условия 112 @) = 0; до-
достаточно, чтобы выполнялось условие Ф @) = тг/2. Последнее
обстоятельство практически валено при генерации второй гармо-
гармоники в двух последовательно расположенных нелинейных кри-
кристаллах. Условие ii2 @) = 0 выполняется на входе первого, но не
выполняется на входе второго кристалла. В этом случае мож-
можно обеспечить выполнение на входе второго кристалла условия
Ф @) = тг/2, подбирая фазы в промежутке между кристаллами.
Во-вторых, при движении по участку ОА\ сепаратрисы по-
попадание в седловую точку А\ практически невозможно. Для это-
этого потребовалась бы, строго говоря, бесконечно длинная нели-
нелинейная непоглощающая среда. Иными словами, изображающая
точка могла бы перейти в точку А\ лишь при ? —>• оо. Можно
сказать, что чем ближе к А\ оказывается движущаяся по сепа-
сепаратрисе ОА\ изображающая точка, тем меньше становится ее
скорость движения.
В-третьих, в действительности движение изображающей
точки строго по сепаратрисе ОА\ не реализуется в силу неустой-
2.3
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ СИНХРОНИЗМЕ
55
чивости. Различные случайные факторы приводят к тому, что
изображающая точка сбивается с вертикальной прямой cos Ф =
= 0 на одну из близко расположенных к этой прямой замкнутых
фазовых траекторий; см. штриховые траектории на рис. 2.9 а.
Рис. 2.9
Попаданию изображающей точки на замкнутую траекторию
способствует также то, что амплитуда второй гармоники на по™
верхности нелинейного кристалла практически никогда не равна
нулю [8]. В результате будут наблюдаться пульсации амплитуд
U2 и щ. На рис. 2.9 б показаны эти пульсации, соответствующие
штриховой траектории, проведенной на рис. 2.9 а. Заметим, что
изображающая точка быстро проходит участки фазовой траек™
тории вблизи точек О и В и медленно — вблизи А\ и А^. От-
Относительно длинные заштрихованные участки вдоль оси ? на
рис. 2.9 б" примерно соответствуют заштрихованным участкам
фазовой плоскости на рис. 2.9 а.
Случай отсутствия второй гармоники на входе нели-
нелинейной среды. Рассмотрим идеальную ситуацию: изображаю-
изображающая точка движется по участку ОА\ сепаратрисы. В данном
случае Ф = тг/2 и, следовательно, вшФ = 1. Первое уравнение
B.3.9) принимает, таким образом, вид
*Ш fV2_u2\ B.3.21)
Решение уравнения B.3.21), удовлетворяющее граничному усло-
условию U2 @) = 0, молено выразить через гиперболический тан™
.П.
гене"
B.3.22)
Поскольку U = щ @) -\/o/o"i, то перепишем B.3.22) в виде
щ (О = щ (о) А/^ th
(о) о ¦
B.3.23)
) Напомним: гиперболический тангенс thsc = (еж — е ж) / (еж + е ж);
dthx/dx = 1/ch2 х; сЬж = (еж + е~ж) /2 — гиперболический косинус.
56
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
Используя (B.3.15а)), находим отсюда выражение для амплиту™
ды основной волны щ (?):
10) B-3.24)
(y () Q
Результаты B.3.23) и B.3.24) показаны на рис. 2.10. Эффек-
Эффективная перекачка мощности основного излучения в мощность
второй гармоники (коэф-
|mi,2/mi(°) фициент преобразования
по амплитуде ^ thl =
= 0,762) происходит на
длине порядка
0,6-
0,2 -
L =
X B.3.25)
что на практике состав™
ляет несколько сантимет-
сантиметров. В рассматриваемом
случае процесс перекачки
Рис. 2.10 мощности во вторую гар-
гармонику необратим; строго говоря, для его завершения надо,
чтобы ? —>> оо. Правда, уже на пути в несколько длин L имеет
место практически полная перекачка мощности. Длину L, опре-
определяемую B.3.25), называют эффективной нелинейной длиной.
Необратимый характер процесса перекачки мощности во вто-
вторую гармонику предполагает движение изображающей точки
точно по сепаратрисе ОА\. Как отмечалось, в действитель-
действительности точка не удерживается на сепаратрисе, а сбивается на
замкнутую фазовую траекторию. В результате характер процес-
процесса перекачки мощности качественно меняется — процесс стано™
вится обратимым (амплитуды и^ и щ начинают пульсировать;
см. рис. 2.9 б).
Общий случай. Переходя к рассмотрению общего случая, отвечающе-
отвечающего произвольным граничным условиям, подставим B.3.12) в первое уравне-
уравнение B.3.9) (см. [8]):
——- = ±(Tiyul (U2 — ul) — С2 B.3.26)
(знаки плюс или минус выбираются в соответствии со знаками синуса в
B.3.9)). Введем обозначения: у = {т/иJ, х = спЩ, d = C2/U6. В ре™
зультате соотношение B.3.26) преобразуем к виду
Таким образом,
У (*)
= ±-
2
1 Г
2 J
2/@)
B.3.27)
B.3.28)
2.3
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ СИНХРОНИЗМЕ
57
Пусть г/1, |/2, г/з — корни уравнения
1/A -уJ -Ci =0. B.3.29)
Нетрудно убедиться, что для 0 < С г < 4/27 все корни вещественны и поло-
положительны. Полагая, что указанные неравенства выполнены, причем у± <
< 1/2 < |/з, перепишем B.3.28) в виде
1
2
у(х)
I
\/B/ - l/i
)(у-
1/2)
4^
(у-
1
!/з)
/
т@)
B.3.30)
где т2 = (у -yi)/(y2-yi), f = (у2 -yi)/(y3-yi)- Определяемая соотно™
шением B.3.30) функция и^ (С) выражается через эллиптическую функцию
Якоби — эллиптический синус (см.[12]):
^Р B.3.31)
где ^о определяется граничными условиями. В частном случае и-2 @) =
= 0 имеем ^о = 0, С = 0 (и следовательно, у± = 0, г/2 = уз = 1), U =
= ui @) л/о'2/o'ij в результате приходим к B.3.23).
Учет поглощеним. Как уже отмечалось, при выполнении
B.3.3) учет линейных потерь может быть произведен в оконча-
окончательных выражениях посредством замены переменных B.3.4).
Так, решение B.3.23) примет вид
exp (Sz) th \?p- ax@) A - exp (-8z))] .
у
B.3.32)
Описываемая выражением B.3.32) зависимость «2 (z) не явля-
является монотонной функцией расстояния z. Максимум амплитуды
второй гармоники реализуется на расстоянии ^Макс? определяе-
определяемом из условия da2/dz = 0.
Из B.3.32) следует, что 2:макс является решением трансцен-
трансцендентного уравнения:
[2 I 2
- \Jo\O2 tti@) A — exp (—5z)) = - \Jo\G2
8 J ё
При Eя <С 1 это уравнение упрощается:
shB^fa^ ai(O)z) =
откуда следует:
= ^— Arsh
exp (—Sz).
B.3.33)
ai@)
B.3.34)
58 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
Если есть дисперсия поглощения (Si Ф #2), то систему B.3.5)
можно решить только численным интегрированием с примене-
применением ЭВМ.
2.4. Решение укороченных уравнений при наличии
волновой расстройки
Интегралы системы укороченных уравнений при на-
наличии волновой расстройки в отсутствие затухания. По™
лагая S\ = S2 = 0, преобразуем систему укороченных уравнений
B.2.28) к виду
—- + а\а\ао sin Ф = О,
dz
^ -<r2af 8тФ = 0, B.4.1)
— - Ак + Bа1а2 - а2—) cos Ф = 0.
dz \ B2 /
Первые два уравнения системы B.4.1) совпадают с первы-
первыми двумя уравнениями системы B.3.5). Поэтому выражение
для первого интеграла системы B.4.1) аналогично выражению
B.3.15а):
^4 (z) + 4 iz) = -4 @) + 4 @) = U2. B.4.2)
Чтобы получить второй интеграл, проделаем над системой
B.4.1) такие же действия, какие выполнялись ранее над систе-
системой B.3.5). С помощью B.4.2) исключим а\ (z) из B.4.1) и по-
получим
— =ai (C/2-a^)sIn#,
dz B.4.3)
^^ = Afc -|- — (и — 3tt2/ cos Ф-
dz 0,2
Отсюда находим
— — cos Ф = ^ :
Нетрудно убедиться, что уравнение B.4.4) имеет решение
ф _ С - (а1Ак/2(ц)
/jto 2\ '
где С1 — постоянная интегрирования.
Введем следующие безразмерные величины:
Ai - Ак v (z) - ai'2 ^ С - —
B.4.5)
B.4.6)
2.4
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ РАССТРОЙКЕ
59
Величину Ах называют приведенной расстройкой. В новых обо™
значениях уравнение B.4.5) принимает вид
COS Ф =
С2 -
71it
v2 (l - vi)
B.4.7)
Используя B.4.7), можно выразить постоянную С2 через гра-
граничные значения V2 @) , Ф @) и приведенную расстройку Д]_:
С2 = v2 @) [1 - vl @)] cos Ф @) + Aiv| @). B.4.8)
Итак, интегралы рассматриваемой системы укороченных
уравнений молено представить с учетом B.4.6) в виде
^v21(z)+v22(z) = ^v21
(Ji о-1
@) =
B.4.9a)
| @). B.4.96)
Щ (z) [l - vl (z)} cos Ф (z) + Aivl (z) =
= v2@) [l-V2@)]cos*@)
Фазовый портрет процесса генерации второй гармо-
гармоники при наличии волновой расстройки. В качестве поляр-
полярных координат фазовой плоскости используются координаты V2
и Ф. Семейство фазовых
траекторий описывается
уравнением B.4.7); при
этом С2 определяется
граничными условиями
и приведенной расстрой-
расстройкой Ai в соответствии с
B.4.8).
Фазовый портрет рас-
рассматриваемого процесса
для некоторого фикси-
фиксированного значения при™
веденной расстройки Ai
представлен на рис. 2.11
@ < Ai < 1). Толстыми
линиями показана сепа-
сепаратриса. Она состоит из
ограничивающей окруж-
окружности с центром в на™
чале координат и радиу-
радиусом, равным единице, а
также отрезка вертикальной прямой А\А2] точки А\ и А2 явля-
являются седловыми точками. Прямая А1А2 пересекает ось г^совФ
в точке О\] координаты этой точки: V2 = Ai, Ф = 0. Фазовые
Рис. 2.11
60 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
центры С\ и С2 имеют соответственно координаты
= 0,
B.4.10)
Результат B.4.10) следует из B.4.3), если учесть B.4.6) и поло-
положить dv2Jdz = 0 и d4f jdz = 0 (напомним, что фазовым центрам
отвечают пространственно стационарные нелинейные волны).
Предположим, что V2 @) = 1, Ф @) = 0 (граничные условия
соответствуют точке В на рисунке). Из B.4.96) следует, что
v2 (z) [1 - v\ (z)] cos Ф (z) + Ai^| (z) = Ab
или
[l ~~ v2 {z)\ [v2 (z) cos Ф (z) - Ai] = 0. B.4.11)
Второй множитель в левой части B.4.11) вблизи точки В не
может быть равен нулю; следовательно,
v\ (z) = 1.
Это есть уравнение окружности единичного радиуса с центром
в точке О.
Предположим далее, что V2 @) = Ai, Ф @) = 0 (граничные
условия соответствуют точке О\). Из B.4.96) следует, что и в
этом случае справедливо соотношение B.4.11). Однако теперь
не равен нулю первый множитель в левой части B.4.11). Таким
образом,
v2 (z) cos Ф (z) = Аь B.4.12)
Это есть уравнение вертикальной прямой, проходящей через О\.
Сравним рисунки 2.11 и 2.8. В отсутствие волновой расстрой-
расстройки фазовый портрет симметричен относительно осей V2 cos Ф и
v2 втФ. При наличии расстройки симметрия фазового портрета
относительно оси V2 sin Ф исчезает. Теперь прямолинейный уча™
сток сепаратрисы уже не совпадает с осью V2 втФ, а отстоит от
нее на расстояние |Ai| (вправо или влево); при этом ограничи-
ограничивающаяся окружность остается неизменной.
Для существования внутри окружности двух фазовых цен-
центров необходимо выполнение условия |Ai| < 1. Если |Ai| ^ 1,
то в этом случае внутри ограничивающей окружности будет на™
блюдаться лишь один фазовый центр. На рис. 2.12 показан фа-
фазовый портрет при Ai = 1.
Движение изображающей точки по прямолинейному
участку сепаратрисы. Пусть граничные условия соответству-
соответствуют точке О\ на рис. 2.11. В этом случае изображающая точка
будет двигаться по вертикальной прямой от О\ к А\. Используя
2.4
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ РАССТРОЙКЕ
61
B.4.12) и учитывая B.4.6), перепишем первое уравнение систе-
мы B.4.3) в виде
или, иначе,
v\ - Д2. B.4.13)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию v\ @) =
= Д2, имеет вид
= Д? + A - Д?) th2 (aJJ^jl - Д2 z) . B.4.
14)
v2 sin ?
При Ai = 0 из B.4.14) получаем решение, соответствующее ре™
зультату B.3.22). Из B.4.14) видно, что при движении по се™
паратрисе изображающая точка
могла бы попасть в седловую точ™
ку А\ лишь в пределе z -Л сю. В за-
заключение заметим, что как и при
Д1 = 0, движение изображающей
точки по прямой А1А2 является
неустойчивым.
Случай отсутствия второй
гармоники на входе нелиней-
нелинейной среды. Предположим, что
V2 @) = 0. При Ai ф 0 рассмат-
рассматриваемый случай соответствует
движению изображающей точки
по некоторой замкнутой фазовой
траектории — траектории, прохо-
проходящей через точку О на рис. 2.11
(на рисунке эта траектория показана штриховой линией). Под-
Подставляя V2 @) = 0 в B.4.96), получаем уравнение указанной тра-
траектории:
AlV2 B.4.15)
Рис. 2.12
COS Ф = — -
Используя B.4.15) и B.4.6), преобразуем первое уравнение си-
системы B.4.3) к виду
- B + Af) v|
B.4.16)
(знаки плюс и минус выбираются в зависимости от знака
Возведя обе части уравнения B.4.16) в квадрат, получим
B.4.16а)
62
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
Введем функцию
где
2 ) 2 '
17
B.4.17)
B.4.18)
С использованием новых обозначений уравнение B.4.16а) при-
принимает вид
'^V2(u)Y= \l^Vi(u)} [I - K2Vi (и)] . B.4.19)
Это есть дифференциальное уравнение для эллиптического си-
синуса Якоби sn (и; к) [12]. Таким образом,
v2(z) = л/х sn (u; x). B.4.20)
Параметр к (а следовательно, и переменная и) выражается че™
рез приведенную расстройку Ах. Используя B.4.18), нетрудно
получить
Ai = !—^. B.4.21)
Эллиптический синус Якоби sn (щ ж) представляет собой периодиче-
периодическую функцию от и с периодом, равным 4.К", где
dy
К =
B.4.22)
(К — полный эллиптический инте-
интеграл 1-го рода). При ж = 0 эллипти-
эллиптический синус Якоби превращается в
обычный синус, а при ж = 1 — в ги-
гиперболический тангенс:
sn (и; 0) = sin и, sn (и; 1) = th и.
B.4.23)
На рис. 2.13 показаны три графика: 1) sn (и; 0) = sin и, 2) sn (и; ж) для
некоторого значения ж внутри отрезка [0; 1], 3) sn (и; 1) = thu. Заметим,
что sn BпК; х) = 0 и sn ((An + I)К; ж) = 1 (при п = 0, =Ы, ±2,...).
При точном выполнении условия синхронизма к = 1. В этом
случае
v2 (z) = sn (к; 1) = th (atUz) . B.4.24)
Результат B.4.24) согласуется с B.3.22).
Рис. 2.13
2.4
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ РАССТРОЙКЕ
68
Предположим, что имеет место существенная волновая рас™
стройка: Ai 3> I (Ak ^> 2a\U). Это означает, что волны рас-
распространяются в направлении, удаленном от направления син-
синхронизма. Из B.4.18) находим, что в данном случае
К',
А?
и, следовательно,
К SI1
1 С/
;0
J
i С/А1
B.4.25)
Таким образом, при сильной расстройке можно полагать, что
2(jiU ... Ak-z тт ... АЬ
Voiz) =
Sin
B.4.26)
где sine x = — .
ж
Графики функции
1^2(^I при разных Ai
представлены на рис. 2.14
(ср. с рис. 2.13). График
1 получен для Ai = 0
(соотношение B.4.24)),
а график 2 — для
Ai > 1 (соотношение
B.4.26)). Графики 5, 4,
5 иллюстрируют про™
мелсуточные ситуации,
отвечающие значениям
приведенной расстройки
Рис. 2.14
\
А-[ ,
А
[
ЛC) / дD) ^ д E)
Х]_ соответственно; при этом А\ < А^ < А^ .
Подчеркнем, что л/к есть максимальное значение амплитуды
второй гармоники для данной расстройки Д]_:
B.4.27)
Как видно из рисунка, при Ai ф 0 наблюдаются пространствен™
ные биения; амплитуда биений с увеличением расстройки умень™
шается, а пространственная частота возрастает.
Будем называть длиной когерентности расстояние 1К, рав-
равное четверти периода функции sn (zaiU/л/к; к). Сначала на
расстоянии 1К происходит перекачка мощности основного излу-
излучения во вторую гармонику; затем на том же расстоянии 1К про™
исходит обратная перекачка мощности. Так как период функции
64 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
lKGi — = К.
/
sn (щ к) равен АК, то, следователвно,
Отсюда
7 _
1К —
При Ai 3> 1 восполвзуемся резулвтатом B.4.25). Учитывая,
что в этом случае К = тг/2, получаем
'к = ^- B-4.29)
Приближение заданного полм основного излучения.
Предположим, что амплитуда поля второй гармоники для всех
z, т.е. по всей длине нелинейной среды, весьма мала:
v2 (z) <C 1. B.4.30а)
В данном случае можно исполвзоватв приближенное рассмот-
рассмотрение генерации второй гармоники, полагая, что для всех z ам-
амплитуда поля основного излучения постоянна (при 8 = 0):
Vl(z) =vi@) = W —. B.4.306)
V а'2
Это еств так называемое приближение заданного поля основно™
го излучения. Соотношение B.4.20) принимает в рассматривав™
мом приближении следующий вид:
v2(z) = aiUz sine ^-?. B.4.31)
4to6bi получитв B.4.31), надо в соответствии с B.4.30) упро-
упростить уравнение B.4.16):
B.4.32)
Нетрудно убедиться, что B.4.31) есть решение уравнения
B.4.32), удовлетворяющее условию v2 @) = 0.
Соотношение B.4.31) совпадает с B.4.26). Это совпадение не
случайно, так как при Ai 3> 1 амплитуда волны второй гармо-
гармоники мала при всех z (см. B.4.25) и B.4.27)), что согласуется с
приближением заданного поля основного излучения.
При точном выполнении синхронизма имеем sine (Afc • z/2) =
= 1. В этом случае выражение B.4.31) преобразуется к виду
v2(z) =(nUz. B.4.33)
Заметим, что амплитуда волны основной частоты в прибли™
жении заданного поля постоянна с точностью до членов второго
2.4 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ РАССТРОЙКЕ 65
порядка малости по a\Uz. Действительно, при Ак = 0 имеем
= у/1 - v\ (z) = 1 - \v\(z) = 1-1 {oxXJzf. B.4.34)
Учет уменьшения амплитуды основной волны за счет перекач™
ки энергии во вторую гармонику становится необходимым при
рассмотрении внутрирезонаторной генерации второй гармони-
гармоники, особенно в непрерывном режиме генерации (см. гл. IV).
В приближении заданного поля основного излучения следует сохранить
в системе укороченных уравнений B.2.22) только второе уравнение; при
этом амплитуду А\ надо рассматривать как постоянную величину. Прене-
Пренебрегая поглощением излучения, получаем в рассматриваемом приближении
следующее дифференциальное уравнение для комплексной амплитуды вто-
рой гармоники:
^ = -ia2А\ ехр (гАк • z). B.4.35)
dz
Выполняя интегрирование по длине z нелинейного кристалла и учитывая,
что А2 @) = 0, находим отсюда
А2 (z) = -i(T2Al j ехр (iAk ¦ z') dz ,
9 Z\ ~к ' z z\ ~k° • z
A2 (z) = — ia2A(zex.p ^—^— sine ^-^ . B.4.35a)
2 2
Переходя от комплексных амплитуд к вещественным, получаем
U2 (z) = \A2 (z)\ = G2B1 Sine .
Этот результат совпадает, как легко видеть, с B.4.31), если учесть, что
2j = (jiU2(cm. B.4.2) при а2 @) = 0).
Плотность мощности второй гармоники. Коэффици-
Коэффициент преобразования основного излучения во вторую гар-
гармонику. Вектор плотности мощности излучения есть вектор
Умова-Пойнтинга. Для плоской монохроматической волны с
частотой ш и волновым вектором к вектор плотности мощно-
мощности излучения S описывается известным соотношением
S = — Ех(кхЕ).
4жш
Двойное векторное произведение Е х (k x E) можно предста-
представить в виде
Ех(кхЕ) = кЕ2»Е (кЕ). B.4.36)
3 В.Г. Дмитриев, JI.B. Тарасов
66 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
Будем полагать 1), что
кЕ = 0. B.4.37)
Из B.4.36) и B.4.37) следует, что направление вектора S совпа™
дает с направлением волнового вектора к. Плотность мощности
излучения описывается в данном случае выражением
S = — , B.4.38)
где п — показатель преломления на частоте ш.
Используя A.4.1) и B.2.24), преобразуем B.4.38) к виду
S = — a2 (z) cos2 (ujt -kz + ф). B.4.39)
4тг
Полагая, как обычно, что амплитуда a (z) медленно меняется с
расстоянием z, и усредняя квадрат косинуса, получаем экспери-
экспериментально измеряемую плотность мощности излучения
S = спа2 {z) . B.4.40)
8тг V ;
Исходя из B.4.40), представим плотность мощности второй
гармоники на выходе нелинейной среды (при z = I)
52 @ = ^)^@ B.4.41)
7Г
и плотность мощности основного излучения на входе среды
Sx @) = ^^М а\ (о). B.4.42)
8тг
Отношение
есть коэффициент преобразования основного излучения во вто™
рую гармонику (по плотности мощности). Его называют также
эффективностью генерации второй гармоники.
Предположим, что на входе нелинейной среды вторая гар™
моника отсутствует. В приближении заданного поля основного
излучения при точном выполнении условия синхронизма мож™
но воспользоваться результатом B.4.33), который перепишем в
,2^
виде
«2 (z) = a2a\ @) z. B.4.44)
) Обсудим это предположение позднее. Здесь же мы лишь заметим, что
оно соответствует условию dlvE = 0, которое было положено в основу вы-
вывода системы укороченных уравнений в § 2.2.
2) Напоминаем, что п2 (z) = Uv2 (z); при «2 @) = 0 имеем U =
= ах @) y/<T2l<Ti (см. B.4.2)).
2.4 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ РАССТРОЙКЕ 67
Подставляя B.4.44) в B.4.41), находим
S2(l) = S?<MoZai@)l2. B.4.45)
Из B.4.45) и B.4.42) получаем
S2 (I) = 8тг^4 (^1 @H2 • B.4.46)
Это соотношение известно как формула Клейнмана [13, 14]. Оно
используется для оценки максимально возможной эффективно™
сти генерации второй гармоники (в рамках приближения штос™
ких волн).
При наличии волновой расстройки воспользуемся вместо
B.4.33) результатом B.4.31). В этом случае получаем следую-
следующие выражения для выходной плотности мощности и эффек-
эффективности генерации второй гармоники:
S2 (I) = 8тг^- (<t2Si @)/ sine *tl) , B.4.47)
сп2(ш) \ 2 /
о пBш) а /~\ / 7 . Ак • I \ /Г| , АО\
т] = 8тг v ; Si @) a2l sine —— . B.4.48)
сп2 (ш) \ 2 /
Если прибли^кение заданного поля основного излучения не
работает (в этом случае говорят о нелинейном режиме генера-
генерации второй гармоники), то следует использовать B.4.20). При
этом результат B.4.41) принимает вид (с учетом B.4.42))
(^)(«;>f) B.4.49)
П (Ш) G1
и, следовательно,
Здесь, напоминаем,
Ф^ = «2макс = \fl+ (f У - ^, B.4.50а)
'ai(O) '
Кривая синхронизма. На практике полезно знать, как из-
изменяется плотность мощности второй гармоники при изменении
угла между направлением распространения световых волн и на™
правлением синхронизма, т.е. при изменении Ак. Зависимость
Й2 от Ак называют кривой синхронизма. На рис. 2.15 приве™
дена кривая синхронизма, определяемая соотношением B.4.47);
з*
68 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
А = l^(j\ • 8тгп Bcj)/(cn2 (cj)). Эта кривая соответствует прибли™
жениям плоских волн и заданного поля основного излучения.
Интерференционная приро-
природа кривой синхронизма об™
су ж далась в § 1.4.
Степень точности «вы-
«выставления нелинейного кри™
сталла на синхронизм», как
и степень точности поддер-
поддержания синхронизма в процес-
процессе эксплуатации установки,
Т Т r Z ""*" Г" Т А1 7/п определяется шириной цент-
рального максимума кривой
_ л,г синхронизма. Покажем, как
Рис. 2.15 г
обычно определяют эту ши-
ширину. Будем поворачивать нелинейный кристалл длиной I от
направления синхронизма (в = вс) в сторону, например, увели-
увеличения угла в (в — угол между направлением распространения
волн и оптической осью кристалла). Поворот осуществляется
в плоскости, проходящей через оптическую ось кристалла и
направление синхронизма, — так называемой плоскости син-
синхронизма1). Параметр Ак-1/2 будет при этом увеличиваться
от нуля, соответствующего равенству в = вс. При некотором
значении Ак (обозначим его через Ам) пространственные
биения по оси z (см. рис. 2.14) обеспечат максимум амплитуды
второй гармоники при z = I. Очевидно, что sin(AM//2) = 1 и,
следовательно,
Дм = ^ B.4.51)
При Ак = Ам имеем sine2 (AJ/2) = 4/тг2 = 0,41.
Определим ширину центрального максимума кривой синхро-
синхронизма по уровню 0,41 его наибольшего значения. Это означает,
что ширина максимума равна тг в единицах Ак • 1/2.
Данное определение ширины максимума кривой синхрониз-
синхронизма имеет простой физический смысл: внутри ширины Ам ампли-
амплитуда поля второй гармоники на всей длине кристалла не убы-
убывает.
Обсудим кривую синхронизма в нелинейном режиме, когда учитыва-
учитывается обратная реакция волны второй гармоники на волну основного излу-
излучения. Так как гамаке, и и ж в соотношении V2 (z) = гамаке sn {щж) явля-
являются функциями расстройки Ак, кривая синхронизма оказывается более
сложной (по сравнению с кривой в приближении заданного поля основного
) Изменением длины I при повороте кристалла пренебрегаем по причине
очевидной малости углового отклонения.
2.4
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ РАССТРОЙКЕ
69
излучения) функцией от Ale:
V2 (z; Ак) =
^1
2
sn [и(Ак);ж(Ак)].
B.4.52)
По аналогии с ранее рассмотренным случаем ширину центрального макси™
мума кривой синхронизма можно определить по условию, чтобы в области
Ак < Ам величина V2 (z, Ak) при всех z ^ I не убывала. Функция V2 (z, Ak)
имеет максимум при Ак = Ам и z = I. Поскольку максимуму отвечает
и = К, то Ам можно найти из соотношения (полагаем а\ = а 2 = сг)
i @)^2 макс (Ам) I = >^ (Ам) К (ж) .
B.4.53)
В отличие от случая, соответствующего приближению заданного поля
основного излучения, величина Ам в нелинейном режиме является сложной
функцией всех параметров, характеризующих процесс генерации второй
гармоники (<т, а\ @) , I). Очевидно, что нули функции B.4.52) по парамет-
параметру Ак • 1/2 будут теперь функциями указанных параметров. Например, с
ростом ai @) эти нули располагаются неэквидистантно, причем сдвигаются
они к началу координат; при этом амплитуды боковых максимумов кривой
синхронизма растут.
Заметим, что при ж2 ^ 0, 3 или, что то же самое, при Ai ^ 0, 6 величина
К (ж), а следовательно, и период функции B.4.52) практически постоянны.
В этом случае К = тг/2 (с точностью порядка 10 %) и эллиптический синус
Якоби может быть заменен обычным синусом:
v2 (z; Ак) и v2 макс (Ак) sin [и (Ак)].
B.4.54)
Подчеркнем, что приближенное соотношение B.4.54) получено при
единственном допущении (Ai ^ 0, 6); при этом сохранен существенно нели-
нелинейный характер процесса ге™
нерации второй гармоники. Из
B.4.54) следует, что Ам в не ли- ^
нейном режиме можно прибли™ ж / 2
женно определить из соотноше-
соотношения
1,0
0,5
B.4.55)
При малых значениях аа±@I
результат B.4.55) переходит в
B.4.51).
На рис. 2.16 представлены
зависимости величины Фм =
= Ам1/2 от параметра аа± @) I,
вычисленные в приближении за-
заданного поля основного излуче-
излучения (кривая 1), по приближен-
приближенной формуле B.4.55) (кривая 2)
и по точной формуле B.4.53)
Рис. 2.16
(кривая 8). Видно, что приближенная зависимость B.4.55) хорошо рабо-
работает при crai@)I ^ 1 (погрешность не выше 10%), тогда как приближение
заданного поля дает удовлетворительный результат лишь в непосредствен-
непосредственной близости от точки аа±@I = 0.
70 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
Общее решение укороченных уравнений при нали-
наличии волновой расстройки и произвольных граничных
условий. Ранее мы рассмотрели случай произвольных гранич-
граничных условий при наличии синхронизма, т.е. в отсутствие волно-
волновой расстройки (Ах = 0; см. формулы B.3.26)-B.3.31)). Общее
решение при наличии как волновой расстройки (Ах ф 0), так
и произвольных граничных условий для амплитуд основной и
второй гармоник и обобщенной фазы, представляет очевидный
интерес по крайней мере в двух случаях: 1) генерация второй
гармоники в двух или нескольких последовательно расположен-
расположенных кристаллах; 2) генерация второй гармоники в так называе-
называемых кристаллах с регулярной доменной структурой или в РДО-
кристаллах, где преобразование частоты реализуется в большом
числе последовательно расположенных слоев нелинейной среды
(доменов; см. гл. 7). В данном пункте использованы материалы
работ [8, 12, 27, 28].
Будем рассматривать непоглощающую среду (<5i?2 = 0), что
позволит воспользоваться системой уравнений B.4.1), преобра-
преобразованной с помощью первого интеграла B.4.2) к системе уравне™
ний для амплитуды второй гармоники а^ и обобщенной фазы Ф
B.4.3). Вводя, в соответствии с B.4.6), приведенные (безразмер-
(безразмерные) амплитуду второй гармоники V2 (z) = а 2 (Z)/U и расстрой-
расстройку Ai = Ak/BaiUI а также безразмерную длину ? = a\Uz (не
путать с ? в формуле B.3.4)!), запишем систему B.4.3) в виде
1
Второй интеграл системы B.4.56) имеет вид B.4.7):
СО8ф= С-Ащ| B.4.57)
где константа интегрирования С определяется граничными зна-
значениями V2 @) = ^20 и Ф @) = Фо:
С = ^20 A - 4)) cos Фо + Aiv|o- B.4.58)
Формула B.4.57) является уравнением фазовой плоскости,
детально рассмотренной в одном из предыдущих пунктов этого
параграфа. Здесь мы найдем аналитические решения для V2 (С)
и Ф (?) при произвольных Ai и С.
Подставляя B.4.58) в первое уравнение системы B.4.56), по™
лучаем
^ __„.,,_ -?, -{С-А^у. B.4.59)
2.4 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ РАССТРОЙКЕ 71
Отсюда получаем
С = ±^ f dy B.460)
где у = г;|(?).
Пусть 2/1,2/2,2/3 — корни кубического уравнения
уA-уJ-(С-А1УJ = 0, B.4.61)
причем f/i < 2/2 < 2/3- Это позволяет преобразовать подкоренное
выражение в B.4.60) к виду (у — yi) (у — 2/2) (у ~ Уз)? и, вводя
замены переменных
2/2^2/1 2/з - ',
получим
ат , . B.4.63)
ууг-yi j y\i-T2)(l-f2T2)
т@)
Отсюда имеем
= F (??,/) B.4.64)
— неполный эллиптический интеграл 1-го рода [12], где т (С) =
= sine/?. Поэтому
г (О = sn (VyJ^l <? + 6); /), B.4.65)
или, с учетом B.4.62):
у (О = 4 (?) = yi + (г/2 - yi) sn2 {Vm^m (С + ?о), /), B.4.66)
где / = w ——— , а параметр ^о определяется из уравнения:
Уг + B/2 - yi) sn2 {Vm^Yi Co; /) = v220. B.4.67)
Итак, для расчета V2 (С) в случае произвольных А\ и С до™
статочно решить кубическое уравнение B.4.61), т.е. найти его
корни 2/1, 2/2, 2/3 (расположив их именно в следующем порядке:
2/1 < 2/2 < 2/3), вычислить параметры / и Со, а затем по форму-
формуле B.4.66), используя A2), вычислить V2 (?). Зная зависимость
^2 (?)> п0 Ф°РмУле B.4.57) можно вычислить Ф (С).
Поскольку |snx| ^ 1, то из B.4.66) следует, что г?2 (?) ос™
циллирует между у\ и 2/2- Для получения 100%-ного преобра-
преобразования основного (лазерного) излучения во вторую гармонику
необходимо, чтобы 2/2 — 1, а отсюда, в свою очередь, следует
72
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
С = Ai (только при этом значении С имеет место соотношение
1/2 = 1)- Действительно, при С = А\ из B.4.61) следует:
A - уJ (у-С)= О, B.4.68)
откуда получаем у\^ = 1, уз = С = А\. При этом уравнение
фазовой плоскости B.4.57) приобретает вид
cos# = ^, B.4.69)
где G теперь равно
С = v2ocos4f0. B.4.70)
Таким образом, мы получили уравнение сепаратрисы
B.4.12), и при ненулевой фазовой расстройке получение 100%™
ного преобразования во вторую гармонику реализуется только
в случае движения изображающей точки на фазовой плоско-
плоскости по сепаратрисе А2О1А1 (см. рис. 2.11). Во всех остальных
случаях 100 %™ное преобразование не достигается, и изображаю-
изображающая точка движется по замкнутой траектории, не достигающей
окружности с радиусом 1 (см. рис. 2.11).
Заметим, что величина ?о? определяемая из выражения
B.4.67), может быть как положительной (в этом случае V2 (С) на
начальном этапе возрастает), так и отрицательной (v2 (С) внача-
вначале убывает).
Рассмотрим частный случай отсутствия второй гармоники на входе
кристалла (t;2o = 0). В этом случае С = 0, и уравнение B.4.61) приводится
к виду
у[у2-B + А2)у+1] =0 B.4.71)
и корни уравнения B.4.71) равны
tfi=O,
2
Решение B.4.66) в этом случае имеет вид (заметим, что ^о :=:: 0)
B.4.72)
B.4.73)
Поскольку по теореме Виета для квадратного уравнения у2Уз = 1, то
v2 (О = Vm sn D=;
Из B.4.72) следует:
B.4.74)
B.4.75)
2.4 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ РАССТРОЙКЕ 78
Из вышеприведенного общего рассмотрения следует, что V2 (С) осциллирует
между нулем и величиной
= \ 1 + — -^- = Vfo
B-4.76)
что совпадает с формулой B.4.27), где величина г/2 обозначена как ж. Итак,
Как и следовало ожидать, выражения B.4.77) и B.4.20) совпадают. Коге™
рентная длина, т.е. длина ?к, на которой V2 не убывает, равна
Ск = л/^ # М , B.4.78)
где
#М = f M B.4.79)
— полный эллиптический интеграл 1-го рода.
Для случая больших волновых расстроек, характерных для РДС™
кристаллов, Ai ^> 1, имеем
B.4.80)
а также (см. [12])
B.4.81)
С учетом B.4.80), B.4.81) получим
Ск«г^A--^). B.4.82)
Заметим, что выражение B.4.82) совпадает с формулой для когерент™
ной длины в приближении заданной интенсивности (см. § 2.9 настоящей
главы).
Возвратимся к случаю ненулевой амплитуды второй гармо-
гармоники на входе (? = 0) нелинейного кристалла. Как следует из
рассмотрения фазовой плоскости (см. рис. 2.11), минимальное
значение V2 (С) достигается при Ф = 0, а максимальное — при
Ф = тг (очевидно, что то же самое следует и из первого урав-
уравнения системы B.4.56), если положить там производную рав-
равной нулю). Рассмотрим при этом несколько конкретных част™
ных случаев, полагая для определенности Д]_ > 0.
!• ^20 Ф 0, Фо = 0. Этот случай реализуется при выпол-
выполнении условия так называемого «квазисинхронизма» в РДС™
кристаллах (см. гл. VII).
При Фо = 0 из B.4.58) получаем
B.4.83)
74 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
Найдем корни уравнения B.4.61) для этого значения С. Пря™
мой подстановкой молено убедиться, что у\ = v^o? в связи с чем
уравнение B.4.61) можно привести к виду
A - 4)) \у2 + D) - 2 - А?) У + 4г1 = 0. B.4.84)
L V20 J
Корни квадратного уравнения, получающегося вследствие
приравнивания нулю квадратной скобки в B.4.84), равны
У2,з = 1+f -f ±|Ai - «201 ^1 - | «I, + M + ^H? , B.4.85)
причем знак минус соответствует корню f/2? а плюс — корню
уз- Напомним, что в этом случае величина ^2 (С) осциллирует
между ^20 и \/У25 причем V2 (С) сразу ^ке начинает возрастать;
из формулы B.4.66) получаем
86)
4 @ = 4) + (i/2 - ^1о) sn2 У уз - v220 (С + Со); /] . B.4.
Максимум V2 (С)? т-е- значение V2 (С) — л/Ш-, достигается при
ф (^) = тг. Из B.4.86) также следует, что Со = 0, так что за-
зависимость V2 (С) для конкретного случая Фо = 0 определяется
формулой
B-4.87)
Поскольку здесь С = Со? то5 к^к и для частного случая ну-
нулевого граничного условия для амлитуды второй гармоники
(^20 = 0), для данного случая (г?2о Ф 0, Фо = 0) мы мо^«ем опре-
определить когерентную длину как такую длину среды С — Ск5 на
которой V2 (С) не убывает (т.е. достигает максимума V2 (Ск) =
— \/ш)- Заметим, что при этом
= 1, B.4.88)
J
что означает выполнение условия
у/уз - v\^ = К (уз) • B.4.89)
Отсюда получаем выражение для когерентной длины ^к:
B.4.90)
Здесь мы записали К (уз), а не К (/), поскольку
B.4.91)
2.4 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ РАССТРОЙКЕ 75
а, согласно теореме Виета для квадратного уравнения (квадрат™
ная скобка в B.4.84)),
С
У2Уз = — •
Напомним, что корни |/2,з и константа С выражаются форму™
лами B.4.85) и B.4.83) соответственно. Полный эллиптический
интеграл 1-го рода в выражении B.4.90) определяется форму-
формулой
K(f)=
(f)= Г , dt , B.4.92)
u; J ^(i ^t2) (l-/2t2) v J
где / определена в B.4.91).
2. ^20 ф 0, Фо = тг/2. Этот случай возможен (для второго
кристалла) при генерации второй гармоники в двух последова-
последовательно расположенных кристаллах. Заметим, что иногда име-
имеет место мнение, что обобщенная фаза Ф на входе кристал-
кристалла (? = 0) всегда должна быть равна тг/2, так как при этом
sln^o = 1; это обеспечивает максимум производной dv2/d? в
первом уравнении системы B.4.56) и, следовательно, наиболь-
наибольший «темп» роста г>2 (С)- Это утверждение абсолютно верно для
случая t^G = 0, однако при г>20 Ф 0 оно требует дополнительного
рассмотрения.
При Фо = тт/2 из B.4.58) имеем
С = Aiw|0, B.4.93)
и уравнение B.4.61) приобретает вид
y(l-yJ-A21{v220-yJ = 0. B-4.94)
Максимум V2 (С) достигается по-прежнему при Ф = тг, но
при этом ^о Ф 0, причем ^о > 0 (амплитуда гармоники сразу
же начинает возрастать). Из рассмотрения фазовой плоскости
(см. рис. 2.11) следуют два следствия:
а) длина, на которой амплитуда второй гармоники не убыва-
убывает (когерентная длина), равна
B.4.95)
причем она меньше, чем таковая для случая Фо = 0;
б) максимальная амплитуда 1^акс = yjy^ в случае Фо = тт/2
меньше, чем таковая при Фо = 0 для одного и того же зна™
чения 1J2G (хотя первая и достигается на большей когерентной
длине). Таким образом, для получения большего значения ^акс
для данного ^20 следует выбрать Фо = 0, а не тг/2.
3. ^20 ф 05 ^о = ж или Зтг/2. Эти случаи не представля™
ют практического интереса, так как из рассмотрения фазовой
76 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
плоскости на рис. 2.11 следует, что здесь ^о < 0, т.е. амплитуда
гармоники вначале убывает, достигая минимума при Ф = 0, а по-
потом начинает нарастать, достигая максимума при Ф = тг. Таким
образом, при Фо = тг на половине когерентной длины идет убы-
убывание амплитуды второй гармоники; аналогичное явление, но на
одной трети когерентной длины, наблюдается при Фо = Зтг/2.
В заключение этого пункта сделаем одно важное замеча-
замечание. При данном значении приведенной волновой расстройки Ах
изображающая точка движется по фазовой траектории (на фа-
фазовой плоскости, см. рис. 2.11), которая полностью определяет-
определяется параметром С по формуле B.4.58), а при заданном значении
^20 — только значением граничной фазы Фо. Соответственно, па™
раметром С при заданном Ах будет определяться и вид функций
г>2(?)> ^ (С) и? следовательно, период этих функций. Функция
V2 (С)? напомним, выражается через эллиптический синус (функ-
(функцию Якоби [12]; см. B.4.66)). Ее общий вид на оси ? определяется,
как уже указывалось, только параметром С (при заданном Ai),
но ее место на оси ? (т.е. фаза относительно входа кристалла
? = 0) определяется лишь величиной ?о? зависящей от V2Q.
Устранение особой точки в укороченных уравнениях. В исход-
исходных укороченных уравнениях B.4.3) или, например, B.4.56) существует
особая точка типа неопределенности при делении нуля на нуль. Эта точка
связана с членом (соэФ)/^ в фазовом уравнении при прохождении функ-
функции V2 через нуль. При V20 = 0 имеем Фо = тг/2 и cos Фо = 0, а при V2o ф 0
функция V2 (?), как следует из вида фазовой плоскости (см. рис. 2.11), про-
проходит через нуль также при Ф = тг/2. Эта неопределенность в ряде случаев
вызывает сбой при компьютерных вычислениях при прохождении V2 (С) че™
рез нуль (переполнение регистров) в силу того, что фаза Ф (?) при этом
может отличаться от тг/2 (пусть даже и на весьма малую величину). Разу™
меется, эту особую точку можно обойти за счет специальных приемов при
программировании, однако, поскольку она не является неизбежной при-
принадлежностью укороченных уравнений, ее можно устранить надлежащей
заменой переменных.
Рассмотрим исходную систему приведенных укороченных уравнений:
dvi . т _ dv2 2-х г d4? А / vf\
^^ = — V\V2 Sin W—Oii;i, — = —Vi Sin W—02^2, ^^ = — Al— I 2^2^^ JCOS Ф.
dC d^ d^ V v2/
B.4.96)
Введем новые переменные
B.4.97)
Прямой подстановкой можно убедиться, что в новых переменных g1?2
система уравнений B.4.96) примет вид
B.4.98)
Сразу видно, что новая система B.4.98) не имеет особых точек типа
неопределенности при делении нуля на нуль, в связи с чем ее можно реко™
2.5 ГВГ В РАСХОДЯЩЕМСЯ ПУЧКЕ 77
мендовать для компьютерных расчетов процесса генерации второй гармо-
гармоники. Имеет место очевидное равенство
vUt)=gl(O+g22(O, B-4.99)
а в отсутствие потерь (<fi,2 = 0) справедливо выражение
n(O + g2i(O+gUO = h B.4.100)
что является прямым следствием первого интеграла системы B.4.96) при
#1,2 = 0, т.е. равенства v\ (?) + v\ (?) = 1. Второй интеграл системы B.4.96)
при <5i;2 = 0, т.е. уравнение фазовой плоскости B.5.57), в переменных g1 2
примет вид
* F = c
где по-прежнему
B.4.102)
а величины g10, g20 означают значения фунщ' " gx (С) и Я 2 (С) на входе
(? = 0) кристалла.
Заметим, что нельзя произвольно задавать граничные значения g10 и
g20. Так, например, если произвольно задать g10, то для правильного за-
задания g20 надо знать V20:
B.4.103)
или vio, так как vf0 + г;|о = 1-
Завивисимость Ф (^) мож;ет быть получена из очевидного соотношения:
Ф (О = arctg ^4S • B.4.104)
gF
При прохождении V2 (С) через нуль обе функции g1 2 (С) также прохо-
проходят через нуль, а фаза Ф (?) при этом совершает скачок на тг (см. рис. 2.11).
Когда функция g i (С) = v'2 (С) cos ^ (С) проходит через нуль при ненулевом
значении V2 (?), это означает, что фаза Ф (^) в этот момент приобретает зна-
значение тг/2 или Зтг/2, и модуль аргумента тангенса в B.4.104) соответственно
обращается в бесконечность.
2.5. Генерация второй гармоники в расходмщемсм
световом пучке (геометрооптическое
приближение)
Световой пучок как набор парциальных лучей; гео-
метрооптическое приближение. Предположим, что в нели-
нелинейный кристалл входит расходящийся пучок излучения основной
частоты, имеющий конечную апертуру (поперечный линейный
размер пучка do) и характеризующийся углом расходимости
(р®. Полагаем, что направление биссектрисы угла расходимости
(ось пучка) совпадает с направлением синхронизма. Примем,
78
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
что (fo ^> (^д, где <^д = 1,22A/do — угол дифракционной расхо-
расходимости (А — длина волны основного излучения). Плотность
мощности излучения на входе кристалла считаем постоянной
по поперечному сечению пучка.
Будем использовать геометрооптическое приближение. В
этом приближении световой пучок рассматривается в виде на-
набора парциальных лучей. Амплитуды поля для разных лучей
предполагаются не связанными между собой. Взаимная неза-
независимость амплитуд лучей позволяет, в частности, говорить о
наличии резкой границы светового пучка, о резком переходе от
света к тени. Генерация второй гармоники в рамках данного при™
ближения происходит вдоль парциальных лучей, каждый из ко-
которых можно мысленно выделить и рассматривать независимо
от других. С каждым парциальным лучом можно сопоставить
плоскую волну; это означает, что генерация второй гармоники
вдоль отдельного луча может рассматриваться на основе тео-
теории, развитой для плоских волн (с использованием результатов,
полученных в § 2.2-2.4).
Используя геометрооптическое приближение 1), представим
расходящийся пучок в виде парциальных лучей, продолжения
которых сходятся в некоторой
точке на оси пучка — мни-
мнимом центре — в точке М на
рис. 2.17. Эта точка находит-
находится на расстоянии R = do/^o
от кристалла. Поскольку I <С
« Д (/ - длина нелинейно-
нелинейного кристалла), то изменением
поперечных размеров светово-
светового пучка в пределах кристалла
можно пренебречь. Типичные
числовые значения: I = 1—5 см,
R = 1—5 м (при do = 2^5 мм,
(fo = 1—2 мрад).
На рис. 2.17 выделены три
парциальных луча (лучи i, 2, 5),
образующие углы Lp\, (/92, (fi% с прямой МО, фиксирующей
направление синхронизма. На рисунке показано также направ-
направление оптической оси кристалла (прямая МЛ). Выделенные
парциальные лучи образуют с оптической осью кристалла углы
$Ъ ^2j <^з соответственно. Заметим, что все выделенные на
Рис. 2.17
) Излагаемая методика является по сути дела обобщением результатов
работы [14] на существенно нелинейный режим генерации второй гармони-
гармоники. Данная методика развита в [15-17].
2.5 ГВГ В РАСХОДЯЩЕМСЯ ПУЧКЕ 79
рисунке парциальные лучи лежат в плоскости синхронизма
(плоскости, проходящей через оптическую ось кристалла и
направление синхронизма). Для таких лучей (р = в — <9С.
Лучи характеризуются различной волновой расстройкой —
в зависимости от |0 —0С|. Будем полагать, что расстройка
не меняется, если изменять направление парциального луча
в плоскости, перпендикулярной к плоскости синхронизма (в
пределах апертуры пучка).
Угловые дисперсионные коэффициенты. Парциальный
луч, лежащий в плоскости синхронизма и образующий угол в
с оптической осью кристалла, характеризуется волновой рас-
расстройкой Ак(в). Разложим функцию Ак (в) в степенной ряд
вблизи в = вс:
Коэффициенты
dAk
dd
7i
72 :
_ dAk
d0 t
_ 1 d2Ak
B
B
B
.5.1)
.5.2)
.5.3)
называют узловыми дисперсионными коэффициентами (соот-
(соответственно 1-го и 2™го порядков). С учетом B.5.2) и B.5.3), а
также очевидного равенства Ак (вс) = 0, имеем
Ак (в) = 71 (^ - 0с) + 72 (в - всJ + ... B.5.4)
Максимальная волновая расстройка имеет место для край-
крайних (в плоскости синхронизма) световых лучей. Для них
\0 — 0С\ = (fo/2; поэтому
ААмакс = 71^ +72^ +¦¦¦ B.5.5)
Получим выражение для коэффициента 71 ПРИ скалярном
оое-синхронизме. В этом случае
Ак = Ке^ 2к0 = — [пе Bш) - п0 (ш)} B.5.6)
с
(используются обозначения, введенные в § 2.1). Зависимость по-
показателя преломления необыкновенной волны второй гармоники
от угла в имеет, согласно B.1.2), следующий вид:
Таким образом,
71 =
dAk
(в,2ш) = —=2 2°2е22 —. B.5.7)
УПо2 ~~~~ \По2 ~~~ Пе2/ C0S ^
o a;wO2We2 (^o2 - n2e2) cos ^c sin 9C , ox
= 2 v ' o/o , 2.5.8
i _ г о /i о \ <> n id/2 ' v /
80
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
Используя B.1.9), получаем
_
ng1 - п2е2) (п2о2 - п2о1)
B.5.9)
Из B.5.9) видно, что при 90°~ном синхронизме (вс= 90 , по\ =
= пе2) угловой дисперсионный коэффициент 1-го порядка равен
нулю: 7i = 0.
Если не рассматривать 90°™ного синхронизма, то можно, как
правило, ограничиться учетом только 7ъ поскольку для подав-
подавляющего числа нелинейных сред и для реализуемых на практике
расходимостей лазерных пучков выполняется неравенство
72?>о<71- B.5.10)
Иначе говоря, во многих случаях можно полагать, что
Ак (в) « 71 (# ~ 0С) = 7i<р B.5.11)
и, следовательно,
B.5.12)
Для получения высокой эффективности преобразования же-
желательно, чтобы максимальная расстройка, обусловленная рас™
ходимостью светового пучка, не превышала ширины централь-
центрального максимума кривой синхронизма (AfcMaKC ^ Ам). Полагая,
Д^макс = Дм и используя B.4.51) и B.5.12), получаем соотноше-
соотношение
^о = ^, B.5.13)
позволяющее в приближении заданного поля основного излу-
излучения оценить максимально допустимую расходимость щ. Эти
оценки для различных кристаллов приведены в табл. 2.2; при
этом предполагалось, что I = 1 см. Чем больше (/71 )-1? тем ме~
нее критичен кристалл к «выставлению на синхронизм».
Кристалл
KDP
ADP
LINbO3
RDA
71,
(см • угл. мин)
0,97
1,10
0,51
0,82
угл.
6
5
12
7
мин
,5
,7
,3
,7
Кристалл
CDA
RDP
КТР
LBO
(см
• угл. мин^
0,20
0,11
Таблица 2.2
-1
угл. мин
31,4
57
80^300
160
Интегральный коэффициент преобразования основ-
основного излучения во вторую гармонику по мощности. На
рис. 2.18 показано поперечное сечение пучка, имеющее (для про-
простоты) форму квадрата; МО — направление синхронизма, ось
х выбрана в плоскости синхронизма. Рассмотрим парциальный
2.5
ГВГ В РАСХОДЯЩЕМСЯ ПУЧКЕ
81
световой луч, лежащий в плоскости синхронизма и образующий
угол (р с направлением синхронизма. В соответствии с B.4.49)
запишем для данного луча
n(uj)(ii
Напомним, что амплитуда волны на основной частоте постоянна
по поперечному сечению пучка; поэтому Si не зависит от (р. Для
практических оценок допустимо полагать, что пBш)/п (ш) = 1
и а\ = о = о. Используя эти равенства, перепишем B.5.14) в
виде
Мощность второй гармоники, снимаемая с площади ds =
= do dxj есть
dP2 (/, ф) = S2 (/, ф) d0 dx. B.5.15)
(Напоминаем, что лучи, пересекающие изображенный на
рис. 2.18 квадрат по линии,
перпендикулярной к оси ж,
характеризуются одинако™
вой волновой расстройкой.)
Полная мощность второй
гармоники на выходе нелиней-
нелинейного кристалла описывается
интегралом
do/2
J
Й2 (/,</?) dx.
-do/2
Используя равенство х = (pd-.
виде
Рис. 2.18
перепишем этот интеграл в
= -
СПп J
B.5Л6)
Отношение
Г] =
_ ft (О
Pi(o) & (OK ^2'5'1 ^
называют интегральным коэффициентом преобразования
основного излучения во вторую гармонику по мощности. С
учетом B.5.16) представим этот коэффициент в виде
B.5.18)
J
82 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
Подставляя сюда B.5.14а), приходим к следующему выражению
для т]р:
Г к ((р) 8п2 [и ((р); к ((р)] dip. B.5.19)
J
Интегральный коэффициент преобразования во вто-
вторую гармонику в приближении заданного полм основно-
основного излучения. В этом приближении можно воспользоваться
вместо B.4.49) более простым соотношением B.4.47). С уче-
учетом сделанных выше замечаний о том, что молено принять
пBш)/п(ш) = 1 и ах = G2 = сг, перепишем это соотношение
в виде
52 (/, <р) = 8 ^ Sf @) I2 sine 2 ^M^ . B.5.20)
Подставим B.5.20) в B.5.18) и используем для угловой зависи-
зависимости волновой расстройки результат B.5.11) (это означает, что
не рассматривается Э0°~ный синхронизм); получим
где
@)
p () B.5.22)
СП
Вводя переменную интегрирования ? = (pjil/2, преобразуем
B.5.21) к виду
где п = (fojil/4 = Акмакс1/2. Интеграл в B.5.23) берем по ча-
частям:
о п о 2О
/- 2 ^ dE si
-n - о "
(здесь // = 2?). Функция
B.5.24)
о
есть интегральный синус [12]. Таким образом, интегральный ко™
эффициент преобразования г)р имеет в приближении заданного
2.5
ГВГ В РАСХОДЯЩЕМСЯ ПУЧКЕ
88
поля основного излучения вид
/Si B0)
Vp = Р [
sin2 О
B.5.25)
Рис. 2.19
Q О2
Интегральный синус можно представить в виде степенного ряда:
X3 Хъ X7
SiX = X - — + — - — + ... B.5.26)
3-3! 5-5! 7-7!
Из B.5.26) следует, что при малых X (при X < 1) можно принять SIX^X.
Так, при X = 0, 5 второй член в правой части B.5.26) составляет только
1,4 % от первого, а при X = 0, 2 — всего 0,2 %. При больших X (при X ^>1)
интегральный синус можно поло™
жить равным тг/2:
lim SiX= -. B.5.27)
Х^>оо 2
График интегрального синуса
показан на рис. 2.19.
Отметим два предельных
случая. В первом предпола™
гается, что (folji <C 1. Это
может быть связано с ма-
малой расходимостью светового
пучка, малой длиной нелинейного кристалла, слабой угловой
дисперсией. В данном случае О <С 1, (sInQ)/O « 1и SI B0) « 20;
поэтому B.5.25) принимает вид [ср. с B.4.48)]
2
f]p = p = о ^^ oi (uj I . (z.O.zoj
Обратим внимание на то, что коэффициент f]p пропорционален
плотности мощности основного излучения и квадрату длины
нелинейного кристалла.
Во втором предельном случае предполагаем О ^> 1 (^?q^7i 3>
>1). Полагая в B.5.25) (s!nO)/O = 0, a Si B0) = тг/2, получаем
ТТЛ 16ТГ2СГ2 о /л\ ,
ПЛ -L V /
o,ih , ^х B-5-29)
В отличие от предыдущего слу-
случая коэффициент f]p теперь про-
пропорционален длине кристалла в
первой степени.
На рис. 2.20 показана за-
зависимость rjp (I), вычисленная
/ в приближении заданного поля
основного излучения [по форму™
Рис. 2.20 ле B.5.25)]. Штриховые линии
на рисунке отвечают зависимо-
зависимостям B.5.28) и B.5.29); первая работает при малых I, вторая —
при относительно больших 1.
84 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
Оценки показывают, что приближение заданного поля рабо™
тает в полях маломощных непрерывных лазеров {т)р = 1—5%).
Нелинейный режим преобразования основного излу-
ченим во вторую гармонику. Использование соотношения
B.5.19) требует, строго говоря, вычисления численного интегри-
интегрирования с применением ЭВМ. Вместе с тем в литературе пред-
предпринимались попытки аналитически получить приближенные
выражения для rjp в нелинейном режиме (см., например, [17]);
однако, полученные соотношения оказались весьма громоздки-
громоздкими.
Приближенное аналитическое решение интеграла B.5.19)
можно получить при условии к2 ^ 0,3 (Ai ^ 0,6). В этом слу™
чае, как отмечалось в § 2.4, эллиптический синус Якоби можно
заменить обычным синусом (с погрешностью, не превышающей
10%); в результате соотношение B.5.19) принимает вид
?>о/2
т]р^— [ к Up) sin2 (и ((f)) dip. B.5.30)
Выполняя интегрирование в B.5.30) с учетом B.5.11), получаем сле-
следующее приближенное выражение для rjp:
+ C - 2«») (Si B„) - S2!i - Si (И?) + =±® )] . B.5.31)
Здесь, напоминаем, О = А1гМакс^/2 = (folji/4 и, кроме того, введены обо™
значения:
B.5.32)
~" 2(jai@) 4Gai@) '
Заметим, что интегрирование в B.5.19) по углу <р или, что то же самое,
по параметру Ак ~ ip в пределах от нуля до Акшакс включает в себя и отре-
отрезок [0; 0,6] значений Ai, где, вообще говоря, нельзя заменять эллиптический
синус Якоби на обычный синус. Однако, как показали расчеты, выполнен-
выполненные при Q < 2, вклад указанного отрезка оказывается несущественным. Это
видно из табл. 2.3, где для различных О и Q сопоставляются значения %,
вычисленные по формуле B.5.19) с использованием ЭВМ (столбец I) и по
приближенной формуле B.5.31) (столбец II). Можно видеть, что формула
B.5.31) в целом удовлетворительно (с ошибкой не более 10 %) аппрокси-
аппроксимирует точную зависимость т]р (Q,O) за исключением области, где малые
значения Q сочетаются с большими значениями Q. В указанной области
ошибка достигает 30 %, и формула B.5.31) может использоваться лишь для
ориентировочных расчетов.
2.5
ГВГ В РАСХОДЯЩЕМСЯ ПУЧКЕ
85
Данные, приведенные в табл. 2.3, иллюстрируют немонотонную зави-
зависимость коэффициента преобразования j]p от параметра Q2 (напоминаем:
Q2 = (croi(O)fJ) ~ Si @)I2). Это означает, что при фиксированном зна™
чении параметра О, пропорционального расходимости светового пучка, су-
существует оптимальное значение параметра Q2, при котором значение г]р
максимально. Таким образом, возможна оптимизация процесса генерации
второй гармоники с целью получения максимальной эффективности tjp или
максимальной выходной мощности второй гармоники Р% (I).
Таблица 2.3
0
1
2
3
4
6
8
10
12
Q = 0,5
I
0,170
0,130
0,105
0,080
0,065
0,045
0,035
0,025
II
0,196
0,145
0,101
0,076
0,053
0,041
0,033
0,028
Q =
i
0,470
0,350
0,240
0,190
0,140
0,105
0,085
0,075
1,0
II
0,555
0,386
0,267
0,203
0,145
0,111
0,090
0,076
Q = l,5
I
0,350
0,324
0,235
0,195
0,142
0,120
0,095
II
0,435
0,297
0,242
0,185
0,139
0,115
0,097
Q = 2,0
I
0,310
0,320
0,258
0,222
0,163
0,139
0,111
II
0,328
0,268
0,227
0,197
0,150
0,125
0,100
0,084
Рассмотрим зависимость г)р и
Pi (I) будем при этом использовать
но B.5.17) и B.4.42),
ч (l) от параметра Q. Вместо
r]pQ2. Действительно, соглас-
согласоткуда следует, что
-1 (I) =
спщ
B.5.33)
Зависимости т\р и T]pQ2 от Q1 рассчитанные для разных значе-
значений ft по формуле B.5.19) с использованием ЭВМ, представлены
на рисунках 2.21 и 2.22 [16]. Цифры 1-9 на рисунках отвечают
значениям параметра О, равным соответственно 0, 1, 2, 3, 4, 6,
8, 12, 22,5.
Из рис. 2.21 видно, что зависимость rjp (Q) проявляет тенден-
тенденцию к насыщению при увеличении Q5 причем при малых зна™
чениях Q наблюдается максимум г)р. Эффективность преобра-
преобразования с ростом О быстро падает. Для объяснения характера
представленных зависимостей rjp (Q) напомним, что чем больше
) В случае не квадратного, а круглого сечения пучка (диаметра do) надо
в B.5.33) заменить dg на тг^о/4.
86
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
ч
0,3
0,2
од
о
угол (р парциального луча, тем больше волновая расстройка и
тем, очевидно, менее эффективно должен протекать процесс ге-
генерации второй гармоники. Однако при больших Q и малых п
коэффициент преобразования
7]р может оказаться больше для
более расходящихся лучей, по-
поскольку интенсивно протекаю-
протекающий процесс генерации гар-
гармоники приосевыми лучами
сопровождается заметным ис-
истощением волны основной ча-
частоты, причем может иметь ме-
место даже обратная перекачка
мощности.
Представленные на рис. 2.22
зависимости f]pQ2 (иначе гово-
говоря, мощности Р2 (I) от Q при
al = const демонстрируют мо-
монотонный рост мощности вто-
второй гармоники с увеличением
Q] темп этого нарастания с уве-
увеличением Q, уменьшается.
Графики на рисунках 2.21
и 2.22 хорошо иллюстрируют
Рис. 2.21 сильное влияние расходимости
светового пучка на эффективность генерации второй гармони-
гармоники и на выходную мощность гармоники. Например, для Q =
= 2 при переходе от дифракционно-расходящегося пучка (п « 0)
к реальному пучку с
раСХОДИМОСТЬЮ ОКОЛО 1' р2к
(для кристалла KDP р
при I = 4 см это соответ-
соответствует параметру И « 2
для оое-взаимодействия)
мощность второй гар-
гармоники падает втрое, а
при расходимости 6; в
восемь раз.
Рассмотренные выше
графики позволяют по-
построить зависимости г]р
от I для различных
значений параметров
crai(O) и АА;макс. Такие
зависимости показаны Рис. 2.22
2.6
ГВГ СВЕТОВЫМИ ИМПУЛЬСАМИ
87
на рис. 2.23 A — для aai(O) = 0, 6 см
для аа\ @) =0,4 см^1, АкмдьКС = 2
Акмакс = 2 см г; 2 —
^1; 3 — для aai@) =
)
™1
= 0,6 см™1, Аймаке = 4 см™1; 4 ~ Для crai(O) =0,4 см
Аймаке = 4 см™1). Каждый из графиков т]р (I) имеет максимум,
которому соответствует оптимальная длина нелинейного
кристалла 1ОПТ- Значение 1ОПТ опреде-
определяется в основном параметром crai(O),
тогда как зависимость 1ОПТ от AfcMaKC
является относительно слабой. Уве-
Увеличение длины кристалла сверх 1ОПТ
нецелесообразно, поскольку это будет
приводить к уменьшению rjp за счет
эффекта обратной перекачки мощ™
ности.
Заметим, что сравнение эксперименталь-
экспериментальных данных с рассмотренными выше теоре™
тическими результатами следует проводить
с осторожностью. Здесь рассматривался ста-
стационарный режим генерации второй гармо™
ники. В таком режиме значения Q и 1 заве-
заведомо не достигаются. В квазинепрерывных
и импульсных режимах нетрудно получить
значения Q вплоть до пробойных, однако
при этом надо скорректировать теорию при-
применительно к импульсу основного излучения. Корректировку теории сле-
следует произвести и в связи с неоднородным распределением плотности мощ-
мощности основного излучения в поперечном сечении светового пучка.
Иными словами, в теорию генерации второй гармоники необходимо вве-
ввести учет пространственно-временной модуляции излучения на основной
частоте.
0,3
о,2
q \
/, см
Рис. 2.23
2.6. Генерация второй гармоники световыми
импульсами (квазистатическое приближение)
Световые импульсы с плоским фронтом. Оставаясь в
рамках приближения плоских волн^ предположим, что амплиту-
амплитуда волн промодулирована во времени. Иначе говоря, будем рас™
сматривать генерацию второй гармоники световыми импульса-
импульсами с плоским фазовым фронтом. Вместо B.2.2) в данном случае
используют следующее выражение для напряженности светово-
светового поля (рассматривается скалярный оое-синхронизм):
Е (z, t) = - {ei Ai (z, t) exp [i (ujt - kz)} +
+ e2A2 (z, t) exp [г But - Kz)] + к.с.} . B.6.1)
На первый взгляд, различие между B.6.1) и B.2.2) может
показаться несущественным. В действительности же здесь есть
88 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
принципиальное различие. Модуляция амплитуды поля во вре™
мени означает, что теперь излучение уже не является монохро-
монохроматическим. Спектр частот основного излучения описывается
функцией
оо
Рш (ujf) ~ J Аг (z, t) exp [i (ш -J)t- ikz] dt, B.6.2)
характеризующейся центральной (основной) частотой ш и имею-
имеющей ширину Да/, которая связана с длительностью светового
импульса т\ (иначе говоря, с шириной функции А\ (?)) извест-
известным соотношением
Да/«-. B.6.3)
Предположим, что
До/«С о;. B.6.4)
Это означает, что световой импульс может рассматриваться как
квазимонохроматический сигнал с узким частотным спектром.
Итак, со световым импульсом А\ [z, t) exp [iujt — ik (ш) z] еле™
дует сопоставлять набор монохроматических волн с частотами
а/ и волновыми векторами fc(o/). Частоты а/ заполняют неко-
некоторый интервал Да/, «привязанный» к основной частоте ш. Су-
Существенно, что все эти монохроматические волны распростра-
распространяются в диспергирующей среде; поэтому их фазовые скорости
с/п (ujf) оказываются разными. Это обстоятельство приводит к
тому, что по мере распространения в среде световой импульс
деформируется (эффект дисперсионного расплывания).
Разложим функцию k (ujf) в степенной ряд вблизи о/ = ш
и ограничимся тремя членами разложения (используя малость
Да/):
* м = * м+v -){^)Я( f @ )„
Эффект дисперсионного расплывания импульса связан с тре-
третьим слагаемым в правой части B.6.5). Существенное расплы-
вание происходит на длине
^ис=2 (**/!"),,' B-6-6)
называемой эффективной длиной дисперсионного расплывания.
Обратим внимание на то, что Ьдис ~ т-р. Чем короче им-
импульс, тем шире его спектр частот и тем, следовательно, сильнее
проявляется эффект дисперсионного расплывания (тем меньше
^дис)- Если можно пренебречь третьим слагаемым в разложе™
нии B.6.5), то световой импульс распространяется в среде, не
2.6 ГВГ СВЕТОВЫМИ ИМПУЛЬСАМИ 89
деформируясь, со скоростью
и= г f , B.6.7)
называемой групповой скоростью1). Напомним, что k (ujf) =
= — п(сс/). Следовательно,
-="И + 4^) ^ B-6-8)
Из B.6.8) видно, что групповые скорости импульсов основного
излучения и второй гармоники в нелинейном кристалле, вообще
говоря, различны. Обозначим их через щ и и^ соответственно.
Используя B.2.2), мы получили в § 2.2 систему укороченных
уравнений B.2.22). Если вместо B.2.2) использовать B.6.1), то
можно получить систему укороченных уравнений, состоящую
из уравнений B.2.22), дополненных слагаемыми с производны-
производными по времени dA\^/dt и д2А\^/dt2. Каждое из этих слагае-
слагаемых связано с определенным физическим эффектом. Слагаемые
с первыми производными {dA\/dt и dA^jdi) позволяют учесть
эффект группового запаздывания взаимодействующих световых
импульсов. Этот эффект проявляется в том, что благодаря раз™
личию групповых скоростей импульсы основного излучения и
второй гармоники по мере распространения по нелинейному
кристаллу смещаются друг относительно друга (один импульс
запаздывает по отношению к другому). Слагаемые со вторы-
вторыми производными (слагаемые d2A\/dt2 и д2А2/di2) позволяют
учесть эффект дисперсионного расплывания световых импуль™
сов.
Квазистатическое приближение. Допустим, что
/ — - —
U\ 42
I « Lmc. B.6.10)
Неравенство B.6.9) означает, что различие во времени прохож-
прохождения импульсов основного излучения и второй гармоники через
нелинейный кристалл длины I много меньше длительности са-
самого импульса; поэтому можно пренебречь смещением импуль-
импульсов относительно друг друга. Разность A/щ — 1/^) называют
расстройкой обратных групповых скоростей, или просто груп-
групповой расстройкой. В данном случае эта расстройка оказывает-
оказывается несущественной. Неравенство B.6.10) означает, что за время
г) Подробнее см., например, в [18].
2) В отсутствие дисперсии (dn/duj' = 0) имеем с/и = п(ш). В этом слу-
случае групповая скорость совпадает с фазовой скоростью с/п(ш)] при этом
отсутствует эффект дисперсионного расплывания.
90 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
прохождения по нелинейному кристаллу импульс не успевает
сколь™либо заметно деформироваться; иначе говоря, можно не
учитывать эффект дисперсионного расплывания.
Пренебрежение расстройкой групповых скоростей и диспер-
дисперсионным расплыванием импульсов означает, что в укороченных
уравнениях можно опустить члены с производными dA\^/dt
и d2Ai^fdt2. Используя B.2.22) и пренебрегая линейным по™
глощением (S\ = 62 = 0), запишем эти уравнения в следующем
виде:
aA(M) + iaiA\A2 exp {-iAk - z) = 0,
ал (z t)
dA(M) + ia2A? exp (iAk -z) =
+ ia
dz
Граничные условия (условия при z = 0) представим в виде
Аг @, t) = A10/ (t), A2 @, t) = 0, B.6.12)
где / (i) — временной форм-фактор входного импульса основно-
основного излучения (полагаем, как обычно, что вторая гармоника на
входе нелинейного кристалла отсутствует).
Отсутствие производных по времени в B.6.11) позволяет
фиксировать тот или иной момент времени и затем для выбран-
выбранного момента решать стационарную краевую задачу генерации
второй гармоники. Для плоских волн эта задача рассматрива-
рассматривалась в § 2.3 и 2.4, а для расходящегося светового пучка — в
§ 2.5. При этом для разных моментов времени амплитуда А\ на
входе нелинейного кристалла будет иметь, вообще говоря, раз™
ные значения. В момент t входная амплитуда А\ имеет значение
А\ @, ?); ему отвечает мгновенное значение входной мощности
основного излучения Pi @, ?). Решая стационарную краевую за™
дачу, находят для выбранного момента t мгновенное значение
выходной мощности второй гармоники Р2 (Z, t) и мгновенный ко-
коэффициент преобразования по мощности
п р(г) = ^Ш. B.6.13)
lp W Pi @, t) V ;
Интегрирование по времени позволяет найти энергию входного
импульса основного излучения
оо
Ei@) = J Pi(O,t)dt B.6.14)
— 00
и энергию выходного импульса второй гармоники
сю
E2(l) = J P2(l,t)dt. B.6.15)
2.6 ГВГ СВЕТОВЫМИ ИМПУЛЬСАМИ 91
Отношение
есть коэффициент преобразования по энергии. Из B.6.13)—
B.6.16) видно, что г]е ф J' % (t) dt.
Рассматриваемое приближение называют квазистатиче-
квазистатическим. Говорят также об импульсном квазистационарном режиме
генерации второй гармоники. Неравенства B.6.9) и B.6.10) опре-
определяют условие применимости квазистатического приближения.
Данное приближение широко используется на практике. Оно
применимо даже для лазеров в режимах модуляции добротно-
добротности резонатора и синхронизации мод. В первом случае длитель-
длительность импульса основного излучения составляет 0,1-1 мкс для
лазеров с непрерывной накачкой и 5^50 не с импульсной. Дли-
Длину нелинейного кристалла варьируют примерно от 1 до 5 см.
Учитывая приведенные значения для I и тх, рассмотрим наибо-
наиболее «опасный» (с точки зрения применимости квазистатическо-
квазистатического приближения) случай: I = 5 см, т\ = 5 не. Полагая ч\^ ~
« 1010 см/с, получаем l/щ^ ~0, 5 не. Таким образом, l/щ^ «Сп
и, следовательно, B.6.9) заведомо выполняется1). Заметим, что
условие B.6.9) часто выполняется и для лазеров в режиме син-
синхронизации мод, т.е. для импульсов субнаносекундного диапа™
зона длительностей. Что касается дисперсионного расплывания
импульсов, то для большинства кристаллов в области прозрач-
прозрачности d2kfduj2 « 10^27 с2/см. Поэтому, согласно B.6.6), Ьдис «
~ 1010 см. Это означает, что B.6.10) в данном случае выполня-
выполняется с огромным запасом.
Квазистатическое приближение перестает работать при ис-
использовании сверхкоротких, в особенности — фемтосекундных
лазерных импульсов (тх ^ 10™11 с). В этом случае гово-
говорят о генерации второй гармоники в нестационарном режиме
(см. § 3.4).
При анализе эффекта дисперсионного расплывания импуль-
импульсов мы ввели эффективную дисперсионную длину ЬДИс5 ПРИ I ^
«СЬдис этот эффект несуществен. Аналогично можно ввести эф~
фективную групповую длину
LTP= h/ T\, ; B.6.17)
при I <C Lrp эффект группового запаздывания несуществен.
Таким образом, при выполнении условий I<Lrp, ^^Ьдис мы
) Условие lju <C т\ является достаточным, но не необходимым для вы-
выполнения неравенства B.6.9). Последнее может выполняться и тогда, когда
Т\ < 1/и.
92 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
можем пользоваться квазистатическим приближением. При
невыполнении одного или обоих условий (как правило,
Ацис ^^гр) следует использовать укороченные уравнения, в ко-
которых сохранены первая или, соответственно, первая и вторая
временные производные, что соответствует существенно неста-
нестационарному процессу генерации гармоники.
В заключение этого пункта сделаем полезное замечание, ка-
сающееся разложения функции к (ш) в степенной ряд (см. фор-
формулу B.6.5)). В этой формуле мы ограничились тремя членами
разложения, причем учет только первого члена в B.6.5) означа-
означает отсутствие дисперсии, первого и второго членов — учет дис-
дисперсии в первом приближении, первого, второго и третьего чле-
членов — учет дисперсии во втором приближении. Таким образом,
первое приближение теории дисперсии применительно к генера-
генерации второй гармоники означает учет группового запаздывания
импульсов, второе приближение теории дисперсии соответству-
соответствует учету дисперсионного расплывания импульсов. Однако для
импульсов фемтосекундного диапазона (когда длительность им™
пульса ~ 1 фс = 10~15 с) и тем более для пока нереализованного
на практике аттосекундного диапазона (lac = 1СП18 с) требу™
ется привлечение теории дисперсии третьего и более высоких
приближений, т.е. учет следующих членов разложения в B.6.5).
Графический метод определения мгновенного коэф-
коэффициента преобразования по мощности. В рамках ква-
квазистатического приближения существует удобный графический
метод, позволяющий найти зависимость г\р от времени для за™
данной зависимости входной мощности основного излучения от
времени (зависимости Pi@, ?)). При этом предполагается из-
известной также зависимость стационарного коэффициента пре-
преобразования г]р от мощности Pi @) (имеется в виду зависимость,
определяемая в режиме стационарной генерации второй гармо-
гармоники) .
Обратимся к рис. 2.24. Кривые 1 и 2 описывают зависимость
т]р от Pi @) при стационарной генерации гармоники для случаев
соответственно плоских волн и расходящегося пучка; кривая 8
передает временной профиль входного импульса основного из-
излучения (зависимость мощности Pi @) от времени). Аналитиче™
ские выражения для этих зависимостей в данном случае несуще-
несущественны, поскольку искомая зависимость t]p (t) будет построена
графически. Выберем некоторый момент времени, например t\
(см. рисунок). В этот момент Pi @) принимает значение Р[. В
случае плоских волн стационарный коэффициент г]р принимает
при Pi @) = Р{ значение rfp, а в случае расходящегося пучка —
значение г}1' В квазистатическом приближении эти значения яв-
являются искомыми значениями мгновенного коэффициента пре-
2.6
ГВГ СВЕТОВЫМИ ИМПУЛЬСАМИ
98
образования в момент времени t\\ тем самым определяются
точки А\ и А<2, на графиках r]p (t). Выбирая разные моменты
Рис. 2.24
времени, можно построитв искомую зависимость f]p(t); см. на
рисунке кривую 4 Для случая плоских волн и кривую 5 для рас-
расходящегося пучка.
Умножая полученную функцию f]p(t) на Pi@, ?), находят
функцию P2(l1tI описывающую зависимость от времени для
выходной мощности второй гармоники. Интегрируя Pi @, t) и
P2(l,t) по времени, получают энергию соответственно входно-
входного импульса основного излучения и выходного импульса второй
гармоники.
Далее рассмотрим некоторые аналитические решения для
импульсной квазистационарной генерации второй гармоники.
Приближение заданного поля основного излучения.
Рассмотрим случай плоских волн^ полагая при этом, что усло-
условие синхронизма выполняется точно (ДА; = 0). В этом случае
выражение для Р2 (/, t) будет иметь в квазистатическом прибли-
приближении такой же вид, как и B.4.46):
Р2 (Z, t) = 2А [<j2Pi @, t) if . B.6.18)
Здесь А = 4тт Bа;)/ [сп2 (ш) 5], где s — площадь поперечного
94 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
сечения светового пучка1). Для импульса основного излучения,
имеющего гауссову форму:
Рг @,*) = Pi @,0) ехр [~\, B.6.19)
получаем из B.6.18)
Р2(М) = 2A[o-2Pi@,0)l]2exp(-^ ) . B.6.20)
Импульс второй гармоники на выходе кристалла имеет, как и
входной импульс основного излучения, гауссову форму, но в л/2
раз меньшую длительность.
Подставляя B.6.19) в B.6.14), находим энергию входного им-
импульса основного излучения
?7i@)=Pi@,0) fexpf-^ )rfr = iv^nPi@,0). B.6.21)
Подставляя B.6.20) в B.6.15), находим энергию выходного им-
импульса второй гармоники
Е2 (I) = sj\ An [a2Pi @,0) if . B.6.22)
Отсюда согласно B.6.16) получаем
VE = P^r=V2 \o\i1Pl @,0). B.6.23)
В случае расходящегося светового пучка воспользуемся ре™
зультатами, полученными в § 2.5. Используя B.5.16), B.5.18),
B.5.26), запишем следующее выражение для мощности Р2 (l,t)
в квазистатическом приближении:
Р2 (I, t) = 2А [а2Рг @, t) 1}Z (^p - ^^ J . B.6.24)
Как и в случае плоских волн, Р2 (l,t) ~ Pf @, t) (заметим, что
П не зависит от времени). Для гауссова импульса основного из™
лучения B.6.19) получаем отсюда следующий результат для ко-
коэффициента преобразования во вторую гармонику по энергии:
т,Е = V2A<#2iM0,0) (^ " ^й) ¦ B-6-25)
Нелинейный режим генерации второй гармоники.
Этот режим рассмотрим для плоских волн в случае точного
) Применяя здесь приближение плоских волн, можно было бы рассмат-
рассматривать пучок бесконечной апертуры; при этом вместо мощности и энергии
надо было бы использовать их плотности.
2.6
ГВГ СВЕТОВЫМИ ИМПУЛЬСАМИ
95
выполнения условия фазового синхронизма. Будем исходить из
соотношения B.4.49), в котором следует положить к = 1 (по-
(поскольку Ak = 0). Так как sn (щ 1) = th и, и (t) = l^f(J\(J2 «i @; i),
ai @,t) = ^/8ttPi @, t)/cn (ш) s, то получаем из B.4.49) следую™
щее выражение для Р2 (/,?) в квазистатическом приближении:
@,t)
сп (ш) s
B.6.26)
Легко видеть, что, в отличие от приближения заданного поля,
в нелинейном режиме при преобразовании основного излучения
во вторую гармонику гауссова форма исходного импульса не со-
сохраняется.
На рис. 2.25 показаны некоторые конкретные зависимости Fi@,t),
позволяющие аналитически найти выражения для энергии Е2 (I) и коэф-
коэффициента преобразования tje (эти зависимости подставляют в B.6.26) и
3@,0'
0 %г/2 t
Рис. 2.25
выполняют интегрирование, согласно B.6.14) и B.6.15)). Используя прямо-
прямоугольный импульс основного излучения (рис. 2.25 а)
@,*) =
Pi @,0)
0
для — n/ z ^ t
для |t| > n/2,
B.6.27)
96
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
получаем следующее выражение для т]е-
B.6.28)
где
Uq = I
@,0)
сп (ш) s
Для импульса с экспоненциальными фронтом и спадом (рис. 2.25 б)
2|t
B.6.29)
P(O,*) = Pi(O,O)exp(-
(тфр — длительность фронта по уровню 1/е амплитуды) находим
2 th г*о 21n(chu0)
f]E = 1 - ^-^ + 2 •
Для треугольно-гиперболического импульса (рис. 2.25 в)
находим
TJE = 1 -
B.6.30)
B.6.31)
B.6.32)
B.6.33)
В случае трапецеидального импульса с экспоненциальными фронтом и спа-
спадом (рис. 2.25 г) получаем
TJE =
2Е1 [1 - 2(th uo)/uo + 2 In (ch ио)/иЩ + Eff th2 u0
B.6.34)
Р1@,0)(то+Тфр)
где Е = Pi @,0) Гфр/2 — энергия, приходящаяся на часть импуль-
импульса основного излучения с экспоненциальной временной зависимостью;
Е" = Pi @, 0) п — энергия, при-
приходящаяся на плато импульса,
имеющее длительность п.
На рис. 2.26 представлены за-
зависимости коэффициента преоб-
преобразования 7]е от параметра ио
для разных форм входного им-
импульса основного излучения: 1 —
для импульса B.6.27), 2 — для
импульса B.6.30), 8 —для им-
импульса B.6.32).
По мере распространения в
нелинейном кристалле форма им-
~"^ пульса основного излучения из-
0 меняется вследствие перекачки
энергии во вторую гармонику.
Наибольшей мощностью ха-
характеризуется вершина импуль-
импульса. Для нее обратная реакция гармоники на волну основной частоты
проявляется сильнее; при достаточно больших коэффициентах преобразо-
преобразования вершина прошедшего через кристалл импульса основного излучения
1,0
0,5
0
1
Рис. 2.26
2.7 ГВГ В ПУЧКЕ КОНЕЧНОЙ АПЕРТУРЫ 97
сглаживается (при uq > 1,5), а при uq ~ 5—-6 наблюдается «выедание» вер-
вершины импульса.
Указанные эффекты практически могут иметь место при коэффициен-
коэффициентах преобразования по энергии, равных примерно 50—70 %, при этом для
вершины импульса коэффициент преобразования по мощности может до-
достигать 100 %, что, в свою очередь, может привести к обратной перекачке
энергии из волны гармоники в волну основной частоты (так называемое
параметрическое преобразование частоты света; см. гл. V).
2.7. Генерация второй гармоники в
пространственно-модулированном пучке конечной
апертуры (геометрооптическое приближение)
Световой пучок конечной апертуры и вторые произ-
производные амплитуд по поперечным координатам. При рас-
рассмотрении световых пучков конечной апертурв! необходимо учи-
учитывать зависимость амплитуд поля не только от продольной, но
и от поперечных пространственных координат г). Вместо B.2.2)
в данном случае молено использовать следующее выражение для
напряженности светового поля (для скалярного оое-синхрониз-
ма и стационарного по времени режима):
Е (ж, у, z,t) = ^ {eiAi (ж, у, z) exp [г (ajt - kz)] +
+ е2А2 (ж, у, z) exp [i Bu)t ~~ Kz)] + к.с.} . B.7.1)
Применяя B.7.1) и повторяя операции, проделанные в § 2.2,
приходим к следующей системе дифференциальных уравнений
для амплитуд (при этом используется соотношение rot rot E =
= -V2E):
dA1_J_(^A1 д^ +dW\ s A { А*А2ехрНАЬ z),
dz 2ik \ dx2 dy2 dz2 I
\ \ B.7.2)
dA2 1 D2A2 , 02A2 , d2A2\
dz 2iK \ dx2 dy2 dz2
Учтем, что
где Л — длина волны излучения (см. B.2.14)). Поэтому членами
со вторыми производными амплитуд по продольной координате
х) В § 2.5 амплитуда поля основного излучения считалась постоянной по
поперечному сечению пучка; на границе пучка она скачком обращалась в
нуль. Такое представление является приближенным. В действительности
четкой границы у светового пучка нет.
4 В.Г. Дмитриев, JI.B. Тарасов
98 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
можно пренебречь и использовать систему уравнений [19]:
B.7.4)
55
Л 2
\ exp
dz 2iK \ дх2 ду2
Существенно, что одновременно со вторыми производными
по продольной координате нельзя пренебрегать вторыми произ-
производными по поперечным координатам, поскольку
д2А д2А ^ д2А /О7, .
« > . B.7.5а)
дх2 ду2 dz2 v J
Это нетрудно понять, если учесть, что апертура do пучка много
меньше длины кристалла: cIq<^L Поэтому изменение амплитуды
от нуля до максимального значения происходит в поперечном
направлении на значительно более коротком расстоянии^ чем в
продольном направлении.
Можно считать, что
2 AJ*102-103. B.7.56)
d2A/dz2
(здесь принято 1 = 1—3 см, do = 1 мм).
Для решения вопроса о сохранении в укороченных уравне-
уравнениях членов с д2А/дх2 и д2А/ду2 надо сопоставить друг с дру-
другом Хд2А/дх2 и dA/dz. Хотя отношение Л 1_Л_ существен-
* л d2A/dz2
но больше отношения Л ; , оно, однако, мо^ет оказаться
достаточно малым в оптическом диапазоне (вследствие мало-
д2А/дх2
сти Л). Обозначим отношение Л через р. Можно считать
dA/dz
приближенно, что
Отсюда видно, что в оптическом диапазоне (например, при
А = 1 мкм) р ^ 1СР2. С физической точки зрения члены с про-
производными д2А/дх2 и д2А/ду2 в укороченных уравнениях поз-
позволяют учесть явление дифракции^ обусловленное конечностью
апертуры пучка. Вследствие малости отношения р в оптическом
диапазоне возможно приближенное рассмотрение пучков ко-
конечной апертуры без учета дифракции (в геометрооптическом
приближении). В этом приближении члены с производными
д2А/дх2 и д2А/ду2 в укороченных уравнениях опускают-
2.7 ГВГ В ПУЧКЕ КОНЕЧНОЙ АПЕРТУРЫ 99
ся1). Именно так проводилось рассмотрение генерации второй
гармоники в расходящемся световом пучке в § 2.5. В данном пара-
параграфе пространственно модулированные пучки конечной апер-
апертуры также будут рассматриваться в геометрооптическом при™
ближении. Учет дифракционных явлений будет произведен в § 2.8.
Пространственно модулированный световой пучок в
геометрооптическом приближении. Представим световой
пучок в виде набора параллельных оси z парциальных лучей,
интенсивность которых пространственно модулирована на вхо-
входе кристалла. Для произвольного парциального луча (с коор-
координатами ж, у) можно рассчитать плотность мощности второй
гармоники на выходе кристалла S2{x1y1l). Расчет выполняет™
ся в рамках приближения плоских волн; при этом используют-
используются укороченные уравнения B.7.4), в которых опущены вторые
производные по координатам х и у. Пренебрегая поглощением
(J]_ = 52 = 0), запишем эти уравнения в виде
— А\ (ж, у, z) + i(j\A\А2 exp (—iAk • z) = 0,
% , B-7-7)
— А2 (ж, у, z) + ia2Af exp (iAk • z) = 0.
dz
Граничные условия
Ai (ж, y, 0) = A10 (ж, y), A2 (ж, y, 0) = 0. B.7.8)
Интегрируя *$2 (ж, у, I) no поперечному сечению светового пучка,
можно найти выходную мощность второй гармоники Р2 (I).
Соотношения B.7.7) и B.7.8) аналогичны B.6.11) и B.6.12).
Отметим в этой связи аналогию между квазистатическим и
геометр о оптическим приближениями. В обоих случаях исполь-
используются одни и те же укороченные уравнения. Различие состоит
в том, что в квазистатическом приближении в роли фиксируемо-
фиксируемого параметра выступает время, а в геометрооптическом прибли-
приближении — поперечные пространственные координаты. Отмечен™
ная пространственно-временная аналогия будет рассмотрена
подробнее в § 3.6.
Предположим, что для всех парциальных лучей выполнено
условие синхронизма. Если перейти от комплексных амплитуд
^4-1,2 {xiViz) K вещественным а\^ (x,y,z) и считать, как обычно,
что вторая гармоника на входе кристалла отсутствует, то молено
воспользоваться результатом B.3.23). С учетом пространствен-
пространственной модуляции этот результат имеет вид
а2 (ж, у, I) = J— ai (ж, у, 0) th \yjo\oi аг (ж, у, 0) I]. B.7.9)
) Напомним, что в геометрооптическом приближении амплитуды для
лучей с разными координатами жиуне связаны между собой.
4*
100 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
Учитывая B.4.41) и B.4.42), получаем
со со
п Bш) о / / af (х, у, O)th.2 [л/аТо^ а 1 (х, у, 0I] dxdy
_ Р'2 @ _ ~оо~оо
'р р frh °° °°
niUj п{ш)(п J J a21(x,y10)dxdy
B.7.10)
Предположим, что граничный профиль волны основной частоты явля-
является гауссовым:
аг (х, у, 0) = а0 ехр (-Х \У ) . B.7.11)
Подставляя B.7.11) в B.7.10), находим
где uq = -\/di(T2 dol- Если
«i (x, 2/, 0) = ., 2°° 2W 2 , B.7.13)
l + {x2 + y2)/p2
то, согласно B.7.10),
r,p = i _ *b«o _ B 7 14)
Обратим внимание на то, что соотношения B.7.12) и B.7.14) аналогич-
аналогичны B.6.30) и B.6.32). Это есть одно из проявлений упомянутой выше
пространственно-временной аналогии.
Если наряду с неоднородным поперечным распределением плотности
входной мощности основного излучения имеет место расходимость пучка, то
плотность мощности второй гармоники на выходе кристалла будет сложной
функцией координат ж,у. В частности, от х,у теперь будет зависеть мно-
множитель 2д/ст1СГ2 а± (ж, у, 0), стоящий в знаменателе приведенной расстройки
Ai (см. B.4.50а)); последняя, таким образом, будет функцией обеих попе™
речных координат, а не только той поперечной координаты, которая изме-
изменяется в плоскости синхронизма (по углу в).
Угол анизотропии. При распространении светового пучка
конечной апертуры в нелинейном кристалле может наблюдаться
специфический эффект, обусловленный анизотропией кристал-
кристалла. Чтобы учесть этот эффект, необходимо внести некоторые
уточнения в теорию, рассматривавшуюся в предыдущих пара™
графах.
В связи с этим напомним читателю три обстоятельства. Во-
первых^ согласно B.4.36) вектор плотности мощности плоской
волны описывается соотношением S = const • [кЕ2 — Е (kE)],
откуда следует, что SE = const • [(kE) E2 — Е2 (kE)] = 0 и, та-
таким образом,
E_LS. B.7.15)
Во-вторых, согласно уравнениям Максвелла для поля в диэлек™
трике div D = 0 (из этого в общем случае не следует div E = 0).
2.7
ГВГ В ПУЧКЕ КОНЕЧНОЙ АПЕРТУРЫ
101
Отсюда получаем равенство Dk = 0 и, таким образом,
D_Lk. B.7.16)
В-третьих, в анизотропной среде направления векторов D и Е,
вообще говоря, не совпадают (см. A.1.6)):
D#E. B.7.17)
Используя результаты B.7.15)—B.7.17), приходим к ситуации,
изображенной на рис. 2.27.
Итак, рассматривая распространение поля излучения в ани-
анизотропной среде, необходимо учитывать два разных направле-
направления: направление волнового вектора к (направление нормали к
фазовому фронту) и направление вектора плотности мощности
S (направление распространения
энергии волны). Заметим, что с
волновым вектором к принято свя-
связывать термин «направление рас-
распространения волны». Вектор S на-
называют лучевым вектором.
Угол /3 между направлениями
волнового вектора к и лучевого
вектора S (иначе говоря, угол меж-
между векторами Е и D) называют
углом анизотропии. В изотропной
среде этот угол равен нулю. Он ра-
равен нулю также в одноосных кри-
кристаллах для обыкновенных волн. Для необыкновенной волны,
распространяющейся под углом в к оптической оси кристалла
(имеется в виду направление волнового вектора), угол анизо-
анизотропии /3 определяется соотношением
¦1, B.7.18)
перепишем
Рис. 2.27
С2 + tg2 в
где ? = пе/п0. Вводя обозначение An = п0 —
B.7.18) в виде
ig/3 = tgfl ^-ДгсЮ2-1 т
A — An/noJ + tg2 в
Учитывая, что Ап/п0 <С 1, получаем
, о 2Ыв(Ап/по) . ол An
tg /3 w —^—L-^L = — sin 26 — .
1 + tg2 в no
Таким образом,
|tg/3| = sin 20^^^,
B.7.19)
Из B.7.19) видно, что /3 = 0 для в = 0 и в = 90°. Наиболь-
Наибольшее значение угол /3 принимает для в = 45°. При этом для ис-
102
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
пользуемых на практике нелинейных кристаллов он составляет
примерно 1-4°.
До сих пор мы полагали, что /3 = 0. Это означает, что пред-
предполагалась взаимная параллельность векторов D и Е, а также S
и к. Естественно, что при этом можно было полагать div E = 0 и
вместо строгого соотношения B.2.7а) использовать приближен™
ное B.2.76). Упоминавшиеся выше уточнения, которые необхо-
необходимо внести в теорию, связаны с учетом угла анизотропии /3
или, иначе говоря, с использованием соотношения B.2.7а).
Дмафрагменный апертурный эффект (оое-синхро-
низм). Учет угла анизотропии позволяет рассмотреть влия-
влияние двойного лучепреломления в нелинейном кристалле на эф™
фективность генерации второй гармоники. Это влияние может
оказаться существенным для световых пучков малой апертуры
(см. [19]).
Предположим, что рассматривается скалярный оое-синхро-
низм. Волновой вектор к и лучевой вектор Si обыкновенной вол-
волны основной частоты и волновой вектор К необыкновенной вол™
ны второй гармоники имеют одинаковое направление — вдоль
оси z (вдоль направления синхронизма). Что же касается лу-
лучевого вектора S2 волны второй гармоники, то он направлен
под углом анизотропии /3 к оси z (рис. 2.28); на рисунке: О А —
Рис. 2.28
оптическая ось кристалла; вс — угол синхронизма; I — длина
кристалла; do — апертура пучка основного излучения). Угол
анизотропии /3 определяется из B.7.19), где главные значения
показателя преломления относятся к волне второй гармоники:
tg /3| =stn26>(
ПО2 ~~ П
ПО2
B.7.20)
2.7 ГВГ В ПУЧКЕ КОНЕЧНОЙ АПЕРТУРЫ 108
Из рисунка видно, что двойное лучепреломление приводит к
пространственному сносу энергии волны второй гармоники от-
относительно основного излучения (в связи с этим, угол анизо-
анизотропии /5 часто называют узлом сноса^ английский термин —
walk-off-angle). Этот эффект уменьшает эффективность гене-
генерации второй гармоники; его называют диафрагменным апер-
турным эффектом (ДАЭ) 1). В результате сноса энергии вол™
ны второй гармоники увеличивается апертура излучения второй
гармоники на выходе кристалла в направлении сноса (в направ-
направлении оси х). На рисунке показано распределение по х плотности
мощности выходного излучения второй гармоники S2 (ж,1); при
этом предполагается, что плотность мощности входного излуче-
излучения основной частоты Si (ж,0) имеет прямоугольный профиль.
При рассмотрении ДАЭ вводят параметр L^ называемый
эффективной апертурной длиной:
LP = j- B-7-21)
На расстоянии вдоль оси z, равном эффективной апертурной
длине, луч необыкновенной волны смещается по оси х на рас-
расстояние, равное апертуре do входного пучка основного излуче-
излучения. Как уже отмечалось, угол сноса энергии необыкновенной
волны максимален при вс = 45° и для многих кристаллов состав-
составляет примерно 1°. Для do = 1,5 мм получаем Lp « 10 см. При
90°-ном синхронизме сноса энергии второй гармоники нет (эф-
(эффект отсутствует; Lp = 00).
Характер процесса генерации второй гармоники при наличии
ДАЭ определяется соотношением между тремя длинами 1, Lp и
L, где
L = B.7.22)
у/(П<Т2 a\ @,0)
есть характерная длина взаимодействия^ или эффектив-
эффективная нелинейная длина. Эта длина рассматривалась в § 2.3
(см. B.3.25)); было показано, что на длине L происходит эффек-
эффективная перекачка мощности основного излучения в мощность
второй гармоники.
Если
l<?Lp, B.7.23)
то ДАЭ можно не учитывать. Если неравенство B.7.23) не вы-
выполняется и при этом I ^ Lj то необходимо рассматривать нели-
г) Различают два апертурных эффекта — диафрагменный и угловой. По-
Последний связан с уменьшением эффективности генерации второй гармони-
гармоники вследствие расходимости светового пучка основного излучения. "Угловой
апертурный эффект обсуждался в § 2.5. Оба апертурных эффекта могут в
ряде случаев рассматриваться в геометр о оптическом приближении.
104
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
нейный режим генерации второй гармоники с учетом ДАЭ. Если
неравенство B.7.23) не выполняется и при этом l<Ci, то можно
работать в приближении заданного поля основного излучения (с
учетом ДАЭ).
Дмафрагменный апертурный эффект (оее-синхро-
низм). Рисунок 2.29 иллюстрирует ДАЭ при скалярном оее-
синхронизме. В этом случае необходимо рассматривать два угла
Рис. 2.29
анизотропии — угол /3\ между направлениями лучевых векторов
S^ (обыкновенная волна основной частоты) и Sf (необыкновен-
(необыкновенная волна основной частоты), а также угол 02 между направле-
направлениями S^ и лучевого вектора S2 необыкновенной волны второй
гармоники. Заметим, что все волновые векторы направлены, как
и лучевой вектор S^, вдоль оси z (вдоль оси синхронизма). Углы
/?1 и 02 определяются соотношениями
Itgftl =smB0c)nol^nel , |tg?2| =smB0c)n°2^ne\ B.7.24)
По\ ПО2
В соответствии с двумя углами анизотропии рассматриваются
две апертурные длины:
г do j do /ел 7 ос\
Liip — — 1 ¦L'2P — — • V^* ' -^^)
При оее-синхронизме ДАЭ более опасен, не^кели при оое-
синхронизме. Если при оое-синхронизме генерация второй гар-
гармоники осуществляется по всей длине нелинейного кристал-
кристалла (хотя и с более низкой эффективностью, чем в отсутствие
рассматриваемого эффекта), то при оее~синхронизме генерация
второй гармоники происходит, очевидно, лишь на длине Lip, a
точнее, в пределах заштрихованной на рисунке области пучка.
Как только обыкновенный и необыкновенный пучки основно™
го излучения перестают взаимно перекрываться, генерация вто-
2.7
ГВГ В ПУЧКЕ КОНЕЧНОЙ АПЕРТУРЫ
105
рой гармоники прекращается. Это может существенно влиять
на профиль плотности мощности выходного излучения второй
гармоники S2 (ж,/) (профиль показан на рис. 2.29).
Геометрический метод расчета эффективности гене-
генерации второй гармоники с учетом диафрагменного апер-
турного эффекта. Будем полагать, что плотность мощности
основного излучения на входе кристалла постоянна в пределах
апертуры пучка. В этом случае можно учесть ДАЭ, исполь-
используя простой геометрический метод. Сущность метода для 1 ^
^ Lr поясняет в применении к оое-еинхронизму рис. 2.30. На
А-""""
В"'"""" _...
С
1
I
^__ - А
¦•-"][]'.'...-•• с
""
X
z
Рис. 2.30
рисунке выделен луч второй гармоники А А, имеющий на вы-
выходе кристалла координату х. Обозначим для этого луча плот™
ность выходной мощности через *$2 (ж, у, I) (координата у может
быть выбрана произвольно в пределах апертуры пучка). Для вы-
вычисления *$2 (ж,у, Z) можно воспользоваться результатом B.4.49)
для Ak = 0, который следует переписать в виде х)
тгBо;)(Т2
n(o;)<7i
1{х)
87RTKT2Sl(Q)
сп(ш)
B.7.26)
Существенно, что в аргументе гиперболического тангенса сто-
стоит не длина кристалла I, а 1 (ж) — длина взаимодействия для
Напомним в связи с этим соотношение B.6.26).
106 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
выбранного светового луча АА. Это есть расстояние (отсчиты-
(отсчитываемое в направлении волновых векторов, т.е. в направлении оси
z), на котором выбранный луч второй гармоники оказывается в
пределах области, занимаемой пучком основного излучения (на
рисунке указанная область заштрихована). На рисунке показа-
показаны еще два луча второй гармоники; для луча ВВ длина взаимо-
взаимодействия равна длине кристалла 1, а для луча С С она равна I'.
Поперечное сечение пучка основого излучения выберем для
простоты в виде квадрата (сторона квадрата do). Тогда сече™
ние пучка второй гармоники на выходе кристалла будет иметь
форму прямоугольника со сторонами do + /31 (по оси х) и do (по
оси у). Интегрируя S2 (ж, у, I) по площади этого прямоугольника,
получаем выходную мощность второй гармоники
S2(x,y,l)dx, B.7.27)
-do/2
а затем и эффективность генерации второй гармоники (по мощ-
мощности)
do/2+ 1/3
к f *<*¦»¦'>«*¦ <2-7-28»
-do/2
Применяя данный метод, молено получить аналитические ре™
зультаты лишь в приближении заданного поля основного излу-
излучения (при 1<СЬ). В этом случае вместо B.7.26) следует исполь-
использовать аналог формулы Клейнмана B.4.46):
S2{x,y,l)=pSl{Q)l2{x), B.7.29)
где р = 8тгпBо;)сг|/[сп2(а;)].
Разобьем прямоугольник сечения выходного пучка второй
гармоники на три области (рис. 2.31). Для лучей гармоники, вы™
ходящих из кристалла в пределах области I, имеем, как нетруд-
нетрудно убедиться, l(x) ft = lfi — х + do/2. С учетом B.7.29) получаем
следующий результат для мощности второй гармоники Р2 (/;1),
приходящейся на область I выходного сечения:
do/2+ 1/3
2
-do/2
B.7.30)
Очевидно, что такая же мощность приходится на область III
выходного сечения:
Р2 (/; III) = Р2 (/; I) = ^ pS\ @) Pl\ B.7.31)
2.7
ГВГ В ПУЧКЕ КОНЕЧНОЙ АПЕРТУРЫ
107
Для лучей второй гармоники, выходящих из кристалла в преде™
лах области II, длина взаимодействия равна длине кристалла Z;
следовательно,
do /2
р2 (|; П) = doPSf @) I2 / dx = doPSf @) I2 (do - /3J).
B.7.32)
Складывая результаты B.7.30)—B.7.32) и учитывая, что
Si @) d,Q = Pi @), получаем
I2(l-/3i
Р2 (I) = РР{
Отсюда находим (с учетом B.7.21))
Напомним, что это соотношение получено для I ^ Le.
B.7.33)
B.7.34)
При
нию
Рис. 2.31
аналогичные рассуждения приводят к соотноше-
соотношеB.7.35)
В случае о ее-синхронизма без вывода приведем для /З2 > Pi выражения
для выходной мощности второй гармоники:
а) при I < L'2C
B.7.36)
108 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
б) при I > L2/3
ia[ (V^I- B-7-37)
Заметим, что при I = Li^ мощность второй гармоники, определяемая соот-
соотношением B.7.37), достигает предельного значения
Р2 макс = 8™(.2"> ^ @) Pf @), B.7.38)
Зсп2 (ш) /3i/32
величина которого не зависит от do и I.
Учет диафрагменного апертурного эффекта в укоро-
укороченных уравнениях (скалмрный оое-смнхронизм). Вывод
всех полученных выше укороченных уравнений основывался на
предположении, что dlvE = 0. Иначе говоря, в рассматривав-
рассматривавшихся до сих пор укороченных уравнениях предполагалось, что
угол анизотропии равен нулю, и тем самым не учитывался ДАЭ.
Правда, рассмотренный выше геометрический метод позволя-
позволяет учесть этот эффект в рамках прежних укороченных урав-
уравнений. Учет возможен, однако, лишь в случае, когда плотность
мощности основного излучения на входе кристалла постоянна по
апертуре пучка. Для последовательного рассмотрения ДАЭ гео™
метрический метод недостаточен; необходимо уже в самих уко-
укороченных уравнениях учитывать различие направлений лучево™
го и волнового векторов необыкновенной волны в анизотропной
среде. Для этого надо отказаться от предположения dlvE = 0 и
вместо приближенного соотношения B.2.76) использовать стро™
гое соотношение B.2.7а):
rot rot E = grad div E - V2E.
В результате в укороченных уравнениях появятся дополни-
дополнительные слагаемые. При скалярном оое-синхронизме появится
дополнительное слагаемое /3 дА2/дх в левой части второго урав-
уравнения системы B.7.4). Полагая 8\ = 82 — 0, перепишем B.7.4) с
учетом угла анизотропии /3 в следующем виде [19]:
^ - — (^ + ^ ) + гагА\А2 exp (-iAk -z)=0,
dz 2ik \ дх2 ду2 ) l F K J
V / J x B.7.39)
dA2 , QdA2 1 д2А2 , д2А2 \
dz дх 2гК \ дх2 ду J
Оставаясь в рамках геометрооптического приближения, опу-
опустим в B.7.39) члены со вторыми производными амплитуд по
поперечным координатам. Кроме того, перейдем от комплекс-
комплексных амплитуд А\^2 к вещественным а\^ и будем полагать, что
условие синхронизма выполняется точно. В результате получим
2.7 ГВГ В ПУЧКЕ КОНЕЧНОЙ АПЕРТУРЫ 109
следующую систему укороченных уравнений 1):
+ а\а\а2 = 0,
я я B.7.40)
Граничные условия
ах (ж, у, 0) = «ю (ж, у), а2 (ж, у, 0) = 0. B.7.41)
Исключив а\ из B.7.40), найдем
+ аю!) + /3 A (|i + аю!) = 0. B.7.42)
У ox \ oz /
Отсюда следует, что
4 f(x-Pz,y), B.7.43)
где функция / определяется амплитудой основного излучения
на входе кристалла аю(х,у). Действительно, при z = 0 соот-
соотношение B.7.43) принимает вид da,2/dz\z=0 = /(ж,у), а второе
уравнение из B.7.40) — вид da2/dz\z=0 = o^afo (ж,у). Таким об-
образом,
/ (ж, у) = а2а10 (ж, у). B.7.44)
Уравнение B.7.43) известно как уравнение Рикатти. С уче-
учетом B.7.44) оно может быть записано в виде
^ + аха\ (х, у, z) = a2a2l0 (x - pz, у). B.7.45)
Предположим, что граничное распределение поля основного
излучения имеет вид
aw(x,y) = —\-2 B.7.46)
1 + а2х2
(амплитуда а\® в пределах апертуры пучка не зависит от у и на
границе пучка по оси у резко обращается в нуль). В этом случае
решение уравнения B.7.45), удовлетворяющее на входной грани
кристалла условию «2 = 0, описывается выражением [19]
«2(%,%) =
a2/32z chС + [(а2 - a2f32I/2 - a4fi2x (x - f3z) (a2 - а2/32) ^1/2] sh С
[1 + а2 (х - fizf] [ch С + «2^ж {а2 - а2/32)~1/2 sh ]
B.7.47)
х) С точностью до слагаемого f3du2Jdx система B.7.40) соответствует си™
стеме B.3.1) при «5i = 82 = 0 и Ф = тг/2. Условие Ф = тг/2 отвечает условию
отсутствия второй гармоники на входе кристалла (см. B.3.17)).
110
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
где а = -
5 s ~
2^ a2f32
a2f32
{arctg (ах) — arctg [a [x — pz)\\.
При Lp ^> L из B.7.47) получаем
а2
B.7.48
т.е. приходим к решению для плоских волн с амплитудой основ™
ного излучения, модулированной в соответствии с B.7.46), при
условии отсутствия двулучепреломления (/3 = 0).
При /3 ф 0 профили взаимодействующих волн по мере рас™
пространения по кристаллу изменяются. Если Lp С Ь, то из
B.7.47) следует, что
a2(x,z) =
2- + arctg (ax) — arctg (ax —
B.7.49)
Изменение профиля волны в общем случае, когда Lp ~ L, ил-
иллюстрирует рис. 2.32. На рисунке штриховыми линиями пока™
зана относительная плотность мощности для основного излу™
чения на выходе кристалла (Si = [а\ (х,1)/ао\ ), а сплошными
/
и ~
1
1
ц
'/ //
\
-0,7
\
1
\
-0,1>
"С
\2 /
V
^ч—
1 \з
х
V
—1 1 *-
Рис. 2.32
линиями — то же для второй гармоники ($2 = [о>2 (х11)/ао] )•
Графики построены для L\ = 0,5L2; при этом отношение
l/Lpпринималось равным 0,5; 1,0; 5,0 (кривые 1, 2, 8 соответ-
2.7
ГВГ В ПУЧКЕ КОНЕЧНОЙ АПЕРТУРЫ
111
ственно). Из рисунка видно, что по мере увеличения I наблк>
дается смещение максимума плотности мощности второй гар-
гармоники в направлении оси х и одновременно сдвиг максимума
плотности основного излучения в противоположном направле-
направлении. Это связано с нелинейностью режима генерации второй
гармоники (истощением основного излучения в области х > 0).
По мере распространения по кристаллу ширина пучка второй
гармоники увеличивается, тогда как ширина пучка основной ча-
частоты уменьшается.
Влимние диафрагменного апертурного эффекта на
эффективность генерации второй гармоники. Интегрируя
квадрат функции B.7.47) по поперечным координатам, получа™
ем мощность второй гармоники; в результате можно найти коэф-
коэффициент преобразования г)р. На рис. 2.33 представлена зависи-
зависимость rjp от приведенной
длины кристалла Ьпр = ,
= 1 ( L + Ln 1; кривые 2, -,
5, 4 получены для отноше-
отношения il/i2, равного соот-
соответственно 10, 1, 0,5; а кри-
кривая 1 — для случая плоской о,5
волны (бесконечно большое
отношение Lp/L). Видно,
что т]р растет с увеличением
Lp/L.
Таким образом, наличие
ДАЭ приводит к заметному 0 2 5 8 Lnp
уменьшению эффективно™
сти генерации второй гар- Рис. 2.33
моники. Как уже отмеча-
отмечалось, кардинальным путем устранения данного эффекта яв-
является использование 90°-ного синхронизма. Однако для мно-
многих нелинейных кристаллов в области практически интересных
длин волн 90°~ный синхронизм не реализуется. Поэтому компен-
компенсацию указанного эффекта следует рассматривать как важную
инженерно-физическую задачу1).
В заключение сделаем некоторые замечания о соотношении
влияния на процесс генерации второй гармоники диафрагмен-
диафрагменного и углового апертурных эффектов. Естественно, что для
широких пучков основного излучения с расходимостью, значи-
значительно превышающей дифракционную, длина Ья существенно
) Методы компенсации ДАЭ будут рассмотрены в § 3.7.
112
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
превышает длину кристалла I, так что доминирующим оказы-
оказывается угловой апертурный эффект. Вместе с тем для одномо-
довых лазеров, поле которых в ближней зоне близко к полю
френелевой зоны плоской волны, дифрагирующей на круглом
отверстии, процесс генерации второй гармоники идет при опре-
определяющем влиянии ДАЭ. Этот эффект доминирует и в случае
пучков основного излучения со сложной, например нитевидной,
структурой (такая структура может появиться вследствие до-
доменной самосинхронизации поперечных мод).
2.8. Генерация второй гармоники в сфокусированном
гауссовом пучке (приближение заданного полм
основного излучения)
Общие замечания. В используемых на практике схемах
генерации второй гармоники часто применяется фокусировка
основного излучения в нелинейный кристалл с целью увеличе-
увеличения плотности мощности, а следовательно, повышения эффектив-
эффективности преобразования. Предположим, что лазер, генерирующий
основное излучение, работает в стационарном режиме низшей
поперечной моды TEMqo; лазерный пучок является гауссовым,
вещественная амплитуда пучка в точке z описывается гауссо-
гауссовой функцией поперечных координат ехр [— (х2 +|/2)/р2 (#)]>
где р (z) — эффективный радиус пучка в точке z. Для фоку-
фокусировки лазерного пучка в нелинейный кристалл используется
тонкая сферическая линза1) (рис. 2.34). Предположим также,
Рис. 2.34
что имеет место синхронизм оое-типа. Кроме того, будем пола-
полагать, что нелинейный кристалл не поглощает излучение.
В теории генерации второй гармоники в сфокусированных
пучках принципиально требуется учет дифракции. Распростра™
пение гауссова пучка в пространстве описывается на основе
дифракционного интеграла Кирхгофа^Гюйгенса (см. [21]). В
) В некоторых схемах вместо сферической применяют цилиндрическую
фокусирующую линзу [20]. В этом случае гауссов пучок не обладает сим-
симметрией вращения вокруг оси z (эллиптический гауссов пучок).
2.8
ГВГ В СФОКУСИРОВАННОМ ГАУССОВОМ ПУЧКЕ
118
укороченных уравнениях необходимо теперь учитывать вторые
производные амплитуд по поперечным координатам.
В силу малости диаметра сфокусированного пучка обычно
выполняется неравенство Lp < Z; поэтому необходимо учиты-
учитывать ДАЭ. Этот эффект можно, однако, исключить, если ис-
использовать кристалл с 90°~ным синхронизмом.
Существенно, что задача о генерации второй гармоники в
сфокусированном пучке требует оптимизации. Очевидно, что
при слабой фокусировке может оказаться недостаточной плот™
ность мощности сфокусированного излучения. В случае же
сильной фокусировки возникают ограничения эффективности
преобразования, связанные с повышением расходимости излу™
чения (а также с усилением ДАЭ и возможностью оптического
пробоя). Оптимизация задачи требует, как будет показано ни-
ниже, введения определенной волновой расстройки (оптимальной
расстройки) для осевой части пучка.
В заключение отметим, что при теоретическом рассмотрении
стационарной генерации второй гармоники в сфокусированном
пучке используют приближение заданного поля основного излу-
излучения [22]. Это приближение позволяет во многих случаях до™
статочно корректно описать рассматриваемую задачу.
Гауссов пучок, сфокусированный в кристалл. На
рис. 2.35 показано продольное сечение гауссова пучка, сфоку™
сированного в нелинейный кристалл. Толстые линии на рисун-
рисунке — каустика пучка, прямые АА и ВВ — асимптоты каустики,
Рис. 2.35
if — половина угла расходимости пучка, р® — РаДиУс перетяж-
перетяжки пучка, р @) — радиус пучка на входе кристалла (при z = 0),
114 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
z® — расстояние от перетяжки пучка (фокуса Ф) на входной
грани кристалла. На рисунке выделена опорная плоскость Hz в
некоторой точке z оси пучка; р (z) и R (z) — соответственно ра-
радиус пучка и радиус волнового фронта для выделенной опорной
плоскости.
Отметим основные соотношения, описывающие простран-
пространственную форму кругового гауссова пучка1) (применительно к
рис. 2.35):
ср = ^ B.8.1)
кро
(видно, что чем меньше радиус перетяжки (чем сильнее фоку™
сировка), тем больше угол расходимости; к — волновой вектор
излучения в кристалле);
p2{z)=pl + {z-zQ)W B.8.2)
p2(z) = (z-zo)R(z)<p2. B.8.3)
При z —> zq левая часть B.8.3) стремится к рд, а правая к нулю;
следовательно, 1/R(zq) = 0 (в фокусе Ф волновой фронт есть
плоскость, перпендикулярная к оси пучка).
Величину
Ь = kpl = ^ B.8.4)
называют конфокальным параметром. Это есть длина прямо-
прямоугольника, выделенного на рис. 2.35 штриховыми линиями. Ука-
Указанный прямоугольник представляет собой сечение цилиндра
радиуса ро, называемого фокальным «пятном». Отношение
f = I = ^L B.8.5)
есть параметр фокусировки. При слабой фокусировке (? <С I)
можно пренебречь кривизной фронта и рассматривать генера-
генерацию второй гармоники в приближении плоских волн, простран-
пространственно модулированных функцией Гаусса.
Относительное положение фокуса Ф внутри кристалла опре-
определяется параметром
// = bi??. B.8.6)
Если фокус находится в середине кристалла (z® = //2), то /i = 0.
Выражение для комплексной амплитуды основного излуче-
излучения, являющегося гауссовым пучком, имеет вид
= ^ exp U
1 + ът L
1) Гауссовы пучки рассмотрены, например, в § 2.7 и 2.8 из [23]; см. также
[21, 24].
2.8 ГВГ В СФОКУСИРОВАННОМ ГАУССОВОМ ПУЧКЕ 115
где
9 z - z0 9 z - z0 (z - zo)(p (г> о о\
т = А = А —-— = . {А.Ь.Щ
кр^ b po
Используя B.8.8), а также B.8.1)—B.8.3), нетрудно убедиться в
том, что
[о о \ toot I о о l
х + у х +у \ •7 х + у \ /о о п\
— — — = ехр — ?— ехр \%к — . B.8.9)
p§(l + t)J F[ p2W J F[ 2Д(г) J l ^
Первый экспоненциальный множитель в правой части B.8.9)
описывает зависимость вещественной амплитуды пучка от попе-
поперечных координат (функция Гаусса), а второй связан с кривиз-
кривизной волнового фронта (фаза зависит от поперечных координат).
В плоскости перетяжки (z = zq) имеем т = 0. В этой плоско-
плоскости
Аг (ж,у,z0) = Aw ехр ( -х +у ) . B.8.10)
Отсюда видно, что
Aw = A1@,0,z0). B.8.11)
Таким образом, постоянная Aw B B.8.7) есть амплитуда пучка
в точке Ф (в фокусе).
Поскольку, как нетрудно убедиться,
1 -=L=*=-?r, B-8-12)
1+гт|
то, согласно B.8.7) и B.8.9),
ai(x,y,z) = |Ai| = Аю ехр \^Х 2|! -j-r- B.8.13)
Используя B.8.13) и B.4.40), находим следующее выражение
для плотности мощности излучения в произвольном сечении П2
пучка:
2
12 _ i *\х -ту ) \ ^2.8.14)
Отсюда следует, что мощность излучения имеет вид
оо оо
Рг= J J Sldxdy=c-^lAloPl B.8.15)
— оо —оо
Видно, что мощность не зависит от координаты z поперечного
сечения. В частности, на входе кристалла
^ B.8.16)
116 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
Генерация второй гармоники при слабой фокусиров-
фокусировке. Если ( С 1, то т < 1; в этом случае молено положить
а\ (ж, у, z) « A\q exp [— (ж2 + у2) /р®} и рассматривать генерацию
второй гармоники для плоской пространственно модулирован-
модулированной волны. Будем при этом пренебрегать ДАЭ. Используя в
приближении заданного поля основного излучения B.4.47), за-
запишем с учетом B.8.14)
2 (^к • I
——
а / i\ спBш) 2?2 • 2 (^к • I \ Л4 I
S2 (ж, у, I) = ^^ a^sinc —— AJO exp -
8тг \ 2 / \
AJO exp 4
\ 2 / \ Ро
B.8.17)
Отсюда следует, что
о /7ч стгBа;) 2i2 ^4 • 2 f Ah • I \ 2 /0010\
2 "' = 32 ^ A10smc (^^ J Ро- B.8.18)
Используя B.8.16), получаем следующее выражение для эффек-
эффективности преобразования по мощности:
= ИМ a2z2pi@) sinc2(Afe.f/2) ^ B819)
сп2(ш) р^
Укороченные уравнения длм генерации второй гар-
гармоники в сфокусированном гауссовом пучке в прибли-
приближении заданного поля основного излучения. Если не огра™
ничиваться частным случаем слабой фокусировки, то необходимо
учитывать дифракцию. Это означает, что надо использовать
укороченные уравнения со вторыми производными амплитуд по
поперечным координатам. Будем исходить из системы уравне-
уравнений B.7.39). В приближении заданного поля основного излуче™
ния следует пренебречь слагаемым iaiA^A2 exp (^iAk • z) в пер-
первом уравнении системы (это слагаемое пропорционально о\А2 и,
следовательно, является величиной второго порядка малости).
В результате приходим к следующей системе укороченных урав-
уравнений:
dz 2ik I dx2 dv2 )
B-8.20)
dA2 , n dA2 1 I d2A2 , d2A
=
х2 dy2
(Afc — волновая расстройка для осевой части пучка). Первое
уравнение в системе B.8.20) называется параболическим] поэто-
поэтому систему B.8.20) принято называть параболическими укоро-
укороченными уравнениями.
Нетрудно убедиться, что гауссов пучок, описываемый соот™
ношением B.8.7), является решением параболического уравне-
уравнения (см., например, § 2.7 из [23])
дАг 1
dz 2ik V дх2 ду2
2.8 ГВГ В СФОКУСИРОВАННОМ ГАУССОВОМ ПУЧКЕ 117
Заметим, что сохранение гауссовой формы пучка основного
излучения по мере распространения излучения по нелинейно-
нелинейному кристаллу (и в частности, отражаемое соотношением B.8.15)
постоянство мощности излучения при изменении z-координаты
поперечного сечения пучка) есть прямое следствие применения
приближения заданного поля основного излучения.
Подставив B.8.7) во второе уравнение системы B.8.20),
можно получить уравнение для амплитуды второй гармоники
A2{x^y^z). При решении этого уравнения используют аппарат
функций Грина [25]. Не будем рассматривать здесь указанный
аппарат; вместо этого изложим наглядные рассуждения Бойда^
Клейнмана [22], использующие в определенной мере геометро-
оптические представления и позволяющие тем не менее полу™
чить результат, согласующийся со строгой теорией. Назовем
этот в известном смысле квазигеометрический метод получе™
ния амплитуды и мощности второй гармоники методом Бойда-
Клейнмана.
Метод Бойда^Клейнмана. Рассмотрим этот метод, еле™
дуя работе [22]. Выберем некоторую опорную плоскость Hz на
расстоянии Z от входа кристалла, меньшем, чем длина кристал-
ла (Z <1). Поле Ei основного излучения в точке (X, Y) этой
плоскости представим в виде (ср. с B.8.7))
о А Г X2+Y2 1
Ei (X, Y,Z,t) = ^^- exp - + ехр [г (wt - kz)],
v ' ' ' ; 1 + iT F L Ро A +iT) J
B.8.21)
где T = 2(Z- zo)/kpl = 2(Z - zo)/b. Волна Ei (X, Y, Z, t) наво-
наводит в кристалле волну квадратичной поляризованности Рнл =
= х '• EiEi. Используя B.8.21), представим
Рнл (X, Y, Z, *) = Ро 2 ехр - 2 I + Y ' ехр [г Bo;t - 2kz)],
B.8.22)
где Ро = х : eiei^-io-
Далее воспользуемся укороченным волновым уравнением 1)
B.2.17); при этом пренебрежем поглощением (Im 6 = 0). С учетом
1) Именно здесь Бонд и Клейнман фактически обращаются к геометро™
оптическим представлениям; ведь в укороченных уравнениях в § 2.2 отсут™
ствуют члены со вторыми производными амплитуд по поперечным коорди-
координатам. В данном случае дифракция учтена при рассмотрении амплитуды
основного излучения (см. первое уравнение системы B.8)), тогда как пе-
переход от амплитуды основного излучения к амплитуде второй гармоники
выполняется фактически в рамках геометрической оптики.
118
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
B.8.22) запишем это уравнение в виде
dA2
~dZ~
ехр V
ехр {гАк ° Z)'
где 7 = -г>2ж{2шJ/{Кс2).
Выделим в кристалле в промежутке между опорными плос-
плоскостями Hz и Hz+az элемент объема, «занятый» волной квад-
ратичной поляризованности (рис. 2.36, заштрихованная об-
область). Приращение амплитуды второй гармоники АА2 на про-
промежутке от Z до Z + AZ есть, согласно B.8.23),
гТ)'
ехр -
2 X2
ехр (гД/г • Z) AZ. B.8.24)
п
Существенно, что в приближении заданного поля основного из-
излучения приращение АА2 на промежутке от Z до Z + AZ не
зависит от амплитуды второй гармоники в точке Z. Это озна-
означает, что АА2 можно рассматривать, как амплитуду поля вто-
второй гармоники на плоскости Hz+az? «порожденного» нелиней-
нелинейной поляризованностью только той части объема кристалла,
которая заключена между плоскостями П^ и Hz+az- Посколь-
Поскольку объем аддитивен, то, следовательно, и приращение амплиту-
амплитуды второй гармоники может в данном случае рассматриваться
как аддитивная величина. В
результате можно сформули-
сформулировать следующий алгоритм
определения амплитуды вто-
второй гармоники в некоторой
плоскости наблюдения Hz
(эта плоскость выбрана вне
кристалла на расстоянии z — l
от его выходной грани; попе-
поперечные координаты в указан-
указанной плоскости будем обозна-
обозначать через х ж у). Мыслен-
Мысленно разобьем объем кристал-
кристалла, «занятый» волной квад-
квадратичной поляризованности,
на элементарные слои толщи-
Рис- 2-36 ной AZ (см. рис. 2.36). Затем
выполним две операции. Во-первых, найдем вклад в искомую
амплитуду А2 (z) со стороны отдельного слоя толщины AZ. Во-
вторых, сложим вклады от разных слоев, выполнив интегриро-
интегрирование по длине нелинейного кристалла.
При выполнении первой операции следует учесть ДАЭ: при
распространении от плоскости Hz+az Д° плоскости Hz волна
2.8 ГВГ В СФОКУСИРОВАННОМ ГАУССОВОМ ПУЧКЕ 119
второй гармоники сместится по оси х. Это означает, что ампли™
туда АА2 в точке х плоскости П^ определяется амплитудой АА2
в точке X = х — (I — Z) /3 плоскости Uz+az (см. рис. 2.36).
Легко видеть, что выражение B.8.24) соответствует гауссову
пучку:
АА2 = AV (Z) —— ехр -2 л +г , B.8.25)
1 + гТ [ р2 A + iT) j
где AV (Z) = 7|Ро| ехр (iAk • Z) AZ/A + iT) может рассматри-
рассматриваться как амплитуда пучка на его оси в плоскости перетяжки
(в точке z). Соотношение B.8.25) описывает пучок на плоскости
П^+az- При переходе к плоскости Hz надо произвести в B.8.25)
следующую замену (с учетом ДАЭ):
X2+Y2
[ о X+Y 1 [
ехр —2 —»> ехр —
K L Pl С1 +iT) \ l + iT L
ехр 2»ехр 2
1 + iT K L Pl С1 +iT) \ l + iT L Ро A + ir)
Здесь вместо Т = 2 (Z ^ z®)/b используется теперь т =
= 2 (z — zq)/b] амплитуда пучка в плоскости перетяжки (AV(Z))
остается при этом, очевидно, неизменной. В результате получа-
получаем
^\^^Zl^]_ B.8.26)
Далее выполняем вторую операцию (суммируем вклады во
вторую гармонику от разных слоев нелинейного кристалла):
,y,z)= J
_ 7lpol Г ехр (г.
1 + гт J 1 -
О
Рассмотрим поле второй гармоники вдали от выходной гра™
ни кристалла (в дальней зоне1)), т.е. при достаточно больших
значениях т. В этом случае
B.8.28)
B.8.29)
1+гг г2
Введем обозначения:
рот рот
1) Напомним, что гауссов пучок вдали от перетяжки (в дальней зоне)
может рассматриваться в рамках геометрической оптики. Поэтому следует
ожидать, что именно в дальней зоне квазигеометрический метод Бойда—
Клейнмана будет соответствовать строгой теории.
120
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
В новых обозначениях имеем х — (I — Z) /3 = sp®r + ap®T. С
учетом B.8.28) получаем
(л . ч 2 (л , аТ\2 (л .ч2 о- гг
A - гт) sM 1 + — « A - гт) 5Z - 2гзаТ.
B.8.30)
[pg A + гг)]
В результате вместо B.8.27) будем иметь
А2 (x,y,z) =
ехр [_2 A _
о
D.5
B.8.32)
B.8.31)
Апертурная функцим. Введем обозначения:
v = —, v' = v
и перейдем в B.8.31) от переменной интегрирования Z к пере™
менной Т:
= ^ ехр
2 F
J 1 + гГ
Г exp(^VT
J 1+гГ
B.8.33)
Таким образом, в выражении для амплитуды второй гармоники
выявляется так называемая апертурная функция
^
B.8.34)
Существенно, что эта функция получается также и в строгой
теории.
С учетом B.8.33) и B.8.34) перепишем B.8.31) в виде
А2 (х, у, z) = ^7|Ро|Ь ехр (iAk • z0) ехр [-2 A - ir) (s2 + sf2)) H,
1 + гг
B.8.35)
Для вещественной амплитуды получаем отсюда следующее вы™
ражение:
где 1/т
гт)
)~
Учитывая, что |P
q|
B.8.36)
, AfQ =
2.8 ГВГ В СФОКУСИРОВАННОМ ГАУССОВОМ ПУЧКЕ 121
= 16Pi @)/(сп(ш)р1I перепишем B.8.36):
B.8.37)
Отсюда находим плотность мощности гармоники в точке (ж, у)
плоскости П^:
(~1 / X X~Y / *^ 7~> /(~\Х 1 / А / 2 I /2 \ I ТТ ( I /" \ I
*Э2 (ж, у, г) = С I — jPi @j 1 ехр (^—4E + s J |ii (^ , а, ?, /ij | ,
B.8.38)
где С — множитель, не существенный для дальнейшего рассмот-
рассмотрения.
Интегрируя B.8.38) по поперечным координатам (иначе го-
говоря, по s и 5;), получаем мощность второй гармоники на плос-
плоскости П^:
со со
1 J J S2(x(s),y(s%z)dsds' =
[0)k2p20^ J exp (-4s2) \H(v',a,Z,fi)\2 ds. B.8.39)
— CO
Результат B.8.39) получен методом Бойда^Клейнмана при
рассмотрении поля второй гармоники в дальней зоне. Как
уже отмечалось, для дальней зоны квазигеометрический под-
подход Бойда-Клейнмана должен согласовываться со строгим под™
ходом, поскольку вдали от плоскости перетяжки гауссов пучок
может рассматриваться в рамках геометрической оптики (как
сферическая волна). Следовательно, B.8.39) можно интерпрети™
ровать как строгий результат. Если при этом учесть, что мощ-
мощность светового пучка второй гармоники после выхода его из
нелинейного кристалла не зависит от координаты z плоскости
наблюдения (в этом легко убедиться, обратившись к B.8.39)),
то нетрудно понять, почему результат, выведенный методом
Бойда-Клейнмана для дальней зоны, совпадает с получаемым
при строгом подходе выражением для мощности второй гармо-
гармоники на выходе нелинейного кристалла.
Если ввести функцию
h (v, a, e, (i) = ^ / е*2 \Н (г/, а, С, м) |' ds, B.8.40)
— СО
то результат B.8.39) преобразуется к виду
Р2 = — Pi @) klh(v, а, С, /i). B.8.41)
Заметим, что функция h определяется набором всех парамет™
ров, которые с физической точки зрения должны влиять на
122
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
генерацию второй гармоники в сфокусированном пучке. Пере™
числим эти параметры: v = ЬАк/2 (пропорционален волновой
расстройке); а = /3/ср (пропорционален углу анизотропии); ? —
параметр фокусировки; /i — относительное положение фокуса
внутри кристалла. Ниже будем полагать, что /i = 0; положе™
ние фокуса в середине кристалла оказывается оптимальным для
преобразования во вторую гармонику.
Случай 90°-ного синхронизма. В этом случае, как извест-
известно, /3 = 0 (и следовательно, а = 0, vf = v) ш апертурная функция
B.8.34) принимает вид (для /л = 0)
С
-dT
B.8.42)
и, следовательно,
Г expfoT)^ ( }
J 1+гТ V У
(слабая фокусировка) выражение B.8.43) преобра™
При^
зуется к виду
J exp(ruT).
sin2 (г;^)
= f Sine
• I
Подставляя B.8.44) в B.8.41), получаем
@) l2smc2(Afc-I/2)
Таким образом,
4тт
f2sinc2(Afc-f/2)
B.8.44)
B.8.45)
B.8.46)
Легко видеть, что результат B.8.46) совпадает с результатом
B.8.19), полученным в приближении плоских волн (с простран-
пространственной модуляцией амплитуды функцией Гаусса).
При ? ^ 1 (сильная фокусировка) выражение B.8.43) прини-
принимает вид
2
h =
Ak-b
SI
.Ak-l
Ak-l
для Afc > 0.
для Afc < 0,
B.8.47)
На рис. 2.37 представлена зависимость h от Afc • 1/2, вычис™
ленная для разных ?. Кривая 1 получена для ^ <С 1 по формуле
2.8 ГВГ В СФОКУСИРОВАННОМ ГАУССОВОМ ПУЧКЕ 128
B.8.44), а кривые 2 ж 8 — соответственно для ? = 10 и ? = 100 по
формуле B.8.47). Кривые нормированв! так, чтобв! при Ак = 0
функция h равнялась единице; поэтому на основании рисунка
нельзя судить об абсолютных
значениях h. Рисунок иллюстри-
иллюстрирует возрастание с увеличением
? несимметричности функции
h относительно изменения зна-
знака расстройки ДА;. Молено ви-
видеть, что, например, при ? = 10
максимум функции h (а следова-
следовательно, и мощности Р2) достига™
ется вовсе не при точном выпол- -6-4-2 0 2 4 Ak-l/2
нении синхронизма для осевой
части пучка, а при определенной Рис. 2.37
волновой расстройке, при кото-
которой ДА; • 1/2 « —3. Таким образом, при фокусировке требует-
требуется для данного значения параметра ? подбирать оптимальную
волновую расстройку AfconT, лежащую в области отрицатель-
отрицательных значений. Иначе говоря, надо специально поворачивать
нелинейный кристалл от направления сихронизма на некоторый
угол в сторону, отвечающую увеличению угла между оптиче-
оптической осью кристалла и направлением оси пучка.
Это можно было предвидеть, исходя из простых физических сообра-
соображений. Напомним, что Ак = 0 есть условие выполнения скалярного оое-
синхронизма; в этом случае в = вс . Если Ale < 0 (иначе говоря, если
в > в с ), то скалярный синхронизм нарушается, зато создаются условия
для выполнения векторного оое-синхронизма. (Напомним, что угол век™
торного оое-синхронизма всегда больше угла скалярного оое-синхронизма.)
Для реализации этих условий необходима достаточно выраженная расходи-
расходимость пучка, что и достигается при сильной фокусировке. Таким образом,
увеличение эффективности генерации второй гармоники в области Ак < 0
может быть связано с выполнением условия векторного оое-синхронизма.
Напротив, в области Ак > 0 не выполняется ни скалярный, ни вектор-
векторный оое-синхронизм; поэтому эффективность генерации второй гармоники
при Ак > 0 существенно падает при усилении фокусировки. Заметим, что
поскольку область Ак < 0, или, что то же самое, в > (9С, соответствует
(для синхронизма оое соотношению п% < noi, то эту область часто на-
называют областью эффективной аномальной дисперсии (напомним, что в
области аномальной дисперсии коэффициент преломления с ростом часто-
частоты падает). Таким образом, векторный синхронизм и соответствующее ему
возрастание эффективности преобразования возможны только в области
эффективной аномальной дисперсии. При этом, естественно, не следует за™
бывать, что «аномальность» дисперсии в данном случае имеет место для
волн разных поляризаций и никак не связана с резким увеличением коэф-
коэффициента поглощения, характерным для обычной аномальной дисперсии.
В области эффективной аномальной дисперсии кристалл остается прозрач-
прозрачным.
124
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
Чтобы получить максимальное значение функции /г, надо,
очевидно, оптимизировать ее одновременно по обоим парамет-
параметрам — по ? и по v (по фокусировке и расстройке). Как показыва-
показывают вычисления на ЭВМ, максимальное значение h достигается в
точке ?опт = 2, 84, v0UT = -0, 55 (Акопт • 1/2 = ?опт%шт = -1, 6);
причем h (?опт, ^опт) = 1, 07.
Влияние диафрагменного апертурного эффекта. Если /3 ф 0, то
надо использовать функцию h (v, a, ?, 0), определяемую, согласно B.8.32),
B.8.34), B.8.40), следующим соотношением (при fi = 0):
I
ехр (—4s )
I
exp [i (v + 4as) T]
1 + гТ
dT
ds.
B.8.48)
На рис. 2.38 приведена вычисленная по формуле B.8.48) зависимость h
от ? для разных значений параметра а при оптимальной расстройке A —
для D = 0; 2 — для D = 1; 8 — для D = 4; 4 — Для ^ = 16; здесь
D = (x^ykl/2 = f3\Jkl/2). Легко видеть, что ДАЭ мож:ет существенно
уменьшить эффективность пре-
преобразования для сфокусиро-
сфокусированного пучка. Так, если при
D = 0 имеем /гМакс = 1,07
(при этом ^опт = 2,84), то при
D = 16 максимальное значение
функции h оказывается меньше
0,05 (при этом (опт = 1,4).
Аналитические функ-
функции длм оптимизации
фокусировки. В работе
[37] найдены некоторые
аналитические выраже-
выражения, позволяющие опера™
оценить и оптимизировать
при генерации гармоники
10™
10™
10
Рис. 2.38
тивно, без вычислений на ЭВМ,
эффективность преобразования
фокусированными гауссовыми пучками.
Из формулы B.8.41) получаем для эффективности преобра-
преобразования по мощности:
7] = ^- = — Pi@)fcZ/i(i/,a,?,/i). B.8.49)
Pi @) 4тг
В большинстве практических случаев эффективность преоб™
разования B.8.49) оптимизируется по параметру фазовой рас-
расстройки v = ЬАк/2; если при этом фокусировка осуществляется
в центр кристалла (fi = 0), то полезно ввести функцию
hm (a, 0 = шах {h {у, а, ^ 0)}^ . B.8.50)
Значок и у фигурных скобок означает, что функция
h (у, а, ?, 0) максимизирована по параметру расстройки и при
2.8 ГВГ В СФОКУСИРОВАННОМ ГАУССОВОМ ПУЧКЕ 125
заданных параметрах а, ?, по которым проводится дальнейшая
оптимизация. Заметим, что при каждом изменении этих пара-
параметров максимизация эффективности по параметру расстройки
и может быть реализована поворотом нелинейного кристалла
или изменением его температуры.
Расчеты функции hm (о, ?) на ЭВМ показали, что ее зави-
зависимость от параметра фокусировки ? подобна функции, описы-
описывающей лоренцеву линию в теории излучения. Руководствуясь
этой аппроксимацией, получаем для функции hm (а, ?) следую™
щее выражение [37]:
hm (д ° ~ \t-t
где ^m (D) — оптимальный параметр фокусировки, hmm (D) —
оптимальное значение функции hm (о, ?) по параметру D =
= /3\/М/2, т.е. фактически по углу анизотропии /3, j (D) —
некоторый дополнительный коэффициент («коэффициент зату™
хания»), введенный для описания чувствительности функции
hm (Z), ^) от параметра фокусировки ?; наконец, параметр A (Z?),
значение которого леясит в диапазоне 1,83—1,91, введен для по-
повышения точности расчетов. Ниже приведены формулы для
расчета коэффициентов, входящих в формулу B.8.50):
B-8-53)
B854)
^^ 13 [l - ехр (-?)] . B.8.55)
Таким образом, авторы [37] предлагают следующую мето™
дику оптимизации эффективности преобразования во вторую
гармонику. Определяется параметр D, зависящий от угла ани-
анизотропии и длины кристалла. По формулам B.8.52)—B.8.55) вы™
числяются параметры ?m, hmm) А и 7? после чего, подставляя
их в B.8.51), получаем оптимальное значение функции hm (D),
которое, в свою очередь, следует подставить в B.8.49). Следу™
ет помнить, что при этом /i = 0 и что должна быть проведена
дополнительная оптимизация по параметру расстройки и.
При D = 0 (случаи отсутствия анизотропии или 90°™ного
синхронизма) ^т = 2,84, А = 1,91, hmm = 1,068, 7 = 19,875 и
hm @, ?m) = 1,068 ^ 1,07, что хорошо совпадает с результатами
точного численного расчета.
126 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
При /3 ф О (D ф 0) результаты расчета функции hm (D,?)
по формулам B.8.51)—B.8.55) весьма удовлетворительно совпа-
совпадают с точным численным расчетом (рис. 2.38).
2.9. Приближение заданной интенсивности основного
излучения
В предыдущих параграфах широко использовалось прибли-
приближение заданного поля основного излучения. В этом приближе-
приближении принимается постоянной комплексная амплитуда А\ поля
основной волны; иначе говоря, постоянны как вещественная ам-
амплитуда ах, так и фаза ip\:
ai(z) = ai@), <pl(z) = <pl(O). B.9.1)
Данное приближение существенно упрощает вычисления; одна™
ко при этом теряется информация о нелинейном характере вза-
взаимодействия волн, утрачивается ряд качественно важных осо-
особенностей процесса преобразования во вторую гармонику.
Более оправданным с физической точки зрения является
приближение заданной интенсивности основного излучения
[26]. В этом приближении принимается постоянной только ве-
вещественная амплитуда ai, но не фаза (р\:
ai(*)=ai@), pi (*) ^ Vi @) • B-9.2)
Комплексная амплитуда полм второй гармоники в
приближении заданной интенсивности. Пренебрегая по-
поглощением, запишем систему укороченных уравнений B.2.22)
в виде
= -г<п AlA2 exp (-гДА; • z),
dl
—^ = —ia2A\ exp (iAk • z).
dz
Продифференцируем эти уравнения по z:
г<п (А2 + А
dz* \ dz d
*^ - iAk • А1А2) exp (^iAk • z),
dz )
^ = —гсг2 (ъАх— + iAk • A?) exp (гДА;
z2 \ dz /
dz2
Используя B.9.3) и вводя обозначения для интенсивностей
волн 1):
h = АгА\ = а2ъ 12 = А2А\ = а\, B.9.5)
) Не следует отождествлять интенсивность I = а с плотностью мощно-
мощности S = спа2 /Stt = cnl/Sir.
2.9 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЗАДАННОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ 127
преобразуем B.9.4) к виду
^± + iAk ^ - G1 (ах/2 - G2/i) Ai = О,
Pa «5 B-9-6)
iAk
dz2 dz
В приближении заданной интенсивности основного излуче-
излучения следует положить
Ji(z) = /i(O)=/io, B.9.7)
после чего второе уравнение B.9.6) принимает вид
fAl _ iAk ^ + 2aKJ2A2Iio = 0. B.9.8)
dz2 dz
Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным услови-
условиА2 @) = 0, ^ J _ = -i<j2A\ @), B.9.9)
может быть представлено в виде
А2 (z) = -га2А\ @) zexp гА^И s'mc (Az), B.9.10)
где
B.9.11)
Сопоставим B.9.10) с выражением B.4.35а), описывающим
комплексную амплитуду поля второй гармоники в приближении
заданного поля основного излучения. При переходе от B.4.35а)
к B.9.10) множитель sine (Ak • z/2) заменяется множителем
sine (Az), зависящим, как это видно из B.9.11), не только от
волновой расстройки Afc, но и от интенсивности До основного
излучения. Легко видеть, что при достаточно больших волновых
расстройках, когда
B.9.12)
приближение заданной интенсивности совпадает с приближени-
приближением заданного поля.
Вещественная амплитуда и фаза второй гармоники в
приближении заданной интенсивности. Вводя веществен-
вещественные амплитуды и фазы, перепишем B.9.10) в виде (с учетом
того, что —г = exp (—in/2))
a2(z) exp (itp2(z)) =a2af (O)zsinc (Az) exp if 2</?i@) — - + Ak -
128
ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
ГЛ. II
Отсюда следует, что
а2 (z) = а2а\ @) z sine (Az), B.9.13а)
ср2 Ы = 2ш1 @) - - + Afc - . B.9.136)
2 2
Сопоставим результат B.9.13а) с соответствующими резуль-
результатами, полученными при строгом рассмотрении (т.е. в нели™
нейном режиме) и в приближении заданного поля. Согласно
B.4.35а) приближение заданного поля дает
а2 (z) = а2а\ @) z sine
B.9.14)
При рассмотрении нелинейного режима следует учесть ре-
результаты, полученные в § 2.4. В этом случае (см. B.4.20))
а2 (z) = (ц@)у/к sn (и; к), B.9.15)
Ai л
где и = zo\
Ai
2
Ak
На рис. 2.39 приводятся зависимости \а2 A)/а\ @)| от Ak • 1/2,
полученные при I = 2f \/Gia2Ii® в нелинейном режиме (непре™
рывная кривая), в приближении заданной интенсивности (то-
(точечная кривая) и в приближении заданного поля (штриховая
кривая). Видно, что при
(Ak -1/2) > 2 непрерывная
и точечная кривые прак-
тически совпадают; в то
же время штриховая кри-
кривая с ними не совпада-
совпадает, хотя и приближается к
ним по мере увеличения
Ak • 1/2. Таким образом, в
отличие от приближения
заданного поля приближе-
ние заданной интенсивно-
интенсивности уже при относительно
л^- малых волновых расстрой™
ках дает результаты, хо-
хорошо согласующиеся с ре-
Рис 2 39 зультатами, получаемыми
при строгом рассмотрении.
Заметим, что при I < if\Jgig2I\® отмеченное совпадение ре-
результатов будет наблюдаться практически при всех значениях
волновой расстройки.
Самовоздействие световой волны в квадратично-не-
квадратично-нелинейной среде. Как отмечалось в § 1.3, эффект самовоз-
12 16
2.9 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЗАДАННОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ 129
действия световой волнв! характерен для кубично-нелинейной
среды, однако он может наблюдаться так лее в квадратично-не-
квадратично-нелинейной среде за счет переизлучения волны, частота которой
есть разность частот второй гармоники и основного излучения.
Эффект самовоздействия световой волны в квадратично-нели-
квадратично-нелинейной среде фактически нельзя учесть в рамках приближения
заданного поля, но можно учесть в приближении заданной ин~
тенсивности.
Переходя к вещественным амплитудам и фазам в первом
уравнении B.9.3), находим
^1 +iai^i = -ia1a1a2e: > - 2<pi - Ak • z)] . B.9.16)
dz dz
В приближении заданной интенсивности следует принять
da\/dz = 0. Тогда из B.9.16) получаем
^1 = ^aia2 cos (лр2 - 2</?i - ДА; • г). B.9.17)
dz
Используя соотношения B.9.13) для а2 (z) и ip2 (z), преобразуем
B.9.17) к виду
*?!. = -a1a2lioz sine (Az) sin B(рг @) - 2щ (z) - Ak -
B.9.18)
Решение уравнения B.9.18) мо^кет быть представлено с учетом
B.9.11) в следующем виде:
(рг (z) = (рг @) + ^^ [1 - sine BAz)]. B.9.19)
Результат B.9.19) отражает зависимость фазовой скорости
волны на основной частоте от интенсивности 1ю. Это означа-
означает, что показатель преломления среды зависит от интенсивно-
интенсивности излучения. Таким образом, налицо эффект самовоздействия
световой волны в квадратично-нелинейной среде.
Нелинейная длина и длина когерентности. Будем ис™
пользовать понятия нелинейной длины L и длины когерентности
/к- Нелинейная длина
L = (aia2/io)/2 BJ.20)
есть характерная длина нелинейного взаимодействия волн, на
которой происходит эффективная перекачка мощности основ-
основного излучения в мощность второй гармоники. Эта длина была
введена в § 2.3 (см. B.3.25), а также § 2.7). С учетом B.9.20)
перепишем B.9.11) в виде
5 В.Г. Дмитриев, Л.В. Тарасов
B.9.21)
130 ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ГЛ. II
Длина когерентности 1К введена в § 2.4 (см. рис. 2.14). На™
помним, что сначала на расстоянии 1К происходит перекачка
мощности из основного излучения во вторую гармонику, а за-
затем, опять-таки на расстоянии 1К, происходит обратная перекач-
перекачка мощности. Из B.9.13а) следует, что в приближении заданной
интенсивности длина когерентности
lK = i B.9.22)
или с учетом B.9.21)
Г I
1К = — 1+ 8 . B.9.23)
Ак [ (Ак • ЬJ ] l ;
Согласно B.9.23) период пространственных биений функции
«2 (%) зависит от L, а следовательно, от интенсивности До.
Можно показать, что результаты расчетов в приближении
заданной интенсивности практически совпадают с результата-
результатами, полученными при строгом рассмотрении, если длины L и 1К
удовлетворяют условию
- >-. B.9.24)
/к 7Г
Неравенство B.9.24) не выполняется при достаточно малых
волновых расстройках. Однако в любом случае приближение за-
заданной интенсивности дает более корректные результаты, чем
приближение заданного поля. В связи с этим рассмотрим ниже
случай точного выполнения условия синхронизма (Ак = 0).
Эффективность преобразования во вторую гармони-
гармонику при точном выполнении условия синхронизма. Эф-
Эффективность преобразования по интенсивности определяется
как
^ . B.9.25)
11 /i@) a?@) V '
При строгом рассмотрении эффективность преобразования г//
описывается в данном случае соотношением, которое непосред-
непосредственно вытекает из B.4.24):
гц = th2 (aiai @) 1) « th2 - . B.9.26)
Используя (B.9.13а)), находим эффективность преобразования
в приближении заданной интенсивности:
= а2а\ @) I2 sine 2 ^ и l- sin2 ^ . B.9.27)
L 2 L
2
Из B.4.44) следует, что в приближении заданного поля
B.9.28)
2.9
ПРИБЛИЖЕНИЕ ЗАДАННОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ
131
Полагая I < L, разложим th — и - sin2
ряды:
2
— в степенные
1
- sin
2
L \L
2 л/21 .
JLj
B.9.29a)
B.9.296)
0,5
Отсюда следует, что в отсутствие расстройки эффективность
преобразования в приближении заданной интенсивности и эф-
эффективность, рассчитанная в
нелинейном режиме, одна и та
же с точностью до членов, про-
пропорциональных A/L) .
На рис. 2.40 представлены
зависимости rjj от 1/L, полу-
полученные при строгом рассмотре-
рассмотрении (кривая 1), в приближении
заданной интенсивности (кри-
(кривая 2) и в приближении задан™
ного поля (кривая 8). Видно,
что даже при Afc = 0 мож-
можно пользоваться приближением
заданной интенсивности прак-
практически вплоть до значений 1/L
0,5
Рис. 2.40
1/L
1, тогда как приближ:ение
заданного поля дает корректные результаты в данном случае
лишь в области I/L < 0,4.
5*
ГЛАВА III
ГЕНЕРАЦИЯ
ВТОРОЙ ОПТИЧЕСКОЙ ГАРМОНИКИ
(НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
3.1. Генерация второй гармоники в
линейно-неоднородной среде
Реальные нелинейные кристаллы являются в определенной
мере неоднородными средами. Неоднородность среды означает
в данном случае, что показатели преломления для волн основ™
ной частоты и второй гармоники изменяются при переходе от
одной точки среды к другой. Изменение показателей прелом-
преломления может быть нерегулярным (статистически неоднородная
среда) или регулярным; в последнем случае изменение показа-
показателей преломления может быть описано аналитической функ-
функцией пространственных координат. Здесь будут рассматривать-
рассматриваться только регулярные изменения 1); при этом мы ограничимся
линейно-неоднородными средами, когда неоднородности описы-
описываются линейными функциями координат.
Неоднородность дисперсионного двулучепреломле-
ния. Рассмотрим для определенности оое-взаимодействие. При
генерации второй гармоники в реальном кристалле существенна
пространственная неоднородность величины
B(x,y,z,q) = ne2(x,y,z,q) - noi(x,y,z,q), C.1.1)
которую будем называть дисперсионным двулучепреломлени-
ем2). Здесь по\ и п\ — показатели преломления соответственно
для обыкновенной волны основной частоты и необыкновенной
волны второй гармоники; q — некоторый обобщенный параметр,
в качестве которого могут выступать угол в между осью z (нор-
(нормалью ко входной грани кристалла) и оптической осью кристал™
1) Генерация оптических гармоник в статистически неоднородных средах
рассматривается в [1].
) При обычном двулучепреломлении предполагается, что частоты обык-
обыкновенной и необыкновенной волн одинаковы; здесь же эти частоты различ-
различны.
3.1
ГВГ В ЛИНЕЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
138
ла 00, температура Т кристалла, длина волны Ai основного
излучения и т.п. Величина В определяет волновую расстройку:
Если для однородной среды расстройка является функцией
только параметра д, то для неоднородной среды она являет™
ся функцией также пространственных координат. В линейно-
неоднородной среде величина В линейно зависит от простран-
пространственных координат.
Будем рассматривать световой пучок с плоским волновым
фронтом и пространственно-модулированной стационарной ам-
амплитудой. На оси пучка (при х = у = 0) на входе кристалла
(z = 0) условие волнового синхронизма предполагается выпол-
выполненным:
Б@,0,0,дс) =0- C.1.3)
Значение дс параметра д,
при котором выполняется
условие синхронизма в точке
х = у = z = 0, называют
параметром синхронизма
(например, угол синхрониз™
ма 0С, температура синхро-
синхронизма Тс и т.д.). Очевидно,
что неоднородность диспер-
дисперсионного двулучепрелом™
ления должна приводить
к уменьшению эффектив-
эффективности генерации второй
гармоники, поскольку усло-
условие синхронизма (д = дс)
выполняется в точке х = у =
= z = 0, но не выполняется,
вообще говоря, в других
точках пучка.
Будем полагать, что век-
векторы pi = grad по\ и р2 =
= grad n\ лежат в плоско™
сти, проходящей через ось z
и оптическую ось 00 кри™
сталла (плоскость М на рис. 3.1); эти векторы имеют одинаковое
направление и образуют с осью z угол а. Если а = 0 (или а =
= тг), говорят о продольной неоднородности, а если а = тг/2 — то
о поперечной. Из рисунка видно, что ось х выбрана в плоскости
М] следовательно, В и Ак не зависят от координаты у.
Рис. 3.1
134
ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
ГЛ. III
Учитывая линейность пространственной неоднородности
среды и используя C.1.3), представим B(x^z^q) в следующем
виде:
д
dq
х=0
z=0
9с
grad В\ (ж sin а + zcosa). C.1.4)
Если (дВ/dq) = 0 (случай 90°-ного синхронизма или темпе-
ратурно-некритичного взаимодействия), то в C.1.4) сохраняют
слагаемое (q ~~ qcJ (д2 В f dq2) . Итак, дисперсионное двулуче-
преломление в линейно-неоднородной среде состоит из двух чле-
членов: первый описывает изменение В в центре светового пучка на
входе кристалла при отклонении параметра q от параметра син-
синхронизма дс, а второй описывает «добавку» к В за счет линейной
неоднородности в произвольной точке при q = qc.
На практике все нелинейные среды в той или иной мере неоднородны.
Наибольшей неоднородностью характеризуются многие высоконелинейные
кристаллы, такие как, например, ниобат лития и ниобат бария^натрия, вы™
ращиваемые из раствор-расплава по методу Чохральского [2, 3]. Неоднород-
Неоднородность двулучепреломления в таких кристаллах возникает вследствие нару-
нарушения состава (стехиометрии) кристалла в процессе его выращивания, что
может быть связано с нестабильностью скоростей вращения и вытягива™
ния кристаллических буль из раствор-расплава, неоднородностью самого
раствор-расплава (например, из-за колебаний температуры), появлением в
кристалле напряжений, трещин, двойникования и т.п. Существенно более
однородными являются воднорастворимые кристаллы, например, группы
KDP, а также йодат лития, КТР и др.; однако, и в них могут наблюдаться
заметные неоднородности (особенно при увеличении апертуры кристалла).
Заметим, что значительная продольная, а иногда и поперечная неоднород-
неоднородность двулучепреломления может возникнуть в кристаллах, когда они на-
находятся в герметичных термостатированных капсулах с неоднородным теп-
тепловым полем. Создание однородного распределения температуры в таких
термостатах представляет довольно сложную техническую задачу.
Оценим порядок неоднородности, при котором ее следует принимать во
внимание. Из материалов гл. II известно, что изменение обобщенной фазы
f на 7г приводит к изменению знака производной для амплитуды второй
гармоники, см., например, уравнение B.3.5), т.е. к смене нарастания гар-
гармоники на ее затухание. Возьмем для определенности длину кристалла I =
= 1 см. Тогда для Ai = 1 мкм имеем АФ = А (Ы) = I • Ак = I— An = тг,
Ai
откуда An = Ai/BZ) = 5 • 1СР5. Таким образом, для изменения обобщенной
фазы на тг на длине кристалла 1 см достаточно неоднородности, величина
3.1
ГВГ В ЛИНЕЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
135
которой лежит в пятом знаке после запятой. Однородными следует считать
кристаллы с величиной В ^ 10™6 (для параметрических генераторов света
требования по неоднородности еще жестче).
Амплитуда и плотность мощности второй гармоники
в приближении заданного полм основного излучения. В
случае неоднородной среды запишем вместо B.2.2) следующее
выражение для светового поля1):
J
iu)t — г I k(x,z',q)dz/
о
K(x,zf,q)dzr
¦ K.C.
C.1.5)
Следуя схеме рассуждений, применявшейся в § 2.2, и прене™
брегая поглощением излучения в нелинейном кристалле, мож-
можно прийти в данном случае к системе укороченных уравнений,
имеющей вид (ср. с B.2.22)):
дАг
—-
dz
dz
1 дк
— —
2к dz
дК
Ж
2 exp
exp
-i J Ak(x1z,q)dzf
:fAk(x,z',q)dz'
C.1.6)
Граничные условия примем в виде
Ai(ar,y,O)=Aio(a;,y), A2(x,y,0)=0. C.1.7)
Как и система уравнений B.2.22), система C.1.6) получена для
случая скалярного оое-синхронизма с использованием соотноше-
соотношения B.2.8), т.е. в пренебрежении дифракцией и диафрагменным
апертурным эффектом.
Будем работать в приближении заданного поля основного из™
лучения. В этом приближении надо сохранить в системе C.1.6)
только второе уравнение, причем вместо A\{x,y,z) следует ис-
использовать Aw(x,y). Таким образом, задача сводится к реше™
нию уравнения
дА2
дК
^ У)
г I
dz
) Интегралы по z означают, что здесь рассматриваются волновые век-
векторы, усредненные по промежутку [0; z].
136
ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
ГЛ. III
с граничным условием
А2(х,у,0) =0. C.1.9)
Интегрируя C.1.8) по z от 0 до I, получаем с учетом C.1.9)
I
А2{х,уЛ) + - I v ; — dz =
2 ti Шж.^.о) dz
2 J K(x,z,q) dz
= -ia2A2w(x1y) J exp
i I
Далее учтем, что
l
- I — — dz < 1
2 *J К dz
l
Г ^^ dz
I ~V =
J dz К
z/\q) dz
K(x,l,q)
K(x,0,q)
dz. C.1.10)
Следовательно, вторым слагаемым в левой части C.1.10) можно
пренебречь. В результате приходим к следующему выражению
для амплитуды второй гармоники на выходе кристалла в точке
(ж, у):
А2(х,у,1) = -га2А2ш(х1у) J exp
i J Ak(x,zf,q)dzr
dz.
C.1.11)
Используя C.1.2) и C.1.4), представим интеграл / =
= Г Д&(ж, z;, q) dz1 в виде
I =
VB (xzmna-
2 OL
Z COS —
2
C.1.12)
где
VB = |grad
Подставляя C.1.12) в C.1.11) и применяя соотношение S2 =
= (cri2/8тг) ^2^2, получаем следующее выражение для плот-
плотности мощности второй гармоники на выходе кристалла в
Здесь и далее в данном параграфе используются результаты работ [4, 5].
3.1 ГВГ В ЛИНЕЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ 137
точке (ж,у):
1 1
S2(x,y,l,q) = fi a22l2Af0(x,y) Г Г exp \iAkql(? - ?') +
0 0
+ J-VB \xl(( - С) sin a + -12 (?2 - ?'2) cos a] } d? d?' C.1.13)
(здесь ^ = z/l,e = z'/I).
В случае однородной среды расстройка зависит только от q
и поэтому результат C.1.11) принимает вид
l
т42(ж,у,1) = —ia2A^Q(x^y) f exp(iAkqz) dz, C.1.14)
или
Л I- I
sinc — exP (г
Отсюда следует, что
S2(x,y,l) = ^a22l2S21(x,y,0)smc2 ^ C.1.15)
(ср. полученный результат с B.4.47)).
Пучок с амплитудой, пространственно модулирован-
модулированной функцией Гаусса. Ограничимся рассмотрением пучков
основного излучения, имеющих плоский волновой фронт и ам-
амплитуду, модулированную функцией Гаусса:
^±^). C.1.16)
При этом будем использовать только приближение заданного по-
поля основного излучения1).
Подставим C.1.16) в C.1.13) и перейдем от плотности мощ-
мощности S2(xJyJlJq) к мощности Р2(/,#):
f
J
-—(X) —С
ОО
X
J
О О
C.1.17)
00 г г ( 2 Г 1
1) Влияние неоднородности среды на генерацию второй гармоники в нели-
нелинейном ретсиме рассматривается в [6], а в приближении заданной интен-
интенсивности (учитывающем влияние интенсивности второй гармоники на фа-
фазу волн основной частоты) — в [7].
138 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
Здесь введены следующие обозначения:
C.1.19)
C.1.20)
Ai
Используя известное соотношение [8]
Г ехр (-р2х2 ± qx) dx = exp -^ ^T C"L21)
_^ \4р2 / |р|
и полагая р = 2/po,g = 4i/ii(? — ^;)/ро5 преобразуем C.1.17) к
виду
l l
х Г Г
о о
Далее заметим, что
1 1
J J sin {2 [(^(С) - ср^)] } ехр \-ц\{? - С'J] rfC <%' = 0. C.1.23)
о о
Результат C.1.23) следует из того факта, что подынтеграль-
подынтегральное выражение, как легко видеть, меняет знак, если в нем поме-
поменять местами С и ?'. Учитывая C.1.23) и используя соотношение
ехр (гФ) = cos Ф + гвтФ, получаем выражение для мощности
второй гармоники в рассматриваемом случае:
CKlPo
х // cos {2 [^(C) -</?(?')]} exP Г—/^f (С — С'J] <%<%'• C.1.24)
о о
Здесь (ср. с B.9.16))
C.1.25)
Поперечно-неоднородная среда. Будем полагать, что
= тг/2 и, следовательно,
C.1.26)
3.1 ГВГ В ЛИНЕЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ 139
В этом случае получаем из C.1.24)
jj
Р2 = Щ^к jjcos [2П(? - ?')] ехр
C.1.27)
где ft = Akq • 1/2. Результат C.1.27) можно представить в более
удобном для выполнения расчетов виде
сю
J ехр (-^ J sine2 (U + X) dX, C.1.5
^ _ —^^—io_ i exp _— sine (O + X) dX, C.1.28)
где X = 2xfiifp®. Для этого надо в C.1.17) положить /i2 = 0 и
выполнить интегрирование по ? и ^:
1 1
J J ехр [г • 2 (О + X) (f - С')] rf^rf^ = sinc2 (° + Х)-
о о
В случае сильно неоднородной среды (/ii ^> 1) интеграл в
C.1.28) может быть выражен через элементарные функции. При
/ii ^> 1 функция ехр (^X2//if) может рассматриваться как мед-
медленно изменяющаяся с изменением X. По сравнению с ней функ-
функция sinc2(Q + X) меняется быстро; она быстро спадает (стре™
мясь к нулю) в обе стороны от точки X = —Г2. Поэтому в C.1.28)
можно в данном случае приближенно принять
ехр (-J) «ехр (-|). C.1.29)
Таким образом,
Г ехр(-— ) sine2 (п + X) dX «
/ 2 \ °° / 2 \
~ехр(-— ) Г sine2 (u + X)dX = тг ехр (---]. C.1.30)
С учетом C.1.10) выражение C.1.28) принимает вид
C.1.31)
Из C.1.31) следует, что кривая синхронизма P2(q) имеет гауссо-
гауссову форму; ширина кривой синхронизма по уровню половинной
мощности есть
(Д*01/2 = л/Ы2ттр0— . C.1.32)
140
ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
ГЛ. III
Приближенная оценка интеграла в C.1.28) при ц\ ^ 1 может
быть получена на основе представления функции sine (О + X)
через функцию Бесселя f sine 2Ф = ж/2/2(Ф)/Ф 1, а результат ин™
тегрирования через гамма-функцию и обобщенный гипергеомет-
гипергеометрический ряд (см. [9]). Приближенное выражение для Р2 имеет
в данном случае вид
р2A,щ ^o)«p2(/,/ii = 0) A- ^ +?). (з.1.зз)
\ 6 30 /
Из C.1.33) следует, что при fi\ « 1 мощность второй гармоники
уменьшается за счет неоднородности среды примерно на 15%.
Для типичных параметров
I = 3 см, ро = 0, 5 см, а =
= 45°, Ai = 1 мкм, величина
/ii = 1 соответствует VI? ~
« 3 • 1СГ5 см™1.
На рис. 3.2 представ-
представлены кривые синхронизма
(зависимость Р2 от О =
= Afcgl/2), рассчитанные по
формуле C.1.28) с исполь-
использованием ЭВМ для разных
/ii. Видно, что с увеличени-
_г п 1 и \^_ то ем /ii характерные для слу™
"^/д Iav^^***"^^- чая оДноРоДной среды бо-
^f^xj \V^^ ковые максимумы исчезают,
кривая синхронизма уширя™
ется и при /ii 3> 1 приоб-
приобретает гауссов вид; эффек-
эффективность генерации второй
гармоники с ростом /i\ быстро падает. Таким образом, снимая
экспериментальную кривую синхронизма, молено по крайней ме-
мере качественно судить о характере и величине неоднородности
двулучепрелом ления.
Подставляя C.1.16) в C.1.13) и полагая /12 — 0, можно полу™
чить выражение для плотности мощности второй гармоники
на выходном торце кристалла:
—Зя —2п -к 0
Рис. 3.2
S2{x,y,l,q) = ^
57Г
9
у2
Ро
00
а21
^4ж2 + ^ ) sine2
Ро
)
C.1.34)
3.1 ГВГ В ЛИНЕЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ 141
Из C.1.34) видно, что распределение плотности мощности
второй гармоники по оси х имеет характер интерференционных
полос^ накладывающихся на гауссово распределение. При q =
= qc имеем П = 0; в этом случае центральный (главный) макси-
максимум интерференционной картины соответствует оси пучка. При
q Ф qc главный максимум смещается в точку х = —fipo/B/ii).
Исследуя возникающую картину полос, молено найти VI?. Пред™
положим, что на длине d вдоль оси х на торцевой поверхности
кристалла наблюдаются N полос, включая главный максимум.
Тогда величина VB может быть найдена из соотношения (при
)
=N + 1. C.1.35)
тгро
Таким образом,
VB= Ai(iV + l) C.1.36)
Полагая d = 1 см, 1 = 3 см, N = 3, Ai = 1 мкм, из C.1.36)
получаем VB ^ 7 • 10^5 см™1.
Продольно-неоднороднам среда. Будем полагать, что
а = 0 и, следовательно,
/ii=0, /i2 = 4VB—. C.1.37)
Ai
В этом случае выраж:ение C.1.24) принимает вид1)
C.1.38)
Интегралы типа C.1.38) часто встречаются в теории дифракции
света; они могут быть выражены через интегралы ошибок или
интегралы Френеля [9, 10]. Введем новые переменные интегри-
интегрирования:
Т = 2Щ + 7ф2 ^ , Т = 2Щ' + 7Г/12 ^ C.1.39)
и обозначения:
7T/i2
C-1.40)
х) Строго говоря, продольная неоднородность среды предполагает выпол™
нение неравенства ц\ <С /i2, которое при ро <С I мож:ет иметь место также
при а ф 0.
142 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
Двойной интеграл в C.1.38) есть произведение двух комплексно™
сопряженных интегралов: / • /*. Можно убедиться, что
;ЫМт))МтМ0Ь (зл-41>
где
и
Ф(и) = А /ехр(^) dt C.1.42)
есть интеграл ошибок. Воспользуемся соотношением
^Ф (ехр (~)у/т) ехр (-^) = С G) +«5 G), C.1.43)
где
GG) = J- Jcosfdt, S(j) = J^ fsinfdt C.1.44)
V ^ 0 V *¦ 0
— интегралы Френеля. С помощью C.1.43) преобразуем C.1.41)
к виду
I = -j= ехр (-|) { [С G2) - С(ъ)} + г [5G2) - S (Ъ)] }•
C.1.45)
Отсюда получаем
/ • /* = -^ { [С G2) - С Gi)]2 + [5 G2) - S G1)]2 }
и, следовательно,
^Ми) = ^4^А2о{^Ы
C.1.46)
На рис. 3.3 представлены кривые синхронизма для разных
значений /i2, вычисленные на основе соотношения C.1.46) при
использовании ЭВМ. Из рисунка видно, во-первых, что по мере
роста /i2 кривая синхронизма существенно уширяется и может
иметь несколько максимумов. Во-вторых, при \х^ ф 0 максимум
выходной мощности смещается в область И > 0; следовательно,
для получения наибольшего коэффициента преобразования на™
до обеспечить соответствующую волновую расстройку в центре
пучка на входе кристалла (например, при /i2 = 5, 5 оптимальная
волновая расстройка отвечает значению ООпт — 3,5). Мощность
второй гармоники на выходе кристалла при О = 0 быстро умень-
уменьшается при возрастании /i2.
Наблюдаемая картина аналогична интерференционной картине, полу-
получающейся при дифракции света на круглом отверстии. Напомним в этой
3.1
ГВГ В ЛИНЕЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
148
связи, что в центре указанной интерференционной картинвх возникает тем-
темное пятно (пятно Пуассона) [11]. По аналогии с зонами Френеля можно в
данном случае рассматривать набор по длине кристалла так называемых
зон когерентности, генерирующих волны второй гармоники с разными фа-
фазами (соседние зоны генерируют волны в противофазе). Длина m-й зоны
когерентности уменьшается с ростом т и /12. При малых /12 эта длина ока-
оказывается больше длины кристалла I; в этом случае эффективность генера™
ции второй гармоники максимальна. При возрастании /12 зоны сжимаются,
интенсивность второй гармоники на выходе кристалла падает, проходя ряд
максимумов и минимумов. Появление этих экстремумов связано с интерфе-
интерференцией волн второй гармоники, генерируемых разными зонами когерент-
когерентности.
1,0
12
16
20 О
Рис. 3.3
Используя C.1.46) и учитывая C.1.16), можно прийти к сле-
следующему выражению для плотности мощности второй гармони™
ки на выходе кристалла:
pi
X
х {[С G2) - CGi)]2 + [5G2) - 5Gi)]2} • C.1.47)
В рассматриваемом случае распределение плотности мощно-
мощности второй гармоники в поперечном сечении остается гауссовым
и характеризуется отсутствием интерференционных полос, на™
блюдающихся в случае поперечно-неоднородной среды.
О необходимости учета неоднородности двулуче-
преломления. Рассмотрение графиков, представленных на
рисунках 3.2 и 3.3, и вытекающих из них зависимостей Р2 от /ii
и /12 позволяет оценить области значений параметров /i\ и /i2,
где практически можно пренебрегать влиянием неоднородности
144 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
дисперсионного двулучепреломления на эффективность генерации
второй гармоники. Эти области определяются неравенствами
/ii ^ 0,5, //2 ^ 1. C.1.48)
При этом надо помнить, что в выражения для параметров ц\
и ji2 входят не только градиент двулучепреломления, но так-
также длина нелинейного кристалла и радиус перетяжки светового
пучка. Следовательно, далее при малых VI? влияние неоднород-
неоднородности среды на процесс генерации второй гармоники может ока-
оказаться существенным, если используются достаточно большие
длины кристалла и апертуры светового пучка.
Для кристаллов типа ниобата лития среднего качества можно принятв
VB и 10~4 см™1 (заметим, что здесь У В и Vn|, Vnoi и 0), что для ро =
= 0,1 см, I = 3 см, Ai = 10~4 см дает /ii ^ 1. Столь заметная поперечная
неоднородность обязательно должна учитываться при расчете эффектив-
эффективности генерации второй гармоники. При указанных выше значениях ро, I, Ai
поперечной неоднородностью можно пренебрегать при VB < 5 • 10~5 см™1.
Продольный градиент дисперсионного двулучепреломления в кристал-
кристаллах ниобата лития в несколько раз меньше поперечного. Из условия /i2 ^ 1
следует, что при I = 3 см и Ai = 10^4 см продольной неоднородностью
можно пренебрегать, если V'В ^ 10~6 см, т.е. в случае весьма однород-
однородных кристаллов.
Заметим, что величина \7В существенно определяется стехиометрией
кристалла и может быть значительно уменьшена при правильном выборе
коэффициента стехиометрии R (отношения весовых частей лития и ниобия
в расплаве). Вместе с тем нельзя забывать, что параметры синхронизма
qc резко зависят от R. Так, при изменении R (в ниобате лития) от 0,97
до 1,2 температура 90°-ного синхронизма для Ai = 10~4 см изменяется в
диапазоне от 0 до 170 °С [3].
Как отмечалось выше, влияние продольной неоднородности кристалла
на эффективность преобразования во вторую гармонику можно частично
скомпенсировать подбором соответствующего значения параметра О, т.е.
произведения Akq-l/2. Задача о выборе оптимальной начальной (на вхо™
де кристалла) волновой расстройки решалась численными методами в [6].
В работе [12] рассматривалась (в приближении заданного поля основного
излучения) задача выбора оптимальной длины нелинейного кристалла.
Критерий качества нелинейных кристаллов по неод-
неоднородности двулучепреломленмм. Отметим интересное
свойство кривой синхронизма Р2 (О), позволяющее получить
критерий качества кристаллов по неоднородности двулучепре™
ломления, причем независимо от вида неоднородности. Пусть
волновая расстройка имеет вид
r(x,y,z), C.1.49)
где Ak(q) определяется отличием q от qc (Ak(qc) =0), а Г —
некоторая функция координат. Введем обозначение:
F(x, y,z)= j Г(ж, у, z1) dzf. C.1.50)
3.1 ГВГ В ЛИНЕЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ 145
С учетом C.1.49) и C.1.50) представим результат C.1.11) в виде
l
М{х, у, I) = -ia2Al0(x1 у) J ехр [гДА; (q) z + iF (ж, у, z)} dz.
о
C.1.51)
Отсюда находим
8тт
1 1
= VAfo(x, y)ff ехр [iG(x, у, ?, О + Ш-СЩ d? dg, C.1.52)
о о
где V = ^-п%а%12, G(x,y,t,t') = F(x,y,?l) - F(x,y,?l), О =
= Ak(q)- , ? = - , ^f = — . Используя C.1.52), приходим к выра-
выражению для мощности второй гармоники на выходе кристалла:
оо
P2(l,U) = V J
— oo -
1 1
41
0 0
Интегрируя C.1
хронизма:
oo oo
— oo —oo
1 1
0 0
Поскольку
oo
J AfQ(x1y)dxdy x
-oo
exp [iG(x, y, ?, ^) + !
.53) по О, получаем
A4
X УХ
зхр [гС(ж, у, ?, ^;] d^" d.
площадь
oo
C' / exp
— oo
i]d?d?'. C.1.53)
под кривой син-
[2г (С - ?') fi] dfi.
— ОО
где <5 — дельта-функция Дирака, то, следовательно,
оо оо 1
?@ = 7tV J J Aj0{x, у) dx dy J exp [iG(x, y, ?, ^')]
— oo —oo
J A\Qdxdy. C.1.54)
— oo —oo
146 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
Итак, величина площади под кривой синхронизма Р2(^) не
зависит от вида пространственной неоднородности дисперсион-
дисперсионного двулучепреломления. Подставляя C.1.16) в C.1.54), нахо-
находим (с учетом C.1.25))
C.1.55)
Используя C.1.15) и C.1.16), найдем выражение для мощно™
сти второй гармоники в однородном кристалле. При q = qc это
выражение имеет, как нетрудно убедиться, следующий вид:
Таким образом,
^ =тг. C.1.57)
-t 2
Введем параметр качества кристалла:
М= Тг/^макс = i^KC ^ C.1.58)
где Р2макс — максимальная выходная мощность второй гармо-
гармоники для рассматриваемого неоднородного кристалла. Для од™
нородного кристалла М = 1; с увеличением степени неоднород™
ности параметр М уменьшается.
Для экспериментального определения параметра М надо
иметь эталонный образец однородного кристалла и измерить
для него Р^. Измеряя затем для исследуемого образца мощность
Р2макс5 можно по формуле C.1.58) определить параметр каче-
качества М. При измерениях следует исключить побочные эффек-
эффекты, сопровождающие генерацию второй гармоники, и в первую
очередь, апертурные эффекты. Кроме того, надо обеспечить
применимость приближения заданного поля основного излуче™
ния. Наиболее просто эти условия реализуются в случае генера-
генерации второй гармоники от одномодовых газовых лазеров вблизи
90°-ного синхронизма. Изменение параметра П осуществляется
при этом, например, за счет изменения температуры кристалла
вблизи температуры синхронизма Тс.
Замечанием о положительной роли неоднородности двулу-
двулучепреломления. Конечно, неоднородность двулучепреломления должна
рассматриваться прежде всего как отрицательный фактор, поскольку она
приводит к заметному уменьшению выходной мощности второй гармоники
(см. рисунки 3.2 и 3.3). Однако неоднородность двулучепреломления может
играть и положительную роль.
Дело в том, что в однородных кристаллах кривая синхронизма мо-
может оказаться весьма «острой» по одному из параметров q (например, по
температуре), в результате чего потребуется достаточно жесткая стабили-
стабилизация этого параметра. На практике часто более выгодно использовать в
3.2 ГВГ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫХ САМОВОЗДЕЙСТВИЙ 147
подобных случаях кристаллы, характеризующиеся той или иной степенью
неоднородности. В неоднородном кристалле, наряду с небольшим умень-
уменьшением выходной мощности второй гармоники и параметра качества, на-
наблюдается уширение кривой синхронизма, вследствие чего необходимость в
жесткой стабилизации параметра q отпадает. При этом обычно возрастает
надежность аппаратуры, кроме того уменьшаются ее габариты и вес.
Разумные соотношения между требуемой шириной кривой синхрониз™
ма и допустимым значением параметра качества кристалла определяются
применительно к конкретному классу приборов с генерацией второй гар-
гармоники. Создание искусственной неоднородности в нелинейном кристалле
особого труда не представляет; можно использовать, например, неоднород-
неоднородность температурного поля в кристалле или неоднородность электрического
поля, приложенного к кристаллу.
В заключение заметим, что современные нелинейные кристаллы —
КТР, LBO, ВВО и др. характеризуются высокой однородностью, достаточ-
достаточной для того, чтобы пренебречь влиянием продольной и поперечной неодно-
неоднородности на эффективность преобразования. С другой стороны, в последнее
время все больший интерес вызывают нелинейные кристаллы нового типа с
искусственно созданной периодической неоднородностью параметра нели-
нелинейности (так называемые кристаллы с регулярной доменной структурой,
или РДС-кристаллы, см. гл. VII). Такие кристаллы обладают целым ря-
рядом уникальных свойств, обеспечивающих им существенный практический
интерес со стороны разработчиков лазеров с преобразованием частоты.
3.2. Генерация второй гармоники с учетом тепловых
самовоздействий
В процессе генерации второй гармоники в нелинейном кри-
кристалле происходит некоторое поглощение энергии основного из™
лучения и второй гармоники. До сих пор мы отмечали этот факт
лишв посредством введения в укороченные уравнения слагае-
слагаемых, пропорциональных коэффициентам линейного поглощения
5\ и E2. Во многих случаях эти коэффициенты не учитывались,
поскольку при значениях 5 ж 10^2 —10^3 см^1, характерных для
прозрачных кристаллов, можно принять ехр (—51) ~ 1.
Однако нельзя не учитывать того факта, что при поглоще™
нии излучения происходит нагрев нелинейного кристалла. Он
играет существенную роль при относительно больших (больше
1 Вт) средних мощностях излучения, реализуемых в импульс-
импульсных лазерах периодического действия (частота повторения им-
импульсов / ^ 10—103 Гц), квазинепрерывных (/ ^ 10—103 кГц) и
непрерывных лазерах. Нагрев кристалла излучением, как прави-
правило, пространственно неоднороден, что затрудняет, а зачастую и
принципиально не позволяет скомпенсировать тепловые эффек-
эффекты. Поэтому необходимо более подробно рассмотреть влияние
тепловых эффектов на процесс генерации второй гармоники.
В стационарном тепловом режиме световой пучок распро™
страняется в слабопоглощающей среде самосогласованно. Это
148 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
означает, что характеристики среды в известной мере определи™
ются самим пучком, так что можно говорить о самовоздействии
светового пучка. В связи с этим используется термин «тепловые
самовоздействия».
Нелинейная тепловая расстройка и нелинейная ре-
рефракция. В основе тепловых самовоздействий лежит возник-
возникновение неоднородного температурного поля в нелинейном кри-
сталле вследствие поглощения излучения. Неоднородный нагрев
кристалла приводит, в свою очередь, к изменению показателей
преломления волн основного излучения и второй гармоники.
Полное приращение An для каждого показателя преломления
складывается из двух членов 1):
Ап = Апт + Ы. C.2.1)
Здесь Апт — приращение, связанное со свободным равномерным
нагревом кристалла, a 5nf — приращение, обусловленное термо™
упругими напряжениями, возникающими из-за неоднородного
характера нагрева.
Пространственно-неоднородное распределение значений по™
казателей преломления обусловливает два побочных нелиней-
нелинейных эффекта, влияющих на эффективность генерации второй
гармоники2). Во-первых, возникает пространственно-неодно-
пространственно-неоднородное дисперсионное двулучепреломление I?, а следовательно,
и неоднородная по сечению пучка фазовая расстройка ДА;, что
существенно ограничивает эффективность преобразования. Во™
вторых, наблюдается эффект нелинейной рефракции (преломле-
(преломления). Иначе говоря, в кристалле возникает тепловая линза, при™
водящая к тепловой самофокусировке или самодефокусировке
излучения.
Первый из указанных эффектов (возникновение нелинейной
тепловой расстройки) проявляется заметно раньше второго. При
рассмотрении тепловых самовоздействий [14, 15] вводят радиус
тепловой самофокусировки Rnejl1 который молено интерпрети-
интерпретировать как фокусное расстояние тепловой линзы. При RHejl ^> I
эффект нелинейной рефракции на длине 1 кристалла не прояв-
проявляется. При этом, однако, необходимо учитывать возникновение
нелинейной тепловой расстройки.
Фактически указанные эффекты имеют общее происхожде™
ние. В результате возникновения неоднородного температурно-
температурного поля (с учетом вклада термоупругих напряжений) фазовый
фронт световой волны искривляется. Если на длине кристал™
ла амплитудный профиль волны не успевает претерпеть замет-
г) См., например, § 2.13 из [13].
/ Здесь не рассматриваются такие эффекты, как разрушение кристалла
при больших термоупругих напряжениях, оптический пробой и т.п.
3.2 ГВГ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫХ САМОВОЗДЕЙСТВИЙ 149
ных изменений (неизбежно возникающих вслед за искривлени-
ем фронта), то наблюдается только тепловая расстройка. В этом
случае фокальная точка для искривленного фронта лежит дале-
далеко за пределами кристалла (Днел^О? и нелинейной рефракцией
можно пренебречь. Говорят, что в рассматриваемом случае име-
имеет место внешняя тепловая самофокусировка. Если же Кшел ^ /,
то фокальная точка попадает внутрь кристалла (случай вну-
внутренней тепловой самофокусировки), амплитудный профиль
успевает заметно измениться на длине кристалла, что приводит
к необходимости учета как тепловой расстройки, так и нелиней-
нелинейной рефракции [16].
В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая внешней
самофокусировки и, следовательно, будем пренебрегать нели-
нелинейной рефракцией.
Основные допущения. Будем рассматривать аксиально-
симметричную задачу. Предположим, что нелинейный кри-
кристалл представляет собой цилиндр длины I и радиуса го (при
этом го <С I), а усредненная по времени плотность мощности
основного излучения на входе кристалла имеет вид
Ро
Для импульсного периодического или квазинепрерывного режи-
ма усредненная плотность мощности Si (r, z) выражается через
мгновенную плотность мощности Si(r,z,t) следующим образом:
Si(r,z) = f / 5i(r,«,i)d<, C.2.3)
¦—(X)
где / — частота повторения импульсов.
Тепловую картину в кристалле условимся полагать стацио-
стационарной (будем использовать стационарное уравнение теплопро-
теплопроводности). Для непрерывных лазеров это условие не вызывает
возражений. В случае же импульсных лазеров периодического
действия достаточно потребовать, чтобы выполнялось неравен-
неравенство
/ » - , C.2.4)
где тт — характерное время установления теплового режима.
Так, при ро = 0,1 см молено принять тт ~ 1 с; в этом случае
тепловую картину можно полагать стационарной при / > 10 Гц.
Будем считать, что теплообмен кристалла с окружающей
средой (термостатом) осуществляется только через боковую по-
поверхность. При го «С I можно, очевидно, пренебречь краевыми
тепловыми эффектами в сечениях z = 0 и z = I. Наконец, будем
пренебрегать дифракцией, апертурными (диафрагменным и ут-
150
ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
ГЛ. III
ловым) эффектами и термоупругими напряжениями 1), а также
влиянием способа крепления нелинейного кристалла в лазере с
преобразованием частоты.
Следует отметить, что от способа крепления кристалла (прижим или
приклейка к нижней опорной поверхности, крепление через торцы и т.п.)
может существенно зависеть поведение преобразователя частоты в диапа™
зоне внешних температур или при изменении средней мощности основного
излучения. Особенно сильно проявляется этот эффект в случае наличия
анизотропии коэффициента теплового расширения, что, в частности, ха-
характерно для таких высокоэффективных нелинейных кристаллов, как КТР,
LBO и др. (см. [59]). При изменении температуры в таких преобразовате-
преобразователях (в зависимости от способа крепления) может происходить, например,
поворот граней кристалла, что, в свою очередь, ведет к уходу угла синхро-
синхронизма и необходимости компенсации этого ухода. С одной стороны, оче™
видно, что при инженерных расчетах генераторов второй гармоники этот
эффект должен обязательно учитываться. С другой стороны, этот эффект
может быть использован для компенсации температурного ухода угла син-
синхронизма, если выбрать такой срез кристалла, при котором значения ухода
угла синхронизма, связанные с членом Апт и механическими искажениями
кристалла из-за анизотропии линейного расширения, различны по знаку и
равны по величине. На этом пути могут быть реализованы тпемператпурно-
некритичные (в определенном диапазоне температур) преобразователи ча-
частоты (см. [62, 63]).
Тепловам расстройка; критическая мощность тепло-
тепловой самофокусировки. Температуру T(r, z) в некоторой точ-
точке (г, z) кристалла представим
в виде
1
T(r,z) =(^) E)
C.2.5)
Здесь T(ro,z) — температура
боковой поверхности кристал-
ла, ДТ(У, z) — пространственно
неоднородная «добавка», обу™
словленная поглощением излу-
^ чения в кристалле; AT(ro,z) =
г = 0. Функция T(r, z) для неко-
некоторого фиксированного значе™
ния z показана на рис. 3.4; То —
температура термостата, Тс —
температура синхронизма (для данной ориентации кристалла и
данных значений Ai и вс). Благодаря внутренним источникам
тепловыделения температура внутри кристалла тем выше, чем
меньше г. Обратим внимание на наличие скачка температуры
при переходе через боковую поверхность кристалла. В резуль-
результате возникает тепловой поток в направлении от кристалла к
г0
Рис> з.4
Влияние термоупругих напряжений рассмотрено в работах [60, 61].
3.2 ГВГ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫХ САМОВОЗДЕЙСТВИЙ 151
термостату. В отсутствие этого потока (при T(ro,z) =Tq) гово™
рят об идеальном тепловом контакте на границе кристалл^
термостат.
Волновая расстройка ДА; (г, z), обусловленная отличием
T{r,z) от Тс, может быть представлена в виде (напомним со-
соотношение C.1.2))
?©-т°>- C-2-6)
С учетом C.2.5) перепишем это равенство следующим образом:
Д&(г, z) = Ako(z) + Д&т.с(г, z), C.2.7)
где
J (^) ) -Гс] C.2.8)
— расстройка, связанная с отличием температуры боковой по-
поверхности кристалла (в сечении z) от температуры синхронизма,
— дополнительная расстройка, обусловленная тепловыми само-
самовоздействиями (неоднородным температурным полем); будем
называть ее тепловой расстройкой.
Используя C.2.9), найдем полуширину ST температурной
кривой синхронизма. Функция
Q m sin2 (AkTJ/2)
V ; (AKJ/2J
равна половине своего максимального значения при ДА;Т.С = тг/1.
Подставляя в это равенство результат C.2.9), находим искомую
полуширину:
ST = . C.2.10)
41 (дВ/дТ)Т=Тс к J
Введем критическую мощность тепловой самофокусиров-
самофокусировки [16]
лр (дВ/дТ)т=Тс 7
где к — коэффициент теплопроводности. Если средняя входная
мощность основного излучения больше РКр5 т0 фазовый фронт
волны существенно искажается вследствие тепловых самовоз™
действий.
Используя C.2.11), перепишем C.2.10) в виде
ST = ^. C.2.12)
152 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
При Ркр = 1СГ2 Вт, к = 1,3 • 1СГ2 Вт/см-К, I = 4 см получа™
ем <5Т « 0, 2 К. Приведенные оценки характерны для кристал-
кристалла ADP. Многие современные высокоэффективные кристаллы,
например, КТР, характеризуются значительно более высокими
значениями <5Т, достигающими единиц и даже десятков граду-
градусов. В этом случае влиянием тепловых самовоздействий можно
пренебречь.
С учетом C.2.11) соотношения C.2.8) и C.2.9) преобразуются
к виду
Ako(z) = ^[T(ro,z)-Tc], C.2.8а)
AkT.c(r, z) = —AT (r, z). C.2.9a)
Ркр
Уравнение теплопроводности. Напомним, что мы прене™
брегаем вкладом от термоупругих напряжений. Запишем урав-
уравнение теплопроводности в виде1)
к\72гАТ (r, z) + 2 ^2 5iSi (r, z) = 0, C.2.13)
72
Г
г=1
г
дг \ дг
где V^ = (г— ). Это есть стационарное уравнение тепло-
проводности для аксиально-симметричного тела с внутренни-
внутренними источниками тепловыделения [17]. Последние описываются
слагаемыми 25iSi (r, z), где S\ (r, z) и S2 (г, z) — усредненные по
времени плотности мощности основного излучения и второй гар-
гармоники соответственно.
Используя C.2.9а), преобразуем уравнение C.2.13) к виду
rTX (г, z) = -^
к
Вводя усредненные по времени квадраты вещественных ампли-
амплитуд
(X)
a2i(r,z;t)dt
(см. C.2.3)) и учитывая B.4.40), перепишем C.2.14) следующим
г) Продольными (вдоль оси z) потоками тепла можно пренебречь ввиду
их малости по сравнению с поперечными потоками. Однако в случае значи-
значительной дисперсии коэффициентов поглощения (<5i ф S2) мощность тепло-
тепловыделения может сильно меняться по продольной координате, что приведет
к появлению заметного продольного потока тепла.
3.2 ГВГ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫХ САМОВОЗДЕЙСТВИЙ 158
образом:
2
2Ak (r z) = f V
Гкр г=1
или
2
-V2rAkT.c (r, z) = -f- V кщ (о? (г, z)), C.2.15)
j.c (р, *) = -^
где р = г/р0.
При рассмотрении уравнения теплопроводности используют
граничные условия разного типа [17]. Граничные условия пер-
первого рода предполагают задание определенных значений темпе-
температуры на поверхности тела. Граничные условия второго рода
задают на поверхности тела производную от температуры по
нормали к поверхности (иначе говоря, задают плотность тепло-
теплового потока через поверхность). Граничные условия третьего
рода предполагают, что тепловой поток через поверхность тела
пропорционален разности температур поверхности и термоста-
термостата; при этом задается коэффициент пропорциональности (его
называют коэффициентом теплоотдачи).
Граничные условия третьего рода в рассматриваемом здесь
случае могут быть записаны соотношением
, = « [Г М " То], C-2.17)
p=pf l \ / j
где а — коэффициент теплоотдачи, р' = го/ро- С учетом C.2.
и C.2.9а) преобразуем C.2.17) к виду
ГЛ7 А То-Тс
кр
po \ dp J p=pf L FKp
Это выражение можно переписать следующим образом:
= (Г-Afco)p;BI, C.2.18)
V др ) р=Р>
где
Г = 4тгх^^, C.2.19)
Bi = ^. C.2.20)
Ж
Безразмерный параметр Bi (так называемый параметр Био) ха-
характеризует степень теплового контакта на границе кристалл^
термостат. При BI —>• оо тепловой контакт прибли^кается к иде-
идеальному, что адекватно отсутствию теплового потока через бо™
ковую поверхность кристалла. В этом случае граничное условие
C.2.18) может быть заменено условием первого рода (задана по™
стоянная температура поверхности кристалла).
154 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
Система уравнений длм генерации второй гармоники
с учетом тепловых самовоздействий. Будем исходить из
системы укороченных уравнений B.2.28). Полагая а\ = о = о
и учитывая C.2.7), перепишем эту систему в виде
да . лТг ?
sinw — о\а\1
C.2.21)
^ = Afc0 + Актс + ±- cos Ф (а? - 2а|) .
Введем вместо z переменную ? = zcraw, где ою — вещественная
амплитуда волны основного излучения на входе кристалла на
оси пучка в максимуме импульса. Кроме того, введем обозначе-
обозначения:
«1,2
C.2.22)
В результате система уравнений C.2.21) примет следующий вид:
= —uiU2 smW —
C.2.23)
— = 2 (Afc^ + Afc;c) + -1 cos Ф (tif - 2u22) .
Генерация второй гармоники с учетом тепловых самовоз-
самовоздействий может быть рассмотрена на основе решения системы
укороченных уравнений C.2.23) совместно с уравнением тепло™
проводности C.2.16). Таким образом, надо решать следующую
систему уравнений относительно функций ui2(pJi;tI Ф(р, ?),
= —u\U2 smW — ol
4 C.2.24)
3.2 ГВГ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫХ САМОВОЗДЕЙСТВИЙ 155
с граничными условиями
щ (р, 0-t) = U (p; t), щ (р, 0; t) = 0, C.2.25)
= (Г; - Ак'о) р' Bi, C.2.26)
/)
Первые три уравнения в C.2.24) — укороченные уравнения
для вещественных амплитуд и обобщенной фазы, четвертое —
уравнение теплопроводности.
Поскольку на практике применяются слабопоглощающие
нелинейные кристаллы, то в укороченных уравнениях в систе™
ме C.2.24) можно пренебречь потерями на поглощение излуче-
излучения 1). Этого, однако, принципиально нельзя делать в уравнении
теплопроводности. Итак, вместо C.2.24) можно без ограничения
общности рассматривать систему уравнений:
д%2 2 • vtv
— = щ sin У/,
U'2
C.2.27)
Заметим, что, согласно B.4.40) и C.2.3),
5i (р, 0) = fi а?0 {и\ (р, 0)) = fi а?0/ / «? (р, 0; t) di.
8тг 8тг J
C.2.28)
Полагая для простоты, что импульсы основного излучения и
второй гармоники имеют прямоугольную форму (во времени)
, с Л / «1,2(Р, С; 0) при |*|<ти/2,
«i,2(p,C;*) = S n ... /о C.2.29)
[ 0 при |*| > ти/2,
где г — длительность импульса, получаем из C.2.28)
Si(p,0) = ^-
О7Г
) Обычно <5i?2 < Ю см . Принимая I = 1 -г- 4 см, находим, что
ехр [— (§г + (Ь) I] отличается от единицы менее, чем на 2^8%.
156 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
Поскольку tii @, 0; 0) = 1, то, следовательно,
S10 = Si @,0) = — cnia?0/rH. C.2.30)
8тг
Используя C.2.2) и сопоставляя записанные выше выражения,
приходим к заключению, что
и\ (р, 0; 0) = ехр (-2р2) , C.2.31)
<к2(р,0)) = /тиехр(^2р2). C.2.32)
Отметим, что в случае прямоугольных (во времени) световых
импульсов справедливо соотношение:
(ui 2 (р? 0) = /тши1 2 (Pi С? 0) • C.2.33)
Уравнение теплопроводности и среднмм мощность
излучения; параметры теплового самовоздействим.
Средняя мощность основного излучения в некотором сечении
? определяется выражением
2тг р1
(Pi @) = / dip J ppl ^ а?0 {и\ (р, f)) ф =
оо
э. C.2.34а)
о
Аналогично для средней мощности второй гармоники имеем
(Р2 (С)) = \сп2 (ро«юJ / D {p,t))pdp. C.2.346)
о
Используя C.2.32), находим из C.2.34а)
1 2 Г / 9\
(Pi @)) — - /тмс^1 (ро«ю) I ехр f^2p ) pdp =
0
A-ехр(^2р2)). C.2.35)
4
Полагая р' 3> 1, можно приближенно принять
C.2.36)
Вследствие пренебрежения в укороченных уравнениях поте-
потерями на поглощение излучения имеет место соотношение:
C-2.37)
3.2 ГВГ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫХ САМОВОЗДЕЙСТВИЙ 157
Проинтегрируем четвертое уравнение в системе C.2.27)
(уравнение теплопроводности) по р от нуля до р'\
2 о1
'?%"* 1№Шй*Р- C.2.38)
г=1 0
Используя C.2.34), преобразуем C.2.38) к виду
или
/
-Р' (
C-2-39)
V dp ) p=pl (MO))
где
щ = МШ C.2.40)
— так называемые параметры теплового самовоздействия.
Из C.2.39) и C.2.26) следует, что
Акп (П - V1 = ^ . C.2.41)
UV ; (Fi@))Bi v ;
Вводя коэффициент преобразования по энергии (по средней
мощности)
*К> = f|| C.2.42)
и учитывая C.3.27), перепишем C.2.41) в виде
1
1\кп (^) — 1 = — [jj\ A — f]2{q)) + ^2^?2(s)j• [о.2A3)
BI
Идеальный тепловой контакт; дисперсмм параметров
теплового самовоздействим отсутствует. Перейдем к ана™
лизу различных ситуаций [15, 18—22]. Начнем со случая, когда
1=0, иг = и2 = и. C.2.44)
Это есть случай отсутствия дисперсии параметров теплового са-
самовоздействия при идеальном тепловом контакте кристалла с
термостатом. Условие v\ = щ означает, что потери на поглоще-
поглощение излучения в кристалле одинаковы для волн основной часто-
частоты и второй гармоники F\ =62 = S). При наличии идеального
теплового контакта имеем
Т(р',?)=Т0. C.2.45)
158 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
В этом случае заданы граничные условия первого рода: темпе™
ратура поверхности кристалла равна температуре термостата.
Перепишем четвертое уравнение в системе C.2.27) (уравне-
(уравнение теплопроводности) с учетом C.2.29) и C.2.36), положив п\ =
= П2 = и, в виде
ti?(p,?;O). C.2.46)
кр г=1
Учитывая, что в рассматриваемом здесь случае v\ = V2 = v (a
значит, 5[ = 5f2 = S') и используя C.2.40), преобразуем C.2.46) к
виду
2
-V;AA4c(p,0 = 4i/J>? (,*,?; 0). C.2.47)
г=1
Далее заметим, что, согласно C.2.37),
и, следовательно,
^ (р, С; 0) + гх| (р, С; 0) = гг? (р, 0; 0) . C.2.48)
Подставляя C.2.48) в C.2.47) и используя C.2.31), получаем
-V*ДА4С (р) = 4и ехр (^2р2) . C.2.49)
В результате система уравнений C.2.24) принимает вид
5 C.2.50)
= 2 (А^ + А^с) + 1- cos Ф («? - 2«1),
Обратим внимание на то, что уравнение теплопроводности «рас-
«расцепилось» с укороченными уравнениями. Физически это связа-
связано с тем, что тепловая картина определяется поглощением сум-
суммарной средней мощности взаимодействующих волн, которая в
данном случае (при v\ =1^2) практически постоянна в любом се™
чении ? кристалла. Из C.2.49) видно, что тепловая расстройка
AkfT c есть функция только радиальной переменной р и постоян-
постоянна по длине кристалла.
3.2 ГВГ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫХ САМОВОЗДЕЙСТВИЙ 159
Последовательно проинтегрируем C.2.49):
хр (^2р2) -
C.2.51)
р— Ак' (р) = —Аи I pexp (^2p2) dp = и [ехр (^2р2) —
dp • JQ
AkfT.c (р) - Ак'^ @) = v / [ехр (^2р2) - 1] *?..
о р
Вводя переменную интегрирования у = 2р2, перепишем C.2.51)
в виде
2р2
Ак'т,с (р) - ДА4С @) = v- / [ехр (-у) - 1] ^ . C.2.52)
0 ^
Учитывая, что [8]
J [ехр (-у) - 1] ^ = EI (-2р2) - In Bp2) - С, C.2.53)
где Ei (ж) = J (ехр у/у) <iy — интегральная показательная
— оо
функция, С = 0, 5772 — постоянная Эйлера-Маскерони, полу-
получаем окончательно:
ДА4.С (р) = А^с @) - v- [In Bp2) - Ei {-2p2) + С] . C.2.54)
Используя вытекающее из C.2.9а) соотношение
ДА4 с (р) = 2пх Т(Р)~Т(Р) ? C.2.55)
ста ю Ркр
перепишем C.2.54) с учетом C.2.40) в виде
Т(р)-Т @) = -<Pl@))^ [In Bp2) - Ei (-2p2) + С] . C.2.56)
Полагая р = р' и учитывая, что при идеальном тепловом контак-
контакте Т (pf) = Tq, получаем из C.2.56) выражение для температуры
на оси пучка
Т @) = То + <Pl@))E [In Bp2) - Ei (-2/э2) + С] . C.2.57)
Пусть 6 = 10 см, к = 2,6 • 10 Вт/(см-К) (LiNbO3),
(Pi @)) = 10 Вт, р' = 2. В этом случае Т@) - То = 2 К, что,
вообще говоря, заметно больше ширины температурной кривой
синхронизма; налицо весьма сильное влияние тепловых самовоз-
самовоздействий. Вместе с тем, аналогичные расчеты для более совре™
менного кристалла титанил-фосфита калия (КТР) показывают,
160
ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
ГЛ. III
что, поскольку ширина температурной кривой синхронизма для
этого кристалла далее для традиционно используемых срезов со-
составляет более 20°С [59], а для специального «аномально некри-
некритичного среза» [62, 63] — более 200°С, то влиянием тепловых
самовоздействий при ГВГ в кристалле КТР в первом приближе™
нии можно пренебречь. Однако во всех случаях использования
кристаллов для ГВГ лазерного излучения с большими средними
мощностями следует провести предварительные оценки перепа-
перепада температур между центром луча и термостатом и сравнить
этот перепад с температурной шириной кривой синхронизма.
Замечания об оптимальной тепловой расстройке. Пол-
Полная расстройка Ак(г) на расстоянии г от оси пучка определяется
выражением
Ак (г) = Ак0 + Актл(г) = 4тгх Г (r) ~ Тс .
C.2.5*
Изменяя температуру термостата То, можно, очевидно, управ™
лять температурой Т (г) и обеспечивать выполнение условия
синхронизма (т.е. равенство Т (г) — Тс = 0) при разных зна-
значениях г. На рис. 3.5 а условие синхронизма выполнено на оси
т
т
io
т
ic
1
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
Рис. 3.5
пучка (при г = 0); при этом во всех точках вне оси пучка име-
имеем Ак (г) < 0. На рис 3.5 б" условие синхронизма выполнено при
г = ri, Ак < 0 при г > г\ и Ак > 0 при 0 ^ г < г\.
Из общих соображений можно сделать вывод, что выполне-
выполнение условия синхронизма на оси пучка не обязательно является
оптимальным с точки зрения получения максимальной выход-
выходной мощности второй гармоники. Ведь при г = 0 пучок основ™
ного излучения имеет наибольшую интенсивность; поэтому для
3.2 ГВГ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫХ САМОВОЗДЕЙСТВИЙ 161
приосевых парциальных лучей процесс генерации второй гармо™
ники может идти достаточно эффективно даже при Afc(O) Ф 0.
Обеспечивая выполнение условия синхронизма при некотором
ненулевом значении радиальной переменной ri, молено сделать
достаточно эффективным процесс преобразования также и для
лучей, отстоящих от оси пучка в пределах т\. В результате мо-
может быть реализована максимальная мощность второй гармони-
гармоники. При этом расстройку AfcT.c(r*i) называют оптимальной теп-
тепловой расстройкой. Величина ri, а следовательно и требуемая
температура термостата, могут быть вычислены оптимизацией
зависимости Р2 (Afc@)).
Приближение заданного полм основного излученим.
В этом приближении, характерном для непрерывных одномодо™
вых лазеров с генерацией второй гармоники вне резонатора, ре-
решение C.2.54) уравнения теплопроводности существенно упро™
щается. Дело в том, что при малых интенсивностях основного
излучения, характерных для непрерывной генерации, можно
пренебречь вкладом в тепловые эффекты со стороны «крыльев»
гауссова распределения для амплитуды волны. Иначе говоря,
можно рассматривать температурное поле лишь вблизи оси пуч-
пучка. При малых р справедливо соотношение [9]
EI (-2р2) = In Bр2) + С - 2р2 + р4 - ... C.2.59)
Пренебрегая в C.2.59) членами, содержащими р4 и более высо-
высокие степени, преобразуем C.2.54) к виду
ДА4с (р) « Д*4с (°) - VP2- C.2.60)
Квадратичную по р зависимость будет иметь и температурное
поле вблизи оси пучка [19]. Используя C.2.56), получаем в дан™
ном случае
Т(р)-Т @) = - (Pi @)) ^ . C.2.61)
7Г>Г
В приближении заданного поля вместо амплитуды щ (р, ^; 0)
следует рассматривать U (р) = щ (р, 0; 0) и, кроме того, надо
учесть, что ii2 *C U. В результате вместо C.2) получаем
где Afc^c (p) определяется соотношением C.2.60). Используя ре-
результаты, полученные в § 2.4 (см., в частности, B.4.3) и B.4.31)),
можно прийти к следующему выражению для (и^ (р, ?)) в слу-
6 В.Г. Дмитриев, Л.В. Тарасов
162 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
чае импульсов прямоугольной формы:
D (/>,?)) = /т„«! (р,?;0) = /U2exp (-2р2) sine2 (ДА'(Ж) ,
C.2.63)
Используя C.2.63) и C.2.346), находим выражение для сред-
средней мощности второй гармоники на выходе кристалла
р'
(Р2 (I)) = fruc-^ (poalo№J / exp (-2p2) sine2 (Ak'(p)((l)) pdp,
0 C.2.64)
где
i{l) = oawl. C.2.65)
С учетом C.2.36) представим C.2) в виде
(Р2 @) = ^20 A) F (//) , C.2.66)
где
Р20 (/) = (**<? «О»' C.2.67)
Cnp^fT
— выходная мощность второй гармоники в отсутствие тепловых
эффектов и расстройки,
р'
F (р) = 4 J exp (-2p2) sine 2 (Ак'(р)ф)) pdp C.2.68)
о
— функция, описывающая уменьшение эффективности преоб-
преобразования вследствие тепловых самовоздействий.
Предположим, что на оси пучка поддерживается температу-
температура синхронизма (см. рис. 3.5 а):
Akf @) = Ак'о + Д*4С @) = 0. C.2.69)
Заменяя верхний предел интегрирования в C.2.68) на бесконеч-
бесконечность, получаем в данном случае (с
учетом C.2.60))
F =
оо
= 4 I exp (—2p2) sine2[ир2ааю1)pdp.
0 C.2.70)
Определяемая соотношением C.2.70)
0' ' 5 ' 10 ' 15 X зависимость F от v представлена на
рис. 3.6. Молено показать, что при
Рис. 3.6 v ^> 1 имеет место зависимость F ~
~ 1/и. Поскольку и ~ (^Р1 @)), то следовательно, зависимость
(Р2 (I)) ~ (Р\ (О)J превращается при v ^> 1 в зависимость
3.2
ГВГ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫХ САМОВОЗДЕЙСТВИЙ
168
/ (р) = ехр Нр2) sine2 [(ДА'(О) - up2) Ц1)] .
(Р2 (I)) ~ (Pi @)) и коэффициент преобразования щ насыща™
ется.
Рассмотрим стоящую под интегралом в C.2.68) функцию
C.2.71)
Графики этой функции представлены на рис. 3.7 [21, 14]: 1) v =
= 0, Ак! @) = 0 (отсутствуют тепло-
тепловые эффекты и расстройка); 2) v = 8,
ДА/ @) = 0; 3) v = 8, ДА/ @) = 2. Вид-
Видно, что, если поддерживать (за счет
подбора Tq) температуру на оси пучка
равной температуре синхронизма, т.е.
если обеспечивать Ак1 @) = 0 (кри-
(кривые 1 и 2), то поле второй гармоники в
ближней зоне, описываемое функци-
функцией / (р), сосредотачивается в круглом
пятне диаметра 2ро- При Ак1 @) ф
= 0 условие синхронизма выполняет-
выполняетf
1,0
0,5
ся уже не на оси пучка, а на окруж-
окружности радиуса р\ определяемого соот-
соотношением
Ак1 Щ =
о
1
Рис. 3.7
C.2.72)
При этом ближнее поле второй гармоники приобретает кольце-
кольцевую структуру (кривая 8 на рисунке).
Нелинейный режим. При необходимости учета обратной реакции
волны второй гармоники на волну основного излучения надо исходить из
системы укороченных уравнений, входящих в C.2.50), и использовать реше-
решение C.2.54) уравнения теплопроводности. На рис. 3.8 а представлены рас-
рассчитанные при помощи ЭВМ зависимости коэффициента преобразования
по плотности мощности i]2 от переменной р\/2 при ? (I) = 2 [21] (напомним,
что рассматривается случай, когда 1/Bi = 0, 1/1=1/2; импульсы излучения
имеют прямоугольную форму): 1) v = 1, 5, Ak' @) = 0; 2) v = 1, 5, Ak' @) =
= 1; 3) 1/ = 5, Ak' @) = 1; 4) v = 5, ДА;' @) = 2. Кривые 2-^ демонстрируют
кольцевую структуру излучения второй гармоники.
На рис. 3.8 б представлены зависимости коэффициента преобразования
по средней мощности щ от параметра Ак' @) (кривые синхронизма) при
? (/) = 3 для v = 1,5 (кривая 1) и и = 5 (кривая #) [21]. Видно, что мак-
максимум коэффициента преобразования смещается в область Ак' @) > 0; это
означает, что оптимальная тепловая расстройка отвечает температуре син-
синхронизма не на оси пучка, а на кольце некоторого радиуса. Видно также,
что с увеличением v эффективность преобразования уменьшается.
Дисперсим параметров теплового самовоздействим
при идеальном тепловом контакте. Рассмотрим ситуацию,
когда
- =0,
BI
VI Ф У2
Ф
C.2.73)
6*
164
ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
ГЛ. III
Заменяя в C.2.38) параметр р1 на переменную р и рассмат™
ривая прямоугольные световые импульсы длительности ти, по-
получим (с учетом C.2.33))
~ - 2 р
C.2.74)
др 2Ркр
'?=1 U
(во избежание путаницы переменная интегрирования р в инте-
интеграле в C.2.38) переобозначена теперь как /i). Используя C.2.40)
0,6 -
0,2 -
0 0,4 0,8 1,2
42
М'@)
Рис. 3.8
и C.2.36), перепишем C.2.74) в виде
2 р
dAkfTC 4 \"^ f 2 / t n\ j /о о ^уг\
^p — = — Ущщ I ui (/i, ?; uj /id/i. C.2.75)
i=l 0
С учетом C.2.75) заменим систему C.2) следующей системой
уравнений:
2 •
= щ si
ДАТ
dAkfT
'т.с/
2
Г 2 / ^
C.2.76)
Видно, что уравнение теплопроводности теперь надо решать
совместно с укороченными уравнениями. В отличие от ранее
рассматривавшегося случая v\ = v^^ «расцепление» уравнения
3.2
ГВГ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫХ САМОВОЗДЕЙСТВИЙ
165
теплопроводности с укороченными уравнениями теперь не про™
исходит.
Результаты, получаемые на основе C.2.76), во многих отно-
отношениях сходны с результатами, получаемыми на основе C.2.50).
Однако имеется и существенное качественное отличие. Оно со-
состоит в том, что при i/i ф V2 один из склонов кривой синхрониз-
синхронизма г}2 (Akf@)) становится очень крутым (вплоть до того, что на
нем может появиться точка, для которой дщ/дАк1 @) = оо, —
точка разрыва кривой синхронизма) 1).
Увеличение крутизны склона кривой синхронизма молено
объяснить при помощи следующих простых рассуждений. Пред-
пол ожим, что S\ < $2 и ПРИ этом Tq < Топт, где Топт — темпера-
температура поверхности кристалла (т.е. в данном случае термостата),
при которой достигается максимум выходной средней мощно-
мощности второй гармоники (Р2 @)макс -^УДем нагревать боковую по™
верхность кристалла, т.е. увеличивать Tq. По мере приближения
То к Топт выходная мощность (Р2 (I)) будет расти, приближа-
приближаясь к (Р2 @)макс а (^1 @) будет соответственно уменьшаться.
Поскольку Si < $25 то при возрастании (Р2 (I)) общее тепловы-
тепловыделение в кристалле (за счет разного поглощения на частотах
основного излучения и второй гармоники) будет увеличивать-
увеличиваться. В результате внутренняя температура кристалла, а следо-
следовательно и температура его поверхности, будет повышаться с
большим темпом, чем темп воз-
возрастания То, т.е. с возрастаю-
возрастающей скоростью; соответственно
будет происходить все быстрее
и возрастание (/^(О)- Итак,
нагревая поверхность кристал-
кристалла, мы инициируем в данном
случае процессы, приводящие
к еще более сильному нагре-
нагреву кристалла. Наличие такой
положительной обратной свя-
связи и обусловливает увеличение
крутизны левого склона кри-
кривой синхронизма2). ~
Результаты численного ин-
интегрирования уравнений C.2.76)
иллюстрирует рис. 3.9 [22, 23]. На рисунке представлены
кривые синхронизма щ (Д&'@)), вычисленные при vi = 0,
1
2
fi\
if
1
\
1
Ч \
1
i
3
. \ -
\ v
1
0,4
0,3
0,2
од
Шит-
-1
0 М'@)
Рис. 3.9
1) В этой точке процесс преобразования становится неустойчивым.
2) При §i > §2 будет наблюдаться увеличение крутизны правого склона
кривой синхронизма.
166 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
и2 = 5,64 (#2 = 10~2), р1 = 4 для разных значений параметра
?(/): 1,5 (кривая 1), 2,0 (кривая I?), 3,0 (кривая 3). Хорошо
видно увеличение крутизны левого склона кривых синхронизма
по мере возрастания приведенной длинв! кристалла.
Неидеальный тепловой контакт; отсутствие диспер-
дисперсии параметров теплового самовоздействим. В данном
случае
± ф 0, ux = U2 = u. C.2.77)
Bl
При и\ = z^2 получаем из C.2.43)
Д&о-Г' = ^. C.2.78)
Это означает, что кривая синхронизма 772 (Г;) сдвигается как це-
целое в сторону отрицательных расстроек на величину и/Ш. Дру-
Других качественных изменений в картине генерации второй гармо-
гармоники по сравнению со случаем 1/Bi = 0, v\ = 1/2 не наблюдается.
Из C.2.78) с учетом C.2.8а), C.2.19), C.2.40) следует, что
разрыв температуры на границе кристалла с термостатом равен
Т (г0) - То = ^(Fl@)) . C.2.79)
7Г>гВ1
Так, при 6 = 1(Г2 см^1, к = 2,6 • 1(Г3 Вт/(см-К) (LINbO3),
Bi = 5, (Pi@)) = 5 Вт получаем Т (го) - Т0 = 1,2 К. Столь
малый, на первый взгляд, перепад температуры превышает тем
не менее ширину температурной кривой синхронизма кристалла
ниобата лития. Как мы увидим ниже, при v\ ф V2 этот перепад
температуры приводит к качественным изменениям в процессе
преобразования по сравнению со случаем идеального теплового
контакта.
Дисперсим параметров теплового самовоздействим
при неидеальном тепловом контакте; гистерезисный ха-
характер кривой синхронизма. Рассмотрим случай, когда
±.ф0, игф i*2. C.2.80)
?31
С учетом C.2.8), C.2.19), C.2.40) преобразуем C.2.43) к виду
(' 0 ^^ • C-2.81)
Наличие зависимости от ? означает, что граничное условие тре™
тьего рода выполняется в разных сечениях ? с разнвхми темпера-
температурными скачками на границе кристалл^термостат, зависящими
от величины щ (С)? которая, в свою очередв, зависит от Т (//, ?).
Снимая кривую синхронизма, экспериментатор варьирует
температуру термостата, т.е. получает зависимость щ от Т®. В
соответствии с C.2.19) эта зависимость может рассматриваться
3.2 ГВГ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫХ САМОВОЗДЕЙСТВИЙ 167
как зависимость щ от Г;. Далее учтем, что коэффициент пре™
образования щ (С) зависит от Т(р;,^), т.е., согласно C.2.8а), от
Afcg (?). В соответствии с C.2.43) расстройка Akf0 (?), в свою оче™
редь, зависит от щ (С)- Таким образом, с учетом C.2.43)
т (ДАШ) = / (Г + ^i^f + ^f ) , C-2.82)
где / — некоторая функция величины, стоящей в скобках.
Перепишем C.2.82) в виде
О(тХ) =0, C.2.83)
где
G(m,r')=m-f(mX). C-2.84)
Уравнение C.2.83) содержит зависимость 772 от Г в неявном виде. Продиф-
Продифференцируем C.2.83) по Г;:
до | до дт = Q
дГ дщ дТ' ~
Отсюда
дщ _ dG/dV!
дГ dG/дщ '
Используя C.2.84), преобразуем C.2.85) к виду
дщ _ df/dV
C.2.85)
C.2i
дг 2 - df/дщ
Видно, что при df/дщ = 2 производная дщ/дТ' обращается в бесконеч-
бесконечность. Это свидетельствует о наличии на кривой синхронизма щ (Г;) гисте-
резисного участка, связанного с неоднозначным характером зависимости щ
от Г; [22].
Расчеты на ЭВМ подтверждают существование неоднознач™
ной зависимости щ (Г;). Характерные расчетные кривые щ (Г;)
для С@ = 3, S[ = 0, 8'2 = 1(Г2, (Pi@))/FKp = 100 и разных
значений параметра В1 A — В1 = оо; 2 — BI = 8; 8 — BI = 4)
приведенв! на рис. 3.10 [22]. Видно, что уменьшение параметра
Bi, т.е. ухудшение теплового контакта, приводит к увеличению
крутизны левого склона кривой синхронизма, а при дальней-
дальнейшем уменьшении BI возникает участок гистерезиса ABCD (см.
кривую 8).
Рассмотрим подробнее поведение генератора второй гармо-
гармоники при наличии гистерезиса. Будем увеличивать температуру
То термостата (иначе говоря, будем увеличивать Г;), начиная с
некоторой «холодной» точки М (см. рисунок). В точке D произ-
производная дщ/дТ1 обращается в бесконечность, и генератор скач-
скачком переходит в точку С, характеризующуюся высоким коэф-
коэффициентом преобразования. Дальнейшее увеличение температу™
ры Tq (параметра V) приведет к перемещению по линии СЕ, т.е.
168
ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
ГЛ. III
if
i
м ^ш
A -—f-o^
2 1
/ ^\
D ?^
1
0,8
0,6
0,4
0,2
Щи—
к уменьшению щ. Если теперь начать охлаждать кристалл, т.е.
уменьшать Г;, то перемещение по ЕС будет происходить только
до точки ?», где производная дщ/дТ' снова обращается в бес-
бесконечность. В точке В коэффициент преобразования скачком
уменьшится до величины, отвечающей точке А.
На практике ширина гистерезисного участка (этот участок
на рисунке заштрихован) составляет по температуре доли гра-
дуса и, к тому же, точка В весь-
весьма близка к максимуму коэф-
коэффициента преобразования. Это
означает, что обычный термо-
терморегулятор, фиксирующий тем-
температуру Tq вблизи точки В^
не сможет удержать генератор
в стационарном состоянии с
максимальным коэффициентом
преобразования. Терморегуля-
Терморегулятор, выводящий автоматиче-
автоматически температуру Тс на макси-
максимум преобразования, также не
обеспечит устойчивого процес-
-2 -1 0 Г са генерации второй гармони-
гармоники, поскольку точка максимума
Рис. 3.10 коэффициента щ и точка срыва
(точка В) практически совпа-
совпадают. Помимо этого, простое включение такого терморегулятора
в точке М и автоматический выход его в точку оптимально-
оптимального преобразования (на рисунке Г^пт = —2) обеспечит функцио-
функционирование генератора лишь в области малых значений щ^ т.е.
между точками А ж D. Чтобы попасть при Г; = ^2 на участок
ВС с высоким значением щ^ необходимо сначала перегреть кри-
кристалл за пределы участка гистерезиса, а затем охладить его до
значения Г; = —2. Более целесообразно применять «уровневые»
терморегуляторы, автоматически поддерживающие не экстре-
экстремальный, а определенный уровень мощности второй гармоники.
Таким образом, гистерезис кривой синхронизма приводит к зна-
значительному усложнению электронных схем терморегулирования
нелинейных кристаллов.
На рис. 3.10 демонстрировался случай v\ «С v<i- В этом слу-
случае увеличение крутизны и появление гистерезисного участка
наблюдается на левом склоне кривой синхронизма, т.е. в обла-
области «недогрева» кристалла. При v\ ^> v^ аналогичные явления
возникнут в области «перегрева» кристалла (на правом склоне
кривой синхронизма).
Заметим, что на практике обычно v\ < щ. Это объясняет-
объясняется, во-первых, тем, что длина волны второй гармоники лежит
3.2
ГВГ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫХ САМОВОЗДЕЙСТВИЙ
169
ближе к УФ^краю полосы поглощения в кристалле, чем длина
волны основного излучения. Во-вторых, заметный вклад в вели-
величину $2 может давать нелинейное (двухфотонное) поглощение
(см. § 3.3).
Явление гистерезиса кривой синхронизма может оказаться
весьма вредным при генерации второй гармоники внутри резо-
резонатора лазера. Скачкообразное уменьшение щ может привести
в этом случае к резкому увеличению добротности резонатора по
основной частоте и, как следствие, к оптическому пробою вну-
трирезонаторных элементов.
Еще раз подчеркнем, что гистерезисный характер кривой
синхронизма проявляется лишь для кристаллов с «критичным»
температурным синхронизмом (т.е. для кристаллов ширина тем-
температурной кривой синхронизма меньше, чем характерные ши-
ширины гистерезиса). В определенной мере это характерно для
ниобата лития, свойства которого, собственно, и стимулировали
исследования в этой области [15-24]. Вместе с тем, для «темпе™
ратурно-некритичных» кристаллов, таких, как КТР, этими эф-
эффектами в первом приближении можно пренебречь [59, 62, 63].
Генерация второй гармоники одиночными импульсами [19, 24].
Если основное излучение представляет собой мощный одиночный импульс,
длительность которого ти меньше характерного времени установления ста-
стационарного температурного поля (ти ^10 не), то происходит локальный
нагрев нелинейного кристалла; при этом процессы переноса тепла из од™
ной точки кристалла к другой оказываются практически несущественны™
ми. Температура в данной точке (а следовательно и тепловая расстройка)
увеличивается во времени по мере
возрастания поглощенной кристаллом
энергии. В результате условие синхро-
синхронизма в течение импульса все более
нарушается, что приводит к «завалу»
импульса второй гармоники на этапе
спада. Это видно на рис. 3.11, где каче-
качественно показана форма импульса вто-
второй гармоники для разных значений
параметра и (у\ < V2 < ^з)- Входной
импульс основного излучения имел в
данном случае прямоугольную форму.
Отметим, что тепловые самовоз-
самовоздействия для мощных одиночных
импульсов обусловливают предельную
длительность импульса основного излучения. Увеличение длительности
импульса сверх предельного значения не приводит к возрастанию энергии
импульса второй гармоники [24].
О важности учета тепловых самовоздействий. Учет
тепловых самовоздействий весьма важен при рассмотрении ге-
генерации второй гармоники, например, в кристаллах ЫМЬОз,
CD A, DCDA, возбуждаемых излучением мощных импульсных
Рис. 3.11
170
ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
ГЛ. III
лазеров на AHF:Nd3+, работающих в периодическом режиме.
Очевидно, что коэффициент преобразования щ монотонно па-
падает с ростом средней входной мощности основного излучения
(Pi @)) (даже если
для каждого значения
(Pi @)) подбирать оп-
оптимальную темпера-
температуру термостата). На
рис. 3.12 показаны
теоретические и экс™
периментальные за-
зависимости коэффици™
ента преобразования
щ от (Pi @)) в кри-
кристаллах CDA и DCDA
[23]. Видно, что если
принять минимально
допустимый коэффи-
коэффициент преобразования
равным 10%, то кри-
кри0,5
0,4
0,3
0,2
ОД
0,0
DCDA
0
10
15
Рис. 3.12
20 Й@)),Вт
х ; сталл CDA может
использоваться лишь
при (Pi @)) ^ 10 Вт;
при более высоких значениях (Pi @)) тепловые самовоздей-
самовоздействия снижают щ ниже 10%. В кристалле DCDA, обладающем
меньшим поглощением, тепловые самовоздействия проявляют-
проявляются в меньшей степени; этот кристалл можно использовать до
значений (Pi @)), равных примерно 40 Вт.
На рис. 3.13 представлена кривая синхронизма для кристал-
кристалла DCDA в 90°-ном синхронизме (на рисунке использовано обо-
S2(f,x)
2 AT,К
-3 -2 -1
1 2 х, мм
Рис. 3.13
3.3 ФАКТОРЫ, ОГРАНИЧИВАЮЩИЕ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ГВГ 171
значение р = (Р2 @)/(^2 (О)макс РазмеРы кристалла 1x1x4 см,
(Pi @)) = 20 Вт, Ai = 1064 нм, / = 310 Гц. Там же представ»
лены соответствующие разным точкам на кривой синхронизма
поперечные (по координате х) распределения плотности выход-
выходной мощности второй гармоники $2 (/, х). Так, точке 1 на кривой
синхронизма отвечает колоколообразное распределение плотно-
плотности мощности (ближняя зона), точке 2 (максимальная эффек-
эффективность преобразования) — кольцевая структура поля второй
гармоники.
Для уменьшения вредного влияния тепловых эффектов
в «температурно-критичных» нелинейных кристаллах надо
уменьшать их параметры потерь излучения. В этой связи пред-
представляется перспективным отказ от традиционной аксиально-
симметричной геометрии пучков и кристаллов, использование
«щелевых», «эллиптических», «кольцевых» пучков и т.п. Весь-
Весьма перспективным является использование сравнительно новых
нелинейных кристаллов (КТР, LBO, ВВО и др., см. [52, 59]), в
которых ширина температурной кривой синхронизма настолько
относительно велика, что влиянием тепловых самовоздействий
можно в первом приближении пренебречь. Весьма перспектив-
перспективной представляется реализация так называемых «аномально-
температурно-некритичных» взаимодействий при надлежащем
выборе ориентации кристалла; так, в кристаллах КТР и LBO
с участием одного из авторов данной монографии реализованы
ГВГ в кристалле КТР с шириной температурной кривой 1 син-
синхронизма более 200° С [62, 63] и генерация третьей гармоники
(суммарная частота ш + 2ш = Зш) в кристалле LBO с шириной
кривой синхронизма ~70°С [64]; в последнем случае использо-
использовался упоминавшийся ранее метод компенсации чисто теплового
ухода синхронизма уходом оптической оси кристалла вследствие
механических искажений формы нелинейного элемента, возни-
возникающих из-за анизотропии коэффициента теплового расшире-
расширения.
3.3. Некоторые специальные факторы,
ограничивающие эффективность генерации
второй гармоники
Широкое использование мощных частотных импульсных ла-
лазеров на AMF:Nd3+, сочетающих в себе высокие пиковые мощ-
мощности (десятки и сотни мегаватт) с высокой средней мощностью
излучения (единицы и десятки ватт), выявило ряд дополни-
дополнительных факторов, ограничивающих эффективность преобра-
преобразования во вторую гармонику [23]. Наряду с рассмотренными
выше тепловыми самовоздействиями к этим факторам отно-
172 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
сятся также нелинейное поглощение^ фотопреломление, генера-
генерация свободных носителей в зоне проводимости и ряд других
эффектов.
Нелинейное поглощение. Предположим, что в диэлек-
диэлектрике распространяются волна основного излучения (плотноств
мощности Si) и волна второй гармоники (плотность мощности
5^2 )• Если не принимать во внимание нелинейное взаимодействие
волн, приводящее к преобразованию излучения одной частоты
в излучение другой частоты, то можно записать следующие вы™
ражения для производных dS\/dz и dS2Jdz с учетом как линей™
ного, так и нелинейного поглощения излучения в среде [25, 26]:
C.3.1)
^ F2
dz
Члены Si Si и S2S2 описывают обычное (линейное) поглощение
(во избежание путаницы отметим, что в этом параграфе в фор™
мулах C.3.1), C.3.2) коэффициенты Si означают коэффициенты
поглощения по мощности^ в то время как в предыдущих па™
раграфах использовались те же обозначения для коэффициент
тов поглощения по амплитуде; очевидно, что коэффициенты
поглощения по мощности вдвое больше таковых по амплиту-
амплитуде). Остальные члены в правых частях уравнений C.3.1) опи-
описывают нелинейное поглощение, обусловленное двухфотонны-
ми переходами (двухфотонное поглощение) г). Член ^Sf свя™
зан с поглощением двух фотонов излучения второй гармоники;
при этом необходимо, чтобы выполнялось неравенство 2Нш2 ^
^ Eg, где Eg — ширина запрещенной зоны кристалла, Нш2 —
энергия фотона с частотой второй гармоники. Члены P12S1S2 и
$2iS\S2 описывают двухфотонное поглощение смешанного ти-
типа, когда один из фотонов принадлежит основному излучению,
а другой — второй гармонике (вообще говоря, f3\2 "ф hi)- При
этом необходимо, чтобы hu)\ + huJ ^ Eg (здесь ш\ = Ш2/2). Нако-
Наконец, член /Зц Sf описывает двухфотонное поглощение на частоте
основного излучения (необходимо, чтобы 2houi ^ Eg). Постоян-
Постоянные /Зц, /?225 /З12 и /?21 называют коэффициентами нелинейного
поглощения.
В качестве характерного примера выберем кристалл ниобата
лития, где нелинейное поглощение играет, как показывают ис-
исследования, существенную роль [25, 26, 59]. В данном кристалле
Eg =3,9 эВ. Если источником основного излучения является
лазер на АИГ:Ш3+ (Пшг = 1,16 эВ, Пш2 = 2,32 эВ), то в этом
О многофотонных процессах см., например, § 2.2 в [27].
3.3 ФАКТОРЫ, ОГРАНИЧИВАЮЩИЕ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ГВГ 178
случае
Eg
Поэтому, говоря о нелинейном (двухфотонном) поглощении, в
данном случае можно ограничиться учетом поглощения двух
фотонов второй гармоники, т.е. членом /322^1 • Действительно,
коэффициенты /Зц, /?i2 и /?21 оказываются в данном случае бо-
более, чем на порядок меньшими коэффициента /?22- Аналогичная
картина наблюдается и при использовании кристалла ниобата
бария-натрия, накачиваемого излучением лазера на AHT:Nd3+.
Коэффициенты двухфотонного поглощения на длине волны вто™
рой гармоники для многих кристаллов приведены в [59].
С учетом сделанных замечаний заменим C.3.1) более про™
стой системой уравнений:
^1 = -ад, й-Ё1 = - (S2 + /322S2) S2. C.3.2)
dz dz
Учет нелинейного поглощения при рассмотрении ге-
генерации второй гармоники. Учитывая двухфотонное погло-
поглощение на частоте второй гармоники, заменим во втором урав-
уравнении системы C.2.23) 52 на [52 + 722^1)- Сумма (^2+722^1)
согласуется с выражением ($2 + /322*51)? стоящим в скобках во
втором уравнении C.3.2), поскольку $2 ~ и2. Таким образом,
при учете нелинейного поглощения второе уравнение в системе
C.2.23) принимает вид
— = г/? sin Ф - 8'2и2 - 722^2 C.3.3)
(в уравнении появляется слагаемое, пропорциональное кубу ам-
амплитуды второй гармоники). Так как
(TClio 57Г
то, следовательно,
722 = — • C.3.4)
8тгсг
Постоянную 722 называют приведенным коэффициентом нели-
нелинейного поглощения.
Существенно, что учет нелинейного поглощения требует ос?-
повременно учета тепловых самовоздействий. Обратимся в свя-
связи с этим к уравнению теплопроводности C.2.46). Чтобы учесть
нелинейное поглощение, надо заменить здесь 62 на [52 +722^1)-
174 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
В результате уравнение теплопроводности преобразуется к виду
2
г=1
C.3.5)
Используя C.3.3) и C.3.5), получаем следующую полную си™
стему уравнений, учитывающую влияние на генерацию второй
гармоники как тепловых самовоздействий, так и нелинейного
поглощения (сравните с C.2.24)):
= —UiU2 Sin W — o\U\,
-^ = г/f sin Ф - ^2 7221,
^ = 2 (Akf0 + ДЛ;С) + J- cos Ф (ti? - 2ti|), C-6)
г=1
На практике учет нелинейного поглощения в уравнении теп™
лопроводности более важен, чем в амплитудном уравнении. По-
Появление слагаемого (^722^1) в0 ВТОРОМ уравнении C.3.6) вносит
лишь относительно небольшую количественную поправку, тогда
как слагаемое 722^2 B квадратных скобках в уравнении тепло™
проводности C.3.5) играет как правило принципиальную роль.
Для кристалла ниобата лития, например, при Si о ^ Ю8 Вт/см2
выполняется неравенство
2
722^4 »Е^2' C-3'7)
г=1
вследствие чего уравнение теплопроводности может быть пред™
ставлено в данном случае в виде
-у2Д?4с = 8 (Pi @)) ^ 4 (р, С; 0). C.3.8)
-Гкр
Для коэффициентов нелинейного поглощения характерна силь-
сильно выраженная дисперсия: 722^711- Следовательно, при выпол-
выполнении неравенства C.3.7) возможно обострение одного из кры-
крыльев температурной кривой синхронизма и появление на ней
(при неидеальном тепловом контакте) гистерезисного участка
на кривой синхронизма.
На рис. 3.14 представлены зависимости максимального
коэффициента преобразования ^2макс от параметра Щ2 =
= 2722 (А@))/РКр- Коэффициент щшдьКС определялся в условиях
оптимальной расстройки. Для каждой кривой ?]2макс (^22) пара-
3.3
ФАКТОРЫ, ОГРАНИЧИВАЮЩИЕ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ГВГ
175
0,7
0,5
0,3
метр 722 фиксирован; поэтому фактически на рисунке представ™
лены зависимости тумаке от (Pi @))- Приведенные на рисунке
кривые получены для случаев: 1 — 722 = 0,01, ? (I) = 3; 2 —
722 = ОД, СA) = 3; 5-722 = 0,01, С A) = 2; 4 - 722 = 0,1,
? (/) = 2. Из этих кривых следует, что влияние нелинейного (в
данном случае двухфотонного) поглощения на частоте второй
гармоники может быть достаточно заметным. По этой причине
при использовании в ла-
лазерной инженерной практи-
практике нелинейных кристаллов
во многих случаях необхо-
необходимо знать величины коэф-
фициентов нелинейного по-
поглощения (как правило, на
длине волны второй гармони-
гармоники, см. [59]).
На практике могут встре-
встретиться случаи, когда необхо™ 0 2 4 6 8 10v22
димо учитывать смешанное
нелинейное поглощение (на- ри g -^
пример, при невырожденной
(по частоте) генерации суммарной частоты ш% = ш\ + 6^2, когда
две из взаимодействующих частот (например, ш% и^) достаточ-
но близки, так что может выполниться неравенство Ы02 + tvuj^ >
> Eg. При генерации второй гармоники (вырожденный по ча-
частоте случай генерации суммарной частоты, ш\ = Ш2 = о;з/2)
выполнение вышеуказанного условия вряд ли возможно.
Генерация свободных носителей. Нелинейное поглощение сопро-
сопровождается переходами электронов из валентной зоны кристалла в зону про-
проводимости, т.е. приводит к генерации свободных носителей. Стационарная
концентрация свободных носителей оказывается пропорциональной коэф-
коэффициенту нелинейного поглощения /З22 и квадрату плотности мощности
второй гармоники. Эффект генерации свободных носителей следует учи-
учитывать при рассмотрении процесса преобразования во вторую гармонику,
например, в кристаллах типа ниобата лития и ниобата бария—натрия. При
этом, как показывают оценки, можно пренебрегать дополнительно возни-
возникающим поглощением основного излучения и второй гармоники на свобод™
ных носителях, но необходимо учитывать в уравнении для обобщенной фа-
фазы дополнительную расстройку Afer.CB.H ~ /fe^f.
Таким образом, учет генерации свободных носителей сводится к то™
му, что в третьем уравнении системы C.3.6) вместо (Ai^o + Ак'т_с) следует
использовать (А^о + Afe^c + АА4СВ-Н). Согласно теории эффекта генерации
свободных носителей [28]
Д&г.св.н = ^3gtf,2, C.3.9)
где
2
q = тге
C.3.10)
176 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
Здесь е — заряд электрона, т — время жизни свободных носителей, тпе и
тпи — эффективные массы электрона проводимости и дырки.
Фоторефрактмвный эффект (эффект фотопреломле-
ния). В 1966 г. был обнаружен эффект влияния интенсивно-
интенсивного освещения на двулучепреломление в сегнетоэлектриках [28].
При прохождении через сегнетоэлектрический кристалл интен™
сивного светового пучка происходит (в пределах объема, заня-
занятого пучком) обратимое изменение величины дисперсионного
двулучепреломления В = пе ~~ в0, главнвш образом, за счет
изменения показателя преломления необыкновенной волны пе.
Это изменение достигает значений 10"™5 —10~~3 (кристалл ЬПМЪОз).
Указанный эффект получил название фоторефрактивного (эф-
(эффект фотопреломления). Его называют также эффектом наве-
наведенной оптической неоднородности показателя преломления и
эффектом оптического искажения (optical damage).
Физическая картина эффекта достаточно сложна: она пред™
полагает несколько независимых механизмов. Не проводя сколь-
либо детального обсуждения этой картины, отметим лишь исто™
рически первую физическую модель рассматриваемого эффекта
[29]. Согласно этой модели при освещении сегнетоэлектрика воз-
возникают возбужденные с некоторых уровней носители, которые
под действием внутреннего поля, всегда существующего внутри
сегнетоэлектрика, перемещаются на периферию светового пуч-
пучка и там захватываются глубокими уровнями. Объемное разде-
разделение зарядов приводит к появлению локального поля и, как
следствие, к локальному изменению показателя преломления за
счет электрооптического эффекта Поккельса в этом поле. Та™
кое упрощенное понимание фоторефрактивного эффекта полез-
полезно; однако следует помнить, что современная картина эффекта
значительно сложнее. Она включает в себя, в частности, ано-
аномальный фотовольтаический эффект, оптическую перезарядку
центров, диффузию неравновесных носителей и другие физиче-
физические явления (подробнее см. в [28]).
Говоря о влиянии эффекта фотопреломления на генерацию
второй гармоники, будем рассматривать кристалл ЫМЬОз- Ф°~
топреломление возникает только на частоте второй гармони-
гармоники. Зависимость стационарного (установившегося1)) изменения
двулучепреломления АВСШЦ от плотности мощности второй тар™
моники качественно различна для непрерывных и частотных
импульсных лазеров.
Для непрерывного аргонового лазера эта зависимость пока™
зана на рис. 3.15 [29]. При S2 ^ 100 Вт/см2 (здесь $2 — плот™
г) Время установления зависит от S'2- Так, при S2 ~ 20 МВт/см2 в им-
импульсном режиме это время порядка 2 мин, а при 100 МВт/см — 20 с.
3.3
ФАКТОРЫ, ОГРАНИЧИВАЮЩИЕ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ГВГ
177
ность мощности самого лазера на зеленой длине волны 488 нм)
зависимость является линейной (АВстдьЦ ~ S2); при достаточно
больших значениях $2 функция А1?стацEГ2) выходит на насыще™
ние. При Й2 ~ 500 Вт/см2 реализуется Д?»стац « 10~3.
В случае частотного импульсного лазера на AHF:Nd3+
A064 нм) в режиме модуляции добротности рассматриваемая
зависимость показана на рис. 3.16 [30], где *$2 — пиковая плот™
ность мощности второй гармоники. Отметим, что частота еле™
9 ¦
ДЯст-1(г
100 300 500 700 S2,Bt/cm2 0 50 100 S2, МВт/см2
Рис. 3.15
Рис. 3.16
дования импульсов (а следовательно и средняя плотность мощ-
мощности) в данном случае несущественна. При S2 ^ 100 МВт/см2
зависимость ABCTdb4(S2) имеет корневой характер:
АВстац = Фд/Зг, C.3.11)
где Ф = 0, 58-Ю" см/(МВтI/2. При более высоких значениях S2
зависимость Д?»СтацE2) становится линейной. Согласно C.3.11)
при S2 ~ ЮО МВт/см2 реализуется АВстдьЦ « 10^4.
Заметим, что представленные на рисунках 3.15 и 3.16 зависи-
зависимости являются эмпирическими. Теория эффекта фотопрелом™
ления пока не дает возможности точно рассчитывать эти зави-
зависимости.
Волновам расстройка, обусловленная фотопреломле-
фотопреломлением. Учет фотопреломления при рассмотрении генерации вто-
второй гармоники сводится (как и при учете тепловых самовоз-
самовоздействий или генерации свободных носителей) к появлению в
уравнении для обобщенной фазы дополнительной расстройки
(Акфи). Эта расстройка выражается через Дистац по форму™
ле C.1.2):
Акфп = 4тг
ABCTi
C.3.12)
178 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
Предположим, что используется импульсный лазер перио™
дического действия, причем $2 < 100 МВт/см2. Учитывая,
что в этом случае имеет место зависимость C.3.11), перепишем
C.3.12) в виде
АА;фп=47г^, C.3.13)
или
Акфп = ipa2l C.3.14)
где
C.3.15)
Фазовый портрет процесса генерации второй гармо-
гармоники при наличии фотопреломленим; оптимальный ре-
жмм. Будем исходить из результата B.4.5), который при нали-
наличии фотопреломления с учетом C.3.14) принимает вид
cos4f=C'-(Ak + V,a2)al/2a ( }
U2 (U2 — aQ
Использование B.4.5) предполагает ряд соответствующих упро-
упрощений, в рамках которых будет рассматриваться задача: модель
плоских волн, квазистатическое приближение, пренебрежение
апертурными эффектами, тепловыми самовоздействиями, нели-
нелинейным поглощением и т.д. Распределение интенсивности основ™
ного излучения на входе кристалла принимается прямоуголь-
прямоугольным как во времени, так и в пространстве. Такое упрощение
делает используемую математическую модель в значительной
мере неадекватной реальной ситуации. Тем не менее, оно поз-
позволяет выявить практически важные качественные особенности
процесса генерации второй гармоники в условиях фотопрелом-
фотопреломления.
Применяя B.4.6), преобразуем C.3.16) к виду
cos Ф = С*-(*!+<"*) , C.3.17)
V2 (I - Vi)
где
v2 = -, Ai = —, а = -?-, С2 = —. C.3.18)
Соотношение C.3.17) аналогично соотношению B.4.7). Как и
B.4.7), уравнение C.3.17) задает семейство фазовых траекто-
траекторий (фазовый портрет) рассматриваемого процесса преобразо-
преобразования на фазовой плоскости, определяемой координатными ося™
ми V2 cos Ф и V2 sin Ф.
На рис. 3.17 представлены фазовые портреты процесса, по™
лученные из C.3.17) при так называемом оптимальном реэюи-
3.3
ФАКТОРЫ, ОГРАНИЧИВАЮЩИЕ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ГВГ
179
ме 1), т.е. при условии, что
Ai = -a. C.3.19)
Рассмотрены случаи: а) А\ = —1, а = 1; б) Ai = —2, о = 2;
в) Ai = —2,5, а = 2,5. Как и на рисунках 2.8 и 2.11, здесь
Рис. 3.17
толстыми линиями показана сепаратриса, А\ — седловая точка
сепаратрисы, С\^ — фазовые центры.
Режим, описываемый условием C.3.19), называют оптималь-
оптимальным по той причине, что в этом случае при а ^ 2 сепаратриса
проходит через точку О. Следовательно, при равенстве нулю
амплитуды второй гармоники на входе кристалла изображаю-
изображающая точка в случаях а и б" на рис. 3.17 будет двигаться от О по
сепаратрисе к седловой точке
Ai, и в пределе достаточно
большой длины нелинейного
кристалла будет достигаться
практически 100 %™ное преобра-
зование во вторую гармонику.
Этим случаям движения изоб™
ражающей точки отвечают
представленные на рис. 3.18
монотонные кривые щ (С)?
обозначенные соответственно
как а и б. В случае в на
рис. 3.17 изображающая точка,
выходя из О, будет двигаться
по замкнутой фазовой траек-
траектории, отмеченной на рисунке Рис з 18
цифрой 1. Этому движению
отвечает представленная на рис. 3.18 кривая в; она имеет
характер пространственных биений. Для сравнения штриховой
линией на рис. 3.18 показана зависимость щ от ? для случая,
когда Ai = а = 0 (в этом случае изображающая точка движется
по участку ОА\ сепаратрисы, показанной на рис. 2.8).
Анализ этого режима дается в [30].
180 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
Итак, мы видим, что при а ^ 2 можно скомпенсировать
расстройку, обусловленную фотопреломлением. Для этого надо
специально отстроить кристалл от синхронизма, обеспечив оп-
оптимальную фазовую расстройку Ахопт = —&• Тогда зависимость
т^2 (С) будет иметь практически такой же вид, как и в отсутствие
фотопреломления при точном выполнении условия синхронизма
(сравните кривые аж б со штриховой кривой на рис. 3.18). Если
же а > 2, то указанная компенсация невозможна; в этом слу-
случае фотопреломление качественно изменяет картину процесса
преобразования (см. кривую в на рис. 3.18).
Из C.3.17) при условии C.3.19) можно получить щ(С) [30]:
для а ^ 2
2 ( }
,3 3
где р = yjl- (a/2J, q = ^(a/2J - 1. Из C.3.20) видно,
что 772 —>¦ 1 при ? —>¦ оо. Максимально достижимая эффектив-
эффективность преобразования в случае а > 2 определяется выражением
Г/2 макс = , 2A+2)' а; C-3.22)
(а2 + а — 2)
при достаточно больших значениях а коэффициент преобразо-
преобразования падает как 1/а.
3.4. Генерация второй гармонмкм в нестационарном
Как отмечалось в § 2.6, при использовании сверхкоротких
лазерных импульсов длительностью меньше 10~п с квазистати-
квазистатическое приближение оказывается непригодным. Импульсы дли-
длительностью меньше 1СР11 с генерируются лазерами, работаю-
работающими в режиме синхронизации продольных мод, в том числе
(для фемтосекундного диапазона) — в режиме компрессии им-
импульсов. Эти режимы обсуждаются, например, в [13, 31, 64].
В последнее время интенсивно развиваются лазеры с фемто-
секундными импульсами A фс = Ю~15 с); рекордно коротки-
короткими являются импульсы длительностью ^ 6 фс, что составляет
несколько периодов светового колебания. Нет сомнения, что фи-
физическая и лазерная оптика стоят на пороге генерации импуль-
импульсов аттосекундного диапазона A ас = 1СП18 с). Во всех этих
3.4
ГВГ В НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
181
случаях необходимо рассматривать нестационарный режим те-
нерации второй гармоники. В нестационарном режиме прояв-
проявляются два специфических эффекта: эффект группового за-
паздывания взаимодействующих световых импульсов и эффект
дисперсионного расплывания импульсов1). Физическая природа
этих эффектов обсуждалась в общих чертах в § 2.6.
Эффект группового запаздывания импульсов; груп-
групповой синхронизм. Зависимость групповой скорости от часто-
частоты приводит к тому, что импульс второй гармоники смещается
(во времени) относительно импульса основной частоты по ме-
мере распространения излучения в нелинейном кристалле. В этом
заключается эффект группового запаздывания импульсов. Воз™
можно как опережение, так и отставание импульса второй гар-
гармоники относительно импульса основного излучения.
На рис. 3.19 а для случая оое™взаимодействия схематически
показано как изменяются форма и взаимное положение им-
О-
о-
Рис. 3.19
пульсов основного излучения (импульс 1) и второй гармоники
(импульс 2) по мере распространения вдоль оси z. Групповые
скорости импульсов удовлетворяют здесь неравенству ио(ш) <
< иеBш). Заметим, что при оое™взаимодействии вторая гармони-
гармоника генерируется внутри импульса основного излучения в течение
г) Генерация второй гармоники в нестационарном режиме рассматривав
ется в [1, 32-34].
182 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
всего времени прохождения импульса через кристалл; поэтому
выходной импульс второй гармоники оказывается уширенным,
как это показано на рисунке.
При оее-взаимодействии картина качественно изменяется
(см. рис. 3.19 6). Вследствие различия групповых скоростей
обыкновенного и необыкновенного импульсов основной часто-
частоты обыкновенный импульс (импульс 1 на рисунке) по мере рас™
пространения по кристаллу начинает смещаться относительно
необыкновенного (импульс 2). Оба эти импульса относятся к
основному излучению; поэтому указанное смещение в конце кон™
цов приводит к прекращению процесса преобразования во вто-
вторую гармонику. В результате выходной импульс второй гармо™
ники при взаимодействии типа оое имеет меньшую энергию и
пиковую мощность, чем в случае оое-взаимодействия. Ситуа-
Ситуация, изображенная на рис. 3.19 6", отвечает следующему соот™
ношению групповых скоростей взаимодействующих импульсов:
ио(ш) < ие(ш) < иеBш).
Существует аналогия между эффектом группового за™
паздывания импульсов и пространственным сносом энергии
необыкновенного светового пучка относительно обыкновенно™
го (диафрагменным апертурным эффектом). Здесь происходит
разнесение во времени (в пространстве) взаимодействую™
щих излучений и, как следствие, уменьшение эффективности
преобразования во вторую гармонику. При этом уменьшение эф™
фективности преобразования оказывается более существенным
при оее™взаимодействии (по сравнению с оое™взаимодействием);
сравните рис. 3.19 а с рис. 2.28, а рис. 3.19 б с рис. 2.29. Отме-
Отмеченная аналогия есть проявление пространственно-временной
аналогии, которую мы обсудим в § 3.6.
Рассматривая оое-взаимодействие, введем обозначения: щ,
Т]_, l\ = CTi/rii — групповая скорость, эффективная длитель™
ность, эффективная длина импульса основного излучения; U2,
Т2? h — СТ2/712 — то же для импульса второй гармоники. Вели™
чину
у= — -— C.4.1)
называют расстройкой групповых скоростей импульсов или,
короче, групповой расстройкой. Условия проявления эффекта
группового запаздывания могут быть представлены в виде
h < /, h< Z, C.4.2)
и^О. C.4.3)
Условие C.4.2) означает, что длины импульсов должны быть
меньше длины I нелинейного кристалла. Это условие является
необходимым, но не достаточным. Его надо рассматривать в со™
3.4 ГВГ В НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ 188
четании с условием C.4.3), отражающим различие групповых
скоростей импульсов.
В принципе возможна ситуация, когда
щ = U2- C.4.4)
В этом случае говорят о групповом синхронизме (не путать с
рассматривавшимся до сих пор волновым (фазовым) синхро-
синхронизмом!). Условие группового синхронизма может выполнять-
выполняться лишь для некоторой определенной частоты ш обыкновенного
излучения (и соответственно частоты 2ш необыкновенного излу-
излучения). При выполнении C.4.4) неравенства C.4.2), очевидно, не
приводят к эффекту запаздывания импульсов 1).
Для оценки влияния рассматриваемого эффекта на генера-
генерацию второй гармоники вводят характерное время запаздывания
rv = vl C.4.5)
и характерную длину дисперсии групповых скоростей (ее назы-
называют также квазистатической длиной взаимодействия)
?*, = -. C.4.6)
V
Величина rv определяет временной интервал, на какой расхо-
расходятся на выходе кристалла импульсы, характеризующиеся труп™
повой расстройкой и. Квазистатическая длина взаимодействия
есть длина, на которой импульсы расходятся во времени на т\.
Пространственным аналогом квазистатической длины является
апертурная длина, рассматривавшаяся в § 2.7. Процесс преобра-
преобразования во вторую гармонику должен исследоваться как неста-
нестационарный процесс, если
т\ < Ту или, иначе, I > Lv. C.4.7)
При Ai = 1,06 мкм и т\ = 2 • 1СР12 с имеем Lv = 15 см для
кристалла KDP и Lv = 1 см для кристалла ЫМЬОз- Отсюда
следует, что эффектом группового запаздывания можно прене-
пренебрегать в кристалле KDP, поскольку практически используемые
длины кристаллов обычно не превосходят 5 см. Однако рассмат-
рассматриваемый эффект необходимо учитывать в случае кристалла
LINbO3-
Эффект дисперсионного расплываним импульсов.
Поскольку в диспергирующей среде различные частотные со-
составляющие (фурье^составляющие) импульса распространяют™
ся с разными скоростями, происходит искажение формы им™
пульса (импульс расплывается2)) по мере прохождения через
г) Групповой синхронизм рассматривается в [35, 36].
2) Возможно также сжатие светового импульса.
184 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
кристалл. В этом и заключается эффект дисперсионного рас™
плывания. Пространственным аналогом данного эффекта явля-
является дифракция пучков конечной апертуры. Оценки показыва-
показывают, что дисперсионное расплывание начинает играть роль при
длительностях импульсов порядка 1СП13 с и меньше, т.е. в су-
существенно субпикосекундном (фемтосекундном) диапазоне дли™
тельностей.
Для оценки влияния рассматриваемого эффекта на генера-
генерацию второй гармоники вводят характерную длину дисперсион-
дисперсионного расплывания (см. B.6.6))
C.4.8)
и характерное время дисперсионного расплывания
Эффект должен учитываться, если выполняется условие
П < Тдис, или I > Lmc. C.4.10)
Используя характерное значение cPkfdoo2 ~ 10™27 с2/см, по-
получаем Ьдис ~5м для т\ = 10~12с и Ьдис ^ 5 см для т\ = 1СР13 с.
Таким образом, для пикосекундных лазерных импульсов (не го-
говоря уже об импульсах большей длительности) эффектом дис-
дисперсионного расплывания можно пренебрегать. Он становится
заметным лишь при т\ < 10™13 с, т.е. в фемтосекундном диапа-
диапазоне длительностей импульсов. В связи с этим при рассмотрении
нестационарной генерации второй гармоники будем учитывать
ниже только эффект группового запаздывания импульсов.
Укороченные уравнения. Будем исходить из системы
укороченных уравнений B.2.22). Это означает, что рассматри-
рассматривается скалярный оое-синхронизм, используется приближение
плоских волн, игнорируется двулучепреломление и дифракция.
Чтобы учесть эффект группового запаздывания импульсов, на-
надо рассматривать амплитуды поля как функции не только про-
продольной пространственной координаты, но и времени и при этом
добавить в левую часть первого уравнения B.2.22) слагаемое
щ dA\/dt, а в левую часть второго уравнения — слагаемое
и^дА21'dt. В результате приходим к следующей системе уко-
укороченных уравнений:
— Ai (z,t) + — — Ai(z,t) +S1A1 = -iaiA1A2exp(-iAkz),
dz Ul Ш C.4.11)
— A2 (z, t) + — — A2(z, t) + 62A2 = -i(T2Al exp (iAkz).
dz U2 dt
3.4 ГВГ В НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ 185
Рассмотрим нестационарную генерацию второй гармоники
в приближении заданного поля основного излучения; при этом
примем Si = 82 = 0. Система C.4) принимает в данном случае
вид
дАг 1 дАг _ Q
dz Ul dt ' (ЗА12)
()
^ + - <?* = -га2А\ exp (iAkz).
dz и2 dt
Решение первого уравнения C.4.12) еств некоторая функция
A(/i), где
fjL = t-— C.4.13)
Ul
— переменная, называемая локальным временем. Подставим
Ai (/i) во второе уравнение C.4.12) и перейдем от переменнвгх
я, t к переменным z, /i. Выполняя этот переход, учтем, что
dA2(z,t) _ dA2(z,fi) dA2(z,fi) dfi _ дА2 _ 1 дА2
dz ~ dz dfi dz ~ dz иг dfj, '
dA2(z,t) _ dA2(z,fj) ф _ dA2(z,y)
dt dfi dt dfi
В результате получаем с учетом C.4.1) следующее дифференци™
альное уравнение для А^ (z,/jl):
dA2 dA2 ¦ л2 / х /• л 7 \ го л t л\
^— - V-— = -га2А( (/i) exp (гДА;^). C.4.14)
dz dfi
Из C.4.14) видно, что именно различие групповых скоростей
щ и и^ (т.е. тот факт, что v ф 0) приводит к нестационарному ха-
характеру процесса преобразования во вторую гармонику. Если же
у = 0, то уравнение C.4.14) превращается фактически во второе
уравнение системы B.6.11). Иными словами, в этом случае бу-
будет справедливо квазистатическое приближение (в сочетании
с приближением заданного поля основного излучения).
Дифференциальное уравнение длм амплитуды спек-
спектра второй гармоники. При рассмотрении нестационарной
генерации второй гармоники обычно применяют спектральный
подход: вместо дифференциалвного уравнения для амплитуд
поля решают соответствующее уравнение для амплитуд спек-
тра^ а затем по амплитуде спектра находят амплитуду поля вто-
второй гармоники. Анализ процесса преобразования во вторую гар™
монику на основе рассмотрения частотных спектров позволяет
наиболее четко ввшвитв физику картины.
Сверхкороткие импульсы характеризуются относительно
широким частотным спектром. Напомним в связи с этим, что
ширина Аи) спектра связана с длительностью т импульса соот™
ношением Аи) ^ 1/т.
186 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
Осуществляя спектральный подход, представим амплитуду
поля второй гармоники А^ (z, /i) в виде интеграла Фурье:
оо
A2(z,fi)= J Ф2 (г, П) ехр (Ш^) dfi. C.4.15)
Здесь Ф2 (z, Г2) — амплитуда спектра второй гармоники
(спектр есть |<3>2 (г, Г2)| ), И = ш — 2cji, ш\ — центральная ча-
частота основного излучения. Аналогично для амплитуды А\ (fi):
Аг (ц) = J Фг (О ехр (ify) d?, C.4.16)
— СО
где ? = ш1 — ш\ (как и cj, переменная а/ — текущая частота).
Подставляя C.4.15) и C.4.16) в C.4.14), получаем
со
Г (Ё*1 - iu ПфЛ еХр {%пц) du =
dz
— со
= -га2 exp (iAkz) JJ Фх (О Фх (?') ехр [г(^+ ^>] < < C-4.17)
(здесь ?; = шП — LJi). Учитывая, что вследствие большой ши-
шит также
но,
C.4.18)
рины спектров наряду с удвоением частоты происходит также
сложение частот, представим uJ + из11 = ш и, следовательно,
С учетом C.4.18) перепишем C.4.17) в виде
со
J (§*1 - iu ПфЛ ехр (Ш//) dU =
— со
со
= -гст2 ехр (iAkz) JJ Фг {() #i (fi - ?) ехр (Ш/i) dC dto C.4.19)
(при интегрировании по ?; величину ? мо^кно считать постоян-
постоянной, так что d^' = du). Из C.4.19) следует, что
^ - %v ^Ф2 = -га2 ехр (-iAkz) Г Ф1 (О Ф1 Ш - П ^.
— СО
C.4.20)
Вводя функцию
Л2 (г, О) = Ф2 (z, U) exp (-w Пг) C.4.21)
3.4 ГВГ В НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ 187
и обобщенную расстройку
ср = Ак-иП, C.4.22)
преобразуем C.4.20) к виду
^ = -ia2 ехр (i<pz) Г Фх (О #i (П - О d?. C.4.23)
oz J
— оо
Здесь и в дальнейшем следует иметь в виду, что расстрой-
расстройка Ак рассматривается для центральной частоты ш\ спектра
основного излучения.
Случай гауссовой формы импульса основного излу-
ченмм; спектр второй гармоники. Предположим, что им-
импульс основного излучения имеет гауссову форму:
В этом случае, используя C.1.21), имеем
оо
$1 (О = ± J Аг (^
™оо
C.4.25)
Подставляя C.4.25) в C.4.23) и вводя обозначение
М = а2А20^, C.4.26)
находим, опять используя C.1.21),
—- = -г ^^ ехр (г</?2г) ехр ( -—±- 1. C.4.27)
oz п \ 8 /
Интегрируем C.4.27) по z от нуля до I:
Л2 (|, О) = ^^/^ ехр f-^Zi) [ехр (i<pl) - 1]. C.4.28)
Ti<p \ 8 /
Используя C.4.21) и соотношение
- [ехр (upl) - 1 = - ехр I -^- J ехр ^ - ехр —^- =
у? у? \z/Lz \z/J
= i/ ехр ^ sine ^, C.4.29)
получаем из C.4.28) выражение для амплитуды спектра им™
пульса второй гармоники:
ф2 (|5 О) = —г —-— ехр ( — + %v Ш ) ехр — sine — .
т\ V 8 /22
C.4.30)
188
ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
ГЛ. III
Таким образом, спектр второй гармоники на выходе кристалла
может быть представлен в виде (с учетом C.4.26), C.4.22))
sine
-i/ 0I
C.4.31)
14/1 8тг V4/ 2
На рис. 3.20 сопоставляются графики функций ехр (—{
(кривая 1), sine2 [(Ак—и п) 1/2] (кривая 2) и 8тг |#2|2/(cr2-^4o7"i0
(кривая 8). Видно, что симметричный спектр основного излу-
излучения (см. C.4.25)) при преобразовании во вторую гармонику
О
Рис. 3.20
искажается; при этом максимум спектра смещается по частоте
на величину, определяемую отношением Akjv. Для оценки этой
величины воспользуемся приближенным соотношением
sine 1—
2
ехр \-a[i-
C.4.32)
где а = 0, 36. При использовании C.4.32) теряются боковые мак™
симумы функции sine (х); однако в данном случае эта потеря
несущественна. С учетом C.4.32) получаем из C.4.31)
|Ф2A,Ш|2 -ехр \-п2^- -а(Ак-ШJ1Ц . C.4.33)
Дифференцируя C.4.33) по п и приравнивая производную ну-
нулю, находим частоту Омакс, отвечающую максимуму спектра:
SW^-2^-1^. C.434)
Таким образом, для частоты в центре спектральной линии вто-
второй гармоники получаем результат
. C.4.35)
3.4
ГВГ В НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
189
Вводя квазистатическую длину взаимодействия Lv = T\jv, не™
репишем C.4.35) в виде
Ак a(l/Lu)
v 1+olA/LuJ '
C.4.36)
Отметим, что, изменяя Afc, молено перестраивать частоту, отве-
отвечающую максимуму спектра второй гармоники. Перестраивае-
Перестраиваемый генератор такого типа описан в [37] (величина Ак изменя-
изменялась за счет поворота нелинейного кристалла).
Вернемся к соотношению C.4.31) и примем для простоты
Ак = 0. В этом случае имеем (с учетом C.4.6))
ехр -
sine
C.4.37)
При I/Ljj <C 1, т.е. в квазистатическом приближении, за™
ел
висимость |Ф2(/,Г^)| от Отх определяется множителем
ехр (^О2т^/4), тогда при l/Lv ^> 1 (т.е. в существенно нестаци™
онарном режиме) эта зависимость модулируется множителем
sine2 (пт\1/BLjy)). Сказанное иллюстрирует рис. 3.21а, где
приведены две зависимости модуля амплитуды спектра второй
А
У
д
У
А
V
V
Рис. 3.21
гармоники |#2 A)| от пт\: для I <C Lv (кривая 1) и для ljLv = 5
(кривая 2).
Таким образом, в существенно нестационарном режиме (при
l/Ljj 3> 1) спектр второй гармоники характеризуется структу™
рой, состоящей из ряда полос (см. рис. 3.21 б", где приведен ри™
сунок такого спектра [34]).
В квазистатическом приближении (при v = 0) получаем из
C.4.30), полагая Ак = 0, следующее выражение для амплитуды
190 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
C.4.38)
спектра второй гармоники:
1 ' ; n A V 8
Сравнивая C.4.38) с C.4.25), заключаем, что в данном прибли™
жении спектр второй гармоники в \/2 раз шире спектра основно-
основного излучения. В нестационарном режиме {у ф 0) ширина спек-
спектра второй гармоники определяется входящим в C.4.33) мно™
/ а 1 п\ Г (л , oil2 \ й2т11 ~
жителем (напомним, что /лк = и) ехр —11 + — 1 . Эта
ширина есть
>г = —4л/21^2 ^ C.4.39)
Из C.4.39) видно, что с ро-
ростом l/Lu спектр второй гармони-
гармоники заметно сужается. Используя
0,5 [ C.4.39) и C.4.25), получаем
Ашвт.Г , z C.4.40)
0 2 4 6 8 IILV ^Шл
(здесь Ао;л — ширина спектра ла-
Рис. 3.22 зерного импульса). На рис. 3.22
представлена определяемая соот-
соотношением C.4.40) зависимость отношения Аа;вт>г/Аа;л от ljLv.
Видно, что при l/Ljj ^ 1,7 ширина спектра второй гармоники
меньше ширины спектра основного излучения.
Амплитуда полм второй гармоники. Подставляя
C.4.30) в C.4.15), получаем следующее выражение для ампли-
амплитуды поля второй гармоники на выходе кристалла:
оо
= —г ^—^— j ехр — + г [fi + и 1)Щ ехр -*— sine ^— ail.
Т\ " L 8 J 2 2
C.4.41)
С учетом C.4.32) и C.4.22) интеграл C.4.41) принимает вид
а п \ • М1л/2ж
A2{lj /i) = ^г ^^^— х
оо 2 2
х Г ехр Г-Q2 ^- - а (ДА; -^QJ - + г (ДА; -vU) - + г (// + v л1 rffi.
J L 8 8 ; 2 кг '\
3.4
ГВГ В НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
191
Полагая Ак = 0, преобразуем C.4.42) к виду
= —г ¦
т\
nl
2LV
U\ dU.
C.4.43)
Используя C.1.21), получаем отсюда (с учетом C.4.26))
о Г 1 1
Л 7 Of _l_ 11 (О Т \\
А2 (/, /i) = , ехр | - _^ | _^о/г^ . C.4.44)
При Ljj —> оо и v —> 0 результат C.4.44) дает
C.4.45)
(этот результат соответствует B.6.19)). Из сравнения C.4.45) с
C.4.24) видно, что в квазистатическом приближении длитель-
длительность импульса второй гармоники в \/2 раз меньше длитель-
длительности лазерного импульса. Существенно, что в данном при-
приближении оба импульса совпадают по времени (точнее говоря,
совпадают максимумы импульсов) 1).
В нестационарном режиме ситуация иная. Во-первых, как
это следует из C.4.44), максимумы импульсов взаимно смещены
во «времени» \х на величину т\1Ц2Ьи) = v 1/2. В зависимости
от знака v импульс второй гар-
гармоники либо опережает импульс
лазера (i/>0), либо отстает от
него (i/<0). Во-вторых, форма
импульса второй гармоники из-
изменяется с длиной кристалла I.
Из C.4.44) видно, что с ростом
l/Ljy импульс уширяется, ам-
амплитуда поля второй гармоники
уменьшается. Уширение импуль™
са соответствует отмечавшему-
отмечавшемуся выше уменьшению ширины
спектра второй гармоники.
На рис. 3.23 представлены
полученные на основе C.4.44)
(т.е. в приближении заданного
поля основного излучения) графики зависимости амплитуды по-
поля А'2 = A2(l,ti)/(—1G2^1) от величины /i/n для нескольких
-6 -4 -2 О
Рис. 3.23
) Пространственным аналогом такого совпадения является совпадение в
пространстве обыкновенного и необыкновенного пучков в отсутствие дву-
лучепреломления.
192 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
значений ljLv: 1 (кривая i), 3 (кривая J?), 5 (кривая 8). Штри™
ховая кривая относится к случаю, когда ljLiv = 0.
Эффективность генерации второй гармоники. Из
C.4.44) получаем плотность импульсной мощности второй rap™
моники на выходе кристалла:
Г
ехр -
S2i 2 ер
8тг 1+ag2 |_ т( A + aq2)
C.4.46)
где g = l/Lv\ S2i = ст^о^^-о^А^71") — интенсивность второй rap™
моники для плоских волн в стационарном режиме (при и = 0,
т\ —>• сю). Интегрируя $2 (/,/i) no /i, находим плотность энергии
выходного импульса второй гармоники:
I S2(hn)dii = —±4 I exp --f
J I + aq2 J r/A
+ag2
ехр (-У2) dy = J2?fi= . C.4.47)
2/1 + 2
Отсюда следует, что коэффициент преобразования в нестацио-
нестационарном режиме по энергии (или по средней мощности) пропор-
пропорционален (l + ад2) : щ ~ (l + al2/i2) • Обозначая че-
Рез ^?2ст коэффициент преобразования по энергии, полученный
в квазистатическом приближении, представим
= тст C.4.48)
Из C.4.48) хорошо видно уменьшение эффективности генера™
ции второй гармоники с увеличением l/Lv.
Замечания, связанные с учетом дифракции и двулучепрелом-
ления. При более строгом рассмотрении нестационарной генерации вто-
второй гармоники от сверхкоротких лазерных импульсов необходимо учиты-
учитывать также дифракцию и диафрагменный апертурный эффект. Используя
по-прежнему приближение заданного поля основного излучения, надо в
данном случае заменить систему уравнений C.4.12) следующей системой
(ср. с B.9.20)):
дАг ^дА^ _ J_ /д2Аг д2АЛ =
dz Ul dt 2гк \ дх2 ду2 ) ' 4
дА2 , 1 дА2 QdA2 1 (д2А2 д2А2\ . 2 ' '
5z И2 dt дх 2%К \ дх2 ду2 J
Решение этой системы может быть найдено с помощью представления ам-
амплитуд поля А\,2 (z,x,y,t) в виде интегралов Фурье. Так, амплитуда поля
второй гармоники представляется в виде
А2 {z, х, y,t) = JJJ Ф2 (z, Kx,Ky, fi) ехр [i (Ш - Kxx - Kyy)} dildKx dKy.
C.4.50)
3.5 ГВГ МНОГОЧАСТОТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ 198
Здесь #2 (Zj K.X-) Kyj О) — амплитуда пространственно-частотно г о спектра
второй гармоники.
Расчеты показывают, что пространственные (дифракционные, апертур™
ные) и временные (груповое запаздывание импульсов) эффекты оказывают
заметное влияние друг на друга; это указывает на необходимость совмест-
совместного рассмотрения этих эффектов [34, 38].
8.5. Генерация второй гармоники многочастотным
лазерным излучением
В предыдущем параграфе рассматривалась генерация вто-
рой гармоники от одиночных сверхкоротких лазерных импуль-
импульсов, возникающих, в частности, при синхронизации продольных
мод лазера. При этом импульс длительностью т представлялся
в виде интеграла Фурье, что соответствовало непрерывному ча-
частотному спектру шириной порядка 1/т. Однако, как известно,
при синхронизации продольных мод высвечивается не одиноч-
одиночный импульс, а последовательность импульсов, которой отве-
отвечает дискретный частотный спектр. В связи с этим целесооб-
разно рассмотреть генерацию второй гармоники в случае, когда
спектр основного излучения, образованного совокупностью про-
продольных мод, представляет собой набор дискретных частот.
Каждая частота в этом наборе соответствует определенной про-
продольной моде. Возможны три ситуации, отвечающие соответ-
соответственно несинхронизованным, полностью синхронизованным и
частично синхронизованным продольным модам.
Удвоение и сложение частот основного излучения.
Для простоты будем полагать, что частоты основного излучения
эквидистантны. Обозначим через Аш интервал между соседни-
соседними частотами, а через N полное число частот (число продоль-
продольных мод); полная ширина частотного спектра есть Аш (N — 1).
Частота ьзц j-й продольной моды выражается в данном слу-
случае через среднюю частоту ш\ основного излучения следующим
образом:
wij = и>! - (N - 1) ^ + До; (j -l)=co1 + Bj-N-l)^.
C.5.1)
Частоты, образующие спектр второй гармоники, обусловле-
обусловлены двумя процессами: удвоением и сложением частот основного
излучения (см. § 1.4). Если спектр основного излучения содер-
содержит N частот, то в спектре второй гармоники будут наблюдать-
наблюдаться 2N — 1 частот. Эквидистантность частот основного излучения
приводит к эквидистантности частот второй гармоники, причем
(с учетом суммарных частот) расстояние между соседними ча-
частотами второй гармоники такое же, как и между соседними
частотами основного излучения. Как и в случае основного излу-
7 В.Г. Дмитриев, Л.В. Тарасов
194 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
чения, будем нумеровать частоты второй гармоники в порядке
ИХ возрастания: 0021 < С^22 < • • • < k>2,2iV-l-
Очевидно, что 1-я и BN — 1)-я частоты второй гармоники
есть удвоенные 1-я и N-я частоты основного излучения соот-
соответственно. Остальные нечетные частоты гармоники образуют™
ся как за счет удвоения, так и за счет сложения частот основного
излучения. Все четные частоты второй гармоники образуются
только за счет сложения частот основного излучения.
Сказанное поясняет рис. 3.24, где представлены три случая:
a) JV = 2, б) N = 3, в) N = 4. Сплошные стрелки показывают
условно процессы удвоения частот, а пары штриховых (а также
штрих-пунктирных) стрелок — процессы сложения частот. Вид-
Видно, что частота иJз в случаях б) и в) возникает как при удвоении
частоты cji2, так и при сложении частот шц и ш\^; частота CJ25 в
случае в) образуется удвоением частоты о;хз, а также сложением
частот ш\2 и CJ14; частота Ш2а в случае в) получается при сложе™
нии частот ш\2 и а;хз, а также частот шц и иц. Как будет по-
показано ниже, фазовая синхронизация мод основного излучения
существенно влияет на те частотные составляющие интенсив-
интенсивности второй гармоники, частоты которых обусловлены двумя
или более процессами, например, удвоением частоты и сложе-
сложением частот или же двумя (или более) процессами сложения
частот.
Отметим, что генерация второй гармоники рассматривается
здесь в приближении заданного поля основного излучения. В
нелинейном режиме, т.е. при учете влияния поля гармоники на
волну основного излучения, рассмотренное выше соотношение
между спектрами второй гармоники и основного излучения ис-
искажается за счет появления дополнительных спектральных ком-
компонентов.
Укороченные уравнения. Будем использовать приближе™
ние плоских волн, полагая, что имеется одна поперечная мода с
равномерным распределением поля. Напряженность поля основ™
ного излучения представим в виде
N N
Е\ = у ^ [Aij exp (iujijt) + к.с] = \, aij [exP (i^ijt + i<pij) + к.с]
j=1 3=1 C.5.2)
Здесь A\j, a\j и (fij — соответственно комплексная амплитуда,
вещественная амплитуда и фаза j-R продольной моды (моды с
частотой uj\j). Амплитуды и фазы являются в общем случае слу-
случайными функциями времени. В дальнейшем будем полагать,
что вещественные амплитуды (но не фазы) основного излуче-
излучения постоянны во времени. Такое предположение связано с тем,
что именно фазовые^ а не амплитудные флуктуации основного
3.5
ГВГ МНОГОЧАСТОТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ
195
2N-l = 3
-^
®21 ®22 ®23
If
\ I
\ 1
\ 1
\ 1
\ 1
\
\
\
V
/\
/
/
/
/
\
\
\
\
/
\ / I /
\ / , /
V ' /
/\ ' /
/ \ 1 /
/ \ 1 /
ж
«21
22
ш23
®24
®25
_
~ ll
= 2(Й12
_____
~®12 "*
= 2ш,з
Ю12
= ©H
"Ю13
+ ю13
©21 ®22
N = 4
©2i=2coii
®22=®11+»12
®23 = 2®12 =®11 +Ю13
ш25 = 2ю1з =
®26 =®13 +@
ш27 = 2ш14
4
©12 +©14
14
Рис. 3.24
196 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
излучения оказывают сильное влияние на интенсивность второй
гармоники и ее флуктуации.
Укороченные уравнения для комплексных амплитуд будем
рассматривать в приближении заданного поля основного излу™
чения. Предположим, что дисперсией среды можно пренебречь
и что условие Ak = 0 выполняется для всех спектральных ком-
компонентов. В этом случае вместо второго уравнения C.4.12) бу-
будем иметь следующую систему из 2N ~~ 1 уравнений [1]:
дА2п - 1 дА2п • ( л2 t - \^ V^ а л
п = 1, 2,...,2JV-1. C.5.3)
Здесь А2п — комплексная амплитуда n-й спектральной со™
ставляющей второй гармоники; т = (п + 1)/2; ?п =
= [(^1)те+1 + l]/2 (?n = 0 для четных п, ?п = 1 для нечетных
п). Целочисленные индексы j ж к удовлетворяют условиям:
j + fc = n + l, jV*5 l^j^iV, l^fc^JV. C.5.4)
Первый член в скобках в C.5.3) связан с удвоением частоты
(п + 1)/2-й моды основного излучения (если, разумеется, п —
нечетное), тогда как двойная сумма связана со сложением ча-
частот j-R и k-R мод.
Если, например, N = 3, то система C.5.3) принимает с уче-
учетом C.5.4) вид
dz и dt
ЭА22 ,
+
dt
| 1 сЬ4.2з • ( л2 \ о л л \ (г> к к\
и ^Г = ~га2^12 + 2ЛцЛ1з), C.5.5)
дА24
дА25
Легко видеть соответствие мезсду C.5.5) и рис. 3.24.
Перейдем от переменной t к локальному времени /i = t — z/u
(см. § 3.4). Поскольку дисперсией среды пренебрегаем, примем
и = 0. В этом случае вместо C.5.3) получаем систему уравнений:
Е Е
n = 1, 2,...,2JV-1. C.5.6)
Интегрируя C.5.6) по длине кристалла от входа до г и учи-
учитывая, что на входе кристалла вторая гармоника отсутствует,
3.5 ГВГ МНОГОЧАСТОТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ 197
находим комплексную амплитуду n-й частотной составляющей
второй гармоники:
А2п (z, ц) = -i(r2z A\m Y^
L j
n = 1, 2,...,2JV-1. C.5.7)
Интенсивность второй гармоники. Используя C.5.7), по™
лучаем следующее выражение для интенсивности n-й частотной
составляющей второй гармоники:
= А2пА*2п = (a2zJ \U2lmAfm + ^m E E A*UA
fm E E ^i* Wfe Е ^-^) (Е Е
Ik
C.5.8)
В дальнейшем будем учитывать, что
Е Е ^у^*) (Е Е AbA\)j = 2Е Е
Е Е ^у^*) (Е Е AbA\)j 2Е Е
+ Е Е Е Е (^Mi^Hi9 +
Индексы р и q имеют тот же смысл, что и индексы j и к; они
удовлетворяют условиям C.5.4).
Перейдем от комплексных амплитуд А к вещественным ам™
плитудам а. При этом
А21тАЦ = а41т, C.5.10)
AljAlk + ^-l
E E
+ exp [-г B<pim - (fij - (fik)}} =
= 2a\m Y E aiia^ cos BiPim ^ 4>\i ^ 4>ik) i C.5.11)
А1зА1кА\3А\к = E E (ay«iibJ . C-5.12)
E E E E (^i^i^iHi. + А^А\кА1рА1ч) =
= 2 E E E E aijaikaiPaiq cos ((fij + <p1A. - (fip - (fiq).
C.5.13)
198 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
Собирая результаты C.5.9)—C.5.13), перепишем C.5.8) в виде
hn= {®2zf \0>\т+ 2а1т Y1 /С aljaM cos B(flm^ <plj ~ <plk)
V
+ 2
C.5.14)
Чтобы получить полную интенсивность второй гармоники, надо
просуммировать C.5.14) по п:
Ьп- C-5-15)
71 = 1
Представим квадратные скобки в C.5.14) в виде суммы Фте +
Фте, где
Ф. = «LC. + 2 ? J] (ayai*J , C.5.16)
cos
COS (ipij + (p1A. - </?ip - (fig) .
C.5.17)
Подчеркнем, что Фте не зависит от фаз продольных мод, тогда
как Фп зависит.
Применяя C.5.4) к парам индексов j, к и р, д, нетрудно
прийти к заключению, что
Фп = 0 при п = 1, 2, 2JV-2, 2JV-1. C.5.18)
В свою очередь, из C.5.18) следует, что зависимость интен™
сивности второй гармоники от фаз продольных мод наблюдает-
наблюдается, когда число мод не меньше трех (N ^ 3).
Используя C.5.16) и C.5.17), выпишем выражения для Фте и
Фп в случаях, когда N = 2, 3, 4.
При N = 2 имеем
Фх = ali, *2 = 4 (ai2auJ , Ф3 = af2; C.5.19а)
фх = ф2 = ф3 = 0. C.5.196)
3.5 ГВГ МНОГОЧАСТОТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ 199
При N = 3 получаем
Ъг = а\ъ ^=^Ыап)\ фз^^+4(апа13)^520а)
t1 = #2 = #t=$5 = 0' ч C.5.206)
Фз = 4af2antti3 cos f"
При Ж = 4 получаем
Ф2 = 4 (ai2anJ , Ф3 = а\2 + 4
fb 2 = 4 (ai2an) , Ф3 \2
Ф4 = 4 (аиаиJ + 4 (ацамJ , C.5.21а)
Ф5 = а\ъ + 4 (ai2ai4J , Ф6 = 4 (ai3«i4J , Ф7 = «к
Фх = Ф2 = Ф6 = Ф7 = О,
ф3 = 4af2anai3 cos B(p12 -
ф5 = 4af3tti2tti4 cos B )
ф4 = 8ai2aiiai4ai3 cos (<pi2 + 9913 - <рц - (pu).
Полезно сопоставить результаты C.5.19)—C.5.21) с соответ™
ствующими ситуациями, представленными на рис. 3.24.
Несинхронизованные моды. Напомним, что веществен-
вещественные амплитуды мод основного излучения предполагаются посто™
янными во времени, тогда как фазы мод являются случайными
функциями времени. Экспериментально измеряемая интенсив-
интенсивность второй гармоники есть интенсивность, усредненная по
промежутку времени, равному постоянной времени детектора.
В данном случае несинхронизованных продольных мод указан™
ное усреднение обращает в нуль фазовые косинусы:
(cos B(fim - (fi3 - (fik)) =0,
(COS (ipij + (pik - (pip - (piq)) = 0.
Таким образом, для несинхронизованных мод в выражении
C.5.14) сохраняется только фазонезависимая часть Фп:
(ayax*J]. C.5.23)
Предположим для простоты, что вещественные амплитуды мод
основного излучения не только постоянны, но и одинаковы для
всех мод. Будем обозначать их через а\. Производя суммирова™
ние C.5.23) по п от 1 до 2N — 1 и учитывая при этом C.5.4),
200 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
- 1)] = (a2zf 4 BiV2^ N) .
C.5.24)
2N-1 2N-1
? 4 \ Y, 2 E E («ii«ifcJ ^ 2iV (iV -
получаем
2N-1
fHC_ \^
i2 - 2^
71 = 1
Заметим,
в данном
I™ = (а2
что
случае
zfa\ [1
Нетрудно убедиться, что при N = 2, 3, 4 выражение C.5.24)
дает результаты, согласующиеся с результатами, получаемыми
соответственно из C.5.19а), C.5.20а), C.5.21а).
Вводя интенсивность основного излучения 1\ = Жа|, пере-
перепишем C.5.24) в виде
C.5.25)
Для одночастотного излучения (N =1) получаем
J2(l) = (a2z/iJ. C.5.26)
Таким образом,
=2-1. C.5.27)
Мо^кно видеть, что при использовании многочастотного лазера
с несинхронизованными модами эффективность второй гармо™
пики возрастает практически в два раза по сравнению с одно-
частотным излучением 1).
Увеличение эффективности преобразования при переходе от
одночастотного основного излучения к многочастотному пояс-
поясним при помощи рис. 3.25. На рисунке сопоставляются зависи™
мости напряженности поля основного излучения от времени для
одной стабилизированной моды (прямая 1), для большого числа
синхронизованных мод (кривая i?), для большого числа мод со
случайными фазами, т.е. несинхронизованных мод (кривая 8).
Синхронизованные моды дают регулярную последовательность
световых импульсов, разделенных промежутком времени Т =
= 2L/v (L — длина резонатора лазера, v — скорость света вну-
внутри резонатора). Зависимость Е\ (t) для несинхронизованных
мод имеет вид повторяющегося с периодом Т набора случайных
«всплесков». Поскольку поле второй гармоники пропорциональ™
но Ef (а не ?а), то возрастание второй гармоники в пиках этой
«шумовой картины» оказывается достаточно сильным, так что в
Анализ этого эффекта впервые проведен в [39].
3.5
ГВГ МНОГОЧАСТОТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ
201
целом наблюдается увеличение эффективности преобразования
по сравнению со случаем одной стабилизированной моды. Судя
по рисунку, еще большего увеличения эффективности генерации
второй гармоники следует ожидать для синхронизованных мод.
Рис. 3.25
Замечания о флуктуацммх интенсивности второй гар-
гармоники. Положительный эффект увеличения интенсивности
второй гармоники при использовании многочастотного лазерно-
лазерного излучения сопровождается (в отсутствие синхронизации мод)
отрицательным эффектом возрастания флуктуации интенсивно-
интенсивности второй гармоники [1]. Подчеркнем, что флуктуации интен-
интенсивности второй гармоники связаны главным образом с фазовы-
фазовыми (а не амплитудными) флуктуациями основного излучения.
Они наблюдаются, в частности, и при стабилизированных ам-
плитудах лазерных мод.
Флуктуации интенсивности 1^ наглядно проявляются при ге-
генерации второй гармоники от лазеров, работающих в свобод-
свободном пичковом режиме. Сопоставление интенсивности отдельных
пичков основного излучения и второй гармоники обнаружива-
обнаруживает отсутствие их взаимной корреляции или весьма слабую кор-
корреляцию. Иными словами, слабому пичку основного излучения
может соответствовать достаточно интенсивный пичок второй
гармоники — и наоборот (так называемые «избыточные» флук-
флуктуации). Это нетрудно понять, если учесть, что в каждом пичке
лазерного излучения присутствует набор продольных мод, фазы
которых флуктуируют от одного пичка к другому. В отдельных
пичках комбинация фаз мод может привести к сложению ампли-
202
ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
ГЛ. III
туд мод и в результате к резкому увеличению интенсивности со™
ответствующих пичков второй гармоники. В других пичках фа™
зовые соотношения между модами могут приводить, напротив,
к уменьшению интенсивности соответствующих пичков второй
гармоники.
На рис. 3.26 хорошо виден отмеченный эффект. Здесь: а —
пички основного излучения, б— пички второй гармоники. Лазер
I
I
t 0
Рис. 3.26
генерирует в режиме регулярных пульсаций постоянной интен-
сивности. Видно фактически полное отсутствие взаимной корре-
корреляции по амплитуде пичков лазерного излучения и второй тар™
моники. Наблюдаемые флуктуации пичков второй гармоники
являются прямым следствием флуктуации фаз мод основного
излучения.
Чтобы получить заметный выигрыш в эффективности пре-
преобразования и в то же время устранить отмеченные выше «из-
«избыточные» флуктуации интенсивности второй гармоники, надо
использовать лазеры с синхронизованными модами.
Синхронизованные моды. Условие эквидистантности ча-
частот основного излучения (условие C.5.1)) является необходи-
необходимым, но не достаточным условием синхронизации мод. Для син-
синхронизации требуется, чтобы были эквидистантны также и фа-
фазы мод:
<Рц = <Рп + U - 1) А^ C.5.28)
(здесь А(р — фазовый интервал для двух соседних мод).
Эффект синхронизации может наблюдаться при наличии не
менее трех мод (N ^ 3). При N = 3 синхронизация мод наблю-
наблюдается, если в соответствии с C.5.28) 2(f\2 = (fn + (fu- В этом
случае
cosB?>i2-?>ii-?>i3) = l C.5.29)
и из C.5.206) следует, что
ф3 = 4af2anai3.
При N = 4 синхронизация мод означает в соответствии с
3.5 ГВГ МНОГОЧАСТОТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ 208
C.5.28), что
и, следовательно,
cos B<pi2 - <pn - <pi3) = cos B<pi3 -
= cos (y?i2 + <pi3 - ?>n - ^14) = 1. C.5.30)
Из C.5.216) и C.5.30) следует, что
ф3 = Aal2anai3, Ф4 = 8anai2ai3«i4, Ф5 = 4af3«i2«i4.
Итак, в общем случае при синхронизации мод следует положить
в C.5.14)
COS B(pim - (fij - (pik) = 1, COS (ipij + (pik - (pip - (piq) = 1.
C.5.31)
В результате выражение C.5.14) преобразуется к виду
/ Зфк
2 Е Е Е Е aljalk®lp®lq • C.5.32)
]фкфрфЧ J
Суммируя C.5.32) по п от 1 до 2Ж^ 1 с учетом C.5.4), полу-
получаем при одинаковых вещественных амплитудах мод лазерного
излучения следующий результат для полной интенсивности вто™
рой гармоники в случае синхронизации мод:
± C.5.33)
О
или, вводя I\ = Na\,
/«их {N) = 1 (азг/1J BiV + 1) . C.5.34)
Нетрудно убедиться, что при N = 3 и N = 4 выражение
C.5.33) дает результаты, согласующиеся с результатами, полу™
чаемыми соответственно из C.5.206) и C.5.216). При N = 2,
как легко видеть, /|инх = /fc; в этом случае не имеет смысла
говорить о синхронизации мод.
Из C.5.25) и C.5.34) следует, что
***"("> = 2i?2 + 1 . C.5.35)
^2С(^) 3BiV-l)
Учитывая, что JV не мо^кет быть меньше трех, а на практике
оказывается заметно больше, перепишем C.5.35) в более про-
простом виде
^ ^«^. C.5.35а)
I2HC(iV) 3 V '
204 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
Для непрерывного лазера на AHF:Nd3+ число синхронизо™
ванных мод составляет обычно 20—50. Следовательно, выигрыш
по эффективности генерации второй гармоники оказывается по-
порядка 10 по сравнению со случаем несинхронизованных мод.
О частично синхронизованных модах 1). На практике часто прихо-
приходится иметь дело с лазерами, моды которых синхронизованы не полностью
(частично). При этом могут быть рассмотрены три существенно разных
случая неполной синхронизации [1]:
— моды синхронизованы группами или, иначе говоря, доменами (кла-
(кластерами); при этом домены мод взаимно не синхронизованы;
— группа мод в центре линии генерации синхронизована, а на краях
линии моды не синхронизованы;
— фазы мод флуктуируют на интервале, меньшем 2тг.
Заметим, что неполная синхронизация мод твердотельных лазеров ча™
сто является спонтанной (эффект самосинхронизации мод). Иначе говоря,
она не обусловлена каким-либо внешним модулирующим (синхронизирую-
(синхронизирующим) фактором.
Эффективность генерации второй гармоники при неполной синхрони-
синхронизации мод, естественно, возрастает по сравнению со случаем несинхронизо-
несинхронизованных мод. Однако при этом может увеличиться нестабильность второй
гармоники вследствие флуктуации числа доменов и их ширины. Основное
влияние на эффективность преобразования оказывают фазовые соотноше-
соотношения между несущими частотами каждого домена, а также число доменов в
спектре лазерного излучения.
Полный расчет процесса ГВГ лазерного излучения с частично синхро-
синхронизованными модами может быть проведен только с помощью компьютер-
компьютерного моделирования. То же самое имеет место и для нелинейного режима
ГВГ излучения лазера с полностью синхронизованными или статистически-
несинхронизованными модами.
Генерация второй гармоники многомодового лазер-
лазерного излучения с амплитудной и произвольной модуля-
циями поля в поперечном сечении. Из предыдущего ма™
териала уже ясно, что наибольшее влияние на эффективность
генерации второй гармоники оказывают фазовые искажения
основной волны в поперечном сечении (см., например, [52]). Ам-
Амплитудные искажения при этом сказываются значительно сла-
слабее. Однако результаты работы [52] основывались на численных
расчетах, которые недостаточно наглядны. В настоящем разделе
приведенное выше утверждение будет доказано аналитически и
получены конкретные численные оценки, правда, в приближе-
приближении заданного поля основной волны [58].
Будем использовать следующую модель многомодового
основного излучения — бесконечно широкая статистически од™
нородная волна со случайными искажениями поля в поперечном
сечении. При этом в одном случае искажения носят произвола
ный характер, а в другом искажения носят только амплитудный
1) Генерация второй гармоники лазерным излучением с частично синхро-
синхронизованными модами рассматривается в [40, 41].
3.5 ГВГ МНОГОЧАСТОТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ 205
характер. В обоих случаях угловой спектр основного излучения
будем считать одинаковым и гауссовым по форме. В расчетах
эффективности ГВГ будем учитывать только апертурные эф-
эффекты при взаимодействии типа оое. Все статистические усред-
нения являются усреднениями по ансамблю.
При чисто амплитудной модуляции поля (в дальнейшем для
краткости будем называть это вариантом а) имеем
Аг =А{, C.5.36)
где А\ — комплексная амплитуда электрического поля основной
волны.
При произвольной модуляции поля (в дальнейшем — вари™
ант 6):
If = 0. C.5.37)
В обоих вариантах поле в поперечном сечении можно разло-
разложить в интеграл Фурье (пока для краткости записи мы раскла-
раскладываем поле только по координате ж, при получении конечного
результата мы учтем также разложение по координате у):
Ai(x) = f Si(klx) exp (iklxx) dklx. C.5.38)
Для статистически однородного поля выполняется соотноше-
соотношение [53]:
{Si(klx)St(k[x)) = G^klxM{klx - к[х). C.5.39)
Поскольку форму углового спектра мы считаем гауссовой,
то:
$(^) C.5.40)
В дальнейшем мы также будем полагать, что случайная ве-
величина Si распределена по нормальному закону, поэтому для
нее выполняется соотношение [53]:
= <ЗД> (SW) + (SiS'{) (S[S'{') + (ЗД") (S[S'{). C.5.41)
Из формул C.5.36) и C.5.37) вытекают следующие соотно-
соотношения для спектральных амплитуд:
Si(k\x) = Sl(—kix) — для варианта а, C.5.42)
(Si(kix)Si(k[x)) = 0 — для варианта Ь. C.5.43)
Для спектральной амплитуды второй гармоники в условиях
206
ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
ГЛ. III
синхронизма имеем [52]
J
sine
J
- klx) ехр (-i
(Л2Я; -
С) dklx
C.5.44)
где z — длина нелинейного кристалла; C2 — угол анизотропии.
Для сокращения записи в формуле C.5.44) опущены посто-
постоянные множители, поскольку нас в дальнейшем будет интере-
интересовать только отношение эффективностей ГВГ для вариантов а
и Ь.
Воспользовавшись далее формулами C.5.38)-C.5.43) полу™
чим для углового спектра второй гармоники (для обоих вариан-
вариантов):
(S2(k2x) S*2(k'2x)) = G2(k2x) S(k2x - k'2x).
C.5.45)
Формула C.5.45) отражает очевидный результат — поле второй
гармоники является статистически однородным в поперечном
сечении, если таковым являлось поле основной волны.
При этом для варианта а получаем
G2(k2x) -
/32к2х2
~ z • ехр
а для варианта Ь:
G2{k2x) ~ %2 ' ехр
C.5.46)
2Afe2
C.5.47)
При получении C.5.46) и C.5.47) помимо указанных выше
формул мы воспользовались приближенным соотношением [54]:
sine (x) « ехр
(-)¦
C.5.4*
Поскольку в принятой нами модели поля не ограничены в
поперечном сечении, то эффективность ГВГ определяется как
отношение интенсивностей / полей на второй гармонике и основ-
основной частоте. Поскольку I ~ (А-А*), то из формул C.5.38) и
C.5.39) следует [53]:
fG(kx)dkx.
C.5.49)
3.6 ЗАМЕЧАНИЯ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА 207
Формула C.5.49), очевидно, относится к полям как на основ™
ной частоте, так и на второй гармонике. Используя C.5.36),
C.5.37) и C.5.39) и учитывая опущенную выше для краткости
зависимость полей от координаты у, получим следующие выра™
жения для эффективности ГВГ для вариантов а ж Ь соответ-
соответственно:
C.5.50)
C-5.51)
Окончательно имеем для отношения указанных эффектив-
ностей:
* =1 + 1 [l + (/№I ¦ C.5.52)
В рамках принятых приближений формула C.5.52) являет-
является точной, поскольку по ходу вычислений в C.5.50) и C.5.51)
опускались одинаковые постоянные множители.
Согласно C.5.52) даже в условиях Э0°-ного синхронизма эф-
эффективность ГВГ в варианте а выше эффективности в вариан-
варианте b (в 1,5 раза), а в условиях ярко выраженного критичного
синхронизма (^zAk ^> тг) эффективность ГВГ при амплитуд™
ной модуляции поля может быть сколь угодно большой по срав-
сравнению с эффективностью при произвольной модуляции.
Отметим, что в обоих рассмотренных вариантах ширина и форма угло-
углового спектра считались одинаковыми, что ставит под некоторое сомнение
корректность расчетов эффективности ГВГ в расходящемся пучке в гео™
метрооптическом приближении (так называемый метод лучевых трубок,
см. [55, 56], а также § 2.5). Впрочем, в работе [57] в свое время было по-
показано, что этот метод лучевых трубок полностью корректен только при
условии преобладания фазовой модуляции основного излучения.
3.6. Некоторые замечания общего характера
В предыдущих параграфах были последовательно рассмот-
рассмотрены различные условия, в которых происходит процесс гене-
генерации второй гармоники, и учтены различные факторы, влия-
влияющие на эффективность этого процесса. Генерация второй
гармоники рассматривалась для плоских волн, расходящихся
световых пучков, световых импульсов (квазистатическое при™
ближение), пространственно модулированных световых пучков
конечной апертуры, сфокусированных гауссовых пучков, сверх-
сверхкоротких световых импульсов (нестационарный режим), мно™
гочастотного излучения. Были по отдельности учтены такие
208 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
факторы, как неоднородность нелинейной среды, тепловые са™
мовоздействия, нелинейное поглощение, фотопреломление, ге-
генерация свободных носителей.
Такое последовательное рассмотрение различных аспектов
генерации второй гармоники обусловлено не только методиче-
методическими соображениями, но и серьезными математическими труд-
трудностями, возникающими при попытках создания адекватной
теории генерации второй гармоники с одновременным учетом
всех перечисленных выше факторов. Процесс генерации второй
гармоники в реальных ситуациях оказывается весьма сложным,
многогранным процессом, характеризующимся большим числом
сопутствующих явлений. Разработанные к настоящему времени
методы расчета не в состоянии охватить всей совокупности яв-
явлений, из которых слагается реальная картина генерации второй
гармоники.
Полнам система укороченных уравнений длм генера-
генерации второй гармоники. Тем не менее, используя материал
предыдущих параграфов, нетрудно сконструировать достаточно
полную систему укороченных дифференциальных уравнений,
описывающую процесс генерации второй гармоники. Обсудим
эту систему уравнений, ограничиваясь для простоты случаем
оое-взаимодействия.
Исходным является волновое уравнение (см. A.1.16))
/ л , 4тг # п / »\ 4тг д2 -п. / ,ч
C.6.1)
дополненное уравнениями для компонент векторов линейной
поляризованности Рлин и квадратичной поляризованности Р
(см. A.2.1) и A.2.4)):
кв
^лин г (Г, *) = JZ / <*ik (г) Ек (г, t - Т) dT, C.6.2)
k=l О
р . (т f\ _
1 KB H1 5 6/
3 3 со сю
= Е Е I I Xikj (г, г") Ек (г, t - т') Е3 (г, t-r'- r") dr'dr".
fc=iJ=i о о C_б3)
Заметим, что в C.6.2) и C.6.3) учитывается временная диспер™
сия, но не учитывается пространственная дисперсия диэлектри-
диэлектрических восприимчивостей а и х-
Представим поле излучения в виде (ср. с B.2.2))
2
Е (Г' *) = g Z^ \еп^п (г, t) <
п=1
3.6 ЗАМЕЧАНИЯ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА 209
т.е. в виде суперпозиции волн основной частоты (п = 1) и вто-
рой гармоники (п = 2). Используя C.6.1)-C.6.4) и пренебрегая
второй производной по z, можно получить следующую систе-
систему укороченных уравнений для комплексных амплитуд (ср. с
B.2.22), B.7.4), B.7.39), 3.4.11)):
Mi Ai = -iaiAf A2 exp (-iAkz),
M2A2 = —ia2A\ exp (iAkz),
где
C.6.6)
Здесь, напоминаем, crn и Sn — коэффициенты нелинейной связи
(см. § 2.2) и линейного поглощения (см. § 2.2); ип — группо-
групповые скорости; /?2 — угол анизотропии, /3\ = 0 (см. § 2.7); gn =
2
I1 — коэффициенты дисперсионного расплыва™
2 V дш2 / ш=шп
ния световых импульсов. Член с д/дх учитывает анизотропию
нелинейной среды и появляющийся в связи с этим снос энергии
необыкновенной волны (см. § 2.7). Члены со вторыми производ-
производными по поперечным пространственным координатам учитыва-
учитывают дифракционные эффекты, принципиально существенные, в
частности, при рассмотрении сфокусированных гауссовых пуч-
пучков (см. § 2.9). Член с d/dt связан с эффектом группового запаз-
запаздывания импульсов, а член с д2/dt2 — с дисперсионным расплы-
ванием импульсов (см. § 2.6 и 3.4). Член Qn (А), описывающий
нелинейное (двухфотонное) поглощение, имеет вид
Qi = /Зп Si + /3i2S2, Q2 = P22S2 + 02i Si, C.6.7)
где параметры /3 означают коэффициенты нелинейного погло-
поглощения (см. § 3.3), Si52 ~ |Ai,2| — плотности мощности взаимо-
взаимодействующих волн.
Волновая расстройка Ак может быть представлена в виде
(см. § 3.2 и 3.3)
Ак = АА:ЛИН + AfcTX + Акфп + ДА;г.св.н, C.6.8)
где Аклшш — линейная расстройка, AfcT.c — расстройка вслед-
вследствие тепловых самовоздействий, А^фп — расстройка, обуслов-
обусловленная фотопреломлением, Afcr.CB.H — расстройка, связанная с
генерацией свободных носителей. Соотношение C.6.8) хорошо
демонстрирует сложный кооперативный характер процесса ге-
генерации второй гармоники в реальных ситуациях. Зависимость
различных членов в C.6.8) от амплитуд полей различна. Вели-
Величина Ак существенно изменяется с расстоянием z в нелинейном
210 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
кристалле, а выходная интенсивность второй гармоники в значи-
тельной мере определяется взаимодействием эффектов, отража-
отражаемых разными членами в C.6.8). Вследствие этого оптимизация
коэффициента преобразования по параметрам процесса генера-
генерации гармоники оказывается весьма сложной задачей, которая
до сих пор не решена в общем виде. В настоящее время оптими-
оптимизация данного процесса выполнена лишь в отдельных частных
случаях, многие из которых рассмотрены в предыдущих пара-
параграфах.
Практически весьма важен тот факт, что уравнения C.6.5)-
C.6.8) совместно с уравнением теплопроводности, учитываю-
учитывающим как линейное, так и нелинейное поглощение (см. C.3.5)),
позволяют решить прямую задачу — найти интенсивность,
пространственно-временное и спектральное распределения вто-
второй гармоники на выходе кристалла. Обратная же задача, т.е.
определение оптимальных параметров лазерного излучения и
нелинейного кристалла по заданным выходным характеристи-
характеристикам второй гармоники, оказывается значительно более сложной.
Пространственно-временнам аналогия. Прежде всего
отметим, что в теории колебаний известна аналогия между про-
процессами изменения амплитуд и фаз волн, распространяющихся в
распределенных нелинейных системах, и процессами в колеба-
колебательных системах с сосредоточенными параметрами [42]. Так,
краевой задаче стационарного процесса генерации второй гар-
гармоники в рамках приближения плоских волн аналогична вре-
временная задача ударного возбуждения двух колебательных кон-
контуров, соединенных нелинейной емкостью, причем один контур
настроен на частоту cj, а другой — на частоту 2ш. Вместе с
тем, введение в процесс генерации второй гармоники временной
координаты (в нестационарных случаях) делает эту аналогию
неприемлемой, поскольку в колебательных системах с сосредо-
сосредоточенными параметрами нет аналога пространственной коорди-
координаты.
Остановимся более подробно на другом виде пространствен-
пространственно-временной аналогии. Речь пойдет об аналогии, проявляю-
проявляющейся «внутри» процесса генерации второй гармоники и заклю-
заключающейся во взаимной эквивалентности дифференциальных
уравнений, описывающих взаимодействия волн, модулирован-
модулированных либо только во времени, либо только по поперечным про-
пространственным координатам [38].
Оператор Мп (см. C.6.6)) в случае, когда волны модулиро-
модулированы только во времени, принимает вид
Мп = |-+-|+гяп^, C.6.9)
oz un at at2
а в случае, когда имеет место только пространственная моду-
3.6 ЗАМЕЧАНИЯ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА 211
ляция,
тСж д i а ® I ^ ( ® i ^ I so а -\п\
п dz Ипдх 2кп \дх2 ду2 ) К J
Уже из вида операторов C.6.9) и C.6.10) можно заключить, что
поведение светового импульса должно быть аналогично поведе-
поведению двумерного светового пучка с аксиальной симметрией. Для
большей наглядности выпишем укороченные уравнения для све-
световых импульсов (точнее говоря, для плоских волн, модулиро-
модулированных только во времени). Используя оператор C.6.9), нетруд-
нетрудно преобразовать систему уравнений C.6.5) к виду
^ C4 (-iAkz),
^ + igi C
dz ф
dA2 , . d2A2
- v
, . d2A2 . a2 ГА1 Л
+ ig2 —— = -га2А( ехр (гAkz).
Of!2
v + ig2
OZ 0/i Of!2
где, напоминаем, v = ti^1 — г^, /i = t — z/щ (см. § 3.4). Далее,
используя оператор C.6.10), получаем из C.6.5) систему укоро-
укороченных уравнений для световых пучков^ т.е. для волн, модули-
модулированных только по поперечным пространственным координа-
координатам:
/Ai , д2Аг
C.6Л2)
—- + /3 —- + — ( + ) = —ia2A^ ехр (гAkz).
dz dx 2^2 \ dx2 dy2 J
Математическая эквивалентность систем уравнений C.6.11) и
C.6.12) совершенно очевидна. При этом дисперсионное расплы-
вание световых импульсов аналогично дифракционному расши-
расширению световых пучков, а групповое запаздывание импульсов
аналогично боковому сносу энергии ограниченных по аперту-
апертуре пучков. Расстройка групповых скоростей v аналогична углу
анизотропии /5. Как известно, эффектами группового запазды-
запаздывания и дисперсионного расплывания импульсов молено прене-
пренебрегать при выполнении неравенств (см. § 3.4)
1<LV, I < Ьдис, C.6.13)
где Lv = т/и — квазистатическая длина взаимодействия, Ьдис =
= т21g — длина дисперсионного расплывания, I — длина нели-
нелинейного кристалла. Аналогичным образом можно пренебрегать
эффектами бокового сноса и дифракционного расширения пуч-
пучков при выполнении неравенств (см. § 2.7)
KLP, К ?диф, C.6.14)
212 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
где Lp = do //3 — апертурная длина, Ьдиф = kd^ — длина ди-
фракционного расширения. Легко видеть, что квазистатическая
длина взаимодействия Lv, на которой импульсы длительностью
т (импульсы основного излучения и второй гармоники) полно-
полностью выходят во времени друг из друга, аналогична апертурной
длине Lp, на которой пучки с апертурой do полностью выходят
друг из друга в пространстве. Соответственно прослеживается
аналогия между длиной дисперсионного расплывания импуль-
импульсов Ьдис и длиной дифракционного расширения пучков Ьдиф.
Как замечено в [1], рассмотренная аналогия могла бы быть
более полной, если бы наряду с временной дисперсией диэлек-
диэлектрических восприимчивостей, учитывалась бы также и про-
пространственная дисперсия.
В заключение отметим, что пространственно-временная ана-
аналогия не имеет места:
— при одновременной модуляции волн во времени и по по-
поперечным пространственным координатам; например, при рас-
рассмотрении генерации второй гармоники в гауссовых пучках
основного излучения с синхронизованными продольными мода-
модами;
— в случаях, когда при рассмотрении взаимодействия свето-
световых пучков появляются факторы, не имеющие аналогов в тео-
теории взаимодействия световых импульсов, и наоборот;
— при учете некоторых специальных факторов, влияющих
на эффективность генерации второй гармоники; например, при
учете тепловых самовоздействий.
3.7. Оптические схемы внерезонаторной генерации
второй гармоники
Рассмотрим ряд оптических схем, используемых для внере-
внерезонаторной генерации второй гармоники. Термин внерезонатор-
нам означает, что нелинейный кристалл находится вне резона-
резонатора лазера, применяемого для получения излучения основной
частоты. Именно для такой ситуации и проводилось обсужде-
обсуждение различных аспектов генерации второй гармоники во второй
и третьей главах книги. В четвертой главе будет рассмотрена
внутрирезонаторная генерация второй гармоники.
Классические схемы. На рис. 3.27 представлены три оп-
оптические схемы, которые могут быть названы классическими:
а — простая, б — со сферическим расширителем пучка, в — со
сферической фокусировкой пучка. На рисунке: 1 — лазер; 2 —
нелинейный кристалл; 3 — телескоп, состоящий из рассеиваю-
рассеивающей и собирающей сферических линз; 4 ~ фокусирующая сфе-
сферическая линза; 5 — корректирующая сферическая линза; z' —
направление оптической оси кристалла, вс — угол синхронизма.
3.7
ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ВНЕРЕЗОНАТОРНОЙ ГВГ
218
Схема а применяется в наиболее простых конструкциях пре™
образователен частоты, отличающихся высокой степенью на-
надежности; например, в серийных отечественных генераторах
лабораторного назначения серии ЛТИПЧ, выпускавшихся до
л
V
/
/
Z
Л
V
4
1
А
т
хх_ z
5
Рис. 3.27
1980 г. в СССР [43], в серии излучателей с ГВГ типа ИДТИ и т.п.
Простота и надежность конструкции при использовании такой
схемы обеспечивается за счет того, что максимальная эффек-
214 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
тивность преобразования здесь достигается не всегда. Аналогия™
ная схема применяется весьма часто и в современных лазерах с
преобразованием частоты, особенно при использовании высоко-
высокоэффективных кристаллов типа титанил-фосфат калия (КТР) и
др. (см. [59]).
Схема б со сферическим расширителем пучка применяется
в случаях, когда требуется уменьшить расходимость основного
излучения и тем самым уменьшить влияние волновой расстрой-
расстройки. Хотя при этом снижается плотность мощности излучения,
однако в целом эффективность преобразования может быть уве-
увеличена.
Данная схема применяется также в случаях, когда плотность
мощности излучения лазера превышает порог, соответствующий
лучевой стойкости кристалла.
При использовании относительно маломощных непрерывных
или квазинепрерывных лазеров требуется увеличение плотности
мощности основного излучения в кристалле. В подобных случа-
случаях может быть применена схема в, предназначенная для фокуси-
ровки излучения в нелинейный кристалл. При этом прибегают
к оптимальной фокусировке (см. § 2.9). В таких схемах обыч-
обычно используется 90°-ный синхронизм для исключения эффекта
сноса энергии необыкновенной волны, сильно проявляющегося
при малой апертуре пучка.
Подчеркнем, что как расширение, так и фокусировка пуч-
ка имеют положительную и отрицательную стороны. При рас-
расширении уменьшается расходимость и, следовательно, умень-
уменьшается волновая расстройка для неосевых лучей. Однако при
этом снижается плотность мощности основного излучения. При
фокусировке, напротив, повышается плотность мощности, за-
зато возрастает расходимость. Оптимальное разрешение этого
противоречия (с точки зрения эффективности преобразования)
найдено в схемах с цилиндрическими линзами.
Схемы с цилиндрическими линзами. Эффективность
преобразования во вторую гармонику критична к расходимости
пучка лишь в плоскости синхронизма (иначе говоря, в плоско-
плоскости главного сечения кристалла) и некритична к расходимости
пучка в перпендикулярной плоскости. Иными словами, на ве-
величину волновой расстройки существенно влияет расходимость
пучка, показанная на рис. 3.28 а, и слабо влияет расходимость,
показанная на рис. 3.28 б (это обстоятельство использовалось в
§ 2.5). Именно на этом и основано применение цилиндрических
линз в высокоэффективных схемах генерации второй гармоники
[44]. На рис. 3.29 представлены четыре таких схемы. Здесь: 1 —
лазер, 2 — нелинейный кристалл, S — плоскость синхронизма.
Схема на рис. 3.29 а используется как расширитель пучка.
Она имеет две цилиндрические линзы, образующие которых на-
3.7
ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ВНЕРЕЗОНАТОРНОЙ ГВГ
215
У
Рис. 3.28
правлены вдоль оси у, т.е. перпендикулярно к плоскости сип™
хронизма (см. рисунок). Расширение пучка, а следовательно,
уменьшение расходимости происходит только вдоль оси ж, т.е.
в плоскости синхронизма. В перпендикулярной же плоскости
пучок не расширяется, его
расходимость вдоль у оста-
остается неизменной; это не от™
ражаетея на волновой рас-
расстройке, зато очень важно
с точки зрения сохране-
сохранения относительно высокой
плотности мощности излу-
чения. Таким образом, рас-
расходимость пучка уменьша-
уменьшается в данной схеме только
в той плоскости, в какой
это существенно с точки
зрения уменьшения волно-
волновой расстройки, что позво-
позволяет избежать излишнего
увеличения площади поперечного сечения пучка и, как след-
следствие, ненужного снижения плотности мощности излучения.
Схема на рис. 3.29 б" используется для фокусировки пучка в
нелинейный кристалл. Она имеет собирающую цилиндрическую
линзу, образующая которой ориентирована вдоль оси ж, т.е. па-
параллельно плоскости синхронизма. В результате фокусировки
расходимость пучка увеличивается только в плоскости, перпен-
перпендикулярной к плоскости синхронизма, что несущественно с точ-
точки зрения волновой расстройки. В то же время расходимость
пучка в плоскости синхронизма, сильно влияющая на волновую
расстройку, в данном случае не возрастает.
Для достижения большей эффективности преобразования
желательно, однако, чтобы расходимость в плоскости синхро-
синхронизма не просто не возрастала, но уменьшалась бы1). Поэто-
Поэтому представляет интерес схема, показанная на рис. 3.29 в [45].
Нетрудно видеть, что данная схема есть комбинация двух пре-
предыдущих схем. Она имеет три цилиндрические линзы. Две лин-
линзы (с образующими вдоль оси у) уменьшают расходимость пучка
в плоскости синхронизма, т.е. уменьшают волновую расстройку.
При этом должна, очевидно, уменьшаться плотность мощности
излучения. Однако третья линза (собирающая линза с образую-
образующей вдоль оси х) фокусирует излучение в нелинейный кристалл
за счет несущественного с точки зрения волновой расстройки
1) Это особенно важно при использовании лазеров с относительно высо-
высокой расходимостью.
216
ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
ГЛ. III
увеличения расходимости пучка в плоскости, перпендикулярной
к плоскости синхронизма.
Рис. 3.29
3.7 ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ВНЕРЕЗОНАТОРНОЙ ГВГ 217
На рис. 3.29 г показана схема, эквивалентная схеме на
рис. 3.29 в. Здесь две собирающие цилиндрические линзы со вза-
взаимно перпендикулярными образующими заменены собирающей
сферической линзой [45]. Очевидно, что данная схема является
более простой, нежели схема на рис. 3.29 в.
В схеме, показанной на рис. 3.29 в (или на рис. 3.29 г), дости-
достигается оптимальное с точки зрения эффективности преобра-
преобразования соотношение между плотностью мощности излучения
и его расходимостью. Эта схема позволяет получить коэффи-
коэффициент преобразования 65 % при генерации второй гармоники
в кристаллах группы KDP от неодимового лазера мощностью
20 МВт/см2 и расходимостью 21. В отсутствие формирующей
системы коэффициент преобразования составлял в тех же усло-
условиях всего 6% (см. [45]). В современных лазерах такие схемы
применяются крайне редко, но они представляют поучительный
методический интерес.
Схемы компенсации дисперсии синхронизма. Такие
схемы применяются при генерации второй гармоники излучени-
излучением, характеризующимся очень малой расходимостью и в то же
время относительно высокой немонохроматичностью. Угловая
дисперсия синхронизма, выражающаяся в наличии зависимости
угла синхронизма вс от длины волны излучения Л, компенсиру-
компенсируется в этих схемах за счет угловой дисперсии специально подо-
подобранных дисперсионных элементов.
Прежде чем попасть в нелинейный кристалл, основное (ла™
зерное) излучение взаимодействует с дисперсионным элемен-
элементом, в результате чего коллинеарный (нерасходящийся) немо-
немонохроматический световой пучок превращается в совокупность
монохроматических парциальных лучей, распространяющихся
под разными узлами. Дисперсионный элемент должен быть по™
добран так, чтобы эти углы отвечали углам синхронизма для
соответствующих длин волн. Иными словами, угловая диспер-
дисперсия элемента должна равняться дисперсии угла синхронизма в
нелинейном кристалле. В этом случае каждый из монохромати-
монохроматических парциальных лучей будет распространяться в кристалле
под своим углом синхронизма. В результате эффективность пре-
преобразования может быть существенно повышена.
На рис. 3.30 представлены две схемы с компенсацией диспер-
дисперсии синхронизма: а — с использованием дифракционной решет-
решетки в качестве дисперсионного элемента [46] ,6" — с использовани-
использованием системы призм [47]. Первая схема не нуждается в дополни-
дополнительных пояснениях. Подчеркнем лишь, что угловая дисперсия
решетки dip/dX должна быть равна дисперсии угла синхронизма
в нелинейном кристалле двс/дХ.
218
ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
ГЛ. III
Обратимся ко второй схеме, представленной на рис. 3.30 б.
Здесь: 1 — лазер; 2 — нелинейный кристалл; 3 — восемь диспер-
дисперсионных призм; ^и5- призмы полного внутреннего отраже-
отражения. Пучок от лазера, минуя призму 4 (призмы расположены в
Рис. 3.30
пространстве соответствующим образом), попадает в дисперси-
дисперсионную призменную систему, проходит все восемь призм, отра-
отражается назад в призме 5, снова проходит восемь дисперсионных
призм и, отражаясь от призмы ^, попадает в нелинейный кри-
кристалл (после отражения от призмы 4 излучение уже не попадает
в дисперсионную призменную систему).
Схемы, использующие последовательно расположен-
расположенные нелинейные кристаллы. Известно, что для повыше-
повышения эффективности преобразования желательно увеличивать
длину нелинейного кристалла. Однако увеличение длины кри™
3.7
ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ВНЕРЕЗОНАТОРНОЙ ГВГ
219
сталла может сопровождаться дополнительными явлениями,
действующими в сторону уменьшения эффективности преобра-
преобразования. Так, с увеличением длины кристалла сильнее проявля-
проявляется диафрагменный апертурный эффект (уменьшение эффек-
эффективности преобразования за счет сноса энергии необыкновенной
волны; см. § 2.7), происходит обратная перекачка энергии — от
волны второй гармоники в волну основного излучения (см., на™
пример, рис. 1.6). Чтобы избавиться от подобных дополнитель-
дополнительных явлений, следует не просто увеличивать длину кристалла, а
применять специальные схемы, содержащие несколько (два или
более) последовательно расположенных кристаллов.
На рис. 3.31 а показана схема с двумя нелинейными кристал-
кристаллами; 1 — лазер; 2ш 8— нелинейные кристаллы; z1 — оптическая
а
1
"^^^
I
2\
\
\
3
9 V
Рис. 3.31
ось кристалла. Кристалл 8 соответствует кристаллу 2, поверну-
повернутому на 180° вокруг вертикальной оси; эта ось показана на ри-
рисунке штриховой прямой. В этом случае боковой снос энергии
необыкновенной волны в кристалле 2 «компенсируется» сносом
в кристалле 8.
Схема компенсации сноса может состоять из большого числа
соответствующим образом ориентированных друг относительно
друга кристаллов (рис. 3.31 б). Длина каждого кристалла долж-
должна быть меньше апертурной длины Lp. В этом случае эффект
сноса, по сути дела, не успевает проявиться на длине отдель-
отдельного кристалла. Накопление же этого эффекта на цепочке кри-
кристаллов невозможно, поскольку четные кристаллы играют роль
«компенсаторов» этого эффекта по отношению к нечетным кри-
кристаллам.
220
ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
ГЛ. III
Для подавления конкурирующего процесса обратной пере™
качки энергии из волны второй гармоники в волну основно-
основного излучения могут быть использованы схемы, представленные
на рис. 3.32. Здесь: 1 — лазер; дающий плоскополяризован-
ное излучение на частоте ш; 2 и 8 — нелинейные кристаллы;
4 — призма Глана; 5 — отражающее зеркало; 6 — специаль-
специальный вращатель плоскости поляризации. Стрелки показывают,
-Ф-
-Ф-
2т
ф
Рис. 3.32
что соответствующая волна поляризована в плоскости рисунка,
а кружочки с крестом — перпендикулярно к плоскости рисун™
ка (заметим, что плоскость рисунка совпадает в данном слу-
случае с плоскостью синхронизма). Предполагается, что в каждом
кристалле обратная перекачка энергии во вторую гармонику не
успевает начаться. Напомним, что здесь везде рассматривается
случай оое-взаимодействия.
В схеме на рис. 3.32 а вторая гармоника, возникшая в кри-
кристалле 2, выводится из процесса взаимодействия (за счет выво-
вывода из оптической схемы), так что генерация второй гармоники в
кристалле 8 начинается заново. Указанный вывод второй гармо-
гармоники осуществляет призма Глана 4] он основан на том, что по-
поляризации волн основной частоты и второй гармоники взаимно
перпендикулярны. Число каскадов (число нелинейных кристал-
кристаллов) в подобной схеме может быть большим.
Схема на рис. 3.32 б аналогична схеме на рис. 3.32 а. Раз-
Различие состоит в том, что здесь вторая гармоника, возникшая
3.7
ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ВНЕРЕЗОНАТОРНОЙ ГВГ
221
в кристалле 2, выводится из процесса взаимодействия не за
счет вывода ее из схемы, а за счет поворота ее плоскости
поляризации на 90°. Этот поворот осуществляет вращатель 6,
характеризующийся дисперсией поворота плоскости поляриза-
поляризации. Подбором длины вращателя добиваются, чтобы на его вы-
выходе поляризация второй гармоники совпадала с поляризацией
основного излучения. Очевидно, что вторая гармоника, поляри-
поляризованная в плоскости синхронизма, пройдет через кристалл 5,
не участвуя во взаимодействии, так что генерация второй гар-
гармоники в кристалле 8 начинается заново.
Подавление процесса обратной перекачки энергии во вторую гармонику
может быть достигнуто также за счет соответствующей взаимной ориента-
ориентации двух нелинейных кристаллов. Этот вопрос исследовался в [48], где были
рассмотрены четыре варианта взаимной ориентации кристаллов, представ-
ленные на рис. 3.33 а. Путем численного решения на ЭВМ уравнений B.4.1)
были получены кривые синхронизма 1ч (Ак) для указанных вариантов. Эти
кривые показаны на рис. 3.33 б; штриховой кривой для сравнения показана
зависимость /2 от Ак для одного кристалла. Видно, что вариант III наибо™
лее выгоден для эффективного удвоения частоты. В этом случае процесс
обратной перекачки энергии во вторую гармонику существенно подавлен во
втором кристалле в широком диапазоне значений Ак. Именно этот вари-
вариант последовательного расположения кристаллов реализуется в так назы-
называемых кристаллах с регулярной доменной структурой (РДС-кристаллах,
см. гл. VII).
II
III
IV
Рис. 3.33а
222
ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
ГЛ. III
-1
да, см;
Рис. 3.336
Многопроходовые схемы. При использовании больших
однородных слабонелинейных кристаллов (например, кристал-
кристаллов KDP) можно эффективно удлинить нелинейный кристалл,
применив многопроходовую схему. Такая схема показана на
рис. 3.34 а; 1 — лазер; 2 — нелинейный кристалл; 8 — уголковые
отражатели; 4 — выходное излучение. Показанная на рисунке
схема является семипроходовой: за счет многократных отраже-
отражений излучение семь раз проходит через кристалл.
Модификацией многопроходовой схемы является схема гене™
рации второй гармоники в пассивном резонаторе, показанная
на рис. 3.34 6. Здесь: 1 — лазер; 2 — нелинейный кристалл; 3 —
левое зеркало пассивного резонатора (оно прозрачно для излу-
излучения основной частоты и непрозрачно для второй гармоники);
4 — правое зеркало (оно прозрачно для основного излучения и
имеет оптимальный коэффициент отражения на частоте второй
гармоники). Расчет такой схемы проводился в [49].
Схема генерации четвертой гармоники. Четвертая гар-
гармоника может быть получена в результате удвоения частоты
второй гармоники. Для этого используется схема, показанная
на рис. 3.35 (случай оое™синхронизма). Здесь: 1 — лазер, гене™
рирующий плоскополяризованное излучение на частоте ш; 2 —
нелинейный кристалл, в котором генерируется вторая гармони-
гармоника; 8— нелинейный кристалл, в котором генерируется четвертая
3.7
ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ВНЕРЕЗОНАТОРНОЙ ГВГ
228
гармоника; 4 — фильтр, перекрывающий излучение на частоте ш
(во избежание нагрева кристалла 8), и пропускающий излучение
на частоте 2ш. Плоскости синхронизма кристаллов взаимно пер-
пендикулярны. В кристалле 2 плоскость синхронизма совпадает
а 1
Рис. 3.34
с плоскостью поляризации основного излучения (это есть плос-
плоскость рисунка), а в кристалле 8 плоскость синхронизма совпада-
совпадает с плоскостью поляризации второй гармоники (эта плоскость
перпендикулярна к плоскости рисунка). Это есть необходимое
условие того, чтобы в кристалле 2 происходил процесс ш + ш —>
—> 2ш, а в кристалле 8 процесс 2ио + 2ш —>> 4а;.
224
ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
ГЛ. III
При генерации четвертой гармоники, как второй гармоники
от второй гармоники, могут быть использованы те же схемы
формирования пучка основного излучения, что и при генерации
второй гармоники.
©
Ел
4го
4 ф »
Е2ш
4
Рис. 3.35
Генерация второй гармоники с использованием век-
векторного синхронизма. При использовании векторного син™
хронизма необходимо
получить два пучка
основного излучения,
распространяющиеся
под определенным
углом друг к другу.
Это можно реали-
реализовать при помощи
Рис. 3.36 схемы, показанной на
рис. 3.36. Здесь: 1 —
лазер; 2 — нелинейный кристалл; 8 — разделитель пучка; 4 —
отражающее зеркало; 5 — пучок второй гармоники.
Схемы с использованием векторного синхронизма могут
быть применены для того, чтобы исключить или, по крайней
мере, ослабить диафрагменный апертурный эффект [50]. Напо-
Напомним, что влияние сноса энергии необыкновенной волны особен-
особенно нежелательно при оее-взаимодействии, так как в этом случае
происходит снос как волны второй гармоники, так и одной из
волн основной частоты (см. § 2.7). При скалярном оее™взаимо™
действии все три волновых вектора (kf, kf, Ке) имеют одина-
одинаковое направление. Такое же направление имеет лучевой вектор
Sf, тогда как лучевой вектор Sf образует с этим направлением
угол /3i, а лучевой вектор S2 — угол р2 (рис. 3.37 а). Повернем
волновой вектор kf на рисунке по часовой стрелке на угол /?i;
при этом соответствующий лучевой вектор (вектор Sf) повер-
повернется на такой же угол и в результате соместится с лучевым век™
тором Sf (рис. 3.37 6). Векторная сумма kf + kf определит новое
3.7
ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ВНЕРЕЗОНАТОРНОЙ ГВГ
225
направление вектора К6; угол между К6и к^ обозначим через
7- В соответствии с новым направлением вектора К6 лучевой
вектор S2 будет теперь образовывать с вектором Sf угол /?2 — 7-
Если на рис. 3.37 а волновые векторы коллинеарны, а лучевые
векторы неколлинеарны, то на рис. 3.37 5, напротив, волновые
векторы неколлинеарны, зато лучевые векторы Sf и Sf колли-
коллинеарны.
Таким образом, за счет перехода от скалярного оее-синхро-
низма к векторному можно совместить лучевые векторы Sf и
Sf (и, кроме того, прибли-
приблизить к ним лучевой вектор
S2). Иными словами, ис-
использование векторного син-
синхронизма позволяет в дан-
данном случае исключить снос
необыкновенной волны на
основной частоте и одновре-
одновременно уменьшить снос волны
второй гармоники.
В порядке примеча-
примечания заметим, что в случае
оее-взаимодействия требу-
требуются две волны основного
kf.kf
Ке
ис"
излучения с разными поля-
поляризациями. Поэтому вектор
напряженности Ei поля
плоскополяризованного ла-
лазерного излучения надо
предварительно разложить
на две взаимно перпендику™
лярных составляющих. Для
этого достаточно ориентировать кристалл так, чтобы плоскость
синхронизма составляла угол 45° с плоскостью поляризации
излучения лазера.
Схема автоматической подстройки синхронизма при генера-
генерации второй гармоники от перестраиваемых лазеров. При генерации
второй гармоники от лазеров с перестраиваемой длиной волны излуче-
излучения, например, от лазеров на органических соединениях (ЛОС), необходимо
обеспечить синхронную подстройку угла синхронизма под изменяющуюся
длину волны основного излучения. Так как ЛОС перестраивается каким-
либо дисперсионным элементом (дифракционной решеткой, призмой, аку-
стооптическим фильтром и т.п.), а зависимость 9С (А) нелинейна, то ре-
результирующая зависимость вс (ср), где (р — угол поворота дисперсионного
элемента в ЛОС, является весьма сложной и не может быть воспроизведена
механическими передачами с достаточной степенью точности. Решение этой
проблемы — в автоматизации подстройки. Принцип действия системы та-
такой подстройки основан на том, что угол синхронизма определяется длиной
8 В.Г. Дмитриев, Л.В. Тарасов
226 ГВГ (СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ) ГЛ. III
волны основного излучения. Предположим, что для данной длины волны Ai
выполняется условие синхронизма. В силу малой расходимости излучения
Л ОС максимум второй гармоники при точном синхронизме попадет точно
в центр углового распределения второй гармоники. Теперь изменим длину
волны излучения Л ОС на величину А А. Очевидно, что максимум второй
гармоники будет приходиться теперь уже не на центр картины, а сместит-
сместится на угол A(f = (двс/д\)^_^ А А. Это смещение и можно использовать
для автоподстройки, для чего надо ответвить часть второй гармоники на
координатномувствительный фотоприемник. В качестве такого фотопри-
емника может быть использован двойной фотодиод, от половинок которого
токи текут через нагрузку R встречным образом. Если вторая гармони-
гармоника засвечивает обе половинки фотодиода в равной степени, напряжение на
нагрузке равно нулю. При смещении светового пятна второй гармоники
возникает напряжение; этот сигнал может быть использован для поворота
нелинейного кристалла, возвращающего пятно второй гармоники в исход-
исходное (симметричное) положение [51].
Дополнительные замечания по особенностям оптических схем
внерезонаторной генерации оптических гармоник. Как уже указы-
указывалось выше, на практике часто применяются схемы внерезонаторной гене-
генерации высших оптических (третьей, четвертой, пятой и т.д.) гармоник в по-
последовательно расположенных кристаллах с квадратичной нелинейностью.
При этом генерация третьей гармоники (ГТГ) происходит как генерация
суммарной частоты (ГСЧ) первой и второй гармоник, генерация четвер-
той гармоники (ГЧГ) — как генерация второй гармоники (ГВГ) от второй
гармоники, генерация пятой гармоники (ГПГ) — как ГСЧ либо второй и
третьей, либо первой и четвертой гармоник
Целесообразность применения именно такой последовательной генера-
генерации высших гармоник связана с тем очевидным фактом, что прямая гене-
генерация, например, третьей гармоники, т.е. с применением кубической нели-
нелинейности кристалла (или тем более четвертой и пятой гармоник соответ-
соответственно на нелинейностях четвертого и пятого порядков) с очевидностью
будет весьма неэффективной из-за исключительно малых значений компо-
компонент тензоров высших порядков. К тому же эти величины быстро уменьша-
уменьшаются по величине с увеличением порядка нелинейности. В качестве примера
возьмем кристалл KDP, для которого х^5 • 10~13 м2/В2, 9^2 • 1СР22 м2/В2
(см. § 1.1). При ГТГ на квадратичной нелинейности при амплитуде поля
лазерного излучения (первой гармоники) А\ ^ 3-10 В/м (что соответству-
соответствует плотности мощности лазерного излучения в кристалле ~ 200 МВт/см )
и коэффициенте преобразования во вторую гармонику ~ 50 % по плотно-
плотности мощности, амплитуда поля второй гармоники Аъ будет равна примерно
2-10 В/см, и добавка к линейной поляризованности на частоте третьей
гармоники, т.е. член хА\Аъ, составит величину порядка 30 В/см. В то же
время при прямой ГТГ на кубической нелинейности аналогичная добавка,
т.е. член 9(А\) , составит величину порядка 5 • 10"" В/см, т.е. меньше на
шесть—семь порядков, чем в случае квадратичной нелинейности.
Эффективность ГТГ, ГЧГ и ГПГ в этих случаях оказывается суще-
существенно зависящей от параметров ГВГ в первом кристалле, в том числе,
от типа синхронизма первой ГВГ. Действительно, если в первом кристал-
кристалле для ГВГ использован синхронизм типа оое^ так что на выходе перво-
первого кристалла поля первой и второй гармоник ортогонально поляризованы,
то во втором кристалле, например, при ГТГ (как ГСЧ ортогонально по-
поляризованных первой и второй гармоник), поляризации первой и второй
3.7 ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ВНЕРЕЗОНАТОРНОЙ ГВГ 227
гармоник оказываются удачными для эффективной ГТГ типа оее или еое
(третья гармоника в отрицательном одноосном кристалле всегда поляризо-
поляризована как необыкновенная волна). В то же время, если в первом кристалле
для ГВГ применить синхронизм типа оее (что вполне естественно, так как
этот тип синхронизма более эффективен, чем оое-тип), то на выходе первого
кристалла лазерное излучение (первой гармоники) вследствие двулучепре-
ломления окажется в общем случае эллиптически поляризованным, причем
угол между е-волной второй гармоники и одной из полуосей поляризации
первой гармоники составит 45°. Такая поляризация лазерного излучения не
эффективна для ГТГ во втором кристалле, так как при любом типе син-
синхронизма для ГТГ (оее, оее или еое) будет использовано лишь около 50 %
мощности второй гармоники. Разумеется, в этом случае можно применить
оптический преобразователь эллиптической поляризации первой гармоники
в линейную, не затрагивая поляризации второй гармоники, но оптическая
схема ГТГ при этом неоправданно усложняется, и здесь эти схемы мы рас-
рассматривать не будем. Ситуация с ГЧГ оказывается более простой, так как
ГЧГ есть просто ГВГ от второй гармоники лазерного излучения. Если в
первом кристалле для первой ГВГ использован синхронизмы типа оое или
оее, то на выходе первого кристалла гармоника будет линейно поляризова-
поляризована. Для ГЧГ в этом случае можно использовать как оое-синхронизм (второй
кристалл надо при этом развернуть на 90° относительно первого), так и оее
или еое-типы синхронизма (второй кристалл надо при этом развернуть на
45° относительно первого). Ситуацию с ГПГ мы предоставляем разобрать
читателям самостоятельно. В качестве вывода заметим, что во всех этих
случаях действуют своеобразные правила отбора поляризаций (по этому
поводу см. также гл. VII).
Другим важным аспектом влияния параметров ГВГ на последующие
каскады преобразования, например, при ГТГ, является необходимость опти-
оптимизации пространственных распределений плотности мощности основного
излучения (первой гармоники) и второй гармоники для получения эффек-
эффективной ГТГ во втором кристалле. Этот аспект достаточно полно прорабо-
проработан в работах Т. Усманова с соавторами (см. ссылку [59] к Приложению 1).
Основной смысл этого аспекта состоит в следующем. Для получения одно-
одного кванта ГТГ во втором кристалле требуется по одному кванту первой и
второй гармоник. В то же время для получения одного кванта второй гар-
гармоники при ГВГ в первом кристалле требуется два кванта лазерного излу-
излучения. Если лазерное излучение на входе в первый кристалл имеет гауссов
профиль плотности мощности, то на выходе первого кристалла этот про-
профиль окажется существенно искаженным за счет нелинейно-неоднородного
преобразования во вторую гармонику. Вторая гармоника будет иметь на вы-
выходе второго кристалла в общем случае также не гауссов профиль. Во вто-
втором кристалле происходит ГСЧ первой и второй гармоник, и их профили с
очевидностью должны быть согласованы для эффективной ГТГ (другими
словами, в них должно быть одинаковое количество квантов в любой точке
сечения пучка). На практике эти профили, как правило, оказываются не
согласованными с точки зрения получения эффективной ГТГ. Решением
проблемы согласования профилей и получения предельных значений эф-
эффективности преобразования в третью гармонику является использования
гипергауссовых профилей типа exp (^rm), где т - показатель порядка ги-
гипергауссова распределения, г ~~ относительный безразмерный радиус пучка
(для эффективной ГТГ достаточно обеспечить т = 5 — 6).
8*
ГЛАВА IV
ВНУТРМРЕЗОНАТОРНАЯ ГЕНЕРАЦИЯ
ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
4.1. Введение
Лазеры с внутрирезонаторной генерацией второй
гармоники. Рассматривая в главах II и III генерацию второй
гармоники, мы полагали, что сначала некоторый лазер генери-
рует излучение на основной частоте, а затем это излучение по-
попадает в нелинейный кристалл, где и рождается вторая гармо-
гармоника. В данной главе рассмотрим качественно иную ситуацию,
когда нелинейный кристалл помещен внутрь резонатора лазера.
В этом случае говорят о внутрирезонаторной генерации второй
гармоники (ВРГВГ). Активный элемент, в котором генерирует-
генерируется излучение на основной частоте, и нелинейный кристалл, где
это излучение преобразуется во вторую гармонику, оказывают-
оказываются теперь внутри общего резонатора. Поэтому процессы генера-
генерации основного (лазерного) излучения и второй гармоники уже
нельзя исследовать независимо. Оба указанных процесса суть
теперь единый процесс.
Как известно, для лазеров с непрерывной накачкой и осо-
особенно для лазеров, генерирующих в стационарном режиме, ха-
характерно малое значение оптимального коэффициента пропус-
пропускания выходного зеркала; в таких лазерах мощность выходного
излучения существенно меньше мощности излучения внутри ре-
резонатора [1]. Так, при оптимальном пропускании 4% выходная
мощность в 25 раз меньше внутрирезонаторной. Поскольку ко™
эффициент преобразования во вторую гармонику существенно
зависит от мощности основного излучения, то в подобных слу-
случаях вполне очевидна целесообразность помещения нелинейного
кристалла внутрь резонатора лазера.
Для лазеров с непрерывной накачкой (в том числе в режиме
модуляции добротности) использование ВРГВГ позволяет до-
добиться значительного увеличения эффективности преобразова-
преобразования во вторую гармонику [2—5]. При этом вредные потери в нели-
нелинейном кристалле должны быть достаточно малы с тем, чтобы
4.1 ВВЕДЕНИЕ 229
не влиять на режим генерации лазера; выходное зеркало должно
иметь высокое отражение (около 100 %) на основной частоте и
высокое пропускание на частоте второй гармоники. Для увели-
увеличения эффективности преобразования часто применяют внутри™
резонаторную фокусировку основного излучения в нелинейный
кристалл.
В лазерах с импульсной накачкой отношение внутрирезо-
наторной мощности к оптимальной выходной не столь велико,
как в лазерах с непрерывной накачкой. Однако и в этом случае
использование ВРГВГ представляет интерес, так как позволя-
позволяет, например, удлинять импульсы излучения, стабилизировать
режим генерации и т.д. [6-8]. Кроме того, существенный про™
гресс в области качества активных элементов, осветителей, элек-
электро- и акустооптических затворов (модуляторов добротности)
и других элементов лазеров, повышение эффективности ламп
накачки и блоков питания, наконец, появление новых перспек-
перспективных лазерных элементов из семейства гранатов (например,
галлий-скандий-гадолиниевого граната — ГСГГ) и переход на
«резонансную» (в полосы поглощения) накачку лазерными по-
полупроводниковыми диодами — все это привело к значительному
снижению порога генерации и повышению общей эффективно-
эффективности лазера. В результате рабочие энергии накачки снизились до
значений < 10 джоулей при сохранении эффективности лазера
-1%.
При таких малых энергиях накачки оптимальный коэффи-
коэффициент пропускания выходного зеркала становится настолько ма-
малым (по сравнению с традиционным импульсным режимом), что
использование ВРГВГ становится практически столь же эффек-
эффективным, что и при непрерывной накачке.
Нелинейная нагрузка резонатора. Сопоставим лазер, ге-
генерирующий только основное излучение, с лазером, работаю™
щим в режиме ВРГВГ, когда основное излучение из резонатора
не выходит.
Выходное зеркало в первом лазере может рассматриваться в
качестве нагрузки резонатора. Принято говорить, что оно обес-
обеспечивает связь резонатора с внешним пространством. Чем боль-
больше коэффициент пропускания 1 — R\ зеркала, тем сильнее ука-
указанная связь, тем более «открыт» (менее добротен) резонатор.
Рассматриваемая нагрузка является линейной, поскольку коэф-
коэффициент отражения R\ зеркала не зависит от мощности излу-
излучения.
Во втором лазере связь резонатора с пространством осуще-
осуществляется через генерацию второй гармоники в нелинейном кри-
кристалле, находящемся внутри «глухого» (по основной частоте)
резонатора. Вместо выведения основного излучения через вы-
выходное зеркало (с коэффициентом пропускания 1 — R\) здесь
230 ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ ГЛ. IV
имеем преобразование основного излучения во вторую гармо™
нику (с коэффициентом преобразования rj) с последующим бес-
беспрепятственным выведением второй гармоники из резонатора.
Выходное зеркало непрозрачно на основной частоте и, напро-
напротив, прозрачно на частоте второй гармоники: R\ = 1, R2 = 0.
Поскольку эффективность преобразования зависит от мощно-
мощности основного излучения, то нагрузка резонатора оказывается
нелинейной. Так, с увеличением мощности основного излучения
коэффициент преобразования растет и, следовательно, резона-
резонатор становится более «открытым» (менее добротным) по основ™
ной частоте.
Нелинейный характер нагрузки резонатора (нелинейность
полезных потерь) существенно влияет на динамику процессов
в лазере [4, 9, 10]. Если, например, поперечное распределение
мощности основного излучения внутри резонатора Pi (ж, у) неод-
неоднородно , то неоднородными будут также потери, связанные с
генерацией второй гармоники, что скажется на формировании
модовой и спектральной структуры выходного излучения. При
многомодовом характере основного излучения возможно взаим-
взаимное влияние лазерных мод через генерацию второй гармоники.
В частности, ВРГВГ может существенно повлиять на режим
самосинхронизации мод [11]. При ВРГВГ оказываются иными
характеристики стабильности лазерного излучения, посколь™
ку в этом случае проявляется своеобразная обратная связь.
Эта обратная связь может стабилизировать режим генерации
[12, 13]. Действительно, при случайном уменьшении внутри-
резонаторной мощности основного излучения Pi уменьшается
и коэффициент преобразования 77; резонатор становится более
добротным по основной частоте, что приводит к возрастанию
Р\. Наоборот, при увеличении Pi коэффициент преобразования
г/ (а следовательно, и потери) увеличивается, что приводит к
уменьшению Р\. С другой стороны, в лазере с внутрирезонатор™
ным нелинейным кристаллом могут проявиться дополнитель-
дополнительные флуктуации мощности излучения, связанные с так назы-
называемыми избыточными флуктуациями при генерации второй
гармоники, наблюдаемыми в многомодовом режиме. Нелиней-
Нелинейное взаимодействие мод может привести к возникновению силь-
сильных флуктуации на частоте релаксационных колебаний лазер-
лазерного резонатора [14].
Оптимальный режим ВРГВГ. Как известно (см., на-
например, § 2.2 из [15]), для получения максимальной выход-
выходной мощности в обычном лазере необходимо использовать вы-
выходное зеркало с оптимальным коэффициентом пропускания
l~-RionT- Для получения максимальной выходной мощности
в лазере с ВРГВГ необходимо обеспечить оптимальный коэф™
фициент преобразования во вторую гармонику ^Опт5 удовлетво-
4.1 ВВЕДЕНИЕ 231
ряющий условию
^опт = 1 — ^1опт? D-1-1)
где 1?1опт — оптимальный коэффициент отражения выходного
зеркала лазера без ВРГВГ, имеющего такие же активный эле™
мент и другие конструктивные элементы и узлы и характери-
характеризующегося такими же вредными потерями, что и лазер с ВРГВГ.
Максимальная выходная мощность на основной частоте в лазере
без ВРГВГ
Амакс = A — Rioilt)Pi] D.1.2)
максимальная выходная мощность на частоте второй гармоники
в лазере с ВРГВГ
^2 макс = VotitPi- D.1.3)
Из D.1.1)—D.1.3) следует, что
-^ 2 макс :=:: -*1макс v^'l*^]
При выполнении D.1.1), а следовательно и D.1.4), говорят
об оптимальном режиме ВРГВГ. Имея в виду соотношение
D.1.4), используют также термин режим 100 %-ного преобра-
преобразования. Этот термин надо признать несколько неудачным, по-
поскольку в действительности эффективность генерации второй
гармоники внутри резонатора не превышает 10-—30 % для им-
импульсных и 2-10 % для непрерывных лазеров, однако этот тер-
термин достаточно удовлетворительно отражает факт оптималь-
оптимальности преобразования при ВРГВГ.
Оптимальный режим ВРГВГ есть режим, в котором лазер с непрозрач-
непрозрачными для основного излучения зеркалами имеет на частоте второй гармо™
ники такую же выходную мощность, какую имел бы на основной частоте
тот же самый лазер при условии, что внутрирезонаторный нелинейный кри-
кристалл выведен из синхронизма (нелинейная нагрузка «выключена») и в ка-
качестве выходного взято зеркало с оптимальным пропусканием на основной
частоте.
Режимы недопреобразованмм и перепреобразованим.
Если
7] < 7]ОПТ, D.1.5)
то говорят о режиме недопреобразования. В этом случае поте™
ри на генерацию второй гармоники недостаточны, чтобв! опти™
малвно нагрузить резонатор лазера; выходная мощность вто-
второй гармоники Р2вых оказывается меньше Ргмакс- Такой лазер
аналогичен лазеру без ВРГВГ с выходным зеркалом, харак™
теризующимся чрезмерно большим коэффициентом отражения
(Ri > Й1опт). Если
V > Щпт, D.1.6)
то говорят о режиме перепреобразования. В этом режиме поте-
потери на генерацию второй гармоники оказываются завышенными,
что приводит к заметному уменьшению добротности резонатора
232
ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ
ГЛ. IV
I
на основной частоте. При перепреобразовании, как и при недо™
преобразовании, Р2вых < ^макс- Лазер, работающий в режиме
перепреобразования, аналогичен лазеру без ВРГВГ с выходным
зеркалом, характеризующимся чрезмерно большим коэффици-
коэффициентом пропускания (R\ < i?ioirr)- В режиме перепреобразования
длительность выходного импульса увеличивается по сравнению
с таковой в оптимальном режиме ВРГВГ.
4.2. Стационарная внутрирезонаторнам генерация
второй гармоники1)
Схема лазера с ВРГВГ. Оптическая схема лазера с
ВРГВГ показана на рис. 4.1, где 1 — активный элемент; 2 —
нелинейный кристалл; 8 и 4 — зеркала резонатора, нанесенные
непосредственно на торцы активного элемента и нелинейного
кристалла; I — длина нелиней-
нелинейного кристалла; L — длина ак™
тивного элемента A <С L). Ко-
Коэффициент отражения зеркала
3 обозначим через R\ @) для
излучения основной частоты и
i?2 @) для второй гармоники;
соответственно для зеркала 4
введем обозначения R\ (L + I) и
i?2 (L + 1). Рассматривая ста-
стационарный режим ВРГВГ, обо™
значим через S± (z) и S2 (z) плотности мощности в точке z
для волн соответственно на основной частоте и частоте вто-
второй гармоники, распространяющихся в положительном направ™
лении оси z. Для излучений, распространяющихся в отрица-
отрицательном направлении оси z, будем использовать обозначения
В результате прохождения через активный элемент плот-
плотность мощности основного излучения возрастает. Используя
дифференциальный закон Бугера (см., например, § 3.2 из [15]):
D.2.1)
где к (z) и р — коэффициенты усиления и вредных потерь в
активном элементе, получаем
L + 1
Рис. 4.1
= ±[x {z) - р] Sf {z) dz,
D.2.2)
ВРГВГ в стационарном режиме исследовалась в [4, 12, 16-18].
4.2 СТАЦИОНАРНАЯ ВРГВГ 238
Скобки (...) означают усреднение по длине активного элемента:
L
{K) = ^JK{z)dz» D.2.3)
о
В результате прохождения через нелинейный кристалл
основное излучение частично преобразуется во вторую гармо-
гармонику. В приближениях плоских волн, заданного поля основ-
основного излучения, при выполнении условия синхронизма имеем
[см. B.4.46I
St (L + I) = 7 [Si (L)}2 , 52" Щ = 7 [Sf (L + I)]2 , D.2.4)
где
2о;)-^1 D.2.5)
en2 (s)
Нелинейное зеркало. На нелинейный кристалл падает сле-
слева основное излучение с плотностью мощности Sf (L). После
прохождения через нелинейный кристалл эта плотность мощ-
мощности уменьшается на величину 7 [Sf (L)] , если пренебрегать
поглощением излучения в нелинейном кристалле. Таким обра-
образом,
5+ (L + l) = S+ (L) [1 - 75+ (L)] . D.2.6)
После отра^кения от зеркала 4 имеем
S- {L + l)= Ri (L + I) S+ (L + l). D.2.7)
После повторного прохо^кдения через нелинейный кристалл по™
лучаем
5f (L) = S{ (L + I) [1 - 75f (L + I)] . D.2.8)
Отношение
можно рассматривать как коэффициент отражения основного
излучения по плотности мощности на правом торце активного
элемента. Используя D.2.6)—D.2.8), находим следующее выра™
жение для коэффициента отражения:
RlEJI = Ri(L + l){l->y[l + Ri{L + I)} S+ (L)} . D.2.10)
При получении D.2.10) мы пренебрегли членами с j2 И73,
поскольку на практике
7#<0,1. D.2.11)
Таким образом, для излучения основной частоты схема на
рис. 4.1 может рассматриваться как схема, в которой на правом
234 ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ ГЛ. IV
торце активного элемента находится нелинейное зеркало с ко™
эффициентом отражения, описываемым в первом приближении
соотношением D.2.10). Нелинейность этого «зеркала» проявля-
проявляется в том, что его коэффициент отражения зависит от плотно-
плотности мощности S^ (L).
Если основное излучение заперто в резонаторе, т.е. если
Дх(? + 0 = 1, Дх@) = 1, D.2.12)
то выражение D.2.10) принимает вид
i?lHJI = l-27S+(L). D.2.13)
Условие стационарной генерации. Совершим обход резо-
резонатора, отправляясь от зеркала 3 , как показано штриховой ли™
нией на рис. 4.1. Воспользуемся соотношениями D.2.2) и D.2.9)
и введем обозначение
exp[L((x)-/9)] = G. D.2.14)
Исходная плотность мощности основного излучения (на левом
торце активного элемента) есть S^ @). После прохождения ак-
активного элемента имеем S^ (L) = GS^ @). Затем происходит
отражение от нелинейного зеркала, превращающее S^ (L) в
Si (L) = RiujiSf (L) = RinjiGSi' @). Повторное прохождение (в
обратном направлении) через активный элемент дает S^ @) =
= GSi (L) = RiHJIG2Si' @). Наконец, после отражения от зер-
зеркала 8 получаем R\ @) RiHnG2S^ @). На этом обход резонатора
завершается. Стационарность процесса означает, что исходная
плотность мощности основного излучения (перед началом обхо-
обхода) должна равняться конечной плотности мощности (по завер™
шении обхода). Таким образом,
ИЛИ
G2 = [Ri@)RiBJI]-1. D.2.15)
Это и есть условие стационарной генерации в лазере с ВРГВГ.
Используя D.2.14), получаем
(к) = р + — In г . D.2.16)
С учетом D.2.10) перепишем результат D.2.16) в виде
2L Ri @) Ri {L + I)
+}. D.2.17)
ZjLj
4.2 СТАЦИОНАРНАЯ ВРГВГ 235
Заметим, что под р понимают суммарные вредные потери в ак™
тивном элементе и нелинейном кристалле.
Если 7 = 0 (нелинейный кристалл выведен из синхронизма),
то из D.2.17) получаем известное условие стационарной генера-
генерации в лазере без ВРГВГ:
(к) = р + — In . D.2.18)
W F 2L i*i(O)i*i(L + Z) V ;
Это условие означает, что в стационарном режиме генерации
усредненный коэффициент усиления в лазере без ВРГВГ равен
сумме коэффициента вредных потерь р и коэффициента полез-
полезных (излучательных) потерь — In . При ВРГВГ в
2L R\ @) R\ (L + I)
этой сумме появляется дополнительное слагаемое — коэффици-
ент нелинейных потерь
Рнл = -± In {1 - 7 [1 + Ri (L + I)} S+ (L)} . D.2.19)
Для излучения на основной частоте нелинейные потери являют™
ся вредными. Однако с точки зрения получения второй гармо-
гармоники эти потери должны рассматриваться как полезные — это
аналог излучательных потерь в лазере без ВРГВГ.
Воспользовавшись соотношением 1пA + а) ~ а, справедли-
справедливым при а <С 1, преобразуем D.2.19) к более простому виду
рнл = J-[l + R1(L + I)] Si (L) . D.2.20)
С учетом D.2.20) условие стационарной генерации D.2.17) при-
принимает вид
(ж) = р + — In l + SL [1 + Кг (L + I)] S? (L).
Х 7 Н 2L Ri @) Rt (L +1) 2L L l K n г К }
D.2.21)
Для повышения плотности мощности основного излучения
внутри резонатора целесообразно устранить излучательные по-
потери на основной частоте, т.е. обеспечить выполнение соотно-
соотношений D.2.12). В этом случае условие стационарной генерации
D.2.21) может быть записано в виде
(x) = p+lSi(L). D.2.22)
Рассматривая в данном параграфе стационарную ВРГВГ, будем
далее полагать, что соотношения D.2.12) выполнены.
Плотность мощности второй гармоники. Излучение
второй гармоники генерируется двумя встречными волнами
основного излучения и, следовательно, выходит как из право-
правого, так и из левого торцов нелинейного кристалла. Предполо-
Предположим, что полное (в обе стороны) излучение второй гармоники
236 ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ ГЛ. IV
выводится без потерь из резонатора, причем некоторое устрой™
ство сводит обе волны второй гармоники в одну. Учитывая это
и используя D.2.4), запишем следующее выражение для полной
выходной плотности мощности второй гармоники1):
S2 = 21[Sf(L)}2. D.2.23)
Из D.2.23) следует, что полный (в обе стороны) коэффициент
преобразования во вторую гармонику по плотности мощности
имеет вид
т = -^-} = 27-5+ (L). D.2.24)
Сопоставляя D.2.24) и D.2.13), приходим к следующему соотно-
соотношению [ср. с D.1.1)]:
1^Е1шл = г]Б« D.2.25)
Пропускание нелинейного зеркала в случае, когда основное из™
лучение «заперто» в резонаторе, равно коэффициенту преобра-
преобразования во вторую гармонику по плотности мощности.
Чтобы раскрыть соотношение D.2.23), надо найти S^ (L).
Для этого воспользуемся известным выражением для коэффи™
циента усиления (см., например, § 2.1 из [15]):
ж (z) = , *° , D.2.26)
где щ — начальный коэффициент усиления, /3 — параметр нели-
нелинейности. Из D.2.26) следует, что
SJ (z) + S\ (z) = / у . D.2.27)
Усредняя это соотношение по длине активного элемента, полу-
получаем
/ о+ (гу\ _1 С— ( ~\\ м° \^/м) ~~~ *¦ (АО О®\
\i^1 \%) i D]_ \Z) ) — • у±.Z.Zo)
Обычно можно принять (см. [1])
(!)«-!-. D.2.29)
\ ж I (ж)
Кроме того, можно полагать, что
E+ (z) + S{ (z)) « 25+ (L). D.2.30)
х) Строго говоря, $2 зависит от сдвига фаз встречных волн второй гармо-
гармоники [19]. Здесь фазовые соотношения не учитываются; полагаем, что при
сложении двух пучков второй гармоники складываются их интенсивности.
На практике чаще всего реализуется именно такой случай.
4.2
СТАЦИОНАРНАЯ ВРГВГ
237
Используя D.2.29) и D.2.30), перепишем D.2.28) в виде
(к) = ^г . D.2.31)
Подстановка D.2.31) в D.2.22) приводит к квадратному урав-
уравнению относительно S^ (L):
2^7 [St Щ]2 + B@pL + 7) S? (L) - (щ - p) L = 0. D.2.32)
Решая это уравнение, находим
- B/3pL + 7)
D.2.33)
Подставляя D.2.33) в D.2.23), получаем следующие выражения
для полной (в обе стороны) выходной плотности мощности вто™
рой гармоники:
if + 8/З7 (хо ~ ]
^ 7)] .
D.2.34)
На рис. 4.2 показана определяемая соотношением D.2.33) зави-
зависимость /ЗБ^ (L) от параметра ? = j/BCkqL) для разных зна-
значений отношения v = р/щ (кривая 1 — ^ = 0,5; 2 — ^ = 0,25;
3 — v = 0,1] 4 ~ v = 0,025). На рис. 4.3 показана зависимость
10 10 10 10° %
10™3 10™2 10™1 10°
Рис. 4.2
Рис. 4.3
/() от параметра ^ для тех же значений отношения v.
Видно, что плотность мощности основного излучения внутри
резонатора уменьшается с увеличением коэффициента нелиней-
нелинейной связи 7- Что же касается выходной плотности мощности
второй гармоники, то она с ростом j сначала увеличивается,
а затем начинает уменьшаться. Максимум кривых на рис. 4.3
соответствует оптимальному режиму ВРГВГ.
238 ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ ГЛ. IV
Стационарная ВРГВГ в оптимальном режиме. Диф™
ференцируя определяемую выражением D.2.34) функцию *$2 G)
и приравнивая производную нулю, находим оптимальное зна-
значение параметра j:
7опт = 2ppL, D.2.35)
при котором ^2 максималвна. Подставляя D.2.35) в D.2.34), по-
получаем
1
Таким же выражением описывается максимальная выходная
плотность мощности излучения лазера без ВРГВГ при условии,
что выходное зеркало лазера имеет оптимальный коэффициент
отражения (см., например, § 2.1 из [15]). Это согласуется с заме-
замечаниями по поводу оптимального режима ВРГВГ, сделанными
в § 4.1.
Подставляя D.2.5) в D.2.35), находим выражение для опти-
оптимального значения произведения а^'.
2 макс = - y\/K0L - VPL) • D.2.36)
Из D.2.36) и D.2.37) следует, что с ростом вредных потерь р
оптимальное значение произведения <Т2/ увеличивается, a $2 макс
уменьшается. Мощность гармоники увеличивается с ростом ин-
интенсивности накачки (с увеличением xq) ис уменьшением пара-
параметра насыщения /5. Подчеркнем, что для ВРГВГ очень важно
сводить к минимуму все пассивные потери.
Известно, что в непрерывном режиме генерации оптималь-
оптимальное пропускание выходного зеркала лазера без ВРГВГ состав-
составляет несколько процентов. Согласно D.2.25) можно заключить,
что для реализации оптимального режима ВРГВГ надо обеспе-
обеспечить коэффициент преобразования во вторую гармонику также
порядка нескольких процентов. Это вполне достижимо даже в
случае непрерывной генерации, если применять высоконелиней™
ные кристаллы высокого качества, схемы фокусировки основ-
основного излучения в нелинейный кристалл, специальные методы
сложения потоков второй гармоники и т.д.
4.3. Динамика лазеров с непрерывной накачкой
При непрерывной накачке реализуются не только непрерыв-
непрерывный, но и импульсные режимы генерации, например, режимы
модуляции добротности резонатора (частота / повторения те-
нерируемых импульсов до 50 кГц), «обрывания» импульса (/ =
= 10-Ю3 кГц), синхронизации мод (/ = 102-5-102 МГц). Во всех
этих режимах возможна эффективная ВРГВГ.
4.3 ДИНАМИКА ЛАЗЕРОВ С НЕПРЕРЫВНОЙ НАКАЧКОЙ 239
Динамику процессов в непрерывно накачиваемых лазерах,
генерирующих в режимах модуляции добротности и обрывания
импульса, можно достаточно полно рассмотретв на основе ба-
балансных уравнений, усредненных по длине резонатора; их назы-
называют обычно скоростными уравнениями 1). Такое рассмотрение
соответствует исполвзованию нестационарной «точечной» моде-
модели лазера, в которой пространство резонатора как бы сведено в
точку. Пространственные эффектв! в этой модели не учитыва-
учитываются; в ней фигурируют только производные по времени насе-
ленностей уровней (коэффициента усиления) и интенсивности
светового поля. «Точечная» модель лазера в режиме ВРГВГ
разрабатывалась в [4, 20, 21]. Более общий подход предпола™
гает применение балансных уравнений в частных производных,
содержащих как временную, так и пространственные координа-
координаты [9].
Скоростные уравнения. Введем обозначения: N — плот-
плотность инверсной населенности рабочих уровней; N® — параметр
накачки (предельное значение плотности инверсной населенно-
населенности для данной интенсивности накачки); М — плотность числа
фотонов в резонаторе на частоте генерации; В — коэффициент
Эйнштейна для вынужденных переходов в канале генерации ш;
Т — время жизни фотона в резонаторе; Т\ — время релаксации
разности населенностей рабочих уровней; <р — целое число, опи™
сывающее изменение разности населенностей уровней при из-
излучении одного фотона (для четырехуровневой схемы ip = 1).
Будем исходить из системы скоростных уравнений Статца-Де
Марса [22] (физическое содержание этих уравнений обсуждает-
обсуждается в § 3.2 из [15]):
^ = HujBMN - ^ , ^ = No^N - <phu>BMN. D.3.1)
T dt T
HujBMN ,
dt T dt
Слагаемое ikf/Т, входящее в первое уравнение, описывает по-
потери излучения, т.е. скорость уменьшения внутри резонатора
плотности числа фотонов на частоте генерации ш. Представим
это слагаемое в виде
% =^(l + 4> + F). D.3.2)
J- J-a
Такое представление соответствует разбиению потерь в резона-
резонаторе на три вида: а) пассивные потери, связанные с поглоще-
поглощением излучения на нерабочих переходах, а также с рассеянием
через боковую границу резонатора (слагаемое М/Та в D.3.2));
) Анализ динамики твердотельных лазеров при импульсной накачке,
основанный на использовании скоростных уравнений, дан, например в [15];
см. также [23].
240 ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ ГЛ. IV
б) модуляционные^ или управляемые^ потери, связанные с моду™
ляцией добротности резонатора (слагаемое Мф/Та); в) потери,
определяемые видом нагрузки резонатора (слагаемое MF/Та).
Параметр Та есть время жизни фотона в резонаторе, опреде-
определяемое пассивными потерями. Если to — время двойного прохо-
прохода излучения по резонатору, то величина
е = ? = 2Lp D.3.3)
J-a
определяет вклад пассивных потерь за двойной проход. Функ™
ции ф и F зависят в общем случае от плотности инверсной на-
населенности и плотности числа фотонов в резонаторе. Потери,
связанные с видом нагрузки резонатора, могут быть линейны-
линейными по полю (излучательные потери на выходном зеркале), но
могут быть и нелинейными. Так, при ВРГВГ эти потери яв-
являются квадратичными по полю (напомним, что используется
приближение заданного поля основного излучения).
Перейдем к безразмерным величинам:
приведенному времени
т = — =е-, D.3.4)
Та to
нормированной плотности инверсной населенности
п = hu)BTaN = — D.3.5)
iVnop
(^Vnop — пороговое значение плотности инверсной населенности
в глухих зеркалах);
нормированной плотности энергии поля в резонаторе (на ча-
частоте генерации)
u = (fhu)BTaM. D.3.6)
Кроме того, введем обозначения
а = ^, Ф = -^°-. D.3.7)
Используя D.3.4)-D.3.7) и учитывая D.3.2), преобразуем систе-
систему уравнений D.3.1) к виду
— = и(п— 1)— иф (т, п, и) — uF (т, п^и), — = а (Ф — п) — ип.
йт йт
D.3.8)
Если учитывать вклад в du/ dr со стороны спонтанного излучения, то
надо дополнить правую часть первого уравнения D.3.8) слагаемым аап,
где ol — доля спонтанного излучения, попадающего в генерируемые моды.
В этом случае система уравнений D.3.8) принимает вид
— = % (п — 1) — иф — uF + аап, — =а(Ф — п)—ип. D.3.9)
dr dr
В дальнейшем будем пренебрегать в скоростных уравнениях вкладом со
стороны спонтанного излучения.
4.3 ДИНАМИКА ЛАЗЕРОВ С НЕПРЕРЫВНОЙ НАКАЧКОЙ 241
Линейнам и квадратично-нелинейнам нагрузка резо-
резонатора. Потери, обусловленные видом нагрузки резонатора,
определяются слагаемым uF в первом уравнении D.3.8). Если
uF rsj и, то говорят о линейной нагрузке, а если uF ^ ti2, то о
квадратично-нелинейной.
Линейная нагрузка обусловлена пропусканием Т = 1 — R вы-
выходного зеркала резонатора. Функция F определяется в данном
случае соотношением
F=?^= A/BР)ЬA/Д) =lkl=l 1п^_ D3.10)
р e/{2L) е R е 1-T V ;
Если пропускание выходного зеркала достаточно мало (Т <С 1),
то D.3.10) преобразуется к виду
F « - In A + Т) и - = !—? . D.3.11)
е ее
Квадратично-нелинейная нагрузка реализуется в лазере с
ВРГВГ, когда вторая гармоника свободно выводится из резо-
резонатора, а основное излучение заперто в нем. В этом случае
F = гщ D.3.12)
где г — приведенный коэффициент нелинейной связи.
Анализируя на основе уравнений D.3.8) динамику процес™
сов в лазере, рассмотрим сначала общую ситуацию, когда вид
нагрузки (вид функции F) не конкретизирован.
Среднмм нормированная выходная мощность. Пред™
положим, что импульсный режим генерации является строго
периодическим, иными словами, регулярным, установившим-
ся. Обозначим период функций п(т) и и(т) через tq. Выби™
рая моменты времени тн и тк, разделенные промежутком то
(тк — тн = то), можем, очевидно, записать
п(тк)=п(тш), и(тк)=и(тш) D.3.13)
и, как следствие,
?* ^ ?* = 0. D.3.14)
dr J dr J dr
TH TH
Средняя нормированная мощность выходного излучения опре™
деляется выражением
Тк
(Р) = - Г uF (r, п, и) dr, D.3.15)
или с учетом первого уравнения D.3.8), а также D.3.14), выра-
выражением
Тк
(Р) = — [ (ип-и-иф) dr. D.3.16)
то ^
то
242 ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ ГЛ. IV
Используя второе уравнение D.3.8) и учитывая D.3.14), находим
7"к Тк
J udr = a J (- -l) rfr, D.3.17a)
Тк Тк
J ^П rfT = а J (Ф - га) dr. D.3.176)
Тн Тн
Подставляя D.3.17) в D.3.16), получаем
тк тк
(Р) = — Г (Ф- - -п +1) rfr- - (ифйт* D.3.18)
То ^ \ П / То ^
Г0 ТН
Чтобы найти максимальную среднюю выходную мощность
(Р)макс, исключим модуляционные потери (положим ф = 0) и
определим в, при котором производная функции Ф — Ф/в — га +
+ 1 обращается в нуль. Искомое п = попт есть
Попт = л/ф D.3.19)
и, следовательно,
{^>„акс = «(^-1J- D-3-20)
Из D.3.19) видно, что максимальная средняя выходная мощ-
мощность реализуется в стационарном установившемся режиме; при
этом вид нагрузки резонатора оказывается несущественным. В
импульсных режимах генерации лазера с непрерывной накач-
накачкой соотношение D.3.19) может служить критерием близости к
оптимальному режиму работы лазера.
Периодический режим модулмции добротности (при
мгновенном включении добротности) [24]. Этот режим ил-
иллюстрирует рис. 4.4, где изображены функции Q (т),п (т) и и (т)
для одного цикла длительностью tq. Если имеется регулярная
последовательность световых импульсов, повторяющихся с час-
частотой /, то то = 1/(/Та). В начале цикла добротность резонато-
резонатора ниже пороговой: (Q = QMim) < Qnop- Генерация отсутствует,
и непрерывно действующая накачка обусловливает возрастание
функции п (т) от исходного значения п @) = нмин. Если бы до™
бротность все время оставалась ниже пороговой, то эта функ-
функция возрастала бы, асимптотически приближаясь к предельному
значению Ф. Однако в некоторый момент времени т\ доброт™
ность резонатора резко повышается и существенно превосходит
порог генерации. Для простоты предположим, что добротность
изменяется мгновенно; таким образом,
ф() = COnst При 0 < Т < Т]_,
D-3.
при Ti < т < tq.
4.3
ДИНАМИКА ЛАЗЕРОВ С НЕПРЕРЫВНОЙ НАКАЧКОЙ
248
В момент т\ начинается процесс генерации светового импуль™
са, который сначала проходит этап развития, характеризую-
характеризующийся экспоненциальным, но незначительным возрастанием по-
поля от уровня шумов; длительность этого этапа обозначим через
Тразв. На рис. 4.4 Тразв = ^2 — Т\] момент Т2 будем определять по
Рис. 4.4
максимуму функции п(т). Затем начинается этап собственно
генерации, на котором высвечивается импульс длительностью
ти. На этом этапе функция п (г) резко спадает от максимально-
максимального значения пмакс до исходного значения пмин.
Характерные числовые значения: трдьЗВТа « 10~6-10~7 с,
ТиТа = Ю~7 с, т^Та = 10~4 с при / = 10 кГц. Заметим, что при
импульсной накачке длительность этапа развития примерно та™
кая же, как и при непрерывной накачке, тогда как длительность
импульса ти существенно уменьшается (тшТа « 10~8 с).
Функция п (т) до начала генерации, т.е. на промежутке вре-
времени от нуля до Ti, определяется уравнением
dn
которое следует из D.3.8) при и = 0. Фактически это уравнение
справедливо на промежутке времени от нуля до Т2. Его решение
имеет вид
п (т) = Ф - (Ф - вмин) ехр (-ат). D.3.23)
Максимальное значение вмакс достигается при т = т<2,- Прибли™
ж:енно мож:но полагать, что оно равно значению п из D.3.23)
при т = tq:
«макс = Ф - (Ф - пмин) ехр (-ого) • D.3.24)
=а(Ф-п)
D.3.22)
244 ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ ГЛ. IV
Функция п (т) на промежутке времени от Т2 до то определи™
ется уравнением
— = -ип. D.3.25)
йт
Это уравнение следует из D.3.8) при условии, что на относи™
тельно коротком этапе генерации импульса можно пренебречь
как действием накачки, так и релаксацией рабочих уровней, т.е.
молено принять, что а (Ф — п) <Сгш. Решение уравнения D.3.25),
удовлетворяющее условию п (т2) = нмакс, имеет вид
п (т) = п макс ехр - | и (т) dr . D.3.26)
L T2 J
На этапе от т = 0 до т = Т2 функция и (т) близка к нулю;
поэтому выражение D.3.26) можно приближенно представить в
виде
п(т) =п
>ехр - j и(т) dr L D.3.27]
L о J
Поскольку при т = то функция п (т) должна возвратиться к
исходному значению пмин, то, следовательно,
п.
- Ги(т) dr\ =пмин. D.3.25
п -I
Вводя обозначения
г го -.
ехр (-ат0) = А, ехр - f и (т) dr\ = Q, D.3.29)
L о J
перепишем D.3.24) и D.3.28) в виде
^макс = Ф - (Ф - Пмин) А, Пмин = nMaKCQ. D.3.30)
Отсюда находим
^f^ , Пмакс = Ф ^А D.3Л)
Используя D.3.16), где тн = 0, тк = то, запишем выражение
для энергии выходного импульса
то
Еж = (Р) т0 = J и(п- 1) dr - С, D.3.32)
о
где
С= J ифёт. D.3.33)
о
4.3 ДИНАМИКА ЛАЗЕРОВ С НЕПРЕРЫВНОЙ НАКАЧКОЙ 245
В режиме модуляции добротности при условии ее мгновенного
включения можно принять
С = 0, D.3.34)
поскольку при 0 < т < т\ имеем и = 0, а при т\ < т < то имеем
^ = 0.
С учетом D.3.25) представим
то то
undr^-J -^ dr = п(т2) -п(т0) = пмакс-пмин. D.3.35)
0 Т2
Используя D.3.29), D.3.31), D.3.34) и D.3.35), перепишем
D.3.32) в виде
Еш = Ф A ~ А) A ~ Q) + In Q. D.3.36)
Нетрудно убедиться, что функция Еш (Q) имеет максимум при
2
= Qo, D.3.37)
где D = 11 у/А — у/А. Используя D.3.31) и D.3.37), находим, что
П макс П мин = Ф. D.3.38)
Это есть условие оптимального режима генерации.
Предположим, что частота повторения импульсов достаточ-
достаточно велика:
/>а, или ато<1. D.3.39)
В этом случае А рь 1 — ато, -D « ато и, следовательно, Qo ^
и A + ато) (l - ато^Ф/2J и 1 - ат0 (n/Ф - l).
Таким образом,
-l)^, где а' = ±. D.3.40)
Подставляя D.3.40) в D.3.36) и полагая ^4 = 1 — с///, находим
у. D.3.41)
Отсюда следует, что максимальное значение средней выходной
мощности равно
(Рмакс) = EMhKC fTa = (V? - l) 2 a. D.3.42)
Результат D.3.42) совпадает с результатом D.3.20), полученным
для непрерывного режима генерации. Таким образом, при высо™
ких частотах повторения импульсов (при / ^ 5 кГц для лазера
246 ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ ГЛ. IV
на AHF:Nd3+) средняя мощность излучения в импульсном ре™
жиме с модуляцией добротности практически равна той мощно-
мощности, какую можно получить от этого же лазера в непрерывном
режиме.
Подставляя D.3.40) в D.3.31) и полагая А = 1^а;//, находим
Пмин = Яо^Ф = Л/Ф Tl " (л/Ф " l) у] ,
у
D.3.43)
При возрастании / имеем Qq ™> 1 и, следовательно,
Пмакс = Пмш = л/Ф, D.3.44)
что соответствует оптимальному значению инверсии для непре-
непрерывного режима [см. D.3.19)].
Условие устойчивости периодического режима модуляции до-
добротности [25, 26]. Переходя к исследованию рассматриваемого режима
на устойчивость, предположим, что имеется некоторая зависимость
п(то)=-ф(п@)). D.3.45)
Если
^М < !, D.3.46)
dn(Q)
то режим устойчив. Пусть некоторое изменение An @) начального значе-
значения инверсии приводит к изменению An (то) конечного значения инверсии;
режим устойчив, если An (то) < An @). Если же
> 1, D.3.47)
dn@)
то режим неустойчив. Неустойчивость режима означает в общем случае
хаотическое изменение от импульса к импульсу амплитуды и длительно-
длительности импульса, а также времени развития импульса, что в конечном счете
приводит к нестабильности средней мощности выходного излучения. Как
правило, в неустойчивом режиме нестабильны модовая структура и спектр
излучения.
Перепишем D.3.46) в виде
dn(r0) = dn(r0) dn(r2) <г ^ 3 4g.
dra@) dn(r2) dn@)
Из D.3.30) получаем (не полагая теперь п @) = в (то) = вМИн)
п (т2) = Ф - [Ф - п @)] А, п (то) = п (т2) Q. D.3.49)
Отсюда находим
dnM ад D350)
dn@)
Подставляя D.3.50) в D.3.48), получаем условие устойчивости режима ге-
генерации в виде
AQ < 1. D.3.51)
4.3 ДИНАМИКА ЛАЗЕРОВ С НЕПРЕРЫВНОЙ НАКАЧКОЙ 247
Линейнам нагрузка в режиме модулмции добротно-
добротности. До сих пор не конкретизировался вид нагрузки резонатора.
Как отмечалось, ВРГВГ соответствует квадратично-нелинейной
нагрузке. Однако целесообразно сначала проанализировать слу-
чай линейной нагрузки (нагрузки, определяемой пропусканием
Т выходного зеркала).
Используя D.3.11) и учитывая D.3.21), запишем систему
D.3.8) на промежутке времени т\ < т < то в виде
du ( ., Т \ dn ,л г* го\
— =и п- 1 — — ) , — = —ип. D.3.52)
dr \ е / dr
Для 0 < т < т\ будем полагать и = 0.
Отметим, что время развития светового импульса и его
длительность зависят от превышения максимальной инверсии
^макс ~ н (tl) наД пороговой инверсией ппор = 1 + Т/е. Из об-
общих соображений ясно, что при пмакс ^> ппор импульс разви-
развивается быстро и успевает полностью высветиться за время
от т\ до то- Этот случай относится к области сравнительно низ-
низких частот повторения / (больших периодов модуляции то). При
^макс ^ ^пор импульс развивается относительно медленно и за
промежуток времени то — т\ может не успеть высветиться пол-
полностью, так что к моменту то, когда добротность снова снижает-
снижается, в резонаторе остается «невысвеченная» энергия поля и(т®).
Подставляя второе уравнение D.3.52) в первое, находим
dn
dr
l Л л
— 1 H
V
е j
\
и —
1
du
—
dr
D.3.53)
dr
Проинтегрируем это уравнение от т\ до tq:
п (го) - п (п) = - (l + |) Judr-[u (т0) - и (п)]. D.3.54)
Принимая во внимание, что и = 0 при 0 < т < тх, перепишем
D.3.54) в виде (с учетом D.3.29))
п in) - п (т0) = - (l + ^ ) In Q + и (т0) D.3.55)
(здесь для общности полагаем и (то) ф 0). Далее учтем, что Q =
= пмин/пмакс- Таким образом,
l)ln^^ +u(tq). D.3.56)
S У Пмин
Этим соотношением устанавливается связь между пмин и
^макс на основе рассмотрения этапа от т\ до то. Рассматривая
этап от т = 0 до т\, получаем еще одно соотношение между п мин
и пмакс (см. D.3.24)):
= J [Пмакс - A - А) Ф] . D.3.57)
248
ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ
ГЛ. IV
I { ft МИН
На рис. 4.5 показаны зависимости пмин от пмакс, определяв™
мые соотношениями D.3.57) (прямые 1 ш 2) ш D.3.56) (кривая 8).
Прямые 1 и 2 соответствуют разным значениям частоты повто-
повторения импульсов: Д и
/2 (напомним: А =
= ехр(^а;//)), причем
/i < /2. Заметим, что
tgai = 1/Ai, tg«2 =
= 1/А2 (а\ и«2"" углы
наклона прямых 1 и 2
соответственно). Пересе-
Пересечение графиков 1 и 8
определяет точку I, а пе-
пересечение графиков 2 и
8 — точку П. Эти точ-
точки отвечают установив-
установившемуся режиму генера™
пшжс Чии соответственно для
/ = Л и / = /2. В точ-
точке I (при малой часто-
частоте повторения импуль-
импульсов) пмин/пмакс < 1/А\ и согласно D.3.51) режим генерации
устойчив. В точке II (при больших /) пмин/пмакс > 1/А2 и,
следовательно, режим генерации неустойчив.
Неустойчивость режима при больших / связана с неполным
высвечиванием импульса. При больших частотах повторения
импульсов (при малых то) инверсия не успевает за время т\ на-
накопиться до значения, значительно превышающего ппор; вслед-
вследствие этого время развития импульса может оказаться близким
к то —Ti и даже больше. В этом случае к моменту tq в резонаторе
сохраняется остаточное световое поле и заметное усиление.
Квадратично-нелинейная нагрузка в режиме моду-
модуляции добротности [13, 24, 26]. Рассмотрим периодический
режим модуляции добротности в непрерывно накачиваемом ла™
зере с ВРГВГ. Предположим, что по основному излучению ре-
резонатор заперт, а излучение второй гармоники свободно выво™
дится из него. Используя D.3.12) и учитывая D.3.21), запишем
систему скоростных уравнений D.3.8) на промежутке времени
т\ < г < то в виде
Рис. 4.5
— =и(п —
dr
— ги.
2
dn
— = —ип.
dr
D.3.58)
В данном случае ппор = 1 (поскольку Т = 0 на основной часто™
те). Из D.3.58) находим
dn
D.3.59)
4.3
ДИНАМИКА ЛАЗЕРОВ С НЕПРЕРЫВНОЙ НАКАЧКОЙ
249
Решение уравнения D.3.59) имеет вид [24]
и = mnf — an — /3,
где
1 \п{п) .
т =
а =
[n(n)Y Ll-r
Функция и (п) достигает максимума при
1
1-r'
/з-
1
г
D.3.60)
D.3.61)
п =
Максимальное значение равно
по —
D.3.62)
D.3.63)
Полагая в D.3.60) ii = 0, находим уравнение для определения
^ мин*
т (пмин)г - стмин - /3 = 0. D.3.64)
Если п{т\) > 1, то решение этого уравнения находится в интер™
вале
D.3.65)
При увеличении коэффициента нелинейной связи г инверсия
стремится к единице. Вычислим энергию выходного импульса
при г > 1, для чего воспользуемся соотношениями D.3.36) и
D.3.30), положив пмин =
= 1. Получаем
0
0,1 1 10//ar 12 5 10 Ф
Рис. 4.6
D.3.66) 0?5
Используя D.3.66),
молено найти среднюю
выходную мощность
второй гармоники (Р) =
= E^fTa. На рис. 4.6 а
показана зависимость
(Р)/(Р)макс от f/о!] при
этом (Р)макс определяется соотношением D.3.42) [26]. Кривая
1 получена для Ф = 1,5, а кривая 2 — для Ф = 10. Штрихо-
Штриховая прямая соответствует оптимальному режиму. Видно, что
эффективная ВРГВГ (в режиме, близком к оптимальному)
возможна лишь в небольшом интервале частот / вблизи а'.
Оптимальная частота / = /о, при которой достигается макси™
мум мощности второй гармоники, может быть найдена, если
250
ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ
ГЛ. IV
приравнять нулю производную функции (Р(/)). Зависимость
fo/af от Ф приведена на рис. 4.6 б.
Подчеркнем, что, как это видно из рис. 4.6, приближение к
оптимальному режиму при ВРГВГ возможно только при срав-
сравнительно низких частотах повторения импульсов. При больших
/ эффективность ВРГВГ существенно уменьшается.
Это нетрудно пояснить, обратившись к генерации второй гармоники в
нелинейном кристалле, находящемся вне резонатора непрерывно накачи-
накачиваемого лазера с модуляцией добротности. При малых / (до некоторого
значения /i) импульсная мощность основного излучения Р? практически
постоянна; при этом средняя мощность (Рш) линейно растет с увеличени-
увеличением /. В области / > /i увеличение частоты повторения импульсов приво-
дит к уменьшению Р^ и к замедлению возрастания (Рш)- При достаточно
больших / средняя мощность основного излучения становится практиче-
практически постоянной и равной мощности лазера в непрерывном режиме. При
этом энергия импульса, как и импульсная мощность, продолжает падать с
увеличением /.
Мощность в импульсе второй гармоники Р%ш ведет себя с увеличением
/ так же, как и мощность в импульсе основного излучения: при / < /i она
постоянна, а затем пада-
падает. Существенно, что в си-
силу квадратичного характера
преобразования это падение
происходит быстрее, чем для
основного излучения. Поэто-
Поэтому при / > /i средняя мощ-
мощность второй гармоники Р' ш
начинает уменьшаться с ро-
ростом /.
Все эти зависимости для
случая внерезонаторной ге-
генерации второй гармоники
показаны на рис. 4.7. Видно,
что зависимость (^Р ш (/)}
имеет максимум в области
значений / вблизи f±. Такой
Рис. 4.7 максимум обнаруживается и
в режиме ВРГВГ.
Дифференцируя вмин из D.3.64) по пмакс = в (тх), находим, что
о
А
f
< 1
D.3.67)
и, следовательно, рассматриваемый режим ВРГВГ устойчив.
Этот режим соответствует «завершению» (полному высвечи-
высвечиванию) импульса, поскольку уравнение D.3.64) получено для
и@) =и(т0) =0.
Предположим, что вмакс ^ 1 и поэтому импульс не успевает
полностью высветиться за время то — т\. В этом случае вмес™
то уравнения D.3.64) получаем из D.3.60) следующее уравнение
4.3
ДИНАМИКА ЛАЗЕРОВ С НЕПРЕРЫВНОЙ НАКАЧКОЙ
251
для определения пмин:
т
OL Пмин - /3 = U (То) .
D.3.68)
Рассматриваемый случай иллюстрирует рис. 4.8, построенный
по аналогии с рис. 4.5. В отличие от рис. 4.5, здесь выбрано одно
значение частоты повторе-
повторения импульсов. Это зна- кпшъя
чение выбрано достаточно Ф
большим с тем, чтобы им-
импульс не успевал полно™
стью высветиться. Кривые
1, 2, 8 на рис. 4.8 показы-
показывают зависимость пмин от
^макс? определяемую урав-
уравнением D.3.68), для разных
значений параметра г. Кри-
Кривая 1 получена для г = О,
кривая 2 — для г = ri, кри-
кривая 8 — для г = Г2, причем
ri < г2- Трем точкам пересе-
пересечения (точкам I, II, III на ри-
сунке) отвечают три режима
Рис.
генерации. Видно, что по мере роста г наклон касательной, про-
проведенной к соответствующей кривой в точке пересечения, умень-
уменьшается, в связи с чем режим генерации, неустойчивый при ма-
малых г, может стать устойчивым при достаточно больших г.
Таким образом, если при линейной нагрузке режим непол-
неполного высвечивания импульса всегда неустойчив, то при
квадратично-нелинейной нагрузке этот режим может оказать-
оказаться устойчивым. Иными словами, в отличие от лазера с линей-
линейной нагрузкой, в лазере с ВРГВГ можно получить устойчивую
генерацию при относительно высоких частотах повторения им-
импульсов, когда импульс высвечивается не полностью.
Режим «обрывания импульса» [26, 27]. Для увеличения
/ надо, чтобы инверсия скорее достигала максимального зна-
значения и чтобы процесс развития генерируемого импульса про-
протекал быстрее. Этого можно добиться, если поддерживать ин-
инверсию на относительно высоком уровне, для чего достаточно
оборвать генерацию^ резко снизив в некоторый момент доброт-
добротность резонатора. Такой режим называют режимом «обрывания
импульса» 1). В рассматриваемом режиме происходит неполное
1) По-видимому, более оправдан был бы термин «обрывание генерации».
Термин «обрывание импульса» подходит к режиму cavity-dumping, где дей-
действительно наблюдается обрывание выходящего из резонатора светового
импульса (см. ниже).
252 ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ ГЛ. IV
высвечивание импулвса. Наряду с остаточной инверсией в дан™
ном случае сохраняется в резонаторе также некоторое остаточ-
остаточное излучение, что сокращает длителвноств этапа развития им-
импульса.
Для реализации устойчивого режима обрывания импулв-
импулвса необходимо исполвзовать квадратично-нелинейную нагрузку,
т.е. работать в режиме ВРГВГ. При линейной нагрузке обрыва-
обрывание генерации, приводящее к неполному высвечиванию импулв-
импулвса, делает режим неустойчивым.
Обозначим через тз момент обрывания генерации, т.е. мо-
момент, когда добротность резонатора резко снижается до мини-
минимума. Пуств и® = и(тз) — поле в резонаторе в момент тз. В
данном случае уже нельзя полагать равным нулю слагаемое С
в D.3.32). Вместо D.3.36) запишем теперв
Е„ = Ф A1)^1Q"Q) + ЬQ - «о- D.3.69)
Момент ввжлючения добротности тз выбирается таким, чтобв!
соотношение между п мин и п макс было близким к оптимальному
соотношению D.3.38). При этом в соответствии с D.3.43)
D.3.70)
В данном случае энергия импульса близка к максимальному зна-
значению, определяемому соотношением D.3.41).
В рассматриваемом режиме должно выполняться условие
щ <С ЕЖ1 для чего достаточно потребоватв, чтобв!
^ D.3.71)
С учетом D.3.41) это условие равносильно условию
г» ( * , . D.3.72)
f л/ф — 1J
Отметим, что в режиме обрывания импулвса с квадратично-
нелинейной нагрузкой предельные частоты повторения импуль-
импульсов, ниже которых режим устойчив, значительно превышают
таковые для режима модуляции добротности с полнвш высве-
высвечиванием импульса. Время развития импульса в данном случае
значительно менвше, чем в режиме завершения, посколвку ин-
инверсия поддерживается на уровне, существенно превышающем
порог.
Режимы модуляции нагрузки [27—29]. Обсуждение импульсных ре™
жимов непрерывно накачиваемых лазеров будет неполным, если не коснуть-
коснуться хотя бы вкратце режимов модуляции нагрузки резонатора. Рассмотрим
линейную нагрузку; при этом выделим два режима: а) глубокой модуляции
нагрузки; б) неглубокой модуляции нагрузки (режим разгрузки резонатора,
cavity-dumping).
4.3
ДИНАМИКА ЛАЗЕРОВ С НЕПРЕРЫВНОЙ НАКАЧКОЙ
258
При глубокой модуляции нагрузки коэффициент отражения R выход-
выходного зеркала изменяется во времени следующим образом:
R =
F =
0 (нагрузка включена) при 0 < т < т\,
1 (нагрузка выключена) при п < т < то.
В соответствии с D.3.10) это означает, что
оо при 0 < т < п,
0 при т\ < т < то.
При неглубокой модуляции нагрузка включается не полностью:
Но (нагрузка включена) при 0 < т < т\,
1 (нагрузка выключена) при п < т < то.
В соответствии с D.3.10) это означает, что
R =
F =
— In — при 0 < т <
е Ro
D.3.73)
D.3.74)
D.3.75)
D.3.76)
[ 0 при т\ < т < то.
Рисунок 4.9 иллюстрирует рассматриваемые режимы. На рисунке по™
казаны зависимости п(т) и и(т), где и(т) — поле внутри резонатора:
^0
Рис. 4.9
штриховкой выделен световой импульс, выходящий из резонатора в каж-
каждом цикле. Используются обозначения: тр — приведенное время двойного
254 ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ ГЛ. IV
прохода излучения по резонатору; то (а также т = 0) — момент включения
нагрузки; п — момент выключения нагрузки.
На рис. 4.9 а представлен режим глубокой модуляции нагрузки при от-
относительно невысоких частотах повторения импульсов. В течение времени
от т = 0 до п генерация отсутствует (резонатора фактически нет), происхо-
происходит нарастание инверсии. В момент п резонатор становится высокодоброт-
высокодобротным и запертым и в нем начинается генерация; по мере развития генерации
инверсия уменьшается. В момент то резонатор полностью открывается, и
из него за время тр «вываливается» вся накопившаяся за цикл световая
энергия.
На рис. 4.9 I? представлен режим глубокой модуляции нагрузки при пре-
предельной частоте повторения импульсов. В отличие от предыдущего режима,
развитие генерации начинается теперь при более низком уровне инверсии,
поэтому этап развития оказывается более длительным (в данном случае
Тразв И То).
На рис. 4.9 в представлен режим неглубокой модуляции нагрузки (ре-
(режим cavity-dumping). В момент г = 0 включается нагрузка и начинается
высвечивание выходного импульса; в момент п нагрузка выключается. По-
Поскольку теперь резонатор открывается не полностью^ то за время тр из него
не может выйти вся накопленная световая энергия. В случае, изображенном
на рис. 4.9 в, время п выбрано равным времени тр. При этом происходит
как бы обрывание выходящего из резонатора светового импульса, и внутри
резонатора остается невысветившаяся энергия uq. В результате развитие
генерации начинается в момент т\ уже не от уровня шумов (как это было
в режимах на рис. 4.9йи 4.9 6), а от более высокого уровня, отвечающего
остаточной энергии uq. Благодаря этому длительность этапа развития су-
существенно сокращается, что приводит к увеличению предельной частоты
повторения импульсов.
4.4. Оптические схемы твердотельных лазеров с
внутрирезонаторной генерацией второй гармоники
На всех схемах, изображенных на рисунках в данном пара-
параграфе, непрерывные стрелки относятся к основному излучению,
а штриховые — к излучению второй гармоники. Используются
обозначения: АЭ — активный элемент; НК — нелинейный кри-
кристалл; 031 — зеркало, полностью отражающее на основной ча-
частоте; ОЗ2 — зеркало, полностью отражающее на частоте второй
гармоники; ОЗ12 — зеркало, полностью отражающее излучения
как на основной частоте, так и на частоте второй гармоники;
ДЗх — дихроичное зеркало первого типа (зеркало, полностью
отражающее основное излучение и полностью пропускающее из™
лучение второй гармоники); ДЗ2 — дихроичное зеркало второго
типа (зеркало, полностью отражающее излучение второй гар-
гармоники и полностью пропускающее основное излучение); ПП —
просветляющее диэлектрическое покрытие, наносимое на торец
нелинейного кристалла. В приведенных ниже схемах не показа-
показаны оптические затворы, вводимые в резонатор в тех случаях,
когда надо управлять потерями.
4.4
ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ЛАЗЕРОВ С ВРГВГ
255
Схемы с потерей обратной волны, использующие ди-
дихроичное зеркало [3]. Эти схемы являются наиболее просты-
простыми. Две такие схемы представлены на рис. 4.10. Для выведения
h
,*. _j, —.
АЭ
111J
/\
=
HK
L
ДЗ1
Рис.
|
1
4.1П
АЭ
пп
=,^
HK
из резонатора излучения второй гармоники используется дихро™
ичное зеркало первого типа (зеркало ДЗх). Напомним, что про-
процесс генерации второй гармоники идет в обе стороны — как для
прямой, так и для обратной бегущих волн основного из луче™
ния. В схемах на рис. 4.10 волна второй гармоники, генерируе-
генерируемая в направлении от выходного зеркала к активному элементу
(обратная волна второй гармоники), теряется безвозвратно —
она попадает в активный элемент и поглощается в нем. Таким
образом, излучение гармоники, генерируемое в нелинейном кри-
кристалле, используется здесь лишь наполовину.
В отличие от схемы на рис. 4.10 а, в схеме на рис. 4.10 б" вы-
выходное дихроичное зеркало нанесено непосредственно на торец
нелинейного кристалла. В этом случае не надо наносить просвет-
просветляющее покрытие на правый торец кристалла; количество вну-
трирезонаторных элементов сокращается. Правда, дихроичное
зеркало трудно нанести на мягкие водорастворимые кристаллы
ШОз или группы KDP. Это проще сделать для твердых кри-
кристаллов типа LiNbOs, Ba2NaNb5Oi5, KTP и др.
Обе приведенные на рис. 4.10 схемы пригодны как для оое-,
так и для оее-взаимодействий.
При использовании нелинейных кристаллов с большим дву™
лучепреломлением в направлении синхронизма можно применить
схему с двумя последовательно размещенными нелинейными
кристаллами, оптические оси которых развернуты относительно
друг друга, как это показано на рис. 4.11 (zf — оптическая ось
кристалла). Напомним в связи с этим схему внерезонаторной
генерации второй гармоники, приводившуюся на рис. 3.31 а.
Схемы с потерей обратной волны, не использующие
дихроичного зеркала [30, 31]. В связи с определенными
трудностями изготовления дихроичных зеркал используют так-
также схемы ВРГВГ без таких зеркал. Для вывода из резонатора
излучения второй гармоники в этих схемах применяют вместо
256
ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ
ГЛ. IV
дихроичыых зеркал двупреломляющие или дисперсионные приз™
мы. Проходя через призму, излучение второй гармоники изме-
изменяет направление распространения и в результате выводится из
резонатора.
АЭ
7 \
nnLJ LJnn
пп
03!
нк нк
Д31
Рис. 4.11
На рис. 4.12 а представлена схема с двупреломляющей приз™
мой — призмой Глана (ПГ). Работа такой схемы основана на
I
03!
-е-
пг
пп нп пп
031
I
АЭ
\
пп нп пп
Рис. 4.12
4.4 ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ЛАЗЕРОВ С ВРГВГ 257
различии поляризаций основного излучения и второй гармони™
ки; схема пригодна только для оое-взаимодействия. Призма Гла-
на пропускает излучение, линейно поляризованное перпендику-
перпендикулярно к плоскости рисунка (основное излучение), и отражает
под углом к оси резонатора излучение, линейно поляризован-
поляризованное в плоскости рисунка (излучение второй гармоники). Разу-
Разумеется, внесение внутрь резонатора призмы Глана приводит к
заметному повышению пассивных потерь. К тому же, если в ак-
активном элементе возникает некоторая деполяризация излучения
(например, вследствие тепловых искажений), то двупреломля-
ющая призма будет вносить дополнительные потери, так как
вследствие деполяризации часть основного излучения будет от-
отражаться призмой и тем самым выводиться из резонатора.
На рис. 4.12 6 представлена схема, в которой используют-
используются три дисперсионные призмы для разделения в пространстве
пучков основного излучения и второй гармоники и выведе-
выведения второй гармоники из резонатора. В отличие от схемы на
рис. 4.12 а данная схема пригодна как для оое-, так и для оее-
взаимодействия.
Схемы с возвратным зеркалом [18, 10]. Применяя зер-
зеркало с высоким отражением на частоте второй гармоники, мож-
можно изменить направление распространения обратной волны вто-
второй гармоники на противоположное и в результате реализовать
практически полный вывод из резонатора излучения, генери-
генерируемого в нелинейном кристалле. Такое зеркало называют воз-
вратным. На рис. 4.13 представлены три схемы с возвратным
зеркалом.
В схеме на рис. 4.13 а имеются два дихроичных зеркала раз-
разного типа: ДЗх и ДЗ2. Зеркало ДЗ2 является возвратным, а
зеркало ДЗх выходным. Возвратное дихроичное зеркало может
быть, очевидно, использовано во всех рассмотренных выше схе-
схемах. При этом в некоторых случаях возвратное зеркало наносят
непосредственно на торец нелинейного кристалла, обращенный
к активному элементу. К сожалению, весьма трудно изготовить
хорошее дихроичное зеркало второго типа (с высоким отражени-
отражением на частоте 2ш и высоким пропусканием для ш). Даже незна-
незначительное отклонение от нуля коэффициента отражения зерка-
зеркала по основной частоте будет приводить к ощутимым потерям,
сравнимым, как показывает практика, с пассивными потерями
в резонаторе в отсутствие возвратного зеркала. Более целесо-
целесообразно применять хорошие дихроичные зеркала первого типа
ДЗх с высоким отражением для частоты о;, не вносящие потерь
на частоте генерации).
В связи с этим обратимся к схеме, изображенной на
рис. 4.13 б. В отличие от предыдущей схемы здесь имеется толь-
только одно дихроичное зеркало и притом первого типа, оно игра-
9 В.Г. Дмитриев, Л.В. Тарасов
258
ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ
ГЛ. IV
ет роль выходного зеркала. В качестве возвратного зеркала ио
пользуется зеркало, полностью отражающее на обеих частотах
АЭ
O3i
пп
пп
нк
Д32 Д31
оз12
Рис. 4.13
(зеркало O3j_2). Такая схема позволяет за счет применения из-
изломанного резонатора реализовать практически полный вывод
из резонатора излучения второй гармоники без использования
при этом дихроичного зеркала второго типа.
4.4
ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ЛАЗЕРОВ С ВРГВГ
259
Можно вообще обойтись без дихроичных зеркал, применяя
призму Глана. На рис. 4.13 в представлена схема с призмой Гла-
на, помещенной между активным элементом и нелинейным кри-
кристаллом; зеркало ОЗ12 является возвратным. К сожалению, как
уже отмечалось, введение призмы внутрь резонатора может су-
существенно повысить потери, при этом нанесение просветляющих
покрытий на торцы призмы Глана часто является затруднитель-
затруднительным, так как такие призмы, как правило, изготавливаются из
«мягких» диэлектрических материалов.
Интересным вариантом схемы, изображенной на рис. 4.13 а, является
схема, в которой возвратное зеркало, находящееся между активным элемен-
элементом и нелинейным кристаллом, имеет оптимальный (а не нулевой) коэффи-
коэффициент отражения на основной частоте [12, 18]. В этом случае реализуется
система из двух связанных резонаторов для основного излучения, кото-
которая позволяет (при надлежащем подборе параметров) повысить мощность
накачивающего излучения в нелинейном кристалле. Кроме того, при этом
ослабляется влияние потерь в нелинейном кристалле на процесс генерации
в активном элементе.
Фокусировка основного излучения в нелинейный
кристалл [2, 3]. В лазерах с непрерывной накачкой зеркала
резонатора, как правило, являются сферическими с тем, что-
чтобы обеспечить фокусировку основного излучения в нелинейный
кристалл. Две такие схемы представлены на рис. 4.14. Схема на
Рис. 4.14
рис. 4.14 а есть аналог схемы, показанной на рис. 4.13 6". Здесь
применяется полусферический резонатор, в котором перетяжка
пучка основного излучения попадает в нелинейный кристалл.
Для фокусировки излучения может быть использована также
схема с внутрирезонаторным телескопом — так называемая Z-
схема (рис. 4.14 б). Два сферических зеркала образуют здесь те™
лескоп, фокусирующий основное излучение в кристалл.
Схемы с однонаправленной генерацией второй гар-
гармоники. Схемы ВРГВГ в кольцевых лазерах позволяют
9*
260
ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ
ГЛ. IV
осуществлять однонаправленную генерацию второй гармоники.
Три таких схемы представлены на рис. 4.15. Для подавления
O3i в
Рис. 4.15
генерации встречной волны основного излучения в схемах при-
применяется дополнительное зеркало 3;; при этом отражающее зер™
кало 03^ должно иметь небольшой (~ 0,01) коэффициент про-
пропускания на основной частоте.
Схема ВРГВГ с каскадным удвоением частоты. На
рис. 4.16 представлена схема, где генерируемое в нелинейном
кристалле НК; излучение второй гармоники используется для
накачки нелинейного кристалла НК/;, в котором генерируется
четвертая гармоника (излучение четвертой гармоники показа-
показано на рисунке штрих™пунктирными линиями). Зеркало ДЗ4, на™
несенное в данном случае непосредственно на торец кристалла
НК/;, имеет высокое пропускание на частоте второй гармони-
гармоники и высокое отражение на частоте четвертой гармоники. Вы™
ходное зеркало Д32, напротив, имеет высокое пропускание на
частоте четвертой гармоники и высокое отражение на частоте
второй гармоники. Схема состоит из двух резонаторов с вза™
имно перпендикулярными осями; зеркала O3i и ОЗ12 образу-
образуют первый резонатор, а зеркала ДЗ4 и ДЗ2 — второй. Связь
между резонаторами осуществляется посредством призмы Гла™
4.4
ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ЛАЗЕРОВ С ВРГВГ
261
на. На рисунке показано направление линейной поляризации
для излучений на всех трех частотах (о;, 2а;, 4a;). Данная схема
О312
Рис. 4.16
пригодна, очевидно, только для оое-взаимодействия (при гене™
рации как второй, так и четвертой гармоники).
Интерференционные эффекты в лазерах с ВРГВГ.
Как уже указывалось, возвратное зеркало применяется в лазе™
pax с ВРГВГ, с одной стороны, для реализации однонаправлен-
однонаправленного режима, с другой — для повышения выходной мощности
второй гармоники (в противном случае «обратная» волна гармо-
ники поглощается в активном элементе). В приближении задан-
заданного поля выходящую из такого лазера волну второй гармоники
можно рассматривать как результат интерференции двух волн
второй гармоники — первая волна генерируется прямой волной
основного излучения, вторая волна генерируется обратной вол™
ной основного излучения и, отражаясь от возвратного зеркала,
распространяется в том же (прямом) направлении, что и пер-
первая волна. В зависимости от фазовых соотношений, эти волны
могут взаимно усиливать или гасить друг друга. В идеально-
когерентном случае (естественно, слабо реализуемом на прак-
практике) выходная мощность результирующего излучения второй
гармоники в зависимости от фаз обеих волн может в принципе
меняться от нуля (полное погашение) до сложения (в фазе) ам-
амплитуд обоих полей гармоники (что дает выходную мощность,
вдвое превышающую таковую при сложении интенсивностей
волн). Тем самым, в максимуме выходная мощность гармоники
262 ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ ГЛ. IV
в схеме с возвратным зеркалом и в приближении заданного поля
оказывается в четыре раза большей таковой для прямой волны.
Однако на практике редко удается получить даже коэффициент 2
(сложение только интенсивностей, а не амплитуд). Это показы-
показывает, что интерференционные эффекты в схемах ВРГВГ с воз-
возвратным зеркалом должны быть изучены более детально. Впер-
Впервые этот вопрос был исследован в работе [43], см. также [44].
Интерференция прямой и обратной волн второй гармони-
гармоники может быть рассмотрена и с другой точки зрения — после
отражения обратной волны гармоники от возвратного зерка-
зеркала на нелинейный кристалл в прямом направлении поступают
две волны: волна основного излучения, вышедшая из активно-
активного элемента и прошедшая через возвратное зеркало без потерь
и отражений, и волна гармоники, прогенерированная основным
излучением на обратном проходе и отраженная от возвратного
дихроичного зеркала (см., например, рис. 4.13 а). Тем самым, мы
приходим к задаче о генерации второй гармоники с произволь-
произвольными граничными условиями, рассмотренной в рамках плоских
волн в § 2.4 гл. П. Как там было показано, ход процесса ГВГ,
в отличие от случая ГВГ с нулевым граничным значением ам-
амплитуды поля гармоники, кардинально определяется граничным
значением обобщенной фазы Ф@). Рассматривая для просто-
простоты случай точного синхронизма (Ак = 0), получаем следующие
особенности процесса ГВГ при ненулевом граничном условии
для амплитуды поля гармоники (см. рис. 2.8):
— при Ф @) = тг/2 точка фазовой плоскости, изображающая
граничное (при z = 0) значение амплитуды гармоники «20? оста-
остается на сепаратрисе в верхней полуплоскости, т.е. нарастание
гармоники, имевшее место при обратном проходе (где гранич-
граничное значение «20 = 0)? также будет иметь место;
— при Ф @) = ^тг/2 соответствующая граничная изобра-
изображающая точка окажется также на сепаратрисе, но в нижней
полуплоскости, т.е. нарастание гармоники, имевшее место на
обратном проходе, сменится ее уменьшением с ростом z (изоб-
(изображающая точка будет двигаться по сепаратрисе снизу вверх,
может дойти до начала координат, соответствующего нулевой
амплитуде «2 и тем самым полной обратной перекачке гармо-
гармоники в основное излучение, перейти через нуль и двигаться по
сепаратрисе уже в верхней полуплоскости — рост гармоники на-
начнется как бы сначала);
— при Ф @) = 0 или тг изображающая граничная точка ока-
окажется на одном из овалоидов фазовой плоскости в ее правой
(при Ф @) = 0) или левой (Ф @) = тг) полуплоскостях; даль-
дальнейшее ее движение будет зависеть от граничного значения ам-
амплитуды «20 — ПРИ «20 < U/л/З (см. формулу B.3.19) в § 2.3
4.4 ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ЛАЗЕРОВ С ВРГВГ 268
при нулевых потерях в нелинейном кристалле) будет иметь ме™
сто нарастание амплитуды гармоники, а при tt20 > U/л/3 — ее
уменьшение;
— при произвольных значениях Ф @) (кроме тг/2 и ^тг/2)
изображающая граничная точка так же, как и при Ф @) = 0, тг
попадает на один из овалоидов, но в произвольной точке, опре-
определяемой парой значений «20? Ф@); дальнейшее ее движение
будет определяться этой парой значений и направлением дви-
движения, как показано на рис. 2.8.
Таким образом, очевидно, что в лазерах с ВРГВГ и возврат-
возвратным зеркалом величина граничного значения обобщенной фазы
Ф @) на прямом проходе является определяющей для выходной
мощности гармоники. Осталось выяснить, чем определяется ве-
величина Ф @). Для простоты будем продолжать рассматривать
случай выполнения условия синхронизма, т.е. А к = 0, и приме-
применять приближение плоских волн, но откажемся от приближения
заданного поля основного излучения, т.е. будем рассматривать
существенно нелинейный режим ГВГ; напомним также, что вы™
ходное зеркало лазера с ВРГВГ (ДЗх на рис. 4.13 а) считается
полностью отражающим основное излучение и (это наиболее
принципиально!) полностью пропускающим волну гармоники.
Даже минимальное отражение волны гармоники от выходно-
выходного зеркала ДЗх может кардинально исказить рассматриваемую
картину.
В рассматриваемых приближениях обобщенная фаза взаи-
взаимодействующих волн на обратном проходе, для которого «20 =
= 4-) A + L) = 0, см. § 2.3, ф(~) @) = тг/2, сохраняет свое
значение в любой точке нелинейного кристалла, т.е. ф(~) (z) =
= ф(~) (I) = тг/2. После выхода из нелинейного кристалла обрат-
обратная волна гармоники на пути ее превращения в прямую волну
дважды проходит воздушный промежуток между левым торцом
нелинейного элемента и возвратным дихроичным зеркалом и от-
отражается от последнего (см. рис. 4.13, поскольку на рис. 4.1, на
основе которого был дан анализ ВРГВГ, этот промежуток не по™
казан). Таким образом, отличие входного значения фазы ф(+) (I)
для прямого прохода от значения ф(+) A) = тг/2 может быть свя-
связано как с изменением Ф в воздушном промежутке за счет дис-
дисперсии показателя преломления в воздухе An = п Bш) ~~ п (а;),
так и с возможным скачком фазы </?2 гармоники на диэлектри-
диэлектрическом возвратном дихроичном зеркале ДЗ2 (рис. 4.13 а).
Наиболее сложно определить изменение обобщенной фазы
Ф в воздушном промежутке между нелинейным кристаллом и
зеркалом ДЗ2. Дело в том, что зеркало ДЗ2 по определению
полностью отражает вторую гармонику и полностью пропуска™
264 ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ ГЛ. IV
ет основное излучение. Таким образом, набег фаз основного из™
лучения Ду?1 и гармоники Д</?2 на входе нелинейного элемента
на прямом проходе и, следователвно, набег обобщенной фазы
Дф = 2Д<^2 ~ Д^ъ могут быть, вообще говоря, произвольными
и не всегда поддающимися контролю величинами. Действитель-
Действительно, основное излучение, выйдя на обратном проходе из левого
торца (z = I на рис. 4.1) нелинейного элемента, проходит после-
последовательно через воздушный промежуток между нелинейным
элементом и правым торцом АЭ (см. рис. 4.13 а), причем через
дихроичное зеркало ДЗ2 оно проходит без каких-либо измене-
изменений, далее дважды через АЭ и дважды через воздушный про-
промежуток между левым торцом АЭ и левым зеркалом, снова че-
через воздушный промежуток между правым торцом АЭ и левым
торцом НК и поступает на вход НК. Излучение второй гармони-
гармоники испытывает набег фаз при проходе дважды через воздушный
промежуток между левым торцом НК и дихроичным зеркалом
ДЗ2 и вследствие возможного скачка фазы на зеркале ДЗ2. Фа-
Фазу волны основного излучения на обратном проходе на выходе
(z = I на рис. 4.1) можно принять за нуль: (р\ A) = 0, тогда
<?>2 (I) = 1/2 (тг/2 + <р(~) (/)) = тг/4. Разумеется, все эти рас™
суждения справедливы только в стационарном режиме ВРГВГ.
Вместе с тем, в приближении плоских волн расчет набегов
фаз A(fi и A(f2 не представляет особых трудностей. На прак-
практике мы имеем дело не с плоскими волнами, а в общем случае
с волновыми пакетами — ограниченными пучками и световыми
импульсами. В общем случае необходимо учитывать многомо-
довый характер излучения, двулучепреломление в нелинейном
кристалле, расходимость, деполяризационные и тепловые эф-
эффекты, неоднородную волновую расстройку и, наконец, неиде-
неидеальность дихроичных выходного ДЗх и возвратного ДЗ2 зеркал,
в любом случае обладающих пусть малыми, но исключительно
сильно влияющими на процесс ВРГВГ значениями коэффици-
коэффициентов отражения по основному излучению (ДЗ2) и гармонике
(Д3]_). Последний эффект, в частности, приводит к появлению
системы связанных резонаторов (см. рис. 4.13 а), из-за чего
возникают дополнительная и существенная нестабильность
спектрально-временных и пространственно-энергетических ха-
характеристик выходного излучения гармоники и специфическая
интерференционно-угловая структура гармоники в дальнем по-
поле [44].
С одной стороны, наличие всех этих эффектов приводит к
сбою фазовых соотношений и к уменьшению выходной мощно-
мощности гармоники по сравнению с максимально возможной (коэф-
(коэффициент 4 в приближении заданного поля), но и, с другой сторо-
стороны, к некоторому (иногда существенному) усреднению влияния
4.4 ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ЛАЗЕРОВ С ВРГВГ 265
этих эффектов, так что на практике при введении возвратного
зеркала далее в приближении заданного поля наблюдается уве-
личение мощности гармоники до двух раз (вместо четырех).
Подобные вопросы, помимо [44], рассматривались также в
работах [45^48] для случаев двухпроходной генерации гармони-
гармоники в кристаллах йодата лития [45-47] и барий-натрий-ниобата
[48]. Как правило, рассмотрение в этих работах проводилось в
приближении плоских волн, причем отмечалось, что результаты
сохраняются и в приближении слабой фокусировки. В принципе,
условия, близкие к случаю плоских волн (или к аналогичному
случаю квазиплоских волн с гауссовым распределением ампли-
амплитуды и плоским фазовым фронтом), реализуются на практике в
кристаллах с 90°-ным синхронизмом, находящихся в перетяжке
пучка основного излучения (см., например, рис. 4.14).
Заметим, что учет двулучепреломления (сноса) в нелинейном
кристалле при углах синхронизма, отличающихся от 90°, при
двухпроходной генерации гармоники имеет свою специфику, так
как, например, в узловой схеме ВРГВГ (см. рисунки 4.13 6" и
4.14 а) угол двулучепреломления (сноса) при вторичном, после
отражения от зеркала ДЗх, прохождении через НК, меняет свой
знак на противоположный. Тем самым, пучок гармоники на об™
ратном проходе снова возвращается в пучок основного излучения
(оое-взаимодействие), что обеспечивает как минимум частичную
компенсацию двулучепреломления. Такая компенсация дает вы-
выигрыш по мощности гармоники, как в случае применения для
ГВГ двух последовательно расположенных кристаллов с направ-
направлениями оптических осей, развернутыми на тг (см. § 3.7), а также
кристаллов с регулярной доменной структурой (см. гл. VII).
Подчеркнем еще раз, что коэффициент 4 для увеличения
мощности гармоники в двухпроходовом режиме по сравнению
с таковой в однопроходовом режиме (без возвратного зеркала)
может быть реализован только в приближении заданного поля
основного излучения (и, разумеется, при точном согласовании
фаз, т.е. при ф(+) A) = тг/2). В существенно нелинейном ре-
режиме этот коэффициент будет значительно меньшим, однако,
практически во всех лазерах с непрерывной накачкой приближе-
приближение заданного поля хорошо выполняется даже в режиме ВРГВГ,
близком к оптимальному.
На практике может потребоваться прецизионная подстройка
зеркал резонатора лазера с ВРГВГ (например, с помощью пьезо™
двигателя и системы обратной связи, настроенной на получение
максимума выходной мощности гармоники). Вместо этого мож-
можно подстраивать фазу ip\ с помощью электрооптического фа-
фазовращателя с аналогичной системой обратной связи. Обратим
также внимание читателя на то, что в схемах лазеров с ВРГВГ
266 ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ ГЛ. IV
часто применяется фокусировка основного излучения в нели™
нейный кристалл (см., например, рис. 4.14); в этом случае отра-
отраженную от возвратного дихроичного зеркала волну гармоники
необходимо согласовать по каустике с прямой волной лазерного
излучения.
В ряде случаев применение возвратного дихроичного зеркала
становится нецелесообразным. В частности, этот факт имеет ме-
место именно при фокусировке основного излучения в нелинейный
кристалл (см. рис. 4.14). Здесь дело в том, что при отражении
от конечного дихроичного зеркала (ОЗ12 на рис. 4.14) основное
излучение при обратном проходе через нелинейный кристалл по-
повторяет путь прямого прохода, т.е. каустики основного излуче™
ния на прямом и обратном проходах совпадают. Что касается
волны второй гармоники, то ее каустики на прямом и обратном
проходах как минимум имеют разную кривизну волновых фрон-
фронтов, что связано как с разной температурной дисперсией пока-
показателя преломления на обеих длинах волн, так и с различием
тепловых линз на этих длинах волн. Это различие может при-
привести (и на практике приводит) к кольцевой структуре волны
гармоники из-за интерференционных эффектов. В таких слу-
случаях лучше отказаться от применения возвратного зеркала и
использовать двунаправленный вывод гармоники.
При использовании в лазерах с ВРГВГ и возвратным зер™
калом кристаллов с критическим (по углу) синхронизмом (на-
(например, ШОз) также может возникнуть весьма специфическая
интерференционная структура: при отстройке от направления
синхронизма излучение гармоники в дальнем поле представля-
представляет собой два луча, расходящихся под двойным углом отстройки
от угла синхронизма и имеющих расходимость порядка угловой
ширины синхронизма [44].
Все вышеизложенное свидетельствует о весьма сложном ха-
характере взаимодействия волн основного излучения и второй гар-
моники в реальных лазерах с ВРГВГ; полная и адекватная тео-
теория процесса ВРГВГ до настоящего времени не создана. Вместе
с тем, во всем мире, в том числе в России, разработаны и серий-
серийно выпускаются высокоэффективные лазеры с ВРГВГ в режи-
режиме, близком к оптимальному, работающие как при непрерывной
накачке (в том числе в режимах импульсной генерации с мо-
модуляцией добротности резонатора и синхронизации мод), так и
при импульсной накачке в режиме сравнительно небольших ко-
коэффициентов усиления основного излучения.
4.5. Лазер с активно-нелинейной средой
Следующим шагом в развитии лазеров с ВРГВГ является ла-
зер с активно-нелинейной средой (АНС), под которой понима-
4.5 ЛАЗЕР С АКТИВНО-НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДОЙ 267
ют нелинейный кристалл, являющийся одновременно активным
(лазерным) элементом благодаря активированию соответствую-
соответствующими ионами. В таком кристалле происходит одновременно ге-
генерация излучения на основной частоте и нелинейно-оптическое
преобразование этого излучения во вторую гармонику. Теория
лазеров с АНС развивалась в работах [32-34].
Интерес к лазерам с АНС (их также называют лазерами с са-
самопреобразованием или самоумножением частоты) объясняется
тем, что они обладают некоторыми преимуществами по срав-
сравнению с лазерами, где активный элемент (АЭ) и нелинейный
кристалл (НК) разнесены (лазеры с АЭ + НК). Нелинейные
потери в АНС ограничивают плотность мощности основного из™
лучения и, следовательно, снижают роль насыщения усиления,
что приводит к повышению эффективности лазерной накачки.
Как показывают расчеты, в лазерах с АНС оптимальное значе-
значение коэффициента нелинейной связи (по максимуму выходной
мощности второй гармоники) в несколько раз меньше такового
для лазеров с АЭ + НК, что позволяет использовать кристал-
кристаллы с меньшими значениями коэффициента нелинейной связи. В
лазерах с АНС не требуется, очевидно, применять фокусиров-
фокусировку излучения, что позволяет более полно использовать объем
нелинейного кристалла. Кроме того, использование АНС дает
некоторые эксплуатационные преимущества. Так, замена двух
элементов внутри резонатора одним предпочтительна для повы-
повышения общей надежности устройств, для облегчения юстиров-
юстировки, уменьшения френелевских потерь; исчезает необходимость
фазировки волн в зазорах между элементами и т.д.
Активно-нелинейные среды. Известен целый ряд нели-
нелинейных кристаллов, которые могут использоваться в качестве
АНС [35]. К ним относятся кристаллы ниобата лития, активи-
активированные ионами неодима, туллия или гольмия (LINbO3iNd3+;
LiNbO3:Tm3+; LiNbO3:Ho3+) [36, 37], ниобата бария-натрия с
неодимом (Ba2NaNb5Oi5:Nd3+) [38], бората иттрия-алюминия с
неодимом (Ndo,2Yo,8Al3(BC>3L) L39I и ДР-
Первое сообщение о получении индуцированного излучения
в кристалле LiNbO3:Nd3+ на основной длине волны 1,0846 мкм
было сделано в 1967 г. [36]. Генерируемое излучение имело тг-
поляризацию, т.е. соответствовало необыкновенной волне. По-
Поскольку для генерации второй гармоники хотя бы одна из волн
основного излучения должна быть обыкновенной, вначале счи-
считалось, что кристалл LlNbO3:Nd3+ непригоден в качестве АНС
для ГВГ. В 1969 г. авторы [37] сообщили о наблюдении са-
самоумножения частоты в кристалле ниобата лития с туллием
AлМЬОз:Тт3+), но выразили сомнение о возможности анало-
аналогичного наблюдения для кристалла LINbO3:Nd3+. Годом раньше
268 ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ ГЛ. IV
в работе [40] сообщалось о получении в кристалле
индуцированного перехода на длине волны 1,0932 мкм, излуче-
излучение которого имело ^поляризацию, т.е. соответствовало обык-
обыкновенной волне. Это открывало принципиальную возможность
получения эффекта самоумножения частоты в таком кристал-
кристалле. После этого начались интенсивные спектроскопические ис-
исследования лазерных характеристик кристалла LiNbO3iNd3+. В
1975 г. в работе [41] был исследован лазер на таком кристал-
кристалле, накачиваемый криптоновым лазером, была оценена вели-
величина коэффициента усиления, который оказался лишь немного
ниже, чем для лазера на AHT:Nd3+. Наконец, в 1979 г. в отече-
отечественной работе [49] впервые был реализован лазер с самоумно-
самоумножением частоты на кристалле LINbO3:Nd3+, т.е. получена одно-
одновременная генерация основного излучения на «^поляризованном
переходе 1,0932 мкм (обыкновенная волна) и второй гармоники
@,5466 мкм).
Укороченные уравнения длм лазера на АНС в стацио-
стационарном режиме. Будем исходить из системы укороченных
уравнений B.2.28), ограничиваясь, тем самым, приближением
плоских взаимодействующих волн и стационарным режимом.
Прежде всего перепишем B.2.28), переходя от вещественных ам™
плитуд а\ и п2 к плотностям мощности Si (z) и S2 (z) (здесь
индексы 1 и 2 относятся к основной частоте и частоте второй
гармоники, а индексы + и — фиксируют волны, распростра-
распространяющиеся в положительном и отрицательном направлениях оси
z соответственно) и полагая о\ = о2 = сг/2, 2<5i = pi, 2<?2 — р2'-
CLZ
д; Sf-Sf/2 ,. n
— Ак — а——^' cos Ф± = 0.
dz
Заметим, что при переходе от амплитуд а\^ к плотностям мощ-
мощности *Si52 ранее использовавшиеся коэффициенты нелинейной
связи ai52 следует умножить на коэффициент (Шжп2/{сп\)+ ' ,
так что размерность новых коэффициентов нелинейной связи
будет теперь не В, как ранее, а Вт^1/2. Чтобы учесть лазер™
ную генерацию на основной частоте, надо дополнить коэффи-
коэффициент поглощения pi слагаемым, учитывающим нелинейное от-
отрицательное поглощение (усиление) основного излучения. Ина™
че говоря, вместо р± надо использовать р\ — ^^ — , где
4.5 ЛАЗЕР С АКТИВНО-НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДОЙ 269
к® — начальный коэффициент усиления, /3 — параметр нелиней™
ности [насыщения, см. D.2.26)]. В результате система укорочен-
укороченных уравнений D.5.1) преобразуется таким образом:
~T + р1^ ' +aS Vg 8шф =0'
, D.5.2)
dz
- Ak - a 2 ",_!_'- cos Ф± = О.
dz
Плотности мощности взаимодействующих световых потоков
взаимно связаны граничными условиями на зеркалах резона™
тора. Полагая, что резонатор полностью заполнен АНС длиной
L, запишем эти условия для общего случая в виде
S+ @) = Д1 @) 5f @), 5f (L) = Rx (L) S+ (L),
D.5.3)
5+ @) = R2 @) 52" @), 52" (L) = Л2 (L) 5+ (L),
где i?i и i?2 — коэффициенты отражения зеркал на частотах
основной волны и второй гармоники соответственно.
Предположим, что волновая расстройка отсутствует (ДА; =
= 0). В этом случае можно принять Ф = тг/2. В результате
система укороченных уравнений существенно упрощается:
Условие стационарной генерации. Предположим, что ле~
вое зеркало (z = 0) полностью отраж:ает излучение на обеих ча-
частотах: Ri @) = i?2 @) = 1, а правое зеркало (z = L) полностью
пропускает вторую гармонику и имеет некоторый коэффициент
отражения R на основной частоте: i?2 (L) = 0; R\ (L) = Д. В
этом случае условия D.5.3) принимают вид
S+ @) = 5f @), 5f (L) = Л5!+ (L), 5+ @) = 52" @). D.5.5)
Используя первое уравнение D.5.4), находим
Sf (L) = 5+ @) ехр [(х - Р1 - р+л) i],
S{ @) = 5f (i) exp [(x - pi - р-л) i],
где ж — усредненный по длине АНС (по длине резонатора) ко-
270 ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ ГЛ. IV
эффициент усиления,
L
м=^ Г г "°dz D.5.7)
L J 1+^S+ (z) + 5Г Ш ' l 7
о L J
р^л — усредненные по длине АНС коэффициенты нелинейных
потерь, характеризующие потери основного излучения на пре-
преобразование во вторую гармонику:
L ^^^
0
Из D.5.6) и D.5.5) следует, что
к = Р\ + Рнл + Ризл, D.5.9)
где
Рнл :=: ~ 5 Ризл ^ ZZ • D.0.IUJ
2 2Lj
Соотношение D.5.9) выражает условие стационарной генерации
в лазере с АНС: средний коэффициент усиления равен сумме ко-
коэффициентов пассивных потерь (pi), потерь, связанных с пре™
образованием во вторую гармонику (рНлM и потерь, связанных
с выходом основного излучения из резонатора через выходное
зеркало (ризл)-
Коэффициент нелинейных потерь. Получим прибли-
приближенные аналитические выражения, которые, как оказывается,
дают результаты, практически совпадающие с результатами, по™
лучаемыми при решении укороченных уравнений D.5.4) с помо-
помощью ЭВМ. Начнем с коэффициента нелинейных потерь.
Используя второе уравнение D.5.4), можно прийти к следую™
щему соотношению:
z
>9 (z) = =Ь- ехр =рр2 - I *bi (z) exp ±09 - dz. D.5.11)
0
Далее учтем, что
D.5.12)
S+@)
в связи с чем представим S^ (z) приближенно в виде следующей
линейной зависимости:
Sf (z) « Sf @) [l - f (l - RTll2)\ ¦ D.5.13)
Подставляя D.5.13) в D.5.11), a D.5.11) в D.5.8), приходим в ко™
нечном итоге к приближенному выражению для коэффициента
4.5
ЛАЗЕР С АКТИВНО-НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДОЙ
271
нелинейных потерь:
Рнл « — [- (l + 5л/д) (l + л/Щ - р2Ь^] ^i+ Щ . D.5.14)
Плотность выходной мощности излучения на основ-
основной частоте и на частоте второй гармоники. Подставляя
D.5.13) в D.5.7), находим в первом приближении
Xttxoh + 2PVRS?(L)\~ . D.5.15)
L J
Используя D.5.15), D.5.14), D.5.11), D.5.9), получаем следую-
следующие результаты:
Js? (L) = — |7l + л/rY - P2Lr] S+ (L), D.5.16)
St (L) = ^—
1 V ; 4/3RA
где
2 + 2 (*0 - Pi - Ризл) A - Bj , D.5.17)
S = i (Р1+Ризл)+Д D.5.18)
A = —
Эти результаты определяют плотность выходной мощности из-
излучения на основной частоте и на частоте второй гармоники:
). Выражения D.5.16)-
500
300
100
0
1,2 вых
- Вт/см2
= 5+(L)(l-i2), 52BbIX =
D.5.18) позволяют аналитиче™
ски рассчитать энергетические
характеристики лазера с АНС с
произвольным коэффициентом
отражения выходного зеркала
на основной частоте (при ис-
использовании линейной зависи™
мости D.5.13)).
На рис. 4.17 представлены
полученные на основе D.5.16)—
D.5.18) зависимости SiBbLX(R)
(непрерывные кривые) и
Й2вых(^) (штриховые кривые)
для нескольких значений коэф-
коэффициента начального усиления
щ: кривые 1 — 0,04 см™1, кри-
кривые 2 — 0,06 см, кривые 8 — 0,08 см, кривые 4 ~ ОД см.
При этом L = 5 см, р = 0,44-10 см2/Вт, а = 0,37-10~3 Вт™1/2,
Pi = p2 = 0,01см. Сопоставление приведенных кривых с
0,6
0,8
1,0 R
Рис. 4.1
272
ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ
ГЛ. IV
i
500
300
100
1 ^2вых»^т/см2
4
3
2
1
—i 1 *—
о
1
Рис. 4.18
результатами расчета на ЭВМ, выполненного на основе урав-
уравнений D.5.4) с использованием условий D.5.5), обнаруживает
расхождение, не превышаю-
превышающее всего 5%.
Из рис. 4.17 видно, в
частности, что для получе-
получения наиболее высоких зна™
чений плотности выходной
мощности второй гармоники
необходимо запереть резо-
резонатор по основной частоте
(т.е. положить R= 1). Поло-
Положив R = 1, можно найти из
полученных выше выраже-
выражений зависимость $2 Вых i^) •>
а следовательно, и опти-
оптимальное значение коэффи-
коэффициента нелинейной связи <т,
при котором *$2вых достигает максимума. Такая зависимость
представлена на рис. 4.18. Кривые 1—4 на рисунке отвечают тем
же значениям xq5 что и соответствующие кривые на рис. 4.17.
Параметры L,fi,pi,p2 также соответствуют рис. 4.17.
4.6. ВРГВГ в лазерах с импульсной накачкой и
модулмцией добротности
Общие замечания. В § 4.1 отмечалось, что в лазерах с импульсной на-
накачкой отношение внутрирезонаторной мощности к оптимальной выходной
существенно меньше, чем для лазеров с непрерывной накачкой. Это связано
с тем, что при импульсной накачке реализуются большие значения началь-
начального коэффициента усиления, в связи с чем оптимальный коэффициент
отражения выходного зеркала R\ OT1T оказывается сравнительно небольшим
B0—40%). В соответствии с D.1.1) оптимальный коэффициент преобразо-
преобразования во вторую гармонику т]оит составляет 80—60 %. Такую эффективность
преобразования более просто реализовать в схеме с внерезонаторной гене-
генерацией второй гармоники. Поэтому использование ВРГВГ в импульсных
лазерах представляется, на первый взгляд, нецелесообразным.
Из общих соображений ясно, однако, что задача повышения полного
КПД лазера, генерирующего выходное излучение на частоте гармоники,
может быть решена, в частности, за счет повышения качества оптических
элементов лазера и за счет снижения энергии импульса накачки. В этом
случае режим ВРГВГ может оказаться достаточно эффективным. Действи-
Действительно, при снижении энергии импульса накачки падает начальный коэф-
коэффициент усиления, Ri OTIT увеличивается, 7/Опт уменьшается. В связи с тем,
что оптимальный коэффициент связи 7опт в соответствии с D.2.35) не за-
зависит от начального коэффициента усиления, оптимальный режим может
быть достигнут при любой энергии накачки за счет надлежащего выбора
параметра j. Очевидно, что, снижая энергию импульса накачки до значе-
значений, когда внерезонаторная генерация второй гармоники становится неэф-
4.6
ВРГВГ В ЛАЗЕРАХ С ИМПУЛЬСНОЙ НАКАЧКОЙ
278
фективной, а МгОпт приближается к 100%, можно прийти к ситуации, в
которой режим ВРГВГ станет более предпочтительным.
Заметим, что аналогичная ситуация возникает и при больших энергиях
импульса накачки при переключении режима генерации лазера с основно-
основного рабочего перехода (характеризующегося большим сечением) на переход
с относительно малым сечением (малым начальным коэффициентом уси-
усиления). Например, для лазера на АИГ с неодимом это соответствует пере-
переключению с длины волны генерации 1,064 мкм на длину волны 1,319 мкм
[35]; при этом начальный коэффициент усиления падает в 5^7 раз, а Rio-пт
существенно увеличивается.
Вопросы теории режима ВРГВГ при импульсной накачке. То-
Точечная модель лазера с ВРГВГ при импульсной накачке разработана до-
достаточно подробно [10, 13, 16, 20] и удовлетворительно описывает такие
явления при ВРГВГ, как наличие оптимального коэффициента нелиней-
/77
нои связи, увеличение пиковой мощности второй гармоники в у I раз по
сравнению с оптимальной выходной мощностью основного излучения и т.п.
Вместе с тем эта модель не объясняет существование двух областей по энер-
энергии накачки, где реализуются оптимальное преобразование, наблюдаемые
закономерности удлинения импульса в режиме перепреобразования, само-
самомодуляция импульсов второй гармоники и основного излучения. В связи с
этим необходимо рассматривать
R(t)
НЭ
уравнения в частных производных
с учетом существенно нелинейно-
нелинейного режима преобразования.
Следуя работе [9], рассмот-
рассмотрим процесс развития лазерной
генерации в резонаторе длиной
/р, частично заполненном актив-
активной средой (длина L), а частич-
частично — нелинейной средой (длина I)
(рис. 4.19). Будем рассматривать
плотности мощности Sx 2 (z, t), где
индексы 1 и 2 относятся соответ-
соответственно к основному излучению и
второй гармонике, а знаки + и — связаны с направлением распространения
волн относительно положительного направления оси z. Поскольку для им-
импульсных лазеров со сравнительно быстрой модуляцией добротности время
развития и длительность импульса генерации, как правило, достаточно ма-
малы (не более 10~7 с) по сравнению с характерными временами спонтанного
излучения, а также временем действия накачки, то влиянием указанных
процессов на развитие гигантского импульса генерации можно пренебречь.
В этом приближении система балансных уравнений принимает вид х)
L + h
Рис. 4.19
дж
dt
V
V
dsr
dt
D.6.1)
t +
x) Cm. [42], а также § 3.6 [уравнения C.6.42)] из [15].
274 ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ ГЛ. IV
где ж — коэффициент усиления, р — коэффициент пассивных потерь, а —
сечение рабочего перехода (не путать с коэффициентами нелинейной связи),
v = с/п.
Примем, что коэффициент отражения левого зеркала резонатора изме™
няется со временем (при t ^ 0) по закону
#i (t) = Ri @) + [Ri (oo) ~~ Rt @)] th2 — , D.6.2)
Т"вкл
близкому к экспериментально наблюдаемому при модуляции добротности с
помощью электрооптического затвора (здесь R\ @) и R\ (oo) — начальный и
конечный коэффициенты отражения, тВКл — характерное время включения
добротности); при t < 0 затвор заперт и генерация отсутствует. Присут-
Присутствие в резонаторе нелинейной среды учтем с помощью введения «нели™
нейного» зеркала с коэффициентом отражения R2, нелинейно зависящим
от плотности мощности падающего на него излучения S^:
Sf (L + Ii, t) = R2 (Sf) Sf (L + lut-T2), D.6.3)
где T2 — удвоенное время прохода светом расстояния h + I + /3 (^1,2,3 —
длины воздушных промеж:утков, см. рис. 4.19):
Т2 = - (h+nl + h) D.6.4)
с
(п — показатель преломления нелинейного кристалла). Для левого торца
активного элемента имеем
S+ (h,t) =R1(t-^-)Si(h,t-T1), D.6.5)
где
п = — . D.6.6)
с
В начальный период развития генерации, когда можно положить ж =
= >fo, Ri~Ri @) и пренебречь нелинейными потерями на генерацию второй
гармоники, решение системы уравнений D.6.1) имеет вид
St B, t) = So exp L(t - Ti - - ) + (>f0 - p) {L + z) + InR1 @I, D.6.7)
L v vJ J
S7 (z, t) = So exp L (t + - ) + (>f0 - p) (L - z)}, D.6.8)
a = 2 (ж0 - p - Ризл) — , Р^зл = — In , . , . , To = Ti + 72 + —
ro 2L Д1 @) Я2 @) v
D.6.9)
(R2 @) — начальное значение коэффициента отражения правого зеркала в
отсутствие генерации второй гармоники, So — постоянная, определяемая
уровнем спонтанного излучения).
Уравнения D.6.1) совместно с D.6.2)^D.6.6) должны решаться на ЭВМ.
При этом будем считать, что зеркало на правом конце резонатора полно-
стью отражает основное излучение и частично (с коэффициентом отраже-
отражения R) излучение второй гармоники.
ВРГВГ при точном выполнении условия синхронизма. Полагая
Д^ = 0 и используя B.3.23), получаем следующее выражение для коэффи-
коэффициента отражения «нелинейного» зеркала:
R2(St) = [sch2Q + Rth2Q] sch2 {(go+ g) [St (sch2Q + Rth2Q)]1/2j ,
D.6.10)
4.6
ВРГВГ В ЛАЗЕРАХ С ИМПУЛЬСНОЙ НАКАЧКОЙ
275
где Q = ,
, q =
go =
I 1/2
TrArth
Rtk2Q
D.6.11)
Здесь будет полезно напомнить размерности величин: [®\] = В 1, [S] =
= Вт/см2, [8тг/с] = 752 В2 /Вт, [q] = см-Вт™1/2. Выберем время включения
добротности тВкл в D.6.2) так, чтобы то < твкл < тразв, где гра3в — время
развития плотности мощности от So до уровня 0,1 от максимальной; это
позволит исключить побочные эффекты, возникающие при конечном вре-
времени включения добротности.
Характерные машинные осциллограммы импульсов прямой волны вто-
второй гармоники
St = Sf A - Щ th2Q D.6.12)
для разных значений параметров жо и q при R = 0,1, р = 0, 05 см™1 пред-
представлены на рис. 4.20, где а — мо = 0, 6 см™1, q = q/qi = 2 (кривая I), 6
75
50
25
\ Sj, МВт/см2^
f'l
1.
'/
1
1
/Д
'/
/
/
/
\2
\
\
h
1 \
i V
\ \\
\ \\
12
14
16
18
20
22 t, не
0,10
0,05
138
144 150
Рис. 4.20
156
162
276
ВНУТРИРЕЗОНАТОРНАЯ ГВГ
ГЛ. IV
(кривая 2), 10 (кривая 8); б— жо = 0,1 см х, q = 4 (кривая 1), 5 (кривая
#), 10 (кривая 3), qi = 4, 5 • 10™5 cm/Вт1^2. Видно, что при большом началь-
начальном коэффициенте усиления и при q > допт (кривые 2 и 8 на рис. 4.20 а)
импульс второй гармоники имеет временную субструктуру, причем макси-
максимумы вторичных «пичков» возрастают с увеличением q. С другой стороны,
при меньших значениях жо и при q > дОпт наблюдается заметное удлинение
импульса второй гармоники (кривая 3 на рис. 4.20 б).
Практический интерес представляют показанные на рис. 4.21 зависи™
мости выходной энергии импульса гармоники Е^ (штриховые кривые) и
Е-2, мДж ~2,МВт/см2
j
15
10
5
j
- //
1
75
50
25
am»».
2 4 6 8 qlqx
4,00
3,75
2,50
1,25
— — — ¦
0,15
0,10
0,05
2 4 6 8 qlqx
Рис. 4.21
импульсной плотности мощности гармоники S'2 (непрерывные кривые) от
параметра q'. Расчеты были проведены для о = 0, 05 см™1, площади попе™
речного сечения луча 0,1 см2, ж® =0,6 см (рис. 4.21 а) и жо = 0,1 см™1
(рис. 4.21 б). Видно, что плотность мощности достигает максимума при
некотором q = д^пт? причем доПТ с ростом жо уменьшается, а энергия им-
импульса второй гармоники с увеличением q насыщается.
Интересны кривые на рис. 4.22, где показана зависимость параметра
^опт = допт/gi от начального коэффициента усиления mq при р = 0, 01 см™1
(кривая 1) и при р = 0, 05 см™1 (кривая 2); расчет проводился при R= 0,1,
L = 5 см. Из рисунка видно, что существует не одна, а две точки (области)
6
4
2
10ОПГ
11
"w
.2 _^
1
/опт, см j
-
1,0
0,5
0 0,2 0,6 э^см™1
1,0
0,8
0,6
0,4
ЧОП
0 0,2
0,6 эе0, см 1
Рис. 4.22
Рис. 4.23
оптимального преобразования в излучение второй гармоники по коэффи-
коэффициенту начального усиления. Другими словами, при некоторых qOJ1T (или,
если фиксирован параметр ел, при некоторых /опт) имеются два значения
4.6 ВРГВГ В ЛАЗЕРАХ С ИМПУЛЬСНОЙ НАКАЧКОЙ 277
параметра mq (или энергии накачки), при которых достигается оптимальное
преобразование.
Зависимости эффективности оптимального преобразования в гармони-
гармонику в прямом направлении ?|^пТ от начального коэффициента усиления mq
приведены на рис. 4.23: кривая 1 — для R = 0, кривая 2 — для R = 0,1. Под
эффективностью преобразования понимается отношение выходных энергий
импульсов второй гармоники и основного излучения, причем энергия тар™
моники вычисляется в условиях данного расчета, а энергия основного из-
излучения — в отсутствие преобразования в гармонику с оптимальным по
энергии коэффициентом отражения выходного зеркала для основной дли-
длины волны. Из рисунка видно, что при R = 0 эффективность преобразования
^опт с увеличением мо стремится к 100 %. В режиме оптимального преоб-
преобразования эффективность преобразования в гармонику в обе стороны при
всех мо равна 100 %. Реализация такого 100 %™ного преобразования требует,
однако, введения в резонатор специальных оптических элементов (призм,
возвратных зеркал и т.д.), вносящих дополнительные потери.
ГЛАВА V
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА
5.1. Введение
Генераторы когерентного света с плавной перестрой-
перестройкой частоты. Молено выделить три типа генераторов с плавной
перестройкой частоты генерируемого излучения.
К первому типу отнесем лазеры, в которых осуществляется
целенаправленное изменение частоты рабочего перехода в ре™
зультате внешних воздействий. Примером могут служить по-
полупроводниковые лазеры, частота генерации которых меняется
под действием внешнего электрического поля или давления, при
изменении температуры или химического состава активного эле-
элемента (см. [1]).
Ко второму типу отнесем лазеры с широкой линией рабочего
перехода. Перестройка частоты осуществляется в пределах этой
линии. Для реализации перестройки внутрь резонатора лазера
вводят спектрально-селективный элемент, например дисперси-
дисперсионную призму или дифракционную решетку. Такой метод пере™
стройки частоты применяют в лазерах на красителях [2] и на
сжатых газах [3]. Отметим в этой связи также перестраиваемые
лазеры на центрах окраски в ионных кристаллах [4, 5].
Наконец, к третьему типу отнесем параметрические генера-
генераторы света (ПГС). Перестройка частоты осуществляется здесь
на основе параметрического взаимодействия световых волн в
нелинейном кристалле.
Принцип ПГС и возможные схемы перестройки частоты
предложены в 1962 г. в работе Ахманова и Хохлова [6], а также
Кролла [7] и Кингстона [8]. Впервые оптическая параметриче™
екая генерация получена в 1965 г. [9]. Вопросы теории парамет-
параметрических усилителей и генераторов рассматривались в [10—25] и
ряде других работ. Отметим также обзоры [26-30].
В настоящее время наибольшее внимание привлекают пере™
страиваемые лазеры на красителях и ПГС. Диапазоны пере-
перестройки длины волны генерации составляют 0,3—1,2 мкм для
лазеров на красителях и 0,4-22 мкм для ПГС и генераторов раз™
ностных частот. Параметрические генераторы на поляритонах
5.1 ВВЕДЕНИЕ 279
[38] позволяют, в принципе, осуществлять перестройку в области
от 50 до 1000 мкм.
Трехчастотное параметрическое взаимодействие све-
световых волн в нелинейной среде. В § 1.3 было показано, что
при распространении в квадратично-нелинейной среде двух све-
световых волн
Ei = - е\А\ ехр [г {uo\t — kir)] + к.с.
и
Е2 = - ©2^-2 ехр [г (uJt — k2r)] + к.с.
z
возникает, в частности, волна поляризованности на разностной
частоте
Р^ = 1 х : eie2 {АгА*2 ехр [г (шг -uJ)t-i (кг - к2) г] + к.с.} ,
которая порождает переизлученную световую волну на той же
разностной частоте ш\ — 002 с волновым вектором ki — k2. Пред™
положим, что в среде распространяются три когерентные свето-
световые волны: интенсивная волна накачки
Ен (г, t) = i ен {^н (г, t) ехр [г (ujJ - kHr)] + к.с.} E.1.1а)
и две слабых световых волны — сигнальная волна
Ес (г, t) = -ec {Ac (r, t) ехр [г (uct - kcr)] + к.с.} E.1.16)
и холостая волна
Ех (г, t) = 1 ех {^lx (r, t) ехр [г (о;х* - kxr)] + к.с.} E.1.1в)
(названия «сигнальная» и «холостая», вообще говоря, условны).
Нелинейное взаимодействие волны накачки и сигнальной волны
может порождать переизлученную волну на частоте шш — шс с
волновым вектором кн — кс, а взаимодействие волны накачки и
холостой волны — переизлученную волну на частоте шш — а;х с
волновым вектором кн — кх. Если частоты и волновые векторы
удовлетворяют условиям
шс + а;х = а;н, E.1.2)
kc + kx = kH5 E.1.3)
то отмеченные выше нелинейные взаимодействия могут приво™
дить к усилению сигнальной и холостой волн за счет перекачки
в них части энергии волны накачки. Условие E.1.3) есть условие
волнового (фазового) синхронизма. Вместе с E.1.2) оно опреде-
определяет условия эффективного параметрического взаимодействия
трех рассматриваемых световых волн (трехчастотное парамет™
рическое взаимодействие).
280 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА ГЛ. V
Параметрические процессы в радиотехнике и оптике.
Параметрические процессы широко используются в радиотехни-
радиотехнике. К ним относят процессы, обусловленные периодической мо-
модуляцией реактивных параметров контура (емкости или индук-
индуктивности); см., например, [31]. При низких частотах модуляция
может осуществляться механически, например, за счет быстрого
вращения диэлектрической пластины в конденсаторе (так назы-
называемая «машина Мандельштама^Папалекси» [32, 33]). В этом слу-
случае хорошо видно, что параметрический процесс по своей сути
является процессом линейным; это есть модуляционный процесс.
Об этом полезно помнить при переходе к высоким частотам,
когда для модуляции параметров контура приходится использо-
вать нелинейные элементы, например, заменять емкость полу-
полупроводниковым диодом [34-36]. Естественно, что при введении
в контур нелинейного элемента параметрический процесс при-
приобретает черты нелинейного процесса. Однако его нелинейность
непринципиальна в том смысле, что выступает здесь лишь как
средство осуществления высокочастотной модуляции парамет-
параметров системы.
Переходя к нелинейной оптике, подчеркнем, что и в данном
случае параметрические процессы являются в сущности линей™
ными модуляционными процессами: модулируются во времени и
пространстве такие параметры среды как диэлектрическая про™
ницаемость или коэффициент преломления.
Существенно, однако, что для осуществления модуляции в
оптическом диапазоне частот принципиально необходима нели-
нелинейная среда. Поэтому параметрическое взаимодействие свето-
вых волн имеет нелинейный характер и должно рассматривать™
ся в рамках нелинейной оптики.
Приведем в этой связи замечание, сделанное С.А. Ахмановым и
Р.В. Хохловым во вступительной статье к монографии [12]. Отмечая, что
параметрические оптические эффекты — это «эффекты, протекающие в
средах, параметры которых заданным образом меняются с помощью внеш-
внешних сил», авторы статьи указывают на то, что эти эффекты, строго говоря,
не относятся к нелинейной оптике, поскольку «они имеют место и в весь-
весьма слабых световых полях, где их протекание не зависит от интенсивности
света... Вместе с тем, то обстоятельство, что параметрические эффекты
определяются теми же физическими свойствами среды, как и оптические
эффекты, зависящие от интенсивности световой волны, и следовательно,
всегда проявляются как обратное воздействие среды на поле, методическая
общность в теоретическом рассмотрении задач о воздействии поля на сре-
среду и среды с переменными параметрами на поле делает целесообразным
включение параметрической оптики в качестве одного из разделов в нели-
нелинейную оптику, рассматриваемую в более широком смысле». Дополняя эту
мысль, авторы вступительной статьи отмечают тот факт, что если пара-
параметры среды модулируются с помощью интенсивной световой волны, то
эта ситуация «в равной мере относится и к параметрической оптике, и к
нелинейной оптике, понимаемой в узком смысле».
5.1 ВВЕДЕНИЕ 281
Параметрическое взаимодействие световых волн может рас™
сматриваться как проходящий в нелинейной среде процесс рас-
рассеяния света на свете. Так, усиление сигналвной волны можно
интерпретировать как результат частичного рассеяния волны
накачки на холостой волне. В связи с этим нередко использу-
используется термин параметрическое рассеяние света (см., например
[37]). Световые волны в среде могут рассеиваться также на вол™
нах иной природы. Так, рассеяние Мандельштама^Бриллюэна
есть рассеяние световых волн на акустических волнах (акусти-
(акустических фононах), вынужденное комбинационное рассеяние есть
рассеяние света на оптических фононах^ рэлеевское рассеяние
есть рассеяние световых волн на флуктуациях анизотропии и
т.п. (см., например, [38]).
Параметрическая люминесценция, усиление, генера-
генерация. Предположим, что интенсивная когерентная световая вол-
волна (волна накачки) распространяется через нелинейный кри-
кристалл. В кристалле всегда имеются флуктуации поля в виде
чрезвычайно слабых, хаотических сигналов. Благодаря пара-
параметрическому взаимодействию этих сигналов с волной накачки
распространение волны накачки по кристаллу будет сопровож-
сопровождаться переизлучением световых волн на частотах, меньших ча-
стоты накачки. Это явление называют параметрической люми-
люминесценцией (параметрическим рассеянием света). В отличие от
обычной люминесценции здесь имеет место связь между пере-
переизлучаемыми частотами и углами, образуемыми направления-
направлениями наблюдения с направлением распространения волны накач-
накачки. Кроме того, при параметрической люминесценции переизлу-
переизлучаемые частоты никак не связаны с частотами переходов между
уровнями в среде1).
Допустим, что наряду с интенсивной волной накачки в нели-
нелинейный кристалл вводятся также две относительно слабые вол-
волны — сигнальная и холостая (волны E.1.1)). Полагаем, что ча-
частоты и волновые векторы трех рассматриваемых когерентных
волн удовлетворяют условиям E.1.2) и E.1.3). Как будет пока™
зано в § 5.3, существует область значений частоты шс (а следо-
следовательно, и частоты о;х), для которой имеет место нарастание
амплитуд \АС\ и \АХ\ по мере распространения волн по кристал-
кристаллу. Это есть явление параметрического усиления. Если выпол-
выполняются неравенства
E.1.4)
то амплитуду \АН\ молено приближенно полагать постоянной по
1) Здесь не рассматриваются резонансные параметрические процессы (ко™
гда частота одной из волн близка к собственной частоте вещества). Эти
процессы рассмотрены в [39]; см. также [40-43].
282 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА ГЛ. V
длине кристалла. В этом случае говорят о приближении задан-
заданного поля накачки. Если же необходимо учитывать подавление
волны накачки нарастающими волнами с частотами шс и cjx, про-
проявляющееся в уменьшении \АН\ по мере распространения волн
по кристаллу, то говорят о нелинейном режиме параметриче™
ского усиления.
Поместим нелинейный кристалл внутрь оптического резо-
натора^ ориентировав его таким образом, чтобы ось резонатора
совпадала с направлением синхронизма для волн E.1.1) (для
простоты рассматриваем в данном случае скалярный синхро™
низм — когда все волновые векторы коллинеарны). Будем нака-
накачивать кристалл достаточно интенсивной волной E.1.1а). При
определенных условиях в резонаторе возбуждается генерация
волн E.1.16) и E.1.1в); это есть параметрическая генерация.
Обычно для ее возбуждения в кристалл вводят только волну на™
качки; в этом случае генерация развивается от уровня шумов,
на основе параметрической люминесценции. Возможно также
инициирование параметрической генерации дополнительно вво-
димым в кристалл когерентным сигналом (инжекция сигнала).
Если резонатор высокодобротен на частотах шс и о;х, то го™
ворят о двухрезонаторном ПГС (ДПГС). Если же добротность
резонатора высока только на одной из двух частот, например,
cjc, а на другой частоте резонатор фактически отсутствует, то
говорят об однорезонаторном ПГС (ОПГС).
Отметим, что именно резонатор позволяет выделить всякий
раз те конкретные частоты шс и о;х, на которые «расщепляет-
«расщепляется» частота шш волны накачки. Число пар волн, сумма частот
которых равна cjh, может быть, очевидно, сколь угодно боль-
большим. Однако генерируется всякий раз именно та пара волн, для
которой направление синхронизма совпадает с осью резонатора
(рассматривая синхронизм, надо, очевидно, принимать во вни-
внимание все три волны, т.е. учитывать также волну накачки).
Подчеркивая принципиальное обстоятельство, связанное со специфи-
спецификой оптических параметрических явлений, С.А. Ахманов и Р.В. Хохлов
писали [26]: «В оптике параметрическое взаимодействие носит волновой
характер, поэтому его протекание существенно определяется не только вре-
временными (частотными), но и пространственными соотношениями: для са-
самовозбуждения параметрических колебаний в оптическом диапазоне необ™
ходима не только «частотная» настройка, но и выполнение определенного
соотношения между волновыми векторами («волновая» настройка), накла-
накладывающего весьма жесткие требования на дисперсионные свойства среды».
Заметим в этой связи, что резонатор в ПГС оказывает сильное влияние на
реализацию такой настройки — как частотной, так и волновой.
Способы перестройки частоты в ПГС. Выше отмеча-
отмечалось, что в ПГС генерируются волны именно с теми частотами,
для которых направление синхронизма совпадает с осью резо-
резонатора. Ясно, что за счет воздействия тем или иным образом на
5.2 ФАЗОВЫЙ СИНХРОНИЗМ. ПЕРЕСТРОЕЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 288
оптическую индикатрису кристалла (иначе говоря, за счет изме-
нения дисперсионных свойств кристалла) можно плавно менятв
частоты генерируемых волн (разумеется, в пределах диапазона
длин волн, где выполняются условия синхронизма).
Можно, например, плавно поворачивать кристалл внутри ре-
резонатора, изменяя тем самым угол между оптической осью кри-
кристалла и направлением пучка накачки (направлением оси ре™
зонатора). Если при данной ориентации кристалла резонатор
«выделяет» направление синхронизма для волн с частотами ujMj
cjc, а;х (шш = шс + а;х), то при иной ориентации окажется «вы-
«выделенным» направление синхронизма для волн с иным набором
частот: cjh, ио'С1 шгх (шш = ш'с + и)гх). Перестройка частот поворо-
поворотом кристалла относительно пучка накачки называется узловой
перестройкой.
Для перестройки частоты можно также изменять температу-
температуру нелинейного кристалла (температурная перестройка). Это
связано с тем, что поверхности волновых векторов при измене-
изменении температуры несколько изменяются; поэтому угол синхро-
синхронизма зависит от температуры. Можно также использовать из-
изменение оптической индикатрисы кристалла под воздействием
внешнего электрического поля (электрооптическая перестрой-
перестройка частоты). Наконец, можно перестраивать частоты генерации
ПГС за счет изменения частоты волны накачки.
Итак, применяя различные нелинейные кристаллы и различ-
различные частоты накачки, изменяя ориентацию кристалла относи-
относительно пучка накачки, используя зависимость оптической инди-
индикатрисы кристалла от температуры и внешнего электрического
поля, можно, в принципе, осуществить с помощью ПГС пере-
перестройку частоты в широком диапазоне оптических частот.
5.2. Фазовый синхронизм при трехчастотном
параметрическом взаимодействии. Перестроечные
характеристики
Эффективное параметрическое взаимодействие трех свето-
световых волн в квадратично-нелинейной среде требует выполнения
наряду с частотным соотношением E.1.2) также условия фазо-
фазового синхронизма E.1.3). Итак,
u)i + Ш2 = сиз, E.2.1а)
kx+k2 = k3. E.2.16)
Соотношения E.2.1) могут быть выполнены в оптически ани-
анизотропных кристаллах при взаимодействии волн с различными
поляризациями.
Виды фазового синхронизма в отрицательных одно-
одноосных кристаллах. Для определенности будем рассматривать
284
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА
ГЛ. V
одноосные отрицательные кристаллы. Для них, напоминаем,
по> пе, где п0 и пе — главные значения показателя преломления.
В рассматриваемых кристаллах возможны три вида синхрониз-
синхронизма для трехчастотного параметрического взаимодействия:
оое-синхронизм —
оее-синхронизм —
еое-синхронизм —
к1 +к2
= к|,
E.2.2)
E.2.3)
E.2.4)
Во всех трех случаях волна накачки является необыкновенной
волной; следовательно, вектор Е волны накачки должен нахо-
находиться в плоскости, образуемой волновым вектором и оптиче-
оптической осью кристалла. При оое-синхронизме сигнальная и хо-
холостая волны являются обыкновенными, тогда как при оее~ и
еое-синхронизме одна из этих волн — обыкновенная, а другая —
необыкновенная.
Каждый из указанных видов синхронизма может быть ска-
скалярным либо векторным. При скалярном синхронизме все три
волновые вектора коллинеарны, а при векторном синхронизме —
неколлинеарны. В связи с этим используют также термины кол-
линеарный и неколлинеарный синхронизм.
Если uji = uJ = CJ3/2, то говорят о вырожденном режиме
параметрического взаимодействия. В этом случае оее- и еое-
синхронизм различить нельзя. Если же оо\ ^ф Ш2 (невырожден-
(невырожденный режим), то указанные виды синхронизма различны.
Синхронизм вида оое. Здесь и далее будем для опреде-
определенности полагать, что ш\ < Сс^- Скалярный оое-синхронизм
иллюстрирует рис. 5.1а (сравните с рис. 2.3 а), где показаны
«еЗ
Рис. 5.1
5.2 ФАЗОВЫЙ СИНХРОНИЗМ. ПЕРЕСТРОЕЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 285
сечения поверхностей волновых векторов к^, к^, к| плоско™
стью, проходящей через оптическую ось кристалла zf; О А — на™
правление синхронизма; <9С — угол скалярного оое-синхронизма.
На рисунке используются обозначения: ко\ = noiuji/c, кО2 =
= пО2Ш2/с, ко3 = по3^з/с, ке3 = пезшз/с, где noi = п0 (ел), по2 =
= n0 (о^), ^оз = п0 (ujs), ne% = пе (о;з). Все вышеперечисленные
значения коэффициентов преломления (на разных частотах и
для волн с различными поляризациями) здесь являются глав-
главными значениями.
Векторный оое^синхронизм иллюстрирует рис. 5.15 (срав-
(сравните с рис. 2.5 а), где 0\, #2> ^з — Углы5 образуемые с оптиче-
оптической осью кристалла волновыми векторами к?, к^, к| соответ-
соответственно. Остальные обозначения имеют тот же смысл, что и на
рис. 5.1 а.
Введем обозначения
=7, 01-02 = Рь 03-02 = ^2- E-2.5)
Используя теорему косинусов, преобразуем соотношение E.2.2)
для неколлинеарных волновых векторов к следующей системе
двух уравнений (с учетом E.2.1а)) г):
ЫогJ = [A - 7) по2]2 + (ntf -2A-7) по2 п\ cos y>2,
E.2.6)
[A - 7) по2]2 = GnoiJ + (^зJ - 27noi ^з cos <Рь
Зависимость п| от угла 6>з определяется выражением
»i = л ":'¦¦.,л' E-2-7)
где бз — эксцентриситет эллипса п| (в):
Поз
Для коллинеарных волновых векторов (скалярный оое-
синхронизм) Lfi = Lf2 = 0 и согласно E.2.6) и E.2.7) получаем
вс = вг = arccos - 4/1 - -: "е3 , ]2 • E.2.9)
|_?з V LT^oi + A -ry)nO2l J
Для неколлинеарных волновых векторов (векторный оое-син-
х) Не путать п% с пез'- первое есть абсолютная величина вектора к|, делен-
деленная на шз/с (п% зависит от угла, образуемого вектором к| с оптической осью
кристалла), а второе — одно из главных значений показателя преломления
на частоте шз- Подобная ситуация уже встречалась в § 2.1.
286
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА
ГЛ. V
хронизм) соотношения E.2.6) и E.2.7) дают
jnol - A - j)no2 + п2ез A - el cos2 в3)
cos^?i = ^ — l ;
A — el cos2
COS <& =
)" 7
E.2.10a)
Эти выражения определяют (для заданных 7, ^з5 #з) направле-
направления, по которым выполняется условие синхронизма E.2.2).
Параметрическая люминесценцмм при векторном
оое-смнхронизме. Предположим, что в кристалле под углом
|9з к оптической оси распространяется необвжновенная волна
накачки на частоте uj%. Усиливаемые в результате параметри-
параметрического взаимодействия флуктуации поля на частотах ш\ и а^
соответствующие обыкновенным волнам, будут распространять-
распространяться в направлениях синхронизма, определяемых соотношениями
E.2.10). Во всех иных направлениях при данных параметрах
7, с^з, ^з флуктуационные волны усиливаться не будут. Усилен-
Усиленное шумовое излучение (параметрическая люминесценция) на
частотах оо\ и Ш2 распростра-
распространяется по образующим двух
круговых конусов, оси кото-
которых совпадают с вектором к|,
а углы раствора равны Lp\
ДЛЯ ЧаСТОТЫ Ш\ И (f2 ДЛЯ Ш2
(рис. 5.2). Усиленные шумо-
шумовые волны на других частотах
ш[ и Со>2, которым соответству-
соответствует другой параметр 75 будут
распространяться под други-
другими углами (fi и </?2- В вырож-
вырожденном режиме G = 1/2, ш\ =
= Ш2 = CJ3/2) (fi = (f2] в этом случае оба конуса сливают-
сливаются в один. При коллинеарном взаимодействии (скалярный оое~
синхронизм) конусы стягиваются к лучу накачки.
Синхронизм вида оее или еое. Скалярный оее-синхро-
низм иллюстрирует рис. 5.3 а, а скалярный еое-синхронизм —
рис. 5.3 б (рассматривается случай ш\ < Ш2 ), где
к; — вектор, величина которого в любом направлении равна сум-
сумме величин модулей векторов к^ иЦ, а к/; — вектор, величина
которого в каждом направлении есть сумма величин модулей
5.2 ФАЗОВЫЙ СИНХРОНИЗМ. ПЕРЕСТРОЕЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 287
векторов kf и к^. Из рисунка хорошо видно различие между
синхронизмами типа оее и еое (при ш\ ф 0^M оно проявляется в
Рис. 5.3
различии углов синхронизма 6'с. В частности, возможны часто-
частоты ш\ и о;2, при которых еое-синхронизм в данном кристалле при
данной частоте накачки ш% реа-
реализуется, а оее-синхронизм не
реализуется. Такая ситуация, в
принципе, возможна при ш\ <
< иJ- Если же ио\ > 6^2, то может
оказаться, напротив, что реали™
зуется оее-синхронизм и не реа-
реализуется еое-синхронизм.
На рис. 5.4 иллюстрирует™
ся векторный оее-синхронизм.
Здесь 6>i, 02 и <9з — углы, образуе-
образуемые с оптической осью кристал-
кристалла волновыми векторами
к|,
Рис. 5.4
к| соответственно.
Используя теорему косину™
сов, преобразуем соотношение
E.2.3) для неколлинеарных векторов к системе уравнений (с
учетом E.2.1а) и E.2.5))
if = [A - 7)
1 - 7) п2? =
cos <р2,
E.2.11)
COS <pi,
288 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА ГЛ. V
где
7 E212)
V 1 — ?3 C0S ^3
J E-2.13)
Углы синхронизма могут быть получены из приведенных соот-
соотношений лишь с помощью ЭВМ.
При скалярном синхронизме (y?i = 9^2 = 0) угол синхронизма можно
определить по приближенной формуле (с точностью не ниже 2') [29]:
E.2.14)
где для оее-взаимодействия имеем
\ПеЗ?% ~~ A — 7) ^е2в|]'
При переходе к eee-взаимодействию надо в E.2.15) заменить 7 на A — 7) и?
кроме того, использовать индекс 2 вместо 1, а индекс 1 вместо 2.
Перестроечные характеристики. Перестроечные харак-
характеристики ПГС описывают зависимость между углом синхро™
низма и параметром j. В отсутствие зеркал резонатора ПГС они
иллюстрируют спектрально™угловые свойства параметрической
люминесценции.
Обозначим через воое\ <90ве5 веое углы синхронизма для со-
соответствующих видов скалярного синхронизма. Перестроечные
характеристики подчиняются соотношениям [12]:
воее G = I ) = веое (i ) > воое (\ ) , E.2.16)
E.2.17)
E.2.18)
Наибольшей крутизной характеризуется оое-взаимодействие в
вырожденном режиме (при 7 — 1/2); производная (dj/ddH06
при 7 = 1/2 обращается в бесконечность. (Исключение состав-
составляет случай, когда 9оое A/2) = тг/2.) Взаимодействия оее™ и еое-
вида характеризуются более плавной перестройкой, что очень
важно для ПГС.
Перестройка частот ш\ и Ш2 при заданной ш% (изменение
параметра 7) в заданном направлении кз мо^«ет быть достиг-
достигнута отмечавшимися ранее способами: поворотом кристалла
5.2 ФАЗОВЫЙ СИНХРОНИЗМ. ПЕРЕСТРОЕЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 289
0,8
0,7
0,6
0,5
относительно пучка накачки, изменением температуры кристал-
кристалла, изменением напряженности внешнего электрического поля.
При накачке кристалла из-
излучением перестраиваемого
лазера перестройка пара-
параметрических частот может
быть реализована измене-
изменением частоты накачки.
На рис. 5.5 представле-
представлены перестроечные характе-
характеристики для коллинеарного
взаимодействия, получен-
полученные для кристалла LiNbOs
при разных видах синхро-
синхронизма и разных длинах
волны накачки: 1 — о ее,
Аз — 1,06 мкм; 2 — оее,
1,06 мкм; 3 — еое, 1,06 мкм; 4 — оое? 0,53 мкм; 5 — еое,
0,53 мкм [12]. Представленные характеристики относятся к
перестройке поворотом кристалла (угловая перестройка).
На рис. 5.6 представлена температурная перестроечная кри-
кривая, полученная для кристалла E^NaNbsOis при 90°-ном син-
синхронизме и длине волны накачки Аз = 0,488 мкм [37]. Перестро-
Перестроечная характеристика имеет вид зависимости длин волн Ах и А2
(отвечающих соответственно частотам ш\ и^) от температуры
кристалла. Из рисунка видно, что вырожденный режим (Aj_=A2)
реализуется при температуре
40
60
Рис. 5.5
80
, град
минус 45°С.
На рис. 5.7 показаны пере-
перестроечные кривые для кристал-
кристалла ЫМЬОз, представленные в
2,6
k X, мкм
1,8
1,4
1,0
0,6
1,8
1,0
X, мкм
-50 0 50 100 150 7,°С
Рис. 5.6
10 В.Г. Дмитриев, Л.В. Тарасов
0,56 0,58 0,60 А,3,мкм
Рис. 5.7
290 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА ГЛ. V
виде зависимости Ai и А2 от Аз (перестройка за счет изменения
длины волны накачки) [38]. Представленные на рисунке кривые
получены для 90°~ного синхронизма при разных температурах
кристалла: 225°С (кривая 1), 275°С (?), 325°С E), 375°С D).
Наибольший практический интерес представляет способ пе-
перестройки частот изменением температуры кристалла. Пере-
Перестройка электрическим полем малоэффективна и используется
лишь для стабилизации длины волны генерации или для высоко-
высокочастотной модуляции излучения ПГС. Перестройка изменением
длины волны накачки реализуется, когда лазер накачки являет-
является перестраиваемым, но на практике такой способ перестройки
используется редко.
5.3. Параметрическое усиление
Укороченные уравнения длм трехчастотного пара-
параметрического взаимодействия в приближении плоских
волн. При выводе укороченных уравнений для генерации вто™
рой гармоники мы подставляли в B.2.1) выражение B.2.2)
(см. § 2.2). Теперь вместо B.2.2) воспользуемся выражением
з
Е (г, t) = I V епАп (z) ехр [г (ujnt - knz)} + к.с, E.3.1)
п=1
описывающим суперпозицию трех световых полей — волны на-
накачки (п = 3), сигнальной (п = 1) и холостой (п = 2) волн. Под-
Подставляя E.3.1) в B.2.1) и повторяя операции, выполненные в
§ 2.2, приходим к следующей системе укороченных уравнений
для вещественных амплитуд ап (z) = \An (z)\ и обобщенной фа-
фазы Ф(г) (сравните с B.2.31)):
—- + 8\а\ — о\а>2&ъ зтФ = 0,
dz
dd2 , с vtv r\
— + 02«2 — с^ахаз sin w = и,
+ $3tt3 + <J^ala2 81пФ = 0,
dz
— Ak + Gi -=-?- + G2 -Ljl — СГ3 ^^^ COS Ф = 0.
dz V ai A2 «з /
Обобщенная фаза Ф определяется соотношением
ф = (р3 - (pi - <р2 - Д^^, E.3.3)
где Ак — проекция вектора кз — ki — к2 на ось z, & (рп — фазы,
определяемые выражением Ап = ап ехр (iipn).
Входящие в E.3.2) коэффициенты линейного поглощения 8п
и коэффициенты нелинейной связи ап описываются выражени-
5.3 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ 291
ями, аналогичными B.2.29) и B.2.30):
Im?(rVe E.3.4)
2п(шп) с
О1 = 2х{ш1):в
n(uji)c
*?p?, E.3.5)
п (из) с п (из) с
где Di — эффективные нелинейности. Сравнивая эти соотноше-
соотношения с B.2.29) и B.2.30), надо помнить, что кп = шпп(шп)/с.
Из условия синхронизма (кз = к\ + й^) следует, что коэф™
фициенты нелинейной связи удовлетворяют приближенному (с
точностью до учета дисперсии показателя преломления) соот-
соотношению
О ~ G\ + О- E.3.6)
Заметим, что в отсутствие расстройки (Ак = 0) и дисперсии
поглощения F\ =62 = 63 = 6) можно, как и при генерации второй
гармоники (см. § 2.3), свести уравнения с учетом поглощения к
уравнениям без поглощения, вводя новые переменные:
ип = ап exp Fz), ? = - [1 — exp (—6z)]. E.3.7)
8
Интегралы системы укороченных уравнений; инте-
интегральные соотношения Мэнли—Роу. Укороченные уравне-
уравнения без поглощения имеют следующие первые интегралы:
2a\G2a\ = const, E.3.8a)
= const, E.3.86)
+ G2a\ = const. E.3.8в)
Из E.3.86) следует, что
а2 [а\ (z) - а\ @)] = g1 [al (z) - a\ @)] , E.3.9)
а из E.3.8в) —
аз [al (z) - a22 @)] = -g2 [a\ (z) - a\ @)] . E.3.10)
Таким образом,
a\ (z) - al @) _ «л ^ ал
G2 Ш2
-^«-^, E.3.11)
al (z) ^ al @)
10*
с
al
0
«3
a?
(«)-
(Ю-
B)"
-
О
«3
0?
«1@)
@) _
@)
@) _
292 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА ГЛ. V
Соотношения E.3.11) называют интегральными соотношения-
соотношениями Мэнли-Роу [46]. Приращения плотности мощности взаимо-
взаимодействующих волн на некотором пути, пройденном в нелиней-
нелинейном кристалле, относятся друг к другу, как соответствующие
частоты.
Укороченные уравнения в приближении заданного
полм накачки. Полагая
аг (z) <С а3 @) , а2 (z) <C а3 @) , E.3.12)
пренебрежем членом сгзахо^втФ в третвем и членом
0«ia2cos Ф/аз в четвертом уравнении E.3.2). Кроме того,
примем 81 = 82 = 8% = S. В результате система E.3.2) преобразу-
преобразуется к виду
— + 8аг - aia2a3 sin Ф = 0,
dz
da<2 , г _ • ^ _ а
^ da ' E.3.13)
1 — + СГ9 — ) ая cos Ф = 0.
dz
Из третьего уравнения E.3.13) следует, что
a3 (z) = a3o exp (Sz), E.3.14)
где азо = аз @). Этот результат означает, что в рамках при-
приближения заданного поля накачки амплитуда волны накачки
уменьшается с расстоянием фактически только за счет погло-
поглощения (при этом уменьшением амплитуды щ за счет перекачки
энергии в волнв! на частотах ио\ и Ш2 пренебрегается). С учетом
E.3.14) запишем систему укороченных уравнений в приближе-
приближении заданного поля накачки в следующем виде:
—^ + 8а\ — а\а2Що exp (—8z) sin Ф = 0,
dz
+ 8п2 с2а1«зо exp (—8z) sin$ = 0, E.3.15)
dz
d#
— — Afc + (ai— + (J2^™ ] «30 exp (—Sz) совФ = 0.
dz V «i аг /
Решение укороченных уравнений в приближении за-
заданного полм накачки в отсутствие волновой расстрой-
расстройки. Предположим, что условие синхронизма выполняется точно
(Ак = 0), и перейдем к переменным ип и ? (см. E.3.7)). В этом
5.3 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ 298
случае система E.3.15) принимает вид
du\
i230 Sin У/ = О,
i* O
E.3.16)
d 4f , I 'U'2 , 't*i i ,t, /л
+ ( 0"! — + cr2 — «30 COS Ф = 0.
Поделив третве уравнение E.3.16) на первое и восполвзовавшисв
тем, что ЙФ = —б/созФ/втФ, получим
d лТ. / 1 , CT2itl 1 COS* /г о 1 ^ч
cos Ф = [ 1 + —^ . E.3.17)
\ (Тщ J и\
Одним из решений этого уравнения для фазы Ф является реше-
решение
со8 0, E.3.18)
Из E.3.16) следует, что фаза Ф = тг/2 — оптимальная для пара-
параметрического усиления волн.
С учетом E.3.18) преобразуем E.3.16) к виду
du\ А
7 E.3.19)
dU2 г\
—гг ^ ^2^1«30 = 0.
d^
Решение системы E.3.19) ищем в виде
ип = Сп exp (-q?), п = 1, 2. E.3.20)
Подставляя E.3.20) в E.3.19), находим
-qCl - aia,0C2 = 0,
= 0.
Приравняв нулю детерминант этой системы, получим q =
= ±азо\/^102- Таким образом, общее решение системы урав™
нений E.3.19) мо^кет быть представлено в виде
щ = Di exp (азол/°° 0 + D2 exp (-азо^/^W2 С) > E.3.22а)
^2 = i?i exp {a^y/(JiG2 0 + i?2 exp (—030^1^2 0 • E.3.226)
294 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА ГЛ. V
Воспользовавшись далее граничными условиями
щ @) = аю,
U2 @) = «20,
{D.6.Z6)
определяем коэффициенты В\, B2i -Di, D2. Окончательно полу-
получаем
щ @ = «ю ch (Го?) + «20\[^ sh (ГоО , E.3.24а)
V °
и2 @ = а20 ch (ГоО + ани/— sh (Г0О , E.3.246)
V сп
где Го = азоу/
Будем считать, что на входе нелинейного кристалла наряду
с волной накачки имеется только сигнальная волна (а2о = 0).
Перейдя от ип, ? обратно к аП1 z, получаем из E.3.24)
a\{z) = aio exp (—oz) ch v L v /J , E.3.25a)
<5
a2 (z) = J°^ аю exp (Sz) sh "MV"' l^~ pv л . E.3.256)
Используя E.3.19) и учитывая, что
dun d / /r w dz (dan . <• \ /о г \
^^ = — (an exp (pz)) — = I — + oaw 1 exp {loz).
Находим выра^кения для производных da\/dz и da2/dz на входе
кристалла:
(—) =-5аю<0, E.3.26а)
I ^^ J = сг2аю«зо > 0. E.3.266)
V dz Jz=o
В общем случае, когда аю ф 0 и а2о ф 0, для производных
da\/dz и da2/dz на входе кристалла имеем
/e/ai \ с /г о Ой \
— ^1^20^30 "~ Ottin, (O.O.ZOBj
V d^ /z=0
"Ea2O. E.3.26r)
)
z=0
Как правило, эти производные всегда поло^кительны, по™
скольку аю, «2о <С ft3O5 аю ~ а20 и ^2^30 ^ <?• Поэтому в общем
5.3
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ
295
случае амплитуды параметрических волн сразу начинают на™
растать. Однако из E.3.26а) следует, что при «20 — 0 амплитуда
сигнальной волны вначале (при малых z) уменьшается. Это свя-
связано с тем, что в соответствии с соотношениями Мэнли~Роу на
начальном этапе амплитуды волн стремятся сравняться, чтобы
выполнилось соотношение а\/а2 ~ оъ^ъ после чего начинается
нарастание амплитуд обеих волн с расстоянием z.
Условие усиления. Найдем условие, при выполнении кото-
которого усиливается сигнальная волна. Прежде всего заметим, что
на практике обычно выполняется неравенство
ck<CL E.3.27)
Используя это неравенство, преобразуем E.3.25а) к виду
( )
ai (z) = аю exp (—Sz) ch (asoy/cri^ z). E.3.28)
Рассматривая z как длину параметрического усилителя, равную
на практике нескольким сантиметрам, применим приближенное
соотношение
после чего получаем
• - ехр [{asoy/(TiG2 - S) z].
E.3.29)
E.3.30)
Из E.3.30) следует, что амплитуда сигнальной волны а\ будет
возрастать, если
азо\/®\®2 > $• E.3.31)
Это неравенство представляет
собой необходимое условие уси-
усиления сигнальной волны.
На рис. 5.8 представлены
определяемые соотношениями
E.3.25) зависимости амплитуд
п\ и «2 °т ?&зо\/010 z (напомина-
ем, что рассматривается случай,
когда а2о = 0). Чтобы найти
значение (^зо-^00 z)v пРш
котором амплитуда а\ достигает
минимума, молено использо-
использовать E.3.28). Приравнивая
нулю производную функции «i,
находим
= Arth ¦
E.3.32)
Рис. 5.8
296
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА
ГЛ. V
Из E.3) видно, что параметр a^oy/cri02 изменяется с частотой
ио\ как функция \/ио\ @J3 — o;i); она обращается в нуль при ш\ =
= 0 и ш\ = ш% и достигает максимума при ш\ = о;з/2, т.е. в вы-
вырожденном режиме. Следова-
Следовательно, условие усиления E.3.31)
можно рассматривать как тре-
требование, ЧТОбы ЧаСТОТЫ Ш\ И Ш2
удовлетворяли неравенствам
E.3.33)
UJ = CJ3 —
определяются
= 8
Рис. 5.9
где 11\ и *
из уравнения
(рис. 5.9). Подчеркнем, что мак-
максимальный коэффициент усиле™
ния достигается в вырожденном
режиме.
Заметим, что здесь рассмат-
рассматривался случай точного выпол-
выполнения синхронизма. При наличии волновой расстройки возможны
дополнительные ограничения на ширину полосы усиливаемых
частот.
Решение укороченных уравнений в приближении за-
заданного полм накачки при наличии волновой расстрой-
расстройки. Пусть плоские взаимодействующие волны распространяют-
распространяются в направлении, не совпадающем с направлением синхронизма
(Ак Ф 0). Предположим, что 8 = 0, и ограничимся рассмотре-
рассмотрением вырожденного режима (ш\ = иJ = ^з/2, о\ = о, а\ = а,2).
В этом случае система уравнений E.3.15) принимает вид
dai
sin w = 0,
= 0.
E.3.34)
Примем Ф @) = тг/2 и будем считать, что в первом приближении
cos Ф (z) « 0. Тогда из второго уравнения E.3.34) следует (во
втором приближении):
Ф(г)^ДЬ: + ^ E.3.35)
С учетом E.3.35) перепишем первое уравнение E.3.34) в виде
dai )Cos(Aib) =0. E.3.36)
5.3
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ
297
Решение этого уравнения описывается выражением
а\ (z) = аюехр aia3o дУ • E.3.37)
Заметим, что в полученном выражении молено теперв учесть
потери на поглощение для волны на частоте ш\:
а\ (Z) =
ехр
{[¦
Результаты численного решения уравнений E.3.34) на ЭВМ
представлены на рис. 5.10 в
z для нескольких значений
приведенной расстройки Ах =
= Ak/Baiam) [12]. Видно,
что экспоненциальное нараста-
нарастание амплитуды а\ с расстоя-
расстоянием z наблюдается при Ai <
< 1; при Ai = 1 амплитуда а\
практически не нарастает (бы-
(быстро насыщается), а при Ai >
> 1 имеет место затухание.
Решение укороченных
уравнений в нелинейном
режиме для субгармоники.
Волну с частотой ш\ = Ш2 =
= Со»з/2 принято называть суб-
субгармоникой. Вырожденный ре™
виде зависимостей а\/аю от
10 z, см
Рис. 5.10
параметрического усиления (генерации) есть режим усиле-
усиления (генерации) субгармоники. Появление такого термина объ™
ясняется аналогией с режимом генерации второй гармоники.
Уравнения для субгармоники идентичны уравнениям для вто™
рой гармоники; они различаются по сути дела только гранич-
граничными условиями.
Рассмотрим решения для субгармоники с учетом подавления
волны накачки нарастающей волной субгармоники (т.е. в нели-
нелинейном режиме) и в предположении, что Ак = 0, 8 = О, Ф = тг/2.
Укороченные уравнения E.3.2) преобразуются в данном случае
к виду
dai п
— 0"ittift3 —
dz E.3.39)
das . 1
Решая эту систему уравнений, находим:
ai (z) = bsch [a\b (zq — z)}, аз (z) = bib. [a\b (zq — z)}, E.3.40)
298
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА
ГЛ. V
где z® = Arth(a3o/b)/(oib), b =
a§0. Функции
аз (#) представлены на рис. 5.11. Видно, что амплитуда а\ суб-
субгармоники сначала нарастает, достигает максимума при z = zq,
а затем спадает. При z > z® происходит регенерация волны на-
накачки. Здесь проявляется принципиальное отличие от случая
генерации второй гармоники
при Ак = 0, иллюстрируе-
иллюстрируемого рис. 2.10. В отличие от
волны второй гармоники вол-
волна субгармоники в максиму-
максимуме оказывается неустойчивой,
в результате чего происходит
полная регенерация волны на-
накачки (т.е. генерация второй
гармоники от субгармоники).
Эта часть процесса, соответ™
ствующая фактически процес™
рис 5 11 су ГВГ, в максимуме амплиту-
амплитуды волны накачки оказывается
устойчивой (амплитуда накачки, т.е. второй гармоники от суб-
субгармоники, асимптотически стремится к максимуму, никогда его
не достигая, что соответствует устойчивой седловой точке А\ на
рис. 2.7). Напротив, граничные условия для параметрической
генерации субгармоники практически соответствуют седловой
точке А2 на рис. 2.7, которая, в отличие от точки А\ неустойчи-
неустойчива. Разумеется, вблизи седла А\, в идеале являющегося устойчи-
устойчивой точкой, сохраняются все рассуждения относительно ее ре™
альной (на практике) неустойчивости (см. § 2.3 и рис. 2.9).
Впрочем на практике длина нелинейного кристалла, равная
, не реализуется. Так, для о\Ь = 1 см
-1
а2 - 1П-1
а10 — iu
получа-
получаем z® ^> 100 см. На обычных длинах кристаллов порядка 1-3 см
достигаются коэффициенты усиления субгармоники около 5-10
(по мощности).
Полнам система укороченных уравнений для трехчастотного
параметрического взаимодействием. Параметрическое взаимодействие
трех волн в квадратично-нелинейной среде описывается в общем случае
следующей системой укороченных уравнений для комплексных амплитуд
(сравните с C.6.5)):
М\А\ = W1A3A2 exp (iAkz),
М2А2 = ia2A3At exp (iAkz), E.3.41)
M3A3 = %<jzA\A2 exp (—iAkz),
где
д
д
д2
д2
Id
П Л™ О7^ I 5J™9; Я».5! I ^л " п ?Ы.е>, ^ ^
Оператор Мп идентичен оператору C.6.6). Входящие в него слагав™
5.4 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ ПРИ НЕПРЕРЫВНОЙ НАКАЧКЕ 299
мые подробно обсуждались в § 3.6 (см. также [28, 29]). Напомним,
что член /Зпд/дх учитывает снос энергии для необыкновенных волн,
г (д2/дх2 + д2/ду2)/Bкп) — дифракцию светового пучка, (d/dt)/un — эф-
эффект групового запаздывания световых импульсов, a ignd /dt — диспер-
дисперсионное расплывание импульсов. Последние два члена должны учитывать-
учитываться лишь в существенно нестационарном режиме — когда длительность им-
импульсов составляет пикосекунды или менее. Параметрическое взаимодей™
ствие рассматривалось выше в приближении плоских волн в стационарном
режиме; в этом случае оператор Мп принимает вид
Мп = -?-+5п. E.3.43)
dz
5.4. Параметрическая генерация еубгармоники при
непрерывной накачке
Общие замечания. Переходные и стационарные про-
процессы в ПГС. Предположим, что нелинейный кристалл вы-
вырезан так, чтобы плоскости его торцов были перпендикулярны
направлению синхронизма для волн с частотами ш^^ ш\ = о;з/2,
uJ = <х?з/2 (ш% — частота накачки). На торцы кристалла нанесе-
нанесены зеркала, полностью пропускающие волну накачки и имеющие
коэффициенты отражения R @) (левый торец) и R (I) (правый
торец) для волны на частоте ш\ (рис. 5.12). Рассматриваемый
случай соответствует параметри-
ческой генерации субгармоники в цф) Щ Щ Щ)
нелинейном кристалле внутри пло-
плоскопараллельного резонатора при
точном выполнении синхронизма. дзо
Будем рассматривать парамет-
параметрическую генерацию при непрерыв-
непрерывной накачке. Волна накачки входит
в кристалл со стороны левого зерка-
зеркала (см. рисунок).
Выделим два последовательных
процесса. Сначала (при включе-
включении накачки) происходит переход- 0 I z
ный процесс развития генерации,
начинающийся от уровня шумов. Рис. 5.12
Этот процесс завершается установ™
лением стационарной генерации. Начальное развитие переход-
переходного процесса может рассматриваться в приближении заданного
поля накачки. Процесс же стационарной генерации принципи-
принципиально требует учета воздействия волны субгармоники на волну
накачки.
При рассмотрении как переходных, так и стационарных про™
цессов в ПГС удобно представлять волну субгармоники в виде
300 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА ГЛ. V
прямой волны (распространяющейся в том же направлении, что
и падающая на кристалл волна накачки) и обратной волны (рас-
(распространяющейся в противоположном направлении); соответ-
соответственно используют амплитуды af и а^ . В приближении задан-
заданного поля накачки волна накачки распространяется в кристалле
только в прямом направлении (напоминаем, что рассматрива-
рассматривается резонатор с зеркалами, полностью пропускающими на ча-
частоте накачки). В нелинейном режиме наряду с прямой волной
накачки (амплитуда а^) надо учитывать также обратную вол-
волну (амплитуда а,%). Последняя возникает в результате генерации
второй гармоники (т.е. накачки), инициированной обратной вол-
волной субгармоники.
Переходные процессы в приближении заданного по-
ля накачки; условие самовозбуждения субгармоники.
В рассматриваемом приближении \а\ (z) <С азо) Для Ф = тг/2
прямая волна субгармоники описывается первым уравнением
E.3.15):
+ S\af a\af «зо ехр (—S^z) = 0, E.4.1а)
а обратная волна — уравнением
^^L +Sta^ =0 E.4.16)
(обратная волна субгармоники не взаимодействует с прямой вол™
ной накачки). Для простоты пренебрежем поглощением волны
накачки в кристалле (<5з = 0). Подчеркнем, что пренебречь по-
поглощением субгармоники принципиально нельзя, поскольку Si
входит в пороговое условие генерации. Введем обозначение
[см]. E.4.2)
Назовем а параметром параметрического усиления. Учитывая
E.4.2), полагая с5з = 0 и обозначая Si как E, перепишем систему
уравнений для амплитуд af и а^ в виде
^ + Saf - аа+ = 0,
dz _ E.4.3)
^^ +Sa7 =0.
dz
Решая эту систему, находим
а+ A) = а+ @) ехр [(а -6I], а^ @) = а^ (I) ехр (-61). E.4.4)
Условия отражения на зеркалах имеют вид
а+ @) = R @) а^ @), а^ (I) = R A) а+ A). E.4.5)
5.4 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ ПРИ НЕПРЕРЫВНОЙ НАКАЧКЕ 801
Физическую картину усиления субгармоники в резонаторе
представим в виде последовательности циклов, каждый из кото-
которых соответствует обходу резонатора, т.е. включает прямой про-
проход по резонатору, отражение от правого зеркала, обратный про™
ход, отражение от левого зеркала. Возникшая на левом зеркале
флуктуация субгармоники с амплитудой af @) и волновым век-
вектором, направленным в положительном направлении оси резо-
резонатора, усиливается на прямом проходе за счет взаимодействия
с волной накачки и приобретает амплитуду а"[ @) ехр [(а — S) 1}
(предполагаем, что а > 6). После отражения от правого зеркала
имеем R (I) а^ @) ехр [(а — 6I]. На обратном проходе амплиту-
амплитуда субгармоники уменьшается за счет поглощения в кристалле
R (I) а^ @) ехр [(а — 26) I]. Наконец, после отражения от левого
зеркала получаем R @) R (I) а"[ @) ехр [(а ~~ 26) I]. Для усиления
субгармоники необходимо, чтобы полученная амплитуда превы-
превышала исходную амплитуду af @). Таким образом, условие са-
самовозбуждения субгармоники в резонаторе можно записать в
виде
R @) R (I) ехр [(а - 26) I] > 1. E.4.6)
Отсюда следует, что пороговая амплитуда волны накачки
(азо) определяется соотношением
R @) R (I) ехр [(Ст1 (а3о)пор - 2б) l] = 1. E.4.7)
Следовательно,
Следуя традициям теории лазеров, обозначим коэффициент из-
лучательных (полезных) потерь через рИзл:
р = _ In E.4.9)
после чего соотношение E.4.8) принимает вид
^пор = («зо)поР ^i = 2J + ризл. E.4.10)
Таким образом, пороговый параметр параметрического уси-
усиления равен сумме коэффициентов вредных (пассивных) и из-
лучательных потерь. Условие самовозбуждения субгармоники
E.4.6) может быть теперь записано совсем лаконично:
а > апор. E.4.11)
Нетрудно видеть, что условия E.4.10) и E.4.11), т.е. порого-
пороговое условие и условие самовозбуждения, в данном случае при-
приближения заданного поля накачки совпадают с аналогичными
условиями в теории традиционных лазеров.
302 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА ГЛ. V
Метод последовательных шагов. Анализ развития про™
цессов генерации на основе рассмотрения последователвности
циклов, каждый из которых отвечает обходу резонатора, состав-
составляет сущность метода последовательных шагов 1). Используя
полученные ранее результаты, запишем выражения для ампли-
амплитуды af на левом и правом зеркалах для последовательности
нескольких первых циклов (второй цифровой индекс означает
номер цикла):
afx (I) = а0 ехр [(а - S) I] ,
«12 (°) = «о [1 + ехр (ql)],
а+ A) = а0 [1 + ехр (ql)] ехр [(а -6I], E.4.12)
а+ @) = а0 [1 + ехр (ql) + ехр Bql)] ,
а13 @ = ао [1 + ехр (ql) + ехр Bgl)] ехр [(а — 6I].
Здесв oq — началвная флуктуация субгармоники на левом зер-
зеркале, q — полный инкремент за цикл:
q = a-26- ризл = (Т- апор. E.4.13)
Для N-vo цикла имеем
а+ж @) = а0 {1 + ехр (ql) + ехр Bql) + ... + ехр [(iV - 1) ql]} =
ехр (ql) - 1
Таким образом, коэффициент усиления по амплитуде субгар-
субгармоники за N циклов равен
q g 4 lg
ао ехр (gl) — 1
При достаточно больших N усиление может достичь значи-
значительной величины. Так, для q = 0, 5 см, 1 = 2 см, N = 30
соотношение E.4.15) дает G « 1013. При таких значениях коэф-
коэффициента усиления амплитуда субгармоники, нарастая во вре™
мени (от цикла к циклу), может оказатвся равной амплитуде
волны накачки. Естественно, что в подобных случаях прибли-
приближение заданного поля накачки становится непригодным.
Стационарный нелинейный режим; условие стацио-
стационарной генерации субгармоники. Переходя к рассмотрению
стационарной генерации субгармоники, необходимо обратиться
х) Наряду с методом последовательных шагов в теории ПГС применя-
применяется также метод полных уравнений в частных производных [13]. В этом
методе прямые и обратные волны заменяют стоячими волнами с медленно
меняющимися во времени амплитудами и фазами.
5.4 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ ПРИ НЕПРЕРЫВНОЙ НАКАЧКЕ 808
к нелинейному режиму^ когда учитывается обратное воздей™
ствие субгармоники на волну накачки. Восполвзуемся уравне-
уравнениями E.3.2), где полагаем Afc = 0, Ф = тг/2, «2 = «ъ
—- + 8а\ — а\а\а% = 0,
f 1 E.4.16)
— + ёа3 + - а3а( = 0.
Из первого уравнения E.4.16) находим для прямого прохода суб-
субгармоники по кристаллу
а+ A) = а\ @) ехр [(<а+) - <J) l] E.4.17a)
и для обратного прохода
а^ @) = а^ (I) ехр [((а") - <У) Z] . E.4.176)
Здесь
I
(^) dz E.4.18)
— усредненный по длине резонатора (за прямой или за обратный
проход) параметр параметрического усиления.
Несмотря на внешнее сходство, уравнения E.4.17) и E.4.4)
принципиально различны. В E.4.4) входит определяемый со™
отношением E.4.2) начальный параметр коэффициента пара-
параметрического усиления; для развития процесса усиления су б™
гармоники необходимо, чтобы этот параметр был больше о"пор.
В E.4.17) входит определяемый соотношением E.4.18) усред™
пенный по длине параметр параметрического усиления (точнее
говоря, два усредненных параметра: (ст+) и (<т~)). Используя
E.4.17) совместно с условиями на зеркалах E.4.5), выражаем
стационарную амплитуду субгармоники af в конце цикла через
амплитуду перед началом цикла; приравнивая затем эти ампли™
туды друг другу, приходим к соотношению
{а)ст = (а+) + (а~) = 28 + ржзл, E.4.19)
которое с учетом E.4.10) может быть представлено в виде
<<т)ст = апор. E.4.20)
Это есть условие стационарной генерации субгармоники. Во из-
избежание недоразумения подчеркнем, что а^ @) теперь уже не
начальная флуктуация субгармоники, а ее стационарная (уста-
(установившаяся) амплитуда перед началом очередного цикла. Итак,
если уравнения E.4.4) описывают переходный процесс усиления
амплитуды субгармоники от ее исходной флуктуационной ве-
величины, то уравнения E.4.17) описывают установившуюся те-
нерацию, когда все амплитуды стационарны. В первом случае
304
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА
ГЛ. V
а\азо
Рис. 5.13
°~ > ^пор? и амплитуда субгармоники в фиксированной точке
кристалла от цикла к циклу возрастает (тем самым изменяется
во времени), а во втором случае (сг)ст = аПОр, и амплитуда суб-
субгармоники в данной точке кристалла от цикла к циклу воспро-
воспроизводится. На рис. 5.13 показано, что после включения накачки
(момент включения t = 0) коэф-
коэффициент усиления уменьшается
от начального значения стхазо до
стационарного значения (о~)ст =
— ^пор- За это время амплиту-
амплитуда субгармоники af @) возраста-
возрастает от флуктуационного значения
до стационарного значения аст.
Иными словами, за это время
происходит завершение процесса
развития параметрических коле-
колебаний и устанавливается стационарный режим генерации. На
рисунке отмечены по оси времени области 1 и 2; в области 1 ис-
используются уравнения E.4.3) и E.4.4) (приближение заданного
поля накачки), а в области 2 — E.4.16) и E.4.17) (нелинейный
режим генерации субгармоники).
Отметим, что вышеизложенная динамика поведения средне-
среднего по длине коэффициента усиления и установления стационар-
стационарной амплитуды субгармоники является общей для любого типа
генератора (механического, радиотехнического, СВЧ, оптичес-
оптического, в том числе лазера, и т.п.), в чем в очередной раз прояв-
проявляется единство физических закономерностей.
Уравнения длм определения стационарных амплитуд
субгармоники. В стационарном режиме генерации субгармо-
субгармоники ПГС «не помнит» своей шумовой предыстории; стационар-
стационарные амплитуды субгармоники не зависят от начальной (шумо-
(шумовой) плотности мощности субгармоники. Стационарный режим
полностью определяется параметрами накачки и резонатора с
нелинейным кристаллом.
Решая систему уравнений E.4.16) для амплитуд прямых
волн, получаем
#-?)], E.4.21)
=] A-exp(-
где
Подставляя E.4.21) в E.4.18), находим
(а+) = i Inch{[+
E.4.22)
E.4.23)
5.4 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ ПРИ НЕПРЕРЫВНОЙ НАКАЧКЕ 805
Поскольку правое зеркало не отражает волны накачки, то
(ц (I) = 0. E.4.24)
Тем не менее, как уже отмечалось, амплитуда а^ (z) не равна
тождественно нулю, поскольку на обратном проходе волна на-
накачки регенирируется в виде волны второй гармоники от вол-
волны субгармоники (условия синхронизма для параметрического
процесса генерации субгармоники и нелинейного процесса гене-
генерации второй гармоники от субгармоники совпадают). С учетом
E.4.24) находим
а^ @) = а{ (I) sch [ага^ (I) l] , E.4.25)
а^ @) = х — а^ (I) ехр (-81) th
Отсюда следует, что
E.4.27)
Соотношения E.4.17), E.4.23), E.4.27) и E.4.5) образуют
полную систему уравнений для отыскания стационарных ампли-
амплитуд а~1 @), af A), а^ @), а^ A), а вместе с тем и стационарных
коэффициентов усиления (сг+) и (сг™). Решение этой системы
уравнений возможно только с помощью ЭВМ.
Коэффициент преобразования в субгармонику. Ре-
Результаты машинного расчета указанной системы уравнений при
условии, что 5 = 0 и R @) = 1, представлены на рис. 5.14 в виде
зависимостей rj от I?2 A), где
,= [1-й2@][^12 E.4.28) 0>8
0,4
0
— коэффициент преобразования в
субгармонику по мощности. Кри-
Кривые на рисунке получены для
разных значений начального па-
параметра нелинейной связи оазо:
0,3 см™1 (кривая 1); 0,5 см™1 (jg);
1,0 см™1 (8); 1,5 см™1 D).
Из рисунка хорошо видно, что
существует оптимальное значение
коэффициента отражения выход-
выходного зеркала ДОпт@? пРи котором коэффициент преобразова-
преобразования в субгармонику, а следовательно, и выходная мощность
субгармоники максимальны. Полное преобразование G7 = 1),
по-видимому, возможно в рассматриваемой схеме ПГС только
0,5
Рис. 5.14
R2(l)
306 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА ГЛ. V
при R (I) = 0. Это объясняется существованием дополнитель™
ных (нелинейных) потерь субгармоники, связанных с регенера-
регенерацией волны накачки на обратном проходе. Указанные потери
увеличиваются с ростом мощности субгармоники; в результате
резонатор отражает назад значительную часть энергии накач-
накачки несмотря на то, что зеркала резонатора для волны накачки
прозрачны. Таким образом, мы имеем своеобразное нелинейное
зеркало, коэффициент отражения которого на частоте накачки
растет с увеличением падающей на кристалл мощности накачки.
В заключение заметим, что нелинейные потери, связанные с
регенерацией волны накачки на обратном проходе, могут быть
устранены за счет выбора соответствующей оптической схемы
ПГС (см. § 5.6).
5.5. Параметрическая генерация при импульсной
накачке
Развитие процесса генерации субгармоники в при-
приближении заданного поля накачки. Предположим, что
накачка ПГС осуществляется прямоугольным импульсом дли™
тельностью тн и амплитудой азо- В течение времени тн излу™
чение совершит Щ = th/tq двойных проходов по резонатору
(то = 2nl/c). В приближении заданного поля накачки ампли™
туда субгармоники на левом зеркале за N двойных проходов
(N ^ iVo) достигает, согласно E.4.14), значения
«ш 1и/ — ао г^т—г • @.5.1J
exp (ql) - 1
Соответствующая плотность мощности субгармоники есть
blN \U) — ^0 г ( i\ п2 ' @.0.2)
[exp (ql) - 1]
где So = сп1ад/(8тг) — плотность мощности начальной флукту-
флуктуации субгармоники.
Поскольку текущее время t связано с числом двойных прохо™
дов N соотношением t = Ntq^ to из E.5.2) следует зависимость
плотности мощности субгармоники от времени
Stm = S0^MM^f. E.5.3)
[exp (ql) - 1]
Переходя от левого зеркала к правому, преобразуем E.5.3) к
виду
S+ (Z, t) = So exp [2 (а - S) I] ^'У'/ . E.5.4)
[exp (ql) - 1]
Интегрируя E.5.4) от t = 0 до t = тн и умно^кая на площадь
5.5
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ ПРИ ИМПУЛЬСНОЙ НАКАЧКЕ 807
поперечного сечения пучка s, а также на [l — В2 (/)], находим
энергию выходного импульса субгармоники (со стороны правого
зеркала)
j Sf(l,t)dt =
о
где
. + — ( 3 + ехр —— — 4 ехр -
2ql \ то
Энергия импульса накачки равна
сп3о|0
, E.5.5)
E.5.6)
E.5.7)
Поделив E.5.5) на E.5.7), можно найти коэффициент преобра-
преобразования в субгармонику по энергии.
На рис. 5.15 качественно сопоставляются плотности мощнос-
мощности накачки S% = спза|0/(8тг) и субгармоники S^(l, t). Здесь необ-
необходимо предполагать, что длительность
импульса накачки достаточно мала, так
что Sf (/,тн) <С S3. Только при этом усло-
условии можно пользоваться приближением за-
заданного поля накачки на всем промежутке
времени, отвечающем длительности нака-
накачивающего импульса.
Рисунок демонстрирует важную осо-
особенность процесса параметрической гене-
генерации при импульсной накачке: при от-
относительно малой длительности импульса
накачки стационарные параметрические
волны могут не успеть установиться, поэто-
поэтому коэффициент преобразования по энер-
энергии оказывается весьма малым.
Рис. 5.15
Нестационарность процессов в ПГС при импульсной
накачке; квазистационарный режим. Ранее, при рассмотре-
рассмотрении генерации второй гармоники, отмечалось, что нестационар-
нестационарность процесса связана с групповым запаздыванием и диспер-
дисперсионным расплыванием импульсов, которые проявляются лишь
для пикосекундных и более коротких импульсов (т.е. импульсов
длительностью в сотни и более раз меньшей времени прохода
излучения по резонатору); в остальных случаях имеют место
квазистатический или стационарный режимы. Поскольку ниже
будут рассматриваться процессы, для которых характерные вре™
мена изменения интенсивности в импульсе больше времени про-
308 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА ГЛ. V
хода резонатора ПГС, то оба указанных эффекта оказываются
несущественными. Однако в отличие от генерации гармоники в
ПГС возникает новый вид нестационарности, связанный с тем,
что время развития импульса параметрической генерации (вре-
мя установления параметрических колебаний) тразв может быть
порядка длительности импульса накачки тн или даже больше.
Время Тразв в вырожденном режиме (режиме генерации суб-
субгармоники) с учетом обратного воздействия на волну накачки со
стороны волны субгармоники можно оценить по формулам [47]:
_ то lgEi/50)
. , ^0.0.50]
ZX О30/*ЬЗпор — 1
где
Д = 2 [1 - Д (/) ехр (-25/)] E.5.9)
— величина, описывающая полные потери субгармоники за
двойной проход резонатора, включая излучательные потери на
выходном зеркале; S\ — плотность мощности субгармоники в
режиме, близком к установившемуся; Sq — плотность мощности
флуктуации субгармоники (плотность мощности параметриче™
ской люминесценции на частоте субгармоники); $зо и S3 пор —
соответственно входная и пороговая плотности мощности вол-
волны накачки (величина S%o/S%nop есть превышение накачки над
порогом). Формула E.5.8а) получена для ДПГС, а E.5.86) —
для ОПГО. Заметим, что ОПГС в вырожденном режиме {uj\ =
= uJ = ^з/2) может быть реализован только в схеме с некол-
линеарным (векторным) синхронизмом. Из E.5.8) следует, что
ТразВ для ОПГС меньше, чем для ДПГС при прочих одинаковых
параметрах. Численные оценки обычно дают тразв « 10^8 с.
При тн < ТразВ импульс ПГС не успевает развиться (см.
рис. 5.15). Если же тн > тразв, а импульс накачки имеет, напри™
мер, гауссову форму, то после установления параметрических
колебаний начинается генерация импульса ПГС в квазиста-
квазистационарном режиме. Это означает, что несмотря на изменение
интенсивности накачки во времени, интенсивность параметри-
параметрически генерируемых волн строго соответствует интенсивности
накачки в каждый момент времени. Итак, сразу после начала
генерации от уровня шумов процесс всегда нестационарен, но
затем по истечении времени тра3в (при тн > тра3в) устанавлива-
устанавливается квазистационарный режим генерации.
На рис. 5.16 сопоставляются плотности мощности импульса
накачки (кривая 1) и импульса субгармоники (кривая 2) для
двух случаев: а — импульс накачки имеет прямоугольную форму;
5.5
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ ПРИ ИМПУЛЬСНОЙ НАКАЧКЕ 809
б— импульс накачки имеет гауссову форму. В обоих случаях дли™
тельность импульса накачки больше времени развития импульса
субгармоники. В качестве t = 0 выбран момент включения им-
импульса накачки. Развитие импульса субгармоники начинается в
случае а в момент t = 0, а в случае б в момент времени ti, ког-
когда плотность мощности накачки достигает порогового значения.
Через #2 обозначен условный момент времени, когда развитие
импульса субгармоники можно считать завершившимся. Начи-
Начиная с момента t = ?2, реализуется квазистационарный режим
параметрической генерации. На рисунке штриховкой показаны
области, в пределах которых работает приближение заданного
поля накачки. Вне указанных областей необходимо учитывать
обратное воздействие волны субгармоники на волну накачки.
h
Рис. 5.16
Для проведения расчетов ПГС при импульсной накачке, ко-
когда на этапе установления параметрических колебаний режим
нестационарен, а потом квазистационарен, можно использовать
метод, состоящий в решении последовательности краевых задач
и удобный с точки зрения применения ЭВМ [10, 12, 21].
Математическам модель ПГС, работающего в квазистационар-
квазистационарном режиме. Полагая тн ^> то, рассмотрим процесс квазистационарной
параметрической генерации при коллинеарном невырожденном взаимодей-
взаимодействии трех световых волн с частотами ил, Ш2, шз (шз = ш± + сиг), в резона-
резонаторе длиной I, целиком заполненном нелинейно-квадратичной средой, бес-
бесконечной в поперечном к оси резонатора направлении. ПГС возбуждается
гауссовым импульсом с амплитудой поля на входе (при z = 0)
а3(г,0,<)=азоехр|-21п2(- ) -[ —
E.5.10)
где азо — амплитуда входного поля накачки в центре луча и в максимуме
импульса; тн — длительность импульса накачки по уровню половины мак-
максимума интенсивности; ро — радиус перетяжки пучка накачки в нелинейной
среде. Поскольку тн^>то, то удобно аппроксимировать E.5.10) ступенчатой
310 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА ГЛ. V
функцией времени с шириной ступеньки то и постоянной для этой ступень-
ступеньки величиной поля накачки; ступеньки обозначим номерами N. Временной
показатель экспоненты в E.5.10) равен в данном случае jqN2, где 70 =
= 2 In 2 (то/тн) ; 7о называют параметром нестационарности процесса.
Для каждого «шага» с номером N решаются краевые задачи трехча-
стотного параметрического взаимодействия, описываемого при Ак = 0 уко-
укороченными уравнениями для амплитуд прямых (индекс +) и обратных (ин-
(индекс —) волн [21]:
±d^ + ha*N ~ a*a™a™ = °' E-5-n)
dat
dz
+ S3afN + afafNafN = 0.
Эта система следует, как нетрудно убедиться, из E.3.2) при Ак = 0 и Ф =
= тг/2. Условия отражения на зеркалах представим в виде
atN@)=afN+Ri@)a7N@),
E.5.12)
am(l) = Ri(l)a+N(l), 1 = 1,2,3,
где afN — амплитуды волн, поступающих извне в ПГС (со стороны лево-
левого зеркала); Щ @) и Щ (I) — коэффициенты отражения по амплитуде для
входного (z = 0) и выходного (z = I) зеркал. Амплитуда a^N описыва-
описывается выражением E.5.10) с учетом того, что t = Ntq. Амплитуды afN и
atw Разумно выбрать порядка 10™7азо, что соответствует плотности мощ-
мощности входных шумов на частотах ш\ и^, равной примерно 10~10 Вт/см2
(см. [37]).
Варьирование параметров а^азо1, Sil, 70? ^1,2 @), Ri,2 (/), Ш1/Ш2 поз-
позволяет провести (с помощью ЭВМ) оптимизацию параметров накач-
накачки, резонатора и нелинейного кристалла для получения максимальной
эффективности ПГС. При этом могут быть рассмотрены как ДПГС
(fli,2 @) ф 0, #i,2 @ ф 0), так и ОПГС (Ri @) ф 0, #i (I) ф 0, R2 @) =
= #2 @ = 0). Заметим, что коэффициенты отражения зеркал на частоте
накачки обычно полагаются равными нулю.
Итак, при выборе математической модели ПГС обычно исходят из сле-
следующих основных упрощающих предположений: пренебрегают апертурны-
ми эффектами, волновой расстройкой, групповым запаздыванием импульса,
считают фазовые фронты всех волн плоскими (пренебрегают дифракцией),
пространственно-временную модуляцию входного пучка накачки полагают
гауссовой. Такая модель адекватна экспериментально реализуемым ПГС
при накачке одночастотным лазером на AHr:Nd3+ в периодическом режи-
режиме с модуляцией добротности при небольших средних мощностях накачки,
когда еще не сказываются эффекты теплового самовоздействия. Посколь-
Поскольку все частоты в ПГС попадают в данном случае в ПК-диапазон, то несу-
несущественны эффекты фотопреломления и нелинейного поглощения. Более
сложные модели расчета ПГС рассматривались, например, в [15, 20, 24, 25,
47, 60] и др.
5.5
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ ПРИ ИМПУЛЬСНОЙ НАКАЧКЕ 811
Вырожденный по частоте ДПГС при однородном по-
поперечном распределении полм накачки. На примере вы-
вырожденного по частоте ДПГС в приближении плоской немоду™
лированной в пространстве волны накачки молено исследовать
основные закономерности динамики развития генерации в ПГС
с импульсной накачкой [21].
На рис. 5.17 представлена характерная «машинная осцилло-
осциллограмма» импульсов накачки на входе (кривая 1) и на выходе
-80
-40
40
80
Рис. 5.17
(непрерывные кривые I?, 5, 4) нелинейного кристалла, а также
импульсов субгармоники (штриховые кривые 2, 5, 4)- Кривые
2, 5, 4 получены для разных значений R2 (I): 0,9 (кривые 2);
0,7 E); 0,5 D). При этом R @) = 1, 7о = 2 • ИГ4, 6г = 52 =
= ^з = 0,035 см, сг+ = а^ = ovj" = а^ = 0, 745/азо^- Отметим
основные особенности этих осциллограмм: импульс субгармони-
субгармоники развивается не сразу, а через определенное время (время за™
держки) тз; одновременно с развитием импульса субгармоники
происходит падение амплитуды импульса накачки на выходе,
выходной импульс накачки как бы «выедается», на нем возника-
возникает «ступенька выедания»; импульс субгармоники асимметричен
(быстрое нарастание и затем относительно медленный спад).
Время задержки определяется превышением мощности на™
качки над пороговой, оно уменьшается при увеличении коэффи™
циента отражения выходного зеркала или при увеличении коэф-
312
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА
ГЛ. V
фициента параметрического усиления. На рис. 5.18 штриховыми
кривыми показаны зависимости т3/тш от R2 (I) при R @) = 1,
7о = 5 • 1СП5, 8\ = 82 = #з — 0,035 см^1 для разных значений
параметра а\а^1: 0,5 (кривая 1); 0,745 B); 1,0 (8); 1,5 D)] 2,0
E). На том же рисунке непрерывными кривыми представленв!
зависимости ттеп/тш от В2 A), где тген — длительность импульса
субгармоники. Заметим, что
значительное укорочение им™
пульса субгармоники является
признаком существенно неста-
нестационарного режима генерации
и может быть использовано для
создания ПГС, генерирующих
короткие импульсы с крутым
фронтом.
Интегрируя «машинные
осциллограммы» по времени,
можно получить энергетические
характеристики импульса суб-
субгармоники. На рис. 5.19 пред™
0,5
0,4
0,3
0,2
ктз/хн ; тген
х \
' У4/
/
\з ХУХ/
/ Ух Ух /У
/ /
0 0,2 0,4 0,6 0,8 Rz(l)
Рис. 5.18
ставлены зависимости коэф-
фициента преобразования в
субгармонику по энергии (коэффициент rj) от R2 (I) при R @) =
= 15 jq = 4 • 10~5, 8\ = #2 = ^з = 0,035 см™1, для разных зна™
чений параметра «тхазо^ 0,3 (кривая 1); 0,4 B); 0,5 E); 0,75 D)]
1,0 E). Как и на рис. 5.14, здесь хорошо видно, что существует
оптимальное значение коэффициента отражения ROht @ вы~
ходного зеркала, при котором коэффициент преобразования
достигает максимального значения ^Макс-
0,4
0,3
од
0,1
¦ л
5 /
/ 4/
1
i
л
\
\
/л
3/ \
1 2/\
1 11{\
—1 1—\i Л ».
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,2 0,4 0,6 0,8 Rz(l)
0,3 0,6 0,9 1,2 ига301
Рис. 5.19
Рис. 5.20
5.6
ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ПГС
818
На рис. 5.20 представлены зависимости В^пт (I) от
(непрерывные кривые), а также 2^макс от а\а^о1 (штриховые
кривые), полученные для разных значений параметра 7о: 5-Ю"
(кривые 1); 1СГ4 B); 5-10 (8); 1СГ5 Ц).
5.6. Оптические схемы ПГС
Классические схемы ПГС. В 1962 г. С.А. Ахманов и
Р.В. Хохлов [5], а также Н.Кролл [6] и Р.Кингстон [7] предложи-
предложили схему двухрезонаторного ПГС, показанную на рис. 5.21. Эта
схема работает на основе векторного синхронизма. Она имеет
два резонатора: для волны на частоте ш\ (зеркала с коэффици™
\
\
7
Рис. 5.21
ентами отражения й| ий| )и для волны на частоте Ш2 (зерка™
ла с i?2 и i?2 )• Волна накачки свободно проходит сквозь ПГС.
На рисунке: z1 — оптическая ось кристалла; в\, #2? #з — углы,
образуемые с оптической осью волновыми векторами ki, k2, кз
соответственно; заштрихована область параметрического взаи™
модействия. Вывод излучения из рассматриваемого ПГС может
осуществляться на любой из частот ш\ и 6^2, а также на обе™
их частотах одновременно. Перестройка частоты осуществляет™
314
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА
ГЛ. V
ся синхронным вращением пар зеркал навстречу друг другу в
соответствии с условиями векторного синхронизма.
На рис. 5.22 дана другая классическая схема ПГО, представ-
представляющая собой коллинеарный вариант предыдущей схемы. Как
правило, в схеме на рис. 5.22 реализуют R\^ @) = 1; при этом
R@)
нк
Рис. 5.22
Д3 @) = Дз @ = 0 — накачка свободно пронизывает ПГС. Пере™
стройка частоты осуществляется за счет поворота нелинейного
кристалла относительно оси резонатора (за счет изменения угла
вс). Часто применяется также температурная перестройка.
Условие самовозбуждения. Полагая Ак = 0, 6\ = 62 = S
и используя E.3.24), запишем выражения для амплитуд af (I) и
4A):
а+ (I) = \а+ @) ch (Го/) + а+ @) ,/^sh (Го/I ехр (-81),
I V G J
= |a2+@)ch(iy)+a+@) J^
E.6.1)
ехр (-
Здесь
Г о ^^ ^30v^"i^* E.6.2)
Предположим, что на входе ПГС (при z = 0) возникли флукту-
флуктуации полей волн на частотах ш\ и^: afQ и а^. Таким образом,
а+A) @) = а^, а^A) @) = а^0, E.6.3)
где верхний индекс фиксирует номер шага. Подставляя E.6.3) в
E.6.2), получаем амплитуды аг ^ (I) и а2 (I) в конце первого
прямого прохода по резонатору. На обратном проходе нет пара™
метрического взаимодействия, нелинейными потерями на реге-
5.6 ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ПГС 815
нерацию волны накачки пренебрегаем, так что остаются лишь
пассивные потери. В результате к началу второго шага (началу
второго прямого прохода) будем иметь
4B) (о) =
= L+ ch (ГоО + a+oA/^~sh (ГоО] ехр (-261) Кг @) Кг A),
L V ** J
E.6.4)
4B) (о) =
= L+ ch (ГоО + 4) @) \[^ sh (Го/I ехр (-281) R2 @) R2 (I).
L V ^i J
Для самовозбуждения волн на частотах ш\ и иJ необходимо, что™
бы выполнялись неравенства аг ^ @) ^ а^, а2 @) ^ а^0 (знак
равенства здесь соответствует порогу генерации). Соответствую-
Соответствующие пороговые равенства имеют вид
а+B) @) = а+, а+B) @) = а+. E.6.5)
Подставляя E.6.4) в E.6.5), получаем систему уравнений отно™
сительно ajj, a^:
a+ [ch (ГоО Qi - 1] + 4o \/^ sh (
Iv E.6.6)
^ sh (ГоО Q2 + 4o [ch (ГоО Q2 - 1] = 0 ,
где
Q1=exp(-2«)i2i(O)i2i(/), Q2= ехр(-2«)Д2@)Д2@- E-6-7)
Приравниваем нулю детерминант системы E.6.6):
[ch (Г01) Qi - 1] • [ch (Го!) Q2 - 1] - Q1Q2 sh2 (ГоО = 0. E.6.8)
Это равенство преобразуется к виду
Таким образом, при Ак = 0 условие самовозбуждения ПГС име-
имеет вид
sh2 (ГоО > A~Q')A~2^) . E.6.10)
При наличии волновой расстройки условие E.6.10) заменяется
условием [41]
? (п ,п ,2 ¦ E.6.11)
316
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА
ГЛ. V
Здесь
V 2
E.6.12)
При переходе от ДПГС к ОПГС с резонирующей частотой
надо положить Q2 = 0, после чего условие E.6.11) принимает
вид
Ql
Пороговам плотность мощности накачки. При точ™
ном выполнении фазового синхронизма и при малых значениях
коэффициента параметрического усиления соотношение E.6.9)
упрощается:
Отсюда для пороговой плотности мощности накачки в стацио-
стационарном режиме получаем [30]
Р0
где
8Bтг)
E.6.15)
E.6.16)
(коэффициенты Di определяются из E.3.5)).
В нестационарном вырожденном режиме оценку 5з пор можно произво-
производить по формуле [29]:
4Г2
где
T = [R @) R (l)f exp [-у (<* + ^нсI .
E.6.17)
E.6.18)
Параметры /3 и <5Нс, характеризующие увеличение соответственно излуча™
тельных и пассивных потерь в нестационарном режиме, зависят от 7 и мо™
гут быть определены из табл. 5.1. При коротких длительностях импуль™
са накачки нестационарные потери ёис могут быть заметно больше, чем S.
Так, для ПГС на кристалле LINbOa длиной I = 1 см при тн = 13 не G0 =
= 5 • 1CF4), R@) = 1, R(l) = 0, 64 экспериментально наблюдаемое значение
S3 пор почти на порядок превышает пороговую интенсивность, вычисленную
для стационарного режима по формуле E.6.15).
Таблица 5.1
7
Р
Eнс, СМ™1
0
1,0
0
4-Ю
1,2
0,085
2-10
1,3
0,205
4-Ю
1,6
0,280
2-Ю
1,72
0,400
5.6 ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ПГС 817
Кластерная структура спектра двухрезонаторного
ПГС. Спектр частот ДПГС характеризуется доменной (кла-
(кластерной) 1) структурой. Это означает, что вместо набора экви-
эквидистантных частот наблюдается группирование генерируемых
частот в домены (кластеры) [42].
Возникновение кластеров нетрудно понять, если учесть, что
каждый из резонаторов ДПГС имеет свой собственный дискрет-
дискретный спектр резонансных частот. Обозначим резонансные часто-
частоты одного резонатора через Ох, а другого через О2. Предполо™
жим, что условие синхронизма выполняется для волн с частотами
ш\ и Ш2 (с учетом, разумеется, волны накачки на частоте ш%).
Назовем частоты ш\ и Ш2 синхронными. Существование соб-
собственных дискретных наборов резонансных частот у каждого
из резонаторов ДПГС может привести (и приводит) к тому, что
если одна из синхронных частот (например, ш\) совпадает с
резонансной частотой «своего» резонатора (ш\ = Ох), то дру™
гая синхронная частота уже не совпадает (ш2 ф О2). Таким
образом, для резонансных частот Ох и 0,2 существует волновая
расстройка^ тогда как синхронные частоты ш\ и uJ характеризу-
характеризуются частотной расстройкой (иначе говоря, отстройкой от цен-
центров спектральных линий резонаторов). С другой стороны, для
частот Oi и О2 нет частотной расстройки, а для частот ш\ и Ш2
нет волновой расстройки. Влияние обеих расстроек существен-
существенно; поэтому в генерацию войдут те пары частот, для которых
суммарный эффект обеих расстроек (с учетом ширины кривой
синхронизма и ширины спектральной линии резонатора) оказы-
оказывается наименьшим и позволяет превысить порог генерации. В
результате ДПГС будет генерировать некоторые промежуточ-
промежуточные частоты, находящиеся неточно в синхронизме и неточно в
максимумах линий резонаторов. Эти частоты группируются в
кластеры.
Расстояние от некоторой резонансной частоты О = Ох до
соседней резонансной частоты определяется соотношением
ДО = ^ . E.6.19)
Вследствие дисперсии и в зависимости от типа взаимодействия
межмодовое расстояние АО принимает разные значения для ре-
резонаторов ДПГС; обозначим их через АО' и АО/;. Расстояние
между кластерами Ашкл выражается через АО; и АО/; следую-
следующим образом [28]:
* АО • АО /r n cxf\\
Ашкл = ^^—^^— . E.6.20)
От английского слова «claster» — скопление, рой.
318 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА ГЛ. V
Число линий в кластере зависит от добротности резонатора и
мощности накачки.
В качестве примера приведем ДПГС на кристалле KDP с
длиной резонатора 1 = 5 см при Аз = 0,532 мкм, Ai « A2 =
= 1,064 мкм (режим, близкий к вырожденному); еое^еинхро-
низм, добротность резонатора 106. В этом случае расстояние
между кластерами составляет (по шкале длин волн) пример-
примерно 0,3 нм, число мод в кластере около 10, расстояния между
модами порядка 0,01 нм.
Существенно, что кластерная структура спектра ДПГС при™
водит к нестабильности генерируемых частот. Происходят пе-
перескакивания частот внутри кластеров, а также скачки кла™
стеров от импульса к импульсу. Все это снижает частотную и
амплитудную стабильность ДПГС, ухудшает условия плавной
перестройки частоты. Перестройка происходит скачками, опре-
определяемыми межкластерными расстояниями [43]. В ОПГС кла-
кластерный эффект отсутствует, в связи с чем реализуется более
плавная перестройка частоты с хорошей стабильностью генери-
генерируемых частот.
Схемы ПГС с возвратным зеркалом [29]. Пороговую
интенсивность накачки стационарного ДПГС можно в несколь-
несколько раз снизить, если в оптическую схему добавить возвратное
зеркало, отражающее (частично или полностью) волну накач™
ки обратно в резонатор ПГС. При этом необходимо специально
подбирать фазу отраженной волны накачки; в противном случае
на обратном проходе вместо параметрического усиления может
происходить перекачка энергии из параметрических волн в вол-
волну накачки.
На рис. 5.23 показаны схемы таких ДПГС: а — неколлине-
арная; б — коллинеарная. В схеме б имеем Лз @) = 0; в схеме
а соответствующее зеркало отсутствует. Как правило, возврат-
возвратное зеркало полностью отражает волну накачки. Возвращение
волны накачки в резонатор позволяет осуществлять параметри-
параметрическое взаимодействие как на прямом^ так и на обратном про™
ходах.
Схемы, позволяющие устранить нелинейные потери
на регенерацию волны накачки. К таким схемам относятся
схемы кольцевых ПГС, в которых параметрические волны рас-
распространяются только в направлении волны накачки (последняя
проходит через ПГС без отражений) [29, 30]. В кольцевых ПГС
волны совершают только прямой проход по нелинейному кри-
кристаллу; поэтому в них заведомо исключена регенерация волны
накачки, происходящая в обычных схемах на обратном прохо-
проходе. Соответственно исключены и пассивные потери на обратном
проходе. Пороговые выражения для кольцевых ДПГС и ОПГС
5.6
ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ПГС
819
можно получить из формул E.6.11) и E.6.13), если в выраже™
ниях для Qi заменить 26 на 6.
\ А /
XX
X.
НК
Рис. 5.23
Примером схемы кольцевого ПГС является трехзеркальная
схема (рис. 5.24). Схема генерирует субгармонику; зеркала 1 и 2
полностью отражают субгармонику, зеркало 8 является выход-
выходным, оно имеет оптимальный коэффициент на частоте субгар™
моники. Зеркала 1 и 8 полностью прозрачны на частоте волны
накачки.
Нелинейные потери на регенерацию волны накачки могут
быть устранены и другими способами. Так, в некоторых схемах
генераторов параметрически генерируемые волны на обратном
проходе распространяются в направлении, отличающемся от на-
направления синхронизма для генерации их суммарной частоты.
320
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА
ГЛ. V
Это достигается за счет специального перекоса зеркал парамет-
параметрического резонатора или небольшой разъюстировки резонато-
резонатора. Исключена регенера-
регенерация волны накачки в схеме
с возвратным зеркалом по
накачке; как уже указыва-
указывалось, в этом случае надо
подобрать фазу отражен-
отраженной волны накачки так,
чтобы на обратном прохо-
проходе продолжалось парамет-
параметрическое усиление.
Схемы однорезонаторных ПГС. На рис. 5.25 представ-
представлены две классические схемы для ОПГС: а — неколлинеарная
и б — коллинеарная. В схеме б: i?2 @) = Д3 @) = 0, R2 (I) =
нк
Рис. 5.24
НК
©1
R@)
б
Рис. 5.25
Щ)
5.6
ОПТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ПГС
821
= Дз (I) = 0. В обеих схемах резонирующей является волна с
частотой uj\\ именно для этой волны резонатор высокодобротен.
Возможен вариант схемы (рис. 5.25 б) с возвращением волны
накачки обратно в резонатор {Щ @) = 0, Щ{1) ф 0). В этом
случае параметрическое усиление (и, следовательно, генерация
частоты а^) происходит не только на прямом, но и на обратном
проходах. В то же время при Дз (I) =0 генерация волны на
частоте иJ происходит только на прямом проходе.
Используя E.6.15), получаем следующее выражение для по™
роговой плотности мощности накачки стационарного ОПГС:
S3noP = ^1-^1- E-6.21)
В случае, когда применяется схема с возвращением вол™
ны накачки, в формуле E.6.21) надо заменить Pq/12 на
l2 [1
@]~ • Видно, что при Дз (/) = 1 пороговая мощ-
мощность накачки ОПГС уменьшается вдвое по сравнению со схе-
схемой без возвратного зеркала.
Важными преимуществами схем ОПГС (по сравнению со
схемами ДПГС) являются нечувствительность к фазовым из-
изменениям волн на зеркалах (например, в связи с механиче-
механическими вибрациями зеркал), отсутствие нелинейных потерь на
регенерацию волны накачки на обратном проходе, отсутствие
кластерного эффекта и более высокая стабильность генериру-
генерируемых частот. С другой стороны, ОПГС характеризуется более
высоким порогом по мощности накачки. Из E.6.15) и E.6.21)
следует, что по сравнению с ДПГС порог в ОПГС выше в
(Qi + Q2) I [Q2 (l ~~ Qi)] Раз' если не учитывать нелинейные
потери в ДПГС, связанные с регенерацией волны накачки). В
используемых на практике
схемах различие в порогах
ОПГС и ДПГС составляет
примерно 5 раз, но может
быть и больше.
Безрезонаторный ПГС.
На рис. 5.26 представлена схе-
схема так называемого безрезо-
наторного ПГС. Здесь левое
(входное) зеркало отражает >
только волну на частоте Сс»2,
но пропускает волну на часто- Рис> 5.26
те ш\ и волну накачки; правое
зеркало отражает волну накачки и волну на частоте ш\, но про-
пропускает волну на частоте CJ2- Легко видеть, что в данной схеме
нет резонатора ни на частоте oji, ни на частоте о^. Рассмотрим,
—не
0I
г
1 1
—t
J
s
нк
11 В.Г. Дмитриев, Л.В. Тарасов
322
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА
ГЛ. V
как возбуждается генерация в безрезонаторном ПГС. Волна на™
качки и флуктуации поля на частотах cji, 6J2, взаимодействуя
на прямом проходе, порождают прямые волны на частотах cji,
uj<i- Дойдя до правого зеркала, волна Ш2 покидает ПГС, а волна
ш\ и волна накачки отражаются и совершают обратный проход,
на котором порождается обратная волна CJ2- В следующем пря-
прямом проходе будет участвовать наряду с волной накачки уже не
флуктуация поля на частоте а;2, а отраженная от левого зерка-
зеркала волна UJ2- В результате произойдет усиление волны cji, и т.д.
Таким образом, налицо последовательное усиление параметри-
параметрических волн от цикла к циклу.
При Дз (I) = 1 и Ак = 0 можно получить следующее выра-
выражение для пороговой плотности мощности накачки [29]:
5зпоР = f {Arsh [i?x @) R2 (I) exp (-4<Я)П1/4} - E.6.22)
Призменные ПГС. В призменных ПГС вместо зеркал при-
применяют призмы; довольно часто используют призмы из каль-
кальцита [14]. Схема призменного ПГС представлена на рис. 5.27;
здесь непрерывными линиями-лучами показана необыкновен™
i
ш2
ш3
НК
©1
©2
--1
7
Рис. 5.27
ная волна накачки, штриховыми лучами — обыкновенная волна
на частоте cji, штрих-пунктиром — необыкновенная волна на
частоте иJ* Волна ио\ заперта в резонаторе; вывод излучения из
ПГС осуществляется на частоте ио2 (это позволяет рассматри-
рассматривать данный ПГС как вариант ОПГС). В показанной на рисунке
схеме используется скалярный оее-синхронизм. Заметим, что в
призменных ПГС затруднена перестройка частоты в широком
диапазоне.
5.7. Некоторые специальные вопросы параметрической
генерации света
ПГС обратной волны. Предположим, что параметрически
взаимодействуют волна накачки, прямая волна ш\ и обратная
5.7 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПРО 828
волна Ш2 (рис. 5.28 а). В этом случае соотношения E.2.1) могут
быть записаны в виде
ш\ + Ш2 = ^з? к\ — &2 = % E.7.1)
где ki = riiUJi/с — абсолютные величины волновых векторов вза-
взаимодействующих волн. Взаимодействие, описываемое соотноше-
соотношениями E.7.1), лежит в основе ПГС обратной волны [44].
Перепишем второе соотношение E.7.1) в виде
niDi — П2Ш2 = п%ш%. E.7.2)
С учетом того, что ш\ + Ш2 = uj%, находим отсюда
ин=т±п1_ E_7_3)
Из E.7.3) видно, что при ш\ < ш% должно выполняться неравен-
неравенство
пз < п\. E.7.4)
Таким образом, для реализации ПГС обратной волны необ-
необходимо, чтобы фазовая скорость волны накачки в нелинейной
к3
Рис. 5.28
среде была больше фазовой скорости одной из параметрических
волн (в данном случае волны ш\).
В ПГС обратной волны нет зеркал. Необходимая для само-
самовозбуждения генерации регенеративная связь осуществляется
по всему объему нелинейной среды. Рассмотрим две близких
точки А и В среды (рис. 5.28 б). Пусть в точке В амплитуда вол-
волны Ш2 случайно возросла. Поскольку волна Ш2 распространяется
навстречу накачке, то увеличится ее амплитуда и в точке А^ а
следовательно, увеличится усиление волны cji, распространяю-
распространяющейся в том же направлении, что и волна накачки. В результате
волна ш\ придет в точку В с возросшей амплитудой, что при-
приведет к еще большему увеличению амплитуды волны оJ в точ-
точке В. Налицо возникновение генерации1). Можно сказать, что
нелинейность среды реализует в данном случае распределенную
обратную связь. В связи с этим в таких ПГС волна накачки и
) Естественно, что генерация возможна при условии превышения поро-
пороговой мощности излучения накачки.
11*
324 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА ГЛ. V
параметрические волны являются чисто бегущими в отличие от
ПГС обычного типа, где регенеративная связь обеспечивается
внешними зеркалами.
Укороченные уравнения для вещественных амплитуд и обоб-
щенной фазы в стационарном ПГС обратной волны имеют вид
(сравните с уравнениями E.3.2), используемыми для обычного
ПГС)
d(l\ . г- • лТ, п
— + didi — а\п2Щ sin М/ = О,
dz
^—^ + (^2^2 ~ CT2ftltt3 йшФ = О,
da E-5)
+ ^« + <уап sinf = О,
= О,
+ ^з«з
dz
f CLlQ>3 GL1CL2
а2ст3
dz \ CL\ U2 Q>3
где
Ак = ki- к2- к3, Ф = Щ - m ^ m - ^kz. E.7.6)
Решения системы уравнений E.7.5) в отсутствие линейных по™
терь могут быть выражены через эллиптические функции [44].
Эти решения имеют отличительную особенность. При некото-
некотором значении входной плотности мощности накачки решения
для параметрического усиления обращаются в бесконечность,
что соответствует генерации. Такая особенность характерна
для различных ситуаций взаимодействия волн со встречными
направлениями (вынужденное рассеяние Манделынтама^Брил™
люэна, процессы в лампе обратной волны СВЧ-диапазона и т.п.).
В этом случае говорят об абсолютной неустойчивости процес-
процесса в отличие от случая конвективной неустойчивости в стаци-
стационарном ПГС с зеркалами.
Амплитуда прямой волны ш\ с ростом z увеличивается от
минимального значения на входе (z = 0) до максимального на
выходе (z = I); амплитуда встречной волны иJ возрастает от ми™
нимума на выходе до максимума на входе. Волна накачки от-
отдает энергию параметрическим волнам; ее амплитуда падает с
ростом z.
Коэффициент преобразования tjs определяется уравнением
К (r]s) = y/ai(T2 о>зо1, E.7.7)
где
тг/2
u у 1 — г]2 sin if
— полный эллиптический интеграл первого рода. Пороговая ам-
5.7 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПРО 825
плитуда волны накачки в отсутствие линейных потерь равна
«Зпор =-7=7' E.7.9)
Исследования показывают, что ПГС обратной волны харак-
характеризуется более высоким коэффициентом преобразования по
сравнению с ПГС обычного типа. Правда, это достигается за
счет увеличения пороговой плотности мощности накачки. Так,
для кристалла ЬШЬОз имеем ^(Ji(J2 ~ 1СП5 В^1, поэтому при
I = 3 см получаем аз пор ~ 5 • 104 В/см, что соответствует S3 пор ~
« 8 • 106 Вт/см2. ПГС обратной волны характеризуются относи-
относительно широким диапазоном перестройки; они не требуют при-
применения сложных широкополосных отражающих покрытий 1).
Кроме того, они выгодно отличаются оптимальным согласова-
согласованием с нагрузкой и малым временем установления параметри-
параметрических колебаний.
Однако, как отмечается в [51], реализация ПГС обратной
волны затруднена из-за недостаточно сильного двулучепрелом-
ления в нелинейных кристаллах. Синхронизм вида E.7.1) воз-
возможен только в существенно невырожденном режиме и при
наличии сильного двулучепреломления. Значительно легче ре-
реализовать этот синхронизм в слоистых нелинейных средах, где
условие E.7.1) принимает вид
ш\ + иJ = CJ3, к\ — &2 = &з — 2тг1о E.7.10)
(/о — пространственный период модуляции показателя прелом-
преломления и, следовательно, коэффициента нелинейной связи). Со-
Создание таких сред вполне осуществимо на современном уровне
развития технологии (см. также гл. 7).
Параметрическая генерация в пикосекундном диапа-
диапазоне длительностей импульсов (накачка ультракоротки-
ультракороткими импульсами). Возможность получения с помощью ПГС
ультракоротких импульсов (УКИ) излучения, перестраиваемого
в ИК-диапазоне, привлекает исследователей, работающих в об™
ласти ИК-спектроскопии с высоким и сверхвысоким временным
разрешением. Один из путей получения такого излучения свя-
связан с накачкой нелинейного кристалла ультракороткими лазер™
ными импульсами. Вследствие очень высокой импульсной мощ-
мощности УКИ возможно эффективное усиление параметрической
люминесценции в поле УКИ-накачки (параметрическая сверх-
сверхлюминесценция) . В результате на выходе нелинейного кристал-
кристалла в отсутствие зеркал резонатора возникает волна сверхлюми™
) Перестройка частоты в ПГС обратной волны осуществляется поворо-
поворотом кристалла относительно пучка накачки или изменением температуры
(как и в ПГС обычного типа).
326 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА ГЛ. V
несценции с мощностью, достаточной для многих практических
применений.
Будем рассматривать параметрическую сверхлюминесцен-
цию в поле УКИ™накачки как источник плавно перестраивае-
перестраиваемого ИК-излучения в пикосекундном диапазоне длительностей
импульсов. Как известно (см. § 3.4), в этом диапазоне проявля-
проявляются эффекты группового запаздывания импульсов и (в мень™
шей степени) дисперсионного расплывания. Плотность пиковой
мощности УКИ твердотельных лазеров с синхронизацией про™
дольных мод достигает 109 Вт/см2, что соответствует амплитуде
поля накачки в импульсе азо^б-10 В/см (в кристалле ЫГЧЬОз).
Это приводит к значениям коэффициента усиления за проход
порядка 1020. При таком усилении уже на одном проходе свето-
вой волной нелинейного кристалла может сказаться нелинейный
режим параметрической сверхлюминесценции (обратная пере-
перекачка энергии от параметрических волн в волну накачки). Па™
раметрическая сверхлюминесценция в поле УКИ-накачки опи-
описывается тремя уравнениями для комплексных амплитуд А\,
^2, ^4з? включающими члены с первыми и вторыми производ-
производными амплитуд по времени, учитывающие соответственно труп™
повое запаздывание и дисперсионное расплывание импульсов
(см. § 3.6). Выпишем только уравнение для амплитуды А\\
дА\ . д А\ дА\ . л л* ? л /с -п\
-— = ig1—— - vii—- - КТ1А3А2 - ёгАъ E.7.11)
dz dfi2 д/л
где /i = t — z/ui — локальное время (см. C.4.13)); щ — групповая
- л 1 д2кг д,
скорость импульса с амплитудой А\\ gi = — коэффици™
2 дш(
ент дисперсионного расплывания; Vj\ = uj1 —щ1 — расстройка
групповой скорости импульса с Aj относительно групповой ско-
скорости импульса с А\ (очевидно, что уц = 0; однако, г?21 ф 0,
«31^0).
Подробный анализ параметрической сверхлюминесценции в
поле УКИ-накачки проведен в [52], см. также [63]. Установлено,
что импульсы параметрических волн по мере усиления в кри™
сталле проявляют тенденцию к сужению. Согласно расчетам
с помощью параметрического усиления в поле УКИ возмож-
возможно получение фемтосекундных импульсов (тия^6 • 1СГ14 с для
ЫМЬОз). При больших импульсных плотностях мощности УКИ™
накачки максимальный коэффициент преобразования достига-
достигается при небольших (около 4 см для KDP) длинах взаимодей-
взаимодействия и ограничивается обратной перекачкой в волну накачки.
Уменьшение плотности мощности накачки повышает предель™
но возможный коэффициент преобразования; однако требуемая
для этого длина кристалла возрастает. На рис. 5.29 представ™
5.7
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПРО
827
Ч
лены зависимости rjs от I для кристалла KDP, Аз = 0,53 мкм,
тн = 5 пс. Эти зависимости построены при различных значениях
Sm: 20 (кривая 1); 15 B); 10 C) и 5 Ц) [45].
В экспериментах по возбуждению параметрической сверх™
люминесценции в поле УКИ-накачки достигнуты значения 7]s «
^ 10-7-12 % [46, 47]. Особенно эффективнв! схемы на двух после-
последовательно расположенных кристаллах а-НЮз; однако эксплуа-
эксплуатационно более удобны кристаллы группы KDP (j]s ^6^-8%).
Экспериментальные исследования по-
показали, что при параметрической
сверхлюминесценции возбуждаются
также конкурирующие процессы и в
первую очередь вынужденное комби-
комбинационное рассеяние, снижающее эф-
эффективность преобразования на 20-
30%.
Расходимость излучения накачки
и векторные параметрические вза-
взаимодействия приводят к уширению
спектра сверхлюминесценции и к
уменьшению спектральной яркости
выходного излучения (особенно при
оое-синхронизме). Реальные значения
ширины спектра составляют пример-
примерно 120 см^1 для вырожденного ре-
жима и 10 см^1 для невырожденного
(^ = 0,4) в кристалле ЫЮз- При оее-синхронизме спектр сверх-
сверхлюминесценции для кристалла KDP составляет 4^5 см™1 для
любых 75 чт0 объясняется меньшей крутизной перестроечных
кривых для оее-взаимодействия по сравнению с кривыми для
оое-взаимодействия (см. рис. 5.5).
Области перестройки длины волны параметрической сверх™
люминесценции, для которых наряду с фазовым выполняется
также групповой синхронизм, существуют только для вырож-
вырожденного режима (перестройку в этом случае осуществляют из™
менением длины волны накачки). На рис. 5.30 приведены зави-
зависимости углов $з и 1 <9з — ^х] от Аз, для которых реализуются
оба синхронизма при оое-взаимодействии в KDP (кривые 1);
ЫШЮз (#M LIIO3 C) [48]. Граница области со стороны меньших
Аз соответствет 6% = тг/2, а со стороны больших — коллинеар-
ному взаимодействию. Для оее-взаимодействия одновременная
реализация фазового и группового синхронизма, по-видимому,
невозможна [48].
В заключение заметим, что в резонаторных ПГС ультрако-
ультракороткие импульсы с перестраиваемой частотой можно получить
не только при накачке ПГС ультракороткими лазерными им™
I, см
Рис
328
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА
ГЛ. V
пульсами, но и в результате синхронизации мод самого ПГС
при накачке последнего обычными A0—100 не) импульсами или в
i
80
60
40
20
, в3,град
\\ ]
\\
V
V
\
^^ з
16
12
0 0,4 0,6 0,8 Х3,мкм
0 0,4 0,6 0,8 А.3,мкм
Рис. 5.30
непрерывном режиме накачки. Синхронизация мод ПГС может
осуществляться акусто- и электрооптическими синхронизатора-
синхронизаторами, а также с помощью просветляющихся фильтров.
ПГС с мнжекцией излучения на частоте резонирую-
резонирующей волны. Относительно низкая эффективность импульсных
ПГС связана с большими временами развития генерации и ма-
малыми длительностями импульсов накачки. Одним из эффектив-
эффективных способов снижения импульсного порога, определяемого вре-
менем развития генерации от уровня шумов до некоторого ми-
минимального регистрируемого уровня, является инжекция излу-
излучения на частоте резонирующей волны.
Ранее было показано [56], что инжекция узкополосного ма-
маломощного (порядка 10^6 Вт) излучения является радикальным
способом сужения линии и стабилизации частоты. Вопросы вли-
влияния инжекции внешнего излучения на энергетические харак-
характеристики ОПГС рассмотрены в [57, 58]. Выполненные расчеты
показали, что инжекция в импульсный ОПГС внешнего излуче-
излучения с плотностью мощности на несколько порядков выше шумо-
шумовой приводит к уменьшению времени развития импульса гене-
генерации и заметному повышению эффективности преобразования
(это повышение оказывается тем большим, чем меньше превы-
превышение импульсной мощности накачки над пороговой).
На рис. 5.31 приведены «машинные осциллограммы» им-
импульсов параметрической генерации (непрерывные кривые) и
накачки (штриховые кривые) на выходе ОПГС при различных
значениях отношения плотности мощности инжектируемого из-
излучения к плотности мощности шума: 1 (кривые 1), 104 (I?), 106
E); штрих-пунктиром показан гауссовский импульс накачки на
5.7
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПРО
829
входе (то — время обхода светом резонатора ПГС). На рис. 5.32
представлены кривые для эффективности ОПГС без инжекции
-20 -
Рис. 5.31
щ (кривая i), с инжекцией щ при помощи излучения инжекции
100-500 Вт (кривая 2), а также отношения щ/щ (кривая 8).
Кривые выражают зависимость
указанных величин от превыше-
превышения плотности мощности накач-
ки над пороговой. Наибольшие
преимущества метод инжекции
дает на краях диапазона пе-
перестройки ПГС, где порог им-
импульсной генерации превышен
незначительно.
Исследования ОПГС с ин-
инжекцией маломощного внешнего
излучения убедительно показа-
показали, что одним из путей создания
эффективных ПГС с узкой ли™
нией генерации является разде-
разделение функций формирования излучения и его усиления в двух
разных специализированных ПГС, излучение одного из которых
инжектируется во второй. Отличие такой схемы от обычной схе-
схемы: лазер — усилитель, состоит в сверхрегенеративном харак-
характере усиления инжектируемого сигнала вторым ПГС (см. также
[59]). Перестройка частоты выходного излучения может осуще-
осуществляться с помощью автоматизированной системы синхронной
перестройки обоих ПГС.
ПГС с неустойчивым резонатором х). При неоднородном
(например, гауссовом) распределении плотности мощности на-
/S:
3пор
Рис. 5.32
1) Данный раздел написан при участии А.А.Соловьева.
330
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА
ГЛ. V
качки по поперечному сечению пучка время развития парамет-
рической генерации минимально на оси пучка и возрастает к
его периферии. Если 5зо достаточно велика, то время развития
генерации в приосевой области пучка накачки может оказать-
оказаться настолько малым, что генерация разовьется уже на перед-
переднем фронте импульса накачки. Вследствие этого на графике
импульса накачки для приосевой области происходит «выеда-
«выедание» плотности мощности для соответствующих моментов вре-
времени. В дальнейшем, однако, развившиеся в приосевой области
пучка накачки параметрические волны начинают отдавать свою
энергию волне накачки, что приведет к некоторому увеличению
плотности мощности накачки. В результате график импульса
накачки на выходе ПГС для при-
приосевой области пучка принимает
вид кривой с двумя максимумами
(кривая 1 на рис. 5.33) [53]. В пе-
периферийных областях пучка накач-
накачки время развития параметрической
генерации, наоборот, велико, вслед-
вследствие чего импульс генерации раз-
развивается уже не на переднем фрон-
фронте, а на спаде импульса накачки
(такая ситуация была изображена
на рис. 5.16 6" в § 5.4). Истоще-
Истощение волны накачки проявляется при
этом незначительно; см. кривую ^на
рис. 5.33. Отмеченные явления при-
приводят к тому, что результирующий выходной импульс ПГС ха-
характеризуется малой энергией при незначительном интеграль-
интегральном коэффициенте преобразования. К тому же различные
участки поперечного сечения параметрических пучков выходят
в генерацию в разные моменты времени.
Используя телескопический неустойчивый резонатор1),
можно в значительной мере скомпенсировать неравномерность
развития параметрической генерации по сечению пучка. Схема
ПГС с телескопическим резонатором показана на рис. 5.34, где
ПК — нелинейный кристалл; 3i и З2 — софокусные зеркала ре-
резонатора. Зеркала полностью отражают излучение на частоте
ш\ и полностью пропускают излучение накачки и излучение на
частоте иJ (рассматривается однорезонаторный ПГС). Излуче-
Излучение на частоте ш\ показано на рисунке непрерывными лучами,
а на частоте Ш2 — штриховыми.
Рис. 5.33
1) О неустойчивых резонаторах см., например, § 2.10 в [54], а также
в [55].
5.7
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПРО
831
Телескопический резонатор обладает определенными пре-
имуществами. В нем энергия усиленной резонирующей волны
(волны на частоте ш\) перекачивается из приосевой области пуч-
пучка накачки к периферии, где накачка слабее; происходит «расте-
«растекание» резонирующей волны по поперечному сечению ОПГС. В
нк
Рис. 5.34
результате время развития параметрической генерации возрас-
возрастает в приосевой области и уменьшается в периферийных обла-
областях. Первое происходит потому, что усиленная волна ш\ уже на
втором проходе по кристаллу начинает выходить из приосевой
области, где плотность мощности накачки максимальна. Второе
происходит потому, что выходящая из приосевой зоны волна ин-
инжектируется в периферийные области, где накачка слабее, но
зато генерация идет уже не от шумов, а от заметного по мощно™
сти сигнала на частоте ш\. Имеем аналог сверхрегенеративного
многопроходового усилителя с большим коэффициентом усиле-
усиления. В результате выхода усиливаемой волны ш\ из приосевой
области обратное преобразование в волну накачки уменьшается.
ПГС с кратными параметрическими частотами. В та-
таком ПГС параметрические частоты Co»i52, удовлетворяющие тра-
традиционному соотношению шш = ш\ + Ш2, где шш — частота накач-
накачки, связаны дополнительным соотношением Ш2 = 2cji, что с оче-
очевидностью приводит к соотношению шн = 3o;i. Другими слова-
словами, сигнальная волна с частотой Ш2 является второй гармоникой
(ВГ) холостой волны с частотой cji, все частоты такого ПГС
являются кратными (шш : Ш2 : uj\ = 3 : 2 : 1), а процесс в таком
ПГС является суперпозицией чисто параметрической генерации
(а;н = и)\+ 002) и ГВГ (иJ = 2ш\). Разумеется, для реализации та™
кого сложного процесса необходимо одновременное удовлетворе-
332 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СВЕТА ГЛ. V
ние соответствующим условиям синхронизма (кн = ki + k2 для
ПГС и к2 = 2ki для ГВГ), что, как нетрудно видеть, полностью
идентично условиям синхронизма для одновременной генерации
второй и третьей гармоник, если за основную частоту принять
ш\ (если процесс ГВГ между сигнальной и холостой волной по
каким-либо причинам не реализуется, например, не выполняет-
выполняется условие синхронизма для ГВГ, то такой ПГС ничем не от™
личается от обычного ПГС в невырожденном режиме). В ПГС
с кратными частотами при определенных условиях возможна
полная перекачка энергии волны накачки с частотой шш в волну
сигнала с частотой Ш2 при полном подавлении «холостой» волны
на частоте ш\. Для практической реализации ПГС с кратными
частотами необходимо выполнение условий фазового синхрониз-
синхронизма для обоих процессов ПГС и ГВГ одновременно и в одном
кристалле, или, что то же самое, для одновременной генерации
второй и третьей гармоник, если за основное излучение принять
волну на частоте ш\. Вследствие нормальной дисперсии выпол-
выполнение условий такого одновременного синхронизма в обычных
(однородных) нелинейных кристаллах невозможно, что побуди-
побудило исследователей обратиться к периодически-нелинейным кри-
сталлам^ или к кристаллам с регулярной доменной структурой
(РДС-кристаллам), см. гл. VII, где подробно описаны особен-
особенности протекания нелинейно-оптических процессов, в том числе
ПГС, в таких кристаллах.
ГЛАВА VI
ОСОБЕННОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧАСТОТЫ
В ДВУХОСНЫХ НЕЛИНЕЙНО^ОПТИЧЕСКИХ
КРИСТАЛЛАХ
6.1. Кристаллооптика двухосных кристаллов
Введение. До сих пор мы предполагали, что генерация вто-
второй гармоники происходит в одноосных нелинейных кристаллах
(см. главы II—V). Вместе с тем, появление таких высокоэф-
высокоэффективных двухосных нелинейных кристаллов, как барий-пат-
рий-ниобат («банан», E^NaNbsOis), титанил-фосфат калия
(КТР, КТЮРО4), трибораты лития и цезия (LBO, ЫВ3О5;
СВО, CSB3O5), пентаборат калия (КВ5, КВ5О8), ниобат калия
(КТЧЬОз), целый ряд органических нелинейных кристаллов и др.
(см. [1, 15-17]) однозначно требует учета особенностей таких
кристаллов при расчете эффективности преобразования. Дей-
Действительно, если в кристалле барий-натрий-ниобата угол двух-
осности^ т.е. угол между двумя оптическими осями 2VZ [1, 3],
составляет всего 13°, что позволяет в первом приближении ис-
пользовать при расчетах формулы для одноосных кристаллов,
то в кристалле КТР указанный угол составляет величину ~ 37°,
а в кристалле LBO ~ 109°. При таких значениях угла двухосно-
сти индикатрисы показателей преломления существенно изме-
изменяются по отношению к таковым для одноосных кристаллов,
термины «обыкновенная» и «необыкновенная» волны теряют
смысл и вместо них необходимо использовать термины «мед-
ленная» (slow, обозначается индексом s) и «быстрая» (fast, обо™
значается индексом /) волны. Соответственно типы синхрониз-
синхронизмов обозначаются как ss-f sf-f и т.д. Существенные изменения
претерпевают и формулы для конкретизации коэффициентов
нелинейной связи; в частности, при расчете эффективной нели-
нелинейности (см. гл. II) в двухосных кристаллах (без учета двулу-
чепреломления) следует использовать три угла: <9, (р и 5 (см. [1]),
в то время как при аналогичных расчетах в одноосных кристал-
кристаллах в выражение для эффективной нелинейности входят только
два угла в и ср. С учетом двулучепреломления необходимо ис-
334 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VI
пользовать четыре угла <9, <р, 6 и р для двухосных и три <9, (р
и р для одноосных кристаллов; при этом не следует забывать,
что углы двулучепреломления зависят от частоты волны и ее
поляризации.
Другой весьма важной особенностью двухосных кристаллов
является тот факт, что в них кристаллографическая и кристал-
лооптическая системы осей, как правило, не совпадают (та™
кое совпадение имеет место только для одноосных кристаллов).
Именно такое несовпадение систем осей в двухосных кристал-
кристаллах вызвало появление в литературе путаницы в терминологии,
взаимного непонимания авторов соответствующих публикаций
и даже призывов к соблюдению уже принятых и принятию но™
вых «согласительных конвенций» по системам осей.
Для иллюстрации неоднозначности терминологии при описании двух™
осных кристаллов достаточно привести примеры из известных книг А. Зом™
мерфельда [2], Л.Д. Ландау и Е.М. Лившица [3], А. Ярива и П. Юха [4] и
др. Так, Зоммерфельд [2] двойную поверхность фазовых скоростей назы-
называет «двойной поверхностью нормалей», в то же время А. Ярив и П. Юх
[4] под поверхностью нормалей подразумевают совсем другую поверхность,
а именно, поверхность волновых векторов. В свою очередь, Л.Д. Ландау
и Е.М. Лившиц [3] получают фактически поверхность индексов (показате™
лей преломления), но называют ее поверхностью волновых векторов. За-
Заметим, что наиболее полная и однозначная классификация всех восьми по-
поверхностей, описывающих двулучепреломление в кристаллах (эллипсоидов
Френеля и Флетчера, овалоидов, двойных поверхностей 4-го и 6-го поряд-
порядков и т.п.), дана у А.В. Шубникова [5]. Другим примером является неод-
неоднозначная терминология при обозначении системы координатных осей —
здесь можно встретить «диэлектрические оси», «кристаллографическую»,
«кристаллофизическую», «кристаллооптическую» и другие системы. Бо-
Более того, некоторые авторы вообще не указывают, в какой системе осей они
дают тензор квадратичной восприимчивости. Терминологическая неодно-
неоднозначность затрудняет взаимопонимание исследователей и разработчиков в
области кристаллооптики и, в особенности, нелинейной оптики двухосных
кристаллов.
Решение задачи о распространении плоской монохроматической элек-
электромагнитной волны в прозрачной немагнитной анизотропной среде в об-
общем случае многократно рассматривалось в литературе, начиная с 1820 г.,
когда Френель впервые получил свое знаменитое уравнение кристаллооп-
кристаллооптики (см. [2, 3]). Ниже мы приведем основные формулы кристаллооптики
двухосных кристаллов, стремясь к последовательному изложению и ликви-
ликвидации разногласий, наблюдающихся у различных авторов, в обозначениях,
терминологии и логике рассуждений.
Системы осей координат, используемые в кристалло-
кристаллооптике двухосных кристаллов. Для изучения кристаллов и
описания их физических свойств в настоящее время использу-
используются следующие системы координатных осей [1—5]:
Кристаллографическая система координат — в общем слу™
чае не ортогональная система, базисные вектора которой связа-
6.1
КРИСТАЛЛООПТИКА ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛОВ
835
ны с ребрами элементарной ячейки кристалла (обозначим как
Ox, Oy, Oz).
Кристаллофизическая система координат — правая ортого-
ортогональная система координат, используемая для записи тензоров и
матриц, представляющих физические свойства кристаллов (обо-
(обозначим как Ох\, 0x2, Ох$).
Расположение осей Ох\, 0x2, Ох% относительно Ox, Оу, Oz
в различных кристаллографических системах определяется со-
соображениями удобства.
Система главных диэлектрических осей — ортогональная
система координат, в которой тензор диэлектрической проницае-
проницаемости имеет диагональный вид (обозначим как ОХ\, OY2, OZ$).
Кристаллооптическая система координат — правая систе-
система главных диэлектрических осей, в которой оптические оси кри-
кристалла лежат в плоскости X\OZ% (обозначим как OX, OY, OZ).
На рис. 6.1 приведены зависимости коэффициента прелом-
преломления двухосного кристалла от направления распространения
Оптическая
ось
Оптическая
ось
пх <Щ < nz
nZ
Рис. 6.1
и поляризации световой волны в кристаллооптической системе
координат для разных соотношений между главными значения-
значениями показателя преломления: пх < пу < nz (рис. 6.1 а) и пх >
> пу > nz (рис. 6.1 б).
Особенности нелинейно-оптических процессов в
двухосных кристаллах. Рассмотрим более детально основные
моменты, учет которых необходим при расчете эффективности
преобразования в двухосных нелинейно-оптических кристаллах.
1. Эллипсоид Френеля не является фигурой вращения.
2. Термины «обыкновенная» и «необыкновенная» волны те-
теряют физический смысл; следует пользоваться терминами «бы™
страя» и «медленная» волны.
3. Направления колебаний векторов электрического поля и
электрической индукции для всех типов взаимодействующих
336 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VI
волн в общем случае не совпадают, что приводит к появлению и
необходимости учета углов двулучепреломления (анизотропии
или «сноса») для быстрой и медленной волн (напомним, что в
одноосных кристаллах по меньшей мере одна из волн — «обык-
новенная» — имеет нулевой угол двулучепреломления).
4. Двухосные кристаллы характеризуются наличием двух уг-
углов синхронизма (полярного и азимутального). Напомним, что
в одноосных кристаллах имеет место вырождение по азимуталь-
азимутальному углу, и остается только один — полярный — угол синхро-
синхронизма. В двухосных кристаллах появляются две — полярная и
азимутальная — угловые ширины синхронизма. Если в одноос-
одноосных кристаллах геометрическое место направлений синхрониз-
ма образует конус вращения, то в двухосных кристаллах сечение
аналогичного конуса является сложной, в общем случае, разрыв-
разрывной кривой.
5. Во всех типах двухосных прозрачных однородных кри-
кристаллов имеет смысл рассматривать только два типа синхро-
синхронизма для ГВГ: ss-f и 5/-/, при этом последнему обозначению
соответствует волна второй гармоники, всегда являющаяся бы-
быстрой; напомним, что в одноосных кристаллах для ГВГ может
существовать 4 типа синхронизма (оо-е^ ое-е, ее-о, ео-е, в зави-
зависимости от знака кристалла). Для взаимодействий типа генера-
генерации суммарной (разностной) частоты (ГСЧ, ГРЧ) в двухосных
кристаллах следует рассматривать 3 типа синхронизма: ss-/,
sf~f-> fs~f-> гДе последнему индексу всегда соответствует наивыс-
наивысшая частота.
6. В отличие от одноосных кристаллов, для двухосных кри-
кристаллов «кристаллофизическая» и «кристалл©оптическая» си-
системы координат в общем случае не совпадают; другими сло-
словами, при расчете эффективной нелинейности с?эф? являющейся
скалярной величиной, необходимо задавать компоненты тензора
квадратичной нелинейности и компоненты электрического поля
взаимодействующих волн в одной и той же системе координат;
в литературе компоненты указанного тензора и полей взаимо-
взаимодействующих волн часто задаются в разных координатных си-
системах (часто сведения о том, какая система осей используется,
просто отсутствуют). Наиболее целесообразно здесь использо-
использовать «кристаллооптическую» систему, в которой оптические оси
кристалла лежат в плоскости XOZ.
7. Соответственно всему вышесказанному, должен быть скор-
скорректирован вид укороченных уравнений и коэффициентов нели-
нелинейной связи в них.
Сделаем важное замечание о необходимости сопоставления порядков
малости учитываемых эффектов. Учет двухосности кристаллов, особенно
при малых углах между осями, соответствует определенному порядку мало-
малости. Представляется очевидным, что при расчете ГВГ и других нелинейных
6.1 КРИСТАЛЛООПТИКА ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛОВ 837
оптических процессов должны учитываться все сопутствующие эффекты
одинакового порядка малости, а не только какой-либо один из них, как это
часто имеет место в литературе. В связи с этим необходимо четкое опреде-
определение порядка малости тех или иных сопутствующих эффектов и границ
применимости этого определения.
Кристаллооптика двухосных кристаллов. Перейдем к
рассмотрению основных уравнений кристаллооптики двухосных
кристаллов. Из уравнений Максвелла A.1.15) следует волно-
волновое уравнение для нелинейного диэлектрика A.1.16), см. гл. I.
Подставляя в уравнение A.1.16) электромагнитное поле (в виде
вектора электрической напряженности поля световой волны —
A.3.1)), получаем известное уравнение Френеля для компонент
электрического поля (см., например, [2, 3]:
Sikn2Ek - щ (пкЕк) = eikEk, F.1.1)
где щ — компоненты вектора показателя преломления п, (^ —
символ Кронекера.
Главные значения тензора обозначим как ex,ey,ez. Пусть
также р = k/|k|, где к — волновой вектор одной из взаимо-
взаимодействующих волн, при этом |р| = 1. С учетом выбора осей
(мы будем работать в кристаллооптической системе координат,
где обе оптические оси двухосного кристалла лежат в плоско-
плоскости XOZ) и обозначений получим однородную систему из трех
линейных уравнений, где, как и раньше, е — единичный вектор
линейной поляризации волны:
(ех - п2 A - pi)) ех + п2рхруеу + n2pxpzez = О,
п2рхруех + (еу - п2 A -pi)) ey + n2pypzez = 0, F.1.2)
n2pxpzex + ri2pypzey + (ez - п2 (l - p2z)) ez = 0.
В литературе встречается несколько иной вид уравнений
F.1.1), F.1.2). Задача распространения плоской электромагнит™
ной волны в анизотропной среде в кристаллооптической системе
координат описывается простым уравнением
агзе3 = 0, F.1.3)
где матрица ац имеет вид
n2pxpz
Q>ij =
причем t
ex -
°l +
n2(l~
П PxPy
n2pxpz
e2 +
-pI]
)
= 1
П PxPy
- n2 A -
n2pvPz
. Нет]
п
n2
F.1.4)
-pI))
Нетривиальные решения системы
F.1.3) существуют при условии равенства нулю ее детерминан-
детерминанта: deta^j = 0. В уравнениях F.1.3) и F.1.4), как и ранее, ej —
координаты направления колебания электрического поля, бук™
вами ex1ey1ez обозначены главные значения диэлектрического
338 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VI
тензора, под р подразумевается направление волнового вектора
(р = к/ |к|), а под п — показатель преломления волны с соответ-
соответствующим типом поляризации. Напомним, что ех = п2х) еу = п^,
ez = n2z, где пХ1 пу и nz — главные значения тензора показателей
преломления.
В процессе численного решения данной системы можно
столкнуться с серьезными вычислительными трудностями, по-
поэтому часто прибегают к различным упрощениям.
Как известно, в анизотропной, немагнитной и прозрачной
среде в одном направлении могут распространяться две вол™
ны электрической индукции, линейно поляризованные в двух
взаимно перпендикулярных плоскостях [3, 10]. Волну с боль-
большей фазовой скоростью принято называть быстрой (/-волна),
а с меньшей — медленной (s-волна). Уравнение Френеля дает
соответствующие показатели преломления для быстрой (rif) и
медленной (ns) волн:
/ Ь , 1 Ь Ас
ns = \ — + - \ — - 4-,
V 2 2 У 2 '
f
b
2a
1
?,\
h2
a2
Iе
a,
v«, .,«- « l/ = t/^-,A/-T-4-, F-1.5)
где
a = exp\ + 6^p^ + ?zp^, с = еже%^,
В случае двухосного кристалла главные значения диэлектрического
тензора различны, поэтому показатели преломления как быстрой, так и
медленной волн зависят от направления волнового вектора. В одноосном
кристалле (ех = еу = е± ф ez = ец) один из двух показателей преломления
не зависит от направления волнового вектора (по аналогии со случаем изо-
изотропного тела соответствующую волну называют обыкновенной, а показа™
тель преломления обозначают как по)- Волну с зависящим от направления
показателем преломления называют необыкновенной, а показатель прелом-
преломления обозначают как пе (некоторые повторения материала, изложенного
в предыдущих главах, даются здесь для непрерывности и последователь-
последовательности изложения).
Для положительного одноосного кристалла (ец > е±):
±+p2z (ец -е±)
F.1.6)
Если одноосный кристалл — отрицательный, то
= по, nf = а —J = пе. F.1.7)
V ?± +PZ [?\\ - ?±)
Обозначим направления колебаний быстрой и медленной
волн электрической индукции в двухосном кристалле как dj и
ds соответственно.
6.1
КРИСТАЛЛООПТИКА ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛОВ
839
Рассмотрим взаимное расположение векторов электриче-
электрического поля и электрической индукции в системе координат,
определяемой тройкой векторов fj^k' и связанной с направле-
направлением распространения быстрой и медленной волн электрической
индукции и векторами dj и ds
по закону:
1; О d/, j' О ds, k; о р.
Обозначим систему с трой-
тройкой векторов 1;, j;, k; как X, У,
Z, при этом плоскость ХО^
назовем /-плоскостью, а плос-
плоскость FOZ — s-плоскостью
(рис. 6.2).
Напомним, что в общем
случае в анизотропной среде
направления волнового векто-
вектора и потока энергии не совпа-
совпадают. Под Sj будем понимать
направление распространения
энергии быстрой^ а под ss —
медленной волн (см. рис. 6.2). Традиционно угол р между волно-
волновым и лучевым векторами называют углом двулучепреломления
(анизотропии или сноса). Для углов, соответствующих обоим
типам поляризации, справедливы соотношения:
= arccos -—-—: = arccos Wf = , F.1.8)
X
;/
Рис б 2
MM
ps = arccos
1
= arccos¦
F.1.9)
где
= 2exe*ez-
ez) еУр2у-
ezp2z]
а векторы qj и qs заданы в кристаллооптической системе и име-
имеют следующие компоненты:
+ ez)p2z] n\M,
*)р2у -
?
у)р2 _
F.1.10)
Напомним, что электрический вектор всегда перпендикуля-
перпендикулярен лучевому вектору, и так как векторв1 электрического поля,
электрической индукции, волновой и лучевой векторы компла-
компланарны (среда немагнитна), то угол между векторами электри-
340
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VI
лх \
Рис>
cosp/
0
sin pf
, ei =
0
cosps
sin ps
ческого поля и электрической индукции равен углу двулучепре-
ломления.
Обозначая направления колебаний электрического поля, ле-
лежащие в /- и л-плоскостях, как е^ и es соответственно, получим
координаты направлений колеба-
колебаний волн электрического поля /-
и s-типов в системе X, У, Z:
. F.1.11)
Пусть bij — матрица преобразова-
ния, связывающая системы X, У,
2и1,У, Z, тогда:
ef = Ъф\, 4 = Mj- С6-1-12)
Матрица Ьц моясет быть най-
найдена с помощью графической ин-
интерпретации уравнения Френеля
F.1.1) — эллипсоида Френеля
(рис. 6.3).
Пересечение эллипсоида плоскостью, перпендикулярной вол-
волновому вектору, есть эллипс, полуоси которого определяют на-
направления колебаний векторов электрической индукции бы-
быстрой и медленной волн. Используя этот факт, получим
sin 8 cos (p cos 9 + sin (p cos 8 — cos 8 cos у? cos 0 + sin (p sin ? cos cp sin 0
sin 8 sin у? cos (9 — cos (p cos <5 — cos 8 sin <^? cos в — cos y? sin 8 sin 0 sin p
— sin ^ sin 0 cos <5 sin 0 cos 0
F.1.13)
где ср, в — азимутальный и полярный углы, задающие направле-
направление волнового вектора, а величина 8 определяется выражением
[6-8]:
о
sin B(p)
OZ:
2
F.1.14)
Угол О, = VZ задает наклон оптических осей кристалла к оси
nf
F.1.15)
где, напомним, под nXlnyinz понимаются главные значения по-
показателей преломления кристалла.
6.2 ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЭФФЕКТИВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ 841
Используя соотношения F.1.11)—F.1.13), непосредственно
получим компоненты направлений колебаний волн электрического
поля /- и s-типов в кристаллооптической системе:
— (sin 8 cos ip cos 9 + sin <p cos 8) cos p/ + cos tp sin 9 sin p/
(— sin 8 sin (p cos в + cos Lp cos 8) cos p/ + sin (p sin 6> sin p/
sin <5 sin в cos p/ + cos 9 sin p/
F.1.16)
(cos S cos 99 cos 0 — sin ip sin <5) cos ps + cos 99 sin 9 sin ps
(cos 8 sin 99 cos 0 + cos (p sin <5) cos ps + sin y? sin в sin ps
— cos 8 sin 0 cos ps + cos (9 sin ps
Отметим, что при pf = ps = 0 (в отсутствие двулучепрелом™
ления) выражение F.1.16) переходит в формулы, полученные в
[7]; в этом случае направления векторов электрической индук™
ции и поля совпадают.
Таким образом, в отличие от одноосных кристаллов, в двух-
двухосных кристаллах в формулах общего вида (в том числе с
учетом двулучепреломления) для компонент направлений коле-
колебаний волн электрического поля /- и s-типов в кристаллоопти-
кристаллооптической системе присутствуют четыре угла — 0, </?, р и E, вместо
трех — для одноосных кристаллов (для последних 8 = 0); угол
8 определяется, в свою очередь, углом Q, = Vz F.1.14).
В случае одноосных кристаллов следует положить S = 0, и
из формул F.1.16) следуют формулы для компонент единичных
векторов поляризаций обыкновенной и необыкновенной волн; в
пренебрежении двулучепреломлением в этом случае получаются
формулы B.2.40).
Итак, компоненты единичных векторов направлений колеба-
колебаний электрического вектора «быстрой» и «медленной» волн мо-
могут быть найдены, не прибегая к прямому решению уравнений,
непосредственно вытекающих из волнового уравнения. Эти ком-
компоненты выражаются через углы двулучепреломления, которые,
в свою очередь, вычисляются через компоненты лучевых векто™
ров и показатели преломления волн. На этой основе могут быть
найдены выражения общего вида для эффективной нелинейно-
нелинейности для любого нелинейного процесса преобразования частоты
в двухосных кристаллах.
6.2. Алгоритм вычисления коэффициента
эффективной нелинейности длм коллинеарного
синхронизма с учетом двулучепреломленим в
двухосных кристаллах
Эффективная нелинейность. С эффективной нелиней-
нелинейностью мы встречались в § 2.2 гл. II, где была проведена
342 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VI
конкретизация коэффициентов нелинейной связи на примере
коллинеарного синхронизма типа оое при генерации второй гар-
гармоники в отрицательном одноосном кристалле в отсутствие дву™
лучепреломления. При этом использовались выражения вида
ei (хИ : eie2), е2 (ХBш): егег), F.2.1)
которые представляют собой условную векторно^тензорную за-
запись, означающую фактически скалярное произведение вектора
е на единичный вектор квадратичной поляризованности вида
()
)ii
Выражения F.2.1) носят название коэффициентов эффек-
тивной нелинейности. Слово «эффективная» применено здесь
в том смысле, что помимо тензора квадратичной нелинейности х
в эти выражения входят также комбинации синусов и косинусов
азимутального и полярного углов. Коэффициенты эффективной
нелинейности входят также в выражения для коэффициентов
нелинейной связи в укороченных уравнениях.
Коэффициент эффективной нелинейности может быть пред-
представлен в виде
где е' ' — направления колебаний взаимодействующих волн
электрического поля, a c^jfc — тензор квадратичной нелинейно-
нелинейности, dijk = l/2Xijk (используя симметрию тензора c^jfc по двум
последним индексам, его часто записывают в виде тензора с
двумя индексами dij, см. гл. I); здесь мы для общности запи-
записали выражение для эффективной нелинейности для процесса
генерации суммарной частоты (ГСЧ).
Для вычисления коэффициента эффективной нелинейности
в кристаллооптической системе координат XYZ следует подста-
подставить выражения для компонент единичных векторов поляриза-
поляризации е\ и es- из формул F.1.16) в выражение F.2.2). Получен-
Полученные формулы достаточно просты, но громоздки, в силу чего
они здесь не приводятся в общем виде, а дается только алго-
алгоритм такого расчета. При этом следует учесть, что конкретный
вид выражения F.2.2) зависит от группы симметрии кристалла
и типа синхронизма.
В дальнейшем мы приведем полные формулы для эффектив-
эффективной нелинейности для двухосных кристаллов класса симметрии
тт2 (в отсутствие двулучепреломления).
Типы синхронизма длм ГСЧ в двухосных кристал-
кристаллах. Для ГСЧ в двухосном кристалле имеют место следующие
6.2 ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЭФФЕКТИВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ 848
единственно возможные типы коллинеарного синхронизма:
тип I (ss-f) : ш{ + u)82 = и){, k{ + Ц = k[; F.2.3)
тип П-а (sf-f) : ш{+ш{= ш(, k{ + k{ = к(; F.2.4)
тип П-b (fs-f) : uj(+ujs2= u)[, к( + Ц = к{. F.2.5)
В формулах F.2.3)—F.2.5) Шп — частоты взаимодействую™
щих волн электрического поля /- и s-типов с соответствующи-
соответствующими абсолютными значениями волновых векторов кп '. Условия
реализации того или иного типа синхронизма определяются
f,s
частотами ып взаимодействующих волн и дисперсией глав-
главных значений показателей преломления nXlnyinZl определяемой
уравнениями Селмейера [1, 16].
В случае генерации второй гармоники (ГВГ), являющейся
частным случаем ГСЧ при ш\ = иJ = с^з/2, остаются только
два единственно возможных типа синхронизма ss-f и sf-f. За-
Заметим, что в двухосных кристаллах волна наивысшей частоты
при ГСЧ (т.е. суммарная частота) или волна на частоте второй
гармоники при ГВГ всегда является быстрой, в то время как
волны основной частоты (лазерного излучения) могут быть ли-
либо медленными (синхронизм 55-/), либо быстрой и медленной
(синхронизм sf-f).
В так называемых главных плоскостях кристалла XOY',
XOZ и YOZ двухосный кристалл ведет себя как одноосный [3]
(см. рис. 6.1), в связи с этим здесь снова можно пользоваться
понятиями обыкновенной и необыкновенной волн и применять
формулы для одноосных кристаллов. Отметим интересную осо-
особенность этих волн в главной плоскости XOZ: в зависимости от
соотношения между полярным углом в и углом П = VZ1 состав-
составляющим половину угла между оптическими осями кристалла,
как обыкновенная, так и необыкновенная волны могут быть как
медленной, так и быстрой волнами.
Алгоритм расчета эффективной нелинейности длм
ГСЧ в двухосных кристаллах в общем случае. Такой ал-
алгоритм складывается из нескольких последовательных шагов.
На первом шаге следует задать тип синхронизма, опреде-
определяемый уравнениями F.2.3)^F.2.5), что однозначно позволит
установить, какая из трех взаимодействующих волн является
быстрой, а какая медленной. Полезно при этом определиться,
какая из частот является наименьшей, при этом наибольшей по
определению будет суммарная частота, волна которой во всех
случаях является быстрой (индекс /).
На втором шаге выписываем компоненты направлений коле™
баний волн (т.е. поляризаций) электрического поля /- и s-типов
344 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VI
из уравнений F.1.16), т.е. компоненты eXi eyi eZl е|, e® esZJ где,
напомним, ж, у, z — оси в кристаллооптической системе коор-
координат (в этой системе оптические оси лежат в плоскости XOZ).
Например, имеем
el = — (sine • cos(f- cos0 + sin<p- cost)) • cos pj + cosc/9- sin0-
F.2.6)
es = (cos 5 • sin ip • cos 6^ + cos if • sin S) • cos ps + sin (p • sin в • sin ps,
и так далее.
На третьем шаге следует определить, в какой системе за-
задан тензор квадратичной нелинейности d^fc- Как правило, он
определен в кристаллофизической системе координат, а расчет
ведется в кристаллооптической системе, и в случае, если эти
системы осей не совпадают (как, например, в кристалле LBO),
необходимо провести его соответствующее ортогональное преоб-
преобразование:
pqn F.2.7)
где щ-^ — тензор квадратичной нелинейности в кристаллоопти-
кристаллооптической системе координат, с^ — соответствующее ортогональное
преобразование тензора, вид которого существенно определяет-
определяется конкретной точечной группой симметрии кристалла [9, 10].
Так, например, для кристалла LBO (класс симметрии тт2)
имеем
г 1 0 0
0 1 0
Окончательные выражения для ^эф, записанные через тен-
тензор dijk в кристаллооптической системе координат, имеют вид
для первого типа синхронизма (ss-f):
= \^ГрBшЬ,\^\^^^,^^„4мДе(ш))^(е(а;))^, F.2.8)
4Г Е D)* Е Е
г 3 к
для второго типа синхронизма (sf-f):
4tf)
i j к
Четвертый шаг состоит в вычислении компонент приведен-
приведенного вектора квадратичной поляризованности dee. Например,
как видно из формул F.2.1) и F.1.16), х-я компонента этого век™
тора на суммарной частоте является произведением компонент
тензора d^, начинающихся с индекса ж, на произведения всех
компонент векторов е\^ соответствующих волн, в которых ин-
индексы совпадают со вторым и третьим индексами тензора d^, с
6.2 ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЭФФЕКТИВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ 845
последующим суммированием по этим двум (второму и третье™
му) индексам. Аналогично вычисляются у-я и z-я компоненты
вектора dee на суммарной частоте, а также все компоненты на
двух других частотах.
На пятом шаге следует вычислить скалярное произведение
векторов е и dee, для чего следует попарно перемножить их
одинаковые компоненты и полученные выражения сложить.
В результате всех этих расчетов мы получим три выражения,
каждое из которых соответствует коэффициенту эффективной
нелинейности для данной волны с соответствующей частотой.
В дальнейшем, после подстановки в них конкретных чисел для
всех углов и компонент тензора квадратичной нелинейности, мы
получим три значения коэффициента эффективной нелинейно-
нелинейности для данной волны с соответствующей частотой для данного
типа синхронизма (в принципе, эти значения должны быть до™
статочно близки, но все зависит от конкретного кристалла). В
случае ГВГ расчеты существенно упрощаются.
Подчеркнем еще раз, что поскольку коэффициент эффектив-
эффективной нелинейности с!эф является скалярной величиной, то он не
зависит от выбора системы координат. Однако значения ком-
компонент тензора квадратичной нелинейности c^jfc и векторов е^
должны быть заданы в одной системе. Как уже указывалось,
тензор dijk, как правило, задается в кристаллофизической си™
стеме координат. В случае несовпадения этих систем координат
необходимо пересчитать значения d^k из кристаллофизической
системы координат в кристаллооптическую. Ниже будут приве-
приведены результаты таких расчетов на примере кристаллов класса
симметрии тт2. Для одноосных кристаллов кристаллофизиче™
екая и кристаллооптическая системы координат совпадают, и
проблема пересчета тензора отпадает. То же самое имеет место
и для некоторых двухосных кристаллов, например для КТР, од-
однако подобное совпадение для двухосных кристаллов — скорее
исключение, чем общее правило.
Влимние кристаллической симметрии на вид выра-
выражения для коэффициента эффективной нелинейности.
Как уже указывалось, расчет эффективности нелинейных про™
цессов, как правило, проводится в кристаллооптической систе-
системе координат. В настоящее время существует много работ, в ко-
которых даются формулы для вычисления с!эф? н0 в большинстве
из них или не определена система координат, в которой выполня-
выполняются вычисления, или вследствие неоднозначности терминале™
гии сильно затруднено или просто отсутствует понимание про-
проблемы несовпадения систем осей.
Еще раз напомним системы координатных осей, которые ис-
используются для изучения кристаллов и описания их физических
свойств.
346 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VI
Кристаллографическая система координат (КГ) — в общем
случае не ортогональная система, базисные векторы которой
связаны с ребрами элементарной ячейки кристалла (обозначим
как Ож, Of/, Oz).
Кристаллофизическая система координат (КФ) — правая
ортогональная система координат, используемая для записи тен-
тензоров и матриц, представляющих физические свойства кристал-
кристаллов (обозначим ее как Ох\, 0x2, Ох$). Обозначим компоненты
тензора диэлектрической проницаемости в КФ системе как ef-.
Система главных диэлектрических осей (ГДО) — ортого-
ортогональная система координат, в которой тензор диэлектриче-
диэлектрической проницаемости имеет диагональный вид (обозначим как
О-Х,О12,О^з)- Компоненты тензора диэлектрической прони-
проницаемости в ГДО обозначим как ef,.
Кристаллооптическая система координат (КО) — правая
система главных диэлектрических осей, в которой оптические
оси кристалла лежат в плоскости X\OZ% (обозначим как ОХ,
OY, OZ). Компоненты тензора диэлектрической проницаемости
в КО системе обозначим как ?°-.
Рассмотрим правила, связывающие основные системы коор-
координат для различных категорий кристаллов.
1. Высшая категория. К высшей категории (которая харак-
характеризуется наличием нескольких осей высшего порядка) относят
изотропные кристаллы кубической сингонии. Для этой катего-
категории КГ, КФ, ГДО и КО совпадают. Соответствующий тензор
диэлектрической проницаемости имеет вид
( е 0 о\
4=4=4= °е°- С60)
1° ° Ч
2. Средняя категория. К средней категории кристаллов от-
относят тригональную, тетрагональную и гексагональную синго-
сингонии. Они характеризуются наличием одной оси симметрии выс-
высшего порядка. Кристаллы этой категории оптически одноосны.
Для этой категории системы КГ, КФ, ГДО и КО также, как
и для высшей категории, совпадают. Соответствующий тензор
диэлектрической проницаемости имеет вид
\
=¦* = е°.
ч
0
0
0
ч
0
0
0
6 1
F.2.11)
3. Низшая категория. К низшей категории относятся три-
клинная и моноклинная сингонии. Общим характерным при-
6.2 ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЭФФЕКТИВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ 847
знаком для них является отсутствие осей симметрии высшего
порядка. К низшей категории относятся оптически двухосные
кристаллы.
По определению, КО- и ГДО-системы координат являются
системами, в которых тензор диэлектрической проницаемости
имеет диагональный вид
F.2.12)
Нетрудно показать, что, исходя из такого определения, КО
и ГДО совпадают тогда и только тогда, когда выполняется одно
из неравенств:
ei<e2< 63, е3 < б2 < б-i. F.2.13)
При выполнении одного из условий F.2.13) оптические оси
кристалла лежат в плоскости XOZ {X1 Y,Z — главные диэлек-
диэлектрические оси, в которых тензор ец диагоналей). В этом слу-
случае говорят о так называемой кристаллооптической установке
кристалла, в которой система осей XYZ является кристаллооп-
кристаллооптической. Такая система соответствует следующим соотношени-
соотношениям между главными значениями показателя преломления: nz >
> пу > пх или nz < пу < пх.
Для ромбической сингонии системы КГ, КФ и ГДО совпа-
совпадают; соответствующий тензор диэлектрической проницаемости
имеет вид
F.2.14)
При выполнении условий F.2.13) КО-система совпадает с
КФ, КГ и ГДО.
В случае моноклинной сингонии системы КГ, КФ и ГДО не
совпадают, а тензор диэлектрической проницаемости в системе
КФ имеет недиагональный вид
F.2.15)
Отметим, что для диагонализации этого тензора выполняет-
выполняется обычная процедура отыскания собственных векторов, кото-
которые, в свою очередь, и зададут направления осей системы ГДО.
В этой системе мы будем иметь следующие значения компонент
Si
0
0
0
?2
0
0
0
348 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VI
тензора квадратичной нелинейности:
/еп 0 0 \
О 822 0 - F.2.16)
0 0 езз у
4 =
При этом для выяснения соотношения между системами
ГДО и КО нужно воспользоваться соотношениями F.2.13).
6.3. Особенности генерации второй гармоники в
двухосных кристаллах
Скалярный синхронизм процесса ГВГ. Особенности
распространения плоской электромагнитной волны в двухосном
кристалле определяют условие фазового синхронизма. В случае
скалярного (коллинеарного) синхронизма имеем
кг + к2 = К, F.3.1)
где под fci, &2, К подразумеваются соответствующие абсолютные
значения волновых векторов основного излучения и гармоники.
В случае нормальной дисперсии последнее соотношение приво™
дит к двум типам скалярного синхронизма:
1. ss-f-тшч 2ks = Kfl n^ = п{^\ F.3.2)
2. «/-/-тип: ks + kf = Kf, i (n^ + nf]^ = п{^\ F.3.3)
o (w) (w) Bш)
Здесь n^ , n\r , n\ — показатели преломления медленной
и быстрой волн на частоте оо и быстрой волны на частоте 2ы
соответственно. Для заданного направления волнового вектора
величины Пз\п^\ п\ш^ находятся из уравнения Френеля. Та™
ким образом, уравнения F.3.2), F.3.3) определяют направления
синхронизма первого и второго типов соответственно. Условим-
Условимся решать эти уравнения в кристаллооптической системе коор-
координат. Используя F.1.5), молено построить кривую синхронизма
(т.е. зависимость вс (<рс)э гДе ^с? ^с — полярный и азимутальный
углы направления синхронизма) в первом октанте кристаллооп-
кристаллооптической системы координат:
а) синхронизм ss-f:
F.3.4)
2 V ^а2ш ) а2и.
6.3
ОСОБЕННОСТИ ГВГ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ
849
синхронизм sf-f:
2L\ -4^+1 ^-
^ _4^. F.3.5)
Z 0,град
0,0
Аналитический расчет этих кривых невозможен, поэтому за™
дача обычно решается вычислительными методами.
Отметим, что, как уже указывалось, в отличие от одноос-
одноосных кристаллов, в данном случае направление синхронизма ха-
характеризуется двумя углами синхронизма 0С, (рс — полярным
и азимутальным углами,
характеризующими на-
направление распростране-
распространения взаимодействующих
волн. На рис. 6.4 показа-
показаны типичные кривые син-
синхронизма двух типов ss—f
и sf—f для ГВГ в кри-
кристалле KTiOPO4 (KTP)
при Ai = 1,0642 мкм,
Т = 20°С, построенные
в кристаллооптической
системе координат с ис-
использованием формулы
Селмейера, взятой из
справочника [1]. Отме-
Отметим, что полученная из
этих кривых зависимость
90,0
ХОД)
Фс,град
90,0 Y
Рис. 6.4
вс ((рс) взаимооднозначна, однако,
подобная взаимооднозначность для некоторых других кристал-
кристаллов орторомбической группы не характерна, как например, для
кристалла Ва(СООНJ (BFM) [13].
Волновам расстройка. Рассмотрим выражение для волно-
волновой расстройки. В общем случае:
Ак = ks + kf - К + А&фп + А^Нел =
Акфп + Afc,
F.3.6)
ее с
где первые три члена определяют линейную расстройку, зави-
зависящую от отклонения угловых и температурных параметров от
условий синхронизма, последние два члена обусловлены фото-
рефрактивным эффектом (фотопреломлением) и нелинейным
поглощением (см. гл. III).
350 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VI
В линейном приближении расстройка, определяемая первы-
первыми тремя членами равенства, имеет вид
Ак(л) = д(Ак)
дТ
AT -
т=тс
д(Ак)
дв
д{Ак)
в=0с
Ав-
д(Ак)
дш
Аи. F.3.7)
Следует отметить, что если значения первых производных
по углам или по температуре равны нулю, необходимо вычис-
вычислять вторые производные. Для иллюстрации получим первые
производные по температуре:
дАК с
дТ
с \ дТ дТ
дТ
1 К
дТ 2 [2а(
¦-)'-'
^ kuuj У а,
dnf] = 1 Г Ьш
дТ 2 2аш
1
2 у \аи.
_1
^4—
дТ 2.
Yd
2 V \а,
1
2аа
4 \\аш ) аш\ \ аш\дТ аш а?„ дТ ) V дТ аш а?„ дТ " ^
дп
(?ш)
дТ
дТ
дТ
4 \Cl2uj
®2uj
®2uj V ОТ U2oo
дТ
_4 ^^^ ^^ _ с^
6>Т а2ш а2
где
ат
о>аг о>?
ат ат
дт
+
де?
\ дТ
дТ
де,
(х)
дТ
еТ
де
(х)
e[z)?[v)\ + d&
дт \г г ) дт
дТ
дТ
6.3 ОСОБЕННОСТИ ГВГ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ 851
В общем случае изменение коэффициентов индикатрисы мо-
жет быть представлено в виде: Aef = pf"ul + I -^- I dT, где
pfl — упругооптические постоянные, и1 — деформации в мат™
ричной записи. В дальнейшем мы не будем учитывать явления
фотоупругости, отсылая читателя к работам [11, 12].
Приведенный пример показывает, что любые выражения для
двухосных кристаллов характеризуются высокой степенью гро-
громоздкости (но не сложности).
Укороченные уравнения процесса ГВГ в двухосном
кристалле. Как и в случае одноосных кристаллов (см. главы
II, III), будем использовать ряд приближений, а именно:
а) среда является слабопоглощающей и слабонелинейной, по™
этому выполняются следующие соотношения:
Im ХA) « Re ХA), ХB) « Re ХB) « ^^
Е
где х ? X — комплексная линейная и нелинейная (квадратич-
(квадратичная) восприимчивости;
б) ограничимся квадратично-нелинейным членом в выраже-
выражении ДЛЯ р(нл);
в) условимся решать волновое уравнение в системе коорди-
координат X,Y,Z (см. § 6.1); для простоты опустим в обозначениях
координаты точки пространства верхний знак тильды (не пу-
путать с обозначением координаты точки в кристаллооптической
системе!).
Будем искать решение волнового уравнения в традиционном
виде (см. гл. II):
Е = - je^ А^ (г, t) exp [i(u)t - ksz)} +
c,t)exp[iBu)t-Kz)] +к.с.|, F.3.8)
для скалярного синхронизма первого типа E5-/), и в виде
Е =
= - \е^А^ (г, t) exp [i(cj*-A;sz)] W^Ui^ (r, t) exp [i(u;t-kfz)] +
2 1 J J
+ efu)Afu) (r, t) exp [iBu)t - Kz)} + k.c.J, F.3.9)
для скалярного синхронизма второго типа (sf-f), где е^ , е* ,
el — единичные векторы поляризации медленной и быстрой
волн основного (лазерного) излучения и быстрой волны вто-
л(ш)/ \ л(ш)/ \ лBи)/ \
рои гармоники; As (r,t), А\ (г,г), А\ (г,г) — зависящие от
352 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VI
времени и координат амплитуды этих же волн; z — координата
направления волнового вектора волны основного излучения;
г) медленность изменения амплитуды означает, что
^!«Л Щ<А; F.3.10)
dt ш дг к
д) на длине волны порядка 1 мкм ядра интегральных
операторов в выражении для нелинейной поляризованности
(см. гл. II) существенно убывают уже на временах порядка
10"~14 —10"3 с (это времена, большие по сравнению со временем
установления электронной поляризации, и меньшие, чем время
установления ионной поляризации). Амплитуда поля меняется
слабо за столь короткие времена. Поэтому приближенно можно
записать следующее соотношение:
A(t - t') « A(t) -^-t' + fj; {t'f. F.3.11)
Построим оценочную модель для нашей задачи. Рассмотрим
волновой пакет в виде совокупности светового импульса дли-
длительностью т и пучка с апертурой d = 1 мм, проходящий через
нелинейный кристалл длиной I = 10 мм. Положим, что поле в
пучке не превышает величины Е = ID9 В/м и к^1 « 10^4 см.
тт дА [ г1/2 1 г 1 г 1
Пусть —— = q ^^-^^ = (Л(л, где [q\ означает размерность
dz [см3/2с^1 ]
величины д, тогда приближенно, учитывая медленность изме™
нения амплитуды, можно записать:
dA/dz
дА дА I in г 1 i-l ®2А 1Л-з г 1
— « — - = q • 10 laL A; ^^ w g • 10 g,
^ж с?^ d dzdx
(дА/dt \ I _i г / i дА _1 И
7 « - = Т CM/CL — « Т • П ^L
dt\ I -i г , т дА
w - = т см/с , —
rxl L/J' <~v.
z J т dt
w т см/с , «т g
Vr^j/rxl L/J' <~v. J^ Г I
дА/dz J т dt [c]
Подставляя поля вида F.3.8) или F.3.9) в исходное волно-
волновое уравнение и ограничиваясь членами, меньшими (по поряд-
порядку малости) члена вида к^1 « 1СП4дЫ, после несложных
dz2
преобразований получим следующие уравнения, например для
синхронизма ss-f (другая пара уравнений будет соответствовать
6.3 ОСОБЕННОСТИ ГВГ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ 858
комплексно-сопряженным членам):
М\Ау' = —га\Ау' А* ш exp (—iAkz),
M2Aju = —га2А^ exp(iAfcz),
dz s dx 2iks \dx2 dy2
г д . Bш) д 1 ( д2 . д2
dz Ff ду 2%К \дх2 ду2
, F.3.12)
(ш) Bш)
где р\ 1 р\ — углы двулучепреломления медленной волны на-
накачки и быстрой волны второй гармоники, ип — групповые ско-
скорости импульсов, gn — коэффициенты дисперсионного расплы-
вания импульсов, 6п — коэффициенты линейного поглощения,
Qn — оператор нелинейного поглощения, ап — коэффициенты
нелинейной связи,
Afe = 2ks -k,s1 = k^h g^">) *(*r** ^Г)
t ё2
2п2(ш) ' 2n2 Bш
1ди'1ш'=ш 1дш'\ш'=2ш
- I [^il I \&2к
l ~ l \ ё U
2 iduj'2 \{jj'=-(jj 2 {.duo12 \(jj'=-2uj
2 /
\ J
/З12, /^22 — коэффициенты смешанного и двухфотонного погло-
поглощений.
Аналогично могут быть получены уравнения, описывающие
процесс генерации второй гармоники в случае скалярного син-
синхронизма второго типа (sf-f).
Обратимся к виду оператора Мп. Как и в случае одноосных
кристаллов, первый его член описывает изменение амплитуд в
процессе их распространения и взаимодействия. Второй член с
первой производной по ж и у описывает наличие двулучепрелом-
ления в кристалле. Третий член, содержащий вторые производ-
производные по поперечным координатам ж и у, соответствует эффекту
12 В.Г. Дмитриев, Л.В. Тарасов
354 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VI
дифракции. Четвертый член (первая производная по времени)
описывает влияние временной модуляции (в том числе эффект
группового запаздывания импульсов). Член со второй производ-
производной по времени соответствует дисперсионному расплыванию им™
пульсов. Последние два члена оператора описывают линейное и
нелинейное поглощение соответственно.
Эффективные длины взаимодействия. Точный расчет
эффективности ГВГ по уравнениям F.3.12) весьма сложен.
Лишь в некоторых простых случаях используются аналити-
аналитические решения, позволяющие произвести грубые оценки эф-
эффективности преобразования, однако, пользоваться ими надо
с известной осторожностью. Нижеприведенные рекомендации
помогут выбрать надлежащий аналитический метод расчета или
оценки эффективности ГВГ.
Как и в случае одноосных кристаллов, молено ввести следую™
щие эффективные длины процесса взаимодействия:
апертурная длина: La = ф^1, где d — характерный диаметр
луча; р — угол двулучепреломления (напомним, что в общем
случае, в отличие от одноосных кристаллов, здесь мы имеем
три угла двулучепреломления — для медленной и быстрой волн
основного излучения и быстрой волны второй гармоники);
квазистатическая длина взаимодействия: Lv = tv~1j v =
= щ ~~ щ , где т — длительность импульса;
дифракционная длина: Ьдиф = kd2;
длина дисперсионного расплывания: Lmc = т2/g.
Отдельно вводится длина нелинейного взаимодействия:
Ьнел = (а-ао)^1, где а0 = л/а1(°) +а!(°) +а1(°)? ап@) — модуль
амплитуды волны на входе кристалла.
Используя понятие эффективной длины процесса преобразо-
вания^ можно отказаться от непосредственной оценки порядка
малости членов волнового уравнения, достаточно оценить вели-
величину относительной эффективной длины процесса 1/Ьэф (где
I — длина кристалла), соответствующего определенному чле™
ну уравнения. В этом случае большему порядку малости члена
уравнения F.3.12) соответствует меньшая относительная длина
эффективности физического процесса.
Например, для ниобата лития в случае т = 1СГ12 с, d = 1 мм,
I = 10 мм получим
La = КГ1 м, LKB = 5 • 10 м, Ьдиф = 1 м, Ьдис = 10 м,
Существенной особенностью уравнений F.3.12) является на™
личие в них членов, содержащих два угла двулучепреломле™
6.3 ОСОБЕННОСТИ ГВГ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ 855
ния — быстрой и медленной волн (в уравнениях, описывающих
второй тип синхронизма E/™/), присутствует также угол дву-
лучепреломления быстрой волнв! основной частотв!). Каждому
члену соответствует конечная эффективная апертурная длина.
На основе непосредственной оценки членов, входящих в
уравнение F.3.12), можно дать следующие достаточно общие ре-
рекомендации в случае столь же достаточно типичных параметров
волнового пакета в виде совокупности светового импульса дли-
длительностью т и пучка с апертурой d ~ 1 мм, проходящего через
нелинейный кристалл длиной I ^ 10 мм:
а) при т > 10~9 с можно пренебречь расстройкой групповых
скоростей;
б) при т ^ 10~12 с можно пренебречь дисперсионным рас™
плыванием импульсов;
в) при длительностях импульса т ^ 10"4 —10~5 с может
появиться необходимость учета не только дисперсионного рас-
плывания, но и членов более высокого порядка малости в теории
дисперсии;
г) учет зависимости угла между оптическими осями от часто-
частоты (дисперсия оптических осей) проявится в членах уравнения,
по порядку малости сравнимых с членом, содержащим вторую
производную по Z]
д) эффектом двухфотонного поглощения на частоте гармо-
ники пренебрегаем при 2ш < Eg /h, где Eg — ширина запрещен-
запрещенной зоны диэлектрика.
Таким образом, основными особенностями ГВГ в двухосных
кристаллах являются:
— необходимость введения понятий быстрой и медленной
волн вместо обыкновенной и необыкновенной волн и соответ-
соответствующая коррекция укороченных уравнений и прежде всего
коэффициентов нелинейной связи; при этом, если выбрано вза-
взаимодействие в главных плоскостях нелинейного кристалла, то
можно снова пользоваться терминами обыкновенной и необыкно-
необыкновенной волн, не забывая при этом, что в зависимости от соотно-
соотношения между полярным углом в и половиной угла двухосности
f] = Vz, обыкновенная и необыкновенная волны могут быть как
быстрыми, так и медленными;
— необходимость учета трех (в общем случае, различных) уг-
углов двулучепреломления для быстрой и медленной волн основ-
основного (лазерного) излучения и быстрой волны второй гармоники,
в отличие от двух углов двулучепреломления для одноосных
кристаллов;
— наличие двух углов фазового синхронизма — полярного в и
азимутального <р, вместо одного угла синхронизма — полярного
в — в одноосных кристаллах;
12*
356 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VI
— наличие только двух типов синхронизма — ss-f и sf-f для
всех типов кристаллов, в отличие от четырех типов синхрониз-
синхронизма (оо-е, ое-е, ее-о, ео-е) в отрицательных и положительных
одноосных кристаллах;
— необходимость проведения всех расчетов (обращая особое
внимание на задание компонент тензора квадратичной нелиней-
нелинейности и взаимодействующих полей) в одной и той же системе ко™
ординатных осей, а именно — в кристаллооптической системе
координат;
— необходимость обращать особое внимание на порядок ма-
лости, соответствующий учету двухосности кристалла, с тем,
чтобы учесть все другие эффекты того же порядка малости и
оптимально выбрать вид главного оператора М в укороченных
уравнениях.
В остальных аспектах расчета эффективности ГВГ в двух-
двухосных кристаллах методика ее расчета совпадает с таковой для
одноосных кристаллов.
6.4. Выражения длм эффективной нелинейности ГВГ
в двухосных кристаллах на примере кристаллов класса
симметрии тт2
Как уже указывалось, выражения для эффективной нели-
нейности процесса ГВГ в двухосных кристаллах в общем случае
являются весьма громоздкими, в связи с чем они здесь не при-
приводились, а был дан только алгоритм вычисления эффективной
нелинейности в общем случае. Вместе с тем, будет полезно при-
привести точные выражения эффективной нелинейности для одной
из самых распространенных групп симметрии двухосных кри-
сталлов, а именно — для кристаллов группы тт2. К этой груп-
группе относятся такие широко распространенные на практике кри-
кристаллы, как КТР, LBO, КТА, ниобат и пентаборат калия, барий-
натрий ниобат, формиат натрия и др. Эти выражения необхо-
необходимо привести также в связи с тем, что в одной из основопола-
основополагающих работ в этой области (см. [6]) была допущена ошибка в
формуле для вычисления дополнительного угла 8^ к сожалению,
повторенная в нескольких последующих работах, что привело к
серьезным расхождениям результатов теории и эксперимента.
Корректные выражения для эффективной нелинейности кри-
кристаллов группы тт2 для случая совпадения кристаллографи-
кристаллографической и кристаллооптической систем координат (которое имеет
место, например, для кристалла КТР, но несправедливо, напри-
например, для кристалла LBO) были впервые получены в работе [8].
Для других пяти соотношений между этими системами коор-
координат (соответствующих несовпадению кристаллографической
и кристаллооптической систем координат) аналогичные выра-
6.4
ЭФФЕКТИВНАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ КЛАССА
857
жеыия были впервые полученв! в нашей работе [7], см. так™
же [1, 16].
В этом параграфе, основываясь на нашей работе [7], мы
приведем результаты расчета преобразования тензора квад-
ратичной нелинейности кристаллов группы симметрии ттЁ^
заданного в кристаллографической системе координатных осей,
в кристаллооптическую систему координат. При расчетах мы
пренебрежем двулучепреломлением.
Эффективная нелинейность в общем виде вычисляется в
соответствии с формулой F.2.2). Оси кристаллооптической
системы традиционно обозначим как X, У, Z, а оси кристалло-
кристаллографической системы координат как а,Ъ,с. Результаты преобра™
зования компонент тензора G^jfc B кристаллооптическую систему
координат для шести различных соотношений между система-
системами Х1 У, Z и а, Ь, с приведены в табл. 6.1, где приняты следующие
Таблица 6.1
№
1
2
3
4
5
6
Соотношение
X,Y,Z ^а,Ь,с
X,Y,Z -> b,a,c
X7Y,Z -> а,с,Ь
X,Y,Z -+ Ъ, с, а
X,Y,Z -> с,Ъ,а
X,Y,Z -> с,а,Ь
dCaa=d31
dzxx
dzYY
dYXX
d,YZZ
dxzz
dxYY
dcbb=d>32
dxYY
dzxx
dyzz
dyxx
dxYY
dxzz
dccc=d33
dzzz
dzzz
dyw
dy'YY
dxxx
dxxx
daac=dl5
dxxz
dYYZ
dxxY
dzzY
dzzx
dyYX
dbbc=d24
dyYZ
dxxz
dzzY
dxxY
dYYX
dzzx
для кристаллов группы
daac = 6?i5, dbbc = d24-
обозначения для компонент тензора
тт2:
dcaa = d31, dcbb = d%2, dccc = с!зз, ,
F.4.1)
Ниже приведены выражения для эффективной нелинейно-
нелинейности двухосных кристаллов группы тт2 в случае совпадения
кристаллографической и кристаллооптической систем коорди-
координат (X,Y,Z -+ а,Ъ,с):
= (ds2 —
cos в sin в sin 2cp cos S sin2 S +
— c?24) cos в sin в sin 2(p cos 6 cos 28 +
+ (d%2 cos2 if + c?3i sin2 <p) sin 6> sin3 8 +
32 sin (/? + c?3i cos 99) cos б sin 6^ cos E sin J —
— 2 (c?
24 cos2 ip +
+ 2 (^
24 sin2 (p +
cos
5 sin2 if) sin 0 cos2 E sin 8 +
2 ) cos2 0 sin в cos2 $ sin E +
+ d33 sin3 6> cos2 8 sin (J, F.4.2)
358 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VI
d^L * = (с!з2 "¦ c?3i) cos в sin в cos ip sin ip sin E cos 28 +
+ №4 — dib) cos 0 sin в cos 99 sin 92 sin 8 D cos2 J — l) —
— (d3i cos2 ip + d%2 sin2 (f) cos2 0 sin 0 cos 8 sin2 5 +
+ (б?зх sin2 99 + c?32 cos2 </?) sin <9 cos 8 sin2 E —
— 2 (d 15 cos2 c/9 + ^24 sin2 (/9) cos2 в sin 0 cos <5 sin2 S —
— (di5 sin2 (/? + ^24 cos2 ip) sin <9 cos (J cos 28 —
— с!зз sin3 в cos J sin2 8. F.4.3)
Следует еще раз подчеркнуть, что, как для одноосных, так и
для двухосных кристаллов необходимым и достаточным усло-
условиями получения эффективной ГВГ являются ненулевые значе™
ния эффективной нелинейности и наличие фазового (волново-
(волнового) синхронизма (в данном случае для двух углов — полярного
и азимутального). Надо также отметить, что изменения углов
0, (р и 8 приводят к изменению не только значения коэффици-
коэффициента эффективной нелинейности, но и к изменению таких па™
раметров, как угловая, температурная и спектральная ширины
синхронизма, углы анизотропии и т.д. Это замечание сделано в
связи с тем, что в двухосных кристаллах еще в большей степе™
ни, чем в одноосных, имеет место тот факт, что максимальное
значение эффективной нелинейности в общем случае отнюдь не
соответствует максимальному значению эффективности преоб™
разования.
Выражения для эффективной нелинейности двухосных кри-
кристаллов группы тт2 для двух типов скалярного (коллинеар™
ного) синхронизма F.3.2) и F.3.3) и шести типов соотношений
между координатными системами осей X,Y,Z и а^Ъ^с приведе-
приведены в табл. 6.2, где введены обозначения:
А = sin 19, В = cos 19, С = slny}, D = cose/?, E = sln<5, H = cos<?
F.4.4)
С практической точки зрения существенный интерес пред-
представляет расчет коэффициентов эффективной нелинейности
кристаллов группы тт2 для случая распространения световых
волн в главных плоскостях кристалла XOY', XOZ, YOZ. Со-
Соответствующие выражения для коэффициентов эффективной
нелинейности могут быть получены из общих выражений, при™
веденных в табл. 6.2, в которые следует подставить значения
коэффициентов А, В, С, D, Е^ Н и угла 8 из табл. 6.3 (см. также
таблицы 6.6 и 6.7, приведенные ниже).
Подчеркнем, что при вычислении значений эффективной
нелинейности в главных плоскостях кристалла угол 8 в формуле
F.1.14) должен быть определен корректно с учетом его знака,
что и сделано в табл. 6.3.
6.4
ЭФФЕКТИВНАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ КЛАССА
859
в
1
СО ff)
43
h—i
а
СО 'в*
СО Л
43
О)
К
О)
о
g
о
О
!
О
bq
Q
яУ
Ct3
О
!
tc
Q
+
см
О
1
{BDE-i
[АН
ю
!
Я) +
О
+
Q
Bq
-СЕ)\
!
Q
ю
СМ
О
яУ
Q
1
Cl3
о
bq"
+
см
Q
{ВСЕ-
[АН
см
1
Няа
_i_
to
о
Dq
^-—^
Q
bq
см
!
о
+
bq
Q
СЕ)\
BDH -
АЕ{
СО
!
см
-СЕ)
i
Q
ff)
bq
СО
¦«О
т
СО
СО
1
+
О
cq
DH)\
D
cq
АЕ{
см
СО
1
см
СО
СО
1
CN
-DE)
™г
D
я)
щ
см
СО
!
6Г
яУ
Q
1
D
щ
+
см
Q
{ВСЕ-
[АН
ю
!
+
D
cq
DH)\
!
bq
D
43
CM
о
bq
Q
яУ
Ей
D
1
Q
+
CM
ло-
{BDE-i
CM
43
|
_|_
bq
Q
cq
§
CM
43
CM
!
sp
+
О
cq
1)Я)|
!
bq
О
cq
AE(
CO
43
!
CM
-de;)
T
D
ff)
bq
CO
43
C
t
H
CO
CO
43
О
+
Q
CE)\
BDH -
AE{
CM
CO
43
CM
CO
CO
43
CM
-CE)
i
Q
ff)
bq
CM
CO
43
_|_
CM
D
bq
){BD
bq
Q
D
43
+
m
о
i
Q
Ю
43
CM
+
Q
cq
^^
D
!
Q
DQ
-DH){.
D
-ff)-
+
!
bq
Q
о
CM
CM
43
CM
!
+
bq
Q
о
CM
^q
VH(BC.
"*4
CM
CM
43
+
CM
о
i
Q
Q
1
О
CO
43
t
H
_l_
О
&q
Q
9.
о
!
Q
Q
!
bq
03)
CO
43
+
I
Q
!
D
^);
CM
CM
CO
43
!
DE)
+
D
CD
CM
Q
I
bq
О
S-
CO
43
+
Q
m{BCi
щ
CM
CM
CO
43
+
CM
Q
+
Q
1
О
CO
CO
43
360
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VI
1—1
1—1
в
Is
43^
(тип I
<Ч Я)
43
CD
к
CD
О
В
н
о
о
О
!
О
oq
+
Q
1
bq
СП
1
+
см
+
n
+
+
+
Ю
43
CM
1
+
g
i
ная
Q
: О
!
О
bq
Q
О
1
Q
f
CM
CM
+
n
с
4
К
L.
cc
к
D С
f-Q |
^ Or
bq с
со с
43 4;
D
I .
^ Q
^ a
CO CO
I I
d
t
H
i
•1
)
]
)
I ^
} +
О
I cT
Q
|
!|
Q
)(BCl
it!
CO
CO
43
1
О
bq
ih)hl
Щ
CM
+
о
Q
43
1
q
CM
45
CM
1
1
q
Q
I
CM
+
X
I
D
4?
CM
1
о
+
DE)\
-\-
BCH
1
Eq с
D
1
щ
Q
D
DD
K]
1
D
x
d
t
Hh
CO
+
!
fCtf)
bq
§
w
43
!
ЬСЯL
i
+
1
1
О
CM
4f
+
+
bq
Q
&
+
§
CM
43
!
+
bq
1
о
1
tc
Q
CO
4?
о
+
bq
Q
43
I
!
Q
CM
Q
I
bq
О
X
n
!
D
Ю
43
CM
I
4-
Q
Q
j^
bq
Q
+
!
D
X
+
D
Q
?^Я(Я.
+
Q
CM
CM
43
1
6Г
о
i
D
45
CNI
1
t
1
+
D
i
1
CO
43
1
О
+
bq
Q
+
§
CO
1
+
+
&
CM
CO
43
+
I
Q
CM
CO
1
+
bq
Q
о
Q
CO
CO
43
О
+
bq
w
43
!
6.4
ЭФФЕКТИВНАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ КЛАССА
861
Таблица 6.3
"Углы и
коэффи-
коэффициенты
0
А
В
ч>
с
D
Главная плоскость
XY
ж/2
1
0
ч>
sin у?
COS if
YZ
0
Ш10
cos б1
тг/2
1
0
XZ
0 <п
0
sin<9
cos^
0
0
1
0>П
0
sin^
cos<9
0
0
1
пх < пу < nz
§
Е
Н
0
0
1
0
0
1
тг/2
1
0
0
0
1
Пх > Пу > Пг
S
Е
Н
^тг/2
-1
0
-тг/2
-1
0
0
0
1
-тг/2
-1
0
Как уже указывалось, в главных плоскостях двухосный кри-
кристалл ведет себя как одноосный. Знак кристалла (положитель-
(положительный или отрицательный) в главных плоскостях определяется
соотношениями между главными значениями показателя пре-
преломления в этих плоскостях. Так, для случая пх < пу < nz
в плоскости XOZ обыкновенная волна соответствует медлен-
медленной волне при в < п = Vz и быстрой волне при в > п = Vz
(см. рис. 6.1а); для случая пх > ny > nz ситуация является
обратной.
Таблица 6.4
Соотношение
X, У, Z ^а,Ь,с
or —>- b,a,c
X,У, Z ^a,c,b
or —>- b,c,a
X, У, Z -> c,b,a
or —>¦ c,a,b
Главная плоскость
XY
ц(-)
oe-e, eo-e
oo-e
!(-)
oo-e
YZ
ц(+)
П(+)
oe-o, eo-e
ee-o
XZ
0 < U = Vz
I(-)
oo-e
n(-)
oe-e, eo-e
!(-)
oo-e
6> > 0 = F,
ц(+)
oe-o, eo-e
ee-o
n(+)
oe-o, eo-e
362
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VI
В таблицах 6.4, 6.5 приведены возможные типы фазового
синхронизма для ГВГ в двухосном кристалле группы симмет-
симметрии тт2 в главных плоскостях кристалла для различных соот-
соотношений между главными значениями показателя преломления.
Таблица 6.5
Соотношение
Х,У, Z -)> a,b,c
or ^ Ь, а, с
X, У, Z ->> а, с, &
or ^ Ь, с, а
X, У, Z —»¦ с, о, а
or —»¦ с, а, 6
Главная плоскость
XY
1(+)
ее-о
П(+)
ое-о, ео-е
П(+)
ое-о, ео-е
yz
оо-е
i(-)
оо-е
П(-)
ое-е, ео-е
XZ
0 <Q = VZ
ц(+)
ое-о, ео-е
ее-о
П(+)
ое-о, ео-е
0>u = Vz
оо-е
ц(-)
ое-е, ео-е
г(-)
оо-е
В таблицах 6.6,6.7 даны выражения для коэффициента нели™
нейной эффективности тех же кристаллов в главных плоскостях
для различных соотношений между главными значениями по™
казателя преломления.
Таблица 6.6
Соотношение
X, У, Z —» а, Ь, с
Х,У, Z ->> 6, а, с
X,Y,Z ^а,е,5
X,Y,Z -> 6, с, а
X, У, Z -> с, о, а
Х,У,^^с,а,Ь
Плоскость
ХУ
YZ
XZ, 0 < п
XZ, 0>п
ХУ
YZ
XZ, 0 < U
XZ, 0>п
ХУ
YZ
XZ7 0 < U
XZ, 0>п
ХУ
YZ
XZ, 0 < п
XZ, 0>П
ХУ
YZ
XZ, 0 < п
XZ, 0>п
ХУ
YZ
XZ, 0 < U
XZ, 0>п
<^(тин1)
0
0
с?32 sin 0
0
0
0
d>3i sin в
0
{1з2 COS Lp
0
0
ds2 sin2 0 + dsi cos2 (9
C?31 COS if
0
0
c?3i sin2 0 + d32 cos2 0
dsi sin ip
d,3i sin2 0 + d32 cos2 ^
ds2 COS ^
0
Aз2 Sin if
d32 sin2 ^ + c?3i cos2 ^
C?31 COS ^
0
d^ (тип II)
di5 Sin2 if + ^24 COS2 if
d±5 sin (9
0
C?24 Sin 0
G?24 Sin2 <^? + di5 COS2 y?
^24 Sin 0
0
c?i5 sin 0
0
G?15 COS^
c?24 sin2 0 + di5 cos2 0
0
0
C?24 COS 0
di5 Sin2 61 + G?24 COS2 0
0
0
0
0
G?24 COS 0
0
0
0
d\b cos^
6.4
ЭФФЕКТИВНАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ КЛАССА
868
Соотношение
X,
х,
х,
х,
Xj
х,
Y,Z
п =
V.Z
Y,Z
Y,Z
Y,Z
Y,Z
vz'
—)¦ a,c,b
—>¦ b,c,a
—»¦ с, Ь, а
—>¦ c, ft, 6
Плоскость
IF
XZ, 0
ХГ
XZ, 0
xz, в
XY
YZ
XZ, в
XZ, в
XY
YZ
XZ, в
xz, в
XY
YZ
XZ, 0
XZ, в
XY
YZ
XZ, в
XZ, 0
>O
<O
>O
>0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
dsi
^(тип!)
sin2 if + ds2 cos2 if
sin 9
sin 9
sin2 if + dsi cos2 Lp
sin 9
cos 9
sin2 9 + dsi cos2 9
cos 9
sin2 9 + с!з2 cos2 9
cos 9
cos<9
эф
0
0
О*24 Sin 0
0
0
0
d\b sin (9
0
d24 COS (/?
0
0
d24 sin2 0
C?15 COS (f
0
0
c?i5 sin2 9
di5 sin 99
c?i5 sin2 9
G?24 COS 0
0
С?24 Sin (f
c?24 sin2 9
0
Таблица
(тип II)
+ dis cos2
+ <i24 COS2
+ <i24 COS2
+ di5 COS2
6.7
0
Подчеркнем, что для корректного использования результа-
результатов расчетов, включенных в вышеприведенные таблицы, следу™
ет использовать следующий алгоритм. Прежде всего необходимо
определить, совпадают или нет кристаллографическая и кри™
сталлооптическая системы для данного кристалла (напомним,
что речь идет о кристаллах группы тт2), и воспользоваться
табл. 6.1. Далее из табл. 6.2 необходимо взять соответствующие
данному случаю выражения для эффективной нелинейности, в
которые следует подставить значения коэффициентов А, Л, С,
D, U, Н и углов 0, <р, 8. При этом надо не забыть, что углы 19, ср
не могут быть заданы произвольно, а определяются условиями
синхронизма, а это, в свою очередь означает, что при заданном
угле двухосности 20 = 2VZ жестко определен и угол S. Под-
Подчеркнем, что хотя это нигде ранее не оговаривалось специально,
читатель должен понимать, что все эти углы определены вну-
внутри кристалла (очень часто в опубликованных работах авторы
364
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В ДВУХОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VI
не считают нужным указывать, как определены эти три угла —
внутри или вне кристалла, что может привести к серьезным раз-
различиям между теорией и экспериментом). В случае распростра-
распространения взаимодействующих волн в главных плоскостях кристал-
кристалла можно воспользоваться сразу результатами таблиц 6.6, 6.7.
Рассмотренный в настоящей главе метод расчета эффектив-
эффективной нелинейности двухосных нелинейно-оптических кристаллов
класса симметрии тт2 может быть обобщен и на случай кри-
кристаллов других групп симметрии. Например, для случая двух-
двухосных кристаллов точечной группы симметрии 222, к которой
относятся такие кристаллы, как а-иодистая кислота, формиат
бария, триборат цезия (СВО) и т.д., можно показать, что при
выполнении соотношений Клейнмана остается только одна нену-
ненулевая компонента тензора квадратичной нелинейности, а имен-
именно di4 = dxYZ] соответствующие значения коэффициента
эффективной нелинейности в главных плоскостях кристалла
приведены в табл. 6.8.
Таблица 6.8
Плоскость
XY
YZ
XZ, в < Q =VZ
XZ, 0>п =VZ
Пх < Пу < Uz
di4 sin 2(,р; тип 11л '
di4sin20; тип I(+)
™cfi4 sin 2<9; тип 11^
-di4sln2$; тип I(+)
nx > ny > nz
—di4 sin 2(p; тип F"^
-di4sin20; тип IIм
di4sin20; тип I(+)
di4sin20; тип IIм
' Римскими цифрами I и II указан тип синхронизма
В табл. 6.9. даны выражения для коэффициента эффектив-
эффективной нелинейности для возможных типов синхронизма в главных
плоскостях кристалла точечной группы симметрии 2 при выпол-
выполнении соотношений Клейнмана (к этой группе симметрии от-
относятся такие органические кристаллы как MAP, LAP, MHBA,
Таблица 6.9
Плоскость
XY
YZ
XZ,
0<u = Vz
XZ,
0>U = Vz
d,2\
d>2i
nx < ny < nz
c?25 sin 2(p; тип Ц(~)
С?23 COS Щ ТИП 1^
d>2i cos 0; тип IF+^
с?25 sin 20; тип F+^
cos2 0-\-d'23 sin2 (/?+<i25 sin 20;
тип Ц(~)
cos2 0+c?23 sin2 ^+^25 sin 20;
тип I(+)
d>2i
d'2i
nx > ny > nz
c?25 sin 2(p; тип 1^
CI23 cos cp; тип 11^
d,2i cos0; тип F^^
(I25 sin 20; тип IF""-1
cos2 0+^23 sin2 tp+d2b
тип I(+)
COS2 0+C?23 Sm2 99+^25
тип IF"^
sin 20;
sin 20;
6.4 ЭФФЕКТИВНАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ КЛАССА тт2 865
PNP, NPLO, DAN и др., см. [1, 15-17]). Приведенные здесь зна™
чения компонент тензора вычислены в кристаллооптической си-
системе координат.
Учет двулучепреломления, естественно, сильно усложняет
расчеты эффективной нелинейности для двухосных кристаллов,
и мы их результаты здесь не приводим. В первом приближении
для учета двулучепреломления молено подставить в формулы
вышеприведенных таблиц вместо угла в угол (|9=Ьр), где знак
выбирается в зависимости от конкретной задачи. Типичным яв-
является соотношение р <С 0, в связи с чем учет двулучепрелом-
двулучепреломления нужен скорее для полноты физической картины процесса
ГВГ в двухосных кристаллах, чем для повышения точности вы™
числений (за исключением случаев сильного влияния угла дву-
двулучепреломления на эффективность ГВГ, т.е. при I > Lr).
ГЛАВА VII
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В
НЕЛИНЕЙНО^ОПТИЧЕСКМХ КРИСТАЛЛАХ С
РЕГУЛЯРНОЙ ДОМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ
7.1. Введение
Немного истории. Здесь будет уместно повторить в сжа-
сжатом виде некоторые важные положения, которые в том или ином
виде обсуждались в предыдущих главах. Как известно, уже в
1961 г. весьма быстро после появления первого лазера на рубине,
созданного в 1960 г. Мейманом в США, в Мичиганском универ-
ситете (США) профессором П.Франкеном с сотрудниками бы-
были осуществлены первые наблюдения эффекта генерации вто-
рой гармоники излучения рубинового лазера в кристалле кварца
[1]. Этот эффект наблюдался в отсутствие фазового синхрониз-
синхронизма (см. гл. II), из-за чего коэффициент преобразования во вто-
вторую гармонику C47 нм) составил весьма малую величину. Этот
факт, естественно, не может сколько-нибудь умалить принци-
принципиальную и важную фундаментальную роль этой пионерской
работы, но, с другой стороны, он заставил исследователей еще
раз обратить внимание на необходимость фазового синхронизма
между взаимодействующими волнами в оптике. К этому време-
ни, после многочисленных экспериментальных исследований в
области физики ВЧ- и ОВЧ-приборов с распределенными па-
раметрами^ в том числе с протяженными электронными пото-
потоками, где фазовый синхронизм был успешно реализован еще в
50-е гг. прошлого столетия, а также после целого ряда блестя-
блестящих исследований в области теории нелинейных волн необхо-
необходимость и важность обеспечения фазового синхронизма стали
достаточно очевидными.
Выполнение условий синхронизма в прозрачных изотропных
диспергирующих нелинейных кристаллах невозможно в силу
наличия нормальной дисперсии [2]. Использование эффекта ано-
аномальной дисперсии в области поглощения вызывает значитель-
значительные трудности вследствие больших потерь либо лазерного излу-
излучения, либо излучения второй гармоники и нагрева кристалла;
7.1 ВВЕДЕНИЕ 867
выполнение условий синхронизма за счет размещения взаимо-
действующих частот основного излучения и второй гармоники
по разные стороны от полосы поглощения, реализованное ранее
в нелинейнв1х распределеннвхх линиях и электроннвхх потоках
в радио- и ОВЧ-диапазонах, в оптическом диапазоне оказалосв
затруднительным.
Решение проблемы наметилось в 1962 г., когда А. Армстронг
и Н. Бломберген с сотрудниками предложили сразу три спосо-
способа осуществления фазового синхронизма ([3], см. также § 2.10).
В первом способе синхронизм осуществлялся за счет использо-
использования стопы тонких пластинок из нелинейно-оптического мате-
материала, направление оптической оси которых периодически (от
пластины к пластине) меняет свой знак. Во втором способе
предлагалось использовать оптический волновод из нелинейно-
оптического материала, сконструированный таким образом, что
обобщенная фаза Ф при полном внутреннем отражении от сте-
стенок волновода изменяется на тг. Третий способ заключался в ис-
использовании интерферометра, заполненного нелинейной средой
и настроенный на волну второй гармоники. Общим во всех этих
способах являлось то, что толщина каждой пластины (в стопе
пластин), или величина пути одного прохода света между стен-
стенками волновода, или толщина интерферометра должны быть
равны «когерентной длине» при генерации второй гармоники,
на которой (далее при весьма больших фазовых расстройках)
амплитуда второй гармоники не убывает. Перескок обобщенной
фазы на тг во всех этих случаях позволяет волне второй гармони-
гармоники продолжить нарастание амплитуды на следующей пластине,
или на следующем проходе между стенками волновода, или на
следующем проходе резонатора интерферометра. Фазовый син-
синхронизм такого дискретного типа в дальнейшем получил назва-
название квазисинхронизм.
В дальнейшем идея Н. Бломбергена по использованию сто-
стопы пластинок была им же и его сотрудниками, а также многи-
многими другими исследователями существенно дополнена и развита,
что, в конечном счете, привело к разработке современной техно-
технологии создания высокоэффективных кристаллов с регулярной
доменной структурой.
Следует отметить, что уже в том же 1962 г. американскому
ученому Джордмэйну [4] удалось показать, что равенство фа-
фазовых скоростей взаимодействующих волн при генерации вто-
второй гармоники, т.е. выполнение условий фазового синхронизма,
может быть реализовано в анизотропных нелинейных кристал-
кристаллах, если поляризации волн основного (лазерного) излучения и
второй гармоники различны («обыкновенная» и «необыкновен-
«необыкновенная» волны в одноосных кристаллах, «быстрая» и «медленная»
368 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VII
волны в двухосных). Такой фазовый синхронизм может бытв
выполнен только в определенном направлении, называемом на-
направлением синхронизма; углы фазового синхронизма зависят
от длины волны лазерного излучения и дисперсии нелинейно-
оптического кристалла (см. гл. II). Этот тип синхронизма в даль-
дальнейшем мы будем называть традиционным синхронизмом.
Последовавший вслед за этим лавинообразный рост иссле-
исследований и публикаций по генерации второй гармоники в усло-
условиях выполнения традиционного фазового синхронизма уже к
1963 г. привел к появлению преобразователей частоты лазерно-
лазерного излучения в излучение второй гармоники с эффективностью
10-20 %, что было уже вполне достаточно для многих практиче-
ских применений в науке и технике. Один за другим появлялись
новые перспективные нелинейно-оптические кристаллы, иссле-
исследования по дальнейшему повышению эффективности преобра-
преобразования велись весьма широким фронтом. Неудивительно, что
на этом фоне идеи Н. Бломбергена с сотрудниками по реали-
реализации квазисинхронизма при генерации второй гармоники бы-
были если не забыты полностью, то отодвинуты на задний план.
Тем временем бурное развитие нелинейно-оптических преобра-
преобразователей частоты лазерного излучения при использовании тра-
традиционного синхронизма обеспечило получение эффективности
преобразования во вторую гармонику в плоских волнах до 100 %
(без учета потерь).
В начале 90-х гг. XX в. исследователи вновь вернулись к идее
создания нелинейно-оптических преобразователей с периодиче-
периодической структурой. Например, в начале 70-х гг. было предложено
формировать периодическую структуру нелинейного кристал-
кристалла за счет напыления тонких пленок из нелинейного материа-
материала таким образом, чтобы направление оптической оси каждо-
каждого последующего слоя было противоположным по отношению к
таковому в предыдущем слое. Если к монодоменному кристал-
кристаллу приложить постоянное электрическое поле, периодически (по
длине кристалла) меняющее свой знак, то можно превратить
этот кристалл в «регулярно-полидоменный», причем направле-
направления оптической оси в двух соседних доменах будут взаимно
противоположными. Существует и ряд других способов реали-
реализации такой конструкции нелинейного кристалла, получившего
название кристалла с регулярной доменной структурой^ или
РДС-кристалла^ английский термин: periodically poled nonlinear
crystals (PPNC).
Свойства РДС-кристаллов. РДС-кристаллы позволяют
реализовать условия фазового синхронизма взаимодействую-
взаимодействующих волн для генерации второй гармоники практически в лю-
любых, в том числе в изотропных (но не центросимметричных!),
кристаллических средах за счет компенсации сдвига обобщенной
7.1 ВВЕДЕНИЕ 869
фазы при переходе от одного домена к другому (так называемый
«квазисинхронизм»). Для реализации квазисинхронизма вале-
валено, чтобы длина каждого домена была равна когерентной длине.
Тем самым, эффект генерации второй гармоники или эффекты
других типов преобразования частотв! (например, параметриче™
ской генерации света) могут 6bitb реализованв! в таких средах,
где традиционные процессы преобразования частоты из-за от-
отсутствия традиционного синхронизма не реализуются.
Другим важным свойством РДС-кристаллов является снятие
любвхх ограничений на поляризации взаимодействующих волн;
напомним, что, например, при традиционной генерации второй
гармоники при оо-е-взаимодействии поляризации волн основ™
ного излучения и второй гармоники должны быть ортогональ-
ортогональны. Другими словами, в РДО-кристаллах возможны все типы
взаимодействия, в частности, шесть типов для одноосных кри-
кристаллов: 00-0^ оо-е, ое^е, ео™е, ее^о, ее-е и шесть типов для
двухосных: ss-s, sf-s, sf-f, ss^f, //-/, ff-s.
В РДС-кристаллах возможна реализация квазисинхронизма
в любом направлении относительно оптических осей кристал-
кристалла, что позволяет, во-первых, осуществить максимизацию пара-
параметра эффективной нелинейности (см. гл. II) и, во-вторых, при
необходимости подстроить длину домена под оптимальное зна-
значение.
РДС-кристаллы позволяют осуществить генерацию второй
и высших оптических гармоник одновременно на нескольких
типах взаимодействия, что открывает пути повышения эффек-
эффективности преобразования неполяризованного или эллиптически™
поляризованного лазерного излучения.
Одним из важнейших свойств РДС-кристаллов является воз-
можноств одновременной генерации двух и более оптических
гармоник или суммарных и разностных частот в одном нелиней-
нелинейном кристалле. Для реализации такой «многочастотной» гене™
рации необходимо выбрать длину домена РДС-кристалла такой,
чтобы она была равна нечетному числу когерентных длин для
всех процессов, участвующих во взаимодействии волн; в общем
случае эти нечетные числа (называемые порядком квазисинхро-
низма) будут различными для каждого вида процесса. В част-
частности, возможны такие процессв! как одновременная генерация
второй, третьей, четвертой и пятой оптических гармоник, па-
параметрическая генерация света одновременно с генерацией оп-
оптических гармоник этих параметрических волн или разнообраз-
разнообразных суммарных частот и т.п. Другая возможность реализации
такой многочастотной генерации основана на применении кри™
сталлов с квазирегулярной доменной структурой, например, с
переменной (по продольной оси кристалла) длиной домена, ко™
гда в генерации разных гармоник участвуют различные участ-
370 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VII
ки кристалла (аналог широкополосного преобразователя часто-
частоты с продольной неоднородностью коэффициента преломления,
см. гл. III).
Особо отметим, что применение кристаллов с квазирегуляр-
квазирегулярной доменной структурой, когда по заданному закону меняет-
меняется не только длина домена по продольной оси кристалла, но и
сама форма домена, как по продольной, так и по поперечным
координатам (мы оставляем пока в стороне вопрос о технологи-
технологической возможности реализации таких кристаллов), открывает
широкие возможности конструирования нелинейно-оптических
преобразователей частоты с принципиально новыми, недоступ-
недоступными для традиционных преобразователей, свойствами. Так,
например, возможно создание широкополосных преобразовате-
преобразователей частоты лазерного излучения с существенно большими,
по сравнению с традиционными преобразователями, ширинами
синхронизма (угловой, спектральной, температурной). В случае
параметрической генерации света такие преобразователи, нао-
наоборот, позволят существенно стабилизировать параметры ПГС,
в частности, длину волны генерации в условиях относитель-
относительно нестабильного (по углу или по спектру) излучения накачки
или при нестабильной (изменяющейся) температуре окружаю-
окружающей среды. Более того, возможно создание преобразователей
частоты с заранее заданной формой ширины синхронизма (по
спектру, углу или температуре), а это, в свою очередь, открыва-
открывает возможности конструирования нелинейно-оптических спек-
спектральных фильтров или преобразователей углового спектра из-
излучения.
В РДС-кристаллах, за счет снятия ограничения по поляриза-
поляризациям взаимодействующих волн, возможно использование компо-
компонент тензора квадратичной поляризуемости, которые не могли
быть использованы при ГВГ в однородном (монодоменном) кри-
кристалле с традиционным синхронизмом и которые, как правило,
существенно больше, чем традиционно используемые компонен-
компоненты.
В РДС-кристаллах в принципе возможны нелинейные про-
процессы при наличии обратных волн, что открывает дополнитель-
дополнительные возможности реализации, например, компрессии импульсов
без предварительной фазовой или частотной модуляции.
Отметим, что в настоящее время далеко не все вышеупомя-
вышеупомянутые процессы преобразования частоты в РДС-кристаллах ис-
исследованы в необходимом объеме теоретически (см., например,
обзор [6]) и тем более экспериментально. Основное внимание в
этой главе мы уделим генерации второй оптической гармони-
гармоники, однако, после овладения этим материалом читатели будут в
состоянии самостоятельно обобщить его на случай параметри-
параметрической генерации света или генерации комбинационных частот.
7.2
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГВГ В РДО-КРИОТАЛЛАХ
871
Оптические оси нечетных доменов
7.2. Основы теории генерации второй гармоники в
РДС-кристаллах
Рассмотрим простейшую схему РДС-кристалла, содержаще-
содержащего последовательность равнотолщинных доменов, направления
оптических осей которых в
каждом домене противопо-
противоположны таковым в предыду-
предыдущем и последующем доме-
доменах (рис. 7.1, 1д — толщина
домена).
Для понимания физики про™
цесса преобразования частоты в
РДС-кристалле, например, для
случая генерации второй гар-
гармоники, напомним основные за™
кономерности этого процесса в
однородном (монодоменном) не-
нелинейном кристалле (см. главы
II, III). В приближении заданно-
заданного поля основного (лазерного) излучения для синхронизма типа оое при
наличии волновой расстройки Ак = fe ~~ кг, где кг,2 — модули волновых
векторов волн основного (лазерного) излучения (индекс 1) и второй гармо-
гармоники (индекс 2), амплитуда второй гармоники d2{z) растет с расстоянием
z в соответствии с формулой:
J
/д
г
г
J
г
г
7 1 1 Тi
Оптические оси четных доменов
Рис. 7.1
_ sin (Akz/2)
Akz/2
2(та?@) . Akz
sin
Ak
G.2.1)
где a = Stt2ёэф/(Xin) — коэффициент нелинейной связи, Ai — длина волны
лазерного излучения, с?эф — эффективная нелинейность, п — коэффициент
преломления кристалла. Из формулы G.2.1) видно, что при наличии волно-
волновой расстройки амплитуда вто-
второй гармоники осциллирует с рас-
расстоянием z по синусоидальному
закону, причем амплитуда осцил-
осцилляции падает с ростом расстройки
(рис. 7.2). Очевидно, что макси-
максимальный коэффициент преобра-
преобразования в излучение второй гар-
О
/к
2/к 3/к
Рис. 7.2
4/к
5/к
моники может быть достигнут
при z = 1К, где 1К — так называе-
называемая когерентная длина взаимодействия^ т.е. длина, на которой амплитуда
гармоники не убывает: 1К = ж/Ak (напомним, что рассматривается прибли-
приближение заданного поля).
Произведем некоторые численные оценки. В качестве при™
мера возьмем кристалл кварца, в котором Франкен впервые на™
блюдал вторую гармонику излучения рубинового лазера. По-
Полагая щ = 1,5405 (Ai = 0,6943 мкм), п2 = 1,5670 (А2 =
см, что дает для
= 0,3471 мкм), получаем Ак = 2,4 • 103
372
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ
ГЛ. VII
амплитуды второй гармоники, нормированной на максималь™
но возможную амплитуду второй гармоники кварца в отсут-
отсутствие волновой расстройки, величину порядка 1СР3 — это и есть
относительная амплитуда осцилляции второй гармоники (Ю~6
по интенсивности). Оценка когерентной длины дает величину
~ 13 мкм. Заметим, что настроить длину нелинейного кристал-
кристалла в несколько миллиметров с точностью до единиц микромет-
микрометров практически невозможно (это задача того же порядка, что
и изготовление полуволновой
пластинки толщиной поряд™
ка 1 см), да экспериментато-
экспериментаторы к этому и не стремились.
Именно поэтому Франкен мог
получить любое значение эф-
эффективности от нуля до мак-
максимального значения Ю~6.
Тот же процесс в РДС-
кристалле кварца, длина каж™
дого домена в котором равна
когерентной длине, будет
характеризоваться нараста-
нарастанием амплитуды (рис. 7.3,
кривая 1). Дело в том, что
поворот оптической оси крис-
*д
/B)
'д
/
L
г
1
/
\
L
/
L
2/
/
/
О
2/к
6/к
8/к
рис> 7.з
талла в каждом последую-
последующем, г-м, домене на 180°
фактически означает изменение обобщенной фазы при генера-
генерации второй гармоники Ф = Lp2 — 2tpi на величину ж относительно
фазы Ф на выходе предыдущего, (г — 1)-го домена.
Заметим, что обобщенная фаза на входе первого домена (где амплиту-
амплитуду поля второй гармоники можно считать равной нулю) всегда является
оптимальной (с точки зрения максимальной производной dd2/'dz) и равной
тг/2 (см. гл. II), однако уже на входе второго и всех последующих доме-
доменов обобщенная фаза в режиме точного квазисинхронизма равна нулю, а
не тг/2 (это означает равенство нулю производной da^jdz). Этот факт от-
отражен и на рис. 7.3, где нетрудно увидеть эти различия в производных.
На первый взгляд, было бы полезным и для второго, и для всех последу™
ющих доменов обеспечить на входе оптимальную обобщенную фазу тг/2, а
не тг, с тем, чтобы реализовать максимальное значение производной da 2/fdz,
как и для первого домена. Однако если внимательно рассмотреть рис. 2.11,
где изображена фазовая плоскость для генерации второй гармоники при
ненулевой расстройке, то можно убедиться, что при одном и том же значе-
значении входной (граничной) амплитуды поля второй гармоники максимальное
значение выходной амплитуды гармоники при нулевой входной обобщенной
фазе (т.е. при Ф@)=0) будет больше, чем при Ф@)=тг/2, хотя для достиже-
достижения этой максимальной амплитуды потребуется несколько большая длина
взаимодействия.
7.2 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГВГ В РДО-КРИОТАЛЛАХ 878
Очевидно, что нет принципиальной необходимости в том,
чтобы длина домена обязательно была равна одной когерент-
когерентной длине взаимодействия. Необходимо только, чтобы на длине
домена d укладывалось нечетное число га когерентных длин:
d = mlK. G.2.2)
Для примера на рис. 7.3 (кривая 2) представлена зависи-
зависимость эффективности преобразования при генерации второй
гармоники для случая, когда длина домена равна трем когерент-
когерентным длинам. Из общих соображений ясно, что с ростом числа
га эффективность преобразования при генерации второй гармо-
гармоники падает; из теоретических соображений, изложенных ниже,
следует, что коэффициент падения эффективности по амплиту-
де (по сравнению с таковой при традиционной генерации вто-
второй гармоники в однородном кристалле) составляет величину
2/(гатг), а по плотности мощности 4/(гатг) . Так, при т = 1 (ква-
(квазисинхронизм первого порядка) падение эффективности преоб-
преобразования по плотности мощности составляет 0,4, а при га = 3
(квазисинхронизм третьего порядка) около 0,05. Таким обра-
образом, с ростом порядка квазисинхронизма эффективность пре-
преобразования катастрофически падает, что может быть скомпен-
скомпенсировано (при малых га) использованием либо тех компонент
тензора квадратичной поляризуемости, которые не могли быть
использованы при генерации второй гармоники в традиционном
синхронизме в однородном кристалле и которые, как правило,
существенно больше традиционно используемых компонент, ли-
либо применением высоконелинейных кристаллов, не обладающих
традиционным синхронизмом.
Основы теории генерации второй гармоники в РДС-
кристаллах. Прежде всего отметим, что целый ряд анали-
аналитических выражений, описывающих процесс генерации второй
гармоники в РДС-кристаллах, был получен еще в основопола-
основополагающих работах Н. Бломбергена с сотрудниками (см. также
обзор [6]). Формула для амплитуды второй гармоники в РДС-
кристаллах в приближении заданного поля лазерного излучения
была уточнена в работе [7], а ее обобщение для нелинейного ре-
режима преобразования, но для случая точного выполнения ква-
квазисинхронизма — в работе [8]. Ниже, основываясь на нашей ра-
работе [9], мы покажем, что уравнения процесса генерации второй
гармоники в РДС-кристаллах, при определенных, но достаточ-
достаточно хорошо выполняющихся на практике предположениях, ана-
аналогичны таковым для традиционных (однородных) кристаллов.
Мы также получим формулу для амплитуды второй гармони-
гармоники при неточном выполнении условий квазисинхронизма. Будем
рассматривать РДС-кристалл как кристалл с идеальной пери-
периодической структурой, состоящей из доменов, длина которых
374 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VII
приблизительно равна нечетному числу когерентных длин. При
этом учтем, что перемена направления оптической оси от домена
к домену эквивалентна изменению знака коэффициентов нели-
нелинейной связи. Следуя работе [6], введем полный период струк-
туры Л = 2га/к, где га, как и ранее, определяет порядок квази-
квазисинхронизма; нетрудно видеть, что такое определение позволяет
ввести не только нечетные, но и четные порядки квазисинхро-
квазисинхронизма. Так, для квазисинхронизма нечетного порядка длина
всех доменов одинакова и равна га/к, а для квазисинхрониз-
квазисинхронизма четного порядка период структуры должен складываться из
двух неравных доменов длиной (га + 1)/к и (т — l)fc-
Уравнения, описывающие генерацию второй гармоники в
обычном однородном (монодоменном) нелинейном кристалле,
имеют следующий вид (см. гл. II, синхронизм оое):
^ = A - г;2) sin Ф, ** = 2ДХ + i^I cos Ф. G.2.3)
Напомним, что в системе уравнений G.2.3) ? = o\Uz — при-
приведенная длина в направлении распространения волн z\ U =
= a\a2/(Ji +а,2 — первый интеграл системы уравнений; <ti, 02 —
коэффициенты нелинейной связи; ai, «2 — амплитуды волн на
основной частоте и второй гармонике; Ф = 2</?i — 4J + Akz —
обобщенная фаза; Ак = к^ — 2к\ — волновая расстройка; (fi^ki
и </?2?&2 — фазы и волновые числа волны основной частоты и
второй гармоники соответственно; Ах = Ак j {2a\U) — приведен-
приведенная волновая расстройка; v = A2/U — приведенная амплитуда
второй гармоники.
Будем рассматривать случай большой волновой расстройки
(Ai ^> 1), что характерно для нелинейных кристаллов, не об-
обладающих традиционным синхронизмом. Отметим, что в этом
случае приближение заданного поля выполняется автоматиче-
автоматически, и решениями системы G.2.3) являются выражения (v@) =
0(?I)
^ ?+?Д1. G-2.4)
Z\i 2
Из уравнений G.2.4) следует, что амплитуда волны второй
гармоники в точке, соответствующей безразмерной когерентной
длине, т.е. при С = ?к = tt/BAi), достигает максимума v(?K) =
— ^макс = А^1^ фаза Ф(Ск) = тг5 производная в первом урав-
уравнении G.2.3) в точке ? = ?к меняет знак на противоположный
(dv/d^ < 0 при ? > ?к, но dv/d^ = 0 при ? = ?к).
Как уже указывалось, в РДС-кристалле длина домена выби-
выбирается равной 1К (или нечетному числу 1К при равных по длине
доменах). Оптическая ось второго (следующего) домена направ-
направлена противоположно оси первого (предыдущего) домена, что
7.2 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГВГ В РДО-КРИОТАЛЛАХ 875
соответствует сдвигу фазы Ф на тг или, что то же самое, из™
менению знака коэффициента эффективной нелинейности ёэф
и, следовательно, знака коэффициентов нелинейной связи а\^-
В свою очередь, это эквивалентно изменению производной в пер™
вом уравнении G.2.3) таким образом, что на входе второго до-
домена производная оказывается равной нулю, но в дальнейшем
становится больше нуля и амплитуда поля второй гармоники
снова начинает нарастать. В результате описанных выше явле-
явлений зависимость эффективности преобразования при генерации
второй гармоники представляет собой нарастающую кривую, об-
образованную отрезками синусоиды (см. рис. 7.3, кривая 1 для
га = 1).
Разностные уравнения длм приращений амплитуд и
их трансформация к дифференциальным уравнениям. В
работе [9] были получены разностные уравнения для прираще™
ний амплитуд поля второй гармоники и обобщенной фазы Ф на
(г+1)-м домене при условии vi ^> А^ (напомним, что величина
А^1 есть приведенная амплитуда второй гармоники на выходе
первого домена):
1 — v\
я Ali о 2 г' G.2.5)
где /3 = Ai • Ak/Ak — безразмерный параметр, связывающий
«традиционную» волновую расстройку Акл приведенную рас-
расстройку Ai и «обобщенную» расстройку Ак = Ак — Kmi где, в
свою очередь, Кт = 2пт/А — волновое число обратной решет-
решетки РДС, т — порядок квазисинхронизма, причем т > 0 при
ДА; >0ит<0 при А А; < 0. При этом рассматривается случай
нечетного га, т.е. равных доменов, и для определенности поло-
положено ДА;, Кт > 0. Уравнения G.5) справедливы с точностью до
l/Af, что при Ai>>1 дает весьма хорошую точность. Под фазой
Ф^ подразумевается значение Ф на выходе г-го домена с точно-
точностью до 2ttjV, где N — целое число. Экстраполируя дискретные
величины Vi и Ф^ непрерывными функциями v и Ф и разделив
правые части уравнений G.2.5) на безразмерную длину домена
га^к, получаем
— = — A — vz) cos Ф,
d^ ттг /7 су а\
— = — тттр — sin w
d^ ттг \ v
Введя новые переменные в = тг/2 — Ф, ( = 2^/гатг, из G.2.6)
376
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VII
получаем новую систему уравнений:
о ,
= —тттр +
cos 6/,
G-2-7)
С
которая эквивалентна системе G.2.3) для однородного (моно-
доменного) кристалла, если положить 2Ai = ^ттг/3 и перейти
от переменных г;,Ф, ? к переменным у^в^(. Заметим, что для
четного га (когда период структуры Л состоит из доменов раз-
разных длин) получается та же система G.2.7), если рассматривать
приращения v и Ф не на одном домене, а на всем периоде струк-
структуры Л.
Соответствие функций и параметров для генерации второй
гармоники в однородных кристаллах и РДС-кристаллах приве-
депо в табл. 7.1.
Таблица 7.1
Структура
кристалла
Монодоменная
(однородная)
Регулярная
доменная (РДС)
Амплитуда второй
гармоники
V
V
Длина
взаимодействия
ттг
Волновая
расстройка
2Ai
Заметим, что система G.2.5) была получена при условии Vi^>
3> Д^1. Разумеется, это условие не выполняется на первом до-
домене, где v@) = 0, и на небольшом числе первых доменов, но в
силу большой расстройки А\ ^> 1 условие V{ ^> Д^" начинает хо-
хорошо выполняться уже после прохождения весьма небольшого
числа доменов. Поэтому граничные условия для системы G.2.7)
могут быть приняты в виде
г;@) = 0, в@) = тг/2.
Таким образом, с учетом принятых допущений налицо пол™
ная аналогия для генерации второй гармоники между од-
однородной (монодоменной) кристаллической средой и РДС™
кристаллом, что позволяет рассчитывать эффективность пре-
преобразования при генерации второй гармоники с учетом многих
эффектов в РДС-кристаллах, используя ранее полученные ре-
решения для генерации второй гармоники в однородных кристал™
лах (см. главы II, III). Так, в отсутствие расстройки квазисин™
хронизма (/3 = 0) имеем
v@ =tanh^L G.2.8)
ттг
Заметим, что формула G.2.8) для m = 1 ранее была получена в
работе [8] прямым расчетом.
7.2 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГВГ В РДО-КРИОТАЛЛАХ 877
При неточном квазисинхронизме (/3 ^ф 0) решением системы
G.2.7) является эллиптическая функция Якоби [10]:
v = y/jsn(u,j), G.2.9)
где
-!^Mi М=_Н_. G.2.10)
При /3^0 решение G.2.9) переходит в G.2.8), а при uCl,
/3 ^ 0 — в решение G.2.4).
Как уже указывалось, приближенная система уравнений
G.2.5) была получена при условии V{ ^> Д^ , что не выполняется
на нескольких первых доменах. Действительно, из G.2.4) следу-
следует, что на первом домене, для которого v @) = 0, выходная ам-
плитуда второй гармоники v AД) ^> Aj~ . Можно предположить,
что на выходе N-vo домена выходная амплитуда равна JVAj" ,
так что условие V{ ^> Д^~ соответствует условию N ^> 1. Таким
образом, можно полагать, что условие vi ^> А^ выполняется впол-
вполне удовлетворительно для подавляющего большинства доменов.
Вместе с тем, учитывая существенно нелинейный и принци-
принципиально фазовый, т.е. интерференционный, характер процесса
генерации второй гармоники, молено столь же уверенно пред™
положить, что пренебрежение первыми пятью-десятью домена-
доменами может привести к непредсказуемым последствиям. По этой
причине вышеприведенный расчет следует дополнить точным
расчетом, решая полную систему уравнений G.2.3) для каждо-
каждого домена, причем граничными значениями амплитуды и фазы
на входе i-го домена будут являться их выходные значения для
(г — 1)-го домена (разумеется, с учетом сдвига обобщенной фа-
фазы Ф на тг при переходе от (г — 1)-го домена к г-му). На первый
взгляд, очевидно, что, поскольку изменение амплитуды второй
гармоники на длине домена не превышает Aj" <C 1, то для любо-
любого домена справедливо приближение заданного поля (несмотря
на то, что для достаточно большого номера домена приведенная
амплитуда гармоники может быть порядка единицы).
Ошибочность такого рассуждения состоит в том, что ко-
когерентная длина 1К в общем случае равна не 7r/(Afc), как в
приближении заданного поля, а величине К', где К — полный
эллиптический интеграл первого рода. Другими словами, коге-
когерентная длина в общем случае является функцией граничных
условий амплитуды ^ @) и обобщенной фазы Фг@), а реше-
решение для амплитуды второй гармоники должно быть получено в
эллиптических функциях (см. гл. II). Отсюда следует важный
вывод: достижение истинного (точного) квазисинхронизма в
378 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VII
РДС-кристалле с однородными^ т.е. равными по длине^ домена-
доменами невозможно^ необходимо подстраивать длину домена в со-
соответствии с меняющимися от домена к домену граничными
(на входе домена) значениями V{ @) и Ф^ @). Напомним, что ра~
нее приведенный вывод разностных G.2.5) и соответствующих
дифференциальных G.2.6) уравнений был выполнен для РДС™
кристалла с равными по длине доменами, и решением уравнений
G.2.6) при выполнении условия синхронизма (/3 = 0) для ам-
амплитуды второй гармоники является гиперболический тангенс
G.2.8), асимптотически стремящийся к единице с ростом длины
кристалла ?. Точный расчет на ЭВМ процесса генерации второй
гармоники последовательно в каждом домене с учетом гранич™
ных условий показывает, что гиперболический тангенс не реа-
реализуется, несмотря на выполнение условий квазисинхронизма,
ни при каких (равных по длине) доменах, а соответствующая
кривая очень близка к эллиптическому синусу, являющемуся
периодической функцией. Тем самым, существует оптимальная
общая длина РДС™кристалла, на которой достигается максимум
эффективности преобразования.
Напомним, что приведенная когерентная длина с хорошей
точностью описывается квадратичной зависимостью от входной
амплитуды гармоники vq:
а та же когерентная длина, вычисленная в приближении задан-
заданного поля, равна
&«г?-. G-2.12)
Отличие G.2.11) от G.2.12) характеризуется дополнительным
слагаемым тг (З^д — 2) / DД|), максимальное значение модуля
которого равно тг/BА|); уже при Ах = 50 эта величина пре-
пренебрежимо мала (^ Ю~5). Вместе с тем, решение о том, учиты-
учитывать или не учитывать это отличие, необходимо принимать на
основе его сравнения с величиной ширины квазисинхронизма по
отклонению длины домена от когерентной длины.
7.3. Одновременная генерация нескольких гармоник
лазерного излучения в кристаллах с регулярной
доменной структурой
Условия квазисинхронизма при одновременной ге-
генерации нескольких гармоник лазерного излучения в
кристаллах с регулярной доменной структурой. Как
уже указывалось, нелинейно-оптические кристаллы с регуляр-
7.3 ОДНОВРЕМЕННАЯ ГЕНЕРАЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ГАРМОНИК 879
ной доменной структурой позволяют реализовать ряд каче™
ственно новых возможностей преобразования частоты лазерно-
лазерного излучения. К их числу относятся: одновременная генерация
нескольких оптических гармоник [6], генерация второй гармо-
гармоники (ГВГ) одновременно на трех типах взаимодействия [11],
ГВГ при одновременной реализации синхронного и квазисин-
квазисинхронного взаимодействий [12] и т.п. Имеется четкая взаимосвязь
между различными типами взаимодействия при ГВГ, генерации
третьей (ГТГ) и четвертой (ГЧГ) гармоник [13].
Определим, например, условия квазисинхронизма для одно-
одновременной реализации процессов ГВГ, ГТГ и ГЧГ, ограничив-
ограничившись случаем коллинеарных взаимодействий в РДС-кристалле с
квадратичной нелинейностью. Учитывая, что четвертая гармо-
гармоника может быть получена либо как суммарная частота первой
(ш) и третьей (За;) гармоник (о; + За; = 4а;), либо как удвое-
удвоение второй гармоники Bа; + 2ш = 4а;), в общем случае четырех
рассматриваемых процессов для величин суммарной волновой
расстройки можно записать:
ГВГ : ш + ш = 2ш,
5к\ = k2i — k\j — k\k + raiGi = Ak\ + raiGi, G.3.1)
ГТГ : ш + 2a; = 3a;,
Sk2 = ksm — k\k — k2i + Ш2(?2 = Д^2 + ^2^2, G.3.2)
ГЧГ-1: ш + 3a; = 4a;,
Sks = k^n - kij - к3т + m^Gs = Afc3 + msG^, G.3.3)
ГЧГ-2 : 2a; + 2a; = 4a;,
Sk^ = k^n - 2k2i + ^4^4 = Afc4 + m^G^ G.3.4)
где Akq — волновые расстройки соответствующего процесса для
однородного кристалла (q = 1,2,3,4); i,j,k,m,n — индексы,
соответствующие различным типам взаимодействующих волн
(о, е для одноосных и 5, / для двухосных кристаллов); Gq =
= 2тгЛдГ1 — волновое число (модуль «псевдовектора») решетки
доменной структуры с периодом Л^; mq — порядки квазисин-
квазисинхронизма (га = 0, ±1, ±3, ±5,...).
Выполнение условия квазисинхронизма для определенного
процесса соответствует 6кд = 0 (при этом условию «традицион-
«традиционного» синхронизма для однородных кристаллов, Akq = 0, соот-
соответствует mq = 0), а одновременный квазисинхронизм для всех
четырех процессов в одной и той же доменной структуре (т.е.
при G\ = б?2 = Сз = Ga) может иметь место, в общем случае,
для разных порядков квазисинхронизма^ или, другими словами,
для разных длин когерентности LK = n/Ak = Л/Bга).
Предположим, что для ГВГ и ГТГ выполняются условия ква™
зисинхронизма (Ski = ^2 = 0) на одной доменной структуре
380
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ
ГЛ. VII
(G\ = G2) и для одного порядка квазисинхронизма G77-1 — )
Тогда имеем соотношение:
2к2г = h3 + к3т, G.3.5)
Из G.3.1)—G.3.5) следует, что в этом случае Ак$ = Д&4- Ес-
Если при этом выполняется условие квазисинхронизма, например,
для процесса ГЧГ-1 Eк% = 0), то ёк^ = m^G^ — m%G%. Мож-
Можно предположить, что для выполнения квазисинхронизма для
ГЧГ-2 (J&4 = 0) необходимо обеспечить равенство m^G^ = m%G%
на одном и том же поряд-
порядке синхронизма (т% = т^)
и, следовательно, на од-
одной структуре (G3 = G4);
при этом в общем случае
mi ф га3, G\ ф С3-
Сказанное выше иллю-
иллюстрируется рис. 7.4, где
представлены зависимости
длины когерентности LK от
длины волны основного (ла-
(лазерного) излучения для че-
четырех коллинеарных про-
про( )
20
10
0
15
30
Рис. 7.4
45
цессов: ГВГ (кривая 1), ГТГ
B), ГЧГ-1 (8) и ГЧГ-2 D) типа еее при распространении излу-
излучения в плоскости ху стехиометрического кристалла ЬШЬОз,
для которого уравнения Селлмейера взяты из работы [14]. Как
следует из рис. 7.4, на длинах волн Ах = 3579, 54 нм и А2 =
= 4256,45 нм наблюдается попарное равенство когерентных
^ = L^ =
длин: на длине волны Ai имеем L^ = L^ = 16, 05 мкм;
k = 13, 62 мкм, а для А2 имеем L^
^
= L^ = 14, 09 мкм,
l42) = L^ = 15, 85 мкм.
Для выполнения условий квазисинхронизма на Ai одновре-
одновременно для ГВГ и ГТГ достаточно выбрать период доменной
структуры равным
= 2т\Ь^ , а для одновременной реали-
зации ГЧГ-1 и ГЧГ-2 — равным Лз = 2т%Ь^ . Для выполнения
квазисинхронизма одновременно для всех четырех процессов на
одной временной структуре необходимо обеспечить равенство
Лх = Л3:
Лх = ^ = 2тх4Х) = 2тз43\ G-3.6)
Ь-i
т.е. период доменной структуры должен быть кратен одновре-
одновременно двум длинам когерентности. Из G.3.6) следует
C)
7711
G.3.7)
7.3 ОДНОВРЕМЕННАЯ ГЕНЕРАЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ГАРМОНИК 381
т.е. отношение когерентных длин должно быть равным или це-
целому нечетному числу, или отношению целых нечетных чисел.
Это соотношение позволяет установить, при каких условиях (т.е.
на каких длинах волн основного излучения и для каких типов
взаимодействующих волн) реализуется одновременный квази-
квазисинхронизм для всех четырех процессов G.3.1)^G.3.4), что огра-
ограничивает число комбинаций типов взаимодействия (всего их 64,
но, во-первых, далеко не для всех выполняются условия квази-
квазисинхронизма в диапазоне прозрачности кристалла и, во-вторых,
не для всех пар взаимодействий выполняется условие G.3.7)).
Аналогично случаю для Ах, при выполнении условий ква-
квазисинхронизма для А2 одновременно для ГВГ и ГЧГ-1 имеем
Лх = 2т\Ьк , а для ГТГ и ГЧГ-2 Л2 = 2т2^к • Для выполне-
выполнения квазисинхронизма одновременно для всех четырех процес-
процессов на одной доменной структуре необходимо выполнение ра-
равенства Лх = Л2, т.е.
а 2тг
откуда
Ф = S • G-3-9)
Проиллюстрируем сказанное на примере одноосного отри-
отрицательного кристалла ЫМЬОз стехиометрического состава для
случая распространения излучения в плоскости ху. В табл. 7.2
приведены результаты расчета длин когерентности для различ-
различных комбинаций типов взаимодействия для всех четырех про-
процессов G.3.1)^G.3.4). В первом-четвертом столбцах табл. 7.2
приведены рассматриваемые типы взаимодействия, в пятом —
длины волн, на которых длины когерентности совпадают по-
попарно: для процессов G.3.1), G.3.2), т.е. l4 , и для процес-
процессов G.3.3), G.3.4), т.е. Z4 ' • Эти значения LK приведены в ше-
шестом и седьмом столбцах, а в восьмом столбце дано отношение
Т A,2) /т C,4) -р
Ьк /Ьк • -Ьсли это соотношение равно целому нечетному чи-
числу или отношению целых нечетных чисел, то квазисинхронизм
реализуется одновременно для всех четырех процессов — ГВГ,
ГТГ, ГЧГ-1, ГЧГ-2.
Порядок синхронизма m в G.3.1)—G.3.4), являющийся це-
целым нечетным числом, может быть как положительным, так и
отрицательным (последнее соответствует отрицательной коге-
когерентной длине или, другими словами, обратному направлению
псевдовектора доменной структуры G). Взаимосвязь двух пар
(ГВГ + ГТГ, ГЧГ-1 + ГЧГ-2) в уравнениях G.3.1)-G.3.4) пока-
показывает, что для выполнения условия квазисинхронизма одно-
382
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ
ГЛ. VII
временно для всех четырех процессов знаки порядков квази-
синхронизма для G.3.1), G.3.2) и G.3.3), G.3.4) должны быть
одинаковыми внутри этих пар, хотя знаки пар могут быть и про-
противоположными. Отметим, что в 15-й и 16-й строках табл. 7.2
эти пары имеют разные знаки порядков квазисинхронизма.
Таблица 7.2
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2ш+2о;=4о;
еео
ооо
еее
оое
еео
оео
еоо
ооо
еее
оее
еое
оое
„+2ш=з„
еее
оее
еее
оее
еоо
ооо
еоо
ооо
оее
еее
оее
еее
еоо
ооо
еоо
ооо
ш~\~ш: 2ш
еее
оее
оее
оое
еео
оео
оео
ооо
оее
еее
оое
оее
еео
еоо
оео
ооо
А, мкм
3579,54
3579,54
5349,02
5349,02
2144,32
2144,32
3541,2
3541,2
3579,54
3579,54
5349,05
5349,05
2144,32
2144,32
3541,2
3541,2
ь!3'4)
МКМ
3,95
3,95
5,97
5,97
3,00
3,00
10,61
10,61
12,62
12,62
17,69
17,69
339,45
339,45
-12,19
-12,19
МКМ
16,05
35,51
13,94
18,01
4,89
7,19
9,21
13,53
35,51
16,05
18,01
13,94
4,89
7,19
9,21
13,53
ЬC'4)
4,07
9,00
2,34
3,02
1,63
3,40
0,87
1,27
2,81
1,27
1,02
0,79
0,01
0,02
-0,76
-1,11
Если не ставить задачу удовлетворения условиям квазисин-
хронизма одновременно для всех четырех процессов, то внутри
пары процессов (ГВГ + ГТГ или ГЧГ-1 + ГЧГ-2) знаки поряд-
порядков квазисинхронизма могут быть разными. В табл. 7.3 пред™
ставлены результаты расчета когерентной длины для того же
стехиометрического кристалла ЬШЬОз для одновременной ре-
реализации процессов ГЧГ-1 и ГЧГ-2 при подаче на вход нели™
нейного РДС-кристалла первой (а;), второй Bа;) и третьей (За;)
гармоник. Разумеется, при этом ни для одного из процессов,
представленных в табл. 7.3, нельзя добиться реализации усло-
условий квазисинхронизма одновременно для ГВГ и ГТГ.
Аналогичные расчеты можно провести для первой пары про-
процессов (ГВГ + ГТГ) для случая разных по знаку и равных
7.3
ОДНОВРЕМЕННАЯ ГЕНЕРАЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ГАРМОНИК
888
по величине когерентных длин; при этом реализация квазисин™
хронизма (одновременно с ГВГ и ГТГ) для процессов ГЧГ-1 и
ГЧГ-2 исключается; этим способом можно устранить нежела-
нежелательную конкуренцию другой пары процессов.
Таблица 7.3
N
1
2
3
5
6
7
8
9
еее
оое
оое
оое
оее
еое
еее
А, мкм
3439,5
4003,4
2027,67
2725,8
5002,18
2157,38
3424,66
4132,4
т C)
Ьк , МКМ
11,76
14,84
24,66
-13,49
-19,21
-1873,04
-12,01
-13,95
т D)
Ьк , МКМ
-11,76
-14,84
-24,66
13,49
19,21
1873,04
12,01
13,95
Отметим, что в случае разных знаков порядков квазисин-
квазисинхронизма (разных по знаку когерентных длин) внутри пары
одновременно-квазисинхронных процессов знаки эффективной
нелинейности ёэф в общем случае также различны. Для случая
пары ГЧГ-1, ГЧГ-2 это приводит к уменьшению общей эффек-
эффективности преобразования в четвертую гармонику, поэтому для
этой пары важно иметь одинаковые знаки с!эф для обоих про™
цессов (например, за счет выбора надлежащего октанта взаимо™
действия); это приведет к увеличению эффективности преобра-
преобразования при ГЧГ [15].
Перейдем к рассмотрению возможности реализации одно-
одновременного квазисинхронизма всех четырех процессов на одной
доменной структуре при неравных порядках квазисинхронизма
внутри каждой пары процессов. Пусть, например, для процессов
G.3.1), G.3.2), т.е. ГВГ + ГТГ, условия одновременного синхро-
синхронизма выполняются при mi ф Ш2, G\ = G2 = G. Тогда, если
одновременно на той же структуре выполняется условие 5k% =
= 0 (для процесса ГЧГ-1), то из G.3.1)^G.3.4) получаем (так
как Сгз = G): 6к^ = ^{тп2 — mi)G + WI4G4 — fn^G^ и выполне™
ние квазисинхронизма для ГЧГ-2 (<5&4 = 0) на той же структуре
(б?4 = G) возможно при условии:
mi + ГП4 = ГП2 + шз- G.3.10)
Условие G.3.10) определяет возможность реализации усло-
условий квазисинхронизма на одной доменной структуре одновре-
одновременно для всех четырех процессов G.3.1)^G.3.4).
Для иллюстрации сказанного на рис. 7.5 приведены зависи™
мости периода доменной структуры Л = 2!д, где 1Д — ширина
384
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ
ГЛ. VII
одного домена, от длины волны основного излучения для двух™
осного кристалла КТР для всех четырех процессов с разивши
порядками квазисинхро-
порядками квазисинхронизма, подобранными в
соответствии с соотношени-
соотношением G.3.10), а именно: mi = 3
(кривая 1), Ш2 = 5 (#), гвз =
= 9 E), т^ = 11, так что
mi + Ш4 = ni2 + шз = 14, для
«sss-взаимодействия в плос-
плоскости ху (напомним, что при
переходе от одноосных кри-
кристаллов к двухоснвш следует
заменить индексы о и е на
индексы s (slow) и / (fast)).
При расчете использова-
использоваС
Л, мкм
560
280
0
15 30 А,,1(Гнм 45
лись уравнения Селлмейера
Рис 75 из [16]. Условия квазисин-
квазисинхронизма одновременно для
G.3.1)—G.3.4) на длине волны основного излучения 2445,5 нм
при Л ^ 153 мкм удалось реализовать на различных порядках
квазисинхронизма и при нагреве кристалла до 31, 5°С.
Полученные результаты можно обобщить и на генерацию
гармоник более высокого порядка. Так, выполнение условия ква-
квазисинхронизма 8kq = 0 в уравнениях G.3.1)^G.3.4) приводит к
тому, что автоматически будут создаваться предпосылки для
одновременной генерации пятой гармоники (ГПГ) для двух про-
процессов: ш + 4а; = 5а; (ГПГ1), 2а; + За; = 5а; (ГПГ-2):
ГПГ-1: Sk5 = k5s - к1к - к4п + m5G5 = Ак5 + m5G5, G.3.11)
1 111 -Z. OtbQ — *^5s — ii — ^Зт i ''Щ^б — L^Hq -\- FiIqLjq. у I .O.1ZJ
При Afci = A&4 получаем А^5 = Afcg.
Аналогично для процессов генерации шестой гармоники
(ГШГ) ш + 5а; = 6а; (ГШГ-1), 2а; + 4а; = 6а; (ГШГ-2),
За; + За; = 6а; (ГШГ-3) имеем
ГШГ-1: 8к7 = к6р - k5s - h3 + m7G7 = Ак7 + m7G7, G.3.13)
РТТТР О. ?Ь, L, L, h, \ ^ f1 Ah _l_ /км f1 G 4 1 A\
1 1 1 I I -Z. Otbg — l^6p — ™2i — "/4тг i ''^8^8 — "i"/8 i ''^8^"85 \ • -о.л.*±}
ГШГ-3: 8к9 = k6p - 2k3m + m9G9 = Ak9 + m9G9. G.3.15)
Из G.3.13) и G.3.15) получаем, что при выполнении условия
квазисинхронизма на одном порядке для всех взаимодействий
будет иметь место выполнение условия:
А это есть комбинация, создающая предпосылки для выполне-
выполнения условий квазисинхронизма для ГВГ G.3.1) и ГПГ-1 G.3.11).
7.4 ГВГ НА ДВУХ ТИПАХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 885
Здесь мы ограничились только рассмотрением выполнения
условий квазисинхронизма, не рассматривая вопрос о величи-
величинах эффективной нелинейности. В частности, для кристаллов
точечной группы Зт в плоскости ху (т.е. при в = 0) отличны
от нуля эффективные нелинейности для следующих типов вза-
взаимодействия: еее, вое, ооо и еоо. При изменении направления
волновых векторов взаимодействующих волн k(u)i) (т.е. при из™
менении угла в) эффективные нелинейности и других процессов
становятся отличными от нуля, так что могут быть реализованы
все процессы.
Таким образом, существует вполне четкая связь между по-
порядками квазисинхронизма для одновременной генерации раз™
личных гармоник лазерного излучения в кристаллах с регу-
регулярной доменной структурой. Это дает возможность создания
многочастотных преобразователей частоты лазерного излуче-
излучения в оптические гармоники, что может найти ряд интересных
применений, в частности, для создания источника несинусои-
несинусоидальных электромагнитных волн оптического диапазона. Одна-
Однако в том случае, когда необходимы, например, только 2-я и 3-я
гармоники, одновременная генерация 4-й гармоники может вы-
выступать как конкурирующий процесс, нарушая процесс основно-
основного преобразования и уменьшая его эффективность. Подавление
нежелательной пары процессов может быть достигнуто за счет
применения взаимодействий с разными знаками порядков ква-
квазисинхронизма.
7.4. Генерация второй гармоники в кристаллах с
регулярной доменной структурой одновременно на
двух типах взаимодействия
Кристаллы с регулярной доменной структурой позволя-
позволяют обеспечить генерацию второй гармоники одновременно на
нескольких типах взаимодействия при различных порядках ква-
квазисинхронизма. В работе [11] было показано, что если выпол-
выполняется условие квазисинхронизма при генерации второй гар-
гармоники для двух типов взаимодействия, например, ssf и sff в
двухосных кристаллах, то автоматически будет обеспечивать-
обеспечиваться квазисинхронизм для третьего типа — fff. Это же свойство
выполняется и для других комбинаций типов взаимодействия:
ffs, 5/5, sss в двухосных кристаллах, оое^ еее, еее и еее, еее, оео
в одноосных. При этом имеется определенная связь между по-
порядками квазисинхронизма, например, для еее-, еее- и еее-типов
взаимодействия:
тоее = - (тоое + теее). G.4.1)
13 В.Г. Дмитриев, Л.В. Тарасов
386
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ
ГЛ. VII
Рассмотрим особенности процесса генерации второй гармо™
ники при различных соотношениях порядков квазисинхронизма
для нескольких типов взаимодействия.
В качестве примера будем рассматривать задачу для отри™
цательного одноосного кристалла точечной группы 3m LiNbO3-
На рис. 7.6 приведены зависимости периода доменной струк-
структуры Л = mlK при генерации второй гармоники от длины волны
Л, мкм
200 Г
150
100
50
1000 2000 3000 4000 X, нм 6000
Рис. 7.6
основного (лазерного) излучения для различных типов взаимо-
взаимодействия: кривая 1 — оое (\т0
оее (
= 3), 4 — еее (
= 1), 3-
= 7). При
ш = 1), 2 — оее (\тс
_ теее\ =5), 5 — еее (\те€
проведении расчетов использовались уравнения Селлмейера для
кристалла ЫМЬОз из справочника [5]. Для оое-типа взаимодей™
ствия на длинах волн 975,6 нм и 4233,5 нм период стремится
к бесконечности, что соответствует выполнению условия тра-
традиционного синхронизма для однородных кристаллов. Внутри
диапазона длин волн 975,6^4233,5 нм порядок квазисинхрониз-
квазисинхронизма — отрицательный (тоое = — 1), а вне его — положительный
(тоое = 1)? чт0 свойственно всем отрицательным кристаллам.
Аналогично для оее-типа взаимодействия — при 1471,9 нм и
2574,0 нм выполняется условие традиционного синхронизма для
однородных кристаллов, внутри этого диапазона порядок ква™
зисинхронизма — отрицательный, вне его — положительный.
В табл. 7.4 приведены значения длин волн основного излу-
излучения и порядки квазисинхронизма, для которых реализует-
реализуется возможность генерации второй гармоники одновременно на
трех рассматриваемых типах взаимодействия. Нетрудно видеть,
что для всех комбинаций выполняется условие G.4.1). Здесь
7.4
ГВГ НА ДВУХ ТИПАХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
887
мы ограничились случаем, когда порядок квазисинхронизма не
очень велик. Очевидно, что число таких комбинаций в общем
случае бесконечно, как это следует из G.4.1).
Таблица 7.4
А, нм
883,5
1039,91
1139,6
3515,6
3886,27
4886,11
T~l~ljooe
+ 1
-1
-1
-1
-1
+ 1
Шеее
+5
+7
+3
+3
+7
+5
тоее
+3
+3
+1
+1
+3
+3
Порядки квазисинхронизма могут иметь одинаковые или
противоположные знаки. Без ограничения общности мы бу-
будем рассматривать случай, когда излучение распространяется
в главной плоскости ху кристалла. В силу того, что эффектив-
эффективная нелинейность оее~типа взаимодействия для точечной труп™
пы Зт в этом случае тождественно равна нулю, возможна ГВГ
одновременно только на оое- и еее-типах взаимодействия.
Пусть излучение распространяется вдоль оси х кристалла
и плоскость поляризации основного излучения ориентирована
под углом 7 относительно плоскости ху. Система уравнений для
компонент поля взаимодействующих волн (основного излучения
A\Xl A\z и второй гармоники A2xi A2z) Для всех точечных групп
симметрии кристаллов имеет следующий вид:
dAlx = -Jt-5- \dnA2xA*lxexp(-jAkoooz) +
dz
dAlz
dA'2x
dA2z
\z exp (-jAko
(A2xAiz exp (-j
A2zA\x exp (-
exp (-jAkeooz)
J,
exp
-j\ Ж o UllAx exP iJ^KooZ) +
МоЩш L
+ rfi3A^ exp (jAkeeoz) + 2di
\x
J^A\Z exp (jAkeeez) + 2d3
G.4.2)
exp (j
exp
13*
388 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VII
Все обозначения в G.4.2) — общепринятые (см., например,
гл. II). Так, в случае кристалла ЫТЧЬОз, Для которого отличны
от нуля di5, б?з1 и ^зз 5 имеем
дА1х _ . тг , л .* /
— ^J л ^15^-22;^-1ж ехр ( —
dz
— п /7оо /1 о /4 pyti i i*/\ If vi G44)
z ~~ л* {^31^4-1ж ехР {jAkooez) + с1зз^-12 exp (jAkeeez)) .
(JZ
Для полных амплитуд полей взаимодействующих волн эти урав™
нения примут вид
^ = -З^А2иА1 Г*» cos2 7 • exp (-jAkooez) +
oz А L w^
. cos2 7 • exp (jAkooez) +
+ d33 sin2 7 • exp (jAkeeez) , G.4.4)
)]
) •
J
c^y . тг • sin 27 Агш^с
^^ J 4Аю Л7
Последнее уравнение в системе G.4.4) описывает изменение
угла наклона плоскости поляризации 75 обусловленное различ-
различным протеканием процессов преобразования для обеих компо-
компонент поля основного излучения. Используя спектральный под™
ход для описания эффективной нелинейности [6], получим
—— cos2 7 * exp (—
+ ——— sin2 7 • exp (—j
^=-,vV^[^-«»v<*p
¦uj
2
+ ^^ sin2 7 • exp (jSkeeez) , G.4.5)
А2-Л!, Г 4чз /
Здесь введено обозначение для обобщенной волновой расстрой-
расстройки г-го типа взаимодействия Ski = Aki — m^G, где G = 2тг/Л,
Afc^ — волновая расстройка, компенсируемая вектором обрат™
ной решетки кристалла.
7.4 ГВГ НА ДВУХ ТИПАХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 889
При 7 = 0 генерация происходит на оое-типе взаимодей-
взаимодействия, а при 7 = 90° — на еее-типе. При точном выполнении
фазового квазисинхронизма (ёкоое = 5кеее = 0) выражение для
эффективной нелинейности имеет вид
i ^15 2 . ds3 • 2 fr-7 л п\
<^эф = —-— cos 7 + ——— sm 7- G.4.6)
nZm П%т
Из G.4.6) следует, что с1эф максимальна в том случае, когда тоое
и теее имеют одинаковые знаки. В случае разных знаков при
угле поляризации 7? определяемом выражением
величина с!эф= 0, а вблизи значения G.4.7) величина с1эф близка
к нулю.
На рис. 7.7 представлены угловые зависимости эффек-
эффективности преобразования при генерации второй гармоники в
кристалле LiNbOs Для оое-типа (кривая 1), еее-типа B) и сов-
совместной генерации второй гармоники на обоих типах (8) при
одинаковых знаках порядков синхронизма (mooe = l, meee = 5).
Генерация независимо на каждом из типов взаимодействия обес-
обеспечивалась согласованным изменением длины волны излучения
и периода доменной структуры на такие величины, при которых
отсутствовала генерация на другом типе взаимодействия.
В силу того, что отношения d%i/mooe и d$$/meee близки
по величине, эффективность преобразования в случае рис. 7.7
(кривая 3) слабо зависит от угла 7- Это означает, что основное
излучение с произвольной ориентацией плоскости поляризации
преобразуется в линейно поляризованное излучение второй гар-
гармоники, т.е. может быть получена эффективная генерация вто-
второй гармоники для деполяризованного лазерного излучения.
Аналогичные зависимости для генерации второй гармоники
при разных знаках порядков синхронизма (тоое = — 1, теее = 7)
представлены на рис. 7.8. При j = 39,6° эффективность преоб-
преобразования равна нулю. В соответствии с изменением отношения
теее/тоое изменяется и соотношение между эффективностями
преобразования при j = 0° и j = 90° по сравнению со случаем
рис. 7.7. Одним из важных вопросов является вопрос об устой-
устойчивости процесса преобразования к наличию обобщенной вол-
волновой расстройки. В этом случае выражение для коэффициента
связи в G.4.5) может быть представлено в следующем виде:
d = r^simeee Ш82 . ехр (j(Skooe _ Skeee)z) + Sin2 71 X
L d.33 mooe J
x -^ exp{j6keeez). G.4.8)
390
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ
ГЛ. VII
При изменении длины волны основного излучения, температуры
или угла ориентации кристалла величины обобщенной волновой
расстройки для различных типов взаимодействия изменяются
90
/
— -f -
/ /
_ / /
/ / /
и/Л
/
/
1
1 z
/
/
/
/
л
/
V ~-^
А
> I /
/\
(^
>\
V
А.
/
/ ч
/
'л
д--
\
—-1'
1
/
/
\
Л
X
60
/
/
I
\
// X
з Л
V X
\\
\\
\ \| 1
1 1 1
\зо
д
\
"^ \
60
У» град
у, град
Рис. 7.7
Рис. 7.8
с различной скоростью. Из G.4.8) следует, что процесс преоб-
преобразования будет характеризоваться двумя характерными про™
странственными частотами биений, обусловленными как волно-
волновой расстройкой Skeeei так и разностью 5коое — ёкеее.
На рис. 7.9 представлены зависимости эффективности пре™
образования от длины кристалла при точном синхронизме
L, мм
Рис. 7.9
(кривые 1' и 2') и при наличии обобщенной волновой расстрой-
расстройки (кривые l'f и 2lf) для случая тоое = 1 (кривые lf ж l'f) ж
теее = 5 (кривые 21 и 1?/;) при j = 45°.
7.4
ГВГ НА ДВУХ ТИПАХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
891
На рис. 7.10 представлены зависимости эффективности пре™
образования от изменения температуры кристалла для двух
50
40
30
20
10
50
40
30
20
10
¦ r\,%
^
¦ \i
б
2
10 АГ,°С 15
10 AT, °C 15
Рис. 7.10
рассмотренных выше случаев. Кривые 1 и 2 соответствуют ге-
генерации второй гармоники на одном типе взаимодействия и от™
личаются температурными ширинами в силу отличия разно-
разности температурнв1х производнвхх для показателей преломления.
При 7 — 45° кривая синхронизма (кривая 8) имеет биения, опре-
определяемые разноствю обобщенных волновых расстроек, и асим-
асимптотически не стремится к нулю.
Рассмотрим изменение ориентации плоскости поляризации
основного излучения в процессе преобразования. При выполне-
выполнении условия квазисинхронизма уравнение для угла плоскости
поляризации 7 имеет вид
d~f • sin 27
dz ~ J 2Аю
G.4.9)
Здесь А2Ш — модуль амплитуды волны второй гармоники.
Только в двух частных случаях основное излучение остает-
остается линейно поляризованным при распространении по кристал™
лу — при 7 — 0° и 7 — 90°. Во всех остальных случаях, подобно
процессу преобразования второго типа в однородных кристал-
кристаллах, основное излучение будет деполяризованным. Но для рас-
рассматриваемой задачи отношение полуосей эллипса поляризации
будет изменяться, и в процессе преобразования он будет пово-
поворачиваться. Угол поворота эллипса поляризации описывается
уравнением G.4.9). Уравнение для отношения полуосей имеет
следующий вид:
д_ (Alz
dz
u_ ,~u =^±a
2Аю
¦2ш
G.4.10)
Итак, основные особенности процесса генерации второй гар-
гармоники в кристаллах с регулярной доменной структурой одно™
временно на нескольких типах взаимодействия приводят к тому,
392 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VII
что из всего множества комбинаций порядков квазисинхрониз-
квазисинхронизма, для которых возможна одновремененная генерация второй
гармоники на нескольких типах взаимодействия, только для тех
из них, которые имеют одинаковые знаки, возможна эффектив-
эффективная генерация второй гармоники деполяризованного основного
излучения.
7.5. Параметрическая генерация света с кратными
частотами в нелинейно-оптических кристаллах с
регулярной доменной структурой
Введение. Параметрические генераторы света (ПГС), пред™
ложенные в 1964 г. С.А. Ахмановым и Р.В. Хохловым [18] и
практически одновременно рядом американских исследовате-
лей [19, 20], стали неотъемлемой частью современной науки
и техники (см. гл. V). Помимо практических применений, на-
например в спектроскопии, или в качестве источников излучения
в безопасных для глаз оператора лазерных информационно-
измерительных системах, сами ПГС остаются объектом при-
пристального внимания исследователей, поскольку излучение ПГС
обладает целым рядом уникальных свойств (см., например, [21]).
К настоящему времени предложено и исследовано более двух
десятков разнообразных и оригинальных оптических схем ПГС
(одно- и двухрезонаторные, коллинеарные и векторные, моно-
моноблочные, безрезонаторные, внутрирезонаторные, многопроходо-
вые и составные, с обратной волной и т.п., см. гл. V, а также,
например, [2, 22, 23]). В настоящее время ПГС переживает вто-
второе рождение, количество работ по ПГС растет экспоненциаль-
экспоненциально, как по исследованиям уникальных свойств излучения ПГС,
так и по их совершенствованию и перспективным применениям.
Все эти работы в той или иной степени опираются на фунда-
ментальные идеи, заложенные в I960-—1970 гг. С.А. Ахмановым,
Р.В. Хохловым и их учениками, а также зарубежными учеными.
Не является исключением и ПГС с кратными параметри-
ческими частотами. В таком ПГС параметрические частоты
Сс71э2, удовлетворяющие традиционному соотношению шп = ш\ +
+ 6^2, где шш — частота накачки [22, 23], связаны дополнитель-
дополнительным соотношением Ш2 = 2cji, что с очевидностью приводит
к соотношению шп = 3o;i. Другими словами, сигнальная вол-
волна с частотой иJ является второй гармоникой холостой волны
с частотой ш\. Все частоты такого ПГС являются кратными
(шш : Сс»2 : Cl?i = 3 : 2 : 1), а процесс в таком ПГС является су-
суперпозицией чисто параметрической генерации (шш = ш± + а^)
и ГВГ (ш2 = 2ш\). Разумеется, для реализации такого сложно-
сложного процесса необходимо одновременное удовлетворение соответ-
соответствующим условиям синхронизма (kH = ki + к2 для ПГС и
7.5 ПГС С КРАТНЫМИ ЧАСТОТАМИ 898
к2 = 2ki для ГВГ), что, как нетрудно видеть, полностью идеи™
тично условиям синхронизма для одновременной генерации вто-
второй и третьей гармоник, если за основную частоту принять оо\.
Заметим, что если процесс ГВГ между сигнальной и холостой
волной по каким-либо причинам не реализуется (например, не
выполняется условие синхронизма для ГВГ), то такой ПГС ни-
ничем не отличается от обычного ПГС в невырожденном режиме
(см. гл. V).
Интерес к такого рода сложным нелинейно-параметрическим
процессам возник у С.А. Ахманова, Р.В. Хохлова и их после-
последователей не случайно. Еще до появления лазеров, в лаборато-
лаборатории С.А. Ахманова на кафедре радиотехники СВЧ физического
факультета МГУ под руководством профессора С.Д. Гвоздове-
ра активно изучались нелинейные и параметрические явления
в длинных электронных потоках, лампах бегущей и обратной
волны, линиях передачи с распределенными нелинейными пара-
параметрами (см., например, [24, 25]). В таких системах дисперсия
проявляется слабее, чем в оптическом диапазоне, в результа-
результате чего в нелинейно-квадратичный процесс могут быть «син-
«синхронно» втянуты не три частоты, как в оптическом диапазоне,
а четыре-пять и более частот (например, накачка шШ1 холостая
и сигнальная частоты cdi52, причем а;н = ш\ + 6^2, а также их
суммарные частоты ш^ = шш +uj\^)- В вырожденном режиме,
т.е. при ш\ = иJ (что с очевидностью приводит к соотношениям
шш = 2cji, CJ4 = ^5 = 3cji), мы приходим к ПГС с кратными
частотами.
Задача о взаимодействии трех волн с кратными частотами
6Ji, 2cdi, 3cdi (одновременная генерация второй и третьей гармо-
гармоник) в нелинейно-квадратичной среде рассматривалась С.А. Ах-
мановым, В.П. Моденовым и В.Г. Дмитриевым еще в 1964 г. [26],
см. также [22, 24]; годом раньше С.А. Ахмановым и В.Г. Дмит-
Дмитриевым был рассмотрен более общий случай невырожденно-
невырожденного нелинейно-параметрического взаимодействия волн с часто-
частотами cji, cd2, ^н5 ^4? ^5? упоминавшийся выше [27], см. также
[22, 24]. Последний случай привлек внимание С.А. Ахманова и
его сотрудников в связи с открывающейся здесь возможностью
реализации ПГС с «низкочастотной» накачкой, т.е. получения
параметрической генерации на частотах выше частоты накач-
накачки (бо>4,5 > c«jh; в традиционном ПГС, где выполняется равен-
равенство шш = ш\ + о;2, частоты генерации ниже частоты накачки
^1,2 < ^н)- В свою очередь, интерес к низкочастотной накачке
ПГС в те годы был обусловлен интересом к получению пара-
параметрической перестраиваемой генерации света в видимом диа-
диапазоне, для реализации которой в традиционной схеме ПГС по-
потребовались бы отсутствовавшие в то время лазеры накачки
УФ-диапазона.
394 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VII
В упомянутых работах были детально исследованы процес™
сы пятичастотного взаимодействия в вырожденном и невыро-
невырожденном режимах, получены укороченные уравнения и их ана-
аналитические решения, проведены расчеты на одной из первых
отечественных ЭВМ М-20. В частности, для невырожденного
параметрического пятичастотного взаимодействия было найде-
найдено [27], что в области значений 1,3 ^ 7 ^ 1, 7, где 7 = ^з/^н,
инкремент волн становится комплексным с заметной действи-
действительной положительной частью, что соответствует экспоненци-
экспоненциальному усилению, аддитивно модулированному синусоидой; в
этой работе не были учтены фазовые соотношения, т.е. все обоб-
обобщенные фазы взаимодействия (их в данном случае две, а не од-
одна, как при обычном трехчастотном взаимодействии) были при-
приняты оптимальными, справедливость чего далеко не очевидна.
К тому же здесь молчаливо предполагалось, что фазовый син-
синхронизм выполняется для генерации как параметрических ча-
частот a;i52 (т.е. kH = ki + k2), так и комбинационных частот оо^ь
(т.е. к4,5 = кн + ki?2), что для вырожденного режима (j = 1,5)
соответствует выполнению условий фазового синхронизма од-
одновременно для второй и третьей гармоник, если частоту uj\ =
= OJ2 = cdH/2 принять за основное излучение: kH = 2ki, k4 =
= ks = Зк]_. Только значительно позлее было понято, что реали-
реализация таких сложных условий фазового синхронизма в однород-
однородных нелинейных кристаллах в большинстве случаев невозмож-
невозможна. К тому же, в этих работах волной накачки являлась волна
с частотой шШ1 удовлетворяющей соотношению (в вырожденном
режиме) ш\ = иJ < шш = 2ш\ < ш^ = ш§ = 3cji, в то время
как в ПГС с кратными частотами накачкой является волна с
наивысшей частотой (шп = Зш\).
Идея использования взаимодействия с кратными частотами
(ujj 2ujj За;) для создания ПГС была развита в работах А.П. Су-
хорукова с сотрудниками (см., например, работы [28, 29]). Авто-
Авторами этих работ, по-видимому, впервые было обращено внима-
внимание на тот факт, что в таком ПГС при определенных условиях
возможна полная перекачка энергии волны накачки с частотой
шш в волну сигнала с частотой Ш2 при полном подавлении «хо-
«холостой» волны на частоте ш\ (см. рис. 7.11 б; напомним, что в
таком ПГС, помимо традиционного «параметрического» соот-
соотношения шш = ш\ + иJ, выполняется условие ГВГ иJ = 2o;i, так
что шш = 3o;i, с соблюдением соответствующих условий фазо-
фазового синхронизма). Заметим, что этот факт «100%-ного» пре-
преобразования энергии накачки в энергию сигнальной волны не
противоречит известным соотношениям Мэнли-Роу (см. гл. V),
поскольку в данном случае имеют место одновременно два нели-
нелинейных процесса — ПГС и ГВГ. В отсутствие синхронизма для
ГВГ мы приходим к традиционному ПГС (частоты при этом
7.5
ПГС С КРАТНЫМИ ЧАСТОТАМИ
895
остаются кратными), в котором обе волны на частотах uoi^
экспоненциально нарастают на начальном участке длины кри-
кристалла, переходя в насыщение на уровнях интенсивности, пол-
полностью соответствующих в пределе соотношениям Мэнли-Роу
()/@) ^33,3%, /2(о;2)Ан@) ^66,7% (рис. 7.11а). Таким
Параметрические
Накачка Зю A,064 мкм)
ч/
Сигнальная
волна
\ / Холостая волна (исчезающая)
со C,192 мкм)
Рис. 7.11
образом, эффективность ПГС с кратными частотами, при со-
соблюдении условий синхронизма для ГВГ между сигнальной и
холостой волнами, оказывается (в пределе) на 33,3% выше, чем
таковая для традиционного ПГС на тех же частотах.
В работе [30] при участии О.И. Иваненко было проведено
численное моделирование процессов ПГС такого типа в широкой
области параметров и условий, представлены фазовые портреты
для процессов ПГС и ГВГ, в первом приближении рассмотрено
влияние двух волновых расстроек (для ПГС и ГВГ), показана
возможность достижения весьма высоких коэффициентов пре-
преобразования (80-90 %) энергии накачки в энергию сигнальной
волны с частотой 6^2 далее при неоптимальных обобщенных фа™
зах процессов ПГС и ГВГ и при ненулевых волновых расстрой-
расстройках. При определенных параметрах задачи обнаружены ампли-
амплитудный хаос и странные аттракторы на фазовых портретах
процессов.
Для практической реализации ПГС с кратными частотами
необходимо выполнение, как уже указывалось выше, условий
фазового синхронизма для обоих процессов ПГС и ГВГ одно™
временно и в одном кристалле или, что то же самое, для одно-
одновременной генерации второй (ГВГ) и третьей (ГТГ) гармоник,
если за основное излучение принять волну на частоте ио\. Вслед™
ствие нормальной дисперсии выполнение условий такого одно-
одновременного синхронизма в обычных (однородных) нелинейных
кристаллах невозможно, что побудило исследователей обратить-
обратиться к периодически-нелинейным кристаллам, или к кристаллам
с регулярной доменной структурой (РДС-кристаллам) [33].
В работах [22, 25-29] вопрос об одновременном синхрониз-
синхронизме для ПГС и ГВГ вообще не рассматривался. В работе [30]
396 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VII
этот вопрос обсуждался только с точки зрения принципиальной
возможности его достижения в РДС-кристаллах, а также при
использовании двухэлементных (последовательно расположен-
расположенных) преобразователей частоты (в первом преобразователе, яв-
ляющемся традиционным ПГС, генерируется сигнальная и хо-
холостая волны, а во втором имеет место ГВГ иJ = 2и)\). Ранее
авторами работ [31, 32] было найдено несколько вариантов «ква-
зисинхронизма» (этим термином обычно пользуются для обо-
обозначения фазового синхронизма в РДС-кристаллах [33]) для од™
новременной реализации ПГС и ГВГ в РДС-кристаллах ниобата
лития для взаимодействий, в основном, типа «ее-е» с использо-
использованием наибольшей по величине компоненты нелинейного тензо-
ра йзз в диапазоне длин волн накачки 0,51-^-1,215 мкм. Другие
кристаллы в [31, 32] не рассматривались, причем для наиболее
интересной длины волны неодимовых лазеров Ан~1, 064 мкм ав-
торами этих работ найден только неколлинеарный (векторный,
при 18°) синхронизм. В работе [34] этот вопрос также рассмат-
рассматривался применительно к РДС-кристаллам, однако, каких-либо
новых решений там предложено не было.
В начале 1998 г. была опубликована работа [35], где были
найдены квазисинхронизмы коллинеарного типа для семи наи-
наиболее распространенных кристаллов (ниобат лития, КТР, барий-
натрий-ниобат и т.п.) применительно к длинам волн неодимовых
лазеров в различных твердокристаллических матрицах. Пара-
Параметры кристаллов частично были взяты из [5], а расчет квази-
квазисинхронизмов был проведен на базе мощного программного ком-
комплекса LID-SHG (Laser Investigator & Designer-Second Harmonic
Generation), разработанного в МГТУ им. Н.Э. Баумана (НИИ
радиотехники и лазеров, С.Г. Гречин, Е.А. Шарандин) совмест-
совместно с НИИ «Полюс» (В.Г. Дмитриев) для расчета ГВГ лазер-
лазерного излучения при синхронном и квазисинхронном (в РДС-
кристаллах) взаимодействиях в широком диапазоне длин волн,
температур и углов ориентации кристалла [36]. Программный
комплекс LID-SHG базируется на специально созданной ком-
компьютерной базе параметров более 80-ти одноосных и двухосных,
органических и неорганических нелинейных кристаллов и поз-
позволяет рассчитывать параметры синхронизма однородных кри-
кристаллов (углы и ширины синхронизма — угловую, спектраль-
спектральную и температурную, эффективные нелинейности, ориентации
собственных поляризаций, кривые синхронизма и т.п.) для всех
возможных шести типов взаимодействия (оо-е, ое^е, ео^е, оо-о,
ее^е, ое-о, ео-е в одноосных кристаллах и ss-/, 5/™/, /5-5, ss^s,
ff~f-> ff^s B двухосных кристаллах) и соответствующую эффек-
эффективность ГВГ в приближении квазиплоских (т.е. модулирован-
модулированных по пространству — гауссовы и гипергауссовы пучки — и по
времени — гауссовы и гипергауссовы импульсы) волн. Специ-
7.5 ПГС С КРАТНЫМИ ЧАСТОТАМИ 897
альный программный комплекс LID-SHG-RDS, разработанный
тем лее коллективом в 1998 г., позволяет рассчитывать условия и
параметры фазового квазисинхронизма при одновременной ге-
генерации 2-й, 3-й и 4-й оптических гармоник в РДС-кристаллах
(в полосе прозрачности) для более чем 4000 комбинаций од-
одновременной генерации таких гармоник для всех шести типов
взаимодействия с учетом возможности использования доменов
высших (естественно, нечетных) порядков, вплоть до 21-го по-
порядка (напомним, что в РДО~кристаллах длина домена должна
быть кратной нечетному числу когерентных длин взаимодей-
взаимодействия [33]). ПГС с кратными частотами, рассматриваемый здесь,
является частным случаем.
Недавно в работе [37] сообщалось о наблюдении одновремен-
одновременной генерации второй и третьей гармоник излучения лазера на
AHTiNd в РДО~кристалле ниобата лития с примесью иттрия
на 9-м (ГВГ) и 33-м (ГТГ) порядках квазисинхронизма; длина
домена составила около 60 мкм. Отметим, однако, что исполь-
использование столь высоких порядков квазисинхронизма являет™
ся, естественно, малоэффективным для практического приме-
применения. Что касается ПГС с кратными частотами при Ан =
= 1,064 мкм применительно к безопасным для глаз оператора
лазерно-информационным системам (например, дальномерам),
то основным (наинизшим по частоте) излучением является здесь
волна с Ai = 3,192 мкм, а сигнальной волной — излучение на
А2 = 1, 596 мкм.
Рассмотрим возможности реализации и определим парамет-
параметры такого синхронизма.
Квазисинхронизм в ПГС с кратными частотами. Ква-
Квазисинхронизм в ПГС с кратными частотами (или, что то же са~
мое, для ГВГ/ГТГ) может быть достигнут в РДС-кристаллах с
периодом Л = 2Lai если длина одного домена La удовлетворяет
соотношению
La = Bр + 1L1} = B<7 + 1L2), G-5.1)
где Ьк и Ьк — когерентные длины процессов ПГС (шп = uj\ +
+ uJ = 3cji) и ГВГ (cd2 = 2cji), соответственно (см. гл. II);
р и q — числа натурального ряда; при этом нуль соответствует
доменам первого порядка, единица — третьего, двойка — пятого
и т.д. [33].
Расчеты возможных квазисинхронизмов по G.5.1) показали,
что число возможных вариантов квазисинхронизма для всех
шести типов взаимодействия существенно определяется зада™
ваемой точностью выполнения соотношения G.5.1), которая, в
свою очередь, определяется соответствующими ширинами ква-
квазисинхронизма по отклонению длины домена от нечетного чи-
числа когерентных длин [33]. Как известно, ширина синхронизма
398 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VII
для генерации второй гармоники в традиционных однородных
кристаллах определяется степенью влияния волновой расстрой-
расстройки Ак на эффективность генерации (гл. II); для определения
ширины синхронизма при этом необходимо задать уровень па™
дения этой эффективности с ростом расстройки. Аналогично
могут быть определены ширины квазисинхронизма и в РДС™
кристаллах; основанием для этого является тот факт, что урав-
уравнения для ГВГ в РДС-кристаллах, как показано в работе [38],
идентичны таковым для однородных кристаллов с точностью
л —2 л ^к
до А1 , где Ai = ^-^ — приведенная волновая расстройка,
2&iU
U = <72 + ^@), Gi 2 — коэффициенты нелинейной связи,
tti,2@) — граничные значения амплитуд основного излучения
(индекс 1) и второй гармоники (индекс 2). Практически для всех
процессов в РДС-кристаллах выполняется условие Ai 3> 1, так
что аналогия между уравнениями генерации второй гармоники
для однородных и РДС-кристаллов, найденная в [38], справед-
справедлива с весьма высокой точностью. Заметим, однако, что при вы-
выводе указанных «аналогичных» уравнений влияние нескольких
первых доменов, где не выполнялись условия расчета, считалось
пренебрежимо малым. Вместе с тем, как показывают точные
расчеты на ЭВМ, в ряде случаев такое пренебрежение приводит
к ошибкам в расчете (в первую очередь, это касается периода би™
ений в РДС-кристалле как целом, имеющего непосредственное
отношение к когерентной длине взаимодействия).
При выборе и расчете условий и параметров квазисинхро-
квазисинхронизма для ПГС с кратными частотами следует руководство™
ваться практическими применениями таких ПГС, например, в
безопасных для глаз оператора дальномерах и других лазерно-
информационных системах; поэтому были приняты во внимание
следующие соображения:
— в качестве генератора накачки должны быть использова-
использованы лазеры на традиционных твердокристаллических матрицах
с неодимом (АИГ:Ш3+, Ан = 1064,15 нм; ГСГТ:Ш3+, Ан =
= 1061 нм; YA103:Nd3+, Ан = 1079,5 нм) или, по крайней ме-
мере, на менее распространенных кристаллах (KFB:Nd3+, AH =
= 1068,5 нм; YLiF4:Nd3+, Ан = 1047 и 1053 нм); сигнальная
частота ПГС с кратными частотами (она же — вторая гармони-
гармоника холостой волны) при этом попадает в безопасный для глаз
диапазон 1, 57 -т- 1, 62 мкм;
— если данный ПГС используется в лазерно-информацион-
ных системах, в которых имеет место прохождение лазерного
излучения через атмосферу, необходимо выбирать сигнальную
частоту ПГС (т.е. 2uj\) в полосах прозрачности атмосферы [39];
7.5
ПГС С КРАТНЫМИ ЧАСТОТАМИ
899
— выбор температуры и углов #,</?, определяющих ориента™
цию луча накачки относительно кристаллооптических осей кри-
кристалла X, F, Z [5], а также порядка квазисинхронизма [33] дол-
должен обеспечивать ненулевые (по возможности, максимальные)
значения эффективной нелинейности йэф5
— все выбранные типы квазисинхронизмов должны быть
коллинеарными как для ПГС (ГТГ,о;н = ш\ + uJ = 3o;i), так и
для ГВГ (сс»2 = 2o;i); это требование обосновано необходимостью
создания конкретных практических приборов;
— при расчете квазисинхронизмов для ПГС/ГВГ необходимо
соблюдать определенные правила для поляризаций взаимодей-
взаимодействующих волн (своеобразные «правила отбора поляризаций»),
а именно: поскольку первичным («затравочным») процессом яв-
является процесс параметрической генерации (а;н = ш\ + а^), и
никаких дополнительных ограничений на поляризации волн
(кроме условия существования квазисинхронизма) здесь не на-
накладывается, то для процесса ГВГ (ш2 = 2ш\) поляризации волн
на частотах uji^ должны быть теми лее, что получились в про-
процессе ПГС; например, если в одноосном кристалле реализуется
квазисинхронизм для процесса ПГС типа е (За;) —> е Bа;) +о (а;),
то для ГВГ однозначно может быть использован только процесс
типа е Bа;) —>> о (а;) + о (а;); этому требованию удовлетворяют
8 типов квазисинхронизма в одноосном и 8 типов в двухосном
кристаллах (табл. 7.5);
Таблица 7.5
Возможные комбинации полмризаций волн для ПГС/ГВГ
Одноосные кристаллы
ПГС
о(ш)оBш)оCш)
о(ш)оBш)еCш)
е(ш)оBш)оCш)
е(ш)оBш)еCш)
о(ш)еBш)оCш)
о(ш)еBш)еCш)
е(ш)еBш)оCш)
е(ш)еBш)еCш)
ГВГ
о(ш)о(ш)оBш)
о(ш)о(ш)оBш)
е(ш)е(ш)оBш)
е(ш)е(ш)оBш)
о(ш)о(ш)еBш)
о(ш)о(ш)еBш)
е(ш)е(ш)еBш)
е(ш)е(ш)еBш)
Двухосные кристаллы
ПГС
s(u)sBuj)sCuj)
s(ou)sBuj)fCuj)
f{uj)s{2uj)s{3uo)
f{uj)s{2uj)f{3uj)
s(uj)fBuj)sCuj)
s(uj)fBu)fCuj)
f(uj)fBuj)sCuj)
f(uj)fBuj)fCuj)
ГВГ
s(u))s(uj)sBu)
s(uo)s(uj)sBuo)
f(uj)f(uj)sBuj)
f(uj)f(uj)sBuj)
s(uj)s(uj)fBuj)
s(uj)s(uj)fBuj)
f{u)f{u)f{2uj)
/(w)/(w)/Bw)
— не учитываются типы квазисинхронизмов, соответствую-
соответствующие умножению найденных когерентных длин, совпадающих
для ПГС и ГВГ, на одно и то же нечетное число, поскольку
это соответствует фактически одному и тому же набору взаи™
модействий, но для более высоких порядков квазисинхронизма
с соответствующим существенным снижением эффективности
преобразования.
400
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ
ГЛ. VII
Вышеперечисленные условия накладывают достаточно жест™
кие ограничения на количество возможных типов квазисин-
квазисинхронизма и генерируемых волн в ПГС с кратными частотами
(ПГС/ГВГ); ранее, по крайней мере в известных авторам рабо-
работах, такие жесткие условия не ставились, и, в частности, типы
квазисинхронизма, найденные в [31, 32, 34] или использованные
в [37], всему набору этих условий не удовлетворяют.
Результаты расчета возможных типов квазисинхронизма
для ПГС/ГВГ (ПГС с кратными частотами) в некоторых наибо-
наиболее употребительных кристаллах представлены в табл. 7.6; при
Таблица 7.6
Тип взаимодействия
ПГС
ГВГ
Порядок
квази-
квазисинхронизма
ПГС
ГВГ
Z/K, мкм
ПГС
ГВГ
Ld,
мкм
Ba2NaNb5Oi5 в = 90°, ip = 0, Т = 200 °С
1
2
3
4
5
6
7
8
s(oo)sBuj)fCuj)
f(uj)sBuo)fCuj)
f(uj)fBuj)fCuj)
s(uj)fBou)sCuj)
s(uj)fBuj)sCuj)
f(uj)fBuj)sCuj)
s(uj)sBuj)fCuj)
f(uo)sBu)sCuj)
/(w)/(w)sBw)
e(w)/(w)sBw)
e(w)/(w)/Bw)
s(w)/(w)/Bw)
e(w)s(w)/Bw)
s(w)s(w)/Bw)
в(о;)/(а;)вBШ)
e(w)/(w)sBw)
1
1
1
3
5
7
5
5
1
1
1
1
3
3
3
3
10,31
18,04
20,46
20,65
34,42
37,48
51,57
60,64
10,38
18,23
20,22
20,22
32,98
32,98
54,68
54,68
10,35
18,14
20,34
20,43
33,70
35,23
53,13
57,66
КТР в = 90°, (f = 0, T = 20°C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
f(uo)sBu)sCuj)
s(uj)sBuj)fCuj)
s(uj)sBuj)sCuj)
f{u)f{2u)f{3u)
s(w)fBu)sCw)
/HsB(j)/Cw)
/(w)/Bw)sCw)
/M/Bw)eCw)
s(w)/Bw)sCw)
s(w)sBu)fCw)
f(u))sBcu)sCoj)
e(w)/(w)sBw)
s(w)/(w)sBw)
s(w)s(oi)sBw)
/(W)/(W)/Bw)
/(w)/(w)/Bw)
/(а;)/(а;)вBШ)
f{oj)f{oj)f{2uj)
s{uj)s(uj)fBuj)
s(oJ)s(uj)fBuJ)
f{u)f{Lo)s{2u)
f(w)f(w)a{%S)
1
1
1
1
3
3
5
5
5
3
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
5
9,36
10,48
15,81
20,37
18,28
19,32
24,07
24,07
30,47
31,45
28,07
9,34
9,34
15,75
20,04
20,04
19,90
20,04
26,78
26,78
33,17
33,17
9,35
9,91
15,78
20,21
19,16
19,61
22,06
25,42
28,62
32,31
30,62
7.5
]
ТГС С КРАТНЫМИ ЧАСТОТАМИ
401
Продолжение таблицы 7.6
»
Тип взаимодействия
ПГС
ГВГ
Порядок
квази-
квазисинхронизма
ПГС
ГВГ
ПГС
мкм
ГВГ
мкм
LINbO3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
е(ш)оBш)оCш)
е(ш)еBш)еCш)
е(ш)еBш)оCш)
о(ш)оBш)оCш)
е(ш)еBш)оCш)
о(ш)еBш)оCш)
е(ш)еBш)оCш)
е(ш)оBш)еCш)
о(ш)оBш)еCш)
е(ш)оBш)оCш)
о(ш)еBш)оCш)
е(ш)еBш)оCш)
о(ш)оBш)оCш)
о(ш)оBш)еCш)
о(ш)оBш)оCш)
е(ш)оBш)оCш)
о(а;)е(а;)оBсс;)
е(ш)е(а;)еBа;)
е(ш)е(ш)еBш)
о(ш)о(ш)оBш)
о(ш)о(ш)еBш)
о(ш)о(ш)еBш)
о(ш)о(ш)еBш)
е(ш)е(ш)оBш)
е(ш)е(ш)оBш)
е(ш)е(ш)оBш)
е(ш)е(ш)еBш)
е(ш)е(ш)еBш)
е(ш)о(ш)оBш)
е(ш)о(ш)оBш)
е(ш)е(ш)оBш)
о(ш)о(ш)оBш)
1
1
3
1
5
5
7
1
3
5
7
9
3
3
3
5
1
1
1
1
1
1
1
5
7
7
3
3
5
5
7
3
7,32
12,70
12,10
12,99
20,17
26,54
28,23
30,64
32,54
36,62
37,16
36,30
38,96
32,54
38,96
36,62
7,72
12,88
12,88
14,30
24,12
24,12
24,12
26,45
37,03
37,03
38,64
38,64
38,62
38,62
37,03
42,90
7,52
12,79
12,49
13,64
22,14
25,33
26,18
28,55
34,79
36,83
37,90
37,47
38,79
35,58
38,00
39,76
этом для наглядности в этой таблице даны типы синхронизмов,
удовлетворяющие «правилу отбора поляризаций» только для
сигнальной волны ПГС на частоте второй гармоники (ш2 = 2ш)
холостой волны, а поляризации холостой волны на частоте ш\ =
= ш могут быть либо одинаковыми (при этом не обязательно
совпадающими с поляризацией волны на той же частоте ш, ге-
генерируемой в «затравочном» процессе ПГС), либо ортогональ-
ортогональными. Там же указаны порядки квазисинхронизмов М = 2р + 1
(ПГС) и N = 2д+1 (ГВГ), соответствующие когерентные длины
для ПГС и ГВГ и средняя длина домена L^ РДС™кристалла, при
которой точность выполнения соотношения G.5.1)не хуже 10%.
При этом максимальное значение порядка квазисинхронизма
было принято 9 (в этом случае коэффициент эффективной нели™
нейности с!эф падает почти на порядок по сравнению с таковым
для процессов первого порядка, что может быть частично ском™
пенсировано использованием компонент тензора квадратичной
402 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ В РДС-КРИСТАЛЛАХ ГЛ. VII
поляризуемости, не используемых в случае однородных кри-
кристаллов, таких, как, например, компонента йзз Для LiNbOs);
везде длина волны накачки составляет 1,064 мкм (AMFiNd),
так что сигнальная (усиливающаяся) волна соответствует
1,596 мкм, холостая (исчезающая) — 3,192 мкм. С помощью
программно-расчетного комплекса LID-SHG-RDS [36] можно
рассчитать типы квазисинхронизмов для других кристаллов
и длин волн накачки вблизи значения 1 мкм, для других зна-
значений 0, (р и Т°С, провести оптимизацию комбинированного
процесса ПГС/ГВГ по величине с!эф, по спектральным, темпе-
температурным и угловым ширинам квазисинхронизма и т.д. Пра-
Правилам отбора поляризаций удовлетворяют лишь некоторые из
типов квазисинхронизма, представленных в табл. 7.5. Так, для
кристалла E^NaNbsOis (барий-натрий-ниобат) из восьми пред-
представленных типов этому правилу удовлетворяет только 5-й тип
при 1д ^ 33,7 мкм, для КТР из 11-ти типов только пять C-й,
4-й, 7-й, 9-й и 11-й типы), для LiNbOs из 16-ти типов — только
шесть B-й, 3-й, 4-й, 8-й, 10-й и 12-й типы).
Отметим, что среди типов квазисинхронизма, удовлетворяю-
удовлетворяющих правилу отбора поляризаций, встречаются пары типов, в ко-
которых поляризации на частотах ш и 2ш — одни и те же для обоих
типов из этой пары, а разными являются лишь поляризации
волны накачки (За;). Примером могут служить следующие пары:
кристалл КТР, типы №6 и 11
f(uj)sBuj)fCu) (ПГС) и f(uj)f(u)sBuj) (ГВГ), Ld = 19,61 мкм,
f(uj)sBuj)sCuj) (ПГС) и f(uj)f(uj)sBuj) (ГВГ), Ld = 30,62 мкм;
кристалл ЫГЧЬОз, типы №2 и 3
е(о;)еBа;)еCа;) (ПГС) и е(ш)е(ш)еBш) (ГВГ), Ld = 12,79 мкм,
е(ш)еBш)оCш) (ПГС) и е(ш)е(ш)еBш) (ГВГ), Ld = 12,49 мкм.
Видно, что если для кристалла КТР требуемые длины доме-
доменов существенно различаются A9,61 мкм и 30,62 мкм), так что
оба процесса из этой пары одновременно в одном кристалле не
реализуются, то для кристалла LiNbO3 требуемые длины доме-
доменов практически совпадают (разница не превышает 3%), и оба
типа квазисинхронизма в кристалле LINI3O3 могут быть реали-
реализованы при неполяризованной волне накачки (частота За;); это
может привести к дополнительному преимуществу выбора этих
типов взаимодействия или дополнительной возможности опти-
оптимизации энергетических параметров всего устройства.
Отдельного рассмотрения заслуживают типы квазисинхро-
квазисинхронизмов, удовлетворяющие «правилу отбора поляризаций» толь-
только в части волны на частоте 2а; (см. табл. 7.6, например, типы
№1, 5, 7, 9, 11 для кристалла LiNbOs и ДР-) или вообще не
7.5 ПГС С КРАТНЫМИ ЧАСТОТАМИ 408
удовлетворяющие этому правилу (в табл.7.6 такие тшты отсут-
отсутствуют, хотя, как показали наши расчеты, таковые, вообще го-
говоря, также имеют место) С практической точки зрения наибо-
наиболее просто могут быть реализованы те типы квазисинхрониз-
квазисинхронизмов, в которых поляризации сигнальной Bа;) и холостой (а;)
волн в первичном процессе ПГС ортогональны поляризациям со-
соответствующих волн в процессе ГВГ, например, е(ш)оBш)оCш)
для ПГС и о(ш)о(ш)еBш) для ГВГ. Такие процессы могут быть
реализованы в составном преобразователе, состоящем из двух
последовательно расположенных, полностью идентичных РДС-
кристаллов, развернутых друг относительно друга на 90° вокруг
оси, нормальной к плоскостям доменов. В подобных составных
кристаллах могут быть также реализованы те же процессы, тре-
требуемые длины доменов для ПГС и ГВГ в которых различны,
но тогда теряется удобство технологичности изготовления (тре-
(требуется изготавливать два различных РДС-кристалла); исследо-
исследование процессов такого рода выходит за рамки данной главы,
поскольку они, вообще говоря, не требуют одновременного вы-
выполнения условий квазисинхронизма для ПГС и ГВГ в едином
кристалле. Столь же относительно сложной представляется тех-
техническая реализация ПГС/ГВГ с типами квазисинхронизмов, в
которых только волна на частоте 2ш сохраняет свою поляриза-
поляризацию при переходе от ПГС к ГВГ; по-видимому, в едином кри-
кристалле реализация таких процессов невозможна.
Таким образом, справедливы следующие утверждения:
— в едином РДС-кристалле с равными длинами доменов
могут быть реализованы квазисинхронизмы одновременно для
ПГС и ГВГ только с поляризациями волн, удовлетворяющими
«правилу отбора поляризаций» (табл. 7.5);
— с использованием кристаллов с регулярной доменной
структурой появились возможности практической реализации
перспективной схемы ПГС с кратными частотами, в котором,
помимо обычных частотных соотношений шш = ш\ + ^2, хо-
холостая и сигнальная волны связаны соотношениями генерации
гармоники 6^2 = 2ш\. При выполнении условий синхронизма в
таком ПГС вся мощность накачки в пределе может быть пере-
перекачана в волну сигнальной частоты иJ при полном подавлении
холостой волны ш\ (см. [26—29]). В однородных кристаллах од-
одновременное выполнение условий синхронизма для ПГС и ГВГ
не представляется возможным. В РДС-кристаллах реализуются
все шесть типов комбинаций поляризаций взаимодействующих
волн с дополнительной степенью свободы по порядкам квазисин-
квазисинхронизмов, что представляет достаточно широкие возможности
реализации квазисинхронизмов для ПГС и ГВГ в одном РДС-
кристалле при одной и той же длине домена (в том числе и с
использованием различных порядков квазисинхронизма).
ПРИЛОЖЕНИЯ
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ
«Не стремись держать приори-
приоритет, ибо каждый занимает свою
энергетическую ячейку, и как бы
ни пыжился, не сможет занять
чужую. Каждый в себе — вели-
величина незатмеваемая. Поэтому бес-
бессмысленно ставить себя выше дру-
других. Кроме того, это вредно, пото-
потому что останавливает собствен-
собственное развитие».
А. П. Наумкин. Калагия, или власть
над временем. — М.: Прометей,
1992.
«Неважно, кто сказал первым «А».
Важно, кто сказал первым «А»
внятно».
Р. В. Хохлов
В этом разделе сделана попытка изложить краткую историю от-
открытия и исследования основных нелинейно-оптических явлений и
эффектов. Такого рода задача всегда является весьма сложной, по™
скольку открытие или предсказание того или иного явления в физи-
физике далеко не всегда удается объективно сопоставить с определенным
моментом времени или тем более с именем определенного ученого и
исследователя. В связи с этим «историкам» физики часто приходится
высказывать по этим вопросам свое собственное, т.е. в определенном
смысле субъективное, мнение. Не является исключением и квантовая
электроника в совокупности с нелинейной оптикой. Например, в ис-
истории изобретения генераторов когерентного светового излучения —
лазеров — имели место неясные приоритетные вопросы, связанные с
именами советского ученого В.А. Фабриканта с сотрудниками, аме-
американского исследователя и создателя первого лазера Меймана и т.д.
В истории нелинейной оптики также есть ряд аналогичных момен-
моментов, некоторые из которых обсуждаются научной общественностью
до сих пор — примером может служить открытие комбинационного
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 405
рассеяния, связанное с именами выдающихся ученых из Индии (Ра™
ман) и СССР (Ландсберг и Мандельштам). В известной монографии
И.Р. Шена «Принципы нелинейной оптики», изданной в 1984 г. в
США и переведенной на русский язык в 1989 г., в главе «Параметра
ческое усиление и генерация» полностью проигнорирован приоритет
советских ученых С.А. Ахманова и Р.В. Хохлова, предложивших в
1962 г. принцип параметрических генераторов света; соответственно,
нет и ссылки на их пионерскую работу, опубликованную, кстати, в
ЖЭТФ — журнале с высоким международным рейтингом. Так или
иначе, необходимость установления, а часто и восстановления прио-
приоритетности советских и российских ученых в истории физики и кон-
конкретно в истории нелинейной оптики представляется обоснованной.
Кроме того, изучение истории нелинейной оптики, являющейся по
сути дела историей открытия и исследования нелинейно-оптических
явлений, представляется весьма полезным и с учебно-методической
точки зрения. В связи с этим здесь последовательно, в историческом
плане и в концентрированном виде излагаются основные физические
аспекты нелинейной оптики; конечно, возможны (и даже неизбеж-
неизбежны) некоторые повторы материала, изложенного в предыдущих гла-
главах данной книги. По мнению авторов, определенная ценность этого
раздела для читателя состоит также и в том, что в ней рассмотрены
(хотя и весьма кратко) многие нелинейные явления, не нашедшие от-
отражения в основном тексте книги — например, генерация разностной
и суммарной частот, оптическое выпрямление, вынужденные рассея-
рассеяния света, самофокусировка; по крайней мере, читатель найдет здесь
необходимые ссылки для самостоятельного изучения. Вместе с тем,
нельзя не отметить, что публикации по нелинейной оптике в насто-
настоящее время практически необозримы, поэтому, с одной стороны, ав-
авторы ограничились основополагающими, по их мнению, работами, за-
затрагивающими фундаментальные аспекты нелинейной оптики (вклю-
(включая 70-е гг. прошлого столетия), а с другой, возможно, что некоторые
аспекты оказались вне поля зрения авторов. Цитируя одного из осно-
воположников нелинейной оптики, Нобелевского лауреата Н. Блом-
бергена, авторы надеются, что «...заинтересованный читатель дол-
должен дополнить эти заметки тщательным анализом цитируемых ори-
оригинальных работ».
П. 1.1. Введение
Неоднократно отмечалось, что в широком смысле к разряду нели-
нелинейно-оптических явлений можно отнести все виды явлений, связан-
связанных с взаимодействием световых волн со статическими электрически-
электрическими и магнитными полями, с акустическими волнами и т.п., и в том
числе между собой. В этом случае в нелинейную оптику следовало бы
включить в качестве составных частей электрооптику, магнитоопти-
магнитооптику, акустооптику, теорию лазеров и т.д. [1].
406 ПРИЛОЖЕНИЯ
В более узком смысле под нелинейной оптикой понимают раздел
физической оптики, изучающий явления в пассивных неинвертиро-
ванных средах, зависящие от напряженности электромагнитного по™
ля (или интенсивности) световой волны. Понимаемая в этом смысле
нелинейная оптика, в свою очередь, имеет два аспекта:
— нелинейная оптика как метод изучения нелинейной восприим-
восприимчивости вещества;
— нелинейная оптика как метод генерации новых оптических
частот, т.е. как метод освоения оптического диапазона за счет
нелинейно-оптического преобразования оптических частот (полный
оптический аналог нелинейной радиотехники).
В настоящем разделе нелинейная оптика будет рассматриваться
именно в таком узком смысле.
Начало нелинейном оптики. Годом рождения нелинейной оп-
оптики, как раздела физической оптики, принято считать 1926 г., ко-
когда СИ. Вавилов и В.Л. Левшин в Берлине в журнале «Zeitschrift
fur Physik» опубликовали свою статью по наблюдению просветления
среды при резонансном поглощении интенсивного света в веществе
[2]. СИ. Вавиловым, по-видимому, впервые было отмечено, что имен-
именно резонансные условия позволяют наблюдать нелинейно-оптические
эффекты, и именно поэтому он и его сотрудники целеустремленно
искали такие эффекты вблизи линий поглощения. Четкую, хотя и
качественную картину нелинейно-оптических явлений дал СИ. Ва-
Вавилов в своей монографии «Микроструктура света» [3], где им был
впервые введен термин «нелинейная оптика». Именно в этой книге
СИ.Вавилов писал:
«... Физика настолько свыклась с нелинейностью обыденной оп-
оптики, что до сих пор нет даже формально строгого математического
аппарата для решения реальных «нелинейных» оптических задач».
В этих словах — и констатация факта «линейности» обыденной
оптики тех годов и предвидение (за много лет вперед) необходимости
разработки специального математического аппарата для нелинейной
оптики.
Весьма часто под нелинейной оптикой понимают часть физиче-
физической оптики, имеющей дело с явлениями, которые описываются нели-
нелинейными членами в разложении диэлектрической поляризованности
(дипольного момента единицы объема среды) по степеням напряжен-
напряженности электрического поля, т.е. членами со степенью второй и бо-
более. При этом, как справедливо указывалось во вступительной ста-
статье С.А. Ахманова и Р.В. Хохлова к монографии Н. Бломбергена
«Нелинейная оптика» [4], было бы неправильно думать, что экспе-
экспериментальное наблюдение нелинейно-оптических явлений, связанных
с квадратично-нелинейными (и более высоко-нелинейными) членами
в разложении поляризованности по степеням поля, стало возможным
лишь в последние годы (с появлением лазеров). Напротив, часть этих
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 407
эффектов исследовалась еще в позапрошлом веке, например, эффек-
эффекты Поккельса, Фарадея, рассеяние Мандельштама-Бриллюэна, ком-
комбинационное и рэлеевское рассеяние и т.п.
В некотором смысле эти эффекты XIX века можно было бы и
не относить к нелинейной оптике, поскольку их протекание в широ-
широких пределах не зависит от интенсивности падающего света и может
происходить и в весьма малых световых полях (это и обусловило воз™
можность их наблюдения задолго до появления лазеров). С.А. Ах™
манов и Р.В. Хохлов в предисловии к монографии Н. Бломбергена
[4] причислили эти эффекты к так называемой «параметрической оп-
оптике», т.е. оптике, изучающей распространение световых волн в сре-
средах, параметры которых заданным образом меняются под действи-
действием внешних сил. Вместе с тем, если в низкочастотной радиотехнике
осуществить такое чисто параметрическое воздействие сравнительно
легко (достаточно вспомнить знаменитую «параметрическую маши-
машину» Л.И. Мандельштама и Н.Д. Папалекси, см. ссылку [33] в гл. V),
то уже в высокочастотной радиотехнике и тем более в СВЧ- и оптиче-
оптическом диапазонах модуляция параметра среды (например, диэлектри-
диэлектрической проницаемости) принципиально возможна только с помощью
нелинейности среды (например, с использованием зависимости емко-
емкости диода от приложенного напряжения или диэлектрической про-
проницаемости от напряженности электрического поля). Таким образом,
нелинейно-оптические явления и эффекты «параметрической опти-
оптики» здесь смыкаются, по крайней мере, в методическом смысле и при
их теоретическом рассмотрении. Поэтому часто предлагается вклю-
включать параметрические оптические явления в нелинейную оптику, по-
понимаемую тем самым в несколько более общем смысле. По крайней
мере, в литературе такая трактовка встречается достаточно часто, и,
действительно, исключение из «нелинейной оптики» блестящих ра-
работ Л.И. Мандельштама по колебательной трактовке явления комби-
комбинационного рассеяния, классических трудов по дифракции света на
ультразвуке (их обзор можно найти, например, в книге М. Борна и
Е. Вольфа «Основы оптики» [5]), работ СМ. Рытова, Л. Бриллюэна
по распространению электромагнитных волн в средах с переменны-
переменными параметрами и других в определенной мере является заметной
потерей.
Развитие нелинейной оптики в «узком» смысле слова (т.е. с исклю-
исключением «параметрической» оптики) сильно сдерживалось отсутстви-
отсутствием достаточно мощных источников света и бурно стимулировалось по-
появлением лазеров. С другой стороны, многие теоретические аспекты,
взгляды и точки зрения, получившие затем признание в нелинейной
оптике, были сформулированы еще в долазерную эпоху, в нелинейной
радиофизике и, в особенности — в нелинейной теории колебаний и
волн. Особую роль сыграли в нелинейной оптике идеи и методы иссле-
исследования нелинейных волновых процессов в распределенных радиотех-
408 ПРИЛОЖЕНИЯ
нических системах (нелинейных линиях передачи, нелинейных волно-
волноводах, электроннвхх пучках в ЛБВ и ЛОВ и т.п.), см., например, [6].
Долазерная эпоха. Еще задолго до появления лазеров предпри™
нимались неоднократные и успешные попытки постановки экепери-
ментов по наблюдению нелинейных взаимодействий световых волн.
Здесь можно упомянуть о работах советского ученого Г.С. Горелика
по оптическому смешению, выполненных им в 1947^1950 гг., об экспе-
риментах А. Форрестера (США) по смешению зеемановского дублета
линий ртути на фотокатоде, выполненных в 1955 г. (по сути дела,
это первый, достаточно тонкий, эксперимент по генерации разност-
разностной частоты двух световых волн в нелинейной среде) и т.п.; конечно,
не следует забывать и об упоминавшихся ранее опытах СИ. Вавилова
и В.Л. Левшина по наблюдению резонансного просветления A926 г.),
положивших начало нелинейной оптике.
Следует отметить то обстоятельство, что и в радиофизике, и в
оптике используются и взаимодействуют колебания и волны одной
и той же природы — электромагнитной. Однако средства и методы,
находившиеся в распоряжении радиофизиков и оптиков, существенно
различались. Действительно, в радиофизике уже давно были разрабо-
разработаны эффективные методы генерации и преобразования когерентных
колебаний (для схем и устройств с сосредоточенными постоянными —
контуров, резонаторов и пр.) и волн (для распределенных систем —
линий передачи, свободных электронных потоков, ЛБВ, ЛОВ и т.п.).
Как известно, разработка подобных устройств в оптике, имевшей (до
появления лазеров) дело в основном лишь с некогерентными источ-
источниками света, оказалась весьма трудной.
Имелись существенные различия между радиофизикой и оптикой
и в области теории. Бурное развитие радиотехники, связанное с со-
созданием электронных ламп, и последующее построение на их основе
усилителей, автоколебательных систем, детекторов, смесителей и пре-
преобразователей и т.п. стало мощнейшим стимулом для развития тео-
теории нелинейных колебаний. Очень быстро эта теория превратилась,
по сути дела, в фундамент радиотехники и радиофизики. Другими
словами, радиотехника и радиофизика стали как в своей основе, так
и в целом, именно нелинейной радиофизикой и нелинейной радиотех-
радиотехникой. В создание нелинейной теории колебаний фундаментальный
вклад, наряду с Б. Ван-дер-Полем и другими зарубежными учеными,
был внесен советскими учеными — Л.И. Мандельштамом, Н.Д. Папа-
лекси, А.А. Андроновым, Н.М. Крыловым, Н.Н. Боголюбовым и их
учениками.
В отличие от радиофизики, классическая оптика весьма долго бы-
была «линейной» и удельный вес нелинейных задач в ней был весьма
невелик. Действительно, до появления лазеров подавляющее боль-
большинство задач в оптике с очень хорошей точностью было адекватно
линейному приближению, а такие явления, как эффекты Керра, Пок-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 409
кельса (модуляция света), спонтанные рассеяния света (комбинацион-
(комбинационное, манделынтам-бриллюэновское, рэлеевское и т.п.) хорошо укла-
укладывались в чисто «модуляционную» («параметрическую») оптику. В
этой ситуации предвидение СИ. Вавилова, предсказавшего по сути
дела возникновение нового направления в науке — нелинейной опти-
оптики — представляется поистине гениальным.
Сказанное выше, конечно, не означает, что классическая («линей-
(«линейная») оптика, наиболее полно, по-видимому, представленная в фунда-
фундаментальной монографии М. Борна и Е. Вольфа [5], оказалась пол-
полностью неподготовленной к появлению лазеров и к исследованию
взаимодействия интенсивных световых волн с веществом. Прежде все-
всего, следует сказать, что весьма плодотворным оказалось перенесение
идей и математического аппарата теории нелинейных колебаний и
нелинейных волн в нелинейную оптику.
История нелинейной оптики — это история развития исследова-
исследований нелинейно-оптических эффектов. Как уже указывалось, до по-
появления лазеров оптика была существенно «линейной», или, точнее,
обычная физическая оптика довольно хорошо описывалась с помощью
линейных математических моделей. В теории волн широко использо-
использовалось линейное волновое уравнение; его решения предсказывали рас-
распространение гармонических волн без искажений и справедливость
принципа суперпозиции. Это означает, что при воздействии на линей-
линейную среду электромагнитного светового поля константы среды (ди-
(диэлектрическая проницаемость, коэффициент преломления) не зави-
зависят от напряженности этого поля. Из самых общих соображений (как
физических, так и формально-математических) ясно, что такое «ли-
«линейное» приближение является идеализацией. Диэлектрическая по-
ляризованность Р в общем случае является сложной функцией на-
напряженности светового поля Е, т.е. эта зависимость принципиально
«нелинейна» по полю Е. Естественно, эта же зависимость имела
место и в обычной долазерной оптике, однако, малость величин на-
пряженностей световых полей нелазерных источников, равно как и
малость величин коэффициентов в разложении функции Р(Е) по сте-
степеням поля, делала линейную модель адекватной. Из тех же общих
соображений ясно, что «степень пригодности» линейного приближе-
приближения можно оценить порядком относительной величины A/Aq , где А —
амплитуда распространяющейся волны, Aq — некоторая характерная
величина среды (для оптики Aq « Eaj где Еа — напряженность вну-
внутреннего электрического поля). Достаточно скоро было также понято,
что при рассмотрении реальных процессов распространения электро-
электромагнитных волн в нелинейной среде необходимо учитывать не только
величину нелинейности, характеризуемую величиной А/Ао, но и та-
такие свойства среды, как дисперсия и диссипация.
Роль дисперсии. Роль дисперсии можно пояснить на следующем
примере (см. также главы I, II данной книги). Допустим, что мы имеем
410 ПРИЛОЖЕНИЯ
дело с недиспергирующей средой, в которой распространяется интен-
интенсивная монохроматическая акустическая волна (в оптике недисперги-
рующих сред практически нет). Поскольку акустические гармоники
вследствие отсутствия дисперсии распространяются с одинаковыми
фазовыми скоростями, возможна эффективная перекачка энергии от
основной гармоники ко второй и высшим гармоникам. Эта перекачка
физически означает обогащение спектра первоначально монохрома-
монохроматической волны высшими гармоническими составляющими, или, что
то же самое, искажение синусоидальной волны и превращение ее в
ударную волну. Теория Римана подтвердила эти общие соображения
и показала, что в недиспергирующей среде без диссипации искаже-
искажения формы волны с расстоянием накапливаются. При этом следует
отметить, что такие искажения имеют место и при малых интенсив™
ностях исходной волны. Тем самым, не диспергирующая недиссипа-
тивная среда всегда должна рассматриваться как нелинейная.
Наличие достаточно сильной диссипации может привести к тому,
что волна поглотится ранее, чем наступят сколько-нибудь заметные
нелинейные искажения; другими словами, недиспергирующая дисеи™
пативная среда может оказаться адекватной линейной, если диссипа-
диссипация превалирует над нелинейностью.
Сильная дисперсия среды означает, что фазовые скорости спек™
тральных составляющих (гармоник) будут сильно различаться, вслед-
вследствие чего эффективный энергообмен окажется неэффективным и
форма первоначально синусоидальной волны не подвергнется иска™
жениям.
Оптические среды, как правило, характеризуются сильной дис-
дисперсией, так что с первого взгляда проявление сильных нелинейных
искажений в оптике представляется скорее исключением, чем прави™
лом. Действительно, наблюдение в оптике ударных волн вряд ли воз-
возможно, однако, эффективная генерация гармоник невысокой степени
(второй, третьей), т.е. сравнительно небольшие искажения формы ис™
ходной волны, сегодня является «классическим» и весьма эффектив-
эффективным нелинейно-оптическим эффектом.
Более того, появление высокоэффективных кристаллов с регу™
лярной доменной структурой (РДС-кристаллов, см. гл. VII) открыло
возможность генерации в одном кристалле одновременно нескольких
оптических гармоник, что можно в определенном смысле интерпре-
интерпретировать как ослабление дисперсии среды и приближение к слабо
диспергирующим средам типа акустических. Ясно, что для эффек-
эффективного энергообмена между волнами, например, между основной и
второй гармониками, необходимо отсутствие дисперсии, по крайней
мере, в диапазоне оптических частот порядка октавы вверх по частоте
по отношению к основной частоте. Если говорить более точно, необхо™
димо наличие аномальной дисперсии (см., например, [7] и гл. II данной
книги).
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 411
Дополнительно заметим, что большинство оптических сред во
многих практически интересных случаях может считаться практиче-
практически непоглощающими (прозрачными).
Появление лазеров. Появление лазеров, обеспечивших световые
поля величиной Е ^ 105 —106 В/см и более, привело, как уже ука-
указывалось, к принципиальному изменению ситуации в классической
«линейной» оптике. Такие поля уже нельзя считать пренебрежимо
малыми по сравнению с характерным внутриатомным полем Еа ~
~ 109 В/см. Тем не менее, следует еще раз подчеркнуть, что вели-
величина Е/Еа остается и в этих случаях весьма малой (~ 10~~3 —10"),
и для накопления нелинейно-оптических эффектов необходимо ис-
использовать значительные длины нелинейной среды при дополнитель-
дополнительном условии отсутствия дисперсии для взаимодействующих волн (т.е.
другими словами, равенства фазовых скоростей взаимодействующих
спектральных составляющих) или, по установившейся терминологии
нелинейной оптики, при условии реализации фазового (волнового)
синхронизма.
Подытожим вышесказанное утверждением, что для наблюдения
нелинейных эффектов в оптике необходимым условием является на™
личие нелинейности оптической среды, а достаточным условием —
наличие фазового синхронизма. Здесь следует оговориться, что раз-
разложение функции Р(Е) по степеням Е, разумеется, справедливо для
всех сред и во всех случаях:
Р(Е) = хA)Е + хB)ЕЕ + хC)ЕЕЕ + ... (П.1.1)
где х — коэффициенты линейной (п = 1), квадратичной (п= 2), ку-
кубичной (п= 3) и т.д. восприимчивостей. В то же время величина самих
этих коэффициентов при степенях поля может оказаться разной для
различных сред (слабонелинейные и сильнонелинейные среды), нали-
наличие ненулевых коэффициентов определяется симметрией среды (так,
для изотропных сред с центром инверсии нелинейности четных по-
порядков принципиально отсутствуют), а при взаимодействии световых
волн с волнами другой природы (например, акустическими волнами)
могут появиться и дополнительные факторы, влияющие на эффектив-
эффективность протекания процессов нелинейно-оптических взаимодействий.
Мы уже говорили, что классическая радиофизика по сути дела
является существенно нелинейной; в этой области науки и техники
вопросы преобразования колебаний (гетеродинирование, детектиро-
детектирование, модуляция, умножение и деление частоты и т.п.) занимают
весьма большое место. Как правило, нелинейный элемент в этих зада-
задачах рассматривается как сосредоточенный элемент, не имеющий про-
пространственного распределения. При переходе к более коротким дли-
длинам волн в радиотехнике все более ярко проявлялась необходимость
исследования протяженных нелинейных сред — электронных пото-
потоков в ЛБВ, ЛОВ, распределенных систем с нелинейными элементами
412 ПРИЛОЖЕНИЯ
(полупроводниковыми диодами, магнитно-нелинейными индуктивно-
стями и т.п.), см., например, [6]. Именно результаты исследований рас-
распределенных нелинейных систем были успешно и весьма продуктивно
«внедрены» в нелинейную оптику [1].
Наибольший интерес в начале развития нелинейной оптики прояв-
проявлялся к нелинейно-оптическим преобразователям оптических частот.
На наш взгляд, это связано не только (и не столько) с тем, что умно-
умножители оптических частот (генераторы оптических гармоник) яви-
явились объектом первых и широких исследований, начатых с пионер-
пионерских работ профессора Франкена с сотрудниками (США, [9]), но и
с тем, что проблема эффективного преобразования частоты лазер-
лазерного излучения весьма быстро после появления лазеров стала одной
из центральных в лазерной физике и технике. Действительно, если
заглянуть в «Справочник по лазерам» 1976 г. (весьма, кстати, уста-
устаревший, см. [8]) в таблицу индексов длин волн, на которых получен
эффект лазерного излучения, то, на первый взгляд, ситуация с освое-
освоением оптического диапазона вполне нормальная — число таких длин
волн поистине огромно. Однако практическая реализация лазеров на
многих длинах волн встретила весьма серьезные, а иногда и непреодо-
непреодолимые, трудности, и вследствие этого исследователи и потребители
лазеров сегодня располагают всего лишь несколькими типами мощ-
мощных лазеров. Это, прежде всего, рубиновые лазеры F94,3 нм), широко
распространенные неодимовые лазеры на стекле, большое семейство
гранатов или ортоалюминатов иттрия A064 нм, 1080 нм, 1319 нм),
лазеры на углекислом газе A0600 нм) и парах меди E70 нм), эк-
симерные и азотные лазеры, а также лазеры на красителях с лам-
ламповой и лазерной накачкой. С таким малым числом реализованных
длин волн, при практически полном отсутствии плавно перестраива-
перестраиваемых лазерных источников (особенно в ИК- и УФ-диапазонах) опти-
оптический диапазон, естественно, не может считаться освоенным. Имен-
Именно нелинейно-оптические методы и преобразователи оказались здесь
весьма эффективными и позволили практически полностью решить
задачу перекрытия оптического диапазона.
Нелинейные преобразователи частоты. Можно условно пред-
представить себе две важные группы нелинейных преобразователей часто-
частоты. К первой группе можно отнести нелинейно-оптические устройства,
осуществляющие преобразование лазерного излучения на фиксиро-
фиксированной частоте в когерентное излучение на одной или нескольких
фиксированных частотах. Сюда входят генераторы оптических гармо-
гармоник и суммарных и разностных частот (ГСЧ, ГРЧ), комбинационные
лазерные преобразователи с использованием вынужденного комбина-
комбинационного рассеяния (ВКР). Ко второй группе относятся устройства,
преобразующие лазерное излучение на фиксированной частоте (или
перестраиваемое излучение лазеров на красителях) в плавно пере-
перестраиваемое когерентное излучение. Сюда входят параметрические
генераторы света (ПГС), ВКР-генераторы на поляритонах, а также ге-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 413
нераторы оптических гармоник, суммарных и разностных частот пе-
перестраиваемого излучения лазеров на красителях (при ГСЧ и ГРЧ —
совместно с лазером на фиксированных частотах).
П.1.2. Генерация второй оптической гармоники,
разностных и суммарных частот.
Нелинейно-оптические материалы
Эксперимент П. Франкена и роль синхронизма. В 1961 г.,
вскоре после появления первого лазера на рубине, созданного в 1960 г.
Мейманом (США), профессором П. Франкеном из Мичиганского уни-
университета (США) с сотрудниками были осуществлены первые наблю-
наблюдения эффекта генерации второй гармоники (ГВГ) излучения руби-
рубинового лазера в кристалле кварца [9]. Следует отметить, что эффект
ГВГ в этом эксперименте наблюдался в отсутствие фазового синхро-
синхронизма, что обусловило весьма малый коэффициент преобразования
во вторую гармонику (ВГ, 347 нм). Естественно, что этот факт не мо-
может сколько-нибудь умалить принципиальной и весьма важной роли
этих пионерских работ. Вместе с тем, столь малый коэффициент пре-
преобразования заставил исследователей еще раз обратить внимание на
важность и необходимость наличия фазового синхронизма.
Здесь нельзя не упомянуть раннюю фундаментальную работу од™
ного из основоположников современной нелинейной оптики, видного
советского ученого, академика Рема Викторовича Хохлова [10]. Эта
работа была написана им еще в 1960 г., когда он — молодой кандидат
наук заканчивал подготовку докторской диссертации. Блестящее вла-
владение как математическим аппаратом теории нелинейных колебаний
и волн, так и физикой нелинейных процессов радиодиапазона, заме-
замечательная интуиция позволили Р.В. Хохлову в этой статье, которая
по сути дела была посвящена теории ГВГ в нелинейных радиолини-
радиолиниях, заложить основы всей нелинейно-оптической теории колебаний и
волн. Ради исторической справедливости следует отметить, что тео-
теория связанных нелинейных волн одновременно и независимо разра-
разрабатывалась и другим выдающимся ученым, лауреатом Нобелевской
премии Н. Бломбергеном с сотрудниками [4, 11]. Наиболее важными
результатами работы Р.В. Хохлова [10] являются два аспекта: 1) уста-
установление факта, что при выполнении условия равенства фазовых ско-
скоростей основной и второй гармоник v(uS) = v{2uj) (т.е. при выполнении
условия синхронизма) коэффициент преобразования в излучение ВГ
может достигать 100%, и 2) предсказание весьма существенной роли
фазовой (волновой) расстройки от синхронизма (если говорить точ-
точнее, Р.В. Хохловым было впервые указано на тот факт, что играет
роль не сама волновая расстройка А = 2(jj[v~1(uS) — v~1Bu)], а ее от-
относительная величина, т.е. расстройка, нормированная на половину
так называемой «длины нелинейного преобразования» Ьшел).
414 ПРИЛОЖЕНИЯ
Следует отметить, что являясь представителем советской школы
нелинейных колебаний, Р.В. Хохлов в этой работе блестяще исполь-
использовал классический метод фазовой плоскости и фазовых траекторий.
Это позволило ему весьма физично и наглядно проиллюстрировать
весьма непростой процесс взаимодействия двух волн в нелинейной
протяженной среде. Остается только сожалеть, что современные ис-
исследователи крайне редко прибегают к использованию этого замеча-
тельного метода, давшего много результатов в нелинейной механике
и нелинейной радиофизике. «Оправданием» может служить бурное
развитие вычислительных методов с использованием ЭВМ, однако,
при этом зачастую теряется наглядность и физический смысл проис-
происходящих процессов.
Волновом (фазовым) синхронизм. Реализация фазового син-
синхронизма в оптике, на первый взгляд, встречает серьезные трудно-
трудности. Действительно, поскольку прозрачные оптические среды харак-
характеризуются нормальной дисперсией, то, как правило, пBи) > n(cj),
т.е. волна ВГ, вообще говоря, отстает от волны поляризованности на
частоте В Г. Однако, как это часто бывает, если практическая необ-
необходимость какого-либо метода или явления доказана, задача его ре-
реализации обязательно будет решена. И действительно, уже в 1962 г.
Джордмэйну (США) в своей оригинальной работе [12] (см. также [13])
удалось показать, что равенство фазовых скоростей основной и вто-
второй гармоник может быть реализовано в анизотропных кристаллах,
если поляризации взаимодействующих волн различны (так называе-
называемые «обыкновенная» и «необыкновенная» волны). Для отрицатель-
отрицательных одноосных анизотропных кристаллов (к которым, кстати говоря,
принадлежит подавляющее большинство известных нелинейных кри-
кристаллов) волна основного (лазерного) излучения должна быть обык-
обыкновенной, а волна гармоники — необыкновенной:
v°(uj) =veBuj). (П.2.1)
Это равенство может быть выполнено только в определенном
направлении — так называемом направлении синхронизма. Это на-
направление соответствует прямой, проведенной из начала координат в
точку пересечения эллипса показателя преломления необыкновенной
волны на частоте гармоники и окружности показателя преломления
обыкновенной волны основного (лазерного) излучения.
Более строго волновое условие коллинеарного синхронизма в од-
одноосных кристаллах может быть записано для волновых векторов в
виде:
2ко1 = ке2(в), (П.2.2)
где индексы 1 и 2 соответствуют частотам и и 2а;, в — полярный угол,
соответствующий углу синхронизма.
Весьма важная роль фазового синхронизма для эффективной ГВГ
уже в 1962-1963 гг. была наглядно продемонстрирована эксперимен-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 415
тально. Мэйкеру с сотрудниками из США [13] удалось доказать спра-
справедливость теоретических предпосылок работ [10, 11], предсказыва-
предсказывающих синусоидальный характер мощности ВГ в зависимости от про™
изведения волновой расстройки А = &2 — 2fci на длину нелинейного
кристалла. Эксперимент Мэйкера был проведен с кварцевой пластин-
пластинкой, поворачиваемой вокруг оси (поворотом пластинки эксперимента-
экспериментаторы добивались изменения длины взаимодействия). Свет гармоники
отфильтровывался раствором C11SO4 и дополнительно монохромато-
ром с дифракционной решеткой; интенсивность ВГ измерялась фото-
фотоэлектрически. Кривая зависимости интенсивности ВГ от угла поворо-
поворота действительно обнаружила периодичность, хорошо совпадающую
с предсказанной теоретически (так называемые «биения Мэйкера»).
Если в первых опытах по ГВГ интенсивность В Г была ничтожно
малой, то уже в 1963^1964 гг. эффективность преобразования в гармо-
гармонику в направлении синхронизма была доведена до 10-20 % от мощно-
мощности лазерного излучения. В этих экспериментах, проведенных в США
Терхьюном с соавторами [14] и С.А. Ахмановым с сотрудниками [15]
в Московском университете, использовались достаточно мощные им-
импульсные лазеры на стекле с неодимом (плотность мощности лазера
достигала десятков мегаватт на квадратный сантиметр) и нелиней-
нелинейные кристаллы дигидрофосфата калия (KDP). Эти опыты впервые
показали, что реальные лазерные пучки существенно отличаются от
плоских волн, для которых теория предсказывала 100 %-ное преоб-
преобразование мощности лазерного излучения в гармонику (естественно,
в направлении синхронизма). Реальная эффективность насыщалась
(с ростом мощности лазерного излучения или длины кристалла) на
уровне 15-20%.
Теория: учет пространственно-временных характеристик
лазерного излучения. В связи с изложенным, в теории выявилась
необходимость учета геометрии лазерного пучка (конечной аперту-
апертуры и расходимости), а также его временных и спектральных харак-
теристик (ширины линии, длительности импульса, модового соста-
состава). Одной из пионерских работ в этом направлении явилась работа
Д. Клейнмана из США [16], где в приближении заданного поля лазер-
лазерного излучения был проведен учет расходимости излучения A962 г.).
Справедливость этого приближения была ограничена небольшой
E-10 %) эффективностью преобразования; в связи с этим необходи-
необходимо отметить, что уже в 1965 г. С.А. Ахмановым и В.Г. Дмитриевым
на 1-й Всесоюзной конференции по нелинейной оптике на озере На-
рочь (БССР) были доложены результаты теоретического обобщения
методики Д. Клейнмана [16] на существенно нелинейный режим пре-
преобразования (см. также [17]). Полученная кривая зависимости ко-
коэффициента преобразования в гармонику от плотности мощности
лазерного излучения проиллюстрировала характерное для расходя-
расходящегося пучка насыщение эффективности (как раз на уровне ~ 20 %
416 ПРИЛОЖЕНИЯ
для KDP при расходимости ^ 2(У и плотностях мощности порядка
100 МВт/см2). Приближение заданного поля предсказывает значи-
значительно более высокую эффективность, не реализующуюся, естествен™
но, в эксперименте.
Ограничивающие факторы. Все усилия теоретиков в этот пе-
период были направлены на выявление факторов, ограничивающих
эффективность преобразования, и на отыскание путей повышения
эффективности. Работами, в основном, советских и американских
ученых было установлено, что теория ГВГ должна оперировать не
плоскими волнами, а реальными волновыми пакетами (пучками и
импульсами) лазерного излучения. Было показано, что эффектив-
эффективность преобразования во 2-ю гармонику определяется взаимодействи-
взаимодействием двух комплексов параметров:
— пространственно-временными, спектральными и энергетически-
энергетическими (мощностными) характеристиками лазерного излучения;
— нелинейно-оптическими, дисперсионными и диссипативными
характеристиками нелинейных кристаллов.
Метод Хохлова. Успехи теории нелинейных волн во многом
определялись трудами советских ученых и прежде всего трудами вы™
дающегося советского физика, академика Р.В. Хохлова A926-1978).
Сегодня можно уверенно говорить о ^методе Хохлова» в теории
нелинейных волн [18]. В 50-60 гг. прогресс экспериментальной ра-
радиофизики, оптики, акустики привел к всплеску интереса к теории
волн в нелинейных средах (в нелинейных линиях передачи, электрон-
электронных потоках, нелинейных кристаллах, плазме и т.п.). Р.В. Хохлов в
1965 г. в номере журнала «Успехи физических наук», посвященном
памяти Л.И. Мандельштама, писал [19]: «... Освоение миллиметрово-
миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов электромагнитных волн и успехи
последних лет в создании лазеров привели к тому, что нелинейные
волновые процессы стали играть определяющую роль... Возникла
необходимость создания нелинейной теории волн, которая по образцу
нелинейной теории колебаний обобщала бы многочисленные отдель-
отдельные явления в поведении различных устройств... ».
Эти слова еще раз ярко подчеркивают роль весьма плодотворного
радиофизического, «колебательного» подхода в теории нелинейных
волновых процессов. При таком подходе определяющим в создании
этой теории явились понятия, подходы к теории, методы и принципы,
выработанные нелинейной теорией колебаний. В той же статье [19]
Р.В. Хохлов указывал, что «... в настоящее время такая задача (речь
идет о создании нелинейной волновой теории) в значительной степени
выполнена. Выявлены наглядные качественные понятия и представ-
представления, выработаны руководящие волновые концепции и проведено си-
систематическое изучение круга нелинейных волновых явлений».
Значительный вклад самого Рема Викторовича в создание нели-
нелинейной теории волн является общепризнанным. В его пионерской ста-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 417
тье [10] сформулирован метод медленно меняющихся амплитуд для
случая распространения и взаимодействия волн в нелинейной диспер-
диспергирующей среде, показана возможность и выявлены условия полной
перекачки мощности волны лазерного излучения (основной гармони™
ки) в волну второй гармоники. Последнее предсказание было экспе-
экспериментально подтверждено только в 80~х гг. (Т. Усманов с сотрудни-
сотрудниками), когда на практике были реализованы условия, определенные
Р.В. Хохловым (см. [59]).
«Метод Хохлова», состоящий, обобщенно говоря, в поэтапном
упрощении («укорочении») нелинейного волнового уравнения, выте-
вытекающего из уравнений Максвелла, оказался весьма плодотворным не
только в нелинейной оптике, но и во многих смежных областях [18].
Генерация втором гармоники. Вернемся к генерации второй
гармоники (ГВГ). Как уже указывалось, определяющее влияние уг-
углового дисперсионного эффекта для ГВГ широкими пучками было
выявлено в самых первых теоретических работах по ГВГ. Фактиче™
ски было показано, что нелинейный кристалл применительно к ГВГ
является достаточно узкополосным пространственно-угловым филь-
фильтром, поэтому при расходимостях лазерного излучения, превышаю™
щих угловую «полосу пропускания» кристалла, угловая структура ВГ
оказывается изрезанной, а эффективность ГВГ падает (по сравнению
со случаем плоской волны в направлении синхронизма). В связи с
этим, в экспериментальной нелинейной оптике в первые годы большое
внимание уделялось устройствам, снижающим расходимость падаю™
щего на нелинейный кристалл лазерного излучения, а также умень-
уменьшению (компенсации) угловой дисперсии. Одно из первых оптических
устройств такого рода — это телескопическая система, корректирую-
корректирующая расходимость в плоскости синхронизма (В.Д. Волосов с сотруд-
никами); авторы достигли эффективности ГВГ около 50% [20].
Второй тип синхронизма. Реализация нелинейного процесса с
более слабой, чем в синхронизме I типа («оое»), дисперсией связана
с именами советских ученых Б.В. Бокутя и А.Г. Хаткевича, пред™
ложивших синхронизм П-го типа («оее»), при котором поляризации
двух волн основного (лазерного) излучения различны [21]. Оказалось,
что так называемые «когерентные» величины процесса (угол, длина
и т.п.) при синхронизме II типа больше, чем при синхронизме I типа
(например, для кристалла KDP примерно вдвое больше). В связи с
этим, синхронизм II типа оказался более предпочтительным для ГВГ
лазеров с большой расходимостью и неполяризованным излучением.
Одновременно экспериментаторы обратили внимание и на одно-
модовые лазеры, обладающие дифракционной расходимостью излуче-
излучения. Эффективность преобразования во вторую гармонику излучения
таких лазеров в кристаллах KDP быстро достигла 45^50%. Возник™
ла необходимость выяснения причин ограничения эффективности на
этом уровне.
418 ПРИЛОЖЕНИЯ
Угловом апертурный эффект. Одной из причин такого ограни™
чения оказался угловой апертурный эффект (так называемый эффект
«сноса»), связанный с известным в оптике явлением двулучепрелом-
ления в анизотропных кристаллах. Теоретическое осмысление этого
эффекта и его влияния было проведено в работе [22] на базе решения
параболического уравнения (см. также обзор [23]). Этот же матема-
математический аппарат был использован авторами и для теоретического
описания ГВГ в нелинейных кристаллах, возбуждаемых сфокусиро™
ванными пучками.
Влияние дифракции. Дифракционные эффекты при ГВГ бы-
были впервые исследованы Р.В. Хохловым и А.П. Сухоруковым в 1966 г.
[24]. Интересно отметить, что Р.В. Хохлов одним из первых обратил
внимание на то, что юнговская трактовка дифракции (разумеется, в
линейной среде) не использует принцип суперпозиции, а использован™
ное еще в 1944-1945 гг. М.А. Леонтовичем параболическое уравнение
весьма тесно перекликается с методом медленно меняющихся ампли-
туд. Эти соображения позволили Р.В. Хохлову и А.П. Сухорукову
эффективно рассчитать методом параболического уравнения дифрак-
дифракцию в линейной анизотропной среде A966 г.), а затем (совместно с
С.А. Ахмановым) — вывести нелинейное параболическое уравнение,
описывающее распространение волнового пучка в нелинейной среде
A966 г.). Читателей, интересующихся этими аспектами, мы отсылаем
к монографиям [25, 26]. Этим же методом С.А. Ахманов, Р.В. Хохлов,
А.П. Сухоруков в том же 1966 г. дали теорию ГВГ сфокусированными
пучками лазерного излучения [27]. Одновременно и независимо этими
же вопросами занимались Б.Я. Зельдович [28] и Г.И. Фрейдман [29].
Нестационарные эффекты при ГВГ. Примерно в эти же годы
исследователи заинтересовались влиянием нестационарных (во време-
ни) процессов при ГВГ. Было быстро выявлено, что можно говорить
о трех видах временной нестационарности при ГВГ:
1) нестационарность процесса установления нелинейной поляризо-
ванности;
2) так называемое дисперсионное расплывание импульса — иска™
жение формы короткого по длительности импульса из-за различия
(дисперсии) фазовых скоростей распространения отдельных гармо-
гармонических составляющих импульса;
3) различие (расстройка) групповых скоростей на частотах основ™
ной и второй гармоник.
Нестационарность 1-го вида должна проявляться при длительно-
длительностях импульсов ти < 10~16 с, что составляет величину порядка одного
периода световых УФ™колебаний. В силу отсутствия в лазерной опти-
оптике до самого последнего времени таких длительностей этот вид неста-
нестационарности не проявляется (в оптике в настоящее время реализо-
реализованы длительности импульсов порядка нескольких фемтосекунд, т.е.
~ 10™15 с). Нестационарность 2-го типа может проявиться именно в
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ
419
фемтосекундном диапазоне длительностей, но даже и для таких дли-
длительностей дисперсионное расплывание импульсов проявляется доста-
достаточно слабо, хотя и заслуживает учета. Третий вид нестационарности
характерен для длительностей, лежащих в субнаносекундном (пико- и
тем более фемтосекундном) диапазоне, а в наносекундном диапазоне
он пренебрежимо мал.
Отметим, что при длительностях импульсов порядка нескольких
наносекунд и более имеет место нестационарное во времени измене™
ние амплитуды (огибающей) импульса; однако, процесс ГВГ можно
считать в этом случае квазистатическим (для каждого момента вре-
времени эффективность ГВГ может быть рассчитана по стационарной
теории, а энергетический результат получается простым интегриро-
интегрированием по времени). По этой причине этот (вообще говоря, четвертый)
тип нестационарности обычно рассматривается как квазистатический.
Пространственно-временная аналогия. Следует особо отме-
отметить, что исследования нестационарных процессов при ГВГ ярко про-
проявили силу и эффективность аналогий, сыгравших, как известно, во-
вообще весьма заметную роль в физике. Применительно к нелинейной
оптике речь идет о пространственно-временной аналогии, найденной
С.А. Ахмановым и Р.В. Хохловым еще в 1962 г. [1]. Работами учеников
и соратников Р.В. Хохлова были установлены следующие аналогии
основных эффектов в пространстве и времени при ГВГ:
Пространственный эффект
Дифракционное расплывание пучка
(дифракция).
Диафрагменный апертурный эффект в
анизотропной среде (эффект «сноса»),
связанный с различным направлением
лучевых векторов волн основной и
второй гармоник
Временной эффект
Дисперсионное расплывание
импульса.
Различие (расстройка) груп-
групповых скоростей импульсов
основной и второй гармоник
Математическое описание отдельно взятых пространственных и
временных эффектов, естественно, также аналогично. В то же время,
если присутствуют одновременно пространственные и временные эф-
эффекты, использование аналогии не приводит к результатам (см. [1]).
Как замечено в монографии С.А. Ахманова и А.С. Чиркина «Стати-
«Статистические явления в нелинейной оптике» (МГУ, 1971 г.), рассмотрен-
рассмотренная аналогия оказалась бы более полной, если бы наряду с времен-
временной дисперсией диэлектрических восприимчивостей учитывалась бы
и пространственная дисперсия.
С.А. Ахманов и Р.В. Хохлов указали в 1962 г. также и на дру-
другую, не менее важную, сторону рассмотренной аналогии, а именно, —
аналогию процессов во времени в колебательных системах с сосре-
сосредоточенными параметрами и процессов в пространстве в распреде-
распределенных системах. Например, применительно к процессу ГВГ, краевая
420 ПРИЛОЖЕНИЯ
задача стационарного процесса ГВГ плоскими волнами аналогична
временной задаче ударного возбуждения двух контуров, связанных
через нелинейную емкость (один контур при этом настроен на основ™
ную частоту, второй — на частоту второй гармоники). Естественно,
эта аналогия имеет ограниченное применение и оказывается вообще
неприемлемой, например, при нестационарной ГВГ (в колебательных
системах с сосредоточенными параметрами нет аналога одновремен-
но пространственной и временной координат). Используя результаты
теории ГВГ ограниченными пучками, С.А. Ахманову, Р.В. Хохлову и
А.П. Сухорукову удалось последовательно рассмотреть влияние вре-
временной модуляции основного лазерного излучения [27].
Первые эксперименты по генерации гармоники сфокусирован-
сфокусированными пучками были проведены практически одновременно в США
(Клейнман с сотрудниками, 1966 [30]) и в СССР (А.И. Ковригин с со-
сотрудниками, 1967 [31]). В этих экспериментах были выявлены условия
оптимальной фокусировки — разумное сочетание высокой плотности
мощности лазерного излучения в фокальной области с противодей-
противодействующими апертурными эффектами, связанными с фокусировкой
(малый диаметр перетяжки, значительная расходимость излучения).
Период 1963^1970 гг. В 1963-1970 гг. число публикаций по нели-
нелинейной оптике росло экспоненциально. Отметим наиболее интересные
результаты, полученные в этот период (см. также обзор [32]).
Зарождение статистической нелинейной оптики следует датиро-
датировать, по-видимому, 1963 г., когда появилась статья С.А. Ахманова и
Р.В. Хохлова с сотрудниками по исследованию так называемых избы™
точных флуктуации при ГВГ, связанных с флуктуациями в модовой
структуре лазерного излучения [33]. В 1964 г. на эту же тему ин-
интересное исследование было выполнено в США Н. Бломбергеном и
Дюкуэнгом [34]. В период 1966-1967 гг. В.И. Беспалов из горьковско-
го НИРФИ опубликовал ряд исследований по нелинейным взаимо-
взаимодействиям в статистически-неоднородной нелинейной среде (см., на-
например, [35, 36]). Следует отметить, что вполне естественным пред-
представляется тот факт, что первыми исследованными статистическими
нелинейно-оптическими эффектами были довольно «грубые» эффек-
эффекты статистической природы — избыточные амплитудные флуктуации
при ГВГ, влияние статистической неоднородности нелинейной среды
и т.п. В дальнейшем статистическая нелинейная оптика стала вполне
самостоятельной и интересной отраслью как нелинейной оптики, так
и более общей дисциплины — статистической оптики (см. детальный
обзор С.А. Ахманова и А.С. Чиркина, ссылка в [33]).
Наряду с ГВГ, развивались и другие нелинейные эффекты, близ-
близкие к процессу ГВГ, например, генерация суммарной (ГСЧ) и раз-
разностной (ГРЧ) частот, генерация высших оптических гармоник и т.д.
Один из первых мощных источников когерентного света, работающе-
работающего по принципу ГСЧ, был исследован В.Г. Дмитриевым с соавторами,
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 421
1963 [37]; в этой работе был продемонстрирован оригинальный метод
совмещения импульсов и пучков двух лазерных излучений (были ис-
использованы лазеры на рубине и стекле с неодимом) — генерация на
двух длинах волн @,69 и 1,06 мкм) осуществлялась в едином специ-
специальном резонаторе. Суммарная частота с мощностью около 100 кВт в
импульсе попала в этом случае в синий диапазон 0,42 мкм.
Каскадная генерация третьей гармоники (ГТГ) излучения неоди-
мового лазера в кристалле с квадратичной поляризованностью (ГВГ в
первом каскаде; ГТГ во втором, как суммарная частота основного из-
излучения и ВГ) была впервые экспериментально продемонстрирована
в 1965 г. С.А. Ахмановым и Р.В. Хохловым с сотрудниками [15]. В этой
же группе впервые было получено последовательное умножение опти-
оптических частот — генерация четвертой гармоники (ГЧГ, 1965 г.), при-
причем достигнутые мощности A0--20 МВт на длине волны ТГ 0,35 мкм и
3-4 МВт на длине волны ЧГ 0,266 мкм) были в то время рекордными,
и генерация пятой гармоники (ГПГ) на длине волны 0,212 мкм [15].
Прямая ГТГ на кристалле с кубической нелинейностью была ис-
исследована раньше — в 1963 г. Терхьюном с соавторами (США [38]).
Цернике с сотрудниками в 1966 г. исследовали ГРЧ в кристаллическом
кварце от двух компонент излучения неодимового лазера, отстоящих
на частотный интервал ~ 100 см^1 [39] (интересно отметить, что син-
хронизм для ГРЧ этого типа оказался выполненным даже при очень
малом, свойственном кварцу, двулучепреломлении именно благодаря
столь малому частотному интервалу). Эти пионерские исследования
открыли путь к освоению методом ГРЧ ИК-диапазона (вплоть до суб-
субмиллиметрового диапазона), а методом ГСЧ, ГВГ, ГТГ, ГЧГ — УФ-
диапазона (включая вакуумный ультрафиолет).
Значительную роль сыграли методы ГВГ, ГЧГ, ГСЧ в преобразо-
преобразовании частоты излучения перестраиваемых лазеров на красителях в
перестраиваемое излучение в УФ-диапазоне. Эти исследования нача-
начались практически сразу же после создания в 1966^1967 гг. лазеров на
красителях П. Сорокиным (США [40]) и Б.И. Степановым и А.С. Ру-
Рубановым с соавторами (СССР [41]).
В 70-е гг. продолжалось интенсивное теоретическое изучение про-
процессов преобразования оптических частот в нелинейных кристаллах.
Одной из самых заметных работ в этой области явилась статья Бойда
и Клейнмана (США, 1967 г. [42]), посвященная квазигеометрической
теории параметрических взаимодействий в сфокусированных гауссо-
гауссовых пучках, где были впервые ясно и четко сформулированы условия
оптимальной (с точки зрения максимальной эффективности преобра-
преобразования) фокусировки с учетом диафрагменного апертурного эффек-
эффекта («сноса», или эффекта анизотропии), степени (жесткости) фокуси-
фокусировки лазерного излучения в кристалл, местоположения фокуса и т.п.
«Метод Бойда и Клейнмана», см. также гл. III, получил в дальней-
дальнейшем развитие во многих работах советских и зарубежных ученых по
422 ПРИЛОЖЕНИЯ
генерации гармоник и комбинационных частот, а также по парамет-
параметрической генерации света. Однако следует отметить, что этот метод
справедлив лишь в приближении заданного поля лазерного излуче-
ния, поскольку существенно использует аддитивность мощности rap™
моники, генерируемой различными элементарными объемами (слоя-
(слоями) нелинейного кристалла. Обобщение же метода Бойда^Клейнмана
на нелинейный режим преобразования, учитывающий реакцию волны
лазерного излучения на волну второй гармоники, встречает серьезные
математические трудности.
Приближение заданного поля. Приближение заданного поля
лазерного излучения сыграло большую роль в теории генерации опти-
оптических гармоник и параметрической генерации света, позволив ана-
аналитически и очень наглядно высветить значение и степень влияния
таких эффектов и факторов, как волновая расстройка и расходимость
лазерного излучения — так называемый угловой дисперсионный эф-
эффект, анизотропия — эффект «сноса», или диафрагменный (апертур-
ный) эффект, дифракция, временная нестационарность и т.п. В ряде
практических приложений приближением заданного поля пользуются
до сих пор для расчетов, например, эффективности ГВГ излучения
твердотельных или газовых лазеров как вне, так и внутри резонатора,
в режимах непрерывной и квазинепрерывной генерации. Приближе-
Приближение заданного поля, кроме того, позволяет во многих случаях оце-
оценить предельные значения эффективности преобразования; вместе с
тем, при этом теряется информация о нелинейном характере взаимо-
взаимодействия волн, утрачивается ряд качественно важных особенностей
процесса нелинейно-оптического преобразования. Следует отметить,
что первые работы по теории ГВГ в приближении заданного поля бы-
были выполнены Клейнманом A962, [16]), Бокутем и Хаткевичем A964,
см. [21]).
Приближение заданном интенсивности. Как известно, при-
приближение заданного поля предполагает постоянство амплитуды и фа-
фазы лазерного излучения на всем протяжении процесса взаимодействия
волн в нелинейной среде. Именно принятое здесь допущение о по-
постоянстве фазы лазерного поля приводит к вышеуказанным потерям
важной информации о нелинейном характере процесса (это стано-
становится понятным, если вспомнить об интерференционном характере
процесса ГВГ). Поэтому более оправданным является приближение,
когда постоянной принимается только амплитуда поля лазерного из-
излучения, но не его фаза. Указанное приближение получило назва-
название «приближения заданной интенсивности» и было разработано
советскими учеными А.С.Чиркиным и З.А.Тагиевым [43]; оно позво-
позволяет аналитически с приемлемой точностью определить когерентную
длину взаимодействия, эффективность преобразования в гармоники,
учесть целый ряд эффектов, выпадающих из приближения заданного
поля.
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 423
По мере развития теории и практики преобразования лазерного
излучения в оптические гармоники все более становилось ясным, что
в теории необходим учет многих специальных вопросов, таких, как
неоднородность (регулярная или статистическая) нелинейных сред,
тепловые эффекты и самовоздействия, нелинейное поглощение, фото™
рефрактивные эффекты (так называемое фотопреломление) и другие
аспекты, связанные с полупроводниковой природой многих нелиней-
нелинейных кристаллов, многомодовый (многочастотный) характер лазерного
излучения и целый ряд других эффектов.
Тепловые самовоздействия. Из перечисленных вопросов наи-
наиболее важным представляется влияние эффекта тепловых самовоз-
самовоздействий. В процессе преобразования (например, при ГВГ) происходит
поглощение энергии (мощности) как лазерного, так и преобразован-
преобразованного излучений. Учет этого поглощения введением в укороченные
уравнения коэффициентов потерь оказывается недостаточным. При
поглощении происходит нагрев нелинейного кристалла, приводящий
к неоднородному распределению волновой расстройки по сечению (а
иногда и вдоль) луча. Неоднородность нагрева затрудняет (а иногда
и не позволяет) компенсацию тепловых эффектов. Следствием ска-
сказанного является необходимость решения самосогласованной задачи,
т.е. решения взаимосвязанных уравнений для комплексных ампли-
амплитуд полей и теплопроводности (при необходимости, следует учиты-
учитывать нестационарные тепловые эффекты).
Здесь следует отметить пионерские исследования А.П. Сухорукова
с сотрудниками [44, 45], В.Г. Дмитриева и В.А. Коновалова [46, 47],
М. Окада и С. Иэири [48].
Весьма специфические явления возникают, как уже указывалось,
в существенно нестационарных режимах преобразования частоты ла-
лазерных импульсов пико™ и фемтосекундной длительностей (эффекты
группового запаздывания и дисперсионного расплывания импульсов).
Большую роль в изучении этих явлений сыграли работы советских
ученых С.А. Ахманова с сотрудниками (А.П. Сухоруков, А.С. Пис™
карскас, А.С. Чиркин и др.) Особо следует отметить открытие в неко-
некоторых нелинейных кристаллах явления «группового» синхронизма —
равенства не только фазовых, но и групповых скоростей взаимодей-
взаимодействующих волн, например, волн лазерного излучения и второй гар-
гармоники (А.С. Пискарскас с сотрудниками, 1973^1975 гг. [49, 50], см.
также [51]).
Современная ситуация с теорией ГВГ. Применительно к про-
процессу ГВГ в прозрачных диэлектриках ситуация с теорией в настоящее
время представляется достаточно ясной. Основу теории составляют
уравнения Максвелла (волновое уравнение) в сочетании с матери-
материальным уравнением среды, определяющим зависимость нелинейной
поляризованности от электрического поля. В зависимости от приня™
тых приближений, выводятся укороченные уравнения для комплекс-
424 ПРИЛОЖЕНИЯ
ных амплитуд взаимодействующих волн. В этих уравнениях, по мере
необходимости, могут быть учтены эффекты реакции волны лазерно-
лазерного излучения на волну гармоники, линейное и нелинейное поглоще-
ние, фотопреломление, нелинейная расстройка вследствие генерации
свободных носителей в зоне проводимости (для полупроводниковых
нелинейных кристаллов), тепловые самовоздействия (в этом случае
укороченные уравнения следует решать в совокупности с уравнением
теплопроводности, в том числе, при необходимости, нестационарным),
нестационарные процессы — групповое запаздывание и дисперсионное
расплывание импульсов, характер поперечного распределения интен-
интенсивности и расходимость лазерного излучения, дифракцию, анизотро-
анизотропию и т.д. (см. главы II, III).
Вместе с тем, оптимизация эффективности преобразования по
всем вышеуказанным параметрам процесса ГВГ оказывается весьма
сложной задачей и до сих пор не решена в общем виде. Оптимизация
выполнена лишь для некоторых практически важных случаев, когда
тот или иной фактор является превалирующим.
Оптические схемы генерации второй и высших гармоник.
Наряду с развитием адекватной теории процесса ГВГ и генерации
высших оптических гармоник, развивались и различные оптические
схемы для реализации этих эффектов. В начальный период развития
нелинейной оптики применялись преимущественно внерезонаторные
схемы ГВГ, ГТГ, ГЧГ (нелинейные кристаллы размещались вне резо-
резонатора лазера). Наряду с «классическими» схемами, упоминания за™
служивают так называемые «схемы цилиндрической фокусировки»,
разработанные В.Д. Волосовым с соавторами в 1966^1970 гг. [20, 52,
53]. Как известно, эффективность ГВГ критична к расходимости пуч-
пучка лишь в плоскости синхронизма (главной плоскости нелинейного
кристалла) и некритична к расходимости в перпендикулярной плос-
плоскости. На этом и основаны схемы цилиндрической фокусировки, осу™
ществляющие как уменьшение расходимости лазерного излучения в
критической плоскости (за счет расширения луча лазера), так и фоку™
сировку излучения в кристалл в некритичной плоскости (для увеличе-
ния плотности мощности). В 1970 г. В.Д. Волосовым с сотрудниками
[52, 53] были разработаны анаморфотные телескопические фокуси-
фокусирующие системы для высокоэффективной ГВГ, что позволило найти
оптимальные соотношения между расходимостью и плотностью мощ-
мощности лазерного излучения в нелинейном кристалле и повысить эф-
эффективность ГВГ почти на порядок (до 65 %) по сравнению со схемами
ГВГ без формирующей оптики. В дальнейшем им же в соавторстве
с В.Л. Стрижевским A975 г., [54]) был предложен оригинальный ме-
метод компенсации дисперсии фазового синхронизма при ГВГ широко™
полосных (немонохроматичных) пучков. В этом методе с помощью
диспергирующей системы (призм, решеток) осуществляется предва-
предварительное преобразование лазерного излучения из слаборасходяще-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 425
гося, но немонохроматического — в набор монохроматических лучей,
распространяющихся под разными углами, причем эти углы должны
соответствовать углам синхронизма в кристалле для соответствую™
щих длин волн. Иными словами, угловая дисперсия диспергирующей
системы должна равняться дисперсии угла синхронизма в кристалле.
Следует отметить, однако, что несмотря на оригинальность и высо-
высокую эффективность описанных схем ГВГ с цилиндрической оптикой
или с компенсацией дисперсии синхронизма, они не нашли широкого
практического применения вследствие их значительной конструктив-
конструктивной сложности.
Из теории ГВГ было известно, что эффективность ГВГ растет
(по крайней мере, в приближении заданного поля) как квадрат дли-
длины нелинейного кристалла. В связи с тем, что при увеличении длины
сильнее проявляется ряд эффектов (таких, как эффект «сноса» луча
из-за анизотропии, обратная перекачка мощности гармоники в волну
лазерного излучения), вместо простого увеличения длины было пред™
ложено применять схемы ГВГ с последовательно расположенными и
надлежащим образом ориентированными несколькими нелинейными
элементами (В.Д. Волосов с соавторами, 1976 г. [55]). Здесь же можно
упомянуть и многопроходовые схемы оптического умножения часто™
ты, в том числе с нелинейным кристаллом, размещенном в специаль-
специальном (собственном) резонаторе.
Интересной, с точки зрения уменьшения влияния эффекта анизо-
анизотропии («сноса»), представляется схема с совмещением лучевых век-
векторов лазерного излучения и гармоники; при этом, естественно, вол-
волновые векторы волн оказываются неколлинеарными, вследствие чего
необходимо использовать векторный синхронизм. Данная схема была
предложена А.Г. Хаткевичем с сотрудниками [56].
Дальнейшим развитием схем ГВГ явилась получившая широкое
распространение схема внутрирезонаторной ГВГ (ВРГВГ), в кото-
которой нелинейный кристалл размещается внутри лазерного резонато-
резонатора (Дж. Гейсик и Р. Смит с соавторами, США, 1968 [57]). Ценность
идеи ВРГВГ состояла не только и не столько в том, что плотность
мощности излучения внутри резонатора примерно в т^1 раз выше,
чем вне его (г — пропускание выходного зеркала), хотя этот факт
играл определяющую роль в первых экспериментах по ВРГВГ. До-
Достаточно быстро было понято, что нелинейный кристалл, в котором
идет процесс ГВГ, при размещении его в резонаторе, осуществляет
«нелинейную нагрузку» резонатора; другими словами, даже если ре-
резонатор имеет «глухие» A00 %-ные) зеркала по лазерному излучению,
то часть излучения все же выходит из резонатора, преобразуясь во
вторую гармонику. В свою очередь, это означает, что если подобрать
эффективность преобразования ГВГ равным оптимальному коэффи-
коэффициенту пропускания выходного зеркала по основной (лазерной) длине
волны, то мощности этих двух лазеров — на основной и второй гармо-
426 ПРИЛОЖЕНИЯ
никах — окажутся одинаковыми (подробнее см. гл. IV). В этом смысле
можно говорить о 100 %-ной эффективности преобразования в гармо-
гармонику в лазере со своеобразным «нелинейным» зеркалом, что и было,
по-видимому, впервые продемонстрировано в [57]. Другой важный ас-
аспект ВРГВГ состоит в том, что «нелинейная нагрузка» резонатора
осуществляет отрицательную обратную связь, за счет чего реализу-
реализуется более стабильный режим генерации. Отметим, что еще в 1963 г.
Райтом (см. вторую работу в ссылке [57]) были проведены экспери™
менты по ГВГ в кристалле ADP внутри резонатора лазера на LiF:Nd,
однако, существенных результатов там получено не было.
Первая детальная теория ВРГВГ была дана Р. Смитом A970,
[58]) и развивалась в дальнейшем В.Г. Дмитриевым, И.Я. Ицхоки,
Е.А. Шалаевым, П.Г. Конвисаром, Р. Поллони и О. Звелто, В.Л. Стри-
жевским и др. Одновременно развивались и схемы ВРГВГ — «линей-
«линейная», «угловая», «Z-ехема», «кольцевая» и др. (подробнее см. гл. IV).
Предельные эффективности преобразования в оптиче-
оптические гармоники. Приближение сильного взаимодействия. В
Ташкентском институте электроники АН Узбекской ССР Т. Уемано-
вым с сотрудниками был проведен комплекс работ по достижению
предельных эффективностей ГВГ, ГТГ, ГЧГ, ПГС. Еще в первых
работах Р.В. Хохлова была показана принципиальная возможность
получения 100 %-ного преобразования лазерного излучения во вто-
вторую гармонику вне лазерного резонатора в плоских волнах, когда
отсутствуют иные механизмы ограничения эффективности, включая
диссипацию энергии в нелинейном кристалле. Работы Т. Усманова с
сотрудниками были направлены на формирование мощных широко-
апертурных лазерных пучков с плоскими фазовым и амплитудным
фронтами (гипергауссовы пучки и импульсы), т.е. пучков и импуль-
сов (волновых пакетов), в максимальной степени приближенных к
плоским волнам A978—1981 гг.). Этой группой впервые эксперимен-
экспериментально была доказана возможность высокоэффективного, практиче-
практически предельно возможного, преобразования энергии излучения таких
лазеров во вторую и высшие оптические гармоники. В 1981^1984 гг.
Т. Усмановым с сотрудниками было развито новое приближение в
теории нелинейных волн — приближение сильного взаимодействия,
аналитически учитывающее сильный энергообмен между взаимодей-
взаимодействующими волнами; область применимости этого приближения ока-
оказалась существенно шире известных приближений заданного поля и
заданной интенсивности. Этой же группой проведена оптимизация
задачи смешения частот при каскадной генерации нечетных гармо-
гармоник в квадратично-нелинейных средах; необходимость такой оптими-
оптимизации вытекает из соотношений Мэнли^Роу, или, другими словами,
из того простого факта, что каждый квант суммарной частоты (на-
(например, третьей гармоники в случае каскадной ГТГ) рождается из
одного кванта основного излучения и одного кванта второй гармони-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 427
ки. Отсюда следует, что пространственно-временные и энергетические
характеристики смешиваемых волн должны быть строго определен-
определенными, если требуется получить предельную эффективность ГТГ; за™
дача усложняется тем обстоятельством, что в процессе ГТГ участвует
процесс ГВГ, имеющий свои характерные особенности.
В результате исследований, проведенных Т. Усмановым с сотруд-
сотрудниками, получены предельные (т.е. предсказываемые теорией) эф™
фективности преобразования при ГВГ более 90%, при ГТГ — более
80%, при ГЧГ ^92% (от излучения лазера на стекле с неодимом
с апертурой 45 мм и длительностью импульса 0,5 не), при ПГС на
кристаллах KDP — до 75 % с реализацией перестраиваемого излуче-
излучения на уровне мощности до 109 Вт/см2. Результаты этих и других
исследований группы Т. Усманова изложены в монографии (см. [59]
и приведенные в этой же ссылке важнейшие работы этой группы).
Нелинейное отражение света. Нелинейно-оптические законы
вторглись и в оптику отражения света. Н. Бломберген с сотрудниками
в 1962 г. предсказал и обнаружил экспериментально эффект нелиней-
нелинейного отражения, т.е. генерации отраженных волн на комбинационных
частотах; углы отражения этих волн в общем случае оказываются от-
отличными от углов падения исходных волн [4, 60].
Квазмсинхронизм в кристаллах с регулярной доменной
структурой. В 1962 г. Н. Бломбергеном с сотрудниками был предло-
предложен так называемый «метод квазисинхронизма» для ГВГ (см. гл. VII
и [4, 60]). Он состоит в использовании периодической структуры из
плоских слоев нелинейного кристалла (не имеющего истинного син-
синхронизма) толщиной в длину когерентности [1], причем соседние слои
имеют противоположно направленные оптические оси, вследствие че-
чего фаза волны поляризованности поворачивается при переходе от слоя
к слою на 180°. К сожалению, эта интересная идея была на долгое
время отодвинута на задний план как в связи с открытием в том же
1962 г. синхронизма в анизотропных кристаллах [12, 13], так и из-
за трудностей изготовления и посадки на оптический контакт боль™
шого количества слоев толщиной в единицы и десятки микрометров.
Понимая эти технологические сложности, Н. Бломберген в 1970 г.
предложил создавать такие структуры из полупроводниковых слоев,
наращиваемых эпитаксиальным методом [61]. В последние годы на
базе этих перспективных идей Н. Бломбергена был создан и исследо-
исследован новый класс нелинейно-оптических кристаллов — так называемых
кристаллов с регулярной доменной структурой (РДС-кристаллов), ан-
английский термин «periodically poled nonlinear crystals» (PPNC) (см.
гл. VII).
90°-ный синхронизм. Обобщенная расстройка. Весьма бы-
быстро было понято преимущество так называемого «90°-ного синхро-
синхронизма», реализуемого в случае, когда обе волны при ГВГ распростра™
няются в кристалле коллинеарно и перпендикулярно оптической оси
428 ПРИЛОЖЕНИЯ
кристалла. Во-первых, для многих кристаллов в этом случае максими-
максимизируются коэффициенты нелинейной связи, во-вторых, при 90°-ном
синхронизме сильно уменьшается влияние расходимости и полностью
исключается эффект «сноса» (анизотропии). Стало очевидным также,
что для пучков конечной апертуры максимальное нелинейное взаимо-
взаимодействие имеет место только тогда, когда согласованы не только фазо-
фазовые, но и групповые скорости волн. Когда угол синхронизма меньше
90°, групповые скорости рассогласованы (различны по направлени™
ям), что приводит к снижению эффективности ГВГ.
Следует сделать одно общее замечание о вкладе различных со-
составляющих в волновую расстройку и вообще о различении волновой
расстройки, апертурного эффекта, дифракции, расстройки группо-
групповых скоростей и т.д. Применяя четырехмерное преобразование Фурье
к амплитудам взаимодействующих волн (т.е. раскладывая волновой
пакет по плоским волнам), нетрудно показать, что укороченные урав-
уравнения для фурье-образов комплексных амплитуд полей (т.е. для ам-
амплитуд парциальных волн) содержат одну обобщенную расстройку,
объединяющую все вышеперечисленные расстройки. Поэтому можно
утверждать, что при ГВГ, по крайней мере, в приближении заданного
поля, невозможно разделить волновую расстройку, дифракцию, рас™
стройку групповых скоростей, дисперсионное расплывание импуль-
импульсов, апертурный эффект — все они оказывают аддитивное влияние
(применительно к амплитудам парциальных волн).
Коллективные процессы. Следует отметить возможность реа-
реализации в нелинейном кристалле коллективных (часто конкурирую-
конкурирующих между собой) взаимодействий разных типов. Так, Ярбороу и
Амман в 1971 г. показали, что в кристалле ниобата лития при опре-
определенных параметрах его ориентации и температуры при накачке на
длине волны неодимового лазера A,06 мкм) возможны одновременно
ГВГ, ПГС, ГРЧ. В зависимости от назначения преобразователя часто-
частоты, одни из этих эффектов окажутся полезными, другие — вредными.
При достаточно больших мощностях накачки могут также возникнуть
эффекты ВКР или ВРМБ.
Соотношения симметрии Клейнмана. Как известно [1], тен-
тензор нелинейно-квадратичной поляризованности (тензор 3-го ранга) в
силу общих соотношений симметрии симметричен по двум последним
индексам, что (наряду с влиянием типа или класса симметрии кри-
кристалла) сильно уменьшает число независимых компонент. В 1962 г.
Клейнман [16] показал, что в прозрачных диэлектрических нелиней-
нелинейных кристаллах указанный тензор можно считать симметричным по
всем трем его индексам (так называемые соотношения симметрии
Клейнмана).
Оптическое смешение. В 1962 г., практически сразу вслед за
первыми экспериментами по ГВГ, П. Франкеном с сотрудниками бы™
ли выполнены первые исследования по оптическому смешению (ело-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 429
жению) частот двух разных рубиновых лазеров, один из которых на™
ходился при комнатной, второй — при азотной температурах, так что
их длины волн различались на 10 А [62].
Смешение двух различных по типу лазеров — рубинового и нео-
димового, помимо советских ученых (см. [37], где использовался ла-
лазер на стекле с неодимом), исследовалось в том же 1965 г. также в
США Бондом и сотрудниками (см. [63], где использовался лазер на
вольфрамате кальция с неодимом); в обоих случаях в кристалле KDP
была получена генерация суммарной частоты в сине-фиолетовом диа-
диапазоне.
Интересное смешение оптических частот двух лазеров на красите-
красителях выполнили Ходсон и Сорокин (США, [64]); используя резонансное
взаимодействие в парах стронция, обладающих, как известно, куби-
кубической поляризованностью, они получили суммарную частоту трех
частот: частоты одного лазера на красителе и двух частот второго
лазера. В результате было получено перестраиваемое УФ-излучение
в полосе ^ 3500 см^1 вблизи длины волны 189,5 нм.
Эффект генерации разностной частоты (ГРЧ), как уже указы-
указывалось, открывает возможность «оптического» освоения дальнего
ИК-диапазона вплоть до субмиллиметровых волн. Одним из перспек-
перспективных путей проникновения в этот диапазон является своеобразное
сочетание параметрической (резко невырожденной по частоте) гене-
генерации света и вынужденного комбинационного рассеяния — ВКР (так
называемое ВКР на поляритонах, или инфракрасно-активных коле™
баниях, см. ниже). Первые расчеты в этом направлении были проде-
проделаны Лаудоном в 1965 г. [65] и Де-Мартини в 1966 г. [66]. В 1966 г.
Фауст и Генри [67] впервые наблюдали ВКР на поляритонах экспери-
экспериментально.
Генерация нечетных гармоник в кубически-нелинейных
средах. Значительный интерес представили первые эксперименты по
генерации высших оптических гармоник в кубически-нелинейных па-
парах металлов и в благородных газах. Так, например, в 1971 г. Хар-
рисом и Майлсом [68] была продемонстрирована генерация третьей
и девятой гармоник неодимового лазера C54,7 нм и 118,2 нм, соот-
соответственно). Использовались пары рубидия в ксеноне, а также смесь
ксенона и аргона. Пары металла и некоторые инертные газы имеют
широкие области аномальной дисперсии. Добавлением буферного га-
газа, обладающего нормальной дисперсией, можно реализовать синхро-
синхронизм для генерации высших нечетных гармоник, при этом резонанс-
резонансный характер взаимодействия обеспечивает весьма высокие значения
нелинейных восприимчивостей высокого (нечетного) порядка и прак-
практически приемлемую эффективность преобразования.
Нелинейные материалы. Первые успешные эксперименты по
ГВГ и смешению оптических частот стимулировали развитие работ
по поиску и выращиванию эффективных нелинейных материалов. В
430 ПРИЛОЖЕНИЯ
начальный период этих работ было не очень ясно, по каким крите-
критериям производить поиск. Определенный порядок в этом вопросе уда-
удалось навести Р. Миллеру, который в 1964 г. [69] установил простую и
наглядную связь между величиной нелинейно-квадратичной воспри-
восприимчивости х и коэффициентом преломления п:
Х{2) = п35, (П.2.3)
где 5 — некоторый множитель, практически постоянный для широко-
широкого класса нелинейных материалов (так называемое «правило Милле-
Миллера»). Согласно этому, нелинейность вещества тем выше, чем больше
коэффициент преломления. «Правило Миллера» значительно облег-
облегчило и ускорило поиск новых нелинейных кристаллов.
Нелинейные материалы возникали и исследовались в процессе раз-
развития нелинейной оптики и нелинейно-оптических преобразователей
частоты. Первые исследования таких материалов (применительно к
электрооптическому эффекту) были начаты еще в XIX в. В 1961 г.
Франкен для своих первых опытов по ГВГ [9] использовал доступ-
доступный, больших размеров и высокооднородный кристалл кварца. Этот
далеко не оптимальный для ГВГ кристалл (в нем нет синхронизма
для ГВГ) генерировал, как уже указывалось, исключительно слабый
сигнал ВГ, но именно этот слабый сигнал, по-видимому, открыл но-
новую эру в оптике. В дальнейших экспериментах по ГВГ использова-
использовались уже нелинейные материалы дигидрофосфатов калия (KDP) и
аммония (ADP), обладающие высокими параметрами однородности,
лазерной прочности и нелинейности, имеющие синхронизм для ГВГ
и ГСЧ в видимом и УФ-диапазонах. Эти кристаллы были получены
ранее и использовались как пьезоэлектрики для ультразвуковых пре™
образователей.
В первые же годы были установлены важнейшие требования, ко-
которые должны быть предъявлены нелинейным кристаллам для ГВГ.
Первое — это, естественно, нецентросимметричность, в противном
случае четные восприимчивости тождественно обращаются в нуль.
Второе и третье — наличие фазового синхронизма и прозрачность для
взаимодействующих волн. Четвертое — высокое оптическое качество,
часто более высокое, чем для материалов традиционной («линейной»)
оптики.
В дальнейшем оказалось, что кристаллы ADP и KDP обладают все
же недостаточной для многих практических применений нелинейно-
нелинейностью. Разумные эффективности преобразования при ГВГ достигались
в этих кристаллах при весьма высоких плотностях мощности лазерно-
лазерного излучения, часто близких к пробойным для данного материала. К
тому же эти кристаллы обладали весьма «критичным» синхронизмом,
что не позволяло их эффективно применить для ГВГ многомодово-
го, сильно расходящегося лазерного излучения; они оказались весьма
гигроскопичными и механически непрочными. Несмотря на эти недо-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 431
статки, кристаллы KDP и изоморфной ему группы до сих пор явля-
являются одними из наиболее широко используемых в нелинейной оптике.
Поиски, проводимые фирмой Белл (США) среди кристаллов труп™
пы ниобатов, привели в 1964 г. к созданию весьма эффективного пели™
нейного кристалла ниобата лития [70]. Исследователи сразу оценили
преимущество этого материала (выращенного по методу Чохральско-
го) перед водорастворимыми кристаллами группы KDP. Кристаллы
ниобата лития обладали весьма высокой нелинейностью (большей по™
чти на порядок по сравнению с KDP), твердостью, негигроскопично-
негигроскопичностью, возможностью создания поверхности высокого качества, устой-
устойчивостью к термическим и механическим воздействиям, достаточно
высокой оптической однородностью, прозрачностью в ИК-диапазоне,
возможностью реализации 90°-ного синхронизма. Быстро выявился и
недостаток, в дальнейшем изученный и использованный как дополни-
дополнительное достоинство — сильная зависимость двулучепреломления от
стехиометрии состава.
Однако в дальнейшем был выявлен и ряд существенных недостат-
недостатков ниобата лития. Его лазерная стойкость сильно уступала стойко™
сти кристаллов KDP. В 1966 г. Ашкиным с сотрудниками [71] был
обнаружен эффект «оптически наведенной неоднородности» («optical
damage»), тесно связанный, по-видимому, с фоторефрактивным эф-
эффектом (фотопреломлением). Этот эффект проявлялся в виде трека в
луче лазера с измененным в нем коэффициентом преломления, имел
место даже в слабых полях аргоновых лазеров и приводил к весьма
сильному ухудшению эффективности ГВГ. Отметим одну из первых
теорий этого эффекта, данную Шеном в 1969 г. [72].
В связи с тем фактом, что высокочастотный край полосы погло-
поглощения ниобата лития лежит вблизи синего участка видимого спектра,
в этом кристалле сильно проявляется нелинейное поглощение, темпе-
температурный гистерезис, генерация свободных носителей в зоне проводи-
проводимости и связанное с этим изменение коэффициента преломления (по
этому поводу отсылаем читателя к гл. III).
Дальнейшие поиски высокоэффективных нелинейных материалов
привели к созданию в 1970 г. Сингхом, Драегертом и Гейсиком [73]
уникального кристалла — ниобата бария-натрия («банана»). Нелиней-
Нелинейность этого материала оказалась примерно втрое большей, чем у нио-
ниобата лития; наличие у «банана» возможности температурной настрой-
настройки на 90°-ный синхронизм в совокупности с высокой нелинейностью
сделали этот кристалл незаменимым для лазеров с ВРГВГ в непре-
непрерывном режиме, а также для ПГС. При создании этого кристалла
значительные трудности возникли из-за полидоменности кристалла и
необходимости его монодоменизации.
В 1968 г. И.С. Резом (СССР) и Курцем (США) [74-75] были на-
начаты работы по исследованию нелинейных материалов в виде поли-
поликристаллических порошков. Целесообразность и важность порошко-
432 ПРИЛОЖЕНИЯ
вой методики в то время была связана с тем, что выращивание круп-
крупных монокристаллов, особенно новых, являлось технологически слож-
сложным и трудным процессом. К тому же результат исследования мог
оказаться и отрицательным. Первые же работы в этой области до-
доказали большую практическую значимость исследований материалов
по порошковой методике; так, Курцем с сотрудниками [74] по это-
этому методу был исследован широкий класс йодатов некоторых метал-
металлов, а также а-йодистая кислота, и показано, что в монокристалличе-
ской фазе эти кристаллы будут обладать весьма привлекательными
для нелинейной оптики свойствами. Уже в 1969 г. Натом и Хосселом
[76] был выращен монокристалл йодат лития, устойчивый к воздей-
воздействию воздуха, обладающий синхронизмом и весьма высокой нелиней-
нелинейностью для ГВГ и ПГС в широком (включая ближний ИК) диапазоне.
Очень важным фактором оказалось отсутствие фотопреломления и
зависимости двулучепреломления от температуры в этом кристал-
кристалле, а также достаточно высокая лазерная стойкость. К сожалению,
кристалл йодат лития обладает весьма высокой анизотропией (угол
сноса ~ 4°).
Несмотря на появление новых высокоэффективных материалов
типа ниобата и йодата лития, ниобата бария-натрия и некоторых дру-
других (упомянем, например, о ниобате калия, формиате лития, пен-
таборате калия), продолжалось совершенствование и поиск новых
материалов изоморфной группы дигидрофосфата калия. Появились
дейтерированные аналоги кристаллов этой группы, выявившие новые
полезные свойства. Были выращены кристаллы дигидрофосфата и
дигидроарсената рубидия (RDP, RDA) и ряд других, не нашедших
широкого применения.
Более подробно следует остановиться на двух кристаллах той же
группы, что и кристалл KDP, — дигидроарсенате и дидейтероарсена™
те цезия (CD А и DCDA). Первые кристаллы CD А были получены в
СССР И.С. Резом с сотрудниками в 1967 г. [77] и впервые исследованы
как эффективные кристаллы для ГВГ В.Г. Дмитриевым, В.Д. Воло™
совым и И.С. Резом с сотрудниками [78, 79]. В дальнейшем И.С. Ре-
Резом был получен также дейтерированный аналог CD A — кристалл
DCDA. Основным и практически важным свойством кристаллов CD A
и DCDA явилась большая ширина углового синхронизма, что наря-
наряду с весьма высокой лазерной прочностью сделало их незаменимыми
для эффективной ГВГ мощного многомодового лазерного излучения,
а также значительно большая, чем у KDP, ширина температурной
кривой синхронизма (см. гл. III).
Отметим появление нового класса нелинейных материалов — мо-
молекулярных (органических) кристаллов, но ограничимся здесь ссыл-
ссылкой на монографию [80].
Особо следует подчеркнуть необходимость проникновения в ИК™
диапазон и создания в связи с этим эффективных нелинейных кри-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 433
сталлов ИК-диапазона. Большие надежды возлагались на кристаллы
прустита и пираргирита, но они оправдались лишь в незначитель-
незначительной степени. Более важным представляется создание и исследование
в 1971 г. в США Бондом с сотрудниками [81] кристаллов селенида кад-
мия и фосфата-германата цинка (CdSe, ZnGeP2) и в 1972 г. в СССР
A.M. Прохоровым и Л.А.Кулевским с сотрудниками [82] высокоэф-
высокоэффективного ИК-кристалла селенида галлия (GaSe). Эти кристаллы
позволили создать целый ряд преобразователей оптических частот
ИК-диапазона, в том числе ап-конвертеров, ПГС, ГРЧ и т.п.
Интенсивные исследования по поиску новых перспективных нели-
нелинейных кристаллов привели к созданию кристалла титанил-фосфата
калия (КТР), редчайшим образом сочетающего в себе весьма высо-
высокие параметры нелинейности, большой температурной ширины син-
синхронизма и лазерной прочности [83].
Параметры имеющихся в настоящее время нелинейных кристал-
кристаллов систематизированы в монографиях и справочниках [84-87].
В процессе развития нелинейной оптики выявился целый ряд тре-
требований (помимо уже перечисленных), очень важных для достиже-
достижения высоких значений и качества преобразования оптических частот.
Сюда следует отнести требования больших значений угловой, тем-
температурной и спектральной ширин синхронизма, малых потерь, от-
отсутствия фотопреломления и нелинейного поглощения, слабого вли-
влияния конкурирующих процессов (ВКР, ВРМБ, самофокусировка) и
тепловых самовоздействий, специальной ориентации и формы образ-
образцов, неподверженности к появлению центров окраски под действием
УФ- и более коротковолнового излучений и т.д.
Исследования, проведенные советскими и зарубежными учеными,
позволили систематизировать достаточно большое количество разра-
разработанных кристаллов, определить весьма небольшой круг материалов,
пригодных для прикладной нелинейной оптики, и выработать реко-
рекомендации по выбору нелинейного кристалла в зависимости от пара-
параметров излучения лазера накачки и требований к преобразователю
частоты. Определенная попытка систематизации этих вопросов пред-
предпринята в приложении (см. также [84-87]).
Укажем, что серьезного прогресса в области полифункциональ-
полифункциональных, в том числе активно-нелинейных, элементов следует ожидать в
связи с появлением и развитием так называемых высококонцентри-
высококонцентрированных сред; многие из них допускают резонансную накачку по-
полупроводниковыми лазерами или светодиодами, что открывает воз-
возможность создания миниатюрных полупроводниково-твердотельных
лазеров с исключительно высоким КПД с возможностью, в том чис-
числе, самоумножения частоты.
Измерение нелинейных воспрмимчмвостем. Важным этапом
истории развития нелинейной оптики является измерение квадратич-
квадратичной и высших нелинейных восприимчивостей. Очевидно, что метроло-
434 ПРИЛОЖЕНИЯ
гия нелинейно-оптических восприимчивостей не может быть отделена
от самих нелинейно-оптических эффектов, используемых для целей
указанной метрологии. Наиболее часто для измерительных целей ис-
пользовался эффект ГВГ для квадратично-нелинейных и ГТГ для
кубичных сред. В частности, для квадратично-нелинейной восприим-
восприимчивости было проведено большое количество относительных измере-
измерений (по отношению к нелинейности кварца или дигидрофосфата ка-
калия); абсолютные измерения более затруднены, и поэтому публикации
их результатов более редки в литературе. В последние годы появил-
появился также ряд работ, посвященных весьма трудоемкому теоретическо-
теоретическому расчету нелинейно-оптических восприимчивостей материалов. По
всем этим аспектам отсылаем читателей к монографиям [1, 4, 7, 8,
84—88]. Весьма исторически важным моментом явились первые иссле-
исследования, направленные на определение знаков компонент нелинейных
восприимчивостей в нелинейных кристаллах (см., например, [88]).
На сегодняшний момент в атомарных газах измерены нелинейно-
оптические восприимчивости до высоких порядков, обеспечивающие
прямую генерацию высших оптических гармоник лазерного излуче-
излучения, а с нелинейностями четвертого^пятого порядков исследователям
приходится сталкиваться весьма часто в экспериментах с атомными
и молекулярными газами и полупроводниковыми кристаллами [88].
Оптическое детектирование. Меньшее внимание и место в
нелинейной оптике было уделено одному из интересных нелинейно-
оптических эффектов — оптическому детектированию. Этот эффект
состоит в появлении постоянной поляризованности в нелинейном кри-
кристалле под действием проходящей через кристалл световой волны; при
этом величина этой поляризованности пропорциональна интенсивно-
интенсивности (плотности мощности) светового (естественно, лазерного) излу-
излучения. Вскоре после открытия в 1962 г. этого эффекта [62] он был
эффективно использован для измерения мощности лазерного излу-
излучения, которая оказалась пропорциональной напряжению на обклад-
обкладках конденсатора (электродах), размещаемых на нелинейном элемен-
элементе (проходной измеритель мощности). В работе [89] были выполнены
измерения величины тензора Xijk(^ — и = 0), ответственного за опти-
оптическое выпрямление.
Лазеры с активно-нелинейными средами. Определенным
шагом в развитии лазеров с ВРГВГ явилось создание лазеров с
активно-нелинейными средами (АНС) — т.е. средами, в которых, на-
наряду с генерацией основного (лазерного) излучения, возможно «са-
«самоумножение» частоты (ГВГ). Индуцированное излучение в ниобате
лития с неодимом было впервые получено (на основной частоте) в
1967 г. Л.С. Корниенко, A.M. Прохоровым и Л.Н. Рашковичем с со-
сотрудниками [90]; в 1969 г. Л. Джонсон и А. Баллман получили «само-
«самоумножение» в ниобате лития с туллием [91], а в 1979 г. Е.В. Раевским,
А.А. Фомичевым и В.Г. Дмитриевым [92] была получена ГВГ в лазере
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 435
на ниобате лития с неодимом (с ламповой накачкой в импульсном ре-
режиме), несмотря на пессимистический прогноз, высказанный в 1969 г.
Л. Джонсоном и А. Баллманом в [91]. В 1986 г. в США была получе™
на непрерывная генерация в этом же материале (с дополнительным
легированием окисью магния) при лазерной накачке [93]. Теория «са-
«самоумножения» частоты в АНС разрабатывалась В.Г. Дмитриевым и
В.Л. Стрижевским с сотрудниками (см. [94-96], а также гл. IV). Ра-
Работы по АНС показали, что так называемые «полифункциональные»,
т.е. активно-нелинейные, материалы и элементы имеют полное право
на существование в квантовой электронике и нелинейной оптике, а
в ряде случаев элементы АНС имеют преимущества по сравнению с
«одно-функциональными» элементами.
П. 1.3. Параметрическая генерация света
Отдельной и весьма яркой страницей нелинейной оптики явля-
является открытие и развитие явления параметрической генерации света
(ПГС). Принципы ПГС были предложены в 1962 г. практически од-
одновременно и независимо С.А. Ахмановым и Р.В. Хохловым [97] в
СССР, Н. Кроллом [98] и Р. Кингстоном [99] в США; этими же ав-
торами были предложены и возможные схемы перестройки оптиче-
оптических частот ПГС. Впервые параметрическую генерацию (в ниобате
лития) получили Дж. Джордмэйн и Р. Миллер в 1965 г. [100]. Вопро-
Вопросы теории ПГС разрабатывались С.А. Ахмановым, Р.В. Хохловым,
В.Г. Дмитриевым, А.П. Сухоруковым, Г.И. Фрейдманом, Ю.Е. Дья-
Дьяковым, А.С. Пискарскасом и др. в СССР, М. Ошманом, С. Харрисом,
Р. Байером и др. в США (см., например, гл. V, а также [1, 4, 7, 8, 25,
26, 51, 86, 88, 101]).
Параметрическая люминесценция. Физические аспекты ПГС
в значительной степени оказались аналогичными таковым в обычных
лазерах; вместе с тем, были очевидны и принципиальные отличия,
связанные с пространственно-частотными зависимостями парамет-
параметрической люминесценции. Если частоты и волновые векторы генери™
руемых параметрических волн обозначить через cji52 и ki}2, соответ-
соответственно, а волны накачки — через ш% и кз, то основные соотношения,
связывающие эти величины, для ПГС запишутся в виде
uji + оо2 = из, ki + k2 = к3. (П.3.1)
Одновременное выполнение этих соотношений определяет частот-
частотный и угловой спектры параметрической люминесценции, и, следова™
тельно, коэффициент параметрического усиления. Естественно, ана-
аналогичные спектры генерируемого излучения определяются уже не
только этими соотношениями, но и типом и свойствами резонатора
ПГС, параметрами накачки и т.д.
Существует и еще одно, сложившееся чисто исторически, разли-
различие между ПГС и обычными лазерами. Если в лазерной физике и
436 ПРИЛОЖЕНИЯ
технике открытие лазерной люминесценции (спонтанного излучения)
предшествовало созданию самих лазеров, то в истории параметри-
параметрических генераторов света (ПГС) все было наоборот. Принципы ПГС
были предложены в 1962 г. [97-99], первая генерация в ПГС была по-
получена в 1965 г. [100], а параметрическая люминесценция (спонтан-
(спонтанное параметрическое рассеяние света) была открыта много позже,
в 1967 г. (см. монографию [102] и библиографию к ней). В истори-
историческом обзоре нельзя не отметить, что по поводу открытия парамет™
рической люминесценции среди научной общественности были опре-
определенные трения; в частности, С.А. Ахманов критически относился
к этому открытию, не без основания полагая, что параметрическая
люминесценция является составной частью параметрической гене-
генерации света, предложенной им совместно с Р.В. Хохловым в 1962 г.
[97]. Так или иначе, но открытие параметрической люминесценции, по
крайней мере, в СССР, состоялось и было соответствующим образом
зарегистрировано. Параметрическая люминесценция была обнаруже-
обнаружена одновременно и независимо в 1967 г. в трех университетах —
Стэнфордском (США, [101]), Корнельском (США, [103]) и Москов-
Московском (СССР, [104, 105]). В этих работах было показано, что вслед-
вследствие наличия нелинейности квантовые флуктуации вызывают спон-
спонтанный распад фотонов в нелинейной среде — это своеобразная
люминесценция оптически прозрачных сред, причем частоты и вол-
волновые векторы излучения параметрической люминесценции удовле-
удовлетворяют соотношениям (П.3.1). Очень важно, что параметрическая
люминесценция протекает при уровнях интенсивностей накачки, мно-
много меньших пороговых для ПГС, поэтому она наблюдается и в полях
газовых лазеров. Так, в работе Д.Н. Клышко и Д.П. Криндача в 1967 г.
[106], см. также [107], описана параметрическая люминесценция в нио-
бате лития в диапазоне длин волн до 5 мкм при накачке излучением
аргонового лазера. В дальнейшем явление параметрической люминес-
люминесценции было блестяще использовано авторами этого открытия (пре-
(прежде всего, группой советского ученого Д.Н. Клышко из Московского
университета) для абсолютной калибровки фотоприемников.
Двухрезонаторный ПГС и кластерный характер спектра.
Отметим еще одно важное обстоятельство, отличающие ПГС от обыч-
обычного лазера. Частотно-пространственные соотношения в ПГС задают-
задаются выражением (П.3.1). При заданных ш% и кз, а также при заданной
ориентации кристалла и резонатора относительно направления векто-
вектора кз генерируется одна (и только одна, причем вполне определенная)
пара частот ui^- Вообще говоря, эта пара частот не обязана совпасть
с собственными частотами резонатора ПГС, более того, на практике
такое совпадение, как правило, отсутствует. ПГС, в котором зеркала
осуществляют обратную связь по обеим параметрическим частотам,
является двухрезонаторным (ДПГС). Именно ДПГС в его классиче™
ской схеме был предложен в 1962 г. С.А. Ахмановым и Р.В. Хохло-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 437
вым и их американскими коллегами [97—99]. Вместе с тем, вышеука-
вышеуказанный факт несовпадения генерируемых параметрических частот с
собственными частотами резонатора ПГС приводит к характерному
«кластерному» виду генерируемого в ДПГС спектра и нестабильно-
нестабильности генерации (см. гл. V).
ПГС как ограничитель мощности света. В 1962 г. Сигман
[108] предложил использовать ПГС как эффективный ограничитель
интенсивности световой мощности: им было показано, что мощность
лазерной волны накачки, прошедшей через ПГС, ограничивается на
уровне пороговой. Интересно отметить, что этот факт аналогичен
эффекту ограничения коэффициента усиления в обычных лазерах
(в стационарном режиме генерации) на уровне, равном пороговому
коэффициенту усиления, и еще раз подчеркивает единство процес-
процессов возбуждения колебаний и установления стационарного режима
во всех типах автогенераторов, будь то генератор радио™ или СВЧ-
диапазонов, лазер или ПГС.
В этой же работе [108] Сигман теоретически установил, что ПГС,
собранный по классической схеме, не может иметь коэффициент пре-
преобразования, превышающий 50%, а 25 % мощности волны накачки
отражается от ПГС обратно в лазер накачки; физическое происхожде™
ние этой отраженной волны связано с процессом ГСЧ двух парамет-
рических волн, генерируемых в направлении, противоположном на-
направлению распространения волны накачки (напомним, что условия
синхронизма для параметрической генерации, см. формулу (П.3.1), в
прямом направлении и для генерации суммарной частоты параметри-
параметрических волн, совпадающей с частотой накачки, в обратном направле-
направлении — совпадают). Другими словами, ПГС работает как своеобразное
нелинейное зеркало, коэффициент отражения которого зависит от па-
падающей мощности.
В 1969 г. Р. Байер (США, Стенфордский университет) и А. Ко-
Ковригин (СССР, МГУ) в совместной работе [109] показали возможность
исключения обратной (отраженной от резонатора ПГС) волны накач™
ки (из-за эффекта ГСЧ на обратном проходе) за счет использования
кольцевой схемы ПГС; это привело к значительному снижению поро-
порога генерации и к запуску авторами [109] первого ПГС в непрерывном
режиме.
Параметрическая генерация света. Параметрическая генера-
генерация света, как уже указывалось, была впервые реализована экспери-
экспериментально в 1965 г. Джормэйном и Миллером [100] в США. Этот ПГС
был создан на нелинейном элементе из ниобата лития, на его торцы
были нанесены высоко отражающие интерференционные покрытия,
что позволило реализовать высокодобротный интерферометр Фабри^
Перо. Пороговая мощность накачки составила около 7 кВт в импуль-
импульсе (в качестве излучения накачки использовалось излучение второй
гармоники лазера на вольфрамате кальция с неодимом, длина волны
438 ПРИЛОЖЕНИЯ
529 нм); эта мощность соответствовала плотности мощности накачки
в нелинейном элементе ПГС около 0,5 МВт/см2. Авторы наблюда-
наблюдали перестройку длины волны генерации в диапазоне 0,7-2,0 мкм при
соответствующем изменении температуры нелинейного элемента (так
называемая температурная перестройка).
Однако еще до запуска первого ПГС ряд исследователей в США
(Ванг с сотрудниками [110]) и в СССР (С.А. Ахманов с сотрудниками
[111, 112]) в 1965 г. одновременно и независимо сообщили о первых
наблюдениях параметрического усиления света в квадратично-нели-
квадратично-нелинейных средах. В частности, Вангом наблюдалось параметрическое
усиление сигнальной волны излучения гелий-неонового лазера в кри-
кристалле дигидрофосфата аммония при его накачке второй гармоникой
рубинового лазера C47,2 нм); при этом в соответствии с выражениями
(8.3.1) было обнаружено излучение на «холостой» частоте с длиной
волны 767,6 нм (ГРЧ излучений накачки и сигнальной волны). Уси-
Усиление в нелинейном элементе длиной 8 см составило 0,7 дБ, т.е. 17,6 %
на один проход; по-видимому, этого малого усиления было бы явно
недостаточно для возбуждения параметрической генерации (если по-
поместить этот кристалл в резонатор). В экспериментах С.А. Ахманова
с сотрудниками было зарегистрировано усиление порядка 2,5 на один
проход. Значение этих пионерских исследований невозможно переоце-
переоценить, именно они позволили в этом же 1965 г. [100] реализовать пара-
параметрическую генерацию света.
Уже говорилось о том, что предложенный в 1962 г. советскими
и американскими учеными параметрический генератор света [97—99]
был по сути дела двухрезонаторным ПГС (ДПГС), т.е. резонировал
одновременно на двух частотах — «сигнальной» и «холостой». Одно-
Одновременное удовлетворение требований синхронизма и резонанса для
этой пары частот практически невыполнимо: возникает либо волно-
волновая, либо частотная расстройка (либо обе вместе), что приводит к
снижению эффективности преобразования, скачкам генерируемых ча-
частот, «кластерному» характеру и общей неустойчивости спектра гене-
генерации.
В 1966 г. С.А. Ахмановым и Р.В. Хохловым с сотрудниками [113]
было показано, что режим ПГС при синхронизме «оее»-типа более
стабилен, чем ранее использовавшийся режим с синхронизмом «оое».
Дело в том, что при «оее»-синхронизме параметрические волны име-
имеют разные поляризации, и вследствие анизотропии в нелинейном эле-
элементе ПГС эти волны имеют различающиеся фазовые скорости, что в
свою очередь, облегчает одновременное выполнение условий синхро-
синхронизма (П.3.1) и резонанса в интерферометре. Тем не менее, проблема
нестабильности ДПГС не могла быть до конца решена этим методом.
В связи с проблемами ДПГС будет уместно еще раз отметить необ-
необходимость восстановления приоритета и роли советских ученых и ис-
исследователей в мировой нелинейной оптике. Так, в известной моно-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 439
графии И.Р. Шена «Принципы нелинейной оптики» [88], вышедшей в
США в 1984 г. (в русском переводе в СССР — в 1989 г.), в главе «Па-
«Параметрическое усиление и генерация» ссылки на основополагающие
теоретические и экспериментальные работы советских ученых (в том
числе на работу С.А. Ахманова и Р.В. Хохлова [97], где был предложен
сам принцип ДПГС) просто отсутствуют. И.Р. Шен в [88] полагает,
что, поскольку «... параметрическое усиление и генерация в радио-
и микроволновом диапазоне были исследованы еще до появления ла-
зеров^ ... ожидалось^ что этот процесс должен иметь место и в
оптическом диапазоне, и он был действительно экспериментально
реализован в 1965 г.». С этой точкой зрения никак нельзя согласиться.
При наличии всех фундаментальных физических аналогий между
радиодиапазоном (где исследователи имели дело в основном с па™
раметрическими генераторами с сосредоточенными постоянными) и
оптическим диапазоном, даже с учетом развития в микроволновом
диапазоне распределенных нелинейных волновых систем [6], оптиче-
ский диапазон принципиально отличен от указанных диапазонов тех-
техническими принципами реализации эффектов и приборов, материала™
ми и нелинейными средами и т.п. Просто ожидать реализации ПГС
в оптике на основе того, что он был реализован в других диапазонах,
было бы просто наивно. Первооткрыватели ПГС [97-99], в том числе
советские ученые С.А. Ахманов и Р.В. Хохлов, естественно, владели
всем научным багажом исследований по параметрической генерации в
радио- и микроволновом диапазонах, однако, предложение принципа
ПГС безусловно явилось в то время и остается до сих пор выдающим-
выдающимся событием не только в нелинейной оптике, но и вообще в физике
нелинейных явлений. В этой связи мы отсылаем читателей также к
обзору по ПГС [114]. Отметим, что первый ДПГС в непрерывном ре-
режиме генерации был реализован в США Смитом с соавторами [115].
В принципе, получить стабильный по спектру и мощности ПГС
можно двояким образом: 1) стабилизировать элементы резонатора,
параметры среды и излучения накачки; 2) исключить вообще резона™
тор ПГС на одной из параметрических волн. Первый путь технически
исключительно сложен и до настоящего времени реализован в еди-
единичных, трудно повторяемых работах. В 1966 г. Харрис (США [116])
предложил вариант реализации второго пути — ПГС обратной волны
(ПГС ОВ), в котором накачка и холостая волна распространяются в
одну сторону, а сигнальная волна — в другую. В связи с тем, что в
таком ПГС реализуется один из вариантов распределенной обратной
связи (РОС), ПГС ОВ не требует зеркал, а условие синхронизма, в
отличие от (П.3.1), имеет вид кз = ki — \n2- Отметим, что принцип
действия такого ПГС идентичен принципу действия лампы обратной
волны (ЛОВ) СВЧ-диапазона (см., например, [6]). Сразу очевидны
трудности реализации таких ПГС, в связи с чем ПГС ОВ не получили
практической реализации. Определенная возможность такой реализа-
реализации возникла в связи с созданием РДС-кристаллов (см. гл. VII).
440 ПРИЛОЖЕНИЯ
В классической схеме ПГС, предложенной в 1962 г., можно ис-
исключить один из резонаторов, например, изъять зеркала на холостой
частоте. Такой ПГС будет однорезонаторным (ОПГС), и, посколь-
ку обратная связь в ОПГС осуществляется за счет наличия резона-
резонатора по сигнальной волне и нелинейного взаимодействия генерируе-
генерируемых волн, генерация света в ОПГС по-прежнему возможна. В этом
случае проблема совпадения генерируемых частот и собственных ча-
частот резонатора ПГС отпадает. Естественно, пороговая мощность на-
накачки для ОПГС оказывается существенно выше, чем для ДПГС,
но зато ОПГС имеет неоспоримые преимущества перед ДПГС: ста-
стабильность спектра и мощности генерации, точность перестройки (от-
(отсутствие скачков частоты), отсутствие насыщения (т.е. ограничения,
свойственного ДПГС по Сигману [108]) и соответствующего нелиней-
нелинейного «отражения» волны накачки из-за эффекта ГСЧ на обратном
проходе. Отметим, что косвенное указание на возможность реализа-
реализации ОПГС содержалось еще в фундаментальной работе С.А. Ахмано-
ва и Р.В. Хохлова 1962 г. [97], а экспериментальная реализация пер-
первого ОПГС принадлежит американцу Бьоркхольму A968 г. [117]).
Соотношения Мэнлм—Роу. Еще в 1959 г. Мэнли и Роу [118]
установили общие энергетические соотношения для взаимодействия
типа uj\ + иJ = ш%, соответствующего случаям ГСЧ или ГРЧ (ПГС).
Согласно этим соотношениям приращения мощностей dP\ связаны с
частотами Ui (г = 1,2,3) следующим образом:
dPL = d_p1=_dP1_ (П32)
Согласно (П.3.2) для случая ГСЧ (ш% — суммарная частота) мощность
на частоте с^з возрастает, при этом мощность отбирается от исходных
волн на частотах ш\у2- Для случая ГРЧ (ПГС) мощность наивысшей
частоты ш% переходит к волнам на частотах ш\у2У т.е. не только к ге-
генерируемой разностной частоте o;i, но и к другой исходной волне на
частоте Ш2- Это дает возможность использовать для ГРЧ одну мощ-
мощную (на частоте с^з) волну (так называемую волну накачки) и слабую
волну на частоте U2 (вообще говоря, входные мощности волн вооб-
вообще могут быть равными практически нулю, т.е. мощности нулевых
колебаний вакуума; в этом случае говорят о параметрической люми-
люминесценции на частотах uji^)-
Теория ПГС. Одним из важных вопросов теории и практики
ПГС являлись в первое время вопросы метода, диапазонов и качества
перестройки длины волны ПГС. Было весьма быстро понято, что лю-
любой из механизмов, влияющих на коэффициент преломления нелиней-
нелинейной среды, — температурный, анизотропный (угловой), полевой (при
приложении электрического поля) и т.д., — позволяют реализовать со-
соответствующий метод перестройки ПГС. Сюда же следует добавить
перестройку ПГС за счет изменения длины волны накачки (в этом
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 441
случае лазером накачки может служить один из перестраиваемых ла-
лазеров — на красителях, на центрах окраски, другой ПГС и т.п.). Для
понимания происходящих при этом процессов было необходимо созда™
ние адекватной теории ПГС.
В теорию ПГС значительный вклад был внесен учеными из горь™
ковского НИРФИ, в первую очередь, Г.И. Фрейдманом с сотрудника-
сотрудниками (см., например, [119-124]). Если ОПГС фактически был предложен
С.А. Ахмановым и Р.В. Хохловым [97] и Кролем [98] еще в 1962 г., то
экспериментальная реализация ОПГС датируется лишь 1968-м годом
(Бьоркхольм, США, [117]). В то же время теория ОПГС развивалась
Г.И. Фрейдманом в 1966^1968 гг., и ее основные положения по во-
вопросам кластерной структуры спектра, слабой зависимости условий
возбуждения, частоты, спектра и расходимости параметрической ге-
генерации от параметров накачки, возможность получения 100 %-ной
эффективности и др. — были прямо или косвенно подтверждены экс-
экспериментальными исследованиями Бьоркхольма в 1968 г. [117]. В по-
последующие годы теория и техника ОПГС развивалась весьма активно
трудами горьковских ученых. В частности, в 1968^1971 гг. Г.И. Фрейд-
Фрейдманом с сотрудниками впервые реализован ОПГС бегущей волны и
впервые (для ОПГС) достигнута значительная (до 25 %) эффектив-
эффективность преобразования, предложен и теоретически исследован безрезо-
наторный ПГС, реализованный в 1971 г. А. Ковригиным и П. Никле-
сом [125], активно развивались методы селекции углового и частотно-
частотного спектров параметрической генерации, был предсказан и теоретиче-
теоретически и экспериментально исследован ряд специфических эффектов, со-
сопутствующих ПГС: параметрическое расплывание пучков и импуль-
импульсов параметрических волн и пространственный захват («пленение»)
усиливаемых волн пучками накачки (экспериментальное исследование
«пленения» пучками проведено Г.И. Фрейдманом и Ю.Н. Беляевым в
1972 г. в работе [124]; см. также библиографию к обзорам [114, 123]).
Отметим, что впоследствии А.С. Пискарскасом был исследован эф-
эффект «пленения» параметрических волн импульсами накачки. Общие
вопросы ПГС развивались в 1964-1966 гг. в пионерских работах [126,
127]. Основы теории параметрической люминесценции были заложе-
заложены Д.Н. Клышко [128]. Теория ПГС при низкочастотной накачке была
развита в [129].
Сверхрегенеративным ПГС в режиме усиления. В 1972 г.
С.А. Ахмановым и В.Г. Дмитриевым был предложен принцип сверхре-
сверхрегенеративного малошумящего оптического усиления на основе пара-
параметрических генераторов света с периодической накачкой [130]. Идея
принципа состоит в том, что ПГС в переходном (неустановившемся)
режиме, как и любой генератор, фактически является чувствитель-
чувствительным усилителем слабых оптических сигналов с гигантскими коэф-
коэффициентами усиления, а наличие пространственно™частотных соотно™
шений синхронизма придает такому сверхгенеративному оптическому
442 ПРИЛОЖЕНИЯ
усилителю новые необычные свойства — прием заданной оптической
частоты с угловой селекцией и одновременным преобразованием ИК-
сигнала в видимую или ближнюю ИК-области, где уже можно исполь-
зовать традиционные неохлаждаемые фотоприемники.
Параметрическое преобразование МК-смгналов и изобра-
изображений. Эффект генерации суммарных частот (ГСЧ) дал жизнь цело-
целому направлению — преобразованию ИК-сигналов и ИК-изображений
в видимую область (так называемый эффект «up-conversion», или па™
раметрического преобразования сигналов — ППС и изображений —
ППИ вверх по частоте; в отечественной литературе такие преобра-
преобразователи часто называют ап-конвертерами). Эффект ППИ оказался
чрезвычайно притягательным для разработчиков инфракрасных си-
систем и приборов с точки зрения, по крайней мере, двух аспектов.
Во-первых, если принимаемый оптический сигнал лежит в видимой
области, например, в зеленом свете (длина волны 0,5 мкм), то для
его регистрации достаточно нескольких квантов в секунду; в инфра-
инфракрасной же области A0 мкм) требуется уже минимум 106 квантов
в секунду. По этой причине процесс ППС ИК-диапазона в видимый
с эффективностью преобразования даже в тысячные доли процента
повышает чувствительность приемников ИК-диапазона на порядок и
более (а ведь эффективность ГСЧ за счет мощной накачки может
быть весьма высокой). Во-вторых, и сам преобразователь оптическо-
оптического сигнала, и вторичный фотоприемник (уже видимого диапазона!)
находятся при комнатной температуре, в то время как обычные ИК-
приемники работают, как правило, при низких (азотных или гелие-
гелиевых) температурах.
Весьма важным оказался и тот факт, что эффект ГСЧ, на кото-
котором основаны эффекты ППС и ППИ, практически не имеет спон-
спонтанного излучения, т.е. в отсутствие ИК-сигнала и в присутствии
мощной накачки сигнал суммарной частоты отсутствует. Вместе с
тем, в нелинейном кристалле преобразователя под действием мощ-
мощной накачки имеет место параметрическая люминесценция; одна из
параметрических частот может попасть в ИК-область принимаемого
ИК-сигнала, а затем (несинхронным процессом ГСЧ) преобразовать-
преобразоваться в суммарную частоту, что является эквивалентным шумом такого
преобразователя. Такой процесс был исследован детально в 1969 г.
Тангом [131].
Чрезвычайно интересным является эффект параметрическо-
параметрического преобразования изображений (ППИ), впервые предложенный
Мидвинтером в 1968 г. [132]. Эффект ППИ был естественным раз-
развитием эффекта ППС: преобразование изображений есть преобразо-
преобразование амплитудного и углового спектров сигнала. Уже в 1970 г. Ан-
дрюсом (США, [133]) была дана детальная теория ППИ. В СССР
работы по ППС и ППИ были начаты в 1968 г. в МГУ под руковод-
руководством Р.В. Хохлова и Э.С. Воронина (см., например, [134-140]). В
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 443
1969 г. учеными МГУ была предложена и экспериментально иссле-
исследована перспективная схема ППИ с «близким» расположением ИК-
объекта [135-137], которая, в отличие от схемы Мидвинтера с беско™
нечно удаленным объектом [132], имеет ряд серьезных преимуществ;
здесь же была показана возможность реализации ИК-голографии ме-
методами нелинейной оптики. Той же группой ученых (Э.С. Ворониным,
B.C. Соломатиным, Ю.А. Ильинским и др.) проводились исследова-
исследования по увеличению чувствительности и эффективности ППС ИК диа-
пазона (в основном, диапазона 10,6 мкм), по смешению криптонового
и ССЬ-лазеров в кристаллах прустита [138], по внутрирезонаторному
преобразованию излучения ССЬ-лазера в видимый диапазон [139], по
эффективному (~ 40%) преобразованию ИК-изображения A0 мкм)
в видимый диапазон на кристалле тиогаллата серебра [140]. В этой
связи следует указать также работу [141] по высокоэффективному
преобразованию ИК-излучения He-Ne-лазера C,39 мкм) в видимый
диапазон с квантовой эффективностью 100%.
П. 1.4. Нелинейные самовоздействим света
Нелинейные самовоздействия. Одним из важнейших и весь-
весьма широких классов нелинейно-оптических эффектов является класс
самовоздействий. Самовоздействия проявляются в изменении фун-
фундаментальных постоянных нелинейной среды (диэлектрической вос-
восприимчивости, коэффициента преломления и т.п.) под действием
электрических, магнитных, акустических, тепловых полей. Следует
подчеркнуть, что речь идет о самовоздействиях не в плане «быстрого»
(с частотой света) изменения, например, коэффициента преломления
в квадратично-нелинейной среде, в которой нелинейная добавка к ко-
коэффициенту преломления (вызванная квадратичной поляризованно-
стью) осциллирует пропорционально напряженности светового поля с
частотой света, так что средняя за период добавка равна нулю. Речь
идет о самовоздействиях в плане появления средних (за период ко-
колебаний) добавок, например, к тому же коэффициенту преломления,
т.е. добавок, не имеющих осциллирующих с частотой света составляю-
составляющих и, следовательно, пропорциональных квадрату модуля амплиту-
амплитуды (т.е. пропорциональных интенсивности) света. Это, в свою оче-
очередь, означает, что эффекты самовоздействия должны проявляться
на нелинейности третьего порядка в разложении диэлектрической
поляризованности по степеням напряженности электрического поля
(или во втором порядке в аналогичном разложении коэффициента
преломления):
Рку6(Е) = ХC)ЕЕЕ = ... + ХC)ЕЕЕ* + ... =
= ... + хC)Е |Е|2 + ... = ... + ХC)Е \А\2 + ..., (П.4.1)
An = п(Е) - п0 = п2Е2 = п2А2 (П.4.2)
444 приложения
(здесь А — амплитуда поля, П2 — коэффициент, пропорциональный
Х^, An — нелинейная добавка к коэффициенту преломления за счет
кубичной электронной поляризованности). Кроме механизма элек-
электронной поляризованности, можно представить себе тепловой ме-
механизм самовоздействия, когда постоянная добавка к коэффициенту
преломления появляется из-за наличия производной коэффициента
преломления по температуре и поглощения средой части световой
мощности. Керровская и стрикционная нелинейности также приво-
приводят к самовоздействиям. Все эти эффекты являются кубическими по
полю, однако, величина An квадратична по полю.
В 1962 г. советским ученым Г.А. Аскарьяном был предсказан один
из эффектов самовоздействий — самофокусировка света (или звука)
в нелинейной среде [142]. В этой работе был описан сам эффект са-
самофокусировки, заключающийся в создании лучом света (или звука)
канала, коэффициент преломления в котором отличается от такового
в соседних областях (где поля нет), и появления фокусирующего дей-
действия возникшей таким образом «линзы» (свет или звук сам создает
себе среду, в которой он распространяется — это самосогласованная
задача, не имеющая аналогов в традиционной оптике); здесь же отме-
чена тепловая и стрикционная нелинейности (в плазме) и ряд других
механизмов.
В 1963 г. С.А. Ахманов и В.Г. Дмитриев теоретически рассмот-
рассмотрели задачу о ГВГ в квадратично-кубической среде [143] и показали,
что наличие кубической электронной нелинейности при определен-
определенных условиях приводит к появлению постоянной нелинейной волно-
волновой расстройки (к уходу синхронизма), пропорциональной интенсив-
интенсивности основной волны на входе нелинейной среды. Поскольку речь
здесь шла о плоских волнах, указанная «нелинейная» расстройка мог-
могла быть скомпенсирована «линейной», т.е. отстройкой (с соответству-
соответствующим знаком) от синхронизма.
Вообще говоря, следует отметить, что еще в долазерную эпоху
при исследовании распространения электромагнитных полей в плаз-
плазме ряд авторов вплотную подошел к вопросам самовоздействия волн.
Так, еще в 1958 г. Т.Ф. Волков [144] решил одномерную задачу о само-
самосогласованном распределении плотности плазмы в поле стоячей элек-
электромагнитной волны и показал, что существуют решения, соответ-
соответствующие локализации поля (в закритической плазме) за счет его
отражения от областей с отрицательной диэлектрической проницае-
проницаемостью.
Однако впервые только Г.А. Аскарьяном понятие самовоз-
самовоздействия (применительно к самофокусировке или самоканализа-
самоканализации) было четко сформулировано. В своей работе [142] он писал:
«.. .воздействие луча на среду может быть настолько сильным, что
создается перепад свойств среды в луче и вне луча, что вызовет волно-
водное распространение луча и устранит геометрическую и дифрак-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 445
ционную расходимость — это интересное явление можно назвать са-
самофокусировкой электромагнитного луча».
В 1963 г. на Генеральной Ассамблее URSI был представлен доклад
от ученых НИРФИ (г. Горький), где в том числе излагались резуль-
результаты первых строгих теоретических расчетов самофокусировки элек-
электромагнитных волн в плазме или стрикционной жидкости; эти рас-
расчеты были выполнены В.И. Талановым и опубликованы в детальном
изложении в 1964 г. [145]. Несколько позже, но в том же 1964 г. по™
явилась и первая зарубежная работа по теории самофокусировки, вы-
выполненная Таунсом с сотрудниками [146]. В этой работе были подтвер-
подтверждены выводы приоритетной работы В.И. Таланова и впервые было
указано на существование критической мощности самофокусировки.
В 1965 г. Таунс признал приоритет советских ученых Г.А. Аскарьяна
и В.И. Таланова в предсказании и теоретическом подтверждении са-
самофокусировки [147], а в том же 1965 г. советскими учеными Н.Ф. Пи-
липецким и СР. Рустамовым самофокусировка впервые наблюдалась
экспериментально [148]. В дальнейшем в 1965 г. В.И. Талановым [149]
и П. Келли [150], в 1966 г. С.А. Ахмановым, А.П. Сухоруковым и
Р.В. Хохловым [151], Я.Б. Зельдовичем и Ю.П. Райзером [152] и др.
развивалась теория этого интереснейшего явления. Было развито так
называемое без аберрационное приближение в теории самофокусиров-
самофокусировки, базирующееся на параболическом уравнении для полей пучков
в слабонелинейной среде (квазиоптический подход). Основной труд-
трудностью теории в этот период было естественное и аномально большое
(до бесконечности) возрастание интенсивности поля вблизи «нелиней-
«нелинейного фокуса», что с очевидностью указывало на необходимость учета
других нелинейно-оптических механизмов, которые могут ограничить
такое возрастание (нелинейное поглощение, световой пробой, развитие
вынужденных рассеяний и т.п.).
В 1966 г. В.И. Беспаловым и В.И. Талановым [153] было пока-
показано, что мощная плоская волна при распространении в кубически-
нелинейной среде неустойчива по отношению к поперечным возмуще™
ниям — другими словами, широкий «закритический» (по мощности)
пучок света в такой среде распадается на отдельные светящиеся ни-
нити, а эти начальные возмущения могут возникнуть, например, из-за
рассеяния на неоднородностях среды, см. [154, 155].
По мере развития теории и эксперимента становилось все яс-
яснее, что самофокусировка представляет собой исключительно слож-
сложный, кооперативно-нелинейный эффект. Так называемые «тонкие или
крупномасштабные нити самофокусировки» (диаметр порядка 50 мкм
и выше) в 1966 г. достаточно хорошо объяснялись разработанными
теориями. Однако в 1966 г. группой Таунса в США были обнаружены
сверхтонкие («мелкомасштабные») нити самофокусировки с диамет-
диаметром rsj 5 мкм [156]. Стало явным сильное влияние ВКР на процесс
самофокусировки. В 1967 г. В.Н. Луговым и A.M. Прохоровым была
446 ПРИЛОЖЕНИЯ
теоретически продемонстрирована многофокусная картина самофо-
самофокусировки [157], о том же доложил П. Келли (США) на Ереванском
симпозиуме по нелинейной оптике в 1967 г. В работе В.Н. Лугового и
A.M. Прохорова в 1968 г. [158] впервые было выдвинуто объяснение
сверхтонких нитей самофокусировки как следов движущихся фокаль-
фокальных точек, что объяснило многие стороны такой самофокусировки.
Вследствие выясненной значительной роли самофокусировки в нели-
нелинейных процессах результаты многих теоретических и даже экспери™
ментальных работ, в особенности, по вынужденным рассеяниям света,
оказались несостоятельными и потребовали существенного пересмот-
пересмотра. К теории и экспериментам по самофокусировке привлекалось все
большее количество ученых и исследователей, однако, по-видимому,
и сегодня еще нельзя утверждать, что создана полная и адекватная
теория самофокусировки, позволяющая объяснить все многогранные
аспекты этого замечательного явления.
Бурное развитие работ по самофокусировке в определенной сте-
степени заслонило другие нелинейно-оптические эффекты из класса са-
самовоздействий. Интересным эффектом является, например, самовоз-
самовоздействие модулированных волн. Еще в 1963 г. Л.А. Островский из
того же горьковского НИРФИ [159] показал, что в среде с кубиче-
кубической нелинейностью огибающая модулированной волны может замет-
заметно деформироваться, а более детальный расчет этого явления был
проведен им в 1966 г. [160]. В этих и последующих работах подтвер-
подтвердилась очень глубокая пространственно-временная аналогия: времен-
временным аналогом пространственной самофокусировки является эффект
нелинейного «самосжатия» мощных импульсов. Естественно, что ес-
если в кубически-нелинейной среде распространяется мощный волновой
пакет (пучок-импульс), то эффекты самовоздействия проявляются
весьма ярко в виде одновременно протекающих эффектов самофоку-
сировки пучков и самосжатия импульсов.
Можно сделать вывод, что эффекты самовоздействия связаны с
зависимостью комплексного показателя преломления от интенсивно™
сти световой волны, а механизмы этой зависимости могут быть весьма
разнообразными — электрострикция, высокочастотный эффект Кер-
ра, кубическая нелинейность электронной поляризованности, нагрев
среды вследствие поглощения и т.д. Эффект самовоздействия прояв-
проявляется в изменении амплитуды, поляризации, формы углового или
частотного спектров распространяющегося в такой среде излучения.
Подчеркнем, что задача о самовоздействии является существенно са-
самосогласованной — свет распространяется в среде, созданной самим
светом, и эта среда с этими новыми свойствами определяет условия
распространения света и изменяет его параметры и т.д.
Отметим, что эффект самофокусировки при отрицательном зна-
значении П2 превращается в эффект самодефокусировки. Особенно ярко
проявляется этот эффект в некоторых жидкостях, для которых про-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 447
изводная коэффициента преломления по температуре dn/dT отрица-
отрицательна. Впервые стационарную тепловую дефокусировку излучения
маломощного гелий-неонового лазера в жидкостях наблюдал в 1966 г.
Рикхоф [161].
В том же 1966 г. в работах Н.Г. Басова и B.C. Летохова с со-
сотрудниками [162, 163] было показано, что в активных (лазерных) сре-
средах, например, в насыщающихся лазерных усилителях, эффекты са-
мовоздействия проявляются значительно сильнее, чем в пассивных
средах.
Тепловые самовоздействия. К широкому классу явлений са-
самовоздействия относятся так называемые тепловые самовоздействия,
которые, в частности, включают тепловую самофокусировку или са-
самодефокусировку. Но эти оба последних эффекта можно объединить
одним названием — нелинейная рефракция; другими словами, нели-
нелинейные изменения коэффициента преломления под действием излу-
излучения настолько велики, что на длине нелинейной среды успевают
произойти изменения в пространственной конфигурации луча — на-
например, самофокусировка или отклонение луча от первоначального
направления. На языке оптики Фурье это означает, что фазовые из-
изменения, вызванные кубической нелинейностью, т.е. изменения в уг-
угловом спектре, успевают на длине нелинейной среды трансформи-
трансформироваться в амплитудные изменения в поперечном сечении. Однако
целый ряд тепловых самовоздействий может проявляться и в отсут-
отсутствие нелинейной рефракции. Так, например, как уже указывалось,
при ГВГ мощными непрерывными лазерами, равно как и импульсно-
периодическими лазерами с высокими значениями импульсной и сред-
средней мощностей, в нелинейном кристалле вследствие поглощения части
мощности возникает неоднородное по поперечным (а иногда и по про-
продольной) координатам тепловое поле, а, следовательно, и неоднород-
неоднородное поле дисперсионного двулучепреломления. Это означает, что вол-
волновая расстройка по сечению пучка оказывается неоднородной, что, в
свою очередь, приводит к существенной поперечной неоднородности
эффективности ГВГ. Такую неоднородность нельзя скомпенсировать
отстройкой от синхронизма, ее можно только учесть в расчетах или
попытаться уменьшить за счет оптимизации геометрии луча и кри-
кристалла. Такой вид самовоздействия проявляется вследствие только
фазовых нелинейных изменений, в то время как нелинейная рефрак-
рефракция проявиться не успевает. К числу самовоздействий можно отнести
и фотопреломление, и нелинейное поглощение (через генерацию сво-
свободных носителей в зоне проводимости), и некоторые другие аспекты
(см. гл. III).
При достаточно коротких импульсах процесс самофокусиров-
самофокусировки становится нестационарным; первые работы по нестационарной
самофокусировке выполнены С.А. Ахмановым, А.П. Сухоруковым,
Р.В. Хохловым [151], Я.Б. Зельдовичем и Ю.П. Райзером [152].
448 приложения
В 1965 г. в одном из первых исследований по вынужденным рассе-
рассеяниям света Лаллеманд и Бломберген [164] обнаружили, что самофо-
самофокусировка снижает порог возникновения вынужденного рассеяния. В
работах по самофокусировке периода 1965^1966 гг. было установлено,
что самофокусировка пучка как единого целого обычно не наблюдает-
наблюдается. Типичным является разбиение пучка на множество нитей, причем,
даже однородные, на первый взгляд, крупномасштабные нити (диа-
(диаметр 80-50 мкм) на самом деле имеют тонкую структуру, разбива-
ясь на мелкомасштабные нити диаметром 3-5 мкм. Появление таких
сверхтонких нитей сопровождается резким усилением рассеяния (см.,
например, [165]).
П. 1.5. Вынужденные рассемним света
Вынужденные рассеяния света. Одним из важнейших классов
нелинейно-оптических явлений является класс вынужденных рассея-
рассеяний света, исторически неразрывно связанный с появлением и раз-
развитием лазеров. Мы кратко рассмотрим в историческом плане лишь
некоторые, основные виды вынужденных рассеяний света (ВРС) —
а именно, вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР), вынуэю-
денное рассеяние на поляритонах (ВРП), вынужденное рассеяние
Мандельштама-Бриллюэна (ВРМБ), вынужденное рассеяние крыла
линии Рэлея (ВРКЛР), вынужденное тепловое, или энтропийное,
рассеяние (ВТР).
С позиций сегодняшних знаний развитие и протекание всех про-
процессов ВРС можно описать на едином языке, близком к языку теории
нелинейных волновых процессов. Так называемые «спонтанные» рас™
сеяния света были известны еще с тридцатых годов прошлого столе™
тия — комбинационное, или рамановское, рассеяние, открытое в 1928 г.
индийским физиком Раманом и одновременно и независимо совет-
советскими физиками Л.И. Мандельштамом и Г.С. Ландсбергом, рассея-
рассеяние Мандельштама-Бриллюена, предсказанное советским физиком
Л.И. Мандельштамом еще в 1918 г. и затем независимо и повторно
исследованное французским физиком Л. Бриллюеном в 1926 г. Спон-
Спонтанное рэлеевское рассеяние изучалось Рэлеем еще в XIX в. и более
точно и детально — М. Смолуховским (в 1908 г.) и А. Эйнштейном
(в 1910 г.). Спонтанные рассеяния света хорошо объясняются на ко-
колебательном (параметрическом) языке — в этом смысле они относят-
относятся к явлениям параметрической (линейной) оптики. Действительно,
внутренние движения в среде — колебания атомов, тепловые (акусти-
(акустические) волны (или, другими словами, волны сжатия и разрежения в
среде), статистические флуктуации плотности — приводят к модуля-
модуляции во времени коэффициента преломления на характерных частотах
(рассеяние Манделынтама^Бриллюена — порядка 109 -г-1011 Гц, ком-
комбинационное рассеяние — 1011 —1013 Гц и т.д.). Свет распространяется
через среду с переменными (во времени) параметрами, в частности,
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 449
с переменным во времени коэффициентом преломления, в результа-
результате чего свет модулируется по амплитуде на указанных выше харак-
характерных частотах внутренних движений среды. Тем самым, в первом
приближении образуется дублет двух смещенных частот
о;с?а = шо±п1 (П.5.1)
где ljq — частота света, О — характерная частота внутренних движе-
движений в среде, шс — так называемая стоксова компонента (разностная
частота), ша — так называемая антистоксова компонента (суммарная
частота). Вместе с частотой света ujq смещенные компоненты обра™
зуют триплет световых частот: cjq, cja, uc. Интенсивность стоксовой
и антистоксовой компонент при спонтанном рассеянии света весьма
мала, так что компоненты второго и более высоких порядков практи-
практически отсутствуют. Малость интенсивностей смещенных компонент,
разумеется, обеспечивает практически полное отсутствие нелинейно™
оптических эффектов.
Вынужденные рассеяния света были открыты с появлением лазе-
лазеров. Вместе с тем, интересно отметить, что явление ВКР было пред-
предсказано немецким физиком Г. Плачеком еще в 1935 г. (см. его моно-
монографию [166]) однако к моменту появления лазеров это предсказание
было забыто. Справедливости ради следует сказать, что Плачек в этой
монографии показал много меньшую вероятность ВКР по сравнению
с вероятностью спонтанного рассеяния, что, очевидно, было связано
с малыми интенсивностями стоксовых компонент. Явление ВКР было
открыто в сентябре 1962 г. американскими физиками Вудбери и Нг,
причем в определенном смысле случайно, при исследовании электро-
электрооптического затвора на нитробензоле для модуляции добротности ру-
рубинового лазера. Результаты этих исследований были доложены Вуд-
Вудбери и Нг в феврале 1963 г. на 3-й Международной конференции по
квантовой электронике в Париже и позже опубликованы в [167]. В
том же 1963 г. американский физик Хелвортс (изобретатель метода
модуляции добротности лазерного резонатора) правильно интерпре-
интерпретировал обнаруженное Вудбери и Нг явление, как стоксово ВКР [168],
а Терхьюн открыл антистоксовы конусы ВКР [169].
Общая трактовка ВРС может быть дана следующим образом.
Спонтанное рассеяние света описанным выше параметрическим ме-
методом продуцирует стоксову и антистоксову (смещенные) компонен-
компоненты. Для описания развития ВРС достаточно учесть только стоксову
компоненту. Пусть амплитуды исходной световой волны и стоксовой
компоненты равны Aq и Ас, соответственно. Если поле света в сре-
среде создается достаточно мощным лазером, то амплитуда стоксовой
компоненты Ас оказывается также достаточно заметной; во всяком
случае, спонтанное рассеяние света при возбуждении лазером инду-
индуцируется достаточно легко (чего нельзя сказать о случае возбуждения
нелазерными источниками). Световое поле в среде может быть пред-
450 ПРИЛОЖЕНИЯ
ставлено в виде суперпозиции плоских волн основного (лазерного) из-
излучения с частотой си® и амплитудой А® и стоксовой компоненты с
частотой шс и амплитудой Ас:
Е = Ао exp [j(uot - koz)] + Ас exp [j(uct - kcz% (П.5.2)
где шс = (jJq — u; kojC — модули волновых векторов основного излучения
и стоксовой компоненты, причем
кс = к0- q, (П.5.3)
q — волновой вектор волны внутреннего движения среды — волны
звука, волны колебаний атомов и т.д.
Среда является существенно нелинейной по полю, обладая такими
известными нелинейно-кубичными эффектами (в разложении, напри-
например, поляризованности по степеням поля или потенциальной энер-
энергии молекулы по степеням смещения атомов в молекуле и т.п.), как
электрострикция, эффект Керра, поглощение света и т.д. Авторы на-
надеются, что читателя не введет в заблуждение тот факт, что здесь
говорится о кубично-нелинейных средах, а в качестве примеров при-
приводятся электрострикция и эффект Керра — эффекты, которые мы
привыкли считать квадратичными по полю. Естественно, эти эффек-
эффекты квадратичны по полю в разложении коэффициента преломления
п(Е) или диэлектрической восприимчивости к{Е) = [е(Е) ~~ 1]/Dтг)
по степеням поля, но в разложении диэлектрической поляризованно-
поляризованности они становятся кубическими по полю. То же самое относится и к
поглощению света.
Итак, поскольку среда является кубично-нелинейной по полю Е,
то в уравнениях движения появится вынуждающая сила, пропорцио-
пропорциональная произведению поля лазера на комплексно-сопряженное поле
стоксовой компоненты
ЕО(ЕС)* = АО(АС)* exp [j(ilt - qz)]. (П.5.4)
Это означает, что квадратично-нелинейное взаимодействие полей
лазера и стоксовой компоненты приведет к когерентному и резонанс-
резонансному раскачиванию тех самых исходных колебаний на частоте п вну-
внутренних движений в среде (фононов, поляритонов, плазмонов и т.д.),
с которых и началось спонтанное рассеяние. В результате интенсив-
интенсивность механических колебаний в среде на частоте П возрастает, что
приводит, в свою очередь, к возрастанию интенсивности стоксовой
компоненты, к еще большему возрастанию интенсивности колебаний
на частоте О и т.д. — возникает лавинообразное нарастание как интен-
интенсивности стоксовой компоненты, так и колебаний на частоте О. Это и
есть процесс вынужденного рассеяния света (см., например, моногра-
монографии [82, 83, 170] и библиографию по ВРС в них).
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 451
С открытием ВКР в 1962 г. объем исследований этого интерес-
интереснейшего явления, начиная с 1962 г., стал стремительно нарастать.
В 1962-1963 гг. были обнаружены многие линии ВКР в жидкостях
(Экардт, Хелвортс и Вудбери с соавторами, 1962 [171]), кристаллах
(Геллер, 1963 [172]) и газах (в водороде, Терхьюн, 1963 [173]). Тео™
рия ВКР была впервые наиболее полно разработана Н. Бломбергеном
(см. его монографию [4]), Лаудоном A963 [174]) и другими. Здесь бу-
будет уместно отметить, что еще в 1962 г. Армстронг и Бломберген с
соавторами [11] разработали теорию четырехчастотного взаимодей-
взаимодействия в кубически-нелинейной среде (для случая прямой генерации
третьей гармоники), подчеркнув как важность учета наличия добав-
добавки к коэффициенту преломления, пропорциональной интенсивности,
так и важность фазового синхронизма взаимодействующих волн. По
этому поводу будет уместно также вспомнить отечественную работу
1963 г. [143], где был теоретически исследован аналогичный эффект
при ГВГ в квадратично-кубической среде.
Общее вычисление комбинационных восприимчивостей было
предпринято в 1963 г. Бломбергеном и Шеном [175], Джаваном [176],
Файном и Яшиным [177]. Многие авторы успешно применяли в тео-
теории ВКР формализм связанных волн (Луизелл, Мэйкер и Терхьюн,
В. Платоненко и Р. Хохлов, Танг, Келли и др.; см. библиографию к
монографии Н. Бломбергена [4]). Аномальное уширение смещенных
компонент рассчитал Стойчев [178] и вместе с Чиао в 1964 г. впервые
точно измерил углы излучения антистоксовых компонент [179].
Главное, что было понято и установлено исследователями в этот
период, это тот факт, что существует некоторая общая (упомянутая
выше) схема, внутри которой можно объяснить все когерентные и
интерференционные эффекты, включая вынужденные рассеяния, па-
параметрическую генерацию света и т.д. Исследования этих лет, в част-
частности, показали, что:
1) ВКР носит пороговый характер;
2) интенсивность процесса сильно зависит от наличия и добротно™
сти резонатора по стоксовой компоненте;
3) излучение компонент ВКР распространяется в узком угле и
имеет узкий спектральный состав (подробнее отсылаем читателей к
обзорам по ВКР Н. Бломбергена [180] и П.А. Апанасевича; см. [181]).
В работах 1964-1965 гг. М.М. Сущинского с соавторами [182] были
изучены основные закономерности ВКР и, в частности, было пока-
показано, что порог ВКР пропорционален отношению ширины линии на-
накачки к интегральному сечению спонтанного комбинационного рассе-
рассеяния.
Эффектом ВКР быстро заинтересовались и в прикладном плане,
как эффективным способом преобразования оптических частот. Ко-
Коэффициент преобразования в стоксову компоненту в сжатых газах
и жидкостях быстро достиг десятков процентов, были физически
452 ПРИЛОЖЕНИЯ
осмыслены ограничивающие факторы (роль антистоксовых и сток™
совых компонент высших порядков, других конкурирующих процес-
процессов). На основе эффекта ВКР были созданы эффективные лазеры с
преобразованием частоты в стоксовы компоненты, причем наличие
добротного резонатора по одной из стоксовых частот (наряду, есте-
естественно, с резонатором по основному, лазерному, излучению) обеспе-
обеспечивало генерацию на этой стоксовой компоненте — так называемые
комбинационные лазеры (см. обзор [183]).
Много дискуссий было в этот период и по терминологии — что же
конкретно понимать под ВКР? Достаточно аргументированной была
такая точка зрения, что ВКР есть весь комплекс явлений, наблюдаю-
наблюдающихся при облучении рассеивающего вещества лазерным излучени-
излучением, хотя здесь имеет место не только ВКР, но и многие сопутствую-
сопутствующие явления. Другая точка зрения содержала утверждение о том, что
под ВКР лучше понимать некогерентную часть вынужденного рас-
рассеяния (в стоксовы компоненты всех порядков), не требующую, как
известно, фазового синхронизма (вследствие независимости частоты
П от волнового числа q фононов оптической ветви колебаний решетки
ближней части первой зоны Бриллюена; см. монографию М. Борна
и X. Куня [184]). Фактически, в этом случае стоксово ВКР можно
рассматривать как двухфотонное взаимодействие, не требующее син-
синхронизма. Что же касается генерации антистоксовых компонент, то
ситуация здесь резко меняется: по сути дела, такая генерация есть
не что иное, как результат взаимодействия четырех волн (только све-
световых, без участия фононов!) в кубически-нелинейной среде. С этой
точки зрения это не есть процесс комбинационного рассеяния — веще-
вещество в этом процессе не меняет своего состояния (в процессе стоксо-
ва ВКР вещество в результате рассеяния оказывается колебательно-
возбужденным). Процесс генерации антистоксовых компонент явля-
является, таким образом, когерентным; для него существенно наличие син-
синхронизма для четырех взаимодействующих световых волн:
kc + ka = 2k0. (П.5.5)
Расчет процесса ВКР с учетом антистоксовых компонент на базе
идеи световых волн, связанных между собой комплексными нелиней-
нелинейными восприимчивостями, был проведен Н. Бломбергеном и Шеном в
1964 г. [175]; они показали, что экспоненциальный рост антистоксовых
компонент наблюдается только при ненулевой волновой расстройке от
условия синхронизма (П.5.5). Этот факт нетрудно понять из тех со-
соображений, что в кубически-нелинейной среде возникает добавка к
коэффициенту преломления, пропорциональная интенсивности. Эта
добавка для «слабых» волн оказывается более существенной, чем для
«сильных», и, естественно, нарушает условие синхронизма (П.5.5), так
что для ее компенсации необходима некоторая ненулевая волновая
расстройка с противоположным знаком. В теорию ВКР был внесен
большой вклад советскими исследователями, в частности, Р.В. Хохло-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 453
вым, давшим совместно с В.Т. Платоненко [185] достаточно простую
и наглядную, но вместе с тем перспективную «колебательную» трак-
трактовку процесса ВКР, а также В.Н. Луговым (см. его монографию по
ВКР [186] и библиографию к ней) и другими.
Как известно, спонтанное комбинационное рассеяние (КР) света
явилось мощным средством спектроскопии в исследовании строения
вещества [187]. Показателем научной и практической важности этого
открытия явилось присуждение в 1930 г. Нобелевской премии одному
из первооткрывателей эффекта КР — выдающемуся физику Индии
К. Раману. Остается сожалеть, что публикация Л.И. Мандельштама и
Г.С. Ландсберга, открывших этот эффект в Москве в 1928 г. одновре-
одновременно и независимо от Рамана, затянулась, и к моменту ее появления
Раман уже опубликовал (в том же 1928 г.) две небольших заметки в
журнале Nature.
Эффект КР в кристаллах, как правило, связан с колебаниями ато-
атомов решетки, неактивных в ПК-поглощении; другими словами, со-
согласно альтернативному запрету для колебательных спектров центре™
симметричных кристаллов, колебания, активные в КР, неактивны в
ПК-спектре, и наоборот. Поэтому в таких кристаллах колебания, свя-
связанные с ИК™поглощением (т.е. с изменением дипольного момента),
неактивны и не проявляются в КР-спектрах. Ситуация меняется для
кристаллов, не имеющих центра инверсии: в них альтернативный за-
запрет отменяется, в результате чего механические колебания атомов на
частоте О сопровождаются электромагнитным излучением на той же
частоте О, т.е. в ПК-диапазоне. Таким образом, на частоте О имеют
место как механические колебания (фононы), так и ИК-излучение (фо-
(фотоны) . Такую своеобразную смесь фононов и фотонов назвали « поля-
ритоном» [184], а ВКР на таких ПК-активных колебаниях получило
название ВКР на поляритонах (ВКРП, ВРП), или ВКР на инфра-
инфракрасно-активных колебаниях. Первые расчеты в этом направлении
были сделаны Лаудоном [188]. Значительный вклад в теорию ВРС
на поляритонах внесен советскими учеными, прежде всего киевской
школой В.Л. Стрижевского (см., например, [189]).
В числе эффектов ВКР следует также упомянуть об обращенном
комбинационном рассеянии, обнаруженном еще в 1930 г. советскими
учеными Г.С. Ландсбергом и Ф.С. Барышанской, об его вынужденном
аналоге (обращенное ВКР), открытом в 1964 г. Джонсоном и Стойче-
вым, о гиперкомбинационном рассеянии (ГКР) света, обнаруженном
Терхьюном с соавторами в 1965 г., об активной спектроскопии комби-
комбинационного рассеяния (АСКР) и когерентной антистоксовой рама-
новской спектроскопии (КАРС). Молекулярное рассеяние света изу-
изучалось Рэлеем, Смолуховским, Эйнштейном, Ландау, Леонтовичем,
Плачеком и другими исследователями. Для описания молекулярного
рассеяния следует учитывать флуктуации плотности и анизотропии
(молекул) среды. Суммарное действие этих флуктуации приводит к
454 приложения
тому, что рассеянный свет имеет поляризованную и деполяризован™
ную части. Рассеяние Мандельштама-Бриллюэна (РМБ) обусловле™
но флуктуациями давления (плотности), температурное (или энтро-
энтропийное) рассеяние (ТР) — флуктуациями энтропии, рассеяние в крыле
линии Рэлея (РКЛР) — флуктуациями анизотропии молекул. Вскоре
после открытия ВКР были обнаружены эффекты ВРС, соответствую-
соответствующие перечисленным выше эффектам спонтанного молекулярного рас™
сеяния. ВРМБ было открыто в 1964 г. Чиао, Стойчевым и Таунсом
[194], советские ученые И. Л. Фабелинский и В.С.Старунов обнаружи-
обнаружили ВРКЛР A965, [195]) и ВТР A967, [196]). Эффект ВТР одновре-
менно и независимо наблюдался также Рэнком с сотрудниками [197]
(в этой работе, как и в монографии [88], авторы называют ВТР выну-
вынужденным температурным рассеянием Рэлея), см. также обзоры [198,
199]. Следует отметить, что эти виды ВРС возникают совместно с та-
такими эффектами, как самофокусировка, ВКР и другие. М.А. Леонто-
вич, также внесший заметный вклад в теорию ВКР, ВРМБ и ВРКЛР,
рассматривал ВРМБ как тонкую структуру ВРКЛР. Хотя все виды
ВРС имеют много общих черт, каждый из них имеет свои специфику и
методы исследований. Точно так же, как и при ВКР, при возбуждении
молекулярного ВРС «включаются» квадратичные (по полю) эффек™
ты, такие, как электрострикция (ВРМБ), эффект Керра (ВРКЛР),
и, наконец, электрокалорический эффект и поглощение света (ВТР).
Если смещение частоты при ВКР составляет ^ 103 см^1, то для
ВРМБ оно равно ~ 0, 2 см; смещение для ВТР еще меньше (прак-
(практически нуль), а фон рассеянных компонент для ВРКЛР простирает-
простирается от частоты возбуждающего лазера до компонент ВКР. Как и при
ВКР, появление антистоксовых компонент при этих видах связано с
четырехволновыми взаимодействиями в кубически-нелинейной сре-
среде. Процессы ВРС постоянно конкурируют. При ВРМБ возбуждается
мощная волна гиперзвука, при ВРКЛР — мощная волна анизотропии,
при ВТР — мощный осциллирующий тепловой источник.
Читателей, более детально интересующихся перечисленными вы™
ше эффектами, мы отсылаем к монографиям И.Р. Шена [88],
ВТ. Дмитриева [170], В.Н. Лугового [186], М.М. Сущинского [187,
190], В.Л. Стрижевского [189], С.А. Ахманова и Н.И. Коротеева [191],
И.Л. Фабелинского [192], С. Кёлиха [193]; рекомендуем также изучить
библиографию к этим монографиям.
Обращение волнового фронта. Явления ВРС привели к от-
открытию чрезвычайно интересного и практически важного нелинейно-
оптического явления — обращения волнового фронта (ОВФ). Явле-
Явление ОВФ было впервые обнаружено при ВРМБ советскими учеными
В.В. Рагульским, Ф.С. Файзулловым и В.И. Поповичевым в 1971 г.
и состоит в генерации (при ВРМБ) отраженной от среды волны с
комплексно-сопряженным, или обращенным, волновым фронтом. Яв™
ление ОВФ оказывается незаменимым для решения проблемы вое-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 455
становления оптических изображений и сигналов, прошедших через
искажающую среду (например, флуктуирующую атмосферу).
Несмотря на безоговорочное признание зарубежными учеными
приоритета советских исследователей в открытии ОВФ, в истории
этого открытия имели место и некоторые международные недоразуме-
ния, в связи с чем здесь будет уместно привести цитату из монографии
[170], в которой автор предпринял (совместно с В.В. Рагульским) по™
пытку восстановить историческую справедливость в области истории
открытия ОВФ (номера ссылок в этой цитате соответствуют списку
литературы к этому приложению).
«Именно исследования ВР света привели к открытию ОВФ. Еще
в 1965 г. Бревером (США) было обнаружено, что при ВРМБ рас-
расходимость отраженного назад стоксова света близка к расходимости
возбуждающего излучения лазера. В 1967 г. Рэнк (США) для ВРКЛР
и в 1970 г. М.М. Сущинский (СССР) для ВКР наблюдали аналогич-
аналогичный эффект. Однако, как указал Н.Г. Басов в 1986 г. в работе [200],
«... вопрос о том, с какой точностью направленность вынужденно-
вынужденного рассеянного света соответствует направленности возбуждающе-
возбуждающего света (т.е. вопрос о взаимном соответствии их волновых фрон-
фронтов), долгое время вообще не ставился. Впервые такой вопрос был
поставлен в 1971 г. в лаборатории квантовой радиофизики [КРФ)
ФИАН. Осуществленные в лаборатории КРФ эксперименты приве-
привели к открытию в 1971 г. явления самообращения волнового фронта
при ВР света (авторы — В.В. Рагульскищ В.И. Поповичев, Ф.С. Фай-
зуллов)».
Первая официальная публикация, содержащая и предваритель-
предварительную теоретическую интерпретацию эффекта еамо-ОВФ, относится к
1972 г. [201]. В книге [202] Б.Я.Зельдович с соавторами подчеркивают,
что «... вопрос о связи сложной структуры волновых фронтов пада-
падающего и рассеянного излучений впервые был поставлен В.В. Рагуль-
Рагульским в 1971 г. Он предложил и, работая в ФИАН СССР, осуществил
с сотрудниками эксперимент, в котором было обнаружено само-ОВФ
при ВР света».
Соображения, которыми руководствовался В.В. Рагульский, за-
задумывая и реализуя эти эксперименты, содержатся в его монографии
[203], а в работе [204] ему с сотрудниками впервые удалось получить
пучок лазерного излучения с дифракционной, т.е. предельной, расхо-
расходимостью от лазера с оптически-неоднородной активной средой. За-
Заметим, что идея такого применения была сформулирована О.Ю. Но-
сачем и В.В. Рагульским в одном из научных отчетов ФИАН в 1971 г.
(его краткое изложение опубликовано в [205]).
Столь подробное изложение истории открытия ОВФ здесь приво-
приводится в связи с тем, что в последнее время имели место определенные
попытки ее пересмотра. В частности, в 1997 г. Оптическое общество
Америки наградило Б.Я. Зельдовича (работающего уже долгое вре-
время в США) медалью Макса Борна за «... основополагающие вклады
456 ПРИЛОЖЕНИЯ
в открытие и теоретическое понимание оптического фазового сопря-
сопряжения»; это создало несколько искаженное впечатление об истории
открытия ОВФ. Из вышеизложенного ясно, что честь эксперимент
тального открытия ОВФ принадлежит советским ученым В.В. Ра™
тульскому, В.И. Поповичеву и Ф.С. Файзуллову, а Б.Я. Зельдовичу
удалось блестяще (теоретически) интерпретировать открытое явле-
явление на базе «полуколичественного» соображения о преимущественном
усилении или дискриминации некоторых рассеянных волн, развитое
впоследствии им с сотрудниками в цикле работ (см. библиографию в
[170]). Справедливости ради следует отметить, что это предположение
выдвигалось еще в 1964 г. Бломбергеном и Шэном, однако, разумеет-
разумеется, тогда они, как и многие последующие исследователи ВР света, ни
разу (до экспериментов В.В. Рагульского с сотрудниками) не сделали
вывода о том, что указанная дискриминация в усилении может при-
привести к ОВФ; этот вывод был в явном виде сформулирован только
в отчете ФИАН 1971 г. (см. [205]) и через год в [201]. Подробнее об
истории ВР света и ОВФ см. [203, 206]».
Читателей, интересующихся более подробной информацией по
ОВФ, отсылаем к монографиям [170, 202-203, 207].
Другим интересным научным и историческим аспектом, непосред-
ственно относящимся к проблеме ОВФ, является цикл исследова-
исследований украинских ученых по четырехволновой динамической гологра-
голографии (см., например, [208]). В этой связи будет уместно отметить, что
П.А. Апанасевичем с соавторами было показано, что ОВФ проявляет-
проявляется при четырехфотонных (четырехволновых) взаимодействиях свето-
световых волн, две из которых (плоские) направлены навстречу друг другу,
третья является «сигнальной», четвертая — обращенной по волново-
волновому фронту [209]. Подчеркнем приоритет советских ученых в откры-
открытии ОВФ. Огромная научная и практическая ценность этих открытий
подтверждается присуждением первооткрывателям ОВФ и четырех-
четырехволновой динамической голографии Государственных премий СССР
по физике (см. ниже).
П.1.6. Развитие нелинейной оптики в СССР.
Научные конференции и центры. Заключение
В Советском Союзе нелинейной оптике постоянно уделялось зна-
значительное внимание. Был создан и успешно работал Научный Совет
АН СССР по проблеме «Когерентная и нелинейная оптика», первым
председателем которого стал академик Р.В. Хохлов (после трагиче™
ской гибели Р.В. Хохлова в 1977 г. председателем Совета был избран
академик Ф.В. Бункин, в настоящее время этот Совет с новым назва-
названием «Научный Совет РАН по проблеме «Лазерная физика и опти-
оптика» возглавляет видный российский ученый академик С.Н. Багаев). В
Межведомственном координационном Совете (МВКС) по квантовой
электронике, председателем которого в течение многих лет был Ми-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 457
нистр оборонной промышленности СССР С.А. Зверев, работала сек-
секция по нелинейной оптике под руководством Р.В. Хохлова. В 1965 г.
состоялась первая Всесоюзная конференция по нелинейной оптике на
озере Нарочь (БССР); ее инициаторами и организаторами явились
Р.В. Хохлов, С.А. Ахманов (МГУ), Б.И. Степанов (Институт физи-
физики АН БССР). В дальнейшем эти конференции проводились регу-
регулярно: они состоялись во многих городах страны — Новосибирске,
Киеве, Ереване, Кишиневе, Ленинграде, Ташкенте, Тбилиси, Минске,
Москве, в них приняли участие многие ведущие отечественные и за-
зарубежные ученые. На этих конференциях докладывались фундамен-
фундаментальные исследования и открытия в области нелинейных взаимодей-
взаимодействий световых волн, давшие впоследствии начало новым научным
и техническим направлениям в СССР и за рубежом. Следует отме-
отметить, что по инициативе Р.В. Хохлова при весьма активном участии
ученых Новосибирского Академгородка, в первую очередь, Г.В. Кри-
вощекова, В.П. Чеботаева и др., регулярно проводились Вавиловские
конференции, где обсуждались новые важнейшие результаты по ко-
когерентной и нелинейной оптике. В связи со все возрастающим объ-
объемом исследований и публикаций многие направления, ранее, на пер-
первых конференциях, отнесенные к нелинейной оптике, вскоре вышли
за ее пределы. От конференций по нелинейной и когерентной оптике
«отпочковались» ленинградская конференция «Оптика лазеров» во
главе с ее бессменным организатором и руководителем А.А. Маком
(Государственный оптический институт им. СИ. Вавилова), конфе-
конференции по перестраиваемым лазерам на красителях (Институт физи-
физики АН БССР, академик Б.И. Степанов), другие конференции, шко-
школы, семинары. В СССР был создан научно-координационный Совет
Минвуза СССР по проблеме «Лазеры», возглавляемый академиком
A.M. Прохоровым и С.А. Ахмановым; в программу исследований по
этой проблеме в значительной степени вошли работы по нелинейной и
когерентной оптике, проводимые в Московском университете под ру-
руководством С.А. Ахманова и Л.В. Келдыша, в Вильнюсском универ-
университете под руководством А.С. Пискарскаса, в Киевском университете
под руководством В.Л. Стрижевского, во многих других высших учеб-
учебных заведениях страны. Развитию нелинейной оптики способствова-
способствовала развитая в СССР сеть научных журналов, таких, как «Оптика и
спектроскопия» (г. Ленинград), «Известия вузов, серия Радиофизи-
Радиофизика» (г. Горький), «Журнал прикладной спектроскопии» (г. Минск),
ЖЭТФ, ЖТФ, «Письма в ЖЭТФ» и др., и, в первую очередь, ко-
конечно, журнал «Квантовая электроника», созданный и руководимый
вплоть до его кончины академиком Н.Г. Басовым; в настоящее время
этим журиалом руководит академик О.Н. Крохин. В журнале «Кван-
«Квантовая электроника» регулярно печатались статьи по нелинейной опти-
оптике советских, впоследствии российских, а также зарубежных ученых
и исследователей.
458 приложения
Плодотворным оказался обмен информацией в области лазерной
и нелинейной оптики между советскими и иностранными учеными,
происходивший в разнообразных формах международного научного
сотрудничества — на международных конференциях, в порядке об-
обмена стажерами — молодыми учеными между странами, в порядке
обучения в Москве и других городах студентов и аспирантов из стран
социализма и т.п.
Создание в СССР лазерно-нелинейных научных цен-
центров. Академики Р.В. Хохлов, А.В. Гапонов-Грехов, Б.И. Степанов,
A.M. Прохоров, Н.Г. Басов, профессора С.А. Ахманов и М.Ф. Стель-
мах уделяли огромное внимание развитию нелинейной и лазерной оп-
оптики не только в ведущих научных центрах, которые существовали
в Москве, Ленинграде, Киеве, Минске, но и на периферии, в тех на™
учных центрах, где ранее лазерами и нелинейно-оптическими эффек-
эффектами не занимались. Так возникли крупные лазерные, в том числе
нелинейно-оптические, центры в гг. Вильнюсе (А.С. Пискарскас),
Ташкенте (Т. Усманов), Уфе (А. Акманов), Ереване (М.Л. Тер-
Микаэлян, Ю.С. Чилингарян, В. Арутюнян и др.), Кишиневе
(А.А. Москаленко), Новосибирске (В.П. Чеботаев, Г.В. Кривощеков)
и др. К сожалению, после распада СССР научные связи между этими
центрами практически прекратились, а некоторые центры прекрати™
ли существование.
Государственные и Ленинские премии по нелинейной оп-
оптике. Создание эффективных генераторов оптических гармоник,
предложение и реализация принципов ПГС, фундаментальное раз™
витие теории взаимодействия световых волн в нелинейных средах
привело к бурному развитию новой отрасли физической оптики —
нелинейной оптики. Работы советских ученых по нелинейной оптике
явились весьма заметным вкладом не только в отечественную, но и в
мировую науку, и были высоко оценены Советским правительством.
В связи с этим, нельзя не упомянуть о высокой оценке вклада в нау-
ку основоположников советской нелинейной оптики — Р.В. Хохлова и
С.А. Ахманова, которым в 1970 г. за фундаментальный цикл работ по
нелинейной оптике была присуждена Ленинская премия. В 1983 г. за
открытие и исследование эффекта параметрического рассеяния све-
света была присуждена Государственная премия СССР группе ученых
МГУ Д.Н. Клышко, В.В. Фадееву, А.Н. Ленину. За цикл исследова-
исследований, направленных на создание нелинейно-оптических преобразовате™
лей ИК-сигналов и изображений в видимый диапазон Государствен-
Государственной премии СССР были удостоены Э.С. Воронин, B.C. Соломатин,
И.Н. Матвеев, Ю.А. Ильинский. Государственной премии СССР были
также удостоены советские ученые украинской школы под руковод-
руководством профессора М.С. Соскина за исследования по четырехволновой
динамической голографии. Первоткрыватели ОВФ Б.Я. Зельдович,
В.И. Поповичев, В.В. Рагульский, Ф.С. Файзуллов также были у до-
П.1. ИСТОРИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ 459
стоены Государственной премии СССР. В 1984 г. за создание теории
и разработку высокоэффективных нелинейно-оптических преобра-
преобразователей нового поколения Государственная премия СССР бы™
ла присуждена коллективу ученых Б.В. Бокутю, В.Д. Волосову,
В.Г. Дмитриеву, А.И. Ковригину, А.А. Кулевскому, А.С. Пискарскасу,
СР. Рустамову, А.П. Сухорукову, Т. Усманову, Г.И. Фрейдману.
Заключение. В данном разделе мы смогли лишь весьма крат-
кратко и поверхностно коснуться истории открытия и развития основных
нелинейно-оптических явлений. Естественно, что многие аспекты и
часть самих этих явлений выпали из поля нашего зрения, что неиз-
неизбежно при малых объемах книги (в этой связи см. [88]). Неизбежны
и определенные погрешности в историческом аспекте, имеющие как
объективные, так и субъективные причины. Для детального ознаком-
ознакомления с эффектами нелинейной оптики, в том числе не упомянутыми
в данной книге, отсылаем читателя к монографиям (помимо уже ци-
цитировавшихся в данной главе) [210-222].
Подводя итоги, можно утверждать, что нелинейная оптика сего-
сегодня является не только одним из основных разделов физической оп-
оптики, но и сама становится основной оптической дисциплиной, кото-
которую можно условно назвать «Когерентная и нелинейная оптика», в
которую, как составная часть, может войти классическая физическая
(«линейная») оптика, лазерная физика и современная нелинейная оп-
оптика. Это представляется вполне естественным, и вся история, напри-
например радиотехники, говорит о том же: именно нелинейная радиотехни-
радиотехника является основной дисциплиной, включающей в себя «линейную»
часть, а математическим аппаратом нелинейной радиотехники явля-
является аппарат нелинейных колебаний. Аналогично сказанному, мате-
математическим аппаратом когерентной и нелинейной оптики является
аппарат нелинейных волновых процессов.
П.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ КРИСТАЛЛЫ ДЛЯ
ГЕНЕРАЦИИ ГАРМОНИК И
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ГЕНЕРАЦИИ СВЕТА
Требования, предъявляемые к нелинейным кристаллам.
В настоящее время известно большое количество нелинейных кри-
кристаллов, в которых возможны трехволновые нелинейные взаимодей-
ствия (см., например, [1-9]). Однако требования, предъявляемые к
кристаллам с точки зрения получения необходимых характеристик
нелинейных оптических устройств (генераторов гармоник и парамет-
параметрических генераторов света), существенно сокращают число пригод-
пригодных для практического использования материалов.
Прежде всего отметим два основных требования: наличие квадра-
квадратичной нелинейности (отсутствие центра симметрии) и двулучепре-
ломления, достаточного для обеспечения условий фазового синхро-
синхронизма. Если первому требованию удовлетворяет достаточно большое
(^100) число кристаллов и органических соединений, то второму тре-
требованию — лишь относительно небольшое число материалов. Отметим
также требование высокого оптического качества кристаллов, предо-
предопределяемое интерференционной природой квадратично-нелинейных
эффектов. При этом важно, чтобы высоким оптическим качеством об-
обладали кристаллические образцы достаточно больших размеров (дли-
(длины и апертуры).
С первых же шагов нелинейной оптики к кристаллам предъяв-
предъявлялись также такие требования как стойкость поверхности и объема
нелинейного элемента к лазерному излучению, устойчивость и сохра-
сохраняемость свойств материала во внешней среде (негигроскопичность,
твердость, устойчивость к резким изменениям температуры и т.д.).
В процессе развития нелинейной оптики выявился еще целый ряд
требований, очень важных с точки зрения достижения высоких коэф-
коэффициентов преобразования. Сюда следует отнести требования боль-
больших значений угловой, температурной и спектральной ширин син-
синхронизма, малых потерь, отсутствия фоторефрактивного эффекта и
нелинейного поглощения, слабого влияния конкурирующих процессов
(например, вынужденного комбинационного рассеяния), специальной
ориентации и специальной геометрической формы кристаллического
образца, неподверженности к появлению центров окраски под дей-
действием УФ- и более коротковолнового излучений и т.д.
П.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ КРИСТАЛЛЫ 461
Поскольку современная техника не позволяет синтезировать нели-
нелинейные материалы с полным набором требуемых свойств г), то необ-
необходимо оптимально выбирать нелинейные кристаллы применительно
к конкретному нелинейному оптическому устройству с учетом его ре™
жимов и характеристик основного (лазерного) излучения.
Систематизация и свойства нелинейных кристаллов. При-
Применяемые нелинейные кристаллы можно разбить на две группы: кри-
кристаллы, выращиваемые из водных растворов, и кристаллы , выращивае-
мые из расплавов. Представителем первой группы является кристалл
KDP, второй — кристалл ниобата лития. Водорастворимые кристаллы
относятся к мягким материалам, они гигроскопичны, плохо выдер-
выдерживают резкие температурные перепады, отличаются относительно
малой нелинейностью. С другой стороны, эти кристаллы характери-
характеризуются высоким оптическим качеством на больших апертурах и дли-
длинах, легко синтезируются, стойки к лазерному излучению. Кристал-
Кристаллы, выращиваемые из расплавов (высокотемпературные кристаллы),
наоборот, тверды, негигроскопичны, хорошо выдерживают резкие из-
изменения температуры, характеризуются высокой нелинейностью. В
то же время их оптическое качество заметно уступает качеству водо-
водорастворимых кристаллов, что связано с физикой процесса выращива-
выращивания; они более подвержены различным наведенным эффектам (типа
фоторефрактивного); стойкость их поверхности к лазерному излуче-
излучению значительно ниже стойкости водорастворимых кристаллов. За-
Заметим также, что высокотемпературные кристаллы пока не удается
выращивать до больших размеров с сохранением приемлемого оптиче-
оптического качества. Область прозрачности водорастворимых кристаллов,
как правило, смещена по направлению к ближнему УФ-излучению, а
для высокотемпературных кристаллов — по направлению к ближнему
ИК-диапазону.
Конкретные кристаллы из обеих рассматриваемых групп имеют
определенные достоинства и недостатки. Так, например, достоин-
достоинством является 90°-ный некритичный синхронизм, а недостатком —
большое двулучепреломление в направлении синхронизма. Оптималь-
Оптимальный выбор того или иного нелинейного кристалла можно произвести
только при комплексном сопоставлении параметров кристалла с ре-
режимами генерации лазера основного излучения и характеристиками
этого излучения.
Свойства и области применения различных нелинейных кристал-
кристаллов можно рассмотреть, используя данные таблиц П.1-П.З, составлен-
составленных по материалам монографий [2, 8, 9].
В табл. П.1 приведены параметры некоторых основных, наибо-
наиболее употребительных, одноосных кристаллов: название кристалла,
1) Некоторые шаги в этом направлении предпринимаются в области нели-
нелинейных органических материалов [5, 6], а также кристаллов с регулярной
доменной структурой (см. гл. VII).
462
ПРИЛОЖЕНИЯ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Кристалл
Дигидрофосфат калия
(KDP)
Дидейтерофосфат калия
(KD*P, DKDP)
Дигидрофосфат
аммония (ADP)
Дигидроарсенат цезия
(CDA)
Дидейтероарсенат цезия
(CD*A, DCDA,)
Бета-борат бария (ВВО)
Йодат лития
Ниобат лития
Тиогаллат серебра
Фосфид цинка-германия
Се лени д кадмия
Се лени д галлия
Прустит
Формула
КН2РО4
КН2^ОЖРО4
NH4H2PO4
CsH2As04
CsH2-a.Da.AsO4
/3™ВаВ2О4
LiJO3
LiNbO3
AgGaS2
ZnGeP2
CdSe
GaSe
Ag3AsS3
Группа
симметрии
42m
42m
42m
42m
42m
3m
6
3m
42m
42m
6m
62m
3m
no
A,06 мкм)
1,49
1,50
1,51
1,55
1,55
1,65
1,86
2,23
2,45
3,22
2,52
2,90
2,83
Примечания: а) в формулах для DKDP и DCDA величина 0 ^ ж/2 < 1
есть степень дейтерирования; б) обозначения группы сисмметрии даны
по Шенфлису; в) по — показатель преломления для обыкновенной волны;
г) в ниобате лития компонента тензора d33 при традиционном синхро-
его аббревиатура и формула, группа симметрии (по Шенфлису), ко-
коэффициент преломления для обыкновенной волны, диапазон прозрач-
прозрачности (по уровню нуль пропускания), средний коэффициент поглоще-
поглощения, максимальное значение компонент тензора квадратичной нели-
нелинейности dij, отношение этого значения к величине с!зб Для кристалла
KDP, «параметр качества» <^макспо (характеризующий коэффициент
преобразования во вторую гармонику в приближении заданного поля
при прочих равных условиях).
П.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ КРИСТАЛЛЫ
463
Таблица П.1
Диапазон
прозрачности, мкм
0,174-1,57
0,2-2,1
0,18-1,53
0,216-1,87 (о-волна)
0,216-1,67 (е-волна)
0,27-2,03 (о-волна)
0,27-1,78 (е-волна)
0,189-3,5
0,28-6,0
0,4-5,5
0,47-13,0
0,74-12,0
0,75-25,0
0,62-20,0
0,6-13,0
Коэффициент
поглощения, см""
0,05
< 0,01
<0,1
0,04
0,02
0,01
<0,1
< 0,01
0,01
0,1-0,4
0,02
0,45 A,06 мкм)
< 0,1 A0,6 мкм)
<0,1
С^макс,
1,06 МКМ
пм/В
0,39
0,37
0,47
0,40
0,40
2,3 (d22)
-0,16 (dsi)
4,5
2,46 (d22)
-4,64 (<fei)
-41,7 (dss)
11
-70
-18 (dsi)
+36 (dss)
54
17
Ймакс
cIkdp
1
0,95
1,2
1,03
1,03
5,9
-0,41
11,54
6,31
-11,9
-106,9
11
179,5
-46,2
+92,3
138,5
43,6
"¦макс
0,046
0,041
0,064
0,043
0,043
1,178
3,147
3,59
9,08
156,8
8,23
146,75
20,25
81,0
119,56
12,75
низме в однородных кристаллах не может быть использована, поэтому в
последнем столбце подставлена cfai; компонента <1зз используется в РДС-
кристаллах (см. гл. VII); д) для кристаллов ИК^диапазона компонента
тензора AМакс дана на длине волны 10,6 мкм.
В табл. П.2 для тех же одноосных кристаллов, как и в табл. П.1,
приведены ориентировочные значения следующих параметров: тем™
пературной производной показателя преломления обыкновенной вол-
волны, углов синхронизма <9С для ГВГ типов «оое» и «оее» (для поло-
положительного кристалла ZnGeP2 типа «еео»), угла анизотропии (сноса)
р для необыкновенной волны, угловой (Д0С), температурной (АТС)
и спектральной (Аис) ширин синхронизма, температурных производ-
производных угла синхронизма 0С для оое™типа и дисперсионного двулучепре™
ЛОМЛеНИЯ В = 77-2 — 77-01.
464
ПРИЛОЖЕНИЯ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Кристалл
Дигидрофосфат калия
(KDP)
Дидейтерофосфат калия
(KD*P, DKDP)
Дигидрофосфат
аммония (ADP)
Дигидроарсенат цезия
(CDA)
Дидейтероарсенат цезия
(CD*A, DCDA)
Бета-борат бария (ВВО)
Йодат лития
Ниобат лития
Тиогаллат серебра
Фосфид цинка-германия
Се лени д кадмия
Се лени д галлия
Прустит
дпо/дТ,
Ю^К
-3,9
-3,2
-5,1
^2,8
-1,7
-1,66
-7,52
+2,0
+21,2
поое
у гл. град.
41,2
37,1
42,0
87,0
-80
22,7
30,2
72 (конгр.)
331} 672)
733) (еео)
12,72)
12,72)
10,27)
22,132)
14,717)
поее
у гл. град.
59,0
63,2
61,4
-
31,7
Примечания: 1) ГВГ 3,39 мкм -> 1,695 мкм; 2) ГВГ 10,6 мкм -)>
3) положительный кристалл, еео; 4) ГВГ 10 мкм —> 5 мкм;
10,2 мкм ->• 5,1 мкм; 6) ГВГ еео; 7) ГВГ 5,3 мкм ->• 2,65 мкм
0,53 мкм ->> 0,265 мкм; 9) ГВГ 1,06 мкм -> 0,53 мкм.
у гл. град.
1,6
1,45
1,75
0,035
3,2
4,2
1,2
0,49
4-5*
42)
з7)
5,3 мкм;
5) ГВГ
, 8) ГВГ
В табл. П.З даны формулы для эффективной нелинейности ёэф
для различных групп симметрии (по Шенфлису) одноосных отрица-
отрицательных (верхняя таблица, взаимодействия оое и оее) и положитель-
положительных (нижняя таблица, взаимодействия еео и еое) кристаллов для об-
общего случая невыполнения условий симметрии Клейнмана. Очевидно,
что угол <9 в этих формулах должен соответствовать углу синхрониз-
синхронизма 0Cj но выбор оптимального (с точки зрения максимизации ёэф) его
значения может быть реализован за счет изменения, например, тем-
температуры.
В табл. П.4 приведены параметры основных, наиболее употреби-
употребительных, двухосных кристаллов: название кристалла, его аббревиатура
и формула, группа симметрии (по Шенфлису), средний коэффициент
преломления, диапазон прозрачности (по уровню нуль пропускания),
П.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ КРИСТАЛЛЫ
465
Таблица П.2
Ав°сое,
у гл. град.
0,07
0,08
0,06
0,43-3*
0,41-3*
0,02
0,022
0,04
0,42)
1,0
0,15
0Д42)
АГС,
К
1,5
1,9
-2,5
3
6
37-51*
40-52*
0,5-0,7
1-2
54)
Ai/C
см
178 (оое)
100 (оее)
75 (оее)
178 (оое)
-
-
9,7 (оое)
6,3
68
1-10
505)
Ав°сее,
у гл. град.
0,13
0,13
0,14
-0,7
-
-
-
-0,16
-
0,076)
дв™е/дТ,
угл.град -К
-0,003
-0,001
0,003 (оое)
0,08 (оее)
0,1-0,2
0,04
5,7-10^4
-8,4 -10~4
0,16
-
-
-
-
дВ/дТ,
1,28)
-
5,658)
0,729)
0,789)
-
< 0,18)
-
-
-
-
-
Звездочкой * помечены данные по разным источникам; параметры ниобата
лития сильно зависят от состава кристалла (стехиометрии); параметры
дейтерированных кристаллов сильно зависят от степени дейтерирования;
В = п% — noi — дисперсионное двулучепреломление; для кристаллов с
№1 по №8 все данные приведены для ГВГ 1,06 мкм —»¦ 0,53 мкм [2-9];
все ширины синхронизма даны для длины кристалла 1 см.
средний коэффициент поглощения, максимальное значение компо-
компонент тензора квадратичной восприимчивости dij, отношение этого
значения к величине dse для KDP, «параметр качества» б?максп^3 (ха™
рактеризующий коэффициент преобразования во вторую гармонику
в приближении заданного поля при прочих равных условиях), угол
между оптическими осями 2VZ; в столбце «группа симметрии» также
указано соответствие между кристаллооптической (ж, у, z) и кристал™
лографической (а, Ь, с) системами координат (последнее необходимо
для расчета с!эф5 см. гл. VI).
В табл. П.5 для тех же двухосных кристаллов, как и в табл. П.4,
приведены ориентировочные значения следующих параметров: мак-
максимального значения температурной производной одного из коэффи-
коэффициентов преломления (пж, пу или nz), углов синхронизма в главных
466
ПРИЛОЖЕНИЯ
Группа
симметрии
кристалла
4,6
422, 622
4тт, бтт
6т2
Зт
6
3
32
4
42т
Тип I
(оое)
c?3i sin 9
0
dsi sin в
—d22 cos 9 sin 3(p
dzi sin 9 ~~ d>22 cos 9 sin 3(p
(dn cos З99 — c?22 sin З99) cos (9
((in cos 3(p—d22 sin 3y?) cos 0+
+ c/31 sin 0
dii eos0cos3(/?
— (c?3i cos 2ip + с?зб sin 2y?) sin в
—с?зб sin 0 sin 2y?
Тип II
(oeo^eoo)
di5 sin$
0
di5 sin 6*
^^22 cos 9 sin 3<^
c?i5 sin 9 — d22 cos 9 sin З92
(dn cos 3(f — c?22 sin З99) cos 9
(c?n cos 3^^с?22 sin 3cp) cos 0+
+ d\$ sin 6*
dii cos0cos3(/9
— (c?i4 sin 2ip + di5 cos 2ф) sin 6*
^di4 sin 9 sin 2y?
плоскостях, среднего значения угла анизотропии (сноса) р, ширин
синхронизма (для примера взята главная плоскоств ху).
Значения Aэф для двухосных кристаллов групп симметрии тт2
при шести различных соотношениях между кристаллографической
1
2
3
4
5
6
7
Кристалл
Триборат лития
(LBO)
Титанил-фосфат калия
(КТР)
Ниобат калия
Пентаборат-тетрагидрат
калия (KB5)
Триборат цезия (СВО)
а-йодистая кислота
Bapi "-натр ' " н' обат
(банан)
Формула
LiB3O5
КТЮРО4
KNbO.3
КВ5О84Н2О
CsB3O5
а-ШОз
Ba2NaNb50i5
Группа
симметрии
mm2
x,y,z ->> a,c,b
mm2
x,y,z ->> a,b,c
mm2
x,y,z -> b,c,a
mm2
x,y,z —t a, 6, с
222
222
ж, i/, z —-> Ь, с, a
mm2
ж, 1/, ^ —-> a, 6, с
1,59
1,78
2,18
1,45
1,55
1,85
2,20
П.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ КРИСТАЛЛЫ
467
Таблица П.З
Тип I
(еео)
—di4 sin 2(9
—d\A sin 2(9
0
d22 cos2 0cos3y?
G?22 COS2 0COS3(/?
(dn sin 3^ + c?22 cos 3(p) cos2 0
(dn sin 3(f + (I22 cos 3ip) cos2 в—
- du sin 20
dn cos2 0 sin 3tp — di4 sin 20
(di4 cos 2^9 — di5 sin 2^) sin 2(9
di4 sin 20 cos 292
Тип II
(eoe-oee)
di4 sin 0 cos 0
di4 sin 0 cos 0
0
CI22 cos2 0cos3^9
d22 COS2 0COs3(f
(du sin 3y? + c?22 cos 3y?) cos' 0
(du sin З99 + с?22 cos 3(p) cos2 (9 + di4 sin 0 cos 0
du cos2 0 sin 3y? + \d\4 sin 20
| [(с?14+с?зб) cos2(^) — (di5+d3i)sin2^] sin 20
| (di4 + с?зб) sin 20 cos 2(p
(а, Ь, с) и кристаллооптической (ж, у, z) системами осей и 222 были
уже приведены в гл. VI, поэтому они здесь не приводятся.
Анализ таблиц П.1 и П.4 показывает, что по «параметру каче-
качества» ^максп~3 кристаллы располагаются в следующем порядке (огра-
Таблица П.4
Диапазон
прозрачности
0,155-3,2
0,35-4,5
0,4^4,0
0,162-1,5
0,167^3,0
0,32-1,7
0,37-5,0
Коэфф.
поглощ., см
0,001
< 0,01
< 0,01
0,06
0,3
0,002
"макс 5
пм/В
-0,67 (*п)
+0,85 (d32)
1,4 (*л)
2,65 (d32)
10,7 (d33)
11,9 (d3i)
13,7 (d32)
20,6 (d33)
0,04
~ 1,5
-6,0
12 (d3i)
16,5 (d33)
С?макс
C^KDP
-1,72
+2,18
3,6
6,79
27,44
30,5
35,13
52,82
0,1
3,85
15,4
30,8
42,3
4акс
п3
0,11
0,18
0,35
1,25
20,3
13,7
18,1
41,0
5-Ю
0,6
5,7
13,5
25,6
214,
у гл. град.
109,2
@,53 мкм)
37,4
@,546 мкм)
66,8
@,53 мкм)
126,3
@,546 мкм)
97,3
@,53 мкм)
47
13
468
ПРИЛОЖЕНИЯ
1
2
3
4
5
6
7
Кристалл
Триборат лития
(LBO)
Титаыил-фосфат калия
(КТР)
Ниобат калия
Пентаборат-тетрагидрат
калия (KB5)
Триборат цезия (СВО)
а-йодистая кислота
Барий-натрий ниобат
(банан)
(^) -105,
\<ИУмакс
К
-13,6
1,65-3,4
-
-2,5(пя)
+8,0(п,)
Углы синхронизма ГВГ
Ч>
XY,
в = 90°
11,3^
90,02)
241)
зо7)
51,69>
25,81О)
Примечание: 1) ГВГ 1,06 мкм ->> 0,53 мкм; 2) ГВГ 0,554
3) ГВГ 1,91 мкм ->> 0,955 мкм; 4) ГВГ 1,32 мкм -)> 0,66
1,32 мкм ->- 0,66 мкм, оее; 6) ГВГ 1,0796 мкм ->> 0,5398
(9
YZ,
99 = 90°
19,91}
46,23)
691)
505)
471)
617)
50,4х)
73,81}
e<vz
xz,
5,24)
мкм —»¦ 0,277 мкм;
мкм, вое; 5) ГВГ
мкм;
ничимся пока кристаллами, прозрачными во всем видимом диапазоне
и пригодными для генерации второй гармоники неодимовых лазеров):
ниобат калия KNbOa A8,1), барий — натрий ниобат Ba2NaNb5Oi5
A3,5), ниобат лития ЫМЬОз (9,1), «-йодистая кислота а~ЩОз E,7),
иодат лития ШОз C,15), титанил-фосфат калия КТР A,25), /3 — бо-
борат бария ВВО A,18), триборат цезия СВО @,6). Разница в парамет-
параметрах качества между ниобатом калия и триборатом цезия составляет
30 раз. Из этих же таблиц следует, что весьма высокими значения™
ми параметра качества обладают кристаллы ИК™диапазона, где «ре-
«рекордсменами» (из числа рассматриваемых здесь кристаллов) явля-
являются кристаллы фосфида цинка-германия ZnGeP2 (~ 147) и селенида
галлия GaSe (^120), но при этом следует учесть, что в знаменате-
знаменателе кадратов коэффициентов нелинейной связи а±^ (см. гл. II) стоит
квадрат длины волны лазерного излучения, и с продвижением в ИК-
диапазон преимущества ИК-кристаллов по параметру качества теря-
теряются.
Пользоваться оценкой эффективности того или иного кристалла
при ГВГ по параметру качества следует с известной осторожностью.
Во-первых, этот параметр можно использовать лишь в приближени-
приближениях заданного поля лазерного излучения, т.е. при относительно малых
интенсивностях (плотностях мощности) последнего, и плоских волн
П.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ КРИСТАЛЛЫ
469
Таблица П. 5
в> vz
XZ,
<р = 0
86,05)
86,76)
58,55)
71D
621)
661}
75,4х)
Р,
у гл. град.
0,2 (XY)
1,8 (УЯ)
31} (YZ)
2,54)(FZ)
-2
- 1,5
о
1,4
Ширины синхронизма (XY, в = 90°)
у гл. град.
0,27
-0,5
1,128)
-
-
7) ГВГ 0,946 мкм ->> 0,473 мкм; 8)
-> 0,266 мкм; 10) ГВГ 0,697 -> 0,347
при в > Vz.
А^с,
у гл. град.
2,63
-2,0
0,668)
0,0641Д1)
0,0351Д1)
-
АГС,
К
6
- 25
0,288)
-
0,51}
Ai/C
см™
88
-5
3,4х'11)
вдоль оси Y; 9) ГВГ 0,532 мкм ->>
мкм; 11) в плоскости XZ (<р = 0)
(т.е. без учета дифракции и временной нестационарности). Во-вторых,
в таблицах П.1 и П.4 параметр качества для простоты ввгчислен для
максимального значения компонент тензора квадратичной нелиней-
нелинейности (напомним читателям, что компонента этого тензора ^зз в ТР^™
диционных однородных кристаллах не может быть использована, так
как связывает волны одинаковой поляризации; эту компоненту можно
использовать только в РДС-кристаллах, см. гл. VII). Реально в фор-
формулу эффективности ГВГ в приближениях заданного поля и плоских
волн входит квадрат коэффициеннта нелинейной связи, т.е. величина,
пропорциональная параметру
где Ai — длина волны основного (лазерного) излучения, с!эф — эффек™
тивная нелинейность (см. табл. П.8). В свою очередь, в выражения
для эффективной нелинейности входят комбинации синусов и коси-
косинусов углов в и ср, характеризующих ориентацию кристалла относи-
относительно луча лазера (в это выражение для двухосных кристаллов, по-
помимо в л (р, входят также комбинации синусов и косинусов третьего,
вспомогательного, угла S, см. гл. VI). За счет комбинации компонент
тензора и множителей в выражении для эффективной нелинейности
470 ПРИЛОЖЕНИЯ
последняя может быть как больше <^Макс5 так и существенно (вплоть
до нуля) меньше. Другим аспектом является наличие квадрата длины
волны основного (лазерного) излучения в знаменателе, что обусловлю
вает существенное (до 100 раз) падение величины J3 при продвижении
от Ai = 1 мкм до 10 мкм.
Весьма важным моментом при практическом использовании явля-
являются значения ширин синхронизма — угловой, температурной и спек-
спектральной. Малые значения угловой и температурной ширин синхро-
низма, соответствующие так называемому «критичному» синхрониз-
синхронизму, могут свести на нет преимущество кристалла, связанное с большой
величиной «параметра качества». Анализ таблиц П.2, П.5 показывает,
что «рекордсменами» по температурной ширине синхронизма явля-
являются кристаллы ВВО (~ 50 К), йодата лития D0^50 К) и КТР B5 К).
Попутно заметим, что в кристалле КТР недавно была теоретически
найдена и экспериментально подтверждена специальная ориентация
(в = 71,1°, (р = 67°), при которой температурная ширина синхрониз-
ма превышает 200° С [11]. При таком аномально большом значении
ширины температурной кривой синхронизма нелинейный элемент из
КТР не нуждается в термостабилизации и не подвержен тепловым са-
мовоздействиям, однако следует отметить, что при этой специальной
ориентации величина о1эф может оказаться меньшей, чем оптималь-
пая.
Для ГВГ лазерного излучения с большой расходимостью суще-
существенна угловая ширина синхронизма. Как известно, при 90°-ном син-
синхронизме (см. гл. II) в одноосных кристаллах реализуется так называе-
называемый «некритичный» (по углу) синхронизм, когда первая производная
волновой расстройки по углу обращается в нуль и «старшей» стано-
становится вторая производная. Из табл. П.1 следует, что для приведенных
в ней одноосных кристаллов угловая ширина не превышает одного
градуса, а в большинстве случаев (особенно для группы кристаллов,
изоморфных KDP) она составляет единицы угловых минут; для таких
кристаллов на первое место может выйти необходимость жесткой про™
странственной (угловой) стабилизации нелинейного элемента в лазере
и, главное, ее сохраняемости в течение срока эксплуатации.
Что касается двухосных кристаллов (см. табл. П.5), то для них
появляются два значения угловой ширины синхронизма — по в и по
ср; кристаллы LBO и КТР характеризуются величинами Асрс поряд-
порядка долей градуса и Авс порядка единиц градусов (в плоскости ху,
т.е. при некритичном по в синхронизме), что вполне достаточно для
практического применения.
В связи с важностью значений угловой, температурной и спек-
спектральной ширин синхронизма для оценки эффективности использо-
использования того или иного нелинейного кристалла, здесь будет уместно
дать пояснения по поводу соответствующих дисперсионных коэффи-
коэффициентов (один из них, а именно угловой, рассматривался в § 2.5).
П.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ КРИСТАЛЛЫ 471
Угловые, температурные и спектральные дисперсионные
коэффициенты. В общем случае показатели преломления зависят
от угла в, температуры Т и длины волны основного излучения Ai.
Изменение любого из этих параметров будет приводить к изменению
волновой расстройки. Выполняя разложение функции Д&@,Т, Ai) в
ряд по малым отклонениям аргументов от значений, соответствую-
соответствующих синхронизму (Ак (f9c, Тс, Aic) = 0), запишем
Ак @, Г, Ai) = 71Д0 + ЪАТ + 7зAAi + ... (П.2.1)
Здесь Ав = в - 0CJ AT = Т - Тс, ААХ = Ai - Aic;
дАк
7i =
дF-6,
— угловой дисперсионный коэффициент,
дАк
72 —
д(Т-Тс)
— температурный дисперсионный коэффициент,
дАк
7з =
0c,Tc,Ai
(П.2.2)
(П.2.3)
(П.2.4)
— спектральный дисперсионный коэффициент.
Указанные коэффициенты являются дисперсионными коэффици-
коэффициентами первого порядка. При некритичном синхронизме (что, напри™
мер, для угловой зависимости соответствует 9С = 90°) дисперсионные
коэффициенты первого порядка обращаются в нуль; в этом случае
следует использовать в разложении (П.2.1) вторые производные.
В приближении заданного поля основного излучения нетрудно
определить ширины угловой, температурной и спектральной кривых
синхронизма, т.е. зависимостей п2 @,1), (i2 (T,l), п2 (Ai,I), по уровню
0,41 интенсивности, используя соотношение B.4.51). Полагая для про-
простоты I = 1 см, получаем для соответствующих ширин
(М = НЕ, 6Т = ^, 6Х1 = ^. (П.2.5)
7i 7з 7з
В табл. П.2 ширины синхронизмов определены по уровню 0,5 ин-
интенсивности; в этом случае вместо B.4.51) используется соотношение
АН = 2, 78, откуда вместо (П.2.5) получаем
S0=^, ST = ^ , 5\г = ^ . (П.2.6)
7i 7з 7з
Отметим связь между дисперсионными коэффициентами и произ™
водными двс/дТ и d9c/d\i:
дАк дАкдвс двс
ъ т=ъЪт> (п-2'7)
дАк дАкдвс двс
7з = ^т— = -^ГБ~^Г -Ti^T- (П.2.8)
d\ дА9 д\ дХ
472 ПРИЛОЖЕНИЯ
Рекомендации по выбору нелинейных кристаллов. Сопо-
Сопоставление значений параметров нелинейных кристаллов (см. табли-
таблицы П.1-П.5) показывает, что для плоских волн (в отсутствие углового
и диафрагменного апертурных эффектов, фотопреломления, темпло-
вых самовоздействий и т.д.) наиболее эффективен кристалл ниоба-
та бария-натрия. Однако сравнительно низкая лазерная стойкость и
трудности выращивания достаточно больших монодоменных образ-
образцов не позволяют рекомендовать его для генерации второй гармоники
мощных импульсных лазеров. Этот кристалл наиболее пригоден в слу-
случае ВРГВГ непрерывных лазеров с внутрирезонаторной плотностью
мощности не выше 106 Вт/см2; при этом оптимальная длина кристал-
кристалла составляет 3^5 мм, обеспечивая выходную мощность гармоники в
непрерывном режиме 1—2 Вт. Достоинство ниобата бария-натрия —
реализация некритического (близкого к 90°-ному) синхронизма, что
позволяет применять сфокусированные пучки. Однако этот кристалл
требует жесткой температурной стабилизации и обеспечения близкого
к идеальному (Bi =oo) теплового контакта с термостатом; в против-
противном случае возникает неустойчивость на температурной кривой син-
синхронизма. Тепловые самовоздействия в данном кристалле в связи с
малой температурной шириной требуют введения отрицательной
обратной связи по выходному излучению гармоники. На практике
приходится идти на все эти технические усложнения, поскольку кри-
кристалл ниобата бария-натрия является пока единственным кристал-
кристаллом, пригодным для получения непрерывных мощностей порядка ват-
ватта второй гармоники маломощных непрерывных неодимовых лазеров
при близких к оптимальным коэффициентам преобразования. При ис-
использовании кристаллов йодата и ниобата лития при накачке непре-
непрерывными лазерами общий КПД генератора гармоники оказывается
в 2^3 раза ниже, чем при использовании ниобата бария-натрия. В
последнее время определенные успехи в этой области достигнуты с
использованием кристаллов КТР.
При применении твердотельных непрерывно накачиваемых лазе-
лазеров в режиме модуляции добротности импульсная плотность мощно-
мощности основного излучения повышается по отношению к средней плотно-
плотности мощности в q раз, где q — скважность импульсов; излучение таких
лазеров имеет, как правило, большую апертуру, в связи с чем необхо-
необходимо использовать образцы относительно больших размеров. Исполь-
Используемые кристаллы должны быть высоконелинейными, поскольку q не
превышает 103. При этом часто применяют фокусировку излучения
в кристалл в сочетании с режимом ВРГВГ. В подобных случаях при-
пригодны кристаллы ниобата и йодата лития, а также титанил-фосфата
калия. Хотя коэффициент нелинейной связи у ниобата лития почти
вдвое больше, чем у йодата лития, последний может оказаться пред-
предпочтительнее вследствие более высокого оптического качества (йодат
лития относится к водорастворимым кристаллам), возможности полу-
П.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ КРИСТАЛЛЫ 473
чения образцов с большой апертурой, слабой по сравнению с ниобатом
лития зависимости угла синхронизма от температуры (это позволяет
обходиться без термостата с регулятором температуры). При исполь-
зовании йодата лития можно не рассматривать влияние тепловых са-
самовоздействий и эффекта фотопреломления. В то же время малый
угол синхронизма в йодате лития, составляющий примерно 30°, при-
приводит к заметному проявлению диафрагменного апертурного эффек-
та (для компенсации этого эффекта применяют схемы с последова-
тельно размещенными кристаллами, имеющими разную ориентацию
оптических осей; см. рис. 3.31 а). В отличие от йодата, в ниобате лития
возможен 90°-ный синхронизм.
При использовании ниобата лития в режиме ВРГВГ в лазерах с
непрерывной накачкой и модуляцией добротности можно получить
более высокий КПД, чем при использовании йодата лития. Одна-
Однако схемы ВРГВГ с ниобатом лития оказываются более сложными,
так как требуют применения прецизионных регуляторов температу-
температуры, охваченных цепью отрицательной обратной связи. К тому лее,
реализация температуры 90°-ного синхронизма выше 170°С требует
использования расплавов специально подобранного состава [2—4].
При ВРГВГ на йодате лития структура пятна гармоники в даль™
ней зоне имеет «полосчатый» (интерференционный) характер. Это
объясняется сильной угловой критичностью синхронизма в йодате ли-
лития (наибольшей среди всех кристаллов; см. табл. П.З), в результате
чего даже слабая фокусировка излучения в кристалл приводит к появ-
появлению полос в плоскости синхронизма. При использовании же ниобата
лития поперечное сечение луча гармоники оказывается существенно
более однородным, что связано с угловой некритичностью синхрониз-
синхронизма.
В режимах твердотельных неодимовых лазеров с импульсной на-
накачкой, характеризующихся мощностями в импульсе основного излу-
излучения 1—10 МВт и частотами повторения импульсов 10—100 Гц, мо-
могут применяться кристаллы ниобата и йодата лития, CDA и DCDA,
КТР. При небольших плотностях мощности основного излучения C0^
50 МВт/см2) может быть использован йодат лития, не требующий
прецизионной стабилизации температуры; однако при этом необходи-
необходимо применять последовательно размещенные кристаллы для компен-
компенсации диафрагменного апертурного эффекта. При возрастании плот-
плотности мощности основного излучения до значений ~ 100 МВт/см2
применяют кристаллы ниобата лития в схемах с термостабилиза-
термостабилизаторами и цепями обратной связи (для устранения неустойчивости
температурной кривой синхронизма) и кристаллы КТР. Дальнейшее
повышение плотности мощности излучения требует обращения к вы-
высокоэффективным кристаллам группы KDP.
В многомодовых режимах излучения импульсных неодимовых ла-
лазеров с плотностью мощности 100-300 МВт/см2 и средней мощностью
474 приложения
порядка нескольких единиц ватт (малые частоты потворения импуль-
импульсов) можно с успехом использовать кристаллы CD А, поддерживае-
поддерживаемые при температуре синхронизма с относительно невысокой точно™
стью. Недостаток кристалла CDA — близость температуры 90°-ного
синхронизма к комнатной, вследствие чего требуется принудительное
охлаждение. Кристалл CDA очень чувствителен к влиянию тепловых
самовоздействий (см. рис. 3.12), поэтому его не следует использовать
при средних мощностях основного излучения более 10 Вт. Переход к
кристаллу DCDA позволяет еще более повысить среднюю мощность
(выше 10 Вт). Следует отметить, что температура 90°-ного синхро-
синхронизма в кристалле DCDA с ростом степени дейтерирования увеличи-
увеличивается; она может достичь значения, при котором водорастворимые
кристаллы неустойчивы (~ 100°С). Надо учитывать также, что кри-
кристаллы группы KDP плохо выдерживают резкие температурные пе-
перепады; нагревать или охлаждать их можно со скоростью не более
5°С/мин [5].
Применение кристаллов CD А и DCDA для удвоения частоты им-
импульсных неодимовых многомодовых лазеров, работающих в периоди-
периодическом режиме, связано в первую очередь с угловой некритичностью
синхронизма в этих кристаллах (86 « 40 угл. мин; см. табл. П.З). В
случае одномодового лазера более целесообразно использовать кри-
кристаллы KDP (для малых средних мощностей основного излучения)
и DKDP (для средних мощностей порядка 10 Вт), как более до-
доступные и дешевые, чем CDA и DCDA. Можно использовать так-
также ADP и DADP. Коэффициент нелинейной связи для KDP при
оее-синхронизме не уступает таковому для CDA при 90°-ном оое-
синхронизме, а большие длины и высокое качество кристаллов KDP
и DKDP в сочетании с малой расходимостью одномодового излучения
обеспечивают высокую эффективность преобразования C0^40%).
Заметим, что кристаллы KDP (DKDP) можно использовать (за
неимением кристаллов CD А и DCDA) также и в многомодовом режи-
режиме при условии применения схем с компенсацией углового апертурно-
го эффекта.
Генерация гармоник мощных неодимовых лазеров с малыми ча-
частотами повторения импульсов (а также в режиме одиночных импуль-
импульсов), характеризующихся высокими значениями энергии и мощности
в импульсе, возможна сегодня, по-видимому, только в кристаллах с
большими рабочими апертурами и длинами. Большие апертуры свя-
связаны с необходимостью расширения луча основного излучения для
снижения импульсной плотности мощности на входной грани кристал-
кристалла до значений не выше 400 МВт/см2; также апертуры при сохране-
сохранении высокого оптического качества реализуются в настоящее время
только для кристаллов KDP.
Изложенные рекомендации касались генерации второй гармоники
излучения неодимовых лазеров, генерирующих на основной длине
П.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ КРИСТАЛЛЫ
475
Примечани.
3 о
угл.град
зма
_. а
а о
а
о
о
К
Pi
а
Рн
Рн
CD
а
т
о
см
со
ю
см
0,15
о
т-Н
т-Н
0)
о
о
к
Рн
р,
CD
в
(Г)
о
с
т-Н
00
о
см
0,03
03
о
fin
р
н
т
о
3
К
Рн
р,
CD
в
О
С
о
ю
о
со
о
см
о
00
53,5
03
о
Рн
р
р
о
о
00
II
ости,
а
о
г-
ю
ю
т—1
о
т—1
00
о
см
о
03
о
о
р
о
Q
о
см
т-Н
т-Н
ости,
в
о
с
ю
со"
т-Н
о
т-Н
00
о
см
о
О5
03
о
о
р
и
о
ю
0,04
СЛ
о
со
о
со
03
о
о
СО
о
о
о
о
см
т-Н
II
II
Ьн
о
о
см
о
т-Н
о
сч
о
О)
о
о
СО
о
о
CD
ю
т-Н
00
о
т-Н
ю
см"
25*
03
о
а
CD
Рн
ногомодовый
а^
Рн
Рн
CD
а
о
о
ю
со
о
(М
о
со
03
о
н
ости
а
о
ю
ю
ю
ю
оо"
00
о
1—1
со"
23*
U3
03
о
н
ю
ю
о
II
3
о
см
со
1
1
03
о
о
б
ей
ffl
о
к
d:YLF лазер
А
а"
Рн
Рц
CD
а
т
о
о
00
1—1
т-Н
о
1—1
т—1
о
о
СО
Г)
н
m
CD
со
11
3
со
ю
т-Н
00
о
1—1
ю
см"
о
о
S
Рн
р,
CD
в
о
с
о
CD
ю
ь-"
оо
00
о
т-Н
CD
т-Н
22,8
03
о
о
о
Ри-
Рига
а
Рн
CD
а
о
ю
CD
ю
т—1
0,035
О)
о
т—1
о
о
о
я
Рн
р,
ш
и
G5
о
с
о
t-
т-Н
О5
00
о
т-Н
00
!
ю
см
т—1
U3
о
о
о
476 ПРИЛОЖЕНИЯ
волны А = 1,06 мкм. Ыеодимовые лазеры эффективно работают так-
также на А = 1,32 мкм. Для генерации второй гармоники излучения
таких лазеров рекомендуется использовать кристаллы ниобата бария™
натрия (для непрерывных режимов), ниобата и йодата лития (для
импульсных режимов с плотностью мощности излучения не выше
100 МВт/см ). Для удвоения частоты сравнительно мало используе-
используемых в настоящее время рубиновых лазеров эффективен кристалл
RDP.
Для генерации четвертой гармоники неодимовых лазеров
A,06 мкм —>> 0,26 мкм) практически пригодны только кристаллы
KDP, ADP, ВВО и формиата лития. Коэффициенты нелиней-
нелинейной связи для этих кристаллов при преобразовании от 0,53 к
0,26 мкм достаточно велики, что обеспечивает высокий коэффициент
преобразования основного излучения в четвертую гармонику.
Из кристаллов, появившихся в последние 15 лет, отметим
пентаборат-тетрафосфат калия (КВ5), эффективный для преобразо-
преобразования видимого излучения в дальний УФ, и титанил-фосфат калия
(КТР), обладающий весьма высоким коэффициентом нелинейности.
Эти кристаллы все шире внедряются в практику нелинейных пре-
преобразователей частоты, вытесняя многие вышеупомянутые кристал-
лы. Определенный интерес вызывают также органические нелиней-
нелинейные материалы [5, 6].
В заключение приведем таблицу параметров эффективности пре-
преобразования при ГВГ неодимовых лазеров A,06 мкм —>¦ 0,53 мкм), со-
составленную по материалам монографии-справочника [2] (табл. П.6),
где даны следующие параметры: название кристалла, тип синхрониз-
синхронизма, угол синхронизма, плотность мощности основного (лазерного) из-
излучения на входе нелинейного кристалла Si @), длительность импуль-
импульса ти, длина кристалла I, коэффициент преобразованияя; звездочкой
помечены углы синхронизма срс. Из табл. П.6 видно, что практиче-
практически во всех кристаллах достижимы высокие коэффициенты преобра-
преобразования D0-60 %) во вторую гармонику. Отметим, что современные
исследователи и разработчики лазерных и нелинейно-оптических при-
приборов все чаще предпочитают другим кристаллам кристалл КТР; на
этом же кристалле возможно создание регулярной доменной структу-
структуры (см. гл. VII), что позволяет использовать компоненту б?зз тензора
квадратичной нелинейности (см. табл. П.4).
В самое последнее время появился целый ряд высокоэффективных
ИК-кристаллов (LiInS2, LiInSe2, LiGaS2, LiGaSe2 и др.), представляю-
представляющий большой интерес для нелинейной оптики среднего ИК-диапазона,
однако, они еще пока не вышли из стен лабораторий.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К главе I
1. Тарасов Л.В. Физические основы квантовой электроники (опти-
(оптический диапазон).-М.: Сов. радио, 1976.-368 с.
Най Дою. Физические свойства кристаллов / Пер. с англ.-М.:
ИЛ, 1960.-385 с.
2. Ландсберг Г.С Оптика.-5 изд., перераб. и доп.-М.: Физматлит,
1976.-928 с; 6-е изд., стереотип.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.- 848
с.
3. Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Методы модуляции и сканирова-
сканирования света.-М.: Наука, 1970.-296 с.
4. Желудев И.С Электрические кристаллы.-М.: Наука, 1969.-216 с.
5. Синг С Нелинейные оптические материалы // Справочник по
лазерам. В 2 т. Т. 2 / Под ред. A.M. Прохорова.-М.: Сов. радио,
1978.-С. 237-271.
6. Ландау Л.Д., Лифтиц Е.М. Электродинамика сплошных сред:
Учеб. пособие: Для ун-тов.-3-е изд., стереотип.-М.: ФИЗМАТ-
ЛИТ, 2001.-656 с. (Теоретическая физика. В 10 т. Т. VIII).
7. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики: элек-
электромагнитные волны в нелинейных диспергирующих средах.—
М.: ВИНИТИ, 1965.-295 с.
8. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн.-
М.: Наука, 1979.-384 с.
9. Kleinman D.A. Nonlinear dielectric polarization in optical media //
Phys. Rev. 1962. V. 126, №6. P. 1977-1985.
10. Нелинейная спектроскопия / H. Бломберген, Т. Хэнщ Р. Брюер
и др.; Под ред. Н. Бломбергена; Пер. с англ.; Под ред. С.А.
Ахманова.-ЪА.: Мир, 1979.-586 с.
11. Бломберген Н. Нелинейная оптика / Пер. с англ.; Под ред.
С.А. Ахманова и Р.В. Хохлова.-ЪА.: Мир, 1966.-424 с.
12. Горелик Г.С. Колебания и волны.-М.; Л.: Гостехиздат, 1950.-551 с.
13. Мейснер Л.Б., Салтиел СМ. Нелинейные восприимчивости //
Справочник по лазерам. В 2 т. Т. 2 / Под ред. A.M. Прохорова-
М.: Сов. радио, 1978.- С. 271-292.
478 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
14. Dmiiriev V.G., Gurzadyan G.G., Nikogosyan D.N. Handbook of
Nonlinear Optical Crystals. Berlin - N.Y.: Springer-Verlag, 1999
(Third edition).
15. Шен И. Р. Принципы нелинейной оптики. / Пер. с англ.; Под
ред. С.А. Ахманова.-М.: Наука, 1989.
16. Сухорукое А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике
и радиофизике.-М.: Наука, 1988.
17. Nikogosyan D.N. Properties of Optical and Laser™Related Materials
(Handbook).-L.: J. Wiley a. Sons, 1997.
18. Дмитриев В. Г. Нелинейная оптика и обращение волнового
фронта.-М.: Физматлит, 2000.
19. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны.—М.: Физмат-
Физматлит, 2000.
20. Sutherland R.L. Handbook of Nonlinear Optics.-N.Y.: Marcel
Dekker, 1996.
21. Блистанов А.А. Кристаллы квантовой и нелинейной оптики.™
М.: МИСИС, 2000.
К главе II
1. Тарасов Л. В. Физические основы квантовой электроники (опти-
(оптический диапазон).-М.: Сов. радио, 1976.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред:
Учеб. пособие: Для ун-тов.-3-е изд., стереотип.-М.: ФИЗМАТ-
ФИЗМАТЛИТ, 2001.-656 с. (Теоретическая физика. В 10 т. Т. VIII).
3. Ландсберг Г.С. Оптика.-5 изд., перераб. и доп.-М.: Физматлит,
1976.^928 с; 6-е изд. стереотип.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.^ 848 с.
4. Калитеевский ИМ. Волновая оптика.-М.: Наука, 1971.
5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний.™
Физматгиз, 1959.
6. Хохлов Р.В. О распространении волн в нелинейных диспер™
гирующих линиях // Радиотехн. и электрон. 1961. Т. 6., JY56.
С. 1116-1120.
7. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной опти-
оптики (электромагнитные волны в нелинейных диспергирующих
средах).^М.: ВИНИТИ, 1965.
8. Бломберген Н. Нелинейная оптика / Пер. с англ.; Под ред.
С.А. Ахманова и Р.В. Хохлова.-М.: Мир, 1966.-424 с.
9. Дмитриев В.Г., Ицхоки И.Я. Оптические умножители ча™
стоты // Справочник по лазерам. В 2 т. / Под ред.
A.M. Прохорова.^М.: Сов. радио, 1978.-Т.2.-С. 292^319.
к главе п 479
10. Мейснер Л.Б., Салтиел СМ. Нелинейные восприимчивости:
экспериментальные данные и методы расчета // Справочник по
лазерам. В 2 т. / Под ред. A.M. Прохорова.-М.: Сов. радио,
1978.-Т.2.-С. 271.
11. Синг С Нелинейные оптические материалы // Справочник по
лазерам. В 2 т. / Под ред. A.M. Прохорова.-М.: Сов. радио,
1978.-Т.2.-С. 237.
12. Янке Ж, Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции / Пер. с нем.;
Под ред. Л.И. Седова-М.: Наука, 1977.
13. Kleinman D.A. Nonlinear dielectric polarization in optical media //
Phys. Rev. 1962. V. 128, №6. P. 1977-1985.
14. Kleinman D.A. Theory of second harmonic generation of light //
Phys. Rev. 1962. V. 128, №4. P. 1761-1775.
15. Ахманов С.А. Когерентные нелинейные волновые процессы в
оптике: умножение, смешение и параметрическое преобразовав
ние частот в оптическом диапазоне // Весщ АН БССР. Сер.
ф!з.~мат. навук. 1965. №4. С. 68-88.
16. Дмитриев В.Г., Еремеева Р.А., Ершов А.Г. и др. Инженер-
Инженерный расчет и оптимизация параметров удвоителей частоты
оптического диапазона // Квантовая электроника / Под ред.
Н.Г. Басова.-Мл Сов. радио, 1972.-Вып. 5.-С. 72-79.
17. Волосов В.Д. Влияние параметров излучения ОКГ и нелиней-
нелинейной среды на эффективность генерации второй оптической гар-
гармоники // ЖТФ. 1969. Т. 39, №12. С. 2188-2197.
18. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн.-
М.: Наука, 1979.-384 с.
19. Ахманов С.А., Сухорукое А.П., Чиркин А.С Об апертурных
ограничениях эффективности оптических удвоителей часто-
частоты // Изв. вузов. Радиофиз. 1967. Т. 10, №12. С. 1639-1654.
20. Волосов В.Д., Ращектаева ММ. Высокоэффективное преобра™
зование во вторую гармонику излучения лазера на неодимовом
стекле // Опт. и спектроск. 1970. Т. 28, МП. С. 105-111.
21. Маркузе Д. Оптические волноводы / Пер. с англ.; Под ред. Ille ~
ченко В.В-Мл Мир, 1974.-576 с.
22. Boyd J.D., Kleinman D.A. Parametric interaction of focused Guas-
sian light beams // J. Appl. Phys. 1968. V. 39, №8. P. 3597-3639.
23. Тарасов Л. В. Физика процессов в генераторах когерентного оп-
оптического излучения.-М.: Сов. радио, 1981.-440 с.
24. Гончаренко A.M. Гауссовы пучки света.-Минск: Наука и техни™
ка, 1977.
25. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1 /
Пер. с нем.-М.; Л.: Гостехиздат, 1951.-476 с.
480 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
26. Тагиев З.А. Приближение заданной интенсивности в теории
нелинейных волн в диспергирующих средах: Дис... канд. физ-
физмат. наук.-М.: МГУ. Физич. фак., 1976.-152 с.
27. Rustagi К. С, Mehendale S.C., Meenakshi S. Optical frequency
conversion in QPM stacks of nonlinear crystals // IEEE J. Quant.
Electron. 1982. V. 18, №6. P. 1029.
28. Юрьев Ю.В. Генерация второй гармоники лазерного излучения
в однородных нелинейных и периодически нелинейных кристал-
кристаллах с учетом термооптических искажений. Дис... канд. физ~мат.
наук.-М.: МФТИ, 2002.
29. Dmitriev V.G., Gurzadyan G.С, Nihogosyan D.N. Handbook of
Nonlinear Optical Crystals.- Berlin: Springer™Verlag, 1996 (Second,
revised and updated edition); 1999 (Third edition).
30. Шен И. Р. Принципы нелинейной оптики / Пер. с англ.; Под ред.
С.А. Ахманова-М.: Физматлит, 1989.
31. Сухорукое А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике
и радиофизике.-М.: Физматлит, 1988.
32. Nikogosyan D.N. Properties of Optical and Laser™Related Materials
(Handbook).-L.: J. Wiley a. Sons, 1997.
33. Дмитриев В.Г. Нелинейная оптика и обращение волнового
фронта.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.
34. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны.—М.: ФИЗ-
ФИЗМАТЛИТ, 2000.
35. Sutherland R.L. Handbook of Nonlinear Optics.-N.Y.: Marcel
Dekker, 1996.
36. Блистанов А.А. Кристаллы квантовой и нелинейной оптики.™
М.: МИСИС, 2000.
37. Chen Y.F., Chen Y.C //Appl. Phys. В: Laser and Optics. 2003.
V.76, №6, P. 645-647.
К главе III
1. Ахманов С.Ап Чиркин А.С. Статистические явления в нели-
нелинейной оптике.-М.: Изд-во Московск. ун-та, 1971.-128 с.
2. Рмбцев Н.Г. Материалы квантовой электроники.-М.: Сов. ра-
радио, 1972.-382 с.
3. Кузъминов Ю.С. Ниобат и танталат лития (материалы для
нелинейной оптики).-М.: Наука, 1975.-223 с.
4. Бутягин О.Ф., Зоренко В.П., Ильинский Ю.А. Влияние попе-
поперечной неоднородности показателя преломления нелинейного
кристалла на генерацию второй гармоники // Квантовая элек-
электроника / Под ред. Н.Г. Басова-Ш.: Сов. радио, 1971.-JVM.-
С.103-107.
К ГЛАВЕ III 481
5. Бутягин О.Ф. Влияние линейной неоднородности показателя
преломления нелинейных кристаллов на генерацию второй гар-
гармоники // Квантовая электроника / Под ред. Н.Г. Басова.-Ж.:
Сов. радио, 1972.-^7. С. 26-32.
6. Бутягин О.Ф., Ваксман В.М., Казаков А.А., Швом Е.М. Вли™
яние линейной неоднородности среды на генерацию второй гар-
гармоники в нелинейном режиме // Квант, электрон. 1974. Т. 1, №4.
С. 812-819.
7. Тагиев З.А., Чиркин А.С. Об эффективности преобразования
оптических частот в неоднородных нелинейных средах // Квант,
электрон. 1977. Т. 4, №7. С. 1503-1508.
8. Градштейн И. С, Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, ря-
рядов и произведений.-М.: Физматгиз, 1963.
9. Янке Е., Эмде Ф., Лет Ф. Специальные функции / Пер. с нем.;
Под ред. И.И. Седова.-М.: Наука, 1977.-343 с.
10. Борн М., Вольф Э. Основы оптики / Пер. с англ.; Под ред.
Г.П. Мотулевич.-М.: Наука, 1970.-855 с.
11. Калитеевский Н.И. Волновая оптика.-М.: Наука, 1971.-376 с.
См. также:
Калитеевский Н.И. Волновая оптика.-3™е изд., перераб. и доп.-
М.: Высш. школа, 1995.
12. Иванова З.Ж., Холодных А,И. Влияние оптических неодно™
родностей на эффективную длину нелинейных кристаллов //
Квант, электрон. 1980. Т. 7, №3. С. 608-612.
13. Тарасов Л. В. Физика процессов в генераторах когерентного оп-
оптического излучения.-М.: Сов. радио, 1981.-440 с.
14. Дмитриев В.Г., Ицхоки И.Я. Оптические умножители часто-
частоты // Справочник по лазерам. В 2 т. Т. 2 / Под ред. A.M. Про-
хорова.^М.: Сов. радио, 1978.-С. 292-319.
15. Сухорукое А.П., Фельд С.Я., Хачатрян A.M., Шумилов Э.Н.
Стационарная тепловая самофокусировка лазерных пучков //
Квантовая электроника / Под ред. Н.Г. Басова-Ж.: Сов. радио,
1972. №2(8).-С. 53-60.
16. Сухорукое А.П. Тепловые самовоздействия интенсивных свето-
световых волн // УФН. 1970. Т. 101, № 1. С. 81-83.
17. Юдаев Б.И. Теплопередача.-М.: Высшая школа, 1973.
18. Okada M., leiri S. Influences of self-induced thermal effects on
phase-matching in nonlinear optical crystals // IEEE 1971. V. QE-7,
W 12. P. 560-563.
19. Михина Т.В., Сухорукое А.П., Томов И.В. Влияние тепловых
самовоздействий на протекание когерентных нелинейных оп-
оптических процессов // Ж. прикл. спектроск. 1971. Т. 15,
С. 1001-1007.
482 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
20. Brugger К. Exact solutions for the temperature rise in a laser™
heated slab // J. Appl. Phys. 1972. V.43, №2. P. 577-583.
21. Дмитриев В.Г., Коновалов В.А., Шалаев Е.А. К теории теп™
лового еамовоздейетвия при генерации второй гармоники в
нелинейных кристаллах // Квант, электрон. 1975. Т. 2, JY53.
С. 496-502.
22. Дмитриев В.Г., Злодеев А.Г., Коновалов В.А., Шалаев Е.А.
Гистерезис температурной кривой синхронизма // Квант, элек™
трон. 1979. Т. 6, №12. С. 2603-2606.
23. Дмитриев В.Г., Чередниченко О.Б. Перестраиваемые лазеры с
импульсной накачкой // Изв. АН СССР. Физ. 1980. Т. 44, №8.
24. Лохов Ю.Н., Моспанов B.C., Фивейский Ю.Д. Предельная дли-
длительность импульса при ГВГ в кристалле KDP // Квантовая
электроника / Под ред. Н.Г. Басова.-Ш.: Сов. радио, 1972.-
№2(8) .-С. 103-105.
25. Маймистов А.И., Малое Л.Р., Маныкин Э.А. Генерация гармо-
гармоник в условиях двухквантового резонанса // Квант, электрон.,
1975. Т. 2, №4. С. 677-683.
26. Дмитриев В.Г., Коновалов В.А. Влияние двухфотонного погло-
поглощения излучения на генерацию второй гармоники в кристал-
кристаллах // Квант, электрон. 1979. Т.6, №3. С. 500-505.
27. Тарасов Л.В. Физические основы квантовой электроники: опти-
оптический диапазон.-М.: Сов. радио, 1976.-368 с.
28. Фридкин В.М. Фотоеегнетоэлектрики.-М.: Наука, 1979.-264 с.
29. Chen F.S. Optically induced change of refractive indices in LiNbO3
and LiTaO3 // J. Appl. Phys. 1969. V.40, №8. P. 3389-3396.
30. Дмитриев В.Г., Коновалов В.А., Шалаев Е.А. Влияние на-
наведенной оптической неоднородности показателя преломления
на генерацию второй гармоники в кристаллах метаниобата ли-
лития // Квант, электрон. 1979. Т.6, №3. С. 506-512.
31. Ханин Я. И. Динамика квантовых генераторов.—М.: Сов. радио,
1975.-496 с.
См. также:
Ханин Я. И. Основы динамики лазеров.-М.: Наука. Физматлит,
1999.
32. Орлов Р.Ю., Усманов Т., Чиркин А.С. Удвоение частоты ла-
лазерного излучения в нестационарном режиме // ЖЭТФ. 1969.
Т. 57, №4A0). С. 1069-1080.
33. Карамзин Ю.Н., Сухорукое А.П. Ограничение эффективности
удвоителей частоты пикосекундных импульсов света // Квант,
электрон. 1975. Т. 2, №5. С. 912-918.
34. Akhmanov S.A., Kovrygin A.I., Sukhorukov A.P. Optical harmonic
generation and optical frequency multipliers // Quantum Electr.:
A.-Treatise.: Acad. Press, 1975. V.I.-P. 475.
К ГЛАВЕ III 483
35. Кабелка В.Ип Пискарскас А.С, Стабинис А.Ю. Частотные за-
висимости групповых скоростей и дисперсионного расплывания
волновых пакетов в кристалле KDP // Квантовая электроника /
Под ред. Н.Г. Басова.^М.: Сов. радио, 1973-№5A7)-С. 135-137.
36. Кабелка В.И., Пискарскас А.С, Стабинис А.Ю. , Шер Р.Л.
Групповой синхронизм взаимодействующих сверхкоротких све-
световых импульсов в нелинейных кристаллах // Квант, электрон.
1975. Т. 2, №2. С.434-436.
37. Carman R.L., Hanus /., Weinberd D.L. A new, widely and
continuously tunable, high-power pulsed laser sourse // Appl. Phys.
Letts. 1967. V.II, №8. P. 250-253.
38. Ахманов С.А., Сухорукое А.П., Чиркин А.С Нестационарные
явления и пространственно-временная аналогия в нелинейной
оптике // ЖЭТФ. 1968. Т. 55, №4. С. 1430-1448.
39. Ducuing X, Bloembergen N. Static fluctuations in nonlinear optical
processes /7 Phys. Rev. 1964. V. 133, №6A. P. 1493-1502.
40. Weber H.P., Dandliker R., Grutter A.A. Das Fluktuations-verhal-
ten von Signalen, die dureh optisches Misehen entstanden sind //
Z. angew. Math, und Physik. 1969. V. 20, fasc. 4. P. 571-572.
41. Дмитриев В.Г., Суков А.И., Шалаев Е.А. Влияние частичной
синхронизации мод на процесс генерации второй гармоники //
Квант, электрон. 1979. Т. 6, №4. С. 714-722.
42. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. О пространственно-временной ана-
аналогии в теории систем с переменными параметрами // Радио-
техн. и электрон. 1962. Т. 7, №8. С. 1453-1455.
43. Рябов С.Г., Торопкин Г.Н., Усольцев И.Ф. Приборы квантовой
электроники.-М.: Сов. радио, 1976.-310 с.
44. Волосов В.Д., Ращектаева ММ. Ввгсокоэффективное преобра-
преобразование во вторую гармонику излучения лазера на неодимовом
стекле // Опт. и спектроск. 1970. Т. 28, МП. С. 105-111.
45. Ванюков М.П., Волосов В.Д. Методы расчета и конструирова-
конструирования высокоэффективных генераторов оптических гармоник //
Лазеры и их применения.-Дрезден, 197О.^С. 809^814.
46. Волосов В.Д., Горячкина Е.В. Компенсация дисперсии синхро-
синхронизма при генерации гармоник немонохроматического излуче-
излучения // Квант, электрон. 1976. Т. 3, №7. С. 1577-1580.
47. Волосов В.Д., Карпенко С.Г., Корниенко Н.Е., Стрижев-
ский В. Л. Метод компенсации дисперсии фазового синхрониз-
синхронизма в нелинейной оптике // Квант, электрон. 1974. Т. 1, №9.
С. 1966-1982.
48. Волосов В.Д., Калинцев А.Г., Крылов В.Н. Вырожденные па-
параметрические процессы при трехволновых взаимодействиях в
последовательно расположенных кристаллах // Письма в ЖТФ.
1976. Т. 2, №2. С. 85-89.
484 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
49. Ахманов С.А., Дмитриев В.Г., Моденов В.П. К теории умно-
умножения частоты в резонаторе, заполненном нелинейной средой //
Радиотехн. и электрон. 1965. Т. 10, №4. С. 649-657.
50. Лугина А.С, Белый В.Н., Инсарова Н.И. и др. Эффектив-
Эффективная внутрирезонаторная генерация второй гармоники // Квант,
электрон. 1978. Т. 5, №7. С. 1576-1578.
51. Saikan ?., Ouw D., Schafer F. Automatic phase-matched
frequency-doubling system for the 240-350 mm region // Appl. Opt.
1979. V.18, №2. P. 193-196.
52. Дмитриев В.Г., Копылов СМ. Генерация второй гармоники
квазиодномодового лазерного излучения при сильном энерго-
энергообмене // Квант, электрон. 1983. Т. 10, №10. С. 2008-2013.
53. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статисти-
статистическую радиофизику и оптику.-М.: Наука, 1981.-640 с.
54. Стрижевский В.Л., Карпенко С.Г., Бугаев А.В. Влияние ста-
статистики возбуждаемого излучения на спектр генерируемого из-
излучения в нелинейной оптике // Опт. и спектроск. 1970. Т. 29,
№5. С. 953-957.
55. Ахманов С.А., Сухорукое А.П., Чиркин А.С Об апертурных
ограничениях эффективности оптических удвоителей часто-
частоты // Изв. вузов. Радиофиз. 1967. Т. 10, №12. С. 1639-1655.
56. Волосов В.Д., Калинцев А.Г. Расчет оптических удвоителей ча-
частоты // Квант, электрон. 1974. Т. 1, №4. С. 825-829.
57. Ибрагимов Э.Ф., Редкоречев В.И., Сухорукое А.П., Усманов У
Эффективное удвоение частоты излучения многокаскадно-
многокаскадного неодимового лазера // Квант, электрон. 1982. Т. 9, №6.
С. 1131-1140.
58. Копылов СМ. ГВГ многомодового лазерного излучения с ам-
амплитудной и произвольной модуляциями поля в поперечном се-
сечении // Квант, электрон. 2002. Т. 32, №3. С. 223-224.
59. Dmiiriev V.G., Gurzadyan G.G., Nikogosyan D.N. Handbook of
Nonlinear Optical Crystals.-Berlin; N.Y.: Springer-Verlag, 1991
A-st ed.), 1996 B-nd ed.), 1999 C-rd, revised ed).
60. Дмитриев В.Г., Юрьев Ю.В. Термооптические искажения при
ГВГ в нелинейных кристаллах // Квант, электрон. 1998. Т. 25,
№3. С. 249-254; 1999. Т. 26, №1. С. 93.
61. Дмитриев В.Г., Юрьев Ю.В. Расчет термооптических искаже-
искажений при ГВГ для некоторых нелинейных кристаллов // Квант.
электрон. 1998. Т. 25, №11. С. 1028-1032.
62. Гречин С Г., Дмитриев В. Г., Дьяков В. А., Прялкин В.И.
Аномально-некритичный по температуре фазовый синхронизм
при преобразовании частоты в нелинейных кристаллах //
Квант, электрон. 1998. Т. 25, №11. С. 963-964.
к главе iv 485
63. Гречин С.Г., Дмитриев В.Г., Дьяков В. А., Прялкин В.И.
Некритичный по температуре синхронизм при ГВГ в кристалле
КТР // Квант, электрон. 1999. Т. 26, №1. С. 77-81.
64. Ахманов С.А., Вислоух В. А., Чиркин А.С. Оптика фемтоее-
кундных лазерных импульсов.—М.: Наука, 1988.
К главе IV
1. Методы расчета оптических квантовых генераторов. В 2 т. /
Б.И. Степанов, П.А. Апанасевич, В.П. Грибковский и др. Под
ред. Б.И. Степанова.—Минск.: Наука и техника, 1966.—Т. 1.—
484 с.
2. Цернике Ф., Мидвинтер Дж. Прикладная нелинейная оптика /
Пер. с англ.; Под ред. С.А. Ахманова.-М.: Мир, 1976.-262 с.
3. Geusic /., Levinstein Hn Singh S. ei al. Continuous 0,532 /im solid-
state source using Ba2NaNb50i5 // Appl. Phys., Letts. 1968. V. 12,
№ 9.-P. 306-308.
4. Smith R.G. Theory of intracavity optical second harmonic
generation // IEEE. 1970. V. QE™6, №4.-P. 215-223.
5. Дмитриев В.Г., Шалаев Е.А., Швом Е.М. Эффективная вну-
трирезонаторная генерация второй гармоники // Квантовая
электроника / Под ред. Н.Г. Басова.-М.: Сов. радио, 1973.-
Вып. 5.-С. 132-135.
6. Генкин P.O., Исянова Е.Д., Камач Ю.Э. и др. Эксперименталь-
Экспериментальное исследование генерации второй гармоники излучения в ре™
зонаторе // Опт. и спектроск. 1971. Т. 30, №1. С. 137-139.
7. Исянова Е.Д., Овчинников В.М. Генерация моноимпульсов в ре-
резонаторе, преобразующем излучение во вторую гармонику //
Опт. и спектроск. 1972. Т. 32, МП. С. 168-173.
8. Дмитриев В,Г., Шалаев Е.А, Об увеличении длительности им-
импульса излучения лазера на AHF:Nd3+ в режиме электрооптиче-
электрооптической модуляции добротности с внутрирезонаторной генерацией
второй гармоники // Квант, электрон. 1979. Т. 6, № 1. С. 225-230.
9. Дмитриев В.Г., Ицхоки И.Я. К теории внутрирезонаторной ге-
генерации второй гармоники // Квант, электрон. 1975. Т. 2, №7.
С. 1367-1373.
10. Chester R.B., Karr M.A., Geusic J.E. Repetitively Q~switched Nd™
YAG-L1JO3 0,53 /iin harmonic source // J. Appl. Phys. 1970. V. 41,
№ 10 P. 1425-1427.
11. Дмитриев В.Г., Денисов А.Н., Шалаев Е.А, Влияние квадра-
квадратичной нелинейности на необходимые условия спонтанной син-
синхронизации мод лазера на YAG:Nd3+ // Квант, электрон. 1978.
Т. 5, №11. С. 2479-2482.
486 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
12. Дмитриев В.Г., Корниенко Н.Е., Рыжков А. И. и др. Внутри™
резонаторная генерация второй оптической гармоники при на-
наличии волновой расстройки // Квант, электрон. 1976. Т. 3, №2.
С. 393-403.
13. Дмитриев В.Г., Новокрещенов В.К. Амплитудт> и фазовоча™
стотные характеристики лазера на AHF:Nd3+ с внутрирезона-
торной генерацией второй гармоники // Квант, электрон. 1977.
Т. 4, №7. С. 1582-1587.
14. Голяев Ю.Д., Дмитриев В.Г., Фомичев А.Н. Избыточные
флуктуации мощности излучения второй гармоники непрерыв-
непрерывных лазеров на гранате // Тез. докл. 8 Всес. конф. по когерент-
когерентной и нелинейной оптике.-Тбилиси: Мецниереба, 1976.-С. 312.
15. Тарасов Л.В. Физика процессов в генераторах когерентного оп-
оптического излучения.-М.: Сов. радио, 1981.-440 с.
16. Polloni Д., Svelto О. Optimum coupling for intracavity SHG //
IEEE. 1968. V.QE™4. №9. P. 528-530.
17. Дмитриев В.Г., Кутнир В.Р., Рустамов СР., Фомичев А.А.
Оптимизация параметров ОКГ на алюмо-иттриевом гранате с
неодимом в квазинепрерывном режиме генерации с нелинейным
элементом внутри резонатора // Квантовая электроника / Под
ред. Н.Г. Басова-М.: Сов. радио, 1972.-Вып. 2.-С. 111-112.
18. Волосов В.Д., Карпенко СР., Корниенко Н.Е. и др. Внутрире™
зонаторная генерация второй оптической гармоники // Квант,
электрон. 1975. Т. 2, №5. С. 919-929.
19. Волосов В.Д., Корниенко Н.Е., Крылов В.Н. и др. Фазовые эф-
эффекты при внутрирезонаторной генерации второй оптической
гармоники // Опт. и спектроск. 1979. Т. 46, №1. С. 119-126.
20. Murray J.E., Harris S.E. Pulse lengthening via overcoupled
internal second harmonic generation // J. Appl. Phys. 1970. V.41,
№2. P. 609-613.
21. Конвисар П.Г., Рустамов СР., Фомичев А.А. Влияние терми™
чески индуцированного двулучепреломления активного элемен-
элемента на внутрирезонаторную генерацию гармоники при непрерыв-
непрерывной накачке // Квант, электрон. 1974. Т. 1, №3. С. 667-671.
22. Staiz H., De Mars G. Transients and oscillation pulses in masers //
Quantum Electronics / Ed. by C.H. Townes.-N.Y.: Columbia Univ.
Press. 1960.-P. 530-538.
23. Ханин Я.И. Динамика квантовых генераторов.—М.: Сов. радио,
1975.-496 с.
24. Чеслер Р.В., Карр М.А., Реши Дж.У. Экспериментальное и те-
теоретическое исследование лазеров на AHF:Nd3+ в режиме с вы-
высокой частотой модуляции добротности // ТИИЭР. 1970. Т. 58,
№12. С. 27-44.
к главе iv 487
25. Дмитриев В.Г., Конвисар П.Г., Рустамов СР., Фомичев А.А.
Особенности внутрирезонаторной генерации второй гармони-
гармоники твердотельных О КГ с непрерывной накачкой // Тез. докл.
7 Всес. конф. по когерентной и нелинейной оптике.-Ташкент:
Изд-во Московск. ун-та, 1974.-С. 446.
26. Конвисар П.Г., Фомичев А.А. Оптимизация и устойчивость
YAG:Nd™ лазера с непрерывной накачкой в режиме глубокой
внутрирезонаторной модуляции // Квант, электрон. 1981. Т. 8,
№6. С. 1253-1270.
27. Конвисар П.Г., Рустамов СР., Силичев О.О., Фомичев А.А.
Непрерывно накачиваемый твердотельный лазер в режиме глу™
бокой модуляции нагрузки // ЖТФ. 1979. Т. 49, № 2. С. 386-388.
28. Chester R.B., Maydan D. Calculation of YAG:Nd cavity
dumping // J. Appl. Phys. 1971. V.42, №3. P. 1028-1030.
29. Maydan D., Chester R.B. Q~switching and cavity dumping of
YAG:Nd lasers // J. Appl. Phys. 1971. V.42, №3. P. 1031-1034.
30. Кравченко В.И., Смирнов А.А., Соскин М.С. Перестройка ча-
частоты и высокоэффективный вывод излучения второй гармо-
гармоники из призменного дисперсионного резонатора неодимового
лазера // Квантовая электроника / Под ред. Н.Г. Басова.-М.:
Сов. радио, 1971. Вып. 5.-С. 131-133.
31. Волосов В.Д., Крылов В.Н. ВРГВГ с выводом двулучепрелом-
ляющей призмой // Опт. и спектроск. 1973. Т. 35. С. 120.
32. Дмитриев В.Г., Зенкин В.А. Усиление и генерация второй он™
тической гармоники в активно-нелинейной среде // Квант, элек-
электрон. 1976. Т.З, №8. С. 1811-1813.
33. Дмитриев В.Г., Зенкин В.А., Корниенко Н.Е. и др. Лазеры с
активно™нелинейными средами // Квант, электрон. 1978. Т. 5,
№11. С. 2416-2427.
34. Карпенко СР., Стриэюевский В.Л. Нестационарная внутрире-
зонаторная генерация второй оптической гармоники в лазерах
с активно^нелинейными средами // Квант, электрон. 1979. Т. 6,
№3. С. 437-445.
35. Каминский А.А. Лазерные кристаллы.-М.: Наука, 1975.-256 с.
36. Евланова Н.Ф., Ковалев А.С, Копцик В.А. и др. Индуцирован-
Индуцированное излучение кристаллов ЫгЧЬОз с примесью неодима // Пись-
Письма в ЖЭТФ. 1967. Т.5. С. 351-352.
37. Jonson L.F., Ballman A.A. Coherent emission from rareearth ions
in electrooptic crystals // J. Appl. Phys. 1969. V.40, МП. Р.297.
38. Kaminskii A. A., Koptsik V.A., Maskaev Yu.A. et al Stimulated
emission from Nd+3-ions in ferroelectric Ba2NaNb5Oi5 crystals //
Phys. State Sol 1975. V. 28, №1. P. K5-K10.
488 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
39. Рез И. С О кристаллохимических возможностях создания но™
вых полифункциональных материалов квантовой электрони-
электроники // Тез. докл. 8 Всес. конф. по когерентной и нелинейной
оптике.-Тбилиси: Мецниереба, 1976.-С. 211.
40. Ивлева Л.И., Каминский А.А., Кузъминов Я).С, Шпаков В.Н.
Поглощение, люминесценция и индуцированное излучение
кристаллов LiNb(VNd+3 // Докл. АН СССР. 1968. Т. 183.
С. 1068-1071.
41. Kaminov J.P., Stub L. W. Nd:LiNbO3-laser // IEEE. 1975. V. QE~
11, №6. P. 306-308.
42. Дмитриев В.Г., Ицхоки И.Я., Швом Е.М. К теории генерации
тведотельного лазера с немгновенным включением добротности
резонатора: Электронная техника. Сер. 10 // Квант, электрон.,
1975.-Вып. 1.-С. 30-34.
43. Smith R.G. // IEEE J. Quant. Electronics. 1970. V. QE~6. P. 215.
44. Конвисар П.Г., Михайлов В.Ю., Рустамов СР. Непрерывные
лазеры на алюмоиттриевом гранате. Ч. I // Электронная тех™
ника. Сер. 11: Лазерная техника и оптоэлектроника, 1982.—
Вып. 4B2).-С. 3-34; Ч.П там же. 1983.-Вып. 1B3).-С. 3-29.
45. Umegaki S. // Japan. J. AppL Phys. 1980. V. 19, №5. P. 949.
46. Umegaki S. // Japan. J. AppL Phys. 1976. V. 15, №8. P. 1595.
47. Gonzales D.G., Nieh S.T.K., Steier W.H. // IEEE J. Quant.
Electronics. 1973. V. QE-9, №1. P.23.
48. Culshaw W., Kannelaud X, Peterson A.E. // IEEE J. Quant.
Electronics. 1974. V. QE-10, №2. P. 253.
49. Дмитриев В.Г., Раевский Е.В., Рашкович Л.Н. и др. О на-
наблюдении одновременной генерации основного излучения и вто-
второй гармоники в активно-нелинейной среде-метаниобате лития
с неодимом // ЖТФ. Письма. 1979. Т. 5, вып. 22.-С. 1400-1402.
50. Fan T.Y., Cordova-Plaza A., Digonnet MJ.F. et al // J. Opt. Soc.
Amer. 1986. B3. P. 140-147.
К главе V
1. Богданкевич О.В., Дарзнек С.А., Елисеев А.Г. Полупроводни™
ковые лазеры.-М.: Наука, 1976.-415 с.
2. Ф.П.Шефер^ Б.Б.Снэйвли и др. Лазеры на красителях / Пер. с
англ.; Под ред. Л.Д.Деркачевой.-М.: Мир, 1976.-330 с.
3. Данилычев В.А., Керимов О.М., Ковш И.Б. Оптические кван-
квантовые генераторы на сжатых газах // Тр. ФИАН. 1976. Т. 85.
С. 49-142.
4. Архангельская В.А., Феофилов П.П. Перестраиваемые лазеры
на центрах окраски в ионных кристаллах // Квант, электрон.
1980. Т. 7, №6. С. 1141-1160.
к главе v 489
5. СМ. Копылов, Б. Г. Лысой, С. Л. Серегин, О. Б. Чередниченко.
Перестраиваемые лазеры на красителях и их применение.-М.:
Радио и связь, 1991.
6. Ахманов С А., Хохлов Р. В. Об одной возможности усиления
световых волн // ЖЭТФ. 1962. Т. 43, №1. С. 351-353.
7. Кг oil N.M. Parametric amplification In spatially extended media
and application to the desing of tunable oscillators at optical
frequences // Phys. Rev. 1962. V. 127, №4. P. 1207-1211.
8. Kingston R.H. Parametric amplification and oscillation at optical
frequences // Proc. IRE. 1962. V. 50, №4. P. 472.
9. Giordmaine J.A., Miller R.C Tunable coherent parametric
oscillation in LiNbO3 at optical frequences // Phys. Rev. Letts.
1965. V. 14, №24. P. 973-976.
10. Ахманов С А., Хохлов Р. В. Проблемы нелинейной оптики: элек-
электромагнитные волны в нелинейных диспергирующих средах.—
М.: ВИНИТИ. 1965.-295 с.
11. Ахманов С А., Дмитриев В. Г., Моденов В. П. и др. К теории
параметрической генерации в резонаторе, заполненном нели-
нейной средой // Радиотехн. и электрон. 1965. Т. 10, №12.-
С. 2157-2166.
12. Бломберген Н. Нелинейная оптика / Пер. с англ.; Под ред. Ах-
манова С.А. и Хохлова Р.В.-М.: Мир, 1966.-424 с.
13. Ахманов С А., Григорьев Ю.В., Дмитриев В.Г. и др. К тео-
рии параметрических генераторов света // Нелинейная оптика.
Тр. 2-го Всес. симп. по нелинейной оптике.—Новосибирск: Нау-
Наука. 1968.-С. 133-156.
14. Ахманов С.А., Чиркин А.С Параметрическое усиление света
при немонохроматической накачке // Нелинейная оптика. Тр.
2-го Всес. симп. по нелинейной оптике.-Новосибирск: Наука.
1968.-С. 164-173.
15. Сущик М.М., Форту с В.М., Фрейдман Г.И. Параметрическое
усиление и генерация света // Изв. вузов. Радиофизика. 1970.
Т. 13, №5. С. 631-669.
16. Ахманов С А. Чиркин А.С Статистические явления в нелиней-
нелинейной оптике.-М.: Изд-во Московск. ун-та, 1971.-128 с.
17. Григорьев Ю.В., Руденко В.К., Хохлов Р.В. К теории парамет-
параметрического генератора света // Изв. вузов. Радиофизика. 1966.
Т. 9, №5. С. 932-941.
18. Пискарскас А.С Импульсные параметрические генераторы све™
та // Нелинейные процессы в оптике.-Новосибирск: Наука,
1970.-С. 170.
19. Сущик М.М., Форту с В.М., Фрейдман Г. И. Безрезонаторный
параметрический генератор света // Изв. вузов СССР. Радио-
Радиофизика. 1970. Т. 13, №2. С. 251.
490 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
20. Oshman M.K., Harris S.E. Theory of optical parametric oscillation
Internal to the laser cavity // IEEE. 1968. V. QE-4, № 8. P. 491-502.
21. Обуховский В.В., Стрижевский В.Л. Теория поляритонного
параметрического генератора // Квант, электрон. 1974. Т. 1, № 6.
С. 1395-1406.
22. Дмитриев В.Г., Еремеева Р.А., Ицхоки И. Я. и др. К теории
нестационарной параметрической генерации // Квантовая элек-
электроника / Под ред. Н.Г. Басова.-Ш.: Сов. радио, 1973.-Вып. 6.-
С. 69-73.
23. Дьяков Ю.Е., Ковригин А.И. Теория параметрического генера-
генератора света с узкой линией при многомодовой накачке // Квант.
электрон. 1975. Т. 2, №10. С. 2243-2247.
24. Джотян Г. 17., Дьяков Ю.Е. К теории однорезонаторного
ПГС // Квант, электрон. 1977. Т. 4, №11. С. 2338-2344.
25. Джотян Г.П., Дьяков Ю.Е. К теории двухрезонаторного па™
раметрического генератора света с многомодовой накачкой //
Квант, электрон. 1978. Т. 5, №2. С. 331-336.
26. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Параметрические усилители и гене-
генераторы света. // УФН. 1966. Т. 88, №3. С. 439-460.
27. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Нелинейная оптика и проблемы пре™
образования частоты когерентного излучения // Радиотехн. и
электрон. 1967. Т. 12, №11. С. 2052-2074.
28. Харрис СЕ. Перестраиваемые параметрические генераторы
света // ТИИЭР. 1969. Т. 57, №12. С. 5-24.
29. Фишер Р., Кулевский Л.А. Оптические параметрические гене-
генераторы // Квант, электрон. 1977. Т. 4, №2. С. 245-289.
30. Дмитриев В.Г., Кулевский Л.А. Параметрические генерато-
генераторы света // Справочник по лазерам в 2 т. Т. 2. / Под ред.
A.M. Прохорова.-М.: Сов. радио. 1978.-С. 319-348.
31. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н.
Основы теории колебаний.-М.: Наука, 1978.-392 с.
32. Мандельштам Л.С. Полное собрание трудов. Т. 1-5.-М.: 1947-
1955.
33. Папалекси Н.Д. Собрание трудов.-М.: 1948. Параметроны: Сб.
статей / Пер. с японского и англ.-М.: ИЛ, 1962.
34. Каплан А.Е., Кравцов Ю.А., Рылов В.А. Параметрические ге-
генераторы и делители частоты.-М.: Сов. радио, 1966.
35. Харкевич А.А. Нелинейные и параметрические явления в
радиотехнике.—М.: Гостехиздат, 1956.
36. Клышко Д.Н. Фотоны и нелинейная оптика.—М.: Наука. 1980.—
265 с.
К ГЛАВЕ V 491
37. Дмитриев В. Г Нелинейная оптика и обращение волнового
фронта.-М.: Физматлит, 2000.
38. Бутылкин B.C., Каплан А.Е., Хронопуло Ю.Г., Якубович Е.И.
Резонансные взаимодействия света с веществом.-М.: Наука,
1977.
39. Гуревич В.Л., Хронопуло Ю.Г К вопросу о резонансном па-
параметрическом взаимодействии сильных полей оптических ча-
частот // ЖЭТФ. 1966. Т. 51, №5. С. 1499-1509.
40. Ильинский Ю.А., Тарану хин В. Д. Теория повышения частоты в
газах в условиях двухфотонного резонанса // Квант, электрон.
1975. Т. 2, №7. С. 1497-1507.
41. Крочик Г.М., Хронопуло Ю.Г. О преобразовании частоты излу-
излучения в резонансных четырехволновых параметрических про-
процессах на основе ВКР // Квант, электрон. 1975. Т. 2, №8.
С. 1693-1700.
42. Крочик Г.М. Параметрическое усиление на основе четырехвол-
новых параметрических процессов при двухфотонном резонан-
резонансе // Квант, электрон. 1979. Т.6, №2. С. 295-303.
43. Laurence С, Tittel F. Visible cw parametric oscillator using
Barium Sodium Niobate // J. Appl. Phys. 1971. V.42, №5.
P. 2137-2138.
44. Wallace R. W. Rapidly tunable dye-laser-pumped parametric
oscillator // IEEE. 1972. V. QE-8, № 10. P. 819-820.
45. Manley J.M., Rowe H.E. General energy in nonlinear reactances //
Proc. IRE. 1959. V.47. P. 2115.
46. Brunner R., Fischer R., Paul H. Berechnung der Aufbauzeit eines
Dopelrezonanten optischen parametrisehen Oszillator // Ann. Phys.
1974. B. 31. P. 343-351.
47. Smith R.G. Effect of momentum mismatch on parametric gain //
J. Appl. Phys. 1970. V.41, №10. P. 4121-4124.
48. Цернике (P., Мидвинтер Дж. Прикладная нелинейная оптика /
Пер. с англ.; Под ред. С.А. Ахманова.-Ш.: Мир, 1976.-262 с.
49. Smith R.G. Study of factors effecting the deformance of
a continuously pumped doubly resonant optical parametric
oscillator // IEEE. 1973. QE-9, №5. P. 530-541.
50. Воляк К.И., Горшков А.С. Исследование параметрического ге-
генератора с обратной волной // Радиотехн. и электрон. 1973.
Т. 18, №10. С. 2075-2082.
51. Дикчюс ГА. Высокоэффективное возбуждение параметри-
параметрической сверхлюминесценции в пикосекундном диапазоне:
Дис... канд. физ.-мат. наук.-Вильнюс: ВГУ, 1977.
52. Kung А.И. Generation of tunable picosecond VUV radiation //
Appl. Phys. Letts. 1974. V.25, №11. P. 653-654.
492 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
53. Данелюс Р., Дикчюс Г., Кабелка В., Пискарскас А. Высокоэф-
Высокоэффективный пикосекундный ПГС с узким спектром излучения
и высокой частотой повторения импульсов // Письма в ЖТФ.
1977. Т. 47. С. 1075-1077.
54. Кабелка Вп Пискарскас А., Стабинис А., Шер Р. Групповой
синхронизм взаимодействующих сверхкоротких световых им-
импульсов в нелинейных кристаллах // Квант, электрон. 1975. Т. 2,
№2. С. 434-436.
55. Bjorkholm J.E., Danielmeyer H.G. Frequency control of a pulsed
optical parametric oscillator by radiation injection // Appl. Phys.
Letts. 1969. V. 15, №6. P. 171-173.
56. Ицхоки И.Я., Серегин С. Л. Инициирование параметрической
генерации оптическим излучением // Тез. док. 2-й Всес. конф.
«Оптика лазеров».-Л., 1979.-С. 134.
57. Ицхоки И. Я., Серегин С Л. Инициирование параметрической
генерации оптическим излучением // Квант, электрон. 1980.
Т. 7, №4. С. 900-903.
58. Ахманов С.А., Дмитриев В.Г. Оптическая спектроскопия вы-
высокого разрешения с помощью параметрических сверхрегенера-
сверхрегенераторов // Опт. и спектроск. 1972. Т. 33, №1. С. 156-158.
59. Bjorkholm J.E. Some effects of spatially nonuniform pumping in
pulsed optical parametric oscillators // IEEE. 1971. V. QE™7, №3.
P. 109-118.
60. Тарасов Л. В. Физика процессов в генераторах когерентного оп-
оптического излучения.-М.: Сов. радио, 1981.-440 с.
61. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и проблема расходимо-
расходимости лазерного излучения.-М.: Наука, 1979.-328 с.
К главе VI
1. Dmitriev V.G., Gurzadyan G.G., Nikogosyan D.N. Handbook of
Nonlinear Optical Crystals.-Berlin; N.Y.: Springer™Verlag, 1996
(Second, revised and updated edition); 1999 (Third edition).
2. Зоммерфельд А. Оптика.-М.: ИЛ. 1953.-486 с.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред:
Учеб. пособие: Для ун-тов.-3-е изд., стереотип.-М.: ФИЗМАТ-
ЛИТ, 2001.-656 с. (Теоретическая физика. В 10 т. Т. VIII).
4. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах-М.: Мир,
1987.-616 с.
5. Шубников А.В. Основы оптической кристаллографии—М.:
Изд-во АН СССР, 1958.-205 с.
6. Dmitriev V.G., Nikogosyan D.N. Effective nonlinearity coefficients
for three-wave interactions in biaxial crystals of mm2 point groupe
symmetry // Opt. Commun. 1993. V.95. P. 173.
К ГЛАВЕ VII 493
7. Лавровская О.И. , Павлова Н.И., Тарасов А. В. Генерация второй
гармоники излучения лазера AHF:Nd в оптически двухосном
кристалле КТЮРО4 // Кристаллография. 1986. Т. 31, вып. 6.
С. 1145.
8. Най Д. Физические свойства кристаллов / Пер. с англ.—М.: ИЛ,
1960.^385 с.
9. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллографии.-
М.: Наука, 1992.
10. Дьяков В.А., Красников В.В., Прялкин В.И. и др. Уравнения
Селлмейера и перестроечные характеристики преобразователя
частоты на кристалле КТР в области 0,4^4,0 мкм // Квант.
электрон. 1988. Т. 15, №9. С. 1703.
11. Bechtold B.S., Haussuhl S. // Appl. Phys. 1977. V. 14. P. 403.
12. Дмитриев В.Г., Юрьев Ю.В. Термооптические искажения при
ГВГ в нелинейных кристаллах // Квант, электрон. 1998. Т. 25,
№3. С. 249.
13. Дмитриев В.Г., Юрьев Ю.В. Расчет термооптических искаже™
ний при генерации второй гармоники для некоторых нелиней-
нелинейных кристаллов // Квант, электрон. 1998. Т. 25, Л*211. С. 1028.
14. Ito Я., Naito Я., Inava Н. // J. Appl. Phys. 1975. V.45. P. 3992.
15. Nikogosyan D.N. Properties of Optical and Laser™Related Materials
(Handbook).-Berlin: J. Wiley a. Sons. Ltd Publishing, 1997.
16. Sutherland R.L. Handbook of Nonlinear Optics.-N.Y.: Marcel
Dekker Inc., 1996.
17. Влистанов А.А. Кристаллы квантовой и нелинейной оптики.™
М.: МИСИС, 2000.
К главе VII
1. Franken P., Hill A., Peters С, Weinreich G. Generation of optical
harmonics // Phys. Rev. Letts. 1961. V. 7, №3. P. 118.
2. Борн М., Вольф Э. Основы оптики.-М.: Наука, 1970.
3. Armstrong J.A., Bio ember gen Ж, Ducuing J., Pershan P.S.
Interactions between light waves in a nonlinear dielectrics // Phys.
Rev. 1962. V. 127. P. 1918. Имеется перевод в книге: Н. Блом-
берген. Нелинейная оптика.-М.: Мир. 1966.^ Приложение 1.-
С. 265^332.
4. Giordmaine J. Mixing of light beams in crystals // Phys. Rev. Letts.
1962. V.8. P. 19.
5. Dmitriev V.G., Gurzadyan G.G., Nikogosyan D.N. Handbook of
Nonlinear Optical Crystals.-N.Y.; Berlin: Springer™Verlag, 1999
Crd edition).
494 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
6. Feier M.M., Magel G.A., Jundt D.H., Byer R.L. Quasi-phase
matched second harmonic generation: tuning and tolerances //
IEEE J. Quant. Electron. 1992. V. 28, №11. P. 2631.
7. McMullen J.D. Optical parametric oscillations in isotropic
materials using a phase^corrected stacks of nonlinear dielectric
plates // J. AppL Phys. 1975. V.46. P. 3076.
8. Rusiagi K.C., Mehendale S.C., Meenakshi S. Optical frequency
conversion in quasi-phase-matched second harmonic generation
stacks of nonlinear crystals // IEEE J. Quant. Electron. 1982. V. 18.
P. 1029.
9. Дмитриев В.Г., Юрьев Ю.В. Уравнения для ГВГ при квази-
квазисинхронном взаимодействии в нелинейных кристаллах с регу-
регулярной доменной структурой // Квант, электр. 1998. Т. 25, Л*511.
С. 1033.
10. Янке Ж, Эмде Ф., Леш, Ф. Специальные функции.-М.: Наука,
1977.
11. Гречин С.Г., Дмитриев В.Г. Одновременная генерация второй
гармоники лазерного излучения на трех типах взаимодействия
в нелинейных кристаллах с регулярной доменной структурой //
Квант, электрон. 1999. Т. 26, №2. С. 151.
12. Гречин С.Г., Дмитриев В.Г., Юрьев Ю.В. Генерация второй
гармоники при одновременной реализации синхронного и ква-
квазисинхронного взаимодействий в нелинейных кристаллах с ре-
регулярной доменной структурой // Квант, электрон. 1999. Т. 26,
№2. С. 155.
13. Dmitriev V.G., Grechin S.G. Multifrequency laser radiation
harmonics generation in the nonlinear crystals with regular domaine
structures // Proc. SPIE. 1998. V.3733. P. 228^236.
14. Smith D.S., Riccius H.D., Edwin R.P // Opt. Commun. 1976. V. 17.
P. 332.
15. Гречин С.Г., Дмитриев В.Г. Генерация второй гармоники в
кристаллах с регулярной доменной структурой на двух типах
взаимодействия // Квант, электрон. 2001. Т. 31, №10. С. 929.
См. также:
Гречин С.Г., Дмитриев В.Г. Условия квазисинхронизма при од-
одновременной генерации нескольких гармоник лазерного излуче™
ния в кристаллах с регулярной доменной структурой // Квант,
электрон. 2001. Т. 31, №10. С. 933.
16. Anthon D.W., Crowder CD. // AppL Opt. 1988. V. 27. P. 2650.
17. Jundt D.H., Fejer M.M., Byer R.L. Optical properties of lithium-
rich lithium niobate fabricated by vapor transport equilibration //
IEEE J. Quant. Electron., 1990. V. 26. P. 135.
18. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Об одной возможности усиления
световых волн // ЖЭТФ. 1962. Т. 43, №7. С. 351.
к главе vii 495
19. Кг oil N.M. Parametric amplification In spatially extended media
and application to the design of tunable oscillators at optical
frequencies // Phys. Rev. 1962. T. 127, №4. P. 1207.
20. Kingston R.H. Parametric amplification and oscillation at optical
frequencies // Proc. IRE, 1962. V. 50, №4. P. 472.
21. Fabre С // Phys. Reports, 1992. T. 219, №3^6. P. 215.
22. Ахманов С.А., Хохлов P.В. Проблемы нелинейной оптики^М.:
ВИНИТИ, 1964.
23. Дмитриев В.Г., Кулевский Л.А. Параметрические генераторы
света // Справочник по лазерам / Под ред. A.M. Прохорова,
Т. 2-М.: Сов. радио, 1978.
24. Ахманов С.А., Гвоздовер С.Д., Горшков А.С, Дмитриев В.Г.
Нелинейные эффекты и параметрическая регенерация при вза-
имодействии волн в волновых системах с длинными электрон™
ными потоками // ЖТФ. 1963. Т. 33, №1. С. 98.
25. Дмитриев В.Г. О распространении электромагнитных волн
в нелинейных диспергирующих средах: Дис... канд. физ.™мат.
наук.-М.: 1964.
26. Ахманов С.А., Дмитриев В.Г., Моденов В.П. К теории умно-
умножения частоты в нелинейных диспергирующих линиях // Ра™
диотехн. и электрон. 1964. Т. 9, №5. С. 814.
27. Ахманов С.А., Дмитриев В.Г. К теории распространения волн
в нелинейных диспергирующих линиях // Вест. Московск.
ун-та. 1963. Вып. 4. С. 32.
28. Комиссарова М.В., Сухорукое А.П. О свойствах параметриче-
ского усилителя света при кратных частотах // Квант, электрон.
1993. Т. 20, №10. С. 1025.
29. Комиссарова М.В., Сухорукое А.П., Терешков В.А. О парамет-
рическом усилении бегущих волн с кратными частотами // Изв.
АН. Физ. Т. 61. №12. С. 2298.
См. также:
Егоров О.А., Сухорукое А.П. Новые физические явления при
трехволновых взаимодействиях на кратных частотах: полная
взаимная перекачка энергии волн // Изв. РАН. Физ. 1998. Т. 62,
№12. С. 2345;
Лобанов В.Е., Сухорукое А.П. Динамика захвата трех гармо-
гармоник в пространственный солитон в квадратичных кристаллах с
периодически инвертированными доменами // Изв. РАН. Физ.
2002. Т. 66, №12. С. 1783.
30. Дмитриев В.Г., Казаков А.А. Высокоэффективный парамет-
параметрический генератор света с подавлением одной из параметриче-
параметрических частот // Лазерные новости. 1997. №4. С. 3.
496 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
31. Волков В. В. Формирование доменной структуры и преобразова-
преобразование частоты в кристаллах ниобата лития.: Дис... канд. физ.-мат.
наук.- М.: МГУ, 1997.
32. Александровский А.Л., Волков В.В. О возможности экспери-
ментального осуществления параметрического усиления света
с кратными частотами при одновременном удвоении частоты в
кристаллах ниобата лития с регулярной доменной структурой.™
Препринт/ МГУ. №2.-М.: МГУ, 1997.
33. Feier M.M., Magel G.A., Jundt D.H., Byer R.L. Quasi-phase
matched second harmonic generation: tuning and tolerances //
IEEE J. Quant. Electron. 1992. V. 28, №11. P. 2633.
34. Волков В.В., Чиркин А.С. Квазисинхронное параметрическое
усиление волн при низкочастотной накачке // Квант, электрон.
1998. Т. 25, №2. С. 101.
35. Гречин С.Г., Дмитриев В.Г., Казаков А.А. К вопросу о pea™
лизации фазового квазисинхронизма в параметрическом гене™
раторе света с кратными частотами // Лазерные новости. 1998.
№2. С. 3.
36. Генерация гармоник лазерного излучения (новые компьютер-
компьютерные технологии) // Квант, электрон. 1996. Т. 23, №2. С. 193.
37. Волков В.В., Лаптев Г.Д., Морозов Е.Ю. и др. Последователь™
ная квазисинхронная генерация третьей гармоники излучения
Nd:YAG-лазера в кристалле LiNbO3:Y с периодической домен™
ной структурой // Квант, электрон. 1998. Т. 25, №11. С. 1046.
38. Дмитриев В.Г., Юрьев Ю.В. Уравнения для ГВГ при квазисин-
квазисинхронном взаимодействии в нелинейных кристаллах с регуляр-
регулярной доменной структурой // Квант, электрон. 1998. Т. 25, №11.
С. 1034.
39. Зуев В.Е. Распространение видимых и ИК-волн в атмосфере.-
М.: Сов. радио, 1970.
К приложению I
1. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики.—М.:
ВИНИТИ, 1964.
2. Wawilov S.I., Lewschin W.L. // Z. Physik. 1926. №35. P. 932.
3. Вавилов СИ. Микроструктура света.-М.: Изд-во АН СССР,
1950.
4. Бломберген Н. Нелинейная оптика / Пер. с англ.; Под ред.
С.А. Ахманова и Р.В. Хохлова.-М.: Мир, 1966.
5. Борн М., Вольф Е. Основы оптики.-М.: Наука, 1970.
6. Louisell W.H. Coupled Mode and Parametric Electronics. - N.Y.:
J. Willey a. Sons, 1960. Имеется перевод: У. Люиселл. Связанные
и параметрические колебания в электронике.-М.: ИЛ, 1963.
К ПРИЛОЖЕНИЮ I 497
7. Цернике Ф., Мидвинтер Дою. Прикладная нелинейная оптика
/ Пер. с англ.; Под ред. С. А. Ахманова.-М.: Мир, 1976.
8. Справочник по лазерам. В 2 т. / Под ред. A.M. Прохорова.-М.:
Мир, 1976.
9. Franken P., Hill A., Peters С, Weinreich G. Generation of optical
harmonics // Phys. Rev. Letts. 1961. V. 7, №3. P. 118.
10. Хохлов P. В. О распространении волн в нелинейных диспергиру-
диспергирующих линиях // Радиотехн. и электрон. 1961. Т. 6, №6. С. 1116.
11. Armstrong J.F., Bio ember gen Ж, Ducuing /., Pershan P.S.
Interactions between light waves in a nonlinear dielectrics // Phys.
Rev. 1962. V. 127. P. 1918.
12. Giordmaine J.A. Mixing of light beams in crystals // Phys. Rev.
Letts. 1962. V.8. P. 19.
13. Maker P.D., Terhune R.W., Nisenoff M., Savage CM. Mixing of
dispersion and focusing on the production of optical harmonics //
Phys. Rev. Lett. 1962. V.8. P. 21.
14. Terhune R., Maker P., Savage G. Observation of saturation effects
in optical harmonic generation // Phys. Rev. Letts. 1963. V. 2, № 3.
P. 54.
15. Ахманов С. А., Ковригин А.И., Пискарскас А.С, Хохлов Р.В. О
генерировании УФ™излучения путем использования каскадного
преобразования частоты // Письма в ЖЭТФ. 1965. Т. 2, № 5.
С. 223.
См. также:
Акманов А.Г., Ахманов С.А., Жданов Б.В. и др. Генерация
когерентного излучения на А = 212 нм путем использования
каскадного преобразования частоты // Письма в ЖЭТФ. 1969.
Т. 10. С. 244.
16. Kleinman D. Theory of Second Harmonic Generation of Light //
Phys. Rev. 1962. V. 128. C.1761.
17. Ахманов С.А. Когерентные нелинейные волновые процессы в
оптике (умножение, смешение и параметрическое преобразовав
ние частот в оптическом диапазоне) // Весщ Дкадэмп навук
беларуской ССР. Сер. ф1з.-мат. навук. 1965. №4. С. 68.
18. Ахманов С.А. Метод Хохлова в теории нелинейных волн. //
УФН. 1986. Т. 149. С.361.
19. Хохлов Р.В. О нелинейных волновых процессах // УФН. 1965.
Т. 87. С. 17.
20. Волосов В.Д., Нилов Е.В, Влияние пространственной структу-
структуры пучка оптического квантового генератора на генерацию вто™
рой гармоники в кристаллах ADP и KDP // Опт. и спектроск.
1966. Т. 21, №6. С. 715.
498 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
21. Бокутъ Б.В., Хаткевич А.Г. О смешении электромагнитных
волн нелинейным кристаллом // Ж. прикл. спектроск. 1966.
Т. 4. Вып. 5. С. 455.
См. также:
Бокутъ Б.В., Хаткевич А.Г. К теории преобразования часто-
частоты световых волн кристаллом // ДАН БССР. 1964. Т. 8, №11.
С. 711;
Бокутъ Б.В., Хаткевич А.Г.. Преобразование частоты расходя-
расходящихся пучков света // Ж. прикл. спектроск. 1964. Т. 1, вып. 2.
С. 97;
Бокутъ Б.В., Хаткевич А.Г.. Об эффективности смешения све-
световых волн различной поляризации на одноосных нелинейных
кристаллах // Ж. прикл. спектроск. 1967. Т. 6, вып. 2. С. 192.
22. Ахманов С.А., Сухорукое А.П., Чиркин А.С. Параметрическое
усиление при многомодовой накачке // Изв. вузов. Радиофизи-
Радиофизика. 1967. Т. 10. С. 9.
23. Ахманов С.А., Сухорукое А.П., Хохлов Р.В. Самофокусировка
и дифракция света в нелинейной среде // УФН. 1967. Т. 93. С. 19.
24. Сухорукое А.П., Хохлов Р.В. О параболическом уравнении
для описания дифракции в анизотропных средах // Вестн.
Московск. ун-та. Физ. Астрон. 1966. Т. 7, JNH. С. 95.
25. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн.-
М.: Наука, 1979.
26. Сухорукое А.П. Нелинейные волновые явления в оптике и
радиофизике.-М.: Наука, Физматлит, 1988.
27. Ахманов С.А., Сухорукое А.П., Хохлов Р.В. К теории генера-
генерации оптических гармоник в сходящихся пучках // ЖЭТФ. 1966.
Т. 50. С. 474.
28. Зельдович Б.Я. Теория генерации второй гармоники света в са-
самофокусированных пучках // ЖЭТФ. 1966. Т. 50. С. 680.
29. Фрейдман Г.И. Об удвоении частоты сходящихся и частично ко-
когерентных пучков света // Изв. вузов. Радиофизика. 1966. Т. 9.
С. 550.
30. Kleinman D., Ashkin A., Boyd G. Second-Harmonic Generation of
Light by Focused Laser Beams // Phys. Rev. 1966. V. 145, МП.
P. 338.
31. Ковригин A.M., Сухорукое А.П., Подсотская Н.К. Исследова-
Исследование угловой структуры второй оптической гармоники // Опт. и
спектроск. 1967. Т. 22. С. 11.
32. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Нелинейная оптика и проблемы пре-
преобразования частоты когерентного излучения // Радиотехн. и
электрон. 1967. Т. 12, №11. С. 2052.
К ПРИЛОЖЕНИЮ I 499
33. Ахманов С.Ап Ковригин А.Ип Хохлов Р.В., Чунаев О.Н. О
длине когерентного взаимодействия световых волн в нелиней-
нелинейной среде // ЖЭТФ. 1963. Т. 45. С. 1336.
См. также обзор:
Ахманов С.А., Чиркин А.С. Параметрические явления в нели-
нелинейной оптике // Изв. вузов. Радиофизика. 1970. Т. 13, №6.
С. 787.
34. Bloembergen Ж, Ducuing J. Statistical fluctuations in nonlinear
optical processes // Phys. Rev. 1964. V. 133A. P. 1493.
35. Беспалов В.И. Удвоение частотвх света в нелинейной среде
со случайными неоднородностями // Изв. вузов. Радиофизика.
1966. Т. 9, №6. С. 1117.
36. Беспалов В.И. Параметрические усиления света в нелинейной
среде со случайными неоднородностями // Изв. вузов. Радио-
Радиофизика. 1967. Т. 10, № 1. С. 74.
37. Гольдин Ю.А., Дмитриев В.Г., Тарасов В.К. и др. О наблюде-
наблюдении генерации суммарной частоты в электрооптических нели-
нелинейных кристаллах // Письма в ЖЭТФ. 1963. Т. 4, № 11. С. 441.
38. Terhure i?., Maker P., Savage С. Observation of saturation effects
in optical harmonic generation // Appl. Phys. Letts. 1963. V. 2.
P. 54.
39. Zernike F., Berman P.R. Generation of Far Infrared as a Difference
Frequency // Phys. Rev. Letts. 1966. V. 16, №3. P. 117.
40. Sorokin P., Lankardt J. Stimulated emission observed from an
organic dye, chloro-aluminum phthalocyanine // IBM J. Res. and
Develop. 1966. V. 10. P. 162.
41. Степанов Б.И., Рубанов А. С. и др. Оптическая генерация в рас-
растворах сложных молекул // Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 5, №5.
С. 144.
42. Boyd J.D., Kleinman D.A. Parametric interaction of focused
gaussian light beams // J. Appl. Phys. 1968. V.39, №8. P. 3597.
43. Тагиев З.А., Чиркин А.С. Приближение заданной интенсивно-
интенсивности в теории нелинейных волн // ЖЭТФ. 1977. Т. 73, № 3. С. 448.
44. Михина Т.В., Сухорукое А.П., Томов И.В. Влияние тепловых
самовоздействий на протекание когерентных нелинейных опти-
оптических процессов // ЖПС. 1971. Т. 15, №6. С. 1001.
45. Сухорукое А.П. Тепловые самовоздействия интенсивных свето-
световых волн // УФН. 1970. Т. 101, № 1. С. 81.
46. Дмитриев В.Г., Коновалов В.А., Шалаев Е.А. К теории тепло™
вого самовоздействия при генерации второй гармоники в нели-
нелинейных кристаллах // Квант, электрон. 1975. Т. 2, №3. С. 496.
47. Дмитриев В.Г., Коновалов В.А., Злодеев А.Г. и др. Гистере-
Гистерезис температурной кривой синхронизма при генерации второй
гармоники // Квант, электрон. 1979. Т. 6, №12. С. 2603.
500 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
48. Okada M., Jeiri S. Influenced of self-induced thermal effects on
phase matching in nonlinear optical crystals // IEEE. 1971. QE-7,
№ 12. P. 560.
49. Кабелка В.И., Пискарскас А.С, Стабинис А.Ю. Частотные
зависимости групповых скоростей и дисперсионного расплы-
вания волновых пакетов в кристалле // В кн.: Квантовая
электроника.-Сов. радио, 1973. Вып. 5.-С. 135.
50. Кабелка В.И., Пискарскас А.С, Стабинис А.Ю., Шер Р.Л.
Групповой синхронизм взаимодействующих сверхкоротких све-
световых импульсов в нелинейных кристаллах // Квант, электрон.
1975. Т. 2. С. 434.
51. Параметрические генераторы света и пикосекундная епектро-
скопия / Под ред. А.С. Пискарскаса.-Вжлъшос: Мокслас, 1983.
52. Волосов В.Д., Ращектаева М.И. Высокоэффективное преобра-
преобразование во вторую гармонику излучения лазера на неодимовом
стекле // Опт. и спектроск. 1970. Т. 28, №1. С. 105.
53. Ванюков M.U., Волосов В.Д. // В кн.: Лазеры и их применение.™
Дрезден: 1970.-С. 809.
54. Волосов В.Д., Карпенко С.Г., Корниенко Н.Е. и др. Высокоэф-
фективное преобразование во вторую гармонику излучения ла-
лазера на неодимовом стекле // Квант, электрон. 1974. Т. 1, №9,
С. 1966.
55. Волосов В.Д., Калинцев А.Г., Крылов В.Н. Вырожденные па-
параметрические процессы при трехволновых взаимодействиях в
последовательно расположенных кристаллах // Письма в ЖТФ.
1976. Т. 2, №2. С. 85.
56. Лузина А.С, Белый В.И., Инсарова И.И. и др. Эффектив-
Эффективная внутрирезонаторная генерация второй гармоники // Квант.
электрон. 1978. Т. 5, №7. С. 1576.
57. Geusic /., Levinstein H., Singh S. et al. Continuous 0,532-/1 solid-
state source using Ba2Na Nb5Oi5 //Appl. Phys. Letts. 1968. V. 12,
№9. P. 306.
См. также:
Wright J.K. !! Proc. IEEE. 1963. V.51. P. 1663.
58. Smith R.G. Theory of intracavity optical second-harmonic
generation // IEEE. 1970. QE-6, №6. P. 215.
59. Гуламов А.А., Ибрагимов Э.А., Редкоречев В.И. и др. Преобра-
Преобразование частоты лазерного излучения с предельной эффектив-
эффективностью / Под. ред. М.С. Саидова- Ташкент: ФАН. 1990.
См. также:
Азимов С.А., Гуламов А.А., Коробов А.В. и др. -В кн.: Тр. I
Всес. конф. по управлению параметрами лазерного злучения.—
Ташкент: 1978. С. 85.
К ПРИЛОЖЕНИЮ I 501
Арифжанов С. Б., Ганеев Р.А., Гуламов А.А. и др. // Квант.
электрон. 1981. Т. 8, №6. С. 1246.
Ganeev R.A., Gulamov A.A., Redkorechev V.In Usmanov Т. Proc.
Int. Cont. «Laser™79».- Orlando, USA: SIS Press., 1980.- 290.
Ганеев Р.А., Гуламов А.А., Ибрагимов Э.А. и др. Эффективная
генерация второй и третьей гармоник в гипергауссовых пучках
лазерного излучения // Письма в ЖТФ. 1980. Т. 6. С. 972.
Ибрагимов Э.А., Усманов Т. Приближение сильного взаимодей-
взаимодействия в теории нелинейных волн // ДАН СССР. 1981. Т. 261, № 4.
С. 846; ЖЭТФ. 1984. Т. 86, №5. С. 1618.
Ибрагимов Э.А., Самигуллин К.Р., Усманов Т. Теория каскад-
каскадной генерации третьей гармоники в приближении сильного вза-
взаимодействия волн // Квант, электрон. 1985. Т. 12, №4.
Гуламов А.А., Ибрагимов Э.А., Редкоречев В.И., Усманов Т.
Предельная эффективность генерации второй и третьей тар™
моник излучения неодимового лазера // Квант, электрон. 1983.
Т. 10, №7. С. 1305.
Бегитев И.А., Гуламов А.А., Ерофеев Е.А. и др. Предельная
эффективность генерации гармоник излучения неодимового ла-
лазера // Изв. АН СССР. Физика. 1983. Т. 47, №10. С. 1910.
Ахманов С.А., Бегишев И.А., Гуламов А.А. и др. Высокоэф-
Высокоэффективное параметрическое преобразование частоты света в
широкоапертурных кристаллах // Квант, электрон. 1984. Т. 11,
№9. С. 1701.
60. Bloembergen Ж, Pershan P.S. Light waves at the boundry of
nonlinear media // Phys. Rev. 1969. V. 128, №606.;
Ducuing J., Bloembergen N. Observation of reflected light
harmonics at the boundary of piezoelectric crystals // Phys. Rev.
Lett. 1962. V. 10. P. 474.
61. Bloembergen Ж, Sievers A.J. Nonlinear optical properties of
periodic laminar structures // Appl. Phys. Letts. 1970. V. 17. P. 483.
62. Bass M., Franken P.A., Hill A.E. et al. Optical mixing // Phys.
Rev. Letts. 1962. V.8. P. 18.
63. Boyd G.D., Miller R.C., Savage A.G. Nonlinear optical interactions
in LiNbO3 without double refraction // Appl. Phys. Letts. 1965.
V.6. P. 77.
64. Hodgson R. Г., Sorokin P.P., Wynne I.I. Tunable coherent vacuum-
ultraviolet generation in atomic vapors // Phys. Rev. Letts. 1974.
V.32. P. 343.
65. London R., McLean P., Butcher P. Parametric amplification near
resonance in non4inear dispersive media // Proc. Phys. Soc. 1965.
V.85. P. 565.
502 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
66. De Martini F. Theory of the infrared generation by coherently
driven molecular vibrations // J. Appl. Phys. 1966. V. 37, JY512.
P. 4503.
67. Faust W.L., Henry C.H. Mixing of visible near-resonance infrared
light in GaP // Phys. Rev. Letts. 1966. V. 17, №25. P. 1265.
68. Harris S.E., Miles R.B. Proposed third-harmonic generation in
phase-matched metal vapors // Appl. Phys. Lett. 1971. V. 19.
P. 385.
69. Miller R.C Optical second harmonic generation in piezoelectric
crystals // Appl. Phys. Lett. 1964. V. 5. P. 17.
70. Boyd G.D., Miller R.C, Nassau K. et al. LiNbO3: an efficient phase
matchable nonlinear optical material // Appl. Phys. Lett. 1964.
V. 5. P. 234.
71. Ashkin A., Boyd G.D., Dziedzie J.M. et al. Optically-induced
refractive index inhomogeneities in LiNbO3 and LiTaO3 // Appl.
Phys. Lett. 1966. V.9. P. 72.
72. Chen F.S. Optically induced change of refraction indices in LiNbO3
and LiTaO3 // J. Appl. Phys. 1969. V.40. P. 3389.
73. Singh S., Draegert D.A., Geusic J.E. Optical and ferroelectric
properties of barium sodium niobate // Phys. Rev. 1970. V. 132.
P. 2709.
74. Kurtz S.K., Perry T.T., Bergman J.G. Alpha-Iodic acid: A solu-
solution-grown crystal for nonlinear optical studies and applications //
Appl. Phys. Letts. 1968. V. 12. P. 186.
См. также:
Kurtz S.K., Perry T.T. A powder technique for the evaluation of
nonlinear optical material // J. Appl. Phys. 1968. V. 39. P. 3798;
Kurtz S.K. New nonlinear optical material // J. Quant. Electron.
1968. V. QE-4. P. 578.
75. Филимонов А.А., Суворов B.C., Рез И.С Исследование генера-
генерации второй гармоники излучения ОКГ в мелкодисперсных кри-
кристаллических средах // ЖЭТФ. 1969. Т. 56. С. 1519.
76. Nath С, Haussuhl S. Large nonlinear optical coefficient and phase
matched second harmonic generation in LiIO3 // Appl.Phus.Lett.
1969. V. 14. P. 154.
77. Суворов B.C., Сонин A.C., Рез И.С Некоторые нелинейные оп-
оптические свойства кристаллов группы KDP // ЖЭТФ. 1967.
Т. 53. С. 49.
78. Волосов В.Д., Дмитриев В.Г., Зудков П.И. и др. Генерация вто-
второй гармоники в новом нелинейном кристалле — дигидроарсе-
нате цезия // Изв. вузов. Радиофизика. 1969. Т. 12. С. 1898.
79. Голяев Ю.Д., Дмитриев В.Г., Ицхоки И.Я. и др. Эффектив-
Эффективный удвоитель частоты на кристалле дигидроарсената цезия //
Квант, электрон. 1973. Т. 1. С. 122.
К ПРИЛОЖЕНИЮ I 503
80. Коренева Л.Г., Золчн В.Ф., Давыдов Б.Л. Молекулярные кри-
кристаллы в нелинейной оптике.-М.: Наука, 1985.
81. Boyd G.D., Buckler Ж, Stozz F.G., Wernick J.H. Linear and
nonlinear optical properties of ZnGeP2 and CdSe // Appl. Phys.
Lett. 1971. V. 18. P. 301.
82. Абдулаев Г.В., Кулевский Л.А., Прохоров A.M. и др. GaSe - но-
новый эффективный материал для нелинейной оптики // Письма
в ЖЭТФ. 1972. Т. 16. С. 130.
83. Zumsteg F.C., Bierlein J.D., Gier Т.Е. K^Rbi^TiOPO^ A new
nonlinear optical material // J. Appl. Phys. 1976. V. 47, №11.
P. 4980.
84. Dmiiriev V.G., Gurzadyan G.G., Nikogosyan D.N. Handbook
of Nonlinear Optical Crystals.-Berlin; N.Y.: Springer-Verlag, 1st
edition, 1991; 2nd Revised and Supplemented Edition, 1997; 3™rd
Revised Edition, 1999.
См. также:
Гурзадян Г.Г., Дмитриев В.Г., Никогосян Д.Н. Нелинейно-оп-
Нелинейно-оптические кристаллы (справочник). — М.: Радио и связь, 1991.
85. Nikogosyan D.N. Properties of Optical and Laser-Related Materials
(Handbook).^ N.Y.: J. Wiley a. Sons, 1997.
86. Sutherland R.L. Handbook of Nonlinear Optics.-N.Y.; Basel; Hong
Kong: Marcel Dekker, 1996.
87. Кузьминов Ю.С. Электрооптический и нелинейт>оптический
кристалл ниобат лития.-М.: Наука, 1987.
См. также:
Блистанов А.А. Кристаллы квантовой и нелинейной оптики.™
М.: МИСИС, 2000.
88. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики / Пер. с англ.; Под ред.
С.А. Ахманова.-М.: Наука. Физматлит, 1989.
89. Ward J.F. Absolute measurement of an optical-rectification
coefficient in ammonium dihydrogen phosphate // Phys. Rev. 1966.
V. 143. P. 569.
90. Евланова Н.Ф., Ковалев А.С, Копцик В.А. и др. Индуцирован-
Индуцированное излучение кристаллов ГлМЪОз с примесъю неодима // Пись-
Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 5. С. 351.
91. Johnson L.F., Ballmann A.A. Coherent emission from rare earth
ions in electro-optic crystals // J. Appl. Phys. 1969. V.40, МП.
P. 297.
92. Дмитриев В.Г., Раевский Е.В., Рашкович Л.Н. и др. О на-
наблюдении одновременной генерации основного излучения и вто™
рой гармоники в активно-нелинейной среде-метаниобате лития
с неодимом // Письма в ЖТФ. 1979. Т. 5, вып. 22. С. 1400.
504 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
93. Fan T.Y., Cordova-Plaza A., Digonnet M.J.F. et al.
Nd:MgO:LiNbO3 spectroscopy and laser devices // J. Opt.
Soc. Americ. B. 1986. V.3, №1. P. 140.
94. Дмитриев В.Г., Зенкин В.А. Усиление и генерация второй оп-
оптической гармоники в активно-нелинейной среде // Квант, элек-
электрон. 1976. Т.З, №8. С. 1811.
95. Дмитриев В.Г., Зенкин В.А., Корниенко Н.Е. и др. Лазеры с
активно™нелинейными средами // Квант, электрон. 1978. Т. 5,
№11. С. 2416.
96. Карпенко С.Г., Стрижевский В.Л. Нестационарная внутрире™
зонаторная генерация второй оптической гармоники в лазерах
с активно-нелинейными средами // Квант, электрон. 1979. Т. 6,
№3. С. 437.
97. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Об одной возможности усиления
световых волн // ЖЭТФ. 1962. Т. 43, №7. С. 351.
98. Кг oil H. Parametric amplification in spatially extended media
and application to the design of tunable oscillators at optical
frequencies // Phys. Rev. 1962. V. 127. P. 1207.
99. Kingston R. Parametric amplification and oscillation at optical
frequencies // Proc. IRE. 1962. V. 50. P. 472.
100. Giordmaine /., Miller R. Tunable coherent parametric oscillation
in LiNbO3 at optical frequencies // Phys. Rev. Letts. 1965. V. 14.
P. 973.
101. Harris S., Oshman M., Byer R. Observation of tunable optical
parametric fluorescence // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 18. P. 732.
102. Клышко Д.Н.. Фотоны и нелинейная оптика-М.: Наука, 1980.
103. Magdy G., Mahr H. Study in ammonium duhydrogen phosphate of
spontaneous parametric interaction tunable from 4400 to 16000 A //
Phys. Rev. Lett. 1967. V. 18 A9). P. 950.
104. Akhmanov S.A., Chunaev O.N., Fadeev V.V. et al. Parametric
generation of light // В кн.: Modern Optics. Proc. Symposium on
Modern Optics. N.Y. March, 1967. P. 343-355.
105. Ахманов С.А., Фадеев В.В., Хохлов Р.В. и др. Квантовые шумы
в параметрических усилителях света // Письма в ЖЭТФ. 1967.
Т. 6. С. 4.
106. Клышко Д.Н., Криндач Д. П. // III Всес. симп. по нелинейной
оптике. Тезисы. Ереван. 1967.
107. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Новое в нелинейной оптике// УФН.
1968. Т. 95, вып. 1. С. 231.
108. Siegman A.E Nonlinear optical effects: an optical power limiter //
Appl. Opt. 1962. V. 1. P. 739.
109. Byer R.L., Kovrigin A.I., Young J.F. A cw ring-cavity parametric
oscillator // Appl. Phys. Letts. 1969. V. 15. P. 136.
К ПРИЛОЖЕНИЮ I 505
110. Wang G., Racette G. Effect of linear absorption on self-focusing of
laser beam In CS2(E) // Appl. Phys. Letts. 1965. V.8.
111. Ахманов С.А., Ковригин A.M., Пискарскас А.С. и др. Наблю-
Наблюдение параметрического усиления в оптическом диапозоне //
Письма в ЖЭТФ. 1965. Т. 2, №7. С. 302.
112. Ахманов С.А., Ершов А.Г., Фадеев В.В. и др. Наблюдение дву-
двумерного параметрического взаимодействия световых волн //
Письма в ЖЭТФ. 1965. Т. 2, № 10.
113. Ахманов С.А., Ковригин А.И., Колосов В.А. и др. Перестраи-
Перестраиваемый параметрический генератор света на кристалле KDP //
Письма в ЖЭТФ. 1966. Т. 3. С. 372.
114. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Параметрические усилители и гене-
генераторы света // УФН. 1966. Т. 88. С. 439.
115. Smith R.G., Geusic J.E., Levinstein H.J. et ah Low-threshold
optical parametric oscillator using Ba2 NaNb5 Oi5 // J. Appl. Phys.
1968. V.39, P. 4030.
116. Harris S.E. Proposed backward wave oscillation In the Infrared //
Appl. Phys. Lett. 1966. V.9. P. 114.
117. Bjorkholm J.E. Some spectral properties of doubly and singly
resonant pulsed optical parametric oscillators // Appl. Phys. Lett.
1968. V. 13, №53. P. 399.
118. Manley J.M., Rowe H.E. General energy relations In nonlinear
reactances // Proc.IRE. 1959. V.47. P. 2115.
119. Фрейдман Г.И. О влиянии ширины и расходимости пучка на
эффективность его преобразования во вторую гармонику при
больших уровнях мощности // В кн.: Нелинейная оптика. Тр.
2-го Всес. симпозиума по нелинейной оптике. 1966.-Новоси-
бирск: Наука, 1968. С. 129.
120. Форту с В.М., Фрейдман Г. И. О КПД распределенного пара-
параметрического генератора с обратной связью только по одной из
взаимодействующих волн // В кн.: 3-й Всес. симпозиум по нели-
нелинейной оптике. 1967. Ереван.
121. Фрейдман Г.И. О самовозбуждении параметрически связанных
колебаний в резонаторах оптического диапазона при немоно-
немонохроматической накачке // Изв. вузов. Радиофизика. 1968. Т. 11,
№9. С. 1345.
122. Беляев Ю.Н., Киселев A.M., Фрейдман Г.И. Исследование ге™
нератора света с обратной связью только по одной из волн //
Письма в ЖЭТФ. 1969. Т. 9, №8. С. 441.
См. также:
Параметрический генератор света с двумя областями взаи-
взаимодействия // Изв.вузов, сер. Радиофизика. 1971 Т. 14,
С. 1182.
506 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
123. Сущик М.М., Форту с В.М., Фрейдман Г.И. Параметрические
усиление и генерация света // Изв. вузов. Радиофизика. 1970.
Т. 13, вып. 5. С. 631.
124. Беляев Ю.Н., Фрейдман Г. И. Пространственный захват усили-
усиливаемых световых волн в кристалле KDP // Письма в ЖЭТФ.
1972. Т. 15, вып. 5. С. 237.
125. Ковригин А.И., Никлес П. Безрезонаторный параметрический
генератор света на кристалле а-НЛОз // Письма в ЖЭТФ. 1971.
Т. 13. С. 440.
126. Kingston R., McWhorter A. Electromagnetic mode mixing in
nonlinear media // Proc. IEEE. 1965. V.53(l), P. 4.
127. Ахманов С.А., Дмитриев В.Г., Моденов В.П. и др. К теории
умножения частоты в нелинейных диспергирующих линиях/У
Радиотехн. и электрон. 1964. Т. 9. С. 596.
128. Клышко Д.Н. Когерентный распад фотонов в нелинейной сре-
среде // Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6. С. 1.
129. Ахманов С.А., Дмитриев В.Г. О параметрическом усилении бе-
бегущих волн при низкочастотной накачке // Вестн. Московск.
ун-та. Сер. физ. 1963. Ж0-4. С. 32.
130. Ахманов С.А., Дмитриев В.Г. Оптическая спектроскопия вы-
высокого разрешения с помощью параметрических сверхгенерато-
сверхгенераторов // Опт. и спектроск. 1972. Т. 33, ЛН. С. 156.
131. Tang C.L. Spontaneous emission in the frequency up™conversion
process in nonlinear optics // Phys. Rev. 1969. V. 182. P. 367.
132. Midwinter J.E. Image conversion from 1.6/i to the visible in Lithium
Niobate // Appl. Phys. Lett. 1968. V. 12. P. 68.
133. Andrews R.A. IR image parametric iip-conversion // IEEE J.
Quant. Electron. 1970. V. QE-6. P. 68.
134. Ильинский Ю.А., Янайт Ю.А. // Тезисы IV Всес. конф. по
нелинейной оптике.™Киев. 1982.
135. Воронин Э.С., Дивлекеев М.И., Ильинский Ю.А. и др. Инфра-
Инфракрасная голография методами нелинейной оптики // Письма в
ЖЭТФ. 1969. Т. 10. С. 172.
136. Воронин Э.С., Дивлекеев М.И., Ильинский Ю.А. и др. Преобра-
Преобразование изображения из инфракрасного диапазона в видимый
методами нелинейной оптики // ЖЭТФ. 1970. Т. 58. С. 51.
137. Ильинский Ю.А., Янайт Ю.А. Преобразование изображения
при генерации суммарной частоты // Изв. вузов. Радиофизика.
1970. Т. 13. С. 37.
138. Арумов Г.П., Воронин Э.С., Ильинский Ю.А. и др. Смешение
излучений криптонового и СОг-лазеров в прустите // В сб.:
Квантовая электроника / Под ред. Н.Г. Басова. 1973. №5 A7).
С. 95.
К ПРИЛОЖЕНИЮ I 507
139. Voronin E.S., Solomatin V.S., Shuvalov V.V. // J. Optoelectron.
1974. V.6. P. 189.
140. Воронин Э.С., Соломатин B.C., Черепов Н.И. u др. Преобразо-
Преобразование ИК-излучения на кристалле AgGaS2// Квант, электрон.
1975. Т. 2, №5. С. 102.
141. Gurski T.R. High-quantum-efficiency infrared up-conversion //
Appl. Phys. Lett. 1973. V. 23. P. 274.
142. Аскарьмн Г. А. Воздействие градиента поля интенсивного элек-
электромагнитного луча на электроны и атомы // ЖЭТФ. 1962.
Т. 42. С. 1567.
143. Ахманов С.А., Дмитриев В.Г. К теории распространения волн
в нелинейных диспергирующих линиях // Вестн. Московск.
ун-та. Физ. Астрон. 1963. №3. С. 85.
144. Волков Т.Ф. II В сб.: Физика плазмы и проблема управляемой
термоядерной реакции.-М.: Изд-во АН СССР. 1958. Т. 3. С. 36.
145. Таланов В. И. О самофокусировке электромагнитных волн в
нелинейных средах // Изв. вузов. Радиофизика. 1964. Т. 7.
С. 564.
146. Chiao Д., Garmire Ж, Townes С. Self-trapping of optical beams //
Phys. Rev. Lett. 1964. V. 13. P. 479.
147. Chiao R., Garmire E., Townes С Self-trapping of optical beams //
Phys. Rev. Lett. 1965. V. 14. P. 1056.
148. Пилипецкий Н.Ф., Рустамов С.А. Наблюдение самофокусиров-
самофокусировки света в жидкостях // Письма в ЖЭТФ. 1965. Т. 2. С. 88.
149. Таланов В. И. О самофокусировке волновых пучков в нелиней-
нелинейных средах // Письма в ЖЭТФ. 1965. Т. 2. С. 218.
150. Кепеу P. Self-focusing of optical beams // Phys. Rev. Lett. 1965.
V. 15. P. 1005.
151. Ахманов С А., Сухорукое А. П., Хохлов Р. В. О самофокусиров-
самофокусировке и самоканализации интенсивных световых пучков в нелиней-
нелинейной среде // ЖЭТФ. 1966. Т. 50. С. 1537.
152. Зельдович Я.В., Райзер Ю.П. Самофокусировка света // Пись-
Письма в ЖЭТФ. 1966. Т.З. С. 137.
153. Беспалов В.И., Таланов В.И. О нитевидной структуре пучков
света в нелинейных жидкостях // Письма в ЖЭТФ. 1966. Т.З.
С. 47.
154. Беспалов В.И., Литвак А.Г., Таланов В.И. Самовоздействие
электромагнитных волн в кубичных изотропных средах // В сб.:
Нелинейная оптика. Тр. 2-го Всес. симпозиума по нелинейной
оптике.- Новосибирск: Наука, 1968.- С. 428.
155. Беспалов В.И., Кубарев A.M. Некоторые результаты наблюде-
наблюдения распространения и вынужденного рассеяния интенсивного
508 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
света в хинолине // В сб.: Нелинейная оптика. Тр. 2-го Всесоюз-
Всесоюзного симпозиума по нелинейной оптике.-Новосибирск: Наука,
1968.- С. 247.
156. Ghiao R. F., Johnson M.F., Krinsky S. et al. A new class of trapped
light elements // IEEE J. Quant. Electron. 1966. V. QE™2. P. 467.
157. Луговой А.П., Прохоров A.M. О возможном объяснении мелко-
мелкомасштабных нитей // Письма в ЖЭТФ. 1968. Т. 7. С. 153.
158. Луговой А.Н., Прохоров A.M. Теория распространения мощного
лазерного излучения в нелинейной среде // УФН. 1973. Т. 111,
С. 203.
159. Островский Л.А. Электромагнитные волны в нелинейных сре-
средах с дисперсией // ЖТФ. 1963. Т. 33, №8. С. 905.
160. Островский Л.А. Распространение волновых пучков и
пространственно-временная самофокусировка в нелинейной
среде // ЖЭТФ. 1966. Т. 51. С. 1189.
161. Rieckhoff К. Self-induced divergence of cw laser beams in liquids —
a new nonlinear effect In the propagation of light // Appl. Phys.
Letts. 1966. V. 9. P. 87.
162. Басов Н.Г., Летохов В. С. Изменение формы импульса света при
нелинейном усилении // ДАН СССР. 1966. Т. 167. С. 73.
163. Басов Н.Г., Амбарцумян Р.В., Зуев B.C. и др. Нелинейное уси-
усиление импульса света // ЖЭТФ. 1966. Т. 50. С. 23.
164. Lallemand P., Bloembergen N. Self-focusing of laser beams and
stimulated Raman gain In liquids // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15.
165. Garmire Ж, Chiao R., Townes C. Dynamics and characteristics of
the self-trapping of Intense light beams // Phys. Rev. Lett. 1966.
V. 16. P. 847.
166. Плачек Г. Рэлеевское рассеяние и раман-эффект.-Харьков: Гос.
научно-техн. изд-во Украины. 1935.
167. Woodbury E.J., Ng W.K. Ruby laser operation In the near IR //
Proc. IRE. 1963. V. 50, P. 2347.
168. Hellwarth R. W. Ruby laser operation In the near IR // Phys. Rev.
1963. V. 130, P. 1850.
169. Terhune R.W. // Bull. Amer. Phys. Soc. 1963. V. 8, №2. P. 359.
170. Дмитриев В. Г. Нелинейная оптика и обращение волнового
фронта.-М.: Наука. Физматлит, 2000.
171. Eckardt G., Hellwarth R.W., McClung E.J. et al. Stimulated
Raman scattering from organic liquids // Phys. Rev. Lett. 1962.
V.9. P. 455.
172. Getter M., Borifeld D.P., Sooy W.R. New Woodbury-Raman laser
materials // Appl. Phys. Lett. 1963. V. 3. P. 36.
К ПРИЛОЖЕНИЮ I 509
173. Minck R.W., Terhune R.W., Rado W.G. Laser-stimulated Raman
effect and resonant four-photon interactions in gases H2, D2 and
CH4 // Appl. Phys. Lett. 1963. V.3. P. 181.
174. London R. Theory of stimulated Raman scattering from lattice
vibrations // Proc. Phys. Soc. (London). 1963. V. A82. P. 393.
175. Bloembergen Ж, Shen Y.R. Quantum-theoretical comparison of
nonlinear susceptibilities in parametric media, lasers, and Raman
lasers // Phys. Rev. 1964. V. 133. A37.
176. Javan A. Stimulated Raman effect // В кн.: Rendiconti della
Scuola internazionale di fisika «Enrico Fermi». Corso 31.-N.Y.
1964. P. 284.
177. Файн В.Мп Яшин А.С. К теории индуцированного комбинаци-
комбинационного излучения // ЖЭТФ. 1964. Т. 46. С. 695.
178. Stoicheff В. P. Characteristics of stimulated Raman radiation
generated by coherent light // Phys. Rev. Lett. 1963. V. 7, №3.
P. 186.
179. Chiao R.Y., Stoicheff B.P. Angular dependence of maser-
stimulated Raman radiation in calcite // Phys. Rev. Lett. 1964.
V. 12. №11. P. 290.
180. Bloembergen N. The stimulated Raman scattering // Amer. J.
Phys. 1967. V. 35 A1). P. 989. Имеется перевод: УФН. 1969. Т. 97,
вып. 2. С. 307.
181. Апанасевич П.А. Вынужденное комбинационное рассеяние //
Весщ Акадэмп навук беларуской ССР, сер. ф1з.-мат. навук. 1965.
№4, С. 89.
182. Зубов В.А., Сущинский М.М., Шувалов И.К. Исследование по-
порога возбуждения вынужденного комбинационного рассеяния //
ЖЭТФ. 1964. Т. 47. С. 784; Исследование вынужденного ком-
комбинационного рассеяния в смесях //ЖЭТФ. 1965. Т. 48. С. 378;
Ж. прикл. спектроск., 1965. Т. 3. С. 336.
183. Грасюк А.З. Комбинационные лазеры // Квант, электрон. 1974.
Т.1. С. 485.
184. Борн М., Кунь X. // Динамическая теория кристаллических
решеток.-М.: ИЛ, 1958.
185. Платоненко В. Т., Хохлов Р.В. О механизме работы комбинаци-
комбинационного лазера // ЖЭТФ. 1964. Т. 46. С. 555.
186. Луговой В.Н. Введение в теорию вынужденного комбинацион-
комбинационного рассеяния.-М.: Наука, 1968.
См. также:
Конингстайн И.А. Введение в теорию комбинационного рассе™
яния света.-М.: Мир. 1975.
187. Сущинский М.М. Комбинационное рассеяние света и строение
вещества.-М.: Наука, 1981.
510 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
188. London R., McLean P., Butcher P. Parametric amplification near
resonance In non-linear dispersive media // Proc. Phys. Soc. 1965.
V.85. C. 565.
189. Дмитрук Н.Л., Литовченко В.Г., Стрижевский В.Л. Поверх-
Поверхностные поляритоны в полупроводниках и диэлектриках.-Киев:
Наук. Думка, 1989.
190. Сущинский М.М. Вынужденное рассеяние света.-М.: Наука,
1985.
191. Ахманов С.А., Коротеев Н.И.. Методы нелинейной оптики в
спектроскопии рассеяния света.—М.: Наука, 1981.
192. Фабелинский И.Л. Молекулярное рассеяние света. - М.: Наука,
1965.
193. Келих С. Молекулярная нелинейная оптика.—М.: Наука, 1981.
194. Chiao R.Y., Stoicheff B.P., Townes C.H.. Stimulated Brillouin
scattering and coherent generation of intense hypersonic waves //
Phys. Rev. Lett. 1964. V. 12. С 592. Имеется перевод в сб.: Дей-
ствие лазерного излучения.-М.: Мир, 1968.-С. 32.
195. Маш Д.И., Морозов Р.В., Старунов B.C., Фабелинский И.Л.
Вынужденное рассеяние света крыла линии Релея // Письма в
ЖЭТФ. 1965. Т. 2. С. 41.
196. Зайцев Г.И., Кызыласов Ю.И., Старунов B.C., Фабелинский
И. Л. Вынужденное температурное рассеяние света в жидко-
жидкостях // Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6. С. 802.
197. Rank D.H., Cho C.W., Foltz КО., Wiggins ТА. Stimulated
thermal Rayleigh scattering // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P. 828.
198. Старунов B.C., Фабелинский И.Л. Вынужденное рассеяние
Мандельштама^Бриллюэна и вынужденное энтропийное //
УФН. 1969. V.98. С. 441.
199. Беспалов В.И., Кубарев A.M., Пасманик Г.А. Вынужденное
рэлеевское рассеяние света// Изв. вузов. Радиофизика. 1970.
Т. 13, №10. С. 1433.
200. Басов Н.Г. Предисловие // Тр. ФИАН. 1986. Т. 172. С. 6.
201. Зельдович Б.Я., Поповичев В.И., Рагульский В.В., Файзул-
лов Ф.С. О связи между волновыми фронтами отраженного и
возбуждающего света при вынужденном рассеянии Мандель-
штама-Бриллюэна // Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 15, вып. 3.
С. 160.
См. также:
Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 15, вып. 6. С. 363.
202. Зельдович Б.Я., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Обращение
волнового фронта.-М.: Наука, 1985.
203. Рагульский В.В.. Обращение волнового фронта при вынужден-
вынужденном рассеянии света.-М.: Наука, 1990.
К ПРИЛОЖЕНИЮ I 511
204. Носач О.Ю., Поповичев В.И., Рагульский В.В., Файзул-
лов Ф.С. I/ Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 16, вып. 11. С. 617.
205. Носач О.Ю., Рагульский В.В. О возможности использования
вынужденного рассеяния для получения остронаправленного
излучения в лазерных системах с меняющимся показателем пре-
преломления рабочей среды // Опт. и спектроск. 1998. Т. 85,
С. 999.
206. К истории открытия ОВФ // Опт. и спектроск. 1998. Т. 85,
С. 997.
207. Fisher R.A. Optical Phase Conjugation.^. Y.: Acad. Press, 1983.
208. Одулов C.F., Соскин M.C., Хчжняк А.И. Лазеры на динамиче-
динамических решетках.-М.: Наука, 1990.
209. Апанасевич П.А.. Основы теории взаимодействия света с
веществом.^Минск: Наука и техника, 1977.
210. Летохов B.C., Чеботаев В.П. Принципы нелинейной лазерной
спектроскопии.-М.: Наука, 1975.
211. Аракелян СМ., Чилингарян Ю.С. Нелинейная оптика жидких
кристаллов.-М.: Наука, 1984.
212. Делоне Н.Л., Крайнов В.П. Основы нелинейной оптики атомар-
атомарных газов.-М.: Наука, 1986.
213. Райнджес Дою. Нелинейные оптические параметрические про™
цессы в жидкостях и газах.-М.: Мир, 1987.
214. Ахманов С.А., Вислоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосе-
кундных лазерных импульсов.—М.: Наука, 1988.
215. Boyd R.W. Nonlinear Optics.^L.: Acad. Press, 1992.
216. Коротеев Н.И., Шумай И. Л. Физика мощного лазерного
излучения.-М.: Наука, 1991.
217. Нелинейные оптические свойства органических молекул и кри-
кристаллов / Пер. с англ.; Под ред. И. С. Реза. В 2 т.-М.: Мир, 1989.
218. Ахманов С.А., Чиркин А.С. Статистические явления в нели-
нелинейной оптике.-М.: Изд-во Московск. ун-та, 1971.
См. также:
Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статисти-
статистическую радиофизику и оптику.^М.: Наука, 1981.
219. Акустические кристаллы. Справочник / Под ред. М.П. Шас-
Кольской-Ж.: Наука, Физматлит, 1982.
220. Ахманов С.А., Никитин СЮ. Физическая оптика.-М.: Изд-во
Московск. ун-та, 1998.
221. Г.Агравал. Нелинейная волоконная оптика / Пер. с англ.; Под
ред. П.В. Малышев а.-Ж.: Мир, 1996.
222. Клытко Д.Н. Физические основы квантовой электроники.-М.:
Наука. Физматлит, 1986.
512 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К приложению II
1. Синг С. Нелинейные оптические материалы. - В кн.: Справоч-
Справочник по лазерам. В 2 т. / Под ред. A.M. Прохорова.-М.: Сов.
радио, 1978.-Т.2.- С. 237-271.
2. Dmitriev V.G., Gurzadyan G.G., Nikogosyan D.N. Handbook of
Nonlinear Optical Crystals.-N.Y.; В.: Springer™Verlag. 1st edition,
1991; 2nd Revised and Supplemented Edition, 1997; 3-rd Revised
Edition, 1999.
См. также:
Гурзадян Г.Г., Дмитриев В.Г., Никогосян Д.Н. Нелинейно-оп-
Нелинейно-оптические кристаллы (справочник).-М.: Радио и Связь, 1991.
3. Кузъминов Ю.С. Ниобат и танталат лития.-М.: Наука, 1975.-
223 с.
4. Кузъминов Ю.С. Электрооптический и нелинейно-оптический
кристалл ниобат лития.-М.: Наука, 1987.
5. Шигорин В.Д. Иследование генерации второй оптической гар-
гармоники в молекулярных кристаллах // Тр. ФИАН СССР. 1977.
Т. 98. С. 78-140.
6. Коренева Л.Г., Золин В.Ф., Давыдов Б.Л. Молекулярные кри-
кристаллы в нелинейной оптике.—М.: Наука, 1985.
7. Nikogosyan D.N. Properties of Optical and Laser-Related Materials
(Handbook).- N.Y.: J. Wiley a. Sons, 1997.
8. Sutherland R.L.. Handbook of Nonlinear Optics.- N.Y.; Basel; Hong
Kong: Marcel Dekker, 1996.
9. Блистанов А.А. Кристаллы квантовой и нелинейной оптики.-
М.: МИСИС, 2000.
10. Цернике Ф., Мидвинтер Дж. Прикладная нелинейная оптика /
Пер. с англ.; Под ред. С.А. Ахманова.-М.: Мир, 1976.-261 с.
11. Гречин С.Г., Дмитриев В.Г., Дьяков В.А., Прялкин В.И. Ано-
Аномально-некритичный по температуре фазовый синхронизм при
преобразовании частоты в нелинейных кристаллах // Квант.
электрон. 1998. Т. 25, №11. С. 963.